УДК 517 @75.8)
ББК 22.161
Т35
Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического
анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-
ЛИТ, 2001. — 672 с. — ISBN 5-9221-0008-4.
Изложение теоретического материала иллюстрируется типовыми при-
примерами. Большое внимание уделено трудным разделам курса математичес-
математического анализа (равномерная сходимость функциональных рядов и интегра-
интегралов, зависящих от параметра, равномерная непрерывность функций и т. д.).
Для студентов физико-математических и инженерно-физических спе-
специальностей вузов с повышенной подготовкой по математике. Может быть
использована при самостоятельном изучении курса.
Второе издание — 1997 г.
Табл. 3. Ил. 185. Библиогр. 20 назв.
Рецензент заведующий кафедрой математики физического факуль-
факультета МГУ доктор физико-математических наук, профессор В. Ф. Бутузов
Учебное издание
ТЕР-КРИКОРОВ Александр Мартынович,
ШАБУНИН Михаил Иванович
КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Редактор Е.Ю. Ходан
Оригинал-макет И.Л. Ивановой
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 30.08.01.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 42. Уч.-изд. л. 44. Тираж 3000 экз. Заказ №
Издательская фирма "Физико-математическая литература"
МАИК "Наука/Интерпериодика"
117864 Москва, ул. Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП "Типография "Наука"
121099 Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0008-4
785922'100083
ISBN 5-9221-0008-4
© ФИЗМАТЛИТ, 2001
© A.M. Тер-Крикоров,
М.И. Шабунин 1997;
с исправлениями 2001

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
При написании настоящей книги авторы опирались на многолет-
многолетний опыт чтения курса математического анализа и ведения семинар-
семинарских занятий в Московском физико-техническом институте. Изложе-
Изложение теоретического материала подкрепляется достаточным числом
примеров, помогающих освоению основных идей курса и выработке
навыков в решении прикладных задач. Особое внимание уделяется
таким традиционно трудным для студентов понятиям, как равномер-
равномерная непрерывность функции, сходимость несобственных интегралов,
равномерная сходимость функциональных рядов и интегралов, зави-
зависящих от параметра.
Наряду с традиционными разделами курса математического ана-
анализа в книге кратко изложены элементы теории обобщенных функций
и простейшие методы получения асимптотических оценок интегра-
интегралов. Вопросы приближенных вычислений интегралов и сумм рядов в
настоящее время обычно входят в курсы вычислительной и приклад-
прикладной математики и в данной книге не рассматриваются.
Следует отметить, что основы построения и стиль преподавания
математического анализа в МФТИ разработаны большим коллекти-
коллективом преподавателей кафедры высшей математики. Это обстоятельст-
обстоятельство оказало несомненное влияние на авторов при написании предла-
предлагаемой читателю книги, которая может служить учебным пособием
для физико-математических и инженерно-физических специальнос-
специальностей вузов с повышенной программой по математике. Книга может
оказаться полезной и при самостоятельном изучении курса матема-
математического анализа.
Тираж первого издания A988 г.) быстро разошелся и возникла
потребность во втором издании A977 г., издательство МФТИ). Учи-
Учитывая пожелания читателей, авторы переработали многие разделы
курса, и в первую очередь материалы глав X (кратные интегралы)
и XIV (ряды Фурье).
При переработке были упрощены доказательства ряда сложных
теорем. Больше внимание уделено изложению основных идей доказа-
доказательств. Авторы стремились избежать чрезмерной детализации, но не
в ущерб логической строгости. Так, без существенного ограничения
общности дано более простое изложение теории жордановой меры и

Предисловие
кратных интегралов (глава X). В главе XIV упрощены доказательства
ряда теорем за счет незначительного сужения классов рассматривае-
рассматриваемых функций.
Главы XVI и XVII из первого издания книги, представляющие
интерес для более узкого круга учащихся, в настоящее издание не
включены.
Опущены также доказательства ряда теорем (интегрируемость по
Риману функции, имеющей конечное число точек разрыва первого
рода, теорема Римана об условно сходящихся рядах, признак Раабе
сходимости ряда и др.). Исключены некоторые примеры повышенной
трудности, разобранные в первом издании, добавлены задачи для са-
самостоятельного решения.
Авторы признательны преподавателям и студентам МФТИ, сде-
сделавшим ряд ценных замечаний и указавшим авторам на опечатки и
неточности, допущенные в первом издании книги.
Особую благодарность авторы выражают профессорам кафед-
кафедры высшей математики МФТИ П.Б. Гусятникову, В.Б. Лидскому,
Е.С. Половинкину и доценту В.И. Чехлову.
В третье издание внесены необходимые исправления и допол-
дополнения.

ГЛАВА I
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Рациональные числа.
Бесконечные десятичные дроби
1. Логическая символика. При изложении курса математичес-
математического анализа для сокращения будем использовать логические симво-
символы V, 3, =>, <^>, значения которых разъясняются в приводимой ниже
таблице.
Символ
V
3
Название
Знак общности
Знак существования
Знак следования (имп-
(импликации)
Знак равносильности
(эквивалентности)
Разъяснение
Заменяет слова: для любого, для
каждого, для всех
Заменяет слова: существует,
найдется
Запись А => В означает, что А вле-
влечет В или В следует из А
Запись А -ФФ- В означает, что В сле-
следует из А и А следует из В. Иначе:
А равносильно В; А необходимо и
достаточно для В; А тогда и толь-
только тогда, когда В
Символы V, 3 называют кванторами (общности и существования).
Кроме указанных в таблице символов, употребляются также сле-
следующие знаки:
а)	V — знак дизъюнкции, заменяет союз "или"; запись А V В озна-
означает, что имеет место хотя бы одно из высказываний А, В;
б)	Л — знак конъюнкции, заменяет союз "и";
в)	] — знак отрицания; запись ]А означает "не А" (отрицание
высказывания А).
Рассмотрим примеры использования логических символов.
Пример 1. Пусть
а — / квадратный трехчлен у = ах2 + Ъх + с принимает
~~ у положительные значения при всех х
В = {D < 0}, где D = Ь2 - 4ас,
С = {D < 0, а > 0} = {D < 0} Л {а > 0}.
Докажем, что А => В, А <^> С.
Л а) Предположим, что из А не следует В. Тогда D = Ъ2 — 4ас ^ 0.

Гл. I. Вещественные числа
В этом случае квадратный трехчлен у = ах2 + Ъх + с имеет дейст-
действительные корни х\ и Х2 {х\ = Х2 при D = 0) и поэтому обращается
в нуль при х — х\ и х — ж2, что противоречит А. Итак, предположе-
предположение о том, что из А не следует В, является неверным. Поэтому из А
следует В, т. е. А => 5.
б) Докажем, что А => С Воспользуемся равенством
о
Так как А => {D < 0}, то выражение в квадратных скобках в форму-
формуле A) положительно, и поэтому из условия у > 0 следует, что а > 0.
Итак, А => С.
JА	Обратно: если имеет место С, т. е.
\j	D < 0 и а > 0, то из равенства A)
/	следует, что у > 0 при всех ж.
Таким образом, квадратный трех-
' у=ах2 + Ъх + с член у = ах2 + 6ж + с принимает по-
положительные значения при всех дей-
действительных значениях х (рис. 1.1)
	^ тогда и только тогда, когда а > 0 и
?> = ^ - 4ас < 0. А
Использование кванторов V, 3 поз-
ис' '	воляет не только сокращать запись,
но и легко строить отрицания утверждений (высказываний, опре-
определений), содержащих слова "любой", "существует", которые часто
встречаются в определениях и теоремах.
Пример 2. Пусть заданы числовое множество X и число М. За-
Записать с помощью кванторов отрицание утверждений:
\ а _ [ все элементы х числового множества X 1
' ~ у удовлетворяют условию х < М	J '
существует число М > 0 такое, что все элементы х 1
из множества X удовлетворяют условию \х\ ^ М j
А а) Пусть А не имеет места, т. е. не все элементы х множества X
удовлетворяют условию х < М. Это означает, что найдется (сущест-
(существует) такой элемент х G X, для которого неравенство х < М не вы-
выполняется, т. е. имеет место противоположное неравенство х ^ М.
Запишем injic помощью кванторов:
"¦{¦
Здесь знак —у заменяет слова "выполняется", "имеет место", а двое-
двоеточие заменяет слова "такой, что".
б) Пусть В не имеет места, т. е. не существует числа М > 0 та-
такого, чтобы для любого х G X имело место неравенство |ж| ^ М. Это

§1. Рациональные числа. Бесконечные десятичные дроби	7
означает, что для любого М > 0 неравенство |ж| ^ М не может выпол-
выполняться для каждого х Е X. Иначе говоря, существует такой элемент
х = хм € X (зависящий, вообще говоря, от М), для которого неравен-
неравенство |ж| ^ М не выполняется, т. е. справедливо неравенство \хм\ < М.
С помощью кванторов утверждения В и]В можно записать так:
В = {ЗМ > 0: \/х е X ^ \х\ ^ М},
1В = {ММ > 0 Зхм е X: \хм\ < М}. А
Эти примеры показывают, что отрицание утверждения, содержа-
содержащего кванторы V, 3 и свойство Р (в данных примерах это неравенства
х < М и \х\ ^ М соответственно), получается заменой V на 3, 3 на V
и свойства Р — на его отрицание.
2. Рациональные числа и их свойства. Понятие рационально-
рационального числа и основные свойства рациональных чисел известны из курса
математики для средней школы. Рациональное число можно записать
в виде p/q, где р — целое, q — натуральное число. В частности, любое
целое число р является рациональным, так как его можно записать в
виде р = р/1. Например, 0 = 0/1, 1 = 1/1.
Пусть а = p/q, h — p\ jq\ — два рациональных числа. Тогда правило
упорядочения этих чисел определяется так:
а)	если pqi = qp\, то а = Ь;
б)	если pqi > qpi, то а > Ь;
в)	если pqi < qp\, то а < Ь;
а сумма и произведение чисел а и Ъ определяются соответственно ра-
равенствами
QQi	QQi
Операции сложения и умножения рациональных чисел обладают
свойствами:
а)	коммутативности:
а + Ъ = b + а, аЪ = Ьа;
б)	ассоциативности:
(а + Ь) + с = а + (Ь + с), {аЪ)с = а(Ьс);
в)	дистрибутивности:
а{Ъ + с) = аЪ + ас;
г)	для любого рационального числа а справедливы равенства
а + 0 = а, а • 1 = а.
Операции вычитания и деления вводятся как обратные соот-
соответственно к операциям сложения и умножения:
а) для любых рациональных чисел а, Ъ существует (и притом
единственное) число х такое, что
Ь + х = а;

Гл. I. Вещественные числа
это число называют разностью чисел а и Ъ и обозначают а — Ь; в част-
частности, разность 0 — Ъ обозначают —Ь;
б) если Ъ ф О, то существует единственное число z такое, что
bz = a;
это число называют частным чисел а и Ъ и обозначают а/6.
Отметим еще основные свойства неравенств для рациональных
чисел:
а)	если а > b и b > с, то а > с (транзитивность);
б)	если а > Ь, то а + с > b + с при любом с;
в)	если а > b и с > а7, то а + с > b + а7;
г)	если а > 6 и с > 0, то ас > be;
д)	если а > b и с < 0, то ас < be.
В дальнейшем будем использовать следующие обозначения:
Л/ — множество натуральных чисел,
Z — множество целых чисел,
Q — множество рациональных чисел.
В множестве Q можно выполнять не только четыре арифметичес-
арифметических действия, но и решать уравнения и системы уравнений первой
степени. Однако даже простейшие квадратные уравнения вида х2 = а,
где a G А/, не всегда разрешимы в множестве Q. В частности, урав-
уравнение х2 = 2 не имеет решений в множестве Q.
Таким образом, уже проблема решения простых уравнений типа
х2 = а, х3 = а, где а G А/, приводит к необходимости расширения
множества рациональных чисел путем добавления к этому множеству
новых элементов, называемых иррациональными числами. Ниже (без
изложения всех подробностей) показывается, как такое расширение
строится.
3. Бесконечные десятичные дроби и их приближения.
а) Периодичные десятичные дроби. Из школьного курса алгебры
известно, что любое рациональное число можно представить либо в
виде конечной, либо в виде бесконечной периодической десятичной
дроби, используя алгоритм деления "уголком"- Например, рациональ-
рациональному числу 3/8 соответствует конечная десятичная дробь 0,375, т. е.
3/8 = 0,375. Аналогично, рациональному числу —27/11 соответству-
соответствует бесконечная периодическая десятичная дробь -2,4545... = -2,D5),
т. е. -27/11 = -2,D5).
Обратно: зная бесконечную периодическую десятичную дробь,
можно найти рациональное число, представлением которого эта дробь
является. Для этого используется формула суммы бесконечно убы-
убывающей геометрической прогрессии а + aq + aq2 + ... =	, \q\ < 1.

§1. Рациональные числа. Бесконечные десятичные дроби
Например,
45
2+ + + 2 + ^ 2 + 2
7
100
Рациональное число, представимое конечной десятичной дробью,
будем отождествлять с соответствующей бесконечной десятичной
дробью с нулем в периоде. Заметим, что рациональное число, пред-
представимое конечной десятичной дробью, можно записать и в виде бес-
бесконечной десятичной дроби с цифрой 9 в периоде. Например, 2,5 =
= 2,5@) = 2,4(9).
Таким образом, между множеством всех рациональных чисел и
множеством всех бесконечных периодических десятичных дробей
устанавливается взаимно однозначное соответствие, если отождеств-
отождествлять бесконечную десятичную дробь с цифрой 9 в периоде с соответ-
соответствующей бесконечной десятичной дробью с цифрой 0 в периоде.
Условимся употреблять такие бесконечные периодические деся-
десятичные дроби, которые не имеют цифры 9 в периоде. Если бесконеч-
бесконечная периодическая десятичная дробь с цифрой 9 в периоде возникает
в процессе рассуждений, то будем такую дробь заменять бесконечной
десятичной дробью с нулем в периоде.
Упражнение 1. Доказать, что если - (р ? Л/, q ? /V) — рациональ-
q
ное число, соответствующее бесконечной периодической десятичной дроби
а, то рациональное число 10fc- (k G А/) соответствует бесконечной пери-
Q
одической десятичной дроби, получаемой из а сдвигом запятой вправо на
к разрядов. Используя это правило, показать, что если бесконечная перио-
периодическая десятичная дробь имеет вид а = ао, ai...an(bi...hm), то
99...900...0
б) Множество вещественных чисел. Рассмотрим бесконечную де-
десятичную дробь вида
..ап...	B)
Эта дробь определяется заданием знака + или —, целого неот-
неотрицательного числа ао и последовательности десятичных знаков
аьа2, ...,ап,... (множество десятичных знаков состоит из десяти чи-
чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9). Всякую дробь вида B) будем называть
вещественным числом. Если перед дробью B) стоит знак +, его обыч-
обычно опускают и пишут
ao,aia2...an...	C)
Число вида C) будем называть неотрицательным вещественным чис-
числом^ а в случае, когда хотя бы одно из чисел ao, ai, a2,..., ап,... отлично

10	Гл. I. Вещественные числа
от нуля, — положительным вещественным числом. Число вида
-ao,aia2...an...,	D)
где хотя бы одно из чисел ao, ai, а2, ... отлично от нуля, будем назы-
называть отрицательным вещественным числом.
Если a = ao, aia2-..an..., b = — ao, aia2-..an..., то число b называют
противоположным числу а, а число a — противоположным числу Ь.
Если дробь B) является периодической, то ее называют рацио-
рациональным числом, а если эта дробь не является периодической, то ее
называют иррациональным числом. Множество всех десятичных дро-
дробей вида B) называют множеством вещественных чисел и обознача-
обозначают /?, а его подмножество, состоящее из непериодических десятичных
дробей, — множеством иррациональных чисел и обозначают J.
Приведем примеры иррациональных чисел.
1)	a = 0,1234567891011...	E)
Здесь после запятой стоят натуральные числа, выписанные подряд,
начиная с единицы.
2)	b = 27,1010010001000010...	F)
Здесь после запятой выписаны подряд числа 10, 102 = 100, 103 = 1000,
Ю4 = 10000 и т. д.
Упражнение 2. Показать, что числа а и Ь, заданные равенствами E)
и F), являются иррациональными.
в) Десятичные приближения вещественных чисел. Поставим в со-
соответствие неотрицательному вещественному числу C) конечные де-
десятичные дроби
ап = ао,аь..ап + —, ап = аъ,а1...ап
и будем называть их п-ми десятичными приближениями числа а =
= ao, aia2-..an... соответственно с избытком и недостатком. Если а
— отрицательное вещественное число вида D), то для него n-е деся-
десятичные приближения с избытком и недостатком определяются соот-
соответственно равенствами
_	1
ап = -ао,аь..ап, ап = -аъ,а1...ап - —.
Десятичные приближения найдут применение при определении ариф-
арифметических операций на множестве R (§ 3).
Упражнение 3. Показать, что для любого вещественного числа его
десятичные приближения обладают следующими свойствами:
а)	ак -ак = у^, к G /V;
б)	ах ^ а2 ^ ... ^ ап ^ ...;
в)	ai ^ а2 ^ ... ^ап^ ...;
г)	Оьп < cFm для любых пит.

§1. Рациональные числа. Бесконечные десятичные дроби	11
4. Сравнение вещественных чисел.
а) Сравнение неотрицательных чисел. Два неотрицательных ве-
вещественных числа
а = ао, aia2...an... и C = bo, bib2...bn...
называют равными и пишут а = C, если ак = 6/. при к = 0,1, 2,..., т. е.
{а = /3}«»{аЛ = ЬЛ, /с = 0,1,2,...}.
В частности, {а = 0} <?> {а/. =0, fe = 0,1, 2,...}.
Дадим определение соотношений а < /3 и а > /3. Говорят, что чис-
число а меньше числа C, и пишут а < C, если либо ао < bo, либо ао = bo
и существует такой номер п, что ai = b\, a^ = &2, •••? &n-i = Ьп_ъ но
ап < Ьп, т. е.
{а < C} & {а0 < bo} V {3n G /V: ак = Ьк, к = 0,п- 1; an < 6п}.
Запись & = 0, п — 1 означает, что равенство a/. = bk выполняется
при значениях к от 0 до п — 1 включительно, так что п — наименьший
номер, для которого это равенство не выполняется и имеет место
неравенство ап < Ьп. Аналогично
{а> {3} О {а0 > bo} V{3n e N: ak = Ьк, к = 0,п- 1; an > 6n}.
Из определения равенства a = C и неравенств a < C и a > C сле-
следует, что для любых неотрицательных вещественных чисел а и C
выполняется одно из трех условий: а = C, а < C, а > C.
Отметим еще, что для любого неотрицательного вещественного
числа а справедливо неравенство а ^ 0.
б) Сравнение произвольных вещественных чисел. Назовем моду-
модулем вещественного числа а вещественное число, обозначаемое симво-
символом |а|, представимое той же бесконечной десятичной дробью, что и
число а, но взятое со знаком +. Таким образом, если
а = ±ao, aia2-..an..., то \а\ = ао, aia2-..an...,
откуда следует, что \а\ — неотрицательное вещественное число при
любом а.
Введем теперь правило сравнения двух вещественных чисел а и C
для случая, когда хотя бы одно из этих чисел отрицательно (правило
сравнения неотрицательных чисел введено выше).
Если а — неотрицательное, C — отрицательное число, то считают,
что а > C.
Если оба числа а и C отрицательны (а < 0, C < 0), то будем счи-
считать, что:
1)	а = C, если \а
2)	а < C, если \C\ <
а
Таким образом, правило сравнения сформулировано для любых
вещественных чисел.

12	Гл. I. Вещественные числа
Замечание 1. Легко убедиться в том, что сформулированное прави-
правило сравнения вещественных чисел в применении к рациональным числам,
записанным в виде бесконечных десятичных дробей, приводит к тому же
результату, что и правило сравнения рациональных чисел (п. 2), представ-
представленных в виде отношения целых чисел.
Замечание 2. Если ап, C — n-е приближения с недостатком, а ап,
/Зп — п-е приближения с избытком чисел а и C соответственно, то из пра-
правила сравнения вещественных чисел следует, что:
1)	&п ^ ol ^ ап, C_п ^ C ^ /Зп для любого п е А/;
2)	а < в => Зп: ап < в .
—п
в) Транзитивность правила сравнения. Докажем, что если а < /3
и C < 7, то а < 7- Ограничимся доказательством для случая, когда
сравниваются неотрицательные числа. Пусть
а = ao,aia2...an...,
C = Ьо, ЬхЬг-.-Ьгг---?
7 = co,cic2...cn...
Пусть р и т — наименьшие номера, для которых нарушаются со-
соответственно равенства afc = fefe и ^ = с/, (fc = 0,1,2,...), и пусть,
например, р ^ т. Тогда р — наименьший номер, при котором на-
нарушается равенство а/. = с/, и имеет место неравенство ар < ср. По
правилу сравнения вещественных чисел отсюда следует, что а < j.
5. Свойства вещественных чисел, связанные с неравенст-
неравенствами.
Лемма 1. Если а и /3 — вещественные числа, причем а < /3, то
найдется такое рациональное число г, что
а <г < /3.	G)
О а) Пусть а и /3 — рациональные числа (а е Q, /3 е Q). Тогда
для них определены арифметические операции, и в качестве г можно
а + C
взять число ——<-, так как
б) Пусть по крайней мере одно из чисел а, C является иррацио-
иррациональным. Будем считать, что /3 G J. Предположим для определеннос-
определенности, что а^Ои что
а = ao,aia2...an...
Так как /3 > а и а ^ 0, то /3 > 0. Пусть
C = bo,bib2...bn...
Пусть р — наименьший номер, при котором нарушается равенство
ak = bk (к = 0,1, 2,...). Будем считать, что р > 0. Тогда
а0 = Ьо? •••? ар_1=Ьр_1, ар<Ьр.	(8)

§1. Рациональные числа. Бесконечные десятичные дроби	13
По условию C Е J, и, значит, C не может быть конечной десятичной
дробью (бесконечной периодической дробью с периодом 0). Поэтому
найдется номер, больший р (обозначим его р + т) и такой, что
Ър+т > 0.	(9)
Покажем, что рациональное число г = ao,ai...ap-ibp...bp+m-i@)
удовлетворяет условию G). Из (8) следует, что а < г. Далее, г =
= 6o,bi...bp+m_i@) < bo,b1...bp+m-1bp+m... в силу условия (9), т. е.
г < /3. Итак, доказано, что а < г < /3, причем г G Q. •
Следствие. Если а е /?, C е R и а < /3, то
3r e Q 3r' e Q: а < г < г' < C.	A0)
Упражнение 4. Пусть a^R,/3^Rna</3. Доказать, что
З7 e J: а < 7 < Р-
Лемма 2. Пусть 5 е /?, S' G R и пусть существуют такие пос-
последовательности рациональных чисел {хп} и {уп}, что для всехп G А/
справедливы неравенства
Хп ^0^0 ^ уп,	V-1--1-/
^ 1
Тогда
ё = ё'.	A3)
О Пусть равенство A3) не выполняется; тогда из условия A1) следу-
следует, что S < S'. В силу следствия из леммы 1 существуют рациональные
числа гиг' такие, что
S < г < г' < 5'.	A4)
Из A4) следует, что г' — г > 0, и поэтому
3meN: r'-r>I^r.	A5)
Из A1) и A4) следует, что
хп ^ S < г < г' < S' ^ уп,
откуда в силу транзитивности правила сравнения получаем
хп<г<г'< уп.	A6)
Используя неравенства A5), A2), A6) и свойства неравенств для ра-
рациональных чисел, получаем
— <г' -г<уп-хп<: —,

14	Гл. I. Вещественные числа
откуда следует, что
10™ < 10™'	' '
Неравенство A7) должно выполняться при фиксированном т е Л/ и
при любом п Е N. Однако при п = т неравенство A7) не выполняется.
Поэтому неравенство S < S' не может иметь места, т. е. справедливо
равенство A3). •
6. Геометрическая интерпретация вещественных чисел.
Рассмотрим прямую I (рис. 1.2), выберем на ней начало отсчета (точ-
C -1 0 1 а
	•	1	1	1	•	^-
М'	Е' О	Е М	I
Рис. 1.2
ку О) и масштабный отрезок ОЕ длины 1. Числу 0 поставим в
соответствие точку О, числу 1 — точку Е, числу —1 — точку Е',
симметричную точке Е относительно О. Положительному числу
а = ао, aiu2...an... поставим в соответствие точку М, находя-
находящуюся справа от О на расстоянии а, а отрицательному числу
/3 = -bo,bib2...bn... — точку М', находящуюся слева от О на рас-
расстоянии \/3\.
Эту прямую будем называть числовой прямой или числовой осью.
Из аксиом геометрии и свойств вещественных чисел следует, что
между множеством вещественных чисел R и числовой прямой I уста-
устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждому веществен-
вещественному числу соответствует единственная точка числовой прямой и,
наоборот, каждой точке числовой прямой соответствует некоторое
вещественное число. Поэтому в дальнейшем будем отождествлять
множество R с множеством точек числовой прямой, а вещественные
числа часто будем называть точками.
Условимся о следующих обозначениях для некоторых наиболее
употребительных числовых множеств:
1)	отрезок [а,Ь] = {х: а ^ х ^ &};
2)	интервал (а, Ь) = {х: а < х < Ь};
3)	полуинтервалы [а, Ь) = {х: а ^ х < Ь}, (а, Ь] = {х: а < х ^ Ь}.
Точки а и b называют концами отрезка, интервала, полуинтервала
(а — левым концом, b — правым); отрезок [а, 6], интервал (а, 6), по-
полуинтервалы [а, Ь) и (а, Ь] называют конечными промежутками (или
промежутками), а точки х такие, что а < х < Ь, — их внутренними
точками.
Наряду с конечными промежутками рассматривают также беско-
бесконечные промежутки:
а) интервалы
(а,+оо) = {ж: х > а} и (—оо,а) = {ж: х < а};

§ 2. Точные грани числовых множеств	15
б)	полуинтервалы
[а, +оо) = {ж: х ^ а} и (—оо,а] = {ж: ж ^ а};
в)	(—оо,+оо) = {х: х е R} — множество вещественных чисел.
Напомним также, что если каждый элемент множества А являет-
является элементом множества В, то пишут А С В или В D Аи говорят, что
А является подмножеством множества В. Например, J С R, Q С R.
Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, кото-
которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В, называется
объединением множеств А и В и обозначается A U В.
Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, кото-
О 1 2 3 4 5
Рис. 1.3
рые принадлежат как множеству А, так и множеству В, называется
пересечением множеств А и В и обозначается А П В.
Например, если А = [1,3], В = B, 5), то A U В = -[1, 5), А П 5 =
= B,3] (рис. 1.3).
Отметим, что
JUQ = R, JnQ = 0,
где 0 — пустое множество, т. е. множество, не содержащее элемен-
элементов.
§ 2. Точные грани числовых множеств
1. Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Множест-
Множество X вещественных чисел (X С R) называется ограниченным сверху,
если существует вещественное число С такое, что все элементы мно-
множества X не превосходят С, т. е.
ЗСе /?: УжЕХчж^С.	A)
Всякое вещественное число С, обладающее свойством A), называ-
называют верхней гранью числового множества X.
Аналогично множество X С R называется ограниченным снизу,
если
ЗС е R: УхеХ ^>х^ С.	B)
Всякое число С', удовлетворяющее условию B), называют нижней
гранью числового множества X.
Если числовое множество ограничено как сверху, так и снизу,
его называют ограниченным, т. е. {X — ограниченное множество} <^=>
<^ {ЗС G R ЗС G /?: Уж Е X -> С" ^ ж ^ С}.

16	Гл. I. Вещественные числа
Пример 1. Записать ~\А с помощью кванторов, если
А = {С — верхняя грань множества X С /?}.
Л По условию А = {\/х Е X —У х ^ С}. Используя правило построения
отрицания (§ 1, пример 2), получаем
Х: хо>С}. А
Пример 2. Записать ]В, если
В = {множество X ограничено снизу}.
Л По условию В = {ЗС е R: \/х е X ^ х^ С]. Поэтому
Зхс еХ: хс <С]. к
Упражнение 1. Записать с помощью кванторов отрицания следую-
следующих утверждений:
а)	А = {множество X С R ограничено сверху};
б)	В = {С — нижняя грань множества X};
в)	D = {множество X является ограниченным}.
2. Определение точной верхней и нижней грани. Пусть
числовое множество X ограничено сверху, тогда выполняется усло-
условие A), а число С является верхней гранью множества X. Ясно,
что любое число, большее С, также является верхней гранью мно-
множества X. Таким образом, ограниченное сверху числовое множество
имеет бесконечно много верхних граней, среди которых особую роль
играет наименьшая. Речь идет о числе М, обладающем следующими
свойствами:
а)	М — верхняя грань множества X;
б)	любое число М' меньшее М, не является верхней гранью мно-
множества X.
Это число М будем в дальнейшем называть точной верхней гра-
гранью множества X. Сформулируем определение точной верхней грани
с помощью символов. Чтобы подчеркнуть важность вводимого поня-
понятия (и будем так поступать в дальнейшем), поставим перед ним слово
"определение".
Определение 1. Число М называется точной верхней гранью
числового множества X, если выполняются следующие условия:
а)	\/х G X -+ х ^ М;	C)
б)	\/а < М3ха е X: ха > а.	D)
Точная верхняя грань числового множества X обозначается supX
(читается "супремум"). Таким образом,
{М = sup X} <?> {Vx Gl4z^ М} Л {Va < М Зха G X: ха > а}.

§2. Точные грани числовых множеств	17
Замечание 1. Число М = supX может как принадлежать, так и не
принадлежать множеству X. Например, если X — множество чисел ж та-
таких, что 1 ^ х < 2, то supX = 2 0 X. Если Х\ — объединение множеств X
и числа 3, то supXi = 3 Е Х\.
Замечание 2. Из определения точной верхней грани следует, что ес-
если у числового множества X существует точная верхняя грань М, то она
единственна.
Упражнение 2. Пусть М = supX и хо Е X. Обозначим X подмножес-
подмножество множества X, состоящее из всех элементов ж Е X, удовлетворяющих
условию х ^ жо, т. е. X = {ж Е X: ж ^ жо}. Доказать, что supX = М.
Определение 2. Число m называется точной нижней гранью
числового множества X, если выполняются следующие условия:
а)	\/х Е X —У х ^ т;
б)	\/C > т Зхр Е X: хр < /3.
Точная нижняя грань множества X обозначается inf X (читается
"инфимум"). Таким образом,
{т = inf X} = {s/x Gl4x)m}A {V/3 > m Зж^ EX: xp < /3}.
Упражнение З. Записать с помощью кванторов утверждения:
а)	число М не является точной верхней гранью числового множества X;
б)	число т не является точной нижней гранью числового множества X.
Упражнение 4. Пусть у числового множества X существует его точ-
точная верхняя грань supX. Рассмотрим множество У, состоящее из чисел,
противоположных числам множества X, т. е. Y = {у : у = —ж, ж Е X}.
Показать, что inf У = — supX.
3. Существование точной верхней (нижней) грани.
Теорема 1. Если непустое множество вещественных чисел X
ограничено сверху, то существует supX; если непустое множество
X ограничено снизу, то существует inf X.
О Ограничимся доказательством существования точной верхней
грани. По условию множество X не пусто, т. е. содержит хотя бы
один элемент. Возможны два случая:
1)	множество X содержит хотя бы одно неотрицательное число;
2)	все элементы множества X отрицательны.
Первый случай. Предположим, что все элементы множества X
неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху и по-
поэтому выполняется условие A). Пусть С = с0, Cic2...cn...; тогда с0 —
неотрицательное целое число, причем С < со + 1, где со + 1 = no E А/.
Следовательно,
\/х Е X -+ х ^ С < п0.	E)
Если х = ao,aia2... = ao,{an} — произвольный элемент множест-
множества X, то из E) следует, что 0 ^ а0 < п0. Рассмотрим множество Е
целых частей элементов множества X. Так как Е — конечное непус-
непустое множество целых неотрицательных чисел, то в этом множестве

18	Гл. I. Вещественные числа
есть наибольший элемент а^. Обозначим
Х0 = {хеХ: ж = ао,{ап}}.
Множество Xq состоит из всех тех элементов множества X, у кото-
которых целая часть равна ао; множество Xq непустое, причем X D Xq.
Пусть Е\ — множество первых десятичных знаков элементов мно-
множества Xq. Так как множество Е\ конечно (его элементами могут
быть числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9) и непусто, то существует ~а~\ —
— max a\ — наибольший из первых десятичных знаков элементов
хеХ
множества Xq.
Пусть Xi = {х е X: х — ao,aia2...}; тогда X D Xo D Х\. Обозна-
Обозначим а2 = max а2 наибольший из вторых десятичных знаков элементов
хех1
множества Xl,
Х2 = {х G Xi: а2=а2} = {хеХ: х = а0, aia2a3...}.
Продолжая эти рассуждения, построим последовательность {Xk}
непустых множеств и последовательность десятичных знаков {аи}
такие, что X D Xo D Xx D ... D Xk^ D Xk D ...,
ак = max a/.,
хехк_г
Хк = {х е Хк-г: ак =ак} = {х е X: х = а0, ai...akak+1...}.
Рассмотрим десятичную дробь ж = ao,ai... = ao,{an}. Покажем,
что х = supX, т. е. что
Уж е х ->> х ^ х,	(б)
\/х' < х Зх е X: х > х'.	G)
Возьмем произвольное число х G X и пусть ж = ao,{an}. Чтобы
проверить выполнение условия F), рассмотрим три возможных слу-
случая:
х?Хк при к = 0,1,2,..,	(8)
хеХк при к = 0,1,2,..,	(9)
Зт: х е Хт_ь х ? Хш.	A0)
Из (8) следует, что ао < ао и поэтому х < ж. Если выполнено усло-
условие (9), то ак = ак при & = 0,1, 2,.., откуда, по определению числа ж,
справедливо равенство ж = ж. Наконец, из A0), согласно определению
множества Хш и числа ж, следует, что
ж = ao,ai... am_iam... < a0,~d\... am_iam@) ^ ж,
и поэтому ж < ж. Таким образом, неравенство F) доказано.
Проверим условие G). Если х' < 0, то G) имеет место при любом
xGl, так как все элементы множества X неотрицательны.

§ 2. Точные грани числовых множеств	19
Пусть 0 ^ х' < ж и х' = а0, {а'п}. Тогда либо а0 < ао, либо а'к = а/,
при к = 0, т — 1, а^ < ат. В первом случае в качестве ж можно взять
любой элемент множества Xq, так как из условий а'о < ао и ж Е Xq
следует, что
х' < ж = ao,ai...an... ^ ж, т.е. ж'< ж ^ ж и ж G Хо С X.
Во втором случае условию G) удовлетворяет произвольный элемент
ж Е Хт, так как
ж; = ao,ai... am_ia^... < a0, ai... am_iamam+i... = ж ^ ж.
Таким образом, ж; < ж ^ ж, где ж G Xm С X. Условие G) проверено.
Итак, условия F) и G) выполняются, т. е. ж = supX. Тем самым
доказано существование точной верхней грани в предположении, что
все элементы множества X неотрицательны.
Если множество X содержит хотя бы один неотрицательный эле-
элемент жо ^ 0, то множество {X = ж?Х: ж^жо} состоит из неотри-
неотрицательных чисел, причем supX = supX (упр. 2). Поэтому непустое
ограниченное сверху числовое множество X имеет точную верхнюю
грань.
Второй случай. Если все элементы множества X отрицатель-
отрицательны, то произвольный элемент ж G X записывается в виде
ж = -ao,aia2...an...	A1)
Пусть clq — наименьшее из чисел ао в записи A1) для всех xGX,aj[ —
наименьший из первых десятичных знаков тех элементов множества
X, у которых ао = а^; а\ — наименьший из вторых десятичных зна-
знаков тех элементов множества X, у которых ао = а^, а\ = а\ и т. д. Ука-
Указанным способом определяется число ж* = —ao,a*...a*... = -ao,{a*}.
По аналогии с первым случаем доказывается, что число ж* является
точной верхней гранью множества. •
Теорема 2. Если X и Y — непустые множества веществен-
вещественных чисел такие, что для любого ж G X и любого у G Y справедливо
неравенство
х^у,	A2)
то существуют supX и inf У, причем
Уж е X Уу е Y -> х ^ sup X ^ inf Y ^ у.	A3)
О Так как X — непустое множество, ограниченное сверху любым
элементом множества Y в силу A2), то по теореме 1 существует
sup У. Аналогично из ограниченности непустого множества Y сни-
снизу любым элементом множества X следует существование inf У. По
определению точных граней
Уж е X -> х ^ sup X, Vy e Y -> inf Y ^ у.	A4)

20	Гл. I. Вещественные числа
Из A4) следует, что для доказательства утверждения A3) достаточно
показать, что
sup X^ inf У	A5)
Из неравенства A2) следует, что каждое число у Е У является
верхней гранью множества X. Точная верхняя грань множества X,
т. е. число supX, есть наименьшая из всех верхних граней множест-
множества X. Следовательно, для любого у Е У выполняется неравенство
supX^y.	A6)
Из неравенства A6) следует, что supX есть нижняя грань мно-
множества У. Точная нижняя грань множества У, т. е. число inf У, есть
наибольшая из всех нижних граней множества Y. Значит, supX ^
•
Замечание 3. Пусть ? — любое вещественное число такое, что
supX^?^infY.	A7)
Тогда из A3) и A7) следует неравенство
х^?^у,	A8)
которое справедливо для любого х Е X и любого у Е У. Про число ?, удов-
удовлетворяющее неравенству A8), говорят, что оно отделяет множество X от
множества У. Поэтому теорему 2 часто называют теоремой об отделимос-
отделимости числовых множеств.
§ 3. Операции над вещественными числами
1. Сложение и вычитание вещественных чисел. Суммой
двух вещественных чисел а и /3 называется такое вещественное чис-
число S, что для любых рациональных чисел г, s, r', s', удовлетворяющих
условиям
г <: а <: s, гЧ Р <: *',	A)
выполняется неравенство
r + r'O^s + s'.	B)
Сумма чисел а и C обозначается а + C.
Теорема 1. Для любых вещественных чисел а и C их сумма су-
существует и единственна.
О а) Существование су м мы. Из условий A) в силу транзитив-
транзитивности знака неравенства следует, что г ^ s, r' ^ s'. Отсюда, используя
свойства неравенств для рациональных чисел, получаем
г + r' ^ s + s'.	C)
Пусть Е — множество чисел вида г + г;, Е\ — множество чисел вида
s + s'. Тогда по теореме об отделимости числовых множеств (§ 2, тео-
теорема 2) существуют числа sup E и inf E\ и выполняется неравенство
г + г' ^ sup Е ^ inf Ех ^ s + s'.

§3. Операции над вещественными числами	21
Поэтому число 8 = sup^E удовлетворяет условиям B), т. е. 8 — сумма
чисел а и р.
б) Единственность суммы. Пусть 8 и 8' удовлетворяют усло-
условиям B) и пусть 8 ^ 8'. Тогда г + г' ^8^8' ^ s + s'. Докажем, что
8 = 8'. Заметим, что неравенства A) будут выполняться, если в ка-
качестве г и г' (s и s') взять (п + 1)-е десятичные приближения (§ 1,
п. 3, в)) с недостатком (с избытком) соответственно для чисел а и C,
т. е.	_
ап+1 ^ а ^ ап+1, §_п+1 ^ C ^ (Зп+1.	D)
Так как сумма вещественных чисел а и C существует, то из усло-
условий D) с учетом неравенства 8 ^ 8' получаем
гп = йп+1 + ft_n+1 ^ S ^ 5' ^ ап+1 + /Зп+1 = sn,	E)
где
_	—	2	1
sn-rn = an+l - ап+1 + Рп+1 - C_п+1 = ^^ < —.	F)
Последовательности {г71} и {s71} удовлетворяют условиям E) и F) и
по лемме 2 (§ 1, п. 5) справедливо равенство 8 = 8'. •
Вычитание вещественных чисел по аналогии с вычитанием рацио-
рациональных чисел вводится как действие, обратное сложению (§ 1, п. 2).
2. Умножение и деление вещественных чисел. Произведени-
Произведением двух положительных вещественных чисел а и C называют такое
вещественное число ?, что для любых рациональных чисел г, s, r'', s',
удовлетворяющих условиям
О < г ^ а ^ s, 0 < г' ^ C ^ s',	G)
выполняется неравенство
г/ ^ 8 ^ ss1.	(8)
Произведение чисел а и C обозначается аC.
Теорема 2. Произведение любых двух положительных вещест-
вещественных чисел существует и единственно.
О Доказательство существования произведения проводится по
аналогии с доказательством существования суммы (теорема 1). В ка-
качестве 8 можно взять supG, где G — множество чисел вида rr',ar и
г' — рациональные числа, удовлетворяющие условиям G). Докажем
единственность произведения.
Пусть ао — целая часть числа а, Ьо — целая часть числа /3, аш,
C — десятичные приближения с недостатком, ат, /Зт — десятич-
десятичные приближения с избытком для чисел а и /3 соответственно. Тогда
Выберем к G А/ так, чтобы выполнялось неравенство
ао + Ьо + 2 < 10к.

22	Гл. I. Вещественные числа
Тогда для любого т справедливо неравенство
ат+^т<10\	(9)
так как аш ^ а0 + 1 и /Зт ^ Ьо + 1.
Предположим, что существуют числа S и S', удовлетворяющие
условию (8), причем S ^ 5'. Возьмем в неравенствах G) и (8) в ка-
качестве чисел г, s, г', s' соответственно ып+к, ап+?, /J , •> Рп+к и
обозначим rn = QLn+kP_n+ki sn = ап+кРп+к- Тогда, используя (8) и (9),
получаем
.
для любого n G A/.
Применяя лемму 2 § 1, получаем ? = 8'. •
Произведение любых вещественных чисел а и /3 определяется сле-
следующими правилами:
1)	если а = 0, то аC = 0 для любого C G /?;
2)	если а < 0, E < 0, то а/3 = \а\ • |/?|;
3)	если а > 0, /3 < 0, или а < 0, C > 0, то а{3 = -|а| • |/?|.
Ниже будет показано (п. 3, утверждение 2), что уравнение ха = C,
где а и /3 — произвольные вещественные числа, имеет при а ф О
единственное решение. Это решение называется частным от деления
числа C на число а и обозначается через /3/а.
3. Свойства вещественных чисел. Можно показать, что опе-
операции сложения и умножения вещественных чисел обладают теми
же свойствами, что и соответствующие операции для рациональных
чисел (§ 1, п. 2). Ограничимся доказательством свойства ассоциатив-
ассоциативности.
Утверждение 1. Для любых вещественных чисел а, /3, j спра-
справедливо равенство
а + (C + 7) = (а + Р) + 7-
О Обозначим 5 = а + (/3 + j), S' = (а + C) + 7 и докажем, что ? = й7.
Предположим, что 6^6'. Используя неравенства D) и неравенство
где 7 и 7n+i — соответственно десятичные приближения (п +
+ 1)-го порядка числа 7 с недостатком и с избытком, из определения
суммы вещественных чисел получаем
«n+i +?п+1 ^ « + Р ^ «n+i +Дп+1>	A1)
7 < ^n+i + 7n+i-

§ 3. Операции над вещественными числами	23
Применяя неравенства A0)—A2) и первое из неравенств D), по
определению суммы находим
СУ	~\~ (Г$	~\~ 'Y	) ^С СУ ~\~ ( (j ~\~ 'Y ) ^С СУ _i_i —I— ( L3	~\~ ~^У	) A4)
В силу ассоциативности сложения рациональных чисел левые час-
части неравенств A3) и A4) равны числу гп = ап+1 + C 1 + 7 ^ а
правые части равны числу ^n = an+i + Pn+i + 7n+i- Поэтому из A3)
и A4) с учетом неравенства 8^8' получаем
гп ^ 8 ^ 8' ^ рп,	A5)
3	1
где рп — тп = —^-^ < —-, откуда в силу леммы 2, § 1 следует, что
8 = 8'. •
Аналогично доказывается справедливость других свойств опера-
операций сложения и умножения.
Отметим, что кроме свойств неравенств, указанных в § 1 (п. 2),
для вещественных чисел справедливы следующие свойства:
1)	если а ф 0, аЪ = 0, то Ъ = 0;
2)	если а > Ъ > 0 и с > d > 0, то ас > bd;
3)	если а > Ъ, то a2n+1 > Ъ2п+1 для любого neN;
4)	если a > Ъ ^ 0, то an > Ъп для любого neN.
Утверждение 2. #а/ш а и /3 — вещественные числа, иа/0,
то шг частное /3/а существует и единственно.
О Рассмотрим сначала случай, когда а > 0 и /3 = 1. Пусть an и ап —
десятичные приближения числа а с недостатком и с избытком. Так
как а > 0, то найдется такое m e А/, что am > 10~m. Обозначим че-
через X множество рациональных чисел вида =	, п е А/, а через У —
множество рациональных чисел вида	. В силу теоремы 2, § 2 су-
—т+п
ществует вещественное число ж, разделяющее множества X и У, т. е.
=^^ж^—^, пЕЛ/.	A6)
OLn+m	Qtn+m
Так как ап ^ a ^ an, то из определения произведения веществен-
вещественных чисел следует, что при neN
В силу леммы 2, § 1 получаем, что ха = 1, т. е. х = —.
а
Если a < 0, то положим — = — -—.
а	\а

24
Гл. I. Вещественные числа
Пусть а и C — вещественные числа иа/О. Пользуясь ассоциа-
ассоциативностью операции умножения вещественных чисел, нетрудно пока-
показать, что число х = C	есть решение уравнения ха = C. Покажем,
а
что это решение единственно. Если ха = C и уа = /3, то (х — у)а = 0.
Так как а ф 0, то х — у = 0, т. е. х = у. •
Перечислим те свойства вещественных чисел, в которых исполь-
используется понятие модуля вещественного числа:
\-а\ = \а\, \аЬ\ = \а\-\Ь\,	A8)
К|а| + |6|, |о-Ь|^||а|-|Ь||.	A9)
Докажем неравенства A9). Складывая неравенства —\а\ ^ а ^ \а\ и
~ \Ь\ ^ Ь ^ |Ь|, получаем, что — (\а\ + \Ь\) ^ а + b ^ \а\ + |Ь|, т. е. \а +
+ Ь| ^ \а\ + |Ь|. Так как а = (а — Ь) + 6, 6 = F — а) + а, то |а| ^ |а — Ь| +
+ |Ь| и |Ь| ^ \Ь - а\ + \а\ = \а — Ь\ + \а\. Следовательно, \а - Ь\ ^ |а| - \Ь\
и \а — Ь\ ^ \Ь\ — |а|, т. е. \а — Ь\ ^ ||а| — |Ь||.
Пусть a, S — заданные вещественные числа, причем S > 0. Тогда
неравенство
\х-а\<6	B0)
равносильно (рис. 3.1) двойному неравенству
а — 5 < х < а + 5,
т. е. множество решений неравенства B0) — интервал (a — S,a + S);
в частности, неравенство
\х\ < 5, где 5 > 0,
равносильно двойному неравенству
-5 < х < 5.
Неравенство
\х-а\>6, ?>0,	B1)
выполняется при х < а — S и при х > а + S (рис. 3.2), т. е. множество
\/уу/у/уу/
а-6
\*-а\>6
а —6
1
а
х—а\<1
У//////////////////
а
Рис.
1
а
Рис.
а
Рис.
У/////////
3.1
3.2
/з
3.3
а + 6
ж—а >6
)/уу/у/ууууу/уу/уууу/а
а + 6
1
Ь
X
решений неравенства B1) — объединение бесконечных интервалов

§3. Операции над вещественными числами	25
(—оо, а — 8) и (а + 5, +оо); в частности, неравенство
х\>5
выполняется при х < — 6 и при х > S.
Если а < Ъ и а, C — любые точки отрезка [а, Ь], т. е. а ^ а ^ C ^ Ъ
(рис. 3.3) или а ^ /3 ^ а ^ Ь, то
|а-/3|О-а.	B2)
Неравенство B2) имеет очевидный геометрический смысл: рас-
расстояние между точками а и /3 не превосходит расстояния между
точками а и Ь.
4. Арифметический корень. Как известно, уравнения вида
хш = а,	B3)
где т — натуральное число, не всегда имеют корни на множестве
рациональных чисел даже в случае, когда а е N. Введение иррацио-
иррациональных чисел связано, в частности, с потребностью находить корни
уравнений вида B3).
Предполагая, что а — заданное положительное число (не обяза-
обязательно рациональное), т G А/, т ^ 2, будем искать положительное
число ?, удовлетворяющее уравнению B3). Это число ? назовем ариф-
арифметическим корнем степени т из числа а и обозначим г^/а.
Утверждение 3. Для любого т G А/ и любого а > 0 существует
единственный арифметический корень степени т из числа а.
О Если существует число ? G Q такое, что ?т = а, то это число и
будет искомым. Поэтому достаточно ограничиться предположением,
что такого рационального числа нет.
Пусть X = {х е Q: х > 0, хт < a}, Y = {у G Q: 2/ > 0, ут > а}.
Выберем такое число р G А/, чтобы выполнялось неравенство 1/р < а <
< р, тогда 1/рт < ат < рт и поэтому 1/р G I, p G У. Следователь-
Следовательно, X,Y — непустые множества.
По определению множеств X и Y для любого х G X выполняет-
выполняется неравенство хт < а, а для любого у G Y — неравенство а < ут,
откуда следует, что хш < ут. Так как х > 0, у > 0, то неравенство
хш < уш равносильно неравенству х < у, откуда согласно теореме об
отделимости числовых множеств (§ 2) следует, что существует supX
и inf F, причем
х ^ supX ^ infy ^ у	B4)
для всех х G X и для всех у G Y.
Обозначим ? = supX и докажем, что ? — арифметический корень
степени т из числа а > 0, т. е. ?т = а, где ? > 0. Пусть х < ^ < у.
Очевидно, что х G X. Если ж 0 X, то жт > 0 и, следовательно,
х е Y. Но тогда из B4) следует, что ж ^ ?, что противоречит условию
х < ?. Аналогично получаем, что у EY. Поэтому
жт < а < 2/т.	B5)

26	Гл. I. Вещественные числа
Так как х < ? < у, то
хш < С < Ут-	B6)
Чтобы воспользоваться леммой 2, § 1, оценим разность ут — хт.
Применяя формулу ут - хт = (у - х^у171'1 + хуш~2 + ... + х171'1) и
учитывая, что х > О, у > О, у > ж, получаем
О < уш - хш < (у - х^у™-1.	B7)
Будем в дальнейшем в качестве элементов у Е У брать все те и только
те элементы множества У, которые удовлетворяют условию у ^ р,
где р — указанное выше натуральное число (р G У). Тогда из B7)
следует, что 0 < ут — хт < (у — х)трт~1. Выберем далее s G А/ так,
чтобы выполнялось неравенство трт~1 ^ 10s; тогда
0<ym-xm <(y-xI0s.	B8)
Пусть ?к и ? — &-е десятичные приближения числа ? соответственно
с избытком и с недостатком. Тогда хп < ? < уп, где жп = ? , уп —
= ?n+s и хп е Q, 2/п G Q для любого п е N.
При х = хп и у = уп неравенство B8) принимает вид
0<y^-x^<(yn-xnI0s = r^,	B9)
причем это неравенство выполняется при любом п G N.
По лемме 2, § 1 из B9), а также из неравенств, которые получаются
из B5) и B6) заменой х на жп и у на ?/п, следует, что ?т = а, т. е.
? — арифметический корень ттг-й степени из числа а > 0.
Единственность числа ? следует из того, что разным положитель-
положительным числам соответствуют и разные n-е степени их: если 0 < ? < ?i,
то ?п < ?{\ •
5. Метод математической индукции. Суммирование. Би-
Бином Ньютона. При вычислении пределов и в других разделах
математического анализа нам потребуются некоторые сведения из
курса элементарной математики. Имеются в виду метод математи-
математической индукции и его применение для доказательства тождеств и
неравенств, суммирование и бином Ньютона.
а) Метод математической индукции. Чтобы доказать, что неко-
некоторое утверждение верно для любого п G А/ (номера п), достаточно
доказать, что:
1)	это утверждение верно при п = 1;
2)	из предположения о справедливости утверждения для номера
п следует справедливость этого утверждения для следующего номе-
номера п + 1.
Такой метод доказательства называют методом математической
индукции.

§3. Операции над вещественными числами	27
Приведем примеры применения этого метода.
Пример 1. Доказать равенство
1 + 2 + ... + П	_
Л При п = 1 равенство C0) верно A = 1). Нужно доказать, что из
предположения о справедливости формулы C0) следует справедли-
справедливость равенства
1+2 + ,,, + n + (n + 1)	_
Прибавляя к обеим частям верного равенства C0) слагаемое (п + IJ,
получаем
2	2	2 "(w + 1)Bw + 1)+(n + lJ. C2)
Преобразуя правую часть равенства C2), находим
Bn2 + 7n + 6) = (n+l)(n
!i±iBn2 + 7
6
Таким образом, равенство C1) является верным, и поэтому форму-
формула C0) справедлива при любом п е N. А
Утверждение 4. Если х ^ — 1, то для любого п G А/ выполняется
неравенство Бернулли
A + ж)п^1 + пж.	C3)
О При п = 1 утверждение C3) верно A + х = 1 + х). Нужно доказать,
что при х ^ — 1 из предположения о справедливости неравенства C3)
следует справедливость неравенства
(l + x)n+1 ^ 1 + (п + 1)ж.	C4)
Если неравенство C3) является верным, то при умножении обеих
частей его на 1 + ж, где 1 + х ^ 0, получим верное неравенство
где A + пж)A + ж) = 1 + (п + 1)х + пх2 ^ 1 + (п + 1)ж, так как
пж2 ^ 0.
Таким образом, при х ^ — 1 справедливо неравенство C4), и поэ-
поэтому неравенство C3) является верным при любом п G N. •
б) Суммирование. Если ai,a2, ...,ап — заданные числа, то их сумму
п
обозначают символом V^a^, т. е.
к=1
п
/ j ctk =
k=i

28	Гл. I. Вещественные числа
а число к называют индексом суммирования. Аналогично символом
т+р
ак обозначают сумму чисел ат, ат+ь ..., аш+р.
кт
Сумма не зависит от того, какой буквой обозначен индекс сумми-
суммирования, а операция суммирования обладает свойством линейности,
т. е. для любых чисел А и В справедливо равенство
п	п	п
^2(Аак + ВЪк) = A^2ak+B^2bk.
к=1	к=1	к=1
Отметим, что равенство
р	т+р
к=1	к=т+1
называют формулой замены индекса суммирования.
Аналогично
П2	П — П2
ak = 2^ пп~к'
к=пг	к=п—пг
Из курса школьной математики известны формулы для сумм
арифметической и геометрической прогрессии.
Если {ап} — арифметическая прогрессия с разностью d, то сум-
сумму Sn первых п членов прогрессии можно записать в виде
с а\ + ап
оп = 	2	п
или выразить через п и а\\
о 2ai+d(n-l)
Sn =	^	}-п.
Если {Ьп} — геометрическая прогрессия со знаменателем q ф 1,
то сумму Sn первых п членов прогрессии можно записать так:
Sn = b1_^L = bii_^__	Cб)
Задачу о нахождении суммы вида Sn = ^ а/., где {ап} — заданная
к=1
числовая последовательность, обычно рассматривают как задачу о
представлении Sn в виде функции от п, удобной для вычислений.
В частности, если существует последовательность {&/,} такая, что
для всех к G А/ справедливо равенство а/. = bk+i — bk, то
= Ъ2 - hi + b3 - Ъ2 + ... + Ъп - bn-i + bn+i - Ъп,

§3. Операции над вещественными числами	29
откуда получаем
Sn = ^2(bk+i -Ьк) = Ъп+1 - Ьь	C7)
к=1
Пример 2. Найти формулу для суммы 5П, если:
п
a) Sn = / 	, где {ак} — арифметическая прогрессия, все
члены и разность d которой отличны от нуля;
п
k=l
п
Л а) Так как ак+\ - ак = d для любого к е А/, то
акак+1 \ак ak+1J d
Применяя формулу C7) для Ък = — -—, получаем
~* akak+i dai d(ai + nd)
б) Умножая обе части равенства C8) на 2sin-, находим
п
2 sin - Ьп = >, 2 sm - sin kx.
Zi	' ¦	^
Используя равенство
2 sin - sin /еж = cos (к	J x — cos (к -\— )х
и формулу C7) для Ък = — cos (к	|ж, получаем
Гр	Гр	/	1 \	/VI	I	1	/VI
2 sin — Sn = cos — — cos fn+-jx = 2 sin —-—x sin —ж,
откуда
sin —
lfe=l	2
Формула D0) справедлива при условии, что sin -/0.
Если sin - = 0, то Sn = 0.
sin А:ж =	^—-^	^_.	D0)

30	Гл. I. Вещественные числа
в) Воспользуемся тождеством
(х + IK - х3 = Зх2 + Зх + 1.	D1)
Полагая в D1) х = 1,2,...,п и складывая получаемые равенства, на-
находим
п	п	п
¦ + IK - /с3) = 3 Y к2 + 3 XI к + п' D2)
Так как левая часть D2) в силу равенства C7) равна (п + IK — 1,
п
а 2^ к = —	 (формула C5)), то из равенства D2) следует, что
к=1
3Sn = (п + IK - (п + 1)	п{п + 1),
откуда
Заметим, что формула D3) была доказана в примере 1 методом ма-
математической индукции. А
в) Бином Ньютона. Из курса школьной математики известно, что
Утверждение 6. Для любых чисел а, Ъ и при любом п G А/ спра-
справедлива формула бинома Ньютона
(а + Ь)п = С%ап + С^сГ-Ч + ... + С^ап~кЬк + ... + Q^"-1 + С>п,
D4)
где
C°n = l, Ck = n(n-l)...(n-(k-l))_ k = T^_ Л! = Ь2.....*.
D5)
Правую часть формулы называют разложением бинома, чис-
числа С* — биномиальными коэффициентами, слагаемое C^ian~kbk —
fc-^и членом разложения бинома.
О Воспользуемся методом математической индукции. При п = 1
формула D4) верна, так как ее правая часть равна С\а + С\Ъ = а + Ь.
Предполагая справедливым равенство D4), докажем, что верна
формула
п+1
(а + Ъ)п+1 = Y Ckn+lan+1-khk.	D6)
k=0

§3. Операции над вещественными числами	31
Умножая обе части равенства D4) на а + Ь, получаем
(а + Ь)п+1=Ап + Вп,
где
п
Ап = an+1 + ^ Ckan+1~kbk,
к=1
Вп = Y,Cknan-khk+1
к=0	к=1
Следовательно,
п
(а + b)n+l = an+1 + ^(Ск + Cl~l)an+l-kbk + bn+l. D7)
k=l
Сравнивая правые части формул D6) и D7), заключаем, что для до-
доказательства равенства D6) достаточно показать, что
С* + С* =<#+!•	D8)
Используя формулу D5), находим
г^_1 _ n(n-l)...(n- (А;-2)) _ fen(n-l)...(n-(fe-2))
Поэтому
+ С
С*-1 = w(w " ^-^ " {к - 2)) (п - (к - 1) + fc) =
_ (п + 1)((п + 1) - 1)...((п + 1) - (к - 1)) _ г,к
к\	-W+1-
Формула D8) верна, и поэтому справедливо равенство D6). Следова-
Следовательно, формула D4) верна при любом п € N. •
Отметим, что
к = п(п-1)(п{к1)) п(п1){п(к1))(пк)\
п
=
к\	к!{п-к)!
Поэтому формулу D4) можно записать в виде
п
(а + Ъ)п = V^ —г-~—— ап~кЪк, где 0! = 1.
к=0
Из формулы D9) следует, что
С* = Спп~\	E0)

32	Гл. I. Вещественные числа
Замечание 1. Разложение бинома D4) содержит п+1 член, причем
в силу равенства D9) коэффициенты членов разложения, равноудаленных
от концов разложения, одинаковы, а сумма степеней чисел а и Ъ в каждом
члене разложения равна п.
Замечание 2. Из формулы D4) при а = 1, Ъ = х находим
к=0 п(п — ЛЛ	, ,
+ шН	х + ... + Спх + ...+пх +ж . E1)
Если х > 0, то все слагаемые в правой части равенства E1) положительны,
и поэтому
(Л _|_ тЛ72 *> 1 -L- 77T	Т "> 0	/ КОЛ
Отметим, что неравенство E2) справедливо при х > — 1 (утвержде-
(утверждение 4).
6. Счетность множества рациональных чисел. Множествах
и Y называют эквивалентными и пишут X ~ У, если между ними
можно установить взаимно однозначное соответствие. Это означает,
что:
а)	каждому элементу х Е X соответствует единственный элемент
у eY;
б)	каждый элемент у eY при этом соответствует некоторому эле-
элементу х G X;
в)	разным элементам множества X соответствуют разные элемен-
элементы множества Y.
Множество X, эквивалентное множеству натуральных чисел Л/,
называется счетным. Если обозначить через хп элемент счетного
множества X, соответствующий числу п G А/, то образуется последо-
последовательность {хп}. Говорят также, что элементы счетного множества
можно занумеровать числами натурального ряда.
Упражнение 1. Доказать, что любое бесконечное подмножество
счетного множества есть счетное множество.
Упражнение 2. Доказать, что объединение конечного или счетного
числа счетных множеств есть счетное множество.
Теорема 3. Множество рациональных чисел Q счетно.
О Пусть Е — множество положительных рациональных чисел.
Это множество состоит из всех несократимых дробей вида p/q, где
р е A/, q e N. Выпишем подряд все несократимые дроби, у которых
сумма числителя р и знаменателя q равна двум, трем, четырем, пяти
и т. д. Получим последовательность
1	12 13 1^34 15	, .
Г 2'Г З'Г 4'3'2'Г 5'Г -	[ ]
p+q=2 p+q=3 p+q=4	p+q=b	p+q=6

Упражнения к главе I	33
В этой последовательности, состоящей из разных чисел, содержат-
содержатся все элементы множества Е. Обозначим n-й член последовательнос-
последовательности E4) через гп. Тогда все рациональные числа, т. е. все элементы
множества Q, содержатся в последовательности
О, ги-гъ г2,-г2, ..., rn,-rn, ...
Поэтому Q — счетное множество. •
7. Несчетность множества вещественных чисел. Множест-
Множество, не являющееся конечным или счетным, называется несчетным.
Теорема 4. Множество вещественных чисел R несчетно.
О Докажем, что множество положительных вещественных чисел /?+
несчетно. Предположим противное. Тогда все элементы множества
/?+ содержатся в последовательности {«*;}, где
(к) (к) (к)
ак = ау0 \ а\ Щ ...
Покажем, что существует число C = О, Ь^..., не содержащееся
в последовательности {ак}. Выберем число Ъ\ так, чтобы Ъ\ ф а{\
Ъ\ ф 9, Ь\ ф 0. Вообще, для любого к Е А/ выберем bk так, чтобы
Ък ф а\, , bk ф 9, bk ф 0. Тогда C ф otk при любом к G N. Это противо-
противоречит предположению о том, что любое число /3 е R+ содержится в
последовательности {а^}. Таким образом, множество /?+ не является
счетным, а поэтому и множество R также несчетно. •
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
1.	Показать, что справедливы следующие соотношения:
а)	](АЛВ)^]А У]В;
б)	](AV В)^]АЛ]В.
2.	Пусть А, В, С — подмножества некоторого множества Е. Показать,
что:
а)	(А С С) А (В С С) О (A U В) С С;
б)	(С С А) А (С С В) ф> С С (А П В).
3.	Пусть X, Y — непустые ограниченные множества вещественных
чисел, а Е — множество всевозможных чисел вида ж + г/, где a; G X, у G У.
Показать, что ?7 — ограниченное множество, причем sup Е = sup X + sup У,
f	f	f
4.	Пусть X, Y — непустые ограниченные множества неотрицательных
вещественных чисел, Е — множество всевозможных чисел ху, где iGl,
у G У. Показать,что ?7 — ограниченное множество, причем sup Е = sup X х
х sup У, inf ?7 = inf X • inf У.
5.	Пусть X, У — множества чисел, и пусть Е — множество всевозмож-
всевозможных чисел вида х — у, где х Е X, у EY. Показать, что sup Е = sup X — inf У.
6.	Пусть X и У — непустые множества вещественных чисел такие,
что:
а)	Ух G X и \Л/ G У выполняется неравенство ж ^ у]
б)	Vs > 0 существуют ie G I, |/e G У такие, что у? — х? < е.

34	Гл. I. Вещественные числа
Показать, что supX = inf Y.
п
7. Пусть Snip) = / J кР, р G Л/. Доказать, что
к=\
т
Y^ CPm+1Snip) = (п + 1Г+1 - (п + 1).
р=1
Пользуясь этой формулой, доказать, что
к=1
8. Доказать формулу
п\	kl к2
. Хл Хп .
где суммирование ведется по всем целым неотрицательным hi, fe, ..., кр
таким, что ki + к2 + ... + кр = п.
9. Доказать неравенство
п
п
Х\ Х2	Хп
связывающее среднее гармоническое, среднее геометрическое и среднее
арифметическое положительных чисел xi, Ж2, •••, хп.

ГЛАВА II
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 4. Определение предела последовательности.
Свойства сходящихся последовательностей
1. Числовые последовательности. Если каждому натурально-
натуральному числу п поставлено в соответствие некоторое вещественное чис-
число жп, то говорят, что задана числовая последовательность (или прос-
просто последовательность)
Кратко последовательность обозначают символом {хп} или (жп), при
этом хп называют членом или элементом этой последовательности,
п — номером члена хп.
Числовая последовательность — это функция, область определе-
определения которой есть множество А/ всех натуральных чисел; множество
значений этой функции, т. е. совокупность чисел жп, п е А/, называют
множеством значений последовательности.
Множество значений последовательности может быть как конеч-
конечным, так и бесконечным, в то время как множество ее элементов
всегда является бесконечным: любые два разных элемента последо-
последовательности отличаются своими номерами.
Например, множество значений последовательности {(-1)п} со-
состоит из двух чисел 1 и —1, а множества значений последователь-
последовательностей {п2} и {1/п} бесконечны.
Последовательность может быть задана с помощью формулы, поз-
позволяющей вычислить каждый член последовательности по его номе-
номеру. Например, если хп = ((—1)п + 1)/2, то каждый нечетный член
последовательности равен 0, а каждый четный член равен 1.
Иногда последовательность задается рекуррентной формулой, поз-
позволяющей находить члены последовательности по известным пре-
предыдущим. При таком способе задания последовательности обычно
указывают:
а)	первый член последовательности х\ (или несколько членов, на-
например, xi, ж2);
б)	формулу, связывающую n-й член с соседними (например, с
(п — 1)-м и (п + 1)-м членами).
Так, арифметическая прогрессия с разностью d и геометрическая
прогрессия со знаменателем q ф 0 задаются соответственно рекур-

36	Гл. П. Предел последовательности
рентными формулами
ап+1 = ап + d, Ьп+1 = bnq.
Зная первые члены этих прогрессий а\ и Ьь можно получить форму-
формулы для (п + 1)-х членов прогрессий:
ап+1 = ai + nd, bn+i = biqn, п е N.
Рекуррентной формулой
хп = xn-i + жп_2, п е Л/, п ^ 3,
и условиями xi = 1, Ж2 = 1 задается последовательность Фибоначчи.
В некоторых случаях последовательность может быть задана опи-
описанием ее членов. Например, если хп — простое число с номером п,
то х\ =2, х2 = 3, ж3 = 5, ж4 = 7, хъ = 11 и т. д.
Отметим, наконец, что последовательность {хп} можно изобра-
изобразить:
а)	точками с координатами (п;жп), п G А/, на плоскости;
б)	точками жп, n G А/, на числовой оси.
2. Определение предела последовательности.
Определение. Число а называется пределом последовательнос-
последовательности {жп}, если для каждого г > 0 существует такой номер N?J что для
всех п ^ N? выполняется неравенство
\хп -а\<?.
Если а — предел последовательности, то пишут lira xn = а или
п—>-оо
жп ->• а при п ->• оо.
С помощью логических символов это определение можно записать
в виде
{ lim хп = а} <?> \/е > О 3N? : \/n^N? -> \xn - а\ < г. A)
п—>-оо
Последовательность, у которой существует предел, называют схо-
сходящейся.
Таким образом, последовательность {хп} является сходящейся,
если
3a e R: Vs > О 3N? : \/n^N?^ \xn - а\ < г.	B)
Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют рас-
расходящейся; иначе говоря, последовательность называют расходящей-
расходящейся, если никакое число не является ее пределом.
Заметим, что если хп = а для всех п е N (такую последователь-
последовательность называют стационарной), то lira xn = а.
п—>-оо
Из определения A) следует, что последовательность {хп} имеет
предел, равный а, тогда и только тогда, когда последовательность
{хп - а} имеет предел, равный нулю, т. е.
{ lira xn = a} <^> { lira (xn — а) =0}.

§4- Определение предела последовательности	37
Пример 1. Записать с помощью логических символов отрица-
отрицания следующих утверждений:
а)	А = {число а — предел последовательности {жп}};
б)	В = {{хп} — сходящаяся последовательность}.
Л а) Используя указанное в п. 1 § 1 правило построения отрицания
утверждения, содержащего символы V, 3, из A) получаем
]А = {Зе0 > 0: Vfe е А/ Зп ^ к: \хп - а\ ^ г0},
где п зависит, вообще говоря, от к, т. е. п = n(fc).
б)	Из B) следует, что
]В = {Va G R Зг0 > 0: V/c G Л/ Зп ^ к: \хп - а\ ^ г0}. А
Пример 2. Пользуясь определением, найти предел последова-
последовательности {жп}, если:
\ 71—1	^ч	a	,-,	1	ftl
а) жп = 	;	б) хп = —:, a G /?, г = —, т G /V;
в)	жп = ^n, \q\ < 1;	г) жп =
k=l	k=l
Л а) Докажем, что lira хп — 1. Так как жп = 1 — 1/п, то \хп — 1| =
п—>-оо
= 1/п. Возьмем произвольное число г > 0. Неравенство |жп — 1| < е
будет выполняться, если 1/п < г, т. е. при п > 1/е. Выберем в качест-
качестве N? какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию
N? > 1/г, например, число N? = [1/е] +1, где [х] = Е(х) —
целая часть числа ж, т. е. наибольшее целое число, не превосходя-
превосходящее х. Тогда для всех п ^ N? будет выполняться неравенство
\хп - 1| = 1/п ^ l/N? < г. По определению предела это означает,
что lira хп = 1, т. е. lira 	 = 1.
п—>-оо	п—>-оо П
б)	Так как |жп| ^ \а\/пг, а неравенство |a|/nr < г, где г > 0, рав-
равносильно каждому из неравенств пг > \а\/е, п > (|а|/г)т, то при всех
n ^ N?, где N? = [(|a|/e)m] + 1, справедливо неравенство \хп\ < г. Сле-
Следовательно, lira a/nr = 0.
п—>-оо
в)	Если д' = 0, то жп = 0 для всех n G А/, и поэтому lira жп = 0.
п—>-оо
Пусть q ^ 0. Обозначим г = 1/|^|, тогда г > 1, так как |д| < 1.
Поэтому г = 1 + а, где a > 0, откуда
-L=r« = (l + a)»>an
в силу неравенства Бернулли (§ 3, п. 5, C3)). Следовательно,
Ы = 1«Г < ^.	C)

38
Гл. П. Предел последовательности
и для всех п ^ N?, где N? = [1/(ае)] + 1, выполняются неравенства
\хп\ < — ^ -^гг < ?• Это означает, что lim хп = 0, т. е.
an aN	^
an aN?
lim qn = 0, если \q\ < 1.
n>oo
г) Умножив и разделив хп на
п + 1, получим
1
откуда
< г будет выполняться, если
> —, т. е. при п > —. Пусть 7Ve = —¦ + 1, тогда для всех n^N?
выполняются неравенства жп| <
< е. Это означает, что
у
lim xn = 0, т. е. lim (у/п + 2 — л/^ + 1) = 0.
п—>-оо	п—>-оо
д) Используя формулу для суммы геометрической прогрессии (§ 3,
п. 5,6), C6)), получаем жп = -—^— =	-^—, откуда в силу C)
следует, что неравенства
1
_ \Q\r
< ?, где
\-q A-g
> 0, выполняются для всех п ^ N?, где N? = —	— + 1, а =
= — - 1, т. е. lim xn =
1
е) Так как
к(к
1_
к V-
1
= 1-
-, откуда находим lim жп = 1.А
п — 1 п п п + 1	п + 1
Пример 3. Пусть lim хп = a, lim ?/п = а. Доказать, что после-
х—>-оо	у—>-оо
довательность
/ /1 \
^1, 2/15 Ж2, 2/2 -.., ^jfe, 2/jfe ...	DJ
сходится и ее предел также равен а.
А По определению предела для любого г > 0 существуют JVi = Ni(e)
и 7V2 = N2(8) такие, что для всех п ^ N\ выполняется неравенство
\хп — а\ < е, а для всех п ^ 7V2 выполняется неравенство |?yn — а| < г.
Обозначим n-й член последовательности D) через zn. Тогда если
N? = maxGVi, 7V2), то для всех п ^ 2N? будет выполняться неравенство
\zn — а\ < г. В самом деле, если п = 2к и п ^ 27Ve, то zn = 2/fe, где & ^
^ N? ^ 7V2, и поэтому \zn — а\ = \уи — а\ < е. Аналогично, если п =
= 2к — 1 и n ^ 27Ve, то zn = ж^, где к > N? ^ JVi, и поэтому |zn — а| =
= |xjfe — а| < г. А
Пример 4. Доказать, что если lim жп = а, то
lim
п—>-оо
Х\
= а.

§4- Определение предела последовательности	39
Л Обозначим ук = Xk - a, Sn = 	, тогда
Q	п _ У1+У2 + ... +Уп
Так как lim уп = О, то по заданному г > 0 можно найти номер N =
п—юо
= N? такой, что для всех п ^ N выполняется неравенство \уп\ < г/2.
Обозначим С = \yi + у2 + ... + vn\- Тогда, если п > N, то
\q п / |g/l +У2 + ...+Ум\ , ЬтУ+il + - + |Уп| .
\оп — а ^	1	<
<? + ?!L^ ? + ?_
п 2 п	п 2
Выберем номер N = N? такой, что C/N < г/2. Тогда для всех
п ^ N будет справедливо неравенство С/п < е/2.
Пусть, наконец, п? = maxGVe, N?); тогда для всех п^п? выполня-
выполняется неравенство \Sn — а\ < г. Следовательно, lim Sn = a. A
п—>-оо
Обратимся еще раз к определению предела. Согласно определению
число а является пределом последовательности {жп}, если при всех
n ^ N? выполняется неравенство \хп — а\ < г, которое можно записать
в виде
а — г < хп < а + ?.
Другими словами, для каждого г > 0 найдется номер N?, начиная с
которого все члены последовательности {хп} принадлежат интерва-
интервалу (а-е,а + е).
Этот интервал называют г-окрестностью точки а (рис. 4.1) и обо-
обозначают U?(a), а также О?(а), т. е.
U?{a) = {х: а — е < х < а + е} = {х: \х — а\ < г}.
Итак, число а — предел последовательности {жп}, если для каждой
^-окрестности точки а най-
найдется номер, начиная с ко-	Ue(a)
торого все члены последова- 	(	|	)	^*-
тельности принадлежат этой	а~?	а	а+?
окрестности, так что вне этой	Рис 4 i
окрестности либо нет ни одно-
одного члена последовательности, либо содержится лишь конечное число
членов.
С помощью логических символов определение предела последова-
последовательности "на языке окрестностей" можно записать так:
{ lim хп = а} <?> \/е > О 3N?: Vn ^ N? -»> хп е U?(a).
Пример 5. Доказать, что последовательность {жп}, где хп =
= (—1)п, является расходящейся.

40	Гл. П. Предел последовательности
Л На числовой оси члены последовательности {хп} изображаются
точками —1 и 1, причем х^к — 15 %ik-\ — —15 к Е N. Любое число
а, где а ф ±1, не может быть пределом последовательности, так как
существует ^-окрестность точки а (достаточно взять е = min(|a + 1|,
[а — 1|)), не содержащая ни одного члена последовательности. Число 1
также не является пределом последовательности, так как существует
такая ^-окрестность точки а (е = 1/2), что вне ее содержится бес-
бесконечно много членов последовательности (все члены с нечетными
номерами). Аналогичное утверждение справедливо и для точки —1.
Таким образом, ни одно число не является пределом последователь-
последовательности, т. е. {хп} — расходящаяся последовательность. А
Упражнение 1. Доказать, что если lim хп = а, то
п—)-оо
lim \хп\ = |а|, lim (xn+i - хп) = 0.
п—^оо	п—^оо
3. Единственность предела последовательности.
Теорема 1. Числовая последовательность может иметь только
один предел.
О Предположим, что последовательность {хп} имеет два различных
предела а и Ь, причем а < Ъ (рис. 4.2). Выберем г > 0 таким, чтобы
U?(a)	Ue{b)
	(шип	.шип)	U^^\
а+? Ь—е	Ь	Ъ+?
Рис. 4.2
^-окрестности точек а и Ъ не пересекались (не имели общих точек).
Возьмем, например, г = (Ь - а)/3. Так как число а — предел после-
последовательности {жп}, то по заданному е > 0 можно найти номер N
такой, что хп G U?(a) для всех п ^ N. Поэтому вне интервала U?(a)
может оказаться лишь конечное число членов последовательности.
В частности, интервал U?(b) может содержать лишь конечное число
членов последовательности. Это противоречит тому, что Ъ — предел
последовательности (любая окрестность точки Ъ должна содержать
бесконечное число членов последовательности). Полученное противо-
противоречие показывает, что последовательность не может иметь два раз-
различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только
один предел. •
4. Ограниченность сходящейся последовательности. Пос-
Последовательность {хп} называется ограниченной снизу, если существу-
существует такое число Ci, что все члены последовательности удовлетворяют
условию хп ^ Ci, т. е.
3d: VnG N ^хп ^ d.

§4- Определение предела последовательности	41
Последовательность {хп} называется ограниченной сверху, если
ЗС2: VnG N ^хп <С С2.
Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называ-
называют ограниченной, т. е. последовательность {хп} называется ограни-
ограниченной, если
3Ci ЗС2 : Vn G Л/ -^ d ^ хп <С С2.	E)
Таким образом, последовательность называют ограниченной, если
множество ее значений ограничено.
Замечание 1. Условие E) равносильно следующему:
3C>0: VnG Л/ -> |жп| ^С.	F)
В самом деле, из условия F) следует E), если взять С\ = —С, Сг = С, а из
условия E) следует F), если взять С = max(|Ci|, IC2I).
Геометрически ограниченность последовательности означает, что
все члены последовательности содержатся в С-окрестности точки
нуль.
Теорема 2. Если последовательность имеет предел, то она огра-
ограничена.
О Пусть последовательность {хп} имеет предел, равный а. По опре-
определению предела для г = 1 найдем номер N такой, что при всех n ^ N
имеет место неравенство \хп — а\ < 1. Так как модуль суммы не пре-
превосходит суммы модулей, то
\хп\ = \хп — а + а\
хп — а\
Поэтому при всех п > N выполняется неравенство
\хп\ < 1 + \а\.
Положим с = max A + |а|, |xi|,..., |ждг_1|), тогда \хп\ ^ С при всех
п G А/, т. е. последовательность {хп} ограничена. •
Замечание 2. В силу теоремы 2 всякая сходящаяся последова-
последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограничен-
ограниченная последовательность является сходящейся. Например, последователь-
последовательность {(—1)п} ограничена, но не является сходящейся (пример 5).
Замечание 3. Если условие F) не выполняется, т. е.
VC>0 Зпс е А/: \хпс\ >С,
то говорят, что последовательность {хп} не ограничена.
Пример 6. Доказать, что последовательность {1/уп} является
ограниченной, если lim уп = Ъ, Ъ ф 0 и уп ф 0, для всех п G N.
п—>-оо
Л Так как Ъ ф 0, то \Ь\ > 0. По заданному числу г = \Ь\/2 в силу
определения предела последовательности найдется номер No такой,
что
Уп^М0^\уп-Ъ\<^.	G)

42	Гл. П. Предел последовательности
Используя неравенство для модуля разности
\ь\ - \уп\ ^ \уп -ь\
и неравенство G), получаем \Ь\ — \уп\ < \Ь\/2, откуда \уп\ > \Ь\/2, и
поэтому для всех п ^ No справедливо неравенство \1/уп\ < 2/|Ь|.
Пусть С = max (-—г,..., -	г, —г ), тогда для всех п Е А/ выпол-
\\уЛ \vno-i\ \ь\)
няется неравенство |1/^/п| ^ С\ т. е. {1/уп} — ограниченная последо-
последовательность. А
Упражнение 2. Доказать, что последовательность {хп} ограничена,
если:
П 1	п2
а) хп = / 	;	б) хп = —, а > 1.
^—' п + к	ап
k=i
Упражнение 3. Доказать, что последовательность {хп} не ограниче-
ограничена, если:
а) хп = п{~1)П; б) хп = _П . ¦
Зп + 4
5. Свойства сходящихся последовательностей, связанные
с неравенствами.
Теорема 3. Если последовательности {хп}, {уп}, {%п} таковы,
что
хп ^ Уп ^ ^п для всех п ^ Nq,	(8)
lim xn = lim zn = а,
п—у со	п—у со
то последовательность {уп} сходится и
lim yn = а.
п—>-оо
О По определению предела для любого е > 0 найдутся номера JVi =
= JVi (г) и 7V2 = ^2 (в) такие, что жп G C4 (а) при всех п^ NxH zneU? (а)
при всех п ^ N2. Отсюда и из условия (8) следует (рис. 4.3), что при
хп	Уп	Zn
а—е	а	а+г
Рис. 4.3
всех п ^ N, где N = max (No, Ni,N2), выполняется условие уп G U?(a).
Это означает, что существует lim yn = а. •
п—>-оо
Замечание 4. Теорему 3 называют теоремой о трех последователь-
последовательностях или теоремой о пределе "зажатой" последовательности.
Пример 7. Пусть ап ^ -1 при всех п е N и lim ап = 0. Дока-
п—>-оо
зать, что
^ + ап = 1, JbG Л/.	(9)

§4- Определение предела последовательности	43
Л Докажем сначала, что
- \ol
\ап\, neN, keN.	A0)
В самом деле, если ап ^ 0, то
^ (fy + n)k 1 + ап = 1 + \ап\,
а если — 1 ^ ап < 0, то
^ (fyl	)k 1 + ап = 1 - \ап\,
откуда следуют неравенства A0). Применяя теорему 3, получаем
утверждение (9). А
Пример 8. Доказать, что если а > 1, то
lim ^a = 1.	A1)
п—>-оо
Л Если а > 1, то >/а > 1. Обозначая у/а — 1 = ап, получаем у/а =
= 1 + ап, где ап > 0, откуда
а = A + ап)п > апп	A2)
в силу неравенства Бернулли. Так как ап > 0, то из A2) следует, что
0 < ап < а/п, т. е. 0 < Vfd - 1 < а/п. Применяя теорему 3 и резуль-
результат примера 2, б), получаем соотношение A1). А
Пример 9. Доказать, что
lim ^=1.	A3)
п>оо
п—>-оо
Л Заметим, что у/п — 1 = ап > 0 при п > 1, откуда п = A + OLn)n >
> C2nal (§ 3, п. 5, E3)), где С2п = п(п ~ Х) > ^ при п > 2. Следова-
тельно, п > — a?L или af; < —, и так как ап > 0, то 0 < ап < —=,
4	п	у/п
т. е.
о< ку^-к -?=.
Используя теорему 3 и результат примера 2, б), получаем утвержде-
утверждение A3). А
Пример 10. Пусть а > 1, р G N. Доказать, что
Нт 1^=0.	A4)
a
Л Если а > 1, то а = 1 + а, где а > 0, откуда ап = A + а)п >
> С%+1ар+1 при п > р (§ 3, п. 5, E3)).
Пусть п > 2р, тогда С?+1 = п(п "Д"^ ~р) > ^-^g^, так
п^ 2р(р + 1)!
как п — к > - при 1 ^ /с ^ р. Отсюда следует, что 0 < — <
и поэтому справедливо утверждение A4). А
п

44	Гл. П. Предел последовательности
Теорема 4. Если
lim хп = a, lim yn = Ъ,	A5)
п>оо	п>оо
а<Ъ,	A6)
то
37VO : Vn^N0^xn< уп.	A7)
О Как и в теореме 1, выберем е > 0 таким, чтобы ^-окрестности
точек а и b (рис. 4.2) не пересекались (возьмем, например, г =
= (Ь — а)/3 > 0). Согласно определению предела по заданному г можно
найти номера JVi и 7V2 такие, что хп Е ?7е(а) при всех п ^ iVi и
2/п ? С/е:(Ь) при всех п ^ 7V2- Пусть TVq = max(ATi, АГ2). Тогда при
всех п ^ Nq выполняются неравенства
жп < а + г < 6 - г < уп,
откуда следует утверждение A7). •
Следствие 1. Если lim хп = а и а < Ь, то
п—>-оо
3N0: \/п^Щ^хп< Ъ.	A8)
О Для доказательства утверждения A8) достаточно в теореме 2
взять уп = b, n G N. •
Следствие 2. #а/ш lim жп = a, lim yn = Ъ и
п>оо	п>оо
п—>-оо
то
Vn G Л/ -> xn ^ г/п,	A9)
а ^ 6.	B0)
О Предположим, что неравенство B0) не выполняется. Тогда а <Ъ
и по теореме 4 справедливо утверждение A7), которое противоречит
условию A9). Поэтому должно выполняться неравенство B0). •
Замечание 5. В частности, если для сходящейся последовательности
{хп} выполняется для всех п Е Л/ (или для всех п ^ No) неравенство хп ^ а
(хп ^ /3), то lim жп ^ а ( lim хп ^ /5). Отсюда следует, что если все чле-
П—^ОО	71—^ОО
ны сходящейся последовательности {xn} принадлежат отрезку [а, Ь], т. е.
а ^хп ^Ь для всех n E А/, то и предел этой последовательности принадле-
принадлежит отрезку [а, Ь], т. е. а ^ lim xn ^ 6.
п—^оо
Замечание 6. В следствии 2 утверждается, что если соответствую-
соответствующие члены двух сходящихся последовательностей связаны знаком нестро-
нестрогого неравенства, то такое же неравенство справедливо и для пределов этих
последовательностей. Короче: предельный переход сохраняет знак нестро-
нестрогого неравенства. Однако знак строгого неравенства, вообще говоря, не со-
сохраняется, т. е. если хп > Уп при п ^ No и последовательности {хп}, {уп}
сходятся, то lim xn ^ lim уп. Например, если хп = 1 Н—, уп = 1	,
п—Уоо	п—Уоо	ТЬ	ТЬ
то хп > уп, п Е А/, но lim xn = lim yn = 1.

§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности 45
§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности. Арифметические операции
над сходящимися последовательностями
1. Бесконечно малые последовательности. Последователь-
Последовательность {ап} называется бесконечно малой, если
lim an = 0.
п—юо
Это означает, что для любого г > 0 найдется номер N = N? такой,
что
OLn - 0| = \ап\ < г для всех п ^ N?.
Понятие бесконечно малой последовательности используется для
доказательства свойств сходящихся последовательностей. Пусть чис-
число а — предел последовательности {хп}. Обозначим ап = хп — а. По
определению предела
Vs > 0 3Ns: Vn ^ N? -> \xn - а\ = \ап\ < г,
т. е. {ап} — бесконечно малая последовательность. Обратно: если
хп = а + ап, где {ап} — бесконечно малая последовательность, то
lim xn = а.
п—уоо
Приведем примеры бесконечно малых последовательностей, ис-
используя результаты примеров 2, 8-10:
a) {a/nr}, a e R, г = 1, т е /V; б) {qn}, \q\ < 1;
в){^-1}, а>1; г){^п-1}; д) {пр/ап}, р е Л/, а > 1.
При изучении свойств сходящихся последовательностей нам по-
потребуется ввести арифметические операции над последователь-
последовательностями. Назовем суммой, разностью, произведением и частным
двух последовательностей {хп} и {уп} соответственно последова-
последовательности {хп + уп}, {хп-уп}, {хпуп}, {хп/уп}. При определении
частного предполагается, что уп ф 0 для всех п G N.
Бесконечно малые последовательности обладают следующими
свойствами:
а)	алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых по-
последовательностей есть бесконечно малая последовательность;
б)	произведение бесконечно малой последовательности на огра-
ограниченную последовательность является бесконечно малой последова-
последовательностью.
О а) Пусть {ап} и {/Зп} — бесконечно малые последовательности.
Тогда для любого г > 0 существуют номера JVi = Ni(e) и N2 = N2F)
такие, что \ап\ < г/2 при всех п ^ Ni и \(Зп\ < г/2 при всех п ^ N2.
Если N = N? = max (TVi, 7V2), то, используя неравенства для модуля
суммы (разности), получаем для всех п ^ N неравенство
|ап±/Зп| ^ |ап| + |^п| < | Ч- | = ег.

46	Гл. П. Предел последовательности
Следовательно, {ап ± (Зп} — бесконечно малая последовательность.
Доказанное свойство с помощью индукции распространяется на
любое число слагаемых.
б) Пусть {ап} — ограниченная последовательность, {(Зп} — беско-
бесконечно малая последовательность. По определению ограниченной пос-
последовательности
ЗОО: VnG N ^ \ап\ < С,
а по определению бесконечно малой последовательности
\/г > О 3N? : Vn ^ N? -> \/3n\ < J.
Отсюда следует, что
Vn ^ TV, -> |an/3n| = |an| • |/3n| < ^ С = г,
т. е. {an/^n} — бесконечно малая последовательность. •
В частности, если {ап} — стационарная последовательность, т. е.
ап = а для всех п G А/, а {/Зп} — бесконечно малая последовательность,
то {an/3n} — бесконечно малая последовательность.
Замечание. Так как бесконечно малая последовательность ограниче-
ограничена (§ 4, теорема 2), то из доказанного свойства следует, что произведение
конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно
малая последовательность.
2. Бесконечно большие последовательности. Последователь-
Последовательность {хп} называется бесконечно большой, если для любого 8 > О
существует такой номер N$, что для всех п ^ N$ выполняется не-
неравенство \хп\ > 6. В этом случае пишут lira = oo и говорят, что
п—>-оо
последовательность имеет бесконечный предел.
Используя логические символы, это определение можно записать
так:
{ lim хп = oo} <^ WS > О 3N6 : Vn ^ N5 -+ \xn\ > S.	A)
п—>-оо
Дадим геометрическую интерпретацию определения A). Назовем
^-окрестностью оо (рис. 5.1) множество Е = {х G R: \х\ > S}. Если
Е2
Рис. 5.1
последовательность {хп} имеет бесконечный предел, то в любой
(^-окрестности оо лежат все члены последовательности, за исключе-
исключением, быть может, конечного числа членов.
Аналогично вводятся для последовательности {хп} понятия бес-
бесконечного предела, равного —оо и +оо. Эти пределы обозначаются

§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности 47
соответственно символами lim хп = —оо и lim xn = +оо и опреде-
П—УОО	П—УОО
ляются так:
{ lim хп = -оо} & 46 > О 3N6 : Vn ^ N6 -+ хп < -5, B)
п—уоо
{ lim хп = +оо} <?> Щ > О 3NS : Уп ^ Ns ^> хп > 6.	C)
Множества ^ = {х G /?: ж < — 6} и Е2 = {х ? R: х > 6}, где 6 > О,
назовем ^-окрестностями —оо и +оо соответственно (см. рис. 5.1).
Тогда Е = Ех UE2.
Согласно определению C) последовательность {хп} имеет предел,
равный +00, если в ^-окрестности символа +оо содержатся все члены
этой последовательности, за исключением, быть может, конечного
числа их. Аналогичный смысл имеет определение B).
В дальнейшем под пределом последовательности будем понимать
конечный предел, если не оговорено противное.
Приведем примеры последовательностей, имеющих бесконечный
предел.
Если хп = —\/п, то lim хп = —оо; если хп = п2/(п + 2), то
lim хп = +оо; если хп = (—1)П2П, то lim xn = оо.
п—уоо	п—уоо
Упражнение 1. Доказать, что если хп ф 0 для всех п G А/, то последо-
последовательность {хп} является бесконечно большой тогда и только тогда, когда
{1/хп} — бесконечно малая последовательность.
Упражнение 2. Можно ли утверждать, что:
а)	всякая бесконечно большая последовательность является неограни-
неограниченной;
б)	всякая неограниченная последовательность является бесконечно
большой?
Упражнение 3. Пусть {хп} — ограниченная, а {уп} — бесконечно
большая последовательность. Доказать, что {хп + уп} — бесконечно боль-
большая последовательность.
Упражнение 4. Доказать, что если lim хп = +оо, lim yn = +оо, то
lim хпуп = +оо.
п—^оо
3. Арифметические операции над сходящимися последо-
последовательностями.
Теорема. Если lim хп = a, lim уп = Ь, то:
п—уоо	п—уоо
а)	lim (хп + уп) = а + Ь;
п—уоо
б)	lim (хпуп) = ab;
п—>-оо
в)	lim — = - npi/ условии, что уп ф 0 (n G A/) i/ 6 7^ 0.
О Так как lim хп = a, lim уп = b, то хп = а + ап, уп = b + (Зп, где
п—>-оо	п—>-оо
{ап} и {/Зп} — бесконечно малые последовательности.

48	Гл. П. Предел последовательности
а)	Из равенства хп + уп = а + Ъ + ап + /?п, где {ап + /Зп} — бес-
бесконечно малая последовательность, следует, что хп + уп ^ а + b при
п —>¦ оо.
б)	Воспользуемся равенством
хпУп = ab + а/Зп + Ъап + ап/Зп.
Так как {ап} и {{Зп} — бесконечно малые последовательности, то по-
последовательности {а/Зп}, {Ьап} и {ап/Зп} также являются бесконечно
малыми, откуда следует, что {а/Зп + ban + ап/Зп} — бесконечно ма-
малая последовательность. Поэтому хпуп —У аЪ при п —У оо.
в)	Докажем, что \ — — -> — бесконечно малая последователь-
Ууп Ь)
тт	хп а (а + ап)Ь — (Ь + (Зп)а (	а о \ 1 ^
ность. Имеем —^ - - = ^	^Ц—^	t-^— =[ап- Т/Зп —. Так как
Уп о	Ъуп	\	о J уп
{ап} и {/Зп} — бесконечно малые последовательности, то и последо-
последовательность <ап - j-fln \ также является бесконечно малой.
По условию у ->• Ъ при п ->• оо, где Ъ ф 0 и уп ф 0 для всех
n G А/. Поэтому (см. пример б, § 4) последовательность < — > является
ограниченной.
Отсюда следует, что \ \ап	0п)— г — бесконечно малая по-
IV	о ) уп)
следовательность как произведение бесконечно малой последователь-
последовательности на ограниченную последовательность.
Таким образом, \ — - ^ \ — бесконечно малая последователь-
Ууп Ъ)
Хп	&	л.
ность, и поэтому	у - при п —у оо. •
Уп	Ь
п
Пример 1. Найти lim Sn, если Sn = У^	, где {аЛ — ариф-
n^oo	^ акак+1
метическая прогрессия, все члены и разность d которой отличны от
нуля.
Л Используя равенство
s -J-- х
d(a\ + nd)'
полученное в § 3 (пример 2, а)), находим lim Sn = ~i—- A
п—>-оо	dui
Пример 2. Пусть Рк(х) = аохк + а\хк~х + ... + ак-\х +
= &ox/e + M/e-1 + ... + ^_ix + ^, где а0 ^ О, Ъ0 ф 0. Най-
т	Pfe(n)
ти hm
Л Разделив числитель и знаменатель дроби на nfe, получаем
Рк{п) _

§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности 49
Отсюда следует, что искомый предел равен ао/bo, так как а/пр —у О
при п —У оо для любого a Е R и любого р Е Л/ (§ 4, пример 2, б)). А
п
При мер 3. Найти lim хп, где жп = —
га-Юо	П6
k=l
л -о	л,	- V^72 n(n + l)Bn + l)
Л Воспользуемся формулой 2^^ = 	F	 > полученной
в § 3 (пример 2, в)). Тогда жп = - A Н— )AН	Ь откуда находим
3 V п/ V 2п/
lim жп = -. А
п—>-оо	о
Пример 4. Найти lim жп, хп = \fn2 + 2n + 3 - \fn2 - 2п + 5.
п—>-оо
Л Так как
_ (п2 + 2п + 3) - (п2 - 2п + 5) _ 4~~
ж
то, используя результат примера 7, § 4, получаем lim xn = 2. А
п—>-оо
Пример 5. Доказать, что последовательность {жп}, где жп =
=	+	+ ... +	, сходится, и найти ее предел.
Л В сумме хп каждое слагаемое меньше предыдущего, и поэтому
п	п
или
Используя теорему 3, § 4 и результат примера 7, § 4, получаем, что
lim хп = 1. А
п—>-оо
Упражнение 5. Доказать, что если существует lim xn = а, где
п—)-оо
а / 0, а последовательность {^/п} расходится, то последовательность {жиу„}
также расходится.
Упражнение 6. Доказать, что если одна из последовательностей
{жп}, {уп} сходится, а другая расходится, то последовательность {хп + уп}
расходится.
Упражнение 7. Найти lim xn, если:
а) хп = —г > А?(/г + 1); б) жп = —- > к] в) хп = \/(п + а)(п+ Ь) — п.
k=i	fc=i
Упражнение 8. Последовательность {жп} задана при п ^ 3 рекур-
рекуррентной формулой жп = (а + 1)жте-1 + ажп_2, где |а| < 1, и условиями xi = а,
Ж2 = 6. Доказать, что она сходится, и найти lim xn.

50	Гл. П. Предел последовательности
Упражнение 9. Пусть {ап} — арифметическая прогрессия, все чле-
члены которой положительны и разность d ф 0. Найти lim xn, где
п	п—)-оо
1 v^	1
§ 6. Предел монотонной последовательности
1. Монотонная последовательность. Точные грани после-
последовательности. Последовательность {хп} называют возрастающей
(неубывающей), если для любого п Е А/ выполняется неравенство
Xn+i ^ Хп.	A)
Аналогично последовательность {хп} называют убывающей (невозрас-
тающей), если для любого п Е А/ справедливо неравенство
Xn+i ^ хп.	B)
Если неравенство A) можно записать в виде xn+i > жп, а неравен-
неравенство B) — в виде жп+1 < хп, то последовательность {жп} называют
соответственно строго возрастающей и строго убывающей.
Возрастающую или убывающую последовательность называют
монотонной, а строго возрастающую или строго убывающую — стро-
строго монотонной.
Если неравенство A) выполняется при п ^ по, то последователь-
последовательность {хп} называют возрастающей, начиная с номера по (при п ^
^ п0). Аналогично вводятся понятия убывающей, строго убывающей
и строго возрастающей последовательности, начиная с номера по (при
п ^ п0).
Для доказательства теоремы о пределе монотонной последователь-
последовательности нам потребуются понятия точной верхней и нижней грани
последовательности.
Точную верхнюю (нижнюю) грань множества значений последо-
последовательности {хп} называют точной верхней (нижней) гранью после-
последовательности и обозначают соответственно sup{xn} и inf{xn}.
Определение точной верхней грани supX числового множества X,
введенное в § 2, можно записать так:
{М = supX} <^ {Vx G X -+ х ^ М} Л {\/г > 0 Зх? G X: х?> М -г}.
C)
Аналогично определение точной нижней грани inf X числового мно-
множества X можно записать в виде
{т = ЫХ}&{УхеХ^х^т}Л{Уе>0 Зх?еХ: х?<т + е}. D)
Поэтому определения точной верхней и точной нижней граней пос-
последовательности можно записать в виде
[а = sup{xn}] <?> {Vn G Л/ ->> хп ^ а} Л {Уг > 0 3N?: xNe > a - е], E)
[Ъ = inf{хп}] & {Vn е N -> хп ^ Ь} Л {Уг < 0 3N?: xNe < Ъ + г}. F)

§ 6. Предел монотонной последовательности	51
Таким образом, число а — точная верхняя грань последователь-
последовательности {жп}, если выполняются условия:
1)	все члены последовательности не превосходят а, т. е.
Vn е N -> хп ^ а;	G)
2)	для каждого е > 0 (рис. 6.1) найдется член последователь-
последовательности, больший а - г, т. е.
Vs > О 3N?: xNe > a - г. (8)	^	¦ ^

Аналогично разъясняется опреде-	?
ление F) точной нижней грани пос-
последовательности.	с# 6#1
Упражнение 1. Доказать, что если М = supX, то существует после-
последовательность {жп}, где хп ? X при всех п Е А/, такая, что lim жп = М.
71—^ОО
2. Признак сходимости монотонной последовательности.
Теорема 1. Если последовательность {хп} является возрас-
возрастающей и ограниченной сверху, то существует
lim хп = sup {xn\.
Если последовательность {хп} является убывающей и ограничен-
ограниченной снизу, то существует
lim хп = inf {xn}.
п—>-оо
О Ограничимся доказательством теоремы для случая ограниченной
сверху и возрастающей последовательности. Если последователь-
последовательность {хп} ограничена сверху, т. е. множество чисел xi,^2, ...,жп,...
ограничено сверху, то по теореме о существовании верхней грани (§ 2)
существует точная верхняя грань этой последовательности, опреде-
определяемая условиями G), (8). Так как {хп} — возрастающая последова-
последовательность, то
Vn ^ N? -»> xNe ^ xn.	(9)
Из G)-(9) следует, что
\/е > О 3N? : Vn ^ N? —>- а — е < xn? ^ хп ^ а, т. е. жп G U?(a).
Это означает, согласно определению предела, что
lim хп = а = sup {жп}. •
п-^оо
Замечание 1. Теорема 1 остается справедливой для последователь-
последовательности, ограниченной сверху (снизу) и возрастающей (убывающей), начи-
начиная с некоторого номера.
Упражнение 2. Доказать, что монотонная последовательность схо-
сходится тогда и только тогда, когда она ограничена.

52	Гл. П. Предел последовательности
Пример 1. Доказать, что если хп = —г, где а > 0, то
п!
lim хп — 0.
п—>-оо
Л Так как
г . 1 — —-	т	П(У)
то xn+i ^ жп при всех п ^ по, где по = [а], т. е. {хп} — убывающая
при п ^ по последовательность. Кроме того, хп ^ 0 при всех
n E Л/, т. е. последовательность ограничена снизу. По теореме 1
последовательность {хп} сходится. Пусть lim xn = Ь. Тогда, перехо-
п—>-оо
дя к пределу в равенстве A0), получаем Ъ = 0 • 6, т. е. Ъ = 0. Итак,
lim ^ = 0. А	A1)
п—Уоо п\
Замечание 2. Утверждение A1) справедливо не только при а > 0, но
ап а п
и при любом a G /?, так как — ^ 	.
п!	п!
Пример 2. Последовательность {хп} задается рекуррентной фор-
формулой
1 / . а \	/1 оч
хп+1 = 2rn + ^;J'	^12)
где #1 > 0, а > 0. Доказать, что
lim xn — у/а.	A3)
п—>-оо
Л Докажем сначала методом индукции, что
V/c G Л/ -* хк > 0.	A4)
В самом деле, из формулы A2) и условий xi > 0, а > 0 следует, что
Х2 > 0. Предполагая, что хп > 0, из равенства A2) получаем xn+i > 0.
Утверждение A4) доказано.
Далее, применяя неравенство для среднего арифметического и
среднего геометрического, из A2) получаем
1 /	а \ . / а	/—	Л|
xn+i = -\хп -\	^ \ хп— = у а при п G А/,
^ 2 V	жп/ \ хп
т. е.
Wi ^ 2 —>¦ жп ^ уB.	A^)
Итак, последовательность {хп} ограничена снизу. Докажем, что
она является убывающей. Запишем равенство A2) в виде
а-х2
Т и -Г —	П
ZXn
откуда в силу A4) и A5) получаем
\/п > 9 —V г , 1 <" т

§ 6. Предел монотонной последовательности	53
т. е. последовательность является убывающей при п ^ 2. По теореме 1
существует lim хп = а, где а ^ у/а > 0 в силу условия A5). Переходя
га-юо
в равенстве A2) к пределу, получаем а = - (а + — ], откуда а2 = а,
а = у/а, т. е. справедливо утверждение A3). А
3. Число е. Рассмотрим последовательность {жп}, где
и покажем, что эта последовательность возрастающая и ограничен-
ограниченная сверху. Используя формулу бинома Ньютона, получаем
с1п- + С2п-2
Хп = п п2	^
nn nn2	nn/,
где
^fe _ n(n-l)...(n- (fe-1))	, _ т—-
on — 	—	,	к — i,n,
Запишем хп в следующем виде:
тогда
П+1 1 (	1 \f	2 \ ( к-1\
k=i
Все слагаемые в суммах A6) и A7) положительны, причем каждое
слагаемое суммы A6) меньше соответствующего слагаемого сум-
суммы A7), так как 1	< 1	-, т = 1,п - 1, а число слагаемых в
п	п + 1
сумме A7) на одно больше, чем в сумме A6). Поэтому хп < xn+i для
всех п Е А/, т. е. {хп} — строго возрастающая последовательность.
Кроме того, учитывая, что 0 < 1	< 1 (т = 1,п - 1), из равенст-
п
п
ва A6) получаем хп < 1 + ^ -ту. Так как — ^ —j— при к е N, то,
используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получа-
получаем хп < 1 + ^2 ^к~[ = ! + 1 _ 1 J = 3 - ^—[. Следовательно,
т. е. {жп} — ограниченная последовательность. По теореме 1 сущест-
существует lim xn. Этот предел обозначается буквой е. Таким образом,
п—>-оо
lim fl + -)n = e.	A8)
п—>-оо V	77-/

54	Гл. П. Предел последовательности
Число е является иррациональным, оно служит основанием нату-
натуральных логарифмов и играет важную роль в математике. Справед-
Справедливо приближенное равенство
е « 2,718281828459045.
У п раж не н ие 3. Доказать, что lim п	 = 0.
Упражнение 4. Доказать, что последовательность {жп}, заданная
при п G А/ формулой xn+i = д/а + хп и условием xi = л/а, сходится, и найти
ее предел.
Упражнение 5. Доказать, что последовательность {хп}, заданная
при х G А/ рекуррентной формулой жп+1 = жпB — жте) и условием х\ = а,
где 0 < а < 1, сходится, и найти ее предел.
4. Теорема Кантора о вложенных отрезках. Назовем по-
последовательность отрезков Аь А2,..., Ап,..., где An = [an,bn], стяги-
стягивающейся, если выполнены следующие условия:
а)	каждый последующий отрезок принадлежит предыдущему, т. е.
Vn е N -> Ап+1 С Ап;	A9)
б)	длина n-го отрезка Ап стремится к нулю при п ->• оо, т. е.
lim (Ъп - ап) = 0.	B0)
п—уоо
Условие A9) означает, что
^1 $ CL2 $ ... $ Cin ^ Bп+1 $ ••• $ Ьп+1 $ Ьп $ ••• $ ^2 $ 01-	(^lj
Теорема 2 (Кантора). Е'сли последовательность отрезков явля-
является стягивающейся, то существует единственная точка, принад-
принадлежащая всем отрезкам этой последовательности.
О а) Существование. Из условия B1) следует, что
Vn G Л/ Vm G Л/ -^ ап^Ьт.	B2)
По теореме об отделимости числовых множеств (§ 2, теорема 2)
из B2) заключаем, что существует sup{an} = с, причем
Vn G А/ ->• an ^ с ^ Ьп,
т. е. существует точка с, принадлежащая всем отрезкам стягиваю-
стягивающейся системы {Ап}.
б) Единственность. Пусть существуют две различные точки
с и с'\ принадлежащие всем отрезкам последовательности {Ап}, т. е.
с е Ап и с' е Ап при любом п е N. Так как с ф с', то либо с < с', либо
с' < с. Пусть, например, с < с'. Тогда ап ^ с < с' ^ Ъп при любом n G А/,
откуда по свойствам неравенств Ъп — ап ^ с' — с = а > 0 при любом
п е А/, что противоречит условию B0). Итак, а = 0, т. е. с' = с. •
Упражнение 6. Доказать, что если выполнены условия B0) и B1),
то последовательности {ап} и {6П} являются сходящимися, причем
lim ап = lim Ъп = с, где с = sup{an} = inf {bn}.

§ 7. Подпоследовательности. Частичные пределы	55
§ 7. Подпоследовательности. Частичные пределы
1. Подпоследовательность. Пусть задана последовательность
{хп}. Рассмотрим строго возрастающую последовательность {n/J на-
натуральных чисел, т. е. такую, что
П\ < П2 < ... < Пк < ...
Тогда последовательность {yk}, где у\~ — хПк при к Е А/, называет-
называется подпоследовательностью последовательности {хп} и обознача-
обозначается {хПк}. Например, последовательность нечетных натуральных
чисел 1, 3, 5, 7, 9, ..., взятых в порядке возрастания, является подпо-
подпоследовательностью последовательности натуральных чисел 1, 2, 3, ...,
а последовательность 3, 5, 1, 9, 11, 7, ... уже не является подпоследо-
подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
Согласно определению подпоследовательность {хПк} образована из
членов исходной последовательности {жп}, причем порядок следова-
следования членов в подпоследовательности такой же, как и в данной по-
последовательности {хп}. В записи {хПк} число к означает порядковый
номер члена последовательности хП1,хП2,..., а п/. — номер этого чле-
члена в исходной последовательности. Поэтому Пк ^ к, откуда следует,
что nk —> оо при к —> оо.
Введем теперь понятие частичного предела. Пусть {хПк} — под-
подпоследовательность последовательности {жп}, и пусть существует ко-
конечный или бесконечный lim хПк = а. Тогда а называют частичным
к—>-оо
пределом последовательности {хп}. Например, последовательность
{(—1)п} имеет два частичных предела, а именно —1 и 1. Последо-
Последовательность {1 + (—1)пп} имеет два частичных предела, а именно О
И +00.
Если {хп} — ограниченная последовательность, a L — множество
всех ее частичных пределов, то числа supL и inf L называют соот-
соответственно верхним и нижним пределом этой последовательности и
обозначают соответственно символами lim xn и lim xn.
7WOO	п^оо
	Например, для последовательности 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, ... имеем
lim xn = 3, lim xn = 1.
7WOO	п^ж
Упражнение 1. Доказать, что если некоторая подпоследователь-
подпоследовательность {хПк} монотонной последовательности {хп} сходится и lim хПк = а,
к—^оо
то существует lim xn = а.
п—^оо
Упражнение 2. Доказать, что если последовательность имеет предел,
то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел.
Упражнение 3. Привести пример неограниченной последователь-
последовательности:
а)	не имеющей конечных частичных пределов;
б)	имеющей конечное число конечных частичных пределов;

56	Гл. П. Предел последовательности
в) имеющей бесконечно много частичных пределов.
Упражнение 4. Привести пример последовательности такой, что:
а)	ее частичными пределами являются все члены данной последова-
последовательности;
б)	каждое вещественное число — ее частичный предел.
2. Существование частичного предела у ограниченной
последовательности.
Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной пос-
последовательности можно выделить сходящуюся подпоследователь-
подпоследовательность.
О Пусть {хп} — ограниченная последовательность, тогда все члены
последовательности принадлежат некоторому отрезку, т. е.
За, b: VnG N ^ хп е А = [а,Ъ].	A)
Разобьем отрезок А = [а, Ь] пополам точкой а7. Тогда по крайней
мере один из отрезков [a,d], [d,b] содержит бесконечное число членов
последовательности {хп}. Если оба отрезка обладают этим свойством,
возьмем, например, правый отрезок (и будем так поступать в даль-
дальнейшем). Выбранный отрезок, содержащий бесконечное число членов
данной последовательности, обозначим Ai = [ai,bi], его длина равна
l	Ь — а
Разделив отрезок Ai пополам, выберем указанным выше способом
из двух получившихся отрезков отрезок А2 = [^2,^2], содержащий
бесконечное число членов последовательности {хп}.
Продолжая эти рассуждения, получим последовательность {Ап =
= [an,frn]} отрезков таких, что:
1)	Ai D A2 D ... D An D An+i D ...;
2)	Ъп- ап = —— -)> 0 при n ^ оо.
Следовательно, {Ап} — стягивающаяся последовательность от-
отрезков. По теореме Кантора существует единственная точка с, при-
принадлежащая всем отрезкам, т. е.
Зс: \ZkeN ^се Ак.	B)
Покажем, что найдется подпоследовательность {хПк} последова-
последовательности {хп} такая, что
lim хПк = с.	C)
к—уоо
Так как отрезок Ai содержит бесконечное число членов последо-
последовательности {жп}, то
Зщ е N: хП1 е Аь

§8. Критерий Коши сходимости последовательности	57
Отрезок А2 также содержит бесконечное число членов данной после-
последовательности, и поэтому
Зп2 > п\\ хП2 G А2.
Вообще,
\fk е N Зпк: хПк е Д/е, где п^ < п2 < ... < пк-\ < пк.
Следовательно, существует подпоследовательность {хПк} последова-
последовательности {хп} такая, что
\/keN^ak <^хПк ^Ък.	D)
Условия B) и D) означают, что точки с и хПк принадлежат отрезку
Ак = [ак,Ьк], и поэтому расстояние между ними не превосходит дли-
длины отрезка Ак, т. е.
\хПк ~с\^Ьк-ак = —^.	E)
Так как I — > — бесконечно малая последовательность (§ 4, при-
пример 2, в)), то из E) следует, что справедливо утверждение C). •
Замечание. Теорему Больцано-Вейерштрасса можно сформулиро-
сформулировать так: любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один час-
частичный предел.
Упражнение 5. Показать, что всякая неограниченная последователь-
последовательность имеет частичный предел, равный оо.
Упражнение 6. Доказать, что для того, чтобы а, где а — число или
один из символов +оо, —оо, было частичным пределом последовательнос-
последовательности, необходимо и достаточно, чтобы в любой окрестности а содержалось
бесконечное число членов этой последовательности.
§ 8. Критерий Коши сходимости последовательности
1. Фундаментальная последовательность. Последователь-
Последовательность {хп} называют фундаментальной, если она удовлетворяет усло-
условию Коши: для каждого е > 0 существует такое натуральное число п?,
что для любого п ^ п? и любого т ^ п? справедливо неравенство
\хп — хт\ < г. Кратко это условие можно записать так:
\/г > 0 Зп? : Vn ^ n? Mm ^ п? —> \хп — хш\ < е,	A)
или в другом виде:
\/г > 0 Зп? : Vn ^ n? \/p G А/ —У \хп+р — хп\ < г.
Докажем, что фундаментальная последовательность является ог-
ограниченной.
О Пусть г = 1, тогда согласно условию Коши A) найдется номер п0
такой, что для всех п ^ по и для всех т^по выполняется неравенство
\хп - хт\ < 1, и, в частности, \хп - хПо\ < 1.

58	Гл. П. Предел последовательности
Так как \хп\ = \(хп - хПо) + жПо| ^ |жПо| + \хп - хПо\ < \хПо\ + 1 для
всех п ^ по, то при всех п Е А/ справедливо неравенство \хп\ < С, где
С = max(|xi|,..., |xno_i|, |жПо| + 1). Это означает, что {хп} — ограни-
ограниченная последовательность. •
Упражнение 1. Доказать, что произведение двух фундаментальных
последовательностей есть фундаментальная последовательность.
2. Необходимое и достаточное условие сходимости после-
последовательности.
Теорема (критерий Коши). Для того чтобы последовательность
имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была
фундаментальной.
О Необходимость. Пусть последовательность {хп} имеет конеч-
конечный предел, равный а. По определению предела
\/г > О 3N? : \/р ^ N? -^ \хр - а\ < |.	B)
Полагая в B) сначала р = п, а затем р = т и используя неравенство
для модуля суммы (разности), получаем
Хп ~ Хт\ = \(хп ~ а) - (хт ~ п)\ ^ \хп ~ п\ + \хт ~ п\ < | + | = Е.
Следовательно, для любого п ^ N? и для любого т ^ N? выполняется
неравенство \хп - хш\ < г, т. е. выполняется условие A) при п? = N?.
Достаточность. Пусть {хп} — фундаментальная последова-
последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. По определе-
определению фундаментальной последовательности
Vs > 0 Зп? : Уп^п? Мт^п?^ \хп - хт\ < |.	C)
Так как фундаментальная последовательность {хп} является ограни-
ограниченной, то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходя-
сходящуюся подпоследовательность {хПк}. Пусть ее предел равен а, т. е.
lim хПк = а.	D)
к—too
Покажем, что число а является пределом исходной последовательнос-
последовательности {хп}. По определению предела D)
Vs > 0 Зк?: Ук^к? -+ \хПк - а\ < |.	E)
Пусть N? = max (п?, к?). Фиксируем в E) номер n/. ^ N? (такой
номер найдется, так как пи ->• оо при к ->• оо). Тогда при т = пи и
при всех п ^ N? в силу C) выполняется неравенство
|.	(б)
Из E) и F) следует, что при всех п ^ N? справедливо неравенство
- I < - + - —
т. е. lim xn = а. •
\хп - а
— | \%п %г>

Упражнения к главе II	59
Пример. Доказать, что последовательность {жп}, где
расходится.
Л Последовательность {хп} расходится, если не выполняется усло-
условие Коши A), т. е.
Зг0 > 0: Vfc Е N Зп ^ к Зт ^ к: \хп — хт\ ^ г0.	G)
Пусть задано любое к Е А/, положим п = 2&, т = к. Тогда
|ЖП - Хт\ — \%2к - Хк\ = , 1 + 7 , 9 + ••• + ^Г ^ -^Г,к = -.
Таким образом, условие G) выполняется при во = -, и в силу крите-
рия Коши последовательность {жп} расходится. А
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
1.	Найти lim xn, если:
п—^оо
3)^ = 2,343^34; б) Жгг = ^^;
v _ (Зп + 2L + (п - ЗL	.	^	1
В^ Хп ~ Bп2 + ЗJ + (п2 + IJ ' г) ж^ - 2^ fc(fc + l)(fc + 2)"
2.	Доказать, что если последовательность {хп} сходится, а последова-
последовательность {уп} расходится, то при 6/0 последовательность {ахп +Ьуп}
расходится.
3.	Доказать, что если lim х2к = a, lim x2k-i = 6, где а / Ъ, то последо-
вательность {ж/е} расходится.
4.	Привести пример ограниченных последовательностей {жп} и {уп},
где уп ф 0 при всех n G А/, таких, что последовательность < — > не огра-
ничена.
5.	Используя логические символы, сформулировать утверждения:
а)	последовательность {хп} не ограничена сверху;
б)	последовательность не является убывающей.
6.	Пусть существует число С > 0 такое, что \уп\ ^ С для всех n E А/,
а последовательность {жп} ограничена. Доказать, что последовательность
— > ограничена.
Уп J
7.	Доказать, что сходящаяся последовательность {хп} достигает хо-
хотя бы одной из своих точных граней, верхней sup{xn} = jM или нижней
inf{xn} = ?тг, т. е. существует номер к такой, что Хк = -Ж, или существует
номер р такой, что хр = т.
8.	Доказать, что если lim xn = +оо, то последовательность {хп} до-
п—)-оо
стигает своей точной нижней грани.

60	Гл. П. Предел последовательности
9.	Доказать, что если lim ж„ = оои существует число С > 0 такое, что
п—^оо
для всех п ^ по выполняется неравенство \уп\ ^ С, то lim xnyn = оо.
п—)-оо
10.	Доказать, что всякая монотонная последовательность имеет только
один частичный предел.
11.	Доказать, что последовательность хп является фундаментальной
тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:
Vs > О 3N: Vn > N ->> \хп - xN\ < e.
12.	Доказать, что последовательность {хп} сходится, если сходятся ее
подпоследовательности {x2k}, {x2k-i} и {х^к}-
13.	Доказать, что если {хп} — монотонная последовательность и
п
lim хп = 0, то подпоследовательность {уп}, где уп = \ (—1) -1Хк, схо-
fc = l
дится.
14.	Привести пример расходящейся последовательности {хп} такой, что
для любого р G А/ выполняется условие
lim (xn+p - жте) = 0.
гг—)-оо
15.	Привести пример сходящейся последовательности {хп} такой, что
lim n(xn+i — хп) = оо.
гг—^оо
16.	Доказать, что существует конечный lim xn, если lim (xn+i —
гг—^оо	гг—^оо
— хп) = 0 и для любого п G А/ выполняются условия
|жп+2 — Жте+1| ^ |жте+1 — Хп\,
(хп+2 — Xn+l)(xn+l — Хп) ^ 0.
17.	Доказать, что последовательность {хп} сходится, если сущест-
существует число С > 0 такое, что для всех п G Л/ выполняется неравенство
к=1
18.	Доказать, что последовательность {хп}, где
к + п
к=1
имеет предел а такой, что 1/2 < а < 1.
19.	Последовательность {жп} задана при всех п G А/ рекуррентной фор-
формулой жп+1 = 1 — ж^ и условием xi = а, где 0 < а < 1. Доказать, что эта
последовательность сходится, и найти ее предел.
20.	Пусть х\ = 1, Ж2 = Ъ, хп = ^—-—Хп~1 при n ^ 3. Доказать, что
а+ 26
lim жп = —-—.
п—)-оо	о
21.	Доказать, что если хп > 0 при nG Л/и lim жп = а, то
п—)-оо
lim y/x\X2--- xn — CL-
гг—^оо
22. Доказать, что если хп > 0 при nG Л/и lim —^— = а, то
гг-^оо Жп_1
lim л/жТГ = а.

ГЛАВА III
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
§ 9. Числовые функции
1.	Понятие числовой функции. Пусть дано числовое мно-
множество X С R. Если каждому х Е X поставлено в соответствие по
некоторому правилу число у, то говорят, что на множестве X оп-
определена числовая функция.
Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторым
символом, например, /, и пишут
y = f(x), хеХ,	A)
а множество X называют областью определения функции и обознача-
ют ?>(/), т. е. X = D(f).
В записи A) х часто называют аргументом или независимой пере-
переменной, ay — зависимой переменной. Числа х из множества D(f) на-
называют значениями аргумента. Число уо, соответствующее значению
хо е D(f), называют значением функции при х = ж0 (или значением
функции в точке хо) и обозначают /(жо) или f(x)\x=XQ. Совокупность
всех значений, которые функция принимает на множестве D(f), на-
называют множеством значений функции и обозначают E(f). Заме-
Заметим, что если уо Е E(f), то существует по крайней мере одно число
хо е D(f) такое, что f(x0) = у0.
Функцию часто обозначают только символом (/, (р, F и т. д.),
который определяет правило (закон) соответствия. Для обозначения
функции используются также записи вида х н-» /(ж), /: X —У Y. Под
словом "функция" часто понимают зависимую переменную у, значе-
значения которой определяются значениями независимой переменной х и
правилом /, или даже само это правило. Термин "функция" имеет
синонимы: отображение, преобразование, морфизм. Например, гово-
говорят, что функция / отображает множество X = D(f) на множест-
множество Y = E(f), и называют множество Y образом множества X при
отображении /. Если E(f) С Е\, то говорят, что функция / отоб-
отображает X в Ei.
2.	Равенство функций. Операции над функциями. Функ-
Функции fug называют равными или совпадающими, если они имеют
одну и ту же область определения X и для каждого х е X значения
этих функций совпадают. В этом случае пишут f(x) = g(x), x G X
или / = д.

62	Гл. III. Предел и непрерывность функции
Например, если /(ж) = л/ж2", ж Е R, и д(ж) = |ж|, ж Е /?, то / = д,
х
так как при всех ж Е R справедливо равенство л/ж2 =
Если Е' С D(f), то функцию д(х) = /(ж), ж Е Е?', называют q/-
жением функции / на множество Е'. Например, если Е?' = [0,+оо),
то функция д(ж) = ж, ж Е Е', является сужением функции /(ж) = |ж|,
ж Е R, на множество Е'.
Если равенство /(ж) = #(ж) верно при всех ж Е Е', где Е' С ?>(/) П
П D(g), т. е. сужения функций / и g на множество Е' совпадают, то
в этом случае говорят, что функции fug равны на множестве Е'.
Например, функции л/х2 и ж равны на множестве Е' = [0,+оо).
Естественным образом для функций вводятся арифметические
операции. Пусть функции / и д определены на одном и том же мно-
множестве Е. Тогда функции, значения которых в каждой точке ж Е
Е Е равны /(ж) +д(х), /(ж) -#(ж), f(x)g(x), f(x)/g(x) (д(х) ф 0 для
всех ж Е Е), называют соответственно суммой, разностью, произведе-
произведением и частным функций /иди обозначают / + g, f - g, fg, f/g.
Введем понятие сложной функции. Пусть функции у = ip(x) и
z = f(y) определены на множествах X и Y соответственно, причем
множество значений функции ip содержится в области определения
функции /. Тогда функцию, принимающую при каждом ж Е X значе-
значение F(x) = f((p(x)), называют сложной функцией или суперпозицией
(композицией) функций (р и / и обозначают / о <р Например, функция
z = л/4 - ж2, ж Е [-2,2], является композицией функций у = 4 - ж2,
ж Е [—2, 2], и г = д/?/, ^/ Е [0, +оо). Эта функция относится к совокуп-
совокупности элементарных функций, т. е. функций, которые можно полу-
получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа
арифметических операций и композиций. К основным элементарным
функциям относят постоянную, степенную, логарифмическую, три-
тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Напри-
Например, элементарными являются функции:
а)	линейная у = ах + Ъ, а ф 0;
б)	квадратичная у = ах2 + Ъх + с, а ф 0;
в)	многочлен степени п, т. е. функция 2/ = Рп(х), где Рп(х) =
= Bпж Н~ BП_1Ж Н~ ... -\- а\х -\- ао, ап ф 0^
г)	рациональная функция, т. е. функция вида у =	, где Рп
и Qm — многочлены степени пит, т/0. т
3. Способы задания функции. Числовые функции чаще всего
задаются при помощи формул. Такой способ задания называют ана-
аналитическим. Например, функции у = ж2, у = |ж|3//2, у = sin3 Зж заданы
на множестве R аналитически.
Если числовая функция / задана формулой и не указана область ее
определения D(f), то принято считать, что D(f) — множество всех
тех значений аргумента, при которых эта формула имеет смысл, и ре-
результатом каждой операции, указанной в формуле, является вещест-

9. Числовые функции
63
венное число. Например, если /(ж) = л/9 — ж2, то D(f) = [—3, 3], а если
/(ж) = v^lgsinx, то D(f) — множество корней уравнения sin ж = 1, т. е.
множество чисел ж/. = тг/2 + 2тг&, где к е Z.
Следует отметить, что функция может быть задана различными
формулами на разных промежутках. Например, функция
{-ж,	если х < О,
ж2,	если 0 ^ ж ^ 1,
2 — д/ж, если ж > 1,
задана аналитическим способом на R с помощью трех различных
формул.
Иногда функциональная зависимость описывается с помощью таб-
таблицы, содержащей лишь некоторые значения аргумента и соответ-
соответствующие значения функции. Для значений аргумента, не содержа-
содержащихся в таблице, значения функции обычно находят приближенно.
На практике часто соответствие между значениями аргумента и
значениями функции задается с помощью рисунка. Например, в меди-
медицине при изучении работы сердца получают электрокардиограммы —
кривые, отражающие изменение с течением времени электрических
импульсов в мышце сердца. В практике физических измерений функ-
функциональная зависимость часто задается с помощью эскиза графика,
снимаемого, например, с экрана осциллографа.
4. График функции. Графиком функции у = /(ж), ж е ?>(/), в пря-
прямоугольной системе координат Оху называют множество всех точек
плоскости с координатами (ж,/(ж)), где ж Е D(f).
Для каждого жо Е D(f) прямая ж = жо, параллельная оси Оу, пере-
пересекает график функции у = /(ж), ж Е D(f), в одной точке Мо(жо,^/оM
где уо = /(жо) — значение функции / при ж = жо. Значение ж = а,
при котором /(а) = 0, называют нулем функции /(ж). Если ж = а —
нуль функции /, то график функции у =
= /(ж) пересекает ось Ох при ж = а, т. е.
в точке М(а,0).
Строго говоря, следует различать гра-
график функции, точное определение кото-
которого дано выше, и эскиз части графика,
принимаемый нередко за график.
Пример 1. Построить график функ-
функции у = Е(х), где Е(х) = [ж] — целая
часть числа ж (наибольшее целое число,
не превосходящее ж).
Л Пусть ж G [п,п + 1), где п е Z, тогда
Е(х) = п. График функции у = Е(х) изо-	Рис 91
бражен на рис. 9.1. Стрелка на графике
указывает на то, что точка в ее острие не принадлежит графику. А
У
3--
2--
I-1
-3 -2 -1
—I	1	\-
12 3
-1
-¦-2
- -3

64
Гл. III. Предел и непрерывность функции
Пример 2. Построить график функции у = sign sin ж, где
{1, если ж > О,
О, если ж = О,
— 1, если ж < 1.
Л Если ж Е (—тг + 2&7Г, 2&тг), где к Е Z, то sin ж < 0, и поэтому
sign sin ж = — 1.
Если ж Е B&тг,7г + 2&тг), то sin ж > 0, и sign sin ж = 1. Если ж = &тг,
где & Е Z, то у = 0. График функции изображен на рис. 9.2. А
Уп
у=sign sin x
-2тг
-1
-+-
Зтг
Рис. 9.2
График функции 2/ = f(x) иногда можно получить (см. таблицу)
преобразованием известного графика другой функции у = д(х).
Функция ?/ =
у = д{х) л
у = д(х-
у = д(-х)
у = -д(х)
у = Вд(х)
У = д(кх)
= /(я)
-А
а)
Преобразование графика функции у = д(х)
Сдвиг (параллельный перенос) вдоль оси ординат на А
Сдвиг вдоль оси абсцисс на а
Симметрия относительно оси ординат
Симметрия относительно оси абсцисс
Умножение каждой ординаты на В, где В ф 0
Деление каждой абсциссы на к, где к ф 0
Приведем примеры применения преобразований, указанных в
таблице.
Пример 3. График квадратичной функции
у = ах2 + Ьх + с, а ф 0,	B)
можно получить сдвигом графика функции у = ах2 вдоль оси Ох
Ук	Ъ	п	Ъ2
на	и вдоль оси Оу на с	.
2а	4а
Л Действительно, выделяя полный квадрат, по-
получаем
/	h \ 2	h2
ах2 + Ьх + с = а(х -\	) + с — —.
V 2а/	4а
Поэтому графиком квадратичной функции B) яв-
является парабола, получаемая сдвигом параболы
у = ах2. А
Например, график функции у = ж2 — 2ж, изоб-
изображенный на рис. 9.3, можно получить сдвигом
Рис. 9.3
графика у — х2 вдоль оси Ох на 1 и вдоль оси Оу на —1, так как
ж2 - 2ж = (ж - IJ - 1.

9. Числовые функции
65
Пример 4. График дробно-линейной функции
ах -\-Ъ	. ~	т 1 i г\
y	с^0 odЪсфЪ
можно получить преобразованием графика функции вида у = -.
х
Л В самом деле,
(А h_ad
с)	с
C)
+ Ъ
ос — аа 1
cx
¦hi)
откуда следует, что график функции C) можно получить сдвигом гра-
графика гиперболы у = -, где к = 	-—, вдоль оси Ох на —
X	С1	С
и вдоль оси ординат на -. А
В частности,
3-2х
если у =
( )
= —2 Н
Поэтому гра-
граж + 1
фик этой функции можно по-
получить сдвигом графика ги-
гиперболы у = — вдоль оси Ох
на —1 и вдоль оси Оу на
-2 (рис. 9.4). Отсюда следу-
следует, что график функции у =
3-2ж
= 	 симметричен относи-
относительно точки (-1,-2).
Пример 5. Построить гра-
график функции у = л/—х.
Л График функции у = д/~
-Ц
у=-
о
х+1
-2
Рис. 9.4
можно получить из графика функции
О
Рис. 9.5
Рис. 9.6
у = у/х с помощью симметрии относительно оси ординат (рис. 9.5). А
Отметим еще, что график функции у = \f(x)\ можно получить из
графика функции у = f(x) следующим образом:
а) часть графика функции /(ж), лежащую выше оси Ох и на этой
оси, оставить без изменения;

66
Гл. III. Предел и непрерывность функции
б) часть графика функции /(ж), лежащую ниже оси Ох, симмет-
симметрично отразить относительно оси Ох.
Пример 6. Построить график функции у = \х2 — 2х\.
Л Применяя указанный выше прием, строим график этой функции
(рис. 9.6) с помощью графика функции у — х2 — 2х (рис. 9.3). А
5. Четные и нечетные функции. Функция /, определенная на
множестве X, называется:
а)	четной, если для любого ж Е X выполняются условия —ж Е X
и f(-x)=f(x);
б)	нечетной, если для любого ж е X выполняются условия -ж е X
Четными являются, например, следующие функции: у — ж4, у —
sin х	1
= lg|x|, у — 	, а нечетными — функции у — —,
X
= cos-, y
у — sin5 2ж,
= x2tg—, у = arcsin (sin ж).
График четной функции симметричен относительно оси ординат, а
-1--
Рис. 9.7
график нечетной функции симметричен от-
относительно начала координат.
Пример 7. Построить график функ-
функции у = х2 — 2\х\.
Л Если х ^ 0, то у = х2 - 2х (см. рис. 9.3).
Так как х2 — 2\х\ — четная функция, то для
построения части графика этой функции,
соответствующей значениям х ^ 0, следу-
ет симметрично отразить график у = х2 — 2ж, х
оси Оу (рис. 9.7). А
На рис. 9.8 изображен график нечетной функции у = х3.
6. Ограниченные и неограниченные функции. Функцию /
называют ограниченной снизу на множестве X С ?>(/), если сущест-
существует число С\ такое, что для любого х G X выполняется неравенство
/(aO^Ci.
Используя символы 3 и V, это определение можно записать так:
3Ci: MxeX ^ f{x) ^ d.
0, относительно

9. Числовые функции	67
Аналогично функцию / называют ограниченной сверху на множест-
множестве X С ?>(/), если
()
Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве X, назы-
называют ограниченной на этом множестве.
Функция / является ограниченной на множестве X тогда и только
тогда, когда
3G > 0: Уж е X -+ |/(ж)| <С С.	D)
Если неравенство |/(ж)| ^ С выполняется для всех ж Е D(f), говорят,
что функция f ограничена.
Геометрически ограниченность функции / на множестве X озна-
означает, что график функции у = /(ж), ж Е X, лежит в полосе —С ^у ^С.
Например, функция у = sin -, определенная при ж Е /?, ж ф 0, огра-
ограничена, так как	х
sin - ^ 1.
х
Функция / не ограничена на множестве X, если условие D) не
выполняется, т. е.
УС>0 3xceX: \f(xc)\ >C.	E)
Если X = D(f) и выполнено условие E), то говорят, что функция /
не ограничена.
Пример 8. Доказать, что функция у = — не ограничена.
Л Функция — определена при ж G /?, ж ф 0. Пусть С — любое по-
х
ложительное число, и пусть хс = -^, тогда у(хс) = 2G > G, т. е.
выполняется условие E). А
Пусть F — множество значений, которые функция / принимает
на множестве X С D(f). Тогда точную верхнюю грань множества Y
называют точной верхней гранью функции / на множестве X и обо-
обозначают sup /(ж), а точную нижнюю грань множества Y — точной
хех
нижней гранью функции / на множестве X и обозначают inf f(x).
хех
Если X = D(f), то в этих определениях указание на множество X
опускают.
Пусть существует точка х0 е X С D(f) такая, что для всех х е X
выполняется неравенство f(x) ^ f(xo). Тогда говорят, что функция /
принимает в точке хо наибольшее (максимальное) значение на мно-
множестве X и пишут /(жо) = max/(ж). В этом случае sup /(ж) = /(ж0).
х^х	хех
Аналогично, если Зжо GlC D(f): Уж G X —У /(ж) ^ /(жо), то гово-
говорят, что функция / принимает в точке ж0 наименьшее (минимальное)
значение на множестве X, и пишут /(жо) = гшп/(ж). В этом случае
хех

Гл. III. Предел и непрерывность функции
inf /(ж) =/Оо).
Максимальные и минимальные значения называют экстремаль-
экстремальными.
Например, если /(ж) = sin ж, то sup/(ж) = max/(ж) = /(ж/.), где
хк = - + 2тг&, keZ, inf /(ж) = гшп/(ж) = f{xk), где ж*. = -- + 2тг&,
z	ж^/?	xeR	Л
ке Z.
7. Монотонные функции. Функцию / называют возрастающей
(неубывающей) на множестве X С D(f), если для любых точек х\ Е
G I, ^2 G X таких, что х\ < Ж2, выполняется неравенство j[x\) ^
^ f(x2)- Если это неравенство является строгим (f(xi) < /(#2)), то
функцию / называют строго возрастающей на множестве X.
Таким образом, функция / называется:
а)	возрастающей (неубывающей) на множестве X, если
Уж! G X Уж2 G X: Ж1 < ж2 ^ f(x1) ^ /(ж2);
б)	строго возрастающей на множестве X, если
Уж! G X Уж2 G X: Ж1 < ж2 -)> /(ж:) < /(ж2).
Аналогично функция / называется:
а) убывающей (невозрастающеи) на множестве X, если
Уж1 е X Уж2 е X: Xl < ж2 -* f(Xl)
б) строго убывающей на множестве X, если
Уж1 G X Уж2 G X: Ж1 < ж2 ^ /(ж:) > /(ж2).
Убывающие и возрастающие функции объединяют названием мо-
монотонные, а строго возрастающие и строго убывающие — названием
строго монотонные.
Если X = ?>(/), то в этих определениях указание на множество X
обычно опускают.
Пример 9. Доказать, что функция / строго возрастает на мно-
множестве X, если:
а)	/(ж) =ж3, Х = /?;
б)	/(ж) =sinx, X= [- |,|].
Л а) Если 0 ^ Ж1 < ж2, то х\ < х\, а если Ж1 < ж2 ^ 0, то 0 ^ -ж2 <
< -Ж1, откуда
(-Ж2K < (-Ж!K.	F)
Так как ж3 — нечетная функция, то неравенство F) можно за-
записать в виде — х\ < —ж^, откуда х\ < х\. Наконец, если х\ < 0, а
ж2 > 0, то ж3 < х\. Таким образом, неравенство ж3 < х\ справедливо
для любых х\ G /?, ж2 G R таких, что х\ < ж2. Поэтому ж3 — строго
возрастающая на R функция.

9. Числовые функции	69
б) Пусть — - ^ х\ < Х2 ^ -; тогда
sin X2 — sin х\ — 2 sin	cos	 > О,
~	Х2 — Х\	7Г	7Г	Х2 + Ж1	7Г
так как о < _^_ <	<	<
^ < , < ^ <
Таким образом, неравенство sinx2 > sinxi выполняется для
Ж1,Ж2 G	, — , если Ж2 > х\. Следовательно, функция sin ж строго
возрастает на отрезке	, — . А
8.	Периодические функции. Число Т ф 0 называют периодом
функции /, если для любого х G D(f) значения х + Т и х — Т также
принадлежат D(f) и выполняется равенство
f(x-T) = f(x) = f(x + T).
Функцию, имеющую период Т, называют периодической с перио-
периодом Т.
Отметим, что если Т — период функции /, то каждое число ви-
вида пТ, где п G Z, п ф 0, также является периодом этой функции.
Примерами периодических функций могут служить тригономет-
тригонометрические функции. При этом число 2тг — наименьший положитель-
положительный период функций sin ж, cos ж, а тг — наименьший положительный
период функций tgx и ctgx.
Пример 10. Доказать, что функция f(x) = sin ах, где а > 0, явля-
является периодической, и найти ее наименьший положительный период.
Л Предположим, что / — периодическая с положительным перио-
периодом Г функция. Тогда для любых х е R должно выполняться ра-
равенство
sin ах = sma(x + Т),	G)
откуда при х = 0 получаем
sinaT = 0, Г=—, где keN.
а
Таким образом, положительными периодами функции sin ах могут
быть только числа ктг/а, где к G N. Заметим, что число тг/а не яв-
является периодом функции sin ах, так как в противном случае при
всех х G R выполнялось бы равенство sin ах = sin а(х + тг/а) =
= sinGr + ах) = — sin ах, т. е. s'max = 0, что невозможно.
Число 2тг/а — период функции sin ах, так как при любых х е R
справедливо равенство sin ах = sina(x + 2тг/а).
Таким образом, 2тг/а — наименьший положительный период
функции s'max. A
9.	Обратная функция. Пусть задана числовая функция у = f(x),
х е D(f). Тогда каждому числу ж0 G D(f) соответствует единствен-
единственное число уо = /(жо) G E(f). Нередко приходится по заданному зна-
значению функции уо находить соответствующее значение аргумента,

70	Гл. III. Предел и непрерывность функции
т. е. решать относительно ж уравнение
fix) =2/0, yOeE(f).	(8)
Это уравнение может иметь не одно, а несколько и даже бесконечно
много решений. Решениями уравнения (8) являются абсциссы всех
точек, в которых прямая у = у0 пересекает график функции у = /(ж).
Например, если /(ж) = ж2, то уравнение
х2=Уо, Уо > 0,
имеет два решения: жо = у/уо и жо = — у/уо. Если /(ж) = sin ж, то
уравнение
sin ж = ?/о, Ы ^ 1,
имеет бесконечно много решений вида хп = (-1)пж0 + тгп, где п G Z,
жо — одно из решений этого уравнения.
Однако существуют функции, для которых уравнение (8) при каж-
каждом уо е E(f) однозначно разрешимо, т. е. имеет единственное ре-
решение жо G D(f). Этим свойством обладают, например, следующие
функции:
a) f(x) = Зх + 4, D(f) = R;
6)f(x)=x\ ?>(/) = /?;
в)/(Ж) = ±, D(f) = {xeR, x^O}.
X
Если функция / такова, что каждое значение уо G E(f) она прини-
принимает только при одном значении ж0 G ?>(/), то эту функцию называют
обратимой. Для такой функции уравнение
/О) = у
можно при любом у G E(f) однозначно разрешить относительно ж,
т. е. каждому у G E(f) соответствует единственное значение ж G D(f).
Это соответствие определяет функцию, которую называют обратной
к функции f и обозначают символом f~l.
Заметим, что прямая у = у0 для каждого уо G E(f) пересекает
график обратимой функции у = /(ж) в единственной точке (жо,2/о),
где /(ж0) =2/о-
Обозначая, как обычно, аргумент обратной функции буквой ж, а
ее значения — буквой у, обратную для / функцию записывают в виде
Для упрощения записи вместо символа j~x будем употреблять бук-
букву д.
Отметим следующие свойства, которые показывают, как связаны
данная функция и обратная к ней:
1) если д — функция, обратная к /, то и / — функция, обратная
к д; при этом
D(g)=E(f), E(g)=D(f),

9. Числовые функции
71
т. е. область определения функции д совпадает с множеством значе-
значений функции / и наоборот;
2)	для любого ж Е D(f) справедливо равенство
g(f(x)) = ж,
а для любого х Е E(f) справедливо равенство
f(g(x)) = ж;
3)	график функции у = д(х) симметричен графику функции у =
= /(ж) относительно прямой у = х;
4)	если нечетная функция обратима, то обратная к ней функция
также является нечетной;
5)	если / — строго возрастаю-
возрастающая (строго убывающая) функция, то
она обратима, причем обратная к ней
функция д также является строго воз-
возрастающей (строго убывающей).
Свойства 1) и 2) следуют непо-
непосредственно из определения обратной
функции, 4) и 5) — из определений об-
обратной и соответственно нечетной и
строго монотонной функции.
Рассмотрим свойство 3). Пусть
точка (жо,2/о) пРинаДлежит графику	Рис. 9.9
функции у = /(ж), т. е. у0 = /(ж0). Тогда ж0 = д(уо), т. е. точка (уо,хо)
принадлежит графику обратной функции д. Так как точки (жо,2/о) и
(уо,хо) симметричны относительно прямой у — х (рис. 9.9), то гра-
у = х
О
Рис. 9.10
\ У=-л
Рис. 9.11
фик функции у = д(х) симметричен графику функции у = /(ж) отно-
относительно этой прямой.
На рис. 9.10 изображены графики взаимно обратных функций у =
= ж2, ж ^ 0, и у = у/х, а на рис. 9.11 — графики взаимно обратных
функций у = ж2, ж ^ 0, и у = —у/х.
10. Неявные функции. Параметрически заданные функ-
функции. Пусть Е — множество точек М(х,у) плоскости Оху. Если каж-
каждой точке М G Е поставлено в соответствие по некоторому правилу

72
Гл. III. Предел и непрерывность функции
(закону) число z, то говорят, что на множестве Е задана числовая
функция от переменных х и у, и пишут z = f(x,y), (х,у) Е Е.
Например, объем конуса v есть функция от переменных г и h, где
г — радиус основания, h — высота конуса. Эта функция задается
формулой v = - 7rr2h.
о
Аналогично вводится понятие функции от трех и большего числа
переменных.
Пусть функция F(x,y) определена на некотором множестве точек
У *	плоскости. Рассмотрим уравнение
F(x,y) = 0.	(9)
Графиком уравнения (9) в пря-
прямоугольной системе координат на-
называют множество всех точек
плоскости, координаты которых
удовлетворяют этому уравнению.
Например, графиком уравнения
A0)
окружность
х2 + у2 - 1 = 0
Рис. 9.12
является единичная
(рис. 9.12).
Естественной является постановка вопроса о том, можно ли урав-
уравнение (9) однозначно разрешить относительно у, т. е. найти единст-
единственную функцию у = f(x) такую, что F(x, f(x)) = 0, где х принимает
значения из некоторого промежутка.
Обратимся к уравнению A0). Если |ж| > 1, то не существует зна-
значений у таких, что пара чисел (х,у) удовлетворяет уравнению A0).
Если |ж| ^ 1, то, решая это уравнение относительно у, получаем
(и)
Таким образом, если |ж| < 1, то из уравнения A0) у выражается
через х неоднозначно: каждому значению х соответствуют два раз-
различных значения у, а именно у\ = — л/1 — х2 и у<± = у/1 — х2 (у\ = у<±
при х = — 1 и х = 1).
Отсюда следует, что всякая функция у = /(ж), которая в точке
х е [-1,1] принимает либо значение з/ъ либ° значение у2, удовлетво-
удовлетворяет уравнению A0), т. е.
х2 + /2(х)-1 = о, хе [-1,1].
Например, функция у = /(ж), принимающая значение у\ при х G
е [—1,а), где —1 < а < 1, и значение у2 при х е [а, 1], удовлетворяет
уравнению A0). Меняя а, можно получить бесконечное множество
функций, удовлетворяющих на отрезке [—1,1] уравнению A0).

§10. Предел функции	73
Будем теперь рассматривать уравнение A0) в прямоугольнике
В этом случае существует единственная функция у = у\ — у/1 - ж2,
— 1 ^ х ^ 1, удовлетворяющая уравнению A0) и такая, что у Е [0,1].
Эту функцию называют неявной функцией, определяемой уравнени-
уравнением A0) в прямоугольнике К\.
Аналогично в прямоугольнике К\ — {(ж, у): —1^x^1,-1^2/^0}
неявная функция, определяемая уравнением A0), задается формулой
У = У2 = -л/1 -х2, -1 ^ х ^ 1.
Вернемся к уравнению (9). Пусть прямоугольник К = {(ж,2/):
\х — xq\ ^ а, |2/ — 2/о| ^ Ь} содержится в области определения функции
F(x,y), и пусть F(xo,yo) = 0. Если на отрезке А = [хо — а, хо + а]
существует единственная функция у = f(x) такая, что f(x) e
е [уо - Ь, уо + Ь] и
F(xJ(x)) =0, xG A,
то говорят, что уравнение (9) определяет в прямоугольнике К пере-
переменную у как неявную функцию переменной х.
Достаточные условия существования неявной функции и другие
вопросы, связанные с неявными функциями, рассматриваются в § 28.
Функция одной переменной может быть задана не только в явном
виде у = f(x) или неявно уравнением F(x,y) = 0, но также парамет-
параметрически. Этот способ задания состоит в следующем.
Пусть функции х = ip(t) и ijj(t) определены на некотором мно-
множестве Е, и пусть Ei — множество значений функции ip. Предполо-
Предположим, что функция if обратима на множестве Е, и пусть t = (p~l(x) —
обратная к ней функция. Тогда на множестве Е\ определена сложная
функция у — гр((р~1(х)) = /(ж), которую называют параметрически
заданной формулами (уравнениями) х = (p(t), у = ^(t).
Например, уравнения х = cos ?, у — sin ?, где te 0, ^ , определяют
параметрически заданную функцию у = /(ж). В данном случае t =
= arccosx, у = sin(arccosx) = л/1 — х2.
§ 10. Предел функции
1. Понятие предела. Важную роль в курсе математического
анализа играет понятие предела, связанное с поведением функции в
окрестности данной точки. Напомним, что ^-окрестностью точки а
называется интервал длины 26 с центром в точке а, т. е. множество
Us(a) = {х: \х - а\ < 6} = {х: а-6<х<а + 6}.
Если из этого интервала удалить точку а, то получим множество,
которое называют проколотой 6-окрестностью точки а и обознача-

74
Гл. III. Предел и непрерывность функции
ют Us (а), т. е.
пб(а) = {х: \х — а\ < 8, ж ф а\ — {ж: 0 <
х — а
Рис. 10.1
Предваряя определение предела функции, рассмотрим два при-
примера.
Пример 1. Исследуем функцию /(ж) =	— в окрестности точ-
X X
ки ж = 1.
Л Функция / определена при всех ж Е /?, кроме ж = 1, причем /(ж) =
= ж + 1 при ж ф 1. График этой функции изображен на рис. 10.1.
Из этого рисунка видно, что значе-
значения функции близки к 2, если значе-
значения ж близки к 1 (ж ф 1). Придадим
этому утверждению точный смысл.
Пусть задано любое число г > 0
и требуется найти число 8 > 0 та-
такое, что для всех ж из проколотой
(^-окрестности точки ж = 1 значения
функции /(ж) отличаются от чис-
числа 2 по абсолютной величине мень-
меньше, чем на г.
Иначе говоря, нужно найти чис-
число 8 > 0 такое, чтобы для всех ж Е
е Us (а) соответствующие точки графика функции у = /(ж) лежали в
горизонтальной полосе, ограниченной прямыми у = 2 — s и у = 2 + s
(см. рис. 10.1), т. е. чтобы выполнялось условие /(ж) Е U?{2). В данном
примере можно взять 8 = г.
В этом случае говорят, что функция /(ж) стремится к двум при ж,
стремящемся к единице, а число 2 называют пределом функции /(ж)
при ж ->• 1 и пишут lim /(ж) = 2 или
/(ж) ->• 2 при ж ->• 1. А
Пример 2. Исследуем функцию
{1 - ж, если ж < 0,
0,	если ж = 0,
1 — ж2, если ж > 0,
в окрестности точки ж = 0.
Л Из графика этой функции
(рис. 10.2) видно, что для любого г > 0
можно найти 8 > 0 такое, что для
всех ж Е Us@) выполняется условие
/(ж) Е U?(l). В самом деле, прямые
у = 1 + еиу = 1 — г пересекают гра-
Рис. 10.2	фик функции у = f(x) в точках, абс-
абсциссы которых равны х\ — —г, x<i — л/г. Пусть 8 — наименьшее из
чисел \xi\ и Ж2, т. е. 8 = min(e, v^)- Тогда если |ж| < 8 и ж ф 0, то
j 1
хгО
-1
-2
-3
\
\
1
г=1"ж2

§10. Предел функции	75
\f(x) — 1| < s, т. е. для всех ж Е Us(O) выполняется условие /(ж) Е
Е [4A). В этом случае говорят, что функция /(ж) стремится к еди-
единице при ж, стремящемся к нулю, и пишут
lim fix) = 1. А
ж—)-О
В первом примере функция не определена в точке х = 1, а во вто-
втором функция определена в точке х = 0, но значение функции в точке
х = 0 не совпадает с ее пределом при ж —у 0.
2. Два определения предела функции и их эквивалент-
эквивалентность.
а) Определение предела по Коши. Число А называется пределом
функции /(ж) в точке а, если эта функция определена в некоторой
окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, и
для каждого г > 0 найдется число S > 0 такое, что для всех ж, удов-
удовлетворяющих условию |ж — а| < S, ж/а, выполняется неравенство
|/(ж) — А| < е. В этом случае пишут lim /(ж) = А или /(ж) —>¦ А при
х—>а
х —у а.
С помощью логических символов это определение можно запи-
записать так:
{limf(x) = A}&Ve>0 35 >0: Уж: 0 < |ж - а\ < S -* |/(ж) - А\ < г,
ж—^а
или, используя понятие окрестности, в виде
{lim /(ж) = А} & Уг > 0 3<J > 0: Уж G 1^(а) ^ /(ж) G ?/е(А).
ж—>-а
Таким образом, число А есть предел функции /(ж) в точке а,
если для любой ^-окрестности числа А можно найти такую проко-
проколотую (^-окрестность точки а, что для всех ж, принадлежащих этой
(^-окрестности, соответствующие значения функции содержатся в
^-окрестности числа А.
Замечание 1. В определении предела функции в точке а предполага-
предполагается, что хфа. Это требование связано с тем, что точка а может не принад-
принадлежать области определения функции. Отсутствие этого требования сдела-
сделало бы невозможным использование предела для определения производной,
так как производная функции /(ж) в точке а — это предел функции
Пх) =
х — а
которая не определена в точке а.
Отметим еще, что число ?, фигурирующее в определении предела, за-
зависит, вообще говоря, от е, т. е. 6 = S(e).
б) Определение предела по Гейне. Число А называется пределом
функции /(ж) в точке а, если эта функция определена в некоторой
проколотой окрестности точки а, т. е. 3So > 0: Udo(a) С D(f), и для
любой последовательности {жп}, сходящейся к а и такой, что хп е
G Uso(a) для всех п G А/, соответствующая последовательность значе-
значений функции {f(xn)} сходится к числу А.

76
Гл. III. Предел и непрерывность функции
Пример 3. Пользуясь определением предела по Гейне, доказать,
что функция
/О) =sin-
не имеет предела в точке х = 0.
Л Достаточно показать, что существуют последовательности {хп}
и {хп} с отличными от нуля членами, сходящиеся к нулю и такие,
что lim f(xn) ф lim f(xn). Возьмем хп = (—Ь 2тгп) , хп = (тгп),
п—юо	п—юо	V 2	/
тогда lim жп = lim хп = 0, f(xn) = 1 и f(xn) = 0 для всех п Е А/,
п—>-оо	п—>-оо
и поэтому lim f(xn) = 1, a lim f(xn) = 0. Следовательно, функция
п—>-оо	п—>-оо
sin - не имеет предела в точке х = 0. А
Замечание 2. Если функция / определена в проколотой ^о-окрест-
ности точки а и существуют число А и последовательность {хп} такие,
что хп Е Uso(a) при всех п Е A/, lim xn = а и lim f(xn) = А, то число А
71—^ОО	71—^ОО
называют частичным пределом функции f в точке а.
Так, например, для функции f(x) = sin — каждое число А Е [—1,1] явля-
является ее частичным пределом. В самом деле, последовательность {хп}, где
хп = (arcsin A + 2тта)~1,
зованная из корней уравнения
sin- = А (рис. 10.3), такова,
/ 0 для всех п Е А/,
что Жг
lim xn = 0 и
lim
Рис. 10.3
х	в) Эквивалентность двух
определений предела.
Теорема 1. Определения
предела функции по Коши и
по Гейне эквивалентны.
О В определениях предела
функции f(x) по Коши и
по Гейне предполагается, что
функция / определена в некоторой проколотой окрестности точки а,
т. е. существует число So > 0 такое, что U$o e D(f).
а) Пусть число А есть предел функции / в точке а по Коши; тогда
350>0: U6o CD(f) и
Vs>0 3Je@,(*o]: VxeU6(a)^f(x)eUe(A).	A)
Рассмотрим произвольную последовательность {жп}, сходящуюся к
числу а и такую, что хп G Uso(a) для всех п G N. Согласно опреде-
определению предела последовательности для найденного в A) числа S =

§10. Предел функции
= 8(е) > 0 можно указать номер щ такой, что Vn ^ щ —> хп G Us(a),
откуда в силу условия A) следует, что f(xn) G U?(A). Таким образом,
Ve > О 3N?: Vn ^ N? -»• /(*„) G f/?(A),	B)
где N? = п§(?), причем условие B) выполняется для любой последо-
последовательности {хгЛ такой, что lim хп = а и хп G Uso(a) С D(f). Сле-
довательно, lim /(жп) = А, т. е. число А — предел функции /(ж) в
п—>-оо
точке а по Гейне.
б) Докажем, что если число А есть предел функции /(ж) в точке а
по Гейне, то это же число является пределом функции / по Коши, т. е.
выполняется условие A). Допустим, что это неверно. Тогда
Эео>0: V?e @, Jo] 3x(S)eU6(a): \f(xF))-A\>eo. C)
Согласно C) в качестве 6 можно взять любое число из полуинтер-
полуинтервала @, Jo]- Возьмем S = So/n, где п G А/, и обозначим жп = хFо/п).
Тогда в силу C) для любого п е N выполняются неравенства
О < \хп - а\ < 50/п,	D)
\f(xn)-A\Ze0.	E)
Из D) следует, что lim хп = а и хп G ?/<50 (а) при всех n G А/, а из E)
п—>-оо
заключаем, что число А не может быть пределом последовательнос-
последовательности {/(жп)}. Следовательно, число А не является пределом функции /
в точке а по Гейне. Полученное противоречие доказывает, что должно
выполняться утверждение A). •
Упражнение 1. Доказать, что если функция /(ж) имеет предел в
точке а, то этот предел единственный.
Замечание 3. Пусть а — предельная точка числового множества Е,
т. е. такая точка, в любой окрестности которой содержится по крайней
мере одна точка множества Е, отличная от а. Тогда число А называют
пределом по Коши функции f(x) в точке а по множеству Е и обозначают
lim f(x) = А, если
х—>а, х?Е
Vs>0 3?>0: Ух e Us(a)nE^ \f(x)-A\ < e.
Предполагается, что U$0(a) П Е С D(f) для некоторого #о > 0. Анало-
Аналогично формулируется определение предела по Гейне по множеству Е. На-
Например, функция Дирихле /, равная единице для любого х Е Q и равная
нулю для любого х Е -/, имеет предел по множеству Q и по множеству J,
причем lim f(x) = 1, lim f(x) = 0 для любой точки а Е /?.
ж —)• а, ж G Р	ж —)• а, ж Е -/
3. Различные типы пределов.
а) Односторонние конечные пределы. Число А называют пределом
слева функции f(x) в точке а и обозначают lim f(x) или f(a — 0),
х—>а—О
если
Уг>0 35 > 0: Уже (а-?,а) ^ |/(ж) - Аг\ <е.

78
Гл. III. Предел и непрерывность функции
Аналогично число А<± называют пределом справа функции /(ж) в
точке а и обозначают lim /(ж) или f(a + 0), если
ж^а+О
35
Уже
\f(x) - А2\ < г.
Числа А\ и А<2 характеризуют поведение функции / соответственно
в левой и правой полуокрестности точки а, поэтому пределы слева и
справа называют односторонними пределами. Если а = 0, то предел
слева функции /(ж) обозначают lim /(ж) или /(—0), а предел справа
ж >О
>-0"
обозначают lim /(ж) или /(+0).
ж—Ц-0
Например, для функции /(ж) = sign ж, где
{—1, если ж < 0,
О, если ж = О,
1, если ж > О,
график которой изображен на рис. 10.4, lim /(ж) = /(—0) = —1,
Дто/(ж) = /(+0) = 1.
Отметим еще, что если
Уг>0 35 >0: Уж е U6(a) -^ /(ж) е [А, А + г),
т. е. значения функции лежат в правой ^-полуокрестности числа А, то
У\
1
о
\
1
у=sign ее
О
Рис. 10.4
Рис. 10.5
пишут lim /(ж) = А + 0. В частности, если А = 0, то пишут lim /(ж) =
ж—уА	х—>а
= +0.
Аналогично
: Уж
{lim/(ж) = А-0}<^Уг>0 3
ж—Уа
Например, для функции
{1 - ж, если ж < 0,
2,	если ж = 0,
1 + л/х, если ж > 0,
график которой изображен на рис. 10.5, lim /(ж) = 1 + 0.
ж^0
/(ж) G (А - г,

§10. Предел функции
79
Аналогичный смысл имеют записи вида
lim f(x)=A
x—>a—0
Например,
{ lim /(ж) = A + 0}
ж^аO	J
lim /(ж) = A - 0.
x—>a+0
: Уже (а-
Упражнение 2. Записать с помощью логических символов утверж-
утверждение lim f(x) = A — 0.
ж—^а+0
Упражнение 3. Доказать, что функция /(ж) имеет предел в точке а
тогда и только тогда, когда в этой точке существуют односторонние пре-
пределы функции / и выполняется равенство /(а — 0) = /(а + 0).
б) Бесконечные пределы в конечной точке. Говорят, что функ-
функция /(ж), определенная в некоторой проколотой окрестности точки а,
имеет в этой точке бесконечный предел, и пишут lim /(ж) = оо, если
х—>а
Me > 0 38 > 0: Мх е Us(a) -+ \f(x)\ > г.	F)
В этом случае функцию f(x) называют бесконечно большой при х —> а.
Согласно условию F) график функции у = /(ж) для всех х G Us(a)
лежит вне горизонтальной полосы \у\ < г. Обозначим
U?(oo) = {y: \у\ >г} = (-оо,-г) U (г,+оо)
и назовем это множество г-окрестностью бесконечности. Тогда за-
запись lim f(x) = оо означает, что для любой ^-окрестности бесконеч-
х—>а
ности U?(oo) найдется такая проколотая ^-окрестность точки а, что
для всех х G Us (а) выполняется усло-
условие /(ж) G U?(oo).
Например, если /(ж) = 1/ж, то
lim /(ж) = оо, так как условие F) вы-
х—>0
полняется при S = 1/е (рис. 10.6).
Аналогично говорят, что функ-
функция /(ж), определенная в некото-
некоторой проколотой окрестности точки а,
имеет в этой точке предел, равный
+00, и пишут lim /(ж) = +оо, если
Vs > 0 36 > 0: Ухеи6(а)^ f(x) > г,	Рис. ю.б
т. е. /(ж) е С/Д+оо), где множество С/Д+оо) называют г-окрест-
ностъю символа +оо.
Если	Vs > О 3S > 0: Уж е Us(a) -+ /(ж) < -г,
т. е. /(ж) G U?(—oo), где С/е(—оо) = (—оо,—е), то говорят, что функ-

80
Гл. III. Предел и непрерывность функции
у1\
Рис. 10.7
Рис. 10.8
ция / имеет в точке а предел, равный -оо, и пишут lim fix) = -оо,
ж—>а
а множество U?(—o6) называют е-окрестностью символа —оо.
Например, если /(ж) = ^ж2 (рис. 10.7), то lim /(ж) = —оо, а если
f(x) = — (рис. 10.8), то lim /(ж) = +оо.
Упражнение 4. Сформулировать с помощью логических символов
утверждения:
a) lim f(x) = +оо; б) lim f(x) = оо.
> 0	>+0
х—>а+0
в) Предел в бесконечности. Если
Уг > 0 38 > 0: Уж Е Us(+oo) —> /(ж) Е U?(A),
то говорят, что число А есть предел функции /(ж) я/ж ж, стремящемся
к плюс бесконечности, и пишут lim fix) = A.
ж—>-+оо
3 — 2ж
Например, если /(ж) =	— (см. рис. 9.4), то lim /(ж) = -2. В
Ж + 1	ж—>-+оо
г
самом деле, /(ж) = — 2 +
5 ^ 5
с—^+с
-, и если ж > 0, то ж + 1 > ж > 0. Поэтому
5
— < -, откуда следует, что неравенство |/(ж) + 2| < - < г для
любого г > 0 выполняется при любом х > 6, где ? = -, т. е. при любом
ж е U6(+oo).
Если Уг > 0 3S > 0: Уж G ^(-оо) ->> /(ж) G С7е(А), т. е. неравен-
неравенство |/(ж) — А| < г выполняется для всех ж G (—оо, — ?), то говорят,
что число А есть предел функции /(ж) гс/ж ж, стремящемся к минус
3 — 2ж
бесконечности, и пишут lim /(ж) = А. Например, lim 	= —2
ж—)> — сю	ж—)> — сю Ж + 1
(см. рис. 9.4).
Аналогично, если
Уг > 0 36 > 0: Уж G ^(оо) ->> /(ж) G С7е(А),
то говорят, что число А есть предел функции /(ж)
ж, стремящем-
стремящемся к бесконечности, и пишут lim /(ж) = А. Например, если /(ж) =
3 — 2х	ж^оо
-—-, то lim /(ж) = -2.
Ж + 1	ж—>-оо

§10. Предел функции	81
Точно так же вводится понятие бесконечного предела в бесконеч-
бесконечности. Например, запись lim f(x) = —оо означает, что Me > О 3S >
х—>-+оо
> 0: \/х е Us(+оо) ->• f(x) e U?(—oo). Аналогично определяются бес-
бесконечные пределы при х —> оо и х —> — оо.
Упражнение 5. Сформулировать с помощью логических символов и
окрестностей (или неравенств) следующие утверждения:
a) lim f(x) = оо; б) lim f(x) = +оо.
х—> — оо	х—^оо
4. Свойства пределов функций. В рассматриваемых ниже
свойствах речь идет о конечном пределе функции в заданной точке.
Под точкой понимается либо число а, либо один из символов а — 0,
а + 0, -оо, +00, оо. Предполагается, что функция определена в неко-
некоторой окрестности или полуокрестности точки а, не содержащей са-
саму точку а. Для определенности будем формулировать и доказывать
свойства пределов, предполагая, что а — число, а функция определена
в проколотой окрестности точки а.
а) Локальные свойства функции, имеющей предел. Покажем, что
функция, имеющая конечный предел в заданной точке, обладает не-
некоторыми локальными свойствами, т. е. свойствами, которые спра-
справедливы в окрестности этой точки.
Свойство 1. Если функция f(x) имеет предел в точке а, то су-
существует такая проколотая окрестность точки а, в которой эта
функция ограничена.
О Пусть lim f(x) = А. В силу определения предела по заданному
х—>а
числу г = 1 можно найти число S > 0 такое, что для всех х е Us (а)
выполняется неравенство \f(x) — А\ < 1 или А — 1 < /(ж) < А + 1.
Это означает (см. § 9, п. 6), что функция / ограничена на множест-
множестве U6(a). •
Свойство 2. Если lim f(x) = А, причем А ф 0, то найдется та-
х—>а
кая проколотая окрестность точки а, в которой значения функции f
имеют тот же знак, что и число А.
\А\
О Согласно определению предела по заданному числу г = -—- > О
можно найти такое число S > 0, что для всех х G Us(p) выполняется
<A+l-f.	G)
\А\
неравенство \f(x) — А\ < -—-, или
Если А > 0, то из левого неравенства G) следует, что
/О) > f > 0 Для х ^ Us(a).
Если А < 0, то из правого неравенства G) следует, что
J{x) < | < 0 для х е Us{a). •

82	Гл. III. Предел и непрерывность функции
Доказанное свойство называют свойством сохранения знака пре-
предела.
Свойство 3. Если lim g(x) = В, причем В ф О, то существу-
х—>а	-|
ет число S > 0 такое, что функция —-— ограничена на множест-
т'т ( \	д(Х>
ее Us (а).
I И\
О В силу определения предела по заданному числу г = LJ- можно
найти число S > 0 такое, что для всех х е Us (а) выполняется нера-
неравенство
\д{х)-В\<Щ:	(8)
Из неравенства (8) и известного неравенства
\В\-\д(х)\^\д(х)-В\
I И\	\И\	1
следует, что \В\ - \д(х)\ < -—-, откуда \д(х)\ > -—-, и поэтому	<
2	2	|р(ж)|
2	•	1
< -—- для х G Us (а), т. е. функция —— ограничена на множест-
\г>\	9\х)
ве Us (а). •
б) Свойства пределов, связанные с неравенствами.
Свойство 1. Если существует число S > 0 такое, что для
всех х G Us (а) выполняются неравенства
д(х) <: f(x) ^ h(x),	(9)
и если
lim д(х) = lim h(x) = A,	A0)
х—Уа	х—Уа
то существует lim f(x) = A.
х—>а
О Воспользуемся определением предела функции по Гейне.
Пусть {хп} — произвольная последовательность такая, что хп G Us (а)
для п е N и lim xn = а. Тогда в силу условия A0) lim g(xn) =
п—>-оо	п—>-оо
= lim h{xn) = A.
п—>-оо
Так как, согласно условию (9), для всех п G А/ выполняется нера-
неравенство
0(sn) ^ /(жп) ^ h(xn),
то в силу свойств пределов последовательностей (§ 4, теорема 3)
lim f(xn) = А. Следовательно, существует lim f(x) = A. •
n>oo	ж>а
n—>-oo
Свойство 2. #а/ш существует число S > 0 такое, что для всех
х е Us (а) справедливо неравенство f(x) ^ g(x), и если lim /(ж) = А,
х—Уа
lim д(х) = В, то А ^ В.

§10. Предел функции	83
О Для доказательства этого свойства достаточно воспользоваться
определением предела функции по Гейне и соответствующими свой-
свойствами пределов последовательностей (§ 4, теорема 4, следствие 2). •
Замечание 4. Если исходное неравенство является строгим, т. е.
f(x) < д(х), то в случае существования пределов функций / и д в точ-
точке а можно утверждать только, что lim f(x) ^ lim g(x), т. е. знак строгого
х—>а	х—>а
неравенства между функциями при переходе к пределу, вообще говоря, не
сохраняется.
Упражнение 6. Доказать, что если
lim f(x) = A, lim д(х) = В,
х—>а	х—>а
причем А < В, то существует число 6 > 0 такое, что для всех х Е Us (а)
выполняется неравенство f\x) < д(х).
в)	Бесконечно малые функции. Если lim а(х) = 0, то функцию а(х)
х—>а
называют бесконечно малой при х —у а.
Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:
1)	сумма конечного числа бесконечно малых при х -у а функций
есть бесконечно малая функция при х —> а;
2)	произведение бесконечно малой при х —У а функции на ограни-
ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки а функцию есть
бесконечно малая при х —> а функция.
Эти свойства легко доказать, используя определения бесконечно
малой и ограниченной функции, либо с помощью определения предела
функции по Гейне и свойств бесконечно малых последовательностей.
Из свойства 2) следует, что произведение конечного числа бесконечно
малых при х -у а функций есть бесконечно малая при х -у а функция.
Замечание 5. Из определения предела функции и определения беско-
бесконечно малой функции следует, что число А является пределом функции f(x)
в точке а тогда и только тогда, когда эта функция представляется в виде
f(x) = A + a(x),
где а(х) — бесконечно малая при х -у а функция.
Упражнение 7. Показать, что функция f(x) =xsin- является бес-
х
конечно малой при х —у 0.
Упражнение 8. Пусть существует число S > 0 такое, что а(х) ф
Ф 0 для всех х Е Us (а)- Доказать, что функция а(х) является бесконечно
малой при х —у а тогда и только тогда, когда функция ——— является бес-
а(х)
конечно большой при х —у а, т. е.
lim —т—г = оо.
ж-^а а(х)
г)	Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями.
Если функции /(ж) и д{х) имеют конечные пределы в точке а,
причем lim f(x) = A, lim g(x) = В, то:

84	Гл. III. Предел и непрерывность функции
1)	\im(f(x)+g(x))=A + B;
х—>а
2)	lim(f(x)g(x))=AB;	A1)
х—Уа
3)	lim ^-7—г = — при условии, что В Ф 0.
х^га дух) В
О Для доказательства этих свойств достаточно воспользоваться
определением предела функции по Гейне и свойствами пределов по-
последовательностей (§ 5, п. 3). Другой способ доказательства — ис-
использование замечания 5 и свойств бесконечно малых функций. •
Отметим частный случай утверждения A1):
lim (С/(ж)) = С lim /(ж),
х—>а	х—>а
т. е. постоянный множитель можно вынести за знак предела.
5. Пределы монотонных функций. Понятие монотонной функ-
функции было введено в § 9 (п. 7). Докажем теорему о существовании
односторонних пределов у монотонной функции.
Теорема 2. Если функция / определена и является монотонной
на отрезке [а, 6], то в каждой точке жо G (а, Ь) эта функция имеет
конечные пределы слева и справа, а в точках а иЪ — соответственно
правый и левый пределы.
О Пусть, например, функция / является возрастающей на отрез-
отрезке [а, Ъ]. Зафиксируем точку ж0 G (а, Ъ]. Тогда
VxG[a,xo)^/(x) ^f(xo).	A2)
В силу условия A2) множество значений, которые функция / прини-
принимает на промежутке [а, жо), ограничено сверху, и по теореме о точной
верхней грани существует
sup /(ж) = М, где М ^ f(x0).
а^х<хо
Согласно определению точной верхней грани (§ 2) выполняются
условия:
а)	VxG[a,xo)^/(x)^M;	A3)
б)	Уг>0 3х? е [а,х0): М-г< f(x?).	A4)
Обозначим S = хо - х?, тогда S > 0, так как х? < х0. Если х е
е (же,ж0), т. е. х е (хо - 5,х0), то
f(*e) ^ №,	A5)
так как / — возрастающая функция. Из условий A3)—A5) следует,
что
Уг>0 35 >0: Уже (хо-5,хо) -+f(x) G (M-s,M\.
Согласно определению предела слева это означает, что существует
lim /(ж) = /(ж0 - 0) = М.
Итак,
/(жо-0)= sup /(ж).

§10. Предел функции	85
Аналогично можно доказать, что функция / имеет в точке хо Е
Е [а, Ь) предел справа, причем
/(aro+0) = miHx). •
Следствие. Если функция f определена и возрастает на отрез-
отрезке [а, 6], хо G (а, Ь), то
0).	A6)
Замечание 6. Теорема о пределе монотонной функции справедлива
для любого конечного или бесконечного промежутка. При этом, если / —
возрастающая функция, не ограниченная сверху на (а,Ь), то lim fix) =
x^b-0
= +оо (в случае, когда Ъ = +оо, пишут lim f(x) = +оо), а если / —
х—)- + оо
возрастающая и не ограниченная снизу на промежутке (а, Ь) функция, то
lim f(x) = — оо ( lim f(x) = —оо).
х—>а+0	х—> — оо
6. Критерий Коши существования предела функции. Бу-
Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке х = а условию
Коши, если она определена в некоторой проколотой окрестности точ-
точки а и
Vs > 0 36 = 6(е) > 0: Vx',x" G Us(a) -+ |/(У) - f(x")\ < г. A7)
Лемма. Пусть существует число S > 0 такое, что функция f(x)
определена в проколотой ^-окрестности точки а, и пусть для каждой
последовательности {хп}, удовлетворяющей условию хп G Us (а) при
всех п е N и сходящейся к а, соответствующая последовательность
значений функции {f(xn)} имеет конечный предел. Тогда этот пре-
предел не зависит от выбора последовательности {хп}, т. е. если
lim f(xn) = А и lim f(xn) = A,
п—>-оо	п—>-оо
где хп = U8(а) при всех п G А/ и хп —>¦ а при п —> оо, то
А = А.
О Образуем последовательность
Xi, Xi, Х2, Х2, ..., Хп, Хп, ...
и обозначим fc-й член этой последовательности через у^. Так как
lim yk = а (см. § 4, пример 3) и у^ G ^(а) при любом k G А/, то по
условию леммы существует конечный lim f(yk) = -4'. Заметим, что
k—too
{f(xn)} и {/(^п)} являются подпоследовательностями сходящейся по-
последовательности {/(ук)}- Поэтому А = А', А = А', откуда получаем,
что А = А. •
Теорема 3. Для того чтобы существовал конечный предел функ-
функции f(x) в точке х = а, необходимо и достаточно, чтобы эта функция
удовлетворяла в точке а условию Коши A7).

86	Гл. III. Предел и непрерывность функции
О Необходимость. Пусть lim f(x) = А; тогда
х—>а
Me > 0 35 > 0: Vx е U6(a) -> |/(x) - А| < |.	A8)
Если ж', х" — любые точки из множества Us (а), то из A8) следует,
что
\f(x') - f(x")\ = \(f(x') -A)- {fix11) -А)\^
*С \f{x') - А\ + \f(x") - А\ < ?- + ?- = е,
т. е. выполняется условие Коши A7).
Достаточность. Докажем, что если 3So: Us(a) С D(f) и выпол-
выполняется условие A7), то существует предел функции / в точке а. Вос-
Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть {хп} —
произвольная последовательность такая, что хп G Us(a) и lim xn = а.
х—>-оо
Докажем, что соответствующая последовательность значений функ-
функции {f(xn)} имеет конечный предел, не зависящий от выбора после-
последовательности {хп}.
Если выполняется условие A7), то для каждого е > 0 можно найти
число 6 = 6? > 0 такое, что
Vx',x" G Us(a) -> \f(x') - f(x")\ < e.	A9)
Так как lim xn = а, то, задав число 6 = S(e) > 0, указанное в
x—>-oo
условии A9), найдем в силу определения предела последовательности
номер п$ = N? такой, что
Vn > N? -»> 0 < \хп - а\ < S.
Это означает, что для любого п ^ N? и для любого т ^ N? выполня-
выполняются условия хп е Us(a), хш е Us(a) и в силу A9) \f(xn) - f(xm)\ < г.
Таким образом, последовательность {f(xn)} является фундаменталь-
фундаментальной и согласно критерию Коши для последовательности (§ 8) имеет
конечный предел. В силу леммы этот предел не зависит от выбора по-
последовательности {жп}, сходящейся к точке а. Следовательно, функ-
функция f(x) имеет конечный предел в точке а. •
Замечание 7. Теорема 3 остается в силе, если точку а заменить од-
одним из символов a — 0, а + 0, — оо, +оо; при этом условие A7) должно вы-
выполняться в окрестности этого символа.
§ 11. Непрерывность функции
1. Понятие непрерывности функции.
Определение. Функция f(x), определенная в некоторой окрест-
окрестности точки а, называется непрерывной в точке а, если
Иш/(Ж)=/(а).	A)

§11. Непрерывность функции	87
Таким образом, функция / непрерывна в точке а, если выполнены
следующие условия:
а)	функция / определена в некоторой окрестности точки а, т. е.
существует число So > 0 такое, что Uso(a) С D(f);
б)	существует lim /(ж) = A;
х—>а
B)A = f(a).
Определение непрерывности функции /(ж) в точке а, выраженное
условием A), можно сформулировать с помощью неравенств (на язы-
языке e-S), с помощью окрестностей и в терминах последовательностей
соответственно в виде
Уг > О 3S > 0: Уж: |ж - а\ < S -+ \f(x) - f(a)\ < г,
Уг > 0 3S > 0: Ух е Us{a) -> f{x) G Ue(f(a)),
У{жп}: lim жп = a ->> lim f(xn) = /(a).
n—>-oo	n—>-oo
Подчеркнем, что в определении непрерывности, в отличие от опре-
определения предела, рассматривается полная, а не проколотая окрест-
окрестность точки а, и пределом функции является значение этой функции
в точке а.
Назовем разность х — а приращением аргумента и обозначим Аж,
а разность /(ж) — /(а) — приращением функции, соответствующим
данному приращению аргумента Аж, и обозначим Ау. Таким обра-
образом,
Ах = х - а, Дз/ = /(ж) - /(а) = /(а + Аж) - /(а).
При этих обозначениях равенство A) примет вид
lim Ay = 0.
Аж^О
Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что
бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции.
Пример 1. Доказать, что функция /(ж) непрерывна в точке а,
если:
а)	/(ж) = ж3, а = 1; б) /(ж) = —, а ф 0; в) /(ж) = у/х, а > 0;
ж
ч г/ \ I ж sin -, ж ^ 0,	Л
г) /0*0 = S	х	a = 0.
\ 0,	ж = 0,
Л а) Если ж ->• 1, то по свойствам пределов (§ 10, A1)) получаем
ж3 —>¦ 1, т. е. для функции /(ж) = ж3 в точке ж = 1 выполняется усло-
условие A). Поэтому функция ж3 непрерывна в точке ж = 1.
б)	Если ж —> а, где а т^ 0, то, используя свойства пределов (§ 10),
1111	,	1
получаем	у -, — ->• —, т. е. функция — непрерывна в точке ж = а
X CL X	CL	X
(а/0).

Гл. III. Предел и непрерывность функции
в)	Так как \\/х — \/а\ = —=	= , то отсюда получаем 0 ^ \у/х -
у/х + v a
- у/а\ < а . Следовательно, у/х - у/а ->• 0 при х ->• а. Это означает,
у/а
что функция у/х непрерывна в точке а, где а > 0.
г)	Функция / определена на /?, и при любом ж Е R выполняется
неравенство 0 ^ \f(x) — /@I — \f(x)\ ^ \х\? так как
sm -
x
1 при
х ф 0. Следовательно, lim fix) = /@) = 0, т. е. функция / непрерывна
ж-И)
в точке х = 0. А
По аналогии с понятием предела слева (справа) вводится понятие
непрерывности слева (справа). Если функция / определена на полу-
полуинтервале (а — й, а] и lim f(x) = /(а), т. е. /(а — 0) = /(а), то эту
х—>а—О
функцию называют непрерывной слева в точке а.
Аналогично, если функция / определена на полуинтервале [а,
а + 5) и /(а + 0) = /(а), то эту функцию называют непрерывной спра-
справа в точке а.
Например, функция f(x) = [х] непрерывна справа в точке х = 1 и
не является непрерывной слева в этой точке (§ 9, пример 1), так как
/A-0)= 0, /A + 0) = /A) = 1-
Очевидно, функция непрерывна в данной точке тогда и только
тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.
2. Точки разрыва. В п. 2 будем предполагать, что функция /
определена в некоторой проколотой окрестности точки а.
Точку а назовем точкой разрыва функции /, если эта функция либо
не определена в точке а, либо определена, но не является непрерывной
в точке а.
Следовательно, а — точка разрыва функции /, если не выполня-
выполняется по крайней мере одно из следующих условий:
а)	а Е ?>(/);
б)	существует конечный lim f(x) = A;
х—>а
в)	А = /(а).
Если а — точка разрыва функции /, причем в этой точке сущест-
существуют конечные пределы слева и справа, т. е. lim f(x) = f(a — 0) и
х—>а—О
lim f(x) = /(а + 0), то точку а называют точкой разрыва первого
х—^а+0
рода.
Замечание 1. Если х = а — точка разрыва первого рода функции /(ж),
то разность /(а + 0) — /(а — 0) называют скачком функции в точке а. В
случае когда /(а + 0) = /(а — 0), точку а называют точкой устранимого
разрыва. Полагая /(а) = /(а + 0) = /(а — 0) = А, получим функцию
{ /0*0> если хфа,
А, если х = а,

§11. Непрерывность функции
непрерывную в точке а и совпадающую с f(x) при х ф а. В этом случае
говорят, что функция доопределена по непрерывности в точке а.
Пусть ж = а — точка разрыва функции /, не являющаяся точкой
разрыва первого рода. Тогда ее называют точкой разрыва второго ро-
рода функции /. В такой точке хотя бы один из односторонних пределов
либо не существует, либо бесконечен.
Например, для функции /(ж) = ж sin- точка х = 0 — точка раз-
х
рыва первого рода. Доопределив эту функцию по непрерывности, по-
получим функцию	,	-.
27 ч 	 I ж sin-, если х^О,
[ 0, если х = О,
непрерывную в точке х = 0, так как
lim х sin - = 0.
ж-^0	X
Для функций sin - и — точка х = 0 — точка разрыва второго рода
(см. рис. 10.3 и 10.8).
Теорема 1. Если функция f определена на отрезке [а,Ь] и моно-
монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка точки разрыва
только первого рода.
О Пусть ж0 — произвольная точка интервала (а, Ь). По теореме 2,
§ 10 функция / имеет в точке жо конечные пределы слева и справа.
Если, например, / — возрастающая функция, то
где /(жо — 0) и /(жо + 0) — соответственно пределы функции / слева
и справа в точке жо-
В том случае, когда /(жо — 0) ф /(жо + 0), точка жо является точ-
точкой разрыва первого рода функции /; если же /(ж0 - 0) = /(ж0 + 0), то
точка жо есть точка непрерывности функции /. Аналогичное утверж-
утверждение справедливо и для убывающей функции. •
3. Свойства функций, непрерывных в точке.
а) Локальные свойства непрерывной функции.
Свойство 1. Если функция f непрерывна в точке а, то она ог-
ограничена в некоторой окрестности этой точки, т. е.
35 > 0 ЗС > 0: Уж G U6(a) -^ |/(ж)| ^ С.
Свойство 2. Если функция f непрерывна в точке а, причем
/(а) ф 0, то в некоторой окрестности точки а знак функции сов-
совпадает со знаком числа /(а), т. е.
35 > 0: Уж е Us(a) ->• sign/(ж) = sign/(а).
О Эти утверждения следуют из свойств пределов (§ 10, п. 4). •

90	Гл. III. Предел и непрерывность функции
б)	Непрерывность суммы, произведения и частного.
Если функции / и g непрерывны в точке а, то функции f + g, fg
и f/g (при условии д(а) ф 0) непрерывны в точке а.
О Это утверждение следует из определения непрерывности и
свойств пределов (§ 10, п. 4). •
в)	Непрерывность сложной функции. Понятие сложной функции
было введено в § 9 (п. 2).
Теорема 2. Если функция z = f(y) непрерывна в точке уо, а
функция у = ср(х) непрерывна в точке хо, причем уо = ц>(хо), то в не-
некоторой окрестности точки хо определена сложная функция f((p(x)),
и эта функция непрерывна в точке xq.
О Пусть задано произвольное число г > 0. В силу непрерывности
функции / в точке уо существует число р = р(е) > 0 такое, что
иР(у0) С D(f) и
Vy G Up(y0) -»• f(y) G Ue(zo),	B)
где z0 = f{yo).
В силу непрерывности функции <р в точке Хо для найденного в B)
числа р > 0 можно указать число S = 6Р = 6(е) > 0 такое, что
\/х е Us(x0) -»¦ ф) G Up(y0).	B')
Из условий B) и B') следует, что на множестве Us(xo) определена
сложная функция f((p(x)), причем
Vx е и6(х0) -> f(y) = f(<p(x)) e ue(z0),
где z0 = f(ip(x0)) = f(yo), т. е.
Vs > 0 35 > 0: Vx G
Это означает, в силу определения непрерывности, что функция
f(cp(x)) непрерывна в точке xq. •
Замечание 2. Соответствие между окрестностями точек жо, 2/о, ^о
Рис. 11.1
представлено на рис. 11.1. По заданному числу е > 0 сначала находим р > 0,
а затем для чисел р > 0 находим ? > 0.
Упражнение 1. Сформулировать определение непрерывности с по-
помощью последовательностей (по Гейне) и доказать, исходя из этого опре-
определения, теорему 2.
4. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Функцию
f(x) называют непрерывной на отрезке [а, 6], если она непрерывна в
каждой точке интервала (а, Ь) и, кроме того, непрерывна справа в
точке а и непрерывна слева в точке Ъ.

§11. Непрерывность функции	91
а) Ограниченность непрерывной на отрезке функции.
Теорема 3 (Вейерштрасса). Если функция f непрерывна на от-
отрезке [а, 6], то она ограничена, т. е.
ЗС > 0: \/х е [а, Ъ] -> |/(х)| <С С.	C)
О Предположим противное, тогда
VO0 Зхс?[а,Ъ}: \f(xc)\ > С.	D)
Полагая в D) С = 1, 2,..., п,..., получим, что
Vn G Л/ Зхп G [a, b]: \f(xn)\ > п.	E)
Последовательность {хп} ограничена, так как а ^ хп ^.Ъ для всех
п G N. По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить
сходящуюся подпоследовательность, т. е. существуют подпоследова-
подпоследовательность {хПк} и точка ? такие, что
lim хПк = f,	F)
где в силу условия E) для любого к е N выполняется неравенство
а ^ хПк ^ 6.	G)
Из условий F) и G) следует (см. § 4, п. 5, замечание 5), что ? G [а, Ь],
а из условия F) в силу непрерывности функции / в точке ? получаем
lim f(xnk) = /(?)•	(8)
к—Уоо
С другой стороны, утверждение E) выполняется при всех п е N
и, в частности, при п = п\~ (к = 1, 2,...), т. е.
откуда следует, что lim f{xnk) = оо, так как п/. —У +оо при & —У оо.
Это противоречит равенству (8), согласно которому последователь-
последовательность {/(жПй)} имеет конечный предел. Поэтому условие D) не может
выполняться, т. е. справедливо утверждение C). •
Замечание 3. Теорема 3 неверна для промежутков, не являющихся
отрезками. Например, функция /(ж) = — непрерывна на интервале @,1),
но не ограничена на этом интервале. Функция /(ж) = х2 непрерывна на /?,
но не ограничена на /?.
б) Достижимость точных граней.
Теорема 4 (Вейерштрасса). Если функция f непрерывна на от-
отрезке [а, 6], то она достигает своей точной верхней и нижней грани,
т. е.
Э?€[а,Ь]: /@= sup f(x),	(9)
xE[a,b]
Щ;е[а,Ь]: f@= inf /(ж).	A0)
xe[a,b]

92	Гл. III. Предел и непрерывность функции
О Так как непрерывная на отрезке функция /(ж) ограничена
(теорема 3), т. е. множество значений, принимаемых функцией /
на отрезке [а, 6], ограничено, то существуют sup f(x) и inf f(x)
(см. § 2).	*^	хе[а'Ь]
Докажем утверждение (9). Обозначим М = sup f(x). В силу
хв[а,Ь]
определения точной верхней грани выполняются условия
VxG [а,Ь]->/(ж) ^М,	A1)
Vs>0 3x(e)e[a,b]: f(x(e))>M-e.	A2)
Полагая г = 1, -, -,..., —,..., получим в силу условия A2) последо-
Zi о	ТЬ
вательность {жп}, где хп = х( — J, такую, что для всех п Е А/ выпол-
выполняются условия
хпе[а,Ъ],	A3)
/(xn)>M-i.	A4)
Из соотношений A1), A3) и A4) следует, что
VnG/V^M--< /(хп) ^ М,
откуда получаем
lim /(Ж„) = М.	A5)
Ж—>-ОО
Как и в теореме 3, из условия A3) следует, что существуют под-
подпоследовательность {хПк} последовательности {хп} и точка ? такие,
что
lim хПк =?, где ? G [а, Ь].
/е—>-оо
В силу непрерывности функции / в точке ?
lim f{xnk) = /@.	A6)
С другой стороны, {/(^nfc)} — подпоследовательность последова-
последовательности {/(жп)}, сходящейся, согласно условию A5), к числу М.
Поэтому
lim f(xnh)=M.	A7)
к—>-оо
В силу единственности предела последовательности из A6) и A7)
заключаем, что /(?) = М = sup /(ж). Утверждение (9) доказано.
ж?[а,Ь]
Аналогично доказывается утверждение A0). •
Замечание 4. Теорема 4 неверна для интервалов: функция, непре-
непрерывная на интервале, может не достигать своих точных граней. Например,
функция f(x) = х2 не достигает на интервале @,1) своей точной нижней
грани, равной нулю, и точной верхней грани, равной единице.

§11. Непрерывность функции	93
в) Промежуточные значения.
Теорема 5 (теорема Коши о нулях непрерывной функции). Если
функция f непрерывна на отрезке [а, Ь] и принимает в его концах зна-
значения разных знаков, т. е. f(a)f(b) < О, то на отрезке [а,Ь] имеется
хотя бы один нуль функции /, т. е.
Зс€[а,Ъ]: Дс)=0.	A8)
О Разделим отрезок [а, Ь] пополам. Пусть d — середина этого отрез-
отрезка. Если f(d) = 0, то теорема доказана, а если f(d) ф О, то в концах
одного из отрезков [a, d], [d,b] функция / принимает значения разных
знаков. Обозначим этот отрезок Ai = [ai, Ъ\]. Пусть d\ — середина от-
отрезка Дь Возможны два случая: 1) f(d\) — О, тогда теорема доказана;
2) j{d\) ф О, тогда в концах одного из отрезков [ai,di], [di, bi] функ-
функция / принимает значения разных знаков; такой отрезок обозначим
А2 = [а2,Ь2].
Продолжая эти рассуждения, получим:
1)	либо через конечное число шагов найдется точка с Е [a, b] такая,
что /(с) = 0; тогда справедливо утверждение A8);
2)	либо существует последовательность отрезков {Ап} такая, что
f(Q"n)f(bn) < 0 для всех п G А/, где An = [anjbn]; эта последователь-
последовательность отрезков является стягивающейся (§ б, п. 4), так как Ап С An_i
для любого nG Л/и
7	Ь — а	,1Пч
Ьп-ап = -^-.	A9)
По теореме Кантора (§ 6) существует точка с, принадлежащая всем
отрезкам последовательности {Ап}, т. е.
Зс: Vn G Л/ ->> с G [ап, Ьп] С [а, Ъ].	B0)
Докажем, что
/(с) = 0.	B1)
Предположим, что равенство B1) не выполняется. Тогда либо /(с) > 0,
либо /(с) < 0. Пусть, например, /(с) > 0. По свойству сохранения
непрерывной функцией знака (п. 3, а))
36 > 0: \/х G Us(c) -> f(x) > 0.	B2)
С другой стороны, из неравенства A9) следует, что Ъп — ап —у 0
при п —У оо, и поэтому
Зп0 G A/: bno -ano < S.	B3)
Так как с G АПо в силу условия B0), то из B3) следует, что АПо С
С Us (с) и согласно условию B2) во всех точках отрезка АПо функ-
функция / принимает положительные значения. Это противоречит тому,
что в концах каждого из отрезков Ап функция / принимает значения
разных знаков.
Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться
условие B1). •

94
Гл. III. Предел и непрерывность функции
Замечание 5. Теорема 5
утверждает, что график функции
у = /(ж), непрерывной на отрезке
[а, Ь] и принимающей в его концах
значения разных знаков, пересека-
пересекает ось Ох (рис. 11.2) хотя бы в од-
одной точке отрезка [а, Ь].
Теорема б (теорема Ко-
ши о промежуточных значени-
значениях). Если функция f непрерывна
на отрезке [а, Ь] и /(а) ф f(b),
то для каждого значения С, за-
Рис. 11.2	ключенного между /(а) и /(Ь),
найдется точка ? G [а, Ь] такая, что /(?) = С.
О Обозначим /(а) = A, f(b) = В. По условию А ф В. Пусть, напри-
например, А < В. Нужно доказать, что
= С.
B4)
Если С = А, то утверждение B4) выполняется при ? = а, а если
С = 5, то B4) имеет место при ? = Ъ. Поэтому достаточно рассмот-
рассмотреть случай А < С < В.
Пусть ф(х) = f(x) - С, тогда if {a) =A-C<0, ip(b) = В - С > 0,
и по теореме 5 найдется точка ? G [а, 6] такая, что <р(?) = 0, т. е.
) = G. Утверждение B4) доказано. •
Следствие. Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], m =
= inf /(ж), М = sup /(ж), то множество значений, принимаемых
хЕ[а,Ь]	хе[а,Ь]
функцией f на отрезке [а, 6], есть отрезок [т,М].
О Для всех х G [а, Ь] выполняется неравенство т ^ f(x) ^ M, причем
согласно теореме 4 функция / принимает на отрезке [а, Ь] значения,
равные т и М. Все значения из отрезка [m, M] функция принимает
по теореме 6. Отрезок [m, M] вырождается в точку, если f(x) = const
на отрезке [а, Ь]. •
г) Существование и непрерывность функции, обратной для непре-
непрерывной и строго монотонной функции. Понятие обратной функции
было введено в § 9 (п. 9). Докажем теорему о существовании и непре-
непрерывности обратной функции.
Теорема 7. Если функция у = f(x) непрерывна и строго возрас-
возрастает на отрезке [а, 6], то на отрезке [/(а),/(Ь)] определена функция
х = д(у), обратная к /, непрерывная и строго возрастающая.
О Существование обратной функции. Обозначим А = /(а),
В = f(b). Так как / — возрастающая функция, то для всех х G [а, Ь]
выполняется неравенство А ^ /(ж) ^ В, где А = inf /(ж), 5 =
ж?[а,6]
= sup /(ж), и в силу непрерывности / (следствие из теоремы 6)
хе[а,Ь]

§11. Непрерывность функции	95
множество значений функции E(f) = [-4,5].
Согласно определению обратной функции (§ 9, п. 9) нужно дока-
доказать, что для каждого уо Е [-4,5] уравнение
fix) = Уо	B5)
имеет единственный корень ж = жо, причем жо Е [а, Ь].
Существование хотя бы одного корня уравнения B5) следует из
теоремы 6. Докажем, что уравнение B5) имеет на отрезке [а, Ь]
единственный корень.
Предположим, что наряду с корнем х = жо уравнение B5) имеет
еще один корень х = ж0, где ж0 ф ж0; тогда /(ж0) = у0, ж0 е [а, Ь].
Пусть, например, жо > жо- Тогда в силу строгого возрастания
функции / на отрезке [а, Ъ] выполняется неравенство /(ж0) > /(ж0). С
другой стороны, /(жо) = /(жо) = Уо- Отсюда следует, что неравенство
жо > жо не может выполняться. Следовательно, жо = жо- Существо-
Существование обратной функции доказано, т. е. на отрезке [А, В] определена
функция ж = f~1(y) = д(у), обратная к /, причем Е(д) = [а, Ь] и
g(f(x))=x, xe[a,b], f(g(y))=y, ye[A,B].	B6)
Монотонность обратной функции. Докажем, что д(у) —
строго возрастающая на отрезке [-4,5] функция, т. е.
V2/i,2/2 е [А, В}: yi <у2^ g(yi) <дЫ-	B7)
Предположим противное; тогда условие B7) не выполняется, т. е.
Зуиу2е[А,В]: У1<У2^д(у1)^д(у2).	B8)
Обозначим Ж1 = g(yi), ж2 = д{ш), тогда Ж1,ж2 G [а, Ь], х\ ^ ж2 в си-
силу B8) и f(x\) = 2/ъ /(^2) = У2 согласно равенству B6).
Так как / — строго возрастающая функция, то из неравенства
Ж1 ^ ж2 следует неравенство f(x\) ^ /(?2), т. е. у\ ~^у2-> что невоз-
невозможно, так как у\ < у2 в силу B8). Таким образом, утверждение
B8) не может выполняться, и поэтому д(у) — строго возрастающая
функция.
Непрерывность обратной функции. Пусть уо — произ-
произвольная точка интервала (А, В). Докажем, что функция д непрерывна
в точке уо. Для этого достаточно показать, что справедливы равенст-
равенства
0B/о " 0) = д(у0), д(уо + 0) = д(у0),	B9)
где д(уо — 0) и д(уо + 0) — пределы функции д соответственно слева
и справа в точке уо.
По теореме о пределах монотонной функции (§ 10) пределы
функции д слева и справа в точке уо существуют и выполняются
неравенства
д(Уо-0)^д(уо)^д(уо + 0).	C0)

96	Гл. III. Предел и непрерывность функции
Пусть хотя бы одно из равенств B9) не выполняется, например,
д(Уо -°) Ф д(Уо), тогда
g(yo-0)<g(yo).	C1)
Так как для всех у е [А,у0) выполняется неравенство а ^ д(у) ^
^ д(уо - 0), где д(у0 - 0) = sup g(y), а при всех у е [уо,В] спра-
ведливо неравенство д(уо) ^ д(у) ^ Ь, то из условия C1) следует, что
интервал А = (д(уо — 0),д(уо)) не принадлежит множеству значений
функции д. Это противоречит тому, что все точки отрезка [а, 6], в
том числе и точки интервала А, принадлежат множеству Е(д). Итак,
первое из равенств B9) доказано. Аналогично доказывается справед-
справедливость второго из равенств B9).
Тем же способом устанавливается, что функция д непрерывна
справа в точке А и непрерывна слева в точке В. •
Замечание 6. Если функция / непрерывна и строго убывает на от-
отрезке [а, Ь], то обратная к ней функция д непрерывна и строго убывает на
отрезке [/(Ь),/(а)].
Замечание 7. Аналогично формулируется и доказывается теорема о
функции д, обратной к функции /, для случаев, когда функция / задана на
интервале (конечном либо бесконечном) и полуинтервале.
Если функция / определена, строго возрастает и непрерывна на интер-
интервале (а, 6), то обратная функция д определена, строго возрастает и непре-
непрерывна на интервале (А, В), где
А= lim /(ж), В= lim f(x).
х—>а+0	х^-Ъ-0
§ 12. Непрерывность элементарных функций
1. Многочлены и рациональные функции. Рассмотрим мно-
многочлен степени п, т. е. функцию вида
Рп(х) = апхп + dn-ix71'1 + ... + а\х + а0, ап ф 0.
Эта функция непрерывна на R.
О Действительно, функция у = С, где С — постоянная, непрерывна
на /?, так как Ау = 0 при любом х. Функция у — х непрерывна на /?,
так как Ау — Ах —у 0 при Ах —у 0. Поэтому функция у = а^хк:, где
k G А/, непрерывна на R как произведение непрерывных функций. Так
как многочлен Рп(х) есть сумма непрерывных функций вида а^хк
(к = 0,п), то он непрерывен на R. •
Р (х)
Рациональная функция, т. е. функция вида /(ж) =	, где Рп,
Qm — многочлены степени пит соответственно, непрерывна во всех
точках, которые не являются нулями многочлена Qm(x).
О В самом деле, если Qm(xo) ф 0, то из непрерывности многочле-
многочленов Рп и Qm следует непрерывность функции / в точке xq. •

§12. Непрерывность элементарных функций
97
то
точка пересечения
2. Тригонометрические и обратные тригонометрические
функции.
а) Неравенства для тригонометрических функций.
Утверждение 1. Если ж G (— ^, ^] иж/0,
sin ж .	/1Ч
совж < 	 < 1.	A)
х
О Рассмотрим в координатной плоскости круг единичного радиуса
с центром в точке О (рис. 12.1). Пусть LAOB — ж, где 0 < ж < —.
Пусть С — проекция точки В на ось Ож, D
луча ОВ и прямой, проведенной через
точку А перпендикулярно оси Ох. Тогда
ВС = sin ж, DA = tgж.
Пусть Si, S2, ?3 — площади треуголь-
треугольника АОВ, сектора АОВ и треуголь-
треугольника AOD соответственно. Тогда Si =
= \ {ОAJ sin ж = i sin ж, 52 = i (ОАJж =
= - ж, 5з = - О ^4 • ZM = - tg ж. Так как
Si <52<53,2то
-sinж < -ж < ^бя-	B)
Если ж Е (О, — J, то sin ж > 0, и поэтому неравенство B) равносильно
неравенству	х	\
sin х cos x'
откуда следует, что при ж G (О, — J выполняется неравенство A). Так
как —— и cos ж — четные функции, то неравенство A) справедливо
sin ж
и при ж е (- |,о). •
Замечание 1. Из неравенства B) следует, что
tgx>x при же@, тП.	C)
Утверждение 2. Для всех х G /? справедливо неравенство
| sinx| ^ |ж|.	D)
О Неравенство D) выполняется при ж = 0. Пусть ж ^ 0. Тогда если
/Л тг\	/1Ч	sinx .
ж G @, -1, то из A) следует неравенство 	 < 1, равносильное не-
\ л /	х
равенству D). Так как	четная функция, то неравенство D)
х
справедливо и при ж G (	,0j. Итак, неравенство D) выполняется,
Рис. 12.1

98	Гл. III. Предел и непрерывность функции
если |ж| < —. Пусть |ж| ^ —; тогда неравенство D) справедливо, так
как | sinx| ^ 1, а — > 1. •
Упражнение 1. Доказать, что для всех х G R справедливо нера-
неравенство	Х2
0^1 — cos х ^ —.
б) Непрерывность тригонометрических функций.
Утверждение 3. Функции у = sinx и у = cosx непрерывны на R.
О Пусть xq — произвольная точка множества R. Тогда sinx —
х — хо
о . х — хо ж + жо т
— sin хо = 2 sin	cos	. 1 ак как
2
X + Хо
sin ¦
х — хо
2
в силу
sin ж - sinxo| ^ \х - жо|, откуда
/ л \	X ~\- Хо ^ -,
неравенства D), a cos	 ^ 1, то
следует, что функция у = sin ж непрерывна в точке хо-
Аналогично имеем cos x — cos хо = 2 sin	sin	, откуда
| cos ж — cosxo| < \х — жо|, и поэтому функция cos ж непрерывна в точ-
точке Хо. •
Из непрерывности синуса и косинуса следует, что функция tgx =
sin ж	/ Л	/ тг	/ -,ч ,
= 	 непрерывна, если cos ж ^ 0, т. е. х Ф —\- тгп (п G Z), а функ-
cosx	2
COS Ж	/	/	-,ч
ция ctgx = 	 непрерывна, если х Ф тгп (п G Z).
sin ж
в) Первый замечательный предел.
sin ж
Утверждение 4. #а/ш х —> 0, то	>- 1, т. е.
lim	 = 1.	E)
О Воспользуемся неравенством A). В силу непрерывности косинуса
lim cos ж = cos 0 = 1. Переходя в соотношении A) к пределу при х —> 0,
х—^0
получаем равенство E). •
г) Обратные тригонометрические функции. Рассмотрим функцию
у = 8шх, * е [-§,§]= Д.	F)
Эта функция, график которой изображен на рис. 12.2, непрерывна и
строго возрастает на отрезке А (§ 9, пример 9), множество ее зна-
значений — отрезок [—1,1]. По теореме об обратной функции на отрез-
отрезке [—1,1] определена функция, обратная к функции F), непрерывная
и строго возрастающая. Ее обозначают
у = arcsinx, х G [—1,1].
Подчеркнем, что функция arcsinx не является обратной к перио-
периодической функции sin ж, которая необратима; arcsinx — функция,
обратная по отношению к функции sin ж, заданной на отрезке А =
=	, — , т. е. обратная к сужению sin ж на отрезок А. График

§12. Непрерывность элементарных функций
99
7Г
2
t
i<
о
/
Рис
\
/
1
\ 12
у = sin ж
2
.2
-I1
7Г
\
О
2
Рис. 12
/j
/|
У =
.Я
arcsin ж
функции у = arcsinx, изображенный на рис 12.3, симметричен графи-
графику функции F) относительно прямой у = х. В силу свойств взаимно
обратных функций (§ 9, п. 9)
sin(arcsinx) = ж, х G [—1,1],
arcsin(sinx) = ж, ж G - ^, ^ ,	^ '
L 2 2 \
arcsin(-x) = - arcsinx, же [-1,1],	(8)
т. е. arcsinx — нечетная функция.
Пример 1. Построить график функции у = arcsin(sinx).
Л Функция определена на R и является периодической с периодом 2тг.
Поэтому достаточно построить ее график на отрезке -?>-^Ч-
Рис. 12.4
^ ^, то у = ж в силу равенства G). Если ^ ^ х ^ ^, то
^, и согласно формуле G) получаем arcsin(sin(x — тг)) =
. С другой стороны, sin(x — тг) = — sin ж, и поэтому
arcsin(sin(x — тг)) = arcsin(— sin ж) = — arcsin(sinx)
равенства (8). Таким образом, х — тг = — arcsin(sinx), если
-^- . Следовательно,
2 J
у = arcsin(sinx) =
2
График функции у = arcsin(sinx) изображен на рис. 12.4. А
Если — ^
= х — тг.
в силу
2
ж,	если — -
тг — ж, если ^ ^
Е
2'

100
Гл. III. Предел и непрерывность функции
-1
ч
2
О
\
"К
\
ЧУ =
\
1
arccos х
X
Функция
у = cos ж, 0 ^ ж ^ тг,
непрерывна и строго убывает. Обратная к ней функция, которую обо-
обозначают
у = агссовж, ж Е [-1,1],
непрерывна и строго убывает. График этой функции изображен на
рис. 12.5. По свойствам взаимно обратных
функций
со8(агссо8ж) = ж, жЕ [—1,1],
агссо8(со8ж) = ж, жЕ [0,тг].
Пример 2. Доказать, что для всех ж Е
Е [—1,1] справедливы равенства
агссо8(-ж) = тг - arccos ж,	(9)
агсвтж + arccos ж = —.	A0)
Рис. 12.5
Л а) Обозначим arccos ж = а. Тогда согласно определению arccos ж
0 ^ а ^ тг, cos a = ж.
Из этих соотношений следует, что 0 ^ тг — а ^ тг и cos(tt — а) =
= -cos а = -ж, откуда по определению arccos ж находим тг - а =
= arccos(—ж). Формула (9) доказана.
б) Обозначим а = агсвтж. Тогда	^ а ^ — и sin a = ж, откуда
О^"^"^71^ cos ("о ~ а) = s^n а = х- ОтсюДа согласно определению
арккосинуса следует, что - - а = arccos ж. Равенство A0) доказано. А
Упражнение 2. Построить
график функции:
а)	у = arccos (cos ж);
б)	у = arcsin(cosx).
Функция
Рис. 12.6
7Г
2
О
У"
^^^^ 7Г
	 2
\

.^—"
^^/ = arctg*
ее
непрерывна и строго возрастает.
Обратная к ней функция, которую
обозначают
у = аг^ж, ж G /?,
непрерывна и строго возрастает. График этой функции изображен на
рис. 12.6.
Отметим, что в силу свойств взаимно обратных функций имеем
tg (arctg ж) = ж, ж G /?,

§12. Непрерывность элементарных функций
101
arctg(tgx) = ж, хе (- |,|),
arctg(—ж) = — arctgx, ж Е /?.
Функцию, обратную к функции
2/ = ctgx, 0 < ж < тг,
обозначают 2/ = arcctgж. Эта функция определена на /?, непрерывна и
строго убывает. Ее график изображен на рис. 12.7.
Упражнение 3. Доказать, что для всех х Е R справедливо равенство
arctg х + arcctg x = —.
3. Степенная функция с рациональным показателем. Сте-
Степенная функция с натуральным показателем, т. е.
у = жп, жЕ/?,
где п Е А/, непрерывна на /?. Если п = 2к + 1, то эта функция стро-
строго возрастает на R (§ 9, пример 9) и поэтому обратима. На рис. 12.8
ч
7Г
7Г
2
О
\
^Ч. У = arcctg х
X
Рис. 12.7
изображены графики функций
у = х3 и у = \[х — ж1/3.
Степенная функция с четным
натуральным показателем, т. е.	рис 12 §
функция у = х2к, & G А/, х G /?,
необратима. Однако ее сужение на множество [0,+оо), т. е. функция
у = х2к, & G А/, ж G [0, +оо), обратима и обратной к ней является функ-
функция у = 2^/ж. На рис. 9.10 изображены графики взаимно обратных
функций у = ж2, х е [0, +оо), и ^/ = д/ж.
Очевидно, функция у = ж2/е, к е N, х е (-оо,0), т. е. сужение функ-
функции ж2/е на множество (—оо,0), также обратима, и обратной для нее
является функция у = — 2%/х. На рис. 9.11 изображены графики функ-
функций у = ж2, ж ^ 0, и у = -у/х.
Если ж > 0, то при любом п G А/ функция жп обратима, а обратная
к ней функция обозначается ж1//п или ^/ж. Функция 2/ = ж~п, n G А/,

102
Гл. III. Предел и непрерывность функции
определена и непрерывна при ж/Ои записывается в виде у = 1/х71.
При п = 2к + 1 (fc E А/) эта функция обратима на множестве i? = {ж:
ж Е /?, ж ^ 0}, а при п — 2к (к Е А/) обратима на множествах (—оо, 0)
и @,+оо).
Дадим определение степенной функ-
функции хг с рациональным показателем г. Ес-
Если г = ттг/п, ттг Е Z, n E А/, то положим
жг _ /х1/п\т х > 0
О
Рис. 12.9
Функция ж1//п непрерывна и строго
возрастает (рис. 12.9).
Функция tm непрерывна при t > 0,
строго возрастает, если т > 0, и строго убывает, если m < 0. Поэтому
функция жг непрерывна при х > 0, строго возрастает, если г > 0, и
строго убывает, если г < 0.
Перечислим некоторые свойства рациональных степеней вещест-
вещественных чисел:
(al/n)m = (атI/п? а > 0,	A2)
аг > 1 при г G Q, а > 1, г > 0,	A3)
аГ1аГ2 = аГ1+Г2 при а > 0, n G Q, r2 G Q,	A4)
(аГ1)Г2 = аГ1Г2 при а > 0, n G Q, r2 G Q,	A5)
аГ1 > а7 при а > 1, n G Q, r2 G Q, гх > г2.	A6)
Свойства A2)—A6) легко проверяются, если воспользоваться
свойствами целых степеней и тем, что при а > 0, Ъ > 0 из ап = Ьп,
п G А/, следует а = Ь. Проверим, например, равенство A2).
Так как
((а771I/71O1 = ат, ((а1/71)™O1 = ((а
то из равенств A7) следует равенство A2).
4. Показательная функция.
а) Свойства функции аг, где а > 1, г G Q.
Утверждение 5. #а/ш а > 1, то
Vs>0 3J > 0: VrG 0
= а
A7)
[аг -
О В § 4 (пример 8) было показано, что если а > 1, то
Отсюда следует, что
lim a1/" = 1.
п—>-оо
lim а/п = 1.
A8)
A9)
B0)
Заметим, что соотношения A9) и B0) справедливы и в случае, ког-
когда 0 < а ^ 1.

§12. Непрерывность элементарных функций	103
Из A9) и B0) следует, что если а > 1, то
Уг>0 Зре /V: 0<а1/р-1<е, 0<1-а~1/р<е, где р = р(е),
откуда получаем
1-г<а~1/р <а1/р < 1 + г.
Пусть г — любое рациональное число такое, что \г\ < 1/р, т. е.
— 1/р < г < 1/р. Тогда в силу монотонности функции аТ при а > 1
(неравенство A6)) получаем
а~1/р <аг < а1/р.
Таким образом, для любого г > 0 существует число S = 1/р > 0 такое,
что для всех рациональных чисел г, удовлетворяющих условию \r\ < S,
выполняются неравенства
1 - г < а-х1р <аг < ах'р < 1 + г,
откуда находим — г < аг — 1 < г, т. е. справедливо утверждение 5. •
Утверждение 6. Если последовательность рациональных чисел
{гп} сходится, то последовательность {аГп}, где а > 1, также схо-
сходится.
О Из сходимости последовательности {гп} следует ее ограничен-
ограниченность, т. е.
За, C: Vn G Л/ -)> а ^ тп ^ /3, a G Q, /? Е <?,
откуда в силу A6) получаем
Учитывая, что аа > 0, и обозначая С = а^, находим, что
ЗС > 0: Vn е N -^ 0 < аГп ^ С.	B1)
В силу A8)
\/г > 0 Зй > 0: Vr G Q: |r| < S -+ \аг - 1| < ?.	B2)
Так как сходящаяся последовательность удовлетворяет условию Ко-
ши (§ 8), то по найденному в соотношении B2) числу S > 0 можно
подобрать номер
N? : Vn ^ N?J \/m^N?^ \rn - rm\ < 6.	B3)
Из неравенств B2) и B3) следует, что
larn-rm - 1| < ?.	B4)
Из неравенств B1) и B4) получаем
\аГп -аГт\ = |ar^(arw~r- -1)\<С^=е.
Таким образом,
Me > 0 37Ve : Vn ^ N?, \fm ^ N? ^ \аГп - аГт \ < г,
т. е. {аГп} — фундаментальная последовательность. В силу критерия
Коши она сходится. •

104	Гл. III. Предел и непрерывность функции
б)	Определение показательной функции. Пусть х — произвольная
точка числовой прямой, и пусть {гп} — последовательность рацио-
рациональных чисел, сходящихся к ж, т. е. lim rn = х. Предполагая, что
п—>-оо
а > 0, положим по определению
ах = lim аГп.	B5)
п—>-оо
Если а > 1, то предел B5) существует в силу утверждения 6. Если
0 < а < 1, то аГп = -—, где Ъ = - > 1, откуда следует, что существует
ЪГп	а
предел B5) и при а е @,1), так как lim ЬГп = Ьх > 0 (см. доказанное
п—>-оо
ниже неравенство B9)). При а = 1 предел B5) существует и равен 1,
так как V = 1 для любого г G (?. Заметим, что определение показа-
показательной функции является корректным, т. е. предел B5) не зависит
от выбора последовательности рациональных чисел, сходящейся к ж,
в силу леммы из § 10 (п. 6).
в)	Свойства функции у = ах, а > 1.
Свойство 1. Для любых вещественных чисел х\ и х<± выполня-
выполняется равенство
аХ1аХ2 =аХ1+Х2.	B6)
О Пусть {гп} и {рп} — последовательности рациональных чисел та-
такие, что lim rn = xi, lim pn = х^- Тогда lim (rn + рп) = х\ + х<± и
п—>-оо	п—>-оо	п—>-оо
по доказанному выше существуют следующие пределы:
Нт аГп = ах\ lim apn = аЖ2, lim aTn+pn = аЖ1+Ж2.
п—>-оо	п—>-оо	п—>-оо
Так как в силу равенства A4) аГп+Рп = аГпаРп, то, переходя в по-
последнем равенстве к пределу при п —> оо, получаем равенство B6). •
Из этой формулы, в частности, следует, что для любого х G R
выполняется равенство
Свойство 2. Функция у = аж, где а > 1, строго возрастает на R.
О Нужно доказать, что
Vxi е /?, \/х2 е R: хг < х2 ^ аХ1 < аХ2.	B8)
Заметим сначала, что для любого х G /? выполняется неравенство
аж > 0.	B9)
В самом деле, пусть г G Q и г < х. Рассмотрим последовательность
рациональных чисел {гп} такую, что lim rn = х и гп > г при п е N.
п—>-оо
Тогда аГп > аг в силу A6), откуда, переходя к пределу, получаем ах ^
^ аг, где аг > 0. Итак, аж ^ аг > 0, т. е. выполняется неравенство B9).
Чтобы доказать неравенство B8), умножим обе части его на
a~Xl > 0 и, пользуясь свойством 1, получим неравенство

§12. Непрерывность элементарных функций	105
равносильное неравенству B8). Полагая х<± — х\ — ж, получим нера-
неравенство
ах > 1, если х > 0.	C0)
Итак, для доказательства утверждения B8) достаточно доказать рав-
равносильное ему утверждение C0).
Пусть г Е Q таково, что 0 < г < ж, и пусть {гп} — последователь-
последовательность рациональных чисел, удовлетворяющая условиям lim rn = х
п—уоо
и гп > г для п Е N. Тогда, используя неравенства A6) и A3), име-
имеем аГп > аг > 1, откуда, переходя к пределу при п ->• оо, получаем
ах ^ аг > 1. Свойство 2 доказано. •
Свойство 3. Функция у = ах, где а > 1, непрерывна на R.
О Пусть ж0 — произвольная точка множества /?, А^/ = аЖо+Аж -
— аж° = ах°(аАх — 1). Нужно доказать, что аАх —>¦ 1 при Ах —>¦ 0 или
lim ax = 1.	C1)
Пусть {хп} — произвольная последовательность вещественных чисел
такая, что lim xn = 0. В силу свойств вещественных чисел найдутся
п—>-оо
последовательности рациональных чисел {гп} и {г^}, удовлетворяю-
удовлетворяющие при п е N условию
хп - - < гп < хп < г' < х +
п п п < хп + ,
откуда, используя свойство 2, получаем
аГп <аХп <а<.	C2)
Так как г' —> 0 и гп —> 0 при п —>- оо, то из A8) следует, что	lim аГп =
= lim аГп = 1. Отсюда, используя неравенство C2),	получаем
п—>-оо
lim аЖп = 1. Утверждение C1) доказано, откуда следует, что сущест-
п—>-оо
вует lim аЖо+Аж, равный аж°, т. е. функция ах непрерывна в точке ж0.
Аж-^О
Так как хо — произвольная точка множества /?, то функция ах не-
непрерывна на R. •
Свойство 4. Для любого х\ G R и любого х<± G R справедливо
равенство
(аХ1)Х2 =аХ1Х2.	C3)
О а) Пусть Х2 = г G Q, x\ G /?, и пусть {rn} — последовательность
рациональных чисел такая, что lim тп — х\. Тогда, используя ра-
п—>-оо
венство A4), получаем
(аг-)г =аГГп.	C4)
Так как lim rrn = rxi, то по определению показательной функции
п—>-оо
существует lim аГГп =аГ
nrrn _ nrxx
n—>-oo

106	Гл. III. Предел и непрерывность функции
Обозначим аГп = ?n, aXl = to- Тогда по определению показательной
функции существует lim tn = to, и в силу непрерывности степенной
п—юо
функции с рациональным показателем в левой части равенства C4)
существует lim (аГп)г = (аХ1)г. Отсюда следует, что справедливо ра-
п—>-оо
венство
(аХ1)г = аХ1Г	C5)
для любого х\ Е R и любого г Е Q.
б) Пусть #1 и Х2 — произвольные вещественные числа, и пусть
{рп} — любая последовательность рациональных чисел такая, что
lim рп = Х2- Из равенства C5) при г = рп получаем
п—юо
(аЖ1)^ =аЖ1^.	C6)
Так как lim х\рп — х\х2, то в силу свойства 3 правая часть равенст-
п—>-оо
ва C6) имеет при п ->• оо предел, равный aXlX2. Покажем, что левая
часть C6) имеет предел, равный (аХ1)Х2. Обозначим aXl = Ъ. Тог-
Тогда по определению показательной функции существует lim (aXl)Pn =
п—Yoo
= lim Ърп = ЬХ2 = (аХ1)Х2. Равенство C3) доказано. •
Свойство 5. Если а > 1, то
lim ax = +оо,	C7)
ж-^+оо
lim ax = 0.	C8)
х—У — сю
О Из неравенства ж ^ [ж] в силу свойства 2 получаем аж ^ а^. Так
как а > 1, то а = 1 + а, где а > 0. Применяя неравенство Бернулли,
имеем
аМ = A + оО[ж] > а [ж] > а(х - 1).
Итак, аж > а(х — 1), где а > 0, откуда следует соотношение C7).
Если ж < 0, то, используя равенство ах = ^^ и соотношение C7),
а ж
получаем утверждение C8). •
Итак, показательная функция у = ах, где а > 1, непрерывна на
всей числовой оси и строго возрастает; множество ее значений —
интервал @,+оо).
Замечание 2. Свойства 1, 3, 4 остаются в силе и для показательной
функции у = ах, где 0 < а < 1.
Однако в отличие от функции у = аж, а > 1, которая является строго
возрастающей, функция ?/ = аж, 0 < а < 1, строго убывает, так как ах = —,
где 6 = — > 1. Из C7) и C8) следует, что если 0 < а < 1, то
а
а
lim аж = +оо, lim ax = 0.
+
ж—> — оо

§12. Непрерывность элементарных функций
107
На рис. 12.10 и 12.11 изображены графики показательной функции
у = ах для случаев а>1и0<а<1.
yl
1
	'
о
\ /
X
О
Рис. 12.10	Рис. 12.11
Замечание 3. В качестве основания показательной функции часто ис-
используют число е, а функцию у = ех называют экспоненциальной и
обозначают ехрж.
Пример 3. Построить график функции у = е1//ж.
Л Функция е1//ж определена при х
значения при всех х ф 0, являет-
является строго убывающей на интерва-
интервалах Ei = (-оо,0) и Е2 = @,+оо),
причем е1//ж < 1 при х е Е\ и
е1/ж у -^ ПрИ ж ^ ^ Учитывая, что
lim e1/x = 1-0, lim e1/x = +0,
хУ сю	ж^0
О, принимает положительные
%\
i
y=el/x
Hm e1/x = +оо,
^—0
lim е1/ж = 1 + 0,
Рис. 12.12
X—>-|-OO
строим график функции у =
(рис. 12.12). А
5. Логарифмическая функция. По теореме об обратной функ-
функции на промежутке @, +оо) определена функция, обратная к функции
у = ах, а > 1. Эта функция называется логарифмической и обознача-
обозначается у = loga х. В силу свойств обратных функций логарифмическая
функция с основанием а > 1 является непрерывной и строго возрас-
Рис. 12.13	Рис. 12.14
тающей. Множество ее значений — вся числовая прямая. График
функции у = loga ж, где а > 1, изображен на рис. 12.13.

108
Гл. III. Предел и непрерывность функции
Аналогично определяется функция у = loga ж, где 0 < а < 1. Эта
функция, график которой изображен на рис. 12.14, является непре-
непрерывной и строго убывающей на промежутке @,+оо).
Пусть а > 0, а ф 1. Тогда по свойствам взаимно обратных функций
справедливы равенства
ftloga x _ x Ж > О
loga ax = ж, ж е R.
Если х > 0, xi > 0, Х2 > 0, то из свойства 1 показательной фукции
и формулы C9) следует, что
= loga xx + loga х2,
logaxi -logax2,
Логарифмируя равенство C9) по основанию Ъ, где Ь > О, Ь ф 1,
получаем следующую формулу перехода от одного основания к дру-
другому:
*1\
у
х -
откуда при х = b находим формулу
Отметим, что в качестве осно-
основания логарифмов часто исполь-
используется число е. Логарифм чис-
числа ж с основанием е называют
натуральным и обозначают In ж.
6. Гиперболические функции
и обратные к ним. Функции, за-
заданные формулами
chx =
shx =
Рис. 12.15
называют соответственно гипербо-
гиперболическим косинусом и гиперболичес-
гиперболическим синусом.
Эти функции определены и непрерывны на /?, причем chx — чет-
четная функция, а shx — нечетная функция. Графики функций у = chx
и у = shx изображены на рис. 12.15.
Из определения гиперболических функций shx и chx следует, что
sh х + ch x = ех,
= l + 2sh2x,
D0)
D1)

§12. Непрерывность элементарных функций
109
По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические
тангенс и котангенс определя-
определяются соответственно формулами
thx =
shx
cthx =
chx
ch x '	sh ж
Функция thx определена и непре-
А
-1 О
= cthx
-1
Рис. 12.16	Рис. 12.17
рывна на /?, а функция cthx определена и непрерывна на множест-
множестве R с выколотой точкой х = 0; обе функции нечетные, их графики
представлены на рис. 12.16 и рис. 12.17.
Можно показать (см. § 20, пример 1), что функции у = shx, 2/ =
= thx и ^/ = chx, ж > 0, строго возрастающие, а функция chx, ж ^ 0,
строго убывающая. Поэтому указанные функции обратимы. Обозна-
Обозначим обратные к ним функции соответственно через arshx, arthx,
arch+x, arch_x.
Рассмотрим функцию, обратную к функции shx, т. е. функцию
arshx (читается ареа-синус от х). Выразим ее через элементарные.
= у относительно ж, получаем е =
Решая уравнение shx =
= у ± д/l + 2/2. Так как еж > 0, то еж = у + д/l + У1 •> откуда х = 1п(г/ +
+ л/l + ^/2). Заменяя ж на 2/, а у на ж, находим формулу для функции,
обратной для гиперболического синуса:
arshx = 1п(ж + л/l + ^2), х е R.
Замечание 4. Название "гиперболические функции" объясняется
тем, что уравнения х = cht, г/ = sht можно рассматривать как параметри-
параметрические уравнения гиперболы х2 — у2 = 1 (см. формулу D0)). Параметр ? в
уравнениях гиперболы равен удвоенной площади гиперболического секто-
сектора (см. [3, т. 2, п. 330]). Это отражено в обозначениях и названиях обрат-
обратных гиперболических функций, где частица аг есть сокращение латинского
(и английского) слова area — площадь.
Упражнение 4. Доказать формулы
sh (х + у) = sh х ch у + ch x sh у,
ch(x + у) = chxchy -\- sh ж sh у,
1	1 + х , , ^ 1
arthx=-ln	, ж < 1,
2	1 — х

110	Гл. III. Предел и непрерывность функции
arch+ж = 1п(ж + уж2 — 1), ж ^ 1,
arch_x = 1п(ж — ух2 — 1), х ^ 1.
7.	Степенная функция с любым вещественным показате-
показателем. В п. 3 была рассмотрена степенная функция вида жг, где г Е Q.
Степенная функция с любым вещественным показателем а при х > 0
выражается формулой
жа=еа1пж.	D2)
Функция ха непрерывна при х > 0 как суперпозиция показатель-
показательной функции е1 и функции t = a In ж, которые являются непрерыв-
непрерывными. Из равенства D2) и свойств показательной и логарифмичес-
логарифмической функций следует, что функция ха строго возрастает при а > 0 и
строго убывает при а < 0 на промежутке @,+оо). Из формулы D2)
и равенства In el = t следует, что
lnxa = a In ж, a G /?, ж > 0.
Замечание 5. Если a G (?, то функция жа может иметь смысл и при
ж < 0. Например, функции ж2, ^ж определены на /?, а функции 1/ж5, 1/tyx
определены при всех х Е /?, кроме ж = 0.
8.	Показательно-степенная функция. Пусть функции и(ж) и
г?(ж) определены на промежутке А = (а, 6), причем для всех ж G А
выполняется условие и(х) > 0. Тогда функцию у, определяемую фор-
формулой
У — ev(x)\nu(x)
будем называть показательно-степенной и обозначать
и(
Таким образом, по определению
Если и, v — функции, непрерывные на А, то функция uv непрерывна
на А как суперпозиция непрерывных функций е1 и t = v(x)\nu(x).
§ 13. Вычисление пределов функций
1. Раскрытие неопределенностей. При вычислении пределов
часто встречается случай, когда требуется найти lim ^т~т, гДе / и
х^а д(х)
д — бесконечно малые функции при х ->• а, т. е. lim f(x) = lim g{x) =
х—Уа	х—Уа
= 0. В этом случае вычисление предела называют раскрытием

§13. Вычисление пределов функций	111
неопределенности вида -. Чтобы найти такой предел, обычно преоб-
, /О)
разуют дробь ^-т-г, выделяя в числителе и знаменателе множитель
9\х)
вида (х — а)к. Например, если в некоторой окрестности точки х — а
функции fug представляются в виде f(x) = (х — а)кfi(x), g(x) =
= (х — a)kgi(x), где к Е А/, а функции Д, и д\ непрерывны в точке а,
/(ж) h{x)	,	v /(ж) /i(a)
то ^-7-7 = / ч ПРИ x Ф а, откуда следует, что lim ^-7-7 = ) > ? ec"
р(ж) pi (ж)	x^a g(x) gi(a)
ли pi (a) 7^0.
Аналогично, если / и д — бесконечно большие функции при х —у а,
f(x)
т. е. lira /(ж) = оо, lira д(х) = оо, то говорят, что их частное ^-7—7 и
ж—^а	ж—>а	9\х)
разность f(x) — д(х) представляют собой при х —> а неопределенности
вида — и оо — оо соответственно. Для раскрытия неопределенностей
оо
таких типов обычно преобразуют частное или разность так, чтобы
к полученной функции были применимы свойства пределов. Напри-
п
мер, если / и д — многочлены степени п, т. е. f(x) = 2^ ак^к, д(х) =
71	А—О
= y^bkX , где ап / О, 5П / 0, то, разделив числитель и знаменатель
k=0 jf
m
1
Xn
1 ту-|
->-oo
, найдем
g(x) x^
dn ~
n
Ь О"п-1	\~
\-bn-l- +
X
... H—-
Пример 1. Найти lira F(x), если:
ж^a
O~i / \	ZX ~т~ X О
ж3-64
ч „, ч tg ж — sin ж	Л
в) F(x) = -2	, a = 0;
г) F(x) = л/ж2 + х + 1 - л/ж2 -ж + 1, a = +00.
Л а) Разложив числитель и знаменатель на множители, получим
„, ч Bж + 3)(ж-1) . . 2ж + 3	с
F(x) = v	;\	^—, откуда hm F(x) = hm -5-	7 = 5.
(ж — 1)(Ж2 + X — 1)	ж^1	ж^1 Ж2 + Ж — 1
б) Умножив числитель и знаменатель на функцию <р(ж) =
= л/х + 21 + Бл/х - 3 и используя формулу ж3 - 64 = (х — 4)ф(х),
где ^(ж) = х2 + 4ж + 16, получим
У , ч _ ,. ж+ 21 -25(ж-3) _ ,.	-24 _	24 _ _^
ж™ ^^ ~ ж™ (ж4)^(ж)(^(ж) ~ ж™ (р(х)ф(х) ~ (рD)фD) ~ 20'

112	Гл. III. Предел и непрерывность функции
ч гр	т-1/ \ sinxl — cos ж 1	1	о . 2 ж
в) 1 ак как b \х) =	, где 1 — cos х = 2 sin -, то, ис-
у	v y ж ж2 cos ж	.	2
sin ж
пользуя первый замечательный предел lim	= 1 и непрерывность
ж-И) X
косинуса, получаем
lim Fix) = lim
x \ _ I 2 cos ж 2
\ 2 /
г) Преобразуем F(x), умножив и разделив эту функцию на ср(х) =
= л/х2 + х + 1 + л/х2 — х + 1. Получим F(x) = , , откуда, разделив
<^(ж)
числитель и знаменатель на ж, находим
~~1 Г / 1 Г'
Н	1	о + Л/1	'	2
ж ж2 у ж ж2
Используя непрерывность функции л/l при t = 1, получаем
lim FO) = —?— = 1. А
ж—»-+оо	1 + 1
2. Замена переменного при вычислении предела.
Теорема 1. Если существуют
lim ip(x) = 6, lim f(y) = A,
причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки а вы-
выполняется условие ip(x) ф Ь, то в точке а существует предел сложной
функции f((p(x)) и справедливо равенство
х—>а	У^-Ь
О Согласно определению предела функции ip и / определены соот-
соответственно в Us(a) и U?(b), где S > 0, г > 0, причем для х е Us (а)
выполняется условие (р(х) G U?(b). Поэтому на множестве Us (а) опре-
определена сложная функция f(ip(x)). Пусть {хп} — произвольная после-
последовательность такая, что lim жп = а и жп G [/^(a), n G А/. Обозначим
п—>-оо
уп = (р(жп), тогда по определению предела функции lim yn = 6, где
п—>-оо
Уп G U?{b). Так как существует lim /B/) = А, то
lim f(cp(xn)) = lim /(?/n) = A.
n—>-oo	n—>-oo
Это означает, что lim f(ip(x)) = А, т. е. справедливо равенство A). •
Пример 2. Доказать, что:
ч	,. агсвтж 1	/оч
a)	lim 	 = 1;	B)
х^о х
б)	lim ^^ = 1.	C)
J	х^О X	V J

§13. Вычисление пределов функций	113
Л а) Пусть у = arcsinx; тогда х = sin 2/, и поэтому
arcsinx _ у
х	sin у'
причем {х —> 0} <=$ {у —> 0}. Следовательно,
,. arcsinx ,. г
lim 	 = lim -г
Sm у
Используя первый замечательный предел lim —- = 1, получаем со-
у^О у
отношение B).
б) Если у = arctgж, то х = tg у, причем {х —У 0} <^> {у —У 0}. Так как
r arctg ж ,. у
lim 	^— = lim -^-,
х^О X	у^О tgy
где
lim —^— = lim —^
t
то справедливо утверждение C). А
3. Второй замечательный предел.
/ ^ \ х
Теорема 2. Функция ip(x) = A + - j имеет при х ->• оо предел,
равный е, т. е.	/ -. ч ж
lim A + -) =е.	D)
ж^оо \	X/
О Докажем сначала теорему 2 для случая, когда х ->• +оо. В § б было
доказано, что
an=flH—) ->• е при n ^ оо.	E)
Обозначим
71+1	/	1 \ П
( )	F)
Так как
то из E) и G) следует, что
lim уп = lim zn = e,	(8)
п>оо	п>оо
у
п—>-оо	п—>-оо
а из (8), пользуясь определением предела, получаем, что
\/г > О 37V, : Vn ^ TV, -> 2/n G t/e(e), zn G t/Де).	(9)
Пусть ж — произвольное вещественное число такое, что х ^ N?,
и пусть п — [х]. Тогда
N?^.n^x<n + 1.	A0)
Из A0) следует, что
1 < - ^ -,
п + 1 ж п

114	Гл. III. Предел и непрерывность функции
1 + —^ <1 + - ^1 + -.	A1)
п +1	ж	п
Из A0) и A1) в силу монотонности показательной и степенной функ-
функций получаем
+1
а из A2), F) и (9) следует, что
e - s
По определению предела это означает, что теорема справедлива в слу-
случае, когда х —> +оо.
Докажем, что
lim (l + -Y = e.	A3)
^оо V	Ж/
ж-^-оо
Положим х = — 1 — ?, тогда t —>¦ +оо при ж —>¦ —оо и
откуда следует, что справедливо равенство A3), так как и + - j
при t —> +00 и 1 -\	> 1. Теорема 2 доказана. •
Следствие. #а/ш а(ж) т^ 0 <?ля всех х из некоторой проколотой
окрестности точки хо и lim а(х) = 0, то
X—YXQ
lim (l + a(x))^a^ =е.	A4)
х^х0
В частности,
НтA + жI/ж =е.	A5)
х—>0
О Для доказательства утверждения A4) достаточно воспользоваться
соотношением D) и теоремой 1. •
Замечание 1. Если а(х) ф О, /3(х) /Ов некоторой проколотой окрест-
О? ( X )
I = lim /3(ж) = 0 и существует lim	= Л, то
lim A+а(ж)I//3(ж)=еЛ.	A6)
Oi ( X )
ности точки жо, Нт а(х) = lim /3(ж) = 0 и существует lim	= Л, то
В частности,
lim A + iia(x)I'а^х* = ем,	A7)
ж—>-жо
если /j, = const, а(ж) —»¦ 0 при ж —>- жо и а(ж) / 0 для ж Е С/<5(жо).
О Для доказательства утверждения A6) следует воспользоваться ра-
равенством A + а(ж)I//3(ж) = [A + а(х)I/а{х)]а{х)/тх) и соотношением A4). •

§13. Вычисление пределов функций	115
Пример 3. Найти lim (—	) .
ж-Юо \6Хг — 5/
4 \ж
Л Так как ( —	1 = —	—$•> TCS используя соотношение A7),
\дх о /	/	5 \х
находим, что искомый предел равен е4//3~(~5//3) = е3. А
Пример 4. Найти
lim (cos хI^ х.
Л Используя равенство cos ж = 1 - 2 sin2 -, по формуле A6) находим,
что искомый предел равен еЛ, где
Л = Н
— 2 S1I1 —	/ Sin — \ / _ \ 2
Л	[ 2 ) (JL)
I1 —	/ Sin — \ / _ \ 2 / 1\	1
-Л. = Jim [ _2. ) (JL.) (-1-)= -1,
2x	ж^о I ^ / Vtgx/ V 2/	2'
Jim [	) (
\ 2 /
т. е. равен е~1//2. А
4. Некоторые важные пределы.
Пример 5. Доказать, что если а > 0, а ф 1, то
r logo(l + ж) ,	1	/1 оч
lim —2^	'- = loga e = -—.	A8)
х^о х	In a
Л Рассмотрим функцию
e,
Эта функция определена в некоторой окрестности точки х = 0 и не-
непрерывна в точке ж = 0 в силу теоремы 2. Поэтому функция loga /(ж)
непрерывна в точке х = 0 как суперпозиция непрерывных функ-
функций loga t и t = /(ж). Следовательно,
lim loga f(x) = loga ( lim A + xI/x) = loga e.
Так как loga /(ж) =	 при ж ф 0, то искомый предел ра-
ж
вен loga е. Из равенства A8) при а = е получаем
х)=1 А
Пример 6. Доказать, что если а > 0, а ф 1, то
lim—— =lna.	B0)
ж-^0 Ж
Л Функция у — ах-\ непрерывна и строго монотонна на R (возрас-
(возрастает при а > 1 и убывает при 0 < a < 1). На промежутке (—1,+оо)
существует обратная к ней функция ж = loga(l + y), непрерывная и

116	Гл. III. Предел и непрерывность функции
мулу A8), получаем lim	= lim	у-	 = In а. Отметим важ-
ж^О Ж	2/^0 loga(l + ^/)
строго монотонная. Учитывая, что у —У 0 при ж —у 0 и используя фор-
формулу A8), получаем lim
ж-И) Ж
ный частный случай формулы
lim -
ж-И)
Пример 7. Доказать, что
lim —— = 1. А	B1)
ж-И) X
1.	B2)
ж^О X
ех _ е-х е2х _ i
Л Так как shx =	= —, то, применяя формулу B1), по-
получаем	е
У
r shx ,. е-11 ,
lim 	 = lim	= 1. А
ж-^о х ж-^о 2х ех
Пример 8. Доказать, что
lim (i±?l^i = а	B3)
ж^О	X
для любого a G /?, а / 0.
Л Рассмотрим функцию у = A + ж)а — 1 = еа1пA+ж) — 1. На мно-
множестве (—1,+оо) существует обратная к ней функция х = х(у), при-
причем у —> 0 при х —> 0. Из равенства A + ж)а = 1 + у следует, что
+ х)а — 1 |/	|/
	^	= - = —-^—
а1пA + ж) =1пA + 2/). Поэтому	= =	,
хх 1пA + у) х
откуда, используя равенство A9), получаем соотношение B3). А
5. Сравнение функций.
а) Эквивалентные функции. Если в некоторой проколотой окрест-
окрестности точки хо определены функции /, g, h такие, что
f(x)=g(x)h(x), lim h(x) = l,	B4)
ж—^жо
то функции fug называют эквивалентными (асимптотически рав-
равными) при х —> хо и пишут
f(x) ~ g(x) при х ->> хо,
или, короче, f ~ g при х —> х$.
sm х	sin ж
Например, sin ж ~ х при ж —у 0, так как sin ж — х	, a lim	= 1;
х ж-^о х
4	4	2	2
2 при ж —>- оо, так как ^^	 = ж2^	, a lim
^	'	Ж2 + 1	Ж2 + 1 ' ж^оо
~ х при ж > оо, так как ^^= ж^, a lim ^
X2 + 1	^	'	Ж2 + 1	Ж2 + 1 ' ж^оо Ж2 + 1
= lim 	=- = 1.
1
Упражнение 1. Показать, что отношение эквивалентности функций
обладает свойствами:
а)	симметричности, т. е. если f ~ g при ж —»¦ жо, то g ~ f при ж —>- жо;
б)	транзитивности, т. е. если f ~ g и g ~ ср при ж —»¦ жо, то / ~ 9?
при ж —>- жо.

§13. Вычисление пределов функций	117
Упражнение 2. Показать, что если f ~ g и fi ~ gi при х —»¦ жо,
то //i ~ ^ при х ->• ж0.
Отметим, что функции / и д, не имеющие нулей в проколотой
окрестности точки жо, эквивалентны при ж —У жо тогда и только тог-
Да'К0ГДа
hm
hm ^4 = nm тМ = 1-
х^х0 g{x) х^х0 f(x)
Понятие эквивалентности обычно используют в тех случаях, когда
обе функции / и g являются либо бесконечно малыми, либо бесконеч-
бесконечно большими при х —У хо.
Пределы, найденные в примерах 2, 5-8, позволяют составить сле-
следующую таблицу функций, эквивалентных при х ->• 0:
sin ж г-
tga -
агсвтж ^
arctgж ^
^ ж
^ ж
^ ж
^ ж
еж -1 -
вЬж г
1пA + ж) ^
A + Х)а — 1 г
^ X
^ X
^ X
^ а
Эти соотношения остаются в силе при ж —> жо, если заменить в
них ж на функцию а(ж) такую, что а(х) —>¦ 0 при ж —>¦ жо- Например,
sin ж2 ~ х2 при ж ->• 0,
вЬ(ж - IK - (ж - IK при х->1.
Пример 9. Доказать, что
2	2
1 — cos ж ~т^5 спж — 1 ~ ^- при ж —>- 0.
Л а) Пользуясь тем, что 1 — cos ж = 2 sin2 ^ и sin — ~ тг ПРИ ж —>- 0,
получаем 1 — cos ж ~ ^- при ж —>- 0.
о
б) Так как сЬж — 1 = 2 sh -и sh — ~ — при ж —у 0, то ch ж — 1 ~ —
при ж —>- 0. А
б) Замена функций эквивалентными при вычислении пределов.
Теорема 3. Если f ~ Д и g ~ gi при ж ->• ж0, шо из существова-
существования предела функции ; ' при х —У жо следует существование предела
gi(x)
*	/О)	Л
функции ±j-^r при х —У жо I/ справедливость равенства
9{Х)	Шп М = lim ЛМ.	B5)
ж^ж #(ж) ж^ж pi (ж)
О По условию / ~ /i и g ~ gi при ж —>¦ жо. Это означает, что /(ж) =
= fi(x)h(x) и д(ж) = р1(ж)/11(ж), где lim h(x) = 1 и lim h\(x) = 1.
ж>ж	ж>ж
()
ж—>-жо	ж—>-жо
Так как существует lim , { и hAx) —>¦ 1 при ж —>- жп, то най-
ж^ж0 pi (ж)
дется такая проколотая окрестность точки жо, в которой определены

118	Гл. III. Предел и непрерывность функции
функции /i, #i, hi, причем gi(x) ф 0 и h\[x) ф О, откуда следует,
что в этой окрестности определена функция g[x) = g\[x)h\[x) такая,
что д(х) ф 0.
Следовательно, в некоторой проколотой окрестности точки жо
определена функция ^т—г и
9{Х) f(x) = h(x) h(x)
=
д(х) hi(x)gi(x)'
Так как существует lim	, a lim h(x) = 1, lim h\(x) = 1, то
ж-^жо 9l\X)	х —>хо	х—>хо
fix)
существует lim ^Ц—? и справедливо равенство B5). •
х—ухо д{х)
т-г -1ГЛ тт - v arcsinx(e^ — 1)
Пример 10. Найти lim	-.
x^O COS X — COS Зх
Л Так как arcsinx ~ ж, еж — 1 ~ ж, cos ж — cos Зх = 2 sin ж sin 2ж,
sin ж ~ х, вт2ж ~ 2ж, то агс8тж(еж — 1) ~ ж2, cos ж — совЗж ~ 4ж2 при
ж ->• 0. Отсюда по теореме 3 следует, что искомый предел равен 1/4. А
в) Понятие бесконечно малой функции по сравнению с другой. Ес-
Если в некоторой проколотой окрестности точки жо определены функ-
функции /, д, а такие, что
/(ж) = д(х)а(х), lim а(х) = 0,	B6)
X—YXQ
то функцию / называют бесконечно малой по сравнению с функцией д
при х —> жо и пишут
f(x)=o(g(x)), ж^ж0,	B7)
или, короче, / = о(д), ж ->• ж0.
Эта запись читается так: "/ есть о малое от д при ж, стремя-
стремящемся к жо". В частности, запись /(ж) = оA), ж —> жо, означает, что
/(ж) является бесконечно малой функцией при ж —У жо. Если д(ж) т^ 0
в некоторой проколотой окрестности точки ж0, то соотношение B7)
можно записать в виде
х^хо д(х)
или в виде
lim ^ = 0.
ж-^ж0 д
Следует иметь в виду, что функции / и д, о которых идет речь в
записи B7), не обязательно являются бесконечно малыми при ж —У жо.
Например, если ж ->• оо, то ж2 = о(ж4), а функции ж2 и ж4 являются
бесконечно большими при ж —>¦ оо.
В случае когда функция д в записи B6) является бесконечно ма-
малой, говорят, что при ж —> жо функция / — бесконечно малая более
высокого порядка, чем д. Например, при ж —У 0 функции ж2,	2

§13. Вычисление пределов функций	119
tg3xsin	бесконечно малые более высокого порядка, чем х. Поэ-
Поэтому справедливы равенства
х2 = о(х), cosxsh2x = о(х), tg3xsin - = о(х), х —У 0.
Символ о(х) в этих равенствах служит для обозначения множес-
множества или, как принято говорить, класса функций, бесконечно малых
более высокого порядка, чем х при х ->• 0. Поэтому правильнее было
бы вместо, например, равенства х2 = о(х), х —У 0, писать х2 Е о(х),
х —У 0. Однако вторая запись неудобна для применения при выполне-
выполнении операций над функциями.
Из сказанного следует, что равенство вида B7) не является равен-
равенством в обычном смысле. Такое равенство в соответствии с опреде-
определением записи B7) следует читать только слева направо, поскольку
правая часть обозначает класс функций, бесконечно малых по срав-
сравнению с д{х) при х —У хо, а /(ж) — какая-либо функция этого класса.
Отметим некоторые важные для дальнейшего изложения (см. § 18)
свойства символа о(д), считая, что х —У жо, а равенства, содержащие
этот символ, читаются слева направо (здесь С — постоянная):
о(дп)о(дт) = о(дп+ш),	п е Л/, те N
дп-1о(д) = о(дп),	п G Л/
(о(д)У1 = о(дп),	пе N
°^П) =о(дп-1),	neN, д^О
о(Сд) = о(д)
Со{д) = о{д)
о(д) + о(д) = о(д)
о(о(д)) = о(д)	д
о(д + о(д)) = о(д)
Докажем первое из этих свойств.
О Надо показать, что любая функция, принадлежащая классу функ-
функций о(Сд), принадлежит и классу функций о(д), т. е. если / = о(Сд),
то / = о(д), х -> ж0.
По определению запись / = о(Сд) означает, что /(ж) = Сд(х)а(х),
где а(х) —У 0 при х —У xq. Но тогда
/(ж) = д(х)Са(х) = д(х)а1(х),
где а\(х) ->• 0 при ж ->• ж0, т. е. / = о(^), ж ->• ж0. •
Упражнение 3. Доказать, что если ш G Л/, n G Л/, а д(ж) —>- 0 при
ж —»¦ жо, то:
а) о(^) = о(9т) при m ^ щ
= о(р), Ci,..., Сп — постоянные.
Наряду с символом о(д) в математике употребляют символ О(д).
Запись
), х^х0,	B8)

120	Гл. III. Предел и непрерывность функции
означает, что в некоторой проколотой окрестности Us(xo) точки жо
определены функции /, g, if такие, что
/(ж) = д(х)ф),	B9)
где ip(x) — функция, ограниченная на Us(xo), т. е.
ЗС > 0: \/х е U6(xo) -> \ф)\ ^ С.
Соотношение B8) читается так: uf(x) есть О большое от д(х) при ж,
стремящемся к жо".
Например,
х2 + 2ж3 = О(ж2), х ->0;
х2 + 2х3 = О(ж3), х -у оо.
Аналогично запись
означает, что на множестве Е справедливо равенство B9), где ip —
функция, ограниченная на этом множестве. Отсюда следует, что
|/0г)К С\д(х)\, хеЕ.
В частности, если /(ж) = 0A), х G Е, то функция / ограничена на
множестве Е. Например, можно записать, что cos ж2 = 0A), х е R.
г) Критерий эквивалентности функций.
Теорема 4. Для того чтобы функции f(x) и д{х) были эквива-
эквивалентными при х —> жо, необходимо и достаточно, чтобы
f(x)=g(x)+o(g(x)), ж -> ж0.	C0)
О Пусть / ~ ^ при ж —>¦ жо; тогда выполняются условия B4), и поэто-
поэтому flx) - g(x) =9(x)(h(x) - 1) =g(x)a(x), гдеа(ж) =h(x) - 1 ^ 0 при
ж —у жо- Отсюда по определению символа о(д) следует, что / — д = о(^),
ж —у жо, т. е. справедливо равенство C0)
Обратно: из равенства C0) следует, что f ~ д при ж —> xq. Дейст-
Действительно, если выполняется равенство C0), то /(ж) = д(х) + д(х)а(х),
где а(х) —>¦ 0 при ж —>¦ жо, откуда /(ж) = g{x)h{x), где /г(ж) = 1 + а(ж) —>¦
->• 1 при ж ->• жо, т. е. /(ж) ~ ^(ж) при ж ->• ж0. •
Упражнение 4. Доказать, что
{/~р при х ^ хо} О {д(х) = f(x)+o(f(x)), x ->> ж0}.
Теорема 4 позволяет приведенную в п. 5, а) таблицу эквивалент-
эквивалентных функций записать в виде
sin ж = ж + о(ж),	ж ->• О
tgж = ж + o(ж),	ж —у О
arcsinx = ж + о(ж),	ж —>- О
arctgж = ж + о(ж),	ж ->• О
еж - 1 = ж + о(ж),	ж ->• О
вЬж = ж + о(ж),	ж —>¦ О
1пA + ж) = ж + о(ж),	ж ->• О
A + х)а - 1 = ах + о(ж),	ж -)> О

§13. Вычисление пределов функций	121
С помощью этой таблицы можно вычислять пределы функций.
Пример 11. Найти lim	—	.
ж-И) 2 arctg х — arcsin x
Л Так как ех - 1 = ж + о(ж), \/1 + ж - 1 = -ж + о(ж), arctg ж =
о
= ж + о(ж), arcsin ж = ж + о(ж), то
	 2
еж-у1 + ^ = -ж + о(ж),
2 arctg ж — arcsin ж = ж + о(ж) при ж —>-0.
Поэтому
2 arctg ж — arcsin х х + о(ж) -, .
х
где -^ = оA) —У 0 при ж —У 0. Следовательно, искомый предел ра-
х
вен |. А
Пример 12. Найти lim (——)
ж-^о V сп ж /
Л Используя результат примера 9 и асимптотическую формулу
1пA + ж) ~ х при ж ->• 0, получаем
2	2
cos ж — 1 =	Ь о(ж2), сЬж — 1 =	Ь о(ж2),
ж1пA + ж) = ж(ж + о(х)) = ж2 + о(ж2), ж —>- 0.
Применяя формулу A6), находим
2
так как	2
lim —^	. оч = lim —
х^о х2 + о(х2) х^о 1 +
Аналогично получаем, что
= lim A + -
V	2
р I
Следовательно, искомый предел равен —j— = е . А
В заключение отметим, что в дальнейшем будут рассмотрены бо-
более эффективные методы вычисления пределов, основанные на ис-
использовании понятия производной (§ 18, 19).

122	Гл. III. Предел и непрерывность функции
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
1.	Пусть функции / и g не имеют предела в точке ж0- Следует ли отсюда,
что функции / + g и fg также не имеют предела в этой точке?
2.	Доказать, что если функция / непрерывна в точке жо, а функция g
разрывна в точке жо, то функция / + g разрывна в этой точке.
3.	Пусть функция / непрерывна в точке а и для каждого S > 0 сущест-
существуют точки х'5 G Us (а) и х'8' G Us (а) такие, что f(xs)f(xs') < 0. Доказать,
что /(а) = 0.
4.	Доказать, что если функция / непрерывна на промежутке
[а, +оо) и существует конечный lim /(ж), то эта функция ограничена на
х—^ + оо
промежутке [а,+оо).
5.	Доказать, что если функция / непрерывна на отрезке [а,Ь] и /(ж) > 0
для всех ж G [а, Ь], то существует число М > 0 такое, что /(ж) > М для всех
ж G [а, Ь].
6.	Доказать, что если функция / непрерывна на /?, то функции |/(ж)|
и /(|ж|) также непрерывны на R.
7.	Доказать, что если функция / непрерывна на отрезке [а, Ь], то функ-
функции т(ж) = inf /(?) и М(ж) = sup /(?) также непрерывны на этом
отрезке.
8.	Доказать, что если функция / определена на отрезке [а,Ь], являет-
является возрастающей и множество ее значений — отрезок [/(а),/(о)], то эта
функция непрерывна на [а, Ь].
9.	Доказать, что если функция непрерывна на отрезке и обратима, то
она строго монотонна на этом отрезке.
10.	Доказать, что если fug — непрерывные на R и периодические
функции, удовлетворяющие условию lim (/(ж) — д(х)) = 0, то /(ж) = д(х).
х—>- + оо
11.	Доказать, что если а > 0, то а1/72 = 14	In а + о[ — ) при п —»¦ оо.
п	\п/
12.	Доказать, что если а > 0, Ъ > 0, то lim ( —	) = л/ab.
п—^оо \	2	/
13.	Доказать, что lim п2(у/а- п+^/а) = In а, а > 0.
71—^ОО
т
14.	Доказать, что если а& > 0 (А; = 1,ш), то lim ( — V^ \/
fc
15.	Показать, что д/ж + л/ж ~ ^ж при ж4+0и д/ж + л/ж ~ у^ ПРИ
ж —>- +оо.
16.	Найти функцию р(ж) вида д(ж) = Сжа, эквивалентную функции /(ж)
при ж —»¦ а, если:
б) /(ж) = ^ж6 + 3^ж, а = 0, а = оо;
ч ,. ч 1пA+ж + ж2)
в)	/(ж) = —Ь	—	'-, а = 0;
ч .. ч cos2 Зж — cos2 5ж
г)	/(ж) = 	, а = 0.

ГЛАВА IV
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 14. Производная и дифференциал
1. Задачи, приводящие к понятию производной.
а) Задача о скорости. Пусть материальная точка движется по пря-
прямой, и пусть S = S(t) — путь, пройденный точкой за время t от начала
движения. За промежуток времени от t до t + At точка пройдет путь
S(t + At) — 5(t), поэтому средняя скорость за этот промежуток вре-
времени равна vcp =
At
рассматриваемое движение не
является равномерным, то г?ср при фиксированном t будет меняться
при изменении At, и чем меньше At, тем лучше г?ср будет характе-
характеризовать движение точки в момент t.
Скоростью точки в момент t {мгновенной скоростью) называют
предел, к которому стремится средняя скорость, когда At —> 0, т. е.
скорость v в момент t определяется равенством
+ At)-S(t)
1
v = lim
A
At
Таким образом, скорость движения в момент t — предел отно-
отношения приращения пути AS = S(t + At) — S(t) за промежуток вре-
времени от t до t + At к прираще-
приращению времени At, когда At —> 0.
Например, если материаль-
материальная точка движется по закону
S = gt2 /2 (закон свободного па-
падения), то
_ S(t + At) - S(t) _
Vcp ~	At	~
или
f д.,
= gt
откуда lim i?cp = gt, т. е. v = gt.
б) Задача о касательной.
Пусть функция / определена в ^-окрестности точки хо и непрерывна
при х = хо. Рассмотрим вопрос о касательной к графику функции
у = f(x) в точке Мо(хо,уо), где у0 = /(ж0). Если Ах — приращение
аргумента такое, что 0 < |Аж| < S, то уравнение прямой I (рис. 14.1),

124	Гл. IV. Производная и ее приложения
проходящей через точки Mq и М(хо + Аж,/(жо + Ах)), можно запи-
записать в виде
У~Уо = ^(х-х0),	A)
где
Ау = f(x0 + Ах) - f(x0), ^ = tga.
Эту прямую называют секущей, а число & = tg a — угловым коэффи-
коэффициентом прямой I; здесь а = а(Аж) — угол, образуемый прямой I и
осью Ох (этот угол отсчитывается от положительного направления
оси Ох против часовой стрелки).
Пусть Ах —У О, тогда Ау —У 0 в силу непрерывности функции /
при х = ж0, и поэтому
ММ0 = л/(АхJ + (А^/J -> 0.
Касательной к кривой, заданной уравнением 2/ = /(ж) в точке Mq,
естественно назвать предельное положение секущей I при Ах —>¦ 0.
Если существует
lim ^ = &o,	B)
Аж^О Аж
то существует предельное положение секущей. Таким образом, если
предел B) существует, то прямая, проходящая через точку Мо с уг-
угловым коэффициентом ко, является касательной к графику функции
у = f(x) в точке Mq.
Рассмотренные задачи, в которых речь идет о пределе отношения
приращения функции к приращению аргумента, исторически привели
к появлению понятия производной — одного из важнейших понятий
математического анализа.
2. Определение производной.
Определение 1. Пусть функция у = /(ж) определена в неко-
некоторой окрестности точки хо, и пусть существует конечный предел
f(xo + Ах) — f(xo)	Л	п ^
отношения —	-1———- при Ах —у 0. Тогда этот предел называ-
называется производной функции f в точке х0 и обозначается f'(xo), f'x(xo)
или у'(хо), т. е.
, = Ит
Аж-^0	Ах
Согласно определению производная функции у = f(x) в точке
есть предел отношения приращения функции Ау = /(жо + Ах) —
к приращению аргумента Ах при условии, что Ах ->• 0, т. е.
Из равенства D) следует, что

§Ц. Производная и дифференциал	125
где е(Ах) —У 0 при Ах —у О, откуда получаем
Ay = /'(жо)Дж + Джг(Дж).	E)
Если Дж —у О, то А?/ —у О, и поэтому из существования f'(xo) следует
непрерывность функции f(x) в точке ж0.
Операция вычисления производной называется дифференциро-
дифференцированием.
Пример 1. Доказать, что функции у — С,у — хп (п е А/), у = sinx,
у = cos ж, у — ах имеют производные в каждой точке х Е /?, и найти
эти производные.
Л а) Если у— С, где С — постоянная, то Ау — С - С — 0, и поэтому
lim ^ = 0, т. е.
А^о А,	с, = Q
б) Если у = жп, где n G А/, то
Дз/ = (ж + Аж)п - хп =
= хп + Сг^жЛ-1Аж + С2пхп-2(АхJ + ... + (Ах)п - хп,
откуда
^ = их71'1 + оA),	lim ^ = пхп~\
Ах	v у' Аж^о Ах
т. е.
(жп)/ = пжп-1, пЕЛ/.	F)
в) Если у = sin ж, то
/ Дж\ Дж
Ay = sin(x + Дж) - sin x = 2 cos f х + — ) sin —,
Ay ( Ax\
—- = cos [x H
Дж	V	2 У
откуда
. Дж
Так как cos (жН	) —у cos ж при Дж —у 0 в силу непрерывности
функции cos ж, а —	у 1 при t -у 0, то —— -у cos ж при Дж -у 0, т. е.
(sin ж)' = cos ж.
г) Если у = cos ж, то
Ау = сов(ж + Дж) - cos ж = -2 sin (ж + — J sin —-,
\	Z /	Zi
откуда
т Ау
lim —— = — sina:,
т. е.
(совжO = — sin ж.

126	Гл. IV. Производная и ее приложения
д) Если у = ах, то
Д2/ = аа=а(а1), $=аЛ ,
Аж	Аж
откуда —- -у аж1па при Аж ->• 0, так как	у In а при t -> О
Ах	t
(§ 13, B0)).
Таким образом, если а > 0, а ф 1, то
(аж)' = аж In а.	G)
Из формулы G) при а = е получаем
(е*)' = е*. А	(8)
Замечание 1. Согласно формуле (8) производная показательной
функции с основанием е совпадает с самой функцией. Этим и объясняет-
объясняется тот факт, что в математическом анализе и его приложениях в качестве
основания степени и основания логарифмов обычно используется число е.
Пример 2. Найти производные функций у = loga х (а > 0, а ф 1,
х > 0) и 2/ = /(аЕ/?,ж>0).
Л а) Если ^/ = loga ж, то
т	А2/	!	1°goA+^)	1	^ Ж л /с ю
откуда lim —^ = —¦—, так как a	 —у -— при t —> 0 (q 13,
Аж-^О Ах ж In a	t	In a
Ay = loga(x + Аж) - loga х = loga [l + — ), -^ =
откуда lim —^ = —¦—, так как а
Дж-И) Аж ж In a	t
A8)). Итак, если а > 0, а ф 1, х > 0, то
Из формулы (9) при а = е получаем
Aпж)/ = ^.	A0)
ж
б) При а = п, где n G А/, производная функции жа вычисляется по
формуле F). Покажем, что для любого а е R и при х > 0 справедлива
формула
/г«у _ П/Г«-1	fi -\\
\х ) — ^х •	v11/
Действительно, если у = ха, то
Л?/ — Гт -\- Дг^ — га — та I I 1 -I	I — 1 I
откуда
Аж ~~	Аж
ж
Так как	у а при t -у 0 (§ 13, B3)), то —— -у аха~х при
Аж —у 0, т. е. имеет место равенство A1). А

§Ц. Производная и дифференциал	127
Теорема 1. Функция f(x) имеет производную в точке хо тогда и
только тогда, когда в некоторой окрестности точки хо эта функция
представима в виде
Л(х)(х-х0),	A2)
где fi(x) — функция, непрерывная в точке хо и такая, что
h(xo)=f(xo).	A3)
О Рассмотрим функцию
fl{x)=f{x)-f{xu).	A4)
X Xq
Она определена в некоторой проколотой окрестности точки xq. Если
существует f'(x), то существует lim fi(xo) = f'(xo). Полагая fi(xo) =
X—УХо
— f'(xo), доопределим функцию fi(x) по непрерывности в точке xq.
Функция /i(x), определяемая формулой A4) и условием A3), непре-
непрерывна в точке ж0, а из равенства A4) следует формула A2).
Обратно: из A2) следует A4), а из непрерывности функции fi(x) в
точке хо следует, что существует lim fi(x) = fi(xo), т. е. существует
X—YXq
l'm 7W—J\xo) _ ^'(Жо) и справедливо равенство A3). •
X—УХо X — Хо
3. Геометрический смысл производной. Если функция у =
= f(x) имеет производную в точке жо, т. е. существует конечный
предел
Нт ^=/'(ж0),
Аж^О Ах	v п
то существует предельное положение секущей I (см. рис. 14.1), за-
заданной уравнением A). Это означает, что в точке Мо(жо,/(жо)) СУ~
ществует касательная Iq (см. рис. 14.1) к графику функции у = /(ж),
причем согласно формуле B) ко = /'(жо), где к0 — угловой коэф-
коэффициент прямой Iq. Так как ко = tg«o, где ао — угол, образуемый
касательной с положительным направлением оси абсцисс, то
f'(xo) =tga0.	A5)
Таким образом, геометрический смысл производной состоит в
том, что производная функции в данной точке равна угловому коэф-
коэффициенту касательной к графику функции в точке Mq(xo, /(жо))-
Уравнение касательной к графику функции у = /(ж) в точке
Мо(жо,/(жо)), полУчаемое из уравнения A) заменой —- на /;(жо),
имеет вид
-xo).	A6)

128
Гл. IV. Производная и ее приложения
Пример 3. Записать уравнение касательной к графику функции
у = еж, параллельной прямой у = ж — 1.
Л Так как угловой коэффициент касательной по условию равен уг-
угловому коэффициенту прямой у = ж — 1, т. е. равен единице, то из
уравнения f'{x) = ех = 1 получаем жо = 0, а по формуле A6) при
х0 = 0, уо = 1, f'(xo) = 1 находим уравнение касательной
у = х + 1. А
Пример 4. Под каким углом график функции у = sin x пересекает
ось Ох?
Л Синусоида пересекает ось абсцисс в точке Xk = ктг (к Е Z). Пусть
c^fe — угол между осью Ох и графиком функции в точке с абсцис-
абсциссой Xk- По формуле A5), где /(ж) = sin ж, находим
Следовательно, в точках х'к = 2ктг (к Е Z) синусоида пересекает ось
Ох под углом —, а в точках ж/. = Bк + 1)тг — под углом — (рис. 14.2).
/ У = х
y=f(*)J
\
о
О
7Г	7Г
4 2
Рис. 14.2
Рис. 14.3
Заметим, что касательная к графику функции у — sin ж в точке О
лежит при х > 0 выше графика функции у = sin ж, а при ж < 0 —
ниже этого графика, так как | sinx| < |ж| при ж ф 0. А
Пусть существует /'(жо). Проведем через точку Мо(жо, f(xo)) пря-
прямую т0, перпендикулярную касательной /0 (рис. 14.3). Эту прямую
называют нормалью к графику функции у = /(ж) в точке Mq.
Если А, С, В — точки пересечения с осью Ох соответственно
касательной 10, нормали m0 и прямой, проходящей через Мо парал-
параллельно оси Оу, то отрезок АВ называют подкасателъной, а отрезок
ВС — поднормалью.
Упражнение 1. Показать, что если /'(жо) ф 0, то:
а) уравнение нормали то можно записать в виде
y = f(x0) - ——— (ж-ж0);
б)
/ы
/'Ы

§Ц. Производная и дифференциал	129
4. Односторонние и бесконечные производные. По анало-
аналогии с односторонними пределами вводятся понятия левой и правой
производных. Если функция у = f(x) непрерывна слева в точке ж0 и
существует предел
д1ш1_о^|, где Ay = f(xo + Ax)-f(xo),
то этот предел называют левой производной функции f в точке хо и
обозначают f'_(xo). Аналогично, если функция у = /(ж) непрерывна
справа в точке жо, то предел lim —^ называют правой производной
жцо Ах
функции / в точке хо и обозначают f+(xo).
Прямые, проходящие через точку Мо(^о,/(^о)) с угловыми коэф-
коэффициентами f'_(xo) и /^_(жо), называют соответственно левой и правой
касательными к графику функции у = /(ж) в точке Mq.
Из существования производной f'(xo) следует существование
f'_(xo) и Д(ж0) и равенство
/:(хо) = /;(хо) = //(^о).	A7)
В этом случае левая и правая касательные к графику функции у =
= f(x) в точке Мо совпадают с касательной в точке Mq.
Обратно: если существуют левая и правая производные функ-
функции / в точке хо и выполняется условие f'_(xo) = Д(ж0), то сущест-
существует f'(xo) и справедливо равенство A7).
Пример 5. Найти левую и правую производные функции /(ж) =
= |ж| в точке хо = 0.
Л Здесь Ау = |Аж|, и поэтому
/ (ж0) = lim —- = lim —— = -1, fL(xo) = lim -— = 1.
Прямые у = -x и у = x являются соответственно левой и правой
касательными к графику функции у =
= |ж| в точке О (рис 14.4). А
Замечание 2. Так как f'-(xo) / /|(жо)
для функции f(x) = |ж|, то непрерывная в
точке хо = 0 функция |ж| не имеет производ-
производной в этой точке. Этот пример показывает,
что из непрерывности функции / в точке хо
не следует существование ее производной в
данной точке.
Обратимся теперь к понятию бесконечной производной. Пусть
функция у = f(x) непрерывна в точке хо, и пусть
lim %L =
А
% lim
Ах ж-^о	Ах

130
Гл. IV. Производная и ее приложения
Тогда прямую ж = жо называют касательной к графику функции у =
= /(ж) в точке Мо(жо,/(жо)). *^ТУ ПРЯМУЮ можно рассматривать как
предельное положение (при Ах -у 0) секущей I, если уравнение A)
записать в виде
Ах,	Л
х-хо= д^У/-2/о)
Ах
и воспользоваться тем, что —	у 0 при Ах —у 0 в силу условия A8).
Если lim -7-У- = +оо, то говорят, что функция имеет в точке хо
Дж-И) Ах
производную, равную +оо, и пишут f'(xo) = +оо. В этом случае одно-
сторонние пределы hm —^ и hm —^- называют соответственно
Аж^-0 Ах Аж^+0 Ах
левой и правой производной функции у = /(ж) в точке жо и обозначают
f!_(xo) и /^_(жо). Таким образом, если f'(xo) = +оо, то f'_(xo) = +оо
v А ж
—— =
Ах
Например, если /(ж) = <Уж, то /40) = +оо, так как Hm
Аж^
Рис. 14.5
= Hm
: = +00. В точке @, 0) касательной к графику функции
У()
у = ^[х является прямая ж = 0 (рис. 14.5).
Аналогично, если Hm —^ = —оо, то говорят, что функция у = fix)
Аж-^О Ах
имеет в точке жо производную, равную — оо, и пишут f'(xo) = — оо.
В случае когда f'(xo) = +оо или f'(xo) = —оо, говорят, что функ-
функция у = /(ж) имеет в точке жо бесконечную производную (иногда до-
добавляют: определенного знака).
Ау
Обратимся теперь к случаю, когда Hm —— = оо, но не выпол-
Аж-^О /ах
няется ни одно из условий ff(x0) = +оо или ff(x0) = -оо. В этом
случае говорят, что Hm —^ не является бесконечностью определен-
Аж-^О Аж
ного знака. Например, эта ситуация имеет место, если Hm —^ =
Аж^+О Ах
= +оо, a Hm —У- = —оо. Этим свойством обладает функция у = \Дх\
Аж-^-0 Ах

§Ц. Производная и дифференциал
131
(рис 14.6) в точке ж0 = 0, так как /i@) = lim
г——-	^
а /' @) = lim ^^
Ax
= +00,
У
. 1
х sin —,
х
О,
Рис. 14.6
»—о Аж
Упражнение 2. Показать, что
функция
s	i
если х ф О,
если ж = О,
не имеет односторонних производ-
производных при ж = 0.
5. Дифференциал функции.
Определение 2. Если функция у = /(ж) определена в й-окрест-
ности точки жо, а приращение А?/ функции у = /(ж) в точке жо пред-
ставимо в виде
Ау = А Ах + Ажг(Аж),	A9)
где А = А(хо) не зависит от Аж, а г(Аж) —>¦ 0 при Аж —У 0, то функция /
называется дифференцируемой в точке жо, а произведение А Ах назы-
называется ее дифференциалом в точке жо и обозначается df(xo) или ей/.
Таким образом,
Ay = dy + о(Аж) при Аж -»> 0,	B0)
где
dy = AAx.	B1)
Отметим, что приращение А?/ = /(ж0 + Аж) - /(ж0) можно рассмат-
рассматривать только для таких Аж, при которых точка жо + Аж принадле-
принадлежит области определения функции /, в то время как дифференциал dy
определен при любых Аж.
Теорема 2. Для того чтобы функция у = /(ж) была дифферен-
дифференцируемой в точке жо, необходимо и достаточно, чтобы эта функция
имела производную в точке ж0. При этом дифференциал и производная
связаны равенством
dy = f'(xo)Ax.	B2)
О Если функция у = /(ж) дифференцируема в точке жо, то выпол-
Ау
няется условие A9), и поэтому —^ = А + е(Ах), где г(Ах) —> 0 при
Аж
Ау
Ах ->• 0 (Аж ф 0), откуда следует, что существует lim —— = А, т. е.
Аж—^0 Аж
существует f'(xo) = A.
Обратно: если существует /;(жо), то справедливо равенство E),
и поэтому выполняется условие A9). Это означает, что функция /
дифференцируема в точке ж = ж0, причем коэффициент А в форму-
формулах A9) и B1) равен /;(жо), и поэтому дифференциал записывается в
виде B2). •

132
Гл. IV. Производная и ее приложения
Таким образом, существование производной функции в данной
точке равносильно дифференцируемости функции в этой точке.
Функцию, имеющую производную в каждой точке интервала (а, Ъ),
называют дифференцируемой на интервале (а,Ь).
Если функция / дифференцируема на интервале (а, Ь) и, кроме
того, существуют /+(а) и f'_(b), то функцию / называют дифферен-
дифференцируемой на отрезке [а,Ь].
Замечание 3. Если /'(хо) ф 0, то из равенств B0) и B2) следует, что
dy ф 0 при Аж / 0 и
Ay ~ dy при Аж —»> 0.
В этом случае говорят, что дифференциал есть главная линейная часть
приращения функции, так как дифференциал есть линейная функция от Аж
и отличается от Ау на бесконечно малую более высокого порядка, чем Аж.
Замечание 4. Приращение Аж часто обозначают символом dx и на-
называют дифференциалом независимого переменного. Поэтому формулу B2)
записывают в виде
dy = f'(xo) dx.	B3)
По формуле B3) можно найти дифференциал функции, зная ее производ-
производную. Например, dsin x = cos x dx, dex = exdx. Из формулы B3) получаем
ff(xo) = ——.	B4)
Согласно формуле B4) производную можно рассматривать как отношение
дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.
Замечание 5. Отбрасывая в формуле B0) член о(Аж), т. е. заме-
заменяя приращение функции ее дифференциалом, получаем приближенное ра-
равенство Ау и /'(жо)Аж, или
/(жо + Аж) и /(жо) + f(xo)Ax.	B5)
Формулу B5) можно использовать для вычисления приближенного значе-
значения /(жо + Аж) при малых Аж, если известны значения /(жо) и /'(жо).
Пример 6. Найти с помощью
формулы B5) приближенное значе-
значение функции у = д/ж при ж = 90.
Л Полагая в формуле B5) /(ж) =
= д/ж, жо = 81, Аж = 9 и учитывая,
что /Ы =
ГЫ =
= 3, f'{x) = \х~ъ1\
4-33'
т. е.
получаем
3,083. А
6. Геометрический и физи-
Рис. 14.7	ческий смысл дифференциала.
Выясним геометрический и физи-
физический смысл дифференциала. Если функция у = f(x) дифференци-
дифференцируема при х = жо, то существует касательная 1$ (рис 14.7) к графи-
графику этой функции в Мо(жо,/(жо)), задаваемая уравнением A6). Пусть

§15. Правила дифференцирования	133
М(хо + Дж, /(жо + Дж)) — точка графика функции / с абсциссой
хо + Дж, Е и F — точки пересечения прямой х = жо + Ах с касатель-
касательной 10 и прямой у = у0 = f(xo) соответственно. Тогда F(xo+ Ах,у0),
Е(хо + Ах, уо + /'(жо)Дж), так как ордината точки Е равна значению
у в уравнении A6) при х = жо + Дж. Разность ординат точек Е и F
равна /'(жо)Дж, т. е. равна дифференциалу dy функции / при х = xq.
Таким образом, дифференциал функции у = /(ж) при х = хо равен
приращению ординаты касательной к графику этой функции в точ-
точке с абсциссой хо при изменении аргумента от жо до жо + Ах. Так
как MF = Ay, EF = dy, то согласно формуле B0) ME = о(Ах) при
Дж ->0.
Обратимся теперь к п. 1. Пусть S(t) — путь, пройденный ма-
материальной точкой за время t от начала движения. Тогда S'(t) =
r S(t + At)-S(t)
= hm —	-1	— — мгновенная скорость v точки в момент вре-
At
мени t, т. е. v = S'(t). По определению дифференциала dS = i;At. Поэ-
Поэтому дифференциал функции S(t) равен расстоянию, которое прошла
бы точка за промежуток времени от t до t + At, если бы она дви-
двигалась со скоростью, равной мгновенной скорости точки в момент
времени t.
§ 15. Правила дифференцирования
1. Дифференцирование суммы, произведения, частного и
обратной функции.
Теорема 1. Если функции fug дифференцируемы в точке ж, то
в этой точке дифференцируемы функции f + g, fg, — (при условии,
9
что д(х) ф 0), и при этом
(f(x)+g(x)Y = f'(x)+g'(x),	A)
(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x),	B)
7(aQV_ f'(x)g(x)-f(x)g'(x) , , ,	,.
Ш) ~ Щхуу- ' 9{x) ф °-	C)
О Обозначим Д/ = /(ж + Дж) - /(ж) и Ад = д(х + Дж) - д(х). Тог-
Тогда --=- —у ff(x), —— —у gf(x) при Дж —у 0, так как существуют /'(ж)
и д'(х). Кроме того, /(ж + Дж) = /(ж) + Д/, д(ж + Дж) = д(х) + Дд,
где Д/ —>¦ 0, Д^ —У 0, так как функции f и д непрерывны в точке ж.
а) Если у = /(ж) + д(х), то
А?/ = /(ж + Дж) + ^(ж + Дж) - /(ж) - д(х) = Д/ + Ар,
откуда
А^ = А/ А^
Аж Аж Аж'

134	Гл. IV. Производная и ее приложения
Правая часть этой формулы имеет при Ах —у 0 предел, равный
f'{x) + д'{х). Поэтому существует предел левой части, который по
определению равен (/(ж) + д(х))'. Формула A) доказана.
б) Если у = f(x)g(x), то
Ау = /(ж + Ах)д(х + Ах) - f(x)g(x) =
= (f(x) + Af)(g(x) + Ад) - f(x)g(x) = f(x)Ag + g(x)Af + AfAg,
Отсюда следует формула B), так как —— —у д'(х), --=- —у f'(x), Ад —у О
при Ах —у 0.
в) Если у=Щ, то Ay=y + f)-M = /W + y-M>
^	У 9{хУ	У д{х + Ах) д(х) д(х) + Ад д(х)>
Л	Afg(x)-Agf(x)
или Дз/ = / \ / , л ч > 0ТКУДа
р(ж)р(ж + Дж)
(х)
Ах 3[ } Ах
Переходя к пределу в этом равенстве и учитывая, что д(х + Ах) —>¦
—>¦ ^(ж) при Дж —>- 0, где д{х) ф 0, получаем формулу C). •
Следствие 1. Если функция f дифференцируема в точке х и С —
постоянная, то
(Cf(x)I = Cf(x),
т. е. постоянный множитель можно выносить из-под знака диффе-
дифференцирования.
Следствие 2. Если функции //, (к = 1,п) дифференцируемы в
точке х и Си (к = 1,п) — постоянные, то
т. е. производная линейной комбинации дифференцируемых функций
равна такой же линейной комбинации производных данных функций.
Например, если у = 2ех — Зх2 + 4 cos ж, то у' = 2ех — бж — 4 sin ж.
Пример 1. Доказать, что
-±-, хф^ + kn, keZ,	D)
COS X	Z
= —г^-, хфктг, keZ.	E)
sin x
А а) Так как (sin ж)' = cos ж, (совжO = —sin ж, то, применяя прави-
правило C) дифференцирования частного, получаем
, у _ /sin#V_ (sinxO cos ж — (cos ж/ sin ж _ cos2 x + sin2 x
V COS X J	COS2 Ж	COS2 Ж	'

§15. Правила дифференцирования	135
откуда следует формула D).
б) Аналогично,
, у _ (cos ж)'sin ж — (sin ж)'cos ж _ sin2 ж + cos2 ж
(Ctg X) —	; 2	—	I о	'
sin ж	sin ж
откуда получаем формулу E). А
Замечание 1. Из формул A)-C) и определения дифференциала сле-
следует, что
dtf + g) = df + dg, dtfg) =
•(?)-
в предположении, что в данной точке ж функции / и g дифференцируемы.
О Ограничимся доказательством формулы для дифференциала произве-
произведения. Так как d(fg) = (fg)'dx, где (fg)' = fg + fg', то d(fg) = gfdx
+ fg'dx = df fd •
Теорема 2. Если функция у = /(ж) непрерывна и строго воз-
возрастает [убывает) на отрезке А = [жо — S,жо + S], S > 0, и если су-
существует f'(xo) ф 0, то функция х — ip(y), обратная к функции
у = /(ж), дифференцируема в точке у о = /(жо), причем
^	F)
О Пусть функция / строго возрастает на отрезке А. Обозначим
а = /(жо — S), C = f(xo + 5). По теореме об обратной функции на
отрезке [а,/3] определена функция х = (р(у), обратная к /, непре-
непрерывная и строго возрастающая, причем уо = /(жо) ^ (а,/3), так как
а = f(x0 - S) < f(x0) < f(x0 + 8)= p.
Пусть Ay — приращение независимой переменной у такое, что
уо + Ay G (а,C). Обозначим Ах = ip(y0 + Ay) - ip(yo). Нужно дока-
Аж
зать, что существует предел отношения —- при Ау —У 0, рав-
1	Ау
ный -гут—^.
Заметим, что если Ау ф 0, то Ах ф 0, так как в противном случае
ip(yo + Ау) = <р(уо) при А^/ ф 0, т. е. функция ip принимает одинако-
одинаковые значения в двух различных точках, что противоречит свойству
строгого возрастания функции ip. Поэтому при Ау ф 0 справедливо
равенство
Аж _ 1	( ,
Ay ~ Ay/Ax'	^ '
Пусть Ау —> 0, тогда Аж —> 0, так как функция ж = (р(у) непрерывна
в точке уо. Но если Аж —у 0, то существует lim —— = f'(xo).
Дж—^0 ^АЖ ^
Итак, правая часть G) имеет предел, равный ——-. Поэтому и
/ %о)
в левой части этого равенства существует предел, который согласно
определению равен ip'(yo)- Формула F) доказана. •

136	Гл. IV. Производная и ее приложения
Замечание 2. Заменив в формуле F) жо на ?/, а г/о на ж, запишем эту
формулу в виде	-•
'М	(8)
Пример 2. Доказать формулы
(arcsinx)' =	, |ж| < 1,	(9)
V1 2
A0)
A1)
xe R.	A2)
Л а) Если у = <р(ж) = arcsinx, где |ж| < 1, то обратная функция х =
= f(y) = sin у, где \у\ < —. По формуле (8) находим
,	.	w	1	1
(arcsinx) = ^^—гг =	.
(sin?/)' cos г/
Так как sin у = ж и у G f - ^, ^ J, то cos^/ = л/1 - ж2. Следователь-
Следовательно, справедлива формула (9).
б) Если у = arctgx, где х G /?, то х = tgx, где |?/| < —. Применяя
формулы (8) и D), получаем
(arctgx/ = ^—у =cos2?/,
где
cos2 у =
Формула A1) доказана.
в) Аналогично доказываются формулы A0) и A2). Впрочем, эти
формулы легко получить, используя равенства
arcsin х + arccos x = —, arctg x + arcctg x — —
и формулы (9) и A1). А
Замечание 3. Теорема 2 допускает наглядную геометрическую и
очевидную физическую интерпретацию. Если существует /'(жо), то в точке
Мо(жо,/(жо)) существует касательная /0 к графику функции у = /(ж), уг-
угловой коэффициент которой равен tga = /'(жо), где а — угол, образуемый
касательной с положительным направлением оси Ох. Касательная не парал-
параллельна координатным осям, так как производная f'(xo) конечна и отлична

§15. Правила дифференцирования
137
от нуля. Пусть для определенности /'(жо) >
> 0, тогда 0 < а < — (рис 15.1).
Если рассматривать у как независимое
переменное, а х как функцию, то кривая,
заданная уравнением у = /(ж), будет гра-
графиком функции х = (р(у). Пусть /3 — угол,
образованный касательной /0 с положитель-
положительным направлением оси Оу (рис 15.1), тог-
тогда tg/З = р'(уо). Так как а + /3 = -, то
= _i_ T.eVB/o) = l
tga' ¦• '• r v""' f'(xoy
Дадим физическую интерпретацию	Рис. 15.1
формулы F). Так как у'(г/о) есть скорость
изменения переменного х по отношению к изменению переменного ?/, а
f'(xo) — скорость изменения у по отношению к ж, то формула F) выражает
тот факт, что указанные скорости являются взаимно обратными.
2. Дифференцирование сложной функции.
Теорема 3. Если функции у = ip(x) и z — f(y) дифференцируемы
соответственно в точках х0 и у0, где у0 = (р(х0), то сложная функция
z = f(ip(x)) дифференцируема в точке жо, причем
z'(x0) = /'(?/oVOo) = fr(v(xo))<pr(xo).	A3)
О Сложная функция z(x) непрерывна в точке жо, так как из диффе-
ренцируемости функций / и ip следует непрерывность этих функций
соответственно в точках уо и жо- Поэтому функция z(x) определена
в Us(xo) при некотором S > 0.
Из дифференцируемости функции / в точке у0 по теореме 1 сле-
следует, что существует S > 0 такое, что для всех у G Us (уо)
¦Уо),	A4)
где fi(y) — непрерывная в точке уо функция такая, что
A5)
Так как функция ср непрерывна в точке ж0, то
Зёг = 6гF) > 0: \/х G идг(х0) ->> ip(x) G Ud(yo)-
Поэтому, подставляя в равенство A4) (р(х) вместо у, получим ра-
A6)
венство
z = f(<p(x)) = /(?/о) + Л(^(
справедливое для всех х G Us1(xo). Но
(р(х) - (р(х0) = (pi(x)(x - жо),
где ipi — непрерывная в точке xq функция такая, что
A7)
A8)

138	Гл. IV. Производная и ее приложения
Из A6) и A7) следует, что
z(x) = z(x0) + fi(<p(x))<pi(x)(x - хо),	A9)
где z\ — fi(ip(x))ipi(x) — непрерывная в точке хо и такая, что
z1(x0) = /i((^(xo))^i(xo) = fi(yo)<p'(xo) = f'((p(xo))(p'(xo) B0)
в силу A5) и A8).
По теореме 1 из A9) и B0) следует, что существует z'(xo) и спра-
справедливо равенство A3). •
Следствие. Дифференциал функции у = f(x) имеет один и тот
же вид
dy = f'(x)dx	B1)
как в случае, когда х — независимое переменное, так и в случае, когда
х — дифференцируемая функция какого-либо другого переменного.
О Пусть х = ip(t) — дифференцируемая функция переменного ?,
тогда у = f((f(t)) = z(t). По правилу дифференцирования сложной
функции
z\t) = f'(<p(t))<p'(t),
откуда по определению дифференциала
dy = z'(t)dt = f'(<p(t))<p'(t)dt.
Так как ip'(t)dt = dx, то dy = f (ip(t))dip(t) = f'(x)dx, т. е. фор-
формула B1) остается справедливой при замене х на cp(t). Это свойство
называется инвариантностью формы первого дифференциала. •
Замечание 4. Правило дифференцирования сложной функции f(cp(x))
обычно записывается в виде
(/М*)))' = f'(tp(xW(x).
Опуская аргумент и используя обозначение производной, указанное в
§ 14, правило дифференцирования сложной функции z = f(y) = f((p(x))
можно записать так:
dz dz dy	, , ,
dx dy dx
Правило вычисления производной сложной функции распространяется
на композицию любого конечного числа функций. Например, если функции
x(t), y(x), z(y) дифференцируемы соответственно в точках to, жо = x(to),
у0 = г/(жо), то в точке to сложная функция z = z(y) = z(y(x)) = z(y(x(t)))
дифференцируема и имеет место равенство
dz _ dz dy dx
dt dy dx dt
Пример З. Доказать формулы
/ = chx,
y = shx,

§15. Правила дифференцирования	139
Л Гиперболические функции были определены в § 12. Они задаются
следующими формулами:
,	ех - е~х	,	ех+е~х ,,	shx	,,	chx
shx = 	, en ж = 	, thx = ——, cthx = ——.
2	2	chx'	shx
а) Применяя теоремы 1 и 3, получаем
x)' = ^(еж - е~х{-1)) = спж.
Аналогично доказывается, что (спж)' = shx.
б) Используя правило дифференцирования частного, получаем
_ (sh ж); ch ж — sh x( ch ж); _ ch 2х — sh 2ж
=	=
откуда следует равенство B2), так как ch2x — sh2x = 1. Аналогично
доказывается формула B3). А
Пример 4. Доказать, что если а > 0, а ф 1, то
Л Пусть ж > 0, тогда |ж| = х и loga |ж| = loga ж. В § 14 (формула (9))
было доказано, что
)' = ^, *>0,	B5)
т. е. формула B4) верна при х > 0.
Пусть х < 0, тогда —х > 0 и loga |ж| = loga(—x).
Применяя формулу B5) и правило дифференцирования сложной
функции, получаем
т. е. формула B4) верна и при ж < 0.
Из формулы B4) при а = е получаем
Aп|ж|)' = -, х/0. А	B6)
Дадим теперь сводку формул для производных элементарных
функций (см. § 14 и § 15).
1)	(С)' = О, С = const.
2)	(хау = аха, ае /?, ж > 0;
(жпУ =пжп~1, n G Л/, же/?.
3)	(ах)' = аж1па, а > 0, а ^ 1, ж Е /?;
(ежу = еж, же /?.
4)	(log^)^^, а>0, а^1, ж > 0;
)/ = -, ж>0; Aп|ж|)' = ^, х/0.
ж	ж

140
Гл. IV. Производная и ее приложения
5)	(sin ж)' = cos ж, х G R.
6)	(cos ж)' = -sinж, х е R.
7) (tgx)' =
cos ж
, х ф J + тгп,
8) (ctgxY =	5—, ж ф тгп, п G Z.
siirx
iy
9)
л/1 - ж2
10) (arccosx)' = ——
, \х\ < 1.
< 1.
11)
1
12)	(arcctgxO = - 1 2, ж G /?.
X "т" Ж
13)	(shxy = chx, x e R.
14)	(char)' = shx, ж G /?.
15)	(thx); = -^, xG R.
CIl Ж
16)	^
Пример 5. Доказать, что если ср — дифференцируемая в точке х
функция и (р(х) ф 0, то
(\п\ф)\)' = ^1.	B7)
Л Применяя формулу для производной логарифмической функции и
теорему 3, получаем формулу B7). Выражение в правой части этой
формулы называют логарифмической производной функции (р. А
Пример 6. Найти f'(x), если функция f(x) задана следующей
формулой:
а)	/(ж) = 2sin2x;
б)	f(x) = 2	3
в)	f(x) =
arcsin(cos#)' ^
г) /(ж) = arctg	-2tg (йЬ4ж).
Л а) /;(ж) = (sin2x); = 2cos2x;
б) f'(x) =
2V1 - ж2
arcsin(cosx) — л/1 — ж2-
= (— sin ж)
(arcsin(cosx)J
1 — ж2 — ж arcsin(cos ж)
л/1 — ж2(агс8т(со8 ж)J'

§15. Правила дифференцирования	141
г>
) Дпч
\x-\-l)
arctg	-2tg (
ж + 1
0, Л Л , =
cos2(sh4x)
121n2tg2(sh4x)ch4x	ж - 1
Пример 7. Найти производную показательно-степенной функ-
функции z — u(x)v<yX\ где и, v — функции, дифференцируемые в точке ж,
причем и(х) > 0.
Л Так как z = ev(x)lnu(x)^ T0 функция z дифференцируема как су-
суперпозиция дифференцируемых функций. Дифференцируя тождество
z	и	(
\nz = v(x) \пи(х), получаем — = v1 In и + v —, откуда z' = ziv'\nu +
vu \
и )
или
(uvy = uv In и - v' + гш"" V. A	B8)
Согласно формуле B8) производная функции uv равна сумме двух
слагаемых таких, что первое равно производной показательной функ-
функции uv(x^ (основание и рассматривается как постоянная), а второе
равно производной степенной функции (u(x))v (показатель v рассмат-
рассматривается как постоянная).
Пример 8. Найти f'{x), g'(x), если:
) J\X) — ж , oj дух) — х
Л а) По формуле B8) получаем /'(ж) = хх In ж + жжж-1, т. е.
/'(ж) = (жжУ = жжAпж + 1).
б) Так как д(х) = х^х\ то, снова применяя формулу B8), находим
gl(x)=g(x)\nxf(x)+f(x)xf^-1
или
(ххХу = ххХ+х-1{х\пх{\пх + 1) + 1). А
Пример 9. Пусть функция / дифференцируема на интервале
(—а,а). Доказать, что если f(x) — четная функция, то ее производ-
производная f'(x) — нечетная функция, а если /(ж) — нечетная функция, то
f {х) — четная.
Л Пусть / — четная функция; тогда
/(-ж) = /(ж), ж G (-а,а).
Дифференцируя это тождество, получаем
-f(-x) = f{x), xe(-a,a).
Это означает, что /'(ж) — нечетная функция. Аналогично рассматва-
ется случай, когда /(ж) — нечетная функция. А

142	Гл. IV. Производная и ее приложения
3. Дифференцирование параметрически заданных и неяв-
неявных функций.
а) Функции, заданные параметрически. Пусть функции x(t) и y(t)
определены на отрезке [to — S, to + S], причем функция x(t) непрерыв-
непрерывна и строго монотонна (например, строго возрастает). Тогда на отрез-
отрезке [а, C], где а = x(t0 - S), C = x(t0 + S), определена функция t = t(x),
обратная к функции х = x(t), непрерывная и строго возрастающая.
Предположим дополнительно, что существуют х'(to) и у'(to), при-
причем х'(to) ф 0 (для сокращения записи вместо х'(to) и у'(to) будем
писать соответственно x't, y't).
Тогда сложная функция у = y(t) = y(t(x)) дифференцируема по х
в точке хо = x(to), причем
dy _ y't
dx x't
О Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции
у = y(t(x)) получаем
где t'x = — согласно правилу дифференцирования обратной функции.
xt
Итак, справедлива формула B9). •
Пример 10. Найти -^, если
ах
х = ln(l + e2t), у = arctge^.
2e2t el
Л Так как x't =	^, у[ =	^, то по формуле B9) находим
dy = y't = el I + e2t	^У_ = ^1 А
dx x't l + e2t 2e2t ' ' ' dx 2 '
б) Функции, заданные неявно. Если дифференцируемая функция
у = f(x) задана неявно уравнением F(x,y) = 0 (§ 9), то, дифферен-
дифференцируя тождество F(x, f(x)) = 0 как сложную функцию, можно найти
-У- = fix). Подробно вопрос о существовании неявной функции и о
dx
ее дифференцируемости будет рассмотрен в § 28.
Пример 11. Написать уравнение касательной к эллипсу
в некоторой его точке Мо(хо,уо), гДе \%о\ < о>-
Л Точка Мо однозначно определяет на интервале (—а, а) одну из
двух неявных дифференцируемых функций, которые задаются урав-
уравнением C0). Обозначим эту функцию f(x). Ее можно записать в яв-
явном виде, разрешив уравнение C0) относительно у.

§16. Производные и дифференциалы высших порядков	143
Дифференцируя тождество C0), в котором у = /(ж), получаем
Ч+Ч-=°-
а1 о1
Подставляя в уравнение C1) вместо х и у соответственно жо и
?/о, находим угловой коэффициент касательной к эллипсу в точке Mq:
Ь Хо
Следовательно, уравнение касательной имеет вид
,2
у-уо = к(х-хо), или у -уо = - — — (х -х0).
az yo
~	ууо , ххо г/о , хо
Это уравнение можно записать так: ^j— -\	— = ^ -\—^, или в виде
М^ + ??? = 1, так как 4 + || = 1- А
Ь2 а2	а2 Ъ2
§ 16. Производные и дифференциалы высших порядков
1. Производная n-го порядка.
а) Вторая производная. Пусть функция f(x) имеет производную
во всех точках интервала (а, Ь). Если функция f'(x) дифференцируема
в точке хо G (а,&), то ее производную называют второй производной
или производной второго порядка функции f(x) в точке х0 и обознача-
обозначают f"(xo)j f^(xo)j —j 2° ' fxx(xo)- Таким образом, по определению
r = Ит /W
А0
Заметим, что функцию f'(x) часто называют первой производ-
производной или производной первого порядка функции /(ж), а под произ-
производной нулевого порядка f(°\x) подразумевается функция /(ж), т. е.
fW(x)=f(x).
Пример 1. Найти f"(x), если:
а)	f(x) = sin2 ж; б) f(x) = е~х<2;
в) f(x) = 1п(ж + Уж2 + 1); г) /(ж) = |ж|3.
Л а) Так как /'(ж) = 2 sin ж cos ж = вт2ж, то f"{x) = 2со8 2ж.
б)	f'(x) = -2же-*2, /"(ж) = -2е~х2 + (-2жJе~ж2 = 2е~ж2Bж2 - 1).
в)	Так как /'(ж) = 1	то /"(ж) = -ж(ж2 +
л/ж2 + 1
г)	Если ж ф 0, то
Г 2 при ж > 0,
при х<0,

144	Гл. IV. Производная и ее приложения
а если х = 0, то по определению производной
= Нт ^ = 0.	B)
ж-И)	X	ж-И) X
Следовательно,
f'(x) = 3x2signx.	C)
Из равенства A) следует, что
6ж при х > 0,
—6ж при ж < 0.
Покажем, пользуясь определением производной, что /"@) существу-
существует и /"@) = 0. Из B) и C) находим
/"@) = Iim П*)~т = н^ ЗаАщЕ* = 0.
Таким образом, f"(x) = 6|ж|, т. е.
(ИK)" = 6\х\. А
Дадим физическое истолкование второй производной. Пусть ма-
материальная точка движется прямолинейно, и пусть S = S(t) — путь,
пройденный ею за время t от начала движения. Тогда v = S'(t) —
скорость точки в момент времени t.
~ Av S'(t + At) - S'(t)	. „
Отношение —— = —	—	— представляет собой среднее
ускорение точки на промежутке времени от t до t + At, а предел этого
отношения (если он существует), равный 5/;(t), называют ускорением
точки в момент t.
Таким образом, вторая производная пути по времени есть уско-
ускорение точки в момент времени t.
Выведем, далее, формулу для второй производной функции в слу-
случае когда эта функция задана параметрически. Пусть функции х =
= x(t) и у = y(t) удовлетворяют условиям, указанным в § 15, п. 3,
и пусть, кроме того, существуют производные х"(to) и у' (to), кото-
которые будем обозначать соответственно ж^, y"t. Тогда функция у = у(х)
имеет в точке жо, где жо = x(to), вторую производную ухх = УхХ(хо),
причем
^=($! k	D)
или
// / / //
// У++Х+ — у+Хц	/кЧ
У хх =	t /чГ •	E)
О Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции

§16. Производные и дифференциалы высших порядков	145
где у'х = Щ- (§ 15, B9)), t'x = —, откуда следует формула D), которую
xt	xt
можно представить в виде E). •
Пример 2. Найти ухх, если х = 	, у = tgt — t, 0 < t < —.
2
л m	/ sin t i	l-i sin21	i Vt • ±
Л Так как x't = ——, y[ = —— - 1 = ——, то у' = Ц- = smt,
г cos2 г г cos2t	cos2 г	х x't
и по формуле D) получаем
//	. 1 cos3t
Ухх = cost -г = —г—. А
Uxx	x\ suit
Обратимся к вопросу о вычислении второй производной сложной
и неявной функции.
Если функция у — у(х) имеет вторую производную в точке ж0, а
функция z = z(y) — вторую производную в точке уо, где уо = у(хо),
то существует вторая производная в точке хо сложной функции w =
= z(y(x)), причем
w"(xo)=z^y(yfxJ+zfyyf^	F)
где в правой части формулы F) опущены обозначения аргументов.
О Заметим сначала, что в некоторой окрестности точки хо опре-
определена сложная функция w = z(y(x)), так как функции у(х) и z(y)
непрерывны соответственно в точках хо и уо, причем уо = у(хо).
По правилу дифференцирования сложной функции w'x = z'yy'x, откуда
wxx = (г'уУхУ'х + z'yy"xi гДе (zy)x = г'ууУх- ф°РмУла F) доказана. •
Вторую производную неявной функции в простейших случаях час-
часто удается найти с помощью дифференцирования тождества, кото-
которое получается при вычислении первой производной (подробнее об
этом — в § 28). Поясним это на примере.
Пример 3. Найти ухх, где у = у{х) — неявная функция, опреде-
определяемая уравнением
+ ^ 1
а2 б2
Л В § 15 (пример 11) было показано, что
/Г7,
Дифференцируя тождество G) по ж, получаем ухх = —-—\- -^у'х,
® У ® У
откуда, используя формулу G) и равенство а2у2 + Ъ2х2 = а2б2, нахо-
Дим
б) Производная п-го порядка. Производную от второй производ-
производной функции f(x) называют третьей производной или производной
третьего порядка этой функции и обозначают f'"(x) или fC\x). Ана-
Аналогично определяются производные любого порядка.

146	Гл. IV. Производная и ее приложения
Пусть функция /(ж) имеет на интервале (а, Ъ) производные
/'(ж), ..., f^n~1\x). Если в точке ж е (а,Ь) существует производная
функции f("n~1\x), то эту производную называют производной п-го
порядка или п-й производной функции f(x) и обозначают f^n\x).
Таким образом, если функция f(x) имеет в точке х производные
до п-го порядка включительно, то
/<»>(*)= lim
Ax
Функцию, имеющую в каждой точке множества Е производные
до п-го порядка включительно, называют п раз дифференцируемой на
множестве Е.
Пусть функции /(ж) и д(х) имеют в точке х производные п-го
порядка. Тогда функция Af(x) + Вд(х), где А и В — постоянные,
также имеет производную п-го порядка в точке ж, причем
(Д/(ж) + Bg(x))W = Af(n\x) + BgW(x).	(8)
При вычислении производных любого порядка часто используют
следующие основные формулы.
1)	{ха^п) = а{а - 1)...(а - (п - 1))ха~п.	(9)
В частности, если а = т, где т € Л/, то
(гтл(п) _[т\ при п = т,
[х > ~ \ 0 при п > т.
2)	{ах)(п) =ах\ппа, а > 0, аф\.	A1)
В частности,
(еж)<") = ех.	A2)
Уп) (Гп!
4)	(Ых + а|)(-) = ^^^1I.	A4)
5)	(sina;)(n) = sin (|ж + n • |),	A5)
A6)
Формулы (9)-A4) легко проверяются с помощью индукции. Дока-
Докажем формулу A5). Так как (sin ж)' = cos ж, то из равенства cos ж =
= sin (х-\—J следует справедливость формулы A5) при п = 1. При-
Применив метод индукции, докажем, что формула A5) верна при лю-

§16. Производные и дифференциалы высших порядков	147
бом п Е N. Аналогично проверяется формула A6). Из равенств A5)
и A6) следует, что если а = const, то
(sin ах) (п) = ап sin I ах + п • — j,
(cos ax) (n) = an cos (ах + п • — ).
Пример 4. Найти f(n\x), если:
a) f{x) = sin3 ж; б) f(x) = х2_\х + г
Л а) Из равенства sin3 ж = 3 8тж-4 8т3ж следует, что sin3 ж =
3 1
= - sin ж	втЗж. Применяя формулы (8) и A7), получаем
Зп .
= - sin (x + п • — ) —— sin (Зх + п • — V
б) Так как ——	=	-, то, применяя формулу A3),
X — оХ ~т~ Л X — Z	X — X
получаем
_ , ,п ,/ 1	1 \
~^ } ПЛ(х-2)п+1 (х-1)п+Ч'
(х-2)
в) Формула Лейбница.
Теорема. Если функции и и v имеют в точке х производ-
производные п-го порядка, то функция uv также имеет в точке х произ-
производную п-го порядка, причем
... + С?-V"-1 V1* + u{n)v, A8)
где Скп = n(n-l)...(n-(k-l))^ г^к^п
Формулу A8) называют формулой Лейбница и записывают в виде
п
(uv)W = ^C*u^v(n-k\	A9)
где г/(°) = щ г;(°) = г;, С? = 1. ~°
О Докажем формулу A8) методом индукции. При п = 1 эта формула
верна, так как
(uvI = uv' + W.
Пусть формула Лейбница верна для производной п-ro порядка.
Докажем справедливость этой формулы для производной (п + 1)-го
порядка, предполагая, что существуют ?/n+1) и i?(n+1). Так как функ-
функции и и г? имеют производные п-го порядка включительно в некото-
некоторой окрестности точки ж, то в силу индуктивного предположения ра-
равенство A9) справедливо в окрестности точки х. Дифференцируя

148	Гл. IV. Производная и ее приложения
это равенство и учитывая, что
(uvy = uvn-k) + u(k) v(n+i-k) ^
получаем	n	n
(w)(-+!) = ^C^*+1Vn-*) +^C*i/^t;(n+1-*). B0)
к=0	к=0
Преобразуем суммы в правой части равенства B0), выделяя в первой
сумме последнее слагаемое, а во второй — первое и сдвигая индекс
суммирования в первой сумме на единицу. Получим
fc=0
k=0	k=l
Следовательно,
Используя равенство С^ + C% = Cn+i (§ 3, D8)), получаем
n+l
k=0
т. е. формула Лейбница справедлива для производных (п + 1)-го по-
порядка. •
Пример 5. Найти f<KTl\x) при п > 2, если:
а)	/(ж) = (ж - IJ sin ж sin(x - 1);
б)	/(ж) = A-2ж2IпA-ЗжK.
Л а) Так как sina; sin(x — 1) = -(cosl — собBж — 1)), то, применяя
формулу Лейбница A8), вторую из формул A7) и учитывая, что
((ж — lJ)^) = 0 при к > 2, получаем (при п > 2)
= -(х - 1J2гг-1 cos {2х - 1 + ^) - п(ж - 1Jп-1х
х cos f 2х - 1 +	—) - п(п - lJn 6 cos f 2х - 1 +	—).
б) Применяя формулы A8) и A4), получаем (п > 2)

§16. Производные и дифференциалы высших порядков	149
2. Дифференциал n-го порядка. Пусть функция у = f(x) диф-
дифференцируема на интервале (а, Ъ). Тогда ее дифференциал
dy = f'(x) dx
в точке х е (а, Ь), который называют также первым дифференциалом
функции /, зависит от двух переменных, а именно от ж и dx.
Если дифференциал dx, совпадающий с приращением Ах независи-
независимого переменного ж, не меняется (фиксирован), то дифференциал dy
является функцией только от х. Дифференциал этой функции, т. е.
дифференциал от f'(x)dx, где dx — постоянная величина, называют
вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка функ-
функции у = f(x) в точке х и обозначают d2y или d2 f. При этом предпо-
предполагается, что при вычислении дифференциала d{dy) (если он сущест-
существует) приращение dx независимого переменного выбрано таким же,
как и при вычислении первого дифференциала.
Пусть функция / имеет вторую производную в точке х. Тогда,
пользуясь тем, что dg = g'(x) dx и d(Cg) = С dg, где С = const, полу-
получаем
d2y = d(dy) = d(f(x) dx) = dxd(f(x)) = dxf"(x) dx = f"(x) dx2.
азанных выше условиях второй диффере
чке х существует, причем
d2y = f"(x)dx2=y"dx2,	B1)
Таким образом, при указанных выше условиях второй дифференциал
функции у = f(x) в точке х существует, причем
где
J
dx2 = (dxJ
Аналогично, предполагая, что функция у = f(x) имеет в точке х
производную n-го порядка, определим п-й дифференциал dny как диф-
дифференциал от dn~1y, т. е.
Предполагая, что приращение независимого переменного при вы-
вычислении первого и всех последующих дифференциалов выбирается
одним и тем же, легко доказать методом индукции формулу
dny = fM(x)dxn.	B2)
Из формулы B2) следует, что
Ли) = А/
у	dx71'
т. е. производная n-го порядка функции у = f(x) равна отношению
дифференциала n-го порядка этой функции к n-й степени дифферен-
дифференциала независимого переменного.
Из формулы B2) следует, что
dnx = 0 при п > 1,

150	Гл. IV. Производная и ее приложения
т. е. дифференциал n-го порядка независимого переменного при п ^ 2
равен нулю.
Отметим еще следующие свойства дифференциалов n-го порядка
в предположении существования и^ и v^n\
1)	dn(Au + Bv) = A dnu + В dnv, А, В — постоянные;
п
2)	dn(uv) = ^2c*dkudn-kv.
к=0
Первое из этих свойств следует из равенств B2) и (8), а второе —
из равенства B2) и формулы A9).
Замечание. Дифференциал второго порядка, в отличие от первого
дифференциала, не обладает свойством инвариантности формы, т. е. фор-
формула B1) не сохраняется при замене х на функцию cp(t).
О Действительно, пусть х = <?>(?), тогда у = f(x) = f(ip(t)). Если сущест-
существуют f"(x) и (p"(t), то, используя определение дифференциала и правила
дифференцирования произведения и сложной функции, получаем
dy = f(x)dx = f(<p(t))<p'(t)dt,
откуда
Так как ipf (t) dt = dx, p" (t) dt2 = d2x, то
или
d2y = y"dx2 + y'd2x.	B3)
Из равенств B1) и B3) следует, что при замене х на функцию cp(t) изменя-
изменяется вид второго дифференциала — в нем появляется слагаемое yfd2x. Если
х = (p(t) =at + b, где а, Ь — постоянные, то d2x = 0, и в этом случае вид
второго дифференциала не меняется. •
§ 17. Основные теоремы для дифференцируемых функций
1. Локальный экстремум и теорема Ферма. Пусть сущест-
существует число 8 > 0 такое, что функция /(ж) определена в ^-окрестности
точки ж0, т. е. на множестве Us(xo) = (ж0 - S, х0 + 6), и пусть для всех
х G Us(xo) выполняется неравенство
f(x) 2 /Ы-	A)
Тогда говорят, что функция /(ж) имеет в точке хо локальный мини-
минимум.
Аналогично, если существует число 6 > 0 такое, что для всех
х G Us(xo) выполняется неравенство
f(x) < /Ы,	B)
то говорят, что функция /(ж) имеет в точке жо локальный максимум.
Локальный минимум и локальный максимум объединяются об-
общим термином локальный экстремум. Функция у = /(ж), график ко-

§17. Основные теоремы для дифференцируемых функций
151
О
о
Рис. 17.1
х0
Рис. 17.2
торой изображен на рис. 17.1, имеет локальные экстремумы в точках
х\ = 1, Х2 = 3, жз = 4, а именно минимумы при х = 1 и х = 4 и
максимум при х = 3.
Теорема 1 (Ферма). Если функция f(x) имеет локальный экст-
экстремум в точке хо и дифференцируема в этой точке, то
/'Ы = о.	(з)
О Пусть, например, функция f(x) имеет локальный минимум в точ-
точке хо. Тогда в силу A) для всех х Е (хо — S,хо + S) выполняется не-
неравенство
f(x) - /Ы ^ 0.	D)
Если х ? (хо - 6,х0), то х - х0 < 0, и из условия D) следует, что
0,
а если х G (жо,жо + S), то выполняется неравенство
/(ж) -
E)
г 0.	F)
ju — juo
Так как функция / дифференцируема в точке жо, то существует пре-
предел при х —У хо в левой части неравенства E), равный f'_{xo) = f'(xo).
По свойствам пределов из E) следует, что
/'Ы ^ 0.	G)
Аналогично, переходя к пределу в неравенстве F), получаем
/'Ы ^ 0.	(8)
Из неравенств G) и (8) следует, что f'(xo) = 0. •
Замечание 1. Теорема Ферма имеет простой геометрический смысл:
касательная к графику функции у = f(x) в точке локального экстремума
(жо,/(жо)) параллельна оси абсцисс (рис. 17.2).
2. Теорема Ролля о нулях производной.
Теорема 2 (Ролля). Если функция f(x) непрерывна на отрез-
отрезке [а, Ь], принимает в концах этого отрезка равные значения, т. е.
/(«) = f(b),
и дифференцируема на интервале (а,
(9)
то существует точка

152
Гл. IV. Производная и ее приложения
? G (a, b) такая, что
f@ = о.	(io)
О Обозначим М = sup /(ж), т = inf f(x). По теореме Вей-
ерштрасса (§ 11, теорема 4) на отрезке [а, Ь] существуют такие точки
С\ И С2, ЧТО /(Ci) = Ш, /(С2) = М.
Если т = М, то f(x) = const, и в качестве ? можно взять любую
точку интервала (а, 6).
Если ш/М,тош<М,и поэтому /(ci) < /(c2). В силу условия (9)
по крайней мере одна из точек ci, с2 является внутренней точкой от-
отрезка [а, Ь]. Пусть, например, с\ G (а, Ь). Тогда существует число S > 0
такое, что Us(ci) С (а, Ь). Так как для всех х е Us(ci) выполняется
условие f(x) ^ /(ci) = m, то по теореме Ферма /'(ci) — 05 т. е. усло-
условие A0) выполняется при ? = с\. Аналогично рассматривается случай,
когда с2 е (а,Ь). •
Теорему Ролля можно кратко сформулировать так: между двумя
точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные
значения, найдется хотя бы один нуль производной этой функции.
Для случая /(а) = f(b) = 0 теорема формулируется еще короче: между
двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один нуль
ее производной.
Замечание 2. Геометрический смысл теоремы Ролля: при условиях
теоремы 2 существует значение ? ? (а, Ь) такое, что касательная к графику
/()	(?/(?)) параллельна оси Ох (рис. 17.3).
функции у = /(ж) в точке
О
¦{--
-2
О
4
если —
если х = 2
Рис. 17.3
Рис. 17.4
Рис. 17.5
Рис. 17.6
Замечание 3. Все условия теоремы Ролля существенны. На рис. 17.4-
17.6 изображены графики функций, каждая из которых удовлетворяет всем

§17. Основные теоремы для дифференцируемых функций
153
условиям теоремы Ролля, кроме одного. Для всех этих функций не сущест-
существует точки на интервале (—2,2), в которой производная была бы равна
нулю.
3. Формула конечных приращений Лагранжа.
Теорема 3 (Лагранжа). Если функция f(x) непрерывна на отрез-
отрезке [а,Ь] и дифференцируема на интервале (а, Ь), то в этом интервале
найдется хотя бы одна точка ? такая, что
f(b)-f(a) = f(O(b-a).	A1)
О Рассмотрим функцию
(р(х) = f(x) + Хх,
где число Л выберем таким, чтобы выполнялось условие (р(а) = (р(Ь),
т. е. /(а) + Ла = f(b) + Xb. Отсюда находим
f(b)-f(a)_
Ъ — а
А = --
A2)
Так как функция ср(х) непрерывна на отрезке [а, 6], дифференцируе-
дифференцируема на интервале (а, Ь) и принимает равные значения в концах этого
интервала, то по теореме Ролля существует точка ? Е (а, Ь) такая, что
у/(?) = /'(?) + Л = 0. Отсюда в силу условия A2) получаем равенство
A3)
J vs/	b- a '
равносильное равенству A1). •
Замечание 4. Правая часть формулы A3) равна угловому коэффи-
коэффициенту секущей, которая проходит через точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)) гра-
графика функции у = /(ж), а левая часть этой формулы равна угловому коэф-
коэффициенту касательной к графику в точке (?,/(?)). Поэтому теорема
Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует
значение ? ? (а, Ъ) такое, что касательная к графику функции у = /(ж)
х0
о
>
х
а
|
i ь х
Рис. 17.8
Рис. 17.7
в точке (?,/(?)) параллельна секущей
Я	х0
Рис. 17.9
17.7), соединяющей точки
(рис.
A(aJ(a))nB(b,f(b)).
Замечание 5. Пусть функция / удовлетворяет условиям теоремы 3.
Если хо G [а, Ь], а приращение Ах / 0 таково, что точка ж0 + Аж также при-
принадлежит отрезку [а, Ь], то, применив теорему Лагранжа к функции /(ж)

154	Гл. IV. Производная и ее приложения
на отрезке / с концами хо и хо + Ах (Ах может быть и отрицательным),
получим
/(жо + Дж) — /(жо) = Аж/''(?),	A4)
где ? — некоторая внутренняя точка отрезка /.
Пусть Дж > 0; тогда 0 < f - ж0 < Дж (рис. 17.8), и поэтому 0 < ^ ~ Х° < 1.
Аж
Полагая в = 	, получаем
Ах
^ = жо + (9Дж, где 0 < в < 1.	A5)
Аналогично, если Дж < 0, то 0 < жо — ? < |Аж| (рис. 17.9), и поэтому
0 < ^—? < 1. Полагая 0 = ——- = -——, снова получаем равенство A5),
—Ах	—Ах Ах
где 0 < в < 1.
Следовательно, равенство A4) можно записать в виде
/(жо + Аж) - /(жо) = Дж /'(жо + 0 Аж),	A6)
где 0 < в < 1.
Формулу A6) называют формулой конечных приращений Лагранжа. Она
дает точное выражение для приращения функции, в отличие от приближен-
приближенного равенства
/(жо + Дж) — /(жо) ~ Дж/'(жо),
которое иногда называют формулой бесконечно малых приращений.
Пример 1. Доказать, что
1пA + ж)<ж при ж > 0,	A7)
|arctgж2 — arctgЖl| ^ |ж2 — Ж].|, х\ G /?, ж2 G R.	A8)
Л а) Применяя теорему Лагранжа к функции /(ж) = 1пA + ж) на от-
отрезке [0,ж], где ж > 0, получаем 1пA + ж) = -—-ж, откуда следует
неравенство A7), так как 0 < ? < ж.
б) По теореме Лагранжа для функции arctgж на отрезке с концами
Ж1 и ж2 находим
1 /	ч
arctgx2 - arctgЖl =	тг(ж2 — xi),
1 +S2
откуда получаем |arctgж2 — arctgж2| =	—— ^ |ж2 — х\\, так как
Полагая в соотношении A8) ж2 = ж, Ж1 = 0, получаем
|arctgx| ^ \х\, х G /?,	A9)
и, в частности,
0 ^ arctgx ^ ж, ж ^ 0.	B0)

§17. Основные теоремы для дифференцируемых функций	155
4. Некоторые следствия из теоремы Лагранжа.
Следствие 1. Если функция f(x) дифференцируема на интервале
(а, Ь) и f'(x) = 0 для всех х Е (а, Ъ), то
f(x) — С — const, х G (а, Ь).
О Пусть хо — фиксированная точка интервала (a, Ъ), x — любая
точка этого интервала. Применяя теорему Лагранжа к функции f(x)
на отрезке с концами хо и х, получаем
где f е (а, Ъ), /'@ = 0, откуда f(x) = f(x0) = С. •
Следствие 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6],
дифференцируема на интервале (а, Ъ) и для всех х G (а, Ъ) выполняется
равенство f'(x) = k, где к — постоянная, то
/О) = кх + В, х е [а, Ь],
т. е. f — линейная функция.
О Применяя теорему Лагранжа к функции / на отрезке [а,ж], где
а ^х ^Ь, получаем f(x) — f(a) = k(x — а), откуда следует, что f(x) =
= kx + В, где 5 = /(а) — fca. •
Следствие 3. Пусть функция f(x) дифференцируема на интер-
интервале (а, 6), за исключением, быть может, точки хо G (а, Ь), и непре-
непрерывна в точке х0. Тогда если существует конечный или бесконечный
lim f(x)=A,	B1)
mo в точке хо существует левая производная, причем
f'-(xo) = A.	B2)
Аналогично, если существует
\im f(x)=B,	B3)
ж—>-жо+О
то
/;ы = я.	B4)
О Пусть приращение Ах таково, что Ах /Ои точка ж0 + Аж при-
принадлежит интервалу (a, b). Запишем равенство A6) в виде
О<0<1.	B5)
Если существует предел B1), т. е. lira ff(x)= lim f'(xo
ж-^жо-0	Аж-^-0
= А, то правая часть B5) имеет предел, равный А, а поэтому сущест-
существует предел в левой части B5) и справедливо равенство B2).
Аналогично, из соотношения B3) следует равенство B4). •

156	Гл. IV. Производная и ее приложения
Предположим, что функция /(ж) дифференцируема в точке жо,
тогда
Если пределы B1) и B3) существуют и конечны, то из соотноше-
соотношений B2), B4) и B6) следует, что
lim J'(x)= lim /'(*)=/'Ы-
Это означает, что если функция /(ж) дифференцируема на интервале
(а, Ь), то ее производная /'(ж) не может иметь точек разрыва пер-
первого рода. Иначе говоря, каждая точка жо G (а, Ь) является либо точ-
точкой непрерывности функции f'(x), либо точкой разрыва второго рода.
2х
Пример 2. Найти /i(l) и /+A), если /(ж) = arcsin	-.
Л Функция / определена на /?, так как 1 + ж2 ^ 2|ж|. Вычислив про-
производную, получим
f'M -	1	2A -х2) _ 2A -х2)
откуда
го
если |ж| < 1,
если |ж| > 1.
Применяя следствие 3, получаем
f_(l)= lim /'(ж)= Hm
Аналогично находим
/;(l) = ^Umo(-I-^)=-l. A
Пример 3. Найти точки разрыва функции f'(x), если
Г о . 1	, п
?( ч I ж sin — при х/О,
[ 0	при ж = 0.
Л Если ж ф 0, то Г (ж) = 2жвт	cos -, а если ж = 0, то по опреде-
х	х
х2 sin —
лению производной f'@) = lim	— = 0. Следовательно, функ-
функция f'(x) определена на R и непрерывна при ж ф 0. В точке ж = 0
эта функция имеет разрыв второго рода, так как не существует пре-
предела функции
/'(ж) = 2ж sin	cos - при ж ->• 0. А

§17. Основные теоремы для дифференцируемых функций	157
Следствие 4. Если функции ip и ф дифференцируемы при ж ^ жо
и удовлетворяют условиям ср(хо) = ^(^о), Ц>'(х) > ф'(х) при х > жо,
то (р(х) > ф(х) при х > хо.
О Применяя теорему Лагранжа к функции /(ж) = ip(x) — ф(х) на
отрезке [жо,ж], где х > жо, получаем /(ж) = /'(?)(ж —жо), так как
() = 0. Отсюда, учитывая, что
получаем f(x) > 0, т. е. ip(x) > ф(х) при х > х0. •
Пример 4. Доказать, что
2
1пA + ж)>ж-у при х > 0.	B7)
Л Пусть <р(ж) = 1пA + ж), ф(х) — х——, тогда <р@) = ^@),
Z
(р;(х) = 	, т/>'(ж) = 1 — ж, и при ж > 0 справедливо неравенство
X "т" X
	> 1 — ж, так как при ж > 0 это неравенство равносильно очевид-
очевидному неравенству 1 > 1 — ж2. Применяя следствие 4 к функциям ip(x)
и ф(х), получаем неравенство B7). А
5. Обобщенная формула конечных приращений (формула
Коши).
Теорема 4. Если функции /(ж) и д(х) непрерывны на отрезке
[а, 6], дифференцируемы на интервале (а, Ь), причем д'(х) ф 0 во всех
точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка ? е (а, Ь)
такая, что
=
g(b)-g(a) Я'(О'
О Рассмотрим функцию
<р(х) = /(ж) + А#(ж),
где число А выберем таким, чтобы выполнялось равенство (р(а) =
= ip(b), которое равносильно следующему:
f(b) - /(о) + Цд(Ь) - д(а)) = 0.	B9)
Заметим, что д{Ь) ф д(а), так как в противном случае согласно теоре-
теореме Ролля существовала бы точка с G (а, Ь) такая, что д'(с) = 0 вопреки
условиям теоремы 4. Итак, д(Ь) — д(а) / 0, и из равенства B9) сле-
следует, что
/|ЬЖ.	(зо)
Так как функция ср при любом А непрерывна на отрезке [а, Ь] и диф-
дифференцируема на интервале (а, Ъ), а при значении А, определяемом
формулой C0), принимает равные значения в точках а и Ъ, то по

158	Гл. IV. Производная и ее приложения
теореме Ролля существует точка ? Е (а, Ъ) такая, что <р'(?) = 0, т. е.
/'(?) + ^#'(?) = О? откуда :Ljfpr = -А. Из этого равенства и форму-
формулы C0) следует утверждение B8). •
Замечание 6. Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши
(д(х) = х).
Замечание 7. Теорему 4 нельзя получить применением теоремы 3
к числителю и знаменателю дроби, стоящей в левой части равенства B8).
f1 (? ^
Действительно, эту дробь по теореме 3 можно записать в виде —7—f? гДе
9 ЛЬ)
?1 G (а,Ь), ?2 G (а,Ь), но, вообще говоря, ?i / ?2.
Упражнение. Пусть функция /(ж) дифференцируема на отрезке [а, Ъ]
и /7(а) < f'(b). Доказать, что для любого Л, удовлетворяющего условию
f (а) < Л < /'F), существует хотя бы одна точка ? G (а, 6) такая, что /'(?) =
= Л (теорема Дарбу).
§ 18. Формула Тейлора
1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лаг-
ранжа.
Лемма 1. Если функция f(x) имеет в точке хо производную п-го
порядка, то существует многочлен Рп(х) степени не выше п такой,
что
Рп(хо) = f(x0), Pik)(xo) = fw(xo), fc = M.	A)
Этот многочлен представляется в виде
- ж°) + (ж - ХоJ +
Рп(х) =	4г	т
•••+ ?-^(х-хо)п. B)
О Пусть (р(х) = (х - жо)т, где т е N. Тогда (р(х0) = 0,
1 если \фт'	C)
l, если к = т.
Из C) следует, что многочлен Рп(х), заданный формулой B), удов-
удовлетворяет условиям A). Этот многочлен называют многочленом Тей-
Тейлора п-го порядка для функции f(x) в точке xq. •
Упражнение. Доказать, что если Qn(x) — произвольный многочлен
степени не выше п, то этот многочлен можно записать в виде
k=o

§18. Формула Тейлора	159
Лемма 2. Пусть функции ip(x) и ф(х) определены в 6-окрестнос-
ти точки жо и удовлетворяют следующим условиям:
1) для каждого х е Us(x0) существуют if^n+1\x) и ф
1/>(х0) = ф'(х0) = ... = ф^п\х0) = 0;

3) ф(х) Ф 0, ф№{х) ф 0 для х е Щхо) и для к = 1,п + 1.
Тогда для каждого х Е Us(xo) существует точка ?, принадлежа-
принадлежащая интервалу с концами хо и х такая, что
Ф) = У(П+1)@	/*ч
^(ж) ^(п+1)@'
О Пусть, например, ж G (жо,жо + ?). Тогда, применяя к функциям ip
и -0 на отрезке [жо,ж] теорему Коши (§ 17) и учитывая, что ip(xo) =
= ф(хо) = 0 в силу условий D), получаем
Ф) _ Ф) ~	^	^	R
ф(х) ф(х)-ф(х0) ip'(?i)
Аналогично, применяя к функциям if' и ф' на отрезке [xo,?l] теорему
Коши, находим
< 6 < 6 < х < х0 + S.
Из равенств F) и G) следует, что
(р(х) _ (p'(?i) _ ф"{?,2)
Применяя теорему Коши последовательно к функциям if" и ф",
и ф^\ ..., (р^п^ и т/лп) на соответствующих отрезках, получаем
где ж0 < ^ < 6г < ••• < 6 < ^ < ж0 + S.
Равенство E) доказано для случая, когда х G (жо,жо + S). Анало-
Аналогично рассматривается случай, когда х G (хо — S,xo). •
Теорема 1. Пусть существует S > 0 такое, что функция f(x)
имеет в S-окрестности точки хо производные до (п + 1)-го порядка
включительно.
Тогда для любого х е Us(xo) найдется точка ?, принадлежащая
интервалу А с концами хо и ж, такая, что
)
f(x) = /Ы + &&(х - х0)

160	Гл. IV. Производная и ее приложения
О Пусть х е Us(xo), Рп(х) = ^2 * ьГ^х ~ х°^ ~~ многочлен Тей"
лора для функции f(x). Обозначим
rn(x) =f(x)-Pn(x).	(9)
Так как многочлен Рп{х) удовлетворяет в силу леммы 1 условиям A),
то из равенства (9) следует, что
rn(xo)=r;(xo) = ... = r^)(xo) = 0.	A0)
Рассмотрим функции ср(х) = гп(х), ф{х) = (ж — жо)п+1. Эти функции
удовлетворяют условиям леммы 2, и поэтому для них выполняется
равенство E), т. е.
Ф) =	ГП(Х)	= rkW+1)(Q = /(W+1)(O	fGA
ф(х) (х-хо)п+1 (п + 1)! (п + 1)!' ? '
так как Р^п+1)(х) = 0, ф^п+1\х) = (п + 1)!. Из равенств A1) и (9)
следует формула (8). •
/?(n+l)/V\
Замечание 2. Функцию гп(х) = -;	Vr(х ~ хо)п+1 называют оста-
(п + 1)!
точным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. Формула (8) справед-
справедлива и при х = жо-
Следствие. Если функции (риф дифференцируемы п раз при
х ^ хо и удовлетворяют условиям ц>^ (хо) = ф№(хо), к = 0,п — 1,
(р(п\х) > ф(п\х) при х > ж0, то (р(х) > ф(х) при х > х0.
О Для п = 1 утверждение доказано в § 17 (следствие 4 из теоремы
Лагранжа). Обозначим f(x) = (f(x) — ф(х). Тогда f(k\xo) = 0 при к =
= 0, п - 1, и по формуле (8) получаем
Если х > хо, то ? > жо, /^п^ (?) = (р^ (?) — ?/^п) (О > 0, и поэтому /(ж) >
> 0, т. е. ip(x) > ф(х) при х > хо- •
Пример 1. Доказать, что:
t1
а)	| sint — t\ ^ — для t G /?;
ж3	ж3 ж5
б)	ж — — <sinx<x- — + — при х > 0.	A2)
о.	о! О!
Л а) Применяя формулу (8) при п = 2ижо = 0к функции f(t) =
= sint, получаем sint = t	pt2, откуда следует, что | sint — t\ ^ —,
te R.
б) Если /(ж) = sin ж, то /@) = /B)@) = /D)@) = 0, /'@) = 1,
/C)@) = -1, f(n\x) = (sinx)(n) =sinfx + n--V Применяя форму-

§18. Формула Тейлора	161
лу (8) при п = 5, жо = 0, получаем
X3 , X5 . /. , к 7Г\
sin ж = ж - — + — sin (f + 5 • - J,
откуда следует правое неравенство A2), так как, очевидно,
Ж5	/	7Г\ I	Ж5
— sin (? + 5- — )^ — при ж > 0. Используя формулу (8) для /(ж) =
= sin ж при п = 3, жо = 0, докажем левое неравенство A2). А
2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Теорема 2. Если существует /(п)(жо), то
к=0
О Из существования /(п)(ж0) следует, что функция /(ж) определена и
имеет производные до (п — 1)-го порядка включительно в
(^-окрестности точки жо. Обозначим ср(х) = гп(ж), ф{х) = (ж — жо)п,
где функция гп(х) определяется формулой (9). Функции ip(x) и ф(х)
удовлетворяют условиям леммы 2, если заменить номер п + 1 на но-
номер п — 1 (см. равенства A0)). Используя лемму 2 и учитывая, что
?п (жо) = 0, получаем
Тп<"Х\п = —	^ ~ Гп ^°^,	A4)
где ^ = ?(ж) и
жо<^<ж<жо + й или жо — й<ж<^<жо-	A5)
Пусть ж -у хо, тогда из неравенств A5) следует, что ? ->• ж0, и в
(п—1)/ \	(п—1)/ \
силу существования f^Hxo) существует lim —	—	^-^- =
4 7	ж	УХг)	X 	 Хо
= lim —	^	^-^- = г^(жо) = 0, так как выполняются ра-
равенства A0). Таким образом, правая часть формулы A4) имеет при
ж —У хо предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой
части этой формулы, также равный нулю. Это означает, что гп(х) =
= о((ж — жо)п), ж —у хо, или /(ж) — Рп(х) = о((ж — жо)п), откуда сле-
следует равенство A3). •
Замечание 3. Формулу A3) часто называют формулой Тейлора с
остаточным членом в форме Пеано или локальной формулой Тейлора.
Разложить функцию f(x) по формуле Тейлора в окрестности точки хо
до о((х — хо)п) — значит представить ее в виде A3).
Теорема 3. Если существует /(п)(жо) и если при ж —У хо
/(ж) = а0 + аг(х - ж0) + ... + ап(х - жо)п + о((х - жо)п), A6)
то
A7)

162	Гл. IV. Производная и ее приложения
О По теореме 2 справедлива формула A3), и так как по условию
выполняется равенство A6), то
а0 + а\{х — ж0) + ... + ап(х — жо)п + о((х — жо)п) =
f'(xo)(x - х0) + ... + fM(x0){x~^o)n + о((х - хо)п). A8)
Переходя к пределу при х —у хо в равенстве A8), получаем а® =
= /(жо). Отбросив в левой и правой частях этого равенства одинако-
одинаковые слагаемые а0 и /(ж0) и разделив обе части полученного равенства
на х — жо, имеем
ai + а2(ж - ж0) + ... + ап(х - жо)™ + о((х - жоO1) =
= /'(so) + ^г*(* " ж0) + ... + ^Г
Переходя в этом равенстве к пределу при ж -у ж0, находим f'(xo) =
= а\. Продолжая эти рассуждения, получаем равенства A7). •
Замечание 4. Теорема 3 означает, что представление в виде A6)
функции, имеющей в точке хо производную n-го порядка, единственно:
коэффициенты разложения A6) выражаются по формулам A7).
Пример 2. Разложить функцию	 по формуле Тейлора в
X X
окрестности точки ж0 = 0 до о(хп).
Л Воспользуемся равенством A + ж + ... + жп)A — ж) = 1 — жп+1, от-
1	хп+1
куда —— = 1 + ж + ... + хп + гп(х), где гп(х) = —— = о{хп) при
ж —> 0. Таким образом,
^ = 1 + ж + ... + хп + о(хп).	A9)
Так как функция	бесконечно дифференцируема при ж ф 1 (имеет
производные любого порядка), то по теореме 3 формула A9) дает
искомое разложение. А
3. Разложение основных элементарных функций по фор-
формуле Тейлора. Если жо = 0 и существует /^п^@), то равенство A3)
принимает вид
/(ж) = ^ ^^хк + о(жп), ж -> 0.	B0)
Формулу B0) называют формулой Маклорена.
Замечание 5. Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема на
интервале (—/,/). Если эта функция является четной, то ее производная —
нечетная функция, и, наоборот, производная нечетной функции — четная
функция (§ 15, пример 9)). Отсюда следует, что для нечетной функции /

§18. Формула Тейлора	163
выполняются условия /^2/^@) = 0, к Е Л/, а для четной функции / — усло-
условия fBk~1\0) = О, А; Е А/, так как любая непрерывная нечетная функция
принимает при ж = 0 значение нуль.
Поэтому формулу B0) для бесконечно дифференцируемой четной функ-
функции можно записать в виде
а для нечетной функции — в виде
ES^f^+1+o(a;2n+2)' x^°- B2)
fc=0
В формуле B1) остаточный член записан в виде о(х1у2п+1')^ а не в виде о(ж2гг),
так как для четной функции / выполняется условие р2п+1'@) = 0, и поэ-
yBn)/Q\
тому член многочлена Тейлора, который следует за слагаемым 	—ж п,
Bга)!
равен нулю. Аналогично рассматривается вопрос о записи остаточного чле-
члена формулы B2).
а)	Показательная функция. Если /(ж) = еж, то /@) = 1 и /^п^@) = 1
при любом п. Поэтому формула B0) для функции ех записывается в
виде
ех = 1 + х+^ + ^ + ... + ^+о{хп), х^О,	B3)
или
п k
рХ _ V^ Х_ , О(ТП\	, Q
б)	Гиперболические функции. Так как /(ж) = shx — нечетная
функция, /B/е+1)(ж) = chx, /Bfe+1)@) = 1 при к = 0,1,2,..., то
по формуле B2) получаем
x = х + |! + |! + ... + ^^ + о(ж^+2), х^0,	B4)
или
71	2^ + 1
V^ ?2+2
snx2^BA; 1}! +о^ j, х^и.
Аналогично по формуле B1) находим
сЬЖ = 1 + |! + ?| + .. . + _?!_+0(^+1), ж^0, B5)
или
n	2fe
chx - Y^ —	h o(x2n+1) x -> 0

164	Гл. IV. Производная и ее приложения
0х — в Х	€-Х ~\~ в Х
Замечание 6. Так как shx = 	, chx = 	, то форму-
формулы B4) и B5) можно получить, используя равенство B3) и равенство
п
( — 1)кХк
к\
к=0
в) Тригонометрические функции. Функция /(ж) = sin ж является
нечетной,
откуда
Поэтому
или
/ (^
по формуле
х3 х5
Х 3! 5!
B2)
sin ( —Ь тг
находим
. + (-1Г-
п) = cosTrn = (—
1 n(r2n+2
)П_|_ 1)' ^
О, B6)
к=о у }
Аналогично, /(ж) = cosх — четная функция, /Bп)@) = cos ( — 2п J =
= (—1)п, и по формуле B1) получаем
cosx = l-^ + ^ + ... + (-ir-^+o(x2n+l), х^О, B7)
ИЛИ
к=о
г) Степенная функция. Пусть /(ж) = A + ж)а, где a G R. Тогда
)(ж) = а(а - 1)...(а -(к- 1))A + ж)а~^, откуда получаем /(fe)@) =
= а(а — 1)...(а — (к — 1)). Обозначим
^i)(«(fc-i))) fce/v. B8)
Тогда по формуле B0) получим
п
A + х)а = ^ С^ж* + о(жп), ж ^ 0.	B9)
к=0
Отметим важные частные случаи формулы B9).
1)	j^ = 1 + ж + ж2 + ... + жп + о(жп), ж^О,	C0)

§18. Формула Тейлора	165
ИЛИ
1 — х *-^
к=О
Формула C0) была получена другим способом в п. 2 (пример 2).
2) —!— = 1-ж + ж2 + ... + (-1)пжп + о(жп), ж^О, C1)
X "т" Ж
ИЛИ
к=0
д) Логарифмическая функция. Если /(ж) = 1пA + ж), то /@) = 0,
и по формуле B0) находим
ж) =х-^- + ^ + ...+ (~1)П 1хп + о(хп), х^О, C2)
или
—'———+о(хп). ж ->• 0.
к
Заменяя в формуле C2) ж на —ж, получаем
1пA - ж) = -ж	...	Ь о(жп), ж -»> 0, C3)
2 3	п
или
Пример 3. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точ-
точки жо = 0 до о(жп) функцию /(ж), если:
a) f(x) = —L=; б) /(Ж) = i
V 1 + Ж
L=; б) /(Ж) = -i—;
V 1 + Ж	ОЖ + Z
в) /(Ж) = In |^|; г)
Л а) Применяя формулу B9) при а = —, получаем
п
= ^ Ck_1/2xk + о(жп), ж ^ 0,
^^ ^"-1/а
где
-V2	fc!

166	Гл. IV. Производная и ее приложения
Обозначим Bк - 1)!! = 1 • 3...Bfe - 1), тогда
Из формулы C4) при п = 3 находим
±х2-±х3+о(х3), ж^О.	C5)
8	16	v ;	v ;
б) Так как 	 = —;	;-, то, применяя формулу C1), полу-
чаем
П	и
1	оК
Q/y> —I— О	J	o/c + l
fc=0
ж — 5	5	^ ~ ~к
в)	Используя равенство In	 = In —h In	1- и формулу C3),
~ 4
находим
	7 =1п7+/ "Г ( "Г	Г ) + о(жП), Ж -»> 0.
ж -4	4 ^-^ A; V4fe 5fe /
г)	Так как /(ж) = хе~2х +3е~2ж, то, применяя формулу B3), по-
получаем
к=0	к=0
или
-i\k — lok — l
_1	^
А;=1	А;=1
т. е.
/(ж) =3 + ^ ^"^ 2	(А:-б)ж^+о(жп), ж^О. А
А;=1
Пример 4. Разложить по формуле Маклорена до o(x2n+1) функ-
функцию
/(ж) = cos4 ж.
л тт	2	1 + cos 2ж
Л Используя равенство cos ж = 	, получаем
4 1 Л , о о , 1 + cos4x\ 3,1 о , 1 л
cos ж = -11 + 2 cos 2ж Н	) = —|— cos 2ж Н— cos 4ж,
4 V	2/82	8
откуда по формуле B7) находим
п ( л\к02к-1
cos4 ж = 1 + Y, {IL (! + 22^2)ж2^ + о(ж2"+1) ж^О А
к=1 ^ ^

§18. Формула Тейлора	167
Замечание 7. Если существует /(n+1)@) и известно разложение функ-
функции	п
где Ък =
к=0
Пример 5. Разложить по формуле Маклорена до о(ж2п+1) функ-
функции:
a) arctgx; б) arcsinx; в) 1п(ж + л/1 + х2).
Л а) Так как
то, используя формулу C1) и замечание 7, получаем
к=0
откуда
п	2к+1
arctgx = ^(-1)^^— + о{х2п+2), х ^ 0.	C6)
к=о
Из формулы C6) при п = 2 находим
т3 т5
arctgx = ж - ^- + ^- + о(ж6), ж -)> 0.	C7)
б) Используя замечание 7, равенство C4) и формулу (arcsinxO =
1
, получаем
Ж 1 - 1 + V BА:~1)!! x2fe + o(x2n+1) x -+ 0
откуда
C8)
Из формулы C8) при п = 2 находим
1	ч
arcsinx = ж + -ж3 + — ж5 +о(ж6), ж ->> 0.	C9)
6	40

168	Гл. IV. Производная и ее приложения
в) Так как
(ljif'T* —I— \/ 1 —I— Т* ) ) ==
то, используя замечание 7 и разложение C4), получаем
" (-l)feBfc-l)!!^2fc , „,_2п+ь
откуда
D0)
Из формулы D0) при п = 2 находим
1п(ж + л/l + х2) = ж - ^г + -5- ж5 + о(ж6), ж^О. А	D1)
6 40
Пример 6. Разложить по формуле Маклорена до о(ж6) функции:
а)	tgж; б) tlvx.
Л а) Функция tgx является нечетной, и поэтому tgx = а\х +
+ а3ж3 + а5ж5 + о(ж6), ж ->• 0, где ai = 1, так как tgx ~ ж при ж ->• 0.
Используя равенство sin ж = cos ж tgж и разложения B6), B7), полу-
получаем
Приравнивая коэффициенты при ж3 и ж5, находим — =	Ьаз,
1 1 а3 ,	1	2
ту = ту - -гг + «5, откуда а3 = -,о5 = -,и поэтому
tgж = ж + — + — ж5+о(ж6), ж^0.	D2)
о 15
б)	Так как th ж — нечетная функция, то th ж = а\х + а3ж3 + а5ж5 +
+ о(ж6), где а\ — 1 (thx ~ ж при ж —>¦ 0). Применяя формулу вЬж =
= спж^ж и используя разложения B4), B5), получаем
откуда, сравнивая коэффициенты при ж3 и ж5, находим аз = —, а$ =
= —. Следовательно,
15	^з о
ii 		«^ , ^ о | / о\	д	/ л о \
lii «^ — «^ qip;	1Д«^ у • м	V °/
Замечание 8. Прием, использованный для нахождения разложе-
разложений D2) и D3), называют методом неопределенных коэффициентов (см. [11,
с. 389, 390]).
Замечание 9. Разложение функции f(x) по формуле Тейлора A6)
заменой х — хо = t обычно сводится к разложению функции g{t) = /(жо +1)
по формуле Маклорена B0).

§18. Формула Тейлора	169
Пример 7. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
х0 = -2 до о((х + 2)п) функцию /(ж) = ———.
х -\- ох
Л Так как fix) = -(	), то, полагая х = t — 2, получаем
5 \х х + 5/
меняя формулы C0) и C1), находим
откуда
4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора.
fix)
Рассмотрим предел при х —> 0 отношения ^Ц—г, где /@) = ^@) = 0,
0
т. е. предел типа -.
Будем предполагать, что
/(о) = /'(о) = ... = /(п-1}(о) = о, /W(о) ф о.
Тогда разложение функции / по формуле Маклорена B0) имеет вид
/(ж) = ахп + о(жп), ж -)> 0, где а ф 0.	D4)
Аналогично, предполагая, что
д@) = «/@) = - = ^"-^(О) = 0, (?("*) @) ^ 0,
по формуле B0) находим
д(х) = Ъхт + о(жт), х -+ 0, где 6 ^ 0.
Из равенств D4) и D5) следует, что
f(x) = ахп + о(хп) х^0
д(х) Ъхт + о(хт)'
Если т = п, то lim Д—г = т- Если п > т, то lim Д—г = 0; если же
ж-^0 р(ж) О	ж-^0 р(ж)
п < т, то lim ^4 = оо.
0 ()

170	Гл. IV. Производная и ее приложения
Пример 8. Найти lim -г-
sin ж — shx
Л Используя формулы B4), B6), C1) и D2), получаем
^	^-х2) + о(х3) = \х3 + о{х3),
О
2	^(
X	О
sin ж — sh ж = ж —-— (ж + -^) + °{х?>) — — т
6 V 6 /	3
Следовательно, искомый предел равен —4. А
еA +ж)~1//ж - 1
Пример 9. Найти lim —	.
х^О	X
Л Воспользуемся равенством A + ж)~1//ж = е-A/жIпA+ж)< До фор-
муле C2) получа
лу B3), находим
( )
1 ж
муле C2) получаем — 1пA + ж) = — 1 Н	h о(ж). Используя форму-
X	Z
Поэтому искомый предел равен -. А
Пример 10. Найти
1п(ж + \/1 + х2) -\—.	— ch (у/Зх)
lim
thx — ж cos ж
Л Пусть /(ж) и д(ж) — соответственно числитель и знаменатель дро-
дроби. Тогда, используя формулы D3) и B7), получаем
д(х) = ж - у + о(Ж4) -х{\-^+ о(х3)) = ^ + оОг4).
Поэтому числитель /(ж) следует разложить до о(ж3). Применяя фор-
формулы D1), C5) и B5), находим
f(x) =х-^+о(х3) + (l -х + \х2 -^х3+о(х
+ \x2+o{x3))=-l-^x3+o{x3).
Следовательно, искомый предел равен —16. А
Локальная формула Тейлора часто используется при вычислении
предела при ж ->• ж0 функции A + f(x))9(x\ где /(ж) -^0и #(ж) ->•
—> оо при ж —> xq. Если жо = 0 и разложение функции / по формуле
Маклорена имеет вид D4), а функция д(х) представляется при ж —у О
в виде
{)	М° €Л/

§19. Правило Лопиталя
171
то, используя формулу A6) § 13, получаем
1/(Ьхп+о(хп))
lim A + f{x))9^x) = lim A + axn + о(жп))
ж-И)	ж-И) V	/
Пример 11. Найти lim(etga; + ln(l - ж)I/^81118Ьж-ж\
Л Используя формулы C9) и B4), получаем
/Ж3	л \
arcsin shx — ж = arcsin f ж + — + о{х )) — ж =
= еа/ь.
D6)
= x + ^ + i
6 6
Аналогично, разложив функции еж, tgx, ln(l — ж) по формуле Макло-
рена до о(ж3), находим
= 1 + Ж + у + у + у+ о(х3) -х-?-?+ о(х3) = 1 + у + о(ж3).
По формуле D6) находим, что искомый предел равен е1//2. А
При вычислении предела с помощью формулы Тейлора в конечной
точке хо ф 0 можем положить t = х - х0 и свести задачу к вычисле-
вычислению предела при t = 0.
Неопределенности видов —, 0 • оо, оо — оо обычно приводят к
оо
0
пределу типа -.
Пример 12. Найти lim xi\Jx2 + 2х - 2\Jх1 + х + х).
х—>-+оо
Л Обозначим f(x) = х(у/х2 + 2х — 2у/х2 + х + ж), тогда /(ж) =
= ж2( W1 Н	2ч/Ц	hi). Полагая - = ?, получаем /(ж) = #(?) =
V у х у ж /	ж
= — {у/1 + 2t — 2^1 + t + 1). Используя формулу B9) при а = -, п = 2,
получаем
Следовательно,
0.
откуда находим, что искомый предел равен --. А

172	Гл. IV. Производная и ее приложения
§ 19. Правило Лопиталя
fix)
При вычислении предела отношения ^—^ при х —у а в случае, когда
9Ух)
функции / и g одновременно являются либо бесконечно малыми, ли-
либо бесконечно большими, иногда удобно применить так называемое
правило Лопиталя, позволяющее заменять предел отношения функ-
функций пределом отношения их производных.
1. Неопределенность вида -. Если функции f(x) и д(х) диф-
дифференцируемы в точке а, /(а) = д[а) = 0, но д'{а) ф 0, то, применяя
к функциям / и д локальную формулу Тейлора при п = 1 (§ 18, фор-
формула A3)), получаем
f(x)=f'(a)(x-a)+o((x-a)),
д(х) = д'{а)(х - а) + о((х - а)),
откуда следует, что
Пт Щ = Щ-	A)
х^а д(х) д'(а)
Аналогично, если существуют /^п^(а) и д(п\а) и выполняются усло-
условия
/(а) = /» = ... = /(»-i) (а) = О,
3(а)=5'(«) = -=!7(п)(«)=0,
но0(п)(а) т^О, то
,. /(х) г ^(Ж-«)" + о((Ж-«)") /(п)(в)
lim ^4 = lim --^	 = , ч .
—Г^(ж — а)п + о((ж — a)n)
Пример 1. Найти
U Зх10 - 2хъ - 1
ж™ ж3 - 4ж2 + 3
Л Обозначим /(ж) = Зж10 - 2ж5 - 1, р(ж) = х3 - 4ж2 + 3. Тогда
/'(ж) = ЗОх9 - Юх4, ^(^) = Зх2 - 8х, /A) = ^A) = 0, ГA) = 20, д'{1) =
= —5, и по формуле A) находим, что искомый предел равен —4. А
Теорема 1. Пусть функции f(x) и д(х) дифференцируемы на ин-
интервале (а, Ь),
lim fix) = 0, lim gix) = 0,	B)
ж^а+О V J	ж^а+O V J	V У
р'(ж) ^ 0 для всех х G (а, Ь),	C)
существует (конечный или бесконечный)
Нт 4т4=А	D)
ж-^а+о g ух)

§19. Правило Лопиталя	173
fix)
Тогда lim ^-f также существует и равен А, т. е.
lim Ц-1- = hm l-fJ-.	E)
ж-^а+о дух) ж-^а+о д'ух)
О Пусть ж Е (а, Ъ). Доопределим функции /(ж) и д(ж) в точке а,
полагая
/(а) = я(а) = 0.	F)
Тогда из условий B) и F) следует, что функции fug непрерывны
на отрезке [а,ж]. По теореме Коши (§ 17, теорема 4) существует точ-
точка ? е (а, ж) такая, что
fix) = /(*) - /(а) = /40	/7ч
р(Ж) д{х)-д{а) д'@'	У)
Если ж —>- а + 0, то ? —>- а + 0, и в силу условия D) существует
lim ^тттт — ^- Поэтому из равенства G) следует, что справедли-
ж^а+0 д'{€)
во утверждение E). •
Замечание 1. Доказанная теорема (с соответствующими изменения-
изменениями ее условий) остается справедливой при х ^ а — Оиж—>-а, где а —
конечная точка.
Эта теорема остается в силе и для случая, когда а = +оо (или а =
= — оо), если lim f(x)= lim g{x) = 0, д(х) / 0 при х > хо и существует
х—)- + оо	ж—)- + оо
lim ; ( = А; и в этом случае lim	= А. Доказательство этого
ж-^ + оо д (х)	ж-^ + оо р(ж)
1
утверждения, основанное на использовании замены переменного х = - и
теоремы 1, содержится, например, в [2, т. 1, § 12, теорема 3].
2. Неопределенность вида —.
Теорема 2. Пусть функции /(ж) и д(ж) дифференцируемы при
х > а, причем д'(х) ф 0 гс/ж х > а,
lim /(ж) = оо, lim д(х) = оо	(8)
ж-^+оо	ж-^+оо
и существует конечный
Hm 4т4=А	(9)
fix)
Тогда существует lim ^Ц—?, равный А, т. е.
ж-^+оо р(ж)
()
д'ух)
О Из условий (8) следует, что
Заг >а: Уж > аг -+ |/(ж)| > 1, \д(х)\ > 1,	A1)

174
Гл. IV. Производная и ее приложения
и поэтому f(x) ф 0, д(х) ф 0 при х > ai. По определению предела (9)
для заданного числа г > 0 можно найти Si = Si(e) ^ ai такое, что для
всех t > Si выполняется неравенство
А - - < 1Ф < А + -	A2)
Фиксируя хо > Si (рис. 19.1), выберем, пользуясь условиями (8), чис-
х0
-h
h
I
-h
Рис. 19.1
ло $2 > Хо такое, чтобы при всех х > 82 выполнялись неравенства
/ы
д(х0)
A3)
Для доказательства утверждения A0) нужно показать, что су-
существует 5 такое, что при всех х > 5 выполняется неравенство
А-е<
Щ <А
A4)
Число 8 будет выбрано ниже. Считая, что х > ?, применим к функ-
функциям / и д на отрезке [хо,х] теорему Коши о среднем. В силу этой
теоремы существует точка ? G [жо,ж] такая, что
/(я) -
A5)
Преобразуем левую часть равенства A5), используя условия A1)
и A3):
/(а) - Дар) _ /(а),,
'
A6)
где
Заметим, что /3(ж) —>¦ 0 при ж —У +оо в силу условий (8). Поэтому
Ух > 6
A8)
Так как ? > ж0 > <Ji, то из равенств A6), A7) и условия A2) следует,
что для всех х > 62 выполняется неравенство
A9)

§19. Правило Лопиталя	175
Если х > 5, то ip(x) > 0 в силу условий A7) и A8), и поэтому нера-
неравенство A9) равносильно следующему:
А - §) A + 0(х)) < М < (а + §) A + 0(х)).	B0)
Используя неравенство A8), получаем
(а - f
= А - §
Аналогично находим
(а + |) A + /3(аО) ^ А + § + (l4 + §) 1/30*01 < Л + е.
Таким образом, для всех х > S выполняется неравенство A4). Это
означает, что справедливо утверждение A0). •
Замечание 2. Теорема 2 остается в силе и в случае, когда А = +оо или
А = — оо. Теорема справедлива и для случая х —»¦ а (х —»¦ а — 0, х —»¦ а + 0),
где а — конечная точка.
Замечание 3. Согласно теоремам 1 и 2 правило Лопиталя служит
для раскрытия неопределенностей вида — или —. Неопределенности видов
О	оо
0 • оо, оо — оо, 0°, оо°, 1°° часто удается свести и к неопределенностям
0	°°	*
типа - или — с помощью различных преобразовании.
0	оо
Пример 2. Доказать, что
lim 	= 0, если а > 0.
ж-^+оо Ха
А Применяя правило Лопиталя (теорема 2), получаем
,. In ж т 1/х ,. 1 л а
hm 	 = hm —-—- = hm 	 = 0. А
а	а1	а
Пример 3. Найти Hm жа1пж, где а > 0.
ж-^+0
Л Преобразуя неопределенность вида 0 • оо к виду — и применяя
оо
правило Лопиталя, получаем
In ж 1/х	—1
Hm xalnx = Hm 	 = lim 	——- = — lim xa = 0. А
а	{а+1>
Hm	= lim
ж-^+о х а ж-^+о —ах~{-а+1>
Пример 4. Доказать, что
х
lim — =0, если а > 0, а > 1.
ж—>-+оо ах

176	Гл. IV. Производная и ее приложения
Л Пусть т = [а] + 1, тогда а — т < 0. Применяя правило Лопита-
ля т раз, получаем
га	г\га~1	п/(п/ — "Л (п/ — т А- ЛЛта~т
Hm —-= hm —-— = ...= Hm -^	 v 	^	=0, A
ж4+оо аж ж-^+ооаж1па	ж-^+оо	аж In a
Замечание 4. Примеры 2 и 4 показывают, что при х —»¦ +оо логариф-
логарифмическая функция растет медленнее степенной функции ха, а степенная
функция растет медленнее показательной ах, а > 1.
Пример 5. Доказать, что
Hm ^—^- = 0, если а > 0, E > 0.
ж—>-+оо ж^
Л Полагая In ж = — и используя пример 4, получаем
Hm —¦=- = Hm -—г = 0. А
ж^+оо хР	t^+oo (Зае1
Пример 6. Доказать, что
Hm xx = 1.	B1)
Л Используя равенство хх = ех1пх и пример 3, получаем утвержде-
утверждение B1). А
Пример 7. Доказать, что
Hm	= 0, если fc > 0.
ж^и |Ж|
Л Полагая 1/ж2 = t и используя пример 4, получаем
е-1/ж2	^/2
Hm , ,.— = Hm —-г- =0. А
§ 20. Исследование функций с помощью производных
1. Возрастание и убывание функции.
а) Критерий возрастания {убывания) дифференцируемой функции
на интервале.
Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале
(а, Ь) функция f(x) была возрастающей на этом интервале, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
f'(x) ^ 0 при всех х е (а,Ь).	A)
Аналогично, условие
f\x) ^ 0 при всех х е (а,Ь)	B)
является необходимым и достаточным для убывания дифференцируе-
дифференцируемой функции f(x) на интервале (а,Ь).

§20. Исследование функций с помощью производных	177
О Ограничимся доказательством теоремы для случая возрастающей
функции.
Необходимость. Пусть ж0 — произвольная точка интервала
(а, Ъ). Из определения возрастающей функции (§ 9, п. 7) следует, что
Уж G (а, Ъ): х > х0 -> f(x) ^ /(ж0),
Уж е (а,Ь): х < х0 -»¦ f(x) ^ /(ж0).
Следовательно, если xG (a,5) и ж/хо, то выполняется неравенство
/(ж)"/(жо) ^ 0.	C)
х - хо
Так как левая часть C) имеет при х —> хо предел, равный f'(xo), то из
неравенства C) по свойству сохранения знака нестрогого неравенства
при предельном переходе получаем
f'(xo) ^ 0 для любого хо Е (а, Ь).
Достаточность. Пусть выполняется условие A) и пусть xi,
Х2 — произвольные точки интервала (а, 6), причем х\ < ж2. Применяя
к функции f(x) на отрезке [xi,x2] теорему Лагранжа, получаем
где /'(?) ^ 05 так как ? G (а, Ь). Отсюда следует, что
Ужьж2 G (а, 6): ж2 > Xi ->> /(ж2) ^ /(^i).	D)
Это означает, что функция /(ж) является возрастающей на интерва-
интервале (а, Ь). •
б) Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функ-
функции.
Теорема 2. Если для всех х G (а, Ь) выполняется условие
f(x) > 0,	E)
то функция f(x) строго возрастает на интервале (а, Ь), а если для
всех х G (а, Ь) справедливо неравенство
f\x) < 0,	F)
то функция f(x) строго убывает на интервале (а,Ь).
О Ограничимся доказательством теоремы для случая, когда выпол-
выполняется условие E). Пусть х\ и ж2 — произвольные точки интервала
(а, Ь) такие, что х\ < х2. По теореме Лагранжа
/(х2)-/(х1)=//(?)(х2-х1), где ?е(а,Ъ).
Отсюда и из условия E) следует, что /(ж2) > f(x\). Это означает, что
функция f(x) строго возрастает на интервале (а, Ь). •
Пример 1. Доказать, что функции shx и thx строго возрастают
на /?.
Л Так как (shxV = chx > 0 и (thxV = —г— > 0 для всех х G /?, то
ch2x
по теореме 2 функции shx и thx являются строго возрастающими
на /?. А

178	Гл. IV. Производная и ее приложения
Замечание 1. Условие E) не является необходимым для строгого
возрастания функции. Например, функция /(ж) = ж3 строго возрастает на R
(§ 9, пример 9), но условие E) не выполняется, так как /'(О) = 0.
Теорема 3. Если функция /(ж) непрерывна на отрезке [а, 6], диф-
дифференцируема на интервале (а, Ь) и удовлетворяет условию F), то
эта функция строго убывает на отрезке [а,Ь].
О Теорема 3, как и теорема 2, доказывается с помощью формулы
конечных приращений Лагранжа. •
Пример 2. Доказать, что если 0 < ж < —, то
2
sin ж > — х.	G)
7Г
Л Рассмотрим функцию f(x) = 	, /@) = 1. Эта функция непре-
ж
рывна на отрезке 0,— и дифференцируема на интервале [О, —),
-,/ ч	COS X /	ч ~	/~ 7Г\
причем fix) = ——(х — tgx) < 0, так как на интервале 0, - выпол-
xz	V 2 /
няются неравенства cos ж > 0, tgx > х (§ 12, C)). По теореме 3 функ-
функция f(x) строго убывает на отрезке 0, — , и поэтому f(x) > /( —)
^ /п тг\	sin ж ^ 2
для х G 0, — , т. е. выполняется неравенство 	 > —, равносиль-
V 2 /	ж тг
ное на интервале f 0, ^ J неравенству G).
Геометрическая интерпретация не-
y=sinx равенства G): на интервале (О, — J гра-
график функции у = sin х лежит выше
2
графика функции у — — х (рис. 20.1). От-
7Г
Рис. 20.1
метим, что sin ж ^ — х при х G 0, — ,
тг	L 2 J
причем при х = 0 и ж = — неравенство (8) обращается в равенство. А
в) Возрастание (убывание) функции в точке. Будем говорить, что
функция /(ж) строго возрастает в точке жо, если существует S > 0
такое, что
Уж е (ж0 - 5,х0) -> /О) < /Оо),
Заметим, что условие (9) равносильно условию
" /ы > о, zef/.Ы.	(Ю)
Ж — ;
Аналогично вводится понятие строгого убывания функции /(ж) в
точке жо- В этом случае
/(*) - /Ы < о rG fIx(r )

§20. Исследование функций с помощью производных	179
Теорема 4. Если f'(xo) > 0, то функция /(ж) строго возрастает
в точке жо, а если f'(xo) < 0, то функция /(ж) строго убывает в точ-
точке Хо.
О Пусть, например, f'(xo) > 0. Из определения производной следует,
что по заданному числу г = f'(xo) > 0 можно найти S > 0 такое, что
для всех ж G Us(%o) выполняется неравенство	' °'
), откуда следует утверждение A0).
Аналогично рассматривается случай f'(xo) < 0. •
2. Экстремумы функции.
а)	Необходимые условия экстремума. Понятие локального экстре-
экстремума было рассмотрено в § 17. Необходимые условия экстремума
легко получить из теоремы Ферма. Согласно этой теореме точки ло-
локального экстремума функции f(x) следует искать среди тех точек
области ее определения, в которых производная этой функции либо
равна нулю, либо не существует.
В дальнейшем будем часто опускать слово "локальный" при фор-
формулировке утверждений, связанных с понятием локального экстре-
экстремума.
Точки, в которых производная данной функции равна нулю, на-
называют стационарными точками этой функции, а точки, в которых
функция непрерывна, а ее производная либо равна нулю либо не су-
существует, — ее критическими точками. Поэтому все точки экстре-
экстремума функции содержатся среди ее критических точек.
Точка х = 0 является критической точкой для каждой из функций
у = х2, у = х3 (рис. 9.8), у = |ж| (рис. 14.4), у = |ж|1//2 (рис. 14.6),
у = %/х (рис. 14.5), причем для функций у = х2, у = |ж|, у = |ж|1//2
точка х = 0 — точка экстремума, а для функций у = х3, у = х1!3 эта
точка не является точкой экстремума.
Таким образом, не всякая критическая точка является точкой
экстремума функции.
б)	Достаточные условия экстремума. Введем понятие строгого
экстремума. Назовем хо точкой строгого максимума функции /(ж),
если
36 > 0: Vx e Us(x0) -> f(x) < /(хо).	A1)
Аналогично, ж0 называют точкой строгого минимума функции /(ж),
если
35 > 0: Va; G Щх0) -»¦ f(x) > f(x0).	A2)
Отметим, что если функция /(ж), определенная в ^-окрестности
точки ж0, строго возрастает на промежутке (ж0 - S,xo] и строго убы-
убывает на промежутке [жо,жо + #), то выполняется условие A1), и поэ-
поэтому хо является точкой строгого максимума функции /(ж).
Аналогично формулируется достаточное условие строгого мини-
минимума.

180
Гл. IV. Производная и ее приложения
Обратимся к достаточным условиям экстремума дифференциру-
дифференцируемых функций. Для формулировки первого достаточного условия и
в дальнейшем (п. 5) нам потребуется понятие смены знака функции.
Если функция д(х) определена в проколотой ^-окрестности точ-
точки хо и для всех ж Е (жо — 8, жо) выполняется неравенство д{х) < 0, а
для всех х Е (жо, хо + 8) — неравенство д(х) > 0, то говорят, что функ-
функция д(х) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку xq.
Аналогично вводится понятие смены знака с плюса на минус при
переходе через точку xq.
Замечание 2. Если жо — точка строгого экстремума функции /(ж),
т. е. выполняется одно из условий A1), A2), то разность /(ж) — /(жо) со-
сохраняет знак в Us(xo).
Обратно: если разность /(ж) — /(жо) сохраняет знак в Us(xo), то жо —
точка строгого экстремума функции /(ж).
Если же эта разность меняет знак при переходе через точку жо, то функ-
функция /(ж) не имеет экстремума в точке жо.
Теорема 5 (первое достаточное условие строгого экстремума).
Пусть функция /(ж) дифференцируема в некоторой окрестности точ-
точки ж0, кроме, быть может, самой точки ж0, и непрерывна в точке ж0.
Тогда:
а)	если f'{x) меняет знак с минуса на плюс при переходе через
точку ж0, т. е. существует 5 > 0 такое, что
Уже (жо-E,жо) ->/'(я) <0,
Уж G (жо,жо + E) -)> f'(x) > 0,
то жо — точка строгого минимума функции / (рис. 20.2);
б)	если /'(ж) меняет знак с плюса на минус при переходе через
точку жо, то xq — точка строгого максимума функции f (рис. 20.3).
f'(x)<0
A3)
Xq—6
хо+6
Xq-8	Xq Xq+8
Рис. 20.2	Рис. 20.3
О Пусть функция /'(ж) меняет знак с минуса на плюс при переходе
через точку жо, тогда выполняется условие A3).
Если ж — произвольная точка интервала (ж0 - ?, ж0), то функ-
функция / дифференцируема на интервале (ж,жо) и непрерывна на отрез-
отрезке [ж,жо]. По теореме Лагранжа

§20. Исследование функций с помощью производных	181
где /'(?) < О, так как жо — 5 < х < {; < хо и ж — жо < 0. Отсюда сле-
следует, что
Уж е (ж0 - S,x0) -> /(ж) > /(ж0).	A4)
Аналогично, применяя теорему Лагранжа к функции /(ж) на отрез-
отрезке [жо,ж], где хо < х < хо + S, получаем, что
Уж е (ж0,хо + S) -+ /(ж) > f(x0).	A5)
Из условий A4) и A5) следует утверждение A2). Это означает, что
хо — точка строгого минимума функции f(x).
Аналогично рассматривается случай строгого максимума. •
Замечание 3. Если хо — точка строгого экстремума функции /(ж),
то из этого не следует, что функция f'(x) меняет знак при переходе через
точку хо (см. упр. 9 к гл. IV).
Теорема б (второе достаточное условие строгого экстремума).
Пусть хо — стационарная точка функции /(ж), т. е.
/'Ы = о,	A6)
и пусть существует f"(xo).
Тогда:
а)	если f"(x) > 0, то хо — точка строгого минимума функции /(ж);
б)	если f"(xo) < 0, то хо — точка строгого максимума функ-
функции /(ж).
О Если /"(жо) > 0, то по теореме 4 функция /'(ж) является возрас-
возрастающей в точке жо, т. е. существует 8 > 0 такое, что
Уж е (хо - ё,х0) -> f'(x) < /'(жо) = 0,
Уж е (жо,жо + S) -> f(x) > f(xo) = 0,
откуда следует, что f'(x) меняет знак с минуса на плюс при пере-
переходе через точку xq. Согласно теореме 5 точка жо — точка стро-
строгого минимума функции /(ж). Аналогично рассматривается случай
Г'Ы < о. •
Например, если /(ж) = ж2, то f'@) = 0, f"@) = 2, и поэтому жо =
= 0 — точка строгого минимума функции /(ж) = ж2.
Замечание 4. Если f'(xo) = 0 и f"(xo) = 0, то в точке хо функция /
может иметь экстремум (f(x) = ж4, хо = 0), а может и не иметь (f(x) = ж3,
х0 = 0). Следующая теорема дает достаточные условия экстремума для
случая f"(xo) = 0.
Теорема 7 (третье достаточное условие строгого экстремума).
Пусть существует /(п)(жо), где п > 2, и выполняются условия
f(Xo) = f'(Xo) = ... = f("-V(x0) = 0,	A7)
(H.	A8)

182	Гл. IV. Производная и ее приложения
Тогда:
а)	если п — четное число, то хо — точка экстремума функ-
функции /(ж), а именно точка строгого максимума в случае f(n\xo) < О
и точка строгого минимума в случае f(n\xo) > О;
б)	если п — нечетное число, то хо не является точкой экстре-
экстремума функции f(x).
О Используя локальную формулу Тейлора для функции f(x) в ок-
окрестности точки хо и условия A7), получаем
f(x) - f(x0) = J J°J(x - xo)n + o((x - xo)n).	A9)
Из условия A8) следует, что равенство A9) можно записать в виде
/(ж) — /(жо) =	j—(ж — жо)пA + «(ж)),	B0)
где а(х) = оA) ->• 0 при ж ->• ж0, так как Со((ж - жо)п) = о((ж - жо)п)
при С ф 0 (С = const). Поэтому 3J > 0: Уж G ^(ж0) ->• |«(ж)| < -,
откуда следует, что
1 + а(х)>0 для xeUs(xo).	B1)
Из равенства B0) в силу условия B1) получаем
sign (f(x)-f(xo))= sign (f^(xo)(x-xo)n) VxeUs(xo). B2)
а)	Пусть n — четное число (п = 2k), тогда
Vx G Us(x0) -+ix- xo)n = (x- xoJk > 0,
и из равенства B2) получаем
sign (/(ж) - /(хо)) = sign/(n)(xo).
Если f(n\xo) > 0, то для х G Us(xo) выполняется неравенство
f(x) - f(x0) > 0.
Это означает, что хо — точка строгого минимума функции /(ж).
Аналогично, если f(n\xo) < 0, то
f(x) - f(x0) < 0 для х е Us(xo),
т. е. хо — точка строгого максимума функции /(ж).
б)	Пусть п = 2к + 1, тогда из формулы B2) следует, что разность
f(x) - f(xo) меняет знак при переходе через точку ж0, так как функ-
функция (х — xoJk+l меняет знак при переходе через точку xq. Это озна-
означает, что хо не является точкой экстремума функции /(ж). •

§20. Исследование функций с помощью производных	183
Пример 3. Найти точки экстремума функции /(ж), если:
а)	f(x) = (ж - 2J(ж + IK; б) /(ж) = |ж2 - 4\е~\х\.
Л а) Функция дифференцируема на /?, поэтому все ее точки экстре-
экстремума содержатся среди стационарных точек функции, являющихся
корнями уравнения /'(ж) = 0, т. е. уравнения
/'(ж) = 2(ж - 2)(ж + IK + 3(ж + 1J(ж - 2J =
= (ж-2)(ж + 1JEж-4)=0.
Это уравнение имеет корни х\ = —1, Ж2 = -, жз = 2, причем при
о
переходе через точку х\ функция /'(ж) не меняет знака, при переходе
через точку Ж2 она меняет знак с плюса на минус, а при переходе
через точку жз — с минуса на плюс.
Следовательно, Ж2 и жз являются соответственно точками строгого
максимума и строгого минимума функции /(ж), а х\ не является
точкой экстремума этой функции.
б)	Функция непрерывна на /?, дифференцируема на /?, кроме то-
точек —2, 0, 2, и является четной. Если ж ^ 0, то
при же [0,2],
при ж > 2,
где д{х) = (ж2 — 4)е ж. Уравнение д'{х) = (—ж2 + 2ж + 4)е х = 0 имеет
на промежутке @, +оо) единственный корень х\ — 1 + л/5, причем
^;(х) = /;(^) при ж > 2 и д'(х) меняет знак с плюса на минус при
переходе через точку х\. Поэтому х\ — точка строгого максимума
функции /(ж).
При переходе через точку ж2 = 2 функция f'(x) меняет знак с
минуса на плюс, так как /'(ж) = —д'(х) при ж G @,2) и /'(ж) = д'(х)
при ж > 2. Поэтому Ж2 — точка строгого минимума функции /(ж).
Учитывая, что функция /(ж) строго убывает на интервале @,2) и
четная, заключаем отсюда, что ж = 0 — точка строгого максимума
функции /(ж).
Используя полученные результаты и четность функции /(ж), по-
получаем: ж = — 2 и ж = 2 — точки строгого минимума функции /(ж);
ж = — A + л/5), ж = 0иж = 1 + л/5 — точки строгого максимума этой
функции. А
3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Поня-
Понятие наибольшего (наименьшего) значения функции было введено в
§ 9, п. 6.
Для функции, непрерывной на отрезке, существует согласно
теореме Вейерштрасса точка, в которой эта функция принимает наи-
наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наимень-
наименьшее значение.
В случае когда непрерывная на отрезке [а, Ь] функция /(ж) име-
имеет локальные максимумы в точках xi, ...,ж/. и локальные минимумы

184	Гл. IV. Производная и ее приложения
в точках Ж1,...,жт и не имеет других точек локального экстремума,
наибольшее значение функции /(ж) на отрезке [а, Ь] равно наибольше-
наибольшему из чисел /(a), /(xi), ..., f(xk), /(&), a наименьшее значение этой
функции на отрезке [а, Ь] равно наименьшему из чисел /(a), /(xi), ...
-, f(xm), f(b).
В прикладных задачах при нахождении наибольшего (наименьше-
(наименьшего) значения функции на отрезке [а, Ь] или на интервале (а, Ь) часто
встречается случай, когда функция / дифференцируема на интерва-
интервале (а, Ь) и непрерывна на отрезке [a, b], a уравнение f'(x) = 0 имеет
единственный корень ж0 Е (а, Ь) такой, что f'(x) > 0 при х е (а,ж0) и
f'(x) < 0 при х G (хо,Ь) или f (х) < 0 при х G (а,ж0) и f'(x) > 0 при
х е (хо,Ь).
В этом случае число /(жо) является не только локальным экстре-
экстремумом функции /(ж), но и наибольшим (наименьшим) значением
этой функции на отрезке [а, Ь] или на интервале (а, Ь).
Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
функции f(x) на множестве Е, если:
а)/(х) = (х-2J(х + 1K, Я =[0,3];
б) /(ж) = |ж2 -4|е-1ж1, Я= /?.
Л Пусть Миш — соответственно наибольшее и наименьшее значе-
значения функции /(ж) на множестве Е.
а)	Для данной функции х —	точка максимума, х — 2 — точка
/5\ З8
минимума (пример 3,а)), причем /(-) = —, /B) = 0, а значения
функции в концах отрезка [0,3] равны /@) = 4, /C) = 43. Так как
М — наибольшее, а т — наименьшее из чисел /@), / ( - J, /B), /C),
то М = /C) = 64, т = /B) = 0.
б)	Для данной функции х — — 2 и ж = 2 — точки минимума; х —
— —A + л/5), ж = 0иж = 1 + л/5 — точки максимума (пример 3,6)).
Функция убывает при х > 1 + л/5 и является четной, /@) = 4, /B) = 2,
/A + л/5) = 2A + л/5)е-^1+^ < 2, так как е* > t при ? > 0. Следо-
Следовательно, выбирая из чисел /@), /B), /A + л/5) наибольшее и наи-
наименьшее, получаем М = /@) = 4, m = /B) = 0. А
Пример 5. Определить отношение радиуса основания к высоте
цилиндра, если при данном объеме цилиндра площадь его полной по-
поверхности является наименьшей.
Л Пусть ж, /i, v, S — соответственно радиус основания, высота,
объем и площадь полной поверхности цилиндра. Тогда S = 2тгж/г +
+ 2тгж2, v = тгж2/г, откуда h = —- при ж > 0, и поэтому
S = S(x) = 2(- + тгж2), S'(x) = 2Bтгж - -^У
Уравнение S' = 0 имеет единственный корень жо = \ —, причем
V 2тг

§20. Исследование функций с помощью производных
185
S'(x) < 0 при ж Е (О,жо) и S'(x) > О при х > xq. Следовательно, хо —
точка минимума функции 5(ж), и наименьшее значение этой функ-
функции равно 5(ж0), т. е. площадь полной поверхности цилиндра является
наименьшей, если его радиус равен xq. Но тогда h = —~ = 2жо, т. е.
7TXZ0
цилиндр при заданном объеме имеет наименьшую площадь полной
поверхности, если его высота в 2 раза больше радиуса, т. е. в случае,
когда осевое сечение цилиндра — квадрат. А
Пример 6. Доказать, что при х G 0, ^ справедливо неравенство
О ^ sin х cos x <
B3)
Л Обозначим (р(х) = sin3 ж cos ж; тогда (р(х) = - sin2x(l — cos2x) =
= - sin2x - - sin4x, откуда (f'(x) = -(cos2x - cos4x) = sin ж sin Зж.
Уравнение (f'(x) = 0 имеет единственный корень х = ж0 = - на ин-
о
тервале fo, — J, причем ср'(х) > 0 при х G (О? —) и ср'(х) < 0 при
х G (¦^j^-)- Следовательно, х0 — точка максимума функции ip(x) и
max ip(x) =
неравенство, очевидно, выполняется, так как sin ж
:»•!]¦
=	. Правое неравенство B3) доказано. Левое
16
0 и cos ж ^ 0 при
4. Выпуклость функции.
а) Понятие выпуклости. Непрерывная функция у = /(ж) называ-
называется выпуклой вверх на отрезке [а, 6], если для любых точек х\ и Ж2
отрезка [а, Ь] выполняется неравенство
/(^)
B3)
Дадим геометрическую интерпретацию понятия выпуклости
(рис. 20.4). Пусть Мь М2, Мо —
точки графика функции у = /(ж),
абсциссы которых соответственно
XI + Х2 гтл
равны Ж1, Ж2, жо = —-—. 1огда
есть ордината точки
— середины отрезка М1М2, a
Х\
Х2\	?( ч
—J = Джо) — ордината точ-
точО
XQ
х2
ки Мо графика с абсциссой, равной	Рис 204
абсциссе точки К.
Условие B3) означает, что для любых точек Mi и М^ графика

186	Гл. IV. Производная и ее приложения
функции у = /(ж) середина К хорды MiM2 или лежит ниже соответ-
соответствующей точки Mq графика, или совпадает с точкой Mq.
Если неравенство B3) является строгим при любых жь ж2 G [а, Ъ]
таких, что х\ ф ж2, то непрерывную функцию у = /(ж) называют
строго выпуклой вверх на отрезке [а, 6].
Аналогично, непрерывная функция у = /(ж) называется выпуклой
вниз на отрезке [а, 6], если для любых точек х\ и ж2 отрезка [а, Ь]
выполняется неравенство
Если неравенство B4) является строгим при любых жь ж2 G [а, 6]
таких, что xi ф xi-, то непрерывную функцию 2/ = /(ж) называют
строго выпуклой вниз на отрезке [а, 6].
Пример 7. Функция /(ж) = ж2 строго выпукла вниз на любом
отрезке.
Л В самом деле, при х\ ф ж2 неравенство ( —-— 1 < ———- равно-
равносильно очевидному неравенству [х\ — ж2J > 0. А
Понятие выпуклости и строгой выпуклости вверх (вниз) можно
ввести и на интервале. Например, если неравенство B3) выполняется
для любых точек интервала (а, Ь\ то непрерывная функция у = /(ж)
называется выпуклой вверх на этом интервале.
б) Достаточные условия выпуклости.
Теорема 8. Пусть /'(ж) существует на отрезке [а, 6], a f"(x) —
на интервале (а, Ь).
Тогда:
а)	если
/"(ж) ^ 0 при всех х G (а,Ь),	B5)
то функция у = /(ж) выпукла вниз на отрезке [а,Ь\;
б)	если
/"(ж) > 0 при всех х е (а, Ъ),	B6)
то функция у = /(ж) строго выпукла вниз на отрезке [а, Ь].
Аналогично, при выполнении на интервале (а,Ь) условия f"(x) ^ 0
(/"(ж) < 0) функция у = /(ж) выпукла вверх (строго выпукла вверх)
на отрезке [а, Ь].
О Ограничимся доказательством для случая, когда выполняется ус-
условие B5). Нужно доказать, что для любых точек Ж1, ж2 отрезка [а, Ь]
выполняется условие B4). Пусть, например, х\ < ж2 (при х\ = ж2
условие B4) выполняется).
Обозначим жо =	, ж2 — х\ = 2/i, тогда ж2 — жо = жо — х\ = /i,
откуда х\ — жо — ft, ж2 = жо + ft. Применяя к функции /(ж) на отрез-
отрезках [ж1,жо] и [жо,ж2] формулу Тейлора с остаточным членом в форме

§20. Исследование функций с помощью производных	187
Лагранжа при п = 2 (§ 18, формула (8)), получаем
f(xi) = f(x0 -h) = f(x0) - f(xo)h + f-^ h\ xo-h<&< xo,
/Ы = f(x0 + h) = f(x0) + f(xo)h + ^1 h\ Xo < ^ < Xo + h_
Складывая эти равенства, находим
fix,) + /(ж2) = 2/(ж0) + у (/"(Ы + /"(&))•	B7)
Так как & G (а, Ъ), & G (а, 6), то в силу условия B5) /"F) ^ 0, /"(&) ^
^ 0, и из равенства B7) следует неравенство f(xi) + /(ж2) ^ 2/(ж0),
равносильное неравенству B4). •
Замечание 5. Условие f"(x) > 0 не является необходимым условием
строгой выпуклости вниз функции у = f(x). Например, для функции f(x) =
= х4 условие f"(x) > 0 нарушается при х = 0, так как /"@) = 0, однако эта
функция строго выпукла вниз.
5. Точки перегиба.
а)	Понятие точки перегиба. Пусть функция f(x) непрерывна в
точке хо и имеет в этой точке либо конечную, либо бесконечную
производную (/'(жо) = +оо или f'(xo) = —оо). Тогда если эта функ-
функция при переходе через точку ж0 меняет направление выпуклости,
т. е. существует S > 0 такое, что на одном из интервалов (жо — S,хо),
(жо,жо + S) она выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то хо на-
называют точкой перегиба функции /(ж), а точку (жо,/(жо)) — точкой
перегиба графика функции у = f(x).
Например, для функций у = х3 (рис. 9.8) и у = ж1/3 (рис. 14.5)
х = 0 — точка перегиба.
б)	Необходимое условие наличия точки перегиба.
Теорема 9. Если хо — точка перегиба функции f(x) и если функ-
функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки хо вторую производ-
производную^ непрерывную в точке жо, то
/"Ы = 0.	B8)
О Пусть /"(жо) ф 0. Тогда в силу непрерывности функции f"(x) в
точке жо
35 > 0: VxeU6(xo)^ sign/"(ж) = sign/"^0),
т. е. /"(ж) > 0 или /"(ж) < 0 для любого ж G
По теореме 8 функция /(ж) либо строго выпукла вниз на интер-
интервале Us(xo) (если /"(ж) > 0), либо строго выпукла вверх на интерва-
интервале Us(xo). Но тогда жо не является точкой перегиба. Следовательно,
должно выполняться условие B8). •

188	Гл. IV. Производная и ее приложения
в) Достаточные условия наличия точки перегиба.
Теорема 10 (первое достаточное условие). Если функция f не-
непрерывна в точке жо, имеет в этой точке конечную или бесконечную
производную и если функция f"(x) меняет знак при переходе через
точку жо, то жо — точка перегиба функции /(ж).
О Пусть, например, функция f"(x) меняет знак с минуса на плюс
при переходе через точку хо (в точке хо вторая производная может и
не существовать). Это означает, что существует S > 0 такое, что на
интервале Ai = (жо — S,xo) выполняется неравенство f"(x) < 0, а на
интервале А2 = (жо,жо + S) — неравенство f"(x) > 0.
Тогда по теореме 8 функция f(x) выпукла вверх на интервале Ai
и выпукла вниз на интервале А2. Следовательно, точка жо удовлетво-
удовлетворяет всем условиям, указанным в определении точки перегиба. •
Например, для функции f(x) = arctgx точка х = 0 — точка пе-
2х
региба, так как f"{x) = —-	^— меняет знак при переходе через
у! -\- X )
точку х = 0 (рис. 12.6).
Теорема 11 (второе достаточное условие). Если /B)(ж0) = 0,
/C)(жо) Ф 0, то хо — точка перегиба функции f(x).
О Так как /C)(ж0) Ф 0, то по теореме 4 функция f^\x) либо строго
возрастает, либо строго убывает в точке хо. По условию fB\xo) = 0,
и поэтому f<y2\x) имеет разные знаки на интервалах (хо — ?, хо) и
(жо,жо + S) при некотором S > 0, откуда, используя теорему 10, за-
заключаем, что хо — точка перегиба функции /(ж). •
Например, для функции /(ж) = sin ж (рис. 14.2) точка ж = 0 —
точка перегиба, так как /^2^@) = 0, /^@) = —1.
6. Асимптоты.
а)	Вертикальная асимптота. Если выполнено хотя бы одно из
условий
lim /(ж) = оо, lim /(ж) = оо,
х—>-жо~О	х—>-жо+О
то прямую ж = жо называют вертикальной асимптотой графика
функции у = /(ж).
Например, прямая ж = 0 — вертикальная асимптота графиков
функций у — - (рис. 10.6), у = \gx2 (рис. 10.7), у = — (рис. 10.8),
X	XZ
у = с^ж (рис. 12.17), прямая ж = — 1 — вертикальная асимптота гра-
графика функции у = 	 (рис. 9.4), прямые у = —\-irk (к G Z) —
вертикальные асимптоты графика функции у = tgж.
б)	Асимптота {невертикальная асимптота). Прямую
у = кх + Ъ
называют асимптотой {невертикальной асимптотой) графика функ-

§20. Исследование функций с помощью производных	189
ции у = /(ж) при ж —у +оо, если
lim (/(ж) - (кх + Ъ)) = 0.	B9)
х—>-+оо
Если fc ф О, то асимптоту называют наклонной, а если fc = 0, то асимп-
асимптоту у = Ъ называют горизонтальной.
Аналогично вводится понятие асимптоты при ж —у — оо.
Например, прямая у = 0 — горизонтальная асимптота графиков
функций у = —, у = — при ж —>¦ +оо их—)- —оо, графика функции у =
= аж, а > 1. при ж —у —оо. Прямая ?/ = 1 — асимптота графиков функ-
функций у = е1/ж (рис. 12.12), ^/ = thx (рис. 12.16) и у = cthx (рис. 12.17)
при х —у +оо; прямая у —	асимптота графика функции у — arctgx
при х —у +00 (рис. 12.6), а прямая у = тг — асимптота графика функ-
функции arcctgx при х —у —оо (рис. 12.7).
Пример 8. Найти асимптоту при х -у +оо и х -у -оо графика
функции:
ч	3 - 2х ^	х3
j
г)у = ^-^
Л а) Так как у = —2 -\	-, то прямая у = —2 — асимптота графика
X —|— X
3 — 2х
функции у = 	 (рис. 9.4) при х —у +оо и х —> —оо.
X —|— X
б)	Разделив числитель х3 на знаменатель (х + IJ по правилу
деления многочленов (можно воспользоваться равенством х3 =
= ((ж + 1) - IK = (х + IK - 3(ж + IJ + 3(х + 1) - 1), получим
(Лгу=х-2+Ш--	C0)
х3
Отсюда следует, что асимптотой графика функции у =	— при
(х + 1)
х —у +00 их4 —оо является прямая у = х — 2.
/	IX1/3
в)	Используя равенство у = \/х3 + ж2 = ж( 1 + -) и локальную
формулу Тейлора, получаем у = x(l -\	^0(~)) — х ~^	h o(l) при
V	оХ	\Х//	о
х —у оо, откуда следует, что прямая у = х -\	асимптота графика
о
функции у = \/х3 + х2 при ж —у +00 и ж —у —оо.
г) Применяя формулу Тейлора для экспоненты, получаем у = (ж —
	) A — о—^0(~)) =ж~^+ °A) ПРИ х ~^ °°5 откуда следует, что
прямая у — х	асимптота графика данной функции при ж —у +оо
и ж —у —оо. А

190	Гл. IV. Производная и ее приложения
Теорема 12. Для того чтобы прямая у = кх + b была асимпто-
асимптотой графика функции у = f(x) при х —У +оо, необходимо и достаточно,
чтобы существовали конечные пределы
Hm IM. = k	C1)
Hm (/(ж) - kx) = b.	C2)
x—>-+oo
О Необходимость. Если прямая y — kx-\-b — асимптота графика
функции у — f(x) при х —у +оо, то выполняется условие B9) или
равносильное ему условие
f(x) = kx + b + a(x), а(х) ->• 0 при х ->• +оо.	C3)
Разделив обе части равенства C3) на ж, получим
откуда следует, что существует предел C1).
Из равенства C3) получаем
f(x) - кх = Ь + а(х), где а(х) ->• 0 при х ->• +оо,
откуда следует, что существует предел C2).
Достаточность. Если существуют конечные пределы C1) и
C2), то f(x) - (кх + Ь) = а(ж), где а(ж) ->• 0 при х ->• +оо, т. е. выпол-
выполняется условие B9). Это означает, что прямая у = кх + b — асимптота
графика функции у = f(x). •
Замечание 6. Для случая горизонтальной асимптоты теорема 12 фор-
формулируется в следующем виде: для того чтобы прямая у = b была асимп-
асимптотой графика функции у = f(x) при х —»¦ +оо, необходимо и достаточно,
чтобы lim /(ж) = Ъ.
х—^ + оо
7. Построение графиков функций. При построении графика
функции у = /(ж) можно придерживаться следующего плана.
1)	Найти область определения функции. Выяснить, является ли
функция четной (нечетной), периодической.
2)	Найти точки пересечения графика с осями координат и проме-
промежутки, на которых /(ж) > 0 и /(ж) < 0.
3)	Найти асимптоты графика.
4)	Сделать эскиз графика.
5)	Вычислить f'(x), найти экстремумы и промежутки возраста-
возрастания (убывания) функции.
6)	Вычислить f"(x), найти точки перегиба и промежутки выпук-
выпуклости вверх (вниз) функции.
7)	Нарисовать график функции.

§20. Исследование функций с помощью производных
191
Пример 9. Построить график функции у =	—.
Л Функция определена при ж ф —1, принимает положительные зна-
значения при ж > 0 и отрицательные при ж < 0, 2/@) = 0. Прямые ж = — 1
и у = ж - 2 (пример 8, б)) — асимптоты графика этой функции. Из
2
равенства C0) следует, что при ж > — график лежит выше прямой
о
2
у = ж — 2, а при ж <	ниже этой прямой.
Вычисляем производные:
, _
У ~
У" =
6х
C4)
C5)
2/=
-з
-2-lj
О/2
Согласно формуле C4) функция у(х) имеет две стационарные точки
х = 0 и х = —3. Точка ж = 0
не является точкой экстрему-
экстремума этой функции, так как у' не
меняет знак при переходе через
точку х = 0. Точка х = —3 явля-
является точкой максимума функ-
функции у(х), так как у' меняет
знак с плюса на минус при пе-
переходе через точку х = —3. На-
Находим 2/(-3) = - —.
4
Из формулы C5) следует,
что у" < 0 при х < 0 (ж ф —1)
и у" > 0 при ж > 0. Поэтому
функция 2/(ж) является вы-
выпуклой вверх на интервалах
(—оо,—1) и (—1,0) и выпук-
выпуклой вниз на интервале @,+оо).
Точка ж = 0, в которой функ-
функция у(х) меняет направление
выпуклости, есть точка перегиба этой функции. График функции
изображен на рис. 20.5. А
Пример 10. Построить график функции у = \/х3 + ж2.
Л Функция у{х) определена на /?, причем у < 0 при ж < —1, у > О
при ж > —1 (х ф 0), у(—1) = у@) = 0. Прямая у = ж Н— — асимп-
27
" 4
Рис. 20.5
тота графика этой функции при ж ->• — оо и ж
Вычисляем производные:
+оо (пример 8, в)).
C6)

192
Гл. IV. Производная и ее приложения
у» = -±(
C7)
Формулы C6) и C7) справедливы при х ф — 1 и ж т^ 0. Из формулы C6)
согласно следствию 2 из теоремы Лагранжа (§ 17) находим /'(—1) =
= lim у'(х) = +оо, Д@) = +оо, f'_(Q) = -оо.
х—У — 1
2
Так как при переходе через точку ж = — - производная меняет
2	^
знак с плюса на минус, то х =	точка максимума функции у(х),
причем у( - -) = —-. Аналогично, точка х = 0 — точка минимума
функции и 2/@) = 0.
Из формулы C7) следует, что у" > 0 при х < —1иу" <0 при х > — 1
(х^О). Поэтому функция 2/(ж) является выпуклой вниз на интервале
(—оо,—1) и выпуклой вверх на интервалах (—1,0) и @,+оо). График
функции изображен на рис. 20.6. А
При построении кривой, задан-
заданной параметрически уравнениями
х = x(t), у = y(t), обычно разби-
разбивают ось t на интервалы, на каж-
каждом из которых функции x(t) и y(t)
монотонны. Иногда предваритель-
предварительно строят графики функций х =
= x(t) и у = y(t).
Пример 11. Построить кри-
t2 + 1	(t + 5J
У1
Л Найдем ух и ухх, применяя
формулы у' = Щ-, у'' -
Рис. 20.6
(§ 15, формула B9); § 16, формула D)). Получим (при t ф 0, t ф —1,
ж; =
(t + 2J
C8)
C9)
D0)
Разобьем ось t точками t = -5, t = -2, ? = --, t = -1, t = 0, ? = 1
на семь интервалов. На каждом из этих интервалов функции x(t),
y(t) монотонны, у'х и ухх сохраняют знак. Составим таблицу значе-
значений ж, у и знаков у', 2/" на соответствующих интервалах, используя

§20. Исследование функций с помощью производных
193
формулы C8), C9), D0).
t
(-00,-5)
(-5,-2)
(-H
(-1,0)
@,1)
(l,+oo)
X
(~°°'~f)
\ "б"' 2/
V 2' 20/
\ 2O'~ /
от —2 до —оо
от +оо до 2
B,+оо)
У
(-оо,0)
от 0 до —оо
75
ОТ +ОО ДО
(М *
от 16 до —
от — до 12
A2,+оо)
Ух
+
-
—
+
+
+
и
Ухх
-
-
+
+
-
+
Найдем асимптоты. Так как у4 оо и ж 4 -- при t ->• -2, то
5	25
х = —- — асимптота кривой. Если t->0, тож—^оои^/—)>—, поэтому
25
прямая ^/ =	горизонтальная асимптота кривой.
Z
Пусть ? —>¦ оо, тогда х —> оо, у —> оо. Выясним, имеет ли кривая
наклонную асимптоту, пользуясь теоремой 12. Так как lim Щ-^- = 1,
lim
= lim
t^oo V t +
5J
= lim
t—too
8Г + 24* + 2
= 8, то
( )
прямая у = x + 8 — наклонная асимптота.
Из таблицы и формул C8) следует, что интервалу (-оо, -2) пере-
переменного t соответствует часть (ветвь) кривой, которая является гра-
графиком функции у = у\(ж), выпуклой вверх, причем значению t = — 5
соответствует точка максимума хо =	этой функции и yi(xo) = 0.
5
5
Интервалу (-2, -1) соответствует ветвь кривой, являющаяся гра-
графиком функции у = ?/2(ж), выпуклой вниз при ?Е (~^'~l) и вы~
+ ^ ( ъ л\	л, ( 41 75А
пуклои вверх при ? G I — -,—1); точка этого графика I — —,—г),
V 4 /	V 20 4 /
соответствующая значению t = —, есть точка перегиба; при t = — 1
функция х = ж(?) имеет максимум, причем х(—1) = —2.
Интервалу (—1,0) соответствует график функции у = уз(х), вы-
выпуклой вниз, а интервалу @,1) — график функции у = 2/4(ж), выпук-
выпуклой вверх.
Наконец, интервалу A,+оо) соответствует график функции у =
= 2/5 (ж), выпуклой вниз.
Отметим еще, что хA) = 2, 2/A) = 12 и, кроме того, правые про-

194
Гл. IV. Производная и ее приложения
изводные функций уз(х) и 2/4 (ж) в точке х = 2 равны -.
Ук
Рис. 20.7
Используя таблицу и проведенное исследование, строим кривую
(рис. 20.7). А
§ 21. Вектор-функции
1. Предел и непрерывность вектор-функции.
а) Понятие вектор-функции. Если каждому значению t G Е, где
Е С R, поставлен в соответствие вектор г(?) трехмерного простран-
пространства, то говорят, что на множестве Е задана векторная функция г(?)
скалярного аргумента t.
Пусть в пространстве фиксирована прямоугольная система коор-
координат Oxyz. Тогда задание вектор-функции r(?), t G Е, означает за-
задание координат ж(?), y(t), z(t) вектора r(t), t G E. Если i, j, k —
единичные векторы координатных осей, то
r(t) = x(?)i+ ?/(?) j + z(?)k, teE,
или
r(t) = (x(t),y(t),z(t)).
Если z(t) = 0 при всех t С Е, то вектор-функцию r(f) называют

§21. Вектор-функции
195
двумерной.
В случае когда начало каждого из векторов г(?) совпадает с нача-
началом координат (рис. 21.1), эти векторы называют радиус-векторами,
а множество их концов — годографом вектор-функции r(t), t G Е,
который можно рассматривать как траекторию точки M(t) конца
вектора r(t), если считать, что t —
время.
б) Предел вектор-функции. Вектор
а называют пределом вектор-функции
г(?) в точке t0 и пишут lim r(t) = a
t—tto
или г(?) —У а при t —У to, если
lim |r(t) - а| = 0,
ttt
М
A)
т. е. длина вектора r(t) — а стремится
к нулю при t —^ to.
Утверждение 1. Если заданы r(t) = (x(t),y(t),z(t)) и а =
= (аьа2,аз), то
lim r(t) = a	B)
тогда и только тогда, когда
x{t) —У а\, y{t) —У а2, z{t) —У аз при t —>¦ to-
О В самом деле, из равенства
|r(i) - а| = y/(x{t) -
следует, что
- a2|
(y(t) - а2J + (z(t) - а3)
\z(t) - а3\
C)
D)
Поэтому если r(t) ->• а при t ->• t0, т. е. выполняется условие A), то
выполняются условия C).
Обратно: если выполняются условия C), то из равенства D) сле-
следует, что выполнено условие A). •
При доказательстве свойств предела вектор-функции удобно ис-
использовать следующее очевидное утверждение: условие B) выполня-
выполняется в том и только том случае, когда
r(t) = 3L + Ct(t),
где cx{t) — бесконечно малая вектор-функция, т. е.
cx(t) ->• 0 при t ->• t0.
в) Свойства пределов вектор-функций.
Свойство 1. Если lim r(t) = а, то lim |r(t)| =
t^t	t^t '	'
а|.
О Это свойство следует из неравенства

196	Гл. IV. Производная и ее приложения
Свойство 2. Если r(t) —у а при t —У to, а скалярная функция f(t)
такова, что f(t) —У А при t —У to, то /(t)r(t) —у Аз. при t —У to, т. е.
lim f(t)r(t) = lim f(t) lim r(t).	E)
О Из определений пределов скалярной функции и вектор-функции
следует, что r(t) = a + a(t), /(t) = А + /3(t), где a(t) — бесконечно
малая вектор-функция, /3(t) — бесконечно малая функция при t —У to-
Поэтому /(t)r(t) = AsL + ~f(t), где j(t) = Act(t) + P(t)a +/3(t)ct(t) —
бесконечно малая вектор-функция при t -У to, откуда получаем ра-
равенство E). •
Свойство 3. Если ri(?) —у ai, Г2(?) —У э.2 при t —У to, тпо г\ +
+ r2 -^ai +а2, (гьг2) -^ (аьа2), [г1?г2] -^ [аьа2] nput^t0, т.е.
lim(ri(t) +r2(t)) = lim n(t) + lim r2(t),	F)
t—tto	t—tto	t—tto
lim (n(t),r2(t)) = (lim n(t) lim r2(t)),	G)
lim [n (t), r2 (t)] = [ lim n (t), lim r2 (t)].	(8)
t—>to	t—>to	t—>to
О По условию Ti(t) = щ + o^(?M где a^(t) —>- 0 при t —У to (i = 1, 2).
Поэтому n(t) +r2(t) = ai +a2 + C(t), где C(t) = ai(t) +a2(t) ->> 0
при t —У to, откуда следует F). Докажем формулу G). В силу свойств
скалярного произведения
(ri(t),r2(t)) - (аьа2) = (ai(t),a2) + (a2(t),ai)
причем в правой части этого равенства — бесконечно малая функ-
функция, так как ai(t), a2(?) — бесконечно малые вектор-функции и
|(р, q) | ^ |р| • |q| для любых векторов р и q.
Аналогично доказывается формула (8), в этом случае следует вос-
воспользоваться неравенством |[p,q]| ^ |р| • |q|. •
г) Непрерывность вектор-функции. Вектор-функцию г(?) называ-
называют непрерывной при t = to, если
limr(t) =r(t0).	(9)
t->to
Непрерывность вектор-функции r(t) = (x(t),y(t),z(t)) при t = to в
силу эквивалентности условий B) и C) означает, что ее координа-
координаты ж(?), y(t), z(t) непрерывны в точке to.
Назовем вектор-функцию Ar = r (to + At) — г (to) приращением
вектор-функции r(t) в точке t0. Тогда условие (9) означает, что
Аг -у 0 при At -у 0.	A0)
Из определения непрерывности вектор-функции и свойств преде-
пределов векторных функций следует, что сумма, векторное и скалярное
произведения вектор-функций ri(t) и r2(t) являются непрерывными
функциями при t = to, если вектор-функции i*i(t) и r2(t) непрерывны
в точке to-

§21. Вектор-функции	197
2. Производная и дифференциал вектор-функции.
а) Производная вектор-функции. Если существует lim ——, где
Ar = r(?o + At) — r(to), то этот предел называют производной вектор-
функции r(t) в точке to и обозначают г'(to) или г (to).
Таким образом,
Аналогично вводится понятие второй производной
г„ = Ит r'(t0 + At)-r'(t0)
Д4->0	At
и производной порядка п > 2 вектор-функции. Заметим, что если
r(*) = (a;(t),j/(*),*(*)), то
r'(to) = (x'(to),y'(to),z'(to)).	A2)
Утверждение A2) следует из определения A1) и свойств пределов
вектор-функций.
Аналогично, если существует г"(to), то
Из определения производной следует, что Ar = г'(to) At + a(At)At,
где ct(At) —У 0 при At —У 0, и потому Аг —у 0 при At —У 0. Таким об-
образом, выполняется условие A0), т. е. вектор-функция r(t), имеющая
производную в точке to, непрерывна при t = to-
Утверждение 2. Справедливы следующие правила дифференци-
дифференцирования вектор-функций:
(т1+т2у=г[+г'2,	A3)
(/г)' = /'г + /г',	A4)
(r1,r2)' = (r'1,r2) + (r1,4),	A5)
[П,г2]'= [^,^1 + ^,4].	A6)
О Формулы A3)—A6) справедливы в точке t, если в этой точке со-
соответствующие функции имеют производные. Ограничимся доказа-
доказательством формулы A5). Пусть Ar/, — приращение вектор-функ-
вектор-функции rk(t), соответствующее приращению аргумента At, т. е. Arfe =
= r/,(t + At) — r^(t), k = 1,2. Тогда, используя свойства скалярного
произведения и свойства пределов вектор-функций, получаем
(т г У = lim
At
так как -^ ->• г'Д*) при At ->• 0 (г = 1,2) и Аг2 ->• 0 при At ->• 0. •

198	Гл. IV. Производная и ее приложения
Пример 1. Пусть существует r'(t) для всех t Е (ct,/3) и пусть
|r(t)| = С = const для всех t Е (а,/3).
Доказать, что (r(t),r'(t)) = 0, т. е. векторы r(t) и r'(t) ортого-
ортогональны.
Л Используя формулу |r(t)|2 = (r(t),r(t)), правило дифференциро-
дифференцирования скалярного произведения (формула A5)) и условие |r(t)| = С,
получаем (r(t),r(t))' = 2(r'(t),r(t)) = 0, так как (|r(t)|2)' = (С2)' = 0.
Итак,
|r(i)|=C=S>(r(i),r'(t))=O. A
б) Дифференциал вектор-функции. Вектор-функцию r(t), опреде-
определенную в некоторой окрестности точки to, называют дифференцируе-
дифференцируемой при t = t0, если ее приращение Аг = r(t0 + At) - г (to) в точке t0
представляется в виде
Ar = aAt + Ata(At),	A7)
где вектор а не зависит от At, ct(At) —У 0 при At —У 0.
В этом случае вектор a At называют дифференциалом вектор-
функции r(t) в точке to и обозначают dr. Таким образом,
dr = a At.
Как и в случае скалярной функции, дифференцируемость вектор-
функции r(t) в точке to равносильна существованию ее производной
в точке to, причем
г'(*о) = а.	A8)
Следовательно,
^r = r/(t0)At.	A9)
Если функция r(t) дифференцируема при t = t0, то, используя ра-
равенства A7) и A8), получаем
Аг = г'(t0) At + Ata(At),	B0)
где ot(At) ->• 0 при At -»> 0.
Полагая dt = At, запишем равенство A9) в виде
dr = r'dt,
где опущено обозначение аргумента функции г;. Отсюда получаем
в) Замена переменного.
Утверждение 3. Если функция t = t(s) дифференцируема при
s = «so, t(so) = to, а вектор-функция r(t) дифференцируема в точ-
точке to, то вектор-функция p(s) = r(t(s)) дифференцируема в точке so,
а производная этой функции выражается формулой
pl(so)=r'Mso))=r't(to)tls(so),	B2)

§21. Вектор-функции	199
где индекс указывает, по какому переменному производится диффе-
дифференцирование.
О Функция a(At) в формуле B0) не определена при At = 0. Доопре-
Доопределим ее при At = 0, полагая а@) = 0.
Так как t = t(s) — функция, дифференцируемая при s = s0, то At =
= t(so + As) — t(so) —у 0 при As —у 0. Разделив обе части равенст-
равенства B0) на As ф 0, получим
__ у1 it \ -\- rv(А/1	B31
As	As	As
Правая часть B3) имеет при As —у 0 предел, равный r/(to)t/(so),
так как At —у 0 при As чОи a(At) —у 0 при At —у 0. Следовательно,
существует предел в левой части B3), и справедливо равенство B2).
Формулу B2) запишем кратко в виде равенства
К = r'tte,	B4)
выражающего правило дифференцирования вектор-функции при заме-
замене переменного. •
3. Теорема Лагранжа и локальная формула Тейлора для
вектор-функции.
Замечание 1. Формула Лагранжа, т. е. формула
для вектор-функций, вообще говоря, неверна.
О В самом деле, пусть формула B5) верна, и пусть r(t) = (cost, sint),
тогда г'(t) = (—sint,cost), |rr(t)| = 1. Полагая а = 0, /3 = 2тг, получим из
равенства B5) 0 = гBтг) — г@) = г'(?Jтг, что невозможно, так как|г'(?)| =
= 1. •
Теорема (Лагранжа). Если вектор-функция r(t) непрерывна на
отрезке [а,/3] и дифференцируема на интервале (а,/3), то
a)-	B6)
О Рассмотрим скалярную функцию
= (r(/3)-r(a),r(t)).
Эта функция непрерывна на отрезке [а,/3], так как вектор-функ-
вектор-функция r(t) непрерывна на этом отрезке. Кроме того, функция cp{t) диф-
дифференцируема на интервале (а,/3), так как функция г(?) дифференци-
дифференцируема на этом интервале, причем в силу правила дифференцирования
скалярного произведения
По теореме Лагранжа
3? € (а, /3): ?>(/?) - ч>{а) = у'(О (/3 - а).	B7)

200
Гл. IV. Производная и ее приложения
Преобразуем левую часть равенства B7):
?>(/?) - ч>{а) = (г(/3) - г(а), г(/3)) - (г(/3) - г(а), г(а)) =
= (r(/J) - г(а), г(/3) - г(а)) = |г(/3) - г(а)|2.
Тогда равенство B7) примет вид
|r(/J) - г(а)|2 = (г(/3) - г(а), г'(?))(/? - а).	B8)
Если г(/3) = г (а), то неравенство B6) справедливо при любом ? Е
Е («,/3). Если г(/3) т^ г (а), то |г(/^) ~~ г(а)| > 0- Тогда, используя нера-
неравенство |(а, b)| ^ |а| • |Ь|, из формулы B8) получим
- г(а)
- г(а)
откуда, разделив обе части неравенства на \г(/3) — г(а)| > 0, получим
неравенство B6). •
Замечание 2. Для вектор-функции r(t) справедлива локальная фор-
формула Тейлора
—т~.— (t — to) Н~ ?\t — to),	B9)
к=0
где e(t — to) = o((t — to)n) — вектор-функция такая, что e(t — to) =
= (t - to)nSi{t - to), где ?i(t - to) ->• 0 при t ->• t0.
Эта формула справедлива в предположении, что существует r^ (to). Для
доказательства формулы B9) достаточно воспользоваться локальной фор-
формулой Тейлора для компонент вектор-функции r(t).
§ 22. Кривые
1. Понятие простой кривой. Пусть в трехмерном пространстве
выбрана прямоугольная система координат Oxyz, и пусть на отрез-
отрезке [а,/3] заданы непрерывные функции х = x(t), у = y(t), z = z(t).
Тогда говорят, что задано
непрерывное отображение от-
отрезка [а, C] в трехмерное про-
пространство. Числа ж(?), y(t),
z(t) можно рассматривать
как координаты точки М
(рис. 22.1), где М = M(t),
или как координаты вектора
г(?) с началом в точке О
и концом в точке М, т. е.
Рис. 22.1
Если считать, что переменное t есть время, то уравнения
x = x(t), y = y(t), z = z(t), a^t^/3,	A)

'. Кривые	201
определяют закон движения точки М(?), а множество точек М(?),
соответствующих всевозможным значениям t из отрезка [а,/3], мож-
можно рассматривать как след [путь) точки, движущейся по закону A).
Замечание 1. В общем случае закон движения может быть очень
сложным. Например, существуют такие непрерывные на отрезке [a, f3]
функции x(t), y(t), z(t), что точка M(t), движущаяся в соответствии с за-
законом A), пройдет через каждую точку некоторого куба.
Предположим, что любым двум различным значениям t\ и t2 из
отрезка [а,/3] соответствуют различные точки M{t\) и M{t2) про-
пространства, и обозначим через К множество всех точек M{x,y,z)
пространства, координаты которых определяются формулами A).
Будем говорить, что точка M{t2) G К следует за точкой M{t\) Е
Е К или точка M{t\) предшествует точке M{t2), если а ^ t\ < t2 ^ C-
Введенное правило следования точек устанавливает порядок на мно-
множестве К. Упорядоченное указанным способом множество К будем
называть простой кривой Г и записывать уравнение этой кривой либо
в координатной форме
Г = {х = x(t), у = y(t), z = z(t), a^t^P},	B)
либо в векторной форме
r = {r = r(t), a^t^C},	C)
где
r=(x,y,z), r(t)
Условимся переменное t в уравнениях B), C) называть параметром
кривой Г. Точки М(а) и М(/3), соответствующие значениям а и C
параметра кривой Г, будем называть начальной точкой {началом)
кривой и конечной точкой {концом) кривой.
Согласно определению простой кривой отображение A) являет-
является взаимно однозначным: каждому значению t G [а,/3] соответствует
единственная точка M{t) G Г, и наоборот, каждой точке М G Г соот-
соответствует единственное значение t G [а,/3].
Если простая кривая Г лежит в некоторой плоскости ^, то эту
кривую называют плоской. В частности, если плоскость & совпадает
с плоскостью Оху, то уравнение кривой Г имеет вид
Г = {х = x(t), у = y(t), z = 0, a^t^/3}.
Обычно в этом случае опускают уравнение z = 0 и записывают урав-
уравнение кривой в виде
T = {x = x(t), y = y(t), a^t^/3}.
Например, уравнением
Г = {х = Rcost, у = Rsint, 0 ^ t ^ тг},

202	Гл. IV. Производная и ее приложения
где R > 0, задается полуокружность радиуса /?, лежащая в верхней
полуплоскости (у ^ 0) и "пробегаемая" против часовой стрелки. Гра-
График функции у = /(ж), непрерывной на отрезке [а, /3], можно рассмат-
рассматривать как простую плоскую кривую Г, заданную уравнением
T = {x = t, y = f(t), a^t^/3}.
2. Параметризуемые кривые. Если существуют два различ-
различных значения t\ и t2 из отрезка [а,/3] таких, что M(ti) = М(?2), то
отображение A) отрезка в трехмерное пространство не является вза-
взаимно однозначным.
Предположим, что отрезок [а,/3] можно разбить на отрезки Ак =
= [tk-i,tk], к = 1,п, где а = t0 < h < ... < tn-\ < tn = C, такие, что
каждое из непрерывных отображений
x = x(t), y = y(t), z = z(t), teAk, к = 1,п,
является взаимно однозначным и, следовательно, определяет простую
кривую
Гк = {х = x{t), у = y{t), z = z{t), t G Д/J.
Тогда будем говорить, что уравнения B) задают параметризуемую
кривую Г или что кривая Г параметризована при помощи уравне-
уравнений B), где под кривой Г понимают упорядоченную совокупность
(Fi,..., Гп) простых кривых таких, что конечная точка кривой Г/, сов-
совпадает с начальной точкой кривой Г&+1, к = 1,п - 1. В этом случае
говорят также, что "кривая Г разбита на простые кривые 1\, ...,ГП"
или что "кривая Г составлена из простых кривых Г/,, к = 1,п" и
пишут Г = Fir2...rn, а каждую из кривых Г& называют частью
кривой Г или простой дугой кривой Г.
Замечание 2. Одна и та же кривая Г может быть параметризована
различными способами. Мы будем рассматривать только такие парамет-
параметризации, которые получаются из данной параметризации B) путем пред-
представления параметра t в виде непрерывной строго возрастающей функции
другого параметра.
Это означает, что если наряду с представлением кривой Г через пара-
параметр t уравнением C) эта кривая представлена через параметр s уравне-
уравнением
Г = {р = рE), ai^s^ft},	D)
то должно выполняться условие: s = s(t) — непрерывная строго возраста-
возрастающая функция на отрезке [а,/5], причем
s(a)=ai, s(P)=Pi, p(s(t)) = r(t) для всех t e [a, P]. E)
В этом случае на отрезке [ai,/3i] определена непрерывная и строго воз-
возрастающая функция t = t(s), обратная к функции s = s(t), и для всех
s G [ai, Pi] выполняется равенство
p(s)=r(t(s)).	F)
Замечание 3. Условимся в дальнейшем, если не оговорено против-
противное, для записи уравнений кривых использовать только параметризации,
указанные в замечании 2, и называть их допустимыми.

'. Кривые	203
Пусть параметризуемая кривая Г задана уравнением C), и пусть
существуют значения t\ и t^ (t\ ф t^) из отрезка [а,/3] такие, что
r(ti) = r(t2). Тогда говорят, что точка M1(xi,yi,zi), где х\ — x{i\) —
— ж(^2), у\ = y(ti) = 2/(^2)? zi — ^(^1) — ^(^2), является точкой само-
самопересечения (кратной точкой) кривой Г.
Если равенство r(ti) = rfe) выполняется при t\ — a, t<i — /3, то
кривую Г называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую
точек самопересечения, отличных от точки Mi(x(a),y(a),z(a)), бу-
будем называть простым контуром.
Например, кривая
Г = {х = cost, у = sint, 0 ^ t ^ 2тг}
является простым контуром. При изменении t от 0 до 2тг точка
M(cost,sint) "описывает" единичную окружность, двигаясь против
часовой стрелки. Точка плоскости Оху с координатами A,0) являет-
является одновременно начальной и конечной точкой кривой Г.
3. Касательная к кривой. Пусть кривая Г задана уравнени-
уравнением C), где г(?) — вектор-функция, дифференцируемая в точке ?0 €
G [а,/?], причем г'(to) ф 0. Тогда
Ar = r(?0 + At) - r(t0) = г'(to) At + Ata(At),	G)
где a(At) —> 0 при At —> 0. Из условия г7(to) ф 0 и равенства G) сле-
следует, что при всех достаточно малых At ф 0 правая часть G) есть
ненулевой вектор, и поэтому Аг ф О,
Т. е. существует ЧИСЛО S > 0 такое, ЧТО	Касательная
0 < |At| < 5, t0 + At e [a,C], (8)	M ^l^jw^
Tor(t0 + At) ^r(to).
Пусть Mq и М — точки кривой Г,
соответствующие значениям парамет-	/ /
pa t0 и t0 + At (рис. 22.2). Проведем г'(?0)/ /' ^
через эти точки прямую и назовем ее	/ / °
секущей.	\/
Если г7(to) 7^ 0, то при всех зна-	''
чениях At, удовлетворяющих услови-	Рис 22 2
ям (8), ненулевой вектор Аг = г (to +	д
+ At) — r(to) параллелен секущей, и поэтому вектор —— также парал-
параллелен секущей. Уравнение секущей имеет вид
г = r(to) + ^ А, А € /?.	(9)
Пусть существует предельное положение секущей, т. е. сущест-
существует lim —— ф 0. Тогда прямая, уравнение которой получается из
At^o At	дг
уравнения (9) заменой отношения —— его пределом, называется ка-
At
сательной к кривой Г в точке Mq.

204	Гл. IV. Производная и ее приложения
Утверждение 1. Если г'(to) ф 0, то существует касательная к
кривой Г в точке Mq, и уравнение этой касательной можно записать
в виде
r = r(to)+r'(to)A, Ae /?.	A0)
О Если функция r(t) дифференцируема при t = to и г'(to) ф О, то
существует lim —— = г'(to), и по определению прямая A0) является
At—уО At
касательной к кривой Г в точке Mq. •
В координатной форме уравнение A0) имеет вид
х = x(t0) + \x'(t0), у = y(t0) + \y'(t0), z = z(t0) + \z\t0), A E /?,
а в канонической форме уравнение касательной записывается в виде
х - x(tp) _ у - у (to) _ z - z(t0)
x'(h) - у'(to) " z'(t0) '
4. Понятие гладкой кривой. Пусть кривая Г задана уравнени-
уравнением C), где r(t) — дифференцируемая на отрезке [а,/3] функция, тогда
говорят, что Г — дифференцируемая кривая.
Если r;(to) ф 0, то точку Mq Е Г, где ОМ о = г (to), называют не-
неособой точкой кривой Г; если же г'(to) = 0, то говорят, что Мо —
особая точка кривой Г.
Пусть r(t) = (x(t),y(t),z(t)), тогда r'(t0) = (ж'(*о),2/'(*о),*'(*о)), и
поэтому точка Mq является неособой точкой кривой Г тогда и только
тогда, когда (х'(to)J + (у'(to)J + (z'(to)J > 0. Из определения неосо-
неособой точки и утверждения 1 следует, что во всякой неособой точке
кривой Г существует касательная.
Если функция r'(t) непрерывна на отрезке [а,/3], то будем гово-
говорить, что кривая Г, заданная уравнением C), непрерывно дифферен-
дифференцируема.
Условимся называть кривую гладкой, если она является непрерыв-
непрерывно дифференцируемой и не имеет особых точек. Следовательно, кри-
кривая Г, заданная уравнением C), является гладкой, если функция r'(t)
непрерывна и r'(t) ф 0 при всех t E [а,/3]. Если кривая составлена из
конечного числа гладких кривых, то такую кривую будем называть
кусочно гладкой.
Замечание 4. Для непрерывно дифференцируемой кривой Г в ка-
качестве допустимых преобразований параметра (см. замечания 2 и 3) рас-
рассматриваются функции s(t), непрерывно дифференцируемые и такие, что
s'(t) > 0.
В этом случае на отрезке [а, /3] определена непрерывно дифференциру-
дифференцируемая функция t = t(s), обратная к функции s = s(t), причем t'(s) > 0 и
выполняется равенство F).

'. Кривые
205
5. Длина дуги кривой.
а) Понятие длины кривой. Пусть кривая Г задана уравнением C),
и пусть на отрезке [а,/3] выбраны точки tk (k = 0,п) такие, что
а =
t\ < ...tn-i <tn = /3.
Набор точек tk будем называть разбиением отрезка [а, C] и обозна-
обозначать Т = {tk, к = 0,п}, а соответствующий набор точек М/, = .
где ОМк = r(tk), будем на-
называть разбиением кривой Г
(рис. 22.3).
Соединив последователь-
последовательно точки Mo, Mi, ..., Мп
отрезками MqMi, M1M2, ...
..., Mn_iMn, получим ло-
ломаную 3?П1 которую бу-
будем называть вписанной в
кривую Г; отрезки Mk-\Mk
(к = 1,п) назовем звеньями
ломаной ^п, а точки М/, (к =
= 0, п) — вершинами лома-
ломаной 3?п.
Так как длина к-го звена ломаной
Рис. 22.3
, т. е. длина отрезка
равна \r{tk) — r(t^_i)|, то длина ап ломаной &п равна
A1)
к=1
Если существует точная верхняя грань множества длин ломаных,
вписанных в кривую Г, то эта грань называется длиной кривой Г.
Кривая, имеющая длину, называется спрямляемой.
Утверждение 2. Если спрямляемая кривая Г точкой М' разби-
разбита на кривые Т\ и Г2, т. е. Г = Г1Г2, то кривые Т\ и Г2 спрямляемы,
причем
S = Si + 02,	A2)
где 5, Si, S2 — длины кривых Г, 1\ и Г2 соответственно.
О Пусть Р' и Р" — произвольные ломаные, вписанные соответствен-
соответственно в Fi и Г2, тогда Р = Р'Р" — ломаная, вписанная в Г, причем
1,11	( -I г» \
а = а +сг ,	A3)
где о, а1, сг" — длины ломаных Р, Р; и Р" соответственно. Так как
Г — спрямляемая кривая, то а ^ 5, и поэтому
G ^ О, G ^ О.
По теореме о точной верхней грани существуют super7, sup а", т. е.

206	Гл. IV. Производная и ее приложения
Т\ и Г2 — спрямляемые кривые. Из равенства A3) следует, что
о1 + а" ^ S, и поэтому supfV + а") = super7 + sup a" ^ S, т. е.
Si + S2 <: S.	A4)
Докажем, что в A4) вместо знака неравенства можно поставить знак
равенства. Предположим противное, т. е. допустим, что Si + S2 < S.
Обозначим so = S - (Si + S2), тогда г0 > 0.
По определению точной верхней грани для заданного числа So >
> 0 можно указать такую ломаную Рп, вписанную в кривую Г, что
S < оп + го- Пусть кривая Г задана уравнением C). Будем считать,
что вершины Mk (к = 0, п) ломаной Рп соответствуют разбиению Т
отрезка [а,/3], указанному выше, а общая точка М' кривых 1\ и Г2
соответствует значению параметра t' G [tk-i,tk], где к — одно из
чисел 1, 2, ...,п.
Рассмотрим ломаную Р, полученную из ломаной Рп заменой звена
Mk-iMk двумя звеньями М^-\М' и M'Mk (остальные звенья этих
ломаных совпадают). Так как длина отрезка Mk-iMk не превосходит
суммы длин отрезков Mk-iM' и М'Мк, то оп ^ 5, где а — длина
ломаной Р, ап — длина ломаной Рп.
Заметим, что ломаная Р составлена из ломаных Р' и Р", вписан-
вписанных соответственно в кривые 1\ и Г2. Поэтому
5 = 5'+ 5",
где а', а" — длины ломаных Р' и Р"'.
Так как а' ^ Si, a" ^ S2, то а ^ Si + S2. Следовательно,
с"п ^ сг ^ Si + S2,
и поэтому
S < СГП+?О ^ Si +S2 +?о,
откуда г0 = S — (Si + S2) < So, т. е. so < So, что невозможно.
Равенство A2) доказано. •
Упражнение 1. Доказать, что кривая Г, составленная из спрямля-
спрямляемых кривых Fi и Гг, спрямляемая, причем выполняется равенство A2).
Упражнение 2. Доказать, что длина кривой Г не зависит от ее пара-
параметризации.
Теорема 1. Если кривая Г, заданная уравнением C), непрерывно
дифференцируема, то она спрямляемая, а для ее длины S справедливо
неравенство
S^(P-a) max |r'(?)|.	A5)
О Пусть Т = {?/,, к = 0,п} — разбиение отрезка [а,/3]. По теореме
Лагранжа для вектор-функции получаем
|r(**)-r(**-i)| ^ |г'Ы|(**-**-1), П G (tk-utk). A6)
Из непрерывности вектор-функции г'(?) на отрезке [а,/3] следует не-

'. Кривые
207
прерывность и ограниченность функции |r'(t)|, и поэтому
ЗОО: Vte [а,{3] -^ |r'(t)| <С С.
В качестве С можно в силу теоремы Вейерштрасса взять число
С = max |r'(t)|.	A7)
Так как |г'(тй)| ^ С, то из A1) и A6) следует, что
/r(to+At)
к=1
где число С определяется формулой A7). Итак, множество длин лома-
ломаных, вписанных в Г, ограничено сверху, от-
откуда по теореме о точной верхней грани
следует, что Г — спрямляемая кривая, и
выполняется неравенство A5). •
б) Производная переменной длины дуги.
Теорема 2. Пусть кривая Г = {г =
= r(?), a ^ t ^ /3} непрерывно дифферен-
дифференцируема, и пусть s(t) — длина той части
кривой Г, которая соответствует измене-
изменению параметра от а до t.
Тогда для любого to E [а, Р] существу-
существует s'(to), причем
sf(t0) = \rf(t0)\.	A8)
О Пусть t0 + At е [а, /3], Мо и М — точки
кривой Г, соответствующие значениям t0 и t0 + At параметра кривой
(рис. 22.4). Тогда длина дуги MqM равна |As|, где
О
Рис. 22.4
а длина хорды MqM равна |Аг|, и поэтому получаем неравенство
|Ar| ^ |Д*|.
По теореме 1 получаем
|As| ^max|r'(t)||At|,
где Р — отрезок с концами to и to + At.
Из неравенств A9) и B0) следует, что
|Ar| ^ \As\ ^max|r'(t)||At|,
A9)
B0)
откуда при At ф 0 получаем
Заметим,
как s(t) -
Аг
At
что если At > 0
- возрастающая
As
At
, то As ^
функция.
max|r ( )
0, а если
Поэтому
At<
As .
At ''
0,
>, 0
ТО L
И
\s <
As
At
B1)
С 0, так
_ As
~ At'
Следовательно, неравенство B1) можно записать в виде

208	Гл. IV. Производная и ее приложения
—- < -— < max Ir (t)\	B2)
At ^ At ^ #^"
Функция r'(t) непрерывна на отрезке [а,/3], и поэтому функция |r'(t)|
также непрерывна на этом отрезке. Согласно теореме Вейерштрасса
существует точка ? G Р такая, что max|r'(t)| = |г'(?)|.
Пусть At —у 0, тогда |г'(?)| —У |r'(to)| в силу непрерывности функ-
функции \r'(t)\ при t = t0. Поэтому правая часть неравенства B2) имеет
при At —> 0 предел, равный |r'(to)|.
Кроме того, по определению производной вектор-функции сущест-
i
По свойствам пределов из B2) следует, что существует lim -г— =
At^O At
= |r'(to)|, т. е. справедливо равенство A8). Таким образом, доказано,
что переменная длина дуги непрерывно дифференцируемой кривой Г,
т. е. функция s(t), дифференцируема на отрезке [а,/3] и выполняется
равенство
| = №1,	B3)
причем функция s'(t) непрерывна на отрезке [а,/3]. •
в) Натуральное уравнение гладкой кривой. Пусть кривая Г, задан-
заданная уравнением C), является гладкой. Тогда функция r'(t) непрерыв-
непрерывна на отрезке [а,/3], r'(t) ф 0, и поэтому |r;(t)| > 0. Из равенства B3)
ds
следует, что — > 0 для всех t G [а,/3]. Поэтому непрерывно диф-
дифференцируемая функция s = s(t) является строго возрастающей. По
теореме об обратной функции на отрезке [0,5], где S — длина кри-
кривой Г, определена функция t = t(s), причем t(s) — непрерывно диф-
дифференцируемая строго возрастающая функция и
Таким образом, функция t = t(s) является допустимым преоб-
преобразованием параметра (замечания 3, 4), и уравнение кривой Г
можно записать в виде
Если параметром кривой Г является переменная длина ее дуги s,
то s называют натуральным параметром, а уравнение кривой Г
r = r(s), (Ks ^5,	B4)
записанное через параметр s, называют натуральным уравнением.
Пример 1. Записать натуральное уравнение винтовой линии
x = acost, у = asint, z = bt, 0 ^ t ^ T,
где а > 0, b > 0.

'. Кривые
209
Л Кривая Г является гладкой, так как вектор-функция r(t) = (acost,
asint, bt) непрерывно дифференцируема и
|r'(t)| = x/(-asintJ + (acostJ + b2 = \Ja2 + b2 > 0.
По формуле B3) находим
ds 	 / 2 j_ 7 2
откуда заключаем (§ 17, следствие 2 из теоремы Лагранжа), что
s = t\Ja2 + b2 + Б,
где 5 = 0, так как s@) = 0. Следовательно, t = 7	и поэтому
искомое представление кривой Г имеет вид
s
х — a cos ¦
= a sin
/a2 + б2	Va2 + &2	л/а2 + Ь2
так как длина S кривой Г равна s(T) = Тл/а2 + б2. А
Утверждение 3. #а/ш параметром гладкой кривой Г является
переменная длина ее дуги s, то
dr
ds
= 1.
B5)
О В самом деле, из формулы B3) при t = s следует равенство B5). •
Упражнение 3. Пусть кривая Г задана натуральным уравнени-
уравнением B4), и пусть а, /3, 7 — Углы, образованные вектором касательной — к
ds
кривой Г с осями Ож, Оу и Oz соответственно. Доказать, что
— = (cos a, cos/3, cos 7)-
ds
6. Нормальная плоскость и главная нормаль кривой.
а) Нормальная плоскость.
Плоскость ^, проходящую
через точку Mq кривой Г и
перпендикулярную касатель-
касательной к этой кривой в точ-
точке Мо, называют нормальной
плоскостью кривой Г в точ-
точке Mq.
Если кривая Г задана
уравнением C), to G [a,/?],
ОЛ?о =r(t0) и г'(t0) 7^0, то
вектор г7(to) параллелен касательной к кривой Г в точке Mq. Пусть
М — произвольная точка нормальной плоскости & (рис. 22.5),
ОМ = г. Тогда вектор MMq = г — г (to) перпендикулярен вектору

210	Гл. IV. Производная и ее приложения
г'(to), и поэтому уравнение нормальной плоскости 2? к кривой Г в
точке Mq можно записать в виде
или
(r-r(to),r/(to))=0
(x - x(t0)) xf(t0) + (y - y(t0)) yf(t0) + (z- z(t0)) zf(t0) = 0.
б) Главная нормаль. Любую прямую, лежащую в нормальной плос-
плоскости & к кривой Г в точке Mq и проходящую через точку Mq, назы-
называют нормалью кривой Г в точке Mq. Среди всех нормалей выделяют
одну — главную нормаль.
Понятие главной нормали требует введения дополнительных огра-
ограничений на вектор-функции, с помощью которых записываются урав-
уравнения кривых. Пусть Г — гладкая кривая, заданная уравнением C),
причем для всех t Е [ol,C] существует r"(t). В этом случае говорят,
что Г — дважды дифференцируемая кривая без особых точек.
Утверждение 4. Если Г — дважды дифференцируемая кривая
без особых точек, заданная уравнением C), s — переменная длина
дуги кривой Г, то существуют — и —— и справедливы равенства
ds ds1
?l = lSU	B6)
ds sf(t)
rfr sf(t)r"(t)-s"(t)rf(t)
ds2	(s'(t)Y	'	У }
О Применяя правило дифференцирования вектор-функции при за-
замене переменного, получаем формулу B6):
dr dr dt dr 1	r'(t)
~d~s ~ ~dtb~d~s ~ H s'(t) ~ s'(t)'
Используя формулу B6) и правило дифференцирования произведения
векторной функции на скалярную, находим
(	f^	(
ds2 ~ dt\ds) ds ~ dt\s'(t)J s'(t) ~ \s'(t)	(s'(t)J
откуда следует формула B7).
Заметим, что s"(t) существует, так как s'(t) = |г'(?)|,
a r"(t) существует и |r;(t)| ф 0. •
Перейдем к определению главной нормали. Будем считать, что
Г — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная
уравнением C). Тогда существуют — и -—, причем	единичный
as ds1	ds

'. Кривые	211
вектор в силу равенства B5). Обозначим этот вектор буквой т. Тогда
%=т, 1-1 = 1,	B8)
/ с О1	i\	dr d2r
и поэтому (см. Q 21, пример 1) вектор	— = —- ортогонален векто-
вектору т.	ds ds
Предположим, что
Щ- ф 0,	B9)
и обозначим
7 dr
к = —
Пусть v — единичный вектор, параллельный вектору —. Тогда
C0)
Ъгда
= 1,	C1)
причем вектор v ортогонален вектору т.
dr
Так как вектор т = — параллелен вектору касательной r'(t) к
as
кривой Г в силу равенства B6), то из C1) следует, что вектор v
параллелен нормальной плоскости кривой Г в точке М (ОМ = г(?)).
Поэтому вектор v параллелен одной из нормалей кривой Г в точке М.
Эту нормаль называют главной.
Итак, если в точке М е Г выполняется условие B9), то нормаль к
кривой Г в точке М, параллельная вектору v (формула C1)), назы-
называется главной нормалью.
7. Кривизна кривой. Пусть Г = {г = r(?), a ^ t ^ /3} — дваж-
дважды дифференцируемая кривая, не имеющая особых точек. Тогда су-
dr	dr d2r	,,ч
ществует — = т и — = —-, где s = sit) — переменная длина дуги
ds	ds ds2
кривой Г. Число к, определяемое формулой C0), называют кривизной
кривой в точке М G Г (Ом = г(?)).
Утверждение 5. Кривизна к дважды дифференцируемой кривой
Г = {г = r(?), a ^ t ^ /3}, не имеющей особых точек, выражается
формулой
k - |г'(*)|8
О Заметим, что
7 I \dr 1 I	/ооч
\lds J I
Действительно, так как т — единичный вектор, ортогональный век-
Т0РУ ~i~j T05 используя определение кривизны (формула C0)), полу-
получаем ds
dr
dr_
ds
t =
dr_
ds
= k.

212
Гл. IV. Производная и ее приложения
Применяя формулы B6), B7) и учитывая, что [г'(t),r'(t)] = 0, s'(t) =
= |г'(?)|, из равенства C3) получаем формулу C2). •
Если v(t) = (x(t),y(t),z(t)), то г'(«) = (x'(t),y'(t),z'(t)), г"(«) =
a'(t) =
и из формулы C2), опуская аргументы, получаем
к =
у'
II
У
1
II
z
2
—|—
z1
II
х1
II
X
2
—|—
х'
II
X
у'
II
У
{{х'У- + (у1)* +
C4)
Если z(t) = О (Г — плоская кривая), то формула C4) примет вид
к =
х'у" - у'х"
(х'У +
C5)
В частности, если плоская кривая Г задана уравнением у = /(ж), то
из формулы C5) находим
к =
Пример 2. Найти максимум кривизны кривой у = /(ж), где
f(x) = In (ж + лЛ2 + 1).
Л Так как f'(x) =
находим
к(х) =
--, /"(*) = -
(ж2 + IK/2
, то по формуле C6)
3/2 (Ж2 + 2K/2 '
Функция к(х) является четной, и при х > 0 получаем
_
(я2+ 2K
откуда следует, что максимального значения (fcmax) кривизна дости-
достигает при х = =Ы, причем
Выясним физический смысл кривизны кривой. Пусть кривая Г
задана уравнением B4), и пусть в точке М G Г, где ОМ = r(s), су-
существует кривизна k(s).
Тогда k(s) = —— , где \t(s)\ = 1. Обозначим
CLS
At = t(s + As) - t(s),

'. Кривые
213
где t(s + As) и t(s) — единичные векторы, параллельные касатель-
касательным к кривой Г в точках кривой, определяемых значениями пара-
параметра s + As и s.
Пусть Aip — угол поворота касательной к кривой Г при изменении
ее параметра от s до s + As, т. е. угол между векторами t(s + As)
и t(s), тогда (рис. 22.6)
-1	I Л I
C7)
C8)
Назовем скоростью вращения вектора т величину
lim
Так как
k(s) =
dr_
ds
= lim
At
As
то, используя равенство C7) и учитывая, что 2 sin
А(р ->• 0, запишем формулу C9) в следующем виде:
k(s) = lim
C9)
\Atp\ при
D0)
Из равенств D0) и C8) следует, что кривизна кривой Г, заданной
Г
Рис. 22.6
Рис. 22.7
уравнением B4), в точке М Е Г равна скорости вращения вектора
касательной к этой кривой в точке М.
Число R = —— называют радиусом кривизны кривой Г в точке
k(s)
М G Г (Ом = r(s)). Заметим, что если Г — окружность радиуса R
(рис. 22.7), то угол Аср равен углу между векторами r(s) и r(s + As).
Аш	1
В этом случае \As\ = Д|Д<^|, и поэтому lim
As-^O
а!
= k = —, т. е.
кривизна окружности равна обратной величине ее радиуса.
8. Соприкасающаяся плоскость. Плоскость, проходящую че-
через касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называ-
называют соприкасающейся плоскостью.

214
Гл. IV. Производная и ее приложения
Отсюда и из определения главной нормали следует, что соприка-
соприкасающаяся плоскость определена для точек кривой, в которых кривиз-
кривизна к ф 0.
Утверждение 6. Если гладкая кривая Г = {г = г(t), a ^ t ^ C}
дважды дифференцируема и ее кривизна в точке Мо = М(?о) не равна
нулю, то уравнение соприкасающейся плоскости Q в точке Мо имеет
вид
/у»	г*( + \ т»' ( + \ т»" ( + W 	 П	( ЛЛ \
\А *¦ \^0) j *¦ v^O/5-*- \)) — ^*	\^-^-)
О Если s = s(t) — переменная длина дуги кривой Г, то дифферен-
дифференцируя г(?) как сложную функцию и используя формулы B8) и C1),
получаем
— rsSt —
dtx
где индексы указывают, по каким переменным производится диф-
дифференцирование. Отсюда следу-
следует, что векторы r't и r"t парал-
параллельны плоскости Q. По условию
к ф 0, и поэтому [rj, r"J ^ 0. Сле-
Следовательно, векторы r't и r"t не
коллинеарны.
Так как векторы r-r(t0),
—,	7	у	 х	гЧ^о) = rj(to), г" (to) = r^(t0)
/ /	\	параллельны плоскости Q
Г	/ >/^г	(рис. 22.8), то их смешанное
произведение равно нулю, т. е.
во всех точках плоскости Q
Рис 22 8	(и только в этих точках) долж-
должно выполняться условие D1). •
Запишем уравнение D1) в координатной форме:
х - x(t0) у - у(t0)
x'(t0)	у1 (t0)
x"(t0) у" (to)
z - z(t0)
zf(t0)
z"(t0)
= 0.
9. Центр кривизны кривой. Эволюта. Пусть кривая Г задана
натуральным уравнением B4). Будем предполагать, что в точке М е
G Г, где ОМ = r(s), существует кривизна к = k(s) ф 0. Тогда радиус
кривизны кривой Г в точке М равен
D2)

'. Кривые
215
Отложим на главной нормали кривой Г (рис. 22.9) в направлении
вектора главной нормали v = v(s) отрезок MN длиной R = R(s) и на-
назовем точку N центром кривизны кривой Г в точке М. Пусть О1\Г = р.
Так как MN = R(s)i/(s), то получаем
Используя формулу D2) и равенство
d2r _ dr _ ,, ч , ч
ds2 ds
запишем уравнение D3) в следующем виде:
p = r(s)-\	^^4-	D4)
Предполагая, что во всех точках кри-
кривой Г кривизна отлична от нуля, построим
для каждой точки кривой центр кривизны
и назовем множество всех центров кривизны кривой Г эволютой этой
кривой.
Если кривая 1\ — эволюта кривой Г, то кривую Г называют эволь-
эвольвентой кривой Г].. Уравнение эволюты кривой Г, заданной натураль-
натуральным уравнением, имеет вид D4).
Если кривая Г задана уравнением C), то уравнение эволюты этой
кривой можно получить, заменив в равенстве D4) к и -— их выра-
dsz
жениями по формулам C4) и B7).
В случае когда плоская кривая Г задана уравнением Г = {х =
= ж(?), у = y(t), а ^ ? ^ /3}, ее кривизна выражается формулой C5),
i2
а -— — формулой B7), где
dsz
Рис. 22.9
и поэтому
х" х'(х'х" + у1у") у" у'(х1х" + у1у"У
dfr_ _ (_аГ_ _ х\х'х" +1
~d^ ~ 1(УР	{s'Y
'+У'У")\ =
s'Y )
х"у'-х'у" , у"х'-у'х"
(х'J + (у'УJ' {{х'J + {у'У)
Если р = (?,г)), то уравнение D4) в координатной форме примет вид
„1„п ' V -У + х , ,,
Х1у11 - у'Х" ' 'I - * ¦ ~ х,у11 _ у,хп '	(^)
Равенства D5) задают эволюту кривой Г в координатной форме.

216
Гл. IV. Производная и ее приложения
Замечание 4. Приведем без доказательства физическое истолкование
эволюты и эвольвенты (см. [3] и [17]). Пусть на эволюту натянута гибкая
нерастяжимая нить. Если эту нить развертывать, оставляя все время натя-
натянутой, то конец нити опишет эвольвенту. Этим можно объяснить термины
эволюта ("развертка") и эвольвента ("развертывающаяся").
Пример 3. Найти эволюту эллипса ж = a cost, у = bsint.
Л В этом случае ж' = -asint, у' = Ьcost, х" = -acost, у" = —
и формулы D5) принимают вид
2 2	2 2
t =
а2 — Ъ2
з х
COS t, 77 =
Ь2 — а2
Sin t.
а	о
Следовательно, эволютой эллипса является астроида (рис. 22.10). А
у1\
Рис. 22.10
Рис. 22.11
Если плоская кривая задана уравнением у = /(ж), то уравне-
уравнения D5) записываются в виде
+ (f'(x)f ,
fl{x) /W
fl{x)
D6)
Пример 4. Найти эволюту параболы у = ах2.
Л Используя формулы D6), где /(ж) = аж2, получаем
= ж

2а
2аж = —4а2ж3, т\ — ах2 +
Исключая ж, получаем
.2 16а
4aV
2a
2а
Следовательно эволютой параболы является полукубическая пара-
парабола (рис. 22.11). А
10. Сопровождающий трехгранник кривой. Пусть Г —
дважды дифференцируемая кривая без особых точек, удовлетво-
удовлетворяющая условию B9). Тогда выполняются равенства B8) и C1),
где т — единичный вектор касательной, и — единичный вектор нор-
нормали к кривой Г в данной ее точке.
Рассмотрим вектор
/3=[т,»/].	D7)

'. Кривые
217
Тогда /3 — единичный вектор, ортогональный векторам т и ь>:
D8)
Прямую, проходящую через точку кривой параллельно вектору /3,
называют бинормалью. Тетраэдр с вершиной в точке кривой, ребра
Рис. 22.12
которого имеют длину, равную единице, и параллельны векторам т,
г/, /3, называют сопровождающим трехгранником Френе (рис. 22.12).
Утверждение 7. Если Г — трижды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемая кривая, удовлетворяющая условию B9), то справедливы формулы
Френе
— ~kv
ds	'
— = -kr
as
ds
= —KV.
D9)
E0)
О Первая из формул Френе получена в п. 6 (формула C1)). Докажем
формулу E0). Дифференцируя равенство D7) с учетом формулы C1)
и равенства \u,v\ — 0, получаем
dC \dr

218	Гл. IV. Производная и ее приложения
Так как v — единичный вектор, то он ортогонален вектору —.
as
Кроме того, вектор v ортогонален вектору т. Поэтому вектор т, ——
L as ]
параллелен вектору v и справедливо равенство E0). Коэффициент к
в формуле E0) называют кручением кривой в данной ее точке.
Пользуясь формулами C1), D7), D8) и E0), получаем
т. е. справедлива формула D9). •
Докажем, наконец, следующее: если кривая, заданная натураль-
натуральным уравнением, трижды дифференцируема, а ее кривизна к = k(s)
отлична от нуля, то кручение кривой к — x(s) выражается формулой
/dr (?r_ Л\
__ \ds' ds2' ds3j_	/щ\
= \к\, так как v\ =
к2
О Используя формулы C1) и D9), находим
fl = k(s)i/, ^ = k'(s)i/ + Hs)^ = k'(s)i/ - k2(s)r + k(s)x(s)C.
Вычислим смешанное произведение векторов, указанных в форму-
формуле E1), пользуясь тем, что (t,i/,i/) = (t,is,t) = 0 и (т,г/,/3) = 1.
Тогда из равенства
: d2r d3r\ , , , ч 7// ч	l2/ ч	7 /
	 	 1 —— ( ^ 1С \ Q\1J К* I Q \1/ 	 К* I Q \ Т -Л— 1С \ Q
• т с\ *)	о I 	 \ *) \ / *)	\ / ^^	\ /	I	\
5 as2 asd /
следует формула E1). •
Замечание 5. Из формулы E0) следует, что ——
ds
= 1. Повторяя рассуждения, связанные с выяснением физического смысла
кривизны кривой (п. 7), отсюда получим, что
\х\ = lim — ,	E2)
1 ' As^o As	v J
где Aa — угол поворота бинормали к кривой Г при изменении ее параметра
от s до s + As. Выражение в правой части E2), как и в п. 7, назовем скорос-
скоростью вращения вектора бинормали. Эта скорость равна скорости вращения
соприкасающейся плоскости кривой, так как вектор /3 перпендикулярен
этой плоскости.
Таким образом, модуль кручения кривой равен скорости вращения со-
соприкасающейся плоскости.
Пример 5. Вычислим кривизну к и кручение х винтовой линии
(пример 1).
Л В примере 1 получено натуральное уравнение винтовой линии
г = r(s) = (a cos As, a sin As, bXs),

Упражнения к главе IV	219
где
А =
/а2 + Ъ2
Поэтому
dr
т = — = (-aAsinAs, aAcosAs, ЬА),
as
— = (-aA2cosAs, -aA2sinAs, 0),
откуда по формуле C0) находим
dr
= аХ =
а
ds
Используя формулу C1), отсюда получаем
I/ = (- cos As, - sin As, 0).
Для нахождения к воспользуемся формулой E0), а вектор /3 най-
найдем по формуле D7). Имеем
/3 = (frAsinAs, — bXcosXs, aA),
откуда
-t- = FA2cosAs, 6A2sinAs, 0) = — ЬХ2(— cos As, —sin As, 0),
т. e.
отсюда по формуле E0) находим
к = ЪХ2 =
2	Ь
Таким образом, кривизна кривой и кручение для винтовой линии
постоянные. А
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
1-х2
1.	Показать, что функция fix) = arcsin	 недифференцируема в точ-
1 + х2
ке х = 0 и f'(x) = —sign ж	 при х ф 0.
1 + X2
2.	Доказать формулы для производных обратных гиперболических
функций (§ 12, п. 6)
(arch+жУ =	, ж > 1,
2,

220	Гл. IV. Производная и ее приложения
3.	Пусть /(ж) = л/l - л/1 - ж2. Показать, что /|@) = -^, /Ц0) = —^_.
V2	V2
4.	Привести пример функции, непрерывной на отрезке [а, Ь], дифферен-
дифференцируемой на интервале (а, 6) и не имеющей правой производной в точке а.
5.	Доказать, чго если функция /(ж) дифференцируема при ж > а и
lim /'(ж) = 0, то lim ^ =0.
ж—^ + оо	х—^ + оо Ж
6.	Доказать, что если функция /(ж) удовлетворяет условиям теоремы
Ролля на отрезке [а, Ь] и не является постоянной, то на этом отрезке су-
существуют точки ?i и ?2 такие, что /'(?i) > 0, /'(?2) < 0.
7.	Привести пример функции, дифференцируемой на интервале (а, 6),
имеющей локальный экстремум в точке жо Е (а, 6) и такой, что ее произ-
производная в любой окрестности точки жо принимает как положительные, так
и отрицательные значения.
8.	Показать, что для функции /(ж) = ж2 sin - при ж / 0, /@) = 0:
х
а)	точка ж = 0 не является ни точкой экстремума, ни точкой возраста-
возрастания или убывания;
б)	касательная, проведенная к ее графику в точке @,0), имеет бес-
бесконечное множество общих точек с графиком в любой окрестности точ-
точки ж = 0.
9.	Показать, что функция /(ж) = ж2 ( 2 + cos — ) при ж ф 0, /@) = 0 имеет
строгий минимум в точке ж = 0, но не является убывающей в интервале
(—?, 0) и не является возрастающей в интервале @,6) при любом 6 > 0.
10.	Показать, что если функция /(ж) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она
является выпуклой вверх на этом отрезке тогда и только тогда, когда для
любых точек х\ и Ж2 отрезка [а, Ь] и для любых Ai и Х2 таких, что Ai ^ 0,
Аг ^ 0, Ai + А2 = 1, выполняется неравенство f{\\X\ + А2Ж2) ^ \\f{x\) +
+ А2/(ж2).
11.	Пусть функция / дифференцируема в точке жо, имеет вторую про-
производную в проколотой ^-окрестности точки жо, причем /"(ж) меняет знак
с минуса на плюс при переходе через точку хо. Доказать, что на интервалах
(жо — 6, жо) и (жо,жо + ?) график функции у = /(ж) лежит соот-
соответственно ниже и выше касательной, проведенной к этому графику в
точке Мо(жо,/(жо)).
12.	Показать, что если функция дважды дифференцируема, то между
двумя ее точками экстремума лежит хотя бы одна точка перегиба.
13.	Пусть существует номер п > 2 такой, что
Доказать, что если п — нечетное число, то точка жо — точка перегиба
функции /(ж), а если п — четное число, то в окрестности точки жо функ-
функция /(ж) либо выпукла вверх, либо выпукла вниз.
14. Пусть функция /(ж) дифференцируема на отрезке [а, Ь] и
f'+(a)f'_(b) < 0. Доказать, что существует точка жо G (а,Ь) такая, что
15. Пусть функция /(ж) имеет непрерывную вторую производную на R
и существуют конечные пределы lim /(ж) = A, lim /(ж) = В. Доказать,
х—)- + оо	>
что найдется точка жо такая, что /"(жо) = 0.
х—> — оо

Упражнения к главе IV	221
16.	Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [0,1], /@) = 0,
|/'О)| ^ -|/О)| для всех х е [0,1]. Доказать, что /(ж) = 0, х е [0,1].
17.	Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [1,2]. Доказать,
что существует точка ? ? A, 2) такая, что
/B)-/(l) = f/'(€)•
18.	Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируе-
дифференцируема на интервале (а, 6), где а > 0. Доказать, что существует точка ? ? (а, Ь)
такая, что
а/(Ь)-6/(а)=	/Ч
а — 6
19.	Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [0,1], дифференцируема
на интервале @,1) и удовлетворяет условиям /@) = 5, /A) = 3, f'(x) ^ —2
для всех х G @,1). Доказать, что f(x) — линейная на отрезке [0,1] функция.
20.	Пусть функция f(x) удовлетворяет на R условиям f(x) > 0, f(x) >
> 0, f^2\x) > 0, f^\x) > 0. Доказать, что существует число а > 0 такое,
что при любом х > 0 справедливо неравенство f(x) > ах2.
21.	Доказать, что нормаль к эвольвенте в точке Р является касательной
к эволюте в центре кривизны, соответствующем точке Р.
22.	Показать, что если кручение x(s) = 0 во всех точках кривой Г,
то Г — плоская кривая.

ГЛАВА V
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 23. Пространство Rn
1. Метрическое пространство. Будем множество X называть
метрическим пространством, если каждой паре элементов х иу этого
множества поставлено в соответствие неотрицательное число р(х,у),
называемое расстоянием между элементами х и у, такое, что для
любых элементов ж, у, z множества X выполнены следующие условия:
1°) р(х,у) =0^х = у;
2°) р(х,у) =р(у,х)]
3°) р(х,у) ^ p(x,z) + p(z,y) (неравенство треугольника).
Элементы метрического пространства будем называть точками,
функцию р(х,у), определенную на множестве пар точек метрическо-
метрического пространства X, р — метрикой, а условия 1°)-3°) — аксиомами
метрики.
Например, определяя расстояние между вещественными числа-
числами а и C при помощи формулы р(а,C) = \/3 — а\, получаем метри-
метрическое пространство, которое обозначается через R.
Рассмотрим множество пар вещественных чисел х = (жьЖг)- Если
х = 0ьж2), а У = B/ь2/2), то полагая
р(х,у) = (Oi - ухJ + (х2 - Ы2I/2,
получаем метрическое пространство, которое обозначается через R2.
Для проверки аксиом 1°)-3°) воспользуемся тем, что между мно-
множеством точек евклидовой плоскости и множеством пар веществен-
вещественных чисел можно установить такое взаимно однозначное соответ-
соответствие, при котором евклидово расстояние между точками плоскости
совпадает с введенным выше расстоянием между соответствующими
этим точкам парами вещественных чисел (декартовыми координа-
координатами точек). При такой геометрической интерпретации пространст-
пространства R2 доказательство неравенства треугольника следует из того, что
длина любой стороны треугольника не превышает суммы длин двух
других его сторон.
На одном и том же множестве можно различными способами опре-
определять расстояние между элементами и получать тем самым раз-
различные метрические пространства. На множестве пар вещественных
чисел можно расстояние между точками определить также и сле-
следующим образом:
р(х,у) =max(|xi -yi\,\x2 — 2/21)-	A)

'. Пространство Rn	223
Аксиомы метрики 1°) и 2°), очевидно, выполняются. Проверим
неравенство треугольника.
О Из A) следует, что
\х\ — 2/iI ^ Р(х,у), \Х2 — 2/21 ^ р(х,У),
а поэтому
\Xi ~Уг\ ^ \Xi - Zi\ + \Zi ~Уг\ ^ p(x,z) + p(z,y) При i = 1,2.
Следовательно,
р(х,у) =max(|xi -yi\,\x2 — 2/21) ^ p(x,z) +p(z,y). •
Упражнение 1. Показать, что на множестве пар вещественных чисел
можно определить расстояние между точками формулой
р(х,у) = \xi - yi\ + \х2 - У2\.
Если рассмотреть множество всевозможных упорядоченных тро-
троек вещественных чисел х = (жьЖ2,жз) и для х = (Ж15ж2,^з) и
2/ = B/i,2/2?2/з) определить расстояние р(х,у) при помощи формулы
- У2? + (ж3 - 2/зJI/2,
пространства совпадает с расстоянием между соответствующими им
точками пространства R3. Проверка аксиом метрики проводится так
то получим метрическое пространство R3.
Если в евклидовом пространстве выбрать декартову прямоуголь-
прямоугольную систему координат, то между этим пространством и простран-
пространством R3 устанавливается взаимно однозначное соответствие, при
котором расстояние между любыми двумя точками евклидового
пространства со
точками простр
же, как ив/?2.
2. Метрическое пространство Rn. Точками пространства /?п
являются упорядоченные совокупности из п вещественных чисел
х = (жь...,жп), у = (yi,...,yn), z = {zi,...,zn).
Расстояние между точками х и у определяется формулой
B)
= 1
Свойства 1°) и 2°) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее про-
проверить, что справедливо неравенство треугольника.
Докажем сначала неравенство Коши
2	п	п
)
г=1	'	г=1 г=1
справедливое для любых вещественных чисел ai, bi, ..., an, bn.

224	Гл. V. Функции многих переменных
О Рассмотрим квадратный трехчлен
г=1
п
г=1	г=1	г=1
Так как квадратный трехчлен Р(?) принимает только неотрица-
неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно,
В2 — АС ^ 0. Подставляя в неравенство значения коэффициентов А,
В и С, получаем неравенство Коши. •
Докажем неравенство Минковского
l/2	/ п ч1/2	/ п ч1/2
п (Е (Е)
( (
г=1	^	V г=1 ^	V г=1
О Используя неравенство Коши, получаем
г=1	г=1	г=1	г=1
.1/2 , п vl/2
п	, п \ 1/2 / п \ 1/2	п
^Е^+2(Е«П (Е&П +Е&' =
г=1	^ г=1 ^ ^ г=1 ^	г=1
1/2	/ п Ч1/2Ч2
г=1
Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратные корни,
получаем неравенство Минковского D). •
Полагая в неравенстве D) а^ = х\ — Zi, bi = z\ — yi, получаем нера-
неравенство
.1/2	, п	vl/2	, п	vl/2
г=1	^	^ г=1	^	^ г=1
т. е. неравенство треугольника для расстояния р(х,у), определяемого
формулой B).
На множестве всех упорядоченных совокупностей из п веществен-
вещественных чисел расстояние между элементами можно определить и други-
другими способами. Например, можно положить
п
р(х,у) = max \xi - уг\, р(х,у) = V] |ж; ~ Уг\-
Неравенство треугольника в этих случаях проверяется так же,
как в случае п = 2. Расстояние, определяемое формулой B), будем
называть евклидовым.

'. Пространство Rn	225
Упражнение 2. Доказать неравенства
о(х и) ~-	^^	~-
	¦— ^ р(х,у) ^ р(х,у) ^ р(х,у) ^ пр(х,у).	E)
В этой главе, посвященной функциям многих переменных, ис-
используется только метрическое пространство Rn. Но те свойства
пространства /?п, при доказательстве которых существенны лишь
свойства расстояния, будут справедливы и для произвольного мет-
метрического пространства. Поэтому в некоторых случаях доказательст-
доказательства будут проводиться для произвольного метрического пространства.
3. Сходимость последовательности точек в метрическом
пространстве. Пусть {х^} — последовательность точек метричес-
метрического пространства X. Говорят, что последовательность точек {х^}
сходится к точке а (имеет предел а) и пишут lim x^ = а, если
lim р(х^к\а) = 0. Последовательность точек {х^} называется огра-
к^-оо
ничейной, если ЗС е R иЗа е X такие, что для любого к е N выпол-
выполнено неравенство р(х^к\ а) ^ С.
Докажем несколько простых свойств сходящихся последователь-
последовательностей.
Лемма 1. Если последовательность {х^} имеет предел, то она
ограничена.
О Пусть lim x^ = а, тогда lim p{x<yk\ а) = 0. Поэтому числовая
к—>-оо	к—>-оо
последовательность {р(х^к\а)} ограничена, т. е. 3 С G R такое, что
для любого к G А/ выполнено неравенство р(х^к\ а) ^ С. •
Лемма 2. Последовательность {х^} не может сходиться к двум
различным точкам.
О Пусть lim х^ = а и lim х^ = Ь. В силу неравенства треуголь-
к—>-оо	к—>-оо
ника для любого к е N выполнено неравенство
0 ^ р(а, Ь) ^ р(а, ж(/е)) + р(х^к\ Ь).
Так как числовые последовательности р(а,х(к)) и p(x^k\b) беско-
бесконечно малые, то р(а, Ь) = 0. Поэтому а = Ъ. •
Шаром радиуса г с центром в точке a G X будем называть сле-
следующее множество точек метрического пространства X:
Sr(a) = {х: х G X, р(х,а) < г}.
Упражнение 3. Доказать, что для сходимости последовательности
точек метрического пространства к точке а необходимо и достаточно, что-
чтобы любой шар Sr(a) содержал все точки последовательности {ж^}, за
исключением, быть может, конечного числа точек.
Лемма 3. Для того чтобы последовательность точек
метрического пространства /?п, где х^ = (х[ ,...,Жп ), сходилась к

226	Гл. V. Функции многих переменных
пределу а = (а\, ...,an), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
равенства
lim xf' = ^, г = l,n.
fe—>-oo
О Пусть lim ж^ = a. Так как lim p(x^k\a) = 0, то при г = 1,п
/с—>-оо	/с—>-оо
получаем
/ п	\1/2
V
Наоборот, если при любом г = 1,п выполнено условие lim |а^ ^
-ai| = 0, то
1/2
жD а) = ( ^2(х\к) - aiJ ) чО при
Последовательность точек {х^} метрического пространства X
называется фундаментальной, если Vs > 0 3 N G А/ такое, что Ук^ N
и Vm ^ 7V выполнено неравенство р{х^к\х^т^) < е.
Лемма 4. #а/ш последовательность точек {х^} метрического
пространства X сходится, то она фундаментальна.
О Пусть lim х^ = а. Тогда Vs > 0 3 TV G А/ такое, что Vfe ^ N и Vm ^
^ 7V выполнены неравенства р(х^к\ а) < - и р(х^т\ а) < -. Поэтому
\/к ^ 7V и Vm ^ TV в силу неравенства треугольника
p(a;W,a(ro)) ^^(x^U)+^(a,x^) < | Ч- | = ег. •
Обратное утверждение для произвольного метрического прост-
пространства неверно. Фундаментальная последовательность может и не
быть сходящейся.
Метрическое пространство X называется полным, если любая
фундаментальная последовательность его точек сходится.
В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности
пространство R вещественных чисел полное.
Теорема 1. Пространство Rn полное.
О Пусть {х^} — фундаментальная последовательность точек в Rn.
Если
то числовые последовательности {х\ '} фундаментальны при г = 1,п.
В самом деле, \/г > 0 3 N такое, что для любых к, т ^ N выполнено
неравенство р(х^к\х^т")) < г. Но

'. Пространство Rn	227
Числовая последовательность {х\ ^} в силу критерия Коши являет-
является сходящейся при г = 1, п. По лемме 3 сходится и последовательность
точек {ж(*)} в Rn. •
4. Открытые и замкнутые множества в метрическом
пространстве. Шар радиуса г с центром в точке а определяется
как множество Sr(a) = {х: х Е X, р(х,а) < г}.
Шар в R есть интервал (а — г,а + г), шар в /?2 — круг (х\ — а±J +
+ (х2 - а2J < г2, шар в Rn — множество
Sr(a) = lx: x = (xu...,xn) Е /?n, ^](ж; - a;J < r2
^	г=1
Пусть М есть множество точек в метрическом пространстве X.
Точка х° G М называется внутренней точкой множества М, если
3S?(x°) С М, т. е. точка х принадлежит множеству М вместе с не-
некоторым шаром с центром в точке х. Совокупность всех внутренних
точек множества М называется его внутренностью и обозначается
intM. Очевидно, что int М С М. Если int М = М, т. е. все точки
множества М внутренние, то множество М называется открытым
в метрическом пространстве X. Пустое множество считается откры-
открытым по определению.
Пример 1. Шар в метрическом пространстве — открытое мно-
множество.
Л Действительно, пусть
Sc(a) = {х: р(х,а) < С},
и пусть точка ж G Sc(а), р(^с,а) < С. Положим г = С — р(а!,а). Шар
S?(x) С Sc(cl) (рис. 23.1). В самом деле, если
х G 5е(ж), то p(x,W) < г. В силу неравенства тре-
треугольника получаем
р(х, а) ^ р(х, х) + р(х, а) < s + р(х, а) =
= С — р(х, а) + р(х, а) = С.
Следовательно, х G Sc(a). Так как х — про-
произвольная точка шара 5е(ж), то 5е(ж) С Sc (a)-
Итак, любая точка х шара Sc (а) принадлежит
ему вместе с некоторым шаром 5е(ж). Поэтому	Рис- 23-!
(а) есть открытое множество. А
Теорема 2. Открытые множества в метрическом пространст-
пространстве обладают следующими свойствами:
1)	все пространство X и пустое множество 0 — открытые
множества;
2)	объединение любого множества открытых множеств — откры-
открытое множество;
3)	пересечение конечного числа открытых множеств — открытое
множество.

228	Гл. V. Функции многих переменных
О Свойство 1) очевидно. Докажем свойство 2). Пусть G = (J Ga,
где Ga — открытые множества. Пусть точка a Е G. Тогда существует
a Е Л такое, что a Е G^. Но множество G& открытое. Поэтому сущест-
существует шар S?(a) С Ga- Тем более, S?(a) С G. Итак, а — внутренняя
точка множества G. В силу произвольности точки а множество G
открытое.
п
Докажем 3). Пусть G — [\ Gi, где Gi — открытые множества.
г=1
Возьмем любую точку a Е G. Тогда a Е Gi при г = 1,п. Так как
множества Gi открытые, то существуют шары S?.(a) С Gi. Пусть
г = mm_Si. Тогда S?(a) С Gi, г = 1,п. Поэтому
г=1,п	п
5е(а)с П^=С,
г=1
и, следовательно, G есть открытое множество. •
Упражнение 4. Показать, что пересечение бесконечного множества
открытых множеств может не быть открытым множеством.
5. Предельные точки. Замкнутые множества. Пусть X —
метрическое пространство. Окрестностью точки х° G X будем назы-
называть любое множество О(ж°), для которого точка х° является внут-
внутренней. Например, шар S?(x°) является окрестностью (шаровой)
точки х°.
Точка х° называется предельной точкой множества М С X, если
в любой окрестности точки х° есть точки множества М, отличные
от точки х°. Предельная точка множества М может принадлежать
множеству М, а может и не принадлежать. Например, все точки ин-
интервала (а, Ь) будут его предельными точками. Концы интервала а и
Ъ — тоже его предельные точки, но концы не принадлежат интервалу.
Точка множества М, не являющаяся предельной точкой множест-
множества М, называется изолированной точкой множества М. Если х° есть
изолированная точка множества М, то существует такая окрестность
О(ж°), в которой нет точек множества М, отличных от точки х°.
Каждая точка множества М является или предельной точкой мно-
множества М, или изолированной точкой множества М.
Множество М С X называется замкнутым, если оно содержит все
свои предельные точки. Например, отрезок [а, Ь] замкнут в /?, а ин-
интервал (а, Ь) не является замкнутым множеством в R.
Множество, которое получается, если присоединить к множест-
множеству М все_его предельные точки, называется замыканием М и обозна-
обозначается М.
Упражнение 5. Доказать, что М — замкнутое множество.
Упражнение 6. Доказать, что множество в метрическом пространст-
пространстве замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит пределы всех сходя-
сходящихся последовательностей своих точек.

'. Пространство Rn	229
Теорема 3. Для того чтобы множество F в метрическом прост-
пространстве X было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его до-
дополнение X \ F было открытым.
О Необходимость. Пусть множество F С X содержит все свои
предельные точки. Докажем, что его дополнение G = X \F есть от-
открытое множество. Если это не так, то существует точка a Е G, не
являющаяся внутренней точкой множества G. Тогда в любой окрест-
окрестности 0{а) точки а есть точки, не принадлежащие G, т. е. принад-
принадлежащие множеству F. Поэтому а есть предельная точка множест-
множества F. Так как F замкнуто, то a Е F. С другой стороны, a Е G = X \F
и, следовательно, а 0 F. Полученное противоречие доказывает, что
все точки G = X \ F внутренние, т. е. G — открытое множество.
Достаточность. Пусть теперь X \F = G — открытое мно-
множество. Покажем, что F замкнуто. Пусть а — предельная точка F.
Предположим, что а 0 F. Тогда a Е G, а так как G — открытое мно-
множество, то найдется окрестность О(а) С G. Но тогда О(а) f]F = 0,
следовательно, а не может быть предельной точкой множества F.
Поэтому множество F содержит все свои предельные точки, т. е. F
замкнуто. •
Теорема 4. Замкнутые множества обладают следующими
свойствами:
1)	все пространство X и пустое множество 0 замкнуты;
2)	пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто;
3)	объединение конечного числа замкнутых множеств есть замк-
замкнутое множество.
О Свойство 1) очевидно, так как X и 0 являются друг для друга
дополнениями и открыты.
Докажем 2). Пусть F = f] Fa, где Fa — замкнутые множества.
В силу закона двойственности (легко проверяемого)
X\F= \J(X\Fa).
аеА
Однако в силу теоремы 3 множества X \Fa открыты как дополнения
замкнутых множеств. Их объединение X \ F есть открытое множест-
множество. В силу той же теоремы 3 множество F замкнуто. Столь же просто
доказывается и свойство 3). •
6. Компакт в метрическом пространстве. Множество М в
метрическом пространстве X называется компактом в X, если из
любой последовательности точек хп G М можно выделить подпосле-
подпоследовательность, сходящуюся к точке, принадлежащей множеству М.
Например, отрезок [а, Ь] есть компакт в /?, а промежуток [а, Ь) не яв-
является компактом в R.
Упражнение 7. Доказать, что неограниченное множество в метри-
метрическом пространстве не может быть компактом.

230	Гл. V. Функции многих переменных
Упражнение 8. Доказать, что компакт в метрическом пространстве
есть замкнутое множество.
На пространство Rn обобщается теорема Больцано-Вейерштрасса.
Теорема 5. Из любой ограниченной последовательности точек
пространства Rn можно выделить сходящуюся подпоследователь-
подпоследовательность точек.
О Ограничимся случаем пространства R2. В общем случае доказа-
доказательство аналогично. Пусть х^ = (х[ , х2 ) — произвольная огра-
ограниченная последовательность точек пространства R2. Числовая
последовательность {х\ ^} ограничена. В силу теоремы Больцано-
Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследователь-
подпоследовательность {х\ т }. Тогда у последовательности точек ж^™) последова-
последовательность первых координат сходится, а последовательность вторых
координат ограничена. Применим еще раз теорему Больцано-Вейер-
Больцано-Вейерштрасса и выделим из ограниченной числовой последовательности
{х2 } сходящуюся подпоследовательность {х2 }. У последова-
последовательности точек {х^кт^} сходится и последовательность первых ко-
координат, и последовательность вторых координат. В силу леммы 3
подпоследовательность точек {х^кт^} сходится в R2. •
Следствие. Для того чтобы множество М С Rn было компак-
компактом, необходимо и достаточно, чтобы множество М было ограни-
ограниченным и замкнутым.
О Необходимость следует из результатов упр. 7 и 8. Докажем доста-
достаточность. Пусть множество М ограничено и замкнуто в пространст-
пространстве Rn. Возьмем произвольную последовательность точек {х^} Е М.
Так как эта последовательность ограничена, то из нее можно выде-
выделить подпоследовательность {ж^™)}, сходящуюся к точке а. В силу
замкнутости множества М точка a G М (см. упр. 6). •
Справедлива следующая лемма, доказательство которой не приво-
приводится; для случая Rn см., например, [2].
Лемма (Гейне-Бореля). Для того чтобы множество М в мет-
метрическом пространстве X было компактом, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы из любого его открытого покрытия можно было выделить
конечное подпокрытие.
Поясним понятие покрытия, участвующего в формулировке лем-
леммы Гейне-Бореля. Система множеств {Ga, a e А} называется покры-
покрытием множества G, если G С |J Ga. Покрытие называется конеч-
ным, если множество Л конечно, и открытым, если все множества
Ga открыты. Подмножество покрытия называется подпокрытием, ес-
если это подмножество само образует покрытие.
7. Граница множества. Точка а метрического пространства X
называется граничной точкой множества М С X, если в любой

'. Пространство Rn	231
окрестности точки а есть как точки, принадлежащие множеству М,
так и точки, не принадлежащие множеству М.
Граничная точка а множества М может не принадлежать мно-
множеству М.
Совокупность всех граничных точек множества М называется
границей множества М и обозначается дМ. Например,
<9(а, Ь) = {а, Ъ}, д[а, Ь] = {а, Ь}; а, Ъ Е R;
д{х: р(х, а) < г, х е /?п} = {ж: р(х, а) = г, ж G /?п}.
8. Прямые, лучи и отрезки в Rn. До сих пор рассматривались
только такие объекты в /?п, при исследовании которых используются
лишь свойства расстояния. Такая метрическая геометрия не очень
содержательна. В ней есть точки, шары, но нет прямых, векторов,
плоскостей и т. д.
В этой главе ограничимся тем, что введем в Rn такие не связанные
с метрикой объекты, как прямые, лучи и отрезки.
Прямой в /?п, проходящей через точки а = (ai,...,an) и Ъ =
= (bi,...,bn)j будем называть следующее множество точек:
{х: х G /?п, ж* = ^t + ЬгA -t), t е R, г =Т~п}.
Лучом с вершиной в точке а в направлении I = Gi,...,/n), где
^ + ... + /^ = 1, назовем множество
{х: х G /?n, Xf = a^ + tli, 0 ^ ? < +оо, г = 1,п}.
Отрезком, соединяющим точки а и Ь, назовем множество
{х: х е /?п, Xi = a; + ЬгA - *), 0 ^ t ^ 1, г = Т~гг}.
Множество в Rn будем называть выпуклым, если вместе с любы-
любыми двумя своими точками оно содержит отрезок, который эти точки
соединяет.
Упражнение 9. Доказать, что шар в Rn есть выпуклое множество.
Кривая в R3 была определена в § 22. Это определение без сущест-
существенных изменений переносится на Rn. Кривая в Rn задается парамет-
параметрическими уравнениями
Xi = <Pi(t), ol ^ ? ^ /3, г = 1,п,
где (fi(t) — непрерывные функции на отрезке [а,/3].
Множество М С Rn называется связным, если любые две его точ-
точки можно соединить кривой Г, лежащей в множестве М. Открытое
и связное множество в Rn называют областью. Замыкание области
называют замкнутой областью.
Кривая в /?п, являющаяся объединением конечного числа отрез-
отрезков, называется ломаной в Rn.
Упражнение 10. Доказать, что открытое множество G С Rn будет
областью в том и только том случае, когда любые две его точки можно
соединить ломаной L С G.

232	Гл. V. Функции многих переменных
§ 24. Предел функции многих переменных
1. Предел функции в точке. Напомним, что окрестностью
О(х°) точки ж0 в метрическом пространстве X называется любое
множество, для которого точка х° является внутренней. Проколотая
окрестность О(ж°) получается из О(х°) удалением самой точки ж0,
т. е. О(ж°) = О(ж°)\{ж0}.
Будем рассматривать функции /: М —>¦/?, где М есть некоторое
множество, принадлежащее метрическому пространству X. Если X =
= /?п, то функция /: М —> R называется функцией многих переменных
и обозначается обычно следующим образом:
/(ж) = /(жь..,жп), хеМ.
Например, функция л/l — х\ — х\ определена в единичном круге
пространства R2 с центром в точке @,0), а функция \n(xl + х\) опре-
определена в любой проколотой окрестности точки @,0).
Определение 1. Пусть функция /(ж) определена в проколотой
окрестности О(х°) точки х° метрического пространства X. Говорят,
что число А есть предел функции /(ж) при х —> ж0, если \/е > 0 3 6 >
> 0 такое, что для \/х G О(х°), удовлетворяющего условию р(х, х°) < ?,
выполнено неравенство \f(x) — А\ < г.
Определение 2. Говорят, что функция /(ж), определенная в
О (ж0), имеет при ж —У ж0 предел А, если для любой последователь-
последовательности ж^) G О(х°) такой, что lim ж^ = ж0, выполнено равенство
к—>-оо
lim /(ж(/е)) = А.
к^-оо
Эквивалентность двух определений предела доказывается так же,
как и для функций одной переменной (§ 9).
Если число А есть предел функции /(ж) при ж —> ж0, то будем
писать
А= Нт /(ж).
Если функция двух переменных f(x,y) определена в O((a,b)), a
число А есть ее предел при (х,у) ->• (а, Ь), то пишут
А = lim /(ж, у)
х—>а,у—>Ъ
и называют иногда число А двойным пределом.
Аналогично, для функции п переменных наряду с обозначением
А = lim /(ж) будем использовать обозначение
j>	ух®
А=	lim /(жь...,жп).
Лемма 1. Пусть функции /(ж) и (р(х) определены в О(х°) и
|/(ж)| ^ ф(х) в О(х°). Если lim (р(х) = 0, то и lim /(ж) = 0.

§24- Предел функции многих переменных	233
О Так как lim ip(x) = 0, то для любого е > 0 найдется шар S$(х°)
х—>х°
такой, что для всех х Е S$(ж0) выполнено неравенство |<^(ж)| < е.
Тем более для всех х е Ss(x°) выполнено неравенство \f(x)\ < г, т. е.
lim /(ж) = 0. •
Пример 1. Доказать, что lim (ж2 + у2)а = 0, если а > 0.
х>0у^0
Л Возьмем любое г > 0. Положим S = г1^2^. Пусть (х,у) G 5^@,0),
тогда
(х2+у2)а <52а <е,
т. е.
y2)a
lim (x2+y2)a=0. А
0у^0
\х\\у\Р
Пример 2. Показать, что lim ' ' = 0, если а + в —
х^0^0 (х2 +У2Р
- 27 > 0.
Л Так как
то при х2 + у2 > 0 имеем неравенства
В силу примера 1 lim иэ(х,у) = 0, так как а + /3 — 2j > 0.
(ж,з/)-КО,О)
Применяя лемму 1, получаем, что
lim /(ж,2/) = 0. А
(ж,з/)-КО,О)
Пример 3. Функция
не имеет предела при (ж, 2/) ->• @,0).
Л Рассмотрим последовательность точек (хп,уп) = (—, — ). Тогда
\п п/
1(%тУп) = 1 и, следовательно, lim f(xn,yn) = 1. Если же взять по-
п—>-оо
следовательность точек (х'п,у'п) = (—,	), то lim f(x'n,y'n) = —1.
Так как при любом п G А/ точки (хп,уп) и (ж^,^) не совпадают с
точкой @,0), а последовательности точек (хп,уп) и (ж^,^) сходят-
сходятся к точке @,0), то, используя определение 2 предела, получаем, что
функция f(x,y) не имеет предела при (х,у) —У @,0). А

234	Гл. V. Функции многих переменных
Пример 4. Функция
) = ^	B)
не имеет предела при (х,у) ->• @,0).
Л Повторяя рассуждения примера 3, построим две последовательнос-
последовательности точек (хп,уп) = (К^) и (х'тУп) = (^'^)- Так как (хтУп) -+
-> @,0) и «,24)-> @,0), a lim /(жп,?/п)=0и lim /«,^) = 1,то
п—>-оо	п—>-оо
двойной предел функции f(x,y) при (ж, 2/) —>¦ @,0) не существует. А
2. Предел по множеству. Предел lim /(ж) был определен в п. 1
х—>х°
для функции, заданной в О(ж°). Расширим определение предела, вве-
введя понятие предела по множеству.
Определение 3. Пусть М есть подмножество области опреде-
определения функции /(ж), х° — предельная точка множества М. Будем
говорить, что число А есть предел функции /(ж) по множеству М
при х —У ж0, если \/г > 0 3 S > 0 такое, что Уж G Ss(ж0) П М выполнено
неравенство |/(ж)| - А\ < г. В этом случае пишут
А= lim /(ж).
ж—>-ж°, х?М
Пусть функция двух переменных f(x,y) определена в проколотой
окрестности О(жо,2/о)« Пределом функции f(x,y) в точке (жо,2/о) ^
направлению I = (cos a, sin а) будем называть выражение
lim /(жо + tcosa, уо + tsirm) =	lim	f(x,y),
t^+О	()^()
где L есть луч, выходящий из точки (жо,2/о) в направлении Z.
Пример 5. Показать, что предел функции /(ж, 2/) = ——^ в точ-
X ~Г У
ке @,0) по любому направлению I = (cos a, sin а) существует и равен
sin 2a.
Л Так как при t > 0 выполнено равенство
/(? cos a, t sin a) = 2 sin a cos a = sin 2a,
то
lim/(t cos a, ? sin a) = sin 2a. A
Пример 6. Показать, что предел функции /(ж, у) = ——^ в точ-
ке @,0) по любому направлению I = (cos a, sin а) существует и равен
нулю.
Л При t > 0 справедливо равенство
-/,	, . ч	2t cos2 a sin a
/ft cos а, tsmm =	ъ—.
t2 cos4 a + sin2 a

(. Предел функции многих переменных	235
Если sin а = 0, то fit cos a, ts'ma) = 0 и, следовательно,
Если sin а ф О, то
lim fit cos a, ts'ma) =0.
lim /(tcosa, tsina)=0. A
t->+o
Ясно, что из существования lim f(x) следует существова-
ние lim fix) для любого подмножества М' С М, для которо-
х^х°, хем>
го х° есть предельная точка. В частности, из существования двойно-
двойного предела функции fix,у) при (х,у) —У (хо,уо) следует существова-
существование предела функции f(x,y) в точке (хо,уо) по любому направлению
и равенство этих пределов двойному пределу функции f(x,y) при
(ж,у) -> (хо,уо).
Из результатов примеров 4 и б следует, что из существования и
равенства пределов по любому направлению в точке (жо,2/о) не выте"
кает существование в этой точке предела функции.
Предел функции f(x) в точке ж0 G Rn по направлению 1 = GЬ ...,/п),
где ^ + ... + 12п = 1, определяется по аналогии со случаем функции
двух переменных.
Упражнение 1. Пусть выполнены следующие условия:
а)	множества Mi С /?п, г = 1, ЛГ;
б)	ж0 есть предельная точка каждого из множеств Mi, г = 1,7V;
N
в)	функция /(ж) определена на множестве М = (J Mj.
г=1
Доказать, что А = lim f(x) в том и только том случае, когда А =
ж—^ж°, жЕМ
= lim f(x),i = TJf.
х—>х®, хЕМ^
Упражнение 2. Показать, что результат упр. 1 не допускает обоб-
обобщения на тот случай, когда множество М есть объединение бесконечного
множества множеств Ма.
Указание. Проанализируйте еще раз результат примеров 4 и 6.
3. Повторные пределы. Бесконечные пределы. Пусть функ-
функция двух переменных fix,у) определена на множестве
U = {(x,y): 0< \х-хо\ <а, 0< \у - уо\ < Ъ}.
Пусть \/х G (хо — а, хо + а), х ф хо, существует lim /(ж, у) = д(х),
У^Уо
а функция д(х) определена в проколотой окрестности точки xq. Ес-
Если существует lim д{х) = lim lim fix,у), то этот предел называ-
х^хо	х^хо у^уо
ется повторным. Аналогично определяется другой повторный предел
lim lim f(x,y).
у^у х^х

236	Гл. V. Функции многих переменных
Как показывают простые примеры, из существования двойного
предела не следует существование повторных пределов, а из сущест-
существования и равенства повторных пределов не следует существование
двойного предела.
Так, для функции ——^ примера 3 двойной предел при (х,у) —У
х -\- у
—у @, 0) не существует, но оба повторных предела равны нулю, так как
lim /(ж, у) = lim f(x,y) = 0.
Для функции
( 4
I 0,	у = 0,
справедливо неравенство \f(x,y)\ ^ |ж|. В силу леммы 1 двойной пре-
предел этой функции при (ж, у) —у @,0) равен нулю. Но при ж ф 0 не
существует
lim х sin -,
^О	у
а поэтому не существует и соответствующий повторный предел.
Упражнение 3. Пусть функция /(ж, г/) определена в проколотой
окрестности точки (жо,г/о) и существует двойной предел функции /(ж, г/)
при (ж, |/) —>- (жо, г/о)- Доказать, что в том случае, когда в проколотой окрест-
окрестности точки уо определена функция lim /(ж, г/), будет существовать и
х—Ухо
повторный предел lim lim /(ж, г/), причем он равен двойному пределу.
у^УО х^х0
Бесконечные пределы для функций многих переменных определя-
определяются по той же схеме, что и для функций одной переменной. Напри-
Например, lim f(x) = +оо, если для любого числа С > 0 найдется такое
°
число S > 0, что для всех ж из проколотой окрестности 0$(ж0) точ-
точки ж0 выполнено неравенство /(ж) > С.
Упражнение 4. Придать смысл следующим символам:
lim f(x) = — оо,	lim /(ж, г/) = А.
ж—^ж°, х?М	х—^ + оо, у—^ + оо
Пример 7. Показать, что
lim	it* -I- о/ )р~\х1У; — П
11111	\*L> \^ у I С-		 U.
ж—>-+оо, у—>-+оо
Л Так как при ж > 0, 2/ > 0 справедливо неравенство
<^ ydj п^ у ус	^ ^х п^ уj о
и lim t2e-t = 0, то Vs > 0 3 S > 0 такое, что Ш > S выполнено нера-
t—t+oo
венство t2e~f < г. Но тогда Уж > - и \/у > - справедливо неравенство
П < (г2 A- ii2)f

§25. Непрерывность функции многих переменных	237
§ 25. Непрерывность функции многих переменных
1. Непрерывность функции в точке.
Определение 1. Говорят, что функция /(ж), определенная в
окрестности О(х°) точки ж0 метрического пространства, непрерыв-
непрерывна в точке ж0, если lim /(ж) = /(ж0).
х—ух°
Определение 2. Говорят, что функция /(ж), определенная в
окрестности О(ж°), непрерывна в точке ж0, если для любого г > 0 су-
существует такая окрестность Ss(ж0), что для любого ж G Ss(ж0)
выполняется неравенство |/(ж) — /(ж°)| < г.
Эквивалентность двух определений следует из определения пре-
предела на языке окрестностей.
Пользуясь определением предела по множеству, можно дать со-
соответствующее определение непрерывности функции в точке по
множеству.
Определение 3. Пусть функция /(ж) определена на множест-
множестве М С /?п, точка ж0 Е М, причем ж0 — предельная точка мно-
множества М. Говорят, что функция /(ж) непрерывна в точке ж0 по
множеству М, если
lim	°
Если ж0 есть изолированная точка множества М, то функция /(ж)
считается непрерывной в точке ж0 по множеству М.
Пример 1. Функция
{ 0,	ж = 2/ = О,
непрерывна в точке @, 0) по любому лучу, но не является непрерыв-
непрерывной в точке @,0).
Л Из результата примера 4 из § 24 следует, что функция f(x,y) не
имеет предела при (х,у) —У @,0) и, следовательно, не является не-
непрерывной в точке @,0). Из результата примера б из § 24 следует,
что в точке @,0) предел функции f(x,y) по любому направлению су-
существует и равен нулю. Следовательно, функция f(x,y) непрерывна
в точке @, 0) по любому направлению. А
Основные теоремы о свойствах непрерывных в некоторой точке
функций (например, теорема о непрерывности суммы непрерывных
функций) доказываются для функций многих переменных так же,
как и для функции одной переменной. Ниже будет доказано, что су-
суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.
2. Непрерывность сложной функции.
Теорема 1. Пусть функции (р1(х), ...,(рп(х) определены в некото-
некоторой окрестности точки х° G Rm и непрерывны в точке ж0, а функция
f{y) = /B/1, ...,уп) определена в окрестности точки у0 = ((/^(ж0),...

238	Гл. V. Функции многих переменных
...,(^п(жо)) и непрерывна в точке у0. Тогда в некоторой окрестности
точки ж0 определена сложная функция
Ф(ж) =
причем функция Ф(ж) непрерывна в точке ж0.
О Так как функция f(y) = f(yi,...,yn) непрерывна в точке у0, то
для любого г > 0 найдется шар Sa(y°) такой, что для всех у Е Sa(y°)
выполнено неравенство
1/B/) - f(y°)\ = \f(Vi,...,Vn) - f(y°i, -,У°п)\ < ?¦	A)
Так как при любом г Е {1, ...,п} функция cpi(x) непрерывна в точ-
точке ж0, то для числа а найдется шар 5E. (ж0) такой, что для всех ж G
Е 5E.(ж0) выполнено неравенство
|^(ж)-^(о;о)|<4=-	B)
Пусть 5 есть наименьшее из чисел ?ь ...,Sn. Тогда для любого ж Е
Е Ss(x°) и для любого i Е {1, ...,п} выполнено неравенство B). Следо-
Следовательно, для любого ж Е 5E(ж0) выполняется неравенство
1/2
< <т,	C)
г=1
которое означает, что точка (cpi(x), ...,cpn(x)) лежит в шаре Sa(y°). Но
для любого у е Sa(y°) определено значение функции f(yi, ...,2/n)- Зна-
Значит, в Ss(x°) определена сложная функция Ф(ж) = f((pi(x),...,(pn(x)).
Покажем, что эта сложная функция непрерывна в точке (ж0). При
любом ж G 5E(ж0) подставим в неравенство A) вместо у G Sa(y°) точку
(cpi(x), ...,cpn(x)). Получаем, что для любого ж G Ss(ж0) выполнено не-
неравенство |Ф(ж) - Ф(ж°)| < г, которое означает, что сложная функция
Ф(ж) непрерывна в точке ж0. •
Упражнение 1. Пусть функции ipi (х) при г = 1, п непрерывны по мно-
множеству М С /?т в точке ж0, функция /(г/i, ...,2/п) определена на множестве
<р(М) = {(г/i, ...,2/п): г/i = ^i(^M ---j^n = <^гг(ж),ж G М} и непрерывна в точке
Показать, что сложная функция f((pi(x),...,(pn(x)) непрерывна в точ-
точке х° по множеству М.
Указание. Доказательство практически не отличается от доказа-
доказательства теоремы 1.
Упражнение 2. Пусть:
а)	множества Mi С Rn при г = 1, ЛГ;
б)	точка х° G М{ при г = 1, ЛГ;	дт
в)	функция f(x) определена на множестве М = (J Mj.

§25. Непрерывность функции многих переменных	239
Доказать, что функция /(ж) непрерывна в точке х° по множеству М в
том и только том случае, когда она непрерывна в точке х° по каждому из
множеств Mi при г = 1, N.
Указание. См. упр. 1 из § 24.
Упражнение 3. Показать, что результат упр. 2 не обобщается на
тот случай, когда множество М есть объединение бесконечного множества
множеств Ма.
Указание. См. упр. 2 из § 24.
3.	Свойства функций, непрерывных на компакте. Функ-
Функция /(ж) называется непрерывной на множестве М, если она непре-
непрерывна в каждой точке множества М по этому множеству, т. е. если
в каждой предельной точке множества ж0 выполнено условие
lim f{x) = f{x°).	D)
х—>х°, хЕМ
Доказательства следующих двух теорем о свойствах функций, не-
непрерывных на компакте в метрическом пространстве, практически
не отличаются от соответствующих доказательств для функций од-
одной переменной, непрерывных на отрезке.
Теорема 2 (Вейерштрасса). Функция /(ж), непрерывная на ком-
компакте метрического пространства, ограничена на этом компакте.
Теорема 3 (Вейерштрасса). Функция /(ж), непрерывная на ком-
компакте метрического пространства, принимает на этом компакте
свои наибольшее и наименьшее значения.
4.	Равномерная непрерывность. Введем фундаментальное по-
понятие равномерной непрерывности функции на множестве.
Определение. Говорят, что функция /(ж) равномерно непрерыв-
непрерывна на множестве G метрического пространства X, если Vs > 0 3 8 > О
такое, что для Уж, x'gG таких, что р(х,х') < S, выполнено неравен-
неравенство
\fix)-fix')\<e.
Функция, непрерывная на множестве, не обязательно будет равно-
равномерно непрерывной на этом множестве. Прежде чем приводить при-
примеры, построим отрицание: функция /(ж) не будет равномерно непре-
непрерывной на множестве G, если Зг0 > 0 такое, что для любого S > О
существуют элементы ж,ж; G G такие, что р(х,х') < S, но
Пример 2. Покажем, что функция /(ж) = ж2 не является равно-
равномерно непрерывной на интервале @,+оо).
Л Пусть го = 1- Для любого S > 0 возьмем х$ = 1/S, х'д = 1/8 + 8/2.
Тогда p(x'6,xs) = \х'8 -х6\ = 8/2 < 8, но
\f(x'6)-f(x6)\ =
= (ж^J - ж2 = (x's-x6)(x's+x6) = IQ + \ + ?) ? 1. А

240	Гл. V. Функции многих переменных
Упражнение 4. Привести пример функции, непрерывной и ограни-
ограниченной на @,1), но не являющейся равномерно непрерывной на этом ин-
интервале.
Теорема 4 (Кантора). Функция /(ж), непрерывная на компакте
метрического пространства, равномерно непрерывна на этом ком-
компакте.
О Пусть функция f(x) непрерывна на компакте М, но не равномерно
непрерывна на этом компакте. Тогда Зго > 0 такое, что Vn найдутся
точки хп, х'п е М такие, что
р(хп,х'п)<-, но \f(x'n)- f(xn)\^e0.	E)
Tl
Так как М — компакт, то из последовательности {хп} можно вы-
выделить подпоследовательность {хПк}, сходящуюся к некоторой точке
х° G М.
Используя неравенство треугольника, получаем
0 ^ р(х'Пк, х°) ^ р(х'Пк, хпJ + р(хПк, х°) <
<	Ь р(хПи ,ж°) —> 0 при к —> оо,
следовательно,
lim x' = х°.
Но функция f(x) непрерывна в точке х°. Поэтому
lim f(xnj= lim f(x'nh) = f(x°).
Полагая теперь в E) n = n/., получаем
\f(x'nk)-f(xnk)\>e0.	F)
Переходя в неравенстве F) к пределу, получаем
O=\f(x°)-f(x°)\^eo>0.
Полученное противоречие доказывает, что функция f(x) должна
быть равномерно непрерывной на множестве М. •
Пусть функция f(x) ограничена на множестве Е. Выражение
ufF,E)=	sup	\f(x)-f(x')\	G)
х,х' ?Е;р(х,х')<е
называют модулем непрерывности функции f(x) на множестве Е.
Очевидно, что модуль непрерывности возрастает при увеличении 8.
Теорема 5. Функция f(x) равномерно непрерывна на множест-
множестве Е в том и только том случае, когда
\unocof(S,E) = 0.	(8)

§25. Непрерывность функции многих переменных	241
О Если функция /(ж) равномерно непрерывна на множестве Е, то
Ve > 0 36? > 0: Vx,x' е Е: р(х,х') < 8е -> \f(x) - f(x')\ < |. (9)
Из G) и (9) следует, что
E)^<e.
Поскольку модуль непрерывности — возрастающая функция S, то
при 0 < S < S? выполняется неравенство
Uf(S,E) <г
и, следовательно, справедливо равенство (8).
Покажем, что из равенства (8) следует равномерная непрерыв-
непрерывность функции /(ж) на множестве Е. Из (8) следует, что
Vs>0 35?>0: \/5<5? -+ufF,E) < |.	A0)
Из A0) и G) следует, что выполнено условие равномерной непре-
непрерывности (9). •
5. Промежуточные значения непрерывной функции.
Теорема 6. Пусть функция f(x) непрерывна в области G G Rn
и принимает в этой области значения А и В. Тогда функция f(x)
принимает в области G все значения, заключенные между А и В.
О По условию G — область, т. е. открытое и связное множество.
Пусть функция f(x) непрерывна в G и /(а) = A, f(b) — В, а, Ъ е G.
Соединим а и Ъ непрерывной кривой х = ж(?), а ^ t ^ /3, х(а) = а,
х(/3) = Ъ. Сложная функция f[x(t)] = ip(t) непрерывна на отрезке [а,/3]
и принимает на концах этого отрезка значения А и В. Так как ip(t)
есть непрерывная функция одной переменной, то в силу теоремы о
промежуточных значениях для функции одной переменной она при-
принимает на отрезке [а,/3] все значения, заключенные между А и В. Но
множество значений функции ip(t) = f[x(t)] содержится в множестве
значений функции f(x). Поэтому функция /(ж) принимает все значе-
значения, заключенные между значениями А и В. •
§ 26. Дифференцируемость функции многих переменных
1. Частные производные. Пусть функция
f(x) =
определена в окрестности точки х° = (ж?,...,ж^). Рассмотрим функ-
функцию одной переменной

242	Гл. V. Функции многих переменных
Функция ip(xi) может иметь производную в точке х\. По опреде-
определению такая производная называется частной производной —^-(х°).
Таким образом,
где Axi — х\ — х\.
Аналогично определяются частные производные (первого по-
порядка)
qx_ \хп '"•>хп)-> ^ — z,n.
Употребляются и другие обозначения для частных производных
первого порядка:
§(x) = /„(*) = A/0r) = fLt(x) = /^) =	.
Функция двух переменных может иметь в точке (х°,у°) две част-
частные производные первого порядка
дх[ >У h ду[ >У }'
Для функции трех переменных — три частные производные пер-
первого порядка
дх[ >У ' h ду[ 'У ' h dz[ >У ' }'
Поскольку при вычислении частных производных все перемен-
переменные, кроме одной, фиксируются, то техника вычисления частных про-
производных такая же, как техника вычисления производных функции
одной переменной.
Например,
2. Дифференцируемость функции многих переменных в
точке. Дадим определение дифференцируемости функции в точке.
Определение. Функция /(ж) = f(xi,...,xn) называется диффе-
дифференцируемой в точке х° = (ж^,...,ж^), если она определена в некото-
некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа Ai,..., Ап, что
Mxi-x(l)+o{p{x,x0)) при х^х°. A)
г=1

'. Дифференцируемостъ функции многих переменных
243
Теорема 1. Функция f(x) дифференцируема в точке х° в том и
только том случае, когда в некоторой окрестности точки х° функ-
функция f(x) может быть представлена в следующем виде:
B)
г=1
где функции fi(x) непрерывны в точке х°.
О Пусть функция /(ж) дифференцируема в точке х°. Тогда выполне-
выполнено условие A). Заметим, что равенство ф(х) = о(р(х,х0)) при х ->• х°
означает, что ф(х) = е(х)р(х,х°), где lim e(x) = 0.
Тогда
^ ' ' г=1	г=1
^е е<(х) = е{х)^Ау Дт et(x) = 0, так как 0 < ^ < 1.
1=1
1=1
Доопределим функции Siix) в точке х° по непрерывности, полагая
lim 6i(x) =6i(x°) = 0.
х^х°
Тогда из A) и C) получаем
= fix0)
Так как функции Si(x) непрерывны в точке ж0, то и функции fi(x)
непрерывны в точке х° и fi(x°) = А{, г = 1,п.
Пусть выполнено B). Тогда, воспользовавшись непрерывностью
функции fi(x) в точке ж0, положим
М = fi(x°), fi(x) = Ai+ei(x), lim ?i(x) = 0.
Получаем
f{x)-
так как
0 при

244
Гл. V. Функции многих переменных
Упражнение 1. Пусть функции /(ж) и (р(х) определены в окрестнос-
окрестности точки ж0 G Rn, функция /(ж) дифференцируема в точке х° и /(ж0) = О,
а функция <^(ж) непрерывна в точке ж0. Доказать, что функция f(x)cp(x)
дифференцируема в точке ж0.
Упражнение 2. Доказать, что функция
(ж + 2/)(ж3 + ?/3I/3
дифференцируема в точке @,0).
Указание. Воспользоваться результатом упр. 1.
Пример 1. Показать, что функция
f(x,y)= Ух*+у±
дифференцируема в точке @,0).
Л Покажем, что существует число С > 0 такое, что для любых х Е R
и у е R справедливо неравенство
|^х3+2/4-х| ^С|г/|4/3.	D)
Если у = 0, то неравенство D) справедливо при любом С. Пусть
у ф 0. Положим t = xy~4/3. Тогда неравенство D) эквивалентно нера-
неравенству \i/>(i)\ < С, где ф(г) = ^1 +13 - t.
Так как функция ф(?) непрерывна на R и ф(?) —У 0 при t —у оо, то
ф{Ь) есть ограниченная функция на R (см. упр. 4 к гл. III).
Итак, неравенство D) установлено. Так как
У2) ПРИ (я,2/)-> @,0),
т. е. функция f(x,y) дифференцируема в точке @,0). А
Пример 2. Показать, что функция
/(ж, у) = \/ж3 + 2/3
недифференцируема в точке @,0).
Л Первый способ. Пусть функция дифференцируема в точке @,0),
тогда, согласно определению, существуют числа А и В такие, что
f(x,y) - /@,0) =Ах + Ву + о(р), р =
Поэтому

'. Дифференцируемостъ функции многих переменных	245
Пусть х = у > О, тогда
л/2х = 2х + о(х)
или (\/2 — 2)х = о(х) при х —> О, что противоречит определению сим-
символа о(х). Следовательно, функция ^/х3 + у3 недифференцируема в
точке @, 0).
Второй способ. Если функция f(x,y) дифференцируема в точ-
точке @,0), то ее можно в некоторой окрестности этой точки, соглас-
согласно теореме 1, представить в следующем виде:
\А3 + у3 = xip(x, у) + уф(х, у),	E)
где функции (р(х,у) и ф(х,у) непрерывны в точке @,0).
Пусть к — произвольное число. Положим в E) у = кх. Тогда
у 1 + к3 = (р(х, кх) + kip(x, кх).
Переходя к пределу при х —У 0 и пользуясь непрерывностью функций
(р(х, у) и ф(х, у) в точке @, 0), получаем, что при любом к выполняется
равенство
Vl + k3 = <р@,0) + к<ф@,0) = а + fcb.
Это неверно, так как функция \/1 + к3 не есть линейная функция
(ее вторая производная по к не обращается тождественно в нуль). А
Из теоремы 1 следует, что функция /(ж), дифференцируемая в
точке ж0, непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно:
функция примера 2 непрерывна, но недифференцируема в точке @, 0).
3. Необходимое условие дифференцируемости функции в
точке.
Теорема 2. Если функция f(x) дифференцируема в точке х° G
G /?п, то она имеет в точке х° все частные производные -^-(х°),
-z		uXi
г = 1,п, и	п
^(x°)(xi-x0i) + o(p(x,x0)) при х^х°. F)
О Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х°. Тогда найдутся
такие числа Ai,..., Ап, что при х —> х° будет выполнено равенство A).
Пусть в этом равенстве х\ ф х\, а х2 = х\, ..., хп = ж°. Тогда ра-
равенство A) принимает следующий вид:
f(x1,x02,...,x°n)-f(x01,...,x0n) = A1(x1-x01)+o(\Ax1\)
при х\ — х\ = Axi —> 0.
Следовательно, существует предел:
А = Ит f(xi,xl-,xn)-f(x°u...,xon) _ df , 0)
1 ДЖ>0	Ax	dx ''

246	Гл. V. Функции многих переменных
Аналогично доказывается, что у функции /(ж) в точке ж0 сущест-
существуют и остальные частные производные и что
Л ¦ — д/ / 0\ • _ о~~г
~~ ~дх~
Подставляя эти выражения в равенство A), получаем F). •
Функция примера 2 имеет в точке @, 0) обе частные производные
первого порядка:
х
Так как функция f(x,y) = ^/ж3 + у3 примера 2 недифференциру-
ема в точке @,0), то этот пример показывает, что из существования
частных производных в точке не следует дифференцируемость функ-
функции в этой точке. Существование частных производных функции в
точке не гарантирует даже непрерывности функции в этой точке.
Так, функция
*( \ ) ?ХУ ? ПРИ х2-\-у2>0,
f(x,y) = < х2 + у2
{ 0	при х = у = 0
не имеет предела при (х,у) —У @,0), а поэтому и не является непре-
непрерывной в точке @,0). Тем не менее у этой функции в точке @,0)
существуют обе частные производные:
1^	^^ЪЛМ)	|/@,0) = 0.
д
1@,0) =Нт	|
дх	х^о	х	ду
4. Достаточные условия дифференцируемости функции в
точке.
Теорема 3. Если все частные производные ——(ж), г = 1,п, опре-
OXi
делены в окрестности точки х° G Rn и непрерывны в точке ж0, то
функция f(x) дифференцируема в точке х°.
О Рассмотрим случай функции трех переменных. Общий случай
рассматривается аналогично. Пусть функции -^-(x,y,z), -^-(x,y,z).
Ox Oy
-^-(x,y,z) определены в некотором шаре S?(x°,y°,z°) и непрерывны
в центре шара (х°,у°^°).
Запишем приращение функции в следующем виде:
/(ж, у, z) - /(ж0, у0, z°) = /(ж, у, z) - /(ж0, у, z) +
+ /(ж0, у, z) - /(ж0, у0, z) + /(ж0, у0, z) - /(ж0, у0, z°).
Пусть ж0 < ж. Рассмотрим функцию одной переменной ф{Ь) =
= f(t,y,z) при t G [ж0,ж]. На этом отрезке функция ip(t) имеет произ-
производную	я

'. Дифференцируемостъ функции многих переменных	247
Применяя формулу конечных приращений Лагранжа для функ-
функции ф{Ь) на отрезке [ж0,ж], получаем
ф(х) - ф(х°) = ф'(х° + в(х - х°))(х - ж0), 0 < в < 1.
Если подставить в эту формулу выражение для ф(?), то
f(x,y,z) -f(x°,y,z) = f1(x,y,z)(x-x°),
Л(ж,^) = |^(жо+#(ж-ж0), у, z).	G)
Так как частная производная -^-(x,y,z) непрерывна в точке
(x°,y°,z°), то существует
lim	h(x,y,z) = ??(xo,yo,z0).
(x,y,z)->(x°, у0, z°)	OX
Аналогично,
f(x°,y,z) - f(x°,y°,z) = f2(x,y,z)(y - у0),
(о)
где функции /2(ж, ?/, г) и fs(x,y,z) имеют конечные пределы при
(ж, ^/, г) ->• (ж0,2/°, z0). Доопределяя эти функции в точке (ж0, у0, z°) пре-
предельными значениями, получим, что функции fi(x,y,z), г = 1,3,
непрерывны в точке (ж0, у0, z°). Таким образом,
= (х -xo)f1(x,y,z) + (у -yo)f2(x,y,z) + (z-zo)f3(x,y,z).
Из непрерывности функций Д (ж, 2/, z), /2 (ж, у, z) и /з (ж, у, z) в точ-
точке (ж0,2/°, z0) и теоремы 1 следует дифференцируемость функции
f{x,y,z) в точке (x°,y°,z°). •
Непрерывность частных производных в точке не является необ-
необходимым условием дифференцируемости функции в этой точке.
Функция
ж = 2/ = О,
дифференцируема в точке @,0), так как
/(ж, 2/) = О-ж + О-2/ + о(д/ж2+2/2) при (ж, 2/) -)> @, 0).
Но при ж2 + у2 > 0 частная производная
^(Ж,?/) = 2Ж81П -^=== - ^^^ COS ¦

248	Гл. V. Функции многих переменных
не имеет предела при (х,у) —у @,0) и, следовательно, не является
непрерывной функцией в точке @,0). Чтобы в этом убедиться, дос-
таточно показать, что \ не имеет предела при х —> 0.
дх
5. Дифференцируемость сложной функции.
Теорема 4. Пусть функции ^i(x),..., ipm(x) дифференцируемы в
точке жо = (ж?,...,4)е/?п, ^° = (<^(x°),..., <pm(x0)) G/?m и функция
f(y) = 1(Уи-,Ут) дифференцируема в точке у0.
Тогда сложная функция
Ф(х) =f{4>i{x),...,ipm(x))
дифференцируема в точке ж0, причем при х —> х°
п
Ф(х) - Ф(х°) = J2 Mxi ~ хЬ + о(р(х, х0)),
т1	(9)
Лг ~ dxi(x ' ~ 2^ dVj (y ' dxi[x h г~ l'n-
О Так как функция f(y) дифференцируема в точке у0, то в силу
теоремы 1 найдутся функции fj(y), j = 1,ш, непрерывные в точке
у0 = (уь—>Ут) и такие, что
°) = Е Ш(У1 ~ V) Ыу°) = §t
f(y) - f(y°) = ^ fi(v)(vj - у% Л(Г) = щЬГ)- (io)
Воспользовавшись тем, что дифференцируемая в точке функция
непрерывна в этой точке, а также теоремой о непрерывности сложной
функции, получаем, что функции
непрерывны в точке ж0, причем
Подставив в A0) у\ = ifi(x), ..., ут = ^рш{х) и воспользовавшись
обозначениями A1), получаем
т
Но функции (fj(x), j = 1,га, дифференцируемы в точке ж0, поэтому
найдутся такие непрерывные в точке х° функции (fij(x), что
^(ж),
1	°^xi	I14)
i = l5n; j = 1,?тг.

'. Дифференцируемостъ функции многих переменных	249
Подставляя выражения A4) в A3), получаем
п	т
Ф(Х) - Ф(Х°) =
г=1	3=1
Так как функции ^jj(x) и y>ij(x) непрерывны в точке ж0, то и
функции Ф{(х) непрерывны в точке ж0. А это означает, что сложная
функция Ф(х) дифференцируема в точке х° (теорема 1).
Дифференцируемая функция Ф(ж) может быть записана в виде (9)
с коэффициентами А^ равными, в силу A2) и A4),
fy(*°№(*°) = Е ?B/0)!?(ж0) = f^0)- •
j=i	j=i J	l	l
Замечание. Вторая из формул (9) дает правило нахождения частных
производных сложной функции, аналогичное соответствующему правилу
для функций одной переменной.
Пример 3. Пусть функция /(ж, у) дифференцируема во всех точ-
точках пространства R2. Перейти к полярным координатам и найти вы-
df df
ражения для -^ и -^-.
or dip
Л Пусть F(r,ip) = f (r cos if, r sin if), x = rcos(p, у = rsincp. Тогда,
пользуясь правилом (9), получаем
dF
c/r
dF
6. Дифференциал. Инвариантность формы первого диф-
дифференциала. Правила дифференцирования. Пусть функция /(ж)
дифференцируема в точке х°. Тогда при х —> х° ее можно записать в
виде E):
fix) = fix0)-
df
dx
dj_
dx
dr
dx
df
ду
dy
dy
dr
'.<hL = -r
dip
* dx
simp
1 ^1 T\
dx
r dy
¦ r cos
^TTy
1 (x
df
= -yTx
df
dx
+ x
У
dy
of\
dy)
. A
Положим по определению
(JLJUj/ 	 '	T 	 dj 2	dj A •
Если функция fix) дифференцируема в точке ж0, то линейную фор-
форму относительно приращений независимых переменных
A6)

250	Гл. V. Функции многих переменных
назовем дифференциалом функции f(x) в точке х°. Тогда
/(ж) = f(x°) + d f(x°) + о(р(х,х0)) при х^х°.
Иногда выражение A6) называют первым дифференциалом функ-
функции /(ж) в точке х°.
Найдем теперь дифференциал сложной функции. Пусть функции
ipi(x), ...,(рш{х) дифференцируемы в точке ж0, а функция f(y1, ...,уш)
дифференцируема в точке у0 = (cpi(x°),..., (рт(х0)). Тогда в силу тео-
теоремы 3 сложная функция Ф(х) = /((р1(ж), ...,(рт(х)) дифференцируема
в точке х°. Используя формулы (9), получаем
d4>(X°) = d	f^
п т
r-^ r-J #2/j ^v
m
V^ ^/ / 0\
— / — (V )
^-^ ^2/7
i=l
m
X% ~ ~[ дУз
dv^%
n ^
n
i=l
°) dXi =
Итак,
Если бы 2/i,...,2/m были независимыми переменными, то df(y°)
отличался бы от дифференциала сложной функции A7) только тем,
что в выражении A7) dyj(x°) — дифференциалы функций ipj, а в
dyj — дифференциалы независимых переменных. Формальная запись
дифференциала в обоих случаях одинакова. Говорят, что форма пер-
первого дифференциала инвариантна относительно замены переменных.
Инвариантность формы первого дифференциала является весьма
удобным его свойством. При записи df(y°) в виде A7) мы можем
не задумываться о том, являются ли переменные yi,...,ym незави-
независимыми. Заметим, что во многих прикладных задачах часто бывает
затруднительно выяснить вопрос о независимости переменных.
Пусть функция f(x) дифференцируема во всех точках некоторого
открытого множества G С Rn. Тогда в каждой точке х G G можно
вычислить дифференциал
1=1

'. Дифференцируемостъ функции многих переменных	251
Он будет функцией 2п переменных Ж1,...,жп, dxi, ...,dxn, причем
при фиксированных Ж1,...,жп дифференциал есть линейная функция
dxi,...,dxn. Правила дифференцирования такие же, как и для функ-
функций одной переменной:
а)	d(u + v) = du + dv;
б)	d(uv) = udv + vdu;
ч ,(u\ v du — udv /r.
в d(-) = 	2	, v^O.
\V /	V2
Докажем, например, б).
О Прежде всего заметим, что из теоремы о дифференцируемости
сложной функции следует, что функция u(x)v(x) дифференцируема,
если дифференцируемы функции и{х) и v{x). Далее, имеем
п о/ \	п , о	о
,/ ч \~^ oyuv) 7 \~^ / Ov	ои
d[uv) — 2_^ -^— dxi = 2_^ [и ~к	Ь v ——
V^ dV 7	,	V^ Ой j	7,7
= и > тг— аж^ + г; > —— dxi = udv -\-vаи.
Пример 4. Найти дифференциал функции arctg-.
х
Л Пусть и = -, тогда
ж
ч _ du _ d(y/x) _
_ х2 xdy — ydx _ xdy — ydx
x2 + y2	x2	x2 + y2
A
7. Формула конечных приращений Лагранжа. Пусть функ-
функция /(ж) дифференцируема в выпуклой области G С Rn. Напомним,
что выпуклая область есть открытое множество, любые две точки
которого можно соединить отрезком, лежащим в области. Тогда для
любых двух точек ж = (ж1,...,жп) G G, у = (yi,...,yn) G G найдется
число О G @,1) такое, что
Формула A8) называется формулой конечных приращений Лагран-
Лагранжа. Докажем ее.
О Пусть точки ж, у G G. Так как область G выпукла, то отрезок,
соединяющий точки ж и у, лежит в области G. Поэтому определена
функция одной переменной
= /(ж! + t(Vl - Ж1), .., хп + t(yn - жп)), 0 ^ t <: 1. A9)

252	Гл. V. Функции многих переменных
Очевидно, что <р@) = /(ж), ip(l) = f(y) и что функция ip(t) диф-
дифференцируема на отрезке [0,1]. По правилу нахождения производной
сложной функции имеем
^2 fa\	~ xi). B0)
г=1
Применим к функции ip(t) формулу конечных приращений Лаг-
ранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число
в Е @,1) такое, что ip(l) — ip@) = ip'F). Используя формулы A9) и
B0), теперь легко получаем формулу A8). •
8. Касательная плоскость к графику функции двух пере-
переменных. Геометрический смысл дифференциала. Пусть функ-
функция f(x,y) дифференцируема на открытом множестве G С R2. Рас-
Рассмотрим ее график
Gif = {(x,y,z): z = f(x,y), (x,y)eG}.
Пусть точка Р(жо,^/о,^о) лежит на Gr/, т. е. z0 = /(жо,2/о), и пусть
гладкая кривая
Г = {х = x(t), у = y(t), z = z(t), a^t^/3}
лежит на графике и проходит через точку (xo,yo,zo). Это означает,
что
z(t) = f(x(t), y(t))- (x(t0), 2/(*o), z(t0)) = (xo,yo,zo), t0 e (a,/3).
B1)
Дифференцируя тождество B1) в точке to и пользуясь инвариант-
инвариантностью формы первого дифференциала, получаем
dz= Ц>о,2/о) dx + §?(so,2/o) dj/.	B2)
Вектор dr = (dx,dy,dz) есть касательный вектор к кривой Г в
точке (xo,yo,zo). Введем вектор
f(a;o'yo)'-f(a;o'yo)'1)-	B3)
Условие B2) означает, что вектор N ортогонален к касательной к
кривой Г в точке (жо,2/о5 ^о)- Говорят, что вектор N ортогонален к
кривой Г в точке Р. Но Г — любая гладкая кривая, лежащая на Gr/
и проходящая через точку Р. Поэтому вектор N ортогонален к любой
кривой, лежащей на Gr/ и проходящей через точку Р. Он называется
вектором нормали к Gr / в точке Р.
Плоскость, проходящая через точку Р и ортогональная вектору
нормали N, называется касательной плоскостью к Gr/ в точке Р.
Ее уравнение есть
Z - f(xo,yo) = ^(хо,уо)(Х - х0) + ^(xo,yo)(Y - j/0). B4)

'. Дифференцируемостъ функции многих переменных
253
Прямая, проходящая через точку Р и параллельная вектору N,
называется нормалью к Gr / в точке Р. Ее уравнение —
Z	)
Найдем значение аппликаты касательной плоскости, построенной
в точке P(xo,yo,zo) G Gr/.
Из B4) получаем
-Уо) = df(xo,yo).
Z - zo = —(
-х0) + — (
N
Таким образом, df(xo,yo) есть приращение аппликаты касатель-
касательной плоскости (рис. 26.1).
9. Производная по нап-
направлению. Градиент. Пусть
функция f(x,y,z) определена в
области G С /?3, и пусть точ-
точка P(xo,yo,zo) G G. Рассмотрим
луч, проходящий через точку и
параллельный направлению
1= (cosa, cos/3, cos7),
где
cos2 a + cos2 C + cos2 7 = 1.
Так как Р — внутренняя
точка G, то найдется число to
такое, что отрезок
х = хо + t cos а, у = уо + t cos /3,
2 = 2:0 + tcos7, —?0 ^t^toj
Рис. 26.1
лежит в области G. Производ-
Производной функции f(x,y,z) в точке (жо,2/си ^о) в направлении 1 назовем
df ( \ v /(жо + tcosa, yo + tcosf3, zq + tcos7) — f(xo,yo, zo)
— (xo,yo,zo)=hmo	.
Теорема 5. Если функция f(x,y,z) дифференцируема в точке
P(xo,yo,zo), то производную по направлению 1 в этой точке можно
вычислить при помощи следующей формулы:
dt
cos/
Zo + t COS 7)
¦^-(^0,2/0,2(
t=0
)cos7. B5)

254	Гл. V. Функции многих переменных
О Формула B5) есть простое следствие правила нахождения произ-
производной сложной функции. •
Обозначим через grad/(xo,2/o, zo) вектор
f,~ „. ^ V, лш , df, лш „
Тогда равенство B5) можно записать в следующем виде:
-—(xOjyo,zo) = (l,grad/(xo,2/o,^o)).
Если ввести символический вектор (оператор Гамильтона)
V = i7r+J7r+k7T	B6)
дх ду dz
и договориться, что векторы, стоящие слева от V, перемножаются
с V по правилам векторной алгебры, а на величины, стоящие справа,
V действует как дифференциальный оператор, то
A, V) = cos а — + cos E — + cos 7 тг- •
дх	ду	dz
Тогда формулу B5) можно записать через оператор Гамильтона
-^¦(xo,yo,zo) = (l,V)f(xo,yo,zo).
Упражнение 3. Пусть функция f(x,y,z) дифференцируема во всем
пространстве R . Множество точек f(x,y,z) = Со, Со G /?, будем называть
поверхностью уровня функции /(ж, у, z). Показать, что вектор grad /(ж, у, z)
ортогонален к любой гладкой кривой Г, лежащей на поверхности уровня и
проходящей через точку P(x,y,z).
Указание. Обобщить рассуждения п. 8.
§ 27. Частные производные и дифференциалы
высших порядков
1. Частные производные высших порядков. Пусть во всех
точках открытого множества G С R3 существует частная производ-
производная df(x)/dxi. Эта производная как функция х может иметь в неко-
некоторой точке х° производную
dxj \dxiJх=х0'
которая называется частной производной второго порядка и обозна-
обозначается одним из символов
дхдх

§27. Частные производные и дифференциалы высших порядков 255
Если г = j, то для частной производной применяется обозначение
дх2
Для функции двух переменных можно записать четыре производ-
производные второго порядка в точке (х,у):
d2f(x,y) O2f(x,y) d2f(x,y) O2f(x,y)_
дх2 ' дх ду ' ду дх '	ду2
Производные fxy(x,y) и fyx(x,y) называют смешанными. Вообще
говоря, они могут быть неравны.
Пример 1. Рассмотрим функцию
О,	х = у = 0.
Покажем, что /жу@,0) ф fyx@,0).
А Так как
df( }_ у*2-У2 | 4жУ при 3,2
дх[Х'У)~У x* + yi + {х"- + ^ ПРИ х
тр (ж, у) — х ——^ - —-—^-^ при
то
/,у@,0)=-ш/*@'у)-/*@'0)=-1.
Таким образом, /жз/@,0) ^ /у_с@,0). А
2. Теорема о смешанных производных.
Теорема 1. Если обе смешанные производные fXy(x,y) u fyx(x,y)
определены в некоторой окрестности точки (жо,2/о) и непРеРывны в
этой точке, то fXy(x0,y0) = fyx(xo,yo).
О Пусть смешанные производные определены в прямоугольнике П =
= {(ж,у): \х — xq\ < ?, \у — 2/о| < ^} и непрерывны в точке (жо,_/о)«
Рассмотрим в прямоугольнике П функцию
гу(ж, ?/) = /(ж, 2/) - f(xo,y) - /(ж, 2/о) + /Оо, Уо)-
При фиксированном у ? (уо ~ f), Уо + ^) рассмотрим на интервале
(хо — г, жо + г) функцию

256	Гл. V. Функции многих переменных
Она дифференцируема на (жо — ?, хо + е) и
<p'(t)=fx(t,y)-fx(t,y0).
Функцию w(x,y) можно записать в виде
w(x,y) = (р(х) -<р(х0).
Применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получаем
w(x,y) = ф'(х0 +l9i(x-xo))(x -хо) =
= Ax[fx(xo+e1Ax,y)-fx(xo+e1Ax,yo)], Дж = ж-ж0, 0 < 6>i < 1.
Применяя еще раз формулу конечных приращений Лагранжа, но
уже по переменной у, получаем
Цж, у) = Ах Ay fxy(x0 + 6>i Ах, уо + в2 Ау), Ау = у-у0, 0 < в2 < 1.
A)
Положим теперь
ф(т) = /(ж, г) - /(ж0, г), г е (уо- г], Уо + г])-
Тогда
= AxAyfyx(x0+04Ax, уо+в3Ау), 0<в3, вА<1. B)
Из A) и B) следует, что
fxy(xo + 6>1Аж, 2/о + О2Ау) = /уж(ж0 + 6>4Дж, у0 + 6>зД2/).
Переходя к пределу при (Дж, Ау) —> @,0) и пользуясь непрерыв-
непрерывностью смешанных производных в точке (жо,2/о)? П0ЛУчаем равенство
Замечание. Поскольку для функции п переменных f(xi,...,xn) при
вычислении смешанных производных д2 f jdxi dxj и д2 f /dxj дх{ все пе-
переменные, кроме Xi и xj, фиксируются, то фактически рассматривается
функция только двух переменных и обе смешанные производные в точ-
точке х° равны, если они в этой точке непрерывны.
Производные порядка выше первого определяются по индукции.
Например, если f(x,y,z) — функция трех переменных, то
д
	 и I и j уЛ) t/, z) \
дх\ dydz )'
ду dz дх дх V ду dz
Если /(ж) — функция п переменных, то
dmf = _д_ / dm~lf \	,3)
По индукции легко доказать, что если производная C) и все про
изводные порядка т, которые получаются при помощи всевозмож-

§27. Частные производные и дифференциалы высших порядков 257
ных перестановок индексов н,г2, ...,гш, определены в окрестности
точки х° и непрерывны в точке ж0, то все эти производные равны в
точке х°. Если вспомнить, что транспозицией называется такая пере-
перестановка, которая переставляет два соседних элемента, а все осталь-
остальные оставляет на своих местах, то легко понять, что две производные
ттг-го порядка, полученные при помощи транспозиции индексов, будут
равны по теореме 1 о смешанной производной. В курсе алгебры дока-
доказывается, что все перестановки можно упорядочить таким образом,
что каждая последующая перестановка получается из предыдущей
при помощи транспозиции. Упорядочивая таким же образом и все
производные ттг-го порядка, получающиеся перестановкой индексов,
заключаем, что все они равны.
3. Дифференциалы высших порядков. Пусть функция и(х)
имеет в области G С Rn непрерывные частные производные первого
и второго порядков. Тогда дифференциал
п
du(x) = 2~^ ^—(х) dxi, х Е G,
есть функция 2п переменных, а именно xi,...,xn и dxi,..., dxn.
Если фиксировать переменные dx\, ...,dxn, то дифференциал du(x)
будет функцией ж, имеющей в области G непрерывные частные про-
производные. В силу теоремы 3 из § 26 du{x) как функция х имеет в
каждой точке х е G дифференциал d(du). Если приращения незави-
независимых переменных обозначить через 5х\,..., Sxn, то
d(du(x)) = J2 ?-(М
к=1	к=1 г—1
Выражение d(du(x)) есть билинейная форма относительно прира-
приращений dxi, Sxi,..., dxnj Sxn. Полагая в этой билинейной форме dx\ =
= Sxi, ..., dxn = Sxn, получаем квадратичную форму, которая назы-
называется вторым дифференциалом функции и(х) в точке х и обознача-
обозначается через d2u{x). Таким образом,
k=l i=l
Аналогично, предполагая, что все частные производные третье-
третьего порядка непрерывны, можно вычислить первый дифференциал от
d2u(x), после чего положить Sxi = dx{ и полученную однородную фор-
форму третьего порядка назвать третьим дифференциалом функции и(х).
Третий дифференциал обозначается через d3u(x). Таким образом,
п п п	з / ч
(л (Jj\Juj — 7 7 7 ^\ r\ r\ UjJui UjJu n ubJufe.
k=l i=l j=l 3

258	Гл. V. Функции многих переменных
По индукции определяется дифференциал т-го порядка в предполо-
предположении, что все частные производные m-го порядка непрерывны в точ-
точке х. Если дифференциал drn~1u(x) вычислен как однородная форма
порядка m — 1 относительно dxi,..., dxn с коэффициентами, являющи-
являющимися функциями ж, то, вычисляя первый дифференциал от dm~1u{x)
и полагая затем Sxi = dx{ при i = l,n, получим, что dmu(x) есть од-
однородная форма порядка т, т. е.
Покажем, что дифференциал второго порядка уже не обладает
свойством инвариантности относительно замены переменных. Пусть
/О) = /0ь...,жп), Xi = ipi(u), и е /?m, функции f(x) и ifi(u) имеют
все непрерывные частные производные до второго порядка включи-
включительно и сложная функция f(ipi(u), ...,срп(и)) определена в некоторой
окрестности точки и. Тогда в силу инвариантности формы первого
дифференциала получаем равенство
п
a j(x\u)) = у ——[х) аХг(и).
г=1 Х%
Пользуясь правилом нахождения дифференциала произведения и
суммы, получаем
ft Т I Т* I 11 1 1 ^^ > ft I	lrf*l1l\\flrf*-('
Формула F) отличается от формулы E) наличием суммы
df(x)
i=i dxi
которая обращается в нуль, если xi,...,xn — независимые перемен-
переменные.
Замечание. Если замена переменных линейная, то d2Xi = 0, г = 1,п.
Таким образом, второй дифференциал d2f(x) инвариантен относительно
линейной замены переменных. То же самое справедливо и для дифферен-
дифференциалов всех порядков.
Если функция и(х,у) имеет непрерывные частные производные
до второго порядка включительно, то, воспользовавшись теоремой о
равенстве смешанных производных, получаем
d2u(x,у) = v Iy) dx2 + К'У) dxdy + яу dydx +
дх2	дхду	дудх
+ ^Х;У) dy2=uxx dx2 + 2uxy dx dy + uvv dy2. G)

'. Неявные функции	259
Замечание. Если ввести формально дифференциальный оператор
?
г=1
то выражения для дифференциалов можно записать в удобной символичес-
символической форме:
d2u(x) = (d2)u(x) = ( У^ dxi -— ) и(х),
( П	д \т
dmu(x) = (dm)u(x) = I у dxj —— 1 и(х).
Под произведением дифференциальных операторов понимается их по-
последовательное применение. Например, если Di = д/дх{, то
{DtD3)u = Dt(DjU) = А (р-) = ^-, DiDj = ^-- (9)
dxi\dxjj dxjdxi	dxjdxi
При перемножении дифференциальных операторов вида (8) нужно пользо-
пользоваться правилом (9). При этом дифференциалы независимых переменных
dx\, ...,dxn перемножаются как вещественные числа.
§ 28. Неявные функции
1. Неявные функции, определяемые одним уравнением.
Пусть функция F(x,y) определена в R2. Рассмотрим уравнение
F(x,y) = 0.	A)
Множество Gf точек плоскости, координаты которых удовлетво-
удовлетворяют уравнению A), было в § 9 названо графиком уравнения. Через
Ар будем обозначать проекцию графика Gf на ось х. Будем рассмат-
рассматривать такие уравнения A), графики кото-
которых не есть пустые множества.
Так, график уравнения х2 + у2 — 1 = О
есть окружность (рис. 9.12), график уравне-
уравнения (х — 1) (х + у — 1) = 0 есть пара прямых
х = 1 и х + у -1 = 0 (рис. 28.1).
Если график Gf уравнения A) взаимно
однозначно проектируется на Ар, то сущест-
существует единственная функция /: Ар —У /?, гра-
график которой совпадает с графиком уравне-
уравнения. Эта функция каждому х Е Ар ставит в	Рис 28 1
соответствие тот единственный у, для кото-
которого F(x,y) = 0. Говорят, что уравнение A) определяет у как неяв-
неявную функцию х.
Но, как правило, график уравнения A) не проектируется взаимно
однозначно на Ар. Тогда на Ар в общем случае определено бесконеч-
бесконечное множество функций, графики которых совпадают с некоторым
\
О
\
1
х = 1
К*

260
Гл. V. Функции многих переменных
подмножеством графика Gf уравнения A). Так, разбивая отрезок
[—1,1] точками хо = — 1 < xi < ... < жп = 1 и полагая на каждом из
отрезков [xi-\,Xi] функцию f(x) равной л/1 — х2 или — л/1 — ж2, полу-
получим, что график / есть некоторое подмножество графика уравнения
х2 + у2 - 1 = 0, так что х2 + (/(ж)J -1 = 0.
Пусть график уравнения Gf не проектируется взаимно однознач-
однозначно на Ар, но существует такой прямоугольник
К = {(ж, у): а^х ^ b, c^y ^ d},
что та часть графика Gf, которая лежит внутри К, взаимно одно-
однозначно проектируется на отрезок [а, Ь]. Тогда определена функция
/: [а, Ь] —У /?, которая каждому х Е [а, Ь] ставит в соответствие единст-
единственный у е [с, d] такой, что (х,у) G Gf- Очевидно, что F(x,f(x)) = 0.
Говорят, что функция /(ж) неявно определяется уравнением A) в пря-
прямоугольнике К или что уравнение A) определяет в прямоугольни-
прямоугольнике К переменную у как неявную функцию переменной х.
Например, уравнение х2 + у2 — 1 = 0 неявно определяет функцию
в прямоугольнике
ж^1, 0^у^1и функцию
у = —л/1 — х2 в прямоугольнике — 1 ^ х ^ 1, — 1 ^ у ^ 0.
Меняя местами переменные х иу, можно говорить о том, что урав-
уравнение A) определяет в некотором прямоугольнике переменную х как
неявную функцию переменной у.
Упражнение 1. Показать, что ни в од-
одном прямоугольнике с центром и точке A,0)
уравнение х2 + у2 — 1 = 0 не определяет у как
неявную функцию х. Найти прямоугольник с
центром в точке A,0), в котором уравнение
х2 + у2 — 1 = 0 определяет х как неявную функ-
функцию у.
Упражнение 2. Показать, что не сущест-
существует прямоугольника с центром в точке A, 0), в
котором уравнение (х — 1)(х + у — 1) = 0 опре-
определяет у как неявную функцию х или х как
неявную функцию у (рис. 28.2).
О
х + у-1=0
Рис. 28.2
Докажем теорему, дающую достаточные условия существования,
непрерывности и дифференцируемости неявной функции, определяе-
определяемой уравнением A) в некотором прямоугольнике.
Теорема 1. Пусть:
а)	функция F(x,y) имеет в окрестности точки (жо,2/о) непрерыв-
непрерывные частные производные Fx(x,y) и Fy(x,y);
б)	F(xo,2/o)=0;
в)	Fy(xo,yo) Ф 0.
Тогда существует прямоугольник
К = {(ж, у): х0 - а
х0 + а, у0 - Ъ ^ у ^ у0 +

'. Неявные функции
261
в котором уравнение F(x,y) = 0 определяет у как неявную функ-
функцию х. Функция у = f(x) непрерывно дифференцируема на интервале
(х0 - а, х0 + а) и
ПХ)~ Fy{x,f{x)Y	B)
О Разобьем доказательство на два пункта.
1) Доказательство существования неявной функции. Из условия в)
следует, что либо Fy(xo,yo) > О, либо Fy(xo,yo) < 0. Без ограничения
общности можно считать, что
Fy(xo,yo)>0.	C)
Если Fy(xo,yo) < 0, то вместо уравнения F(x,y) = 0 можно было бы
рассмотреть эквивалентное уравнение F(x,y) = —F(x,y) = 0. Тогда
Fy(x0,y0) = -Fy(x0,y0) > 0.
Так как функция Fy(x,y) в точке (жо,2/о) непРеРывна и в силу
У1
Уо+Ь
О
|_	„	L	А	J
Xq—cl	Xq
Рис. 28.3
XQ-\-a
условия (З) принимает в этой точке положительное значение, то най-
найдется такой прямоугольник (рис. 28.3)
в котором функция Fy(x,y) > 0.
Рассмотрим функцию одной переменной
ф(у) = F(xo,y), уо-b^y ^уо + Ь.
Функция ф(у) строго возрастает на отрезке [уо — b,yo + b], так как
i/>'(y)=Fy(xo,y)>0.
Кроме того, в силу условия б)

262	Гл. V. Функции многих переменных
Поэтому
ф(у0 -Ъ)= F(x0, Уо~Ь)< О, ф(у0 + Ь) = F(x0, Уо + Ь) > 0. D)
Неравенства D) в силу непрерывности функции F(x,y) долж-
должны сохраняться в некоторых окрестностях точек (жо, Уо — Ь) и
(жо, уо + Ь). Поэтому существует такое a Е @,ai), что для всех ж Е
е [хо - а, ж0 + а] выполнены неравенства
F(x, уо-Ь)< 0, F(rr, уо + Ь) > 0.	E)
Покажем, что в прямоугольнике
К = {(х,у): |ж-жо|^а, \у - Уо\ ^ Ь}
уравнение F(x,y) = 0 определяет у как неявную функцию ж.
Возьмем любую точку ж* G [жо — а, жо + а] и рассмотрим непре-
непрерывную на отрезке [уо — Ь, уо + Ь] функцию одной переменной ip(y) =
= F(x*,y). В силу условия E) эта функция принимает на концах от-
отрезка значения разных знаков:
ip(y0 -Ъ)= F(x*, уо-Ъ)< 0, <р(у0 + Ъ) = F(x*, yo + b)> 0.
По теореме Коши о промежуточных значениях найдется такая точка
у* е [уо — Ь, 2/о + 4, что
Так как ср'(у) = Fy(x*,y) > 0, то функция (^(^/) строго возрастает
на отрезке [уо — b,yo + b] и не может обратиться на этом отрезке в
нуль более одного раза.
Таким образом, для любого ж G [жо — а, жо + а] найдется единст-
единственный у G [уо — Ь, уо + Ь] такой, что F(x,y) = 0. Это означает, что в
прямоугольнике К уравнение F(x,y) = 0 определяет у как неявную
функцию ж.
2) Доказательство непрерывной дифференцируемости неявной
функции. Непрерывная на замкнутом прямоугольнике К функция
Fy(x,y) по теореме Вейерштрасса принимает на этом прямоугольнике
свое наименьшее значение а. Так как Fy(x,y) > 0 на К, то
Fy(x,y)^a>0, {x,y)eK.	F)
Непрерывная на К функция Fx(x,y) ограничена на К. Поэтому
\Fx(x,y)\ < 0, (х,у)еК.	G)
Пусть у = /(ж) есть неявная функция, определяемая в прямо-
прямоугольнике К уравнением F(x,y) = 0. Возьмем две точки (х,у) и
(ж + Ах,у + Ау), лежащие на графике функции /(ж). Тогда
F(x, у) = 0, F{x + Аж, у + Ау) = 0.

'. Неявные функции	263
Применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получаем
Fx(x + ОАх, у + 0Ау)Ах + Fy(x + в Ах, у + 0Ау)Ау = О,
о <«< i. (8)
ОАу)
Если воспользоваться неравенствами F) и G), то из (8) получаем
^	(9)
Следовательно, Ау —у 0 при Дж —у 0 и неявная функция /(ж) не-
непрерывна в любой точке х е [хо - а, ж0 + а].
Если теперь воспользоваться непрерывностью частных производ-
производных, то, деля второе из равенств (8) на Ах и переходя к пределу
при Ах -у 0, получаем, что существует предел отношения Ау/Ах
при Ах —у 0 и f'(x) вычисляется при помощи формулы B). Из этой
формулы следует, что f'(x) будет непрерывной функцией на отрезке
[хо - а,ж0 + а] как суперпозиция непрерывных функций. •
Замечание. Если известно, чго уравнение F(x,y) = 0 определяет в
прямоугольнике a^x^b, c^y^d переменную у как неявную функ-
функцию ж, то связь между dy и dx можно установить, формально дифференци-
дифференцируя тождество F(x,y(x)) = 0. Воспользовавшись инвариантностью формы
дифференциала, получаем
Fx(x,y)dx + Fy(x,y)dy = 0.
Дифференцируя последнее тождество еще раз, можем найти второй диффе-
дифференциал d2y:
Fxx dx2 + 2Fxy dx dy + Fyy dy2 + Fy d2y = 0.
Упражнение З. Построить прямоугольную окрестность точки A,1),
в которой уравнение х4 + ху + у3 — 3 = 0 определяет у как неявную функ-
функцию х. Найти dy и d2y в точке х = 1.
2. Неявные функции, определяемые системой уравнений.
Рассмотрим систему т уравнений с п + т неизвестными
Fi(xb...,xn,xn+i,...,xn+m) = 0,
		(Ю)
При формулировке общей теоремы о неявных функциях удобно
пользоваться понятием декартова произведения множеств. Если А и
В — произвольные множества, то их декартово произведение Ах В
есть множество пар (х,у), где х е А, у е В. Так, декартово произ-
произведение [а, Ь] х [c,d\ есть множество пар вещественных чисел таких,
что a^x^bnc^y^d, т. е. прямоугольник в R2.
Клеточной окрестностью точки х° = (ж?, ...,ж^) будем называть
следующее множество:
К(х°) = {х: х е /?n, -Si ^ Xi - х® ^ Si, i= T~n},

264	Гл. V. Функции многих переменных
где Si, г = 1,п, — положительные числа, х = (xi,...,xn).
Легко видеть, что в том случае, когда Ki(x°) С Rn и К2(у°) С
С /?т — клеточные окрестности, их декартово произведение Ki(x°) x
х К2(у°) есть клеточная окрестность точки (х°,у°) = (ж?, ...,ж°, у®,...
...,2/^J в пространстве Rn+m.
Для дальнейшего удобно преобразовать переменные, полагая х =
= (жь...,жп), 2/ = (?/i,...,?/m), где 2/i =жп+ь •••> 2/m = #n+m.
Тогда систему уравнений A0) можно записать в более кратком
виде:
Fi(x,y)=0, i=T~^.	A1)
Функции Fi(x,y) = 0 будем считать определенными в некоторой
клеточной окрестности точки (ж0,у0).
Определение. Пусть К(х°) С Rn и Q(?/o) С Rm есть клеточные
окрестности. Будем говорить, что система уравнений Fi(x,y) = 0,
г = 1,т, определяет в К(х°) х Q(y°) переменные yi,...,ym как неяв-
неявные функции переменных жь...,жп, если для любого ж G if (ж0) най-
найдется единственный 2/ G Q(y°) такой, что Fi(x,y) = 0, i = l,m.
Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:
а) функции Fi(x,y) = 0; г = 1,т; непрерывно дифференцируемы в
то	°°
б)
клеточной окрестности точки (х°,у°
дут
дух '" дут
Ф 0.	A2)
Тогда найдутся клеточные окрестности К(х°) С Rn и Q(y°) С
Rm такие, что в К(х°) х Q(y°) система уравнений A1) определя-
определяет переменные yi,...,ym как неявные функции переменных xi,...,xn.
Неявные функции yj = ipj(x) непрерывно дифференцируемы в К(х°)
и у] = (pj(x°), j =T~m.
О Воспользуемся методом индукции по числу уравнений т. При
т = 1 доказательство теоремы 2 не отличается от доказательства
теоремы 1 (в дальнейшем будем ссылаться на этот частный случай
теоремы 2 как на теорему 1).
Предположим, что утверждение теоремы верно в том случае, ког-
когда система A1) содержит т — 1 уравнение. Докажем, что тогда тео-
теорема верна и для системы A1) из т уравнений.
Так как определитель A2) отличен от нуля, то, раскладывая его
по элементам последней строки, получаем, что хотя бы один из со-
соответствующих миноров т — 1-го порядка отличен от нуля. Пусть,

'. Неявные функции
265
например,
dFm-i
dFi
дут-1
dFm-i
dyi '" дут-i
(Здесь и в дальнейшем символ 0 означает, что значение соответст-
соответствующей функции берется для аргументов с верхним индексом 0.)
Тогда в силу предположения индукции найдутся такие клеточные
окрестности
К1 = {(х,ут): 1^-^К^, г = М, \ут-у°т\<5'т},
		( А. О )
Q1 = {(уи ...,2/m-i): \Vj ~ 2$| ^ S'p j = l,m- 1},
в которых система первых т - 1 уравнений A1) определяет 2/ъ ...
...,2/m_i как неявные функции переменных х\, ...,хп,ут, т. е.
A4)
=ф]{х,ут), j =
- 1.
Функции ipj(x,ym) непрерывно дифференцируемы и
(ж0,2/
Fj(x,
(ж, уш) еК
), Угп) = 0.
A5)
A6)
Если
г =
Q2 = {B/b...,2/m): |% -2/^| <^-, г = Т^},
то при ж G X2, У € Q2 система уравнений A1) эквивалентна следую-
следующей системе:
2/1 -i/>i(x,ym) = 0, ..., 2/m_i -il>m-l(x,ym) = 0,
Fm(x,ym) =Fm(x, i/>i(x,ym), ..., i/>m-l(x,ym), Ут)=0.
Покажем, что последнее уравнение системы A7) Fm(x,ym) = 0
может быть разрешено относительно ут. Для него выполнены все
условия теоремы 1. Из формулы A7) следует, что Fm(x,ym) непре-
непрерывно дифференцируема как суперпозиция непрерывно дифференци-
дифференцируемых функций. Вследствие равенств A5) получаем, что
Fm(x0,y°J =
= Fm(x°, Ых0^), ..., iP^dAy'L), yom)=Fm(xo,yob...,yom)=0.
Осталось проверить условие
Если оно не выполнено, то
dFm _ ST^ ®Fm
дут о ^-f дур
dFm
О дут
дуп
= 0.
A8)

266	Гл. V. Функции многих переменных
С другой стороны, дифференцируя по уш тождества A6) в точке
(ж0,2/°), получаем
га —1 _ ,
= 0, j = l,m-l.	A9)
UUrt О U Urn О	U Urn О
Р=1
Из A8) и A9) следует, что последний столбец определителя A2)
есть линейная комбинация остальных его столбцов, поэтому опреде-
определитель A2) равен нулю, что противоречит условию теоремы. Так как
выполнены все условия теоремы 1, то найдется окрестность
j\ — \{x, ym). \хг xi i <. ?г <^ ?i, г — i, n, \ym ym\ <^ om <^ om|,
в которой уравнение Fm(x,ym) = 0 определяет уш как неявную не-
непрерывно дифференцируемую функцию уш = (рт(х), причем у^ =
В окрестности К система уравнений A7) эквивалентна и систе-
системе A1), и системе
Угп-1	т-1Х,Ут - ,	B())
Ут ~ Рт{Х) = 0.
В свою очередь система B0) эквивалентна следующей системе:
где y>i(x) = фг(х, срт(х)), ..., ipm-i(x) — Фт-\{х, ^ш(^)), причем
/ 0\ 	 0	/ 0\ 	 О	(ООЛ
Система функций ipi(x),..., ipm(x) неявно определяется уравне-
уравнениями A1) в окрестности К х Q точки (ж0,у0), где
Q = {у: \yj - y°j\ < 5j, j = T~ra}, Sj = Sj при j = l,m- 1.	•
Замечание. Существует несколько способов доказательства теоремы
о неявных функциях. Предложенный способ является, по-видимому, наибо-
наиболее простым, но обладает двумя недостатками: не дает алгоритма для вы-
вычисления неявной функции и не обобщается на бесконечномерный случай.
3. Локальная обратимость регулярного отображения.
Пусть на множестве Е С Rn заданы п функций
f, (г}	i (т\
]1\х)-> •••? Jn\X).
Они задают отображение /: Е —» /?п, которое каждой точке х G Е
ставит в соответствие точку у = /(ж), где
i/1 — «/1\*^/5 ••••! Уп — Jп\*ь)•

'. Неявные функции	267
Точка у = /(ж) называется образом точки ж при отображении /.
Точка ж называется прообразом точки у.
Если П С Е, то множество
№) = {у: y = f(x), х?п}
называется образом множества П при отображении /. Если ио С f(E),
то множество
Г1(и) = {х: f(x)eto}
называется прообразом множества ио.
Пусть G С Rn есть открытое множество. Отображение /: G —> Rn
называется непрерывным в точке ж0, если \/е > 0 3 6 > 0 такое, что
\/х таких, что р(х,х°) < 6, выполнено неравенство p(f(x),f(x0)) < г.
На языке окрестностей непрерывность отображения в точке х°
означает, что для любой шаровой окрестности 5е(^/0), у0 = /(ж0), най-
найдется такая шаровая окрестность Ss(x°), что
f(Ss(x°))cS?(y°).	B4)
Упражнение 4. Показать, что отображение /: G —> Rn непрерывно в
точке х° в том и только том случае, когда непрерывны в точке х функции
/i(x),..., /п(ж), задающие отображение.
Указание. Воспользоваться соотношениями
п
P2(f(x),f(x0)) = ^(Ш ~ fdAf 2 \fi(x) - fi(x°)\2, i = M-
г=1
Отображение /: G —У Rn называется непрерывным, если оно не-
непрерывно в каждой точке множества G.
Лемма 1. Если G есть открытое множество, а /: G —> Rn —
непрерывное отображение, то прообраз каждого открытого множес-
множества ио G f(G) есть открытое множество.
О Пусть П = f~1{uj). Возьмем любую точку х° G П. Тогда /(ж0) =
= у0 е ио. Так как множество ио открыто, то найдется окрестность
S?(y°) G ио. В силу непрерывности отображения / в точке х° найдет-
найдется шаровая окрестность Ss(x°), для которой выполнено условие B4).
Следовательно,
и п — открытое множество. •
Как обычно, под окрестностью А(х°) точки х° будем понимать
любое множество А, для которого точка х° внутренняя.
Пусть G С Rn — открытое множество. Отображение /: G —> Rn бу-
будем называть непрерывно дифференцируемым, если функции f\(x),...
...,fn(x), задающие это отображение, непрерывно дифференцируемы
в G. Непрерывно дифференцируемое отображение / : G —» Rn бу-
будем называть регулярным, если в области G якобиан отображения

268
Гл. V. Функции многих переменных
jf(x) ф 0. Якобианом отображения jf(x) называется следующий функ-
функциональный определитель:
dfijx) _
jf(x) =
дхп
dfn(x)	dfn(x)
дх\ '" дхп
Теорема 3. Пусть G — открытое множество в /?п, а отобра-
отображение /: G —У Rn регулярно. Тогда в каждой точке ж0 Е G оно ло-
локально регулярно обратимо, т. е. Уж0 G G найдутся такие окрест-
окрестности А(х°) С G и В (у0) С /(G), где у0 = /(ж0), что отображение
/: А (ж0) —У В (у0) будет взаимно однозначным, причем обратное отоб-
отображение /-1: В (у0) ->• А(х°) регулярно.
О Рассмотрим в G x Rn систему уравнений
Fi(x, y)=yi- fi(x) =0, i = M.	B5)
Пусть х° — произвольная точка множества G и у0 = /(ж0). Тог-
Тогда функции Fi(x,y) непрерывно дифференцируемы в G x Rn и у® =
= /г(ж0), г = 1,п. Так как отображение / регулярно, то
дхп
dFn
дх\
dFn
дхп
Для системы уравнений B5) выполнены все условия теоремы 2 о
неявных функциях. Поэтому найдутся такие клеточные окрестности
К(х°) = {ж:
|ж; - ж°|
eh г =
К(х°) С G,
Q(yQ) С /(G),
что в if (ж0) х Q(y°) система уравнений B5) определяет переменные
xi...,хп как неявные непрерывно дифференцируемые функции пере-
переменных ух,...,уп\
()	хп = ?п{у).
Пусть БB/°) есть внутренность Q(y°):
В(у°) = {у: \у>-у?\<6и г = М}.
Вследствие леммы 1 прообраз открытого множества В (у0) при не-
непрерывном отображении / есть открытое множество, причем в силу
условий B6) это множество содержит точку ж0. Обозначим прооб-
прообраз f~1(B) через А(х°). Отображение окрестности А(х°) на окрест-
окрестность В (у0) будет взаимно однозначным, и обратное отображение

'. Замена переменных	269
/ 1: В (у0) —У А(х°), определяемое формулами B6), будет непрерывно
дифференцируемым.
Докажем регулярность обратного отображения /-1. Так как
У% -fi(Vi(y),-,Vn(y)) = 0, г =Т~п,
то, дифференцируя эти тождества по переменным у^ получаем
Edfj_chfk_ _ dyj_ _ с _ /
к=1дхкду1 ~ dVj -°*-\ 0,
Из равенств B7) и из теоремы об умножении определителей сле-
следует, что
jf(x)jf-i(y) = l, y = f(x), xeA(x°). •	B8)
Следствие. Если /: G —У Rn есть регулярное отображение,
то образ любого открытого множества п С G есть открытое мно-
множество.
О Пусть ио = /(П). Возьмем произвольную точку у0 G ио и пусть х°
есть какой-то ее прообраз. Тогда, вследствие теоремы 3, найдутся та-
такие окрестности А(х°) С Q и В (у0) С о;, что отображение /: А(х°) —>-
—>¦ В (у0) регулярно обратимо. Поэтому каждая точка у0 G cj принадле-
принадлежит ее? вместе с некоторой окрестностью В(у°). Множество ио = f(u)
открыто. •
§ 29. Замена переменных
Выражения, содержащие различные функции и их производные,
постоянно встречаются в математике и ее приложениях. Целесооб-
Целесообразность перехода к новым независимым переменным, а иногда и к
новым функциям, основана как на особой роли новых переменных в
изучаемом вопросе, так и на упрощениях, к которым приводит выб-
выбранная замена переменных.
Техника замены переменных основана на правилах дифферен-
дифференцирования сложных функций и функций, заданных неявно при по-
помощи уравнений. Такая техника будет продемонстрирована на нес-
нескольких достаточно содержательных примерах. Обоснование всех
условий, при выполнении которых замена переменных будет закон-
законной, в большинстве примеров не представляет труда и поэтому не
обсуждается.
Пример 1. В уравнении х2 —% + х -^ + у — 0 сделать замену не-
dxz ax
зависимой переменной х = ег.
Л Если z(t) = y{el), то, применяя правило нахождения производной
сложной функции, получаем
dz(t) tdy(el)	dy(x)	d	d
_Л_2 = et jr±_L = x Ji±-L откуда — =x—.
dt	dx	dx	dt	dx

270	Гл. V. Функции многих переменных
Таким образом,
о d2y dy	(
Заметим, что уравнение —- + z = 0 легко решается (см. § 36),
а именно z = C\ sint + C2 cost. Поэтому при ж > 0 решение исход-
исходного уравнения имеет следующий вид: у = С\ sin(lnx) + С2 cos(lnx).
Так как уравнение не изменяет своего вида при замене ж на —ж,
то при любом х е /?, х ф 0, решение имеет следующий вид: у(х) =
= С\ sin(ln |ж|) + С2 cos(ln \x\). A
Пример 2. В системе уравнений
перейти к полярным координатам.
Л Умножим первое уравнение на ж, второе на у и сложим. Аналогич-
Аналогично умножим первое уравнение на у и вычтем из него второе урав-
уравнение, умноженное на х. Получим новую систему уравнений, при
х2 + у2 > 0 эквивалентную исходной системе уравнений,
dx dy	o7/2,2\2	dx	dy 2,2	/1 \
x~di ydt = ~2k^x + У ) ' y~di~xdt=y	^
Но ж2 + ^/2 = r2, ж = r cos (p, у = r sin <p. Поэтому систему A) можно
записать в виде (см. § 26, пример 3)
rd* = -2fcr' i = 1' или ? = -' i ()
Заметим, что система уравнений B) легко решается (см. § 36).
Получаем решение в виде
Г =	, (p = (fQ+t (-t0 < t < +ОО),
л/Ht + to)
где числа to и <^о являются произвольными постоянными. А
Пример 3. Преобразовать уравнение у'у'" - 3(у"J = ж, прини-
принимая у за независимую переменную, а ж — за неизвестную функцию.
Л Так как у(х) и х(у) — обратные функции, то — = у'(х) =	,
df(x(y)) df(x) ,, Л	1 df(x)	d	1 d
V = ^7^ ж'B/) = -ТГ^ ~lH-i 0ТКУДа Т" = ~ТГ^ ~Г-
dy	dx	у 'ух) dx	dy у 'ух) dx
Преобразуем уравнение при у' ф 0, поделив его на (у1L:
_ у>у"> - 3(Л2 _ _jl_ _ ± r?_\ _ х(хГ _
{y'Y	(y'Y~ dx\(y'f) x(x) ~
= о-

'. Замена переменных	271
Таким образом, при у' ф 0 уравнение преобразуется к виду
х'" + х{х')ъ = 0. Это частный случай уравнения общего вида х'" =
= Ф(у,х,х',х") с непрерывно дифференцируемой в /?4 функцией
Ф(у,и,у,ъи). Уравнения такого типа хорошо изучены в теории обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений [13]. Исходное уравнение не
имело стандартного вида. А
тт	, п .	д2и д2и
Пример 4. Преобразовать выражение w = -тгт + ~^т к полярным
ox1 oyz
координатам, полагая х = rcostp, у = г simp. Найти решение уравне-
Я2 Я2
ния Лапласа —- + тг^т = 0, зависящее только от полярного радиуса г.
яж2 ty2	<9г х дг у
Д	+y,	+ yy, ^ , ^
, _ xdy — ydx dip _ у dip _ х
х2 + у2	дх	г2 ^	г
ди ди дг ди dip x ди у ди	ди sin^ ди
	 —— 	 	 I 	 	?_ —— 	 	 	 а 	 —— PQO (Л 	 	 	—
дх дг дх dip дх г дг г2 dip	дг г dip'
ди _ ди дг ди dip _ . du cos ip du
dy dr dy dip dy	dr r dr'
Таким образом,
d	d simp d d . d cos ip d
d
— = cos(^-	 —, — = siny>— H	 —,
dx	dr r dip dy	dr r dip
d2u d (du\ (	d sin<p d\(	du sin^ du\
^-o = ^- ( ^- ) = C0S(P^	 ^- cos (p	^ —- =
dx2 dxxdxJ \	dr r dip/ \	dr r dip/
dip/ \	dr r dipj
2 d2u 2	. d2u sin2ip d2u sin2ip du
= cos y? -z-r	cos (p sin ip	H	J- -z-r H	 — +
or2 r	or dip r1 dip1	r or
2 cos if sin if du
r2	dip'
d2u ( . d , cos ip d \ ( . du , cos ip du\
-— = (sin <p — H	^ ^- ) ( sin у? ^- Н	 ^- =
о d и 2	. <9 и cos ip d и cos cz? <9t6
= cosz y? ^^ + - cos (p sin y?	H	^- ^-т Н
or1 r	or Oip rz Oip	r or
2 cos ip sin ip du
r2	dip'
w = -^ + -^ = -^ + - -^ + — ^-^.
axz oy orz r or rz Oip
Пусть и = v(r) есть решение уравнения Лапласа, зависящее только
от г. Тогда функция г?(г) должна быть решением дифференциального
уравнения
d2v ldv п	d ( dv\ п
	1	=0	или — I r— I =0,
dr2 r dr	dr \ dr /	/o\
где С\ и C<i — произвольные постоянные. А

272	Гл. V. Функции многих переменных
Пример 5. Сделать в уравнении колебаний струны
2^ °	> °	< t
замену независимых переменных ? = ж — at, 77 = ж + at и найти общее
решение этого уравнения.
Л Пусть w(?, rj) = ги(ж — at, х + at) = гл(ж, t). Тогда
<9гб <9u> <9? dw дц	dw	dw	( д д \
дх д^ дх дт] дх д^	дц	\д? дц) '
ди dw д? dw дц	dw ,	dw	( d d \
dt d^ dt dr\ dt	d^	dr\	\d^ dr\)
d2u 2д2и Г 2( д d\2 2
=n
Решение уравнения ттт^~ = 0 легко находится. Так как — ^г— =
d^dr]	d^\dr]J
= 0, то —— = (p(rj), где (^G7) — произвольная непрерывная функция т].
Пусть Ф(г]) есть ее первообразная на R. Тогда, интегрируя урав-
уравнение wv = (p(rj), получаем, что w = Ф(т]) + Ф(?)? гДе ^@ — произ-
произвольная функция.
Если считать, что функции Ф(г}) и Ф(?) есть непрерывно диффе-
дифференцируемые функции, то общее решение уравнения D) имеет
следующий вид:
u(x, t) = Ф(ж - at) + Ф(х + at). А
Пример 6. Сделать в дифференциальном уравнении
d2z
замену переменных ^ = ж, и = 2/ + z.
Л Запишем уравнение E) в виде
{}Zy)\2 = 1 или -|-_J_ = l.	F)
A+%J	0Ж 1+Zy	W
Пусть
z(x(u,v),y(u,v)) = w(u,v),
тогда
z(x, 2/) = Цж, 2/ + 2:(ж, 2/)).	G)

Упражнения к главе V	273
Вычисляя частные производные по х и у от обеих частей тождест-
тождества G), получаем
zx = wu + wvzXj zy =wv(l + Zy),
_ Wu	_ Wv	1	_ 1
Подставляя эти выражения в уравнение F), получаем
д_ _	ди d2w dv d2w _
dx	' dx dudv дх dv2 '
d2w	d2w _ . d2w	wu d2w _ .
dudv	du2 ' dudv 1 — wv dv2
Пример 7. Определитель п-го порядка
ац ... сь\г\
Г=
ani ... cinr,
есть функция п2 переменных ац. Показать, что
где Aij — алгебраическое дополнение элемента ац.
Л Разложим определитель по элементам первой строки:
Г = пцАц + ... + а1пА1п.
Элемент an входит только в первое слагаемое, причем Ац не зави-
зависит от ац, поэтому —— = Ац. Аналогично доказываются остальные
дан
равенства (8). А
Замечание. Пусть элементы определителя Г есть дифференцируе-
дифференцируемые функции dij(t) при а < t < /3. Тогда и определитель Г есть диффе-
дифференцируемая функция на (а,/5). Воспользовавшись правилом нахождения
производной сложной функции и формулой (8), получаем правило для вы-
вычисления производной определителя:
dt ^-^ ^-^ daij dt
где
Нетрудно видеть, что Ti(t) есть определитель, который получится, если
функции, стоящие в г-й строке определителя Г, заменить их производными.

274	Гл. V. Функции многих переменных
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
1.	Пусть в полном метрическом пространстве задана последователь-
последовательность замкнутых вложенных шаров, радиусы которых стремятся к нулю.
Показать, что последовательность центров будет фундаментальной и что
предел этой последовательности есть единственная точка, принадлежащая
всем шарам.
2.	Показать, что у последовательности вложенных непустых компактов
в метрическом пространстве есть хотя бы одна общая точка.
3.	Пусть п есть ограниченное множество в Rn. Показать, что граница
множества Q есть компакт в Rn.
4.	Функция /(ж), определенная и окрестности точки ж0 метрического
пространства X, называется полунепрерывной сверху (снизу) в точке ж0,
если для любого е > 0 существует шар Ss(x°) такой, что для всех х Е Ss(x°)
выполнено неравенство /(ж) — /(ж0) < e (/(ж) — /(ж0) > г).
Доказать, что:
а)	функция /(ж), полунепрерывная сверху (снизу) на компакте метри-
метрического пространства, ограничена сверху (снизу) на этом компакте;
б)	функция /(ж), полунепрерывная сверху (снизу) на компакте в метри-
метрическом пространстве, принимает на этом компакте свое наибольшее (наи-
(наименьшее) значение.
Указание. Доказательство получается при помощи несложного об-
обобщения доказательства теорем Вейерштрасса о том, что функция одной
переменной, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке и прини-
принимает на нем свое наибольшее и наименьшее значения.
5.	Доказать, что при любых а > 0, C > 0 выполняется равенство
6.	Показать, что функция sin ж2 не является равномерно непрерывной
на (—оо,+оо).
7.	Показать, что функция /(ж, г/), имеющая в некоторой выпуклой
области пространства R ограниченные частные производные /ж(ж,г/) и
fy(x,y), удовлетворяет в этой области условию Липшица
\f(x,y)-f(x\y')\<:C1\x-x'\+C2\y-y'\
и поэтому является в этой области равномерно непрерывной.
8.	Пусть функция /(ж, г/) имеет в R непрерывные частые производ-
производные первого и второго порядков. Найти первый и второй дифференциалы
/99	V \	99
функции /I ж + у , arctg — ) при ж + у > 0.
9.	Найти якобиан отображения
х = ar cos (р, у = br sin 9?, г > 0, 0 ^ (р < 2тг.
Найти прообразы лучей ср = const и отрезков г = const. Выяснить, будет
ли отображение взаимно однозначным.
10.	Для отображения и = ж2 — у2, v = 2ж^/, (ж, г/) Е R , найти якобиан,
прообразы прямых и = щ nv = vo] выяснить, будет ли отображение взаимно
однозначным.
чч т,	тт	д2и д2и
11.	В уравнении Лапласа ——:- + ттт = 0 сделать замену переменных,
ох1 оу1
принимая у за неизвестную функцию, а ж и и — за независимые перемен-
переменные.

ГЛАВА VI
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 30. Определение и свойства неопределенного интеграла.
Основные методы интегрирования
В главе IV (§ 14) была рассмотрена задача о нахождении мгно-
мгновенной скорости материальной точки по заданному закону ее движе-
движения. Если s = s(t) — путь, пройденный точкой за время t от начала
движения, то мгновенная скорость v в момент t равна производной
функции s(t), т. е.
v = s'(t).
В физике встречается обратная задача: по заданной скорости
v = v(t) найти закон движения, т. е. найти такую функцию s(t), про-
производная которой равна v(t).
1. Первообразная. Пусть функции f(x) и F(x) определены на
интервале (а, Ъ). Если функция F(x) имеет производную на интервале
(а, Ъ) и если для всех х Е (а, Ь) выполняется равенство
F'(x) = f{x),	A)
то функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на ин-
интервале (а, Ь).
Замечание 1. Понятие первообразной можно ввести и для других
промежутков (полуинтервала — конечного или бесконечного, отрезка).
Дадим определение первообразной на отрезке. Если функции /(ж)
и F(x) определены на отрезке [а, Ь], причем функция F дифференцируе-
дифференцируема на интервале (а, 6), непрерывна на отрезке [а, Ь] и для всех х Е (а, Ъ)
выполняется равенство A), то функцию F(x) назовем первообразной для
функции f(x) на отрезке [а, Ь].
Замечание 2. Если F(x) — первообразная для функции /(ж) на ин-
интервале (а, 6), то функция F(x) + С при любом значении С = const также
является первообразной для f(x).
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема. Если F\(x) и ^(ж) — две первообразные для функции
f(x) на интервале (а, Ь), то для всех х G (а, Ь) выполняется равенство
F2(x)=F1(x)+C,	B)
где С — постоянная.
О Обозначим Ф(х) = F2(x) - F1(x). По определению первообразной
в силу условий теоремы для всех х G (а, Ь) выполняются равенства
F^x) = f(x), F{(x)=f(x),

276	Гл. VI. Неопределенный интеграл
откуда следует, что функция Ф(ж) дифференцируема на интервале
(а, Ъ) и для всех х Е (а, Ъ) имеет место равенство
Ф'(х) = 0.
Согласно следствию 1 из теоремы Лагранжа (§ 17) Ф(х) = С =
= const для всех х е (а,Ь) или F2{x) - F1(x) = С, т. е. справедливо
равенство B). •
Таким образом, для данной функции /(ж) ее первообразная F{x)
определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Для того что-
чтобы из совокупности первообразных выделить какую-либо первооб-
первообразную Fi(x), достаточно указать точку Мо(жо?2/о)? принадлежащую
графику функции у = F1(x).
Пример 1. Для функции /(ж) = — найти такую первообразную
X
Fi(x), график которой проходит через точку A,2).
Л Совокупность всех первообразных функции — описывается
X1
формулой
F(x) = -- + C.
X
По условию Fi(l) = 2, т. е. 2 = -1 + С, откуда G = 3. Следователь-
Следовательно, F1(x) =3- -. А
х
Замечание 3. В дальнейшем (гл. VII, § 36) будет доказано, что пер-
первообразная существует для любой функции, непрерывной на отрезке (или
интервале).
2. Понятие неопределенного интеграла. Совокупность всех
первообразных для функции f(x) на некотором промежутке А назы-
называют неопределенным интегралом от функции / на этом промежут-
промежутке, обозначают символом f(x)dx и пишут
Jf(x)dx = F(x) + C.	C)
Здесь F(x) — какая-нибудь первообразная функции / на проме-
промежутке А, С — произвольная постоянная. Знак / называют знаком
интеграла, / — подынтегральной функцией, f(x) dx — подынтеграль-
подынтегральным выражением.
Подынтегральное выражение можно записать в виде F'(x)dx или
dF(x), т. е.
f(x)dx = dF(x).	D)
Операцию нахождения неопределенного интеграла от данной
функции, которая является обратной операции дифференцирования,
называют интегрированием. Поэтому любую формулу для производ-
производной, т. е. формулу вида F'{x) = /(ж), можно записать в виде C).

'. Определение и свойства неопределенного интеграла	277
Используя таблицу производных, можно найти интегралы от некото-
некоторых элементарных функций. Например, из равенства (sin жO = cos ж
следует, что / cosxdx = sin ж + С.
3. Свойства неопределенного интеграла.
Свойство 1.
(j) =f(x)dx.	E)
О Из равенства C) следует, что
dUf(x) dx^j = d{F{x) + С) = dF{x),
так как dC = 0. •
Согласно формуле E) знаки дифференциала и интеграла взаимно
уничтожаются, если знак дифференциала стоит перед знаком интег-
интеграла.
Свойство 2.
fdF(x) = F(x) + С.	F)
О Равенство F) следует из равенств C) и D). •
Соотношение F) показывает, что и в случае, когда знак интег-
интеграла стоит перед знаком дифференциала, эти знаки также взаимно
уничтожается (если отбросить постоянную С).
Свойство 3. Если функции /(ж) и д(х) имеют на некотором
промежутке первообразные, то для любых а е R, /3 е R таких, что
а2 + /З2 ф 0; функция (f(x) = af(x) + /3g(x) также имеет первообраз-
первообразную на этом промежутке, причем
f(af(x) + Pg{x)) dx = a f f(x) dx + E f g(x) dx.	G)
О Пусть F и G — первообразные для функций / и g соответствен-
соответственно, тогда Ф = aF + /3G — первообразная для функции (р, так как
(aF(x) + CG(x))' = af(x) + /3g(x). Согласно определению интеграла
левая часть G) состоит из функций вида Ф(ж) + С, а правая часть —
из функций вида aF(x) + ad + CG(x) + (ЗС2 = Ф(ж) + ad + /?С2.
Так как а2 + (З2 ф 0, то каждая функция вида Ф(ж) + С принадлежит
совокупности функций Ф(ж) + аС\ + /ЗС2, и наоборот, т. е. по задан-
заданному числу С можно найти С\ и С2, а по заданным С\ и С2 — чис-
число С такое, чтобы выполнялось равенство С = аС\ + (ЗС2- •
Таким образом, интегрирование обладает свойством линейности:
интеграл от линейной комбинации функций равен соответствующей
линейной комбинации интегралов от рассматриваемых функций.
Пример 2. Найти f(x)dx, если:
а) /(ж) = е* + ж2; б) /(ж) = -2 sin ж + j-^.
Л а) Используя таблицу производных (§ 15) и свойство 3 интеграла,

278	Гл. VI. Неопределенный интеграл
получаем
х +x2)dx = ex + j + C.
б) Так как (-cos ж/ = sin ж, (arctgx)' =	-, то
/ ( — 2 sin х -\	 J dx = 2 cos ж + 3 arctg ж + С А
Дальнейшее расширение множества функций, интегралы от кото-
которых выражаются через элементарные функции, можно получить, ес-
если воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции
и правилом дифференцирования произведения двух функций.
4. Метод замены переменного (метод подстановки). Пусть
функция t = (р(х) определена и дифференцируема на промежутке А
и пусть Ai = (f(A) — множество значений функции ip на А.
Если функция U(t) определена и дифференцируема на Ai, причем
U'{t) = u(t),	(8)
то на промежутке А определена и дифференцируема сложная функ-
функция F{x) = U(cp(x)) и
F'{x) = [и(ф))]' = и'(ф)) (р'(х) = и(ф)) (р'(х).	(9)
Из равенств (8) и (9) следует, что если U(t) — первообразная для
функции u(t), то U((p(x)) — первообразная для функции u(ip(x)) ip'(x).
Это означает, что если
u(t)dt = U(t) + C,	A0)
то
Ju(<p(x)) v'(x) dx = Щф)) + С,	A1)
или
ju(ф))dф)=U(ф))+C.	A2)
/¦
Формулу A2) (или формулу A1)) называют формулой интегриро-
интегрирования заменой переменного. Она получается из формулы A0), если
вместо t подставить дифференцируемую функцию ip(x).
Замечание 4. Формула A2) дает возможность найти интеграл
f(x)dx, если функция /(ж) представляется в виде /(ж) = и(<р(х)) <р'(х)
и если известна первообразная функции u(t), т. е. известен интеграл A0).
Отметим важные частные случаи формулы A2).
а) Пусть F(x) — первообразная функции /(ж), т. е.
[f{x)dx =

'. Определение и свойства неопределенного интеграла
279
Тогда
ff(ax + b)dx = -F(ax + b) + С, а ^ 0.
A3)
Здесь ip(x) = ax
f(ax + b) dx = - f(ax + b) d(ax + b).
Используя равенство
fj=ln\t\+C,
получаем
/S? = /
f'(x) dx
= In \ip(x)\ + С, если if{x) ф 0. A4)
в) Так как
то
ftadt = ^—+ C, аф-1, ?>0,
J	a + 1	^
)) V0&) da; = J(p(x))ad(p(x) = ^^"^ + С,
A5)
где tp(x) > 0, а ф —1.
Приведем примеры применения формул A3)—A5).
ПримерЗ. / Bх + ЗN dx = i / Bх + 3N^Bж + 3) = ^^^ + С.
Л = 1,
In |ж + а| +
— к
Пример 5.
^»+а|+С.
тт п f ± 1 fd(smx) т.. | , ^
Пример 6. / ctgxdx = -Ч	 = In | sinж| + С
,/	j Sill Ж
т-r	^ С xdx	Гd(x + а) г^,, ^
Пример 7. / —^=^ = / v	у = л/х2 + а + С.
J ух2 + а У 2уж2 + а
xdx	Гd(x2 + а)
х2 + а У 2уж2 + а
„	о Г dx	If dix/a)	1	ж ^	, Л
Пример 8. /	= - / ,у Д2 = - arctg - + С, а ф 0.
j r+fl2 а У 1 + (ж/аJ а	а
Пример 9. / х dx = / ^(ж/а) _ = arcsin- + C
У л/а2 - х2 J у/1 - (х/аJ	а
тт	1ГЛ Г dx	/* 1 / 1	1 \ j	1
Пример 10. /—	-= /—	аж = —
Jx2-a2 J2a\x-a x + aJ	2a
+ С, афО.
/dx
j а ф 0.
V ж2 + а
Л Пусть ж + л/ж2 + а = ? = ?(ж); тогда
а > 0.
In
х — а
х + а
Й = t'{x) dx = f 1
ж2 + а
: ЙЖ,

280
Гл. VI. Неопределенный интеграл
откуда
Поэтому
J =
т. е.
/;
dx _ dt(x)
л/ж2+^ ~ t(x) '
i =\n\t(x)\ + С = 1п|ж +
dx
+ С,
= In \х +
С. А
Замечание 5. При вычислении этого интеграла использована подста-
подстановка Эйлера х + \/ж2 + а = ?.
Замечание 6. Интегралы, рассмотренные в примерах 8-11, часто
применяются. Эти интегралы обычно считаются табличными.
Приведем таблицу интегралов, полученную из соответствующей
таблицы производных. Сюда включены интегралы, найденные в при-
примерах 8-11.
v =	 + С, аф —1.
i\x + a\+C.
h
2)
х + а
3)	[ах dx = ^— + С, а > 0, а
У	In а
4)	sinx dx = — cosx + С.
J
5) cosxdx = sinx + С.
dx
cos2 ж
= tgx + С.
с/ж
= — ctgx + С
8) Гshxdx = char + С
10)
dx
сЬ2ж
с/ж
= thx + C
1	ж
- = - arctg - + С, а > 0.
га	а
9) chxdx = shx + С.
dx
= - cth ж
13) / /ж 9 = arcsin - + С, а > 0.
J а1 — х1	а
d
ж2 +а
Пример 12. J = /
Л Так как
= 1п
, а ^ 0.
с/ж

'. Определение и свойства неопределенного интеграла	281
то, используя пример 9 при а = -, получаем
х~\
г (l)	\
J = / . V 2) ^ = arcsin —r^- + С,
1Щ^
т. е. J = arcsinBx - 1) + С. А
/с/ж
л/ж2 - Зж + 5
Л Так как ж2 - Зж + 5 = х2 - 2х • | + | + 5 - | = (ж ~ |/ + ^'
то, используя пример 11, получаем
dlx--
J = I , V 2/ = = In
3\2 11
ж - I
2
Иногда бывает целесообразно при вычислении интеграла
J=ff(x)dx	A6)
перейти к новой переменной.
Пусть ж = (/?(?) — строго монотонная и дифференцируемая функ-
функция. Тогда она имеет обратную функцию
t = u(x).	A7)
Преобразуя подынтегральное выражение в интеграле A6) с по-
помощью подстановки ж = ip(t), получаем /(ж) dx = f(ip(t))(p'(t) dt. Обо-
Обозначим u(t) = f(ip(t))(p'(t), тогда
f(x)dx = u(t)dt.	A8)
Пусть U(t) — первообразная для функции u(t), тогда
fu(t) dt = U(t) + С.	A9)
Из равенств A6)—A9) находим
J = Jf(x) dx = ju(t) dt = U(t) + C = U{u{x)) + C. B0)
Формулу B0) называют формулой интегрирования подстановкой.
Согласно этой формуле для вычисления интеграла A6) достаточно по-
подобрать такую обратимую дифференцируемую функцию ж = ip(t), с
помощью которой подынтегральное выражение /(ж) dx представляет-
представляется в виде u(t) dt, причем первообразная для функции u(t) известна.

282	Гл. VI. Неопределенный интеграл
Пример 14. Вычислить интеграл
J = / V'а2 — х2 dx, а > 0.
Л Подынтегральная функция определена на отрезке [—а, а]. Положим
х = cp(t) = asint; тогда t = ио(х) = arcsin-, \Ja2 — х2 = л/а2 cos2 t =
= a cost, так как t G	, — ], а > 0. Следовательно,
J = J a cos t a cost dt= ^J(l + cos2t)dt= y(^ + ^^) + C.
Так как
то
sint = -, cost = a/1	 =
- sin 2t = sin t cos t =
Поэтому
\J a1 - x1 dx — — arcsin - -\	h С. А
Z ft Z
5. Метод интегрирования по частям. Пусть функции и(х)
и v(x) имеют непрерывные производные на промежутке А. Тогда
функция uv также имеет непрерывную производную на А и соглас-
согласно правилу дифференцирования произведения выполняется равенство
uv' = (uv)' — vu'.
Интегрируя это равенство и учитывая, что
/ (uv)' dx = uv + С,
/ иг;' б?ж = uv + С — / vu; dx.
Относя произвольную постоянную С к интегралу / vu' dx, нахо-
/ uv' dx = uv — / vu; dx,	B1)
udv = uv — vdu.	B2)
Формула B1) (или B2)) называется формулой интегрирования по
частям. Она сводит вычисление интеграла udv к вычислению ин-
v du.
получаем
дим
или
теграла

'. Определение и свойства неопределенного интеграла
283
Пример 15.
/ ж cos xdx — х d(sin ж) = ж sin ж — / sin xdx — х sin ж — cos ж + С.
Пример 16. Вычислить интеграл
J = / ух2 + ас?ж.
Л Полагая и — у/х2 + а, г? = ж, по формуле B1) находим
/	 Г х2
J = хух2 + а — .	б?ж,
У л/ж2 + а
Г х2 ,	Г х2 + а — а , т Г dx „
где / ^^^^ dx—\ —^^^^ dx = J - а	. Отсюда полу
У Vж2 + а	У Vж2 + а	У уж2 + а
уравнение относительно J:
dx
получаем
J =
a - J +
a I -
/х2 + а
Используя результат примера 11, находим
Гл/х2 +adx = |лД2 + ^ + | In \х + л/^2 + а| + С. А
Пример 17. Пусть
Выведем рекуррентную формулу для вычисления интеграла Jn.
Л Пусть I/ = (ж2 + а2)~п, г; = ж. Тогда и' = -2пж(ж2 + а2)1, г/ = 1
и по формуле B1) получаем
Т — Х	| о f
(X2 + CL2)n	J (X2
где
Г х2 , Г (ж2 + а2) — а2
/ Г^	2.n dx = / -у^	'
Следовательно,
j	2 т
= Jn-a Jn+b
откуда
Jn+l —
2п-]
2па2
Jn- A
B3)

284	Гл. VI. Неопределенный интеграл
r dx	1	х
Замечание 7. Так как J\ = / —	 = - arctg —Ь С, то из форму-
J х1 + az a	a
лы B3) находим
dx	х	1
Замечание 8. Повторное применение формулы B1) позволяет полу-
получить обобщенную формулу интегрирования по частям
Juv(n+1) dx =
{
= uv{n) -
-i) + u"v(n-2) + ... + {-l)nu(n)v + {-l)n+1Ju(n+1)vdx B4)
в предположении, что существуют непрерывные производные и^п+1\ v^n+l^
на рассматриваемом промежутке. При п = 1 формула B4) принимает вид
/ uv" dx = uv — uv + / и" v dx.	B5)
Пример 18. Вычислить интеграл
J = fx2ex dx.
А Полагая и = ж2, v = ех и учитывая, что и' = 2ж, и" = 2,
v1 = г>" = еж, получаем по формуле B5)
J = х2ех - 2хех + 2 /еж б?ж,
откуда
|ж2еж dx = (ж2 - 2ж + 2)еж + С. А
Пример 19. Вычислить интеграл
j _ Лаж cog px ^х^ ар ф q
Л Положим и = cos (Зх, v = ——. Тогда и' = —C sin /Зж, ^/; = — (З2 cos /Зж,
г;' =	, v" = еах. По формуле B5) находим
а
ах	о	о2
J = — cos/Зж + Ar eax sin/Зж - ^ J
z	z
откуда
§ 31. Комплексные числа
Известно, что квадратное уравнение с вещественными коэффици-
коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет вещественных
корней. В частности, уравнение
z2 + 1 = О
не имеет корней на множестве R. Возникает потребность расширить

§31. Комплексные числа	285
множество R так, чтобы на более широком множестве было разре-
разрешимо квадратное уравнение с любыми вещественными коэффициен-
коэффициентами.
1. Определение комплексного числа. Комплексными числами
называют пары (х,у) вещественных (действительных) чисел ж и у,
для которых следующим образом определены понятие равенства и
операции сложения и умножения.
Обозначим комплексное число (х,у) буквой z, т. е. положим z =
= (ж,у). Пусть z\ — (xi,2/i), z2 = (х2,у2). Два комплексных числа z\ и
z2 считаются равными тогда и только тогда, когда х\ — х2 и у\ — у2,
т. е.
{(xi,yi) = (х2,у2)} & {xi =x2} /\{yi = 2/2}.
Сумма и произведение комплексных чисел z\ и z2 обозначаются
соответственно z\+ z2 и z\z2 и определяются формулами
Z! + Z2 = (Xi + Ж2, У\ + 2/2),	A)
- 2/12/2, Ж12/2 + Ж22/1).	B)
Из формул A) и B) следуют соотношения
(хь0) + (х2,0) = (xi +ж2,0), (x
которые показывают, что операции над комплексными числами ви-
вида (ж, 0) совпадают с операциями над действительными числами. Поэ-
Поэтому комплексное число вида (ж, 0) отождествляют с действительным
числом ж, т. е. полагают (ж,0) = х.
Среди комплексных чисел особую роль играет число @,1), которое
называют мнимой единицей и обозначают г, т. е.
г = @,1).
Вычислив произведение г на г по формуле B), получим
т. е. г2 = —1. Используя формулы A), B), находим
i-y = @,1)B/,0) = @,2/), (ж, у) = (ж,0) + @,2/) = ж + гу.
Следовательно, любое комплексное число z = (ж, у) можно запи-
записать в виде ж + iy, т. е.
z = х + iy.	C)
Запись комплексного числа z = (ж, у) в виде C) называют алгеб-
алгебраической формой комплексного числа.
В записи C) число ж называют действительной частью комплекс-
комплексного числа и обозначают Rez, а число у — мнимой частью и обозна-
обозначают Imz, т. е.
Re z = ж, Im z = 2/.

286	Гл. VI. Неопределенный интеграл
Если х = 0, т. е. z = гу, то такое комплексное число называют
чисто мнимым.
Здесь и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, в запи-
записи х + гу числа х и у считаются действительными (вещественными).
Число л/х2 + у2 обозначают \z\ и называют модулем комплексного
числа z, т. е.
\z\ = \x + iy\ = y/x*+y*.	D)
Заметим, что \z\ ^ 0 и {\z\ = 0} <?> {z = 0}.
Комплексное число х — гу называют сопряженным комплексному
числу z — х + iy и обозначают 2, т. е.
2 — х + гу — х — гу.	E)
Из равенств D) и E) следует, что
N = 1*1, zz=\z\\	F)
так как z~z — (х + гз/)(ж - гу) = х2 + у2.
2. Свойства операций. Операции сложения и умножения комп-
комплексных чисел обладают свойствами:
а) коммутативности, т. е.
б)	ассоциативности, т. е.
B1 + 22) + Z3 = 2i + B:2 + 2:3), B:12:2J:3 = 21B:22:3);
в)	дистрибутивности, т. е.
2i B2 + 2:3) = 2:12:2 + 2:12:3.
Эти свойства вытекают из определения операций сложения и ум-
умножения комплексных чисел и свойств операций для вещественных
чисел.
Из этих свойств следует, что сложение и умножение комплекс-
комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами,
заменяя г2 на —1. Например, равенство B) можно получить так:
212:2 = (xi + iyi)(x2 + гу2) =
= хгх2 + гхху2 + гх2ух + г2у1у2 = ххх2 - уху2 + г[хху2 + х2ух).
Множество комплексных чисел обозначают буквой С. Числа 0 =
= 0 + 0-ги1 = 1 + 0-гна множестве С обладают такими же свойст-
свойствами, какие они имеют на множестве /?, а именно: для любого z G С
справедливы равенства
2: + 0 = 2:, z • 1 = z.
На множестве С вычитание вводится как операция, обратная сло-
сложению. Для любых комплексных чисел z\ — х\ + гу\ и z2 = х2 + гу2
существует, и притом только одно, число z такое, что
2 + 22=2ь	G)

§31. Комплексные числа	287
Это число называют разностью чисел z\ и 2:2 и обозначают z\ — z2.
В частности, разность 0 — z обозначают —z.
Из уравнения G) в силу правила равенства и определения суммы
комплексных чисел следует, что
Деление на множестве С вводится как операция, обратная умно-
умножению, а частным от деления комплексного числа z\ = х\ + гу\ на
число Z2 = Х2 -\- гу2 называют такое число 2:, которое удовлетворяет
уравнению
ZZ2 = Z\	(8)
и обозначается z\\z2 или —.
z2
Докажем, что уравнение (8) для любых комплексных чисел z\ и
z2, где 2:2 Ф 0, имеет единственный корень.
О Умножая обе части уравнения (8) на ~z2, получим в силу равенст-
равенства F) уравнение
z\z2\ = z{z2,	(9)
которое равносильно уравнению (8), так как 22 Ф 0.
1	У ~У
Умножая обе части (9) на -—-, получаем z — -Ц|, т. е.
Z\	Z\Z2
или
^2 Ж2 + гг/2	ж§ +2/|	ж§ + 2/|	Ж2 + 2/?
Эту формулу можно не запоминать — важно знать, что она полу-
получается умножением числителя и знаменателя на число, сопряженное
со знаменателем.
Пример 1. Найти частное —, если z\ — 5 - 2г, 2:2 = 3 + 4г.
?i _ E-2г)C-4г) _ 15 - 26г + 8г2 _ _7_ _ 26 .
^2 ~ C + 4г)C-4г) ~	25	~ 25 25 %'
3. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
а) Комплексная плоскость. Пусть на плоскости задана прямоуголь-
прямоугольная система координат. Комплексное число z = х + гу изображается
точкой плоскости с координатами (х,у), и эта точка обозначается той
же буквой z.
Такое соответствие между множеством С и точками плоскости
является взаимно однозначным: каждому числу z G С соответству-
соответствует одна точка плоскости с координатами (х,у), и наоборот, каждой
точке плоскости с координатами (ж, у) соответствует одно комплекс-

288
Гл. VI. Неопределенный интеграл
z=x-\-iy
ное число z — х + гу. Поэтому слова "комплексное число" и "точка
плоскости" часто употребляются как синонимы.
При этом действительные числа, т. е. числа вида х + 0 • г, изоб-
изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые числа, т. е. числа
вида гу = 0 + гу — точками оси
ординат. Поэтому ось абсцисс на-
называют действительной осью,
а ось ординат — мнимой осью.
Плоскость, на которой изобража-
изображаются комплексные числа, называ-
называют комплексной плоскостью.
На рис. 31.1 изображены точ-
точки z, —z, г, —~z. Отметим, что
точки z и —z симметричны отно-
относительно точки 0, а точки z и ~z
симметричны относительно действительной оси.
б) Геометрический смысл модуля комплексного числа. Комплекс-
Комплексное число z = х + гу можно изображать вектором с началом в точке О
и концом в точке z. Этот вектор будем обозначать той же буквой z.
Из рис. 31.1 или из формулы D) видно, что длина вектора z равна \z\
и справедливы неравенства |ж| ^ \z\, \y\ ^ \z\, т. е.
Рис. 31.1
\z\, |Im2
z.
С помощью векторной интерпретации наглядно иллюстрируют-
иллюстрируются сумма и разность комплексных чисел. Число z\ + z^ изобража-
изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов z\ и z2
О
Рис. 31.2
Рис. 31.3
(рис. 31.2), а вектор z\ — z2 можно построить как сумму векторов
z\ и — Z2. Из рис. 31.2 видно, что расстояние между точками z\ и z<i
равно длине вектора z\ — z<i, т. е. равно \z\ — z^\. Это же утверждение
следует из равенства
\*1 ~ 22 | = л/Ol -Х2J + B/1 -У2J-
Итак, \z\ — z<i\ — расстояние между точками z\ и^.

§31. Комплексные числа
289
Пример 2. Дать геометрическое описание множества всех точек
комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:
а)	\z-zo\ = R, R>0;
б)	К \z-l\ < 2;
в)	\z-i\ = \z + i\.
Л а) Условию \z — zo\ = R, где R > О, z$ — заданное комплексное
число, удовлетворяют все точки, расстояние от которых до точки zo
равно R, т. е. точки, лежащие на окружности радиуса R с центром в
точке zo.
б)	Условию \z - 1| < 2 удовлетворяют все точки, лежащие внутри
круга радиуса 2 с центром в точке z = 1, а условию \z — 1| > 1 —
точки, лежащие вне круга радиуса 1 с центром в точке z = 1.
Оба эти условия выполняются для точек, лежащих между окруж-
окружностями \z — 1| = 1 и \z — 1| = 2 (рис. 31.3).
в)	Условию \z — i\ = \z + г| удовлетворяют те и только те точки,
которые равноудалены от точек г и —г, т. е. все точки действительной
оси. А
Покажем, что для любых комплексных чисел z\ и z2 справедливы
неравенства
IN-
A0)
О Рассмотрим треугольник с вершинами 0, z\ и z\ + z2 (рис. 31.2).
Длины его сторон равны N, \z2\ и \z\ + z2\. Поэтому неравенства A0)
выражают известные из геометрии свойства длин сторон треуголь-
треугольника. •
4. Тригонометрическая и показательная формы комплекс-
комплексного числа. Пусть г и ip — полярные координаты точки z = х + гу
комплексной плоскости (рис. 31.4); тогда
(и)
ip — угол между
О
где г = ^х1 + у2 = \z
действительной осью и вектором z, отсчиты-
отсчитываемый от положительного направления дей-
действительной оси. Если отсчет ведется против
часовой стрелки, то величина угла считается
положительной, а если по часовой стрелке —
отрицательной. Этот угол называют аргумен-
аргументом комплексного числа z (z ф 0) и обозначают
argz. Для числа z — 0 аргумент не определяет-
определяется, поэтому в дальнейшем при использовании
предполагается, что z ф 0.
Из равенств A1) следует, что любое комплексное число z — х + iy,
где z ф 0, представляется в виде
z = r(cos(p + г shop).	A2)
Рис. 31.4
понятия аргумента

290
Гл. VI. Неопределенный интеграл
Запись комплексного числа z ф 0 в виде A2) называют тригономет-
тригонометрической формой комплексного числа.
Из формул A1) находим
- ул	\/х2 + у2
Решив систему A3), найдем аргумент комплексного числа z ф 0.
Эта система имеет бесконечно много решений вида ср = сро + 2&тг, где
к Е Z, ipо — одно из решений системы A3), т. е. аргумент комплекс-
комплексного числа определяется неоднозначно.
Для нахождения аргумента обычно пользуются не формулами A3),
а формулой
A4)
получаемой почленным делением второго из равенств A3) на первое.
Следует иметь в виду, что не все значения (р, удовлетворяющие урав-
уравнению A4), являются аргументами числа z.
Пример 3. Найти все аргументы числа — 1 + гл/3 и записать это
число в тригонометрической форме.
Л Комплексное число лежит во второй четверти, поэтому в качест-
качестве одного из решений уравнения tgcp = —л/3 можно взять сро = —,
о
а все значения аргумента данного комплексного числа определяются
формулой
ф = ^ + 2тг/с, keZ.
Так как | - 1 + гл/3| = 2, то
-1 + гл/3 = 2 ( cos — + г sin —).
\	о	о /
Если \z\ = 1, (р = argz, то из формулы A2) получаем z = cos(^ +
- i sin (p. Комплексное число cos ip + i sin ip обозначается символом ег(/?,
т. е. для любого ip G R функция ег(р
определяется формулой Эйлера
ne«/2=i	ег(р = costp + г sin у?.	A5)
Равенство A5) находит обоснование в
етгг=_1	е27™=1 теории рядов (§ 44).
-q	• ^	Из формулы A5) следует, что е27гг =
(рис. 31.5) и \ег(р\ = 1 для любого ip G /?.
-ш/2 = _{	Заменяя в равенстве A5) ^ на —<р,
получаем
Рис. 31.5
е~г(/? =
A6)

§31. Комплексные числа	291
а из равенств A5) и A6) следует, что
-е~^).	A7)
О V	/ *	г	Г) •
Отметим, что
Для доказательства формул A8) следует воспользоваться форму-
формулами A5) и B), а также формулами синуса и косинуса суммы (раз-
(разности) углов. С помощью индукции из A8) можно получить формулу
Муавра
егп(р = (cos ip + i sin ср)п = cos mp + г sin nip, n G A/.
Используя формулы A2) и A5), запишем комплексное число z ф 0 в
показательной форме
z = rel(p, где г = |z|, <p = argz.	A9)
С помощью равенств A8) можно получить формулы для произве-
произве2, то
Zlz2 =Г1Г2е*1+^),	B0)
дения и частного комплексных чисел: если z\ — г\еЩх, z<i — Г2ег(/?2, то
- = -ei^1-^2), z2^0.	B1)
Z2	T2
Из формулы B0) следует, что при перемножении комплексных
чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, т. е.
Ч>\ + ^2 = arg(zi +2:2), если y?i = argzb <p2 = argz2.
Аналогично из формулы B1) следует, что модуль частного двух
комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а разность
аргументов делимого и делителя является аргументом частного, т. е.
Ы
\z2\
~ ?2 = аг? А если
Пример 4. Вычислить
A-гл/ЗN'
Л Так как 1 + г = л/2е^/4, 1 - гл/З = 2e~i7r/3, то
16*

292	Гл. VI. Неопределенный интеграл
Из геометрической интерпретации (рис. 31.4) следует правило ра-
равенства двух комплексных чисел в показательной форме: если z\ =
= т\еЩх и z2 = г2ег(р2, то z\ — z2 тогда и только тогда, когда
П. — 7? <?i — ^2 + 2&тг, fc Е Z.
Рассмотрим теперь некоторые важные свойства комплексно со-
сопряженных чисел. Пусть z = гег(/? = г cos <р + ir sin <р, тогда z = r cos ip —
-ir sin (p = ге~г(/?, т. е. если ip = argz, то —ip = argz. Отсюда и из ра-
равенств B0), B1) следует, что
2)= 2-, (zn)=(z)n, neN,
Z2/	Z2
а из определения комплексно сопряженного числа следует, что
Z\ + Z2 = 2i + 22, 2i - 22 = 2i - 22.
5. Извлечение корня. Рассмотрим уравнение
zn = a,	B2)
где а ф 0 — комплексное число, п — натуральное число.
Если 2 = гег(/?, а = /яег(9, то уравнение B2) примет вид
откуда
гп = р, тир = 6 + 2А^7Г, fcGZ,
и поэтому
г=^р, ^Л = -@ + 2ктт), keZ,	B3)
п
т. е. числа
zk = Уре*"	B4)
являются корнями уравнения B2) и других корней это уравнение не
имеет.
Заметим, что числа 20,21, ...,2n_i различны, так как их аргументы
в в , 2тг 0 , 2тг(п-1)
(^0 = -? фХ = —|	? ...? (рп_! = —|	^	i различны и отличаются
П	П	П	П	71
друг от друга меньше, чем на 2тг. Далее, zn = 20, так как |zn| = |2о| =
= ^ и <рп = у?0 + 2тг. Аналогично, zn+i = 21, 2_i = zn-i и т. д.
Итак, при а ф 0 уравнение B2) имеет ровно п различных корней,
определяемых формулами B3) и B4), где к = 0,1, ...,п — 1.
На комплексной плоскости точки Zk (к = 0,п - 1) располагаются
в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность ра-
радиуса т^/~р с центром в точке 0.

§31. Комплексные числа	293
Пример 5. Найти все корни уравнения z4 = 1 + г.
Л Корни Zk (к = 0, 3) этого уравнения определяются формулами B3)
и B4), где р= |1 + г| = у/2, в = J,
т. е.
zfe = y/2ei(fk,
где
/
л-'
/ \
/ \
\
\
\
\
\
—'
¦\
хч
Sss4
\° / '
\ /
\ *
\ /
\ /
\ /
\ /
Точки Zk располагаются в вершинах
квадрата (рис. 31.6). А
6. Комплекснозначные функ-
ции действительного перемен-
переменного. Если каждому значению t Е
е [а,/3] поставлено в соответствие
комплексное число z = z(t), то го-	Рис# 31.6
ворят, что на отрезке [а, /3] за-
задана комплекснозначная функция действительного переменного.
Пусть Rez(t) =x(t), lmz(t) =y(t), тогда z(t) = x(t) +iy(t). Функ-
Функцию z(t) можно рассматривать как вектор-функцию z(t) = (x(t),y(t)).
Определения предела, непрерывности, производной для комплексно-
значной функции аналогичны соответствующим определениям для
вектор-функции.
Например, производная функции z(t) = x(t) +iy(t) определяется
формулой
z'(t)=x'(t)+iyl(t).	B5)
Следовательно, производная z'(t) существует, если существуют про-
производные х'{t) и y'(t).
Применяя формулу B5) к функции elt = cost + i sint, получаем
(e^); = — sint + i cost = i2 sint + i cost = i(cost + i sint), т. е.
(euy =ieu.	B6)
Таким образом, формула для производной комплексной функ-
функции elt имеет такой же вид, как и для функции eat, где a G R.
Определим теперь показательную функцию е(а+г/^, где а, /3 — за-
заданные действительные числа, t — действительное переменное.
Функция /(t) = е*, где t G /?, удовлетворяет условию
/(*i)/(*2) = /(*i+*2).	B7)
Аналогично функция elf3t, где /3 G /?, обладает свойством B7) в силу
первого из равенств A8).
Поэтому функцию е^а+г^1 естественно определить так, чтобы для
нее выполнялось условие B7), т. е.

294	Гл. VI. Неопределенный интеграл
Используя формулу A5), отсюда находим
e(a+i/3)t = eat (cog fr + { gin ^
Применяя к функции eAt, где Л = а + г/3, правило дифференцирова-
дифференцирования B5), легко показать, что
(ext)' = \ext, \ = a + i/3.	B9)
По аналогии с производной неопределенный интеграл от комплекс-
нозначной функции z(t) = x(t) + iy(t) определяется формулой
fz(t) dt = fx(i) dt + г fy(t) dt.
Если комплексная функция uj(i) = ?(t) + irj(t) такова, что uj'(i) =
= z(t), то
fz(t) dt = fu'(t) dt = U\t) dt + i fr)'(t) dt =
Следовательно,
|t) dt = w(t) + С, С = d
Применяя это утверждение к функции e(Q;+*/3)* и используя форму-
формулу B9), получаем
а + г/
+ iC
Выделяя в равенстве C0) действительные и мнимые части,
находим
feat cos Ctdt + i feat sin /ft dt = a~ г? eat (cos /3t + г sin /3t) + Ci + гG2,
J	J	az+ pz
откуда получаем
feat cos /3t dt = -^-—^ (a cos /3t + /3 sin /ft) + Ci,	C1)
J	az + pz
r	Pat
/ eat sin /3t dt = J (a sin /3t - C cos /ft) + C2.	C2)
J
Заметим, что формула C1) была получена с помощью интегриро-
интегрирования по частям в § 30 (пример 19).

'. Разложение рациональной функции на простые дроби	295
§ 32. Разложение рациональной функции
на простые дроби
1. Разложение многочлена на множители.
а) Корни многочлена. Пусть задан многочлен n-й степени
Qn(x) = спхп + Сп-гх71'1 + ... + ах + с0, сп ф 0.	A)
Коэффициенты cn,cn_i, ...,ci,co многочлена могут быть как действи-
действительными, так и комплексными числами, переменное х может при-
принимать любые значения из множества R или С.
Число а называют корнем многочлена Qn(x), если Qn(a) = 0. На-
Например, число х = 1 — корень многочлена х3 - Зх2 + 2, а число
х = г — корень многочлена х2 + 1.
Рассмотрим вопрос о делении многочлена Qn{x) на двучлен (ж —
— а). Разделить многочлен Qn(x) на двучлен (х — а), где а — заданное
число, означает по определению представить его в виде
Qn(x) = (x-a)Qn-1(x)+r,	B)
где Qn-i(x) — многочлен степени п — 1, г — некоторое число (его на-
называют остатком от деления многочлена на х - а). Предполагается,
что равенство B) справедливо при всех значениях х G R (или х G С).
Если г = 0, то говорят, что многочлен делится без остатка [нацело)
на х — а.
Теорема 1 (Безу). Число а является корнем многочлена Qn(x)
тогда и только тогда, когда этот многочлен делится без остатка
на х — а, т. е. справедливо равенство
Qn{x) = Qn_i(x)(x-a).	C)
О Пусть х = а — корень многочлена Qn(x), тогда Qn(a) = 0. С другой
стороны, из равенства B) при х = а получаем г = Qn(a). Следователь-
Следовательно, г = 0, т. е. многочлен Qn(x) делится без остатка на х - а, если а —
корень этого многочлена.
Обратно, если многочлен делится без остатка на х — а, т. е. спра-
справедливо равенство C), то из этого равенства следует, что Qn(a) = 0.
Следовательно, х = а — корень многочлена Qn(x). •
Ведем понятие кратности корня. Число х — а называют корнем
многочлена Qn(x) кратности к, если существуют число к G А/ и мно-
многочлен Qn-k(x) такие, что для всех х G R (x G С) выполняется ра-
равенство
Qn(x) = (x-a)kQ*n_k(x)J	D)
где
Яп-к(а)фО.	E)

296	Гл. VI. Неопределенный интеграл
Упражнение. Показать, что число а Е R является корнем кратнос-
кратности к многочлена с действительными коэффициентами Qn(x) тогда и только
тогда, когда
g(f)(a) = 0 при р = О,1,...,/с-1 и Q{n\a)^0.
б) Многочлен с действительными коэффициентами. Рассмотрим
многочлен второй степени (квадратный трехчлен) с действительны-
действительными коэффициентами
Q(x) = х2 + рх + q.
Предположим, что его дискриминант отрицателен, т. е.
D = р2 - 4<? < 0.
Тогда
ИЛИ
откуда следует, что корнями многочлена Q{x) являются комплексно
сопряженные числа
и других корней этот многочлен не имеет. Это утверждение остается
в силе и для многочлена любой степени п (п ^ 2) с действительными
коэффициентами, т. е. справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Если число хо = j + iS — невещественный корень
(S ф 0) многочлена Qn(x) с действительными коэффициентами, то
число х~ — 7 — iS также является корнем этого многочлена.
О По условию Qn(xo) = 0, т. е.
CuXq + Cn-iX^~l + ... + CiXq + Со = 0,
откуда следует, что Qn(xo) = 0, или
СпХ^ + Cn-!XQ + ... +CiX0 +C0 = 0.	F)
В силу свойств сопряженных чисел равенство F) можно записать в
виде
СпХ^ + Cn-iXg + ... + С1Ж0 + Со = 0,
или
Сп(хо)П + Сп-^ЖоГ + ... + С1Ж0 + С0 = 0,	G)
так как с/. = с/, (по условию все коэффициенты многочлена Qn{x) —
действительные числа), к = 0,п. Равенство G) можно записать так:
Qn(xo) = 0.
Это означает, что ж"о — корень многочлена Qn{x). •

'. Разложение рациональной функции на простые дроби	297
Теоремы 1 и 2 доказаны в предположении, что многочлен Qn(x)
имеет корень. Ответ на вопрос о существовании корня многочлена
дает сформулированная ниже теорема 3.
в) Основная теорема алгебры.
Теорема 3. Всякий многочлен степени п ^ 1 с действительны-
действительными или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один
корень.
Эта теорема, доказательство которой обычно приводится в курсе
теории функций комплексного переменного (см., например, [6]), на-
называется основной теоремой алгебры.
Пусть х\ — корень многочлена Qn(x), степень которого равна п.
Тогда по теореме 1 этот многочлен представляется в виде
Qn(x) = (х -
где Qn-i(x) — многочлен степени п — 1.
Применяя к многочлену Qn-i(x) теоремы 1 и 3, находим Qn(x) =
С помощью индукции получим следующий результат:
Qn(x) = сп(х - хг)(х - х2)...(х - хп).	(8)
Здесь сп — коэффициент при хп многочлена Qn{x)\ Ж1,...,жп —
его корни, среди этих корней могут быть равные.
г) Разложение многочлена с действительными коэффициентами
на множители. Если х — а — действительный корень кратности к
многочлена степени п с действительными коэффициентами Qn(x), то
выполняется равенство D), где Q^_k(x) — многочлен степени п - к
с действительными коэффициентами, для которого число х = а не
является его корнем.
Пусть хо = j + iS — невещественный корень (S ф 0) многочлена
Qn(x)\ тогда число жо = j — iS также является корнем этого много-
многочлена (теорема 2), и поэтому правая часть (8) содержит множители
(х - хо) и (х - ж0), произведение которых равно
(ж — хо) (х — хо) = (х — j — iS)(x — j + iS) = (х — jJ + S2 = х2 + рх + q,
где р = —27, q = j2 + S2, р2 — 4q = —4S2 < 0. Таким образом, много-
многочлен Qn{x) в этом случае делится без остатка на квадратный трех-
трехчлен х2 + рх + q, коэффициенты которого являются действительны-
действительными числами, а дискриминант трехчлена отрицателен, т. е. р2 — 4q < 0.
Это означает, что существует такой многочлен Qn-2(x) с действи-
действительными коэффициентами, что
Qn(x) = (х2 +px + q)Qn-2{x).
Если число жо = 7 + ^ гДе 5^0, является корнем многочлена
Qn{x) кратности s, то число ж"о также будет корнем этого многочлена

298	Гл. VI. Неопределенный интеграл
кратности s, и поэтому многочлен Qn(x) можно представить в виде
Qn(x) = (ж - хоу(х - xo)sQn-2s(x)i
или
Qn(x) = (ж2 +px + qyQn_2s(x),	(9)
где р, q — действительные числа, р2 — 4д < 0, a Qn-2s{x) — много-
многочлен степени п - 2s с действительными коэффициентами, для кото-
которого числа хо и жо не являются его корнями, т. е.
Qn-2s(xo) Ф 0, Qn-2s(xo) Ф 0.	A0)
Пусть ai, a2,..., аи — все действительные корни многочлена Qn(x),
а их кратности соответственно равны ai, a2,..., а^. Тогда равенст-
равенство (8) можно записать в виде
к
где Д(ж) — многочлен степени t = п — 2_, ат с действительными
га=1
коэффициентами, не имеющий действительных корней.
Если R(x) — многочлен ненулевой степени, то каждой паре комп-
комплексно сопряженных корней Xj и ~Xj кратности /3j многочлена Qn(x)
соответствует множитель (ж2 + pjX + Qj)^j в формуле (8), где
р2 - 4qj < 0. Поэтому
Qn(x) =сп(х- сц)а1 ...(х - ак)ак (х2 + Plx + qxf1 ...(ж2 + psx + qsfs,
где ^ am + 2 ^ /3j = п.
m=l	j=l
Таким образом, зная все действительные и невещественные корни
многочлена с действительными коэффициентами Qn(x), можно этот
многочлен разложить на множители, т. е. представить в виде A1),
где числа cn, ai,..., a^, pi, ...,ps, gi,..., qs являются действительными.
2. Теорема о разложении правильной рациональной дроби.
Рассмотрим рациональную функцию (рациональную дробь), т. е.
Р (х)
функцию вида /(ж) = ш^ , где Рт(х) и Qn(x) — многочлены степе-
ней тип соответственно. В случае когда т < п, эту дробь называют
правильной. Будем предполагать, что коэффициенты многочленов Рт
и Qn являются действительными числами.
Лемма 1. Если ™; { — правильная рациональная дробь и х —
Qn{x)
= а — действительный корень многочлена Qn{x) кратности k ^ 1,

'. Разложение рациональной функции на простые дроби	299
то существуют действительное число А и многочлен Р(х) с дейст-
действительными коэффициентами такие, что
Рт(х) = А	Р{х)
=
Qn(x) (x-	nk
где Qn-k(x) — частное от деления Qn(x) на (х — а)к.
Второе слагаемое в правой части равенства A2) — правильная
дробь, число А и многочлен Р(х) определяются однозначно.
О Найдем такое число А, чтобы многочлен
ф) = Рт(х) - AQ*n_k{x)	A3)
делился без остатка на х — а. В формулах A2) и A3) Q^-k — частное
от деления Qn(x) на (х — а)к, т. е. многочлен, определяемый равенст-
равенством D) и условием E).
Согласно теореме 1 многочлен ip(x) будет делиться без остатка на
х - а в том и только том случае, когда ip(a) = 0, т. е.
Pm(a)-AQ*n_k(a)=0,
откуда в силу условия E) находим
Таким образом, число А является действительным и определяется
однозначно формулой A4).
Так как многочлен (р(х), где число А определяется формулой A4),
делится без остатка на х — а, то существует единственный многочлен
с действительными коэффициентами Р(х) такой, что
<р(х) = (х-а)Р(х).	A5)
Из равенств A3) и A5) следует, что
Рт(х) - AQ*n_k(x) = {x- а)Р(х).	A6)
Разделив обе части равенства A6) на Qn(x) = (х — a)kQ^_k(x), полу-
получим соотношение A2).
Пусть г — степень многочлена (р(х); тогда г ^ max(m,n — к),
где т < п, п — к ^ п — 1<п, и поэтому г < п. Следовательно,
дробь 	. 	= Z / ч является правильной. •
(х - a)*-iQ*n_k(x) Qn(x)	У
Следствие. Применив эту лемму к раз, получим равенство
Рщ{х) = Ак	Ак_,	_Ai_ Р*{х)	, ,
(х а)к~^ '" х а ^ Q*(x)'	V }
Qn{x) (х - а)к (х- а)к~^ '" х - а ^ Q*n_k(x)'

300	Гл. VI. Неопределенный интеграл
где числа А\,...,Ак являются действительными, Р*(х) — многочлен
с действительными коэффициентами, дробь	является пра-
вилъной, а число х — а не является корнем многочлена Q^_k(x).
Лемма 2. Если ш^ — правильная дробь, а число хо = 7 +
Qn\x)
+ iS — невещественный корень многочлена Qn{x) кратности s, то
существуют действительные числа В и D, а также многочлен Р(х)
с действительными коэффициентами такие, что
Рпг(х) =	Вх + Р +	Р(х)
=
Qn(x) (
причем второе слагаемое в правой части равенства A8) — правиль-
правильная дробь, числа В, D и коэффициенты многочлена Р(х) определяют-
определяются однозначно, а многочлен Qn-2s{x) — частное от деления Qn{x)
на (ж2 + рх + q)s, где х2 + рх + q = (х — хо)(х — жо).
О Найдем такие числа В и D, чтобы многочлен
ф(х) = Рт(х) - (Вх + D)Qn_2s(x)	A9)
делился без остатка на х2 + рх + q. Это будет выполняться в силу
теорем 1 и 2 тогда и только тогда, когда число ж0 будет корнем мно-
многочлена гр(х), т. е. в случае, когда гр(хо) = 0 или
Рт(х0) - (Вх0 + D)Qn_2s(x0) = 0.	B0)
Из равенства B0) в силу условия A0) получаем
B1)
o +	1
Qn-2s(x0)
Пусть end — соответственно действительная и мнимая части
дроби, стоящей в правой части равенства B1). Тогда это равенство
примет вид
D + B(<y + i5) =c + id,
откуда, предполагая, что В и D — действительные числа, получаем
~f + D = c,
5В = d.
Так как S ф 0, то из системы уравнений B2) однозначно определя-
определяются действительные числа В и D такие, для которых выполняется
условие ф(хо) = 0, и поэтому при значениях В и D, удовлетворяющих
системе B2) или условию B1), многочлен ф(х) делится без остатка
на х2 + рх + q.

'. Разложение рациональной функции на простые дроби	301
Следовательно, существует единственный многочлен с действи-
действительными коэффициентами Р(х) такой, что
ф(х) = (ж2 + рх + q)P(x).	B3)
Из равенств A9) и B3) следует, что
Рт(х) - (Вх + D)Qn_2s(x) = (ж2 + рх + q)P(x).	B4)
Разделив обе части равенства B4) на Qn{x) = (ж2 + рх + q)sQn-2s(x),
получим соотношение A8), в котором дробь —	—
ф(х)
= X . ч является правильной. В самом деле, если г — степень много-
Qn(x)
члена гр(х), то г^тиг^п — 2s+ 1, откуда следует, что г ^ п — 1. •
Следствие. Применив эту лемму s раз, получим
Рт(х) = Bsx + Ds | Bs-ix + Ds-i | | BlX + Di | Р*(х)
_	B5)
где Bj, Dj (j = l,s) — действительные числа, Р*(х) — многочлен с
действительными коэффициентами, дробь P*(x)/Qn-2S(x) является
правильной, причем многочлен Qn-2s{x) не делится нацело на х2 +
+ рх + q.
Теорема 4. Если Рт(х) и Qn(x) — многочлены степеней тип
соответственно, причем т<п и коэффициенты этих многочленов —
действительные числа, a Qn(x) представляется в виде A1), то
Л1	Л1
^ , 4 | ^х + ^ , ^
(х - ak)ak '" х - ak (x2 + pix +
{ B^x + Dj | |
'" B + + )P '"
(х2 + psx + qsYs	x1 + psx + qs
или
1=1 3 = 1	l	1=1 3 = 1	l	l
Все коэффициенты разложения B6) являются действительными
числами и определяются однозначно.
О Применяя лемму 1, выделим сначала простые (элементарные) дро-
дроби вида А± /(х — а\)р, где р принимает значения от 1 до а\. Затем
к дроби P*(x)/Q^-ai(x) снова применим лемму 1 (формула A7)) и

302	Гл. VI. Неопределенный интеграл
т. д., пока не выделим простые дроби, соответствующие всем дейст-
действительным корням многочлена Qn{x). В результате правильная дробь
Pm(x)/Qn(x) будет представлена в виде
^_ff АТ , р(х)	B7)
к	/-1 J~l
где t = п — У^ск/, P(x)/Qn-t(%) — правильная дробь, а многочлен
Qn-t(x) He имеет действительных корней.
Применяя к каждой паре комплексно сопряженных корней много-
многочлена Qn(x) лемму 2 (формула B5)), получим
Р(*) _V^ B^x + Dj	B8)
Из формул B7) и B8) следует равенство B6), которое дает разло-
разложение правильной рациональной дроби на простые (элементарные)
дроби. •
Например, если /(*) = {х _1)Чх+ 3y*xt+1){xi _3x+ 5y, ™ раз-
ложение функции /(ж) на простые дроби имеет вид
Л(!)	Л B)	Л(!)	Л B)	ЛC)
f fx) = _2i	|	th	i_ Jh	|	112	,	{ч	,
Jy } х - 1 (ж - IJ х + 3 (ж + 3J ^ (ж + ЗK
2 З + 5
x2 + 1	ж2 - Зж + 5 (ж2 - Зж + бJ'
Замечание. Для нахождения коэффициентов А\3\ В\3\ D\J' разложе-
разложения B6) обычно приводят простые дроби в правой части формулы B6) к об-
общему знаменателю, который равен Qn(x). Тогда формулу B6) можно запи-
записать в виде Pm(x)/Qn{x) = T(x)/Qn(x), откуда следует, что Рт(х) = Т(ж).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ж многочленов
Ргп(х) и Т(ж), получим линейную систему уравнений, из которой най-
найдем коэффициенты разложения B6). Эта система в силу теоремы 4 имеет
единственное решение.
§ 33. Интегрирование рациональных, иррациональных,
тригонометрических и гиперболических функций
1. Интегрирование рациональных функций. В § 32 (теоре-
(теорема 4) было доказано, что всякая функция вида Рш{х)/'Q'п(х), где Рш
и Qn — многочлены с действительными коэффициентами степеней
тип соответственно и т < п, т. е. правильная рациональная дробь,
представляется в виде суммы простых дробей вида

'. Интегрирование функций
303
Вх + D
(ж2 + рх + q)k '
k Е Л/,
- 4<? < 0.
B)
Если дробь Pm(x)/Qn(x) является неправильной (т^ п), то, разде-
разделив числитель на знаменатель, например, способом "деления в стол-
столбик", эту дробь можно записать в виде
Pm{x)IQn{x) = S(x) + R(x)/Qn(x),
где S(x) — многочлен (частное от деления Рт на Qn), R(x) — оста-
остаток от деления, R(x)/Qn(x) — правильная дробь. Например, дробь
ж4/(ж2 - х + 1) является неправильной. Выполняя деление ж4 на х2 -
— х + 1, получаем
X4
-ж4 + х3 - х2
3 2
-ж3 + ж2 - ж
— ж
ж2 — ж + 1
ж2 +ж
Следовательно,
ж2 - ж + 1
= ж + ж —
х2 - х + 1
C)
Обратимся к интегрированию рациональных дробей. Рассмотрим
сначала дроби вида A). Если г = 1, то
а если г > 1, то
Adx
Adx
{х - аУ
= А\п\х - а\ + С,
Таким образом, при интегрировании дроби A) получается либо ло-
логарифмическая функция (г = 1), либо правильная рациональная
дробь (г > 1).
Обозначим
_ г Вх + Р
J (ж2 + рх + q)k
J	2	2
+ q — —, где g — — > 0, то, полагая
4	4
Р _
dx.
Так как
' q — ^-т- = а, ж + - =?, получаем
dt.

304	Гл. VI. Неопределенный интеграл
Следовательно, интеграл J/, является линейной комбинацией интег-
интегралов
т/ _ [ tdt	Т„ _ [ dt
При к = 1 эти интегралы соответственно равны:
J" = - arctg - =
: arctg ¦
л/^q-p2
Если к > 1, то
j, = 1 rdjf + a2) = 	1	+ с
2 7 (t2 + а2)к 2A — к)(х2 + рх + q)k~l
а интеграл J^ можно вычислить с помощью полученной в § 30 (при-
(пример 17) рекуррентной формулы, причем согласно этой формуле J%
является линейной комбинацией правильной рациональной дроби и
арктангенса.
Таким образом, интеграл от любой рациональной дроби представ-
представляется в виде линейной комбинации многочлена (если рассматрива-
рассматривается неправильная дробь), правильной рациональной дроби, логариф-
логарифмической функции и арктангенса.
Г х4
Пример 1. Найти J — \ —^	dx.
* *	J х2 - х +1
Л Запишем равенство C) в следующем виде:
-4	1 2х - 1 1	1
2	1
= X + X - -
х2-х + 1	'	2 х2-х + 1 2 ( 1\2 з
-2) +4
Отсюда находим
ж3
ж2
/dx
	—	—	-.
(ж + 2)(ж-1)(ж-3)
Л Так как подынтегральная функция — правильная рациональная
дробь, а корни ее знаменателя являются вещественными и простыми
(их кратность равна единице), то
(х + 2)(х - 1)(х - 3) х + 2 х - 1 х - 3'	У '

'. Интегрирование функций	305
Умножив обе части равенства D) на знаменатель его левой части, по-
получим
1 = А1(х- 1)(ж - 3) + А2(х + 2)(ж - 3) + А3(х + 2H - 1). E)
Для нахождения чисел Ai, А2, А% можно приравнять коэффициен-
коэффициенты при одинаковых степенях ж в тождестве E). Однако существует
более эффективный способ вычисления. Полагая в тождестве E) сна-
сначала х = —2, затем х = 1 и, наконец, х = 3, последовательно находим
1 = 15АЬ 1 = -6А2, 1 = 1(L43,
откуда получаем
1	1	1
Заметим, что число А\ можно найти из равенства D), если умно-
умножить обе его части на х + 2, а затем перейти к пределу при х —> —2.
Тогда ^ = Х1Ш2(Х-1)(Х-3) = ^()' ГД6 ^(Ж) = (,-4-3) -
функция, которая получается вычеркиванием множителя х + 2 в зна-
знаменателе левой части равенства D). Тем же способом можно найти
числа А2 и А3.
Таким образом,
1	11 1 1 J_ 1
(ж+ 2)(ж-1)(ж-3) 15ж + 2 6ж-1 10 ж-3'
откуда
J = _L In \х + 2| - \ In |х - 1| + -!- In |х - 3| + С =
15	о	1U
_ 1 О-2J|х-3|3
-зо ^Тр +6- А
тт о u « 7 /* Зж3 - 5ж +10 ,
Пример 3. Найти J = -,	чо/ о	г аж.
н	н	У О~1JО2 + 2ж + 5)
Л Так как подынтегральная функция /(ж) — правильная дробь, а
квадратный трехчлен ж2 + 2х + 5 имеет невещественные корни, то
[х — i) x — i x + zx + о
откуда следует равенство
Зж3 - 5ж + 10 = AiO2 + 2ж + 5) + А2[х - \)[х2 + 2ж + 5) +
+ (Bx + D)(x-lJ. F)
Полагая в тождестве F) ж = 1, находим 8 = 8Ai, откуда А\ — 1.
Дифференцируя тождество F), а затем полагая ж = 1 в полученном
равенстве, находим 4 = 4 + 4А2, откуда А2 = 0. Приравнивая коэффи-
коэффициенты при ж3 и свободные члены в равенстве F), получаем 3 = 5,
Ю = ЪАХ + Д откуда D = 5.

306	Гл. VI. Неопределенный интеграл
Итак, А\ — 1, Аъ — 0, В — 3, D = 5, и поэтому
f(x)- *	| Зж + 5 - 1	| 3 2ж + 2 | о
откуда находим, что
J =	Х—г + \ 1п(ж2 + 2ж + 5) + arctg *—^ + C. А
/dx
—	.
ж4 + 1
Л Используя равенство
ж4 + 1 = ж4 + 2ж2 + 1 - (л/2жJ = (ж2 + л/2ж + 1)(ж2 - л/2ж + 1)
и учитывая, что многочлен ж4 + 1 не имеет действительных корней,
получаем
1 _ Bx + D
~л '. Т	Z	^	"Т"
откуда
1 = {Вх + D)(x2 - л/2х + 1) + (BlX + Di)(x2 + л/2х + 1). G)
Сравнивая коэффициенты при ж3, ж2, ж1 = ж, ж0 (свободные члены)
в тождестве G), получаем
X3
о
Ж
X1
ж0
0 =	Б +
0 =	-
0	=	Б -
1	=	D +
Из первого, третьего и четвертого уравнении этой системы следу-
следует, что D = Di, 2D = 1, откуда находим D = D\ = -, а из первого, вто-
второго и четвертого уравнений получаем В\ — —В, 2В\[2 — D + D\ — 1,
откуда Б = ——, Вх =	г=.
2л/2	2л/2
Следовательно,
1	1	ж + л/2	1	ж-л/2
ж4 + 1 2л/2 ж2 + л/2ж + 1 2л/2 ж2-
Так как
ж2 — л/2 ж + 1
P
/	1 \2, 1
I Ж ~п ,— 1 ~\
V л/2/ 2
= ^1п(ж2 + л/2ж + 1) + arctg(жv/2 + l) + C
da; = i In (ж2 - л/2 ж + 1) - arctg (жл/2 - 1) + С2,

. Интегрирование функций	307
то
/ —;	 = —1= In	1=	У
J ж4 + 1 4л/2 ж2-л/2ж + 1
+ —t-(arctg (жл/2 + 1) - arctg (жл/2 - 1)) + С. А
Замечание 1. Укажем другой способ вычисления коэффициентов 5,
D, Bi, D\. Заметим, что корни многочлена ж4 + 1 определяются формулой
я* = eiGr+2br)/4, где jfe = 0,l,2,3,
причем жо = ег7Г^4 = —^A + 0 — корень трехчлена х2 + \^2х + 1, а жз =
л/2
= —жо — корень трехчлена х2 — \^2х + 1. Полагая в G) ж = хо и сравнивая
в полученном соотношении действительные и мнимые части, найдем В\
и Di. Аналогично, полагая в равенстве G) ж = —жо, найдем В и D.
Замечание 2. В некоторых случаях для вычисления интеграла от
рациональной дроби /(ж) целесообразно вместо разложения ее на простые
дроби применить какой-либо другой метод, например, преобразование дро-
дроби /(ж), использование подходящей подстановки или метода интегрирова-
интегрирования по частям.
Пример 5. Найти интегралы от функций
ж4	ж2	ж2 +1	1
т.10 _|_ О ' f/r. — i^' r4 _|_ 1 ' r4f1 _|_ Т2\ '
L> \^ ?	\JU 1 I	Ju \^ л.	JU \ л. \^ JU )
1	2	1
2(ж-1J 3(ж-1K 4(ж-1L
в) / zrrr dx = I —^т dx =
1	ж2 - 1
t
г) Так как —	— =	—— = —	1	-, то
-dx — — -— Л	У arctg х -У С. А
ж4A+ж2)	Зж3 ж
Замечание 3. В случае когда знаменатель Q(x) правильной рацио-
рациональной дроби P(x)/Q(x) имеет кратные невещественные корни, удоб-
удобно использовать (см., например, [2]) следующую формулу Остроградского:

308	Гл. VI. Неопределенный интеграл
J Q{x)	Q2(x) W Qx[x) '	V }
где Q\(x) — многочлен, имеющий те же корни, что и Q(x), но кратности 1,
Q{x) = Qi(x)Q2(x), Pi(x) и Р2(х) — многочлены, причем P\/Q\ и P2/Q2 —
правильные дроби.
Второе слагаемое в правой части равенства (8) — интеграл, выража-
выражающийся через логарифм и арктангенс; это слагаемое называют трансцен-
трансцендентной частью интеграла от P(x)/Q(x).
Метод Остроградского (формула (8)) дает возможность найти рацио-
рациональную часть интеграла (функцию P2(x)/Q2(x)) алгебраическим путем
(без интегрирования). Для нахождения многочленов Р\ и Рг их записыва-
записывают с неопределенными коэффициентами и вычисляют эти коэффициенты
из соотношения, получаемого при дифференцировании тождества (8).
2. Интегрирование иррациональных функций. Многие час-
часто встречающиеся в приложениях интегралы от иррациональных
функций удается преобразовать в интегралы от рациональных функ-
функций с помощью различных подстановок.
Здесь и в дальнейшем будем обозначать буквой R рациональную
функцию. Например, запись R(u,v) будет означать, что рассматрива-
рассматривается рациональная функция переменных и, г?, т. е. функция, предста-
вимая в виде R(u.v) = _ , . , где Р и Q — многочлены относитель-
Q(u,v)
но и, а коэффициенты этих многочленов являются многочленами
гр, и2 — 3uv + 4v2u3 — 1	,
относительно v. Так,	—	 — рациональная функция
и v -\- v — и v
sin3 х — 3tg x + 1
относительно и и v,	—	рациональная функция отно-
cos4 х — 2ctg 2x
сительно sin ж и cos ж.
Рассмотрим некоторые типы интегралов от рациональных функ-
функций.
а) Интегралы вида
[rU (^^У1, ..., (^^Т) dx,	(9)
J \ \cx-\-dJ	\cx-\-dJ J
где rk G Q (к = 1, n), a, b,c,d G /?, ad — be ф 0, подстановкой
ax + b _ p
ex + d
(p — общий знаменатель рациональных чисел ri, ...,rn) приводятся к
интегралу от рациональной функции (см. [2]).
„	Г 1 + 3^/x + x2 ,
Например, при вычислении интеграла /	^т=	тп= dx можно
J 5 — v х2 + л/ж5
применить подстановку х = ?6, так как подынтегральная функция
является рациональной относительно переменных u — x^v — ж1/2, ио =
_ ж2/з^ Т _ ж5/б^ а общий знаменатель дробей -, -, - равен 6.
2 3 6

'. Интегрирование функций	309
Чтобы вычислить интеграл /—	целесообразно
подынтегральную функцию /(ж) записать в виде
f(x) = з /2±?	1	>
\/3	х B -\- хJC	х)
Так как /(ж) — функция, рациональная относительно х и
/2 + я\1/3	2 + ж о
(	1 , то с помощью подстановки	 = t6 данный интеграл
\ о — X /	о — X
сводится к интегралу от рациональной функции.
б) Интегралы вида
[R(x, л/ах2 + bx + c) dx, афО, Ъ2 - 4ас ф 0,	A0)
можно свести (см., например, [2]) к интегралам от рациональных
функций с помощью подстановок Эйлера:
1)	у/ах2 + Ьх + с = ±t± л/ах, а > 0,	A1)
2)	V'ах2 + bx + c = ±xt±^/c, О 0,	A2)
3)	\Jax2 + Ъх + с = ±t(x - xi), 62-4ac>0,	A3)
где xi — один из корней квадратного трехчлена ах2 + Ъх + с. Напри-
		=- dx можно восполь-
хух2 — х + 1
зоваться подстановкой A2), т. е. \Jx2 - х + 1 = ж? + 1.
Замечание 4. Следует иметь в виду, что подстановки A1)—A3) часто
приводят к громоздким вычислениям. Поэтому для нахождения интегралов
вида A0) обычно применяют другие способы, о которых пойдет речь ниже.
Заметим, что подынтегральную функцию в A0) можно предста-
представить в виде
f над,
V ах +Ъх + с
где R\ и i?2 — рациональные дроби. Записывая R\(x) в виде суммы
многочлена Рп{х) и суммы простых дробей, сведем интеграл A0) к
линейной комбинации интегралов следующих трех типов:
а)	/ . f"(f ^ dx;	A4)
,/ уаж2 + ох + с
б)	/"	dx	r G /V;	A5)
J (х — а)г\/ах2 + Ъх + с
в)	/	d,X/	keN, p2-4q<0. A6)
J {x2-\-px-\-q)k у ах2-\-Ьх-\-с

310	Гл. VI. Неопределенный интеграл
При нахождении интеграла A4), где Рп(х) — многочлен степени п,
удобно использовать формулу
dx = Q(x)y/ax2 + bx + c + А
J
/ , dx	A7)
J у ax2 + bx + с
л/ах2 + bx + с	J л/ах2 + bx + с
В этой формуле Q(x) — многочлен степени не выше п — 1, Л — не-
некоторое число. Дифференцируя тождество A7) и умножая затем обе
части получаемого соотношения на 2^/ах2 + bx + с, находим
2Рп(ж) = 2Q/(x)(ax2 + &г + с) + Q(x)Bax + b) + 2Л. A8)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ж в тож-
тождестве A8), вычислим коэффициенты многочлена Q(x) и число Л.
Заметим, что интеграл в правой части формулы A7) сводится к таб-
табличному с помощью линейной подстановки.
Пример 6. Найти J — /
У л/х2 + х + 1
Л Воспользуемся формулой A8), где Рп(х) = ж2, Q(x) = Ax-\-B.
Получим тождество 2ж2 = 2А(х2 + х + 1) + (Аж + В)Bх + 1) + 2Л,
откуда следует, что
2 = 2,4 + 2,4, 0 = 2А + А + 2Б, 0 = 2А + В + 2Л.
Поэтому
Так как
dx
; dx =[
л/ж2 + ж + 1 У
iH
то
J = Qx - |) л/^2 + ^ + 1 - | In (x + 1 + л/^2 + ^ + l)
Рассмотрим интеграл A5). Подстановкой
этот интеграл сводится к интегралу A4).
Обратимся, наконец, к интегралу A6). Если существует число и;
такое, что для всех х G R выполняется равенство ах2 + bx + с = cj(x2 +
+ рх + д), т. е. b = ар, с = ад, то интеграл A6) можно представить в
виде линейной комбинации интегралов
х + P)dx
Т — f &х + P)dx	т — f
1 ~ У О^+рт + д)^1/2 И 2 ~У

'. Интегрирование функций	311
Интеграл J\ сводится к табличному, а интеграл 3<± подстановкой
Абеля
и = (Л/х2+рх + ^)/ = /Ж+Р	A9)
2 у х2 + рх + q
сводится к интегралу от многочлена.
Если Ъ ф ар, то используется подстановка
где числа а и /3 подбираются такими, чтобы коэффициенты при t
в квадратных трехчленах подынтегральной функции обратились в
нуль. При этом интеграл A6) примет вид
где P(t) — многочлен степени 2к — 1, Л > 0.
Заметим, что если Ъ = ар, но с ф aq (случай h — ap,c — aq рассмот-
рассмотрен выше), то вместо подстановки B0) можно применить подстановку
х-ъ 2.
Чтобы вычислить интеграл B1), разложим правильную рацио-
рациональную дробь на простые дроби и представим интеграл B1) в виде
линейной комбинации интегралов вида
т/ Г tdt тц Г dt	Д|
J= 		и J = 		где тЕЛ/.
Интеграл J' вычисляется с помощью подстановки и2 = /it2 + v, а ин-
'fit2 + v'
теграл J" — с помощью подстановки Абеля v =
в) Интеграл вида
f	B2)
fxm(axn
где а, Ъ — действительные, ш, n, p — рациональные числа, причем
а ф 0, Ъ ф 0, п ф 0, р ф 0, называют интегралом от дифференциального
бинома. Интеграл B2) сводится к интегралу от рациональной функ-
функции в следующих трех случаях ([2]):
1) р G Z; 2) 	 G Z; 3)	Ьр G Z.
п	п
В первом случае применяется подстановка х — tq, где q — общий
знаменатель дробей т и п, во втором и третьем случаях — соот-
соответственно подстановки
axn + b = ts и a + bx~n = ts,
где s — знаменатель дроби р.

312
Гл. VI. Неопределенный интеграл
Отметим, что эти случаи были известны еще Ньютону, но лишь в
середине XIX века выдающийся русский математик Пафнутий Льво-
Львович Чебышев доказал, что интеграл вида B2) в других случаях не
выражается через элементарные функции.
/dx
—
Д Это интеграл вида B2), где m = О, п = 4, р — — и	\-р =
= 0. Полагая t = A + ж~4I//4, получаем ?4 = 1 + ж~4, откуда 4?3 dt =
= — 4ж~5 dx, ж4 = ——-. Следовательно,
/:
dx
f-dt
3. Интегрирование тригонометрических и гиперболичес-
гиперболических функций.
а) Интеграл вида
/ i?(sinx, cos ж) dx,	B3)
где R(u,v) — рациональная функция от и и г?, можно свести к интег-
интегралу от рациональной дроби с помощью подстановки
= tg~, Ж G (-7Г,7Г),
B4)
так как
sin ж =
cos ж =
ж = 2 arctg t, dx =
dx
2dt
Пример 8. Найти интегралы /	 и /
J sin ж J cos ж
Л а) Применяя подстановку B4), получаем
/dx f dt , , ж , ^
-— = / — = In tg - + С.
smx J t	2
б) Используя формулу B5), находим
C°SX	sin(x+f)	2 4
Приведем другой способ вычисления интеграла B5):
Г dx _ Г sin ж dx _ Г d(cos ж) _ 1 , 1 — cos ж „
У sin ж У sin2 ж У cos2 ж — 1 2 1 + cos ж
B5)
+ C. A

'. Интегрирование функций	313
Замечание 5. Подстановка B4), которую называют универсальной,
часто приводит к громоздким вычислениям интеграла B3). Поэтому ее ис-
используют лишь в тех случаях, когда не видно других путей к вычислению
интеграла B3).
Если подынтегральная функция R удовлетворяет одному из
условий:
а)	R(— sin ж, cos ж) = — R(s'm х, cos x),
б)	i?(sinx, — cos ж) = — i?(sinx, cos ж),
в)	R(- sin ж, -cos ж) = R(s'mx,co8x),
то для нахождения интеграла B3) можно использовать соответствен-
соответственно подстановки t = cos ж, ж G (О,тг); t = sin ж, ж G ( - ^, ^ J; t = tgж,
ж Е (	, — J, или t = cos 2ж.
В приложениях часто встречаются интегралы вида
Г
sinm х cosn xdx, me Z, nGZ.	B6)
При вычислении интеграла вида B6) можно руководствоваться
следующими правилами:
а)	если т + п — четное число, то применяется либо подстановка
t = tgx, либо подстановка t = cos2x;
б)	если т + п — нечетное число, то используют подстановку
t = sin ж или t = cos ж.
Пример 9. Найти интеграл вида B6) в следующих случаях:
а) т = 0, п = —6; б) т = 3, п = 4;
в)	m = 2, п = 4; г) m = —1, п = —3.
dx
Л а) Воспользуемся подстановкой t = tgx. Так как —^— = dt,
то
+ 1 + С = tgжfl + ^2ж + ^4ж) + С.
б)	/ sin3 ж cos4 xdx — \ (cos2 ж — 1) cos4 ж <i(cos ж) =
_ cos7 х cos5 ж ~
~ ~^7	5	'
в)	Воспользовавшись формулами sin ж cos ж = -8т2ж, cos2 ж =
— -A + соз2ж), получаем
/ sin2 ж cos4 xdx = - / sin2 2жA + cos 2ж) dx =
— — / A — cos 4ж) dx Л	/ sin2 2ж d(sin 2ж) =
= — ж	 sin 4ж + —- sin3 2ж + С.
16 64	48

314	Гл. VI. Неопределенный интеграл
г) Используя тождество sin2 ж + cos2 ж = 1, находим
dx	С sin ж , , Г dx
С dx	fsinx , f
/ ~	Г" = / —Г" dx+ -
J sin ж cosd ж У cos3 ж	J si
sin ж cos ж
+ In |tgx|
+
cos3 ж J tgz 2 cos2 ж
Пример 10. Найти интегралы от функций:
а)	sin х sin Зж; б) (sin2 ж + 2 sin ж cos ж + 5 cos2 ж).
Л а) Так как sina sin/3 = -(cos(a — C) — cos(a + /3)), то
/. г, 7 If/ о л \ у sin 2ж вт4ж , ^
sin ж sin Зж ах = - / (cos 2ж - cos 4ж) аж = —	\- С.
2 J 4 8
б)	Разделив числитель и знаменатель на cos2 ж и полагая tgx = t,
получаем
с/ж	_ /" с/ж/ cos2 ж _
/с/ж	_ /" с/
sin2 ж + 2 sin ж cos ж + 5 cos2 ж J tg 2ж
tg 2ж + 2tg ж + 5
Интеграл вида
/ R(shx, спж) dx,	B7)
где R(u,v) — рациональная функция от и и г?, сводится к интегралу
от рациональной дроби с помощью подстановки
t= th|,
так как впж = -——, сЬж = -——, dx = -——.
± Ъ	± Z	± Z
Иногда более эффективными при вычислении интеграла B7) мо-
могут оказаться подстановки t = shx, t = спж, t = Лж, ? = сп2ж или
метод интегрирования по частям.
Пример 11. Найти J = / ch5жsh4жб?ж.
Л Так как сп2ж = 1 + вЬ2ж, сЬжб?ж = d(shx), то, полагая вЬж = t,
получаем
J =
J ч	'	5	Y	У
/1	О	_	1	\
-С. А
В заключение отметим, что интегралы от трансцендентных функ-
функций часто не выражаются через элементарные функции. К таким

Упражнения к главе VI	315
интегралам относятся, например, следующие встречающиеся в
приложениях интегралы:
/2
е~х dx — интеграл Пуассона]
б)	/ sin х2 dx и / cos x2 dx — интегралы Френеля]
в)	/	интегральный логарифм]
J In ж
г)	/	dx — интегральный синус]
J х
/COS X
	dx — интегральный косинус,
х
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
1.	Доказать, что функция f(x) = sign ж не имеет ни одной первообраз-
первообразной на R.
2.	Привести пример разрывной функции, имеющей первообразную на R.
3.	Найти все первообразные функций х\х\ и е'ж' на R.
4.	Пусть Рп(х) — многочлен степени п и а / 0. Доказать формулу
Рп(х)еах dx=— Y(-l)kf^-±*l + С.
5.	При каком условии первообразная функции	, где а ф 0,
ах1 -\- Ьх -\- с
Ъ2 ф 4ас, является рациональной функцией?
6.	Доказать, что для интеграла Jn,m = / sinn xcosm xdx, где n G A/,
?тг G А/, справедлива рекуррентная формула
n,m	H	n 2,m
n -\- m	n -\- m
7.	Пусть F(x) — первообразная для функции /(ж) на всей числовой
прямой. Доказать или опровергнуть следующие утверждения:
а)	если f(x) — периодическая функция, то и F(x) — периодическая
функция;
б)	f(x) — нечетная функция, то F(x) — четная функция;
в)	если f(x) — четная функция, то F(x) — нечетная функция.
8.	Пусть Рп(х) — многочлен степени п. При каком условии первообраз-
первообразная для функции -—n^' является рациональной функцией?

ГЛАВА VII
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 34. Определение и условия существования
определенного интеграла
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интег-
интеграла.
а) Площадь криволинейной трапеции. Пусть функция / непрерыв-
непрерывна на отрезке А = [а, Ь] и неотрицательна, т. е. f(x) ^ 0 при всех
х Е А. Рассмотрим фигу-
у1\
О
ру G (рис. 34.1), ограни-
ограниченную отрезками пря-
прямых х = а,х = Ь,у = 0
и графиком функции у =
х=Ъ х
т. е.
а^х^Ъ, О^у^ f(x)}.
Такую фигуру назы-
называют криволинейной тра-
трапецией, а отрезок А —
ее основанием.
Разобьем отрезок А
на п частей точками Х{ (г = 1,п - 1), где х\ < х2 < ... < хп-2 < жп-ъ
и проведем через эти точки прямые, параллельные оси Оу. Тогда
фигура G разобьется на п частей, каждая из которых является кри-
криволинейной трапецией.
Обозначим Axi — Х{ — а^-ъ хо = а, хп = Ь, и пусть ^ G А^, где
Af = [xi-i,Xi], i = 1,п. Тогда сумма
Рис. 34.1
зависящая от разбиения отрезка А и выбора точек ^, равна площади
ступенчатой фигуры (рис. 34.1), составленной из п прямоугольников,
причем основанием г-го прямоугольника служит отрезок А^, а длина
его высоты равна /(&). Интуитивно ясно, что эта ступенчатая фигура
будет мало отличаться от исходной фигуры G при достаточно мелком
разбиении.
Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы наибольшая

?. Определение и условия существования определенного интеграла 317
из длин отрезков А^ стремилась к нулю. Если при этом сумма а будет
иметь предел 5, не зависящий ни от способа
дробления отрезка А, ни от выбора точек ^,
то естественно считать, что площадь фигу-
фигуры G равна S. Существование этого предела
будет доказано в п. 6.
Пример 1. Найти площадь фигуры, огра-
ограниченной параболой у = х2 и отрезками пря-
прямых х = а, где а > 0, и у = 0 (рис. 34.2).
Л Пользуясь тем, что предел суммы а для не-
непрерывной функции f(x) = х2 (см. п. 6) не
зависит от способа дробления отрезка А =
= [0, а] и выбора точек ^, будем считать, что	с# 34'2
отрезок А разбит на п отрезков равной длины, а в качестве точки
(г = 1, п) взят правый конец отрезка
У1
\
\
\
о
\
у=х2
i
а х
^. Тогда ^ = Xi = — г,
п
а =
г=1
Так как
п(п+ 1)Bп
(§ 3, пример 2, в)), то а —
= — [1-\— )AН	), откуда lim а = —. Поэтому искомая площадь
3 V п) \ 2n/	/woo	3
а3 д
равна —. А
о
Заметим, что этот результат был получен еще Архимедом с по-
помощью предельного перехода. В § 36 будет дан простой способ нахож-
нахождения предела для а, основанный на формуле Ньютона-Лейбница.
б) Работа переменной силы. Пусть материальная точка движется
вдоль числовой прямой Ох под действием силы Р, причем направле-
направление действия силы совпадает с направлением движения материальной
точки. Предположим, что сила Р задана как непрерывная функция от
координаты х этой прямой, т. е. Р = Р(х).
Найдем работу силы Р при перемещении материальной точки от
х = а до х = Ъ. Разобьем отрезок [а, Ь], как и в задаче о площади
криволинейной трапеции, точками Xi и выберем ^ G Д« (г = 1,^).
Тогда работа силы Р на отрезке А^ приближенно равна Р(^)Аж^, а
на отрезке [а, Ь] работу этой силы можно считать приближенно равной
сумме
^. Предел этой суммы (при тех же условиях, что и
г=1
в задаче о площади) естественно назвать работой переменной силы
при перемещении материальной точки из точки а в точку Ъ.
В рассмотренных задачах речь идет о нахождении предела сумм
п
вида ^ f(^i)Axi, которые называют интегральными суммами. К вы-

318	Гл. VII. Определенный интеграл
числению предела таких сумм сводится решение многих важных за-
задач из геометрии, физики, техники и других дисциплин. Поэтому
вопросы, связанные с обоснованием предельного перехода описанного
типа, заслуживают всестороннего изучения.
2. Понятие определенного интеграла. Пусть функция одного
переменного f(x) определена на отрезке [а, Ъ] и пусть х\ (г = 0,п) —
совокупность точек этого отрезка таких, что
а = Хо < Х\ < ... < Xi-i < Xi < ... < Хп-\ <Хп—Ь.
Назовем эту совокупность точек разбиением отрезка [а, Ь], обозна-
обозначим разбиение Т = {ж^, г = 0,п}, а отрезки А^ = [xi-i,Xi], где г = 1,п,
назовем отрезками разбиения Т.
Пусть Axi = Xi — Xi-i — длина г-го отрезка разбиения Т. Тогда
число l(T) = max Axi назовем мелкостью разбиения Т (или диамет-
ром этого разбиения). Если ^ G Aj, то совокупность точек ^ (г = 1, п)
назовем выборкой и обозначим ? = {^, г = 1,п}.
Сумму	п
г=1
назовем интегральной суммой для функции / при заданном разбие-
разбиении Т и фиксированной выборке ?.
Определение. Число J называется определенным интегралом
ъ
от функции f на отрезке [а, Ь] и обозначается //(ж)б?ж, если для
любого г > 0 существует такое число S = 6(г) > 0, что для любого
разбиения Т, мелкость которого ЦТ) < 5, и для любой выборки ? вы-
выполняется неравенство
г=1
С помощью символов это определение можно записать так:
ъ
r=ff(x)dx\^\fs>0 35(s)>0: VT: l(T) < 6(e) V? -^
Часто утверждение B) кратко записывают в виде <jt(O —> J при
Z(T) —>¦ 0 или lim (Jt(O = «/? имея в виду, что предел не зависит от
/(Т)И)
выборки ?.
Если существует число J, определяемое условиями B), то функ-
функцию / называют интегрируемой (по Риману) на отрезке [а, Ь] и гово-
говорят^ что существует интеграл от функции f на отрезке [а, Ь].

§34- Определение и условия существования определенного интеграла 319
3. Необходимое условие интегрируемости функции.
Теорема 1. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6],
то она ограничена на этом отрезке.
О Пусть функция / интегрируема на отрезке [а, Ь]. Тогда существует
число J, удовлетворяющее условию B). Полагая в B) г = 1, получаем
неравенство
J-l<aT(Z,f)<J+l,	C)
которое должно выполняться для любого разбиения Т такого, что
ЦТ) < Si = EA), и при любой выборке ?.
Зафиксируем разбиение Г, удовлетворяющее условию 1(Т) < #ь и
предположим, что функция / не ограничена на отрезке [а, Ь]. Тогда
она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков А^ разбие-
разбиения Т. Без ограничения общности можно считать, что функция / не
ограничена на отрезке Ai = [xch^i] = [a,?i].
Фиксируем точки ?2?---??п? гДе ?г ? Аг? * — 2,п, и обозначим А =
п
= V^ f(?i)Axi. Тогда ат = А + /(?i)Axi и в силу C) получаем нера-
i=2
венства
J-K/(fi)Asi+A< J+1,	D)
которые должны выполняться для любого ?i G Аь
Так как Axi > 0, то двойное неравенство D) равносильно нера-
неравенству
из которого следует, что функция / ограничена на Ai, что противо-
противоречит предположению о неограниченности функции / на отрезке Аь
Итак, предположение о неограниченности / на [а, Ь] приводит к
противоречию. Теорема доказана. •
Замечание 1. Ограниченность функции не является достаточным
условием ее интегрируемости. Так, функция Дирихле
-{
?
не интегрируема на отрезке [0,1], хотя и ограничена.
О Действительно, если выборки ? и ?' состоят соответственно из рацио-
рациональных и иррациональных точек, то <jt(O = 1, а сгт(^) = 0 для любого
разбиения Т отрезка [0,1]. Поэтому не существует предела интегральных
сумм при ЦТ) —»¦ 0. •
4. Суммы Дарбу и их свойства. Пусть функция /, определен-
определенная на отрезке [а, Ь], ограничена на этом отрезке и пусть Т = {ж^, i =
= 0,п} — разбиение отрезка [а, 6], А^ = [x^-i,^], Аж^ = х\ — х\-\

320	Гл. VII. Определенный интеграл
(г = 1,п). Обозначим
Мг = sup /(ж), rrii = inf /(ж),
n	n	/^\
5T = ^MiAxi, sT = y^rnjAxj.
г=1	г=1
Назовем 5т и sx соответственно верхней и нижней суммами Дар-
Дарбу для функции f при заданном разбиении Т отрезка [а,Ь]. Заметим,
что эти суммы не зависят от выборки ?. Рассмотрим свойства сумм
Дарбу.
Свойство 1. Для любой выборки ? справедливы неравенства
ST ^ <ТТ(О <: 5Т.	F)
О Так как для любого ^ G Д« выполняются неравенства
ТО
rriiAxi ^ f(?i)Axi
Складывая эти неравенства, получаем
Согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы о
утверждения G) и F) равносильны. •
Свойство 2. Справедливы равенства
5Т = sup GТ @,	(8)
st = inf сгт(?).	(9)
О Докажем утверждение (8). Согласно определению точной верхней
грани нужно доказать, что выполняются следующие условия:
V? -> <7Т@ ^ 5т, е>0 3^: Sr- <tt№) < е.
Первое из этих условий выполняется в силу F). Докажем второе
условие.
Так как М, = sup /(ж), то по определению точной верхней грани
А
Уе > 0 3$ = &{е) ?АГ. 0 < Мь - /(?) < ^-, i = T^i.
Умножая г-е неравенство на Axi и складывая все получаемые нера-
неравенства, находим

где ?' = {^, i = l,n} — выборка. Итак, утверждение (8) доказано.
Аналогично доказывается, что справедливо и утверждение (9). •

§34- Определение и условия существования определенного интеграла 321
Следующее свойство сумм Дарбу связано с еще одним понятием
для разбиений. Назовем разбиение Т2 продолжением (измельчением)
разбиения Ть если каждая точка разбиения Т\ является точкой раз-
разбиения Т2. Иначе говоря, разбиение Т2 либо совпадает с разбиени-
разбиением Xi, либо получено из Т\ добавлением по крайней мере одной новой
точки.
Свойство 3. Если разбиение Т2 — продолжение разбиения Т\, то
sTl От2 ^ST2 ^STl,	A0)
т. е. при измельчении разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшает-
уменьшается, а верхняя не увеличивается.
О Для доказательства неравенств A0) достаточно рассмотреть слу-
случай, когда разбиение Т2 получается из разбиения Т\ добавлением
только одной точки х' Е (xi-i,Xi). Пусть А[ и А" — отрезки, на ко-
которые точка х' разбивает отрезок Af, a Ai и Л2 — длины этих отрез-
отрезков; тогда Axi = Ai + A2. Обозначим тп[ = inf /(ж), m'l = inf f(x).
хеА'{	хеА'/
Очевидно, что тп[ ^ ттг^, гп" ^ ттг^.
В суммах st2 и вТг равны все соответствующие слагаемые, за ис-
исключением тех, которые связаны с отрезком А^. Поэтому
St2 — STx — ^Ai + т"\2 — 7Tli(Ai + А2),
где тп[ ^ nii, m'l ^ mi. Следовательно,
st2 - sTl = (га- - ra^)Ai + (m'l - ra^)A2 ^ 0, т. е. sTl ^ sT2.
Аналогично доказывается неравенство St2 ^ Stx- Отсюда, ис-
используя неравенство st2 ^ St2 (cm. F)), получаем цепочку нера-
неравенств A0). •
Свойство 4. Для любых разбиений Т' и Т" справедливо нера-
неравенство
sT> ^ST».	(И)
О Пусть разбиение Т является продолжением как разбиения Т', так
и разбиения Т" (в качестве Г можно взять Т' и добавить к нему те
точки разбиения Т", которые не входят в Т').
Из неравенств A0) при Т\ — Т', Т<± —Т получаем
ST' ^ ST ^ St-
Полагая в A0) Г2 = Г и Тх = Т", находим
Объединяя полученные неравенства, имеем
st1 ^ st ^ St ^ St"
откуда следует неравенство A1). •

322	Гл. VII. Определенный интеграл
Свойство 5. Существуют числа
т	Т
удовлетворяющие для любых разбиений Т' и Т" отрезка [а, Ь] условию
sT> ^ 1^ J4 ST".	A2)
Эти числа называют соответственно нижним и верхним интеграла-
интегралами Дарбу от функции f на отрезке [а, Ь].
О Из неравенства A1) по теореме об отделимости числовых мно-
множеств (§ 2, теорема 2) следует, что существуют J = sup st и J = inf 5т
(супремум и инфимум по всевозможным разбиениям отрезка [а, Ь]) и
для любых разбиений Т' и Т" выполняется неравенство A2). •
В заключение отметим, что свойства 1-5 справедливы для любой
ограниченной на отрезке [а, Ь] функции.
5. Критерий интегрируемости функции.
Теорема 2. Для того чтобы функция f(x), определенная на от-
отрезке [а, Ь], была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и доста-
достаточно, чтобы эта функция была ограничена и удовлетворяла условию
\/г > 0 35? > 0: VT: 1(Т) < 8? -+ 0 ^ ST - sT < г. A3)
О Необходимость. Пусть функция / интегрируема на отрезке
[а, Ь]. Тогда она ограничена (теорема 1) и в силу определения интег-
интеграла
3J: Уг>0 Э5?>0: VT: 1(Т) < 6? V? -+ J - | < <тт(?) < J + |.
Таким образом, при каждом разбиении Т отрезка [а, 6], мелкость
которого удовлетворяет условию ЦТ) < 5?, неравенство
J-l<aT{O<J+l	A4)
выполняется при любой выборке ?. Поэтому из левого неравенст-
неравенства A4) и равенства (9) следует, что
J-|^inf<7T@=ST.	A5)
Аналогично из правого неравенства A4) и равенства (8) следует, что
ST = sup<7Т@ ^ J+|.	A6)
Из неравенств A5), F) и A6) получаем цепочку неравенств
откуда следует, что
0 ^ ST - sT «S f < e.
Итак, интегрируемая на отрезке функция / удовлетворяет усло-
условию A3).

§34- Определение и условия существования определенного интеграла 323
Достаточность. Пусть функция / ограничена на отрезке [а, Ь]
и удовлетворяет условию A3). Докажем, что функция / интегрируема
на отрезке [а, 6], т. е.
3J: Vs>0 35?>0: VT: l(T) < S? V? -+ \aT@ - J\ < e. A7)
Воспользуемся свойством 5. Из неравенств A2) следует, что
О ^7- J^ ST- sT,
откуда в силу A3) получаем неравенство
0^1 -I^St-st <е,
справедливое для любого разбиения Т такого, что ЦТ) < S?. Так как
числа J и J не зависят от Т, то отсюда следует, что
7= J.
Обозначим	_
J = J = J_	A8)
и докажем, что число J есть интеграл от функции / на отрезке [а, Ь].
Из A2) и A8) следует, что
sT ^ J ^ ST,	A9)
а из A9) и F) в силу A3) получаем
Это означает, что функция / интегрируема на отрезке [а, 6], а чис-
число J есть интеграл от /(ж) на [а, Ь]. •
Следствие. Если функция f интегрируема на отрезке [а, 6], а
число J — ее интеграл на этом отрезке, то
J = supsT = inf 5т-
Замечание 2. Назовем колебанием функции f на отрезке А{ = [жг-i, Х{]
разбиения Т = {ж^, г = 0, п} число
UJi(f) = UJi = Mi - ГГЦ,
где Mi = sup /(ж), rrii = inf /(ж). Тогда
*	71	П
St — st = / (Mi — rrii)Axi = N а;^ Ажг-
Условие интегрируемости A3) часто записывают в виде
?т - St = y^uJiAxi ->> 0 при /(Т) ->> 0.	B0)
г=1
Замечание 3. При доказательстве свойств интеграла (§ 35, п. 1) будет
использовано следующее равенство:
<*(/)= sup \f(x")-f(x')\.	B1)
х', х"?А{

324	Гл. VII. Определенный интеграл
О Согласно определению точной верхней грани равенство B1) означает,
что выполняются следующие условия:
I/O") - f(x')\ ^Mi-rrii для любых х\ х" е А»;	B2)
Vs>0 3xfeeAi Зж'е'еДг: Мг-тг-е<|/(ж/е/)-/(ж/е)|. B3)
Заметим, что формула B1) справедлива, если Mi = rrii, так как в этом
случае f(x) = М{ = mi для всех х G Дг- Пусть Мг > тг-, тогда для любых
ж7, ж" G Aj справедливы неравенства тг- ^ /(ж7) ^ Мг-, шг ^ /(ж") ^ Мг-,
откуда следует, что выполняется условие B2).
Для доказательства условия B3) зададим произвольное число е > О,
удовлетворяющее условию е < Мг- — тг-. В силу определения точных граней
найдутся точки х'? G Аг-, ж" G Аг- такие, что
/ю <mi + ?-<Mi-?-< f(x':),
откуда следует, что выполняется условие B3). •
Замечание 4. Можно доказать, что если для любого е > 0 сущест-
существует такое разбиение Т = Т(е), что S~ — s~ < s, то найдется число ? > О
такое, что для любого разбиения Т, мелкость которого ЦТ) < 6, выполня-
выполняется неравенство St — st < ? (см., например, [1, т. 1]). Поэтому критерий
интегрируемости можно сформулировать так: для того чтобы ограничен-
ограниченная функция / была интегрируема по Риману на отрезке [а, Ь], необходимо
и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало такое разбиение Т
отрезка [а, Ь], что
St — st < ?•
6. Классы интегрируемых функций.
Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке, то она интег-
интегрируема на этом отрезке.
О Пусть функция / непрерывна на отрезке [а, Ь]. Тогда по теореме
Кантора она равномерно непрерывна на этом отрезке, т. е.
Vs>0 35 = 5?>0: Vx',x" e [a,b\: \x'-x"\<5^
^ |/(*')-/(*")! <^. B4)
Докажем, что для функции / выполняется условие A3). Пусть
Т = {xi, г = 0,п} — произвольное разбиение отрезка [а, Ъ] такое, что
его мелкость l[f) = max Axi < S, где Axi — Х{ — Х{-\. По теореме
Вейерштрасса существуют точки ?^,?f G Ai = [xi-ъ^г] такие, что
/(?) = пы, /(#) = Ми где пы = inf /(х), М{ = sup /(х), г = М.
Поэтому из условия B4) следует, что uji — Mi-vfii —
тсюда по
(Ь - а) = г.
<	, так как |?" — ^| ^ Axi ^ ЦТ) < S. Отсюда получаем
а	п	п
V uji Axi <	V Axi
*-^	Ъ — а *-^	Ъ — а
г=1	г=1
Итак,
Уг>0 35 = 5?>0: VT: 1(Т) < 5 -^ ST - sT =
г=1

§34- Определение и условия существования определенного интеграла 325
и по теореме 2 функция / интегрируема на отрезке [а, Ь]. •
Упражнение 1. Доказать теорему 3, используя понятие модуля не-
непрерывности функции.
Пример 2. Доказать, пользуясь определением интеграла и тео-
теоремой 3, что:
Ъ	Ъ	ъ2 - 2
a) dx = Ъ — а; б) \xdx-
Л Функции /(ж) = 1 и /(ж) = ж непрерывны на отрезке и в силу
теоремы 3 интегрируемы. Пусть Т = {ж^, i = 0,n} — произвольное
разбиение отрезка [а, Ь].
п	п
а)	ЕСЛИ /(ж) = 1, ТО <7Т(?) = ^ 1 • Дж; = ^(Xi - Xi-x) = Хп - Ж0 =
г=1	г=1
6
= b — а, откуда lim 0т(?) = Ь — а, и поэтому dx = b — а.
/(т)-и)	У
а
б)	Пусть & = Жг Жг-1, тогда ^ G Д« = [ж;_ьж;] для г = Т~д,
Z
п	п
и, следовательно, стт(^) = ^^Дж^ = - ^(^i + ^i-i)(^i ~^i-i) =
г=1	г=1
п
2\	•	1 / 2	2\
Так как функция /(ж) = ж интегрируема на отрезке [а, 6], то из
определения интеграла следует, что предел интегральной суммы не
зависит от выбора точек ^ на отрезках Д^. Поэтому
ъ
zdx — - (b2 — а2). А
z
а
Теорема 4. Если функция определена на отрезке и монотонна,
то она интегрируема на этом отрезке.
О Пусть, например, функция / является возрастающей на отрезке
[а, 6]; тогда для всех ж G [а, Ь] выполняется условие
/(а) ^ /(ж) ^ f{b),
и поэтому функция / ограничена на отрезке [а, Ь].
Рассмотрим произвольное разбиение Т = {ж^, г = 0,п} отрез-
отрезка [а, Ь]. Тогда /(жг-i) = ™i, /(ж^) = М;, где т; = inf /(ж), М; =
= sup /(ж), Ai = [xi-i,Xi]. Следовательно, получаем St — st =
п
Mi-mi)Axi = ^2(f(xi) - f(xi-1))Axi, откуда ST - sT ^
i=l	i=l

326	Гл. VII. Определенный интеграл
п
«С 1{Т) Y^Uixi) - /(u-i)) = l(T)(f(b) - f(a)), так как
г=1
f(xi) - f(xi-i) ^ 0, Axi ^ max Дж; = /(Г).
Отсюда имеем, что 5т — «т —^ 0 при Z(T) —>¦ 0. По теореме 2 функ-
функция / интегрируема на отрезке [а, Ъ]. •
§ 35. Свойства определенного интеграла
Заметим сначала, что если функция / интегрируема на отрез-
отрезке [а, Ь], то интеграл от этой функции является числом, не зависящим
от того, какой буквой обозначен аргумент подынтегральной функции,
т. е.
ъ	ъ	ъ
а	а	а
Ъ
Иногда бывает удобно вместо записи f(x)dx использовать запись
ff(x)dx, где Д = [а,Ь].
А
Перейдем к рассмотрению свойств определенного интеграла. Все
отмеченные ниже свойства доказываются в предположении, что
подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она
интегрируется.
1. Свойства, связанные с операциями над функциями.
Свойство 1. Если функции fug интегрируемы на отрезке [а, Ь],
то для любых чисел а и /3 (а е /?, /3 е R) функция ip(x) = af(x) + Pg(x)
также интегрируема на отрезке [а, Ь] и справедливо равенство
ъ	ъ	ъ
f(af(x) + Pg(x)) dx = aff(x) dx + pfg(x) dx.	A)
О Пусть (Тт{?>] ф), 0"т(?; /), 0"т(?; д) — интегральные суммы для функ-
функций (р, f и д соответственно при заданном разбиении Т отрезка [а, Ь]
и фиксированной выборке ?. Тогда имеет место равенство
Если мелкость разбиения Т стремится к нулю A(Т) —У 0), то правая
часть этого равенства в силу интегрируемости функций / и д на
отрезке [а, Ь] имеет предел, а поэтому существует предел и в левой
части и при этом справедливо равенство A). •
Свойство 2. Если функции fug интегрируемы на отрезке [а, Ь],
то функция ср(х) = f{x)g{x) также интегрируема на этом отрезке.

§35. Свойства определенного интеграла	327
О Из интегрируемости функций / и g следует, что эти функции огра-
ограничены на отрезке [а, 6], и поэтому
ЗС> 0: Va; G [а,Ъ] -»¦ |/(ж)| ^ С, \g(x)\ ^ С.	B)
Следовательно, функция ip ограничена на отрезке [а, Ь].
Пусть ж', х" — произвольные точки отрезка [а, 6]; тогда из ра-
равенства
<р(х') - ф") = (f(x") - f(x'))g(x") + f(x')(g(x") - д(х'))
и условий B) следует неравенство
\<р(х') - <р(х")\ < C(\f(x") - f(x')\ + \g(x") - д(х')\).	C)
Если Т = {xi, i = 0,n} — разбиение отрезка [а, 6], А^ = [x^-i,^],
х' G Ai, x" G Af, cji(/) и а^(#) — колебания на отрезке А^ функ-
функций / и д соответственно (см. § 34, замечание 2), то согласно фор-
формуле B1), § 34
<*(/)= sup |/(х")-/И1, ^;(<?)= sup \д(х") - д(х')\.
х1, х"?А{	х1, x"?Ai
Поэтому из неравенства C) следует, что
откуда получаем неравенство
u)i{tp) ^ C{u)itf) + ил(д)), i = ТЯ	D)
Умножая г-е неравенство D) на Axi и складывая все получившиеся
неравенства, находим
п	п
; < С(^^(/)Д^ + J2^(9)^i).	E)
г=1	г=1	г=1
Так как правая часть E) стремится к нулю, если мелкость разбие-
разбиения Т стремится к нулю (§ 34, замечание 2), то и левая часть E)
стремится к нулю, откуда следует интегрируемость функции ip на
отрезке [а, Ь]. •
Упражнение 1. Доказать, что если функция f(x) интегрируема на
отрезке [а, Ь] и
ЗОО: Ухе [а,Ь]-Н/(ж)| ^ С,
то функция ———¦ интегрируема на отрезке [а, Ь].
J\x)
2. Свойства, связанные с отрезками интегрирования.
Свойство 1. Если функция f(x) интегрируема на отрезке А =
= [а, 6], то она интегрируема на любом отрезке Ai С А.
О Пусть Ai = [ai,bi], тогда а ^ а\ < Ъ\ ^ Ь, так как Ai С А. Нуж-
Нужно доказать, что для любого разбиения Т\ отрезка Ai выполняется

328	Гл. VII. Определенный интеграл
условие SVi - STi = У^гСГОДя^ -у 0 при /(Xi) ->• 0, где /(Xi) — мел-
мелкость разбиения Xi, c^(Xi) — колебание функции / на г-м отрезке
разбиения Т\.
Рассмотрим такое разбиение Г отрезка [а, 6], которое имеет на
отрезке Ai те же точки разбиения, что и Xi, и, кроме того, мелкость
разбиения Т удовлетворяет условию l(T) ^ 1{Т\).
Заметим, что
^2ooiAxi ^ ^2^Axi,	F)
Тг	Т
так как все слагаемые в левой и правой частях F) неотрицательны,
а правая сумма соответствует разбиению Т отрезка [а, Ь] и содержит
все слагаемые левой суммы, составленной для разбиения Т\ отрез-
отрезка [abbi].
Пусть l(Ti) —У 0; тогда ЦТ) —>¦ 0 и по теореме 2, § 34 правая часть F)
стремится к нулю. Но тогда и левая часть F) для любого разбие-
разбиения Т\ такого, что 1{Т\) —у 0, стремится к нулю. Используя достаточ-
достаточное условие теоремы 2, § 34, получаем: функция f(x) интегрируема
на отрезке Д]_. •
Свойство 2. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, Ь]
и а < с < Ь, то справедливо равенство
Ъ	с	Ъ
Jf(x) dx = Jf(x) dx + Jf(x) dx.	G)
а	а	с
О Существование интегралов в правой части доказано в свойстве 1.
Для доказательства формулы G) воспользуемся равенством
где а' и а" — интегральные суммы функции / на отрезках [а, с] и
[с, Ь] разбиения X, причем с является точкой этого разбиения.
Если ЦТ) —У 0, то в силу существования интегралов существуют
пределы интегральных сумм а, а', а" и справедливо равенство G). •
Замечание 1. Справедливо утверждение, обратное утверждению, до-
доказанному в свойстве 2: если а < с < Ъ и если функция f(x) интегрируема
на отрезках [а, с] и [с, Ь], то она интегрируема на отрезке [а, Ь] и справедливо
равенство G).
Следующее свойство требует расширения понятия интеграла
ь
f{x) dx на случай, когда Ъ = а, а также на случай, когда а > Ъ.
Положим по определению
f(x) dx = 0,	(8)

§35. Свойства определенного интеграла	329
если функция / определена в точке а.
Если функция интегрируема на отрезке [а, Ь], то будем считать по
определению, что
а	о
ff(x)dx = -ff(x)dx, a<b.	(9)
b	a
Определения (8) и (9) естественны. В самом деле, при а = Ъ можно
считать, что длины всех отрезков разбиения равны нулю, и поэтому
любая интегральная сумма равна нулю.
а
г
В случае Ъ > а можно символу / /(ж) dx поставить в соответ-
ъ
ствие интегральные суммы, которые отличаются лишь знаком от
соответствующих интегральных сумм для интеграла
ь
I /(ж) dx.
Свойство 3. Если функция f интегрируема на отрезке [а,Ь] и
если ci, С2, сз — любые точки этого отрезка, то
с3	с2	с3
ff(x) dx = ff(x) dx + ff(x) dx.	A0)
c\	ci	с2
О Пусть с\ < с2 < с3, тогда равенство A0) справедливо в силу
свойств 1 и 2.
Докажем формулу A0) для случая, когда с\ < сз < с2 (другие слу-
случаи рассматриваются аналогично). В силу свойства 2
с2	с3	с2
f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx,
с\	с\	сз
откуда получаем равенство A0), так как согласно определению (9)
/ /(ж) dx = — / /(ж) dx.
Если с\ — сз, то формула A0) справедлива в силу определений (8)
и (9). •
3. Оценки интегралов.
Утверждение 1. Если /(ж) ^ 0 для всех х е [а,Ь] и если функ-
функция /(ж) интегрируема на отрезке [а,Ь], то
ъ
Jf(x)dx^0.	A1)

330	Гл. VII. Определенный интеграл
О Так как для любого разбиения Т отрезка [а, Ъ] и при любой выбор-
выборке ? ={&, г = 1,п} выполняется неравенство
то, переходя в этом неравенстве к пределу при ЦТ) —> 0, получаем
неравенство A1). •
Следствие. Если функции /(ж) и д(х) интегрируемы на отрезке
[а, Ъ] и если для всех ж G [а, Ъ] выполняется неравенство /(ж) ^ #(ж), то
ъ	ъ
а	а
Упражнение 2. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а, Ь]
и пусть существуют числа т, М такие, что Уж G [а, Ь] выполняется нера-
неравенство m ^ /(ж) ^ М. Доказать, что
ъ
m(b - а) ^ //(ж) dx ^ МF - а).
а
Утверждение 2. #а/ш функция /(ж) интегрируема на отрез-
отрезке [а, 6],
/(ж) ^ 0 для любого ж G [а, 6],	A2)
существует точка жо Е [а, 6] такая, что /(жо) > 0, причем функция
/(ж) непрерывна в точке жо, то
ff(x)dx>0.	A3)
а
О Пусть жо — внутренняя точка отрезка [а, Ь], т. е. ж0 Е (а, 6). Тогда
в силу свойства сохранения знака для непрерывной функции
36 > 0: Vx G Е/*(жо) С [а, Ъ] -> /(ж) ^ ^1.	A4)
Обозначим Ai = [а, ж0 - й], Ао = [#о - й, ж0 + й], А2 = [ж0 + й, Ь]. Так
как / /(ж) dx ^ 0 для г = 1, 2 в силу условия A2), а
J f{x)dx> J^dx = f(xo)S>0J
Ао	Ао
ТО
6
ff(x)dx= ff(x)dx+ ff(x)dx+ Г f(x)dx^ f(xoM>0.
a	Ax	Ao	A2
Аналогично рассматриваются случаи xq = а и жо = &. •

§35. Свойства определенного интеграла
331
Замечание 2. Условие непрерывности функции / в точке жо, где
) > 0, является существенным. Пример:
1
/(ж) = 0, 0 < х <С 1, /@) = 1, //(ж) </ж = 0.
Утверждение 3. Если функция f(x) интегрируема на отрезке
[а, Ь], то функция \f(x)\ также интегрируема на этом отрезке и спра-
справедливо неравенство
f(x)dx
A5)
О Обозначим g{x) = \f{x)\ и заметим, что
Vx',x" G [а, 6] -+ |5(Ж") -д(х')\ < |/(ж") - /(ж'I-	A6)
Пусть Т = {xf, i = 0,n} — произвольное разбиение отрезка [а, 6],
cc?i(/) и Ui(g) — колебания функций / и д на отрезке А^ = [x^-i,^].
Из неравенства A6) следует, что
sup \д(х") - д(х')\ ^ sup \f(x")-f(x%
х', x"?Ai	x', x"?Ai
т. е.
), г = 1,п, откуда получаем неравенство
.	A7)
В силу интегрируемости функции / правая часть A7) стремится к
нулю при ЦТ) —У 0, поэтому левая часть A7) также стремится к ну-
нулю, откуда следует интегрируемость функции д(х) = \f(x)\ на отрез-
отрезке [а, Ь].
Докажем неравенство A5). Так как
т. е.
то, переходя в этом неравенстве к пределу, получаем неравенст-
неравенство A5). •
Замечание 3. Если функция / интегрируема на отрезке с концами а
и Ъ (а < Ъ или а > 6), то справедливо неравенство
ъ	, ъ
> f(?-)Ax-
< v
i=l
\ff(x)dx\^\f\f(x)\dx
A8)
Замечание 4. Из интегрируемости функции \f(x) \ на отрезке [а, Ь] не
следует интегрируемость функции f(x) на этом отрезке. Пример:
f(x) =
же С,
х € J.

332	Гл. VII. Определенный интеграл
Упражнение 3. Пусть функция /(ж) интегрируема па отрезке [а, Ь]
и существует число М > 0 такое, что |/(ж)| < М. Доказать, что для любых
а,/3 G [а,Ъ] справедливо неравенство
C
ff(x)da
A9)
4. Интегральная теорема о среднем.
Теорема. Пусть функции fug удовлетворяют следующим усло-
условиям:
1)	f(x) и д(х) интегрируемы на отрезке [а,Ь];
2)	3 т, М: Уж Е [а, 6] ^ т ^ f(x) ^ M;	B0)
3)	функция д не меняет знака на отрезке [а, 6], т. е. либо
#(ж) ^ 0 при х G [а, Ь],	B1)
либо
д{х) ^ 0 при х G [а, 6].
Тогда
ъ	ъ
3 /х Е [т, М]: ff(x)g(x) dx = /i Гд(х) dx.	B2)
а	а
О Пусть, например, выполняется условие B1). Тогда из неравенст-
неравенства B0) следует, что
Уж е [а, Ь] -> тд(х) ^ f(x)g(x) ^ Мр(ж).	B3)
Так как функции f и д интегрируемы на отрезке [а, Ь], то функция fg
также интегрируема на этом отрезке и согласно правилу оценки ин-
интегралов
ъ	ъ	ъ
т Гд(х) dx ^ ff(x)g(x) dx ^ М Гд(х) dx.	B4)
а	а	а
Ъ
Заметим, что если / д(х) dx = 0, то из неравенств B4) следует, что
а
Ъ
/ f(x)9(x) dx = 0, и поэтому равенство B2) в этом случае выполняется
при любом \i.
ъ
Пусть g(x)dx ф 0, тогда g(x)dx > 0 в силу B1). Поэтому не-
а	а
равенство B4) равносильно следующему неравенству:
т^/а^М,	B5)

§35. Свойства определенного интеграла	333
где	ъ
jf{x)g{x)dx
»=—b	•	B6)
jg(x)dx
а
Из B6) следует равенство B2), где \i Е [т, M] в силу неравенст-
неравенства B5). Теорема доказана для случая, когда g(x) ^ 0. Эта теорема
справедлива и в случае д(х) ^ 0, так как при замене д(х) на —д(х)
равенство B2) сохраняется. •
Следствие. Если функция f(x) непрерывна, а функция д(х) ин-
интегрируема на отрезке А = [а, Ъ] и не меняет знака, то
ъ	ъ
3 с е [а, Ъ]: ff(x)g(x) dx = f(c)Jg(x) dx.	B7)
a	a
В частности, если д{х) = 1, то
ъ
3ce[a,b]: Jf(x)dx = f(c)(b-a).	B8)
a
О Пусть т = inf /(ж), М = sup/(ж), где А = [а, Ь]. По теореме
Вейерштрасса
3x1,x2e[a,b]: f(x1)=m, f(x2) = M
и выполняется неравенство B0). Если \i — число, определяемое фор-
формулой B2), то j[x\) ^ \i ^ f(x2), и по теореме о промежуточных
значениях непрерывной функции получаем
Зс€[о,Ь]: №=ц.
Поэтому формулу B2) можно записать в виде B7). •
Замечание 5. Доказанное следствие обычно называют интегральной
теоремой о среднем. Это название связано с тем, что в формуле B7) речь
идет о существовании некоторой точки отрезка ("средней точки"), для ко-
которой выполняется равенство B7) для интегралов.
Замечание 6. Можно доказать (см., например, [2]), что в форму-
формуле B7) точку с всегда можно выбрать так, чтобы она принадлежала ин-
интервалу (а,Ь).
Замечание 7. Если /(ж) > 0, то равенство B8) означает, что площадь
криволинейной трапеции над отрезком [а, Ь] равна площади прямоугольни-
прямоугольника с основанием длины Ъ — а и высотой, равной значению функции / в
некоторой точке отрезка [а,Ь].

334	Гл. VII. Определенный интеграл
Пример. Доказать неравенство
xdx	. тг2
2	2
Л_ < /	xdx	< Л-	B9)
809 ^ J 100 + 2A/3sin3xcosx ^800*	у J
Л Обозначим f(x) = 	=	, q(x) = х и воспользуем-
ся неравенством 0 ^ sin3 ж cos ж ^ Зл/З/16, которое выполняется, если
0 ^ х ^ тг/2 (§ 20, пример 6). Тогда 0 ^ 2\/3 8т3жсо8ж ^ 9/8 и
8/809 ^ f(x) ^ 1/100. Применяя интегральную теорему о среднем
(неравенство B4)) и учитывая, что
тг/2	тг/2	2
Г g(x)dx = Г xdx = y>
о	о
получаем неравенство B9). А
§ 36. Интеграл с переменным верхним пределом.
Вычисление определенных интегралов
1. Интеграл с переменным верхним пределом. Если функ-
функция / интегрируема на отрезке [а, 6], то для любого х G [а, Ь] сущест-
существует интеграл	х
F(x) = Jf(t) dt,	A)
а
который называется интегралом с переменным верхним пределом.
а) Непрерывность интеграла.
Теорема 1. Если функция f интегрируема на отрезке [а, Ь], то
функция F(x) непрерывна на этом отрезке.
О Пусть х G [а, Ь] и х + Ах G [а, Ь]. Докажем, что
AF = F(x + Ах) - F(x) -+ 0 при Ах -+ 0.
В силу свойств интеграла (§ 35, п. 2)
х-\-Ах	х	х-\-Ах
AF= j f(t)dt-Jf(t)dt= j f(t)dt.	B)
a	a	x
Так как функция / интегрируема на отрезке [а, Ь], то она ограничена,
т. е.
ЗМ>0: Уже[а,Ь]->|/(ж)|^М.	C)
Согласно правилу оценки интеграла (§ 35, п. 3) из B) и C) следует, что
ж+Аж
I \f(t)\dt\^M\Ax\,

'. Интеграл с переменным верхним пределом	335
откуда получаем: AF —у 0 при Дж —у 0, т. е. функция F непрерывна
в точке ж. Поскольку ж — произвольная точка отрезка [а, Ь], то функ-
функция F непрерывна на отрезке [а, Ь]. •
б) Дифференцируемостъ интеграла.
Теорема 2. Если функция f интегрируема на отрезке [а, Ь] и
ж
непрерывна в точке ж0 G [а, Ь], то функция F{x) = / /(?) (it дифферен-
дифференцируема в точке жо, причем
F'(x0) = f(x0).	D)
О Пусть Дж ф 0 и жо + Дж G [а, Ь]; тогда при ж = жо справедливо
равенство B). Докажем, что
A F1
а = — - /(ж0) -)> 0 при Дж -)> 0.	E)
д
Преобразуем сг, пользуясь тем, что / dt — Ах (см. § 34, при-
XQ
мер 2, а)). В силу свойств интеграла
жд+Лж
ж0	ж0	ж0
откуда
жд+Лж
\Ax,
Xq
f \f(t)-f(xo)\
dt
F)
По условию функция / непрерывна в точке жо, т. е. для любого г > 0
существует число ? = S(e) > 0 такое, что для всех t G [/^(жо) выпол-
выполняется неравенство
\№-f(xo)\<e,	G)
где Us(xo) = {t: |t - жо| < й}. Пусть |Дж| < S; тогда |t - жо| ^ |Дж| < S,
так как t G I, где / — отрезок с концами хо и жо + Дж. Поэтому для
всех Дж таких, что |Дж| < ?, выполняется неравенство G). Но тогда
из F) следует, что |сг| <	г |Дж| = г. Таким образом, для любого
\/лх\
г > 0 найдется число S > 0 такое, что для всех Дж, удовлетворяю-
щих условию 0 < |Дж| < й, выполняется неравенство —	f(xo) <
г, т. е. выполняется условие E). Это означает, что справедливо ра-
равенство D). •
Замечание 1. Если хо = а, то равенство D) записывается в виде
F[(a) = /(а), а если ж0 = Ь, то в виде F!_(b) = /F)

336	Гл. VII. Определенный интеграл
в) Существование первообразной у непрерывной функции.
Теорема 3. Если функция f непрерывна на отрезке [а, 6], то
она имеет первообразную на этом отрезке, причем первообразной для
функции / является интеграл с переменным верхним пределом A), и
поэтому	х
f	ft + C,	(8)
а
где С — произвольная постоянная.
О Пусть х — произвольная точка отрезка [а, Ь]. По теореме 2 функ-
функция F(x), определяемая формулой A), имеет в точке х производную,
равную /(ж), т. е.
F'(X) = i{ff(t)dt)=f(X).	(9)
а
Согласно определению первообразной (§ 30) функция F(x) является
первообразной для функции /(ж) на отрезке [а,Ь], и поэтому справед-
справедливо равенство (8). •
Замечание 2. Согласно теореме 3 (формула (9)) операция интегри-
интегрирования непрерывной функции с переменным верхним пределом является
обратной к операции дифференцирования. Утверждение о том, что произ-
производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функ-
функции равна значению подынтегральной функции при значении аргумента,
равном верхнему пределу интеграла, является важнейшим фактом курса
математического анализа.
Следствие. Из теоремы 3 и теоремы § 30 следует, что всякая
первообразная Ф(х) для функции /, непрерывной на отрезке [а,Ь], име-
имеет вид
X
Ф(х) = Jf{t) dt + C, a^x^b,	A0)
а
где С — постоянная.
Упражнение 1. Доказать теорему 3 с помощью интегральной теоре-
теоремы о среднем (§ 35, формула B8)).
Упражнение 2. Доказать, что если функция / интегрируема на от-
ъ
резке [а,Ь] и непрерывна в точке х Е [а, Ь], то функция G(x) = f(t)dt
дифференцируема в точке х и G'(х) = —f(x).	x
2. Вычисление определенных интегралов.
а) Формула Ньютона-Лейбница.
Теорема 4. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а,Ь] и
если Ф(х) — какая-нибудь первообразная для f(x) на этом отрезке,
то справедлива формула Ньютона-Лейбница
ъ
-Ф(а).	A1)

'. Интеграл с переменным верхним пределом	337
О Согласно следствию из теоремы 3 существует число С такое, что
справедливо равенство A0). Подставляя в формулу A0) х = а и учи-
а
тывая, что //(?) dt = 0, получаем С = Ф(а). Поэтому равенство A0)
можно записать в виде
X
ft + ${a).	A2)
Равенство A2) выполняется при любых значениях х Е [а, Ъ] и, в част-
частности, при х = 6, т. е.
ъ
а
откуда следует формула A1), так как величина определенного ин-
интеграла не зависит от того, какой буквой обозначается независимое
переменное в интеграле. •
Замечание 3. Формулу Ньютона-Лейбница называют основной фор-
формулой интегрального исчисления и часто записывают в виде
Ъг	ъ
f(x)dx = $(x) .
i
Пример 1. Доказать, что для любых т G A/, n G А/ справедливы
равенства:
7Г
а)	/ sm.mxcosnxdx = 0;	A3)
— 7Г
7Г	7Г
б)	/ sin2 mxdx = / cos2 nxdx = тг.	A4)
— 7Г	—7Г
Л а) Воспользовавшись формулой sin a cos /3 = - (sin(a + /3) +
z
+ sin(a - /3)), получаем
7Г	7Г	7Г
J = /sin тж cos nxdx = - / sin(m + п)ж dx + - sin(m - п)ж <ix.
У	^ J	2 J
Если ш / n, to
J = —	 cos(m + n)x
2(m + n) v	;
1
H	;	 COS(?71 — Tl)x
-тг 2(m - n)
= 0,
так как costt/i: = (—l)k для любого к ? Z. Если m = n, то
7Г
1 /
J = - / sin 2пж б?ж = 0

338	Гл. VII. Определенный интеграл
для любого п Е N. Таким образом, равенство A3) справедливо при
любых ?тг,п G N.
^\ тт , .9 1 —cos 2а о 1 + cos 2a
б) Применяя формулы sm а = 	 и cos а = 	 и
7Г	7Г
учитывая, что / cos2nx<ix = 0 при любом п Е A/, a dx = 2тг, полу-
— 7Г	—7Г
чаем равенство A4). А
Упражнение 3. Доказать, что для любых т Е A/, n Е А/ (п / т)
справедливы равенства
7Г	7Г
/ sin ?тгж sin nx dx = 0, / cos тж cos пж с/ж = 0.
— 7Г	— 7Г
Замечание 4. Определенный интеграл можно использовать для
эффективного вычисления предела последовательности, если ее можно
рассматривать как последовательность интегральных сумм некоторой
интегрируемой функции.
Пример 2. Найти с помощью интеграла Нт 5П, если:
п—>-оо
а) 5« =	^	'а > °;
Л а) Запишем Sn в виде Sn = — > ( — ) и заметим, что Sn — ин-
п *-^ \п/
к=1
тегральная сумма (см. § 34, п. 1) для функции /(ж) = ха на отрезке
[0,1], соответствующая разбиению Г этого отрезка на отрезки Ак =
= ~ , - , к = 1,п, каждый из которых имеет длину -; в качестве
|_	IV	IV J	IV
точки ?д. Е Ak берется конец отрезка А^, т. е. ?& = —. Так как ЦТ) =
=	У 0 при п —у оо, а функция ха непрерывна на отрезке [0,1], то
существует	i
xa+1
lim Sn = xa dx =
о
о
б) Так как Sn = — У^	:	интегральная сумма для функ-
п *-^ 1 + к/п
ции 	 на отрезке [0,1], то
lim Sn= ^
п—>-оо
О

'. Интеграл с переменным верхним пределом	339
Пример 3. Доказать, что если функция / непрерывна на	/?, а
функции ср и ф дифференцируемы на /?, то
? ( I f(t) dt) = ф'(хI(ф(х)) - <p'(x)f(<p(x)).	A5)
Л Пусть F — первообразная для функции /; тогда по формуле
Ньютона-Лейбница находим
/ f(t) dt = F(t) l	= F№(x)) - F(<p(x)),
откуда, используя правило дифференцирования сложной функции и
равенство F'(t) = /(?), получаем формулу A5). А
б) Замена переменного.
Теорема 5. Пусть функция f(x) непрерывна на интерва-
интервале (ао, bo), а функция ip(t) имеет непрерывную производную на интер-
интервале («о, А)), причем cp{t) Е (aojbo) при всех t G («о, А))-
Тогда если а е (а0, А))> /3 G («о, А)), а = 4>(ol), b = (р(/3), то спра-
справедлива формула замены переменного в определенном интеграле
ь	р
jf(x)dx = ff(<p(t))<p'(t)dt.	A6)
а	а
О Так как a G (ao,&oM b G (ао,&оM a функция f(x) непрерывна на
интервале (ао,&оM то по формуле Ньютона-Лейбница находим
ъ
-Ф(а),	A7)
где Ф'(х) = f(x) для всех х G (ао>Ы-
Функция Ф((р(г)) является первообразной для функции, стоящей
под знаком интеграла в правой части формулы A6), так как
Применяя к функции f((p(t))(p'(t) формулу Ньютона-Лейбница и
учитывая, что ip(a) = a, (p(f3) = Ь, получаем
Р
ff(<p(tW(t) ^ = ФЫР)) - ФЫа)) = Ф(Ь) - Ф(а). A8)
а
Из равенств A7) и A8) следует формула A6). •
Замечание 5. При условиях теоремы 5 формула A6) справедлива как
при а ^ /3, так и при а > /3.
Формула A6) остается в силе и в случае, когда функции / и ср зада-
заданы соответственно на отрезках [а, Ь] и [а,/5], причем множество значений
функции ср содержится в отрезке [а, Ь], где а = (р(а), b = (p(/3). В этом слу-
случае под производными сложной функции Ф(ср(г)) и концах отрезка [а,/3]
понимаются соответствующие односторонние производные.

340	Гл. VII. Определенный интеграл
R
Пример 4. Вычислить J = / л/R2 — х2 dx.
о
Л Полагая х = i^sint, где 0 ^ t ^ —, получаем \/R? — х2 =
dx — Rcostdt. По формуле A6) находим
тг/2
J = R2 Г cos2 tdt=~"
4
о
Пример 5. Пусть функция / непрерывна на отрезке [—а, а]. До-
Доказать, что:
а)	если / — нечетная функция, то
а
Г f(x)dx = 0;
— а
б)	если / — четная функция, то
а	а
Г f(x)dx = 2 ff(x)dx.	A9)
-а	О
Л а) Если / — нечетная функция, т. е. f(-x) = -f(x) для всех
х Е [—а, а], то, полагая х = — t и используя формулу A6), получаем
О	0	а	а
Jf(x) dx = -ff(-t) dt = f(-№) dt = -Jf(x) dx,
-а	а	о	О
откуда следует, что
a	0	a
f f(x) dx = f f(x) dx + ff(x) dx = 0.
— a	—a	0
0	a
б) Если / — четная функция, то f(x)dx = f(x)dx, откуда
следует равенство A9). А	-а	о
Пример 6. Доказать, что если / — непрерывная на R перио-
периодическая с периодом Т функция, то для любого a G R справедливо
равенство
а+Т	Т
[ f(x)dx= ff(x)dx.	B0)
а	О
Л Используя свойства интеграла (§ 35, п. 2), запишем равенство
а+Т	О	Т	а+Т
[ f(x) dx = ff(x) dx + ff(x) dx+ Г f(x) dx.	B1)
а	а	о	Т
Полагая x = t + T и учитывая, что функция / определена на R
и f(t + Т) = f(t) для всех t G R в силу периодичности функции /,

'. Интеграл с переменным верхним пределом	341
получаем
а+Т	а	а	О
J /(ж) dx = Jf(t + T)dt = Jf(t) dt = -Jf{x) dx. B2)
TO	О	а
Из равенств B1) и B2) следует формула B0). А
5тг/2
Пример 7. Вычислить J = / sin5 ж cos8 xdx.
-тг/2
Л Так как подынтегральная функция является периодической с пе-
периодом 2тг и нечетной, то, используя примеры 5 и б, получаем
7Г
J— I sin5 ж cos8 ж с?ж = 0. А
— 7Г
в) Интегрирование по частям.
Теорема 6. Если функции и(х) и v(x) имеют на отрезке [а,Ь]
непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по
частям
ъ	ъ
fuv' dx = (uv) |\ - fvu' dx.	B3)
a	a
О Интегрируя на отрезке [а, Ь] тождество
uv' = (uv)' — u'v,
где ш/, (uv)', u'v — непрерывные функции, получаем
ъ	ъ	ъ
I uv' dx = I (uv)'dx — vu'dx.	B4)
a	a	a
По формуле Ньютона-Лейбница находим
ь
/ (uv)' dx = (uv) = u(b)v(b) — u(a)v(a).
J	a
a
Поэтому равенство B4) можно записать в виде B3). •
Замечание 6. Учитывая, что v dx = dv, и dx = du, формулу B3)
иногда записывают в виде
ъ
ъ
ludv = (uv)\ — Iv du.
а	а
2
Пример 8. Вычислить J — xlnxdx.
1	2
Л Применяя формулу B3), где и = In ж, v = —, получаем
2	2
J = ^1пж)|2- /у icte = 21n2- i Г xdx,

342	Гл. VII. Определенный интеграл
т. е.
J = 21n2-|. A
3. Простейшие дифференциальные уравнения.
а) Дифференциальные уравнения первого порядка. Задачу о нахож-
нахождении первообразной для непрерывной на интервале (а, Ъ) функции
/(ж) можно сформулировать так: найти функцию у(х), которая на
интервале (а, Ь) является решением уравнения
y'(x) = f(x).	B5)
Уравнение такого вида является обыкновенным дифференциальным
уравнением первого порядка. Все решения уравнения B5) можно за-
записать в виде
у(х) = jf{t) dt + С,	B6)
где хо Е (а, Ь), С — произвольная постоянная.
Чтобы выделить единственное решение уравнения B5), достаточ-
достаточно задать значение функции у(х) в какой-либо точке, например в точ-
точке xq. Если у(хо) = уо, то из формулы B6) получаем
f
4{t)dt.
x0
В приложениях часто встречаются дифференциальные уравнения
первого порядка, имеющие вид
у'(х) = ку(х),	B7)
где к — постоянная. Уравнением B7) описывается, например, закон
размножения бактерий, так как скорость роста числа бактерий про-
пропорциональна их количеству.
Решениями уравнения B7) являются функции у = Секх, где С —
произвольная постоянная. Можно показать [13], что других решений
уравнение B7) не имеет. Если известно, что у(хо) = уо, то С = уо, и
поэтому
б) Дифференциальные уравнения второго порядка. Рассмотрим
уравнение
у"(х)+и2у(х)=0,	B8)
где uj — некоторое положительное число. Уравнение B8) называют
уравнением гармонических колебаний.
Легко проверить, что функции coscjx и s'mux являются решения-
решениями уравнения B8). Отсюда следует, что функции вида
у = С1со8их + С28ших,	B9)

§37. Приложения определенного интеграла	343
где С\ и С2 — произвольные постоянные, удовлетворяют уравне-
уравнению B8). Можно показать [13], что других решений уравнение B8) не
имеет. Если известно значение функции у(х) и значение ее производ-
производной при х = хо (начальные условия), т. е. заданы числа уо = у(хо) и
у0 = у'(хо), то этими условиями определяется единственное решение
уравнения B8). Например, если у@) = 0, у'@) = 1, то из формулы B9)
находим С\ = 0, С2 = —, и поэтому у = — s'mux.
UJ	UJ
Обратимся к уравнению
у"(х)-и2у(х)=0,	C0)
где и > 0. Его решениями, как нетрудно проверить, являются функ-
функции еих и е~и;х, и поэтому функции вида
у = Сгешх + С2е~шх,	C1)
где С\ и С2 — произвольные постоянные, также удовлетворяют урав-
уравнению C0).
Можно показать, что других решений уравнение C0) не имеет. Ес-
Если заданы числа у0 = у(х0) и у = у'(хо), то из формулы C1) найдем С\
и С2 и тем самым определим единственное решение уравнения C0).
Например, если известно, что у@) = 1, у'@) = 0, то С\ + С2 = 1,
uoCi - иоС2 = 0, откуда d = С2 = \, и поэтому у = \{ешх + е~"х) =
= chux.
§ 37. Приложения определенного интеграла
1. Вычисление площади плоской фигуры.
а) Плоская фигура и ее площадь. Произвольное ограниченное мно-
множество точек плоскости будем называть плоской фигурой. Если плос-
плоскую фигуру можно представить как объединение конечного числа
непересекающихся прямоугольников, то такую фигуру назовем кле-
клеточной. Под прямоугольником будем понимать множество точек вида
К = {(х,у): а\ ^ х ^ Ьь а2 ^ у ^ Ъ2] или множество, получаемое
из К удалением части границы (или всей границы) множества К.
Площадью прямоугольника К назовем число (Ъ\ — а\)(Ъ2 — а2) не-
независимо от того, принадлежат или не принадлежат множеству К
его граничные точки, а площадью клеточной фигуры назовем сумму
площадей прямоугольников, из которых составлена эта фигура.
Замечание 1. Можно показать (см § 45), что площадь клеточной фи-
фигуры не зависит от способа разбиения ее на прямоугольники. Нетрудно
также убедиться в том, что площадь клеточной фигуры неотрицательна и
обладает свойствами:
а) аддитивности, т. е. площадь объединения двух непересекающихся
клеточных фигур равна сумме их площадей;

344	Гл. VII. Определенный интеграл
б)	инвариантности, т. е. площади двух равных (конгруэнтных) клеточ-
клеточных фигур совпадают;
в)	монотонности, т. е. если клеточные фигуры G\ и Gi таковы, что
G\ С ft, то площадь фигуры G\ не превосходит площади фигуры Gi-
Плоскую фигуру G назовем квадрируемой, если для любого г > О
найдутся клеточные фигуры q и Q такие, что
qCGGQ,	A)
О sC S(Q) - S(q) < e,	B)
где S(Q), S(q) — площади фигур Q и q соответственно.
Пусть плоская фигура G квадрируема. Тогда площадью этой фи-
фигуры назовем число S(G) такое, что
S(q) ^ S(G) <: S(Q)	C)
для любых клеточных фигур q и Q, удовлетворяющих условию A).
Теорема 1. Для любой квадрируемой фигуры G число S(G) су-
существует и единственно, причем
S(G)= sup S(q)=infS(Q).	D)
О Так как для любых клеточных фигур q и Q, удовлетворяющих
условию A), выполняется неравенство
S(q) ^ S(Q),
то по теореме об отделимости (§ 2) существуют supS(g) и inf S(Q)
(супремум и инфимум берутся по всем клеточным фигурам, соот-
соответственно содержащимся в фигуре G и содержащим эту фигуру),
причем
S(q) ^ supS(q) ^ inf S(Q) < S(Q),	E)
откуда
S(q)^ sup S(q)^S(Q).	F)
Таким образом, число S(G) = sup5(^) удовлетворяет условию C).
Докажем единственность числа S(G). Предположим, что наряду с
числом S(G) существует еще одно число Sf(G), удовлетворяющее
условию C), т. е.
S(q) < S'(G) 4: S(Q).	G)
Тогда из C) и G) в силу свойств неравенств получаем, что
\S(G)-S'(G)\^S(Q)-S(q)	(8)
для любых клеточных фигур таких, что q С G С Q. Так как G —
квадрируемая фигура, то разность S(Q) — S(q) можно сделать сколь
угодно малой в силу условия B), выбрав соответствующие фигуры Q
и q. Поэтому из (8) следует, что S'(G) = 5F?). Таким образом, квадри-
квадрируемая фигура G имеет площадь 5(G), причем в силу E) справедливо
равенство D). •

§37. Приложения определенного интеграла	345
Теорема 2. Для того чтобы плоская фигура G была квадрируе-
ма, необходимо и достаточно, чтобы для любого г > 0 существовали
такие квадрируемые плоские фигуры q и Q, что
qCGcQ, 0 ^ S(Q) - S(q) < e,	(9)
где S(Q) и S(q) — площади фигур Q и q соответственно.
О Необходимость условий (9) очевидна, так как по определению
квадрируемой фигуры эти условия выполняются, если взять q = q,
Q = Q5 где q и Q — клеточные фигуры, удовлетворяющие соотноше-
соотношениям A), B).
Докажем достаточность. Фиксируя произвольное число^г > О, най-
найдем в силу (9) такие квадрируемые плоские фигуры qnQ, что
qCGcQ, 0 ^ S(Q) - S(q)< |,	A0)
Так как q и Q — квадрируемые плоские фигуры, то существуют
клеточные фигуры Q' и q' такие, что
q'cq, QCQ1, 0^5(g)-5(g')<|, 0 ^ S(Q') - S(Q) < \. A1)
Из A0) и A1) следует, что
q1 CGCQ1, 0 ^ S(Q') - S(q') < е.
Это означает, что G — квадрируемая фигура, причем
S(G) = sup 5(§) = inf 5(Q). •
Замечание 2. Можно доказать (см. § 45), что площадь квадрируемой
фигуры обладает свойствами аддитивности, инвариантности и монотоннос-
монотонности (см. замечание 1).
б) Площадь криволинейной трапеции. Одной из основных задач,
приводящих к понятию определенного интеграла, является задача о
площади криволинейной трапеции (§ 34, п. 1), т. е. фигуры G, зада-
задаваемой на плоскости Оху условиями
G = {(x,y): a^x^b, 0^y^f(x)},	A2)
где f(x) — функция, непрерывная на отрезке [а, Ь].
Утверждение 1. Криволинейная трапеция G — квадрируемая
фигура, площадь которой S = S(G) выражается формулой
ъ
S = ff(x)dx.	A3)
а
О Пусть Г = {х{, г = 0, п} — разбиение отрезка [а, Ь], Mi и mi — соот-
соответственно наибольшее и наименьшее значения функции / на отрезке
Д^ = [xi-i,Xi], Axi = Xi — Xi-i, i = l,n (см. рис. 34.1).

346	Гл. VII. Определенный интеграл
Рассмотрим клеточную фигуру q, составленную из прямоугольни-
прямоугольников qi [г = 1,п), таких, что длина основания г-го прямоугольника рав-
равна Axi, а высота равна т^.
Аналогично определяется клеточная фигура Q, составленная из
фигур Qi, где Qi — прямоугольник, длина основания которого Axi,
а высота М^, г = 1,п.
Очевидно, q С G С Q, площади фигур q и Q соответственно равны
п	п
S(q) = J2 ггыАхи S(Q) = J2 Mi^i-
1=1	1=1
Заметим, что
S(q) = ax, S(Q) = ST,	A4)
где st и St — соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу для
функции / при разбиении Т отрезка [а, Ь].
Так как функция /(ж) непрерывна на отрезке [а, Ь], то в силу кри-
критерия интегрируемости (§ 34, теорема 2) для любого г > 0 найдется
такое разбиение Т этого отрезка, что
О ^ 5Т - sT < е.
Иными словами (см. равенства A4)), существуют клеточные фигу-
фигуры q и Q такие, что
qCGcQ, 0 ^ S(Q) - S(q) < s,
т. е. выполняются условия A), B). Это означает, что G — квадрируе-
мая фигура и согласно теореме 1 справедливо равенство D), которое
в силу равенств A4) можно записать в виде
S(G) =supsT = ini St.
Используя следствие из теоремы 2, § 34, получаем
ъ
sup st = inf St = f{x) dx.	A6)
q
Из A5) и A6) следует, что площадь S = S(G) криволинейной трапе-
трапеции G выражается формулой A3). •
Замечание 3. В § 34, п. 1 площадь S фигуры G была определена
п
как предел интегральной суммы сгт{0 = / J f(?i)Axj при 1{Т) -Л 0 при
г=1
условии, что этот предел не зависит от разбиения Т и выборки ? = {^, г =
= 1,п}, где ?i € Аг- Для непрерывной на отрезке [а, Ъ] функции lim ат(?) =
Ь	1(Т)^0
= / /(ж) dx, и поэтому оба определения площади приводят к одному и тому
а
же результату.

§37. Приложения определенного интеграла
347
Рассмотрим теперь фигуру D (рис. 37.1), ограниченную отрезка-
отрезками прямых х = аих = Ьи графиками непрерывных на отрезке [а, Ь]
О
Рис. 37.1
-Ь
Рис. 37.2
функций у = fi(x) и у = /2(ж), где Д(ж) ^ /2(ж) при х е [а,Ь]. Если
fi(x) ^ 0 для всех х Е [а, Ь], то площадь фигуры D равна разности пло-
площадей криволинейных трапеций D2 и Di, где Di = {(х,у): а ^ ж ^
^6, 0 ^ ^/ ^ fi(x)}, г = 1, 2. Поэтому площадь Sd фигуры D выража-
выражается формулой
Sd = j{h{x)-h{x))dx.
A7)
Формула A7) остается в силе и в случае, когда не выполняется
условие fi(x) ^ 0 для всех х е [а,Ь]. Чтобы убедиться в этом, дос-
достаточно сдвинуть фигуру D вдоль положительного направления оси
Оу на 2/о = | min fi(x)\ и воспользоваться тем, что площади равных
хе[а,Ь]
фигур совпадают.
Пример 1. Найти площадь S фигуры, ограниченной эллипсом
9	7 9
а2 Ъ2
Л Искомая площадь S равна 4сг, где а (рис. 37.2) — площадь криво-
криволинейной трапеции, ограниченной осями Ож, Оу и графиком функ-
функа. По формуле A3) находим
1
а = b \ 1	 dx = ab I у 1 — t2 dt = - тгаЬ
J У a2	J	4
о	о
(см. § 36, пример 4). Итак, площадь, ограниченная эллипсом с полу-
полуосями а и 6, равна
5 = тгаЬ.
В частности, площадь круга радиуса R равна тгВ2. А

348
Гл. VII. Определенный интеграл
Отсюда следует, что площадь кругового сектора (радиуса R), со-
соответствующего центральному углу а, равна
тгЯ2 R2a
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у =
= бж - х2 и прямой у = х + 4.
Л Парабола 2/ = 6ж — х2 пересекается с прямой у = х + 4 в точках А
и 5 (рис. 37.3), абсциссы кото-
которых являются корнями уравне-
уравнения 6х — х2 = х + 4. Решая это
уравнение, находим его корни
xi = 1, х2 = 4. Согласно фор-
формуле A7) искомая площадь S
равна
4
5 = Г(Fх - х2) - (х + 4)) сЬ =
1
= !• *
в) Площадь криволинейного
сектора. Пусть кривая Г зада-
задана в полярной системе координат уравнением
Рис. 37.3
где р(ср) — неотрицательная и непрерывная на отрезке [а, /3] функция.
Тогда плоскую фигуру G, ограниченную
кривой Г и, быть может, отрезками двух
лучей, составляющих с полярной осью
углы а и /3 (рис. 37.4), назовем криво-
криволинейным сектором.
Утверждение 2. Криволинейный
сектор G — квадрируемая фигура, пло-
площадь которой S выражается формулой
A8)
Рис. 37.4
О Пусть Т = {ifi, i = 0, п) — разбиение
отрезка [а,/3], mi и Mi — соответственно наименьшее и наибольшее
значения функции p(ip) на отрезке А^ = [(^_i,(^], i = l,n. Обозна-
Обозначим через gi и Qi круговые секторы, ограниченные лучами ср = cpi-i,
if = ipi и дугами окружностей радиусов mi и М^ соответственно
(рис. 37.4). Если q — объединение фигур gi,..., qn, a Q — объединение
фигур Qi,..., Qn, то q CG С Q.

§37. Приложения определенного интеграла	349
Так как qiwQi — квадрируемые фигуры, то q и Q также являются
квадрируемыми фигурами, а их площади соответственно равны
5(«) = |^ш?Д^ и S(Q) = \j2MiA^-
г=1	г=1
Отсюда следует, что S(q) и S(Q) совпадают соответственно с нижней
и верхней суммами Дарбу для функции - р2((р) на отрезке [а,/3]. По-
Поэтому (следствие из теоремы 2, § 34)
C
Это означает (теорема 2), что G — квадрируемая фигура, а ее пло-
площадь S выражается формулой A8). •
Пример 3. Найти площадь фигу-
ры G, которая ограничена лемнискатой
Бернулли (рис. 37.5), заданной уравне-
уравнением
р2 = a2 cos 2<p.
Л Фигура G симметрична относитель-
относительно координатных осей. Площадь а той
части фигуры G, которая лежит в
первом квадранте, согласно формуле A8) равна а = - a2 cos2(pdtp =
2	2 J
= —. Поэтому искомая площадь S = 4сг = а2. А
2. Вычисление объема тела.
а) Тело и его объем. Произвольное ограниченное множество точек
пространства будем называть телом.
Основные определения и утверждения, относящиеся к телам, ана-
аналогичны соответствующим определениям и утверждениям, содержа-
содержащимся в п. 1. Поэтому некоторые утверждения для тел (см. теоремы 1
и 2) будут опущены.
По аналогии с понятием клеточной фигуры назовем тело клеточ-
клеточным, если его можно представить как объединение конечного числа
непересекающихся параллелепипедов, т. е. тел вида
М = {{x,y,z): а,! ^ х ^ Ьь а2 ^у ^ &2, а3 ^ z ^ Ь3},
а также тел, получаемых из М удалением части границы (или всей
границы) тела М. Объемом параллелепипеда М назовем число
[Ъ\ — ai)(&2 — 0,2)(Ьз — а%), а объемом клеточного тела — сумму объе-
объемов составляющих его параллелепипедов.
Тело П будем называть кубируемым, если для любого е > 0 най-
найдутся клеточные тела р и Р такие, что
рСпсР, 0 ^ V{P) - V{p) < г,

350
Гл. VII. Определенный интеграл
где V(P) и V(p) — объемы тел Р и р соответственно. Как и в п. 1, лег-
легко показать, что если тело п кубируемо, то существует единственное
число V(Q) такое, что неравенство
V(p) ^ V(U) ^ V(P)
выполняется для любых клеточных тел р, Р, удовлетворяющих усло-
условию р С О С F; при этом
V(Q) =supV(p) = infV(P).
Это число V(Q) называют объемом тела V. Рассмотрим некоторые
классы кубируемых (имеющих объем) тел.
б) Цилиндрическое тело и его объем. Пусть простой контур Г
(см. § 22), расположенный в плоскости Оху, ограничивает плоскую
фигуру G. Рассмотрим множество П
точек пространства, которые получа-
получаются сдвигом фигуры G в направ-
направлении положительной полуоси Oz на
расстояние, не превосходящее h, где
h — заданное число, и назовем п ци-
цилиндрическим телом. Граница этого
тела состоит из равных (конгруэнт-
(конгруэнтных) фигур G и G\ (рис. 37.6) и час-
части цилиндрической поверхности, об-
образующие которой параллельны оси
Oz. Фигуры G и G\ называют ос-
основаниями цилиндрического тела, а
расстояние между плоскостями оснований — высотой этого тела.
Утверждение 3. Если основанием цилиндрического тела п слу-
служит плоская квадрируемая фигура G, то тело П кубируемо, а его
объем V(Q) равен S(G)h, где S(G) — площадь основания, h — вы-
высота тела п. В частности, объем прямого кругового цилиндра равен
V = тгR2h, где R — радиус основания, h — высота цилиндра.
О По определению плоской квадрируемой фигуры для любого е > 0
существуют такие клеточные фигуры q и Q, что
О)
.-
G
^
«а»
г
ч
h
У
Рис. 37.6
0
S(Q) - S(q) < ?-.
Рассмотрим цилиндрические тела Vt\ и П2, основаниями которых слу-
служат соответственно фигуры q и Q, а высота каждого из этих тел
равна h. Тела ui и п2 являются клеточными, а их объемы соот-
соответственно равны
Так как пг С п С П2, 0 ^ V(u2) - V(Qi) < г, то п — кубируемое
тело, а его объем равен S(G)h. •

§37. Приложения определенного интеграла
351
Замечание 4. Из свойства аддитивности объема и утверждения 3
следует, что ступенчатое тело, т. е. тело, являющееся объединением ко-
конечного числа цилиндрических тел, кубируемо, если основания цилиндри-
цилиндрических тел квадрируемы; при этом объем ступенчатого тела равен сумме
объемов тел, из которых составлено ступенчатое тело.
в) Объем тела вращения.
Утверждение 4. Тело, образованное вращением вокруг оси Ох
криволинейной трапеции G (условие A2)), где f(x) — функция, не-
непрерывная на отрезке [а, 6], кубируемо, а его объем V выражается
формулой	ъ
V = тг ff(x)dx.	A9)
а
О Пусть Т, mi, Mi, Axi, q, Q — те же, что и в п. 1,6). При враще-
вращении вокруг оси Ох фигур q, G, Q получаются тела вращения р, П, Р
рСПсР,
причем объемы ступенчатых тел р и Р соответственно равны
Так как V(p) и V(P) равны соответственно нижней и верхней сум-
суммам Дарбу для функции тг/2(ж) при разбиении Т отрезка [а,Ь], то
согласно следствию из теоремы 2, § 34
ъ
supV» = infV(P) = irjf(x)dx.
а
Следовательно, п — кубируемое тело (по теореме, аналогичной тео-
теореме 2), а его объем выражается формулой A9). •
Пример 4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг
оси Ох фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции у = sin ж,
О ^ X ^ 7Г.	тг	2
Л По формуле A9) получаем v = тг / sin2 xdx = —. А
о
г) Объем тела с заданными площадями поперечных сечений. Пусть
тело п заключено меж-
между плоскостями, перпен-
перпендикулярными оси Ох и
пересекающими эту ось
в точках х = а и х = Ъ,
где а <Ь (рис. 37.7).
Обозначим через Gx
фигуру, получаемую в
сечении тела п плос-
плоскостью, перпендикуляр-
перпендикулярной оси Ох и проходя-	Рис# 37.7

352	Гл. VII. Определенный интеграл
щей через точку х Е [а, Ъ] этой оси. Будем считать, что при лю-
любом х Е [а, Ъ] фигура Gx квадрируема, а ее площадь а(х) — функ-
функция, непрерывная на отрезке [а, Ь]. Кроме того, предположим, что при
проектировании на плоскость, перпендикулярную оси Ох, фигур Ga
и Gp, где а, C — любые точки отрезка [а, 6], получаются фигуры,
одна из которых содержится в другой.
Утверждение 5. При указанных выше условиях тело п куби-
руемо, а его объем V выражается формулой
ъ
V = Га(х) dx.	B0)
а
О Пусть Т = {xi, i = 0,n} — разбиение отрезка [а, 6], rrii и Mi —
соответственно наименьшее и наибольшее значения функции а(х) на
отрезке А^ = [xf_i,xj, Axi = xi — Жг-ъ i = 1,п. Так как а(х) — не-
непрерывная функция, то существуют точки ^ G Д» и ^ такие, что
Обозначим через Qi ту часть тела П, которая заключена между
плоскостями Ai-i и Ai, перпендикулярными оси Ох и проходящими
соответственно через точки Х{-\ и Х{ (см. рис. 37.7).
Пусть D{ и D\ — цилиндрические тела высотой Аж^, построенные
на сечениях G& и G^ как на основаниях и расположенные между
плоскостями Ai-i и А{. Тогда Д С^ С D|, а объемы тел Di и D\
соответственно равны
V(Di) = пц Ах{, V(DfJ = Mi Ax^
Если p — объединение тел Di,..., Dn, a P — объединение тел D[,...
b
Так как supV(p) = 'miV(P) = a(x)dx, то п — кубируемое тело, а
а
его объем выражается формулой B0). •
2	2	2
Пример 5. Вычислить объем эллипсоида 2- + ^- + 2- = 1.
а1 о1 с1
Л Воспользуемся тем, что площадь фигуры G, получаемой в сечении
эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости Oyz и отстоящей от
нее на расстоянии хо, где 0 ^ хо ^ а, равна
B1)
В самом деле, граница фигуры G — эллипс, задаваемый уравнениями

§37. Приложения определенного интеграла	353
Полуоси этого эллипса равны ЬХ и сЛ, где А = \ 1	?. Используя
у а
пример 1, получаем формулу B1), а по формуле B0) находим иско-
искомый объем эллипсоида:
а	а	2
v = 2 /S(x) dx = 2тгЬс (l	-) dx = - ттаЬс.
о	о
Отсюда следует, что объем шара, радиус которого равен R, выража-
выражается формулой v = -ttR3. А
о
3. Вычисление длины дуги кривой.
Утверждение 6. Если кривая Г, заданная уравнением
T = {r = r(t), a^t^/3},	B2)
непрерывно дифференцируема, то ее длина S выражается формулой
Р
S = f\r'(t)\dt.	B3)
а
О В § 22 (п. 3) было доказано, что непрерывно дифференцируемая
кривая Г спрямляема (имеет длину), а производная переменной дли-
длины дуги s(t) этой кривой выражается формулой
s'(t) = |г'(*)|.	B4)
Пусть S — длина всей кривой Г; тогда, используя равенство B4) и
формулу Ньютона-Лейбница, получаем
C	C
f\r'(t)\dt = fs'(t) dt = s(P) - s(a) = 5,
a	a
так как s(/3) = 5, a s(a) = 0. •
Если r(t) = (x(t),y(t),z(t)), то формула B3) принимает вид
P
/'(t))* + (y'(t))* + (z'(t))*dt,	B5)
a
а если Г — плоская кривая, заданная уравнением
у = /(ж), а ^ х ^ Ъ,
то ее длина выражается формулой
ъ
/ + (f'(x))*dx.	B6)
Пример 6. Найти длину кривой у = chx, 0 ^ х ^ а.
А Применяя формулу B6), находим
а 		а
S = / \Д + sh2x dx = / ch x dx = sh a. A

354
Гл. VII. Определенный интеграл
4. Вычисление площади поверхности вращения. Пусть
/(ж) — неотрицательная и непрерывная на отрезке [а, Ъ] функция,
Г = {х{, г = 0,п} — разбиение отрезка [а, 6], ЬТ — ломаная с вер-
вершинами Ai(xi, f(xi)), i = 0,п, соединяющая последовательно точки
Ao,Ai,...,An (рис. 37.8), U — длина отрезка J^ = [Af_i,Af] — г-го
звена ломаной Ьт- Тогда
к = a/(*;-*;-iJ+ (/(*;)-/(*;-i)J.
При вращении вокруг оси Ох звена J^ образуется боковая поверх-
поверхность усеченного конуса (цилиндра в случае, когда f(xi) = f(xi-i)).
Площадь этой поверхности, как известно из курса элементарной гео-
геометрии, равна
Pi = 7r(yi-1+yi)li, Vk=f(xk), к = 1,п,
откуда следует, что площадь 3?т поверхности, получаемой при враще-
вращении ломаной Ьт вокруг
оси Ох, равна
о
"т =
г=1
B8)
Если существует
lim фгг — Ф BQ)
CL=Xq
хп=Ъ
где l(T) — мелкость раз-
разбиения Т, а 2?т опре-
определяется формулой B8),
Рис. 37.8	то число & называют
площадью поверхности вращения, т. е. площадью поверхности, обра-
образующейся при вращении вокруг оси Ох графика функции у — f(x),
а ^ х ^ Ъ.
Утверждение 7. Если функция f имеет непрерывную производ-
производную на отрезке [а,Ь], то предел B9) существует, а площадь 2? по-
поверхности вращения выражается формулой
ь
cyfidx.	C0)
C1)
C2)
О Из формул B8) и B7) следует, что
Xi - Xi-гJ
где yi = f(xi). По теореме Лагранжа
Уг — 2/г—1 = f

§37. Приложения определенного интеграла	355
где ^ G Ai = [xi-i,Xi], Axi = Xi — Xi-\. Поэтому формулу B8) мож-
можно записать в виде
г=1
Прибавим и вычтем в правой части равенства C3) интегральную сум-
сумму для интеграла C0), соответствующую разбиению Т и выборке
? = ^ [г = 1,п), указанной формулой C2), т. е. сумму
-(/'(&)JД*;,	C4)
г=1
где д{х) = 2тг/(ж)д/1 + (/'(ж)J. Заметим, что в силу непрерывности
функции д для любой выборки ? существует
Поэтому для доказательства формулы C0) достаточно показать,
что
и; = ^т - сгт(?, р) -)> 0 при 1(Т) -> 0.	C5)
Из C3) и C4) следует, что
Vi + Уг-i ~ 2/(&))\Л + (/'(б)J До*.	C6)
При оценке величины cj воспользуемся тем, что функция / равно-
равномерно непрерывна на отрезке [а, Ь], т. е. для любого г > 0 существует
?е > 0 такое, что для любых точек х', ж" из отрезка [а, 6], удовлетво-
удовлетворяющих условию \х' — х"\ < 5?, выполняется неравенство
|/(ж')-/(*")!<§,	C7)
где число С > 0 будет выбрано ниже.
Пусть разбиение Г удовлетворяет условию l(T) = max Axi < S?;
тогда \xi-?i\ ^ l(T) < S?J |xi_i -?i| ^ /(Г) < S?, так как ^ G A;.
Из C7) следует, что
\Vi - /FI = \f(xi) ~ /&)l < §, ll/i-i - /FI < §,
и поэтому
li/i+i/i-i-2/FI <§•	C8)
В силу непрерывности функции /;(ж) на отрезке [а, Ь] существует
число М > 0 такое, что 0 < д/l + (/'(ж)J < М для всех ж G [а, 6] и, в
частности,
0 < л/1 + (/Ч&)J < М, г = ТЯ	C9)

356
Гл. VII. Определенный интеграл
Из C6), C8) и C9) получаем следующую оценку:
;|MA^ = 27rMg-a)?.
D0)
Возьмем С = 2тгМ(Ь - а) в условии C7); тогда из D0) следует, что
для любого е > 0 существует S? > 0 такое, что для каждого разбие-
разбиения Т, мелкость ЦТ) которого удовлетво-
удовлетворяет условию 1{Т) < S?J выполняется нера-
неравенство |о;| < е. Это означает, что и —> 0 при
1(Т) ->• 0. Формула C0) доказана. •
Пример 5. Пользуясь формулой C0),
вычислить площадь 3? поверхности сфери-
сферического пояса высоты /i, если радиус сферы
равен R.
Л Сферический пояс высоты h можно по-
получить вращением дуги полуокружности,
заданной уравнением у = f(x) = \/R? — х2,
а ^ х ^ 6, где [а, Ъ] С [—R,R], Ъ — а = h,
вокруг оси Ох (рис. 37.9). Так как
Г// Ч	^
Рис. 37.9
- ж2'
О
/(ж)^/1 + (/'(ж)J = Л, и по формуле C0) получаем & — 2тг Rdx =
= 27rR(b — а) = 2irRh. В частности, площадь поверхности сферы ра-
радиуса i? равна 4ttR2. A
5. Применение определенного интеграла при решении фи-
физических задач. Определенный интеграл широко применяется при
решении различных физических задач. С помощью определенного ин-
интеграла можно вычислять: путь, пройденный материальной точкой,
если известна скорость движения; работу
переменной силы (см. § 34, п. 1,6)); силу
давления жидкости на плоскую фигуру;
статические моменты и координаты цент-
центра масс плоской кривой и плоской фигу-
фигуры и т. д.
Пусть плоская пластинка G, имеющая
форму криволинейной трапеции, опреде-
определяемой условиями A), погружена верти-
вертикально в жидкость с плотностью р так,
что ее боковые стороны параллельны по-
поверхности жидкости и удалены от уровня
жидкости на расстояния а и Ъ (рис. 37.10).
Требуется найти силу давления жидкости на пластинку.
±\у=Ях)
_ч
Рис. 37.10

§37. Приложения определенного интеграла
357
Из курса физики известно, что если пластинка погружена в жид-
жидкость и расположена горизонтально на расстоянии h от поверхности
жидкости, то сила давления 3? на одну из сторон пластинки равна
2? = gphS,
где S — площадь пластинки, д — ускорение силы тяжести. Таким
образом, сила давления — линейная функция от глубины погруже-
погружения пластинки. Поэтому естественно разбить пластинку G на части
прямыми, параллельными поверхности жидкости (оси Оу).
Пусть Т = {xi, г = 0, п} — разбиение отрезка [а, Ъ]. Прямыми, про-
проведенными через точки xi (ъ = 1,п —1), разобьем фигуру G
на п частей (полосок) Gi (i = l,n). Выделим полоску Gi, ограничен-
ограниченную прямыми х = Xi-i и х = Xi (рис. 37.10). Площадь этой полос-
полоски приближенно равна площади прямоугольника с основанием Axi
и высотой f(xi), глубину погружения всех точек полоски Gi можно
считать равной Х{. Поэтому сила давления жидкости на полоску Gi
приближенно равна
а сумма
г=1
приближенно равна силе давления жидкости на пластинку G.
Если 1(Т) —У 0, где 1(Т) — мелкость разбиения Т, а функция /
непрерывна на отрезке [а, Ь], то 3?т —> &•> где
ъ
& = gfpxf(x)dx.	D1)
а
D1), называют силой давления
Число ^, выражаемое формулой
жидкости на пластинку G.
Пример 8. Вычислить силу давле-
давления 3? жидкости с плотностью р на
вертикальную стенку, имеющую фор-
форму полукруга радиуса R и погруженную
в жидкость так, что диаметр полукру-
полукруга расположен на поверхности жидкости
(рис. 37.11).
Л Выберем систему координат так,
как указано на рис. 37.11. Пользу-
Пользуясь формулой D1), где f(x) = y/R2 — х2
3
-R
О
R
Рис. 37.11
а = 0, b = R, получаем
R 2pg р3

358	Гл. VII. Определенный интеграл
§ 38. Несобственные интегралы
1. Определение несобственных интегралов. Интеграл Рима-
на был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно
поставить вопрос о распространении понятия интеграла на случай
бесконечного промежутка, а также на случай, когда подынтеграль-
подынтегральная функция является неограниченной.
а) Интеграл на бесконечном промежутке. Рассмотрим функцию
	-. Эта функция непрерывна на отрезке [0,?] при любом ? ^ 0, и
1 ~Г X	?
dx
поэтому существует интеграл J(?) = /	 = arctg?, откуда следу-
i 1 + г
О	+оо
т т/>\ тг о	Г ах	тг
ет, что hm J(?) = —. В этом случае пишут /	 = —, а сим-
?-ц-оо	2	J I + xz 2
+оо	О
вол /	 называют несобственным интегралом от функции	-
J 1 + х2	1 + х2
о
на бесконечном промежутке [0,+оо).
Число ^ можно интерпретировать как площадь фигуры, ограни-
ограниченной графиком функции у = 	-, х ^ 0, и координатными ося-
осями (рис. 38.1).
Рассмотрим несобственный ин-
интеграл на бесконечном промежутке
от функции /.
Пусть функция /(ж) определе-
определена при х ^ а, где а — заданное
	^ число, и интегрируема на отрез-
х ке [а, ?] при любом ? ^ а. Тогда сим-
+ ОО
Рис. 38.1	вол / f(x)dx будем называть не-
а
собственным интегралом от функции / на промежутке [а, +оо). Если
существует конечный Hm / f(x) dx = А, то говорят, что несобст-
О
+ ОО
венный интеграл / /(ж) dx сходится и равен А, а функцию / называ-
а
ют интегрируемой в несобственном смысле на промежутке [а, +оо).
Таким образом, сходящийся несобственный интеграл от функции /
на промежутке [а, +оо) определяется равенством
ff(x)dx= Hm ff(x)dx.	A)

'. Несобственные интегралы	359
Если функция / f(x) dx не имеет конечного предела при ? —у +оо,
а
+оо
то говорят, что несобственный интеграл / f(x)dx расходится.
Замечание 1. Сходимость интеграла A) равносильна сходимости ин-
+ ОО
теграла / f(x)dx, где с — любое число из промежутка (а,+оо), так как
с	?	с	?
ff(x) dx = ff(x) dx + ff(x) dx.
а	а	с
Интеграл на бесконечном промежутке вида (—оо,а) определяется
аналогично:
а	а
ff(x)dx= lim [f(x)dx.	B)
— (X)	^
0
Пример 1. Показать, что интеграл J = / хе~х^ dx сходится, и
вычислить этот интеграл.	~°°
о
/2
же~ж dx. Тогда
С
2
о
Так как существует конечный lim F(?) = —, то согласно опреде-
?—У — (X)	^
лению B) интеграл J существует, причем J = —-. А
Определим, наконец, несобственный интеграл на промежутке R:
+оо	ту
ff(x)dx= lim [f(x)dx.	C)
В этом случае предполагается, что функция / интегрируема (по Рима-
+ ОО
ну) на любом отрезке действительной оси, а интеграл / /(ж) dx на-
— оо
зывается сходящимся в случае существования конечного предела C),
причем этот предел не должен зависеть от того, каким способом ?
и г\ стремятся соответственно к —оо и к +оо. Иначе говоря, интеграл

360	Гл. VII. Определенный интеграл
сходится тогда и только тогда, когда существуют конечные преде-
а	г]
лы lim / f(x) dx = J\ и lim / f(x) dx = J2, где a G /?, и при этом
несобственный интеграл по определению равен J\ + J2, т. е.
+оо	а	+оо
/ f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx.
— OO	—OO	CL
+ OO
Пример 2. Показать, что интеграл J — I	—- сходится, и
J 1 + х + х2
вычислить этот интеграл.	~°°
/dx
	-, тогда
1 ~г X -\~ X
Ч d
2
v
С
Так как lim arctgt = ^, a lim arctgt = -^, то существует ко-
нечный lim F(^,rj) = —= (	(	J J = —¦=, т. е. несобственный
^—у—со	Y 3 V 2 V 2 / / д/З
ry^+oo	27r
интеграл сходится, причем J = —=. A
V3
Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл
+ ОО
Л«)= [ ^-	D)
J X
А Пусть а ф 1, тогда
"dx
ха 1 - а
1 — а 1 — а
Если а > 1, то существует конечный lim / — =	, т. е. ин-
?-^+оо J ха а — 1
1	?
теграл D) сходится, причем J(a) =	. Если а < 1, то lim / —— =
= +оо, и поэтому интеграл D) расходится. При а = 1 интеграл также
f dx Л ^	,.
расходится, так как / — = In с —> +оо при f —У +оо.
J х
1
Таким образом, интеграл D) сходится при а > 1 и расходится
при а ^ 1. А

'. Несобственные интегралы
361
Упражнение 1. Показать, что интеграл /
сходится при а > 1 и расходится при а ^ 1.	а
dx
(х -
-, где а > с,
б) Интеграл на конечном промежутке. Рассмотрим функцию
. Эта функция непрерывна на промежутке [0,1), но не ограни-
1 — ж
чена на этом промежутке. При любом ? Е [0,1) функция —=^ ин-
- х
/dx
v 1 — ж
о
= 2A — л/1 — ?), откуда следует, что существует конечный
lim F(?) = 2. В этом случае говорят, что несобственный интеграл
?->-i—о	1
1	Г dx
от функции —=^ на промежутке [0,1) равен 2, т. е. / —=^ = 2.
V1 — ж	«/ у 1 — ж
о
Число 2 можно интерпретировать как площадь заштрихованной на
рис. 38.2 фигуры G.
Обратимся к несобственному интегралу на
конечном промежутке. Пусть функция /(ж) оп-
определена на конечном промежутке [а, Ь), интег-
интегрируема на отрезке [а, ?] при любом ? Е [а, Ь).
С
Если существует конечный lim f(x)dx =
?—)¦&—О J
а
= А, то говорят, что несобственный интеграл от
функции f(x) на промежутке [а,Ь) равен А. Его
ъ
обозначают символом f(x)dx. Таким образом,
E)
У =
по определению
ь
О
Рис. 38.2
f(x)dx= lim f(x)dx.
J	?-)>&-() J
a	a
В случае существования конечного предела E) несобственный ин-
ъ
теграл f(x)dx называют сходящимся, в противном случае — рас-
{	ь
ходящимся; символ f(x)dx употребляют как в случае сходимости,
так и в случае расходимости интеграла.
Аналогично, если функция f(x) определена на конечном проме-
промежутке (а, 6], интегрируема на отрезке [?,6] при любом ? G (а, Ь], то

362	Гл. VII. Определенный интеграл
Ъ
символ f(x) dx называют несобственным интегралом от функции /
а
на промежутке (а, Ь].	ь
Если существует конечный lim f(x)dx = А, то говорят, что
несобственный интеграл сходится и равен А, т. е.
ъ	ъ
f(x)dx= lim f(x)dx.	F)
J	?->-a+o J
ь а	«
Если функция / f(x) dx не имеет конечного предела при ? —>¦ а + 0, то
С
несобственный интеграл называют расходящимся.
Замечание 2. Определение E) несобственного интеграла на конечном
промежутке [а, Ь) является содержательным лишь в случае, когда функция
/ неограничена на интервале (Ь — 6, Ь) при любом S > 0. В самом деле, если
функция / интегрируема на отрезке [а,?] при любом ? ? [а, Ь) и ограни-
ограничена на [а, 6), то, доопределив эту функцию в точке Ъ, получим функцию,
которая интегрируема по Риману на отрезке [а, Ь]. При этом интеграл от
доопределенной функции равен пределу E) и не зависит от значения функ-
функции в точке Ъ.
Поэтому в дальнейшем, рассматривая несобственный интеграл E), бу-
будем считать, что функция / является неограниченной на интервале
(Ь — 6, Ь) при любом 6 > 0, а точку Ъ будем называть иногда особой точкой
подынтегральной функции f или интеграла E).
Аналогично, рассматривая несобственный интеграл F), будем считать,
что а — особая точка функции /, т. е. предполагать, что функция / не-
неограничена на интервале (а, а + S) при любом S > 0.
Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл
J= /^.
J ха
о
dx
/dx
——, тогда
х
— 1п?,	если а = 1.
Поэтому при а < 1 существует конечный lim F(?) =	, а если
С^+о	1 — а
а ^ 1, то F(a\ f) ->> +оо при ? ->> +0.
Таким образом, интеграл сходится при а < 1 и расходится при
а > 1. А

'. Несобственные интегралы	363
Упражнение 2. Пусть — оо < а <Ь < +оо. Показать, что ингегралы
b	b
r dx	г dx
J (х- а)а И J (Ь - х)а
сходятся при а < 1 и расходятся при а ^ 1.
Замечание 3. Сходимосгь несобственного интеграла E) равносильна
ь	?
сходимости интеграла I f(x)dx при любом с Е (а, 6), так как I f(x)dx =
с	?	°
= jf(x)dx + jf(x)dx.
в) Другие типы несобственных интегралов. Если функция / опре-
определена на конечном интервале (а, Ь), интегрируема по Риману на от-
отрезке [?,rj] при любых ?, г\ таких, что а < ? ^ r\ < b, то сходящийся
несобственный интеграл от функции / на промежутке (а, Ь) опреде-
определяется формулой
Ъ	V
ff(x)dx= lim ff(x)dx	G)
J	С^а+О J
а	ту^б-О С
при условии, что предел в правой части G) существует и конечен.
Если функция / определена на отрезке [а, 6], за исключением точ-
точки с G (а, Ь), и интегрируема на отрезках [а, ?] и [77,6] при любых ?,
?7 таких, что а^?<с<г]^Ь, то несобственный интеграл от функ-
ции / на промежутке [а, Ь] обозначается f(x)dx и определяется ра-
равенством	а
ь	С	ь
/7(ж) dx = lim //(ж) dx + lim //(ж) da;	(8)
J	i^c-0 J	r)^c+0 J
a	a	7]
при условии, что оба предела в правой части (8) существуют и конеч-
ъ
ны. В этом случае интеграл f(x) dx называют сходящимся и пишут
Ъ	а с	b
Jf(x) dx = Jf(x) dx + Jf(x) dx.
а	а	с
Если функция / определена на конечном или бесконечном проме-
промежутке (а, Ь), за исключением точек Xk (к = 1, т), где а = жо < х\ < ...
ъ
... < хт = 6, то несобственный интеграл f(x)dx понимается как
а
сумма несобственных интегралов по промежуткам Ак = (xk-i,Xk),
к = 1,т, и считается сходящимся в том и только том случае, когда
сходятся интегралы по всем промежуткам Д/,.

364	Гл. VII. Определенный интеграл
2. Свойства и вычисление несобственных интегралов. Бу-
ъ
дем рассматривать несобственные интегралы вида / /(ж) dx, предпо-
предполагая, что:	а
а)	функция / определена на промежутке [а, Ъ), где а — конечная
точка, b — либо конечная точка, либо символ +оо;
б)	функция / интегрируема по Риману на отрезке [а, ?] при любом
Согласно определению сходящегося несобственного интеграла
ъ	С
f(x)dx= lim f(x)dx, если b ф +оо,
J	?->ъ-о J
a	a
+00	i
I f(x)dx= lim f(x)dx, если b = +00.
J	?—Ц-oo J
a	a
а)	Линейность интеграла.
Утверждение 1. Если сходятся несобственные интегралы от
функций /(ж) и д(х) на промежутке [а, Ь), то при любых A,/i E /? схо-
сходится интеграл от функции А/(ж) + Ц>д(х) на том же промежутке и
выполняется равенство
ъ	ъ	ъ
I (А/(ж) + /лд(х)) dx = X f(x)dx + /л д{х) dx.	(9)
а	а	а
О Для любого ? Е [а, Ъ) в силу свойств интеграла Римана справедли-
справедливо равенство
/Г	Г
(А/(ж) + цд(х)) dx = А / /(ж) dx + fi, g(x) dx,
а	а	а
правая часть которого имеет по условию конечный предел при
? —у b — 0, откуда следует существование предела при ? —у b — 0 в ле-
левой части и справедливость формулы (9). •
б)	Формула Ньютона-Лейбница.
Утверждение 2. Если функция /(ж) непрерывна на промежут-
промежутке [а,Ь) и если F(x) — первообразная для функции /(ж), то несоб-
ъ
ственный интеграл f(x)dx сходится тогда и только тогда, когда
а
существует конечный
lim F(?) =F(b-0),	A0)
причем
ff(x) dx = F(b - 0) - F(a).	A1)

'. Несобственные интегралы	365
О Так как функция / непрерывна на отрезке [а, ?] при любом ? Е
Е [а, Ь), то справедлива формула Ньютона-Лейбница
откуда, переходя к пределу при ? ->• 6 - 0 и используя соотно-
соотношение A0), получаем формулу A1), которую называют формулой
Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла.
6-0
Правую часть формулы A1) часто записывают в виде F{x)
ес-
ли Ь ф +00. Если Ъ = +00, то правую часть формулы A1) записывают
+ ОО
в виде F(x) . •
а
Пример 5. Вычислить интегралы:
+ ОО	+ОО
ч т	Г arctg ж ,	^ч т	Г _ах л ,	^ п
а)	Ji = / 	^- dx; 6) J2 = e cos pxdx, где a > 0.
J 1 + ж	J
о	о
л \ rr	arctg ж ,	7/ , ч	7/(arctgжJ^
Л а) Так как -—^ dx = arctg ж a( arctg x) = a(^	 y ), то
X "г" Ж	\	Zi	/
(arctg жJ ^ „ , ?( ч arctg ж
:	2—— является первообразной для функции j(x) =	^-,
и по формуле A1) получаем J\ = -(arctgжJ = —, так как
2	о	о
arctg (+00) = lim arctg ж = ^, arctg 0 = 0.
х—>-+оо	2
б)	Ранее в § 30 (пример 19) было показано, что функция F(x) =
C sin /Зх — a cos /Зх _пт	^	,
=	^—т	——^^е	является первообразной для функции
OL1 + /З1
+ ОО
/(х) = е~аж cos /Зх. По формуле A1) находим J2 = F(x) = F(+oo) -
о
- F@), где F@) = - 2 а , F(+oo) = 0, так как | sin/3x| ^ 1, | cos/Зх\ ^
^ 1 для всех х G /?, lim е~аж = 0 при а > 0. Следовательно,
ж—>-+оо
Т	^	А
^2 — —5	7^7 • А
а2 + р2
в)	Интегрирование по частям.
Утверждение 3. Пусть функции и(х), v(x) определены на про-
промежутке [а, Ь), имеют непрерывные производные на отрезке [а,?] для
любого ? G (а,Ь). Если существует конечный предел
lim [Ц?) v(f)] = гл(Ь - 0) v(b - 0) = uv	A2)
и интеграл / г;г^' б?ж сходится, то и интеграл / uv' dx сходится и спра-

366	Гл. VII. Определенный интеграл
ведлива формула интегрирования по частям
\	б-о \
uv'dx = uv — vu'dx.	A3)
a	a
О Так как функции и'(х), v'(x) непрерывны на отрезке [а,?] при
любом ? Е (а,Ь), то справедлива формула интегрирования по час-
частям (§ 36, теорема 6)
/р
uv' dx = и(?) v(?) - и(а) v(a) - / vu' dx.	A4)
a	a
Правая часть равенства A4) по условию имеет при ? —> Ъ — 0 конеч-
конечный предел, равный правой части формулы A3). Следовательно, су-
существует конечный предел и в левой части A4), т. е. сходится интег-
6
рал uv' dx, и при этом справедлива формула A3).
а
Отметим, что при наличии конечного предела A2) несобствен-
6	б
ные интегралы / vu' dx и / uv' dx сходятся или расходятся одновре-
а	а
менно. •
+ ОО
Пример 6. Вычислить несобственный интеграл J = / хе~х dx.
о
Л Применяя формулу A3), получаем
+ ОО	,	+ОО
J = I х(-е-х)' dx = -хе~х | + I e~x dx.
о	о
Так как хе~х = 0 при х = 0, a lim хе~х = 0, то J = / е~х dx =
= -е
+ ОО
= 1. А
о
г) Замена переменного.
Утверждение 4. Если функция f(x) непрерывна на промежут-
промежутке [а, Ь), а функция х = ip(t) непрерывно дифференцируема на проме-
промежутке [а,/3), строго возрастает и удовлетворяет условиям (р(а) = а,
lim (/?(?) = 6, mo справедлива формула замены переменного
t^p-o	ь	р
ff(x)dx = JfD>(t))ip\t)dt	A5)
а	а
при условии, что хотя бы один из интегралов в A5) сходится.
О Пусть г е [а,C), ф(т) = ?. Тогда <р(т) ->• & при г -»> E - 0. При-
Применяя формулу замены переменного для интеграла Римана (§ 36,

'. Несобственные интегралы	367
теорема 5), получаем
= ff(<p(t))<p'(t)dt.	A6)
а	а
Так как функция ж = ip(t) строго возрастает и непрерывна на [а,/3),
то обратная функция строго возрастает и непрерывна на [а, Ь). Поэто-
Поэтому если существует конечный предел при т ->• /3 — 0 в правой части
равенства A6), то существует конечный предел при ? —> Ъ — 0 в левой
части (и наоборот), и при этом справедлива формула A6). •
Замечание 4. Формула A5) остается справедливой и в случае, ког-
когда а > /3, если функция ip(t) непрерывно дифференцируема на промежутке
(/5, а), строго убывает, причем а = lim (p(t), b = lim (pit). При этом по
t-нх-О	t^/3+0
/з
аналогии с интегралом Римана по определению полагают, что g(t)dt =
/За
= — I g(t) dt при а > /3, если интеграл I g(t) dt сходится.
Пример 7. Вычислить интеграл J= / 	г.
J (ж2 + IK/2
Л Положим х = tgt, где 0 ^ ? < —. Тогда dx = ——, ж2 + 1 =
2* —— cos2*' '	cos2*'
тг/2
(ж2 + 1) 3/2 = cos3 t, поэтому J = / cos t dt = 1. A
о
/Ж + 1
—
Ж4 + 1
0
Л Преобразуем интеграл (см. § 33, пример 5, в)) J— I j	-
1	J \Х 1
+ ОО
1/ж2) dx
и положим ж	= ?; тогда
Ж +ОО
J= Г dt	1
-оо л/2*
+ ОО
А
Пример 9. Вычислить интеграл J\ — / —	.
J ж4 + 1
о
Л Для вычисления интеграла можно использовать первообразную
для подынтегральной функции fix) = —	 (см. § 33, пример 4).
ж4 + 1
Рассмотрим другой способ вычисления, не требующий нахождения
первообразной для функции /(ж). Полагая ж = -, получаем
О	+оо г,	+оо г,
dt	f l j+	f х j
^	I dt = J T^dx-
+oo t ^1 + J	о	О

368	Гл. VII. Определенный интеграл
+оо	+оо 9
/от	С т
——- = / ——- dx, откуда, используя при-
ж4 + 1 J ж4 + 1
о	о
\ г х -\- \	1	тг	Г dx
мер 8, находим J\ = - / —	dx = - J = ——.	Итак, /	 =
z j x -\- 1	z	2\/2	J i ~r ж
о	о
7Г
д) Интегрирование неравенств.
ъ	ъ
/г
f(x) dx и g(x) dx
а	а
и для всех х G [а, Ь) выполняется неравенство
/О) ^д(х),
то
ъ	ъ
jf{x)dx^jg{x)dx.	A7)
а	а
О Неравенство A7) получается из неравенства
/ /(ж) dx ^ / д(ж) dx, а ^ ? < 6,
а	а
с помощью перехода к пределу при ? —у Ъ — 0. •
3. Несобственные интегралы от неотрицательных функ-
функций. В пп. 3-5 все утверждения формулируются и доказываются для
интегралов того же типа, что и в п. 2.
Теорема 1. Если для всех х G [а, Ъ) выполняется неравенство
/Or) ^ 0,	A8)
ъ
то для сходимости несобственного интеграла f(x)dx необходимо и
г	а
достаточно, чтобы функция / f(x) dx была ограничена сверху, т. е.
С
3 С: V? e [а, b) -^ ff(x) dx ^ С.	A9)
С
О Заметим, что F(?) = / f(x) dx — возрастающая функция. В самом
а
деле, из условия A8) и свойств интеграла Римана следует, что
Ь
V&, Ь е [а, Ъ): & > & -> F(&) - Ffa) = JJ{x) dx > 0.
Ci

§38. Несобственные интегралы	369
Ъ
г
Если интеграл f(x)dx сходится, т.е. существует конечный
г а
lim F(?) = / fix) dx = J, то по теореме о пределе монотонной функ-
i^b-o	J
а
ции (§ 10) J = sup F(?), откуда согласно определению точной верх-
ней грани следует, что для всех ? G [а, Ь) справедливо неравенство
С	ъ
Jf(x)dx^ ff(x)dx,
а	а
т. е. выполняется условие A9).
Обратно: если выполняется условие A9), то в силу теоремы о пре-
пределе монотонной функции (F — возрастающая функция) существует
конечный
lim F(?) = F(b - 0) = sup
b
т. е. интеграл f(x)dx сходится. •
a
Теорема 2 (теорема сравнения). Если для всех х G [а, Ь) выпол-
выполняется условие
(К/(s) ^g(x),	B0)
то:
ъ
а)	1/з сходимости интеграла 3<± — g(x) dx следует сходимость
r	a
интеграла J± = f(x) dx;
а
б)	из расходимости интеграла J\ следует расходимость интегра-
интеграла J*}'
О а) Из условия B0) в силу правила оценки интеграла Римана сле-
следует, что
Jf(x)dx^Jg(x)dx, ?е[а,Ъ).	B1)
а	а
Ъ
Если сходится интеграл g(x)dx, т. е. существует конечный
lim g(x) dx = J2, где J^ — sup g(x) dx (теорема 1), то из B1)
следует, что для любого ? G [а, Ь) выполняется неравенство / f(x) dx ^

370	Гл. VII. Определенный интеграл
^ J2. Таким образом, для неотрицательной функции /(ж) выполняет-
выполняется условие A9), и по теореме 1 интеграл J\ сходится.
б) Если интеграл J\ расходится, то интеграл J2 тоже должен рас-
расходиться: в случае сходимости интеграла J2 сходился бы по доказан-
доказанному выше интеграл J\. •
Пример 10. Исследовать на сходимость интеграл
+оо 4
/cos Зх ,
-.	ах.
1
л гтл	п ^ cos43x .1	. л	о
Л Так как 0 ^ .,	< —— при х > 1, то по теореме 2 из схо-
+ оо
димости интеграла / —Г (пример 3) следует сходимость интегра-
J ж6/5
ла J. А	*
Следствие. Если для всех х G [а, Ь) выполняются условия
f(x) > 0, д(х) > 0,	B2)
и, кроме того,
f(x) - д(х)	при х^Ь-0, B3)
ъ	ъ
то интегралы J\ — f(x)dx и	J2 = g(x)dx сходятся или расхо-
а	а
дятся одновременно.
fix)
О Если выполнены условия B2) и B3), то lim ^Ц—г = 1, т. е.
х^ъ-о д(х)
\/г > 0 3 5(е) G [а, 6): Vx G [5(е),Ъ)
-1
<
Полагая здесь г = -, найдем число <Н -) = с такое, что
Неравенство B4) в силу условия д(х) > 0 равносильно неравенству
±g(x)<f(x)<lg(x), хе[с,Ъ).	B5)
Так как функции f и д не имеют особых точек на промежутке [а, Ь),
то интегралы J\ и J2 сходятся тогда и только тогда, когда сходятся
интегралы соответственно от функций / и д на промежутке [с, 6), где
а ^ с <Ь (см. замечание 3).
Если сходится интеграл J2 f а значит, и интеграл д(х) dx), то из
с
правого неравенства B5) по теореме 2 следует сходимость интеграла

'. Несобственные интегралы	371
от / на промежутке [с, Ь), а это равносильно сходимости интеграла J\.
Аналогично из левого неравенства B5) заключаем, что из сходимости
интеграла J\ следует сходимость интеграла J2.
Если же один из интегралов J\ или J2 расходится, то расходится
и другой (это доказывается методом от противного на основе теоре-
теоремы 2). •
В частности, если функция /(ж) интегрируема на отрезке [а, ?] при
любом ()аи если
/(ж) ~ _ при ж ->• +оо, где АфО,
+ ОО
то интеграл / f{x)dx сходится при а > 1 и расходится при а ^ 1.
а
Пример 11. Исследовать на сходимость интеграл
+ ОО
J= f dxR .	B6)
Л Рассмотрим три возможных случая: а > 1, а = 1, а < 1.
а) Первый случай: а > 1.
Если а > 1, то а = 1 + 26, где ? > 0. Представим подынтегральную
функцию /(ж) в следующем виде:
^9{x), где 5(Ж) = _^_.
Так как lim хд 1п^ х = +оо при а > 0 и любом C (см. § 19, пример 5),
х—>-+оо
то существует число ж0 > 2 такое, что 0 < #(ж) < 1 при всех х ^ ж0.
Поэтому 0 < /(ж) <	j при ж G [жо, +оо), и из сходимости интеграла
гр\-\~0
-|-о
/
dx
—¦=¦, где жо > 2, S > 0, по теореме 2 следует сходимость интеграла
от / на промежутке [жо,+оо), а это равносильно сходимости интег-
интеграла J. Итак, если а > 1, то интеграл / сходится при любом C.
б)	Второй случай: а = 1.
+ ОО	+ОО
В этом случае J — \ —%— = / -т. Поэтому при а = 1 интеграл J
J х \пр х J W
2	In 2
сходится, если /3 > 1, и расходится при /3^1 (пример 3).
в)	Третий случай: а < 1.
Если а < 1, то а = 1 - 26, где J > 0. Запишем подынтегральную
а(х)
функцию fix) в виде fix) = ^, где д(х) = ж Aпж)~^ —у +оо при
ж —>¦ +00, откуда следует, что д(х) > 1 при ж ^ жо > 2. Поэтому
f(x) > —г~х ПРИ ж ^ ж0, и по теореме 2 из расходимости интеграла

372	Гл. VII. Определенный интеграл
Т 1
/ ~jzj &%•> гДе ^ > 0, следует расходимость интеграла от / на проме-
j х
XQ
жутке [жо,+оо), откуда заключаем, что интеграл J расходится.
Итак, интеграл расходится, если а < 1.
Таким образом, интеграл B6) сходится при а > 1 (/3 любое) и
при а = 1, если C > 1, и расходится при других значениях а и C. А
Упражнение 3. Показать, что несобственный интеграл
1/2
/	dX
О
сходится при а < 1 (/3 любое) и при а = 1, если /3 > 1, и расходится при
других значениях а и /3.
Пример 12. Исследовать на сходимость интеграл
Л Подынтегральная функция /(ж) = П^е а Х' неотрицательна при
х > 0, так как еж > 1 + х при х > 0, и непрерывна на промежут-
промежутке @, +оо). Интеграл J сходится тогда и только тогда, когда сходятся
1	+ОО
интегралы J\ = f(x)dx и J2 = / f(x)dx.
о	i
а)	Исследуем поведение функции при ж —у +0.
Так как еж = 1 + ж + — + о(ж2) при ж ->• 0, 1пA + ?) = t + о(?) при
t —у 0, то 1п(еж — ж) = In A + — + о(ж2) J = — + о(ж2), и поэтому
/(ж) ~ —^z^ ПРИ ^ —>¦ 0. Следовательно, интеграл Ji сходится тог-
тогда и только тогда, когда а — 2 < 1, т. е. при а < 3.
б)	Пусть ж ->• +оо. Тогда ех - ж = ежA - же~ж) = ежA + оA)), от-
откуда 1п(еж — ж) = ж + 1пA + оA)) = ж + оA) при ж —>¦ +оо, /(ж) ~ ^_1
/с/ж
—т сходится при /3 > 1 и расхо-
расхожа
1
дится при /3 ^ 1, то интеграл J2 сходится тогда и только тогда, когда
а - 1 > 1, т. е. при а > 2. Таким образом, интеграл J сходится в том
и только том случае, когда выполняются условия а < 3 и а > 2, т. е.
при 2 < а < 3. А

'. Несобственные интегралы
373
Пример 13. Исследовать на сходимость интеграл
+ ОО,
J=I
Л Подынтегральная функция /(ж) положительна и непрерывна на
интервале @,1). Интеграл J сходится тогда и только тогда, когда
сходятся интегралы от /(ж) по промежуткам @,1) и A, +оо). Обозна-
Обозначим эти интегралы J\ и 3<± соответственно.
а) Если ж -у +0, то
//х = у/у/хA + /) fy( f)
. Учитывая, что ln(l + t) ~ t при t —у 0, ln(l + u) ~ \пи при
IX —>- +оо, получаем следующие асимптотические формулы для /(ж)
при х -у +0:
{ж"/4	при а > О,
ж-1/4 1п2 при а = 0,
ах~1/4\пх при а < 0.
Используя результат упр. 3, получаем: интеграл J\ сходится при всех
значениях а.
б) Если ж -у +оо, то д/ж~+~\/ж = д
+
1 + ж~1//2)
аж~1//21пж при а > О,
при а = 0,
при а < 0.
5 и поэтому
/2 In 2
Отсюда следует, что интеграл 3<± сходится, если	а > 1, т. е. при
а < —. Таким образом, интеграл J сходится при а < — и расхо-
расходится при прочих значениях а. А
4. Критерий Коши сходимости несобственных интегра-
интегралов. Будем рассматривать несобственные интегралы того же вида,
что и в пп. 2, 3.
Теорема 3. Для сходимости несобственного интеграла
ъ
J = ff(x)dx
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши
G (a, b):
I dx
f
< e.
B7)
О Обозначим
B8)

374	Гл. VII. Определенный интеграл
Тогда сходимость интеграла J означает существование конечного
предела функции F(?) при ? —у Ъ — О, а этот предел, согласно крите-
критерию Коши для функций (§ 10), существует в том и только том случае,
когда функция F удовлетворяет условию
Уг>0 36ее(а,Ъ): Ч?,?" е Fе,Ъ) ^ \F(?") - F(?)\ < е. B9)
Из формулы B8) в силу свойств интеграла следует, что
Поэтому условие B9), являясь необходимым и достаточным для схо-
сходимости интеграла J, выполняется тогда и только тогда, когда вы-
выполняется условие B7), если взять 8? = 8?. •
Замечание 5. Если условие Коши B7) не выполняется, т. е.
Эе0>0: Ше(а,Ь) Э&,&'€(Л,Ь): f(x)dx
?о,	C0)
b
то интеграл f(x)dx расходится.
a
Пример 14. Исследовать на сходимость интеграл
+ оо . 2
J(a) = Г ^^ dx.	C1)
1
Л а) Если а > 1, то интеграл J сходится, так как 0 ^ 	 ^ —.
ха	ха
б) Докажем, что при а ^ 1 интеграл расходится. Достаточно по-
показать, что для этого интеграла выполняется условие C0). Для 8 > 1
выберем число п G А/ таким, чтобы выполнялось неравенство тгп > ?,
и возьмем ^ = тгп, ??' = 2тгп, тогда
^//
2тгп г,	2тгп
I s<5 2	2тгп 2	2тгп 2
/ sin х , Г sin ж , . /" sin х , .
/ 	ах — \ 	ах > / 	аж >
L/ Жа	J Ха	J	X
1 ?/	7ГП	7ГП
2тгп
1 - COS 2х
2тгп
1 /*
	 /
2тгп J
1	1
-— тгп = - = во-
4тгп	4
Таким образом, условие C0) выполняется, и поэтому при а ^ 1 ин-
интеграл C1) расходится. А
Замечание 6. Так как | sin ж | ^ sin2 ж, то по теореме сравнения из
+ оо .
/oi\	^ л	f Sin Ж ,
расходимости интеграла C1) при а < 1 следует, что интеграл / 	L с/ж
J ха
1
расходится при а ^ 1.

'. Несобственные интегралы
375
5. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы. Несобст-
ъ
венный интеграл J = f(x)dx называется:
а	„ ь
а)	абсолютно сходящимся, если сходится интеграл J — I \f(x)\ dx;
а
в этом случае говорят, что функция / абсолютно интегрируема на
промежутке [а, Ь);
б)	условно сходящимся, если интеграл J сходится, а интеграл J
расходится.
Теорема 4. Если несобственный интеграл J сходится, то ин-
интеграл J также сходится и выполняется неравенство
ь
Jf(x)dx
C2)
О Из сходимости интеграла J по теореме 3 (необходимое условие)
следует, что для него выполняется условие Коши B7), т. е.
> 0 3 6? е (a, b): Vf, f" G (S?,b)
\f(x)\dx
C3)
По определению несобственного интеграла J функция /(ж) интегри-
интегрируема по Риману на отрезке с концами ?', ?", и поэтому функция
|/(ж)| также интегрируема по Риману на этом отрезке. Применяя
правило оценки интеграла (см. § 35, A8)), получаем
f{x)dx
'?'
\f(x)\dx
'/'
откуда в силу C3) следует, что функция / удовлетворяет условию
Коши B7), и по теореме 2 (достаточное условие) сходится интеграл J.
Для доказательства неравенства C2) воспользуемся неравенством
Jf(x)dx <:j\f{x)\dx,	C4)
а	а
справедливым при любом ? е [а, Ь). В силу сходимости интегралов J
и J существуют пределы при ? —> Ъ — 0 левой и правой частей C4),
равные соответственно J и J. Переходя в C4) к пределу при ? —у Ъ — О,
получаем неравенство C2). •
Упражнение 4. Пусть несобственные интегралы от функций f(x) и
д(х) на промежутке [а, Ь) сходятся. Следует ли отсюда сходимость интег-
интеграла от их произведения на промежутке [а, ЪI

376	Гл. VII. Определенный интеграл
Пример 15. Исследовать на сходимость и абсолютную сходи-
сходиГ sin
= J —
мость интеграл	+оо
sin ж
Л а) Пусть а > 1. Так как
+ ОО
sin ж
—, то в силу сходимости интегра-
ж
+ ОО
/dx	n	~	f sin ж ,
— по теореме сравнения 2 сходится интеграл J —	/	 dx,
xa	J xa
1	1
т. е. интеграл J сходится абсолютно (откуда следует сходимость са-
самого интеграла J по теореме 4).
б)	Пусть 0 < а ^ 1. Тогда, интегрируя по частям, получаем
т	COS Ж +О°	Г COS Ж ,
J —	—а 	—dx,
Ха 1	J Xa+1	'
+ оо	а
,.	COS Ж ~	Г COS Ж , ^
где hm 	= 0, а интеграл /	 dx абсолютно сходится и, сле-
ж-Ц-оо Ха	J Xa+l
1
довательно, сходится. Поэтому интеграл J сходится, если a G @,1].
Так как интеграл / -—^—^ dx при a G @,1] расходится (замеча-
J х
1
ние 6), то при a G @,1] интеграл J сходится условно.
в)	Пусть а ^ 0. Докажем, что интеграл J расходится, используя
критерий Коши. Для S > 1 выберем число п е N таким, чтобы выпол-
выполнялось условие 2тгп > S, и возьмем ?^ = 2тгп Н—, ?^ = 2тгп Н— тг. Так
как при х G [?^,?^] выполняется неравенство sin ж ^ - и, кроме того,
2
— > 1 при ж > 1 и а < 0, то
Ха	//
С<5	5тг/6+2тгп	5тг/6+2тгп
/sin ж 7 /" sin ж 7 . 1 /" 7 тг
	dx — \ 	dx > - / dx — —,
ха J ха ^ 2 J	3'
^	тг/6+2тгп	тг/6+2тгп
т. е. выполняется условие C0), и поэтому при а ^ 0 интеграл C5)
расходится.
Итак, интеграл C5):
а)	абсолютно сходится при а > 1;
б)	условно сходится при 0 < а ^ 1;
в)	расходится при а ^ 0. А
Замечание 7. Аналогично можно показать, что интеграл
+ ОО
Г COS Ж
/ 	~
1
абсолютно сходится при а > 1, условно сходится при а Е @,1] и расходится
при а ^ 0.

'. Несобственные интегралы	377
При исследовании сходимости интегралов часто может оказаться
полезным следующее утверждение.
Теорема 5. Если функция д{х) абсолютно интегрируема на про-
ъ
межутке [а, 6), т. е. несобственный интеграл J = \g(x)\dx схо-
Ъ	а	Ъ
дится, то несобственные интегралы J\ — / f(x)dx и J2 — (f(x) +
а	а
+ g(x)) dx либо оба абсолютно сходятся, либо оба условно сходятся,
либо оба расходятся.
ъ	^ ъ	^ ъ
О Обозначим J = g(x)dx, J\ = \f(x)\dx, J^— \f(x)+g(x)\dx.
a	a	a
а)	Из неравенства |/ + g\ ^ |/| + \g\ и критерия Коши (теорема 3)
следует, что если интегралы J\ и J сходятся, то интеграл 3<± также
сходится.
Аналогично, используя неравенство |/| ^ |/ + #| + |#|? докажем,
что из сходимости интегралов J и J<i следует сходимость интеграла J\.
б)	Пусть интеграл J\ сходится, а интеграл J\ расходится.
Тогда интеграл J2 сходится (это следует из сходимости интегра-
интегралов Ji и J), а интеграл J2 расходится, так как в противном случае из
неравенства |/| ^ |/ + д\ + \д\ и сходимости интеграла J следовала бы
сходимость интеграла J\. Аналогично доказывается, что из условной
сходимости интеграла J2 следует условная сходимость интеграла J\.
в)	Из расходимости интеграла J\ следует расходимость интегра-
интеграла J2 (в противном случае из равенства / = (/ + д) — д и сходимости
интеграла J следовала бы сходимость интеграла J\).
Аналогично из расходимости интеграла J2 следует расходимость
интеграла J\. •
Теорему 5 коротко можно сформулировать так: прибавление (вы-
(вычитание) под знаком интеграла абсолютно интегрируемой функции
не влияет ни на сходимость интеграла, ни на характер сходимости
(абсолютная, условная сходимость).
6. Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов.
Теорема б (признак Дирихле). Пусть функция f непрерывна, а
функция д имеет непрерывную производную на промежутке [а, +оо) и
выполняются следующие условия:
х
1) функция F(x) = f(t)dt (первообразная для /) ограничена на
[а, +оо), т. е.	а
ЗМ > 0: Vx G [а,+оо) -* \F(x)\ ^ М;	C6)

378
Гл. VII. Определенный интеграл
2) функция д'(х) не меняет знака на промежутке [а, +оо), т. е.
д'(х) < о	C7)
или
з)
Тогда интеграл
д'(х) 2 О;
lim д(х) = О.
х—>-+оо
+ ОО
J = Г f(x)g(x)dx
C8)
C9)
D0)
сходится.
О Покажем, что функция fg удовлетворяет на промежутке [а, +оо)
условию Коши B7). Согласно формуле интегрирования по частям
для ?' > а, {;" > а получаем
?"	с i"
- [F(x)g'(x)dx.	D1)
Jf(x)g(x)dx = F
Из условия C6) следует, что
JF{x)g'{x)
dx
^M\J\g'(x)\dx
D2)
D3)
Заметим, что \g'(x)\ = —g'(x), если выполнено условие C7), и \g'(x)\ =
= g'{x), если выполнено условие C8). Поэтому в первом случае
J1 = / |(/'(ж)| dx = — g'(x) dx = <?(?') — g(?."), а во втором случае Ji =
= g(?") - <?(?')• Следовательно,
s
f\g'(x)\dx
D4)
Поэтому из равенства D1), используя оценки D2)-D4), получаем не-
неравенство
I \JLJb
е
D5)
Согласно условию C9)
Me > 0 35? > а: \/х е [4,+оо) -)> |р(ж)| < -|-.	D6)

'. Несобственные интегралы	379
Поэтому для ?', {;" Е [5?,+оо) из D5) и D6) следует, что
т. е. функция fg удовлетворяет на промежутке [а, +оо) условию
Коши B7), и по теореме 3 интеграл D0) сходится. •
Замечание 8. Условия C7)-C9) означают, что функция д(х) моно-
монотонно стремится к нулю при х —»> +оо.
Следствие (признак Абеля). Если функция / непрерывна на про-
+ ОО
межутке А = [а, +оо), интеграл J' = / /(ж) dx сходится, а функция
а
д(х) ограничена на А и ее производная д'{х) не меняет знака на А
[удовлетворяет условию C7) или C8)), то интеграл D0) сходится.
О По теореме о пределе монотонной функции существует конечный
lim g(x) = #(+оо), и поэтому функция дЛх) = д(х) — д(+оо) мо-
х—у-\-оо
нотонно стремится к нулю при х —У +оо. Из сходимости интеграла
J следует, что функция / имеет ограниченную первообразную. По
теореме б интеграл от функции f(x)gi(x) по промежутку А сходит-
сходится. Так как /(ж) д{х) = /(ж) д(+оо) + /(ж) gi(x), то интеграл D0) схо-
сходится. •
Пример 16. Исследовать на сходимость и абсолютную сходи-
сходимость интеграл
J = I (ех + ж) cos е2ж dx.
о
Л Положим е2ж = t. Тогда ж = - hit, dx = —, и поэтому
+ ОО	+ОО
Т If cost ,. 1 Г mt . ,.	/у1^_ч
J=- / —^dt+- I —cost (it.	D7)
1	1
Оба интеграла в формуле D7) сходятся по признаку Дирихле, так
как функция cost имеет ограниченную первообразную ( / cost (it ^
1
/о\ ,	1 lnf
^ 2 ), а функции — и — монотонно стремятся к нулю при t —>¦ +оо.
'	\Jt t
+ ОО
Покажем,
+
, что J = / (p(t)| cost | (it, где cp{t) = - ( —¦= -\	J, pacxo-
J	2 V -yjt 2t /
2 t = 	^—
дится. В самом деле, ip(t) ^ — при t ^ 1, | cost | ^ cos2 t = ^
/л, . i . 1 + cos2t rr,
откуда следует неравенство (p(t)\ cost | ^	. Так как интеграл

380	Гл. VII. Определенный интеграл
Г 1 + cos It ,,	(
I	at расходится (это следует из сходимости по признаку
1	+оо	+оо
п	С cos 2t ,,	Г dt\
Дирихле интеграла / —— at и расходимости интеграла / — 1, то
J 4t	J ^±t /
по теореме 2 интеграл J расходится. Таким образом, интеграл J схо-
сходится условно. А
Пример 17. Исследовать на сходимость интеграл
т	[	Sin Ж	,
J = / —=	dx.
J л/ж — sm ж
4
Л Теорему б применить нельзя, так как д(х) = —	:— не явля-
л/ж — sin ж
ется монотонной при х ^ 4. Запишем функцию д(ж) в следующем
Ж . 1	\ л тт
^.л. ^ , , * м'- г^^-5 так как х ^ 4. Положим
л/ж V л/ж У	л/ж 2
= A — t), |?| ^ -. По формуле Тейлора с остаточным членом в
форме Лагранжа получаем
виде: #(ж) = — 1	— , где
л/Ж V	л/Ж У
где |^| ^ |t| ^ |, ^"@ = 2A - 0~3, №
Отсюда следует, что если х ^ 4, то
1
=1
где
23
2
. 8 -л-	sin ж	sin ж sin2 ж
^ -. Поэтому —zz	 = —— Н
ж	л/ж — sm ж	л/ж	ж
sin ж , , ч	,	, / ч sin ж , / ч
——п{х), где функция ^(ж) = —-=- пух) не влияет на сходимость
Vх	Vх	+оо
О	п О
интеграла J (теорема 5), так как |^(ж)| ^ —г, а интеграл / —Г dx
ж3/2	У ж3/2
+оо .	4
/sm ж
б?ж (пример 15) и расхо-
д/Ж
+r°sin2 ж	4
димости интеграла / Sm dx (пример 14) следует, что интеграл J
J х
расходится. А	4
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
1. Доказать, что если функция ip(x) интегрируема на отрезке [а, Ь] и для
всех ж G [а, Ь] выполняется условие с ^ <р(х) ^ с/, а функция / непрерывна на
отрезке [с, d], то сложная функция f(<p(x)) интегрируема на отрезке [а, Ь].

Упражнения к главе VII	381
2.	Пусть функция / непрерывна на отрезке [а, Ь] и выполняется нера-
ъ
венство //(ж) с/ж > 0. Доказать, что существует отрезок А С [а, Ь] такой,
а
что /(ж) > 0 для всех х Е А.
3.	Доказать, что если функция / непрерывна при х ^ 0 и существует
конечный lim /(ж) = а, то
х—^ + оо
Т
lim —
4.	Доказать, что для любых функций / и д, интегрируемых на отрез-
отрезке [а, Ь], выполняется неравенство Коши-Буняковского
ff(x)g(x)dx
а	а	а
5.	Доказать, что при любом n E А/ справедливы равенства:
тг/2	тг/2	2
ч r sinBn — l)x j	тг	ч г /sinnx\ 7 птг
а) / —	— dx =	-:	б) / 	Ыж = —.
У	sin ж	2	У V sin х )	2
о	о
s ж
о	о
в.Найти Нш [()
о	о
7.	Доказать, что для любой функции /, непрерывной на отрезке [0,1],
выполняются равенства:
тг/2	тг/2	п	п
а) //(sin ж) с/ж = //(cos ж) с/ж;	б) I xf(sinx) dx = — //(sin ж) с/ж.
0	0	0	0
8.	Доказать, что если функция / интегрируема на отрезке [а, Ь], то
&
lim / |/(ж + ?) — /(ж)| с/ж = 0, где /(ж) = 0 для всех ж 0 [а, Ь].
t—^o 7
а
9.	Доказать, что если функция / интегрируема на любом отрезке
действительной оси, то функция
х+6
F6(x) = - J f(t)dt, где ?>0,
x-S
непрерывна на /?, а если функция / непрерывна на /?, то функция Fs(x)
дифференцируема на R.
ъ
10.	Доказать, что равенство //2(ж)с/ж = 0 для интегрируемой на от-
а
резке [а, Ь] функции выполняется тогда и только тогда, когда /(ж) = 0 во
всех точках непрерывности функции /.
11.	Доказать, что если функция / дважды непрерывно дифференци-
дифференцируема на отрезке [0,1], то

382	Гл. VII. Определенный интеграл
12.	Доказать, что если функция F(x) дифференцируема во всех точках
отрезка [а, Ь], кроме точек Хк (к = 1,га), F'(ж) = f(x) для всех х Е [а, Ь],
х ф Хк (к = 1,т), причем Ж& — точки разрыва первого рода функции F, а
функция / интегрируема на отрезке [а, Ь], то справедлива формула
m
) с/ж = F(b - 0) - F(a + 0) - ^(F(xfc + 0) - F(xfc - 0)).
fc=i
13.	Пусть f(x) = ax2 -\-hx-\-c > 0 для всех ж Е [^1,^2]. Доказать, что
площадь S фигуры G = {(х,у): х\ ^ ж ^ жг, 0 ^ г/ ^ /(ж)} выражается
формулой Симпсона
где х0 =
14. Показать, что длина S плоской кривой, заданной в полярных коор-
координатах уравнением р = р(ц>), а ^ (р ^ /3, где р(у) — функция, непрерывно
дифференцируемая на отрезке [а,/3], выражается формулой
15.	Пусть функция |/ = /(ж) непрерывна на отрезке [а, Ь], где 0 ^ а ^ 6
и /(ж) ^ 0 Для всех х ^ [«,4- Доказать, что объем V тела, образованного
при вращении вокруг оси Оу фигуры G = {(ж, у): а^ж^б, 0^^/^ /(ж)},
равен	ъ
V = 2тг fxf(x)dx.
а
16.	Доказать, что если функция / ограничена на отрезке [а, Ь] и непре-
непрерывна во всех точках этого отрезка, кроме конечного числа точек, то эта
функция интегрируема на отрезке [а, Ь].

ГЛАВА VIII
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 39. Определение и свойства сходящихся рядов
1. Сходящийся числовой ряд и его сумма. Выражение
а\ + а2 + ... + ап + ..., где {ап} — заданная числовая последователь-
ОО
ность, будем называть числовым рядом и обозначать символом V^ ап,
71=1
а числа ап будем называть членами ряда. Сумму п первых членов ря-
ОО
да ^ ап будем называть п-й частичной суммой этого ряда и обозна-
k.	A)
71=1
чать Sn, т. е.
Определение. Ряд
71=1
называется сходящимся, если последовательность его частичных
сумм {Sn} имеет конечный предел 5, т. е.
lim Sn = S.	C)
п—>-оо
Число 5, определяемое условиями A) и C), называют суммой ря-
ряда B) и пишут
оо
71=1
Если последовательность {5П} не имеет конечного предела (предел
не существует или бесконечен), то говорят, что ряд B) расходится
(является расходящимся).
Пример 1. Доказать, что ряд
оо
ХУ, где М<1,	E)
71=1
сходится, и найти его сумму S.
А Используя формулу для суммы п первых членов геометрической

384	Гл. VIII. Числовые ряды
прогрессии, получаем
Так как qn —У 0 при п —у оо, если \q\ < 1, то последовательность {Sn}
имеет конечный предел, равный 	, т. е. ряд E) сходится и его
сумма S = 	. А
1-q
Пример 2. Доказать, что если при всех п Е А/ выполняется ра-
равенство
ап = Ьп - Ьп+1	F)
и существует конечный
lim bn = b,	G)
n—юо
то ряд B) сходится, а его сумма S = b± — b, т. е.
oo
n~	n	n
Л Используя условие F), получаем Sn = V^ a/. =
= &i — &2 + ^2 — ^з + ••• + bn-i — bn + bn — bn+\ = b\ — bn+i, откуда в
силу G) следует сходимость ряда B) и равенство (8). А
Пример 3. Найти сумму ряда B), если ап = —	—	-.
п(п + 1)(п + 2)
Л Так как
_	1	_ (п + 2) -п _ 1	1
йп ~ n(n+ l)(n + 2) ~ 2n(n + l)(n + 2) ~ 2n(n + I) 2(n + l)(n + 2)'
то последовательность {ап} удовлетворяет условиям F) и G), где
Ьп = —	-, b = 0, и по формуле (8) получаем
2п(п + 1)	оо
,(п + 1)(п + 2) 4
п=1
2. Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд B) схо-
сходится, то
lim an = 0.	(9)
п—>-оо
О Так как ряд B) сходится, то существует конечный предел S по-
последовательности {5П}, где Sn — n-я частичная сумма ряда (фор-
(формула A)). Тогда lim Sn = S и lim 5n_i = 5, откуда следует, что
п—>-оо	п—>-оо
5n — Sn_i = an —>¦ 0 при п —у оо. •

'. Определение и свойства сходящихся рядов	385
Таким образом, соотношение (9) выражает необходимое условие
сходимости ряда.
оо
Пример 4. Доказать, что ряд ^ — расходится.
п=1 V П
п
Л Так как —= ^ —= при к = 1, 2,..., п, то 5П = V^ —= ^ п —= = v^5
V к Vn	f^ vk Vn
оо
откуда следует, что Sn —> +оо при п —у оо, т. е. ряд V^ —= расхо-
расходится. А
Замечание 1. Условие (9) не является достаточным для сходимости
ряда B): ряд, рассмотренный в примере 4, удовлетворяет условию (9), но
расходится.
Пример 5. Доказать, что ряд
оо
2^ sin па, где а ф тгт (т G Z),	A0)
71=1
расходится.
Л Докажем, что
sin па 7^ 0 ПРИ n ~~^ °°-	A1)
Предположим, что sin па —У 0 при п —>- оо. Тогда sin(n + 1)а —>- 0 при
п —>- оо, т. е. sin na cos a + cos па sin а —у 0, откуда следует, что
cos па —у 0 при п —>¦ оо, так как sin а ф 0. Итак, если sin па —у 0, то
cos па —у 0 при п —>¦ оо, что невозможно, так как sin2 па + cos2 па = 1.
Таким образом, для ряда A0) должно выполняться условие A1),
и поэтому ряд A0) расходится. А
3. Свойства сходящихся рядов.
Свойство 1. Если ряды B) и
71=1
сходятся, а их суммы равны соответственно S и а, то при любых
A. a G R сходится ряд
^(Aan + /i6n),	A3)
71=1
а его сумма равна
т = \S + fia.	A4)
О Пусть Sn, оп и тп — n-е частичные суммы рядов B), A2) и A3)
соответственно. Тогда тп = A5n + /icrn. Так как Sn -У S и сгп -у а
при п —> оо, то последовательность {тп} имеет конечный предел, т. е.
ряд A3) сходится, и справедливо равенство A4). •

386	Гл. VIII. Числовые ряды
Свойство 2. Если сходится ряд B), то при каждом т Е А/ схо-
сходится ряд
^2 ап,	A5)
n=ra+l
который называют т-м остатком ряда B). Обратно: если при фик-
фиксированном т ряд A5) сходится, то и ряд B) также сходится.
О Пусть Sn = ai + ... + ап и cr^m) = am+i + ... + аш+к — соот-
соответственно n-я частичная сумма ряда B) и к-я частичная сумма ря-
ряда A5). Тогда
Sn = Sm + 0"i , где п = т + к.	A6)
Если ряд B) сходится, то последовательность {Sn} имеет конеч-
конечный предел при п —у оо, и поэтому из равенства A6) следует, что по-
последовательность {о™ }, где т фиксировано, имеет конечный предел
при к -у оо, т. е. ряд A5) сходится.
Обратно: если т фиксировано и существует конечный lim ak ,
то существует конечный lim Sn. •
к—>-оо
Замечание 2. Согласно свойству 2 отбрасывание конечного числа
членов ряда или добавление конечного числа членов к данному ряду не
влияет на его сходимость.
Свойство 3. Если ряд B) сходится, то и ряд
оо
полученный группировкой членов ряда B) без изменения порядка их
расположения, также сходится и имеет ту же сумму, что и ряд B).
О Пусть bi = (ц + а2 + ... + адя, &2 = afel+i + afel+2 + ... + а^2, ...
..., 6j = ctkj-г +...+ а^-, где j G Л/, {%} — строго возрастающая
последовательность натуральных чисел. Обозначим Sn = у] а^,
hj] тогда ош — Skm- Так как {ат} — подпоследовательность
сходящейся последовательности 5i,52,..., то существует lim ош —
т—>-оо
= 5, где 5 — сумма ряда B). •
Упражнение. Показать, что утверждение, обратное к свойству 2,
неверно: из сходимости ряда A7) не следует сходимость ряда B).
4. Критерий Коши сходимости ряда.
Теорема. Для сходимости ряда B) необходимо и достаточно,
чтобы
Vs > О 3N? : Vn ^ N?,\/pe N -у \ап+1 + an+2 + ... + ап+р\ < г. A8)

§40. Ряды с неотрицательными членами	387
О Так как ап+1 + ап+2 + ... + ап+р = Sn+P - Sn, где Sn — га-я час-
частичная сумма ряда B), то условие A8) означает, что последователь-
последовательность {Sn} является фундаментальной (§ 8). В силу критерия Коши
для последовательности (§ 8) условие A8) равносильно существова-
существованию конечного предела последовательности {5П}, т. е. равносильно
сходимости ряда B). •
Замечание 3. Если условие A8) не выполняется, т. е.
3s0>0: Ук е А/ Зп^к Зр е А/: \an+i + ... + ап+р\ ^ е0, A9)
то ряд B) расходится.
оо
*-^ п
71=1
Пример 6. Доказать, что гармонический ряд
B0)
	 II
71=1
расходится.
Л Для любого к Е А/ возьмем п = fc, р = к. Тогда N. ак — т—г + •••
' ¦	ГЪ ~|~ 1
fe=n+l
... + — > —к = -=?0,ив силу условия A9) ряд B0) расходится. А
5. Ряды с комплексными членами. Последовательность комп-
комплексных чисел {zn} называют сходящейся, если существует такое
комплексное число z, что
lim \zn — z\ = 0,
п—>-оо
где \z\ — модуль комплексного числа z (§ 31). В этом случае пишут
lim zn = z или zn —У z при п —У оо.
п—>-оо
Если zn = жп + i^/n, z = ж + г?/, то условие zn ->• z при п ->• оо эк-
эквивалентно выполнению условий хп —у х и уп —У у при п —У оо.
Ряд с комплексными членами
71=1
называют сходящимся, если существует
п
lim У^ zk = S,
к=1
оо
где S Е С. В этом случае пишут 2^ zn = S, r комплексное число S
называют суммой ряда B1).	п=1
Упражнение 2. Показать, что ряд B1), где zn = хп + %n, сходится к
оо	оо
сумме S = а + ib тогда и только тогда, когда сходятся ряды у хп и у уп,
п=1	п=1
причем суммы этих рядов равны а и Ъ соответственно.

388	Гл. VIII. Числовые ряды
§ 40. Ряды с неотрицательными членами
1. Критерий сходимости ряда с неотрицательными чле-
членами.
Теорема 1. Если члены ряда
71=1
неотрицательны, т. е.
Vn е N -+ ап ^ 0,	B)
то для сходимости этого ряда необходимо и достаточно, чтобы
последовательность его частичных сумм {Sn} была ограничена свер-
сверху, т. е.
п
ЗМ > 0: Vn е N -+ Sn = Y^ ак^ М.	C)
к=1
О Заметим, что {Sn} — возрастающая последовательность, так как
Sn — Sn-i = ап ^ 0 при п ^ 2 в силу условия B).
Если ряд A) с неотрицательными членами сходится, т. е. сущест-
существует конечный lim Sn = 5, то согласно теореме о пределе возраста-
п—>-оо
ющей последовательности
Vn е N -+ Sn ^ 5,
т. е. выполняется условие C).
Обратно, если ряд A) с неотрицательными членами удовлетворя-
удовлетворяет условию C), то возрастающая последовательность {Sn} ограниче-
ограничена сверху. Следовательно, она имеет конечный предел, т. е. ряд A)
сходится. •
2. Интегральный признак сходимости ряда.
Теорема 2. Если функция f неотрицательна и убывает на про-
промежутке [1, +оо), то ряд
Ел*)	D)
и интеграл
J= I f(x)dx	E)
либо оба сходятся, либо оба расходятся.
О Обозначим Д/, = [к,к + 1], где к G А/, и пусть Sn =
Так как / — убывающая при х > 1 функция, то она интегрируема
на каждом из отрезков Д/, и для всех х G Д& удовлетворяет условию

§40. Ряды с неотрицательными членами	389
f(k + 1) ^ f(x) ^ /(&), откуда в силу свойств интеграла получаем
к+1
I	F)
Полагая в F) к = 1, 2,..., п и складывая соответствующие неравенства,
находим
п
Е
или
п+1
¦(x)dx ^ Sn.	G)
1
а) Пусть сходится интеграл E), т. е. существует конечный
lim fix) dx = J.
Так как / — неотрицательная функция, то по теореме 1 из § 38 для
С
всех ? G [1,+оо) выполняется неравенство f(x)dx ^ J, и поэтому
п+1	!
Vne Л/ -)> | /(ж)сЬ ^ J.	(8)
Из G) и (8) следует, что
Vn е Л/ -> 5n+i ^ /A) + J,
т. е. последовательность частичных сумм ряда D) с неотрицательны-
неотрицательными членами ограничена сверху. По теореме 1 ряд D) сходится.
б) Обратно: если ряд D) с неотрицательными членами сходится, а
его сумма равна S, то
Vn е Л/ -> Sn <: S.	(9)
Из G) и (9) следует, то
п+1
Vn е N -+ Г f(x) dx ^ S.	A0)
1
Для любого ? ^ 1 выберем п G А/ таким, чтобы выполнялось условие
п + 1 ^ ?. Тогда из неравенства A0) и условия /(ж) ^ 0 при х ^ 1
следует, что
С	п+1
J уХ) UX ^ / J\X) UX ^ *j,
1	1
и поэтому (теорема 1 из § 38) интеграл E) сходится.

390	Гл. VIII. Числовые ряды
Если интеграл E) расходится, то ряд D) должен расходиться, так
как в случае сходимости ряда D) сходился бы по доказанному выше
и интеграл E). Аналогично, из расходимости ряда D) следует расхо-
расходимость интеграла E). •
оо
Пример 1. Доказать, что ряд ^ —- сходится при а > 1 и рас-
71=1
ходится при а ^ 1.
Л Пусть а > 0. Рассмотрим функцию f(x) = ——. Эта функция поло-
+оо
Г dx
жительна и убывает, а интеграл / — сходится при а > 1 и расхо-
J ха
1
дится при а ^ 1 (§ 38, пример 3). По теореме 2 ряд V^ — сходится
71=1
при а > 1 и расходится при а ^ 1.
Если а ^ 0, то ряд расходится, так как — -АО при п —у оо. А
Упражнение 1. Используя теорему 2 и пример 11 из § 38, показать,
что ряд
1
^-^ па lrr п
п=2
сходится при а > 1 (f3 любое), а также при а = 1, если /3 > 1, и расходится
при других значениях а и C.
3. Признак сравнения.
Теорема 3. Если для всех п е N выполняется условие
0 ^ ап ^ Ьп,	A1)
то ш сходимости ряда
71=1
следует сходимость ряда A), а из расходимости ряда A) следует рас-
расходимость ряда A2).
О Из сходимости ряда A2) с неотрицательными членами (усло-
(условие A1)) по теореме 1 следует ограниченность сверху последователь-
последовательности его частичных сумм, т. е.
ЗМ: Vn G A/ ^J^bk^ M,
к=1
откуда, используя условие A1), получаем
п	п
^ аи ^ ^2, ^к ^ М для всех п е N.
к=1	к=1

§40. Ряды с неотрицательными членами	391
Таким образом, последовательность частичных сумм ряда A) огра-
ограничена сверху, и в силу теоремы 1 ряд A) сходится.
Если ряд A) расходится, то ряд A2) также должен расходиться,
так как в случае сходимости ряда A2) сходился бы ряд A). •
Замечание 1. Теорема 3 остается в силе, если условие A1) выполня-
выполняется при всех п ^ т, где т — заданный номер.
тт о тт /i\ C + 2(—l)n)(l + sin3n)
Пример 2. Доказать, что ряд A), где ап =	—^/=	 •>
сходится.
Л Так как 1^3 + 2(-1)п ^ 5, 0 ^ 1 + sin3 п ^ 2 при всех п е Л/, то
п ^ ^ 10	v^ 10	о
0 ^ ап ^ —г, и из сходимости ряда > —г по теореме 3 следует
П3/2	оо	*-^ П3/2
п=1
сходимость ряда Уап. А
71=1
Следствие 1. Если ап > 0 и Ъп > 0 для всех п ^ по и ап ~ Ьп
при п —У оо, т. е. Нт -^ = 1, то ряды A) и A2) либо оба сходятся,
п—^оо On
либо оба расходятся.
О Это утверждение доказывается по аналогии с соответствующим
утверждением для несобственного интеграла (§ 38, следствие из тео-
теоремы 2). •
оо
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд V^an, если:
71=1
а) ап =
Л а) Так как arcsint = ? + о(?2), е* - 1 = t + o(t), earcsint - 1 =
= ? + o(t) при t ->• 0, то ап ~ — при п ->• оо. Поэтому ряд сходит-
ся при а > 1 и расходится при а ^ 1.
б) Используя асимптотическую формулу A + t)a = 1 + at + o(t)
при ? —>¦ 0, получаем
4	°°
при п —>- оо, откуда ап ~ — при п —> оо. Поэтому ряд У^ ап расхо-
671	^-^
п=1
дится. А

392	Гл. VIII. Числовые ряды
Следствие 2. Если члены рядов A) и A2) удовлетворяют при
всех к ^ т условиям
„ \ П	h \ П	^fc + 1 ^ ^fc + 1	/I Q\
&/г > U, 0& > U, 	 ^ ——,	{16)
ак	Ок
то из сходимости ряда A2) следует сходимость ряда A), а из расхо-
расходимости ряда A) следует расходимость ряда A2).
О Полагая в A3) к = т, т + 1,..., п — 1 и перемножая соответствую-
соответствующие неравенства, получаем
ttra+l dm+2 dn — 1 &п ^ bm+l bm+2 bn — i bn
dm dm+1 dn—2 &П—1	bm bm+l bn—2 bn—\
или —^- ^ -^-, откуда следует, что при всех п ^ т + 1 выполняется
неравенство ап ^ Abnj где А = —^ > 0. Для завершения доказательства
Ьт
следует применить теорему 3. •
4. Признак Д'Аламбера.
Теорема 4. Пусть дан ряд
оо
2_^ап, где ап > 0 для всех n G N.	A4)
п=1
а)	если существует число q G @,1) и номер т такие, что для
всех п ^ т выполняется неравенство
^ ^ q,	A5)
mo ряд A4) сходится;
б)	если существует номер т такой, что для всех п ^ т выполня-
выполняется неравенство
^±i ^ 1,	A6)
то ряд A4) расходится.
О а) Из условия A5) следует, что ат+1 ^ gam, am+2 ^ qam+1 ^
^ q2am, и поэтому
; ^pam для любого р е N.	A7)
оо
Так как ряд 2^ атУР, гДе 0 < q < 1, сходится (§ 39, пример 1) и an > 0
при всех п G А/, то по теореме 3 сходится ряд
оо
^а>т+Р,	A8)
р=1
откуда следует сходимость ряда A4), получаемого из ряда A8) до-
добавлением конечного числа членов ai,...,am (§ 39, п. 3, свойство 2).

§40. Ряды с неотрицательными членами	393
б) Из условия A6) следует, что ат+1 ^ ат, ат+2 ^ ат+1 ^ ат,
ат+з ^ &т и Т- Д- Следовательно,
аш+р ^ ат > 0 для всех р е N.	A9)
Поэтому ряд A8), а вместе с ним и ряд A4) расходятся, так как
в силу условия A9) ап -/> 0 при п —У оо (не выполняется необходимое
условие сходимости ряда). •
Следствие (признак Д'Аламбера "в предельной форме"). Если
существует
lim ^±1 = Л,	B0)
п—>-оо ап
то ряд A4) с положительными членами сходится при X < 1 и расхо-
расходится при X > 1.
Пример 4. Используя признак Д'Аламбера, исследовать на схо-
оо
димость ряд ^~^ап, где:
71=1
а)	ап = —-, а > 0; б) ап = —-.
Л а) Ряд сходится, так как -^- =	У 0 при п —У оо, т. е. вы-
ап п + 1
полняется условие B0) при Л = 0.
б)	Так как —^ = (	 ) = A -\— ) —у е при п —У оо, то
dn	ЧП+1/	V	П /
выполняется условие B0) при Л = е~1 < 1. Поэтому ряд сходится. А
5. Признак Коши.
Теорема 5. Пусть дан ряд
оо
$>»'	B1)
71=1
где ап ^ 0 для всех п G А/.
Тогда:
а)	если существуют число q G @,1) и номер т такие, что для
всех п ^ т выполняется неравенство
то ряд B1) сходится;
б)	если существует номер т такой, что для всех п ^ т выполня-
выполняется неравенство
то ряд B1) расходится.
О а) Из условия B2) следует, что при всех п ^ т выполняется не-
неравенство ап ^ qn, где 0 < q < 1. По теореме 3 из сходимости ряда

394	Гл. VIII. Числовые ряды
ОО	ОО
^ qn следует сходимость ряда ^ ап. Поэтому ряд B1) также схо-
п—тп	п—тп
дится (§ 39, п. 3, свойство 2).
б) Если ^/а^ ^ 1, то ап ^ 1 при всех п ^ ттг, и поэтому ряд B1)
расходится. •
Следствие (признак Коши "в предельной форме"). Если ап ^ О
(n G А/) и существует
lim ^/а^ = Л,	B3)
то при Л < 1 ряд B1) сходится, а при Л > 1 расходится.
Замечание 2. Если условие B0) или условие B3) выполняется при
Л = 1, то ряд A4) может как сходиться, так и расходиться, т. е. признак
Д'Аламбера (Коши) при Л = 1 не решает вопроса о сходимости ряда A4).
Замечание 3. Из существования предела B0) следует, что сущест-
существует предел B3) и эти пределы равны (см. [10, § 5, пример 8]), а обратное
утверждение является неверным. Поэтому говорят, что признак Коши при
исследовании сходимости рядов с положительными членами сильнее при-
признака Д'Аламбера.
оо
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд V^an, где ап =
2	n=1
Л Так как VfoZ^ — (	) = —	^-^ —у -, то условие B3) выпол-
A + ^)	6
няется при Л = - < 1, и поэтому ряд сходится. А
е
6. Признак Раабе.
Теорема 6. Если ап > 0 для всех N и существует
Нт п(-^- -Л = А,	B4)
n-^oo \an+i /
то ряд A4) сходится при Л > 1 и расходится при Л < 1.
Доказательство теоремы б содержится, например, в книге [10,
с. 417, 418].
оо
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд Van, где ап =
71=1
п! V е >
Л Признак Д'Аламбера не позволяет решить вопрос о сходимости
ряда, так как lim —^ = 1. Воспользуемся признаком Раабе. В дан-
п—>-оо
ном примере
\an+i >	V
A + 1/п)п

§4.1. Абсолютно и условно сходящиеся ряды	395
еA + ж)~1//ж — 11	1
Так как lim —	 = - (§ 18, пример 9), то lim an = -, и
х—>0	X	2	п—юо	2
согласно признаку Раабе (теорема 6) ряд расходится. А
оо
Замечание 4. Расходимость ряда >^ —г ( — ) легко доказать с по-
/-^ п\\е J
71 = 1
мощью формулы Стирлинга п\ ~ ( — I л/2тгп (см § 77, A2)).
§ 41. Абсолютно и условно сходящиеся ряды
1. Абсолютно сходящиеся ряды. Ряд с действительными или
комплексными членами
71=1
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
(X)
?К1-	B)
71=1
Рассмотрим свойства абсолютно сходящихся рядов.
Свойство 1. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.
О Пусть ряд B) сходится. Тогда для него выполняется условие Коши
(§ 39), т. е.
Vs > О 3N? : Vn ^ N? Vp G Л/ -)>
п+р
п+р
Так как 2^ ак ^ 2^ |а&|, то и для ряда A) выполняется условие
A;=n+1	А;=п+1
Коши, и в силу критерия Коши этот ряд сходится. •
Свойство 2. Если ряд A) абсолютно сходится, а последователь-
последовательность {Ьп} ограничена, т. е.
ЗМ > 0: Vn е N -+ \Ъп\ ^ М,	C)
(X)
то ряд V^ anbn абсолютно сходится.
71=1
О Для доказательства свойства 2 следует воспользоваться критери-
критерием Коши сходимости ряда и неравенством
п+р	п+р
которое выполняется в силу условия C).

396	Гл. VIII. Числовые ряды
ОО	ОО
Свойство 3. Если ряды ^ ап и ^ Ъп абсолютно сходятся, то
при любых А и \i абсолютно сходится ряд
п=1
О Для доказательства свойства 3 следует применить критерий
Коши. •
Свойство 4. Если ряд A) абсолютно сходится, то и ряд
оо
полученный перестановкой членов ряда A), абсолютно сходится, при-
причем сумма S ряда D) равна сумме S ряда A).
О Докажем, что ряд D) абсолютно сходится, т. е. сходится ряд
Так как ряд D) отличается от ряда A) только порядком располо-
расположения членов, то
Vj e N 3kj e N: akj =a,j.
Обозначим ап = У^ |йи|, п = max kj. Тогда п ^ п и для всех п G А/
выполняется неравенство
где А — сумма ряда B). Отсюда по теореме 1 из § 40 следует сходи-
сходимость ряда E). Заметим, что сходится и ряд D) в силу свойства 1.
б) Докажем, что
S = S.	F)
Из сходимости рядов A) и B) следует, что для любого г > 0 най-
найдется номер N = N? такой, что для всех п ^ N? и для всех р G А/
выполняются неравенства
Е

§4.1. Абсолютно и условно сходящиеся ряды	397
Пусть N — наибольший из номеров, которые члены ai, a2,..., адг
ряда A) имеют в ряде D), т. е. N = max (jb ..., jN,), где ак = ajk
(k = l,N). Тогда
N <С N.	(9)
Обозначим п-ю частную сумму ряда D) через Sn и покажем, что для
всех п > N выполняется неравенство
\S-Sn\<e.	A0)
П
Так как для любого п> N сумма Sn = ^ й/. содержит члены а\, а2,...
..., адг ряда A) согласно выбору числа N (неравенство (9)), то разность
п	N
где п > N, может содержать лишь такие члены ряда A), номера ко-
которых больше N.
Пусть N' — наибольший из номеров, которые имеют в ряде A)
члены ряда D), входящие в Sn при п > JV, т. е. N' = max (fci,..., кп),
где akj = cij (j = 1,п). Тогда
N' = N+p, peN.
Поэтому разность А (равенство A1)) представляет собой сумму та-
таких членов (не обязательно всех) ряда A), номера которых больше JV,
но не превосходят N' = N + р. Следовательно,
в силу условия (8).
Из равенства S — Sn = 5 — S/v — En — S/v) = 5 — 5дг — А в си-
силу G) и A2) следует, что для всех п ^ N выполняется неравенст-
неравенство A0). Это означает, что lim Sn = 5, т. е. справедливо равенст-
п—>-оо
ВО F). •
Свойство 5. Если ряды A) и
п=1
абсолютно сходятся, то и ряд
оо
?а<Л"	A4)
8=1

398
Гл. VIII. Числовые ряды
составленный из всевозможных попарных произведений членов ря-
рядов A) и A3), абсолютно сходится, причем сумма ряда A4) равна
произведению сумм рядов A) и A3).
О а) Докажем, что сходится ряд
ОО
4abja\.	A5)
8=1
Пусть тт — т-п частичная сумма ряда A5), Аи В — суммы ря-
\Ьп\ соответственно. Тогда
оо	оо
дов ^ \ап\ и ^
п=1	п=1
' га
s=l	s=l	s=l
т. е. частичные суммы ряда A5) ограничены сверху и по теореме 1
из § 40 ряд A5) сходится.
б) Докажем, что
г = Sa,	A6)
где г, 5, и сг — суммы рядов A4), A) и A3) соответственно. Заметим,
что все члены ряда A4) содержатся в следующей таблице:
1
aibi
4
а\Ъ2
9
а\Ъз
16
aib4
2
a2bi
3
0-2^2
8
«2^3
15
a2b4
5
a3fri
6
&з&2
7
азЬз
14
аз&4
10
a4&i
11
а4&2
12
«4^3
13
CI464
Занумеруем элементы этой таблицы, присваивая им номера, ука-
указанные в таблице (такой метод перечисления называют "методом
квадратов"). В этом случае получается ряд
образованный из всевозможных попарных произведений членов ря-
рядов A) и A3), т. е. ряд вида A4).
По доказанному выше всякий ряд вида A4) и, в частности, ряд A7),
абсолютно сходится и, значит, сходится (свойство 1), а сумма ря-
ряда A4) не зависит от порядка расположения его членов (свойство 4).
Поэтому ряд A7) сходится, а его сумма равна т.
Пусть 5П, ап, тп — n-е частичные суммы рядов A), A3) и A7) со-
соответственно; тогда тп2 = Snan. Так как Sn —У S и ап —У а при п —У оо,

§4.1. Абсолютно и условно сходящиеся ряды	399
то тп2 —у Sa при п —У оо. С другой стороны, {гп2} — подпоследова-
подпоследовательность сходящейся к числу г последовательности {тп}, и поэтому
rni ->• г при п ->• оо. Отсюда следует, что т — Sa. Равенство A6) до-
доказано. •
2. Знакочередующиеся ряды. Ряд
оо
^(-1)п+1ап, где ап > 0 при всех п Е Л/,	A8)
71=1
называют знакочередующимся.
Теорема 1 (Лейбница). Если последовательность {ап} монотон-
монотонно стремится к нулю, т. е.
ап ^ &n+i для всех п Е А/,	A9)
lim an = 0,	B0)
п—>-оо
то знакочередующийся ряд A8) сходится.
п
О Пусть 5n = ^(-l)fe+1afe. Тогда S2(n+i) - 52n = a2n+i - a2n+2 ^ 0
А;=1
в силу условия A9), т. е. {52п} — возрастающая последовательность.
Кроме того,
52п = а\ - (а2 - а3) - ... - (а2п_2 - a2n-i) ~ а2п < аь
так как ап > 0 для всех п е N и {an} — убывающая последова-
последовательность (условие A9)). По теореме о пределе возрастающей и
ограниченной сверху последовательности существует конечный
lim S2n = S. Отсюда и из условия B0) следует, что lim Sn = 5,
п—>-оо	п—>-оо
т. е. ряд A8) сходится. •
Следствие. Для знакочередующегося ряда A) при всех п G А/
справедливы неравенства
52п ^ 5 ^ 52n+i,	B1)
|5-5n|^an+i.	B2)
О Заметим, что S2n+i = 52n_i - (a2n - a2n+i). Откуда в силу
условия A9) следует, что 52n+i ^ 52n_i, т. е. {52n_i} — убывающая
последовательность. Так как S является пределом возрастающей
последовательности {52п} и пределом убывающей последовательнос-
последовательности {52n_i}, то справедливо неравенство B1), которое можно записать
в виде
S2n-i — d2n ^ S ^ S2n + a2n+i.
Отсюда следует, что 52n_i - S ^ a2n, 5 - S2n ^ a2n+i. Это означает,
что при всех п G А/ выполняется неравенство B2). •

400	Гл. VIII. Числовые ряды
Пример 1. Доказать, что ряд ^ -—^—, где а > 0, сходится.
п=1
Л Так как последовательность \ — >, где а > 0, монотонно стремит-
I па )
ся к нулю, то по теореме 1 ряд сходится. В частности, сходится ряд
*-^ п	2 3	п
п=1
а для его суммы S из неравенства B1) при п = 1 следует оценка
т: ^ S ^ -. В дальнейшем (§ 44) будет показано, что S = In 2. А
2	6
3. Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов.
Теорема 2 (признак Дирихле). Ряд
(X)
5] «Л	B3)
П=1	(X)
сходится, если последовательность частичных сумм ряда 2_. Ьп огра-
71=1
ничена, т. е.
ЗМ >0: VnG A/
?<
М,	B4)
а последовательность {ап} монотонно стремится к нулю, т. е.
&n+i ^ ап для всех п G А/	B5)
&n+i ^ ап для всех п G А/	B5;)
lim ап = 0.	B6)
п—>-оо
О Покажем, что для ряда B3) выполняется условие Коши. Введем
следующие обозначения:
п
Bn = S^bk,	B7)
к=1
п-\-р
а = ^2 akbk, п е Л/, р е N.	B8)
к=п+1
Преобразуем а, учитывая, что Ьк — Вк — Вк-\ при к > 1, согласно
формуле B7). Получим
п-\-р	п+р
V — 2_^ акВк — 2_^ акВк-1,
к=п+1	к=п+1
где
п+р	п+р—1
/ ^ акВк-1 = 2^ cik+iBk + an+i??n.
fe=n+l	fe=n+l

§41- Абсолютно и условно сходящиеся ряды	401
Поэтому
п+р-1
а = ап+рВп+р - ап+1Вп + ^ (Q>k-Q>k+i)Bk.	B9)
к=п+1
Если справедливо неравенство B5), то из формулы B9) и условия B4)
следует, что
п+р-1
|сг| ^ М(\ап+Р\ + |an+i|) + М ^ (P>k
k=n+l
ГДе	п+р-1
k=n+l
Таким образом, для всех п Е Л/ и для всех р е N выполняется нера-
неравенство
Н ^2M(|an+i| + |an+p|).	C0)
Нетрудно показать, что неравенство C0) остается в силе, если за-
заменить условие B5) условием B5;). Условие B6) означает, что
Vs > 0 3N?: \/n^N?^ \an\ < -|-,	C1)
а из B8), C0) и C1) следует, что
п+р
0 3N? : Vn ^ 7Ve \fp e N
<
к=п+1
т. е. ряд B3) удовлетворяет условию Коши. Следовательно, этот ряд
сходится. •
Замечание 1. Признак Лейбница можно получить из признака Ди-
Дирихле, полагая Ъп = (—l)n+l. Прием, использованный при преобразовании
суммы B8) к виду B9), называют преобразованием Абеля, которое можно
рассматривать как дискретный аналог метода интегрирования по частям.
Упражнение 1. Доказать, что если ряд B3) удовлетворяет услови-
условиям B5) и B6), а S и Sn — соответственно сумма и n-я частичная сум-
сумма этого ряда, то для всех п Е А/ выполняются неравенства ап ^ 0 и
\S - Sn\ ^ 2Man+i, если ап+\ ф 0.
Пример 2. Доказать, что ряд
C2)
оо
71=1
сходится при всех х G /?, если последовательность {an} удовлетворяет
условиям B5), B6).
Л Если х = 2тг?7г, где ш G Z, то все члены ряда C2) — нули, и поэтому
ряд C2) сходится.	п
Пусть х ф 2тгт, где ??г G Z. Обозначим Вп(х) = ^~^ sin кх. В § 3
к=1

402
Гл. VIII. Числовые ряды
(пример 2, формула E0)) было доказано, что Вп(х) =
1
(п + 1)х . пх
sin	— sin —
'. X	:
sin-
откуда \Вп(х
. X
sin —
2
для любого п Е А/, т. е. последовательность
{Вп(х)} ограничена. По теореме 2 ряд C2) для каждого х ф 2тгт, где
т G Z, сходится. Следовательно, ряд C2) сходится при любом х G R.
В частности, ряд
E
71=1
sinnx
, а > 0,
сходится при любом х G /?. А
(X)
Пример 3. Доказать, что ряд ^ancosnx, где последователь-
п=1
ность {ап} удовлетворяет условиям B5), B6), сходится при любом
х ф 2тгт, где т G Z.
Л Воспользуемся формулой
„ . пх (п + 1)ж
n	sin — cos	—
x =	^—
, х ф 2тг?7г, т G Z,
А;=1
sin —
2
которую можно получить способом, указанным в § 3 (пример 2, б)).
1
Так как
cos kx
к=1
х
sm-
при ж ф 2тг?7г, где ш G Z, а последо-
вательность {an} монотонно стремится к нулю, то ряд у^ ап cos пх
при ж т^ 2тгт, ??г G Z, сходится (теорема 2). А
В частности, ряд
п=1
п=1
сходится при любом х ф тгт (т е Z).
Теорема 3 (признак Абеля). Ряд B3) сходится, если сходится
C3)
п=1
а последовательность {ап} монотонна, т. е. удовлетворяет усло-
условию B5) или B5;), и ограничена.
О По теореме о пределе монотонной последовательности существу-
существует lira ап = а, откуда следует, что {ап — а} — последовательность,
монотонно стремящаяся к нулю. Из сходимости ряда C3) следует,

§4.1. Абсолютно и условно сходящиеся ряды	403
что последовательность {Вп} его частичных сумм ограничена. Поэ-
оо
тому ряд ^(ап - а)Ъп сходится по признаку Дирихле. Отсюда и из
71=1
сходимости ряда C3) заключаем, что ряд B3) сходится, так как
Unbn = (an - а)Ъп + ohn. •
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд ^ап, где
жп	п=1
COS —
~ cos^
Л Ряд > —=——^	 сходится (пример 3), а последовательность
*-^ л/пЩп + 1)
л/пЩп + 1)
(X)
I A Н— J > монотонна и ограничена. Поэтому ряд V^ an сходится
1
(признак Абеля). А
4. Условно сходящиеся ряды. Ряд
п=1
га=1
называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, а ряд
оо
Е
п=1
ar
C5)
расходится.
При исследовании ряда на сходимость и абсолютную сходимость
иногда оказывается полезным следующее утверждение.
(X)
Теорема 4. Если ряд C4) абсолютно сходится, то ряды У^ Ъп
°°л	71=1
?/ 2_^(ап + Ьп) одновременно либо абсолютно сходятся, либо условно
71=1
сходятся, либо расходятся.
О Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоре-
теоремы 5 из § 38. •
Пример 5. Доказать, что ряд
-, 0 < а ^ 1, хфттг (т е Z),	C6)
оо
^¦^ sinnx
71=1
сходится условно.

404	Гл. VIII. Числовые ряды
Л Ряд C6) сходится (пример 2). Докажем, что ряд
0<а^1, хфтгт (т е Z),	C7)
^2
71=1
расходится. Воспользуемся неравенством
I sin nx
> ^4F-	C8)
ОО
гр, .2 1 — 2 cos 2nx \-^ cos 2пж /
1ак как sm nx =	, то из сходимости ряда у.	(при-
00 1	n=i 2па
мер 3) и расходимости ряда 2^ —а' где 0 < а ^ 1, ж ^ 7Г77г (т ? Z),
71=1
оо . 2
следует расходимость ряда V^	—, откуда в силу условия C8) сле-
71=1
дует расходимость ряда C7) по теореме сравнения (§ 40, теорема 3).
Это означает, что ряд C6) сходится условно. А
Пример 6. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость
оо
ряд 2^ а™' если:
71=1
Л а) Запишем an в следующем виде:
Используя асимптотическую формулу A + t) г = 1 — t + t2 + o(t2)
при t ->• 0, получаем A + -—'——) = 1 - -—'—	1—A + ап), где
V	у/п )	у/п п
ап —У 0 при п —У оо, и поэтому \ап\ ^ 1 при п ^ по- Тогда ап =
= -——	h bn, где \Ъп\ ^ —-J-, и поэтому слагаемое Ьп не влияет
у/п п	п3/2
на сходимость исходного ряда (теорема 4). Так как ряд V^ -—j=—
n=l
оо	оо
El	v-^
— расходится, то и ряд 2_^ ап расходится.
б)Таккаке* = 1 + ?+ - + o(t2), cost = 1 - - + o(t3), то esinn/n2/3 =
1 sin n an	i ^	1 -, . Pn	\ о \ ^
= 1 + ^tt- + —тс, где an ^ cb cos - = 1 + —-, где \pn\ ^ c2, an =
n2/3	n4/3	-	^2ii
oo
sinn
»n, где \bn\ ^ —— H—-. Ряд у, bn сходится абсолютно, а

§41- Абсолютно и условно сходящиеся ряды	405
ОО .	ОО
ряд ^ —7/7 сходится условно (пример 5). Поэтому ряд ^ ап схо-
п=1	п=1
дится условно (теорема 4). А
оо
Замечание 2. Если члены ряда у ап меняют знак и выполняется
Л	оо	оо
условие ап ~ Ъп при п —»¦ оо, то отсюда не следует, что ряды у ап и у Ъп
п=1	п=1
эквивалентны в смысле сходимости, т. е. сходятся или расходятся одновре-
(_l)n+1 (-l)n+1
менно. Так, если ап = —=	;	—- (пример 6, а)), то ап ~ 	¦=— при
/п+( 1)п+1	/п
^ ()	^
п —>- оо, однако ряд > 	—— сходится, а ряд > ап расходится.
П = 1	71 = 1
В заключение рассмотрим свойства условно сходящихся рядов с
действительными членами. Итак, пусть ряд C4) сходится условно,
т. е. этот ряд сходится, а ряд C5) расходится. Обозначим
+М	ЬЬ	C9)
Тогда из равенств C9) следует, что для всех к G А/
аи ^ 0, /Зк ^ 0,	D0)
ак, если ак > 0, R _ Г -ад., если	а^ < 0, ,. х
0, если afe^ 0, Pfe ~ \ 0, если	afe ^ 0, l41j
ак=ак-0к.	D2)
Теорема 5. #а/ш ря^ C4) сходится условно, то ряды
ап,	D3)
(X)
71=1
ОО
п=1
где числа ап, /Зп определяются формулами C9) или D1), расходятся,
причем
lim an = 0, lim /3n = 0.	D5)
п>оо	п>оо
О Предположим, что сходится ряд D3). Тогда из сходимости ря-
(X)
да D3) и ряда C4), т. е. ряда VVan - Аг), следует сходимость ряда
~	п=1
2_^{oLn + /?п), так как an + /Зп = 2an - (ап - /Зп).
п=1

406	Гл. VIII. Числовые ряды
С другой стороны, из равенства C9) следует, что \ап\ = ап + /Зп,
где ап ^ 0, /Зп ^ 0. Поэтому должен сходиться ряд C5). Это противо-
противоречит тому, что ряд C4) сходится условно. Итак, ряд D3) не может
сходиться. Аналогично доказывается расходимость ряда D4).
Соотношения D5) выполняются, так как последовательности {ап}
и {fin} определяются формулами D1) и lim an = 0. •
п—>-оо
Теорема б (Римана). Если ряд C4) сходится условно, то каким
бы ни было L (числом или одним из символов +оо, — оо), можно так
переставить члены этого ряда, что последовательность частичных
сумм получившегося ряда будет иметь L своим пределом при п —> оо.
Доказательство этой теоремы содержится, например, в книге [10,
с. 430-433].
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
оо	оо
1.	Доказать, что если ряды V^ а2п и V^fr^, где ап G /?, Ьп ? R (n G А/),
п=1	тг=1
оо	оо
СХОДЯТСЯ, ТО И РЯДЫ ^ ^ апЪп И N(an + &тгJ ТЭКЖв СХОДЯТСЯ.
тг=1	тг=1
оо
2.	Доказать, что ряд у ап расходится, если последовательность {пап}
тг=1
имеет отличный от нуля предел.
3.	Доказать, что если ап > 0 и an+i ^ ап для всех n ^ по, то из сходи-
оо
мости ряда у ап следует, что lim nan = 0.
тг=1
4.	Доказать, что если ап ^ 0 при п ^ по и последовательность {nan}
оо
V^ 2
ограничена, то ряд у ап сходится.
гг=1
оо
5.	Доказать, что если ряд у ап, где ап ^ 0 для всех п, сходится,
то ряды	n=l
оо	оо .	 оо	оо
У ^ л/CLnCLn+l, / 	, / j —(an + атг+1 + ••• + Q2n-l), / j ^dnCLn+l'-'^n-l
гг=1	гг=1	гг=1	гг=1
также сходятся.
оо 2
6.	Пусть а\ = 1, an+i = 	^^ (n G А/). Доказать, что ряд N ^^ схо-
п + ап	^-^ п
71 = 1
дится.
7.	Доказать, что если an > 0 для всех п G А/ и lim an = +оо, то су-
тг—)-оо
ществует последовательность {Ьп}, где Ьп ^ 0 для всех n G А/, такая, что

Упражнения к главе VIII	407
ряд У^ Ъп сходится, а ряд У^ anbn расходится.
71 = 1	71 = 1
8.	Доказать, что если ряд У ап сходится условно и ап = у	,
Ь«1-	«, то hm — = 1.
оо
9.	Доказать, что если ряд У ап сходится условно, то существует такая
бесконечно малая последовательность {Ьп}, что ряд У ^ anbn расходится.
71 = 1
10.	Доказать, что ряд N —=(ап — ап-\) сходится, если последователь-
последовательность {ап} ограничена. п=2
оо
11.	Доказать, что из сходимости ряда / ^Ьп и абсолютной сходимости
оо	п=1 оо
ряда у Л(ап — an+i) следует сходимость ряда N Л апЪп.
71 = 1	71 = 1
ОО
12.	Доказать, что если ап > 0 для всех n E А/ и ряд V^an сходится, то
оо	оо	_
ЕЙп	\"^	П~
	, где гп = у ctk, сходится.
71 = 1

ГЛАВА IX
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
§ 42. Равномерная сходимость
функциональных последовательностей и рядов
1. Сходимость функциональной последовательности и
ряда.
а) Сходимость последовательности функций. Пусть функции
/п(ж), п Е А/, определены на множестве Е и пусть жо Е Е. Если
числовая последовательность {/п(^о)} сходится, то говорят, что по-
последовательность функций {/п(зс)} сходится в точке xq.
Последовательность {/п(ж)}, сходящуюся в каждой точке х Е Е,
называют сходящейся на множестве Е. В этом случае на множест-
множестве Е определена функция /(ж), значение которой в любой точке ж Е Е
равно пределу последовательности {/п(ж)}. Эту функцию называют
предельной функцией последовательности {fn(x)} на множестве Е и
пишут
lim fn{x) = f(x), xEE,	A)
п—>-оо
ИЛИ
Ux) -
или, короче,
По определению предела запись A) означает, что
МхеЕ Vs>0 3N = N?(x): Mn^ N ^ \fn{x) - f{x)\ < е.
Пример 1. Найти предельную функцию /(ж) последовательнос-
последовательности {/п(#)} на множестве i?, если:
а) /п(а0 = -^Й, ^ = /?; б) /„(ж) = nsin—, Я = @,+оо).
Д а) Так как /„(ж) =	\, то /(ж) = 1.
1 + —
б) Используя асимптотическую формулу sint ~ t при ? —>¦ 0, полу-
чаем n sm — ~ п— при п —У оо, если ж Ф 0.
пж пж
Поэтому fix) — -. А
ж

§42. Равномерная сходимость последовательностей и рядов	409
б) Сходимость функционального ряда. Пусть функции ип(х), п Е Л/,
определены на множестве Е и пусть для каждого х Е Е существует
конечный предел последовательности {5п(ж)}, где Sn(x) =
Тогда ряд	^	к=1
/ J iLn\'L)	{*)
п=1
называют сходящимся на множестве Е.
Если S(x) — предельная функция последовательности {Sn(x)} на
множестве Е, т. е.
lim Sn(x) =S(x), x е E,
n—>-oo
то функцию называют S(x) суммой ряда B) и пишут
оо
У UfiyX) — О (X ), X t -С/.
71=1
1-жп
Например, если глп(ж) = хп 1, Е = (-1,1), то 5п(ж) =	,
S(x) =	. Если в каждой точке х G Е сходится ряд V^ |?jn(x)|, то
71=1
ряд B) называют абсолютно сходящимся на множестве Е.
2. Равномерная сходимость функциональной последова-
последовательности.
а) Понятие равномерной сходимости последовательности функ-
функций.
Определение. Последовательность функций
называется равномерно сходящейся на множестве Е к функции /(ж),
если
Уг > 0 3N?: \/n^N? \/x G Е -+ \fn(x) - f(x)\ < s.	C)
В этом определении существенно, что номер N? не зависит от х.
Если справедливо утверждение C), то пишут
fn(x) =Г /(ж), х е Е,
или
Е
Говорят, что последовательность {fn(x)} равномерно сходится на
множестве Е, если существует функция /, удовлетворяющая усло-
условию C).
Если существуют числовая последовательность {ап} и номер п0
такие, что
Vn ^ п0 Vx G Е -> |/п(х) - /(х)| ^ а„,

410
Гл. IX. Функциональные ряды
причем lim an = 0, то
fn{x)
х G
Пример 2. Доказать, что последовательность {/п(^)} равномер-
равномерно сходится на множестве Е, и найти ее предельную функцию /(ж),
если:
a) fn(x) =
в) /п(ж) =
, Я =[-1,1]; б)
, ? = [0, +оо);
г) /п(ж) = nsin—, Е=[1,+оо).
Л а) В этом случае /(ж) = 1 (пример 1, а)) и \fn{x) — f{x)\ =
2
1 — х2 1
	 < —, так как \х\ < 1. Следовательно,
п + х2 п
±1
П + X2
1 /	1 \2
б) Используя неравенство ж2 Н— ^ (|ж| Н—= ) , получаем
I	Г ^	1	п 1	^
в) Так как 0 ^ arctgn2x ^ ^ и
х\ -\—= - |ж| = —=, откуда следует, что
1 /	/
при х > 0, то 0
' откуда получаем fn(x) =4 0, x
г) В этом случае /(ж) = - (пример 1, б)). Используя неравенство
t2
| sint — t\ ^ —, t G R (§ 18, пример 1, а)), получаем
2	1 1
\fn(x) ~ f(x)| = n sin-
так как ж ^ 1. Следовательно,
nx nx
2(пжJ ^ 2п'
nsin— =4 —, ж G [l,+oo). A
Критерии равномерной сходимости последовательности функ-
функции.
Теорема 1. Для того чтобы последовательность функций
{/п(ж)}, определенных на множестве Е, сходилась равномерно на этом
множестве к функции /(ж), необходимо и достаточно, чтобы
lim
- f(x)\ =0.
D)

§42. Равномерная сходимость последовательностей и рядов	411
О Обозначим ап = sup \fn(x) — f(x)\. Тогда условие D) означает, что
хеЕ
Vs > 0 3 п? : Vn ^ п? -»> сгп < г.	E)
Если /п(ж) =4 /(ж), х е Е, то
Уг>0 37Ve: Vn ^ 7Ve -> |/п(ж) - f(x)\ < |,
откуда следует, что сгп^- <г для n^N?. Поэтому неравенство ап<е
выполняется при всех n ^ N?J где п? = N?. Обратно, если выполняется
условие D) или равносильное ему условие E), то, используя неравен-
неравенство \fn(x) - f(x)\ ^ оп для х е Е,п е Л/, получаем \fn(x) - f(x)\ < г
для х е Е, п ^ пе, т. е. fn(x) =4 /(ж), ж G ^. •
Пример 3. Доказать, что последовательность {fn(x)} сходится
равномерно на множестве Е, и найти предельную функцию /(ж),
если:	2
в) fn(x) =пх2е~пх, Е=[
Л а) Если х = 0, то /п@) = 0 для всех п G А/, и поэтому lim /n@) =
= /@) = 0. Если х ф 0, то |/пО)| ^ а' 2 = | | а_2; откуда следует,
что /п(ж) —У 0 при п —У оо, так как а > 4. Таким образом, предельная
функция /(ж) = 0, х е R.
Так как при х /0 справедливо неравенство 1 + пах2 ^ 2?W2|x|,
причем это неравенство обращается в равенство лишь в случае, когда
пах2 = 1, т. е. |ж| = п~а/2, то
Следовательно, sup \fn(x) — f(x)\ = —-,	> 0 при п —У оо, если а > 4,
жея	па/2-2
и поэтому fn(x) =4 0, ж G /?.
б) Если ж G [0,1), то жп —у 0 при п —У оо, и поэтому fn(x) —>- 0 при
п —>¦ оо. Если ж = 1, то /пA) = 0, и поэтому /A) = 0. Следовательно,
/(ж) = о, же [0,1].
Чтобы вычислить sup |/п(ж) -/(ж)] = sup|/n(x)|, найдем точки
хеЕ	хеЕ
экстремума функции fn(x).
Уравнение f'n(x) = пхп~1 — (п + 1)жп = хп~1 (п — х(п + 1)) = 0 име-
имеет внутри отрезка [0,1] единственный корень хп = 	, причем
fn(xn) = \^Г[) ~- Заметим, что /п(ж) > ° ПРИ х е (°j хп) и /^(ж) < О

412	Гл. IX. Функциональные ряды
при х G (хп, 1). Поэтому sup fn(x) = тах/п(ж) = fn(xn) < - для всех
хЕЕ	*?Е	П
п G А/ и, согласно теореме 1, fn(x) =4 0, ж G [0,1].
в) Учитывая, что te~at ->• 0 при t ->• +оо (если а > 0), находим
lim /п(ж) = /(ж) = 0, х G [0, +оо].
п—юо
2
Так как f'n(x) = пже~пжB — хп) < 0 при ж > —, то функция fn(x)
является убывающей на промежутке — ,+оо), и поэтому
In )
sup/nO) ^ fn(-) = -е -)> 0 при п^оо.
По теореме 1 последовательность {fn(x)} равномерно сходится к
f[x) = 0 на множестве Е = [2, +оо). А
Теорема 2 (критерий Коши равномерной сходимости последо-
последовательности). Для того чтобы последовательность функций {fn(x)}
сходилась равномерно на множестве Е, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие Коши
Vs>0 3N?: \/n^N? \/p e N \/х е Е -+ \fn+p(x) - fn(x)\ < г. F)
О Необходимость. Пусть fn(x) =4 f(x), x G Е. Тогда по опреде-
определению равномерной сходимости
Vs>0 3N?: Vk^N? Vx G E -> \fk(x) - f(x)\ < |.	G)
В частности, G) выполняется при k = п, если n ^ N?, и при k = n + p
для p G А/, т. e.
откуда следует, что
\fn+p(x) - fn(x)\ = \(fn+p(x) - f{x)) - (fn(x) - f(x))\ ^
^ \fn+p(X) - f(X)\ + \fn(x) - f(x)\ <! + ?=?,
т. е. выполняется условие F).
Достаточность. Заметим, что числовая последовательность
{/п(^о)}, где хо — фиксированная точка множества Е, удовлетворяет
условию Коши F) и в силу критерия Коши для числовой последова-
последовательности (§ 8) существует конечный
lim fn(x0).	(8)
п—>-оо
Так как предел (8) существует для каждого ж0 G Е, то на множестве Е
определена функция (обозначим ее /(ж)), которая является предель-
предельной функцией для последовательности {fn(x)} на множестве Е.

§42. Равномерная сходимость последовательностей и рядов	413
Запишем условие Коши F) в виде
Vs>0 3N?: \/n^N? \/р G Л/ Уж G E -> |/п+Р(ж) - /п(ж)| < |. (9)
Переходя в неравенстве (9) к пределу при р ->• оо (при каждом фикси-
фиксированном п^ N? и фиксированном ж Е i?) и учитывая, что существует
lim /п+р(ж) = /(ж), получаем неравенство
1Д*)-/п(*Ж| <?,
справедливое при всех п ^ N? и для всех х е Е. Это означает, что
/п(ж)^/(ж), хеЕ. •
в) Неравномерная сходимость последовательности функций.
Последовательность {fn(x)} не является равномерно сходящейся на
множестве Е, если условие Коши F) не выполняется, т. е.
Эео>0: VkeN Зп^к 3peN Эх е E: \fn+P(x) - fn(x)\^e0. A0)
Пример 4. Доказать, что последовательность {/п(ж)}, где fn(x) =
г, не является равномерно сходящейся на множестве Е = @,1).
/пх
Л Для любого к е N возьмем р — к — п.х — 1/к = 1/п. Тогда
" fn(x)\ = |/2nQ) " /п(^) | =
In 2 1 1
—= — lnl
л/2
In 2
V2
т. е. выполняется условие A0), и поэтому последовательность {fn(x)}
не является равномерно сходящейся на Е. А
Если существует предельная функция /(ж) последовательности
{/п(ж)} на множестве Е, но не выполняется условие C), т. е.
Зго>0: VkeN Зп^к ЗхеЕ: \fn(x) - f(x)\ ^ е0, A1)
то говорят, что последовательность {fn(x)} сходится неравномерно
на множестве Е к функции f(x).
Пример 5. Исследовать на сходимость и равномерную сходи-
сходимость на множестве Е последовательность {/п(ж)}, если:
a)fn(x)=xn-x2n, Я =[0,1]; б)/„(ж) =nsin—, Я=@,1].
ТХХ
Л а) В этом случае предельная функция /(ж) = 0, ж G Е. Для любо-
любого k G А/ возьмем п = к, ж = 1/ \/2. Тогда х ? Е при любом n G А/ и
|/пEГ) — /E01 = /п( —) =	= во, т. е. выполняется условие A1), и
поэтому последовательность {fn(x)} сходится неравномерно на мно-
множестве Е к /(ж) = 0.
б) Здесь предельная функция /(ж) = ж на множестве ж > 0 (при-
(пример 1, б)). Возьмем ж = 1/п. Тогда \fn(x) — f(x)\ = |nsinl —n| ^

414	Гл. IX. Функциональные ряды
^ 1 — sin 1 = So для любого п е Л/, и поэтому {fn(x)} сходится не-
неравномерно на множестве Е к х~х. А
Неравномерную сходимость последовательности можно устано-
установить, используя теорему 1. Если условие D) не выполняется, т. е.
sup|/n(» -/O)| т^О при п-^ оо,	A2)
хеЕ
то {fn(x)} сходится неравномерно на множестве Е к /(ж).
Пример 6. Исследовать на сходимость и равномерную сходи-
сходимость последовательность /п(ж) = п2ж2е~пж, Е = @,2).
Л Предельная функция f(x) = 0, х е Е. Так как уравнение f'n(x) =
= п2хе~пх B — хп) имеет на интервале @,2) единственный корень
хп = 2/п, причем f'n(x) > 0 при х е @, хп) и f'n(x) < 0 при ж G (жп, 2), то
sup fn(xn) = fn(xn) = 4e-1. Таким образом, выполняется условие A2),
и поэтому {/пО)} сходится неравномерно на множестве Е к 0. А
3. Определение и критерий равномерной сходимости
функционального ряда. Пусть функции ип(х), п G А/, определены
на множестве i?. Обозначим
п
Sn(s) = 5>*(*).	A3)
Определение. Ряд
|>п(о0	A4)
71=1
называется равномерно сходящимся на множестве Е, если на этом
множестве определена функция S(x) такая, что
Sn(x) =* S(x), хеЕ.	A5)
Согласно определению равномерной сходимости последовательнос-
последовательности функций запись A5) означает, что
\/г > О 3N?: \/n ^ N? \/x e E -^ \Sn(x) - S(x)\ < г, A6)
где S(x) — сумма ряда A4), a Sn(x) определяется формулой A3).
Пусть гп(х) = S(x) — Sn(x), т.е. гп(х) — n-й остаток ряда A4).
Тогда условие A5) примет вид
гп(х) =4 0, хеЕ.
Это означает, что
Vs > О 3N?: \/n^N? \/х е Е -+ \гп(х)\ < г.	A7)
В силу теоремы 1 для равномерной сходимости ряда A4) на мно-
множестве Е необходимо и достаточно, чтобы
sup |гп(ж)| —)> 0 при п ->• оо.	A8)

§42. Равномерная сходимость последовательностей и рядов	415
Если ряд A4) сходится на множестве Е, но не выполняется усло-
условие A7) или равносильное ему условие A8), то говорят, что ряд A4)
сходится неравномерно на множестве Е.
Следовательно, если
=1?о > U. V/C t /V Zin ^ /С d Ж t ?v . |rn^XJ| ^ fco5	liyj
ИЛИ
sup |гп(ж)| т^ 0 при п ->• оо,	B0)
то ряд A4) сходится неравномерно на множестве i?.
Пример 7. Исследовать на сходимость и равномерную сходи-
оо
мость на указанных множествах ряд \^г&п(ж), если:
п=1
а) ип(х) = ж71, E1 = (-q,q), где 0 < g < 1, Е2 = (-1,1);
= @,+оо);
в) 1/п(ж) =
у и -|- х"
1 - хп 1
Л а) В этом случае Sn(x) =	, Six) =	для любого ;
1-х	1-х
т. е. ряд сходится на множестве E<i, а значит, и на i?i.
Для любого х ? Ei выполняется неравенство |гп(ж)| =
х
1-х
, \х\п	\ ( м ^ Чп
^	, откуда следует, что sup |гп(ж)| ^ ——, и поэтому выпол-
1 ~ \х\	хеЕг	1-Я.
няется условие A8). Следовательно, ряд сходится равномерно на мно-
множестве Е\.
На множестве Е<± ряд сходится неравномерно. В самом деле, возь-
~	1	~	~ ( 1\п
мем х — 1	. Тогда х G Е для любого п?/\/игп(ж)=пA	) —>>
п	V га/
—>¦ +00 при п —> оо, откуда следует, что выполняется условие B0).
б) Так как ип(х) =	——, то Sn(x) =
	г—. Если ж G ^2, то Sn(x) —> S(x) при п —у оо, где S(x) =
-, и поэтому гп(х) =
На множестве .Ei ряд сходится равномерно, так как |гп(ж)| ^
^	—, и поэтому выполняется условие A8), а на множестве
X —г" уТЬ —|— i-H
Е2 — неравномерно, так как тп (	) = -, и поэтому выполняется
\п + 1 / 2
условие B0).

416
Гл. IX. Функциональные ряды
в) При каждом х ^ 0 последовательность \ —== \ монотонно
^ V п + х )
стремится к нулю, и поэтому по признаку Лейбница (§ 41, теорема 1)
ряд
сходится на множестве Е, причем |гп(ж)|
= ^	, откуда следует, что выполняется условие A8).
V п + 1 + ж у п + 1
Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве Е. А
Теорема 3 (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Для
того чтобы ряд A4) равномерно сходился на множестве Е, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Кошщ т. е.
г > 0 3 N? :
? \/р е N \/х е Е
п+р
k=n+l
< г.
B1)
О По определению равномерная сходимость ряда A4) на множест-
множестве Е означает равномерную сходимость последовательности {Sn(x)}
на Е.
Согласно теореме 2 Sn{x) =4 S{x) на Е тогда и только тогда, когда
\/г > О 3N?: Vn ^ N? \fp e N \fx e E -+ \Sn+p(x) - Sn(x)\ < г. B2)
Так как 5П+Р(ж) - Sn(x) = ип+1(х) + ... + ип+р(х), то условие B2)
равносильно условию B1). •
Если условие B1) не выполняется, т. е.
Зго>0: VmG/V
т Зр е N Зх е Е:
п+р
к=п+1
0, B3)
то ряд A4) не является равномерно сходящимся на множестве Е. В
частности, если
Зго>0 3n0eN: \/п ^ по ЗхпеЕ: \ип(хп)\ ^ го, B4)
то ряд A4) не является равномерно сходящимся на множестве Е.
Пример 8. Доказать, что ряд
сходящимся на множестве Е, если:
не является равномерно
а)	ип(х) = — (
б)	ип(х) = —
= @,+оо);
Л а) Пусть хп = п2; тогда ип(хп) = е, т. е. выполняется усло-
условие B4).

§42. Равномерная сходимость последовательностей и рядов	417
б)	Возьмем хп = - и воспользуемся тем, что tgx > х при 0 < х < —
nil
(§ 12, C)). Тогда ип(хп) = —tg — > - при всех п Е А/, т. е. выполняет-
ся условие B4).
в)	Возьмем хп = Л. ™ , ; тогда хп е Е при любом п е N. Если
4(п + 1)
п + 1 ^ А; ^ 2п, то — ^ &жп ^	< —, и поэтому sm&xn ^ sm — =
4	4 ?7/ Н~ X	Z	4
1
= —=., откуда следует, что
2п	2п	2п
EsinA;xn ^ 1 v^ 11 ^^ 1 1 1	1
так как 0 < а ^ 1. Следовательно, выполняется условие B3), и поэто-
поэтому ряд не является равномерно сходящимся на множестве [0, 2тг] при
ае @,1]. А
4. Признаки равномерной сходимости функциональных
рядов.
а) Признак Вейерштрасса.
Теорема 4. Если для функционального ряда A4) можно указать
оо
такой сходящийся числовой ряд ^ ап, что для всех n ^ п0 и для всех
71=1
х € Е выполняется условие
К(х)\ ^ап,	B5)
то ряд A4) сходится абсолютно и равномерно на множестве Е.
О Согласно условию B5) для любого п ^ по, любого pG Л/и для каж-
каждого х ? Е выполняется неравенство
п+р	п+р	п+р
k=n+l	k=n+l
(X)
Из сходимости ряда V^ an следует (§ 39), что для него выполняется
71=1
условие Коши, т. е.
п+р
Vs > 0 3 N? : Vn ^ 7Ve Vp G Л/ -)> J^ afe < г,	B7)
fe=n+l
а из B6) и B7) следует, что для ряда A4) выполняется на множест-
множестве Е условие Коши B1), и в силу теоремы 3 этот ряд сходится рав-
равномерно на множестве Е.
Абсолютная сходимость ряда A4) для каждого х G Е следует из
правого неравенства B6). •

418	Гл. IX. Функциональные ряды
оо
Следствие. Если сходится ряд ^ап, где ап = sup\un(x)\, то
71=1	ХеЕ
ряд A4) сходится абсолютно и равномерно на множестве Е.
оо
Пример 9. Доказать, что ряд ^^ип(х) сходится равномерно на
множестве Е, если:	п=1
а) ип(х) = In (l + зА-г). Е=[0,3];
\ пуп+ 1 /
. 1
sin — cos пх
в)	ип(х) = -—ff-	—, Е = [1, +оо);
4 + In (п + 1)х
г)	ип(х) = ж2е~пж, Е = @,+оо).
Л а) Так как при t ^ 0 справедливо неравенство ln(l + t) ^ t (§ 17,
ж	3
пример 1, а)), то ип(х)\ ^ —	^ —г при всех ж G [0,3], и из схо-
п\/п + 1 п3/2
оо
димости ряда 2^ —tj по теореме 4 следует равномерная сходимость
оо	n=i п
ряда *S^un(x) на множестве [0,3].
71=1
б)	Используя неравенство |arctgt| ^ t для всех t e R (§ 17, A9))
11/1	2 . 2 \ 2	I /М/ 1ПЖ1
и учитывая, что |ж| ^ 1 и п + ж ^ п , получаем |г&п(ж)| ^ —^——
П "т" Ж
^ —, откуда следует равномерная сходимость ряда на множест-
nz
в)	Так как | sint| ^ \t\ и | cost\ ^ 1 для всех t G /?, а ж ^ 1, то |г?п(ж)| ^
^	5	^	5	• ^3 сходимости ряда > 	=	сле~
пх In (п + 1)х п In (п + 1)	^^ n In (п + 1)
оо
дует равномерная сходимость ряда *S^un(x) на множестве [1,+оо).
п=1
г) На промежутке @, +оо) уравнение и'п(х) = хе~пхB — пх) = 0
2
имеет единственный корень х = жп = -, причем г^(ж) > 0 при х G
G @,жп) и^(ж) <0приж>жп. Поэтому sup \un(x)\ =ип(хп) = — е~2,
же^	п
°° 4
и из сходимости ряда ^ — е~2 следует равномерная сходимость ря-
п=1
оо
да 2_,ип(%) на множестве @,+оо). А
71=1

§42. Равномерная сходимость последовательностей и рядов	419
б) Признак Дирихле.
Теорема 5. Ряд
оо
"'к V / ^ V /	\ )
k=l
сходится равномерно на множестве Е, если выполняются условия:
п
а)	последовательность {Вп(х)}, где Вп(х) = 2^^к(ж)' РавномеРно
ограничена на множестве Е, т. е.	к=1
ЗМ > 0: Мх е Е Vn е N -+ \Вп(х)\ ^ М;	B9)
б)	последовательность {ап(х)} монотонна на множестве Е, т. е.
Vx e E Vn е N -> ап+1(х) ^ ап(х),	C0)
и равномерно стремится к нулю, т. е.
ап(х) ^0, х G Е.	C1)
О Воспользуемся оценкой
п+р
2_^ ak(x)bk(%) ^ 2M(|an+i(x)| + |ап+р(ж)|),	C2)
k=n+l
полученной при доказательстве признака Дирихле для числовых ря-
рядов (§ 41).
Условие C1) означает, что
Vs > 0 3N?: Vk^N? Vx G E -»> \ak(x)\ < ——.	C3)
4M
Из B9), C2) и C3) следует, что для всех п ^ N?, для всех р е N и
п+р
для всех х ? Е выполняется неравенство
^ ak(x)bk(x) < г, и в
/г=п+1
силу критерия Коши (теорема 3) ряд B8) сходится равномерно на
множестве Е. •
Пример 10. Доказать, что при а > 0 ряд
оо
У ™Е	C4)
п=1
сходится равномерно на множестве Е = [?, 2тт — 5], где 0 < S < 2тг —
- 5 < 2тг.
Л Если а > 1, то по признаку Вейерштрасса ряд C4) сходится абсо-
абсолютно и равномерно на /?, так как | sinx| ^ 1, а ряд V^ ——, где a > 1,
п=1
сходится.

420	Гл. IX. Функциональные ряды
Пусть 0 < а < 1. Тогда последовательность {ап}, где ап = —-, удов-
п
летворяет условиям C0), C1). Полагая Вп(х) = ^ sin kx и используя
I	k=i
неравенство |??п(ж)| ^	, справедливое при х ф тгт, т Е Z (§ 41,
sin|
пример 2), получаем \Вп(х)\ ^ 	¦=- для всех х е Е. По теореме 5
sin -
ряд C4) сходится равномерно на множестве Е.
Заметим, что на множестве [0, 2тг] ряд C4) при a Е @,1] сходится
неравномерно (пример 8, в)). А
в) Признак Абеля.
Теорема 6. Ряд B8) сходится равномерно на множестве Е, если
выполняются условия:
а)	ряд
J2bn(x)	C5)
71=1
сходится равномерно на множестве Е;
б)	последовательность {ап(х)} монотонна на множестве Е, т. е.
Vn G A/ \/x G Е -+ ап+1(х) ^ ап(х),	C6)
и равномерно ограничена, т. е.
ЗМ > 0: Vn е N \fxeE -^ \ап(х)\ ^ М.	C7)
п+З
О Обозначим Bj(x) = V^ bk(x). Тогда ряд C5) в силу теоремы 3
k=n+l
удовлетворяет условию Коши, т. е.
Me > 0 3N?: Vn ^ N? Vj e N -+ \В^п)(х)\ < ^.	C8)
Используя преобразование Абеля (§ 41), преобразуем сумму:
п-\-р	р
а = 22 ак{х)Ьк{х) = /]ап+з(х)bn+з(х)•
k=n+l	j=l
Так как bn+j(x) = В^\х) - В^\{х), где j = Т~р, В^\х) = 0, то

§42. Равномерная сходимость последовательностей и рядов	421
откуда, используя условия (Зб)-C8), получаем
р-1
Таким образом,
Уг > 0 3 N? : Vn>N? Ур G Л/ Уж G Е -
ak(x)bk(x)
<
k=n+l
и по теореме 3 ряд B8) сходится равномерно на множестве Е. •
5. Свойства равномерно сходящихся функциональных
последовательностей и рядов.
а) Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.
Теорема 7. Если все члены ряда A4) — непрерывные на отрезке
[а,Ь] функции, а ряд A4) сходится равномерно на [а, 6], то его сум-
сумма S(x) также непрерывна на отрезке [а, Ь].
О Пусть хо — произвольная точка отрезка [а, Ь]. Для определенности
будем считать, что хо G (а, Ь).
Нужно доказать, что функция
(X)
S(x) = ^2ип(х)
71=1
непрерывна в точке жо, т. е.
Vs > 0 36 = 6(е) > 0: \/х G ^Ы -> |5(ж) - 5(хо)| < г, C9)
где Us(x0) = (ж0 - 5,хо + 5) С [а, Ь].
п
По условию 5n(x) i4 S(x), х е [а, Ь], где 5п(ж) = ^г^^(ж), т. е.
k=i
Уг > 0 3 7V,: Vn ^ TV, \/х е [а,Ъ] -+ \S(x) - Sn(x)\ < |. D0)
о
Фиксируем номер no ^ N?. Тогда из D0) при п = по получаем
|5(ж)-5П0(а;)|<|	D1)
и, в частности, при х = х0 находим
|.	D2)
Функция 5По (ж) непрерывна в точке жо как сумма конечного числа
непрерывных функций ик(х), к = 1,по- По определению непрерыв-
непрерывности
Уг > 0 3 й = Я(е) > 0: Уж G ^(ж0) С [а, Ъ] -> 15По (ж) - 5По (ж0) | < |. D3)

422	Гл. IX. Функциональные ряды
Воспользуемся равенством
S(x) - S(x0) =
= (S(x) - Sno(x)) + (Sno(x) - Sno(xo)) + (Sno(xo) - S(x0)).
Из этого равенства, используя оценки D1)-D3), получаем
\S(x) - S(xo)\ ^
^ \S(x) - Sno(x)\ + \Sno(x) - Sno(xo)\ + \Sno(xo) - S(xo)\ < e
для любого x G Us(xo) С [a,b], т. е. справедливо утверждение C9).
Так как ж0 — произвольная точка отрезка [а, Ь], то функция S(x)
непрерывна на отрезке [а, Ь]. •
Замечание 1. Согласно теореме 7
оо	оо
lim \^ип(х) = V lim un(x),
п=1	п=1
т. е. при условиях теоремы 7 возможен почленный предельный переход.
Теорема 8. Если последовательность {Sn(x)} непрерывных на
отрезке [а, Ь] функций равномерно сходится на [а, Ь], то ее предельная
функция S(x) также непрерывна на отрезке [а,Ь].
О Доказательство этого утверждения следует из теоремы 7. •
б) Почленное интегрирование функционального ряда.
Теорема 9. Если все члены ряда A4) — непрерывные на отрез-
отрезке [а, Ь] функции, а ряд A4) сходится равномерно на [а, 6], то ряд
un(t)dt	D4)
n=l a
также равномерно сходится на [а, 6], и если
ип{х),	D5)
п=1
т0	х	оо х
fS(t) dt = Y^ fun(t) dt, x G [а, Ъ],	D6)
a	n=l a
т. е. ряд D5) можно почленно интегрировать.
О По условию ряд D5) сходится равномерно к S{x) на отрезке [а, 6],
т. е. Sn(x) = ^^Uk(x) =4 S(x), x e [a,b]. Это означает, что
Vs > О 3N?: \/n^N? Mt e [a,b] -> \S(t) - Sn(t)\ < ^. D7)
X	П X
Пусть a(x) = S(t) dt, а ап(х) = 2^ uk(t) dt — n-я частичная сум-
k=l a

§42. Равномерная сходимость последовательностей и рядов	423
ма ряда D4).
Функции Uk(x), к е А/, по условию непрерывны на отрезке [а, 6], и
поэтому они интегрируемы на [а, Ь]. Функция S(x) также интегри-
интегрируема на [а, 6], так как она непрерывна на этом отрезке (теорема 7).
Используя свойства интеграла, получаем
ап{х) — / / uk(t) dt = I Sn{t) dt.
a A;=l	a
Следовательно,
X
a(x)-an(x) = J(S(t)-Sn(t))dt,
a
откуда в силу условия D7) получаем
х
\<г(х) - <тп(х)\ < т^— dt = —^— (х - а) ^ е,
а
причем это неравенство выполняется для всех п ^ N? и для всех х G
е [а,Ь]. Это означает, что ряд D4) сходится равномерно на отрезке
[а, Ь], и выполняется равенство D6). •
Замечание 2. Равенство D6) остаегся в силе, если заменить а на с,
х на с/, где а ^ с ^ с/ ^ 6, т. е. ряд D5) можно при условиях теоремы 9
почленно интегрировать на любом отрезке [c,d] С [а, Ь].
Теорема 10. Если Sn(t) =4 S(t), x e [а, 6], а каждая из функций
Sn(t) непрерывна на отрезке [а, 6], то
X
J
sn(t) dt =* У#(?) dt, x e [а, Ь],
XQ
для любой точки х0 е [а, Ь].
О Доказательство этого утверждения получено при доказательстве
теоремы 9. •
в) Почленное дифференцирование функционального ряда.
Теорема 11. Если функции ип(х), п G N, имеют непрерывные
производные на отрезке [а, 6], ряд
71=1
сходится равномерно на отрезке [а, 6], а ряд
«n(a0	D9)
71=1

424	Гл. IX. Функциональные ряды
сходится хотя бы в одной точке хо Е [а, Ь], т. е. сходится ряд
E0)
71=1
то ряд D9) сходится равномерно на отрезке [а,Ь], и его можно по-
почленно дифференцировать, т. е.
оо
п=1
где
оо
S(x) = ^2un(x).	E2)
п=1
О Обозначим через т(х) сумму ряда D8), т. е.
и'п(х).	E3)
п=1
По теореме 9 ряд E3) можно почленно интегрировать, т. е.
J	j<(t)dt,	E4)
XQ	П=1ХО
где ж0, х е [а, 6], причем ряд E4) сходится равномерно на отрезке
х
[а, Ь]. Так как / u'n(t) dt = г^п(ж) — ип(хо), то равенство E4) можно за-
х0
писать в виде
X
/'
'T(t)dt=^vn(x),	E5)
XQ	71=1
где
vn(x) = ип(х) - ип(х0).	E6)
Ряд E5) сходится равномерно, а ряд E0) сходится (а значит, и рав-
равномерно сходится на отрезке [а, Ь]). Поэтому ряд D9) сходится рав-
равномерно на [а, Ь] как разность равномерно сходящихся рядов.
Из равенств E5), E6) и E2) следует, что
X
fr(t)dt = S(x) -S(x0).	E7)
XQ
Так как функция r(t) непрерывна на отрезке [а, Ь] по теореме 7, то в
силу свойств интеграла с переменным верхним пределом (§ 36) левая
часть равенства E7) имеет производную, которая равна т(ж). Сле-
Следовательно, правая часть E7) — дифференцируемая функция, а ее
производная равна S'(x). Итак, доказано, что т(х) = S (х), т. е. спра-
справедливо равенство E1) для всех х G [а, Ь]. •

'. Степенные ряды
425
Замечание 3. При условиях теоремы 11 функция S'(х) непрерывна на
отрезке [а, Ь], т. е. S(x) — непрерывно дифференцируемая на [а, Ь] функция.
Теорема 12. Если последовательность {Sn(x)} непрерывно диф-
дифференцируемых на [а, Ь] функций сходится хотя бы в одной точке
хо Е [а, Ь], а последовательность {S'n(x)} сходится равномерно на [а, Ь],
то последовательность {Sn(x)} также сходится равномерно на [а,Ь]
к некоторой функции S(x) и
S'(x) = lim S'n(x), x е [a, b].
n—>-oo
О Доказательство этого утверждения получено при доказательстве
теоремы 11. •
§ 43. Степенные ряды
1. Радиус и круг сходимости степенного ряда. Функцио-
Функциональные ряды вида
оо
п=0
где сп (п = 1,2,...) и а — заданные комплексные числа, ( — комп-
комплексное переменное, называют степен-
степенными рядами, а числа сп — коэффициен-
коэффициентами степенного ряда A).
Полагая в A) z = ( - а, получим ряд
Л
п=0
исследование сходимости которого эк-
эквивалентно исследованию сходимости
ряда A).
Теорема 1 (Абеля). Если степен-
степенной ряд B) сходится при z = zo ф О,
то он сходится, и притом абсолют-
абсолютно, при любом z таком, что \z\ < \zo\;
а если этот ряд расходится при z = z\
всяком z, для которого \z\ > \zi\.
О а) Пусть Kq = {z: \z\ < \zo\} — круг на комплексной плоскости с
центром в точке О (рис. 43.1) радиуса \zo\, и пусть z — произвольная
точка круга Ко, т. е.
рИс. 43.1
0, то он расходится при
< \zo\j и поэтому
z <i.
C)
Так как ряд B) сходится в точке zo, то должно выполняться условие
lim <
п—>-оо
ZQ = 0,

426
Гл. IX. Функциональные ряды
откуда следует ограниченность последовательности {cnz$}, т. е.
ЗМ > 0: Vn е N -^ \cnz%\ <С M.	D)
Используя неравенства C) и D), получаем
z
Mqn, где 0 ^ q < 1.
E)
Так как ряд у. Mqn, где 0 ^ q < 1, сходится, то по признаку сравне-
сравнено
ния сходится ряд
оо
2
, т. е. ряд B) сходится абсолютно в каждой
п=0
точке круга Kq.
б) Пусть ряд B) расходится в точке z\ ф 0. Тогда он должен рас-
расходиться в любой точке z такой, что \z\\ < [z\, так как в противном
случае по доказанному выше ряд B) сходился бы в точке z\ •.
Следствие 1. Если ряд B) сходится в точке z$ ф 0, то в круге
К\ — {z: \z\ ^ р}, где р < \zo\, этот ряд сходится абсолютно и рав-
равномерно.
О Если z G Ki, то \cnzn\ ^ М^, где q\ = у—, и поэтому 0 ^ q\ < 1,
причем q\ не зависит от z. По признаку Вейерштрасса ряд B) сходит-
сходится абсолютно и равномерно в круге К\. •
Следствие 2. Если ряд B) сходится в точке z0 ф 0, то ряды
оо
Е-
п=т
\ те Л/,
F)
G)
п=1
сходятся абсолютно в круге Kq, а в круге К\ — абсолютно и равно-
равномерно.
О Для ряда F) в круге Ко выполняется неравенство
п-т\ < М п-т q < ^ л
cnz | ^ ыт q , U ^ q < 1,
в круге К\ — неравенство
и qi = -!— не зависит от z. Для ряда G) в кругах Ко и К\ справедливы
\Щ
соответственно неравенства
\ncnz
М	п — Л	I	п — Л
—-nqn х и \ncnzn
z\

'. Степенные ряды	427
Далее следует использовать сходимость рядов ^ Aqn и У^ Bnqn~1,
га=1	n=l
где А >0, Я >0, (К g < 1. •
Теорема 2. Для всякого степенного ряда B) существует R
(R ^ 0 — число или +оо) такое, что:
а)	если R ф О и R ф +оо, то ряд B) абсолютно сходится в круге
К = {z : \z\ < R} и расходится вне круга К; этот круг называют
кругом сходимости ряда B), а Л — радиусом сходимости ряда;
б)	если Л = 0, то ряд B) сходится в одной точке z = 0;
в)	если Л = +оо, то этот ряд сходится во всей комплексной плос-
плоскости.
О Пусть D — множество всех точек сходимости ряда B). Это не-
непустое множество, так как в точке z = 0 ряд B) сходится.
Если D — неограниченное множество, то ряд B) сходится в про-
произвольной точке z комплексной плоскости. В самом деле, возьмем
точку zo Е D такую, что \z\ < \zq\. Тогда по теореме Абеля ряд B)
будет сходиться в точке 2Г.
Пусть D — ограниченное множество. Если D состоит из одной
точки z = 0, то ряд B) сходится при z = 0 и расходится при z ф 0. В
этом случае R — 0. Если D содержит хотя бы одну точку, отличную
от z = 0, то, обозначив R = sup \z\, докажем, что ряд B) сходится в
zeD
круге К = {z: \z\ < R} и расходится в каждой точке, лежащей вне
этого круга. Пусть z — произвольная точка круга К, тогда \Щ < R.
По определению точной верхней грани
3z! G D: \z\ < 12i| < R.
Так как ряд B) сходится в точке z\, то по теореме Абеля он абсолютно
сходится в точке z. Итак, в каждой точке, лежащей внутри круга К,
ряд B) абсолютно сходится.
Пусть точка z' лежит вне круга К, т. е. \z'\ > R. Тогда z' 0 D (по
определению точной верхней грани), и поэтому ряд B) расходится в
точке z'. •
Замечание 1. На границе круга К ряд B) может как сходиться, так
и расходиться. В любом меньшем круге К\ = {z : \z\ ^ р < R} ряд B)
сходится абсолютно и равномерно.
Теорема 3 (Абеля). Если R — радиус сходимости степенного
ряда B), причем 0 < R < +оо, и если этот ряд сходится при z = R,
то он сходится равномерно на отрезке [О, R], а его сумма непрерывна
на этом отрезке.
О Доказательство этой теоремы приводится, например, в [2]. •
Теорема 4. Если существует конечный или бесконечный
lim \/|cn|, то для радиуса R сходимости ряда B) справедлива
>оо

428
Гл. IX. Функциональные ряды
формула
- = lim у/
R га-юо
а если существует конечный или бесконечный lim
R= lim
Сп+1
Сп+1
то
(8)
(9)
О Докажем формулу (8). Обозначим р = lim ty
п—>-оо
а) Пусть 0 < р < +оо и пусть zo — произвольная точка круга
К = {z: \z\< 1/р}, тогда \zo\ < 1/р и
zo\ lim y/\c^\ = \zo\p < 1.
n>oo
По признаку Коши (§ 40) ряд \, сп%о абсолютно сходится. Так как
п=0
zo — произвольная точка круга К, то ряд B) абсолютно сходится в
этом круге.
Пусть точка ? лежит вне круга К. Тогда \z\ > 1/р, и поэтому
ОО
lim \/\cnZn\ — \z\p > 1. Следовательно, ряд V^ сп?п расходится при
~	п=0
\z\ > 1/р.
Таким образом, если правая часть равенства (8) — положительное
число, то ряд B) сходится в круге К и расходится вне этого круга.
Следовательно, 1/р — радиус сходимости ряда B).
б)	Если р = 0, то lim \Z\cnzn\ = \z\p = 0 для любой точки z комп-
п—>-оо
лексной плоскости, и поэтому ряд B) сходится при любом z. Это
означает, что радиус сходимости ряда R = +оо. И в этом случае фор-
формула (8) верна, если считать, что 1/оо = 0.
в)	Если р = +00, то для любой точки z Ф 0 имеем lim \Z\cnzn =
= \z\ lim \/|cn| = +00, и поэтому ряд B) при z ф 0 расходится. Это
п—>-оо
означает, что R = 0.
Аналогично можно доказать формулу (9), используя признак
Д'Аламбера сходимости рядов (§ 40). •
Замечание 2. Пределы (8) и (9) могут не существовать. Однако име-
имеется универсальная формула для вычисления радиуса сходимости R сте-
степенного ряда B), а именно формула
которую называют формулой Коши-Адамара (доказательство формулы A0)
содержится, например, в [2]).
Напомним, что символом lim xn обозначается точная верхняя грань
п—)-оо
множества всех частичных пределов (см. § 7) последовательности {жп}.

'. Степенные ряды	429
Например, если хп = 1 + (—1)п, то lim xn = 2.
71—^ОО
ОО
Пример 1. Найти радиус сходимости R степенного ряда ^ cnzn,
п=0
если:
а) сп = —, а > 0; б) сп = ^п ; в) сп = —.
Л а) Так как -^- =	у +оо при п -у оо, то по формуле (9)
сп+1	а
находим i? = +оо.
г>\ о	II (л/2)	n/iГ V^
б)	В этом случае |сп| =	, и поэтому у |сп| —У -— при п —У оо,
77-O	о
так как ^/п -у 1 при п -У оо. По формуле (8) находим R = —.
V ^
ч п.	/п + 1\п1	сп	е	л
в)	Так как сп+1 = сп 	 -, то	=	—^ -+ 1 при п -^ оо,
\ п J e Cn+i Л + - |
V п/
и по формуле (9) находим R = 1. А
(X)
Пример 2. Найти радиус сходимости R степенного ряда 2_. 2nz5n.
п=0
оо	оо	оо
Л Обозначим 2z5 = ?. Тогда ^ 2nz5n = ^ tn, причем ряд ^ tn cxo-
дится, если \t\ < 1, и расходится, если \t\ > 1. Поэтому ряд V^ 2
сходится, если 2\z\5 < 1, т. е. при \z\ < -j=, и расходится при \z\ > -j=.
v 2	v 2
Итак, радиус сходимости R = -^=. Тот же результат следует из фор-
формулы A0), так как
lim \/|cn| = lim у/2™ = л/2. А
п—>-оо	п—>-оо
оо
Для степенного ряда V^ cn(z — а)п круг сходимости К имеет вид
К = {z: \z — а\ < R}. Например, степенной ряд 2_^ n2(z — 1)п сходится
в круге К = {z: \z - 1| < 1} и расходится вне этого круга.
Для степенного ряда вида
П=0
где ап (п = 0,1,2,...), жо — заданные действительные числа, х —
действительное переменное, существует, согласно теореме 2, та-

430	Гл. IX. Функциональные ряды
кое R (R ^ 0 — число или +оо), что при R ф 0, +оо ряд A1) схо-
сходится, если \х — хо\ < R, и расходится, если \х — хо\ > R. Интервал
(хо - R, хо + R) называют интервалом сходимости, a R — радиусом
сходимости ряда A1). Радиус сходимости ряда A1) совпадает с ра-
оо
диусом сходимости ряда ^ an(z - хо)п, где z — комплексное пере-
переменное. При R = 0 ряд A1) сходится лишь в точке х = ж0, а при
R = +оо — на всей числовой прямой.
2. Регулярные функции. Введем понятие функции комплекс-
комплексного переменного. Пусть каждой точке z Е Е, где Е — множество
точек комплексной плоскости, поставлено в соответствие комплекс-
комплексное число w. Тогда говорят, что на множестве Е определена функция
комплексного переменного, и пишут w = f(z), где символом / обозна-
обозначено правило (закон), определяющее это соответствие.
Понятия предела, непрерывности, производной для функции комп-
комплексного переменного вводятся по аналогии с соответствующими по-
понятиями для функции действительного переменного. Если
Ve>0 36 = 6?>0: \/z: \z - a\ <6e-> \f(z) - f(a)\ < е,
то функцию f(z) называют непрерывной в точке а.
оо
Отметим еще, что понятие равномерной сходимости ряда 2_^ un(z)
71=1
с комплексными членами формально вводится так же, как и для рядов
с действительными членами, а сумма равномерно сходящегося ряда,
составленного из непрерывных функций комплексного переменного,
есть непрерывная функция.
Введем важное для функций комплексного переменного понятие
регулярности.
Функция комплексного переменного f(z) называется регулярной
(однозначной аналитической, голоморфной) в точке а, если она опре-
определена в некоторой окрестности точки а и представима в некотором
круге \z - а\ < р, р > 0, сходящимся к f(z) степенным рядом
zn(z-a)n.	A2)
п=0
Отметим, что любой многочлен, т. е. функция вида P(z) =
k=0
является регулярной функцией в каждой точке комплексной плос-
плоскости.
Рациональная функция f(z) =	, где Рп и Qm — многочлены
Qm{z)
степени пит соответственно, регулярна в каждой точке а, в которой
Qm(a) ф 0. Если многочлены Рп и Qm не имеют общих корней и если

'. Степенные ряды	431
z = zo — корень многочлена Qm(z), то lim f(z) = оо, а точку zo
z^rzo
называют полюсом функции f(z). Полюсы — один из типов особых
точек функций комплексного переменного (см. [6]).
В теории функций комплексного переменного доказывается, что
ОО
на границе круга сходимости степенного ряда V^cn(z — a)n лежит
п=0
хотя бы одна особая точка его суммы f(z) и что радиус сходимости
этого ряда равен расстоянию от точки а до ближайшей к а особой
точки функции f(z).
В частности, если f(z) =	, причем многочлены Рп и Qm
Qm(Z)
не имеют общих корней, то радиус сходимости R степенного ряда
ОО
*S^cn(z — а)п равен расстоянию от точки а до ближайшего к этой
п=0
точке корня многочлена Qm(z), т. е.
R = min \zk — сь\,
где Zk (к = l,m) — корни многочлена Qm(z) (предполагается, что
аф zk, к = 1,ш).
Например, если f(z) =	—	-, то корнями многочлена
(z — 3)(z + 1)
(z - 3)(z2 + 1) являются числа z\ — 3, z2 = г, z3 = —г. Поэтому радиус
оо
сходимости R степенного ряда f(z) = V^cn(z — IJ равен наимень-
п=0
шему из чисел |3 — 1|, \г — 1|, \г + 1|, т. е. равен у/2.
Теорема 5. Функция f(z), регулярная в точке а, единственным
образом представляется рядом A2).
О Пусть функция f(z) имеет два представления в виде степенного
ряда A2) в круге К = {z: \z — а\ < р}, где р > 0, т. е.
(X)	(X)
f(z) = Y,Cn(z-a)n = Y,Zn(z-a)n.	A3)
Докажем, что сп = сп для п = 0,1, 2,...
(X)	(X)
По условию ряды V^cn(z — а)п и *S^cn(z — а)п сходятся в кру-
ге К, и поэтому (см. следствие 1 из теоремы 1) эти ряды сходятся
равномерно в круге К\ = {z: \z — а\ ^ pi < р}, а их общая сумма —
непрерывная в круге К\ функция. В частности, функция f(z) не-
непрерывна в точке а. Подходя к пределу при z —> а в равенстве A3),
получаем cq = cq. Отбрасывая одинаковые слагаемые со и cq в равен-

432	Гл. IX. Функциональные ряды
стве A3), получаем после деления на z — а равенство
с\ + c2(z - а) + c3(z - аJ + ... —Z\ + c2(z - a) +c3(z - аJ + ..., A4)
которое справедливо в круге К с выколотой точкой а. Ряды в левой
и правой частях A4) сходятся равномерно в круге К\ (следствие 2
из теоремы 1), а их общая сумма непрерывна в круге К\. Переходя
в равенстве A4) к пределу при z -+ а, получаем с\ —Ъ\. Справедли-
Справедливость равенства сп = сп при любом п устанавливается с помощью
индукции. •
3. Свойства степенных рядов.
Теорема 6. Степенные ряды
mn,	A5)
(X)
п=0
(X)
71=1
имеют один и тот же радиус сходимости.
О Пусть Л, Ri и R2 — радиусы сходимости рядов A5), A6) и A7) со-
соответственно, К, К\ и К2 — круги сходимости этих рядов. Докажем,
что
R1=R = R2.	A8)
Так как 	 ^ 1 ^ п для любого п G А/, то
71 + 1
сп ^п+1 ^ |	| п| ^ |2 |	п-1	/-iQ\
Неравенства A9) справедливы при любом п е N и при любом г.
а)	Пусть z = zo G i^2 и zo 7^ 0- Тогда по теореме 2 ряд A7) сходится
абсолютно в точке ^о, а из правого неравенства A9) в силу теоремы
сравнения следует абсолютная сходимость ряда A5) в точке z0. Итак,
если zo G К2, то z$ G К, и поэтому
Я2 ^ Д.	B0)
б)	Аналогично, если z = z$ ф 0 и z$ G X, то из левого неравенст-
неравенства A9) следует, что ряд A6) абсолютно сходится в точке zq. Таким
образом, если z0 e К, то z0 e К\, и поэтому
Д^Дь	B1)
Из B0) и B1) получаем двойное неравенство
Д2 ^R^Ri.	B2)

'. Степенные ряды	433
в) Докажем, что
Ri^Ri.	B3)
Пусть zo E Ki и zo ф 0. Тогда \z§\ < Ri, и ряд A6) абсолютно
сходится в точке z$ (теорема 2). Выберем р так, чтобы выполнялись
неравенства
|*о|<Р<Й1.	B4)
Запишем следующее равенство:
cnpn+1
Р-	B5)
Так как р Е К\ в силу условия B4), то ряд A6) сходится при z — р,
и поэтому
ЗМ >0: VnG N
пп+1
р
П+ 1
М.	B6)
Обозначим -—- = q. Тогда 0 < q < 1, так как z$ ф 0, и выполняется
Р
условие B4). Из равенства B5) в силу условия B6) следует, что
Inc^K^ntn + l)^1, 0 < g < 1.	B7)
оо
Так как ряд У^ -—- п(п + l)^n+1, где 0 < q < 1, сходится по признаку
п=1
Д'Аламбера, то из B7) следует абсолютная сходимость ряда A7) в
точке zo. Итак, если zo G Ki, то zo G K<i, откуда получаем
Ri ^ Д2.	B8)
Из неравенств B2) и B8) следует равенство A8). •
Обратимся теперь к степенным рядам вида A1), где коэффициен-
коэффициенты ряда — действительные числа, а переменное х принимает дейст-
действительные значения.
Теорема 7. Если ряд
Yak(x-x0)k=f(x)	B9)
к=0
имеет радиус сходимости R > 0, то:
1)	в интервале сходимости (жо — R, хо + i?) функция f имеет про-
производные любого порядка, получаемые почленным дифференцированием
ряда B9);
2)	внутри интервала сходимости этот ряд можно почленно
интегрировать, т. е. для любого х G (xq — R,xq + R) справедливо

434	Гл. IX. Функциональные ряды
равенство
X	ОО	г,,-,
//(*)л = 5>^^—	C0)
XQ	k = 0
О Рассмотрим ряд
JT-xo)*-1,	C1)
составленный из производных членов ряда B9). По теореме б ряд C1)
имеет тот же радиус сходимости, что и ряд B9), а по следствию 1
из теоремы 1 ряд C1) сходится равномерно на отрезке Ар = [хо —
— р,хо + р], где р — произвольное число такое, что 0 < р < R.
В силу теоремы 11 из § 42 ряд B9) можно почленно дифференци-
дифференцировать на Др, а значит, и в любой точке х Е (жо — R,xo + Л), т. е.
справедливо равенство
Ь,п , (rr- 	 rf> \# —1	re d (rr- 	 E> rf> _|_ ~D\	('Х^Л
k=l
По индукции доказывается, что
ОО
/(™)(ж) = ^ акк(к - 1)...(к - (п - 1))(х - хо)к~п,	C3)
где п е А/, х е (хо - R, х0 + R), т. е. ряд B9) можно почленно диффе-
дифференцировать любое число раз.
Справедливость равенства C0) следует из теоремы 9 из § 42. •
Следствие. Коэффициенты ряда B9), имеющего радиус сходи-
сходимости R > 0, выражаются формулами
.	C4)
О Формулы C4) получаются из равенств B9) и C3) при х = xq. •
Замечание 3. Из формул C4) следует единственность разложения
функции f(x) в степенной ряд вида B9).
§ 44. Ряд Тейлора
1. Понятие ряда Тейлора. Если функция f(x) определена в не-
некоторой окрестности точки хо и имеет в точке хо производные всех
порядков, то степенной ряд
ОО
f(x0) + ^2~
71=1
называется рядом Тейлора функции f в точке х

(. Ряд Тейлора	435
Пусть функция / регулярна в точке жо, т. е. представляется в
некоторой окрестности точки жо сходящимся к этой функции степен-
степенным рядом
an(x-x0)n, \x-xo\<p, р>0.	B)
Тогда по теореме 7 из § 43 функция / бесконечно дифференцируема
в окрестности точки жо, причем коэффициенты ряда B) выражаются
формулами
ао = /Ы, an = LJpi: new.	C)
Таким образом, степенной ряд для функции /(ж), регулярной в дан-
данной точке а, совпадает с рядом Тейлора функции / в точке а.
Если известно, что функция /(ж) бесконечно дифференцируема
в точке а (и даже в некоторой окрестности этой точки), то нельзя
утверждать, что составленный для этой функции ряд Тейлора A)
сходится при ж ф жо к функции /(ж).
Рассмотрим функцию /(ж) = е~1//ж , ж ф 0, /@) = 0. Эта функция
определена на /?,
\ /»(^)	при
откуда с помощью индукции легко показать, что
/(«)(ж)=е-1/-2д3пA) при хфО,
гДе Q3n(t) — многочлен степени Зп от t. Воспользуемся тем, что
lim -—гв~1/х = 0 для любого к е N (§ 19, пример 7), и докажем,
/(*)@) = 0 для любого ке N.	D)
\х
ЧТО
Утверждение D) верно при к = 1, так как /'@) = Нт	 = 0, от-
откуда, предположив, что формула D) справедлива при к — п, находим
/<^>@) = lim ^('l-^W = lim iQjiyV* = 0.
J
Таким образом, по индукции доказано равенство D), и поэтому все
коэффициенты ряда Тейлора A) в точке жо = 0 для рассматриваемой
функции равны нулю.
Так как е~1//ж ф 0 при ж ф 0, то сумма ряда Тейлора для функции /
не совпадает с /(ж) при ж ф 0. Иначе говоря, эту функцию нельзя
представить рядом Тейлора, сходящимся к ней в окрестности точки
ж0 = 0.

436	Гл. IX. Функциональные ряды
Причина этого явления становится понятной, если функцию /
рассматривать в комплексной плоскости. В самом деле, функция
f(z) = e~xlz не является непрерывной в точке z — 0, так как
f(x) = е~х1х ->• 0 при х ->• 0, a f(iy) = ех1у ->• +оо при у ->• 0.
2. Остаточный член формулы Тейлора. Пусть функция f(x)
бесконечно дифференцируема в точке xq. Тогда ей можно поставить
в соответствие ряд A). Обозначим
^px-x0)k,	E)
rn(x) = f(x) - Sn(x)	F)
и назовем гп(х) остаточным членом формулы Тейлора для функции /
в точке хо (см. § 18). Если существует
lim rn{x) = 0,	G)
п—>-оо
то согласно определению сходимости ряда ряд A) сходится к функции
f(x) в точке ж, т. е.
п=0
Теорема 1. Если функции /(ж), f'(x), ..., /^п+1^(ж) непрерывны
на интервале А = (ж0 - S,x0 + S), где S > 0, то для любого х е А
остаточный член формулы Тейлора для функции f в точке хо можно
представить:
а)	в интегральной форме
X
rn{x) = ^f(x-t)nfn+l\t)dt]	(9)
XQ
б)	в форме Лагранжа
где ? принадлежит интервалу с концами хо и х.
О Формула A0) была доказана в § 18. Докажем формулу (9) методом
индукции. В силу равенств E) и F) нужно показать, что
f(x) - /(a*) = it ^Г1 (х ~ xo)k + hhX~ *)"/("+1)(*) dt
k = l

(. Ряд Тейлора	437
Воспользуемся равенством f'(t) dt = f(x) - f(x0) и преобразуем его
XQ
левую часть с помощью формулы интегрирования по частям:
t=x
(*) dt = - ff'(t) d(x -t) = [-f(x)(x - t)]	+ f(x - t)f"(t) dt =
XQ	XQ	XQ
X
= f'(xo)(x - a*) + J(x - «)/"(*) dt.
XQ
Таким образом,
X
f{x) - f(x0) = f'(xo)(x - x0) + f(x - t)f"(t) dt,
XQ
т. е. формула A1) верна при п = 1. Предположим, что формула A1)
является верной для номера п — 1, т. е.
fix) - /ы = Е Ч^\ {х -Хо)к + j^hy. I{x - *)n"V(ii)(*) dt.
k = l	'	' XQ
A2)
Преобразуем интеграл в правой части формулы A2), применив фор-
формулу интегрирования по частям:
XQ	XQ
-±^J(x-t)n-1f(nHt)dt=-±
XQ
X
-xo)n + ^ ({x-t)nf{n+1\t)dt.
XQ
Отсюда следует, что равенство A2) можно записать в виде A1). Фор-
Формула (9) доказана. •
Теорема 2. Если функция f и все ее производные ограничены в
совокупности на интервале А = (ж0 - S,x0 + S), т. е.
ЗМ>0: Уже А^ |/(пH*01 ^М, п = 0,1,2,...,	A3)
то функция f представляется сходящимся к ней в каждой точке ин-
интервала А рядом Тейлора (8).
О Пусть х G (хо — S,xo + S). Тогда, используя формулу A0) и усло-
условие A3), получаем
ЫаОКМ^_|^.	A4)

438	Гл. IX. Функциональные ряды
Так как lim —- = 0 для любого а > 0 (§ 40, пример 4, а)), то из A4)
п—>-оо 77-!
следует, что выполняется условие G), т. е. в точке х справедливо
равенство (8). •
Упражнение. Доказать, что теорема 2 остается в силе, если усло-
условие A3) заменить следующим условием:
ЗМ>0 ЗС>0: Ухе Д-> \f{n)(x)\ ^ МСп, п = 0,1,2,...
3. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. Най-
Найдем разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора в
окрестности точки ж0 = 0, т. е. в ряд вида
4
который называют рядом Маклорена. Заметим, что коэффициенты
-—р^- разложения A5) для основных элементарных функций (по-
казательной, гиперболических, тригонометрических и других) были
найдены в § 18.
а) Показательная и гиперболические функции. Пусть f(x) = ех.
Тогда для любого х G (—р,р), где р > 0, выполняются неравенства
0 < f(x) <ep, 0 < /(п)(ж) < ер, пе N.
По теореме 2 ряд A5) для функции f(x) = ex сходится к этой функ-
функции на интервале (—р,р) при любом р > 0, т. е. радиус сходимости
этого ряда R = +оо. Так как для функции f(x) = ex выполняются
равенства /@) = 1, /^п^@) = 1 для любого п, то по формуле A5) по-
получаем разложение в ряд Маклорена показательной функции
е" =
n=0
Используя разложение A6) и формулы
х л_е~х	х _ -х
СП Ж =	, 8П.Х =
2 '	2 '
находим разложения в ряд Маклорена гиперболического косинуса и
гиперболического синуса:
п=0
оо
n=0 v	'
Радиус сходимости каждого из рядов A7), A8) R = +оо.

(. Ряд Тейлора	439
б) Тригонометрические функции. Пусть /(ж) = sin ж. Тогда |/(ж)| ^
0 и |/(пЧжI ^ 1 Для всех п е N и для всех ж е R. По теореме 2
ряд A5) для функции /(ж) = sin ж сходится для любого х Е (—оо, +оо),
т. е. радиус сходимости этого ряда R = +оо.
Если /(ж) = sin ж, то /@) = 0, /Bп)@) = 0, /'@) = 1, /Bп+1)@) =
= (—1)п для любого п, и по формуле A5) получаем разложение синуса
в ряд Маклорена:
Z.Bn + l)!X '
Пусть /(ж) = cos ж. Тогда |/(ж)| ^ 1, |/^п^(ж)| ^ 1 для всех п и
для всех же/?, /@) = 1, /'@) = 0, /Bп)@) = (-1)п, /Bп+1)@) = 0 для
всех п. По формуле A5) получаем
COS Ж =
Bп)!
Радиус сходимости каждого из рядов A9) и B0) R = +оо.
в) Логарифмическая функция. Пусть /(ж) = 1пA + ж). Тогда
(n) (-iT^Cn^l!
J W-	A + х)п '
откуда находим
/(n)(o) = (-i)"-\	B2)
n!	n
О Оценим остаточный член гп(ж), пользуясь формулой (9) при жо = 0.
Преобразуем эту формулу, полагая t = тх. Тогда dt = жб?т, 1 — ж =
= жA - г) и формула (9) примет вид
A ~ r)f^+1\rx)dT.	B3)
О
Если /(ж) = 1пA + ж), то по формуле B3), используя равенст-
равенство B1), получаем
rn(x) = (-1)V+1/(^""L dr.	B4)
О
Пусть |ж| < 1. Тогда справедливы неравенства
|1 + тж| ^ 1-г|ж| ^ 1-г,	B5)
|1 + гж| ^ 1-|ж|,	B6)
так как 0 ^ т ^ 1. Отсюда следует, что при любом п е N выполняется
неравенство
+1A-г)иA-|а;|).	B7)

440	Гл. IX. Функциональные ряды
Используя неравенство B7), из формулы B4) получаем следую-
следующую оценку остаточного члена:
\гп(х)\ ' ' -+1 Г dT
О
откуда следует, что гп{х) —У 0 при п —у оо, если |ж| < 1.
Пусть ж = 1. Тогда 1 + тх = 1 + г, A + r)n+1 ^ 1, 1 - т ^ 0, так
как 0 ^ т ^ 1. Поэтому из формулы B4) следует, что |гпA)| ^
1
^ / A — r)n (ir = 	-, откуда получаем: гпA) —у 0 при п —у оо.
«/	ТЬ —|— X
О
Итак, если ж G (—1,1], то остаточный член гп{х) для функции
/(ж) = 1пA + ж) стремится к нулю при п -у оо, т. е. ряд Маклоре-
Маклорена сходится к /(ж). •
Из формул A5) и B2) получаем разложение функции 1пA + ж) в
ряд Маклорена
(X)		-I
1пA + ж) = У^	жп,	B8)
71=1
радиус сходимости которого R = 1.
Формула B8) справедлива при ж = 1, и поэтому
~~п ~ ~2 + 3~4+"<Н п *~ '"
п=1
Заменяя в формуле B8) ж на —ж, получаем
?_.	B9)
П=1
г) Степенная функция. Пусть /(ж) = A + х)а. Если а = 0, то /(ж) =
= 1, а если а = п, где п G А/, то /(ж) — многочлен степени п, который
можно записать по формуле бинома Ньютона в виде конечной суммы:
к=0
Покажем, что если а 0 А/ и а ф 0, то функция /(ж) = A + ж)а представ-
представляется при каждом ж G (—1,1) сходящимся к ней рядом Маклорена
С%хп,	C0)
п=0
где
го - 1 ^п _ а(а-1)...(а- (п - 1))
О Так как
/(^+1)(х) = а(а - 1)...(а - п)A + ж)а-(п+1\	C2)

(. Ряд Тейлора	441
то по формуле B3) получаем
1
о
где
а а(а — 1)...(а — п)
п =	п\	'
Выберем число т Е А/ таким, чтобы выполнялось условие \а\ ^ т.
Тогда при всех п ^ т справедливы неравенства
, , | т(т + 1)...(т + п) (т + n)! _, i "\ z'	А <г (о \т
n!	^ n!	^
Используя неравенства B5) и B6), а также неравенство |1 + тж| ^
^ 1 + |ж|, получаем
0 ^ t^zz ^ 1.	C5)
х	если a^i	^
х\) , если а < 1,	v y
Из формулы C3) и оценок C4)-Cб) следует неравенство
которое справедливо при всех п ^ т и для каждого ж G (—1,1).
Так как lim —г = 0 при а > 1, то lim	= 0. Поэтому из
?—)-+оо а1	п—>-оо A/|ж|)п+1
соотношения C7) следует, что гп(ж) ->• 0 при п ->• оо для каждого х е
G (—1,1), т. е. справедливо равенство C0), причем радиус сходимости
ряда C0) в случае, когда а ф 0 и а 0 Л/, равен 1. •
Отметим важные частные случаи формулы C0):
-1)пжп,	C8)
п=0
гЬ *"•	C9)
п=0
В заключение заметим, что при разложении функций в ряд Тей-
Тейлора обычно используют формулы A6)—B0), B8)-C0) и применяют
такие приемы, как: представление данной функции в виде линейной
комбинации функций, ряды Тейлора для которых известны; замена
переменного; почленное дифференцирование и интегрирование ряда.
Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) и найти
радиус сходимости R ряда, если:
а) /И = -h* б) /(*) = * ; в)

442	Гл. IX. Функциональные ряды
Л а) Используя формулу C8), получаем ряд
1)V\	D0)
радиус сходимости которого R = 1.
оо
б) Из равенства C0) следует, что	= V^ С™г/2^2r\ гДе
п=0
°-1/2"	п!	"	2-п!
Следовательно,
7r=f = *+ ? {~1}J71)П ж2"' л = 1- <41>
п=1
в) Так как /(ж) = — + —^ = —	— - —	—, то, при-
меняя формулы C8) и C9), получаем ряд
п=0
Пример 2. Разложить в ряд Маклорена функции arctg ж, arcsin ж,
1п(ж + л/1 + х2) и найти радиусы сходимости R рядов.
Л а) Почленно интегрируя ряд D0), получаем
} dt A	x2n+1
агс!^ж = /	 = > (—1)п	, R = 1.
6 J l + ?2 ^v ; 2п + 1'
Q	П = 0
б) Заменяя в формуле D1) ж2 на —ж2, получаем
оо
га=1
откуда следует, что
? ^	, r^ Bn- I)!! 2n+i d 1
arcsm х = ,	= ж + > —Ц-	^—ж2п+1, Д = 1.
iTU?	^^2nnBn + l)
О v	n=l
в) Почленно интегрируя ряд D1), получаем
^ 2пп\Bп-
71=1	V

(. Ряд Тейлора	443
Пример 3. Разложить в ряд Тейлора в точке хо = 2 функцию
/(ж) = 1пD + 3ж-ж2).
Л Так как 4 + Зж — ж2 = — (х — 4)(ж + 1), то, полагая t = х — 2, полу-
получаем
/(ж) = 1пD-ж)(ж + 1) =
= g(t) = lnB - *)C + *) = In 6 + In (l - |) + In (l + |) •
Используя формулы B8) и B9), отсюда находим
—	-, 1*1 < 2.
Следовательно,
n=l
4. Элементарные функции комплексного переменного. По-
Показательная, гиперболические и тригонометрические функции комп-
комплексного переменного z определятся соответственно формулами
п=0
00 2п
V-—,	D3)
71=0
2. ^2п+1
D6)
Радиус сходимости i? каждого из рядов D2)-D6) равен +оо. Заменяя
в равенстве D2) z на iz и —iz, получаем
eiz = y^Ll_ e-iz = V^ ( 1) г z ^	^
п=0	п=0
Используя равенства D7) и формулы D5), D6), находим
= sin2:,	D8)
2г

444	Гл. IX. Функциональные ряды
откуда следует, что
etz = cosz + is'mz.	D9)
Полагая в формуле D2) z = z\ и z = z^ и перемножая соответствующие
ряды, можно показать, что
е^е22 =eZl+z\	E0)
Пусть z = х + iy, где х Е R, у Е R. Тогда из равенства E0) и
формулы D9) находим
е2 = еж+гу = ex(cosy + г sin?/).	E1)
Из формулы E1) следует, что
т. е. ez — периодическая функция с периодом 2ттг. Поэтому для каж-
каждого комплексного z ф 0 уравнение
ew = z	E2)
имеет бесконечное множество решений вида w + г2тгп, где гу — одно
из решений уравнения E2), п е Z.
Если w = u + iv, то z = ew = eu(cosv-\-isinv), откуда получаем
\z\ = eu, u = \n\z\, v = diTgz.
Пусть ip — какое-нибудь значение аргумента числа z. Тогда
v = (р + 2тгп, п G Z.
Таким образом, все решения уравнения E2), если их обозначить сим-
символом Lnz, задаются формулой
Lnz = 1п|г| +г((^ + 2тгп),	E3)
где if — одно из значений аргумента числа z (z ф 0), п G Z.
По заданному значению z значение гу из уравнения E2) определя-
определяется, согласно формуле E3), неоднозначно (говорят, что логарифми-
логарифмическая функция Lnz является многозначной).
Пример 4. Разложить в степенной ряд в окрестности точки z = 0
функцию f(z) = ez sinz.
Л Используя формулы D8) и E0), получаем
Так как 1 + г = у/2 ег7Г/4, 1 - г = л/2е~г7Г/4, то по формуле D2) находим
... .	2г
n=0

Упражнения к главе IX	445
откуда в силу второго из равенств D8) следует, что
^ 2п/2 _ т
е sin z — > —— sm —z .
^ n\	4
n=0
Радиус сходимости ряда R = +oo. A
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX
1.	Доказать, что если функции ип(х) непрерывны на отрезке [а, Ь], a
оо	оо
ряд у ^ ип{х) сходится равномерно на промежутке [а, 6), то ряд у ^ ип{Ъ)
п=1	п=1
СХОДИТСЯ.	оо
2.	Доказать, что если ряд ^ ^ ип(х) сходится равномерно на множест-
п=1	^—^
ве Е, а функция <р(х) ограничена на Е, то ряд у ^ (р(х)ип(х) сходится
равномерно на множестве Е.	^=i
оо
3.	Пусть ряд у ^ u^(x) сходится на множестве Е, а его сумма S(x)
Л оо
п=1		^
такова, что sup S(х) = М, где М / +оо. Доказать, что ряд \^ апип(х)
сходится равномерно на множестве Е, если сходится ряд у а2п.
71 = 1
4.	Пусть функция f(x) имеет непрерывную производную на интервале
(а, Ь) и пусть fn(x) = n[f[x-\	1 — f(x)). Доказать, что последователь-
последовательность {fn(x)} сходится равномерно к f (х) на отрезке [ai,6i] С (a,b).
оо
5.	Доказать, что если ряд У \ап+\{х) — ап{х)\ сходится равномерно на
П=1	f 		Л
множестве Е, sup |ате(ж)| —»¦ 0 при п —>- оо, а последовательность < \ bk(x) >
ХЕЕ	оо^	l^	J
равномерно ограничена на ?7, то ряд \_\ ап(х)Ьп(х) сходится равномерно
на множестве Е.	п=\
оо
6.	Пусть радиус сходимости степенного ряда 2_.ап^п равен R. Най-
оо	„
ти радиус сходимости степенного ряда у ^ bnzn, если:
п=0
a)bn=akn, keN; 6) bn = ^
1 + \ап\
оо
7.	Доказать, что если ряд У ап сходится и его сумма равна S, то
существует	гг=о^
lim У^ апхп = 5.

ГЛАВА X
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 45. Мера Жордана в Rn
1.	Клеточное множество в Rn. Множества Аи В называют не-
непересекающимися, если АП В = 0. Говорят, что множества А\,..., Ап
попарно не пересекаются, если для любых i,j e {1,...,п} множества
А{ и Aj непересекающиеся. Совокупность множеств {А\, ...,Ап} бу-
п
дем называть разбиением множества А, если А = (J А^ и множест-
множества Ai,...,An попарно не пересекаются.	г-1
Множество
будем называть клеткой в Rn. Пустое множество также считается
клеткой.
Полуинтервал [а, 6) является клеткой в R. Клетками в R2 и R3
являются прямоугольники и прямоугольные параллелепипеды, у ко-
которых удалены соответствующие стороны или грани.
Множество A Е Rn будем называть клеточным, если оно является
объединением конечного числа попарно непересекающихся клеток.
Клеточное множество может быть разбито на клетки бесконечным
множеством способов.
2.	Свойства клеточных множеств.
Свойство 1. Пересечение двух клеток есть клетка.
О Для доказательства достаточно заметить, что пересечение двух
полуинтервалов [а, Ъ) и [c,d) является либо пустым множеством, либо
полуинтервалом такого же вида. •
Свойство 2. Объединение конечного числа непересекающихся
клеточных множеств является клеточным множеством.
Свойство 3. Пересечение двух клеточных множеств есть кле-
клеточное множество.
О Если клетки П1,...,ПР образуют разбиение клеточного множест-
множества А, а клетки Ii[, ...,Ii'q образуют разбиение клеточного множест-
множества В, то клетки Uij = П^ П П^ при i = 1,р, j = I, q образуют разбиение
множества А П В. •
Свойство 4. Разность двух клеток есть клеточное множество.
О Если клетка R является пересечением клеток П и Q, то n\Q = П\Д
и существует такое разбиение клетки П, что клетка R является одной

	§45. Мера Жордана в Rn	447
из клеток разбиения. Для того чтобы в этом убедиться в плоском
случае (в R ), достаточно провести через вершины прямоугольника R
прямые, параллельные сторонам П. Удаляя из разбиения П клетку R,
получаем, что П \ R — клеточное множество. •
Свойство 5. Разность двух клеточных множеств есть клеточ-
клеточное множество.
О Пусть клеточное множество А разбито на клетки Щ,..., Ир и Q —
некоторая клетка. В силу свойства 4 множества Ki = П^ \ Q являют-
являются попарно непересекающимися клеточными множествами. Множест-
Множество А \ Q совпадает с объединением всех К{ и является клеточным
множеством в силу свойства 3. Если клетки П[, ...,П^ образуют раз-
разбиение клеточного множества В, то множество А \ В можно полу-
получить, последовательно вычитая из А клетки U[, ...,U'm. Так как на
каждом шаге этого процесса получается клеточное множество, то и
множество А \ В, образующееся за конечное число таких шагов, яв-
является клеточным. •
Свойство 6. Объединение конечного числа клеточных множеств
есть клеточное множество.
О Если А и В — клеточные множества, то в силу свойств 3 и 5
непересекающиеся множества А\В, В \А и АП В являются кле-
клеточными. В силу свойства 2 их объединение, совпадающее с A U В,
является клеточным множеством. •
3. Мера клеточного множества. Мерой ттг(П) клетки A) назо-
назовем число
т(П) = (Ъ1-а1)...(Ъп-ап).	B)
Мера пустого множества равна нулю по определению.
В частности, мера полуинтервала равна его длине, мера пря-
прямоугольника равна его площади, мера параллелепипеда равна его
объему.
Если клетки IIi,..., Пр образуют разбиение клеточного множест-
множества А, то мерой т(А) множества А назовем число
v
т(А)=^т(П;).	C)
г=1
Корректность определения 3 доказывает следующая лемма.
Лемма 1. Мера клеточного множества не зависит от способа
разбиения этого множества на клетки.
О Можно показать, что каким бы способом клетку П не разбивали
на клетки П1,...,ПР, мера П как клеточного множества всегда равна
мере клетки П, определяемой формулой B). Для разбиений клетки,
порождаемых одномерными разбиениями всех полуинтервалов [а^Ьг)
в A), это утверждение доказывается прямым подсчетом. В общем
случае можно сделать дополнительные разбиения.

448	Гл. X. Кратные интегралы
Пусть клетки П1,...,ПР и И[, ...,П'д образуют два различных раз-
разбиения клеточного множества А и пусть П^ = П^ П П^. Так как П^ =
= и щр п;. = и%,то
г=1	г=1 j=l	j=l i=l	j=l
что и доказывает утверждение леммы. •
4. Свойства меры клеточных множеств.
Свойство 1. Если клеточные множества A\,...,AV попарно не
пересекаются, то
i=l
Свойство 2. Если А и В — клеточные множества и А С В, то
т(В) =т(А)+т(В\А), т(А)^т(В).	E)
О Так как клеточные множества А и В \ А не пересекаются и В =
= A U (В \ А), то в силу свойства 1 справедливо равенство E). •
Свойство 3. Если А\, ...,AV — клеточные множества, то
р
т( U АЛ ^ ^2m(Ai).	F)
г=1	г=1
О Достаточно доказать равенство F) для р = 2, так как общий случай
доказывается по индукции. Замечая, что А\ С А\ U А2 = В и В \ А\ С
С ^2, в силу E) получаем, что
m(Ai U А2) = т(В) = m(Ai) + т(В \ Ai) ^ m(Ai) + ш(А2). •
Свойство 4. Для любого клеточного множества А и_любого г > О
существует такое клеточное множество А?, что А? С А? С А0 С А,
где А? — замыкание множества А?, А0 — внутренность множест-
множества А (совокупность всех внутренних точек множества А).
О Достаточно доказать свойство 4 для одной клетки П. Из опреде-
определения A) клетки следует, что точка (xi,...,xn) принадлежит границе
клетки, если существует такое значение индекса г, что выполнено
равенство Х{ — ai или Х{ — Ь{. Сдвигая левые концы полуинтерва-
полуинтервалов [di,bi) вправо, а правые влево, можно построить клетку П?, не
содержащую граничных точек П и отличающуюся от П по мере мень-
меньше, чем на г. •
5. Множества, измеримые по Жордану. Мера Жордана.
Множество п С Rn называется измеримым по Жордану, если для лю-
любого г > 0 найдутся два клеточных множества А и В такие, что
А Си С В и т(В) - т(А) < е.

	§45. Мера Жордана в Rn	449
Если П — измеримое по Жордану множество, то его мерой m(Q)
называется такое число, что для любых двух клеточных множеств А
и В, удовлетворяющих условию А С П С В, выполнено неравенство
т(А) ^ т(п) ^ т(В).
Лемма 2. Определение меры измеримого по Жордану множест-
множества п корректно: число т(п) существует и единственно, причем
m(Q) = sup т(А) = inf m(B).
А	BDQ
О Пусть А и В произвольные клеточные множества такие, что А С
С П С В. Тогда т(А) ^ т(В) (свойство 2, п. 4). Существует чис-
число 7, разделяющее числовые множества {т(А)} и {т(В)}, порожда-
порождаемые клеточными множествами А С П и клеточными множествами
В D п (§ 2, теорема 2), т. е.
т(А) ^ sup т(А) ^ 7 ^ inf rn(B) ^ т(В).
Из определения меры множества п следует, что в качестве т(п)
можно взять число 7- Существование числа т(п) доказано. Докажем
его единственность. Пусть есть два числа а и /3 таких, что для любых
клеточных множеств АиВизАс^СВ следует
т(А) ^а^/3 ^т(В).	G)
Так как множество п измеримо по Жордану, то для любого г > О
найдутся клеточные множества А? и В? такие, что
А? Спс Д., т(В?) - т(А?) < г.	(8)
Из G) и (8) тогда следует, что
О ^ /3 - а ^ т(В?) - т(А?) < г.
В силу произвольности г имеем а = /3. •
6. Свойства множества жордановой меры нуль.
Свойство 1. Если Е С Rn и для любого г > 0 найдется клеточ-
клеточное множество В = В? такое, что Е С В и тВ < г, то тЕ = 0.
О Пусть А = 0; тогда АсЕсВ, тВ - тА = тВ < г. Следователь-
Следовательно, Е — измеримое множество и тЕ = 0, так как е — произвольное
положительное число. •
Замечание. Множество, удовлетворяющее условиям, указанным в
свойстве 1, будем называть множеством меры нуль.
Свойство 2. Объединение двух множеств [конечного числа мно-
множеств) меры нуль есть множество меры нуль.
О Если т(Е1) = т(Е2) = 0, то для любого г > 0 найдутся клеточные
множества В\ и В<± такие, что
Ех С Ви Е2 С В2, m(Bi) < |, т(В2) < |.

450	Гл. X. Кратные интегралы
Тогда В = В\ U В2 есть клеточное множество и
E1UE2 С B±U В2, т(В) ^ т{В1) + т(В2) <§ + §=?•
Следовательно, m(Ei U i^) = 0. •
Свойство 3. Подмножество множества меры нуль есть мно-
множество меры нуль.
О Пусть Е' СЕ и Е — множество меры нуль. Тогда для любого г > 0
найдется такое клеточное множество А, что Е' С Е С А и т(А) < е.
В силу свойства 1 множество Е' имеет меру нуль. •
Сформулируем вспомогательную лемму геометрического харак-
характера.
Лемма 3. Если связное множество А С Rn не имеет общих то-
точек с границей множества В С Rn, то А лежит либо внутри В, либо
внутри его дополнения.
О Опуская подробное доказательство этой интуитивно очевидной
леммы, поясним его идею. Предполагая противное, получаем, что су-
существуют точки а и Ъ множества А такие, что а принадлежит внут-
внутренности В, Ъ принадлежит внутренности дополнения В. Пользуясь
связностью множества А, соединим эти точки кривой Г, лежащей
в множестве А. Точки кривой можно разбить на два класса. Точка
с принадлежит первому классу, если дуга кривой Г с концами а и
с лежит в множестве В. Все остальные точки кривой Г отнесем ко
второму классу. На кривой Г существует точка, разделяющая эти два
непустых класса, что следует из теоремы об отделимости (§ 2, тео-
теорема 2). Нетрудно показать, что эта точка не может лежать ни во
внутренности множества В, ни во внутренности его дополнения и,
следовательно, является граничной точкой В. Так как эта точка од-
одновременно принадлежит и множеству А, то получаем противоречие
с условием леммы. •
Теорема 1 (критерий измеримости множества в Rn). Для того
чтобы множество П С Rn было измеримым по Жордану, необходимо
и достаточно чтобы оно было ограниченным, а его граница дП имела
жорданову меру нуль.
О Необходимость. Из измеримости П следует, что для любого
г > 0 найдутся такие клеточные множества А и В, что А С ft С В
и т(В) - т(А) < г. В силу свойства 4 меры клеточных множеств
(п. 4) без ограничения общности можно считать, что множество А не
содержит граничных точек множества П, а множество В содержит
все граничные точки п. Клеточное множество В \ А содержит дп, и
мера его меньше г. В силу свойства 1 множество dtt имеет жорданову
меру нуль.
Достаточность. Пусть т(дп) = 0 и п — ограниченное мно-
множество в Rn. Заключим множество П в клетку П. Возьмем произ-
произвольное г > 0 и построим клеточное множество С такое, что дп С С

	§45. Мера Жордана в Rn	451
и т(С) < е. Тогда П \ С — клеточное множество, не содержащее гра-
N
ничных точек множества О. Пусть П \ С = |J П^. Так как клетка П^
г=1
не содержит граничных точек множества О, то в силу леммы 3 ли-
либо Hi П О = 0, либо Hi С О. Занумеруем клетки П^ в таком поряд-
порядке, что П1,...,П/ с(], а П/+1,...,Пдг имеют с О пустое пересечение.
/	N
Пусть А= \jUi и В = AUC = U\( [j П;). Тогда АсО С В и
г=1	i=l+l
т{В) — т{А) = т{С) < г. Следовательно, множество п измеримо по
Жордану. •
7. Свойства множеств, измеримых по Жордану.
Свойство 1. Если множества fti и ^2 измеримы по Жордану,
то ui П ^2, Hi \ ^2 и ui U ^2 измеримы по Жордану.
О Измеримые по Жордану множества Qi и ^2 ограничены и в силу
теоремы 1 m(dfti) = 111(8^2) = 0, поэтому и m(dfti U 8^2) = 0. Но
ii П п2) С дО± U дп2, d(U! \ п2) С дО± U дп2,
9(fii иП2) С 9fii U9fi2.
Поэтому
т(д(О1 П П2)) = m(9(fti \ П2)) = m(9(fti U О2)) = 0.
В силу теоремы 1 множества fii П П2, ^i \ ^2, ^i U П2 измеримы по
Жордану. •
Свойство 2. Е'сли множества Oi при г = 1,п измеримы по Жор-
п
дану, то и множество (J П^ измеримо по Жордану и
i=\ п
множества О\,...,Оп попарно не пересекаются, то
ml М ^г = > m(fii).	(Ю)
г~1	г=1
О Рассмотрим случай п = 2. Если Oi и 1^2 — измеримые по Жор-
Жордану множества, то в силу свойства 1 множество О\ U Г^ измеримо
по Жордану. Из леммы 2 следует, что для любого г > 0 найдутся
клеточные множества В\ и ??2 такие, что
fii с 5Ь О2 С В2, miOx) > miBx) - -, т(п2) > т(В2) - -.
Тогда ??i U ^2 есть клеточное множество, содержащее множест-
множество О\ и^2. Используя свойство 3 клеточных множеств (п. 4), полу-
получаем, что
m(Ox U п2) ^ т(В1 U В2) ^ т(В1) + ш(Б2) < m(fii) + т(п2) + г.

452	Гл. X. Кратные интегралы
Так как е > 0 произвольно, то
m(fii U п2) ^ m(fii) + ш(П2).	A1)
Пусть fii П П2 = 0- В силу леммы 2 найдутся клеточные множес-
множества Ai и А2 такие, что
Ai С Пь m(Ai) > m(fii) - |, А2 С П2, т(А2) > т(п2) - |-
Тогда Ai U А2 есть клеточное множество, содержащееся в множест-
множестве fii U П2. Так как множества Ai и А2 не пересекаются, то
m(fti U П2) ^ m(Ai U А2) = m(Ai) + т(А2) > m(fii) + ш(П2) - г.
В силу произвольности г отсюда следует, что
m(fii U П2) ^ m(ni) + т(п2).	A2)
Из A1) и A2) заключаем, что при п± П П2 = 0 должно быть вы-
выполнено равенство m^i U п2) = 771(^1) + т(п2).
Применяя метод математической индукции, из неравенства A1)
легко вывести справедливость неравенства (9) для любого п G N. При
помощи аналогичных рассуждений из справедливости равенства A0)
для п = 2 выводится справедливость этого равенства для любого
п G N. •
Говорят, что равенство A0) выражает свойство конечной адди-
аддитивности меры Жордана.
Упражнение 1. Доказать, что множество всех рациональных точек
отрезка [0,1] неизмеримо по Жордану в R.
Упражнение 2. Пусть Q — измеримое по Жордану множество в /?п,
a Th — преобразование подобия
Thx = (hxi,hx2,...,hxn), xeRn, h>0.
Доказать, что m(Th&) = hnm(Q).
Указание. Воспользоваться тем, что при преобразовании подобия ме-
мера каждой клетки изменится в hn раз.
Упражнение 3. Показать, что спрямляемая кривая на плоскости име-
имеет жорданову меру нуль.
Указание. Точками Ро,...,Рп разбить кривую на дуги равной дли-
длины S/n, где S — длина кривой. В каждой из точек Pi взять квадрат со
стороной 2S/n. Оценить сумму площадей всех квадратов.
§ 46. Определение и свойства кратного интеграла Римана
1. Разбиения. Пусть множество G измеримо по Жордану в Rn.
Совокупность измеримых по Жордану в Rn и попарно непересекаю-
N
щихся множеств Gi,..., Gn называется разбиением G, если G — (J G{.
г=1
Разбиение будем обозначать буквой Т.

'. Определение и свойства кратного интеграла Римана	453
Пусть d(Gi) есть диаметр множества Gi, т. е.
d(Gi) = sup p(x,y).
Число ЦТ) = пш d(Gi) будем называть мелкостью разбиения Т.
i=l,N
Разбиение Г = {Gi}, г = 1, 7V, будем называть продолжением разбиения
Т' = {G[}, г = 1,7V, и писать Т -< Т', если каждое из множеств Gi
является подмножеством некоторого множества G'k. Очевидно, что
из Т -< Т' следует, что 1{Т) ^ ЦТ1).
2. Интегральные суммы Римана. Суммы Дарбу. Пусть
функция /(ж) определена на измеримом по Жордану множестве G,
а Т есть разбиение множества G : Т = {G^}, г = 1,7V. Возьмем в
каждом из множеств G{ по точке &. Выражение
7V
г=1
называется интегральной суммой Римана функции /(ж) на множест-
множестве G, соответствующей разбиению Г и выборке ? = (?ь ...,?/у)- Иногда
для краткости будем обозначать сумму Римана просто через ат-
Если функция /(ж) ограничена на множестве G, то для любого
разбиения Г = {Gi}, г = 1,7V, определены числа
mi = inf /(ж), Mi = sup /(ж).
Выражения
ST = ^Mim(G0, 5Т = ^т4ш(С«)	A)
г=1	г=1
называются верхней и нижней суммами Дарбу, соответствующими
разбиению Г.
3. Интеграл Римана как предел интегральной суммы.
Определение. Число / называется пределом интегральной сум-
суммы ат при мелкости разбиения ЦТ) —> 0, если для любого е > 0 най-
найдется S > 0 такое, что для любого разбиения Г с мелкостью l(T) < S
и для любой выборки выполняется неравенство
\I-aT(M,G)\<e.	B)
Если число / есть предел интегральной суммы при ЦТ) —> О,
то будем писать / = lim ат, само число / будем называть
/(Т)Ю
кратным интегралом Римана от функции /(ж) по множеству G, а
функцию /(ж) — интегрируемой на множестве G. Для кратного ин-
интеграла Римана используются следующие обозначения:
Jf(x)dx,	fff(x1,...,xn)dx1...dxn.
n раз

454	Гл. X. Кратные интегралы
В случае п = 2 интеграл называется двойным, а в случае п = 3
тройным. Обозначения для двойного и тройного интеграла:
/У
Упражнение 1. Показать, что неограниченная функция /(ж, г/), рав-
равная	 на множестве Gi = {(ж, г/): у = О, 1 ^ ж < 2} и равная нулю
^ ж
на /? \ G\, интегрируема на множестве G, являющемся объединением кру-
круга {(ж, у): х2 + у2 ^ 1} и множества G\.
Назовем функцию f(x) существенно неограниченной на измери-
измеримом по Жордану множестве G С Rn, если она неограниченна на лю-
любом подмножестве G' С G таком, что m(G \ G') = 0.
Упражнение 2. Доказать, что существенно неограниченная на изме-
измеримом по Жордану множестве G функция /(ж) не будет интегрируемой на
этом множестве.
Указание. См. доказательство теоремы 1, § 34.
В дальнейшем рассматриваются только ограниченные функции.
Теорема 1 (критерий интегрируемости). Для того чтобы огра-
ограниченная функция f(x) была интегрируема на измеримом по Жорда-
Жордану множестве G С /?п, необходимо и достаточно, чтобы для любого
г > 0 нашлось такое S > 0, что для любого разбиения Т с мелкостью
ЦТ) < S разность верхней и нижней сумм Дарбу была меньше е, т. е.
St-st^0 при 1{Т) -+ 0.
Доказательство теоремы 1 ничем не отличается от соответствую-
соответствующего доказательства для определенного интеграла (см. § 34).
Справедлива более сильная теорема.
Теорема 2. Для того чтобы функция /(ж), ограниченная на из-
измеримом по Жордану множестве G G /?п, была интегрируемой на мно-
множестве G, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашлось
такое разбиение Т множества G, что St - st < s.
Сформулируем несколько вспомогательных лемм.
Лемма 1. Если измеримые множества G и Q, принадлежат про-
пространству Rn и т(п) < г, то найдется число S > 0 такое, что для
любого разбиения Т множества G с мелкостью l(T) < S сумма мер
множеств G{, имеющих с П непустое пересечение, будет меньше 4г.
О Поскольку измеримое множество п, мера которого меньше г, со-
содержится в клеточном множестве, мера которого меньше, чем 2г,
а клеточное множество состоит из конечного числа клеток, то до-
достаточно доказать лемму для случая, когда множество п есть клет-

'. Определение и свойства кратного интеграла Римана	455
ка П. Ограничимся случаем клетки в R2.
Построим для прямоугольника П рамку
(рис. 46.1). Можно так подобрать S, что пло-
площадь прямоугольника П«$, получающегося из
П добавлением рамки, не будет превышать 2г.
Если мелкость разбиения множества G меньше
?, то все элементы разбиения Gi имеющие не-
непустое пересечение с П, лежат в прямоугольни-
прямоугольнике П^, и, следовательно, сумма их мер не пре-
превышает меры П«$. •
Доказательство следующих двух лемм предоставляем читателю в
качестве упражнения.
Лемма 2. Если Oi u O2 — непересекающиеся замкнутые мно-
множества в Rn и хотя бы одно из этих двух множеств ограничено, то
Напомним, что расстояние между двумя множествами равно точ-
точной нижней грани расстояний между точками этих двух множеств.
Лемма 3. Если p(Q,i, П2) = ? > О, множество G С fii U П2 и диа-
диаметр множества G меньше S, то либо G С Пь либо G С П2.
Заметим, что диаметр множества равен точной верхней грани рас-
расстояний между точками этого множества.
Переходим к доказательству теоремы 2.
О Необходимость следует из теоремы 1.
Достаточность. Пусть |/(ж)| < М и пусть для произвольного
г > 0 нашлось разбиение Го множества G, для которого разность сумм
Дарбу меньше г/2. Без ограничения общности можно считать, что
То = {Gj, Gj, ..., Gp, G^}, где множества G^ являются компактами, а
сумма мер множеств {Gj,...,G^} не превышает г/(8М). Это следует
из того, что в каждое измеримое множество можно вложить компакт,
сколь угодно мало отличающийся от этого множества по мере (§ 45,
свойство 4, п. 4), а при измельчении разбиения разность сумм Дар-
Дарбу может только уменьшиться. Обозначим объединение множеств G^
через А. В силу леммы 2 существует число S > 0 такое, что расстояние
между любыми двумя компактами G^ превышает S. Пусть Т — про-
произвольное разбиение множества G с мелкостью, не превышающей S. В
силу леммы 3 множества, составляющие это разбиение, можно разде-
разделить на две группы. Множества, входящие в первую группу, целиком
лежат в одном из множеств G^ , а множества, входящие во вторую
группу, имеют непустое пересечение со множеством А. В силу лем-
леммы 1 сумма мер множеств второй группы не превышает г/BМ). Та
часть суммы St — st, которая соответствует первой группе, не пре-
превышает г/2, поскольку при измельчении разбиения разность сумм
Дарбу не увеличивается, а часть, соответствующая второй группе,
не превышает г/2 в силу того, что |/(ж)| < М, и сумма мер множеств

456	Гл. X. Кратные интегралы
второй группы не превышает е/BМ). Таким образом, St — st < s w
функция f(x) интегрируема вследствие теоремы 1. •
4. Классы интегрируемых функций.
Теорема 3. Непрерывная на измеримом по Жордану компакте
функция f(x) интегрируема на этом компакте.
Напомним, что компакт в Rn — это ограниченное и замкнутое
множество и что функция /(ж), непрерывная на компакте, равномер-
равномерно непрерывна на этом компакте (теорема Кантора).
Доказательство теоремы 3 ничем не отличается от соответствую-
соответствующего доказательства теоремы об интегрируемости функции одной пе-
переменной, непрерывной на отрезке. Докажем более общую теорему.
Теорема 4. Пусть функция f(x) ограничена на измеримом ком-
компакте G С Rn и множество ее точек разрыва имеет жорданову меру
нуль. Тогда функция f(x) интегрируема на G.
О Пусть Е есть множество точек разрыва функции /(ж) и т{Е) = 0.
Тогда для любого г > 0 найдется такое открытое измеримое мно-
множество А, что Е С А и
т^<Ш^ где M = sup|/O)|.
На замкнутом ограниченном множестве G \ А функция f(x) не-
непрерывна, а поэтому интегрируема (теорема 3).
Для любого е > 0 найдется разбиение {G2, ...,GW} = Т' множест-
множества G \ А такое, что
ST, - sT> = Y^{Mk - mk) m(Gk) < |.	C)
k=2
Пусть G\ — AnG. Тогда множества {Gi,G2, ...,GW} образуют
разбиение Т множества G, причем
m(d) ^ m(A) < -^.	D)
Используя неравенства C) и D), получаем
N
ST-sT = (Mi - mi) m(Gi) + ^(МЛ - mh) m{Gk) < 2M^ + | = e.
k=2
Так как г — произвольное положительное число, то вследствие тео-
теоремы 2 функция /(ж) интегрируема на множестве G. •
Замечание. В условиях теоремы 4 можно отказаться от требования,
чтобы измеримое множество G было компактом. Согласно теореме 1 из
§ 45 измеримое множество G ограничено и m(dG) = 0. Так как G и dG —
измеримые множества, то замкнутое множество G = GU dG измеримо по
Жордану, т. е. G — измеримый компакт в Rn. Если доопределить функцию
f(x) нулем на dG, то она останется ограниченной, а множество ее точек

'. Определение и свойства кратного интеграла Римана	457
разрыва будет иметь жорданову меру нуль, так как оно содержится во мно-
множестве Е U dG меры нуль. В силу теоремы 4 функция /(ж) интегрируема
на множестве G, а следовательно, и на измеримом подмножестве G.
5. Свойства кратного интеграла. Поскольку все перечислен-
перечисленные свойства доказываются так же, как и соответствующие свойст-
свойства определенного интеграла, то большая часть этих свойств не будет
обосновываться подробными доказательствами.
Свойство 1. Справедливо равенство l-dx = m(G).
G
О Для любого разбиения Т выполнено равенство
N
г=1
Свойство 2. Если f(x) > 0 и f(x) — интегрируемая на измери-
измеримом по Жордану множестве G функция, то f(x) dx ^ 0.
G
Свойство 3. Если /i(x) и fi(x) — интегрируемые на множест-
множестве G функции, а а и C — произвольные вещественные числа, то и
функция afi(x) + /3/2(ж) интегрируема на G, причем
hix)) dx = ajh{x) dx + PJh(x) dx.
Свойство 4. Если fi(x) и /2(x) — интегрируемые на множест-
множестве G функции и fi(x) ^ /2(x) при х G G, то
jh(x)dx^jf2(x)dx.
Свойство 5. Если функция f(x) непрерывна на измеримом связ-
связном компакте G, то найдется точка ? G G такая, что
(G).	E)
О Если m(G) = 0, то равенство E) очевидно. Пусть m(G) > 0,
\i = min/, М = max/. Тогда \i ^ /(ж) ^ М при х G G, \im{G) ^
xeG	xeG
jf{x)
J f(x)dx ^ Mm(G).
G
Следовательно,
G

458	Гл. X. Кратные интегралы
Функция, непрерывная на связном множестве и принимающая на
нем значения \i и М, принимает и все промежуточные значения, а
поэтому существует точка ? G G такая, что
Свойство 6. Если {Gk}, к = 1,т, есть разбиение множества G,
то функция f(x) интегрируема на множестве G в том и только том
случае, когда она интегрируема на каждом из множеств G/,, причем
f
f(x)dx.	F)
k=l G\
Говорят, что формула F) выражает свойство конечной аддитив-
аддитивности интеграла по области интегрирования.
Свойство 7. Произведение интегрируемых на измеримом мно-
множестве G функций есть интегрируемая на множестве G функция.
Свойство 8. Если функция f(x) интегрируема на измеримом
множестве G, то функция \f(x)\ также интегрируема и
\ff(x)dx\^f\f(x)\dx.	G)
G	G
В дальнейшем будем часто пользоваться свойством кратного ин-
интеграла, выраженным в следующей лемме.
Лемма 4. Пусть функция f(x) ограничена на измеримом по Жор-
дану множестве G, а Е есть множество жордановой меры нуль. Если
для любого разбиения Т = {G^}, к = 1,N, отбрасывать в интеграль-
интегральной сумме от слагаемые, соответствующие тем множествам Gi, ко-
которые имеют непустое пересечение с Е, то это не повлияет ни на
существование предела интегральной суммы при мелкости ЦТ) —> О,
ни на величину этого предела.
О Если m(G) = 0, то лемма, очевидно, справедлива, так как для лю-
любого разбиения от = 0. Пусть m(G) > 0 и |/(ж)| ^ со на множес-
множестве G. Для любого г > 0 найдется клеточное множество А такое,
что тп{А) ^ -— и Е С А. Будем множества разбиения Т нумеровать
таким образом, чтобы Gi,...,Gm имели непустое пересечение с А,
a Gm+i, ...,Gjv не пересекались с А. В силу леммы 1 найдется та-
такое S > 0, что при ЦТ) < S выполнено неравенство

'. Определение и свойства кратного интеграла Римана	459
Тогда для любого разбиения Т с мелкостью ЦТ) < S имеем
m	N
ат = а'т + <т?, (TlT = Y^f{^m{Gi\ а'т = ^ /(&)™(С<),
г=1	г=га+1
Следовательно, а'т —> 0 при ЦТ) —>¦ 0. Поэтому ат ^ I при Z(T) —>¦ 0
в том и только том случае, когда ат —>¦ / при Z(T) —>¦ 0. •
6. Достаточное условие измеримости множества в Rn по
Жордану.
Лемма 5. Пусть G — измеримое множество в Rn. Тогда цилиндр
Gh = {(>i,...,xn,xn+i): Оь...,жп) G G, 0 ^ xn+i ^ h)
есть измеримое множество в /?n+1 и m(Gh) — hm(G).
О Так как основание G есть измеримое множество в /?п, то для лю-
любого г > 0 найдутся клеточные множества А и В такие, что
А С G С Б, т(Б) - т(А) < |.
Если на n-мерной клетке П как на основании построить ци-
цилиндр с высотой /i, то получим п + 1-мерную клетку Щ и т(Щ) =
= hm(U.). Следовательно, если на клеточном множестве А построить
цилиндр Ah, то его мера в /?n+1 равна hm(A), причем Ah есть клеточ-
клеточное множество в /?n+1.
Очевидно, что Ah С Gh С Bh и что
т(Ял) - т(Ал) = hm(B) - hm(A) < h j- = e.
Следовательно, цилиндр Gh есть измеримое в /?n+1 множество и
ш(А^) ^ m(Gh) ^ m(Bh), или hm(A) ^ m(Gh) ^ hm(B).
Так как hm(A) ^ hm(G) ^ hm(B), то
в силу произвольности г должно выполняться m(Gh) = hm(G). •
Теорема 5. Пусть G — измеримое множество в Rn и функ-
функция f(x) интегрируема на G. Тогда график функции f(x) имеет
в Rn+1 жорданову меру нуль.
О Так как функция f(x) интегрируема на множестве G, то для лю-
любого г > 0 найдется разбиение Т = {G^}, г = 1, N, множества G такое,
что
N
ST-sT = ^2(Mi - mi)m(Gi) < г.
г=1

460	Гл. X. Кратные интегралы
Построим на каждом из множеств Gi два цилиндра, G^ и G^, с
высотами Mi и rrii соответственно, тогда
А= \J(Gi\Gi)
г=1
есть измеримое множество, содержащее график функции /(ж). Так
как
N	N
т(А) = Y,(m(Gi) ~ m{Gi)) = ^(М< m{Gi) - пц m{Gi)) =
г=1	г=1	N
г=1
то в силу произвольности числа г мера Жордана графика функ-
функции /(ж) в /?n+1 равна нулю. •
Следствие. Если функция f(x) непрерывна на измеримом ком-
компакте в /?п, то ее график в /?n+1 имеет жорданову меру нуль. Если
граница области состоит из конечного объединения таких графиков,
то область измерима по Жордану.
§ 47. Сведение кратных интегралов к повторным
1. Формула сведения двойного интеграла по прямоуголь-
прямоугольнику к повторному интегралу.
Теорема 1. Пусть:
а)	функция f(x,y) интегрируема в прямоугольнике П = {(х,у):
а^х О, с ^ у ^ d};
d
б)	интеграл f(x,y)dy существует для любого х G [а, Ь].
с
d
Тогда f(x,y)dy есть интегрируемая функция х на отрезке [а, Ь]
с
и справедлива следующая формула:
Ъ d
JJ f(x,y)dxdy = J dxj f(x,y)dy.	A)
П	ас
О Возьмем произвольные разбиения отрезков [а, Ь] и [c,d\ точками
хо = а < xi < ... < хп = b и уо = с < yi < ... < ут = d. Если 7Г1,...,тгп
и 7Г]_,..., тг^ — соответствующие промежутки, образующие разбие-
п т
ния [а, Ь] и [с, б?], то П = U (J П^-, где П^- = {(х,у): х е щ, у G тг'}.
г=1j=l

§4?- Сведение кратных интегралов к повторным	461
Положим
М^ = sup f(x,y), mij = inf f(x,y).
d
Так как f(x,y)dy существует для любого х G [а, 6], то при х G тг^
справедливы неравенства
Уз
mij Ayj ^ j /(ж, ^/) dy ^ М^- А%, где Ayj = ^ - ^_ь
Vj-l
Суммируя эти неравенства по индексу j, получаем
т	d	m
Y, m^ AVj <: Jf(x, y)dy^Y, MH АУз ¦	B)
J —1	с	J —1
Введем следующие обозначения:
d
F(x) = [f(x,y)dy, Mi = sup F(x), пи = inf F(x).
Тогда из B) следует, что
0 ^ Mi - mi ^ ^(Mij - m^) Ay j.	D)
j=i
Умножая неравенство D) на Axi и суммируя по г от 1 до п, получаем
n	n m
О ^ 5Z(Mi - mi)Axi ^ ^ J2(Mii ~ mi^ ш(%) =
г=1	г=1 j=l
= 5т(/,П)-ят(/.П)->0 при Z(T)-K),
так как функция f(x,y) интегрируема на прямоугольнике П. Но тог-
п
да и 2_^{Mi — rrii)Axi —>- 0 при max |Аж^| —>- 0 и, следовательно, в силу
г=1
критерия интегрируемости (§ 34) функция F(x) интегрируема на от-
отрезке [а, 6], т. е. повторный интеграл
I F{x) dx = dx /(ж, ^
a	a	c
существует. Покажем, что он равен двойному интегралу.

462	Гл. X. Кратные интегралы
Интегрируя неравенство B), получаем
т	%i	d	m
f(x, y)dy
Проведем суммирование по г от 1 до п. Получаем
Ъ d
sT ^ J dxj f(x,y)dy ^ 5Т.
Так как
п
а разность 5т — «т может быть сделана сколь угодно малой, то
Ь d
fff(x> У) dxdy = J dxjf(x, у) dy. •
П	ас
Следствие 1. Пусть существует f(x,y)dxdy, при каждом
d	п
х G [а, Ь] существует f(x,y)dy и при каждом у G [c,d] существует
Ъ	с
f(x,y)dx. Тогда справедлива формула
а	Ь d	d b
fff(x>У) dxdy = Jdxjf(x,y) dy = Jdyjf(x,y) dx.	E)
Следствие 2. Если функция f(x,y) непрерывна в прямоугольни-
прямоугольнике П, то выполнены условия следствия 1 и справедлива формула E).
Если функция ф(х) интегрируема на отрезке [а, 6], то формула E)
остается справедливой при замене функции f(x,y) на гр(х)/(х,у).
2. Сведение двойного интеграла по элементарной области
к повторному. Пусть ср(х) и ф(х) — непрерывные на отрезке [а, Ь]
функции и (р(х) < ф(х) при х е (а,Ь). Область (рис. 47.1)
п = {(ж, у): ф) < у < ф(х), а<х < Ь}	F)
будем называть элементарной относительно оси у. Так как грани-
граница дп состоит из графиков непрерывных функций, то п — измеримая
по Жордану область.
Теорема 2. Пусть п — элементарная относительно оси у об-
область, функция f(x,y) интегрируема на П, где П = П U <9П, и при лю-
бом х G [а, Ъ] существует I f(x,y)dy. Тогда справедлива следующая

§4?- Сведение кратных интегралов к повторным
463
формула:
О Пусть
f[f(z,y)dxdy = fdx Г f(x,y)dy.
^	a cp(x)
c— min Ых), d — max ф(х).
xe[a,b]	xe[a,b]
G)
Область fl (рис. 47.2) лежит в прямоугольнике П = [a,b] x [c,d\. По-
Положим
f{x, у), (х,у)еп,
F(x,y) =
О,
(х,у)еп\п.
(8)
Так как функция интегрируема на п и на множестве П \ П, то
существует двойной интеграл F(x,y)dxdy (свойство б, § 46, п. 5).
О	а	Ъ х
Рис. 47.1
Ь х
Рис. 47.2
Аналогично из существования при любом х G [а, Ь] интегралов
<р(х)
I F(x,y)dy, / F(x,y)dy и / F(x,y)dy следует, что при любом
d
х G [а, Ъ] существует интеграл F(x,y)dy.
с
Таким образом, выполнены все условия теоремы 1. Поэтому
Ъ d
JjF{x, У) dx dy = JdxjF(x, y) dy.
П	ас
Подставляя сюда выражение (8) для функции F(x,y), получаем фор-
формулу G). •	_
Следствие. Для функции /(ж,у), непрерывной на П, справедлива
формула G).

464
Гл. X. Кратные интегралы
Пример 1. Вычислить интеграл / х2 dxdy по области G = {(х,у):
G
— 1 < х < 1, х2 < у < 1}, изображенной на рис. 47.3.
Л Применяя формулу G), получаем
11	1
x2dxdy = dx x2 dy = x2(l — x2)dx =
/
0
Если область интегрирования не является элементарной
тельно оси у, то иногда удается раз-
разбить ее на конечное число облас-
областей, элементарных относительно оси у.
относи-
относиу
У
-1
О
х 1 х
Рис. 47.3
Рис. 47.4
Пример 2. Пусть G есть область, ограниченная окружностями
х2 + у2 = 4 и х2 — 2х + у2 = 0 (рис. 47.4). Свести интеграл
JJf(x,y)dxdy
к повторному.
Л Область G осью у разбивается на три элементарных относительно
оси у области. Поэтому
О \А-ж2	1 \А-ж2
fff(x,y)dxdy=fdx Г f(x,y)dy+fdx Г f(x,y)dy +
G	-1 _^Г7~Л	0 Л/о^_^2
"У^ У f(x,y)dy.
Можно, по аналогии с областью, элементарной относительно оси у,
определить область, элементарную относительно оси х. Пусть функ-
функции а (у) и /3(у) непрерывны на [c,d] и а (у) < /3(у) при с < у < d.

§4?- Сведение кратных интегралов к повторным
465
Область
п{(х, у): а(у) < ж < /3(у), с < у < d}
будем называть элементарной относительно оси ж (рис. 47.5).
Если функция f(x,y) непрерывна в замыкании области П, элемен-
элементарной относительно оси ж, то аналогично G) получаем следующую
формулу:
УУ70, У) dxdy = J dy J /(ж, у) i
Если область П элементарна и относительно оси ж, и относитель-
относительно оси у, то двойной интеграл по этой области от непрерывной на п
у=х
Рис. 47.6
О	х	О
Рис. 47.5
функции f(x,y) может быть выражен двумя способами через повтор-
повторные интегралы:
Ъ ф(х)	d Р(у)
jjf(xi У) dx dy = Jdx J /(ж, у) dy = J dy J /(ж, у) dx.	(9)
П	a <p(x)	c a(y)
Пример З. Вычислить повторный интеграл
тг/2 тг/2 #
/ = dy 	dx.
о
X
У
Л Интеграл / равен двойному интегралу от функции f(x,y) =
по области П, изображенной на рис. 47.6. Эта область элементарна и
относительно оси ж, и относительно оси у.
Пользуясь формулой (9), получаем
тг/2 тг/2
тг/2
/=
тг/2
тг/2
тг/2
= / 	( dy )dx = / 	ж dx — \ sin xdx = 1. А
J х \J * I	J x	J
0	40 7	0	0
Теорема З. Пусть функции (р(х) и ф(х) непрерывны на отрез-
отрезке [а, 6] I/ (р(ж) < ^(ж) npi/ а < х < b, а функция f(x,y) непрерывна в

466	Гл. X. Кратные интегралы
замыкании области П = {(х,у): а < ж < b, ip(x) < у < ф(х)}. Тогда
функция
ф()
ф(х)
Ф(х) = J f(x,y)dy
непрерывна на отрезке [а,Ь].
О а) Пусть сначала ip(x) = с, ф(х) = d, где end — постоянные,
а функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике П = [a, b] x [с, d\. В
силу теоремы Кантора /(ж,?/) равномерно непрерывна на П. Поэтому
для любого г > 0 существует S > 0 такое, что для любого 2/ ? [с, d] и
любых ж G [а, 6] и ж + Аж G [а, 6] при | Аж| < S справедливо неравенство
|/(ж + Аж, у) - /(ж, у)\ < -?—.
CL С
Предполагая, что |Аж| < S, получаем
d
|Ф(ж + Аж) - Ф(ж)| = \J(f(x + Аж, у) - /(ж, у)) dy
cd
^ f\f(x + Аж, у) - /(ж, y)\dy< -r^- (d-c)= г.
j	d с
с
Следовательно, функция Ф(ж) непрерывна на отрезке [а, Ь].
б) Пусть теперь ip(x) и ф(х) — произвольные непрерывные на
отрезке [а, Ь] функции и (р(х) < ф(х) при а < ж < Ъ.
Рассмотрим функцию
F(x,y) =
f(x,y)	при (х,у)еп]
f(x,(p(x)) при (x,y)eili, где
fii = {(ж, у): а^х ^Ь, у ^ ^р(х)};
/(х,ф(х)) при (x,y)eU2, где
п2 = {(ж, у): а^х ^Ь, у ^ ф(х)}.
Покажем, что функция F(x,y) непрерывна в полосе Q = {(х,у):
а ^ ж ^ Ь, у G /?}. Достаточно показать, что функция F(x,y) непре-
непрерывна по множествам П, Qi и ^2 (см. упр. 2, § 25), так как Q =
= П U ui U П2- На п функция F(x,y) совпадает с f(x,y) и непрерыв-
непрерывна по условию теоремы. Функции /(ж,(^(ж)) и /(х,ф(х)) непрерывны
на отрезке [а, Ь] как суперпозиции непрерывных функций (см. упр. 1,
§ 25). Покажем, что функция F(x,y) непрерывна в области Пь Пусть
произвольная последовательность точек (xk,yk) ? ^i сходится к точ-
точке (хо,уо) ? ^ь Тогда
lim F(xk,yk) = lim F(xk,<p(xk)) = /(жо,^(жо)) = F(xo,yo)
k—>-oo	к—>-oo

§4?- Сведение кратных интегралов к повторным	467
и, следовательно, функция F(x,y) непрерывна на Qi. Аналогично по-
показывается, что функция F(x,y) непрерывна на множестве Г^-
Таким образом, функция F(x,y) непрерывна в прямоугольни-
прямоугольнике П = [а, Ь] х [с, б?], где с = min (p(x), a d = max ф(х), и поэтому
функция F(x,y)dy непрерывна на отрезке [а, Ь].
с
Пользуясь аддитивностью интеграла относительно отрезка интег-
интегрирования, получаем, что функция Ф(х) представима в виде суммы
непрерывных функций:
гр(х)	гр(х)	d
Ф(х) = J f(x,y)dy= J F(x,y)dy = jF(x,y)dy-
()	ч>(х)	с
)	d	d
F(x,y)dy- J F(x,y)dy = JF(x,y)dy-
J
<р(х)
ф(х)
Упражнение 1. Пусть функция f(x,y) непрерывна в прямоугольни-
прямоугольнике К = {(ж, у): а ^ х ^ Ъ, с ^ у ^ с?}, а функция ip(x) интегрируема на
отрезке [а, Ь]. Доказать, что функция
ъ
= Jф)f(x,y)dx
а
непрерывна на отрезке [c,d].
3. Сведение тройных интегралов к повторным. Область
п е R3 называется элементарной относительно оси z, если
u = {(x,y,z): (x,y) eGc /?2, ф,у) <г<ф(х,у)},
где G — ограниченная область в /?2, а функции ср(х,у) и ф(х,у) не-
непрерывны на G, где G — замыкание области G.
Теорема 4. Если функция f(x,y,z) непрерывна на П, где область
п элементарна относительно оси z, то
ip(x,y)
ffff(x,y,z)dxdydz=ffdxdy J f(x,y,z)dz.	A0)
П	G	<р(х,у)
О Доказательство аналогично доказательству теоремы 2 для двой-
двойных интегралов. •
Пример 4. Вычислить тройной интеграл lllzdxdydz по об-
G
ласти П, ограниченной плоскостями х + у + z = 1, ж = 0, у = 0,

468
Гл. X. Кратные интегралы
z = 0 (рис. 47.7).
Л Область п = {(ж, y,z): 0 < z < 1 - х -у, 0<у <1-х, 0 < ж < 1}
элементарна относительно оси z. Пусть G есть область на плос-
плоскости (ж,?/), ограниченная прямыми х + у = 1 и ж = О, у = 0.
x-\-y-\-z=l
Рис. 47.7
Рис. 47.8
Очевидно, что область G элементарна относительно оси у. Применяя
теоремы 4 и 2, получаем
1-х —у
z dx dy dz = dx dy / zdz = - / / A — x — yJ dxdy =
Q	GOG
1 1-х	1
= \ fdx I (y + x - If dy = i j\y + x - If
1-Х
dx =
о о
о 24*
о
Пример 5. Свести трехкратный интеграл
/= fdx Г dy f f(z)dz
к однократному, если f(z) — непрерывная на отрезке [0,1] функция.
Л Интеграл / равен тройному интегралу
JJJf(z)dxdydz
по области П, ограниченной параболоидом z = х2 + у2 и плоскостью
z = 1 (рис. 47.8). Область п элементарна относительно оси у,
- х2 < у
- ж2,
где G = {(ж, z): -«/г < х < y/z, 0 < z < 1}.

§4?- Сведение кратных интегралов к повторным	469
Сводя тройной интеграл по области П к трехкратному, получаем
1	\/z	\/z-x2	1	\/z	1
I = Jf(z) dz J dx I dy = 4Jf(z) dzJVz-хЧх = Trjzf(z) dz. A
0	— л/г —y/z — x2	0	0	0
Теорема 1 может быть распространена и на n-кратные интегралы.
Область п С /?n+1 называется элементарной относительно
оси xn+i, если
О ^^ 4 1* • A*-\ 1* \ (^- (-г ( R /л[т*1 т* ] <^ т* 1 <^ ihA* 1 1* W
U L 	 | «Ху •	I db J^ • • • • • «Ху -Г1 у ^_ \J V	 I \ • \Ls \ db J^ • • • • • db Jl J 	 db Jl J^ 	 \L/ \ db J^ • • • • • db Jl J | •
где G — ограниченная область в Rn и у?(ж), ф(х) — непрерывные
на G функции.
Теорема 5. Если П — область, элементарная относительно
оси xn+i, a f(xi,...,xn) — непрерывная функция на П, то справед-
справедлива следующая формула:
J f(xu...,xn)dx1...dxn+1 =
= Jdx1...dxn j f(xi,...,xn+1)dxn+1. A1)
G
Пример б. Найти в Rn меру симплекса
S? = {(жь...,жп): Xl + ... + жп <ft, Xi >0, i = T~n}. A2)
Л При /i = 1 будем симплекс A2) называть стандартным и обозна-
обозначать через Sn. Симплекс A2) получается из стандартного симплек-
симплекса Sn при помощи преобразования подобия:
Thx = {(y1,...,yn): yi=hxu ..., yn = hxn}.
Как следует из результата упр. 2, § 45, при преобразовании подобия
мера изменяется в hn раз, так что
/inmEn).	A3)
Представим теперь стандартный симплекс Sn как область, эле-
элементарную относительно оси хп. Тогда
5п = {(жь...,жп): (жь...,жп_1) eS11, 0<жп < 1-xi -...-xn_i}.
Применяя формулу A1), получаем
(Sn) = / dx\...dxn = / dx\...dxn-\	I	dxn =
= /<ixi / dx2 ...	/	<ixn. A4)
m()
sn

470	Гл. X. Кратные интегралы
Внутренний интеграл в формуле A4) равен мере шE{1Гж1) сим-
симплекса SiZx-l- Применяя A3) для ее вычисления, находим
1
m(Sn) =
о
l
1) /A - Ж1)"-1 dx! = mE" 1} ¦ A5)
J	71
О
Так как S1 есть отрезок единичной длины, то из формулы A5) и
формулы A3) по индукции получаем
mE") = l, m{Snh) = ^. A	A6)
Упражнение 1. Показать, что при п = 3 и п = 2 формула A6) дает
объем тетраэдра и площадь треугольника.
§ 48. Формула замены переменных в кратном интеграле
1. Некоторые свойства гладких отображений. Пусть G —
ограниченная область в /?n, a F: G —> Rn есть взаимно однозначное
и непрерывно дифференцируемое отображение.
Аналитически отображение F: G —> Rn задается при помощи не-
непрерывно дифференцируемых функций
Будем считать выполненными следующие предположения:
а)	производные dcpi/duj ограничены в G;
б)	производные dtfi/duj равномерно непрерывны в G;
в)	якобиан отображения удовлетворяет при и G G условию
\J(u)\ ^a>0.
Напомним, что якобиан J(u) есть определитель матрицы Якоби
j
Отображение, удовлетворяющее условиям а)-в), обладает еще и
следующими свойствами.
Свойство 1. Если Г С G есть непрерывно дифференцируемая кри-
кривая, то ее образ Г' = F(T) есть непрерывно дифференцируемая кривая.
Свойство 2. Если П — область и П С G, то ее образ П' = F(Q)
будет областью. Образ границы п есть граница п'.
Свойство 1 есть простое следствие правила нахождения производ-
производной сложной функции, а свойство 2 есть следствие теоремы о неявных
функциях и было доказано в § 28.

'. Формула замены переменных в кратном интеграле
471
2. Лемма о геометрическом смысле модуля якобиана
отображения.
Лемма 1. Пусть число h > 0, а П — замкнутый квадрат в R2 с
вершинами в точках А(и0, v0), В(щ + ft, v0), С(щ + h,vo + h),
D(uojVo + h). Тогда образ квадрата П' = F(U) при отображении F:
G ->• /?2, обладающем свойствами а)-в), описанными в п. 1, является
измеримой по Жордану областью и
т(П') _
h2
Нт
A)
т(П')
/г —>¦ 0 стремится к нулю рав-
причем разность
номерно по (uo,vo) на множестве G, га. е. для любого е > 0 найдется
число S > 0 такое, что при любом h < 8 и для любого квадрата П С G
со стороной длины h выполнено неравенство
h2
< е.	B)
Доказательство леммы 1 не очень просто и приведено в [1, § 82].
Здесь же поясним геометрический смысл этой леммы (рис. 48.1).
vo+h
^о
\
D
т
ж
А
ъ
Hi
Щ
ш
ГУ
	¦
в
uo+h
У/
———-—
^ с
Рис. 48.
\
___——
//,
)
L
44/)
7/п////
щ
-
С
7/ D
В'
X
О Покажем, что П' = ^(П) есть измеримая область. Стороны квад-
квадрата П являются отрезками. Поэтому их образы при отображении F:
G ->• R2 будут гладкими кривыми. Так как образ границы есть грани-
граница образа, то dli' есть кусочно гладкая кривая, а поэтому т(дИ') =
= 0 (см. упр. 3, § 45). Следовательно, П' есть измеримое множест-
множество (см. теорему I, § 45). Будем в дальнейшем П' = F(U) называть
криволинейным параллелограммом.
Если рассматривать точки Q(u,v), достаточно близкие к вершине
квадрата А(щ,Уо), то отображение F: G —> R2 можно приближенно
задать как аффинное, т. е.
х = хо + пц(и - щ) + ai2(v — у0),
У = Уо + ci2i(u — uq) + a22(v - vq),

472	Гл. X. Кратные интегралы
где
хо = ip(uo,vo), уо=гр{ио,Уо), an =	,
o)	dip(uovo)	dip(uovo)
dv	аи	av
Формулы (З) получаются, если разложить функции (p(u,v) и
ip(u,v), задающие отображение F, по формуле Тейлора в окрестнос-
окрестности точки A(uo,vo) и отбросить члены, являющиеся o(p(A,Q)), когда
расстояние р(А, Q) между точками А и Q стремится к нулю.
Будем аффинное отображение, определяемое формулами C),
обозначать F: R2 ->• R2. Как известно из курса аналитической гео-
геометрии, образ квадрата П при аффинном отображении есть парал-
параллелограмм П = F(Ii), площадь (мера) которого ттг(П) равна площади
квадрата ттг(П) = h2, умноженной на модуль определителя аффинного
отображения, т. е. ттг(П) = h2\ det \\a>ij\\ .
Воспользовавшись выражениями C) для коэффициентов, получа-
получаем, что	_
ш(П) , ,
—^- = |det||aij|| I
Идея доказательства леммы 1 основана на том, что при замене
криволинейного параллелограмма И' на параллелограмм П (рис. 48.1)
площадь изменится на величину, являющуюся o(h2) при h ->• 0.
Доказательство обобщается на Rn. •
3. Формула замены переменной в кратном интеграле.
Теорема 1. Пусть отображение F: п ->• Rn (где п С Rn — от-
открытое множество) является взаимно однозначным и удовлетворяет
условиям а)-в) п. 1, a G — измеримый компакт с кусочно гладкой
границей, лежащий во множестве п. Тогда если функция f(x) непре-
непрерывна на множестве G' = F(G), то справедлива следующая формула
замены переменных в кратном интеграле:
j f(x)dx = jf(vi(u),...,Vn(u))\J(u)\du.	D)
G'	G
О Рассмотрим плоский случай. Заметим, что в силу свойств непре-
непрерывных функций образ G' компакта G при непрерывном и взаимно
однозначном отображении F является компактом, а в силу
свойств 1, 2 отображения F граница компакта G' является кусочно
гладкой кривой. Так как кусочно гладкая кривая имеет меру нуль, то
компакт G' измерим. Оба интеграла в формуле D) существуют как
интегралы от функций, непрерывных на компактах.
Поскольку компакт G лежит в открытом множестве П, то границы
этих множеств не пересекаются. Так как граница любого множества
замкнута и граница ограниченного множества ограничена, то в силу
леммы 2, § 46 расстояние между 8G и дп есть положительное число S.

Формула замены переменных в кратном интеграле	473
Пусть П есть замкнутый квадрат, содержащий компакт G. Если
разбить стороны квадрата П на равные части длины h < ?, то и сам
квадрат П разобьется на квадратные клетки с площадью h2. Разбие-
Разбиение квадрата П порождает разбиение Т компакта G. Если малый квад-
квадрат со стороной h целиком лежит внутри компакта G, то он является
элементом разбиения Т, а если малый квадрат содержит граничные
точки G, то соответствующим элементом разбиения является пере-
пересечение этого квадрата с компактом G. Отображение F порождает
разбиение Т' компакта G' = F(G), причем элементами разбиения Т'
являются образы элементов разбиения Т. Из леммы 4 следует, что
при написании интегральных сумм можно учитывать только слагае-
слагаемые, соответствующие целым квадратам и их образам при отображе-
отображении F. Из равномерной непрерывности отображения F следует, что
мелкость разбиения Т' стремится к нулю, когда стремится к нулю
мелкость разбиения Т.
Если малые квадраты Щ, ...,Щг лежат внутри компакта G, то
их образы П]_,..., Iljy лежат внутри G''. Пусть (щ,Уг) — координаты
точки, лежащей в левом нижнем углу квадрата П^, a (ж^З/г) — образ
этой точки при отображении F.
Запишем интегралы, входящие в формулу D), как пределы интег-
интегральных сумм:
IS
TV
f(x,y)dxdy = lim V"/(xi,^)m(II-),
h—>0 ^——'
G	N
Для доказательства формулы D) достаточно показать, что раз-
разность этих интегральных сумм стремится к нулю при h —> 0. В силу
леммы 1
|т(Щ) — | J(ui,Vi)\m(Iii)\ ^ a(h)m(Iii), lim a(h) = 0.
Принимая во внимание, что (р(щ, vi) = ж^, ip(ui,Vi) = у^ |/(ж,2/)| <
< М, получаем оценку для разности интегральных сумм
N	N
г=1	г=1
N
г=1
^ Ma(h)
))№,««)!
TV
г=1
^ Ma(h)m(G),

474
Гл. X. Кратные интегралы
из которой следует, что эта разность стремится к нулю при h —> 0. •
Замечание. Нарушение условия взаимной однозначности на мно-
множестве меры нуль и обращение якобиана отображения в нуль на множестве
меры нуль не влияют на справедливость формулы D) замены переменных
в кратном интеграле. Такое множество Е меры нуль всегда можно накрыть
клеточным множеством А С G сколь угодно малой меры, разбивающимся
на квадраты. Из доказательства теоремы следует, что при отображении
F: G —Ь Rn мера множества А возрастет не более чем в се раз. Поэтому
найдутся такие постоянные с\ и С2, что
\Jf(x)dx
где Af = F(A),
(u),..., (pn(u))\J(u)\ du
F)
G)
На множестве же G \ А выполнены все условия теоремы и формула
замены переменной справедлива. Так как интегралы / /(ж) dx и
G'
,..., <pn(u))\J(u)\du
отличаются на произвольно малое число в силу F) и G), то они совпадают.
Пример 1. Вычислить интеграл у3 dx dy по области П, ограни-
у=2х2
у=х'
О
Рис. 48.2
ченной двумя параболами, у = ж2, у — 2ж2, и двумя гиперболами,
ху — \, ху — 2 (рис. 48.2).
Л Рассмотрим непрерывно дифференцируемое при х ^ 0 отображе-
отображение следующего вида:
?=4, *7 = Ж2/.	(8)
Образом П при отображении (8) является квадрат и = {(?,77): I ^
^?^2, 1^?7^ 2}. Отображение (8) взаимно однозначно: уравне-

Формула замены переменных в кратном интеграле
475
ния (8) однозначно разрешимы относительно х и у,
Найдем якобиан отображения (8). Используя формулы (9), полу-
получаем
дх дх
J =
ду_ ду_
д^ дц
-I^-4/з i/з Ia/з -2/3
3	'	3 '
Так как у3 = t^rf, то делая в интеграле y3dxdy замену пере-
Q
менных (8), получаем
И у3 dx dy =
4. Использование полярных координат для вычисления
двойных интегралов. Из курса аналитической геометрии извест-
известно, что декартовы и полярные координаты точки плоскости связаны
следующими соотношениями:
A0)
0, 0
< 2тг,
Рис. 48.3
где г = д/ж2 + 2/2 есть полярный радиус, а
<р — полярный угол (рис. 48.3). Геометри-
Геометрическое место точек, для которых г = const,
есть окружность радиуса г с центром в
точке О. Геометрическое место точек, для
которых полярный угол if = const, есть
луч, выходящий из точки О в направлении
точки Р. Точка Р есть пересечение окруж-
окружности г = const и луча ср = const. Для точ-
точки О полярный радиус равен нулю, а полярный угол ip не определен.
Введем в рассмотрение вспомогательную плоскость ЕГ(р, в кото-
которой г и if являются декартовыми координатами, и рассмотрим в этой
плоскости полуполосу Т, определяемую неравенствами (рис. 48.4)
г > 0, 0 ^ if < 2тг.	A1)
Тогда формулы A0) определяют непрерывно дифференцируемое
взаимно однозначное отображение F: Т —> Еху, где Еху есть плос-

476
Гл. X. Кратные интегралы
кость Еху, проколотая в точке О (рис. 48.4). Взаимную однозначность
отображения проще всего проверить геометрически. Каждая точка Р
О
Рис. 48.4
проколотой плоскости Ёху однозначно определяется как пересечение
окружности г = го и луча ip = ip0. Поэтому у точки Р(х, у) есть един-
единственный прообраз Q(ro,^o) B полуполосе Т.
Якобиан отображения A0) равен г. Действительно,
дх дх
cos if —r sin if
jf =
Sin if Г COS if
= r.
dr dip
ду_ ду_
dr dip
Якобиан не обращается в нуль в полуполосе Т.
Если к полуполосе Т присоединить отрезок г = 0, 0 ^ ср < 2тг, то
получим полуполосу
Ti = {(r,y>): О 0, 0^ip<27r}.
При отображении х = г cos ip, у = г simp полуполоса Т\ — прооб-
прообраз всей плоскости Еху, но взаимная однозначность отображения и
условие Jf ф® будут нарушены на отрезке г = 0, 0 ^ ip < 2тг, плоская
мера Жордана которого равна нулю.
Пусть область п С Еху. Ее прообраз при отображении F : х =
= г cos <?, ^/ = г sin (р, г ^ 0, 0 ^ ip < 2тг, есть некоторая область и; С Т\.
Если область П не содержит точки О (начало декартовой системы
координат), то отображение ио на п является взаимно однозначным
и якобиан отображения не обращается в нуль в области и. Если же
область П содержит начало координат О, то взаимная однозначность
отображения и условие Jp ф 0 будут нарушены на множестве жорда-
новой меры нуль, что не влияет на справедливость формулы замены
переменных в двойном интеграле (см. замечание в конце п. 3). Поэ-
Поэтому справедлива формула
f(x,y)dxdy= f (r cos cp, r sin cp)rdr dcp,	A2)
дающая выражение для двойного интеграла в полярных координатах.
Функция f(x,y) считается непрерывной на измеримом множестве П.

. Формула замены переменных в кратном интеграле
477
Пусть область П в плоскости Еху ограничена двумя лучами, ip = a
и if = /3, а < C, и двумя кривыми, уравнения которых в полярных ко-
координатах имеют следующий вид: г = Ri((f), r = ДгОр)- Функции
Ri(tp) и it^(^) непрерывны на отрезке [а,/3] и Ri(tp) < R2(y) ПРИ ^ <
< if < C (рис. 48.5). Тогда область о;, являющаяся прообразом облас-
х О
Рис. 48.5
Ф2(г
О
О
Рис. 48.6
Р	(
f(x,y)dxdy=dcp /
тиОв плоскости ??Г??, будет элементарной относительно оси г и двой-
двойной интеграл A2) по теореме 2, § 47 сведется к повторному:
A3)
Если область П в плоскости Еху ограничена двумя концентричес-
концентрическими окружностями, г = аиг = 6, а < Ь, и двумя непрерывными
кривыми, уравнения которых в полярных координатах имеют сле-
следующий вид: if = Ф].(г), <р = Фг^)? Ф1(^) < Фг(^) ПРИ а < г < 6, то
прообраз области П будет элементарной относительно оси if областью
в плоскости ЕГ(р (рис. 48.6). Сводя двойной интеграл в формуле A2)
к повторному, получаем
Ъ $20)
f(x,y)dxdy= dr f (r cos ip, r sin ip) r dip.	A4)
Q	а ф1(г)

478
Гл. X. Кратные интегралы
Области более сложного вида в плоскости Еху нужно при помощи
лучей if = const и концентрических окружностей г = const разбивать
на простейшие области рассмотренного выше типа.
Пример 2. Для полукруга п: у ^ О, х2 + у2 ^ а2 вычислить
момент инерции относительно центра (рис. 48.7).
Л Как известно из механики,
/0 =
= JJ(x2+y2)dxdy.
A5)
В полярных координатах полукруг П может быть задан неравен-
ствами
Рис. 48.8
г. Применяя формулу A3), получаем
тг а	^
/о = / а<? / г г аг = ——.
J J	4
о о
Пример 3. Пусть п есть область, ограниченная параболой у =
= х2 и окружностью ж2 + 2/2 = 1. Свести к определенному интегралу
следующий двойной интеграл:
/ / /(лА2 + У2) dx dy.
A6)
Л Область П изображена на рис. 48.8. Уравнение параболы у = х2

'. Формула замены переменных в кратном интеграле
479
в полярных координатах имеет вид
_ sin (р _ sin (p
cos2 (p 1 — sin2 cp
Решая это уравнение относительно ср, получаем, что область П в по-
полярных координатах задается следующими неравенствами:
2г	.	2г
О < г < 1, arcsin —
1 + V1 + 4r2
Применяя формулу A4), получаем
< тг — arcsm ¦
тг—arcsm -
1	l + Vl+4r
JJf(x2 +y2)dxdy = Jdr	J	f(r)rdtp =
— /rf (г) (тг —
J J WV
2 arcsin
Пример 4. Область п является внутренностью треугольника,
изображенного на рис. 48.9. В ин-
интеграле f(x,y)dxdy перейти
к полярным координатам и рас-
расставить пределы интегрирования
двумя возможными способами.
Л Треугольная область П ог-
ограничена прямыми у = ж, у —
— —х и у — 1. В полярных коор-
в
О
Рис. 48.9
динатах уравнения этих прямых
имеют следующий вид: ip = —,
if = —- и rsm(p = 1. Область п можно задать при помощи неравенств
4 ^ ^ ^ 4 '
Применяя формулу A3), получаем
Зтг/4 1/ sin cp
f(x,y)dxdy= d(p	f(r cos cp, r sin ф) г dr.
fi	тг/4	0
Чтобы расставить пределы интегрирования в другом порядке, ра-
разобьем область П дугой окружности г = 1 на круговой сектор OCD и
два криволинейных треугольника, САЕ и BED. Каждая из этих трех

480
Гл. X. Кратные интегралы
областей будет уже элементарной относительно оси ср, и формула A4)
может быть применена к этим областям. Получаем
1 Зтг/4
f(x,y)dxdy= dr f(r cos(p, r sin у?) г d(p +
П	0 тг/4
л/2 arcsin 1/г
+ dr / f(r cos(p, r sin у?) г dcp +
1	тг/4
V2	Зтг/4
+ dr / /(г cos(p, r sin у?) г dcp. A
1 тг—arcsinl/r
Пример 5. Найти объем тела, вырезаемого из шара х2 + у2 +
+ z2 ^ 1 цилиндром х2 -\- у2 = х (рис. 48.10).
Л Обозначим через П плоскую
область, являющуюся внутрен-
внутренностью круга х2 + у2 ^ ж. Тело G,
объем которого предлагается вы-
вычислить, есть трехмерная область,
элементарная относительно оси z:
Рис. 48.10
-у/1 - х2 - у2 < z < у/1 - х2 - у2}.
Объем области G можно выра-
зить через двойной интеграл, при-
применяя формулу сведения тройного
интеграла к повторным:
m(G) =
(G) = [И dx dy dz = Hdx dy /" dz = 2 H^l-x2-y2dx dy.
A7)
Область ft в полярных координатах задается неравенствами	<
if < —, 0 < г < cos if. Применяя для вычисления интеграла A7)
формулу A3), получаем, что
тг/2 cos cp
тг/2
(G)=2 f dtp f ry/l ~ r2 dr = - I |A - r2K/2
mlU) =
-7Г/2
-7Г/2
7Г/2
COS (,
О
dip =
4 /* /i • з
= -J(l-sm
_ 2тг _ 8

Формула замены переменных в кратном интеграле
481
5. Использование цилиндрических и сферических коор-
координат для вычисления тройных интегралов. Пусть в трехмер-
трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система коорди-
координат Oxyz (рис. 48.11). Задавая положение проекции Р' точки Р на
плоскость Оху при помощи полярных координат г, ср, можно положе-
положение точки Р задать при помощи трех чисел (г, <?,?), которые
называются цилиндрическими координата-
координатами точки Р. Цилиндрические координаты
связаны с декартовыми координатами сле-
следующими формулами:
О
х = г cos if, у = г sin ip, z =
^ (р < 2тг, г ^ О, -оо < С <
A8)
Геометрическое место точек простран-
пространства Exyz, для которых г = const, есть
прямой круговой цилиндр радиуса г с
осью Oz. На плоскостях, параллельных
плоскости Оху, координата ? = const. На
полуплоскостях, проходящих через ось Oz,	Рис- 48-11
координата ip = const.
Введем вспомогательное пространство ЕГ(р?, в котором г, <р, С
являются декартовыми координатами, и рассмотрим в пространст-
пространстве ErifQ множество
Г = {(г, (р,С): г ^ 0, 0 ^ у? < 2тг, -оо < С < +оо}.
A9)
Отображение F: Т —У Exyz, определяемое формулами A8), явля-
является непрерывно дифференцируемым. Якобиан отображения JF = г.
Взаимная однозначность отображения и условие неравенства нулю
якобиана нарушаются только на множестве А = {(г, ср, ?): г = 0, 0 ^
^ у? < 2тг, С G /?}, образом которого при отображении A8) является
ось Oz. Пересечение любого ограниченного множества с множест-
множеством А есть некоторое ограниченное линейное множество, и поэтому
мера Жордана пересечения равна нулю.
Если G С Exyz есть область, измеримая по Жордану, a g — ее
прообраз при отображении A8), то справедлива формула замены пе-
переменных при отображении A8):
f(x,y,z) dxdydz = f (r cos cp,
G	9
dr dcp d(. B0)
Если в цилиндрических координатах область G С Exyz может быть
задана неравенствами Zi(r,ip) < ( < Z2(r, ip), Ri(ip) < г < R2((p),
a < if < /3, то, сводя интеграл B0) к повторным интегралам, полу-

482
Гл. X. Кратные интегралы
чим следующую формулу:
C R2(<p)
f(xjUjz) dxdydz = dcp dr / f(r cos(p,
, Qr d(.
B1)
Пример 6. Найти объем области G, граница которой задана урав-
уравнением (ж2 + у2 + z2J = х2 + у2.
Л В цилиндрических координатах уравнение границы области имеет
%
Рис. 48.13
вид г = г2 + B (рис. 48.12). Область G задается неравенствами
-у/гA -г) < С < л/К1 ~ г), 0 < г < 1, 0<(^<2тг.
Применяя формулу B1), получаем
2тг 1
(G) = JJJdx dy dz = [dipfdr J r d( =
G	0 0 -y/r(l-r)
1	тг/2
= 2тг /2r3/2(l -rI/2<ir = 8тг / sin3 ? cos ? sin ? cos ? (it =
7Г/2
= тг / A — cos 2?) sin2
=^. A
4
Сферические координаты связаны с декартовыми следующими
формулами:
х = г cos cp cos т/>, ^/ = г sin (^ cos ф, z = r sin -0,
B2)

Формула замены переменных в кратном интеграле	483
Здесь г — расстояние от начала координат О до точки P(x,y,z),
ф — угол, который составляет луч ОР с плоскостью Оху; if — поляр-
полярный угол проекции точки Р на плоскость Оху (рис. 48.13). Геометри-
Геометрические места точек г = const — сферы радиуса г с центром в начале
координат О; ф = const — на конусах (прямых круговых) с осью Oz;
if = const — на полуплоскостях, проходящих через ось Oz (рис. 48.13).
Если взять фиксированную сферу г = го, то конусы ф = const будут
пересекаться со сферой по параллелям, а полуплоскости ср = const —
по меридианам.
Введем вспомогательное пространство ЕГ(рф, в котором г, if, ф
являются декартовыми координатами, и рассмотрим в пространст-
пространстве ЕГ(ргр область
Т={(г,<р,ф): 0<г<+^, -| <</><§, 0<^<2тг}. B3)
Отображение F: Т —У Exyzj определяемое формулами B2), непре-
непрерывно дифференцируемо. Найдем якобиан этого отображения:
jf =
Уг У^р Уф
cos if cos ф — r sin ip cos ф — r cos (^ sin ^
sin if cos ф г cos if cos ф — rsm.ifsm.if
sin ф	0	r cos ф
= r2
Якобиан обращается в нуль при г = 0, ф = ^ и ф = —^.
На соответствующей части границы области Т будет нарушаться
и взаимная однозначность отображения. Так как любая ограничен-
ограниченная часть плоскости имеет в ЕГ(рф жорданову меру нуль, то замена
переменных B2) допустима (см. замечание, п. 3).
Если в сферических координатах область G С Exyz может быть
задана неравенствами
а < if < /3, ф^ф) < ф2(<р), Ri{if^) <r< Щ^ф),	B4)
то тройной интеграл от непрерывной функции по области G после
замены переменных B2) может быть сведен к повторным интегра-
интегралам. Пусть д — прообраз области G при отображении B2), тогда
область д в пространстве ЕГ(рф определяется неравенствами B4) и,
следовательно, элементарна относительно оси г, а проекция облас-
области д на плоскость Е^ф элементарна относительно оси ф. Получаем
следующую формулу:
ж, у, z) dx dy dz =
G
= / / / f {r cos if cosф^ rsmifcosф, rsmф)r2 cosф dr dip dф =

484
Гл. X. Кратные интегралы
г/>2(<р)
= dtp dip / /(r cos if cos ф, г sin ср cos ф, г sin ф)г2 cos ф dr. B5)
Пример 7. Вычислить массу шара х2 + у2 + z2 ^ а2, если плот-
плотность р изменяется по закону р(г) = г.
Л Масса М шара равна следующему тройному интегралу:
2тг тг/2	а
111 р{\/х2+у2 + z2)dxdydz = I dip I dф I rr2 cos ф dr = тга4. А
S	0 -тг/2 О
Пример 8. Найти объем m(G) области G, граница которой задана
уравнением
Л Заметим, что сечение границы области G плоскостью х = 0 есть
лемниската Бернулли (у2 + z2J = у2 — z2 (рис. 48.14). Область G
получена вращением лемнискаты
относительно оси z. В сферичес-
сферических координатах граница облас-
области G задается уравнением г =
^=Vl-2sin2^ = д/cos2 ф - sin2 ^ = л/1 - 2 sin2 ф.
	^- Область G может быть задана не-
у равенствами
Рис. 48.14
О < г < у 1 - 2sin2^.
Применяя формулу B5), получаем выражение для m(G):
2тг тг/4 yl-2 sin2 ^
= dip / (М / г2 cos ф dr —
J J	J
О -тг/4	О
о
О
тг/2
4тг /• 4 7	тг
= —= / cos udu = —=.
Зл/2 У	4л/2
6. Криволинейные координаты. Пусть F : cj —>- П есть не-
непрерывно дифференцируемое отображение области ио С Euv на об-
область G С Еху, удовлетворяющее условиям а)-в), п. 1. Аналитически
отображение задается при помощи пары функций
х = ip(u, v), у = ф(и, v), (и, v) e и.	B6)

Формула замены переменных в кратном интеграле
485
Предположим для простоты, что область и выпукла, т. е. вместе с
любыми двумя точками А, В она содержит отрезок АВ. Тогда произ-
произвольная прямая в плоскости Euv или целиком лежит в области и, или
пересекается с областью по отрезку или лучу. Положение каждой точ-
точки области ио может быть задано как пересечение двух координатных
прямых и = щ и v = vq. Эти прямые либо целиком лежат в облас-
области и, либо пересекают и по некоторым отрезкам или лучам. Предпо-
Предположим для определенности, что пересечения есть отрезки АВ и CD
/
г
г
\
Рис. 48.15
/
\
-о
0
г
N.
у
в
\
/
\D
"и
1
(рис. 48.15). Образы этих отрезков при отображении B6) называют
координатными линиями и = щ и v = i?q.
Уравнение координатной линии и = щ, например, имеет следую-
следующий вид:
= <p(uo,v),
Если
области
o пробегает все допустимые в области ио значения, то в
получается семейство координатных линий и = const. Ана-
Аналогично получается семейство координатных линий v = const. В силу
взаимной однозначности отображения положение точки (ж, у) Е Q, од-
однозначно определяется как пересечение координатных линий и = щ
и v = vo. Например, при переходе к полярным координатам положе-
положение точки определяется как пересечение окружности г = го и луча
if = 4>Q.
Если область G С п может быть в криволинейных координатах
задана неравенствами
а < и < 6, а (и) < v < C(и),
где а(и) и /3(и) — непрерывные на отрезке [а, Ь] функции, то ее про-
прообраз g = F~lG — элементарная область, и после замены переменных
двойной интеграл сводится к повторному интегралу:
G
Ь Р(и)
= Jdu J f(ip(u,v), ip(u,v))\J(u,v)\dv.
a(u)

486	Гл. X. Кратные интегралы
Аналогично можно ввести криволинейные координаты и в прост-
пространственной области п С Exyz. Выше были рассмотрены примеры сфе-
сферических и цилиндрических координат.
Пример 9. Вычислить момент инерции относительно начала ко-
координат плоской области, ограниченной эллипсом
а2 Ъ2
Л Введем обобщенные полярные координаты, связанные с декарто-
декартовыми координатами следующими формулами:
х = ar cos ср, у = br sin ср, г ^ 0, 0 ^ ср < 2тг.	B7)
Якобиан отображения B7) равен аЪг. Область G, ограниченная
эллипсом, задается неравенствами
О < г < 1, 0 < (р < 2тг.
Делая замену переменных B7) в двойном интеграле, получаем сле-
следующее выражение для центрального момента инерции области:
2тг
/0 = / / (ж2 + у2) dxdy = / (a2r2 cos2 cp + b2r2 sin2 (p)abr dr =
GO
§ 49. Несобственные кратные интегралы
1. Исчерпывающие последовательности множеств. Пусть
G есть область в Rm. Последовательность открытых измеримых по
Жордану множеств {Gn} будем называть исчерпывающей множест-
(X)
во G, если G — U Gn и Gn С Gn+i, n = 1,2,...
г=1
Лемма 1. Если {Gn} и {Gfn} есть последовательности, исчерпы-
исчерпывающие область G С /?т, то для любого номера п найдется номер к(п)
такой, что Gn С
О Пусть^для некоторого множества Gn не существует такого номе-
номера к, что Gn С G'k. Тогда найдется точка х\ С Gn такая, что х\ 0G[,
найдется точка х2 G Gn такая, что х2 0 G'2. Продолжая эти рассуж-
рассуждения, построим последовательность точек {xk} такую, что Xk G Gn,
Xk 0 G'k. Так как измеримое по Жордану множество Gn ограниче-
ограничено, то из последовательности хи можно в силу теоремы Больцано-
Вейерштрасса выделить сходящуюся подпоследовательность. Без
ограничения общности можно считать, что и последовательность х^
сходится, т. е. lim хи = х0. В силу замкнутости множества Gn точ-
		к—>-оо
ка хо G Gn С Gtv+i С G.

§49. Несобственные кратные интегралы	487
Так как последовательность множеств {G'k} исчерпывает мно-
множество G, то найдется такой номер г, что хо Е G'r. Открытое множест-
множество G'r есть окрестность точки ж0. Поэтому в G'r лежит бесконечное
множество членов последовательности {х/,}. Следовательно, найдет-
найдется в этом бесконечном множестве точка xs с номером s ^ г. Тогда
xs е G'r С G's, так как при г < s и G'r С G's. Но по построению xs 0 G's.
Полученное противоречие доказывает, что для любого п существует
номер к(п) такой, что Gn С G'k,ny •
2. Несобственные интегралы от неотрицательных функ-
функций. Пусть функция /(ж) непрерывна и неотрицательна в области
G С Rm, а последовательность множеств {Gn} исчерпывает множест-
множество G. Предел
lim
Gn
ff(x)dx	A)
называют несобственным интегралом от функции f(x) no множест-
множеству G. Несобственный интеграл обозначается символом f(x)dx.
G
Будем говорить, что несобственный интеграл f(x)dx сходится,
G
если предел A) конечен, и что несобственный интеграл расходится,
если предел A) равен +оо.
Теорема 1. Определение несобственного интеграла от непрерыв-
непрерывной неотрицательной в области G функции корректно: предел A)
для любой исчерпывающей область G последовательности множеств
{Gn} существует и не зависит от выбора исчерпывающей последова-
последовательности.
О Пусть {Gn} и {G'n} — две исчерпывающие последовательности.
Так как Gn С Gn+i С G и Gn С G'n+1 С G, а на множестве G функция
f(x) неотрицательна и непрерывна, то функция f(x) неотрицательна
и непрерывна на любых множествах Gn и Gn, n = 1,2,... Поэтому
интегралы / f(x) dx и / /(ж) dx существуют и числовые последова-
Gn	G'n
тельности ап — \ f{x) dx и /Зп = / /(ж) <ix являются монотонно воз-
Gn	G'n
растающими. Монотонно возрастающая числовая последовательность
всегда имеет конечный или бесконечный предел. Пусть а = lim an
п—>-оо
и /3 = lim /?n.
п—>-оо
В силу леммы 1 для любого п найдется такой номер fc(n), что
Gn С G'k{n). Так как /(ж) ^ 0, то
OLn= I /О) ds ^ / /О) ds = Pk(n) ^ lim /^ = Р-
Gn	G' ,
к(п)

488	Гл. X. Кратные интегралы
Переходя к пределу при п —У оо, получаем, что а ^ C. Аналогично
доказывается, что C ^ а. Поэтому а = C. •
Пример 1. Интеграл
dx dy	, ,
(ж2 + у2)"
0<Ж2+2/2<Д2
сходится при а < 1 и расходится при а ^ 1.
Д Положим
Тогда последовательность колец Gn образует исчерпывающую после-
последовательность для круга G. Переходя к полярным координатам, по-
получаем
dxdy_ и	Г Г dxdy
"i JJ
rr_dxdy_ и	Г Г
JJ (х2 + У2)а n"i JJ (х? +
G	Gn
2тг R
= lim [dip f r-^- = lim 2тг [ rl~2a dr = 2ъ [rl~2a dr.
О Я/n	Я/n	О
Таким образом, несобственный интеграл B) сходится в том и
только том случае, когда сходится несобственный интеграл
R
о
т. е. при 1 - 2а > -1 или а < 1. А
Упражнение 1. Исследовать на сходимость следующие интегралы:
dxdy	fff	dx dy dz
ff dxdy	fff
JJ {х2 + у2Г'	JJJ
x2+y2>R2
dxdydz	f	dx\...dxn
fff	dxdydz	Г
JJJ (x2 + 2/2 + ^)«'	J
x+y+z^R	0<ж + ...+жг^Я2
При исследовании кратных несобственных интегралов на сходимость
применимы такие же признаки сравнения, как и в одномерном случае.
3. Несобственные интегралы от знакопеременных функ-
функций. Пусть функция /(ж) непрерывна в области G С /?m, m ^ 2. Бу-
Будем говорить, что функция f(x) интегрируема по области G в несоб-
несобственном смысле, если сходятся интегралы / f+(x)dx и f~(x)dx
G	G
от неотрицательных функций /+ = - (|/| +/) и /~ = - (|/| - /).

§49. Несобственные кратные интегралы	489
Несобственным интегралом f(x)dx в этом случае будем называть
G
число
Jf(x) dx = jf+(x) dx - Jf-(x) dx.	C)
G	G	G
В определении C) не случайно оговорено, что т ^ 2. При т = 1
это определение не совпадает с определением несобственного интег-
ъ	С
рала (§ 38) f(x)dx (с особой точкой Ь) как предела lim f(x)dx.
J	?-)>&-() J
a	a
Функции, интегрируемые в смысле определения § 38 на интервале
(а, Ь), могут оказаться неинтегрируемыми в смысле определения C).
Проще всего в этом убедиться, заметив, что функция /(ж) интегри-
интегрируема в смысле определения C) в том и только том случае, когда
интегрируем ее модуль, так что определение C) не допускает су-
существования условно сходящихся интегралов. Для функций одной пе-
переменной сохраним определение § 38, а для функций двух и большего
числа переменных будем использовать определение C).
Можно показать [2], что функция f(x) интегрируема в несобст-
несобственном смысле на множестве G С /?т, где т ^ 2, в том и только
том случае, когда для любой исчерпывающей множество G последо-
последовательности {Gn} существует конечный предел lim / f(x)dx, не
n-^oo J
Gn
зависящий от выбора исчерпывающей последовательности {Gn}.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ X
1.	Показать, что множество точек вида ( —, — ), п = 1,..., имеет в R
жорданову меру нуль.
2.	Пусть отображение Т: Rn —»¦ Rn имеет вид х\ = hiui, ..., хп =
= hnun] Ы ^ 0, г = 1, п. Показать, что для любой измеримой области G С Rn
выполнено равенство m(TG) = hi...hnm(G).
3.	Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:
11	2тг sin ж
J dxjf(x, у) dy, Jdx J /(ж, у) dy.
-1 х2	0	0
4.	Показать, что для непрерывной на R функции /(ж) при любых х Е R
справедлива формула
X	t	X
Jdtjf{u) du = J{x - y)f{y) dy.
0 0	0
5.	Переходя к полярным координтам, вычислить площадь, ограничен-
ограниченную кривой (ж2 + у2J = Зху, х ^ 0, у ^ 0.

490	Гл. X. Кратные интегралы
6.	Расставить пределы интегрирования различными способами в сле-
1 1-х х+у
дующем интеграле: dx dy I f(x,y,z)dz.
0 0	0
7.	Найти объем тела, ограниченного поверхностью (ж2 + у2+ z2J = 3xyz.
8.	Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного эллипсоидом
х2 у2 z2
— + ^-Н—- = 1 и плоскостью z = 0.
а2 Ъ2 с2
+ ОО +ОО
9.	Вычислить несобственный интеграл / / е~^х +у ^ dxdy.
— оо —оо
10.	Найти ньютоновский потенциал шара х2 + у2 + z2 ^ R2 в его центре.
11.	Пусть функция /(ж, г/) непрерывна в прямоугольнике
П = {(ж, у): а ^ ж ^ Ъ, с^у ^ d},
а функция <?>(ж) интегрируема на отрезке [а, Ь]. Показать, что справедлива
формула
Ъ d	d Ъ
ff<p(x)f(x, у) dx dy = JdxJ(p(x)f(x, у) dy = jdy jip(x)f(x, y) dx.

ГЛАВА XI
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 50. Криволинейные интегралы
1.	Евклидово пространство. Из курса аналитической геомет-
геометрии [7] известно, что в каждой паре точек А и В евклидова прост-
пространства ставится в соответствие вектор An. Для векторов опреде-
определены операции сложения и умножения на вещественные числа, для
любых двух векторов определено их скалярное произведение. Если
расстояние между точками определить как р(А,В) = |Ао|, то бу-
будут удовлетворены все аксиомы метрического пространства и все
введенные для метрического пространства понятия переносятся и на
евклидово пространство.
Если в евклидовом пространстве фиксирована точка О, то положе-
положение любой точки А определяется вектором ОА, и евклидово прост-
пространство можно отождествить с векторным пространством Е3. Ба-
Базис из трех линейно независимых векторов определяет координатную
систему в евклидовом пространстве. Предполагается, что простран-
пространство ориентировано при помощи правой тройки векторов. Свойства
объектов, не зависящие от выбора координатной системы, называют-
называются инвариантными.
Множество всех векторов, параллельных евклидовой плоскости,
образует линейное двумерное пространство Е2. Базис из двух линей-
линейно независимых векторов определяет координатную систему в Е2.
Правая пара векторов определяет ориентацию Е2.
2.	Гладкие и кусочно гладкие кривые. Напомним, что гладкая
кривая в R3 задастся векторным уравнением (§ 22)
r = r(?), a^t^/3,	A)
где вектор-функция г(?) является непрерывно дифференцируемой на
отрезке [а,/3], причем г'(?) ф 0 на [а,/3]. В каждой точке гладкой кри-
кривой определена касательная.
Гладкую кривую можно задать и тремя скалярными уравнениями
где функции (p(t), ip(t) и %(?) непрерывно дифференцируемы на [а,/3]
и (v'(t)J + W>'(*)J + (X'it)J > 0 на [а,0\.

492	Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
В § 22 было определено, что уравнение
р = р(т), а^т^Ъ,	B)
задает ту же самую гладкую кривую, что и уравнение A), если оно
получено из уравнения A) при помощи допустимой замены парамет-
параметра t = t(r). Допустимой называлась такая замена параметра t = ?(т),
что функция t(r) непрерывно дифференцируема на отрезке [а, 6], ото-
отображает этот отрезок на отрезок [а,/3] и f (т) > 0.
Замечание. Иногда имеет смысл расширить класс допустимых замен
параметров. Говорят, что замена параметра t = ?(т), а ^ г ^ Ь, допустима,
если:
а)	найдется такое разбиение отрезка [а, Ь] точками ai,..., an-i, что функ-
функция t(r) является непрерывно дифференцируемой на каждом из интервалов
(ai-i,aO> г = 1,п;
б)	t'(r) > 0 на каждом из интервалов (ai-i,aj);
в)	функция t(r) непрерывна на [а, Ь], причем t(a) = a, t(b) = /3, r(t(r)) =
= Р{т).
Полезно заметить, что при наложенных ограничениях функция t(r)
имеет на отрезке [a, b] обратную. Обратная замена параметра т = r(t) также
удовлетворяет условиям а)-в).
Кривая Г называется гладкой, если существует параметрическое урав-
уравнение этой кривой типа A) с непрерывно дифференцируемой функцией г(?),
удовлетворяющей условию |г'(?)| > 0 на [а,/3].
При расширении класса допустимых замен параметра (а тем самым при
расширении класса параметризаций) могут встретиться такие уравнения
гладкой кривой, которые задаются функциями, не имеющими в некоторых
точках производной. Например, уравнения
х = г, у = л/l - Л -1 ^ т ^ 1,
и уравнения
7Г	7Г
х = sint, у = cost,	^ t ^ —,
определяют одну и ту же гладкую кривую (полуокружность). От второго
уравнения к первому можно перейти при помощи допустимой замены па-
параметра t = arcsinr, — 1 ^ т ^ 1. Функция у/1 — т2 не имеет производной
при т = ±1.
В дальнейшем, как правило, уравнение гладкой кривой будем задавать
при помощи непрерывно дифференцируемой вектор-функции r(t).
Если интерпретировать параметр t как время, то уравнение A) за-
задает закон движения материальной точки в пространстве R3. Вектор
скорости г'(?) в каждой точке гладкой кривой коллинеарен вектору
касательной. Единичный вектор касательной, заданный в некоторой
точке гладкой кривой, определяет ориентацию кривой (направление
движения точки по кривой).
Точка А(х(а), у (a), z(aj) называется началом кривой, точка
В(х{C), у(/3), z(/3)) — концом кривой. У замкнутой кривой начало

§ 50. Криволинейные интегралы	493
и конец совпадают. Если закон движения точки в пространстве зада-
задается формулой A) и при движении по кривой точка проходит через
заданную точку С Е R3 более одного раза, то точка С называется
точкой самопересечения кривой. Замкнутую кривую, у которой нет
других точек самопересечения, кроме концов, будем называть прос-
простым контуром.
Для плоской кривой можно считать z = 0, если выбрать оси Ох
и Оу в плоскости кривой.
Кусочно гладкая кривая есть непрерывная кривая, распадаю-
распадающаяся на конечное число глад-
гладких кривых. Например, гра-
границу треугольника или квад-
квадрата можно рассматривать
как кусочно гладкую кривую
(рис. 50.1).
Кривую, начало которой
есть точка А, а конец — точ-
точка В, будем обозначать через	~ сп Л
г>	?	«	Рис- 50Л
Tab- Точку кривой, соот-
соответствующую значению t параметра, будем обозначать через At. Ес-
Если t\ < ?2, то будем говорить, что точка Atl предшествует точке At2,
и писать
Atl <At2.
Уравнение
r = r(/3 + a-t), a^t^/3,	C)
определяют кривую Г~, ориентированную противоположно кривой Г,
заданной уравнением A). Ее начало совпадает с концом Г, а конец —
с началом Г. Векторы касательных к кривым ГиГ" в каждой точке
имеют противоположные направления.
3. Криволинейные интегралы первого рода. Пусть на некото-
некотором множестве, содержащем кривую Г, задана непрерывная функция
R(x,y,z). Если гладкая кривая Г задана уравнением A), то опреде-
определенный интеграл
R(x(t),y(t),z(t))\r'(t)\dt
будем называть криволинейным интегралом первого рода от функции
R(x,y,z) no кривой Г и обозначать R(x,y,z)ds. Таким образом, по
определению	г
jR(x, у, z) ds = JR(x(t),y(t), z{t))\v'(i)\dt.	D)
Г	а
Рассмотрим свойства криволинейного интеграла D).

494	Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
Свойство 1. Криволинейный интеграл первого рода не зависит
от параметризации кривой.
О Предположим, что совершен переход от уравнения кривой A) к
уравнению р = р(т), а ^ г ^ Ь, при помощи допустимой замены па-
параметра t = ?(т), удовлетворяющей условиям а)-в). Делая в интегра-
интеграле D) замену переменной t = ?(т), получаем, учитывая, что на каждом
из интервалов (ai_i,ai) функция t'(r) > 0:
Р
jR(x(t),y(t),z(t))\rf(t)\dt =
ъ
= JR{x{t{r)), y(t(r)), z{t{r))) ^(*(r)) t'{r)dr =
b
После замены параметра можно получить и несобственный ин-
интеграл с особыми точками ao,...,an, но форма его такая же, как и
у интеграла D). Поэтому криволинейный интеграл первого рода не
зависит от способа параметризации кривой. •
Свойство 2. Криволинейный интеграл первого рода не зависит
от ориентации кривой Г, т. е.
/г
R(x,y,z)ds= I R{x,y,z)ds.
г	г-
О В самом деле, кривую Г~ можно задать уравнением C). Делая в
интеграле D) замену переменной т = а + C — ?, получаем
Р
JR{x,y,z)ds = fR(x(t), y(t), z{t))\r'{t)\dt =
Г р
= JR(x(a + /3-т),у(а + /3- r), z(a +/3 - r))|r;(a + /3 - т)\ dr =
a
= / R(x,y, z) ds. •
r-
Свойство З. Криволинейный интеграл аддитивен относительно
кривой: еслиТ = (Гь ..., Гдг), то
N
JR(x, у, z)ds = ^2 J R(x> У>z) ds-
г	i=1^i
О Свойство 3 следует из определения D) криволинейного интегра-
интеграла первого рода и свойства аддитивности определенного интеграла
относительно области интегрирования. •

§ 50. Криволинейные интегралы	495
Особенно простое выражение для криволинейного интеграла пер-
первого рода получается, если в качестве параметра взять переменную
длину дуги кривой. Тогда уравнение кривой имеет вид г = r(s),
О ^ s ^ 5, и |r'(s)| = 1. Из формулы D) получаем, что в этом слу-
случае
S
jR(x,у, z) ds = JR(x(s),y(s),z(s)) ds.	E)
г	о
4. Геометрическая интерпретация криволинейных интег-
интегралов первого рода. Запишем интеграл E) как предел интегральной
суммы. Если 0 = so < si < ... < sn-i < sn = 5, то
n
[R(x,y,z)ds= lim V^ R(xi,yuz{) As;,
Г	п=1
где Xi = x(si), yi = y{si), Zi = z(si), 1{T) — мелкость разбиения Т
отрезка [0,5], Asi = si - si-i.
Как видно из рис. 50.2, разбиению Г отрезка [0,5] соответ-
соответствует разбиение кривой Г на дуги TSi_lSi, г = 1,п. Если функция
sn-l sn
R{x,y,z) неотрицательна, то ее можно интерпретировать как линей-
линейную плотность материальной кривой Г, а криволинейный интеграл
/ R(x, у, z) ds — как массу этой кривой.
г
Аналогичным образом можно определить при помощи криволиней-
криволинейных интегралов координаты центра тяжести, осевые и центральные
моменты инерции материальных кривых.
Пример 1. Найти момент инерции полуокружности х2 + у2 = 1,
у ^ 0, относительно оси ж, если линейная плотность R(x,y) = |ж|.
Л Параметризуем окружность, полагая х = coss, у = sins, 0 ^ s ^ тг.
По определению осевой момент инерции 1Х есть следующий криволи-
криволинейный интеграл:
тг	тг/2
/г	г	О
y2R(x,y) ds = / sin2 s\ coss\ ds = 2 / sin2 s cos s ds = -. A

496	Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
5. Криволинейные интегралы второго рода. Пусть П — об-
область трехмерного пространства, в каждой точке которой задан век-
вектор. Тогда говорят, что в области п задано векторное поле. Если
фиксирована декартова прямоугольная система координат, то век-
векторное поле можно задать при помощи трех скалярных функций:
?{x,y,z) = (P{x,y,z), Q{x,y,x), R{x,y,z)). Если функции P,Q,R
непрерывны в области П, то и поле F называется непрерывным в
области п. Если функции P,Q,R непрерывно дифференцируемы в
области (], то и поле F называется непрерывно дифференцируемым
в области П. Если можно так выбрать декартову систему коорди-
координат, что функция R = 0, а функции Р и Q не зависят от коорди-
координаты z, то векторное поле F называется плоским. В этом случае
F = (P(x,y),Q(x,y)).
Пусть в области П С R3 определено непрерывное векторное поле
F = (Р(х,у,z), QO,у,z), R(x,y,^)),ar = r(t), a^t^fi, есть урав-
уравнение гладкой (кусочно гладкой) кривой Г, лежащей в области П.
Определенный интеграл
Р	Р
J(F(x(t),y(t),z(t)),rf(t))dt = J(P(x(t),y(t),z(t))x'(t) +
а	а
+ Q(x(t),y(t), z(t)) y'(t) + R(x(t),y(t), z(t)) z'(t)) dt
будем называть криволинейным интегралом второго рода от вектор-
векторного поля F по кривой Г и обозначать /(F,dr) или Р dx + Q dy +
г	г
-\-Rdz. Таким образом, по определению
Р
|(F,dr) = J(F(x(t),y(t),z(t)), r'(t))dt,	F)
Г	а
ИЛИ
Р
fPdx + Qdy + Rdz = f(P(x(t),y(t),z(t)) x''(t) +
Г	а
+ Q(x(t),y(t),z(t)) y'(t) + R(x(t),y(t),z(t)) z'(t)) dt. G)
Если система декартовых координат фиксирована, то, полагая в
формуле G) Q = R = 0, получаем
Р
JPdx = Jp(x(t),y(t),z(t))x'(t)dt.	(8)
г
Аналогично
JQ dy = JQ(x(t),y(t),z(t)) y'(t) dt,	(9)

§ 50. Криволинейные интегралы	497
Р
JRdz = JR(x(t),y(t),z(t)) zf(t) dt.	A0)
Г	а
Определенный интеграл, стоящий в правой части формулы (8),
называют криволинейным интегралом второго рода от функции
P(x,y,z) no кривой Г, символ Pdx служит обозначением для это-
г
го криволинейного интеграла. В отличие от криволинейного интегра-
(F,dr) интеграл Pdx зависит от выбора декартовой системы
г	г
координат.
Рассмотрим свойства криволинейного интеграла F).
Свойство 1. Криволинейный интеграл второго рода не зависит
от способа параметризации кривой.
О Это свойство доказывается точно так же, как и соответствующее
свойство для криволинейного интеграла первого рода. •
Свойство 2. Криволинейный интеграл второго рода при измене-
изменении ориентации кривой на противоположную меняет знак, т. е.
г-
О Пусть кривая Г задана векторным уравнением г = r(?), a ^ t ^ /3,
а кривая Г~ задана уравнением р = г (а + /3 — ?), а ^ t ^ /3. Тогда
p'(t) = —г'(а + /3 — t). Для краткости положим F(x, у, z) — F(r). Тогда
f(F,dp)=f(F(p(t)),p'(t))dt =
Г"	а	C
= -|(F(r(a + 13 - *)), г'(a + /3 - *)) <Й =
C
а	Г
Свойство 3. Криволинейный интеграл второго рода аддитивен
относительно кривой.
О Это свойство доказывается так же, как и для криволинейных ин-
интегралов первого рода. •
В плоском случае выражения F)—A0) для криволинейных интег-
интегралов упрощаются:
J(F,dr) =
г	г	Р
= f(P(x(t), y(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t)) dt, A1)

498
Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
fPdx = fP(x(t), y(t))x'(t)dt,
Г	а
JQdy = JQ{x{t),y{t))y'{t)dt.
A2)
A3)
В том случае, когда плоская кривая Tab задана как график
О
Рис. 50.3
Рис. 50.4
непрерывно дифференцируемой на отрезке [а, Ъ] функции у = f(x)
(рис. 50.3), формула A2) приобретает особенно простой вид:
ь
J Р(х, у) dx = Jp(x, f(x)) dx.	A4)
Замечание. Определенный интеграл в правой части формулы A4)
имеет смысл не только в том случае, когда функция /(ж) непрерывно диф-
дифференцируема на [а, Ь], но и в более общем случае, когда функция /(ж)
непрерывна на отрезке [а, Ь]. В этом последнем случае будем считать, что
криволинейный интеграл / Р dx есть по определению определенный ин-
A5)
по отрезку Т\в с концами А@,1) и ВA, 0) и по дуге окружности Т2АВ
(рис. 50.4).
Л Зададим отрезок Т\в параметрическими уравнениями х = ?, у =
= 1 — ?, O^t^l. Применяя формулу A1), получаем, что
1	1
I ydx-xdy = ||A - *)(*)' - t(l - t)'] dt =
теграл, стоящий в правой части формулы A4).
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл
/ у dx — xdy

§ 50. Криволинейные интегралы	499
Зададим дугу окружности Т2АВ параметрическими уравнениями
х = sint, у = cost, 0 ^ t ^ —. Тогда
тг/2
/ ydx — xdy= / [cost (sint)' — sint (costO] dt =
= Г (sin2 t + cos2 t) (it = | 7^ 1.
о
Пример 3. По тем же кривым, что и в примере 2, вычислить
xdx + ydy,A = @,1), В = A,0).
Л Применяя формулу A1), получаем
1	1
Г xdx + ydy= f[tt'+ (l-t)(l-t)']dt = fBt-l)dt = 0.
г1	о	о
Аналогично
тг/2
/ xdx-\-ydy= / [sint (sintO + cost (costO] dt =
= / (sin t cos t - cos t sin t) dt = 0.
b
В примере 2 криволинейные интегралы по кривым с одинаковыми
концами оказались неравными, а в примере 3 — равными.
Упражнение 1. Показать, что для любой кусочно гладкой кривой
Tab выполнено равенство
6. Механический смысл криволинейного интеграла второ-
второго рода. Работа силы. Пусть F(x,y,z) — силовое поле в области
G R3 и пусть кусочно гладкая кривая Г^# С П задана уравнени-
уравнением г = r(t), a ^ t ^ /3. Если интерпретировать уравнение г = r(t),
а ^ t ^ /3, как закон движения материальной точки, то при таком дви-
движении сила, действующая на материальную точку, должна совершать
работу. В том случае когда материальная точка движется в постоян-
постоянном силовом поле с постоянной скоростью по прямой, параллельной
вектору 1, |1| = 1, работа силы равна (F,l) As, где As — пройденный
точкой путь.
Пусть теперь поле силы непостоянно и точка движется в силовом
поле по произвольной кусочно гладкой кривой г = r(t), a ^ t ^ C.

500	Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
Пусть Т — произвольное разбиение отрезка [а, C] точками а = to <
<ti < ... <tn = /3. Ему соответствует разбиение кривой Tab точками
А = Ао -< А1 -< ... -< Ап = В.
При движении по дуге Та1_1а{ заменим силу F постоянной силой
F(x(ti),y(ti), z(ti)), а движение по дуге Та{_±а{ — движением по каса-
касательной с постоянной скоростью r'(ti). Тогда работа силы при движе-
движении по дуге Та1_1а{ приближенно равна (F(x(ti), y(U), z(ti)),r'(ti) Ati).
Работа силы при движении материальной точки по кривой Tab
приближенно равна следующей сумме:
п
я/т = ^2(F(x(U),y(U),z(U)), t'(U))AU,
i=l
где А^ =U- U-i.
Предел суммы g/T при мелкости разбиения Z(T), стремящейся к
нулю, естественно назвать работой силы F при движении точки по
кривой Г^^. Таким образом, работа силы
п
^= Hm Z)(F(rr(ti),2/(*i)^(*i)), r'(U)) AU =
( }^ г=1	р
= J(F(x(t)Jy(t)Jz(t))Jr'(t))dt= I (F,dr). A6)
Пример 4. Найти работу силы F = —г/г3, г = (x,y,z), г = |г|,
при движении точки по кривой Г^#. Кривая Г^# не проходит через
начало координат.
Л Пусть кусочно гладкая кривая Г^# задается параметрическим
уравнением г = r(t), a ^ t ^ /3. Работу силы найдем при помощи
формулы A6):
vAB
(t)J at ~ гф) т{а) ~ тв тА
§ 51. Формула Грина на плоскости
1. Ориентация границы плоской области. Напомним, что об-
областью в R2 называется открытое связное множество, а замыкание
области получается присоединением к области ее границы.
Теорема Жордана утверждает, что любая простая (без точек само-
самопересечения) замкнутая кривая разделяет плоскость на две области,
ограниченную и неограниченную, общей границей которых она явля-
является.

§51. Формула Грина на плоскости
501
Упражнение 1. Доказать теорему Жордана для простой замкнутой
ломаной.
Указание. После удаления из плоскости простой замкнутой лома-
ломаной L возникает открытое множество, точки которого можно разбить на
два непересекающихся класса. Точки первого класса обладают тем свойст-
свойством, что проведенные из них лучи пересекают ломаную нечетное число раз
(исключением могут быть лучи, параллельные звеньям ломаной). Точки
Рис. 51.1
второго класса отличаются тем, что проведенные из них лучи пересекают
ломаную четное число раз (рис. 51.1).
Область п С R2 называется односвязнощ если для любого простого
контура 7 С(] ограничиваемая этим контуром область п± С П. В
частности, область на рис. 51.1 односвязна.
Будем говорить, что простой контур Г ориентирован положитель-
положительно, если при обходе контура ограничиваемая им область остается сле-
слева (рис. 51.1). Противоположно ориентированный контур будем обо-
обозначать через Г~.
2. Формула Грина. Пусть функции Р(х,у) и Q(x,y) непрерывно
дифференцируемы в односвязной области П С /?2, а простой кусочно
гладкий контур Г С П ограничивает область G С П. Тогда справедли-
справедлива формула Грина
до	G
где 8G есть положительно ориентированная граница области G.
О Докажем сначала формулу A) в наи-
наиболее простом случае, когда область G
еще и элементарна относительно обеих
координатных осей, т. е. существуют
такие кусочно непрерывно дифференци-
дифференцируемые и непрерывные функции ip(x),
ф(х), х е [а, Ь], и а(у), C(у), у G [c,d\, что
(рис. 51.2)
G = {(ж, у): а
= {(ж,у): с
b, ip(x) ^
^ d, а(у)
N
А
М F
\
\ у={р{у) у
в с
Е
D
х
/%)}.
О а	Ъ х
Рис. 51.2
Примерами таких областей являются внутренности круга, эллип-
эллипса, треугольника.

502	Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
Применяя формулу сведения двойного интеграла к повторному,
получаем равенства
ду
^	Ъ гр(х)	Ъ	Ъ
дР
= ~ Jdx I —(x,y)dy = JP(x, ^p(x))dx - JP(x, ^{x))dx =
а ^(ж)	а	а
= [ Pdx+ Г Pdx+ [ Pdx+ [ Pdx= fPdx. B)
ABCD	DE	EFMN	NA	dG
При выводе формулы B) была использована формула A4), § 50 для
криволинейного интеграла Р dx по кривой Г, являющейся графиком
г
функции. Добавленные интегралы по вертикальным отрезкам DE
и N А равны нулю, так как на этих отрезках х = const (см. A2) в
§50).
Аналогично доказывается формула
dx dy = Iд(ж'v) dy-	C)
G	dG
Складывая равенства B) и C), получаем формулу Грина A).
Пусть теперь область G по-прежнему ограничена кусочно гладкой
замкнутой кривой dG. Предположим, что ее можно кусочно гладкой
простой кривой Г (перегородкой) разбить на две области простейшего
Рис. 51.3
вида, рассмотренные выше (рис. 51.3). Тогда
<9Gi =ГиГь 8G2 =Г-иГ2.
Применяя формулу Грина в каждой из областей G\ и G2, получаем
= J P dx + Q dy + J P dx + Q dy,
Г1	Г

§51. Формула Грина на плоскости
503
Складывая эти два равенства и учитывая, что криволинейные ин-
интегралы по противоположно ориентированным кривым Г и Г~ вза-
взаимно уничтожаются, получаем, что формула Грина A) верна для об-
области G = d UG2.
При помощи математической индукции теперь легко обобщить
формулу Грина на односвязную область, которая при помощи п - 1
непересекающихся гладких перегородок разбивается на области
Gi,...,Gn простейшего вида (рис. 51.3). В частности, формула Гри-
Грина обобщается на многоугольные области, ограниченные простыми
замкнутыми ломаными. В общем случае можно доказать формулу
Грина, аппроксимируя область с кусочно гладкой границей много-
многоугольной областью. •
3. Формула Грина для многосвязной области. Формула
Грина может быть обобщена и на случай многосвязной (п-связной)
области, ограниченной внешним контуром Г и непересекающимися
Рис. 51.4
внутренними контурами 7ъ---?7п-1- Все контуры предполагаются
кусочно гладкими. На рис. 51.4 изображены ограниченные двусвязная
и трехсвязная области.
Внешний контур ориентируем так, чтобы при его обходе область
оставалась слева. Так ориентированный контур будем обозначать Г.
А внутренние контуры ориентируем так, чтобы при их обходе об-
область G оставалась справа. Будем пи-
писать
г9/
Пусть непрерывно дифференцируе-
дифференцируемое поле (Р(ж, y),Q(x, у)) задано в дву-
связной области G, ограниченной ку-
кусочно гладкими простыми контурами:
внешним Г и внутренним 7 (рис. 51.4).	Рис- 51-5
При помощи гладких перегородок 7з и 74 (рис. 51.5) разделим
двусвязную область G на две односвязных, G\ и G2. Как видно из
рис. 51.5,
r = TiUr2, 7 = 7lU72.

504	Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
Применяя к Gi и Й2 формулу Грина для односвязной области,
получаем (рис. 51.5)
73 7f 74
Г2 74	72	73
где в правой части употреблено сокращенное обозначение для суммы
четырех криволинейных интегралов по соответствующим кривым.
Складывая эти равенства и учитывая, что криволинейные интегралы
по противоположно ориентированным кривым взаимно уничтожают-
уничтожаются, получаем
Qdy= Pdx + Qdy.
g	"	г	7-	<9G
Формально формула Грина для двусвязной области имеет тот же
вид, что и для односвязной, если / Р dx + Q dy понимать как сумму
8G
криволинейных интегралов по Г и j~.
Индукцией эта формула Грина обобщается и на n-связную об-
область:
G	dG
= fPdx + Qdy+ ^2 Г Pdx + Qdy.
4. Применение формулы Грина к вычислению площадей.
Полагая в формуле Грина A) Q = ж, Р = —у, получаем формулу для
вычисления площади, ограниченной гладким контуром,
m{G) = - j xdy -ydx.	D)
dG
Иногда при практическом применении формулы D) полезно вос-
воспользоваться тем, что
xdy — у dx = (ж2 + у2) dl arctg — j.

§51. Формула Грина на плоскости
505
Пример 1. Найти площадь, ограниченную кривой (рис. 51.6)
3at	3at Л
Л Эта кривая (декартов лист), как нетрудно по-
показать, симметрична относительно прямой у — х.
Поэтому можно ограничиться вычислением пло-
площади половинки листа, для которой 0 ^ t ^ 1. По-
Получаем
х dy — у dx = (ж2 + у2) d( arctg — J =
Рис. 51.6
По формуле D) площадь половинки листа Декарта равна
г	.	о
За2
а искомая площадь равна —. А
5. Условия независимости криволинейного интеграла вто-
второго рода от пути интегрирования (плоский случай). Пусть в
области G С R2 задано непрерывное векторное поле (P(x,y),Q(x,y)).
Например, это может быть силовое поле. Возьмем в области G две
произвольные точки, А(хо,уо) и В(х,у). Соединим эти две точки
кусочно гладкой кривой Г^#, лежащей в G. Вычислим интеграл
/ Р dx + Qdy. Этот интеграл можно интерпретировать как работу
силы при движении точки по кривой Г^#. Вообще говоря, / Р dx +
+ Qdy зависит как от точек Аи В, так и от пути, по которому мы
из точки А приходим в точку В. Наша цель — выяснить условия
независимости величины этого интеграла (работы силы) от пути ин-
интегрирования.
Теорема 1. Следующие три условия эквивалентны:
а)	для любой замкнутой ломаной L С G
[Pdx + Qdy = 0;	E)
L
б)	/ Р dx + Q dy не зависит от ломаной Lab С G, соединяющей
LAB
точки А и В]
в)	поле (P(x,y),Q(x,y)) потенциально, т. е. существует такая
непрерывно дифференцируемая функция U(x,y) (потенциал поля), что
Р(х, у) dx + Q(x, у) dy = dU,

506
Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
Р(х,у) =
дЩх,у)
dU{x,y)
дх ' ^v~'y/	ду '
О Доказательство проведем по круговой схеме: а)=>б)=>в)=>а).
1) Докажем, что а)=>б). Пусть выполнено условие а). Возьмем две
произвольных точки, А и В, в области G. Соединим их ломаной Lab-
Пусть L'AB — любая другая ломаная, соединяющая точки А и В.
Тогда L = Lab + L'BA есть замкнутая ломаная. В силу условия а)
имеем
0= fPdx
L
= Г Pdx + Qdy+ Г Р dx + Q dy =
l'ba
= J Pdx + Qdy- f Pdx + Qdy,
LAB
Lab
J Pdx + Qdy= J
Qdy,
LAB
т. е. интеграл / Pdx + Q dy не зависит от ломаной Lab, соединя-
LAB
ющей точки А и В.
2) Докажем, что б)=>в). Пусть / Pdx + Qdy не зависит от ло-
LAB
маной Lab, соединяющей точки Аи В. Фиксируем точку А(хо,уо),
а точку В(х,у) будем считать переменной. Тогда / Рdx + Q dy
LAB
зависит только от точки В, и, следова-
следовательно, в области G определена функция
О
U(x,y) = J Pdx + Qdy.
LAB
Рис. 51.7
Покажем, что функция U(x,y) — по-
потенциал поля. Соединим точки В(х,у) и
С(х + Ах,у) отрезком ВС, лежащим в
области G (рис. 51.7). Это всегда можно сделать при достаточно ма-
малом Ах, так как G — открытое множество. Тогда
— 00 + Ах, у) - U(x, у)) =
= -Ч / Pdx + Qdy- f Pdx + Qdy\ =
Ах\ J	J	J
LABC
LAB
ж+Аж
ВС
= j-x J

§51. Формула Грина на плоскости	507
Применяя при фиксированном у к непрерывной функции Р(?,у)
интегральную теорему о среднем, получаем
-^ (U(x + Аж, у) - U(x, у)) = Р(х + 0Ах, у), где 0 < в < 1.
Воспользовавшись непрерывностью функции Р(х,у) и переходя к
пределу при Ах —> 0, получаем
lim U(* + &*,V)-U(*,V) = P{Xty) = dU
дж^о	Ax	v уу дх
Аналогично доказывается, что —— = Q(x,y).
оу
Так как Р(х,у) и Q(x,y) — непрерывные в области G функции,
то функция U(x,y) непрерывно дифференцируема в области G.
3) Докажем, что в)=>а). Это следует из более общего утверждения:
если Р(х, у) dx + Q(x, у) dy = dU, то для любого кусочно гладкого кон-
контура 7 справедливо равенство Р dx + Q dy = 0. Действительно, если
7
х = ж(?), ^/ = y(t), a ^t ^ /3, есть уравнение кривой j, то
x'(t) + -jr-(x(t),y(t)) у' (t)\ dt =
= Jjt[U(x{t),y(t))]dt = U(x{C),y{C)) - U(x(a),y(a)) = 0,
a
так как начало и конец замкнутой кривой совпадают. •
Следствие. Если / Р dx + Q dy равен нулю по любой замкнутой
1
ломаной, то этот интеграл равен нулю и по любому кусочно гладкому
контуру 7-
О Пусть \Pdx-\-Qdy — 0 для любой замкнутой ломаной L. Тогда
L
существует потенциал U(x,y) и
Pdx + Qdy = —(x,y)dx + —(x,y)dy.
Следовательно, Р dx + Q dy = 0. •

508	Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
Теорема 1 не дает практического способа для выяснения вопро-
вопроса о потенциальности поля (Р, Q). Для односвязной области G дока-
докажем эффективный критерий, основанный на использовании формулы
Грина.
Теорема 2. Для того чтобы дифференцируемое в области G поле
было потенциальным, необходимо, а в случае односвязной области и
достаточно, чтобы выполнялось условие
dQ(x,y)	( ,
ду	дх '
О Необходимость. Пусть поле (Р(х,у), Q(x,y)) непрерывно диф-
дифференцируемо и потенциально. Тогда
v J	дх ' v J	ду '
откуда
dQ(x,y) = d2U(x,y) дР(х,у) = d2U(x,y)
дх	дхду '	ду	дудх
Так как производные дР/ду и dQ/dx непрерывны, то смешанные
производные Uxy, Uyx также непрерывны, а следовательно, равны.
Условие F) выполнено в области G.
Достаточность. Пусть поле (Р, Q) задано в односвязной облас-
области G С R и выполнено условие F).
Возьмем произвольную простую замкнутую ломаную L С G. Так
как область G односвязна, то ограничиваемая ломаной L область П С
С G и к ней применима формула Грина
= 0.	G)
Таким образом, интеграл G) равен нулю для любой простой
замкнутой ломаной L.
Теперь нетрудно показать, что интеграл G) равен нулю для любой
замкнутой ломаной (даже имеющей точки самопересечения).
Для трехзвенной ломаной интеграл G) всегда равен нулю, ес-
если эта ломаная замкнута. Если три ее вершины не лежат на одной
прямой, то трехзвенная ломаная
будет простой и по доказанному
интеграл G) равен нулю. Если же
,с л	' все три вершины лежат на одной
А	Б С прямой, то и в этом случае, как
легко видеть, интеграл равен нулю
гИС. 51.о	/	г _, пч
(рис. 51.8).
То, что интеграл G) равен нулю для любой n-звенной замкнутой
ломаной, докажем индукцией по числу звеньев ломаной.

§51. Формула Грина на плоскости
509
Пусть выполнено условие F) и интеграл G) равен нулю по любой
замкнутой ломаной, число звеньев которой меньше, чем п. Покажем
тогда, что криволинейный интеграл G) равен нулю и по любой замк-
замкнутой n-звенной ломаной. Если ломаная L(Ai, А2,..., Ап, А\) простая,
то это уже доказано. Пусть у L есть точки самопересечения. Предпо-
Предположим, что два звена, А1А2 и AkAk+i, пересекаются. Тогда либо они
пересекаются в единственной точке В (рис. 51.8), либо эти два звена
А2, A
Рис. 51.9
пересекаются по целому отрезку. В этом случае точки А
Ak+i лежат на одной прямой (рис. 51.9).
Рассмотрим первый случай. За последующими рассуждениями
проще следить по рис. 51.9. В случаях а и б ломаная L будет объеди-
объединением замкнутых ломаных Li(B, Ak+i,..., Ап, Ai, В) и L2(??,A2,...
..., AkjB). Количество звеньев L\ и L2 меньше п. По предположению
индукции интеграл G) по каждой из этих ломаных равен нулю. Сле-
Следовательно, он равен нулю и по их объединению — ломаной L.
Аналогично рассматривается и второй случай, когда точки Ai,
А2, Акч Ak+i лежат на одной прямой и отрезки А\А2 и А^А^+х пере-
пересекаются. Без ограничения общности можно считать, что точка А^
лежит на отрезке А\А^. Тогда L есть объединение замкнутых лома-
ломаных Li(Ak,Ak+i,...,An,Ai,Ak) и 1/2(А/,, А2,..., Ak-i, Ak), имеющих
меньше, чем п звеньев. Интеграл G) по L\ и L2 равен нулю. Следо-
Следовательно, он равен нулю и по ломаной L.
Так как интеграл G) равен нулю по любой замкнутой ломаной L С
С G, то в силу теоремы 1 поле (Р, Q) будет потенциальным. •
Заметим, что условие односвязности области существенно для
справедливости теоремы 2. Подтвердим это следующим примером.
Пример 2. Показать, что непрерывно дифференцируемое при
х2 + у2 > 0 плоское векторное поле
ТЭ(„ п,\ _	U	У
Q(x,y) = f^T-2	(8)
удовлетворяет условию F), но не является потенциальным при и; ф 0.
Л Условие F) выполняется, так как
дР_ = и; у2 -х2 = dQ_
ду 2тг (у2 + ж2J дх

510
Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
Рассмотрим окружность Cr, заданную уравнениями х = Rcost,
у = Rsint, 0 ^ t ^ 2тг. Тогда
/
Cr
— ydx
2тг
и в силу теоремы 1 поле (Р, Q) не может быть потенциальным.
Теорема 2 неприменима, поскольку поле определено в неодносвяз-
ной области G = {(ж, 2/): ж2 + у2 > 0}. А
Замечание. В гидродинамике поле (8) интер-
интерпретируется как поле скоростей точечного вихря,
расположенного в точке @, 0) и имеющего интен-
интенсивность и. Если перейти к полярным координа-
координатам Г, if, ТО
v = (P,Q) = —(-sin(p, coscp).
Жидкие частицы вращаются по концентричес-
концентрическим окружностям с постоянными скоростями, об-
обратно пропорциональными расстоянию от точечно-
точечного вихря (рис. 51.10).
Упражнение 3. Пусть в точке @, 0) помещен
точечный вихрь. Показать, что Р dx + Q dy равен
7	Г
нулю, если простой гладкий контур j не содержит вихрь внутри и Р dx +
-\-Qdy = и, если вихрь лежит внутри контура.	7
Упражнение 4. Пусть двусвязная область G С R ограничена глад-
гладкими контурами: внешним Г и внутренним j~, и пусть в С задано непре-
непрерывно дифференцируемое поле (Р, Q) такое, что dQ/dx = дР/ду. Показать,
что для любого простого гладкого контура С, содержащего j внутри, вы-
выполнено равенство
Рис. 51.10
[
= [
С	7
Упражнение 5. Пусть выполнены условия упр. 4. Показать, что внут-
внутри контура 7 можно поместить точечный вихрь такой, что поле (Р, Q) бу-
будет суммой поля точечного вихря и потенциального поля.
Упражнение 6. Обобщить результаты упр. 4 и упр. 5 на п-связные
области.
§ 52. Поверхности
1. Простые поверхности. Будем говорить, что функция f(u,v)
непрерывно дифференцируема на замкнутом множестве Е С /?2, ес-
если она определена и имеет непрерывные частные производные df/du
и djjdv на открытом множестве G, содержащем замкнутое мно-
множество Е.

§52. Поверхности	511
Пусть п — ограниченная область в /?2, а функции cp(u,v), ф(и,у)
и x(u,v) непрерывно дифференцируемы на замкнутом множестве п =
= (]U <9П, где дП — граница области П. Тогда отображение F: П —у /?3,
определяемое формулами
х = ip(u,v), у = ф(и,у), z = x(u,v), (u,v)€Q,	A)
называется непрерывно дифференцируемым. Если при этом в каждой
точке (u,v) E О, ранг функциональной матрицы
и\ •) ) *Ри\ •> ) Хи\ •) )	^2)
равен двум, то отображение F: Q —У R3 называется гладким.
Упражнение 1. Показать, что при непрерывно дифференцируемом
отображении F: ?1 —У R образ ограниченного плоского замкнутого множес-
множества Q есть связное ограниченное и замкнутое множество в прост-
пространстве /?3.
Если п есть замкнутое ограниченное множество в /?2, a F: Q, —У R3
есть_такое гладкое отображение, что соответствие между множества-
множествами п и Е = F(u) является взаимно однозначным, то будем множест-
множество Е называть простой поверхностью в /?3, а уравнения A) будем
называть параметрическими уравнениями простой поверхности Е.
Пусть область п ограничена простым гладким или кусочно_ глад-
гладким контуром 7- Образ кривой 7 при гладком отображении F: Q —У R3
будем называть краем простой поверхности Е и обозначать через <9Е.
Если уравнение кривой 7 имеет вид
и = u(t), v = v(t), a ^ t ^ /3,
то уравнение <9Е задается следующими формулами:
х = (p(ix(t),i;(t)), у = /0(ix(t),i;(t)), z = x(u(t),v(t)), a^t^fi. C)
Упражнение 2. Показать, что край простой поверхности есть глад-
гладкая (без особых точек) или кусочно гладкая кривая в /?3.
Указание. Продифференцировав но параметру t уравнения C), при-
приравнять результат нулю. Воспользоваться тем, что ранг матрицы B) равен
двум.
График функции z = f(x,y), непрерывно дифференцируемой на
замкнутом ограниченном множестве п С /?2, есть простая поверх-
поверхность, определяемая параметрическими уравнениями
х = и, у = v, z = f(u,v), (u,v)Efi,.	D)
В этом случае матрица
ранг матрицы B) равен двум.
Уи
является единичной, а поэтому

512
Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
Например, график функции z — ж2 + у2, (ж, у) Е П, где П = {(ж, у):
ж2 + у2 ^ 1}, есть простая поверхность. Окружность, получаемая при
пересечении параболоида вращения z = ж2 + у2 и плоскости 2 = 1,
является краем рассматриваемой простой поверхности.
Уравнения A) простой поверхности можно записать и в векторной
форме:	_
г = r(u,v), (u,v) G п,
т(и, v) = ip(u, v) i + ф(и, v)j-\- x(u?v) k.
С механической точки зрения формулы A) определяют гладкую
(без разрывов и изломов) деформацию плоской области п в множест-
множество Е (простую поверхность в пространстве /?3). Для практических
целей только простых поверхностей недостаточно. Например, сфе-
сфера ж2 + у2 + z2 = а2 не является простой поверхностью в /?3. Интуи-
Интуитивно ясно, что сферу нельзя получить никакой гладкой деформацией
плоской области.
Имея в виду приложения теории поверхностных интегралов, вве-
введем в рассмотрение класс почти простых поверхностей.
Пусть ft — плоская область и F: ft —> R3 — непрерывно дифферен-
дифференцируемое отображение. Будем множество Е = F(u) называть почти
простой поверхностью в /?3, если найдется расширяющаяся после-
последовательность ограниченных областей {Пп} таких, что пп С Пп+1,
(X)
Q = у []пи поверхности En = F(Qn) простые.
71=1
Пример 1. Сфера S = {(ж, у, z): ж2 + у2 + z2 — а2} есть почти
простая поверхность.
Л Введем сферические координаты (см. § 48, п. 5). Тогда сфера S
есть образ прямоугольника Q = <((р,ф): 0 ^ ср
при непрерывно дифференцируемом отображении F: п
ляемом формулами
2тг,
^ ф ^ — >
5, опреде-
опредеж = a cos (^ cos-0,
2/ = а sin (^ cos ф,
Образами отрезков ip =
= (^о5	^ Ф ^ ~ являются
меридианы, а при \фо\ < —
образами отрезков ф = ф0,
О ^ ср ^ 2тг являются парал-
Рис. 52.1	лели на сфере S. Отображе-
Отображение F: ft —У S не будет вза-
взаимно однозначным, так как меридианы ср = 0 и ср = 2тг совпадают, а

§52. Поверхности
513
отрезки гр = ± — , 0
сферы S.
Положим
2тг переходят в северный и южный полюсы
		(X)
Легко проверить, что Пп С Пп+1, П = (J Пп и что поверхности
_	п=1
En = F(un) являются простыми (рис. 52.1). Поэтому сфера S — почти
простая поверхность. А
Пример 2. Конус К = {(х,у, z): х2 + у2 = z2} есть почти простая
поверхность.
Л Введем цилиндрические координаты (см. § 48, п. 5). Тогда конус К
есть образ полуполосы
П = {(г, if): 0 ^ г < +оо, 0 ^ <р ^ 2тг}
при непрерывно дифференцируемом отображении F: п —У К таком,
что х = г cos if, у = г sin ср, z = г.
Это отображение не является взаимно однозначным, так как от-
2тг-1
О 1
Рис. 52.2
резок г = 0, 0 ^ (р ^ 2тг отображается в точку — вершину конуса К,
а образы лучей ip = 0 и у? = 2тг, г ^ 0 совпадают.
Положим (рис. 52.2)
-
n
, -<(р<2тг--\.
п	п)
Легко проверить, что Пп С
ОО
ь Q = у (]п и что поверхности
_	п=1
En = F(un) являются простыми. Поэтому конус К — почти простая
поверхность. А
Упражнение 3. Показать, что поверхность х2 + у2 = z2, 0
является почти простой.

514	Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
Если Е есть простая поверхность, заданная векторным уравнени-
уравнением E), а непрерывно дифференцируемые функции
и = и(и',г/), v = v(u',v'), (u',v') Е (У
задают взаимно однозначное отображение замыкания области П' на
замыкание ограниченной области П, причем якобиан отображения
ди_ ди_
'ди1 ~dv~i
d(u',vr)	dv_ dv_
ди' dv'
—/
отличен от нуля в П , то уравнение
г = r(u(u',v'),v(u',г/)) = p(u',г/); (u',v') G п',	F)
определяет ту же простую поверхность, что и уравнение E). Урав-
Уравнения E) и F) называют различными параметризациями поверхнос-
поверхности Е.
Как и в случае кривых, можно расширить класс параметризаций, до-
допуская и такие замены параметров, при которых непрерывная дифферен-
цируемость, взаимная однозначность и необращение в нуль якобиана
отображения нарушаются на границе области. Тогда можно получить такие
параметризации простой поверхности, задаваемые функциями, непрерыв-
непрерывная дифференцируемость которых не имеет места на границе области Q.
Пример 3. Кусок сферы x2+y2 + z2 = a2,0^z^-,x^0,y^0,
можно параметризовать двумя способами:
х — a cos ip cos ф, у = a sin ip cos ф, z — a sin ф,
G)
х — и, у — v, z — Vа2 - и2 - v2,
(u,v)eft, п= Uu,v): Щ- ^u2+v2 ^a2, u^O,v^
Л Переход от уравнений G) к уравнениям (8) задается формулами
и = a cos (^ cos-0, у = аБтсрсоБф, ((р,ф)?пг.	(9)
Якобиан отображения (9) равен a2 sin ф cos ф и обращается в нуль
при ф = 0, т. е. на части границы области п'. Это приводит к тому,
что при переходе к параметризации (8) частные производные функ-
функции z = yjo? - и2 - v2 стремятся к бесконечности при приближении
точки (u,v) к окружности и2 + v2 = a2. A
Как правило, в дальнейшем для простых поверхностей будут рас-
рассматриваться только такие параметризации, которые задаются не-
непрерывно дифференцируемыми на замкнутом ограниченном мно-
множестве функциями.

§52. Поверхности
515
2. Криволинейные координаты на поверхности. Пусть прос-
простая поверхность Е задана векторным уравнением E). Предположим,
что область п выпукла, [а, Ь] есть проекция области п на ось и. Ес-
Если ixo =Е (а, Ь), то прямая и = щ будет пересекаться с областью П
и0
Рис. 52.3
по отрезку и = ixo, ol ^ v ^ C (рис. 52.3). Образ этого отрезка при
отображении A) есть кривая
г = t(uo,v), a
A0)
лежащая на поверхности Е. Будем называть ее координатной кривой
и = ixo. Придавая щ все значения из отрезка [а, Ь], получим семейство
координатных кривых -u = const. Аналогично строится и семейство
координатных кривых v = const.
В силу взаимной однозначности отображения A) каждая точка А
поверхности S однозначно определяется как пересечение двух коор-
координатных кривых, и = щ ии = ^о. Пара чисел (щ, vo) называется кри-
криволинейными координатами точки А поверхности. Запись А(щ,Уо)
означает, что точка А поверхности Е задана криволинейными коор-
координатами (г^о,^о)-
Например, в сферических координатах часть сферы х2 + у2 + z2 =
= а2, ограниченная двумя меридианами и двумя параллелями, зада-
задается в криволинейных координатах ср, ф следующим образом:
Ч>\ ^ Ч> ^ <Р2, Ф\ ^Ф ^ Ф2-
На сфере координатные кривые ip = const — меридианы, а коор-
координатные кривые ф = const — параллели.
На прямом круговом цилиндре координатными линиями будут об-
образующие цилиндра и окружности, получающиеся при пересечении
цилиндра плоскостями, перпендикулярными образующей.
Вектор-функция r(uo,v) есть непрерывно дифференцируемая
функция параметра и, и, следовательно, координатная кривая и = щ,
определяемая равенством A0), является непрерывно дифференциру-
дифференцируемой. Вектор rv(ixo,^o) является касательным к этой кривой в точ-
точке A(uo,vo). Аналогично, вектор ги(щ,Уо) касателен к координатной
кривой v = vo в точке А(щ,Уо). Заметим, что векторы ru(uo,vo) и
rv(uojVo) не могут обратиться в нуль, так как в этом случае ранг

516
Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
матрицы B) будет меньше двух. Следовательно, для простой поверх-
поверхности координатные кривые являются гладкими.
Если область п не является выпуклой, а точка (щ,Уо) лежит внут-
внутри П, то нужно взять выпуклую окрестность точки (uo,vo), лежащую
внутри п. Тогда образ этой выпуклой окрестности будет куском по-
поверхности Е и координатные кривые можно строить на этом куске
поверхности (локально).
3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Пусть Е есть простая поверхность, заданная уравнениями A) или
векторным уравнением E). Рассмотрим точку A(u,v) на поверхнос-
поверхности Е, где (u,v) — внутренняя точка области П. Построим коорди-
координатные линии и = const и v = const, проходящие через точку A(u,v).
Векторы ru(u,v) и rv(u,v) будут касательными к соответствующим
координатным линиям.
Лемма 1. В любой точке A(u,v) простой поверхности Е векто-
векторы ru(u, v) и rv(и, v) неколлинеарны. Направление вектора N = [ru, rv]
при изменении способа параметризации или не меняется, или изме-
изменяется на противоположное.
О Рассмотрим вектор N = [rw,rv] во всех точках поверхности Е.
Тогда
N =
Уи zu
Уу zv
i +
zv Хц
j +
xu Уи
Xy Уу
k.
Если N = 0, то все компоненты вектора N равны нулю, и ранг
матрицы B) будет меньше двух, что невозможно для простой поверх-
поверхности. Пусть поверхность Е параметризована двумя способами, E)
и F). Тогда, воспользовавшись правилом нахождения частных произ-
производных сложной функции и аддитивностью и кососимметричностью
векторного произведения, получаем
ди
dv
dv
N/	г	n	UU ,	UV	UU ,	UV
ди dv ди dv
d(u,v)
d(u',v')
т. е.
Так как якобиан J =
N' = N
d(u,v)
d(u,v)
d(uf,vf)'
не обращается в нуль в области
(П)
d(uf,vf)
то векторы N'mN коллинеарны. Эти векторы сонаправлены, если
J > 0, и противоположно направлены, если J < 0. •
Упражнение 4. Показать, что простая поверхность обладает тем
свойством, что для каждой ее внутренней точки найдется такая окрест-
окрестность, в которой поверхность совпадает с графиком некоторой дифферен-
дифференцируемой функции.

§52. Поверхности	517
Указание. Воспользоваться теоремой о неявных функциях, опреде-
определяемых системой двух уравнений.
Векторы ±N = =L[rw,rv] будем называть векторами нормали к по-
поверхности а в точке A(u,v).
Лемма 2. Вектор нормали к простой поверхности Е в точке
A(uo,vo) ортогонален ко всем гладким кривым, лежащим на поверх-
поверхности и проходящим через точку А(щ,Уо).
О В самом деле, такая кривая есть образ при отображении E) неко-
некоторой гладкой кривой, лежащей в области п и задаваемой уравнени-
уравнениями и = u(t), v = v(t), а ^ ? ^ /3.
Уравнение кривой на поверхности тогда имеет вид
г = r(u(t),v(t)), a^t^f3, u(to)=uo, v(to)=vo.
Касательный вектор т к этой кривой в точке А есть
т = ± (r(«(to),«(*o))) = ru(u0,v0) ^M+r(u0v0) dv(to)
Итак, г есть линейная комбинация векторов yu(uq,vq) и rv(uo,vo).
Так как вектор N ортогонален ru(uo,vo) и rv(щ,Уо), то он ортого-
ортогонален и вектору т, т. е. вектор нормали к поверхности в точке А
ортогонален к любой гладкой кривой, лежащей на поверхности и про-
проходящей через точку А. •
Плоскость, проходящая через точку A(u,v) поверхности и орто-
ортогональная вектору N, называется касательной плоскостью к поверх-
поверхности в точке А. Пусть (X, У, Z) — декартовы координаты точки
касательной плоскости и пусть R = Х\ + Yj + Zk. Тогда векторы
K-r(u,v), ru(u,v) и rv(u,v) параллельны касательной плоскости,
следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Поэтому век-
векторное уравнение касательной плоскости имеет вид
(K-t(u,v), tu(u,v), tv(u,v)) = 0.
В силу равенства A1) форма этого уравнения не зависит от выбо-
выбора параметризации поверхности. Уравнение касательной плоскости в
координатах имеет следующий вид:
X — x(u,v) Y — y(u,v) Z — z{u,v)
xu(u,v)	yu(u,v)	zu(u,v)
xv(u,v)	yv{u,v)	zv(u,v)
Нормалью к поверхности в точке A(u,v) называется прямая, про-
проходящая через точку А и параллельная вектору нормали в точке А.
Так как при изменении параметризации вектор нормали не меняет
своего направления или изменяет его на противоположное в каждой
точке поверхности, то нормаль не зависит от параметризации. Ее век-
векторное уравнение имеет вид
R - r(u, v) = k [ru, rv], -оо < к < +оо.
= 0.

518
Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
В декартовых координатах уравнение нормали можно записать
следующим образом:
X — х(и, v) _ Y — y(u,v) _ X — z(u,v)
yuzv - yvzu zuxv - zvxu xuyv - xvyu '
4. Кусочно гладкие поверхности. Из определения простой по-
поверхности, данного в п. 1, следует, что она есть гладкий и взаимно
однозначный образ некоторой плоской области, т. е. получается из
этой области при помощи гладких (без изломов) деформаций (отобра-
(отображений). Ясно, что многие объекты, которые мы привыкли называть
поверхностями, не будут простыми поверхностями. Так, сфера не мо-
может быть непрерывным образом деформирована в плоскую область.
Коническая поверхность не может быть получена гладкой деформа-
деформацией плоской области.
Попытки дать общую классификацию поверхностей увели бы нас
далеко в область высшей геометрии. Замечательным классом поверх-
поверхностей в R3 являются гладкие многообразия размерности 2, т.е. связ-
связные множества, которые локально (в окрестности каждой своей точ-
точки) устроены, как простая гладкая поверхность. Например, сфера
будет гладким многообразием. Если А есть точка сферы радиуса а,
то шар S?(A) при г < а вырезает из сферы простой кусок.
Хотя локально гладкие многообразия устроены просто, но в целом,
глобально, они могут иметь очень сложное строение. Представьте се-
себе такие гладкие поверхности, как бублик (тор), бублик с двумя ды-
дырами или еще более причудливую поверхность, которая называется
Рис. 52.4
бутылкой Клейна (рис. 52.4). Все эти многообразия можно разрезать
на конечное число гладких простых поверхностей (или, что то же са-
самое, их можно склеить из конечного числа простых гладких кусков).
Из гладких кусков можно скле-
склеивать не только гладкие многооб-
многообразия, но и связные поверхности,
имеющие ребра и вершины (напри-
(например, поверхности многогранников)
(рис. 52.5).
Мы не станем тут занимать-
заниматься математической формализацией
таких понятий, как разрезание и склеивание поверхностей, и тем
Рис. 52.5

§52. Поверхности	519
более основанной на этом классификации поверхностей. Заметим
только, что трудности возникают при построении общих теорий. В
любом разумном частном случае нет проблем с разрезанием поверх-
поверхности на простые куски. Поверхность, которую можно разрезать на
конечное число простых кусков, будем называть кусочно гладкой.
5. Ориентируемые поверхности. Будем говорить, что гладкая
поверхность ориентируема, если можно построить на этой поверх-
поверхности непрерывное поле единичных нормальных векторов. Говорят,
что это поле единичных нормалей определяет ориентацию (или сто-
сторону) поверхности. Меняя направление всех единичных нормалей на
противоположное, получим опять непрерывное поле единичных нор-
нормальных векторов. Говорят, что оно определяет противоположную
ориентацию (другую сторону) поверхности. На простой гладкой по-
поверхности всегда определено непрерывное поле единичных нормаль-
нормальных векторов
Произвольные гладкие поверхности могут быть как ориентируе-
ориентируемыми (двусторонними), так и неориентируемыми (односторонними).
Торы, изображенные на рис. 52.4, ориентируемы; бутылка Клей-
Клейна — неориентируемая (односторонняя) поверхность. Легко постро-
построить лежащий на этой поверхности замкнутый гладкий контур такой,
что, выбирая в какой-то точке контура вектор единичной нормали к
поверхности и непрерывно изменяя его при движении по контуру, мы
придем к начальной точке с противоположным направлением норма-
нормали. Следовательно, на бутылке Клейна построить непререрывное поле
единичных нормальных векторов невозможно.
Заметим еще, что сфера, тор, тор с двумя дырами (рис. 52.4) де-
делят пространство на ограниченную и неограниченную области, общей
границей которых они являются. Бутылка Клейна таким свойством
не обладает.
Можно доказать, что гладкая поверхность, являющаяся границей
области в /?3, ориентируема. Ее внутренняя сторона задается нор-
нормальными векторами, направленными внутрь области (внутренни-
(внутренними нормалями), внешняя сторона определяется внешними нормалями.
Очевидно, что для построения поля внутренних нормалей к границе
области достаточно построить внутреннюю нормаль к какой-то одной
точке границы.
Каждая плоскость делит пространство R3 на два полупространст-
полупространства. Если плоскость рассматривать как границу полупространства, то
внутренняя нормаль определяется естественным образом как направ-
направленная внутрь полупространства (рис. 52.6). Если 8G есть гладкая

520
Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
О
Рис. 52.6	Рис- 52-7
граница области G, то касательная плоскость в точке х Е 8G назы-
называется опорной, если область лежит по одну сторону от касательной
плоскости, т. е. в одном из полупространств, определяемых этой плос-
плоскостью. В точке х Е 8G определена внутренняя нормаль (рис. 52.7).
Упражнение 4. Доказать, что для ограниченной области G с гладкой
границей хотя бы в одной точке границы существует опорная касательная
плоскость.
Указание. Разбить множество всех полупространств z ^ а на два
класса: класс полупространств К\, содержащих G, и Кч — класс всех про-
прочих полупространств вида z ^ а. Плоскость z = sup а, где sup берется по
всем полупространствам первого класса, будет опорной.
о
Рис. 52.8
Рис. 52.9
Границу области G, ориентированную внешними нормалями, бу-
будем обозначать через 8G, а внутренними — через 8G~.
Несколько более сложно определяется ориентация кусочно гладких
поверхностей.
Пусть Е — простая поверхность (рис. 52.8), т. е. гладкий и вза-
взаимно однозначный образ замыкания плоской области п. В декарто-
декартовых координатах отображение задается равенствами A). Прообразом
гладкого простого контура Г С Е будет простой гладкий контур 7 С П.
Будем говорить, что контур Г ориентирован положительно, если его
прообраз 7 ориентирован в плоскости (u,v) положительно (рис. 52.9),
т. е. при обходе контура 7 область, им ограничиваемая, остается слева
(вектор касательной и вектор внутренней нормали образуют правую

§ 52. Поверхности
521
пару векторов в ориентированной плоскости (u,v)). Будем говорить,
что ориентация простой поверхности Е, задаваемая полем единичных
нормалей
п= [Г и, Ту]
\[ru,rv]\J
согласована с положительной ориентацией простых контуров, лежа-
лежащих на поверхности Е.
Покажем, что предложенное правило согласования ориентации по-
поверхности с ориентациями простых контуров, лежащих на поверхнос-
поверхности, совпадает с известным правилом правого винта. Пусть А(щ,Уо) Е
Е Е, т. е. (щ,Уо) Е П. Без ограничения общности можно считать, что
и0 = 0, г?о = 0. Построим в точке А@, 0) касательную плоскость и ори-
ориентируем ее вектором нормали п или, что то же самое, парой векторов
(rw@, 0),rv@, 0)). Возьмем в плоскости переменных и, v окружность
радиуса е с центром в точке @,0):
u = scost, v = ssmt, 0 ^ t ^ 2тг.
Ее образ на поверхности есть простой замкнутый контур Г:
г = г(s cos ?, г sin t), 0 ^ t ^ 2тг.
С точностью до о(е) при г ->• 0 получаем, что
г = г@,0) + гги@,0) cos t + гrv@,0) sint + o(e).
С точностью до о (г) кривая Г есть эллипс в касательной плоскос-
плоскости, ориентированной парой векторов (rw@,0), rv@,0)).
Ориентация эллипса положительна (рис. 52.10). Если смотреть на
касательную плоскость со стороны вектора нормали п, то движение
Касательная
плоскость
Рис. 52.10
по эллипсу происходит против часовой стрелки, от вектора rw@,0) к
вектору rv@,0) (область, ограничиваемая эллипсом, остается слева).
Пусть кусочно гладкая поверхность Е склеена из гладких простых
кусков Ei, E2,..., Еп. Если склеивание происходит вдоль кривой 7?

522
Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
то после удаления концов кривой j она входит в края двух и толь-
только двух поверхностей Е^. Кусочно гладкая поверхность Е называет-
называется ориентируемой, если можно так ориентировать гладкие куски Е^,
г = 1, п что после согласования ориентации Е^ с ориентациями <9Е^ лю-
любая кривая склейки будет входить в состав краев соответствующих
Рис. 52.11
двух поверхностей с противоположными ориентациями (рис. 52.11).
Можно показать, что кусочно гладкая поверхность, являющая-
являющаяся границей ограниченной области, ориентируема, при этом каждый
ее гладкий кусок можно ориентировать внутренними нормалями. В
дальнейшем мы будем рассматривать только ориентируемые гладкие
и кусочно гладкие поверхности.
§ 53. Площадь поверхности
1. Первая квадратичная форма поверхности. Пусть простая
поверхность (см. § 52) задана векторным уравнением
r = r(u,v), (u,v)eu,
где П — плоская область.
Найдем скалярный квадрат вектора
dr = ru(u,v) du + rv(u,v) dv.
Полагая
E=(ru,ru), F = (ru,rv), G=(rv,rv),
получаем, что справедлива формула
|dr|2 = (dr,dr) =E(u,v)du2 + 2F(u,v)dudv + G(u
A)
B)
C)
Выражение, стоящее в правой части равенства C), называется
первой квадратичной формой поверхности, числа Е, F и G называют-
называются коэффициентами первой квадратичной формы поверхности.
Лемма 1. Первая квадратичная форма простой поверхности по-
положительно определена, т. е. \dr\2 > 0, если (duJ + (dvJ > 0.

§ 53. Площадь поверхности
523
О Так как
(а, Ь) = |а| • |b|cosab,
a,b =
| sinab|,
то справедливо тождество
|[a,b]|2 = |a|2-|b|2-|(a,b)|2.
Подставляя в это тождество а = ги, Ъ = rv и пользуясь тем, что
в любой точке простой поверхности векторы ги и rv неколлинеарны,
получаем
\[ru,rv}\2 = EG - F2 > 0.
Условия Е > О, G > О, EG - F2 > 0 достаточны для положительной
определенности первой квадратичной формы поверхности. •
Говорят, что первая квадратичная форма задает на поверхности
метрику. Зная коэффициенты первой квадратичной формы поверх-
поверхности, можно вычислить длины кривых, лежащих на поверхности,
определить площадь поверхности. Например, дифференциалы длин
дуг координатных кривых, проходящих через точку A(u,v) поверх-
поверхности, равны следующим величинам:
ds\ = |rucfoi| = y/E\du\, ds2 = \rv dv\ = VG\dv\.	D)
2. Площадь простой поверхности. Пусть простая поверхность
задана уравнением A). Рассмотрим на поверхности криволинейный
параллелограмм, ограниченный координатными линиями и, и + Аи,
v, v + Av. Векторы ru(u,v)Au и rv(u,v)Av будут касательными к
v-\-Av
О
А
1
и+Аи и
1 N
Рис. 53.1
координатным линиям, проходящим через точку A(u,v) поверхнос-
поверхности (рис. 53.1), а длины этих векторов в силу формул D) будут от-
отличаться от длин сторон криволинейного параллелограмма на о(Аи)
и o(Av) соответственно при Аи ->• 0, Av ->• 0. Поэтому естественно
считать, что площадь криволинейного параллелограмма приближенно
равна площади dS параллелограмма, построенного на векторах ги Аи
и rv Av. Таким образом, при Аи > 0, Av > 0
dS = \[ru,rv]AuAv\ = y/EG-F2dudv.
Выражение E) называется элементом площади поверхности.
E)

524	Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
Определим формально площадь простой поверхности ? как сле-
следующий двойной интеграл (область п предполагается измеримой по
Жор дану):
?(?) = jj\[rUjrv]\dudv = JJ^EG-F^dudv.	F)
Q	Q
Это определение оправдано приведенными выше эвристическими
рассуждениями, а также перечисленными ниже свойствами площади
поверхности.
Свойство 1. Число S(?) не зависит от способа параметризации
поверхности.
О Пусть переход от параметрического уравнения A) к параметри-
параметрическому уравнению
совершается при помощи взаимно однозначного и непрерывно диффе-
дифференцируемого отображения области Q' на область П с якобианом, не
равным нулю. Тогда, воспользовавшись формулой A1), § 52 и форму-
формулой замены переменных в двойном интеграле, получаем
S(E) = JJ\[pu,,pv,]\du'dv' =
Свойство 2. Если поверхность ? есть плоская измеримая по
Жордану область П, заданная уравнениями
х = и, у = v, z = 0, (и, v) e п,
то ее площадь, вычисленная при помощи формулы F), совпадает с
плоской мерой Жордана области П.
О Так как
г = («,«,0), г„ = A,0,0), г„ = @,1,0), E = G = 1, F = 0,
то
= ffdudv = т(п).
Q	Q
Свойство 3. Выражение 5(Е) аддитивно зависит от поверх-
поверхности.
О Если область П гладкой перегородкой разбита на области Cti и 1^2,
то и поверхность Е разобьется на простые поверхности Ei и ?2. Из
аддитивности двойного интеграла по области интегрирования следу-
следует, что
S(?) = S(Z!) + S(?2). •
Свойство 4. Для поверхности, являющейся графиком непрерыв-
непрерывно дифференцируемой функции на замыкании измеримой по Жордану

§53. Площадь поверхности	525
области П, формула F) для площади поверхности имеет следующий
вид:
5(Е) = / / л/l + /2 + fy dx dy.	G)
Q
О Действительно, так как
T = (x,y,f(x,y)), rx = (l,0,fx(x,y)), Ту = @,1, fy(x,y)),
то
E = rl = l + fl F = (тх,ту) = fxfv, G = r2=l + /2,
тр/^i	 7712 	 (Л Л- ^\(~\ -\- f^\ 	 i2 i2 	 Л A- i2 A- i2 #
Пример 1. Найти площадь части сферы х2 + у2 + z2 = а2, выре-
вырезаемой из нее цилиндром х2 - ах + у2 — 0 (см. рис. 48.10).
Л В силу симметрии достаточно ограничиться рассмотрением той
части сферы, которая лежит в первом октанте. Цилиндр будет выре-
вырезать из нее множество точек, определяемое следующими неравенст-
неравенствами и равенствами:
х2 + у2 + z2 = а2, х2 - ах + у2 ^ 0,
х ^ 0, 2/^0, ^ ^ 0.
Если перейти к сферическим координатам,
полагая
х = a cos ф cos <?, у = a cos т/> sin с?,
(9)
то система равенств и неравенств (8) эквивалентна равенствам (9) и
неравенствам
о «s ч> ^ Ф ^ \,	(ю)
определяющим в плоскости параметров ((p,ip) треугольную об-
область п (рис. 53.2). Интересующая нас простая поверхность есть
образ треугольной области п при отображении (9).
Вычислим коэффициенты первой квадратичной формы. Получаем
г = (a cos ф cos cp, a cos ф sin cp, asin^),
!> = (—a sin-0 cos (p, — a sin-0 sin (p, acos^),
r^ = (—a cos-0 sin (p, a cos-0 cos (p, 0),
E = r| = a2, F = (t^t^) = 0, G = r2 = a2 cos2 ^.
Площадь части сферы х2 + у2 + z2 = a2, вырезаемой из нее ци-
цилиндром х2 — ах + у2 = 0, равна
тг/2 тг/2
= 4 ffy/EG - F2 dipйф = 4 / dy> / a2 cosфAф = 4a2(|| - l). A

526	Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
3. Площадь почти простой поверхности. Почти простая по-
поверхность была определена в § 52. Она задается уравнением г = г (и, v),
(u,v) G П, где П — плоская область. По определению найдется после-
последовательность ограниченных областей {пп} такая, что пп С Пп+Ь
ОО
Q = у ПП5 а поверхности Еп, определяемые уравнениями г = г (и, v),
п=1 _
(u,v) Е Пп, являются простыми. Предположим дополнительно, что
области пп измеримы по Жордану. Тогда под площадью S(E) почти
простой поверхности будем понимать lim S(En).
п—>-оо
Так как числовая последовательность S(En) монотонно возраста-
возрастает, то она всегда имеет конечный или бесконечный предел
S(E) = lim S(En) = lim ff \JEG - F2 du dv =
= ffV
EG-F2dudv. A1)
Q
Интеграл в формуле A1) нужно понимать как несобственный (см.
§ 49). Если область П измерима по Жордану, а функция \JEG — F2
ограничена на П, то интеграл в формуле A1) будет двойным интег-
интегралом Римана.
Пример 2. Найти площадь части боковой поверхности конуса
z2 = х2 + у2, z ^ 0, вырезаемой из нее цилиндром х2 — ах + у2 = 0.
Л Обозначим часть боковой поверхности конуса, вырезаемую из нее
цилиндром, через Е. Если перейти к цилиндрическим координатам,
то Е будет почти простой поверхностью, определяемой параметри-
параметрическими уравнениями
= г, (r,(^) GO,
Найдем коэффициенты первой квадратичной формы этой поверх-
поверхности:
г = (rcos(^, r sin cp, r), r^ = (-rsiri(p, rcos(p, 0),
rr = (cosy>, sirup, 1), E = r?, = r2, F = 0, G = r2 = 2,
- F2 dr dip = гл/2 dr dip.
Применяя формулу A1), получаем
тг/2 a cos <р	о /—
5(Е) = JJV2rdrdip = V2 J dip j rdr = ^^. A
fi	-тг/2	О
Если поверхность Е не является простой или почти простой, но
может быть разрезана на конечное число простых кусков, то ее пло-
площадью называют сумму площадей всех простых кусков.

§54- Поверхностные интегралы	527
§ 54. Поверхностные интегралы
1. Поверхностные интегралы первого рода. Пусть Е — прос-
простая (почти простая) поверхность, заданная векторным уравнением
г = r(u,v), (u,v) G П. Пусть на поверхности Е определена непрерыв-
непрерывная функция F(x,y,z). Двойной интеграл (несобственный интеграл)
F(x(u,v), y(u,v), z(u,z))\[ru,rv]\dudv
Q
будем называть поверхностным интегралом первого рода от функции
F(x,y,z) по поверхности Е и обозначать символом FdS. Таким
образом, по определению	Е
ЦFdS = JjF(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \[ru,rv]\dudv.	A)
?	Q
Интеграл A) не зависит от выбора параметрического уравнения
поверхности. Это доказывается так же, как и для интеграла F), § 53,
задающего площадь поверхности. Аддитивность интеграла A) отно-
относительно поверхности следует из аддитивности двойного интеграла
по области интегрирования.
Если функция F(x,y,z) ^ 0, то ее можно интерпретировать как
плотность материальной поверхности. В этом случае интеграл A) ра-
равен массе поверхности. В самом деле, произвольному разбиению об-
области П на области f^, г = 1,п, соответствует разбиение поверхнос-
поверхности Е на простые поверхности Е^ г = 1,п. Применяя интегральную
теорему о среднем, получаем, что
= JJ\[ru,rv]\dudv =
п
Символ |[rw,rv]|f означает, что значение функции |[rw,rv]| вычис-
вычислено в некоторой точке (щ,Уг) G П. Масса поверхности приближенно
равна следующей сумме:
п	п
(xi,yu Zi)S(Y,i) =^2 F(x(ui,Vi),y(ui,Vi),z(ui, Vi))\[ru,rv]\i m(ui).
i=i
Точное значение массы есть по определению предел этой суммы
при мелкости разбиения, стремящейся к нулю, т. е. равняется интег-
интегралу A).
В § 53 было дано выражение величины |[rw,rv]| через коэффици-
коэффициенты первой квадратичной формы поверхности. Подставляя это вы-
выражение в формулу A), получаем следующее выражение для поверх-
поверхностного интеграла первого рода:
jJFdS= f[F(x(u, v),y(u, v),z(u, v))^EG - F2 dudv. B)

528
Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
Пример 1. Найдем положение центра тяжести однородной полу-
полусферы х2 + у2 + z2 = R2, О 0.
Л Без ограничения общности считаем, что плотность р = 1. Пара-
Параметризуем полусферу
х = R cos ip cos ip, у = R sin cp cos ip, z — R sin -0,
В примере 2, § 53 было вычислено, что л/EG - F2 = R2 cos^. Масса
полусферы равна числу
тг/2
2тг
М = ffdS = [dip [ л/EG - F2 dib = [dip [ R2 cosibdib = 2ttR2.
J J	J J	J J
E	0	0	0	0
Координата zc центра тяжести есть
zr. =
о о
2тг тг/2
= ^-j^ J dtp J R3 cos гр sin гр dip = -.
о о
В силу симметрии полусферы хс = ус = 0. А
Для поверхности Е, являющейся графиком непрерывно дифферен-
дифференцируемой функции z = f(x,y), (x,y) G П, формула B) принимает сле-
следующий вид:
JJFdS = JJf(x, y,z(x,y))y/l + zl + z\ dx dy.
C)
Для функции F(x,y,z), непрерывной на кусочно гладкой поверх-
поверхности Е, поверхностный интеграл определяется как сумма по-
поверхностных интегралов по всем
гладким кускам.
Пример 2. Вычислить поверх-
поверхностный интеграл
dS
(l+x
= /
D)
по кусочно гладкой поверхности Е,
являющейся границей симплекса
Рис. 54.1	Г = {(x,y,z) : х > 0, у > 0, z >
^ 0, x + y + z^l} (рис. 54.1).
Л Граница Е симплекса Т состоит из четырех треугольных граней:

§54- Поверхностные интегралы	529
грань D\ лежит в плоскости z = О, грань D^ лежит в плоскости
у = 0, грань Ds лежит в плоскости х = 0, а грань D^ — в плоскости
х + у + z = 1. Обозначим поверхностные интегралы по соответствую-
соответствующим граням через Д, /2, /з и /4.
Воспользовавшись формулой C), получаем
0 0
В силу симметрии подынтегрального выражения в формуле D) отно-
относительно х и у получаем, что
[ dy [У	[(l-y)dy
Уравнение грани ?>4 можно записать в виде z = 1 - х - у, (х,у)
G Z?i. Применяя формулу C), получаем
т Н
^ ~ JJ
Складывая интегралы, находим значение интеграла D):
J = Д + J2 + Jg + J4 = A + Д/З)/! + 2/2 =
= A + л/3) (ln2 - 1) + 2A - In2). А
2. Поверхностные интегралы второго рода. Пусть в некото-
некоторой окрестности простой поверхности Е задано непрерывное вектор-
векторное поле, т. е. определена вектор-функция
а(ж, у, z) = (Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z)),	E)
компоненты Р, Q, R которой есть непрерывные функции в некоторой
области, содержащей поверхность Е.
Ориентируем поверхность Е единичными нормалями
N
n=|N|' N = [r«'r^]'	F)
Противоположная ориентация поверхности Е возникает при заме-
замене в формуле F) вектора N на вектор -N. Заметим еще, что для
простой поверхности |N| ф 0.
Спроектируем в каждой точке поверхности Е вектор а на нормаль-
нормальный вектор. Тогда на поверхности Е будет определена непрерывная
функция F(x,y,z) = (а, п), знак которой зависит от ориентации по-
поверхности.

530	Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
Потоком вектор-функции a.(x,y,z) через ориентированную поверх-
поверхность Е назовем следующий поверхностный интеграл первого рода:
||(a,n) dS.	G)
Е
Подчеркнем то обстоятельство, что при изменении ориентации на
противоположную интеграл G) меняет знак. Интеграл G) называют
также поверхностным интегралом второго рода.
Для поверхностного интеграла второго рода используют еще и сле-
следующие обозначения:
р р	р р	р р	^	^	^	^	^	^
/ / (a, n) dS = andS = (Р cos пх + Q cos ny + R cos nz) dS =
Е
= Г Г (P dy dz + Q dz dx + Rdx dy). (8)
E
Если a.(x,y,z) есть векторное поле скоростей движущейся
жидкости, то абсолютная величина интеграла G) равна массе жидкос-
жидкости единичной плотности, протекающей через поверхность за единицу
времени. Отсюда и происходит слово "поток".
Воспользовавшись формулой A) для вычисления интеграла G),
выразим поток векторного поля а через простую поверхность Е,
ориентированную нормалями F), при помощи двойного интеграла
по плоской области п от смешанного произведения трех векто-
векторов (sl,tu,tv):
Е
,n)dS = JJ \^,-—j\[ru,rv]
= / / (a, N) du dv = / / (a, ru, rv) du dv. (9)
Q	Q
При выводе формулы (9) была использована формула F).
Запишем формулу (9) в координатной форме:
Р Q R
ffPdydz + Qdzdx + Rdxdy = Г Г
Уи
dudv =
= JJ[p(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) |g|
,z) |
+ R(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) ^Щ] dudv. A0)
При выводе формулы A0) было применено разложение определите-
определителя третьего порядка по элементам первой строки; определители вто-
второго порядка записаны через соответствующие якобианы.

§54- Поверхностные интегралы	531
Формула A0), несмотря на ее громоздкий вид, удобна для запо-
запоминания. При переходе от левой части к правой нужно произвести
следующие замены символов:
д(у z)	d(z х)	д(х у)
dy dz —> _; \ dudv, dzdx —> -^-J—- dudv, dxdy —> .) { dudv,
o(u,v)	o(u,v)	o(u,v)
но при этом важно помнить, что левую часть нужно записывать в том
виде, как в формуле A0), не допуская в символах типа dx dy переста-
перестановок. В левой части формулы A0) достаточно запомнить написание
слагаемого Rdxdy, так как остальные слагаемые получаются при по-
помощи круговой перестановки символов.
Полагая в формуле A0) Р = Q = 0, получаем
Г Г	Г Г	0(х z/)
\\Rdxdy— R(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) , ' dudv.	A1)
J J	J J	C/yUj VJ
E
Аналогично
IIP dy dz = // P(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) -^-—{ dudv,
JJ	JJ	o(u,v)
E	Q
Г Г	Г Г	д(z x^)
\\Qdzdx— 11 Q(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) f ' ' dudv.
E	Q
Особенно просто вычисляется поверхностный интеграл A1), если
поверхность Е задается как график непрерывно дифференцируемой
функции z = f(x,y), (x,y) G П. В этом случае
JJR dx dy = ffR(x, у, /(ж, у)) dx dy.	A2)
Е	Q
Ясно, что в формуле A2) выбрана такая ориентация поверхнос-
поверхности Е, при которой нормаль п составляет острый угол с осью Oz, так
как
N = (-fx,-fy,l), cosnz =	= > 0.
V1 + Тх+ Ту
Заметим, что формула A2) может иметь смысл и в том случае,
когда частные производные fx(x,y) и fy(x,y) не определены на п. В
этом случае будем под поверхностным интегралом Rdxdy пони-
Е
мать двойной интеграл в правой части формулы A2).

532
Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
Пример 3. Вычислить поверхностный интеграл
z2 dx dy
по внешней стороне полусферы х2 + у2 + z2 = 1, z ^ 0 (внешняя сто-
сторона определяется нормалями, направленными от центра).
Л Полусферу Е можно задать как график функции z = y/l - х2 - у2,
(х,у) G О, 1] = {(ж,у) : х2 + у2 ^ 1} (рис. 54.2). Внешняя сторона
О
Рис. 54.2
О
Рис. 54.3
полусферы в данном случае определяется нормалями, составляющими
острый угол с осью Oz. Воспользовавшись формулой A2), получаем
z2 dx dy = / / A — х2 — у2) dx dy =
27Г
о о
Пример 4. Вычислить поверхностный интеграл
zdxdy
по внешней стороне конической поверхности z2 = х2 + ^/2, 0 ^ z ^ 1,
считая, что внешняя сторона определяется нормалями, составляющи-
составляющими с осью Oz тупой угол (рис. 54.3).
Л Уравнение поверхности Е можно задать в виде
z = ^/x2+y2, (х,у)еП, П = {(х,у): 0<х2+у2^1}.
Воспользуемся формулой A2), но теперь двойной интеграл в этой
формуле нужно взять со знаком минус, так как поверхность Е ори-
ориентирована нормалями, составляющими с осью Oz тупой угол. Сводя
поверхностный интеграл к двойному, а затем переходя к полярным

§54- Поверхностные интегралы
533
координатам, получаем
2тг 1
zdxdy = — // л/х2 -\-у2 dxdy = - dip r2 dr = --^. А
Е	ж2+у2^1	О О
Заметим, что для почти простой поверхности Е интеграл в фор-
формуле (9) существует как несобственный или как интеграл Римана.
По определению будем считать, что этот интеграл есть поток через
почти простую поверхность.
Пример 5. Вычислить поток вектора а= (x3,y3,z3) через внут-
внутреннюю сторону конической поверхности z2 = х2 + у2, 0 ^ z ^ 1 (см.
рис. 54.3).
Л Поверхность конуса можно параметризовать следующим образом:
г = г cos if i + г sin if j + r k, (r, if) G П,
Воспользовавшись формулой A0), получаем
2тг
r3 cos3 (
—r simp
r3 sin3 <p
sin(^
r cos if
drdip =
= dip
0 °
r4 (cos2 <p + sin2
— cos4 if — sin4 if) dr =
2 /* 2 -2л	1Г.2ОЛ	^
= - / cos (^ sm ifdif— — sm Zip dip = —.
5«/	ID«/	ID
Заметим еще, что при параметризации A3) для проекции вектора
нормали N на ось Oz справедливо неравенство
_ d(x,y) _
cos if sm if
—r sin if r cos if
= r
0.
Поэтому вектор нормали n = N/|N| составляет с осью Oz острый
угол и вектор п определяет внутреннюю сторону конической поверх-
поверхности. А
Пример 6. Поле скоростей точечного источника массы, помещен-
помещенного в начале координат, задается формулами
а=—^, r=(x,y,z), г = |г
+У2 +
Найти поток вектора а через внешнюю сторону сферы радиуса R
с центром в начале координат.
Л Имеем
г	( , Q ( y r\ Q
п = -,	(а, п) = -?- \—, -	= —^-т,
г 4тг \г6 г J 4:7rrz

534	Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы
ЕЕ	Е
Поток через кусочно гладкую ориентированную поверхность ра-
равен по определению сумме потоков через все гладкие куски.
Пример 7. Вычислить поверхностный интеграл
J — ху dx dy
Е
через внешнюю сторону поверхности Е, являющейся границей
симплекса Г = {(ж,y,z): х ^ 0, у ^ 0, z ^ 0, х + у + z ^ 1} (см.
рис. 54.1).
Л Как и в примере 2, обозначим через Ji, J2, J3, J4 соответствую-
соответствующие поверхностные интегралы по граням симплекса. Получаем
1	X
Л = JJ xydxdy = - Jdxjxydy = --, J2 = jjxydxdy = О,
?>1	0 0	?>2
1 ж
</з = JJ xydxdy = 0, J4 = JJ xydxdy = Jdxjxydy = -.
?>3	?>4	0 0
Следовательно,
J = Jx + J2 + J3 + J4 = 0.
При вычислении поверхностных интегралов было использовано то
обстоятельство, что внешняя нормаль к грани D\ составляет тупой
угол с осью Oz, а поэтому поток через эту грань равен двойному
интегралу по плоской области Di, взятому со знаком минус. На гра-
грани Г>4 внешняя нормаль составляет с осью Oz острый угол, и по-
поток равен соответствующему двойному интегралу, взятому со знаком
плюс. А
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XI
1.	Вычислить криволинейный интеграл первого рода х2 ds, где кри-
г
вая Г есть окружность, получающаяся при пересечении сферы х2 + у2 +
+ z2 = а2 плоскостью х + у + z = 0.
Указание. Воспользоваться тем, что в силу симметрии
х ds = у ds = z ds.
г	г	г
2.	Вычислить криволинейный интеграл второго рода
Х У У ^=(ж°^°) B = (xV)
х2 + 2
ТАВ
где Гав — гладкая кривая, не проходящая через точку @,0).

§54- Поверхностные интегралы	535
3. При помощи криволинейного интеграла вычислить площадь, ограни-
ограниченную астроидой
3	?, 0 ^ t ^ 2тг.
4.	Пусть и(х,у) — гармоническая в области G С R2 функция, т. е. она
имеет в этой области непрерывные частные производные первого и второго
порядков и удовлетворяет уравнению Лапласа
А	д2и д2и
Аи = —- + —- = 0.
дх2 ду2
Показать, что для любой области DcG, ограниченной кусочно гладкой
Г ди	ди
кривой, выполнено условие / — as = 0, где — — производная в направ-
J дп дп
лении внешней нормали
ди ди , ч -—- ди f ч -—-
— = — (ж, у) cos nx + — (ж, у) cos ny.
on ох	оу
5.	В заданной точке (жо,2/о,^о) эллипсоида
2	2	2
а2^ Ь2^ с2
записать уравнение касательной плоскости и нормали.
6.	Пусть простая поверхность задана уравнением г = r(u, v), (и, v) G G С
С R и вектор-функция r(u, v) имеет непрерывные частные производные
второго порядка в области G.
Показать, что выражение (c/2r, ru, rv) есть квадратичная форма относи-
относительно дифференциалов du и dv, если u(t) и v(t) при t E [си, /5] являются
дважды непрерывно дифференцируемыми функциями.
7.	Вычислить осевой момент инерции
Iz =
части поверхности конуса
х = г cos (p sin a, ?/ = r sin 9? sin a, z = rcosa,
O^r^a, 0^<?^ 2тг, a = const, 0 < a < -.
8.	Пусть в R3 задана область
п = {(ж, у, z): -ф, y)<z< ф, у), (ж, у) е G С /?2},
где функция ср(х,у) непрерывно дифференцируема на G.
Показать, что
ffdxdy = 0, ffzdxdy = m(U), ff z2dxdy = 0.
on	on	on
9.	Воспользоваться результатом упр. 8 и вычислить
JJx2dyd.
z + у2 dz dx + z2dx dy,
где E — внешняя сторона сферы

ГЛАВА XII
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
§ 55. Скалярные и векторные поля
1. Производная скалярного и векторного поля. Будем рас-
рассматривать пространство, подчиняющееся законам геометрии Евкли-
Евклида. Напомним, что каждой паре точек А и В пространства можно
поставить в соответствие вектор АЁ. Векторы складываются и ум-
умножаются на вещественные числа по известным из курса аналити-
аналитической геометрии правилам, для любых двух векторов определено
скалярное произведение [7].
Если выбрана декартова система координат, то каждая точка
пространства определяется заданием трех чисел — координат точ-
точки, каждый вектор определяется заданием трех своих компонент по
осям координат.
Если в некоторой области п определена функция /: п ->• /?, то
говорят, что в области П задано скалярное поле. Если выбрана коор-
координатная система, то положение точки М Е П определяется заданием
трех ее координат, и функция f: п -> R будет функцией трех пере-
переменных f(x,y,z). В физике рассматривают скалярные поля давлений,
температур, плотностей и т. д.
Перефразируем некоторые известные понятия дифференциально-
дифференциального исчисления на геометрическом языке.
Говорят, что скалярное поле f дифференцируемо в точке Mq, если
найдется такой вектор с, что
при М^М0. A)
Вектор с будем называть производной скалярного поля / в точке Mq
и обозначать V/(M0).
Запись V/ читается как "набла эф".
Если в пространстве задана декартова система координат, точки
M(x,y,z), Mo(xo,yo,zo) и вектор с = icx +jc2 +kc3, то
М0М = (x-xo)i+(y- 2/о) j + 0 - го) k,
\щй\ = [(х - х0J + (у- у0J + (z - z0J}^2.
Записывая формулу A) в координатах, получаем
f(x,y,z) - f(xo,yo,zo) = ciO-жо) + С2(у ~ Уо) +
+ c3(z- z0) + о(у/(х - х0J + (у - уоJ + (z- zo)i) B)

§ 55. Скалярные и векторные поля	537
при (x,y,z) -> (xo,yo,zo).
Из B) следует, что функция f(x,y,z) дифференцируема в точке
(xo,yo,zo) и что
df t	\	°f'(	\	°f'(	\
Будем в дальнейшем обращаться с V как с символическим векто-
вектором (дифференциальным оператором), ставящим в соответствие ска-
скалярной функции ее производную. Тогда равенство A) можно записать
в следующем виде:
/(M)-/(M0) = (Mo^,V/(M0))+o(|Mo^|) при М^М0. D)
С оператором V можно обращаться, как с обычным вектором, если
договориться, что он действует как дифференциальный оператор на
функции, стоящие в записи справа от оператора V, а с функциями и
векторами, стоящими в записи слева, перемножается, как обычный
вектор.
Пусть b = Ъ\ i + 62 j + ^з к — произвольный вектор. Определим
дифференциальный оператор bV равенством bV = (b, V). Тогда
ЬУ = (Ь,У)=61|:+62|+6з|.	E)
Используя этот оператор, можно формулу D) переписать в следую-
следующем виде:
|) при М^М0. F)
Пусть 1 — единичный вектор. Рассмотрим луч, состоящий из всех
точек М, для которых MqM = It, t > 0.
Производной скалярного поля / по направлению 1 в точке Mq будем
называть следующий предел:
Из формулы F) следует, что для дифференцируемой в точке Mq функ-
функции выполняется равенство
Символический вектор V называют также оператором Гамильтона.

538	Гл. XII. Теория поля
Упражнение 1. Показать, что
Упражнение 2. Пусть во всем пространстве задано дифференци-
дифференцируемое скалярное поле /(М). Если а — вещественное число, то множество
точек М таких, что /(М) = а, называется поверхностью уровня скалярного
поля f(M). Показать, что при V/(Mo) ф 0 вектор V/(Mo) направлен по
нормали к поверхности уровня, проходящей через точку Мо.
Пусть в каждой точке области П задан вектор а. Будем говорить,
что на п задано векторное поле а. В физике рассматривают векторные
поля сил, скоростей, ускорений и т. д.
Будем говорить, что векторное поле а(М) дифференцируемо в точ-
точке Мо, если существует такое линейное преобразование А, что
а(М) - а(М0) = А(Мъй) + о(|М0л1|) при М -+ Мо. G)
Проектируя уравнение G) на координатные оси, получаем ра-
равенства
di(Mo) = Aii(ж - ж0) + Ai2(y - Уо) + Ai3(z - z0) +
+ о(|М0л1|) при М^М0, г = ТТЗ, (8)
где (Aij) — матрица линейного преобразования А. Из равенств (8)
следует, что компоненты a,i(M), г = 1,3, дифференцируемы в точ-
точке Mq. Верно и обратное утверждение. Из дифференцируемости ком-
компонент OLi{M) следует и дифференцируемость векторного поля в точ-
точке Мо.
Используя формулу F), запишем равенства (8) в следующем виде:
a,i(M) -ai(Mo) = (Moillv)a;(Mo) +о(|М0л1|) при М -> Мо.
Это равенство можно записать и в векторном виде:
а(М) - а(М0) = (Мол1 V) а(М0) + о(|М0л1|) при М ^ Мо. (9)
Здесь дифференциальный оператор М0М V применяется к вектору а.
Из G) и (9) следует, что
Так как определение линейного преобразования А не зависит от
выбора координатной системы, то и результат применения оператора
MqM V к а(Мо) не зависит от выбора координатной системы.
Лемма 1. Линейное преобразование А в формуле G) определено
однозначно.
О Допустим, что существуют два линейных преобразования А\ и А<±

§ 55. Скалярные и векторные поля	539
таких, что для них выполнено равенство G). Тогда, вычитая соответ-
соответствующие равенства, получим, что
при М -+ Мо.	(Ю)
Пусть 1 — произвольный вектор, t — произвольное положительное
число и MqM = It. Тогда равенство A0) принимает следующий вид:
t(A1-A2)l = o(t) при ?-^+0.	A1)
Деля равенство A1) на t и переходя к пределу при t —> +0, получаем,
что (Ai — A2)l = 0. Так как вектор 1 произвольный, то А\ — А2. •
Если векторное поле а(М) дифференцируемо в точке Мо, т. е.
справедливо равенство G), то будем линейное преобразование G)
называть производной векторного поля в точке Мо и обозначать
через а'(Мо).
Упражнение 3. Найти матрицу линейного преобразования а'(М0) в
декартовой системе координат.
Производная векторного поля по направлению 1 в точке Мо опре-
определяется так же, как и производная по направлению для скалярного
поля. Из формулы (9) получаем
^(M0) = (lV)a(M0).	A2)
Пример 1. Найти производную векторного поля
a = xi + (ж2 +y2)j + (ж3 +у3 + z3)k
по направлению 1 = —= A,1,1) в произвольной точке М(ж, у, z).
л/3
Л Воспользуемся формулой A2). Так как
!-+
ду
то справедливо равенство
да , А 1 . 2х + 2у . , Зж2 + Зу2 + 3z2
- = (lV)a=7fl+-?=-J +	^	k. A
2. Дивергенция и вихрь векторного поля. Пусть в области П
определено дифференцируемое векторное поле а(М). Выберем декар-
тову систему координат Oxyz. Тогда
а(М) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)).
Дивергенцией векторного поля называется следующая скалярная
функция:
,.	~ , дР , dQ , OR
diva= (V,a) = — + -^ + -г-.
дх дх dz

540	Гл. XII. Теория поля
В § 56 будет показано, что diva не зависит от выбора координатной
системы.
Вихрь или ротор векторного поля определяется следующим обра-
образом:
rota = [V, а] =
i
д
дх
Р
j
д
ду
Q
к
д
dz
R
_ (dR _dQ_ дР_ _(Ж dQ_ _ дР_\
~ V ду dz' dz дх' дх ду )
.
В § 57, п. 3 будет показано, что в любой правой системе координат
вихрь векторного поля одинаков, а при переходе от правой системы
координат к левой меняет знак. Поэтому иногда rot а называют псев-
псевдовектором.
3. Оператор Гамильтона V. Некоторые формулы вектор-
векторного анализа. Многие формулы векторного анализа легко выводятся
при использовании символического вектора V (оператора Гамильто-
Гамильтона). Нужно лишь помнить, что на функции и векторы, стоящие справа
от V, этот оператор действует как дифференциальный, а функции и
векторы, стоящие слева от V, перемножаются с V как с обычным
вектором по правилам векторной алгебры. В результате такого ум-
умножения получается новый дифференциальный оператор.
Применяя оператор V к произведениям векторов и скаляров, бу-
будем пользоваться следующим правилом: запишем результат примене-
применения оператора V к произведению в виде суммы произведений такой,
что в каждом слагаемом оператор V применяется только к одному из
сомножителей, который мы отметим "стрелкой", например а. Далее
каждое слагаемое преобразуется так, чтобы все сомножители, не от-
отмеченные стрелкой, оказались слева от V. После этого стрелки опус-
опускаются.
Как нетрудно видеть, в одномерном случае оператор V есть опера-
оператор дифференцирования функции одной переменной, и предлагаемое
правило сводится к правилу нахождения производной произведения
Можно показать, что предложенное правило не приводит к ошибкам в
формулах, линейных относительно оператора V. На нижеследующих
примерах можно усвоить некоторые элементы техники обращения с
оператором V. Читатель всегда может проверить получающиеся фор-
формулы в координатах.
1) Пусть г = (x,y,z), г = |г| = л/х2 + у2 + z2. Тогда
Ml!
дх '

§56. Формула Остроградского-Гаусса	541
2)	grad(^) =
= ф Vtp + tp Vip = ф grad ip + ip grad -0.
3)	div(pa) = (V, pa) = (V, pa) + (V, pa) = (Vp, a) + p(V, a) =
= (a, Vp) + p(V, a) = (a, Vp) + p div a = (a, grad p) + p div a.
Наряду с обозначением векторного произведения [a, b], будем ис-
использовать и более употребительное в физике обозначение а х Ь.
4) div[a, Ъ] = (V, а, Ъ) = (V, а, Ъ) + (V, а, Ь) =
= (Ь, V, а) - (а, V, Ь) = (Ь, V х а) - (а, V х b) = (b, rot a) - (a, rot b).
5)	rot (pa) = V x (pa) = V x (pa) + V x (pa) =
= Vp xa + pVxa = prota-ax grad p.
В последующих примерах применяется правило вычисления двой-
двойного векторного произведения
с х (а х Ь) = (Ь, с) а - (с, а) Ь.
6)	rot (а х Ь) = V х (а х Ь) = V х (а х Ь) + V х (а х Ь) =
= (bV)a-b(V, a)+a(V,b) - (aV)b =
= (b V) а - (а V) b + a div b - b div a.
7)	b x rot a = b x (V x a) = V(b, a) - (b V)a,
i	i
a x rot b = V(b, a) - (a V) b.
Складывая эти формулы, получаем
b x rot a + а х rot b = V(b, a) + V(a, b) - (b V) a - (a V) b,
или
V(a, b) = a x rot b + b x rot a + (a V) b + (b V) a,
2
V — = a x rot a + (a V) а, где а2 = (a, a).
8)	(c, b, rot a) = (c, b x rot a) = (c, V(b, a) - (b V) a) =
= (cV)(b,a) - (c,(bV) a) = (b,(cV)a) - (c,(bV)a).
9)	div rot a = (V, V x a) = (V, V, a) = 0.
10)	rotgrad/ = V x V/ = (V x V)/ = 0.
Последние две формулы легко проверяются в координатах.

542
Гл. XII. Теория поля
§ 56. Формула Остроградского—Гаусса
1. Общая формулировка теоремы. Пусть G С R3 — ограничен-
ограниченная область, граница которой 8G есть кусочно гладкая поверхность,
ориентированная внешними нормалями. В G = G U dG задано непре-
непрерывно дифференцируемое векторное поле а = (P,Q,R). Тогда поток
векторного поля а через границу области 8G равен тройному интег-
интегралу от div а по области G, т. е.
A)
dG
или
(a,n)dS = /// divadG,
G
<dP
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = fff(j^ + ^ + |f) dxdydz. B)
dG	G
О Докажем сначала формулу Остроградского-Гаусса в одном важ-
важном частном случае, когда область G еще и элементарна относительно
всех трех координатных осей. Напомним, что область G называется
элементарной относительно оси z, если найдутся две такие непрерыв-
непрерывные в замыкании области п С R2 функции ip(x,y) и ф(х,у), что
G = {(x,y,z): ip(x,y) < z < ф(х,у), (х,у)еп}.
Применяя формулу сведения тройного интеграла к повторному,
получаем
гр(х,у)
—(х,у, z) dxdydz = ffdxdy Г —(x,y,z)dz =
Q	<p(x,y)
, У, Ф{х, У)) dz dy -
(X, У, ^(х, У)) dz dy =
dxdy+ II R(x,y,z)dxdy. C)
Здесь
Рис. 56.1
= R(x,y,>
J J	j u
Ei	E2
поверхность, являющаяся графиком функции ф(х,у),
а Е2 — поверхность, являющаяся графиком
функции ip(x,у).
Мы воспользовались выражением поверх-
поверхностного интеграла второго рода через двой-
двойной интеграл и тем, что поверхность Ei
ориентирована внешними к dG нормалями,
которые составляют с осью z острый угол,
а на поверхности Е2 внешние к dG нормали
составляют с осью z тупой угол (рис. 56.1).
Добавляя к двум поверхностным интегралам
в формуле C) еще равный нулю интеграл
Rdxdy по куску цилиндрической поверх-

§56. Формула Остроградского-Гаусса
543
ности, построенной на <9П, и замечая, что dG = (J Е^, получаем
с с с dR	ее	*=1
— (x,y,z)dxdydz = Rdxdy.	D)
g	<9G
Аналогично, воспользовавшись элементарностью области относитель-
относительно осей х и у, докажем, что
Рис. 56.2
IHJL-dxdydz= IIPdydz, fff^-dxdydz= ff Qdzdx. E)
G	dG	G У	dG
Складывая равенства D) и E), получим формулу B).
Примерами областей, элементарных относительно всех трех
координатных осей, являются шар, куб, симплекс (фигура, получаю-
получающаяся при пересечении четырех полу-
полупространств (рис. 56.2)).
Точки А, В, С, D — вершины симп-
симплекса, треугольники ABC, ABD, ACD и
BCD — грани симплекса.
Дальнейшая схема последовательного
расширения класса областей, для кото-
которых справедлива формула B), такая же,
как и при доказательстве формулы Грина
на плоскости.
Будем называть область G объемно односвязной, если для любой
ограниченной области П из условия 8Q, С G следует, что иОсб. Для
простоты будем говорить просто "односвяз-
ная область". Формулу B) теперь можно
обобщить на ограниченную односвязную
область G с кусочно гладкой границей, ко-
которая кусочно гладкой перегородкой делит-
делится на две области, G\ и G2, элементарные
относительно всех трех координатных осей.
При этом dGi = Ei U Е3, dG2 = E2 U Eg",
dG = Ei U Е2. Если dG\ и dG2 ориентированы внешними нормалями,
то Ез и Е^~ ориентированы противоположно (рис. 56.3).
Применяя формулу B) к каждой из областей G\ и G2, получаем
Рис. 56.3
Ш div a dx dy dz = I I (a, n) dS = I I (a, n) dS + ff (a, n) dS,
Gi	dGi	Ei	?3
div a dx dy dz = ff (a, n) dS = ff (a, n) dS + ff (a, n) dS.
Складывая эти формулы и учитывая, что потоки через перего-
перегородку взаимно уничтожаются, получаем формулу B) для области G.

544	Гл. XII. Теория поля
Далее индукцией формула B) распространяется на односвязные
области с кусочно гладкой границей, которые при помощи п непе-
непересекающихся гладких перегородок разбиваются на области, элемен-
элементарные относительно всех трех координатных осей. Примером таких
областей являются выпуклые многогранники, возникающие как пе-
пересечение конечного числа полупространств. Их всегда можно пред-
представить как объединение симплексов. Можно распространить форму-
формулу B) и на произвольные многогранники — связные множества в /?3,
являющиеся объединением конечного числа симплексов, причем два
симплекса могут пересекаться только по одной из граней и каждая
грань может быть общей не более чем для двух симплексов.
Предельный переход от многогранников к произвольной односвяз-
ной области с кусочно гладкой границей требует преодоления неко-
некоторых нетривиальных технических трудностей. •
Формула B) подобно формуле Грина может быть обобщена на не-
некоторые неодносвязные области. Область с одной "дырой" будем на-
называть двусвязной. Другими уловами, двусвязная область — это об-
область G такая, что G = G\ \ Gi-, где G\ и G2 — односвязные облас-
области и (?2 С G\. Будем поверхность dG\ называть внешней границей
двусвязной области G, a dG2 — внутренней
границей G (рис. 56.4).
Будем каждую из поверхностей dGi ори-
ориентировать внешними по отношению к со-
соответствующей области G\ или Gi норма-
нормалями. Тогда, разрезая гладкой перегородкой
область G на две односвязные области, при-
применяя к каждой из областей формулу B),
складывая полученные формулы и учиты-
учитывая, что потоки через перегородку долж-
должны взаимно уничтожаться, получаем формулу B) для двусвязной об-
области
Ш div a dx dy dz = Г Г (a, n) dS - Г Г (a, n) dS = Г Г (a, n) dS. F)
G	dGi	dG2	dG
Здесь под границей dG понимается объединение внешней и внут-
внутренней границ, ориентированных внешними по отношению к облас-
области G нормалями. Формула B) обобщается на n-связную (с п "дыра-
"дырами") ограниченную область с кусочно гладкими границами.
2. Некоторые применения формулы Остроградского-Гаус-
са. Формула Остроградского-Гаусса является основным инструмен-
инструментом, позволяющим переходить от записи законов природы в виде за-
законов сохранения к записи в виде дифференциальных уравнений. С
многочисленными примерами читатель встретится при изучении ос-
основ гидродинамики и других разделов физики. Многочисленны при-
применения формулы Остроградского-Гаусса и в математике.

§56. Формула Остроградского-Гаусса	545
Приведем несколько примеров.
а) Формула для вычисления объема через поверхностный интеграл.
Если Р = ж, Q = у, R = z, то
_^_ + =3
дх ду dz
и по формуле B) получаем
i(G) = - / / xdydz + ydzdx + zdx dy.
" dG
б) Инвариантность diva. Пусть в области G задано непрерыв-
непрерывно дифференцируемое поле а(Р). Пусть S?(P) есть шар радиуса е с
центром в точке Р, a dS?(P) — его граница (сфера), ориентирован-
ориентированная внешними нормалями. Тогда
//(a,n)dS
О Действительно, применяя к S?(P) формулу B), получаем
/ / / div a.dxdy dz = / / (a, n) dS.
Se(P)	dS?(P)
Воспользуемся теперь интегральной теоремой о среднем:
(S,(P))(diva)P* = Ц (a,n)dS, P* G Se(P).	(8)
m(
Формула G) получается, если перейти к пределу в (8) при г —>¦
О и воспользоваться непрерывностью функции diva(M) в точке Р.
Нетрудно видеть, что вместо шара S?(P) можно выбрать любое
семейство окрестностей G?(P) с кусочно гладкими границами, диа-
диаметры которых стремятся к нулю при г ->• 0.
Так как поток не зависит от выбора координатной системы, то из
формулы G) следует, что и diva не зависит от координатной систе-
системы. •
В некоторых случаях применение формулы Остроградского-Гаусса
упрощает вычисление поверхностных интегралов.
Пример 1. Показать, что поверхностный интеграл
J — (у — z) dy dz + (z — х) dz dx + (х — у) dx dy
E
по внешней стороне части конической поверхности х2 + у2 = z2,
0 ^ z ^ R равен нулю.

546
Гл. XII. Теория поля
Л Запишем поверхностный интеграл в виде J = / / (a, n) dS, где а =
= (у — z) i + (z — х) j + (х — у) к. Тогда div a =
= 0. Применим формулу Остроградского-Га-
усса к области G, изображенной на рис. 56.5.
Граница G состоит из поверхности Е и круга
Ei радиуса R с центром в точке @,0,Л). Так
как diva = 0, то
'R у
^ yP|(a,n)d5+yP|(a,n)d5 =
= 0.
Следовательно,
J = JJ(a,n)dS = -JJ(a,n)dS = - Jj (x-y)dxdy = 0.
3. Соленоидальные векторные поля. Кусочно гладкую поверх-
поверхность, являющуюся границей ограниченной односвязной области, в
дальнейшем для краткости будем называть допустимой. Непрерыв-
Непрерывно дифференцируемое в области G поле а будем называть солено-
идалъным, если поток вектора а через любую допустимую поверх-
поверхность Е С G равен нулю.
Теорема 1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое поле
в области G было соленоидалъным, необходимо, а в случае односвязной
{объемно) области и достаточно, чтобы diva = 0 в области G.
О Необходимость. Пусть поле а соленоидально. Тогда поток век-
вектора а через любую допустимую поверхность равен нулю. Возьмем
произвольную точку Р G G. При достаточно малом е шар S?(P) С G.
Поток же через границу шара равен нулю. Применяя формулу G) для
дивергенции, получаем, что diva = 0.
Достаточность. Пусть область G объемно односвязна и пусть
diva = 0 в области G. Возьмем произвольно кусочно гладкую по-
поверхность Е С G, ограничивающую односвязную область П. В си-
силу односвязности области G область П С G. Применяя к П формулу
Остроградского-Гаусса, получаем
/У (
(a, n) dS = HI div a dx dy dz = 0.
E	Q
Таким образом, поток через любую допустимую поверхность равен
нулю. •
Покажем, что условие односвязности области существенно в фор-
формулировке теоремы 1. Рассмотрим поле "точечного источника":
Q Al Q г	, ,
а = -— grad- =	-, г = {x,y,z),
4тг	г 4тг г6
г = г .

§57. Формула Стокса	547
Векторное поле точечного источника определено в неодносвязной
области G, получающейся, если из пространства R3 удалить одну
точку (начало координат). Покажем, что diva = 0 в G. Воспользу-
Воспользуемся примерами 1 и 3 п. 4 § 55 (впрочем, читатель может провести
вычисления и непосредственно в координатах, не обращаясь к этим
примерам). Получаем
diva= 2- div-^г =
4	3
+?Ий =
+(Т )=
4тгг3 4тг V г4 г/ 4тг
Но если 5е — шар радиуса е с центром в начале координат и его
поверхность dS? ориентирована внешними нормалями, то поток
Теорема 1 неприменима из-за неодносвязности области G, в которой
задано поле точечного источника.
Упражнение 1. Доказать, что поток поля точечного источника через
любую допустимую поверхность, не содержащую внутри этот источник,
равен нулю, а поток через любую допустимую поверхность, содержащую
внутри источник, не зависит от поверхности и равен Q.
Указание. Применить формулу B) к двусвязной области, ограничен-
ограниченной поверхностью Е и поверхностью шара 5е@), лежащего внутри Е.
Упражнение 2. Пусть непрерывно дифференцируемое векторное по-
поле а задано в двусвязной области G С /?3 и diva = 0 в области G. Показать,
что поле а можно представить в виде суммы соленоидального поля и поля
точечного источника, помещенного внутрь "дыры".
Указание. Показать, что поток вектора а через любую допустимую
поверхность, лежащую в области G и содержащую "дыру" внутри, не за-
зависит от этой поверхности.
§ 57. Формула Стокса
1. Формула Стокса для простой гладкой поверхности.
Пусть в ориентированном евклидовом пространстве задана простая
поверхность Е уравнением
t = t(u,v), (u,v) е п С R2.	A)
Здесь П — замкнутая область, граница которой есть положительно
ориентированный гладкий (или кусочно гладкий) контур (при обходе
границы дп область п остается слева). Пусть дп задается уравне-
уравнениями
u = u(t), v = v(t), a^t^/3.	B)

548	Гл. XII. Теория поля
Образ кривой dQ при отображении A) мы назвали (см. § 52) положи-
положительно ориентированным краем поверхности Е и обозначили <9Е.
Напомним, что ориентация поверхности Е, создаваемая полем нор-
нормалей N = [rw,rv], называется согласованной с положительной ори-
ориентацией края. Было показано, что такое согласование совпадает с
известным правилом правого винта.
Пусть в окрестности поверхности Е задано непрерывно диффе-
дифференцируемое векторное поле а = (P(x,y,z), Q(xJyJz)J R(x,y,z)). Ес-
Если 7 — замкнутый контур, то криволинейный интеграл / (a, dr) в
7
физике называют циркуляцией векторного поля а по контуру 7. Если
7 = <ЭЕ, то говорят, что поверхность Е натянута на контур j.
Теорема 1 (Стокса). Циркуляция векторного поля а по контуру
7 = <ЭЕ равна потоку вихря этого поля через поверхность Е, натяну-
натянутую на контур 7, тп. е.
У (a,dr) = ff (rot a, n)dS.	C)
<Э?	?
О Докажем теорему Стокса в тех предположениях, которые были
сформулированы в начале п. 1. Из A) и B) получаем уравнение края
поверхности
Сводя криволинейные интегралы к определенным, получаем
Р
+ rv(u(t), v(t))v'(t))dt =
Сделаем дополнительное предположение о непрерывности (а сле-
следовательно, и равенстве) смешанных производных ruv и rvu. Тогда в
силу формулы Грина A), § 51 получаем равенство
Шд	д	1
т— (a,rv) — — (a, rw) dudv =
ди	ov	J
Q
da	da	da
Q
'da	da	da
v,(ru, V)a) - (ruj(rvj V)a
= / / (rw, rv, rot a) dudv = / / (rot a, n) dS.

§57. Формула Стокса	549
Здесь была использована формула (см. § 55, пример 8)
(Ъ, (с V) а) - (с, (Ь V) а) = (с, b, rot a)
при b = rv, с = rw, а также формула, выражающая поток через двой-
двойной интеграл от смешанного произведения:
//(a, n)dS= // (rujrvj a) dudv.
Итак, формула Стокса доказана для простой гладкой поверхности,
натянутой на кусочно гладкий контур. •
2.	Формула Стокса для кусочно гладкой поверхности. Раз-
Разрежем кусочно гладкую поверхность на конечное число гладких кус-
кусков и запишем формулу Стокса для каждого куска. Если эти формулы
сложить, то криволинейные интегралы по разрезам взаимно уничто-
уничтожатся, так как разрезы входят в ориентированные границы кусков
с противоположными ориентациями. Останется только криволиней-
криволинейный интеграл по краю поверхности <9?. Сумма потоков через куски
даст, в силу аддитивности поверхностного интеграла, поток через всю
поверхность Е, следовательно, формула Стокса справедлива и для ку-
кусочно гладкой поверхности.
3.	Инвариантность rota в ориентированном евклидовом
пространстве. Пусть евклидово пространство Е3 ориентировано,
т. е. множество всех некомпланарных троек векторов разбито на два
класса: "правых троек" и "левых троек". Пусть а — непрерывно диф-
дифференцируемое поле в области G. Возьмем точку Р Е G и произволь-
произвольный вектор п, |п| = 1. Проведем через Р плоскость с нормалью п,
возьмем в этой плоскости окружность дС? с центром в точке Р и
столь малого радиуса е, что круг, вырезаемый этой окружностью из
плоскости, лежит внутри области G. Ориентируем дС? по отноше-
отношению к п по правилу правого винта. Применим к С? теорему Стокса,
а затем интегральную теорему о среднем. Получаем
/ (a,dr) = //(rota, n)dS= (rota(M*), п)тгг2, M* G Ce.
дС?	С?
Воспользовавшись непрерывностью rota, можем написать
/ (a,
(rot a, n) м = Нт ——	.	D)
е—>0 7TSz
Таким образом, проекция (rota, п) есть инвариант; она не зависит
от выбора любой правой системы координат. Так как вектор п имеет
произвольное направление, то и rota не зависит от выбора правой
координатной системы.

550	Гл. XII. Теория поля
При изменении ориентации пространства на противоположную
нормаль к площадке и направление обхода контура дС? уже нужно
согласовывать по правилу левого винта, и вместо формулы D) мы
получим формулу со знаком минус. Таким образом, при изменении
ориентации пространства вектор rota меняет знак.
4. Потенциальные векторные поля. Пусть в области G задано
непрерывное поле а(М) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)). Поле на-
называется потенциальным, если существует такая скалярная функция
U(M), что а = gradC/, т. е.
Непрерывно дифференцируемое в области G поле а называется
безвихревым, если rot a = 0 в G. Аналогично плоскому случаю, рас-
рассмотренному в теореме 1, § 51, можно доказать следующую теорему.
Теорема 2. Пусть поле а(М) непрерывно в области G С R3. Тог-
Тогда следующие три условия эквивалентны:
а)	Рdx + Q dy + Rdz = 0 для любой замкнутой ломаной L С G;
L
б)	/ Рdx + Qdy + Rdz не зависит от ломаной Lab, соединяю-
LAB
щей точки А и В;
в)	поле а потенциально.
Докажем теперь аналог теоремы 2 из § 51. Предварительно усло-
условимся называть область G поверхностно односвязнощ если на любой
простой кусочно гладкий контур Г С G можно натянуть кусочно
гладкую поверхность Е С G. Например, пространство, из которого
удалена одна точка, — поверхностно односвязная область, но то же
пространство, из которого удалена целая прямая, не является поверх-
поверхностно односвязной областью.
Теорема 3. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое в
области G поле а было потенциальным, необходимо, а в случае
поверхностно односвязной области и достаточно, чтобы поле было
безвихревым, т. е. rota = 0.
О Необходимость. Пусть а = Vt/. Тогда
rot a = rot VC/ =
1
д
дх
их
J
д
ду
иу
к
д
дх
uz
= 0.
Достаточность. Пусть rota = 0 в G. Возьмем произвольную
замкнутую простую ломаную L С G. Так как область поверхност-

§57. Формула Стокса
551
но односвязна, то на эту ломаную можно натянуть кусочно гладкую
поверхность Е С G. Применяя формулу Стокса, получаем
= 0.
|(а, dr) = /7(rot a, n) dS =
L	?
Как и в плоском случае, индукцией по числу звеньев ломаной теперь
можно доказать, что / (a, dr) = 0 по любой ломаной L (не обязательно
L
простой). В силу теоремы 2 существует потенциал U(M). •
Как показывает следующее упражнение, условие поверхностной
односвязности области существенно для справедливости теоремы 3.
Упражнение 1. Доказать, что поле
ш у ш х
являемся безвихревым в области G, которая получается удалением из
пространства оси Oz. Показать, что по любой окружности С, лежащей в
плоскости, перпендикулярной оси Oz и с центром на оси г, выполнено ра-
ра, рур
венство / (a, dr) = и; / 0.
С
Объяснить, почему к С нельзя применить
формулу Стокса.
Формула Стокса в некоторых случаях мо-
может упростить вычисление криволинейного
интеграла.
Пример 1. Вычислить криволинейный
интеграл
J — I (ж2 — yz) dx + {у2 — xz) dy +
Гав	+ (z2 - ху) dz,
взятый по отрезку винтовой линии (рис. 57.1) х = a cost, у = asint,
z = — t от точки А(а, 0,0) до точки ??(а, 0, К).
2тг
Рис. 57.1
Л Дополним кривую
Тогда
отрезком Г^ до замкнутой кривой Г.
0	з
/ (ж2 - yz) dx + {у2 - xz) dy + (z2 - xy) dz = [z2 dz = ~,
J	Jo
г'вл	h
так как на отрезке Г^ выполнены равенства х = а, у = 0.
Рассмотрим векторное поле а = Pi + Qj + Rk, P = х2 - yz, Q =
— у2 — xz, R — z2— xy.
Простое вычисление показывает, что rota = 0. В силу формулы
Стокса
Pdx + Qdy + Rdz = / / (rot a, n) dS,
г	е

552	Гл. XII. Теория поля
где Е — любая кусочно гладкая поверхность, натянутая на контур Г.
Таким образом,
J= I (a,dr)= I (a,dr) = y. A
Г'
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XII
1.	Найти V|[c, r]|, где с — постоянный вектор, г = х\ + у'} + zk.
2.	Пусть v(x,y,z,t) и vr(x,y,z,t) — поля скоростей и ускорений дви-
движущейся жидкости. Показать, что
vr(x,y,z,t) = —- + (vV)v.
ot
Указание. Если функции х = x(t), у = y(t), z = z(t) задают закон
движения индивидуальной жидкой частицы, то
X(t) i + y(t)l + Z{t) k = VW*). 1/@. «(*), *)•
3.	Показать, что
div b(r, a) = (a, b), div r(r, a) = 4(r, a),
где а и b — постоянные векторы, r = xi + 2/j + zk.
4.	Найти rot v для поля скоростей в движущемся твердом теле v =
= vo + [о;,г], где vo и о; — постоянные векторы, r = xi + |/j + ^k.
5.	Пусть р — непрерывно дифференцируемое скалярное поле. Показать,
что для любой области Q, ограниченной кусочно гладкой границей дп, вы-
выполнено равенсгво
[[ рп dS = Щ Vp dx dy dz.
6.	Пусть v, w, F — векторные поля скоростей, ускорений и массовых
сил движущейся жидкости. В силу принципа Д'Аламбера сумма всех сил,
включая силы инерции, действующих на жидкие частицы, заключенные
внутри произвольной односвязной области G с кусочно гладкой границей,
должна равняться нулю. В невязкой жидкости сила давления на площадку
направлена по нормали к площадке. Поэтому получаем
ff
pn dS = i
G	dG
Воспользовавшись результатами упр. 2 и 5 и произвольностью жидкого
объема G, вывести уравнение Эйлера, описывающее движение невязкой
жидкости
dt	р
7. Пусть функции и и v дважды непрерывно дифференцируемы в неко-
?J	?J
торой области пространства R , А — оператор Лапласа Аи = —- Н	 +
Н	. Показать, что
dz
v Аи — и Av = div(v Vt6 — и Vv).

§57. Формула Стокса	553
8.	Пусть функции и и v дважды непрерывно дифференцируемы в за-
замкнутой области G с кусочно гладкой границей. Доказать формулу Грина
в/?3
fff(vAu-uAv)dxdydz= ff(v—-u—\dS.
G	dG
Здесь — — производная по направлению внешней нормали к границе об-
дп
ласти.
9.	Пусть v — дважды непрерывно дифференцируемое векторное поле
в некоторой односвязной области пространства R , Г2 = rotv ф 0. Кривая,
в каждой точке которой касательная параллельна вектору вихря в этой
точке, называется вихревой линией. Пусть Г — гладкий контур, причем ни
в одной его точке касательная не параллельна вектору вихря в этой точке.
Проводя через все точки контура Г вихревые линии, получим поверхность,
которая называется вихревой трубкой. Показать, что поток вихря через
любое сечение вихревой трубки не зависит от сечения. Этот поток вихря
называется интенсивностью вихревой трубки.
10.	Применяя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл
г
ydx-\-zdy-\- х dz,
Г
где Г — окружность х2 + у2 + z2 = а2, х + у + z = 0, ориентированная по
правилу правого винта, если смотреть с положительной стороны оси Ох.
11.	Пусть (r,cp,z) — цилиндрические координаты, er, e^, ez — еди-
единичные векторы, касательные к координатным линиям, проходящим через
точку M(r,cp,z). Показать, что
did	d
dr г dip	dz
Указание. Воспользоваться инвариантной формулой F), § 55.
12.	Пусть (г,(р,ф) — сферические координаты точки М, ег, е^, е^ —
единичные касательные векторы к соответствующим координатным лини-
линиям. Показать, что
d	e^ d e^ d
dr r sin ip dip r dip

ГЛАВА XIII
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 58. Формула Тейлора для функций многих переменных
1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагран-
жа. В дальнейшем будет удобно наделить метрическое пространст-
пространство Rn еще и структурой линейного пространства [7], полагая для лю-
любых х = 0ь...,жп), у = (yi,...,yn) и а е R, что
х + у = (xi +2/ъ...,жп + Уп), olx = {ах1,...,ахп).
Легко проверяется, что для введенных подобным образом операций
сложения элементов и умножения элементов на вещественные числа
выполняются все аксиомы линейного пространства [7]. Роль нулевого
элемента выполняет 0 = @,0, ...,0) Е Rn. Если х = (xi,...,xn), x° =
= (ж°,...,ж°), то по определению
Ах = dx = х — х° = (х\ — ж?, ...,жп — х®п) = (dxi,..., dxn),
\Ах\
Теорема 1. Пусть функция f(x) имеет в шаре Ss(x°) С Rn не-
непрерывные частные производные всех порядков до т включительно.
Тогда для любой точки х° + Ах е Ss(x°) найдется число в е @,1) та-
такое, что справедливо следующее равенство (формула Тейлора с оста-
остаточным членом в форме Лагранжа):
ra-l k 0
к=1
где
тп \ / — Г	/ \	I	/ *)	\ /
777-1
a dk/({;) есть дифференциал к-го порядка функции /(ж), вычисленный
в точке ? и являющийся однородной формой k-го порядка относитель-
относительно дифференциалов независимых переменных dx\,..., dxn:
dxh...

>. Формула Тейлора для функций многих переменных	555
О Если точка х° + Ах Е S$(x°), то в силу симметрии шара и точка
х° — Ах Е Ss(x°). Так как шар есть выпуклое множество, то х° +
+ tAx e Ss(x°) при любом t е [—1,1]. Поэтому на [—1,1] определена
функция одной переменной:
<p(t) = f(x°+tAt) = /О?+?Джь...,ж° + tAxn).
Функция ip(t) дифференцируема на отрезке [—1,1]. Действительно,
применяя правило нахождения производной сложной функции, полу-
получаем
i=l
Аналогично,
<p"(t) = > > Jr У ' Ax, Ax7- = ^/K + tAx) =
г=1 j=l	г 3
По индукции получаем, что для к = 1,т справедливы формулы
E)
Применим к функции ip(t) формулу Тейлора с остаточным членом
в форме Лагранжа. Существует число в G @,1) такое, что
(m-1)!
Полагая i = 1, получаем
+ ^'@) + ... + r^W ^"^(О) + гтA),
^777 1J
Подставляя в эту формулу выражения E) для производных
при t = 0, получаем формулу A). •

556	Гл. XIII. Экстремумы функций многих переменных
Замечание. Для функции двух переменных /(ж,г/) формула Тейло-
Тейлора A) принимает более простой вид
т-1
/(ж, у) = /Оо, ?/о) + J^ — dkf(x0, yo) + Гт,
k = l
где
/	Pi	Pi \ ^
dkf(x0,y0) = ^(ж-жо)— + (у-уо)— J
rm = — drnf(x + 6>(ж - ж0), у + 6(у - г/о))-
Следствие. #а/ш выполнены условия теоремы 1, то для функ-
функции f(x) справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме
Пеано
т
f(x) = f{x°) + ? 1 <**/(s°) + о(|Да:Г)	F)
jfe l
Аж| ->> 0, где |Аж| д
О Рассмотрим остаточный член в формуле A):
G)
Так как по условию все производные порядка т функции /(ж) непре-
непрерывны в точке ж0, то
где функции а^..^т(х) бесконечно малые при |Аж| —> 0.
Так как |Аж^| ^ |Аж|, то \Ахгг... Аж^т | ^ |Аж|т. Следовательно,
п	п
J2 - Е ак..Лт(х)Ахк...Ах1т=о(\Ах\т)	(9)
П=1 гт = 1
при |Аж| -»> 0.
Подставляя выражения (8) и (9) в формулу G), получаем
i? E - E «<i-<m (ж) Аж^ - Да^ = ^i ^т/(ж°) + o(\Ax\m)
ii=l гт=1

§ 59. Экстремумы функций многих переменных	557
при |Дж| ->• 0.
Подставляя выражение A0) для гт(х) в формулу A), получаем
формулу F). •
Упражнение 1. Пусть Fk(x) — однородные формы степени к в прост-
пространстве Rn при к = 1,т, т. е.
и пусть функция /(ж) удовлетворяет условиям теоремы 1. Показать, что
представление функции /(ж) в виде
m
^	) при |Да;|-Ю
единственно, а поэтому Fk(Ax) = —dkf(x°), k = l,m.
/с.
Указание. Использовать доказательство соответствующей теоремы
для функции одной переменной в § 18.
Упражнение 2. Используя результат упр. 1, показать, что написан-
написанная ниже формула является формулой Тейлора:
3	2
ех sin2/ = у + ху - — + — + о((ж2 + y2f/2) при ж2 + ?/2 ->• 0.
§ 59. Экстремумы функций многих переменных
1. Необходимые условия экстремума. Пусть функция /(ж)
определена в области G С Rn и пусть ж0 = (ж?,...,ж^) G G. Назо-
Назовем х° точкой (локального) минимума функции /(ж), если найдется
такой шар Ss(x°) С G, что для всех х G 5^(ж0) выполнено неравенство
/(ж) ^ f(x°). Назовем точку ж0 точкой строгого минимума функции
/(ж), если найдется такой шар S$(ж0) G G, что для всех ж G Ss(x°)
(т. е. для всех точек шара, не совпадающих с его центром) выполнено
неравенство /(ж) > /(ж0).
Аналогично определяются точки максимума (строгого максиму-
максимума) функции /(ж). Точки максимума и минимума функции называ-
называются точками экстремума.
Теорема 1. Если в точке экстремума х° функции /(ж) сущест-
существует частная производная ——(ж0), то она равна нг/лю.
О Пусть, например, существует ——(х°). Рассмотрим функцию од-
0Х\
ной переменной
Так как ж0 — точка экстремума (пусть, например, минимума),
то существует шар S$(ж0) такой, что /(ж) ^ /(ж0) для всех точек

558
Гл. XIII. Экстремумы функций многих переменных
этого шара. В частности, для любого х\ Е [х\ — S, х\ + S) должно быть
выполнено неравенство
ip(Xl) = f(Xl,x°2,..,х°п)
..,х°п) =
Функция одной переменной ip(xi) имеет в точке х\ минимум. Поэто-
Поэтому
*••¦
Следствие. Если в точке экстремума х° функция f(x) диффе-
дифференцируема, то
п
0	Действительно, так как в точке х° функция f(x) дифференци-
дифференцируема, то в этой точке существуют частные производные -^-(ж°),
1	= l,n, а так как х° есть точка экстремума, то —— (ж0) = 0. Отсюда
следует равенство A). •
Если функция f(x) дифференцируема в точке х° и df(x°) = 0,
то точка ж0 называется стационарной точкой функции /(ж). Точка
экстремума дифференцируемой функции в силу необходимых усло-
условий экстремума будет стационарной точкой. Обратное утверждение
неверно. Стационарная точка может не быть точкой экстремума.
Пример 1. Показать, что @,0) является стационарной точкой
функции f(x,y) = xy, но @,0) не есть точка экстремума этой
функции.
Л Так как df(x,y) = ydx + xdy, то
df(O, 0) = 0 и @, 0) есть стационарная точ-
точка функции f(x,y). Но для любого 8 >
> 0 точки F,6) и (S, —S) лежат в круге
$w@,0) и
Поэтому @,0) не есть точка экстремума
функции f(x,y). График функции z = ху изображен на рис. 59.1. А
Лемма 1. Если функция одной переменной ip(t) имеет производ-
производные первого и второго порядков в точке минимума t = 0, то (f"@) ^ 0.
О Пусть t = 0 является точкой минимума функции ip(t). Тогда най-
найдется число г > 0 такое, что для всех \t\ < г выполняется неравен-
неравенство cp{t) — (р@) ^ 0. Применяя разложение функции cp{t) по формуле

§ 59. Экстремумы функций многих переменных	559
Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, получаем, воспользо-
воспользовавшись тем, что в точке минимума ip'@) = 0:
о < y(V@) = h Ио) *+^"@) 1+0{t2)] = \ ^"@)+оA) A)
при t —у 0.
Переходя в этом неравенстве к пределу при t ->• 0, получаем, что
?>"@) ^ 0. •
Теорема 2 (необходимое условие минимума). Пусть функция
f(x) имеет в окрестности точки минимума х° Е Rn непрерывные
частные производные первого и второго порядка. Тогда
г=1 3=1 г J
О Пусть х° — точка минимума функции f(x). Тогда найдется шар
Ss(x°) такой, что при всех ? G S$(x°) выполнено неравенство /(?) —
- /0°) ^ 0. Пусть х е Rn их^х0, тогда | Аж| = р(х, х°) > 0. При лю-
любом t таком, что \t\ < -r-r—, точка х° + t Ax G Ss(x°), и поэтому ip(t) =
|
= f(x° + t Ax) — f(x°) ^ 0. Функция if(t) определена в окрестности
точки t = 0 и имеет при t = 0 минимум. В силу формул D) и E),
§ 58 функция (p(t) имеет в точке t = 0 производные первого и второго
порядков, причем
г=1
г=1 j=l * J
Так как в силу леммы 1 должно выполняться неравенство ^"@) ^ 0,
то d2f(x°) ^ 0. •
Замечание. Аналогично доказывается, что для функции /(ж), дваж-
дважды непрерывно дифференцируемой в окрестности точки максимума ж0, вы-
выполняются условия
df(x°) = 0, d2f(x°) ^ 0.
Условия df(x°) = 0 и d2f(x°) ^ 0 необходимы, но не достаточны
для того, чтобы точка х° была точкой минимума. Например, функция
f(x, у) = х3 + у3 имеет единственную стационарную точку х = у = 0,
и в этой точке d2/@,0) = 0. Легко убедиться, что функция f(x,y) не
имеет экстремума в точке @,0).
2. Достаточные условия экстремума. При доказательстве до-
достаточных условии потребуются некоторые сведения о квадратичных

560	Гл. XIII. Экстремумы функций многих переменных
формах. Напомним, что квадратичная форма
г=1 j=l
где ? = (?ь ...,?п) G /?n, flij = %i, называется:
а)	положительно определенной, если Ф(?) > 0 для любого ^ ^ 0;
б)	отрицательно определенной, если Ф(?) < 0 для любого (; Ф 0;
в)	неопределенной, если существуют ? и ?' такие, что Ф(?) > 0, а
Ф(?') < 0.
Критерий Сильвестра положительной определен-
определенности квадратичной формы [7]. Квадратичная форма поло-
положительно определена в том и только том случае, когда все главные
миноры ее матрицы положительны, т. е.
Ai = аи > 0, А2 =
аи а12
Ап =
ап\ ... а
пп
D)
Заметим также, что квадратичная форма Ф(?) отрицательно опре-
определена в том и только том случае, когда квадратичная форма — Ф(?)
положительно определена.
Лемма 2. #а/ш квадратичная форма Ф(?) положительно опреде-
определена, то найдется такое положительное число j, что
E)
О Рассмотрим квадратичную форму Ф(?7) на сфере
Так как точка 0 0 5, а квадратичная форма положительно опре-
определена, то Ф(г]) > 0 в любой точке rj € S.
Очевидно, что S есть замкнутое и ограниченное множество в Rn.
Непрерывная на компакте S функция Ф(г)) принимает в некоторой
точке rj G S свое наименьшее на S значение (теорема Вейерштрасса).
Поэтому, полагая 7 = Ф(/у), получаем, что 7 > 0 и что для любой точки
r\ G S выполняется неравенство Ф(г)) ^ j.
Если ? ф 0, то точка ?/|?| принадлежит сфере 5. Поэтому
Пользуясь однородностью квадратичной формы, получаем
Теорема 3 (достаточные условия экстремума). Пусть функция
f(x) имеет в окрестности точки х° G Rn непрерывные частные про-
производные второго порядка, и пусть df(x°) = 0. Тогда если второй диф-
дифференциал d2f(x°) есть положительно определенная квадратичная

§ 59. Экстремумы функций многих переменных	561
форма [см. формулу B)), то х° — точка строгого минимума функции
/(ж), если d2f(x°) — отрицательно определенная квадратичная фор-
форма, то х° — точка строгого максимума функции /(ж), если d2f(x°) —
неопределенная квадратичная форма, то функция /(ж) не имеет эк-
экстремума в точке ж0.
О Воспользуемся формулой F) из § 58 при т = 2. Учитывая, что
df(x°) = 0, получаем
/(ж)-/(ж°) = ^2/(ж°)+о(|Дж|2) при |Дж|->0,	F)
где
|Дж|2 = Дж2 + ... + Дж2.
Пусть
20
d2 f, o) _ V V д2/(ж0) Ах- Ах ¦
d Л* )-2^2^д д *х^хз
г=1 3 = 1	J
есть положительно определенная квадратичная форма. В силу лем-
леммы 2 существует такое положительное число 7, что
d2f(x°) ^7|Ax|2.
Применяя это неравенство к формуле F), получаем
Да;) - f(x°) 2 \ |Д*|2 + о(\Ах\2) = \ |ДЖ|2A + «(Да;)), G)
где а(Ах) —у 0 при Ах —у 0, откуда следует, что найдется шар S$(x°)
такой, что \/х е Ss(x°) выполнено неравенство |а(Дж)| < -.
Тогда из формулы G) следует, что \/х е Ss(x°) выполнено нера-
неравенство
f{x) - f(x°) > \ |Дх|2A - |а(Дж)|) ^ \ \Ах\2 > 0.
Следовательно, х° — точка строгого минимума функции /(ж).
Аналогично доказывается, что в том случае, когда d2 f(x°) есть от-
отрицательно определенная квадратичная форма, х° — точка строгого
максимума функции /(ж).
Если d2 f(x°) есть неопределенная квадратичная форма, то не вы-
выполняется необходимое условие минимума d2f(x°) ^ 0 (см. теоре-
теорему 2). Поэтому х° не есть точка минимума функции /(ж). Аналогич-
Аналогично доказывается, что ж0 не есть точка минимума функций —/(ж), т. е.
точка максимума функции /(ж). •
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию
/(ж, у, z) = х2 + 2ху + 4xz + Syz + by2 + 9z2.
А Найдем стационарные точки функции /(ж, у, z). Они определяются
из системы уравнений
У- = 2ж + 2у + 4,z = 0, У- = 2ж + Юг/ + ^ = 0,
ох	ду
??=4x + 8y + 18z = 0.
OZ

562
Гл. XIII. Экстремумы функций многих переменных
Определитель этой системы
2
2
4
2
10
8
4
8
18
= 8
1
1
2
1
5
4
2
4
9
= 8 • 16 > 0.
Поэтому единственное решение однородной системы есть х = у =
Итак, функция f(x,y,z) имеет единственную стационарную точ-
точку @,0,0). Найдем d2/@,0,0). Имеем
d2/@,0,0) = 2dx2
Так как
Ai = 2 > 0, A2 =
4dxdy + 8dxdz + 16 dy dz + 10 dy2 + 18 dz2.
2
10
> 0, A3 =
2
2
4
2
10
8
4
8
18
= 8-
16
>
0,
то в силу критерия Сильвестра квадратичная форма <i2/@,0,0) поло-
положительно определена. Точка @, 0, 0) является точкой строгого мини-
минимума функции f(x,y,z). A
Упражнение 1. Показать, что квадратичная форма C) отрицательно
определена в том и только том случае, когда выполнено следующее условие
для ее главных миноров: Afc(—1)к > 0, к = 1,п.
Указание. Воспользоваться критерием Сильвестра положительной
определенности квадратичной формы —Ф(?).
Упражнение 2. Показать, что для функции двух переменных /(ж, г/),
имеющей непрерывные частные производные второго порядка в окрестнос-
окрестности точки (жо,г/о), условия
= 0,
(хо,уо) = 0,
fxx(xo,yo) > 0, fly(xo,yo) - fxx(xo,yo)fyy(xo,yo) < 0
достаточны для того, чтобы точка (жо,г/о) была точкой строгого минимума
функции f(x,y).
§ 60. Условный экстремум
1. Понятие условного экстремума. Пусть на открытом мно-
множестве G С Rn заданы функции /0(ж),/i(x),...,/т(ж), причем т < п,
и пусть i? — множество точек множества G, удовлетворяющих сис-
системе уравнений
/i(a;)=0, ..., fm(x)=0.	A)
Уравнения A) будем называть уравнениями связей (или просто связя-
связями).
Точка х° = (ж?,...,ж^) G G называется точкой условного мини-
минимума функции /о (ж) при наличии связей A), если найдется такая

§60. Условный экстремум	563
окрестность Ss(x°), что для всех ж Е G П Ss(x°) выполнено неравен-
неравенство /о(ж) ^ /о(ж0).
Точка ж0 Е G называется точкой строгого условного минимума
функции /о (ж) при наличии связей A), если найдется такая окрест-
окрестность Ss(x°), что для всех ж Е ^(жо)ПС выполнено неравенство
/о(х) > fo(x°).
Аналогично определяются точки условного максимума. Точки
условного максимума и минимума называются точками условного
экстремума.
2.	Прямой метод отыскания точек условного экстремума.
Предположим, что из системы уравнений A) можно выразить какие-
либо т переменных xi через остальные переменные. Тогда, подставив
вместо соответствующих переменных xi их выражения через осталь-
остальные п — т переменных в функцию /о(ж), получим функцию F от
п — т переменных.
Задача о нахождении точек экстремума функции /о (ж) при нали-
наличии связей A) сведется к задаче нахождения обычного (безусловного)
экстремума функции F, зависящей отп-ш переменных.
Пример 1. Найти точки условного экстремума функции z = 1 -
- ж2 - у2, если ж + у = 1.
Л Уравнение связи ж + у = 1 легко разрешается относительно пере-
переменной у, а именно у — \-х. Подставив это выражение для у в функ-
функцию z = 1 — ж2 — у2, получаем, что z = 1 — ж2 — A — жJ = 2ж — 2ж2.
Функция 2ж - 2ж2 имеет максимум при ж = -. Точка (-, - J являет-
является точкой условного максимума функции z(x,y) при наличии связи
ж + у = 1, причем zmax = -. А
Замечание. Прямой метод нахождения условного экстремума ред-
редко бывает эффективным ввиду трудности разрешения уравнений связей
относительно какой-либо группы переменных.
3.	Метод множителей Лагранжа. Рассмотрим функцию п + т
переменных
1/(ж,А) = /0(ж) + Ai/i(ar) + ... + Ат/т(ж),
где ж G G, а А = (Ai,..., Ат) G Rm. Числа Аь ..., Ат называются множи-
множителями Лагранжа, а функция L(x, А) называется функцией Лагранжа.
Будем говорить, что (ж0, А0) есть стационарная точка функции
Лагранжа, если
?(аЛА°)=0, ..., §±(х°,Х°) = 0,
®L (г° \°\ — f (г°\ — П	dL , о хОч _ - , 0\ _ п
-^— (^Ж , Л J — /ЦЖ J — U, ..., ——[X , A J — /ш^Ж J — U.

564
Гл. XIII. Экстремумы функций многих переменных
Теорема 1 (Лагранжа). Пусть х° — точка условного экстрему-
экстремума функции /о(ж) при наличии связей A), и пусть функции fi(x), г =
= 0,т, непрерывно дифференцируемы в окрестности точки ж0, при-
причем в точке х° ранг матрицы Якоби
А =
dfr,
\
¦Ос)
(х)
дхп
dfm
Ъх-^Ч
C)
что
(х°, А0)
равен т.
Тогда найдутся такие множители Лагранжа Aj,...,
будет стационарной точкой функции Лагранжа.
О Так как т < п, а ранг матрицы Якоби в точке х° равен т, то хотя
бы один из миноров этой матрицы порядка т отличен от нуля.
Без ограничения общности можно считать, что
f4'
дх\
dfm
dxi
dfi (
дХт
dfm{
дХт
D)
так как выполнения условия D) всегда можно добиться, перенумеро-
перенумеровывая переменные и уравнения связей в нужном порядке.
Пусть х° есть точка условного минимума функции fo(x). Тогда
существует окрестность К'(х°) = К[(х®, ...,ж^) х i^O^m+iJ ...,ж^) та-
такая, что
/о(я) - /о(я0) ^ 0 при всех х е ЕП К'(х°).	E)
В силу непрерывности частных производных и выполнения условия D)
можно применить теорему о неявных функциях (§ 28). В силу этой
теоремы найдется такая окрестность
'{х°)
К(х°) = К1{х01,...,х0т)хК2{х0т+1,...,х0п)СК'{х
в которой система уравнений связей A) определяет переменные xi,...
...,жт как неявные функции переменных жт+1,...,жп. Это означает,
что найдется единственный набор непрерывно дифференцируемых в
окрестности К2(х^+1г..,4) функций ^(жт+ь ...,жп), г = 1,т, та-
таких, что
..,4) = x?, г = Т^;	F)
, ..., хп), хт+1,
,...,жп)) G ifiO
.., хп) = 0, G)
при
г =

§60. Условный экстремум	565
Другими словами, множество Е П К(х°) можно задать следую-
следующим образом:
ЕПК(х°) = {х: х = (жь...,жп), (%+1,..,жп)еХ2Й+1,..,4),
Zi = ipi(xm+1,...,xn), i = l,m}. (8)
Так как К(х°) С К'(х°), то из неравенства E) следует, что функ-
функция /о(х) принимает на множестве Е П К(х°) наименьшее значение в
точке х°. Если взять представление множества Е П К(х°) в виде (8),
то сложная функция
F(xm+b...,xn) =
= /0((^i(xm+i,...,Xn), ..., (рт(хт+1, ..., Хп), Хт+1, ..., Хп) (9)
определена в окрестности l^O^m-n? ...,ж^) и принимает в этой окрест-
окрестности наименьшее значение в точке (ж^+1, ...,ж^). Следовательно, в
силу необходимых условий экстремума должно выполняться ра-
равенство dF(x^n+1, ...,ж^) = 0. Воспользовавшись инвариантностью
формы первого дифференциала и равенством (9), получаем, что
k=l
В равенстве A0) dxm+i,..., dxn есть дифференциалы независимых
переменных, adxi,..., б?жт — дифференциалы функций ^,...,(^т, за-
зависящих от жт+1,...,жп. Для краткости будем говорить о независи-
независимых и зависимых дифференциалах.
Найдем связи между зависимыми и независимыми дифференциа-
дифференциалами. Дифференцируя тождества G) в точке (ж^+1, ...,ж^) и пользу-
пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, получаем
Q, i=T~^.	A1)
Умножая равенства A1) на множители Л^ и складывая полученные
равенства с равенством A0), находим
=l V Л г=1
где Ь(х,Х) есть функция Лагранжа.
Подберем множители Aj,...,A^ так, чтобы коэффициенты при за-
зависимых дифференциалах в равенстве A2) обратились в нуль, т. е.
^ г дхк
Система уравнений A3) единственным образом определяет множите-
множители Aj,..., А^, так как ее определитель D) отличен от нуля.

566	Гл. XIII. Экстремумы функций многих переменных
При выполнении условий A3) уравнение A2) примет вид
Z. дх[ dxk = 0.	A4)
k=m+l	k
Так как дифференциалы независимых переменных dxm+i,..., dxn
могут принимать любые значения, то из A4) следует, что
i=0, fe = 771 + 1,...,П.	A5)
Объединяя равенства A3) и A5), получаем
° *1п
Так как точка х° G i? и, следовательно, удовлетворяет уравнениям
связей, то
= fj(x") =0, j = 1,ш.
Таким образом, (ж°,Л°) есть стационарная точка функции Лагранжа
L(x,X). •
Второй дифференциал функции Лагранжа, вычисленный при фик-
фиксированных Aj,...,A^ по переменным xi,...,xn в точке ж?,...,ж^, бу-
будем обозначать через d^xL(x°, A0).
Таким образом,
cg.L^, А») = ? Е ^g^ dXk dx3.	A6)
Иногда вместо ^жЬ(ж°,А°) будем писать cPL(x°,А°).
Обозначим через Ет следующее линейное многообразие в Rn:
} A7)
Равенства A1) означают, что dx = (dxi,..., dxn) G ^т-
Теорема 2. Пусть х° есть точка условного минимума функции
/о(ж) rcpzi наличии связей A), и пусть функции fi(x), i = 0,m, шме-
юш непрерывные частные производные второго порядка в окрестнос-
окрестности точки ж0, причем в точке х° ранг функциональной матрицы C)
равен т.
Тогда найдутся множители Лагранжа Aj,..., А^ такие, что (ж0, А0)
есть стационарная точка функции Лагранжа, a dlxL(x°,X°) ^ 0 при
О Так как выполнены все условия теоремы 1, то найдутся множи-
множители Лагранжа А?,...,А^ такие, что (ж0, А0) будет стационарной точ-
точкой функции Лагранжа, т. е. выполняются условия B). Повторяя рас-

§60. Условный экстремум	567
суждения теоремы 1, рассмотрим сложную функцию (9), имеющую
безусловный экстремум в точке (ж^+1, ...,ж^). Так как эта функция
имеет непрерывные частные производные второго порядка, то, в силу
теоремы 2, § 59 должно быть выполнено условие (PF(x^n+1,..., ж^) ^ 0.
Воспользовавшись правилом нахождения второго дифференциала
сложной функции и формулой (9), находим, что
k=lj=l	K	J	k=l
Дифференцируя два раза в точке ж^+1, ...,ж° тождества G), полу-
получаем равенства
1й$
k=lj=l	3	k=l
Если умножить каждое из равенств A9) на соответствующий мно-
множитель Лагранжа А° и сложить с неравенством A8), то получаем не-
неравенство
<&Ц*°, А0) + ? ^?^1 ?хк > 0.	B0)
k=l	к
Последняя сумма в неравенстве B0) равна нулю, так как (ж0, А0) есть
стационарная точка функции Лагранжа и в ней выполняются усло-
условия B). Таким образом, d^xL(x°, Х°) ^ 0 при (dxi,..., dxn) ? Ет- •
Теорема 3 (достаточные условия условного экстремума). Пусть
функции fi(ж), i = 0,m, имеют непрерывные частные производные
второго порядка в окрестности точки х° G /?п, причем в точке х°
ранг функциональной матрицы C) равен т, и пусть (ж0, А0) есть ста-
стационарная точка функции Лагранжа 1/(ж,А).
Тогда если d^xL(x°,X°) есть положительно определенная квадра-
квадратичная форма при dx G Ет, тпо ж0 является точкой условного строго-
строгого минимума функции /о(ж) при наличии связей A). Если d^xL(x°, A0)
есть отрицательно определенная квадратичная форма при dx G Ет,
то х° — точка условного строгого максимума. Если d^xL(x°, А0) есть
неопределенная квадратичная форма при dx G Ет, то х° не есть точ-
точка условного экстремума функции fo(x) при наличии связей A).
О Пусть
Е = {х: fi(x) =0, i = 1,ш}.	B1)
По условию теоремы функции fi(x), г = 0,т, имеют непрерывные
частные производные второго порядка, а ранг функциональной мат-
матрицы C) равен т. Повторяя рассуждения теоремы 1, можем без огра-
ограничения общности считать, что выполнено условие D) и что найдется
такая окрестность К(х°) = К1(х^ ...,ж^) х К2(х^п+1, ...,ж^), что мно-
множество Е П К(х°) можно задать формулой (8). На Е П К(х°) функция

568	Гл. XIII. Экстремумы функций многих переменных
/о(ж) становится функцией п — т переменных F(xm+i, ...,жп), опре-
определенной формулой (9) и имеющей непрерывные частные производ-
производные второго порядка.
По условию теоремы (ж0, А0) есть стационарная точка функции
Лагранжа, т. е.
^
<*"*
Из формул B2) следует, что х° е Е и что
B2)
dxL(x\ А0) = ? ^^ dxfc = 0.	B3)
Рассмотрим функцию L(x, А0) на множестве Е П If (ж0). Очевидно,
что
L(a;,Ao) = /o(a;)=F(a;ra+1,...,a;n) при х?ЕпК(х°). B4)
В силу инвариантности формы первого дифференциала из форму-
формулы B4) следует, что
dF(x°m+1 ,...,x°n)= dxL(x°, А0) = 0.	B5)
Находя второй дифференциал от обеих частей равенства B4) и
используя равенства B2), получаем
Пусть d%.xL(x°, \°) > 0 при dx G Ет, dx ф 0. Так как множест-
множество Ef]K(x°) можно задать в форме (8), то, выбирая dxm+i,..., dxn
произвольным образом, получим, что дифференциалы dx\,..., dxm за-
зависят от dxm+i,..., <ixn. Дифференцируя тождества G) в точке ж0,
получаем соотношения A1), которые означают, что dx G Ет-
Из формулы B6) тогда следует, что
d2F(x°m+1,...,x°n)>0 при da4+1 + ... + da?>0.	B7)
Из B5) и B7) получаем, что (ж^+1, ...,ж^) есть точка строгого мини-
минимума функции F(xm+i, ...,жп), т. е. ж0 есть точка строгого минимума
функции /о(х) на множестве i? П К(х°). Таким образом, х° есть точка
строгого условного минимума функции /о (ж) при наличии связей A).
Аналогично рассматривается случай, когда dlxL(x°,X°) < 0, dx e
G i^T? <^? Ф 0- Если же б^ж1/(ж°,А°) при dx G ??т есть неопределен-
неопределенная квадратичная форма, то не выполняется условие d2xxL(x°, А0) ^ 0

§60. Условный экстремум	569
при dx Е Ет, являющееся, в силу теоремы 2, необходимым условием
минимума. Поэтому ж0 не есть точка условного минимума функции
/о(ж) при связях A). Аналогично доказывается, что х° не может быть
точкой условного минимума функции —/о(ж), а следовательно, и точ-
точкой условного максимума функции /о (ж) при связях A). •
Замечание. Если окажется, что d2xxL(x°, Л°) есть положительно опре-
определенная квадратичная форма на всем пространстве /?п, то d2xxL(x°, Л°) > О
и при dx G Ет, dx ф 0. Поэтому в этом случае в квадратичной форме
dxxL(x°, Л°) не нужно исключать зависимые дифференциалы.
Пример 1. Найти экстремумы функции х — 2у + 2z = и и на сфе-
сфере х2 + у2 + z2 = 1.
Л Строим функцию Лагранжа
L(x,y,zJ\)=x-2y + 2z + А(ж2 +у2 +х2 -1).
Стационарные точки функции Лагранжа находим, решая систему
уравнений
Исключая из этой системы ж, 2/, z, получаем ( —г ) +(т) ~Мт)
3	3
-1 = 0, откуда Ai = -, А2 = --.
У функции Лагранжа есть две стационарные точки,
1 2 2 3\	,, /1 2 2 3
Так как d2L(M1) = 3(^ж2 + ф2 + dz2) > 0, a d2L(M2) = -(
+ б^/2 + (iz2) < 0 при dx2 + (i^/2 + dz2 > 0, то (	,-, — I — точка
(I 2 2\
условного минимума, а (^"^тт) — точка условного максимума
функции и = ж — 2у + 2ж при наличии ограничения ж2 + у2 + z2 — 1 =
0, Причем Umin = -3, IXmax = 3. А
Пример 2. Найти условные экстремумы функции /о(ж, 2/) = еаху,
а ^ 0, при наличии ограничения fi(x,y) =x3+y3+x + y — 4 = 0.
А Построим функцию Лагранжа:
L(x, у) = еаху + А(ж3 + ?/3 + ж + ?/ - 4).
Стационарные точки функции Лагранжа определяются из системы

570	Гл. XIII. Экстремумы функций многих переменных
уравнений
°Ь = ауеаху + ЩХ2 + 1) = 0,
ОХ
<Я = ахеа*у + \Cу2 + 1) = О,	B8)
ду
Умножая первое уравнение на ж, а второе на у и вычитая, получаем
АCж3 - З?/3 + ж - у) = А(ж - у)Cх2 + Зху + Зу2 + 1) = 0. B9)
Если Л = 0, то из первых двух уравнений B8) получаем х = у = 0.
Но х = ^/ = 0 не удовлетворяет уравнению связи. Итак, А ф 0, поэтому
из B9) следует, что х — у (второй сомножитель всегда положителен:
3(ж2 + ху + 2/2) + 1 > 0). Подставляя х = у в уравнение связи, получа-
получаем х3 + ж = 2, ж = ^/ = 1. Первое из уравнений B8) дает при х — у — \
значение Л = — - еа.
Итак, M,l,-jeaj есть единственная стационарная точка функ-
функции Лагранжа.
Так как
d(eaxy) = a(x dy + у dx) eaxy,
d2(x3 +y3 + х + у - 4) = 6xdx2 +6ydy2,
то для второго дифференциала функции Лагранжа при Ао = --еа и
х — у — \ получается следующее выражение:
d2L(l, 1, Ао) = аеа \a[dx + ^J + 2 dx dy - | (^ж2 + ^2)]. C0)
Дифференцируя уравнение связи при х = у = 1, получаем, что ей/ +
+ <ix = 0. Подставляя dy = — dx в уравнение C0), получаем равенство
d2L(l, 1, Ао) = -Ъаеа dx2.	C1)
Поэтому при а < 0 в точке A,1) будет условный минимум, а при
а > 0 — условный максимум функции /о(ж, 2/) при наличии связи ж3 +
+ у3 + ж + у = 4, причем экстремальное значение функции равно еа. А
Замечание. Уравнение связи х3-\-у3-\-х-\-у = 4 было бы затрудни-
затруднительно разрешить относительно одной из переменных. Метод Лагранжа для
примера 2 более эффективен, чем прямой метод исключения зависимых пе-
переменных.
4. Несколько замечаний о методе множителей Лагранжа.
Задачи об отыскании экстремумов функций (как числовых, так и
функций более общей природы) при наличии ограничений являются
весьма распространенными. Теория экстремальных задач интенсив-
интенсивно развивается и находит широкий круг приложений. В § 60 были рас-

§60. Условный экстремум	571
смотрены ограничения типа равенств, задаваемые достаточно глад-
гладкими функциями (гладкие связи). Метод множителей Лагранжа име-
имеет глубокие обобщения и на более общий случай, когда ограничения
задаются системой равенств и неравенств при помощи недифферен-
цируемых в обычном смысле функций.
В конкретных прикладных вопросах множители Лагранжа имеют
содержательную интерпретацию. Так, в механике множители
Лагранжа задают реакции связей, а в математической экономике —
цены на продукты производства. Широко развиты приближенные ме-
методы решения экстремальных задач, использующие современную вы-
вычислительную технику.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIII
1.	Функцию (х + у)ех~у разложить в окрестности точки @, 0) по форму-
формуле Тейлора, удерживая члены до третьего порядка малости включительно
при (х,у) -> @,0).
2.	Функцию chxsin?/ разложить в окрестности точки @,0) по формуле
Тейлора, удерживая члены до пятого порядка малости включительно при
(ж,г/)->@,0).
3.	Функция /(ж), определенная на выпуклом множестве G в евклидовом
пространстве R , называется выпуклой на G, если для любых х,у Е G и
для любого t E [0,1] выполнено неравенство
Показать, что для монотонно возрастающей выпуклой функции ср: R —»>
—>- R и выпуклой на выпуклом множестве G функции / композиция ср о f
будет выпуклой функцией на множестве G.
4. Функция /: G —»¦ R называется строго выпуклой на выпуклом мно-
множестве G С /?п, если для любых ijGGh для любого t E @,1) выполнено
неравенство
Показать, что строго выпуклая в выпуклой области G функция не мо-
может иметь в этой области более одного локального минимума.
5.	Пусть функция / : G —»¦ R дважды непрерывно дифференцируема
на выпуклой области G С Rn. Показать, что она будет строго выпукла в
области G, если второй дифференциал d2 f(x) есть положительно определен-
определенная форма дифференциалов независимых переменных dxi,..., dxn в каждой
точке области G.
6.	Исследовать на экстремум следующую квадратичную форму: и =
= х2 + у2 + z2 + 12ху + 2zy.
7.	Исследовать на экстремум функцию и = xyz при наличии связей
х + у + z = 0, z2 + у2 + z2 = а2.
8.	Показать, что наибольшее и наименьшее значения квадратичной фор-
п п	п
мы У У ^ajjXjXj на сфере / ^х2 = 1 равны наибольшему и наименьшему
г=1 j=l	г=1
собственным значениям матрицы квадратичной формы.
9.	Найти условный экстремум функции и = exyz при ограничении х2 +
2 2

ГЛАВА XIV
РЯДЫ ФУРЬЕ
В науке и технике возникают разнообразные задачи, связанные с
изучением реакции Lf некоторого сложного объекта на внешнее воз-
воздействие /. Часто эту реакцию можно считать линейно зависящей
от воздействия /. Допустим, что известна реакция объекта на неко-
некоторое счетное множество простых воздействий /n, n Е N. Если есть
возможность представить сложное воздействие / в виде линейной
комбинации простых воздействий, то в силу линейности оператора L
и реакцию системы можно представить в виде линейной комбинации
реакций на простые воздействия. Возникает проблема представления
заданной функции в виде конечной или бесконечной линейной комби-
комбинации известных простых функций. Например, в теории колебаний
возникает проблема разложения сложного колебания в сумму прос-
простых гармоник вида А\~ sin(cc^? + а^), где ик — известная последова-
последовательность частот. В строгой математической постановке подобные
задачи изучаются в теории рядов Фурье.
§ 61. Ортогональные системы функций.
Ряды Фурье по ортогональным системам
1. Ортогональные системы функций. Говорят, что система
непрерывных на отрезке [а, Ь] функций ipi,...,ipn — ортогональна на
отрезке [а, 6], если
ъ
I (рп(х) (рт dx = 0 для п,?тг Е А/ и п ф т.	A)
а
Если, кроме того,
ъ
f(p2n(x) dx = 1 для п е А/,	B)
а
то система функций {^рп} называется ортонормированной на отрез-
отрезке [а, Ь].
Например, тригонометрическая система
1	7ГХ	. 7ГХ	П7ГХ	. П7ГХ	/оЧ
-, cos—, sin—, ..., cos——, sin——, ...	C)
ортогональна на отрезке [—/,/] (§ 36, пример 1 и упр. 3).

§61. Ортогональные системы функций	573
Так как
l 9	l	l
2 / ( - 1 dx = cos —— dx = sin —— dx = I, n E A/, D)
-z	-/	-/
то, поделив все функции тригонометрической системы C) на лД, а
первую из этих функций на дД/2, получим ортонормированную на
отрезке [—/,/] тригонометрическую систему
1	1 тгж 1 . тгж	/гч
C0S	sm	^
При / = тг тригонометрическая система C) имеет особенно прос-
простой вид
-, cos ж, sin ж, ..., cosnx, sinnx, ...	F)
и ортогональна на отрезке [—тг,тг].
Пример 1. Многочлены Лежандра
^&{х2-1)П> nGW' ^И = 1,	G)
образуют ортогональную систему функций на отрезке [—1,1].
Л Доказательство ортогональности многочленов Лежандра на отрез-
отрезке [-1,1] сводится к проверке при п > т тождества
^ ^(х2 l)m dx - Q
}	[Х } йХ и
~ J dx" [X
-1
Воспользуемся тем, что ж = 1иж = —1 есть нули кратности п
многочлена (ж2 — 1)п. Поэтому все производные многочлена (ж2 — 1)п
до порядка п - 1 включительно обращаются в нуль в точках х = 1 и
х = -1.
Интегрируя выражение J по частям, получаем, что
1	n+m
— ( — i\n f (T2 — ~])n —	(r2 - ^m dr — 0
-l
так как п + m > 2m, многочлен (ж2 — l)m имеет степень 2m, а про-
производная от многочлена порядка, более высокого, чем степень много-
многочлена, тождественно равна нулю. А
Упражнение 1. Показать, что тригонометрическая система C) орто-
ортогональна на любом отрезке [а, а + 2/], а Е R.
Указание. См. § 36, пример 6.

574	Гл. XIV. Ряды Фурье
Упражнение 2. Показать, что система функций
1
-, COSX, ..., COSUX, ...
ортогональна на отрезке [О,тг].
Упражнение 3. Показать, что система синусов
7ГЖ	. П7ГХ
sin—, ..., sin	, ...
ортгональна на любом отрезке вида [а, а + /], а Е R.
Упражнение 4. Показать, что тригонометрическая система
1	2тгх . 2тгх	2тгпх . 2тгпх
-, cos	, sin	, ..., cos	, sin	, ...
2	b — a	b — a	b — a	b — a
ортогональна на отрезке [a, b].
2. Ряд Фурье по ортогональной системе. Пусть функция f(x)
непрерывна на отрезке [a, b], a {cpk(x)} — ортогональная на [a, b] сис-
система непрерывных функций, причем ни одна из функций tpk{x) не
обращается тождественно в нуль на отрезке [a, b]. Говорят, что функ-
функция /(ж) разложена на отрезке [a, b] в сходящийся ряд по ортогональ-
ортогональной системе функций {y>k(x)}, если найдется такая числовая после-
ОО
довательность {а/.}, что функциональный ряд V^a/^/^x) сходится и
его сумма равна /(ж), т. е.	к=1
оо
/(ж) = ^a>k?k(x), xe[a,b].	(8)
k=i
Лемма 1. Если функциональный ряд (8) сходится равномерно на
отрезке [а, 6], то справедливы следующие выражения для коэффициен-
коэффициентов этого ряда:	ъ
Гf(x)(fn(x)dx
ап = 2—j	, пе«.	(9)
Jip2n(x)dx
а
О Так как функция (рп(х) непрерывна на отрезке [а, 6], то она огра-
ограничена на этом отрезке (теорема Вейерштрасса). Если равномерно
сходящийся ряд умножить на ограниченную функцию, то получим
равномерно сходящийся ряд (это непосредственно следует из опре-
определения равномерной сходимости функционального ряда). Поэтому,
умножая ряд (8) на функцию (рп(х), получаем
(X)
f(x)(pn(x) = ^^akipk(x)(Pn(x), n e А/,	A0)
k=i
причем ряд в правой части равенства A0) сходится равномерно на
отрезке [а, Ь].

?;=1 а
§61. Ортогональные системы функций	575
Воспользовавшись теоремой о законности почленного интегриро-
интегрирования равномерно сходящегося ряда и ортогональностью функций
(fk(x) на отрезке [а, 6], получаем
Ъ	Ъ оо
Jf(x)ipn(x)dx = J\^2akipk(x))ipn(x)dx =
а	а к=1
оо	b	b
ipn(x)dx = anf(p2n(x)dx. A1)
а
Так как функция срп(х) не равна тождественно нулю на отрезке [а, Ь]
ъ
и непрерывна, то I (p2n(x) dx > 0. Поэтому из равенства A1) следует
а
формула (9) для коэффициентов ап. •
Числа ап называются коэффициентами Фурье, а ряд (8) — ря-
рядом Фурье функции f(x) no ортогональной на [а, Ъ] системе функ-
функций {<Pk(x)}.
Ряд Фурье функции /(ж) по тригонометрической системе на от-
отрезке [—/,/] будем записывать в виде
(X)
/О) = у + 2^ \ак cos ~г fe sm ~Г;
и называть тригонометрическим рядом Фурье функции f(x) на от-
отрезке [—1,1].
Коэффициенты ак и Ък можно вычислить, если подставить в фор-
формулы (9) выражения для тригонометрических функций и воспользо-
воспользоваться формулами D):
ао = j I f(x) dx, an = j I f(x) cos —— dx,
~l г i n^1	A3)
bn = у / f(x) sin ^^ dx, n e N.
-i
В частности, при I = тг получаем
7Г	7Г
1 /	1 /
а0 = - f(x)dx, ап = - f(x)cosnxdx,
7Г J	7Г J
-* х .	-	A4)
Ьп = — f(x)sinnxdx, n G А/.
тг У
— 7Г
3. Ряд Фурье абсолютно интегрируемой функции. Коэффи-
Коэффициенты Фурье могут быть вычислены при помощи формулы (9) для
любой абсолютно интегрируемой на отрезке [а, Ъ] функции /(ж), если
функции (fk(x) непрерывны и не обращаются тождественно в нуль на
отрезке [а, Ь].

576	Гл. XIV. Ряды Фурье
и
Г
В самом деле, пусть \f(x)\dx сходится как несобственный ин-
интеграл. Тогда	а
\f(x)(pn(x)\ ^ kn\f(x)\, kn= sup \ipn(x)\.
xe[a,b]
b
По признаку сравнения интеграл f(x)cpn(x)dx сходится абсо-
а
лютно. Следовательно, все коэффициенты Фурье могут быть вычис-
вычислены при помощи формулы (9).
оо
Ряд 2^ ап ^п(^M гДе &п — коэффициенты Фурье абсолютно интег-
п=1
рируемой на [а, Ь] функции /(ж), будем называть рядом Фурье функ-
функции f(x) no ортогональной системе функций {(рп(х)}. Так как этот
ряд может оказаться расходящимся, то будем писать
оо
/0*0 ~ ^2ап(рп(х).	A5)
71=1
В частности, для тригонометрической системы C) формула A5) име-
имеет следующий вид:
оо
Л\	«о . \~^	П7ГХ , . П7ГХ	/1Г,ч
х;~ у + Z^ пп cos "у + Ьп sm ~~Г'	^16^
п=1
оо
Запись A5) означает, что V^an(^n(x) есть ряд Фурье функ-
71=1
ции f(x) по ортогональной системе {fn(x)}.
§ 62. Лемма Римана
В теории тригонометрических рядов и теории интеграла Фурье
(которая будет изложена в § 74) фундаментальную роль играет сле-
следующая лемма Римана.
Лемма 1 (Римана). Пусть функция f(x) абсолютно интегрируе-
интегрируема на конечном или бесконечном интервале (а,Ь). Тогда
ъ	ъ
lira f(x)smouxdx= lira / f(x) cosuxdx = 0.	A)
UJ—>-OO J	CO—>-OO J
a	a
О а) Пусть сначала функция f(x) интегрируема по Риману на отрез-
отрезке [а, Ь]. В силу критерия интегрируемости для любого г > 0 найдется
такое разбиение Т = {ж^,г = 0,п} отрезка [а, 6], что разность 5т — «т

§ 62. Лемма Римана
577
верхней и нижней сумм Дарбу будет меньше г/2, т. е.
ST-sT =
где Mi = sup f(x), vrii — inf f(x).
xeixi-uxi]	xe[xi-uXi]
Тогда для любого i = l,n и для любого х е [xi-i^xi] выполняется
неравенство 0 ^ f(x) — mi ^ Mi — mi и
О
\ f(x) sinujxdx
i=lxi_i
/ f(x)sinujxdx
i	n	Xi
/ (f (x) — rrii) sin lux dx+ 2^ mi / sinuxdx
м
г=1
г=1
где с0 = 2n sup \f(x)\.
хе[а,Ъ]
При фиксированном п найдется иоо > 0 такое, что при |о;| > иоо
выполнено неравенство со/ио < г/2. Таким образом, при |о;| > иоо вы-
выполнено неравенство
ъ
I Г
f(x) sin ujxdx < s,
т. е.
и
lim f(x)sinujxdx = O.
б) Пусть теперь функция /(ж) абсолютно интегрируема на (а, Ь).
Без ограничения общности считаем, что единственная особая точка
ь
интеграла / |/(ж)| dx есть Ъ. Напомним, что рассматриваются только
а
несобственные интегралы с конечным числом особых точек.
Тогда для любого е > 0 существует Ь' < Ъ такое, что на отрез-
отрезке [а,Ь'] функция f(x) интегрируема по Риману, а несобственный ин-
ъ
теграл J\f(x)\dx < |.
ъ1

578	Гл. XIV. Ряды Фурье
Так как для интегрируемых по Риману функций лемма доказа-
доказана в п. а), то найдется ujq > 0 такое, что при |о;| > ujq выполнено не-
неравенство
ъ'
//(ж) s'muxdx
<§¦
Поэтому при \и\ > ujq имеем
ъ	ь'	ь
\ г	г	г
\ f(x) sin ujxdx = / /(ж) sin ujxdx + / /(ж) sin ujxdx ^
a	a	.	hi
b'	b	b
\ С	С	? ?
^ / /(ж) sinuxdx + / |/(ж)| dx < - + - = e.
a	bi
b
Итак, //(ж) sinuxdx ->• 0 при и; ->• оо. Аналогично доказывается, что
а
6
lim / /(ж) cosuxdx = 0. •
а;—>-оо J
а
Следствие. Е'сли /(ж) — абсолютно интегрируемая на отрез-
отрезке [—1,1] функция, то ее коэффициенты Фурье, определенные форму-
формулами A3), стремятся к нулю при п —У оо.
§ 63. Формула для частичных сумм
тригонометрического ряда Фурье
1. Периодические функции. Периодическая функция была
определена в § 9. Под периодом Т функции /(ж) будем понимать наи-
наименьший из ее периодов. Так, функции sin ж и cos ж имеют период 2тг,
а функция tgж имеет период тг.
Если функция /(ж) имеет период 21, то будем называть ее
21-периодической. Функцию, определенную на [—/,/), можно перио-
периодически продолжить на (—оо,+оо), сдвигая последовательно график
функции на промежутке [—/,/) параллельно оси ж на 2nl, где п =
0,=Ы,... Если существуют односторонние пределы /(—I + 0) и f(l —
0), то, в силу периодичности выполняются равенства
/(/ + 0)= lim /(ж) = lim f(l + u)= lim f(-l + u) =
x—Я+0	и—^+0	и—^+0
Если /(—Z + 0) Ф /(' —0), то продолженная функция в точках
2п + 1), п G Z, будет иметь разрывы первого рода со скачком /(—I +
0) — /(Z — 0) даже в том случае, когда функция /(ж) была непре-

'. Формула для частичных сумм тригонометрического ряда Фурье 579
Рис. 63.1
рывной на промежутке [—/,/) (см. рис. 63.1). Функция /(ж), непре-
непрерывная на промежутке [—/,/), будучи периодически продолженной
на (—оо,+оо), останется непрерывной в том и только том случае,
когда/(-/ + 0) = /(/-0).
Упражнение 1. Показать, что для нечетной на отрезке [—/,/], абсо-
абсолютно интегрируемой функции все коэффициенты ап в формуле A2) равны
нулю, а для четной абсолютно интегрируемой на [—/, I] функции все коэф-
коэффициенты Ъп в формуле A2) равны нулю.
Лемма 1. Если функция f(x) абсолютно интегрируема на отрез-
отрезке [—1,1] и 21-периодическая, то для любого вещественного числа а
выполнено равенство
а+1
I f(x) dx = / f(x) dx.
-i
О Это утверждение доказано в § 36 (пример 6). •
2. Частичные суммы ряда Фурье абсолютно интегрируе-
интегрируемой функции. В дальнейшем считаем, что полупериод I = тг Такое
предположение не ограничивает общности, поскольку от периода 21 к
периоду 2тг можно перейти при помощи простой замены независимой
переменной.
Запишем для 2тг-периодической абсолютно интегрируемой функ-
функции ее тригонометрический ряд Фурье при помощи формулы A2) в
§ 61 и построим последовательность частичных сумм этого ряда
1
Sn(x) = - +
ak
k cos kx + bk sin kx.
(i)
k=i
Заметим, что функция Sn(x) бесконечно дифференцируема и 2тг-пе-
риодична.
Найдем формулу для Sn(x) (формулу Дирихле). При и ф 2ктг,
к Е Z, справедливо тождество
Dn(u) = —Ь cos и + ... + cos пи = 	^—;—и .	B)
2	2 sin —

580	Гл. XIV. Ряды Фурье
и.
О Достаточно заметить, что
II	II	II	II
2Dn(u) sin - = sin - + 2 cos и sin- + ... + 2 cos nix sin- =
. и t . 3u . и , ,./ ,1\
= sin — + sin —— sin — + ... + sin ( n + - ) и —
— sin I n — - 1 и = sin I n + -
Функция Dn(u), определяемая формулой B), называется ядром
Дирихле.
Лемма 2. Ядро Дирихле — бесконечно дифференцируемая, четная
и 2тг-периодическая функция, причем
7Г
- ГDn(u)du = 1.	C)
— 7Г
О Четность, 2тг-периодичность и бесконечная дифференцируемость
ядра Дирихле следуют из формулы B), так как теми же свойствами
обладает функция cos ku. Формула C) также следует из формулы B),
поскольку
7Г	7Г
- Dn(u)du = - / ( - + cosu + ... + cos7ш) du =
7Г J	7Г J \2	/
п тг
= 1 Н— >^ / cos kudu = 1.
Д1
Выведем теперь формулу Дирихле для частичных сумм ряда
Фурье. Подставляя в формулу A) для частичной суммы выраже-
выражения A4) из § 61 для коэффициентов Фурье и используя формулу B)
для ядра Дирихле, получаем
П	7Г	7Г
2^ ( coskx • — f(t) cosktdt + sinkx • — f(t) sinktdt) =
& = 1	—7Г	—7Г
7Г	П
= - / /(?) f - + ^ cos kx cos H + sin kx sin H J dt =
^	Л1
5>os&(x - *)) dt =
7Г	Ж + 7Г
= - f f(t)Dn(x-t)dt=- f f{x-u)Dn{u)du.
TV J	TV J

§64- Сходимость ряда Фурье в точке	581
Так как подынтегральная функция 2тг-периодическая, а интеграл
по отрезку длины 2тг в силу леммы 1 не зависит от того, в каком
месте вещественной оси этот отрезок расположен, то
7Г
Sn(x) = - ff(x-u)Dn(u)du.	D)
7Г J
— 7Г
Выражение D) для частичной суммы ряда Фурье называют фор-
формулой Дирихле. Если разбить отрезок интегрирования на два сим-
симметричных отрезка, сделать во втором интеграле замену переменной
и = —у и воспользоваться четностью ядра Дирихле, то эту формулу
можно еще преобразовать к виду
7Г
Sn(x) = - f(f(x + u) + f(x - и)) Dn(u) du.	E)
7Г J
§ 64. Сходимость ряда Фурье в точке
1. Теорема о локализации. Сходимость ряда Фурье в точке хо
сводится к исследованию сходимости последовательности частичных
сумм 5п(жо), определенных формулой Дирихле E).
Теорема 1 (принцип локализации). Пусть функция f(x) 2тг-пе-
2тг-периодическая и абсолютно интегрируемая на отрезке [—тг,тг]. Тогда
сходимость ряда Фурье функции f(x) в точке хо G R и сумма ряда
Фурье функции f(x) в точке хо (если этот ряд сходится) зависят
только от поведения функции f(x) в произвольно малом интервале
(хо — S, хо + S), S > 0.
О Используя формулы E) и B) из § 63, запишем частичную сумму
ряда Фурье в следующем виде:
l }f(xo + u) + f(xo-u) . ( , 1\ ,	пл
= - —	ОУ. и	^sin(n+ -)udu.	A)
тг J	Z sin —	\ z /
2
Так как функция /(жо + и) + f(xo ~ u) абсолютно интегрируема
на отрезке [—тг, тг], а для 8 G @, тг) и всех и G [<5, тг] выполнено неравен-
неравенство
+ и) + /(жо — и)
1
|/0o +u) + f(x0 -u)\,
¦ 2
то по признаку сравнения функция
) + и) + /(Жо — '
2sin|

582	Гл. XIV. Ряды Фурье
абсолютно интегрируема на отрезке [5, тг]. В силу леммы Римана
r I } f(xo + u) + f(xo-u) . ( 1\ ,
lim - / —	—-zr	 sin n + - )udu = 0.
n-юо тг J	2 sin %	V 2 У
2
Тогда из формулы A) получаем, что
д
О
Из формулы B) следует, что существование и величина предела
lim Sn(xo) зависит только от существования и величины предела
п—>-оо
lim - / —	—-zr	 sm n + - )иdu,
п^оотгУ	2sin^	V 2/
о	2
т. е. от значений функции / на интервале (жо — S,xo + S). •
Замечание. Для функции /(ж) = - формула B) принимает следую-
следующий вид:
sin ( п + - )и
lim-/	^	p—du=-, 0<?<тг.	C)
п^оо тг У	2sin^	2
2. Условие Гёльдера. Будем говорить, что функция /(ж) удовле-
удовлетворяет в точке хо условию Гёльдера, если существуют односторонние
конечные пределы /(жо =Ь 0) и такие числа S > 0, a G @,1] и со > 0,
что для всех -u G @, S) выполнены неравенства
|/(ж0 + и) - /(ж0 + 0I ^ со?Л |/(ж0 - гг) - /(ж0 - 0)| ^ соиа. D)
Число а называют показателем Гёльдера.
Заметим, что функция /(ж), удовлетворяющая условию Гёльде-
Гёльдера D), может иметь в точке ж0 разрыв первого рода, если /(ж0 + 0) ф
Можно расширить определение односторонних производных
(см. § 14), полагая
,	= Ит
Г (хо) = Нт
Лемма 1. Если в точке ж0 функция /(ж) имеет конечные одно-
односторонние производные /+(жо) ^ /!_(жо), то функция /(ж) удовлетво-
удовлетворяет в точке жо условию Гёльдера с показателем а = 1.

§64- Сходимость ряда Фурье в точке	583
О Функции
(ц) = /(*« + ")-Я*о+ 0) ^(ц) = /(*°-")-/(*°-0)
гб	—гб
имеют конечные пределы при ^ ->• +0 и поэтому ограничены на не-
некотором интервале @,6), т. е. существует cq > 0 такое, что
/(ж0 + и) - /(ж0 + 0)
и
/(ж0 - г*) - /(ж0 - 0)
и
Следовательно, функция /(ж) удовлетворяет в точке жо условию Гёль-
дера с показателем а = 1. •
Следствие. Если функция /(ж) имеет в точке жо производную,
то она удовлетворяет в этой точке условию Гёльдера.
Обратное утверждение неверно: функция \х\а при 0 < а < 1 удов-
удовлетворяет условию Гёльдера в точке х = 0, но не дифференцируема в
точке х = 0.
3. Сходимость ряда Фурье в точке.
Теорема 2. Пусть 2тг-периодическая функция f(x) абсолютно ин-
интегрируема на [—тг,7г] и в точке х0 удовлетворяет условию Гёльдера.
Тогда в точке хо ряд Фурье функции f(x) сходится к
Если в точке хо функция f(x) еще и непрерывна, то в этой точке
сумма ряда Фурье равна f(x0).
О Так как функция f(x) удовлетворяет в точке хо условию Гёльдера,
то при 0<и<5иа>0 выполнены неравенства D).
Запишем при заданном S > 0 равенства B) и C). Умножая равенст-
равенство C) на /(жо + 0) + f(xo — 0) и вычитая результат из равенства B),
получаем
lim
п—>-оо
6
- I Г /(*о + ")-/(*о + О) + /(*о-")-/(*о-О) sin („ + i)udu] = о.
тг J	2 sin ^	V 2 / J
E)
Из условия Гёльдера D) следует, что функция
ф/,л _ /Ы + и) - Джо + 0) + /(жр -и)- f(xp - 0)	( ,
Пи)~	2sin|	W
абсолютно интегрируема на отрезке [0,6]. В самом деле, применяя
неравенство Гёльдера, получаем, что для функции Ф(и), определенной
равенством F), справедливо следующее неравенство:
a-\ ae(o,i].	G)
-и
7Г
В силу признака сравнения для несобственных интегралов из не-

584
Гл. XIV. Ряды Фурье
равенства G) следует, что функция Ф(и) абсолютно интегрируема на
отрезке [О, S].
В силу леммы Римана
lim / Ф(и) sin (п + - )udu = 0.
га-юо J	\	2/
о
Из формулы E) теперь следует, что
Следствие 1. Если 2тг-периодическая и абсолютно интегрируе-
интегрируемая на [—тг,7г] функция f(x) имеет в точке хо обе односторонние
производные, то ее ряд Фурье сходится в точке хо к - /(жо + 0) +
Следствие 2. Если 2тг-периодическая и абсолютно интегрируе-
интегрируемая на [—тг,7г] функция f(x) имеет в точке хо производную, то ее ряд
сходится в этой точке к f(xo).
Следствие 3. Если 2тг-периодическая и абсолютно интегрируе-
интегрируемая на [—тг,7г] функция f(x) удовлетворяет в точках =Ьтг условию
Гёлъдера, то в силу периодичности сумма ряда Фурье в точках =Ьтг
равна
/(тг - 0) + /(-тг + 0)
2
4. Некоторые примеры.
Пример 1. На отрезке [—тг,тг] найти тригонометрический ряд
Фурье функции
Г 1, яе@,тг),
f(x) = { -1, же(-тг,о),
I 0, ж = 0.
Исследовать сходимость полученного ряда.
О Продолжая периодически /(ж) на всю вещественную ось, полу-
ч
-Зтп -2тг!
О
2тг
Зтг
Рис. 64.1
чим функцию /(ж), график которой изображен на рис. 64.1.

(. Сходимость ряда Фурье в точке
585
Так как функция /(ж) нечетна, то
7Г
аи = — / /(ж) cos кх dx = 0;
тг J
— 7Г
1 /"	2 /"	2
к — ~ I f (x) sin кх dx = — /sin kxdx —	-cos/еж
тг J	тг J	тгк
2
—-A — cos/ctt),
тгBп+1)'
Следовательно,
sinBn
2n
Так как f'(x) существует при х ф ктг, то
(X)
7Ы _ 4 V sinBn + 1)х г^
В точках ж = &7Г, /с G Z, функция /(ж) не определена, а сумма ряда
Фурье равна нулю.
Полагая ж = —, получаем равенство
Пример 2. На отрезке [—тг,тг] найти тригонометрический ряд
Фурье функции
f[x) = cos ах, —тг ^ ж ^ тг, афп, п G Z,
и исследовать сходимость полученного ряда.
Л Продолжая функцию /(ж) периодически на всю вещественную пря-
прямую, получаем непрерывную и 2тг-периодическую функцию, имею-
Рис. 64.2
щую в каждой точке обе односторонние производные (рис. 64.2). Ряд

586	Гл. XIV. Ряды Фурье
Фурье такой функции будет в любой точке сходиться к значению
функции в этой точке.
Найдем коэффициенты Фурье. Так как функция f(x) четная, то
все коэффициенты Ъп = 0, а коэффициенты ап вычисляются следую-
следующим образом:
ТГ	ТГ
2 /	1 /
&п = — / cos ах cos nxdx = — / [cos(a — п)х + cos(a + п)х] dx =
7Г J	ТГ J
()	+ |
тг	La + n a — n\
откуда
(X)
n=l
(-1I	I	COSnX, -7Г ^ X ^ 7Г. A (8)
v y Va-n a + nJ	K y
Замечание. Полагая в формуле (8) х = тг и атг = 2, получаем заме-
замечательную формулу, дающую разложение функции ctgz на элементарные
дроби:
оо
1J2(^	^)	(9)
п=1
где точки ±птг являются нулями функции sinz.
Если же положить в формуле (8) х = 0 и г = атг, то получаем разложение
функции cosecz на элементарные дроби:
Пример З. Найти ряд Фурье следующей 2тг-периодической, аб-
абсолютно интегрируемой на отрезке [—7г,тг] функции:
sm -
х ф 2ктг, к G Z,
2
и исследовать сходимость полученного ряда.
Л Так как f'{x) существует при х ф 2ктг, то ряд Фурье функции /(ж)
будет сходиться во всех точках х ф 2ктг к значению функции. Оче-
Очевидно, что f(x) — четная функция и поэтому ее разложение в ряд
Фурье должно содержать только косинусы. Найдем коэффициент а$.
Имеем
тг	тг/2	тг
/Т	С	Т	С	Т
In sin — dx — — 2 / In sin — dx — 2 / In sin — dx —
0	0	тг/2
тг/2	тг/2	тг/2
= -2 / In sin ^ dx — 2 / In cos ^ dx = -2 / In f - sin ж j <ix =
оо	о
тг/2	тг
= тг1п2-2 j In sin ж da: = тг In 2- /in sin | d* = тг1п2 + ^,
о	о
откуда ao = 2 In 2.

(. Сходимость ряда Фурье в точке
587
Найдем теперь ап при n/О. Имеем
7Г
о Г , . х , о sin nx , . ж
тгап = —2 / cos пж In sm - аж = —2	In sm -
J	Z	?7/	Z
+0
n 2 sin -
0	2
= J
У
sm \ n — - )x
2n sin -
2
- dx =
Здесь Dn(x) — ядро Дирихле, определяемое формулой B), § 63. Из
свойства C), § 63 ядра Дирихле получаем, что тгап = — и, следова-
следовательно, ап = —. Таким образом,
п
-In
sm -
A1)
71=1
График функции — In
sm -
изображен на рис. 64.3. А
-бтг -4тг -2тг О
2тг 4тг бтг
Рис. 64.3
Замечание. Полагая в формуле A1) х = тг, получаем
ln2 l + ... +	+ ...
2 3	п
Пример 4. На отрезке [0,4] найти тригонометрический ряд
Фурье функции
Г 1-х, O^x^l,
f(x) = < о, 1 ^ х <: з,
[ ж-3, 3 ^ ж ^ 4,
периодически продолжив ее на (—оо, +оо), и исследовать полученный
ряд на сходимость.
Л Продолжим функцию /(ж) периодически. Получим четную функ-

588
Гл. XIV. Ряды Фурье
-4 -3
-2 -1
О
Рис. 64.4
цию /(ж) с периодом, равным 4 (рис. 64.4). Следовательно, разложе-
разложение /(ж) в тригонометрический ряд Фурье имеет следующий вид:
2V \ ао .
/О) = у +
71=1
где
2	1
2 /"	/"	1
а° = 2 У ^ dx = j(l-x)dx= 2'
о	о
2	1
/" ,, ч	ШГЖ ,	/',1	ч	П7ГЖ ,
ап = j (х) cos	аж = {1-х) cos	ах =
о	о
1	*
2 /., ч . птгж	2f. птгх ,
— —A — х) sin	 Н	/ sin	ах =
птгv	у	2 о птг У	2
о
/ 2 \2/	птгж Ч /2 \2 Г1	птг]
= — — cos	 = — 1 — cos — .
\птг/ V	2 о/ VnTT/ L	2 J
Таким образом,
л	птг
1 — cos —
2
х е R.
П=1
Так как в каждой точке непрерывная функция f(x) имеет конечные
односторонние производные, то ряд Фурье функции /(ж) во всех точ-
точках сходится к значению функции. А
Упражнение 1. Найти на отрезке [—тг, тг] тригонометрические ряды
Фурье для следующих функций:
а) /(ж) = ж; б) /(ж) = |ж|; в) /(ж) = | sin ж .
Исследовать сходимость полученных рядов и построить графики сумм со-
соответствующих рядов Фурье.
Упражнение 2. Для функции /(ж) = ж2 найти ряды Фурье по триго-
тригонометрической системе:
а) на отрезке [—тг, тг]; б) на отрезке [0, 2тг].
Исследовать сходимость полученных рядов и построить графики сумм
соответствующих рядов Фурье.
Упражнение 3. На интервале @, тг) представить функцию /(ж) =
= ж2 в виде суммы тригонометрического ряда, содержащего только синусы.

§ 65. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда Фурье 589
5. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции. Го-
Говорят, что функция /(ж) кусочно непрерывна на [а, 6], если существу-
существует такое разбиение отрезка [а, Ъ] точками ж^, г = 1,п, где а = ж0 <
< #1 < ... < хп = Ь, что на каждом из интервалов (xi_i,Xi) функ-
функция /(ж) непрерывна и существуют односторонние пределы /(а + 0),
/F-0), /(ж;±0),г = 1,п-1.
Например, функции из примеров 1 и 2 являются кусочно непре-
непрерывными, функция примера 3, график которой изображен из рис. 64.3,
кусочно непрерывной не является.
Говорят, что /(ж) — кусочно гладкая функция на отрезке [а, 6],
если найдется такое разбиение отрезка [а, 6], что на каждом из ин-
интервалов разбиения (xi_i,Xi), г = 1,п, функция /(ж) имеет непрерыв-
непрерывную производную /'(ж) и существуют односторонние производные
f'(a + 0), f'(b — 0), f (xi ± 0), г = 1, n — 1. Ясно, что производная ку-
кусочно гладкой функции, определенная во всех точках отрезка [а, 6],
кроме конечного числа точек, есть кусочно непрерывная функция.
Ряд Фурье кусочно гладкой функции сходится в каждой точке не-
непрерывности функции к значению функции в этой точке, а в каждой
точке разрыва — к полусумме предельных значений функции в этой
точке.
Для непрерывной и кусочно гладкой функции справедливы фор-
формула Ньютона-Лейбница и формула интегрирования по частям.
§ 65. Почленное дифференцирование и интегрирование
ряда Фурье
1. Почленное дифференцирование ряда Фурье.
Теорема 1. Если /(ж) — кусочно гладкая 2тг-периодическая и не-
непрерывная функция, то ряд Фурье производной /'(ж) получается при
помощи формального почленного дифференцирования ряда Фурье функ-
функции /(ж).
О Пусть ап и Ъп — коэффициенты Фурье функции /(ж), а а'п и
Ъ'п — коэффициенты Фурье производной f'(x). Воспользовавшись не-
непрерывностью и периодичностью функции и интегрируя по частям,
получаем, что
«о = I //'(*) dx = \ (/(тг) - /(-тг)) = 0,
— 7Г
7Г	7Г
тга'п = / /'(ж) cos nxdx = / nf(x) sinnxdx = птг6п,
— 7Г	—7Г
7Г	7Г
тгЬ'п = / /;(ж) sin nxdx = - / n/(x) cos nxdx = —птгап.

590	Гл. XIV. Ряды Фурье
Поэтому
ОО
f'{x) ~ 2-1/ а'п cos пх ~^~ ^'п s*n nx ~
п=1
ОО	ОО
= ^ пЪп cos пх — nansmnx = ^(ancosnx + bnsmnx)'. •
Следствие 1. Если 2тг-периодическая функция f(x) имеет не-
непрерывные производные до порядка к — 1 и /^"^(ж) — кусочно глад-
гладкая функция, то ряд Фурье функции f^k\x) получается к-кратным
почленным дифференцированием ряда Фурье функции f(x).
Следствие 2. Если выполнены условия следствия 1, то для
коэффициентов Фурье справедливы следующие асимптотические
равенства:
ап = о(п~к), Ьп = о(п~к), п ->• оо.
О В силу следствия 1 ряд Фурье функции f(k\x) получается при по-
помощи ^-кратного почленного дифференцирования ряда Фурье функ-
функции f(x), т. е.
оо
*) (х) ~ ^ пкап cos (пх + к— ) +nkbn sin (пх + к— ).
п=1
С точностью до знака числа пкап и пкЪп являются коэффициента-
коэффициентами Фурье абсолютно интегрируемой на [—тг, тг] функции f(k\x). Так
как в силу следствия из леммы Римана коэффициенты Фурье абсо-
абсолютно интегрируемой функции стремятся к нулю при п —У оо, то
lim пкап = 0, lim nkbn = О,
п—>-оо	п—>-оо
что и требовалось доказать. •
2. Почленное интегрирование ряда Фурье.
Теорема 2. Для кусочно непрерывной и 2тг-периодической функ-
функции f(x) справедливо равенство
X
J
J f(t)dt= — + 2^ak^^ + bk	jfe	'
о	k=i
где ряд в правой части получен формальным почленным интегрирова-
интегрированием ряда Фурье функции f(x).
О Рассмотрим функцию
X
t-?f.	B)
О
Функция Ф(х) + ^ в точках непрерывности f(x) имеет непре-
непрерывную производную, равную /(ж), в точках разрыва первого рода

§ 66. Равномерная сходимость ряда Фурье	591
функции /(ж) функция Ф(ж) Н—— имеет обе односторонние произ-
производные, равные /(ж + 0) и /(ж — 0). Поэтому непрерывная и кусоч-
кусочно гладкая функция Ф(ж) удовлетворяет условию
2тг+ж	тг
Ф(ж + 2тг) - Ф(ж) = Г /(?) dt - аотг = Г f(t) dt - аотг = 0,
из которого следует ее 2тг-периодичность.
Для функции Ф(ж) выполнены все условия теоремы 2, § 64 и ее
ряд Фурье сходится к Ф(ж) в любой точке ж Е R. Пусть
Ао ^^
=	Ь > Ancosnx + Bnsmnx.	C)
2 ^-^
п=1
Из теоремы 1 следует, что коэффициенты Фурье функций /(ж) и
Ф(ж) связаны при п > 0 следующими соотношениями:
Ъп = -пАп, ап = пВп.	D)
Чтобы найти коэффициент Aq, воспользуемся тем, что равенство C)
справедливо при любом ж G R. Полагая в этом равенстве ж = 0, полу-
получаем, что
оо	оо
— = - > Ап = > —.	E)
п=1	п=1
Подставляя в формулу C) выражения D) и E) для коэффициентов
Фурье, получаем формулу A). •
Пример 1. Используя ряд Фурье для функции sign ж (пример 1,
§ 64), доказать, что:
оо
77=1
ТГ
1
Bп-
77 га=0
IJ
cos(
тг2 <
8 '
2п + 1)ж
п + 1)\
1
п-1
Л Так как функция sign ж является кусочно непрерывной, то в силу
теоремы 2 справедливо равенство
X	ОО X
f • j 4 v—v Г sinBn + lt ,, Л . .
/ sign xdx — - 2_^ I —т.	т-^- dt, 0 ^ ж ^ тг,
из которого следует равенство а).
Полагая в равенстве а) ж = 0, получаем равенство б).
Если обозначить сумму ряда в формуле в) через 5, то для S по-
получаем следующее уравнение:
из которого следует, что S = ^-, т. е. равенство в). А
6

592	Гл. XIV. Ряды Фурье
§ 66. Равномерная сходимость ряда Фурье
1. Неравенство Бесселя. Введем класс функций Z/^a,^), более
широкий, чем класс кусочно непрерывных функций. Функция f(x)
принадлежит этому классу, если существует такое разбиение отрезка
[а, Ь] точками х^ г — 0, п, что на каждом из интервалов [xi-\ •> хг) функ-
функция f(x) непрерывна, а несобственный интеграл от функции |/(ж)|2
сходится на интервале (а, Ь).
Лемма 1. Если функции f(x) и ip(x) принадлежат классу L%'(a, b),
то произведение этих функций — абсолютно интегрируемая на (а, Ь)
функция.
О Так как функции /(ж) и ip(x) принадлежат классу LS?, то су-
существуют такие разбиения Т\ и Т<± отрезка [а, 6], что функция /(ж)
непрерывна на каждом из интервалов разбиения 7\, функция (р(х) не-
непрерывна на каждом из интервалов разбиения Т^, а интегралы по
интервалу (а, Ь) от квадратов этих функций абсолютно сходятся.
Объединяя точки разбиений Т\ и Т^ получаем разбиение Т, на
всех интервалах которого непрерывны обе функции. Абсолютная ин-
интегрируемость произведения этих функций следует из неравенства
и из теоремы сравнения для несобственных интегралов. •
Пусть {(^п(ж)}, п G А/, — ортогональная система непрерывных на
отрезке [а, Ь] функций (см. § 61), причем срп(х) ф 0 на [а, Ь].
Если функция f(x) e L^ia^b), то в силу леммы 1, § 61 для нее
могут быть вычислены коэффициенты Фурье
1 Г
ап = Т\—и? f(x)<pn(x)dx, где \\<рп\\ =
\
A)
Теорема 1. Пусть f е Ь%'(а, Ь), а {(рп(х)}, п е А/, — ортогональ-
ортогональная система непрерывных на отрезке [а, Ь] функций. Тогда для коэф-
коэффициентов Фурье функции f(x) no ортогональной системе {срп(х)}
справедливо неравенство Бесселя
оо	Ь
Y,alWv>k\\2^ff4x)dx.	B)
k=l	a
О Воспользовавшись ортогональностью системы функций {(fk(x)}
на отрезке [а, 6], получаем, что для любого п G А/
Ъ	п	2
[^2akipk(x)\ dx =
b
= Jf (x) dx-2^2 akjf(x) (рк (x) dx + ^2 aljifl (x) dx =
j
k=l a	k=l

§ 66. Равномерная сходимость ряда Фурье	593
Ъ	п	п
к=1	к=1
Таким образом,
к=1
Последнее неравенство означает, что все частичные суммы
ряда, стоящего в левой части неравенства B), ограничены сверху
числом ||/||2. Поэтому этот ряд сходится и сумма его не превышает
числа ||/||2, т. е. справедливо неравенство Бесселя B). •
Следствие. Для тригонометрической системы (см. F), § 61) на
отрезке [—тг,тг] и для любой функции / Е L^{—тг,тг) неравенство Бес-
Бесселя имеет следующий вид:
k=l
О Используя равенства
||2 || • ||2 / 2 7
cosnx = sinnx = cosnxdx =
У
\\-\\ = - dx = — || cosnx||2 = || sinnx||2 = /
II2II У 4	2	J
— 7Г	—7Г
и неравенство Бесселя B), получаем неравенство C). •
Теорема 2. Ряд Фурье 2тг-периодической непрерывной и кусоч-
кусочно гладкой функции сходится равномерно.
О Пусть ап, Ъп и а'п, Ь'п — коэффициенты Фурье функций /(ж) и
f'(x). Из доказательства теоремы 1, § 65 следует, что
а/_0 ъ -^ а - --^	D)
Запишем для функции f'(x) неравенство Бесселя:
ОО	7Г
/ \ап) + \Рп) ^ ~ / (/ \х)) dx.	(о)
п=1
Используя равенства D) и неравенство |а/3| ^ а	, получаем
|о„со8ш; + &nsinna;| ^ \ап\ + \Ьп Ш Ш
п	п 2
Так как числовой ряд
ОО
Е
71=1

594	Гл. XIV. Ряды Фурье
сходится, то по признаку Вейерштрасса функциональный ряд
ОО
Y + ^ (ап cos пх + Ъп sin пх)
п=1
сходится равномерно на R. •
§ 67. Комплекснозначные функции.
Ряд Фурье в комплексной форме
1. Комплекснозначные функции. Теория рядов Фурье без су-
существенных изменений переносится на комплекснозначные функции
вещественной переменной, т. е. функции вида /(ж) = fi(x) +г/2(ж),
где функции fi(x) и /2(ж) принимают вещественные значения.
ъ
Если несобственный интеграл / |/(ж)| dx сходится, то будем гово-
а
рить, что функция f(x) абсолютно интегрируема на интервале (а,Ь).
Упражнение 1. Пусть /(ж) = fi(x) + г/2(ж). Доказать, что:
ъ
а)	несобственный интеграл \f(x)\dx сходится в том и только том
а	Ъ	Ъ
случае, когда сходятся несобственные интегралы / |/i(x)| dx и / |/2(ж)| dx;
br	a	a
б)	несобственный интеграл / |/(ж)| dx сходится в том и только том
а	Ъ	Ъ
случае, когда сходятся несобственные интегралы / fl(x)dx и f^(x)dx.
Если fi(x) и /2C?) принадлежат классу L^ia^b) (см. § 66), то бу-
будем говорить, что функция f(x) = fi(x) +г/2(ж) принадлежит клас-
классу L§(a,b).
Упражнение 2. Пусть f(x) и (р(х) есть комплекснозначные функ-
ъ
ции класса L§(a,b). Показать, что несобственный интеграл f(x)(p(x)dx
сходится.	а
Будем говорить, что функции /(ж) и tp(x) = (fi(x) + itp2(x) класса
b) ортогональны, если
ъ
ff(x)ip(x)dx = 0, где (р(х) = ^(х) -i(p2(x).
а
Упражнение 3. Доказать, что система функций
{eikx}, /c = 0,±l,...,±n,...,
ортогональна на отрезке [—тг,тг].

§ 67. Комплекснозначные функции. Ряд Фурье в комплексной форме 595
2. Ряд Фурье в комплексной форме. Если функция /(ж) =
— fi(x) + 2/2(ж) абсолютно интегрируема на интервале (—тг,тг), то для
нее могут быть вычислены все коэффициенты Фурье
7Г	7Г	7Г
ап = - fi(x)cosnxdx + - //2 (ж) cos пж с?ж = - / /(ж) cosnxdx,
TV J	ТГ J	ТГ J
— 7Г	—7Г	—7Г
тг	тг	тг
Ьп = — / Д (ж) sin пж б?ж Н— / /2(ж) sin nxdx = — / /(ж) sin пж с?ж
тг У	тг У	тг У
— 7Г	—7Г	—7Г
и, следовательно, может быть написан тригонометрический ряд
Фурье
/(ж) ~ — + 2^ ctk cos /сж + bk sin /еж.	A)
k=l
Используя формулы Эйлера
eikx
e _|_ e
cos kx =	, sin kx =
, sin kx =:,
L	L'l
запишем частичную сумму ряда A) в следующем виде:
Sn(x) = ^ + Yl y ^kX + e~ikX^ + fi ^kX " e"ife^ =
с«А;ж i ^fe + ibk -ikx
2	'
Если ввести обозначения
Ck = ^(ak-ibk), c-k = -(ak+ibk) 0 = 0,1,...),	C)
то
тг	тг
ск — тг~ / f(x)(coskx - isinkx) dx = —- f(x)e~lkxdx,
2тг J	2тг J
D)
Л г	Л г
с-и = -г— f (х)(cos кх+ i sin kx)dx = -— f(x)e7'kxdx.
2тг J	2тг J
— тг	—тг
Формулу B) для частичной суммы 5п(ж) можно теперь записать в
следующем виде:
Sn(x) = Yl °keikx,	E)
к= — п
где
тг
Ck = 2^J "^ €~1кХ dX} k?Z-	^

596	Гл. XIV. Ряды Фурье
+ ОО
Ряд V^ Ckelkx, где коэффициенты с/, определяются формула-
к= — оо
ми F), будем называть рядом Фурье функции f(x) в комплексной фор-
форме и будем писать
cfceite.	G)
А;= —оо
Если существует предел последовательности 5п(ж), определенной
равенством E), то будем говорить, что ряд G) сходится, и записы-
записывать это в следующем виде:
+ ОО
У] ckeikx= lim Sn(x).	(8)
*-^	га-юо
А;= — оо
Если, в частности, lim Sn(x) = /(ж), то пишут
п^°°	+оо
f(x)= Yl ckeikx.	(9)
k= — сю
§ 68. Суммирование ряда Фурье методом
средних арифметических
Пусть f(x) есть непрерывная и 2тг-периодическая функция.
Рассмотрим последовательность Sn(x) частичных сумм ряда Фурье
функции /(ж). Определим суммы Фейера как средние арифметические
сумм ()()()
ап{х)	.	A)
Теорема (Фейера). Последовательность {ап(х)} сумм Фейера
2тг-периодической непрерывной функции f(x) равномерно сходится к
функции f(x).
О Воспользуемся выражением для частичной суммы ряда Фурье че-
через ядро Дирихле (§ 63, D), B)):
7Г
Sn(x) = - [f(x + t)Dn(t)dt,	B)
7Г J
— 7Г
где
Dn(t) = - + cost + ... + cosnt = 	^	^—.	C)
2	2i|
Подставляя выражение B) в формулу A) для суммы Фейера, по-
получаем, что
ff( + t)Fn(t)dt,	D)
7Г
— 7Г

'. Суммирование ряда Фурье методом средних арифметических 597
где
Fn^ = A(t) + ... + DnW|	E)
Функцию Fn(t) назовем ядром Фейера. Для доказательства теоре-
теоремы существенны следующие свойства ядра Фейера:
1) Fn(t) — четная, 2тг-периодическая и непрерывная функция;
7Г
2) - [Fn(t)dt = l;
ТГ J
3)	Fjt) > 0;
4)	lim max Fn(t) = 0 при любом S G (О,тг).
Свойства 1) и 2) сразу следуют из формулы E) и соответствую-
соответствующих свойств ядра Дирихле. Докажем свойство 3).
Подставляя в формулу E) для ядра Фейера выражение C) для ядер
Дирихле, получаем
п
(п + l)Fn(t) = D0(t) + ... + Dn(t) = ?
? ) ¦ x
Zi Sill ~
k=0	2
— cos(n
Докажем свойство 4). Из равенства F) следует, что
2	1
sup Fn(x) ^ 	т-	 ->• 0 при п ->• оо, 0 < й < тг.
Жб[5,тг]	4sin2| n + !
Оценим теперь ап(х) — f(x). Воспользовавшись свойствами 2) и
3) ядра Фейера, получаем, что
7Г
ап(х) - f(x) = - Г (f(x + t)- f(x)) Fn(t) dt,
7Г J
G)
\an(x) - f(x)\ ^ - f |/0r + t)- f(x)\Fn(t) dt.
7Г J
— 7Г
Непрерывная на R и 2тг-периодическая функция равномерно не-
непрерывна на R. В самом деле, в силу теоремы Кантора функция /(ж)
равномерно непрерывна на отрезке [—2тг,2тг]. Поэтому для любого
е > 0 существует S > 0 такое, что для любых x,t G [—2тг,2тг] таких,
что
х — t\ < S, выполнено неравенство \f(x) — f(t)\ < s.
Пусть ? и ?7 — произвольные числа такие, что |? — 771 < ? < тг. Тог-
Тогда для любого ? G /? найдется целое число & такое, что ? — 2&тг = ж G
G [—тг,тг]. Так как по условию |? — 771 < S < тг, то ? = г] — 2ктг G
G [—2тг, 2тг], и поэтому
\f@ - I(V)\ = \№ ~ 2Ьг) - f(r, - 2ктг)\ = \f(x) - f(t)\ < e,
что доказывает равномерную непрерывность функции f(x) на R.

598	Гл. XIV. Ряды Фурье
Воспользуемся равномерной непрерывностью функции /(ж) на R
и для любого г > 0 найдем 6 > 0 такое, что для любого х Е R и при
любом \t\ < 6 выполнено равенство
\f(x + t)-f(x)\<?-.
Разобьем отрезок интегрирования в формуле G) на три отрезка:
[-7Г, -6], [—6,6] и [6,7т]. Воспользовавшись свойствами 2) и 3) ядра
Фейера, получаем, что
д	д	7Г
- [\f(x + t)-f(x)\Fn(t)dt^± flFn(t)dt^^- />П(*)<Й = §. (8)
7Г J	7Г J Z	Z7T J	Z
-E	-E	-7Г
Так как функция f(x) непрерывна на R и имеет период 2тг, то она
ограничена на R. Пусть \f(x)\ < М. Воспользуемся свойством 4) ядра
Фейера и найдем такое N, что для всех п> N выполнено неравенство
max Fn(t) < -|-.
te[6,ir]	SM
Тогда для всех п > N справедливо неравенство
7Г	7Г
\ J\f(x + t)- f(x)\ Fn(t) dt^± J(\f(x + t)\ + \f(x)\) Fn(t) dt ^
Аналогично для всех п > N
-д
\ f\f(x + t)-f(x)\Fn(t)dt<?-.	A0)
— 7Г
Из неравенств G)-A0) следует, что для любого х е R и для всех
п > N выполнено неравенство
\<Тп(х) - f(x)\ < г,
которое означает, что последовательность сумм Фейера сгп(х) равно-
равномерно на R сходится к функции /(ж). •
§ 69. Теоремы Вейерштрасса
о равномерных приближениях непрерывных функций
многочленами
1. Тригонометрические многочлены. Пусть Ао, А\,..., Ап,
Bi,...,Bn — некоторые вещественные числа. Выражение
А П
Тп{х) = -у + J^ Ak cos кх + Вк sin кх
k=i

'. Теоремы Вейерштрасса о равномерных приближениях
599
называют тригонометрическим многочленом степени п. Очевидно,
что Тп(х) — бесконечно дифференцируемая и 2тг-периодическая
функция. Множество всех тригонометрических многочленов образует
линейное пространство.
Теорема 1 (Вейерштрасса). Любую непрерывную 2тг-периодичес-
2тг-периодическую функцию можно с любой степенью точности равномерно при-
приблизить тригонометрическим многочленом, т. е. для любого г > О
найдется такой тригонометрический многочлен Тп(х), что
max |
— оо<ж<+оо
-Тп(х)\
О Частичные суммы ряда Фурье функции /(ж) — тригонометричес-
тригонометрические многочлены. Сумма Фейера ап(х), являющаяся средним арифме-
арифметическим 5о(ж),..., 5п(ж), также будет тригонометрическим
многочленом. В силу теоремы Фейера для любого е > 0 найдется сум-
сумма Фейера ап(х) такая, что тах|/(ж) - сгп(х)\ < г. •
Замечание. Если функция /(ж) задана на отрезке [—тг, тг] и непре-
непрерывна, то ее можно равномерно приблизить на этом отрезке тригономет-
тригонометрическим многочленом в том и только том случае, когда /(тг) = /(—тг).
2. Равномерное приближение непрерывной на отрезке
функции многочленом.
Теорема 2 (Вейерштрасса). Непрерывную на отрезке [а,Ь] функ-
функцию можно равномерно приблизить с любой степенью точности мно-
многочленом, т. е. для любого г > 0 найдется многочлен Рп(х) = а$ +
+ а\х + ... + апхп такой, что
max \f(x) -Pn(x)\ <e.
О Рассмотрим сначала случай, когда [а, Ь] = [0, тг]. Продолжим функ-
функцию f(x) на отрезок [—тг, 0] четным образом, а затем с периодом 2тг
на всю вещественную ось. Получим четную, 2тг-периодическую
УК
-2тг
О
Рис. 69.1
2тг
и непрерывную функцию, совпадающую с f(x) на отрезке [0, тг]
(рис. 69.1).

600	Гл. XIV. Ряды Фурье
В силу теоремы Фейера для любого е > 0 найдется тригонометри-
тригонометрический многочлен Тш(х) такой, что
max \f(x)-Tm{x)\<?-.	A)
— ОО<Ж< + ОО	Z
Заметим, что sin kx и coskx раскладываются в степенные ряды,
сходящиеся для всех вещественных х (радиус сходимости этих сте-
степенных рядов равен +оо). Так как Тт(х) есть конечная линейная
комбинация функций sin kx и coskx, то Тт(х) также раскладывается
в степенной ряд, сходящийся для всех вещественных ж,
Тт(х) = с0 + ах + ... + спхп + ...
Известно, что на любом отрезке [а,/?], лежащем внутри интервала
сходимости, степенной ряд сходится равномерно. Следовательно, для
любого г > 0 существует п такое, что
max
0<Ж<7Г
Тт(х) - (со + clX + ... + спхп)\ < |.	B)
2
Если положить Рп(х) = со + ах + ... + спжп, то в силу A) и B) полу-
получаем
\f(x) - Рп(х)\ < \f(x) - Тт(х)\ + \Тт(х) - Рп{х)\ <
max \f{x) - Тт{х)\ + max \Tm{x) - Рп{х)\ < | + | = е.
)<Ж< + (Х)	0<Ж<7Г	I	I
max \f(x)-Pn(x)\ <e.
0<Ж<7Г
Следовательно,
Пусть теперь функция /(ж) непрерывна на произвольном отрез-
отрезке [а, Ь]. Положим
F(t) = / [а + - (Ь - а)},
L 7Г	J
0 ^ t ^ тг.
Тогда функция F(t) непрерывна на [0, тг] и ее можно равномерно при-
приблизить на [О,тг] многочленом Qn(t), T- е-
max
0<t<7T
f(a+±Q>-aj)-Qn{t)\<e.	C)
Полагая
x = a+-(b-a), Pn(x) = Qn[K^—-
тг	\ о — а
получаем из неравенства C), что
max \f(x)-Pn(x)\<e. •
a<x<b

§ 70. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного 601
§ 70. Сходимость ряда Фурье
в смысле среднего квадратичного
1. Унитарное пространство. При дальнейшем изложении удоб-
удобно будет пользоваться геометрическим языком. Из курса линейной
алгебры [7] известны определения комплексного линейного и унитар-
унитарного пространства. Напомним, что в линейном пространстве опре-
определены операции сложения элементов (векторов) и умножения эле-
элементов на комплексные числа, причем эти операции удовлетворяют
следующим аксиомам линейного пространства Е:
1)х + у = у + х для любых х,у G Е\
2)	х + (у + х) = (х + у) + z для любых x,y,z Е Е\
3)	существует элемент 0 Е Е такой, что для любого х е Е спра-
справедливо равенство х + 0 = ж;
4)	для любого х Е Е существует элемент —х Е Е такой, что х +
+ (-ж) = 0;
5)	для любого х Е Е и для любых A,/iG С справедливо равенст-
равенство X(/jlx) = (A/i)x;
6)	(Л + /i)x = Xx + /ix для любых х е Е, Л, /i G С;
7)	Л(ж + у) = Лж + Л^/ для любых х,у е Е, Л G С;
8)	1 • х = х для любого ж G Е.
Греческими буквами обозначались комплексные числа, латински-
латинскими — элементы линейного пространства Е.
Унитарным называется комплексное линейное пространство Е,
для каждой пары элементов которого определено комплексное число
(ж, у) — их скалярное произведение.
Аксиомы скалярного произведения:
1)	(ж, у) = (у,х) для любых х,у е Е;
2)	(ж + y,z) = (ж, z) + (у, z) для любых x,y,z G ?;
3)	(Аж,2/) = Х(х,у) для любых х,у ? Е, X G С;
4)	(ж, ж) ^ 0 для любого ж G Е, причем (ж, ж) = 0 тогда и только
тогда, когда ж = 0.
Здесь через 7 обозначается число, комплексно сопряженное комп-
комплексному числу 7-
Неотрицательное число ||ж|| = д/(ж,ж) называется нормой элемен-
элемента ж. Из аксиом 1-4 унитарного пространства выводятся следующие
свойства.
а)	||ж|| = 0 эквивалентно ж = 0.
б)	(х,\у) = А(ж,2/).
О (ж, Аз/) = (Аз/, ж) = А(з/, ж) = А(з/, ж) = А(ж, ?/). •
в)	Для любых х,у G Е справедливо неравенство Коши-Буняковского
1(^I ^IMHMI.	A)
О Так как для любых х,у Е Е и X Е С справедливо неравенство
(ж + Ху,х + Ху) ^ 0, то, пользуясь свойствами скалярного произведе-

602	Гл. XIV. Ряды Фурье
ния, получаем
0 ^ (ж, ж) + \(у, ж) + А(ж, 2/) + ААB/, ?/).	B)
Если \\y\\ = 0, то у = 0 и неравенство Коши-Буняковского становится
тривиальным. Пусть \\y\\ ф 0. Положим в B) А = — ' J. Получаем
Ы1 ?Ж ()()
о < |ы| (у х) у) + ^p
U ^ И И 1Ы12 B/' j 1Ы12 ( 'у)+ 1Ы14 ||2/" '
откуда сразу следует неравенство Коши-Буняковского. •
г) Для любых х,у G Е справедливо неравенство для нормы
Ik+ 2/II ^NI + IMI-
О Неравенство для нормы следует из неравенства Коши-Буняков-
Коши-Буняковского. В самом деле,
\\х + у\\2 = (х + у,х + у) = (ж,ж) + B/,ж) + (ж,^/) + (j/,у) ^
д) Положительная однородность нормы: \\Xx\\ = |А| • ||ж||.
О ||Аж||2 = (Аж,Аж) = АА(ж,ж) = |А|2||ж||2. •
Из курса линейной алгебры известно унитарное пространство Еп,
элементами которого являются упорядоченные наборы п комплекс-
комплексных чисел
7 = Gi,...,7п), Ъ ? С, г = 1,п.
Естественным образом определяется в Еп сложение элементов
(векторов) и умножение их на комплексные числа. Скалярное про-
произведение двух векторов 7 = Gъ---?7п) w S = (8i,...,Sn) есть комп-
комплексное число, определенное формулой
По аналогии с вещественным пространством L^{a^ 6), рассмотрен-
рассмотренным в § 66, введем комплексное пространство Ь^а.Ъ), элементами
которого являются комплекснозначные функции, для каждой из кото-
которых найдется такое разбиение отрезка [а, Ъ] точками {ж^}, г = 0, п, что
на любом из интервалов (x^-i,^) функция непрерывна, а интеграл
от квадрата ее модуля по отрезку [а, Ь] сходится как несобственный.
Лемма 1. Множество Ь^(а,Ъ) является линейным пространст-
пространством с естественными операциями сложения и умножения на комп-
комплексные числа.
О Пусть функции /, if G L2(a,b). Из неравенства

§ 70. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного 603
и признака сравнения для несобственных интегралов следует, что не-
ъ
собственный интеграл \f-\-cp\2 dx сходится и, следовательно,
f	LC(b)
Если / Е Z/S?(a,6), то и af Е L^ia^b) для любого a Е С. Проверка
всех аксиом линейного пространства тривиальна. •
Договоримся не различать две функции / и ср из пространства
L% (a, b), если их значения не совпадают лишь в конечном числе точек.
Лемма 2. Линейное пространство Ь^(а,Ъ) будет унитарным, ес-
если определить скалярное произведение функций /, <? Е L^ia^b) при по-
помощи следующей формулы:
ъ
(f,<p)=ff(x)W)dx.	C)
а
О Так как \fJp\ ^ - |/|2 Н— |(^|2, то по признаку сравнения несобст-
венный интеграл C) сходится. Первые три аксиомы скалярного про-
произведения проверяются без труда. Проверим выполнение аксиомы 4).
ь
Пусть (/,/) = \f\2dx = 0. Так как / G Ь^а.Ъ), то найдется такое
разбиение отрезка [а, Ъ] точками {ж^}, г = 0, п, что на каждом из интер-
интервалов (xi-i,Xi) функция f(x) непрерывна. Так как (xi-i,Xi) С [a, b], то
I
Из этого равенства следует, что /(ж) = 0 на любом интервале
(xi-i,Xi), i = l,n. Следовательно, функция f(x) отлична от нуля лишь
в конечном числе точек. Согласно договоренности такая функция
отождествляется с функцией, тождественно равной нулю на [а,Ь]. •
2. Нормированные пространства. В нормированных прост-
пространствах определены длины векторов, но нет скалярного произве-
произведения. Более точно, комплексное или вещественное линейное
пространство Е называется нормированным, если каждому элемен-
элементу х поставлено в соответствие неотрицательное число ||ж|| [норма
элемента ж), причем удовлетворяются следующие аксиомы нормы:
1)	||Аж|| = |А| • ||ж|| для любого х е Е и любого A G С;
2)	||ж + у\\ ^ ||ж|| + ||2/|| для любых х,у G Е;
3)	||ж|| = 0 в том и только том случае, когда х = 0.
Если Е есть унитарное пространство, то число ||ж|| = д/(ж,ж) удов-
удовлетворяет всем аксиомам нормы, и поэтому каждое унитарное
пространство будет и нормированным пространством.
Множество непрерывных функций на отрезке [a, b] станет нор-
нормированным пространством С[а,Ь], если определить норму функции

604	Гл. XIV. Ряды Фурье
следующим образом:
= max \f(x)\.	D)
Все аксиомы нормы проверяются без труда.
Заметим еще, что любое нормированное пространство есть част-
частный случай метрического пространства, если ввести метрику сле-
следующим образом:
р{х,у) = ||ж-2/||.	E)
Из аксиом нормы тогда следует, что для расстояния E) выполня-
выполняются все аксиомы метрики:
1)	р(х,у) =р(у,х)\
2)	р(х, у) + р(у, z) ^ р(х, z);
3)	р(х,у) = 0&х = у.
Поскольку нормированные и унитарные пространства есть част-
частные случаи метрических пространств, то на них переносятся все мет-
метрические понятия, например понятие предела последовательности.
3. Сходимость. Полные пространства. Гильбертовы прост-
пространства. Будем говорить, что последовательность точек {хп} уни-
унитарного пространства Е сходится к точке х е Е, если
lim \\хп - х\\ = 0.	F)
п>оо
\
п—>-оо
Запись lim хп = х означает, что выполнено равенство F).
п—>-оо
Легко доказываются следующие свойства пределов:
а)	если lim хп = х и lim yn = у, то
п—>-оо	п—>-оо
lim (хп + уп) = lim хп + lim уп = х + у;
п—>-оо	п—>-оо	п—>-оо
б)	если ап ? R, хп ? Е и lim жп = ж, lim an = а, то
п—>-оо	п—>-оо
lim апжп = аж;
п—>-оо
в)	сходящаяся последовательность ограничена, т. е. если сущест-
существует lim жп = ж, то найдется число С > 0 такое, что для всех п G А/
п—>-оо
выполнено неравенство \\хп\\ ^ С;
г)	скалярное произведение непрерывно, т. е. если lim хп — х и
п—>-оо
Ит у„ = у, то
Нт(Ж„,уи) = (а;,у).
п—>-оо
О Пусть lim жп = ж и lim ?/n = 2/. Так как сходящаяся последо-
п—>-оо	п—>-оо
вательность ограничена, то существует такое число С, что \\уп\\ ^ С
для всех п G А/. Воспользовавшись неравенством Коши-Буняковского,
получаем, что
10п,?/п) - (х,у)\ = |(жп -х,уп) + (ж,2/п -2/)| ^
^ ||2/п|| • \\хп - х\\ + ||ж|| • \\уп - у\\ ^ С\\хп - х\\ + ||ж|| • \\уп - 2/|| -^ 0
при п ->• оо. Следовательно, lim (xn,yn) = (ж, 2/)- •

§ 70. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного 605
Замечание. Сходимость в пространстве 1% называют сходимостью
в смысле среднего квадратичного.
Будем говорить, что последовательность точек хп унитарного (или
нормированного) пространства Е фундаментальна, если для любого
г > 0 найдется номер N такой, что для всех n, m ^ N выполнено
неравенство \\хп — хт\\ < г.
Введенное понятие фундаментальной последовательности точек
унитарного пространства находится в полном соответствии с вве-
введенным ранее в § 23 понятием фундаментальной последовательности
точек метрического пространства. Достаточно вспомнить формулу
р(х,у) = ||ж — у\\, задающую метрику в унитарном пространстве. Ес-
Если последовательность сходится, то она фундаментальна (см. § 23). В
произвольном унитарном пространстве фундаментальная последова-
последовательность может не сходиться.
Говорят, что унитарное (нормированное, метрическое) прост-
пространство полное, если любая фундаментальная последовательность его
точек сходится к точке этого пространства.
Полное нормированное пространство называется банаховым, пол-
полное унитарное бесконечномерное пространство называется гильбер-
гильбертовым.
Нетрудно видеть, что каждое конечномерное унитарное прост-
пространство будет полным (критерий Коши сходимости в пространст-
пространстве Rn).
Покажем, что существуют неполные бесконечномерные уни-
унитарные пространства. Например, пространство LS?@,1) неполное.
О Для доказательства рассмотрим счетное
множество точек
ill
' 2' 22'
2П'
Построим следующую функцию (рис. 70.1):
О
/(*) =
Рис. 70.1
Очевидно, что / 01/^@,1), так как множество ее точек разрыва счет-
счетно. Построим последовательность
о<*<-.
о,
Покажем, что последовательность /п фундаментальна в прост-
пространстве I/^O, 1). Так как на отрезке [1/2п, 1] функции /п+р и /п

606	Гл. XIV. Ряды Фурье
совпадают, то
1	1/2"
||/n+p-/n||2 = f\fn+P(x) -fn(x)\2dx= J \fn+p ~ fn\2 dx ^
0	0
^ ^max|/n+p-/n| <C — <e при n > N(s).
Последовательность {/п} фундаментальна. Покажем, что она не
может быть сходящейся. Если ip Е Ь§@,1) и ||/п — ср\\2 —у 0, то для
всех т Е А/ выполнено условие
l/2m
|/п-^|2^^0 при п -у оо.
Если п > т, то /п = / при ж G (^г^, тш )• Поэтому
l/2m
| |/-(^|2dx = 0, ш = 0,1,...	G)
Так как функция (р(х) имеет конечное число точек разрыва, то
при достаточно большом т на интервале ( ш+1, -^- J у функции (р(х)
точек разрыва не будет, функция /(ж) непрерывна на этом же интер-
интервале. Поэтому из G) следует, что
f(x)=(p(x) при x
Но тогда функция ср, как и функция /, должна иметь счетное
множество точек разрыва и, следовательно, не может принадлежать
пространству L^ia^b). Итак, пространство L^ia^b) неполное. •
4. Пополнение унитарного пространства. Два унитарных
пространства будем называть изоморфными, если можно установить
такое взаимно однозначное отображение F пространства Е\ на
пространство Е^, что для любых х,у G Е и любого a G С выполнены
равенства
F{x + y) = F{x) + F(y), F{ax) = aF{x), (Fx, Fy) = (x, y).
Подмножество L унитарного пространства Е, само являющееся
унитарным пространством с тем же скалярным произведением, на-
называется подпространством пространства Е.
Пусть А и В — подмножества унитарного (или нормированного)
пространства Е. Говорят, что В плотно в А, если для любого г > 0 и
любого х G А найдется у G В такой, что ||ж — у\\ < г.
Лемма 3. Если А, В, С С Е и С плотно в В, а В плотно в А,
то С плотно в А.

§ 70. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного
607
О Пусть г > 0 и х Е А. Так как В плотно в А, то найдется у Е В
такой, что ||ж — у\\ < г/2. Так как С плотно в В, то найдется z Е С
такой, что \\у - z\\ < г/2. Тогда
\\х - z\\ <С \\х - у\\ + \\у - z\\ < | + | = г.
Следовательно, С плотно в А. •
Лемма 4. Подпространство функций, непрерывных на отрезке
[а, Ь] и принимающих на концах этого отрезка равные значения, плот-
плотно в L^ia^b).
О Обозначим для краткости через В подпространство кусочно не-
непрерывных на [а, Ь] функций, а через С — подпространство непре-
непрерывных функций, принимающих на концах отрезка [а, Ь] одинаковые
значения. Договоримся, что будем доопределять нулем функции вне
отрезка [а, Ь].
Покажем, что В плотно в Ь^а^Ъ). Возьмем произвольную функ-
функцию / G Ь^(а,Ъ) и любое г > 0. Тогда существует такое разбиение
х0 = а < х\ < ... < хп = Ь, что на каждом из интервалов (xi-i,Xi)
ъ
функция /(ж) непрерывна, а интеграл / \f\2dx сходится как несобст-
несобственный. Найдется такое S > 0, что а
= 0,
Возьмем функцию
о,
х е
Ф) = ^	г=0
f(x) в остальных точках.
Очевидно, что ср(х) кусочно непрерывна и
Xi+5
i=0 Xi-5
о
\
Xi—?
\1
J''
Ф)
Шх)
/1
f\Xi xt+e
л
——
X
Рис. 70.2
Итак, В плотно в L^ia^b). Покажем,
что С плотно в В. Пусть ip e В и ж0 =
= а < х\ < ... < хт = Ь — ее точки разрыва
первого рода. Построим непрерывную функцию ф(х), обращающуюся
в нуль во всех точках Xi (рис. 70.2):
ф(х) =
е
х — \
¦<p(xi -г),
хи
• п
г = О,?тг,
ip(x) в остальных точках,

608	Гл. XIV. Ряды Фурье
где г < - max_Axf, Axi = xi — Xi-\.
4 i=O,m
Функция ф(х) непрерывна на отрезке [а, Ь] и
\ф(х)\ ^ М = max \<p(x)\.
azC.x^.b
В самом деле, так как функция ф(х) линейна на отрезках [xi — е, Xi]
И [Xi, Xi + б] И 1p(Xi) = 0, ТО
max _ |^(ж)| = \i/>(xi -e)\ = \ip(xi -e)\^M,
max \<ф(х)\ = |^(жг + е)\ = |(р(^ + е)| ^ М.
Вне отрезков [xi — г, Xj\ и [ж^, ж« + е] функция совпадает с ср(х) и ее
значения по модулю не превосходят М.
Оценивая среднеквадратичное отклонение функции ip(x) от функ-
функции ф(х), получаем
\\ф) - гр(х)\\2 = Y^ / I ^(ж) - ^(ж)!2 dx
Отсюда следует, что С плотно в В. Итак, С плотно в В, а В плотно в
L2(a,b). В силу леммы 3 С плотно в L^ia^b). •
Пополнением унитарного пространства Е называется полное уни-
унитарное пространство Е, содержащее плотное в Е подпространство L,
изоморфное Е.
Теорема 1. Для любого унитарного пространства существует
пополнение, единственное с точностью до изоморфизма.
Доказательство содержится, например, в [2].
Пополнение пространства L^ia^b) называется пространством
1/2(а,6). Можно показать, что L2(a, Ь) изоморфно гильбертову
пространству функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу [10].
5. Ряды Фурье по ортогональным системам. Пусть Н —
бесконечномерное унитарное пространство. Систему элементов
{бг}г=1,... ? Н будем называть линейно независимой, если при любом п
элементы ei, в2,..., еп линейно независимы. Если любой элемент х G Н
можно представить в виде суммы сходящегося ряда
т	оо
х= lim У^хпеп = У^хпеп,	(8)
п=1	п=1
то линейно независимая система {е^} называется базисом в Н. Сис-
Система {е^} называется ортогональной, если (е^е^) = 0 при г ф j, и
ортонормированной, если (е^е^) = (%, где ^ — символ Кронекера,
т. е. Sij = 0 при г ф j и 6ц = 1. Если, кроме того, {е^} есть базис,
то будем говорить об ортогональных и ортонормированных базисах.

§ 70. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного 609
Если {е^} — ортогональный базис, то все коэффициенты хп ря-
ряда (8) могут быть выражены через ж. Так как элементы е\ ортого-
ортогональны, то при k ^ n имеем
г=1
;, ек) = хк(ек,ек).	(9)
Так как х = lim Vx^, а скалярное произведение непрерывно, то,
га-юо *-^
г=1
переходя в (9) к пределу при п —> оо, получаем
Хк = ^й, keN.	(Ю)
llefcll
Если базис ортонормированный, то ||е^|| = 1 и хк = (ж,е&). Чис-
Числа ж^ называются коэффициентами Фурье элемента х по ортогональ-
ортогональной системе {е^}.
Если теперь отказаться от требования, чтобы ортогональная сис-
система {ei} была базисом в Я, то коэффициенты Фурье элемента х все
оо
равно можно вычислять по формуле A0). Выражение 2_\xkek, гДе
k=i
хк — коэффициенты Фурье элемента ж, будем называть рядом Фурье
элемента х по ортогональной системе {е^}. Так как, вообще говоря,
ряд может и не сходиться, то будем писать
Е(х,ек)
хкек, хк = v y.
6. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Нера-
Неравенство Бесселя.
Теорема 2. Пусть {е^} — ортонормированная система элемен-
элементов унитарного пространства Е, х — произвольный элемент
п
пространства Е, п G N. Тогда из всех линейных комбинаций у^ oljZj,
		г=1
где oti G С, г = 1,п, наилучшим образом приближает элемент х по
норме пространства Е п-я частичная сумма ряда Фурье элемен-
элемента х по ортонормированной системе {е^}, т. е.
о
0^
Обозначим
^ &п — \Х —
min
ап =
п
г=1
С
X
X
X
п
п
г=1
п
г=1
2
)
п
= ж - У^(ж,
г=1
Так как ||ж||2
п
1 = (ж, ж) — 2_^
г=1
= (х,
1
1
ж),
, х)
то
-

610	Гл. XIV. Ряды Фурье
п	п	п	п	п
п	п
= IMI2- У I:
Следовательно,
О ^ ап = \\x\\2 -
Из равенства A1) следует, что минимум ап достигается при cti =
= xi, причем
О ^ min	ап =
г=1	г=1
A2)
Следствие. Для коэффициентов Фурье элемента х по ортонор-
мированной системе {е^} справедливо неравенство Бесселя
г=1
п
(is)
О Из A2) следует, что У^|а^|2 ^ ||Ж1|2- Переходя к пределу при
г=1
п —>- оо, получаем неравенство Бесселя. •
7. Полнота системы элементов {е*} в унитарном простран-
пространстве. Полнота тригонометрической системы в ?2(-тг,7г). Сис-
Система элементов {е^} называется полнойв унитарном (нормированном)
пространстве Е, если любой элемент х G Е может с любой степенью
точности быть приближен по норме конечной линейной комбинацией
п
aiei, т. е. для любого г > 0 найдется линейная комбинация 2_^ aiei
г=1	г=1
такая, что	п
г=1
Теорема 3. Если {е^} — ортонормированная система в унитар-
унитарном пространстве Я, то следующие условия эквивалентны:
1)	система {е^} полна в Я;
2)	для любого х G Я справедливо равенство Парсеваля
оо

§70. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного 611
3) для любого х Е Н выполнено равенство
ОО
X =
A6)
О Докажем, что 1)=>2). Пусть ортонормированная система {
на в Н. Тогда для любого е > 0 найдется линейная комбинация
такая, что справедливо неравенство A4).	i=1
В силу минимального свойства коэффициентов Фурье
х-
\\х —
г=1	г=1
Используя это неравенство и неравенство A3), получаем
ПтП2 _ Vlr-I2 < llrll2 - V
г=1
г=1
В силу произвольности г должно быть справедливо равенство Парсе-
валя A5).
Докажем, что 2)=>3). Пусть справедливо равенство Парсеваля A5).
Тогда
\\х —
при п ->• оо,
= \Щ\ -
i=i '	i=i
т. е. справедливо равенство A6).
Утверждение 3)=>1) очевидно. •
Лемма 5. Пусть подпространство L плотно в унитарном
пространстве Н, а система {е^} полна в L. Тогда система элемен-
элементов {ei} полна в Н.
О Пусть х — произвольный элемент пространства Н. Так как L
плотно в Н, то для любого г > 0 найдется элемент у G L такой, что
\\х — у\\ < -• Так как система {е^} полна в L, то найдется линейная
2 п
комбинация 2_,aiei такая, что
Тогда
\х —
\x-y\\ +
У
Е<
Поэтому {е^} — полная система в пространстве Н. •
Теорема 4. Тригонометрическая система полна в Ь<}{—тг,тг).
О Пространство L^—тг,тг) есть пополнение L^(—тг,тг). Поэтому

612	Гл. XIV. Ряды Фурье
L^(—тг,7г) плотно в L2(—тг,тг). Пространство непрерывных функций,
принимающих одинаковые значения в точках тг и —тг, в силу леммы 4
плотно в L^(-7r,7r), а следовательно, и в L2(—тг,тг).
Осталось, в силу леммы 5, показать, что тригонометрическая сис-
система полна в подпространстве L непрерывных на [—тг,тг] функций,
принимающих одинаковые значения в точках тг и —тг. Каждую такую
функцию можно в силу теоремы Вейерштрасса равномерно прибли-
приблизить тригонометрическим многочленом Т(ж), т. е.
max \f(x)-T(x)\<e,
A N
где Т(ж) = —- + ^ Ап cos пж + Вп sin пж.
71=1
Но тогда /(ж) можно приблизить с любой степенью точности три-
тригонометрическим многочленом и по норме пространства L2(-tt,tt)
(в смысле среднего квадратичного), так как
Итак, тригонометрическая система полна в L2(—тг,тг). •
Следствие. Из теорем 3 и4 следует, что для любой функции
f ? Z/^f—тг,тг], в частности, для любой непрерывной или кусочно не-
непрерывной функции, выполнено равенство Парсеваля
а
71=1
u ряд Фг//?ье такой функции сходится в смысле среднего квадратично-
квадратичного к функции /(ж), т. е.
2
lim / fix)	/(а*; cos/еж + bk smkx)
n-^oo J	2 ^^
-тг	A;=l
da: = 0.
Упражнение 1. Доказать, что система
1, ж, ж , ..., жп, ...
полна в пространстве Ьг(—1,1).
Упражнение 2. Доказать, что система многочленов Лежандра Ln(x),
определенных равенством G), § 61, полна в пространстве Ьг(—1,1).
Указание. Ортогонализировать систему {хк}, к = 0,1, 2,..., на [—1,1]
при помощи процесса Грамма-Шмидта [7]. Тогда каждая функция хк (к =
= 0,1,2,...) будет конечной линейной комбинацией ортогональных много-
многочленов, отличающихся лишь постоянными множителями от многочленов
Лежандра.

§ 70. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного 613
8. Эквивалентность полноты и замкнутости ортогональ-
ортогональной системы в гильбертовом пространстве.
Теорема 5. Пусть Н — гильбертово пространство и {е^} — ор-
тонормированная система элементов. Для того чтобы ряд
г=1
сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходился числовой ряд
ОО
?ы2-
г=1
О Необходимость следует из неравенства Бесселя. Если
оо	п	оо
ж = ^а;е;, то а{ = Jim y^akekl e;J = (ж,е;) и ^ \щ\2 ^ ||ж||2.
оо
Достаточность. Пусть числовой ряд V^ \щ|2 сходится. Тогда
г=1
для любого г > 0 найдется такой номер JV, что для всех п, т > N
выполнено неравенство	т
f>|2<e.
ОО
Последовательность частичных сумм ряда 2_^ агег будет фунда-
г=1
ментальной, так как при любых п, т > N выполнено условие
где sn =
Но в полном пространстве любая фундаментальная последова-
последовательность сходится. Следовательно, последовательность частичных
оо
сумм sn сходится, т. е. ряд 2_\агег сходится. •
Следствие. Если {е^} — ортонормированная система в гильбер-
гильбертовом пространстве Н, то для любого х G Н ряд Фурье по ортонор-
мированной системе {е^} сходится и элемент х представим в виде
оо
х = ^ж;е; + ?/, где ж; = (ж,е;), (?/,е;) = 0, г G N. A7)
оо
О Пусть ^^Xiei есть ряд Фурье элемента х. В силу неравенства
Бесселя числовой ряд ^ \xi\2 сходится. Из теоремы 5 тогда следует,
i=i

614	Гл. XIV. Ряды Фурье
ОО
что ряд ^^Xiei будет сходящимся.
Пусть
у = х — у ^ Xiei = lim \x —
г=1	П^°°	г=1
В силу ортогональности системы {е^} и непрерывности скалярно-
скалярного произведения справедливо равенство
п
(у, еЛ — lim (х - У^ ж^е^, е^) = (ж, еЛ - xi — 0, i e N. •
п-^оо V	^^	/
Ортогональная система {е^} называется замкнутой в унитарном
пространстве Н, если для любого ж G Я из (ж,е^) = 0, г = 1,2,...,
следует х = 0.
Теорема 6. Для того чтобы ортонормированная система была
полной в унитарном пространстве, необходимо, а в случае полного
пространства и достаточно, чтобы она была замкнутой.
О Необходимость. Пусть {е^} — полная система в унитарном
пространстве Н. Если для элемента х G Н справедливы равенства
(x,ei) = 0, г е N, то, применяя равенство Парсеваля, получаем
г=1
т. е. х = 0.
Достаточность. Пусть Н — полное пространство. Тогда каж-
каждый элемент х G Н можно представить в виде A7). Так как систе-
система {ei} замкнута, то из равенств (у, е«) = 0, г G А/, следует, что у = 0.
Таким образом, любой элемент х есть сумма своего ряда Фурье по
ортонормированной системе {е^}. Следовательно, система {е^} полна
в Я. •
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIV
1. Показать графически, что уравнение tgA = Л имеет счетное мно-
множество решений {Л/е}, к = 1,..., и что система функций {sinAfcx} ортого-
ортогональна на отрезке [0,1].
Указание. Воспользоваться тем, что функция ук = sin XkX удовлетво-
удовлетворяет условиям
и справедливо равенство
/<
(УкУп - УпУк) dx = укуп - у'пук
= 0.
о
2. Пусть функция /(ж) абсолютно интегрируема на [0, тг] и для всех
х G [0, тг] выполнено условие f(x) = /(тг — х). Показать, что при разложении

Упражнения к гл. XIV	615
функции f(x) в ряд по ортогональной системе {cosnx} все коэффициенты
Фурье с нечетными номерами равны нулю, а при разложении f(x) в ряд
по ортогональной системе {sinnx} все коэффициенты Фурье с четными
номерами должны обратиться в нуль.
3.	Показать, что у непрерывной периодической, не равной тождествен-
тождественно нулю функции есть минимальный положительный период.
4.	Показать, что для любых ?, е > 0 и для любых х Е [6, тг — 6] тригоно-
тригонометрические ряды
оо
71 = 1	71 = 1	71 = 2	71 = 2
СХОДЯТСЯ.
Указание. Воспользоваться признаком Дирихле сходимости числово-
числового ряда.
5.	Пусть 0 < е < 1 и f(x) = (ж!6 при 0 < х ^ тг. Показать, что для ко-
коэффициентов Фурье разложения функции f(x) в тригонометрический ряд
Фурье справедливы асимптотические формулы ап ~ —^ при п —»¦ оо, где
<*•>-§/?*¦
о
6.	Разложить функции chx и shx на отрезке [—тг, тг] в тригонометри-
тригонометрические ряды Фурье. Исследовать полученные ряды на равномерную сходи-
сходимость. Нарисовать графики сумм рядов.
7.	Показать, что ряд >^ —^- не может быть рядом Фурье функции
класса Lp(—тг, тг).	п=1
8.	Показать, что система функций sin ж, ..., sinnx, ... полна в прост-
пространстве Ьг@, тг).
9.	Пусть h есть линейное пространство комплексных последователь-
последовательностей с = (ci,C2,...) таких, что ряд |ci|2 + |с212 + ... является сходящимся.
Показать, что на h можно определить скалярное произведение любых двух
элементов с = (ci, сг,...) и d = (cfo, c?2, •••) формулой
(с, d) = c\d\ + ... + cndn + ...
и что с таким скалярным произведением h есть гильбертово пространство.
10. Показать, что тригонометрический ряд у 	 не может быть
тг=2
ом Фурье кусочно непрерывной функции.
Указание. Показать, что при интегрировании ряда по отрезку 0, —
возникает расходящийся ряд.

ГЛАВА XV
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 71. Собственные интегралы, зависящие от параметра
1.	Определение собственного интеграла, зависящего от па-
параметра. Пусть Y — произвольное множество (множество парамет-
параметров), a f(x,y) — функция, определенная на множестве пар (х,у), где
х е [а, Ь] С /?, у е Y. Если при любом значении параметра у eY
функция f(x,y) как функция х интегрируема по Риману на [а, 6], то
ъ
интеграл f(x,y)dx есть функция параметра у, определенная на
а
множестве Y. Интеграл
f(x,y)dx	A)
называется собственным интегралом, зависящим от параметра.
Обычно Y является числовым множеством или множеством в Rn.
Например,
7Г
Jo (ж) = - / cos (x cos if) dtp	B)
7Г J
о
есть собственный интеграл, зависящий от параметра х Е (—оо,+оо).
2.	Свойства собственного интеграла, зависящего от пара-
параметра.
Теорема 1 (о непрерывной зависимости собственного интегра-
интеграла от параметра). Если функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике
К = {(ж, у): а ^х ^b, c^y ^ <i}, то интеграл A) есть непрерывная
функция параметра у на [с, d].
Доказательство этой теоремы приведено в § 47.
Теорема 2 (о перестановке порядка интегрирования). Если
функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике К = {(х,у): а ^ х ^Ь,
с ^ у ^ d}, то
d	Ъ	Ъ d
J dy Jf(x, у) dx = Jdx Jf(x, y) dy.	C)
с	а	а	с
О Каждый из повторных интегралов в формуле C) равен двойно-
двойному интегралу от функции f(x,y) по прямоугольнику К (см. § 47). •

§71. Собственные интегралы, зависящие от параметра	617
Теорема 3 (о дифференцировании собственного интеграла по па-
параметру). Пусть функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике К =
= {(ж, у): а ^ х ^ Ь, с ^ у ^ d} и имеет непрерывную частную про-
df(x у)
изводнцю \ в области G такой, что К С G.
ду
Тогда интеграл A) есть непрерывно дифференцируемая функция
параметра у на отрезке [с, d], причем
ъ	ъ
±jf(x,y)dx = Щ(х,у)Aх, y&[c,d\.	D)
а	а
О Пусть у — произвольная точка из отрезка [с, d]. Применив форму-
лу C) к функции \ в прямоугольнике Ку = {(ж, 77): а ^ х ^Ь,
с ^ V ^ У}? получаем равенство
У Ъ	Ьу	Ъ
fdrj fj-(x,T])dx = fdx fj-(x,f])dr] = Jf(x,y) dx - Co,
E)
= jf(x,c)dx.
Так как функция -^-(х,у) непрерывна в прямоугольнике К, то в
оу
у
силу теоремы 1 функция
будет непрерывной функцией 7? на отрезке [с, d].
2/
Левая часть равенства E) может быть записана как hp(rj) dr]. Так
()	[d\
как функция ip(rj) непрерывна на отрезке [c,d\, то
у	ь
~	J
у	ь
—J~<p(ri)dri = <р(у) = J -^(x,
с	а
Так как левая часть равенства E) есть функция, непрерывно диф-
ъ
ференцируемая на отрезке [с,о1], то и функция f(x,y)dx, стоящая в
а
правой части равенства E), непрерывно дифференцируема на отрез-
отрезке [с, d]. Поэтому
ь	ь_
dy
а	а
Замечание 1. Теоремы 1-3 остаются справедливыми и при замене
функции /(ж, г/) на функцию /0(ж)/(ж,|/), где функция ф(х) интегрируема
на отрезке [а, Ь]. См. следствие 2 и упр. 1 в § 47.

618	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Упражнение 1. Дифференцируя интеграл по параметру, показать,
что функция Jo (ж), определяемая равенством B), удовлетворяет уравнению
Бесселя
xJq(x) + Jo (ж) + ж Jo (ж) = 0.
Упражнение 2. Пусть функции /(ж, г/) и —(ж, г/) непрерывны в /?2,
а функции а(г/) и /3(г/) непрерывно дифференцируемы на отрезке [c,d]. По-
Показать, что справедлива формула
— / f(x,y)dx= I —(xiV)dx +/3f(y)f(/3(y),y) — a(y)f(a(y),y), yE[c,d\.
oc(y)	oc(y)
Указание. Рассмотреть в /?3 непрерывно дифференцируемую функ-
цию
и показать, что
Ф(у,и,у) = I f(x,y)dx
^iV)i т, ^ jy^iV)-) т, ^ / ~т^~ уЕ 1У) dx,
ои	dv	ду J ду
НКУ)
Ф(у,а(у),C(у))= J f(x,y)dx.
f3(y)
i
<*{y)
§ 72. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Равномерная сходимость несобственного интеграла
по параметру
1. Равномерная сходимость несобственных интегралов по
параметру. Предположим, что выполнены следующие условия:
1)	—оо < а < Ъ ^ +оо;
2)	функция /(ж, у) определена на множестве пар (ж, у), где х G [а, Ь),
у Е F, a Y есть известное множество параметров;
3)	для любого ? е [а, Ь) и для любого у eY существует интеграл
Римана	.
Jf(x,y)dx]
а
Ъ
4)	для любого у Е F интеграл f(x,y)dx сходится как несобст-
а
венный, т. е. (см. § 38) на множестве Y определена функция
ъ
Ф(у)= [f(x,y)dx= lim [f(x,y)dx.	A)
a	a
Если выполнены условия 1)-4), то будем говорить, что несобст-

§ 72. Несобственные интегралы, зависящие от параметра	619
Ъ
венный интеграл f(x,y)dx (с особой точкой Ь) сходится на мно-
множестве Y.	а
ъ
Таким образом, несобственный интеграл f(x,y)dx сходится на
а
множестве У, если для любого у eY и любого г > 0 найдется число
Ь'(у,е) < Ъ такое, что для любого ? Е (b',b) выполнено неравенство
ъ	i	ъ
\Jf(x,y)dx- Jf(x,y)dx\ = \ff(x,y)dx\ <e.	B)
а	а	?
Аналогичным образом можно рассмотреть несобственный интег-
ь
рал f(x,y)dx с особой точкой а, — оо ^ а < Ъ. Если и точка а, и
а
точка Ъ особые, то интеграл нужно разбить на сумму двух интегра-
интегралов с одной особой точкой (§ 38). Теоремы 1-3, § 71, вообще говоря,
не переносятся на несобственные интегралы, зависящие от парамет-
параметра, если не накладывать дополнительных ограничений на характер
сходимости несобственного интеграла. Например, интеграл
+ ОО
1(У)= I ye~xydx	C)
о
сходится при у ^ 0. Очевидно, что /@) = 0. Пусть у > 0. Тогда, полагая
ху = ?, получаем, что 1{у) = 1. Следовательно, в точке у = 0 функция
1(у) разрывна, несмотря на то, что подынтегральная функция интег-
интеграла C) непрерывна на множестве Т = {(ж, у): 0 ^ х < +оо, 0 ^ у ^ 1}.
Определение (равномерной сходимости по параметру несобст-
ъ
венного интеграла). Пусть несобственный интеграл f(x,y)dx cxo-
а
дится на множестве Y. Будем говорить, что этот несобственный ин-
интеграл сходится равномерно по параметру у на множестве У, если
для любого г > 0 существует Ь' G [а, Ъ) такое, что для любого ? G [Ь', Ь)
и для любого у G Y выполнено неравенство
ъ
I С
\j f(x,y)dx
С
Пример 1. Интеграл
+ ОО
/ е~х cos xydx	D)
о
сходится равномерно по параметру у на интервале (—оо,+оо) = R.
г.

620	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
2
Л Для любого е > 0 существует b' = In - такое, что для любого ? G
Е [Ь',+оо) и любого у ? R выполняется неравенство
+ ОО	+ОО
+ ОО	+ОО
/ е~х cos ху dx ^ /
е~ь = -
Следовательно, интеграл D) сходится равномерно по параметру у на
интервале (—оо,+оо). А
ъ
Если интеграл / /(ж, у) dx сходится на множестве У, но не являет-
а
ся равномерно сходящимся по параметру у на множестве У, то будем
ъ
говорить, что интеграл f(x,y)dx сходится неравномерно по пара-
а
метру у на множестве Y. В этом случае существует г > 0 такое, что
для любого Ь' е [а,Ь) существует ? G [b',b) и существует у G F, для
которых выполняется неравенство
ь
\Jf(x,y)dx ^г.
С
Пример 2. Интеграл C) сходится неравномерно по параметру у
на полуинтервале [0,+оо).
Л Возьмем г = е. Тогда для любого Ь' G @, +оо) существует ?, = Ь'
и у = 1/?/ такие, что
+ ОО	+ОО	+ОО	+ОО
j ye~xy dx= J ye~xy dx= J e~l dt = j e~l dt = e'1 = г,
С	b'	b'y	1
и поэтому интеграл C) сходится неравномерно по параметру у на
множестве Y = [0, +оо). А
2. Признаки равномерной сходимости несобственных ин-
интегралов по параметру.
Теорема 1 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости не-
несобственного интеграла по параметру). Пусть для любого у Е F функ-
функция /(ж, у) интегрируема по ж на любом отрезке [а, Ъ'] С [а, Ь), и пусть
на [а, Ь) существует функция ip(x) такая, что для всех у G Y и всех
х G [а, Ь) выполнено неравенство \f(x,y)\ ^ <р(х), а несобственный
ъ
интеграл hp(x) dx сходится.
а	ь
Тогда интеграл f(x,y)dx сходится равномерно по параметру у
на множестве Y. а

§ 72. Несобственные интегралы, зависящие от параметра	621
Ъ
О Так как пр(х) dx сходится, то для любого е > 0 найдется чис-
а
ло Ь' G [а, Ь) такое, что для всех ? G [b',b) выполнено неравенство
пр(х) dx < г. Так как f(x,y)dx сходится абсолютно при любом
С	а
у G F по признаку сравнения (§ 38), то для любого ? G [Ь', Ь) и любого
у GY выполнено неравенство
ъ	ъ	ъ
/f(x,y)dx ^ J\f(x,y)\dx ^ f(p(x)dx < г,
С	С	С
т. е. интеграл f(x,y)dx сходится равномерно по параметру 2/ на
а
множестве Y. •
Пример 3. Интеграл
/"
о
сходится равномерно по параметру у на интервале (—оо,+оо).
л m	ICOSX^/I .1	Г dx	7Г	т-, „
Л 1ак как —	j- ^	 и /	 = —, то по признаку Веиер-
о
штрасса интеграл E) сходится равномерно по параметру у на (—оо,
+оо). А
Докажем признак Дирихле равномерной сходимости для интегра-
интегралов вида
+ ОО
j f(x,y)g(x,y)dx, yeY.	F)
а
Теорема 2 (признак Дирихле равномерной сходимости несобст-
несобственного интеграла по параметру). Пусть:
1)	для любого у G Y С Rn функции f(x,y), g(x,y) и -^-(х,у) непре-
ох
рывны как функции х на полуинтервале [а,+оо);
2)	функция F(x,y), являющаяся при любом у Е У первообразной
по х функции /(ж, у), ограничена при у G Y, x G [а, +оо);
3)	||(я,2/) ^0 при yeY их е [а,+оо);
4)	существует непрерывная на [а,+оо) функция ф(х) такая, что
lim ^(ж) = 0 I/ |#(ж,2/)| ^ ^(ж) для у ? Y и х ? [а, +оо).
>|оо
интеграл F) сходится равномерно по параметру у на мно-
множестве Y.

622	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
О По признаку Дирихле (см. § 38) несобственный интеграл F) схо-
сходится при любом у Е Y. Покажем, что он сходится равномерно по
параметру у на множестве Y.
Так как по условию 4) функция ф(х) —> 0 при х —у +оо, то для
любого г > 0 существует а' > а такое, что для любого ? Е [а',+оо)
выполнено неравенство
^-,	G)
где С есть постоянная, ограничивающая в силу условия 2) первооб-
первообразную F(x,y).
Пусть у Е Y и ? G [а;, +оо). Воспользовавшись формулой интегри-
интегрирования по частям и тем, что д(х,у) —у 0 при х —у +оо, получаем
+ ОО	+ОО
| /(х, ?/) 0(ж, у) dx = Ffo у) gfo у)- I F(x, у) ^g^ dx. (8)
Так как по условиям теоремы
то из (8) и G) получаем, что для любого ? G [а',+оо) выполнено не-
неравенство
-I-о
/
С
dx =
+ ОО
— (j У\ ' У> dx — Сгр(^) + Сд(^, у) ^ 2Сгр(^) < г. (9)
С
Из неравенства (9) следует, что интеграл F) сходится равномерно по
параметру у на множестве Y. •
Замечание 2. Если +оо — единственная особая точка сходящегося
интеграла F), то этот интеграл сходится равномерно по параметру у на
множестве У в том и только том случае, когда при любом а > а интеграл
+ ОО
/ f(x,y)g(x,y)dx сходится равномерно по параметру у на множестве У.
а'
Поэтому для справедливости утверждения теоремы 2 достаточно, чтобы
условия 1)-4) выполнялись на некотором промежутке [а',+оо) С [а,+оо).
Пример 4. Интеграл
+ ОО
/	X
О
сходится равномерно по параметру у при у Е [0,+оо).

> 72. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
623
Л Так как функция sin ж имеет ограниченную первообразную, а при
х ^ 1, у ^ 0 выполнены следующие условия:
р-ух
5~УХ ^ 1
1
X
X
lim - = О,
ж—>-+оо X
то интеграл A0) сходится равномерно по параметру у на множест-
множестве [0,+оо). А
Теорема 3 (критерий Коши равномерной сходимости несобст-
несобственного интеграла по параметру). Для того чтобы несобственный ин-
ъ
теграл f(x,y)dx сходился равномерно по параметру у на множест-
а
ее У, необходимо и достаточно, чтобы для любого г > 0 существовало
Ъ' G [а,Ь) такое, что для любых ?, ?' G [Ь',Ь) и для любого у Е F вы-
выполнялось неравенство
f(x,y)dx
< г.
(П)
О Необходимость. Пусть f(x,y)dx равномерно сходится по
а
параметру у на множестве Y. Тогда для любого е > 0 существует
Ь' G [а, Ь) такое, что для любого ? G [Ь, Ь') и для любого у G У выпол-
выполнено неравенство
f(x,y)dx
A2)
Пусть ?,?' G [Ь',Ь) и ^/ G Y. Используя неравенство A2), получаем
'	ь	ь
\Jf(x,y)dx = у f(x,y)dx- J f(x,y)dx
/
f(x,y)dx
^
f(x,y)dx
<§+§=<-
Достаточность. Пусть для любого г > 0 существует Ь' G [а, Ь)
такое, что для любых ?, ?' G [Ь',Ь) и любого у ?Y выполнено нера-
неравенство A1). Тогда в силу критерия Коши сходимости несобственных
ъ
интегралов / /(ж, у) dx сходится при у G Y. Воспользуемся произволь-
а
ностью ?' и перейдем в неравенстве A1) к пределу при ?' —у Ъ — 0.

624	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Получаем, что для любого ? Е [b',b) и для любого у Е F выполне-
ъ
но неравенство f(x,y)dx ^ е, из которого следует, что интеграл
f(x,y)dx сходится равномерно по параметру у на множестве Y. •
Применяя правило построения отрицания, получаем из критерия
Коши полезное следствие.
Следствие. Если существует во > 0 такое, что для любого Ъ' Е
Е [а, Ъ) существуют ?о? ?о ^ [^^) u существует уо Е У такие, что
Jf(x,yo)dx ^so,	A3)
mo интеграл f(x,y)dx не сходится равномерно по параметру у на
а
множестве Y.
Пример 5. Интеграл
Г е~ах2 dx	A4)
о
сходится равномерно по параметру а на множестве [а0, +оо), а0 > О,
и сходится неравномерно на множестве @,+оо).
+ ОО
Л Пусть а ^ а0 > 0. Так как е~аж2 ^ е~аох2 и / е-«0ж2 ^ж сходится,
о
то по признаку Вейерштрасса интеграл A4) сходится равномерно по
параметру а на множестве [а0,+оо).
Пусть теперь а Е @,+оо). Покажем, что на @,+оо) интеграл A4)
сходится неравномерно. Воспользуемся следствием из критерия Ко-
Коши. Возьмем го = е, для любого Ъ > 0 возьмем ?0 = Ь, ?'о = Ь+ 1,
2. Тогда
Со
у	/	= г0
Со
и, следовательно, интеграл A4) сходится неравномерно по парамет-
параметру а на множестве @,+оо). А
Упражнение. Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна
+ ОО
на /?, а несобственный интеграл / f(t) dt сходится. Показать, что интег-
— оо
ралы	+°°	о
h(x)= J f(x-t)dt, h(x)= J f(x-t)dt
0	-oo
сходятся равномерно по параметру х на любом конечном отрезке [а, Ъ\ С R.

§ 72. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
625
Замечание 2. Из теоремы 3 легко выводится следующее следствие:
ъ
если 0 ^ f(x,y) ^ <р(х,у) при х е [а,Ь), у ? У", I f(x,y)dx сходится на
"г	а
множестве У, а интеграл ср(х,у) dx сходится равномерно по парамет-
I	*
ру у на множестве У, то и интеграл f(x,y)dx сходится равномерно по
параметру у на множестве У.	«
3. Непрерывность, интегрируемость и дифференцируе-
мость несобственного интеграла по параметру.
Теорема 4. Пусть функция f(x,y) непрерывна на множестве
ъ
{(х,у): а ^ х ^ 6, с ^ у ^ d} и интеграл / /(ж, у) dx сходится равно-
равномерно по параметру у на отрезке [с, d\. a
ъ
Тогда I /(ж, у) dx есть непрерывная функция параметра у на [с, d].
ъ
О Возьмем любое е > 0. Так как / /(ж, у) dx сходится равномерно по
а
параметру у на [c,d], то существует Ь' G [а, Ь) такое, что для любого
у G [с, d] выполнено неравенство
о
\ff(x,y)dx
A5)
и
Так как интеграл f(x,y)dx является собственным, то в силу
а
теоремы 1, § 71 этот интеграл есть непрерывная функция парамет-
параметра у на [c,d]. Пусть у0 е [c,d\. Тогда найдется S > 0 такое, что для
любого у Е [c,d] такого, что \у — Уо\ < S, имеет место неравенство
ъ'	ъ'
Jf(x,y)dx-Jf(x,yo)dx < |.	A6)
а	а
Тогда для любого у G [c,d] такого, что \у — Уо\ < 5, имеем в силу
неравенств A5) и A6)
ъ	ъ	ъ1	ъ1
\ff(x,y)dx-ff(x,yo)dx ^\Jf(x,y)dx-Jf(x,yo)dx +
а	а	а	а
Ь	Ь
+ \[f(x,y)dx + ff(x,yo)dx <! + ! + !=?.
\J	J	о о о

626	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Ъ
Итак, интеграл f(x,y)dx есть непрерывная функция парамет-
а
ра у в произвольной точке у0 G [c,d]. •
Пример 6. Доказать равенство
+ ОО	+ОО
[^	Г ^x.	A7)
л тл 1	sin ж	~
Л Если функцию 	 доопределить при х = 0 по непрерывности,
х
п ,	sin ж
считая, что при х = 0 функция 	принимает значение, равное еди-
х
нице, то подынтегральная функция интеграла A7) будет непрерывной
на множестве {(х,у): х ^ 0, у ^ 0}.
При рассмотрении примера 4 было показано, что интеграл A0)
сходится равномерно по параметру у на множестве [0,+оо). В силу
теоремы 4 интеграл A0) есть непрерывная функция параметра у на
любом отрезке [0, Ь]. В частности, эта функция непрерывна при у = 0,
поэтому должно быть выполнено равенство A7). А
Теорема 5 (о перестановке порядка интегрирования). Пусть
функция /(ж, у) непрерывна на множестве {(х,у): а^х <b, c^y ^d}
ъ
и интеграл f(x,y) dx сходится равномерно по параметру у на [c,d].
а
Тогда справедлива формула
d	Ъ	Ъ	d
j dy Jf(x, y)dx = J dx Jf(x, y) dy.	A8)
О Так как интеграл / /(ж, у) dx сходится равномерно по параметру у
а
на отрезке [с, d], то он будет на отрезке [c,d] непрерывной, а поэтому
и интегрируемой функцией. Повторный интеграл в левой части фор-
формулы A8) существует. Кроме того, в силу равномерной сходимости
ъ
интеграла f(x,y)dx на [с, d] для любого г > 0 существует Ь' Е [а, Ъ)
а
такое, что для любого ? G (Ь', Ь) и любого у Е F выполнено неравенство
ь
[f(x,y)dx <-7^-.	A9)
J	& С
С
Применяя теорему 2, § 71 о перестановке порядка интегрирования
в собственных интегралах, получаем равенство
d С	С d
I dy ff(x, y)dx = J dx ff(x, y) dy.	B0)

§ 72. Несобственные интегралы, зависящие от параметра	627
Покажем, что интеграл, стоящий в левой части равенства B0),
при ? Е Ъ — 0 стремится к интегралу в левой части равенства A8).
Действительно, в силу неравенства A9)
d	Ъ	d	i
у dy J f(x,y)dx - J dy J f(x,y)
Итак, левая часть равенства B0) имеет предел при ? —у Ъ — 0. По-
Поэтому, правая часть этого равенства имеет предел при ? —> Ъ — 0.
Переходя в равенстве B0) к пределу, получаем формулу A8). •
Пример 7. Вычислить интеграл Дирихле, доказав, что
+ ОО
-.	B1)
О
Л Воспользуемся известной формулой
+ ОО
I e-xysmxdx = T-^, y>0.	B2)
о
Интеграл B2) сходится равномерно по параметру у на любом от-
отрезке [S, iV], где S > 0. Это следует из признака Вейерштрасса равно-
равномерной сходимости, так как
+?°	-,
у е~6х dx = i.
о
Применяя теорему 5 и интегрируя равенство B2), получаем
+ °° N	+°
/Г	Г
dx / e~xy sin xdy = /
—fir	—Nr
е 	е
О д
B3)
Так как | sinx| ^ х при х ^ 0, то
ах
/— Nr 7	1
О	UjJU 		.
о	о
Переходя к пределу при N —>¦ +оо в равенстве B3), получаем
+ ОО
тг . ~ /" _^ж sin ж ,
- - arctgo = / е 	ах.
Z	J	X
о
Воспользовавшись равенством A7) и переходя к пределу при S —> +0,
получаем выражение B1) для интеграла Дирихле. А

628	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Теорема б (о дифференцировании несобственного интеграла по
параметру). Пусть функции f(x,y) и fy(x,y) непрерывны на мно-
ъ
жестве {(х,у): а^х <b, c^y ^d} и интеграл / fy(x, у) dx сходится
равномерно по параметру у на отрезке [с, d]. a
ъ	ъ
/г
/(ж, с) dx сходится, то интеграл / /(ж, у) dx
а	а
сходится на отрезке [с, d] и является на этом отрезке непрерывно
дифференцируемой функцией параметра у, причем
ъ	ъ
±ff(x,y)dx = ffy(x,y)dx.	B4)
а	а
Ъ
О Пусть с ^ у ^ d. Рассмотрим интеграл fy(x,rj)dx при ц G [с,у].
а
По условию теоремы этот интеграл сходится равномерно по парамет-
параметру г\ на отрезке [с, у]. В силу теоремы 5 законна перестановка порядка
интегрирования
J dr]J —(x,r))dx = JdxJ—(xJr])dr] = Jf(x,y) dx + c0, B5)
с а	а с	а
b
где c0 = - f(x,c)dx.
a	b
Так как интеграл fy(x,rj)dx сходится равномерно по парамет-
а
ру Т] на [с, d], то этот интеграл будет непрерывной функцией т] на этом
отрезке, и интеграл, стоящий в левой части равенства B5), будет не-
непрерывно дифференцируемой функцией параметра у на отрезке [c,d].
ъ
Но тогда и f(x,y)dx есть непрерывно дифференцируемая функция
а
на [c,d\. Дифференцируя обе части равенства B5) по у, получаем фор-
формулу B4). •
Пример 8. Вычислить интегралы Лапласа
+ ОО	+ОО
l	/ff, yeR.
Л Пусть у ^ S > 0. Тогда оба интеграла сходятся равномерно по пара-
параметру у на [S, +оо) в силу признака Дирихле: функции cosxy и sinxy
1 х
имеют ограниченные первообразные, а функции	 и	 стре-
А. | JU	А. | JU

§ 72. Несобственные интегралы, зависящие от параметра	629
мятся к нулю при х —у +оо, причем
2х	'
0 ±
' dx
dx\l + x2)	A + ж2J^ ' dx\l+x2
при х ^ 1.
Дифференцируя 1\{у) по параметру, получаем
B6)
Дифференцирование по параметру законно, так как интеграл h(y)
сходится равномерно по параметру у при у G [S, +оо). Чтобы найти
производную hiy), заметим, что при у ^ S > О
+ ОО #	+ОО
j ^
О
dx ^
J х	J x(l + x2)
о	о
+
f
J
+	+	+
J t	J (l + x2)x	2 J
0	0	0
1ЛЛ, 		//-1,94	""*"
- xl)x	2 J A + xl)x
о	о x	y	о v	J
Применяя теорему б, получаем
dh(y)	^f°cosxy
dy	У 1 + ж2
Из формул B6) и B7) следует, что при у G [S, +оо)
^iB/) = ~h(y), ^(у) = ~h(y), I"{у) - h(y) = 0. B8)
Решая это дифференциальное уравнение, получаем (см. § 36)
h(y) = de-У + С2еу при уе[6,+оо),	B9)
где С\ и С<2 — произвольные постоянные.
Покажем, что С2 = 0. Так как
+ ОО	+ОО,	,	+ОО
dx	тг
J TT^dx^ J г
¦Хл
2'
то h(y) есть ограниченная функция на [S, +оо). Так как еу — не-
неограниченная функция на [S, +оо), то в формуле B9) нужно принять
С2 =0.

630	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Итак,
h{y) = C1e-\ I2(y) = -I[(y) = Cie-y при уе [6,+oo). C0)
Так как S — произвольное положительное число, то из C0) следует,
что
h(y) = Cie"» = h{y) при j/>0.	C1)
Замечая, что интеграл Лапласа h(y) есть четная функция на
(—оо,+оо), а интеграл hiy) есть нечетная функция на (—оо,+оо),
перепишем равенство C1) в следующем виде:
/iB/) = Cie-W, h(y) = CiSignye-^ при уфЪ. C2)
Для определения произвольной постоянной С\ воспользуемся тем,
что интеграл Лапласа 1\{у) сходится равномерно по параметру у на
(—оо,+оо) (см. пример 3). Поэтому h(y) есть непрерывная функция
в точке у = 0. Следовательно,
+ ОО
/ Ь
о
Теперь формулы C2) дают, что при любом у G R
+ ОО	+ОО
о	о
То, что формулы C3) справедливы при у = 0, проверяется непос-
непосредственно. А
4. Перестановка порядка интегрирования в том случае,
когда оба интеграла несобственные. В теореме 5 была обоснова-
обоснована перестановка порядка интегрирования, когда внутренний интег-
интеграл несобственный, а внешний собственный. Сложнее обосновывать
перестановку порядка интегрирования, когда оба интеграла несобст-
несобственные.
Теорема 7. Пусть функция f(x,y) непрерывна на множестве
{(х,у): а ^ х < Ь, с ^ у < d} и выполнены следующие условия:
ъ
1)	несобственный интеграл \f(x,y)\dx сходится равномерно по
а
параметру у на любом отрезке [с1\d'] С (с, <i);
d
2)	несобственный интеграл \f(x,y)\dy сходится равномерно по
с
параметру х на любом отрезке [а',Ь'] С (а, Ь);
3)	один из двух повторных интегралов
d Ъ	Ъ d
JdyJ\f(x,y)\dx, J dxj\f(x,y)\dy
-ч	с а	ас
сходится.

§ 72. Несобственные интегралы, зависящие от параметра	631
Ъ d
/г
dx f(x,y)dy и
/п.	ас
dy f(x,y)dx и
Ъ	d	d	Ь
j	jjx,y)dx.	C4)
О а) Пусть сначала / ^ 0 и существует повторный интеграл
Ъ d
I dx f(x,y)dy. Возьмем произвольный отрезок [c',d'] С [с, d]. Тогда
а с
интеграл по отрезку [с', d'] будет собственным и, применяя теорему 5,
получаем
d! Ь	Ь d'	Ъ d
[dyjf(x, y)dx = f dxff(x, у) dy ^ fdxff(x, y) dy. C5)
cr a	a cr	а с
Перестановка интегрирования законна, так как интеграл f(x,y)dx
а
сходится равномерно по параметру у на отрезке [с7,^] С (x,d).
Последнее неравенство в формуле C5) следует из неотрицательнос-
Ъ d
ти / и существования повторного интеграла dx f(x,y)dy. Перехо-
а с
дя в формуле C5) к пределу при d' —> d — 0 и с' —> с + 0 и замечая,
что в силу неотрицательности функции / интеграл в левой части
неравенства C5) есть возрастающая функция верхнего предела d' и
убывающая функция нижнего предела с', получаем, что
d ъ	ъ d
h = Jdyjf(x,y)dx <: Jdxjf(x,y)dy = h.	C6)
с а	ас
Проведя еще раз то же самое рассуждение, но для повторного ин-
d ъ
теграла dy f(x,y)dx, получим вместо неравенства C6) неравенст-
с а
во I\ ^ /2. Поэтому должно выполняться равенство C4).
б) Пусть теперь f(x,y) — знакопеременная вещественная функ-
функция. Представим ее в виде
где
Очевидно, что 0 ^ /+ ^ |/|, 0 ^ /~ ^ |/|.
Используя замечание 2 (п. 2) и признаки сравнения для несоб-
несобственных интегралов (§ 38), получаем, что для /+ и /~ выполнены
условия теоремы. В силу а) повторные интегралы от /+ и /~ равны.
Поэтому равны и повторные интегралы от функции / = /+ — /". •

632	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Замечание 3. Теоремы 4-7 остаются справедливыми и при замене
функции /(ж, г/) на функцию ф(х)/(х,у), где функция ф(х) интегрируема
по Риману на любом отрезке, лежащем в интервале (а, Ь). См. замечание
в§ 71.
Замечание 4. Если /(ж, у) = <р(х, у) + г ф(х, у) есть комплекснознач-
ная функция, то
\ф,у)\^\/(х,у)\, \ф(х,у)\^\/(х,у)\.
Все условия теоремы будут выполнены и для функций (р(х,у) и ф(х,у),
если /(ж, г/) удовлетворяет условиям теоремы 7. Поэтому оба повторных
интеграла от каждой из этих функций существуют и равны. Следовательно,
существуют и равны повторные интегралы от функции /(ж, г/).
Пример 9. Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона (интеграл ве-
вероятностей)	+оо
/= Г e~t2 dt.
о
Л Сделаем замену переменной t = ху, у > 0. Тогда
+ ОО
/ = у I е~х2у2 dx.
_ р
Умножая это равенство на е у и интегрируя его от 0 до +оо по у,
получаем
J	+ОО	+ОО +ОО
I2 = | /е-^2 dj/ = / dj/ / 2/е-^A+ж2) da;.	C7)
О	0 0
Меняя порядок интегрирования, получаем
=J dx J
0	0	0
откуда	+оо
'=/¦
О
Для обоснования законности изменения порядка интегрирова-
+ ОО
ния применим теорему 7. Интеграл / уе~у2^1+х^ dx сходится рав-
о
номерно по параметру у на любом отрезке [с, d] С @, +оо) по при-
признаку Вейерштрасса, так как \уе~у A+ж )| ^ de~c A+x \ а интеграл
+ ОО
/ de~c ^1+ж ) dx сходится.
О	+оо
/2 /	2 \
уе~У A+ж )^у СХОДИТСЯ
о
равномерно по параметру х на любом отрезке [а, Ь] С @, +оо). Повтор-

§ 72. Несобственные интегралы, зависящие от параметра	633
+ ОО +ОО
ный интеграл dx ye~y2^1+x2^dy сходится в силу равенства C7). А
о о
Пример 10. Вычислить интегралы Френеля
+ ОО	+ОО
Л = / sin ж2 dx, J2 — I cos ж2 dx.
о	о
Л Выполняя замену переменной у = ж2, получаем
+ ОО	+ОО
loo
loo	C8)
j 1 j^dy=\ lim
2 J y/y	2 k^+o
о ^
При написании формул C8) использована равномерная сходимость
несобственных интегралов в правых частях равенств C8) по пара-
параметру к при к ^ 0 (признак Дирихле).
Выполняя в интеграле Эйлера-Пуассона / е~ь dt = ^— замену
переменной t = х у/у, получаем	°
+ ОО	+ОО
= —, — = —-= I е~х y dx, у > 0.
о	^	о
Подставляя выражение для — в формулы C8) и меняя порядок ин-
у/У
тегрирования, получаем
+ ОО +ОО
Ji = - lim f dy f e У(к+х2"> smydx =
7Г fe-^+0 J	J
0	0
+ OO +OO	, . .
= —= lim j dx j e~y( +x ' sinydy = —= lim / -
Аналогично получаем
+ OO +OO
+00
_ 1 Г dx _ 1 7г_1 /тГ
~ 7^ ^ l + ж4 ~ 7^ 2^2 ~ 2 V^'
+ OO +OO
J2 = -^-= lim /" da: /" e'^^2) cosj/dj/ =
л/тг fe^+o У У
oo
+ OO	2	+OO 2
1 i.	С к + x	,	1 С х dx 1 Гк
= —= lim /	r-т- dx = —= /	 = - \ / —.
д/тг/^+о У ! + (?; +ж2J	д/тгУ l + ж4 2V2

634	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Изменение порядка интегрирования при к > 0 обосновывается при
помощи теоремы 7, предельный переход при к —У +0 под знаком ин-
интеграла возможен в силу его равномерной сходимости по параметру
+оо
/dx
	4 И
- вычислены в § 38 (примеры 9 и 8). А
/
1 + ж
о
§ 73. Эйлеровы интегралы
1. Гамма-функция Эйлера. Гамма-функция Эйлера Г(х) опре-
определяется как несобственный интеграл
+ ОО
Г(х) = /V^e^dt, х >0,	A)
о
с двумя особыми точками, t = 0 и t = +оо.
Для того чтобы можно было применить теоремы предыдущего
параграфа, представим интеграл A) в виде суммы двух интегралов
1	+ОО
Г(х) = Jtx-Ie~tdt+ jt^e-Ut.	B)
о	1
Оба интеграла сходятся равномерно по параметру х на любом конеч-
конечном отрезке [а, Ь] С @, +оо) по признаку Вейерштрасса. Действитель-
Действительно, пусть 0 < а < 1, Ь > 1. Тогда 0 ^ t ^е"* ^ Г при х ^ а, 0 ^ t ^ 1
1	1
//»
t^1 dt = а. Следовательно, интеграл tx~1e~t dt сходится рав-
о	о
номерно на [а, Ь].
Аналогично 0 ^ tx~1e~t ^ tb~1e~t при х ^ b, t ^ 1, интеграл
+ ОО	+ОО
/ tb~1e~t dt сходится, а интеграл / tx~1e~t dt сходится равномерно
1	1
на [а, Ь].
Так как подынтегральная функция tx~1e~t непрерывна при t > 0,
ж > 0, то в силу теоремы 4, § 72 оба интеграла в формуле B) бу-
будут непрерывными функциями параметра х на произвольном отрезке
[а, Ь] С @, +оо), а поэтому Г(ж) есть непрерывная функция при х > 0.
При ж > 0 функция Г(х) непрерывно дифференцируема, причем
1	+ОО	+ОО
Г'(ж) = ftx-1e-t\ntdt+ f tx-1e~t\ntdt= Г t*-1 Inte-* dt. C)

'. Эйлеровы интегралы	635
Дифференцирование под знаком интеграла законно, так как оба ин-
интеграла в формуле C) сходятся равномерно по параметру х на любом
отрезке [а, Ь] С @,+оо).
По индукции можно доказать, что Г(ж) есть бесконечно диффе-
дифференцируемая функция при х > 0 и
+ ОО
Г^(ж) = j tx-le-\\nt)ndt.	D)
о
В частности,
Г"(ж) = J taj-1e-*(lntJdt>0.
о
Поэтому Г(ж) — выпуклая вниз функция при х > 0 и имеет единст-
единственный положительный минимум. Нетрудно было бы показать, что
формула C) имеет место и для комплексных х при Rex > 0, и по-
поэтому Г(ж) есть регулярная функция комплексной переменной ж в
правой полуплоскости Re x > 0.
Выведем теперь основное функциональное соотношение для гамма-
функции. Пусть х > 0. Интегрируя по частям, находим
+ ОО
+ ОО	+ОО
TV 7* _i_ 1 ) — / tх р dt — 	р /х	-\- т I
J	n	J
0	°	о	E)
Г(ж + 1) = жГ(ж), х > 0.
Это и есть основное функциональное соотношение для гамма-функции,
найденное Эйлером. На нем в значительной мере основана теория
гамма-функции.
Прежде всего заметим, что если х е @,1], то х + 1 G A,2]. Поэ-
Поэтому, зная значения Г(ж) на промежутке @,1], можно при помощи
формулы E) найти значения Г(ж) на промежутке A,2], а следова-
следовательно, и на любом отрезке [n,n + l], n = 1,2,... Это существенно
облегчает вычисление значений гамма-функции.
Далее, формула E) позволяет исследовать поведение Г(ж) при
х ->• +0. Имеем
при ж^+0,
+ ОО
так как Г(ж + 1) — непрерывная функция при х = 0, а ГA) = / е~* (it =
о
= 1. Таким образом, Г(ж) —>¦ +оо при ж —У +0.
Из формулы E) находим
Г(п + 1) =пГ(п) = п(п - 1)... 1 • ГA) = п!.
Функция п! определена для натуральных п. Гамма-функция Г(ж) не-
непрерывна для всех х > 0 и Г(п + 1) = п!.

636
Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Формула E) позволяет продолжить функцию Г(ж) с сохранением
ее свойств на отрицательные значения ж, не равные —1, —2,..., —п,...
Положим по определению
г(г) — ^Х ~*~ ' —Л<:т<:{\	(в)
1 [X) —	, 1 ^ ж ^ и.	^о;
Так как при ж Е (—1,0) имеем ж + 1 Е @,1), то определение F)
корректно. Исследуем поведение Г(ж)
при ж —> — 1 + 0. Полагая у = ж + 1, по-
.—„—л		лучаем, что ж —>¦ —1 + 0 эквивалентно
I	/ _F, ч ^/ ->• +0. Поэтому при у ->• +0, исполь-
у \	/	зуя F), получаем
Г(|/ - 1) =
-4
О
Итак,
Г(Ж) ~ --
-1 + 0.
-5
Рис. 73.1
По индукции теперь можно опре-
определить Т(х) на любом интервале
(—(п + 1),—п), где п G А/, формулой
Т(х) =
-, х G (—(п + 1), — п), причем Г(ж)
X "т"
при ж —>- —п.
График Г(ж) изображен на рис. 73.1.
2. Бета-функция Эйлера. Рассмотрим интеграл, зависящий от
двух параметров и именуемый бета-функцией Эйлера:
:-1A-*K/-1бЙ.	G)
У интеграла две особых точки, t = 0 и ? = 1. Записывая интег-
интеграл G) в виде
1/2	1
/1	1	Г 1	1
L	I -L б J	Ct/l/ —|— I б	I -L I/ I	Lib,
О	1/2
получаем, что первый интеграл сходится при ж > 0, а второй при
у > 0, так что бета-функция определена при ж > 0, у > 0.
Свойства бета-функции:
1)В(ж,2/)=ВB/,ж).
О Делая замену переменной г = 1 — ?, получаем
1	1

'. Эйлеровы интегралы	637
2)	Справедливы формулы
+ °° Т —1 7	1 Г —1	7/-1
ЯГ \ _ [ и du _ Г их +иу ,	,дч
о	о
О Первая из формул (8) получается, если в интеграле G) сделать за-
замену переменной t =	. Вторая формула (8) получается из первой,
если разбить интеграл на два: по отрезку [0,1] и интервалу A,+оо),
и во втором интеграле сделать замену переменной — = г>. •
и
3)	Справедлива формула
+оо х_1
В(х, 1 — х) = / 	du =	, 0 < х < 1.	(9)
J 1 + и	sin жтг
о
О Полагая в формуле (8) у = 1 - х и пользуясь тождеством
__L_ = ^(_i)*w* + (_i)n+i^
получаем
г>/ 1	\	/" ^Ж~1 J	[UX~l+U~X ,
В{х, 1 - ж) = /	du =	du =
ь/ J- ~Т~ U	J	л. ~\ U
п+1
О
1
О
Так как
о
о	о
то, переходя в формуле A0) к пределу при п —> +оо, получаем
оо
В(х, 1-х) = y"(-l
+ x к- x
k=0
ж ^-^	\x + к x — к) sin тгж
k=i
Последняя формула получается при z = тгж из формулы A0), § 64,
задающей разложение —— на элементарные дроби. •
4) В(х,у) выражается через гамма-функцию, а именно

638	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
+ ОО
О В интеграле Г(ж) = / ts~1e~t dt сделаем замену переменной t =
о
= A + u)v, v > О, и положим s = х + у. Тогда
О
Умножим это равенство на их~1 и проинтегрируем по и от 0 до +оо.
В левой части, пользуясь формулой (8), получим произведение
Т(х + у)В(х,у), а в правой — изменим порядок интегрирования.
Тогда
+ ОО +ОО	+ОО +ОО
= Г du Г wa-V+i/-ie-(i+«)« dv = / du / их-^х+у-хе-"е-™ du.
0	0	0	0
Сделаем еще замену переменной uv = t. Тогда
+ ОО +ОО
В(х, у) Г(х + у)= I dv [ t X-Ivy-Ie-Ve~t dt =
о о
= I vv~xe-vdv I tx-1e-tdt = T(x)T(y).
о	о
Обоснование изменения порядка интегрирования производится
при помощи теоремы 7, § 72 аналогично тому, как это делалось в
примере 9, § 72 при вычислении интеграла вероятностей. •
Следствие (формула дополнения для гамма-функции). При х ф
Ф ±к, к = 0,1, ...,п,..., справедлива формула
A2)
SlllXTT
О Используя (9) и A1), получаем
эт -В(х 1-х)- Г(ж)ГA~ж) - Г(х) ТA - х)
^1 X)	Ч^ДЦ х).
При х = - из формулы дополнения следует, что M-J = д/тг. •
Многие интегралы могут быть выражены через эйлеровы интег-
интегралы.
Пример 1. Выразить через гамма-функцию следующий интег-
интеграл:
тг/2
1= Г sin62 <p cos6 if dip, a > О, Ъ > 0.

>74- Интеграл Фурье	639
Л Сделаем замену переменной х = sin2 ip. Тогда
dx = 2sin(pcos(p<i(p, dip = - ж~1//2A - ж)~1//2 dx,
Полагая а = 1 + с, b = 1 — с и пользуясь формулой дополнения A2),
получаем при \с\ < 1 формулу
тг/2
Г	1
|с| < 1. А
§ 74. Интеграл Фурье
1. Понятие об интеграле Фурье. Пусть функция f(x) абсо-
абсолютно интегрируема на R = (—оо,+оо). Это означает, что найдутся
точки ai, г = 1,п, такие, что —оо < а\ < ... < ап < +оо, и на каждом
из отрезков [а, 6], не содержащих точек а^, i = l,n, функция /(ж) ин-
интегрируема по Риману, а интегралы
а\	сц+1	+оо
(s)| <&, I \f(x)\dx, i = М^Т, I \v(x)\dx
— сю	aj	an
сходятся как несобственные интегралы с двумя особыми точками.
По определению
+ оо	а\	п — 1 ai+l	+oo
I \f(x)\ dx= j \f{x)\dx + E / l/(*)l dx + I \f(x)\dx- (!)
— сю	—сю	г—\ at	an
Введем понятие интеграла Фурье абсолютно интегрируемой на R
функции f(x). Для такой функции по признаку сравнения являются
сходящимися следующие интегралы:
+ ОО	+ОО
а(у) = ^ / /(*) cos *У dt> Ь(У) = 2^ / /(*) sin *У dt	B)
— (X)	—(X)
Поставим в соответствие функции f(x) несобственный интеграл:
+ ОО
f(x) - Г (а(у) cosxy + b(y) sinxy) dy,	C)
— (X)
который называется интегралом Фурье абсолютно интегрируемой
на R функции f(x).

640	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Для интеграла Фурье, как и для ряда Фурье, важно знать:
а)	при каких условиях интеграл C) сходится;
б)	если интеграл C) сходится, как его величина связана со значе-
значениями функции /(ж).
Если выражения для коэффициентов а (у) и Ъ(у), задаваемые фор-
формулами B), подставить в формулу C), то интеграл Фурье можно
представить в следующем виде:
+ ОО +ОО
/(ж) ~ h I (/f{t) cosy{t ~x) dt)dy-	D)
— ОО — ОО
2. Представление функции интегралом Фурье. Докажем
несколько вспомогательных лемм.
Лемма 1. Для любого а > 0 справедливо равенство
а
lim / 	ах = —.	E)
о
О Переходя при и; ->• +оо к пределу в равенстве
иоа
/sincjx , С sin ж ,
	ах — \ 	ах
х J х
о о
и воспользовавшись выражением B1), § 72 для интеграла Дирихле,
получаем равенство E). •
Лемма 2. Для функции /(ж), абсолютно интегрируемой на ин-
интервале @, а) и удовлетворяющей в точке 0 условию Гёлъдера, спра-
справедливо равенство
lim [f{x)E^Zdx=*f(+0).	F)
CJ-^ + OO J	X	2
О
О Так как функция f(x) удовлетворяет в точке 0 условию Гёльдера,
то существуют такие числа S > 0, a G @,1) и со > 0, что при х G @, S)
выполняется неравенство
\f(x)-f(+0)\<coxa.	G)
Если разбить интервал @,а) на интервалы @,6) и F, а), то
J f(x)
о
= / (/О) - /(+0))	da + /(+0) / 	dx + / /(ж)	dx. (8)
J	X	J X	J	X
О	0	д
Функция ^-^———- в силу условия G) абсолютно интегрируе-
X
fix)
ма на интервале @,6), а функция ^-^ абсолютно интегрируема на
х

>74- Интеграл Фурье	641
интервале E, а). На основании леммы Римана можно заключить, что
первый и третий интегралы в формуле (8) стремятся к нулю при
uj —у +оо. Второй интеграл в формуле (8) стремится к — /(+0) в силу
леммы 1. •
Лемма 3. Для функции /(ж), абсолютно интегрируемой на ин-
интервале (—оо,+оо) и удовлетворяющей в точке хо условию Гёлъдера,
справедливо равенство
+
Г
J
си —>-+оо J	Хо — t
— оо
О Разбивая в (9) интервал интегрирования (—оо,+оо) на интервалы
(—оо,жо) и (жо,+оо) и делая в первом интеграле замену переменной
хо — t = ?', а во втором интеграле замену t — жо = ?', получаем, что
+ ОО	+ОО
Г sm(xo — t) г/.\ i. /" /г/ , .\ , г/	.\\ smut ,,
\ —	—Lf(t)dt= (f(xo+t) + f(xo-t))——dt.
J	Хо — t	J	t
— оо	О
Формула (9) получается теперь как результат применения к функ-
функции /(ж0 +t) + f(x0 - t) леммы 2. •
Теорема 1. Если абсолютно интегрируемая на R функция удов-
удовлетворяет в точке хо условию Гёлъдера, то справедливо равенство
+ ОО +ОО
+ 0) + /Оо - 0) 1 Г, /•
2"^	 =2^ 1 У
функция /(ж) еще и непрерывна в точке жо, то
+ ОО +ОО
/(жо) = — dy f(t)cosy(xo—t)dt.	A1)
— (X) —(X)
О Запишем интеграл в левой части формулы (9) в виде
хо — t
— (X)
+ ОО	Ш	СО	+ОО
dt I f(t) cosy(xo — t) dy = I dy I f(t) cosy(xo — t) dt.
— oo 0	0 — oo
Переходя к пределу при uj -у +оо, учитывая равенство (9) и чет-
четность подынтегральной функции по переменной у, получаем равен-
равенство A0). Если же функция /(ж) еще и непрерывна в точке жо, то
из A0) получаем A1).
Если функция /(ж) непрерывна, то законность изменения порядка
интегрирования следует из теоремы 5 в § 72. В общем случае закон-
законность перестановки следует из замечания 4 в этом же параграфе. •

642	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Так как функция, дифференцируемая или имеющая обе односто-
односторонние производные в точке, удовлетворяет в этой точке условию
Гёльдера, то справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Если непрерывная, абсолютно интегрируемая на R
функция f(x) имеет в каждой точке или конечную производную или
конечные односторонние производные, то эта функция представима
на R интегралом Фурье
+ ОО +ОО
f(x) = -^ I dy I f(t) cos у (ж -t)dt =
+
= Г (а(у) cos ху + Ъ(у) sin ху) dy, A2)
-ОО
где функции а(у) и Ь(у) определены равенствами B).
О Теорема 2 является следствием теоремы 1, так как функция, имею-
имеющая в каждой точке односторонние производные, удовлетворяет в
каждой точке условию Гёльдера (см. § 64). •
Пример 1. Представить интегралом Фурье функцию /(ж) = е~1ж1.
Л Функция f(x) = е~1ж1 абсолютно интегрируема и непрерывна
на /?; в любой точке х/0 функция f(x) имеет производную f'(x) =
= e~l^sign (—ж), при х = 0 функция /(ж) имеет односторонние произ-
производные Д@) = -1 и f'_(Q) = 1.
Все условия теоремы 2 выполнены. Пользуясь формулами B), по-
получаем равенства
+ ОО
J -W cos tydt=±T-^_, b(y) = 0.
+ ОО
= ± J
Из формулы A2) следует, что
3. Интегралы в смысле главного значения. Комплексная
форма интеграла Фурье. Пусть функция f(x) определена на R и
абсолютно интегрируема на любом конечном отрезке [а, Ь].
Если существует конечный предел
N
lim / f(x) dx,
7V-^oo J
-N
то этот предел будем называть интегралом в смысле главного значе-

>74- Интеграл Фурье	643
+ ОО
V.
+оо
ния и обозначать через v.p. / f(x)dx. Таким образом,
+оо -оо	N
/г
f(x)dx= lim f(x)dx.
+00	°°	~
Если / f(x) dx существует как несобственный, то он существует
— оо
и в смысле главного значения. Обратное утверждение является не-
неверным. Например, если f(x) = ж, то
+оо	N
лр. \ xdx — lim / xdx — О,
-оо	-TV
а интеграл / xdx не сходится как несобственный.
— оо
Ясно, что для любой нечетной, абсолютно интегрируемой на лю-
+ ОО
г
бом конечном отрезке функции v.p. / f(x) dx = 0.
—00
Интеграл в смысле главного значения можно рассматривать и на
конечном отрезке [а, Ь]. Пусть функция f(x) абсолютно интегрируема
на любом отрезке [а,/3], принадлежащем отрезку [а, Ь] и не содержа-
содержащем точки с е (а,Ь). Тогда по определению
Ъ	с-е	Ъ
/Г С	С	1
f(x)dx= lim / f(x)dx+ / f(x)dx\.
a	a	c+e
Упражнение 1. Показать, что если 0 G (а, Ъ), то
r dx
.p / — =
J x
In
Пусть для абсолютно интегрируемой на R функции /(ж) справед-
справедливо представление в виде интеграла Фурье, т. е. для любого ж G R
справедливо равенство
+ ОО +ОО
— оо —оо
+ ОО	+ОО
= Г a(y)cosyxdy+ J b(y) sinyxdy, A3)
— 00	—00
где
+ ОО	+ОО
а(у) = ^~ /"/(*) cos yt dt, b(y) = -!- f f(t) sin yt dt. A4)

644	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Лемма 4. Если f(x) — абсолютно интегрируемая на R функция,
то функции а{у) и Ь(у), определенные равенствами A4), непрерывны
на R.
О Докажем, например, непрерывность а(у). Из A4) следует, что
+ ОО
\Аа(у)\ = \а(у + Ау) - а(у)\ ^ \ J |/(t)|| sin (^) | dt. A5)
— ОО
Так как функция fit) абсолютно интегрируема, то интервал (—оо,
+оо) можно разбить на три таких интервала (—оо, — с), {—с,с) и
(с, +оо), что по бесконечным интервалам интегралы от функции |/(ж)|
не будут превышать -. Сумма первого и третьего интегралов в фор-
2е
муле A5) не превысит —. Второй интеграл в формуле A5) меньше,
чем
^\Ау\ f \f(t)\dt,
и, следовательно, существует S > 0 такое, что при \Ау\ < S второй
интеграл в A5) меньше -. Из A5) следует, что при \Ау\ < S при-
о
ращение |Да(?/)| < г. •
Рассмотрим несобственный интеграл
+ ОО	+ОО
К (у) = / f{t) smy(x — t) dt = / f (t) (sin ух cosy t —
— oo	—oo
— cos yx sin yt) dt = 2тг(а(у) sin yx — b(y) cos yx).
В силу леммы 4 функция К (у) непрерывна на R. Так как эта функция
нечетна, то
+ ОО	+ОО +ОО
-^ v.p. У К (у) dy = v.p. j dy f f(t) sin у (ж -t)dt = 0.	A6)
— (X)	—(X) —(X)
Теорема З. Если для абсолютно интегрируемой на R функ-
функции f{x) справедливо равенство A3), то справедливы и следующие
равенства:
+ ОО +ОО
/Or) = v.p. i- I ( I /(t)e-"" dt) ё*У dy,	A7)
— oo —oo
+ OO +00
/Or) = v.p. i- I ( I f{t)e>* dt) e"^ dy.	A8)
— OO —OO
О Формула A7) получается, если умножить равенство A6) на мни-
мнимую единицу г, сложить его с равенством A3) и воспользоваться фор-
формулами Эйлера
cosy(x-t)+ismy(x-t) =е^х~г) =eiyxe~iyt.

§ 75. Преобразование Фурье	645
Аналогично получается и формула A8). Нужно умножить равенст-
равенство A6) на —г и сложить его с равенством A3). •
Интеграл, стоящий в правой части равенства A7), называется ин-
интегралом Фурье функции f(x) в комплексной форме.
Замечание. Интеграл Фурье в комплексной форме может быть напи-
написан и для комплекснозначной абсолютно интегрируемой функции f(x) =
= fi(x) + 2/2 (ж). Если для действительной и мнимой части функции /(ж),
т. е. для fi(x) и /2(ж), справедливо представление A7) интегралом
Фурье, то очевидно, что такое представление справедливо и для функции
f() f() f()
§ 75. Преобразование Фурье
1. Понятие преобразования Фурье и обратного преобразо-
преобразования Фурье. Пусть /(ж) есть комплекснозначная функция
действительного переменного. Тогда преобразование Фурье функ-
функции /(ж) (оно обозначается через F[f] или /) определяется формулой
+ ОО
Пу) = F[f] = v.p. / Нх)е-**х dx.	A)
— оо
-1[
Обратное преобразование Фурье (обозначается через F х [/] или /)
определяется формулой
НУ) = F-1 [/] = v.p. ±- I f(x)eiyx dx.	B)
— (X)
Предполагается, что интегралы A) и B) существуют. Если функ-
функция /(ж) абсолютно интегрируема, то несобственные интегралы
+ ОО	+ОО
/Г
f{x)e~%yx dx и f{x)e%yx dx существуют и совпадают с соот-
— (X)	—(X)
ветствующими интегралами в смысле главного значения. Поэтому
для абсолютно интегрируемых функций преобразование Фурье и об-
обратное преобразование Фурье определяются как следующие несобст-
несобственные интегралы:
+ ОО
F[f] = I fix) е-^х dx,	C)
— (X)
+ OO
e ax.	DJ
2. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегри-
интегрируемых на R функций.
Лемма 1. Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на R
функции есть ограниченная и непрерывная на R функция.

646	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
О Так как функция /(ж) абсолютно интегрируема на /?, то
+ ОО	+ОО
I/MI = | / f(x)e-^dx\ ^ I \f(x)\dx = Co
— ОО	— ОО
и, следовательно, f(y) есть ограниченная функция на R.
Для доказательства непрерывности функции f(y) запишем ее в
виде
+ ОО	+ОО
= I f(x)cosyxdx — i / f(x) smyxdx = а (у) — i b(y)
— oo	—oo
и заметим, что, в силу леммы 4, § 74 функции а (у) и Ь(у) непрерывны
на R. •
Упражнение 1. Доказать, что множество абсолютно интегрируемых
функций на R и множество непрерывных функций на R образуют линей-
линейные пространства. Показать, что F можно понимать как линейный опера-
оператор, действующий из линейного пространства абсолютно интегрируемых
функций в пространство непрерывных функций на R.
Указание. Доказать, что для любых A,jwG С выполнено равенство
и воспользоваться результатом леммы 1.
Теорема 1. Если функция f(x) абсолютно интегрируема на R и
имеет в каждой точке конечную производную f'(x), то справедливы
формулы обращения
О Так как выполнены условия теоремы 3, § 74, то справедливо равен-
равенство A2), § 74, а следовательно, и равенства A7) и A8), § 74, которые,
применяя обозначения A) и B), можно записать в виде E). •
3. Преобразование Фурье производной.
Теорема 2. Если непрерывная и абсолютно интегрируемая на R
функция f(x) является кусочно гладкой на любом отрезке [а,Ь] С /?,
а функция f'(x) абсолютно интегрируема на /?, то
F[f] = iyF[f].	F)
О Для функции /(ж) справедлива формула Ньютона-Лейбница
(см. § 64)
№ = f(o) + ff'(t)dt.
О
Так как производная f'(x) абсолютно интегрируемая функция, то су-
существует	+оо
lim f(x) = /@) + f f'(x) dx = A.
x—>-+oo	J

§ 75. Преобразование Фурье	647
Покажем, что А = 0. Если, например, А > 0, то существует такое
число a Е /?, что при х > а выполнено неравенство f(x) > - А, откуда
z
+ ОО
по признаку сравнения следует, что интеграл / /(ж) dx является рас-
а
ходящимся, что противоречит условию теоремы. Итак, lim f(x) =
х—>-+оо
= 0.
Аналогично доказывается, что lim f(x) = 0.
х—У — оо
Применяя интегрирование по частям, получаем равенство
+ ОО
F[f] = [ f{x) e~ixy dx = f{x) e~ixy
-oo
+ ОО	+ОО
f(x) e~ixy dx.
Так как |е~гжу| = 1, то внеинтегральный член в правой части этого
равенства обращается в нуль и, следовательно, справедливо равенст-
равенство F). •
Следствие. Если функции fix), fix), ..., fk\x) непрерывны и
абсолютно интегрируемы на /?, то
F[fik)] = (iy)kF[f].	G)
О Формула G) доказывается по индукции с использованием форму-
формулы F). •
4. Дифференцирование преобразования Фурье.
Теорема 3. Если функция fix) непрерывна на /?, а функции fix)
и xfix) абсолютно интегрируемы на /?, то функция fiy) = F[f] имеет
на R непрерывную производную, причем
Т(У) = j-y (F[f\) = F[(-ix)f(x)}.	(8)
О Дифференцируя интеграл C) по параметру у, получаем ра-
равенство
+ ОО	+ОО
Ту! /(Ж) ^^ dx= I H*)/B0 e~ixv dx. (9)
— oo	—oo
Ту
Обоснование законности дифференцирования под знаком ин-
интеграла сводится к проверке условий теоремы б, § 72. Интеграл
+ ОО
/ i—ix)fix)e~lxydx сходится равномерно по параметру у на R по
— оо
признаку Вейерштрасса, так как |(—гж)/(ж) е~гху\ = |ж/(ж)|, а интег-
+ ОО
р
рал / \xfix)\dx сходится. •

648	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Следствие. Если f(x) есть непрерывная на R функция, а функ-
функции f(x),xf(x), ...,жп/(ж) абсолютно интегрируемы на /?, то
?j:(F[f})=F[(-ix)kf(x)], k=T~fi.
Иногда функцию f(x) называют оригиналом, а функцию f(y) =
= F[f] ее изображением по Фурье. Из теорем 2 и 3 следует, что
операции дифференцирования оригинала соответствует операция ум-
умножения изображения на независимую переменную iy, а операции
умножения оригинала на независимую переменную — гх соответству-
соответствует операция дифференцирования изображения. Эти свойства преоб-
преобразования Фурье являются основой операционных методов решения
дифференциальных уравнений.
Упражнение 2. Пусть S есть класс бесконечно дифференцируемых
функций таких, что любая производная f^k\x) убывает на бесконечности
быстрее любой отрицательной степени х~ш.
Показать, что:
1
класс S непуст;
S есть линейное пространство;
оператор Фурье F отображает S в S линейно и взаимно однозначно.
Указание. Воспользоваться следствиями из теорем 2 и 3 и результа-
результатом упр. 1.
Пример 1. Найти изображение по Фурье функции е~х I2.
Л Пусть
1(у) = F [е"ж2/2] = f e-(*2/2)-«j/ dx_
— оо
Дифференцируя интеграл A0) по параметру у, получаем
+ ОО	+ОО
1'(у) = -г J хе~(*2m-ixv dx = i Г (-iy -X + iy) e-(*2/2)-«y dx
-оо	—оо
+ ОО	+ОО
— z / I —— е	i ож — у j с	ах
— (X)	—(X)
_ ^е-(Ж2/2)-гЖ2/
+ ОО
откуда
+ ОО	+ОО	+ОО
с = /@) = I e~x2/2 dx = V2 I в"*2 dt = 2\/2 J e"*2 dt =

§ 76. Элементы теории обобщенных функций	649
Здесь было использовано выражение для интеграла Эйлера-Пуас-
+ ОО
/2	1
e~l dt = - д/тг (см. пример 9, § 72).
о
Таким образом,
-y l\ A	A1)
Пример 2. Доказать, что для любого t > 0 справедлива формула
Г 1	2 //„ .ч1	2.
fr1	р~Х \Щ — р-У t
г —¦== е	— е
Л Используя результат примера 1, получаем
Г 1	2	1	1 +Г°°	2
F1 	Т /(At) J- / 	(т /(At))	7Г7/ 7
	 р <Ь I V^6/ ^ 	 I р К^ I \^Ь)) 1"Ь У (Чгп
— оо
+ ОО
— 1	/" p-(C2/2)-iC(V2t2/) ^е _ 1 ГЛ.
~ л/2^ У	"TItt
§ 76. Элементы теории обобщенных функций
1. Введение. В физике постоянно пользуются такими идеализи-
идеализированными понятиями, как материальные точки, точечные заряды,
магнитные диполи и т. д. На самом деле сосредоточенных в точке
масс или зарядов не существует. Когда говорят о материальной точ-
точке массы 1, то это идеализированная модель шара достаточно малого
радиуса г и массы 1. Если в пространстве нет других масс, то плот-
плотность материи в пространстве будет распределена по следующему
закону:
\	|X|^S'	A)
I 0,	\х\ >е,
где х G R3. Заметим, что
f
S?(x)dx = l.	B)
Если устремить г к +0, то из A) получим, что предельная плотность
S(x) имеет вид
ж \ — / +00' х = 0,	,Qx
^ и, х ^ и.
Зная плотность C), нельзя по ней восстановить массу при помощи
интегрирования, так как функция C) не интегрируема ни по Риману,
ни в несобственном смысле.

650	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Чтобы обойти это затруднение, рассмотрим вместо поточечного
предела функций 6?(х) при г —У +0 так называемый "слабый предел".
Будем S?(x) рассматривать как линейный функционал над линей-
линейным пространством непрерывных в R3 функций, ставящий в соот-
соответствие каждой непрерывной в R3 функции (р(х) число
Eе,<р) = fse(x)<p(x)dx = I ^
/?3	\х\^
Применяя теорему о среднем, получаем, что
Q(,p)	Qp() p() E,(р),	D)
где S есть линейный функционал, ставящий в соответствие непрерыв-
непрерывной функции число (р@).
Если для любой непрерывной функции выполнено равенство D),
то говорят, что линейный функционал S есть слабый предел линейных
функционалов 6? при г ->• +0.
При таком подходе по плотности легко восстановить массу точки.
Она равна	Г
lim / SJx) dx = lim (X, 1) = E,1) = 1.
e-^+0 J	e-^+0
Функционал D) называют S-функцией Дирака.
Перейдем теперь к более строгому и систематическому изложе-
изложению так называемых распределений или обобщенных функций.
2. Пространство Qi основных функций. Пространство непре-
непрерывных функций слишком широко для того, чтобы, используя его,
можно было построить содержательную теорию обобщенных функ-
функций. Удобно рассматривать некоторые специальные подпространства.
Для простоты ограничимся функциями одной переменной.
Будем рассматривать комплекснозначные функции, определенные
на R. Носителем функции ip(x) назовем замыкание множества тех ж,
где (р(х) ф 0. Если носитель функции есть ограниченное множество,
то функция ср(х) называется финитной (она обращается в нуль вне
некоторого отрезка). Пусть ^есть множество финитных и бесконеч-
бесконечно дифференцируемых на R функций. Очевидно, что ^есть линейное
пространство. Введем в этом пространстве сходимость.
Будем говорить, что последовательность функций {(рп(х)}, где
(fn^S1 при любом п G А/, сходится к функции (р(х) G ^, и писать
(рп(х) ->• ip(x) при п ->• оо,
если выполнены следующие условия:
1)	носители всех (рп(х) лежат на некотором отрезке [а, 6];
2)	при любом k G А/ последовательность cph, (х) равномерно на R
сходится к ip(k\x).
Будем линейное пространство Qi с введенной выше сходимостью
называть пространством основных функций.

§ 76. Элементы теории обобщенных функций	651
Упражнение 1. Показать, что функция
при любом a G R принадлежит пространству @. Нарисовать график этой
функции.
3. Пространство Si обобщенных функций. Пусть каждой
функции ip Е @ поставлено в соответствие комплексное число (/, ф),
причем для любых двух комплексных чисел а, C и любых двух функ-
функций (р,гр Е ^выполнено равенство
(/, а<р +0ф) =a(f,<p)
Тогда говорят, что на допределен линейный функционал /. Функ-
ционал j называется непрерывным, если из срп —У ср при п —У оо следует,
что (f,ipn) -+ U>4>) ПРИ п ~+ °°-
Множество всех линейных непрерывных функционалов будем обо-
обозначать через Si. Множество & будет линейным пространством, если
естественным образом определить операцию сложения непрерывных
линейных функционалов и операцию умножения непрерывных линей-
линейных функционалов на комплексные числа. Если а, C G С, Д, /2 G ^, то
по определению аД + /3/2 есть непрерывный линейный функционал,
действующий на основные функции ip G @ по следующему правилу:
Нетрудно показать, что определение корректно, т. е. что функ-
функционал аД +/З/2, определяемый равенством F), действительно ли-
линеен и непрерывен.
В 31 выделяют класс регулярных функционалов. Если функция
f(x) абсолютно интегрируема на любом конечном отрезке (локально
интегрируема), то она порождает функционал
+ ОО
(/,?>)= / f(x)<p(x)dx.	G)
— (X)
Лемма 1. Формула G) определяет линейный и непрерывный функ-
функционал в @, если f(x) — локально интегрируемая функция.
О Для любой функции (р е & несобственный интеграл G) сходит-
сходится. Действительно, пусть носитель финитной функции ip расположен
на отрезке [a, b] и пусть функция ср(х), будучи непрерывной на [а, 6],
ограничена по модулю на [а,Ь] числом М. Интеграл G) сходится, так
как
+оо	Ъ	Ъ
\f(x) v{x)\dx ^ f\f{x)\\ip(x)\ dx ^ MJ\f(x)\dx,

652	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
а функция /(ж) абсолютно интегрируема на любом конечном отрез-
отрезке [а, Ь].
Линейность функционала, определенного равенством G), следует
из линейности интеграла относительно функции (р.
Докажем непрерывность функционала G). Пусть ipn —> (р. Тогда
носители всех срп лежат на некотором отрезке [а, Ь] и sup \срп — ср\ —У О
xeR
при п —> оо. Поэтому (р = 0 при х 0 [а, Ь] и
+ ОО
Ъ
^ sup \срп(х) — ср(х)\ \f(x)\dx—>0 при п —у оо.
Таким образом, (f,(pn) ~^ (/? Ф) ПРИ п —>- оо, т. е. функционал G) не-
непрерывен. •
Линейные непрерывные функционалы, не являющиеся регулярны-
регулярными, будем называть сингулярными.
Например, ^-функция, определяемая как функционал, действую-
действующий на функции if G S> по правилу
((*,?>) =р@),	(8)
будет сингулярным функционалом пространства Ф.
О Линейность и непрерывность функционала (8) очевидны. Докажем
его сингулярность. Пусть существует такая локально интегрируемая
функция, что
+ ОО
E, ip) = ip(O) = / f(x) ip(x) dx для любой ср е @.	(9)
— сю
В частности, равенство (9) должно быть выполнено для функции (р(х),
определенной равенством E), при любом а > 0. Поэтому
+ ОО
— (X)
С другой стороны, пользуясь локальной интегрируемостью функ-
функции /(ж), подберем такое а, что
j\f(x)\dx<l.	A1)
— а
Воспользовавшись тем, что (р(х) ^ ?>@), получаем
+оо	а	а
\J f(x)ip(x)dx\ = \ff(x)v(x)dx\ ^ ^@) у* |/(ж) | rfa: < е, A2)

§ 76. Элементы теории обобщенных функций	653
что противоречит равенству A0). Противоречие доказывает, что
E-функция есть сингулярный линейный и непрерывный на 3> функ-
функционал. •
Пространство Sf называют пространством обобщенных функций,
а элементы этого пространства — обобщенными функциями.
4. Сходимость в пространстве 9). Будем говорить, что после-
последовательность {/п}, где /n Е ^, сходится в Sf к элементу / Е ^, и
писать /п ->• /, если для любой функции ip e S выполнено равенство
(fn,<p)->(f,<p) при п-^оо.
Такую сходимость функционалов называют слабой сходимостью.
Вместо последовательности функционалов /n G ^ иногда рассмат-
рассматривают семейство функционалов {f?}, зависящих от параметра г. В
этом случае запись
f? % / при г -> +0
означает, что lim (f?,ip) = (/, ф) для любой функции ip G @. В част-
ности, запись
f?^S при г ->• +0
означает, что
lim (f?,(p) = (?, <rf = ^@) для любой ip e @.	A3)
Пример 1. Доказать, что
¦> д{х) при е ->• +U.
Л Очевидно, что функции f?(x) локально интегрируемы и поэтому
порождают регулярные функционалы в Q!. Возьмем любую функцию
(р е 3i. Пусть ее носитель лежит на отрезке [—А, А]. Тогда
+оо	А
(Л, Ф) = J fe(x) <p(x) dx = J f?(x) (p(x) dx =
—А
А
-А
Так как функция ip(x) дифференцируема на R и финитна, то, приме-
применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получаем неравенство
\ф) - <р@)\ = |V@| ^ \х\ max \<ff{x)\ = co\x\. A5)
хе[—А,А]

654	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Справедливы следующие утверждения:
А
7Г J
= - arctg - -+ 1 при е -+ +0,	A6)
1 -г
тг У
-A
A u>(x\-
e
ж2 +
-А	-А
тг У ж2 + г2
Из A4)—A7) следует, что для любой функции ip e ^выполнено равен-
равенство A3), т. е.
Согласно определению это означает, что f? ->• S. А
Упражнение 2. Показать, что
^-х2/?%8(х) при s^+0.
5. Умножение обобщенной функции на бесконечно диффе-
дифференцируемую функцию. Введем операцию умножения обобщен-
обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию ф(х). По
определению, если / G Sf, а ф(х) есть бесконечно дифференцируемая
функция, то ipf — такая обобщенная функция, которая действует на
произвольную функцию ip G @ по следующему правилу:
Определение корректно, поскольку гр(р G Si.
По определению обобщенная функция / равна нулю на интерва-
интервале (а, Ь), если для любой функции ip G 0, носитель которой лежит
в (а, 6), выполнено равенство (/, ср) = 0. Так, ^-функция равна нулю на
любом интервале (а, Ь), не содержащем точку х = 0. Две обобщенные
функции /i и /2 называются равными на интервале (а, Ь), если Д —
— /2 = 0 на (а, Ь). В частности, Д и Д равны на /?, если их значения
совпадают на любой основной функции ip e S.
Пример 2. Показать, что хб = 0.
Л Пользуясь равенством A8), получаем
(х5,<р) = E,х<р) = (х<р)х=0 = 0 = @,<р).
Так как на всех основных функциях значения функционалов хб и 0
совпадают, то эти обобщенные функции равны. А

§ 76. Элементы теории обобщенных функций	655
6. Производная обобщенной функции. Пусть /(ж) — непре-
непрерывно дифференцируемая на R функция; тогда функция f'{x) порож-
порождает регулярный функционал
+ ОО
/
Интегрируя по частям, получаем, пользуясь тем, что ср = 0 вне неко-
некоторого отрезка [—А, А], следующее равенство:
+ ОО
',?>)= f f'(x)<p(x)dx =
+оо +оо	+оо
- I f(x) <p'(x) dx = - I /(ж) <p'(x) dx.
= f(x)<p(x)
Итак, в рассматриваемом случае
(/',(р) = -(/,(р'M (р е @.	A9)
Равенство A9) лежит в основе определения производной обобщенной
функции.
Производной обобщенной функции / Е 0 называется линейный и
непрерывный функционал /' Е 0, действующий на основные функции
(р е @ по правилу, выражающемуся формулой A9).
Проверим, что /' есть действительно линейный и непрерывный
функционал.
О Пусть а и /3 — произвольные комплексные числа, a ipi и Lpi — про-
произвольные функции из пространства О). Тогда, пользуясь определени-
определением производной обобщенной функции и линейностью функционала /,
получаем равенство
(/', aw+Pw) = -(/, Vi +М) = -«(/,?>!) -W>2) =
из которого следует линейность функционала /'.
Докажем, что /; — непрерывный функционал. Пусть ipn —> (р. Нуж-
Нужно показать, что lim (ff,^pn) — (f ^Ф)- Пользуясь формулой A9) и
п—>-оо
непрерывностью функционала /, получаем, что
lim (/>„) = - lim (f,<p'n) = -U,<p') = (f',<P),
n—>-oo	n—>-oo
так как из ipn ->• ip следует, что и ip'n ->• ip'.
Итак, /; есть линейный и непрерывный функционал, т. е. /; G 9). •

656	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Производные высших порядков определяются для обобщенных
функций по индукции:
/(fe) = (/(*-1))', А; = 2,3,...
Легко проверить, что для любой функции ip e ^выполнено равенство
Таким образом, обобщенные функции имеют производные всех
порядков.
Пример 3. Найти производную функции Хевисайда
1, х ^ О,
О, х < 0.
Л Функция Хевисайда локально интегрируема и поэтому порождает
обобщенную функцию, действующую на основные функции по пра-
правилу
/г
в(х) ср(х) dx — \ ср(х) dx.
— оо	О
Докажем, что в' = S. Для любой функции ip e S имеем равенство
+ ОО
(Q'? (^) = — @, if') = — / ср1\х) dx = ip@) = (Й, ^).
о
Следовательно, О' = S. А
Пример 4. Пусть т/>(ж) — бесконечно дифференцируемая функ-
функция, а / — обобщенная функция. Доказать формулу
(ф/I = ф1 f + ?/>/'.	B0)
Л Воспользовавшись определением обобщенной функции ф/ и
определением производной обобщенной функции, получаем, что для
любой функции (р G S справедливо равенство
из которого следует формула B0). А
Упражнение 3. Найти производные следующих обобщенных функ-
функций: a) sign ж; б) |ж|; в) exsignx.
Указание. Воспользоваться равенствами
sign ж = 29(х) — 1, |ж| = ж sign ж
и формулой B0).
Упражнение 4. Показать, что хд' = —S.

§ 77. Асимптотические оценки интегралов	657
7. Операция сдвига аргумента для обобщенных функций.
Пусть /(ж) есть локально интегрируемая на R функция. Для нее опре-
определена операция сдвига аргумента Th, а именно Thf(x) = f(x-h).
Если ip G @, то
+ ОО	+ОО
(Thf, tp)= I f(x - h) ф) dx= I f(x) ф + h)dx= (/, T_W). B1)
Хотя значение обобщенной функции в точке не определено, но для
нее можно формально ввести операцию сдвига аргумента по аналогии
с формулой B1):
(Thf,<p) = (f,T-h<p), <ре@.	B2)
Упражнение 5. Показать, что при любом h E R формула B2) опре-
определяет Thf как линейный и непрерывный функционал в пространстве ^,
т. е. Thf е 31.
Если 6(х) есть й-функция, то T^S обычно обозначают через 8{х —
- К). Тогда для любой функции ip e &
F(х - Л), ф)) = (ё(х), ф + Л)) = ф).
Упражнение 6. Пусть функция /(ж) имеет в R конечное число то-
точек разрыва первого рода xi,...,xn, на каждом из интервалов (—oo,xi),
(xi,Xi+i), i = 1,7V— 1, (ждг,+оо) функция f(x) имеет непрерывную произ-
производную, а функции f(x) и f'(x) являются локально интегрируемыми. Тогда
/(ж) и f'(x) порождают регулярные функционалы / и х- Показать, что для
производной f в смысле обобщенных функций справедлива формула
N
f =Х + УШХг + 0) - f(Xi ~ О)N(Х ~ Xi).
§ 77. Асимптотические оценки интегралов
1. Интегралы Лапласа. Это интегралы вида
A)
Будет изучено поведение интегралов при Л —> +оо.
Теорема 1. Пусть f(x) и S(x) — дважды непрерывно диффе-
дифференцируемые функции на конечном отрезке [а, 6], и пусть на отрезке
[а, Ь] функция S(x) имеет единственный минимум в точке х0 е (а, Ь),
причем S"(xo) > 0, S'(x) > 0 при х < х0 и S'(x) < 0 при х > ж0, а
/(so) Ф 0.

658	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
Тогда при А —у +оо справедлива асимптотическая формула
О Разобьем доказательство на ряд пунктов.
1. Покажем, что при а > О
а
e~Xx2 dx~^^ при А -> +оо.	C)
о
Действительно, делая в интеграле C) замену переменной ж л/А = t и
используя интеграл вероятностей / е~* (it = ^—, получаем, что
о
—= при Л -
2. Пусть функция /(ж) непрерывно дифференцируема на конечном
отрезке [0, а] и /@) ф 0. Тогда при А —у +оо имеем
\J\	D)
О
Применяя теорему о среднем Лагранжа, имеем
, где С= sup |/;(я;)|, 0 < в < 1.
Поэтому,
а
\ff(x)e-
1 J
0
используя C),
"Аж2 dx - /@) |
получаем
а
л 1^-\ < Г ( f(r) — f@)) p~Xx<2 dr
V А / vu//
0
3. Переходим к доказательству теоремы. Без ограничения общнос-
общности можем считать, что жо = 0. Пусть сначала 5@) = 0.
Рассмотрим интеграл
ъ
1 = Jf(x)e-xs^dx	E)

§ 77. Асимптотические оценки интегралов
659
и сделаем замену переменной у = y/S(x). В силу монотонности
функции у обратная функция х = ц>(у) при х Е [О, Ь] существует,
() = 0 и
X	л.	1
¦== = lim
( .
Применяя формулу D) и используя равенство F), получаем
Ч>{Ъ)
=
5"@) 2 V Л5"(
Аналогично получаем, что
о
Если 5(жо) ф 0, то представляем интеграл E) в виде
Jf{x) e-
dx =
Разбивая отрезок интегрирования [a, b] на отрезки [a, 0] и [0, b] и при-
применяя к каждому из полученных отрезков формулы G) и (8), полу-
получаем B). •
Пример 1. Докажем формулу Стирлинга
= I txe~ldt - хх е~х
при х ->> +оо.
Л Делаем в формуле (9) замену переменной t = хи:
+ ОО
[
Т(х
= хх+1
+
[ ux e~u
+ОО
x du = x
= xx+1
xSM du,
(9)
A0)
S(u) =u-]nu, S'(u) = ^-^, S"(u) = -1.
Функция S(u) имеет единственный минимум в точке и = 1. Кроме
того, S"(l) = 1; |S"(iO| ^ « ПРИ и $¦ о'^ • Применяя формулу B),

660	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
получаем
' — е при х —у +00,
1/2
+ ОО	+ОО
[ e~xS^ du < 2 f S'(u) e~xS^ du = - e~xS^ < - e~xS^ = - e~x.
J	J	x	x	x
2	2
(H)
Аналогично / e~x ^ du < — e~x.
J	x
о
Подставляя выражения A1) в формулу A0), получаем формулу
Стирлинга (9).
Так как Г(п + 1) = п!, то из (9) имеем
п\ ~ л/27гпппе~п при п -у оо. А	A2)
2. Метод стационарной фазы. Для вычисления интегралов
ъ
при больших значениях параметра Л Стоксом был предложен метод
стационарной фазы.
Теорема 2. Пусть функции f(x) и S{x) дважды непрерывно диф-
дифференцируемы на конечном отрезке [а, 6], и пусть на (а, Ь) функция
S(x) имеет единственный экстремум в точке хо G (а, Ь), причем
S"(x0) ф О, /Ы ф 0.
при Л —>¦ оо справедлива асимптотическая формула
/ 9тт	i[AS'(cco)H—sign S"(хо
О Техника доказательства теоремы 2 во многом повторяет техни-
технику доказательства теоремы 1. Опять разобьем доказательство на
пункты.
1. Если Л —> оо, то (см. § 72, пример 10)
а	ал/\	+оо
-71/•""* ~ 7! I'""*-
О	О
+оо	+оо
//

Упражнения к гл. XV	661
2. Пусть функция /(ж) непрерывно дифференцируема на конечном
отрезке [0, а] и /@) ф 0; тогда при Л —У оо имеем
j
о
Действительно, /(ж) — /@) = хср(х), где ср(х) — непрерывная
функция. Поэтому
(я) - /@)) ^ dx = jx <p(x) eix^ dx = ± jф) d(eix^) =
о
а
Дальнейшее доказательство теоремы 2 в точности повторяет соответ-
соответствующее доказательство теоремы 1, и мы его опускаем. •
Пример 2. Найдем асимптотику функции Бесселя
2тг
= ±- feixs{nudu.
2тг J
О
Л Пусть S(u) = sin ix. Тогда 5'(u) = cos и, S"(u) = —sin u,
*(§)=*(?)= о, S(f) = l. 5(f) = -!,
Разбивая интервал интегрирования на [0, тг] и [тг, 2тг] и используя на
каждом из интервалов формулу A3), получаем при х ->• +оо
А^"	/	7Г\ , / 1 \
= \ —coslx- -) +о[—=).
cos xt
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XV
1.	Выразить интеграл
г cos
/
через функцию Бесселя Jo (ж).
2.	Показать, что под знаком ингеграла
Ые-(*/уJах
{ У
нельзя совершить предельный переход при у —»¦ 0.

662	Гл. XV. Интегралы, зависящие от параметра
3.	Вычислить интеграл
/гпЬ _ Та
	— dx, а > О, Ь > О.
In ж
о
4.	Исследовать на равномерную сходимость интеграл
+ ОО
г ах
/ 	, а > 1.
J 1 + ха
о
о
5. Исследовать на равномерную сходимость интеграл
+ ОО
для у G [с, с/] и для у G (—оо, +оо).
6. Исследовать на равномерную сходимость интеграл
1 . 1
/ хр sin — dx, p > е — 2, е > 0.
У	х
+ оо
/0*0
7. Пусть функция /(ж) непрерывна и интеграл / —— dx сходится.
Доказать формулу Фруллани	i
(ax) f(bx) ^ =	ь b a>()
x	a
о
+ ОО
cos ax — cos ox
8.	Вычислить интеграл
/
о
9.	Вычислить интеграл
+ ОО
/2
е~ах cosbxdx, а > 0.
— оо
10.	Пусть 0 < р < 1. Используя интеграл Эйлера
г-
вычислить интеграл
J 1 + х
.	7Г
dx =
J l + x
11. Представить интегралом Фурье функцию
_ J sign ж, если
0, если
ж| ^ а, а > 0,
ж| > а.
12. Представить интегралом Фурье функцию
{cos ж при |ж| ^ —,
0	при |ж| ^ |.

Упражнения к гл. XV	663
13.	Решить интегральное уравнение
J f(t)e-]x-tldt = xe-lxl.
— оо
14.	Показать, что обобщенную функцию — можно определить как функ-
X
ционал, действующий на любую функцию (р ? 3> по правилу
-, ip = у.р. / -]-^ dx = hm / ^-^ dx,
\Х J	J X	г—У+0 J X
где через v.p. обозначен интеграл в смысле главного значения.
15.	Пусть (у1', у) = 0 для любой функции ср G ^. Показать, что г/ = const.
Указание. Воспользоваться тем, что функция 9? из пространства @
есть производная некоторой функции ф G ^ в том и только том случае,
когда	+оо
/ ^(ж)с?ж = 0.
— оо
16.	Найти при х —>- +оо асимптотическую формулу для интеграла
J t
о
17.	Пусть функция /(ж, г/) непрерывна при a^x^b, c^y^d, a
функция <р(ж) интегрируема на [а, Ь]. Показать, что интеграл
ъ
Jcp(x)f(x,y)dx
а
непрерывен по параметру у на отрезке [с, d] и
d Ъ	Ъ	d
Jdy Jf(x, у) tp(x) dx = J dxjf(x, y) tp(x) dy.
с	а	ас
18.	Пусть функция /(ж, г/) непрерывна и ограничена в прямоугольнике
а ^ х < Ь, с ^ у ^ d, функция ip(x) интегрируема по Риману на любом
ъ
отрезке [а,?] С [а, 6), а несобственный интеграл / |<?>(ж)| dx сходится. Пока-
а
зать, что:	ъ
а)	интеграл I f(x,y) (p(x) dx сходится равномерно по параметру у на
а
отрезке [с, d] и непрерывен по параметру на этом отрезке;
б)	справедлива формула перестановки порядка интегрирования
d Ъ	Ъ d
j dyjf(x, у) (р(х) dx = Jdxjf(x, у) ip(x) dy.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Никольский СМ. Курс математического анализа. Т. I, П. — М.: Наука,
1983.
2.	Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. I, П. — М.: Высшая
школа, 1981.
3.	Фихтенголъц P.M. Курс дифференциального и интегрального исчисле-
исчисления. Т. I, II, III. — М.: Наука, 1969.
4.	Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. —
М.: Наука, 1979.
5.	Зорин В.А. Математический анализ. Ч. I, П. — М.: Наука, 1981, 1984.
6.	Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций
комплексного переменного. — М.: Наука, 1982.
7.	Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
—	М.: Наука, 1980.
8.	Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. — М.: На-
Наука, 1983.
9.	Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное ис-
исчисление — М.: Мир, 1971.
10.	Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа. —
М.: Наука, 1988.
11.	Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д, Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник за-
задач по математическому анализу (предел, непрерывность, дифферен-
цируемость). — М.: Наука, 1984.
12.	Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д, Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник за-
задач по математическому анализу (интегралы, ряды). — М.: Наука, 1986.
13.	Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:
Наука, 1985.
14.	Рудин У. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1966.
15.	Колмогоров А.И., Фомин СВ. Элементы теории функций и функцио-
функционального анализа. — М.: Наука, 1972.
16.	Треногий В.А. функциональный анализ. — М.: Наука, 1980.
17.	Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. — М.: ГИТТЛ,
1956.
18.	Курош А.Р. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1975.
19.	Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука,
1988.
20.	Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д, Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник за-
задач по математическому анализу (функции нескольких переменных).
—	М.: Наука, 1995.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля подстановка 311
—	преобразование 401
—	признак сходимости 402
—	теорема о сходимости степен-
степенного ряда 425
Абсолютно интегрируемая функ-
функция 375
—	сходящийся несобственный ин-
интеграл 375
	ряд 395
Алгебры основная теорема 297
Аргумент комплексного числа 289
Арифметическая прогрессия 35
Арифметический корень 25
Арккосинус 100
Арксинус 99
Арктангенс 100
Асимптота 188
Асимптотические оценки интегра-
интегралов 657
—	равенства 116
Банахово пространство 605
Бернулли лемниската 349
—	неравенство 27
Бесселя неравенство 610
—	функция 618
Бета-функция 636
Бином дифференциальный 311
—	Ньютона 30
Бинормаль 217
Больцано-Вейерштрасса теорема 56
Вейерштрасса признак равномер-
равномерной сходимости интеграла 620
	ряда 417
—	теоремы о непрерывных функ-
функциях 91
Вектор-функция 194
Верхняя грань множества 15
Вещественное число 9
Вихрь 540
Выпуклая функция 185
Выпуклое множество 231
Гамильтона оператор 254
Гамма-функция 634
Гейне-Бореля лемма 230
—	определение предела 75
Гёльдера условие 582
Геометрическая прогрессия 36
Гиперболические функции 108
Главная нормаль 211
Гладкая кривая 204
Градиент функции 254
Граница множества 230
Граничная точка 230
График функции 63
Грина формула 501
Д'Аламбера признак сходимости
ряда 392
Дарбу сумма 320
Декартов лист 505
Десятичная дробь 8
Десятичное приближение 10
Дивергенция 539
Дирака дельта-функция 652
Дирихле признак 377, 400, 419
—	формула 579
—	ядро 580
Дифференциал функции 131, 149,
198, 250, 257
Дифференцирование 125
Длина кривой 205
Допустимое преобразование пара-
параметра кривой 202, 204
Дробь рациональная 298
Дуга кривой 202
Евклидово пространство 225
Жорданова мера 449

666
Предметный указатель
Замена переменных 269
	в интеграле 470
Замкнутая кривая 203
Замкнутое множество 228
Замыкание множества 228
Знак общности 7
Знак равносильности 7
—	существования 7
Знакочередующийся ряд 399
Инвариантность вихря 549
—	дивергенции 545
—	формы первого дифференциала
138, 250
Интеграл абсолютно сходящийся
375
—	двойной 454
—	Дирихле 627
—	кратый 453
—	криволинейный 493, 496
—	Лапласа 628, 657
—	неопределенный 276
—	несобственный 358, 361, 363
—	определенный 318
—	поверхностный 527, 529
—	повторный 460
—	с переменным верхним преде-
пределом 334
—	тройной 454
—	условно сходящийся 375
—	Фурье 639
—	Эйлера 632
Интегральная сумма 318
—	теорема о среднем 332
Интегральный косинус 315
—	логарифм 315
—	синус 315
Интегрирование иррациональных
функций 308
—	по частям 282, 341, 365
—	подстановкой 281
—	рациональных функций 302
—	тригонометрических функций
312
Итегрируемая функция по Рима-
ну 318
Интервал сходимости степенного
ряда 430
Иррациональное число 10
Кантора теорема о вложенных от-
отрезках 54
Кантора теорема о равномерной
непрерывности 240
Касательная к графику функции
124, 127
—	к кривой 203
—	плоскость 252
Квадрируемая фигура 344
Клейна бутылка 518
Клетка 446
Клеточная фигура 343
Клеточное множество 446
Компакт 229
Комплекснозначные функции 293
Комплексные числа 285
Композиция функций 62
Контур 203
Координаты криволинейные 484
—	полярные 382, 475
—	сферические 482
—	цилиндрические 481
Корень многочлена 295
Коши-Адамара формула 428
—	критерий 58, 85, 373, 386, 412,
623
—	неравенство 223
—	признак сходимости 393
—	теорема о промежуточных зна-
значениях 94
—	формула конечных прираще-
приращений 153
Кривая гладкая 204
—	кусочно гладкая 204
—	ориентированная 493
—	параметризуемая 202
—	плоская 201
—	простая 201
—	спрямляемая 205
Кривизна кривой 211
Кривизны радиус 213
—	центр 215
Круг сходимости 425
Кубируемое тело 349
Лагранжа множители 563
—	теорема о среднем 153
—	форма остаточного члена 158,
436, 594
—	формула конечных прираще-
приращений 153, 251
Лежандра многочлены 573
Лейбница теорема 399
—	формула 147

Предметный указатель
667
Логарифм натуральный 108
Логарифмическая производная
140
Лопиталя правило 172
Маклорена ряд 438
—	формула 162
Максимум и минимум функции
67, 150, 557
Метрика 222
Метрическое пространство 222
Минковского неравенство 224
Мнимая единица 285
Мнимая часть комплексная числа
285
Множество выпуклое 231
—	замкнутое 228
—	меры нуль 449
—	несчетное 33
—	открытое 227
—	плотное 606
—	пустое 15
—	связное 231
—	счетное 32
Модуль числа 15, 316
Монотонная последовательность
50
—	функция 68
Муавра формула 291
Натуральное уравнение кри-
кривой 208
Непрерывность функции 86, 237
Несобственный интеграл 358, 361,
363
	абсолютно сходящийся 375
	зависящий от параметра 618
	кратный 487, 488
	условно сходящийся 375
Неявная функция 73, 259
Нижняя грань 15
Норма 603
Нормаль к кривой 210
—	к поверхности 253, 516
Нормальная плоскость 209
Ньютона-Лейбница формула 336
Область 231
—	замкнутая 231
—	объемно односвязная 543
—	односвязная 501
—	определения функции 69
Область поверхностно односвяз-
односвязная 550
—	элементарная 462
Образ множества 61, 267
Обратные функции 70
	гиперболические 108
	тригонометрические 98
Объединение множеств 15
Объем тела 350
Окрестность точки 39, 228
	проколотая 73, 232
Остаток ряда 386
Остаточный член формулы Тей-
Тейлора 160, 761
Остроградского-Гаусса формула
542
—	метод 308
Отображение 61
—	непрерывно дифференцируе-
дифференцируемое 267
—	непрерывное 267
—	регулярное 267
Парсеваля равенство 610
Пеано форма остаточного чле-
члена 161
Первая квадратичная форма по-
поверхности 522
Первообразная 275
Первый дифференциал 149, 250
Перегиба точка 187
Пересечение множеств 15
Периодические десятичные дро-
дроби 8
—	функции 69
Площадь криволинейного секто-
сектора 348
—	криволинейной трапеции 345
—	поверхности 524
	вращения 354
Поверхность кусочно гладкая 518
—	неориентируемая 519
—	ориентируемая 519
—	простая 511
Подпоследовательность 55
Поле векторное 538
—	потенциальное 550
—	соленоидальное 546
Полнота пространства 605
—	системы элементов 610
Пополнение пространства 608
Последовательность бесконечно
большая 46

668
Предметный указатель
Последовательность бесконечно
малая 45
—	монотонная 50
—	ограниченная 40
—	сходящаяся 36
—	числовая 35
Поток 530
Предел бесконечный 46, 79
—	вектор-функции 194
—	верхний 55
—	двойной 232
—	нижний 55
—	односторонний 77
—	по множеству 77, 234
—	по направлению 234
—	повторный 235
—	последовательности 36
—	слева 77
—	справа 78
—	функции 75
—	частичный 55
Предельная точка 77, 228
Признак Абеля 379, 402, 420
—	д'Аламбера 392
—	Дирихле 377, 400, 419
Признак интегральный 388
—	Коши 393
—	Лейбница 393
—	сравнения 390
Производная 124
—	бесконечная 130
—	вектор-функции 197
—	левая 129
—	обобщенной функции 655
—	обратной функции 135
—	по направлению 253
—	правая 129
—	сложной функции 137
—	смешанная 255
—	неявной функции 261
—	частная 242
—	n-го порядка 143
Пространство банахово 605
—	гильбертово 605
—	евклидово 224
—	линейное 601
—	метрическое 222
—	нормированное 603
—	полное 605
—	унитарное 601
—	Rn 223
Раабе признак 394
Равномерная	непрерывность
функции 239
—	сходимость интеграла 619
—	— последовательности функ-
функции 409
	функционального ряда 414
Разбиение множества 446
Разложение на элементарные дро-
дроби 301
Римана интеграл 318
—	лемма 576
—	сумма 453
Ролля теорема 151
Ряд абсолютно сходящийся 395
—	гармонический 387
—	знакочередующийся 399
—	Маклорена 438
—	равномерно сходящийся 414
—	расходящийся 383
—	с неотрицательными членами
388
—	степенной 425
—	сходящийся 383
—	Тейлора 434
—	тригонометрический 575
—	условно сходящийся 403
—	функциональный 414
—	Фурье 575
Синус гиперболический 108
Сопровождающий трехгранник
217
Степенной ряд 425
Стокса теорема 548
Сумма вещественных чисел 20
—	Дарбу 320, 453
—	ряда 383
—	частичная 383
Сходимость в смысле среднего
квадратичного 612, 605
—	равномерная интеграла 619
	ряда 414
—	слабая 653
Тейлора многочлен 158
—	ряд 434
—	формула 161, 158
Точка внутренняя множества 227
—	предельная 228
—	разрыва функции 88
—	самопересечения кривой 203
—	стационарная 179, 558

Предметный указатель
669
Точная верхняя грань 16
—	нижняя грань 16
Фейера сумма 590
—	теорема 596
Ферма теорема 151
Френе трехгранник 217
—	формулы 217
Френеля интегралы 633
Фундаментальная последователь-
последовательность 57
Функциональная последователь-
последовательность 408
Функция 61
—	абсолютно интегрируемая 375
—	бесконечно большая 79
—	бесконечно малая 83
—	возрастающая 68
—	выпуклая 185
—	гиперболическая 108
—	дифференцируемая 131
—	интегрируемая 318, 454
—	комплекснозначная 293
—	кусочно гладкая 584
—	кусочно непрерывная 589
—	логарифмическая 107
—	нечетная 66
—	неявная 73, 259
—	обобщенная 653
—	обратная 69
—	ограниченная 60
Функция периодическая 69
—	показательная 102
—	рациональная 62
—	регулярная 430
—	сложная 62
—	степенная 101
—	строго монотонная 68
—	тригонометрическая 97
—	четная 66
—	элементарная 62
Фурье интеграл 639
—	преобразование 645
—	ряд 574
Цилиндр 459
Цилиндрическое тело 350
Циркуляция 549
Эвольвента 215
Эволюта 215
Эйлера интегралы 634
—	подстановки 280, 309
—	формула 290
Эквивалентные функции 116
Экстремум локальный 150, 557
—	строгий 179, 557
—	условный 562
Элемент последовательности 37
Якобиан отображения 268

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию		3
ГЛАВА I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА		5
§ 1. Рациональные числа. Бесконечные десятичные дроби		5
§ 2. Точные грани числовых множеств		15
§ 3. Операции над вещественными числами		20
ГЛАВА П. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 		35
§ 4. Определение предела последовательности. Свойства сходящих-
сходящихся последовательностей 		35
§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Арифметические операции над сходящимися последователь-
последовательностями 		45
§ 6. Предел монотонной последовательности		50
§ 7. Подпоследовательности. Частичные пределы		55
§ 8. Критерий Коши сходимости последовательности		57
ГЛАВА III. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 		61
§ 9. Числовые функции 		61
§ 10. Предел функции		73
§ 11. Непрерывность функции 		86
§ 12. Непрерывность элементарных функций		96
§ 13. Вычисление пределов функций		110
ГЛАВА IV. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 		123
§ 14. Производная и дифференциал		123
§ 15. Правила дифференцирования 		133
§ 16. Производные и дифференциалы высших порядков		143
§ 17. Основные теоремы для дифференцируемых функций		150
§ 18. Формула Тейлора 		158
§ 19. Правило Лопиталя		172
§ 20. Исследование функций с помощью производных 		176
§ 21. Вектор-функции		194
§ 22. Кривые		200

Оглавление	671
ГЛАВА V. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ		222
§ 23. Пространство Rn		222
§ 24. Предел функции многих переменных		232
§ 25. Непрерывность функции многих переменных		237
§ 26. Дифференцируемость функции многих переменных		241
§ 27. Частные производные и дифференциалы высших порядков .	254
§ 28. Неявные функции		259
§ 29. Замена переменных		269
ГЛАВА VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 		275
§ 30. Определение и свойства неопределенного интеграла. Основ-
Основные методы интегрирования		275
§ 31. Комплексные числа		284
§ 32. Разложение рациональной функции на простые дроби		295
§ 33. Интегрирование рациональных, иррациональных, тригономет-
тригонометрических и гиперболических функций		302
ГЛАВА VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 		316
§ 34. Определение и условия существования определенного интег-
интеграла 		316
§ 35. Свойства определенного интеграла		326
§ 36. Интеграл с переменным верхним пределом. Вычисление опре-
определенных интегралов		334
§ 37. Приложения определенного интеграла		343
§ 38. Несобственные интегралы 		358
ГЛАВА VIII. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 		383
§ 39. Определение и свойства сходящихся рядов		383
§ 40. Ряды с неотрицательными членами		388
§ 41. Абсолютно и условно сходящиеся ряды		395
ГЛАВА IX. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 		408
§ 42. Равномерная сходимость функциональных последовательнос-
последовательностей и рядов 		408
§ 43. Степенные ряды		425
§ 44. Ряд Тейлора		434
ГЛАВА X. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ		446
§ 45. Мера Жордана в Rn		446
§ 46. Определение и свойства кратного интеграла Римана		452
§ 47. Сведение кратных интегралов к повторным 		460
§ 48. Формула замены переменных в кратном интеграле 		470
§ 49. Несобственные кратные интегралы		486

672	Оглавление
ГЛАВА XI. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГ-
ИНТЕГРАЛЫ 		491
§ 50. Криволинейные интегралы		491
§ 51. Формула Грина на плоскости		500
§ 52. Поверхности		510
§ 53. Площадь поверхности		522
§ 54. Поверхностные интегралы 		527
ГЛАВА XII. ТЕОРИЯ ПОЛЯ		536
§ 55. Скалярные и векторные поля 		536
§ 56. Формула Остроградского-Гаусса		542
§ 57. Формула Стокса 		547
ГЛАВА XIII. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕН-
ПЕРЕМЕННЫХ 		554
§ 58. Формула Тейлора для функций многих переменных		554
§ 59. Экстремумы функций многих переменных		557
§ 60. Условный экстремум		562
ГЛАВА XIV. РЯДЫ ФУРЬЕ 		572
§ 61. Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональ-
ортогональным системам		572
§ 62. Лемма Римана 		576
§ 63. Формула для частичных сумм тригонометрического ряда
Фурье		578
§ 64. Сходимость ряда Фурье в точке 		581
§ 65. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда Фурье	589
§ 66. Равномерная сходимость ряда Фурье		592
§ 67. Комплекснозначные функции. Ряд Фурье в комплексной
форме		594
§ 68. Суммирование ряда Фурье методом средних арифмети-
арифметических 		596
§ 69. Теоремы Вейерштрасса о равномерных приближениях непре-
непрерывных функций многочленами 		598
§ 70. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного . .	601
ГЛАВА XV. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ...	616
§ 71. Собственные интегралы, зависящие от параметра 		616
§ 72. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равно-
Равномерная сходимость несобственного интеграла по параметру	618
§ 73. Эйлеровы интегралы		634
§ 74. Интеграл Фурье 		639
§ 75. Преобразование Фурье		645
§ 76. Элементы теории обобщенных функций		649
§ 77. Асимптотические оценки интегралов		657
Список литературы		664
Предметный указатель		665