... каким бы я был теперь
несчастным человеком, если бы
смолоду не приобрел известный
запас знаний и вкус к ним.
Честерфилд. Письма к сыну
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ГРАФОВ
А.А. ЗЫКОВ
А.А. ЗЫКОВ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Москва
«Вузовская книга»
2004
ББК 22.176
3-96
Автор:
Зыков Александр Александрович, доктор физико-математических наук,
профессор-консультант Южного научного центра НАН и МОН Украины
Зыков А.А.
3-96 Основы теории графов / А.А. Зыков. — М.: Вузовская
книга, 2004. — 664 с.: ил.
ISBN 5-9502-0057-8
Систематическое введение в теорию графов, построенное в
соответствии с внутренней логикой ее развития. Основные по-
ложения доказываются и иногда иллюстрируются примерами
прикладного характера. Многие результаты, не являющиеся не-
обходимыми для последовательного развертывания теории, при-
водятся в виде упражнений и дополнений.
Для студентов и аспирантов по специальностям «Математика»
и «Прикладная математика», а также научных работников и инже-
неров.
ББК 22.176
© Зыков А.А., 2001
ISBN 5-9502-0057-8 © ЗАО «Издательское предприятие «Вузовская книга», 2004
ОТ АВТОРА
Хишиневсхий
сепихар
Эта книга соответствует спецкурсу по теории
графов, который я в течение ряда лет читал студен-
там факультета математики и кибернетики Кишинев-
ского государственного университета,
а появлению ее в настоящем виде '	।
способствовали в той или иной мере
все участники научно-исследователь-
по графам, гиперграфам и задачам
по дискретной
ских семинаров
дискретной оптимизации при КГУ и
математике при ЮНЦ Академии наук Украины. Особо
воодушевляли меня встречи на традиционных сентябрь- одесыий
ских циклах совместных расширенных заседаний в
сепинкр
Одессе. Всем участникам я искренне благодарен.
С любезного разрешения коллег я иногда включаю в книгу такие
их результаты, которые больше нигде не опубликованы; поэтому
первооткрыватели могут ссылаться на соответствующие места книги
как на свои оригинальные работа, не причисляя меня к соавторам.
В предыдущем издании книги (М.; Наука, 1987) были удалены без
моего ведома1 ссылки на авторов некоторых теорем и не помещен
указатель-справочник£/е^реферативн«й журнал „Математика11 книгу
не Прореферировал... В английском переводе: Alexander A.Zykov.
Fundamentals of Graph Theory. Moscow, Idaho, USA; BCS Associates,
1990 (проспект: Amer.Math.Monthly, Dec.1991 (cover); обстоятель-
ные рефераты: Math.Review [881Й05001], [91ей05003]) все ССЫЛКИ
были восстановлены и добавлен указатель-справочник (Glossary).
Хочу особенно поблагодарить переводчиков Чарлза Кристенсона и
Брайена Смита, результатами нелегкой работы которых, включая
редактирование и ссылки на Mathematical Review, я воспользовался
при подготовке данного обновленного русского издания.
1
bv the "editor—in-cheat” (из английского перевода).
От всего сердца благодарю Таисию Ефимовну Эыкову, которой
было^посвящено английское издание, - мою верную спутницу и вдол
новительницу, вложившую немалую часть своей души и в работу нал
этой книгой.
Мы глубоко признательны Якову Михайловичу Ерусалимскому и
Израилю Хаимовичу Сигалу за организационную, а Лидии Михайловн!;
Пароконной и Ивану Семеновичу Хомуту - за техническую помощь.
Большая благодарность сотрудникам библиотеки Математическог|
института им. В.А.Стеклова РАН за помощь при подготовке библц
графических материалов.
ВВЕДЕНИЕ
Хоть графы — не князья,
но тоже шишки,
И графом стать нельзя
без этой книжки.
Теория графов — важный раздел современной математики, как с
точки зрения внутренних стимулов ее развития, так и для разнооб-
разных приложений. Практическая роль графов особенно возросла
во второй половине только что прошедшего века в связи с проекти-
рованием различных АСУ и вычислительных устройств дискретно-
го действия. В теоретическом же плане, помимо давнишних связей
с комбинаторной топологией и геометрией, наметились сущест-
венные сдвиги на стыке теории графов с алгеброй, математической
логикой, лингвистикой, теорией игр, общей теорией систем и др.
Во многих университетах и других учебных заведениях читают-
ся лекции по теории графов либо в виде отдельного курса, либо как
часть более общего. Кроме того, графы нередко приходится само-
стоятельно изучать инженерам, химикам, физикам, биологам, эко-
номистам, социологам и др., сталкивающимся с этими «дворянски-
ми титулами» в процессе своей деятельности. Предлагаемая книга
служит для элементарного изучения фактического материала тео-
рии графов, не опирается существенным образом на другие разделы
высшей математики (за исключением линейной алгебры и простей-
ших сведений из топологии в главе 3) и для более глубокого овладе-
ния современной теорией графов может служить лишь необходи-
мым введением.
Что же такое граф! Начнем не с формального определения, а с
поясняющего примера.
На рис. 1 изображен граф, вершинами которого служат нумеро-
ванные кружки, а ребрами — линии (со стрелками или без), соединя-
ющие некоторые из этих кружков. Ребро а — ориентированное (на-
правленное): оно соединяет вершину Ф с вершиной ®, но не соеди-
няет ® с Ф (и вообще не соединяет никакую другую пару вершин);
6
Основы теории графов
Рис. 1
к такому типу ребер, называемых ду-
гами, относятся также e,f, g. Ребро Л —
неориентированное (ненаправленное):
оно одновременно соединяет как вер-
шину Ф с ®, так и ® с Ф; к ребрам
этого типа, называемым звеньями, от-
носятся также i и j. Наконец, каждое
из ребер Ь, с, d, к является петлей —
соединяет вершину с ней же самой;
вводить ориентацию такого ребра мы
не будем.
О ребрах a, b, e,f, g, h говорят еще, что они инцидентны вершине
Ф, а о вершине — что она инцидентна каждому из этих ребер; в от-
ношении дуг можно еще уточнить: дуги а, е и /исходят из вершины
Ф, а дуга g в нее заходит. Вершины ® и ® — изолированные: ни одно
ребро не соединяет такую вершину с другой или другую с ней; вер-
шину ® можно еще назвать голой, желая подчеркнуть, что при ней
нет даже петель.
Рассмотренный граф является конечным: множество {Ф, ®, ®,
©, ®} его вершин и множество {a, b, с, d, e,f, g, h, i,j, к} ребер оба
конечны. Бесконечные графы в книге будут встречаться лишь эпи-
зодически, и сейчас мы ограничимся тремя примерами.
1.	Вершинами графа служат натуральные числа, причем верши-
ны р и q соединены звеном в том и только том случае, если оба чис-
ла простые и |р-</|=2 (других ребер нет). Множество вершин этого
графа бесконечно (именно счетно), а является ли множество ребер
бесконечным или только конечным — неизвестно до сих пор (проб-
лема близнецов в теории чисел).
2.	Вершинами являются числа 1, 2, ..., п, а каждое действитель-
ное число х, удовлетворяющее условию i<x<i+\, служит дугой,
идущей из вершины z в вершину z + 1. Граф содержит конечное мно-
жество вершин, но бесконечное множество (именно континуум)
ребер — дуг.
3.	Вершинами служат все действительные числа, и при фиксиро-
ванном 8 > 0 вершины х и у соединены ребром (петлей или звеном) в
том и только том случае, если |х-у|<5. Каждому значению 8 отве-
чает свой граф, у которого множества вершин и ребер оба бесконеч-
ны (имеют мощность континуума).
Введение
7
Особо важную роль играют так называемые обыкновенные гра-
фы. Граф этого класса характеризуется следующими четырьмя
свойствами:
1)	он конечен;
2)	он является неориентированным, т. е. не содержит дуг;
3)	он не содержит петель;
4)	он не содержит «параллельных» («кратных») ребер, таких
как, например, i и j на рис. 1 — иначе говоря, никакие две его верши-
ны не могут соединяться более чем одним ребром (звеном). Приме-
ры обыкновенных графов приведены на рис. 2; заметим, что у пра-
вого из них, известного как граф	-
Петерсена, те точки пересечения ---------«	./ТХ.
линий (ребер), которые не пред-	/
ставлены кружками, не являются /	\	/
вершинами графа и возникли *	*	\/	\/
лишь из-за «неудачного» изобра-
жения его в виде плоского черте-	Рис. 2
жа. Заметим также, что здесь
фактически приведены не два, а три примера: весь чертеж тоже
можно считать изображением одного графа — несвязного, состоя-
щего из двух компонент1.
Остановимся на некоторых особенностях книги.
В 60-х гг. был задуман объемистый двухтомный труд «Теория
конечных графов»; к концу 1969 г. первый том увидел свет, а вто-
рой пребывал в стадии незаконченной рукописи. Дальнейший ход
событий привел к выводу о нецелесообразности издания второго
тома и переиздания первого в прежнем объеме ввиду их перегру-
женности второстепенным материалом и отягощенности излишним
стремлением к детализации даже в заведомо очевидных случаях.
К числу недостатков этого издания следует отнести и отсутствие
упражнений.	z
Книга 1987 г. включила в переработанном виде важнейший мате-
риал обоих томов и рад дальнейших результатов. Многие доказатель-
ства (в том числе некоторые «классические») удалось значительно
1 «Когда перед вашим взором — волк и овца, то вы видите на самом деле не два объ-
екта, а по крайней мере три: волка, овцу и пару, состоящую из них» (Конфуций). Рус-
ский вариант: «Ты, да я, да мы с тобой».
8
Основы теории графов
упростить. Чтобы краткость и доступность сочетались с полнотой,
для основного текста был отобран необходимый минимум, остальное
же нашло место в упражнениях и дополнениях. Поэтому, помимо
справочных функций, книга может служить учебным пособием по
элементарной теории графов — разумеется, при наличии у читателя
достаточно серьезных намерений. Она может составить основу ряда
кратких, но насыщенных спецкурсов, а также давать богатый матери-
ал для учебно-исследовательской работы студентов. По замыслу она
должна быть пригодна и для самостоятельного изучения предмета.
Все это относится и к английскому переводу 1990 г. и настоящему из-
данию.
Таким образом, упражнениям в книге отводится особая роль:
часть из них используется в дальнейшем, а многие содержат резуль-
таты, не вошедшие в основной текст. Степень сложности задач ни-
как не отмечается (в наиболее трудных случаях даны указания), и
читателю рекомендуется пробовать силы на всех упражнениях в
конце каждого параграфа, тем более что непредвзятое отношение к
результату другого автора нередко приводит к более простому вос-
произведению, а также обобщению этого результата. В то же время
неполный (и даже весьма скромный) успех в упражнениях не служит
препятствием для перехода к следующему параграфу, и лишь при
наличии в дальнейшем ссылки на то или иное упражнение к нему
надо будет вернуться.
Вперемежку с упражнениями даются дополнения к основному
тексту; их формулировка уже не содержит непосредственных «за-
даний», ибо таковые, как правило, оказались бы гораздо сложнее
«упражнений», и целесообразность попыток повторить эти ре-
зультаты без обращения к оригиналу весьма спорна. Однако до-
полнительные сведения могут стимулировать дальнейшие исследо-
вания.
Мы почти не даем описаний алгоритмов, поскольку в этих во-
просах можем ссылаться на книги:
Al. Л.Р. Форд, Д.Р. Фалкерсон. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966.
А2. П.С. Солтан, Д.К. Замбицкий, К.Ф. Присакару. Экстре-
мальные задачи на графах и алгоритмы их решения. Кишинев:
Штиинца, 1973.
АЗ. Р.Дж. Басакер, Т.Д. Саати. Конечные графы и сети. М.:
Мир, 1974.
Введение
9
А4. Т. Ху. Целочисленное программирование и потоки в сетях.
М.: Мир, 1974.
А5. Г.М. Адельсон-Вельский, Е.А. Диниц, А.В. Карзанов. По-
токовые алгоритмы. М.: Наука, 1975.
А6. П. Кристофидес. Теория графов. Алгоритмический подход.
М.: Мир, 1978.
А7. А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман. Построение и анализ
вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979.
А8. Э. Рейнгольд, Ю. Нивергельт, Н. Део. Комбинаторные ал-
горитмы. Теория и практика. М.: Мир, 1980.
А9. М.С. Golumbic. Algorithmic graph theory and perfect graphs.
New York: Academic Press, 1980.
A10. Г.С. Плесневич, М.С. Сапаров. Алгоритмы в теории гра-
фов. Ашхабад: Ылым, 1981.
АП. Э. Майника. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах.
М.: Мир, 1981.
А12. М. Гэри, Д. Джонсон. Вычислительные машины и трудно-
решаемые задачи. М.: Мир, 1982.
А13. Д.К. Замбицкий, Д.Д. Лозовану. Алгоритмы решения оп-
тимизационных задач на сетях. Кишинев: Штиинца, 1983.
А14. М. Свами, К. Тхуласираман. Графы, сети и алгоритмы.
М.: Мир, 1984.
А15. В.А. Успенский, А.Л. Семенов. Теория алгоритмов: основ-
ные понятия и приложения. М.: Наука, 1987.
А16. М.И. Нечепуренко, В.К. Попков, С.М. Майнагашев и др.
Алгоритмы и программы решения задач на графах и сетях. Новоси-
бирск: Наука, 1990.
А17. Д.Д. Лозовану. Экстремально-комбинаторные задачи и ал-
горитмы их решения. Кишинев: Штиинца, 1991.
А18. J. Bang-Jensen, G. Gutin. Digraphs: Theory, Algorithms and
Applications. London; Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hong
Kong; Milan; Singapore; Tokyo: Springer, 2000.
Что же касается модной сейчас теории полиномиальной разре-
шимости и сводимости переборных задач, то, отдавая должное ее до-
стижениям, в том числе выделению и изучению классов NP-полных и
NP-трудных задач (см. [А12] или, менее подробно, книгу минчан,
упоминаемую ниже), мы в то же время не можем считать, что нали-
чие полиномиальной верхней оценки числа шагов алгоритма уже
10
Основы теории графов
делает его практически эффективным, а принципиальная возмож-
ность полиномиального сведения позволяет фактически заменить
решение одной переборной задачи решением другой или хотя бы
проясняет теоретическую взаимосвязь обеих задач1; поэтому в книге
приводятся лишь отдельные конструкции, дающие непосредствен-
ное сведение и открывающие дальнейшие возможности теоретиче-
ских исследований (наиболее яркий пример — конструкция Визинга
в § 1.5).
Еще одна особенность книги. Мы принципиально не согласны с
распространенной точкой зрения, будто всякое оперирование с тем
или иным математическим понятием допустимо лишь после полного
формального его определения (или строгого аксиоматического введе-
ния); такой взгляд вынуждает многих авторов нагнетать в начале кни-
ги массу определений, угнетая тем самым читателя. Фактически же
чисто описательного ознакомления с новым понятием и объяснения
его на примере (а иногда и одного лишь образного наименования) в
очень многих случаях достаточно для того, чтобы четко идентифици-
ровать это понятие в сознании и решать относящиеся к нему неслож-
ные задачи2 * *. Поэтому мы иногда оперируем с новым понятием, откла-
дывая его формальное определение до того момента, когда оно станет
_	_	действительно необходимым. Так, при рас-
2^? Ц/	смотрении примера графов рис. 2 употреблены
\£hr-—тг—термины «несвязный граф» и «компонента»,
/ \ /V__ определяемые лишь впоследствии, однако чи-
(®	\Ла2) татель, не зараженный микробом формализма,
сможет уже сейчас правильно ответить на во-
(7)-(4) ПрОс; является ли граф рис. 3 связным, и если
Оу	нет, то из каких компонент он состоит? В то же
рис	время мы решительно отвергаем другую край-
ность, типичную для «чересчур практически»
1 Если решение некоторой задачи для л-вершинного графа при одном алгоритме за-
нимает время (число шагов) порядка лс, а при другом — порядка л+ п\1С, где С — по-
стоянное число, то согласно «полиномиальной идеологии» первый алгоритм практи-
чески эффективен, а второй — нет, хотя, например, при С = 1О<1°10) дело обстоит как
раз наоборот.
2 Всем ясно, почему маленькой девочке трудно самой надеть платье, застегиваю-
щееся на спине, но вряд ли взрослые объяснят это так гениально просто, как сама де-
вочка: «Пуговки все сзади, а я вся спереди».
Введение
И
настроенных деятелей: будто строгих определений графа, связности и
прочих основных понятий можно вообще не давать.
Отдельно списка литературы ко всей книге нет, ссылки (в подав-
ляющем большинстве одноразовые) даются непосредственно в тек-
сте на первоисточник и реферативный журнал «Математика»
(РЖМат), а также иногда на Mathematical Review (MR) или (редко)
на Zentralblatt filr Mathematik (Zbl) (если реферат в РЖМат отсутст-
вует или есть какие-то сомнения). Обычно ссылка имеет такой вид:
Н.С. Carstens, A. Cruse // JCTh, В22 (1977), № 3,286-288 [78,1В507] -
т.е. название статьи не приводится; расшифровку сокращений типа
JCTh см. ниже. Для работ депонированных или напечатанных в ма-
лодоступных изданиях ссылка дается только на РЖМат и MR (по
возможности на оба), например: П.Б. Кикуст [73,2В320Деп], S. Haki-
mi [64, 5В276; 26#5558]. Русская транскрипция иностранных фами-
лий фигурирует главным образом в «классических» случаях: теорема
Менгера, граф Турана, дихромат Татта и т.п. Вот выходные данные
наиболее часто упоминаемых книг по теории графов:
«Книга Кёнига» — D. Konig. Theorie der endlichen und unendli-
chen Graphen. Leipzig: Akad. Verlag M.B.H., 1936; New York: Chel-
sea, 1950; Leipzig: BSB Teubner, 1986.
«Первая книга Бержа» — К. Берж. Теория графов и ее примене-
ния. М.: ИЛ, 1962 (перевод с фр.: С. Berge. Theorie des graphes et ses
applications. Paris: Dunod, 1958).
«Книга Ope» — O. Ope. Теория графов. M.: Наука, 1968, 1980
(перевод с англ.: О. Ore. Theory of graphs. Amer. Math. Soc. Colloq.
Publ., Volume XXXVIII, 1962).
«Книга Зыкова» — А.А. Зыков. Теория конечных графов. I. Но-
восибирск: Наука, 1969.
«Книга Харари» — Ф. Харари. Теория графов. М.: Мир, 1973
(перевод с англ.: F. Harary. Graph Theory. Addison-Wesley Publ. Co.,
1969).
«Книга Закса» — H. Sachs. Einfiirung in die Theorie der endlichen
Graphen. Leipzig: BSB Teubner, 1970 (Teil I), 1972 (Teil II)
[73, 8B331K, 332К].
«Вторая книга Бержа» — C. Berge. Graphes et Hypergraphes. Paris:
Dunod, 1970. Graphs and Hypergraphs. North-Holland Publ. Co., 1973.
12
Основы теории графов
«Книга Рингеля» — Г. Рингель. Теорема о раскраске карт. М.:
Мир, 1988 (перевод с англ.: G. Ringel. Map Color Theorem. Berlin;
Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1974).
«Книга минчан» — B.A. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сарва-
нов, Р.И. Тышкевич. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.
Названия некоторых часто цитируемых журналов и сборников
следующим образом сокращены:
ГГиДОЗ — сборник «Графы, гиперграфы и дискретные оптими-
зационные задачи» (Матем. исследования, вып. 66. Кишинев: Шти-
инца, 1982);
МИ — Математические исследования (Кишинев: Штиинца);
ПМП — сборник «Прикладная математика и программирова-
ние». Кишинев: Штиинца;
ТГр — сборник «Математические вопросы кибернетики и вычис-
лительной техники. Теория графов». Ереван, 1979;
УМН — Успехи математических наук;
AMSUH — Abhandlungen Math. Seminar Univ. Hamburg;
BGrth — Beitrage zur Graphentheorie. Leipzig, 1968;
DM — Discrete Mathematics (не путать c Discr. Appl. Math.);
JCISS — J. Combinatorics, Inform, and System. Sci.;
JCTh — J. Combinatorial Theory;
JGrTh — J. Graph Theory;
MT — Magyar Tudomanyous Akademia Matematikai Kutato
Intezetenek Kozlemenyei;
PAMS — Proc. Amer. Math. Soc.;
PK=IM — Proc. Koninkl. nederl. Acad. wet. = Indagations math.;
TAMS — Transactions Amer. Math. Soc.;
WZ — Wissenschaftliche Zeitschrift Martin-Luther-Univ. Halle —
Wittenberg, Math.—Nat. Reiche.
Нумерация параграфов книги двойная: § 2.3. означает третий
параграф второй главы. Теоремы (включая леммы) имеют тройной
номер: «Теорема 3.8.3» означает третью теорему § 3.8, а следующая
за ней лемма имеет номер 3.8.4. По тому же принципу (который не
соблюден лишь во введении, заключении, добавлениях и указателе-
справочнике) нумеруются и рисунки. Однако следствия в нумера-
цию теорем не включены, и ссылки на них выглядят так: «следст-
вие 2 теоремы 4.5.10».
Введение
13
Переходя к списку употребляемых понятий и обозначений об-
щего характера, заметим, что все они трактуются здесь чисто содер-
жательно, безотносительно к выбору систем аксиом,
хе А
хе А
АсВ
АсВ
2а
0
1Л
лив
ил
—	«элемент х принадлежит множеству Л»;
—	«элемент х не принадлежит множеству А»;
—	«А является подмножеством множества В»;
—	«А с В и Л*В» (строгое подмножество);
—	множество всех подмножеств (булеан) множества А;
—	пустое множество;
—	количество элементов (мощность) множества А;
—	объединение множеств А и В;
п
и Л
АГ\В
Пл,
объединение множеств системы {Л( } (7 — индекс-
ное множество, в частности 7={1, 2, ... л});
— пересечение множеств Л и В;
п
Пл,-
А\В
А, -пА
А&В
AvB
А=>В
АоВ
пересечение множеств системы {Л,} (7 — индекс-
ное множество, в частности 7={1, 2, ... л});
—	разность множеств Л и В (не обязательно В с Л);
—	«не А», логическое отрицание высказывания А;
—	«А и В», конъюнкция высказываний А, В;
—	«А или В», дизъюнкция высказываний А, В (нераздели-
тельная, т. е. допускающая их одновременную истин-
ность);
—	«если А, то В», логическая импликация;
—	«А равнозначно В», логическая эквивалентность;
Vxe/7A(x)
Эхе НА (х)
ЛГсЯА(А')
ЭХ с НА (X )
—	«для любого элемента х множества Н истинно вы-
сказывание А (х) об этом элементе»; равносильная
запись: Vx{xeH=> А(х)};
—	«в множестве Н есть хотя бы один такой элемент
х, о котором истинно высказывание А(х)» (или:
Зх{хеЯ&А(х)});
—	«о каждом подмножестве X множества Н истинно
высказывание А (Л)» (или: УХ{X сН=> А (Л)});
—	«по крайней мере об одном из подмножеств X с Н
истинно А (Л)» (или: ЗХ{ХеЯ&А(Х)});
Q(x) — «элемент х обладает свойством Q», одноместный предикат;
14
Основы теории графов
R (х, у) — «элемент х находится в отношении R к элементу у», дву-
местный предикат, бинарное отношение;
Р (х, у, z) — «упорядоченная тройка элементов х, у, z находится в
отношении Р», трехместный предикат, тернарное от-
ношение;
{х/ А (х)}- множество всех тех элементов х, для которых истинно
высказывание А(х);
=	— «равно по определению» (например, х2=хх);
{хе Н / А(х)}={х/хе Н &А(х)};
<=>	— «равнозначно по определению»;
ху — упорядоченная пара элементов х, у;
ху	— неупорядоченная пара элементов;
АхВ={ху/хеА&уеВ} —декартово произведение множества А
t	на множество В;
А2=А2=АкА — множество упорядоченных пар элементов А;
Л^={ху/х, уеА&х*у} — множество упорядоченных пар различ-
ных элементов А;
Л2 ={ху/х, уеА} — множество неупорядоченных пар элементов А;
ЛР1={ху/х, уеА&х*у} — множество неупорядоченных пар раз-
личных элементов А;
(R, Q, Z, N — множества всех действительных, рациональных, це-
лых, натуральных чисел;
xsy (mod р) — равенство чисел х, у е Z с точностью до слагаемого,
кратного реМ (сравнимость по модулю р);
[_xj — наибольшее целое число, не превосходящее хе К;
Гх1 - наименьшее целое число, не меньшее хе К;
г=(Г1, г2, ..., г„) — л-мерный вектор, упорядоченная система л чисел;
равенство г = г', где г' = (г{, г{, r'ni), означает, что л=л' и г,-=г-
при всех 1 = 1, 2, ..., л; вектор, размерность которого л не предпола-
гается заранее известной, называют еще кортежем',
llayllm — матрица с л строками и т столбцами;
Отдельные отступления от этих обозначений (как и от других
принятых выше соглашений) всегда оговариваются. Остальные обо-
значения вводятся в ходе изложения, с использованием в случае на-
добности знаков = и Определяемые словесные термины напеча-
таны курсивом.
ГЛАВА 1
ИДЕНТИФИКАЦИЯ
§1.1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ГРАФЫ
Для обыкновенного графа и связанных с ним понятий нам сразу
же понадобятся точные определения; что же касается графов обще-
го вида, которые будут иногда встречаться в примерах, то здесь для
понимания сути дела пока вполне достаточно описания, данного во
введении. Заметим предварительно, что граф мы рассматриваем
как чисто комбинаторный объект, а не как, скажем, электрическую
схему или даже геометрическую фигуру — последняя используется
только для его наглядного изображения. Процесс математической
абстракции безжалостно отбрасывает такие свойства «конкретных
графов», как природа вершин, материал, из которого изготовлены
ребра, длины ребер, расположение вершин и ребер на чертеже и
т. д. Разумеется, сами «конкретные графы» (транспортная сеть,
электрическая цепь, структурная формула химического соединения
и т. п.) тоже допускают строго математическое изучение, но в на-
шем смысле они являются уже не графами, а функциями, опреде-
ленными на вершинах и ребрах графа; чтобы успешно работать с
такими функциями, надо прежде всего знать сами графы.
В случае обыкновенного графа нет надобности причислять к его
элементам ребра, ибо их роль здесь сводится лишь к информации о
том, какие пары различных вершин соединены, а какие нет; поэто-
му для задания такого графа на данном множестве вершин X доста-
точно указать разбиение множества пар Х&1 на два класса: «ребер»
и «не ребер» («отсутствующих ребер»).
Обыкновенным графом G = (X, U) называется упорядоченная па-
ра множеств: конечного непустого X, элементы которого называют-
ся вершинами графа G, и подмножества U с X Р), элементы которого
называются ребрами этого графа. Вершины х, у е X смежны, если
ху е U, и несмежны, если ху g U. Ребро ху соединяет вершины х и у
(или, что то же, у и х), а также инцидентно каждой из них (и наобо-
рот, они обе инцидентны этому ребру); ребро можно обозначать и
16
Основы теории графов
одной буквой (м, v, w и др.), если не требуется напоминать, какие
именно вершины оно соединяет.
Из определения обыкновенного графа автоматически следуют
четыре свойства, которыми он был охарактеризован во введении:
1)	конечность множества вершин X влечет конечность множест-
ва а значит, и любого его подмножества (7; точнее, если
n(G)=|Ar| — число вершин, a n?(G)=|{7| — число ребер графа
G-(X. U), то всегда
2)	неориентированность графа G обусловлена тем, что в качест-
ве ребер фигурируют только неупорядоченные пары вершин;
3)	отсутствие у G петель следует из того, что множество ТР1 по
своему определению состоит только из пар различных вершин;
4)	отсутствие кратных ребер у G вытекает из самого смысла тео-
ретико-множественных понятий в определении обыкновенного гра-
фа: неупорядоченные пары ху и zt считаются одним и тем же эле-
ментом множества в том и только том случае, если x=z &у =1
или x=l&y=z; но тогда обе пары представляют собой один и тот
же элемент множества U, т. е. одно и то же ребро графа G.
Особо отметим два крайних случая обыкновенных л-вершинных
графов: безреберный граф Е„ с U =0 и полный граф Fn с С/=ХР1
(рис. 1.1.1 при п=5)1. Граф G=(X, U), дополнительный к графу
G = (X, U), имеет то же самое множество вершин, а множество его
ребер U = ХР1 \U состоит из всех тех неупорядоченных пар различ-
ных вершин, которые не являются ребрами исходного G. Ясно, что
G -G. Примеры взаимно дополнительных графов приведены на
рис. 1.1.1 и 1.1.2; последний можно начертить на плоскости так, что-
бы отрезки, изображающие ребра, не пересекались (рис. 1.1.3).
Пример рис. 1.1.3 мы используем, чтобы еще раз пояснить опре-
деление обыкновенного графа: в данном случае Х={1, 2, 3, 4, 5},
(/={13, 14, 24, 25, 35} (вей множество ХР1 состоит из десяти неупо-
рядоченных пар),Вплоть до § 2.7 под словом «граф» будем, если не
1 Мы обозначаем эти графы через Еп и F„ независимо от природы элементов, служа-
щих их вершинами.
Глава 1. Идентификация
17
оговорено противное, понимать обыкновенный граф, для простоты
записывая в тексте (а впоследствии, как правило, и на рисунках)
вершины без обведения кружком.
Граф G'-(X', U') называется частью графа G = (X, U), если
Х'сХ и U'C.U. Не всякая пара подмножеств У'^0)* U' вершин и
ребер графа G определяет какой-то граф — для этого необходимо (и
достаточно), чтобы у каждой пары ху, принадлежащей U', оба эле-
мента х и у входили в X': ведь ребрами графа могут служить лишь
пары его вершин’ Так, для графа рис. 1.1.3 пара подмножеств
У'={1, 3, 5}, £7'={13, 14} не определяет никакой части; напротив,
параХ"={1, 3, 5}, С/"={13} задает часть G" = (X", С/''), показанную
на рис. 1.1.4.
Рис. 1.1.4	Рис. 1.1.5	Рис. 1.1.6	Рис. 1.1.7
Особо важную роль играют следующие два типа частей графа.
Часть G' = (X', U') называется подграфом графа G = (X, £7), если
U' ={xyeU/х, уеХ'}; иными словами, при образовании подграфа
G' из графа G удаляются все вершины множества X \ X' и только те
ребра, которые инцидентны хотя бы одной удаляемой вершине. Та-
ким образом, подграф данного графа G однозначно определяется
заданием непустого подмножества вершин X' или, что равносильно,
заданием строгого подмножества Y = X\X' сХ тех вершин, кото-
рые надо удалить; в последнем случае будем кратко писать
G'=G\Y, а если Y={у} (одновершинное множество), то даже
G'=G\y. Властности, при Х'=Х имеем G' =G\0=G. Например, для
18
Основы теории графов
графа G рис. 1.1.3 подмножество А"' ={1, 3, 5} определяет подграф
G' = (A', U')=G\{2, 4} с С7'={13, 35}, показанный на рис. 1.1.5, а
подмножество {1, 3, 4, 5} — граф G\2 рис. 1.1.6.
Часть G' -(Xr, U') называется суграфом графа G = (X, U), если
Х'=Х, т. е. суграф получается из исходного графа удалением толь-
ко ребер, без удаления вершин. Так, из графа рис. 1.1.3 образуется
суграф рис. 1.1.7, если положить 67'={24, 25, 35} (т. е. удалить из G
ребра 13 и 14). Как и при образовании подграфов, будем пользо-
ваться краткой записью вида G'=G\V (в частности, G\v, если
К={у}); оба крайних случая V-U и V =0 возможны.
Ясно, что всякую часть графа можно получить, образуя сначала
некоторый подграф, а затем некоторый суграф этого подграфа.
Упражнения и дополнения
1.	Даны X ={а, b, с, d, е, f}, U={ad, ае, af, bd, be, cd, ce, cf}.
а)	Начертить граф G = (X, U) на плоскости так, чтобы его ребра изобража-
лись прямолинейными отрезками и не пересекали друг друга.
б)	Полагая Х'={а, b, с, d], найти множество ребер соответствующего
подграфа и изобразить этот подграф на плоскости.
в)	Изобразить суграф (X, {ad, bcl, al}) графа G.
г)	Выяснить, какие из следующих пар подмножеств определяют часть гра-
фа G, а какие нет: Х\ ={«, с, f}, Ui={ae, ef}', Х2={а, с, e,f}, U2-{ae, be,
af, ef}\ X$={a, c, f}, U$={qf, cf}. Какие из выявленных частей являются
подграфами (7?
2.	Для каждого из графов рис. 2 выписать множества вершин и ребер,
предварительно пронумеровав (произвольно) вершины. Записать и начертить
дополнительные графы.
3.	В графе G упражнения 1 и в обоих графах упражнения 2 выявить все без-
реберные подграфы с наибольшим числом вершин.
4.	Выяснить, какие из следующих высказываний справедливы:
а)	если G' — подграф G, то G' — подграф G;
б)	если G' — подграф G, то_б — подграф G';
в)	если G' — суграф G, то G' суграф^;
г)	если G' — суграф G, то G суграф G'.
5.	Пусть и((7)>3.
а)	Если в графе G каждые две различные вершины имеют ровно одну об-
щую смежную, то G есть /*3 или состоит из нескольких графов такого типа с од-
ной общей вершиной («граф дружбы»). Р. Erdos, A. R6nyi, V.T.—S6s // Stud. sci.
math, hung., 1 (1966), № 1-2, 215-235 [68, 5B220]; A. Kotzig // Canad. Math. Bull.,
18 (1975), № 5, 691-693 [76, 11В481].
Глава 1. Идентификация
19
б)	Если в графе G каждые р > 3 различных вершин имеют ровно q общих
смежных, то G есть Fp+q. H.G. Carstens, A. Kruse // JCTh, В22 (1977), № 3,
286-288 [78, 1В507; 56# 11850].
6.	Если л = л(6)>4и при некотором к, 2 <к <п-2, все ^-вершинные подгра-
фы графа G обладают одинаковым количеством ребер, то G есть либо Гя, либо
Е„. J. Sirin // Math, slov., 30 (1980), № 3, 267-268 [80, 12В483; 81j#05101],
7.	Граф без подграфов типа имеет не более (т/3)3/2 подграфов типа F$.
D.C. Fisher [88, 10В613].
§ 1.2. ИЗОМОРФИЗМ
Пусть даны графы G = (X, U) и G'=(X', U'); в каком случае
можно сказать, что на самом деле это один и тот же граф?
Формально равенство G=G' означает, что множества вершин и
ребер обоих графов одни и те же, т. е. состоят из одних и тех же
элементов: X=Х', U =U'. Но такой жесткий подход к идентифика-
ции графов не представляет познавательной ценности: граф, пере-
черченный из книги на доску или в тетрадь, строго говоря, уже не
совпадает с исходным, поскольку его вершины «сделаны» из друго-
го материала. Следующее четкое математическое определение из-
бавляет нас от околонаучных споров, какие графы «на самом деле
одинаковы».
Графы G и G' называются изоморфными, если между множества-
ми У и А" их вершин можно установить взаимно однозначное соот-
ветствие <->, сохраняющее отношение смежности вершин, т. е. такое,
что для любых х, уеХ и соответствующих им вершин х',у'еХ'
у<->у') имеет место
xyeU <^>x'y'eU';
при этом само соответствие о называется изоморфизмом графов.
Следующий пример покажет, сколь мудро и в то же время есте-
ственно такое определение. Пусть =(Х(, U,), i=l, 2, 3, 4, где
Х!={1, 2, 3, 4}, 17|={12, 13, 23, 34},
Xi ={а, b, с, d},	U2 ={ab, ас, be, cd},
20
Основы теории графов
ДГ3={1, 2, 3, 4}, С/3={1~2, 23, 34, 1~4},
У4={1, 2, 3, 4}, С/4={1~3, 23, 14, 24}
(рис. 1.2.1). С точки зрения «абсолютного равенства» все четыре
графа различны: например, G\ *G2 потому, что А'] *Х2, а (73 *(?4
потому, что С/3 *1/4. Однако непосредственно ясно, что графы G\ и
G2 имеют одинаковую структуру, отличную от структуры графов
(?3 и (?4, различия же между G] и G2, как и между (?3 и (?4, по своему
характеру не связаны со структурой; от таких различий естественно
отвлечься, но нельзя игнорировать отличие первых двух графов от
двух последних. Именно к такому различению графов и приводит
понятие изоморфизма.
Заменяя слово «изоморфен» символом =, а слова «не изомор-
фен» — символом Ф, имеем в данном примере: G\—G2 и G3=(z4, но
Gi	G2	С3
Рис. 1.2.1
3------2
1------4
<4
G\$Gy, (7j£Cr4, G2"^Gy и G2±G$. В самом деле, изоморфное соот-
ветствие вершин графов С73 и С?2 можно установить, например, так:
1оа, 2<->Ь, Зое, 4ed;
при этом
l2eUi &abeU2, ГЗеС/] & aceU2, 1~4йС/1 &adeU2,
23eU} &bceU2, 24^UX &bdiU2, 34eUx &cdeU2,
т. e. условие x{y\eU\<^x2y2eU2 выполнено. Предлагаем читате-
лю проверить, что другое соответствие:
1о/>, 2оа, Зое, 4ог/
Глава 1. Идентификация
21
тоже является изоморфизмом графов G] и G2, а остальные 4!-2=22
соответствия вершин — не изоморфные. Изоморфизм между G3 и G4
1 2 3 4 } в графе Gj
можно установить, например, так: $ $ $ $	. В то
1 3 2 4 } в графе (74
же время никакое взаимно однозначное соответствие между верши-
нами графов Gj и (73 не является изоморфизмом; чтобы в этом убе-
диться, нет надобности перебирать все 4! = 24 соответствия: доста-
точно заметить, например, что вершина 4 в графе G] имеет только
одну смежную, вершин же с аналогичным свойством в (73 нет, из-за
чего ни при каком сопоставлении вершин этих графов отношение
смежности сохраниться не может.
Последнее соображение имеет смысл обобщить.
Степенью s(G, х) вершины х в графе G = (X, U) называется ко-
личество его вершин, смежных с х, или, что то же, число ребер, ин-
цидентных этой вершине. Символ графа в обозначении степени не-
обходим: так, если G% — подграф графа G2 рис. 1.2.1, порожденный
подмножеством вершин ={а, с, d} (и, следовательно, обладаю-
щий множеством ребер ={ас, cd}), то 5(G2, а) = 1, в то время как
5 (G2, а) = 2; упрощенные обозначения вида s (х) допускаются, когда
речь все время идет об одном и том же графе.
Ясно, что при всяком изоморфизме <-> графов G и G' =(Х', U')
соответствующие друг другу вершины должны иметь одинаковую
степень: для любой хеХ из х<->х' должно следовать s (G, х) =
=5(G', х'). В самом деле, если для какой-то вершины х и соответст-
вующей х' окажется, например, s(G, x)>s(G', х')> то среди тех
s (G, х) вершин графа G', которые отвечают смежным с х вершинам
G, хотя бы одна не будет смежна с х', т. е. соответствие <-> не будет
изоморфизмом.
Пусть G=(X, U) — и-вершинный граф (|Х|=л), а 5], 52, ..., sn —
степени его вершин, выписанные в порядке неубывания:
51 <53 <...<5„.
Упорядоченную систему (sj, 53, ..., sn) будем называть вектором
степеней графа Gu кратко обозначать s(G). Из сказанного выше
следует, что для изоморфизма графов G и G' необходимо совпаде-
ние векторов их степеней: s(G)=s(G'). Однако достаточным это
22
Основы теории графов
условие не является: на рис. 1.2.2 мы видим две пары неизоморф-
ных графов с одинаковыми s. Вместо самого вектора степеней часто
пользуются его обращением
t(G) = Gl, '2> •••> *л)>
где tj =sn_j (i=l, ..., ri) — те же степени вершин, но расположенные
в порядке невозрастания: Zj >t2 >...>!п.
s=(l, 1, 2, 3, 3, 4)	s = (l, 2, 2, 2, 2, 3)
Рис. 1.2.2
Не будучи идеальным средством распознавания изоморфизма,
вектор степеней тем не менее во многих случаях может оказать
существенную помощь: если s(G)*s ((?'), то отсюда сразу следует
G$G\ а если s(G)=s(G'), то для проверки графов на изоморфизм
требуется перебор не всех и! соответствий между вершинами, а
лишь таких, при которых сопоставляются вершины одинаковой сте-
пени. Так, в первом примере рис. 1.2.2 достаточно перебрать только
2-2=4 соответствия вместо 6! = 720, а во втором 4!=24, что все-таки
гораздо меньше 720. Однако есть случаи, когда при выяснении изо-
морфизма графов их векторы степеней совершенно бесполезны:
речь идет об однородных, или подробнее, s-однородных графах, в ко-
торых все вершины — одной и той же степени s. Например, не с пер-
вого взгляда можно убедиться в том, что из пяти 3-однородных гра-
фов рис. 1.2.3 первые четыре изоморфны друг другу, но не изоморф-
ны пятому. Противоположный случай представляют графы, опреде-
ляемые однозначно с точностью до изоморфизма своим вектором
степеней (или, что равносильно, его обращением) и называемые
униграфами в смысле (2) [УС].
За некоторыми наиболее простыми и часто встречающимися
графами (точнее, классами изоморфных графов — см. упражнение 1)
Глава 1. Идентификация
23
полезно закрепить легко воспроизводимые обозначения и образные
наименования:
Еп — безреберный п-вершинный граф, груда, п-груда; под грудой
графа понимается его безреберный подграф (не суграф);
Fn — полный п-вершинный граф, клика, п-клика;
Сп — простой п-вершинный цикл, п-уголъник (рис. 1.2.4а);
вне класса обыкновенных графов возможны случаи и = 1 (петля) и
п=2 (двуугольник); граф часто называют треугольником, а С4
квадратом;
Z/ — 1-цепь (рис. 1.2.46); 2-цепь Z2 будем также называть вилкой;
Рис. 1.2.4
И — клешня, варежка;
И — квадрат с диагональю, алмаз.
Для записи более сложных графов часто бывают полезны опера-
ции сложения и умножения: пусть 64 =(!"], Ux) и С?2 =С^2» ^2),
тогда
сумма Gx +G2 =(*1 U^2> Ux U^2 X
произведение 64 G2 =(Aj U^, Ux Uf/2	&x2 e^2l)
(рис. 1.2.5). Условие Xx =0 при сложении и умножении будем
всегда считать выполненным, даже когда оба слагаемых или сомно-
жителя одинаково обозначены, ибо в случае Хх П У2 *0 можно один
из графов Gx, G2 заменить изоморфным, не имеющим общих вершин
с другим (как при определении разделенной суммы множеств в смыс-
ле Бурбаки); например, в «равенствах» С4—£2 ^2 и €4—F2 +Г2
24
Основы теории графов
Рис. 1.2.5
(?]	С?2	(71 +С?2	^1*^2
одинаковые сомножители или слагаемые означают изоморфные гра-
фы без общих вершин.
С помощью сложения и умножения можно записать дополнение
вилки в виде F\ +/*2, клешню в виде F\ • (Fj +F2), квадрат с диаго-
налью в виде F2 • £*2 и т- п- и Дать новые определения:
Ki^Fi-Ci — 1-колесо, 1>3 (рис. 1.2.6а);
Vi=F\-Ei — 1-веер, />1 (рис. 1.2.66);
Kpq=E-Ед — полный двудольный граф.
Графы Сп при и>5 и Z/ при I >3 являются простыми в том смыс-
ле, что их невозможно представить как сумму или произведение
каких-то других графов.
1 2 ... I
К/ (л=/ + 1)
а)
Kz (и = / + 1)
б)
Рис. 1.2.6
В дальнейшем «граф данного
типа» (или «вида») будет озна-
чать любой граф, изоморфный
данному. Просим читателя уде-
лить особое внимание упражне-
ниям 1, 11 и 12, где требуется, не-
смотря на «очевидность», дать
строгие доказ’ательства. В част-
ности, соотношения д) и е) в упражнении 11 позволяют записывать
сумму и произведение более чем двух графов в любом порядке и без
скобок.
Упражнения и дополнения
1.	Доказать, что изоморфизм графов представляет собой отношение экви-
валентности, т. е. удовлетворяет трем условиям: G-G (рефлексивность); если
G^G\ то G'-G (симметрия); если G-G' и G'-G", то G^G" (транзитивность).
Следовательно, всякое множество графов разбивается (однозначно) на попар-
но непересекающиеся классы изоморфных.
Глава 1. Идентификация	25
2.	Граф, изоморфный своему дополнению, называется самодополнитель-
ным. Доказать, что число вершин такого графа имеет вид 4k или 4&+1.
3.	Доказать, что в любом обыкновенном графе G с n(G)>2 есть по край-
ней мере две вершины одинаковой степени и что если их только две, т. е. G —
максимально неоднородный граф, то G — униграф.
4.	Пусть G=(X, U) и G' = (X, U') — два графа с общим множеством вер-
шин и одинаковыми степенями: Vxel [s(G, x) = s(G', х)]. Доказать, что G'
получается из G конечным числом 4-сдви-
гов: выбираем такую четверку различных >/,
вершин a, b, с, J, что а смежна с b и с смеж-	| х ✓ I	4 х ✓
на с d, но b не смежна с с и а не смежна с d,	lxZ44l
после чего удаляем из графа ребра ah, cd и	za £
вместо них добавляем Ьс и ad (рис. 1.2.7).
Указание: если G*G', т. е. Д(6, 6')=	р
±|(l/\C/')IJ(£/'\t/)|>0, то найдется после-	ис‘
довательность различных вершин а\,а2, a2k, к>2, такая, что ребра а^а2, а2а^,
..., а2к-\а2к> а2ка\ попеременно принадлежат то U\U', то U'\U. При к =2 приме-
нение 4-сдвига переводит G в граф G", для которого Д (<7, G") < Д (G, Gа при
к >2, можно либо опять сразу уменьшить Д, либо указать последовательность
вершин Ь[, 1>2, ...» Ък» с прежними свойствами, но с к'<к.
Проиллюстрировать этот результат на примерах рис. 1.2.2 (предваритель-
но построив для каждой пары графов пару изоморфных им, но с общим множе-
ством вершин), а также на графах G = (X, U) и G' = (Х, U') с
У = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
U={\1, 23, 27, 34, 35, 37, 45, 47, 56, 57, 67},
[/'={17,23, 25, 27, 34, 36, 37, 45, 47, 56, 57}.
5.	Граф называется полярным', если множество его вершин можно раз-
бить на два непересекающихся подмножества, одно из которых порождает кли-
ку, а другое груду (допускается случай пустоты одного из них).
а)	Выяснить, всегда ли такое разбиение единственно.
б)	Доказать, что в полярном графе нет подграфов типа С/ с />3.
6.	Выявить логические импликации между парами из трех высказываний
о графе G\ (а) он полярный, (б) это униграф; (в) к нему неприменима операция
4-сдвига, т. е. в нем нет надлежащей четверки вершин (см. упражнение 4).
Указание: для обоснования импликации (в) => (а) рассмотреть в G наиболь-
шую груду, а отсутствие некоторых других импликаций видно уже на примерах
Сд, Сд и С$.
7.	Каждый 4-однородный граф содержит 3-однородную часть; в то же вре-
мя для любого 5 > 6 существует ^-однородный граф без (у-1}-однородных частей.
1 Этот термин, введенный минчанами, впоследствии был ими заменен на «расщепля-
емый».
26
Основы теории графов
В.А. Ташкинов // ДАН СССР, 265 (1982), № 1,43-44 [82, 10В506], Матем. замет-
ки, 36 (1984), № 2, 239-259 [84, 12В696], далее [88, 5В668]. Обратную задачу о по-
строении наименьшего (по числу вершин) однородного графа, содержащего за-
данный граф как часть, рассматривают J. Akijhma, F. Нагагу // Publ. Inst, math.,
34 (1983), 3-5 [85, 2В662]. См. еще: G. Sierksma [88, 12В596].
8.	а) Если 2 < j (G, х) < 3 для каждой вершины х графа G, то в нем есть хо-
тя бы две максимальные (по включению) груды без общих вершин. F.S. Mulla,
С.М. Pareek [79, 2В475; 81с#05085];
б)	гипотеза К. Бержа о том, что такая пара груд есть и в любом однород-
ном графе, отличном от Еп, неверна. С. Payan // DM, 23 (1978), № 3, 273-277
[79,4В406].	_
9.	Начертить граф [(Fj+
10.	С помощью операций сложения и	»
умножения выразить граф рис. 1.2.8 через	JL
простые (в смысле дальнейшей неразло-
жимости ни в сумму, ни в произведение).
Единственно ли такое представление?
11.	Доказать (различая равенство и	----
изоморфизм!), что
=	Рис. 1.2.8
a)	G =G;
б)	если G^G', то G’-G,
в)	G\ +G2 =G1 -(j2, Cq ^2 =(q +(^2»
г)	еСЛИ Gj—Gj И Cz2—^2» TO Cq+G2—Cq+G2 И Cq‘C^^Cq *(/2 J
Д) G\ +С?2 =^2 +Cq, Cq ’^2 =^2
е) С1 + (б2+Сз) = (61+С2)+Сз, ^1(С2 ^з) = (61С2) Сз..
12.	Верно ли, что Cq-(С72“•“^з)=	^2)+(^1 ’^з), и получится ли верное
соотношение, если равенство заменить изоморфизмом?
13.	Граф G, очевидно, может быть изоморфен некоторому суграфу своего
дополнения лишь при условии /л (6)<|^л^^. Показать на примерах, что это
условие недостаточно. Подробнее о вложимости графа в свое дополнение
см. в [УС].
14.	Графы 6= (У, U) и G' = (X', U') называются взаиморасположимыми,
если существует такое взаимно однозначное соответствие ст: X <->Х\ что
Ух, уеХ [ху eU<?>а(х)а(у)ё U']. Каждое из следующих трех условий доста-
точно для взаиморасположимости G и G':
1)	т (G)<п-2 & т (G')< л-2, где и = и(6) = л(6');
2)	т	m (G')<(");
3)	произведение наибольших степеней вершин у G и G' меньше п. N. Sauer,
J. Spencer И JCTh, В25 (1978), № 3, 295-302 [79, 8В373; 80m#05098],
Гпава 1. Идентификация
27
15.	Клика F„ содержит «-однородный суграф в том и только том случае,
если л = (2г-1)(2/-1)+1&«=2г-1 или n-2rt + \&.s=2r при некоторых г, ZeN.
Е. KOhler // AMSUH, 41 (1974), 252-254 [75, 6В465].
16.	В графе G=(X, U) не менее 4(s+l)/3 вершин имеют степень
« = min(s(G, х)1хеХ}, а если «<«0, то вершин степени з(х)<з$ не меньше, чем
2 (s0 + l)/3. Su Jian-ji // Acta math. appl. sin., 9 (1986), № 4, 479-486 (87, 5В693].
17.	Каково наибольшее возможное число ребер такого л-вершинного гра-
фа, каждый (2р+q)-вершинный подграф которого является частью
Б.С. Стечкин [88, 11В534].
§ 1.3. ИНВАРИАНТЫ
Таким образом, слова «один и тот же граф» не более содержа-
тельны, чем «один и тот же треугольник» в геометрии; но там оковы
тавтологии разбиваются понятием конгруэнтности: две фигуры
конгруэнтны (равны), если их можно путем движения совместить
друг с другом. Два равных треугольника — не обязательно «один и
тот же треугольник», но они обладают соответственно равными
длинами сторон, величинами углов, площадями и т. п.; такого рода
числовые характеристики треугольника являются его инвариантами
относительно движения. Естественно и для графов поставить во-
прос: какие их характеристики инвариантны относительно изомор-
физма? Примеры таких инвариантов графа G=(X, U) у нас уже
есть: это число вершин л(б), число ребер m(G) и вектор степеней
s(6)=(«1, 32, .... sn), который, в частности, дает скалярные инва-
рианты
5((?)=«! =min{s(G, х)1хеХ} и s(G)=sn =max{s(G, х)/хеУ};
второй из них, часто встречающийся, называют степенью графа и
обозначают просто $((?).
Пусть f:G-*H — функция, относящая каждому графу G неко-
торый элемент f ((?) из множества Н произвольной природы (в дей-
ствительности элементами Н чаще всего служат числа и системы чи-
сел, векторы, многочлены, матрицы). Эту функцию будем называть
инвариантом, если на изоморфных графах ее значения совпадают:
VG, G'-. G^G'^>f(G)=f(G');
введем несколько наиболее важных инвариантов графа.
28
Основы теории графов
Плотность <р (G) — число вершин наибольшего полного подгра-
фа (наибольшей клики) в G, иными словами, наибольшее количест-
во попарно смежных вершин; так, плотности графов рис. 2 равны
3 и 2. Инвариантность этой характеристики следует из того, что при
изоморфном соответствии двух графов каждому подмножеству вер-
шин одного графа, порождающему клику, соответствует в другом
графе подмножество с тем же числом вершин и тоже порождающее
клику. Впредь в аналогичных случаях мы будем считать инвариант-
ность той или иной характеристики графа очевидной.
Неплотность e(G) — число вершин наибольшей груды в графе
G, т. е. наибольшее количество его попарно несмежных вершин. Не-
плотности графов рис. 2 равны 2 и 4 (см. также упражнение 3 к
§ 1.1). Очевидно, £(<7)=ф((7) и (p(p)=e(G).
Хроматическое число y(G). Пусть yeN. Правильной раскраской
вершин графа G = (X, U) в у цветов называется разбиение
множества его вершин на попарно непересекающиеся непустые под-
множества, состоящие из попарно несмежных вершин; образно, это
такая раскраска, при которой каждая вершина имеет один из цветов
1, 2, ..., у (X/ — множество вершин цвета г), все эти цвета использо-
ваны и никакие две смежные вершины не окрашены в один и тот же
цвет1. Наименьшее у, при котором граф G допускает такую раскрас-
ку, и есть по определению его хроматическое число у (G). Напри-
мер, у каждого из графов на рис. 2 и рис. 1.1.3 оно равно 3 (в чем чи-
татель может убедиться путем проб), у (Z/)=y(F/) = 2 при любом
/>1, а у(Сп) равно 2 при п четном и 3 при п нечетном.
Число компонент x(G). Граф называется связным, если множе-
ство его вершин невозможно так разбить на попарно непересекаю-
щиеся непустые подмножества, чтобы никакие две вершины из раз-
ных подмножеств не были смежны. Несвязный же граф G однознач-
но разбивается указанным образом на связные подграфы, называе-
мые компонентами, и их число ж ((7), очевидно, представляет собой
1 При несоблюдении последнего условия раскраска называется неправильной.
Глава 1. Идентификация
29
инвариант графа; если G связен, то x(G) = l. Например, х(Еп)-п,
x(Fn) = l, а у графов рис. 3, 1.1.4 и 1.1.7 х=2.
Число Хадвигера rj (G). Операция стягивания ребра xyeU в графе
G = (X, U), превращающая его в граф с числом вершин n(G)-l и с
меньшим, чем m(G), числом ребер, состоит в следующем:
а)	само ребро ху удаляется, а его концевые вершины х и у заме-
няются одной, которую мы обозначим символом {ху};
б)	эта вершина {ху} объявляется смежной со всеми теми и толь-
ко теми вершинами множества Х'=Х\{х, у}, которые в графе G
были смежны хотя бы с одной из х, у;
в)	смежности вершин множества X' друг с другом остаются
прежними. Наглядно: отрезок
[х, у] стягивается в точку, а каж-
дая пара отрезков вида [х, z],
[у, z] (если такая есть) заменяется
одним отрезком [(ху), z], дабы
полученный граф не имел крат-
ных ребер и по-прежнему был
обыкновенным (рис. 1.3.1).
Говорят, что граф G допускает стягивание на граф G', если мож-
но превратить G в граф, изоморфный G' (или в сам G'), последова-
тельными стягиваниями ребер; в частности, всякий граф допускает
тривиальное стягивание на себя (пустая последовательность опера-
ций). Так, пятиугольник С$ можно стянуть на С$, С4, Fj, F2 и F\, но
нельзя на или клешню. Числом Хадвигера г) (G) связного графа G
называется количество вершин наибольшей клики, на которую
можно стянуть G; ясно, что это — наибольшее количество попарно
непересекающихся классов Х^, У2> •••» на которые можно разбить
множество вершин графа так, чтобы каждый класс порождал связ-
ный подграф и для любых двух различных классов имелось в G реб-
ро, соединяющее вершину одного класса с вершиной другого. Для
несвязного графа (не допускающего, очевидно, стягиваний ни на ка-
кую клику) число Хадвигера определяется как наибольшее из таких
чисел всех компонент.
Например, rj(En) = l, T](Fn)=n, т){Сп}=3 (л>3) а для графов
рис. 2 это число соответственно равно 3 и 5 (в том, что граф Петер-
сена можно стянуть на F$, но нельзя уже на F^, предлагаем читате-
лю убедиться самостоятельно).
30
Основы теории графов
В качестве инварианта графа можно рассматривать не одно
число, а систему чисел, в частности вектор или кортеж; например,
можно употреблять слово «инвариант» по отношению к пятимер-
ному вектору (<р, с, у, х, г]), где <p=<p(G) и т. д. Задание кортежа
(Ль Рь Р2> •••) равносильно заданию многочлена
Р = Р(х)=£р1х/ =Р0 +Р1Х+р2х2+...
|>о
от формальной переменной х, где суммирование ведется до послед-
него отличного от нуля слагаемого. Введем несколько инвариантов
графа, имеющих такой вид.
F «?)=£/, (G)x‘ =fo (G)+J\ (G)x+f2 (G)xU...+fq>(G)x9,
i>0
где (p=(p(G), a (G) — количество z-клик (полных /-вершинных
подграфов) графа G; под 0-вершинным подграфом понимается пус-
тое множество1, в силу чего /q(G) = 1. Очевидно, /](G)=n(G),
f2 (G)(G), max {il (G)*0} =<p.
(G)*( =eQ (G)+q (G)x + e2 (G)x^+...+ee (G)x®,
/>0
где £=e(G), a e, (G) — количество г-груд ({-вершинных безребер-
ных подграфов) в G; eo(G) = l, е\ (G)=n(G), е2 (G)=(”(G^-m(G),
max {/ / е, (G) * 0} = £.
r(G)=£g, (G)x' =gz (G)xZ +gz+1 (G)x?+1+...+g„ &)x”,
где n=n(G), у =y (G), a g, (G) — количество i-раскрасок графа G, т. e.
таких правильно раскрасок всех его вершин, при которых использу-
ется ровно i цветов, причем две i-раскраски считаются различными
в том и только том случае, если в G есть пара вершин х, у, принима-
1 Точнее, пара (0, 0): см. пустой граф [УС].
Глава 1. Идентификация
31
ющих одинаковый цвет при одной раскраске и разные цвета при
другой (такие х и у, очевидно, различны и несмежны); тем самым
раскраски, различающиеся лишь наименованием цветов, рассматри-
ваются как одна и та же; g0 (G)=...=gz_i (G) = 0, g„ (G) = l,g„+1 (G) =
=g„+2 (G)=... = 0, min{i/g,- (G)*0} =y.
H(G)=£A( (G)x' =Л] (G)x+h2 (G)x2+...+An (G)x^,
i>1
где 7)= т? (G), a A, (G) — количество стягиваний связного графа G на
z-клику, причем два стягивания считаются различными, когда в G
есть пара вершин, переходящих в одну вершину при одном стягива-
нии и в разные вершины при другом; hj (G) = 1, max {z / A, (G) # 0}=т?.
Систему инвариантов графа, зависящую от двух или более пара-
метров, можно записать в виде многочлена от нескольких формаль-
ных переменных х, у, г,...; рассмотрим примеры таких инвариантов.
A(G)= ^aij{G}x‘yj ,
где ay (G) — количество тех z-вершинных подграфов графа G, кото-
рые имеют j ребер; адо (G) = l, аОу (G)=0 при j>0.
B(G)= £Ал(С)х‘г*,
z,fc>0
где (G) — количество таких z-вершинных подграфов в G, для ко-
торых число иголок — ребер, соединяющих вершины подграфа с
остальными вершинами графа G, — равно к. Оба эти инварианта
получаются из более общего
S«?)= S^(0x'y>z^,
iti,k>0
где sjjl( (G) — количество z-вершинных подграфов у G, имеющих j
ребер и к иголок: в первом случае надо положить z = l, во втором
у = 1 (для инварианта, получающегося при х = 1, специального обо-
значения мы не вводим).
Конкретные примеры, поясняющие роль всех этих многочлен-
ных инвариантов, а также способы их вычисления будут
32
Основы теории графов
рассмотрены в § 1.4. Сейчас обратимся к числовым инвариантам,
связанным с матричным заданием графа.
Пусть G = (У, U) — п-вершинный граф. Пронумеруем его верши-
ны натуральными числами 1, 2, ... п (одним из п\ способов) и соста-
вим квадратную матрицу А (G)	||й, элементы которой определя-
ются так:
а _ если *“я и ./“я вершины смежны,
lJ 10, если эти вершины не смежны.
Ясно, что все а„ =0 и что A(G) — симметричная матрица:
аМ она называется матрицей смежностей графа G с заданной
нумерацией вершин.
Матрица смежностей — не инвариант графа: при перенумерова-
нии вершин она претерпевает перестановку рядов, состоящую из
перестановки строк и точно такой же перестановки столбцов. Но
любая функция элементов а^, не меняющаяся ни при каких пере-
становках рядов матрицы А((Э}, является инвариантом графа G; к
числу таких функций относятся сумма всех ее элементов, неупоря-
доченный набор сумм элементов каждой строки или сумм элемен-
тов каждого столбца, определитель матрицы det A(G), ее характе-
ристический многочлен det (A (G)-AE) и корни последнего и др.
В теории линейных преобразований их собственные векторы и
числа имеют наглядный геометрический смысл. При переходе к об-
разам второго порядка, когда линейное преобразование формально
связывается с матрицей квадратичной формы, эта непосредствен-
ность утрачивается, но геометрический смысл собственных чисел и
там ясен. Что же касается матрицы смежностей графа, то комбина-
торный смысл ее собственных значений окутан густым туманом.
Однако инвариантность характеристического многочлена этой мат-
рицы относительно подобия1, в частности перестановки рядов,
означает, что совокупность его корней, называемая спектром гра-
фа, — инвариант; он не определяет граф с точностью до изоморфиз-
ма (см. упражнение 27), но, как и вектор степеней, играет важную
1 Напомним, что квадратные матрицы А и А' порядка п называются подобными,
если при некоторой невырожденной квадратной матрице В (того же порядка) имеет
место соотношение А' - В~х А-В.
Глава 1. Идентификация	33
вспомогательную роль. Путь изучения спектральных свойств гра-
фов без отрыва от наглядности пока окончательно не найден, но не-
льзя пройти мимо богатого фактического материала, накопленного
в этой области, частичной его систематизации и многочисленных
приложений (в химии, физике и др.); поэтому следует приветство-
вать выход монографии: D.M. Cvetkovic, М. Doob, Н. Sachs. Spectra
of Graphs. Berlin: VEB Dtsch. Verlag der Wiss., 1980 [84a#05046] и ее
перевод: Д. Цветкович, М. Дуб, X. Захс1. Спектры графов. Теория и
применение. Киев: Наукова думка, 1984 [84, 6В456К]. См. также
R.K. Chung Fan. Spectral graph theory. Providence (R.I.): Amer. Math.
Soc., 1997. XI, 207 pp. [00, 8B271] (с приложениями к теории сетей
связи, компьютерным наукам и математической физике). В нашей
книге эти вопросы не рассматриваются.
Ввиду симметричности матрицы A (G) для ее задания достаточно
выписать в определенном порядке лишь те элементы, которые рас-
положены над главной диагональю, т. е., например, задать кортеж
(«12, «13, «23» «14» а24, а34> •••, «л-1,л)
длины I . Число
«12 -2° +«1з • 21 +«23 * 2^ +«14 * 23+.. .+«л-1 п • 2^2)
(при записи которого в двоичной системе количество единиц равно
«12, количество двоек «13, количество четверок «23 и т. д.) назовем
двоичным кодом матрицы А (G). Двоичные коды матриц смежностей
одного и того же графа, отвечающих разным нумерациям его вер-
шин, конечно, не обязаны совпадать; наименьший из этих кодов
(при всевозможных п\ нумерациях вершин) будем называть мини-ко-
дом /л (G), а наибольший — макси-кодом р (G) графа G. Оба эти кода,
очевидно, — инварианты, и, более того, по любому из них и количе-
ству вершин легко восстанавливается одна из матриц смежностей
графа, а значит, и сам граф (с точностью до изоморфизма). Приве-
дем пример.
1 Более правильная транскрипция: Закс.
34
Основы теории графов
Клешня допускает 4! = 24 различных нумераций вершин
(рис. 1.3.2).
2—3 2—4 3—2 3—4 4—2 4—3 3—1 3—4 4—1 4—3 4—1 4—2
И И И ИИ И И ¥\ И И И и
Рис. 13.2
Из-за очевидной симметрии в структуре графа перестановка друг с
другом вершин степени 2 не меняет матрицу смежностей, и поэтому
различных матриц будет не 24, а только 12; для их нахождения ис-
пользуем нумерации верхнего ряда рисунка; соответствующие мат-
рицы и их коды будут
0	1	1	0	
1	0	1	0	,	1-2° +1-21 + 1-22 +0-23 +0-24 +1-25 =39;
1	1	0	1	
0	0	1	0	
0	1	0	1	
1	0	0	1	,	1-2° +0-21 +0-22 + 1-23 +1-24 +1-25 =57;
0	0	0	1	
1	1	1	0	
0 10 0
10 11
0 10 1
0 110
1-2° +0-21 + 1-22 +0-23 +1-24 +1-25=53.
Мини-код /л (И ) = 15 отвечает седьмой нумерации (и расположен-
ной под ней 19-й), макси-код /1 (И ) = 60 — восьмой (и 20-й). Наобо-
рот, если о графе известно лишь, что он имеет четыре вершины, а
двоичный код одной из его матриц смежностей равен 27, то, пред-
Глава 1. Идентификация
ставляя это число в двоичной системе (до разряда 25, так как
-1 = 5), получаем
27=1-2° + 1-21 + 0-22 + 1-23+1-24 + 0-25,
откуда находим матрицу и соответствующий граф (рис. 1.3.3).
В случае 5-вершинного графа с тем же кодом надо записать уже
27=1-2° + 1-21 + 0-22 + 1-23 + 1-24 +0-25+...+0-29
(поскольку -1 = 9), что дает матрицу и граф рис. 1.3.4; и т. д.
0 111
10 0 1
10 0 0
110 0
Рис. 1.3.3
1------------2
0 1110
10 0 10
1 0 0 0 0
110 0 0
0 0 0 0 0
Рис. 1.3.4
Количество вершин можно не сообщать, если заранее известно,
что у графа нет изолированных вершин. При задании же графа его
макси-кодом ясно, что если последний отличен от нуля, то он необ-
ходимо содержит единицу старшего разряда 2к, т. е. отвечает такой
нумерации вершин графа, при которой пара (и-1)и является реб-
ром, в силу чего число вершин п однозначно определяется из усло-
вия Г -1=&; лишь в случае /л (0=0, т. е. когда G — груда Еп, чис-
V )
ло п может быть любым.
Упражнения и дополнения
1.	Найти плотность, неплотность, хроматическое число и число Хадви-
гера каждого из графов рис. 1.2.3.
2.	Доказать, что если в n-вершинном графе степень каждой вершины не
меньше (и-1)/2, то он связен. Количество связных подграфов обыкновенного
графа с заданными степенями вершин оценивает А.М. Леонтович [88, 4В561].
36
Основы теории графов
3.	Доказать, что в связном неполном графе G = (АЛ, U) всегда есть такие
три различные вершины х, у, z, что ху ё U, xz eU и yz е U.
4.	Доказать, что любой обыкновенный n-вершинный граф можно превра-
тить в кусочно полный, все компоненты которого — клики, удалением не более
ребер, где fc = max	R.С. Entringer,
С.С. Harner // JCTh, В12 (1972), № 3, 245-251 [72, 11В318].
5.	Доказать, что (р (G) >2у (G)-n (G), причем равенство имеет место только
для G-F„. (Указание: легче начать с вывода неравенства в виде п> (р+2 fy-(p),
приняв во внимание, что при правильной раскраске все такие вершины, цвет
каждой из которых больше нигде не встречается, смежны друг с другом.) Отсю-
да и из очевидного факта, что хроматическое число графа не может быть мень-
ше его плотности, получаются точные оценки (p(G)<y (G)<L(/i (G)+<p(G))/2J.
А.З. Зеликовский (Кишиневский семинар, ноябрь 1979 г.).
5'. Если у=п-\, то (р = п-2 или G^C5+ Fn_$. М. Dhurandhar // JCTh,
В37 (1984), № 3, 210-220 [85, 9В563].
6.	Пусть функция /: G—> N U {0} от графов G=(Y, U) удовлетворяет
условиям:
а)	если f (G) = 0, то y(G) = cp(G);
б)	если f (G)>0, то найдется такая хеХ, что f (р\х)< f (G). Тогда VG:
у (G)<cp(G)+ f (G). Свойствами а) и б) обладает, например, f (G) = min{|У| IY а
&/(G\T) = <p(G\y)}, однако находить ее значения не просто. Т. King,
G.L. Nemhauser // DM, 10 (1974), № 1-2, 117-121 [75, 5В455].
7.	Доказать точные оценки fn(G)/f (G)1<y @)<n(G)-£ (G)+l.
8.	Доказать, что а) если в G нет подграфов типа Z3, то у (G) = <p(G);
б) у (G)<k тогда и только тогда, когда G является суграфом некоторого графа,
не имеющего подграфов типа Z3 и D. Seinsche // JCTh, В16 (1974), № 2,
191-193 [74, 9В421]; J.С. Arditti, D. de Werra // JCTh, B21 (1976), № 1, 90
[77, 2B481; 54#2510],
9.	Если в G нет подграфов типа F2 + F2+...+F2 (к слагаемых), то
у (G)< fk (<p(G)), где fk (<р) — многочлен степени 2 (fc-1) от (р, определяемый ре-
куррентно:
(
f\ (<Р) = 1, А+1 (ф) = 1? \fk (<?)+<? ПРИ k>V
S. Wagon // JCTh, В29(1980), № 3, 345-346 [81, 7В687].
10.	Пусть f - f (G) — какой-нибудь инвариант графа G, a f =f(G). Верх-
ние и нижние оценки для f+ f и ff через и = л (G) = n(G) называются оценками
типа Нордхауза—Гаддума. В случае хроматического числа (J =у) эти оценки
имеют вид
Глава 1. Идентификация
37
2л/л </+/<и + 1, п<у у <(и + 1)2/4.
А.А. Зыков // Матем. сб., 24 (1949), № 2, 163—188 [MRl 1р733] (нижняя оценка
произведения); F.A. Nordhaus, J.W. Gaddum // Amer. Math. Monthly 63 (1956),
№ 3, 175—177 [58, 6, 4581] (в полном виде). Обобщения: К. Schriiger // JCTh, В16
(1974), № 1, 77-85 [74, 7В518].
10'. Для любой пары натуральных чисел у, у, таких что у 4-у <n +1 и у у > и,
существует л-вершинный граф G с у(С)=у и y(G)=y. В.М. Stewart // JCTh,
6 (1969), № 2, 217-218 [69, 10В212].
11.	Если G — s-однородный n-вершинный граф, то у (<7)>-4г . J.A. Bondy //
JCTh, 7 (1969), № 1, 96-98 [70, 2В362].
12.	Известно, что у (6)<max {min{z, rz+l}/z = l, 2, ..., и}, где (rb r2> •••» U =
= t(G) — обращенный вектор степеней (D.J.A. Welsh, M.B. Powell [68, 5B228]);
аналогичное доказательство для гиперграфов приведено в статье А.А. Зыкова
«Гиперграфы» (УМН, 29 (1974), № 6, 89—154 [75, 7В422]). Запишите ту же оцен-
ку через компоненты необращенного вектора s(G) и воспроизведите доказа-
тельство. См. далее: М.М. Syslo // DM, 74 (1989), № 1-2, 241-243 [90, 7В474].
Дальнейшие оценки хроматического числа см. в § 1.9, § 2.2 и упражнени-
ях 26—30 к нему, а также в [УС].
14.	Доказать, что (р ((7) >2т] (G)~n (6) и что для числа Хадвигера справедли-
вы оценки (p(G)<rj (G) < |_ ”—G  J. В.В. Берков (Кишиневский семинар,
ноябрь 1979 г.). Указание: сравнить с упражнением 5.
15.	Рассмотрим неравенства [n(G)/e (Gy\<T]	(С)+1.
а)	Доказать справедливость и точность верхней оценки для т)(С).
б)	Показать, что нижняя оценка для т] (G) имеет место, если справедлива гм-
потеза Хадвигера: т]((7)>у(С); не опираясь на эту гипотезу, попытаться дока-
зать нижнюю оценку хотя бы для некоторых классов графов. Более слабую
оценку (2г-1 )т]>п в общем случае получили Р. Duchet, Н. Meyniel // Graph
Theory. Amsterdam e.a., 1982, 71-74 [84, 4B473; 84h#05074].
16.	Составив матрицы смежностей клешни, отвечающие седьмой и вось-
мой нумерациям верхнего ряда на рис. 1.3.2, вычислить мини-код /л (И) и мак-
си-код /1 (И)-
17.	Начертить граф без изолированных вершин по мини-коду /л =236.
18.	Начертить граф по макси-коду /1=787.
19.	На рис. 1.3.2 первая нумерация верхнего ряда переводится в 12-ю под-
(1 2 3 4Л
3 4 2 1 7 ’ Т’ е' номеР * заменяется на 3, номер 2 — на 4 и т. д. Убе-
диться в том, что если в матрице смежностей, отвечающей первой нумерации,
проделать такую же перестановку строк (т. е. поставить первую строку на тре-
тье место и т. д.), а затем и столбцов, то получится матрица, отвечающая 12-й
нумерации. Проделать аналогичные преобразования матриц при переходе от
38
Основы теории графов
первой нумерации к седьмой, от седьмой к восьмой и от какой-нибудь нумера-
ции верхнего ряда к нумерации под ней.
20.	По виду самого правого из четырех графов рис. 1.2.2 определить такую
нумерацию его вершин, которая приводит к макси-коду, и найти этот код; то
же для остальных графов рисунка и для мини-кода.
21.	Гипотеза у (G) < rang Я (G) справедлива при у (G) = 3, 4, 5 (С. van Nuffelen
[82, 1В812; 82, 11В642; 83m#05063]), но для у = 32 построен контрпример с
rang Л =28: N. Alon, P.D. Seymour // JGrTh, 13 (1989), № 4, 523-525 [90, ЗВ450];
оценка разности: A.A. Razborov // DM, 108 (1992), № 1—3, 393—396 [93, 10В213].
См. далее: A. Kotlov, L. Lovasz // JGrTh, 23 (1996), № 2, 185-189 [97, 4В246].
Ly(G, х.) при j=i,
22.	Пусть S(G) =||^||Я, где SiJ=\ J . .	G=(X,U\
J	при
X ={jq, x2, ...» хл},||а(у|| = Л (G). Граф G связен в том и только том случае, если
rangS (G) = л-1. Raghvarao Damaraju // Util. Math., 11 (1977), 107—112 [77,
12В644].
23.	Пусть |||| = Я (G)+E, Е — единичная матрица порядка п = п (G). Тогда
п г
Е(С) = гаах^
х »=1 Ъ
у=1
где максимум берется по всем векторам х = (хь х2, ...» хп) с неотрицатель-
ными X/. Отсюда, в частности, получаются оценки
е (G)> n2l((n+2m (G))) и s(G)>n/A],
где Aj — наибольшее собственное число матрицы ||afy||. Б.Д. Гинзбург// Сооб-
щения АН ГрузССР, 85 (1977), № 2, 289-291 [77, 10В349].
24.	Зная числа w = n(G), wz = wi(G), f и e = e?(G), найти количества
u = u(G)hu=v (G) трехвершинных подграфов вида И2 и вида И2 в обыкновенном
графе G.
25.	При заданных плотности (р и неплотности £ число вершин п обык-
новенного графа не может быть произвольно большим. Известны оценки:
(Н
= max -- ,
х £
(Р. Erdos, G. Szekeres // Compos, math., 2 (1935), 463—470 [Zbl 12p270]),
Л<3-2Ф^-2
(Л.М. Лихтенбаум // Матем. сб., 23(1948), №2, 315-328 [MR10p316]),
Глава 1. Идентификация
39
и < £ (Ф7-2 2)('’+1) +	2)(/+1)
(Л.М. Лихтенбаум // Сибирский матем. ж., 3 (1962), № 4, 561—568 [63, 5А318]).
Было бы интересно сравнить эти оценки.
26.	Числом Рамсея R(p> q) называется такое наименьшее натуральное
число, что граф G содержит либо р-клику, либо «/-груду всякий раз, когда
n(G)>jR(p, q). Доказать, что
<p(Gy UG2)</?(<p(G1)+l, <р(С2)+1)-1,
где	= (Ху, Uy), (72 = (X2, U2), причем допускается Ху П Х2 * 0, а объединение
графов
GyUG2±(Xy\JX2, UyUU2).
Е.А. Nordhaus // Leet. Notes Math., 110 (1969),
245—249 [70, 8В260]. См. также: H. Mizuno,
I. Sato [88, 10В623]. В общем виде: теория
Рамсея [УС].
27.	Убедиться в том, что неизоморфные
графы каждой из четырех пар на рис. 1.3.5
коспектральны (что это значит?). C.D. Godsil,
B.D. McKay [84, 5В518] предлагают несколько
методов построения таких пар.
Рис. 1.3.5
§ 1.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ
Чтобы вычислять тот или иной инвариант графа, надо прежде
всего иметь сам граф — он должен быть как-то задан. Один из спо-
собов задания обыкновенного графа вытекает непосредственно из
его определения и состоит в том, что выписываются символы (иден-
тификаторы) его вершин и те пары символов, которые соответству-
ют ребрам. Отвлекаясь от различий между изоморфными графами
(и, следовательно, от конкретной природы его элементов), можно
считать вершинами графа сами эти символы. Роль последних проще
всего поручить натуральным числам (часто пользуются также сим-
волами %], х2> ...» хп и т. п.). Например, нумеруя вершины графа
Петерсена как показано на рис. 1.4.1, мы зададим этот граф
40
Основы теории графов
количеством вершин и = 10 (выписывать само
множество X, очевидно, излишне) и множеством
ребер U ={12,15, Гб, 23, 27,34,38, 45, 49,510, 68, 6~9,
79, 710, 8Н)}. При другой нумерации вершин по-
лучится, вообще говоря, другое множество ре-
бер; так, если от рассмотренной нумерации вер-
шин графа Петерсена перейти к новой с по-
мощью подстановки
12 3
2 3 4
4 5 6 7 8 9 ЮЛ
, то ребрами
5197 10 8 6J
будут уже элементы множества {23,21,29,34,37,45,410,51,58,16,910,
98, 78, 76, 106}, или, в иной записи (при словарном порядке пар),
{12, 15, 1~6, 23, 29, 34, 3~7, 45, 410, 5~8, 67, 610, 7~8, 8~9, 910}.
Другой способ задания графа с вершинами 1, 2, ..., п состоит в
том, что для каждой из них (в натуральном порядке) выписывается
множество тех следующих, которые с ней смежны. Так, для графа
рис. 1.4.1 этими множествами (в строго определенной последова-
тельности) будут
{2, 5, 6}, {3, 7}, {4, 8}, {5, 9}, {10}, {8, 9}, {9, 10}, {10}, 0, 0;
произведя указанную выше подстановку номеров вершин, получим
для графа Петерсена с новой нумерацией систему множеств
{2, 5, 6}, {3, 9}, {4, 7}, {5, 10}, {8}, {7, 10}, {8}, {9}, {10}, 0.
Число вершин графа при таком способе задания можно не указы-
вать, поскольку оно совпадает с количеством множеств системы.
Еще один способ состоит в том, что для каждой вершины выпи-
сываются номера следующих несмежных с ней; это равносильно за-
данию предыдущим способом графа G, дополнительного к G.
При любом из трех рассмотренных способов задания графа G не
составляет труда написать его матрицу смежностей A(G). Так, во
втором случае элементы ьго множества являются номерами тех
столбцов, на пересечении которых с ьй строкой правее главной диа-
гонали стоят единицы; часть же матрицы, находящаяся левее (ниже)
этой диагонали, восстанавливается по симметрии. Наоборот, имея
любую из этих двух «косынок», можно сразу же выписать все ребра
Глава 1. Идентификация
41
графа G или, для второго способа задания, — соответствующие по-
следовательные множества вершин. Алгебраический подход к тео-
рии графов и многие приложения (например, к расчету электриче-
ских цепей) требуют матричного задания, однако этот способ менее
экономен по сравнению с тремя предыдущими, поскольку в матри-
це смежностей информация о графе, даваемая каждой «косынкой»,
дублируется ее напарницей, а значительное число клеток матрицы
занято нулями.
Самым экономным представляется задание графа (с пронуме-
рованными вершинами) двоичным кодом его матрицы смежностей,
но и этот способ имеет свои недостатки, о чем мы будем говорить
в §1.5.
К числу способов задания графа следует отнести и визуаль-
ный ~ посредством чертежа. Этот способ вовсе не является «менее
строгим», чем предыдущие, хотя бы уже потому, что современным
устройствам вполне под силу перевести изображение графа (выпол-
ненное, разумеется, с соблюдением определенного минимума требо-
ваний к четкости) в его матрицу смежностей или другую аналитиче-
скую запись, и наоборот, начертить граф, заданный аналитически:
см., например, Т. Kamado, S. Kawai // Inf. Process Lett., 31 (1989),
№1,7-15 [89, 10B384J; В.П. Пинчук // Радюелектрошка, шформати-
ка, управлиння. Запор1жжя: ЗДГУ, 1999, № 1, 89—92. Однако пре-
имущество наглядности визуального способа быстро теряется с уве-
личением количеств вершин и ребер графа.
При каждом из рассмотренных способов задания графа G найти
его инварианты n(G), m(G) и s(G) — дело весьма простое; например,
для определения вектора степеней s (G) по макси-коду /i (G) надо
сначала восстановить матрицу смежностей, затем подсчитать коли-
чество единиц в каждой ее строке (или каждом столбце) и, наконец,
расположить найденные числа в неубывающем порядке. Это позво-
ляет нам квалифицировать инварианты п, т и s как «легко вычисли-
мые». Почти столь же просто находится число компонент х (G)1. Но
совсем иначе обстоит дело с инвариантами <р, £, у и ту, вполне заслу-
живающими репутации «трудно вычислимых». Начнем с плотности
<p(G) и других связанных с ней инвариантов.
I См. добавление 1 и книгу [А8].
42
Основы теории графов
Пусть х — вершина графа G-(X, U); через O(G, х) будем обо-
значать ее окружение — подграф, порожденный всеми смежными с
ней вершинами. (Если х — изолированная, то под O(G, х) понима-
ется не граф, а пустое множество, причем ф(0)=О.) Нетрудно пока-
зать, что
<p(G)=max{<p(G\x), <p(O(G, х)) + 1},	(1)
но мы остановимся на сходном доказательстве другого соотноше-
ния:
fi (£)=fi (G \ х)+/^ (О (G, х))	(2)
при всех г = 0, 1, 2, ..., где f] (G) — количество z-клик в G, т. е. коэф-
фициент при х1 многочлена F(G), определенного в § 1.3 (считаем
/-1 =0 для любого графа или пустого множества). В самом деле,
первое слагаемое правой части подсчитывает все те z-клики в G, ко-
торые не содержат вершину х, а второе слагаемое — все те, которые
ее содержат и поэтому взаимно однозначно соответствуют всем
(z-1)-кликам окружения O(G, х).
Зная многочлен F(G), т. е. систему инвариантов {//(G)}, без
труда находим плотность: <p(G) = max{z7 /z (G)*0}; вычислять ее ре-
куррентно, непосредственно пользуясь соотношением (1), не легче,
чем находить всю систему {/, (G)}, и мы займемся этой последней
задачей.
С целью устранения двойной рекурсии — по графу G и по индек-
су i — умножим равенство (2) на х* и просуммируем по /; это даст
соотношение
F(G)=F(G\x) + xF(O(G, х))
для функции F (G)=	(G)x1 от графа G, значениями которой слу-
жат уже не числа, а многочлены от формальной переменной х. Но
теперь рекурсия проводится только по графу: значение F от графа G
выражается через значения этой же функции от графов G\x и
О (G, х), первый из которых содержит ровно на одну, а второй — по
крайней мере на одну вершину меньше, чем исходный.
Пользуясь этим рекуррентным соотношением и начальным
условием F(0) = 1, можно вычислить многочлен F для любого гра-
фа; во избежание неопределенности при выборе вершины х на
Глава 1. Идентификация	43
каждом из промежуточных шагов, достаточно с самого начала
как-то пронумеровать вершины и в дальнейшем всегда применять
рекуррентное соотношение к вершине с наименьшим номером
(среди оставшихся).
Например, в случае клешни процесс выглядит следующим об-
разом:
fQ/?)=f(2-?) + x-F(2- 3)=fQ}+x-F(3)+x[F(3)+x-F(3)]=
=F(4)+x-F(4) + (2x+x2)F(3) = (1+x)PF(0) + x-F(0)"| +
+(2x+x2)[F(0) + x-F(0)]=(1 + x)(1 + x) + (2x + x2)(1+x) =
= l + 4x + 4x2 +x3,
откуда /0(и) = 1> /1(и)=/2(и)-4, /з(и) = 1? Л(и) = А(и) =
=...=0 и, значит, <р(И)=3.
Для нахождения неплотности г (G) можно воспользоваться ана-
логичным рекуррентным соотношением, которому удовлетворяет
инвариант E(G):
E(G)=E(G\x)+x«E(O(G, х)),
где О (G, х)=О((т, х) — подграф в G, порожденный отличными от х
и не смежными с ней вершинами; начальное условие: Е (0) = 1. Так,
Е	=Е (2 “।)+х • Е (4)=Е Q)+х • Е (4)+х [ Е (0)+х • Е (0)]=
=Е(4)+х-Е(0) + х[Е(0) + х-Е(0)]+х(1 + х)=Е(0)+х-Е(0) + х +
+х(1+х)+х(1 + х) = 1+х+х + 2х(1+х) = 1 + 4х + 2х2,
откуда е0(и) = 1, е1(и)=4, е2(и) = 2, е3(и)=...=0 и е(и) = 2. Рекур-
рентную формулу для нахождения Е (G) предлагает также J.L. Аго-
cha (Cienc. mat., 5 (1984), № 3, 103-110 [86, 12В859]).
44
Основы теории графов
Прежде чем перейти к вычислению других инвариантов, пореко-
мендуем один технический прием, позволяющий в процессе много-
кратного применения рекуррентного соотношения не переписывать
одно и то же слагаемое по нескольку раз. Если, скажем, при вычис-
лении многочлена F на некотором этапе надо применить соотноше-
ние к слагаемому вида a-F ((?'), то мы попросту вычеркиваем это
слагаемое и добавляем к сумме два новых: aF (G' \ х) и axF (О (Gf, х)).
В качестве «первоначальной суммы» берется «сумма из одного сла-
гаемого» — символ F (G), где G — данный граф. Еще одно упроще-
ние: вместо символа F (G') рисуем сам граф G', символ 0 сразу заме-
няем на 1, а символы одновершинных графов — на 14-х. Лишь после
того, как в «текущей сумме» все «графские» слагаемые окажутся вы-
черкнутыми, ставим знак равенства и пишем результат приведения
подобных членов. Например, процесс вычисления F(H) будет
выглядеть так1:
(1 + х) + х[(1 + х) + х(1 + х)]+(1 + х) +
+х(1 + х) = 1 + 4х + 4х2 4-х2.
Приступая к нахождению количеств z-раскрасок (G) и хрома-
тического числа у (G), советуем читателю еще раз осмыслить приве-
денные в предыдущем параграфе определения /-раскраски и разли-
чия двух таких раскрасок: при правильном понимании этого дол-
жно быть очевидно, что в случае клики
g' (7?л)={о
при i-n,
при i*n.
Пусть теперь G — неполный граф, а х*у — какие-нибудь его не-
смежные вершины. Обозначим через GUxy граф, полученный из G
1 Аналогичную методику можно применять и к решению совсем других математиче-
ских задач, например на дифференцирование и интегрирование; при явном преиму-
ществе краткости она обладает серьезным недостатком: в случае ошибки невозможно
отыскать «первое неверное равенство» — и приходится все начинать заново.
Глава 1. Идентификация
45
добавлением ребра ху, а через G <ху > — полученный из G отождест-
влением вершин х и у или, что равносильно, из Gljxy стягиванием
ребра ху. Множество всех различных f-раскрасок вершин графа G
можно разбить на два подмножества: таких раскрасок, при которых
вершины х и у получают разные цвета, и таких, когда эти вершины
окрашиваются одинаково. Раскраски первого типа взаимно одно-
значно соответствуют всевозможным /-раскраскам вершин графа
G\Jxy, а раскраски второго типа — z-раскраскам вершин G<xy>,
отсюда
gi (G)=gi (GUxyl+gj (G<xy>).
Умножая это равенство на х' и суммируя по i, получаем
Г (G) =Г (GUxy)+Г (G <ху >).
Заметим, что переход от чисел g, (G) к многочлену Г (G) =
= £gz (G)x’ не упрощает (хотя и не усложняет) вычислений в отли-
чие от случая многочленов F (G) и Е (G), так как формула для g, (G)
рекуррентна только по графу, но не по индексу /; однако для едино-
образия мы и тут будем пользоваться многочленной формой записи.
Полученное рекуррентное соотношение для Г (G) вместе с на-
чальными условиями
Г(Е,)=х’, i=l, 2, ...
позволяет вычислить многочлен Г от любого графа G. Опять ради
простоты можно вместо Г (G) рисовать сам граф G, а «графские»
слагаемые вида aF, заменять на ах1. Выбор очередной пары не-
смежных вершин для применения рекуррентного соотношения про-
изволен (здесь, как и при вычислении F и Е, тоже можно навести по-
рядок, хотя и немного сложнее). Например, процесс нахождения
Г (И) выглядит следующим образом:
ф + V = Ki + I/3 + V = 2х3 +Х«,
г 4	1—4	14	1—4 г 14
46
Основы теории графов
т. е. Г(И) = 2х3+х4, откуда gx (n)=g2(n) = 0, g3 (И) = 2, g4 (И) = 1,
85 (С7|)=--- = 0 и у (<7)=3. Именно, при раскраске тремя цветами вер-
шины треугольника 123 должны иметь три разных цвета (названия
этих цветов роли не играют), а для вершины 4 остаются две возмож-
ности: окрасить ее либо в тот же цвет, что и вершину 1, либо в цвет
вершины 2; раскраска же четырьмя цветами — только одна: когда
цвета всех четырех вершин различны.
Метод «текущей суммы» для упрощения записи можно приме-
нять и тут, притом с дальнейшим усовершенствованием: вместо то-
го чтобы зачеркнуть слагаемое а& и добавить aG'\Jxy + а& <ху >,
просто дорисуем ребро ху в графе G' слагаемого а&9 после чего
прибавим а& <ху > ко всей сумме; тем самым мы вообще обойдем-
ся без зачеркиваний. Предлагаем читателю осуществить эту проце-
дуру для графа С5 (номера вершин можно не указывать), а затем
сравнить свою запись с нашей (в которой сохранен знак равенства
на первом шаге, дабы не потерять из виду исходный граф):
4-Х5.
Заметим, что слагаемые вида aG' с а>1, о которых шла речь выше,
могут появляться, если приводить подобные члены до того, как ис-
пользованы все возможности применения рекуррентного соотноше-
ния; однако такое «преждевременное приведение» требует много-
кратного распознавания изоморфизма (см. § 1.5) и поэтому далеко
не всегда целесообразно. Некоторые усовершенствования рассмот-
ренного процесса предложили D.G. Corneil, В. Graham // SIAM J.
Computing, 2 (1973), № 4, 311—318 [74, 6В449].
Для многочленов В (6) и Н ((7) тоже известны рекуррентные спо-
собы вычисления, но они выводят за пределы класса обыкновенных
графов (см. упражнение 22 к § 2.7 и А.А. Зыков // Кибернетика, 1968,
№ 5, 58—62 [69, 6В282]), а для S ((7) такого рода способ к тому же
слишком громоздок. Многочлен А ((7), напротив, допускает рекур-
рентное вычисление в классе обыкновенных графов (упражнение 5).
Рассмотренные способы вычисления отличаются красотой и на-
глядностью, вообще говоря, лишь при очень малом количестве
Глава 1. Идентификация
47
вершин. Даже весьма грубая оценка показывает, что уже при
n(G) = 15 для непосредственного рекуррентного вычисления инвари-
антов типа F и Г на самой совершенной ЭВМ потребовались бы ме-
сяцы непрерывного счета и немыслимый объем памяти. А так как
эти инварианты и для теории и для приложений очень важны, то
проблема упрощения их вычисления встает во весь рост. Но она по-
ка еще далека от полного решения, и мы ограничимся примером,
иллюстрирующим нынешнее положение дел.
Предположим, что для заданного графа G = (Ar, U) требуется не
просто найти числа g, (G), а фактически указать все правильные
раскраски вершин всевозможными количествами цветов. Если
М (G) — множество всех таких раскрасок, а х, у е X — любые две
несмежные различные вершины, то, очевидно,
M(G) = M(GUx»UM(G<xy>),	(3)
причем М (GUxy)riAf ((? <ху >)=0 (см. вывод рекуррентного соот-
ношения для многочлена Г (G)). Применяя соотношение типа (3) к
тем из полученных множеств раскрасок, которые отвечают непол-
ным графам, и т. д., мы в конце концов представим M(G) в виде
объединения попарно непересекающихся множеств раскрасок вер-
шин клик.
Как и прежде, будем вместо символа М (G) рисовать сам граф G
(толкуя его как иероглиф, обозначающий множество правильных
раскрасок его же вершин), а также пользоваться методом «текущей
суммы» (в усовершенствованной форме). Для графа «дом» весь про-
цесс приводит к такой записи:
каждый шаг процедуры состоит в однократном использовании ра-
венства типа (3), что выражается в добавлении нового ребра к како-
му-то неполному графу и добавлении нового «слагаемого» ко всей
«сумме» графов, поэтому общее число шагов (при таком понимании
слова «шаг») в точности равно количеству полученных «слагаемых».
48
Основы теории графов
Но, с другой стороны, все эти «слагаемые» взаимно однозначно
соответствуют всевозможным правильным раскраскам вершин ис-
ходного графа (показать это в общем случае предложим читателю):
например, по последнему «слагаемому» сразу видим 3-раскраску,
при которой вершины 2 и 5 имеют один цвет, вершины 3 и 4 — дру-
гой, а вершина 1 — третий. Таким образом, количество шагов при
решении задачи — как раз то, которое нужно для выдачи полного
ответа на вопрос, а если оно чересчур внушительно, то виною тут не
способ решения, а сам факт наличия у графа слишком большого
количества раскрасок [УС].
В действительности «шагов» при решении задачи гораздо боль-
ше: мы ведь не учитывали различных вспомогательных операций,
да и каждый «шаг» на самом деле состоит из многих более простых.
Но и при нашем заниженном подсчете числа шагов сама постановка
задачи об уменьшении их количества может показаться бессмыслен-
ной. Спешить с категорическими выводами, однако, не стоит: для
наших далеких предков было само собой разумеющимся, что при
задании числа непременно надо выложить столько камешков или
сделать на палке столько зарубок, каково это число, — а впоследст-
вии появились позиционные системы... Здесь, правда, можно возра-
зить, что если 1.385.612 является вполне понятной компактной за-
писью не обозримого непосредственно количества камней в куче, то
сам граф G и есть весьма компактное хранилище множества М (G)
его раскрасок (и другой информации — см. добавление 2); но ведь
вопрос о нахождении еще более удобного «хранилища» не имеет по-
ка даже точной математической постановки! Феноменальная же
«вместимость» человеческого мозга, возможно, обусловлена как раз
тем, что информация хранится в нем в виде каких-то комбинатор-
ных структур, образующихся подмножествами клеток в процессе за-
поминания и качественно отличных от «строк» и «страниц».
Но вернемся к раскраскам. Пути к уменьшению числа шагов
можно искать и в упрощении постановки самой задачи — например,
добиваться не полного перечисления всех правильных раскрасок, а
лишь нахождения для каждого i какой-нибудь одной z-раскраски;
дальнейшее упрощение: найти только хроматическое число
у (G)=min{z7gz (С?)*0} (предлагаем читателю вопрос: случайно ли
мы «забыли» о промежуточной задаче — найти все такие /, для кото-
рых g, ((7)*0). Однако все известные до сих пор результаты в этой
Глава 1. Идентификация
49
области свидетельствуют о том, что даже задача нахождения одно-
го лишь инварианта у (G) в общем случае не проще выявления всех
правильных раскрасок вершин графа G. Аналогичная картина на-
блюдается и в отношении многих других инвариантов, например
F(G), <p(G), E(G), s(G), H(G), z?(G), A(G), B(G).
А как уменьшить объем памяти, требующийся при рекуррент-
ном вычислении инварианта на ЭВМ? Тем, кого это серьезно инте-
ресует, предложим следующую идею.
Применяя, например, соотношение (3), надо в памяти машины за-
менить один граф G двумя графами G\Jxy nG<xy> почти такой же
сложности, не слишком сильно отличающимися от исходного и поэ-
тому в значительной степени дублирующими информацию. Нельзя
ли вместо обоих графов записывать один «обобщенный», неизменная
часть которого такая же, как у исходного графа, а изменяющаяся
часть допускает (благодаря введению каких-то дополнительных зна-
ков) два толкования, отвечающих полученным графам. См. также:
J. Ja’Ja’, J. Simon [83, ЗВ57О].
Заметим, наконец, что для многих «трудно вычислимых» инва-
риантов известны различные алгоритмы, статистически эффектив-
ные [УС] в следующем смысле: при случайном задании графа вычис-
ленное значение инварианта почти всегда совпадает с истинным, а в
редких оставшихся случаях вероятность получить неточный резуль-
тат резко убывает с возрастанием величины ошибки. Использова-
ние подобных алгоритмов в широком масштабе заведомо право-
мерно в тех практических задачах, где ошибка может повлечь за со-
бой лишь перерасход средств, а не катастрофу, да еще с человече-
скими жертвами.
Упражнения и дополнения
1. Найти многочлены F, Е и Г для графа Петерсена (нумеровать вершины
не обязательно).
2. Обобщенная степень (или «убывающий факториал») переменной х
определяется следующим образом: х(°> =1, х<0 = х(x-l)..(x-z + l) при / = 1, 2, ...
Введем многочлен
Г(б) = Х?,(0х(')
|>0
50
Основы теории графов
от графа или пустого множества, полагая go(G) = O для любого графа Gy
go(0) = l, g,(0) = O при />0. Проверить, что
а)	Г(С) = Г(би*у)+Г(6 <ху >) для любого неполного графа G и любой
пары х*у его несмежных вершин;
б)	Г(/7) = х<0 при i=0, 1, 2, ... (Fo=0).
3.	Пусть G+ — граф, полученный из G добавлением новой изолированной
вершины, т. е. без добавления ребер. Доказать, что Г (6+) = хГ((7); отсюда и из
Г(Е0) = 1 (£о=0) вытекает
Г(£л) = хЛ, и = 0, 1, 2, ... ,
т. е. числа g, (Еп) совпадают с коэффициентами разложения одночлена хп по
обобщенным степеням х^\ Эти коэффициенты известны в комбинаторном ана-
лизе и теории приближений как числа Стирлинга второго рода S (и, f); таким
образом, вычисление последних состоит в нахождении многочлена Г(ЕП) при
различных и = 0, 1, 2, ... (или, что то же, многочленов Г(Е„), если в них группи-
ровать слагаемые по обобщенным степеням х^ переменной х).
п
4.	Обосновать следующий способ разложения многочлена £ аре', где а( —
/=0
любые действительные (или комплексные) числа, по обобщенным степеням пе-
ременной х:
а)	в данном многочлене заменяем множители х' грудами Е;;
б)	с полученной «линейной комбинацией графов» (см. также добавле-
ние 2) действуем так же, как на промежуточных этапах нахождения многочлена
Г(6), а именно при наличии слагаемого вида а& с неполным графом G' выби-
раем в последнем несмежную пару вершин х*у, переделываем слагаемое в
flG'Uxy и добавляем слагаемое aG'<xy >; так поступаем, пока в «текущей сум-
ме» не останется ни одного слагаемого с неполным графом;
в)	заменяем все Fi на х<0 и приводим подобные члены.
Разложить таким способом по обобщенным степеням переменной х мно-
гочлены х4 + 1 и х4 -6х3 + 11х2-6х.
4'. Описать «графское» решение обратной задачи: многочлен, записанный
в обобщенных степенях, привести к обычному виду; проделав это на каком-ни-
будь конкретном примере, проверить результат непосредственным раскрытием
обобщенных степеней. Коэффициенты разложения хМ по {х'} называются чис-
лами Стирлинга первого рода s(nt i).
5.	Пусть G=(X, U), U*0 и xyeU. Показать, что
«у (6) = «|<7-1 (G\xy)+[a/? (G\x)-a,t/_1 (G\x)]+[«y (G\y)-a,t/_| (G\v)]-
-[«y(G\{x,	(G\{x, y})].
Глава 1. Идентификация
51
Умножая обе части на х'у-' и суммируя по i и у, получим для многочлена A (G)
от двух формальных переменных рекуррентное соотношение
A (G) = уА (G\х>)+ (1-у) [A (G)\x)+ A (G)\y)-A (G\{х, у})].
которое вместе с начальными условиями А (Еп) = (1 + х)п, п = 0, 1, 2, ... позволяет
найти A (G) от любого графа G. При вычислении можно вместо A (G) рисовать
сам граф G и пользоваться методом «текущей суммы».
Найти таким способом многочлен A (IZI) и проверить результат непосред-
ственным подсчетом количеств atj (И).
6.	Обозначим через vу (G) число таких суграфов в G, которые имеют i не-
изолированных вершин (а также, возможно, какие-то изолированные) и j ребер;
Voo(G)=l. Доказать, что многочлен
N(G)= ZvijtGWyj
iJ>0
удовлетворяет рекуррентному соотношению
N (G) = (1+у) N (G \ху)+ (х-1)у [N (G\x)+ N (G\у)]+ (х-1)2у N (G\{x, у})
и начальным условиям N (Ел) = 1, и = 1, 2, ... Пользуясь этим, вычислить много-
член N ((ZI) и проверить его коэффициенты прямым подсчетом на клешне.
7.	По смыслу инвариантов ау- (G) и vy (G) непосредственно не ясно, выра-
жаются ли одни через другие, и если да, то как именно. То обстоятельство, что
оба многочлена A(G) и N (G) рекуррентно вычисляются посредством одной и
той же «операции разборки» (относящей графу G четверку G\xy, G\x, G\y,
G\{x, у} «более простых» графов), позволяет найти взаимосвязь между этими
многочленами и тем самым положительно ответить на поставленный вопрос.
Так как при этом понадобятся замены формальных переменных, будем для мно-
гочленов употреблять более подробные обозначения A (G; х, у) и N (G; х, у).
Показать, что
а)	функция <D(G)=<D(G; х, у) = (1-х)“л(с) N(G; х, у) удовлетворяет
рекуррентному соотношению
Ф(G) = (l+y)Ф(G\x>)-y[Ф(G\x)4-Ф(G\y)-Ф(G\{x, у})]
и начальным условиям Ф(£’л) = (1-х)”Л, и = 0, 1, 2, ...;
б)	функция XP(G)=®(G;	у-1) удовлетворяет рекуррентному соот-
ношению
4/(G) = y4z(G\xy)+(l-y)[4/(G\x)+4z(G\y)-4/(G)\{x, у})]
и начальным условиям ¥ (Ел) = (1+х)л, и = 0, 1, 2, ... Следовательно, 4х(G) =
= A(G); отсюда
A(G, х, у) = (1 + х)"<с) N(G; у-1)
52
Основы теории графов
и, наоборот,
N(G, х, y) = (l-x)"<G> A(G;	у + 1)
Г. Эргашев И Труды Самарканд, ун-та, 286 (1975), 71—75 [76, 12В576]. Прове-
рить справедливость этих соотношений на примере клешни.
8.	Назовем свободной z-раскраской графа G правильную раскраску всех
его вершин цветами 1, 2, ..., z, не обязательно с использованием всех этих цве-
тов; две такие раскраски считаются различными, если хотя бы одна вершина
при этих раскрасках принимает разные цвета (тем самым даже переименование
цветов меняет раскраску). Пусть Т (6, z) — число различных свободных z-рас-
красок графа G.
а)	Доказать, что Т (Fn, i) = Т (£л, z) = in, а при G = (У, U) неполном и
xye.U: Т (G, i') = T (G\Jxy, i)+Т (G <ху >, z); основываясь на этом, дать ре-
куррентный способ вычисления Т (G, z) и показать, что при фиксированном G
эта функция представляет собой многочлен степени az(G) от z; он называется
хроматическим многочленом графа G. G.D. Birkhoff, D. Lewis // TAMS,
60(1946), 355-451 [8#284].
R.E. Guidici, R.M. Vinke (JCISS, 5 (1980), № 4; 323-350 [82, 6B635]) приво-
дят таблицу хроматических многочленов для 208 графов с п < 6 вершинами.
б)	Найти взаимосвязь между многочленами Т (G, z) и T(G).
Ряд свойств коэффициентов в Т (G, z) устанавливают V. Chvdtal (JCTh,
9 (1970), № 1, 95-96 [70, 12В352]), G.H.J. Meredit (JCTh, B13 (1972), №1,14-17
(73, 1B539]) и S.G. Hoggar (JCTh, B16 (1974, № 3, 248-254 [49#7170]), a E.G. Far-
rell (DM, 29 (1980), № 3, 257—264 [80, 7B554]) находит точные выражения пер-
вых пяти коэффициентов в терминах количеств подграфов специального вида у
G. Многочлен Т с наименьшими коэффициентами изучают J. Rodrigues, A. Sa-
tyanariana (DM, 172 (1997), № 1—3, 115—119 [00, ЗВ277]), в случае планарных
графов: ASakaluglu, A. Satyanariana (там же, 121—130 [00, ЗВ278]).
Дальнейшие свойства и алгоритмы вычисления этого многочлена, а также
других многочленов раскрашиваний, связь которых с Т и Г тоже представляет
интерес, см. в [УС]. G.L. Chir // DM, 172 (1997), № 1-3 [00, ЗВ271] приводит
12 нерешенных задач.
9.	Если Ех, Е2, ..., Ек — максимальные груды графа G, содержащие его
вершину х, то у (G) = max<y (G\£/)/l<i;<к}; на этом основан один из алгорит-
мов нахождения хроматического числа. С. Wang Chung // J. Assoc. Comput.
Mach., 21 (1974), № 3, 385-391 [75, 10В301].
10.	Для рекуррентного вычисления многочлена Q(G)=	(G)x*~2, где
к>2
q2=2, л qk при к > 3 выражает удвоенное количество подграфов типа в гра-
фе G, Г. Эргашев (Вопросы киб. и вычислит, мат., Ташкент, 1970, вып. 36,
142-146 [71, 2В358], Труды Самарканд, ун-та, 244 (1974), 83—88) предлагает три
способа.
Глава I. Идентификация
53
§ 1.5. ПРОБЛЕМА ИЗОМОРФИЗМА
Чтобы выяснить, конгруэнтны ли два треугольника, совсем не
обязательно исходить непосредственно из определения конгруэнт-
ности и пытаться путем движения совместить эти треугольники; да
и практически такая проверка далеко не всегда осуществима (ска-
жем, если вершинами одного треугольника служат три далекие звез-
ды, а другой начерчен в книге с указанием масштаба). Проще и на-
дежнее воспользоваться одним из хорошо известных признаков и
сравнить, например, длины сторон этих треугольников.
Из бесчисленного множества величин, связанных с треугольни-
ком и инвариантных относительно движения, можно отобрать срав-
нительно простые системы, обладающие свойством полноты: совпа-
дение таких систем для треугольников уже обеспечивает их конгру-
энтность. Так, система трех чисел — длин сторон — является полным
инвариантом1, другими полными инвариантами служат системы
«две стороны и угол между ними», «сторона и два прилежащих уг-
ла», «два угла и площадь» и т. д.
В отличие от конгруэнтности треугольников, для изоморфизма
двух n-вершинных графов само его определение дает теоретически
безукоризненный способ проверки: просмотреть все п\ взаимно од-
нозначных соответствий между множествами вершин и выяснить,
совмещаются ли полностью ребра хотя бы при одном соответствии.
Однако даже грубо заниженная оценка показывает, что такое реше-
ние практически непригодно: уже при и = 20 перебор всех п\ вариан-
тов занял бы около 40 лет машинного времени. Подобная ситуация,
естественно, толкнула многих математиков на классический путь:
попытаться найти такой инвариант (число или систему чисел), кото-
рый бы, с одной стороны, легко вычислялся для заданного графа (и
по возможности имел наглядный смысл), а с другой — обладал свой-
ством полноты, т. е. определял граф изоморфно — однозначно с точ-
ностью до изоморфизма.
1 Поскольку под «инвариантом» может пониматься не только одна величина, но и
система величин, то само это слово мыв дальнейшем будем употреблять преимущест-
венно в единственном числе.
54
Основы теории графов
Предложив читателю снова заглянуть в начало § 1.3, где дано
общее определение инварианта графа, сформулируем определение
полноты: инвариант f -f (G) называется полным, если для любых G
и G'
Объединяя оба определения, можно назвать полным инвариантом
графа такую функцию f (G) (со значениями в произвольном множе-
стве), для которой f (G)=/ (G') тогда и только тогда, когда G^G'.
Из тех инвариантов, которые мы в § 1.4 отнесли к «легко вычис-
лимым», даже наиболее «богатый» — вектор степеней s (G) — не яв-
ляется полным: см. еще раз рис. 1.2.2. В процессе развития теории
графов не было нехватки в гипотезах полноты того или иного
«трудно вычислимого» инварианта, но все эти предположения,
основанные чаще всего на том, что желаемое выдается за действи-
тельное, рано или поздно опровергались конкретными примерами.
Неполнота многочленного инварианта F (G) обнаруживается уже на
графах рис. 1.5.1, а неполнота Е (G) — на графах, дополнительных к
ним. Недолго просуществовала и гипотеза полноты системы, состо-
ящей из обоих этих многочленов: графы Gj и G2 на рис. 1.5.2 заведо-
мо не изоморфны, хотя F (Gj) = F (G2) и Е (Gj) = Е (G2). Заметим, что
пример рис. 1.5.1 выявляет также неполноту инварианта T(G).
Рис. 1.5.1
Более драматические события развернулись вокруг инвариантов
A(G), B(G) и S(G). Примерно в 1973 г. несколько раз высказыва-
лось предположение о полноте A(G), а ... в 1960 г. оно было опро-
вергнуто. Нет, мы не ошиблись: в работе А.А. Зыкова (Известия
Сибирского отд. АН СССР, 1960, № 9, 17—33 [62, ЗА272]) есть при-
мер двух неизоморфных 14-вершинных графов, обладающих одним
и тем же многочленом. Правда, там речь идет о многочленах N(G),
однако мысль испытать A (G) на том же примере без сомнения воз-
никла бы при своевременном ознакомлении со статьей, независимо
Глава 1. Идентификация
55
от возможности точного выражения этих многочленов друг через
друга (реализованной в упражнениях 6 и 7 к § 1.4). Для большей убе-
дительности оставалось лишь упрос-
тить пример, что и было сделано в
1977 г. на Кишиневском семинаре
И.М. Горгосом, а затем, применитель-
но к более общему случаю, М.К. Зам-
бицким: рис. 1.5.3.
Рис. 1.5.3
Несколько больше надежд и волнений вызвала гипотеза 1976 г.
о полноте инварианта B(G). Надежды подкреплялись тем, что он
различает те конкретные пары графов, на которых была обнаруже-
на неполнота A(G). Наконец, в запасе оставался еще инвариант
S (G), несущий о графе G заведомо большую информацию, чем A (G)
и B(G) вместе взятые. Однако и этот резерв оказался недолговеч-
ным: для неизоморфных графов рис. 1.5.3 многочлен S один и тот
же. Ясно, что этот же пример опровергает, в частности, гипотезы
полноты инвариантов А и В (как по отдельности, так и в совокупно-
сти), а также формально делает излишними предыдущие примеры,
поскольку многочлены F и Е выражаются через S1.
Возможности для измышления гипотез такого сорта еще оста-
лись: почему бы, к примеру, не предположить полноту инварианта,
состоящего из S и Г (да еще, возможно, и Н впридачу)? Несколько
контрпримеров, тоже построенных участниками Кишиневского се-
минара (a D.A. Chalcraft // JGrTh, 14 (1990), № 3, 341—346 [92, 6В440]
находит подобные примеры для обширного класса инвариантов),
заставляют усомниться в перспективности такого подхода. Однако
тезис о том, что на этом пути получить полный инвариант (для
класса всех обыкновенных графов) вообще невозможно, не только
не доказан, но и не сформулирован строго математически, и поиски
в «бесперспективном» направлении продолжаются: см., например,
Г.Г. Любченко, В.С. Подлипенский [81 #05060]; Merris Russel // Cze-
chosl. Math. J., 32 (1982), № 3, 397-403 [83, ЗВ502].
Обратимся теперь к инвариантам другого типа, не связанным
непосредственно с «наглядной» структурой графа, — макси-коду
1 Запоздалое предположение о полноте В (G) принадлежит L. Borzacchini (Rend.
Acad. sci. fis. e mat. Soc. naz. sci. lett. ed arti. Napoli, 43(1977), 411—416 [77, 11B583]).
56
Основы теории графов
/л (G) и мини-коду /л (G). Каждый из них является полным инвариан-
том графа с фиксированным числом вершин п (§ 1.3). Решают ли эф-
фективно эти инварианты проблему изоморфизма? Нет, и вот поче-
му. Хотя из равенства /4 (G)=// (G') следует, что G-G', процесс вы-
числения самого инварианта ц для заданного л-вершинного графа
столь же труден, как и лобовой перебор л! соответствий вершин
двух таких графов, поскольку надо выбирать наименьший из двоич-
ных кодов всех л! матриц смежностей графа, и лишь в некоторых
частных случаях удается избежать полного перебора. Так же обсто-
ит дело и с макси-кодом.
Иными словами, в общем случае использование // или /i не
устраняет факториального перебора, а лишь передвигает его на
другое место. Это и не удивительно: оба кода не отражают (в общем
случае) структуру графа, и для изучения его при таком способе за-
дания все равно надо сперва восстановить матрицу смежностей, т. е.
фактически «сам граф», после чего приступить к его исследованию
«с азов»; кто этому не верит, пусть попробует найти /4 (G) по данно-
му И (G).
Мы не можем категорически утверждать, что всякий инвариант
графа либо не является полным, либо требует для своего вычисле-
ния практически неэффективной процедуры типа полного перебора
порядка л! или, скажем, 2”; однако до сих пор дело обстояло имен-
но так, и это заставило искать другие пути решения проблемы изо-
морфизма.
В.Г. Визинг [75, 1В529] нашел изящную конструкцию, назван-
ную им модульным произведением (близкие построения предложи-
ли позже О. Kozen//Sigact News, 10(1978), №2, 50-52 [79, 4В427];
F.A. Akiniyi, A.K. Wong [84, 8B476]). Нам удобнее ввести не само
модульное произведение, а дополнительный к нему граф.
Пусть G = (X, U)uG' = (X', U') — два графа с количествами вер-
шин п=п(G) = |XI и и'=и((7') = |А"|, причем л<л'; построим новый
граф GnG' = (y, К) следующим образом.
За множество вершин Y возьмем декартово произведение
Х*Х', т. е. вершинами будут служить упорядоченные пары хх', где
хеХ, х'еХ'; количество вершин нового графа «(GdG')=|F|=«-п'.
Для наглядности расположим вершины Y в таблицу (рис. 1.5.4),
что позволит говорить о «строках» и «столбцах» этого множества.
Глава 1. Идентификация
57
G'
|	Н	12	13	14
G 2	?1	22	23	24	У
I	—>	—>	—>	—>
3	31	32	33	34
Рис. 1.5.5
G'
GdG'
Рис. 1.5.4
Смежность вершин графа GaG', т. е. множество V его ребер,
определим так. Никакие две вершины, расположенные в одной и
той же строке или в одном и том же столбце, ребром не соединяем.
Вершины же хх' и уу' из разных строк и столбцов, т. е. такие, что
х, уеУ, х', у'еХ', хФу и х' Фу', соединяем тогда и только тогда,
когда либо ху е U SixtyeU\ либо xy£U Sixty&U', иными словами,
когда при совмещении вершин х и у графа G соответственно с вер-
шинами х' и у' графа G' отношения смежности пар ху и xty оказы-
ваются одинаковыми: либо обе пары смежны (каждая в своем гра-
фе), либо обе несмежны.
Весь граф GdG' для конкретных G и G' рисунка 1.5.4 изображен
на рис. 1.5.5 (идентификаторы вершин теперь опущены). В общем
случае ясно, что (p(GoG')<n, ибо никакая клика графа GdG' не мо-
жет содержать двух вершин из одной строки или одного столбца, а
п<п'. Оказывается, равенство (p(GQG')-n имеет место в том и
только том случае, если в графе G' есть подграф, изоморфный G. При
доказательстве можно считать без нарушения общности, что верши-
нами обоих графов служат натуральные числа: Х={1, 2, ..., и},
Х'={1, 2, ..., и, ..., п'}.
Допустим сначала, что G' содержит подграф G" = (X",U"), изо-
морфный G, и что изоморфизм порождается соответствием вершин
1	2	...	п}
$	I	I
fl	i2	...	i„}
в графе G
в графе G’
надо показать, что подграф графа порожденный п вершинами
bi, 2/2, ..., nin, является кликой. Но это почти очевидно: если kik и
58
Основы теории графов
hl — любые две различные вершины (к*1), то, поскольку соответ-
ствие <-> между вершинами G и G' — изоморфизм, либо к и I смежны
в G, a ik и смежны в G", либо к и I несмежны в G, а и // — в G";
в обоих случаях вершины kik и h / графа GdG' смежны между собой.
Наоборот, пусть в графе G&G' вершины hi, 2/2, niп порож-
дают клику. Тогда соответствие вершин, обозначенное так же, как и
выше, является изоморфизмом графа G на подграф G" графа G', по-
рожденный множеством вершин Xй ={q,	> • • •,	}> ибо, как следу-
ет из определения графаGuG\ kleU в том и только том случае, если
ikh^U'.
Итак, проблема изоморфного вхождения — выяснить, имеется ли
в G' подграф типа G — свелась к нахождению плотности
вспомогательного графа с п • п' вершинами, а точнее, лишь к выясне-
нию, равна ли эта плотность п или меньше. В частности, при п = п'
получается сведение проблемы изоморфизма к нахождению плотно-
сти вспомогательного л2-вершинного графа. Сама по себе конст-
рукция Визинга не решает эту проблему, а лишь сводит ее к другой
задаче, не менее сложной (несмотря на кажущуюся простоту); одна-
ко, как мы увидим впоследствии, в сочетании с другими идеями эта
конструкция может привести к столь эффективному способу иден-
тификации графов, что на практике проблема изоморфизма пере-
стает быть проблемой. А сейчас попробуем теоретически осмыс-
лить изложенные результаты.
Просматривая еще раз приведенное доказательство и пример на
рис. 1.5.5, нетрудно заметить, что конструкция содержит в себе го-
раздо больше, чем просто сведение проблемы изоморфного вхожде-
ния к задаче нахождения плотности: именно, все п-клики графа GoG'
взаимно однозначно соответствуют всевозможным изоморфным вло-
жениям G в качестве подграфа в G'. Так, в примере на рис. 1.5.5, где
п=3 и п' =4, в GdG' имеется четыре подграфа типа Г3, в согласии с
тем, что G' содержит два подграфа, изоморфных G, а изоморфизм G
на каждый из них ввиду очевидной симметрии этого G можно уста-
новить двумя способами. Достойная восхищения конструкция пре-
дельно четко описывает все изоморфные вложения G в G', и более
компактное описание вряд ли возможно. И вот в этой кристальной
ясности, оказывается, заключена ее противоположность ...
Чтобы ответить на вопрос, делится ли сумма двух чисел на
заданное т, не обязательно знать слагаемые — достаточно иметь
Глава 1. Идентификация
59
лишь их остатки от деления на т; то же относится и к произведению
чисел. А вот для ответа на скромный вопрос, равна ли плотность
«произведения» GqG' наименьшему из чисел вершин «сомножите-
лей», недостаточно знать обе плотности <р((7) и q>(G') или вообще
обладать какими-то наборами инвариантов этих графов, близких
по смыслу к плотности (скажем, многочленов F, Е, А): необходимо
для каждого «сомножителя» знать какой-нибудь полный инвари-
ант. Иными словами, чтобы найти для «произведения» одну-единст-
венную числовую характеристику, притом не кодового типа, а несу-
щую весьма ограниченную информацию о структуре графа в целом,
надо о «сомножителях» знать буквально всё — именно все то, что
определяет их однозначно с точностью до изоморфизма. Не знаю,
как воспринимает эту ситуацию читатель, но лично мне она до сих
пор кажется парадоксальной. «Таинственная ясность» конструкции
Визинга усугубляется тем, что для других бинарных операций типа
сложения и умножения над графами (см. упражнения 9—12) загадоч-
ных явлений подобного масштаба не наблюдалось.
Упражнения и дополнения
1.	Вычислить многочлен S от графов рис. 1.5.1, 1.5.2, 1.5.3 и убедиться,
что он одинаков для обоих графов каждой пары.
2.	Выяснить, каким образом по S находятся А, В, F, Е, и проверить вывод
прямым вычислением на одном из предыдущих примеров.
3.	С помощью конструкции Визинга проверить, что второй граф на
рис. 1.2.3 (§1.2) изоморфен четвертому, но не изоморфен пятому.
4.	Что можно сказать о графах G и G\ если <р((7с](7') = и-1, гдеи = и(б)<
<л(б')? Обобщить полученный вывод на любое возможное значение <p(GaG').
5.	Пусть и(б) = и(б') = и- Если s(G)>п~\~е (G')/(2s(G')), то G изоморфно
вкладывается в G'. Отсюда благодаря очевидной оценке е (G')<n/(s(G')+\)
можно получить достаточное условие такой вложимости, не содержащее е (G),
а затем усилить его: s(G)>(l-\/(2's(G')). Р.А. Catlin // DM, 10 (1974), № 3-4,
225-233 [75, 5В488]. ’
6.	Что нужно знать о делимом и делителе для ответа на вопрос: делится
ли частное на данное число ш?
7.	Видоизменить конструкцию Визинга так, чтобы получилось сведение
(к нахождению плотности вспомогательного графа) проблемы изоморфного
вхождения G в G' в качестве части. Во что превращается эта проблема при
n(G) = n(G')l
60
Основы теории графов
8.	Назовем гамильтоновой цепью графа последовательность, составлен-
ную из всех его вершин без повторений и такую, что каждые две ее последова-
тельные вершины смежны; при дополнительном условии, что последняя верши-
на смежна с первой, получаем гамильтонов цикл'. Каким образом с помощью
конструкции упражнения 7 выяснить, имеет ли граф гамильтонов цикл или
гамильтонову цепь?
9.	Вспомнив определения суммы и произведения графов (§ 1.2), доказать,
что
а)	х (Gj +6г2) = я? (G|)+a? (G2), х (Gj ^2) = 1;
б)	<p(G]+G2) = max{<p(Gi), <p(G2)}, (p(G\ G2) = <p(Gi)+<p(G2);
В) £(«!+<«) -.£(G|-G2) = max{£(G1)> £(G2)};
r) F(G] + G2) = F(GI)+F«G2)-1, F(G1G2) = F(G1) F(G2);
д) E(G1G2) = E(G1)E(G2), E^1+G2) = E(G1)+E(G2)-1;
"(6.) n(Gj)
e)#i(G]+G2)= £ Z	^7 (Gj)g/(G2), (-1, 2.
7=1	/=1
r(G1G2) = r(G1)r(G2);
Y (<q +G2) = max{y (Gj), / (G2)}, Y	G2)=7 (G0+/ (G2);
ж) T] (Gj +G2) = max{7? (G0,	П (GvG2)=tj (G{)+ri (G2).
9'. Можно ли, зная S(Gj) и S(G2), найти S(Gj+G2) и S(Gi G2)?
10.	Декартовым произведением G*G' графов G = (X, U)и G' = (X\ U') назы-
вается граф (У, V) с множеством вершин Y=X*X’ и множеством ребер
V = {хх'уу'/либо x=y&xry'&U'}
либо ху е С/&х'=у'};
на рис. 1.5.6 показано декартово произведение
графов G и G' рисунка 1.5.4.
а)	Доказать, что
F(GxG') = z/(G')[F(G)-l]4-n(G)[F(G')-l]-w(G)«(G')x.
б)	Показать (построением примера), что многочлен Е (GxG') не определя-
ется однозначно по Е (G) и Е (G'); более сложный пример показывает, что для
этого недостаточно даже добавить F (G) и F(G').
в)	Можно ли выразить ^>(GxG') через p(G) и <p(G'), а е (GxG') через с (G)
и £ (G')?
1 В § 2.1 даются формальные определения.
Глава 1. Идентификация	61
11.	Результат упражнения 9 можно обобщить. Выделим в графах G и G' по
одной /с-клике (если они есть) и отождествим эти клики. Такая операция сшива-
ния графов G и G' по клике Fk, очевидно, неоднозначна: в исходных графах мо-
жет быть более чем по одной /с-клике, а после выбора пары клик их отождеств-
ление возможно к\ способами. Однако независимо от того, какой из результа-
тов операции обозначен символом G(k)G\ справедлива формула
ir/TW-'r' "v* (j-ky.U-ky.
gi (G (k)G ) Д £ (i-,)!(i-/)!O+/-(-*:)! gj (^)g/ (G )•
12.	Доказать, что, несмотря на неоднозначность операции сшивания
(упражнение 11), при любом к>0
r(G@G') = max{/(G)> y(G')} и q^(fc)G')=max{q(G), r/(G')}.
См. также хроматическое число произведений графов [УС].
§1.6. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ПЛОТНОСТИ
И НЕПЛОТНОСТИ
Мы видим, что драматические события, разыгравшиеся вокруг
проблемы изоморфизма, отнюдь не являются трагическими: как и
драма идей в физике, эти события знаменуют прогресс науки, а в
самой теории графов выдвинули на одну из главных ролей плот-
ность ф((7); равноценное значение имеет и неплотность, поскольку
<p(G) =£((?), а переход к дополнительному графу не составляет
большого труда — по крайней мере при тех способах задания гра-
фа, которые перечислены в начале § 1.4. Именно к этим двум инва-
риантам наиболее естественно и просто приводит ряд классических
задач, близких к проблемам изоморфизма и изоморфного вхожде-
ния (хотя столь же универсальную роль в принципе могут играть и
другие характеристики графа: см., например, упражнение 2).
Глядя на структурные формулы органических соединений
рис. 1.6.1, не так-то легко сразу сказать, разные ли это вещества. Не-
большое видоизменение конструкции Визинга сводит этот вопрос к
нахождению плотности вспомогательного графа; для иллюстрации
метода мы изберем менее громоздкий пример (рис. 1.6.2), пренебре-
гая во имя наглядности тем обстоятельством, что ответ здесь очеви-
ден и без «графских ухищрений».
62
Основы теории графов
Рис. 1.6.1. Черные кружочки — атомы углеро-	Рис. 1.6.2
да; каждый такой атом соединен еще с атома-
ми водорода (не показанными на рисунке) в
количестве, дополняющем число инцидент-
ных ребер до 4 (валентности углерода)
Будем рассматривать структурную формулу как взвешенный
граф — функцию, заданную на вершинах и ребрах этого графа. Ве-
сом вершины служит символ химического элемента (или радикала
вроде СНз и NO2 на рис. 1.6.1), а весом ребра — кратность химиче-
ской связи1. Придерживаясь способа изображения, принятого в хи-
мии, но не желая при этом выходить за пределы класса обыкновен-
ных графов (хотя и взвешенных), будем пучок из двух или трех па-
раллельных ребер заменять одним ребром веса 2 или 3. Химическая
идентичность веществ (если отвлечься, скажем, от разницы в про-
странственном расположении атомов по отношению друг к другу)
выражается изоморфизмом соответствующих взвешенных графов в
следующем смысле: два таких графа изоморфны, если между множе-
ствами их вершин можно установить взаимно однозначное соответ-
ствие, при котором соответственные вершины имеют одинаковый
вес, и ребра, соединяющие соответственные пары вершин, тоже об-
ладают одинаковым весом (или оба отсутствуют). Применяя к взве-
шенным графам конструкцию Визинга (§ 1.5), надо включать в граф
G-GnG' не всевозможные пары вершин (первая из G, вторая из G'),
а лишь пары вершин одинакового веса, и считать в G смежными
только такие вершины, которые возникают от наложения пар при
условии, что налегающие ребра имеют одинаковый вес (или оба от-
сутствуют).
Ясно, что данные взвешенные графы изоморфны тогда и толь-
ко тогда, когда (p(G) равна п — числу вершин каждого из них (по
1 В более сложных случаях можно различать также типы связей: ковалентная, ион-
ная, водородная и пр.
Глава 1. Идентификация
63
понятной причине мы счи-
таем его одинаковым в обо-
их соединениях). Для рас-
сматриваемого простого
примера построение графа
G показано на рис. 1.6.3;
здесь и = 6, (p(G) = 4, т. е. хи-
мические соединения раз-
личны. Усвоив метод, чита-
тель сможет теперь проде-
лать то же для более слож-
ного примера рис. 1.6.1.
© © © ® © ®
Рис. 1.6.3
Еще в конце позапрошлого века выдающийся немецкий алгеб-
раист Г. Фробениус поставил следующую задачу. Пусть А и А' -
квадратные матрицы одинакового размера их л с элементами произ-
вольной природы; требуется узнать, будут ли эти матрицы сильно
подобны, т. е. можно ли их перевести друг в друга перестановкой ря-
дов (§ 1.3). С чисто классической точки зрения, не принимающей во
внимание реальные физические возможности живого математика
или вычислительной машины, задача тривиально решается в конеч-
ное число шагов: надо к одной из матриц последовательно приме-
нять перестановки рядов (а всех перестановок и!) и каждый раз
сравнивать результат со второй (неизменной) матрицей. Но мы уже
знаем, сколь неэффективна такая процедура даже при не слишком
больших п.
Легко указать очевидное необходимое условие сильного подо-
бия: обе матрицы должны содержать одни и те же элементы, при-
чем одинаковые — в одинаковых количествах; то же справедливо
отдельно для главных диагоналей. Но вместо того, чтобы приво-
дить дальнейшие примеры необходимых условий, «утешим» чита-
теля: все известные легко проверяемые условия таковы, что множе-
ство пар матриц, для которых они выполняются, столь же
«необозримо», как и множество пар всех вообще их и-матриц (с эле-
ментами не менее чем двух разных типов). Тем самым и для проб-
лемы Фробениуса вопрос сведения приобретает особый интерес.
На сей раз мы не побоимся выйти за пределы класса обыкновен-
ных графов и будем рассматривать полные графы Бержа\ из каждой
вершины в каждую другую идет ровно одна дуга, а каждой вершине
64
Основы теории графов
инцидентна ровно одна петля (см. рис. 1.6.4 для и = 4). Матрице
Л =|1а1/11й (с произвольными элементами) отнесем весовую функцию,
определенную на ребрах полного графа Бержа с вершинами 1,2, ...,
п следующим образом: петле И припишем вес aih а дуге ij (zV j) — вес
ay, На рис. 1.6.5 приведен пример матрицы и соответствующего
взвешенного графа.
-------=Йг
Д к а
& Д п 1
а Д div
р 6 л V
Рис. 1.6.4
Рис. 1.6.5
Ясно, что две матрицы сильно подобны тогда и только тогда,
когда их взвешенные полные графы Бержа изоморфны: множества
вершин можно привести во взаимно однозначное соответствие, со-
храняющее веса ребер (с учетом направления дуг; именно, если вер-
шинам zV j первого графа отвечают соответственно вершины Г и jf
второго, то дуга 7/ первого графа должна иметь тот же вес, что и ду-
га г\/' второго, a — тот же вес, что и Применяя к взвешенным
графам Бержа конструкцию Визинга, надо включать в образуемый
обыкновенный граф G лишь те вершины, которые представляют па-
ры вершин с петлей одинакового веса, и не смущаться, что теперь
может отсутствовать симметрия: если в (Гвершина ij' смежна с то
не обязательно z7' смежна с kj'. Для матрицы А рис. 1.6.5 и матрицы *
А =
V	к	р	О
div	Д	а	$
а	а	Д	л-
& Д
построение графа G дано на рис. 1.6.6. Так как здесь (p(G) = 4, то
матрицы А и А' сильно подобны (и по вершинам 4-клики в G легко
найти подстановку строк и столбцов, переводящую А в А').
Глава 1. Идентификация
65
Остановимся теперь на сведении задачи нахождения хроматиче-
ского числа обыкновенного графа G к определению неплотности
вспомогательного графа. В работе В.Г. Визинга и Г.С. Плесневича
(Сибирский матем. ж., 6 (1965), № 1, 234—236 [66, 1А422]) второй
автор предложил следующий способ: образуем декартовы произве-
дения GxFj(=G), Gx/*2, наименьшее р, при котором
£(GxFp)=fl, и есть искомое /(G). Доказательство несложно и мо-
жет быть предложено читателю как полезное упражнение, а мы пе-
рейдем к конструкции В.Н. Люботы (Одесский семинар, сентябрь
1978 г.), в которой использована та же идея, но вместо последова-
тельности вспомогательных графов строится только один1.
Пусть для данного графа G = (Z, U) заранее известна какая-то
верхняя оценка у хроматического числа: на худой конец можно за у
взять число вершин n-n(G'). Построим декартово произведение
G*Fy исходного графа на у-клику, иначе говоря, нарисуем «в виде
столбцов» у экземпляров графа G и соединим между собой все раз-
личные вершины в каждой «строке». Затем для каждого экземпляра
введем добавочную вершину, соединим ее со всеми вершинами это-
го экземпляра и полученный граф (рис. 1.6.7) обозначим через G'.
Докажем, что у (G) = M+y-£(G').
1 К этому же кругу вопросов можно отнести следующий результат: S. Poljak (Com-
ment. mat. Univ, carol., 15 (1974), № 2, 307—309 [75, 1B564]) по данному G строит такой
G\ что у (G') = n(G)+m(G)-e(G).
66
Основы теории графов
Рис. 1.6.7
Сначала убедимся в справедливости
неравенства у (G) >п +у -е (G*) или, что рав-
носильно, неравенства
E(G')>n+y-у (G).
Пусть вершины графа G правильно
раскрашены наименьшим возможным ко-
личеством цветов 1, 2,	/(G); для на-
глядности расположим граф G так, чтобы
выше всех находились вершины цвета 1,
под ними — вершины цвета 2 и т. д. (см.
рис. 1.6.8, на котором ребра не изображе-
ны). Беря теперь в первом столбце графа
G' те вершины, которые отвечают (т. е.
находятся в тех же строках) вершинам
цвета 1 в G, во втором столбце — вершины, отвечающие вершинам
цвета 2 в G, и т. д. и присоединяя к ним у -у (G) вершин добавочной
строки из неиспользованных столбцов, как показано на рис. 1.6.8,
получим множество Е, вершины которого в силу определения гра-
фа G' попарно несмежны. Легко видеть при этом, что количество
элементов |£|=и+у-у (G). Мы не знаем пока, является ли груда Е
наибольшей в G', но заведомо £(G')>|E|.
Для доказательства требуемого равенства осталось показать,
что
у (G)<n+y-s(G')-
Глава L Идентификация
67
Пусть Е — наибольшая груда в G\ имеющая к тому же среди всех та-
ких груд меньше всего вершин в добавочной строке; для наглядно-
сти пусть эти вершины (если они есть) находятся под последними
экземплярами графа G, а вершины Е, принадлежащие первому, вто-
рому и т. д. экземплярам, расположены так, как на рис. 1.6.8.
Окрасим цветом 1 те вершины графа G, которые отвечают вер-
шинам Е, попавшим в первый экземпляр; цветом 2 — вершины G,
отвечающие вершинам Е из второго экземпляра; и т. д. Если бы по-
сле этого в G осталась неокрашенная вершина х, то можно было бы
удалить из Е какую-нибудь вершину у добавочной строки (случай,
когда таких у нет, мы рассмотрим отдельно), а зато пренести в Е
вершину z, находящуюся на пересечении х-строки с ^-столбцом гра-
фа G'; но Е' = (Е \ j>)U{z} — груда сп(Е')=е(О')ис меньшим, чем у Е,
количеством вершин в добавочной строке, вопреки минимальности
последнего. Таким образом, раскраска полная, а правильность ее
следует из того, что вершины Е попарно несмежны в G'. Если у —
число цветов при этой раскраске G, то в добавочной строке нахо-
дится у -у вершин множества Е, общее же число его вершин
n(E)=E(G') = n+y-у, откуда у =n+y-E(G'). А так как все вершины
G удалось правильно раскрасить у цветами, то y(G)<y.
Остался случай, когда у груды Е совсем нет вершин в добавоч-
ной строке, т. е. у =у; но тогда е (G') ~п и доказываемое неравенство
становится тривиальным.
Прием введения добавочной строки применим и к решению ряда
других задач; некоторые из них, в частности связанные с раскраской
вершин в предписанные цвета [УС], рассматривает В.Н. Любота
(ГГиДОЗ, 1982, 98—104 [82, 6В710]), а еще одной посвящено упраж-
нение 4.
Упражнения и дополнения
1.	Граф Бержа общего вида — это произвольный су-
граф полного, т. е. может содержать не все ребра; пример
четырехвершинного графа Бержа приведен на рис. 1.6.9.
Применяя конструкцию Визинга, свести проблемы изо-
морфизма и изоморфного вхождения таких графов к на-
хождению плотности вспомогательного обыкновенного
графа.
68
Основы теории графов
2.	Числом всесмежности р (G) графа G = (X, U) называется мощность наи-
меньшего такого подмножества УсХ, что каждая вершина из X\Y имеет хотя
бы одну смежную в Y. Было бы интересно свести задачу нахождения этого ин-
варианта к нахождению плотности (или неплотности) вспомогательного графа,
но пока известно лишь обратное сведение.
По заданному G построим обыкновенный граф G' = (XUIX К), вершинами
которого служат вершины и ребра исходного, а множество ребер V состоит из
пар ху с х, у е X, х * у, и из пар хи, где х е X, и е U и вершина х инцидентна
ребру и в графе G; образно: делим каждое ребро исходного графа пополам но-
вой вершиной, а все старые соединяем друг с другом.
Доказать, что £ (G) = n(G)-/3 (G'). В.Г. Визинг [72, ЗВ275].
2'. р (G)<[1+ In5 (G)]п (G)/[l+5 (G)].	В.И. Арнаутов // ПМП, 1974, 3-8
[74, 5В442].
2". /?(G)<(n-j-l)(n-5-l)/(n-l)+2. D. Marcu [88, 4В580].
2'". Доказать, что если граф G связен, то т (G)>2/3 (G)-l, и описать графы,
для которых имеет место равенство. J.A. Bondy // JCTh, В24 (1978), № 1, 51—52
[78, 7В782].
3.	Свести к нахождению неплотности вспомогательного графа задачу о
наименьшей трансверсали: для данного семейства S={H^,	Ял} непус-
тых конечных множеств найти наименьшее (по количеству элементов) множе-
ство Т, имеющее непустое пересечение с каждым Н. И.М. Горгос (Кишинев-
ский семинар, март 1978 г.).
4.	Пусть даны к семейств S1 ={М{, М12, ..., М1п} непустых конечных мно-
жеств (/ = 1,2, ...,£); количество множеств в каждом семействе считаем одним и
тем же (п), а также предполагаем, что
U м} = U л/? =... = и м*=х.
1=1	1=1	1=1
Множество {Х|, х2, ..., хл}^ X называется общей системой различных предста-
вителей (ОСРП) этих семейств, если для каждого / = 1,2,... к имеется такая пере-
становка I] (Z), 1*2 (/)>•••»(0номеров 1,2, ..., п, при которой х,еМLj = \,2,
п. Проблемы существования ОСРП и нахождения всех таких систем для задан-
ной системы семейств множеств следующим образом сводятся к нахождению не-
плотности и выявлению наибольших груд вспомогательного обыкновенного
графа.
а) Пусть сперва к = 1 и 51 = 5={М\, М2,  Мп}. Построим граф G, верши-
нами которого служат упорядоченные пары 7х, где iе{1, 2, ..., п} и хе Л/,
(удобно расположить эти вершины в таблицу, строки которой соответствуют
п
множествам семейства 5, столбцы — элементам множества X = U •, а на пере-
<=1
сечении i-й строки с х-столбцом находится вершина графа G тогда и только
тогда, когда хеMj (см. рис. 1.6.10)).
Глава 1. Идентификация
69
Вершины 7х и jy графа G считаются смежными, когда i * j&x = у или
i = j&x*y.
Рис. 1.6.10
Доказать, что £ (С)<и, причем равенство достигается в том и только том
случае, если у семейства 5 есть хотя бы одна СРП (система различных предста-
вителей — ОСРП при k = 1); более того, все такие СРП взаимно однозначно со-
ответствуют всем £ (G)-грудам графа G.
Чем отличается СРП от трансверсали (упражнение 3) того же семейства?
Выяснить, имеются ли СРП у семейства S на рис. 1.6.10, и если да, то найти
их все; то же для семейства {a, b, с, d, е}\ {с, е, /}, {с, /}, {с, Л-
б) Пусть теперь к >2. Построив для каждого семейства S1 2, ..., к)
свой граф G1 как в предыдущем пункте, расположим эти графы друг под дру-
гом так, чтобы их столбцы, отвечающие одному и тому же элементу множест-
ва X, составляли общий столбец, и добавим еще одну строку вершин, роль ко-
торых играют элементы множества X. Каждую вершину добавочной строки со-
единим ребрами со всеми вершинами своего столбца (рис. 1.6.11) и полученный
граф обозначим через G.
Доказать, что £((?)<л (&-!) +|У|, причем
равенство достигается в том и только том
случае, когда у данных к семейств есть
ОСРП, и тогда эти ОСРП взаимно однознач-
но соответствуют £ (С)-грудам графа G.
Н.Т. Божкова, А.А. Зыков // ГГиДОЗ, 1982,
21—23 [82, 6В502].
5.	Семейства S1, S2, ..., Sk имеют
ОСРП тогда и только тогда, когда существу-
ет перенумерация элементов X, при которой
Рис. 1.6.11
|/|<
и А Лф
,e/U=1
V/c{i, 2, ..., л}:
Д.З. Гафуров [83, 11В547 (препринт)].
70
Основы теории графов
Обобщению задачи о СРП, когда представителями служат не отдельные
элементы, а подмножества, посвящена работа Л.Л. Дюковой (Матем. заметки,
12(1982), № 6, 789-798 [83, ЗВ452]).
6.	Пусть Л ={%], х2,	А/, X], х2, X/} — алфавит, буквами которого слу-
жат булевы переменные и их отрицания, и пусть
/(Х|, Х2> •••> */) = (У11 vy12v...)&(y2l vj'22v---)&---&0'ml v^m2v- -)
— функция от xb х2, ..., X/ в конъюнктивной нормальной форме, где все
у у е А и никакие у у и у у (т. е. стоящие в одних и тех же скобках) не являются
отрицанием друг друга. Построим обыкновенный граф 6, вершинами которо-
го служат упорядоченные пары где / = 1, 2, т, причем вершины iyч- и
i' у , считаются смежными, когда i*i\ а у у и у^> не являются отрицаниями
друг друга.
Доказать, что (р (<7)< т и что равенство имеет место в том и только том слу-
чае, если функция f выполнима, т. е. принимает значение 1 при некоторой сис-
теме значений переменных х, е{0, 1). С.А. Кук, Р.М. Карп (отдельные статьи)
(Кибернетический сборник, новая серия, 12 (1976)).
Будут ли всевозможные системы значений аргументов, выполняющие /,
взаимно однозначно соответствовать m-кликам графа (7?
См. далее: Е.В. Трубникова [83, ЗВ582].
§ 1.7. АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ, НЕПЛОТНОСТИ
И ИЗОМОРФИЗМА
Как было сказано во введении, описание алгоритмов не входит
в задачу книги. Учитывая, однако, значительную роль плотности и
неплотности, а также принципиальный характер и практическую
важность проблемы изоморфизма, мы остановимся здесь на некото-
рых алгоритмах, статистическая эффективность которых (см. конец
§ 1.4) подтверждается практикой.
Не требует никакой изобретательности следующий процесс на-
хождения плотности, точнее, выявления какой-нибудь наибольшей
клики. Пусть вершины графа G = (Х, U) пронумерованы: X={х1? х2,
..., хп}. Выберем вершину хь затем первую смежную с ней xz, потом
первую Ху, смежную с обеими (1 <z<j), и т. д. пока возможно, и
пусть р — число вершин выявленной таким образом клики. Попыта-
емся увеличить это число, рассматривая другой вариант процесса:
вместо вершины хк, добавленной к некоторой клике на последнем
Глава 1. Идентификация
71
шаге, добавляем другую вершину X/ с / > к, тоже смежную со всеми
вершинами этой клики (если такая xz есть), в надежде, что продол-
жение процесса по новой ветви окажется более успешным и даст хо-
тя бы (р + 1)-клику, а если ни одна замена вершины не приводит к
цели, возвращаемся еще на один шаг и т. д.; может случиться и так,
что мы окажемся в исходной вершине Xj — тогда повторяем весь
процесс, но уже начиная сх2; ... От общего числа шагов порядка л!
могут спасти следующие два обстоятельства.
1) Если когда-то уже была найдена р-клика, а затем на некото-
рой ветви процесса образовалась g-клика от присоединения (к ка-
кой-то другой, вообще говоря, клике) вершины ху с номером
j>n-p+q, то развивать эту ветвь не имеет смысла, ибо ни одной
клики более чем с р вершинами она все равно дать нс может.
2) Пусть из некоторой сформированной клики F мы удалили
последнюю присоединенную вершину и вместо нее собираемся
добавить х/ с I >к; но это заведомо не имеет смысла делать, если все
те вершины клики F \ х^, которые смежны с х/, смежны также с хд..
Весь процесс с учетом обоих обстоятельств представляет собой
частный случай хорошо известного метода ветвей и границ, пред-
лагался в разное время устно и письменно многими авторами, и
установить приоритет здесь затруднительно, да и вряд ли нужно.
Вариант технического воплощения этого процесса, доложенный
А.А. Зыковым на Одесском семинаре в сентябре 1974 г. (Графы, ги-
перграфы и дискретные оптимизационные задачи. Киев: Знание,
1976/77, 45—49; много опечаток!), для удобства ссылок именуется
одесским алгоритмом; приводим его исправленное описание.
Пусть граф G = (X, U) задан следующим образом: множеством
вершин служит упорядоченное X={1, 2, ..., п} и для каждого i^X
выписано подмножество Ах={j^XIj>i8cij^U}(Z.X (см. начало
§ 1.4). В работе алгоритма участвуют:
а)	постоянный список {AJi^X} и постоянные величины
n = n(G) =|Х|, k = max{ieXI Aj *0};
б)	переменные величины А (верхняя оценка разности n-(p(G),
Де{1, 2, ..., к}) и 5е{0, 1, ..., А};
в)	переменный список 5, содержащий одновременно не более к
строк вида /, 5, А, где ze{0, 1, к} — индекс строки, и переменное
множество АсХ.
72
Основы теории графов
Работа алгоритма состоит в создании и изменении множеств А9
списка 5 и чисел 8, Д по следующим правилам. Поначалу полагаем
Д:=&, образуем список S' из единственной строки
О, 0, 0
и переходим к пункту 1 (-» 1).
1.	Пусть	i, 89 А	(♦)
— последняя (с наибольшим индексом i) строка списка S; тогда
если i<k&i+leА9 то —> 1.1;
если i<k&i + lgA9 то —> 1.2;
если i=k9 то -> 1.3.
1.1.	5:=[ЭД’+1, S9 Л)]\{(*)} —> 1;
1.2.	Вычисляем <5'=|Л/+]\Л| и
если 8+8'<Д&<5'>0, то —> 1.2.1;
если 8+8' <Д&<5' =0, то —> 1.2.2;
если 8+8' >Д, то -> 1.3.
1.2.1.	A:=AUAi+l, 5:=5U0’+l, 8+8', Л)1 -> 1;
1.2.2.	Л:=лиЛ,+1> 5:=[5U(i + l, 8+8', Л)]\{(*)}-> 1.
1.3.	Если i<k, то -+ 2;
если i=k, то A:=min{5, Д}, 5:=5\{(*)} -> 2.
2.	В случае 5=0 процесс окончен и <р(б:)=л-Д, в случае же
5*0 пусть (*) — последняя строка 5, тогда
если <5>Д-1, то 5:=5\{(*)} —> 2;
если 5<Д-1, то -> 3.
3.	5:=[5U0 + l, 5+1, Л)] -+ 1.
Проиллюстрируем работу алгоритма на примере графа
рис. 1.7.1; здесь Ах ={23678}2, Аг ={<?},	={< 5}, Л4 ={568}, А5 »Л6 =
=?8}, A-j={8}, Л8=0, к = 1.
Полагаем Д:=7 и образуем список 5 из единственной строки
0, 0, 0.	(1)
I С новым А.
7 Мы не разделяем запятыми элементы в множествах вершин.
Глава 1. Идентификация
73
Чтобы не переписывать весь 5 после каж-	1
дого изменения, будем нумеровать (справа в 4^7—5
скобках) строки этого списка, причем если до- |/Т\1
бавление строки не сопровождаются удалени- 7—3—6
ем никакой прежней, то номером новой стро-	8
ки считаем следующий по порядку за номером рис j 7 }
последней старой, а в противном случае — но-
мер удаляемой; таким образом, в каждый момент процесса послед-
ний из номеров справа равен количеству строк списка S в этот мо-
мент1. Небольшие пояснения по ходу процесса помещаем в квадрат-
ных скобках.
1. 0	< 7 [= к] к 1 g А [= 0]
1.2. 8'	= 5 [= |{23678}\А|] & 0 + 5 < 7
1.2.1.	1,	5,	{23678}	(2)
1. 1	< 7 & 2 е А [= {23678}]
1.1.	2,	5,	{23678}	(2)
1. 2	< 7 &. 3 е А
1.1.	3,	5,	{23678}	(2)
1. 3	< 7 Sc 4 й А
1.2. 8'	= 1 [= ]{568} \ {23678} |] & 5 + 1 < 7
1.2.1.	4,	6,	{235678} (3)
1. 4	< 7 & 5 е А [= {235678}]
1.1.	5,	6,	{235678} (3)
1. 5	< 7 & 6 е А
1.1.	6,	6,	{235678} (3)
1. 6	< 7 & 7 е А
1.1.	7,	6,	{235678} (3)
1.7=7
1.3. Д: = min {6, 7} = 6, удаляем (3)
2.	(2) , 5 > 6 - 1, удаляем	(2)
2 .	(1) , 0 < 6 - 1	
3.		1, 1, 0	(1)
1.	1<7&2£А[=0]	
1 При осуществлении процесса вручную каждая удаляемая строка вычеркивается
(на компьютере — просто стирается).
74
Основы теории графов
1.2. <5' = 1&1 + 1<6
1.2.1.			2,	2,	{8}	(2)
1.	2 <7 & 3 (Е А					
1.2.	<5' = 0& 2 + 0<6					
1.2.2.			3,	2 ,	{8}	(2)
1.	3 < 7 & 4 « А					
1.2.	8' = 2& 2+ 2<6					
1.2.1.			4,	4,	{568}	(3)
1.	4 < 7 & 5 6 А					
1.1.			5,	4,	{568}	(3)
1.	5 < 7 & 6 е А					
1.1.			6,	4,	{568}	(3)
1.	6 <7 & 7 £ А					
1.2.	<5' = 0& 4 + 0<6					
1.2.2.			7,	4,	{568}	(3)
1.	7 = 7 [= к]					
1.3.	Д: = min {6, 4} = 4,	удаляем ।		(3)		
2 .	(2) , 2 < 4 - 1					
3.			4,	3,	{8}	(2)
1.	4 < 7 & 5 «Е А					
1.2.	<5' = 1& 3+1<4					
1.2.1.			5,	4,	{78}	(3)
1.	5 < 7 & 6 е А					
1.2.	<5'=0&4 + 0<4					
1.2.2.			6,	4,	{78}	(3)
1.	6 <7 & 7 6 А					
1.1.			7,	4,	{78}	(3)
1.	7=7					
1.3 .	Д: = min {4, 4} = 4,	удаляем i		(3)		
2.	(2) , 3 >4-1, удаляем		(2)			
2.	(1) , 1 < 4 - 1					
3 .			2,	2,	0	(1)
1.	2 < 7 & 3 (Е А					
1.2.	<5'=0&2+0<4					
1.2.1.			3,	2,	0	(2)
Глава 1. Идентификация
75
1.	3 <7 & 4 £ А
1.2	. <5' = 3& 2+ 3>4
1.3	. 3 < 4
2.	(2) , 2 < 4 - 1
3-	4,	3, 0	(2)
1.	4 < 7 & 5 £ А
1.2.	<5'=2&3+2>4
1.3.	4 < 7
2.	(2) , 3 > 4 - 1, удаляем (2)
2.	(1) , 2 < 4 - 1
3-	3, 3, 0	(1)
1.3 . 3 < 7
1.	3 <7 & 4 «Е А
1.2.	8' = 3& 3+ 3>4
2.	(1) , 3 > 4 - 1, удаляем (1)
2.	S = 0, А = 4, <р (G) = 8 - 4 = 4, конец.
Мы остановились на этом алгоритме столь подробно, полагая,
что благодаря естественности и теоретической простоте он может
служить одним из эталонов при общем исследовании трудоемкости.
Многочисленные неудачные попытки создать алгоритм полиноми-
альной сложности для нахождения плотности (или неплотности)
свидетельствуют в пользу его принципиальной невозможности, а
результаты А.Д. Плотникова (A.D. Plotnikov. Polynomial-time parti-
tion of a graph into cliques // South West J. Pure and Appl. Math.,
1(1996), 16-21, <http://www.busygin.dp.ua/clipat.html>, <http://www.
geocities.com/st_busygin/call.htmp> (mirror)) еще нуждаются в тща-
тельной проверке; их безукоризненное доказательство (влекущее
ликвидацию понятия NP-полноты) явилось бы сенсацией, но и это
не адекватно практической эффективности алгоритма (см. введе-
ние). А так как сама задача очень важна, то в [УС] мы приводим
внушительный список публикаций по алгоритмам нахождения
плотности и неплотности (включая приближенные, эвристические,
статистически эффективные, а также относящиеся к специальным
классам графов).
Другой подход к нахождению плотности предложил на том
же семинаре В.Г. Дюканов (Киев); его алгоритм отличается от
76
Основы теории графов
одесского тем, что приближение к искомой величине происходит не
снизу, а сверху. Алгоритм основан на трех очевидных леммах.
(1)	Если (p(G)-p, то в графе G найдется по крайней мере р вер-
шин степени >/7-1.
(2)	Если вершина х графа принадлежит клике Fp , то по крайней
мере р-1 вершин, смежных с х, обладают степенями >/?-!.
(3)	Пусть Хр — некоторое подмножество вершин со степенями
>/7-1, каждая из которых смежна по крайней мере с р- \ верши-
нами степени >р-\ в G; если |Jfp| =р и каждая хеХр имеет р-\
смежных вершин в Хр , то это множество порождает /7-клику.
Краткая схема алгоритма: сначала полагаем /7 = s(G) + l и прове-
ряем выполнение необходимых условий (1) и (2); в случае невыпол-
нения хотя бы одного из них, а также в случае, когда они выполне-
ны, но поиск Fp (с использованием леммы (3)) не дает результата,
снижаем значение р на единицу и повторяем процедуру; и т. д. Чис-
ло шагов можно сократить, используя при переходе от гипотезы
(р—р к гипотезе ср=/7-1 некоторые результаты, полученные на пре-
дыдущих шагах.
По аналогии с методом хорд и касательных для приближенного
вычисления корней уравнения, можно ожидать, что комбинирова-
ние обоих алгоритмов несколько ускорит нахождение плотности.
Однако для чрезмерного оптимизма оснований пока нет. В своем
выступлении В.С. Рублев (Ярославль), опираясь на эксперименталь-
ные данные, утверждал, что существующими методами находить
хроматическое число предпочтительнее, чем плотность, и поэтому
целесообразно сводить вторую задачу к первой, а не наоборот; за-
метим, что при этом могут оказаться полезными оценки из упраж-
нений 5—9 и 11 к § 1.3, а также более раннее наблюдение А.П. Ершо-
ва и Г.И. Кожухина, что графы G с y(G)><p(G) + l очень редки.
Следующий способ выявления всех максимальных (по включе-
нию) клик вытекает из алгоритма нахождения ядер в ориентирован-
ных графах (§ 4.3 и упражнение 6 к нему), но независимое обоснова-
ние этого способа для обыкновенных графов несложно и уже сейчас
может быть предложено читателю.
Пусть Fmax (G) — система (множество) всех максимальных клик
графа G, a G+ получен из G добавлением новой вершины t и ребер,
Глава 1. Идентификация
77
соединяющих ее с некоторыми вершинами G. Покажем, как ностро-
ить Fmax (G+ ) по Fmax (G).
Будем просматривать по порядку все клики FeFmax(G); для
каждой из них в графе (7 + возможны два случая.
1.	Все вершины F смежны с I. Тогда включаем в «предваритель- '
ную» (избыточную) систему Fmax (G+ ) клику F • l, порожденную все-
ми вершинами F вместе с вершиной Z1.
2.	Не все вершины F смежны с I; пусть смежные с t вершины в F
образуют клику (или пустое множество) F'. Тогда
а)	включаем в Fmax (С+ ) клику F;
б)	включаем в Fmax (G+) клику F't при условии, что никакая
вершина из G\F не смежна с t и всеми вершинами F' (в случае
Г'=0 добавляемая клика — одновершинная ({/}, 0)).
Система Fmax (G+), составленная в результате просмотра всех
клик F 6 Fmax (Ст), содержит все максимальные клики графа G+. Для
получения Fmax (G+) надо из избыточной системы Fmax (G+) уда-
лить клики, являющиеся подграфами других ее клик, в частности
устранить дублирования; это можно делать и в процессе построения
избыточной системы, не дожидаясь его завершения.
Проиллюстрируем работу алгоритма на примере графа
рис. 1.7.2, взяв за исходный G треугольник abc. Все клики записыва-
ем множествами их вершин (без скобок и запятых).
Процесс передан последовательностью
строк, каждая из которых соответствует опреде-
ленному графу; следующий граф получается из
предыдущего добавлением вершины, отмечен-
ной спереди знаком +. Строка состоит из клик
системы Fmax, а после вычеркиваний — из клик
системы Fmax соответствующего графа; клики,
полученные от просмотра одной и той же клики
предыдущей строки, отделяются друг от друга
запятой, а полученные из разных клик — точкой
с запятой (обратите внимание на условие в п. 26).
Смысл подчеркиваний будет раскрыт позже.
1 Обозначение F t согласуется с определением произведения графов (§ 1.3), если тол-
ковать ( как одновершинный граф.
78
Основы теории графов
Граф	abc) abc.
+d) abc, acd.
+е) abc, се; acd;
+/) abc, acf; cef; acd; dbf
+g) abcg; acfg; cefg; acd.
+h) abcgh; acfg; cefg; acd.
+i) abcgh, acghi; acfg; cefg; acd.
+j) abcgh; acghi, gij, acfg; cefg; egj; acd.
Таким образом, для всего графа рис. 1.7.1
Fmax={^gA, ac^hi, ZU’ acf& cef& egj, acd}.
Желая выявить не все максимальные клики, а только наиболь-
шие1, можно из каждой системы Fmax (для промежуточного графа в
процессе) удалять всякую такую клику, число вершин которой в
сумме с числом оставшихся ниже строк меньше количества вершин
какой-то другой клики в этой системе. Удаляемые на этом основа-
нии клики в примере подчеркнуты дважды: так, в строке +/) клика
acd, даже если бы она вместе с оставшейся вершиной (J) образовала
клику, не может соперничать с abcgh (или с acghi). По аналогичной
причине, если надо выявить только какую-нибудь наибольшую кли-
ку (в частности, найти плотность), то можно удалять и клики, под-
черкнутые один раз.
При обосновании алгоритма просим читателя обратить внима-
ние на одну тонкость. В случае 2 клика F' t не включается в
Fmax (G+), если граф G\F содержит вершину х, смежную с Z и со
всеми вершинами F'. Но тогда кажется естественным включить в
Fmax (^+) клику, порожденную вершинами F' вместе с t и х. Почему
в п. 26) это не делается и не приведет ли такое «упущение» к потере
некоторых максимальных клик заданного графа? Не мешало бы вы-
яснить также, для каких графов не все одновершинные клики, воз-
никающие на этапах типа 26) при F' =0, в дальнейшем исчезают (от
«ликвидации излишеств» Fmax —> Fmax).
1 Заметим, что и в ходе одесского алгоритма фактически фигурируют все наиболь-
шие клики, и несложное его усовершенствование (предоставим это читателю) позво-
ляет выписать их явно. Графы, в которых все максимальные клики являются наибо-
льшими, описывает И.Э. Зверович (Матем. заметки, 67 (2000), № 6, 52—56 [00, 5В287])
в терминах запрещенных частей.
Глава 1. Идентификация	79
В классе всех обыкновенных графов или любом таком его под-
классе, которому вместе с графом G принадлежит и дополнитель-
ный G, задачи нахождения неплотности и выявления груд, как мак-
симальных, так и наибольших, сразу же сводятся к уже рассмотрен-
ным (и наоборот) переходам от G к G, так что если пренебречь слу-
чаями, когда такой переход затруднителен (см. § 1.5), то к «ср-поста-
новкам» и «^-постановкам» можно относиться как к равносильным.
О возможном количестве максимальных клик и груд в графе можно
судить по результатам, приведенным в упражнении 4.
Для некоторых классов графов благодаря особенностям их стро-
ения решение задачи о плотности может значительно упрощаться;
так обстоит дело, в частности, при использовании конструкции Ви-
зинга (§1.5) для проверки на изоморфизм двух графов G = (X, U) и
G' = (Х\ U') с одинаковым числом вершин и=)Х|=|Х'|. Как мы уже
знаем из § 1.2, соответствовать друг другу при изоморфизме могут
только такие вершины xg X и х' е X', для которых s (G, x)=s(G', х');
в терминах графа GoG' это значит, что в его и-клику может войти
лишь такая вершина хх', окружение которой О (GdG', хх') устроено
следующим образом: после надлежащих пе-
рестановок строк и столбцов графа GdG' (что
отвечает независимым перенумерованиям £х'
вершин в G и в G’) вершины, смежные с хх',
образуют квадрат или пару примыкающих	• • •
друг к другу квадратов с общей диагональю	• • •
(рис. 1.7.3). (Сразу же оговоримся, что факти-	* * * • •
чески выяснять наличие этого свойства у вер-	• •
шины можно гораздо проще, чем перебором
подстановок) Выявив в GdG' все вершины, рис> 1.73
не обладающие этим свойством, сразу же
удаляем их, не повредив ни одной из и-клик. Такую «чистку» можно
продолжать и дальше, но мы опишем заново весь процесс с более
общих позиций.
Предположим, что множества вершин графов G и G' удалось
разбить на попарно непересекающиеся классы
^=^11^211..Х)Хк ,	У'=У{и^и...1Щ	(♦)
с соблюдением следующих условий:
80
Основы теории графов
(а)	число классов к одинаково для обоих графов;
(б)	|jrz| = |JT/| при каждом z = l, 2, ..., к\
(в)	ни при каком изоморфизме графов G и G' (если они изо-
морфны) вершины классов X t и X'j с i^j не могут соответствовать
друг другу.
В частности, таковы разбиения по степеням вершин:
Xi={x^Xls(G, x) = z}, X,i={x,eX,ls(Gt, x') = f};
но для однородных графов получаются тривиальные разбиения
(& = 1) и надо классифицировать вершины по каким-то другим при-
знакам.
Пусть (GoG')i — подграф графа GoG', полученный удалением
всех таких вершин хх\ для которых хеХ, &xfeXJ &i*J; в силу
условия (а) этот подграф содержит все и-клики (если они есть) ис-
ходного графа GdG'. Новый граф (GoG')i является квадратичным'.
его вершины можно посредством перестановок строк и столбцов
GoG' сгруппировать в квадрат или в несколько квадратов, примы-
кающих друг к другу вдоль общей диагонали.
Вершина хх' графа (GaG')i заведомо не принадлежит никакой
его и-клике, если хотя бы для одного i е {1, 2, ..., к} число вершин
класса Xi9 смежных с х в G, не равно числу вершин класса JT-, смеж-
ных сх' в G'; в терминах графа (GdG')i это выражается следующим
образом: вершины окружения O((GdG')i, хх'), попавшие в «квад-
рат» XjxXj, образуют в нем (после надлежащих перестановок
строк и столбцов) не квадраты, а разносторонние прямоугольники.
Отсюда следует, что если вершина хх' в графе (GdG')] не обладает
квадратичным окружением, то она не может принадлежать никакой
и-клике; удаляя одновременно все такие вершины, получим подграф
(GoG')2, и т. д. до тех пор, пока не дойдем до графа (GdG')^, в кото-
ром окружения всех вершин квадратичны и который содержит все
и-клики исходного графа GdG'.
Сам граф (GaG')^, очевидно, квадратичен (как и все его предше-
ственники (GaG')i, ...)• Если проекции его «квадратов» на множест-
ва вершин заданных графов G и G' не исчерпывают хотя бы одного
из этих множеств, то заведомо G^ G'. В противном случае проекции
образуют пару разбиений с теми же свойствами (а)—(в), что и у ис-
ходной пары (♦); это самая детальная классификация вершин, какой
вообще можно добиться без использования каких бы то ни было их
Глава 1. Идентификация
81
различий помимо тех, которые на-
шли отражение в исходной класси-
фикации (♦). Сказанное иллюстри- f ’
рует рис. 1.7.4, где ребра графов не '*
изображены, а нумерации вершин х2{’
G и G' предполагаются выбранны-
ми так, что слово «квадраты» Азг
можно писать без кавычек.	р
В идеальном случае, когда все Л4|*
квадраты, а значит, и их проекции
G'
Рис. 1.7.4
№G')q
одновершинны, граф (GnG')^ име-
ет не более п вершин, и вопрос об
изоморфизме G и G' решается тривиально; но такой случай может
представиться лишь для графов, не допускающих никаких автомор-
физмов — изоморфизмов на себя — кроме тождественного. В общем
случае группа автоморфизмов графа, действующая на множестве его
вершин, разбивает это множество на классы транзитивности таким
образом, что автоморфизм графа, переводящий одну заданную вер-
шину в другую, существует тогда и только тогда, когда обе вершины
входят в один класс (упражнение 6). Если граф задан с точностью до
изоморфизма (в частности, его вершинам не навязаны никакие
«внешние признаки» — «ярлыки»), то отличить друг от друга верши-
ны одного класса невозможно; например, неразличимы никакие две
вершины в графах Fni Еп, Сп и графе Петерсена, неотличимы друг
от друга вершины степени 1 в веере К/ с />2 и вершины степени 2 в
клешне. Ясно, что если исходные разбиения (*) обусловлены только
«внутренними признаками» вершин графов G и G', то классы, полу-
ченные проектированием квадратов графа (GoGf>)q на А" и на X', не
могут быть «мельче» классов транзитивности, а точнее, каждый
класс транзитивности графа G (&) целиком содержится в некотором
классе-проекции Х^ (Х\).
Если для графов G и G' классы-проекции совпадают с классами
транзитивности, то вопрос об изоморфизме опять решается просто:
достаточно в графе (GdG')^ выбрать п вершин, по одной из каждой
строки и каждого столбца (в остальном произвольно), и выяснить,
порождают ли они клику. Возникает вопрос: от каких разбиений (*)
надо отправляться, чтобы получить такое совпадение классов?
В общем виде пока он не решен, а если за основу брать степени
82
Основы теории графов
вершин, то совпадения может и не быть (см. упражнение 7); однако
при «степенном» подходе дело статистически обстоит так: для слу-
чайно задаваемых неоднородных графов G и G' наличие уже одной
выборки п вершин в (GdG')^, порождающей неполный подграф, по-
зволяет «почти наверняка» заключить, что G^G' (вероятность
ошибки, и без того малая, еще больше уменьшится, если произвести
более одной и-выборки).
Остался вопрос об исходных разбиениях (*) в случае однородно-
сти заданных графов. Можно, например, классифицировать верши-
ны по более тонким свойствам их окружений, нежели количества
вершин. Самый «жесткий» подход — относить вершины в один
класс лишь тогда, когда их окружения изоморфны, — не выдержива-
ет критики: пришлось бы примерно раз решать проблему изо-
морфизма, сравнимую по сложности с такой же проблемой для па-
ры исходных графов. Поэтому целесообразно ограничиваться для
окружений какими-либо неполными, но зато легко вычислимыми
инвариантами, например векторами степеней, количествами ребер
и треугольников и т. п.
Но как быть, если с самого начала все попытки «сравнительно
простой» классификации вершин терпят неудачу: графы G и G'
столь «гладкие», что «не за что ухватиться»? В этом случае мы по-
зволим себе «роскошь» в виде перебора п возможностей. Пусть
Jf={l, 2, ..., п}, Х'={аъ а2, ...» ап}. Зафиксируем в G какую-то вер-
шину, например 1, и будем по отдельности выяснять наличие изо-
морфизмов G на & , переводящих 1 в в а2, ...,вап; если заданные
графы отличны от Fn и Еп (иначе делать нечего), то вариант, когда
1 переходит в а^, естественно порождает пару разбиений
X’ ={fl/}U{-x'e X’ I ajx' eU'}\J{y' е X'\{ai}l ajy'&U'},
которую и можно взять за начальную (*) с к-3.
Подход к проблеме изоморфизма, основанный на классифика-
ции вершин по их «внутренним признакам» в графах, предлагался
многими авторами, а комбинацию этого подхода с перебором п слу-
чаев (J.P. Steen И Rev. franf. inform, et rech. oper., 3 (1969), № 3,
51—69 [70, 12B338]) далее развивали и широко применяли в Таган-
рогском радиотехническом институте.
Глава 1. Идентификация
Синтез этих идей с конструкцией Визинга осуществил И.М. Гор-
гос (Отчет по х/д теме № 7803308 от 10 мая 1979 г., Кишиневский уни-
верситет, Б762373), но на практике лучше проводить вышеизложен-
ную схему в ином порядке, избегая громоздких процессов построе-
ния всего графа GdG' и последующих серий удалений его вершин: та-
ганрожцы предлагают сначала расклассифицировать возможно де-
тальнее вершины каждого из графов G, G' по отдельности, а затем
сразу строить граф (GdG')^ с множеством вершин (Х} xZJ)U
U (Х2 х ^2)U • •где Х\ пХ{, Х2 и Х2 и т. д. — соответствующие друг
другу классы вершин графов G и G' в окончательной классификации.
И.М. Горгос указывает также на возможность дальнейшего
упрощения графа (GdG')^ путем удаления ребер; например, если
ребро ху в G и ребро х'у' в G' принадлежат разным количествам тре-
угольников, то ребра хх'ууг и ху'ух' из графа (GdG')^ можно уда-
лить (почему?). От «прополки» ребер могут возникнуть вершины
степени менее и-1, сохранять которые тоже незачем...
Так или иначе, проблема изоморфизма, когда она возникает на
практике, успешно решается, и это наводит на мысль сводить к ней
задачу нахождения плотности произвольного графа (а не наобо-
рот). К сожалению, сколько-нибудь простое сведение такого рода
пока не известно, а очевидное сведение задачи о плотности к проб-
леме изоморфного вхождения (§ 1.5) — это совсем не то. Библиогра-
фию по алгоритмам изоморфизма см. в [УС].
Упражнения и дополнения
1.	Найти плотность графа рис. 1.7.2 с помощью одесского алгоритма.
2.	Найти плотности графов рис. 1.7.1 и 1.7.2 по методу Дюканова.
3.	Выявить все максимальные клики графов рис. 1.7.2, расположив его вер-
шины в порядке «, b, c,j, А, /, d, е, g, i; то же при условии, что требуется найти
только плотность.
4.	Для наибольшего возможного количества f (п) максимальных клик в
n-вершинном графе найдены точные выражения
Зк при п = 3к,
f Д-З*-'"1 при и = 3£+1,
2-3* при л = 3£ + 2
84
Основы теории графов
и оценено наибольшее количество различных значений числа вершин макси-
мальной клики: J.W. Moon, L. Moser // Israel J. Math., 3 (1965), № 1, 23-28
[66, 6А258]. Нижние и верхние границы количеств Zc-груд в n-вершинном графе
оценивает С. Croitoru [82, 12В642; 82#05067]; уточнение: J.R. Griggs,
Ch.M. Grinstead, D.R. Guichard H DM, 68 (1988), № 2-3, 211-220 [88, 7В631].
5.	По способу последовательного образования графов (GdG')i, (GqG,)2> •••
выяснить, какие из графов Gj = (X, U,) изоморфны, а какие нет, если
У={1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9}
={12,	14,	18,	28,	29,	ЗД	36,	37,	4$	46,	57,	69,	78,	79	89}.
[/2={12,	14,	18,	27,	29,	ЗД	36,	37,	45,	48,	56,	69,	78,	79	89}.
L/3={12,	15,	17,	26,	27,	34,	36,	39,	46,	48,	58,	59,	78,	79	89}.
U4 ={12,	1Д	17,	26,	27,	34,	36,	39,	45,	46,	48,	58,	78,	79	89}.
6.	Автоморфизм графа G=(X, U) с У ={1, 2, ..., п} можно определить
как подстановку
' 1	2	... п
а(1) а(2) ... а(п)
множества его вершин, удовлетворяющую условию
V/, jeX: у gU => a(i)a(J)eU;
произведением aft называется подстановка, состоящая в последовательном
выполнении подстановок а и р: аР (i)=P fc(/)), *=L 2, ..., п.
а)	Доказать, что множество всех автоморфизмов графа G образует относи-
тельно операции умножения группу (см., например, А.Г. Курош. Курс высшей
алгебры. М.: Наука, 1975); она называется группой автоморфизмов Aut (G) гра-
фа G.
б)	Доказать, что бинарное отношение R(i, j): «существует такой
a g Aut (G), что а («) = у» на множестве X — эквивалентность; классы, на которые
она разбивает X, называются классами транзитивности графа G (точнее, груп-
пы Aut (G), действующей на множестве вершин графа G).
в)	Найти Aut (G,) для каждого из четырех графов упражнения 5 и соответ-
ственно разбить множество вершин на классы транзитивности.
7.	Пусть 6=({1, 2, ..., 25}, U), где для каждой вершины i все смежные с
ней вершины j>i указаны в таблице:
Глава I. Идентификация
85
i		// j>i& Tj е U												
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	3	4	5	6	7	14	15	16	17	18	19	
3	4	5	6	7	20	21	22	23	24	25		
4	8	9	10	14	15	16	20	21	22			
5	8	11	12	14	17	18	20	23	25			
6	9	11	13	15	17	19	21	23	25			
7	10	12	13	16	18	19	22	24	25			
8	9	10	11	14	16	19	23	24				
9	10	12	15	17	18	22	23	25				
10	13	17	18	19	20	21	24					
11	12	13	14	15	19	21	22	24				
12	13	15	16	18	20	' 22	23					
13	14	16	17	20	21	25						
14	16	17	18	21	22	25						
15	16	17	19	20	22	24						
16	19	20	23	25								
17	18	20	24	25								
18	19	21	22	23								
19	21	23	24									
20	21	23	24									
21	22	23										
;22	24	25										
23	25											
24	25											
Показать, что для этого графа классы-проекции, полученные с помощью
графа (GdG)^, не совпадают с классами транзитивности. В.Л. Арлазаров,
А.А. Леман, М.З. Розенфельд [76, 2В505К; 58Я27590].
8.	Если вершины х и у графа G принадлежат одному и тому же классу
транзитивности, то они, очевидно, псевдоподобны: G\x - G\y', как показывает
пример рис. 1.7.5, обратное не имеет места. Пусть теперь для двух ребер и и v
86
Основы теории графов
графа G существует автоморфизм, переводящий концы и в
/ \	концы и; тогда для суграфов G\u - G\v. Верно ли обратное
®	утверждение?
S'	Далее о псевдоподобных вершинах см. [УС].
у	9. Доказать, что группа Aut (G) действует на множест-
ф	ве U ребер обыкновенного графа G =(У, U) транзитивно в
Рис 1 7 5 Т°М И только том слУчае’ ссли все графы G (Jxy, где х, у е X,
х*у и ху &U, изоморфны друг другу. D. Burns, S.F. Kapoor,
Р.А. Ostrand // Fundam. Math., 125 (1985), № 2, 125-131 [86, 5В702]. См. также
вершинно симметричный и реберно симметричный (граф) [УС].
§ 1.8. ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ И НЕПЛОТНОСТИ.
ГРАФ ТУРАНА
Для таких трудно вычислимых инвариантов, как плотность, не-
плотность, хроматическое число, число Хадвигера и др., не всегда
нужно находить точное значение: во многих задачах можно доволь-
ствоваться оценками этих инвариантов через легко вычислимые.
Предварительное знание таких оценок полезно и при точном вы-
числении, благодаря дополнительной возможности отбрасывать в
ходе процесса заведомо бесперспективные варианты.
В качестве образца, важного по своим результатам, а еще боль-
ше для овладения одним из основных методов в теории графов, рас-
смотрим задачу нахождения точных нижних и верхних оценок инва-
риантов <p(G) и s(G) через m(G) и m(G). Удобнее сначала решить
«обращенную» первую задачу: найти точную верхнюю оценку
т (п, ф) и точную нижнюю оценку т (и, ф) количества ребер
обыкновенного графа G через число его вершин n = n(G) и
плотность <p=(p(G). Нам понадобится
ЛЕММА 1.8.1. Пусть u, =xxz —ребра графа G-(X, U), инциден-
тные его вершине х (/=1, 2, ..., s=s(G, х)), а графС' = (X\J{y}, U{J
U {ухj, ух2, ..., yxs}) получен из G добавлением новой вершиныуёХ
_______и новых ребер yXj (рис. 1.8.1).
У G \ '' Тогда v(g')=<p(g)-
Рис. 1.8.1	:	Действительно, с одной сто-
\	роны <p(G')>(p(G), поскольку G
'''--''	является подграфом G'; с другой
Глава 1. Идентификация
87
стороны, если какая-то клика F графа G содержит вершину у, то F
не содержит х (ибо при построении G' эти вершины ребром не со-
единяются), и заменяя у на х, мы превратим F в изоморфную ей кли-
ку графа G, откуда <p(G)><p((?')• Операцию перехода от G к Gr назо-
вем расщеплением вершины.
Граф Gm (п, (р), обладающий наибольшим возможным количест-
вом ребер т = т (п, ф) при данном числе вершин п и данной плотно-
сти <р, называется графом Турана; исследуем его структуру. Ход ис-
следования, основанный на лемме 1.8.1, кажется нам более естест-
венным, чем доказательства окончательного результата, предло-
женные самим автором, и последующие: см. теорема Турана [УС].
Предварительно отметим очевидный факт: если n(G) = n и <р (С?) <<р,
то m(G)<m(n, <р).
С помощью леммы 1.8.1 легко устанавливаются следующие
свойства графа G=Gm (п, (р).
(А)	Несмежные вершины имеют одинаковую степень. В самом де-
ле, пусть х *у — несмежные вершины в G. Если, например, s (х) >s (у),
то удаляя из G вершину у и расщепляя затем вершину х, мы получим
rpafyG' cn(G')=n,m(G')>m(G)=m(n9 <р)и<р(Ст')<<р(С)=Ф, что невоз-
можно.
(Б) Степени любых вершин различаются не более чем на 1. Для
несмежных вершин это утверждение даже слабее (А). Если х и у —
смежные вершины G, такие что j (х) >5 (у) +1, то удаляя у и расщеп-
ляя х в полученном подграфе, образуем граф G' с n(G') = n,
m(G')>m(n, (р) и (p(Gf)<(p, что невозможно.
(В)	Отношение несмежности вершин — эквивалентность. Реф-
лексивность и симметрия этого бинарного отношения тривиальны.
В случае его нетранзитивности существовали бы такие вершины х,
у, z, что х смежна с у, но z не смежна ни с х, ни с у. По свойству (А)
5(х) =5(z) =5(у). Удаляя из G обе вершины х, у и дважды расщепляя
z, получим граф G' с n(G') = n, m(G')>m(n, ср) и cp(G')<(p, что невоз-
можно.
На основании (А), (Б) и (В) граф Gm (п, ср) определяется числами
п и ср изоморфно. Именно,в силу (В) множество вершин разбивается
на классы таким образом, что вершины каждого класса попарно не-
смежны, а всякие две вершины разных классов смежны, иначе гово-
ря, граф Турана представляет собой произведение груд. Количество
сомножителей (классов) равно (р, поскольку каждая клика, в том
88
Основы теории графов
числе наибольшая не может иметь двух вершин в одном и том
же сомножителе, а всякое подмножество вершин, взятых по одной
из разных сомножителей, порождает клику. Степени вершин в со-
множителе (вида Efc) согласно (А) одинаковы и поэтому равны
п-к9 значит, в силу (Б) количества вершин к в разных сомножите-
лях не могут различаться более чем на 1. Таким образом, если зна-
чения к суть р и р + 1 (возможно, только р), то
Gm (п, (р) — Еp+i •	•...• £^+1 • Ер • Ер •...• Ер ,
г	ф-г
где 0<г<ф и (р + 1)г +р((р-г) = п. Тем самым доказана
ТЕОРЕМА 1.8.1 (Турана). Граф Gm (п, ср) изоморфен произведе-
нию г груд типа Е р+\ и ср-r груд типа Ер, где р — частное, аг —
остаток от деления п на <р.
Искомое значение т(п9 cp) = m(Gm (п, <р)) легко находится вычи-
танием суммарного числа пар различных вершин в сомножителях
из полного количества пар несмежных различных вершин всего
графа:
т(п, (р) = । | -	- ||((р-г);
\2J к 2 )	(2 J
заменяя здесь г на п-срр, получим после преобразований
т(п, (р) = М + (р* ’1<р-рп,	(1)
\2 J к 2 )
где р=\_п!(р\.
Найти функцию т(п, (р) гораздо проще. Граф Gm (л, <р) с наи-
меньшим числом ребер т при заданных п п<р необходимо содержит
ср-клику, а кроме нее — только п-ср изолированных вершин, т. е., как
и граф Турана, определяется числами п и (р (1<<р<и) изоморфно.
Следовательно,
т(п, (р) = | |.	(2)
(2 )
Более интересен, однако, другой вариант задачи, когда ищется наи-
меньшее число ребер т-т(п, ср) связного и-вершинного графа плот-
Глава 1. Идентификация
89
ности ср (в отношении верхней оценки такой вариант не возникает,
поскольку при <р>1 граф Турана всегда связен). Здесь соответствую-
щий граф Gni (л, (р) уже не определяется изоморфно по п и (р, но яс-
но, что все такие графы (и только они) получаются следующим об-
разом: к графу Fy последовательно добавляем п-(р новых вершин,
соединяя каждую из них новым ребром с какой-нибудь вершиной
уже построенной части. Отсюда
т (п, ср) = f 4- п - (р - п + ^1^2^.	(3)
<2)	2
Итак, для числа ребер m=m(G) произвольного графа G с n = n(G)
вершинами и плотностью (p=(p(G) имеем точные оценки
т(п, (р)<т<т(п, (р),	(4)
где т(п, <р) при дополнительном условии а?((7) = 1 надо заменить на
т(л, (р). Для нахождения желаемых оценок <р (п, т) иср(п, т) плотно-
сти (р (сверху и снизу) исследуем возможность разрешения нера-
венств (4) относительно (р.
Построим координатную диаграмму, отмечая при фиксирован-
ном п те точки плоскости тО(р, которые соответствуют каким-то
графам (на рис. 1.8.2, отвечающем числу вершин л = 7, границы об-
ластей существования графов показаны ломаными линиями). Из
смысла инвариантов /и(С) и n(G) ясно, что функции (р=ф(п, т) и
Vй—•—•—•—•— х. ।—•—•—।—।—•—।—।—.—।—।—।—»
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Рис. 1.8.2
90
Основы теории графов
(р-(р(п, т) при п = const являются неубывающими от аргумента т, но
не могут увеличиваться более чем на 1, когда т возрастает на 1.
Те точки графика функции (р-(р(п, п), которые непосредственно
следуют за скачками, расположены на параболе т = <р (<р — 1) (верх-
няя штриховая линия). В пределах диаграммы функция т от (р и об-
ратная ей (р =	? рассматриваемые как функции непрерывно
меняющегося аргумента, строго монотонны, а так как скачки цело-
численной функции ф(п, т) не превышают 1, то
<р(л,	(5)
Для класса связных графов аналогичным рассуждением (соот-
ветствующая парабола изображена нижней штриховой линией) по-
лучаем
q>(n, п)=	.	(6)
Точки графика целочисленной функции ср=(р(п, т), непосредст-
венно предшествующие скачкам (и отмеченные на рисунке звездоч-
ками), составляют график функции т-т(п, (р). Разрешить это урав-
нение «в лоб» на сей раз не удается, ибо в выражение (1) для т(п, (р)
входит величина р, хитро зависящая от (р. Трудность преодолевает-
ся остроумным приемом, который предложили А.П. Ершов и
Г.И. Кожухин (ДАН СССР, 142 (1962), № 2, 270-273 [62, 9А167]) и
идея которого состоит в замене величины p=[nl(pj другой, не зави-
сящей от (р. Именно, как сейчас будет показано, если т и ср связаны
условием
(Г)
где р=[п/ср], то
/> = L"-vJ-	(7)
В самом деле, из (Г) получаем
2т - п2 -п + (р + \)р(р-2рп,
Глава 1. Идентификация
91
следовательно,
п2 - 2т = и + 2ри-(р + 1)рср = и + 2/7и-(/7 + 1)(и-г) = рп + (р + Г)г,
где г-п~р(р — остаток от деления п на ср, 0<г<(р. Отсюда
п - 2т = р +
п	п
Но 0<(p + i)r=pr+r<p(p+r = n, значит 0 < ~~ < 1 и |_и -	= р,
что и требовалось.
Разрешая теперь уравнение (Г) относительно ф, находим
ф =
2т+2рп-п (л-1)
(8)
Покажем, что при фиксированном п>2 функция
(р(т) =
2т+2р (т)п-п (л-1)
р(т) (р("1)+0
где р=р(т) дается формулой (7), но от непрерывно меняющегося
аргумента т, строго возрастает в пределах диаграммы.
В промежутках между теми значениями т, при которых 2т In
является целым числом, функция р (и) сохраняет постоянное значе-
ние, а ф(т), как видно из (8'), строго возрастает по линейному зако-
ну. Пусть т^ — любое из тех натуральных чисел, для которых
2m0 In целое; достаточно показать теперь, что<р(т0 -0)=<p(w0 +0).
Введем обозначение Ро=р(то)=п - тогда
2/Ио =и2 -про.
Кроме того, из (7) непосредственно следует
?(/и0-0)=ро, р(т0 +О)=ро-1-
Учитывая это, находим из (8'):
(w _0) = п^про+2роп-п(п-1) =
и	Ро (Ро + 1)	Ро
92
Основы теории графов
<р{т. +0) = ”2^о+2(ро-1)я-п(л-1) =
(Ро“ОРо	А)
т. е. пределы справа и слева действительно совпадают.
Из того, что функция ср(т) строго возрастает, скачки целочис-
ленной функции <р (п, т) не превышают 1, а «звездные» точки при-
надлежат графикам обеих функций, следует теперь в силу (8)
где р определяется из (7). Вывод сделан в предположении п >2, но
для одновершинного графа обе части в (9) равны 1.
Итак, в классе всех обыкновенных графов и в подклассе связных
справедливы точные оценки
ф(п, т) для всех G,
<р(п,

к(р(и, т)
для связных G,
где л=л((7), m=m(G), а функции ср, ф и ф определяются из (9), (5) и
(6). Переходя от G к дополнительному графу, можно получить точ-
ные оценки неплотности в классе всех обыкновенных графов:
£(п, m)<£(G)<£(n, т\
где
£(п, т)=ф! и,
1+7(2м-1)2-8/н
2
?<"•	12тт)=Г^Ш
Кликоидом, а точнее, (и, фукликоидом называется обыкновенный
и-вершинный граф плотности (р с транзитивным отношением не-
смежности вершин, т. е. обладающий свойством (В) и поэтому
Глава 1. Идентификация
93
раскладывающийся в произведение <р груд. (Граф Турана Gm (п, (р) —
это кликоид с наиболее равномерным распределением вершин по
сомножителям.) Кликоид S общего вида изоморфно задается неупо-
рядоченной системой натуральных чисел п2, ...»	— количеств
вершин в сомножителях (среди этих чисел могут быть и одина-
ф
ковые), (p=(p(S), ^nj=n(S). Определенный в §1.4 многочлен
F(G) =	(G)xz для кликоидов имеет вид
F (5) = (14-и1х)(1+л2х)... (1 + ИфХ) = 1 + их+...	(10)
(см. упражнение 9г к § 1.5); в частности,
F(GW (и, <p)) = (l + (/? + l)x)r (l+px)^, п—pcp+r, 0<г<ср.	(И)
Для любого (и, (рУкликоида S
i = G, 1, 2,	,	(12)
и если при каком-либо i>2 имеет место равенство, то S—G”1 (л, <р);
это следует из простого алгебраического факта: если в произведе-
нии (10) есть два сомножителя (1 + лух) и (1 + л^х) с Лу <п/с -1, то по-
сле замены их на (1 + (лу +1)х) и (1+(лд. -1)х) коэффициенты при
всех х' с />2 в полученном многочлене будут строго больше соот-
ветствующих коэффициентов в исходном.
Следующая теорема, как и теорема Турана, неоднократно пере-
открывалась (например: S. Roman // DM, 14 (1976), № 4, 365—371
[76, 9В401; 54# 155]).
ТЕОРЕМА 1.8.3 (А.А. Зыков // Матем. сб., 24 (1949), № 2,
163—188 [MR11р733]). Неравенство (12) справедливо не только для
кликоидов S, но и для любого обыкновенного графа G с n(G) = n и
<р(G) —<р, причем если хотя бы при одном i>2 имеет место равенство,
то G—Gm (л, <р).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно для любого л-вершинного
графа G плотности ср и любого / = 2, 3, ... уметь построить такой
(л, <р)-кликоид Sj, чтобы было
/,• (G)</,- (5, ),
(13)
94
Основы теории графов
а в случае f ] (G)= (Gm (n, (p)) также
/,4 (Sf )</,_,(&).	(14)
Действительно, тогда на основании (13), (12) для S, (и тривиальных
равенств при 1 = 0, 1) будет
/,• (G) </,• (5,-) </, (Gm (п, <р)), 1=0, 1,2,...	(15)
Отсюда, во-первых, следует справедливость (12) для графа G:
fi (GXfi (Gm (п, ср)), i=Q, 1, 2, ...	(12')
Во-вторых, если при каком-то i=i0 >3 здесь имеет место равенство,
то из (15) и из установленной справедливости теоремы для кликои-
дов получаем Sio~Gm (и, (р), в частности (5,() )=Д-1 (Gm (п, (р)),
что вместе с (14) при i=i^ и (12^ при 1 = 10-1 дает
/,o_1(G) = /,o_1(G"’(n,<p))1
т. е. равенство в (12Э сохраняет силу и для 1 = гц -1; повторяя это рас-
суждение (уже с использованием кликоидов $i0-2 и т- Д-), по-
лучим, что равенство справедливо и при 1=2, а отсюда, как показа-
но построением графа Турана, следует G^Gm (п, (р).
Итак, осталось осуществить построение требуемых кликои-
дов Sj. Для любого графа G будем обозначать через (G, х) коли-
чество его 1-клик, содержащих вершину х (оно равно /|_j (O((z,x))).
Пусть теперь G — заданный граф с n(G) = n и (p(G)=<p, а 1>2 — за-
данное число.
Если в G всякие две несмежные вершины обладают общим окру-
жением, то сам G — кликоид (почему?) и для него требования,
предъявляемые к S,, выполнены (в виде равенств). Если же х и у —
две несмежные вершины с разными окружениями, причем либо
/, (G, х)>П (G, у), либо /, (G, x)=fi (G, у)&/^ (G, х)>/^ (G, у),
то удалим из G вершину у и в графе G \ у расщепим х; проделав это
по отношению не только к самой вершине у, но и ко всякой другой,
имевшей в G общее окружение с х, получим граф G', в котором пар
вершин с разными окружениями меньше, чем в G, причем
Глава 1. Идентификация	95
/,(G)</,(G').	(16)
/, (G')=/, (G) => /,_!	(G).
Ясно, что продолжение этого процесса (если G' еще не кликоид)
приведет к построению некоторого кликоида S, удовлетворяющего
условию (16) с G' = S.
Из способа построения 5 (с учетом леммы 1.8.1) видно, что
n(S) = n и <р(5)С<р; в случае равенства построенный 5 и есть иско-
мый 5,, а при строгом неравенстве «доводится» до следующей
процедурой.
Так как (p(S)<(p<n, хотя бы одна из груд, произведением кото-
рых является 5, содержит не менее двух вершин; произвольно рас-
пределяя ее вершины по двум непустым группам и соединяя ребра-
ми все вершины одной группы со всеми вершинами другой, мы
превратим 5 в кликоид S' с прежним числом вершин, но с
<p(S')=(p(S) + l, опять удовлетворяющий условию (16) (почему?). Ес-
ли все еще <р(5') <<р, то преобразуем S' аналогичным образом и т. д.
Упражнения и дополнения
1.	Показать, что наибольшее число ребер и-вершинного графа, не содер-
жащего треугольников, равно [_n2/4j.
2.	Доказать, что при любом п > 1 множество Мп точек (т, ср), координаты
каждой из которых выражают число ребер и плотность какого-то и-вершинно-
го графа, является «целочисленно выпуклым»: для любых точек А(пц, <р0,
B(ni2, (р2)^Мп все точки С (т, (р) отрезка АВ, обладающие целыми координа-
тами, тоже принадлежат Мп.
3.	Доказать, что
[	( J п 1 1
£ (G) < min < max {jISj < n- j}, max < £ si <	st- > >,
[	[ i=l	/=j+l J J
где $2, . sn) = s(G), и что эта оценка точна, причем может достигаться как
на первой, так и на второй из величин под знаком минимума. В.Н. Любота //
Графы, гиперграфы и дискретные оптимизационные задачи. Киев: Знание,
1976—77, № 6, стр. 6. Другие верхние оценки: Р. Hansen // Rev. roum. math, pures
et appl., 24 (1979), № 8, 1195-1199 [80, 5B495; 80#05040].
96
Основы теории графов
4.	Вывести равенство
Л (<?"* («, <р))=ЕП [Sn+Jr (r>+jry<p]
r=l
(z = 0, 1, ..., <р), где сумма распространяется на все J|, уЧ, •••> Л» удовлетворяющие
условию 0< /2 <...<7}<ф-1. Р. Erdos // МТ, 7 (1962), series А, № 3, 459—464
[64, 1А331; 27#1937].
5.	Если в формуле (7) пренебречь знаком целой части, то правая часть
формулы (9) перейдет в п2/(п2-2т)\. Доказать, что полученное выражение на
самом деле является нижней оценкой плотности «-вершинного графа с т ребра-
ми, которая, однако, не при всех п и т точна; получить и исследовать аналогич-
ным образом нижнюю оценку pi2 / (п2 + 2/п)~| неплотности. Р. Erdos, Т. Gallai //
МТ, 6 (1961), № 1-2, 89-96 [62, 5А296].
То же самое можно вывести из результатов упражнения 23 к § 1.3. G. Tin-
hofer. Methoden der angewandten Graphentheorie. Wien; New York: Springer, 1976
[77, 10B348K; 55Я9905].
6.	Если у G нет изолированных вершин, а £ (G)<y (G), то £(G)<«/2.
С. Berge // C.r. Acad, sci., 268 (1969), № 19, Al 118-Al 120 [69, 12В327].
7.	Доказать, что если в «-вершинном графе G есть S-вершинный подграф,
не содержащий S-клик, то /,(G)<	(«, S)) при /=2, 3 (во втором случае
предполагается еще S > 3), и построить 7-вершинный граф, для которого при
/ = 4 неравенство не выполняется. Н.Й. Мартинов // C.r. Acad. bulg. sci.,
30(1977), № 9, 1255-1257 [78, 5В465; 58#384]. См. далее [82, 6В664].
7'. Доказать, что если среди вершин графа 6, принадлежащих наибольше-
му количеству z-клик, есть такая, которая не содержится ни в одной (/+1>клике
(1 < i < ср-1), то fi (G) < fi	(«, <р)), где (р = (р (G), т = т (С), и что равенство до-
стигается только на графе Турана. Н. Хаджииванов, Н. Ненов [82, 6В593, 594;
84е#05062; 84g#05087].
8.	Наибольшее количество ребер такого «-вершинного графа, в котором
каждый р-вершинный подграф обладает неплотностью >q, равно
шах
т,к
где максимум берется по всевозможным парам натуральных чисел, удовлетво-
ряющим условиям \ <к <(/?-!)/(</-1) и т =р-\-к (у-1). Это количество дости-
гается на графе Gm (п-т, k+\)Fm (только ли?). Т.Н. Копылов // Матем. замет-
ки, 26 (1979), № 4, 593-602 [80, ЗВ649]. См. далее J. Торр [86, 9В647].
9.	Пусть в графе G есть к > 1 ребер, попарно не имеющих общих инцидент-
ных вершин, а 2 </<2& + 1 и « = «((7)>2&; тогда
т (рт (п-т, к+!))+«: (п-т) +
Глава 1. Идентификация	97
,	|/2£ + Г| ' (k\ ( k А , 1
/.•(G) = max< ,	+	(л-к)>,
1л i J V ) v“V J
и если max достигается на первой величине, то 6—T^+i + £/г-2*+1» а если на вто“
рой, то G^Fk Еп_к. R.J. Douglas // JCTh, В23 (1977), № 2-3, 258-261 [78, 7В766].
10.	Пусть G=(Y, (/), q (х)=1/(1 + 5 (х)), где хеУ, a ^(G)= £^(х). Тогда
хеХ
£(G)>?(G)2/L(G)- £[sW-i-(y)]2<7 (x)2qfy)2 
I XJ’et/
и имеется эффективный алгоритм нахождения в G груды с числом вершин, не
меньшим этой границы. J. Harant // DM, 188 (1998), № 1—3, 239—243 [00, 2В348].
Ранее были известны более точные оценки, но лишь для некоторых подклассов
графов: J.R. Griggs // JCTh, В34(1983), № 1, 22-39 [83, 10В404]; I. Gutman //
Publ. Inst, math., 34(1983), 73-79 [85, 2В655].
§	1.9. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРИТИЧЕСКИЕ ГРАФЫ
Примеры задач, решенных в § 1.8, являются характерными и по-
зволяют уяснить некоторые общие подходы к нахождению точных
оценок тех или иных инвариантов графа.
Пусть L — некоторый класс графов, а Ф (G) - какой-то инвари-
ант. Граф (7фбЬ называется Ф-наиболыиим в L, если
У<7б1ДФ(б)<Ф((7ф)];
граф (?ф е L называется Ф-наименыиим в L, если
УСеЦФ(<7)>Ф((7ф)];
оба эти графа называют еще Ф-оптимальными (или просто оптималь-
ными). Например, при Ф(6)=/п(б:) класс графов L„ -{Gin ((?)=«}
имеет ровно один (с точностью до изоморфизма) /^-наибольший
граф Fn и ровно один /и-наименьший Ел; в классеЬ„ ={(?/и((7) =
=n&<p(G)=<p}, который рассмотрен в § 1.8, /и-наиболыпим является
граф Турана Gm (п, <р), а все m-наименьшие Gm (п, (р) легко обозри-
мы как во всем классе Ln (p, так и в подклассе Ln v cL„ v связных
графов.
98
Основы теории графов
В ряде случаев удается по смыслу данного инварианта Ф (G) по-
строить хотя бы один из Ф-оптимальных графов и вычислить для
него значение Ф. Тогда оказывается решенным вопрос о соответст-
вующей точной оценке инварианта Ф(б) графов заданного клас-
са L: знание Ф(С?ф) для какого-нибудь Ф-наиболыпего графа
(7Ф 6 L сразу дает точную верхнюю оценку, а знание Ф (Сф) для не-
которого Ф-наименьшего бф е L — точную нижнюю, т. е.
Ф(С?ф)<Ф(С)<Ф(Сф);
именно так были получены оценки т(п, (р), т(п, (р\ т(п, (р) количе-
ства ребер графа в классах и Ln Напротив, непосредственное
нахождение ср-оптимальных графов в классах т и Ёл т оказыва-
ется затруднительным, поэтому соответствующие оценки ср(п,
ср (п, т)пф (п, т) плотности <р искались косвенным образом — путем
обращения неравенств для т.
Может показаться, что такое обращение оценок в принципе
сводится к «школьному» решению неравенств, а необходимость
каких-то дополнительных исследований вызвана лишь сложным
видом этих неравенств. Однако, как мы сейчас увидим, дело
обстоит совсем не так просто.
Пусть L — некоторый класс графов, а Ф (G) и Т (G) — два число-
вых инварианта графов GeL. Рассмотрим подклассы
Ьф=фо={СеЬ/Ф((7)-Ф0}сЬ,
Ly=4,o ={GeL/4'(G) = vP0}cL)
где Фо и Ч'о — произвольные числа, и образуем четыре функции:
Ф (Ч\)) = min {Ф ((7) / G е }
 от аргумента Ч/о,
Ф С^о)=тах {Ф (G) IG 6 L ч'=ч/0}
Т (Фо) - min {Т (G) / G e L ф=ф()}
> от аргумента Фо;
Ч' (Фо)=тах {Ч> ((7) / G <= Ьф=ф()}
Глава 1. Идентификация
99
неравенства
Ф(Чх((?))<Ф(0)<Ф(Чх(6))
выражают точные оценки инварианта Ф(<7) через T(G), а
Т (Ф (6)) < 4х (<7) < Т (Ф (G))
— точные оценки 4х (G) через Ф (G). Можно ли проследить в общем
виде взаимосвязь между функциями Ф, Ф, 4х и 4х?
Пусть L — класс кусочно полных графов (у которых каждая
компонента является кликой); положим Ф(6)=и(б), 4х(G)=m(G).
Тогда
Ln=I={£i}, L„=2 ={Е2, F2}, Ln=3={£’3, E\+F2, F2},	;
Lm=o ={£], E2, ...}, Lm=I = {F2, El +F2, E2 +F2, ...},
Lm=2 ={^2 + ^2>	+F2 + F2> •••}>
Ьт=3={/г3> E{+F2, E2+F2,	F2+F2+F2 ...};
Построим координатную диаграмму, отмечая в плоскости пОт
каждую точку, координаты которой выражают количества вершин
и ребер какого-либо графа из L (рис. 1.9.1). Функция т=т(п) = "
V J
определена при п = 1, 2, ...; точки ее графика мы соединили ломаной
линией. Функция т = т(п) равна нулю. Функция п = п(т) не сущест-
вует. График функции п-п(т) имеет замысловатый вид (штриховая
линия), и дать ее аналитическое выражение вряд ли просто. Оценки
для m(G) и «(G):
0<m(G) <	n(m(G))<n(G).
Теперь возьмем за L подкласс тех графов прежнего класса, у ко-
торых каждая компонента имеет не менее двух вершин. Новая функ-
ция w = m(n) отличается от прежней только тем, что ее область
100
Основы теории графов
определения уже не содержит точку и = 1; то же можно сказать и о
функции п = п(т). Кроме того, появилась функция п = п(гп)-2т
(сплошная линия на рис. 1.9.2) и перестала быть тривиальной
функция
ли = ди(и)=[_и/2j + (-l)'1 1+1
(штриховая линия там же). Имеем оценки
+ (-1)Л(G)-l +i<m(G) <
n(/w(G))<«(G)<2m(G).
Наконец, наложим на графы G еще одно ограничение: n(G)<8.
Тогда замысловатым будет не только график п=п(т), но и график
п=п(т) (рис. 1.9.3).
Рассмотренные примеры говорят о том, что задача установле-
ния взаимосвязи между четырьмя функциями Ф, Ф, Т и Т в общем
случае, видимо, является безнадежной и рассчитывать на ее реше-
ние можно лишь при выполнении каких-то весьма жестких
Глава 1. Идентификация
101
дополнительных условий. Так, в § 1.8 существенную роль при разре-
шении неравенств играла строгая монотонность функций, а при
«навешивании» целой части на некоторые непрерывно меняющиеся
функции использовался тот факт, что скачки искомых функций не
превышают единицы.
План прямого нахождения точных оценок, выдвинутый в нача-
ле параграфа, часто осуществляется в несколько ином порядке: сна-
чала устанавливаются некоторые свойства оптимальных графов,
позволяющие найти соответствующую оценку без полного знания
хотя бы одного такого графа, и лишь затем, если есть основания
предполагать эту оценку точной, строится пример для доказатель-
ства ее достижимости. При наиболее полном решении задачи даже
целиком описывается класс всех таких примеров; в худшем же слу-
чае, когда ни одного примера указать не удается, вопрос о точно-
сти полученной оценки должен решаться косвенным образом и не-
редко остается открытым. Иллюстрации всего сказанного будут
встречаться неоднократно (теорема Харари—Зелинки в § 2.5, верх-
ние оценки хроматического индекса в § 2.9 и др.), а сейчас рассмот-
рим важные примеры, относящиеся к хроматическому числу и чис-
лу Хадвигера (§ 1.3).
Если G — связный неполный граф, то в нем всегда можно найти
пару несмежных различных вершин, обладающих общей смежной
(см. упражнение 3 к § 1.3); отождествление вершин этой пары не на-
рушает связность графа и не понижает хроматическое число (поче-
му?), но заведомо уменьшает количество ребер. Повторяя эту опера-
цию до тех пор, пока не получится клика Fk, т. е. п-k раз (и = и(С)),
будем иметь
(
= т (Ffc ) </п (G) - (п - к),
<2 J
откуда т = m(G) > п +	. Но к>у (G)=y, а дробь в правой части
строго возрастает при к >2; поэтому
т>п +	,
102
Основы теории графов
т. е. нижняя оценка числа ребер связного графа через количество
его вершин и хроматическое число имеет такой же вид, как и в слу-
чае плотности (см. формулу (3) в § 1.8); оценка и на этот раз точна,
так как ее достижимость устанавливается на прежних примерах.
Этот результат впервые получили А.П. Ершов и Г.И. Кожухин бо-
лее сложным путем: искалась такая пара вершин (с общей смежной),
отождествление которых не меняет хроматического числа («соцвет-
ные вершины», см. упражнение 26 к § 2.2); приведенный нами про-
стой вывод принадлежит М.А. Хачатряну (ГГиДОЗ, 1982, 179—184
[82, 6В641]). Случай несвязных графов предлагаем рассмотреть чи-
тателю (упражнение 3); далее см.: А.В. Косточка [88, 6В681].
В связном неполном графе всегда найдется ребро, стягивание
которого не меняет число Хадвигера (почему?); рассуждая далее по
той же схеме, что и выше, получим оценку
точность которой подтверждается прежними примерами (см., впро-
чем, упражнение 4).
Поскольку функции у (л, т) и г] (п, т), как и функция ф (п, т), яв-
ляются неубывающими от т при фиксированном п, но с возрастани-
ем т на 1 не могут увеличиваться более чем на 1, и поскольку в про-
цессе разрешения неравенств т>т(п, <р) и т>т(п, <р) природа пере-
менной (р больше никак не учитывалась, то у (п, т)=т) (п, т) =ф (п, т)
и у (п, m)=f} (л, т)-ф(п, т) (соответствующие выражения даны фор-
мулами (6) и (5) § 1.8).
Еще проще обстоит дело с нижней оценкой у (л, т). Так как
для графа Турана Gm (п, <р) хроматическое число у равно (р, а вся-
кий л-вершинный граф с более чем т ребрами обладает плотно-
стью больше <р, а значит, и хроматическим числом больше у, то
л7-наибольшим графом в классе L„ у ={GI n(G)=n&y (G)=y} служит
тот же граф Турана Gm (л, <р) при (р=у. Следовательно, наибольшее
число ребер при заданных л и у выражается той же функцией т,
что и в формуле (4) § 1.8, но с заменой символа <р на у; отсюда
у (л, /л) =<р(п, т).
Глава 1. Идентификация	103
Напротив, нижняя оценка т/ (л, т) числа Хадвигера до сих пор в
общем случае не найдена; можно лишь утверждать, что г? (л, л?) >
><р(л, т) и что уже для графов Турана с л><р + 2 здесь имеет место
строгое неравенство. В классе кликоидов найдены выражения для
точной нижней оценки tjs (п9 т) числа Хадвигера т] через л и т и
для точной верхней оценки ms (л, 7/) числа ребер через лит?
(упражнение 5); последняя при т?<4 совпадает с оценкой тл(л, т?) в
классе всех обыкновенных графов (А.А. Зыков, упражнение 5; см.
также: Е. Gyori [82, 11В653; 84а#05060]).
Свойство оптимальности графа
нельзя путать со свойством критично- сК	р	\ I /
сти; разницу между этими понятиями \	/	\ /
мы сначала разъясним на простом \___________J
примере. Оба графа рис. 1.9.4 имеют
по л=5 вершин, плотность ср = 2 и яв-	Рис- 19-4
ляются критическими в следующем смысле: соединение новым реб-
ром любой пары несмежных различных вершин приводит к увели-
чению плотности; но только второй из них, а именно Gm (5, 2), в то
же время является /л-наибольшим.
В общем случае пусть L — какой-то класс графов, а Г — некото-
рый класс операций над графами; граф G называется (L, Г)-крити-
ческим, если GeL, но после применения к G любой операции клас-
са Г получается граф, уже не принадлежащий L. Заметим, что упо-
мянутое выше добавление ребра — это не одна операция, а класс
операций, поскольку результирующий граф зависит от того, какие
именно вершины исходного соединить новым ребром. В отличие от
класса {G™ (п, <р)} графов с наибольшим количеством ребер (при за-
данных п и <р), который на самом деле состоит из единственного (с
точностью до изоморфизма) графа Турана, класс (Ln Г)-критиче-
ских графов, где Г — всевозможные добавления одного ребра (без
добавления вершин), столь обширен, что полностью охарактеризо-
вать структуру его графов при > 2 и не слишком малых п до сих
пор не удалось1. Такое явление типично: чем шире класс опера-
ций Г (при неизменном L), тем уже класс (L, Г)-критических графов.
Ф-оптимальные графы формально можно также рассматривать
1 Впрочем, для Графов класса (Ln г, Г) дело обстоит иначе: см. упражнение 14.
104	Основы теории графов
как критические: например, Ф-наиболыиий граф класса L является
(Ь,Гф)-критическим, где каждая операция из Гф состоит в замене
данного графа G другим графом с тем же числом вершин, но с
большим количеством ребер; класс таких «операций» несравненно
богаче класса, состоящего из добавлений ребра (без переделки уже
имеющихся), и игнорирование этой разницы как раз и приводит к
смешению свойств оптимальности и критичности.
В заключение отметим еще один нюанс. Пусть Lq — класс под-
графов фиксированного графа G, обладающих некоторым задан-
ным свойством Q, а класс Г состоит из операций перехода от под-
графа G' к другому подграфу путем добавления вершины графа G,
не принадлежащей G' (и добавления ребер, соединяющих в G эту
вершину с вершинами G'). Тогда (Lg, Г)-критический подграф —
это не то же самое, что подграф G'eLq, максимальный по включе-
нию множеств вершин. Например, если Q означает «иметь нечетное
число ребер», то для 3-веера класс Lq состоит из самого И3 и
трех его двухвершинных клик; последние, будучи (Lq, Г)-критиче-
скими, не являются максимальными (со свойством Q) по включе-
нию множеств вершин. Аналогичное замечание справедливо и в от-
ношении суграфов фиксированного графа.
Упражнения и дополнения
1.	Наименьшее число ребер такого «-вершинного графа, в котором каждые
к вершин имеют общую смежную, равно
'к\
+
2 )
(при дополнительном условии	л-2) равно к (п-к) +
4-1, а наибольшее
Р. Erdos, L. Moser //
J. Austral Math. Soc., 11 (1970), № 1, 42-47 [70, 9В302].
2.	Доказать справедливость и точность оценок
п-х <т<
п-х + }
2
числа ребер графа через количества его вершин и компонент. Книга Уилсо-
на [УС].
3.	Доказать справедливость и точность оценки т > I + п-х.
Глава 1. Идентификация
105
4.	Доказать, что в классе всех обыкновенных графов справедливы точные
(у\	(л\
оценки	и )’ пРичем пеРвая достигается только на графах с
ЙЛ
w=l I, а вторая — не только на таких.
Г6/7—21 при (mod 5),
4'. Доказать, что если и>8 и п<8, то	Л	Л z , и
(6л-20 при л = 0 (mod 5),
описать все графы, для которых имеет место равенство. L.K. Jorgensen //
JGrTh, 18(1994), № 5, 431-448 [95, 5В266].	ф
5.	Пусть S = En^ •	• ... • Еп - кликоид, пх >п2	n = n(S) = '^n[.
Показать, что
7?=П(5) = -
Ф
2>+1
L=FJ
ф
при П\ >	л^-^+2,
i=2
Ф
при Л] < £ л; -(р+ 3.
/=2
Получить отсюда выражение для rf (л, т) и сделать вывод: точная верхняя
оценка mS (л, tj) числа ребер кликбида с заданными лит] достигается
на произведении F^E^^ если 1<т]<л/2;
на графе Турана Gm (л, 2т]+1-л), если т] > л/2.
Найти выражения для mS (и, г/) в обоих случаях. Б.А. Костарев, 1964
(см. А.А. Зыков // ПМП, 7 (1972), 52-55 [72, 8В399]); Н.А. Jung // Math. Nachr.,
35 (1967), № 5-6, 241-267 [68, 12В365]; Н.П. Хоменко, Н.В. Лысенко // Теория
графов. Киев, 1977, 92-99 [78, 12В1028].
6.	Задачами турановского типа называются такие, в которых надо обнару-
жить те или иные свойства графа, отправляясь от количеств его вершин и ре-
бер. В частности, сюда относятся задачи нахождения наибольшего возможного
числа ребер т (л, М£) у л-вершинного графа, не содержащего подграфов, изо-
морфных заданному графу М\ например, л:(л, <р) = л1(л, F^gt). Известно так-
же, что т (л, Сп gt) = 1 + (j и т (л, я с£ ) =	Р. Erdos // A Seminar on Graph
Theory. New York: Holt, Einehart & Winston, 1967, Ch. 8, 54-59; Ch. 9,60-64.
6.1.	Доказать, что если л =2k & т =к2 +1, то /з(С)>£ (см. §1.3): книга
Харари.
6.2.	Если т > (л2-5л+14)/2, то в G есть часть вида J.A. Bondy // DM,
1 (1974), № 2, 123-132 [74, 7В507].
6.3.	Если т >2п-2ч то в 6 есть часть вида Ск с к > 3 и не принадлежащая ей
вершина, смежная по крайней мере с тремя ее вершинами, но уже при т = 2л-3
это не так. С. Thomassen ([74, 2В451]; Arch. Math., 25 (1974), № 2, 210—215
[75, 2В488]). См. далее: F. Harary, М. Plantholt // Math, slov., 35 (1985), № 1,
83-89 [85, 8В588].
106
Основы теории графов
6.4.	Пусть т >[_«2/4j+ 1; тогда
а)	не менее |_n/2J + 2 вершин и не менее 2 |_л/2J + 1 ребер графа принадлежат
его 3-кликам — оценки точные;
б)	если к >2 & п > max {Зк (Зк4-1), 216 (ЗА:-2)}, то не менее 2 (п-к) вершин
графа принадлежат частям вида — результат асимптотически наилучший.
Р. Erdos, R.J. Faudree // DM, 101 (1992), № 1-3, 23-31 [93, 9В319].
7.	Пусть р =Р (G) — число всесмежности графа G (см. упражнение 2 к § 1.6),
п = n(G), т-т(р). Справедливы точные оценки:
a)	max {и-™, 1} <р <[п+ l-V2w-lj; ВТ. Визинг // ДАН СССР, 464 (1965),
№ 4, 729-731 [66, 2А356].
б)	p<max{[>4-2)/3J, |_2«/5J}; М.М. Бланк // ПМП, 10 (1973), 3-11
[74, 1В370].
в)	Если числа d и D удовлетворяют условию t/<^(G, x)+KD для любой
вершины х, то <^(14-logZ>); H.L. Abbot, А.С. Liu // DM, 25 (1979), № 3,
281-284 [79, 11В452].
г)	Если 3<р<п12 и в графе нет изолированных вершин, то ^+1^;
графы, для которых эта оценка достигается, охарактеризованы. A.L. Sanchis //
DM, 87 (1991), № 1, 62-75 [91, 9В442].
д)	m<^n-P)(n-p+2)l2]-s(n-p-2): J. Fulman // DM, 126 (1994), № 1-3,
403-406 [95, 2В338].
7’. Найдены следующие точные оценки, смысл которых ясен из записи:
т(п, (р, р) и т(п, Р) — Н.Г. Винниченко, М.И. Кратко // Теоретическая
кибернетика. Киев, 1971, 178—186;
т(п, е, £)-Н.Г. Винниченко//Кибернетика, 1972, №1,142-143 [72, 8В397];
т(п, (р, е, Р) и т(п, (р, £, Р) — Н.Г. Винниченко // Кибернетика, 1973, № 1,
87-91 [73, 10В321];
п (ф, с), h е)9 т (<р, е) и т (ср, е) — Н.Г. Винниченко, И.Ф. Грейджук //
Вопросы кибернетики, М., 15 (1975), 19—23 [76, ЗВ561].
7м. Наименьшая мощность максимальной системы попарно непересекаю-
щихся максимальных клик в и-вершинном графе cs-s(G) не меньше 4n/(s+2)2\
оценка точна. Наибольшая мощность такой системы клик не меньше 6и/(у4-3)2.
Р. Erdos, А.М. Hobbs, С. Payan // DM, 42 (1982), № 1, 57-61 [83, ЗВ563].
8.	D. Bauer (JCTh, B35 (1983), № 2, 193-200 [84, 8B461]) исследует, при ка-
ких п, s и к существует и-вершинный ^-однородный граф без /с-клик.
9.	Пусть граф G с n = n(G) и е =е (G) критичен в том смысле, что удаление
любого ребра увеличивает неплотность. Тогда
^(n-r)(n-£ + r)<ni(G)<(" * + 1),
где г — остаток от деления п на с, причем нижняя оценка достигается на графе
Турана Gm, а верхняя — на кликоиде Fe_\ Еп_е^. М.М. Krieger // Ann. New
York Acad. Sci., 175 (1970), № 1, 255-271 [71, 5В371].
Глава 1. Идентификация
107
10.	Пусть G — (Ь(л, <р), Г)-критический граф, где Г — добавление ребра.
а)	Доказать, что G имеет вид	если <р> л/2, и что s(G)>2 (<р-1), ес-
ли (р<п!2. A. Hajnal И Canad. J. Math., 17 (1965), № 5, 720-724 [31#3354].
б)	Доказать, что если у (G) = (p(G), то g^ (G) = l, т. е. правильная раскраска
вершин наименьшим количеством цветов единственна. Описать структуру та-
ких критических графов. А.А. Зыков // Матем. сб., 24 (1949), № 2, 163—188
[MR11р733].
в)	Доказать, что если G обладает наименьшим возможным числом ребер,
то G^F(p_2’En_<p+\i а наибольшее количество ребер равно и достигается
только на G^F^ Р. Р. Erdos, A. Hajnal, J.W. Moon // Amer. Math. Monthly,
71 (1964), № 10, 1107-1110 [65, 8A270; 30#577].
11.	Граф называется строго ^-критическим, если он не содержит изолиро-
ванных вершин, а удаление любого ребра повышает неплотность.
Граф G обладает строго s-критическим суграфом в том и только том слу-
чае, если для каждой его груды (к = 1, 2, ...) в G существует не менее к вер-
шин, каждая из которых смежна хотя бы с одной вершиной этой Е^.
L.Suranyi // Mat. Lapok, 24 (1973), № 3-4, 341-343 [77, 12В672].
12.	Если граф G=(X, U) с п-п(G)=2s (G)+l обладает свойством
Vx, у еХ [е (G\{x, y}) = s(G)], то	гДе ^>1- В.Г. Визинг, Л.С. Мельни-
ков [72, 9В369; 46#3379]; см. далее J.-C. Fournier // Cah. Cent. etud. rech. open,
17 (1975), № 2-4, 193-195 [76, 5В522].
13.	Пусть граф G критичен в том смысле, что удаление любой вершины
понижает хроматическое число у =у (G). Тогда
a)	j(G)>/(G)-1 (очевидно);
б)	в G есть подграф типа Ciy+i, удаление всех вершин которого из G при-
водит к связному графу: U. Krusenstjema-Hafstrom, В. Toft И Monatsh. Math.,
89 (1980), № 2, 101-110 [80, 10В504; 81g#05058];
в)	если />4, л>/+2, л*2/-1, то 2т >пу + /-4: A.V. Kostochka,
M.Stiebitz // DM, 191 (1998), № 1-3, 125-137 [00, ЗВ284].
13'. Пользуясь свойством а), доказать, что для любого графа G и любого
инварианта f(G), удовлетворяющего неравенству f (G)>s(G) и условию моно-
тонности: если G' — подграф G, то f (G')<f (G) — справедлива оценка
/(G)</(G)+1. S. Szekeres, H.S. Wilf// JCTh, 4 (1968), № 1, 1-3 [30Я1356].
14.	Доказать, что в классе обыкновенных графов симплексоиды и только
они являются критическими в следующем смысле: добавление ребра всегда уве-
личивает хроматическое число.
15.	Гипотеза Ловаса о том, что если удаление из G любой пары смежных
вершин уменьшает хроматическое число на 2, то G — клика, справедлива при
/(G) <5 и сомнительна при /(G) >5. Н.Н. Можан [86, 9В587деп.; 88, 8В563];
M.Stiebitz // DM, 64 (1987), № 1, 91-93 [87, 10В667].
16.	D.P. Sumner, P. Blitch (JCTh, B34 (1983), № 1, 65-76 [83, 11B672]) изуча-
ют неполные графы, критические в том смысле, что добавление любого ребра
(без добавления вершин) уменьшает число всесмежности (см. упражнение 7).
108
Основы теории графов
§ 1.10. ПРОБЛЕМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
Пусть f (G) — инвариант, значения которого при всевозможных
графах G принадлежат некоторому множеству М, но не обязательно
его исчерпывают. Для любого а^М можно спросить: существует ли
такой граф G, что f = и если существует, то только ли один
(с точностью до изоморфизма)? Вопрос о единственности G (при лю-
бых а, соответствующих каким-то графам) — это проблема полноты
инварианта f (§ 1.5), а вопрос существования мы не затрагивали по-
тому, что если исключить тривиальные случаи, то даже для таких
более или менее употребительных инвариантов, как F, Е и Г (§ 1.3),
пока мало что известно. Например, многочлен P = £/?zxz может
/>о
равняться F (G) для какого-то графа G лишь при соблюдении уело-
ВИЙ Ро=1>Р2<к1
>0 (i = 1, 2, ...), а теорема 1.8.3 дает еще одно
необходимое условие: при всех />0 должно быть (G™ (п9 <р)),
где п=р\, т=Р2, (р = max {iI pt * 0}, причем если для некоторого i > 2
имеет место равенство, то оно должно выполняться и при остальных
i; однако этого недостаточно: многочлен 1 + 4х + 2х2 +х3 всем пере-
численным условиям удовлетворяет, но не есть F (G) ни для како-
го G. Еще больше можно указать необходимых условий того, что Р
является многочленом Г (G) или хроматическим многочленом како-
го-то графа G, поскольку свойства таких многочленов интенсивно
изучаются: см. многочлены раскрашиваний [УС] плюс работы, упомя-
нутые в упражнении 8 к § 1.4, — вот далеко не полный список. Одна-
ко критериев существования G и здесь не найдено.
С векторами степеней дело обстоит значительно лучше (хотя то-
же не идеально). Известны удобные для проверки критерии того,
что вектор с целыми неотрицательными координатами является
вектором степеней (прямым или обращенным) некоторого графа, и
алгоритмы построения одного из таких графов (V. Havel // Casop.
pest, mat., 80 (1955), № 4, 477-480 [57, 3, 2126; 19#627]; P. Erdos,
T. Gallai // Mat. Lapok, 11 (1960), № 4, 254-274 [62, 1A295]; S. Hakimi
[64, 5B276; 26#5558]); этому вопросу посвящена глава 6 книги Хара-
ри и глава VIII книги минчан. Приводим формулировку критерия
Эрдеша—Галлаи:
Глава 1. Идентификация	109
вектор (Zj, z2, ..., tn) с целыми Z] > Z2 >...>tn >0 служит обращенным
вектором степеней некоторого графа в том и только том случае, ес-
ли сумма всех четна и для каждого целого г, 1 <r < п -1, выполняется
г	п
условие ^Z,<r(r-1)+ ]Tmin{r, Z,}.
/=1	/ = Г+1
(Более простое доказательство: S.A. Choudum // Bull. Austral. Math.
Soc., 33 (1986), № 1, 67—70 [86, 12B840]; книга минчан.) Система этих
неравенств не является независимой, наилучшая из известных ее ре-
дукций: I.E. Zverovich, V.E. Zverovich // DM, 105 (1992), № 1—3,
293-303 [93, 9В282]. G. Sierksma, H. Hoogeveen (JGrTh, 15 (1991),
№ 2, 223—231 [92, 4B366]) приводят семь критериев графичности це-
лочисленной последовательности. Имея же один граф, можно полу-
чить и все остальные G с t(G) = (Zj, z2, ..., zn) при помощи 4-сдвигов
(см. упражнение 4 к § 1.2). Последнее еще не означает полного реше-
ния проблемы обзора всех графов с заданным вектором степеней
(почему?), и исследования в этом направлении ведутся весьма ин-
тенсивно: см. графическая последовательность [УС].
Мы уже знаем, что значениями инварианта f в общем случае мо-
гут быть элементы произвольного множества М; если этими элемен-
тами служат тоже графы или системы графов, то соответствующие
проблемы существования и единственности графа G с заданным
f (GkM принято называть проблемами восстановления. Классиче-
ским примером служит следующая проблема (С.М. Улам. Нерешен-
ные математические задачи. М.: Наука, 1964).
Для и-вершинного графаС = (Аг, U), где Аг={х1, х2, ..., хп},п>2,
можно образовать набор {G \ xtJ i = 1, 2, ..., п} всех (п - 1)-вершинных
подграфов. Допустим теперь, что каждый из этих подграфов задан
независимо от остальных изоморфно; это, в частности, исключает
какую бы то ни было информацию типа: «такая-то вершина вот
этого подграфа совпадает в G с такой-то вершиной вон того». Опре-
деляется ли по набору {G\xj} исходный граф G изоморфно?
При п = 2 это заведомо не так, а для 3 < п < 9 положительный ответ
получен непосредственной проверкой. Кроме того, восстанавливае-
мость — изоморфную определяемость по набору всех (и-^вершин-
ных подграфов — удалось доказать для ряда классов графов [УС],
например несвязных или с несвязным дополнением. Для несвязных
причина восстанавливаемости ясна: удаление одной вершины
по
Основы теории графов
разрушает лишь одну из компонент, поэтому среди компонент всех
подграфов G \ Xj встречаются и все компоненты исходного графа G,
надо лишь отсортировать их от «обломков» (упражнения 5 и 6)1.
Ф. Харари выдвинул и более сильную гипотезу: при п >4 для восста-
новления дьвершинного графа G достаточно знать не все подграфы
G \ Xi, а только неизоморфные; в том, что при л=3 это неверно, пред-
лагаем читателю убедиться самостоятельно. Любопытно, что случай-
ный граф восстанавливаем с вероятностью 1: V. Muller // Comment,
math. Univ, carol., 17 (1976), № 4, 709—719 [77, 9В473]. В то же время
для бесконечных графов гипотеза Улама не справедлива: J. Fisher //
JCTh, 7 (1969), № 4, 364—365 [70, 6В372], более простой контрпример
см. в упражнении 11; не спасает положения и дополнительное ограни-
чение: количество компонент (одинаковое у обоих графов) конечно
(Th. Andreae // JCTh, ВЗЗ (1982), № 2, 178-186 [82, 9В514]).
Наряду с постепенным расширением класса тех графов, для ко-
торых гипотезу Улама удается подтвердить, довольно интенсивно
ведутся исследования в другом направлении: выявляются всё новые
и новые восстанавливаемые инварианты графа G — однозначно
определяемые по набору {бЛхД (упражнения 12—14). В то же время
незаслуженно мало внимания уделяется проблеме существования:
для произвольного набора {Gz /z = l, 2, ..., л}, состоящего из (и~1)-
вершинных графов, выяснить, есть ли хоть один такой граф
G = ({xb х2, хп}’ UY что GXx^Gi при всех z = l, 2, ..., п.
Проблема Улама естественно обобщается на случай, когда за-
дан набор {(ji, G2, Gsnx} всевозможных (л-/:)-вершинных под-
графов графа G, 1</с<и-1. При к = п-\ этот набор несет ин-
формацию только о количестве вершин G (которое и так заранее
известно), а при к = п-2 — только о количествах вершин и ребер,
так что восстанавливаемости и здесь нет. Если в другом крайнем
случае к = 1, рассмотренном выше, гипотеза Улама окажется спра-
ведливой, то возникает интересный вопрос о наибольшем значе-
нии к, при котором восстанавливаемость имеет место для всех
1 О восстанавливаемости несвязного графа по набору всех Q результатов отожде-
ствления пар вершин см.: Е. Sampathkumar, V.N. Bhave // JCISS, 9 (1984), № 4,
242-246 [87, 4В528].
Глава 1. Идентификация
111
графов; видимо, это значение не меньше п! 2, поскольку V. Nydl
[82, 5В515; 83а#05104] строит для любого п> \ пару неизоморфных
2и-вершинных графов с одним и тем же набором и-вершинных
подграфов1.
Называя первоначальную проблему Улама вершинной, естествен-
но выдвинуть и аналогичную реберную', восстанавливается ли изо-
морфно граф G = (X, {М], «2, ...» м^}) по набору {G\uj} всех своих
(/и - 1)-реберных суграфов? Вопрос этот пока тоже не решен, извест-
но лишь, что для конечных графов справедливость вершинной гипо-
тезы влечет справедливость реберной, а для бесконечных это не так
(упражнения 18—18"), и что реберная гипотеза верна при достаточно
большом конечном числе ребер (упражнение 19). См. еще обзоры:
D.L. Greenwell, R.L. Hemminger // Leet. Notes Math., 110(1969),
91-114 [70, 7B326]; F. Harary // Leet. Notes Math., 406 (1974), 18-28
[75, 7В436].
К восстановлению графов относится также проблема окружений.
Пусть Р — произвольный граф; существует ли такой граф
G = (X, U), что O(G, х)-Р для любой хе X? В отличие от проблем
восстановления графа G по вектору степеней и по набору подгра-
фов или суграфов, здесь не уделялось внимание вопросу единствен-
ности графа G, и мы лишь отметим, что решать его достаточно в
предположении связности G (почему?). Напротив, о графе Р ника-
ких предположений относительно связности в общем случае не де-
лается.
Для графов Р, указанных на рис. 1.10.1 слева, соответствующие
связные графы G изображены справа. В то же время если Р — вилка,
то искомого G не существует; это легко доказать и в более общем
случае (Л.С. Мельников — книга Зыкова), когда граф Р имеет вид,
показанный на рис. 1.10.2 слева, где Q- (У, К) — произвольный
граф, все вершины которого смежны с х. Действительно, если бы Р
был окружением O(G, z} вершины z в некотором G (рис. 1.10.2 спра-
ва), то окружение O(G, у), будучи тоже изоморфным Р, содержало
бы вершину t, отличную от х и от z и в то же время смежную с х или
с z; но тогда по крайней мере одно из окружений О (G, х), О (G, z) не
1 Как показал тот же автор [88, 5В662], для кусочно полных графов восстанавливае-
мость по набору А>вершинных подграфов всегда имеет место при п < k In (и/2), а при
к > (£+ 1)2*-1 — не всегда.
112
Основы теории графов
Рис. 1.10.2
было бы изоморфно Р (при ti Y — из-за наличия лишней вершины,
а при teY — из-за лишнего ребра). Дальнейшие примеры классов
таких графов Р, для которых G не существует, нашел Р. Hell
[79, 2В470; 81а#05112]; противоположные примеры представлены в
упражнениях 22, 23 (и упражнении 15 к §2.3). Изучению графов, в
которых окружения всех вершин изоморфны, посвящена работа
П.Б. Кикуста [73, 2В320Деп].
Как показал В.К. Булитко (Труды МИАН СССР, 133 (1973),
78—94 [74, 1В360]), в классе всех обыкновенных графов массовая
проблема «для любого Р узнать, существует ли такой G = (X,U),
что YxeX[O(G, х)-Р]» алгоритмически неразрешима; там же вы-
явлен класс графов Р, для которого алгоритм проверки существо-
вания (и построения) G имеется. Исследования в этом направлении
Глава 1. Идентификация
113
продолжают В. Zelinka (Matem. dasop., 22(1972), № 2, 164—171
[72, 10В348]) и J. Sedladek (упражнение 23). О проблеме k-окруже-
ний см. [УС].
Следующую проблему восстановления рассмотрим подробно.
Пусть G = (X, U) — граф с V *0; его графом смежности ребер назы-
вается граф L (G) = (U, JF), вершинами которого служат ребра G и в
котором две различные вершины смежны тогда и только тогда, ког-
да они как ребра графа G имеют в нем общую инцидентную верши-
ну (такие ребра тоже называются смежными). Например, для гра-
фов F3 и К3 =Р1 • £3 графы L (Р3) и £ (К3) изоморфны (рис. 1.10.3.), а
сам 3-веер К3 не является графом смежности ребер никакого G (до-
кажите!).
Рис. 1.10.3
F3	V3	L(F3)^L(y3)
Ряд известных критериев того, что заданный Р есть граф смеж-
ности ребер, т. е. P-L (G) для некоторого G, удобно объединить в
одну теорему (добавив еще один новый критерий). Предварительно
условимся треугольник (подграф типа £3) графа Р называть нечет-
ным, если в Р есть вершина, смежная с одной или тремя вершинами
этого треугольника (и называть треугольник четным, если таких
вершин в графе Р нет).
ТЕОРЕМА 1.10.1. Для произвольного графа Р = (У, W) следующие
пять высказываний равносильны:
(0) Р является графом смежности ребер;
(1)	в Р имеется такая система клик, что всякое ребро принадле-
жит ровно одной, а всякая вершина — ровно двум из этих клик
(J. Krausz // Mat.-Fiz. Lapok, 50 (1943), 75-85 [MR8p284]).
(2)	P не содержит подграфов ни одного из девяти типов Р] — Pg,
показанных на рис. 1.10.4. (L.W. Beineke [69, 6В236]; JCTh, 9 (1970),
№ 2, 129-133 [71, 2В324]; С.В. Суздаль, Р.И. Тышкевич // Весщ АН
Беларуси 1999, № 2, 106-110 [00, 4В240]);
114
Основы теории графов
(3)	Р не содержит подграфов типа Vy и у любых двух различных
нечетных треугольников с общим ребром противоположные вершины
смежны (A. van Rooij, Н. Wilf И Acta math. Acad. sci. hung.,
16(1965), № 3-4, 263-269 [66, 5A285; 33#3959]).
(4)	окружение О (P, x) = (Yx, Wx) каждой неизолированной верши-
ны xeY либо является кликой, либо допускает разбиение на две клики,
причем во втором случае ребра, соединяющие эти клики друг с другом,
обладают свойствами:
(а)	никакие два таких ребра не смежны;
(б)	никакая вершина y^Y\ (Кх (J {х}) не может быть смежна ров-
но с одним концом такого ребра.
Рис. 1.10.4
Докажем, что (0)=> (4)=> (2)=> (3)=> (|>>(0).
(0) =» (4) непосредственно следует из определения графа смежно-
сти ребер. Изолированной вершине в L(Cr) отвечает компонента
связности типа Р2 в G, а остальные возможности проиллюстрирова-
ны на рис. 1.10.5.
(4) =>(2). Свойство (4) наследственно в том смысле, что если им
обладает весь граф Р, то обладает и любой его подграф (рассматри-
ваемый как самостоятельный граф). Поэтому для доказательства
импликации достаточно в каждом из графов Pi — Р9 обнаружить
вершину х, окружение которой не удовлетворяет условию (4).
В изображении на рис. 1.10.4 роль такой вершины у графов Р] — Р8
играет нижняя (у Р8 — любая из двух), а у Р9 — центральная; разбе-
Глава 1. Идентификация
115
рем три случая, предоставив остальные читателю в качестве легко-
го, но полезного упражнения.
Ру. окружение нижней вершины состоит из двух треугольников с
общей стороной, и ни при каком его разбиении на две клики не вы-
полняется п. (а);
Ру. окружение нижней вершины допускает два разбиения на па-
ру клик; при разбиении на Р2 и F2 не выполняется п. (а), а при раз-
биении на F3 и Р] — п. (б);
Ру: окружение центральной вершины не полно и не может быть
разбито на две клики.
(2)=>(3). Предполагая, что граф Р = (У, FF) не удовлетворяет
условию (3), докажем существование в нем подграфа одного из ти-
пов Р] — Р9. Случай, когда Р содержит И3, тривиален. Пусть теперь
вершины a, b, с, de Y таковы, что ab, ас, Бс, f>d, cde W &.ad<£ W и оба
треугольника abc, abd являются нечетными в графе Р. Если послед-
ний содержит вершину х, одновременно смежную с нечетным чис-
лом из вершин а, Ь, с и с нечетным числом из вершин b, с, d, то при
всех возможных ситуациях: ха, xb, xd<£W &xceW (или ха, хс,
xdeW &xbeW) и xb, xc<£W &ха, xdeW — в Р обнаруживается под-
граф типа Р], соответственно Р2; поэтому будем предполагать, что
граф Р обладает двумя различными вершинами х и у, первая из ко-
торых смежна с одной или тремя из а, Ь, с, а вторая — с одной или
тремя из Ь, с, d. Для завершения доказательства надо лишь аккурат-
но перечислить все возможные случаи и в каждом указать, какой из
подграфов Р| — Р9 обнаруживается в Р; естественно, что из группы
116
Основы теории графов
случаев, различающихся только перестановками символов х и у, а и d9 b и с, достаточно рассматривать один.			
xb g W & ха, xc, xd (независимо от смежностей у)		P\	
ха, yd gW & xb, xc, xd, ya, yb, ус £ W		Pi, Ръ	если ху ё W если ху g W
xa, ya, ybeW & xb, xc, xd, yc,	yd*W	Pl, Pi,	если ху если ху g ИИ
xa, yb, yc, yd gW & xb, xc, xd,	ya$W	Р*	если ху ё W если ху gW
xb, xd, ya, ybeW &xa, xc, yc,	ydtW	«г сё	если ху если ху g IV
xb, xd, yb, yc, yd gW &xa, xc,	ya$W	Л> /’з.	если ху ИИ если ху g W
xa, xd gW & xb, xc (независимо от смежностей у)		Pl	
ха, xb, xc, yb, yc, yd gW & xd,	ya£W	р6, Рз>	если ху ИИ если ху g ИИ
xa, xb, xc, xd gW (независимо от смежностей у)		Рз	
(3)=>(1). Пусть граф Р = (У, W), который мы без нарушения об-
щности считаем связным, удовлетворяет условиям (3); покажем, как
найти в нем систему клик со свойствами, требуемыми в (1).
Для трех графов рис. 1.10.6, удовлетворяющих условиям (3), ис-
комые системы обозначены
штриховкой; графы, изоморф-
ные этим трем, будем называть
особыми. Можно теперь пред-
полагать, что рассматривае-
мый связный граф Р9 для кото-
рого выполнено (3), неособый;
установим следующее важное
его свойство: два различных
четных треугольника не могут
Рис. 1.10.6	обладать общей стороной.
Глава 1. Идентификация	117
Допустим противное: abc и bed — четные треугольники в Р, при-
чем a*d; тогда adtW (почему?). Если Y = {а, b, с, d}, то Р — особый
граф; поэтому У\{а, b, с, d}*0 и ввиду связности Р в нем есть вер-
шина е, смежная хотя бы с одной из вершин a, b, с, d, а четность
обоих треугольников оставляет лишь такие возможности:
be, сее IV & de, dee W;
de, be, deeW & ceiW или de, ce, deeW & be£W.
В первом случае P содержит подграф типа (рис. 1.10.7) вопреки
условию (3), так что остается второй случай, т. е. любая вершина
ее Y\{a, b, с, d} должна быть смежна либо с a, b, d, либо с а, с, d.
При этом две различные такие вершины е и е' не могут быть смежны
с одной и той же тройкой: если, скажем, de, Ь~ё, deeW&сее W&ae',
be', de' eW &сё'e W, то её' e W (почему?) и оба треугольника аее', dee'
нечетные (каждый даже по двум причинам, см. рис. 1.10.8), а это вви-
ду ade W противоречит условию (3). Таким образом, либо | Y \ {а, Ь, с,
<У}|=1, и тогда граф Р с Y={а, b, с, d, е} особый, либо Y \ {a, b, с, d} =
={е, е'}, причем е смежна только с а, b и d, а с — только с а, с и d. Но в
последнем случае её' eW — иначе треугольники abc и bed были бы не-
четными (из-за наличия вершины е'), что опять противоречит (3)
ввиду adё W, и граф Р с У={а, b, с, d, е, е'} (рис. 1.10.9) снова оказы-
вается особым.
Рассмотрим теперь систему F всех клик в Р, максимальных по
включению множеств вершин. Это еще на та система, какая требу-
ется в (1), поскольку две ее клики могут иметь более одной общей
вершины (и, значит, обладать общим ребром), а вершина графа Р
может принадлежать более чем двум кликам или, напротив, лишь
Рис. 1.10.7
Рис. 1.10.8
118
Основы теории графов
одной. Однако доказанное только что
свойство графа Р вместе с некоторыми
свойствами системы F позволяет так ее пе-
ределать (с частичной потерей «излишест-
ва» в виде максимальности клик), чтобы
неполадки устранились; для этого исследу-
ем все возможные случаи нарушения усло-
вия (1), заметив предварительно, что каж-
дая клика графа Р, в том числе любой тре-
угольник, любое ребро (с концами) и лю-
бая вершина, содержится хотя бы в одной
клике системы F.
Случай I: некоторое ребро abeW принадлежит по крайней
мере двум различным кликам F, F', ...gF. Ввиду максимальности
последних существуют вершина с в F\{a, b} и вершина с' в F'\{a, b}
такие, что с* с' &сс'£ W. Благодаря условию (3) и свойству графа Р,
из двух треугольников abc и abc' ровно один, скажем первый, явля-
ется четным; но тогда он исчерпывает весь F, ибо при наличии в F
еще хотя бы одной вершины треугольник abc был бы нечетным.
Итак, первая часть условия в (1) может нарушаться лишь для ребра,
принадлежащего такой клике системы F, которая является четным
треугольником; при этом ребро не может входить более чем в две
клики из F, ибо в их числе, согласно сказанному выше, оказались бы
два нечетных треугольника.
Случай II: некоторая вершина aeY принадлежит по крайней
мере трем различным кликам F, F', F", ...gF. Сначала предполо-
жим, что какие-то из них, например F и F', имеют другую общую
вершину Ь. Тогда, как показано в случае I, ровно одна из этих клик,
скажем F, является четным треугольником abc, а клики F", ... не со-
держат Ь. Но зато все F", ... содержат вершину с, значит, и ребро ас
(вследствие чего многоточие оказывается излишним): если бы F" не
содержала с, то мы нашли бы, как в случае I, такие две различные
вершины с' в F'\{a, b} и с" в F"\a, что cc"^W, и обнаружили в Р
подграф типа К3, поскольку вершина с не смежна ни с одной верши-
ной клик F'\{ab} и F"\a ввиду максимальности F' и F"
(рис. 1.10.10). Итак, при сделанном предположении о наличии вер-
шины b вторая часть условия в (1) может нарушаться лишь для та-
кой вершины, которая принадлежит ровно трем кликам из F, в том
Глава 1. Идентификация
119
Рис. 1.10.10
числе одному четному треугольнику.
Но сделанное предположение на
самом деле несущественно: если
никакие две из клик системы F, со-
держащие а, не имеют других об-
щих вершин, то при полном отсут-
ствии ребер, соединяющих между
собой клики F\a, F'\a, F"\a, ...
графа Р, в последнем сразу обнару-
живается И3, а наличие хотя бы од-
ного ребра возвращает нас к уже рассмотренной ситуации, посколь-
ку треугольник, образованный этим ребром и вершиной а, содер-
жится в какой-то клике из F.
Случай III, когда некоторая вершина графа Р принадлежит
только одной клике системы F, затруднений не вызовет.
В силу всего сказанного удаление из F четных треугольников
приводит в такой системе F' клик, что всякое ребро графа Р принад-
лежит не более чем одной, а всякая вершина — не более чем двум
кликам из F'; чтобы слова «не более чем» уступили место слову
«ровно», понадобится добавить к F' некоторые полные двухвер-
шинные и одновершинные подграфы (уже не максимальные). Имен-
но, если какое-то ребро графа Р ранее принадлежало только одной
клике из F, представляющей собой четный треугольник, то добавим
к системе F' это ребро (с концами) в качестве двухвершинной клики
(рис. 1.10.11). Наконец, если после всех таких добавлений останутся
вершины в Р, принадлежащие только одной клике полученной сис-
темы (случай III), то все эти вершины присоединим к системе в ка-
честве одновершинных клик. Результирующая система удовлетворя-
ет обоим условиям в (1).
(1)=> (0). Предположим, что граф Р обладает системой F клик со
свойствами, указанными в (1). Построим граф G = (F, U)9 вершина-
ми которого служат клики из F, причем ху g U в том и только том
случае, если вершины х, у g F различны и, будучи рассматриваемы
как подграфы графа Р, обладают в нем общей вершиной; эту един-
ственную вершину поставим в соответствие ребру ху графа G. Ясно,
что такое отображение ребер G на вершины Р есть изоморфизм гра-
фа L(G) на Р.
120
Основы теории графов
Теорема 1.10.1, охватывающая сразу несколько подходов к проб-
леме существования графа с заданным графом смежности ребер, пол-
ностью доказана, а дальнейшие критерии и алгоритмический подход
см. в [УС]. S.B. Rao (Util. Math., 11 (1977), 357-366 [77, 12В649] харак-
теризует векторы s, для которых все G с s(G) = s являются графами
смежности ребер, a D. Bauer (Ann. New York Acad. Sci., 328 (1979),
30—31 [82, 8B552]) устанавливает необходимое и достаточное усло-
вие, которому должны удовлетворять натуральные числа л и 5 для то-
го, чтобы л-вершинный s-однородный граф смежности ребер сущест-
вовал. В некоторых частных случаях графы смежности ребер харак-
теризует G. Balconi [73, 7В358; 74, 12В327; 49#246; 50#185].
Что же касается единственности, то случай, проиллюстрирован-
ный на рис. 1.10.3, оказывается исключительным благодаря теореме
1.10.2 (Н. Whitney // Amer. J. Math., 54 (1932), № 1, 150-168; доказа-
тельство упростил Н.А. Jung /I Math. Ann., 161 (1965), № 5, 325—326
[66, 12A144]). Для ее изложения понадобится такое определение:
реберным изоморфизмом графа G = (X, U) на граф G' = (X', U') назы-
вается взаимно однозначное соответствие между множествами U и
V, сохраняющее отношение смежности ребер; во избежание путаницы
Глава 1. Идентификация
121
будем изоморфизм в прежнем смысле, когда надо, именовать
вершинным.
Вершинный изоморфизм G на G' порождает взаимно однознач-
ное соответствие между множествами X Р1 и Х'№, сохраняющее от-
ношение смежности вершин в паре; а так как свойство пар обладать
общей вершиной тоже, очевидно, сохраняется, то всякий вершинный
изоморфизм G на G' индуцирует некоторый реберный изоморфизм
этих графов. Обратное,
вообще говоря, неверно:
реберно изоморфные гра-
фы F3 и совсем не явля-
ются вершинно изоморф-
ными, а каждая из трех
пар изоморфных графов
на рис. 1.10.12 допускает
такой реберный изомор-
физм, который не инду-
Рис. 1.10.12
цируется никаким вер-
шинным.
ТЕОРЕМА 1.10.2 (Уитни—Юнга). Пусть связный граф G = (X9 U)
не изоморфен ни одному из пяти графов: Fy Р3 и трех показанных на
рис. 1.10.12; пусть, далее, у/ — реберный изоморфизм G на граф
G' = (Х'9 U') с |y'| =|A"| =п. Тогда существует вершинный изоморфизм
G на G', в случае п>3 единственный, который индуцирует у/.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим сначала, что п>5. Пусть
х — произвольная вершина графа G, а щ9 и2, где s=s(G9 х), —
инцидентные ей ребра. Наша ближайшая цель — найти в графе G'
такую вершину, которая инцидентна сразу всем ребрам w- = i//(uz),
/ = 1, 2, ..., 5.
В G' эти 5 ребер образуют веер Vs, т. е. имеют общую инцидент-
ную вершину х'; это очевидно при 5^3, а при 5=3 второе мыслимое
расположение и\, и29 и\ — в виде треугольника — отвергается следу-
ющим рассуждением: ввиду связности G и предположения п>5 в G
есть ребро и, отличное от щ9 и2, «з и смежное ровно с одним из них,
в то время как ребро w' = i//(w) в Gr не может быть смежно только с
одним из трех ребер треугольника. В случае 5 >2 искомой вершиной
будет х' и только она. В случае же 5 = 1 пусть щ =ху9 тогда 5 (G, у) >2
(почему?) и, по доказанному выше, образы ребер, инцидентных у9
122
Основы теории графов
располагаются в графе G' веером; если у' — общая их вершина, а
х' — второй конец ребра i//(iq), то обе эти вершины, и только они,
обладают требуемым свойством, и в качестве исходной мы выбира-
ем вершину х', поскольку второй вариант заведомо нарушил бы
взаимную однозначность «веерного» соответствия вершин.
Для каждой хе X положим <р(х) = х', где вершина х'е X' опреде-
ляется по х как сказано выше; при этом вершины, смежные с х, пе-
реходят в вершины, смежные с х' и, значит, отличные от нее, а каж-
дое ребро вида ху переходит в ребро <р(х)^(у) = <//(ху), ибо послед-
нее, и только оно, одновременно принадлежит (//-образам реберных
вееров вершин х и у. Осталось показать, что если xy£U и х*у, то
ср(х)*(р(у). Но при наличии в G несмежных различных вершин х и
у, обладающих в G' одним и тем же </>-образом, два ребра xz и yt
перешли бы в случае z -t в одно ребро, а в случае z */, будучи сами
несмежными, — в два смежных; ни то, ни другое несовместимо с
определением отображения у/.
Итак, при п >5 построенное отображение <p: X —> X' осуществляет
взаимно однозначное соответствие между X и X' (напомним, что
|Х'\ =|Х|), сохраняет смежность вершин и индуцирует реберный изо-
морфизм ул, т. е. является искомым вершинным изоморфизмом, при-
том единственным, ибо требование, чтобы (р индуцировал у/, необ-
ходимо приводит к такому «реберному» определению х' по х, кото-
рое описано выше. Наконец, при 4связных графов, не исключае-
мых условием теоремы, существует с точностью до изоморфизма
всего пять (рис. 1.10.13) и для них справедливость теоремы можно
проверить непосредственно.
Примечание. Легко показать, что при условиях теоремы
граф G' тоже оказывается связным. Не составляет труда так изме-
нить формулировку теоремы, чтобы она осталась справедливой и
Рис. 1.10.13
Глава 1. Идентификация
123
без предположения о связности G; при этом условие отсутствия изо-
лированных вершин (без которого, очевидно, (р определяется по у
неоднозначно) позволит исключить условие |У'|=|ЛГ|.
СЛЕДСТВИЕ. Если два графа, не содержащие компонент вида
F\, и Vy реберно изоморфны, то они вершинно изоморфны.
В дальнейшем нам будут встречаться и другие проблемы восста-
новления (см., например, упражнения 24 и 25, а также упражне-
ние 28 к § 2.5 и т. д.).
Упражнения и дополнения
1. Доказать, что графы типа пред-
ставленных на рис. 1.10.14 определяются
изоморфно своим хроматическим много-
членом. В. Loerinc // DM, 23 (1978), № 3,
313-316 [79, 4В449].
2.	Переформулировать критерий Эр-
деша—Галлаи для необращенного вектора
Рис. 1.10.14
степеней.
3. Для любого конечного непустого
множества 5 натуральных чисел существует граф G, имеющий 5 множеством
различных компонент вектора s(G). S.F. Kapoor, A.D. Poliment, С.E. Wall //
Fund. Math., 95 (1977), № 3, 189-194 [77, 12В651].
4.	Пусть существуют графы G и G' c s(G') = s(G)-(£, £,...,&), где k>0 це-
лое. Тогда среди таких пар графов G, G' есть пара, в которой G' — подграф G.
DJ.Kleitman, D.L. Wang // DM, 6 (1973), № 1, 79-88 [74, 1В373].
4'. Пусть существуют графы G и G' с s((jr') = s(G)-(£|, &2, •••> ^л), гДе
<£ + 1 для некоторого целого к>0 и всех i = 1, 2, ..., п. Тогда существуют
граф G” и его суграф G'" такие, что s(G") = s(G) и s(G"') = (fa, к2,..., кп).
S. Kundu // DM, 6 (1973), №*4, 367-376 [74, 7В535].
4". Пусть 5 = {s(G, х)/хеХ}, G=(X, U). Для любого S'qS, содержащего
s(G), существует граф6' = (А", t/')c S' = х)/хе X'}, имеющий G своим под-
графом. G. Chartrand, R.J. Gould, S.F. Kapoor // Math, slov., 30 (1980), № 2,
175-179 [80, 12B493; 81k#05088].
5.	Доказать, что граф G=(X, U) с X ={xb x2, ...» xj, n>3 связен тогда и
только тогда, когда среди всех п его подграфов GXx, связны по крайней мере
два. (Примечание: часть «только тогда» было бы интересно доказать без
использования теоремы 2.2.1 следующей главы.)
6.	Подробно реализовать и обосновать следующий план восстановления
несвязного графа G по набору всех его (л-1)-вершинных подграфов Gj = G\x{:
124
Основы теории графов
а)	из общей массы компонент всех G, выбираем какую-нибудь М с наи-
большим числом р вершин;
б)	по количествам компонент типа М в подграфах G, определяем количест-
во таких компонент в G;
в)	среди подграфов графа Л/, получаемых из него удалением одной верши-
ны, находим связный N (см. упражнение 5);
г)	по количествам компонент типа N в подграфах G, выявляем тот из них,
который получается из G удалением вершины, принадлежащей компоненте
типа М\
д)	из выявленного подграфа Gj удаляем одну компоненту типа N и вместо
нее добавляем компоненту типа М. В случае р = 1 пункт в) надо соответствую-
Рис. 1.10.15
6'. Доказать восстанавливаемость графа, обладающего несвязным допол-
нением.
7.	Доказать, что связный л-вершинный граф s-однороден тогда и только
тогда, когда среди его (л-1)-вершинных подграфов хотя бы s+2 (а значит, и
все) содержат по s вершин степени s-1 и по л-s-l вершин степени s, Л.И. Кича,
Е.И. Литвак, Я.И. Тартаковский // УМН, 30 (1975), № 1, 237—238 [75, 6В506].
7'. Доказать восстанавливаемость однородных графов с числом вершин не
менее трех. W.T. Tutte // British Polymer J., September 1977, 180—183].
Указание: удобно воспользоваться результатом упражнения 7.
8.	Граф, содержащий не более двух простых циклов, восстанавливаем.
В.Л. Миронов [80, 4В354; 85h#05094].
9.	Пусть х — некоторая вершина графа G. Если существует смежная с ней у
такая, что все вершины степени s(v)-l, отличные от х, смежны с х, то граф G
восстанавливаем. J. Siraft // Math, slov., 32 (1982), № 4, 403—404 [83, ЗВ53О].
Глава 1. Идентификация
125
10.	Найти ошибку в работе В.К. Лужина [82, 8В578; 84i#05083].
11.	Построим бесконечный граф G следующим образом: вершина х$ смеж-
на со счетным множеством вершин хь х2, ..., каждаях( (i> 1) — со счетным мно-
жеством хл, х,-2, •• и т- Д4 все указанные вершины различны, других вершин и
ребер нет. Пусть G' состоит из двух компонент, изоморфных G. Показать, что
G Ф Gхотя все подграфы, получаемые из G или из G' удалением одной верши-
ны, изоморфны между собой. J. Fisher, R.L. Craham, F. Harary // JCTh,
B12 (1972), № 2, 203-204 [72, 9В330]. См. далее Th. Andreae // JCTh, B32 (1982).
№ 3, 258—263 [83, 2В525].
12.	Вывести формулы
, n	n
fk O^Zfk ek (G)=^(G\Xi),
1=1	/=1
выражающие количества подграфов типа Fk и типа графа G через аналогич-
ные количества для подграфов набора {G\x,} (1<к< л-1, л>3). Записать эти
результаты в терминах многочленов F (6, х), F (G\xz, х) и Е (6, х), Е (G\xz, х),
а не отдельных коэффициентов. (Указание: воспользоваться оператором
формального дифференцирования по переменной х).
12'. Доказать, что т (G) однозначно определяется по набору всех попарно
неизоморфных подграфов из {G\xz}.
13.	Найти число компонент х (G) по набору чисел {а?(6\х,)}.
13'. Найти вектор s(G) по набору векторов {s(G\x,)}.
13". По набору всех подграфов {G\xz} однозначно определяются характе-
ристический многочлен det (Л-А£) матрицы смежностей А =А (G) и количест-
во гамильтоновых циклов (считаемых с точностью до выбора начала и направ-
ления обхода) графа G. F.H. Clarke // DM, 3(1972), № 4, 305-313 [74, 5В423;
47#6552]; W.T. Tutte (см. упражнение 7'); М. Pouzet // JCTh, В27 (1979), №3,
231-236 [80, 5В454; 81g#05084].
14.	Вектор s(G) определяется по набору всех (л-2)-вершинных подграфов
G\{x, у} (х*у). Ж.А. Черняк // Весщ АН БССР, сер. Ф1з.-мат. н., 1982, № 6,
44-49 [83, ЗВ529].
15.	Если «-вершинный граф G связен, то
f п -1 при п нечетном,
rang^ (L(G)) = э
(л-2 при п четном.
N. Deo, M.S. Krishnamoorthy, Ajit В. Pai//Inform, lett., 6(1977), №1, 14-17
[77, 9В460].
16.	Доказать, что если G и G' — графы смежности ребер hs(G) = s(G') =
= (уь s2,..., sn), причем sn = п-1, то G-G'. D. Bauer // JGrTh, 4(1980), № 2,
219-232 [80, 12B494]_
17.	Если L(G)-G, то сам G изоморфен либо C5, либо еще одному графу:
найдите его. М. Aigner // JCTh, 7(1969), № 3, 273-275 [70, 4В339].
126
Основы теории графов
18.	Доказать следующие теоремы:
I.	Реберная гипотеза Улама для графа G верна в том и только том случае,
если для L (G) справедлива вершинная гипотеза. R.L. Hemminger // PAMS,
20(1969), № 1, 185—187 [71, 9В367; 38#1019].
II.	Для графа G с m(G)>3 и без изолированных вершин справедливость
вершинной гипотезы влечет справедливость реберной. D.L. Greenwell // PAMS,
30(1971), № 3, 431-433 [73, 9В370].
III.	Для несвязных графов реберная гипотеза справедлива. Th. Andreae //
AMSUH, 55(1985), 229-238 [86, 8В774].
18'	. Показать, что для бесконечных графов теорема II не имеет места.
18	" (теоретическая проблема). Верно ли, что из справедливости реберной
гипотезы Улама следует справедливость вершинной?
19.	Пусть п-п(р) и m=m(G). Реберная гипотеза Улама справедлива для
графа, удовлетворяющего хотя бы одному из условий:
а)	- L. Lov&sz // JCTh, В13 (1972), № 3, 309-310 [73, 6В399];
б)	т > п log2 п - V. Muller // JCTh, В22 (1977), № 3, 281-283 [77, 12В648];
в)	количество тех вершин G, степени которых превосходят s =s (G), не мень-
ше s - П.Г. Алексанян // ТГр, 1979, 16-20 [79, 12В513]. Дальнейшие усиления:
В.Б. Мнухин [83, 11В650, 653Деп].
20.	Для каждого из графов P-Z[ с /*2 и Р-Сп (л>3) существует такой
G =(¥,[/), что УхеУ [G(G, х)^Р]. С.Я. Агакишиева // ДАН АзербССР,
26(1970), № 12, 7-10 [71, 11В523; 46#7071]. См. также B.L. Chilton, R. Gould,
A.D. Poliment // Geometria Dedicata, 3 (1974), № 3, 289-294 [75, 5В500].
21.	Показать, что для графа P-F2 + P3 существует бесконечный (со счет-
ным множеством вершин X) граф G такой, что О (G, х)^Р при всех х е X, но не
существует конечного G с этим свойством. Найти аналогичные примеры связ-
ных G. В.К. Булитко // Вопросы экономики моря и морского транспорта. Киев,
1972, 159-165.
22.	Подразделяя новыми вершинами некоторые ребра (каждое не более
чем дважды) произвольного графа Р, всегда можно превратить его в такой Р',
для которого существует граф G с окружениями вершин, изоморфными Р'.
В.К. Булитко И Труды МИАН СССР, 133(1973), 78-94 [74, 1В360].
23.	При любом п > 6 существует такой связный л-вершинный граф, в кото-
ром окружения различных вершин все неизоморфны. J. Sedladek // Leet. Notes
Math., 1018 (1983), 242—247 [84, 4В501]. Аналогичные результаты для 2-окрест-
ностей вершин: см. к-окрестностъ [УС].
24.	Сформулировать естественное определение веерного изоморфизма двух
графов и доказать, что каждый такой изоморфизм индуцируется некоторым
вершинным (без исключения каких-то пар графов, как при реберном изомор-
физме). R.L. Hemminger // Amer. Math. Monthly, 79 (1972), № 4, 374—378
[72, 10В349].
Глава 1. Идентификация
127
25.	Граф максимальных клик Ф (G) = (F, W) определяется по G = (X, U) следу-
ющим образом: вершинами служат клики графа G, максимальные по включе-
нию множеств вершин, и FF' еРР для F, F'eF тогда и только тогда, когда под-
графы F и F' в G различны и имеют хотя бы одну общую вершину.
а)	Привести пример графа Ф, для которого нет такого G, что Ф(6)— Ф.
R.C. Hamelink (книга Харари).
б)	Доказать, что для графа Ф = (У, IV) существует G=(X, U) с Ф(С)=±Ф в
том и только том случае, если в Ф имеется система {F1= (¥}, И*})} клик, удовлет-
воряющая условию [jlVj^lV и обладающая свойством Хелли: для любой ее
подсистемы из существования общей вершины у каждой пары клик этой подси-
стемы следует наличие общей вершины всех клик подсистемы. F.S. Roberts,
J. Spencer // JCTh, BIO (1971), № 2, 102—108 [71, 12B602; 44#3917].
ГЛАВА 2
СВЯЗНОСТЬ
§ 2.1.	МАРШРУТЫ
Пусть G=(X,U) — обыкновенный граф. Последовательность
вида
Xq XgXj Х| XjX2 Х2 ... Х/_] X/_7jX/ X/ ,
где Хф, X], Х2,	х/_], x/GX, а хдХ], x\Xz, x/2jx/G(7, называется
маршрутом длины / из вершины х0 в вершину х/. При Х/=х0 & />1
маршрут называется циклическим. В случае / = 0 маршрут состоит из
единственной вершины, совсем не имеет ребер и циклическим не
считается, случай / = 1 для обыкновенных графов невозможен.
Заметим, что маршрут — не просто часть графа: во-первых, су-
щественную роль играет порядок прохождения вершин и ребер, в
силу чего, например, маршрут
*	X/ xjx/_i Х/_1 ... Х2 х£Х) Xj X\Xq Хо
не совпадает с написанным выше (хотя х^х^ =xi~\X( и т. д.); во-вто-
рых, один и тот же элемент (вершина или ребро) может встречаться
в маршруте неоднократно. Для графа, обладающего хотя бы одним
ребром и=ху, уже можно составить бесконечно много различных
маршрутов: х, хиу, хиуих, хиуихиу, ... — так что длиннейшего среди
них нет.
Маршрут, все ребра которого различны, называется цепью. Дли-
на цепи не может превосходить числа ребер m(G), поэтому различ-
ных цепей в данном графе G конечное число. Циклическая цепь,
т. е. с хо =х/ &/>3 (случаи / = 1 и /=2 для таких цепей в обыкновен-
ном графе, очевидно, невозможны), называется циклом. Цепь про-
стая, если все ее вершины х0, х,, х2, ..., х/_], х/ различны; в случае
же х/=х0 &/>3 при отсутствии других совпадений вершин имеем
простой цикл, который, будучи цепью, не относится, однако, к про-
Глава 2. Связность
129
стым цепям: даже если записать элементы цикла не в строку, а по
окружности, чтобы никакая вершина в записи не повторялась, то
все равно надо какую-то из вершин считать началом цепи, значит, и
концом. Длина простой цепи в графе G не может превосходить
л(6)-1, а длина простого цикла не превосходит числа вершин п (G);
в случае достижения этих границ имеем гамильтонову цепь, соот-
ветственно гамильтонов цикл (см. упражнение 8 к § 1.5).
В графе G рис. 2.1.1 (где п = 12 = 21
и т. п.) маршруты 3u2wlu>3p4z5z4z5 и
3wlu2v3p4t5t4t5 различны (хотя со-
держат одни и те же элементы в оди-
наковых количествах), не цикличе-
ские и не являются цепями. Марш-
рут 4z5r4 циклический, но не цепь и
не цикл. Маршрут 3wlw2u3p4 — цепь,
но не простая и не цикл. Маршруты
Рис. 2.1.1
3u>lw2v3p4.s6r703 и 3п2п1ш3р45бг7^3 — разные циклы, оба не про-
стые. Маршрут Iu2v3qlr6s4t5 — простая цепь, притом наибольшей
возможной длины в данном графе, и поскольку ее длина равна
6=и((7)-1, эта цепь гамильтонова. Маршрут 3qlr6s4p3 — простой
цикл наибольшей длины в G (не гамильтонов). Наконец, последова-
тельность 1ыЗи2 — вообще не маршрут.
Заметим, что при подсчете в графе количества простых циклов
последние, как правило, рассматриваются с точностью до выбора
начальной вершины и направления обхода. С этой точки зрения,
которой придерживаемся и мы, граф рис. 2.1.1 содержит два про-
стых цикла (на самом же деле — два класса таких циклов: к одному
принадлежат циклы 1к2иЗш1, 1шЗу2и1, 2i?3ip1w2, 2ulw3v2, 3wlu2v3
и Зи2м1шЗ, выписать все циклы другого класса предложим читате-
лю). Это соглашение теряет силу, если считаемые циклы не являют-
ся простыми, и тогда в каждой конкретной задаче должно быть чет-
ко указано, какие именно объекты отождествляются при подсчете.
ЛЕММА 2.1.1. Всякий маршрут (в частности, всякая цепь)
графа содержит хотя бы одну простую цепь, соединяющую ту же
пару вершин. Всякий циклический маршрут нечетной длины содер-
жит простой цикл нечетной длины. Всякий цикл содержит простой
цикл, проходящий через любое наперед заданное ребро исходного.
130
Основы теории графов
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если в данном маршруте
XOW1X1U2X2 ...Xi_xutxi
все вершины различны, то он сам и есть искомая простая цепь.
Пусть теперь х( — первая из вершин маршрута, имеющих в нем по-
вторения, a Xj — последнее ее повторение. Удаляя все элементы
циклической части маршрута между х, и ху, заменим его более ко-
ротким
X0W1XJW2X2 ..XiUj+XXj+1Uj+2Xj+2 -X^UlXi,
по-прежнему соединяющим х0 с X/. Если в нем есть еще повторения
вершин, то поступаем с ним так же, как с исходным маршрутом, и
т. д. до тех пор, пока не поучим маршрут из х0 в х/ без повторяю-
щихся вершин, т. е. искомую простую цепь. В случае, когда исход-
ный маршрут циклический, результирующая цепь будет состоять из
единственной вершины х0 =х/.
Пусть теперь в G есть циклический маршрут
Х0И]Х1Ы2Х2 ...x2ku2MXQ
нечетной длины. Тогда он либо сам является простым циклом,
либо содержит пару совпадающих вершин х( =ху, где 0<i<j<2k.
Во втором случае оба маршрута x0kiX]H2x2  xi^uixiuj+iXj+\...
x2fcM2fc+lxo и xiui+\xi+l •xj-\^jxi циклические и один из них име-
ет нечетную длину; применяя к нему аналогичное рассуждение, мы
в конце концов выделим циклический маршрут нечетной длины
без повторяющихся вершин (за исключением первой и последней),
т. е. простой цикл нечетной длины.
Доказательство третьего утверждения леммы предоставим чита-
телю, заметив при этом, что заменить в условии цикл произволь-
ным циклическим маршрутом нельзя.
Говорят, что вершины х и у графа G отделены, если в G нет це-
пи, которая бы их соединяла, и что эти вершины соединимы, если
хоть одна такая цепь имеется. В силу леммы 2.1.1 здесь (и в анало-
гичных случаях в дальнейшем) можно под цепью понимать простую
цепь.
Соединимость — бинарное отношение на множестве X вершин
графа (?; рефлексивность/и симметрия этого отношения очевидны,
Глава 2. Связность
131
транзитивность тоже имеет место: если в G есть цепи из х в у и из у в
z, то сочленение этих цепей в вершине у дает маршрут, соединяю-
щий х с z, а из него по лемме 2.1.1 можно выделить цепь. Поэтому
соединимость представляет собой отношение эквивалентности на X,
в силу чего это множество разбивается на классы Х\,Хг.X так,
что две вершины графа G соединимы тогда и только тогда, когда
они принадлежат одному и тому же классу. Подграфы Gt =(Х,, U,),
порождаемые множествами X, (/=1, 2, ..., ж>1), суть не что иное,
как компоненты графа G, которые в § 1.3 были определены иначе;
доказать равносильность обоих определений предоставляем читате-
лю (упражнение 3).
Свойство связности графа, т. е. х (G) = 1, характеризуется воз-
можностью соединить в нем простой цепью не только две вершины,
но и (при несущественных ограничениях) любые два ребра (упраж-
нение 4).
Следующая классическая теорема из книги Кёнига, характеризу-
ющая возможность правильной раскраски двумя цветами вершин
графа в терминах его структуры, кажется почти тривиальной, одна-
ко значение ее для теории графов и многих приложений трудно пере-
оценить (недаром она впоследствии не один раз переоткрывалась).
ТЕОРЕМА 2.1.2. (Кёнига), у (G) <2 тогда и только тогда, когда
граф G не содержит циклов нечетной длины.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что вершины цикла нечетной
длины, а значит, и любого содержащего его графа нельзя правиль-
но раскрасить двумя цветами. Пусть теперь граф G = (X, 17) не со-
держит нечетных циклов; покажем, что у (G)<2. Не нарушая общно-
сти, можно считать граф G связным (почему?).
Вершины х, у е X назовем четно соединимыми, если существует
маршрут четной длины из х в у. Бинарное отношение четной соеди-
нимости на множестве X есть эквивалентность (докажите!), поэтому
Xразбивается на классы X\,Xi, ••• таким образом, что две верши-
ны графа четно соединимы тогда и только тогда, когда они принад-
лежат одному и тому же классу.
Вершины каждого класса попарно несмежны — иначе соеди-
няющее их ребро вместе с четным маршрутом образовало бы цик-
лический маршрут нечетной длины, из которого по лемме 2.1.1
можно выделить нечетный цикл вопреки предположению.
132
Основы теории графов
Количество классов не превышает двух. В противном случае
пусть x,y,z — вершины из трех различных классов. Так как х не яв-
ляется четно соединимой с у, а граф G связен, то существует марш-
рут нечетной длины из х в у, то же справедливо и для вершин у, z.
Оба маршрута вместе составляют четный маршрут из х в z, что не-
возможно, поскольку эти вершины взяты из разных классов четной,
соединимости.
Раскраска всех вершин класса Ху в цвет 1, а всех вершин Х2 в
цвет 2 является правильной для графа G, следовательно/(G)<2
(у(<?)=! в случае =0)-
Теорема доказана. А вот ее перефразировка: /(G)=2 тогда и
только тогда, когда G изоморфен некоторому суграфу произведения
кр,я=Ер'Еу где Р’ и P+q=n(G).
Другую классическую теорему, которая выражает достаточное
условие наличия в графе гамильтонова цикла (следствие 1 ниже),
принято связывать с именем Оре, хотя такое же рассуждение было
проведено на два года раньше Ньюманом и Дираком при доказате-
льстве менее сильного утверждения (следствие 2). Как потом обна-
ружили И.М. Горгос и М. Пиотровски (Кишиневский семинар,
март 1979 г.), эта же идея без малейшего усложнения применима к
выводу достаточного условия существования гамильтонова цикла,
содержащего наперед заданные ребра; последние, разумеется, нель-
зя выбирать произвольно: например, через 3-веер или простой цикл
длины менее п (G) гамильтонов цикл не провести, как бы «хорошо»
ни был устроен сам граф.
Систему	ребер назовем прогамильтоновой, если каж-
дая компонента части графа G=(Х, U), образованной ребрами Ug и
инцидентными им вершинами, представляет собой простую цепь.
В частном случае, когда цепь только одна (т. е. указанная часть
связна), нижеследующую теорему ранее доказал H.V. Kronk (JCTh,
7(1969), № 2, 104-106 [70, 1В302])1.
ТЕОРЕМА 2.1.3. Пусть 0<д<л-1 и в п-вершинном графе
G-{X, U)
VxyeXPl\C/[j(x)+5(y)>« + ^].	(1)
1 А в общем виде переоткрыл Lou Dingjun [93, 10В248].
Глава 2. Связность
133
Тогда через любую прогамилыпонову систему Uq в G проходит по
крайней мере один гамильтонов цикл.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим противное: в некотором графе
G, удовлетворяющем условию (1), имеется прогамильтонова систе-
ма Uq, не принадлежащая никакому гамильтонову циклу. Без нару-
шения общности можно считать, что в G есть такая пара вершин
xytU, х*у, которая соединена гамильтоновой цепью Z„_], содер-
жащей все ребра Uq (т. е. граф GUxy уже обладает искомым цик-
лом): в самом деле, добавление ребер без добавления вершин не на-
рушает условие (1), а в полном графе гамильтонов цикл, содержа-
щий Uq, наверняка есть (докажите!).
Пусть ху — такая пара вершин. Достаточно теперь установить,
что среди ребер цепи Z„_] =xU]X]U2x2 хп_2ип-\У, не принадлежа-
щих Uq, найдется такое u, =х,Дх1-, для которого x^yeU &x~txeU:
тогда простой цикл
...X/-! Х^ууип_}Хп_2 UMXi X~jXX
(рис. 2.1.2) будет в G гамильтоновым, содержащим все ребра Uq
(жирные), вопреки предположению. Т. е. чтобы получить противо-
речие, надо, полагая
а, (х)=< 1
при x-xeU,
О прих^хйС/,
при хр> е U,
при XjyeU,
доказать существование ребра UjiUq, для которого
а, (х)+а,_! (у)=2.
134
Основы теории графов
Простейшее достаточное условие того, что из нескольких задан-
ных чисел хотя бы одно больше 1, выражает известный «принцип
пастухов»: сумма этих чисел должна превышать их количество; в
данном случае количество чисел есть n-\-q и условие можно запи-
сать так:
£[а( (x)+a,_i (у)]>л-9.	(2)
Оно заведомо выполнено, если
л-1
(х)+а,_! (y)]>n-q + 2q = n+q.	(3)
1=1
Преобразуя сумму в левой части и пользуясь тем, что ап_\ (х)=0 и
ао(у) = О ввиду xy&U, получим
л-1	л-1	л-1	л-2	л-2
£[•••] = Xai W+lX-i б7) =	(*)+Z“» О’)= *(х)+$(у),
1=1	i=i	i=i	i=i	i=i
и выполнение (3) теперь сразу следует из условия (1). Доказательст-
во теоремы закончено, но мы попросим читателя ответить на во-
прос: где была использована прогамильтоновость системы Uq1
Граф, обладающий хотя бы одним гамильтоновым циклом, сам
называется гамильтоновым. При q=0 из теоремы 2.1.2 получаем
СЛЕДСТВИЕ 1 (О. Ore // Amer. Math. Monthly, 67 (1960), № 1,
55 [61, 5A309]; книга Ope). Если
Х/хуе \t/[s(x)+s(y)>n],	(4)
то граф G = (X, U) гамильтонов.
СЛЕДСТВИЕ 2 (D.J. Newman // Amer. Math. Monthly, 65 (1958),
№ 8, Part 1,611 [59, 10, 9845; 20#5487]; G.A. Dirac // Acta math. Acad,
sci. hung., 10(1959), № 3-4, 357-361 [61, 1A309J). Граф G = (X, U),
удовлетворяющий условию VxeX[s(x)>nl2], гамильтонов.
A. Kotzig [66, 11A242; 30#3462] указывает операции, при помо-
щи которых можно получить все 3-однородные гамильтоновы гра-
фы, отправляясь от графа (не являющегося обыкновенным) с двумя
Глава 2. Связность
135
вершинами и тремя ребрами. Как показал В. Bollobas (Europ. J.
Comb., 4 (1983), № 2, 97—106 [83, 11B670]), в некотором смысле поч-
ти все графы гамильтоновы.
Многочисленные результаты по гамильтоновым циклам отра-
жены во второй книге Бержа, а особенно в книге: Н. Walther,
H.-Ju. VoB. Uber Kreise in Graphen. Berlin: VEB Dtsch. Verlag der
Wiss., 1974 [75, 9B317K], содержащей также ряд обобщений, в том
числе вопросы существования в графе циклов достаточно большой
длины; к сожалению, ни та, ни другая до сих пор не выпущены в
русском переводе. Некоторые более поздние результаты представ-
лены в упражнениях. Не перечисляя многочисленных работ, посвя-
щенных выводу того или иного достаточного условия гамильтоно-
вости графа (или более сильного его свойства), укажем на два воз-
можных пути усиления теоремы 2.1.3; оба вырисовываются при
анализе ее доказательства.
I. Сводя общий случай к такому, когда в графе G с заданной
прогамильтоновой системой Uq некоторая пара несмежных различ-
ных вершин соединена гамильтоновой цепью Z„_j, содержащей все
ребра Uq, мы не учитывали специфический вид условия (1) — важно
было лишь, что оно не нарушается от добавления ребер к графу.
Второй (и последний) раз это условие использовано для доказатель-
ства оценки (3), гарантирующей (через более слабую оценку (2)) су-
ществование на цепи Z„_] такого ребра utiUq, для которого
а,- (х)+а,_| (у)>1 (т. е. равно 2, поскольку оба слагаемых не превы-
шают 1). Однако требуемое ребро и, может существовать и без со-
блюдения неравенства (2), тем более (3); это открывает возможно-
сти различных модификаций и усилений теоремы путем замены
условия (1) любым другим, тоже обеспечивающим существование и(-
и сохраняющимся при добавлении ребер к графу. Отметим среди
прочих работы Хватала и Дирака (упражнение 1 Зв), где эта возмож-
ность использована в некотором смысле наилучшим образом.
II. При наличии в G цепи Z„_j гамильтонов цикл (содержащий
L[q) может возникать более хитрым образом, чем на рис. 2.1.2:
см., например, рис. 2.1.3. На идее такого рода основана теорема
2.1.4, формулировку которой мы приводим ниже. Пусть для гамиль-
тоновой цепи Z„_] (из х в у)а означает наибольшее количество та-
ких простых цепей (не обязательно гамильтоновых) из х в у, кото-
рые попарно не имеют других общих вершин и на каждой из
136
Основы теории графов
которых при движении от х к у вершины идут в том же порядке, в
каком эти же вершины встречаются (быть может, уже не рядом) при
аналогичном движении по цепи Zn_\; пусть далее а> — наибольшее
число вершин такого подграфа, который содержит обе вершины х, у
и не имеет ребер, отличных от ху.
ТЕОРЕМА 2.1.4 (A. Ainouche, N. Christofides // JCTh, В31 (1981),
№ 3, 339-343 [82, 4В579]). Если xyeU ив графе G = (X, U) есть та-
кая гамильтонова цепь Zn_\ из х в у, для которой а>а>, то су граф
G\xy гамильтонов; далее см.: J. London Math. Soc., 32 (1985), № 3,
385-391 [87, 2В658] и Disci. Appl. Math., 17 (1987), № 3, 213-221
[87, 12В753].
Обзор критериев и алгоритмов распознавания гамильтоново-
сти: N. Christofides И Appl. Comb. Nantwich, 1987, 29—49 [88, 2В657];
см. также условия Хватала—Эрдеша [УС].
Кажется правдоподобным, что без усложнения доказательства,
данного в оригинале (и даже упростив его), можно обобщить эту те-
орему в таком же смысле, в каком теорема 2.1.3 обобщает теорему
Оре (следствие 1). Но и без того теорема 2.1.4 устанавливает гамиль-
тоновость в некоторых случаях, когда признаки Бонди и Хватала,
выводимые из нее, неприменимы (упражнение 17). Дальнейшие уси-
ления: J.A. Bondy, V. Chvatal // DM, 15 (1976), №2, 111-135
[77, 2В492]; А.С. Асратян, Н.К. Хачатрян // Матем. заметки,
35(1984), №1, 55-61 [84, 4В503], ДАН АрмССР, 81(1985), № 3,
103-106 [86, 5В731]; В. Jackson [88, 4В574].
Олицетворяемая рис. 2.1.2 идея распространяется и за пределы
теории гамильтоновых циклов. Граф G называется панциклическим,
если он содержит простые циклы всех длин от 3 до n=n(G) включи-
тельно (стало быть, и гамильтонов). Оказывается, условие Оре
обеспечивает гораздо больше, чем гамильтоновость: как показал
Бонди, граф, удовлетворяющий условию (4), либо является панцик-
лическим, либо изоморфен Кп/2 (во втором случае число вершин
п автоматически оказывается четным). Предварительно заметим,
Глава 2. Связность
137
что из (2) вытекает не только гамильтоновость графа G, но и оценка
т>п2 /4 числа его ребер; доказательство в принципе не сложно и
может быть предоставлено читателю (кстати, эта оценка становится
тривиальной при замене условия Оре более жестким условием Нью-
мана-Дирака из следствия 2). Поэтому результат Бонди сразу выте-
кает из следующей его теоремы.
ТЕОРЕМА 2.1.5 (J.A. Bondy // JCTh, Bll (1971), № 1, 80-84
[72, 5В288]). Если граф G-(X, U) с n = n(G) гамильтонов и m=m(G)>
>л2/4, то G либо панцикличен, либо изоморфен графу К.пц,п12.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Сп	...x„_jU„XQ — гамиль-
тонов цикл в графе G с т>п2 14, но G не панцикличен: в нем нет
простого цикла Сг некоторой длины г (3<г<л-1). Для каждого
Uj =Xj~\Xj определим сопряженную пару (элемент множества УР1,
не обязательно ребро) следующим образом: xt~Xj при i+r-l<j<z-l
сопряжена с Xy+jXy_r+3, а при i+2<J<i+r-2 — с ху+1~ху_г+] (все ин-
дексы считаются по модулю л).
Из двух сопряженных пар не более чем одна может быть ребром
графа G: иначе существовал бы цикл вида Сг (показанный на
рис. 2.1.4 жирным в обоих случаях). Отсюда следует, что
5(х,)+л(х|+1)<л
(5)
для всех i (mod л), причем ра-
венство достигается одновре-
менно лишь тогда, когда из
каждых двух пар одна является
ребром G.
Если бы число л было не-
четным, то в силу (5) какая-то
вершина, скажем xq, обладала
степенью не больше и из (5)
следовало бы
2л1=515(х,)<^>+2Ы<^
|=о
вопреки условию т > п2 / 4. Значит, л четно, и из (5) легко получаем
/л<л2 /4, откуда следует, что т=п2 14 и равенство (5) выполняется
при всех z.
138
Основы теории графов
Поэтому
\
х,ху еС/<=>х|+1Ху_г+3йС/ при f+r-l<j<i-l,	(6)
Х|Х;- et/<=>x,+Jxy_r+1 &U при i + 2<j<i+r-2.	(7)
Допустим, что G не есть ^„/2>л/2- Поскольку всякий строгий су-
граф этого произведения, а также всякий граф Кр q с l<p<q=n-p
содержит менее чем w (AT„/2, л/2) = л2 /4 ребер, то y(G)>3, и в силу
теоремы 2.1.2 (перефразированной) в G должно быть ребро вида
х7х»+л с четным к\ покажем, что наименьшее из таких к есть 2.
Если это не так, то пусть наименьшее четное к, для которого
х,х1+^еС/, не меньше 4. Рассмотрим три случая.
1)	4<к<п-г. Тогда х|+1х/+л+г_3 й(/, ибо иначе это ребро вмес-
те с XfXf+jt и надлежащими частями цикла Сп образовало бы цикл
вида Сг. Согласно (6), xI+2'xi+^ &U вопреки минимальности к.
2)	п-г+2<к<2п-2г. Тогда x^x^^+^iйС/ по (7), откуда
х,_2х|+у+2г_4 е U на основании (6); но
i+k+r-l-(i-l)=k+r<2n-r=n-r (mod п)<к-2,
что опять противоречит минимальности к. Аналогично рассматри-
вается случай
3)	2п-2г + 2<к<п-2.
Итак, х,х(+2 eU. Но тогда xfxl+r £U (иначе в G был бы Сг) и
х|+1х(+3е17 по (6). Пройдя таким образом весь цикл С„, получим,
что все пары вида XjXl+2 являются ребрами графа G, откуда сразу
следует его панцикличность вопреки предположению.
В рассмотренных выше достаточных условиях гамильтоновости
графа (см. также упражнения 9—16 и [УС]) решающую роль играет
изобилие ребер, либо глобальное (т>п2 /4), либо локальное («спра-
ведливо распределенное» по вершинам, парам вершин и т. д.). Неу-
дивительно, что такого рода условия обеспечивают (за отдельными
исключениями) не только гамильтоновость, но и панцикличность, и
ясно также, что никакими усовершенствованиями нельзя довести
эти условия до необходимых: все они заведомо не выполняются для
простейшего гамильтонова графа С„ (при п не слишком малом),
см. метагипотеза Бонди [УС]. Поэтому особый теоретический и ме-
тодологический интерес представляют j-панциклические графы, об-
ладающие простыми циклами всех длин, кроме одной заданной j
Глава 2. Связность
139
(3<j<ri): см. V. Jaco§ // Mat. dasop., 25(1976), № 3, 281—286
[76, 1B668]; исследование таких графов (в частности, достаточных
условий принадлежности графа к одному из этих классов) требует
принципиально иного подхода. Сюда примыкает исследование
графов более широкого класса — гамильтоновых, не содержащих
подграфов типа С, заданной длины, 3<у<л-1 (но не обязательно
только этой): G.R.T. Hendry, S. Brandt // Graphs and Comb.,
11 (1995), № 3, 255-262 [96, ЗВ237].
Наряду с усилениями свойства гамильтоновости можно изучать
и многочисленные его ослабления — например, наличие пары про-
стых циклов (или пары простых цепей, цепи и цикла, тройки циклов
и т. д.) без общих вершин, охватывающей все вершины графа.
К этому кругу вопросов принадлежит
ТЕОРЕМА 2.1.6. Наименьшее число простых цепей, попарно не
имеющих общих вершин и в совокупности содержащих все вершины
графа G, не превосходит его неплотности е(р).
Она непосредственно следует из теоремы Галлаи—Милгрема (4.2.8),
относящейся к орграфам, но в случае обыкновенных графов дока-
зывается гораздо проще, что мы предлагаем читателю. Нетрудно
получить и критерий существования такой системы из к цепей в G:
граф G • Fk должен быть гамильтоновым (Z. Skupien // Colloq. math.,
30 (1974), № 2, 295-316 [75, 6В470]); см. к-покрытие графа [УС].
Упражнения и дополнения
1.	Цепь в графе G, содержащая все его ребра, называется эйлеровой; если
такая цепь циклическая, то имеем эйлеров, цикл.
а)	Выписать все эйлеровы цепи (их восемь) графа G на рис. 2.1.1.
б)	Показать, что у того же G эйлеровых циклов нет, а в подграфе б\5 их
ровно два.
Систематическую теорию эйлеровых цепей и циклов имеет смысл строить
сразу для графов с петлями и параллельными ребрами (§ 2.8), а не только для
обыкновенных.
2.	Показать, что во втором утверждении леммы 2.1.1 требование нечетно-
сти существенно: не всякий циклический маршрут четной длины содержит про-
стой цикл.
3.	Доказать равносильность трех определений компоненты б/=(У/, Uj)
графа G=(X, U):
140
Основы теории графов
а)	как подграфа со свойством, что никакая его вершина х е X, не смежна в
G ни с одной вершиной множества X \ Xи минимального (по включению мно-
жеств вершин) относительно этого свойства;
б)	как подграфа, порожденного одним из классов эквивалентности, на ко-
торые разбивается X отношением соединимости;
в)	как подграфа с попарно соединимыми вершинами, максимального в G
относительно этого свойства.
4.	Доказать, что граф G = (X, U) без изолированных вершин связен тогда
и только тогда, когда для любых его ребер u,veU существует простая цепь с
первым ребром и и последним v.
Указание. Ввиду отсутствия изолированных вершин достаточность три-
виальна. При доказательстве необходимости в неочевидном случае, когда
и=ху, v-zt и все четыре вершины х, у, z, t различны, образовать сначала про-
стую цепь XU]X]U2...U/_1W/Z и рассмотреть затем пять возможностей:
а)	все вершины хь х2,...» х/_] отличны от у и от /;
б)	х^у (1 </</-!), но все хь х2,..., х/_] отличны от Г;
в)	Xi=t (1 <i<I-1), но все xj, х2,..., x/_j отличны от у;
r) Xj=y, xj=t (К/<j</—1);
д) X/=r, Xj-y (1<i<j</-1). Первая книга Бержа.
5.	Доказать, что если G = (X, U) — связный граф, a Y а X — произвольное
подмножество, содержащее четное число 2к вершин, то всегда можно так рас-
пределить вершины Y по парам хр>|, х^2,..., х£ук, чтобы в G нашлась система
цепей 2|, Qi,...» Qk^° свойством: Qi соединяет xf с и при i* j цепи и Qj не
могут иметь более одной общей вершины (/, у = 1, 2, ..., к).
Указание. Ввиду связности G, при любом разбиении Y на к пар для каж-
дой пары xtfi найдется своя цепь Qh При заданном разбиении можно выбрать
систему цепей {Q;} с наименьшей суммой длин, а среди всех разбиении найти
такое, при котором эта сумма принимает наименьшее значение. Соответствую-
щая «дважды минимальная» система цепей — искомая, ибо если какие-то две
цепи имеют более одной общей вершины, то можно так изменить разбиение,
чтобы получить новую систему цепей с меньшей суммарной длиной.
G.A. Dirac // Canad. Math. Bull., 5(1962), № 3, 221-227 [26#753].
6.	Доказать, что если G несвязен, то G связен.
7.	Пусть в связном графе G=(Y, U) выделено некоторое подмножество
вершин Y сХ; связный подграф графа G, содержащий все вершины Y (но не
обязательно только их), называется (G, Y)-c вязкой. Особый интерес представля-
ют задачи нахождения такой связки с наименьшим числом вершин n(G, У) или
только самого этого наименьшего числа и (6, У), а также (G, У)-связки, мини-
мальной по включению множеств вершин; подходы к решению этих задач бу-
дут рассмотрены в добавлении 1, а сейчас заметим, что первая из них является в
классе переборных задач «не менее универсальной», чем задачи нахождения
плотности и неплотности, ибо последние к ней эффективно сводятся. Соответ-
ствующие сведения этих и других классических задач, выполненные В.Г. Ви-
Глава 2. Связность
141
зингом [72, ЗВ275], ниже предлагается воспроизвести читателю. Во всех случаях
заданный граф обозначен через G =(Х, U), где X ={xj,хл}, (/={«!,..., ит}.
а)	По G построим вспомогательный граф G' = (XUC4 И), в котором вер-
шины множества Xобразуют клику, вершины U — груду, а еслихеХ ииеи,то
хи eV тогда и только тогда, когда в графе G вершина х и ребро и инцидентны.
Показать, что £ (6) = л+л1-л(6', U).
б)	По G построим вспомогательный граф G' = (X\JX't V), где Х'={х{,...,
дсД}, ХР\Х' = 0, вершины X образуют груду, вершины X' — клику, ахД}е
eV <$i = jvxpcj eU. Показать, что число всесмежности Д((7)=л((7', Х)-п.
в)	Пусть U\,..., Us е£Д21 — всевозможные неупорядоченные пары различ-
ных ребер графа Gt имеющих общую инцидентную вершину; эту вершину для
пары Uk обозначим через x(L7^). Предположим, что степени всех вершин G не
меньше 2, и построим вспомогательный граф G' = (XU{£A,...» Us] V), в кото-
ром вершины X образуют груду, xj]k е И <=> х, = х ) и U^Ui eV <z>Ukf\Ui*0.
Показать, что граф G обладает гамильтоновой цепью в том и только том слу-
чае, если л (б7, X)=2п.
г)	Задача нахождения плотности (p(G) столь же легко, как и задача о не-
плотности, сводится к поиску наименьшей связки: надо лишь в п. а) строить
вспомогательный граф G ' для графа G вместо G. Благодаря конструкции Лю-
боты (§ 1.6) задача нахождения хроматического числа сводится к задаче о наи-
меньшей связке «в два этапа»; было бы интересно найти непосредственное
сведбние.
8.	Доказать теоремы турановского типа (см. упражнение 6 к § 1.9):
а)	всякий л-вершинный граф с более чем (л-1)г/2 ребрами (г >2) содержит
простой цикл длины >г,
б)	для любого л>(£+1)3/2 (£>1) каждый л-вершинный граф с более чем
. ffc+П _	w	..
пк -I I ребрами содержит простую цепь или простои цикл длины >2х, при-
чем граница для числа ребер точна. Р. Erdos, Т. Gallai // Acta math. Acad. sci.
hung., 10 (1959), № 3—4, 337-356 [61, 1A308; 22#559].
9.	Пусть G — связный л-вершинный граф без подграфов типа И3; доказать,
что
а)	в G есть гамильтонов цикл или простая цепь Z/длины />2$(С)+2;
б)	если 5(G) > (л-2)/3, то в Сесть гамильтонова цепь, но при5(С) = (л-3)/3
это не так. М.М. Mattheus, D.P. Sumner // JGrTh, 9(1985), № 2, 269-277
[86, ЗВ746].
10.	Если 5(х)4-5(у)>[’2л/^1 для любых несмежных х, у еХ в л-вершинном
графе G = (Х, U), то в нем есть простой цикл длины [л/&"|-1. Y. Egava, Т. Niya-
moto // JCTh, В46 (1989), № 3, 356-362 [91, 5В413].
142
Основы теории графов
11.	Если с — наибольшая, с — наименьшая длина простых циклов графа G,
a 5=5(G), то
с = шах {(25-3) (с-4)+ 4, (5-1) (с-2)+2};
Zhang Cun-Quan // JGrTh, 13(1989), № 4, 485-490 [90, 4В626].
12.	Пусть L"(r) — класс и-вершинных графов G =(У, U), удовлетворяющих
условию Уху е^121\С7[5(х)+5(у)>г].
а)	Всякий граф класса L" (и-1) обладает по крайней мере одной гамильто-
новой цепью. О. Оге (см. следствие I теоремы 2.1.3).
б)	Всякий граф класса Ьл (п+1) гамильтоново связен', любые два его различ-
ные вершины служат началом и концом некоторой гамильтоновой цепи:
О. Ore // J. math, pures et appl., 42(1963), № 1, 21-27 [64, 1A330; 26#4336].
в)	Если G еЬл (и+р + 1), то граф, получаемый из G удалением не более р
любых вершин, гамильтоново связен; D.R. Lick // Duke Math. J., 37 (1970), № 2,
387-392 [71, 2В346].
12'. Доказать или опровергнуть следующие высказывания.
а)	Если G eLn (л+ р-1), где 0<р <л-1, то граф, получаемый из G удалени-
ем не более р любых вершин, гамильтонов; S.F. Kapoor, К.К. Theckedath // In-
dian J. Statist., A33(1971), № 2, 211-216 [72, 7В297].
б)	Если G еЬл (и+д-1), где 0<q <п-1, то через любую прогамильтонову
систему Uq в G проходит гамильтонова цепь.
в)	Если G е Ьл (п+ q +1), где 0 < q < л-1, то для любой прогамильтоновой си-
стемы Uq и любой пары вершин zt е %№\Uq существует гамильтонова цепь из z
в /, содержащая все ребра Uq. С. Thomassen И J. reine und angew. Math., 268-269
(1974), 271—282 [75, ЗВ499].
13.	Пусть s(<7) = (5i, 52, ...» 5Я), n>3.
а)	Если	<k&s/</&k*!=>Sk + s/>n, to граф G гамильтонов. J.A. Bon-
dy // Stud. sci. math, hung., 4(1969), № 1-4, 473-475 [70, 6B355; 43#7354].
б)	Если <£+1&5/</+1&£*/=>5£+5/>л+1, to G гамильтоново связен
(упражнение 96). D.R. Lick // JCTh, 8(1970), № 4, 444-445 [70, 11В245].
в)	Если < к < nl2 => s„^ > n-k, to G гамильтонов, причем результат в сле-
дующем смысле неулучшаем: любой вектор (5Ь 52, • • •» sn) с 5j < s2 <... < snt для ко-
торого условие не соблюдено, мажорируется таким s', что существует негамиль-
тонов граф Ges (G)=s'. V. ChvAtal // JCTh, B12 (1972), № 2, 163-168 [72, 9B375];
[45#3228]; [48# 1978].
Класс гамильтоновых графов, не содержащих подграфов типа Р3, изучают
М.М. Mattheus, D.P. Sumner (JGrTh, 8(1984), № 1, 139-146 [84, 10В488]).
14.	Граф G = (Y, U) называется локально гамильтоновым, если окружение
O(G, х) любой вершины хе У представляет собой гамильтонов граф. Такой
граф, не являющийся гамильтоновым, содержит не менее 11 вершин и при
Глава 2. Связность
143
h(G) = 11 — единственный (с точностью до изоморфизма), причем z?:(G)=27.
С.М. Рагеек, Z. Skupien // J. Univ. Kuweit (Sci.), 10 (1983), № 1, 9-17 [85, 4В568].
15.	Пусть G = (У, U), n = n (G) > 3, e Каждое из следующих пяти усло-
вий достаточно для гамильтоновости графа G:
a)	G связен, 5-однороден и локально связен; последнее означает, что окру-
жение каждой вершины — связный граф. П.Б. Кикуст ([73, 4В419Деп,
8В348Деп]; Латв, матем. ежегодник, 16(1975), 33—38 [75, 10В306]).
б)	G связен, имеет хотя бы один цикл и не содержит подграфов типа И3 и
типа клешни. S. Goodman, S. Hedetniemi // JCTh, В16(1974), №ч2, 175—180
[74, 11В439].
в)	Для любого непустого Y с X в G имеется более (|У|+|У|+3) таких вер-
шин, каждая из которых смежна хотя бы с одной вершиной Y. D.R. Woodall //
JCTh, В25 (1978), № 2, 184-186 [79, 4В478].
г)	G не содержит подграфов типа К3 и локально связен. D.J. Oberly,
D.P. Sumner // JGrTh, 3(1979), № 4, 351-356 [80, 5В501; 80j#05086].
д)	s(G)>max{rt/3, £-1} и нет такого Y сУ, Y *0, что х (С\У)>|У| + 1.
A. Bigal’ke, Н.А. Jung // Monatsh. Math., 88 (1979), № 3, 195-210 [80, 6В486].
См. также: М. Пиотровски [78, 7В836]; N. Kohler // AMSUH, 51 (1981),
68-97 [82, 2В658].
16.	Если в графеG = (¥, U)c и = л(С)>11 Уху et/[s(х)+ 5(у)>и-4], то G га-
мильтонов или содержит такое У сУ, что х (С\У)>|У|+1. Н.А. Jung, С. Nara //
Arch. Math., 39(1982), № 4, 383-384 [83, 4В626].
•	17. Пусть Z„_i — гамильтонова цепь из вершины х в вершину у графа
G =(%, (7), причем х *у, ху «£ U; со то же, что и в теореме 2.1.4; со — количество
вершин G, не смежных ни с х, ни с у; ft — количество вершин, смежных одновре-
менно с х и с у. Рассмотрим два утверждения:
(А) если	то граф G гамильтонов;
(Б) если	то G гамильтонов.
17	.1. а) Показать, что (А) непосредственно следует
из теоремы 2.1.4, а (Б) — из (А).	V	А
б)	Показать, что из (Б) вытекает теорема Оре. \	/
в)	Убедиться в том, что гамильтоновость графа \
рис. 2.1.5 следует из (Б), хотя теорема Оре к этому гра-
фу непосредственно не применима.	Рис. 2.1.5
17	.2. Выяснить, какие из достаточных условий га-
мильтоновости, приведенных в книге Вальтера и Фосса, второй книге Бержа и
предыдущих упражнениях, легко следуют из (Б) или из (А).
17	.3 (методическая проблема). Доказать (А) или хотя бы (Б) непосредст-
венно, не прибегая к теореме 2.1.4.
18.	Если л = л(С)>5и $(х)+5(у)>л+2 для любой пары несмежных различ-
ных вершин, то в G есть два гамильтоновых цикла без общих ребер. Win Sein //
AMSUH, 58(1988), 175-183 [91, 5В414].
144
Основы теории графов
19.	а) 3-однородный граф имеет ровно три гамильтоновых цикла в том и
только том случае, если объединение любых двух различных гамильтоновых
циклов дает весь граф;
б) если в графе G есть р гамильтоновых циклов попарно без общих ребер,
то всего в G не менее р(2р-1) гамильтоновых циклов. J. NinCak // Comment,
math. Univ, carol., 14(1973), № 1, 135-138 [73, 8В357].
Примечание. При p =2 получаем p (2p -1) = 6; доказательство менее
сильного утверждение (N.J.A. Sloane) о существовании хотя бы трех гамильто-
новых циклов приведено во второй книге Бержа. О количестве гамильтоновых
циклов в графе и о графах с единственным гамильтоновым циклом см. [УС].
20.	Всякий s-однородный граф с числом вершин n=2s>6, не изоморфный
Ks или с m=2s+1>9 гамильтоново связен. I. Tomescu // JGrTh, 7 (1983), №4,
429-436 [84, 5В528].
21.	В каждом s-однородном графе с s >2 и n(G)<2s через любые два ребра
с общей вершиной проходит гамильтонов цикл. Число всех гамильтоновых
(s Л
циклов такого графа не меньше I I. I. Tomescu // Rev. roum. math, pures et appl.,
29(1984), № 6, 499-505 [85, 1В658].
22.	Пусть 0 и 0* — графы, изображенные на рис. 2.1.6.
а) Любой нсгамильтонов граф допу-
скает стягивание на 0 или на 0*;
б) граф негамильтонов тогда и толь-
ко тогда, когда его можно стянуть строго
(без наложения ребер) на 0. С. Hoede,
H.J. Veldman // JCTh, В25(1978), № 1,
47-53 [79, 4В484].
О числе Хадвигера гамильтоновых
графов см.: Н.П. Федорова [86, ЗВ786].
23.	Если л-вершинный граф G с т ребрами гамильтонов, но теряет это
свойство после удаления любой вершины, то
а)	п >4 => /л < л2/4;
б)	п нечетное >5=> ?л<л(л-1)/4;
в)	л>4&?и = л2/4=>С^Хл/2,л/2•
L. Lesniak-Foster И Acta math. Acad. sci. hung, 29(1977), № 3—4, 255—258
[78, 5В509].
24.	При заданном числе вершин п * 5 негамильтонов граф с наибольшим
числом ребер только один (с точностью до изоморфизма). J.A. Bondy // Canad.
Math. Bull., 15(1972), № 1, 57-62 [72, 10В372].
25.	Доказать, что если граф G гамильтонов, то его граф смежности ребер
L (<7)тоже гамильтонов, но обратное неверно. J. Sedladek [66, 11А250; 30#3468].
26.	Если после удаления из G не более р любых вершин остается гамильто-
ново связный граф (см. упражнение 126), то £ (С) обладает тем же свойством,
но с р + 1 в роли р. Р.Т. Zamfirecu // Rend. Semin, mat. Univ. Padova,
46(1971/1972), 385-389 [72, 9В335].
Глава 2. Связность
145
27.	Из двух взаимно дополнительных графов с числом вершин п>5 по
крайней мере один связен и обладает гамильтоновым графом смежности ребер.
L. Nebesky// Comment, math. Univ, carol., 14 (1973), № 1, 107-111 [73, 9В380].
28.	3-однородный граф G гамильтонов тогда и только тогда, когда в L (G)
есть по крайней мере два гамильтоновых цикла без общих ребер. Р. Martin //
Aequat. math., 14(1976), № 1-2, 37-40 [76, 12В611].
29.	Если п (G) > 4, т (G) * 0 и 5 (х) = s (у) > j ((7) для каждого ребра ху графа (7,
то L (G) гамильтонов. R.A. Brualdi, R.F. Shanny // JGrTh, 5 (1981), № 3, 307—314
[82, 2В663]; усиление: В.А. Самодивкин // Годишн. ВУЗ. Прилож. мат.,
19(1983/84), № 2, 163-170 [86, 2В739]. См. также: Zhao Lian-chang, Liu
Chun-feng, Wang Hong // Acta math. appl. sin., 9 (1986), № 1, 17-20 [86, 8В789].
30.	Если граф G-(У, U) связен и Уху €	(*)+•*(у)>2[fl/2J}, то L(G) га-
мильтонов; неравенство ослабить нельзя. L. Clark // JGrTh, 8(1984), № 2,
303-307 [84, 12В742].
31.	Если G-(X, t/), л = м(6)>5и Уху £/{5(х)+5(у)>л}, то любая пара раз-
личных вершин соединена простыми цепями всевозможных длин / = 4, 5, ...,
л-1. Cai Xiao-tao // JGrTh, 8(1984), № 1^ 109-110 [84, 10В486].
32.	В самодополнительном графе (G-G) с п > 8 есть простые циклы любой
длины / = 3, ..., л-2, а если такой граф гамильтонов, то он панцикличен.
S.B. Rao // JCTh, В22 (1977), № 1, 1-9 [77, 8В497; 56#5357].
33.	При условии упражнения 12в) на степени вершин граф G — панцикли-
ческий или двудольный. E.F. Schmeichel, S.L. Hakimi // JCTh, В17 (1974), № 1,
22—34 [75, 2В497]. Другие обобщения: G.A. Dirac // Math. Ann., 206 (1973), № 2,
139-147 [74, 2B469]; E.F. Schmeichel, S.L. Hakimi [88, 12В615].
34.	Граф L(Kpq) панцикличен, кроме случая p-q-2. В. Varma [88,
5В664].
35.	Пусть граф G (не предполагаемый конечным) содержит хотя бы одну
простую цепь Zr конечной длины и концы всякой такой цепи смежны. Тогда G
изоморфен либо Fn с п>г, либо Сг, либо К р q с р, q>r/2 (и в этом случае п чет-
но). G.A. Dirac, С. Thomassen // Math. Ann., 203 (1973), № 1, 65-75 [73, 9В368].
§2.2. БЛОКИ
Вершина х графа G называется шарни-
ром, если граф G \ х содержит больше ком-
понент, чем G: x(G\x)>x(G). Так, для гра-
фа рис. 2.2.1 вершины 3 и 7 — шарниры,
а вершины 1, 2, 4, 5, 6, 8 и 9 — нет (при уда-
лении последней число компонент даже
Рис. 2.2.1
146
Основы теории графов
уменьшается). Шарнир можно определить и как вершину х, облада-
ющую свойством: в G существуют две соединимые вершины у и г,
отличные от х и такие, что всякая связывающая их цепь неизбежно
проходит через х; равносильность обоих определений доказывается
без труда (упражнение 1).
ТЕОРЕМА 2.2.1. Граф G с n(G)>2 содержит по крайней мере две
вершины, не являющиеся шарнирами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Без нарушения общности можно считать,
что данный граф G связен и т (G) >1. Выберем в G простую цепь
/>' \	2=X0M1X]... Х/^ЩХ/
~и1	__...__и'	наибольшей длины / (очевидно,
''---------------'	^0- Концевые вершины х0, х/
'	g	'	этой цепи и являются искомы-
ми: если бы, например, граф
Рис.2.2.2	G\X[ обладал более чем одной
компонентой (рис. 2.2.2), то в G
вершина х/ была бы смежна с некоторой вершиной у, не принадле-
жащей той компоненте графа G\x[, которая содержит х0. Но тогда
цепь
XqU]X[ ... X/_]U/Xj Х/у у
в графе G была бы простой и обладала длиной 1+1, что невозможно.
Различные обобщения этой теоремы см. в упражнениях 10 и 11,
а также в работе А.В. Лакеева и С.Б. Кауля [79, 2В502].
Ребро и графа G называется перешейком, если G\w содержит
больше компонент, чем G. Например, у графа рис. 2.2.1 два пере-
шейка: 37 и 78. Легко показать, что данное определение равно-
сильно каждому из двух следующих: а) и не принадлежит никако-
му циклу графа G, б) в G есть такие две вершины х и у, что вся-
кая соединяющая их цепь содержит и (упражнение 5). В противо-
положность перешейку ребро, принадлежащее хотя бы одному
циклу, будем называть цикловым.
Связный граф без шарниров называется блоком. В частности,
блоками являются все клики Fn (и при только они), простые
циклы и вообще гамильтоновы графы.
Глава 2. Связность
147
ТЕОРЕМА 2.2.2. Следующие два свойств графа Gравносильны:
(а) для любых вершин х, у (не обязательно различных) в G най-
дется содержащий их простой цикл;
(б) G — блок и n(G)>3.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, (а) => (б). Из условия (а) непосредственно
следует связность графа G, а также наличие в нем хотя бы одного
простого цикла (ибо можно взять х=у), откуда n(G)>3. Осталось
показать, что в G нет шарниров, т. е. что удаление из G любой вер-
шины z не нарушает соединимости никаких двух других вершин х
и у. Но это очевидно: из элементов простого цикла, проходящего
через хну, можно составить две простые цепи, соединяющие эти
вершины и не имеющие других общих вершин, а удаление z из G
способно разрушить не более одной из этих цепей.
(б) => (а). Пусть G = (X, U) — блок и и((7)>3, а х, уеХ — ка-
кие-то вершины G. Если xye.U, то ребро ху не может быть пере-
шейком графа G: иначе в силу n(G)>3 по крайней мере одна из
вершин х, у была бы шарниром. А раз ху — цикловое ребро, то
среди содержащих его циклов найдется простой (см. третье утверж-
дение леммы 2.1.1). В случае х=у достаточно взять какое-нибудь
ребро, инцидентное этой вершине, и провести через него простой
цикл. Относительную трудность представляет оставшийся случай,
когда хФу & xytU.
Обозначим через Хо множество вершин z, обладающих свой-
ством: в G существует простой цикл, содержащий х и z, — и пред-
положим, что у&Х0 (иначе больше нечего доказывать). На каж-
дой простой цепи Q, идущей из х в у, отметим последнюю (считая
от х) вершину Iq множества Xq. Все эти Iq не могут совпадать,
иначе единая вершина z была бы шарниром графа G (читателю
предоставляется обратить особое внимание на случай t=x). Поэто-
му среди цепей Q найдутся две, Q'=xuiX\  .xp^upt'up+ixp+i ...у и
2"=хУ]У1... yq-\Vqt"vq+\yq+i ...у, для которых соответствующие
вершины t'=tQ' и t"=tQ" различны.
Маршрут l'up+\xp+i ...у ...yq+}v(l+it" по лемме 2.1.1 содержит
простую цепь, соединяющую t' с Z", и длина этой цепи не меньше 2
(почему?), так что на ней есть вершина Iq, отличная от t' и г". Но,
как мы сейчас покажем, вывод о существований такой z0 влечет
противоречие; тем самым доказательство теоремы будет завершено.
148
Основы теории графов
С одной стороны, Iq й Хо, ибо какой бы из цепей Q', Q" (или обе-
им сразу) ни принадлежала t0, она расположена на этой цепи даль-
ше (считая от х) самой далекой вершины множества Хц . С другой
стороны, Iq g Xq ; чтобы это показать, достаточно построить с ис-
пользованием вершин только из Хо две простые цепи, соединяю-
щие х соответственно с t' и t" и не имеющие общих вершин поми-
мо х. Образовать такие цепи можно следующим образом.
Так как ('еУд, то существует простой цикл С, содержащий
вершины х и Г; все вершины этого цикла принадлежат множеству
Х$ (в силу определения последнего); из элементов С составим две
простые цепи Q\ и Qi, соединяющие х с t' и не имеющие других об-
щих вершин. Аналогичная пара цепей
существует и для вершины г"; из них
выберем ту цепь Qy, которая не содер-
жит а на 03 возьмем последнюю
(считая от х) вершину х0, принадлежа-
щую циклу С', и пусть, например,
хое02. Тогда за одну из искомых це-
пей (из х в Г) можно взять 01, а другую
(из х в t”) скомбинировать из отрезка
цепи 02 от х до xq и отрезка цепи 0з
от х0 до t" (рис. 2.2.3).
Рис. 2.2.3
ТЕОРЕМА 2.2.3 (L. Lovdsz // JCTh, В19(1975), № 3, 269-271
[76, 7В402; 53#211]). Пусть G = (X, U) — блок, отличный от клики
и от простого цикла. Тогда в G существует пара различных вершин
а, Ь, обладающая следующими свойствами:
1)	ab£U;
2)	3ceX(a~ceU&FceU);
3)	подграф G\{a, b} связен.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть z — вершина наибольшей степени
s=s(G, z)=s(G) в G. Из условий теоремы следует, что 5>3 и что сре-
ди смежных с z вершин найдутся две, а и Ь, не смежные друг с дру-
гом. Если подграф G \ {а, 6} связен, то эти вершины и составляют ис-
комую пару; в противном случае пусть G’, G",... — компоненты гра-
фа G \ {а, Ь}, причем вершина z находится в G'.
В силу s(G, s)>3 компонента G' содержит вершину у, отличную
от z. Эта у соединена по крайней мере с одной из вершин а, b цепью,
Глава 2. Связность
149
Рис. 2.2.4
не проходящей через z (иначе вершина z
была бы шарниром графа G); выделим из
этой цепи простую (по лемме 2.1.1), и пусть
она идет, например, из у в а, причем а' — ее
предпоследняя вершина (рис. 2.2.4). В дру-
гой компоненте G" возьмем любую верши-
ну Ь', смежную с а в G, и покажем, что пара
а', Ь' — искомая.
Свойство 1) выполняется потому, что в случае a'b'eU подгра-
фы G' и G" не были бы разными компонентами графа G\{a, b}.
Свойство 2) тривиально: роль с здесь играет вершина а.
Свойство 3). После удаления а' и из (7 любая вершина подгра-
фа G' остается соединимой в нем с z (иначе а' — шарнир G), а значит,
соединимой в графе G с а и с Ь; далее, любая вершина подграфа G"
(если в нем вообще были вершины помимо Ь1) остается соединимой
в нем с а или с b (иначе Ь' — шарнир G), т. е. соединимой в G с а (и с
Ь); наконец, соединимость любых вершин подграфов G"', ... (если
такие есть) с а (и с Ь) сохраняется. Теорема доказана.
Под блоком графа G понимается не любой его подграф G', удов-
летворяющий (если рассматривать его отдельно от G) определению
блока, а лишь максимальный по включению множеств вершин.
Иначе говоря, блок графа G — это его связный подграф G', не имею-
щий своих шарниров и не являющийся строгим подграфом никако-
го подграфа с теми же двумя свойствами в G. Подчеркнем, что G' не
должен содержать именно своих шарниров, но в нем могут быть
вершины, являющиеся шарнирами для всего G. Так, блоками графа
на рис. 2.2.1 служат подграфы, порожденные множествами вершин
{1, 2, 3, 4}, {3, 7}, {5, 6, 7}, {7, 8} и {9}.
ТЕОРЕМА 2.2.4. Два блока графа могут иметь не более одной
общей вершины, и такая вершина необходимо является шарниром гра-
фа. Два шарнира могут входить не более чем в один общий блок.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, вопреки первому утверждению те-
оремы, в графе G = (X, U) два блока G| = (Ху, Uy) и G2 =(Х2, ^г)>
* Xj, имеют по меньшей мере две общих вершины. Ввиду свойст-
ва максимальности в определении блока графа, не может быть ни
Xy<zX2, ни X2czXy; поэтому подграф G', порожденный множест-
вом вершин XiU^, содержит как Gy, так и G2 в качестве строгих
150
Основы теории графов
подграфов. В то же время G' не имеет своих шарниров, т. е. остается
связным после удаления из Ху1)Х2 любой вершины у: при
уе Х\ \ Х% или у 6 Х^ \ A'i это следует из того, что (7|, соответствен-
но G^, — блок графа G, а при у&Х^ ClX2 — из того же и из допуще-
ния l^i ПУ2|>2. Но это противоречит максимальности подграфов
(7] и G2 относительно свойства не иметь своих шарниров.
Второе утверждение теоремы непосредственно следует из пер-
вого.
ТЕОРЕМА 2.2.5. Пусть S={G$, G|, ..., Gp_\, Gp =Gq} — некото-
рая система из р >2 различных блоков графа G = (X, U), обладающая
тем свойством, что для любого i=0, 1, ..., р-1 блоки G, и Gi+\ име-
ют общую вершину. Тогда общая вершина — одна и та же для всех
блоков системы S.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим общую вершину блоков Gt и
(7|+1 через Xi (г = 0, 1, ..., р-1; хр=хц) и допустим вопреки утверж-
дению теоремы, что не все вершины xq, х,, ..., хр_\ совпадают, на-
пример х0 *xj. В каждом из блоков G, при » = 1, 2, ..., р-1 соеди-
ним цепью вершину х, с x1+i (в случае х,- =xl+i можно взять в G,
цепь нулевой длины). Сочленяя
последовательно эти р-1 цепей,
получим в G цепь Q, соединяю-
щую Xj с х0 (рис. 2.2.5) и имею-
щую по крайней мере одну вер-
шину вне блока Gq, поскольку
ни у какого другого блока не
может быть с ним двух общих
вершин (теорема 2.2.4). Объеди-
Рис. 2.2.5
нение множеств вершин блока Gq и цепи Q порождает в G под-
граф, очевидно, связный и не имеющий своих шарниров, но в то
же время содержащий в качестве строгого подграфа блок Gq во-
преки максимальному свойству последнего. Теорема доказана.
Пусть z — вершина графа G = (X, U), a Gt =(Хt, U,) — та его ком-
понента, которая содержит t, и пусть(7^ =(УР> С7^)> •••> G^ =
= (Xjs\ — компоненты подграфа Gt \ t (если вершина I не явля-
ется шарниром графа Gt, то 5 = 1, а если Xz={z}, то считаем 5=0).
Подграфы графа Gt, порожденные подмножествами Х^ UW, ...,
его вершин, называются t-блоками исходного графа G.
Глава 2. Связность
151
Z-блок не обязательно является блоком, поскольку может содер-
жать шарниры графа G, отличные от t, и, в свою очередь, состоять
из нескольких блоков. Так, 3-блоками графа рис. 2.2.1 служат под-
графы с множествами вершин {1, 2, 3, 4} и {3, 5, 6, 7, 8}, причем вто-
рой из них не блок; одновершинный подграф ({9}, 0) не является
/-блоком ни для какой вершины t.
ЛЕММА 2.2.6. Если G\, G2. .... Gq — все блоки графа G, то хро-
матическое число у (G)=max{y (<70, у((72), ..., f(Gq)}.
Утверждение очевидно: раскрасим правильно наименьшим чис-
лом цветов каждый блок G, по отдельности, после чего переимену-
ем цвета в блоках так, чтобы вершины разных блоков, совпадаю-
щие в G, оказались окрашенными одинаково — это возможно благо-
даря теоремам 2.2.4 и 2.2.5. Строго оформить доказательство (на-
пример, индукцией по q) предложим читателю.
В качестве эффектного приложения теоремы 2.2.3 и леммы 2.2.6
приведем краткое доказательство классической теоремы Брукса,
найденное Ловасом (см. теорему 2.2.7).
Раскрасить правильно все вершины графа G не более чем s (G) +1
цветами труда не составляет: расположим вершины G в последова-
тельность X], х2, . ., хп, окрасим X] цветом 1, и если вершины X], ...,
х, (z<n) уже окрашены цветами из множества {1, 2, ..., i(G),
s(G) + l}, то для окраски вершины xI+i используем любой (напри-
мер, с наименьшим номером) цвет из этого множества, отсутствую-
щий в смежных с ней вершинах; такой цвет всегда есть, поскольку
s(G, xi+\)<s(G). Эта процедура проста тем, что не требует перекра-
ски вершин, уже получивших цвет, а соответствующая оценка
у (£)<$((/)+ 1 хроматического числа графа через его степень (также
вытекающая непосредственно из результата упражнения 13' к § 1.9)
точна, так как достигается на кликах. Однако после наложения на
граф G несущественных ограничений (и в результате существенных
усилий) R.L. Brooks (Proc. Cambrige Philos. Soc., 37 (1941), 194—197
[MR6p281]) сумел снизить ее на единицу. Впоследствии доказатель-
ство несколько раз упрощалось (см. упражнения 226, 23 и обзор по
теореме Брукса [УС]), а краткость излагаемого ниже варианта обу-
словлена тем, что значительная часть трудностей уже преодолена в
теореме 2.2.3 (имеющей и самостоятельный интерес).
152
Основы теории графов
ТЕОРЕМА 2.2.7 (Брукса). Пусть s=i(G)>2 и граф G = (X, U) не
содержит компонент вида Fs+\, а при s=2 также простых циклов
нечетной длины. Тогда y(G)<s.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ввиду того, что условиям теоремы удов-
летворяет вместе с графом и каждый его блок, и в силу леммы 2.2.6
можно без нарушения общности считать сам G блоком. Если G —
простой цикл четной длины, то у (G) = j (G)=2 и теорема доказана; в
противном случае для графа G выполнены все условия теоремы
2.2.3, значит в нем есть три различные вершины а, Ь, с такие, что ас,
FceU, abtU и подграф G\{a, b} связен.
Вершины этого подграфа можно расположить в последователь-
ность xj =с, х2, •••> хл-2 (и=л(Сг)) таким образом, чтобы каждая
следующая была смежна хотя бы с одной из предыдущих (почему?).
Окрасим теперь вершины а и b графа G цветом 1, а остальные вер-
шины будем окрашивать в порядке х„_2, х„_3, ..., х2, хь используя
для каждой тот из цветов 1,2, ..., который отсутствует в смежных с
ней вершинах; хотя бы один такой цвет всегда найдется, поскольку
степень любой вершины не превосходит 5, каждая из вершин хп_2,
х„_3, ..., х2 в момент ее окраски имеет еще не окрашенную смежную
(с меньшим индексом), а на две вершины а и b из числа смежных с
X] =с израсходован всего один цвет.
Описанная процедура не только доказывает теорему, но и дает
для графа G, удовлетворяющего ее условиям, эффективный способ
правильной раскраски вершин не более чем i (G) цветами. К сожале-
нию, до нахождения у (G) здесь еще далеко, ибо у многих графов это
число может оказаться значительно меньше j(G). Для более точной
оценки хроматического числа надо привлекать и другие инвариан-
ты графа G (см., например, упражнения 24, 28—33, а также некото-
рые упражнения к предыдущим параграфам). Большую таблицу, со-
держащую известные оценки и ряд новых, приводят F. Droesbeke,
A. De Frenne [79, 2В521; 80k#0507b]. См. также: A. Beutelspacher,
P.-R. Hering// ARS Combinatoria, 18 (1984), 201-216 [85,12В567].
Упражнения и дополнения
1.	Доказать, что два определения шарнира в начале параграфа равносиль-
ны друг другу, а при дополнительном требовании связности графа G также
равносильны следующему: вершина х — шарнир связного графа G, если множе-
Глава 2. Связность
153
ство вершин его подграфа G\x можно разбить на два класса так, чтобы всякая
цепь, соединяющая в G вершины разных классов, проходила через х.
2.	Доказать, что шарнир графа не может быть шарниром его дополнения.
3.	Доказать, что 3-однородный граф имеет шарнир тогда и только тогда,
когда в нем есть перешеек.
4.	Доказать, что если вершина х степени 5(6, х)=2к в графе G не является
шарниром, то существуют к простых циклов, проходящих через х и таких, что
никакие два из них не могут иметь более одной общей вершины, отличной от х.
G.A. Dirac (см. упражнение 5 к §2.1).
5.	Доказать, что три определения перешейка, данные в тексте, равносиль-
ны друг другу, а для связных графов — также следующему: ребро и — перешеек
связного графа 6, если множество вершин этого графа можно так разбить на
два класса, чтобы каждая цепь, соединяющая вершины разных классов, содер-
жала и.
6.	Существуют ли блоки: без гамильтоновых циклов? без гамильтоновых
цепей?
Указание: использовать граф Петерсена.
7.	Выяснить, какие из следующих условий характеризуют блок, а какие яв-
ляются только необходимыми или только достаточными:
а)	для любых трех различных вершин х, у, z существует простая цепь из х в
у, проходящая через z;
б)	для любых трех различных вершин х, у, z существует простая цепь из х в
у, не проходящая через z;
в)	для любых вершин х, у и любого ребра и существует простая цепь из х в
у, содержащая и\
г)	для любых вершин х, у и любого ребра и существует простая цепь из х в
у, не содержащая м;
д)	для любой вершины и любого ребра существует содержащий их простой
цикл;
е)	для любых двух ребер существует содержащий их простой цикл.
8.	Пусть , 02, • ••» ар ~ все шарниры, a 6j, 62, •,	~ все блоки графа 6,
причем шарнир а, содержится ровно в gi блоках (/ = 1, 2, ..., р), а блок Gj содер-
р
жит ровношарниров (/ = 1, 2,..., q) графа G. Доказать, что q (6)+
,=1
(F. Нагагу // Amer. Math. Monthly, 66 (1959), № 5,405-407 [60, 7, 7344; 21 #2986])
и р =х (G)+ £(lj-1) (Т. Gallai// МТ, 9 (1964), № 1-2,235-236 [66, ЗА279]).
7=1
Указание: в обоих случаях можно применить индукцию по числу
q-x(G).
9.	В л-вершинном графе с т ребрами наибольшие количества шарниров и
f	( 2_ А 1
перешейков оба равны min «4 q!q <л-3 & т < л я + q >. A. Ramachandra Rao И
154
Основы теории графов
8+к<п<
Israel J. Math., 6(1968), № 3, 261—268 [69, 5В300]; описаны экстремальные гра-
фы. Наибольшее число f (л, s) шарниров л-вершинного ^-однородного графа
исследуют К. Nirmala, A. Ramachandra Rao (Cah. Cent. dtud. rech. орёг.,
17(1975), № 2-4, 295-299 [76, 5B559]). J. Akiyama, K. Ando, H. Mizuno
[84, 4B499; 83m#05088] изучают связные графы co связным дополнением, обла-
дающие заданными количествами шарниров и висячих (степени 1) вершин.
10.	Если G — блок и s (G)> 3, то существует не менее четырех вершин х та-
ких, что G\x тоже блок. П.Н. Сырбу, Д.Д. Лозовану (Кишиневский семинар,
май 1978 г.).
11.	Всякий блок (7= (А\ U) с л((7)>4 обладает по крайней мере одним из
двух свойств:
а)	существует такое ребро xyeU, что G\x и G\y — блоки;
б)	существует пара несмежных вершин степени 2.
L. Nebesky// Casop. pest, mat., 100 (1975), № 2, 116-117 [75, 10B285; 55#2653].
12.	В л-вершинном блоке неплотности 8 с длиной наибольшего простого
цикла 7: л = 3 при 7 = 3; л = 1 при 7 > max {2с, 4}; в остальном
с(к-1)+2 при 7=2£,
8(к-1)+3 при 7=2£+1.
Н.Г. Винниченко // Тезисы докл. IV Всес. конф, по проблемам кибернетики.
Новосибирск, 1977.
13.	В л-вершинном блоке неплотности с >2 есть простой цикл длины не ме-
нее 2(л+с-2)/с. J. Fournier [87, 5В718].
14.	В блоке (7 = (У, U) имеется простой цикл длины не менее min {s (х)+
+s(y)/x, y^X&xytU}, если только само это число не превосходит л(С).
N. Linial // DM, 15(1976), № 3, 297-300 [77, 1В476].
15.	В блоке G с л (G)< 3s (G)-2 через все вершины степени s проходит про-
стой цикл. В. Jackson // JGrTh, 19 (1995), № 2, 167-168 [96, 3B235] (обобщение
результата: H.J. Broersma, J. van der Heuvel, H.A. Jung, H.J. Veldman // JGrTh,
17 (1993), № 3, 373-385 [94h#05048]).
J.A. Bondy, R.C. Entringer (Canad. J. Math., 32 (1980), № 6, 1325-1332
[81, 8B659]) находят нижние и верхние оценки функций:
/ (л, s) — наибольшее такое к, что любой л-вершинный блок степени s со-
держит простой цикл длины >к\
g (л, s) — аналогичное число для s-однородных блоков.
16.	Пусть G = (У, 17)— блок с л = л((7)>3 и 3<с<л. Для существования в G
простого цикла длины не менее с достаточно выполнение хотя бы одного из
двух условий:
а)	из каждой пары несмежных различных вершин, имеющих общую смеж-
ную, по крайней мере одна обладает степенью >с/2;
б)	для любой такой же пары вершин, принадлежащих одному и тому же из
множеств Sj={z еХ/s(z)< j} (/=2, ..., л),
Глава 2. Связность
155
j<k&, j+к <с +1 &|Sj|> 1=>15л-1|<к-1.
Fan Geng-hua//JCTh, В37 (1984), № 3, 221-227 [85, 8В538]; Feng Tian // JCTh,
B45(1988), № 3, 373-375 [89, 6В491].
17.	В негамильтоновом блоке G без подграфов типа есть простой цикл
длины не менее 2 s (G)+4 (результат неулучшаем), при s>(n-2)/2 такой блок га-
мильтонов. М.М. Matheus, D.P. Sumner (см. упражнение 96 к §2.1).
18.	п-вершинный s-однородный блок с 3<n<3s гамильтонов. В. Jackson //
JCTh, В29(1980), № 1, 27-46 [81, 1В513]; J.A. Bondy, М. Kouider [88, 8В592];
Zhu Yong-Jin, Lin Zhen Hong, Yu Zheng Gang // JSSMS, 6(1986), № 1, 36-49
[86, 8B802] и № 2, 136-145 [86, 10В451].
19.	В и-вершинном s-однородном блоке с n<3s-l через каждое такое реб-
ро, удаление которого не нарушает связность графа, проходит гамильтонов
цикл. Li Hao // DM, 82(1990), № 1, 25-34 [91, 5В411].
19'. A. Ainouche, I. Schiermeyer (JGrTh, 20 (1995), № 2, 123-135 [96, 6B250])
выражают критерий гамильтоновости блока G = (X, U) в терминах количеств
|{х еХ\Е}|, где Е — груды, имеющие с окружением О (G, х) ровно по одной об-
щей вершине.
20.	Пусть для графа G высказывание Э означает существование эйлерова
цикла (см. упражнение 1 к § 2.1), а Г — существование гамильтонова цикла. По-
строить примеры 8-вершиш4ых блоков G_ таких, что
а) Э & Г, б) Э & Г, в) Э& Г, г) Э& Г.
21.	Доказать, что всякий негамильтонов блок содержит такую часть (назы-
ваемую тэта-графом), которая сама по себе является блоком и в которой ров-
но две несмежные вершины имеют степень 3, а все остальные вершины — сте-
пень 2. Верно ли, что граф, обладающий подграфом такого типа, не может
быть гамильтоновым? Книга Харари.
22.	Блок G = (X, U) называется реберно критическим, если для любого и е U
суграф G\u уже не блок.
22.1.	Доказать, что блок является реберно критическим тогда и только тог-
да, когда в нем нет ни одной диагонали — ребра, соединяющего две вершины
простого цикла, но не принадлежащего ему. G.A. Dirac // J. reine und angew.
Math., 288(1967), 204-216 [68, 11B275; 36#70].
22.2.	Установить следующие свойства реберно критических блоков G с
л(С)>4:
а)	Ф(6)<2;
б)	n(G)<m(G)<2n(G)-4;
в)	если сам G не цикл, то после удаления из него всех вершин х степени
s(G, х)=2 остается несвязный граф. D.M. Plummer // TAMS, 134(1968), № 1,
85-94 [71, 9В385; 37#70].
22.3.	Доказать, что если G=(X, U) — реберно критический блок, то
m(G)<2n(G) — min{s(x)+s(y)/xj'
Л.А. Золотаревская (Кишиневский семинар, май 1980 г.). См. также:
М. GrOtschel // JGrTh, 3(1979), № 3, 213-219 [80, ЗВ639].
156
Основы теории графов
22.4.	Доказать, что в л-вершинном блоке с т ребрами длина наибольшего
простого цикла не меньше 2m/(т-л-2) и в случае реберной критичности блока
не превосходит 2л-т-1. Хоанг Минь Тяу (Кишиневский семинар, май 1981 г.).
22.5.	Вершинная гипотеза Улама (§1.10) справедлива для реберно критиче-
ских блоков. Н. Fleischer // ARS Combinatoria, 7 (1979), 223—254 [80, 4В356].
23.	Граф блоков В (G) для графа G определяется следующим образом: вер-
шинами служат блоки G, и две различные вершины смежны тогда и только тог-
да, когда они как блоки G имеют общую вершину. Граф шарниров С (G) имеет
своими вершинами шарниры графа G, а смежность означает принадлежность
одному и тому же блоку в G. Доказать теоремы:
а)	граф М есть граф блоков (т. е. существует такой G, что В (р)-М) в том и
только том случае, если у самого М все блоки представляют собой клики;
б)	если ни один блок графа G не является его компонентой (а почему бы не
сказать просто: «если G связен»?), то В (В (G)>C (G);
в)	М есть граф шарниров (т. е. С для некоторого G) в том и только
том случае, если все блоки самого М — клики. F. Нагагу // Canad. Math. Bull,
6(1963), № 1, 1-6 [64, 1А328]; книга Харари.
24.	Числом Визинга—Вилъфа—Секереша графа G = (X, U) называется инва-
риант
w (G)= max min s (G', x),
JTgJr xeA"
гдеС' = (Л", C/r) ~ подграф в G, порожденный подмножеством X' вершин. Граф
G называется к-вырожденным9 если wfp)<k9 т. е. всякий G' имеет вершину х
степени s(p', х)<к. Доказать, что
а)	если w(p)<k, то y(G)<£;
б)	если в произвольном графе G степени s, удовлетворяющем условию тео-
ремы 2.2.3, отождествить те две вершины а и Ь, существование которых уста-
навливается теоремой, то получим ^-вырожденный граф. Основываясь на этих
результатах, дать еще одно доказательство теоремы Брукса. О.В. Бородин [77,
7В556; 58Я16359].
25.	Среди доказательств теоремы Брукса, предшествующих изложенному в
тексте, заслуживает внимания доказательство Л.С. Мельникова и В.Г. Визинга,
удачно использующее свойства критических графов и метод перекрестки дву-
цветных цепей; предлагаем читателю воспроизвести его по схеме, приведенной
в реферате РЖМ [70, 8В262].
26.	Показать, что существование пары «соцветных» вершин (см. § 1.9) в
связном графе, впервые доказанное А.П. Ершовым и Г.И. Кожухиным (ДАН
СССР, 142 (1962), № 2, 270—273 [62, 9А167]), можно получить проще из теоремы
Брукса. Г.А. Дирак (устное сообщение, 1963).
27.	Связный неполный граф G, не изоморфный С2к+\ с к>2, обладает та-
кой правильной раскраской в s(G) цветов, при которой в каждом наиболь-
шем подграфе типа ^(G) все вершины — одинакового цвета. Р.А. Catlin
Глава 2. Связность
157
(см. J. Mitchem // DM, 21 (1973), № 2, 213-214 [78, 10В700]);далее JCTh, В27
(1979), № 1, 42-48, [80к#05054].
28.	Пусть целое t >4 таково, что в графе G вершины степени более t попар-
но несмежны, а плотность подграфа, порожденного остальными вершинами, не
превышает г-1. Тогда y(G)<r. С. Berge [62, 10А199]; книга Зыкова.
29.	а) Если ф(С)<2, то y(G)< ^5(G)+| .
б)	Если G — связный граф, отличный от простого цикла нечетной длины, а
5=i(G)>2 и fc = max{3, ф(С)}, то у (G)<5-|j^|J • O.V. Borodin, A.V. Kostoch-
ka // JCTh, B23 (1977), № 2-3, 247-250 [78, 7B802; 57#9584].
в)	Если для некоторого к > 3 граф G не содержит подграфов типа £2»то
y(G)<~j (s(G)+3); если в G нет также подграфов типа Сд, то /@r)<|s(iG)+2.
Р.A. Catlin // DM, 24(1978), № 1, 1-6 [79, 6В600].
30.	Наибольшее возможное хроматическое число у (у, ф) графа степени s и
плотности ф обладает свойствами:
Г (?! + $2 + 1, ф)<г(51, <Р)+Г^2> Ч>У< rO. ?>)<$+
J. Lawrence // DM, 21 (1978), № 1, 61-68 [78, 7В808].
31.	Пусть (G), ф=ф (G). Для того чтобы было у (G)<5-1, достаточно вы-
полнения любого из четырех следующих условий:
а)	5>6, ф<5 и G не содержит подграфов ни одного из трех видов, показан-
ных на рис. 2.2.6 (М. Dhurandhar // DM, 42 (1982), № 1, 51-56 [83,4В608]);
б)	v<3|_^lJ-2&$>10,
в) Ф<5-3&5>31,
г) »><2[_ij1J + l (Н.Н. Можан [84, 7В457Деп, 472; 35f#O5O56]).
32. Количество i>5(G)=|{5(g, x)IxgX}\ различных числовых значений ком-
понент вектора s(G) называется степенной вариацией графа G=(Y, (7); пусть
fi>(G)=[u5(G)/2J. Справедлива точная оценка у (G) <л(G)-o> (G), а если
ф(С)<л(С)+ш(С)-1, то даже
y(G)<n(G)-tt>^)-l.
6.А. Dirac // WZ, 13(1964), № 1, 59-63 [65, 3A375; 29#6482].
158
Основы теории графов
32'. Граф G называется монотонным, если его матрица смежностей
Л ЩвуНп при некоторой нумерации вершин обладает свойством:
Vi, j, к е{1, 2, ..., п} (а» = 1 & j*к =>	= 1).
Наибольшее значение vs(G) при заданных n = n(G) и	достигается на
одном из двух таких графов. Т. Snijders [82, ЗВ563].
§ 2.3. ДЕРЕВЬЯ
Инвариант
X(G)=m(G)-n(G)+z(G)
(z — количество компонент) называется цикломатическим числом
графа G. Подробно изучаться этот инвариант будет позже — для ко-
нечных неориентированных графов общего вида, которые отлича-
ются от обыкновенных тем, что могут иметь петли и параллельные
ребра (см. введение); небольшой же экскурс в область таких графов
до их формального определения (§ 2.7) не приведет к недоразумени-
ям (смысл всех величин, фигурирующих в определении Л (G), а так-
же формулировка и доказательство последующих двух лемм ясны и
на «описательном» уровне), зато позволит избежать повторений в
дальнейшем. Заметим лишь, что в неориентированном конечном
графе, не являющемся обыкновенным, всегда есть циклы: если и —
петля при вершине х, то хих — цикл длины 1, а если ребра u*v сое-
диняют одну и ту же пару вершин х*у, то хиуих — цикл длины 2
(оба цикла простые). Как и прежде, через G \ и обозначаем суграф,
полученный из графа G удалением ребра и (без удаления вершин).
ЛЕММА 2.3.1.
z (G), если и — цикловое ребро
z (G\ и) = •	(в частности, петля) в G',
z (G) +1, если и — перешеек в G;
[Л (G) -1, если и — цикловое ребро в G;
Л (G \ и) = 4
I Л (G), если и — перешеек в G.
Глава 2. Связность
159
Утверждение для х непосредственно следует из определений цикло-
вого ребра и перешейка (§ 2.2) и из очевидных соотношений
n(G\u) = n(G), m(G\u) = m(G)-l,
а для Л — из предыдущего в силу определения цикломатического
числа.
ЛЕММА 2.3.2. Я((7)>0, причем равенство имеет место в том и
только том случае, если граф G не содержит циклов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим сначала, что в G нет циклов.
Тогда последовательное удаление всех ребер (если они есть), не ме-
няя цикломатического числа по лемме 2.3.1, превратит граф в безре-
берный Еп, для которого т = 0 и x = n=n(G), т. е. Я = 0. Поэтому и
A(G)=0.
Теперь предположим, что в G есть циклы и, значит, по крайней
мере одно цикловое ребро; удалив его, мы согласно лемме 2.3.1 сни-
зим на 1 цикломатическое число. Если в оставшемся суграфе еще
есть циклы, то опять удалим из него какое-нибудь цикловое ребро и
т. д. В конце концов придем к графу без циклов, цикломатическое
число которого меньше Я (С) и, как показано выше, равно нулю;
следовательно, Я(С)>0.
СЛЕДСТВИЕ. Если Л((7)>0, то всякий суграф, полученный из G
удалением менее Л (С) ребер, содержит циклы.
Связный граф без циклов называется деревом и часто вместо G
обозначается буквой Г; как следует из замечания в начале парагра-
фа, дерево есть обыкновенный граф. Примеры деревьев можно уви-
деть ниже на рис. 2.3.1 и 2.3.2.
ТЕОРЕМА 2.3.3. Дерево Т-(Х, U) обладает следующими свой-
ствами:
(1)	*(П=1;
(2)	Я(Т)=0;
(2') каждое ребро в Т — перешеек*,
(3)	/и(Т) = л(Т)-1;
(4)	для любых вершин х, у е X может существовать не более од-
ной цепи из х в у (и такая цепь необходимо простая)',
(5)	для любого ребра ueU суграф Т\и несвязен’,
160
Основы теории графов
(6)	соединение любых вершин х, у еХ новым ребром приводит к
появлению цикла (содержащего это ребро) \
(7)	у(Т)=2 при п(Т)>2;
(8)	вершина хе! является шарниром тогда и только тогда, ког-
да ее степень з(Т, х)>1;
(9)	если п (Т) > 2, то в Т есть по крайней мере две висячие вершины.
(Напомним, что в любом обыкновенном графе висячей называется
вершина степени 1.)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) выражает связность Т, а (2) ввиду
леммы 2.3.2 равносильно отсутствию циклов, перефразировка чего
есть (2'). (3) следует из (1), (2) и определения цикломатического
числа, а (5) и (6) — оттуда же с учетом обеих лемм. (7) вытекает из
теоремы 2.1.2 и из того, что при п (Т) >2 дерево Т в силу (3) содер-
жит хотя бы одно ребро. (8) проверяется непосредственно с учетом
отсутствия в Т циклов, а (9) следует из (8) благодаря теореме 2.2.1.
Осталось доказать (4).
Предположим противное, что из некоторой х в некоторую у ве-
дут две разные цепи Qj и Q2, и пусть z — последняя (считая от х) вер-
шина, до которой начальные отрезки обеих цепей совпадают, а
ut=zt^ и и2 = zt2 — следующие (уже разные) ребра этих цепей; в слу-
чае z -у считаем, что цепь Q2 оканчивается в z, а ребро м2 отсутст-
вует. Ребро U] всегда налицо, поскольку 01 *2г-
В суграфе Т\щ вершины z и Z| соединимы, так как из Z] в у ведет
отрезок цепи Q}, а из у в z — отрезок обращенной цепи Q2. Но это
означает, что в дереве Т ребро щ цикловое, вопреки свойству (2').
Теорема доказана. По поводу свойства (6) заметим, что цикл,
возникающий от добавления нового ребра к дереву, в силу свойст-
ва (4) всегда будет простым и единственным (с точностью до выбо-
ра начальной вершины и направления обхода), а полученный граф
в случае х=у или xyeU уже не является обыкновенным.
ТЕОРЕМА 2.3.4. Каждая следующая пара свойств, установлен-
ных теоремой 2.3.3, характеризует дерево: (1)&(2), (1)&(3), (1))&(4),
(2)&(3), (2)&(6), (3)&(4), (3)&(5), (3)&(6), (4)&(6), (5)&(6).
Доказательство рекомендуем читателю как простое, но весьма
полезное упражнение. Критерий (1) & (4) можно выразить в следую-
щей форме:
Глава 2. Связность
161
ТЕОРЕМА 2.3.5. Конечный неориентированный граф является де-
ревом тогда и только тогда, когда для любых его вершин х, у сущест-
вует цепь из х в у, притом единственная (и поэтому простая); при
х=у это цепь нулевой длины.
Если все вершины дерева Т висячие, то 2т(Т) = п(Т), что вместе
со свойством (3) в теореме 2.3.3 приводит к выводу и (Г) = 2; отсюда,
из свойства (8) и тривиального утверждения, что циклы не могут
возникать от удаления вершин, вытекает
ТЕОРЕМА 2.3.6. Дерево Тс п(Т)>3 содержит как висячие, так и
невисячие вершины, и подграф, полученный из Т удалением висячих
вершин, снова является деревом.
Благодаря этой теореме, для деревьев эффективно решается
проблема изоморфизма. Во-первых, ни на каком этапе алгоритма
§ 1.7, основанного на конструкции Визинга и классификации вер-
шин, не возникает необходимость полного перебора, поскольку де-
рево более чем с двумя вершинами не может быть однородным гра-
фом. Во-вторых, известен еще более простой алгоритм Дж. Эдмонд-
са (см. книгу Р.Дж. Басакера и Т.Л. Саати [АЗ], упомянутую во вве-
дении), который мы изложим, поскольку он представляет и теорети-
ческий интерес.
Пусть Т = (Х, U) — дерево с и(Т)=|Аг|>3, а сХ — множество
всех его висячих вершин; припишем им первый уровень. Если под-
дерево Т\Х\ снова имеет не менее трех вершин, то его висячим вер-
шинам, составляющим множество Х^ сХ\Х\, припишем в Т вто-
рой уровень. И т. д. Пусть / — наименьшее, при котором множество
/-1
Xi=X\\J Х[ содержит менее трех вершин; эти вершины назовем
/=1
центрами дерева Т и припишем им /-й (высший) уровень. Y/^0
(почему?), и в случае |У/|=1 дерево Т называется центральным, в слу-
чае |Х/| =2 — бицентральным. При и(Т)<2 по определению все
вершины Т — центры и уровень / = 1.
Из определения уровней непосредственно следует, что всякая
вершина х уровня /, где 1</</, смежна ровно с одной вершиной бо-
лее высокого и по крайней мере с одной более низкого уровня (при
i=l верно только первое, при i = l — только второе) и что вершины
одинакового уровня смежны лишь в единственном случае, когда это
уровень /, а дерево бицентральное. Если х — произвольная вершина
162
Основы теории графов
уровня i в Т, где l<i</,aw — ребро, соединяющее ее с вершиной бо-
лее высокого уровня, то х-поддеревом дерева Т назовем ту из двух
компонент его суграфа Т\и, которой принадлежит х; этот же тер-
мин сохраним и в случае, когда х — один из центров бицентрально-
го дерева, а и — ребро, соединяющее оба центра. Наконец, если х —
единственный центр дерева Т, то х-поддеревом считаем само Т.
Сказанное выше обеспечивает результативность следующей проце-
дуры кортежирования, с помощью которой каждой вершине Т од-
нозначно относится кортеж — конечная последовательность нату-
ральных чисел (эти числа мы не разделяем запятыми и лишь под-
черкиваем снизу, когда они состоят из двух цифр).
1.	Всем вершинам первого уровня относим кортеж из одного
числа 1; при п (Г) <2 процесс на этом заканчиваем, а при й(Т)>3 пе-
реходим к п. 2 с i=2.
2.	Пусть все вершины уровней <i, где 1</</, уже кортежирова-
ны и пусть х — вершина f-го уровня, a х2, ..., хг — смежные с ней
вершины низших уровней, расположенные в такой последователь-
ности, что порядок отнесенных им кортежей
,-(1),(1)	,-(1)	(2)	(г) .(г)	,(г)
У2 -"4, ’ -Л 4 ••hi’ •••’ -Ч J2 "'Jkr
является словарным: одинаковые кортежи стоят рядом, а для раз-
ных кортежей	и у^...у^ неравенство p<q означает
Глава 2. Связность
163
существование такого к, 0<k<min{kp9 kq}, что	при t<k
и либо	(если ^=0» то Уже >7’1(’)), либо =j$v
но k+\=kq <кр)}. Отнесем вершине х кортеж
, + 1	,(1) ,-(2) ,-(2)	,-(2)	,-(г) (г)	-(г)
J2 "Jkx •'1 J2 '"Jk2 '•'I J2 "Jkr ’
где J = X>i(,)-
/=1
3.	Все сказанное в п. 2 проделаем для каждой вершины х уров-
ня i. После этого в случае i<l возвращаемся к началу п. 2, увеличив
значение / на 1, а в случае i=l процесс заканчиваем. Кортежи, отне-
сенные вершинам X i, называем центральными.
В примере рис. 2.3.1 дерево оказывается бицентральным, 1=5,
центральные кортежи — 87531111 и 1712541113113114321 (числа в
скобках — уровни вершин). Стянув ребро (5)(5), получим пример
центрального дерева, кортежирование которого приводит к преж-
ним значениям для вершин уровня /<4, а кортежем новоиспеченно-
го центра (5) будет 24125411131131175311114321.
Заметим, что приступая к кортежированию дерева, не обяза-
тельно заранее знать уровни его вершин — они выявляются в ходе
процесса.
ТЕОРЕМА 2.3.7. Для изоморфизма деревьев необходимо и доста-
точно, чтобы совпадали их центральные кортежи', последняя крат-
кая формулировка подразумевает, в частности, что оба дерева цент-
ральные или оба бицентральные, причем во втором случае пары их
центральных кортежей совпадают как неупорядоченные.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если Т^Т', то при любом изоморфизме
этих деревьев висячие вершины одного (У]) переходят в висячие
вершины другого (Х{), также соответствуют друг другу висячие вер-
шины поддеревьев Т\Х\ иТ'\Х{ и т.д., вследствие чего соответст-
венные вершины Т и Т' имеют одинаковый уровень и получают
одинаковые кортежи; в частности, совпадают (в указанном выше
смысле) центральные кортежи обоих деревьев.
1 Т. е. при сравнении кортежей разной длины недостающие числа в конце более ко-
роткого считаются нулями.
164
Основы теории графов
Обратное утверждение непосредственно следует из более обще-
го, которое мы и будем доказывать: если вершины хе.Х и х'еХ'
произвольных деревьев Т = (Х, U) и Т' = (Х', U') обладают одинако-
выми кортежами, то х-поддерево Тх дерева Т и х'-поддерево Тх' де-
рева Т', рассматриваемые как самостоятельные графы, изоморфны,
причем изоморфизм можно установить так, чтобы вершина х соот-
ветствовала вершине х'.
Из п. 2 описания процедуры кортежирования ясно (и легко до-
казывается -индукцией по числу i), что для любой вершины длина
отнесенного ей кортежа совпадает с его первым числом. Благодаря
этому по кортежу вершины х однозначно восстанавливаются корте-
жи вершин х1; х2, ..., хг, их количество г и порядок следования, а в
поддереве Тх это как раз все вершины, смежные с х; то же самое
справедливо для вершин xj, х2..х/, смежных с х' в поддереве Тх>.
Значит, если кортежи вершин х и х' одинаковы, то г =г' и при любом
Г-1, 2, ..., г кортежи для х, и х, совпадают; так как x^xh e.U и
x't~x't &U' при Г} ^t2, то соответствие х<-»х', х, <-»х'( (Z = l, 2, ..., г)
согласуется с отношением смежности в Т и Т'. Применяя к каждой
паре х,, x't невисячих вершин то же рассуждение, что и к паре х, х',
и т. д., мы в конце концов продолжим соответствие до требуемого
изоморфизма между поддеревьями Тх и Тх'.
Другой эффективный алгоритм для проверки изоморфизма дере-
вьев предлагает В.Н. Земляченко (Вопросы кибернетики. М., 1973,
54—60 [74, 1В379]). Процедуру порождения всех деревьев без повто-
рения изоморфных разработали R.W. Fry, V.K. Aatre [71, 4В402].
Справедливость вершинной гипотезы Улама (§1.10) для деревь-
ев впервые доказал P.J. Kelly (Pacif. J. Math., 7 (1957), № 1, 961—968
[58, 2, 1063; 19#442]). По проблеме восстановления для деревьев [УС]
получены даже более сильные результаты, чем просто справедли-
вость вершинной и реберной гипотез Улама. Например, как показа-
ли F. Harary, Е.М. Palmer (Canad. J. Math., 18 (1966), № 4, 803—810
[67, 3B222]), достаточно знать лишь все поддеревья, т. е. подграфы,
которые получаются из дерева удалением висячей вершины и поэто-
му связны. См. также упражнение 15.
Глава 2. Связность
165
Упражнения и дополнения
1.	Показать, что в классе всех деревьев вектор степеней не есть полный ин-
вариант; каково наименьшее число вершин у деревьев соответствующего
контрпримера?
2.	Доказать, что в дереве с п > 3 вершинами и степенью 5 число висячих вер-
n(j-2)+2
шин не превышает -Л—— и что если их ровно две, то дерево — простая цепь.
3.	Доказать, что (Zj, г2, • ••, с целыми >г2	>0 является обращен-
ным вектором степеней t (Г) какого-то дерева Т в том и только том случае,
п
если 5?f-=2Qi-l).
/=1
4.	Пусть вершины дерева Тс п(Г)>2 правильно раскрашены двумя цвета-
ми — красным и синим, причем красных вершин не меньше, чем синих. Дока-
зать, что хотя бы одна из висячих вершин красная.
5.	Доказать, что обыкновенный л-вершинный граф G является деревом
тогда и только тогда, когда его хроматический многочлен Т (G, i) имеет вид
(см. упражнение 8 к §1.4).
6.	Определим последовательность деревьев 7} = (2^, Ц-), Z = l, 2, ..., полагая
|У11 = 1,(7| = 0 и, если 7} при i > 1 уже построено, причем X, ={хь х2, ..., хл}, то
^1+1 =^и{Уц, У12, У2Ь ^22» •••>	Ул2)»
Ц+1 =^>и{хГуп, Х^, Х^У21,	<vn2},
где уц,...» уп2 — новые вершины, а Х1Уц,..., х^ул2 — новые ребра. Образно:
при переходе к T/+j каждая вершина Т; выпускает два ростка (рис. 2.3.2). Пока-
зать, что дерево Т{ обладает единственной наибольшей грудой и после удаления
всех ее вершин превращается в (i>2).
Отсюда вытекает полная несостоятельность попытки находить, хотя бы
приближенно, хроматическое число произвольного графа G следующим «жад-
ным» способом: выявим в G наибольшую груду (Ее, 0) и окрасим ее вершины
цветом 1, затем в подграфе G\E€ выявим наибольшую груду и окрасим в цвет 2
и т. д. В.Г. Визинг (книга Зыкова).
Рис. 2.3.2	71
166
Основы теории графов
Структуру и наибольшее число максимальных груд в деревьях изучает
J.Zito // JGrTh, 15(1991), № 2, 207-221 [93, 2В321].
7.	Доказать, что G изоморфен графу L (Г) смежности ребер какого-то дере-
ва Г в том и только том случае, если G связен, все его блоки — клики, а каждый
шарнир принадлежит ровно двум блокам. G. Chartrand, M.J. Stewart // Math.
Ann., 182(1969), № 3, 170-174 [70, 4B328; 43#3161].
8.	Даны графы =(Х, Ц), z = l, 2, ..., 9, где
У={а, Ь, с...5, /} (л =20),
U\ -{ad, bd, cd, de, ef, ej, Jg, Jh, Ji, jk, jq, Icl, km, mn, mo, dp, qr, rs, st},
^2 ={4Z> dg, cm, de, do, dp, dt, ej, ej, jh, Ji, jk, jq, Icl, km, mn, qr, ri},
Щ ={ab, de, ad, be, bh, cf, eq, dg, ei, ej, el, gn, hr, hs, ht, kq, mq, no, np},
={ab, af, be, cd, de, do, fg, jk, gh, hi, ij, kl, Im, mn, no, pq, qr, rs, st},
U^-{ab, ah, dq, be, bd, eg, de, df, ei, ej, et, Jk, fl, fa, go, gp, mq, np, qr},
Щ -{ab, af, be, cd, de, ej, fg, gh, hi, hm, kl, kp, Im, lq, mn, mr, no, ns, ot},
U*i ={ab, af, dq, be, bd, eg, de, dh, ei, ej, et, gp, hk, hl, hs, mq, np, op, qr},
U$ ={«/> dg, be, bf, cd, dj, ei, ej, gh, hi, hm, kl, kt, Im, lq, mn, mr, ns, dp, ot\
Ug -{ad, bd, cd, de, ei, ej, fl, gi, hi, jk, jt, kl, km, mn, mo, dp, qr, rs, st}.
Выяснить, какие из них являются деревьями и какие изоморфны друг другу.
9.	Доказать, что
а)	количество вершин и (Г) равно длине (т. е. первому числу) центрального
кортежа, если дерево Т центральное, и равно сумме длин (первых чисел) обоих
центральных кортежей, если Т бицентральное;
б)	бицентральное дерево тогда и только тогда допускает автоморфизм, пе-
реводящий один центр в другой, когда центральные кортежи одинаковы.
10.	Обозначим через р(к, у)=Рт (*, Д') длину простой цепи из вершины х в
вершину у дерева Т -{X, U).
а)	Доказать, что неотрицательная функция р является метрикой на множе-
стве X, т. е. удовлетворяет трем аксиомам Фреше:
Vx, у е X |р(х, у) = 0 <=> х =у],
Vx, у еХ \р(х, у)=р(у, х)],
Vx, у, z е X \р(х, у)+р(у, z)>p(x,z)].
Глава 2. Связность
167
б)	Доказать, что вершина х0 служит центром дерева в Т в том и только том
случае, если
VxeX
max р(х, y)>max р(х0, у)
уеХ	>’€Х
в)	Обосновать следующий способ нахождения центров дерева. Выбираем
любую висячую вершину и ищем одну из наиболее удаленных от нее х (она
тоже висячая); затем находим вершину у, наиболее удаленную от х, и строим
цепь (простую) Q из х в у. Это самая длинная цепь в Т. Если длина Q четна,
то средняя вершина на Q — единственный центр дерева, а если длина Q
нечетна, то среднее ребро этой цепи соединяет оба центра Т.
11.	Пусть Т = (У, U) — деревЪ, a Y a X — подмножество, содержащее все ви-
сячие вершины Т(но не обязательно только их). Система чисел {р(х, у)1х, у еУ}
определяет Г однозначно в следующем смысле: если Т' = (Х', У') — другое
дерево, а множества У ={у],..., и У'={у{,..., y^j^X', включающие все
висячие вершины, таковы, что
2,к} [рт (уь yj)=pr О','. ?})]>
то существует изоморфизм yr. Т-У Т\ при котором
Vfe{l, 2,	[^(у^у}].
Е.А. Смоленский // Ж. вычисл. мат. и матем. физики, 3(1962), № 2, 371—372
[63, 7В290; 32#7453].
12.	В дереве Т не может быть трех таких вершин х, у, z, которые не перево-
дятся друг в друга никакими автоморфизмами Г, но для которых Т\х^Т\у-
*T\z. D.G. Kirkpatrick, М.М. Klawe, D.G. Corneil // JCTh, B34(1983), № 3,
323-339 [84, ЗВ597].
13.	Доказать, что два дерева с общим множеством вершин и одинаковыми
степенями в каждой вершине можно преобразовать друг в друга такой последо-
вательностью 4-сдвигов (см. упражнение 4 к § 1.2), при которой все промежу-
точные графы тоже будут деревьями. Для графа с цикломатическим числом
А = 1 справедливо аналогичное утверждение. М.М. Syslo // Demonstr. math.,
15(1982), № 4, 1071-1076 [84, 1В599].
14.	Пусть вершинами графа J (Г) служат все строгие поддеревья дерева Т,
причем вершины 7\ и Г2 смежны в том и только том случае, если наименьшее
поддерево в Г, содержащее как 7|, так и Т2, не есть само Т. Граф J (Г), задан-
ный абстрактно (т. с. с точностью до изоморфизма), определяет Т однозначно
(в том же смысле). В. Zelinka // Czechosl. Mat. J., 30(1980), № 2, 332—335
[80, 11B520; 81i#05058a].
168
Основы теории графов
15.	Дерево Т = (Y, U) восстанавливается по набору {Т\х} для всех невися-
чих хе У, если таких х не менее трех. J. Lauri [83, 5B540J; В.Л. Тюрин
[88, ЗВ627], [89, 8В302-304].
16.	Для любого дерева Г, обладающего не более чем одной вершиной
степени s>3, существует такой обыкновенный граф G=(X, U), что
УхеУ [O(G, х)^Т] (см. §1.10). М. Brown, R. Connelly // DM, 11 (1975),
№ 3-4, 199-232 [76, 1В621].
17.	Произвольный граф без циклов часто называют лесом за то, что все его
компоненты — деревья. Доказать равносильность высказываний: (a) G — лес;
(б) A(G) = 0; (в) в G нет простых циклов; (г) из одной вершины G в другую не
может идти более одной цепи; (д) все цепи в G простые; (е) все ребра в G — пе-
решейки; (ж) каждый блок в G представляет собой Г2 или изолированную вер-
шину; (з) всякое непустое пересечение двух связных частей G есть связный
граф.
18.	Доказать равносильность следующих высказываний о графе G =(Х\ U):
(a) G связен и содержит единственный цикл; (б) х (6) = 1&|У|=|£/|; (в) a: (G) =
= A(G) = 1; (г) G связен и все его цикловые ребра образуют простой цикл;
(д) G связен и хотя бы для одного ие U суграф G\u — дерево. S.S. Anderson,
F. Нагагу // Math, teacher, 60(1967), 345—348. Для таких графов справедлива
вершинная гипотеза Улама: В. Manvel // Proof Techn. Graph Theory. New York-
London, 1969. 103-107 [71, 2В340].
19.	В дереве T = (X, U) есть подграф (лес) G = (У, И) с | У| >2Г(| У|+1)/3“|,
все вершины которого — нечетной степени; условие на |У| ослабить нельзя.
A.J. Radcliffe, A.D. Scott // DM, 140(1995), № 1-3, 275-279 [96, 6В221] (более
ранний результат: [94, 12В449]).
20.	Пусть Т — дерево с п>5 вершинами, G - «-вершинный граф с
m (G) = л-1. Если Г и G — не веера, то Т изоморфно некоторому суграфу графа
G. P.J. Slater, S.K. Neo, Н.Р. Yap // JGrTh, 9 (1985), № 2, 213-216 [86, ЗВ755].
См. также: гипотеза Эрдеша—Шош [УС].
§	2.4. ПАРОСЕЧЕТАНИЯ И ДВУДОЛЬНЫЕ ГРАФЫ
Паросочетанием обыкновенного графа G = (X, U) называется та-
кое подмножество W с U его ребер, в котором никакие два ребра не
имеют общей инцидентной вершины. Одной из важных задач явля-
ется нахождение в G паросочетания с наибольшим числом | FF| ребер
(или всех таких паросочетаний); max |iy| обозначается через п (G) и
представляет собой инвариант графа G. Для решения такого рода
Глава 2. Связность
169
задач очень удобен метод чередующихся цепей, идея которого про-
слеживается еще в XIX веке (у А. Кемпе и Ю. Петерсена) и который
был систематически разработан в Венгрии (Е. Egervary // Math.-Fiz.
Lapok, 38 (1931), 16—27), где в основном первое время и применялся
(Кёнигом, Галлаи и др.).
Граф G с выделенным в нем паросочетанием W будем обозна-
чать также через Gw, ребра W и инцидентные им вершины называть
жирными, а прочие ребра и вершины графа Gw — тонкими. Простая
цепь ненулевой длины в Gw, ребра которой поочередно то тонкие,
то жирные, называется чередующейся цепью (относительно паросоче-
тания И7); в частности, это W-увеличитель, если ее первая и послед-
няя вершины (а значит, также первое и последнее ребра) тонкие. На-
звание обусловлено тем, что с помощью (^-увеличителя легко пере-
делать паросочетание W графа G в другое его паросочетание W, со-
держащее на одно ребро больше: для этого достаточно в графе Gw
все тонкие ребра увеличителя сделать жирными, а жирные — тонки-
ми (рис. 2.4.1). Если граф Gw' в свою очередь имеет W'-увеличитель,
то можно улучшить результат еще на 1, и т. д. Поскольку для выяв-
ления увеличителей (или установления их отсутствия) в графе с за-
данным паросочетанием имеются достаточно эффективные алгорит-
мы, для полного решения задачи о наибольшем паросочетании нуж-
на лишь уверенность в том, что если у графа Gw нет РИ-увеличите-
лей, то его паросочетание W наибольшее; такую гарантию дает
ТЕОРЕМА 2.4.1 (С. Berge // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 43 (1957),
842-844 [60, 6, 6273; 20#1323]). Если |1К|<л (G), то в графе
Gw = (X, U) есть W-увеличитель.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в графе G =GW паросочетание W
не является наибольшим, т. е. в G имеется другое паросочетание W'
с |И''|>|И'|-
>------¥------* А	->------К
Рис. 2.4.1
MV
k—
>.... А---*
170
Основы теории графов
В суграфе графа G, порожденном множеством ребер (W \ W) U
U(WZ'\BZ), степень любой вершины не превышает 2 (почему?), сле-
довательно, каждая компонента этого суграфа представляет собой
простую цепь или простой цикл с чередованием ребер из W и из W'.
Среди этих компонент необходимо есть простая цепь нечетной дли-
ны, начинающаяся и оканчивающаяся ребрами W', ибо в против-
ном случае было бы IW^'I <|W^| вопреки предположению; эта цепь и
является искомым Ж-увеличителем в Gw.
Наличие в графе G^ по крайней мере двух тонких вершин необ-
ходимо, но отнюдь не достаточно для существования у G паросоче-
тания с более чем (И') ребрами: простейшим примером служит /-веер
с I >3 (см. также упражнение 1). Обозначим через v (G^) количество
тонких вершин в G^; очевидно,
v(Gw)=n(G)-2\W\,
и если ввести инвариант v (G)=min v (Gtv), где W пробегает всевоз-
W
можные паросочетания графа G, то v (<7)=«((?)-2л (G), откуда
я(С)=1[и((?)-у((?)].
Для нахождения инварианта v (G) W.T. Tutte (J. London Math.
Soc., 22 (1947), 107—111 [9#297]) дал способ, в общем случае практи-
чески неэффективный (из-за наличия почти полного перебора под-
множеств множества вершин), но представляющий теоретический
интерес. Схему приводимого ниже вывода теоремы Татта предло-
жил L. Lovasz (JCTh, В19 (1975), № 3, 269-271 [76, 7В402; 53#211]).
Пусть G \ Y — подграф графа G, полученный удалением строгого
подмножества вершин Y с X, a p(G\Y) — число тех компонент под-
графа, которые обладают нечетными количествами вершин.
ЛЕММА 2.4.2. Для любого паросочетания W графа G =(Х, U) и
для любого YcX
У(Сиг)>р(С\Г)-|Г|.	(1)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Среди всех p(G\Y) нечетновершинных
компонент графа G\Y пусть р0 не содержат тонких вершин графа
Глава 2. Связность
171
Gjy, а р\ содержат их хотя бы по одной. Каждая компонента перво-
го типа соединена в исходном графе Gw жирным ребром с некото-
рой вершиной множества Y (почему?), следовательно, р$ <|У|. Отсю-
да и из тривиального неравенства	получаем p(G\ У) =
=Pg+Р1 <|У|+у(<?и/), что равносильно (1).
ЛЕММА 2.4.3. Если G = (X, U) — неполный граф, то для любого
u&Xw\U («отсутствующего ребра») и любого YcX
v(GUw)<v((/) и p(G\Ju\Y)<p(G\Y).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Первое неравенство очевидно: при до-
бавлении к графу нового ребра мощность наибольшего паросоче-
тания может только увеличиться, а значит, наименьшее возможное
количество тонких вершин — только уменьшиться. Для доказатель-
ства второго неравенства достаточно заметить, что добавление
ребра и к графу G меняет величину р((7\У), а именно уменьшает ее
на 2, лишь в том случае, когда это новое ребро соединяет между
собой две нечетновершинные компоненты подграфа G\Y (при фик-
сированном У).
ЛЕММА 2.4.4. Существует такое Уд с X, для которого
у((7)=р«?\У0)-|У0|.	(2)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу леммы 2.4.2, для паросочетания W
с |Ж| = я (<7) и для любого Y а. X
у«?)>р(С\У)-|У|.	(Г)
Добавляя в случае надобности к G новые ребра, превратим его в
граф G'=(X,U') с v (fj')=v (G), являющийся либо полным, либо
критическим в следующем смысле: для любого we X121 \ U ' имеет
место v(<z'Uw)<v(G), т. е. я (G'{Ju)>k (G). Из леммы 2.4.3 вытека-
ет, что
v(G')=v(G) и p(G'\Y)<p(G\Y)
при любом У с X. Поэтому, если мы найдем подмножество Уд с X,
для которого у(б!')<р(С'\Уд)-|Уд|, то тем более
У((?)<р(С\Уд)-|Уо1.
172
Основы теории графов
и в силу (Г) это Yq будет искомым. Значит, без нарушения общности
можно предполагать, что сам исходный граф G = (X,U) является
либо кликой, либо критическим в указанном смысле.
Вершина графа, смежная со всеми остальными, называется кони-
ческой. Обозначим через Z множество всех конических вершин гра-
фа G. Если Z=X, т. е. G — клика, то требуемое равенство (2) выпол-
няется, например, при Yq =0: тогда обе части равны 0 в случае чет-
ного n(G) и равны 1 в случае нечетного. Если же ZcX, то для на-
хождения нужного подмножества Yq предварительно докажем, что
каждая компонента подграфа G\Z представляет собой клику.
Пусть это не так, т. е. существуют три различные вершины
a, b, ceX\Z, для которых abeU, bceU, но ac<£U. Так как beZ, то
имеется и такая de X\ Z, что bdg U. Ввиду критичности графа G,
л (G U ос) = л (G U bd) = л (G) +1,
и пусть Wy, W2 — какие-то наибольшие паросочетания в графах
G U ас и G\Jbd соответственно.
Рассмотрим теперь граф G[){ac, bd}', в нем ребра множества
W\ \ W2 назовем красными, ребра W2 \ JYj — синими, а ребра, не при-
надлежащие	— бесцветными; ребра множества
(едвуцветные») не могут иметь общей инцидентной вершины ни с
красным, ни с синим ребром. Ясно, что ребро ас красное, ребро bd
синее, а оба ребра ab и Ьс бесцветные. В исходном графе G каждое из
множеств W\ \ {ас} и W2 \ {bd} образует паросочетание мощности
л (G), и для получения требуемого противоречия достаточно обна-
ружить паросочетание большей мощности в G или, что равносиль-
но, (FFj \{ас})-увеличитель в либо (fY2 \{bd})-увеличитель в
В графе G вершина а не инцидентна красному ребру, и мы по-
строим такую простую цепь Qa с началом а, на которой синие ребра
чередуются с красными и которую невозможно продолжить с сохра-
нением этого свойства; аналогичную цепь Qb построим из вершины
b (не инцидентной синему ребру). Каждая из этих цепей может, в ча-
стности, иметь нулевую длину.
Глава 2. Связность
173
Случай 1: Qa =Qb, т. е. в действительности это одна и та же
цепь (рис. 2.4.2); она не содержит вершину с (почему?). Если U, —
множество всех красных, a U2 — множество всех синих ребер этой
цепи, то (й^ \ {ас} \ U]) U U2 U {be} — паросочетание мощности п (G) +1
в графе G.
Случай 2: Qa *Qb, т. е. это две разные цепи, не имеющие, оче-
видно, общих вершин (рис. 2.4.3). Пусть Uf и — множества крас-
ных ребер, a и (7* — множества синих ребер на цепях Qa и Qb со-
ответственно; ясно, что IC/^I<|С7"| и	.
Если | С/]0| < | U°\, то цепь Qa является \{ас})-увеличителем
в графе G,....-..
г H'lVac}
Если | U%\ < | С7*|, то цепь Qb является (FF2 \{М})-увеличителем
в GFr2\{M}’
Наконец, если |С7"| =|?7"| и |С7*|=|£7*|, то множество ребер
(И2 \{bd}\	)U«7f U{а£} — паросочетание мощности п (G) +1 в G.
Итак, доказано (от противного), что в случае Z с X каждая ком-
понента подграфа GVZ. является кликой. Если теперь p((7\Z)<|Z|,
то в графе G можно построить паросочетание W, охватывающее все
вершины при п (G) четном и все, кроме одной, при нечетном
(рис. 2.4.4), и требуемое неравенство (2) выполняется при =0.
Рис. 2.4.2
Рис. 2.4.3
174
Основы теории графов
Наконец, если p(G\Z)>|Z|, то в графе G заведомо существует паро-
сочетание W, при котором v(Gw )=p(G\ Z)-|Z| (рис. 2.4.5); но тогда
тем более v(G)<p(G\Z)-\Z\ и равенство (2) выполняется при
Yq=Z. Лемма доказана.
Рис. 2.4.4
Изображены только ребра паросочетания W
Из лемм 2.4.2 и 2.4.4 непосредственно вытекает
ТЕОРЕМА 2.4.5 (Татта). у((7) = тах{р((/\У)НУ|}.
УсХ
Совершенным паросочетанием называется такое W, которое
охватывает все вершины графа.
Глава 2. Связность
175
СЛЕДСТВИЕ. Для существования у графа G = (У, U) совершенно-
го паросочетания необходимо и достаточно, чтобы при любом Y с X
было р(6\У)<|У|.
При У=0 получаем отсюда очевидное необходимое условие:
каждая компонента графа G должна обладать четным числом вер-
шин. Известен ряд достаточных условий, более эффективных для не-
посредственной проверки, чем рассмотренное: см. совершенное паро-
сочетание [УС].
Как показали Е. Shamir, Е. Upfal (DM, 41 (1982), № 3, 281—286
[83, ЗВ580]), если для каждой из 2п фиксированных вершин выби-
рать к>6 различных смежных с ней ребер случайным образом, то
при и—> +оо почти все построенные таким путем 2и-вершинные гра-
фы обладают совершенным паросочетанием.
Остановимся на связи л (G) с некоторыми другими инварианта-
ми графа. Прежде всего,
л ((/)>!>((/)/21;	(3)
при п=и(С) <2 (база индукции) это тривиально, а переход от графов
с менее чем п вершинами к произвольному n-вершинному G (шаг
индукции) состоит в удалении из G любых двух смежных вершин, от
чего степени оставшихся не могут уменьшиться более чем на 2; пол-
ное оформление доказательства представим читателю. Оценка (3)
точна, поскольку достигается на любом веере; этот же пример гово-
рит об отсутствии нетривиальных верхних оценок для л (<7) через
j((z) и j(G). Несколько больше можно сказать о числе л ((7), если
полностью известен вектор степеней s (<7) (V. Chvatal, D. Hanson //
JCTh, В20 (1976), № 2, 128—138 [76, 10В403]), но и он не определяет
это число однозначно; так, для графов левой пары на рис. 1.2.2 име-
ем соответственно л =3 и л =2. Косвенная оценка л (G) через n(G) и
m(G) была получена ранее (Р. Erdos, Т. Gallai // Acta math. Acad. sci.
hung., 10(1959), № 3—4, 337—356 [61, 1A308]); схема краткого дока-
зательства (J. Akijama, P. Frankl // JGrTh, 9 (1985), № 1, 187—201
[86, 2B752]): если л (G)<k&n(G)>2k+2, то
w(6)<min|^2^+
О многочлене паросочетаний см. упражнение 12а и [УС].
176
Основы теории графов
Опорой графа G = (X, U) называется такое подмножество Yс!
его вершин (или порожденный им подграф), что каждое ребро we U
инцидентно хотя бы одной вершине из Y, иначе говоря, m(G\ У)=0;
опорное число 6(G) — это инвариант, равный количеству вершин
наименьшей опоры графа G. Очевидно,
n(G)<8(G).	(4)
В случае равенства говорят, что граф G обладает свойством
Кёнига—Эгервари. F. Sterboul (JCTh, В27 (1979), № 2, 228-229
[80, ЗВ658]) характеризует такие графы в терминах «запрещенных
конфигураций» (к сожалению, последние определяются не «чисто
структурно», а через некоторое наибольшее паросочетание графа):
см. также упражнение 13; В. Simeone (Anal, and Des. Algorithms
Comb. Probl. Amsterdam e.a., 1985. 281—290 [86, 3B754]) предлагает
критерий в терминах булевой алгебры. Важный частный случай бу-
дет рассмотрен ниже (теорема 2.4.7). В. Randerath, L. Volkmann
(DM, 191 (1998), № 1-3, 159-169 [00, 4В286]) характеризуют графы
G, для которых 8(G)=fi(G) — числу всесмежности.
Накрытие графа G = (X, U) — это такое подмножество U' C.U его
ребер (или порожденный им суграф (?'), что каждая неизолирован-
ная вершина G инцидентна хотя бы одному ребру U' (т. е. и в G' не
является изолированной); инвариант i (G), выражающий количество
ребер наименьшего накрытия, называется накрывающим числом гра-
фа G. Легко показать (Т. Gallai // Ann. Univ. Sci. Budapest, E6tv6s
Sect. Math., 1959, № 2, 133-138 [61, 7A326; 24ЯА1212]), что
n(G)+i(G)=n-n0,	(5)
где n=n(G), а и0 =«o (G) — количество изолированных вершин гра-
фа G. В самом деле, если U' — одно из наименьших накрытий G,
a W' — некоторое наибольшее паросочетание в суграфе G' = (Х, U'),
то I(6)=|и'|=|ИИ + (л-«0-2\fY'])=n-n0 -lfV'l>n-n0 -п (G); с дру-
гой стороны, i(G)<n-n0 -п (G), ибо, взяв в G одно из наибольших
паросочетаний и добавив для каждой не охваченной им вершины
какое-нибудь инцидентное ребро, получим накрытие графа G.
Глава 2. Связность
177
Особо важное значение (в частности, для приложений) имеет за-
дача отыскания наибольшего паросочетания в двудольном графе,
который определяется как обыкновенный граф G = (X, U) с хрома-
тическим числом у (G) < 2 и заданной правильной раскраской вер-
шин в два цвета; такой граф обозначается более подробно через
(Х\, Х2, U), где XtljX2 =Х, Х1 ПХ2 =0 и ребра U могут соединять
только вершины Х\ (цвета 1) с вершинами Х2 (цвета 2)1. В случае
у (G) = l считаем Х2 =0.
Введем обозначения Дх={уеXIxy&U} и ДУ= U Дхдля произ-
хеУ
вольного графа G = (X, U), произвольной его вершины х и произ-
вольного подмножества вершин YciX; в двудольном графе
G = (Xy, Х2, U), очевидно, всегда YcXy=>ДУсУ2
=>ДУаУг.
ТЕОРЕМА 2.4.6. (книга Кёнипг^, О. Ore // Duke Math. J.,
22 (1955), № 4, 625-639 [57, 10, 7729; MR7p394]). Если
G = (X\, X2, U) — двудольный граф, то
л (G)=|JV]|-max (|У|-|ДУ|)
(максимум берется по всем подмножествам Ya.X^, включая 0).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть (Уь У2, W) - часть графа G с
У]СХ], Y2cX2, WcU, образования каким-либо наибольшим
паросочетанием №(]№]=я (G)) и всеми вершинами, инцидентными
его ребрам. Для произвольного Y a Xt имеем
|У П (Х} \ У, )| <\Х, \ У]| (тривиально);
|У п У11 <|Д У| (так как все вершины из У], в частности из У ПУ],
обеспечены благодаря W разными смежными вершинами в У2);
следовательно,
|У| =|гП(Хх \У1)|+|УПУ11<|*'1 \У]|+|ДУ| =
=|А-1|-|Г1|4-|АГ|=|ЛГ1|-ж«7)+|АГ|,
I При Xj, Xi * 0 и U = {xj а'2^х1 е > х2 е имеем полный двудольный граф; так же
называют и (р+ q, 2)-кликоид Кр^ = Ep-Eq, в котором пара сомножителей рассмат-
ривается как неупорядоченная. Какое толкование термина имеется в виду — каждый
раз ясно из контекста.
178
Основы теории графов
Т. е.
Осталось указать такое Y=У0, на котором достигается равенство.
Если л (G)=|Jf1|, то можно взять Уд =0. Допустим теперь, что
п (G) <|У11, и положим
y0=(x1\yi)Uz,
где Z — множество тех вершин хе У], которые достижимы из У, \ У]
по РК-чередующимся цепям. Покажем, что Уо — искомое.
Во-первых, Д(У1 \У))с AZ: если бы имелась вершина
х2 е Д (X1 \ У1) \ AZ, то выбрав некоторую xj e Х\ \ , смежную с х2,
мы построили бы PF-увеличитель Х1Х]Х2х2 в графе G^ вопреки мак-
симальности W. Поэтому ДУ0 a AZ, а так как ZcYq, то ДУо =AZ и
|ДУ0|=|Д2|.
Во-вторых, всякая вершина из AZ соединена с некоторой верши-
ной множества Z жирным ребром. Действительно, если бы для не-
которой х2 е AZ никакое из ребер, соединяющих ее с вершинами Z,
не было жирным, то взяв за xj одну из смежных с х2 вершин множе-
ства Z и выбрав чередующуюся цепь
по которой вершина X] достигается из некоторой уоеУ]\У]
(согласно определению множества Z), мы построили бы ^У-уве-
личитель
У0и1^1у2^2 •••У l-lvlxlx\x2x2
в графе Gjy, вопреки максимальности W. Из сказанного следует
равенство |AZ|=|Z|.
Итак, |Ay0|=|AZ|=|Z|; ввиду (У1\У1)П2=0 имеем также
|Уо1=|Х1\У11+|0|. Отсюда
|Го|-|АКо|=|1о|-|г|=иГ1\Г1|=|А'1|-|Г1|=|ЛГ1|-я:«7),
что и требовалось.
Глава 2. Связность
179
СЛЕДСТВИЕ (D. Konig // Math.-Fiz. Lapok, 38 (1931), 116-119;
книга Кёнига; Ph. Hall // J. London Math. Soc., 10 (1935), 26—30). Всё
множество X\ двудольного графа (X\9 У2» можно взаимно одно-
значно отобразить в при помощи ребер U тогда и только тогда,
когда
УГсХ](|ДУ|>|Г|).
ПРИМЕР (простейший вариант задачи о назначениях). Пусть к
нам прибыло девять групп иностранных туристов, причем гости
группы Т] говорят на английском языке, гости Т2 — на француз-
ском, Т3 — на немецком, Т4 — на английском, Т5 — на французском,
Т6 — на испанском, T-j — на итальянском, — на испанском, T9 —
на португальском. Бюро обслуживания «Интурист» располагает в
это время десятью свободными переводчиками, владеющими таки-
ми иностранными языками: 77] — английским и немецким, П2 — ан-
глийским и испанским, 77 3 — английским, 774 — французским, не-
мецким и итальянским, 77 5 — английским и немецким, 77§ — англий-
ским, П-; — испанским и португальским, 77 8 — французским и пор-
тугальским, П9 — французским, испанским и итальянским, 77ю —
английским и немецким. Как прикрепить (взаимно однозначно) пе-
реводчиков к группам, чтобы в первую же очередь было обслужено
возможно большее количество групп?
Для решения задачи построим двудольный граф G=(Х\, Х2, U), в
котором роль вершин Х\ играют переводчики, роль вершин Х2 —
группы туристов, а смежность вершины П, е Xj с вершиной Ту е J72
означает владение f-го переводчика языком j-й группы (рис. 2.4.6).
Требуется найти в G паросочетание с наибольшим числом ребер n (6).
Пусть какое-то паросочетание W уже построено; начинать мож-
но и с И7=0, однако лучше взять за W «наивное» прикрепление,
легко получаемое следующим образом: прикрепляем 77] к первой из
групп Г], Г2, ..., T9, которую он может обслужить, затем прикреп-
ляем П2 к первой возможной для него и еще не занятой группе и
т. д. Построение таким образом паросочетание W имеет семь ребер
и показано на рис. 2.4.7 слева.
Путем проб (которые нетрудно вести упорядоченно, дабы избе-
жать повторений и не упустить ни одной возможности) находим
РК-увеличитель с последовательными вершинами 773, 7], 77], Т3,775,
Т4, 772, Т6, /77, Т8; переделывая тонкие ребра этого увеличителя в
180
Основы теории графов
(а, н) П)
(а, исп) П2
(а) П3
(ф, н, ит) П4
(а, н) П5
(а)П6
(исп, п) П7
(Ф. п) П8
(ф, исп, ит) П9
(а, н) П10
Рис. 2.4.6
жирные и наоборот, получим новое паросочетание W* с |fF'|=8
(рис. 2.4.7 справа) и убеждаемся (опять путем проб), что в графе GW'
уже нет РИ'-увеличителей. Последнее вытекает и из того, что для
подмножества Уо ={Z?i, П^, П$, П^,	(образованного тон-
кими вершинами и достижимыми из них по чередующимся цепям
Рис. 2.4.7
Глава 2. Связность
181
вершинами множества Х\ в Gjy ) имеем ДУ0 ={7\, Т^, Тд}, откуда
|У0|-|АК0|:=5-3 = 2 и я (С)<10-2=8 по теореме 2.4.6.
Дальнейшие примеры на применение теорем Кёнига—Оре и
Кёнига—Холла читатель найдет в упражнениях 15 и 16, а также в
§2.5 (при доказательстве теоремы Менгера).
ТЕОРЕМА 2.4.7 (D. Konig // Math.-Fiz. Lapok, 38 (1931), 116-119).
Если /((?)< 2, то 8(G) = n (G).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В случае у (G) = 1 граф G не имеет ребер и
для него 8(G) = x (G) = 0. Пусть теперь у (6) = 2. Выбрав правильную
раскраску вершин двумя цветами, представим граф как двудоль-
ный: G = (X\, Х2, U).
При любом YсXj множество (Aj \y)U ДУ служит опорой гра-
фа G, причем (А']\А')ПДУ=0; поэтому всегда
|У! \У|+|ДУ|=|(У1 \У)U ДУ|><?(<?)•
Отсюда по теореме 2.4.6 получаем п ((?)=|У1|-max (|У|-|ДУ|) =
= min (|У1|-|У|+|ДУ|)= min (|Aj\У|+|ДУ|) ><$((?), что вместе с (4)
Key	YcXj
приводит к требуемому равенству.
Подробному изучению паросочетаний и чередующихся цепей
как в двудольных, так и в любых обыкновенных графах посвящены
специальные главы (с обширной библиографией) обеих книг Бержа
и отдельная книга: L. Lovasz, M.D. Plummer. Matchihg theory. Buda-
pest: Acad. Kiado, 1986, 544 pp. [86,11B561K], а наибольшим (в част-
ности совершенным) паросочетаниям — статья Ле Тхук Зука
(ГГиДОЗ 1982, 84—95 [83к#05090]). Обзор наиболее эффективных
алгоритмов нахождения паросочетаний в графе дает Galil Zvi
[84, 6В517], а общий исторический обзор — M.D. Plummer (DM,
100(1992), № 1-3, 177- 219 [93, 10В250]). Далее см.: А.М. Магоме-
дов [87, 2В667Деп, 12В747]; L. Lovdsz // JCTh, В43 (1987), №2,
187-222 [88, ЗВ641]; R. Brualdi // Comb. Geom., Cambridge e.a., 1987,
53-71 [88, 3B555]; D.M. Jones, D.J. Roehm, M. Schultz// ARS Combi-
natoria, 50(1998), 65-79 [00, 9В254].
Восстановимостью двудольных графов занимается R.D. Boyle
(JCTh, B29 (1980), № 2, 272-275 [82b#05098]), a S.N. Zagaglia (JCISS
8 (1983), № 1, 5—9 [84,12B723]) по набору всех (и-1)-вершинных под-
графов и-вершинного двудольного графа G = (Х\, Х2, U) определяет
182
Основы теории графов
количества |Х]|, |ЛГ2| вершин в его долях и числа 6(G),
i(G), n(G), 8(G).
Красота и эффективность метода чередующихся цепей побудили
искать его аналоги применительно к другим задачам (упражне-
ние 18), но особенно близка к нему процедура перекраски двуцвет-
ных цепей в задаче о раскраске ребер графа (§2.9).
Упражнения и дополнения
1.	а) Непосредственно убедиться в том, что
граф рис. 2.4.8 не имеет совершенных паросоче-
таний, и найти в нем какое-нибудь наибольшее
паросочетание.
б) Найти наибольшее паросочетание в гра-
фе Петерсена.
Г. Показать, что в декартовом произведе-
нии графа Петерсена на есть совершенное па-
росочетание. W.D. Wallis // Util. Math., 20 (1981),
№ 1, 21—25 [82, 7В601].
2.	Доказать, что 3-однородный граф без пе-
решейков обладает совершенным паросочетани-
ем. Ju. Petersen // Acta Math., 15(1891), 193—220. Обобщение: G. Chartrand,
L.Nebeskf // Period, math, hung., 10(1979), № 1, 41-46 [79, 8В378].
3.	Если G — блок, n(G)=2/c и n tp)=k, то в G есть хотя бы две вершины х
со свойством: любое ребро, инцидентное х, принадлежит некоторому совер-
шенному паросочетанию. Отсюда, в частности, следует результат Л.В. Байнеке
и М.Д. Пламмера: если в блоке есть совершенные паросочетания, то не менее
двух. J. Zaks // JCTh, Bll (1971), № 2, 169-180 [72, 8В382]; Теория графов. По-
крытия, укладки, турниры. М.: Мир, 1974, 35-47.
4.	Все максимальные паросочетания являются наибольшими только в гра-
фах Fn и Кр q. Wang Shiying, Liu Yan, Zhang Zhuokui // Zhengzhai Univ. Natur.
Sci. Ed., 31 (1999), № 2, 7-10 [00, 7В239].
5.	Если G — связный n-вершинный ^-однородный граф, где s > 3 и нечетно, то
к	т- Nishizeki // DM, 37 (1981), № 1,105-114 [82,4В578].
5*. В 3-однородном графе G: п (G)>^/i(G). A.M. Hobbs, Е. Schmeichel //
DM, 42(1982), № 2-3, 317-320 [83, 5В593].
6.	Пусть W — совершенное паросочетание графа G. Доказать, что любое
другое совершенное W' можно получить из W операциями следующего типа:
находим в G^/ простой цикл четной длины, на котором жирные ребра череду-
Глава 2. Связность
183
ются с тонкими, и заменяем на нем все тонкие ребра жирными и наоборот.
Можно ли таким способом преобразовать произвольное паросочетание РК, где
|FF| < п (G), в любое другое W' с|И"| =|*И? ВТ. Визинг//ДАН СССР, 144 (1962),
№ 6, 1209-1211 [64, 1В378].
6'. Если Ид — насыщенное (максимальное по включению), а V — любое
паросочетание графа, то |И/|<2|И'0|. Р. Flach, L. Volkmann [88, 5В720].
7.	Если и (G)=2k и любые р < Зк/2 вершин графа G смежны не менее чем с
4р13 вершинами, то л-(С) = Л. J. Anderson // JCTh, BIO (1971), № 3, 183—186
[72, 6В269].
8.	а) Если связный 2р-вершинный граф (р > 1) не имеет совершенных па*
росочетаний, то для любого к, 1 <к <р, существует 2£-вершинный подграф, то-
же без таких паросочетаний. б) В связном графе G с п (G) >2 всякое паросочета-
ние можно дополнить до совершенного в том и только том случае, если G име-
ет вид F2p или Крр. D.P. Sumner // PAMS, 42(1974), № 1, 8-12 [75, 1В536],
JGrTh, 3(1979), № 2, 183-186 [79, 12В546]. Далее: M.D. Plummer // DM,
31(1980), № 2, 201-210 [81, 1В521].
9.	Пусть m (n, к) — наименьшее число ребер л-вершинного графа, облада-
ющего (&+1>паросочетанием или вершиной степени &+1. Известно (N. Sauer
[71, 11В519; 43#315]), что для к<2п:
,	[ пк + (&-1)|2л/(&-1)|/2, если к нечетно;
т (л, к) =5
I л (к+1), если к — четный делитель числа 2л.
Каковы т (п, к) в оставшихся случаях?
10.	Пусть t(G) = Oi, t2,.tn) — обращенный вектор степеней, Z„+i целое,
*л>*л+1>0. Доказать, что (л+1>вершинный граф G't для которого! (G') =
= (*ь*2>---» ^Лл+1), существует тогда и только тогда, когда/л+1 четно. R.H. John-
son // JCTh, В18(1975), № 1, 42-45 [75, 6В492; 51#2996]. (Примечание.
Часть «только тогда» тривиальна. Для построения G' при четном Гл+1 достаточ-
но обнаружить в G паросочетание с Гл+1 /2 ребрами, а его существование сразу
вытекает из оценки (3), так что незачем применять теорему Татта, как сделано
в оригинале.)
См. также L. Lovfcz // Period, math, hung, 5 (1974), № 2, 149-151 [75, 2В504].
11.	Если в л-вершинном графе С = (У, U) для любой пары ху несмежных
различных вершин s(x) + s(y)>n, а для любых двух пар ху ёU, zt £U также
j(x)+5(.y)+5(z)+ s(t)>2n +1, то каждое паросочетание в G принадлежит не-
которому простому циклу. К.А. Berman // DM, 46 (1983), № 1, 9—13 [84, 1В636].
12.	а) Показать, что количество л j(G) паросочетаний с i ребрами в графе
G=(X, U) удовлетворяют рекуррентному соотношению
л, (С) = ж/ (С\л~у) + л:/_1 (6\{х, у}),
184
Основы теории графов
где xyeU. Основываясь на этом, выразить числа 7r,(G) через {Vy(G)}
(см. упражнение 6 к § 1.4) и записать результат в многочленной форме.
б) Показать, что количества 5, (G) z-вершинных опор графа G удовлетво-
ряют рекуррентному соотношению
<5, (G) = 5M (G\x) + 5,_, (О (G, х)),
где 5=5(G, х), О (G, x)=O(G, х), хе У. И.М. Горгос (Кишиневский семинар,
май 1977 г.).
13.	Подмножество V ребер графа G называется 5-критическим, если
8 (G\K)<<5 (G), и ^-критическим, если п (G\K)<tt (G). Оказывается, 5(G) = тг (G)
тогда и только тогда, когда для множества ребер любого веера в G из 5-критич-
ности следует тг-критичность. М. Lewin // Israel J. Math., 18 (1974), № 4, 345—347
[75, 11B386]; Leet. Notes Math., 884(1981), 269-271 [82, 5В543].
14.	Для инвариантов п и i справедливы оценки типа Нордхауза—Гаддума
(см. упражнение 10 к §1.3), где n = w(G) = n(G):
а)	[л/2_|<я(С)+я(С)<2[л/2], 0<я (С)я (G)<[n/2J2.
G. Chartrand, S. Schuster // Trans. New York Acad. Sci., 36 (1974), № 2, 247-251
[74, 2В430].
б)	Если и >4, а графы G и G не содержат изолированных вершин, то
[л/2] + 2 <п (G) + я (С)<2[л/2_|<я (в)я (G)<[n/2J2,
При этом существуют такие и-вершинные графы G и G', что ни они, ни их до-
полнения не содержат изолированных вершин и t(G) = i(G)=[~~^J, t(G')+
+ t(G')=|’^‘]-2. R. Laskar, В. Auerbach // DM, 24(1978), № 2, 113—118
[79, 7В614]. См. также: S. Sivagurunathan, S.P. Mohanty // Indian J. Pure and
Appl. Math., 28(1997), № 3, 335-342 [98, 8В262].
15.	Пусть B\ и B2 — две базы конечномерного линейного пространства над
произвольным полем. Доказать, что векторы этих баз можно привести в такое
взаимно однозначное соответствие, при котором каждому вектору г 6 В\ отве-
чает в В2 вектор, входящий с ненулевым коэффициентом в разложение г по #2-
16.	Доказать, что семейство множеств 5={МЬ М2, ...» Мп} обладает систе-
мой различных представителей (см. упражнение 4 к § 1.6) в том и только том
случае, если для любого подмножества индексов /с{1, 2, ..., п} выполняется
| U М,\>\Д. Ph. Hall // J. London Math. Soc., 10(1935), 26-30.
ie/
Глава 2. Связность
185
Указание: рассмотреть вспомогательный двудольный граф (S, X, U), где
вершинами «левой доли» служат множества семейства 5, «правая доля»
п
X = U Afp а ЛГ/Х е U означает х е Mh и применить теорему Кёнига—Холла
»=1
(следствие теоремы 2.4.6). В оригинале доказательство сложнее.
17.	Для любой груды Е графа G обозначим через Д^ (£) множество всех
вершин, имеющих хотя бы по одной смежной в Е. При к >2 условие
min	необходимо и достаточно для того, чтобы G обладал таким су-
£ ни *
графом, каждая компонента которого — веер с числом вершин не более к+\.
При к = 1 такой суграф — совершенное паросочетание. К.А. Зарецкий // Кибер-
нетика, 1966, № 5, 4-11 [67, 6В203; 35#2784].
18.	Суграф (Х\, У2» Ю Двудольного графа G=(Yb Хъ U) называется его
(р, цУсочетанием, если для всякого Y сХу такого что |У| =р <q, и всякого не-
пустого ZсХ\ выполняется |ДУ| = q и |AZ| >|Z| + q-р. (1, ^-сочетание в G су-
ществует тогда и только тогда, когда	(|ДИ|>|2| + ?-1). A. Brace,
D.E. Daykin // PAMS, 42 (1974), № 1, 28-32 [75, 1В554]; Ю.А. Сушков // Вестник
Ленингр. ун-та, 1975, № 19, 50-55 [76, 6В480; 54Я2549].
19.	Пусть £ = (£, 0) — фиксированная груда в графе G =(Х\ U), а последо-
вательность из 2&+1 вершин
Xl, Уъ Х2, У2, , Хк, yk, xk+i	(6)
построена следующим образом:
(а)	X! еУ\£;
(б)	если уже образован начальный отрезок х}, у у ..., х( последовательно-
сти (6), где l<i<k, то у,-б£\{уь ..., у/_|} и yf смежна хотя бы с одной из
вершин хь ..., xf-;
(в)	если уже образован начальный отрезок xj, yj, ...» xf, yh где 1</</с, то
х/+| 6 Аг\£\{х1,..., X/}, смежна хотя бы с одной из вершин ..., ^ и не смежна
ни с одной из Х|,..., X/. Такую последовательность (6) назовем Е-увеличителем,
если она непродолжаема, т. е. не существует вершины Уь+у удовлетворяющей
условиям п. (б) с i=k + 2. Доказать, что вершины множества
Е' = (£\{уь ...» №>)U{X|.хк, х*+1)
попарно несмежны в G, причем |£'| =|£| + 1, и что |£| =£ (G) в том и только том
случае, когда граф G не имеет £-увеличителей. Вторая книга Бержа.
Дальнейшее развитие идеи: O.J. Nieminen // Nav. Res. Log. Guart., 21 (1974),
№ 3, 557—561 [75, 7B414]; И.М. Горгос // Исследование операций и программи-
рование. Кишинев: Штиинца, 1982, 37-44 [82, 8В490; 85h#05004]; МИ,
114(1990), 47-53 [91, 5В422]; чередующийся лес [УС].
186
Основы теории графов
§2.5. /-СВЯЗНЫЕ ГРАФЫ
Классическая теорема, которой посвящена первая половина па-
раграфа, была сначала получена в топологических терминах:
К. Menger // Fund. Math., 10 (1927), 96—115; Kurventheorie. Leipzig-
Berlin, 1932. Последующие ее доказательства на языке теории графов
основаны на оригинальных идеях, оказавших в дальнейшем заметное
влияние на развитие всей теории, а сам первооткрыватель не отка-
зался и от «заключительного слова»: К. Menger // JGrTh, 5(1981),
№4, 341-350 [82, 8В605; 83т#О5ОО1].
Приводимое ниже доказательство из книги Зыкова навеяно ра-
ботой: Р. Elias, A. Feinstein, С.Е. Shannon [58, 3, 1901], перевод ко-
торой есть в книге: К. Шеннон. Работы по теории информации и
кибернетике. М.: ИЛ, 1963, 729—730.
Несмежные различные вершины х, у обыкновенного графа
G=(X, U) называются к-отделимыми (к>0), если из G можно так
удалить не более к вершин, отличных от х и у, чтобы последние
оказались в разных компонентах; ^-отделимость смежных вершин
х и у при к>1 определяется как их (к - 1)-отделимость в суграфе
G\xy. Ясно, что 0-отделимость — это просто отделенность (§2.1).
Определение к-неотделимости различных вершин понятно само со-
бой, а распространять все эти определения на совпадающие верши-
ны мы не будем.
Вершины х*у графа G называются l-соединимыми, если в G су-
ществуют по крайней мере / цепей, идущих из х в у и попарно не
имеющих других общих вершин, а также общих ребер (последнее
требование может показаться лишним, однако без него даже верши-
ны 2-клики формально оказались бы «бесконечно соединимыми»
вопреки очевидному содержательному смыслу). Любые две различ-
ные вершины 0-соединимы, а их 1-соединимость — то же, что и
соединимость в смысле §2.1. И здесь мы не будем рассматривать
случай совпадающих вершин.
ТЕОРЕМА 2.5.1 (Менгера). В графе G=(X, U) две различные
вершины тогда и только тогда к-неотделимы, когда они (к + ^-сое-
динимы (к>0).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если вершины х*у в графе (к + ^-соеди-
нимы, то удаление любых других к (или менее) вершин может раз-
Глава 2. Связность
187
рушить не более к цепей, т. е. эти две вершины ^-неотделимы. Дока-
зательство обратного утверждения значительно сложнее; предвари-
тельно заметим, что достаточно рассмотреть случай несмежных х и
у, ибо ^-неотделимость и Z-соединимость этих вершин в случае
xyeU означают их (А:-^-неотделимость и (/-1)-соединимость в
суграфе (?\ху.
Итак, пусть G = (X,U) — произвольный обыкновенный граф с
двумя выделенными вершинами х, уеХ, где х+у и xy£U. Всякую
его вершину, отличную от х и у и не смежную ни с одной из них, бу-
дем называть внутренней (относительно х и у). Высказывание «для
любого к > 0 из ^-неотделимости х и у в G следует их (к + 1)-соедини-
мость» обозначим через A (G; х, у) и докажем его справедливость
для любого графа G с любой выделенной парой х, у индукцией по
числу q=q(G; х, у) внутренних вершин.
При q=0 граф G имеет строение, показанное на рис. 2.5.1, где
Х\, х2, .... хр — вершины, смежные одновременно с х и у, а X' и
Y' — множества вершин, смежных только с х, соответственно то-
лько с у. В случае р>к + \ искомая система fc + l цепей находится
сразу. В случае же р<к рассмотрим вспомогательный двудольный
граф G' = (Х', Y', V), полученный из G удалением вершин х, у, х\,
х2, ..., хр (вместе с инцидентными ребрами), а также ребер, соеди-
няющих вершины внутри X' и внутри Y'. Для построения искомой
системы цепей в G достаточно
j
j
найти в G' паросочетание с
к-р+1 ребрами; но оно сущест-
вует, поскольку, как мы сейчас
покажем, п (G')>к-р + 1, если
предположить ^-неотделимость
вершин х и у в G.
Допустим противное: п ((?') <
<к-р + 1. Тогда по теореме
Кёнига—Оре (2.4.6)
|Z'|-max (|Z|-|AZ|)<A:-p + l,
'У,— V 1
Рис. 2.5.1
т.е. |X'|-|Z0|+|AZ0|<A:-p+l,
или |y'\Z0| 4-|AZq| <к-р, для
188
Основы теории графов
некоторого Zo с; %'; удалив из графа G множество {х1? х2,
U(Ar,\Z0)UAZ0, содержащее не более к вершин, мы отделили бы х
от у, что невозможно. Утверждение A (G; х, у) доказано для случая
<7=0.
Предположим теперь A (G; х, у) доказанным для всех графов G
с двумя выделенными несмежными различными вершинами, таких
что q(G; х, y)<qo >0, и рассмотрим произвольный граф G = (X, U),
в котором выделенные вершины x*y (xygU) ^-неотделимы, а
q (G; х, y)=qQ. Пусть х0 — одна из его внутренних вершин. Если в
подграфе G\xq вершины х и у по-прежнему ^-неотделимы, то они
(к + 1)-соединимы в нем, значит и в G, по предположению индукции,
поскольку q (G'; х, y)<qo- Если же х и у являются ^-отделимыми в
G\xq, то в графе G имеется такое подмножество Xq ={х0, хь •••»
x/f} из к + 1 вершин, содержащее х0, что после его удаления х и у
оказываются отделенными.
Пусть в подграфе G\Xq через Хх обозначено множество вер-
шин, соединимых с х, а через Ху — множество вершин, соединимых
су. Образуем графGx =(Хх {JXO U{y'}, Ux), где у' — новая верши-
на (й X), a Ux состоит из всех ребер того подграфа в G, который по-
рожден множеством вершин Хх UA\), и из добавочных ребер х$у',
х{у', .... х£у'; аналогично образуем граф Gy = (Ху (jA^Ulx'}, Uy )
(рис. 2.5.2).
В графе Gx вершины х и у' несмежны (так как xg Аф), различны
и ^-неотделимы (иначе х и у были бы А>отделимы в G); кроме того,
Рис. 2.5.2
Глава 2. Связность
189
q(Gx; х, y')<qo, поскольку каждая внутренняя вершина в Gx явля-
ется внутренней и в G, но в то же время х0 , будучи внутренней в G,
не является таковой в Gx. По допущению индукции, вершины хи у'
в Gx можно соединить к +1 цепями, попарно не имеющими других
общих вершин; отрезки этих цепей, принадлежащие исходному гра-
фу G, соединяют в нем вершину х соответственно с xq, ху, х^.
Рассматривая граф Gy, выявим в G аналогичную систему цепей, сое-
диняющих х0, X], ..., хк су. Очевидное сочленение цепей первой си-
стемы с цепями второй дает & + 1 искомых цепей в G.
Теорема доказана. Заметим еще, что ввиду леммы 2.1.1 все те
к +1 цепей из х в у, о которых идет речь, можно считать простыми.
СЛЕДСТВИЕ (G.A. Dirac // C.r. Acad. sci. Paris, 250 (1960), № 26,
4252-4253 [62, ЗА277; 22#4643J; R. Halin, H.A. Jung // Math. Ann.,
152(1963), № 1, 75-94 [64, 8A275; 27#5249]).
(а)	Пусть k>\ u в графе G = (X, U) вершины xq, xj, .... xk все
различны и таковы, что после удаления любых отличных от них вер-
шин в количестве менее к вершина xq остается соединимой хотя бы
с одной из X], .... хк; тогда в G существует система к цепей, веду-
щих из х0 в вершины X]...хк и попарно не имеющих общих вер-
шин, кроме х0.
(б)	Пусть к>\ и в G два подмножества вершин Xq, YqC1X
таковы, что |А"о1 =|Уо|=Л, Xq ПУц =0 и при удалении из G менее к
вершин, не принадлежащих УоиУ(). хотя бы одна вершина Xq
остается соединимой хотя бы с одной вершиной Yq; тогда в G су-
ществует система к цепей, соединяющих вершины Xq с вершинами
Уо w попарно не имеющих общих вершин.
Для доказательства (а) добавим к графу G новую вершину х' и
ребра х'х, 0 = 1,..., к). В полученном графе вершины xq и х' являют-
ся (к-^неотделимыми (почему?), и по теореме Менгера существу-
ют к таких цепей, которые после удаления вершины х' образуют в
графе G искомую систему. Утверждение (б) доказывается аналогич-
но добавлением к G двух вершин х', у' (х', у'ёХ, х' ^у1) и ребер х'х,,
у'у, 0=1, •••, к).
Граф G = (X, U) с n(L)>2 называется 1-связным если в нем
всякие две различные вершины /-соединимы или, что при / > 1 рав-
носильно по теореме Менгера, (/ - 1)-неотделимы; в частности,
190
Основы теории графов
2-связный граф — всегда блок, а обратное справедливо за единст-
венным исключением: блок F2 не является 2-связным. Определим
инвариант / (<7) в случае п (G) > 2 как наибольшее I > 0, при котором
граф /-связен, а в случае и((?) = 1 положим Z(G) = O.
ТЕОРЕМА 2.5.2 (Уитни). /((?) равно наименьшему количеству
вершин, удалением которых можно превратить граф G либо в несвяз-
ный, либо в одновершинный.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим это наименьшее количество
через k (G). При п (G) = 1, очевидно, I (G)=к (б)=0 (и вообще для вся-
кой клики / (Fn )=к (Fn)=п -1), так что можно предполагать п (б) > 2.
Ввиду I (б)-связности данного графа G = (X, U) любые две его
различные вершины х и у соединимы по меньшей мере / (G) различ-
ными цепями, не имеющими других общих вершин и поэтому
содержащими в совокупности не менее 1(G) вершин множества
А'\{х, у} в случае xy£U и не менее l(G)-l таких вершин в случае
ху е U. Отсюда следует, что удалением менее / (G) вершин из графа G
невозможно ни разделить какие-то две его различные вершины, ни
получить одновершинный граф, т. е. что k(G)>l(G).
Наоборот, невозможность превратить граф G в одновершинный
удалением менее k(G) вершин означает, что л(б)>£(б) + 1, т. е. что
после удаления из G не более k(G)~) вершин хотя бы две вершины
останутся. Но (к(G)-^неотделимость любой пары различных вер-
шин графа G влечет их к (б)-соединимость по теореме Менгера, от-
куда l(G)>k(G). Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 2.5.3 (G.A. Dirac // Rend. Circolo mat. Palermo,
2(1960), № 9, 114-124 [62, 9A172; 47#4834]). В 1-связном графе с
I >2 через любые I вершин проходит простой цикл.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При 1=2 утверждение непосредственно
следует из определения /-связности (см. также теорему 2.2.2). Пусть
оно уже доказано для 1=к>2, и пусть в произвольном (к + ^-связ-
ном графе G выбраны любые к + \ вершин х0, Х|, .... хд..
Так как (к + 1)-связный граф тем более ^-связен, то в случае, ког-
да не все выбранные вершины различны, шаг индукции совершает-
ся сразу, а при различных вершинах существует, согласно индуктив-
ному предположению, простой цикл С, содержащий к вершин
хь ..., х/с. Считаем, что х0 не лежит на этом цикле (иначе больше
нечего доказывать).
Глава 2. Связность
191
Допустим сначала, что на С есть кроме Х], ..., еще хотя бы
одна вершина х^+1- Благодаря (/с + 1)-связности графа G условия
следствия (а) теоремы 2.5.1 выполнены (с к + 1 в роли к); поэтому су-
ществует система к + ] цепей Z®, ..., Z^k\ Z^k+^, идущих из xtffy,,
хк> хк+\ и попарно не имеющих общих вершин, кроме х0; в силу
леммы 2.1.1 все эти цепи можно считать простыми.
Пусть а, — первая (считая от х0) вершина цепи Z^), принадлежа-
щая циклу С (1=1, к, к+ 1). Вершины а\, ..., а^, все различ-
ны и разбивают С на к + 1 простых цепей, среди которых по крайней
мере одна Z' не содержит никакой из к вершин Х\, х^ внутри се-
бя. Удалив из цикла С все элементы цепи Z', кроме ее концевых вер-
шин, получим простую цепь, которая вместе с двумя цепями систе-
мы {Z^}, идущими из хо в эти концевые вершины, образует иско-
мый простой цикл, содержащий все Л + 1 вершин xq, хь ..., х^.
Если С=Ск, т. е. вершины х^+1 на цикле нет, то достаточно по-
строить систему {Z^} из к цепей, причем роль а\, ..., будут, оче-
видно, играть сами х1( ..., х*. (быть может, в ином порядке), и иско-
мый цикл можно образовать даже к различными способами. Теоре-
ма доказана.
А.К. Kelmans, M.V. Lomonosov (DM, 38 (1982), № 2-3, 317-322
[82, 6В689], [83, 7В572]) исследуют, через какие именно к>1 вершин
Z-связного графа можно провести простой цикл (при к < I это любые
к вершин), a N. Tsikopoulos (DM, 50(1984), № 1, 113—114
[84, 12В738]) рассматривает такие /-связные графы с />4, в которых
простой цикл проходит через любые / + 1, но не через любые 1 + 2
вершин. Об аналогичных вопросах для ребер или для заданных под-
множеств, состоящих как из вершин, так и из ребер графа, см.
упражнения 10—12.
Внимание ряда исследователей привлекают /-связные графы, од-
новременно являющиеся /-однородными (см., например, упражне-
ние 2); предположение о гамильтоновости всех таких графов (при
/>2) опровергли В. Jackson, T.D. Parsons // Bull. Austral. Math. Soc.,
24(1981), № 2, 205-220 [82, 7В537].
Обзор результатов по циклам в /-связных графах, содержащим
одно заданное подмножество его вершин и не содержащим другое,
приводит D.A. Holton И Leet. Notes. Math., 1036 (1983), 24—48
[84, 6В507); рассмотрим один из таких результатов.
192
Основы теории графов
ТЕОРЕМА 2.5.4 (D.R. Lick // JCTh, В14 (1973), № 2, 122-124
[73, 10В327]). Граф G = (X, U) с п>1 + 1>3 вершинами l-связен тогда и
только тогда, когда для любых подмножеств Y и Z, таких что
ZcYcX & |У| = / & |Z| = 2,
(*)
в G существует простой цикл, содержащий обе вершины Z, но не со-
держащий ни одной вершины множества Y\Z.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть сначала G является /-связным, a Y
и Z удовлетворяют условию (*). Тогда подграф G\(Y\Z), будучи
2-связным (почему?), согласно теореме 2.2.2 обладает простым цик-
лом, который и является искомым в G.
Теперь пусть простой цикл, содержащий Z и не имеющий вер-
шин в Y\Z, существует для любых множеств Y и Z, удовлетворяю-
щих условию (♦), и пусть SaX — любое подмножество с |5[ = /-2, а
Т g X \ 5 — любое двухвершинное. Полагая Y = 5 U Т, получим, что в
подграфе G \ S есть простой цикл, содержащий обе вершины Т; вви-
ду произвольности S этот подграф 2-связен по теореме 2.2.2. Зна-
чит, удаление любого множества не более чем / вершин не разбивает
граф G и не превращает его в одновершинный, т. е. / (G) > /, что и
означает /-связность G.
Теорема доказана. О других исследованиях строения 1-связных
графов см. [УС].
Справедливо очевидное неравенство
l(G)<s(G).
(**)
Задачу нахождения точной нижней оценки / (л, ш) и точной верх-
ней оценки / (л, т) инварианта / (G) через количества вершин и ре-
бер графа G, поставленную в первой книге Бержа, решили незави-
симо друг от друга F. Harary (Proc. Nat.. Acad. Sci. USA, 48 (1962),
1142-1146 [64, 9A269]) и В. Zelinka (Casop. pSstov. mat., 88(1963),
№ 4, 391-395 [65, 1A294]).
ТЕОРЕМА 2.5.5 (Харари—Зелинки).
Глава 2. Связность
193
1(п, т) =
О при т<п-2,
|_2w/nJ при т>п-1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДЛЯ НИЖНЕЙ ОЦЕНКИ. При удалении
из графа G одного ребра число /(С) не может уменьшиться более
чем на 1, так как для любых х, у&Х, х*у, среди /((7) различных
простых цепей, соединяющих х и у и попарно не имеющих других
общих вершин, не более чем одна может содержать удаляемое реб-
ро. Поскольку /(/"„)=«-!, а любой граф с п вершинами и т ребра-
_	( п I
ми можно получить из клики Fn надлежащим удалением - т
V /
ребер, то
п )
- т
2 )
l(G)>l(F„)~
1 I "I .	(л-1
= л-1-	\+т = т-1
12 J	I 2
Но если процесс удаления начать с ребер, инцидентных одной и
той ж^вершине х0 графа F„, то в случае ^”^-/л<л-1, т. е. при
т > I	I, каждое из удалении уменьшит степень вершины xq , а зна-
чит, в силу (*♦), и число /, ровно на 1, и для полученного суграфа G
графа Fn будет / (G) = т - " I; в случае же т < [ ” ~1 | граф G окажется
\2 /	\ 2 J
несвязным и тогда 1(G)=0. Задачу описания всех графов, на кото-
рых достигается нижняя оценка в первом случае, предложим чита-
телю; во втором случае это будут все несвязные графы с л вершина-
ми и т ребрами, и только они.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДЛЯ ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКИ. При т<п-\
граф G с n(G)=n>2 и m(G)=m не может быть связным, т. е. 1(G)=0;
при т=л-1 связность имеет место лишь тогда, когда G — дерево
(§ 2.3), а в этом случае 1 (G) = 1 и	= Пусть теперь т>п
и, следовательно, л>3.
194
Основы теории графов
Так как £ 5 (G, х) = 2т, то s (G) не превышает 2т / п, т. е., будучи
хеХ
числом целым, не превышает откуда /	в силу (*♦).
Остается показать, что при любых л>3 и т>п существует граф G с
n(G)=n и m(G) = m, для которого
Положим
^={*о>
|_2^J ~ 2p+i\ где р = 1, 2, ..., а r=0, 1;
U'g ={x~Xj /|i-jW (mod л)}, где q = 1, 2.р;

U'=l
p
U U'q при Г = 0,
9=1
P	-i
U U'„ kjU" при r=l.
l?=l
Как мы сейчас покажем, граф G' = (Х, U') содержит не более т ребер
и в то же время I (&)	J •
Во-первых, при г=0 степень каждой вершины в G равна 2р, сле-
довательно, m(G')=pn-±\ — I-л<|-2^-п=т; при г = 1 и четном л
степень каждой вершины равна 2р+1, откудал1(б')=^(2р+1)л=
=||_2д^л<т; при г = 1 и нечетном л степень вершины xi с индексом
f=[_yj равна 2р+2, а степени остальных вершин равны 2р +1, так
что /л((7')<|[(2р + 1)(л-1)+2р + 2]=1[(2р + 1)л+1]=1^^ + 1)л<
<1.2т. п=т, поскольку число —, не будучи целым (иначе оно было
2 п	п
бы четным вопреки г = 1), превышает свою целую часть по крайней
мере на 1/л.
Глава 2. Связность
195
Во-вторых, пусть Y с X — подмножество вершин, удаление ко-
торого из графа G' либо превращает его в одновершинный, либо на-
рушает связность. В первом случае |У|>и-1, откуда в силу т<1 ”
\2 )
имеем	В° ВТОРОМ случае суграф Gj =(У, Щ) графа G' яв-
ляется его гамильтоновым циклом, поэтому подграф этого суграфа,
порожденный подмножеством вершин Y, несвязен (иначе удаление
Y не разбивало бы G1); он состоит из двух или более простых цепей.
Среди этих цепей по крайней мере две имеют не менее чем по р вер-
шин (иначе опять удаление Y не разбивало бы граф G' ввиду нали-
чия в нем ребер множеств U'p, U'p^, • ••); поэтому |У|>2р, причем в
случае г = 1 даже |У|>2/? + 1, ибо тогда из-за наличия в G' ребер U"
связность сохранится и после удаления вершин обеих цепей. Таким
образом, в любом случае	откуда к (G') J ’
Если m(G')=m, то граф G' искомый. Если же т(р')<т, то, про-
извольно добавляя к G' недостающее количество ребер (без добав-
ления вершин), получим граф G с n(G)=n, m(G)=m и k((j)>k(G')>
котоРый будет искомым.
Теорема доказана. Для пояснения конструкции приводим четы-
ре примера (рис. 2.5.3), где жирные линии изображают ребра U{,
Рис. 2.5.3
л = 10, т = 30
196
Основы теории графов
тонкие — ребра U'q (при q = 2, ..., р), штриховые — ребра U", а в
кружке указано количество добавочных ребер (сами они не нарисо-
ваны). Задачей полного обзора графов, на которых достигается вер-
хняя оценка, мы заниматься не будем.
Ряд результатов по точным оценкам того или иного инварианта
с участием 1(G) получил Н.Г. Винниченко [75, 8В327; 81, 4В480;
58#21865]. Нижнюю оценку числа ребер и-вершинного графа G с
£((?) = 2 и !(G)<[_nl2j выводит Капап [76, ЗВ553]. Т. Jordan (JGrTh,
31 (1999), № 3, 179—193 [00, 5В270]) исследует функцию / (л, /, t) -
наименьшее количество ребер, добавлением которых к и-вершинно-
му /-связному графу можно сделать его (/+0-связным.
Упражнения и дополнения
1.	Доказать, что 1-неотделимость любых двух несмежных вершин графа G
с n(G) > 3 равносильна отсутствию в G шарниров; опираясь на это, воспроизве-
сти некоторые результаты § 2.2. как простые следствия теоремы Менгера при
£ = 1.
2.	Как установил W.T. Tutte (J. London Math. Soc., 22(1947), 107—111
[MR9p297]), всякий ^-однородный 5-связный граф (5>1) с четным числом вер-
шин обладает совершенным паросочетанием. Верно ли, что при нечетном чис-
ле вершин в таком графе всегда есть паросочетание, охватывающее все верши-
ны, кроме одной?
3.	Если и(6)>2& и для любых различных вершин
существуют такие цепи Qb Q2,...» Qk попарно без общих вершин, что б/ идет
из Xi в у( (г = 1, 2, ..., к), то /(6)>2£-1. М.Е. Watkins // Duke Math. J., 35 (1968),
№ 2, 231-246 [69, 4В255].
3*. В любом графе G с т(G)>n(G)l есть /-связная часть. W. Mader //
AMSUH, 37(1972), № 1-2, 86-97 [72, 9В331].
4.	Для /-связности графа 6, где 1 </<п = л (6), достаточно выполнения двух
условий, ни одно из которых ослабить нельзя: (1) при каждом таком к, что
Z—1< А; < («-+-/—3)/2, количество вершин степени $<к не превосходит к+\-1-
(2) число вершин степени <(и+/-3)/2 не больше n-l. G. Chartrand, S.F. Ka-
poor, H.V. Kronk // Mathematika, 15(1968), №1, 51-52 [69, 1В255].
4'. l(G)<n(2s-2)l(s-2\ где л = л(6), 5=5(6). M.О. Albertson, D.M. Ber-
man // DM, 89(1991), № 1, 97-100 [92, 1В434].
4". n< m <[_(«—l)2/4j => s-l <[2m/nJ. He Qi-mei/Z Networks, 14(1984), №2,
337-354 [85, 1В667].
5.	Граф 6= (У, U) с n>/+1 >3 вершинами Z-связен тогда и только тогда,
когда для любого У cl, |У| = /, любого целого р, 2<р<п, и любого ZcK,
|Z| =р, в G есть простой цикл, содержащий все вершины Z, но не содержащий
Глава 2. Связность
197
вершин Y\Z. R. Halin // AMSUH, 33 (1969), 133-134 [70, 6В358; 41 #3310]. В ка-
ком отношении находится этот результат с теоремой 2.5.3?
6.	Доказать, что в любом /-связном графе есть вершина степени / или та-
кое ребро, удаление которого не нарушает /-связность графа. R. Halin // JCTh,
7(1969), № 2, 150-154 [70, 1В303].
7.	Пусть Gi =(%i, Ц) и (?2 =(¥2, U2) — два различных подграфа в (7, оба
/-связные и максимальные (по включению множеств вершин) относительно это-
го свойства. Доказать, что |У1	причем в случае равенства ни одна
вершина из У1\У2 не смежна ни с одной вершиной из X2\Jfp Как можно уси-
лить последнее утверждение, если /=2? Книга Зыкова.
8.	/-связный граф, обладающий совершенным паросочетанием, имеет их
не менее /!! (см. упражнение 3 к § 2.4).
9.	В графе G с / = /(С)>2 всегда есть вершина х, для которой/(G\x) =
= /vj(G, х)<|(3/-1). G. Chartrand, A. Kaugars, D.R. Lick // PAMS, 32(1972),
№ 1, 63-68 [72, 10В359].
10.	Доказать, что в /-связном графе, где />2, можно провести простой цикл
а) через любые вершины хь ..., х/_\ и ребро и, б) через любые вершины jq,...»
Х/-2 и ребра u, v.
Примечание. Во второй книге Бержа сначала доказываются эти утвер-
ждения, а затем с их помощью — теорема Дирака. Сейчас проще действовать в
обратном порядке.
10'. Как показал D.R. Woodall (JCTh, В22 (1977), № 3, 274-278 [77,11В619]),
в 2(£-1)-связном графе, где к >2, через любое ^-реберное паросочетание прохо-
дит простой цикл. Вывести эту теорему из результата б) упражнения 10.
10". С. Thomassen (JCTh, В22 (1977), № 3, 279-280 [77, 12В694]) установил,
что в [(3fc-l)/2J-cBB3HOM графе (t>2) через любое ^-реберное паросочетание
проходит простой цикл; нельзя ли и этот результат просто получить с помо-
щью теоремы Дирака? Вывести отсюда теорему упражнения 10'.
10'". В /-связном (/>2) графе G с h(G)>2j-/+2, где 5=i(G), через любую
простую цепь Z/_2 и не принадлежащую ей вершину проходит простой цикл
длины >2s-/+2. S.C. Locke//Combinatorica, 5 (1985), № 2,149-159 [86, 5В726].
11.	Если всякие две вершины ^-реберного паросочетания РК графа сое-
динены к 4-1 цепями попарно без общих внутренних вершин, то в нем есть про-
стой цикл, содержащий все ребра И4. R. HSggkvist, С. Thomassen [81, 4В498],
DM, 41 (1982), № 1, 29—34 [82, 11В673]. Показать, что отсюда следует теорема
упражнения 10', которая, в свою очередь, влечет справедливость гипотезы Бер-
жа (вторая книга, изд. 1973 г. на англ. яз. [75, 2В484]): в 1-связном графе G через
любую прогамильтонову систему Uq (§2.1) проходит гамильтонов цикл.
12.	A. Adam (Acta math. Acad. sci. hung., 12(1961), № 3—4, 377—397
[62, 10B219]) поставил проблему: каким должен быть граф G и как надо вы-
брать в нем ребра iq,..., и*, чтобы нашелся простой цикл, содержащий все эти
ребра? При Л = 1 ответ тривиален: ребро ц не должно быть перешейком в G.
При к =2 ответ получается на основании упражнения 7 к §2.2. Случай к = 3
198
Основы теории графов
полностью исследовал сам Адам в упомянутой работе и в Publ. math. Debrecen,
10(1963), № 3—4, 96—107 [66, 5А288]; в частности оказывается, что очевидное
необходимое (в случае любого к) условие — отсутствие в G вершины, инцидент-
ной всем выбранным ребрам, и связность суграфа G \{u),..., и*} — при к = 3 так-
же достаточно. Далее см.: R.E.L. Aldred, D.A. Holton, С. Thomassen // Graphs
and Comb., 1 (1985), № 1, 7-11 [86, 2В737].
13.	/-связный граф, утрачивающий это свойство после удаления любой вер-
шины, содержит не менее двух вершин степени 3//2-1; оценка точна.
Ya.Ou. Hamidoune // DM, 32(1980), № 3, 257-262 [81, 4В489].
13'. Пусть /-связный граф G обладает свойством: после удаления любых
р<к вершин остается (/-р)-связный граф. Тогда при \ <к<1 из G можно так
удалить / вершин, чтобы одна из компонент полученного графа имела не более
И(к+\) вершин. R.C. Entringer, P.J. Slater // PAMS, 66(1977), № 2, 372-375
[78, 7В784]; Ya.Ou. Hamidoune // DM, 41 (1982), № 3, 323-326 [83, 3B553]; далее:
W. Mader [88, 11В543].
14.	а) в 3-однородном 3-связном графе для любой простой цепи есть про-
стой цикл, содержащий не менее 2/3 ее ребер;
б) в /-связном графе (/>3) для любой простой цепи Zq есгтъ простой цикл,
содержащий не менее (2/-4)^/(3/-4) ее ребер. J.A. Bondy, S.C. Locke
[81, 7В717; 81 к#05067].
15.	Если и = и((7), / = /(£)> 3 и s=s(G)<(>i+/)/3, то в графе G заведомо есть
простой цикл длины не менее 3s-1. Ж.Г. Никогосян // ДАН АрмССР, 72 (1981),
№ 2, 82-87 [87, 12В866].
15'	. а) Если />2 и ^>(л+/)/3, то граф гамильтонов. R. HMggkvist, G.G. Ni-
koghossian // JCTh, B30(1981), № 1, 118-120 [81, 9В509].
б)	Если />3 и j(G)>max{(w+2/)/4, £ (G)}, то G гамильтонов. Ж.Г. Никого-
сян // ДАН АрмССР, 78(1984), № 1, 12-16 [84, 7В491].
в)	Если $>(и+2/)/4, то либо граф гамильтонов, либо />2, либо £>s+l.
Ж.Г. Никогосян И Труды ВЦ АН АрмССР и Ереван, ун-та, 1985, № 14, 34—54
[86, ЗВ787].
г)	Если л = и((7)>3, граф /-связен, £(С)>у— + 1 и $(С)>и-/2-1, то G
гамильтонов. К. Ota // DM, 145(1995), № 1-3, 201-210 [97, 1В285].
16.	Если неплотность /-связного графа £ =£ (G)</fc+2, то в G есть суграф
Н с s<k+\\ если к тому же лг>3 и е <l+/(fc-l)+c, где 0<с<&, то есть и суграф-
дерево Г, в котором степенью 5 (Г)=к 4-1 обладают не более с вершин. V. Neu-
mann-Lara, Е. Rivera-Campo // Combinatorica, 11 (1991), № 1, 55—61 [93, 2В272].
17.	Если / (G\x)> I (6), то множество вершин окружения О (G, х) является в
G единственным разделяющим множеством с 1(G) вершинами. J. Akiyama,
F. Boesch, Н. Era, F. На гагу, R. Tindell // Networks, 11(1981), № 1, 65-68
[82, 2В654].
Глава 2. Связность
199
18.	Пусть 0	<^2 < • ••	(si ~ Целые), а ап=^^5/; 3-связный граф G с
/=1
s(G) = (5j, 52,...» 5Л)существует в том и только том случае, если 1) вообще есть
хоть один граф с таким вектором степеней, 2) все 5, > 3, 3) 5Л~1 +sn <т-п+4 и в
случае равенства также т>2п-2. S.B. Rao, A. Ramachandra Rao // Pacif. J.
Math., 33(1970), № 1, 205-207 [70, 11В254].
19.	Граф G называется локально 1-связным (ср. с упражнением 15а к § 2.1),
если /-связно окружение каждой его вершины, где 1 </<«—2. Для локальной
/-связности G достаточно выполнение условия 5(х)+5(у)>4и/3 + 2//3-2 при
любых х*у. G. Chartrand, R.E. Pippert // Casop. pfcstov. mat., 99(1974), № 2,
158-163 [74, 11В437]. См. далее: D.W. Vanderjagt // Там же, № 4, 400-404
[75, 5B451], DM, 10(1974), № 3-4, 391-395 [75, 5В452].
20.	Пусть G - (q+2>связный граф, где 0<q <и-3, п = п (6)> 3; пусть, далее,
р<п, s(G) = (5j, 52,...» 5„) и для всех к таких, что 0<k<(p-q)/2, выполнены
условия:
-1 => sk >k+q,
sk<k+q =>	>п-к.
Тогда в G каждая простая цепь длины q принадлежит некоторому простому
циклу длины >р. М. GrOtschel [80, 11В556].
21.	Если в «-вершинном /-связном (/>2) графе G сумма степеней любых /+1
попарно несмежных вершин не меньше т =т (6), то в G есть простой цикл дли-
ны не менее min{«, 2«i/(/+l)}. J. Fournier, F. Fraisse // JCTh, В39(1985), № 1,
17-26 [86, 5В720].
22.	Если в (^+2)-связном «-вершинном графе G=(X, U) ддя любой пары
xytU выполняется условие 5 (х) + 5 (у) > р, то через всякую простую цепь длины
q проходит простой цикл длины />min{«, p-q}. Н. Enomoto // JGrTh, 8 (1984),
№ 2, 287-301 [84, 12В739].
23.	Класс I? всех 3-связных обыкновенных графов является минимальным
(по включению) со свойствами:
a)	L3 содержит все колеса К/ с />3;
б)	если G=(Y, C/)eL3 и xy£U(x, .уе У), то граф (Г, UU {ху})e L?;
в)	если G e L3, то G' e L3, где G * = (XU') получается из G следующим обра-
зом: пусть хеХ — любая вершина G степени 5=5(6, х)>4, а инцидентные ей
вершины распределены в две группы {хь ..., хк}, {x*+i,..., xs }так, что 2 <к < 5-2
(в остальном произвольно); тогда Y' = (Y\{x})U{y, z} (у, z £У), L/' = (t/\{xxi,
Рис. 2.5.4
200
Основы теории графов
...» хх,}UO'Xi,...» yXk}U^xk+\* zxs}\J\yz} (см. рис. 2.5.4 при 5 = 5, к = 3).
W.T. Tutte // РК = IM, 23 (1961), № 4, 441-455 [64, 6А273; 25#3517]; книга: Con-
nectivity in graphs. Univ. Toronto Press; London: Oxford Univ. Press, 1966.
Другое конструктивное описание класса L3: R.W. Dawes // JCTh, B40 (1986),
№ 2, 159-168 [86, 11В633].
24.	Всякий 3-однородный связный граф Gt отличный от Г4, получается из
связного 3-однородного графа G'с меньшим числом вершин одной из операций
а, б, в рис. 2.5.5, причем в случае 2-связности графов G и G' достаточно опера-
ций б и в. N. Wormald // Leet. Notes Math., 748 (1979), 199-206 [80, 6В454].
Рис. 2.5.5
24'. J. Slater (JCTh, B17 (1974), № 3, 281-298 [75, 6B489] и B24 (1978), № 3,
338—343 [79, 2B496]) распространяет теорию Татта на 4-связные графы и дает
способ построения всех /-связных графов из с помощью двух операций.
25.	В 3-связном графе, отличном от Г4 и и критическом в том смысле,
что стягивание любого цикла нарушает 3-связность, имеется хотя бы одна из
двух простых конфигураций (найдите их!); отсюда получается новый рекурсив-
ный алгоритм порождения всех 3-связных графов, отправляясь от Г4 и Г5.
D.W. Barnette // DM, 187(1998), № 1-3, 19-29 [00, 1В302].
26.	а) Подкласс L3pcL3 обыкновенных 3-связных графов, критических в
том смысле, что стягивание любого ребра нарушает 3-связность, состоит из
единственного (с точностью до изоморфизма) графа Г4;
б)	в каждом /-связном графе плотности <р=2 есть ребро, стягивание кото-
рого не нарушает /-связности; при л = л(6)>3/>6 таких ребер не меньше
и + -j /2 - 3/, а если / > 5, то G содержит в качестве подграфа такой простой цикл
С, что G\C связен;
в)	в (/ + 3>связном графе есть такой цикл, удаление которого приводит к
/-связному графу. С. Thomassen, В. Toft [82, 6В679]; С. Thomassen [82, 6В685];
Y. Egawa, Н. Enomoto, A. Saito // Combinatorica, 6(1986), №3, 269-274
[87, 5В690); Y. Egawa // JCTh, B42(1987), № 3, 371-377 [87, 9В654].
г)	В 3-связном графе с и > 7 вершинами каждая длиннейшая цепь, не являю-
щаяся циклом, содержит по крайней мере два таких ребра, стягивание каждого
из которых не нарушает 3-связность графа; отсюда следует существование двух
таких ребер и в любом длиннейшем цикле. M.N. Ellingham, R.L. Hemminger,
К.Е. Johnson // DM, 133(1994), № 1-3, 89-98 [95, 6В301].
Глава 2. Связность
201
д)	в /-связном графе G с s(G)>l + 2 есть простой цикл С такой, что граф
G\C (/-2>связен. М. Lemos, J. Oxley // JGrTh, 30 (1999), № 1, 51-66 [00, 5В223].
26'. Пусть Gq — 3-связный граф, не являющийся колесом. Связный граф G
допускает стягивание на Gq в том и только том случае, если G можно получить
из Gq добавлением ребер и «расщеплением» некоторых вершин степени > 4 на
пары смежных вершин степени > 3 (см. рис. 2.5.4 к упражнению 23). S. Negami //
JCTh, В32(1982), № 1, 65-71 [82, 7В589].
26м. Обыкновенный 4-связный граф G g L4 является критическим относите-
льно стягивания любого ребра, т. е. G g L4p, тогда и только тогда, когда он од-
нороден и каждое его ребро принадлежит хотя бы одному треугольнику. Осно-
вываясь на этом, можно полностью описать класс L4p. N.Y. Martinov // JGrTh,
6 (1982), № 3, 343-344 [82,1В836], DM, 84 (1990), № 1,105-108 [90,12В477].
27.	Граф G называется циклически k-связным, G если удалением менее
к ребер его невозможно разбить на компоненты (хотя бы две), в каждой из ко-
торых имеется цикл; пусть L£. 5 — подкласс всех ^-однородных графов в 1^.
27.1.	3-однородный граф G циклически 4-связен тогда и только тогда,
когда 4-связен его граф смежности ребер L (G). Р. Martin (см. упражне-
ние 28 к §2.1).
27.2.	L4-.^ — минимальный подкласс в L4 со свойствами:
a)	F4, Qy eL^ 3, где Qy — граф, образованный вершинами и ребрами обыч-
ного геометрического куба;
б)	если G g L^ 3, a G' получен из G делением пополам двух различных ребер
и соединением обеих новых вершин новым ребром, то 3. N.C. Wormaid
(см. упражнение 24).
Дальнейшее изучение циклически 4-связных графов, минимальных в раз-
личных смыслах, предпринял N. Robertson // TAMS, 284(1984), №2, 665—687
[85, 6В567].
27.3.	Н.Й. Мартинов [82, 9В528] охарактеризовал класс 1?с у
28.	Назовем к-пучком графа систему к различных простых цепей, соединя-
ющих одну и ту же пару различных вершин и попарно не имеющих других об-
щих вершин. Графы к-пучково изоморфны, если между их ребрами можно уста-
новить взаимно однозначное соответствие, переводящее fc-пучки в £-пучки. До-
казать, что при любом фиксированном к >2 два (к + 1)-связных графа изоморф-
ны тогда и только тогда, когда они Л-пучково изоморфны, и что всякий ^-пуч-
ковый изоморфизм индуцируется некоторым вершинным (сравнить с теоремой
1.10.2 и упражнением 24 к § 1.10). Убедиться на примерах с &=2, 3, 4, что заме-
нить требование (к + 1)-связности менее сильным требованием ^-связности в об-
щем случае нельзя. R. Halin, Н.А. Jung // J. London Math. Soc., 42 (1967), № 2,
254-256 [68, 6B287; 34Я7402]; R.L. Hemminger, H.A. Jung // JCTh, B32(1982),
№2, 103-111 [82, 10В526].
202
Основы теории графов
§	2.6. ВЗВЕШЕННЫЕ ГРАФЫ И МЕТРИКА
Задавая на вершинах и ребрах графа G = (X, U) функции
р-Х^Мр, q:U-^Mq,
где Мр и Mq — произвольные множества, получим взвешенный граф
G[p, q]=(X, U; р, q).
На множествах X и U можно задать и более чем по одной функции
(соответственно отразив это в обозначениях) или, напротив, задать
функцию, скажем, только на ребрах.
К взвешенным графам принадлежат электрические схемы,
структурные формулы химических соединений, сети коммуникаций,
информационные и логические сети, графы автоматов, сетевые гра-
фики работ и многое другое, так что вряд ли можно надеяться на
создание «единой и полной теории взвешенных графов» даже в бу-
дущем, и мы ограничимся здесь отдельными вопросами, в которых
наличие весов не выводит из круга идей чистой теории графов.
Длины ребер. Пусть G[q]=(X, U; q) — обыкновенный граф с ве-
совой функцией q, относящей каждому ребру ueU действительное
число <?(и)>0 в качестве длины; если Q — маршрут, то сумма
q(Q) = ^я(и) по всем его ребрам называется его q-длиной, а просто
ueQ
«длина» понимается в прежнем смысле как количество ребер марш-
рута1 *. Число
Р{х, y)=p4G (х, y)=min{q(Q)IQeQ(x, у)},	(1)
где Q(x, у) — множество всех простых цепей из х в у, называется
q-расстоянием между вершинами х, у<=Х взвешенного графа <?[^];
если х=у, то Q — цепь нулевой длины, ее g-длина q (0=0, а если
вершины х и у отделены в графе, то р(х, у) =+оо. Способы факти-
ческого нахождения функции р по заданной q будут рассмотрены в
следующей рубрике.
1 В обоих случаях каждое ребро графа надо считать столько раз, сколько оно встре-
чается в маршруте.
Глава 2. Связность
203
Термин «расстояние» оправдан тем, что, как легко показать,
функция р, определенная посредством (1), удовлетворяет трем аксио-
мам Фреше:
Vx, уеХ[р(х, у)=0 <=> х=у],
Vx, уеХ[р(х, у)=р(у, х)],
Vx, у, zeX[p(x, у)+р(у, z)>p(x, z)],
т. е. является метрикой на множестве X. В частном случае, когда все
q(u) = l и, значит, q-длина всякой цепи совпадает с ее обычной дли-
ной, метрика р=р}> графа G [1] называется естественной метрикой
обыкновенного графа G = (X,U).
Если все значения q (и) рациональны, то их можно сделать целы-
ми, перейдя к новой единице измерения длины. Заранее предпола-
гая числа q натуральными, подразделим каждое ребро ueU на q (и)
частей с помощью q (и) -1 новых вершин и в полученном графе G’
всем ребрам припишем единичную длину; соответствующая метри-
ка р', будучи естественной для G', совпадает с р на вершинах G.
Правда, говорить о полном сведении произвольной метрики р к ес-
тественной нельзя по крайней мере по двум причинам:
а)	если задача состоит в нахождении некоторой вершины графа
6(9], характеризуемой в терминах его метрики, то в G' требуемым
свойством может обладать не вершина исходного графа G, а какая-
то из точек деления;
б)	^-длины q (и) ребер графа (/[9] исходной задачи могут быть
иррациональными числами (в чисто прикладных вопросах это об-
стоятельство не столь важно). Но, несмотря на эти (и некоторые
другие) «мелочи», ясно, что введение для ребер весовой функции
типа длины не означает существенного выхода за рамки чистой те-
ории графов, зато может представлять технические удобства. До
конца этой и следующей рубрик будем под <7 [9]=(X, U; q) пони-
мать обыкновенный граф с заданными действительными положи-
тельными 9-длинами ребер и с метрикой P=Pq, определенной ра-
венством (1).
Вершина х$&Х графа <7(9] называется q-центральной, если
VxeX[maxp(x, y)>maxp(xn, v)],
уеХ	уеХ
204
Основы теории графов
и q-периферийной, если
Vxe X[maxp(x, y)<maxp(x0, у)].
уеХ	уеХ
В силу того, что множество X конечно, а величина +оо допуска-
ется как возможное значение функции р, вершины каждого из двух
указанных типов существуют. Величина
гЧ (G)=r (G[o]) = min maxp(x, у)
хеХ уеХ
носит название q-радиуса, а величина
d4 (G)=d{G[q]) = max р(х, у)
х,уеХ
— q-диаметра графа С?[<7]. У несвязного графа тахр(х, у)=+оо для
любой вершины х, поэтому каждая его вершина является одновре-
менно и «/-центральной, и ^-периферийной, а (/-радиус и ^-диаметр
бесконечны. В случае естественной метрики приставка «q-» во всех
терминах опускается.
Например, у графа рис. 2.6.1 с естественной метрикой р верши-
ны dnj центральные, вершины a,f, g и т периферийные, радиус ра-
вен 4, диаметр 7. Г.Н. Копылов и Е.А. Тимофеев (УМН, 32 (1977),
№ 6,226 [78, 9В612]) полностью описывают тройки п, т, с натураль-
ных чисел, для которых существуют л-вершинные графы с т ребра-
ми, имеющие в естественной метрике ровно с центральных вершин,
a F. Buckley, Z. Miller, P.J. Slater (JGrTh, 5(1981), №4, 427-434
[82, 6B687]) и F. Buckley (DM, 38 (1982), № 1, 17-21 [82, 5B489]) -
графы, изоморфно содержащие заданный как центр [УС]. Радиус и
диаметр графа в естественной метрике, очевидно, являются его ин-
вариантами, их связям с други-
ми инвариантами, соответству-
ющим свойствам графа, в част-
ности критичности, посвящены
упражнения 2—16, а не указан-
ную там литературу см. в [УС]:
диаметрально критические гра-
фы, естественная метрика гра-
фа и критические графы.
Глава 2. Связность
205
ТЕОРЕМА 2.6.1 (Жордана)1. Пусть в связном графе G[q]=
= (У, €/; q) с |Х| >2 некоторая q-центральная вершина xq такова,
что все инцидентные ей ребра являются перешейками. Тогда G[q] мо-
жет кроме xq иметь самое большее одну q-центральную вершину,
притом смежную с х0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим	>---->.
через <?( ={Х,, U( ) 0 = 1, 2, ..., к) ком-
поненты подграфа G\x0 (рис. 2.6.2).
гг»	lAj j •*’0>	•
Так как вершина хд — ^-центральная,	—z	X. •
а граф G связен, то, в силу особенно- **1
сти его структуры,	foe X^Gk
vaa.xp{xQ, у)=гЧ (G)=r<+a>	Рис. 2.6.2
уех,
хотя бы для одного jg {1, 2, ..., к}, например i=1. Учитывая еще, что
р(х0, y)=q (х^) для любой вершины у, смежной с х0, рассмотрим
три случая.
Случай 1: к = 1. Torfla|Zi| = l, ибо иначе для вершины уоеХу
смежной с х0, было бы maxp(yQ, х)=г-р(х0, Уо)<г> т- е- х0 не яв'
хеХ
лялась бы «/-центром. Граф G состоит из двух вершин xq, у$ и одно-
го ребра хоуо> и утверждение теоремы в этом случае тривиально.
Случай 2: к>2, и при каком-нибудь ie{2, 3, ..., к}
шахр(х0, у)=г;
уех,
пусть это имеет место для i=2. Тогда никакая вершина у *х0 не мо-
жет быть ^-центральной, ибо расстояние от нее до некоторой ^-пе-
риферийной вершины графа G, находящейся в том из множеств Ху
Х^, которое не содержит у, больше г.
Случай 3: к>2, и при всех /е{2, 3, ..., £}
max p(xq, у)<г.
yeXj
* С. Jordan (J. reine und angew. Math., 70 (1869), 185—190) формулировал эту теорему
иначе. В терминах теории графов для случая <7=1 см. первую книгу Бержа.
206
Основы теории графов
Пусть j/0 " вершина из Aj, смежная с х0; тогда, очевидно,
тахр(р0, у)=г-р(х0, уй)<г.
Среди чисел тахр(х0, у), где i=2, 3, к, заведомо есть не мень-
УеХ,
шее, чемг-р(х0, у0), иначе ^-радиус графа G был бы меньше г; до-
пустим, например, что max р(х0, у)>г-р(хд, уо).
уеХ2
В случае равенства вершина j'q является ^-центральной, а в слу-
чае строгого неравенства не является. В обоих случаях никакая вер-
шина zeAr\{x0, у0} не может быть ^-центральной, ибо при zeX^
расстояние от z до некоторой ^-периферийной вершины графа G,
находящейся в У2> больше г, а при zeXh где i >2, расстояние z от
^-периферийной вершины G, принадлежащей X], превышает г. Тео-
рема доказана.
Так как дерево представляет собой связный граф, все ребра ко-
торого — перешейки (§2.3), то сразу получаем
СЛЕДСТВИЕ. Взвешенное дерево T[q] обладает либо единствен-
ной центральной вершиной, либо двумя смежными.
В случае естественной метрики данное выше определение центра-
льной вершины для дерева оказывается равносильным прежнему
определению центра (§2.3 и упражнение 10 к нему), а на графы с
единственным циклом его распространяет М. Truszchynski (Math,
slov., 35 (1985), № 3,223—228 [86,2В701]). Заметим еще, что обзоры по
алгоритмам нахождения паросочетаний (Galil Zvi, § 2.4 [87, 12В739])
охватывают и q-наиболыиие паросочетания [УС] в графе G[^].
Реализация метрики с помощью графа. Как известно, метриче-
ским пространством (X, р) называется непустое множество X вместе
с заданной на нем метрикой — функцией р от пар его элементов,
принимающей неотрицательные действительные значения (+ оо тоже
допускается) и удовлетворяющей трем аксиомам Фреше. Сказанное
в предыдущей рубрике естественно приводит к двум основным вза-
имно обратным задачам:
(I) по данному взвешенному графу (?[</]=(.¥, U; q) найти метри-
ческое пространство (X, р), где P=Pq',
(II) для данного метрического пространства (X, р) построить в
качестве строгой реализации такой граф G [<?]=(X, U; q), что р£ =р.
Глава 2. Связность
207
Решение задачи (I), теоретически определяемое равенством (1)
однозначно, всегда существует ввиду конечности графа G [<?], а
практически состоит в построении такого алгоритма нахождения р
по q, который был бы существенно проще полного перебора про-
стых цепей между всеми парами вершин; подробное описание и
оценки эффективности некоторых алгоритмов (с указанием литера-
туры, содержащей исчерпывающую библиографию) имеются в упо-
мянутой во введении книге [АЗ] и в статье: N. Deo, Pang Chi-yin //
Networks, 14 (1984), № 2, 275—329 [85, 1B647], — а мы здесь рассмот-
рим один из этих алгоритмов (R.W. Floyd // Comm. ACM, 5 (1962),
№ 5, 345).
Пусть G[q]=(X,U;q) — взвешенный граф, в котором Х =
={х], х2, ..., хп}\ удобно вместе него рассматривать полный граф
Fn [?]=(^, ^^5 Для чего доопределим функцию q, полагая
^(и) = +оо при ue.X^\U. Ясно, что на искомой метрике замена
графа G[#] графом Fn [<?] не отразится. Образуем симметричную
матрицу ||^,у||=||^,у||", в которой =0 и ^y=g(xfx7) пригну
(i,>l, 2, ..., л).
Введенную Флойдом тернарную операцию, отвечающую трой-
ке чисел а, /3, уе{1, 2, ..., п}, а*0*у*а, можно обозначить как
оператор [а, Ду]; результатом применения его (справа) к некоторой
матрице R =||Гу ||" является матрица R [а, Ду], в которой оба эле-
мента гр? =г7р заменены на {гр?, гра+гау}, а остальные оставлены
без изменения. Докажем, что
||9у ||[1, 23] [1, 24] ...[1, 2л] [1, 34]...[1, Зл]...[1, (л-1)п] [2, Гз] [2, 14]...
... [2, 1л] [2, 34]... [2, Зл]... [2, (л-1)л] [3, 12] [3, 14]...
... [3, (л-1)л]... [л, 12]... [л, 1 (л-1)]... [л, (л-2)~(л-1)]=||ру||,
гдеру =рд (xit х;)=р^. (xf, х.) при всех i, уе{1, 2, ..., л}; т. е. мат-
рица Иру ||, задающая на множестве Xискомую метрику р=р£, полу-
чается из исходной матрицы ||^у || последовательным применением
лг 1 операторов вида [а, Ду], где при каждом фиксированном
208
Основы теории графов
а = 1, 2, п символ 0у пробегает все J неупорядоченных пар
различных чисел из множества {1, 2...а-1,	а + 1,	п).
Действительно, пусть таким образом получена матрица ||р'у||.
Каждой промежуточной матрице ||г(у||” этого процесса, в том числе
и окончательной, соответствует взвешенный граф Fn [г]=(А'. Х^; г)
с функцией г (х,~Xj ) =г(у, определяющей, как непосредственно ясно из
смысла тернарной операции, ту же метрику р на множестве X, что и
графы F„[g], G[g]; поэтому всегда г(у >ру, в частности р'у >р,} .
Предположим теперь вопреки доказываемому, что р'д >Ру для
какой-то пары индексов i j, и из всех р'-кратчайших цепей, соеди-
няющих вершину Xj с Xj в графе Fn [р']( выберем самую короткую в
обычном смысле; эта цепь Q не может иметь вид xix~XjXj (поче-
му?), и пусть хр, ха, Ху — три ее последовательные вершины, такие
что a*i, j. Уже в графе Fn [г] с Iky ||=||д,у|| [1, Й]~... [а, ру]ребру
хрх7 будет придана r-длина, не превышающая г (хрха)+г(х„Ху), и
она от применения к матрице ||г(у || дальнейших операторов может
лишь уменьшаться. Отсюда следует, что в графе Fn [р'] цепь, полу-
ченная из Q заменой участка хрхрхахах~Ху Ху участком
хр хрХу Ху, имеет ту же р'-длину, что и Q, но короче ее в обычном
смысле, а это противоречит выбору Q. (Вопрос читателю: в каком
месте рассуждения использовано предположение р’у>руТ)
Одним из решений задачи (П) служит полный граф Р,, [<?]=
= (Х, X₽l; q), где q(xy)=p(x, у) при всех х, уе Х\ в нем, оказывает-
ся, можно единственным образом выделить суграф	U; q),
минимизирующий решение сразу в нескольких наиболее естествен-
ных смыслах: по количеству ребер, по сумме их 9-длин и др.
Назовем ребро ху графа F„ [9] существенным, если его 9-длина
q(xy) конечна и не равна q(xz)+q(zy) ни для какой вершины
zeX\{x, у}. Суграф <?[<?], обеспечивающий на множестве X ту же
метрику р, что и сам F„ [9], необходимо содержит все его существен-
ные ребра. Действительно, если ху е X ₽) \ U, то либо q (ху)=+оо, ли-
бо в G[9], а значит, и в Fn [9]есть простая цепь Q=xxx\ х, xtx2 х2 ...
xt Х1УУ с Я (Q)=Я (ху) <+00 и t > 1; при t > 1 вместо Q можно рассмот-
реть цепь ххх2х2 ...xfx~tyy, 9-длина которой по-прежнему равна
q (ху) в силу третьей аксиомы Фреше и того, что Q является 9-крат-
чайшей цепью между х и у; и т. д., пока не выявим цепь вида Q, но с
Глава 2. Связность
209
1 = 1. В обоих случаях (q (ху) = + ж и q (ху) < + <*>) ребро ху, не принад-
лежащее суграфу (?[(/], оказывается несущественным в Fn [(/].
Покажем, что этого и достаточно: если U — множество всех су-
щественных ребер графа Fn [(/], то суграф G [(/]=(X, U; q) уже реша-
ет задачу.
Пусть х, уеХ — две вершины с (*у)< + °°, a Qxy — соединяю-
щая их простая цепь ^-длины q (ху) в Fn [д]. Если хотя бы одно реб-
ро ab этой цепи не является существенным, то q (ab)=q (ас) + q (cb)
для некоторой сеХ\{а, Ь}; заменяя участок aabb на aacccbb, мы из
Qxy получим маршрут Q'xy с q(Q'xy )-q (Qxy) и с увеличенной на 1
обычной длиной. Этот маршрут — простая цепь, иначе выделенная
из него по лемме 2.1.1 простая цепь Qxy ввиду положительности
всех q(yi) обладала бы (/-длиной q (Qxy) <q (ху), что невозможно.
Итак, при наличии на Qxy несущественных ребер эту цепь все-
гда можно заменить более длинной, тоже простой, без изменения
q-длины. Но граф с фиксированным числом вершин не может содер-
жать сколь угодно длинных простых цепей, а вершины х и у были
взяты произвольно, поэтому всякиех,у^Х обязательно соединяют-
ся такой простой цепью q-длины q(xy), которая не содержит не-
существенных ребер графа Fn [#], т. е. целиком принадлежит его
суграфу <?[(?].
Граф GP [ (/] = (?[(/], однозначно определяемый по метрике (X, р)
как сказано выше, будем называть ее существенной реализацией.
Дальнейшее уменьшение суммарной (/-длины ребер или их количе-
ства станет возможным, если отказаться от требования, чтобы реа-
лизация была строгой в подразумеваемом до сих пор смысле: мно-
жество вершин графа совпадает с множеством элементов метриче-
ского пространства.
Назовем просто реализацией метрики (X, р) взвешенный граф
<т[(/]=(У, [/; q) такой, что X^Х и метрика p=pq~, определяемая
функцией q на множестве X его вершин, совпадает с р на подмноже-
стве X. На рис. 2.6.3 для каждой из трех метрик сначала показана су-
щественная реализация, а затем нестрогая с наименьшей возможной
суммой g-длин ребер; эта сумма во всех трех случаях значительно
меньше, чем при существенной реализации (количество же ребер
оказывается меньшим лишь во втором случае).
210
Основы теории графов
р~ 2 0 2
0	2	2	2
2	0	2	2
Р~	2	2	0	2
2	2	2	0
X ={*ь х2, х3, х4}
0	2	3	3
2	0	2	5
Р~	3	2	О	3
3	5	3	0
2 2 0
X ={*ь *2» *з)
Рис. 2.6.3
0 2 2
Если множество X по-прежнему конечно, а функция р принима-
ет только целые значения, то естественной реализацией метрики
(У, р) называется обыкновенный граф G = (X9 U)9 где IcI, естест-
венная метрика которого р-р<* совпадает с р на X.
ТЕОРЕМА 2.6.2. (D.C. Kay, G. Chartrand // Canad. J. Math.,
17 (1965), № 2, 342-346 [67, 11B238; 30#5298]). Целочисленная метри-
ка (X9 p) допускает строгую естественную реализацию (Х=Х) в
том и только том случае, если
Vx9yeX{2<p(x9y)< + <x>^BzeX\{x9y}[p(x9z)+p(z9y)=p(x9y)]}. (2)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость условия (2) очевидна: ес-
ли р=рв при некотором графе G=(X, U)9 то для любых его соеди-
нимых несмежных вершин х9 у можно в качестве z взять какую угод-
но промежуточную вершину на одной из кратчайших цепей между х
и у. Для доказательства достаточности построим по заданной мет-
рике (X, р) граф G = (X9 U)9 где U ={xyl х, уеХ&р(х9 у) = 1}9п пока-
жем, что Pg =р.
Если р(х9 у) = 0, то х=у по первой аксиоме Фреше, а так как
кратчайшая цепь из х в х имеет нулевую длину, то pG (х, _у) = 0.
Глава 2. Связность
211
Если р(х, у) = 1, то pG (х, у) = 1 непосредственно по построению
графа G.
Если 2<р(х, у)< + оо, то, применяя к=р(х, у)-1 раз условие (2),
выделим в X такую последовательность элементов z\, z^, zk,
что р(х, Z])=p(z], z2) = ...=p(z^, у)=1. По построению графа G в
нем есть цепь с последовательными вершинами х, zt, z2, ..., z^, у,
откуда pG (х, у)<р(х, у); но здесь строгое неравенство невозможно:
если бы х и у соединялись в G более короткой цепью, то ей в У отве-
чала бы последовательность zj, z2, ..., z'^ указанного вида, но с
к' <р(х, у) —1, и используя к' раз неравенство треугольника (третью
аксиому Фреше), мы пришли бы к абсурду: р(х, у)<р(х, у).
Наконец, если р(х, у) = + °о, то рс (х, у) =+оо, т. е. вершины х и у
отделены в G, ибо допущение о наличии соединяющей их цепи при-
водит к выводу о конечности р(х, у).
Из построения графа G = (X, U) в доказательстве достаточности
ясно, что этот граф в случае существования определяется однознач-
но (даже не с точностью до изоморфизма, а «жестко» — см. начало
§ 1.2). При отказе от требования строгости естественной реализации
она для целочисленной метрики всегда возможна, но, вообще гово-
ря, не единственна. Существование искомого графа G, впервые уста-
новленное Э.Д. Стоцким (Сибирский матем. ж., 5 (1964), № 5,
1203—1206 [65, 11А282]), сразу следует из решения задачи (II): снача-
ла строим существенную реализацию С[д]=(У, U; q) с р^ =р, а за-
тем, пользуясь целочисленностью функции q, подразделяем каждое
такое ребро ueU, для которого 2<^(м)<+оо, на q(u) частей, как
сказано в предыдущей рубрике. Возможность неизоморфных естест-
венных реализаций одной и той же метрики видна из примера на
рис. 2.6.4, не самого простого, но поучительного еще и в том отно-
шении, что оба графа обладают как наименьшим возможным (при
заданной метрике) количеством вершин (девять), так и наименьшим
Х={х\, х2, х3, х4}
Рис. 2.6.4
0 2 3 3
2 0 2 5
3 2 0 3
3 5 3 0
212
Основы теории графов
количеством ребер (десять). Вопрос нахождения или характериза-
ции такого подкласса обыкновенных графов, в котором каждая
метрика (X, р) с конечным X и целочисленной р имела бы единст-
венную (с точностью до изоморфизма) естественную реализацию,
пока не решен.
В классе деревьев реализуема не всякая целочисленная метрика,
но, как показал Е.А. Смоленский (см. упражнение И к §2.3), если
реализация существует, то она единственна даже в несколько более
сильном смысле, чем с точностью до изоморфизма; критерий же ре-
ализуемости нашел К.А. Зарецкий (УМН, 20 (1965), № 6, 94—96
[66, 6А267]), а затем для более общего случая J.M.S. Simoes Pereira
(JCTh, 6(1969), № 3, 303-310 [69, 11B310J). Последний результат
можно сформулировать так:
Метрическое пространство (Х9 р) с конечным множеством X и
произвольной (не обязательно целочисленной) функцией р реализуе-
мо взвешенным деревом T[q]=(X, U; q) в том и только том случае,
если такого рода реализацию допускает каждое 4-элементное под-
пространство заданного пространства. Эта формулировка охва-
тывает и метрики с |У|<3, реализуемость которых вытекает из нее
формально по принципу истинности логической импликации с
ложной посылкой. См. также: A.N. Patrinos, S.L. Hakimi // Quart.
Appl. Math., 30(1972), № 3, 255-269 [73, 6B359]; J.M.S. Simoes Pe-
reira, Ch.M. Zamfirescu // Linear algebra and Appl., 44(1982), 1—17
[82, 11В632].
Приводить здесь доказательства результатов Смоленского и За-
рецкого (объединенных в книге Зыкова в одну теорему) не имеет
смысла потому, что они (как и теорема Симонеса Перейры для слу-
чая целочисленной метрики) легко выводятся из общих теорем
В. Имриха и Э.Д. Стоцкого (ДАН СССР, 200 (1971), № 2, 279—281
[72, 2В363]; Сибирский матем. ж., 13 (1972), № 3, 558-565 [72, 9В337]),
имеющих и самостоятельный интерес. Однако на этих теоремах мы
тоже не останавливаемся по двум причинам: во-первых, хотя спра-
ведливость основной теоремы сомнений не вызывает, доказательст-
во ее даже во второй (более подробной) статье представляется нам
неполным; во-вторых, все эти результаты можно, сохраняя общую
идею обеих статей, сформулировать и доказать несколько проще,
притом без предположения о целочисленности метрики (примерный
план этой не слишком легкой работы предлагается желающим в
Глава 2. Связность
213
упражнении 18). Заметим еще, что для взвешенных деревьев резуль-
таты типа упомянутых непосредственно следуют из работы
С.В. Юшманова (Матем. заметки, 35 (1984), № 6, 877—887
[84, 10B458J), где показано, что дерево T[q]cp висячими вершинами
однозначно задается 2р-3 элементами его матрицы расстояний, и
дан соответствующий алгоритм (с числом шагов, линейно завися-
щим от количества вершин дерева).
В отношении других метрических свойств графов мы ограни-
чимся кратким обзором.
^-кратчайшие суграфы заданного типа. Из этой серии задач рас-
смотрим две, близкие по постановке, но резко различающиеся по
трудности решения.
1.	В связном обыкновенном взвешенном графе G[q]=(X, U; q) с
конечной функцией q найти связный суграф без циклов (т. е. дерево,
содержащее все вершины X) с наименьшей суммой q-длин ребер. Весь-
ма эффективный алгоритм Краскала для решения этой задачи, на-
зываемый еще «жадным», состоит в том, чтобы на каждом шаге вы-
бирать новое ребро наименьшей (/-длины, не образующее циклов
вместе с выбранными ранее. Другой — «алгоритм ближайшего сосе-
да» — предложил Прим. Подробное описание алгоритмов (с оценка-
ми эффективности) имеется, например, в упомянутой во введении
книге [А8], но обосновать первый из них мы рекомендуем читателю
самостоятельно в качестве полезного и не слишком трудного
упражнения.
2.	В графе G[q] предыдущей задачи найти цикл с наименьшей сум-
мой q-длин ребер, проходящий через все вершины. В случае клики это
задача о коммивояжере, а при любом G, но q = 1 она включает проб-
лему существования гамильтонова цикла; как показывает анализ
многочисленных работ, все основные трудности задачи коммивоя-
жера проявляются уже при нахождении гамильтонова цикла в
обыкновенном невзвешенном графе. Литература по этой задаче
столь обширна, что мы считаем разумным здесь лишь сослаться на
книги [А1, 3—8, 10, 11], упомянутые во введении; по их библиогра-
фиям можно разыскать и остальные работы.
Приведенная постановка задачи о коммивояжере называется
аддитивной', в другой постановке — минимаксной — она звучит так:
214
Основы теории графов
найти в G[<?] цикл, проходящий через все вершины и минимизирую-
щий наибольшую из 7-длин ребер цикла (см.: F. Supnik И Ann. of
Math. (2), 66(1957), № 1, 179-201 [59, 5, 2997; MR19p514]).
Геодезические графы. Связный граф G[7]=(T, U; q) с конечной
функцией q называется геодезическим, если для каждой пары вер-
шин соединяющая их ^-кратчайшая цепь единственна. Понятие это
введено в книге Оре (задача 3 к главе 4) для естественной метрики
(7 = 1) и только в этом случае пока изучалось; историю вопроса и
библиографию см. в статье: K.R. Parthasarathy, N. Srinivasan //
JCTh, ВЗЗ (1982), № 2,121-136 [83, 6В569]. Как легко показать, граф
<7 [7] является геодезическим тогда и только тогда, когда этим свой-
ством обладает каждый его блок; однако оно может нарушаться
при подразделении ребер новыми вершинами (см. упражнение 22),
что препятствует непосредственному сведению теории 7-геодезиче-
ских графов к случаю 7 = 1. Li Deiling, Мао Jingzhong (Acta Math,
sin., 19 (1999), № 1, 86—90 [00, 6B291]) рассматривают блоки, сохра-
няющие геодезичность после подразбиения ребер; но построение
общей теории 7-геодезических графов, видимо, требует принципиа-
льно иного подхода. Литературу cn. в [УС].
Т. Zamfirescu (Ann. Univ. Ferrara, 21 (1975), ser VII, 17—21
[77, 1B468]) изучает «антигеодезические» графы, в которых для каж-
дой пары вершин длиннейшая простая цепь между ними единствен-
на. Упомянем, наконец, работу «промежуточного» характера о
среднем расстоянии р (<7) = У р(х, у)/ ” , где сумма распростране-
V )
на на все неупорядоченные пары различных вершин графа G:
J.K. Doyle, J.E. Graver // DM, 17 (1977), № 3,147-154 [77,11В616].
Веса вершин. Для обыкновенного графа G[p]=(X, U; р), каждой
вершине хеХ которого приписан натуральный вес р(х), многие
проблемы можно свести к случаю невзвешенных графов. Например,
желая найти груду с наибольшим суммарным весом вершин, расще-
пим каждую х с р (х) > 1 на р (х) обычных вершин (веса 1) — см. нача-
ло § 1.8 — и в полученном обыкновенном графе будем искать наи-
большую груду Et. J. Moravek (Casop. pgstov. mat., 99(1974), № 3,
286—292 [75, 2B507]) обобщает на графы <?[р] теорему Турана.
Графами, в которых взвешены и вершины и ребра (упражне-
ние 23), мы тоже специально заниматься не будем.
Глава 2. Связность
215
Упражнения и дополнения
0. Доказать, что в связном графе G fo] всякие две ^-длиннейшие цепи име-
ют общую вершину. Всегда ли есть вершина, общая для всех таких цепей
одновременно?
2k Доказать, что в естественной метрике граф с диаметром d и длиной
кратчайшего цикла 2J+1 является однородным.
3.	Доказать, что если г((7)=2 и J(G) = 3, то r(G)=2, и J(G)<3; во всех
остальных случаях min{J(G), J(G)}<2. Метрика естественная. В.О. Васин,
Л.И. Фадеев [80, ЗВ632].
4.	Доказать, что в естественной метрике дерево обладает диаметром 2
тогда и только тогда, когда оно — веер.
5.	Рассмотрим два высказывания о графе G в естественной метрике:
a) J(G)=2, б) хотя бы один из суграфов G — веер. Верно ли, что а) => б) и что
б) => а)?
6.	Доказать, что если блок G является униграфом (§1.2), то J(G)<3 и
г((7)<2. R.H. Johnson И JCTh, В17(1974), № 2, 188-198 [75, 4В405].
7.	В естественной метрике справедлива точная верхняя оценка числа ребер
графа через количество его вершин и радиус:
т <
I I при г = 1,
[л (л-2)/2J при г =2,
(л2-4лг+4г2 + 5и-6г)/2 при г>3.
В.Г. Визинг//ДАН СССР, 173 (1967), № 6, 1245-1246 [67, 10В218; 35#1508].
7'. Доказать, что r(G)<r&s(G)<s^> n(£T)<A+rsr.
8.	Пусть л = л((7), m = m(G), d = d((j)\ тогда
2d - 3 - (d2 -d-4)/п < п -2т / п.
Вывести отсюда оценки: a) d<A+n-2&\ б) d+d<n+\, где d=d((j) и G пред-
полагается связным. J.A. Bondy И Canad. Math. Bull., 11 (1968), № 3, 499—501
[69, 7В200].
9.	Доказать, что если г (<7) = *7(С)=2, то
,~,d4 ПРИ л<с)=4>
zn(G)><
|2л((7)-5 при л(С)>5.
F. Gliviak [71, 4В421]; D. Palumbini И Rend. 1st. Lombardo Acad. sci. e lett.,
A106 (1972), № 3, 704-713 [73, 7B359]; F. Gliviak // Rend. 1st. Lombardo Acad. sci.
e lett., A110 (1976), № 1, 3-5 [78, 7В777].
1 Взято из книги Харари.
216
Основы теории графов
9'. Вывести для блока диаметра d> 5 оценку т>— 24 1 и описать все гра-
фы, на которых достигается равенство. Н. Enomoto, Y. Usami // Tokio J. Math.,
22(1999), № 1, 1 — 16 [00, 5В272].
10.	Пусть G=(X, U), n = n(G).
а)	Если сумма степеней любых к различных вершин G не меньше к\п!к\,
где 2 <h , то d (p)<3h-4, и эта оценка точна.
б)	Пусть далее/д. (x)=\{yl\<pG (х, у)<к}\, хеХ. Если VxeY(х)>
и А>2, то
'2к при h =2,
r(G)<’ Зк+1 при Л = 3,
(2А: 4-1) (Л-2)4-1 при А>4,
а если VxgX {/д. (x)>\_nlh]>2} и h>4, то г (G) < min {ЗЛ-7, j (2л 4-3-
-74и|_л/63-8л+9 )}. F. Kramer // Rev. anal, numer. §i teor. aproxim., 1 (1972),
№2, 125—131 [74, 1B367]; № 1, 31-36 [78, ЗВ484].
11.	Для любых натуральных г и d, удовлетворяющих условию r<d<2r-2,
графы G с г(С) = г и d(G)-d существуют, причем наименьшее число вершин G
равно r + d, а количество таких неизоморфных графов + Ph.A. Ost-
rand // DM, 4(1973), № 1, 71-75 [73, 5В458].
12.	Если / = /(С), s-s(p)) и d = то
l(d- 3) + 254- 2 при <У>3,
л(6)>’ 5 4-2 при J =2,
2 при d = 1.
V.G. Kane, S.P. Mohanty // PAMS, 72(1978), № 1, 211-212 [79, 9В640].
13 (Ю.Н. Нишанов // Вопросы вычислит, и прикл. матем. Ташкент,
15(1972), 89-101 [73, 6В384], Труды Самарканд, ун-та, 235(1973), 138-147
[74, 4В346]). Связный граф G = (X, U) с г = г (G)> 1 (в естественной метрике) назы-
вается радиально критическим, если соединение новым ребром любой пары не-
смежных различных вершин приводит к уменьшению радиуса.
13.1.	Радиально критический граф радиуса г обладает следующими свойст-
вами:
а)	если вершина t — шарнир, то количество Г-блоков (§ 2.2) равно двум;
б)	все центральные вершины находятся в одном блоке, а остальные блоки
(если они есть) имеют структуру, показанную на рис. 2.6.5, т. е. представляют
собой плотно-симплициальные цепи;
в)	диаметр не превышает 2г-2.
F
F
F
Рис. 2.6.5
Глава 2. Связность
217
13.2.	Верно ли, что если G имеет шарниры, то его блок с центральными
вершинами, будучи рассматриваем как самостоятельный граф, является ради-
ально критическим?
13.3	(Одесский семинар, сентябрь 1978 г.). Граф G является радиально кри-
тическим радиуса 2 в том и только том случае, если дополнение G несвязно и
каждая его компонента — веер.
14.	(Ю.Н. Нишанов [78, 7В783], Тезисы докл. IV Всес. конф, по пробл.
теор. кибернетики. Новосибирск, 1977, 148—149)» Вершины х и у графа
G=(X, U) называются подобными, если либо х=у, либо ху eU &Vz е%\{х, у)
(xz eU<=>yz е U).
14.1.	а) Отношение подобия вершин есть эквивалентность.
б)	Если G радиально критический, то сжатие любого класса подобия (т. е.
удаление из класса любого числа, но не всех вершин) не меняет радиуса и
не нарушает свойства критичности.
в)	Подграф, полученный из G полным сжатием всех классов подобия, уже
не имеет подобных различных вершин.
14.2.	Граф без подобных различных вершин называется несжимаемым.
Пусть G — несжимаемый радиально критический граф; его вершина х называ-
ется расширяемой, если замена ее 2-кликой (операция, обратная сжатию) не
меняет радиуса и не нарушает критичности графа.
а)	Замена расширяемой вершины любой кликой (не только двухвершин-
ной) тоже не меняет радиуса и не нарушает критичности графа;
б)	вершина х расширяема тогда и только тогда, когда после добавления к
G любого ребра для всякой вершины у, центральной в полученном графе G',
уже р'(х, ^)<г(6)-1.
14.3.	а) Выяснено, когда две вершины х*у несжимаемого радиально кри-
тического графа G допускают одновременное расширение (т. е. расширение од-
ной не нарушает расширяемость другой).
б)	Если в некотором множестве вершин графа G каждая пара вершин од-
новременно расширяема, то расширяемо и все множество в совокупности.
15.	F. Gliviak [77, 1В441; 52#5487] изучает графы, критические в том смыс-
ле, что удаление любой вершины уменьшает радиус, а Ю.Н. Нишанов (Вопросы
алгебры и теории чисел. Самарканд, 1980, 16—22 [81, 10В566]) показывает, что
если этому классу принадлежит не только сам G, но и его граф смежности ребер
L (G), то G радиально критический в прежнем смысле.
16.	Если Хк ={х|, х2, •••» хк}^^ такое подмножество вершин графа
G= (X, U), что
Vx, уеХ {р(х, jy)=max|p(x, х,)-р(у, х,)|}
\<i<k
(метрика р естественная), то множество столбцов матрицы расстояний
||р(х, _у)||”, соответствующих вершинам Хк, задает G изоморфно. Для наимень-
шего числа вершин такого подмножества найдены точные оценки снизу и
218
Основы теории графов
сверху через n(G) и d(G). С.В. Юшманов // ДАН СССР, 259 (1981), № 1, 49—52
[81, 12В840], Вопросы кибернетики. М., 86 (1982), 101 — 121 [82, 6В682]; далее см.
[88, 11В515].
17.	Доказать, что граф G является деревом в том и только том случае, если
a?(G) = l, <p(G)<2 и для любых вершин х, у, z, t (не обязательно различных) из
трех величин
А=А(х, у, z, l)=p(x, y)+p(z, t),
В=В(х, у, z, l)=A(x, z, у, I),
С=С(х, у, z, l)=A(x, t, z, у)
две совпадают и не меньше оставшейся (метрика P~Pg естественная). Р. Bune-
man // JCTh, В17 (1974), № 1, 48-50 [75, 2В518; 51#218].
18.	Воспроизвести в обобщенном виде результаты работ Имриха и Стой-
кого по следующей схеме.
18.1.	Бинарное отношение «р (х, у) < + оо» на множестве X метрики (X, р) —
эквивалентность; ее классы порождают подпространства (X р), / = 1, 2, ..., х,
называемые компонентами метрики; при а? = 1 метрика связна.
18.2.	Для упорядоченных четверок х, у, z, t элементов связной метрики
(X, р) определим три функции А, В, С как в упражнении 17 (только теперь их
значения не обязательно будут целыми). Множество X представимо в виде
Аг=У1и%2и...и^, |JTznJVy|<l,	(3)
с соблюдением условия: А <В -С тогда и только тогда, когда в каждой из пар
{х, и {z, Z} оба элемента принадлежат одному и тому же из подмножеств
Х(. Если дальнейшее подразбиение множеств X/ с сохранением всех этих
свойств невозможно, то представление (3) единственно (с точностью до нуме-
рации), и тогда подпространства (Xh р), / = 1, 2, ..., к, называются блоками
метрики (У, р).
18.3.	Минимальной реализацией метрики (У, р) называется граф(/=(?[^] =
= (Y, U; q) с р^ = р на X (ciX), для которого не существует аналогичного графа
G' = (X', U'; q') с
[m(G')<m(G) & w(G')<w(G) v [n(G')<«(G) & m (G')<m (G)].
Минимальная реализация связной метрики есть связный граф с конечной функ-
цией q, а в случае несвязной метрики — граф с тем же числом х компонент, каж-
дая из которых минимально реализует соответствующую компоненту метрики.
18.4.	Если G =G [?] = (А\ U; q) — минимальная реализация связной метрики
(X, р), a Gz = (Xh Of, q) — все блоки графа G (i = 1, 2,..., к), то к совпадает с коли-
чеством блоков (У„ р) метрики и при надлежащей нумерации
Глава 2. Связность
219
V/e{l, 2, к}
Для неминимальных реализаций это, вообще говоря, не так.
19.	Показать, что сформулированный в тексте результат Симонеса Перей-
ры и, следовательно, результаты Смоленского и Зарецкого в обобщенном виде
вытекают из результатов упражнения 18, а для реализации с наименьшей сум-
мой длин ребер — из: W. Imrich, J.M.S. Simoes Pereira // JCTh, B36 (1984), № 1,
1—15 [84, 12B751); характеризация соответствующих матриц ^-расстояний:
J.M.S. Simoes Pereira // DM, 65(1987), № 3, 277-287 [87, 12В709].
20.	A.B. Максименков (Кибернетика, 1974, № 5, 90—92 [75, 2B485]) решает
задачу нахождения ь Fn[q] цикла, ^r-длина которого близка к наименьшей воз-
можной, проходящего через все вершины и через заданное паросочетание.
21.	Доказать, что в графе (7, ребрам которого приписаны веса q > 0 с общей
суммой Q, имеется простая цепь, сумма весов ребер которой не меньше
2(>/л((7). A. Frieze, С. McDiarmid, В. Reed // ARS Combinatoria, 33(1992),
329-336 [93, 5В292].
22.	Проверить, что граф F3 с ребрами длины 1,1,4 является геодезическим,
но утрачивает это свойство после подразделения ребра длины 4 на четыре реб-
ра длины 1.
23.	Пусть Т -Т\р, ^] = (У, U\ р, q) — дерево, каждой вершине которого
приписан конечный «вес» р(х)>0, а каждому ребру — конечная «длина»
q(и)>0. Пусть, далее, А — фиксированное натуральное число. Тогда множество
Xq вершин Т, минимизирующих функционал
/n (*)= ZpOOIpC*.
у*х
где р=р^, состоит из одной вершины или двух смежных (ср. со следствием тео-
ремы 2.6.1). Будет ли Xq одним и тем же для разных пар функций р, ql Книга
П.С. Солтана и др. [А2], упомянутая во введении; на языке чистой теории гра-
фов: А.К. Кельманс [73, 7В394; 53Я5369].
Результат обобщается на функционалы fg (х) = (y)g (р(х, }>)), где g —
у*Х
произвольная возрастающая выпуклая функция. В.К. Сибирский // Изв.
АНМССР, сер. физ.-техн. и матем. н., 1976, № 3, 22-26 [77, 6В472], 1978, № 2,
25-29 [79, 1В636], [82, 6В671; 83к#52013], продолжение: [88, 7В617]. См. также:
Sh. Shinoda, М. Sengoku, К. Omura, I. Shirakawa // Bull. Fac. Sci. and Eng. Chuo
Univ., 26 (1983), 151-155 [84, 11B524]; P.J. Slater // Leet. Notes Math., 1073 (1984),
169-178 [85, 2В717].
220
Основы теории графов
§2.7. МУЛЬТИГРАФЫ
Вот и пришла пора дать формальное определение конечного не-
ориентированного графа общего вида. Теперь вплоть до гл. 4 мы
будем, если нет особой оговорки, понимать под графом упорядочен-
ную тройку
G = (X U, у/),
где X ^0 — множество вершин, U — множество ребер, оба конеч-
ные, а
V/: U-+X2
— отображение, относящее каждому ребру ueU неупорядоченную
пару ip(u)=xy вершин х, уеХ, называемых концами этого ребра.
В случае ул(м)=хх ребро и — петля при вершине х, т. е. инцидентная
х; если же у/ (и) -ху &х *у, то и — звено, соединяющее х с у (и у с х),
т. е. инцидентное каждой из этих вершин. Вершины х и у смежны,
когда они имеют по крайней мере одно общее инцидентное ребро;
в частности, вершина, при которой есть хотя бы одна петля, смеж-
на сама с собой. Ребра и и и называются параллельными, если
u*v&у(и) = 11г(и).
Часть графа G определяется как такой граф G' = (Х', Uf, у/), в
котором Х'с; X, V ci U и новое отображение у/ индуцируется преж-
ним. В частности, при U' U / у/(и)е (X')2} имеем подграф, при
X'-X — суграф.
Если вершины графа G пронумерованы, например просто
У={1, 2, ..., п}, то задать его можно матрицей смежностей
A (G)=|la(/ IL гДе ау ~ количество ребер, соединяющих i-ю верши-
ну су-й (/, 7 = 1, 2, ..., п); эта матрица, конечно, зависит от поряд-
ка нумерации вершин и определяет граф G, если отвлечься от
конкретной природы его элементов, с точностью до перестановок
параллельных ребер между собой (т. е. гораздо «жестче», чем с
точностью до изоморфизма). В случае необходимости полной ин-
дивидуализации всех ребер можно пользоваться матрицей инци-
денций ^(G)=||j5,7||=||j3y||", где
fl, если f-я вершина иу-е ребро инцидентны,
РУ ~ I А
[ив противном случае.
Глава 2. Связность
221
Здесь /=1» 2, и; / = 1, 2, т\ ребра тоже считаются пронумеро-
ванными, например U ={flb а2> •••, ат)-
На рис. 2.7.1 изображен граф G = (X, U, у/) с X ={1, 2, 3, 4, 5},
U ={а, Ь, с, d, е, f, g, h} и отображением у/, определенным следую-
щим образом: у/ (а) = у/ (Z>) = yz(c) = 14, y/(d) = 12, у/(в) = y/(f)=22,
y/(g) = y/(h)=35.
5
Для него
	0 1 1 2	0 0	3 0	0 0		1 0	1 0	1 0	1 0 1 1	0 1	0 0	0 0
A(G) =	0 0	0	0	2	, B(G) =	0	0	0	0 0	0	1	1
	3 0	0	0	0		1	1	1	0 0	0	0	0
	0 0	2	0	0		0	0	0	0 0	0	1	1
Два графа Gy = (Ху, Uy, i//j) и G2 = (АГ2, С/2, ^2) называются изо-
морфными, Gy^G2, если множества их вершин можно привести во
взаимно однозначное соответствие <^У2 так> чтобы соответст-
венные пары вершин соединялись в обоих графах одним и тем же
количеством ребер, иначе говоря, чтобы для любых ху, ууеХу и
х2, у2 еХ2 из Xj ох2 &у\ <->_и2 следовало l^"1 (хр>])| =|у-1 (х2у2)|,
где у/"1 и t//~1 — полные прообразы (множества ребер, имеющих об-
разом данную пару вершин). Существует и другое определение:
G]-G2, если между множествами вершин и множествами ребер этих
графов можно установить взаимно однозначное соответствие, со-
храняющее отношение инцидентности. Оба определения равносиль-
ны (упражнение 1). Матрицы смежностей изоморфных графов мож-
но перевести друг в друга перестановкой рядов (§ 1.3), а матрицы
инциденций — перестановкой строк и независимой от нее переста-
новкой столбцов.
222
Основы теории графов
Проблема изоморфизма графов рассматриваемого вида точно
так же, как было показано в § 1.6 для «химических» графов, сводит-
ся посредством конструкции Визинга к нахождению плотности
вспомогательного обыкновенного графа; в последнем достаточно
сохранить лишь те вершины, которые получаются наложением друг
на друга вершин с одинаковыми кортежами смежностей в исходных
графах: если в G при вершине х имеется р$ петель, а другие смежные
вершины У1,	•••, Уз (если они есть) соединены с ней соответст-
венно р\, Р2, ...» ps ребрами, где р\ <Р2 <...<ps, то кортеж смеж-
ностей вершины х — это вектор р(С?, х) = (ро> Р1> Р2» •••» Ау)- Так,
для графа, представленного на рис. 2.7.1, имеем p(G, 1) = (0, 1, 3),
р«7, 2)=(2, 1), p(G, 3)=(0, 2), p(G, 4)=(0, 3), p(G, 5) = (0, 2).
В частном случае, когда граф G =(X, U, у/) является обыкновен-
ным, отображение у/ инъективно (т. е. у/(м)*у/(и)), а образ
у/07)={у/(w)/u&U} множества ребер не содержит пар вида хх (т. е.
у/07)сГР1); лишь в этом случае мы позволим себе сохранить ран-
нее обозначение G = (Х, U) и отождествлять ребро и с парой вершин
ху-ц/(и). Желая же подчеркнуть, что граф G = (X, U, \у) не обяза-
тельно обыкновенный, можно наряду с записью общего вида (при
участии у/) пользоваться термином мультиграф. Если G — мульти-
граф без петель, то его граф смежности ребер L (G) при наиболее ес-
тественном определении оказывается тоже мультиграфом без пе-
тель, в котором две различные вершины могут соединяться не более
чем двумя ребрами (упражнение 19).
Маршрутом (длины />0) из вершины х0 в вершину х/ графа G
называется, как и прежде, последовательность
x0W]Xiw2X2 ...х^и/х/,
где все х( еX, все м( et7, a ^f(ui)=xi~^xi при /=1, 2, ..., I (только те-
перь нельзя писать х^х,- вместо и,)1; определения цепи и простой
цепи, циклического маршрута, цикла и простого цикла, связности
и компоненты, а также формулировка и доказательство лем-
мы 2.1.1 дословно те же, что и для обыкновенных графов. Опреде-
ления шарнира и перешейка, блока и Г-блока отличаются от преж-
них лишь тем, что каждую петлю вместе с инцидентной вершиной
1 Индексы вершин и ребер в общем обозначении маршрута не следует путать с номе-
рами этих элементов в пронумерованных множествах X и U (а так бывало!).
Глава 2. Связность
223
мы считаем отдельным блоком; сама вершина — шарнир, если то-
лько петля не является единственным инцидентным ей ребром. Те-
оремы 2.2.1 и 2.2.3 сохраняют силу с прежними доказательствами,
однако не всегда перенос результатов на мультиграфы так прост
(упражнения 5 и 6).
Обобщая сказанное в § 2.5, обозначим через U (х, у) множество
ребер графа G = (X, U, iy), соединяющих его вершины х и у, и дадим
следующие определения. Вершины х*у графа G называются к-от-
делимыми, если их соединимость можно нарушить удалением из G
не более к элементов множества (У \{х, .у})UU (х, у). Вершины х^у
называются l-соединимыми, если существует / цепей из х в у, попар-
но не имеющих ни других общих вершин, ни общих ребер. При та-
ких определениях теорема Менгера справедлива в прежней форму-
лировке:
ТЕОРЕМА 2.7.1. Две различные вершины графа G = (Х9 U, <//)
тогда и только тогда к-неотделимы, когда они (к+ V)-соединимы
(к = 0, 1, 2, ...).
Для доказательства достаточно заметить, что различные верши-
ны х и у, к-неотделимые и /-соединимые в графе G, являются
(к-/^неотделимыми и (/-/^-соединимыми в его суграфе G\U (х, у),
где p=\U (х, у)|, и наоборот, и применить к суграфу первоначальный
вариант теоремы Менгера, доказательство которой ничуть не меня-
ется от возможного наличия петель и параллельных ребер (почему?).
Гораздо более существенное изменение теоремы Менгера и
предшествующих ей определений приводит к ее «реберному вариан-
ту», который впервые установил непосредственно в терминах тео-
рии графов A. Kotzig (Suvislost’ a pravidelna suvislost’ konednych gra-
fov. Bratislava, September 1956), но который также вытекает из полу-
ченных одновременно результатов по теории транспортных сетей:
L.R. Ford jr., D.R. Fulkerson // Canad. J. Math., 8(1956), № 3,
399—404 [58, 2, 1047; MR18p56]; P. Elias и др. (см. начало § 2.5). Две
вершины х*у графа G = (X, U, у/) называются к-отрезаемыми, если
их можно разделить удалением из G не более к ребер (без удаления
вершин), и ^сплетаемыми, если существует / цепей из х в у попарно
без общих ребер (общие вершины допускаются без ограничений).
ТЕОРЕМА 2.7.2. Вершины хФу графа G тогда и только тогда
к-неотрезаемы, когда они (к + \)-сплетаемы (k = 0, 1, ...).
224
Основы теории графов
В книге Зыкова доказательство проведено по той же схеме, что и
для теоремы Менгера, однако проще, следуя В.К. Булитко (устное
сообщение, 1972 г.), свести ее к последней. Тот факт, что (£ч-1}-спле-
таемость вершин влечет их ^-неотрезаемость, почти тривиален, и
остается доказать обратную импликацию.
Пусть G = (Х, U9 у/) и х, уе Х9 х*у. Построим вспомогательный
обыкновенный граф Gxy следующим образом:
сначала строим двудольный граф (X, С/, V), в котором вершинами
«левой доли» служат вершины исходного графа, вершинами «правой
доли» — его ребра, а хие V (хе Х9 uе t/) тогда и только тогда, когда в
G вершина х и ребро и инцидентны (образно: располагаем верши-
ны G по вертикали и каждое ребро, как резиновое, оттягиваем впра-
во, закрепляя его отдельной булавкой на второй вертикали);
далее соединяем две различные вершины в U новым ребром (уже
нарушая двудольность графа) в том и только том случае, если они
имеют хотя бы одну общую смежную вершину в У\{х, у};
наконец удаляем из полученного графа все вершины множества
У\{х, у}. Процесс построения Gxy по G проиллюстрирован на
рис. 2.7.2.
Рис. 2.7.2
Доказываемое условное предложение о вершинах х и у расчле-
ним на три импликации: они fc-неотрезаемы в G => они Zr-неотдели-
мы в Gxy => они (к 4- 1>соединимы в Gxy => они (/: + 1)-сплетаемы в G.
Первая импликация трудностей не вызывает: из способа построения
графа Gxy по G непосредственно усматривается, что fc-отделимость
вершин х и у в Gxy влечет их £-отрезаемость в G. Вторая
Глава 2. Связность
225
импликация выражает прежнюю теорему Менгера для обыкновен-
ного графа Gxy. Докажем третью импликацию.
Предположим, что вершины х и у соединены в Gxy системой из
к + 1 простых цепей, попарно не имеющих других общих вершин.
Каждой такой цепи отвечает в G последовательность различных ре-
бер, у которой соседние ребра смежны (имеют общую инцидентную
вершину), причем все к +1 последовательностей попарно не имеют
общих ребер. В каждой из этих последовательностей первое ребро
инцидентно х, последнее инцидентно у, а вся она не обязательно об-
разует простую цепь между этими вершинами только потому, что в
ней более двух ребер подряд могут располагаться веером; но тогда
все ребра веера, кроме первого и последнего, мы исключим из по-
следовательности (например, цепи х х2 2 23 3 35 5 5у у в графе Gxy
рис. 2.7.2 отвечает в G последовательность ребер 2, 3, 5, сама обра-
зующая веер И3, и после исключения среднего ребра 3 получается
последовательность ребер 2, 5, которые вместе с инцидентными вер-
шинами составят простую цепь х265у)- Исключение всех таких лиш-
них ребер во всех к +1 последовательностях приводит к искомой си-
стеме цепей в графе G. Теорема доказана.
Отношение /-соединимости (или, что равносильно по теоре-
ме 2.7.1, (/-^-неотделимости) вершин х и у в графе G, очевидно,
симметрично, но не транзитивно, как видно на примере рис. 2.7.3.
Напротив, /-сплетаемость (или, что равносильно по теореме 2.7.2,
(/-1)-неотрезаемость), если для совпадающих вершин считать ее вы-
полненной по определению, есть эквивалентность: симметрия опять
тривиальна, а транзитивность имеет место потому, что если удале-
нием менее / ребер невозможно отделить ни х от у, ни у от z, то та-
кое удаление не отделит и х от z.
Как и в случае обыкновенных графов, мультиграф G = (X, U, if/)
называется /-связным, если в нем всякие две различные вершины
/-соединимы, и / (G) означает наибольшее такое /. Аналогично опре-
деляются I-сплетены ость и число
/'(G). Обозначая еще через I" ((G) /цепей	/цепей
наименьшее количество звеньев G,	\
имеющих общую инцидентную вер- J-------у	z
шину, можно записать неравенства
/(G)</'(G) </"((?); (О	Рис 27 3
226
Основы теории графов
несложный их вывод, а также построение примеров, где достигают-
ся равенства, предоставим читателю (упражнение 14; книга Хара-
ри); некоторые достаточные условия правого равенства см. в
упражнении 15, а другие работы, посвященные условиям достижи-
мости этих равенств и оценкам чисел I и Г через другие инварианты
графа, поведению I и Г при удалении элементов из графа, пробле-
мам существования мультиграфов с заданными /, Г, Г', s и др. — в
упражнениях 17, 19' и в [УС]: инварианты связности и 1-сплетенный
граф. Дальнейшие обобщения понятий отделимости, соединимости,
отрезаемости, сплетаемое™ и соответствующих теорем предлагает
В. Zelinka (Casop. pgst. mat., 96(1971), № 2, 145-150 [71, 11B530]).
G. Shaar [77, 6B450] исследует наибольшее количество таких цепей
попарно без общих ребер, которые идут из вершин заданного под-
множества в его же вершины, а Т. Hirata, К. Kubota, О. Saito (JCTh,
В36 (1984), № 1, 85-94 [85, 1В653]) и Н. Okamura (JCTh, В37 (1984),
№2, 151—172 [85, 8В589]) — системы к цепей попарно без общих ре-
бер, соединяющие вершины выделенных к пар. Вопросом существо-
вания мультиграфа с заданными Г, s и 5 занимаются F.T. Boesch,
C.L. Suffel (JGrTh, 4 (1980), № 4, 363-370 [82, 1В787]; Networks,
12(1982), № 3, 341-350 [83, 3B515J).
Операция мулыпистягивания ребра и графа G = (X, U, состоит
в удалении этого ребра и отождествлении тех вершин х, у, которые
оно соединяло, с сохранением всех остальных ребер; при этом ребра,
соединявшие х и у с одной и той же вершиной z, становятся паралле-
льными, ребра, параллельные и, — петлями (рис. 2.7.4), а мультистя-
гивание петли означает ее удаление. Числом Хадвигера Т) (G) называ-
ется количество вершин наибольшей клики F^, в которую можно
превратить G с помощью мультистягиваний ребер и удалений эле-
ментов. В частном случае, когда
граф G обыкновенный, это число
совпадает с прежним (§ 1.3), хотя
при мультистягиваниях могут
возникать параллельные ребра
(строгое доказательство этого,
как и формальное определение
мультистягивания, предоставим
читателю).
Рис. 2.7.4
Глава 2. Связность
227
Пусть, как и в § 1.3, gj(G) означает число различных f-раскрасок
(мульти)графа G = (X, U, у/). Так как правильность раскраски требу-
ет, чтобы смежные вершины имели разные цвета, то при наличии у
G хотя бы одной петли gj (G) = 0 для всех i = 1, 2, ... . Обозначая через
G<u> граф, полученный из G мультистягиванием ребра и, мы мо-
жем утверждать, что
gi(G)=gi(G\u)-gi(G<u>),	(2)
ибо если и — не петля и не имеет параллельных ребер, то равенство
следует из соотношения типа#, (G')=gi (G'\Ju)+gi (G'<u>), вывод
которого (§ 1.4), очевидно, сохраняет силу и для мультиграфов; в
случае, когда и — петля, G \ и=G <и> и gi (G)=0, а при наличии реб-
ра, параллельного и, gi (G\u)=gi (G) и gj (G<u>)=0 из-за появле-
ния петли. Умножая равенства (2) на соответствующие обобщенные
степени х(0 формальной переменной х и суммируя по i, получаем
для инварианта Г(б)=Г(б, x)==£gi: (G)x('l рекуррентное соотно-
шение	»>1
f (G)=f (G\w)-f (G<w>),	(2')
которое вместе с начальными условиями gi (E„)=S(n, I) (числа
Стирлинга второго рода), т. е. Г(Еп)=хп, позволяют вычислить
многочленный инвариант Г (G), а значит, и Г (G), от любого мульти-
графа G (ср. с упражнениями 3 и 4 к § 1.4).
Теперь пусть Pjk (G) — количество тех суграфов в G, которые об-
ладают j ребрами и числом компонент к, а
P(G)=P(G; х, у) = ^Pjk(G)xkyj
j,k>0
— многочлен от двух формальных переменных. Легко видеть, что
Pjk (G)=Pjk (G\u)+Pj_lk (G<u>)
при любом ueU и что при всех /=0, 1, 2, ...
х fl, если к-п,
Pjk -। п 7
[О, если кФп.
228
Основы теории графов
Поэтому инвариант P(G) удовлетворяет рекуррентному соотно-
шению
P(G) = P(G\w) + yP(G<w>)
и начальным условиям Р(£„)=х” (n=0, 1, 2, ...)• Сопоставляя это с
соотношением (2') и начальным условием для Г, заключаем, что
f (G; x)=P(G; х, -1),
откуда
g,(G)= £(-!)''	(3)
j>0	к>0
Этот вывод соответствует работе: А. А. Зыков // ДАН СССР, 143 (1962),
№ 6, 1264—1267 [67, 1А231], но сама формуда (3) вытекает также из го-
раздо более ранних результатов Биркгофа, Льюиса, Уитни и Татта, по-
лученных другими способами (см., например, книгу Оре). О нахожде-
нии хроматического многочлена мультиграфа см. далее: М. Borowi-
ecki, Т. Jozwiak // Demonstr. Math., 14 (1981), № 2,361-370 [82, ЗВ593].
Примечание. Формулу (3) А.А. Зыков (Кибернетика, 1981,
№ 5, 132—133 [82, 4В554]) обобщает на гиперграфы и на неполные
раскраски вершин.
Упражнения и дополнения
1.	Доказать равносильность двух определений изоморфизма, приведенных
в тексте.
2.	Даны два графа G = (У, U, у) иС' = (2", U', у), где А' = Х' = {1,2, 3,4,5},
U={a, Ь, с, d, е, f, g, h}, U'=^ 0, у, 8, e, g, 17, в}; у (a)=24, у,	(c) = U
y(rf)=24, y(e) = li, y/(f) = 34, yf(g) = yf(h) = 45, y/'(x) = 12, ip'(/?)=2'3,y'(/)=3'5>
y’(5) = V''(£) = lX Y'(s) = fc, <//'(д)=21, у/'(в) = 4~5.
а)	Начертить эти графы и убедиться в том, что G - G'.
б)	Составить матрицы смежностей и инциденций этих графов и указать те
перестановки строк и столбцов, которые переводят А (6) в А (6') и В (6) в В (G').
3.	Пусть bik (G) — количество таких /-вершинных подграфов графа G = (У,
U, у/), для которых в G существует ровно к ребер, имеющих в подграфе только
по одной инцидентной вершине (это иголки — см. § 1.3, — а также петли); пусть,
далее, B(G)= ^bik — многочлен от формальных переменных х и г
i,k>0
(очевидно, инвариант).
Глава 2. Связность
229
а)	Построить два четырехвершинных мультиграфа G и G', таких что
G * G', но B(G) = B(G').
б)	Показать, что если для каждого /-элементного подмножества в X извест-
но число таких ребер, которые имеют в этом подмножестве ровно по одной ин-
цидентной вершине, то граф G этими данными определяется с точностью до пе-
рестановок параллельных ребер. О.Л. Бандман, В.П. Маркова ([80, 7В592;
81f#05126], Кибернетика, 1980, №4, 29-31 [80, 12В480]).
3'. Обыкновенные л-вершинные графы G = (Х, U)hG' = {Х', U') называют-
ся к-сходными, 2<к<п, если существует взаимно однозначное соответствие
X <-> X', при котором любой подграф в G, порожденный подмножеством вер-
шин Y <^Х с|У|=/с, и подграф в Gпорожденный подмножеством Y'сX' соот-
ветствующих вершин (УнУ', |У1=£), обладают одинаковым числом ребер.
Доказать, что для ^-сходных G и G':
если к~п, то m(G) = m(G');
если к = п-1, то Vx еX Ух'еХ' [х ч-> х' => 5 (G, х) = s (G', х')] и, следователь-
но, s(G) = s(G');
если /с=л-2, то G^G'.
В.Г. Визинг //Дискр. анализ и исслед. операций, 2 (1995), № 4, 3—12 [1996, 9В282].
Распространяются ли эти результаты на мультиграфы (без петель и общего
вида)?
4.	Даны матрицы смежностей двух графов:
	0	2	0	0	0	1		0	2	0	1	0	0
	2	0	1	0	1	0		2	0	1	0	1	0
	0	1	1	1	0	0		0	1	0	2	0	1
							, A(G') =						
	0	0	1	0	2	0		1	0	2	0	0	0
	0	1	0	2	0	1		0	1	0	0	1	1
	1	0	0	0	1	1		0	0	1	0	1	1
Составить для G и G' кортежи смежностей вершин и при помощи конструкции
Визинга (с удалением лишних вершин) выяснить, изоморфны ли эти графы.
5.	Перенести на мультиграфы теорему 2.2.2.
6.	Проделать упражнение 7 к § 2.2 для случая мультиграфов.
7.	Для мультиграфов, имеющих шарниры, вершинная гипотеза Улама
(§1.10) справедлива. J.A. Bondy // Pacif. J. Math., 31 (1969), №2, 281-288
[70, 11В233].
8.	Доказать, что для обыкновенных графов т (G)>^-^~—и оценка
точна. L.B. Shapely // RAND Report Р-2371, 1961.
9.	Доказать, что если в /-сплетенном мультиграфе G удаление ребра
uet/(x, у) не нарушает /-сплетаемости вершин х и у, то суграф G\u тоже явля-
ется /-сплетенным. А. Коциг // Casop. pSst. mat., 86(1961), №3, 288-307
[62, 2А301; 24ЯА1843].
230
Основы теории графов
10.	Мультиграф G =G (У, U, у/)	и без голых вершин явля-
ется /-сплетенным тогда и только тогда, когда для любого V czU с|И| = / и
любого И'с:Ис|И'|=2в(7 есть цикл (не обязательно простой), содержащий оба
ребра V\ но не содержащий ребер И\И'. D.R. Lick (см. теорему 2.5.4).
11.	Среди обыкновенных и-вершинных графов с вектором степеней
(.vj, ^2,...» 5Л) граф G, удовлетворяющий условию Г(G)>A>1, имеется в том и
п
только том случае, если все $j>k, а при к = 1 также ^5, >2 (п-1). J. Edmonds //
/=1
J. Res. Nat. Bur. Standards. Sect. В, Вб8(1964), № 2, 73-74 [65, 5А256].
12.	Распространить на мультиграфы определение 5-однородности и пока-
зать, что результат упражнения У к §2.4 остается в силе.
13.	В 4-однородном мультиграфе G не всегда есть 3-однородная часть, но
она появится, если к G добавить любое звено. N. Alon, S. Friedland, G. Kalai //
JCTh, B37 (1984), № 1, 92-93 [85, 7В676].
14.	Привести примеры мультиграфов и обыкновенных графов, для кото-
рых оба неравенства в (1) — строгие.
15.	Если обыкновенный и-вершинный граф G =(У, U) удовлетворяет усло-
вию Vx, уеХ [ху е U=> 5(х)+5 0>)>и-1], то l'(G) = l"(G) (=s(G)): L. Lesniak //
DM, 8 (1994), № 4, 351—354 [74, 12В345]. Другие достаточные условия равенства
/'=/": D.L. Goldsmith, R.C. Entringer // JGrTh, 3 (1979), № 3, 251-255 [80, 3B564];
В. Bollobk // DM, 28 (1979), № 3, 321-323 [80, 3B591 ]; J. Plesnik, S. Znam // Archiv
math., 25 (1989), № 1—2, 19—25 [90, 6B411] — обзор и обобщение; P. Dankelmann,
L. Volkmann // ARS Combinatoria, 40(1995), 270-278 [96, 4В318].
15'. а) В любом мультиграфе G есть пара 5 (GJ-сплетаемых вершин.
б)	Если w>(/-1)m-| и п<1, то в мультиграфе имеется /-сплетенный
подграф.	' '
в)	Если m>k(n-V)/2, то в G есть две вершины, соединимые к цепями
попарно без общих ребер, причем условие ослабить нельзя.
г)	Если G — не груда, то для любого ребра ху вершины х и у соединяются
к = min{5 (С), х),5(С, у)} цепями попарно без общих ребер (а надо ли здесь счи-
тать, что x*j?). W. Mader И Math. Ann., 191 (1971), № 1, 21-28 [71, 8В462],
Math. Z., 131 (1973), № 3, 223-231 [74, 1B340], Math. Ann., 205 (1973), № 1, 9-11
[74, 2В460].
(k\	*
д)	Если n = n(G)>k & m(G)>(k-V)n-\ I, то в мультиграфе G есть под-
граф H с Г(Н)>к9 в котором концы каждого ребра ^-неотделимы. G. Kalai //
Graphs and Comb., 1 (1985), № 1, 65-79 [86, 2В732].
16.	Пусть n = n (G), m = m (G), Г = /' (G) и мультиграф G критичен в том смыс-
ле, что удаление любого звена уменьшает /'. Тогда
(а)	л>3/'-2 => m</'-(/')2,
(б)	в каждом подграфе G' графа G есть вершина х с 5(G’, х)</' (G).
W. Mader // Math. Ann., 191 (см. предыдущее упражнение).
Глава 2. Связность
231
0<Z'(G)Z'(G)<
17.	Для обыкновенного л-вершинного графа G справедливы оценки типа
Нордхауза— Гаддума (см. упражнение 10 к §1.3):
\<l'(G)+l'(G)<n-\,
L(n - 1)/2_|-Г("- D/2] при л^О, 1, 2 (mod 4),
(л-3)(л+1)/4 при л=3 (mod 4),
причем все они достижимы; аналогичные утверждения справедливы и для инва-
рианта / вместо /'. Y. Alavi, J. Mitchem // Leet. Notes Math., 186(1971), 1—3
[71, 10В544].
18.	Даны граф G и целое / > 1; каково наименьшее число ребер, добавлением
которых к G можно получить /-сплетенный граф? Cai Guo-Ray, Sun Yu-Geng //
Networks, 19(1989), № 1, 151-172 [89, 8В305]. Обобщение: J. Bang-Jensen,
H.N. Gabow, T. Jordan, Z. Szigeti // SIAM J. Diskr. Math., 12 (1999), № 2,160-207
[00, ЗВ312].
19.	Дать определение графа смежности ребер L(G) для мультиграфа G и
исследовать возможности распространения теорем 1.10.1 и 1.10.2 в следующих
случаях:
(1)	G (а) не содержит петель, (6) содержит петли, причем петля (60 счита-
ется, (62) не считается смежной сама с собой;
(2)	при определении L (G) количество общих инцидентных вершин (1 или
2) пары смежных ребер (а) учитывается, (б) не учитывается.
19'. Утверждение, содержащееся в упражнении 8.14 книги Харари, неверно.
19". Независимо от выбора варианта (а) или (б) в пункте (2) упражнения 19,
5 (L (G))< Г (G)L(Z' (G) + 1)/2J => Z' (/ (G) < 5 (L (G)),
5(L (G))>7'(0 «/'(£) + 1)/2J => 7'(G) L(/'(G)+ 1)/2J<(/'Z(G)<5’(L (G)).
T. Zamfirescu // Math. Ann., 187(1970), № 4, 305-309 [71, 1В294].
20.	Пусть наряду с мультистягиванием допускается преобразование графа
в такой, из которого мультистягиванием звена получается исходный (эту неод-
нозначную операцию можно назвать мультирастягиванием). Назовем обобщен-
ным числом Хадвигера г] (Gy наибольшее такое к, что граф G можно превратить в
с помощью двух упомянутых операций и удалений элементов. Доказать сла-
бую гипотезу Хадвигера'. t)(G)>/(G). А.А. Зыков // ГГиДОЗ, 1982, 60—63
[82, 6В468]. См. также: Ryu Нае Dong, Bak Tia Bok // Math, and Phys., 1985, № 3,
30—33 [86, 6В737].
21.	Доказать, что многочлен Q (6) упражнения 10 к § 1.4 в случае мульти-
графов удовлетворяет соотношению
Q(G) = Q(G\x>)+x[Q(G<xy>)-Q(G\x)-Q(GV)+Q(G\{x, ^)]+^,(G)
и начальному условию Q(G0) = 0, где G<xy> — результат мультистягивания
звена ueU (х, у) в G, rxy (G) — количество звеньев, параллельных u, a Gq —
Основы теории графов
232
любой мультиграф без звеньев. Г.Э. Эргашев // Вопросы вычислит, и прикл.
матем. Ташкент, 5(1971), 42—46 [72, 1В590, 7В312], Труды Самарканд, ун-та,
244(1974), 83-88 [75, 5В519]; [46Я8903].
22.	Показать, что многочлен В (6) упражнения 3 удовлетворяет рекуррент-
ному соотношению
В (G) = В (G\и)- z [В (G\х) 4- В (G\ у)] + z2B (6 \{х, у})
(и е U, у/ (и) = ху) и начальным условиям
в(Е(5И2,...,^))=П(1+^),
1=1
где G\x (аналогично G\y) получается из G удалением вершины х и инцидент-
ных ей петель, с превращением звеньев вида xt (t *х) з петли при G\-{x, у}=
= (G\x)\y = (GVy)Vx; Е (?], ...» s^) — А:-вершинный граф без звеньев, с st пет-
лями при z-й вершине (/ = 1, 2, ..., к). Нгуен Ван Ло (Кишиневский семинар, май
1977 г.).
§	2.8. ЭЙЛЕРОВЫ ЦЕПИ И ЦИКЛЫ
Относительно любого понятия, введенного для обыкновенных
графов, можно в принципе поставить вопрос о переносе его на гра-
фы более общего вида. Однако излишняя скрупулезность здесь не
всегда полезна; например, не так уж трудно предвидеть, что попыт-
ка изложения теории гамильтоновых цепей и циклов для мульти-
графов едва ли приведет к каким-то новым открытиям1, зато навер-
няка усложнит формулировки известных результатов. Напротив,
теория эйлеровых цепей и циклов раскрывается наиболее полно
именно в классе мультиграфов.
Валентностью v (G, х) вершины х графа G = (X, U, у) называет-
ся количество инцидентных ей ребер при условии, что петли счита-
ются дважды:
v(G,x)= £ y)l + 2|t/(x, х)| = Z |l/(x,y)|+|(/(x, х)|;
;еХ\{х)	уеХ
образно: это число «усиков», которыми прикрепляются к вершине
инцидентные ребра. Ясно, что
1 Кроме результатов, относящихся к количествам гамильтоновых циклов (см., на-
пример, Я. Нинчак// Becui АН БССР, Сер. ф1з.-мат. н., 1975, № 2, 20—23 [75,9В316]).
Глава 2. Связность
233
^v{G,x)=2m{G).	(*)
хеХ
Как и прежде (см. упражнение 1 к § 2.1), эйлеровой цепью графа G
называем цепь, содержащую все его ребра, а если к тому же эта цепь
циклическая, то имеем эйлеров цикл. Широко известная из популяр-
ной и учебной литературы головоломка о прогулке по семи кёнигс-
бергским мостам формулируется теперь как задача
нахождения эйлерова цикла (по крайней мере од- / / х.
ного) в графе рис. 2.8.1, а ее отрицательное реше-
ние Л. Эйлером (Commentarii Acad. Petroletanae,	/
8(1736), 128—140; издание 1986 г. книги Кёнига),
по-видимому, можно считать первой печатной на- рис 2 g }
учной работой по не существовавшей тогда теории
графов. Как обычно бывает в подобных случаях, задачи такого рода
впоследствии стали возникать не только в связи с душеуспокоитель-
ными прогулками и занимательными головоломками на вычерчива-
ние фигур без отрыва карандаша от бумаги (упражнение 1). По
вполне понятной причине можно при изучении этих вопросов рас-
сматривать только связные графы.
ТЕОРЕМА 2.8.1 (Эйлера). Для существования в связном графе
G~(X, U, у/) с U *0 эйлерова цикла необходимо и достаточно, чтобы
валентности v (G, х) всех его вершин х были четными; в этом случае
все эйлеровы цепи графа G являются циклами. Для существования же в
G эйлеровой цепи, не являющейся циклом, необходимо и достаточно,
чтобы ровно две вершины х, у обладали нечетными валентностями; при
этом все эйлеровы цепи графа G будут иметь своими концами хи у.
Необходимость условий в обоих случаях очевидна: в каждую
вершину, отличную от х и у, эйлерова цепь должна войти столько
же раз, сколько выйти из нее, и в нециклическом случае выйти из х
на один раз больше, чем войти, а в у войти на один раз больше, чем
выйти. Известны сравнительно простые доказательства достаточно-
сти, однако мы изберем не самый легкий путь, имея целью одновре-
менно изложить изящный и практически эффективный алгоритм
Хоанг Туя (D6thihu’u hon va сас u’ng dung trong van tru hoc. Nha
Xua’t Ban Khoa Hoc, 1964. 142 ctp). При этом будем иметь в виду,
что для нахождения какой-нибудь простой цепи между двумя задан-
ными вершинами, а значит, и простого цикла, содержащего задан-
ное цикловое ребро, достаточно хорошие алгоритмы известны.
234
Основы теории графов
Итак, предполагая, что в связном G выполнено одно из условий
теоремы, опишем процедуру, которая, как будет затем доказано,
обязательно приводит к построению эйлерова цикла или эйлеровой
цепи. Удобнее начать со второго случая, когда в G имеются ровно
две вершины х и у нечетной валентности.
(0) Находим простую цепь Q из х в у и всем ее ребрам присваи-
ваем значок 0; переходим к п. (к) с fc = l.
(к) Пусть некоторым ребрам графа G уже присвоены значки
0, ..., к-\ тогда
(к)' если в G еще остались непомеченные ребра, то среди них вы-
бираем такое w, которое имеет общую инцидентную вершину хотя
бы с одним помеченным; в суграфе, образованном непомеченными
ребрами, находим простой цикл, содержащий и, и всем ребрам это-
го цикла присваиваем значок к\ переходим к п. (к), заменяя в нем
везде к на & + 1;
(к)" если в G все ребра уже помечены, то приступаем к построе-
нию цепи. За ее начальную вершину берем х. Пусть уже построе-
на цепь
x0«i*iW2x2	(I)
(/>0); в случае	процесс прекращаем, а в случае /<w(G)
среди ребер множества U\{u\, u2, •••> w/}, инцидентных вершине х/,
выбираем то, которому присвоен наибольший значок (если таких
ребер несколько, то берем любое из них), и образуем цепь
x0MiXiu2x2 ...х/_1ы/х/м/+1х/+1,
где w/+i — выбранное ребро, axi+1 такова, что Vх (м/+1) ~-х7-х/+1 (В03'
можен случай x/+i =х/, т. е. когда и/+) — петля). И т. д.
Докажем, что все этапы разметки ребер и построения цепи (/)
действительно осуществимы, а окончание процесса дает эйлерову
цепь.
В п. (0) цепь Q cyantctwjvr ввиду связности графа G.
В случае (к)' среди непомеченных ребер найдется (опять из-за
связности G) такое и, которое имеет общую инцидентную вершину с
каким-нибудь помеченным ребром. В суграфе G', образованном
непомеченными ребрами G, ребро и цикловое. Действительно, из
условия теоремы и из способа разметки следует, что все вершины
суграфа G' обладают четными валентностями; если допустить, что
Глава 2. Связность
235
и — перешеек в G', то в каждом из тех двух подграфов графа G',
которые соединяет этот перешеек, сумма валентностей вершин
будет нечетной (почему?) вопреки равенству (♦), примененному к
любому из этих подграфов.
Осталось показать, что в случае (к)" процесс построения цепи (/)
обрывается только при /=/и((7) и что тогда х/ =у. Мы докажем это
индукцией по величине к наибольшего из значков, присвоенных
ребрам графа G.
Для k=Q утверждение тривиально, ибо тогда весь G сводится к
одной простой цепи. Пусть оно уже доказано для любого графа G и
его вершин х, у, удовлетворяющих условию теоремы, если ребра G
размечены так, что наибольший значок равен к>0, и докажем его
справедливость в случае, когда наибольший значок есть к + 1.
Пусть G' — часть, полученная из G удалением ребер со значком
к + 1 и последующим удалением изолированных вершин. Граф G' со-
держит вершины х, у и связен, ибо в случае х <G') > 1 всегда можно
найти такое j<k, что ребра со значком j и ребра со значком j + 1
принадлежат разным компонентам, а это противоречит правилу
присвоения значков. Валентности вершин в G' удовлетворяют усло-
вию теоремы, поскольку оно выполнено для исходного графа G,
а удаление всех ребер простого цикла и удаление изолированных
вершин не меняют четности валентностей оставшихся вершин. Со-
гласно допущению индукции всякая цепь в размеченном графе G’,
построенная по вышеуказанным правилам, содержит все его ребра
и оканчивается в у.
Вернемся к рассмотрению цепи (/) при l=m(G) в исходном гра-
фе G. Так как к + Г>1, то ребра со значком £ + 1 образуют простой
цикл С, имеющий общую вершину с каким-нибудь ребром значка
<к. Поэтому цепь (/) в силу ее построения содержит все ребра С,
причем эти ребра при движении по цепи от х0 к х/ проходятся по-
дряд в порядке их расположения на цикле. Удаляя из (/) ребра С, по-
лучим цепь (/)', которая полностью присутствует в графе G' и по-
строена в нем с соблюдением всех правил, поэтому, как сказано вы-
ше, содержит все ребра G' и оканчивается в у. Но таким же свойст-
вом в исходном графе G обладает и цепь (/), поскольку ее можно по-
лучить из (/)' вставкой цикла С. Существование эйлеровой цепи до-
казано, а все остальные утверждения теоремы, относящиеся к этому
случаю, теперь очевидны.
236
Основы теории графов
Если в графе G валентности всех вершин четны, то в случае, ког-
да все ребра G — петли, он имеет лишь одну вершину (из-за связно-
сти), и ввиду U ^0 существование в нем эйлеровых циклов очевид-
но. Если же G обладает звеном и, то суграф G \ и и те его две верши-
ны х, у, для которых i//(u)=xy в G, удовлетворяют условию теоре-
мы для нециклического случая. Все эйлеровы цепи из х в у графа
G \ и вместе с ребром и образуют всевозможные эйлеровы циклы в G.
Теорема доказана.
«2(0)
«17(2)
Для иллюстрации алгоритма Хоанг Туя рассмотрим граф на
рис. 2.8.2, где уже указан один из вариантов разметки (значки ребер
стоят в скобках). Одной из эйлеровых цепей, соединяющих х с у,
будет
xuweuilcu5au3bu6du9yul3gui7eui4ful5fuJ6gu12du8cu7xuJau2bu4y.
Упражнения и дополнения
1. Выяснить, какие из следующих фигур можно нарисовать, не отрывая ка-
рандаша от бумаги и не проходя вторично по уже проведенной линии:
Глава 2. Связность
237
Как зависит решение от того, считаются ли вершинами графа те точки
пересечения линий, на которых не стоит кружок?
2.	В графе, который получается из графа рис. 2.8.2 добавлением ребра W|g
с 1/л (uig) = x>, найти по крайней мере два эйлеровых цикла, различающихся не
только выбором начальной вершины и направления обхода.
3.	Граф G называется произвольно вычерчиваемым из заданной его верши-
ны х0, если, выйдя из нее и соблюдая лишь одно правило: никогда не идти по
уже пройденному ребру, — мы неизбежно получим эйлеров цикл.
а)	Связный граф G произвольно вычерчиваем из х0 в том и только том слу-
чае, если валентности всех его вершин четны, а у подграфа G\xq дипломатиче-
ское число Л(6\хо) = О.
б)	Связный граф G произвольно вычерчиваем из
любой своей вершины тогда и только тогда, когда он '
имеет вид, показанный на рис. 2.8.3. О. Ore // Elem. • •	•	•
Math., 1951, № 3, 49-53 [MR12p845]; F. ВйЫег П	у j '
Math. Helv., 27 (1953), № 2, 81-100 [56, 3, 2042;
MR15p5O]; G.A. Dirac // Math, scand., 31 (1973), №2, Рис 2 8 3
319—378 [74, 1В357]. Другой критерий в а): Е. Sam-
pathkumar, V.N. Bhave // Math. Stud., 43 (1975/82), № 3-4, 428-430 [87, 5В707].
4.	T. Adelgren [95, 11B280; 96, 4B323-325] рассматривает такие эйлеровы
циклы, в которых никакие два последовательных ребра не принадлежат одно-
му треугольнику, a Cai Mao-cheng, Н. Fleischner (JGrTh, 19 (1995), № 2, 137—144
[96, 2В255]) — такие, которые проходят через выделенные ребра в заданном
порядке.
5.	Дана задача: в произвольном графе G = (Х, U, у) найти такую систему
цепей попарно без общих ребер, чтобы эти цепи в совокупности содержали все
ребра G и чтобы количество цепей в системе было наименьшим. Показать, ка-
ким образом эта задача сводится к нахождению эйлерова цикла в некотором
вспомогательном графе, построенном по G.
6.	Свести к нахождению эйлерова цикла в некотором вспомогательном
графе следующую задачу: обойти непрерывным движением все ребра данного
графа G, проходя каждое не более двух раз. Как можно минимизировать число
ребер, проходимых дважды?
7.	Пусть eul (6) — наибольшее число вершин эйлерова подграфа в графе
G=(X, U, у).
а)	Для любого натурального N существует такой связный граф G без пере-
шейков, что п (G) > Af• eul (G);
б)	eul (G\w)<eul(G) для любого ueU в том и только том случае, если G
эйлеров (быть может, с добавленной изолированной вершиной) и удаление всех
ребер любого цикла увеличивает число компонент графа. В. Zelinka // Czechosl.
Mat. J., 29(1979), № 4, 564-567 [80, 5B497; 81Ь#05076].
8.	Некоторые достаточные условия существования эйлерова суграфа в
заданном графе приводит Р. Paulraja [88, 7В626].
238
Основы теории графов
9.	Любой 2-связный мультиграф можно покрыть не более чем тремя эйле-
ровыми циклами. A. Itai, R.J. Lipton, Ch. Papadimitriou, M. Rodeh // SIAM J.
Comput., 10(1981), № 4, 746-750 [82, 4B580; 83d#68062],
10.	Все эйлеровы циклы графа получаются друг из друга изменением на-
правлений обхода входящих в них простых циклов. D.K.. Skilton // Leet. Notes
Math., 1073(1984), 228-235 [85, 2В704].
§2.9. РАСКРАСКИ РЕБЕР
Определение паросочетания как подмножества попарно несмеж-
ных ребер, данное в § 2.4 для обыкновенных графов, остается неиз-
менным и для мультиграфа без петель; распространение же его на
общий случай зависит от того, считать ли петлю смежной с самой
собой (см. упражнения 1 и 2), и мы специально заниматься этим не
будем.
Пусть G = (X, U, ф) — мультиграф без петель, который будем
также называть просто графом. Правильной раскраской ребер графа
G в q цветов называется разбиение
C/=1F1U^2U...U^,
где подмножества W] попарно не пересекаются и каждое из них об-
разует в G паросочетание. Образно говоря, W] состоит из ребер /-го
цвета, не соприкасающихся друг с другом. Наименьшее количество
цветов, при котором такая раскраска возможна, называется хрома-
тическим индексом /((7) графа G.
Раскраска ребер произвольного графа G сводится к раскраске
вершин графа £((?) специальной структуры (см. упражнение 19
к § 2.7 и теорему 1.10.1), однако проще и нагляднее вести изложение
в терминах самого G; а благодаря обстоятельству, на которое мы об-
ратим внимание в свое время, для хроматического индекса удалось
получить более точные оценки и более эффективные алгоритмы
нахождения, чем для хроматического числа. Введем следующие
обозначения:
s(x)=s(p, х) = £|С/ (х, у)| (степень вершины х),
уеХ
Глава 2. Связность
239
ввиду отсутствия в графе G = (Х9 U, у/) петель совпадает с опреде-
ленной в §2.8 валентностью v(G, х), а |С7 (х, х)| = 0, где U (х, у) —
множество ребер, соединяющих вершины х и у (§2.7);
Р(х, y)=pG (х, у) =|С/ (х, у)|,
P(x)=Pg (x)=maxp(x, у),
уеХ
p(G)=maxpG(x),
хеХ
Gp (G)=max {л (<7, х) + pG (х)} (число Гупты),
хеХ
r(x, y)=rG (х, y)=s(G, y)+pG (х, у).
Нижняя оценка хроматического индекса очевидна:
X(G)>s(G).
В отношении верхней оценки удобнее будет сначала сформулиро-
вать классические результаты Шеннона, Визинга и Гупты, а затем
доказать теорему, из которой непосредственно следуют эти резуль-
таты и могут получаться дальнейшие оценки.
ТЕОРЕМА 2.9.1 (С.Е. Shannon // J. Math, and Phys., 28(1949),
148—151 [MR10p728], также Кибернетический сборник № 1. М.: ИЛ,
1960 или: К. Шеннон. Работы по теории информации и кибернети-
ке. М.: ИЛ, 1963).
X(G)< p(G)
Оценка точна, так как достигается на графе w ребер
Шеннона (рис. 2.9.1), где
5=j((z) и f=[_s/2J.	t ребер\*\ (ребер
Привлечение дополнительного инварианта
/>((?) позволяет ее улучшить:	Рис. 2.9.1
240
Основы теории графов
ТЕОРЕМА 2.9.2 (В.Г. Визинг [65, 11А285; 31#4740]).
в частности, если G — обыкновенный граф, то % (G)<s(G) + l.
Этот результат затем был переоткрыт в усиленной форме:
ТЕОРЕМА 2.9.3 (R.P. Gupta // Notices Amer. Math. Soc.,
13(1966), №6).
/(G)«W)
(для обыкновенных графов совпадает с предыдущей оценкой).
Вопрос о достижимости оценок Визинга и Гупты будет рассмот-
рен позже.
Определение правильности раскраски ребер очевидным обра-
зом распространяется и на неполные раскраски — такие, при кото-
рых не обязательно все ребра окрашены. Основным инструментом
получения всех упомянутых результатов служит перекраска дву-
цветных цепей, позволяющая от одной правильной раскраски, если
она неполная, перейти к другой, с большим количеством окрашен-
ных ребер.
Пусть некоторые ребра графа G = (X, U, у/) правильно раскра-
шены цветами из множества М={1, 2, ..., q}; раскраска может быть
неполной, и не обязательно все цвета из М использованы. Пусть да-
лее а и р — какие-то два разных цвета из М. Простая цепь в G, ребра
которой попеременно имеют цвета аир, называется (а, РУцепъю;
такая цепь максимальна, если она не содержится строго ни в какой
(а, Д)-цепи. Очевидно,
(1) никакие две различные максимальные (а, рУцепи (с одной и той
же парой цветов а, Р) не могут иметь общих вершин;
(2) перекраска на максимальной (а, РУцепи всех ребер цвета а в
цвет Р и наоборот не нарушает правильности раскраски ребер всего
графа.
Граф G называется критическим, точнее, /-критическим, если
X (G) >5 (G) и х (G \ и) < х (G) для любого и 6 U; под напряженной рас-
краской такого графа G с х (G)=q понимается правильная раскраска
q-\ цветами всех его ребер, кроме одного (любого). Если w0
Глава 2. Связность
241
неокрашенное ребро с у/(иц)=а$Ь9 то пусть {а$9	..., ак} — неко-
торое множество вершин, смежных с Ь, а {щ, ик} — некоторое
множество ребер, такое что y/(uz) = az6, причем ребро имеет цвет
а,е{1, 2,	#-1} (/ = 1, к) и
Vze{I, k}Bje{0, 1,	i-1} [a^Miaj)],	(♦)
где M (х) означает подмножество тех цветов из {1,2,	1}, кото-
рые не использованы для окраски ребер, инцидентных вершине х;
всю эту систему вершин и ребер (рис. 2.9.2) вместе с цветами {az }
назовем веером, вращающим неокрашенное ребро. Процесс «враще-
ния» состоит в следующей перекраске, не нарушающей правильно-
сти всей раскраски G: отмываем ребро ик от краски ак и перекра-
шиваем в этот цвет одно из тех ребер Uj	для которых
ак еМ (aj) согласно (*); если j>0, то в прежний цвет а у ребра Uj
перекрашиваем ребро (/ <у), для которого а}- е М (а[), и т. д., пока
не дойдем до ребра ; «перекраска» последнего — просто окраска.
Следующие три леммы относятся к критическому графу с задан-
ной напряженной раскраской, используют введенные сейчас поня-
тия и обозначения и нужны лишь для доказательства теоремы 2.9.5;
поэтому в общую нумерацию теорем мы их не включаем.
ЛЕММА A. Vzg{0, 1, ..., к} [М{а^М(Z>)=0].
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим противное: имеется цвет
Р е М (а1) П М (Ь) при некотором iе {0, 1, ..., к}. Используя веер с
k^i, вращающий неокрашенное, ребро, добьемся того, чтобы не-
окрашенным оказалось вместо и0 ребро uz, а затем окрасим послед-
нее цветом р. Получится правильная раскраска q- \ цветами всех
ребер графа G, вопреки тому, что /(G) = q.
ЛЕММА Б. Если аеМ(ак), реМ(Ь), то максимальная
(J3, аУцепъ Q, начинающаяся в ак, обязательно оканчивается в верши-
не Ь, притом по ребру цвета а.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Цепь Q не может окончиться в Ь ребром
цвета Р, ибо РеМ(Ь)\ поэтому достаточно привести к противо-
речию предположение о том, что Q оканчивается в некоторой
вершине с*Ь.
242	Основы теории графов	; j
Случай 1: с^{ай, аь а^}. Перекрасим на цепи Q ребра ]
цвета а в цвет /3 и наоборот; этот процесс не затронет ребер, инци-
дентных вершине Ь, и не изменит множеств М (а,) (даже если цепь Q
проходит через какие-то из вершин а,), ввиду чего веер, вращаю-
щий неокрашенное ребро, сохранит это свойство и лемма А оста-
нется в силе. Но после перекраски получим напряженную раскраску
G, при которой fie М(Ь) вопреки лемме А.
Случай 2: c=aj, где 0< j<k. Последнее ребро цепи Q имеет
цвет Р — иначе ввиду максимальности Q было бы fteM(aj ), что
вместе с реМ(Ь) противоречит лемме А. Перекрашивая на Q ребра
цвета а в цвет /3 и наоборот, получим напряженную раскраску
графа G, при которой реМ(а};)Г\М (Ь), а это невозможно по
той же причине, что и в случае 1.
ЛЕММА В. Vi, jg{0, 1, ..., к} [i*j => Af (a,)C|Af (ау )=0].
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим противное: для каких-то i * j из
множества {0, 1, ...,к} существует цвет 8еМ(а1;)ПМ(а}). Выберем
цвет р&М{Ьу. он есть, поскольку q>s(G) и вершине b инцидентно
неокрашенное ребро и0. Из леммы А следует, что /3*<5. Максималь-
ные (Р, <5)-цепи, начинающиеся в вершинах а,- и , по лемме Б окан-
чиваются обе в вершине b ребром цвета 8 и поэтому не составляют
одну цепь. Но две максимальные (Р, <5)-цепи не могут иметь общих
вершин.
Нам понадобится еще арифметическая
ЛЕММА 2.9.4. Если целые числа п\, П2, пт, т>2 таковы,
что П] >»2	>0, то |_”i+ ”2 + v.-.t.'1'»!—- +	J.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как левая часть < ^Л|+	+ 1J =
= п2 ~ + 1J’ а	= +|_Л1у-_|» то достаточно
показать, что
где т>2 и >и2 >0; предоставим это читателю.
Глава 2. Связность
243
ТЕОРЕМА 2.9.5 (М.К. Гольдберг // Тезисы докл. III Всес. конф,
по проблемам теорет. киберн., 1974, 124—125 [75, 1В530], Вычисл.
математика и вычисл. техника. Харьков, 5 (1974), 128—130 [7В426]).
Пусть у0, Ji, ..., yi — все вершины, смежные с вершиной х графа
G-(X, U, у), причем
г(х, Уо)>г(х, у})>...>г(х, yi).
Тогда
X ((z) < mini '(*>*»+г(х, у,) I
xeXl- 2 -I
(**)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Удаляя из G ребра, по-
ка это возможно без изменения хроматического
индекса, превратим данный граф G в критиче-
ский. Так как при этом правая часть доказывае-
мого неравенства может только уменьшиться, то
будем без нарушения общности предполагать
критическим сам исходный граф G. Выбрав в
нем произвольно ребро с концами а0 и Ь, рас-
смотрим какую-нибудь напряженную раскраску, при которой uq не
окрашено, и построим непродолжаемый веер, вращающий неокра-
шенное ребро «вокруг вершины Ь» (рис. 2.9.2), следующим образом.
Из того, что % (G) = q >s(G) и ребро не окрашено, легко выво-
дится существование такого ребра iq, которое соединяет вершину b
с некоторой О) и цвет которого cq g М (а0). Если ни одно ребро,
инцидентное Ь, не обладает цветом из множества М (а0) U М (tq), то
построенный веер с к = 1 искомый; в противном случае добавляем к
нему такое ребро «2, которое соединяет b с некоторой вершиной
а2 ё{яо> а\}> и полученный веер с к = 2 опять пытаемся продолжить
и т. д. пока возможно. Пусть А={а$, а15 ..., а^} — множество всех
отличных от b вершин построенного непродолжаемого веера, вра-
щающего неокрашенное ребро.
По лемме В множества М (ai) (i = 0, 1, ..., к) попарно не пересека-
к
ются, так что
к
U М (al) = £ \М (az)|. С другой стороны, в силу не-
/=0
/=0
к
продолжаемости веера, в каждый из цветов множества U M(az)
/=о
окрашено какое-нибудь ребро, соединяющее b с вершиной из Л;
244
Основы теории графов
поэтому (с учетом неокрашенное™ ребра ug)
к	к	к	к
Ъ\М(а,)\ <	а,) - 1 = £r(b, at) - £5(а() - 1,
i=0
1=0
1=0
/=0
откуда
f(|A/(a,)| +5(□,))<
1=0	1=0
Но
. 1	, ч (q-1 при i*0,
|A/(fli)| + 5(а,) = <	.
при г = 0;
следовательно,
£г(*,в,)-2
;---+ 1
к + 1
<
к
(к +1)(?-1) +1< 2,г(Ь,а{)-1. Отсюда?*
1=0
apj по лемме 2.9.4, где пг=к + 1, а вершины у0, у^ е А
соответствуют двум наибольшим значениям г (Ь, а,). Ввиду произволь-
ности выбора ребра w0, а значит и вершины Ь, имеем %(G)=q <
<min r r fe-A? (вершины y0 и у у — свои для каждой х).
хеХ I— * 2 -J
Теорема доказана.
Вывод теоремы Шеннона:
/((?)<mini
хеХ L- 2
<max| | =
хеХ L 2 J
'max. Уо)+Г(хтах> J (Уо) + Р (^тах’ Ур) + frl) + Р (^т.х> У|) J <
<-|_5(Уо) + 5О'1)+5 (^max) J <
35(G)
2
Вывод теоремы Гупты:
% (G) < шах |_г(х’ Уо)+ r^x’	= |_r (*max’ *+ г (Хтах' -И|) J <
< тахг(хтах, у) = rnax{s(y)+max{.s(>)+p(xmax, у)} <
уеХ	уеХ уеХ
< max {5 (у)+р (у)} = Gp(G).
уеХ
Гпава 2. Связность
245
Вывод теоремы Визинга:
% (G) < max {j (у)+р (у)} < max 5 (у)+max р (у) = j (G)+р (G).
уеХ	уеХ уеХ
Следующий пример (Е.Г. Ганебная — Кишиневский семинар,
март 1979 г.) показывает, что теорема 2.9.5 на самом деле сильнее
всех трех классических: для хроматического
рис. 2.9.3 теоремы 2.9.1, 2.9.2 и 2.9.3 дают верх-
ние оценки соответственно 7, 8 и 8,1 а теорема
2.9.5 — оценку 5, т. е. в данном случае точное
значение, поскольку в G есть вершина такой сте-
пени; одна из раскрасок ребер G пятью цветами
показана на рисунке. Но и оценка (**) в общем
случае не точна, как непосредственно вытекает
из нижеследующей теоремы (заодно доказываю-
щей точность нижней оценки /(G)>j(G)). Улучшенные оценки:
M.J. Plantholt, Sh. Tipnis // J. London Math. Soc., 44(1991), № 3,
393-400 [93, 1B567]; S.L. Hakimi, E.F. Schmeichel // JGrTh, 32 (1999),
№ 4, 311-326 [00, 10В273].
ТЕОРЕМА 2.9.6. Если y(G) = 2, mo %(G)=i(G).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (В.Г. Визинг // Кибернетика, 1965, № 3,
29—39 [66, 2A355]). Пусть с помощью цветов 1, 2, ..., j=i(G) прави-
льно окрашено наибольшее возможное количество ребер графа
G=(X, U, у/), и пусть аналогично предыдущему М(х)с {1, 2, ..., 5}
означает множество тех цветов, которые не использованы при окра-
ске ребер, инцидентных вершине х. Если и — неокрашенное ребро и
yi{u)=ab, то М{а) и М (Ь) не пусты (почему?). В случае
М (с) П М (Ь) *0 можно было бы окрасить ребро и в цвет, принадле-
жащий этому пересечению, вопреки максимальности числа окра-
шенных ребер; поэтому М(a)QJlf (Ь)=0. Пусть аеМ(a), fl&M(ft)
(а*Д). Вершины а и ft не могут соединяться (а, Д)-цепью, ибо по-
следняя вместе с ребром и образовала бы цикл нечетной длины, что
1 Кстати, это «не слишком типичный» случай, когда оценки Визинга и Гупты хуже
оценки Шеннона (см. упражнение 8). Противоположным примером служат обыкно-
венные графы.
246
Основы теории графов
ввиду у (G)=2 невозможно по теореме 2.1.2. Перекрасив на максима-
льной (а, /?)-цепи, начинающейся в а, ребра цвета 0 в цвет а и нао-
борот, мы сможем затем придать ребру и цвет 0 в противоречии с
максимальностью числа окрашенных ребер.
СЛЕДСТВИЕ. Если у (G) = 2, то в графе G существует паросоче-
тание, охватывающее все вершины наибольшей степени.
Алгоритмы раскраски ребер для двудольных мультиграфов
предлагают H.N. Gabow, О. Kariv (SIAM J. Comput., 11 (1982), № 1,
117—129 [82, 10B514; 83g#68098]), а приближенный алгоритм для
любых графов — О. Terada, Т. Nishizeki (Trans Inst. Electron, and Co-
mun. Eng. Jap., 65(1982), № 11 [83, 6B552]).
ТЕОРЕМА 2.9.7. В классе обыкновенных графов G с s=s(G)>2
оценка /(G)<5 + 1 точна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что при s=2k равенство дости-
гается на клике FJ+1, а при 5=2k +1 — на графе F, полученном из Fs+ ]
делением пополам одного из ребер новой вершиной.
1) Пусть s = 2k>2. Так как при правильной раскраске рёбра од-
ного цвета образуют паросочетание, а оно в графе F2k+\ не может
содержать более к ребер, то с помощью s цветов окрашивается не
более чем ks = 2k2 ребер, в то время как "1(^2Л+1) = ^2+>2&2.
2) Пусть 5=2& + 1>3. Так как и (F) =2^+3, то никакое паросоче-
тание графа F не может содержать более к + 1 ребер; поэтому с по-
мощью 5 цветов окрашивается не более чем (к +1) 5=(к +1) (2к +1)
ребер, в то время как m(F)=(2*2+2^ + l = (fc + l)(2fc + l) + l.
ТЕОРЕМА 2.9.8. Если к>1, то % (F2k) = 2k-1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть F2k = ({хь ...,	х2к)> U)- Под-
граф F2k-\ =F2k \х2к удовлетворяет условию s(F2k_\)=2k-2, поэ-
тому все его ребра можно правильно раскрасить цветами 1, 2, ...,
2&-1, и мы это осуществим. С одной стороны, каждая вершина х(
графа F2k_\ инцидентна ровно 2к-2его ребрам, поэтому\М(х, )| = 1;
пусть М(Х|)={«,}, (Ка, <2£-1, /=1, 2, ..., 2к-1. С другой стороны,
множество всех ребер цвета а( образует паросочетание, и в графе
^2Л-1 ввиду нечетности числа вершин заведомо найдется такая х,-,
Глава 2. Связность
247
что М (х1)={а|); значит,
26-1
U M(xj)
1=1
= 2А:-1. Отсюда и из равенств
\М(Х|)| = 1 0 = 1, 2, 2&-1) следует, что цвета cq, а2, , «26-1 все
различны. Для получения требуемой раскраски ребер исходного
графа Fzk остается окрасить каждое ребро х^х^^ в соответствую-
щий цвет cq.
Из теорем 2.9.7 и 2.9.8 непосредственно вытекают
СЛЕДСТВИЕ 1.
Х(^) =
i(Fn) = n-l
* (Л.)+1=и
при п четном,
при п нечетном
(это можно получить также из соображений, применяемых при
составлении таблиц Бергера для определения очередности игр в
турнирах) и
СЛЕДСТВИЕ 2. Если G — обыкновенный граф, то
X(G)<
n(G)-\
»(G)
при n(G) четном,
при n(G) нечетном.
Отметим, что доказательства всех рассмотренных утверждений
о раскраске ребер даже при внешнем оформлении «от противного»
носят конструктивный характер. Соответствующие алгоритмы,
основанные на нахождении степеней вершин и мощностей пучков
параллельных ребер, на поисках и перекрасках двуцветных цепей и
вращающих вееров в графе, не требуют слишком большого числа
операций и практически вполне эффективны. Основная причина —
в том, что максимальные (а, Д)-цепи не могут ветвиться (свойст-
во (1)). При раскраске же вершин, напротив, подграф графа с рас-
крашенными вершинами, порожденный вершинами двух цветов,
в общем случае имеет сложную структуру, а относительная просто-
та доказательства теоремы Брукса в упражнении 25 к § 2.2 обуслов-
лена как раз тем, что при сделанных там предположениях о графе G
и раскраске его вершин «двуцветные подграфы» оказываются про-
стыми цепями. Другой подход к доказательству теорем о раскраске
ребер, основанный главным образом на мощностных соображени-
ях, а не на перекрасках цепей, предлагают A. Ehrenfeucht, V. Faber,
248
Основы теории графов
Н.А. Kierstead И DM, 52(1984), № 2-3, 159-164 [85, 5В548]. Еще
один подход: С. Berge, J.С. Fournier // JGrTh, 15(1991), № 3,
333-336 [92, ЗВ467].
Благодаря теореме 2.9.2 для случая /? = 1, все обыкновенные
графы распределяются по двум классам: Lq = {G\ х (G)=5*(G)} и
1^2 ={G\ х (G)=s(G) + l}. Удобных критериев и алгоритмов для рас-
познавания, какому из них принадлежит граф, пока нет, получен
лишь ряд признаков: см. х~классы обыкновенных графов [УС].
В случае произвольного р > 1 сюда примыкают исследования тако-
го характера: если теорема 2.9.6 влечет существование в графе
класса Ь2 простого цикла нечетной длины, то результаты
М.К. Гольдберга (Управляемые системы. Новосибирск, 1971,
45-47 [73, 5В500]; [50#6907]; [58#27643]) говорят, в частности, о
том, что в мультиграфе с хроматическим индексом, близким к
наибольшему, есть «достаточно короткие» циклы нечетной длины.
Дальнейшие результаты по раскраске ребер критических (в разных
смыслах) графов (включая мультиграфы) см. в [УС].
Пример В.Г. Визинга в упражнении 11 выявляет немаловажное
обстоятельство, из-за которого количество различных раскрасок
ребер графа в действительности больше, чем можно было бы ожи-
дать на основании перекрасок двуцветных цепей; противополож-
ный случай графов с единственной раскраской ребер [УС] см. в
упражнении 12.
В заключение упомянем о тотальных раскрасках, при которых
окрашиваются как вершины, так и ребра, а правильность означает,
что никакие два смежных или инцидентных элемента не должны
иметь одинаковый цвет. Для наименьшего числа т (G) цветов при
такой раскраске всех элементов графа G В.Г. Визинг (УМН,
23 (1968), № 6, 117-134 [69, 7В196]) и М. Behzad [71, 9В379] выдвину-
ли гипотезу:
r(G)<j(G)+p(G) + l,
которая пока подтверждена лишь частично: см. тотальное хрома-
тическое число [УС].
Глава 2. Связность
249
Упражнения и дополнения
1.	Пусть G-{X, U, у/) — мультиграф общего вида; л (G) — наибольшее
количество ребер, попарно не имеющих инцидентных вершин, причем петля
считается несмежной сама с собой; t(G) — наименьшее число ребер такого
суграфа, все голые вершины которого являются голыми и в G; п$ (G) — число
голых вершин, (G) — число изолированных неголых вершин, и0 (G) — число
всех таких вершин, при которых есть хотя бы одна петля. Доказать, что
п (G) - Ло (G) + «о (С) < п (G)+ 1 (G)< п (G) -”0 (G) + «° (р)-
Т. Gallai (для обыкновенных графов), А.А. Зыков (в общем случае); книга Зы-
кова.
2.	Пусть G = (У, U, у) — мультиграф общего вида, причем петля не счита-
ется смежной сама с собой, а суграф G' получен из G удалением всех петель. По-
казать, что % (G) - % (&) ч-1 max {5 (G, х) - х (G') +1 s (G, х) - х (G')1}» гДе 5 (G, х) “*
2 хеХ
количество ребер, инцидентных вершине х (считая каждую петлю один раз)
в G.
3.	Если для мультиграфа G без петель х (G)=|_3s (G)/2J, то в G есть под-
граф Шеннона. В.Г. Визинг // Кибернетика, 1965, № 3, 29—39 [66, 2А355].
3'	. Пусть s-s(G) и граф G не содержит подграфов Шеннона; тогда
a)	Z (G)< 3^^JJ. FiamCik, Е. JucoviC // Archiv. Math., 21 (1970)
№4, 446-448 [71, 4B406];
б)	если с и d — целые числа, с >4, a d четно или не превосходит 2с, то
Z(G)<[JjJ -[_£]: Ju. Bos&k // Czechosl. Mat., J., 22(1972), № 2, 272-290
[72, 12В207]. Привести примеры графов, для которых оценки в а) и б) лучше
шенноновской.
4.	Найти хроматический индекс x(Kp,q) полного двудольного графа.
5.	Доказать лемму, на которую опираются первоначальные доказательства
теорем Шеннона и Визинга: пусть некоторые ребра мультиграфа G = (X, U, у)
без петель, с |Х| > 3 и |[7| >2, правильно раскрашены, причем использовано
<7 >2 цветов, а три различные вершины xb х2, Х3 и два различных цвета
а,Ре{1, 2, ..., q} таковы, что Vzg{1, 2, 3}[aeM(x/)v)3 еЛ/(х;)]. Тогда по край-
ней мере одна из вершин xb х2, Х3 не соединена (&, Д)-цепью ни с какой из двух
остальных.
6.	Воспроизвести оригинальное доказательство теоремы 2.9.1 по следую-
щей схеме. Пусть G = (Х, U, у) — мультиграф без петель и с помощью q sj
цветов, где s = s(G), правильно окрашено наибольшее возможное количество
его ребер. Допустим, что при этом некоторое ребро и су (и) = ху осталось нео-
крашенным. Тогда
250
Основы теории графов
(1)	9=UjJ-
(2)	Л/(х)ПЛ/(у) = 0.
(3)	Если М (x)={cq, а2, то вершина у инцидентна ребрам ц, и2,
и/, окрашенным соответственно в эти цвета и не инцидентным х. Пусть
V(ui)=yzi (!<<</; некоторые из z, могут совпадать друг с другом).
(4)	М(zi)ClAf(y) = 0 0 = 1, 2,	/).
(5)	| U Л/О,)|ПЛ/(х)^0.
V=1	)
(6)	Пусть ajg М 0 /) П М (х), р е М (у). Применяя к тройке вершин х, yt z j
и паре цветов ау, р лемму Шеннона из упражнения 5, можно во всех случаях
(их три) так перекрасить ребра, чтобы для G получилась правильная раскраска
q цветами с большим, чем первоначально, количеством окрашенных ребер.
7.	Воспроизводить оригинальное доказательство теоремы 2.9.2 не имеет
смысла, поскольку основные его идеи (включая понятие веера, вращающего
неокрашенное ребро) использованы в доказательствах лемм А, Б, В и теоремы
2.9.5. Зато полезно следующее упражнение.
Хотя теорема Визинга и не является непосредственным обобщением тео-
ремы Шеннона, последнюю можно вывести из нее по следующей схеме. Пусть
G=(X, U, у/) — мультиграф без петель, для которого % = % (^)>|_| 5J > гДе
5=5’ (G). Не нарушая общности, можно считать G критическим (в каком
смысле?) и Z=|_^5j + 1. Тогда:
(1)	В G есть такие вершины х *у, что р (х, д>) > 5J +1; пусть 1/ (и) = ху.
(2)	Суграф G\u допускает правильную раскраску всех ребер цвета-
ми; при этом на окраску ребер, инцидентных по крайней мере одной из вершин
х, у, уйдет меньше цветов.
(3)	вопреки предположению.
8.	Выяснить, при каких 5(G) и р (G) для мультиграфа G без петель оценки
Визинга и Гупты лучше оценки Шеннона.
9.	Если G е L] — связный 5-однородный граф с четным числом ребер, то
Z(L(G))=25-2. F. Jaeger // DM, 9(1974), № 2, 161-172 [75, 2В511].
10.	а) Если х (G)=i(G)+ р (G) и /? = p(G)>l, то мультиграф G содержит
часть F2p.
б)	Если x(G)>s(G) + k и p(G)+\<2k, то G содержит часть
в)	Если p(G)<2 и G не содержит частей типа Г4, то %(G)<5(G)+1.
Н.А. Kierstead // JCTh, В36(1984), № 2, 156-160 [85, ЗВ465].
11.	На рис. 2.9.4 даны две правильные раскраски ребер одного и того же
графа G посредством % (G) = 4 цветов. Показать, что с помощью только пере-
красок максимальных двуцветных цепей эти раскраски не переводятся друг в
друга. См. также: U. Baumann, М. Lesch [87, ЗВ461] и М. Lesch [87, 5В660].
Глава 2. Связность
251
Рис. 2.9.4
12.	а) Если ^-раскраска ребер обыкновенного графа G единственна (с точ-
ностью до переименования цветов, см. определение количеств раскрасок вер-
шин в §1.3) и к>4, то G^Vk\
6)	3-однородный граф, обладающий ровно тремя гамильтоновыми цикла-
ми, не всегда однозначно реберно раскрашиваем. A. Thomason // Adv. Graph
Theory. Amsterdam e.a., 1978, 259-268 [79, 3B589], JGrTh, 6 (1982), № 2, 219-221
[82, 12В632].
13.	Для инвариантов % и т справедливы следующие оценки типа Норд-
хауза—Гаддума.
а)	Если G — обыкновенный и-вершинный граф, то
2[_^J-1 < z(G) + z(Gj<n + 2(UJ-l),
O<Z(G) Z(G)<(«-2)(2|_^J - 1);
оценки достижимы. Y. Alavi, М. Behzad // SIAM J. Appl. Math., 20 (1971), № 2,
161-163 [71, 9В380].
6)	Для мультиграфа G с n = n(p) и p =
(n-\)p<X(G)+x(G)<(2n-\)p, 0<z(G) z(G)<(/i-l)2p2,
а при л>3 нечетном даже
np<X(G)+x(G)<(2n-3)p, 0<X(G) %(G)<(n-l)(n-2)p2.
Ю.Ш. Шарипов //Труды Самарканд, ун-та, 191 (1970), 217-219 [72, 2В365].
в)	п + 1<т (G) + т (G )<4|_fJ + 2, 2[JJ + 1<t(G)t (G)<(2|jJ +1)2;
при нечетных и все оценки достижимы. R.J. Cook // SIAM J. Appl. Math.,
27(1974), № 4, 626-628 [75, 5В518].
ГЛАВА 3
ЦИКЛОМАТИКА
§ 3.1. КАРКАСЫ И РАЗРЕЗЫ
На протяжении всей этой главы мы понимаем граф G (X, U, у/)
в смысле определения § 2.7, т. е. как мультиграф, если только не ого-
ворено противное. Всякий его суграф Т, удовлетворяющий условиям
/и(Г)=/и((г)-Л((7),	Я(Т)=0	(*)
(из которых любые два влекут оставшееся в силу равенства
и(Г)=л((7) и определения цикломатического числа Л, см. §2.3), на-
зывается каркасом графа G; термин оправдан смыслом этого сугра-
фа, вытекающим из второго и третье-
го равенств в (*): каждая компонента
у Т — дерево, соединяющее все вер-
шины соответствующей компоненты
графа G. В графе рис. 3.1.1 ребра од-
ного из каркасов изображены жирны-
ми линиями. Существование хотя бы
одного каркаса у любого графа мы
Рис. 3.1.1	докажем сразу в усиленной форме.
ТЕОРЕМА 3.1.1 (A. Kotzig//Math.-fyz. сасор., 6(1956), № 2,
68—77 [59, 2, 1306; MR18p408]). Пусть G' — произвольный суграф гра-
фа G, не имеющий циклов. Тогда у G есть по крайней мере один кар-
кас, содержащий все ребра G'.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В случае, когда данный граф G не содер-
жит циклов, он сам и есть искомый каркас: при Т=G или
Л(С) = 0 условия (*) выполнены тривиальным образом. Если же
A (G) > 0, то в G найдется цикловое ребро, не принадлежащее суграфу
G' (иначе последний имел бы циклы), и удаление этого ребра из G
снизит цикломатическое число Л на 1, не изменив количества
Глава 3. Цикломатика
253
компонент ж; если в полученном суграфе еще есть циклы, то опять
можно удалить цикловое ребро, не принадлежащее G', и т. д. После
A(G) таких шагов мы превратим G в искомый каркас Т.
В частности, за G' можно взять безреберный суграф. Удобный
алгоритм нахождения какого-либо каркаса графа G предложили
Г.Ф. Степанец и Г.Э. Влэдуц (Ж. вычислит, мат. и матем. физики,
3(1963), № 3, 583-586 [64, 6ВЗО2; 27#1935]), а методы порождения
всех каркасов без повторений — K.R. Krishnan, В.A. Shenoi [71,
1В313] и J. Wojciechowski // J. Franklin inst., 318 (1984), № 4, 215-231
[85, 5В564]. Как показал J. Sedlacek (Matem. casopis, 24(1974), № 4,
307—314 [54# 175]), связный граф изоморфно определяется набором
всех своих каркасов (заданных независимо друг от друга).
Пусть в графе G = (X, U, у) выделен какой-то каркас Т = (Х, К),
КсС7; заметим, что такая запись каркаса (без уг) вполне законна,
поскольку он является обыкновенным графом. Ребра множества
U \ V называются хордами каркаса Т в графе G; их количество в силу
(♦) равно Л (G). Так как каждая компонента у Т — дерево, а хорды
не могут соединять эти компоненты друг с другом (почему?), то из
теоремы 2.3.5 непосредственно вытекает
ТЕОРЕМА 3.1.2. Каковы бы ни были каркас Т графа G и хорда и
этого каркаса, в G существует цикл, содержащий и и не содержащий
других хорд каркаса Т, причем это цикл простой и единственный.
Подмножество U' с U ребер графа G = (X, U, у/) называется его
разрезом, если ^(G\C7')>a?(G); в частности, множество всех звеньев,
инцидентных неизолированной вершине х, образует разрез, называ-
емый центральным с центром х. Разрез U' простой, если никакое его
строгое подмножество U" cz U' уже не является для G разрезом1.
Удаление простого разреза из графа G приводит к распадению ров-
но одной его компоненты, притом ровно на две (почему?). Нижесле-
дующая теорема о разрезах сходна с теоремой 3.2.1 о циклах.
1 Простой разрез, очевидно, заслуживает названия «минимальный», но с таким же
успехом можно и простой цикл именовать минимальным циклом за аналогичное
свойство: из строгого подмножества его ребер уже невозможно составить ни одного
цикла. (Другие характеризации простого цикла: Е. Sampathkumar // Math. Stud.,
61 (1992), № 1-4, 238-246 [95, ЗВ264].)
254
Основы теории графов
S’ \	s'" X ТЕОРЕМА 3.1.3. Каковы бы ни
( J f A Р \ были каркас Т графа G и ребро v
U'i I J	J этого каркаса, существует единст-
'Х'х'Ч. /	/ венный такой простой разрез графа
ус /	Т" G, который содержит v и не содер-
жит других ребер Т.
/|	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть
|	Ф =(-^ь Vх) — компоненты гра-
\ fs'yy» ( Г* ) фа G, а Т( = (Х(-, И() — соответству-
~~	ющие компоненты его каркаса Т
Рис.3.1.2	0=1. 2, ..., ж=ж(б)>1). Если veVf,
то обозначим через Т-=(Х',, И/) и
Т"=(Х", V”) те два дерева, на которые распадается дерево Т( после
удаления ребра и, а через (7' — множество ребер графа G, соединяв-
ших в Gj вершины X'i с вершинами X" (рис. 3.1.2); в частности,
иеб-.
Очевидно, 17 j — простой разрез графа G. Но все другие его раз-
резы, составленные ребром и и какими-то хордами каркаса Т, дол-
жны содержать множество C7J , ибо удаление из G любых хорд кар-
каса Т не разбивает ни одну из компонент (7], (72, ..., Gx, а удале-
ние хорд вместе с ребром v может привести только к распадению
компоненты G,, причем лишь в случае, если наряду с v будут удале-
ны и все остальные ребра, соединяющие Х\ с X”, т. е. будет удалено
всё множество £/{•. Значит, это единственный разрез, обладающий
требуемыми свойствами.
ТЕОРЕМА 3.1.4. Любой цикл и любой простой разрез графа
имеют четное число (возможно, нуль) общих ребер.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть U' — простой разрез, а<7,-=(Х,-,
l/f, ф) — та компонента графа G = (X, U, ф), которая после удале-
ния U' распадается на две: (Х'{, U\, ф)п(Х", U", ф). Пусть далееС —
произвольный цикл в G. Так как разрез U' простой, то пара после-
довательных вершин на С соединена ребром из U' тогда и только
тогда, когда одна из этих вершин принадлежит Х[, а другая X"; но
таких пар вершин на С четное число, ибо при полном обходе цикла
мы попадаем из Х', в X” столько же раз, сколько из Х"в X- (в част-
ности, это число пар — нуль, если хотя бы одно из множеств Х{, X"
совсем не содержит вершин цикла 0.
Глава 3. Цикломатика
255
Замечание. В теореме 3.1.4 цикл не предполагается про-
стым; напротив, требование простоты разреза существенно: в гра-
фе С4 любые три ребра образуют разрез, имеющий три общих реб-
ра с единственным (притом простым) циклом.
Системой простых циклов графа G = (Х, U, у/) называется множе-
ство C = C(G), элементами которого служат множества ребер всевоз-
можных простых циклов в G. Аналогично определяется система
простых разрезов R = R (G) графа G. Количество | С (<7)| всех простых
циклов (рассматриваемых с точностью до выбора начальной верши-
ны и направления обхода) и |R (G)| всех простых разрезов представ-
ляют собой весьма трудно вычислимые инварианты графа G, а об их
числовых значениях можно отчасти судить по работам: R. Entringer,
P.J. Slater // ARS Combinatoria, 1981, June, 289—294 [82, 2B656]; Zhou
Bing [88, 9В554]. Однако для получения многих важных результатов
относительно систем С и R знать эти числа не обязательно. Класси-
ческому подходу к изучению этих систем, основанному на линейной
алгебре, мы посвятим следующие три параграфа, а сейчас остано-
вимся на таких результатах, которые, как показал А.К. Кельманс в
докладах 1977—1980 гг. на Одесском и других семинарах, могут быть
не менее просто и наглядно воспроизведены в терминах чистой тео-
рии графов.
ТЕОРЕМА 3.1.5. Система простых циклов графа однозначно
определяет систему его простых разрезов, и наоборот.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть задана система C(G), т. е. в множе-
стве U ребер некоторого графа G = (X, U, у/) выделена соответству-
ющая система подмножеств; при этом ни множество вершин X, ни
отображение у/ не предполагаются известными. По С (С?) однознач-
но строится система Uq всех непустых подмножеств V с U, удовлет-
воряющих условию
VCeC(G)(|Knq*l)	(**)
и минимальных (по включению) с этим свойством. Покажем, что
UC = R(G).
Пусть V = {v, ...}gUc. Множество К — разрез графа G, так как
иначе в суграфе <7\(И\{у}) ребро и не было бы перешейком и про-
ходящий через него по лемме 2.1.1 простой цикл имел бы в графе G
256
Основы теории графов
только это общее ребро с множеством V вопреки (**). Разрез V —
простой, иначе он строго содержал бы некоторый простой разрез
V' сК а последний в силу теоремы 3.1.4 тоже должен удовлетво-
рять условию (**), что невозможно из-за минимальности V. Итак,
UccR(G). Наоборот, пусть KgR(G); тогда V непусто и по теоре-
ме 3.1.4 удовлетворяет условию (**). Но V минимально: иначе в
нем строго содержалось бы непустое минимальное подмножество
Г'сИ, тоже удовлетворяющее (**) и по уже доказанной части
являющееся разрезом, что невозможно, поскольку V — простой
разрез. Следовательно, R(G)cUc. Тем самым установлено, что
система C(G) полностью определяет систему R(G).
Теперь, наоборот, предположим, что дана система R (G), и
построим по ней систему Ug непустых подмножеств V с С/, удов-
летворяющих условию
VJ?eR(G) (|ИА7?|^1)	(***)
и минимальных (по включению) с этим свойством; надо показать,
что
Ug=C(G).
Пусть V={v, ...}eUg. В графе G имеется цикл, все ребра кото-
рого принадлежат V: иначе v было бы перешейком в суграфе
G \ (И \ {и}) и могло быть дополнено ребрами множества U \ V до про-
стого разреза всего графа G (почему?), а этот разрез пересекается с
множеством V по единственному ребру v вопреки (**♦). Как и выше,
доказывается, что V — множество ребер некоторого простого цикла
и что, наоборот, всякое такое множество принадлежит системе
R (G): надо лишь в соответствующем рассуждении поменять ролями
циклы и разрезы и вместо (**) пользоваться условием (♦**). Теоре-
ма доказана.
Поскольку C(G) и R(G) как системы подмножеств в U, задан-
ные с точностью до перенумерования ребер всего G-(X, U, у/), то-
же являются инвариантами этого графа, то вопросы существования
и единственности графа G с заданной С или R можно отнести к
проблемам восстановления (§ 1.10). Не для всякой системы U под-
множеств заданного множества U существует такой граф
G = (X, U9 у/), что U = C(G); например, если U = {w, v, iv, ..J, то
Глава 3. Цикломатика
257
система {{u, v},{v, и>}} ввиду отсутствия в ней множества {и, ьи} не
есть С(6) ни для какого графа G с множеством ребер U. Также не
любая U есть R(G) для какого-то G (упражнение 10). Соответству-
ющие критерии существования в чисто теоретико-множественной
форме пока не найдены, а практический способ выявления всех
графов (или установления их отсутствия) с наперед заданной систе-
мой разрезов или циклов будет рассмотрен в § 3.4. Вопросы же
единственности можно решать уже сейчас.
Если в двух или более компонентах графа G выбрать по одной
вершине и затем все эти вершины отождествить (образовав тем са-
мым шарнир) или, наоборот, если при наличии в некоторой компо-
ненте графа G шарнира t заменить эту компоненту совокупностью
ее Г-блоков (§ 2.2), то на системах С(<7) и R (G) это не отразится (по-
чему?). Но есть еще одна операция, сохраняющая С и R, которая
применима к 2-связным графам (причем не нарушает это их свойст-
во), — так называемое переключение', смысл его ясен из рис. 3.1.3, а
формальное определение состоит в следующем.
Рис. 3.1.3
Пусть блок G = (X, U, у/) не является 3-связным графом, а ху, где
х,уеХ, х^у, — разделяющая пара вершин, т. е. такая, что существует
разбиение
Z\{x, y}=XlUX2, Х1ПХ2=0,
при котором всякая цепь графа G, соединяющая вершину подмно-
жества Х^ с вершиной подмножества Х2, обязательно содержит х
или у. Переключение, определяемое парой вершин ху и парой под-
множеств Х\Х2, состоит в переходе от графа G к графу G' = (X,U, у')
с теми же вершинами и ребрами, но с новой функцией у/', которая
задается так:
258
Основы теории графов
если <//(w)=xz, где	то y'(y)=yz;
если y(u)=yz, где z^X2, то у'(u)=xz-,
в остальных случаях у' (и) = у (и)
(обратите внимание на упражнение 14!). Ясно, что в результате пе-
реключения каждый простой цикл переходит в простой цикл, а про-
стой разрез — в простой разрез; однако центральный разрез может
перейти в нецентральный, и наоборот (см., например, в графах
рис. 3.1.3 разрезы, образованные ребрами р, q, d, е вместе с теми
штриховыми, которые на самом деле есть).
Как обнаружил Н. Whitney (Amer. J. Math., 55 (1933), № 2,
245—254), 3-связный граф G по каждой из систем С (G) и R (G) вос-
станавливается однозначно с точностью до изоморфизма, а 2-связ-
ный — до изоморфизма и переключений; однако в оригинале дока-
зательство второго из этих результатов изложено столь невразуми-
тельно, что в дальнейшем авторы пособий и руководств по теории
графов отваживались в лучшем случае на формулировку. Некото-
рого упрощения добились В.Я. Басеншпилер и Д.Я. Кесельман
[73, 5В506Деп], рассматривая в графе не все простые циклы, а толь-
ко не имеющие в нем диагоналей. Сравнительно простое доказа-
тельство предложил К. Truempler (JGrTh, 4(1980), № 1, 43—49
[80, 9В547]), установив при этом, что для «-вершинных графов все-
гда можно обойтись не более чем п-2 переключениями и что, с
другой стороны, при любом натуральном N существует такая пара
«-вершинных блоков с n>N, для которой необходимо проделать
все «-2 переключений. А.К. Кельманс дал вполне доступное дока-
зательство в терминах матроидов (А.К. Kelmans // JGrTh, 4 (1980),
№ 1, 13—19 [80, 10В434; 81f#05056]), переводимое без особого труда
на язык чистой теории графов, а в 1982 г. сообщил (устно) новый
вариант изложения1, которому мы и следуем ниже.
Будем предполагать, что рассматриваемые графы G = (X, U, у)
имеют не менее трех вершин и среди них нет изолированных; для
такого графа свойство быть блоком равносильно 2-связности и ха-
рактеризуется в терминах системы С (G) следующим образом: через
любые два ребра проходит простой цикл (см. упражнение 7е к
§ 2.2). Блок этого класса не имеет петель, а все его центральные
разрезы простые (почему?).
1 См. также: DM, 64(1987), № 1, 13-25 [87, 12В733].
Глава 3. Цикломатика
259
Разрез V с U графа G назовем доблочным, если суграф GW
после удаления изолированных вершин (которые могли возник-
нуть от удаления ребер) превращается либо в блок, либо в пустое
множество.
ЛЕММА 3.1.6. Всякий доблочный простой разрез графа является
центральным.
Действительно, если в графе G разрез R е R (G) не является цент-
ральным, то в каждой из компонент суграфа G \ R есть по крайней
мере две вершины и хотя бы одно ребро (иначе R не был бы про-
стым), т. е. после удаления изолированных вершин из G \ R полу-
чится граф, заведомо содержащий два таких ребра, через которые
вообще нельзя провести никакого цикла; следовательно, разрез R
в G — не доблочный.
ЛЕММА 3.1.7. Если G-(X, U, \р) — блок и его вершина х не вхо-
дит в состав никакой разделяющей пары, а V (х) — центральный раз-
рез из всех ребер, инцидентных х, то этот разрез — доблочный.
В самом деле, при условии леммы подграф G\x по-прежнему
остается блоком; но к тому же графу G \ х приводит удаление из су-
графа G \ V (х) единственной изолированной вершины х (а почему
она единственная?); следовательно, V (х) — доблочный разрез.
СЛЕДСТВИЕ. В 3-связном графе два различных ребра смежны
тогда и только тогда, когда существует содержащий их доблочный
простой разрез.
Отсюда и из теоремы 1.10.2 непосредственно вытекает, что
3-связный граф G изоморфно восстанавливается по всей системе
простых разрезов или, что равносильно, по системе простых циклов,
поскольку свойство простого разреза быть доблочным полностью
характеризуется в терминах систем R (С?) и C(G), а последние в свою
очередь однозначно определяют друг друга согласно теореме 3.1.5.
На самом деле справедливо более сильное утверждение: если
G = (X, U, у/) — 3-связный граф, G' = (X, U, у') — блок с теми же вер-
шинами и ребрами, причем R ((7) = R ((?')> то существует такая под-
становка вершин т: X —> X, что
Vue U [у/' (и)=т(у/(и))],
260
Основы теории графов
где мыслится естественное обозначение т (ху)=т (х)т (у); при этом
блок G' заранее не предполагается 3-связным. Доказывать отдельно
это утверждение нам не нужно, поскольку оно непосредственно сле-
дует из теоремы Уитни 3.1.8 о блоках. Дабы не возиться с функ-
цией т, напомним, что всякую подстановку можно осуществить ко-
нечным числом транспозиций, и будем к операциям переключения
причислять еще и такую, когда все ребра, инцидентные вершине х,
объявляются вместо этого инцидентными другой вершине у, а реб-
ра, инцидентные у, — инцидентными х (пара ху в данном случае ис-
пользуется как «отделяющая» множество Аг\{х, у} от 0 и не обяза-
тельно служит разделяющей для графа G).
ТЕОРЕМА 3.1.8. Если G = (X, U, yz) и G' = (X, U, у') - блоки с
общими вершинами и ребрами, причем К(<7)=К((г') (значит, и
C(G) = C(Gr)), то посредством переключений можно преобразовать
эти блоки друг в друга.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вершину хеХ назовем согласованной в
блоках G и Gr, если V (х) = Vr (х), т. е. центральные разрезы при этой
вершине образованы в обоих блоках одними и теми же ребрами.
Ввиду обратимости операции переключения достаточно убедиться,
что с ее помощью можно получить из G и G' такую пару блоков, в
которой согласованы все вершины, т. е. на самом деле получить
один и тот же блок; для этого, в свою очередь, надо лишь показать,
что при наличии у пары G, G' хоть одной несогласованной вершины
можно сделать ее согласованной путем таких переключений (в слу-
чае надобности — в обоих блоках), которые не затрагивают согла-
сованных вершин.
Итак, пусть х — несогласованная вершина блоков G и G', а
V (х) — центральный (и поэтому простой) разрез при ней в G; в силу
R (G) = R (G') множество ребер V (х) является также простым разре-
зом блока G'. Подграф G\x связен, но может иметь шарниры; пусть
•> Вр — все его блоки. Утверждение о возможности согла-
совать вершину х докажем индукцией по числу р.
При р = \ выполнены все условия леммы 3.1.7, ибо наличие у G
разделяющей пары вида ху означало бы, что у — шарнир блока .
В силу этой леммы разрез V (х) является доблочным в G, значит,
также в G', а по лемме 3.1.6 этот разрез и в G' центральный, т. е.
V (x) = Vf (z), где z*x ввиду несогласованности вершины х; ясно,
Глава 3. Цикломатика
261
что и z — несогласованная вершина. Переключая в G' все ребра,
инцидентные z, на вершину х, а все ребра, инцидентные х, — на z,
мы согласуем вершину х в блоках G и G', ничего при этом не рассо-
гласовав.
Допустим теперь, что утверждение уже доказано для любой
пары блоков, удовлетворяющей условию теоремы, и любой несо-
гласованной вершины х всякий раз, когда количество блоков под-
графа G\x равно р>1, и рассмотрим такую же ситуацию, но с чис-
лом блоков р + 1; пусть это блоки В\, В2, Вр, В. Из теорем 2.2.4
и 2.2.5 легко следует существование среди этих блоков хотя бы од-
ного такого, скажем В, который содержит ровно один шарнир у
графа G\x (см. также упражнение 15), и пусть v9 w, ... — ребра, сое-
диняющие х с вершинами В в G. Как мы сейчас увидим, все эти
ребра и в G' обладают общей инцидентной вершиной.
Ввиду простоты разреза V (х) суграф G'\V(x) состоит ровно из
двух компонент. Одна из них содержит все ребра блока В, посколь-
ку они, образуя блок в суграфе GW (х), должны образовывать блок
и в G( \ V (х), так как С (G) = С (G') влечет С (G \ V (х)) = С (G' \ V (х)); в
другой же компоненте все ребра v9w9 ... необходимо имеют общую
вершину z, ибо всякий простой цикл, проходящий через любые два
из этих ребер, может кроме них содержать только ребра В. Произ-
ведя при z фх переключение того же типа, что и в случае р = 1, мы
добьемся, чтобы общей вершиной ребер и, ьи, ... в G', как и в G,
была х.
Блок В', образованный ребрами В вместе с инцидентными вер-
шинами в G'\K(x), содержит ровно один шарнир t этого суграфа,
ибо при наличии хотя бы двух шарниров легко найти в G' простой
цикл, ребра которого не образуют простого цикла в G. Удаляя из
множества U ребра В и ребра v, ьи, ..., а вместо них добавляя новое
ребро и, соединяющее вершину хсуввиавС, мы получим два
графа, у которых как системы R, так и системы С по-прежнему одни
и те же, а подграфы, порожденные всеми неизолированными верши-
нами, являются блоками (рис. 3.1.4). Переключением (если надо) ре-
бер с неизолированных вершин на изолированные можно добиться
совпадения множеств вершин обоих блоков.
Полученные блоки G и G' и их вершина х удовлетворяют всем
условиям теоремы, но количество блоков подграфа G \ х теперь рав-
но р. По предположению индукции, в G и Gf можно согласовать
262
Основы теории графов
вершину х посредством переключений, не затрагивающих уже со-
гласованных вершин; эти же самые переключения, как легко видеть,
согласуют вершину х и в исходной паре G, G’. Теорема доказана.
СЛЕДСТВИЕ 1. Если не допускать таких переключений, которые
были добавлены перед формулировкой теоремы 3.1.8 и фактически
означают транспозицию наименований вершин, то при условиях тео-
ремы блоки G и G' можно преобразовать в изоморфные друг другу.
СЛЕДСТВИЕ 2. Если в условиях следствия 1 граф G является
3-связным, то G^G'. Небольшая модификация: J.H. Sanders, D. San-
ders // JCTh, В22 (1977), № 2, 91-96 [77, 10В345].
Yu Xingxing (JGrTh, 15(1991), № 1, 19-27 [92, 4B397]) характе-
ризует все те связные графы G, которые определяются изоморфно
системой С((г), далее см. DM, 105(1992), № 1—3, 275—284
[93, 10В241]. В терминах систем R((z) и С (G) Т.A. McKee (DM,
51 (1984), № 3, 234—242 [85, ЗВ487]) выражает два двойственных
критерия того, что граф G эйлеров.
Упражнения и дополнения
1.	Доказать, что обыкновенный граф G без изолированных вершин является
кликой тогда и только тогда, когда [m (G) - Л (G)]2 = т (G) + Л ((7). Книга Зыкова.
2.	Убедиться в том, что граф рис. 3.1.1 имеет 63 каркаса.
Глава 3. Цикломатика
263
3.	Для каждой из хорд (включая петли) каркаса, изображенного на
рис. 3.1.1 жирными линиями, указать тот простой цикл, существование которо-
го устанавливает теорема 3.1.2. Для каждого ребра каркаса указать простой
разрез, существующий по теореме 3.1.3.
4.	Какому условию должен удовлетворять суграф G' графа (7, чтобы в по-
следнем имелся каркас, не содержащий ребер <7'?
5.	Доказать, что граф G является блоком в том и только том случае, если
всякие два его различных ребра принадлежат некоторому простому разрезу.
Надо ли при этом предполагать, что а) и((7)>3, б) G не содержит изолирован-
ных вершин, в) G не имеет петель?
6.	Связный обыкновенный граф имеет к каркасов попарно без общих
ребер в том и только том случае, если при любом разбиении множества его
вершин на попарно непересекающиеся непустые классы количество ребер,
соединяющих вершины разных классов, не меньше k(q-1), где q — числов
классов. J.St. Nash-Williams // J. London Math. Soc., 36(1961), pt. 4 (№ 144),
445—450 [62, 12А193]. Строение графов с наибольшим числом каркасов (при
заданных параметрах): Н. Ido, N. Danjo, Т. Sasaki // Trans. Inst. Electron., Inf.
and Commun. Eng, A76(1993), № 6, 913—915 [95, 5В255].
7.	О количестве простых циклов попарно без общих ребер см.: R. HSgg-
kvist [75, 11В392].
7'. В графе G с s(G)>2 и не более чем с двумя вершинами степени 2 есть
простой цикл длины, кратной 4: N. Dean, L. Lesniak, A. Saito // DM, 121 (1993),
№ 1-3, 37-39 [95, 2В344].
8.	Пусть G = (¥, U) — связный и-вершинный обыкновенный граф. В. Zelin-
ka (Casop. pfcstov. mat, 98 (1973), № 1, 56 — 66 [73, 7B368]) нашел верхнюю оцен-
ку т (и, к) числа ребер такого G, каждый каркас которого имеет не более к ви-
сячих вершин. Дальнейшие результаты по этой тематике:
а)	Если Vx, у е X [5 (х) + 5 (у) > п - к +1], то хотя бы один каркас G имеет не
более к висячих вершин. Ж.Г. Никогосян // Уч. зап. Ереван, ун-та, естеств. н,
1976, № 3, (133), 3-6, [77, 8В467].
б)	Если G является 3-однородным, то наибольшее число к висячих вер-
шин в его каркасах удовлетворяет условию ^<к<~у С. Payan, М. Tchuente,
N.H. Xuong // DM, 49(1984), № 3, 267-273 [84, 9В512].
См. также: С.О. Barefoot // DM, 49 (1984), № 2, 109-112 [84, 9В523]; Chen
Jinghui [87, 4В509].
9.	Доказать, что подмножество ребер Ис[/ связного графа G=(X, U, у/)
есть множество всех хорд некоторого каркаса в том и только том случае, если
V не является разрезом и максимально (по включению) относительно этого
свойства.
10.	Показать, что система {{ц и},{и, и>}} не есть R (<7) ни для какого графа G
с множеством ребер {и, и, и>, ...}.
264
Основы теории графов
11.	Диагональю простого цикла называется ребро, которое соединяет две j
различные вершины этого цикла, но само ему не принадлежит. Если — мно- *
жество всех ребер простого цикла С е С= C(G) графа G = (X, U, у/), то свойство
ребраueU быть диагональю этого цикла характеризуется в терминах системы
С следующим образом: существуют такое разбиение Uc=UcUUc, Uc А
AUc = 0, и такие два цикла С', С"еС, что UcU{w} = Uc* и UcU{w} = UC".
Доказать, что подсистема Cq (G)cC(G) простых циклов графа G, не имею-
щих диагоналей, однозначно определяет систему R(G) простых разрезов, а сле-
довательно, и систему С (G) всех простых циклов.
12.	По аналогии (двойственности) с упражнением 11 ввести в терминах сис-
темы R понятие диагонали простого разреза и доказать, что подсистема
Ro(G) cR(G) простых разрезов графа G, не имеющих диагоналей, однозначно
определяет систему C(G), а значит и R(G).
13.	Стягиванием простого цикла называется последовательное мультистя-
гивание (§ 2.7) всех его ребер. Ясно, что окончательный результат не зависит от
того, в каком порядке производятся мультистягивания ребер цикла, и что по-
следнее мультистягивание есть просто удаление петли (в которую превратилось
одно из ребер цикла после мультистягиваний остальных). Простой цикл графа
G назовем доблочным, если граф, полученный из G в результате стягивания
этого цикла, является блоком. Доказать, что
а)	доблочный цикл не имеет диагоналей;
б)	граф G (с п (G) > 3 и без изолированных вершин) 3-связен тогда и только
тогда, когда для любых двух его ребер существуют по крайней мере два
доблочных цикла, каждый из которых содержит оба ребра.
14.	Дать формальное определение операции переключения для обыкновен-
ного графа в смысле § 1.1 (когда ребрами служат пары вершин).
15.	Утверждение, что всякий связный граф G с n(G)>2, не являющийся
блоком, имеет по крайней мере два таких блока, в каждом из которых присут-
ствует ровно один шарнир графа, можно доказать без использования теорем
§2.2 по следующей схеме:
а)	построим вспомогательный обыкновенный граф, вершинами которого
служат блоки и шарниры исходного, причем две вершины смежны тогда
и только тогда, когда одна представляет шарнир, а другая — содержащий
его блок;
б)	этот вспомогательный граф — дерево и по теореме 2.3.3 (п. (9)) содержит
по крайней мере две висячие вершины;
в)	каждая висячая вершина вспомогательного графа представляет блок ис-
ходного, обладающий требуемым свойством.
16.	Для каждого ребра ху графа G найдем наименьшее число ребер, удале-
ние которых из G разделяет вершины х и у, и пусть f (G) — максимум этих чи-
сел по всем ребрам ху. Доказать, что в G всегда есть вершина степени < f (G) и
то же справедливо для любого его подграфа. Производя последовательное уда-
Глава 3. Цикломатика
265
ление таких вершин, получить оценку хроматического числа y(G)</(G)+l.
В.П. Полесский И Проблемы передачи информации, 7(1971), № 1, 105—107
[71, 9В366].
17.	U. Abel, R. Bicker (IEEE Trans. Reliab., 31 (1982), № 2, 167-171
[83, 3B545]) предлагают практически эффективный способ нахождения всех
простых разрезов, разделяющих заданную пару вершин графа.
18.	Пусть FcC(G) — такая система циклов обыкновенного графа G, что их
объединение содержит все его вершины; определим два вспомогательных гра-
фа G* =(F, К)и G**=(F, IV), вершинами которых служат циклы системы F,
причем CjC2 € когда С\ и С2 имеют в G ровно одно общее ребро, а С]С2 € И',
когда эти циклы не имеют общих ребер.
ТЕОРЕМА: граф G гамильтонов в том и только том случае, если для него
существует такая система F, что оба графа G* и G** — деревья.
Т. Zamfirescu // Atti Accad. sci. Inst. Bologna, Cl. sci fis. Rend, 1 (1973—1974),
№ 2, 39-40 [75, 12В493].
§ 3.2. ПРОСТРАНСТВО СУГРАФОВ
Пусть дан граф G=(X, U, у/), множество ребер которого не-
пусто и пронумеровано: U ={щ, и2, ..., ит}. Все его суграфыС?' =
= (Х, U'9 <//) взаимно однозначно соответствуют всевозможным
подмножествам ребер U' с U, а каждое такое подмножество зада-
ется (опять-таки взаимно однозначно) вектором из нулей и единиц
a(G') = a(Z7') = (a1, а2, .... ат),
у которого
fl, если u;eU',
ai =1
[0, если и^и.
В дальнейшем термин «суграф» будем употреблять по отношению
не только к графу G', но и к подмножеству V, а также к соответст-
вующему вектору.
Над суграфами графа G определим операцию сложения
(а1; а2,.... ат)+(Р1, /32, , Рт)=&\ +Р\, «2	> ат
где все суммы а, +/3, берутся по модулю два:
0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1=0.
266
Основы теории графов
В терминах соответствующих подмножеств Uy, U2qU эта опера-
ция приводит к образованию симметрической разности
Uy + U2 =(Uy\U2yj(U2\Uy) = (Uy [)U2)\(Uy ftU2),
т. е. два подмножества ребер накладываются друг на друга таким
образом, что ребро, попадая на ребро, с ним взаимно уничтожается.
Множество всех суграфов заданного графа G образует относитель-
но сложения абелеву группу, в которой нейтральным элементом
служит нуль-вектор 0 = (0, 0,	, 0), соответствующий пустому под-
множеству U' =0, а обратным элементом для любого элемента слу-
жит он сам; благодаря последнему обстоятельству всякое непустое
подмножество элементов этой группы, образующее группоид, т. е.
замкнутое относительно сложения, является подгруппой.
Введенную группу удобно рассматривать как линейное про-
странство над полем коэффициентов {0, 1} со сложением по модулю
два и обычным умножением (0-0 = 0-1 = 1-0 = 0, 1-1 = 1); это про-
странство будем обозначать через L (G) и называть пространством
суграфов графа G (с фиксированной нумерацией ребер). Линейная
зависимость системы элементов а1? а2, а^ е L(G) (&>1) означа-
ет существование такой непустой подсистемы, которая в сумме дает
нулевой элемент 0. Так как элементы
е1=(1, 0, ..., 0), е2=(0, 1, ..., 0), ..., ет =(0, 0, ..., 1)
(однореберные суграфы) линейно независимы, а любой суграф че-
рез них линейно выражается:
(аь а2, ат)=а1е1 +а2е2 +...+атеш,
то эти т суграфов образуют базу пространства L(G), в силу чего
его размерность
dim L(G) = /n = m(G).
Если два суграфа графа G таковы, что множество ребер каждого
из них образует (вместе с инцидентными вершинами) цикл, то сум-
ма их в L (G) не обязательно обладает этим свойством: для примера
достаточно взять два цикла без общих вершин или два совпадаю-
щих цикла. Желая замкнуть подмножество суграфов-циклов в L (С?)
относительно сложения, введем понятие квазицикла как такого су-
графа, все вершины которого обладают четными валентностями
Глава 3. Цикломатика
267
(см. § 2.8); так же будем называть множество ребер этого суграфа и
соответствующий вектор.
В силу теоремы Эйлера (2.8.1) суграф-квазицикл характеризует-
ся тем, что каждая его компонента, отличная от голой вершины, об-
ладает эйлеровым циклом. Это равносильно возможности предста-
вить множество ребер квазицикла в виде объединения попарно не-
пересекающихся подмножеств, каждое из которых образует
простой цикл (для доказательства использовать последнее утверж-
дение леммы 2.1.1). Из определений квазицикла и операции сложе-
ния в L(G) непосредственно следует, что сумма двух квазициклов
есть квазицикл; поэтому множество всех квазициклов образует в
L (G) подпространство, которое мы будем называть пространством
циклов графа G (с фиксированной нумерацией ребер) и обозначать
через La (G).
Пусть Т — произвольный каркас графа G (§ 3.1). Каждой хорде
этого каркаса отнесем тот единственный простой цикл, который
она образует вместе с некоторыми ребрами Т по теореме 3.1.2, и тем
самым получим систему с: LA (G) из Л (G) квазициклов; пока-
жем, что L^. — база пространства циклов.
Во-первых, система L^. линейно независима, ибо каждый ее ква-
зицикл содержит ребро, не входящее ни в один из остальных, а
именно хорду каркаса Г; это особенно отчетливо видно при такой
нумерации ребер графа, когда сначала идут все хорды, а потом уже
ребра каркаса; тогда векторы системы имеют вид
а! =(1, 0, О, а^, ...,о4)>
а2=(0, 1, .... О, «2+р ...,а2т),
аА=(0, 0, ..., I,aj+P
где Л = Л(Сг). Будем до конца доказательства предполагать нумера-
цию ребер именно такой, что, очевидно, не нарушит общности рас-
суждений.
Во-вторых, всякий квазицикл
а=(аь а2, .... ал, аА+1, ..., am)eLA (С7)
268
Основы теории графов
есть сумма квазициклов некоторого подмножества (в случае а = 0
пустого) системы L^., а именно
a=cqai 4-а2а2 + ••• +«лаЛ J
чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что все компоненты
вектора 6=»^! +а2а2 +-+аЛаЛ + а ~ нули, поскольку в простран-
стве L((?) вычитание равносильно сложению.
Для первых Л компонент это ясно, ибо они имеют вид az , а
04-0 = 14-1 = 0 (по модулю два). Но вектор Ь, будучи суммой квази-
циклов, сам есть квазицикл, а так как его первые Л компонент (соот-
ветствующие хордам каркаса Т) равны нулю, то этот суграф-квази-
цикл может содержать ребра только из Т. Однако из ребер каркаса
невозможно образовать ни одного цикла, поэтому последние m - Л
компонент вектора b — тоже нули.
Итак, — база пространства циклов ЬЛ (Ст); следовательно,
размерность последнего равна |L^.|, т. е.
dim ЬЛ (С?)=Л = Л(Ст).
Заметим, что если рассматривать пространство ЬЛ (Сг) только как
абстрактное (с точностью до изоморфизма линейных пространств),
то о графе G оно не дает никакой другой информации, кроме цик-
ломатического числа (почему?), так что существенную роль играет
внутренняя структура элементов этого пространства, т. е. располо-
жение в них нулей и единиц (с точностью до перенумерования всех
ребер графа G).
Выделим в пространстве суграфов L(C?) другое важное под-
пространство. Подмножество U' clU ребер графа G будем называть
квалиразрезом, если оно представимо в виде объединения попарно
непересекающихся простых разрезов (в частности, может быть пус-
тым); тот же термин применяем к суграфу G' = (Х, U', у/) и к соот-
ветствующему вектору а (t/') = a (G) е L (G). Приставка «квали» имеет
смыл, противоположный «квази»: если квазицикл — обобщение
цикла, то квалиразрез (за исключением нулевого) — частный случай
разреза.
Для доказательства замкнутости множества всех квалиразрезов
относительно сложения в L(G) достаточно убедиться в том, что
Глава 3. Цикломатика
269
сумму (по модулю 2) любых двух различных простых разрезов мож-
но представить как объединение попарно непересекающихся про-
стых разрезов; трудность прямого доказательства (A. Kotzig, см.
ссылку в теореме 3.1.1) удается обойти, если сначала установить
связь между квалиразрезами и квазициклами (в § 3.1 этому соответ-
ствовала бы перестановка теорем 3.1.3 и 3.1.4).
ТЕОРЕМА 3.2.1. Подмножество U' cL7 является квалиразрезом
графа G = (X, U, у/) в том и только том случае, если с любым квази-
циклом из Ьл (G) оно имеет четное число (возможно, нуль) общих
ребер.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость условия сразу следует из
теоремы 3.1.4 благодаря тому, что каждый квазицикл (квалиразрез)
есть объединение простых циклов (простых разрезов) попарно без
общих ребер. Для доказательства достаточности предположим, что
подмножество U' clU имеет с любым квазициклом (в частности, с
любым простым циклом) графа G четное число общих ребер, и по-
кажем, что U' либо пусто, либо есть объединение попарно непересе-
кающихся простых разрезов.
Пусть U' ={м, ...}*0; тогда, прежде всего, U' — разрез. Действи-
тельно, если это не так, то ребро и не может быть перешейком в су-
графе графа G, порожденном подмножеством ребер (U\U')\J{u}',
значит, в этом суграфе есть цикл, содержащий и9 т. е. имеющий в
G ровно одно общее ребро с U' вопреки предположению. Далее из
разреза U' можно выделить простой разрез U" ciU' графа G. Если
Ur\U"*0, то к этой разности применим такое же рассуждение,
как к U\ и опять выделим простой разрез, поскольку всякий цикл
в G обладает четным числом общих ребер как с U' (по условию), так
и с U" (по теореме 3.1.4), следовательно, исС/'\С/"ит. д. В конце
концов для множества U' получится искомое представление.
СЛЕДСТВИЕ 1. Сумма двух квалиразрезов есть квалиразрез.
В самом деле, если U\ и — квалиразрезы, а С — множество ре-
бер произвольного квазицикла графа G, то оба числа |С’ПС71| и
|СП(721 по теореме 3.2.1 четны; но тогда четно и |СП(С/] +С^2)1 =
= |[С А (£71 \и} п С72 Л и [С П (и2 Ш1 п <72)]1 = |С’ПС71| + |с П с/21-
-2|СПС/]ПС/21> откуда по той же теореме ввиду произвольности С
следует, что (7] +U2 — квалиразрез.
270
Основы теории графов
Благодаря этому следствию множество всех квалиразрезов обра-
зует в L (G) подпространство, которое мы будем обозначать через
Lp (G) и называть пространством разрезов графа G (с фиксирован-
ной нумерацией ребер)1.
СЛЕДСТВИЕ 2. Всякий центральный разрез (§3.1) есть квали-
разрез.
Пусть Т — произвольный каркас графа G. Каждому ребру карка-
са отнесем тот единственный простой разрез, который оно образует
вместе с некоторыми хордами по теореме 3.1.3, и покажем, что по-
лученная система L^cL(G) из p=p(G) = m(G)-X(G)=n(G>)-x(G)
квалиразрезов является базой пространства Lp (Ст); инвариант p(G)
называется рангом графа G. Рассуждение аналогично тому, которое
проводилось для пространства циклов, поэтому изложим его более
сжато.
Во-первых, система квалиразрезов линейно независима, по-
скольку каждый из них содержит ребро (а именно из Т), не принад-
лежащее остальным. Во-вторых, всякий ненулевой квалиразрез
можно получить сложением некоторых векторов из L^: выбирая
последние так, чтобы их сумма совпадала с заданным квалиразре-
зом на ребрах каркаса Г, мы автоматически получим совпадение и
на остальных ребрах графа G, ибо в противном случае сложение по-
строенной суммы с заданным квалиразрезом дало бы ненулевой
квалиразрез, в котором участвуют только хорды каркаса Г, что не-
возможно, поскольку никакое подмножество хорд фиксированного
каркаса не является разрезом графа.
Итак, — база пространства разрезов, значит
dim Lp((7)=p=p(G),
и опять можно сделать замечание, что пространство разрезов, рас-
сматриваемое только как абстрактное, не несет о графе G никакой
информации, кроме его ранга.
В следующем параграфе нам понадобится легко доказываемая
теорема, двойственная 3.2.1:
1 При чтении верхний индекс в Lp (<7) следует считать греческим «ро» прописным, а
не латинским «пэ».
Глава 3. Цикломатика
271
ТЕОРЕМА 3.2.2. Подмножество U' c:U является квазициклом
графа G = (X, U, у/) тогда и только тогда, когда оно с любым квали-
разрезом имеет четное число (возможно, нуль) общих ребер.
Ввиду теоремы 3.1.4 и определения квалиразреза часть «только
тогда» очевидна. Если теперь С7' — не квазицикл, то в суграфе
G' = (X, U', у/) есть вершина х нечетной валентности. Поэтому
центральный разрез К(х), являющийся квалиразрезом по следст-
вию 2 теоремы 3.2.1, имеет с U' нечетное число общих ребер; тем
самым и часть «тогда» доказана от противного.
В заключение остановимся на взаимосвязи между пространствами
Ьл (G), Lp (G) и соответствующими системами С (G), R (Сг) из § 3.1.
Среди всех ненулевых квазициклов графа G простой цикл харак-
теризуется тем, что никакое непустое строгое подмножество его ре-
бер уже не образует квазицикла. К сожалению, это не чисто алгеб-
раическая характеристика, и построение с ее помощью системы про-
стых циклов С (G) по какой-либо базе пространства ЬЛ (G) «в лоб»
требует значительного перебора (см., например: М.М. Syslo //
Networks, 9 (1979), № 2, 123-132 [80, 2В623], Bull. Acad. pol. sci., ser.
sci. math., 27(1979), № 3—4, 241—246 [80, 3B600]); однако возмож-
ность более эффективных способов в принципе не исключена.
Решение обратной задачи может оказаться неэффективным толь-
ко из-за громоздкости самой C(G): если все простые циклы графа G
выписаны как элементы пространства ЬЛ (G) в виде векторов, то су-
ществует линейно независимая подсистема таких циклов, состоящая
из Л = Л((?) векторов (почему?), и всякая такая подсистема служит
базой пространства циклов.
Такова же взаимосвязь между системой простых разрезов R (G)
и пространством разрезов Lp (G) графа G (см. упражнения 3 и 4).
Упражнения и дополнения
1.	Доказать равносильность следующих четырех высказываний о произ-
вольном графе G:
(а)	хроматическое число /(G) <2;
(б)	каждый цикл системы C(G) обладает четной длиной;
(в)	у пространства ЬЛ (G) есть база, каждый квазицикл которой содержит
четное число ребер;
(г)	у ЬЛ (G) есть база, состоящая из простых циклов четной длины.
272	Основы теории графов
2 (Г.Ф. Степанец // УМН, 19(1964), № 2, 171-175 [64, 12А267]). Назовем
длиной квазицикла количество его ребер, а длиной базы пространства цик-
лов — сумму длин ее квазициклов.
2.1.	Доказать, что если и — две базы наименьшей длины в ЬЛ (G), то
квазициклы этих баз можно привести во взаимно однозначное соответствие,
сохраняющее длины.
Указание: использовать результат упражнения 15 к § 2.4.
2.2.	Справедливо ли аналогичное утверждение а) для двух баз наибольшей
длины, б) для любых двух баз одинаковой длины в ЬЛ (6)?
2.3.	Пусть U] — произвольное цикловое ребро графа G. Среди циклов, со-
держащих «|, выберем кратчайший (значит, простой) и его ребра удалим
из G. Если оставшийся суграф еще имеет циклы, то выберем в нем цикловое
ребро «2 и кратчайший цикл Сг, содержащий «2, и опять удалим ребра этого
цикла и т. д., пока не останется суграф без циклов, т. е. выявленная система
Q, С2, ...,СЯ будет включать все цикловые ребра G. Показать, что
а)	/л <Л(6);
б)	если /л <Л (G), то систему С], С2,..., можно дополнить некоторыми
Z(G)-;i квазициклами (не обязательно простыми циклами) до одной из баз
наименьшей длины в пространстве LA (G).
3.	Сформулировать и доказать для квалиразрезов и пространства Lp (6)
утверждения, аналогичные (двойственные) результатам упражнения 2.
4.	Для высказываний (б)—(г) упражнения 1 сформулировать двойственные
и доказать их равносильность между собой; попытаться найти аналог высказы-
вания (а), когда вместо квазициклов речь идет о квалиразрезах.
5.	Хотя dimLA (G)+dimLp (G) = dimL(G), подпространства циклов и раз-
резов не для всякого графа G дополняют друг друга до L (G); выяснить причину
этого и привести соответствующий пример. Chen Wai-Kai [71, 1В314].
6.	Для каждого ребра и мультиграфа G = (X, U, у) справедливо одно и
только одно из трех:
1)	3G'gLa (G) [ueU'& G'\{u}eLp (G)],
2)	3t/'eLp (G) [ueU1 & C/r\{w}eLA (G)],
3)	3G'gLa (G)C|Lp (L) (wet/').
P. Rosenstiehl // Adv. Graph Theory. Amsterdam e.a., 1978, 195—226; R.C. Read
[79, 1В659].
§ 3.3. МАТРИЦЫ ИНЦИДЕНЦИЙ, РАЗРЕЗОВ И ЦИКЛОВ
От теоретического изучения пространств разрезов и циклов пе-
рейдем к их фактическому нахождению для заданного графа. Как
граф, так и оба пространства удобно задавать с помощью матриц.
Глава 3. Цикломатика
273
Желая указать явно, что матрица D имеет р строк и q столбцов,
будем записывать ее в виде ; таким образом, для суммы и произ-
ведения матриц можно написать
АР Л-ВР =(А +В)Р , А^С? =(А-С)Р ,
причем оба действия имеют смысл лишь при указанных совпаде-
ниях индексов в каждой из левых частей; известно также, что
где Т — оператор транспонирования матрицы. Нам понадобятся
еще две операции сочленения матриц — по горизонтали и по вер-
тикали.
Сочленение по горизонтали двух матриц А=А% и В~ВР (в ука-
занном порядке) — это простое приписывание матрицы В справа к
матрице Л, в результате чего получается матрица
А$ВР=(АВ)Р+Г,
в которой стоят сначала все столбцы А, а затем все столбцы В без
нарушения их порядка в исходных матрицах; чтобы не путать АВ с
произведением А-В, условимся в последнем никогда не опускать
точку. Аналогично сочленение по вертикали матриц А=А? и С=С^
(в указанном порядке) — это приписывание второй матрицы к пер-
вой снизу; полученную матрицу ради экономии места обозначаем с
помощью дробной черты:
АР IС’=(AIC)P+S .
Ясно, что
(АВ)Т =АТ/ВТ и (А1С)Т =АТСТ .
Из правил оперирования с блочными матрицами вытекают также
соотношения (легко доказываемые и непосредственно)
А-(ВС) = (А В)(А-С), (AIB)D = (AD)I(BD),
(AB)-(CID)=AC+BD.
274
Основы теории графов
Разумеется, все соотношения между матрицами, размеры которых
явно не указаны, имеют смысл лишь при надлежащей согласованно-
сти этих размеров.
Для заданного графа будем пользоваться матрицей инциденций,
несколько изменив ее определение, данное в § 2.7. С одной стороны,
определение квазицикла (§ 3.2) толкает на то, чтобы система столб-
цов матрицы, соответствующих ребрам квазицикла, имела в каждой
строке четное число единиц, а так как петля — тоже квазицикл, то
надо считать ру =2 в случае, когда ребро Uj является петлей при
вершине С другой стороны, все элементы матрицы В =|1Ау II, как
и координаты векторов пространства L(G), принадлежат полю
D={0, 1} вычетов целых чисел по модулю два:
0 + 0 = 1 + 1 = 0, 1 + 0 = 0 + 1 = 1, 00 = 10 = 01=0, 11 = 1,
в силу чего должно быть 2 = 0. Полученную таким образом «матри-
цу валентных инциденций по модулю два» графа G будем для крат-
кости именовать по-прежнему матрицей инциденций и обозначать
B(G) = B=B", =|1М" =11^711=11^7 №
где
Г1, если Wj — звено, инцидентное вершине ,
ij [0 в остальных случаях.
Таким образом, каждой петле графа G соответствует в матрице
B(G) столбец из нулей, и поэтому матрица не указывает, какой
именно вершине инцидентна та или иная петля, сохраняя информа-
цию об общем количестве петель; но для построения пространств
Lp (<7) и ЬЛ (G) эта потеря несущественна (для других же целей,
когда важно распределение петель по вершинам, можно, например,
на соответствующих местах в матрице В удерживать символ 2
вместо 0).
Столбцы каждой матрицы D? с элементами из поля D можно
рассматривать как векторы /(-мерного линейного пространства
(определяемого аналогично L((7)); слово «столбец» позволим упо-
Глава 3. Цикломатика
275
треблять по отношению ко всякому вертикально записанному
^-мерному вектору с компонентами из D независимо от того, при-
сутствует ли он фактически в матрице D?. Линейная зависимость
системы столбцов 5 означает существование непустой подсистемы
S' cz 5 такой, что сумма всех столбцов из S' есть нуль-столбец ||0||^.
Выясним смысл линейной зависимости между столбцами матрицы
инциденций B=B(G) графа G = (A", U, у/), где X ={хь х2, ...» хп},
и={щ, и2,ит}.
ТЕОРЕМА 3.3.1. Система S некоторых столбцов матрицы
В=В (G) линейно независима тогда и только тогда, когда суграф Gs,
порожденный множеством тех ребер графа G, которые соответст-
вуют столбцам S, не имеет циклов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть сначала Gs обладает циклом С.
Если у С есть петля, то соответствующий столбец в 5 является
нуль-вектором и вся система 5 линейно зависима. Если же С не име-
ет петель, то каждая вершина графа G инцидентна четному числу
ребер этого цикла, поэтому подсистема S' с S тех столбцов матри-
цы В, которые соответствуют ребрам С, в сумме дает нуль-столбец,
т. е. 5 опять линейно зависима.
Теперь пусть суграф Gs не содержит циклов, aS'c S- произ-
вольная непустая подсистема столбцов из 5. Этой подсистеме отве-
чает суграф Gs без циклов, содержащий в силу 5'*0и п. (9) теоре-
мы 2.3.3 висячую вершину х^. Среди элементов матрицы В, стоя-
щих на пересечении k-й строки со столбцами S\ ровно один отли-
чен от нуля — именно тот, который соответствует единственному
инцидентному х^ ребру суграфа Gs 9 — поэтому сумма всех столб-
цов системы S' не может быть нуль-столбцом. Ввиду произвольно-
сти непустой подсистемы S'czS это означает линейную независи-
мость всей системы 5.
СЛЕДСТВИЕ 1. Ранг р(В) матрицы инциденций B-B(G) равен
рангу p(G)=H(G)-a?(G) = m(G)~ Z(G) графа G.
В самом деле, из графа G по теореме 3.1.1 всегда можно так уда-
лить т-р(G) ребер, чтобы оставшийся суграф G' не имел циклов,
т. е. чтобы p(G) ребрам этого суграфа отвечали линейно независи-
мые столбцы матрицы В, откуда p(B)>p(G). С другой стороны, по
Основы теории графов
276
следствию лемм 2.3.1 и 2.3.2 всякий суграф, получаемый из G удале-
нием менее чем /и-р((т)=Л((/) ребер, обладает циклами, значит
любая система более чем из p(G) столбцов матрицы В линейно зави-
сима, откуда р(В) <.p(G).
Из следствия 1 и определения каркаса (см. равенства (♦) в начале
§ 3.1) непосредственно вытекает
СЛЕДСТВИЕ 2. Система S из p(G) столбцов матрицы B(G) ли-
нейно независима тогда и только тогда, когда соответствующий
суграф Gs является каркасом графа G.
Займемся нахождением пространства разрезов графа G. Нахож-
дение этого подпространства Lp (G) с L (G) равносильно выявлению
какой-нибудь его базы
(Рр Рр •••’ Р™>’ •••> <Р1’ Р2>	Р&’
или, что то же, построению матрицы
Pl Р2 "• Рт
Р? Р2 Рт
Всякая матрица Р(<7) = Р=Р£, строками которой служат векторы
какой-либо базы пространства Lp ((?), называется матрицей разре-
зов графа G. Покажем, как получить одну из таких матриц путем
преобразования матрицы инциденций В((3)\ при этом попутно выя-
вится один из каркасов графа G, что тоже важно.
С матрицами над полем D будем производить операции следую-
щих трех типов:
1)	перестановку столбцов;
2)	перестановку строк;
3)	замену строки суммой ее с другой строкой.
Применение операции 1) к матрице B(G) соответствует перену-
мерованию ребер графа G, применение операции 2) — перенумеро-
ванию вершин, а операция 3) легко может перевести В (G) в такую
матрицу, которая вообще не является матрицей инциденций ни для
какого графа. Важно, однако, заметить следующее.
Глава 3. Цикломатика
277
Во-первых, операции 2) и 3) не нарушают взаимно однозначного
соответствия между столбцами матрицы и ребрами графа, а после
применения операции 1) это соответствие легко восстановить над-
лежащим перенумерованием ребер; мы будем считать, что такое пе-
ренумерование всегда производится, и под «одноименными» столб-
цами исходной и результирующей матриц понимать те, которые от-
вечают одному и тому же ребру графа (а не те, которые в матрицах
стоят на одинаковых местах).
Во-вторых, все три операции не меняют не только ранга матри-
цы, но и полной системы линейных зависимостей между ее столбца-
ми; это значит, что подсистема столбцов результирующей матрицы
зависима или независима одновременно с подсистемой одноимен-
ных столбцов исходной.
Пользуясь этими операциями, преобразуем матрицу В=B(G) =
=||6;у|| следующим образом.
Если не все by =0, то с помощью операций 1) и 2) переведем ка-
кой-либо из единичных элементов на место 6ц и затем, применяя
операцию 3), обратим в нуль все остальные элементы первого
столбца. Если в полученной матрице есть еще единичные элементы,
не принадлежащие первой строке, то перестановками остальных
строк и столбцов переведем один из таких элементов на место Z>22, а
затем с помощью операции 3) уничтожим остальные единицы во
втором столбце. Продолжая в том же духе, придадим матрице В вид
	1	0	0	,р+1	Ь\,р+2	Ь\т
	0	1	0	^2,р+1	^2, р+2	^2т
5'=	0	0	1	^р,р+1	Ь'р,р+2	Ьрт
	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0
при котором процесс формирования единичной подматрицы пре-
кращается потому, что все элементы в строках, не принадлежа-
щих уже сформированной подматрице, равны нулю. (Случай, ког-
да исходная матрица совсем не содержит единиц, не является
278
Основы теории графов
исключительным, ибо пустую подматрицу можно считать единич-
ной нулевого порядка.) Так как р(В')=р (B)=p(G) по следствию 1, то
p=p(G). Удаляя из В' последние п-р строк, получим матрицу вида
Е^С%, где к=т-р,Е^ — единичная матрица порядка р, и покажем,
что получилась некоторая (G), т. е. матрица разрезов графа G.
Всякая строка исходной матрицы В является квалиразрезом,
т. е. элементом пространства Lp (G): в самом деле, строка либо со-
стоит из одних нулей, т. е. это нулевой квалиразрез, либо имеет еди-
ницы точно в тех столбцах, которые соответствуют звеньям, инци-
дентным вершине , где к — номер строки; но такие ребра, очевид-
но, образуют разрез графа G. Так как операции 2) и 3) над вектора-
ми-строками не выводят за пределы пространства Lp (G), а опера-
ция 1) не меняет этого пространства благодаря принятому соглаше-
нию об «одноименности» столбцов (без этого соглашения Lp (G) пе-
реходило бы в изоморфное пространство, отличающееся от исход-
ного одновременным перенумерованием компонент во всех векто-
рах пространства L ((7)), то каждая строка матрицы В', а значит, и
матрицы представляет собой квалиразрез. Линейная незави-
симость всех р строк последней матрицы очевидна из-за наличия в
ней единичной подматрицы порядка р.
Итак, =Е^С^ — некоторая матрица разрезов графа G. Так
как первые ее р=р((?) столбцов линейно независимы, то соответст-
вующие им ребра графа G по следствию 2 образуют каркас.
ТЕОРЕМА 3.3.2. Если матрица разрезов графа G имеет вид Е^С^
или может быть приведена к такому виду перестановкой столбцов,
то все строки этой матрицы являются простыми разрезами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как мы уже знаем, ребра графа G, соот-
ветствующие столбцам подматрицы Efi, образуют некоторый кар-
кас Т. С другой стороны, каждая строка матрицы ЕрС1^ является
квалиразрезом, т. е. по определению
последнего допускает представление в
виде суммы некоторого количества к
попарно непересекающихся простых
разрезов. Но каждый разрез содержит
хотя бы одно ребро фиксированного
каркаса Т; а так как рассматриваемая
строка-квалиразрез имеет в столбцах,
Глава 3. Цикломатика
279
соответствующих ребрам Т (т. е. в столбцах подматрицы Е?), толь- ко одну единицу, то к=1.									
Пример. Графу рис. 3.3.1			отвечает матрица инциденций						
	1 2	3	4	5	6	7	8	9	
	1 0	1	0	0	0	0	0	0	
	1 0	0	1	1	0	0	0	0	
	0 0	0	0	0	0	0	1	0	
Е=В] =	0 0	1	1	1	0	1	0	0	>
	0 0	0	0	0	0	1	0	0	
	0 0	0	0	0	0	0	1	1	
	0 0	0	0	0	0	0	0	1	
к которой мы сверху дописали строку номеров ребер, дабы не упус-
тить из виду соответствие между столбцами матрицы и ребрами
графа при операциях типа 1) (в операциях 2) и 3) эта строка, естест-
венно, не участвует). Последовательно производя операции, типы
которых указаны над стрелками (для нескольких операций одного и
того же типа подряд промежуточные результаты не выписаны),
придадим матрице требуемый вид:
12 3 456789	132456789
3
1
о
о
о
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
1	0	0	0	0	0	0
1	1	1	0	0	0	0
1
о
0 0 0 0	0	1	0	!	0
1 1 1 0	1	о	о	—>	о
0	0	0	0	1	0	0
0	0	0	0	0	1	1
0	0	0	0	0	0	1
о
о
о
10 0 0
10 11
0 0 0 0
10 11
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 10
0 1 о о —>
0 10 0
0 0 11
0 0 0 1
1 3 2 4 5 6 7 8 9
1 3 8 2 4 5 6 7 9
10	0	110	0
0	10	110	0
0	0	0	0 0 0	0
0	0	0	0 0 0	1
0	0	0	0 0 0	1
0	0	0	0 0 0	0
0	0	0	0 0 0	0
о о
о о
1 о
1
о о —>
о о
1 1
О 1
1 0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 1 0 0 0
001000000
000000010~>
000000010
0 0 1 0 0 0 0 0 1
000000001
280
Основы теории графов
3 3
2
Отсюда
138245679
1
0
О
О
О
О
О
О
1
О
о
о
о
о
о о
о о
1 о
о о
о о
о о
о о
1 1 о
1 1 о
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
о о
о о
о о
1 о
1 о
О 1
О 1
1	3	8	7	2	4	5	6	9
1	0	0	0	0	1	1	0	0
0	1	0	0	0	1	1	0	0
001000000
000100000
000000000
000000001
000000001
13 8 7
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
9	2	4	5	6
0 0 110
0 0 110
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
р=р95 =
I 3 8724569
1	0	0	0	0	1	1	0	0
0	1	0	0	0	1	1	0	0
001000000
000100000
000100000
000000001
000000001
13 8 7
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
9 2 4
О 0 1
О 0 1
ООО
ООО
ООО
1 о о
1 О о
5 6
1 о
1 о
о о
о о
о о
о о
о о
1	3	8	7	9	2	4	5	6
1	0	0	0	0	0	1	1	0
0	1	0	0	0	0	1	1	0
001000000
000100000
000010000
000000000
000000000
1 3 8 7 9 2 4 5 6
;i	о	о	о	о;	о	1	io
;0	1	О	О	0;	О	1	10
!о	о	1	о	о;	о	о	о о
•О	О	О	1	0;	О	О	О О
!о ооо 11 оооо
<3
= В'.
Один из каркасов графа составлен ребрами wj, w3, и$, и7, w9 (жир-
ные линии на рисунке), а одна из баз пространства Lp — разрезами
{иь w4, и5}, {w3, w4, w5), {w8}, {w7}, {w9}.
Глава 3. Цикломатика
281
Всякая матрица A(G)=A = A-^, строками которой служат векто-
ры какой-нибудь базы пространства ЬЛ (G), называется матрицей
циклов (или цикломатической матрицей) графа G. Нетрудно найти
одну из таких матриц, т. е. определить пространство ЬЛ ((?), если
уже известна какая-то матрица разрезов ((7); укажем два способа.
I способ. Рассмотрим систему уравнений
P£(QIIMi”=IIO||f	(*)
над полем D, т. е. систему р сравнений по модулю два с неизвестны-
ми W], и2, •••» ит- В силу теоремы 3.2.2 вектор ||w7 ||j” =(«i, иг, ,
йт)Т удовлетворяет этой системе тогда и только тогда, когда век-
тор («1, ui,..., йт) является квазициклом, т. е. принадлежит ЬЛ (<7).
Значит, всякая фундаментальная система решений для (♦), если век-
торы-решения записать в виде строк, образуют некоторую матрицу
Л*, (G).
II способ. С помощью операций 1), 2) и 3) приводим матри-
цу Р£ (G) к виду ЕрС1^ и затем преобразуем следующим образом:
-> Cf -> Cf /	-> (СР/Е}) г = (Cf) Т (Е}) Т = (СТ )Л Е *;
такую процедуру будем называть перекройкой. Полученная матрица
и есть (G), ибо все ее Л = Л((7) строк линейно независимы (из-за
наличия подматрицы Е^) и, будучи записаны в виде столбцов,
удовлетворяют системе (♦); в самом деле, беря матрицу разрезов в
виде Е^С1?, имеем
г Л
(£PCf)[(Cr)'£»F =(£PCf)-(CP /£») =
= £P.CP+CP£j=2C₽=||0||P.
Пример. Перекройкой матрицы ₽95 предыдущего примера
получаем
1 38792456
000001000
1	1	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	0	0	1	0
000000001
= Л<.
282
Основы теории графов
Здесь, как и в общем случае, вспомогательная строка номеров ре-
бер заимствуется из (почему?). При прежнем каркасе Т графа на
рис. 3.3.1 ребра м2, м4> м5> М6 являются хордами, и так как в каж-
дом квазицикле-строке «хордовая» единица встречается только
один раз, то в силу теоремы 3.1.2 все строки представляют простые
циклы.
Последнее рассуждение примера носит общий характер, поэто-
му справедлива
ТЕОРЕМА 3.2.3. Если цикломатическая матрица графа G имеет
вид DpE^ или приводится к нему перестановкой столбцов, то все
строки этой матрицы представляют простые циклы.
Примечание. В столь простых примерах, как рассмотрен-
ные, можно составлять матрицы P(G) и Л (G) «визуально», без по-
мощи 5(G). Для этого достаточно выделить в графе G некоторый
каркас Т (тем самым выявив и соответствующее множество хорд) и
затем для каждого ребра из Т находить по чертежу тот единствен-
ный простой разрез, который оно образует вместе с некоторыми
хордами по теореме 3.1.3; еще легче для каждой хорды отыскивает-
ся единственный простой цикл, образуемый ею и некоторыми реб-
рами каркаса согласно теореме 3.1.2. В сложных же случаях, требу-
ющих применения ЭВМ, способы экономии времени и памяти пред-
лагает, например, К. Paton (Communs ACM, 12 (1969), № 9, 514—518
[70, 6В374]); см. также электрические методы... [УС].
В заключение заметим, что по какой-либо цикломатической
матрице нетрудно найти одну из матриц разрезов того же графа.
Для этого следует, пользуясь операциями 1), 2) и 3), привести дан-
ную матрицу Л* к виду D$E^9 после чего перекроить (в обратном
порядке) полученную матрицу в Е? (РТ)^. Таким образом, матри-
цы разрезов и циклов легко преобразуются друг в друга. Задача же
восстановления матрицы инциденций (т. е. восстановления самого
G с точностью до положения петель) по заданной Р (G) или Л (G)
значительно труднее и будет рассмотрена в следующем параграфе.
Упражнения и дополнения
1.	Дан граф G=(X, U, у/), где X ={а, Ь, с, /, ./}, [/ = {1, 2, 3,	16, 17},
у/(1) = л7>, у/(2) = й, 1//(3) = #, y/(4) = Z>g, у/(5) = Д у/ (6) = ch, у/ (7) = fit,
Глава 3. Цикломатика
283
у/(8) = ае, у/(9) = А у/(10)=£/, у/(11) = А ц/(12)=<§7, |//(13) = сй, у/(14) = ё/,
I// (15) = ed, у/(i6) = id, \y(}7) = ed.
а)	Составив матрицу инциденций В (G) и преобразуя ее, выявить один из
каркасов и найти какую-нибудь матрицу разрезов графа G. Путем иной после-
довательности преобразований^ матрицы B(G) (или вообще иным способом)
найти другой каркас и другую матрицу разрезов того же графа.
б)	Найти (разными способами) не менее двух цикломатических матриц
графа G.
в)	Непосредственно убедиться в том, что произведение каждой матрицы
разрезов (из найденных) на каждую транспонированную цикломатическую
равно нулевой матрице.
2.	Доказать, что параллельным звеньям графа G отвечают в матрице Р(6)
одинаковые столбцы и, наоборот, одинаковым ненулевым столбцам соответст-
вуют параллельные звенья.
3.	Доказать, что последовательным звеньям (общая вершина которых не
инцидентна другим звеньям) графа G отвечают в матрице А((7) одинаковые
столбцы. Верно ли обратное утверждение?
4.	Пусть в матрице Р (G) имеется строка, содержащая только одну едини-
цу — в столбце, соответствующем ребру uj графа G; что можно сказать об этом
ребре? Решить аналогичный вопрос, когда в матрице Л (G) имеется строка ров-
но с одной единицей.
А что можно сказать, если единственным ненулевым элементом обладает
некоторый столбец?
5.	В упражнении 5 к § 3.2 подпространства LA (G) и Lp (G) дополняют друг
друга до L(G) в том и только том случае, если граф G обладает нечетным
числом каркасов, а пересечение ЬЛ П Lp (G) является нулевым пространством
матрицы A(G)/P(G).
§	3.4. ГРАФЫ С ЗАДАННЫМИ РАЗРЕЗАМИ И ЦИКЛАМИ
Начнем с конкретного примера. Пусть дана матрица (над по-
лем D)
110 0 110
«Л»= ' о 1 1 1 о о
0 11110 0
0 0 0 0 0 0 1
284
Основы теории графов
Попытаемся найти такой связный граф G, для которого «Л» служи-
ла бы цикломатической матрицей.
С помощью операций 1), 2) и 3) преобразуем заданную матрицу
так, чтобы последние столбцы составили единичную подматрицу:

1
1
о
о
0 111
10 0 1
1111
0 0 0 0
10 1110 0
110 0 110
1	1	0 0	0	0	0
0	0	0 0	0	0	1
3,
0 1
4 1 1
1 1
о о
110 1
0 0 11
0 0 0 0
0 0 0 0
о о
1 о j,
о о
0 1
о
11110 0 0
110 0 110 1
0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
1
1
о
о
1	1	;Т~о“	о“"о!
о	о	!о	1	о	о;
1	о	;о	о	1	о*
0	0
Полученную матрицу перекраиваем (в обратном порядке) в
II 1	0 0	1	1	0	0II
0 10 10 10= «Р».
II0	О 1	1	О	О	ОII
Затем с помощью операции 3) стараемся сделать так, чтобы ни-
какой столбец не содержал более двух единиц; для этого в нашем
примере достаточно к третьей строке прибавить первую:
«Р»
10 0 110 0
0 10 10 10
10 10 10 0
Наконец, к полученной матрице дописываем (снизу) новую
строку, являющуюся линейной комбинацией прежних и такую, что-
бы после этого каждый ненулевой столбец содержал ровно две еди-
ницы; этими требованиями новая строка однозначно определяется
как сумма всех старых:
Глава 3. Цикломатика
285
1	0	0	1	1	0	Oil
О	1	О	1	О	1	О	—>
1	О	1	О	1	О	ОII
Матрице В отвечает граф
рис. 3.4.1 (с точностью до
местоположения петли).
Матрицу «Р» мы мог-
ли преобразовать иначе,
например прибавить ко
второй строке первую; со-
1OO11O
0 10 10 1
10 10 10
0 110 0 1
Рис. 3.4.1
о
о
о
о
вершая это и дальнейшие действия, находим
«Р» Л»
10 0 1
110 0
0 0 11
1 1 о —>
ООО
1
1
о
о
о
1
о
1
0 110 0
0 0 14 0
1 1 О О' о
10 0 10
1 о о
Этой матрице соответствует граф на рис. 3.4.2, не изоморфный пре-
дыдущему ни при каком положении петли.
Все этапы описанной процедуры алгоритмичны, кроме едко-
го — устранения избыточных единиц в столбцах матрицы «Р». Но
именно в этом пункте сфокусированы вопросы существования иско-
мого графа и обзора всех таких графов. Так, например, «матрице
разрезов»
«Р» =
1 о
о 1
о о
о о
о о
0	0	0	0	1
0	0	0	1	0
10 0 10
0	10	1	1
0	0	110
1 1
0 1
1 о
о о
1 о
и перекроенной из нее «цикломатической матрице»
0	111110	0	0
1	0	0 1	0 0	1	0	0
10	10	10	0	10
1	1	0 0	0 0	0	0	1
286
Основы теории графов
в действительности не соответствует никакой граф; однако предла-
гать убедиться в этом при помощи перебора всех возможных ре-
зультатов применения (и не только однократного!) операции 3) к
матрице «Р» можно разве лишь в шутку.
Теоретический критерий того, что заданная матрица служит
матрицей разрезов или циклов каких-то графов, дал W.T. Tutte
(Canad. J. Math., 16 (1964), № 1, 106—127 [64, 11A234]); доказатель-
ство затем дважды упрощал W. Maerda ([70, 11В242], Trans Electron
and Commun. Eng. Jap., A54(1971), №6, 354-360 [71, 12B619]).
Алгоритмы восстановления графа no матрице циклов или разрезов
см. в [УС]. Наиболее эффективным представляется нам метод Май-
еды, несколько упрощенный Я.Я. Дамбитом и Г.Э. Эргашевым (со-
общения на Одесском семинаре); в первоначальном виде: W. Мауе-
da // IRE Trans. Circuit Th., 7(1960), № 1, 79—81, 10(1963), №1,
128—130 [64, 2А223].	’
Пусть над полем D = {0, 1} дана матрица Р, относительно кото-
рой надо выяснить, порождают ли ее строки пространство разрезов '
какого-то графа, и если да, то найти все такие графы. Так как от-
брасывание нулевых строк и операции 2), 3), производимые над
матрицей Р(С), не меняют пространство разрезов Lp (С), а опера-
ция 1) меняет его несущественным образом, то всегда можно пред-
полагать, что исследуемая матрица Р уже приведена к виду Е$С%
(где числа р и Л характеризуют только размеры матриц и ни с каким
графом пока не связаны); допустим также, что некоторые строки
матрицы отмечены (множество таких строк может быть и пустым).
Граф G, для которого P(G)=E?C% и p(G)=p, в силу чего он связен
(и Л((7) = Л), называется Р-реализацией* матрицы Р=Е,£С^; эту реа-
лизацию считаем правильной, если отмеченным строкам матрицы
соответствуют центральные разрезы графа (неотмеченным строкам
могут соответствовать любые разрезы).
ЛЕММА 3.4.1. Для правильной Р-реализуемости матрицы
Р = Е^С%, в которой отмечены все строки, необходимо и доста-
точно, чтобы каждый ее столбец содержал не более двух единиц.
При этом P-реализация определяется однозначно с точностью до
изоморфизма и положения петель.
1 «ро»-реализация.
Глава 3. Цикломатика
287
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. У правильной P-реализации G матрицы Р
должно быть ж(б) = 1 и р((7)=п((7)-1=р(Р)=р, а всем р строкам
матрицы должны отвечать в G центральные разрезы при p(G)-l
вершинах, различных ввиду линейной независимости строк, т. е. Р
должна получаться из матрицы инциденций В (G) удалением одной
строки. Но эта строка однозначно определяется требованием, что-
бы после ее добавления к Р каждый ненулевой столбец содержал
ровно две единицы, а это требование равносильно условию, налага-
емому на матрицу Р леммой.
В реальной ситуации речь обычно идет о P-реализуемости мат-
рицы, ни одна строка которой не отмечена, но для изложения и обо-
снования метода Майеды надо рассмотреть общий случай, когда у
заданной матрицы Р=Е^С£ отмечено произвольное подмножество
строк. Основную роль здесь играют операции деления графа по раз-
резу и деления матрицы по строке.
Деление связного графа G = (X, U, у/) по простому разрезу V е R (G)
превращает G в два связных графа (?i = (Хх, U j, у/) и , Uy., у/),
определяемых следующим образом. Обозначим через G\ =(X\,U\,ip)
nG2=(X'2, U2, Y) компоненты суграфаб\К (их ровно две, поскольку
граф G связный, а разрез V простой) и положим
хх =х[U{y}, x2=x^U{y}, ux=u\uv, и2=и^у,
где у — новая вершина; отображение у/ на ребрах U{ UU2 оставим
прежним, а на ребрах V в графах G\ и G2 переопределим так, чтобы
каждое ребро we К, соединявшее в G вершину из Х'х с вершиной из
Х'2, теперь соединяло в Cq первую вершину с у, а в Gj это же ребро
соединяло у со второй вершиной (рис. 3.4.3). Если разрез V в G
Рис. 3.4.3
288
Основы теории графов
нецентральный, то и ((?])< и (G) и п (С?2) < п (G); в случае же централь-
ного разреза один из графов (q, изоморфен исходному G (более
того, почти совпадает с ним, отличаясь только идентификатором
одной вершины), а другой состоит из двух вершин, соединенных
пучком V параллельных ребер, и такое деление мы будем называть
тривиальным.
Исходный граф G однозначно восстанавливается по графам (7| и
(?2, если в них сохранены идентификаторы вершин и ребер; для вос-
становления же G с точностью до изоморфизма и положения петель
достаточно (и в общем случае необходимо) сохранить идентифика-
торы вершины у и всех ребер множества V. Пара матриц B(G]),
В (<?2), в которых отмечено по одной у-строке, а между подмножест-
вами К-столбцов указано взаимно однозначное соответствие, по-
зволяет составить матрицу В (G) с точностью до порядка строк и
столбцов, т. е. определяет сам граф G с точностью до изоморфизма
и положения петель.
Деление матрицы вида Р=Е^С^ по ее неотмеченной строке г
производится так. Сначала удалим из Р строку г и все те столбцы,
которые имели в ней единицу, и полученную подматрицу Р,. пере-
становками строк и столбцов приведем к виду
с непустой PJ.; результатом деления, соответствующим этому пред-
ставлению, будет пара Р/*\ Р® подматриц, получаемых из Р уда-
лением всех тех строк и столбцов, которые образуют в Рг (после пе-
рестановок) подматрицу Р" соответственно Р,, причем в и Р®
считаем отмеченными строку г и все строки, отмеченные в исход-
ной Р.
Для Рг всегда существует тривиальное представление (♦) с пус-
той Р”; в соответствующем результате деления Р по г одна из мат-
риц пары, скажем Р^\ отличается от Р только тем, что строка г в
ней теперь отмечена, а вторая матрица р/2^ состоит из единствен-
ной строки г (отмеченной). При наличии нетривиальных представ-
лений (♦) их может быть и несколько (какие из них на самом деле
следует считать различными, мы уточним позже); всякому нетриви-
альному представлению отвечает свой результат деления, т. е. своя
Глава 3. Цикломатика
289
пара матриц Р;Р\ р/2\ каждая из которых содержит меньше строк
и меньше неотмеченных строк, чем Р. Предлагаем читателю дока-
зать, что матрицы результирующей пары обладают такой же специ-
альной структурой, как и исходная: начинаются с единичной под-
матрицы; напомним еще, что по теореме 3.3.2 все разрезы, опреде-
ляемые строками таких матриц, простые.
Обе операции деления (графа и матрицы) сопоставляет
ЛЕММА 3.4.2. Пусть G\, G^ —результат деления связного графа
G по простому разрезу V, определяемому неотмеченной строкой г
матрицы разрезов P(G)=E^C%. Тогда среди результатов деления
матрицы P = P(G) по строке г есть такой Р,9\ Р®, что Р/1^ =P((?i)
uPr(i)=P(G2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В случае центрального разреза V деление
по нему графа G является тривиальным; ясно, что этому делению
соответствует тривиальное деление матрицы Р по строке г (и только
такое деление, как легко следует из соображений, связанных с коли-
чествами вершин).
Предположим теперь, что разрез И нецентральный. Тогда при
надлежащей расстановке строк и столбцов:
где Е' и Е" — единичные подматрицы порядка zi(Gj)-2 и n(G2)-2,
столбцы которых вместе с «и» соответствуют ребрам некоторого
каркаса Тграфа G, причем столбцы Е' и С отвечают ребрам из V\,
а столбцы Е” и С" — ребрам из С/2 (в тех же обозначениях, что и
при определении операции деления графа по разрезу). Подматрицы,
расположенные под С и над С”, состоят сплошь из нулей потому,
290
Основы теории графов
Рис. 3.4.4
что любая отличная от г строка матрицы Р задает в G разрез, одно
ребро v*u которого принадлежит Г, а остальные являются хорда-
ми этого каркаса и в силу простоты разреза не могут входить в то
из множеств U\9 которое не содержит и. Столбцы Е' и «и» опре-
деляют каркас 7] графа G\, состоящий из тех ребер Т, которые при-
надлежат множеству U\=U\\JV (рис. 3.4.4), а столбцы Е" и «и»
определяют аналогичный каркас Т2 графа G2. Полагая Р, =Е'С и
Р/=£"С", получим для матрицы Рг представление вида (♦) (с точ-
ностью до порядка столбцов), и соответствующим результатом де-
здесь и в дальнейшем кружком обводится идентификатор отмечен-
ной строки. Так как матрица Р^ начинается с единичной подматри-
цы и имеет п (Gj) -1 строк, а столбцы ее соответствуют ребрам графа
Gj, то для доказательства равенства Р® = Р (Gj) достаточно убедить-
ся в том, что каждой строке матрицы отвечает в G] квалиразрез.
Это очевидно для строки (г): множество ребер V образует в гра-
фе Gj центральный разрез, простота которого следует из простоты
разреза V в G. Рассмотрим теперь любую другую строку; столбцы,
содержащие в ней единицу, в силу способа получения матрицы Р^
из Р соответствуют тем ребрам, которые в графе G образуют про-
стой разрез, не пересекающийся с G2. Но те же ребра образуют про-
стой разрез и в Gi, как легко доказать непосредственно или вос-
пользовавшись тем обстоятельством, что граф Gj может быть полу-
чен из G мультистягиванием всех ребер связного подграфа G2.
Равенство Pr<2)=P(G2) доказывается точно так же.
Глава 3. Цикломатика
291
Числом компонент х(А) произвольной матрицы А называется
наибольшее число к ненулевых блоков среди всех матриц вида
л =
(**)
получаемых из А перестановками строк и столбцов. Оно, очевидно,
совпадает с числом компонент х (G (А)) вспомогательного обыкно-
венного графа G(A), вершинами которого служат ненулевые эле-
менты матрицы (точнее, их местй, поскольку одинаковые элементы,
стоящие на разных местах, считаются разными вершинами) и две
разные вершины которого смежны, когда они расположены в одной
строке или одном столбце. Два представления вида (**) с к=х(А)
одной и той же матрицы А могут различаться только перестановка-
ми между собой ненулевых блоков Л], А^, , А^ и перестановками
строк и столбцов в каждом блоке; такие представления мы будем
считать несущественно различными. В представлении же (*) матри-
цы Рг возможно х(Рг)>2 (или ж(Рг)>1 в тривиальном случае
Р/=0), поскольку каждый из блоков Р', Р'' может в свою очередь
разбиваться на блоки; два таких представления
р Jp; о II ~ = р; о |
г II о р/г г о р/l
считаем существенно различными, если невозможно преобразовать
Рг в Рг перестановками строк и столбцов в каждом блоке и переме-
ной местами самих блоков, иначе говоря, если этим представлениям
соответствуют различные разбиения множества всех компонент гра-
фа (7(РГ) на два класса (порядок самих классов безразличен).
ЛЕММА 3.4.3. Если все строки матрицы P(G) определяют про-
стые разрезы графа G, то количество его блоков равно x(P(G)).
Очевидно, поскольку ребра простого разреза не могут принад-
лежать более чем одному блоку.
292
Основы теории графов
Переходя к описанию алгоритма, условимся в примерах считать
идентификаторами столбцов матрицы (и соответствующих ребер
графа) натуральные числа, а идентификаторами строк (и соответст-
вующих разрезов, а также вершин в случае центральных разре-
зов) — буквы, сохраняя идентификаторы при образовании подмат-
риц; о двух рядах с одним и тем же идентификатором мы кратко го-
ворим как об «одном и том же ряде», хотя в разных матрицах эти
ряды могут различаться по длине и по составу.
1.	Заданную матрицу приводим к виду Р=££с£, причем нуле-
вые столбцы удаляем: ведь им соответствуют в графе петли, а при
каких именно вершинах — узнать по матрице разрезов все равно не-
возможно (если так уж приспичило знать количество петель, то за-
помним число отброшенных столбцов). Для общности можно еще
считать, что в матрице Р указанного вида некоторые строки уже от-
мечены (из каких-то «высших» соображений). Пусть, например,
Р =
1	2	3	4	5	6	7
1	0	0	0	0	1	1
0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1
0	0	0	1	0	0	0
0	0	0	0	1	0	1
8 9
о о
1 о
1 о
1 о
0 1
@
ь
с .
d
е
2.	Находим аг (Р) (например, с помощью построения вспомога-
тельного графа G (Р)) и в случае аг (Р) > 1 представляем матрицу Р в
виде (♦♦) с к - аг (Р), после чего решаем задачу с начала для каждо-
го ненулевого блока отдельно. Если хотя бы один блок матрицы не
допускает P-реализаций, то нереализуема и вся матрица; в против-
ном случае находим все реализации каждого блока. Выбирая про-
извольным образом по одной реализации блоков и сочленяя их
между собой так, чтобы они оказались блоками полученного графа
(в остальном произвольно), найдем всевозможные P-реализации ис-
ходной матрицы Р, как подробно описано в следующих пунктах.
В нашем случае аг(Р) = 1, т. е. реализующий граф может быть
только блоком.
3.	Для каждой неотмеченной строки г матрицы Р находим число
аг(Рг). Строки г, для которых аг(Рг) = 1, отмечаем, поскольку деле-
ние матрицы по такой строке дает единственный результат —
Глава 3. Цикломатика
293
тривиальный, т. е. в силу леммы 3.4.2 соответствующий разрез гра-
фа может быть только центральным. Если все строки окажутся от-
меченными, то завершаем процедуру применением леммы 3.4.1; в
противном случае делим матрицу Р по одной из неотмеченных
строк г (лучше по такой, для которой число х (Рг) наименьшее).
В нашем примере ж(Р^) = 2, ж(Рс)=3, ж(Р^) = ж(Ре) = 1, и мы
будем делить матрицу
I 2
1 О
О 1
Р = о о
о о
о о
3 4 5 6
0 0 0 1
0 0 0 1
10 0 0
0 10 0
0 0 10
7 8
1 о
0 1
1 1
0 1
1 о
9
о
о
о
о
1
©
ь
с
©
по строке Ь:
в тривиальном результате деления вторую матрицу пары (для пус-
той Р'') не пишем, а первую обозначаем
р<»>.
I 2
1 о
0 1
о о
о о
о о
3 4 5	6
0 0 0 1
0 0 0 1
10 0 0
0 10 0
0 0 10
7 8	9
1 о о
0 1 о
1 1 о
О 1 о
1 0 1
С 
©
единственным нетривиальным результатом в нашем случае является
пара
294
Основы теории графов
1	2	3	5	6	7
1	0	0	0	1	1
0	10	0	10
0	0	1	0	0	1
0	0	0	1