И.Т. БОРОД УЛЯ
Тригонометрические
уравнения
и неравенства
И.Т. БОРОДУЛЯ
Тригонометрические
уравнения
и неравенства
Книга для учителя
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1989
ББК 74.262
Б83
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор
В. В. Рыжков; методист Севастопольского РУНО
Москвы М. В. Троицкий; инспектор-методист МНО
РСФСР К. И. Шалимова
Бородуля И. Т.
Б83 Тригонометрические уравнения и неравенства: Кн. для учи-
теля.— М.: Просвещение, 1989.— 239 с.: ил.
ISBN 5-09-000613-Х
Книга представляет собой сборник задач, составленный на основе многолетнего опыта
работы автора в школе. В начале каждой главы или параграфа дается небольшой теорети-
ческий материал, рассматриваются различные способы решения основных видов задач. Далее
предлагается система упражнений, расположенных в ворядке нарастания трудности. Вторую
часть нинги составляют ответы, указания или решения задач
Обширный набор упражнений н задач дает возможность учителю составлять индивидуаль-
ные задания для учащихся с учетом их возможностей. Предполагается, что упражнения могут
быть использованы для обобщения и повторения материала на завершающей стадии изучения
той или иной части раздела, ив факультативных занятиях н при подготовке к экзаменам.
4306010000—303
Б 103(03) — 89
ISBN 5-09-000613-Х
ББК 74.262
© Издательство «Просвещение», 1989
Глава I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
К определению тригонометрического уравнения различные авто-
ры учебных пособий подходят по-разному. Мы назовем тригоно-
метрическим уравнением равенство тригонометрических выражений,
содержащих неизвестное (переменную) только под знаком тригоно-
метрических функций. Уравнения cos 3x = sin х\ tg(-^—Их)—
— tg^An— 5x) =0; sin Зх-j-sin 5x=sin 4x и т. д. суть тригономет-
рические уравнения. Уравнения sin х = -^-х; cos2x=—х-х+-|-;
tg2x=x и т. д. не являются тригонометрическими, они относятся
к типу трансцендентных уравнений и, как правило, решаются при-
ближенно или графически. Может случиться так, что уравнение
не является тригонометрическим согласно определению, однако оно
может быть сведено к тригонометрическому. Например, 2(х—6)cos2x=
= х—6. Мы видим, что х—6 не содержится под знаком тригономет-
рических функций, однако оно решается аналитически: (х — 6)Х
X(2cos2x— 1)=0, откуда х=6 или cos2x=-L, х=±-^-+пл, где
neZ. Решить тригонометрическое уравнение — значит иайти все
его корни — все значения неизвестного, удовлетворяющие уравне-
нию. При решении тригонометрических уравнений мы будем поль-
зоваться известными тригонометрическими формулами. Простей-
шими тригонометрическими уравнениями являются: sinx = tz и
cosx = a, где |a|^l; tgx = a и ctgx = a, где aeR. Для решения
различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь
решать простейшие тригонометрические уравнения. Перейдем к
рассмотрению решения тригонометрических уравнений различных
видов.
$ 1. УРАВНЕНИЕ ВИДА sin х=а
Уравнение sinx = a может иметь решение только при |а|^1.
Известно, что решение этого уравнения находят по обобщенной
формуле: х=( — 1)”arcsina-j-nn (1), где neZ и —JL^arcsina^
«С —
2
1
3
Примеры. Решите уравнения.
a)	sinAx=_L.
Решение. _|.х=(—l)n arcsin А-|-лл, Ах=( —1)п-~.+лл, х =
= (—1)п_1-|~ Алл, ле2. Ответ: х=(—1)"-1 4-Алл, n&Z.
4	’ 4	2	4	2
б)	sin —=^-А
х 2
Решение. —=(—1)"214-лл, х=----------. n&Z. Ответ:
х	4	4п+(-1)"
х =--------, neZ.
4п+(-If
Если —1<а<0, то формула (I) примет вид: х=
=(— l)n+l arcsin |а| 4-лл, ле2.
Полезно знать, что arcsin( — а)=—arcsin а.
Примеры. Решите уравнения.
а)	5Ш-^ = -Д
2
Решение. ••За.=(—1 у+l arcsin4-лл, —=(—l)n+l 2L + лл.
V*	2	3
9
Зп+(- 1)"+’
, леЛС
— =(—1у1+1 2_-рл, ^[х=------------ или s[x=
3	(- 1Г+,-у+п
=------—-----, леДО. Ответ: х=-------—-----
(Зп+(-1Г+1)2	(3п+(_1Г+')2
х =
б)	sin—= — А.
х2 2
Решение. ^2-=( — 1)л + 1 arcsin А + пл, — _ ( — l)n+l JL 4-лл,
х2	2	хг	6
^=(-1)"+'. • +л,
л	о
= ±3V 6п+(- 1)', + '
х2 3 х2 	18	х _
neN. Ответ: х=±3“\/----------,n^.N.
V бп+(- 1Г+’
Частные случаи.
1.	Если sinx=l, то x = JL 4-2лл, neZ.
2
2.	Если sinх— — 1, то х= —	-|-2лл, ле2.
3.	Если sinx=0, то х = лл, neZ.
Решите уравнения.
1. sin Ах = ^.	2. sin^3- = —А. 3. sin —=1.
4	2	X 2	X2
4
4. sin —= — 1.
6.	sin(3 — 2x)= —
7.	sin2x=2L.
4
8.	sin x = —.
з
$ 2. УРАВНЕНИЕ ВИДА cosx=a
Уравнение cosx=a может иметь решение только при |a|^l.
Известно, что решение данного уравнения находят по обобщен-
ной формуле: х= ±arccos а-|-2пл, где neZ и O^arccosa^n.
Полезно знать, что arccos(— а)=л— arccos а.
Примеры. Решите уравнения.
a)	cosJLx = -^.
6	2
Решение. Ах= ±arccos^4-2пл, —х= -I- — 4-2пл, х =
6	2	6	— 6
= ±	+ -^пл, neZ. Ответ: х = ± — + —пл, nsZ.
5	5	5	5
б)	cos(2 — Зх)=^.
Решение. cos(3x—2)=^, Зх— 2= ±arccos^-|-2пл, Зх —
— 2=±—+2пл, х=А± —+ —пл, neZ. Ответ: х=А±
4	з 12 з	з
± — -Ь — пл, лeZ.
12 з
V	Г
в)	COS Л\Х =-Г" •
Решение. лд/х= ± arccos^ —	-|-2пл, л^х = ± Ал-Ь2пл,
V*= ±+2п. \)^x=JL-{-2n, neNOt где Л/о = О, 1, 2.............. х =
=(-|^ -j-2n)2; 2) V*= — -|-2£,	х = (— А-{-2а)2. Ответ:
х=(± + 2п)2, ( - 1. + 2fe)2, пе^, k^N.
г)	cos(l — 2х)= —
Решение. cos(2x—1)= — 2х—l = ±arccos(—+2пл,
2х— ) = ±(л— arccos^ +2пл, 2х= 1 ±(л—-2.)+2пл, 2х=1±
±Ал+2пл, х= -L ± Ал-|-пл, neZ. Ответ: х=1_±уЛ-Ьпл,
neZ.
5
Частные случаи.
1. Если cosx = 0, то х=Л+лл или x=(2n-j- 1)Л, neZ.
2. Если cosx=— 1, то х=л-|-2лл или х=(2л4-1)л, ле2.
Решите уравнения.
1. cos 2x =	_ 1	2. cos_?.x=	1
	2 ’	3	2
4. cos—=		5. cos — = -	£
x1	2	V*	2
7. cos (2 — Зх)=—
10. cos Зх= д/1,1.
8. cos х = 2L.
4
3. cos 2а. = Д
х 2
6. cos"^2L=0.
9. cos = 0.
3
f 3. УРАВНЕНИЕ ВИДА tgx=ft, ГДЕ aeR
Известно, что решение данного уравнения находят по обобщен-
ной формуле: x=arctga-j-лл, где neZ. Полезно помнить, что
arctg(—a) = — arctg а.
Примеры.
Решите уравнения.
a) tg2x=-\/3.
Решение. 2х=arctg-\/3-|-лл, 2х= — + лл, 2x=(3n-j- 1) —, х =
3	3
=(Зл+1)* n^Z. Ответ: х=(3л+1)2L, neZ.
6	6
б> tgX__ 1.
Решение. — = arctg(—1)-|-лл, — = — arctg l-j-лл, — =
Зх	3x	Зх
= _Д+лл,2_=(4л-1^4=(4п-1)^. X=-^^,n^Z.
Ответ: x =-------, neZ.
(4 л— 1)3л
Решите уравнения.
1. tgA = V3.
4. tg— = — Л3
6 х2 з
2. tg3x= — т/3.
5. tg^ = l.
7. tg(l —х)=—2.	8. tg(2 —3x)=0.
9. tgx=0, (6).
10. tg2x=ctg_i.
3
6
$ 4. УРАВНЕНИЕ ВИДА ctgx = c, aeR
Известно, что решение данного уравнения находят по формуле
x = arcctga-pnn, (5), где neZ и OcarcctgaCn.
Полезно помнить, что arcctg(—а)=л—arcctga.
Примеры.
Решите уравнения.
a)	ctgAx = 5.
Решение. Ajc = arcctg5-|-nn, х= Aarcctg 5 +Апл, neZ.
Ответ: Aarcctg5-|-Апл, neZ.
б)	ctg3x=—
Решение. Зх==а
Зх = л — — + пл, Зх=Ал-рпл, Зх=(Зп-|-2)—, х=(Зп-р2)А,
3	3	3	9
neZ. Ответ: (Зп-р2)А., neZ.
Решите уравнения.
1. ctg3x=V3.	2.	ctg А = —-\/3.	3.	ctg^ = ^.
4. ctg-^-Д	5.	ctg(x-n)=-l.	6.	ctg(An-x)	=-l.
7. ctg2x=—0, (3).	8.	ctg(3—4x)=0.	9.	ctgx = tgA.
10.	ctgx = n.
$ 5. УРАВНЕНИЯ, СВОДИМЫЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ
Это уравнения, сводимые к одной и той же функции относи-
тельно одного и того же неизвестного выражения, входящего только
под знак функции.
Тригонометрические уравнения asin2 х-|-6 sin x-|-c=0, acos3x-|-
+ Ь cosx-j-c=O; atg43x-|-6 tg23x-|-c = 0, actg22x-pfcctg2x-pc = 0
уже сведены к алгебраическим. Действительно, положив в них
соответственно sinx=y, cosx = z, tg3x=/, ctg2x = u, получим
алгебраические уравнения: ay2 + by + c=0, az3-|-6z-|-c=0, af4-|-
-|-6f2-|-c = 0 и аиг -f-bu-f-c = O. Решив каждое из них, найдем sin х,
cos х, tg3x и ctg2x.
Уравнения a sin2 x-{-b cos x-|-c = 0, a cos2 x + b sin х-рс = 0,
atgx-|-6ctgx=0 не являются по виду алгебраическими, но их
можно свести к алгебраическим: a cos2 х — Ь cos х—(а-|-с)=0,
osin2x—b sin х—(a-|-c)=0 и atgx-|--j--=0.
7
Примеры.
Решите уравнения.
a)	2sin1 2x— 7cosx—5=0.
Решение. 2(1 —cos2 х)—7 cos х—5=0, 2 cos2 х4-7 cos х + 3=0,
cosx = y, 2y24-7t/4-3=0, i/i = —3, уг =— -L. 1) cosx=—3<— 1,
* = 0; 2) cos х= — _, х= ± — л + 2Ал, fceZ. Ответ: х=±—л +
+ 2*л. fceZ. 2	3	3
б)	cos2x+3sinx = 2.
Решение. 1—2 sin2 х4-3 sin х = 2,	2 sin2 х —3 sin х+1 =0,
sinx=y, 2у2 —Зу+1 =0, у\ = -L, 1/2=1. 1) sinx=2_, х = (— 1)ПХ
X — + пл, neZ; 2)sinx=l, х = -5-4-2/гл, fceZ.
Ответ: х=(— 1)"у +п^, у 4-2/гл, п, k^Z.
в)	2cos2 Зх + sin Зх— 1 =0.
Решение. 2(1 —sin2 3x)4-sin Зх— 1 =0, 2 sin2 Зх — sin Зх— 1 =0,
sin3x=i/, 2z/2 — у—1=0, i/i.2=	1) sin Зх= 1, Зх= у+2Ал,
Зх=у(4* + 1),	х=(4/г+ 1)у , *eZ; 2) sin Зх= -, х=
=(_l)n+'2L + nA, neZ. Ответ: х=(4/г +1)2L, х=(—1)п+'А 4-
18	3	6	18
4-fi—, k, neZ.
з
При решении уравнений этого параграфа необходимо знать
формулы:
1) sin2x-|-cos2x= Г, 2) tga = -5!I1-s-;	3) ctga = -5e5-s-;
cos a	sin а
4) ctga = ——;	5) 14-tg2a =—L—; 6) 1 +ctg2 a =—L_;
tg a	cos a	sin a
7) 1 + cos 2a = 2 cos2 a; 8) 1—cos 2a = 2 sin2 a;
9) tg2a=-^^-;	10) sin2a= 2t£-g ;
1—tg’a	I-Mg2 a
11) cos 2a = 1 ~tR*a ;	12) sin 2a = 2 sin a cos a;
1 +tg2 “
13) cos2a = cos2a—sin2a, или cos2a=2cos2a—1, или
cos2a= 1 — 2sin2a; 14) Формулы приведения;
15) Формулы из § 1—4.
Решите уравнения.
1. 4 sin2х-|-cosх—3± =0.
2
3. 3sin22x4-7cos2х — 3=0.
5. 2cos2x4-5sinx—4 = 0.
7. 25 sin2 х 4-100 cos х = 89.
2. 2 cos2 x 4-2-^2 sin x—3=0.
4. cos2x—5sinx — 3=0.
6. 2 tg4 3x—3 tg2 3x4-1 =0.
8. cos 2x 4-3 sin x = 2.
8
9. cos4 2x4-6 cos2 2х= 1 A.
16
11. cos 2x4-sin2x"4-sin x=0,25.
13. 5 sin — — cos ± 4-1 = - 2.
6	3
15.	2sin2x —7cosx— 5=0.
17.	1 4-2 cos2 x4-2-\/2 sin x-f-
4- cos 2x=0.
19.	2cos2x— 4cosx=l.
21.	tgx-|-ctgx = 2.
23.	cos2x=2 sin x — —.
2
25.	34-2 sin 2x=tgx4-ctgx.
27.	—-----25tgx = 0.
cos2x
29.	2(sin2x —cos2x)= — 1.
31.	cos 2x = 2 sin2 x.
33.	2cos2x— sinx—1=0,
8sCxsC40.
35.	1_______l _ I — 16
I 4-cos2 x sin2 x 11
37.	29 — 36 sin2 (x —2)—
— 36 cos (x — 2)=0.
39. sin4 A—cos4 21= A.
2	2	2
41. Acos2 x4-sin x= 1.
3
43.	1 4-sin 2x=24 sin2x —
— 24 sin4 x.
45. 3cos x-|-5 sin Z.-|-1 =0.
47. tg2x—2sin2x=0 на
(-|я; 2л).
49. 2cosx—cos 2x — cos22x = 0.
51. 8sin22x — 2cos2x = 5.
10. 2tgx—2ctgx = 3.
12. cos2 x-|-sin4 x= i.
14. tg2x —2tgx = 3.
16. 2 cos2 3x 4- sin 3x 4-1 = 0.
18. 1—5 sin x4-2 cos2 x = 0.
20. 4 — 5cosx—2sin2x = 0.
22. 8sinx4-5=2cos2x.
24. 3 cos2 2x4-7 sin 2x —3=0.
26. sin 3x — 3cos6x = 2.
28. cos2x-|-3sin2x=2.
30. tg2x----§-4-7=0.
COS X
32. sin2x — cos2 x 4-2 sinx 4-
4-1=0.
34. cos2x=l—3cosx,
lsCxsC50.
36. 6sin2x4-5cosx —7=0.
38. cos 2x4-767 sin x 4-383=0.
40. (cos 2x —sin 2x)2 = sin 4x.
42. sin2 x — cos 2x4-2 sin x=0.
44. 3 sin2 2x4-sin 2x=(sin x —
— cos x)2.
46. 2 sin2 x4-5 sin( Ал — x) =
48. ctgx4---—=2.
14-cos x
50. sin 5x= A cos2 5x.
J
52.	cos -3Д-~ЬХ- • cos fo-4--2x. = — A tg(2 arctg 1,5).
3	6	48
53.	A arctg 1 — 3 cos x 4- cos 2x =-----cos(?~x)—__.
я	ctg 2x4-tg(x4-y)
54.	sin x—cos x—2(1 4-cos 2x)sin x = 4 sin3 (7л — x).
9
55.	ctg ( А л + x^ — tg2 x=(cos 2x — 1)—®----—.
V 2	/	cos’x ,_tg2 л
56.	tg2 x — 374 tg x—374 = 2 sin 70° cos 20° — sin 50°.
57.	---!--1—— • cos ( x — 2Л = —-—.£*£ *_
14-ctg x ^2	'	4/ 2(l+ctgx)
58.	( cos Л — sin 20 • ( —!-(- tg x) = sin JL • cos x.
59.	tex — sin25x=cos25x.	60. sin4x—cos4x = cosx.
0<х^л,
61.	sin(^.+x) -sin(-l-x) = tg 2_ + ctg 2.) .
62.	1-|-cos x=ctg	63. 2(x—6)cosx=x — 6.
64.	cos 4x H—>otRX =3, — А л	x < —.
tg2x+l	4	2
65.	(tg2x— 1) 1 = 1 + cos 2x.
66.	-\/l—cosx=sinx, л^х^Зл.
67.	4 sin 2L + 6 sin2 2L — ( sin 2L — cos A) -|-3, —2L^x^2n.
2	2	\	4	4/	3
68.	(sin 3x + cos 3x)2 = 1 + cos 2x.
69.	2 sin2 x + 2 cos 2x—-\/2 cos x — 2 cos x-j- ~\/2=0.
70.	V4 sin2 210° + ctg4 .L = 10.
71.	tg4(2x — 2л) — tg3-^5-= 16 sin2 Д.
72.	-Jsin2(x-JLn) = _L.	73. 2 cos2 (x+270°)—7cos(x +
V \	2/2	-|-90°) = 4.
74.	ctg ( А л—x) — ctg2 x + 1+cos 2-x = arccos 1.
*2	/	sin2*
75.	^8 cos x — 1 = (-y/2 — д/2)д/ cos x.
7e.(sln|-cos|)!=tg|-t6(2.+ “).
77.	2tg-?.n — 6sinxcosx= >—Ш22й.
Б 4	1 ч-tg2 2*
78.	sin x+cosx = tg_9 лН-
4 т ,+tg2x
79.	2cosx+tg_?.л = —J—.
4 cos*
80.	cos2x + sin2x+sin x= _l_(-\^— l)(-\/2-|- 1 +	+ .1 +...).
81.	—-----3tgx= ‘ + 2 +A + - •
cos x	3	9	27
10
82.	—1— -ctg2x=l + ^(ctgx-l).
sin 2x	3
83.	VT—cosx=sinx, 2л^х^2Ал.
84.	(1 — sin x)ctgx=cosx. _i
85.	43+2 cos 2jt — 7-4i+cos2z — 4 2 =Q.
86.	Vs'n x==s>n x	87. tgx-|--c0- x =2.
1 + sin x
88.	-y/l —cos 2x=—-J2cosx, ()<х<__л.
_______ v	2
89.	д/1 —cosx——sinx, О^х^л.
90.	VT—cosx=—sinx, 0^х^2л.
91.	л/1 —cos 2x=-\/2 cos x, 0^х<2л.
v_______ v	2
92.	V* —sin x= — cosx, 0<1х^2л.
93.	4 arctg(x2 —Зх—3)—л = 0.
94.	sin (arcsin(x>2— 6x4-8,5))=sin 2L.
6’
95.	(-\/2sin2x—cosx):sin4x=0.
96.	д/з + 2tgx-tg2x= *+3*8*.
97.	3-|-2sinx—3cos2x = 0.
98.	2sinx-|-3cos2x—3 = 0.	99. 2cos2x — 3cosx-|-2 = 0.
100.	sin3 x cos л — sinxcos3x=——.
4^2
101.	л/3 — cos(n — 2x)—sin 2a+8x- =sin 7x-ctg-|-л.
= cos Ал-tg Ал.
2	4
105. 1 — 2-<j2 cos3 3x + cos 6x = 0-
107. —— = 2 — ctg x.
1 4-cos x
109. --512^2— =0.
cos 3x COS X
111. д/з—^/3cosx+ д/3sinx=0.
113.	sin 2x = (cosx — sinx)2.
— x) = 1 + 2 sin x.
116. 2cos23x-|-sin 3x-|-1 =0.
118. 7sinx = 3cos2x—3.
120. 5(1 + cosx)=3 + cos4x—
— sin4x.
102.	1 + cos (л + 2x)—cos -a-g —
103. cos 2x-|-4 sin3 x= 1.
104. 1—2 sin53x=cos 6x.
106. (1 —cosx):sin 2. =2.
Ю8. cos2x =0.
1—tgx
110. (Уз sin2 x—cos x): sin x=0.
112. д/1 —^2 sin x + 2 cos x = 0.
114. sin^2x-|--|.n)—3cos(-Ln
115. 2 sin2 x-|-5 cos x-|-1 =0.
117. cos 4x-|-6=7 cos 2x.
119. 7 sin x=3 cos 2x.
11
121.	tg4 x + tg2 x 4- ctg4 x — ctg2x = -!^-.
122.	tg4x-|-tg2x -|-ctg4 x-|-ctg2x = 4.
123.	ctgx— д/3tgx-|- 1 = д/3.
124.	4 cos 4x + 6 sin2 2x4-5 cos 2x=0.
125.	1—5sinx-|-2cos2x = 0,
2	2
§ 6.	ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнения a sin x-f-b cos x = 0; a sin2 x-^-b sin x cos x-|-c cos2x = 0;
asin’x-J-Л sin2xcosx4-csinxcos2x4-dcos3x=0 и т. д. называют
однородными относительно sinx и cosx. Сумма показателей степе-
ней при sinx и cosx у всех членов такого уравнения одинакова.
Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Рассмот-
ренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и третью
степень. Делением на cos*x, где k — степень однородного уравне-
ния, уравнение приводится к алгебраическому относительно функ-
ции tgx.
Рассмотрим уравнение asin2x4-6 sinxcosx-|-ccos2x = 0 (1).
Разделим уравнение (1) на cos2x, получим: atg2x-f-b tgx-|-c = O (2).
При a=/=0 (1) и (2) равносильны, так как cosx=/=0. Если же cosx=0,
то из уравнения (1) видно, что и sinx = O, что невозможно, так как
теряет смысл тождество sin2x4-cos2x= 1 (sinx и cosx при одном
и том же значении х в нуль не обращаются). Из уравнения (2)
определяем значения tgx, а затем находим соответствующие зна-
чения х. Очевидно, что при Ь2— 4ас<0 значения tgx не существуют
на множестве R, а потому уравнение (2), а значит, и уравнение (1)
решений не имеют.
Уравнение asin2x-|-bsinxcosx4-ccos2x=d (3) в таком виде
не является однородным, но его можно привести к однородному,
умножив его правую часть на sin2 x-|-cos2 х= 1: asin2x4-
4-6sinxcosx-|-ccos2x=J(sin2x4-cos2x); т. е. a sin2 х 4- b sinx cosx -|-
-|-ccos2x = d sin2x-|-dcos2x или (a —d)tg2x-|-^ tgx-|-(c— d)=0 (4).
При a=£d уравнения (3) и (4) равносильны. Из уравнения (4) на-
ходим tgx. а затем соответствующие значения х.
Примеры. Решите уравнения.
а)	2 sin х—3 cos х=0, cos х=/=0.
Решение. Разделим обе части уравнения на cos х: 2 tg х— 3=0
и tgx= А, х = arctg А 4-Лл, ieZ. Ответ: х = arctg4-^л, &eZ.
б)	sin 2x4-cos 2х=0, cos 2х=/=0.
Решение. Разделим обе части уравнения на cos2x: tg2x-|-
4-1=0, tg2x= —1, 2х=—Д-4-Лл, 2х = (4/г—1)А, х = (4Л—1)"
4	4	8
k^Z. Ответ: х = (4Л—1)А, k^Z.
12
в)	cos2x-|-sinxcosx=0.
Решение. В условии не указано, что cosx=#=0, а потому
делить уравнение на cos2 х нельзя. Но можно утверждать, что
sinx=#=O, так как в противном случае cosx=0, что невозможно
одновременно. Разделим обе части уравнения на sin2x, получим:
ctg2x-|-ctgx=0; ctgx(ctgx-|-1)=0. l)ctgx=O, х = 21-|-лл или
2)	ctgx =— 1, х= -?_л-|-/гл, k, nsZ. Ответ: х=21-|-пл, х=
= _1л-|-/гл, п, k^Z.
г)	4 sin2x-|-2 sin xcosx=3.
Решение. Умножим правую часть уравнения на sin2x-|-cos2x.
Получим:	4sin2x-|-2sinxcosx=3sin2x-|-3cos2x, sin2x+
4-2sinxcosx — 3cos2x=0. Очевидно, что cosx=#=0. Разделим на
cos2x, получим: tg2х-|-2tgх—3=0, tgx=—3 и tgx=l, х=
=— arctg3 +/гл и х=21-|-пл, k, n^Z. Ответ: х=—arctg3-|-
4
+ /гл, -1-|-пл, /г, neZ.
Решите уравнения.
1.	3cos2x— 5sin2x — sin2x=0.
2.	6sin2x — J-sin 2x —5 cos2x=2.
2
3.	sinx — cosx = 0.	4. sinx-|-cosx=0.
5. 5 sin x-j-6 cos x=0.	6. 4 sin2 x-|-sin 2x=3.
7.	sin2x--Lsjnxcosx=_L.
д/3	2
8.	6sin2x-|-_Lsin 2x—cos2x=2.
2
9.	sin2x — sin2x = 3cos2x.	10. 2sin4x—3sin22x=l.
11. cos2x-|-3sin2x-|--v^sin2x= 1. 12. ctg2x—tg2x = —l—.
13.	sin4x —3cos4x=8sin22x.
14.	3sin2x — 2sin2x-|-5cos2x=2.
15.	2sin2x-|-cos2x4-3sinxcosx=3.
16.	cos2x—3sinxcosx-|-2sin2x = 2.
17.	2 sin2x — cos( A-|-x^ sin(_|_л-|-х) —sin2( _|.л-|-х) =
= 4 arccos 1.'
18.	sin2x-|-sinxsin(JLл—x)—cos2x=l.
19.	13 sin2 x+84 sin 2x — 13 cos2 x + 1 = ? sin.l8° coslgt
cos 54°
20.	sin2x—79 sin 2x-|- 153 cos2 x-|-2 sin 5xcos 3x = 2 sin 3x cos 5x.
21.	sinx-|-cosx—1 =ctgA(cosx—1).	22. —®— = ctgx-|-3.
2	sin2 x ______
23. (1 +tg2xXl -|-Sin2x)= 1.	24. 2cosx=-\/2-|-sin 2x.
25.	3 cos2x=4 sin xcosx — sin2x.
13
26.	sin2(x+ 180°) 4-3 cos2 (x 4-270°)= 1. «. <х<-|.я.
27.	-y/i — cos 2x=-\/2 cos x.
28.	2 sin2x — 4 sin x cos x 4- 1 =0.
29.	4cos2x-|- -Lsin2x+3sin2x = 3.
30.	cos2x—3sin2x-|-3 = arccos( —2.) —уЛ.
31.	sin2x = cos4x—sin4x.
32.	sin2x — cos2x = 2— 2sin2x.
33.	cos2x4-V3sinxcosx=l.
34.	1 4-— sin 2x-|-cos2 x=0.
35.	(y/3— l)cos2x-f-(l 4-V3)sinxcosx4- 1 =0.
36.	4sin2(-1л—x) -|-3sinxsin( 1л-х) -|-5sin2x—21 X
Xarcsin_L =0.
2
37.	4 sin 2x-|- 10cos2x-|-cos2x= — arcsin 1.
Л
38.	sin 2(x - л)- cos 3( л 4- -lx) + tg 2x =	'
39.	(3 —ctg2x)sin 2x=2(l 4~cos 2x).
40.	11 sin27x—-Isin 14x-|-5cos2 7x = o —6. Указать, при каких
целых значениях а уравнение может иметь решения.
41.
42.
44.
sin2x4-cos2x=2cos2x-|-sin2x, — у <*<у -
sin 2x4-cos 2х=—!—
sin 2х
4cosx-|-2sinx= —4.
43. —t----6cos3x = 4sin3x.
cos Зх
45. 4 sin2x—3cos2x=3.
46.	6sin2x—_Lsin2x—cos2x = 3.
47.	2 sin2x4-14cos2x—7sinxcosx = 2.
48.	2cos(x — 270°)—5cos(x4-180°)=0.
49.	4sin2x —4sin2x-|-10cos2x=3.
50.	5sin2x—2 sin x cos x 4-cos2 x = 4.
51.	3sin2x—2->/3sinxcosx4~5cos2x=2.
52.	3sin2x—2-y3sinxcosx-|-cos2x=0.
53.	5 sin2 x 4-3 cos2 x=4 sin 2x.
54.	cos2 x 4-cos 2x=6(cos2x—sin2x).
55.	sin23x=3cos23x.
56.	sinx-|-cosx = —!—.
cosx
57.	sin(x — 90°) 4-sin (x— 180°)=0,5.
$ 7. УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ НА МНОЖИТЕЛИ
При решении уравнений этого параграфа нужно пользоваться
всеми известными способами разложения на множители алгебраи-
ческих выражений. Это вынесение за скобки общего множителя,
группировка, применение формул"сокращенного умножения и деле-
ния и искусственные приемы. Необходимо также знать формулы,
данные в § 5, и формулы:
1) tg(a±₽)= —2) sin3a = 3sina — 4sin3a,
ITtga tg₽
3) cos 3a = 4 cos3 a — 3cosa.
Решите уравнения.
I. sin2x—sinx=O. 2. ctg2x — 4ctgx=0. 3. tg2x—2tgx=0
4.	tg3x=tgx.	5. cosxtg3x=0.	6. tg- =0.
sin 3x
7.	sin2x=cos4.£—sin4 A. 8. (1-|-cos 4x) sin 2x=cos2 2x.
9.	ctg( А л 4-x) — tg2x = (cos2x—1)—L—.
10.	2 ctg2 x cos2 x 4- 4 cos2 x—ctg2 x—2 = 0.
11.	2tg3x — 2tg2x4~3tgx — 3=0.
12.	cos 2x=-\/2(cosx— sinx).
!3- tg (y 4-x)—ctg2x+-^^(l+cos2x)=0.
14.	2sin3x—cos2x — sinx=0	15. (cos6x—l)ctg3x=sin 3x.
16.	cos2x= 1	(cos x 4~ sin x).
17.	3(1—sin /)-|-sin4/= 1 +cos41.
18.	tg 3x — 2sin 3x=0.
20. cos 2x-|-sin 2x-|-cos x
21. sin 3x = o sinx.
23. sin 2x+cos 2x = 1.
25. cos4 — 4-sin2 JL = 1.
5	5
27. cos2x=cosx — sinx.
29. cos2 A 4-2 sin3 A = 1.
3	3
31. 2 cos2 — 4- sin x = 0.
2
33. ctg2x —tg2x=4-^ctg2x.
35. cos22L-|-sin43. = 1.
3	3
37. ->/3sinx — cosx—1=0.
39. sin 4x —cos 2x = 0.
19. 1 — sin 2x=cosx—sinx.
= 1.
22. tg _£ -|-cosx= 1.
24. sin2_£—cos_£ = l.
2	2
26. 1 — sin4x—Acos4x=0.
3
28. 1 -f-cosx-f-sin x=0.
30. ctg2x—tg2x=8cos2x.
32. cos x-|-sin x=cos 2x.
34. ctg2x —tg2x = 4cos2x.
36. cos2 JL -|- 2 sin3 — = 1.
5 '	5
38. л/З sin _£ 4-1 = cos x.
2
40. Jd-.tg* = (sinx4-cosx)2.
1-tgx 4 т /
15
41. sin x + ~\[3 cos x + д/З = 0.	42. 1 — cos 6x = tg Зх.
43.	2 sin3 x-|-cos2 2x=sin x.
44.	2 sin 2x(->/3sinx-|-cosx)=3sin2x—cos2x.
45.	sin 6x+cos 6x= 1—2sin3x.
46.	4sinx — 3cosx=8sin2_S.
2
47.	tg-Ltg -(-(cos-^y*)	=2, —i^x^2n.
48.	cosxtg(-l—x) -|-sinxtgx = sinx-|-cosx.
49.	2—tg(.3 л4-2х) 4-2 cos 4x=0.
50.	Aarctg I — tgx= 10'8“«4
л
51.	ctg2(JLn—x')-----------|-sinx=l.
'4	1+‘g2y
52. sin4x — 3 sin3 x 4-3 sin x
54. cos2x = cos3x—sin3x.
56. 8cos4x —cos4x= I.
58. cosx —cos2x= 1.
60.	tgx—sinx = 2sin22L.
Б	2
62. sinx =—д/2 sinx cosx.
64. sin2x=cos4JL—sin’2L.
2	2
66. sin’x=l—cos2x.
— 1= 0. 53.	= (sinx4-cosx)2.
55. tg2x=(l 4-cos3x):(l 4-sin3x).
57. 2 sinx—cosx=l — sin 2x.
59. 1 4- sin x 4- cos x 4- tg x = 0.
61. 1—cos(n — 2x)-|-sin( IL 4-x) =0.
63. 4(1-|-cosx)=3sin2 2-Cos _L.
65. sin 2x-|-cos 2x= 1.
67. sin4x=cos’x — sin’x.
68. 1 — cos 2x=-^/3 sinx.
70. 2cos2x = -\/6(cosx—sinx).
69. cosx—д/2 sin _L = 1.
2
71. 5 sin 2x—2 sin x=0.
72. 3cosx-|-2sin2x=0.
74. 2cos — cos2L = l.
4	2
76. sin — 4- cos — = 1.
4	4
78. (1 -|-cos 4x)sin 2x=cos2 2x.
73. 2 sin — -|-cosx= 1.
2
75. 1—2 sin 2L =cos-L.
6	3
77. 2 cos — — 1 = cos —.
6	3
79. sinx4-cosx=(cos2x):(l—sin2x).
80. sin3xcosx—sinxcos3x=
81. sin 2x—ctgx=0.
83. tg-f. =3ctg 2я~~.
85. sin 2x4* cos 4x= 1.
87. sin2x-j-->/3—2cosx—-^/3<
88. sin3x(l — ctgx)-|-cos3x(l-
4^2
82. 1 — cos 6x = tg 3x.
84. cos 2x=-\/2(cos x — sin x).
86. sin 2x-|-3 sin x = 0.
in x=0.
tg x)= 1,5 cos 2x.
16
89. 2sin52t — sin32t — 6 sin22/4-3 = 0.
90. sinxtgx +1 = sinx-|-tgx. 91. sin2 x-|-Asin 2x= 1.
92. sinx-|-cosx—sin2x=l.	93. sinx+sin3x-|-4sin3x=0.
94. sinx-|-sin2x=cosx-|-2cos2x. 95. 1 + sin2x=sinx-|-cosx.
96. tg2x=
1 —sin x
97. ctg2x= 1+2*4..
1 4-COS X
98. sin3x —cos3 x = sinx—cosx. 99.
100.	cos 3x=cos3 x.
101.	4 sin2 x(l -J-cos 2x)= 1—cos2x.
удовлетворяющие неравенству x2<4.
——1^-4- = 2 cos 2x.
4-tg^x
Найти решения уравнения.
/	\ 2tg —
102.	tg( — — xj-------—=2sin22L.
2	l+tg’f 2
103.	3(cos3x4-cos3(-|.n+*)) =2(sinx+sin(lZn+x))-
104.	2( 1—sin( Ал—x)) =V3tg^£-.
105.	ctg4x = sin3x+1. Найти хотя бы один корень уравнения.
106.	1— cos(n-|-x)—sin ^+4 =0.
107.	—l_-tg2x + ctg(4+x) = -£2^.
cos х	'2	/ cosx
108.	2(x—5)sinx=x—5.
Ю9. —— =0.
COS X cos 3*
110.	sin( An-|-2x) = 1 — 3sinx.
111.	sin3x(l -|-ctgx)-|-cos3x(l -|-tgx)=cos2x.
112.	sin — — cosJL =cosx.
2	2
113.	tg3x=sin6x.
114.	cos (x+90°)+ctg (360°—x)=0.
115.	cos 2x= 1 Al/З (cos x—sinx). 116. ctgasinx=l—cosx.
117. tgacosx=l—sinx. 118. sin3xcosx — cos3xsinx= A.
119. —sinx = sin A. 120. tg2x—2sin2x=0, —Лл^х^2л.
1-l-cosx 2	4
121.	cos-An-|-2x) =2-t/3sin ±sin( 2L-|-Л.).
122.	д/З —tgx=tg(_in —x) .
123.	sinx-|-cosx—1 = (ctg-i.)(cosx—1).
f 8. УРАВНЕНИЯ. РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ УСЛОВИЯ РАВЕНСТВА
ОДНОИМЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Многие тригонометрические уравнения могут быть приведены
к равенству одноименных тригонометрических функций. Такие
уравнения решаются на основании условий равенства одноимен-
ных тригонометрических функций, т. е. тех условий, которым долж-
ны удовлетворять два угла: аир, если a) sin а = sin р, б) cosa =
= cosp, в) tga = tgp.
Выведем эти условия.
Теорема /. Для того чтобы синусы двух углов были равны,
необходимо и достаточно выполнение одного из следующих усло-
вий: разность этих углов должна равняться л, умноженному на
четное число, или сумма этих углов должна равняться л, умножен-
ному на нечетное число.
Доказательство необходимости.
Дано: sin а = sin р.
Доказать: а —р = 2пл или а+ р = (2п-|- 1)л, neZ.
Из условия следует: sin а — sinp=O, 2sina2~ cos =0,—
это выполнимо, если 1) sin а~Р =0,	= пл, а — р=2пл, neZ,
или 2) cos-5^=0, -S^- = -J(2n+l), а + р=л(2п+ I).
Доказательство достаточности.
Дано: а — р=2пл или а + р = л(2п-|-1), пе/.
Доказать: sin а = sin р.
Из условия следует: 1) а = 2лл-|-р, тогда sin a = sin (2пл-|-р),
т. е. sina = sinp, или 2) р = л(2п-|-1)— а, тогда sin р = sin (л(2п+
+ 1)—a), sin p = sin(2nn-|-(n — а)), sin р = sin (л— а), т. е. sinp=
= sin а.
Примеры.
a)	sin3,8n=sin 1,2л, так как 3,8л+1,2л = 5л.
б)	sin 5,3л=—sin 2,7л, sin 5,3л=sin ( — 2,7л), так как 5,3л —
— ( —2,7л)=8л.
в)	sin 880° = sin 380°, так как 880°+ 380°= 1260° = 7-180°.
г)	sin 3,2л =/= sin 0,8л, так как не выполнено ни одно из условий
равенства синусов.
Теорема II. Для того чтобы косинусы двух углов были равны,
необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий:
разность этих углов должна равняться произведению л на четное
число.
Сумма этих углов должна равняться произведению числа л
на четное число.
Доказательство необходимости.
Дано: cos а = cos р.
Доказать: а — р = 2пл или а + р = 2пл, neZ.
Из условия следует: cosa — cosp = 0, —2sin g~P-sin =
18
=0,— это выполнимо, если 1) sin gg-P =0,	а — 0 =
= 2пл, или 2) sin —+ Р =0, =пл, a-f~p = 2nn.
Доказательство достаточности.
Дано: а — 0=2fen или a + 0=2fen, keZ.
Доказать: cos a=cos 0.
Из условия следует: a = 2fen + 0, cos a=cos (2fen + p)=cos р,
или а = 2/гл —р, cos a=cos (2fen — 0)=cos(— P)=cos р.
Примеры.
а)	cos 4,7л = cos 3,3л, так как 4,7л + 3,3л = 8л.
б)	cos 15л = cos 11 л, так как 15л—11л=4л.
в)	cos 17,3л=cos 11,3л, так как 17,3л—11,3л=6л.
г)	cos 5,3л =/= cos 3,7л, так как 5,3л — 3,7л= 1,6л =/=2fen и 5,3л +
4-3,7л = 9л =/=2fen, т. е. не выполняется ни одно из условий равен-
ства косинусов.
Теорема III. Для того чтобы тангенсы двух углов были равны,
необходимо и достаточно одновременное выполнение двух условий:
тангенс каждого из данных углов существует и разность этих
углов равна числу л, умноженному на целое число.
Доказательство необходимости.
Дано: tga = tgp, a=A(2*+!)-£ и р=#(2Л +1)Д, fe«=Z.
Доказать: а — 0=fen.
Из условия следует: tga— tg 0 = 0; sin(g~P) =0, но из усло-
вия следует, что cosa=/=0 и cos0=/=O, а потому sin (а — Р)=0;
откуда a — p = fen, fee?.
Доказательство достаточности.
Дано: a—p=fen, a=A(2fe-|-1)21 и p=^(2fe-|~ 1)Д, feeZ.
Доказать: tg a = tg 0.
Из условия следует: a = 04-fen, тогда tga = tg(p-{-fen). Период
тангенса равен л, а потому tga = tg0.
Примеры.
а)	tg9,7n = tg 1,7л, так как тангенс каждого угла существует и
9,7л— 1,7л=8л.
б)	tg 8,7л — —tg 1,3л, tg 8,7л=tg( — 1,3л), так как тангенс каж-
дого угла существует и 8,7л—(—1,3л)= Юл.
в)	Нельзя утверждать, что tg _|_л = tg Ал, так как не выпол-
нено первое условие (тангенсы этих углов не существуют), хотя
к з
выполнено второе условие: -±л—-2_л = л.
г)	tg4,3n=#=tg( — 2,5л), так как не выполнены оба условия:
4,3л —(2,5л)=6,8л =/= fen, где feeZ, и tg2,5n не существует.
Используем доказанные теоремы при решении тригонометри-
ческих уравнений, которые либо представляют собой равенство
тригонометрических функций, либо могут быть к такому равенству
приведены.
19
Решите уравнения,
a) sin 3x = sin 5х.
Решение. На основании условий равенства двух синусов
имеем: 1) 5х— 3x=2kn, 2x = 2kn, x = kn, ksZ, или 2) Зх-|-5х =
=(2fe-|-l)n, x=(2£-|-1)21, fceZ. Ответ: x = kn, x = (2£4-l)2L,
feeZ.
6) sin 5x——sinx.
Решение. Заменим уравнение равносильным: sin5x=sin( — х).
На основании условий равенства двух синусов имеем: 1) 5х—
— ( —х)=2£л, 6х=2£л, х = £А, feeZ, или 2) 5х-|-( — х) = (2£-|- 1)л,
в
Решение.
x = (2*+l)2L, feeZ. Ответ:	(2* + 1)_^, feeZ.
21) =cosx.
6/
Заменим уравнение равносильным: sin^8x—21) =
1) 8х— 21 — 21 -|-х = 2/гл,	9х= А л 4-26л, х=
2) 8х—21 + -1 —х=(2£+1)л, х=
(3*+1)^л, (3*+1)£л, k^Z.
6
или
= ^л(3*+1),
= £л(3*+1),
г) cos Зх = cos 5х.
fceZ. Ответ:
Решение. Воспользуемся равенством косинусов двух углов:
1) 5х — Зх = 2£л, 2х = 2£л, x — kn, k^Z, или 2) 5х-|-Зх = 2£л, 8х=
= 2£л, x=fe21, fceZ.
4
Решение данного уравнения может быть записано в виде:
x = k — , так как каждый из корней совокупности x=kn входит
4
в совокупность x=kJL при k, кратном 4. Ответ:	keZ.
д) cosЗх=sinx.
Решение. cos3x=cos^21—х) . Воспользуемся равенством
косинусов двух углов: 1) Зх——х) =2пл, 4х=(4п-|-1)-^-,
х=(4п-|-1)21, neZ, или 2) Зх+ — — х=2пл, 2х=(4п—1)21, х=
8	2	2
= (4п—1)Д_, n^Z. Ответ: х=(4п-|-1)21. х = (4п—1)-5_, n^Z.
е) tg3xtg(5x-by) =1.
Решение. Делим обе части уравнения на tg Зх. Это допустимо,
так как в данных условиях tg Зх не может равняться нулю:
20
tg(5* + y) = -ip7- tg(5x+2L)=ctg3x, или tg(5x-|--j) =
= tg^-^- — Зх) . На основании условия равенства тангенсов двух
углов имеем: 5х 4-А —	-|-Зх = пл; 8x=JL-|-nn, х=(6п-|-1)2L,
neZ. При каждом значении х из этой совокупности каждая из
частей уравнения tg(5*+-j)=lg(^—3*) существует. Ответ:
(6«+1)^- neZ-
Решите уравнения.
1. sin2x=sin5x. 2. sin3x=cosx. 3. cos4x=cos6x.
4. cosЗх= sinx. 5. tg2x=tgx. 6. tg^5x+-^ ctg3x=l.
7. sin/2—sin/=O.
8. tg(x+l)ctg(2x+3)=l. 9. tg(/2—l)ctg2= 1.
10. sin5x=cos7x — cos Ал.
_______________ 2
u.
12.	д/cos (x-|- 1)=д/cos x, 0^х^2л.
13.	д/cos x=-\/sin (x+2), 0^х^2л.
14.	д/sin(1 —x)=д/cos x, 0^х^2л.
15.	sin7x = cos3x.
16.	(1—sin 3x)cos 16л= ( sin _£—cos-f.) .
17.	14-sin 2x=(cos 3x4-sin 3x)2.
18.	ctg ~ = ctg Ax.	19. sin3x=cos2x.
20-	1е(т~,1х)— 1е(4л-5х)=0'
21.	sin 2x-|-cos 2х=д/2 sin 3x.	22. tg (x-|-n)=tg^ 2L— x) .
23.	sin (лд/8 cos x)=cos (лд/8 sinx). 24. sinx2=sin8x.
25.	cos(lgx)=sin(lgVx).
26.	tg(±+Ja£)-tK^.=o.
27.	tg (л ctg x)=ctg (л tg x).
28.	2 sin 2x(-\/3sinx4-cosx)=3sin2x — cos2 x.
29.	д/l -|-д/sin 2x 4- д/1 — д/sin 2x = д/l -|-д/cos x 4- д/1 — д/cos x.
30.	д/1 4-Vcos2x-|-V* —д/cos2х = д/1 -j-Vcosx-f- д/1 —д/cosx.
31.	sin (л tgx)=cos(n tgx).
32.	-y*2cos 13x=cos 5x-|-sin 5x.
21
f 9. УРАВНЕНИЯ. РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Формулы преобразования суммы тригонометрических функций
в произведение:
si n а -|- sin р=2 sin a+P cos g~P ;
к ’	2	2
sin a — sin В = 2 sin g~P cos g+^ ;
r	2	2
cos a 4-cos В=2 cos g+^ cos g~P ;
K	2	2
cos a—cosp=2sin g+^ sin P~g при p>a;
cos a—cos p= —2 sin g+^ sin g~P при p<a;
tg a± tg B= sinfc±P) 
Б	cos a cos p
ctg a + ctg p = sln(?+£) ;
sin a sin p
Ctg a — Ctg В = g) .
Б	r sin a sin P
В некоторых примерах придется применять формулы:
sin(a±p)=sin acosp±cosasin 0;
cos (a±p)=cos a cos p=Fsina sin p.
Решйте уравнения.
1. sinx-|-sin3x = 4cos3x. 2. tgx-|-tg2x — tg3x=0.
3.	sin(15°4-x)4-sin(45°— x)=l.
4.	sin 2x-|-sin(n—8x)=V2cos 3x.
5.	0,5(cos 5x+cos 7x)—cos 2 3x + s in 2 3x=0.
6.	2(cos 4x — sinxcos3x)=sin 4x +sin2x.
7.	cos9x — cos7x-|-cos3x—cosx=0.
8.	sin x -|- sin 7x—cos 5x 4- cos (3x—2л)=0.
9.	sin3x—cosЗх= ~\/ A.
V 2
10.	-ySsin 2x-|-cos 5x—cos9x = 0.
11.	sin 3x=2cos(-£. — x) .
12.	1-|-cos 14-cos 2t 4-cos 3t = 0.	13. sin9x = 2sin3x.
14.	sin 2x4-cos2x=\2sin 3x.
15.	sin 2x —sin 3x4-sin 8x=cos( In4-7x) .
16.	cos 7x-|-sin 8x = cos3x—sin2x.
17.	cos5x-j-cos7x=cos(n4-6x).
18.	sin3x-|-sin5x=sin4x.
19.	sin x -|- sin 2x -|- sin 3x=cos x4- cos 2x -|- cos 3x.
20.	sin(15°4-x)4-cos(45°4-x)4- y = °-
21.	sin (y+3*) — sin(n—5x)=-\/3(cos 5x — sin 3x).
22
22.	sin x — sin Зх — sin 5x +sin 7x=0.
23.	sin3x —sin7x=-\/3sin2x.
24.	sin 3x-|-sin x=4 sin3x. 25- sin6x-|-sin2x = -Ltg2x.
26.	sinx 4-sin 3x=sin 2x. 27. cos x-|-cos 2x-|~cos Зх-h cos 4x=0.
28. cos9x4-cos6x+cos3x=0. 29. sin3x—sin7x=-\/3sin2x.
30. cos7x-|-sin22x=cos22x—cosx. 31. —!--1--!—=2’72.
Sin X cos X
32. sin3x-|-sin2x-|-sinx=0. 33. sin x-|-sin 3x-|-2 cosx=0.
34. cos2x—cos8x-|-cos6x= 1. 35. sin3x-|-sin5x = sin4x.
36.	sinx-|-sin3x = 0.
37.	6tgx-|-5ctgx=tg2x, —^.<x<y.
38.	cos5x—sin^3x—=->/2 cos(4x-|-3n).
39.	sin6x —cos^4x-|-An) =’T2sin^5x—.i) .
40.	cos 7x-|-cosx = cos2 2x—sin2 2(л— x).
41.	—tg(n —x)4-ctg2( An—x) =tg3x.
42.	cos 1 Ox-J-cos 8x-|-3 cos 4x-|-3 cos 2x=0.
43.	cos 7x-|-cos2 2x = sin2 2x — cos x. Найти все решения, удов-
летворяющие неравенству х2<16.
44.	sin Зх=cosx—sinx. 45. cos 7x4-cos х=4 cos 4х.
46.	tg A.x-|-ctg(2L — "x) =0. 47. ctg 15x-|-ctg3x=0.
sin x4-sin 2x  ।
sin 3x
49.	tg( Ал— xj -j-tg^-H. — x) =2sin2x.
50.	cos x 4- cos 2x -|- cos 3x 4- cos 4x -|- cos 5x=0.
51.	sin(x4-7)4-sin(3x—l)=cos(x—4).
52	cos 2x+cos6x _ q	53 sin x — sin 3x _ q
3 cos 2x	2 sin3 x
54.	cos x — cos 3x=s in 2x.
SS.	sln("+4 -sin( "-x) - 18
56.	sin x-|-sin 2x —sin(3x-|-л)=cos2x4-cosx — cos(3x-|-n).
57.	sin(5x-|-л)4-cos(Ал-|-Зх) = cos 4x.
58.	14-sin x-|-cosx 4-sin 2x-|-cos 2x=0.
59.	cosx—cos2x — sin_L=0.
2
60.	cos 3x—2 cos 2x-|-cos x = 0.
61.	tg (120° 4-3x)4- tg (40° 4- x)= 2 sin (80° 4- 2x).
62.	cos x 4- cos 2x=sin 3x.
23
63. cosx
-|-cos(x-|-arctg(tg2-n)) +cos(x+ In) =0.
64.	Sin x +sin 3x4-sin 5x _|_ 2 tg X = 0.
cos x-|-cos 3x-|-cos 5x
65.	sinx-]-sin 2x-|-sin 3x-|-sin 4x4-sin 5x = 0.
66.	1 4-cosx-|-cos2x-|-cos3x-|-cos4x=sinx-|-sin2x-|-sin 3x-|-
4-sin 4x-|-sin 5x.
67.	cos2x4-2sin2x=-^±^-. 68. 2tg3x —3ctg3x = tgx.
69.	tgx —tg3x-|-tg5x = 0. 70. ctg(x-|-_l) -|-ctg(x—±.) =\*3.
71. 2ctg2x — 3ctg3x=tgx. 72. sin 7x=sin x-|-sin 3x.
73. cosx-|-cos3x = sin4x. 74. tg^2x-|-—) 4-ctg^5x—Л) =0.
75.	tg8x-|-tg2x = 0.
76.	sin(5x-|-n)-|-cos^ Ал-|-Зх) =cos4x.
77.	sin 5x-|-4 sin Зх-J-sin x=0.
78.	sinx — sin 2x-|-sin3x = 0.
79.	cosx—cos2x-|-cos3x=0.
80.	cosx — sinx=^.	81. sinx + cosx= 1.
2
82.	cosx-|-sinx = ^.	83. cosx-|-cos2x4-cos3x=0.
84.	cosx — sinx=l.
85.	cos3x-|-sin^x4-Ал) =-\/3cos(x—_^) .
86.	(sinx-|-sin3x):cosx=0.
87.	tg 1—tgx=tg(l— x).	88. tg7x-|-tg3x=0.
89.	tg^An —x) 4-tg^21— x) =2sin2x.
90.	sin(3x-|-5)— sin(x-h 1)=2 sin (x-|-2).
91.	cosx-|-cos2x = sinx-]-sin2x.
92.	sin^x—21)—sin(x-|-Ал) =cos(x-|-21) .
93.	sin(x-|- 21) 4-sin(x4- 21) =sin(x-|- _^) .
94.	cos^x—21) — cos^x— 21) =sin^x— ^) .
95.	sin^x—Ал) 4-cos(x-|-21) =cos(x— Л.) .
96.	ctg(x-|-21) 4-ctg(x— 21) =л/3.
97.	sinx-|-cos4x=cos2x — sin5x.
98.	sin 3x = 3 sin x.
99.	cos ( y 4- 5x) -|- sin x = 2 cos 3x.
100.	д/З sin 2x -|- cos 5x — cos 9x = 0.
101.	sin 7x-|-cos22x = sin2 2x-|-sinx, —21<x<:21.
4	4
24
$ 10. УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ
СЛОЖЕНИЯ УГЛОВ И РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ
Формулы сложения углов и разложения произведения тригоно-
метрических функций в сумму:
sin (а± 0)=sin а cos 0±cos а sin 0;
cos(a±0)=cos a cos 0=Fsin a sin 0;
tg(a±P)=
sin a cos 0 = у (sin (a + 0) + sin (a — 0));
cos a cos 0 = у (cos (a + 0) -J- cos (a — 0));
sin a sin 0 = _L (cos (a — 0)—cos (a 4- 0)).
Примеры.
Решите уравнения.
a)	sin(2a4-3x)—sin 2a cos 3x — cos 2a, a — некоторое число.
Решение. sin 2a cos 3x4-cos 2a sin 3x—sin 2a cos 3x = cos 2a,
cos 2a sin 3x—cos 2a = 0, cos2a(sin3x—l)=0. 1) cos 2a = 0, тогда
x^R, или 2) sin Зх—1=0, sin3x=l, Зх=214-2лл, x=(4n4-l)21,
2	6
neZ. Ответ: R, если a=(2fe4-1)21, или (4n4- 1)21, если a#=(2fc-|-
4-l)-i, feeZ.
6)	cos3xcos2x=sin3xsin2x.
Решение.’ cos3xcos2x — sin 3x sin 2x=0, cos(3x4-2x)=0,
cos5x=0, 5x=(2«4- 1)21, x=(2«4-l)21, neZ. Ответ: (2л-}-1)21,
neZ.
в)	cos (3a 2x) cos (3a—2x) 4- 0,75=cos2 3a.
Решение. _L(cos6a4-cos4x)4-0,75 = cos23a, a — некоторое
число, cos 6a-f-cos 4x+1,5=2 cos2 3a, cos 6a 4-cos 4x 4-1,5 = 1 4-
4-cos6a, cos4x= —	4x= ± —л+2лл, 4х=(3л± 1)2л, x =
2	3	3
= (3n±l)21, neZ. Ответ: (3n±l)21, neZ.
6	6
r) sin 3x sin — 3x) sin^ .2. 4-3x) = -L.
Решение.	sin 3x_( cos 6x —cos — л) = sin3x( cos6x +
+ 4-)= — , 2sin3xcos6x + sin 3x= _; sin9x—sin 3x4-sin 3x= —,
2/4	2	2
sin9x=_L, 9x = (—1)"21-|-лл, x=(—l)"21-|-/i21, neZ. Ответ:
2	v ' 6	v ’ 54	9
(— l)n21л21, neZ.
54	9
25
д) 2-V2cos(45° — х\1 4-sinx)=l—cos2x.
Решение. 2-y*2(cos 45° cos sin 45° sin xXl 4-sin x)= 1 —cos 2x,
2(cos x-|-sin xXl 4-sin x)=2 sin2x, (cosx-psinxXl -|-sin x)=sin2x;
cos x+sin xcos x-|-sin x-|-sin2x=sin2x, sin x-|-cos x-|-sin xcos x=
= 0.	(1)
9		S/2- * ЛГ
sinx-|-cosx=i/, 1 4-2sinxcosx=tr, sinxcosx=—g—. Урав-
нение (1) примет вид: t/+ ~ % * =0. if+ty— 1=0, t/i. 2= — 1 ±y/2-
1) y\ = — 1— д/2, sinx4-cosx<—2, а потому решений нет; 2) уг =
= д/2—1, тогда sinx-J-cosх = д/2—1, -\/2sin^x-|-	=->/2—1,
sin(x+ -1) =	= 1 —	-1 = (— 1)"arcsin^ 1 —	4-пя,
х=(— 1)" arcsinQ —	4-пл— 2L, neZ. Ответ: х=(—1)ПХ
X arcsin
Решите уравнения.
1.	sin (а4-х)—sin аcosx=cos а.
2.	cos (а 4-х) cos (а—х) 4-0,75 = cos2 а.
3.	cos2xcosx=sin2xsin х.
4.	sin 2хcosx = cos2хsinx.	’5. cos2xcos3x=cos5x.
6. cos3xcos4x=cos7x.	7. tg(a-|-x)tg(a—x)=m.
8.	sin xsin (60° —x)sin (60°-|-x)=-|-.
9.	8cosxcos^2L—x) cos 2L-|-x)-|-1 = 0.
10.	sin (4- 2x) ctg 3x 4- sin (л 4- 2x)—д/2 cos 5x=0.
11.	sinxcos2x4-cosxcos4x=sin^ 2L-|-2x) sin^ A — 3x) .
12.	tg2xcos3x-|-sin3x4--\/2sin5x = 0.
13.	cos -Leos —x—sin x sin 3x—sin 2x sin 3x = 0.
2	2
14.	sin x sin 3x-|-sin 4xsin 8x=0.
15.	cosxcos 2x=sin(_L-J-х) sin^-Л. 4-4x) -|-sin (.3 л-|-4х) X
X cos ( Z-л — 5x) .
16.	sinxcosxcos2xcos4xcos8x = — sin 2x.
16
17.	sin2xsin 6x—cos2xcos6x=-\/2sin3xcos8x.
18.	sin 3x cos 3x=sin 2x.
19.	tg(x-15°)ctg(x4-15°)=^.
26
20.	sin-Leos—----Lsin 2t = sin — cos
2	2^/3	2	2
21.	sin(-L4-5x) cos+ 2x) =sin ( A 4-x) sin( -1 — 6x) .
22.	4sinxcos(-L —x) -|-4 sin (л-|-x)cos x4-2 sin ( Ал—x) X
Xcos (л4-х)=1.
23.	2 sin x cos (Ал 4-x) — 3sin(n—x)cosx4-sin( Л -|-x) cosx=0
24.	cos (2/ - 18°) tg 50° 4- sin (2/ — 18°)=-!-.
2 cos 130°
25.	sin Ax cos Ax 4-sin -Leos Ax 4-sin 2xcos 7x=0.
2	2	2	2
26.	sin2xsin6x=cosxcos3x.
27.	cos 3x cos 6x=cos 4x cos 7x.
28.	cos 4xcos(n-|-2x)—sin 2x cos ( 2L — 4x) =^sin4x.
29.	cos(x4~ I) sin 2(x-|- l)=cos 3(x-|- l)sin 4(x-|- I).
30.	cosxcos 2xcos 4xcos 8x = A.
J6
31.	cos x cos 2x sin 3x=0,25 sin 2x.
32.	Asin4xsinx4-sin2xsinx=2cos2x.
33.	4 sin 2x sin 5x sin 7x—sin4x=0.
34.	tgxtg(x4- A) tg(x-b Ал)
35.	^sin 3x— Acos3x=cos7x.
2	2
36.	cos3xcos2x—sin xsin 6x=cos 7x.
37.	sinx4~cosxctg_L =—^3.
38.	sin5x—sin xcos 4x=0.
39.	cos -Leos Ax — sinx sin 3x—sin 2x sin 3x=0.
2	2
40.	2sinxsin 3x-|-(3V2—l)cos2x = 3.
41.	cosx-|-3sinx=l-|-2cos Axcos A.
2	2
42.	sinx-|-cosx=-v2sin5x.
43.	cos ( А л 4- x) sin (л—7x)=sin 3x sin 5x.
44.	2 sin 3x sin x-|-(3-^/2— l)cos 2x= 1.
45.	2 sin 2x 4~ 3 cos x= 1 4~2 cos Ax cos A.
46.	2 cos ( x 4- 21) = cos3 x — 3-^/3 sin3 x.
47.	cos 2x—sin 7x cos 6x 4- cos 7x sin 6x=0.
48.	sinf x4- —) =— (cosx—sin x).
v 4/	-J2
27
49.	cos x 4- sin Зх — 2 cos Ax cos — = —tR 221>30'—.
2	2	1- tg222°30/
50.	4 sin3 x—2 4- (3 — sin x) cos 2x = 2 tg 21 4- 2 tg 2? 4- 2 tg A 4-
8	8	8
+ 2tg£.
О
51.	tg(214-x^ 4---sin2x-1- — arccosf — A) =0.
Б\ 4	/ 14-cos2x л	X	2/
52.
53.
cos 2( 21 —x) sin 4( — 4-x) =---— sin 5x.
'	l+tg2.-^
sin 3xsinxsin^21—x) = Acos^ Ал 4-4x) .
54.	cos x cos 3x = (cos 3xcos 4x—sin 3xsin 4x)cos 5x
tg
t-------
-tg2
55.	sinxsin3x=A.
2
56.	sin Ax sin 21(1 — cosx) 4-cos Ax cos 21(1 4-cosx)= A.
2	2	2	2	4
57.	tg x 4- ctg( А л — 2x) = tg 3x 4- 3 arccos 1.
58.	cos 7xsinx4~ *~tR 2x sin 2x=cosf 5f x4- —
l+tg22x	X X 5//
59.	tg(2x4-
60.	tgИ л= _2ct£x±3_
8 -A+i)
61.	->/2sin2x — -T2cos2x=l.
62.	sin2x4-^/3cos2x=V2-
63.	sin 3x= Aarctg 1 sinx
"	l+tg2x
2 tg A
64. 4 sin (x — 2л) cos 2x cos 3x = sin 6x--—.
l+tg’y
65. 1—cos3xctgx=sin3x.
66. 2 sin 5x cos 6x4-sinx=sin 7xcos 4x.
67. 81 (sin 2x—cos 3x_9<sin x—cos *)’= 0.
Алу =2 ctg 2x4- Actg^n.
68. sin 7x-|-cos22x = sin22x4-sinx, —
69. sinx4-cosxctg21 = —-^/3.
70. 2 cos 5x cos 8x — cos 13x == 0.
71. sin(x—21) —sin(x4-_|_л) =cos(x-|-21) .
28
72.	sin lx cos 13x=sin xcos 19x.
73.	sin 14x sin 2x4-sin 4x= Asin 8x.
l+tg^2x	2
74.	7cosx4-2 sin 3xcos2x— sin5x = 5.
75.	sinxsin 2xsin3x=-Lcos^An — 4x) .
76.	sin3xcos (y—*) 4-sin^- = A.
77.	sin 3x=4 sin x cos 2x.
78.	cos 3x cos 4x-|- sin 2x sin 5x = -L(cos	+ cos 4x).
79. 4sinxsin(i—x) =1.
81. 2 sin x=sin (45° — x).
83. sin 6x= sin xcos 5x.
85. 2 sin 5x sin Ax=cos
2	2
80. 4 cos x cos
'3.
82. sin(	= у C°S( T —X
84. -v/3sin3x — 2 cos 7x = cos 3x.
87. sinxsin(x4- sin(x4- An) = ~
86. 2 sin 7x sin _Lx=cos —.
2	2
88. (sinx4-cosx)2 = tg^x-|-y) •
"• sln(T“f)cos(T + -5')=(tgT_tBJ?L)~'
90.	= 2cos2x.
14-tgx
91.	sin(-14-yx) =2sin(4л4-у)’
92.	—sin5fx-|-—) —2 2tRX- cos3x=——J-arccos(—1).
93.	V3-tgx=tg(^-x).
94.	sin 4xsin6x=2(sinx-|-sin 5x).
95.	-\/3sinx — cosx=2L.
r-	2
96.	2\2 cos (45° +	1 4- sin *) = 1 4~ cos 2x.
97.	sin (a 4- x)—sin (a — x)=cos (i> 4- x) 4- cos (b — x).
98.	tg (-l-l-x)tg(A-x) =14-cos2x.
$ 11. УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ
ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ
Формулы понижения степени:
sin21 = >~?:os-2-<- и cos21 = l^~-^os2< .
2	2
Примеры.
Решите уравнения.
а)	2snrx-j-cos4х = 0.
29
Решение.	1—cos 2x-f- cos 4x=0,	14"cos4x—cos2x=0.
2cos22x—cos2x=0, cos2x(2cos2x—l)=0. 1) cos2x=0, 2x= 2L(2n-|-
4-1), x=(2n4-l)-2., neZ, или 2) 2cos2x—1=0, cos2x=-L, 2x=
= ±-^-4-2Лл, х=±^-4-Ал, fceZ. Ответ: x=(2n4-l)_i, x=
= (6*±1)£, n, k^Z.
6)	2 cos2 2x4"cos 1 Ox —1=0.
Решение. 1 4-cos4x-|-cos lOx—1=0, cos4x4-cos 10x=0,
2 cos 7xcos 3x=0; 1) cos3x=0, 3x=(2n4-1)-^-. x=(2n4-1)^., neZ,
или 2) cos7x=0, 7х=(2Л-|- l)y, х=(2Л-|-1)^, AeZ. Ответ:
x=(2n-|-l).£, x=(2ft-H)^. n, kf=Z.
в)	sin4 (y^-f-cos4 (л-y)=sin x.
Решение. sin4 у -|-cos4 у =sin x, (sin2y 4-cos2y)2 —
— 2 sin2 у cos2 у = sin x, 1 — ysin2x=sinx, 2—sin2x=2sinx;
sin2 x-|-2sin x—2=0, sin x= — 1 ±д/3. 1) sin х=д/3—1, x=( —I/1 X
Xarcsin(-^3—1)4-лл, neZ, и 2) sin x=—(1 4-л/3)< — 1, x=0.
Ответ: x=(— 1/arcsin(л/З — 1)-|-лл, neZ.
г)	sin2x—sin22x-|-sin23x = y.
. Решение. 2sin2x—2sin22x-|-2sin23x=l,	1—cos2x—1-|-
4-cos 4x-|-l—cos6x=l,	cos4x—cos2x—cos6x=0,	cos4x—
—(cos 2x4-cos 6x)=0, cos 4x—2 cos 4xcos 2x=0, cos 4x(l —2 cos 2x)=0-
1) cos 4x=0, 4x=(2n4- l)y, x=(2n 4- l)y, neZ, 2) 1 —2cos 2x=0,
cos2x=4-, 2x=±v+^n> х=±тг4"£л, keZ. Ответ: x=
X	о	D
= ±y 4"£л, x=(2n4"l)y. k, n^Z.
Решите уравнения.
1. sin2|x=|.	2. cos24x=4-.
3. sin22x-|-sin2 3x-|-sin24x-|-sin2 5x=2.
4. 6sin2x-|-2sin22x=5.	5. 4 sin2 x-|-sin2 2x=3.
6.	cos2 3x-|-cos24x4-cos25x=y.
7.	cos у 4-cOSy — sin у —sin2 у =0.
8.	cos2x-f-cos22x-f-cos23x-|-cos24x=2.
9.	cos2 x 4- cos2 2x—cos2 3x—cos2 4x=0.
10.	sin23x-|-sin24x=sin25x4-sin26x.
30
II.	5sin22x 4-sin2 x— I.
—sin1 (x—£-)
12.	(16s,ni)cosx + 6-4	4 —4=0.
13.	3cos2x—3 sin2 x4-cos 2x=0.
14.	2sin2 у 4-cos2x=0.
15.	sin8x—cos8x = ycos22x—^-cos2x.
16.	cos8x—sin8 x=cos2 2x +у cos 2x.
17.	cos6x—sin6x=^cos22x.
о
18.	sin4 x-|-sin4 (y — x) =sin 2x.
19.	cos2 (-2- -x)-cos2 (-2. 4-x) = у.
20.	sin4 у x-J-cos4 yx=a.
21.	sin4 x4-cos4 x—2sin 2x4-sin22x=0.
22.	sin4x4-sin4 (x4-4) = t 23. sin4-2-4-cos4~ = -f-•
\	f 4	о	о О
24.	sin4 x 4-cos4 x = cos 4x.	25. 2 cos2 x4-cos 5x—1=0.
26.	sin2x-|-sin22x=sin23x4-sin24x.
27.	ctgx—sin x=2sin2y.
28.	sin2 x4-sin22x4-sin2 3x4-sin24x=2.
29.	sin4 x-j-cos4 x=sin 2x—0,5.
30.	sin2x—sin22x4-sin2 3x=0,5.
31.	4 cos2 x4-2cos 2xcos 3x—cos5x=3.
32.	sin4 x4-sin4 (-2- 4-x^4"s*n4 (x—-2-) =0,5.
33.	cos6 (-2- 4-x) 4" cos6 (x—2-) =0,5.
34.	cos2x4-cos22x=cos23x4-cos24x.
35.	sin2 x4-sin2 2x4-sin23x4-sin24x4-sin25x=2,5.
36.	8 cos6 x=3 cos 4x4-cos 2x4-4.
37.	sin4y 4-sin4 (y 4-y) =sinул, — у<х<2л.
38.	sin4 x-|-cos4 x=-^-5-cosx cos 3x.
О л,
39.	sin2у 4-sin2 у x= 1.
40.	(cos 5x4-cos Ix'f -|-(sin x4-sin 7x~f = 0.
41.	sin4x4-sin4 (x4-y)4-cos4x=y sin22x.
42.	2cos2x4-cos22x=3.	43. sin2 2x4-sin2 x= у.
44.	sin2x-|-sin22x4-sin23x=l,5.
45.	sin25x=cos2 2x—2sin22x—1.
31
46.	2 2te9n+X-^~+2ctg2(4Jt + x)==3lOea5-
1+tg2(4+x)
47.	5 tg2 2x + 2 cos2 2x=3.	48. 2 sin2x-btg2x=2.
49.	sin 7x-|-sin 9x=2(cos2 (y —x) —cos2 (y -J-2x^.
50.	0,5(cos 5x-|-cos 7x)—cos2 2x-|-sin23x=0.
51.	2(sin2 2x-|-sin2x)=l 4-2 sin(2x—30°).
52.	sin2 (x + £) -cos2(x-£) = (arccos(
53.	4 cos2(-£• 4-x) 4-4 sin2fy—x)=5.
54.	4 sin2 x-|-tg2 x=6.
55.	sin 2x sin x4- cos2 x = sin 5x sin 4x-|- cos2 4x.
56.	cos24-cos2 у = cos2 у.
57.	sin2y x-|-sin2y =y-|-sin2y.
58.	2cos2x—cos23x=l.
59.	sin3x-|-sin 5x=2(cos22x—sin23x).
60.	sin 14(л— y) 4-sin9(n — x)=2 (cos2 (y —x) —sin2(y -|-
61.	sin2x—cos xcos 3x=0,25.
62.	12cos2y=9— 4 cos у cos x.
63.	2 sin2 x=у 4- sin x sin 3x.
64.	sin у sin у =0,25—cos2y.
65.	sin8x-|-cos8x=^.
66.	—2sin2x-|-l-|-sin4x=4cos2x.
i 2 clB 4
67.	6 S in2 X = ctg2 4 4-5---:----cos X.
Б 2 1 sin2* Sin*
68.	sin2x-|-4-sin23x=sinxsin3x.
69.	cos4x-|-sin4x=2cos(x-|-4)cos(x— y).
70.	16sin6x+	-3cos4x=-g.
T	4 —sin2 2*	4
71.	sin6у x-|-cos6y =a.
72.	8sin8x-|-8cos8x=—cos4x.
73.	cos2 5x4-cos2 x(l — sin2 7x4-sin4 7x)=0.
74.	sin2x-|-sin25x=l.
75.	2 sin3 x-f-cos2 2x=sin x.
32
§ 12. УРАВНЕНИЯ ВИДА u sin х + Ь cos х = с
В уравнении a sin x-f-b cos х=с а, b и с — любые действитель-
ные числа. Если а=Ь = 0, а с=/=0, то уравнение теряет смысл;
если же а=Ь = с=0, то х— любое действительное число, т. е.
уравнение обращается в тождество. Простейшие уравнения этого
вида нам уже встречались в решениях уравнений § 5, 7, 9, 10.
При этом их решение не требовало новизны подхода. Например,
д/3 sin x + cos х= 1. Разделив обе части уравнения на 2, получим:
sin хЧ-2- cos х=2-, т. е. sin(x+-^)=2- или cos(x — -5-) =2-.
Уравнение sin x-|-cosx= 1 можно решать по крайней мере че-
тырьмя способами. Например, разделив обе части уравнения на ^2,
получим: 2=-sinx-(--2 cosx =-=, sin (х-|-у) =-2 и т. д.
Рассмотрим уравнение a sin x-|-b cos х=с, у которого произ-
вольные коэффициенты. Такие уравнения решаются разными спо-
собами.
1-й способ решения уравнения a sin x-|-b cos х = с —
введение вспомогательного угла.
Мы знаем, что если о2 + Ь2 = 1, то существует такой угол <р,
что a = coscp, b=sincp или наоборот. Для решения уравнения
a sin хЦ-b cos х=с вынесем за скобки множителем выражение
-Ja2 + b2. Получи м: ~yla2-\-b2( а sin х -|— Ь  cos х''
скольку (  °  ) -|- (— Ь- ) = 1, то первое число
= с. По-
можно принять за косинус некоторого угла ср, а второе —	 —
д/^ + Ь2
а	Ь	„
за синус того же угла ср, т. е. —	= cos ср, —	— sin ср. В
д/а2 + Ь2	-у/а2 + Ь2
таком случае уравнение примет вид: д/а2-|-b2(cos ср sin x-|-sin срХ
Xcosx)=c или д/о2 -|-b2sin (x-f-cp)=c (1), откуда sin(x-|-(p)=
= — с Это уравнение имеет решение, если а2-\-Ь2^с2, тогда
^Р+ь2
* + <р=(— l)n arcsin с Ц- пл, х = (— l)n arcsin — с	+ пл —ср,
д/^-Ь*2	^а2 + Ь2
n^Z. Угол ср находится из равенства tg ср= = 2-, откуда
ср=arctg —. Ответ: х=(—l)n arcsin	4-пл — arctg — ,n^Z
а	^a2 + b2	а
Примеры. Решите уравнения.
а)	3 sin х + 4 cosx = 2.
Решение. а=3, Ь=4, с = 2, а2-\-Ь2=25, с2=4, о2-|-Ь2>с2;
следовательно, уравнение имеет решение.
2. Зак. 1587 И. Т. Бородуля
33
Применим формулу (1): -уЗ2-|--42(cos qrsin x-|-sin <pcos x)=2,
5sin(x-|-<p)=2, sin(x+<p)=-|-, откуда получим: x+<p=(—l)nX
2	2	4
Xarcsin у -f-пл, x=(— 1У arcsin-^—rm— <p, neZ, <p=arctgy. По
2
четырехзначной математической таблице найдем: arcsin-g- =
= arcsin 0,4~23°35'; ср= arctg-^-= arctg 1,3333 «53°08', х=
=(-1)л23о35,+ 180оп — 53°08', neZ. Ответ: х=(-1У23°35'+
+ 180°л — 53°08', neZ.
б)	sinx—д/2cosх=дД -\/1 +2 sin(х—<p)=-^3, sin(x—<р)=1, х—
— Ф = -£-4-2пл, х=у+<р+2пл, <p=arctg-\/2«54o30', х=90°-р
+ 54°30' + 360°п, х=144°30' + 360ол, n<=Z. Ответ: х=144°30' +
4-360°п, neZ.
Рассмотренный способ часто применяется при нахождении мак-
симума и минимума функций у=а sin х-|- b cos x-f-c.
Пример.
Найти максимум и минимум функции у=5 sin х-\- 12 cos х—7.
Решение. у= "\/52-|-122sin(x-|-(p)—7= 13 sin(x-|-<jp)—7, <р=
12
= arctg-g-. Максимум будет при sin (х+ф)= 1, т. е. утак=13-1—
—7 = 6. Легко видеть, что ут|П = — 13 —7= —20. Ответ: утах=6,
Ут.п= —20.
Рассмотренный способ решения уравнения a sin x-f-b cos х=с
является универсальным. Он применяется также в физике при
сложении гармонических колебаний.
2-й способ решения уравнения a sin x-j-b cos х = с —
метод рационализации.
Известно, что если а=#=л(2п-}-1), neZ, то sin a, cosa и tga
а	2tgT
выражаются рационально через tg—, т. е. sina =--------------,
l + tg2-J
1-	tg2y	2 tg
cos a - ------и tg a =---------.
14-tg2—	1- tg y
Метод рационализации заключается в следующем: вводится
вспомогательное неизвестное так, чтобы после подстановки полу-
чилось рациональное уравнение относительно этого вспомогатель-
ного неизвестного. Рассмотрим уравнение a sin x-{-b cos х=с (1),
2tg-g-	l-tg2-^
которое можно переписать так: а---------ЬЬ--------—с. Поло-
l+tg2y	l+tg2y
жим tgy=Z, тогда получим: Q-j~r=с- Это уравие-
34
иие— рациональное относительно t. Умножим обе части уравнения
иа 1_|_/2^=0 при left, получим: (Ь4-с)/2 — 2а/ + (с — Ь)—0 (2),
_2_ = а2— (с — Ь)(с4-Ь)=а24-Ь2 —с2. Полагаем, что Ь4-с=#=О или
4	а±~\/а2 + Л2—с2
—Ь, тогда Zi,2 =------------ (3). Значения t—действитель-
ные, если а2-|-Ь2^с2.
Если в уравнении (2) с=—Ь, то оно обратится в уравнение
первой степени: —2 at—26=0, t——^-, т. е. tg-|- =—х=
= —2 arctg 2- 4"2лл. Выражение для вспомогательного неизвестно-
го t=tgy теряет смысл при у=у 4" л л, т. е. х=(2л-|-1)л. Ре-
шения уравнения (1) вида х=(2л-|- 1)л (если такие решения сущест-
вуют) могут быть потеряны. Подставив х=(2л-|-1)л в уравнение (1),
получим: a sin (2л 4- 1 )л + b cos (2л 4- 1)л = с; а-О-|-Ь(— 1)=с; с= — Ь.
В этом случае уравнение (1) имеет множество решений вида
х=(2л+ 1)л, ле/.
1.	Если а2-|-62<с2, то уравнение (1) не имеет решений, так
как уравнение (2) не имеет действительных корней.
2.	Если а2-|-62^с2 и сф—Ь, то из уравнения (3) найдем:
a±-Ja24-fc2—с2
х=2 arctg-----—----------h2лл, ле/.
ь	Ь-|-с
3.	Если с= — Ь, то уравнение (1) имеет два множества решений:
х=(2л-|-1)л и х=—2 arctg-^-+2лл, ле/.
Примеры.
Решите уравнения.
a)	3sin%4-4cosx=3.
Решение. а = 3, 6 = 4, с = 3, а24- 62 = 9-|-16=25, с2=9, а2-р
+ 62>с2 — уравнение имеет решение. 3 -2/— +4	=3,	1+
-HVo при /<=/?, 6t + 4-4t2 = 3 + З/2, 7/2-6t-l=0, /1>2=3±*.
1) ti = l, Л = _14-лл, х=^4-2лл, ле/; 2)6?= — ±, tgJ.=
= — 2., 2L =—arctg-1-+/гл, х= — 2arctg-1-4-2/гл, 6eZ. Ответ:
-х=_5-4-2лл, х=—2 arctg-L 4-2/гл, л, k^Z.
б)	3 sin х—4cosx=5.
Решение. а = 3, Ь = — 4, с = 5, 32 + 42 = 52, т. е. а2 + 62=с2 —
уравнение имеет решение. 3 ^2-2 —4-J—
1 4-f =/=0 при /eJ?,
6t — 4 + 4/2 = 5+5/2, t2 — 6t4-9=0, (t — 3)2=0, t=3, т. е. tgA=3,
2*
35
2. = arctg 3 +ял, x=2 arctg 3 + 2ял, neZ. Ответ: x=2arctg3 +
+ 2ял, neZ.
в)	5 sinx — 4cosx=4.
Решение, a = 5, b = — 4, c = 4, t. e. c= — b,— уравнение имеет
два множества решений.  10'- —=^’ *^~4+4/2 = 4 + 412,
101 = 8, 1 = А, tg.L=A, х=2 arctg 0,8+2ял, fleZ, и так как
с = —Ь, то существует еще одна серия решений: х=(2Л + 1)л, fceZ.
Заметим, что уравнение 5sinx—4cosx=4 можно преобразовать
так: 5 sin х=4(1 4- cos х); 10 sin -Leos — = 8 cos2 —; 2 cos —( 5 sin 21 —
'	'	2	2	2	2 V 2
— 4 cos 20=0. 1) cos 21=0, х=(2Л + 1)21, х=(2Л + 1)л, <ieZ, или
2) 5 sin ~—4 cos 21=0—однородное уравнение, а потому 5tg2-—
— 4 = 0; x=2 arctg0,8-|-2лл, neZ. Ответ: x=(2A+1)_L, x=
=2 arctg 0,8 +2ял, k, neZ.
3-й способ решения уравнения a sin x+b cos x = c.
Можно возвести обе части уравнения в квадрат и привести его
к однородному. Этот способ неприемлем, так как получатся посто-
ронние корни.
4-й способ решения уравнения osin x+b cos х = с.
Запишем уравнение в виде:
2а sin -Leos 21 + b ( cos2 — — sin2 21) =c( sin2 — + cos2 21), т. e. имеем
2	2 X 2	2/ X 2	2/
однородное уравнение: (c+ b) sin2 21— 2a sin 21cos21+(c —b)cos2 21 =
= 0 и t. д.
Решите уравнения, применяя
1. 5 sinx—12 cosx= 13.
3. 5 sin x—cosx=5.
5. sinx—-^7cosx=-^7.
7. cos3x—-\/3sin3x=l.
9. sin 4x+cos4x=4.
11. cosx—sin x= 1.
13. 2 cos x+2 sin х=д/б.
15. cosx—sin x= 1,5.
17. sin2x + cos2x=-\/2sin3x.
18. cosx—sinx=^.
2
20. sinx+cosx=-y/2sin5x.
22. sin 2х+д/3 cos 2x=-y/2.
24. sin 2x—cos 2x+1 =0.
наиболее рациональные методы.
2. 4 sin x+5 cos x=6.
4. -\/3sin x+cos x = -y/2-
/ 6. уЗ sinx—2cosx=l.
8. 3 sin x+5 cosx=4.
10. cosx+sinx=-y/2.
12. sin x+-\/3cos x=—-\/3.
14. 2 cos x-f-sin x=-y/2.
16. sin 21 + cos 21 = — 1.
2	2
19. cosx+sinx=^.
2
21. sin 2x—cos2x=—.
23. -\/3sinx — cosx=2L.
25. sinx—-\/5cosx=-$k
36
§ 13. УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА
Решите уравнения.
1.	sin x-j-cos х=2,5 + 5sin xcos х.
2.	sinx—cosx+5sinxcosx= 1.
3.	sin3x-|-cos3x= 1.	4. sin3x —cos3x= 1.
5.	2sin 9xsin— x=cos Ax.
2	2
6.	5(sin x-|-cos x)+sin 3x—cos 3x=2-\/2(2 4-sin 2x).
7.	2 —2 sin (Ал—x) =-y/3tg 5?~
8.	1—sin 2x4-sin x4-cosx=0.	9. 1 4-sin2/ = cos/ — sin t.
10.	2sin(3x4--^ = VT-|-8sin2xcos22x.
11.	tgx-|-ctgx=-\/2(sin x4-cosx).
12.	2 sin -Leos2 x — 2 sin A sin2 x = cos2 x — sin2 x.
2	2
13.	sin -Leos 2x4-sin2 x cos _L =cos2xcos -L.
2'2	2
14.	sinx — cosx-|-5sin xcos x=2,5.
15.	’ arctg(2x—l)=Aarccosx.
16.	1 — cos(lgx)=-^^sin(lg\x).
17.	2sin(2x—13)=3sin(2x—15).
18.	arctg(x4-2)—arctg(x4~ 1)= —. 19. 2arctgA— arctgx=—.
4	2	4
20.	arcsin—---arcsin д/1—x=arcsinA.
byfr	3
21.	arctg — —arctg	= arctg x.
b	a-l-b
22.	^arcsin 3x= arccos 4x.	23. 2 arcsin x=arcsin —x.
13
24.	(sinx-|-cos x)(tgx-|-ctgx)= 1.
25.	cosx-|-cos [x-|-arctg (tg Ал 4~cos (Л + ^"л)=®-
26.	Найдите действительные значения а, при которых уравнение
cos4x—(а—2)cos2x —3(а4-1) = 0 имеет решения.
27.	|cos2x|= |sin2x —А |. 28. -\/2sin 10х4-sin 2x=cos 2х.
29.	sin x-|-cos 2х-|-2 sin х cos2 х = 0, —Ал^х^л.
30.	Найдите действительные значения Ь, при которых уравнение
sin 2х —2b-^(sin x-J-cos х)-|-1 — 662 = 0 имеет действительные ре-
шения.
31.	-*х = 1—sin2x. 32. tg3x—tgxtg(^.4-x)=0.
।	1 № 15. 18—23, 25 решать при изучении § 16.
37
33.	l+tgx+ctgx ct£X----------------= l
-Д— 4-tgx	—!j-4-tg2x—ctg’x
Sin X	COS X
34.	a sin2 x+2(sin x+cos x)= l. При каких значениях а решение
возможно?
35.	4 sin(x+JLj cos( х—21) =о2+-\/3 sin 2х —cos 2х. При каких
значениях а решение возможно?
36.	sin3 х + sin3 2х+sin3 3x=(sin х+sin 2х+sin Зх)3.
37.	8cosx= ——|---!—. 38. 8sinx=——|-----1.
sin х cos х	cos х sin x
39. tg(n + x)tg3x=—0,4.
40. 2 sin2 ( у cos2 x) = 1 —cos (n sin 2x).
41 tg(x + 42°) _ о
tg(x+12°)
43. sin 3x4-cos 2x= I.
45. .cos(£-15°L=2 + a/3.
cos (105° —x)
47.	sin (x4-20°)  л/З—1
cos (50° + x) 2
48.	tg	— cos 2x = 2-v/3cos
ь 2	v
42. ctg2x—tg2x=JLtg4x.
3
44. agix±3n= /3
ctg (x+15°)
46. _££«1£^_=2 + л/3.
cos (95°—x)
V+f)-
49.	sin^2x—	+cos^2x—=q/3cos^2x+-g-) •
50.	-y/2 sin 2x+3(sin x+cos x)=4-y/2.
51	tg.lx+29°j = _1_
tg(x-l’) 3‘
52.	V2 sin 2x + 2sin x=0. Найдите положительные корни урав-
нения. ____________
53.	\Т+4 sin xcos х—sin x=cos x.
54.	sin 3x + 4 sin3x+4 cos x = 5.
55.	I + sin3 x+cos3 x— _Lsin 2x.
2
56.	tg3x=3(tg4x—tg3x).
57.	I + sin 2x+2-\/2cos 3xsin(x+ -i) =2 sin x+2 cos Зх+cos 2x.
58.	cos3x—3cosx—cos2x+3 = 0.
59.	sin3 x+3 sin x+cos 2x + 5=0.
60.	-\/2 sin 2x—2 sin x=0. Найдите положительные корни урав-
нения.
61.	sin3 (х+ =q/2sin х.
62.	sin23x—-\/3sin5xcos(y — x) +-Leos 5xsin Зх —2cos^-5.—
—xj sin 3x+ sin 3xsin 5x —cos^-i —x) cos 5x=0.
38
63.	Asin 6xcos2x— Asin 6x sin 3x+ Asin 6xsin 2x + sin 2xX
X sin2 x — 3 sin 2x cos2 x— sin2 2x=0.
64.	sin2xcos3x—3 cos 3xcos2x+6 cos2 x sin( Ал+x) +
4-2sin 2xsin (Ал+х) — 2 sin2x sin (yn+x) —sin 2xcos 3x=0.
65.	sin 3x cos 2x +д/2 sin 2х+д/2 sin x sin 3x—2 sin x cos 2x—
— -\/2 sin 3x cos x—2д/2 sin2x=0.
66.	2 cos 4x sin 2x4-sin 5x cos x+^ sin x sin 5x—^cos4xsin x—
— cos4xcosx—2 sin 5x sin 2x=0.
67.	tg (120°+3x) + tg (40° + x) = 2 sin (80° + 2x).
68.	5 sin 2x-lg(5in3-x—cos3.xl ! 2 = o.
I
I + у sin 2x
69.	4sin3x—2+(3— sinx)cos2x=2

70.	4sin3x+-L cos3x=3.
3
71.	2(cos 4x— sin xcos 3x)=sin 4x + sin 2x.
72.	cos6x = 2sin (ул + 2х).
73.	5 sin x ctg x—sin x — 5 ctg x + 1=0.
74.	1—sin xcos x+sin x—cosx=0.
75.	sin (л—x)—sin (3x—n)=sin 2x(l 4-cos 2x).
76.	cos2x4-sin 2x=cosx +sinx.
77.	(cos x+sin x/ + 1 =2sin2xctg2x.
78.	tg x + 2tg 2x+3ctg 3x+4ctg4x=0.
79.	(1—tgxXl+sin2x)=l+tgx.
80.	2 sin 5xsin yx = cos~, O^x^y.
81.	sin x+cos 2x + 2 sin xcos2 x=0, —у-^х^л.
82.	A-Vl +cos 2x= -\/cos2x —cos x—cosx.
83.	д/з— 5 cos x—7 sin2 x + cos x=0.
84.	2sinx—cosy^-y—x) — sin2x=cos2x.
85.	(sinx+cosx\2 — sin22x)=2(l —tg8x)cos7x.
86.	2(sin x+cosx)2=tg(45° + x).
87.	cos(cosx)+sin2x=2+ l+c^os^x
88.	ctg2x—tg2 x= 16 cos 2x.
89.	sin 2x+cos 2x + sin x+cos x+1 =0. 90. sin 4x+3 sin 2x=tgx.
91. tg Зл~4х — cos 2x=2^cos2 (x+y
31П(т+')	|	cos’(i + i)
92. l+2lex=3-4 ^2стж	у + 16s,nx=6:16
39
Найдите все пары чисел х и у, которые удовлетворяют урав-
нению.
94.	cos x-l-cos у—cos xcos у 4-sin xsin y= 1,5.
95.	(sin2x+—4— ) 4- (cos2x4---Y = 124--i-siny.
96.	tg4 x 4- tg4 у + 2 ctg2 x ctg2 и = 3 + sin2 (x 4- y).
97.	sin2x — 2sin xsin y —3 cos2 у4-cos4 у4-2 = 0.
Решите уравнения.
98.	4 sin x-|-2 cos x = 2-|-3 tg x.
99.	|cos 2x| = |sin2 x — a| для хеЛ, причем 0^х^2л.
100.	1 -|-2(sin2 2х — 2аcos 2x-|-a)tg2 х — cos 4х=0.
101.	sin (у 4--|-x) = 2sin (ул4-у ), — л<х^л.
102.	3COS2x-(4-3sin2х-9)= 1.
103.	sin4 х-I-sin3xcos x-|-sin2 xcos2x-|-sin xcos3x = ——!-
1	1	1	sin X COS X
—cos4 x.
104.	32 sin6 x—cos 6x-|-32 cos 2x—8 cos 2xsin2 2x= 1.
105.	sin 4(х-|-л)—3cos 2 (y 4-xJ =tg(x-|-rm)-|-arccos (tgxctgx).
106.	6 cos2 (y 4- 3x ) — cos 13 (л 4- py * ) = 4.
107.	l-|-sin5(y —x^4-cos (ул + х) = 7Г— ---—л/2-
.	8 sin2 x+3 sin 2x4-1	,
Ю8. ---т---------=tPX.
8 cos2 x-|-3 sin 2x-|- 1	b
109.	8sin (x—^-)со53(12л—x)—8cos (x—^Jsin3(11 л-|-х) —
— 6sin (2x—^-)=д/3.
110.	s in 2(x — л)—cos (3л 4- 2x) 4-1g 2x =
111.	1 4-cos 2x-|-cos2 x log^(tg2x)-|-3sin x = 2 sin x log, (tg3x).
T
112.	ctg2x4-3tg3x = 2tgx4--^y.
113.	tg2x-|-8cos 2xctg2x=ctg2x.
114.	4 ctg3 2x— 12ctg2x-|-ctg^x-|-tg2 x= 14.
115.	sin 14 (л-4-sin 9(л — x)=2 (cos2 (y —x) — sin2 (y -|-
+ 2x)).
"в- te(4+4+ctg(4n-4=<2-V2)(i+^+4+ijg+
117. 4 4-cos 2x 4-3 cos 4x = 8 cos 6x.
И8. 4tgy-|-2tgy-|-8ctgx=tg-j^ —tgy.
40
119.	(1 4-sin 2*Xcos x—sin x)= 1 —sin2 2x.
120.	2 sin2 (y cos2 x) = 1 —cos (л sin 2x).
121.	sin 2x4-tgx = 2.
122.	sin23x—-\/3sin5xcos (y—x) -|- у cos 5xsin 3x —
— 2 cos (y — x)sin 3x-|-y-sin 3xsin 5x—cos (y —x)cos 5x=0.
123.	cos 4xcos x-|~ 2sin2 xcos x — 2cos 4xcos 3x—\/3cos 4xsin x—
— 2-\/3sin3x—4sin2xcos 3x=0.
124.	5 sin x—sin 5x=0.
125.	2 sin 7xsinyX=cosy.
126.	sin2x-|-sin 2xsin 4x-|-sin 3xsin9x4-sin4xsin’16x-|-..-4-
4-sin (nx)sin (n2x)= 1.
127.	sin x4-sin x4-sin x4-sin x=cos x-|-cos x-|-cos x-|-cos x.
128.	tg x tg2 2x tg2 3x = tg x4- tg2 2x—tg2 3x.
129.	cos2 x 4- у cos x 4- 4 cos 3x — 8 cos xcos 2x4-у =0.
130.	2cosx—cosyx=l.	131. 2-|-cosx = 2tgy.
132.	cos6(x4--=) 4-cos^(^.-x) = L+^njx.
133.	cos3 x 4-cos3 3x=(cos x-|-cos Зх)3.
134.	6 sin x — 2 cos3 x= 3 ?in 4x-cos.x .
2 cos 2x
135.	2(£9sx47>!1-x)±1-c°s2x =t/3 4- sin x.
2(14-sin x)	'
136.	sin 2x-|-cos x-|-2 sin x= — 1, 0<x<5.
137.	sin x cos 3x -|- 2 cos2( у — x) ~ tg2 ул-
138.	3sinx—cos(2x—л)= — Alog2^(-j^) •
139.	169 cos 2x 4-54 cos x — 4sin4xsin3x — 2cos7x= —99.
140.	304 cos4 x—376 sin 1 lx sin 9x— 188 cos 20x= 113.
sin4 A 4-cos4-^-	.
141.		--------- — tg2xsin x = +sinx -|-tg2x.
1 —sin x	Б	2 Б
142.	2cos4(y — x) —119(tg3x — tgx)cos 3xcos x= 119.
143.	tgx4-sin 2x-|-cos x:(l -|-sin x)= 1 4-2 sin2(x-|- y) •
144.	(д/34-cos x)cos x— 1 =cos 2x:(l —sin 2x)—(-^34-sin x)sin x.
145.	(cosx — sinx)^ 1 -|- 2-sin2x) -|-sinx = 2cos2x.
146.	64cos22x = sin-4x, у^х^Ал. Сколько различных кор-
ней имеет уравнение?
147.	1 —— cos (4х4“ 2)—3 [ 1 — sin (2х —|— 1)), 0 х 2л. Сколько раз-
личных корней имеет уравнение?
41
148.	cos 2x cos 4x cos 6x=-Leos 4х, -5-^х^л. Сколько различ-
ных корней имеет уравнение?
149.	5 tg2 2х4-2 cos2 2х = 3, 0^х^ Ал. Сколько различных кор-
ней имеет уравнение?
150.	-^2sin xsin 2x=-\/5cos х-|-4sin 2х.
151.	sin3 (х—Ал) = д/2 sin (х4-24л).
cos 6 —|-п)
152.	14-tgx4-tg2x4-tg3x4---=-7 
V 1—tg2X
153.	8 tg2 А= — tg Ал 4-—^ -tg(x-n)tg( 3^-х).
154.	22‘B2+sin(2" х) = (36'°е®54-
4 tg A
155.	tg (40° 4-x) ctg (5° -x) = A-
'-‘g’T
156.	sin 5x4-2 sin 4x4-sin 3x4-2 sin2 A = 2.
157.	sinx — sin2x = 4cos2x—2cosx.
158.	A^sin( -2L4-3x) 4-cos7x) —cos2 2x4-sin2 3x=
= aretg(loB2((^+l)(A_ |+	+
159.	ctg (90° — x)-|- tg 50° + tg 70° = (sin 2x): (1 4- cos 2x) tg 50° X
Xtg70°.
4t —
160.	( sin2 x---g 8 \ . / sjn2 x — 4 cos2 .£) =tg2 — .
161.	(1 — sin x-|-sin2x — sin3 x4-sin4 x — ...)_| — 1 -j- sin2^ — x) =
=sirq2(-^+x)-
162.	6 sin 2x tg 3x — 4-^3 sin x cos x — 3-\/2 tg3x-|-V6 = 0,
— Ал^Сх^с Ал.
18	8
163.	tg2x—tg x = —-sin ( x—A). Найдите решения, удовлет-
cosx '	4/
воряющие неравенству
164.	(cos х): ( х-|- A) =|cosx|.
165.	sin2x — sin2х = 2sinx — 4cosx.
166.	—1--1------1-----=4sinfx4-Ал).
sin x . (	3 \	\	4 /
51П\*— Тл/
42
167.	2sin(x+^) 4-2 cos( L. + A) =3 sin( ±4--£-) 4-
168.	|sin x| = sin *4~2 cos x.
169.	1 4-sin2 7x —3sin 7xcos 7x4-5cos2 7x~a—6.
170.	2sin6x=tg2x—2sin2x. 171. 2sin2 (x—)=2sin2x—tgx.
172.	sinx--|2cosx—1| .Sin2x—sin2x.
2 cos x— 1
173.	cos2( у cos x— Ал) =1.
174.	2-|-cos 4x = 5 cos 2x 4-8 cos6 x.
175.	sin x 4-sin 3x =sjn 2x-|-cos 2x.
Alices x|
176.	sin x4-2 cosx4-2 sin xcos x = 0.
177.	sin(5л — x)4~tg(л4-x) = ^cos~.'n~cos- . — Ал^х<л.
178.	cos 4x-|-2 sin2 x = 0, — 1O<1-
179.	sin |x| = I sin x|.
180.	(i 4-sin 2xYcos x —sin x)= 1 — 2 sin2 x.
181.	cos 6x4-tg2 x-f-cos 6x tg2 x= 1.
182.	5- f sin x-f- c0-s3-+s-in —=cos 2x-|-3, 2Ь^х^Ал.
\	14-2 sin 2x /	3	3
183.	8cosx-|-6sinx —cos2x —7 = 0, 0^х^2л.
184.	sin 3x 4-3 sin 7x4-3 sin 5x-|-sin 9x = 8cos3xsin 6x.
185.	2 sin 5x sin Ax = cos A, 0^x^_
2	2	4
186.	sin x+sin (x-|- у л ) = 1—0,5sin2x, —2л<х<л.
187.	sinx-|-V3sin(3,5л — x)-|-tgx = -\/3, —л<х<Ал.
188.	д/25 — 4x2-(3 sin 2лх-|-8 sin лх) = 0.
189.	ctg (f л-x)4-ctg2x=2.
190.	cos2x—sin2x-|-tg2x= A.
191.	д/1 — 2 sin x — cos2 x = ct g2 630°.
192.	3 cos3( Зх — у л) = ^/54 cos 300°.
193.	tg23x4-tg2(3x--2) —2 = ctg23,5л.
194.	[siny-|-sin (у — у л)] -|-2 cos 300° =0.
195.	-у sin2 2x-|- | cos^2x—Ал)| -|-А=со5Ал.
196.	(4 sin x — 49 cos xXcos3 x — sin3 x)“1 — 28(2 4- sin 2x)_ 1 = 0,
43
(3	\	/3	\
у л — Зх 1 — cos (у л 4- х )sin (Зл — Зх) =
= sin4x, —21<Сх<С —л.
3	7
198. 2 cos3 (.20 4-sin2 (а) = 1. 199. cos2 Зх—-Leos 6х = sin х.
200.	3(1-sin Зх). — 2 cos 2х—7, — л<х<л.
sin х — cos 2х
201.	sin 2х sin x4-cos2 x=sin 5x sin 4x4-cos2 4x.
202.	sinxcosxcos2xcos8x=—sin 4x.
4
203.	sin 2x sin 6x — cos 2x cos 6x=-\/3 sin 3x cos 8x.
204.	cos 6x4-cos 1 Ox = 1 4-cos 4x.
205.	V1 + cos 2x—д/1 —cos 2x = 1.
206.	-\/2 cos ( 3x — -L) = cos 3x etg 3x(ctg 3x 4- 1).
207.	cos 5x cos 4x 4* cos 4x cos 3x — cos2 2x cos x = 0.
208.	cos 2x — 6sinxcosx4-3 = arccos(—_L)—л.
209.	A cos 2 A( 1 — д/sin x) = д/2 cos x — д/sin 2x.
210.	16 sin6 x4-24(cos6x — sin6 x):(4 — sin2 2x)—3 cos 4x= —.
4
211.	( 14-tgy)( l-2sin2-0 :(( l-tg-l)(14-cos x)) =ctg2x.
212.	2 cos 13x-|-3cos3x4-3cos 5x = 8cosxcos3 4x.
213.	4tg(^4-x) :( 14-tg2(^-4-x)) 4~2ctg2( Ал4-x) = 3'°ез5.
214.	22‘By +sin^T"-^ = (36|°еб54-]0|-|е2—3loes3e).6_|.
215.	-^^=2-|-tg2x- 216- ctg(x4-Ал) =ctgx-l.
217.	-\/cos x4--^2 sin x = 0.
218.	sin xcos — 4-cos x-sin — = A —Ал^х^л.
8	8	2 ’	2
219.	cos xcos — 4-sin xsin A =	, — Ал^х^л.
5	5	2	2
220.	1 4-2 cos Зх cos x — cos2x = 0, —Ал^х^2л.
221.	sin 2x4-cos 2x= 1 4~ s'n *
222.	tg x tg2 2x tg2 3x = tg x4- tg2 2x — tg2 3x.
,z \	2ctg(-|-n-2x)
223.	2cos2( 2x——) 4-cos 4x +sin 4x = cos 2x-|----------
\	4/	1+tg 2x
/ ч \	2tg-^-
224.	ctg2(An — xj--------4-^inx = 0.
1 —*g y
44
5
225.	2(cos x) 2—cos 2x= 1 -|- sin x -(1 — Vcosx).
л/3
226.	tg2 x ct g2 2x ct g 3x = t g2 x — ct g2 2x + ct g 3x.
227.	I!~-COSX1 .sin x = 4 sin2xcosx.
1 —cos x
228.	a/2cosx + lsin x~ 1L • sin 2x=0.
sin x— 1
229.	—3- I1 ~co-s—1-sin x=sin x —2 sin 2x.
1 —COS X
230.	-\/3sinx--11 +cos-xl .sin2x = sin2x.
1 4-cos x
231.	sin x4-cos 2x + 2 cos x = 0.
232.	2sin(x+-^) +2cos(± + -^) = 3sin(jL+2L) +
+ A/3cos(i+ “).
233.	^Sin(^.-^)-V6Sin(^+i)=2sln(^-J.)-
234.	2coS('+J.)-2cos(i-Л - Л)+
+ 3sl"(n-^)'
235.	^003(1—^)-V6sin(|—^-2sin(± + |n)-
236.	|sinx| =sinx + 2cosx.	237. |tgx|=tgx------!—.
cosx
238.	|cos x| =cosx —2sin x. 239. Ictgx|=ctgx4--!—.
sin x
240. sin2 5x( sin 7x cosx —sin у cos -|-x)=
3 x , -
Sin — X COS -g- 4-Sin X cos 7x
1 + ctg2 5x
241.	4sin22x — 2 cos2 2x = cos 8x.
242.	2(sin22x + l) = sin8x + 6cos22x.
243.	sin 12x + 9sin23x — 3cos23x=3.
244.	cos I2x — 5cos2 Зх + sin23x+ 1 =0.
245.	| sin x + cos x| = 1 +2 sin 2x.
246.		—-----=5 — cos 4x.
|tgx4-ctgx|
247.	|cosx — sinx| = l + 2sin2x.
248.	2 — -\/3 cos 2x + sin 2x=4 cos2 Зх. Найдите решения, удовлет-
воряющие неравенству cost 2х—^0.
45
§ 14. ПРОВЕРКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
Нужна ли проверка решения тригонометрического уравнения?
На этот вопрос утвердительно отвечать нельзя. Если тригонометри-
ческое уравнение представляет собой целый многочлен относительно
синуса и косинуса и если грамотно решать уравнение, то проверка
может понадобиться только для самоконтроля — для уверенности
в правильности решения. Проверка, как правило, не нужна. Если
следить в процессе решения уравнения за эквивалентностью пере-
хода, то проверку решения можно не делать. Если же решать
уравнение без учета эквивалентности перехода, то проверка обяза-
тельно нужна, особенно когда уравнение содержит тангенс, котан-
генс, дробные члены или тригонометрические функции от неизвест-
ного, входящие под знак радикала. Не сделав в этом случае про-
верку, приходят к грубым ошибкам, к посторонним решениям. При
решении уравнений, содержащих дробные члены, нужно следить
за сокращением дробей, ссылаясь на основное свойство дроби.
В этом случае мы избегаем посторонних корней и избавляем себя
от проверки найденных решений.
Пример.
1.	Решите уравнение 2 sin3 x-|-cos2 2x = sin х.
Решение, cos2 2х = sinx — 2sin3x, cos2 2x = sin х(1—2sin2x),
cos2 2x = sin x cos 2x, cos 2x(cos 2x — sinx) = 0. I)cos2x = 0, 2x =
= (2n-|-x = (2n-|- 1)Д.,	или 2) cos 2x — sinx = 0, 1 —
— 2sin2x — sinx = 0, 2sin2x-|-sinx—1=0: a) sinx= — 1, x= — Д.-|-
-|-2fen, /?e?Z и 6) sinx=-L; x = (—1 y" 2L-|-игл, meZ.
Найденное решение удовлетворяют данному уравнению. Для
самоконтроля можно положить п = 0 и проверить корень x=2L;
при fe = 0 х = — Д.; при т = 0 х=Д..
Можно ввести понятие «период уравнения» и делать проверку
на отрезке, равном периоду, но это вызовет кропотливую работу
в случае большого периода. Условимся называть периодом уравне-
ния период функции [(х), где [(х) — левая часть уравнения, полу-
чаемая из данного уравнения перенесением всех членов уравнения
в левую часть. Известно, что период функций sin пх и cos их ра-
Примеры.
а)	Найдите период уравнения sin Зх — sin 7х = -^3 sin 2х.
Решение, sin Зх —sin 7х—V3sin 2х = 0. Обозначим периоды
функций sin3x, sin7x, sin 2х соответственно через Т\, Т2 и Т3, тогда
Ti = ^, Т2 = ^ и 7'з = л. Наименьшее общее кратное всех перио-
дов— 2л, т. е. период уравнения Г=2л. После решения этого
уравнения проверку можно провести на отрезке [0; 2л].
46
б)	Решите уравнение cos 7x4-sin 8x = cos Зх—sin 2х.
Решение.	sin 8х4-sin 2х = cos Зх— cos7x,	2sin5xcos3x =
я=2 sin 5х sin 2х, 2sin5x(cos3x—sin2x) = 0. l)sin5x = 0, 5х = пл,
x=n-^., n^Z;
2) cos 3x = sin 2x, cos 3x=cos^—2xJ : a) 3x —
__ 2L-|-2x = 2fen, 5x = A -|-2fen, x = (4fe-|- l)yg ’ 6) 3x4- — 2х=2/л,
x=s — -£.-|-2/л, l^Z. Ответ: x = n_5_, x=(4fe-|-l)^>	—1)2L,
n, k, l^Z.
Сделаем проверку найденных корней. Для этого определим
период уравнения f(x)=cos 7х-|-sin 8х — cos3x-|-sin 2х, Tt = ^,
Т2=—, Тз = —. Г4 = л. Чтобы найти общий период, надо при-
4	3
вести все периоды к наименьшему общему знаменателю (НОЗ),
а затем найти наименьшее общее кратное (НОК) всех числителей,
после чего, разделив НОК на НОЗ, получим общий период: 2л.
Выпишем решения уравнения: п_, (4fe-|-l)—и (4/—1)21, и, k, l^Z.
Мы видим, что проверку корней уравнения на [0; 2л] проводить
будет утомительно, так как для проверки корня (4fe-|-l)— нужно
давать значения k от 0 до 14, что, естественно, затруднительно.
Если же период небольшой, то можно себе позволить проверку
правильности найденных решений.
в)	Решите уравнение sin3xctgx = 0.
Решение	(3sin х—4sin3х)cosx _ q	sin х(3 —4 sin2 x)cos х _д
sin х	’	sin х
sinx=?s=0, x=^kn, k^Z, в противном случае ctgx не существует:
(3 — 4 sin2х)cosх = 0. 1)3—4sin2x = 0, 3 — 2(1—cos 2х)=0, 1 4-
4-2 cos 2x = 0, cos 2x= — _L, 2x= ±An4-2ta, x= ± — -\-kn, kc Z;
2	3	3
2) cosx = 0, x=(2n-|-!)-£-> neZ. Ответ. x=(3fe±l)2L, x=(2n4~
2	о
4-	1)Д., k, n^Z.
Мы гарантируем правильность ответов, так как не было нару-
шено соотношение эквивалентности. Заметим, что приравнивать
каждый множитель исходного уравнения к нулю, а потом находить
общее решение нецелесообразно.
| 15. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В курсе высшей математики довольно подробно изложены спо-
собы приближенных решений трансцендентных уравнений. Мы
рассмотрим графическое решение трансцендентных уравнений вида:
sinx=f(x), cosx=f(x), tgx=f(x) и ctgx = /(x), где Дх) — какая-либо
47
простейшая функция. Графический способ решения уравнений
такого вида заключается в отыскании приближенных значений
абсцисс точек пересечения графиков функций y=sinx, y = cosx,
y=tgx и y = ctgx с графиком функции y=f(x) в одной и той же
системе координат. Заметим, что графический способ не отлича-
ется высокой точностью. Полученные приближенные результаты
уточняются с помощью более совершенных вычислительных ме-
тодов.
Примеры.
Решите уравнения.
a)	sin = _Lx.
Решение. Построим графики функций y = sinx и у=Ах.
y = sinx и у= .Lx — функции нечетные, а потому Ixi | = |хгI (рис. 1).
— Ал<Х2< — — И — <Х1 < Ал, Х1 ~ Ал И Х2» — Ал.
3	2	2	3	12	12
У	X								
	0	л 6"	Л т	к |со	Л Т	2 з л	3 4 Л	СП | СР 1 я 1	Л
sin х	0	0,50	0,71	0,87	1	0,87	0,71	0,50	0
1 2 Х	0	0.26	0,39	0.59	0,78	1.04	1.17	1,29	1,57
Ответ: Х|«Ал, х2«—Ал и хз = 0.
12	12
б)	cos2x=x—1.
Решение. Построим графики функций t/=cos2x и у=х—I
(рис. 2). Точки пересечения y = cos2x с осью Ox: у=0, cos2x = 0,
2х = (2п-|- 1)-^., х = (2п4-1)—, neZ. При х<0, у< — \, т. е. слева
от начала координат х— 1 <cos2x, поэтому точек пересечения слева
от оси Оу нет.
48
Приближенное значение решения уравнения х находится на
отрезке [СМ] (ОЛ = ОВ=1), а точнее, принадлежит промежутку
(- 1). Возьмем хх Л + 1)« !_• 1,78 = 0.89. Ответ: х«0,89.
в) tgx=_Lx.
Решение. Построим графики функций y=tgx в промежут-
49
пересекаются в начале координат. Число х=0 является точини
корнем этого уравнения. Кроме того, уравнение tgx=-Lx имее
бесконечное множество решений в интервалах ( 2я~1 л; 2я^~ - л^
ле2.
У	X					
	3 4 л	Л	9 8 "	5 4 л	4 3 л	17 22 "
tg*	— 1	0	0,4	1	1,73	3,73
1 4 *	0,59	0,78	0.88	0,98	1.02	1,11
Из графика видно, что — л<Х|<Ал, —_1л<хг<—— л.
8	4	4	8
9	5	__9
Можно принять XI X—-------—=19л	--4--8— = —12л И
к	2	16	2	16
вообще х=±— л-|-Лл, k^Z. Уравнение имеет бесконечное мно-
16
жество решений. Ответ:	±1|л-|-Лл, k^Z.
г) ctgx=——.
х	I
Решение. Построим графики функций y = ctgx и у= — _
(рис. 4). Оба графика будут пересекаться в бесконечном множестве
точек. Найдем хотя бы пару приближенных решений. Функция
50
_ J_ нечетная, а потому точки пересечения с графиком функции
У х
us=ctgx будут симметричны в промежутках (0; л) и (— л; 0).
У
У	X				
	2 3 л	Л	л т	Л т	2 I"
ctgx	0,58	0	1	0	—0.58
X	0.47	0.6	— 1,27	-0.6	—0.47
Из графика видно, что Л <х, <. Ал и — Ал <х2< — Можно
л , 2
9 I п	-г	7	_.
взять ~ 2	и Х2~ —12 ' ^Равнение имеет бесконеч-
ное множество решений: х=±Ал + пл; neZ. Ответ: х=
= ±Ал-|-пл, neZ.
12
Решите графически уравнения.
1. sinx=x.	2. tgx=x. 3. cos2x=0,4x.
4. sinx=Al.	5. sinx=x—Ал.
x	3
$ 16. УРАВНЕНИЯ. СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
При решении уравнений этого параграфа необходимо знать, что:
arcsin х+ arccosx= 2L; arctg x-|-arcctgx= i;
— — <arcsin x^ —; — — < arctg x<-£;
2	2	2	2
O^arccosx^n; 0< arcctg x< л;
sin (arcsin x)=x и cos(arccosx)=x, если |x|	1;
tg(arctg x)=x и ctg (arcctg x)=x, если хеЯ.
Решите уравнения.
a)	4arctg(x2 — Зх—3)—л = 0.
Решение. arctg(x2—Зх — 3)=21. Так как значение арктан-
генса находится в промежутке (—2L; то в этом случае из
равенства углов следует равенство функций. Пользуясь сделан-
ными замечаниями, получим: х2— Зх — 3=1; х2— Зх — 4 = 0, откуда
*i = —1 и х2=4. Ответ: х= — I, х=4.
6)	б arcsin (х2—бх + 8,5)=л.
51
Решение, arcsin (х* 1 2— 6х 4-8,5)=—, х2— 6х4-8,5 = 0,5, х2-
6
— 6x4-8 = 0, откуда Xi = 2 и х2 = 4. Ответ: х = 2, х = 4.
в)	arcsin—---arcsin д/1—х= arcsin-L (1).
Зу5г	3
Решение. Уравнение имеет смысл, если 0<х^1. Рассмотри:
два способа решения.
1-й способ. 1) Обозначим	arcsin—— = a, sina= —~
cos2a= 1 ——, cos2g = 9х—4 . Так как — — ^g^2L, то cosa>(
9х	9х	2	2
т. е. cos a = -1- ~\J9^~^. 2) Обозначим arcsin д/1 —x = p, sinp =
= д/1 —x, cos p=д/1 — 1 -\-x=^x. 3) a — p = arcsinA., sin (a — P) =
= _!_, sin a cos p —cos a sin p = —, —-д/х—4- v 9-~--д/1—x =
3	______ 3 3\Gc	3 V x
= —, 1 = ~\/9^~^. д/1 — x, i —	4 ,0 —x), x=9x—9x2 —44-4x
3	v x	x
Эх2—12x4-4 = 0; (3x—2)2 = 0, 3x — 2=0, x=A. Ответ: Л=-|-
2-й способ. Воспользуемся равенствами sin (arcsin х)=х,
cos (arcsin х) = д/1 — sin2 (arcsin х) = д/1 — х2. Следовательно, взяв си-
нус от обеих частей уравнения (1), получим: —2—д/1 —(д/1 —xf —
_______________________________________Ъу[х
9-~- • д/1 —X = — и т. д.
9х v	3	;
(см. 1-й способ).
1) Решите уравнение arcsin 2х4- arctg = у 	)
Решение. |2х|	1, Ixl^A. Обозначим arcsin 2х = а, sing==
= 2х, —Обозначим arctg =р, tgp = -!-|-i-;
V
— 2L<ZP<2L, х¥=0. a4"P=y. sin(g-|-₽)=l. sin g cos р4-cos gX
Xsinp=l, cos2a = l—4х2, но —ZL^lg^Z-ZL, а потому cosg =
= д/1 — 4х2, тогда 2х cos р 4- д/1 — 4Х2 sin р = 1 (1), l-|-tg2p = —
cos2 р
1 _|_5x2.-2x^L=_1_, COS2р =----------------------------------------. Так
\ 2х / cos2 р 4х2	cos2 р	бх2 —2х-|-1
как —2L<p<JL, то cos р
2	2
|х|=х. sin2p=l—cos2p=l
— 2х - Так как cosp>0, то
д/бх2-2x4-1
4Х2	_ х2 —2x4-1 =	(х-1)2
бх2-2x4- I	бх2-2x4-1	5х2-2x4-1’
52
sin р = —-,1 л  - f д/(1 —х)2 = 11 — х| = 1 — х, так как |х|	-1) .
д'бх’-гх-Н 4	______2
Выражение (1) примет вид:	2х• ——==- + д/1 — 4х2 X
V5*2-2x4-1
у— *~х - =1. бх2— 2x4-1>0 при хеЯ, а потому 4х24-
т/бх2-2x4-1
-)-(1—х)д/1 —4х2 = д/бх2— 2х+ 1. (2) Обе части уравнения (2) по-
ложительные, так как |х|^ —, а потому, возводя в квадрат обе
части уравнения (2), получим равносильное уравнение: 16х4-|-
+(1 -х)2(1 -4х2) + 8х2(1 — х)~\/1 —4х2 = 5х2 —2x4-1. 16х4-Ь(1 -2x4-
4- х2Х 1 - 4х2) + 8х2( 1 - х)л/1 — 4х2 = бх2 -2x4-1, 16х4 4- 1 - 2х 4- х2 -
- 4х2 4-8х3 — 4х4 4- 8х2( 1 — х)д/1-4х2 = бх2 - 2х 4-1,	12х4 4- 8х2( 1 -
— х)д/1 — 4х2 4-8х3 — вх2 = 0. Из условия видно, что х#=0, а потому,
разделив обе части уравнений на х2, получим: 12х24-8(1—х)Х
X д/* — 4х2-|-8х— 8=0; —Зх2 — 2х-|-2 = 2(1—х)д/1 —4х2. Нетрудно
проверить, что при |х|<— левая и правая части уравнения —
положительные величины, а потому (— Зх2 — 2х-|-2)2 = 4(1 — 2х-|-
4-х2Х1 —4х2), 9х44-4х24-44- 12х3— 12х2 —8х = 4—8х-|-4х2— 16х24-
4-32х3— 16х4, 25х4 —20х34-4х2 = 0, х2(25х2 — 20х 4-4) = 0, х=0 или
йбх2 — 20x4-4 = 0, (5х — 2)2 = 0; 5х—2 = 0; х=—, но из условия
х=#=0, а потому х=~. Ответ: х=~.
5	5
Решите уравнения.
1.	arcsin (2x— 3)= 2L.	2.	arccos (x2 — 2) = л.
3.	arcsin (x-|- 1)=	4.	arccos (x2 — 5x 4- 7) = 0.
5.	4 arctg (4x2— 12x4- 10)=л.	6.	arcsin 3x= arccos 4x.
7.	2 arcsin x= arcsin -ISi-. 13	8.	2 arctg A. — arctg x= -i
9. arctg(x-|-2)—arctg(x4-!)=-£-•
10.	arctg(x2 — 4х4-34-д/3)=^..
11.	6arcctg(x2 — 8х-|- 15-|--\/3)=л.
12.	4 arcctg (х2 — 9х -j- 15)—л = 0.
13.	arcsin х = arccos дТ—х.	14. 2 arcsin х = arcsin 2х.
15.	arcsin 6х = arccos 8х.	16. arcsin x = arcctg x.
17.	2 arcsin 3x= arcsin 2x.
18.	2 a rccos — 16x2 = a rccos д/1 — 12X2.
19.	2 arccos д/1 — x2 = arcsin 2x.
53
20.	2 arccos -\l 1 — — = arcsin —.
V 5	5
21.	arctg(x—l) + arctgx + arctg(x+ l)=arctg3x.
22.	arccos x=arctgx.
26.
28.
24. sin (n arctg x)=0, n^N.
2 arcsin x +arccos (1 —x)=0.
(arcsin x)3 +(arccos х)3 = л3.
23. arcsin x4- arcsin — = —.
1	2	4
25. arcsin 2хЦ-arcsin x=-^-.
27. (arcsin x)2 +(arctg x)2 = л2.
29. arcsin 2x—arcsin x=—.
3
30.
31.
32.
33.
arcsin x — arcsin — = arcsin .
2	2
arcsin (х-\/3) — arcsin x= —.
6
arcsin x — arcsin — = —.
2	3
arcsin — +2 arcsin—— =—.
•2	6V2	3
34. arccos 2x — arccos (2д/3х) = -5-.
2 arccos (Зд/2х) — arccos (3д/3х)= -5-.
35.
a rccos 4x + a rccos 2x = — .
3
arctg —--arctg— =
д/S	x 6
38.	arctg(x — l) + arctg(2 — x)=
39.	arctg(4 —x) +arctg (x—3) = -^-.
40.	2(arcsinx)2 — 3 arcsin x+1 =0.
41.	2(arccosx)2— 3arccosx—2 = 0.
42.	8(arctgx)—2 arctgx—1 =0.
36.
37.
Глава 11. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В курсе алгебры и начал анализа предусмотрено решение систем
уравнений. Системой тригонометрических уравнений условились
называть совокупность уравнений, составленных либо только из
тригонометрических уравнений, либо из тригонометрических и
алгебраических уравнений.
Примерами систем тригонометрических уравнений могут служить
следующие:
sinx+cosy = 0,	sin х cos у=0,25,	х— у= — А,
sin2 x+cos2 у= -L;	sin у cos х=0,75;	cos2 лх—sin2nx=-l-.
§ 1. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ, В КОТОРЫХ ОДНО УРАВНЕНИЕ —
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ, А ДРУГОЕ — СУММА ИЛИ РАЗНОСТЬ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
Примеры. Решите системы.
а)
(1).
sinx — sinу — -L (2).
Решение. Преобразуем уравнение (2): 2 sin - cos х^ =-1
(2'). Из (1) и (2') следует: sin— cos= —, cos	!--.
12	2	4	2	, . л
4s,n12
4sin — =4 sinf — — —^ = 4f —	=^6-^2, ----!--=
12	\ 4	6/	\ 2	2	2	2/ v v ’	. л
4S,nl2
= —— --=	. Получим: cos х^- =	ху=
V6-V2	4	3	2	4	' у
= ±2 arccos+4пл, neZ (3). Решим совместно систему
Уравнений (1) и (3):
*+у= ±2 arccos-}-4пл. neZ,
4
x~y=2L; складывая и вычитая эти уравнения, получим:
6
55
Х= ± arccos +2пл + -^,	I
t/= ± arccos+2пл —-^, neZ.
Ответ: х= ± arccos-|-2пл-|-JI, t/=±arccos 4
+ 2пл — -Д, neZ.
б)
*+</ = -|л (*).
tg * + tg </ = 2д/3 (2).
Решение. Из (2) следует: sin (*+¥) =2д/з, из (1) следует:
COS X cos у
. 2
sm^-л
------------= 2-уЗ, откуда cosxcosу = —, cos(x-|-t/)-|-cos(x—u) = —,
cos x cos у-4	2
cosАл-j-cos(x—y)=-^-, cos(x—t/)=l, x—y=2kn, k^Z.
Имеем систему:
о
х + у = ~з л,
х—y = 2kn, k^Z\ складывая
и вычитая эти
уравнения, получим:
Х=-=-+*Л,
У = ^- — kn, k^Z.
s 3
Ответ: х=-^-4-/гл, &=-£—
х-4/=4(1).
в)	_
cos х+cos у = -2. (2).
Решение. Из (2) следует: 2 cos cos Хг^~ =-|-; из (1) сле-
дует: 2 cos -^±4--cos-£ = -l, со5^ЦЬ-=^р, х+{/=±4+4пл'
n^Z.
х4-{/=±4Ч-4пл, n^Z, x=±4+2nn + 4’
3	DO
х —1/=4;	4/=±4 + 2пл — 4’ ne=z-
3	DO
Ответ: х=±4+2пл + 4’ у=±4+2пл—4- n^z-
6000
х + {/= ±л (1),
г) 6 .
cos2 х + cos2 у = -L (2).
56
решение. Преобразуем уравнение (2): 1 + cos 2х +1 + cos 2у=
cos2x+cos2y= —A. 2cos(x+y)cos(x—у)= —
*2”’	3	*
2 cos у л cos (х—у)= — у, cos(x—у) = у-, х — у= ± у +2Лл,
fceZ (3).
х+{/ = Ал,	х=±^+*л + Ал,
х-у=±у Ч-2Лл, k(=Z;	y==FJL-kn+±n, k^Z.
Ответ: х= ± 4+*л+Л л> у= =F — Ал + А л, k^Z.
I Z	1 Лй	1 Лл	1“
х-у= " (1),
А) ,,ч
sin2 х~ sin2 у= — (2).
Решение. Преобразуем уравнение (2): 1 — cos2х— 1 4-cos2у=
=у, cos 2у—cos 2х= у, 2 sin (y + x)sin (х—у)= у, 2sm(x +
+y)siny = y, V3sin(x + y)=y, sin(x + y)=-у, x-f-y =
=(-l)"f+ нл, neZ.
x + y=(— 1)" у +пл, neZ,
x—y = -5-.
сложив эти уравнения, получим: 2х=(—1У4+Пл+4 или х=
3	о
=(— iy* — 4-п — + Л. Вычитая из уравнения (3) уравнение (1),
6	2	6
получим: 2у=(—1)"4+пл—4 или 4/=( — *)"4 +п4 —
О	О	V	Лл	V
Ответ: х=(-	4-п^. + -i, у=(-1)"^. +^-|, neZ.
I Х-у=±(1),
I ctgx — ctgy= — д/з (2).
Решение. Преобразуем уравнение (2):	^7-^-= —д/з,
•у^).=д/э,	51П?--=д/3, ---=д/3, Sinxsinу=± (3).
='n х sin у	sin х sin у	2 sin x sin у	2
Преобразуем уравнение (3): cos(x—у)—cos(x+y)= 1, cos-i —
~~cos(x-|-y)= 1, cos(x+{/)= — 4’ x-f-y= ± .%-n-}-2nn, n^Z (4).
Л	3
57
Решим совместно уравнение (1) и (4):
х-|-у = ± -|-л + 2пл, п<=^
откуда
х=±4 + «л+ "
3	о
y=±4+nn—neZ-
3	о
Ответ: х= ± 4+пл + 4’ 4/= ± 4+пл — 4’ neZ-
3	и	3	о
Решите системы.
1.	COS X + cos у = COS -5. х + у= " 4	2.	,	2 x + y=-j Л, 2cosx-|-4cos y=3.
3.	«+»=ТГ’ 5(sin 2x-|-sin 2у)=2(1 + cos2 (х —у)).		
4.	9	-9	1' cos пх— S1O ЛХ =	 2	5.	cos2 x + cos2 у=0,25, х + у=-|л.
6.	cos х—cos y = sin (х + у), |xl + ly|= " 4	7.	*4-0=4. sin x-|-sin y= 1.
8.	sin xcos у 4-sin2 у sin у= 2х —у= —. v 2	cos2 — sin у, 2 s	
9.	х + у=Ал, tg*~ tgy=2.	10.	*+0=4". cos 6x + cos 6y = 2.
11.	* + 4/=у. 1 	1-4-л/З SID X-|-Sin у =	г-’	12.	x —y= —, 3 ctgx — ctg y= — д/з.
13.	х + у=^я, tg*+tgy=i+V3.	14.	1 sin(x-y)=l, 1 2x—3y = 4.
15.	tgx+tgy=-^.	16.	sin x —cos y= —, s 2 x-y=£.
17.	х + у = -|л, tg* + tgy = 2V3.	18.	sin x-j-sin y = д/2.
58
Найдите все действительные корни системы уравнений.
.	l+tgnx
19.	i-tg-nT-
2х24-у2 = А.
о
20.	2 4- sin (л(х — у)) 4- л/З cos (п(х — у))=0,
х24-У2 = ||.
21.	tg(ny)=
^-3tg(nx)
х2-х4-{/24-|1=0.
22.	I sin (л(х4-у))4-соз(л(х4-у))4-д/2 = 0,
I x24-y2= —•
1	16
f 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ. В КОТОРЫХ ОДНО УРАВНЕНИЕ —
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ, А ДРУГОЕ — ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Это системы уравнений вида:
х±у=а,	\х±у=а,	х±у=а,
sinxsiny=ft;	| sin xcos y=b;	cosxcosy=b.
Примеры.
Решите системы уравнений.
cosx cos y= —.
Решение. Преобразуем второе уравнение:
cos (х 4-у) 4-cos (х—у) = 1, cos (х 4-у) 4-cos 2L = 1, cos (х 4-у) = у. *4-
4-у=±у4-2пл, neZ.
х4-у= ±-5-4-2пл, neZ,
х—у=—;
я з
х=±44-пл4-4-
О	о
у=±44-пл- " neZ.
О	о
Ответ: х=(6п± 1)-£ 4--£-• У=(6п±1)4~4- neZ-
DO	DO
SinxSiny=4i.
*	4
л	л	О
Решение. cos(x — y)—cos(x + y)=—, cos(x—у)—cos-1л = —,
л	о	*
COS(x —у)4-± = A, cos(x — у)=1.
59
	4	2	।
x + y = -In,	x=-±n-|-nn,
x — y — 2nn, n^Z\	y=An—nn, neZ.
Ответ: x=(24-3n)_, y=(2 — 3n)_, neZ.	*
3	3
X-(/= "
B)	- I
cos x sin у = _L.
Решение.	sin (x-|-y)-|-sin (у—x) = y, sin (x + y)—sin-2 =
= ±, sin (x + y)= 1, х+у=^- + 2пя.
X = -2 4- nn,
x-j-y= Л -|-2nn, neZ,
x — y= —;
y 6
y=-2-|-nn, neZ. Ответ: x=(3n-|-l)-2
х~У=^,
Г)	I
ctg x ctg у =2-.
Решение.	y = x — 2,	tgxtgy = 3.
y = (6n-H)-2, n^2
tgxtg(x-2.) =3,
———-----6 3 - =3, tg2x —-\/3tgx=34-3-\/3tgx, tg2x—4-\/3tgx—
• 4-tgxtgy
— 3=0, tgx = 2-\/3±V*5. x=arctg(2-^±V*5)+nn. y=arctg(2^
±V*5)+nn—у- Ответ: x=arctg(2-73±V15)+nn; y=arctg(2V5±
±V*5)+nn—у-
Решите системы уравнений.
'+«=t-
sin x sin y= _L.
Х + У==ИП’
tgxctgy=^.
i/6
COS X cos у = у- .
tgxtgy=^
x+y=i’
tg*tgy=JL.
о
I 5
x4-y=-g-n.
sin xsin y = ip.
sin xcos у = 2
60
10.	x-y=-f, И.	х4-у=л,	12.	x-//=4.
	tgXCtg	ctgxctgy = — -L.	ctgxctg#= 1.
13.	х-У = 4-	14. О	x-y=2L,	15. *	3	X — y= A, V 12
	Q Sin XCOS(/=—. *	4	COS XCOS U= — . *	2	tg*tgy=3.
16.	x+«/=y.	17.	x + y=y.	,8-	sin xsin u — J- w 2
	tgxctgy=l.	sin xsin y = —- 2	Х + У=у-
f 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, В КОТОРЫХ ОДНО УРАВНЕНИЕ —
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ, А ДРУГОЕ — ОТНОШЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Это системы x±y=a.	уравнений x±y=a.	вид.	Q II 3> H .. 4 m 	
sin x —l)- sin у	.sinx =fe. cos у		^=b; <E</
x±y = a,	x±y=a.		
£2^- =b; cos у	COS X =b sin у		
Примеры. Решите системы уравнений.
х±у=а,
£&*=Ь;
ctRl/
а)
sin х 2
sin у
Решение. Ко второму уравнению применим
производную
пропорцию	:
„ . *+у	X — у
sjnx+sintf _ 2+1 . 2 Sln ~~2~ C0S 2	_3.
sinx—sin у 2-1’ 2cosx+^sin^
•g^+ctg.^-3; tgf-dg
х-0==.| + 2Ля;
Х + У=уЛ,
х-у=^.-|-2Ля;
X=^- + kn,
u= — — kn, ke.Z.
*	6
x — у= —.
v 6
sin х =2
cosy
б)
61
Решение. у=х— " sin x=2cos( х — А), sinx=2cosx
6	\	6/
Xcos — 4-2 sin x sin 21, sin х=д/3cos x-|-sinx, cosx=0,
6	6
x=-i 4-nn.,
y=-£.-|-nn. neZ.
в)
x+y~>
-iSJL=3.
tg У
Решение.
sin x cos u _з sin x cos и+cos x sin и _ 4
cosx sin у ' sin x cos y — cosx sin у 2
sin (x+u) —л
sin(x—y) ъ
Л
sin~2
sin (x—y)
= 2. sin(x — y)=-L,
V ’ 12'	2	4’
y=^ + (-l)"+12L-n^.
*-</=(-i)n4+«n;
D
Г) x4-y=4n-
о
ctg x __  1
ctgy У
Решение cos * sin v  — 1  sin у cos x+cos у sin x  2 .
cos у sinx 3’ sin у cosx—cos у sinx —4*
. 5
.	Sin -7- Л
1	. о
sin (v + x) _
sin (y —x)
2	’ sin (y—x)
.	5
x-|-y=-g-n.
—; sin(y—x)= —1; y—x= — ± 4-2нл;
2
х= — л— пл,
У=4 + Пп’ n^Z.
О
У — x= — у-Ь2пл;
Решите системы уравнений.
1.	* + «/=y.	2.	x — У =	n T2’	3.	*4-y	7 12 Л’
	sin х 	 /3		sin x			sin x		л/ё
	sin у v~		sin у			cos у	2 '
4.	x— y= — Л, »	12	5.	x + y =	— Л, 12	6.	x-У		 л T’
	_sinx_	 л/ё		tgx _	x/3		tgx	-Q
	cos у	3		tg</			tg</	
7.	x + y= —Л, 1 *	12	8.	x — y =		 Л "6 ’	9.	X — у	= 	 Л 24’
	cos X 		[		cos X _	1		COS X	_ V2+V3
	cosy		cos у			cos у	V2-V3
62
10.
13.
16.
х + у = л,	И.
cosx _____|
sin у
х4~У=-|-л,	14.
sin х =2
sin у
х + у~ — Л,
' » 12
tgx+tg</ __ Уз-н
tg (*+у)	2+V3 '
sin х __ л/2
sin у 2
X — у=
sin х _
cos у
хЧ-у = — Л,
12
-£ie-2-=V3-
ctg У
х~1~у= — л,
У 12
sin х I
sint/ д/г'
! 4. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ, СОДЕРЖАЩИХ
ТОЛЬКО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Примеры. Решите системы уравнений.
a) I sinx-|-cosy = 0,	(1)
{ sin2 х 4-cos2 у = -L.	(2)
Решение. Из уравнения (1) имеем: cosy=—sinx, тогда
уравнение (2) примет вид: sin2x-|-sin2x= .L, 2sin2x=A., 1 —
—cos2x=* cos2x=_L, 2x= ± —-|-2пл, x=±_4-«л, neZ.
2	2	3	6
Подставим найденное значение х в уравнение (2), получим:
sin2^ ±^-4-лл^+cos2y=-L. Рассмотрим уравнение при п = 0:
sin2( +cos2y=-L. sin2_5. + cos2y=-L, ± + cosay=-L,
-i- 4-2 cos2 у = 1,2-4-14- cos 2y= 1, cos 2y= — —, 2y = ± -1л4-2Лл,
~	2	2	3
У=	Ответ: х=±—-рлл, y= ± —+^л, n, ke2.
3	*6	3
92 1g x+cos «==31	(1)
9cce»_8Pex=2.	(2)
Решение. Перепишем систему уравнений в следующем виде:
34 1gx + 2cn5V=3j	(Г)
32 cos 34 Ig х= 2.	(2')
Из уравнения (Г) имеем: 4tgx-|-2cosy= 1, откуда 2cosy=
1—4tgx (3). Подставим (3) в уравнение (2‘), получим: 3'-4,ej—
— 34|е>=2,—-------34,в*=2. Обозначим 34,sj=/ (4), тогда А —
34*в>	k h	t
12-Ь2/ —3=0, /i=—3 — ие удовлетворяет условию, а по-
тому /2=1. Из уравнения (4) имеем: 34|е*=1, 4tgx = 0, х=пл,
n^Z. Подставим найденное значение х в уравнение (3), получим:
63
2cosy = 1 — 4 tg пл, 2cosy=l, cosy=_L, y=± — -|-2Лл, Ael
2	3	>
Ix = nn,
y=±±4 2Лл, n, k^Z. Ответ: х = пл, y= ± A 4-2fen, n, ke~z
, sin xcosу = 0,25,	(1)
B sin у cosx=0,75.	(2)
Решение. Сложим уравнения (1) и (2), получим: sin xcosу4
-|-cos х sin у = 1, sin (х-|-у)= 1, х-|-у= А. 4 2пл (3). Вычтем из урав-
нения (2) уравнение (1), получим: sin (у — х)=-1-, у — х=(—1)*А-4
4^л, AeZ (4). Решим систему из уравнений (3) и (4):
х + у=-^ + 2пл.
у — х = ( —1)* А 4кл, л, /ieZ.
Складывая и вычитая уравнения, получим:
х=(-1)*+'" +
4(4п —2*4 1)А., У = (— 1/^-Ь(4и-|-2Л-Ь 1)А. Ответ: х=
=(-	+ (4«-2*+ 1)А, у=(— 1)^-Ь(4н + 2Л-Ь k^Z.
r\ I д/2 sin x = sin у, (1)
I -\/2 cos х=-^3 cos у. (2)
Решение. Возведем каждое из уравнений системы в квадрат
и сложим, получим: 2 = sin2y-|-3cos2y, 2 = 1-|-2 cos2 у, 1 = 14
-|-cos2y, cos2y = 0, 2y=A(2n41), y = A(2n41), neZ. Вычтем
из квадрата уравнения (2) квадрат уравнения (1): 2(cos2x — sin2x)=
= 3cos2y — sin2y, 2cos2x=2cos2y-|-cos2y, 2cos 2x = 1 -|-2 cos 2y,
но cos2y = 0, а потому cos2x=-l_, 2x=±A -|-2йл, х=±А-4*л,
keZ.
Легко проверить, что из найденных значений х и у удовлетворяют
данной системе уравнений только х=А-4*л и у = А(2п4 1)-
и, keZ. Ответ: х = А -|-Ал, у = у(2п-|-1), и, keZ.
A 4-tg А =2
2	6 2
ctgx-|-ctgy= — 1,8.
(0
(2)
Решение. Из уравнения (2) имеем:
2tE^
2tg-|-
= — 1,8 (3). Из уравнения (1) имеем: tg А = 2 — tgA(4).
64
Подставим уравнение (4) в (3), получим:
2t+	s(2-.e-^-)
Положим tg + =/ (6), тогда (5) примет вид:	=
== — 1,8, <=#=0, х=#=2Лл, k^.Z, t=#=2, х=#=2 arctg 2 + 2мл, neZ,
(1-/2)(2_/)_|_/(_з_|_4Г_/2)= _3д2/-/2), 2 — t — 2t2 + t3 — 3t +
4-4t2 — t3+7,2/ — 3,6/2 = 0, — l,6/2 + 3,2/ + 2 = 0. Умножим уравне-
ние на (— 5), получим: 8/2—16/—10 = 0, 4/2—8t—5 = 0, 6=2,5
и /2=—0.5- Подставим значения /| и /2 в равенство (6), получим:
tg_L=2,5, xi = 2 arctg 2,5 +2мл, neZ, tgA =—0,5, х2 =
= — 2 arctg 0,5+ 2Лл, feeZ. Из равенства (4) найдем: a) tg =
=2 — 2,5=—0,5, yt = — 2 arctg 0,5 +2м । л, fl|£Z; 6)tg-|-=2 +
+ 0,5 = 2,5, у2 = 2 arctg 2,5+2Л|л, feteZ.
pl =2 arctg2,5 +2мл,	1 х2= — 2 arctg 0,5 + 2Лл,
| У< = — 2 arctgO,5 + 2Min, | y2 = 2arctg2,5 + 2fein,
м, Mi^Z;	k, k^eZ.
Решите системы уравнении.
1.	2 sin2(x+y)—2 sin (х + у)— 1=0, cos2 (х —у) + 2 cos (х — у)—2 = 0.	
2.	sin (х + у)= 1,	3. tg (х —у)=1.	sin (x + у)=sin (4x + y), cos (x + 2y)=cos (8x + 4y).
4.	sin х sin w=-L	5_ 57	4	Я sin xsin	,
6.	Q cos x cos y = — . sinx	=siny,	7. sin X	tg*tgy = 3. Я sin x-|-sin y= y.
		1 COS x + cos y= 2 
	COS X	
8.	sinxsiny=—!—	9. 4-^	y/3 sin x sin y= — , 4
	tg X tg у = ±.	л/з cos x cos y=-^-.
10.	tg* + tgy=2,	11. 2 cos xcos у = 1.	cos (x4-jy) _ I cos (x—y)	9
		sin xsin y= —. y 3
12.	sin xcosу = 0,36,	13. sin x sin у=0,36.	3ctgx=tg3y, cos x=sin 2y.
3- Зак 1587 и Т. Бородуля		65
14.
tg-J + tgf
15~
tg *4~tg У=2д/3.
tgx-|-ctgx = 2sin(y — Ал) ,
tgy + ctgy = 2sin(x+-l) .
16. sin2 *-|-ctg у—I q J7
Vcos (t~x)
COS2x4-Afgy—1 =0.
18.	^* + ^ + 0Л5=п	19
Vcos GH)
4 cos2 x -|- tg у — 1=0.
20. 12sin xsin у-|-cos x = 0,
I 1 4-sin у cos x = 2 cos2 у sin x.
3 cos 2л —6 ctg y + 2  q
^Si" (4~X)
18 sin2 x — 2 tg у — 3 = 0.
cos2*—ctg у— —
---=• -=0-
Vsin CW)
3 sin2 x — 4 tg у — 39 = 0.
21. |sin у cos x-|-sin x = 0,
12 cos2 у -|- sin у sin x = cos 2y cos x.
22.
2cos xsin y-|-sin x=0,
-----sin 2ycos x = sin xcos y-|-cos x.
23. ( sin x cos у 4- cos x = 0,
12 sin2 у—cos у cos x = cos 2y sin x.
Определите, при каких целых значениях k система имеет реше-
ния и найдите эти решения.
24.
25.
26.
(arctg х)2-|-(arccos у)2 = Лл2,
arctg х 4- arccos у = -у.
2
arccos х-(-(arcsin у)2=Лу,
(arcsin у)2 arccos х = ^~.
(arccos x)2-|-(arctg y)2-(-(arccos x)-(arctg y)=fen2,
arccos x — arctg у = у.
27.	((arcsin x)3-|-(arccos y)3=(A-(- 1)л3,
I arcsin x-(-arccos у = л.
28.	Найдите пары значений (х; у), являющиеся решением системы
sin х-|	!— =2v14,
и удовлетворяющие условиям:
sin х------- д/196 — 2
cos у
0<х< л.
66
29.	Найдите пары значений (х; у), являющиеся решением системы
tg х + os у = 2д/34,
j	з>—-	и удовлетворяющие условиям:
tg *7oS у	*
30.	Найдите пары значений (х; у), являющиеся решением системы
cos х+ TiTT =2^20>
*	и удовлетворяющие условиям:
cosx-Д- = д№-3
sin у v
л	Л
— 2	2 ’
0<уСл.
31.	Найдите пары значений (х; у), являющиеся решением системы
tg х 4—г!— = 2д/4Т,
Б ' sm у *
tg х —— = д/412 — 6
Б sin у ’
и удовлетворяющие условиям:
0<х<2л,
0 < у < л.
3'
Решите системы уравнений.
32.
3 tg у -|-6 sin х=2 sin (у — х),
у
tg У —2 sin X=6sin (у 4-х).
33. (sin2х 4-sin xcosу = cos2y,
Icos 2x4-sin 2y=sin2y4-3sin xcos y.
10 sin у | cos у | —6 cos x = cos (x4- y),
34.
2 sin у | cos у | 4-cosx=—5cos(x—y).
35.	(2 sin2 y4-sin 2y=cos (x4-y),
Icos2 x4-2sin 2y4-sin2y=cos (x — y).
36.	г cos 2x4-sin у = 2 cos2 30°,
I cos 2x—sin y=sin 54°.
37.	I 3 tg 3y4-2 cos x = 2 tg 60°,
I 2 tg 3y —3cos x= —|-cos 30°.
38.	r2sin x4-ctg 2y= 1+ctg 30°,
I sin x—3ctg 2y=(-\/3 —6)sin 30°.
39.	|3tg4x4-ctgy=2tg60°,
I tg 4x—3 ctg у = —8 ctg 60°.
67
40. cos2x=tg (y + у),
cos2y=tg (* + 7-)-
41. cosx — sin x= 1 -|-cos у—sin у,
3 sin 2x—2 sin 2y = -~-.
42.
43.
sin x-j-cos x = 2-|-sin y-|-cos y,
2sin 2x-|-sin 2y= 1.
cos2x-|-cos2y + cos2z = 1,
cos x-|-cos y-|-cos z— 1,
x + y+z = n.
44.	Найдите решения системы уравнений
tg2 (х — у) — 4tg (х — у} + 1 = 0,
*	удовлетворяющие условиям:
sin х = у,
I — л<у<0.
45.	Найдите решения системы уравнений
I sin*(y x)4-^cos (у х) 1,5, удовлетворяющие условиям:
Ugy=tgT.
| —л<х<л,
10 у 2л.
46.	Найдите решения системы уравнений
Ctg2(x —у) —(1 -|--\/3)ctg (Х— у)4-л/3 = 0,
л/з	Б' V * удовлетворяющие услови-
cost/ = —,
ям:
0<х<л,
0^у^2л.
47.	Найдите решения системы уравнений
cOS (x_b^)"b2sin(x-|-y) 1,75, удОвлетворяющие условиям:
0<х<2л,
0<у<л.
Решите системы уравнений.
48. sin2(-2x)+(3-V2)tg(5y)=^^
tg2 (5у)4-(3 - V2) sin (- 2х)=-1- (Зл/2 -1).
68
49.
cos2 (4x)+ 262 2 tg (—2y)
t g2 (— 2y) — —2-- cos(4x)
V26—i
4
V26—1
4
50. sin2(3x) + (4-^/3)ctg(-7y)=2-^3-0,75,
ctg2 (— 7y)+(4 — д/З) sin (3x)=2-^—0,75.
51. cos2 (6x)+(V5-l)ctg(-9y)=±(2V5- 1),
ctg2 (— 9y)+(д/5 — 1) cos (6x)=у (2д/5 - 1).
52.
54.
x + sin (x+y)= 1,5,
3x — sin (x + t/)=2,5.
cos (x — y)—2y = — 1,5,
3 cos (x — y) + y=2,5.
56.
х + У	x—y
cos—2—cos——
58.
60.
62.
arctg x+arctg у
xi/ = — 2.
tg (3y — 5 cos2 x)= 1,
"Ay— 10cos2x = -^- — 1.
ctg (2y—cos2 x) = 1,
f>y— 15 cos2 x=-5-л— 1.
53. |tg(x+y) — 5x=— 9.
’5tg(x + r/)+x=7.
55. (2y — ctg(x — $/) = 3,
I3y+2ctg(x—y)=8.
57. |xy=l,
I arcsin x+arccos y==^.
59. (sin (2x+sin2 y)=0,
lx—3sin2 y= —2.
61. [cos (2x+sin2 y)= 1,
I3x — 3sin2 y= — 10.
COS XCOS V = 4- .
3	4
1
2 ’
Глава III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Два тригонометрических выражения, соединенных между собой
знаками «>» или «О, называются тригонометрическими нера-
венствами. Тригонометрическое неравенство может быть тождест-
венным (безусловным) и условным.
Тождественные неравенства доказываются, а условные — реша-
ются. Тригонометрическое неравенство называется тождественным,
или безусловным, если оно справедливо при всех допустимых зна-
чениях неизвестных, входящих в неравенство.
Например:
1)	tg2x^0 при всех xeJ?, кроме х = у(2п+1), neZ;
2)	|sinx|^l при всех хеЯ;
3)	sin<+cosx Z^-^/sin xcosx, хе |2пл; у+2пл], neZ.
Тригонометрическое неравенство называется условным, если
оно справедливо не при всех значениях неизвестных, входящих
в неравенство.
Например:
l)sinx^y, что выполняется только на отрезках |у4-2/гл;
-|-л-|-2/гл^, k^Z;
2)	cosx0, что выполняется только на отрезках [у-|-2пл;
л-|-2пл], neZ;
3)	ctgx<—д/3, что выполняется в интервале (—-|-пл; ил),
neZ.
Решить тригонометрическое неравенство — это значит найти
множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при
которых неравенство выполняется. Мы знаем, что тригонометри-
ческие функции sin х и cos х имеют наименьший положительный
период 2л, a tgx и ctgx имеют наименьший положительный пе-
риод л. При решении неравенств с тригонометрическими функциями
следует использовать периодичность этих функций, их монотон-
ность иа соответствующих промежутках.
70
Для того чтобы решить неравенство, содержащее только sin х
или только cosx, достаточно решить это неравенство на каком-
либо отрезке длины 2л. Множество всех решений получим, приба-
вив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида
2пл> где Для неравенств, содержащих только tgx и ctgx,
решения находятся на промежутке длиной л, а множество всех
решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом
отрезке решений числа вида пл, где neZ. Тригонометрические
неравенства можно решать, прибегая к графикам функций y=sinx,
y=cosx, y=tgx и y=ctgx. Мы будем решать неравенства, поль-
зуясь окружностью единичного радиуса. При решении тригономет-
рических неравенств мы в конечном итоге будем приходить к не-
равенствам sinх^а, cosxSga, sin х^а, cosx<a, tgx^a, ctg х SB а,
tgx<a, ctgx^a. Естественно, надо научиться решать их.
Примеры. Решите неравенства.
1	. ОШ А	-g .
Решение. Проводим два взаимно перпендикулярных диамет-
ра, совпадающих с осями ОХ и ОУ, строим окружность /? = 1
с центром в точке пересечения диаметров (рис. 5). Проводим
прямую у=у. Все значения у на промежутке NM больше у.
NM стягивает дугу АВ с началом в точке А (у, у) и с концом
в точке В^л, у). Следовательно, решением неравенства будут
все значения на (у-; с прибавлением 2пл, т. е. у 4-2пл<
<х<-|-л4-2пл, neZ. В дальнейшем все рисунки будем приво-
дить без пояснений.
2.	sin 2x^4’-
Решение. A (arcsin у; у), В ( — л—arcsin у; у) (рис. 6).
— л — arcsin 4" 4-2пл^2х^ arcsin 4- 4-2пл,	—arcsin 4- 4-(2п —
— 1)л^2х^arcsin у -|-2пл,	—у arcsin у +(2п— 1)у ^х^
«г- 1	1	,	Ч
Ч у arcsin у 4-пл, n^Z.
о - 2	.	л/2
3.	SinyX<-y-.
Решение. Л ( —	в( — ул; — (рис. 7), — |л+
+ 2пл^-|-х^—^4-2пл, —|-л-|-Зпл^х^—|-л-|-Зпл, (8п —
О	4	с	в
л^х^(8п —1)у л, neZ.
71
Рис. 5	Рис. 6	Рис. 7
л/З
4.	Jsin2x|^~.
л/З	л/3
Решение. — у ^2sin 2x^2 у.
Для более точного построения дуг можно предварительно найти
Л®
дуги (углы), синусы которых равны ±у. Такими дугами будут
л
±-х-> которые легко построить с помощью циркуля и линеики,
и
отложив эти дуги от точки Ро (рис. 8). На дуге АВ: — Д + 2Лп^
О
^22х^2у+2£л (1), на дуге CD: у л + 2йл ^2х^ул+ 2А:л,
— у+(2&+1)л^22х^2у+(2А+1)л, k^Z (2). Из неравенств (1)
и (2) следует: — Д + /1л<2х<Д	(3). (3/1 — 1) Д < 2х < (3/1 +
j	О	о
+ 1)у, (3n-l)ic*C(3n+l)-J, neZ.
Замечание. Если дуги симметричны относительно осей коор-
динат, то ответ можно писать на любой дуге, уменьшив период
в 2 раза.
5.	|sinx|>y.
Решение. Из условия следует, что sin х> у или sin х< —.
11
sin х> у,
. Дуги симметричны относи-
sin х< ——.
тельно осей координат (рис. 9), следовательно, достаточно написать
ответ на одной из дуг, например на дуге АВ: Л 0Д yj.
уУ у +лл<х<-|-п4-/1л или (6/1 +1)у <x<(6/i+5)у, neZ.
6.	cos х > -х-.
и
72
Рис. 10
Рис. 8
Рис. 9
Решение. МРь стягивает дугу АВ (рис. 10), на которой выпол-
няется неравенство — arccos^- 4-2пл<:х<arccos-у +2пл, neZ.
и	Л
7.	cos х < у.
Решение, Л^у; у), Д^у! Тл) стягивает дугу ANB
л	5
(рис. И), на которой выполняется неравенство у-|-2пл<х<у л4-
4-2пл, (6n4-l)y <x<(6n + 5)y, neZ.
8.	|cosx|C-y-
J2	т/2
Решение. —y^cosx^-y. Дуги АВ и CD симметричны
относительно осей координат (рис. 12), поэтому достаточно напи-
сать ответ на одной из дуг, например на дуге АВ. Но период необ-
ходимо уменьшить в 2 раза: у-|-Ь<х<-~л-|-/гл1 k^Z. А имен-
но: если дуги симметричны относительно осей координат, то ответ
можно взять на дуге, более удобной, уменьшив в этом случае
период в 2 раза. Действительно, при n=2k получим неравенство (1),
а при n=2k—1 получим неравенство (2), т. е. остается в силе
замечание, сделанное в примере 4.
9.	|cosx|>y.
Решение.
_ 1
COSX> у ,
( Учитывая замечание, сделанное в
cos х < —g-.
примере 4, напишем ответ: —+ пл<х<-^- -|-пл. neZ (рис. 13).
О
10.	tgx>2.
Решение. Из рисунка 14 видно, что arctg 24-пл<х<у+пл,
«gZ.
11.	tgx<l.
73
Рис. 11	Рис. 12	Рис. 13
Решение.Из рисунка 15 видно: —у -j-nnOCy -|-пл, neZ.
12.	|tgx| <д/§.
Решение. Дуга (угол), тангенс которой (которого) равен д/3,
будет -у (рис. 16). Так как тангенс имеет период, равный л, то реше-
ние неравенства будет: —-}-пл СхСу-|-пл, neZ.
13.	|tgx|>l.	j
Решение. Из условия следует:	(рис 17)
-у -)-пл2 +«л и — у Н-пл<х< — у 4-пл, пе2.
14.	ctg	—д/3.
Решение. Угол, котангенс которого равен —д/3, будет -|-л
^или —(рис. 18). Так как период котангенса равен л, то решение
неравенства будет: —-у +пл<х<пл, neZ.
74
Рис. 17
Решение. Из условия следует: —Icctgxd (рис. 19). Реше-
нием неравенства будет интервал: у- -|-пл<:хС-|-л + пл, neZ.
Решение неравенств часто осуществляется с использованием
основных свойств функций. При исследовании более сложных
функций и построении их графиков возникает потребность в пред-
варительном решении неравенств. Умение решать тригонометриче-
ские неравенства бывает необходимо при изучении пределов, в
приближенных вычислениях, в линейном программировании и дру-
гих вопросах. Заметим, что неумение решать простейшие неравен-
ства, рассмотренные в данных примерах, не позволяет правильно
решать и другие более сложные неравенства. Рассмотрим решение
таких неравенств.
Примеры. Решите неравенства.
1.	sin x-f-cos 2х> 1.
Решение, sin х> 1 — cos 2х, sinx>2sin2x, 2 sin2 х —sin хсО,
sin х(2 sin х—1)<0. Обозначим sinx=y, тогда у(2у—1)с0. 4/(=0,
У2 = у (рис. 20). Следовательно, ОсуСу, OCsinxCy. Решением
неравенства (рис. 21) будут интервалы 2Лл<х<у -t-2kn или
у л-|-2пл СхСл-|-2пл, k, neZ.
Можно ответ записать и в таком
виде: (2kn; у+2£л)и
U 0-л-|-2пл; л+2пл), k, n^Z.
2.	~^sin2x —sin -x+y С у.
Рис. 20
75
Рис. 22	Рис. 23
Решение, д/^sinx— у) I sin х~ ТI	— Т 5
^sinx—O^sinx^l, 2fen^x^y 4-2fen, feeZ. (Сделан
рисунок.)
3.	2cos2(x + y)-3sin (у-х) + 1>0.
Решение. 2cos2 (х4-у) —3cos (у—^4"х) +1 >0,
2 cos2 (х+у) — 3cos (х + у)4-1 >0. Обозначим cos(x4-y)=j
тогда 2у2 —Зу+1 >0, 2 (у — у)(у—1)>0 (рис. 22). Следовательно
У<у или у> 1.
a)	cos (х4-у)<у.-т4-2Лл<у 4-х<-|-л4-2Лл, у — у 4
4-2Ь<х<ул-у 4-2Ь,	—у 4-2Лл<х< ул4-2/гл (см
рис. И). Можно ответ записать и в таком виде: хе (— у4-2^
-|-л4-2Ллу k^Z.
б)	Неравенство cos(x4-y)>l не имеет решения, так как
значение косинуса не может быть больше единицы.
4.	cos 2х—cos 8x4-cos 6х< 1.
Решение, cos 2x4-cos 6х< 1 4-cos 8х, 2 cos 4xcos 2x<2cos24x,
cos 4x(cos 4x —cos 2x)>0,	(2cos22x— 1X2 cos2 2x— 1 —cos 2x)>0.
Пусть cos2x = y, тогда неравенство будет: (2y2—l)(2y2 — у— l)>0,
(^-1)	(,+^)(^)((9_±)’_д_
-!)>»• (*+>-i)(W) ’-£)><>•
->4+4)W4)>o- (*+i)(*-i)W)x
Х(У—l)>0 (рис. 23), y< — или — 4'<У<‘Г или y>L
a)	cos2x<—-у,	л4-2/гл<2х<:-|-л4-2Лл, -|л4-Ь<х<
<-|-л4-Лп, k^Z (сделать рисунок).
76
б)	— у <cos 2х<у-, у -р2пл<2х<у л-р2пл, у4-лл<х<
-рил или —-рил<х<—4-ил, neZ (сделать рисунок).
30	о
в)	COS 2х> 1, х = 0.
5.	Найдите область определения функции у = д/4сс®2х —3
Решение. 4cos2x—3^0, 2(l-pc°s2x)—3^0, 2 cos 2x^1,
cos 2х^ у. — у 4-2пл^2х^у 4-2лл, neZ, — у4-ил^х^
<—4-лл, neZ (сделать рисунок).
'	6
Решите неравенства.
, I 2	1
1. -i/coszx—cos х-р у <у
3. sin x-|--y/3cos х> 1.
5. cos 2x-Pcos 6x> 1 -p cos 8x.
7. sinx>cos2x.
2. (siny—cos-0 <sinx.
4. 3cos2x—sin2x>sin 2x.
6. sin xsin 7x>sin 3xsin 5x.
8.	sin 9x sin 2x<sin 3x sin 4x, если 0<x<y.
9.	—— -n x~-1-->0.	10. cosx — sinx — cos2x>0.
-y3 —(sin x+cos x)
11. sin (x-Py)^y.	12. sin(2x—1)^ —-y.
13. cosy>0. 14. cos4x<0. 15. cos (x— y)^y-
Найдите области определения функций.
16. у = д/з—4 sin2x. 17. у= "\/1 —2 sin2x. 18. у= д/1 — 2cos2x.
Решите неравенства.
19.	cos3 xsin 3x-psin3xcos Зх> 4-.
20.	cos3xcos 3x-|-sin3 xsin Зх< 4-.
21.	tg(x-Py)^!-	22. sin2x-p^/3sin х—3>0.
23.	cos 2х + 5cosх-рЗ^О.	24. tg2x-p(2—V3)tgx — г^ЗсО.
25. sinx<cosx.	26. sin3x<sinx.
27.	ctg2x-pctgx>0. 28. Iog2(cos2x—^-cosx)^ —1.
29.	2(д/2 —l)sinx—2cos 2x-P2 —д/2<0.
30.	sin xsin 3x>sin 5xsin 7x.
31.	cos лх-Psin (лх—y)>0-
32.	arcsin x<z~.	33. arccos x<-^-.
6	о
34. arcsin (x2 —у r—1.5^ < — у •	35. arcsin2x<arccos2x.
77
36. lg(sinx)<0.
37. sin4 у 4-cos4 у >y-
38. sin6 x4-cos6 x> у.
39. 8sin6x—cos6x>0.
* 40. tgx-tg3x< —1.	41. 3 sin 2x— 1 >sin x-|-cos x.
42. |sinx| >cos2x.	• 43. д/5 —2sin x^6sin x— 1. t
44. 1—cos x<tgx —sinx.
45. Найдите область определения функций: у = д/sin д/*. У~
= д/cos х2, у = arcsin , у — arccos (2 sin х).
Решите неравенства.
46. sin 5х> 16 sin5 х.
48. 2 sin2 3x4-sin2 6х<2.
50. д/sinx4-~\/cosx> 1.
52. 2 cos x(cos х—\[8tgx)<5.
47. tg3 x4-tg2 x> 1 4-tg x.
49. tg2x4-ctg2x>2.
51.	sin 4x4-cos 4x-ctg 2x> 1.
53.	sin x —-\/3cos x>-\/2, если
0^х^2л.
54.	tgx >cos x при O^x^y. 55. |sin x| >ctg x при 0<х<2л
56. cos (sin x)>0.	57. sin (cos x)<0.
58. 2 sin xsin 3x> 1. 59. sin-^->^. 60. cosn^>4.
XT *
61.
1 —cos x
1 —sin x
62. sin x-sin (y
63.
65.
66.
4 cos xcos ^x4-y j>v3.	64. sinx>-^/l—s
sin 9x — sin 5x4-2 sin2 x<2 sin 2x-|- 1 —cos 2x.
sin x-sin (x4--£-^sin (x—<4- 
te———> 1.
g 4(x4-l)
_	. 2	2
cos x>sin x—cos X.
71. tg3x—ctg3 x< 7,875.
73. tg x4-tg 2x-|-tg 3x>0.
75. |3'влх-3,-'влх|>2.
67.
69.
77. 24-tg 2x4-ctg 2x<0.
68.
70.
72.
74.
x tg 2x—2
teX> tg 2x+2 ’
2 sin2 2x>sin2 x-|- 4-.
4
sin4 x—6 sin2 x 4-4 >0.
54-2cos 2x^3|2 sin x— 11.
76. —y—<4tgx.
sin2 X
78. sin*-2 >2.
4 sin2 x— I
/ sin л \2
79. 2<2l,-CO5x <8.
80. 3
2 cos2 r-6
2 cos* x— I
COS X
— 2 cos2 x
>3 '
81.	0,2COS 2x- 25'c“! r<4-(l25)-°'5.
82.	sin2xsin3x—cos 2xcos 3x>sin 10.
83.	24cO5ax+2W2-,)cosx<2V2.	84. 2sin2x—sinx-|-sin3x<l.
85. ctgx—tgx —2tg2x —4tg4x>8-y/3.
86. sin3x<sinx.	87. log2 fcos2x—^-cosx^^ — 1.
78
88.	4sin2x+sin22x<3.	89. sin4 у -|-cos4y
90.	cos x<sin2x — cos2x.	91. 4 sinxsin 3x< 1.
92.	log,2B ,3^1oglg , (3 tg2 x).
93.	logs2in,2 3 logsin л sin x + 2 logsin x 2.
94.	^x+cos.x^2 >±tg20° tg40° tg60° tg80°.
2-v2 — sin x—cos x	6
95.	>sin (1 In—x)—sin (у л~х) + ~^tg 20° tg40°tg80°.
_ x .	sin (x+12n) —2 cos (x—14л)
6	e—~tx, м 
sin (13л —x)4-4 cos — -jjcos (y+y)
97.	Найдите область определения функции y=^Js'mx—~ -|-
4-log3(25—х2).	___
98.	Найдите решения неравенства д/sin 2x<cos х—sinx, удов-
летворяющие условию |х|<л.
99.	Найдите решения неравенства д/3 cos 2х<^2 cos х, удовлет-
воряющие неравенству |х|<л.
100.	Найдите решения неравенства д/Ззт 2х<sin x + cos х,
удовлетворяющие неравенству |х|<л.
101.	Найдите решения неравенства д/cos 2х<д/2 sin х, удовлет-
воряющие неравенству |х|<л.
102.	Найдите х на отрезке О^х^л, удовлетворяющие нера-
венству sin2x — cos х+д/2 sin х^-^-.
103.	Найдите х из промежутка--удовлетворяющие
неравенству cos 2х — sin 2x-|-cos x-|-sin x^Z 1.
104.	Найдите x из отрезка О^х^л, удовлетворяющие неравен-
ству sin2x-|-sinx—\/2 cos х< -у:.
105.	Найдите х из промежутка-<х<-^-, удовлетворяющие
неравенству cos 2x-|-sin 2x-|-cos х — sin х^ 1.
. Глава IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ,
ПРИВОДЯЩИЕ К РЕШЕНИЮ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
При решении задач этой главы необходимо знать следующий
теоретический материал, являющийся основным:
1)	соотношения между сторонами и углами в прямоугольном
и косоугольном треугольниках;
2)	теоремы синусов и косинусов;
3)	формулы вычисления площадей плоских фигур;
4)	выражения сторон правильных вписанных и описанных
многоугольников через радиус соответствующих окружностей
(ал =27? sin у и b„=2rtg-^-, где ап и Ьп — соответственно стороны
вписанного и описанного правильных многоугольников);
5)	принципы построения линейного угла двугранного угла;
6)	теорему о перпендикулярности прямой и плоскости;
7)	теорему о трех перпендикулярах;
8)	формулы вычисления площадей поверхностей и объемов
многогранников и круглых тел — тел вращения.
Задачи.
1.	Хорда сегмента равна 20 см, а его высота равна 8 см.
Какой угол вмещает данный сегмент?
Решение. По условию CD=8 см, Ав = 20 см, OD.LAB
(рис. 24), а потому АС = СВ=10 см и	Пусть
Z-AOB = x, тогда АСОВ = ^ и sin-^=^=-^. Л СОВ. ОВ2 =
z	z Ud К
= СВ* + ОС*; /?г=102+(/?-8)2, ₽2=164 +
+ ₽2— 16/?. /? =	тогда siny = -^р- =
= v=arcsin5T или	х = 2 arcsin^»
41	2	41	41
»2 arcsin 0,9756» 2-77° 19'= 154°38'. Ответ:
154°38'.
2.	Найдите углы параллелограмма, зная,
что его меньшая сторона равна 18 см, а высо-
та, опущенная на большую сторону, равна
12 см.
80
решение. Пусть Z. А=х (рис. 25), тогда Z. АВС = п— х.
Допустим, что ДВ = 18 см — меньшая сторона, тогда AD — боль-
шая сторона и высота ВЕ= 12 см. л АЕВ. s'nx = jf=j|='|’-
x=arcsin-|- »41О48', тогда Z. АВС=л — arcsiny =180°—41°48' =
ss138°12/. Ответ: Z. Д = г1 С»41°48'; Z. D= Z. АВС= 138°12'.
3.	Сторона ромба равна 48 см, меньшая диагональ равна 20 см
Найдите углы ромба.
Решение. Из условия следует: В£)_1_ДС, BO=OD = 10 см
и ДВ=48 см (рис. 26). Пусть Z. BAD=x, тогда Z. АВС = л— х.
Из свойств ромба следует: Z. В АО = Z OAD = у. л ВО А.
• х ВО 10	5 х „	5	л-5
sln7 ~ АВ ~~ 48 — 24 ’	Т — arcs,n 24 •	X —2 arcsin
~2arcsin0,2083»2-12°01' = 24°02'. Ответ: Z. BAD = Z. BCD =
= 24°02', Z. ABC = Z. ADC= 155°58'.
4.	Биссектриса угла при основании равнобедренного треуголь-
ника делит противоположную сторону в отношении 3:7, считая
от основания. Найдите углы треугольника.
СЕ 3
Решение. По условию =у (рис. 27), откуда следует:
С£=3х, ВЕ=7х, тогда ВС=АВ= 10х. По теореме о биссектрисе
АС СЕ 3 АС 3
внутреннего угла треугольника получим:	1о7=Т’
ДС=уХ, тогда AD = ^~x. л ABD. Пусть Z. BAD=y, тогда
COS(p=3i = 7TT67 = A’ <P=arccOs^- Итак. Z- BAC = Z- ВСА =
= arccos у » 77°37', a Z. АВС=л — 2 arccos^ »24°46'. Ответ:
Z. ВДС = Z. ВСЯ =77°37', Z. ДВС = 24°46'.
5.	Найдите углы трапеции ABCD (ВС||Д£>), если AB:BC:CD:
:ДВ=2:3:4:7.
Решение. ДВ = 2х, ВС=Зх, С£)=4х и AD = 7x (рис. 28).
Так как ДВ4-ВС + С£>>»Д£), то такая трапеция существует. Про-
ведем С£||ДВ, тогда С£ = ДВ = 2х, ED=AD—AE=AD — BC =
= 7х —Зх=4х. Мы видим, что ED = CD=4x, т. е. л CDE — равно-
бедренный. Проведем DFA-EC, тогда EF = FC=x. Пусть Z. CDE=
Рис 25
Рис. 26
A D С
Рис. 27
81
Рис. 28
А Е F В
Рис. 29
= <р, тогда Z. EDF=^. д EFD. sin-^ =|£ = ^ =у,	=
= arcsin-|-, <р=2 arcsin 0,25 = 2-14О29/ = 28О58'. Итак, Z_ CDE =
=28°58', тогда Z. DEF = Z. FCD=90°— 14°29' = 75°31', но
Z. BAD = Z. FED=75°3Г, Z. АВС = 180° — Z BAD = 180°—75?31' =
= 104°29', Z. BCD = Z. ВСЕ+ Л FCD = /. BAD + Z. FCD=75°3I' +
+ 75°31' = 151°02'. Ответ: zL ВЛ£ = 75°31', Z. ABC= 104°29',
Z. BCD = 151ЧЯ', Z. ЛЛС = 28°58'.
6.	Знай углы треугольника, определите угол между медианой
и высотой, проведенными из вершины какого-нибудь угла.
Решение. Пусть EC=h, a Z. ECF=x, тогда tgx = ^(pHC. 29).
Выразим EF через h. л АСЕ. AE=hc\.ga.. л ЕСВ. BE=hctgp.
По условию AF = FB, AE-^-EF = BE—EF, 2EF=BE — AE; 2EF=
— BE—AE;	2EF=ftctg0 —ft ctg a=ft(ctg 0 — ctg a),	£f=yX
sin (a—0)*	„
X—1—r-4-. Мы не знаем, какой угол больше: а или 0, а длина
sm asm р	J	r
отрезка выражается положительным числом. Поэтому ЕЕ = уХ
|sin(a — 0)1	EF |sin(a — 0)|	zlsinfa — ₽)| \
X —:------— - Найдем: tg х=-г- =	х = arctg ().
sin a sin 0	Б ft	2 sin a sin 0	b\2smasin0/
/ |sin (a —0)| X
Ответ: arctg (------r—-).
b \2 sm a sin 0 /
7.	В правильной л-угольной пирамиде двугранный угол при
боковом ребре равен 2a. Определите двугранный угол при ребре
основания.
Решение. Так как многоугольник в основании пирамиды пра-
вильный, то ЛС±ОВ, кроме того, ЛС-LSO, а потому ЛС±(ЗВО)
(рис. 30). В плоскости (SBO) проведем DEJlSB и через две пере-
секающиеся прямые АС и DE проведем плоскость, которая пере-
сечет две боковые грани по АЕ и СЕ. В этой плоскости DE есть
проекция наклонной СЕ к плоскости (SBO) и по теореме о трех
перпендикулярах CEJ-SB. Итак, SB.LDE по построению и SBJ.CE
В2
п0 доказанному, а потому SB _L(AEC) и SB .LAE. Следовательно,
AEC — линейный для двугранного угла (BS). Л AEC—равно-
бедренный, в нем ED — медиана и биссектриса, причем Z. DEC =
__ / DEA=а, так как линейный угол AEC=2а. Л DEC. Z. EDC =
о	ED
=90; cosa = —.
1Я0°
A BOM. sin —
n
линейный угол двугранного
д SOB со A BED:
SO El)
OB ~ BE'
A SMBоэ А ВЕС:
угла
S0 =
СЕ
= %7Г- aSMO: Z. SMO=x —
du
SO
(ВС), а потому sinx = ^j.
OB-ED	.
BE '	I"
c.. BM-CE
SM=~bT
SM_______.
BM ~~ BE '
Разделим равенство (1) на (2), получим:
SO	OB *ED	ED	BM	n	cos a	cos a
-ftt = oka nc =	:~лд~ —cos a:sin — ----- ; sinx =------
SM	BM'CE	CE	OB	n st	n
sin —	sin —
n	n
(2)
откуда x = arcsinZcosot\ Так как S.O<SM, то 0<sina<I при
\ sin — /
\ n X
/ cos a \
всех л^З. Ответ: x = arcsin/---------V
I л i
\sin —/
\ n /
8.	Площадь боковой поверхности конуса втрое больше пло-
щади основания. Найдите угол между образующей и плоскостью
основания.
Решение. Конус задан плоскостью осевого сечения (рис. 31).
По условию S6oK = 3So<H, т.е. л/?Ь = Зл/?2, /=3/?; у =j, cosx=y,
x=arccosy «70°7Г. Ответ: 70°7Г.
А в о В
Рис. 31
83
Задачи.
I.	Стороны треугольника соответственно равны 7 см, 7 см, 12 с
Найдите углы треугольника.
2.	Окружность вписана в ромб. Сторона ромба равна 22 с
Радиус окружности равен 5 см. Найдите углы ромба.
3.	Найдите углы равнобокой трапеции, основания которой рав>
33 см и 15 см, а боковая сторона равна 40 см.
4.	В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угл
делит гипотенузу в отношении 3:4. Определите углы треугольник
5.	В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угл
делит противоположный катет в отношении 5:6. Определите этс
угол.
6.	В равнобокой трапеции боковые стороны равны меньшем
основанию, а высота вдвое меньше большего основания. Опред<
лите углы этой трапеции.
7.	Три окружности с радиусами, равными 8 см, 12 см и 15 см|
попарно внешне касаются. Найдите углы между линиями центров
окружностей.
8.	Найдите углы параллелограмма, зная, что его диагонали
равны 48 см и 24 см, а сторона равна 20 см.
9.	Стороны треугольника равны 12 см, 15 см и 18 см. Найдите
угол между медианой и биссектрисой, проведенными к большей
стороне.
10.	Основания трапеции равны 18 см и 14 см, а боковые стороны
равны 7 см и 10 см. Найдите углы трапеции.
II.	Стороны параллелограмма равны 32 см и 10 см. Один из
углов параллелограмма равен 120°. Найдите стороны и наиболь-
ший угол треугольника, вершинами которого служат вершина
тупого угла параллелограмма и середины противолежащих этой
вершине сторон.
12.	В круг вписан четырехугольник ABCD со сторонами АВ—
=4 см, ВС=5 см, С£) = 8 см, AD —15 см. Найдите углы четырех-
угольника.
13.	В прямоугольном треугольнике проекция одного из катетов
на гипотенузу вдвое больше второго катета. Найдите углы треуголь-
ника.
14.	Сумма двух равных высот равнобедренного треугольника
равна третьей высоте. Найдите углы треугольника.
15.	Синусы углов прямоугольного треугольника составляют
геометрическую прогрессию. Найдите углы треугольника.
16.	В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипо-
тенузу, равна разности проекций катетов на гипотенузу. Найдите
углы треугольника.
17.	Тангенсы половинных углов прямоугольного треугольника
составляют арифметическую прогрессию. Найдите углы треуголь-
ника.
18.	Найдите острый угол ромба, сторона которого есть среднее
пропорциональное между его диагоналями.
84
19.	В равнобедренном треугольнике проекция одной боковой
стороны на другую боковую сторону составляет — основания.
Найдите углы треугольника.
20.	Найдите углы ромба, если отношение Р'.т его периметра
к сумме диагоналей ромба равно 3:2.
21.	Определите углы прямоугольного треугольника, зная, что
радиус описанной около него окружности относится к радиусу
вписанной окружности как 5:2.
22.	Найдите углы прямоугольного треугольника, зная острый
угол ф между медианами, проведенными из вершин острых углов.
23.	В параллелограмм со сторонами а и b (а<Ь) и острым
углом а вписан ромб, две его вершины совпадают с серединами
больших сторон параллелограмма, две другие лежат на меньших
сторонах (или на их продолжениях). Найдите углы ромба.
24.	В параллелограмме со сторонами а и b и острым углом а
найдите углы, образованные большей диагональю с его сторонами.
25.	В прямоугольник ABCD (AB\\CD) вписан треугольник AEF.
Точка Е лежит на стороне ВС, точка F— на стороне CD. Найдите угол
EAF, если вс ЕС FD k.
26.	Гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой
касания вписанной в него окружности на отрезки, отношение кото-
рых равно k. Найдите углы треугольника.
27.	Отношение боковых сторон трапеции равно отношению ее
периметра к длине вписанной окружности и равно k. Найдите углы
трапеции и допустимые значения k.
28.	Угол при вершине А трапеции ABCD равен а. Боковая
сторона АВ вдвое больше меньшего основания ВС. Найдите угол
ВАС.
29.	Стороны параллелограмма относятся как т:п, а диаго-
нали — как p:q. Найдите углы параллелограмма.
30.	Отношение периметра ромба к сумме его диагоналей равно k.
Найдите углы ромба и допустимые значения k.
31.	Сторона треугольника равна а, разность углов, прилежа-
щих к дайной стороне, равна у. Найдите углы треугольника, если
его площадь равна S.
32.	Тангенс острого угла между медианами прямоугольного
треугольника, проведенными к его катетам, равен k. Найдите углы
треугольника и допустимые значения k.
33.	Через вершину равностороннего треугольника проведена
прямая, делящая основание в отношении 2:1. Какие углы она
образует с боковыми сторонами треугольника?
34.	Даны две стороны а и b треугольника и биссектриса I угла
между ними. Найдите этот угол.
35.	Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедрен-
ный треугольник, к радиусу окружности, описанной около него.
Равно т. Найдите углы треугольника и допустимые значения т.
85
36.	В параллелограмме даны две стороны а и b (а>Ь) и высота ь
проведенная к большей стороне. Найдите острый угол между диаго-
налями параллелограмма.
37.	Отношение радиуса окружности, описанной около трапеции,
к радиусу окружности, вписанной в нее, равно k. Найдите углы
трапеции и допустимые значения k.
38.	В прямоугольном треугольнике через его гипотенузу про-
ведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол а,
а с одним из катетов угол 0. Найдите углы между этой плоскость»
и катетами треугольника.
39.	В прямоугольном треугольнике с острым углом а через
наименьшую медиану проведена плоскость, составляющая с плос-
костью треугольника угол 0. Найдите углы между этой плоскостью
и катетами треугольника.
40.	Боковое ребро правильной треугольной призмы равно сто-
роне основания. Найдите угол между стороной основания и не
пересекающей ее диагональю боковой грани.
41.	Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда
составляют с плоскостью основания углы, соответственно равные
а и 0. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоско-
стью основания.
42.	Найдите угол между пересекающимися диагоналями двух
смежных боковых граней правильной четырехугольной призмы, если
плоскость, в которой они лежат, составляет с плоскостью основания
угол, равный а.
43.	В грани двугранного угла, равного а, проведена прямая,
составляющая угол 0 с ребром двугранного угла. Найдите угол
между этой прямой и другой гранью.
44.	Через сторону нижнего основания куба проведена плоскость,
делящая объем куба в отношении т:п (считая от нижнего осно-
вания). Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основа-
ния, если т<п.
45.	В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом а.
Отношение высоты призмы к стороне основания равно k. Через
сторону основания и середину противоположного бокового ребра
проведена плоскость. Найдите угол между этой плоскостью и плос-
костью основания.
46.	Через сторону ромба проведена плоскость, образующая
с диагоналями ромба углы, соответственно равные а и 2а. Найдите
острый угол ромба.
47.	Основанием призмы служит прямоугольник. Боковое ребро
составляет прямые углы со сторонами основания и наклонено
к плоскости основания под углом а. Найдите угол между боковым
ребром и стороной основания.
48.	Основанием прямой призмы служит прямоугольный тре-
угольник, у которого один из острых углов равен а. Наибольшая
по площади боковая грань призмы — квадрат.
Найдите угол между пересекающимися диагоналями двух других
боковых граней.
86
49.	В правильной четырехугольной призме ABCDA'B'C'D'
. ли'||Вб'||СС'||ОО') через середину двух смежных сторон осно-
вания DC и AD и вершину В' верхнего основания проведена плос-
кость. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основа-
нНя, если периметр сечения в три раза больше диагонали основания.
50.	Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых гра-
ней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости его
основания под углами аир. Найдите угол между этими диагона-
лями.
51.	Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из
одной вершины, относятся между собой как 3:4:5. Найдите углы
между диагональю параллелепипеда и тремя его ребрами, выходя-
щими из одной вершины.
52.	Найдите угол между прямой, соединяющей вершину куба
с центром противоположной грани, и ребром, перпендикулярным
к этой грани.
53.	Найдите угол между апофемой и диагональю основания
правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны.
54.	В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна 6 см, а боковое ребро равно 7 см. Найдите угол между медиа-
нами двух боковых граней, выходящими из вершины основания.
55.	Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует
со стороной основания угол а. Найдите угол между боковым ребром
и высотой пирамиды. При каком значении угла а задача имеет
решение?
56.	Плоский угол при вершине правильной л-угольной пира-
миды равен а. Найдите угол между апофемами двух смежных
боковых ее граней.
57.	Один из катетов равнобедренного прямоугольного треуголь-
ника лежит в плоскости (л), а другой катет образует с нею угол а.
Найдите угол, который образует с плоскостью (л) гипотенуза тре-
угольника.
58.	Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено
к плоскости основания под углом а. Найдите угол между высотой
пирамиды и плоскостью, проходящей через сторону основания
и середину противоположного ей бокового ребра.
59.	Равносторонний треугольник со стороной а спроектирован
на плоскость: две вершины находятся на расстоянии а от плоскости
проекции, третья — на расстоянии Ь, Ь>а. Найдите угол между
плоскостью треугольника и плоскостью проекций.
60.	В одной из граней двугранного угла, равного а, дана пря-
мая, образующая угол 0 с ребром двугранного угла. Найдите угол
между этой прямой и другой гранью.
61.	В правильной четырехугольной пирамиде боковая грань
составляет с плоскостью основания угол а. Найдите плоский угол
при вершине пирамиды.
62.	Равнобедренный прямоугольный треугольник повернут во-
круг своего катета на угол а. Найдите угол, описанный при этом
гипотенузой.
87
63.	В правильной четырехугольной пирамиде сторона основан,
равна а, а площадь боковой грани равна S. Найдите угол меж.
боковой гранью и основанием.	'
64.	В трехгранном угле два плоских угла равны между соб<
и каждый равен а. Двугранный угол между ними прямой. Найди
третий плоский угол.
65.	Боковые ребра правильной треугольной пирамиды nonapi
взаимно перпендикулярны. Найдите угол между боковой грань
и плоскостью основания.
66.	Отношение' стороны основания АВ треугольной пирами;
SABC к каждому из остальных пяти ее ребер равно k. Найди1
двугранный угол между двумя равными боковыми гранями пир
миды и допустимые значения k.
67.	Все боковые ребра треугольной пирамиды составляй
с плоскостью основания один и тот же угол, равный одному i
острых углов прямоугольного треугольника, лежащего в основан}
пирамиды. Найдите этот угол, если гипотенуза этого треугольник
равна с, а объем пирамиды равен V.
68.	Отношение площади боковой поверхности правильной тр<
угольной пирамиды к площади ее основания равно k. Найдит
угол между боковым ребром и высотой пирамиды.
69.	Основанием пирамиды служит правильный треугольник
Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания. Сумма
двух неравных между собой плоских углов при вершине равна
Найдите эти углы.
70.	Основанием пирамиды является прямоугольник ABCD
(ЛВ|| СО). Боковое ребро ОА перпендикулярно основанию. Ребра
ОВ и ОС составляют с основанием углы, соответственно равные а
и 0. Найдите угол между ребром OD и основанием пирамиды.
71.	В правильной треугольной пирамиде проведена плоскость
через боковое ребро и высоту. Отношение площади сечения к пло-
щади полной поверхности пирамиды равно k. Найдите двугранный
угол при основании.
72.	Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,
у которого острый угол между равными сторонами равен а. Все
боковые ребра составляют с плоскостью основания угол 0. Через
сторону основания, противолежащую данному углу, и середину
высоты пирамиды проведена плоскость. Найдите угол между этой
плоскостью и плоскостью основания.
73.	Все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью осно-
вания один и тот же угол. Найдите этот угол, если отношение
площади полной поверхности пирамиды к площади основания
равно k. При каком значении k задача имеет решение?
74.	Отношение площади полной поверхности правильной
л-угольной пирамиды к площади основания равно /. Найдите
угол между боковым ребром и плоскостью основания.
75.	Найдите угол между апофемой боковой грани правильной
треугольной пирамиды и плоскостью ее основания, зная, что раз-
ве
ность между этим углом и углом, который составляет боковое
Оебро пирамиды с плоскостью основания, равна а.
" 76. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,
которого площадь равна S, а угол между боковыми сторонами
равен а. Все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью
основания один и тот же угол. Найдите этот угол, если объем
пирамиды равен V.
77.	Расстояние от стороны основания правильной треугольной
пирамиды до непересекающего ее ребра в два раза меньше сто-
роны основания. Найдите угол между боковой гранью и плоскостью
основания пирамиды.
78.	В правильной треугольной пирамиде сумма углов, образо-
ванных апофемой пирамиды с плоскостью основания и боковым
ребром с той же плоскостью, равна -у-. Найдите эти углы.
79.	Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,
у которого один из острых углов равен а. Все боковые ребра
одинаково наклонены к плоскости основания. Найдите двугранные
углы при основании, если высота пирамиды равна гипотенузе
треугольника, лежащего в основании.
80.	В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро
наклонено к плоскости основания под углом а. Определите двугран-
ный угол при боковом ребре.
81.	В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при
основании равен а. Определите угол наклона бокового ребра
к плоскости основания.
82.	В правильной n-угольной пирамиде двугранный угол при
боковом ребре равен 2а. Определите угол наклона бокового ребра
к плоскости основания.
83.	В правильной n-угольной пирамиде угол между боковым
ребром и смежным ребром основания равен а. Определите угол
наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания.
84.	В правильной n-угольной пирамиде высота вдвое меньше
стороны основания. Определите двугранный угол при ребре осно-
вания.
85.	Дан правильный тетраэдр. Определите угол между двумя
смежными гранями и угол наклона ребра к плоскости противо--
положной грани.
86.	В усеченной правильной четырехугольной пирамиде стороны
оснований относятся, как т'.п (т>п); боковые ребра наклонены
к плоскости основания под углом а. В этой пирамиде проведена
плоскость через сторону большего основания и противолежащую
ей сторону меньшего основания. Какой угол образует эта плоскость
с большим основанием пирамиды?
87.	Площадь основания цилиндра относится к площади его
осевого сечения как т:п. Найдите острый угол между диагона-
лями осевого сечения.
88.	В равностороннем цилиндре точка А) окружности верхнего
основания соединена с точкой В окружности нижнего основания.
89
Угол между радиусами, проведенными в эти точки, равен а. Опре-
делите угол между прямой AiB и осью цилиндра. (Цилиндр назы-
вают равносторонним, если диаметр основания равен образующей.)
89.	Найдите острый угол ромба, зная, что объемы тел, полу-
ченных от вращения ромба вокруг его большей диагонали и вокруг
его стороны, относятся соответственно, как 1:2-^5.
90.	В конус вписана треугольная пирамида, у которой боковые
ребра попарно взаимно перпендикулярны. Найдите угол между
образующей конуса и его высотой.
91.	Около шара описан усеченный конус, у которого площадь
одного основания в 4 раза больше площади другого основания.
Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его осно-
вания.
92.	В усеченный конус вписан шар. Сумма диаметров верхнего
и нижнего оснований конуса в 5 раз больше радиуса шара. Найдите
угол между образующей конуса и плоскостью основания.
93.	Отношение объема шара, вписанного в конус, к объему
описанного шара равно k. Найдите угол между образующей ко-
нуса и плоскостью основания и допустимые значения k.
94.	Отношение объема конуса к объему вписанного в него шара
равно k. Найдите угол между образующей и плоскостью основания
конуса и допустимые значения k.
95.	Около шара описана прямая призма, основанием которой
служит ромб. Большая диагональ призмы составляет с плоскостью
основания угол, равный а. Найдите острый угол ромба.
96.	Найдите угол между образующей конуса и плоскостью
основания, если боковая поверхность конуса равна сумме площадей
основания и осевого сечения.
97.	Отношение площади полной поверхности конуса к площади
его осевого сечения равно k. Найдите угол между высотой и обра-
зующей конуса и допустимые значения k.
98.	В конус вписан куб (одна из граней куба лежит в плоскости
основания конуса). Отношение высоты конуса к ребру куба равно k.
Найдите угол между образующей и высотой конуса.
99.	В конус вписан цилиндр, высота которого равна диаметру
основания конуса. Площадь полной поверхности цилиндра равна
площади основания конуса. Найдите угол между образующей
конуса и плоскостью его основания.
100.	В усеченный конус вписан шар, объем которого в два
раза меньше объема конуса. Найдите угол между образующей
конуса и плоскостью его основания.
101.	В конус вписан шар. Окружность касания шаровой и кони-
ческой поверхностей делит поверхность шара в отношении 1:4.
Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.
102.	Радиус шара, описанного около правильной треугольной
пирамиды, равен апофеме пирамиды. Найдите угол между апофе-
мой и плоскостью основания пирамиды.
103.	В пирамиде, у которой все боковые грани одинаково
наклонены к плоскости основания, проведена плоскость через центр
90
вписанного шара параллельно основанию. Отношение площади
сечения пирамиды этой плоскостью к площади основания равно k.
Найдите двугранный угол при основании пирамиды.
104.	Вершина конуса находится в центре шара, а основание
конуса касается поверхности шара. Площадь полной поверхности
конуса равна площади поверхности шара. Найдите угол между
образующей и высотой конуса.
105.	Площадь полной поверхности прямого кругового конуса
в п раз больше площади поверхности вписанного в него шара.
Под каким углом образующие этого конуса наклонены к плоскости
его основания?
106.	В конус вписан шар. Площадь поверхности шара отно-
сится к площади основания конуса как 4:3. Найдите угол при
в'ершине конуса.
107-	Конус и цилиндр имеют общие основания, а вершина
конуса находится в центре другого основания цилиндра. Чему
равен угол между осью конуса и его образующей, если площадь
полной поверхности цилиндра относится к площади полной поверх-
ности конуса как 7:4?
108.	В конус вписана полусфера, большой круг которой лежит
на основании конуса. Определите угол при вершине конуса, если
площадь полной поверхности конуса относится к площади боковой
поверхности полусферы как 18:5.
109.	В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу
основания конуса. Найдите угол между осью конуса и его обра-
зующей, если площадь полной поверхности цилиндра относится
к площади основания конуса как 3:2.
110.	Определите угол при вершине осевого сечения конуса,
если шаровая поверхность, с центром в его вершине, касающаяся
основания, делит объем конуса в отношении 1:2 (считая от вер-
шины) .
111.	Плоскость, проведенная через центр шара, вписанного
в конус параллельно плоскости основания конуса, делит объем
конуса пополам. Найдите угол в осевом сечении конуса.
42. Найдите угол между образующей и высотой конуса, у ко-
торого площадь боковой поверхности есть среднее пропорциональ-
ное между площадью основания и площадью полной поверхности.
ИЗ. Отношение площади поверхности шара, вписанного в конус,
к площади основания конуса равно k. Найдите косинус угла между
образующей конуса и плоскостью его основания и допустимые
значения k.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
Глава I
§ 1.
1. х=(— 1)"4л + 4-лл, neZ. 2.
у □
3. х=	, ne^Vo. 4. х=
л/4п+Т
х = '___>2____
(-1Г+,+6п ’
(4л-If ’ " У
neZ.
k^N. 6. х=(-1)*^+Ау+|, k(=Z. 7. х=(-iylarcsinу +
+ «y, neZ. 9. x=0. 9. x=0.
§ 2.
!• x= ±-^ Ц-Лл, feeZ 2. x= -f-Зпл, neZ. 3. x= ,^12 . ,
3	______ 2	12ndrl
Vo
12^5-’ n^N-
5’ X= /fife-Ti? • k^N- 6' X= / 1 1 V » kf=N0.
(8*±lf	л(2* + т)
7. x= — 4пл + 4, neZ. 8. x= ±arccos-7- Ц-2Ал, feeZ.
9. х = -1(2л + 1), neZ. 10. x=0.
§ 3.
1- х=-|-л4-2Лл, feeZ 2. x =	-|-fe-£-, feeZ. 3. x=
neZ. 4.	neJV,
5-	a,sN° *• rtijby  n^N°- ъ
4-ЛЛ4-1, neZ. 8. х=л-£-+4, neZ. 9. x = arctg-|- + пл, neZ.
10. z=(l 4-6n)^, neZ.
92
§ 4-
j. х=(6л 4-1)ts . neZ. 2. х=(6л 4-5)y, neZ. 3. x=^—,
rtgZ. 4. *=±~\/уД=. n^No. 5. Х=у(4п4-3), neZ. 6. x=
^(12n4-ll)-^, «eZ. 7. x= — y arctg 34-лу, «eZ. 8. x=
=(2n+l)y+y>	9- x=y(6n + l). n^Z. 10. x=arcctg л4-лл,
reZ.
§ 5.
1. x= ± (n — arccos y) 4-2лл; x=±y4-2nfe, n, k^Z. 2. x =
=(-1Г-^+«л, neZ. 3. (2«4-l)-J, »eZ. 4. x=(-iy+,y + пл,
n^Z. 5. x = ( — l)"y +лл, neZ.
6. x= ±y arctg у- +лу; x=(4A±l)^, n, k^Z. 7. x=
= ±arccosу 4-2пл, neZ. 8. x=( — 1Уу 4-пл; x=y 4-2£л,
n, keZ. 9. x=(3fe±l)y, feeZ. 10. x= — arctgу 4-пл, n^Z или
x=arcctg 24-лл, neZ. 11. x=(— l)"+ly +пл, n^Z. 12. х=1гл;
x= — у4-2лл; х=у4-2ил, A n, m^Z.
13. x=(—1)"+,л4-6лл, neZ. Указание. 5siny4~(l —
—cosy^4-2=0; 5siriy 4-2sin2y 4-2=0 и т. д. 14. x=(4n — l)y;
x=arctg 34-n, k^Z. 15. x=-|-n(3fe±l), feeZ. 16. x=(4n —
-l)y. ne=Z. 17. x=(—ly + '-J 4-лл. ne=Z. 18. x=(-l)"y 4-«n,
fieZ.
19. x=-|-(Зл± 1)л, neZ. Указание. 2(2 cos2 x— 1)—4 cos x= 1
и т.д. 20. х=(6л±1}у, neZ. 21. x=(4n4~ 1)-^-» neZ. 22. x=
==(— ir+'y 4-лл, neZ. 23. x=(—l)"+lj 4-nJt, neZ. Указа-
ние. 1 —2 sin2 x=2 sin x—, 4 sin2 x-j-4 sin x — 3=0 и т. д.
24.	х=лу, neZ.
93
25.	х=(—I/1	+ neZ.	Указание. 3-|-2sin2x:
_ sm2x-|-cos2x , 3-|-2 sin 2x= . 2O , sin 2x=/=0, 2х=#=£л,
sin x cos x	sin 2x	2
k^Z, тогда 3 sin 2x-|-2 sin2 2x = 2 и т. д.
26.	x=(4n— 1)-^, x = (—1/4“arcsin-f- +*-?-. «. AeZ. Указ
' b	' о	b <1
ние. sin Зх—3(1 — 2sin23x)=2, 6 sin2 3x4-sin 3x—5 = 0 и т. д.
27.	x = ( — 1Уу arcsin -|-ny . neZ. Указание, cosx^t
х=/=(2л-|- l)y, тогда 12—25sin xcosx=0, 24 — 25sin2x=0 и т.
28.	x=(2n 4-l)y. neZ. 29. (6n±l)y. neZ. 30. x=±y-
-|-2/гл; x= ±arccos4--|-2£л, n, k^Z. 31. x=±4r+nn, nei
32. x=kn\ x= — у -|-2/гл, k, n^Z. 33. x== — у 4“2пл, n=2, ..., (
x=(—1)*-^- -|-/гл, Л = 3, ..., 12. 34. х=-^-4-2лл, n = 0,	6, x=
= —4+2Ал, k=l......... 8. 35. x=0. 36. х=±4+2/гл, xj
«3	«3	1
= ±arccos4" 4-2лл, k, n^Z.
«3
37. х=±(л— arccosy) -|-2лл-|-2, ti&Z. 38. x=(—1У+1у 4-
-|-пл, neZ. 39. x= ±-|-л4-2лл, neZ. 40. x=(— iy^- -|-ny,
neZ. 41. x=(— 1Уу 4-лл, x=y -|-2Ал, rt, AeZ.
42.	x=(—1)" arcsiny-|-лл. Указание, sin2 x —(1 —2 sin2 x)-|-
4-2sinx=0, 3 sin2 x-|-2 sin x—1=0 и x= — у -|-2£л; AeZ.
43.	x = (—iy+1y arcsiny 4-Лу , x=(—1У+1^+*y , n, kf=Z.
Указание. 1 -|-sin 2x = 24 sin2 x(l — sin2 x), 1 4-sin 2x = 24 sin2 xX
Xcos2x, 1-|-sin 2x=6-4 sin2 xcos2 x, 1-|-sin 2x=6sin22x. 6sin22x—
— sin2x—1=0 и т. д.	•
44.	x= — у 4-пл; x=(— 1/yarcsinу 4~^y k^Z. Указа-
ние. 3 sin2 2x-|-sin 2x= 1—sin 2x,	3 sin2 2x-|-2 sin 2x—1=0
и т. д.
45.	x=(-iy+'4 4-ил. neZ. 46. x=(2n4~l>^. n^Z. 47. х=пл
при л=0,1; x = y(2£-H) при k= — 1; 0; 1; 2; 3.
94
/ i \л ।	—- \.т	cos х  sin X л
дя. х=(— 1)-г +«л, neZ. Указание. ---------F-r-;----= 2,
ЧО. л \	> б I	sinx 1 14-cosx
r+sin2 x + cos X	„	1+COS X	,	,	.
сда_х+2-------=2, ——у;—------г = 1. cos х=#= — 1, а потому
-^й7х(1 +COS х)	sin х(1 +COS х)	J
___= 2 и т. д.
sin *
49. х=2Лл; х = ^-(2п + 1), Л, meZ. 50. х~(-1)п£-}-п-?-, пе2.
51. х= ± (л — arccosу)4-2лл, х=±у4-Ал, п, k^Z. Указа-
ние. 8(1—cos22x)—2cos2x=5, 8cos2 2х-р2 cos 2х—3=0 и т. д.
52. х=(-1)я+,^4-4«л-	53- х=у(2« + 1). n^Z. 54. х=
= —arcctg 3л л, neZ. 55. x~kn, х=-^~ -j-пл, k, n^Z. 56. х=
= _-^-4-лл, х=arctg 375 4-Ал, п, k^Z.
57.	х=у(4л —1), «eZ. Решение,	+
.1	/ л \	„ 2—1+ctgx . ->/2	/„ л\ n 1+ctgx .
+ V^COSV— 4/ °’ 2(l+ctgx) +2COS(X т)~0’ 2(l+ctgx) +
4-^-cos (x— t) = 0, ctg x=/= — I, I 4~V2cos (x—y_)=0, cos (x—
-y) = —x=y ±ул4-2лл. a) x=-y 4~y-л4~2лл = л4~2лл
(при найденном значении х ctg(n4~2nn) не существует, а потому
найденное значение не является решением данного уравнения),
б) х=^ -|л+2пл=-у 4-2лл = у(4п-1).
58.	х=(—1)л-^4-лл, neZ. Указание. —------------L+Sin х _
' 4 1	2 cos х
= -y-cos х, cos х=/=0, (д/2— IX1 4-sin x)=^/2cos2x, (д/2— l\l 4~sinx)=
=д/2(1 — sin2 x), (1 4-sin хХд/2—1 — д/2(1 — sin x))=0. a) sinx= — 1,
x=—у 4~2лл — не является решением, так как cos —у 4~
4~2ил )=0. что не удовлетворяет уравнению.
59.	х=-^-. Решение, tg x = cos2 5х 4-sin2 5х, tgx=l, x = ~-j-
+пл, 0^-^4-лл^л, —так как neZ, то л=0 и
4	4	4
x=i
4 ’
60.	х=(2л4-1)л, х = (2А4~1)у, п, k^Z. Указание. (sin2x-|-
'bcos2x)(sin2x—cos2x)=cosx, sin2x—cos2x=cosx, —cos2x=
~-cosx, cos 2x-|-cos x=0 и т. д.
95
61.	х=у(2л4~1). neZ. Решение. 2cosy-sin х=~-
Sin’y +cos2y	1
X------------, -v2sinx=-5z---:-, sinx=#=O, x=£kn, 2sin x=
sin — cos —
1—2sin2x=0, cos2x=0, 2x=(2n-f- l)y, x=(2n 4-l)y (при найде
ном значении х sinx=#=0 и tgy и ctg у существуют).
62.	х=(2л-Н)л, х=(4А4~ 1)у, п, k^Z. Ре ше н и е. 2 cos2y J
cos у	/	\
=-----—, siny =#=0, cosy (2cosysiny — 1 J=0. a) cosy=0,
siny
х=(2л4-1)л (при найденном значении х ctgy=0 и siny#=0).
б) sinx—1=0, sinx=l, x=(4fe-|-l)y (при найденном значении
х ctg у существует и sin у #=0).
63.	х=6, х= ±у 4~2лл, n^Z. 64. х=^ ~\2п' Х=ПЛ' ®5" х~
= ±-^-4-лл, n^Z.
О
66.	х=2л, х=2ул. Решение. 1—cosx=sin2x, 1—cosx=
= 1—cos2x, (1—cos x)(l — cos x— l)=0. a) 1—cosx=0, cosx=l,
х=2/гл, тогда л^2Ал^Зл, у ^Z£^Zly. Так как n^Z, то £ = 1
и Х1=2л. б) cosx=0, х=(2п -J- 1)у. Чтобы sinx^O, нужно в по-
лученном выражении для х положить n = 2k, тогда x=y-|-2fen,
k<=Z. Тогда л<у+2Ал<Зл, 1 - у < 2k < 3 - у,
Так как feeZ, то £=1 и х2 = 2ул.
67.	х=у, х — 1 -|- л. Указание. 4 sin у -j-6 sin2 у =sin2y +
4-cos2y — 2siny cos у 4-3, 4siny 4~6sin2y=4—siny и т. д-
68.	х=(4л + 1)^, х=(4А-М)у, п, k^Z. 69. х=±у+2лл,
2Ал, п, k^Z.
70.	х=±у4~2лл, neZ. Указание. -\/4 sin2 (180° 4-30° 4"
4~ctg4y = 10, д/4 sin230°4~ctg4y = 10, 14~ctg4y = 10, ctg4f =9,
96
(ctg2i+3)(ctg2T-3) = °- ctg2i4-3=#0 в R, ctg2-^-=3,
tg2f==T’tgT = ±¥HT-д-
71.	х=(6л±1)^. neZ. Указание, tg4 (-|-т
+ 3)_l6sir.y ctg*2x-tB»f-16- (i)’.
ctg4 2x=9 и т. д.
ctg4 2х— 1=8.
л
72.	х= ±у 4-лл, neZ. Указание, д/sin л—Л j — 2 ,
-y^os’2 х = у, cos2x=y, 2cos2x=y, 14-cos2x=y, COS2x=—у-
и т. д.
73.	х=(—1)"у 4-лл, neZ. 74. х=—^--|-лл, neZ. Указа-
ние. tgx—ctg2x4--2s^/- =0, tg x4-ctg2x=0, tg3x= — 1, tg2x=#=0
и т. Д.
75.	x= ±у 4~2лл, neZ. Указание. д/cosx=y, y^O, тогда
уравнение примет вид: \/8у2—1 =(д/2—д/2)у, -^8у2 —(д/2 — д/2)у —
— 1 =0 и т. д.
76.	х=0. 77. х=(-1У^ 4-«у. х = у4-Лл, п, k<=Z. Ука-
зание. 2tg^2n4-y) — 6sinxcosx=cos4x, 2tgy—3sin2x=l —
—2sin22x, 2 — 3sin 2x= 1 —2sin22x, 2sin2 2x—3sin 2x4- 1 =0 и т. д.
78.	x= — -^-4-лл, x=(—1Уу-|-Лл — у, п, k^Z. Указание.
sinx-|-cosx = tg ^2л-|-у^-|-sin2x;	=sin 2а), sinx-f-
4-cos x=tgy -|-sin 2x, sin x-|-cosx = 1 -|-2sin xcos x, sin x-f-cos x =
==(sin x-f-cos x)2, (sin x-f-cos x)(sin x-f-cos x—1) = 0 и т. д.
79.	х=(2л-|-1)л, (6Л±1)у, л, feeZ. Указание. 2cosx-|-
4-tg (2л4--^) = —!—, 2cosx-|-tg-^=—!—, 2cosx-|-l = —!—,
\	4 / cos х	। ь 4 c0S x »	। cos x
COS^=/=0 и т. д.
80. х=(—|)"+1у4-лл, n^Z. Указание, -у/24-1 4-4-у 4~
+ ...— бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, у которой
^i=a/2; o=-L. и тогда 5 = —л2~ =—j. Правая часть урав-
2; q=—, и тогда S
л/2
V2
r — —. Уравнение примет вид: cos 2x-|-
/2 I
Нения будет -|-(д/2—!)•	2
о
Зак. 1587 И. Т. Бородуля
97
4-sin* 1 2 3x-j-sin x=~, 1 — 2sin2xsin2x-J-sinx = -^-, sin2x—sinx
•3	„
—r =0 и т. д.
4
81. x=2nn, x=2 arctg 34-2Ал, n, k^Z. Указание. •
□
2	4
4~-g-4~27 4~---—бесконечная убывающая геометрическая прогре
1
„ ,	1	2	с 3	1
сия, у которой bj = —; <7, = —, и тогда Х =-2~~~з—2 ~
*“ З-
Уравнение примет вид:	--3tgx=l, cosx=#=0,	1—3sinx:
=cos х, 1 —cos x=3sin х, 2sin ——osmycosy =0, smy
(sin у — 3 cos-0=0 и т. д.
82. x=—^-4-«n, x=Z 4-An, n, kf=Z. Указание. .	
6'4	sin 2x
cos 2x . . -7з , .	1— cos 2x . i л/3 ( 1	,\	. „
sin 2x~ =1+3 (-tFZ-1)’ tgX:
= 1+-^7~Т’	3tg2x=3tgx+V3-V3tg
и T. Д.
83. х=2л, х=2ул. Решение. 1—cosx=sin2x при услови
что sinx^O, т. е. 2£n<Zx^ л 4~2£л, 1—cosx=l—cos2x, (1
5
—cos х)(1 4-cos х—1)=0. a) cosx=l, х=2£л, 2л^2/гл^2у
5
1 k1 jg. Так как k^Z, то k—l и х(=2л. б) cosx=0, х-
=(2л-Н)у, тогда 2л<(2л + 1)у <2-|-л,	4<2л4-1<5^
3^2л<4-|-, 1у ^л^2у. Так как n<=Z, то л=2; тогда х2 = 2у
84. а) х=(-1)"у +«л, б) у(2л-М), n^Z. 85. х=±|-Ь"
neZ.
86. х=пп, х = у 4-2Ал, п, k^Z. Указание. Необходш
найти х такие, что sinx^O. Решение очевидное, а именно sinx:
= sin2 х и т. д.
87. х= ±-х-4~2лл, neZ. Указание.------------------И , —-----=
3 1	cos х 1 1 -|-sin X
sin хЧ-sin2 x-l-cos2 x n sin x+1 n
----	x--=2, -----, 	, n —2, Sinx^t —1; тогда пол
cos x(l 4-sin x)	cos	jqsin	x+1)
• n	1
чим: -----=2, cosx=-s-h т. д.
cos x	2
98
5	3	л
88.	х= —л, х= —л. Решение. cosx^O, т. е. --j-2nn^
О
^х^ул4-2лл, neZ. Обе части уравнения возведем в квадрат:
1 — cos 2%=2cos2 х,	2sin2x = 2cos2x,	sin2x=cos2x, cosx=#=0,
Ig2x=l, tgx=±l. X=±j+«n. Найденные значения x будут
удовлетворять уравнению только при п=2А-|-1; тогда х=±у +
_|_(2fc-|- 1)л и при этих значениях х cosx^O. Найдем значения х
на [О; |л]. а) х=Т +(2fe+ 1)л- тогда + (2*4-1)лл,
+	Так как £eZ,
4	4	4	4 В	В
тоА=0и х=у-|-л=^-л^ул, т. е. входит в промежуток. Следо-
вательно, Х| = -|-л. б) х=—у-|-(2£-|-1)л; 0^—у +(2fe-|- 1)л^
<|л, 1<2*+1С1- —Так как
fteZ, то k = 0 и х= — у-|-л = у л<у л, т. е. входит в промежу-
ток. Следовательно, х2 = 4-л.
4
89.	х=0. Решение. 1—cosx=sin2x, 1—cosx=l—cos2 х,
(1—cos х)(1-f-cos х—1)=0. a) cosx=l, х=2£л, 0^2Ал^л,
. Так как k^Z, то k=0 и х( =0. б) cos х=0, х=(2п-|- 1)у.
Такие значения х будут удовлетворять уравнению только при
п=2£-|-1, т. е. x=(4fe-|-3)-£-, но эти х не входят в промежуток
[0; л] ни при каких значениях k.
90.	х=0, х — ул, х=2л. Ре шен не. sinх^О, т. е. —л-|-2£л^х^
<2fen. 1—cosx=sin2x, I—cos х= I —cos2 х, (1—cos х)(1-f-cos х—
—1)=0. a) cosx=l, х=2£л, 0^2Ал^2л, 0sCk1, k=0, xl=0,
1, х2 = 2л. б) cosx=0, х=~- -j-kn. Эти значения х удовлетво-
ряют уравнению при А = 2п-|-1, т. е. х=у(4п-|-3), 0^(4п-|-3)у
^2л, 0^4п-|-3^4, —3 4п 1,-----------^ак как
то п=0 и х3 = -|-л.
91.	х=-^-. 92. х=у, х=л. Решение. cosx^O, т. е. у +
+2пл^х^-|- л-|-2пл,	1—sinx=cos2x, 1 —sin х= 1 —sin2 х,
(1 —sin х)(1-|-sin х—1)=0. a) sinx=l, х=у-|-2пл, 0^-^-Ц-
4*
99
-|-2пл<2л, 0<у -|-2ns^2,-----1- <п<у. Так как neZ, то и =
и Xi = у. б) sin х=0, х=пл. Эти значения х удовлетворяют уравн
нию только при и = 2/г-|-1, т. е. x=n(2k-j-1); тогда 0<(2*-Н
О<2*4- 1 <2, — у <*<у . т. е. * = 0 и х2=л.
93.	х =— 1, х=4. 94. х=2, х=4. Указание, sin (arcsin (х2
— 6х-Ь 8,5)) = sin у, £ — 6х-|-8,5 = 0,5, х2—бх 4-8=0 и т. д.
95.	х = ±у 4-2ил, fieZ. Указание. sinx^tO, тог.
-^sin2x—cosx=0, . д/2—V2cos2 * —cos х=0, ^/2cos2 x4-cos х
—V2=0 и т. д.
96.	х = ^- -\-пл, n^Z. Указание, tgx^—, тогда 3-
4	о
4-2tgx—tg2x= 1+6t?*+9tg * ,	124-8tgx—4tg2x=l 4-6tgx-
-|-9tg2 x и t. д.
97.	х=*л, x=(—1У+1 arcsinу 4-пл, k, n^Z.
98.	х=*л, x=( — I/1 arcsin у 4-nn, k, n^Z. У Казани
2sinx-|-3(l —2sin2x)—3 = 0 и т. д.
99.	x=(2n-|-l)y. x= ±arccosу-|-2*л, n, k^Z.
100.	x=(—iy + 'у 4-«y, n^Z. 101. x=y(4n-l), neZ.
102. х=*л, x=(— l)n+ly 4"niT. *. neZ. Указание. 1-
—cos2x—cos (ул— x)=cos4yn- (—tg-^У 1—cos2x-|-sinx:
= — 1 - cos у , 2 sin2 x4-sin x=0, sin x(2sin x-f- l)=0 и т. д.
103. х=*л, х = (—1)"у 4-«л, *, neZ. 104. х = *у» х=(4и-
— 1)у, *. neZ. 105. х=(2*4- !)•£•. * = (8n±l)y;, k, n^Z.
2 sin2 у
106.	х=(4и-|-1)л, neZ. Решение. ---------—=2, siny=#=
sinT
х^=2*л. тогда siny = l, х=(4л-|-1)л, 2*лу=л(4п-|- 0. 2*^t4n4-l
верно, а потому х=(4и-|-1)л есть решение данного уравнени
2 Sin у cos у
107.	х = 2 arctg(2 ± д/3)4-2г!л, meZ. Указание.-------
2 cos2 у
100
X
sin —
^2—ctgx, cosy 5^0, -— =2—ctgx, tgy =2 — -j— и т. д.
COSY
108.	x=—j-4-пл, neZ; 109. x=kn, k^Z. Решение.
s*”о- = 0, cos3x=#=0. тогда sinx=0,
COS ox
2sj2JcOS-*- =0, cosx=#=0, тогда
c<e Зх cos x
x=kn (при найденных значениях х, cosfen=#=0 и cos З/гл =#= 0).
-7|3__i
1	io. x= ±arccos ——-----|-2пл, mgZ. Указание. sinx=#=0,
2y3
111	. x=—44-2/гл, x——arccos4= 4-2ил, k, n^Z. Решение.
___________2	V3
-yfi—^Jicos x= — -\/3sin x, sinx^O, тогда можно возвести обе
части данного уравнения в квадрат: 3—\/3cos x=3sin2 х, 3 —
—-\/3cosx=3— 3cos2x, 3cos2x—-\/3cosx=0, -\/3cosx(-\/3cosx—1)=
=0. a) cosx=0, x=(2n-|-l)—-. Эти значения x будут удовлетворять
уравнению только при n = 2k— 1, т. е. х= —-|-2/гл. б) д/Зсоз х= 1,
cosx = 4^. х= ±arccos 4= 4~2пл. Условию удовлетворяют только
уЗ	уЗ
1 I о
х= — arccos — 4-2ил.
<3
112. х = ± у л 4~ 2/гл,
x = у л 4- 2/гл, п.
Решение.
у 4-2/гл<х<ул + 2/гл.
у л-|-2/гл^х<у 4-2/гл.
cos х^0,
sm х<
^1 — V2sin х = —2 cos х, 1—л/2 sin х=4 cos2 х, 1—-\/2 sin х=4(1 —
о /О
—sin2x), 4 sin2 х—^sin х —3 = 0.	a) sinx = -y—>1, х=0.
б) sinx= — у-, х=(— 1у+1у 4-ил. Эти значения х будут удовлет-
з
ворять уравнению только при n=2k—1, т. е. х=——п. Так как
cos (—a)=cos а, то х= ±у- л4~2/гл. Кроме того, при n = 2k— 1
получим: х=-|-л.
ИЗ. х=(-1)л-^4-Иу, neZ. 114. x=kn, х=(- 1У*у +пл,
п< k^Z. Указание, sin ^2х4-2ул) —3cos (Зул—х) = 1 4-
+2sinx, sin(y4-2x)—Зсов^ул—x) = 14-2sinx, cos2x4~
+3 sin х= 1 4-2 sin х. 1—2sin2x=l—sinx, 2sin2x—sinx=0,
Sln *(2 sin x—l)=0 и т..д.
101
115. х= л + 2/m, ke=Z. 116. (4n —1)у-
117.	x=kn, k^Z. Указание. 2cos22x— 1 +6 = 7cos2x и т.
118.	х=пл, n^Z. 119. х = (—1)” arcsin-g-+ пл, neZ.
120.	x= ±-|-л + 2Лл, ieZ. Указание. 5(1 +cosx)=3-f.
+ (cos2 x+sin2 x)(cos2 x—sin2 x), 5(1 +cos x)=3+cos 2x, 5(1 +cosx)=
= 3 + 2 cos2 x — 1 и t. д._
121.	x= ±arctg д/+ nл, x= ±y n> k^Z. Ука-
зание. tg4x+ctg4x+tg2x—ctg2x = ~, (tg2x—ctg2x)2+24-
+(tg2x—ctg2 x) = —, tg2x —ctg2x=i/, i?+y — y=0 и т. д.
122.	x= +«л>,ieZ' 123. x= — 4 + пл> *=4 +*л’ k*=Z-
Указание.	— д/3tgx+1 =д/3, tgx=#=0, 1 — V3tg2x-(-
+ tgx=43tgx, ^/3tg2x+(^/3— l)tgx—1=0 и т. д.
124. x=±4+nn, mgZ. Указание. 4(2cos22x—1) + 6(1 —
—cos2 2x) + 5cos 2x=0, 2cos2 2x + 5cos 2x + 2=0 и т. д.
125. х=24л-
§ 6.	'	3
1.	х=—+пл, x = arctgy+/гл, п, feeZ. Указание.
3cos2x—5sin2x—2sinxcosx=0 — однородное уравнение, а пото-
му cosx=#=0. Разделив обе части на cos2x, получим: 5tg2x+
+ 2tgx—3=0 и т. д.
2.	x=(4n + l)4, х= — arctg4 + /гл, n, fceZ. Указание.
Умножим правую часть уравнения на sin2x+cos2x, получим:
6sin2x + 4-2sinxcosx—5cos2x=2(sin2x + cos2х), после преобра-
зований получим: 4 sin2x + 3 sin xcos х—7cos2x=0, со52х^=0, 2
разделив на cos2x, получим: 4tg2x+3tgx—7=0 и т.д.
3.	х=4 +£л, k^Z. Указание. cosx+О, разделим на cosx.
получим tgx=l и т.д.
4.	х=—^-+пл, neZ. 5. х=—arctgy + пл, neZ. 6. х=
= —arctg 3 +/гл, х = 4+пл, k, n^Z.
7.	х= —4 +пл, х = 4 +*л> п- ifeeZ. Указание. 2д/3 5И12х—
— 2sin xcosх=д/3,	2д/3зт2х—2sin xcosx=V3sin2x+^/3cos2X.
cosx:/=0, делим на cosx, получим: ^/3tg2x—2tgx—д/3=0 и т. fl-
102
8.	х=—^--t-nn, х = arctg4-fen, n, k^Z. Указание.
gsin2x 4-sin xcos x—cos2x = 2(sin2x-|-cos2x) и т. д.
9,	x=—^--|-fen, x=arctg 34-nn, fe, neZ.
10.	x=у arcctg 24-Пу, fieZ. Указание. 4sin2xcos2x—
_3sin22x = 1, 4 sin 2xcos 2x—3sin22x=sin2 2x-|-cos2 2x, 4 sin2 2x—
_4 sin 2xcos 2x-|-ccis2 2x = 0, (2 sin 2x—cos 2x)2=0, 2sin2x—
—cos 2x=0, sin 2ху=0, разделим на sin 2x, получим: ctg 2x=2 и т. д.
11.	x=fen, x= — у 4-пл, fe, zieZ. 12. x= ± у arctg2-|-пл,
n(=Z. 13. x=0.
14.	x=y4-nn, x=arctg3-|-fen, n, feeZ. Указание. 3sin2x —
—4sin xcos x-|-5cos2 x=2(sin2 x-|-cos2 x). sin2 x—4 sin xcos x-|-
-|-3cos2x=0, cosxy^O, tg2 x—4 tg x-|-3=0 и т. д.
15.	x=(4n-|- l)y, x = arctg 2-|-fen, n, feeZ. Указание.
2sin2x-|-cos2 x-|-3sin xcos x = 3(sin2 x-pcos2 x), sin2x—3 sin xcos x-|-
-|-2cos2x=0, cosx=/=0, tg2x — 3tgx4-2 = 0 и т. д.
16.	x=(2n-|-l)y, x= — arcctg 3-|-fen, n, feeZ. 17. x=(4n-|-l)y,
x= — arcctg 2-|-fen, n, feeZ. 18. x=(4n—l)y, x = arcctg 24-fen.
n, fe^Z. 19. x=arcctg 134-nn, x=—arcctg 134-fen, n, k^Z.
20.	x=y 4-nn. x = arctg 153°-|-nn.
21.	x=2 arctg 2 4-2nn, neZ. Указание, sin x-|-cos x—1 =
= —ctgy (1 —cos x), sin x-l-cos x—1 = —2ctgy-sin2y, sinx-|-
4-cos x— 1 = —2 sin у, sin у =/=0, x=^=kn, sin x-|-cos x— 1 = —sin x,
2sinx—(1 — cosx)=0, 4sinycos-~- —2sin2y =0 и т. д.
22.	х=у-|-пл, п, feeZ; х = 45°4-180°fe, п, feeZ.
23.	x=fen, х=—arctg24-пл, fe, neZ. Указание. ——X
COS X
X(l 4-sin 2х)= 1, cosxy^O, xy=y-|-fen, 1-|-sin 2x=cos2 x, 1 —
—cos2x-|-sin 2x=0, sin2 x-|-2 sin xcos x = 0 и т. д.
24.	x=y arctg 2-|-2fen, feeZ. Решение. cosx^O. — y4~
+2пл^х^у 4-2nn, 4cos2 x=2-|-sin 2x, 2(1-|-cos 2x)=2-|-sin 2x,
2cos 2x=sin 2x,	cos2x=/=0,	tg2x=2, 2x=arctg 2-|-nn, x=
—	1	Л
—	2-arctg2-|-ny. Найденные значения x удовлетворяют условию
103
cosx5= 0, а следовательно, и уравнению только при n=4k, т.
х = у arctg 24- 2kn, k^Z.
25.	х = -^--|-пл, х = arctg 34-йл, п, k^Z.
26.	х=4-л, х = 4~л. 27. х= ±-г 4-2ЙЛ, fteZ. Реше ни
О	О	4
cosx^O, —4-2йл<х<у 4-2йл, 1—cos2x=2cos2x, 2sin2x:
=2cos2x, sin2x=cos2x, cos2x—sin2x=0, cos2x=0, 2x=y 4~n
x = Y 4~Иу. Найденные значения x могут удовлетворять условл
cosxZ^O, а следовательно, и уравнению только при п=4й, т.
х= ±у 4-2йл, fteZ.
28.	* = -£• 4-йл, х = arctg34-пл, k, n^Z. Указание. 2sin2x
— 4 sin xcos x-|-sin2 x-|-cos2 x=0, 3sin2x—4 sin xcos x-|-cos2 x=
и т. д.
29.	x=(2fe-|-l)y; —4~пл, k, n^Z.
30.	x = -^ 4-йл, x=arctg2-|-пл, k, n^Z. Указание. cos2x-
—6sin xcos х-|-3 = -|-л—л, cos2x—sin2x—6sinxcosx4-3(sin2x-
4-cos2 x)=0, 2sin2x—6sinxcosx4-4cos2x=0, sin2x—3sinxcosx
-|-2cos2x=0 и t. д.
31.	x=(4n-|-l)y, ne’Z. Указание. sin2x=(cos2x—sin2x)
X(cos2x4-sin2x), sin2x=cos2x, cos2x^-0, tg2x=l и т.д.
32.	x=(2n-|^l)y, x=arctg4~^л, n, k^Z. У Казани
sin2x—(cos2 x—sin2 x)=2(sin2 x4-cos2 x)—4 sin xcos x, 2sin2x
—cos2 x=2 sin2 x4-2 cos2 x—4 sin xcos x, 3cos2 x—4 sinxcos x=
cos x(3 cosx—4sinx)=0 и т.д.
33.	х = йл, х = у-|-пл, k, n^Z.
34.	x=—4- пл, x =—arctg2-|-ftn, n, k^Z. Указани
1 4-3sin xcos x-|-cos2x=0, sin2 x-|-cos2x-J-3sin xcos x4-cos2x=
sin2x.4-3sin xcos x-|-2cos2 x=0 и т. д.
35.	x=—£--|-йл, x= —-^--|-пл, k, neZ.
36-	х=^--|-пл. x=arcctg24-йл, n, k^Z. Указание. 4cos2x-
4~3sin x>(—cos x)-|-5sin2x —	=0,	4cos2x—3sinxcos x-
4-5sin2x —3 = 0, 4cos2x —3sinxcosx4-5sin2x — 3(sin2x-|-cos2x)=
= 0, 2sin2x—3sinxcosx4-cos2x=0 и т.д.
104
37.	x=— у+пл, x=arctg 5 + /гл, n, k^Z. Указание.
8sin xcos x+ 10cos2 x+cos2 x— sin2x= 1, 8 sin xcos x+ 11 cos2x —
_sin2x=sin2x+cos2x, 2sin2x — 8sinxcosx—10cos2x = 0, sin2x —
_4 sinx cosx—5cos2x=0 и t. д.
38.	x=kn, x=(2« + 1)-^-, k, n^Z. Указание, —sin (2л—2x) —
—cos(3л+2x)+tg 2x = ~C^2g" > cos2x=/=0, sin 2x—cos(n+2x)+
+tg2x=—, sin 2x+cos 2x+tg 2x=—, sin2xcos2x+
Т Б cos 2x	1	1 Б cos 2x ’	1
+cos2 2x+sin 2x= 1, sin 2xcos 2x+sin 2x= 1—cos22x, sin2x(l +
+ cos 2x)=(l —cos 2x)(l +cos 2x), (1 +cos 2x)(sin 2x— 1 +cos 2x)=0
и т. Д.
39.	x=(2n+ l)y , x=(4ft +	, x— —arcctg 3+тл, n, k, m^Z.
яп 1	. 3± дАаг+1|2а~739 . „	, A 3^5
40.	x=—arctg------2(17—a)----’ при 14--------2-<o<
3 /5
<14 + —и a=ll. Указание. llsin27x—3sin7xcos7x+
+5 cos2 7x=(a—6)(sin2 7x+cos27x), (11 — a+6)sin2 7x—3sin 7xx
Xcos 7x+(5 — o+6)cos2 7x=0, cos27xy+, (17 — a)tg27x—3tg +
+ (H -a) = 0, 0=9-4(17 —aXll—a)=9—4(187 —17a—lla+<f)=
=9+112a —4a2 — 748=—4a2 +112a —739. Уравнение имеет реше-
ние, если D^O, т.е. — 4a2 + 112a —739 ^0, 4a2—112a + 739^0,
a2-28a + ^-<0,	(a—14-)2—196 + ^-<0,	(a— U)2^ 11-J-,
1 к	3V5	3-\/5	3-\/5	. .
|a-4|<-^—,--------j-<a—14<-^-,	14---<a<14 +
зТз
-|—g—.	Наименьшее целое число будет -a=ll. tg7x=
3± +—4a2+112a-739
------------------и T. Д.
2(17 —a)
41.	x=—90°, x=—26°34', x=90°. Решение, sin2x+cos2x—
— sin2x—2cos2x + 2sin xcos x, cos2x+2sin xcosx=0, sinx=+0,
разделим на sin2x, получим: ctg2x + 2ctgx=0, ctg x(ctg x + 2)=0.
n^Z, то n =
2	2 1	2-	' —
О и х1 = -|-л=-^, x2 = -^+0-n=-J.
6)ctgx=-2, tgx= -y , x= — 26°34'+180°n; —90°< -26°34'+
+ 180°n^90°; —63°26'^ 180°n^ 116°34', а потому n = 0, тогда
*з = — 26°34' + 180° • 0 = — 26°34
42.	x=(2n+l)y. х=(4Л+1)-^-, n, k^Z. Указание, sin 2x +
+cos 2x= . L , sin 2x=/=0, sin22x+sin 2xcos 2x = 1, sin 2xcos 2x=
sin 2x	1
= 1—sin22x, sin 2xcos 2x=cos2 2x и т. д.
105
43.	x = (4n — l)-y, x=у arctg 5 4-у *л, n, *eZ. Указание.
cos3x=/=0, x =/= (2n4-1 )y, 1 — 6cos23x = 4sin 3xcos 3x, sin23x4-
4-cos2 3x—6 cos2 3x=4sin 3xcosx, sin23x—4sin 3xcos 3x—5cos23x=
=0 и т. д.
44.	x=(2*-|- 1)л, x= — 2 arctg 2-|-2ил, k, n^Z. Указание.
4 (cos2y —sin2y)4-4 siny cosy 4-4 (sin2у -|-cos2y)=0,
cos2y — sin2 у -l-sinycosy 4-sin2y 4-cos2y =0, 2cos2y 4-
4-sin-^-cos =0, cos4-(2cos -|-sin-£-)=0 и т. д.
45.	x=(2n-|-l)y, x=arctg-|-4-йл, n, k^Z. Указание.
4 sin 2x=3(l 4-cos 2x), 8sin xcos x = 6cos2x, 3cos2 x—4 sin xcos x=0
и т. д.
46.	x=(4n — l)y, x=arctgy 4-йл, n, k^Z. 47. x=(2n-|-l)y,
x=arctgy 4-An, n, k^Z.
48.	68° 12'4- 180°n, mgZ. Указание. 2 cos (270°— x) 4-5 cos x=
=0, —2sin x-|-5cos x=0, cosx=/=0, 2tgx=5 и т. д.
49.	x=45°4- 180°n, x = 81°52'4-180°*, n, k<=Z. 50. x= — 45° 4-
4-180°*, x=71°34'4- 180°n. k, nf=Z. 51. x = y 4-ил, meZ. 52. x=
= у4-ил, neZ. Указание. (-\/3sinx — cosx)2=0, -\/3sinx—
— cos x=0 и т. д.
53. x=30°58'-|-180°n, x=45°-|-180°*, n, k^Z. Указание.
5sin2x—8sin xcos x-|-3cos2x=0 и т. д.
54. x= ±arctg4-ил, neZ. 55. x=(3n±l)-x-, neZ.
56. х=*л, х = у-|-пл, *, neZ. Указание. cosx=/=0.
sin xcos x-|-cos2x= 1,	sin xcos x=l—cos2x,	sin xcos x=sin2x,
tg2 x—tg x = 0 и т. Д.
57. x—(—l)" + l arcsin у-4-ил-, neZ.
§ 7.
1.	х = *л, x = y 4-2ил, n, *eZ.
2.	x=(2n-|-l)y, x = arctg4-|-*л, n, *eZ. Указание.
ctgx(ctgx—4)=0 и т. д.
3.	х = *л, x=arctg 2 4-ил, *, neZ. Указание. tgx(tgx—
— 2)=0 и т. д.
4.	х = *л, х=±у-|-пл, *, neZ. Указание. tgx(tg2x—
— l) = 0 и т. д.
106
5.	x=k-~, k^Z. Указание. cosx=0, x=(2n-|-l)y. но
tg 3 ((2« + l)y ) = tg (2«4- 1)-|- л не существует, а потому cosxy^O.
Следовательно, tg3x=0 и т. д.
6.	х=0. Решение. tgx = O, x=kn, но sin3ftn=0, а потому
уравнение не имеет решения.
7.	х=(2п + 1)у. х=-^( — 1/+*л, п, k^Z. 8. х=(2п+ !)-£-,
х=( —1)*Y£ 4-Лу, п, k^Z. 9. x=kn, х = ~- 4-ил, »eZ.
10.	x=(2« +1)-^-, »gZ. Указание. 2cos2x(ctg2x-|-2)—
—(ctg2x-|-2)=0, (ctg2x4-2)(2cos2x —1)=0 и т. д.
11.	х=(4п4-1)-^-, neZ. Указание. 2tg2x(tgx— l)4-3(tgx—
—1)=0 и т. д.
12.	x=(4n4-l)-^-, x=(8fc-|- l)y, n, k&Z. Указание. cos2x —
—sin2x=-y/2(cosx—sin x), (cosx—sin x)(cosx4-sin x—-y/2)=0 и т. д.
13.	x=(2* + l)y, x=(4n + l)y. k, n<=Z.
14.	x=(4ft —l)y, x=(2nk, n^Z. Указание. 2sin3x—
—(1 —2sin2x)—sinx=0, sinx(2sin2x— l)4-(2sin2x—1)=0, (2sin2x—
— l)(sin x4~ l)=0 и т. д.
2
15.	x=(3n±l)-g-n, neZ. Указание. —(1 —cos 6x)ctg Зх —
—sin3x=0, —2sin23xctg3x—sin3x=0, sin3x(2sin 3x ctg 3x4-1) =
=0 и т. д.
16.	x=(4n —1)^. x=(6*-l)y, x=(12m-l)y, n, k, m^Z.
Указание, cos2x—sin2x—1	(cosx4~sinx)=0, (cosx 4-sinx)X
X (cos x—sin x—и т' д’
17.	/=-~4-2ил, /=(—!)*£ 4-^л. n> k^Z. Указание. 3(1 —
-—sin t)= 1 4-cos41 — sin41, 3(1 —sin 0= 1 4-(cos21 — sin2/)(cos21-|-
4-sin2t), 3(1—sin/)= 1 4-cos21, 3(1—sin 0=2cos2!, 3(1—sin 0=
=2(1 —sin2 0 и т. д.
18.	x=ft-^-, х=(2и-|-1)у^. neZ. Указание. tg23x(l —
~-2cos23x)=0 и т.д.
19.	x=(4«4-l)y. х=±-£-4-(8*-1)у. n. kf=Z. Указание.
sin2 x 4- cos2 x—2 sin x cos x = cos x — si n x, (cos x — sinx)2—(cos x—
-—sinx)=0, (cosx—sinx)(cos x—sinx—l)=0 и т. д.
20.	х = -^-4-^л, х=(—iy+l-5-4-ил, k, n^Z.
107
21.	x=kn, x= ± у arccos a — 4-ил, k, n^Z при —l^a^3.
Решение. 3sinx—4sin3x—asinx=O, sin x(3—4sin2x—a)=0.
a) sinx = O, x = kn. 6) 3 — 2(1—cos2x)—a=0, 1—a=—2cos2x,
cos 2x= a~ Это уравнение имеет решение, если | a~1 | ^1,т. е.
|a— l|s^2, — 2s^a— 1^2, — 1^а^3. 2х= ±arccos	+2пл.
.1 а— 1 ।
х= ± у arccos—j----\-пл.
22.	х=2Лл, х=у +2пл, k, n^Z. Указание, tgу = 1 —cosх,
. X л . 9 X , X /« г* • X	X \
tg у =2 sin2 у, tg-Д!— 2 sin у cos у j=0 и т. д.
23.	x=kn, х=(4л + 1)у, k, n^Z. Указание, sin 2х= 1—
— cos 2х, 2 sin xcos х=2 sin2 х, sinx(cosx—sinx)=0 и т. д.
24.	х=(2« +1)л, х=(2/г+1)2л, п,/ге2. Указание. —cosy =
= 1—sin2-^-, cos2-^+cos=0, cos-^ (cos у + 1 ) =0 и т. д.
25.	x = -^-nn, neZ. Указание. cos4-^- = l—sin24-, cos4-^-—
— COS2-^-=0, cos24-fcos24---0=0, COS2 (1 —cos2-^0=0,
5	5 \	5	/	5 \	5 /
sin —cos — =0, sin -=-=0, sin —=0 и т. д.
D 5	□	□
26.	х=(2л + 1)у, x=(6fc±l)y, n, k&Z. Указание. (1 —
—sin2 x)(l +sin2x)=-|-cos4 x, cos2 x (1 +sin2x—|-cos2x) =0 и т.д.
27.	x=(4« + l)y, x= +(8/г + 1)у, n, k<=Z. Указание.
cos2x—sin2x=cosx — sin x и т. д.
28.	x — ч~ у л -р (8и Н- 1 )у , nf=Z.
29.	х = 3/гл, х=(—1Уу +3пл, k, n^Z. Указание. 2sin3y =
= 1 — cos24 . 2 sin3 4- — sin2^- =0, sin24 (2 sin— 1 ) =0 и т.д.
о	о	О	О \	О	/
30.	х=(2п + 1)у, х = (2* + 1)у, п, kf=z. Указание. _
Sin2 X о „ COS1 X—Sin1 X o o COS2 X —sin2 X „ n
--------=8 cos 2x, —----------------5— =8 cos 2x, ——--------------—=8 cos 2x,
COS X	Sin1 X COS1 X
4 cos 2x o	_	„ r> /	1
—$------=8 cos 2x, cos 2x ( . , „
sin 2x	\ sin 2x
sin2 х cos2 х
и т. д.
= 0
31. х=(2« + 1)л, х=у(4/г— 1), n, k^Z. 32. x=(4n —l)y.
х=2/гл; x= — у +/пл, n, k, m^Z.
108
33.	х=(2п4~1)-£-, х=(—1)*у4-^у, п, k^Z. Указание.
^-^=4^ctg2x, ^=^--4^ctg2x=0,	-
sjn2 X COS X	e	sin XCOS X	v °	sin2 2.x
_^4д/2 ctg 2x=0,	^L-V2ctg2x=0, ctg 2x f—-д/2 )-0
ell J £л	у Э111 La	/
Н Т.д. 34. х=(2п4-1)^, neZ.
35.	х=3пл, х = -|-л(2п-р 1), neZ. Указание. cos2y = l—
—sin4-^-, cos2-^-= cos2fl 4-sin2cos2(1 4-sin2 -1 )=0
О	«5	О \	о /	" \	&	/
и т.д.
36.	х=5йл, x=(—1)"-|-л4~5ил, k, n^Z.
37.	x=(2n + 1)л, х=(6/г-|- l)y, n, k^Z. Указание. sin x—
—(1 4-cos x)=0, 2-\^3sin-£-cos-£-— 2cos2-5-=0, cos-£- f-^3sin—
Z	Z	Z	Z \	z
— COSyJ =0 и T. Д.
38.	x=2fcn. x=(—1)"+1-|-л4-2пл, k, n^Z. Указание.
^/3sinу4-1 —cos x=0,	-\^3siny 4-2sin2y =0, sin-|-f-\^4-
4-2siny)=0 и т. д.
39.	x=(2*4-1)t’ je=(-,)"^4-ny. k, ns=Z. 40. x=-у 4-
4-пл, х = кл, n, k^Z.
41.	x=(— l)"+ly 4-ил—y, neZ. Указание. ysinx4-
, -J3	V3 - / , л\ -JU
4-y-cos x = — у-, sin fx4-y2= — 2 и T‘ д‘
42.	х = йу, х=(4и4-1)у^, k, n^Z. Указание. 2sin23x—
— tg3x=0, tg3x(2sin3xcosЗх—l)=0 и т.д.
43.	x=(2n-|-l)y> x=(4ft—l)y, x=(—1 У”у -}-тл, n, k, m^Z.
Указание. 2sin3x—sin x 4-cos2 2x=0, sinx*2sin2x—sinx4-
4-cos22x=0, sin x(1—cos 2x)—sin x 4-cos2 2x=0, —sin xcos 2x-|-
4-cos22x = 0, cos2x(cos2x — sinx)=0, cos2x(l—2sin2x — sinx)=0,
cos2x(2sin2x-|-sinx— l)=0 и т.д.
44.	х=(12/г— 1)у, x=(6n —1)у, x=(12/n-|-7)^, k, n, m<=Z.
Указание. 2 sin 2x(-\^3 sin x4-cosx)=(-\^3 sin x-|-cos x)(-\^3 sin x—
—cosx), (-\^3sin x-J-cosx)(2sin 2x—-\/3sin x-J-cosx)=0 и т. д.
45.	х=Лу, x=(—l)"-y 4-лу 4~y^, k, n&Z. Указание.
,2 sin 3xcos 3x= 1 —cos 6x — 2 sin 3x, 2 sin 3xcos3x=2sin23x—2 sin 3x.
sin 3x(sin 3x — cos 3x — 1)=0 и т. д.
loo
46.	х = у4-2лл, х = 2 arctg 0,6-|-2Лл, п, k&Z. Указание.
4 sin х — 3cos х=4(1 — cos х). 4 sin x-|-cos х—4 = 0, 8sinycosy4-
4-cos2 у — sin2 у — 4 (sin2y -|-cos2y) = 0,	5sin2y — 8siny x
XcosУ -|-3cos2y =0 и т.д.
47.	x=0, х=2л. Решение, tgf-tg (-|-f)+
C0S (4	4 )
= 2. cos -f) ^0,	tgf-sin (у-у) cos (t-t)+ 1 ~
= 2cos2(-j- -y), ytgySin (y - f ) + 1 = 1 + COS (y - y),
ytgy«c°Sy =siriy, siny=0, х=2Лл, k&Z. —<2Лл<2л,
—Так как fceZ, то Л=0; 1, тогда х(=0, х2=2л
4
(при найденных значениях х cos (у — ~)=^0).
48.	х=±у4-пл, neZ.
49.	х=(2л + 1)у, х=(—1/+'^+Лу, п, kf=Z. Указание.
24-ctg 2x4-2 cos 4х=0, 2(1 4-cos 4x)4-ctg 2х=0, 4 cos2 2x-|-ctg 2х =
=0, ctg2x(4cos 2xsin 2x4-l)=0 и т.д.
50.	x=kn, k<=Z. 51. х=(4Л4-1)у, k<=Z.
52.	х=(2Л-|-1)у, x=(—1У arcsin 3~^ 4~лл, n. k&Z. Ука-
зание. 3sinx(l—sin2x)—(1—sin4x)=0, 3sinxcos2x — cos2x(l-|-
4-sin2x)=0 и т. д.
53.	x=—4 4-Лл, k(=Z.
4
54.	Х=у4-пл, x=( — 1Уу 4-тл-у, n, meZ. Указание.
cos2 x —sin2 x=cos3 x—sin3 x, (cos x—sin x)(cos x-|-sin x)=(cos x—
—sin x)(l -|-sin xcos x), (cos x—sin x)(cos x-|-sin x— 1 —sin xcos x)=
=0 и т. д.
55.	х=(2Л4-1)л> х=(4л-|- l)y, x = у-±arccos ^2-2 4~2тл, k,
л, mEZ.
56.	х=±у4-Лл, fteZ. Указание. 2(2cos2x)2 = 14-cos4x,
2( 1 4-cos 2x)2 = 2 cos2 2x и т. д.
57.	x=(2*4-1)л, x=(— Ify -|-л л. n, k&Z. Указание.
2sin x-|-sin 2x= 1 4-cos x, 2sin x-|-2 sin xcos x= 1 4-cos x, 2sinx(l-|-
4-cos x)= 14-cos x, (1 4-cos x)(2sin x—1)=0 и т. д.
но
58.	х=(2п4-1)у, х = ("б/?±0у- п, k^Z. Указание. cosx =
^1—cosx, tg х(1—cos х)= 1 —cos х. (1—cosx)(tgx—1)=0 и т.д.
59.	x=(4n — l)y. x=(2k + 1)л, n, k^Z. Указание. 1 4-tgx +
4-cosx(l+tgx)=0, (l+tgx)(l+cosx)=0 и т.д.
60.	х=-у4-Лл, х = 2пл, k, n^Z. Указание, tgx—sinx =
= 1—cosx, tgx(l—cosx)=l—cosx, (1—cosx)(tgx—l)=0 и T. д.
61.	x=(2n + 1)4-. x=(3fc±l)^r, n, k^Z. Указание. 14-
Z	о
4-	cos 2x-|- cos x=0, 2cos2 x-|-cos x=0, cos x(2 cos x-j- l)=0 и т.д.
з
62.	x=kn, х=±ул-|-2лл, k, n^Z.
63.	х=(2п4-1)л. x= ±2 arccosy 4-4Лл, n, k^Z. Указание.
cos2 у — 3 sin2 у cos у =0 и т. д.
64.	х=(2л-|-1)у- х=(—1/у 4-Лл, п, k^Z. 65. x=kn, х =
=(4n4-l)y, k, n^Z. 66. х=Лл, fteZ. 67. x=(2n4-Оу. х =
=(-0*й+*Т. п, k^Z.
68.	x = kn, х=(— 1)"у 4-«л, п. k<=Z.
69.	х=2Лл, х=( — 1У+,у 4-2пл, k, n^Z. Указание.
—-\/2siny = 1 — cos х, 2sin2y 4-V2siny =0, siny^2siny4-
4—\/2^=0 и t. д.
70.	х=у4-пл, x=±y 4-(S*4-I)y-. л, fceZ. Указание.
2(cos2 x—sin2 x)=-\/6(cos x — sin x), (cos x—sin x)(2(cos x-|-sin x)—
—д/б)=0 и т. д.
71.	x=kn, x= ±arccos 0,24-2nn, ft. neZ.
72.	x=(2«4-l)y. x=(—1)*+1 arcsin у 4-Лл, n, k^Z.
73.	х=2Лл, х=(4л-|-1)л, k, n^Z. Указание. 2siny = l —
—cos x, 2 sin у =2 sin2 у и т. д.
74.	х=2(2л4"0л' x=8kn, п, k^Z. Указание. 2coSy=14-
4~cos-£-, 2cos4- =2 cos24-. cos4-fcos4-— 1 )=0 и т. д.
75.	х=6Лл, х=(4л4~1)3л, п, k^Z. Указание. 1—cosy —
— 2sin-4 =0, 2sin24-—2sin-4=0, sin 4" (sin 4 — 1) = 0 и т.д.
6	t>	b	о \ b /
HI
76.	х = 4Лл, х=(4л + 1)2л, п, k^Z. 77. х=(2Л+1)Зл, •х=12лл>
Л. n<=Z. 78. х=(2п+1)у, х=(-1/-^+Лу, п, kf=Z.
79.	х=(4п— 1)у. х=±у+(8Л — 1)у, п, k^Z. Указание.
, .	cos 2х _	. .	(cos х — sin х)(cos х-4-sinx)
cos х 4- s tn х —	-----= 0, cos x+sin x—5—3-----------------=
'	1—2sinxcosx	(cosx —sinx)2
=0, cosx=/=sinx, cosx4-stnx---------:—=0, (cos X-|-Sin x)X
1	cosx —sinx	4	1
cos л — sin л
80.	x=(—l)"+,ll015'4-450n, neZ. Указание. sinxcosxX
X(cos2 x — sin2 x)=-2 sin xcos xcos 2x=------7^, sin 2xcos 2x=
V	2	4^2	2^2
1 . . 1
------—, sin 4x=----— и т. д.
2-^2	л<2
81.	x=(2« + l)y, х=(2Л+1)у, n. k<=Z. 82. х=Лу, x = (4« +
+ 1)^, k, n^N.
83.	х=4Лл, х=±4-л+4лл, k, n^Z. Указание. tg-£- =
o	Z
2tg —
=3ctg(-i-^). tgi=3tgi.	3tgi=0. tg^X
1-lgy
X (--------з) = 0 и т. д.
v'-»g2T	7
84.	х=у+пл, х = у+2Лл, п, k^Z. Указание. cos2x —
— sin2 х= \/2(cos х—sin х), (cos х—sin x)(cos x+sin x)=^/2(cos x —
—sin x), (cos x—sin x)(cos x+sin x—-y/2)=Q и т. д.
85.	x=Ay, x=(—l)"j£+«y, k, n^Z. Указание, sin 2x=
= 1—cos4x, sin 2x=2sin2 2x, sin2x(2sin2x—l) = 0 и т.д.
86.	х = Ал, AieZ.
87.	х = у+2Лл, х=±-£-+2лл, k, n^Z.
88.	x=(2« + l)y, tieZ. Указание. sin2x(sinx—cosx)+
+cos2 x(cos x—sin x)= 1,5 cos 2x, —sin2 x(cos x—sin x)+cos2 x(cos x—
— sin x)= 1,5 cos 2x, (cos x—sin x)(cos2 x—sin2 x)= 1,5 cos 2x, (cos x—
— sin x)cos 2x= 1,5 cos 2x, cos 2x(cos x—sin X—l,5)=0 и т.д.
89.	х=(2л+1)у, ле/. Указание, sin32/(2sin22/—1)—
— 3(2sin22/— l)=0, (2sin22t— l)(sin32t — 3)=0 и т. д.
112
90.	х = у 4-Лл, fceZ. Указание. sinx(tgx — 1)—(tgx—1)=0,
ltgX-l)(sin*-l)=0 и т.д.
91.	№(2п + 1)у, х=(4Л + 1)-^-, n, fteZ. У ка з а н н е. у sin 2х =
sin2x, sin xcos x=cos2 x, cos x(sin x—cosx)=0 н т.д.
92.	x=(4n— l)y, x = (— l/y +(4Л— l)y, k, n^Z. Указа-
ние. sin x4-cos x= 1 4-sin 2x, sin x-|-cos x=sin2 x-|-cos2 x-|-2 sin xX
/cos x, (sin x4-cos x)2—(sin x-|-cos x)=0, (sin x-|-cos x)(sin x-|-cos x—
4 i)=0 н т. д..
93.	x—kn, k^Z. Указание, sin x4-3 sin x —4 sin3 x 4-4 sin3 x=
=0,. sin x=0 и т. д.
94.	x=y +пл, x= ±-|-л-|-2Лл, n, k^Z. Указание, sinx —
—cos x-|-2sin xcos x—2cos2x=0, sin x—cos x-|-2cos x(sin x—cos x)=
=0, (sin x — cos x)(l 4-2 cos x)=0 н т. д.
95.	х=(4Л —1)-J, х=±у 4-(8n4-l)-7’ *. neZ-
96.	x=2kn, х = -^- 4-пл, k, neZ.-У к а з а н н е. sin-* = 7—
’	4 1	cos2 X I — Sin X ’
1—	cos2 X	1—cosx	I—cosx / I 4-COS X	«
------------i-:-- =0,	:-- (-7-;—---1 ) =0 H T. Д.
I—	sin2 x-	1—sinx	1—sinx \l4-s1nx /
97.	x = 4 -|-Лл, x~ —4 4"2nn, k, n^Z. 98. x = -^- -f-пл, x = k-£-,
4	2	4	2
n, k^Z.
99.	x=y4-nn, x = — arctg 2 4-Лл, n, k^Z. Указание.
(1 — tg x)cos2 x=2cos 2x, cosx=/=0, в противном случае tgx не
существует, а потому разделим обе части уравнения на cos2x,
получим: 1—tgx=2(l — tg2x) и т.д.
100.	х=(2л-Н)4- x=kn, п, k^Z. 101. х=±4. * = °-
л.	о
102.	х=—£--|-2Лл, х = 4+пл>	Указание, ctgx —
—sinx=l—cosx, ctgx4-cos x= 1 4-sin x, ctgx(14-sinx)=(l-|-
+sin x)(l-|-sin x) (ctg x—l)=0 н т.д:
103.	x= -45°4- 180°n, x=(— 1)*20°54'4-90°Л, n, JfeeZ. Ука-
зание. 3(cos x-|-sin x)(l—sin xcos x)—2(sin x-l-cos x)=0, (sinx-|-
4-cos x)(3 — 3sin xcosx — 2)=0 и т. д.
104.	x=(2n-|- 1)л, х = (—1/44-Ля. £eZ. Указание.
2(14-cosx)=V3tg^4 — у)’	4 cos2 4 =V3 ctg у, ctgyX
X (4 cos 4s*n 4 —д/з)=0 н t. д.
113
105.	х=—4+2*л, *<=Z. Указание. = 1+sin3l
i	sin X	
(I — sin2 jc)2 . . .3	(1—sin x)2(l Ц-sin x)2	...	I
3——;—— = 1 +snr x,	3--77—L — = (1 +stn x)(l —sin x-l
sin4 x	sin4 x	'	T|
. 9 <	,	. / (1 —sin 4-sin x)	. 9 \\ n n
4-Sin x), (1 +sin x) (3- 'v ---—(1 —Sin x + sin x)1 =0 ИТ.Д
106.	х=(2п + 1)л, x=(3t±l)-|n, n, k^Z. Указание. 1^.
+ cos x+cos у =0, 2cos2y+cosy =0,	cos у ^2 cos у +1)=fl
и т.д.
107.	x = kn, x=(4n + l)y, k, n<=Z. 108. x=5, x=( — 1Уу +
+пл, neZ.
109.	x=kn, k^Z. Решение. ---------z----=0, cos x^fcO
cos 3x COS X	1
sm x _q T0 sinx=0, х=Лл (при этих значениях х cos х+0
cos3x
и cos Зх =/= 0).
110.	х=(—1Уу+пл, neZ. Указание. —cos2x=l—3sinx,
—(1—2sin2х)= 1 —3sin х, 2sin2x + 3sin х—2 = 0 и т. д.
111.	х=-у +пп, х=±у+(8Л-1)у, п, k(=Z. 112. х = у +
+2пл, х= ±у л+(8Л+ 1)у , п, k^Z.
113.	х = Лу, x=(2n+l)-^, k, n^Z. Указание, tg Зх=
=2sin 3xcos Зх, tg3x—2sin 3xcos 3x=0, tg3x(l —2cos23x)=0 и т.д.
114.	x= ±arccos-^y^-+2пл, neZ. 115. x = -^- +пл, x = y +
+2Лл, x = y +2тл, n, k, m^Z.
116.	х=2Лл, х=(2п+1)л — 2a, k, n^Z. Решение, cos a sin x=
=sin a—sin a cos x, cos a sin x + sin a cos x=sin a, sin (x+a)=sin a.
a) x + a — a = 2kn, x = 2kn. 6) x + a + a = л(2п+ 1), x=(2n + 1)л—Se-
ll 7. x = (4n + l)y—2a, x = (4ft + l)y, n, k^Z.
118.	x=(4n —l)y, neZ. Указание. —sinxcosx(cos2x—
—sin2x)=4-, —sin 2x-cos 2x = 4-, sin4x= —1 и т.д.
'4	2
o . x X
2 sm у cos у
119.	х=2Лл, х = 4пл, k, n^Z. Указание.------------=®
2cos2^-
X
s,n —
=sin-^-, cos^-=/=0,-----sin-£-=0, sin-£-( 1 — cos-£- )=0 и т.Д-
2	2	x	2	2 \	2/
COSy
114
|20. х=0, л, — у, -i, ул, -|-л, -^л. Решение. tg2x(l —
_2cos2х)=0, tg2x(l — 1 — cos2x)=0, tg2x-cos2x=0. a) tgx=0,
3	3
jc=kn, — уЛ<Лл<2л, —~4<zk<.2. Так как AieZ, то k=0; 1
и X|=0, х2 = л. 6) cos 2x = 0, x = (2n+l)y, —л<(2л-Ы)-~ <2n,
^3<2n-f'l<8. — 4<2n<7, —2<n<3y. Так как neZ, то
n= —1, 0, 1, 2, 3 и X3 = г- X4 = T • XS= —Л. Хб = -гЛ, X7 = tT^.
121. x=kn, х=±-^-+2лл, п, k^Z. Указание. sin2x =
=s2-\/3siny cos у, 2sin xcos x=-^/3sin x, sin x(2cosx—-д/3)=0 и т. д.
122. х=4+лл, х=Лл, п, k^Z. 123. х=2 arctg 2 +2лл, neZ.
§ 8.
1. х=у*л, x=(2k+ 1)у. k<=Z. 2. x = (4ft + l)y, x=(4ft + l)y,
fteZ. 3. х = Лл, х = 4-Лл. k^Z.
□
4. x=(4A + l)j-, x=(4fe —1)у, fceZ. Указание. cos3x=
=cos (-у—*) и т. д.
5. х=Ал, AeZ. в. х=(ЗЛ —!)-£-, AieZ. Указание. tg^5x +
+ ‘5‘)=tg3x и т. д.
7.,=	, ksNa в. x=k„_z
k^Z.
9. t=±V*^+3. k(=N0. 10. x=(4ft + l)£. x = (4*-l)^-, fteZ.
Решение. sin5x=cos7x—0, cos7x=cos(y—5x). a) 7x—^-+
+5х=2йл, 12x=(4ft-hl)y, x=i(4Hl). 6) 7x + y-5x=2bi,
2x=(4ft_i)^.j x=(4ft-l)^-. 11. х=уд/2. 12. x=kn~±., k^Z.
13. x= .§«=£ x=-^. 14. x = £+4- ,5- ^=(4я + 1)^. x =
=a(4n + l)i> nez.
В
16. х=пп, х=(2л +1)-^-. neZ. Указание. (1—sin3x)-l =
^sin2 у 4-cos2 у—sinx, 1— sin 3x=l —sinx, sin3x=sinx и т.д.
115
17. x=ny, x = (2n4-l)y, neZ. 18. х=0. 19. х=(4л4-1)|
x=(4n-|-l)y. n(=Z.	I
20.	x = n-y, п=/=6Л, fteZ. Решение, ctg 1 lx=ctg5x, tg 11J
=tg5x. Их —5х = пл, х=-|лл будет решением при n=^6k,
21.	х=(8п4-1)у-. *=(8п4-3)^j, neZ. Решение. ^s*n2x
4-^cos 2x = sin Зх, sin ^2x4-y) =sin Зх. a) 3x —2x—=2ri
x=(2n4"l)y- 6) 3x4-2x4--y =(2n4"l)n, 5х=2пл-|- у л, 5x=(8fij
+ 3)^, х=(8л+3)^.
22.	x=(2n-|-l)y< n£Z. 23. х=(—iy arcsin 4*^~- 4~пл—4
neZ. k=— 2; —1; 0: I.
24.	x=4±Vt64-2jbT. *=—2, —1; 0, 1, 2, 3 ... и x=—4;
±д/164-(2*4-1)л, fe=—3, —2, —1, 0, 1, 2, 3 ... . У Казани
a) x2 —8х = 2Лл, Х|,2=4±-\/164-2Лл, k=— 2, —1, 0, 1, 2, J
б) х24-8х=(2Л4-I)11
(46+1)4
25. x=10	3,
И т. д.
х=1(У4*_,)л, fceZ. Решение. cos(lgx)J
a) lg* — у 4- у lgx=2ftn, 31gx=(4*4-l>|
(4*+l)-£	„	1
3. 6) lgx4- —— ylgx=2fcn, Igx=
Igx=(4*4-l)y, x=10
= (4fe—1)л, х=10(4*_|,л.
26. x=(2k — 1)-^, AieZ. Решение, tg (у-|--y^)=tgy, у 4"
у =kn, 6х = *л —у , x=(2k — 1)^ .
хй I	4	। 1 ,
-3]U[2; oof-
+ —
2
27.	х=(—1)*у arcsin
AieZ. Решение. х=/=гпу-— условие существования tgx и ctg*-
tg(nctgx)=tg (у —ntgx). a) nctgx — -£
4-2tgx = 2k+ 1, ctgx-|-tgx=^i!-,
= ^±L, sin2x=2^7r, Л<=]-оо;
Xarcsin 2Д, 4-fen, х=(—1)*у arcsin 2TZR
sin х cos х 2	’ sin 2х
- 3]U[2; оо[. 2х=(—1/Х
4	1-Лу-
116
28.	x=(6n —1)-^, х=(12Л-l)-i, x=(12* + 7)jg, n, ks=Z. Ука-
за н и e. 2 sin 2x(-\/3sin x + cos x)=(-^3sin x+cos x)(-\/3sin x—cos x),
^'jsin x+cos x)(2sin 2x — (-^/3sin x—cos x))=0 и т.д.
29.	x=(4*+l)y, x=(4*+l)y, fceZ. 30. 2пл±-|-л + 4пл,
_^^.л_|_4пл, neZ. 31. x=arctg (* + -JL)+«л, k, nsZ.
32.	x=(8ft —1)^. x=(8* + l)^, fceZ. Решение, cos 13x =
«j£	r 4
__!— cos5x-|—sin 5x, cos 13x=cos (§x—£-Y a) 13x — 5x + -^- =
" <2	л/2	\	'	^4
=2h. 8x=(8ft—6) 13x+5x —-^=2Лл, 18x=(8* + l)y,
x==(8*+D^.
§ 9.
1.	x=(2n+l)y, x=(4*+l)y, n, k^Z. Указание. 2sin2xX
Xcos x—4 cos3x=0, 4 sin xcos2x — 4 cos3 x=0, cos2x(sin x—cos x)=
=0. a) cos2x=0, cos x=0, x=(2n + l)y. 6) sin x—cos x=0, tgx= 1
и т.д.
n . л ,	_	r->	sin 3x sin 3x n
2.	x = ft+,	fceZ. Решение. ----------------=-------=— =0.
3	cos x cos 2x cos Зх
sin 3x(cos 3x — cos x cos 2x)  „ tg 3x 1:05 (2* + *)~cos x cos %x q a\ | дл. 
cos 3x cos 2x cos x	’ &	cos %x cos x	• / ь
л . л _	cos 2xcos x—sin 2x sin x—cos 2xcos x	л , n ..
=0, X = ky, n<=Z. 6) ---------cos xcos 2;-------=0’ te2xX
Xtgx=0: 1) tgx=0, х = пл, »gZ; 2) tg2x=0, x = «y, neZ.
Значение х=яу при n = 2ft + l не удовлетворяет уравнению, так
Как tgy(2n +1)... ие существует.
3.	х=(24« +1)-^, neZ. Решение. 2sin30°cos(х—15°)= 1.
C0S (Х~Ю = 11 х~^=2п^ *=(24«+1)t5, «eZ.
4-	х=(2п + 1)у, х=(— 1/^ +*у. fteZ. Указание,
sin 2x-|-sin 8x=-\^cos Зх, 2sin 5xcos 3x=-\/2cos Зх и т.д.
5.	х=(2«+1)-^, х=2Лл, п, k^Z. Указание. 0,5«2cos6xX
Xcos х —(cos2 Зх—sin2 3x)=0, cos 6xcos x—cos 6x=0, cos 6x(cos x—
"l)=0 и т. д.
U7
в. х=(4л+l)yg, neZ. 7. х=(2л +!)-£-, х = Лл, х = Л-у , л,
8. x = k^, х=(4л+1)у, х=(4л-1)у. k, ns=Z. 9. х = (-1)"у +
+(4л + 1)£, ле/. 10. х=%, х=(-!)"+£+«-=-. k, n^Z
11. x = kn, х = ± у + л л, k, n^Z.
12.	х=(2л4-1)у, х=(2Л4-1)у, х=л(2т4-1), п, k, m^Z. Ука-
зание. 1 4-cos2t4-cos/ 4-cos 3/=0, 2cos2 /4-2cos 2/cos /=0 и т.д.
13.	х=Лу, x=(6n±l)-jj. k, neZ. Указание. sin9x—
—sin3x=sin3x, 2sin3xcos6x—sin3x=0, sin3x(2cos6x—1)=0
и т. д.
14.	x=(8ft4-l)y, x=(8*4-3)^, AeZ. Указание. -^sin 2x-j-
4-^cos 2x = sin 3x, sin3x = sin ^2x4-y) и т. д.
15.	х = Лу, х=2лл, k, n^Z. 16. x=fey, x=(4n4-l)^j. x=
= (4л-1)4, k. nf=Z. 17. х = (2л4-1)т5. х=(ЗЛ±1)-|-л, n, k(=Z.
18. x = k-^-, х=±ёг 4-2лл, k, n^Z.
4	«5
19.	х=(Зл±1)-|-л,	х=(4Л4-!)-£-, n, k^Z. Указание.
2 sin 2xcos x4-sin 2x=2cos 2x cos x 4-cos 2x, sin 2x(2cos x-j-1)=
=cos 2x(2 cos x 4-1) и т. д.
20.	x= ± 120°4-15°(24n4-1), neZ. Указание. sin(15°4-x)+
4-sin (45° — x)4-y =0, 2sin 30° cos (x»—15°)= — у, cos (x—15°)=
1
= —- и т. д.
21.	x=(12A— l)j£, x=(4A4- l)-j^. k^Z. Указание. cos3x—
— sin 5x=-\/3cos 5x—-y/3 sin 3x, cos 3x4--\/3sin 3x=-\/3cos 5x4-sin5x,
у cos 3x 4- sin 3x = ^cos 5x 4-
—a) 5x — у — Зх4-у = 2Лл и т.д. или б) 5х — у4-3х—=
= 2Лл и т.д. 22. х=Ау, x=kn, k^Z. 23. x=k^, х=(12л±5)^>
k, n^Z. 24. x=kn, х=(2л4-1)у. k, n^Z.
25.	x = Ay, x=±y4-«Ji, k, n^Z. Указание. 2sin4xX
X cos 2x = у tg 2x, 8sin2xcos22x—tg2x=0, tg2x(8cos32x—l)»0
и т. д.
118
ySinSx, cos Гзх—y)=cos f5x—
26.	х=Лу, х=	+ 2пл, k, n^Z.
27.	x=(2n + l)y; x = (2/? + l)y, n, k^Z. У к а з а н и e. cos x-f-
_|_cos Зх+cos 2x+cos 4x=0; 2 cos 2xcos x-j-2 cos 3xcos x = 0 и т.д.
28.	х=(2л +1)-^; х=(3/г± 1)-|-л, п< k^Z. Указание, cos 9х+
4-cos Зх+cos 6х=0, 2 cos 6xcos Зх+cos 6х = 0, cos 6х(2 cos Зх +
_|_1)=0 и т. д.
29.	х=Лу ; х= ±у + у пл, Л, neZ. Указание. —2 cos 5хХ
Xsin2х=-\/3sin2х и т.д.
30.	x = (2n+l)-g-; х=(6Л±1)у, п, AieZ. Указание. cos7x+
4-cos x=cos2 2х — sin22x, 2cos 4xcos 3x=cos 4x, cos4x(2cos3x —
—1)=0 и т. д.
31.	х=у+2пл, x=-^-+-|-Лл, k, n^Z. Решение. х=/=Лу,
keZ, cos x+sin х = 2л/2sin xcos x, -^cos x + 4=sin x=sin 2x,
sin (y +x) =sin 2x. a) 2x — —х=2пл, х=у+2пл. Допустим,
что у + 2пл = Лу, тогда получим: 8п + 1=2Л, что невозможно.
Поэтому у +2пл=/=Лу, т. е. у+2пл—решение уравнения,
б) 2х+у +х = (2Л+ 1)л, Зх=2Лл + уЛ, х=-|-Лл+у. (Аналогич-
но доказывается, что -|-пл + у
32.	х=Лу ; х=(6Л±1)у л, teZ. Указание. sin3x+sinx +
+sin2x = 0, 2sin 2xcos x+sin 2х=0, sin 2x(2 cos x+l)=0 и т.д.
33.	x=(2n + l)y; х=(4Л-1)у, n, JfceZ. 34. x=(2n + I)y;
х=тл, n, k, m^Z. 35. x = Ay; x=(6n±l)-^-, k, n^Z.
36.	х = Лу; x=(2n + l)y, k, n^Z.
37.	±42°23' + 180°n, neZ. Указание. 5 tg x + 5 ctg x=tg 2x —
— 5-(sin2x Ц-cos2 x)sin x	10 sin x	x /
“ sin x cos x	cos x cos 2x ’ sin 2x cos x cos 2x ’	2
Юcos 2x = 2 sin2 x, 10cos 2x= 1 — cos 2x, Hcos2x=l, cos2x = yp
и т. Д.
38.	x= —+ n—, x=± —л+2Лл, n, fteZ. Указание.
8 K 4	4
cos 5x+cos 3x= —\/2 cos 4x, 2 cos 4x cos x+-\/2 cos 4x=0, cos 4xX
X2cosх+-^2) = 0 и т. д.
119
39.	X= (2n+ 1)-^-, х=(—1)*+1^-4-/гл, n, kt^Z.
40.	x=(2n+l)-S-, x = (6fe±l)-^, n, k^Z.
8	9
41.	x=n —, neZ.
3
42.	x= (2n4-1)—; x=(2m+l) —, n, meZ. Указами
2	6
2 cos 9x cos x 4- 6 cos 3x cos x = 0, 2 cos x(cos 9x4-3 cos 3x)=0 и t.
43.	x = (2n+ 1)A; х=(3/г±1)-1-л. n, k^Z.
o	9
44.	x = (2n + 1 )A ; x=(-!)"£	. «^Z.
45.	x=(2n+l)y, «eZ. Указание. 2 cos 4x cos 3x-
— 4cos4x=0; cos 4x(cos Зх—2) = 0 и т. д.
46.	x = — kn, keZ. 47. x= — kit, /г=/=18 n, n^Z.
38	18
48.	x= 0. Решение, sin xj-2 sinx cos x=1> sinx(1+2cosx) =
3sinx —4sin3x	sin x (3 — 4 sin2 x)
Sinx^O, X=^kn. тогда L±2cosx = j.	1+2cosx = !' I+2cosx = j
3—4 sin2 x	3 — 4(1—cos2 x)	4cos2x—1	
------Ч-2^05*	 : 1,14-2 cos x =#= 0,тогда ——!-= 1, cos x #= - J
(2cosx+l)(2cosx—1)----------------------------2cosx—1	2 1
тогда 1 =2 cosx — 1, cosx= 1; x = 2kn, но sin 2/гл = 0 и sin (3-2fen)=
= sin6/jn = 0, а потому уравнение не имеет решения.
49.	х = /г-у;	х=±-у4-пл, k, n^Z. Решение.
—-	sin(n—2х)-----=2 sin 2х, --------------= 2 sin 2х. (В зна-
/2	\	/ л \	,	л
COS^y Л— XJ COS^-jj XJ	COS (л — 2x) + cos —
менателе разложили произведение косинусов в сумму по формуле
cos a cos p = -i-(cos(a4-₽)4-cos (a — 0)), рассмотренной в § 10.)
—— = sin 2х; sin 2х (-——  1^=0. а) sin2x=0, 2х = Ал,
1	\1—2cos2x /	’
—— cos 2х
х = /г— (1). б) --------=1, cos2x=#=—, тогда 2=1—2cos2x,
2 v '	1—2 cos 2х	2
cos2x=-----2х= ±-|-л4-2пл, х=±-у4-”л (2). При найденных
значениях х в равенствах (1) и (2) значения cos^-|-n — х^ и
cos^-y — х) не обращаются в нуль и, значит, tg^-j-л—х) и
tg^-y — х) существуют.
120
50.	=	х=±~г + 2/гл, х=±-^л-(-2тл, п, k, m^Z.
о о	о	5
решение, cos x+cos 5x + cos2x + cos4x+cos3x=0, 2cos3xX
^cos2x+2 cos3xcosx + cos3x=0, cos 3x(2cos 2x+2cosx+ l)=0.
v cos3x=0. 3x=-2- + «n, x = —+ n —. 6) 2cos2x+2 cosx+ 1 =0,
31	2	6	3
2(2cos2x—l)+2cosx + l =0,	4 cos2x+2 cos x—1 =0, cosx=
—1±3^ i) cosx= cosx«sin-2-, cosx=—, x=±-^ +
—	4	'	4	10	5	5
2fen и 2) cosx= —	~cOS~5~* cosx=cos-£-n; х=±-|-л +
+2тл.
51.	x=(2n+l)-=-+4, x=(-!)»-§- + *-=—1,5, n, kt=Z. Ука-
зание. 2 sin (2x + 3)cos (x—4)—cos(x—4) = 0, cos (x—4) (2sin (2x +
+3)—1)=0 и т. д.
52.	x=(2n+l)-^-, neZ. Решение. 2Ctf с~о* 2”2* =0. cos2x#=0,
x=/= — (2fe+1), тогда cos4x = 0, x = — (2n+l). Покажем, что
4	8
—(2n + 1) =+ — (2k + 1), t. e. 2n + 1 =+ 2(2k + 1), что очевидно, так как
8	4
нечетное число равно четному.
53.	х = (2п+ 1)—, n^Z. Решение. ~-2-sinxcos2*=0i sinx=#=0,
4	2sinx
х=/=/гл, тогда -£2^=0, cos2x=0, x = (2n+l) —. Допустим, что
sin х	4
(2n+1) —= /гл, тогда 2n-{-\=4k, что невозможно. Значит, х =
4
=(2п+ 1)-^--решение уравнения.
54.
55.
x=feJL; х = (— 1)П -5- + ПЛ, k, n<=Z.
2 V ' 6
х= ±arccos-—^-^ + 2пл, neZ. Указание. 2 cos— sinx=
4	4 •
=-------------—, V2sinx = —sinx=>fc0, тогда 2sin2x +
2 sin cos -у	sin x
+ cosx=0, 2cos2x — cosx — 2 = 0 и т. д.
56.	x = (3fe± 1)-|-л, x=(4n+l)-2-, k, n^Z.
57.	x = (2n+l)-2-, x = (—l/ + 1-g-+/гл, n, k^Z.
58.	x = (4k—1)“, x=(3n± 1)-|-л, k, n^Z. Указание.
1 +cos 2x + sin 2x+ sinx + cosx=0, 2 cos2x +2sin xcosx+sin x+
cosx=o, 2 cos x(cos x+sin x) + (cos x+Sin x)=0, (cos x+sin x)x
X(2cosx+l)=0 и т. д.
121
59.	х = 2/гл, х=(—I/1 — 4- — пл, k, n^Z.	|
9	3	
60.	x = (2n4-l)-2-; х = 2/гл, n, At=Z.	I
61.	x=60%—40°, feeZ. Решение, tg 3(x4-40°)4-tg(xj
4-40°)=2sin 2(x + 40°), x=#= 180°n4-50°, neZ. Обозначим: 40°4-xI
=y, tg 3t/ + tg у = 2 sin 2y, —sin — = 2 sin 21/, 2 * * sin 2^-cos 2sin 2M
cos 3y cos у	cos 3y cos у	V
sin2t/f—cos 2V--A =0. a) sin2u=0, 2y=kn, y = k — . Эт|
значения удовлетворяют уравнению только при k = 2n, т. е. у=nJ
тогда х4-40° = 180°п, х=180°п —40°. б) -cos2^----------1=J
cos 3l/ cos у	»
c°s 3y cos у _q, cos3y=/:0 и cosy=/:0, тогда cos2u—|
cos 3y cos у	°
—cos 3ycos y==0. Разложим произведение косинусов в сумму по
формуле cos a cos p = -|-(cos (a 4-₽)4-cos (а — Р)), рассмотренной в
§ 10, получим: 2 cos 2у—(cos 4у 4-cos 2у)=0, cos 2у—cos 4у=0,
cos 4y = cos 2у. а) 4у— 2y = 2kn, y=kn при всех ieZ удовлетворяет
уравнению, тогда 40°4"*= 180%, х=180%— 40°. б) 4у4-2у=
= 2kn, y = —kn при всех ieZ удовлетворяет уравнению, тогда
40°4-х=60%, х=60% —40°.
62.	х = (2п+1)-2-, х = (4/г4-1)-2-, х = (4«4-1)-^, п, k, m^Z.
63.	х = —4-пл, neZ.
6 1
64.	х = пл, х=±—arccos4% л, п, k^Z. Указание.
sin Зх (2 cos 2х + 1) । 2 tgx- 0 sin Зх(2 cos 2х-Ц) |-2tgx —0
2 cos Зх cos 2x+cos Зх	cos 3x(2 cos 2x+1)
cos2x#=—y, tg 3x4-2 tg x = 0, tg 3x-f-tgx-|-tg x = 0,	cosx' +
4- -In x =0. cos3x=#0, cosx=#=0, тогда sin 4x-l-sin xcos 3x=0.
Разложим произведение функций в сумму по формуле sin a cos р =
= у (sin (а 4-Р) 4-sin (а — Р)), рассмотренной в § 10, и получим:
2 sin 4х4-sin 4х—sin 2х = 0, 3sin 4х — sin 2х=0, 6sin2xcos2x—
— sin 2х=0, sin 2x(6cos 2х— 1)=0. a) sin2x=0, 2x = fen, x=k^
удовлетворяют уравнению только при k = 2n, т. е. х=пл. б) 6 cos 2х=
= 1, cos2x=_ и т. д.
6
122
65.	x = k~, х=±?р-|-2лп, х=±^--|-2лп, k, n^Z. У к a-
3	5	5
з а н и e. (sin x 4-sin 5x)4-(sin 2x-|-sin 4x)-|-sin 3x=0, 2 sin 3xcos2x-|-
_|_2 sin 3xcos x-|-sin 3x=0, sin 3x(2cos 2x-|-2 cos x-j- l)=0.
a) sin3x=0, x=fe~ 6) 2cos2x-f-2 cos x-|-1 =0 и т. д.
66.	x= -?-л(5п± 1), х=Ал(5п±2), х=(4«4- 1) —, x=(4m-|-
5	5	10
4-1)у. m^Z. Решение. (1 -|-cos 4x)4-(cos x-|-cos Зх)4-
cos 2x = (sin x4- sin 5x)4-(sin 2x4-sin 4x)4-sin 3x,	2 cos2 2x 4-
j-2 cos 2x cos x-|-cos 2x=2 sin 3x cos 2x-|-2 sin 3xcos x-|-sin 3x,
cos2x(2cos2x4-2cosx4- l)=sin 3x (2cos2x-|-2cosx-|- l),(2cos2x-|-
4-2cosx-|-l)(cos2x—sin3x) = 0. a) 2cos2x-|-2cosx-|- 1 =0 и т. д.
6) cos2x — sin 3x=0, sin3x=cos2x, sin 3x = sin (-H. — 2x) . 1) 3x —
_2L4-2x = 2mn, 5x=(4«4- 1)-J, x = (4m 4-1)21 или 2) Зх-Ь-1 —
— 2x=n(2m-|-1), x=2L(4m4-l).
67.	x = arctg(5-\/3 — 8)4-пл, х=-^-4-£л, n, k^Z.
68.	x=(2n-|-1)-S-, x=zk-|-arcos(A^-1^ +кл, n, k^Z. Ре-
шение. 2tg3x—2ctg3x=ctg3x-|-tgx, 2(s.in 3x—cos 3x)__
Б	Б	Б Г Б •	Cos3xsin3x
_ cos Зх-cos x+sin Зх-sin x _— 2 cos 6x______ cos 2x cos 2x ।
sin 3x cosx	’(4cos3x—3 cosx) sin 3x	sin 3x cos x’sin 3x cos x
+------------------0, -------1—(cos2x + /T\)=0.
cosx(4 cos2x — 3)sin3x	cosxsin 3x\	4 cos x — 3/
~Д.п=#= 0, cos2x(4cos2x — 3)4-2cos3-(2x)=(V cos2x(4cos2x—
—3)4-2(4cos32x — 3cos2x)=0, 4cos22x-|-8cos22x — 9=0. a) cos2x=
=0, x=(2n-|-l)-j- и т. д.
69.	х = /г—, k^Z. Решение. - -^in-6x--------5!ПЗх =0,
3	cos x cos 5x cos 3x
sin3x( 2c-os31----!—) =0. a) sin3x=0, x=k~. При этих
\ cos x cos 5x cos Зх/	3
значениях x и при k^Z tg/г-^-, tg/гл и tg-|-fcn определены,
a потому x=k——решение, б)	2 c-s—х----!— = 0,
3	cos х cos 5x cos 3x
legs 3x—cos x cos 5x __ q. cosx=#=0, cos3x=/=0, cos5x=#=0, а потому
cos x cos 3x cos 5x
2cos23x — cos5xcosx=0, l-|-cos6x--------l-(cos6x-|-cos4x)=0, 2-|-
+ 2cos6x — cos6x—cos4x = 0, cos6x—cos4x-|-2 = 0, cos3-(2x)—
~~ cos 2 (2x) 4-2 = 0, 4 cos3 2x — 3 cos 2x — 2 cos2 2x + 1 4- 2 = 0.
123
4 cos3 2x — 2 cos2 2x — 3 cos 2x 4-3 = 0, 4 cos32x+4 cos22x—6cos2jl
— 6 cos 2x + 3 cos 2x -|- 3=0, 4 cos2 2x (cos 2x 4-1)—6 cos 2x (cos 21
4- l) + 3(cos2x-|- l)=0, (cos2x+l)(4cos22x—6cos2x-|-3)=0.
1) cos2x= —1, 2x=(2n4-l)n, x = (2n-|-l)y, но tg(2n-|-l)y
существует, а потому эти значения x не являются решен!
уравнения. 2)4 cos22х—6 cos 2х4-3 = 0, -^-= 9— 12= —3<0, х =
70.	х= —уarctg^4-пу. neZ. Указание.
_______sin 2х_____= д/3 _________sin 2х______= -^/3
—cosl
2 sin 2x
— sini
cos 2x
71.	х=0. Решение.
2 sin х___cos Зх cos х + sin Зх sin х
sin 2х sin Зх	sin Зх cos х
2 ctg 2x—2 ctg 3x = ctg 3x -)- tJ
______2 sin x_____ cos 2x 
2 sin x cos x sin 3x sin 3x cos x ' H
sinx=/= 0, x=£kn, а потому -1. „ = .	2х—, отсюда следу»
J cosxsin Зх sin ЗхCOSX	'Я
l=cos2x, 2х = 2/гл, х=/гл, но x=/=fen, а потому уравнение не имея
решения.	I
72.	х = /г—, x=(6n± 1)—, /г, neZ.	I
3 ’	4	7 12	I
73.	х=(2п4-1)-^,	х=(2*4-1)-^,	х=( — l)m-2-4-mn,	п,	k,	теЯ
74.	x=n—, neZ.	1
3	I
75.	x = n-2-, neZ.
Ю	|
76.	х=(2«4-1)-2-,	х=(—l)*+l-|-4-nft,	п,	k^Z.	Указание.
— sin 5х4-sin 3x=cos 4х, sin 5х — sin 3x4-cos4x=0, 2 sin xcos 4x4"
4-cos4x = 0, cos 4x(2 sinx-|- l)=0 и т. д.
77.	х=/г—, k(=Z. 78. x = k^-, x=± —4-2nn, k, n(=Z.
3	2	3
79.	x=(2n4-l)-y, x=(6fe±l)-2-, n, kf^Z.
80.	x=(—l)n+*-^-4-(4«4-l)-2-, neZ. Указание. s'n(^“"
— x) —sin x=^y, 2cosy sin (y — x) = y-,sin (у —	s*n (x'"
81.	x=±-^+(8n4-l)-J, neZ.
+ ^cosx=4, sin (х-Ьу ) = y- или
Указание. y-sinx4"
cos(z-x)=^ и T’ Я‘
124
82.	x= ±-^-+(8n+ 1)-S-, Указание. -y^cos^x —
83.	*=-^-(2n+l); x — ±-|-n4-2fen, n, k^Z. Решение.
cOSx4-cos3x + cos2x=0, 2 cos 2xcos x + cos 2x = 0 и т. д.
84.	х=±-т- + -7-(8п— 1), neZ. 85. x=kn, x=(—l)n+'-2- +
4	4	6
4-H-—, k, n^Z. Указание. cos3x+sin(-|-n-|-x) = д/Зсоз^-^-—
—x), cos 3x — cos x =-\/3 sin x, —2 sin 2x sin x = д/3 sin x, sinx(\/34-
4-2 sin 2x) = 0 и т. д.
86.	х=Лл, keZ. Решение. 2-s-‘-n 2*co-* = 0, cosx=#=0, x=#=
COS X
gfe(2n+ 1)-|-, sin2x=0, 2х=пл, x=n-^. Эти значения x удовлет-
воряют уравнению только при n = 2k, т. е. x = fen, причем
fen#=(2n-|-2А=#=2п4-1, что очевидно.
87.	x=l-|-fen, х = пп, k, n^Z.
88.	х = п-^, n=#=5(2f+l), ieZ. Решение, tg 7x=tg ( —Зх),
7х+3х = пл, х=п~^ при «=#=5(2/ + 1), где t^Z.
89.	x = fe-2-, х=±-^- + пл, k, n^Z.
90.	x = fen— 2, х = пл—1,5, k, n^Z.
91.	х = (2п+1)л, x=(4fe+ l)-2-, n, keZ. Указание, cosx —
— sin x + cos 2x — sin 2x = 0,	cos(x+-^ + cos^2x+-y^ = 0,
2cos(-|-x + -2-) -cos-£-=0 и т. д.
92.	х = (4п+1)-^-, neZ. Указание. — 2 sin л cos (* +
+	= cos ( x + -y) , cos ( x + -2-) ( 1 + 2 sin n) = 0,	1 +
+ 2 sin-|-л =#=0, а потому cos^x-j--^-) =0 и т. д.
93.	x = (4A—1) —, keZ. 94. x = (4fe+ l)-*4 keZ.
4	4
95. x=(8* + 3)-2-
0
-x) =cos(x--^-),
—f-).=cos(x—S-)
fteZ. Указание. sin(x---------|-n) -|-sin(-2—
2 sin -g- cos ^x— у ), cos^x--^-),cos(x —
и т. д.
125
96.	х=-^-Ч-пп, х =—arctg^ + fen, п, k^Z. Указан^
	sin 2х__________________ fjj	2 sin 2x _ _/g	4 sin 2x _ ~
. / , л \	/ л \_* л _	'	1 —2 cos 2x
sin^x + -g-^ sin^x —-g-y	cos — — cos 2x
cos2x=#=-l-,	4sin2x=-\/3 — 2^/3cos2x,	4 sin 2x-|-2^/3cos 2х=-^з
cosx^O, -^gf - + -2^(l-у£)=8tgx + 2V3-2V3tg2x=V3+
1 + tg X l+tg*x
-|-A/3tg2x, 3-^3 tg2x —8 tgx —-\/3 = 0 и т. д.
97.	x=fey, x = (4n-|-l)y, x = (4n—l)y, k, n^Z. Решение,
sin x-|-sin 5x-|-cos 4x — cos2x=0, 2 sin 3xcos 2x —2 sin 3xsin x=o,
2sin 3x(cos 2x —sin x)=0. a) sin3x = 0, x=fey. 6) cos 2x—
— sinx=0, cos 2x = cos^-5. — x) . 1) 2x — -^--|-x=2nn, 3x=-|-2пл,
3x = (4n-|- 1)-^., x=(4n-|- 1)-^. или 2) 2х-|-Л—x = 2nn, x=(4n— 1)^.
98.	x=kn, k^Z. Указание. sin Зх—sin x = 2 sinx,
2sinxcos2x — 2sinx=0 и т. д.
99.	x = (2n-|-l) —, x = (4fe—1) —, n, feeZ.
6	4
100.	x=fe2L, x = (-l)n+l-14-n2L, k, nt=Z.
2 v '	21	7	’
101.	x= — — , x= — —, x=2L.	•
18	8	8
§ 10.
1.	x = —4-2kn, если a#= —-|-пл, хе/?, если а=-^--|-нл,
2	2	2
п, k^Z. Решение, sin a cosx -|- cos a sinx—sin a cos х=cos я,
cos a(sinx—1)=0. a) cosa = 0, тогда х — любое действительное
число, б) cosa=#=0, тогда sinx=l, x=-^.-|-2fen.
2.	х=±у + пп, пе2. Указание. -l-(cos2a-|-cos2x)+
-|-0,75 = cos2 a, cos 2a-|-cos 2х-|-1,5 = 2 cos2 a, cos 2a-|-cos 2x+
-j- 1,5= 1 -}-cos 2a и т. д.
3.	x = (2n-|- 1)2L, n^Z. Указание, cos2xcosx — sin2xsinx=
= 0, cos3x=0 и т. д.
4.	x = kn, /ге2. Решен и e. sin2xcosx—cos2xsinx = 0, sinx=
= 0, x = kn.
5.	x = k —, x = n —, k, n^Z. Указание. cos2xcos3x=
2	3
=cos (2x-|-3x), cos 2x-cos 3x = cos 2x cos 3x — sin 3xsin 2x,
sin3xsin2x=0 и т. д.
126
fi. x = k™ x = n* k.
w	3	4
7.	x= ±y arccos cos 2a) +kn, k^Z.
8.	x=(— l)n 4-n "eZ. Указание, sin x* 2_(cos 2x —
Io 3	2
_cos 120°)= 4-. sinxf cos2x-|-2-) =2_, 2 sin xcos 2x-|-sin x= 2..
sin3x —sinx4-sinx=-L, sin3x=2- и т. д.
9.	x=(3n± 1)-1л, neZ.
10.	x=(2n-|-l)i, x=(—l)*2L-|-fe". k^Z. Указание.
eos2xct₽3x —sin 2x=t/2cos 5x, cos2*cos3*_sin 2x=-^cos 5x.
L °	sin 3x
cos2xcos3x-sin2xsin3x=^cos5je> cos5x = cos 5x, C0S5x(-l--
sin 3x	sin 3x	\ sin 3x
—д/2) =o и т. д.
И. x=(4n—1)-^-, neZ. Указание. 2.(sin3x—sinx)4-
4-2.(cos 5x-|-cos 3x)= 2-(cos 5x—cos^-1 —x)) ,	sin 3x —sinx-|-
4-cos 5x4-cos 3x=cos 5x — sinx, sin 3x-|-cos3x=0, cos3x=#=0,
tg3x-|-1=0, tg3x= —1 и т. д.
12.	x=fey, x=(8n±3)p neZ. Решение.
.sin2xcos3x4-Sin3xcos2x -t- д/2 sin 5x = 0. -^-^4-J2sin 5x = 0,
cos 2x	cos 2x
sin 5x( —-1--yl2\ = 0 И T. Д.
\cos2x /
13.	x=(2n-H)-£. х=(2/г4-1)л, n, k^Z.
14.	x = k —, x = k—, k^Z. Решение. Умножим обе части
5	7
Уравнения на два и разложим произведения в сумму: cos2x—
— cos4х-|-cos4х — cos 12х=0, cos2x — cosl2x = 0, cos 12x=cos2x.
a) 12x—2x = 2kn, x=k-^- или б) 12х-|-2х=2/гл, x = k^-.
.5	7
15.	x=/j^.,x=(2fe+l)^, feeZ.
16.	x = fex=(2fe-|- 1)^. AeZ. Решение.
*6 sin xcos xcos 2xcos 4x-cos 8x=sin 2x, 8sin2xcos2xcos4xcos8x=
a=sin2x, 4 sin4xcos4xcos 8x=sin 2x,	2 sin 8xcos 8x=sin2x,
sin 16x=sin2x. a) 16x — 2x=2kn, x = k^., или 6) 16x-|-2x =
*(2*4-1)л; x=(2fe-bl)i.
127
17.	x=(2»+l)A, x = (-l)*+l^+A-^, n, k<=Z.
18.	x = *y, x = (6n±l)2L, k, n^Z. Указание, sin 6*
=2sin2x, sin 6x—sin 2x = sin 2x, 2 sin 2xcos 4x = sin 2x и т. д.
19.	x = — 4-пл, neZ. 20. t = kn, t — ±Ал-|-2пл, k, ng
4	4
v	. t 3t . 31 t
Указание, sin у cos у—sin у cos у —
----sin2t = 0,	—sin/	-sin2t = 0,
r-	-ft
sin t(I 4--v/2cos t)=0 и т. д.
21.	x=k^., x=(2n-|-l)A, k, neZ.
-k7x^ 4-sin 3x) = Af cos lx — cosf A— 5.
-bsin2/=0, Sin(f-|)_
sin 14- -\l2 sin t cos t ==q
Решение
cos7x— sin 5x, sin5x = sin(—3x). a) 5x— (—Зх)=2*л, x~k~
и 6) 5x —3x=(2n-|-1) л, x = (2n-|-1) A.
22.	х = у4-пл, x = arcctg 3-|-*л, n, k^Z.
23.	x= arcctg 2-|-пл,х = А -|-*л, n. AeZ. Указание. 2sin2x—
— 3 sin xcos x~i~ cos2 x = 0, cosx=#=0, 2 tg2 x—3 tg x-|-1 =0 и т. д.
24.	x=±60o4-180°n4-29°. пе2. Указание. cos(2t—
-18°)ctg40°4-Sin(2/-18°)=2cos А—.	+
+ —22"п8^Л4°°	COS<2'- 18°-40°)= " 4” COS<2'~
—58°)= — A, 2t —58°=±-|-п4-2пл и т. д.
25.	х=*А, х=(2Л4-1)у. kf=Z. 26. х=(2п4-1)^, х=
=(2fe4- 1)4. п, k^Z. 27. x = kn, x = k£:,kf=Z. 28. x=(2n4-l)-J.
+ n, k<=z.
29.	x = A ——1,	x=(2fe4-1)— — 1. feeZ. Решение.
2	v ' 10
A (sin (3x-|-3)-|-sin (x 4-1))= A (sin (7x-|-7) 4-sin (x 4- 1)). sin (3x 4-3)4"
4- sin (x-|- I)=sin (7x-|-7)4-sin (*4-1).	sin (7x-|-7)=sin (3x-|-3)-
a) 7x-|-7 — 3x — 3 = 2Ал, 4х = 2Ал — 4, x = Ay—1 или б) 7x4-74"
4-3x4-3=(2*4-1)л, 10х = (2*4-1)л— 10, х=(2*4- 1)А — 1.
30.	х = А.*л, х=(2*4-1)А fteZ. Решение. sinx=/=0*
тогда, умножив обе части уравнения на sinx, получим:
128
sin xcos xcos 2xcos 4xcos 8x=^sin x, sin 2xcos 2xcos 4xcos 8x=
^.J-sinx, sin 4xcos 4xcos 8x = -^-sin x, cos 8xsin 8x = y sin x,
2
sjn 16x = sin x. a) 16x—х = 2/гл, x= —/гл или б) 16х-|-х=(2/г-|-1)л,
31-	x = y(2n-|-l), x=k^-, n, kt^Z.
32.	x = (2n-|- l)y, «eZ. Решение. у-2sin 2xcos 2xsin x-|-
4- sin 2x sin x = 2 cos2 x, sin 2x sin x (cos 2x + 1) = 2 cos2 x, sin 2x sin x X
X2cos2x = 2cos2x, cos2x(sin 2xsin x—l)=0. a) cos2x = 0, cosx =
= 0,	x=(2n-|-1)" или 6) sin2xsinx=l,
х=Л + пл.
я Но ~ -|-пл=/=	-|- 2/гл, 1 -|- 4п =#= 2(4/г -|- 1); следовательно,
х= -g- Н- 2 k л.
уравнение sin2xsinx=l не имеет решения.
33.	x = х = (2п+1)^, /г, neZ.
34.	х=(3п — 1)-^ , n^Z. Указание.
sin х sin(x + .4) sin(x + -^- л)
---------—-------------= -у/3. Рассмотрим числитель: sinxX
cosxcos^x+y) COS(X4-у л)
Ху (cosy —cos (2х-|-л)) = sin х-у (у -|-cos2x) =у (sin х-|-
4-2 sin х cos 2x) = -|-(sin х 4-sin Зх —sin x) = y sin x. Рассмотрим
знаменатель: cosx- cos (2x4-л) 4-cos = у cos x (y — cos2x) =
= 1 (cosx — 2cos2xcosx)= — — cos3x. Уравнение примет вид:
4	4
Л]пЗх /о * о	/о
7^7=-V3. tg3x=-V3 и т. д.
Решение.
35.	х=(ЗА4- 1)2L, х=(3п—1)4, k, n^Z.
15	6
s'n3xcos_ — cosЗхsin — = cos7х, sinf3x—4)=cos7x, cosf4 —
— 3x-|- 41) =cos 7x, cos 7x = cos( 4-л — 3x) . a) 7x—2_л-|-Зх =
6 /	\ 3	/	3
^ЗАл, 10x = —л-|-2/гл, 5x= —-|-/гл, х=(3/г-|-1)4, или б) 7х-|-
3	3	15
+ 4Л — Зх = 2Ал, 4х = 2/гл — 2х —Лл—4, х=(3п— 1)4-
«j	3	3	6
Зак. 1587 и. Т. Бородули
129
36.	x = k2L, x^k^L, kf^Z.
3	4	x
cos —
37.	x = (6n — 1) 4r- n^Z. Решение, sin x4-cos x-— = — <3
3	x ' 
sm —
XX	X
sin x-sin -5- 4-cos x cos —	cos —
------ 	= -л/3, 	?- = - д/3, ctg= -д/3 и т. д
sin у-----------------------sin —
38.	x = kJL, X = (2fe4-1)4L, feeZ. 39. x=(2n-|-1)-J, x=(2fe-h IX
n, k^Z. 40. x= ±-£-4-лл, neZ. 41. x=(—1)п-^.-|-лл, neZ
42.	x=(8n-|-1)Л, x=(8n-|-3)2L, neZ. Решение, -^sinx-f-
4-—cos x=sin 5x, sinf x-|-— ) =sin 5x. a) 5x — x— — = 2пл, 4x =
^2	v 4/	4
= (8л-|-1) —, х=(8л-|-1) —, или 6) 5x-|-x-|-— =(2n-|-1)л, x=
4	16	4
= (8n + 3)£.
43.	x = n2L, neZ. 44. x=(2n-|-l)y, neZ. Указание,
cos 2x — cos 4х4-(Зд/2— l)-cos 2x = 1, cos 2x(I 4*Зд/2— I)= 1 4-cos 4x.
Зд/2 cos 2x = 2 cos2 2x и т. д.
45.	х=(2п-|-1)у, x = 2fen, x=—2arctg2-|-2nin, n, k, m^Z.
Решение. 2 Sin 2x-|-3cos x = 1 4-cos 2x-|-cos x, 2 sin 2x-|-2cosx=
= 2cos2x, 2sinxcosx4-cosx — cos2x=0, cosx(2 sinx-|-I—cosx)=
—0, cosx^4 sin 21 cos2sin2 A) =0. a) cosx = 0, x=(2n-|-I)y,
или 6) 2 sin A (2 cos A-|-sin A) =0 и т. д.
46.	x = y-|-пл, x= — arctg^4-kn, x=nn, n, k^Z. Решение.
2 cos xcosу —2 sin xsiny =cos3 x—(-\/3sin x)3, cos x— -^3sin x=
= (cosx — д/3sin x)(cos2х-|-д/3 sinxcos x-t-3sin2x). a) cosx —
— -\/3sinx=0, cosx=/=0, tgx = —и т. д. 6) cos2 х-|-д/3 sin xcos х4"
л/3
-f-3sin2x=0 и т. д.
47.	x=(4fe-|-I)y, x=(4fe— l)y, feeZ. Указание. cos2x—
— (sin 7xcos 6x—cos 7xsin 6x)=0, cos 2x—sin x=0, cos2x=
cos^—— x).= 0. a) 2x——-|-x = 2fen и т. д. или б) 2х-|--^-—х=
= 2fen и т. д.
48.	x = fen, feeZ. Указание, sinfх-|- —) =—cosx-— sin*
V 47
130
5<л(*+т) =cos(*+t)’ со8(х+т)^0, tg(x + z) = 1 и т- д-
49.	х=(—1)" —-|~лл, х=±-^-4-йл, п, k^Z. Решение.
6	3
c0SX_|_sin Зх — cos 2х— cos х= у tg 45°,	3 sin х—4 sin3x — (1 —
— 2sin2x)=y, 8sin3x—4sin2x — 6sinx-|-3 = 0, 4sin2x(2sinx—
_ 1)—3(2 sin x— l)=0, (2 sin x— 1)(4 sin2x—3)=0 и т. д.
50.	х=у4-2«л, х= ±-Larccos-|--|-£л, п, k^Z. 51. х=
4-£л, п f^Z. 52. x = kn, x=(2fe + 1) g , k^Z.
53.	x=(4n + 1)—, x=k^ n, k^Z. Указание.
'10	2
sin Зх sin xcos x = у cos (у л-|-4х).	2 sin 3x sin x cos x=-L sin 4x,
sin Зх-sin 2x= у sin 4x, sin 3x sin 2x= sin 2xcos 2x, sin2x(sin3x —
— cos 2x)=0 и т. д.
54.	x=k — , k^Z. 55. x=(2n 4-1)£, x=(6Jfe±l)-£, n, kf^Z.
56. x=±y4-2пл, neZ. 57. x = fey, fe<=Z. 58. x=(2n-|- 1)J1,
x=(4n+l)_, neZ. 59. x=40°l 1'4-90%, x=—26°51'4-90%,
n, kf=Z. 60. x=68°42'4- 180%, x= — 34°06'-|-180%, k, tif=Z.
61.	x=(—1)" JI -|- (4n-|- 1) 2L, neZ. Указание. ^sin2x—
о 1
— 4-cos 2x= — и т. д-
2	2
62.	x=(—l)ny-|-(3n—l)y, »fZ.
63.	x=kn, x=±—4-лл, k, n^Z. Указание. sin3x=
6
=—• Лsin xcos 2x, sin 3x = 4 sin xcos 2x, sin 3x = 2(sin 3x —sin x),
sin3x—2sinx=0, sin 3x — sinx—sinx=0, 2sinxcos2x — sinx = 0
и т. д.
64.	x = kn, x = (6n±l)-, k, nt=Z. 65. x = (4fc-|-l) "	x=
9	о
~(4k— 1)_1, n, kf^z.
66.	x=k2L, x=(2*4-I)-^, k^Z.
67.	х = у-|%л, x = y-(3n±l). Указание. 9?(sin 2<“ l,c“3< =
з-gtsin x-Cos , 2(sin2x—l)cos3x=l—sin2x, 2(sin2x—l)cos3x-|-
+sin 2x— 1=0, (sin 2x— 1) (2 cos Зх-|- l)=0 и т. д.
5*	J31
лр	3	Л	Л	Л л
68.	x~ — ygn, x= — jg , x= — —, x=y. Решение. sin7x—
— sin x-|-cos2 2x— sin22x=0,	2 sin 3xcos 4x-|-cos 4x = 0, cos4x\
X(2sin 3*+l)=0. a) cos4x=0, x = (2n-f- 1)2L, —-5-<(2n+l)-i<
<4. —-1<2/г+1<8 — 4— К2п<4	—1А<п<4
3	3	3	3	3	б Т
Так как neZ, то п = 0, —1, тогда Х| = — "	х2= " или
О	о
б) sin3x=- ’	1) Зх= —4 + 2/гл, x=(12ft-l)“	--£<
2	О	ID	о
<(12fe- 1)2L<2L, -6< 126-1 <6, -5<126<7, -L<k<L.
Так как feeZ, то 6 = 0, х3== — " и 2) Зх = —л + 2fen, X—
= (126-5)2L, -2L<(l26-5)4< "	-6<126-5<6, -1<
18	3	18	3
<126<11, —	Так как k^Z, то 6 = 0 и х4= — 4л.
69.	х=(6п — 1)-J, neZ. 70. x=(2n+l)2L, neZ. 71. x=
=(4n-f- 1)21, n^Z. 72. x=k—, x=(2£-|- l)2L, k^Z. Указание.
Разложите произведения в сумму.
73.	x=k~ х = п — , k, n^Z.
14 ,	2
74.	х — 2 arcctg 2-|-26л, х =—2 arcctg 34-2/гп, k, n^Z. Ука-
зание. 7cos x-|-sin 5x4-sin x—sin5x=5,	7 cos x-f-sin x = 5,
(	\	X
--------	—= 5, 14-tg2 —=/=0 при x^R, 7 —7tg24 +
i+tg2-^-	l+tg2-^-	2
4-2tgA=5 + 5tg2^, 12tgZy — 2tg-g-—2 = 0 и т. д.
75.	x=(2n4-!)-§ ’	n' k^Z. Указание, у (cosx—
— cos 3x)-sin Зх = у cos (у — 4х) , sin 3xcos х—sin 3xcos Зх=
= ysin4x, 2 sin 3xcos x — sin 6x=sin 4x, sin 4x-|-sin 2x —sin 6x=
= sin4x, sin 6x = sin 2x... и т. д.
76.	x=(2n4-l)-. x=(6fe± 1)4, п, kf=Z.
4	о
77.	x = kn, х=± — + пл, п, k^Z. Указание. sin3x=^
6
= 2(sin Зх —sin х), sin Зх—2 sin х=0,	sin3x — sinx—sinx=0-
2sinxcos 2х —sinх=0, sinх(2cos2х— 1)=0 и т. д.
78.	x=(2n-|-l)y, x = 2fen, х=А/гл, п, k^Z.
132
79.	х = 21 + fe«, fee Z. Указание. 2( cos ( 2x — -5.) — cos =
^1, 2cos(2x—-0 — 1 = 1, 2cos(2x--l) =2, cos(2x — у) = 1
и т. Д.
80.	x=(3fe+ 1)21, feeZ. Указание, z 2 (cos (2хЦ--^- ) +
4-cos2J.) = x/3, 2 cos(2x-|-21) 4-л/3=д/3, cos(2x+ 21) =0 и т. д.
81.	x=arctgy(2д/2—1) + пл, neZ. Решение. 2sinx=
— J^cosx—^ysinx, sinx(2-|-^ )=^cosx, cosx=#=0, (2-|-
+ ^)tgX=J2’ isX==2^9~' • x = arctg|(2^-1) + ni1-
82.	x = (4fe—1)21, /?eZ. 83. x=fe-l, x=(2n-|-l)-J, fe, neZ.
84.	x = (3fe+ 1)21, x=(3fe — l)2,feeZ. Указани e. д/3sin 3x—
15	6
— cos x = 2 cos 7x, ^sin3x—-Leos 3x=cos 7x,	cos(2L + 3x) +
4-cos7x=0 и т. д.
85.	x=(2n+l)2L, x=(6fe±l)21, n, kf=Z.
86.	x=(2n+l)-£, x=(6fe±l)A, n, kf=Z.
87.	x=(4n+1)-g., rieZ. 88. x=—2L-|-fen, х=пл, fe, neZ.
/ X	i —cos(-^-+2x)
Решение. 1 4-sin2x=tg( 214-х), 1 4-sin2x =-----— -----,14-
\ 4	/	. ( я , n X
Sln^_+2x)
4-sin2x= 1+&л2х 4-sin2x)f 1-------—) =0. a) l-|-sin2x=0,
cos 2x 41 Л	cosbJ
sin2x=l, x= — — + kn, или б) 1------—=0, cos2x=l, 2х=2дл,
4	cos 2x
x=nn. (При этих значениях x знаменатель дроби не обращается
в ноль и не теряет смысла.)
89.	х = (—: 1)"2J- 4-пл — -2-, neZ.
90.	х= -5.-|-fen, x=arctg(-\/3±2)4-«n, fe, neZ. Решение
-Lllei =2J-1£2J, (i-tgx)f—!---------2. '+(Д=0. a) 1—tgx = 0,
1+tgx l-f-tg2*	'1-Mgx 1+*B x/
tgx=l, x= —-|-fen или 6)	‘A! -l-tg*)2 — 0,
4	(l-HgxXi+tg2*)
-Ld-tg2 x—2—4 tRx—ilg2x__ o, tg2 x-|-4 tgx-|-1 =0, tgx=—2±-\/3,
(1 -Hg*)(l +tg2x)
*=arctg( — 2±-\/3)4-ил. (При этих значениях х знаменатель
Дроби не обращается в нуль и не теряет смысла.)
133
91.	x==y. *=А, х=1р' Решение. sin (j’+yx) —
-sin(4n + A)=sin(|n+^),	2sin(A-A) cos(x + A) =
= sin(n + x-A) , — 2sin(A—A.) sinx:-si"(-|—t) ’
8’п(т“т) (2sinx-,)=0- a> 8к1(т_т)=0’ T“T=fex-
x=(4*+l)A, - 2L<(4fe+l)2L<n, - 1 <4/?+ 1<2, -2<4Л^Ц
— A<Jfe<A. Так как fceZ, то k = 0 и xi = —. б) 2sinx=l
2	4	2
sinx= А. 1) х= A-f-2/гл,	— "<А + 2лл<л, —_L—
Z	b	Z D	zb
<2n<l — —, —	— —	Так как neZ,
636	3	12
то n = 0 и X2=—. 2) х=Ал-|-2/гл, —А^Ал-|-2/гл^л,
6	6	2	6
— A— A^2n^l — A, —А^л^А. Так как neZ, то n—Q
2	6	6	312
5
И Хз= —Л.
6
92.	х = (— 1)"+1 А4-пл, neZ. Указание. — sin(5)c + n)—
— 2 sin 2xcos Зх= А — 2, sin 5х—(sin 5х —sin х)= — A, sinx=
2	4	’	2
= — А и т. д.
2
93.	х=А-р£л, х=пл, k, n^Z. Указание. д/З —tgx=
= ^-~lgx ,(д/3 —tgx)( 1-!-) =0 и т. д.
I+V3tgx	1+^tgx'
94.	x = fe A, x = (2k-j- 1)A, feeZ. Решение.
2 sin 4xsin 3xcos 3x = 4 sin 3x cos 2x,	4 sin 2xcos 2xsin 3xcos3x=
= 4 sin 3x cos 2x, sin 3x cos 2x (sin 2x cos 3x—l)=0. 1) sin3x=0,
x=nA, или 2) cos2x=0, x = (2fe-pi)A, или 3) sin2xcos3x= 1-
Это может быть, если
x=(4fe+l)A,
4 A(4fe-|-1)= -tnn, 3(4fe4-l) = 8m, что невозможно
х=—тл. 4	3
3
при любых целых значениях т и k, т. е. х=(4£-|-1)Аи х= Атл не
являются решениями уравнения.
2х=1,	2х=-£ + 2*л,
Зх=1;	|3х=2тл;
134
95.	x=(—l)n arcsin _-|~(6n+I)2L, neZ.
4	6
96.	x = 2kn, x= — -5-4- 2nn, k, neZ. Указание.
2-^2(cos 45° cos x — sin 45° sin x)(l -|-sin x) = 1 Ц-cos 2x,	2 (cos x—
— sin x)(1 Ц-sin x)= 1 4-cos 2x,	2 cos x-|-2 sin xcos x — 2 sin x —
— 2 sin2 x = 2 cos2 x, cos x4- sin x cos x—sin x=sin2 x-|- cos2 x, (cos x—
__ 1)-|-sin x(cosx—l)=0, (cosx —1)(1 4-sin x)=0 и т. д.
97.	x = arctg(-^-^)4-пл. neZ, a=#y + kn, k^Z.
98.	x = ± -L arccos *~^174-пл. «eZ.
§ H.
1. x=(3n±l)-y, neZ. 2. х=(3л± 1)-1л, »eZ.
*	9
3.	X=(2n-|-1)2L, x=(2fe+l)-5-, х=(2т-|-1)Л, n, k, meZ.
Указание. 1 —cos 4x-}- 1 —cos 6x-|- 1 —cos 8x-|- 1 —cos 10x = 4,
(cos 4x 4- cos 1 Ox) 4- (cos 6x 4- cos 8x) = 0,	2 cos 7x cos 3x 4- 2 cos 7x X
Xcosx=0, cos 7x(cos 3x-|-cos x)=0 и т. д.
4.	x=(2n-|-!)-£-• «eZ. Указание. 3(1 —cos 2x)-|-2(l —
— cos22x)=5, 5 — 3cos 2x — 2cos22x = 5, cos2x(2cos2x-|-3)=0 и т. д.
5.	х=(2л4~ 1)у . neZ. 6. х=(2п-|-	,х=(ЗЛ± 1)-2-, n. k^Z.
7.	х=(2Л4-1)^-, х=(2п-|-1)^., х=(2т-|-1)-£, k, п, m^Z.
8.	x = fe-l, x=(2n4“l) —.	«е!
4 v 1 7 10
9.	x=kJL, х=пЛ, kt n^Z. Решение. 1 4-cos 2x-|-1 4-
4-cos 4x— 1 —cos 6x— 1 —cos 8x=0,	cos 2x-|-cos 4x — cos 6x —
— cos8x = 0, cos 2x — cos8x-|-cos4x—cos6x=0, 2sin5xsin3x-|-
4-2 sin 5x sin x=0, sin 5xsin 3x-|-sin 5xsin x = 0 и т. д.
10.	x = k —, x=n_, k, n^Z. Решение. 1—cos6x-|-l —
2	9
~cos 8x= 1 —cos 10x-|-l —cos 12x, cos 6x—cos 12x-|-cos 8x —
~cos 10x = 0, 2 sin 9x sin 3x 4-2 sin 9x sin x = 0 и т. д.
И. х = 90°-|- 180°n, x=±I2o55'4-180°fe. п, kf=Z.
12.	x=fey, feeZ. 13. x = (2n+ l)-j-, neZ. 14. x = (2n-|-l)y,
«в'(6Л±1)-2.< n, feeZ.
3
15.	x = k2L, k^Z. Решение. —(cos4 x4-sin4 x)(cos2x—
^sin2 x) (cos2x-|- sin2x)= -i-cos2 2x— -i-cos 2x,	—cos 2x(cos4 хЦ-
135
4-sin4 x)=-|-cos 2x(cos 2x— 1), 2cos 2x((cos2 x 4-sin2 x)2 — 2sin2xx
Xcos2 x)=cos 2x(l —cos2x), 2 cos 2x(l —2sin2xcos2x)=2sin2xx
Xcos2x, cos2x(l—2sin2xcos2x—sin2x)=0, cos2x(cos2x—
— 2sin2xcos2x)=0, cos 2x-cos2 x(l—2sin2x)=0, cos2xcos2x(l —
— 1 4-cos 2x) = 0, cos22x>cos2 x=0. a) cos22x=0, cos2x=0, x=
= (2n4'l)-j- (1). или 6) cos2x=0, cosx=0, x=(2m4-l)y (2). Из
(2) следует: x=(2m-|-l)-j--2 (3). Из (1) и (3) следует, что x=k~.
16.	х = (2л4-!)-£. «eZ. 17. х=(2«4-1)у, x=(6fe±l)£,
п, keZ. Указание. {cos2 х— sin2x)(cos4x-|-sin2xcos2x4.
4-sin4 x)=^cos2 2x, cos 2x((cos2 x-f-sin2 x)2—sin2 xcos2 x)=-^cos22x,
cos2x(l—sin2xcos2x—ycos2x)=0. a) cos2x=0, x=(2n4-l)y
или 6) 8 — 2sin22x—13cos2x = 0, 8 — 2(1 —cos22x)—13cos2x=0,
2cos22x—13 cos 2x4-6 = 0 и т. д.
18.	x=(—l)n23o33'4-90°n, neZ. Указание, sin4 x-|-cos4 x=
=sin2x, (sin2 x 4-cos2 x)2—2sin2xcos2x=sin2x, 1—g-sin22x=
=sin2x, sin2 2x-(-2sin 2x—2=0 и т. д.
19.	x=(— !)”-£- 4-П-5-, neZ. 20. x= ±-|-arccos(4a—3)4-tin,
О	Z	O	4
neZ, -|-^a^l. Решение. (sin2-|-x4-cos2-|-xy —
— 2 sin2-|-xcos24-x=a,	1 — -5-sin24-*=o»	2 — sin24-x=2a,
I—COS-&-X
2----------=2a, 3 4-cos-|-x=4a, cos-2-x=4a—3, —1^
^4a—3<1, 2^4a^4, -i-^a^l, у x= ±arccos(4a—3)4-2пл,
x= ± -|- arccos (4a—3)4- tin.
21.	x=( — 1)" 17°56'4-90°n, neZ.
22.	x=(- l)n+1 -2-4-(4n 4- l)y, neZ. Указание.
(±^y + ('-“,^+T.)y=_L. 1 _2cos 2X+C«*2x +1 +
4-2 sin 2x4-sin2 2x= 1, 1 —2 cos 2x-|-2 sin 2x-|-cos2 2x-|-sin2 2x=0,
2—2 cos 2x-(-2 sin 2x=0. sin 2x—cos 2x4-1=0, -\/2 sin ^2x—у =
= — 1, sin ^2x—= — ^ и t. д.
136
23.	x=(3n±l)i, neZ. 24. x = k2L, k<=Z. 25. x = (2fe4-I)-^,
x==(2n + l)y. k, tif^Z.
26.	x = k2L, x = n_E, k, n^Z. Решение. I—cos2x-|-l—
— cos 4x = 1 —cos 6x4- 1 —cos 8x, cos 4x — cos 6x-|-cos 2x —cos 8x=
=0,	2 sin 5xsin x-|-2 sin 5xsin 3x=0,	2 sin 5x2 sin 2xcos x=0.
a) sin5x = 0, 5x^=nn, x = n2L, или 6) sin2x = 0, 2x = fen, x=fe2L(l),
или в) cosx = 0, x = (2m-|-1) (2)- Решения (1) и (2) можно объеди-
нить в одно: x = fe 2L
27.	х= — 2L-|-2fcn, х= JL-1-пл, k, neZ. Указание, ctgx —
— sinх= 1 —cosх, ctgx 4-cosx= 1 -f-sinx, ctgx(14-sinx)= 14-sinx,
(1-J-sin x)(l — ctgx)=0 и т. д.
28.	x=(2fe-|-1)ZL, x=(2n-|-1)k, n^Z. Решение. 1 —
— cos 2x-|- 1 —cos 4x-|- I —cos 6x-|- 1 —cos 8x=4, cos 2x-|-cos 8x-|-
-|-cos 4x4-cos 6x=0, 2 cos 5x cos 3x-|-2 cos 5x cos x=0, cos5xX
X(cos 3x-|-cos x) = 0, 2 cos 5x cos 2xcos x=0... и т. д. Заметим,
что ответ можно записать так:	rn^Z, так как (2/i-|-I)2L=
= 2(2п-|-1)^.
29.	х= y 4-пл, neZ. 30. X = (2rt-|-1) £ , x=(6fe± 1) g , n, k^Z.
31. х = (2Л-|-1)л, х=±(л — arccos A )-|-2/гл, k, n^Z.
32. x=kn, k^Z. 33. x= ±J-arccos4-4-^-£. k<=Z. 34. x=
4	<j z
=Ц, x=n" k, nt=_Z. 35. x=(2n-|-l)" , x=(3fe±I)4, x=
=(2m± 1)-^, n, k, m^Z.
36.	x = (2n-f-1)x = fen, n, k^Z. Указание. (2cos2x)3 =
= 3(2 cos2 2x— l)-|-cos 2x-|-4, (1 4-cos 2x)3 = 6 cos2 2x — 3-|-cos 2x-|-4,
1 4-3 cos 2x-|-3 cos2 2x-|-cos3 2x — 6 cos2 2x — cos 2x— I =0, cos3 2x—
—3cos22x-|-2cos 2x=0, cos2x(cos22x—3cos2x-|-2)=0 и т. д.
37.	x= ——, x=JL, x=JLn. Решение, sin4 A-|-cos4 A =
2	2	2	2'2
= sin 2L, ( sin2 2L-|-cos2	— 2 sin2 Acos2 ~= _L,	2 — 4 sin2 Ay
6 \	2	2/	2	22	2Л
Xcos2_£ = I,	1—sin2x = 0, cos2x = 0, cosx=0, х=(2л-|-1)-^-.
137
— 2L<(2n+1)21<2л, -1<2п+1<4, —	Так как
neZ, то л = — 1, 0, 1, х = — 2L, 2L, Ал.
2	2	2
38.	х=± ^arccos ^л'41 -У~пл, n^Z.
39.	х=(2л4-1)_£, x=(2fe 4-l)2L, п, kf=Z
40.	х = (2л-|-1)2Ь, x=(2fe-|-l)2L, п, kc=Z.
4	2
41.	х=0. Решение.	sin4x-|-cos4 х—2 sin2 xcos2 х-|-
+ sin4(x +
у) =0, (cos2
0,	cos22x-|-
• 4 / I " \ л	-	I cos2x = 0,
sin (x+t 1 = 0, что может быть, если I	’
V 7	|sin(x + ±.) =0;
2x = (2fe+1)"	x=(2fe+l)2L,
2	4	Выберем равные значения:
x-j-— = пл;	х = (8п—1)_.
Я	8
—(2fe+1)= —(8л — 1), 2(2fe+1)=8л—1, что невозможно ни при
4	8
каких действительных k и л; следовательно, уравнение не имеет
решения.
42.	x = kn, k^Z. 43. х=(2л+1) —, x=(3fe±l)2L, л, k^Z.
4	3
44.	х=(2л-|- l)-g-,	x=(3fe±l)-2, л, feeZ. Указание.
2 sin2 х2 sin2 2x + 2 sin2 3x=3, 1 —cos 2x4- 1 —cos 4x-|- 1 —cos 6x=
= 3, cos 2x +cos 6x4-cos 4x=0,	2cos 4xcos 2x4-cos4x=0,
cos 4x(2 cos 2x4- l)=0 и т. д.
45.	x= Юлгл, meZ. Решение. sin2 5x4-2 sin2 2x-|-1—
— cos22x=0, sin2 5x4-2sin22x 4-sin2 2x=0, sin2 5x-|-3 sin2 2x=0,
что может быть, если
sin 5х=0,
sin 2х=0;
Х = Л
5 (1) Системе (1) удов-
x = kT-
летворяют только значения 10m при л = 2т; k = 5m, т. е. х= Ютл —
решение уравнения.
46.	х=±.^-4-лл, ле/. 47. х= ± 14°08'30"4-90°л, nt=Z. У к а-
з а н и е. 5(|~cos4x)4- i _|_cos4х = 3, cos4x^= — 1,	5(1—cos4x)4-
I Ч-cos 4x
4-(l 4-cos 4x)2 = 3(1 4-cos 4x),	5—5cos4x-|-l 4-2 cos 4x-|-cos2 4x=
= 34-3cos4x, cos24x—6cos4x4-3=0 и т. д.
138
48.	x = (2fe-|- 1) — , feeZ. Указание. 1 —cos 2x-|- -—yos2x=2,
4	' l+cos2x
cos2x=#= — 1, 1—cos22x-|-l—cos2x=2-|-2cos2x, cos22x-|-3cos2x=
s=0, cos 2x£os 2x-|-3)=0 и т. д.
49.	x = (2n4-l)y, х=^-пл, x=(4fe4-l)i, п, k(=Z.
50.	x=(2n4~ 1)-^-, x=2kn, x=JLfen, п, k^Z. Указание,
cos 5x4-cos 7x—2 cos2 2x4-2 sin2 3x = 0, 2 cos 6xcos x— 1 —cos 4x4-
4-1—cos6x = 0, 2cos6xcosx—(cos 4x4-cos6x)=0, 2cos6xcosx—
— 2 cos 5xcos x=0, cos x(cos 6x—cos5x)=0 и т. д.
51.	x = k” x=(-l)"- + n-, «eZ.
2	'	' 6	2
52. x= ±53°24'4~ 180°п, neZ. Решение. 1—cos^2x-|--^
^cos2x=-l, cos2x=—^«—0,2887. 2x= ±(180° — 73°12')4-
4-360°n, x=±53°24'4-180°n.
53.	x=(— l)"+l -Larcsin 4-n-^., neZ. 54. x= ± JL-f-for, keZ.
55.	x=k^, x=2nn, x=(2n4-l)2L, k, ne=Z.
56.	x=(2«4-1)-|-л, x= ±-|-arccos!—^--^-5kn, n, keZ. Ука-
зание. 1 4-cos^4-2cos2^=I 4-cos^, cos — 4-2 cos2 — =
5	5	о	5	5
o /2х \	2х1О 2 2x . з 2x o 2x	A з 2x
=cos3 (-=-), cos -=- 4- 2 cos = 4 cos	—3cos-e-,	4 cos -=—
\ 5 /	О	О	О	О	□
— 2 cos2 ——4 cos —=0, 2cos —f 2cos2^—cos — — 2) =0 и т. д.
57.	х = (2п4-1)^л, х = (6Л±1)АЛ1 n, kf=Z.
58.	x=kn, x= 4z у arccos -22~- 4- n, k^Z. Указание. 14-
4-cos2x — cos23x=l, cos 2x—1 ~bc-^-6- =0 2cos2x—1—cos6x=
2
= 0, 2 cos 2x— 1 —cos 3 - (2x)=0, 2 cos 2x— 1 —(4 cos3 2x — 3 cos 2x) =
= 0, 4cos32x — 5 cos 2x4-1=0, 4cos32x — 4cos2x — cos 2x 4- 1=0,
4 cos 2x(cos 2x— l)(cos 2x-j- 1)—(cos 2x— l)=0,	(cos 2x— 1)X
X(4 cos2 2x-|-4 cos 2x—l)=0 и t. д.	•
59.	x=(2n4-l)y, x=(4ft4-l)i, x = (4fe-l)^, n, k(=Z.
139
60.	x = kn, х = (2п-|-1)—. x=(2m-|-1)—. k, n, me.Z. У к a-
ll	5
з а н и e. sin (14л — 7x)4-sin (9л —9x)= 1 +cos( -±4-4x) , —sin 7x4.
4-sin 9x = sin 2x —sin 4x, sin9x—sin 7x4-sin4x—sin2x=0, 2cos8xX
Xsin x-|-2 cos 3xsin x = 0, sin x(cos 8x-|-cos 3x)=0 и т. д.
61.	x= ±-jr 4*£л, fceZ. 62. x= ± — 4-2пл, neZ.
63.	x= ±4г 4-пл, neZ. 64. x= ± v -|-2пл, neZ. Указание,
о	о
4 sin у sin y= 1 —4 cos2 A, 2(cos x —cos 2x)= 1 —2(1 4* cosx),
4 cosx —2cos 2x4-1 =0. 4 cosx —2(2 cos2 x—l)4-l=0, 4cos2x—
— 4cosx — 3 = 0 и т. д.
65.	x = (2n4- I)-, neZ. Решение, (cos4 x—sin4 x)24-2sin4xX
8
Xcos4 x= 1Z, (cos2x — sin2x)2 (cos2 x4-sin2 x)24- -Z-(2 sin x cos x)4 =
cos22x4-— sin4 2x= IZ, 32(1 —sin22x)-|-4 sin4 2x= 17, 4sin42x—
8	32
— 32 sin2 2x4-15 = 0 и т- A-
66.	x = (2n-|-l)—, n^Z. 67. x=(2n4-l)2L, neZ.
4	4
68. x = kn, х=±у4-нл, k, neZ. Указание. 4sin2x4-
4-sin2 3x = 4 sin x sin 3x, 2(1 —cos 2x)-|- 1 ~c°s^x=2(cos 2x — cos 4x),
4 — 4 cos 2x-|- 1 —cos 6x=4 cos 2x — 4 cos 4x,	cos 6x4-8 cos 2x—
— 4 cos 4x — 5=0.	cos 3(2x)4-8cos 2x — 4(2 сод2 2x— 1)—5=0.
4 cos3 2x — 3 cos 2x 4- 8 cos 2x — 8 cos2 2x -|- 4 — 5 = 0,	4 cos3 2x—
— 8 cos2 2x 4- 5 cos 2x — 1 = 0,	4 cos3 2x — 4 cos2 2x — 4 cos2 2x 4-
4-4 cos 2x4-cos 2x— 1 =0. 4 cos2 2x(cos 2x — 1)—4 cos 2x(cos 2x — 1)+
4-cos2x—1=0, (cos2x—l)(4cos22x —4cos2x-|-l)=0 и т. д.
69. x = (2n-|-l) —. neZ. 70. x=±—4*нл, neZ. Решение.
4	6
16 sin6 X — 3 cos 4x4- 24(cos2 x~sin!! 2*) (cos4 x+sin2 X cos2 x4-sin4 x)_ J9 .
2(2 sin2 x)3 - 3(2 cos2 2x - 1) 4- 6 cos Zxfros^+sin^xf-sin2 x_cos»= J9,
1—sin2 x cos2 x	4
2( 1 - cos 2x)3 - 6 cos2 2x+3 + 6cos 2x0-sin2 x cos2 x) = 19,	j _ sin2 x x
l—sin2 xcos2 x	4
Xcos2x=#=0, 4 — sin22x#=0, sin22x=#=4, 2(1 — 3cos2x-|-3cos22x —
—cos32x) — 6 cos2 2x-|-З4-6 cos 2x= —,	5 —6cos2x-|-6cos22x—
4
—2cos32x—6cos22x-|-6cos 2x = Z? 2cos32x=5 — 4-^-, 2cos32x =
4	4
= y, cos32x = y, cos2x = y, 2х=±у4-2пл, x=±-^4-'in-
140
71.	х=*± — arccos——- + — пл, neZ, A^a^l. Решение.
8	3	4	4
, sin2 4 x+cos2 4 x ) (sin4 4 sin21X cos2 4x +COS4 4 X ) = a.
sin4 |-x+cos44x-sin24xcos24x=a, (sin24 x+cos24 *)’ -
__3 sin2 4 'cos2 4 x=a< 1 ~4sin24x=a,	4 —3sin2yx=
з(1— COS	Я	B
==4a, 4-------—— = 4a,	8—3+3coSy=8a, 3cos*^=8a — 5,
Bx^-80^5 _1^8o^5^,	—3<8a —5<3, 2<8a<8, A<
c 5	3’	3	4
<a<l. A = ± arccos^+-5+ 2nn, x= ± Aarccos^^ + А пл,
3	3	о	3	4
neZ.
72.	x=(2n+1) —, neZ. Указание. cos8x+sin8x=
4
= — A cos 4x, (cos4x—sin4x)2+2sin4xcos4x = — Acos4x, (cos2x—
— sin2 x)2 (cos2 x+sjn2 x)2+ A sin4 2x = — A cos 4x, cos2 2x+
8	0
+ A si n4 2x = — A cos 4x,	8 cos2 2x+sin4 2x + 2 cos2 2x — I = 0,
8	8	.	.
10cos22x + sin42x—1 =0, sin42x+ 10(1 —sin22x) — 1 =0, sin42x—
— 10sin22x+9=0 и т. д.
73.	x=(2fe+l)y, k^Z. Решение. Преобразуем выражение
в скобках: 1—sin2 7x+sin4 7x = (sin2 7x— -0 + A>0 при всех
хе/?. Данное уравнение примет вид: cos25x+cos2x* ((sin27x—
— А) +А\=0, что может быть только при I cos Эта
2/  1 4/	lcosx=0.
система выполняется при х=(2Л+1)-1.
74.	x=(2ft+1)-1, х=(2п+1)-£, k, neZ. Решение. sin2x=
12	8
= 1—sin25x, sin2x = cos2 5x, A(1 — cos2x)= A(1 +cos Юх), 1 —
—cos 2x= 1 +cos lOx, cos 10x=—cos2x, cosl0x = cos(n — 2x).
a) Юх — л + 2х=2Лл, 12x=(2/t+1)л, x=(2fe+1)-^ или б) 10х+л —
—2х = 2пл, 8x=(2n —1)л, x=(2n —l)y.
75.	x=(2*+l)A, x=(4n —1) " x=(—l)m4 + mn, k, n, meZ.
v	4	2	6
Оказание, sinx(2sin2x—l)+cos22x=0, sinx(l —cos2x—1)+
+ cos22x^=0, — sin xcos 2x +cos2 2x=0, cos2x(cos2x—sinx)=0
и т. д.
141
§ 12.
I.	x = 2 arctg 5-]-2йл, fceZ. Решение. *°*2—12^ ^=13,
t = tgA, H-/2^=0 при t^R, 10/-12-H2/2=13 + 13/2, t2 —lOt-f-
4-25 = 0, (f — 5)2=0, t = 5, tgA=5, x = 2 arctg 5 + 2*л.
2.	x = 2 arctg 4~2fen, k^Z. 3. x= 2L4-2fen, x=2 arctg 1,54-
2пл, k, n^Z.
4.	x=(— 1)л_5.4-пл— —, nsZ. Решение. V3+ 1 sin(x4-<p)=
4	6
=^/2, 2sin(x4-<p)=_\/2' sin (x4-ф) =. х + ф=( — 1)" -£•+ пл, x=
=(— i)n "4-пл—ф, tg<f=-k ф=4> тогда х=(—1)п-г+'1л—4-
4	-J3	б	4б
5.	х = (2п 4-1)л, х = 2 arctg \fl 4-2Л л, п, k^Z. Указание,
sin х= д/7(1 4-cos х), 2 sin Acos А=2д/7 cos2 A, cos А^ sin А—
— д/7соэ-0=О. a) cosA=0, А=(2п4-1)А, х=(2п4-1)л, или
б) sin А—д/7соэА=0 — однородное уравнение, а потому
V7 = 0, tgA=y/7HT. д.
6.	х=(—1)" arcsin^4-nn-|-arctg-^^, neZ. 7. х=(-1)"^4
7	3	18
4«-+ —, neZ. 8. х = 2arctg *-^^4~2fen, AeZ.
3	18	Б 3
9. х=0. Решение. ^/2sin (х-|-ф) = 4, sin (х-|-ф)=2д/2> 1;
следовательно, уравнение не имеет решения.
10. х= А-|-2пл, nsZ. П. х=(— 1)" А.4-ЛЛ4--А, neZ.
12. х= — -|-л-Ь2/гл, fteZ. Указание. sinx= — -^3(1 4~
4-cosx), 2sin-|-cosy-|-2~\/3cos2y =0,2cos-|- (siny 4- V3 c°s-y ) =
= 0 и t. д.
13. K=(-iy|+im-|, fteZ. 14. x=2 arctg 4-2ЙЛ,
AeZ. 15. x= 0.
16.	x = (-l)n+1 А.4-2ПЛ-А, neZ.
17.	x=(8*4-1)A, x=(8/t4-3)A, feeZ. Решение.
л/2sin (2x-|-ф)= ~\/2sin Зх, sin(2х-|-ф)=51пЗх, tgф=l, т. e. ф=А,
142
«in^2x+ =sin 3x. a) 3x — 2x — 2L = 2ftn, x = (8k-|- 1)4L или
t) Зх + 2х + ^-=(2*+1)л, x=‘(8* + 3)g.
18.	x = (— l)n + 1 2L-|-nn— JL, neZ. 19. x=( — I)nА-|-пл — Л,
n(=Z. 20. x=(8* + 1)2L, x=(8* + 3)2L, fteZ. 21. х=(-1)п^ +
+ (4n+l)^-, neZ. 22. x = (—l)n2L+n2L—neZ. 23. x =
=(—l)n arcsin 2L-|-(6n-|-1) A, neZ. 24. x = kn, x = (4n—
k, neZ. 25. х=(2п-|-1)л, x = 2 arctg д/5-|-2/гл, n, keZ.
§ 13.
1.	х=(4й—1)_5.,	x=(—1)" arcsin +(4n—ne^Z.
Указание. sin x -|- cos x=y, sin2 x Ч-cos2 x-|-2 sin x cos x=y2,
sin xcosx = a^-i. Данное уравнение примет вид: у= у 4- -^-(if—1),
2у = 54-бу2 — 5, 5у2 — 2у=0, у(5у—2) = 0. а) у = 0, sin х4-cos х = О,
tg х= — 1 и т. д., или б) sin x4-cos х= A, sin х-|-	= -у и т. д.
2.	х=(-1)*25.4-(4Л4-1) —. *eZ.
4	4
3.	х = 2/гл, х=(4«4- 1)-^-, п, Решение, sin3 х 4-cos3 х =
= sin2 x-|-cos2x, sin2x —sin3x-|-cos2x—cos3x = 0, sin2 x(1 — sin x)4-
4-cos2 x(l — cosx) = 0, (1 — cos2 x)(l — sin x)4- (1 — sin2x)(l — cosx) =
= 0, (1 — cos x)(l -|-cosx)(l — sin x)-|- (1 — sin x)(l -|-sin x)(l —cosx) =
= 0,	(1 — sinx)(l—cos x) (sin x 4-cos x 4-2) = 0. a) 1—sinx = 0,
x=(4n-|-1)2L, или б) 1—cosx = 0, х = 2Лл, или в) sin x-|-cosx= — 2,
x= 0.
4.	x = (2n+ 1)л, x=(4*4-l)y, n^Z.
5.	x = (2n4-l)2L, x=(6ft± 1)2L, n, ke.Z. Решение, cos-^—
— cos-^£ = cos —, cos-^ = cos-^f.4-cos — ,	cos-!^=2 cos7xX
2	2	2	2	2	2
Xcos-^, cos-^5- — 2cos7xcos-^ = 0, cos-^-(l — 2cos7x) = 0.
a) cos-^ = 0, -ф^=(2п-|-!)-£-, *=(2n-|-или б) 1—2cos7x =
= 0, 2cos7x=l, cos7x=-i- и т. д.
6.	x = —-|-2пл, neZ. Решение. 5(sinx-|-cosx)4-3sinx —
4
— 4 sin3 x — (4 cos3x — 3 cos x) = 4\2(1 -|- sin x cosx), 5(sin x4-cosx)-|-
143
+ 3(sin x + cos x) — 4(sin3 x + cos3 x)=4-\/2(l +sin xcos x),	8(sin x+,
+ cos x)—4(sin x + cos x)(l —sin xcos x) = 4-\/2(l +sin xcos x), sin x-k
+ cosx=y, 1+2sinxcosx=y2, sinxcosx =	. Уравнение при-
мет вид: Sy — 4y-(l —	=4л/2(1 + ^1), 2y—y~£=^/2x
4у—у(3—уг)=^2(\+уг),4у — 3у + у3=^2+^2у2. у1-
-^2y2 + y-^2=0, y\y-^2) + (y-^/2)=Q, (y—-\/2)(y2+l)=0.
a) y=^2, sin x + cos x = -\/2, sin(x+ =1ит, д„ или 6) у2 + 1 =0
в R не существует.
7.	х = (2п+1)л, х=(—1)*у + Лл, п, keZ Решение. 2+
+ 2cosx=V3tg^-£- —-0 ,	2 + 2cosx = V3ctg-L, 2(l+cosx)=
= V3ctgA, 4cos2-i— V3ctg.L=O, ctg ±(4 sin ± cos А —^/з) =0,
ctg^(2sinx-V3) = 0: a) ctg4=0, _£=(2n+l)" x = (2n + l)n,
или 6) sinx=^y, x = ( —i)*4+&n.
8.	x=(— l)n+l — + пл — _, neZ. 9. t = ± — +(8n— 1) —, n eZ
4	4	4	4
10.	х=^ + 2Лл, fceZ. Решение. 4sin2(3x+ y) = 1 +
+ 8sin2xcos22x, 2^1—cos(6x+ 4)) = 1 +8 sin 2xcos22x, 2(1 +
+ sin 6x)= 1+8sin 2xcos2 2x,	1+2 sin 6x=-4 sin 4xcos 2x,	1 +
+ 2sin6x = 2(sin6x + sin2x), l=2sin2x, sin2x=— (при этих зна-
чениях синуса подкоренное выражение положительное), 2х =
= (—1)" 2L +лл, х=(—l)"2L+n2L (при этих значениях х левая
6	12	2
часть уравнения будет положительная только при n = 4k), х =
= (—I)4* JL+2/гл, х=^+2*л.
11.	х= 2L+2пл, neZ. Решение. ЛЩх.| £osjc +2(sjnх +
4	cos к sin х
+ cosx), sin2x+.c°s?* = +2(sinх + cosх), sinx=#=0, cosx=^=0, x=#=ft-l,
sin x cos x	2
1 = -у2 (sin x+cos x) sin xcos x, sin x + cosx=y и т. д. (см. пример 1,
§ 13). 1 +2sin хcosх = у2, sinхcosх =	1, 1 = д/2у--^^^ , -у/2^
—У3—У, У3 — У~л/2 = 0. Легко заметить, что корнем этого урав-
нения является -\/2, после чего можно выделить множитель у—
или разделить многочлен (левую часть уравнения) на двучлен
у—-^2. Рассмотрим два способа. 1) у3 —у2д/2 + у2-\/2—2i/+i/—-\/2==
=0, у2(у-л^)+«л/2(у-Л/2)+(у-^)=0, (у-д/2) (1^ + ^+ 1)=0-
144
У*- у
Ip-^y2
^f2ip — '2y
-У-^2____
y> + ^2y+l
Уравнение (у — д/2)(у2+д/2у+1)=0 имеет только один корень
у==д/2, так как многочлен у?-}-^2у-}-1 не обращается в нуль
(Р=2—4<0). sin x-t-cosx = -^2, -y/2sin(x4- А) —л/2, sin(x + =
-si, л+-5-=у + 2пл, х=-5-4-2пл. ^.-|-2пл =£k 2L, так как
|_|-8n=/=2ft — очевидно.
12.	х=(2п-Н)-1, х = (— 1)*.1 + 2*л, п, k^Z. 13. x=(2n+l)2L,
4	3	4
x=(4ft+l)y, п, k^Z. 14. х = j--|-ft л, x=(—1)" arcsin ^+’пл+
4-i, ft, neZ.
1 4
15.
2
Решение. 2 arctg(2x— l)=arccosx, arctg(2x — 1)=
=a, tga = 2x—1, arccos x = 0, 2a = 0, cos 2a = cos 0, -—$£-?=х,
l+tg2a
<«-<* _ж , Зна.
I+(2.-1)’	4/-4.+Z	V 4x1-4.+2	>
чение x=0 не удовлетворяет исходному уравнению, так как левая
часть уравнения будет при этом — —, а правая 2)	|—2х	=
4	4	2(х2-х+1)
=0, ----1—2x2---=0, 2((х—	0 при
К(хЧ)+т) ц 2) 4'
1 —2х2 = 0, х=±^.	— корень уравнения, х =
ляется корнем исходного уравнения.
всех
2
хеЛ.
не яв-
-1)^- + 2лл
16. х= 102*", х=10	2	, ft, neZ. Решение. 1 —
"Cos(lgx)=-y/2 sin^-Llg xj , 1g x = t, 1 —cos / = V2sin	2 sin2 L =
a®‘V2sin_L, sin -J2 sin _L—1^=0. a)	sin_L = 0, 1 = 2Лл,
^=2ftn, x=102*n, или 6) sin-L = ^, 2_=(-1)л44-пл t =
’	2	2	2 v ' 6
==(__ 1)"_я_|_2пл, lgx=(— 1)"-5- + 2пл, x=10(	3 +2ял
3	3
145
17.	x=-larctg(5tg l)4-n2L-|-7, neZ.
18.	х=—2, х= — 1. Решение, arctg(х4-2) = a, tga = x-ri
arctg(x4-l)=p, tgp=x4-l. а —р= " tg (а — р)= 1,.	J
4	14-tgatgp П
Х4-2-Х-1 =1	----= 1 х2_|_3х. + 3^0 X(=R х24-Зх
1 +(х4-2)(х+1)	х2+3х + 3	Н
4-2 = 0, Х| = — 1, Х2 = —2 — корни уравнения.
19.	х=-!_. 20. х=А
3
9
arcsin —-
7
sin а =-2— arcsin д/1 — х=р, sinp=-\/l—х, arcsin —=у, siny =
Зл/х	3
— 2-<a<2-, tocos
—sin2 p= 1 4-x— 1 = x.
9х —4
совр = д/х. Получим:
a — ₽=y. sin (a — P) = siny,	sin a cos p—cos a sin p = _L,	—
3	3-^/x Л
Xcos p—д/1 — x-cosa = _L, cos2a= 1 —sin2a = ^^.	Так каЯ
3	9x	3
a>0, t. e. cos д = уд/9х~4-, cos2 P= 1 —|
sin p>0 и 0<p<y, to cosp>0, t. e.
i =
3^/x v 3 V X v	3
x = (9x—4)(1 —x), x=9x—Эх2—4 4-4x, Эх2—
— 12x4-4=0, (Зх—2^=0, x = “§— корень уравнения.
21. x=l. 22. x=y. Решение, arcsin 3x=a, sina=3x,
arccos 4x=p, cosp=4x, a = p, sina = sinp, 3x = sinP. Так как
О^агссовх^л, то sinp>0, тогда sin р= у.I — 16х2, Зх=
= д/1 — 16х2. 9х2=1 —Юх2, 25х2=1, х=±— . х=-1-—корень
1 5 5
уравнения. х= —=- не является корнем исходного уравнения,
э
так как sin
23.	x = 0.x--||,x=g.
24.	х=(— 1)" arcsin	2- 4-пп—~, neZ. Указание. (sin х+
4-cosx)- sin>-x+cos2x=l, sin*-+«>sx=li sinx=?fc0, cosx^O, x^A-i*
sin xcos x	sinx cosx	*
sinx-|-cosx = sinxcosx и т. д.
25.	х = -^4-пл, neZ. Указание, tg4-л= tg2-1-л = tg
о	о	о
arctg(tg-£-) =-£, cosx4-cos(x4-^-) 4-cos(x4-y) =0. cosx+
4-2cos^x4-cos ^-=0. cosx—-\/3sinx=0, cosx^=0, tgx = 'J
и т. д.
146
26.	х = ± -у arccos (2а 4- 1)4-Лл, fceZ, — 1 ^а^О. Решение.
cOs2x = y. У*~(°-2)у-3(а+ 1)=0, D=(a-2? + 12(а+ 1) = а2-
_4а+4+12а+12 = а24-8а4-16=(а4-4)2, ^D = a-}-2, у>= — 1,
,.,₽а+1а) cos2x = — 1, х= 0, или б) cos2x = a-j-l, 1 4-cos2х =
ss2a4-2» cos 2х=2а-\-1, — 1 ^2a-J- 1 С 1, — 2^2a^0, — 1 CaCO,
тогда 2x = ±arccos(2a4-1)4-2пл, x= ± -Iarccos(2a4- 1)4-2пл.
27.	x=±j4-*n, x= ±-Larccos2-4-пл-	neZ. Решение.
Icos 2x1= l1-^05 2*-^ |.4|cos2x| = |2—2cos2x—l|,4|cos2x| =
_= 11—2cos2x1, 4|cos2x| = |2cos2x—11. a) 4cos2x = 2cos2x—1,
2cos2x= —1, cos2x= —_L, 2х=±4л + 2*л> *=±4+*л- или
2	3	3
б)	4 cos 2х= 1 —2 cos 2х, 6 cos 2х= 1, cos 2х = —, 2х= ±arccos А-Ь
'	6	6
4-пл, х= ± у arccos-1-4-пл.
28.	х = (8*4-1)^. x=(8*4-3)i, fteZ. 29. х = 90°, х= — 17°.
30.	х=(— 1)" arcsin Ь-{-пл — _, neZ, |Ь|С—, х=(—1)п+1Х
4	3
Xarcsinb-|-nn—JI, neZ, | b |	1. Указание, sin x4-cosx = y,
14-sin2x=y2, sin2x = y2—1, у2—1 —2b-\/2y —6b2-|-1 =0, у2 —
—2b^2y — 6b2 = 0,	y,. t = b^2±2-^2b. a) sin x-|-cos x=3b-\/2,
V2sin (x-|-у )=3b-^/2, sin (x-|-y ) =3fe, — 1^3b^l, —
C—, x-|-—=(—1 J1 arcsin (3b)-}-пщ x~(—1)" arcsin (3b)4-пл—
3	4
— у или 6) sinx-|-cosx=—b-^2 и т. д.
31.	х=—4-*л. х=лл, k, пе2.
4
32.	х = Ьл, х= — -^_-|-тл, x = arctg(2—-\/3)4-пл, k, т, neZ.
Решение. Воспользуемся формулой tgЗа =	для Ре‘
_ э	tgy+tg*
Шения уравнения. Получим: 3tg*~—tgx- -------------=0,
l—3tg2*	i_tg±.tgx
tgx( ^-tg2-* _ V54-tgx\ Q tgx(Уз4-tgx) / л/5-tgx__j\ _о
M—3tg2x	1—Уз tgx' ’ l—уз tgx \ 14-уз tgx	/
a) tgx = O, x = kn, или 6) V3+t£3 =0, tgx=#= —,	"\/3-Mg-* = 0,
i—уз tg x	уз
x= —Л4-тл, или в)	—1=0, tgx#=-----L
3	1 + уз tg x	уз
V3-tgx-l-V3tgx = 0,	V3-l=(^4-l)tgx,	tgx=-^-.
УЗ+1
147
tgx = ^—tgx = 2 —~\/3, x = arctg(2 —~\/3)4-пл. Найденц
значения x удовлетворяют данному уравнению и не обращают з,
менатель в нуль.
33.	х=0.	__
34.	х = (— 1)" aresin ^а+а + * пл — —, neZ, aeJ?.
ад/2	4
35.	х= ±-Larccos^^. —l) 4-пл, neZ, — 2^а^2. Реше.
н и е.
(М
a2 + ~\/3sin2x—cos2x, 2 sin
4--^) 4-2 = a24--\/3sin 2х—cos2x,	sin^2x-|--±) + 1 =
4~^~ sin 2x— -Lcos2x, sin ( 2x4- -g-) 4-1 = y4-sin^2x —
2
2 cos 2x sin _!=£_— 1, cos2x
6	2
sln(2x+’)-sln(2x-£)=£-!.
= *L— 1, I 51—11 <1, —1<51-1<1, -2<a2 —2<2, 0<a2<4
2 I 2	1	2
|a|^2, x= ±-Larccos^y—1) 4-«л.
36.	х=-|-*л, х=(2*4-1)л, х = -|-пл, х=пЛ, k, neZ. Реше-
ние. sinx = a, sin2x=b, sin3x = c, a34-*34-c3=(a4-*4-rf-
(a4-b-|-c)3 —a3 = b34-c3,	(Ь4-с)((а4-Ь4-с)24-а(а4-* + е)4-а2)=
= (b 4- c) (b2 - be 4- c2), (fe 4- c) (a2 4- b2 4- ? 4- 2ab +2ac + 2bc+a*+
4* ab 4- atf 4- a2) = (6 4- c) (fe — fee + e2). (b -j- с) (3a24- 3ab 4- 3ac 4-3bc)=
= 0. I) b4-c=0, sin2x4-sin3x=0, sin3x=sin(— 2x). a) 3x—
— (— 2х)=2*л, х=А/гл, или б) Зх — 2x = (2k-^-1)л, х=(2*4-1)я-
2) 3(а2-|-а6 4-ас4-6е)=0, а(а4-&)4-с(а-+-*) = 0. (а4-^)(а4-е)=0-
a) a-|-b=0,sin x4-sin 2х=0и т. д., или б) а4-с=0,sin Jt-f-sin 3x=0
и т. д.
37.	х=(6Ь4-1)т5. x=(3fe4- Ov . feeZ. Решение, sin х=#0.
cosjc=/=0, x=/=fey, 8sin xcos2 х=~\/3cos х4-sin х, 4sin2xcosx=
=-\/3 cos x 4-sin x,	2sin3x-|-2sinx = -\/3cosx4-sinx, 2sin3x=
= ~\/3cosx — sinx, sin 3x=— cosx— — sin x, sin 3x=sin f-?- — *)
v	2	2	\3
a) Зх-44-х = 2*л, x=(6*4-l) " или 6) 3x4--£—x= (2*4-
3	12	3
2х=2*л4--?-л, x = (3*4-1)4-
3	3
38.	x=(6n4- !)-£-< x = (6n— l)yg, neZ.
2
39.	x= ztarctg24-пл, neZ. Решение. tgx-tg3x= —-g”
148
'|_-3tg^x	5	1—3tg2x	5	3	•
_.5tg4x=— 2 + 6tg2x, 5 tg4 x —9 tg2 x —2 = 0. a) tg2x= — ±,
x;S0, или 6) tg2x=2, tgx=±-y/2, x= ± arctg-у/2 + пл.
40.	x = arctg 2- 4-nn, x= — arctg уfffln, n, meZ. Решение.
I—cos (Л cos2 x) = 1 — cos (n sin 2x),	cos (n cos2 n)=cos (n sin 2x).
а) л cos2 x - л sin 2x=2йл, cos2 x — sin 2x=2k, cos2 x— 2 sin x cos x =
^2k (sin2 x 4- cos2 x), 2k sin2 x+2 sin x cos x4- (2k — 1) cos2 x=0,
Cosx=/=O, 2k tg2 x4-2 tg X4-2*-1 =0, ^-=l-2(2*-l)*=-4*2 +
+2fe4-l, y>0, 4Л2 —2Л—l<0, k2--Lk- ±<0,	~)2-
1-2.236^^ 1+2,236, _0,3090,809. Так как
4	4	4
keZ, то fe=0, t. e. tgx=-l- и т. д. б) л cos2x+n sin 2х = 2пл,
cos2x4-2 sin xcosx = 2n(sin2x + cos2x), 2n sin2 x—2sin xcosx +
+ (2n—l)cos2x=0, cosx=/=0, 2n tg2 x — 2tgx + 2n—1=0, y=
= \-2n(2n — 1)=1 -4n2 + 2n>0, 4n2 —2n—l<0, n2-In-±<
<0, (n—	и т- Д- —0,309<0,809. Так как feeZ, то
п=0, т. е. tgx= -1 и т. д.
41.	x=18° + 180°n, neZ. 42. х = (Зп±1)Д, neZ. 43. х=/гл,
*=—у+2пл, х=(—1 у" arcsin—-+шл, п, k, m^Z. 44. х =
=(-1)',+137o36,+90on-22o30,, neZ. 45. x=30°+180°n, neZ.
46. x=20°+180°n, neZ. 47. х = arctg(2 +д/3)+ 180°п — 80°,
nsZ.
48. х = (4*+1)у, x=(6n+l)J^, k, ne.Z. Указание.
'8(4—2«) — cos2x=~\/3( 1 +cos^2x+ у.у , ctg2x — cos2x =
^^(l — sin 2х), ctg2x(l —sin 2x) = д^(1 —sin 2x), (1— sin 2x)X
Mctg2x— V3)=0 и т. д.
49. x= 10°22/+90’'nt neZ. Решение. sin^2x—Л^ +
+cos(-^-2x). = V3cos(2x+^),sin (2x-) + sin (^n + 2x) =
149
= cos 2х 4- 3) ,	2sin^2x-|- 3) cos Л= -y3^cos 2xcos ДИ
— sin_2x sin3.) ,	-y/2 sin ( 2x + 3.) =-7з(^соз2х—_1_5т9д
y/2 sin 2x-cos —-|- л/2 cos 2xsin — = Acos 2x— ^sin 2x, ^sin 2хЯ
V	6	*	62	2	2	
4- cos 2x = A cos 2x — sin 2x,	sin 2x(-\/2 4- 1) = 2_ cos 2x 1
X(3— -y/2), -^/3 sin 2x-(V24-l)=cos 2x(3 —-\/2), соз2х=^0, tg2x=^
tg2x=<3-^>^-lS) ,	0,3787. 2«,
д/б + -\/3	3	3
=20o44'4-180°/i, x=10°22'4-90°n.
50. x=3.-|-2Jfen, JfeeZ. 51. x= — 59°4- 180°л, neZ.
52.	x = nn, x=2kn — 2л, n^No, k^Z. Указание. -\/2 sin 2x =
4
= — 2 sin x, Vsin 2x= —t/2 sin x, sin x<JO, — л 4-2/гл ^х^2йл,
sin 2x=2 sin2x, 2sinxcosx = 2sin2x, 2sinx(sinx—cosx)=0 и t. 1
53.	х=2лл, x=(4n4- 1)3-, neZ. Решение. -\/l 4-4sin xcosx=
= sinx4~cosx, 1 4-4 sin xcos x= 1 4-2 sin xcos x, 2sinxcosx=0,
sin2x = 0, x=k2L. Эти значения будут удовлетворять уравнению
только при k = 4n или fe = 4n4-l, т. е. х = 2лл или х=(4и-|-1)3.
54.	х = у 4-2fen — arctg у , k^Z. Р е ш е н и е. 3 sin х—4 sin3 х4-
4-4 sin3x4-4cos х = 5, 3 sin х-р4 cos х=5, \^4- 16«sin(x4-<p)=5.
sin(x4-<p)=l, х4-<р=у 4-2Лл, х=у4-2Ал—<р, ф=arctg у.
55.	х = (—1)"+1 3.-|-лл — 3., neZ.
56.	х = пп, n^Z. Решение. Зх=^=(2Л-|-1)3.» x=£(2k +1)3-
4x#=(2*4- 1)2L, x¥=(2Jfe-|- 1)3., tg3x = 3(tg4x —tg3x),	sin3x
2	8	cos 3x
 3 sin x	3 sin x—4 sin3 x_3 sin x	__q	sin X X
cos 4x cos 3x ’	cos 3x	cos 4x cos 3x
X(3-4sin3x)cos4x-3=0 1} sinjt = 0> х = пл или 2) (3-2(1-
cos Зх cos 4x
— cos 2x)) (2 cos2 2x — 1)—3=0, 2cos2 2x — 14- 4 cos3 2x — 2 cos 2x—
— 3=0, 4 cos3 2x — 4 4-2 cos2 2x — 2 cos 2x=0, 4(cos 2x— l)(cos2 2x4"
4-cos2x4- 1)4-2cos2x(cos2x— l)=0,	(cos2x— 1) (4cos22x4"
-|- 6 cos 2x 4- 4) = 0. a) cos2x=l, 2x = 2kn, x=kn. 6) 4cos22x4"
4-6cos2x-|-4=0, 2cos22x4-3cos2x-|-2=0, £» = 9—16<0, x=0-
Заметим, что лл ^=(2k-\-1) 3., 6л =jt 2k 4- 1. Аналогично
=^(2Л-|-1)3., 8л=^2Л-|-1.
8
150
57. x=(4fe + 3)f . x=(4fe-|-l)y, х=(-1Гу-|-пл—=-,fe, n<=Z.
58. x=2kn, k^Z. 59. x =—4-2/in, n^Z. Указание.
sjn3 3 sin Jf + 1 —2 sin2 x 4- 5 = 0,	sin3 x—2 sin2 x 4-3 sin x-|-6=
^0, sinx=y, j/3 —2y2 4-31/4-6=0, i/3-|-i/2 — 3i/2 —31/4-6i/-|-6=0,
/(«/4->)-3|/(</4-1)4-6(у-|-1)=0, (1/4- 1)(</2-3i/-|-6)=0 и т. д.
60.	x=kn, х = у-|-2Лл. keN^. Указание. V4s*nxcosx =
~s2sin x, Vsin xcos x =sin x,sin x^O, 2fen<x<n-|-2fen, sinxcosx =
-ssin2 x, sinx(sinx—cosx)=0 и т. д.
61.	л = у 4-ил. neZ. Решение, (sinxcos-у -|-cos xsiny =
= ^/2sinx, (у) (sin x-|-cos x)3 = -\/^sin x, -y(sin x-|-cos x)3=-^2sinx,
(sin x4-cos x)3 = 4 sin x, sin3 x-|- cos3 x4-3 sin x cos x(sin x4-cos x)—
_4sin x=0,	sin3x —sin x4-cos3x4-3sin xcos x(sin x-|-cos x) —
__3 sin x=0, —sin x(l —sin2 x)-|-cos3x-|-3sin x(sin xcos x-|-cos2x—
—1)=0,	—sin xcos2x4-cos3x4-3sin x(sin xcos x —sin2x)=0,
—sinxcos2x-|-cos3x-|-3sin2x(cos x —sin x)=0, cos2x(cos x —sin x)-|-
4-3sin2x(cos x —sin x) = 0, (cos x —sin x)(cos2x-|-3sin2x)=0.
a) cosx—sinx=0, cosx#=0, tgx=l, x = ~ -f-пл, или 6) cos2x-|-
4-3sin2x=0, cosx=/=0, tg2x=—5-<0, x=0.
62.	x = (6fe±l)y, x=(12n —1)^, x=(12n-|-5), n, kf=Z.
63.	x = (4fe—l)y, x = arctg3-|-/гл, x=(6n±l)-j^, x=my,
k, n, m^Z. 64. x=(4fe —l)y, x=arctg34-пл, x = (2m-|-l)y, x =
=(3p±l)y, k, n, m. p^Z.
65.	jt=±y-|-fen, х=ил, х=±у-|-/пл, fe, n, m^Z.
66.	x=(12fe-|-l)y, x = (12fe4-5)^, x=(4n4-1)75. x=(4/i4-1)-=-,
л. feeZ. Решение. cos4x(2sin2x — -^/3sin x—cos x)—sin 5xX
X(2sin 2x— -^/Ssin x — cos x) = 0, (2sin 2x — -^/3sin x—cos x)(cos 4x —
~~sin5x)=0. 1) 2sin 2x=->/3sin x-|-cos x, sin 2x = ^ysin x-f-ycosx,
sin2x=sin (x-|-y У a) 2x—x—^-=2fen, x=(12fe-|-l)-g-, или
б) 2х-|-х-|-4 = (2*4-1)л. Зх = 2*л-|--|-л, x=(12fe-|-5)-^. 2) cos4x-
~~sin5x=0, sin5x=sin(y — 4x^. a) 5x—-|- 4x = 2nn, 9x=
=a(4n-|-l)y, x=(4/i-|-1)y§ . или 6) 5x-|-y — 4x=(2n-|-1)л, x =
^2лл-|-=-, х=(4л-|-1)у.
151
67.	x=60°m— 40°, x=90°k— 40°, tn, k^Z. РешенЖ
tg 3 (40° + x) + tg (40° + x) = 2 s in 2 (40°+x), 40° + x=у, tg 3y+tg Л
_	sin 4y _ . _ n	2 sin 2y „	Ц
= 251п2У’ cos3yco5y -2s.n2y=0, co-s-3ycos\ -2Sln2yJ
Sin2^( cosZcosy----l)=°	sin2y = °- 2у = *л. y = k±, 40° + J
= 90°*, x=90°lfe —40° (1), или 2)  - c°s 2y—= 1 cos2y—cos3ycosyM
' '	' cos 3y cos у	cos 3y cos у
cos (3y—y)— cos3ycosy	cos 3y cos у Ч-sin 3y sin у — cos 3y cos у	M
’	cos 3y cos у	’	cos 3y cos у	’ ЧД
tg3ytgy = 0. a) tgy = 0, y=180°n, x4-40°= 180°n, x=180°n—
—40° (2), или 6) tg3y=0, 3y=180°n, y=&Q°m — 40° (3). Перепишем
(2) в виде x=90°-2n—40° (4). Из (1) и (4) следует, что х=90°Л^
— 40° (Г).
68.	х=( — 1У-р 4-ил, neZ. Указание. 5sin2x~
I2(sin х—cos х) /| 4--^-sin 2хЛ
-----------р-----------|-12 = 0, 1 + 4-sin 2х=/=0,	sin2x=/=—2
1 1-ysin 2х
при хе/?. 5 sin 2х — 12(sin х—cos х)-|-12=0, sin х—cos.x=y, 1 —
—sin 2х=у2 и т. д.
3___________________________-J|5
69.	x=kn, х=(—1Уarcsin—т-----|-/ut, k, n^Z. Указание.
Правая часть уравнения 2 (tgу + tg3y -|- tg5 -g- 4-tg7-g-4-...^пред-
ставляет собой геометрическую прогрессию. 0<tg-g-<l, Oi =
tg —	2t₽ —
= tg-8< ? = tg2-g-, S = -i—, 2------— =-------=tg2--y =
О	о
= tg-^- = l. Уравнение примет вид: 4 sin3 х4-3 cos 2х —sin xcos 2х—
— 3 = 0, 4sin3x-|-3(l —2 sin2 x) —sin х(1 —2sin2x)—3 = 0, 6sin3x—
—6sin2x — sinx = 0, sinx(6sin2x—6sinx—l)=0 и т. д.
70.	x=(— 1)"±arcsin-?= + n4—гагс^ёт5. n^Z. Решение.
3	V>45	3	3	° 12
12sin Зх-J-cos 3x=9, д/145sin (Зх4-ф)=9. s>n (Зх4~<p) =
= arctg Yg, 3x-|-<p = (—iy arcsin^=4-пл, x=(—1Уу arcsin4-
I	л	1	*	1
+ " у - Tarctg 12 •
71.	x=(4n-|-l) —, neZ.
16
72.	x = (2n-j- 1)-^-, x=(3fe± l)y , n, k^Z. Указание, cos 6л=®
= —2 cos 2x, cos 6x-|- cos 2x4-cos 2x=0, 2 cos 4x cos 2x4-cos 2x=0‘
cos 2x(2 cos 4x-|-l)=0 и т. д.
152
73.	х = ^~+2пл, x = arcctg 0,2+ Ал, п, keZ. Указание.
5ctg*(sin х~ l) — (sin l)=0, (sinx—1)(5 ctg х—1) = 0 и т. д.
74.	х = (— 1)"+‘ 4+пл+ " nt^Z.
4	4
75.	x=k^ х = 2тл, A, meZ. У к а з а н и е. sin x + sin (л —Зх)=
^sin 2x(l+cos 2х), sin x + sin 3x = sin 2х(1 4-cos 2х), 2sin2xcosx —
S^sin 2x(l + cos 2x) = 0, sin 2x(2 cos x— (1 +cos 2x))=0 и т. д.
76.	х = 2Ал, x=(4n+l)-5., k, n^Z.
77.	x= — -2- + пл, reZ. Решение. 1 +2 sin x cos x+ 1 =
= 2coszx, 2(1 —cos? x)+2 sin x cos x=0, sin2 x + sin x cos x = 0,
sin x(sin x + cos x)=0. a) sin x = 0, х = ил, или 6) sin x + cos x=0,
tgX= — 1, x=—у + ил. Значения х=Ал не удовлетворяют урав-
нению, так как ctg Ал не существует.
78.	х= ±arctg у^б+пл, neZ. Решение, tg ^ + [^7 +
+2tg2x4
решения
—= 0. Воспользуемся формулой tg За = 3 tg<?—^-®для
tg 4х	т'	1— 3tg а
уравнения. Получим: tgx+	+2 tg 2х +
3tgx — tg3x
I 2(1—tg2 2x) __ Q 3 tg2 x —tg4 x + 3 —9 tg2 x I 2 tg2 2x + 2 —2 tg2 2x __ Q,
tg 2x	’	3tgx —tg3x	tg 2x
3 —6tg2x —tg4x _|_ 2 = fl.	3 —6tg2x —tg4x _|_ 1—tg2x = 0, tg X =/= 0
tgx(3—tg2x) tg 2x ’	tgx(3 — tg2x)	tgx
3 —6tg2x —tg4 x-i-3 —3tg2x—tg2x+tg4x n 6—10tg2x_n .
*nn'	з^+	’ 3—tg2x ’ 2е
6— 10tg2x=0, tg2x=0,6, tgx=±^0A x= ±arctg\to,6+nn.
79.	x= — —+йл, x — nn, k, n^Z.
4
80.	x=2L, x——. Решение, cos — x— cos — x = cos +,
9	7	2	2	2
cos-^-x = cosl3x + cos + ,	cos — x = 2 cos — x cos 3x,	cos— x(l —
2	2	2	2	2	2
~~2cos3x)=0. a) cos-Lx = 0, _Lx=(2A+1)2L, x = (2A+l)2L,
0<(2A+l)-^<-5-, 0<2A+l<Z, —	Так как AeZ,
'7	4	1	4	2^	8
то A = 0 и xi = или 6) 2cos3x= 1, cosЗх= A, Зх= ±_5- + 2Ал.
^=(6А±1)у. 1) 0<(6A+l)-^<-J, 0<6*+l<-|-, —
"g-^A^^.TaK как feeZ, to k-Ои x2 = y . 2) 0<(6A— l)y
Так как AeZ, то A=0.
153
82. х=(2п+ 1)у, neZ. Решение. у д/2 cos2^^
= -у/ cos2 х—cos х —cos х,	1 cos jc| 4-cos x= -y/cos x(cos
a) COS Jt^O, -у COS x4-COS X=-Vcos x(COS X— 1), COS X (1 —
= -^/cos x(cosx—1) (1). Равенство (1) не имеет смысла, так как
cosjc(1—	<0. б) OCcosx^l, тогда cosjc(cosjc—1)<0, т. е
х=0. в) cosx=0, jt=(2n+ 1)у- г) cosx=l, тогда левая часть
данного уравнения не равна правой части.
53.	х=±-|-л4-2/гл, JfeeZ.
84.	х= — 4~4£л, х== ± — 4-2пл-|- —, k, n^Z. Решение
2	3	2
2 sin х — cos -|( х— у) = sin2 x-|-cos2x, 2 sin x —cos l(x— 20 =1,
x—^-=y, x= Л + у, 2sin(^4-у)—cos 1-0=1, 2cosy —cos3X
x(y!/)=l. 2cos0—(4cos3 i—3cos-L^=l, 2(2 cos2—
—4 cos3-|- 4-3 cos у = 1,	4 cos3 -L—4 cos2 —3cos -|-3=0,
4 cos2 y^cos 1) — 3(cos — 1) =0, (cos — 0(4 cos2
— 3^=0. a) cos-|-= 1, cos-|-=2An, 0 = 4ftn, x=-^--j-4kn, или
6) 4 cos2—3 = 0, 2(l-|-cos0)—3=0, 2cos0=l, cosy=-L, y =
= ±v 4-2/гл. x= ±v+2/гл +V-
85.	x= — A-}-Aot, х = пл, k, n^Z. Указание, (sin x-|-cosx)X
X(2 — 4 sin2xcos2jc)=2 (1 -Mg4x)(l 4-tg2x)(l —tg2x)cos7x, (sinx+
4-cos Jt)(l —2 sin2jccos2jc)=(l -Mg4x)-у •(! —tg2x)-cos7x, (sinx4-
4-	cos x) ((sin2 x 4- cos2 x)2 — 2 sin2 x cos2 x)=(1 4- tg4 x) • cosix~~sin х- X
cos2 x
s	, .	,	. , . 4	4 .	COS4 X-I-sin’ X , 2   
Xcos X, (sin X4-cos x) (sin4 x-|-cos4 x)=------^7^---- -(cos x —
— sin2 x)-cos3 x, sin4 jc-j-cos4 x=/=0 при xe₽, (sin x-|-cos x)X
( 1 cosx^sinx\ =0 и т д
\	cos X /
86.	x= — у4-Лл, x= ±у4-ил, k, n^Z. Решение. 2(1 +
4-sin2x)= —cos(90°4-2x) 2(l-psin2x)= Н^шгх (1 _|_sin2x) (2-
'	sin(90“ + 2x)	’ C0S2X k
154
_X-) = 0. a) sin2x= —1, 2х= —2L-|-2fen, х= — 2L-|-fen, или
cos 2х /	2	4
—!—- = 2, cos2x=4-, 2х= ±v 4-2пл, х=±-^+пл.
Of cos 2х	2	6	о
87.	*=-у4-лл. neZ.
88.	x = (2fe-|-l) —, x=(6n±l)2L, k, neZ. Указание (ctgx—
4	12
_ tg x) (ctg x -I- tg x) = 16 cos 2x, CQS-2 ^~5ini x . cos^ x-fcsjn2 x  j g cos 2X
b	sin x cos x sin x cos x
---2— = 16 cos 2x, cos 2x( —!--4^ =0 и т. д.
sin 2x sin 2x	\ sin2 2x /
89.	x = — у 4-fen, x= ±-|-л4-2ил, k, n<=Z. Указание.
sin2x4-cos2x4-2 sin xcos x-|-cos2x — s in2 x 4-sinx 4-cos x=0, (sin x-|-
4-cos x)2-|-(cos x-|-sinx)(cosx —sin x)-|-(cosx-|-sin x)=0, (sinx-j-
4-cosx)(sinx4-cos x4-cosx —sinx4- l)=0, (sin x-j-cos x)(2cos x+
4-l)=0 и т. д.
90.	x = fen, x = ± ~4-пл, k, n^Z. Указание. 2 sin 2xcos 2x-|-
4-3sin 2x = 1 ~ cos-2x , x=#=fe —, 2 sin22xcos 2x-|-3 sin2 2x= 1 — cos 2x,
sin 2x	2
2(1 — cos2 2x) cos 2x-|-3(1 —cos2 2x)—(1 — cos 2x)=0,	(1 — cos 2x)X
X(2(l-j-cos2x)cos2x4-3(1 -|-cos2x)— l)=0 и т. д.
91.	x=(4n-|- l)y, *=(6fe-|-1) n, k^Z. Указание.
tg(|n-2x) — cos 2x = -^/3(l -|-cos( 2x-|- y)) .	ctg 2x —cos 2x=
= -\/3(l — sin 2x), ctg 2x(l — sin 2x)= ~>/3(l — sin 2x),	(1 —sin2x)X
X(ctg2x— '\/3)=0 и t. д.
sin(y— x)
92.	x= — 4-nn, neZ. Решение. ---------------------------—-=
4	-y/2 cos x
sin cos x—cos sinx	.	.	J_
= __4__________4	_ cosx—sinx _ -Ltrx. 3-42 2 B =
-^2 cos x	2 cos x 2	2
==3.2.2-‘8' = -Д-, 14-2‘8X = -^-, 2‘8х=у, l-t-y=A, u>0,
2»g*’	1	2*®*	у
!?+y—6 = 0, 1/! = —3 и 1/2 = 2. а) 2*ех = —3<0, x= 0. 6) 2*ex=2,
'gx=l, x=2L-|-nn.
4
93,- x=(—l)*+l —-|-fen, x = nit, k, neZ.
6
94.	x=(6fe-H)-£. y=(6n+l)4; x=(6fe-l)A, y = (6n-l)A,
d	«3	и	u
155
+ 7------xW 2 </\=Т’ tgT = u’ ^У=р’ тогда уравнен
(>+‘е2у)(1+‘е у) 222
1-U2	1 _ „2	(1 -U2)(l- Х>2) . 4uv	3
примет вид: ---^4------- — ----------*4------=^---=_, (1
14-и2	14-и2	(1 +«)(! +f2)	(l+«*)(l+v*)	2
— u2)(l 4- t>2)+(l — п2)(1 +u2)—(1 — u2)(l — v2) + 4uv= -1(1 4-u2)(1 +
4-p2),	1 +u2 + v2 — 3u2v2-I~4uv= .1(1 + u2 + v2 + u2v2), 2 + 2u2^
+ 2t>2—6u2v2 + 8un = 3 + 3u2 + 3p2 4- 3u2v2, 9u2v2 — 8uv 4- u2 4- v2 4.
4-1=0, 9u2v2 — 6un-|- 1 4-u2 4-o2 — 2ut> = 0, (3ut>—l)2-|-(u —n)2==o
3uu = l и u = v, t. e. 3 tg -Ltg -|-= 1 и tgA=tg-|.,
3te2-i=i,
*=(6fe4-l)£,
i/=(6n-bl)y.
x=(6k-\)±,
</=(6/1-1)21.
95.	jt=(2n-|-1)y=(4k+l)^., n, k<=Z. 96. x=(2n4-l)^4-
+ k±, y=(2n+l)^-k^., n, ks=Z.
97.	х=(2Л-|-1)л, </=/гл; x=(2fe — и4-1)л, y=nn, n, keZ.
98.	x=2kn, x =—2 arcctg 2-|-2nn, x=2 arctg(2±-v/3)4-2mn,
k, n, m^Z.
99.	x = -1 arccos(2a—1),	x= ±-1 arccos(2a—l)4-n, x=
=— -1 arccos(2a—1)4-2л, 0<a<l; x=-larccos -Ц^2° . x==
= -1 arccos--z-° 4-л, х=2л — arccos 1 Q2-, —l^a^2. Peiue-
ние. |cos2x|= |1—l-cos2x —a|, |cos2x|= |-Icos2x+a—
— у I - 1) cos 2* = ycos 2a4-a—1, cos2x=2a—1, —1^2a—
1, O^a^ 1,2x= ±arccos (2a— 1)-|-2/гл, x= ±-larccos (2a —1)+
4-ил. a) 0^-larcco$(2a—1)4-/гл<2л. Значениями n могут быть
0 и I, поэтому Xi = -1 arccos(2а— 1), х2 = уarccos(2а —1)4-л, или
б) 0^—1 arccos (2а—1)4-/гл2л. Значениями п могут быть 1 и 2-
156
поэтому х3= — у arccos (2а — 1)-|-л, х4= — у arccos (2а—1)-|-2л.
,^cos2x=—— cos 2х—а-|-у, 3cos2x=l—2а, cos2x =	,
1<
1—2а
3
<1,
— 3<1—2а<3, —4<—2аС2.
— 1 <а<2.
1— 2а . _.	,1	1—2а . .	.	_
9r=±arccos—5---|-2лл, х=±-=- arccos—5-----|-Ал. а) 0^
ь*	о	2	и
^у arccos 4-Лл^2л. Значениями k могут быть 0 и 1,
1	1—2а	I	I—2а ,	п
поэтому х5 = — arccos—=—, х6 =-5-arccos—=-|-л, или б) 0^
2	О	2	О
arccos + &л 2л. Значениями k могут быть 1 и 2,
1	I—2а	о	л I—2а
поэтому х7 = л—-arccos—3—, х8 = 2л —arccos—-—
100.
101.
x=kn, х=±± arccos
я	я	5
Х=у, Х=у, Х=-Л.
пл, п, k^Z, а<0 или а>4.
102.	x=(2n +1)у, neZ. Решение. 4.3^ 2^si"2 * _д.з“»2* —
-1=0, 4-3cos2x —3-32cos2jt-1=0, Зс“2х=у, 4у —Зу2—1=0,
Зу2—4у+1 =0, yi = y, У2=1- a) 3cos2x=3-‘, cos2x=-l<0,
х=0, или б) 3cos2jt = l, cos2x = 0, cosx=0, x=(2Ai-|- 1)у.
103.	{х}=0. Решение, sin4 x-|-cos4x-|-sin3 xcos jc-|-sin xX
Xcos3 x-|- sin2 x cos2 x=-—!------, (sin2x-|-cos2x)2 — 2 sin2 x cos2 x 4-
1	sin X cos X	4	1	'	1
+sin x cos x(sin2x-|-cos2x)-|-sin2 xcos2x= =—!---------,	1 —sin2xX
'	' '	sm x cos x
Xcos2 x-|-sin x cos x= —--------------,
Sin X COS X
1
sin x cos x
— sin X cos X X
1
X (sin x cos x— l) = 0,	—!----sjn x cos x(sin x cos x— l)=0,
Sin X COS X	4
(sin xcos x— 1)	!-------sin xcosx^ =0. a) sin xcos x= 1, sin 2x=
' \ Sin X COS X	/
=2>1, x=0, или 6) x^=k~, sin2xcos2x = 1,sin2 2x=4> 1,
x=0.
104.	x=(2«4-l)y, x= ±y (л —arccos-|-)-|-Лл.
105.	x= ± j-f-лл, neZ. Указание, sin (4х-|-4л)—3 cos (y +
+2x)=tg(пл-|-x)-|-arccos 1. sin 4x^-3 sin 2x=tgx, 2sin 2xcos 2x-|-
+3sin2x—tgx=0, 2 sin 2x cos 2x-|-3 sin 2x—, $1Л 2x„ =0, sin 2xX
X (2 cos 2x4-3 — 73-!—5~)=0 и т. Д.
\	1 l-|-cos2x/
157
106.	Jt=(3Jfe±l)-^, k^z.
107.	x=Jfey, x=(2Jfe+l)-g-, k^Z. Решение. Упрости^
(-V^-l)(-J/2=4--^4-l) rr 4/s ДГ 4-
правую часть уравнения: ---------------------у2—-у2 = л/2+'у2^
-|-1 —-\/2—^2= 1. Уравнение примет вид: 1-|-sin (2 л—5х)^
-|-sin х= 1, — sin 5x-|-sin х=0, sin 5x=sin х. а) 5х—х=2Лл, x~k^
или б) 5x4-x=(2Jfe4~ 1)л, х=(2k -|- 1)у.
108.	х=у+£л, k(=Z. 109. x=(-ir+1 у+(3п-!)-=-, neZ.
ПО. х=Пу, *=(—l)my+(4т-|-1)у, п, m^Z. Указание.
— sin (2л — 2х)—cos (л-|-2х) = 2см2 *2х	^Х> sin 2х 4- cos 2х=
1 sin 2х - _	_	1— sin 2х п , п , ,п, , л
= —=-------sin 2x-|-cos 2х=----------—, cos2x=#=0, x^=(2k-\-1)—
cos 2x cos 2x	1	cos 2x	v 1 ’ 4 ’
sin 2xcos 2x-|-cos2 2x= 1 —sin 2x, sin 2xcos 2x= 1 —cos22x—sin 2x,
sin 2xcos 2x=sin22x—sin 2x, sin 2xcos2x—sin22x-|-sin 2x=0,
sin 2x(cos 2x —sin 2x-H)=0 и т. д.
111. x=(6m-|-1)-^-, meZ.
112. x= ± —(л—arccos 0,25)4-Лл, keZ Решение. cos-2* _
------- ------k 3 tg 3x — 2 tg x = 0,	cos22x—1 —i— 3 tg 3x — 2 tg x=0,
2 sin 2x cos 2x ' Б	sin 2x cos 2x
—|-3tg3x—2tgx=0, sin2x=/=0, x=?=m*	—^-^4-
2x cos 2x Б	Б	2	cos 2x
-|-3tg3x—2tgX=0,
-|-2(tg3x-tgx)=0,
— tg2x-|-3tg3x—2 tgx=0, tg3x — tg2x4-
sin x 1 g. sin 2x  q sin x _|_
cos 3x cos 2x ' cos 3x cos x ’ cos 3x cos 2x
4- 4s-"1xcusx =0, cos x=#=0, x^ZL + kn, -----------------+ Jt®iHJL=0.
cos 3x cos x	2	cos 3x cos 2x cos 3x
 s-x.(—I-----4J =0. a) sinx=0, х=лл. Эти значения x не удов-
cos Зх \ cos 2х /
летворяют уравнению, б) —^-4-4 = 0, cos2x= —	2х==
= ± ( л — arccos .1) 4- 2Лл, х = zb у (л — arccos	) 4- Jfen.
113. х=(2Л 4-1) —.	х=(4и-|-!)-£-, k, n^Z. Решение.
4	8
tg2 х — ctg2 х 4~8 cos 2x ctg 2x=0, —n^—-----cos** 4- 8 cos 2x ctg 2x — 0.
cos2 x sin2 x
sin4 x—cos4 x J g cos 2x ros 2* = 0	(sin2 x4-cos2 x) (sin2 x—cos2 x)
sin2 x cos2 x	sin 2x '	sin2 x cos2 x
158
, geos 2x^4^ =0, -~4fs2x 4-8 cos2x^«0,	4ctg2xX
4-01' sin 2x	sinz2x -	sin 2x	6
x( " sin2^ + 2COS2x) = 0’ a) ciS^x=0, 2х=-=- + *л« x=e(2ft4- Dy-
м 2cos2x----!—=0, 2sin2jtcos2jt= 1, sin4jt = l, 4jt=(4n-|- 1) —,
DJ	sin 2x	'	' 2
115. x=kn, x=
Х=(+'‘ ' ч-g-
114. х = (4ft4-3)2L, x=(6/i±l)i,
^(2«4- 1)^. х=(2л-1)-1, ft, neZ.
116.	x = arctg(2±-^/3)-|-nn, neZ. Решение. В правой части
уравнения выражение в скобках 1 4--^: ~Ь у 4" —~+ — представляет
собой геометрическую прогрессию, в которой bi = l, <J = —, S =
л/2
=—!— = —. Правая часть уравнения примет вид: ~^2(~^2— 1)Х
л/2	/ „	\	*ет +fex
X—-— = 2. Получим: tg( — 4-*} -Mg-*=2, ----------|-tgx = 2,
I—tgytgx
~g'^+tex=2> tgx=?fel, x=#-=-4-nn, 1 4-tgx4-tgx — tg2x=2—
— 2tgx, tg2x—4tgx-|-l=0. tg*=2±-\/3, x=arctg(2±-\/3)4-пл.
117.	jc= 180°ft, x= ±70° 16'4- 180°n, x= ±46О1(Г4- 180°ft,, ft.
118.	x=(2n-\- l)y«, neZ. Решение. tg-|-4-2tg-L4-4tg-f- +
+7—- =tg	tg —
tgx 6 12.	6 8
4
8( l-tg2-^)
—4-—--------— = tg±, tg^4-
2	X	12 b 8
2tg-=-
e 2
= tg_L, tg — 4-2 tg _L 4-
Б 12 е 8	4
4
2
tg 2
4tg*A +4 —4 1g2	„ д/
----- ------------ = tgA, tg JL-|-2 tg — 4	— — tg — ,
Б 12' б 8 Г Б 4	2tg—----12

♦ r	2 ‘g’ 4 +2-2 tg2 4-	2(l-tg24)
H+------—--------+
‘gy	2 tg-8
159
i . г x
1—tg -s-
-------— = tg—.
l x Б 12
‘*-8
tg2-^- 4-1- tg24
_____о____________о
tg-8
— = tg —, ctg_L=tg_S,
Б 12 Б 8 Б 12
=0.
5
cos —X
----—----= 0, cos —x=0,
xx-------24
s,n-8 COST2
5
24
4
—. k
4 •
s,nicos^
= (2л+ 1)2L, х=(2п-|- 1)2£л. Допустим, что sin — =0, тогда
2	5	8	8“
Х=8Лл. Но (2л 4-1)	у= 8Ал, так как 3(2л -|- 1)=#= 10fe— очевидно*
5	 ।
Аналогично проверяется, что и cos-S=,fcO при х=(2л-|- 1)^л.	1
12	5
119. х= — — + кл, х = — пл,
4	4
п, tn^Z.
120. х = arcctg 2-|-лл, x=(2m4-l)2, п, m^Z. Указание.
1 — cos (л cos2 х) = 1 — cos (л sin 2х),	cos (л cos2 х)=cos (л sin 2х).
а) л cos2x—л sin-2x=2fen, cos2x—sin 2x=2fe, cos2x— 2 sin xcosx=
= 2fe(sin2x-|-cos2x), 2fe tg2x-|-2 tgx-|-2fe—1 = 0 (1), _5 = l-4fe24-
.	4
16	4
+ 2Л>0, 4fe2-2fe-l<0, *2-±*-±<о,	-
\	4/16 1	4 1	4	4	4	4	4	^
Так как k^Z, то /г=0, тогда ^ = 1. Уравнение (1)
примет вид: 2tgx=l, tgx=A, х = arctg+ пл. б) ncos2x-|-
4-л sin 2х=2игл и т. д.
121. x— — 4"feeZ. 122. x₽fen, x=(6n±l)-5-, x=
4	6
= (12иг-1)21, x=(12m4-5)-^, k, n, mt=Z. 123. x=(2fe4-1)-~
x=(6n± 1) —, x=(6m+ 1) — , x=(6m— 1)	, fe, n, meZ.
6	6	1*
124. x=fen, k^Z. Решен ие. 4sinx-|-sinx—sin5x=0, 4sinx—
— 2 cos 3x sin 2x = 0,
— cos xcos 3x)=0.
cos 4x4- cos 2x=2,
cos2x=— ly< — 1. x=0 или cos 2x= 1, 2x=2fen, x=fen.
125. x=(2fe-|-l)2L, x=(6n±l)^, fe, nt=Z.
2 sin x—cos 3x2 sin xcos x=0, sinx(l"
a) sinx=0, x = fen, или 6) cosЗхcosx— I
2 cos2 2x4-cos 2x—3=0,	cos2x=^~^
4
160
126.	x = -——-л, ieZ, n^N. Решение. 2 sin2 x-|-2 sin 2xX
n(n+l)
X sin 4x 4- 2 sin 3x sin 9x-|- 2 sin 4x sin 16x +...+2 sin nx sin rrx = 2,
2sin2x = 1—cos2x,
2 sin 2x sin 4x = cos 2x
j_ 2 sin 3x sin 9x = cos 6x
2 sin 4x sin 16x= cos 12x
— cos 6x,
— cos 12x,
— cos 20x,
2sinnxsinn2x — cos(nx— n2x)—cos(nx-|-n2x)
2=1— cos (nx+n2x)
cosn(l 4-n)x= — 1, n(n-|- l)x=(2fc-|- 1)л, n^N, k^Z, x= + л.
”(”4-1)
127.	х=(4Л-|-1)-^-, x=(— l)"+l _5.-|-(4n —	k, n^Z. Реше-
ние.	(sinx — cosx)+(sinx—cosx) (sinx 4- cosx)4-(sinx — cosx)X
X(sin2 x + sin x cos x 4- cos2 x) 4- (sin x — cos x) (sin x 4- cos x) (sin2 x 4-
4-cos2 x)=0, (sinx—cos x)(l -|-(sinx-|-cosx)4- (1 -|-sinxcosx)4-
4-(sinx-|-cosx))=0. a) sin x — cosx = 0, cosx=#=0, tgx— 1, x=y 4-
4-kn, или б) 1 4-sinx4-cosx4-1-|-sinx-|-cosx-|-sinxcosx = 0,2 4-
-|-2 sin x 4-2 cosx 4-sinx cos x = 0. 3-|-4(sinx-|-cosx)+ I -|-2sinxX
Xcosx=0, 34-4(sin x 4-cosx) 4-(sin x 4-cos x)2 = 0, y2-|-4y-|-3=0,
i/i = — 1, sin x-|-cosx= — 1, sin(x4--1) =-y и т. д.
128.	x = kn, x=(4n-|-l)2L, k, n^Z. Указание. tgx(tg22xX
Xtg23x—l)=tg22x—tg23x, tg x (tg 2x tg 3x 4-I) (tg2xtg3x-l) =
=(tg 2x-tg 3x) (tg 2x4-tg 3x),	tg x sin2xSin3x-t-cos2xcos3x x
cos 2x cos 3x
X sin 2x sin 3x —cos 2x cos 3x _ —sin x e sin 5x	COS 2x =/= 0
cos 2x cos 3x	cos 2x cos 3x cos 2x cos 3x
cos3x=#=O, tg xcos(3x—2x)( — cos(2x-|-3x))=—sinx sin 5x, tgxX
Xcosxcos5x= sinxsin5x, sin xcos5x = sinxsin5x, sinx(cos5x—
—sin5x) = 0 и т. д.
129.	(x)= 0. Указание, cos2 x4- cos x 4- 4 cos 3x — 4(cos 3x-|-
+ cos x) -|-^=o, cos2 x 4- cos x -|- 4 cos 3x — 4 cos 3x—4 cos x 4-
+ ^=0, 9 cos2 x 4- 6 cos x — 36 cos x-|-23 = 0, 9cos2x — 30cosx-|-
+ 23 = 0 и т. д.
130.	x=4kn, x = ±-5-4-2nn, k, n^Z. 131. x=-2--|-2fcn, k^Z.
*32- x=y 4-6л, x=(—l/’+'y arcsiny-|-ny , ft, neZ. 133. x=
^2*4-1)^, x=(2n-|-l)y , x=(2n-|-l)y , k, n<=Z.
Зак 1567 И. T. Бородуля	161
зп
134. x=arctg-\/ -L-l-пл, meZ. Указание. 6 sin x—2 cos3x;
V J
= 6 sin cos 2x cosx	cos 2x^0,	6 sin x-2 cos3x=6sin xcos2
2 cos 2x
3sinx—cos3 x=3 sinx cos2 x, 3sin x(l — cos2x)—cos3x=0, 3sin3x
— cos3x=0, cosx=/=0, 3tg3x=l и т. д.
135. x=— 21-|-2пл, neZ. 136. х=л, x=—л. Реше ни
6	6
2sinxcosx + 2sinx+cos x+ 1 =0, 2sinx(l +cosx)+(l + cosx)==
(1 +cosx)(2sinx+l)=0. a) cosx= —1, х=(2п + 1)л, 0<(2л
+ 1)л<5, —K2n<A —1, — * <n< A—JL. Так как пе
л	2	2л 2
то п=0 и х=л. б) sinx= — * 1) х= — -£+2Лл, 0< —++2£л-
2	6	6
<5, ±</г<А+ * . Так как keZ, то k=0. 2) х=-1л+2Лг
IZ	£Л I £>	,6
0<1л + 2/гл<5, -I_<2*<A-_L,	Ts
6	6	л 6	12 2л 12
как ieZ, то k = 0 и х=— л.
6
137.	x=kn, x=(2n+ 1).21, x=(3m± 1) — , k, п, tn^Z.
2	3
138.	х=(—1)*21 + Лл, х=+-+2пл, k, n^Z. Указами
1ое2^(1У =Г’ Т^=(23 ) ’2 4 = 23 ’ Г=-3’ 3sinx—cos(n-
— 2х) = 2, 3 sin x+cos 2х=2, 3 sin х+1 —2 sin2x=2, 2sin2x-
— 3sinx+l=0 и т. д.
139.	х= ± ( л —arccos +2Лл, х= ±arccos А + 2пл, k, п&
140. х= ±7°36' + 180°Лг, х= ±60° + 180°n, k, n<=Z. 141. х
=(2*+l)_l, JfeeZ. 142. х= —^ + Лгл. JfeeZ.
143.	х= ± —+2пл, neZ. Решение, tgx+sin 2х+  “>s—:
3	14-smx
= 1 + 1 -cos(4+2х). tgx + sin2x + -^-=2+sin2x,
\ 2	/	1-hsmx	cosx
। cos x  2 sin x+sin2 x+cos2 x  2 sin x+1	_ 2 sjn д-у—-
l+sinx	cosx(l+sinx)	cosx(l+sinx)
—= 2, cosx=~L, x=±—+ 2пл.
cos x	2	3
144.	x^= —-l + nn, x = (—l)*+l arcsin^ + Лл+.1. n, k&‘
145.	x=-?L(2n+l); neZ.
146.	x=4,0311, x = 2,2519, x—-1л, х = Ал.	РешенИ
6	6
64cos22x----®—=0, f8cos2x-|---!—• fe cos 2x----=0.
sin4x \	sin2x/ V	sm’-x /
162
n8cos2x-|----------=0, cos2x=?tl,	8 cos 2x — 8 cos2 2x + 2 = 0,
11	1—cos2x
gcos22x — 8cos2x— 2 = 0, 4 cos2 2x—4 cos 2x—1=0, (2 cos 2x—
_1)2 = 2, 2cos.2x— 1 = ±-\/2. cos2x= a) cos2x = ‘	>• 1,
-v2—1	/	-J2 1 \
x=0; 6) cos2x =--j—, 2x= ± (л — arccos—j + 2fen, x=
K А(л— arccos 0,2071)+fen» A(n— 1,3622)+fen, -2. < A(n—
— 1,3622) + fen < А л,	0<—0,6811 + fen < л,	0,6811 •< fen < л+
4-0,6811, ^®<fe<l+^^. Так как feeZ, то fe=l и %| = А(л—
- 1,3622)+л = А-1,7793 + 3,1415» 4,0311.	х= — А(л — 1,3622)+
+ fen,	—-у(л—1,3622) + fen < А л, л<0,6811+Ал<2л, л—
— 0,6811 < fen<2n—0,6811, 1_0!68И<а<2_ W8H T{J|( K{JK
Л	л
feeZ, то fe=l и Х2=—А(л—1,3622)+л= — А-1,7793+3,1415»
«2,2519. 2) 8cos2x-------= 0, cos2x=?tl, 8cos2x—8cos22x—
1 —cos 2x
— 2=0, 4 cos2 2x — 4 cos 2x + 1 = 0, (2 cos 2x — 1 )2 = 0, cos 2x = A,
x=±.£ + nn. а) х = -^+пл, "< "+пл<Ал, ‘—A<n<
О	О	л, b	z	z b
<A — А, А<п<1А. Так как neZ, то n=l и x3 = — + л=
2	6	3	3	6
“+ C) x=-i+<m. «<-	2.+^<„<|+
+ A, А<п<1 А. Так как neZ, то n=l и x4= — 2L + л = А л.
147 j,.— л —2 х 5л —2 х. 13л —6	. 25л —6 х 5л—6	__
4 ’	4 ’	12 ’	12 ’	12 ’
_ 17л—6
~~ 12	’
148.	х=Ал. х=Ал, х= 1,7856, х = 2,9266.
8	8
149.	х= 1,8088, х = 3,3796, х= 1,3326, х=2,9034, х = 4,4741,
*=0,2381.
150.	x=(2fe+l)" x = (12fe—1)21, k^Z. Решение.
2 .	б
s,n х sin 2x=5 cosx + 4 sin 2x, 4 sin2 x cos x—5 cosx — 8 sin x cos x=
’’'O. cosx(4 sin2x~8 sinx — 5) = 0. 1) cosx=0, x=(2n + l)2L, или
6»
163
0, или б) sinz==
2) 4sin* 2x— 8 sinx — 5=0. a) sinx=2-l
= —-L, x = (—1)"+1-g-4-пл; эти значения x будут удовлетвори^
уравнению только при n = 2k, т. е. х=(—l)2t+12L-|-2fen или х=а
I —tgx
= — -1-|-2£л.
151. х= —4-2пл, х= —+ (2п+1)л, neZ.
4	4
152. х=—arctg 0,6-|-пл, neZ. Решение. 1 4-tg *4-tg2х4-
4-tg3x4-— — бесконечная последовательность. Так как |tgx|<;i
то имеем бесконечно убывающую прогрессию, в которой b1 = i'
(	( cos (2п—
o=tgx и £ = -:——. Получим: -—-—
’ ь	1—tgx	J	1—tgx
- - 3—, 1— tgx=2-\/l — tg2x, (1—tgx)2 = 4(l—tgx)(14-tgx),
\l-tg2x
(1—tgx)(l—tgx—4 — 4tgx)=0. a) 1—tgx=0, но tgx=/=l, x=0.
6) —5tgx—3=0, tgx=— A, x=—arctg0,64-nn, neZ.
7~i_ ,/17
153. x=±arccos-----—|-2пл, neZ.
16
154. x = (-l)“^ + (4n-l)±.HEZ. Указание. 2^2	=
= (3610636 25 4-4£ _3iog36).	22lgY_cosx=(254-5 — 6)- 1,
2	= 22, 2 tg A — cosx = 2,	~cosx)—cosx=2, sinx=/=0,
2	sin x
2 — 2cosx — sin x cos x=2 sin x,	2 — 2(sin x 4-cos x)—sinxcosx=0,
sinx4-cosx = y, 1 4-2 sinxcosx = y2, sinxcosx=^-=^, 2 — 2y— j
— ^|^=0, t/24-4y —5 = 0, y, = —5 и i/2=l. a) sin x4-cos x= —5.
x=0, или 6) sinx4-cosx=l и т. д.
155. x=(—1У+1 A arcsin jy4-90°n — 17o30', neZ. 156.
= (2п4-1)л, x = (— 1^4-fe £ + k -1. n, k<=Z. 157. x=— arctg24*l
4-fen, x=±— 4"2пл, k, neZ.
3
158. x = (2n4-1)JL, x=2kn.
c=—kn, п, k^Z. У Казани
3
1
vz2 ___I
I+-L V2+I
V2
L_J_ + _L_
12	2	2д/2
л/2+l
164
sslog2 1=0, 2 cos 5x cos 2x—1 — cos 4x-|-1 —cos 6x = 0, 2cos5xX
cos 2x—(cos 4x + cos 6x) = 0,	2 cos 5x cos 2x — 2 cos 5x cos x = 0,
2cos5x(cos2x— cosx)=0 и т. д.
159.	neZ. Решение.	tgx +	=
2 sin x cos x . cos 20° cos 40°	t g X _cos 30°	= f g x cos 20° cos * 40°
2 cos2 x sin 20° sin 40°	sin 20° sin 40°	sin 20° sin 40°
tg x sin 20° sin 40° + cos 30° = tg x cos 20° cos 40°, (cos 20° cos 40° —
— sin 20° sin 40°) tgx=cos 30°. cos 60° tg x=sin 60°, tg x = tg 60°, x—
__60° = 180°n, x=60°-|- 180°n или x= -1-|-пл.
3
160.	х = (2п +1)Л_, neZ.
161.	x = kn, x±-j-4-2nn, k, n^Z. Указание. |sin x| <1, 1 —
—sinx + sin2x— sin3x-|-sin4x—... — бесконечно убывающая геометри-
ческая прогрессия, в которой Ь] = 1, q=—sinx, S = —A—- Получим:
1 "1“ sin X
(тгк7)-'-1+8'п1(т-х)-8,п!(т+')“0-
I— cos(-£-—2x)	I— cos (-f-2x)	z ч
+—y— --------------------2—~=0, 2 sin x+1 —cos(т—2x) ~
— 1 + cos ( -A + 2x) =0,	2 sin x -|- cos (-j- + 2x) — cos ( Л — 2x) = 0,
2sinx— 2sin-£-sin 2x=0, 2sinx—-\/2-2sinxcosx=0, 2sinx(l—
—^2cos x)=0 и т. д.
162.	x= — Ал, х=Ал, x = 2L, x= —, x = —n.
18	8	18	8	18
163.	x =— Ал, x = — , х = Ал. Решение. -\/x + л < 3,
4	4	4	v
$( sin xcos — J
°<х + л<9, — л<х<9— л, (1) tg2x —tgx =--------------
'Ji (cos x sin
-----. tg x — tgx=	, cosx=#0, tg x — tgx =
COS X	’	Ь	COs X ’	> ь	b
= tgx— 1, tg2x—2tgx-|- 1 =0, (tgx— l)2=0, tgx=l, х = у-|-пл,
z==(4n-|- l)-j-. Подставим найденное значение x в неравенство (1):
-n<(4n+l)-j-<9 —л, —4<4n + K^—4, -5<4n<^-5,
4-n< jL — А. Так как neZ, то n= — 1, 0, 1 и x( = — Ал,
4	л 4	4
x2== л „ _ 5 „
V’ z3 = — л-
4	4
1G5
164.	x=y(2n+ 1), х=— 2у, х =—у. Указание. Jj3
уравнения видно, что cosx^O, а потому -2с^х—= cos х, cc>sx\
(’+?)'
х(т~Ту-
\х+т)
165.	х = arctg24-ял, ле/. 166. х= — ~-f-nn, х=(—l)"+l Л.4.
+л у, и е Z.
167.	х= — 2-л4-4пл, х=±-|-л4-уАл—п, k^Z. Реше-
ние. 2sin(x+ «)+2sin(A--*)=2A/5(^sin(^+ «)) +
+ TCOS(t + t) 1	Sin(* + 1D + sin(W) =V3sin(^ +
+ f+£)• МтЧ") c4>+sWsin(-r+6") =0-
5|п(т+йл)(2сО5(тх+й)"^)==0 a) 5‘п(т+йл)=0’
^+^л=пл, х=-2-л4-4пл.	6) cos(|x+£)=^, |х+
+ -1 = ±-5- + 2ЛЛ, х=± 2-л+-1Лл— 2L.
'24	6	9	3	18
168.	х= y4-2fen, х= —-1-|-2пл, k, neZ.
169.	х=0. Решение. 1 4-sin2 7х—3 sin lx cos 7x4-5 cos2 7x=
=(a — 6)(sin2 7x4-cos2 7x),	1 — 1 4- (sin2 7x4-cos2 7x) 4-sin2 lx—
— 3 sin 7x cos 7x-|-5 cos2 7x=(a— 6) (sin2 7x-|-cos2 7x), (8 —a) sin2 7x4-
-|-(i2 — a)cos27x —3sin 7xcos7x = 0, cos7x=#0, (8 — a)tg27x—
— 3tg7x4-(l2 —a)=0, D = 9 —4(8 —a)(12 —a)=9 —3844-BOfl-
—4a2 = —4a2-|-80a—375. Уравнение будет иметь решение в R, если
-4a24-8a-375>0, 4a2-8a-|-375 <0. a2-2a-|-ф<0. (a-l)2-
- 1 + ^<0, (a- 1)2< -	<0, x= 0.
170.	x = k^-, х=±^.4-пл, k, n^Z. Решение. 2 sin 3(2x)=
= tg 2x — 2 sin 2x,	2(3 sin 2x — 4 sin3 2x) 4-2 sin 2x—tg2x=0.
8sin2x — 8sin32x —tg2x=0,	sin 2x^8 — 8sin22x-
a) sin2x=0, 2х = Лл, x = k—. 6) cos2x#=0, 8cos22x-
2	’	'	cos2x
8 cos3 2x= 1, cos32x= 1., cos 2x= J., 2x= ± -1-|-2пл, x= ± -g-+nI1’
171.	x = (2Jfe4-!)-£-. x = (— 1)"-14--|-(4n — 1), k, n^Z.
166
172.	x = kn, x= — -к 2Лл, AeZ. Решение, sinf 1 — l2cos_x—LLx
6	\	2 cos x — 1
sinx—sinx) =0. a) sinx = 0, x = kn. 6) 1 — sin x( l2-cos*~JI _|_
/	\ 2cosx— 1
Л =0. 1) cosx>A, 1— 2sinx=0, sinx = _, x=— -|-2Лл.
J ’	2	2	6
cosxC—, 1-k -cosx~1 sinx—sinx = 0,	1 4-sinx— sin x=0,
2	2cosx— 1
173.	х=(2и-|-1)л, neZ. Решение. 1 — cos2^Acosx—
-=0, 1—cos2( 2л-|-— л—_cos x) =0, sin2f А л — —cos x) =0,
sin’(n-(f+f«.sx))-0. sin(”+ ”cosx)-0.	±(l +
4-cosx)=kn, cosx=3jfe—1. Это может быть только при	А.
Так как JfeeZ, то Л = 0, cosx= — 1, х = (2га-|-1)л.
174.	х=(2га-|- 1)-1; neZ. 175. х= Aarctg (^2-|-l)-|-2fen, х =
= — у arctg(-у/2— 1)4-(2га4- 1)у, k, n^Z. 176. х = — у-|-гал, neZ.
177.	х= — Ал, х=—л, х= — — л. Р е ш е н и е. sin х-I-tg х =
3	3	3	1 Б
= J—~c~s2 ~ , sinx-|-tgx = —, sinx=#=0, sinx-|-tgx=-5!!ii-,
2 sin x cos x	2 sin x cos x	2 cos x
sinx4-tgx = A tgx, 2sin x4-tgx=0, cosx=#=0, tgx(2cosx-|- l)=0.
a) tgx = O, х = /гл, но sinx=/=0, т. e. х=/=/гл. 6) 2 cos x= — 1, cosx =
=-4. *=(3*±i)4«- 1)х=(зл-ь1)4л> -4л<(зл+1)4л<л-
~у^ЗЛ-|-1<:А, — A-gZjfe < А. Так как ieZ, то k= — 1, 0 и
Х.= -Ал, х2=Ал. 2) х = (ЗЛ-1)Ал, -Ал<(ЗЛ-1)Ал<л,
~А<ЗЛ—1<А, —А<;Л^-5. Так как k^Z, то А = 0 и хз =
2	2	2	6
178.	х=-1, х= — —, х=-^.
4	6 ’	6
179.	х = Ьл, х=±(2га-|-1)у, ra = 2m, k, га, meZ. Решение.
а) |sinx| = sinx, если sinx??0, тогда sinx = sin |х|. 1) х—|х|=2Лл
или 2) |х| 4-х = (2£-|- 1)л. Если х>0, то имеет смысл только ра-
венство 2), т. е. х=(2га-|-1)А-, где га = 2т (так как sinx^O). Если
х<0, то имеет смысл только равенство 1), т. е. х— (— х)=2Лл, х = Лл.
167
б) I sin x| = — sin x=sin( — x), если sin x<0, тогда sin( —x) = sin |xi
1) |x| — ( — x)=2kn или 2) |x|+( —x)=(2fe+1)л. Если x>0, To
имеет смысл только равенство 1), т. е. x-\-x=2kn, x=kn. Если х<о
то имеет смысл только равенство 2\ т. е. —х—х=(2л-|-1)л,
= —(2л-|- 1)А , где п = 2т (так как sinx<0).
180.	х=^- 4-лл, х = (— 1)* —+/гл — А, п, k^Z.
4	4	4
181.	х = пп, х=(2л-|-1) А, не/. Решение. cos6x(l +tg2x)^_
112	1 cos 6х( sin2 x + cos2 х) . Sin2 X i	z A _C I • 2
4-tg x=l, ----1---2--------+ - - = 1, COSX=#=0, COSOx + sin2X =
COS2 X	COS2 X
=cos2x, cos 6x=cos2 x—sin2 x, cos6x=cos2x. a) 6x — 2х=2Лл.
х=АА. Эти значения x будут решением уравнения только при
k = 2n, т. е. х = пп. б) 6х-|-2х=2Лл, x=k-^-. Эти значения х будут
решением уравнения только при Л = 2п-|-1, т. е. при х=(2л -|- 1)А,
182.	х= А, х= Ал. 183. х=0, х = 2л, х=А, х=Ал.
3	3	2	2
184. х = £ А, k<=Z. 185. х-~А, х=А. 186. х= —Ал, х=
6	7	9	2
= —л, х= А. 187. х=л, х= А, х= — Ал.
188.	х= — 2, х= — 1, х = 0, х— 1, х = 2. Решение. 25 — 4х2>
^0, х2^.—, |х|<А, —А^х^А. 6 sin лх cos лх+8 sin лх=0,
4	2	2	2
2 sin лх(3 cos лх-|-4)=0. a) sinnx=0, лх = 6л, x=fe, k^Z, —А-С
<£<А.Так как JfeeZ, то Л= — 2, — 1, 0, 1.2 и х= — 2, — 1. 0. 1,2.
2
б) 3 cos лх -|- 4 = 0, cos лх= — з < — 1 • х — 0 
189.	x=(-l)"A_|_nA. neZ.
190.	х=±-£-+Лл, х= + A- arccos4-пл, k, n^Z. Реше-
b	Z	и
„ , , о 5	о , 1 —cos 2х 5	_о , I
ние. cos 2x + tg2x=— , cos 2х+ 1+cos2x =y • cos 2х=#= — I.
cos 2x+cos2 2x+ l^-cos 2x=	6 cos2 2x4-6 = 5 + 5 cos 2x, 6cos22x-
l+cos2x	6
— 5cos 2x-|- 1 =0, cos2x=-AL. a) cos2x = A, 2x = ±у + 2kn,
x = + —4-kn. 6) cos 2x= A, x = + Aarccos А+пл.
6	3	2	3
191.	x = kn, k<=Z. Решение, д/1 — cos2x—2 sin x =ctg2(3X
X 180°-|-90°), \/sln2x—2 sin x = ctg90°, ^/sinx(sinx—2) =0.
Выражение под радикалом имеет смысл только при sinx = 0, х=^п-
168
192. x= -g-4~ угал’ ri^Z. Решение. 3cos3(Ал — 3x^ =
- л3'54 cos (360°-60°), - 3 sin3 3x = - -^54 cos 60°,	3 sin3 3x =
4*27, sin33x=l, Зх=-5-4-2гал, x= _4- Апл-
v	2	6^3
193. x=±y-4-nn. neZ. 194. x=(—l)"+l у4-2пл—2L, neZ.
195. x = fe_.feeZ. Решение.
2
= cos
= COS — Л,
3
=cost- V(|sin2xl+4-)2=4’
|sin 2x| + — = —, |sin 2x| =0, sin 2x = 0, 2x = fen, x = k*
2	2	2
196. x = 74°03', x = 254°03/. Решение. 4sinx-49cosx------
cos x—sm x
---------------0,
2(14-sin x cos x)
cos x=/= sinx, 1 4~ sin x cos x=/=0
4 sin x —49 cos x
____28— =0,
24-sin 2x	(cos x—sin x) (1 -f-sin x cos x)
4 sin x —49 cos x—14 cos x+14 sin x q
(cos x—sin x)(l-J-sin x cosx)
при xeR, 18 sinx—63cosx=0,
x= arctg 3.5 4- nn « 74°03' 4- 180°ra,
Так как neZ, то n = 0, 1 и xi=74°03'
197.	х=-2л, x=-l
16	16
198.	x=(2*+l)-|-«, - v- ---, 3
2cos3-L = l—sin2—, 2 cos3 A—cos2 — = 0, cos2 A( 2 cos A — 1
5	5	5	5’5X5,
a) cos—= 0, ±=(2fe4-l)4.	x = (2fe4-l)An.	6) cos±
5	5	2	2	5
У = ± у 4- 2гал, x = (6ra±
199.	x = (- l)"^4-nn, n^Z. 200. --4Л- x=-*
6	DO
x=Jfey, х=2гал, x=(2n4-l)yp , n, keZ.
x = n-^-, neZ. Решение. 4-sin 2xcOs 2xcos 8x = -]-sin 4x,
4	2	4
2 sinx — 7cosx = 0, tgx = 3,5,
— 90° < 74°03' 4- 180° n < 270°.
x2=254°03'.
„  5 _ v  9 _ „  13
X — —- Л, X — Л, X — Л.
16	16	16
k, ne.Z. Решение.
2 ’
201.
202.
sin 4xcos8x = sin4x, sin4x(cos8x — l)=0. a) sin4x = 0, 4х = Лл,
б) cos8x=l. x=nl.
203.	x=(2n + l)^.x=(-l)*+,£ + /ey, n, k<=Z.
204.	x = (2n +1	, x = Jfey, x = fey, n, k^Z.
169
2°5. х=^4-2Лл, х= —^4-2Лл, х=]|л-|-2Лл, х=£ +(2*+ 1)л
k^Z. Решение. ~у]2cos2х — -\/2sin2x =1,	-\/2(|cosx| __
— |sinx|)=l. |cosx| — |sinx| =у-. 1) cosx^O и sinxZ^O, тогда
2k^x^y4-2h (1), cosx—sinx = -y, sin (y— x)—sinx=yi
2cos^sin(-f-x) = ^, ^sin(^-x) = ^. sin(-f-x)= j,
s'n(x-y )= -y. X —у ='(—iy+,y 4-ПЛ,	x=(-iy + 'A +
4-пл 4-у * Эти значения x удовлетворяют неравенству (1) только
при n=2k, k^Z, тогда х=(—1)2*+,у 4-2Лл4-у, х=—у-|_
4-26л-|-у, х=^4-2кл. 2)cosx^0 и sinxsgZO, тогда —у-|_
4-2&л^х^2£л (2), cos х 4-sin х= sin (у—x)-|-sinx = y,
2sinz с05 (z - x) = ^. cos(z-x) = 4’ cos(x-z)=T-
X—y = ±y+2*л, x=± у4-2*л + у. a) x= — y + 2fen +
4-у = —	+ 2Ал. Эти значения x удовлетворяют неравенству (2)
при k^Z. б) х=у -|-2Лл4-у, х=^л-|-2Лл. Эти значения х
не удовлетворяют неравенству (2). 3) cosx^O и sinx^O, тогда
л	л/2	-J2
у 4-2knхл4-2fen(3), — cos х—sin х = -у, sinx4-cosx= —у.
тогда cos (х — у ) =-х —у = ±ул4-2Ал, х=±ул +
4-26л4- у . а) х=-|-л 4”2Ал 4” у » х = |^л4-2Ал. Эти значения х
удовлетворяют неравенству (3) при k^Z. б) х=--д-л4-2^л4"
4-у. х= — ~n-j-2kn. Эти значения х не удовлетворяют нера-
венству (3). 4) cosx^O и sinxsgZO, тогда л4-2fen^х^ул4"
V2	^2 г— / л \
4~2Лл (4). —cosx4-sinx = -y, sinx—cosx = -у, -y2sin (х—у
= ^-, sin(x-y) = y, х-у = Г-1)"у 4-пл,	х=(-1)"у4-
4-пл4-у. Эти значения х удовлетзоряют неравенству (4) только
при n = 2^4-l, fceZ, тогда х= -у 4-(2^4-1)л 4-у. х =
4-(2*4-1)п-
206.	x=(4n4-3)i, x=(2fe4-l)£, п, k^Z.
207.	x=(2*4-I)y, х= ±у arccos 1	4~ Пу , п, k^Z.
170
208.	х=у4-пл, х=arctg 24- kn, п, k^Z. Решение.
9	9	1 — |р® v
cos2x — 3sin 2х-|-3 = ^-л — -7л, cos 2x—3sin 2x-|-3=0, .7 A - —
'4v7 + 3=0’ 1 -te2*-6tgx-|-34-3tg2x=0, 2tg2x—6tgx-|-
4-4=0, tg2x—3tgx-|-2=0, tg х=1 и tgx=2, х=у4-пл и
x=arctg 2 4- kn.
209.	x=2L-|-2Jtn, x = — + 2nn, k, n^Z. Решение.
2.(1 4-cos x)(l —-^/sinx)=-\/2cosx —д/2 sin xcos x, 2-(l -|-cosx)X
x (1 — \/sin *)= V2cos *(t — Vs'n *)• (1 — Vs'n *) cos * “у “
—-|-cosx)=0. a) Vs'n x = *• sinx=l. х = -^--|-2Лл, или
б) Зд/2cosx—2cosx—2=0, Зд(2 cosx = 2( 1 4-cosx). Обе части
уравнения больше нуля. 18cosx=4-|-8cosx-|-4 cos2x, 2cos2x—
— 5cosx-|-2=0. a) cosx=2> 1, x= 0. 6) cosx = -L, x= ±
-|-2пл. Условию удовлетворяют только значения х=-2.-|-2пл.
210.	х=±-^ + ”л, neZ. 211. х= — ^.-j-2kn, x=-^--j-nn.
k, n<=Z.
212.	x=kn, x=nJL, k, n^Z. 213. x= ±у-|- пл, neZ. Указа-
ние. 2sin( —-|-2x^ -|-2tg2x=5, 2cos2x4- ~cos5, cos2x=/=
\ 2	/ ь	14-cos 2x
=/=—1, 2 cos 2x-|-2 cos2 2x-|-2 — 2cos2x=5-l-5cos2x, 2cos22x—
— 5cos2x—3=0 и т.д.
214.	х=у-|-2пл, neZ.
215.	x=arctg у 4-пл, neZ. Решение. cos2x=/=0, x=#
¥=(2n-|-l)y-, ctg x=2 cos 2x-|-sin 2x,	-j^-=2cos2x-|-sin 2x,
'"sin'zx2^ cos 2*+s*n 2*> s*n 2x=#0, x=fty, 1 -|-cos 2x=2 sin 2xx
Xcos 2x-|-sin2 2x,	1 — sin22x-|-cos 2x=2sin 2xcos 2x,	cos22x-|-
+ cos 2x—2 sin 2x cos 2x=0, cos 2x(cos 2x-|-1 — 2 sin 2x)=0, cos 2x
т^О, а потому cos 2x-|-l—2sin2x=0, 2cos2x—4sinxcosx=0,
cosx(cosx—2sinx)=0, cosx=#0, так как в противном случае урав-
нение теряет смысл, cosx—2sinx=0, tgx=y, x=arctgy-|-пл.
216.	x=y- 4-пл, neZ. 217. x= — у--|-2пл, n^Z. Решение.
Vco?I=— ^2 sinx. |S'nZ-$n Тогда —-£4-2Лл<х<2Лл.
171
cosx=-^sin2x, cosx=-\/2(l—cos2x), д/2 cos2 x+cos x—д/2=о
cosx=—--^3 . a) cosx=— -J2<Z—1, x=0. 6) cosx=^,
2^/2	2	"
= ±-£- + 2лл. Условию удовлетворяют только значения л=а
---у + 2лл.
218.	х=^. х= — л. х=^п. Решение, sin (х+у)=1
а) *+-£- = -£-+ 2ЛЛ, х=(48л + 1)^,	-|лС(48л + 1)£ ^л,
—36С48л + 1 С24, —	Так как n^Z, то л =0 и х, =—
1	48	4 8	24 *
б) х+ У = л + 2лл, х = ^л + 2лл, х=(48л+ 17)^-, — -|п^
С (48л + 1.7)^ С л, —36С48л+17С24, — 53^ 48 л ^7, — 1^
Так как n^Z, то л = —1, 0 и х2=—||л, х3 = ^л.
219.	х=^ л, х = ^-. 220. х=—-у-л, х=—-^-л, х=—
30	30	4	4	4
х=-£-, х=4-л, х=4-л, х=-^л. 221. х=/?л, х=(—+лл+
+т.л. лег.
222.	x=kn, x=(8m+ 1)^ , £eZ. Решение, tgx(tg22xtg23x—
,.	1 о \/х n	4	sin2 2xsin23x—cos2 2x cos2 3x
— I)=(tg2x+tg3x)(tg 2x—tg 3x), tgx	-
cos2 2х cos2 Зх
sin 5xsin (—x)
cos2 2x cos2 3x ’
= —sin 5xsin x,
— sin5x)=0. a)
cos2x=+0, cos3x=?fc0, —tg xcos5xcosx=
sin xcos 5x=sinx sin 5x, cosx=#0, sinx(cos5x—
sinx=0, х=/гл. 6) cos5x—sin5x=0, cos5x=#=0.
tg5x = 1, 5x=y + лл, х=(4л+ 1)^- Эти значения x удовлетворяют
данному уравнению только при п = 2т, т. е. х=(8т+1)^ .
223. х=(2л+1)у,	х=(—1)* arcsin ^ + лу—у, п,
224.	х=/гл, fceZ. 225. х=2Лл, х= —+2тл. k, m^Z. Р е ш е-
ние. 2cos2x-ytosх = 1 +cos2х+^Д(1 — д/cosх), 2cos2x^Jcosx =
= 2cos2x+^t^-(1 — д/cos x), 2cos2x(1 — д/cos x)+^2±(1 —д/cos x)=0-
дЗ	дЗ
(1 — д/cosx) ^2cos2x+-^^-) = 0. a) 1 — д/cosx=0, cosx==l’
х=2Лл. б) 2д/Зсо52х+5Й1 x=0,	2д/3—2-\/3sin2x+sin x=^.
172
oJ3sin2x — sin x—2-\/3 = 0. 1) sinx = -jL>l, x=0. 2) sinx =
у3
л/З
____4-, x=( — 1)"+1 -^-4-пл. Эти значения x удовлетворяют урав-
нСнию только при п = 2т, т. е. х=(—1)1 + 2"'у-|-2тл, х =
=:_-^ + 2тл.
226.	x=(2n4- l)-g-, х = у+/гл, п, k^Z. Указание,
ctg 3x(tg х • ctg 2х — 1) (tg х ctg 2x 4- 1)=(tg x-f-ctg 2x) (tg x — ctg 2x),
„ sin xcos 2x—cos xsin 2x sin xcos 2x4-cos xsin 2x
ftp 3x	—77---------------------------—7;--------
L ь	cos xsin 2x	cos xsin 2x
sin xsin 2x4-cos xcos 2x sin xsin 2x —cos xcos 2x . „	, „	, _
=-----------^-75------------------r-75------, S1П 2x Ф 0, COS X 0,
cos x sin 2x	cos x sin 2x
sin (— x)sin3x cos x( — cos 3x)
ctg 3X--;---7-7- =•---------T-r-—,	— sin X cos 3x = — COS X COS 3x,
b cos-xsin 2x cos2 xsin2 2x
cos3x(sinx — cosx)=0 и т. д.
227.	x=(2m-(-1)л, x=(—1)"]7>+пу> m> n^Z. Решение.
cosx<l, sin x=4 sin2 xcos x, sin x(4 sin x cos x— l)=0. a) sinx=0,
x=kn. Эти значения x удовлетворяют уравнению только при
k=2m-f-l, т. е. х=(2т-|-1)л. б) 2sin2x=l, sin2x = y, х =
228.	х = (4*+3)у, х = ( — 1)"у+пл, k, nt=Z. 229. х = (2п-|-1)л,
feeZ. 230. х=2/гл, х=(—1)”4 + пл, k, n<=Z.
«5
5	------------
231.	х = — л4-24л, feeZ. Решение. -»/5sin х4-cos 2х =
= —2cosx, cosx^O. у 4-2/гл^х^у л + 2/гл, 5sinx-f-l —
—2sin2 х=4 cos2 х, 5sin х-|-1 —2sin2х=4—4 sin2х, 2sin2x +
4-5sinx —3 = 0. a) sinx=—3< —1, x=0. 6) sinx = y,
x=(— 1Уу-(-пл. Эти значения x удовлетворяют уравнению только
при n=2ft-H, т. е. х= - у +(2/г+ 1)л, х = у + 2*л.
232.	х=—^-л-|-4пл, х = ±-77л4-/гл — n,keZ. Указа-
О	Volo
ние. 2 sin (х4-у) 4-2 cos (у + у ) = 2д/3 pysin (^ + т) +
4-ycos(^4--g-)), sin (x-by)4-sin (y-y)=^(cos-=- X
Xsin(T+i)+sinicos (т+t))’ 2sin (т + йл)с05 (т+
173
+я)=Т®’,"(т+т+т)-	sl„(A+’„)(2cos (£ + £)_
— 73) =0 и т. д.
233.	х=(Зл-|-2)у, х=( —1)*0.3л4-1.2Лл, п, k^Z.
234.	х=—|-л4-12пл, х=(—1)*+1 ул-|-4/гл— -у, п,
235.	х=(4л + 1)-|-л, х = ±л4-5/гл — ||л, п. k^Z.
236.	х = -у-|-2/гл, х=—у 4-2л л, k, n^Z. Решение,
a) sinx^O, 2Лл ^х^л4-2Ал (1), sin x=sin *4-2 cos х, cosx=o,
х=у-|-лл. Эти значения х удовлетворяют неравенству (1) только
при n=2k, т. е. х=-у4-2Лл. б) sinx<0, — л 4-2тл ^х^2тл (2),
— sinx = sinx-|-2cosx, sinx-|-cosx=0, cosx=/=0, tgx= — 1, x=
= — у 4-тл. Эти значения х удовлетворяют неравенству (2) только
при т = 2п, т. е. х= —у-|-2лл.
237.	х=-|-л4-2Лл, k^Z. 238. х=2£л, х=-|-л-|-2Лл, k^Z.
239.	х=4л4-2/гл, k^Z.
240.	х=п-£- при л=/=5т, х=гу при л^=2т, х=у(2л-|-1). пе^
Ре шен ие. sin 5х (sin7хcosх—sin-|- cos-|-х) = sin25х (sin-|-x cos-i- 4-
4-sin xcos 7x), sin25x (sin 7xcosx—sin xcos 7x—sin у cosy x—
—sin у xcos — J =0. a) sin5x=/=0, так как при этом правая часть
уравнения не имеет смысла, б) sin6x—sin 2х=0, sin6x=sin2x.
1) 6х—2х=2лл, х=лу при л=/=2т. 2) 6х4-2х=(2л 4-1)л,
x=(2n4-Df •
241.	х=(6Л±1)-£, kf=Z. 242. х=(2л4-1)4, neZ.
IZ	о
243.	х=(2л4-1)^, neZ. 244. x=(3n± 1)у, neZ. Указа-
ние. cos 12х—4cos23x—(cos23x—sin23x)4-l =0. 2cos26x— 1 —
—2(1 4-cos6x)—cos6x4-1 =0, 2cos26x — 3cos6x—2=0 и т. д.
245. x = n^-, n^Z.
12|sinxcosx|	.
----5------r,— = 5 — COS 4x,
I sin v-f-cos x|
=5 —cos 4x.
246. x=’±j4-^, k^Z. Указание-
12|sinxcosx| =5—cos4x, 6|sin2x| =
a)	sin2x>0, 2/гл<2х<(2/г4-1)л, /гл<х<(2/г-|-1)у. 6sin2x =
,,5 —(1 — 2 sin2 2х), 2sin22x—6sin 2х4-4 = 0, sin22х—3sin 2x4-
^.2 = 0, sin2x = 2z>l, x= 0 и sin2x=l, 2х=у-|-2лл, x =
6)	sin2x<0, — л-|-2/гл4:2х<:2/гл, —Л-|-/?л<х</гл, — 6sin2x=
= 5 —(1 — 2sin22x), 2sin22х-|-6sin2х4-4=0 и т. д.
247. х=/гЛ, ke=Z.
§ 15-
1.	х = 0. 2. Указание. Положительные корни заключены в
интервалах л, Ал),^2л, Ал)......	( /гл, ^^л) . Наименьший
положительный корень близок к числу 4,5. Отрицательные корни
заключены в интервалахл, /гл). 3. х«0,6, х«0,9, хяг —1,9.
4. Бесконечное множество решений. 5. х»2,6.
§ 16.
1.	х=2. Решение. По определению имеем: 2х—3=1, х = 2.
2.	х = — 1, х= 1. Решение, х2 —2= — 1, х2= 1, х= ± 1.
3.	х= —А. Решение, sin(arcsin(х4-1))= А, %4-1 = А,
8.	х = А. 9. х= —2, х= —1. 10. х=1, х = 3. 11. х=3, х=5.
12. х = 2, х=7.
13.	х=0,	х=1. Решение. arcsinx=a, sina = x,
arccosд/1—х = ₽, cos р = д/1 — х. Так как О^р^л, то sinp>0, а
потому sin р= д/1 — (д/1 — х)2=д/1 — 1 4-х=д/х^ а = р, sina=sin р,
*=д/х, х^О, х2 = х, Х|=0, х2=1.	'
14.	х=0. 15. х=0, 1. Решение, sin (arcsin 6х)=sin (arccos 8х),
6х= д/1 —64х2 (1). |6х| < 1, — А<хС А, |8х| <1, - A<gx< А,
6	6	8	8
т- е. область определения уравнения будет |х| А, но из уравне-
8
ччя (1) имеем: х^О. Получим: О^х^ А. 36х2= 1 —64Х2, 100х2= 1,
8
х1— 1	1
Х| = — — не удовлетворяет уравнению.
175
16. х=д/^Ь1к 17.	х=^~, ж=0.
v 2	9 ’______9
18. х=0. Решение, arccos д/1 — 1 бх2 = a, cos а= дЛ^-Тбх2
16х2^1, |х|<±, — -Lsglxsgl— (1), arccosл/1 — 12х2 = ₽, cosp^
4	4	4
= д/>-12?, 12х2<1,	<х<— (2). Из (1) и (2) следует-
2-уЗ	2д/3
J ^x^C~ (3). 2а = ₽, cos 2а = cos р, 2 cos2 а—1 =cos р,
2(1 - IGx2)- 1 = V1 - 12Х2 , 1 — 32х2 = д/Т—12х2, 32х2<1, |х|
,---— ^х^—— (4). Из (3) и (4) следует:---— ^х^—L
4^/2	4-^/2	4-^2	4д/2	4-^’
V1 - 12Х2 =«>0, х2 = -^-, 1-32 -L=JjL = yt	8у2-Зу-5=0,
yt = --|-<0. у2=1. -\Zl-12x2 =1, 1 — 12х2=1, х=0
19. х=0. 20. х=0.
21. х=0, х=±у. Решение. arctg(x—1)=а, tga=x—1,
arctg(х-Н)=р, tgp=x + l, tg(a4-p)=-l£^-±^- = -^, а + р =
l— tg а tg р 2 — x2
= arctg—— . Уравнение примет вид: arctg —2- 4~ arctg х = arctg Зх,
2—лс2	2—х2
arctg—^- = а, tga = —%*—, arctg х=р, tgp=x, а + Р = arctgЗх.
2—х2	2—х2
а-НР^А, arctg Зх=А-1, тогда tg(a-|-P) = tg(arctg3x),
.tgod-tgp =3 -2_-_х2.+.* =3Х 2х+.2х-х3=3л. х(-^.---3) =0.
1-tg а tg р	гх2	2-х2-2Х2	' 2-Зх2 >
'“2^?
а) Х|=0. б) 4-*2^6+9х2 = 0; x=/=±-\/ll, тогда 4 — х2 — 64-9х2=
2—Зх2	V 3
= 0, 8х2 = 2, х2 = ±, х=±_. Найденные корни удовлетворяют
4	2
данному уравнению.
22. х=д/^-. 23. x=^JL(5-2V2).
24.	x = tgAn, n=£2k,n^N, k^Z. Решение. narctgx=fen-
neZ, k^Z. arctgх=^-л, x=tg^-n, но n=#2/e.
25.	x=-L. Решение, arcsin 2x=tz, sintz = 2x, arcsin x=₽’
2
sinp = x, тогда tz-|-P = -|-n, sin a cos p 4- cos a sin p= 2xcosP +
176
_|_xcostz = ^ (l). Так как —Л arcsin х^ ~, то cosp>0 и
cos а > 0, а потому cos р = -\/1 — х2 * и cos а= д/1 — 4Х2 . Уравне-
ние (1) примет вид: 2хд/1 —х2 -(-хд/1 — 4х2 =— Из этого урав-
нения следует, что 0<х^-1-. Решим это уравнение: хд/1—4Х2 =
з/З _2х-у] 1 —х2, х2 — 4х4 - - А + 4х2 — 4х4 — 2д/3хд/1 —х2, 2^/Зх X
ХдГ1—х2 =3x2 + -l, 2хд/1 — х2=Л^х2+^,	4х2 — 4х4 = Зх4 +
+ Д+Ах2, 7х4-|х2 + ±=0,	2х4- 1 Ох2 +1 = 0, ^ = 25-
-28.1 = 25 — 21=4,V-^ = 2. х2 = -^-. а) х2 = ±, х=± —.
4	V 4	28	’	4	2
но х>0, а потому х= —. б) х2 = -1, х=±-1-\/—, но х>0,
2	28	2 V 7
а потому x=-~yj Но найденное х не удовлетворяет уравнению,
что подтверждает проверка.
26.	х=0. 27. х=0. Решение. Рассмотрим очевидные не-
равенства:
О ^arcsin х^С —,
2 Возведем в квадрат каждое из
0<arctgx<-^.
данных неравенств и сложим, получим: 0 (arcsin х)2 +(arctg х)2<
<—- Следовательно, данное уравнение не имеет решения.
28. х=0. 29. х=±. 30. х= —1, х = 0, х=1. 31. х=*
2	2
32. х=1.	33. х = 6.	34. х= — .	35. х=А 36. х=-1.
4	6	4
37. х= —1, х=3. 38. х=1, х = 2. 39. х = 3, х=4.
40. x=sinl, x=sin0,5. Решение. arcsinx=i/, тогда 2i/—
—3t/-)-l=0, t/, = ± и i/2=l- a) arcsin x=-L, у• а потому
x=sin_L. 6) arcsin x=l,
41. x = cos0,5. 42. x =
1 < 21, а потому x = sin 1.
— tg-1-, x = tg0,5.
Глава II
i i.
1- X= ±-?-+ 2/гл +, y= + ^- — 2/tn + -£-, /tt=Z. Решение.
J	О	J	О
2 cos -i±^C0S^^ = C0S —, 2 COS— COS X~!l =COS — ,
2	2	8	8	2	8’22
± £ + 2/?nt x — y= ±-—п + 4Лл. Получим:
Зак. 1587 И. Т. Бородуля	177
x+y=^-,	x=±4 + 2/tn+",
4	3	о
x-y=±ln + 4kn-,	i/==F "-2/гл+ "
o	do
2.	х = ( — 1)"^ +пл, у=1_п — (-1)п-пп, keZ.
3.	х=±4 + /гл+"	у==р"— /гл-|-", fceZ. Решение
и	12	О	12
5-2 sin (x4-y)cos(x—у)=2(1 4-cos2(х~у)),	5sin — cos(x—у)= 1 _l
6	г
4-COS2 (x— у), cos2(x— у)— Acos(x— i/)4-l =0,	2cos2(x—-y)-_
—5cos(x—1/)-|-2 = 0. a) cos(x—1/) = 2>. 1, x= 0, y= 0.
6)	cos(x — y)= A, x—y= ±2Лл. Получим:
*+y=4-	x=±4 + /en+i^'
и	и	12
х-!/=±-5.4-2Ля;	1/=Т-£-/гл4-21.
4.	х=± —4-Л, у=± —4-/?4-—. k^Z. Решение. cos2nx=
= ±, 2лх=±4 + 2/гл, х=Т * +*, у=± * +/г+±.
2	3	и	О	и
5-	х=± “ +*л+ * л,1/==р ^~*л+ Ал, k^Z.
1 Z	I £	I £	IЛ
6.	х=± —, у=± —. Решение. —2 sin х+ч sin - Ч =
8	8	2	2
= 2 sin cos х+у , sin cos х+у sin —	= 0.
2	2	2 \	2	'	2 /
a) sinJ^±-^ = 0' x-\-y=2kn.
x-j-y=2kn,
|x!4-lyl=T-
Эта система имеет
решение только прн /г=0, тогда
х4-у = 0,
Ixl4-lyl=y
У=—Х, 2|x|=j,
. • х—у	л х-|-у ,	л-Ьу—х
б) cos 4~sln 2 COs 2 ~ +COS— 2------------------
0, 2 COS +
+ <)«»(4-т)=0- О cos(f + f)=0. -l + f—=-+«
У = у 4-2пл.
|xl + lyl=Y.
У = у 4-2пл.
прн neZ. 2) cos (у—^") = 0>
Эта система не имеет решения
х Зл •	Зл । »
-2- = ^ + ”п’ х=-^-+2пп.
178
|x|+lyl=y.
Эта система не имеет смысла.
14" I +4'1-г-
7. х=-^-+2/гл, У = ~г—2kn, k^Z. 8. х=;~ — kn, и=^—2kn,
fceZ. 9. x=f+(-1Г* А-Л-=-, у=(_1у-Л+„Л_|_Л, neZ.
|0. х=4 + 4-Лл.	/eeZ. 11. x=-^--\-2kn, y =
о о	О О	о
= —2/гл, х=4 + 2/гл, y = ^-—2kn, k<=Z. 12. х=±4 + *я +
+ у, у= ±у + /?л —у, /e«=Z.	13. х = у + /?л, У=у — kn, х =
= ^--\-kn, у=-^- — kn, k^Z. 14. х = п—4-|-6/гтт, у=-^-п— 4-f-4kn,
х=— п — 4+ 6/? л, у= — 4-л — 4-f-4kn, keZ. 15. х =
О	_
=(—1)"у arcsin^+«у +У ф+^ ,	«/=(—I)"у arcsinу^ +
-Иу + уф—4.	4>=arct&V’ neZ‘ I6‘ *=(—1Г4 + ЛЯ+
+ 4. f/=(-l)n4 + «n + 4. n<=Z.	17. x=^+kn, y=±-kn,
О	U	V	О	о
fceZ. 18. х=у + 2Лл, t/=y — 2kn, k^Z.
19.	x=—^,	y=—у. Решение. tgny=tg (у+лх).
у—х=Л + у, (1)
2х2+у2 = 4-.	(2) Из уравнения (1) выразим у через х и, под-
С
ставив в уравнение (2), получим: 2№-|-	) =-|-, 2№ +
+х2 + 2х + у ) + (л + у) ='8"’	+ 2 (k + у х + ^ +
3x2 + у х—У£=0- 48№+8х—5=0,х1.2 = —Х| = —-^,х2 = у.
/ I \	*
б) k = — 1, у=0, х, 2 =------у------= у. Найденное значение
х не удовлетворяет исходному уравнению, так как знаменатель пра-
7*	179
вой части уравнения 1 — tgy = 0. Корень х= — Из уравнения (jj
5.1	1
получим: у— —- + т= -у
20.	Х=-А, у=^. 21. х = £, У=~±- 22. х=0, У=-{-
х=~^-.у=0.

1-х=у + Ал, У=~^—kn, keZ. Решение. cos(x —у)~
—cos(x-|- yj=Y, cos(x — у)—cosy = y. COs(X —t/)=l.
x+y=~, X = ^ + kn,
x — y=2kn;	— Ал.
2.	x=(—1)"±arcsinЦ^+л-у+-£-, !/=(—Ify arcsin ^-y^+
+лтг— -J-, neZ. 4. xAn, y=-5- — kn; x = -^-n-f-kn, y=
2	6	4	л	6	г
= — kn, keZ. 5. x = ^~- + kn, y=-^ + kn; x= — y-f-Ал, y=
= —-~ + kn, k^Z. 6. x=y±уarccosу = уТуХ
Xarccos —пл, neZ. 7. x = -^--f-kn, y = ^-—kn;	x=^- + kn,
IU	4	о	b
— kn, keZ. 8. х = у + пл, 1/=у + пл; x= — у + пл, y=
= —y + пл, neZ. 9. х = 4-л + /гл, </=-?-—kn, k^Z. 10. x=
о	о	о
=(-1Г+,й+'1т+т:	У=(-1Г+,Й+ПТ~Т-
..2,	л	л,	2	, у
П- х = -г-л~|-пл, У = -^—пп; х = -т- -f-nn, у = -^п — пл, пел-
о	о	о	*1
12. х=-2-+п-2-, у = ^ + п^, n^Z. 13. x=^+kn. y = ^+kn,
AeZ. 14. х = -^-4-пл, y = nn, x=nn, y= — ~-f-nn. 15. x=
о	«5
= ±У (л —arccos (ycOs^ )) + Лл>	±у (n —arccos (у X
Xcos4))+nn, neZ. 16. х=у + пл, y=-~ — ny, neZ. 17. x =
= у+^л, y = -£-—kn, k^Z. 18. х=у+Лл, t/=y —Ал, ke^-
180
§3	.
1.	—”eZ-Решение- I s,nx=^s,ny’
3	4	I У=^-х;
sin x=-\/3sin (у—*), sin х=^/3 cosx, cosx=/=0, tgx = ^/3, x=y+
Л Л	Л
4-ЛЛ, t/=y—у—ЛЛ, t/=y—ПЛ.
2.	х = у+пя, t/=y —пя, neZ.
3.	х = -£-Ч-пл, у = -т-— nn, rteZ. 4. х=-£-4-пл, у—пл— -|-л,
neZ. 5. х = у+пл, y~Y—пп< х~ — у + Ал, У — 4Л— ^л>
n, AgZ. 6. х=-£-Ч-пл, у = -£- + пл, neZ. 7. х = -^--\-пл, у — ~л —
—пл, neZ. 8. х =—^-4-пл, у ——g-4-лл, neZ. 9. х=-^4-лл,
ц=-ъ-+пл, neZ. 10. х=—^-+лл, у=^-л—пл, n^Z. II. х =
3	8	4^4
=-£-+пл, и = -1—пл. »gZ. 12. х=7г —Ал, и = -^-4-йл; х =
6^4	6	3	4 '
= — -7- — пл, « = -|-л4-пл. A, neZ. 13. х=-^-4-пл, у = -£- — пл,
4	z> з 1	2’	^6
neZ. 14. х=у + пл, t/=y 4-пл, neZ. 15. х = у 4-пл, у=у — пл,
neZ. 16. х = у + Ал, У=-^ — ^л; х=уЧ_^л> У~~^—Ал,
§	4.
1.	х=±у arccos (д/З—!)+(—1)" + 1	arcsin ^-!-+(л+2А)-£-,
!/=(—iy’+lу arcsin^—агссовСу/З—1)+(п — 2А)у , п, AeZ.
Решение. Решим первое уравнение относительно sin (*+//):
1±л/3	1 + л/З
sin(x + i/)=—. a) sin(x + i/)=—2—>1>	х=0,	У=0.
V3~>	Xi 7з— •
о) sin(x+y)=----2—• * + «/=(—1У arcsin— |-пл. Решим
второе уравнение относительно cos (х — у): cos(x—у)= — 1±-\/3-
a) cos(x—у)=— (1 + -\/3)< — 1, х=0, у=0. б) cos(x — у)=
= д/3—1, х — у = ±arccos (д/3— 1)4-2Ал.
. <3-1
х+у=(— iy + ‘ arcsin—g-1-Пл’
х—у= ±arccos (д/З— 1)4-2Ал.
181
Сложим эти уравнения, а затем вычтем из первого уравнения вто-
рое — получим:
х = ± у arccos (-^/3 — 1)+(— l)" + l-j-arcsin	‘-|-(n+2fe)y-,
У=(— 1)”+1 у arcsin 1 Т у arccos (д/З — 1)+(п — 2Л)у.
2. x=(-l)"2L+ ^+(л + Л)^,	У=(-1)пт5-у +(п-Л)|,
п, keZ. Решение.
х + у=(— 1)пу + лл,
У = у-Ь*л;
х=(-1Г
IZ О	л,
!/ = (-1)"^-у + (Л-*)у-
1X0	л>
3. х=А*л, у = (Зл-7Л)4; х= Алл, у=(Я-ЗЛ) х=-* +
<3	<3	<з	<з	х
+(л —Л)л, у= -Lx + (76 — 5п)Л; x = (3k — п + I) 2L, y = (lQn —
— I8fe — 9)-jy Решение, а) 4х + у—(x~b~y)=2kn, 3x=2kn, х=
= уЛл (1). б) 4х4-у+х4-у=(2А4-1)л, 5х4-2у=(2Л + 1)л (2).
в) 8x + 4y — (x-f-2y)=2nn, 7x-f-2y=2nn (3). г) 8x-f-4y-f-x+2y=2nn,
9х-}-6у = 2пл (.4).
I)	Решим систему уравнений (I) и (3):
2 .
Х=у kn,
7x-f-2y = 2nn;
7-Алп4-2у=2пл, у=пл — уЛп, у — (3п — 7k)-~ .
О	D	'	<3
о
x=-kn,
y=(3n-7k)2L.
□
2)	Решим систему уравнений (1) и (4):
х= —kn,
3
y=(n-3k)*.
3)	Решим систему уравнений (2) н (3):
*=-у+(п-*)л,
У= Ал+(7Аг — 5л)21.
х= — kn,
3
9х4-6у=2ил;
5х2у=(2Л1) л,
7х -|- 2у = 2пл;
182
4)	Решим систему уравнений (2) и (4):
5х + 2у=(2й+1)л,
9х + 6у = 2ил;
х=-=-+(ЗЛ-п) "
2	<3
у=-1х + (5п-М)”
4	О
4.	х=±—+л(и + Л), у=± — +(п — k)n, п, k^Z.
6	6
5.	х=±у + (Л + и)л. у= ±-5-+(А — п)п, п. k^Z.
6. х=(2п + 1)^
sin2 x-l = sin^
sin х
^^- = cosy;
COS X
y= —	— 4ft)2L, n, k^Z. Решение.
-s *=—sin y, cos2 x=—sin x sin y,
sin x
sin x = —cosy; sin2x=—cosxcosy.
COS X
sin2x+cos2x= —(sin xsin у + cosxcosy), 1 = —cos(x—y), x—y =
=(2А+1)л, y = x—(2А+1)л. Подставим найденное значение у во
второе уравнение системы: cosx-— = cos(х—л(2А + 1)), cosx—
COS X
----— = cos(2/гл + л — х), cosx=/=0, cosx	— = cos(n — х), cosx—
COS X	COS X
----— = — cos x, 2 cos2 x= 1, 1 +cos 2x = 1, cos 2x = 0, 2x=(2A+ 1)21,
cos x	2
x=(2*+l)^, y=(2n+ 1)-(2ft+ 1)л, у=-Ал + (п-4Л)4.
4	4	4	2
7.	х=у+2(А + т)л, y = -^-+ 2(Л —т)л; x=-g-+2(А + т)л, y =
= 21 + 2(Л —т)л, m, k^Z
8.	x= ± 21 ± ± arccos ^+(й + и)л, y= + 21 ±-L. arccos ^+
+(n — А)л, n, keZ. Решение. Запишем второе уравнение в виде:
jin х sm 1/  pj3 перВОГО и второго уравнений системы имеем:
cosx cos у 3
----!------=_L, 4^cosxcosy = 3, cos x cos у = ——.
4\/2 cos x cos у	3	4-^/2
sin xsin y = —!—,
4^
3
cos xcos y= —-.
w 4^
первое, получим:
Сложим эти уравнения и вычтем из второго
cos(x—у)= —,
cos(x+y) = ^;
х—у= ±-± + 2/гл,
4
х+у= ± arccos
183
х= ± -g- ± -i- arccos	(k + п)л,
у = + у ± у arccos + (и — Л)л.
9.	х=^±^+(2Л + п)Л.,	у=^ + ^+(П-2Л)-=-, п, k^Z.
10.	x=y + (A + rt)n,	у = у+(А— п)я, k, n^Z. 11. х=
= ± у arccos у ±у arccos -у + (п + *)л,	У = :Р ^- arccos
±у arccos^+(п —А)л, п, keZ. 12. х=(—1)л+1 arcsin0,36-^2-|_
4-пл, у = у+(2А+1)л, k, n^Z.
13.	х=у + пл, у = у+*л;	х=— у + п1л, У=—у+/г1Л,
п, k, Mi, AieZ. Решение. Второе уравнение запишем в виде:
2tgi/ ...
cos х= t 2 (1). Разделим первое уравнение системы на второе
3	tg2 у(1+ tg2 У)	п
уравнение, получим: ^у =------%----В°звеДем в квадрат
4	t
уравнение (1): cos2Из уравнения (2) выразим sinx:
sin*“iF5iW^ sin'x=le4<i+tfrf w
(4), получим: 1 = 4tg -|—r———r—tg4y(l +tg2y)2=4tg6y+
k h 3	(l+tg2y)2 HgJ!/(l+tg2!/)2’ К УК -Г В у/ Б У-Г
+ 36, tg4 y(l+2 tg2y+ tg4 y—4tg2y) = 36, tg4y(tg2y—1)2=36,
tg2y(tg2//— 1)=±6. a) tg4y—tg2y + 6=0, D<0, y=0. 6) tg4y-
— tg2y —6 = 0, tg2y=—2<0, y=0 или tg2y = 3, tgy=±A^3-
Л ,
Х1=у Н-ИЛ,
yi = y +kn.
*ex=~i
х2 = — у + «|Л,
уг= —^- + А1Л.
14.	x=2arctg—------|-2Ain,	y=2arctg—-j=-1-2п(л; x=
=2 arctg 1	_|_2fe2Jt. y = 2arctg1^^*e +2пгл; х = у + 2ЛзЛ>
У = у+2пзл, nt, ki^Z, i=l, 2, 3.
15.	х=у+2пл, у = у + Ал, n, k^Z. Решение. Запишем
второе уравнение в виде: tgy + -^y=2sin (х+у). Так как моду-ль
184
суммы обратных величин не меньше 2, то | tgy + цТ^ | =^2, причем
Знак равенства будет только при tgy = 1 или tgy =— 1. Так как
правая часть второго уравнения удовлетворяет условию | 2 sin (*+
Уу-^ | ^2, то второе уравнение может выполняться только в двух
случаях:
a) sin (*4
tgy=l
б)
sin(-y-|-х) = — 1, (2)
tgy= —1;
Xi = у + 2пл,	(3)
yi = Y + ftjT-
Х2=-----уЛ4-2П|Л, (4)
У2=— у +*1Л-
Легко проверить, что решения (3) удовлетворяют первому уравнению
данной системы при k и п = 2т 4-1. Действительно, tg (у 4-2nn^4-
+ctg (у 4-2/nr^=2sin (у 4-(2т-|-1)л-ул), tgy 4-ctgy =
=2sin (у 4-2тл), 2=2siny, 2 = 2.
Проверим, будут ли решения (4) удовлетворять первому уравнению
данной системы: tg(2riin—л)4-ctg ^2ntn—yn) = 2sin(—у-|-
3 \	3	3
4-й[Л—у л j, —tg у л — ctg-y л=2 sin (А[Л—л), l-|-l=2sin(Ai—
— 1)л, 2 = 2-0 — ложное равенство. Следовательно, решения (4)
не удовлетворяют данной системе уравнений.
16.	х=-^--f-2/пл, у = arctg 2-f-пл, т, пе/. Решение,
cos (у — х)>0, cos (х—у)>-0, —^-4-2Ал<х—у<у4-2Ал,
— у 4-2Ал<х<у л-|-2Ал (1). Из второго уравнения системы
ytgy=l—cos2х, sin2 х = у tgy. Из первого уравнения системы
sin2x-|-etgу= 1. ytgy-|--Jy—1=0, tg2y—4tgy-|-4 = 0, (tgy —
~~2f = 0, tgy = 2, sin2x=y-2, sin2x = y. .^у"—гТ*’
cos2x=0, lx=(2fc-H)y,
y = arctg 2-|-пл;	. o .	x=-^--t-k-^-. Эти значения x
6	I У = arctg 2 4- пл.	4 r 2
будут удовлетворять данной системе н неравенству (1) только при
k = 4m, т. е. х=-у4-2тл, meZ.
185
17.	х=—y=arctg 3-|-Лл, m, k^Z. 18. x=y-|-2fen
y— —arctg 24-nn, k, n^Z. 19. х=±у+2пл, y= — arctg 34-fen>
n, k^Z.
20. х=у4~2пл,	y=(—ly+’y + mn;	x=л + 2лл, y=~
=(— l/"y -|-тл, m,neZ. Ре шен ие. sin x=#=0, sin y= —(1).
Запишем второе уравнение системы в виде: 1-|-sin у cos х=2(1—
— sin2y)sinx (2). Из (2) и (1) имеем: 1—2sln х =2 sin х—2Х
. . COS2 X .	, COS2 X о . cos2 X _ .	.	[
X—n—Sin X, 1— =-:-----= 2 Sinx— 5-:--, 2sinx=l, 51П X = ~
4sin2x	2sinx	2sinx’ /л \	2’
5	cos t-g-+2nn j
Xt = y -|-2пл. Х2 = -р-л-|-2пл. a) sin y=------j----, sin y=
2T
Xi =-£- -j-2nn,
О
у1=(-1Г + ,«+т„.
о
л/3
Л, Siny=-y- У2 =
= —cos-g-, siny = — Лр У = (— 1Г+1у +тл.
cos f—л+2лл)
6)	Sin y=--------j---, Sin y= —COS
2T
= (-!)'" -J + шл.
5	, n
Xi = -g- л 2n л,
У2=(-1Гу+И1Л.
21.	x=y -|-nn, y=—^--|-2Лл;	х=-|-л-|-пл, у=~-^-2тл,
n, meZ.
22.	x=-^- -|-2пл,	у = (—1 )m+1-|-тл;	х=-^- + 2пл, y=
3	3	3
=(—+ m, n^Z. 23. x=-^--j-nn, у=л-|-2тл; х=-|-л+
-|-лл, у=2шл, п, m^Z.
24.	x=tg(y-cos(y (l-l-V?))), y=cos (у (1+д/7)). Ре-
шение. Запишем первое уравнение системы в виде: (arctg х+
-l-arccosy)2—2 arctg х-arccos у = Лл2 (1). Из второго уравнения
системы и уравнения (1) имеем: —2 arctg x-arccos у=Лл2,
,	я .я'
arctgx-arccos У = -&—,
arctg x-|-arccos у=у,
я2 л2
arctgx-arccosу =-g—Лу; t = arccosу.
-J-/«arctgx. /*—£/ + £(!-4*)=0.	D = -£(1 -4Л)=
n2
=	—1). Это выражение имеет смысл при k=l, 2, 3, ... а) /| =
186
1), О^Л^л,	+ д/8/г — 1)^л,	0^1 +
4.-y/Sk — 1 ^4, — 1	~\]8k— 1 ^3. Это неравенство имеет смысл при
Л=1. т. е. /| =у(1+Л/7), arccosу! =-^(1+д/7), yt = cos (у(1 +
4-^/7)). arctgxi = y —cos (y(l + V7)), x, = tg (y — cos (y(l +
+ д/7))). t2 = ^(l--y/8k^T), 0^/2^л, 0<у(1--$ГЛКл,
— 1	— д/8/г — 1^3, — 3^ д/8Л—1 J Это неравенство не имеет
^(-Л®+Л5).
смысла при Ле/V. 25. х= 0, у = 0. 26. х= —sin
»=1«А(~^+Л И-*“0. у—L
4~уЗ	3
28.	Х|, уь Х|—yr, л—хь — уь где xt = arcsin (\Т4 — ^/2), yi =
1
= arccos ---.
/Й + л/2	__
29.	X|, yu X|, л —ус, л4-Х|, ус, л4-хь л — уь где х( = arctg4/41 —
— д/5, yi = arccos (^/20 +-\/5)~1.
30.	X|, yu —X|, уь Хь л—ус, —Xi, л—yt, где Xi = arccos д/20—
— -у/3, у| = агс5т(д/20 + л/3)~'.
31.	хь уь х1г л—ус, л4-Х|, ус, л + хь л—ylt где xt = arctg (-^41—
— ^/в), yi = arcsin (^41+^)-1.
32.	х=пл, у=2Лл; х=(—1)°+1 arcsiny^-+pn+ arctg 3-^3,
у=-|- л-|-2тл; х=(—1/arcsin	/л — arctg3-\/3, у=—ул4~
-j-2/пл, п, k, р, т, l^Z. Решение. Умножим второе уравнение
на 3 и перемножим с первым уравнением, получим: 9 tg2 —
— 36 sin2 х=36 sin (у—x)sin (у+х), tg2-|—4 sin2 х=4 sin (у—х)Х
Xsin (у4-х), tg2y —2(1 —cos 2x)=2(cos 2х—cos 2у),	= 2 —
— 2 cos 2х-|-2 cos 2х— 2 cos 2у, г ,~СС~У- = 2(1 — cos 2у), У- =
1	l-J-cosi/ '	а'	1 +cos у
=4 sin2 у,	г/~ °~ У-=4(1 — cos2 у),	(1 — cos у) (у— ---4(1 4-
1 4-COS у '	УЛ \	\ 1 4-COS у '	1
4-cos у)) =0.
а) 1—cosy=0, cosy=l, у|=2Лл (1). Подставим значение у нз
(1) во второе уравнение системы: tgЛл — 2 sin х=6 sin (2Лл4-х),
0 — 2sinx=6sinx, sinx=0, xt = nn, б) ]--------------4(1 4-cosу)=0,
cosy^ — 1, 1—4(1-|-cos у)2 = 0, (1 4-cosy)z = -|-, 1 4-cosy= ±у.
187
cosy=—у < — 1, x= 0. cosy= — У, у2.з=±-|-л4-2тл. 1) y2=a.
2
= jn+2mn. Подставим найденное значение у во второе
уравнение системы:
tg у — 2 sin х=6 sin
tg (у 4-тл) — 2sin x=6sin (2тп4-у л 4-х).
(ул4-х), tgy — 2 sin х=6- (y-bosx—
— у sinx), V3 — 2 sin х=3-\/3 cos х—3sinx, sin x—3-^3 cos x==
= —д/З, У14-27 sin (x—<p)= —-\/3, <p=arctg 3-^, sin(x—<p)=
= —x2=(— iy,+' arcsin yy-4-рл4-arctg Зд/З. 2)	y3=
2
= —-5-л4~2тл. Подставим найденное значение у во второе урав-
нение системы: tg (— у4-тл) — 2 sin х=6 sin ^2/пл — у л 4-х),
— tgy —2 sin х=6 sin (х—у ),	— д/З—2 sin х=6 ( — sinx--^—
~\/з \
— cosx«-£-).	—д/3— 2sinx= — 3 sin х—3-\/3cosx,	sinx-|-
4-ЗуЗ cos х=д/з, д/28 sin (х4-<р)=д/3, <p=arctg Зд/З, sin (x-f-<p)=
= ^-, х3=(-1У arcsin 4-/л-arctgЗд/Э.
33. х=пл, у=—у4~^л; х=(—1)"+,у4-пл, у=—у4~^л;
х=(—1)ту 4-тл, у=—у4-Ал;	х=( — 1)" arcsin у-4~пл, у=
= ±arccos ——|-2Лл;	х=(—1)*+1 arcsin —|-Лл,	у=±(л—
О	О	\
Q /к \
— arccos -g—) 4- 2тл, п, k,	Решение. Умножим первое
уравнение на 2 и сложим со вторым уравнением: 2 sin2 х 4-cos 2x4-
4-2 sin xcos у4-sin 2y=2cos 2y4-sin2 у4-3sin xcosy, 2 sin2x-|-1 —
—2 sin2 x-|-sin 2y = 2(cos2 у — sin2 y)4-sin2 у-f-sin xcos у, 1 4-sin 2y=
=2cos2y — sin2у4-sin xcos y, 1 -f-sin 2y=3cos2y — 1 4-sin xcosy,
„ .	2-1-2 sin u cos u —3 cos2 u	.	2	„ .	„
cosy^fcO, sinx=----------------, sinx=----4-2 sin у — 3cosy
’	cos у	’	cos у '	’
(1),	sin2 x = —\—I- 4 sin2 у 4- 9 cos2 у 4- 8s'n У- — 12 — 12 sin у cos y,
'	COS2!/	' cosy	>
sin2x=—\—i-5cos2y—84-——-—12sinycosy (2). Подставим
значения sinx и sin2x из (1) и (2) в первое уравнение системы,
4	. г 2.8 sin у	, „ .	о . / 2	.
получим: ------1-5 cos у 4------12 sin у cos у —8 4- (-г
1	cos2 у	cosy	\cos у
। —. .	л \	я п ,	4	. f 2		8 sin у
4-2 sin у — 3 cos у )cosy=2cos у— 1, -=------1-5 cos у 4-—— —
/	cos у	cos у
12 sin у cos у-8-|-2 4-2 sin у cos у — 3cos2y —2cos2x-|- 1 =0, cOS2~ +
188
+	lOsinycosy-5 = 0,	-^-(l+2sinycosy)-5(14-
+2 sin у cos у) = 0, (1 -I- 2 sin у cosy)	—5) =0. I) sin2y= —1.
t/i = — у + &л. Подставим значение yt в первое уравнение системы:
sin2x + sin xcos (kn.—^=cos (2Лл—sin2x± y-sin x=0,
sinx (sinx±^-) = 0. a) sinx=0, xt=nn. 6) s’inx= — x2 =
^(-1Г+'т+пя- ») sinx=^, х3=(-1)т-=- + пгл. 2) Ц- = 5,
*	^4	cos' у
cos2y = y, cosy= ±~. a) cosy = -~, y2= ±arccos — +2Лл,
°	v5	V5
sin2x + -^sinx=2 cos2y— 1, sin2x + -^sin x=-f-— 1, sin2x +
y5	-J5	5
+ -^=-sinx—r = 0, sin x=---±-^> sinx=—^=<— 1, x=0,
V5 5	Тб 75	75
sinx=-^, x4=(—1 )"• arcsin ^ + пл. 6) cosy—-у3=±(л—
a	75	V
— arccos+2тл,	sin2x—^rsin x—i-=0,	sinx=-J=±-^,
75 /	75	5	75 75
sinx = -^>l, x=0. sinx=-----x=(—1/+1 arcsin-^ + fen.
7°	75	75
34. x=y +Лл, у = пл; x=( — 1У"+1 arcsin -j-mn + <p, у=-|-л +
/у	2
+ 2пл; x=(—l)m+l arcsin^ +гил—<p,	y =—д-л + 2пл,	<p =
=arctg^, k, n, m^Z. Решение. Умножим второе уравнение
системы на 5 и перемножим с первым уравнением, получим:
100 sin2 у cos2 у — 25 cos2 х= —25 cos (х—у) cos (х+у),	4 sin2 уХ
Xcos2-|—cos2 х= —cos (х—у) cos (х + у),	4 sin2 у (1 +cos у)—
—2 cos2x= —cos 2х—cos 2у,	4 sin2 у (1 +cos у)— 1 —cos 2у =
= — cos2x—cos 2у, 4 sin2 у (1+cos у)—2 sin2 у = 0, 2sin2y(2 +
+ 2 cos у—1)=0. a) siny=0, у|=пл. Подставим значение y( в
первое уравнение:	10 sin пл- |cosy | —5cos х=соз(пл + х),
—5cosx=±cosx, 5 cos x±cos х=0, cosx=0, х1=у+Лл.
б) 1+2cos у=0, cosy= — у, у= ±-|-л + 2пл. 1) уг=-|-л + 2пл.
Подставим значение у2 во второе уравнение: 2 sin (у л +
+ 2пл) ]cos(y + nn)| +cosx=—5cos(x—-|-л — 2пл),
189
2 sin-|-л | cos у cos пл—sin у sin пл | 4-cosx=—5cos(2nn-|-
4~ул—x),	2sin-|-n- |cosycosnn | 4-cosx=-5cos(yn-x),
2 sinл • 4-+cos x= — 5 cosл cos x—5 sinл sin x, 	~_l
3	2	3.	3	2 ’
4-cos x=y cos x—|-V3 sin x,	->/3 4- 2 cos x=5cosx—5-^/3 sin x,
5->/3sin x — 3cosx4~ -^3=0, 5sin x—-73cosx= — 1, -^28sin (x—ф)=
= —1, sin (x — <p)= —	*=(—l)m + ‘arcsin4-тл-|-ф,
т/з	2
= arctg2) y3 =—тл4-2пл. Подставим значение y3 во второе
О	3
уравнение: 2sin (—|-л4-2пл)- | cos (пл—4-cosx=
= —5cos(x-|-yn— 2пл),	—2sin-|-n- |cosycosnn| 4-cosx=
= —5cos (x4--|-л).	—>/3-y 4-cosx= —5 ( — у cosx—^sinxY
—-^/3 4-2 cos x=5cos x4-5-\/3sin x, 5-^3 sin x4-3 cos x= — д/З,
5sin x-|--/3cosx= — 1, -^/28sin (x4-<p)= — 1, sin(x4-<p)=-,
2 д/7
x = (— l)m + l arcsin yj 4-ГПЛ —<p.
35. x=-|-л4-(2Л4-п)л, y=—^-4-пл; x=-|-л-|-(2Л —Зп-|-1)л,
y= — у4-пл, k, n^Z. 36. (±y arccos4-Лл; (—iyIarcsin-|-4-
+ nji\k,nf=Z. 37.(±4 + 2пл;-^4-Лу 1 fc, neZ. 38. x=(-l)"y 4-
4-пл, x=| + fe{, n, keEZ. 39. x=(6*4-l)g, y=(6n4-l)y,
k, пе2. 40. x=—y= — у4-пл; x=nlni y = rtiin, m, n,
mi, «ieZ. 41. x=(—l)*+l arcsin 4-Лл4-у, y=(— 1)" arcsin 4"
4-пл4-у, k, n^Z. 42. x=(—1)" arcsin	4- пл—j-, x =
=(—l)*+l arcsinу-4-Лл —у, n, feeZ. 43. х = у4-Л!Л, y = y4"
4-П|Л, г = 2ш|л; х=у4-Л2л, у = 2п2л, а=у4-пг2л; х=2Л3л, у —
= у4-2п3л, z=y 4~2ш3л, kit nt, rtii^Z, i=l, 2, 3.
Решение. Умножим первое уравнение системы на 2 и к пер-
вым двум слагаемым применим формулу понижения степени: 1 +
4-cos 2x4- 1 4-cos 2у4-2cos2z=2,	cos 2х4-cos 2у4-2cos2 z=0,
2 cos (x 4- y) cos (x—y) 4- 2 cos2 z=0, cos (x 4- y) cos (x—y) 4- cos2 z=
= 0 (1). Из третьего уравнения системы следует: х+у=л—2.
190
cos (х+у) =—cos z. Уравнение (1) примет вид: —coszcos(x—y)-f-
cos2z=0, cos z (cos z—cos (x—y)=0, 2cos zsin —sin -z =
. (z + x) — у . X—
=0, 2cosz-sin----т---sin---=---= 0. Но из третьего уравнения
.	_ .л — 2u
системы z4-x=n — у, y + z=n—x, тогда 2coszsin——X
Xsin 2*2 n =0, cosz-sin (у — y)sin (x—у )=0, cosxcosyX
Xcosz=0 (2). Из второго и третьего уравнений системы и урав-
нения (2) получим следующие системы:
а)
cos х=0,
cos у=0,
cos z = 1,
x+y + z=n\
xi =у 4-Лл,
л ,
f/i=y+«л,
Zi =2тл.
в)
cos х=0,
cos у= 1,
cos z=0,
х + у+г = л;
cosx= 1,
cos у=0,
cos z=0,
х+у+г=л;
х2 = у 4~Л2л,
у2 = 2п2л,
Z2 = y Ч~т2л.
х3 = 2/?3л,
Уз = у 4-2п3л,
z3 = y 4-2ш3л.
л л	Л	Л	Л	Л	ух
44. х=-2-, у= —; х= —, у=0; х~ — , у= — л. Решение.
6 > »	6’	6 s	6 а
Из первого уравнения системы имеем: tg(x—у)=-^/3 и tg (х—у) =
= -у. Из второго уравнения системы имеем: х=у, что удовлетво-
ряет условию.
П	«/ = *—3~*л.	«/=--6--ЛЛ.
х~ 6 ’
Эти значения у удовлетворяют условиям только при k=0, т. е.
Л
у=—6-
х—у = пл,
О	Л
у = х—т--ггл, у=—пп. Эти зиаче-
л	а 6	а
Х~Т ;
ния у удовлетворяют условиям только при гг = О и п=1. Имеем:
У=0, у= —л.
45. х=^. у=±-, х=^. у=0-. х=-=-, у=2л. 46.
у=т; х=Т2п’ у=т- 47‘ Х=Т’ х=т> ^=4Л-
191
48. х=( — 1)" + 1у 4-Лу. y=iarctS 2k' n^Z.
Решение. Вычтем из первого уравнения второе, получим-
sin2 ( —2х)—tg2 5у + (3—-\/2)(tg	—sin (—2х))=0, sin2 2х—tg2 5j/_p
+(3—д/2) (tg 5у 4-sin 2х)=О, (sin 2х -|- tg 5у) ((sin 2х—tg 5х) 4-3—
— д/2)=0. a) sin2x = —tg 5у. Подставим значение sin 2х во второе
уравнение, получим: tg2 5у4~(3—-\/2)tg 5у—^^^-=0, 2tg25y 4-2(3—
-V2)tg5y-(Зд/2-1)=0, --£ = (3-л/2Г+2(Зл/2-1)=9. tg5</=
= и tg5y=-y —3. sin 2х=3 —у-> 1, х=0. sin2x=—
tg5y = f,
• О л/2
sin 2х= — -у;
Г	4 Д/З I £,
5i/=arctg -у+йл,
2х=(—iy+1 y+njt.
^=(-1Г+,т + лТ’ У=
= 4-arctg П7-|-£ б) sin 2х—tg 5у= —(3—л/2), sin2x=tg5y—
—(3—-^2). Подставим значение sin2x во второе уравнение, по-
лучим: tg25y-(3-A/2)(tg5y-(3-A/2))=-^^-, 2tg25y —
-2(3-A/2)tg5y4-2(3-^f-3A/24-l=0, у =(3-^7-4(3-
— -\/2)24-6-\/2 — 2= — 354-24-\/2<:0. Поэтому действительных кор-
ней нет.
49. x=y4-fey, у= — yarctgy4-ny, k, n<=Z.	50. x=
=(-ir-jr + n4. y=-Yarctg^4-*T.n,AeZ.51.x»±^4-
4-n-J, i/=_±arctg24-Af, л, k^Z. 52. x=l, У=(->Гу +
4-лл—1, n^Z. Решение. Сложим уравнения системы, по-
лучим: 4х=4, х=1. Подставим найденное значение х в первое
3	I
уравнение, получим: 1 4-sin (1 4-у)=у • sin (1 -j-y)= — , 14~У=
=(-1Гу4-лп, y = (-iy^4-n„-l.
53. х=2, у = -^4-Лл — 2, k^Z. 54. х= ±-£- 4-2Лл4-1. У=1.
k^Z. 55. х=-2-4-лл4-2, у=2, neZ. 56. х= ±-^-4~2£л, у= ±-у +
4-2лл, k, n^Z. 57. х=1, у=1- 58. х = 3^^, у=3
3-VI7	3+V*7 ко v 24-Зл	,	, I 2л-1 .
= —2—’ у=—2 • 59. х=-----у=±~2 arccos—--------|-лл.
х= — у, у=	(л — arccos у) 4-л1л. л> л1^^ 60. х= ±у(л —
192
arccos) -|-пл, У=^Г': х= ±у arccos^5~^_‘'rl|n’ У=ТЛ +
-]-у, ль neZ.
ci	п+ '0	, 1	Зл—4 ।	ос
61. х=-----е. у = j- _ arccos—g--------рил; х=— 2,5, у=
==±у (л — arccos
±у (л —arccos-|-^ +
у^4-тл, n.meZ. 62. л =
,	Зл-|-1	.1	2л—5 .	18л 4-1	7
пл. у = —24 • Х = ± у arccos—g-----1-пл. у =—^4' n<=Z-
Глава III
I.	[ — у+2Лл; у+2Лл], fteZ. 2. (у + 2Лл; -|-л + 2Лл),
k^Z. 3. (-y+2fen, у + 2Лл). kf=Z. 4. (-arctg3 + fen; y +
4-Ал), feeZ.
5. ^у4-Л|л; -|-л-|-Л|л)и (-|-л-|-П|л; -у л-|-П|л) U ( —у+ *2л;
/г2л) U (п2л; у4-п2л^, kif tii^Z, 1 = 1, 2. Решение. 2cos4xX
Xcos 2x>2cos24x, cos24x—cos 4xcos 2x<0, cos4*(cos4x—
—cos2x)<0,	(2cos22x—l)(2cos2x—cos2x—1)<0. cos2x=y,
(2y2-l)(2y2—y — l)<0, (У + ^) (у-^) («/ + y)(«/— D<0.
— ^<У<—у или ^<У<1 (рис. 32). а) —^<cos2x< —у
(рис. 33), n-f-2kln<z2x<Z-Y л-|-2Л|л или -|-л-|-2п|л<2х<4- л-|-
4-2п|л; 4+*|Л<х<4-лЧ-й|Л или 4-л-|-П|Л<х<-|-л-|-П|л;
о	о	о	о
(у 4-fein; у л-|-Л|л) и (у п4-П|л; -|-л-|-П|л). б) ^<cos 2х< 1,
2пл<2х<у-|-2пл или —у+2Лл<2х<2Лл; пл<х<у + пл
или — у-|-Лл<х<Лл; —^-Ч-Лгл; Л2л) (J (п2л; -у-|-п2л).
193
(у+т) >4- Ь+т! а) ь'+4>'?’
arcsin^5"1 4--2А?л<х<л —arcsin^-1 -j-2kn (рис. 34), или 6) y-f-
+ у<—-у. «/< — >+2^ < — 1. но sinx> —1, х=0.
’НМЮ-
9.	(у-|-Лл; -|-л-|-Лл^, k^Z. Решение. sinx-|-cosx=
= -v/2sin ) <д/2; следовательно, данное неравенство рав-
носильно следующему: 4sin2x—1 > 0, 2(1—cos2x) — 1>0, cos2x<
<4- (рис. 35),	-|-2Лл<2х<4-л-|-2Лл, -^- + Лл<х<4-л + Лл.
Z	о	ООО
10.	(-2 arctg (1 +V2) + 2nn; 2лл)11 (2 arctg (д/2—1) + 2лл; у +
+ 2лл), neZ.
11.	| — |^л + 2Лл; —^+2Лл], k^Z. Решение. -ул+
+2*лС*+4 -£+2’*л (рис. 36), -^л + 2ЛлС*С-Т5 +
4 О	12	12
-|-2Лл.
12.	[у — -£-+*л; y-b-j-n-t-fenj, fteZ. Решение. —у +
+ 2ЛлС2х— 1Сул+2Лл (рис. 37),	1—у + 2/гл^2х^1 +
+4л+2ь, 4—г+блс*с4_+4л+^л-
4	Z о	Z о
13.	(-|л(6Л-1); ул(6Л + 1)). *ez.
н- Й+fey; 4л+*4).
15.	[—£--|-2пл; у-|-2ггл}, neZ. Решение. —^--|-2пл^
—^-<-^--|-2пл (рис. 38), —g- -|-2пл^х^у 4-2лл.
194
16.	(—у-|-Лл), /jeZ. Указание. 3—4sin2xZ>0,
Ц-2 cos 2x^0, cos2x2>—(рис. 39).
,7- (-т+*т; *eZ-
|В- (>рт»+‘трег-
'»• G”+4:fi" + *TpeZ-
20.	^j + лл; -^n4~nn), neZ. Указание. cos3xc<5sxX
Xcos2 *4-sin 3xsin xsin2 x<z . Преобразовав неравенство, полу-
О
чим: cos2x<y (рис. 40).
21.	[пл; -j-4~nn), neZ. Решение. 4~пл s£Zx4~ -j- <у 4"
4-пл (рис. 41), пл у 4-пл.
22.	^у4-2пл; -|-л4-2пл), neZ.
195
Рис. 44
Рис. 46
23.	—|-л-|-2пл; -|-n-|-2nnj, neZ. Решение. 2cos2x-|-
-|-5cos %4-2^0, cosx=y, 2у2-|-5у-|-2^0, у> = —2, Уи=—~.
2(у+2)(у + у)>0 (рис. 42). У<.— 2, т. е. cosx<—2, х = 0;
I	12	2
у>---g-,cosx>---2",--g-л4-2плл-|-2пл.
24.	(—arctg2-|-Ал; у-|-Ал), k^Z. Указание. tgx=y,
!/г+(2-л/3)г/-2л/3<0. (f/+2)(y-V3)<0 (рис. 43).
25.	л-|-2пл; -у -|-2пл). neZ.
26.	(--1-|-2Ал; 2Ал) U (л+2А,л; -|-л+2А|Л ) U ( ," +2пл;
-|-л-|-2пл), k, k\, neZ. Решение. 3sinx—4 sin3x<sinx,
4sin3x—2sinx>0, sin x(2sin2 x— l)>0, sinx=y, yfiy2 — 1)>P>
У (у+^) (y — ^)>0 (Рис- 44)- —-^<«/<0 или У>-^-
a) —^<sinx<0, —-|-2Ал <х<2Ал или л-|-2пл	л +
+ 2Ал (рис. 45). б) sinx>^, у-|-2пл<х<-|-2пл (рис. 45)-
27.	(kn; y -|-Ал) U (—4-Ал; Ал^, AeZ. Решение. ctg*X
X(ctgx-|- l)>0,ctgx=y, у(у+1)>0 (рис. 46). a) ctgx>0, kn^
<х<у4-Ал (рис. 47). б) ctgx-C —1.
196
28.	(- у4-2лл;
_1л4-2Лл) U ( — у л4~2лгл; — у4-2л1л)
Л( k, m^Z. Решение, cos х=у, log^t/2 —
У —
-7 осв котангенсов
4 ’ 2
16	2
y<cosx^l, —y + 2nn<x<
<у+2лл (рис. 48). б) у< — (у — у) С
— у-cos х < О, у-4-2пл < х у л 4-2пл и
—л-|-2йл ^Сх< —у -|-2/гл.
29.	( — уЦ-2лл; у4-2лл)и (у лН-2/гл;
уП-|-2Лл), п AeZ. Решение. 2(д/2—
-1)sin х-2(1 -2sin2 х)4-2-\/2<0,2(д/2—
— l)sinx—24-4sin2x4-2—-у£><0, 4sin2x4-
4-2(д/2— l)sin х—-\/2<0, sinx=y, 4у2-|-
+ 2(^2-l)y-V2<0, ^=(л/2-1)2 + 4Л^=
=h/2+I)2. V# =а/2 +У. =-^ и «*=
= у. (у+^г) (У~|)<О (Р”с- «).
—yr<sinx<y, —у +
+ 2п л < х < у 4- 2л л, у л 4- 2k л < х < у л Ц-
4-26л (рис. 50).
Э0.	(у (4л 4-1); у (4л 4-3)). ле/.
31.	(2Л--Ь 2Л4-у). kc=Z. 32. [-1; у).
33.(4; '] «•
-4]. 33. [о;
Рис. 47
Рис. 49
Рис. 50
197
Рис. 51
Рис. 53
36.	(2* л; у+2Лл)и (у+2Лл; л + 2Лл), *(=Z.
3	3
37.	х— любое действительное число, кромех= — л+у Лл, fceZ.
38.	(у(4п-1); у(4п + 1)), neZ.
39.	(у arccos у + Лл; —arccosy 1)л), fteZ.
40.	i-^ + fen, — 4-fen , fceZ. Указание. -—< — 1.
Преобразовав неравенство, получим: ---cos2x---—
2(cos 2х 4- I) (cos 2x-—
(рис. 51).
41.	(arcsin Д^-|-2пл—у; у л — arcsinyp) (J ((2/г — 1)л;
(4k—л> Реш е и и е. sin x-|-cos х=у, 1-|-sin 2х=у2.
sin 2х=у2—1. 3(у2— 1)— 1 >у, Зу2 —у—4>0, 3(у +1) (у—у )>°-
у>у или у< — 1. a) sin x-J-cos х>у, -^/2 sin (х-|-у ) >у •
 f । л 2т/2	• 2д/2 , о , л	 2-J2	.
sin (х4-— 1	, arcsin-^—|-2пл <х+-г< л —arcsin-f— +
4-2nn, arcsin	—j-+2лл <x< у л — arcsin ^-|-2пл. 6) sin%+
-J-cosxC —1, -^2 sin (%+y^< — 1, sin (x-|-y )< —у-(рис. 52).
-у л + 2*л<х+у<-у+2Лл,	-л+2Лл<х<-у+2Лл.
(2k— 1)л<х<(4Л— 1)у.
42.	(arcsin+2kn\ — arcsin 4~(2fe4~ l)n) (J
(J ( — arcsin ^5—' 4~(4fe—l)y; — arcsin -|-2fen), fteZ.
198
43. — arcsin-g-+ 2Лл;
-~--|-2Лл] [J [у л2лл;
2 .
arcsin у +
4-(2л-|-1)л j, k, neZ. Указание, а) Если sinx^y, то 5 —
— 2 sin x^36; sin2 x— 12 sin x 1, 18 (y 4- ) (y—(Рис- 53).
Имеем: ysgZsinxsgZy (рис. 54).
44.	(y-J-Лл; у 4-ftnJ, feeZ. Решение. 1—cosx<tgx(l —
—cos x), (1—cosx)(l—tgx)<0.
cos x > 1,
a)
6)
1 —cosx<0.
1 —tg x>0;
1 —cos x>0.
1 —tgx<0;
tg x< 1;
x=0.
tgx>l; jffcn<x<y+fcn (рис. 55).
cos x < 1,
45.	а) [4л2л2; (2n + 1)2л2], [ д/—у+2Лл ; д/у+2Лл j(J
и[- д/у+2^; V-H24"]’ Н- ']• [-?+'”• т+'4
n^N0, k, leN. Решение, a) sin-\/x^0, 2лл^-\/х^л4-2пл,
4л2л2^х^(2л4- 1)2л2, л = 0, 1, 2, ... б) cosx2^0, —^-+2Лл^
^Су+гЛл, kf=N, д/-у 4-2Лл ClxIC д/у+2Лл; 1) х^
^0, д/-у+2Лл СхС д/у+2йл; 2) х<0, - д/у + 2*лС
199
Рис. 56
Рис. 57
^1, —г) — 1^2sinx^l, —— — 4-
«3	4	Z	г
4-/л^х^у 4-/л.
46.	(—-|-л4-24л; — у 4-24л) U (2пл; у-|-2пл) U (-|-л4-2пл;
л+2пл), п, k^Z. Решение. Упростим левую часть нера-
венства: sin 5x=sin (2x+3x)=sin 2х cos Зх-j-cos 2x sin 3x=
=2 sin x cos x(4 cos3 x—3 cos x) + (l —2sin2 x) (3sin x —4 sin3x)=
= 2 sin xcos2x(4 cos2x—3)4-3 sin x—4 sin3 x—6 sin3 x-j-8 sin5 x=
=2 sin x(l — sin2 x) (4 — 4 sin2 x— 3)4-3 sin x— 10 sin3 x-j- 8 sin5 x=
=(2sin x—2sin3x) (1 —4 sin2 x)-)-3sin x— 10sin3x4-8 sin5x=
=2 sinx—8 sin3 x—2 sin3x4-8sin5x4-3 sinx—10 sin3 x4-8sin5x=
=5 sin x—20 sin3 x-j-16 sin5 x. 16 sin5x—20sin3x4-5sin x>
>16 sin5 x, sin x(4 sin2x—l)<0, sin x(2sin x-j- 1) (2 sin x— l)<0
(рис. 56). a) sinx<—л-)-24л<х<—-)-24л.
6) 0<sinx<y, 2пл<х<у-)-2пл и л4-2пл<х<;л-|-2пл.
47.	(y-j-пл; у4-пл), neZ.
48.	((4п—1)-^; (4п4-1)]^). neZ. Решение. 1—cos6x4-
4-1—cos26x<2, cos6x(1 4-.cos6x)>0 (рис. 57). a) cos6x> —1,
x=0. 6) cos6x>0, —4-2пл<6х<у4-2пл, (4n —
<(4« + l)^-
49.	(|kn- ^4-±/гл)и (—|4-»|; «<). «^Z. 50. (24л;
у4-24л), 4eZ. 51. (ny; (4n4-l)y). nt=Z. 52. (_±-4-2Ал;
|л + 2Лл), AeZ. 53. g л; 1|л).	54. (arcsin^-; у)-
55.	(arccos 1 ; л) (J (2л — arccos	2л).
56.	(хе/? и ft=0; 1; 2; 3; ...) (Ae/Vo). Решение. —4-2/гл-^
<sinx<y-|-24n при 4 = 0, 1, 2, 3, ...
57.	хе/?, 4 = 0; 1; 2; 3; ... (4e/V0). Решение. —п-\-2кп^
<cosx<24n при 4=0, 1, 2, 3, ...
200
CV ~ cos2k
2
Рис. 58
58.	0г+/гл; -у4-/гл^и(— -у + пл; —7Г+ПЛ)’	ne^.
решение, cos 2x—cos 4x> 1, cos 2x> 1 + cos 4x, cos 2x> 2 cos22x,
2cos22x—cos2x<0, 2cos2x(cos2x—^-^<0 (рис. 58)» 0<
<cos2x<-|-. a) -j£-+ 2йл<2x<-£-+ 2/гл, -£+/гл <x<-£-+/гл
(рис. 59). б) —у4-2пл<2х<.—^-4-2пл, — у 4-пл<х< — у +
-|-пл (см. рис. 59).
59-	(VS VS) u (- VS -VS)-
60.	[о; ±)u ((2/г-у)2; (2* + y)2), fte/V0. 61. (--|-л + 2пл;
— у + 2пл)и (—^+2пл; 2пл) J (2пл; у-|-2пл), neZ.
62.	х — любое действительное число, кроме х=у + /лл, meZ.
63.	(—^-+пл; -^-4-пл), neZ.
64.	(у + 2пл; у + 2пл) Ц (arctg2 + 2пл; у + 2пл), ne=Z.
Решение. -\/sin2x4-cos2x—2sin xcos х<sin х, -у/(sin х—cosх)2 <
Csinx, |sinx—cosx|<sinx, sinx>0. a) sinx—cosx>0, sinx—
л fsinX>COSX,	" I
—cosx<sinx, cosx>0, { n. tgx>l (рис. 60), T +
4-/гл<х<у4-/гл. На дуге АВ cosx<0 и sinx<0, поэтому
неравенство будет удовлетворять условию только при k=2n, т. е.
201
Рис. 62
Рис. 63
у-|-2пл<х<^-|-2пл. б) sinx-cosx<0, { s£x + cosX<sin*.
	£	I	oil I A U,
1sinx>y cos x,
«in	l>yctgx, ctgx<2; кроме того, из sinx-
— cosx^O следует: ctgx^l. Получим: l^ctgx<2 (рис. 61).
arctg2 + 2пл<х^у 4-пл.
66.	(12n-l)i; (12n + 7)i, neZ.
68.	( — arctg ^5-~' 4-пл; у-|-пл)и (arctg 4-пл; y-{-
4-пл^, neZ. Указание. Преобразовав неравенство, получим:
*в	— >• 0(1); tg2х + tgх + 1 >0 при всех х, кроме х= у 4-лл,
поэтому неравенство (1) равносильно следующему: *	х~1—->0,
/-1
tgx=/’ >0 (рие 62)’
69.	( —arccos(у2 —1)4-2пл; arccos(V2—1)4~2лл), /igZ.
70-	(тб+feji; Тб л + йл) 
71.	(—^4_пл; —arctg-|-4-пл) U(^n; arctg24-л), п, keZ.
Решение. tg3x —7,875, tg3x=y, у—у = 7у,
63 п 8</2 —63</ —8	8(</-8) (у + у)
У2-! 
У
_63_____________ __________________________
8’1/	8	81/
<У< — 4- или 0<у<8 (рис. 63). a) tg3x<— 2-, tgx< —Y’
о	о
—^-4-пл<х< —arctgy4-пл. 0<tg3x<8, 0<tgx<2, kn<.x^
< arctg 2-|-£л.
72. (у arccos (2^5-5)4-у (2fe— 1);	- у arccos (2л/5-б)+
202
Рис. 64
Рис. 65
73.	(--=• + *«;	/гл) U (-arctg^4-пл,	--1 + „л)и
U (тл; -g-4-тл) U (arctg^-4-/л; у+ /л) U (у+рл, у+рл),
k, п, т, I, p<=Z.
74.	[--|.л + 2пл; -у4-2пл]и (у+2/гл), п, feeZ.
75.	(у+Л; у+л)и (—п), k, neZ. Решение.
3,еях3,“,впх ^2 или З'в"-3'-'впх <-2. а) З'в"х-^п->2,
3*"х=г/, г/-у>2.	(рис. 64).
1)	-1<3'вм <0, х=0. 2) г/>3, 31в"х>3, tgnx>l,
у 4-/гл<лх<у 4-/гл, у 4-/г<х<у + k.	б) у—— 2,
^+2j/~3-<0,	(рис. 65). 1) 3'в"х<-3, х=0.
У	У
2) 0<3‘в"х^1, tgnx^O, —4-пл<лх^пл, —у-|-п<х^п,
neZ.
76.	(у4-/гл; у +/гл), feeZ.
77.	((2п —1)у, Пу ), nsZ.
78.	( — у-|-2/гл;2/гл) (J (л4-2Лл; у л-(-2/гл) (J (arcsin у 4-2пл;
у4-2пл) J (у л-(-2/гл;	— arcsiny 4-л4-2/гл), /г, neZ. Р е-
„	sin х— 2—8 sin2 х4-2 „ 8sin2x—sinx	sinx(8sinx—I)
ш с н и e	1 ">> п —(j	_
4 sin2 х—1	' 4 sin2 х—1	* (2sin x-f- IX2sin x— I)
<0 (рис. 66). a) — у <sinx<0, — у 4-2Ал<х<2/гл и л4-2/гл<
Сх<ул4-2/гл (рис. 67), б) y<sinx<y, arcsinу4-2пл<х<
<-£--|-2пл и л 4-2/гл<х<—arcsin 4" 4-л4-2/гл (рис. 68).
0’0	о
Рис. 66
203
79.	(у + 2/?л; у+ 2fenj U ( —у 4-2пл; — у4-2пл), k, n^Z,
Указание. 1 < х <3. Преобразовав неравенство, по-
лучим: 1 < |ctgy | <д/3 при х=/=2Лл. а) 1 Cctgy <д/3 (рис. 69,а),
б) — I >ctgy > —д/3 (рис. 69, б).
80.	(^-+пл; 4-л-Ьпл\ neZ. Указание. ^-cos8x~f >
\4 1	’4	1	/	2 cos’х— 1
>—cos —. Преобразовав неравенство, получим: (cosx+2)X
1 —2 cos’ х
Рис. 70
204
(cosx — у J<0 (рис. 70), — -^Ccosxc^Y (рис. 71).
81.	(—у4"пл). neZ.
82.	((4ft-1)	(12ft-1)^) U ((4n + l)-J; (12n + 7)^ ), ft, ne
gf. Указание. — cos 5x>sin Юх, cos 5x(2 sin 5x4-I)<0.
a) ( cos5x<0,	6) cos5x<0,
I sin5x>A (рис. 72).	sin5x>—(рис. 73).
83.	(y + 2ftn; у n-(-2ftn) U (~4 л + 2пл; -у4-2пл),
ft, neZ. Указание. 4 cos2 x 4-2(^2—l)cosx<-\/2, cosx=y,
4(y—y)(y+^)<0 (рис-74)-
-2y<</<y; — ^yCcosxCy (рис. 75).
a) v +2kn<x<A л-|-2ftn.	6) —л 4-2лл<х<-)-2пл.
84.	(-у-Ь2*л; £+2/гл)и (-|-л+ 2пл; Ал 4-2пл)и (у+ 2тл;
ул4-2тл) J (у 4-2пл; А л-f-2zn), ft, n, meZ. Указание. 1 —
—cos 2x 4-sin Зх—sin x<l, (sinx —(sinx-h3^) (sinx—y)>
Рис. 75
Рис. 74
Рис. 76
205
>0 (рис. 76). а) —^<sinx<-L (рис. 77). б) cosx>^ и т. д.
85.	(fey;	1)). Указание. Преобразовав неравенство,
получим: ctg8x> х/3 (рис. 78).
86.	(2/гл; y4-2fen) U (у 4-2fen- л + 2/гл), feeZ.
87.	( —y4-2fen; у 4-2fen) U (у Ч-2лл; |n4-2nn) и(--|л+
Ч-2йл; —Ч-2/гл) , fe, neZ. Указание. Преобразовав нера-
венство, получим: у< | cosx—у | ^у. a) y<cosx^l и т. д.
б) —^-^cosx<0 (рис. 79) и т. д.
88.	( —-£+/гл; y + fen), feeZ.
89.	(у + уЛя; л Ч-у fen), feeZ. Указание. Преобразовав
4	1
неравенство, получим: cosyX<y (рис. 80).
90.	(-у 4-2fen; у 4-2fen), feeZ.
91.	(fen; Ч-fen) (J (-^лЧ-nn; у л-|-лп) , fe, neZ. Указание.
Преобразовав неравенство, получим: |cos2x—у |
a) cos2x> л^4~1 и т. д. б) cos 2х<—~л^-,	cos 2х< — sin-[д'-
cos 2хCeos у (рис. 81) и т. д.
92.	(у Ч-пл; y4-nn)u(fen; aretgy Ч-fen) U («л; уЧ-пл)’
п, k^Z.
93.	(2Лл; уЧ-2*л] U [-|-лЧ-2/гл; лЧ-2*л), feeZ. Указание
206
0<sinx<l, Iog2sinx=y, тогда имеем: З^у—(у+1)^0
(рис. 82) и т. д.
94.	(arcsin n + (8fe — 1)-^-;	— arcsin-|-Ц-(8£ + 3)-^-) > k^Z.
Указание. Упростим правую часть неравенства, данное нера-
3(sin x+cos ж)— ~J2	,
венство примет вид: —т=— --------заменим последнее рав-
н	2д/2 —(sin x + cos х)
носильным неравенством 4(sin х+cos х)>3-\/2, откуда sin (х + у ) >
(рис. 83).
95.	(arcsin^ + (8fe-l)f; -arcsin^-|-(8fe + 3)-^) U (2fe-l)n;
(4fe — 1 )y ), feeZ. Ре ш e н и e. ^tg20° tg40° tg 80° = 1,	>
>sin (л —x)-|-cos x-+1, 3 - + >sin x-f-cos x-|- 1, 3sin2x>
>sin r^-cos x+1, sin x-f-cosx=y, l+sin2x=y2, sin2x=y2—1.
Неравенство примет вид: 3(y2 — i)>y+1; 3(y+ !)(</— !)—(!/+1)>0,
(t/+ I) (Зу—4)>0 (рис. 84). y>4- или y<z — I. a) sin x-|-cos x>4-,
«J	и
Рис. 82
Рис. 84
207
V5-J ---------^^5-bl У
2	2
Рис. B5
V2sin (*4-y ) >|. sin (x+ у ) >arcsin^-4-2fen<x.|.
-f-? <C л — arcsin-f-2fen, arcsin ^-f-(8fe — 1)4 <x<
< —arcsin ^4-(8/г 4-3) Y' 6) sin x-|-cos x< — 1, -\/2sin (x-f-y) <
<-1. sin(x + i)<-f, -1 n4-2fen<x4-4<-4 4-2fen,
— n4-2fen<x< —^-4-2fen.
96.	(2 arctg	4- 2fen. [2k 4- 1) л) U ( - 2 arctg	4- 2nл;
(4n-f- Оу)’ ne^- Указание. Упростив неравенство, получим:
х *^4+^4-! х „з_1
tgy>-----х---X---’	----г>°- Так как У+у+
2 tB24-lg4-‘
4- 1 >0 при y^R, то имеем: —---
У —У— t
>0 (рис. 85).
Решение.
sin х^4 •
25—х2>0;
44~2пл^ х^-р-л4-2пл,
— 5<х<5.
а) При п=0 имеем:	л	^,5 6	б" л’	л	- 5
	— 5<х<5.	т<х$	6 Л.
б) При п= — 1 имеем:
Н	7
6 л<х<	12 л,
— 5<Х<5.
— 6 л
а потому -5<х^--^л.
При н=#0 и п 5^ — 1 система не
имеет решений.
98- (о-й)и(-й^ -•?)•
208
Решение, cos х—sin х=у, 1—sin 2х=у2,	1— r/2 = sin 2х,
1 - «/>0,
I— у2 су2,
У>0;
-1 <+< К
2у2> I,
!/>0;
У>0;
^-Cy^l, y^Ccosx—sinx^l.
T<cos (х+т)<^ а)т +
+2ЛлСх+у <у 4-2fen (рис. 86). 2/гл<х<^+2Лл. Условию
удовлетворяют только значения х при k=0, т. е. 0^х<-^.
б) — у +2£л<х4--^-<— у + 2/гл,	— n + 2fen<x< — у +
4-2/гл (см. рис. 86). Условию удовлетворяет только значение х
при Л = 0, т. е. — у2л<х^—-у.
"• (тН т)и(-т; -=).Указание.
cos 2x^0,
cos х > 0,
3 cos 2х<2 cos2 х.
Решая систему, получим: ^~<cosх<^ (рис. 87).
100. (б;	) U(j7>n;-yY У к а з а н и е. sin x+cos х=у, тогда
имеем:
w>°.
^-1 >0.
3(у2-\)Су2.
Решая систему, получим: l^sin *+
+cosx<yp -y-<5in (x+y) C^y (Рис- 88)-
101. (у;у]и[у"л;'1’л)’	Указание.
sin х>0.
cos 2x^0,
cos 2x<2 sin2 x.
8- 3aK 1587 И T Бородуля
Рис. 89	Рис. 90	Рис. 91
I	л/2
Решая систему, получим: y<sinx^^- (рис. 89).
102.	ул). Указание. Преобразуя не-
равенство, получим: (д/2соэ х-(- 1) (2sin х— 1)^0.
a) f д/2 cos х4-1	0,	б) cosx^ —
(2 sin х—I ^0 (рис. 90).	,
sin х^ у (рис. 91).
104. (0;	) U л; -|л). Указание. Преобразуя
венство, получим: (2cosx-|-l) (sinx — ^г)<0.
нера-
а)
_ 1
COSX>—у,	б)
sinxC^p (рис. 92).
<2
2
(рис. 93).
210
Глава IV
,	6	6 о 6	„	 5	-5
1. arccosy, arccosy. л— 2arccosу. 2. arcsinу, arcsinу,
.5	. 5 о	9	9	9
я—arcsinyr, л —arcsinyr. 3. arccos — , arccosj;;, л— arccos — ,
'	11	11	40	40	40
9
n-arccos^.
• 4	3
4.	a — arctg p = arctg —. Решение. По теореме о биссек-
о	*t
AC ID 3
трисе внутреннего угла треугольника получим:	—
(рис. 94), AC=3x, СВ = 4х, tg а = 4^ = т" = 4-. tx = arctg4-,
А С. «ЗХ «3	«3
. о__Зх_ 3 о___		3
‘е₽ = 4^=Т’ P = arctgT.
5.	arccos у. 6. 65°42', 65°42', 114° 18', 114° 18'. Решение.
Пусть АВ = ВС=CD=у, a BABt =х (рис. 95), тогда ABt=ycosx
и AD = 2ABi -f-BiCi = 2у cos х-]-у=у(2 cos х4- 1) (1). BBi=ysinx,
тогда-из условия следует: AD = 2у sin х (2). Из (1) и (2) следует:
у(2 cos х4~ 1)=2у sin х, у=#=0, 2 cos х4~ 1 =2 sin х, 2 sin х — 2 cos х= 1,
1 /о 	/ л \	1	. ( л \	д/2	л .
sinx — cosx = y, V2sin (х — — j = —, sm (x — у j =^-, x=-4-
+ arcsin y-»45°-|-20°42'= 65°42'. Из условия следует, что 0<х<
<90°, а потому х = 65°42'; Z BAD = ^ CD А =65°42', Z. АВС=
= £. ОСВ = 114°18'.
7.	arccos arccosarccos^. Решение. О\О^=21 см,
0|02 = 23 см, О2Оз = 20 см (рис. 96). Найдем угол против большей
стороны по теореме косинусов: 272 = 232 + 202 — 2-23-20-cos х,
2• 23• 20cosх = 232 — 2724-202, 2-23-20cosх= — 4-504-20-20. 2Х
X23-2cosx=—204-20-2, 23cosx=—54-Ю, cosx=^, х=
Рис. 97	Рис. 98	Рис. 99
= arccos(треугольник остроугольный). Дальше можно было бы
найти sinx и по теореме синусов найти остальные углы. Но мы
найдем угол по теореме косинусов: 232 = 272 + 202 — 2 • 27 • 20 cos у,
27-40 cos у=40(5 + 10), 27cosy=15, cosy=-|-, y = arccos-|-- z =
(5	5 \
arccos ^ + arccos-g-У. Можно было и z найти по теореме
косинусов: 2-27-23 cos z = 272 — 202 + 232, 2-27-23cos z=858,
27 • 23 cos z=429, cosz = ^.
8.	42°03', 137°57'. Указание. По теореме о сумме квадратов
диагоналей найдем сторону параллелограмма ВС=ЛО=4-\/б5
(рис. 97). По теореме косинусов найдите углы параллелограмма.
9.	arctg-^j-Z — arctg . Решение. x—Z.FBE—Z. FBD=
_L _______________________др
У — z, tgy=B7=—в£—=---------- (Рис- 98)- По условию АС=
= 18, ЛВ=12 и ЯС=15. По формуле Герона найдем площадь
A ABC. S= д/у • 4*Т=	=у-3-15-Зл/7=
2.135^
= ^7, ^ = 77 =—То—=¥ V7, ВГ = ^д/7. AF2 = AB2-BF'2 =
Ч	лл I—»	10	Ч	*1
= 122_й^7 = 2 (162 — 25-7)= 4-81. AF=¥-. FE=AE-AF =
Io lo'	'lo	4
„	27	9	.	9 15т/7 З-Л	. Зт/7	____
= 9-т = т, tgy = T := у = arctgПо теореме
о биссектрисе внутреннего угла треугольника имеем: qq = bc'
_18^=12	= 4	18	9	и = 10 ЛО = 18—10=8, FD =
и 15 'и 5 и 5
л г о 27	5	.	FD	5.15 л, 1	-у/7
4	4	ь	BF	4	4 *	3.J7	21
, <7	. 3^7	, д/7
= arctg = arctg - arctg .
10.	33°07', 146°53', 51°19', 128°41'. У ка з а н и е. СЕЦАВ (рис. 99)
Из Л ECD по теореме косинусов найдите cosx и cosy.
212
11.	19, 14, д/889. 128°40'. Ука-
зание. По теореме косинусов из
Л BEF найдите BF (рис. 100).
Аналогично найдите стороны BE
и EF. Зная все стороны A BEF
по теореме косинусов найдите
угол BEF.
J	19	31
12. л — arccos	л —arccos =₽,
хи	«50
19	31 п	-г
arccos 25 , arccos^. Реше ние. Так как четырехугольник вписан
в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°. Пусть
Z. В = х, тогда Z. 0 = 180° — х (рис. 101). Л АВС. АС2=-АВ2А~
А-ВС2— 2АВ- ВС cos х= 16-|-25 — 2-4-5 cos х=41 —40 cos х	(1).
Д ADC.	AC2=AD2 + CD2 — 2AD.CD-cos(180°—х)=225 + 64 —
—2-15-8(—cosх)=289-j-240cosх (2). Из (1) и (2) имеем: 41 —
— 40 cos х=289 -|-240 cos х, 41 —289 = 280 cos х, cos х= —|^|= —Ц.
XOV
х=л—агссоэЦ тогда Z. О = л — x=arccos|g. Аналогично на-
ходятся Z- С и Z. А из треугольников BCD и BAD.
13.	у, arcsin (-\/2 — 1), у- — arcsin (-\/2— 1). Указание. A BCD.
y=cosx (рис. 102). А АСВ. y-=tgx. По условию cosx=2tgx.
14.	75°ЗГ, 75°ЗИ, 28°58'. Указание. haA-hc = hb,	=
= 4^, Z. ЕАС=х (рис. 103). sin х 4-sin х=^;-, 2sinx=4-tgx.
A с	£A U	£
. -\/5—1 n	t/5—1 л
15.	arcsin-s-j—, у — arcsin-^-^—, —.
16.	arctg 1	_ arctg 1 +, у. Указание. Из метри-
, а2 ,,
ческих соотношении в прямоугольном треугольнике а =—, о =
ft2	, ab	,	a	b	(а V	/ b	\2	.
= —. hc = — (рис. Ю4), тогда	sinAx
U	С>	V	С-	\ ь* f	\ ь*
Xsin B = sin2 Л —sin2 В и т. д.
213
в
AD	BA	D A D C A	D
Рис. 104	Рис. 105	Рис. 106	Рис. 107
17.	26°36', 63°24', 90°.
18.	л,	Указание. a = ^/2AO-2OD (рис. 105)
О О О О	' »
a2 =4AO-OD, 1 = 4- — •—, 1 =4 cos х sin х и т. д.
а а	ЕС
19.	70°32', 70°32', 38°56'. Указание. cosC = — (рис. 106).
Из подобия Д АЕС и Л BDC: = Пусть ЕС=у, АС=х,
х	1
1/	2	с 2 1	о .2 гл	1	Г'	।
тогда — ----------, бу -\-lxy—3jc=0, у=^-х, cosc =-----=^г-
х 7	о	х J
-g-x+y
20.	arcsin-^-. л — arcsin-^-- Решение. Пусть Z. BAD=x,
тогда Z. АВС=л — х. Обозначим BD=d\, AC=di, АВ = ~
ч
(рис. 107), тогда по условию: «14- di . dz di т . х di т	х ~т + ~2’ ~2~ TSlnT> ~2~ TCOST т т	х . т	х	. х . — = _sin-2--1--^-cos-g-, sin Y 4-cos . .	16	.	7	-7 4-sinx=-5-, sinx=-H-, x= arcsin . У	У	У Z ABC= Z- ADC=л — arcsin^-. b[	\ Рис. 108	57=Т- 2m = 3(dl+d2).	= , где	— сторона ромба. -^=4-,	sin24 4-cos2 y 4- Z BAD=Z. BCD = arcsin , flk f \\ / \ \\ C	F	A Рис. 109
214
n.	4	3 л	3	-4л
21.	arccos arcsin -тг или arccos arcsin—, —.
5	5	2	5	5	2
Решение. Так как треугольник прямоугольный, то 7? = у.
г=-^г— (РИС- 108)- Тогда т=т:~— ’ Т =
—+ft_c —-1 — + ~—1=4-, sin «Ч-cos а = 4 Так как Z_ а
острый, то sin а > 0 и cos а>0 и sin а = ^/1 —cos2 а, 1 —cos2 а =
7	I	2	49	14	.	2 а 2	14
= -=- — cos а, 1 —cos « = не —г cos a-|-cos а, 2 cos а—=- cos а-4-
и	Zu □	о
। 24 n 2	I 12 л п 49	48	1 гр. 1
4-25=0, cos а —-g-cos а-|-25 = 0,	^ = 25-^ = ^’ А^ = у,
7	1
5 ± 5	,	4	4	3	.
cos а =--5--. a) cos а = — , a, =arccos —, sin а = -=-. б) cos а =
I	000
3	3.4
= — «2 = arccos — , sin а = —.
о	о	о
22.	у arcsin (у tg ср), у— у arcsin (у tg ф), у. Указа-
ние. DF\\BC (рис. 109). Пусть А САВ=х. Найдите медианц
та и ть по формулам та = у-\/2(624-с2) — а2, тъ = -^~у/2(а2+с2)—Ь2.
Применив к Л AOF теорему косинусов найдите угол х.
23-	2arctg(jdhr)’ n-arcte(TK-)- Указание. BJWB
(рис. 110). Проведем Л1О||Л|С|, MD=A\Ci. Л AMD. MD = b sin а.
Ai6 = ±AiCl=^sina.ODl = ±DlBl = ^, tgA = ££L = _^_.
24.	arctg	, arctg f—гг~“ Y Указание. Продол-
жим стороны AD и AB и из С на продолжение сторон проведем
CC2J-AC2 и СС|±ЛС, (рис. 111). Д АСС2. tgx=SY д АСС,.
А С>2
215
Рис. 114
25.	arctg ‘^-Решение. Пусть Z. ВАЕ=а, a Z.FAD =
= Р (рис. 112), Z. EAF~tp, тогда ф = у —(а4-0), откуда tgф==
-ctg(«+₽)=i±^(l). tga=!!f (2). tg₽=££ (3). Пусть
ВС=х, ЕС=у, FD — z, тогда AD=^kx, BE = ky и CF=kz. Из (2)
имеем: tg а = ^ = ~, но ВЕ-\-ЕС=ВС, т. е. ky+y=x, y(k-]-l)=x,
= т. е. tga = jq7r. CF+FD = CD, CF+FD=AB, kz+z=
= kx, z(k-]-l)=kx, - = Из (3) имеем: tgp=^, так как
z k
AD = BC, tg p = — = £-р-. Подставим найденные значения tg а и
i______________________________!__k-
tg p в равенство (1): tg<p =-j— --
— —I__—
/г 4-1	/г-4- 1
Ф =
(*+!)’
= а
2
2(*+1)
, arcsin----------,. л—
л/г	/гл
________Ъ ^ = -^S- = k (рис. 114). СС,=
^окр.
= 2лг = л CD s'mx. По теореме об описанном
21CD+AB)
(/г4-1)2 7
„с n . - . <2(1 ~k) л . <2(1-*)
26.	т	-j—arom-^jj-.-j-.
—-у (рис. 113). DB=x, AD = kx, AB=(k+ l)x, AC=ABcos<p, BC=
=AB sin (p. OD = r, r=ADtg~==kxtg-^-, Но Г==ВС+С^~ВА и т. д.
2(*+D	. 2(*4-l
27.	arcsin-x—,	л — arcsin
nk
2(*+D v
— arcsin — -----. Указание,
/гл
=2r = CDsinx, COKp
четырехугольнике: CD+AB = ВСAD.	=k и т. д.
28.	arctg (2+c'osa ) ’ P e ш e н и e- Пусть BC=a, тогда AB=2a,
Z. ABC = n — а (рис. 115). По теореме косинусов получим:
АС2 = АВ2 + ВС2—2ЛВ-ВС cos (л-а) = 4а24-а24-2а-2а cos а =
11 Указание.^:
DB
216
= 5а2 -|-4а2 cos а, ВС2 = АС2А-АВ2 — 2АС-АВ - cos х, а2=5а2 +
+ 4а2 cos а 4- 4а2 — 2а • д/5 4- 4 cos сГ• 2а cos х, 4 \/5 4" 4 cos а cos х =
= 84-4 cos а, д/54-4 cos a cos x = 2-l-cos a, cos x = -2+cosa_ ,
1	’ V !	4/54-4 cos а
. о , о ,	4 4-4 cos а 4-cos2 а 1—cos2 а sin2 а „
S1П Х = 1 — COS X - 1-----'	--------= Е“7"л ;— =	л 77;— • ° <
с । л _	5-|-4 cos а 5-|-4 cos а
sin а	. sin х
тогда tgx=-^T,
tg х =
5-|-4 cos а
а<-77, а потому sin х= -	—,
*	-y54-4cosa
sin а	,	( sin а \
24-cosа ’ х~ arctg \ 2 4- COS а ) ’
29.
(m2 + n2)(92-p2)
a rccos--------т.--5—, л — a rccos — ---------5---г—
2mn(p24-?2)	2mn(p24-92)
Указа-
ние. 4^ = —-, АВ = тх, AD = nx;	= BD=py, AC=qy
AD п	AC q
(рис. 116). По свойству суммы квадратов диагоналей паралле-
лограмма: 2{АВ2-^AD2) = BD2AC2, 2{th1x1-\-n1x2)=p2y2-\-q2y2.
По теореме косинусов: BD2 = АВ2AD2 — 2АВ • AD cos <р. р2у2 =
= т2х24-л2х2 — 2mnx2cos и т. д.
30. arcsin 4 Д , л —arcsin4 , д/2<Л<2.
k	k
31. л —arctg —, = 4" v arctg —, -у — arctg — . Решение.
□ Z Z	fl	£.	fl
Из условия задачи следует, что Z. В = р>у (рис. 117), причем
„	л	„ л , с, a2 sin 6 sin у	„
р-у = т, тогда р = т4-Т- S = y—smp = cosV,
sin(P4-Y)=sin (y4-2y)=cos2y. S = y- ^'2^ ’	£ = TX
» . sin 2y а с* 2xo Ao 4S __________ 1	1 4S Л л 
x^27’ 4S = Q	tg2V = ^, V = -arctgv, P = T4-
+ yarctg^. /-A = ~ — arctg .
on 1	.	4 , л 1 'A ,
32. — arcsin = k, = —5- arcsin v k.
L	О Z Z	О
nn	•	3\/7 Л	Зд/7
33. arcsin—*—, -3—arcsin—*—.
34.
2 arccos
l(a + b)
2ab
217
35. arccos
л — 2 arccos
1±л/1—2m
2
1±т/1 —2m
2
. Решение. По условию =щ.
Пусть Z. ВАС=х (рис. 118), тогда
Z. OAD = ±, Z_ABC = n—2x, АС=
= 2R sin (л — 2x) - 2R sin 2x, AD=R sin 2x (1).
A OAD. AD = r cig± (2).
Из (1) и (2) следует:
r ctg 4 =R sin 2x, 4 = Sin 2x-. m=sin 2x-tg4- "2=sin2xX
ctg у
1—cosx m —2 sin xcos x--—,cos * , sinx=#0,	m = 2cosx—
24 sinx ’	sinx
— 2 cos2 x, 2 cos2 x—2 cos x + m = 0, 0 = 1—2m^0, Ocm^y,
1±V*—2m
COS X =---д-------•
_c . 2ah
36.	arctg
__	 /1 _./1 +V'+4*2 \
37.	arcsin (д-	-----д----j,
л — arcsin (y-
Л>д/2.
38.	arcsin-\/sin (a+ 0) sin (a— 0). Решение. A ACB прямо-
угольный, Z_ ДСВ = у (рис. 119). Проведем СО±у и CD±АВ,
тогда OD.LAB (теорема о трех перпендикулярах). Следовательно,
A CD0 = a — линейный угол двугранного угла (АВ). Z_ САО и
А СВО образованы наклонными с их соответствующими проек-
циями на плоскость -у. Допустим, что А СИ0=0. Найдем А СВ0=х.
Пусть CO=h, тогда из прямоугольных треугольников COD и СОА
найдем: CD = -^— и АС=-^-г. Из A CAD, в котором A CDA =4.
sin a	sin р	r	2
найдем AD: AD2=AC2— CD2 = —^----------—=— (sin2 a —
sin'' p sin a sin2 a sin' 0
• 2 a\ Л! /1—cos 2a 1—cos 20 \	Л2
— SIH2 0) = -r-j-r-ГТ- (-5-------5   ) = ~Q Гу— X
• sm2 a sin2 0 \	2	2	/ sin2 a sin2 0
. . cos 20 —cos 2a	ft2 . ,	,	„ h
X----------------= -rr—— sin (a -j- 0) • sin (a — 0), AD= -г X
2	sin2 a sin2 p 1 I Н/ \	к/. sln a sln p
Хл/sin (a-j-0) sin (a —0). Заметим, что О<а+0<л, а потому
sin (a_|_p)>0; кроме того, ОО<ДО, а потому CDcCA и, следова-
тельно, а>0, а потому sin (а — 0)>О. Из метрических соотношении
218
в прямоугольном треугольнике получим:
AC2=AD-AB, -^- =
Sin2 Р
= . Л — • д/sin (а 4-р) sin (а — р) • АВ, АВ =-----------—^sma--------------
sin а sin Р v	v	sin рд/sin (а4-pi sin (а —р)
По теореме Пифагора найдем ВС из прямоугольного Л АВС:
ВС* 2 * = АВ2-АС2= : 2 . /i2sin°g. ,---------------4т- = X
sin2 р sin (а 4-Р) sin (а —Р) sin р sin р
sin2 а —sin (а4-р) sin (а —р) _ 2 sin2 а —2 sin (а 4-р) sin (а —р) ft2 _
X sin (а 4-р) sin (а —р)	2 sin (а 4-Р) sin (а —р)	sin2 р
Л2 1—cos 2а — cos2p4-cos2a Л2	1— cos 2р ________ Л2
sin2 р 2 sin (а 4-р) sin (а — р) sin2 р 2 sin (а 4-Р) sin (а— р)	sin2 р
_______2 sin2 р________________/|2	_______ g______ _______Л____________
2 sin (а4-р) sin (а —р) sin (а4-Р)sin (а —Р) ’_____д/sin (а 4-Р) sin (а —р)
Из прямоугольного Л ВОС найдем: sin x=^=h---------------h —	=
д/sin (а 4-Р) sin (а — р)
=Vs>n (а-ЬР) sin (а —р).
39. arcsin (sin а sin р), arcsin (cos a sin p). Указание. См.
рис. 120. CD — наименьшая медивна прямоугольного треугольника
ABC, SA.LABC и AE.LCD по построению. SE.LCD по теореме
о трех перпендикулярах, поэтому Z_ SEA — искомый линейный
угол двугранного угла с ребром CD. 40. arccos^. Решение.
АС и BCi — скрещивающиеся прямые (рис. 121). Требуется
найти Z_ (ДС, BC|)=x. AtCi ||АС, а потому Z. (ДС, ВС\) — Z. BCtAi =
= х. л Д|ВС| равнобедренный, ВЕЛ.AtCt, ЕС\ = ЕА। =у. Л BCiC.
BCi = a-J2. Л EBCi. cos х = ^- = —--=	x = arccos^.
ВС) 2од/2	4	4
41. arcctg д/ctg2 аctg2 р . Указание. См. рис. 122.
42. 2 arctg (cos а). Решение. Л AtDCi равнобедренный
(рис. 123), Д|О = ОС|, а потому ОО4_Д|С|, кроме того, D|O_L
_1_Д|С| (диагонали квадрата). D0D\ = a— линейный угол
двугранного угла (Д|С|). Z. A1DCi=x. Пусть CD = a, тогда ОО1 =
219
= ^2, OD = -^-=^-. д OCiD. tg4 = ^-==^2-2cr°^ =
2 v	cos a 2 cos a	6 2 OD 2a^2
=cos a, x = 2 arctg (cos a).
43.	arcsin (sin a sin 0). Указание. См. рис. 124.
44.	arctg n~^m  Решение. Пусть длина ребра куба равна х,
тогда DD2=xtg<p (рис. ,125). Объем призмы с основаниями
DD-iC. АА2В и высотой AD будет: Vi = y CD’DDz-AD=
= у х(х tg <р)х = у х3 tg <р. Тогда объем второй призмы будет:
V'1=Vкуба — Vl = X3-^-Х3 tg <р, у- =-^ .
-p(2-tg<P) 2-tg<P 
п 2	, п 2 rt + m .	2m	2m
= —,  ------1,= —,  ----------, tgm= :—.	<p = arctg  ;—-
m tg<p	• m tg<p	m e ' m-j-n '	b ri-|-m
45.	arctg (2s* a Указание. См. рис. 126. DM-LAB, a
потому EMJ-AB. Z_ EMD — искомый линейный угол двугранного
220
Рис. 127
Рис. 128
Рис. 129
угла (АВ). 46. 2 arcctg (2 cos а). Решение. Через AD проведена
плоскость ABiC^D, которую обозначим буквой л (рис. 127). Про-
ведем BBi-Ln и СС1±л, тогда углы, образованные диагональю
ромба с плоскостью л, будут: 2 CACi = a и £. BDB\=2a. Из
прямоугольных треугольников CACi и BDB\ получим: А С=-^ g и
BD= . где СС\=ВВ\=т. Из прямоугольного треугольника
ВОС (диагонали ромба взаимно перпендикулярны) имеем: ОС=
2 sin а’	2sjn 2а ’ Ctg Т — OB — sin а —
= 2 cos а, х=2 arcctg (2 cos а).
47.	arccos ^7^ cos а). Указание. См. рис. 128.
2
48.	arccos— 	 Решение. Так как наибольшая по
д/8 4-sin2 2а
площади боковая грань — квадрат, то сторона его равна» гипо-
тенузе треугольника, лежащего в основании призмы. АВ = с.
221
Рис. 132
Л АСВ. AC = ccosa, BC = csina (рис. 129). Из прямоугольных
треугольников А\АС и BiBC найдем длины диагоналей: Л,С2 =
=АС2-\-АА2 = с2 cos2 а-|-с2 = с2 (cos2 a-|- 1).	BtC2 = BC2A~BB2 =
= c2 sin2 a-|-c2 = c2(sin2 a+ 1). По теореме косинусов Л|В2 = Л(С24-
4-B|C2 —2/llC-BiCcosx, c2 = c2(l 4-cos2 a)-|-c2(l 4- sin2 a)—2c2 X
X V* 4“cos2 a • V* +sin2 a cos x, 1 = 1 4-cos2 a 4- 1 4-sin2 a — 2x
X д/(1 +cos2aXl +sin2a)cos x, 2д/1 -|-sin2 a-|-cos2 a-|-sin2 a cos2 aX
Xcosx = 2,	д/24-sin2 a cos2 a cos x— 1,	~ д/84-sin2 2a cos x= 1,
2	2
cos x = —- - —, x=arccos	---------.
д/ 8 4-sin2 2a	8 4-sin2 2a
49.	arccosУказание. См. рис. 130. Площадь проекции
равна площади проектируемой фигуры, умноженной на косинус
угла между ними. 50. arccos \sin a sin 0). У к а з а и и е. См. рис. 131.
2^2	342 л „	,,
51. arccos -5—, arccosРешение. Из условия сле-
дует, что СВ = ЗЛ, AD = 4k и DDi=5k (рис. 132). Параллелепипед
прямоугольный, а потому d2 = AD2-]-CD2A-DD2= 16Л2-|-9Л24-
+25Л2 = 50Л2, d = 5^2k. Треугольники B{AD, B{CD и BiDiD
/	<	AD 4k
прямоугольные (докажите), а потому cos х = ~^ = —— = -g—,
242	CD 3k 3^2	342
x = arccos—j—, cost/=—r=——=—X-,	t/ = arccos -4-. cosz =
5 ’ J d ^2k	10 s	10
__ DDi _	__-\i2	_ л
— d — 5<2/;	2“’ Z~ 4 ‘
52. arctg 53. arccos^. Указание. Проведем ВВЦ Я С
(рис. 133). / SFE — искомый угол между SF и АС. 54. 2 arcsin р-
Решение. DE—средняя линия л ЗЛС (рис. 134), а потому
222
Рис. 135
DE—уЛС=3. Из условия следует, что BD = BE. Проведем
BF.LDE, тогда Z_ FBE= Z_ FBD=х и Z_ DBE—2x. Из прямо-
fE 3
угольного треугольника FBE получим: sin х=д£ = д£- Найдем BE.
BE— медиана л SBC, в котором известны все стороны, а потому
по формуле ть = у 2(а2 + с2)—52 получим: ВЕ = ^^/SB2 + 2ВС2,
так как SC = SB. BE—72 = ут/121 = у , тогда sinx=
= у=А, x=arcsin-^, 2х=2 arcsinу.
Т
55.	arcsin 0-д/ЗсО8а), у<а<у. Решение. Пусть сто-
рона основания пирамиды равна a, SD—апофема (рис. 135),
а потому DC = y. Л SDC. SC = &~pS~ • DC = /? = -^-. Пусть
,	 ОС а 2 cos а 2 cos а 2 /5 „ п .
Z. OSC=x, тогда sinx = ^ =   = —-— = — д/3 cos а, 0 <
5С д/За	д/3	3
Csin х< 1, 0<~--\/3 cos а< 1, 0<cos а<	. Так как
л *	2 О	2
2 к
sin х=уд/3 cos а, то х=arcsin
д/З cos а).
56.	2 arcsin ^cos -у tgy j- Указание. См. рис. 136.
57.	arcsin а_ ). Решение. АО-Ln по построению
(рис. 137). 2. АСО=а— угол, образованный наклонной АС и
ее проекцией СО на плоскость л. Если АС = СВ = а, то АО=
Г~
= asina, ЛВ=ад/2. Пусть Z. АВО=х, тогда sinx = ^ =
a sin a sin a	 /-i/2sina\
=-----= x = arcsin (J!—s--------)-
a^2	^2	\	2	/
223
58.	arctg(2 ctg а). У ка за ние. См. рис. 138. 59. arcsin
Решение. Z_ BDE=x—искомый угол (рис. 139), где DE\\D\B{
и £)Е±ВВЬ BE=BBi—EBt=b — a, BD-^-^/З. д BDE. sin х=
_ВЕ
~~ BD ''
60.
61.
(6~о)2
а^З
х = arcsin
2(6 — а)
а^/З
arcsin (sin а sin 0). Указание. См. рис.
2 arctg (cos а). Решение. Пусть ВС = а,
140.
тогда ВЕ=ОЕ =
=Т (РИС. 141). AS0£.
cos а, у = arctg (cos а), х=2 arctg (cos а).
62. arccos fcos2 у У Указание. См. рис. 142. 63. arccos —
224
Рис 142	Рис 143
Рис. 144	Рис. 145	Рис. 146
64. arccos (cos2 а). Решение. Допустим, что Z. /1SC=х —
искомый, a Z. ASB~Z^ CSB = a (рис. 143). Кроме того, BCJ_SB
и BA.LSB и Z. ЛВС=90°. Пусть SB=a. Л ASB. AB=SB tg а =
=atga. A SBC. BC=atga, SC=-^-, SA = -^~, AC2=AB2 +
°	b	cos a	cos a	2	1
+ CB2 = 2a2tg2 a (1). ЛС2 = Л52 + 5С2-2Л5-5С cos x =	-
cos a
----cosx (2). Из (1) и (2) получим: 2a2 tg2 a — -^.-Ц— X
cos a	4	cos2 a cos a
. .	,0	1	1	COSX 1	, 2 COS X .
Xcosx, tg a = —5-----— -cosx, —7— = —=---tg a, —=1,
cos a	cos a	cos a cos a	cos a
cosx = cos2a, x—arccos (cos2 a).
65. arccos^. Указание. См. рис. 144. 66. arcsin
_________ о	о
0<A<V3- У к а 3 а н и е. См. рис. 145.
67.	arcsin	Р ешение. Так как боковые ребра
пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то,
проведя SO_L(АВС), получим равные прямоугольные треугольники
/ISO, BSO, CSO по катету SO и острому углу х; следовательно,
АО = ВО = СО (рис. 146). SO = ytgx, /lC = ccosx, CB = csinx,
225

1^=у Soch -SO = y -у c2 sin xcos x-~ tg x = -y c3 sin2x, sin2x=-^^,
sin x = ~^/3Vc, x = arcsin (уд/ЗРс), 0<sinx<l, 0< уд/ЗУгс 1,
0<<ЗУс<у, 0<P<-^.
68.	arcctg (у V*2— 1 у fe>l. У к а з а н и e. См. рис. 147.
69.	arcsin (л/3 — 1), у — arcsin (д/З — 1). Указание. См. рис. 148.
70-	arcctg ( sjn - • д/^а + 0) sin (а — 0)}. Решение.
/ ОВА=а и / ОСД = 0, как углы между наклонными и соот-
ветствующими их проекциями (рнс. 149). Пусть OA—h, тогда
AB = h ctg a, AC = h ctg 0. Д ACD. AD2 =АС*—CD2=h2 ctg2 0 —
— ft2 ctg2 a = ft2 (ctg2 0—ctg2 a), ctgx = ^?= Vc*g2 0 —ctg2 a.
,	_ /sin (a + p) sin (a — P)	1 r.—- —-—;—---
CtgX= V-----sin’Vs^p---=sinasi-p-^ln^ + P)Sln(a-P)’ X =
= arCCtg (sin~£inp V3in(« + P)sin(a-pF) .
71.	2 arctg (2д/3й). Указание. См. рис. 150. 72. arctg (2~f„
Указание. См. рис. 151.
73.	arccos т-1 , , k >2. Решение. АВ=ап=а, OD Л_АВ, AD =
К — I
= ОВ = У (рис. 152). Д ОДО. OD=4O-ctg-^ = yctg-yT
, 180°
ап	1
Пусть Z. ODS=x, тогда SD =------= —5=-LnaX
J	cosx 2 cosx ’	°°K	2
180°
g n na2 .	180° с с	no2 180° ,
X—s-----= -----ctg---,	cosx = —-------ctg-X
2 cos x 4 cos x Б n	OL °*K	4 cos x Б n
x. „ na2 . 180° c	о , о ___ na2 180°	na2
XcoSX— 4 ctg—— ,Snn— Обок +5ОСн	4 cos л Ctg n	4 X
,	180° nd2 ,	180“ . I i\ с c l na~
Xctg----= -.---ctg---(cosx+ ), Sn n :S(K1) =k, -X
e л 4 cos x b n 4	I	П. П оси <4 cos x zx
. 180° ,. .	. na2 , 180°	, 1+cosjr	,1	,	.
Xctg----(1+cos x): —ctg--=A, —I--= k,----=k — 1,
ь n '	/4',и	cosx	cos x
со8х = т-Ц-, k— 1>’1, A>2, x= arccos-т-Ц-
к— 1	к— 1
74.	arctg	12 — 2t cos у ) , f>2.
75.	arctg у(ctg a± xjctg2a — 8 ). Решение. По условию
x—y = a, y=x — a. Пусть SO=h (рис. 153), тогда OC =
227
Рис. 157
Рис. 156
= hctgy и OE=h ctgx. 0С = 20Е, поэтому 2OE=hc\.gy
или 2/i ctg x=/i ctg у, 2ctgx=ctgy или tgx=2tgy, tgx=
= 2tg(x —a), tgx=	tgx+tg2xtga=2tgx-2tga,
tgatg2x—tgx-|-2tgcc = 0, D = l-8tg2a>0.	ctg2a>
>8, |ctg a| >2д/2, но 0<a<y, а потому ctga>2-\/2.
tgx= ld:	~ (!)• Запишем равенство (1) в виде: tgx=
 ctga±~\/ctg a —8 ' x_ arctg I (ctg a ± -ylcfg2 a_g у
76.	arctg ( s'n a cos у ) Указание. См. рис. 154.
77.	arctgд/2. Указание. См. рис. 155.
-о л 1	.	л . 1	. д/2
78‘ -8--TarCS,n 6 ’ -8- + rarCS,n 6 •
79.	arcctg (у sin а), arcctg (у cos а).
80.	2 arcctg(sin а). 81. arctg^ytga).
82.	arcsin (ctg-^-ctga), 0<а<у.
83.	arccos ^ctg-^-ctg , 0<a < y 
84.	—. 85. arccos4-, arccos^.
n	3	3
86- arctg	'^gocY 87. 2 arctg —. Решение.
ь\т + л\ь/	ь nn	2RI
m nR m R tn , x AO	x R 4R 4m _________
—	2?— л-’ 2Г — Й7’ lg T ~ 002 ’	T—2Г-—
2
. 4m	. 4m'
= arctg—, x= arctg—.
& M TT	° nn
228
Рис. 158	Рис. 159	Рис- 160
88. arctg	Указание. См. рис. 156. 89. 2 arccos^.
Указание. См. рис. 157 (а, б).
/б	I
90. arcsin-V. Указание. См. рис. 158. 91. arccos — , л —
1 3	3
— arccosу. Указание. См. рис. 159.
92.	arcsinу. 93. arccosу(1 -±- -у/ 1 — 2^А), 0</г<у. Указа-
ние См. рис. 160.
94.	2 arctg д/~ С"2' • k>2
95.	2 arcsin(tga), OCaCy-.
96.	2 arcctg л ~ 35° 16'. 97. 2arctg|^y. *>л.
98.	arcctg (fc—l)-\/5. k> I. Указание. См. рис. 161.
99.	arctg^-(4 + ^/6). Указание. См. рис. 162.
100.	arctg2. 101. arccosу. Указание. См. рис. 163.
229

102. arcsin	—-. Указание. См. рис. 164.
О
। -Лк	4
103. arccos-Указание. См. рис. 165. 104. arcsin—.
V*	5
Указание. См. рис. 166.
л _	2 л — 1 ~Г~ 2 у л< л 2)		сгх о
105. arccos---. , .---п^2. 106. 60°.
4 л-f- 1
107. 2 arcctg 3. Указание. См. рис. 167. 108. 2 arcsin -i-,
о •	5
2 arcsin — .
О
109. arcctg2. ПО. 2 arccos 1 ^‘7-- Hl. 2arcsin(^/2—1). Ука-
зание. См. рис. 168.
112. arcsin 1 . Указание. См. рис. 169. 113. arccos ,
£	44*«
0<Л< 1. Указание. См. рис. 170.
Приложение
Таблица I. СИНУСЫ.
															
А	О'	6'	12'	18'	24'	30'	36'	42'	48'	54'	60'		1'	2'	3'
											0,0000	90°			
0’	0,0000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
2°	0349	0366	0384	0401	0419	0436	0454	0471	0488	0506	0523	87°	3	6	9
3°	0523	0541	0558	0576	0593	0610	0628	0645	0663	0680	0698	86°	3	6	9
4°	0698	0715	0732	0750	0767	0785	0802	0819	0837	0854	0,0872	85°	3	6	9
5°	0,0872	0889	0906	0924	0941	0958	0976	0993	1011	1028	1045	84°	3	6	9
6°	1045	1063	1080	1097	1115	1132	1149	1167	1184	1201	1219	83°	3	6	9
7°	1219	1236	1253	1271	1288	1305	1323	1340	1357	1374	1392	82°	3	6	9
8°	1392	1409	1426	1444	1461	1478	1495	1513	1530	1547	1564	81°	3	6	9
9°	1564	1582	1599	1616	1633	1650	1668	1685	1702	1719	0,1736	80°	3	6	9
10°	0,1736	1754	1771	1788	1805	1822	1840	1857	1874	1891	1908	79°	3	6	9
11°	1908	1925	1942	1959	1977	1994	2011	2028	2045	2062	2079	78°	3	6	9
12°	2079	2096	2113	2130	2147	2164	2181	2198	2215	2233	2250	77°	3	6	9
13°	2250	2267	2284	2300	2317	2334	2351	2368	2385	2402	2419	76°	3	6	8
14°	2419	2436	2453	2470	2487	2504	2521	2538	2554	2571	0,2588	75°	3	6	8
15°	0,2588	2605	2622	2639	2656	2672	2689	2706	2723	2740	2756	74°	3	6	8
16°	2756	2773	2790	2807	2823	2840	2857	2874	2890	2907	2924	73°	3	6	8
17°	2924	2940	2957	2974	2990	3007	3024	3040	3057	3074	3090	72°	3	6	8
18°	3090	3107	3123	3140	3156	3173	3190	3206	3223	3239	3256	71°	3	6	8
19°	3256	3272	3289	3305	3322	3338	3355	3371	3387	3404	0,3420	70°	3	5	8
20°	0,3420	3437	3453	3469	3486	3502	3518	3535	3551	3567	3584	69°	3	5	8
21°	3584	3600	3616	3633	3649	3665	3681	3697	3714	3730	3746	68°	3	5	8
22°	3746	3762	3778	3795	3811	3827	3843	3859	3875	3891	3907	67°	3	5	8
23°	3907	3923	3939	3955	3971	3987	4003	4019	4035	4051	4067	66°		5	8
24°	4067	4083	4099	4115	4131	4147	4163	4179	4195	4210	0,4226	65°	3	5	8
25°	0,4226	4242	4258	4274	4289	4305	4321	4337	4352	4368	4384	64°	3	5	8
26°	4384	4399	4415	4431	4446	4462	4478	4493	4509	4524	4540	63°	3	5	8
27°	4540	4555	4571	4586	4602	4617	4633	4648	4664	4679	4695	62°	3	5	8
28°	4695	4710	4726	4741	4756	4772	4787	4802	4818	4833	4848	61°	3	5	8
29°	4848	4863	4879	4894	4909	4924	4939	4955	4970	4985	0.5000	60°	3	5	8
30°	0,5000	5015	5030	5045	5060	5075	5090	5105	5120	5135	5150	59°	3	5	8
31°	5150	5165	5180	5195	5210	5225	5240	5255	5270	5284	5299	58°	2	5	7
32°	5299	5314	5329	5344	5358	5373	5388	5402	5417	5432	5446	57°	2	5	7
33°	5446	5461	5476	5490	5505	5519	5534	5548	5563	5577	5592	56°	2	5	7
34°	5592	5606	5621	5635	5650	5664	5678	5693	5707	5721	0.5736	55°	2	5	7
	60'	54'	48'	42'	36'	30'	24'	18'	12'	6'	0'	А	1'	2'	3'
КОСИНУСЫ.
232
Таблица I. СИНУСЫ.
А	0'	6'	12'	18'	24'	30'	36'	42'	48'	54'	60'		Г	2'	3'
35°	0,5736	5750	5764	5779	5793	5807	5821	5835	5850	5864	0,5878	54°	2	5	7
36°	5878	5892	5906	5920	5934	5948	5962	5976	5990	6004	6018	53°	2	5	7
37°	6018	6032	6046	6060	6074	6088	6101	6115	6129	6143	6157	52’	2	5	7
38°	6157	6170	6184	6198	6211	6225	6239	6252	6266	6280	6293	51’	2	5	7
39°	6293	6307	6320	6334	6347	6361	6374	6388	6401	6414	0,6428	50°	2	4	7
40°	0,6428	6441	6455	6468	6481	6494	6508	6521	6534	6547	6561	49’	2	4	7
41°	6561	6574	6587	6600	6613	6626	6639	6652	6665	6678	6691	48’	2	4	7
42°	6691	6704	6717	6730	6743	6756	6769	6782	6794	6807	6820	47°	2	4	6
43°	6820	6833	6845	6858	6871	6884	6896	6909	6921	6934	6947	46’	2	4	6
44”	6947	6959	6972	6984	6997	7009	7022	7034	7046	7059	0,7071	45”	2	4	6
45”	0.7071	7083	7096	7108	7120	7133	7145	7157	7169	7181	7193	44”	2	4	6
46”	7193	7206	7218	7230	7242	7254	7266	7278	7290	7302	7314	43°	2	4	6
47”	7314	7325	7337	7349	7361	7373	7385	7396	7408	7420	7431	42”	2	4	6
48°	7431	7443	7455	7466	7478	7490	7501	7513	7524	7536	7547	41”	2	4	6
49’	7547	7559	7570	7581	7593	7604	7615	7627	7638	7649	0,7660	40’	2	4	6
50°	0.7660	7672	7683	7694	7705	7716	7727	7738	7749	7760	7771	39°	2	4	6
51”	7771	7782	7793	7804	7815	7826	7837	7848	7859	7869	7880	38°	2	4	5
52”	7880	7891	7902	7912	7923	7934	7944	7955	7965	7976	7986	37°	2	4	5
53’	7986	7997	8007	8018	8028	8039	8049	8059	8070	8080	8090	36”	2	3	5
54’	8090	8100	8111	8121	8131	8141	8151	8161	8171	8181	0,8192	35’	2	3	5
55’	0,8192	8202	8211	8221	8231	8241	8251	8261	8271	8281	8290	34”	2	3	5
56’	8290	8300	8310	8320	8329	8339	8348	8358	8368	8377	8387	33”	2	3	5
57°	8387	8396	8406	8415	8425	8434	8443	8453	8462	8471	8480	32°	2	3	5
58°	8480	8490	8499	8508	8517	8526	8536	8545	8554	8563	8572	31’	2	3	5
59”	8572	8581	8590	8599	8607	8616	8625	8634	8643	8652	0,8660	30’	1	3	4
60°	0,8660	8669	8678	8686	8695	8704	8712	8721	8729	8738	8746	29”	1	3	4
61°	8746	8755	8763	8771	8780	8788	8796	8805	8813	8821	8829	28“	1	3	4
62°	8829	8838	8846	8854	8862	8870	8878	8886	8894	8902	8910	27”	1	3	4
63’	8910	8918	8926	8934	8942	8949	8957	8965	8973	8980	8988	26°	1	3	4
64°	8988	8996	9003	9011	9018	9026	9033	9041	9048	9056	0,9063	25”	1	3	4
65’	0,9063	9070	9078	9085	9092	9100	9107	9114	9121	9128	9135	24°	1	2	4
66°	9135	9143	9150	9157	9164	9171	9178	9184	9191	9198	9205	23”	1	2	3
67°	9205	9212	9219	9225	9232	9239	9245	9252	9259	9265	9272	22’	1	2	3
68°	9272	9278	9285	9291	9298	9304	9311	9317	9323	9330	9336	21’	1	2	3
69°	9336	9342	9348	9354	9361	9367	9373	9379	9385	9391	0,9397	20”	1	?	3
	60'	54'	48'	42'	36'	30'	24'	18'	12'	6'	0'	А	1'	2'	3'
КОСИНУСЫ.
233
Таблица I. СИНУСЫ.
А	О'	6'	12'	18'	24'	30'	36'	42'	48'	54'	60'		1'	2'	з-
70°	0,9397	9403	9409	9415	9421	9426	9432	9438	9444	9449	0,9455	19°	1	2	3
71°	9455	9461	9466	9472	9478	9483	9489	9494	9500	9505	9511	18°	1	2	3
72°	9511	9516	9521	9527	9532	9537	9542	9548	9553	9558	9563	17°	/	2	3
73”	9563	9568	9573	9578	9583	9588	9593	9598	9603	9608	9613	16°	1	2	2
74”	9613	9617	9622	9627	9632	9636	9641	9646	9650	9655	0,9659	15°	1	2	2
75°	0,9659	9664	9668	9673	9677	9681	9686	9690	9694	9699	9703	14°	1	1	2
76°	9703	9707	9711	9715	9720	9724	9728	9732	9736	9740	9744	13°	1	1	2
77°	9744	9748	9751	9755	9759	9763	9767	9770	9774	9778	9781	12°	1	1	2
78°	9781	9785	9789	9792	9796	9799	9803	9806	9810	9813	9816	11°	1	1	2
79°	9816	9820	9823	9826	9829	9833	9836	9839	9842	9845	0,9848	10°	1	1	2
80°	0,9848	9851	9854	9857	9860	9863	9866	9869	9871	9874	9877	9°	0	1	1
81°	9877	9880	9882	9885	9888	9890	9893	9895	9898	9900	9903	8°	0	1	1
82°	9903	9905	9907	9910	9912	9914	9917	9919	9921	9923	9925	7°	0	1	1
83°	9925	9928	9930	9932	9934	9936	9938	9940	9942	9943	9945	6”	0	1	1
84°	9945	9947	9949	9951	9952	9954	9956	9957	9959	9960	9962	5°	0	1	1
85°	0,9962	9963	9965	9966	9968	9969	9971	9972	9973	9974	9976	4”	0	0	1
86”	9976	9977	9978	9979	9980	9981	9982	9983	9984	9985	9986	3°	0	0	0
87°	9986	9987	9988	9989	9990	9990	9991	9992	9993	9993	9994	2°	0	0	0
88°	9994	9995	9995	9996	9996	9997	9997	9997	9998	9998	0,9998	1°	0	0	0
89° 90°	9998 1,0000	9999	9999	9999	9999	0000	0000	0000	0000	0000	1,0000	0°	0	0	0
	60'	54'	48'	42'	36'	30'	24'	18'	12'	6'	0'	А	г	2'	3'
КОСИНУСЫ.
Таблица II. ТАНГЕНСЫ.
А	0'	6'	12'	18'	24'	30'	36'	42'	48'	54'	60'		1'	2'	3'
											0,0000	90’			
О’	0.0000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
2°	0349	0367	0384	0402	0419	0437	0454	0472	0489	0507	0524	87°	3	6	9
3°	0524	0542	0559	0577	0594	0612	0629	0647	0664	0682	0699	86°	3	6	9
4°	0699	0717	0734	0752	0769	0787	0805	0822	0840	0857	0,0875	85’	3	6	9
5°	0.0875	0892	0910	0928	0945	0963	0981	0998	1016	1033	1051	84°	3	6	9
6°	1051	1069	1086	1104	1122	1139	1157	1175	1192	1210	1228	83°	3	6	9
7°	1228	1246	1263	1281	1299	1317	1334	1352	1370	1388	1405	82°	3	6	9
8°	1405	1423	1441	1459	1477	1495	1512	1530	1548	1566	1584	81°	3	6	9
9°	1584	1602	1620	1638	1655	1673	1691	1709	1727	1745	0,1763	80°	3	6	9
10°	0,1763	1781	1799	1817	1835	1853	1871	1890	1908	1926	1944	79°	3	6	9
11°	1944	1962	1980	1998	2016	2035	2053	2071	2089	2107	2126	78°	3	6	9
12°	2126	2144	2162	2180	2199	2217	2235	2254	2272	2290	2309	77°	3	6	9
13°	2309	2327	2345	2364	2382	2401	2419	2438	2456	2475	2493	76°	3	6	9
14°	2493	2512	2530	2549	2568	2586	2605	2623	2642	2661	0,2679	75°	3	6	9
15°	0,2679	2698	2717	2736	2754	2773	2792	2811	2830	2849	2867	74’	3	6	9
16°	2867	2886	2905	2924	2943	2962	2981	3000	3019	3038	3057	73°	3	6	9
17°	3057	3076	3096	3115	3134	3153	3172	3191	3211	3230	3249	72°	3	6	10
18°	3249	3269	3288	3307	3327	3346	3365	3385	3404	3424	3443	71°	3	6	10
19°	3443	3463	3482	3502	3522	3541	3561	3581	3600	3620	0,3640	70°	3	7	10
20°	0,3640	3659	3679	3699	3719	3739	3759	3779	3799	3819	3839	69°	3	Т	10
21°	3839	3859	3879	3899	3919	3939	3959	3979	4000	4020	4040	68°	3	7	10
22°	4040	4061	4081	4101	4122	4142	4163	4183	4204	4224	4245	67°	3	7	10
23°	4245	4265	4286	4307	4327	4348	4369	4390	4411	4431	4452	66°	3	7	10
24°	4452	4473	4494	4515	4536	4557	4578	4599	4621	4642	0,4663	65°	4	7	11
25°	0,4663	4684	4706	4727	4748	4770	4791	4813	4834	4856	4877	64°	4	7	11
26°	4877	4899	4921	4942	4964	4986	5008	5029	5051	5073	5095	63°	4	7	11
27°	5095	5117	5139	5161	5184	5206	5228	5250	5272	5295	5317	62’	4	7	11
28°	5317	5340	5362	5384	5407	5430	5452	5475	5498	5520	5543	61°	4	8	11
29°	5543	5566	5589	5612	5635	5658	5681	5704	5727	5750	0,5774	60°	4	8	12
30°	0,5774	5797	5820	5844	5867	5890	5914	5938	5961	5985	6009	59°	4	8	12
31°	6009	6032	6056	6080	6104	6128	6152	6176	6200	6224	6249	58°	4	8	12
32°	6249	6273	6297	6322	6346	6371	6395	6420	6445	6469	6494	57°	4	8	12
33°	6494	6519	6544	6569	6594	6619	6644	6669	6694	6720	6745	56°	4	8	13
34°	6745	6771	6796	6822	6847	6873	6899	6924	6950	6976	0,7002	55°	4	9	13
35’	0,7002	7028	7054	7080	7107	7133	7159	7186	7212	7239	7265	54°	4	8	13
36°	7265	7292	7319	7346	7373	7400	7427	7454	7481	7508	7536	53°	5	9	14
37’	7536	7563	7590	7618	7646	7673	7701	7729	7757	7785	7813	52°	5	9	14
38°	7813	7841	7869	7898	7926	7954	7983	8012	8040	8069	8098	51°	5	9	14
39’	8098	8127	8156	8185	8214	8243	8273	8302	8332	8361	0,8391	50°	5	10	15
	60-	54'	48'	42'	36'	30'	24'	18'	12'	6'	о-	А 		1-	2'	3'
КОТАНГЕНСЫ.
235
Таблица II. ТАНГЕНСЫ.
А	О'	6'	12'	18'	24'	30'	36'	42'	48'	54'	60'		1'	2'	3'
40°	0,8391	8421	8451	8481	8511	8541	8571	8601	8632	8662	0,8693	49°	5	10	15
41°	8693	8724	8754	8785	8816	8847	8878	8910	8941	8972	9004	48°	5	10	16
42°	9004	9036	9067	9099	9131	9163	9195	9228	9260	9293	9325	47°	6	и	16
43°	9325	9358	9391	9424	9457	9490	9523	9556	9590	9623	0,9657	46’	6	11	17
44°	9657	9691	9725	9759	9793	9827	9861	9896	9930	9965	1.0000	45°	6	11	17
45°	1,0000	0035	0070	0105	0141	0176	0212	0247	0283	0319	0355	44°	6	12	18
46°	0355	0392	0428	0464	0501	0538	0575	0612	0649	0686	0724	43’	6	12	18
47°	0724	0761	0799	0837	0875	0913	0951	0990	1028	1067	1106	42’	6	13	19
48°	1106	1145	1184	1224	1263	1303	1343	1383	1423	1463	1504	41°	7	13	20
49°	1504	1544	1585	1626	1667	1708	1750	1792	1833	1875	1.1918	40°	7	14	21
50°	1,1918	1960	2002	2045	2088	2131	2174	2218	2261	2305	2349	39’	7	14	22
51°	2349	2393	2437	2482	2527	2572	2617	2662	2708	2753	2799	38°	8	15	23
52°	2799	2846	2892	2938	2985	3032	3079	3127	3175	3222	3270	37°	8	16	24
53°	3270	3319	3367	3416	3465	3514	3564	3613	3663	3713	3764	36°	8	16	25
54°	3764 i	3814	3865	3916	3968	4019	4071	4124	4176	4229	1,4281	35°	9	17	26
55°	1,4281	4335	4388	4442	4496	4550	4605	4659	4715	4770	4826	34°	9	18	27
56°	4826	4882	4938	4994	5051	5108	5166	5224	5282	5340	5399	33°	10	19	29
57°	5399	5458	5517	5577	5637	5697	5757	5818	5880	5941	6003	32°	10	20	30
58°	6003	6066	6128	6191	6255	6319	6383	6447	6512	6577	6643	31°	11	21	32
59°	6643	6709	6775	6842	6909	6977	7045	7113	7182	7251	1,7321	30°	11	23	34
80°	1,732	1,739	1,746	1,753	1,760	1,767	1,775	1,782	1,789	1,797	1,804	29°	1	2	4
61°	1,804	1,811	1,819	1,827	1,834	1.842	1,849	1,857	1,865	1,873	1,881	28’	1	3	4
62°	1,881	1,889	1,897	1,905	1,913	1,921	1,929	1,937	1,946	1,954	1,963	27°	1	3	4
63°	1,963	1,971	1,980	Г.988	1,997	2,006	2,014	2,023	2,032	2,041	2,050	26°	1	3	4
64’	2,050	2,059	2.069	2,078	2,087	2,097	2,106	2,116	2,125	2,135	2,145	25°	2	3	5
65°	2,145	2,154	2,164	2,174	2,184	2,194	2,204	2,215	2,225	2,236	2,246	24°	2	3	5
66°	2,246	2,257	2,267	2,278	2,289	2,300	2,311	2,322	2,333	2,344	2,356	23°	2	4	5
67°	2,356	2,367	2,379	2,391	2,402	2,414	2,426	2,438	2,450	2,463	2,475	22°	2	4	6
68’	2,475	2,488	2,500	2,513	2,526	2,539	2,552	2,565	2,578	2,592	2,605	21°	2	4	6
69°	2,605	2,619	2,633	2,646	2,660	2,675	2,689	2,703	2,718	2.733	2,747	20’	2	5	7
70°	2,747	2,762	2,778	2,793	2,808	2,824	2,840	2,856	2,872	2,888	2,904	19°	3	5	8
71°	2,904	2,921	2,937	2,954	2,971	2,989	3,006	3,024	3,042	3,060	3,078	18’	3	6	9
72°	3,078	3,096	3,115	3,133	3,152	3,172	3,191	3,211	3,230	3,251	3,271	17°	3	6	10
73°	3,271	3.291	3,312	3,333	3,354	3,376							3	7	10
							3,398	3,420	3,442	3,465	3,487	16°	4	7	11
74°	3,487	3,511	3.534	3,558	3,582	3,606							4	8	12
							з;взо	3,655	3,681	3,706	3,732	15°	4	8	13
75’	3,732	3,758	3,785	3,812	3,839	3,867							4	9	13
							3,895	3,923	3,952	3,981	4,011	14°	5	10	14
	80'	54'	48'	42'	36'	30'	24'	18'	12'	6'	0'	А	1'	2'	3'
КОТАНГЕНСЫ.
236
Таблица III. ТАНГЕНСЫ УГЛОВ, БЛИЗКИХ К 90°.
А	0'	1'	2'	3'	4'	5'	6'	7'	8'	9'	10'	
76°00'	4,011	4,016	4,021	4,026	4,031	4,036	4,041	4,046	4,051	4,056	4,061	50'
10'	4,061	4,066	4,071	4,0761	4,082	4,087	4,092	4,097	4,102	4,107	4,113	40'
20'	4,113	4,118	4,123	4,128	4,134	4,139	4,144	4,149	4,155	4,160	4,165	30'
30'	4,165	4,171	4,176	4,181	4,187	4,192	4,198	4,203	4,208	4,214	4,219	20'
40'	4,219	4,225	4,230	4,236	4,241	4,247	4,252	4,258	4,264	4,269	4,275	10'
50'	4,275	4,280	4,286	4,292	4,297	4,303	4,309	4,314	4,320	4,326	4,331	13°00'
77°00'	4,331	4,337	4,343	4,349	4,355	4,360	4,366	4,372	4,378	4,384	4,390	50'
10'	4,390	4,396	4,402	4,407	4,413	4,419	4,425	4,431	4,437	4,443	4,449	40'
20'	4,449	4,455	4,462	4,468	4,474	4,480	4,486	4,492	4,498	4,505	4,511	30'
30'	4,511	4,517	4,523	4,529	4,536	4,542	4,548	4,555	4,561	4,567	4,574	20'
40'	4,574	4,580	4,586	4,593	4,599	4,606	4,612	4,619	4,625	4,632	4,638	10'
50'	4.638	4,645	4,651	4,658	4,665	4,671	4,678	4,685	4,691	4,698	4,705	12°00'
78°00'	4,705	4,711	4,718	4,725	4,732	4,739	4,745	4,752	4,759	4,766	4,773	50'
10'	4,773	4,780	4,787	4,794	4,801	4,808	4,815	4,822	4,829	4,836	4,843	40'
20'	4,843	4,850	4,857	4,864	4,872	4,879	4,886	4,893	4,901	4,908	4,915	30'
30'	4,915	4,922	4,930	4,937	4,945	4,952	4,959	4,967	4,974	4,982	4,989	20'
40'	4,989	4,997	5,005	5,012	5,020	5,027	5,035	5,043	5,050	5,058	5,066	10'
50'	5,066	5,074	5,081	5,089	5,097	5,105	5,113	5,121	5,129	5,137	5,145	П°00'
79°00'	5,145	5,153	5,161	5,169	.5,177	5,185	5,193	5,201	5,209	5,217	5,226	50'
10'	5,226	5,234	5,242	5,250	5,259	5,267	5,276	5,284	5,292	5,301	5,309	40'
20'	5,309	5,318	5,326	5,335	5,343	5,352	5,361	5,369	5,378	5,387	5,396	30'
30'	5,396	5,404	5,413	5,422	5,431	5,440	5,449	5,458	5,466	5,475	5,485	20'
40'	5,485	5,494	5,503	5,512	5,521	5,530	5,539	5,549	5,558	5,567	5,576	10'
50'	5,576	5,586	5,595	5,605	5,614	5.623	5,633	5,642	5,652	5,662	5,671	10°00'
80°00'	5,671	5,681	5,691	5,700	5,710	5,720	5,730	5,740	5,749	5,759	5,769	50'
10'	5,769	5,779	5,789	5,799	5,810	5,820	5,830	5,840	5,850	5,861	5,871	40'
20'	5,871	5,881	5,892	5,902	5,912	5,923	5,933	5,944	5,954	5,965	5,976	30'
30'	5,976	5,986	5,997	6,008	6,019	6,030	6,041	6,051	6,062	6,073	6,084	20'
40'	6,084	6,096	6,107	6,118	6,129	6,140	6,152	6,163	6,174	6,186	6,197	10'
. 50'	6,197	6,209	6,220	6,232	6,243	6,255	6,267	6,278	6,290	6,302	6,314	9°00'
81°00'	6,314	6,326	6,338	6,350	6,362	6,374	6,386	6,398	6,410	6,423	6,435	50'
10'	6,435	6,447	6,460	6,472	6,485	6,497	6,510	6,522	6,535	6,548	6,561	40'
20'	6,561	6,573	6,586	6,599	6,612	6,625	6,638	6,651	6,665	6,678	6,691	30'
30'	6,691	6,704	6,718	6,731	6,745	6,758	6,772	6,786	6,799	6,813	6,827	20'
40'	6,827	6,841	6,855	6,869	6,883	6,897	6,911	6.925	6,940	6,954	6,968	10'
50'	6,968	6,983	6,997	7.012	7,026	7,041	7,056	7,071	7,085	7,100	7,115	8°00'
82°00'	7,115	7,130	7,146	7,161	7,176	7,191	7,207	7,222	7,238	7,253	7,269	50'
10'	7,269	7,284	7,300	7,316	7,332	7,348	7,363	7,380	7,396	7,412	7,429	40'
20'	7,429	7,445	7,462	7,478	7,495	7,511	7,528	7,545	7,562	7,579	7,596	30'
30'	7,569	7,613	7,630	7.647	7,665	7,682	7,700	7,717	7,735	7,753	7,770	20'
40'	7,770	7,788	7,806	7.824	7,842	7,861	7,879	7,897	7,916	7,934	7,953	10'
50'	7,953	7,972	7,991	8,009	8,028	8,048	8,067	8,086	8,106	8,125	8,144	7°00'
	10'	9'	8'	7'	6'	5'	4'	3'	2'	Г	0'	А
КОТАНГЕНСЫ МАЛЫХ УГЛОВ.
237
Таблица 111. ТАНГЕНСЫ УГЛОВ, БЛИЗКИХ К 90°
А	0'	1'	2'	з-	4'	5'	6'	7'	8'	9'	10'	
83°00'	8,144	8,164	8,184	8,204	8.223	8.243	8.264	8,284	8,304	8.324	8,345	50'
10'	8,345	8,366	8,386	8,407	8,428	8,449	8,470	8,491	8,513	8.534	8,556	40-
20'	8,556	8,577	8,599	8,621	8,643	8,665	8,687	8,709	8,732	8,745	8,777	30'
30'	8,777	8,800	8,823	8,846	8,869	8,892	8,915	8,939	8,962	8,986	9,010	20'
40-	9,010	9,034	9,058	9,082	9,106	9.131	9,156	9,180	9.205	9,230	9,255	10'
50'	9,255	9,281	9,306	9.332	9.357	9,383	9,409	9,435	9,461	9,488	9,514	6°00'
84’00'	9,514	9,541	9,568	9,595	9,622	9,649	9,677	9,704	9,732	9,760	9,788	50'
10'	9,788	9,816	9,845	9,873	9,902	9.931	9,960	9,989	10,02	10,05	10,08	40'
20'	10,08	10,11	10,14	10,17	10,20	10,23	10,26	10,29	10,32	10,35	10,39	30'
30'	10,39	10,42	10,45	10,48	10,51	10.55	10,58	10,61	10,64	10,68	10,71	20'
40'	10,71	10,75	10,78	10,81	10,85	10,88	10,92	10,95	10,99	11,02	11,06	10'
50'	11,06	11,10	11.13	11,17	11.20	11,24	11,28	11,32	11,35	11,39	11,43	5°00'
85”00'	11,43	11,47	11,51	11,55	11,59	11,62	11,66	11,70	11,74	11,79	11,83	50'
10'	11,83	11,87	11,91	11,95	11,99	12,03	12,08	12,12	12,16	12,21	12,25	40'
20'	12,25	12,29	12,34	12.38	12,43	12,47	12.52	12,57	12,61	12,66	12,71	30'
30'	12,71	12,75	12,80	12,85	12,90	12,95	13,00	13,05	13,10	13,15	13,20	20'
40'	13,20	13,25	13,30	13.35	13.40	13,46	13,51	13,56	13.62	13,67	13,73	10'
50-	13,73	13,78	13,84	13.89	13,95	14.01	14,07	14,12	14,18	14,24	14,30	4’00'
86°00'	14,30	14,36	14,42	14,48	14,54	14.61	14,67	14,73	14,80	14,86	14,92	50'
10'	14,92	14,99	15,06	15,12	15,19	15,26	15,33	15.39	15,46	15,53	15,60	40'
20’	15,60	15,68	15,75	15,82	15,89	15,97	16,04	16,12	16,20	16,27	16,35	30'
30'	16,35	16,43	16,51	16,59	16,67	16,75	16,83	16,92	17,00	17,08	17,17	20'
40'	17,17	17,26	17,34	17,43	17,52	17,61	17,70	17,79	17,89	17,98	18,07	10'
50'	18,07	18,17	18,27	18.37	18.46	18,56	18,67	18,77	18,87	18,98	19,08	3°00'
87”00'	19,08	19,19	19,30	19,41	19,52	19,63	19,74	19,85	19,97	20,09	20,21	50'
10'	20,21	20,33	20,45	20,57	20,69	20,82	20,95	21,07	21,20	21,34	21,47	40'
20'	21,47	21,61	21,74	21,88	22,02	22.16	22,31	22,45	22,60	22,75	22,90	30'
30'	22,90	23,06	23,21	23,37	23,53	23,69	23,86	24,03	24,20	24,37	24,54	20'
40'	24,54	24,72	24,90	25,08	25,26	25,45	25,64	25,83	26,03	26,23	26,43	10'
50'	26,43	26,64	26,84	27,06	27,27	27.49	27,71	27.94	28,17	28,40	28,64	2°00'
88”00'	28,64	28,88	29,12	29,37	29,62	29,88	30,14	30,41	30,68	30,96	31,24	50'
10'	31,24	31,53	31,82	32,12	32,42	32,73	33,05	33,37	33,69	34,03	34,37	40'
20-	34,37	34,72	35,07	35,43	35,80	36,18	36,56	36,96	37,36	37,77	38,19	30'
30'	38,19	38,62	39,06	39,51	39,97	40,44	40,92	41,41	41,92	42,43	42,96	20'
40'	42,96	43,51	44,07	44,64	45,23	45,83	46,45	47,09	47,74	48,41	49,10	10'
50'	49,10	49,82	50,55	51,30	52,08	52,88	53,71	54,56	55,44	56,35	57,29	1°00'
89°00'	57,29	58,26	59,27	60,31	61,38	62,50	63,66	64,86	66,11	67,40	68,75	50'
10'	68,75	70,15	71,62	73,14	74,73	76,39	78,13	79.94	81,85	83,84	85,94	40'
20'	85,94	88,14	90,46	92,91	95,49	98.22	101,1	104,2	107,4	110,9	114,6	30'
30'	114,6	118,5	122,8	127,3	132,2	137,5	143,2	149,5	156,3	163,7	171,9	20'
40'	171,9	180,9	191.0	202,2	214,9	229,2	245,6	264,4	286,5	312,5	343,8	10'
50'	343,8	382,0	429.7	491.1	573.0	687,5	859,4	1146	1719	3438		0°00'
	10'	9'	8'	7'	6'	5'	4'	3'	2'	1'	0'	А
КОТАНГЕНСЫ МАЛЫХ УГЛОВ.
238
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ................................. 3
§ I.	Уравнения	вида sin х=а .	—
§ 2.	Уравнения	вида cosx=a .	5
§ 3.	Уравнения	вида tgx=a .	6
§ 4.	Уравнения вида ctgx=a....................... ...	7
§ 5.	Уравнения, сводимые к алгебраическим..................... —
§ 6.	Однородные уравнения.................................... 12
§ 7.	Уравнения, решаемые разложением на множители............ 15
§ 8.	Уравнения, решаемые с помощью условия равенства одно-
именных тригонометрических функций........................... 18
§ 9.	Уравнения, решаемые с помощью формул сложения триго-
нометрических функций........................................ 22
§ 10.	Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов
и разложения произведения тригонометрических функций
в сумму...................................................... 25
§ II.	Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени . 29
§ 12. Уравнения айда a sin x-|-d cos x=c . .	33
§ 13.	Уравнения смешанного типа . .	.	....	37
§ 14.	Проверка решений уравнений............................. 46
§ 15.	Приближенные решения трансцендентных уравнений, содер-
жащих	тригонометрические функции...................... 47
§ 16.	Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функ-
ции ......................................................... 51
Глава II.	СИСТЕМЫ	ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ.................... 55
§ I.	Системы уравнений, в которых одно уравнение— алгебраиче-
ское, а другое — сумма или разность тригонометрических
функций ...................................................... —
§ 2.	Системы уравнений, в которых одно уравнение — алгебраиче-
ское, а другое — произведение тригонометрических функций .	59
§ 3.	Системы уравнений, в которых одно ураанение — алгебраиче-
ское, а другое— отношение тригонометрических функций . . .	61
§ 4.	Системы уравнений, содержащих только тригонометрические
функции .......	63
Глава III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА............................ 70
Глава IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К РЕШЕНИЮ ТРИГО-
НОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ.................................. 80
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава 1. Тригонометрические уравнения ...	92
Глава 11. Системы тригонометрических уравнений .	177
Глааа III. Тригонометрические неравенства ....	....	193
Глава IV. Геометрические задачи, приводящие к решению тригоно-
метрических уравнений ...	211
ПРИЛОЖЕНИЕ...........................................................232
239
Учебное издание
Бородуля Иван Тимофеевич
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
Зав. редакцией Р. А. Хабиб. Редактор Т. Ю. Акимова. Младшие редакторы
О. В. Агапова, Е. А. Сафронова. Художники Тачков А. Е., Титков Е. П. Художе-
ственный редактор Е. Р. Дашук. Технические редакторы Н. А. Биркииа, Н. Н. Ма-
хова. Корректоры О. И. Кузовлева, Г. И. Мосякииа.
ИБ № 10961
Сдано в набор 05.08.87. Подписано н цечатн 23.12.88. Формат бОХОО'/ie- Бум. офсетная № 2. Гарннт.
лнтерат. Печать офсетная. Усл. печ. л. 15 + 0,25 форз. Усл. кр.-отт. 15,69. Уч.-изд. л. 16,62 + 0.42 форз.
Тираж 100 000 экз. Заказ 1567. Цена 65 н
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129646, Москва, 3-й проезд Марьиной рошн, 41.
Смоленский полнграфкомбинат Госкомиздата РСФСР. 214020, Смоленск, ул. Смольянинова, I.

БЕСПЛАТНЫЕ
УЧЕБНИКИ!
ВРЕМЕН СССР
БОЛЬШАЯ БИБЛИОТЕКА
НА САЙТЕ
«СОВЕТСКОЕ ВРЕМЯ»
sovietime.ru
СКАЧАТЬ