О . Ю . Ill м и д т
АБСТРАКТНАЯ
ТЕОРИЯ ГРУПП
19 3 3
О. Ю. ШМИДТ
АБСТРАКТНАЯ
ТЕОРИЯ ГРУПП
ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ
)
I
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
КО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
1933	Ленинград
ТТ 22-5-2(4)
Редакционная работа по этой книге проведена С. Л. Каменецким. Издани
В. Ф. Зазульской. Корректуру держал И. П. Загрядсков. Наблюдал за выпуск'
клвич Рукопись сдана в производство 10 декабря 1932 г. Листы псдпис
6 октября 1933 г. Книга вышла в свет в октябре 1933 г , в количестве .'' V
на бумаге Формат 62 ХОЛ Ч,,. Печатных знаков в книге 612000. Листов 11"(.
ГТТИ № 605. Ленгорлит № 17641.
4-я тип. ОНТИНКТП СССР .Красный Печатник*, Ленинград, Междув.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Первое издание этой книги вышло в 1916 г. по предложению Киев-
ского Университета. Тогда Теория групп — сравнительно молодая отрасль
математики — насчитывала еще мало книг. Существовал только один
обстоятельный курс — великолепная книга W. Burnside, Theoiy of groups
of finite order (2-е издание, Conibridge, 1911).
Моя книга выросла из работы в семинаре профессора (ныне акаде-
мика) Д. А. Граве, моего учителя, которому я за этот стимул навсегда
благодарен. Изданная в небольшом числе экземпляров книга скоро разо-
шлась. Между тем Октябрьская революция привела к невиданному ранее
росту научной работы в стране, к громадному росту кадров, изучавших
математику.
Сама Теория групп, уже ранее применявшаяся почти во всех отраслях
математики (особенно в Алгебре), с тех пор стала незаменимым орудием
в топологии и даже в теоретической физике (квантовая механика). Она
стала одной из основных, наиболее общих математических дисциплин.
Оказалась настоятельная необходимость в новом издании русской
книги по Теории групп. Я сознаюсь, что охотно переработал бы книгу,
пользуясь опытом двадцатилетнего преподавания. Правда, за это время
Теория групп не подверглась каким-либо коренным изменениям. В ино-
странной литературе вышли лишь две заслуживающие внимания книги
общего характера (A. Speiser, Theorie des Gruppen von endlicher Ordnung,
2-е изд. Berlin, 1927 и Miller Blichfeldt, Diekson, Theory and applications
of Finite Groups, New-Iork, 1916).
Но в научных журналах появился ряд ценных новых результатов
и в частности прекрасные работы советских математиков: проф. Б. Суш-
кевича в Харькове и молодых московских математиков — моих дорогих
учеников — В. К. Туркина, А. А. Кулакова, А. Г. Куроша, С. А. Чуни-
хина, А. П. Дицмана.
Эти результаты хотелось бы включить в книгу. Но обилие другой
работы не позволяет мне в ближайшее время к такой переработке при-
ступить. Поэтому я принял предложение Государственного Технико-
теоретического издательства о переиздании, пока, книги в ее перво-
начальном виде. Я внес лишь очень незначительные редакционные
изменения.
О. ШМИДТ
Август 1933 г.
Ледокольный пароход
„Челюскин”

ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I
Определение группы
§
1. Формулировка определения...................................
2—3. Об единице и обратных элементах..........................
4. Группы конечные и бесконечные..............................
5—6. Группы подстановок, разложение на циклы..................
глава п
Простейшие свойства
7.	Степени элементов .....................................
8.	Подгруппы..............................................
9	Определение абелевой группы............................
10.	Порядок элемента.......................................
11.	Композиция систем......................................
12.	Разложение по двойному модулю..........................
13.	Разложение по модулю. Теорема Лагранжа.................
14—15. Группы низших порядков (до 7). Квадраты Кели...........
16. Производящие элементы и определяющие равенства............
17—18.	Изоморфизм...........................................
19.	Общий наибольший делитель..............................
20.	Соотношение между индексами............................
21.	Подгруппы конечного индекса............................
ГЛАВА Ш
Сопряженность и инвариантность
22—23. Сопряженные элементы и подгруппы. Классы элементов ....
24 -25. Перестановочные элементы и системы....................
26. Инвариантные элементы и подгруппы.........................
27—28. Композиция групп. Прямое произведение................  .
29.	Дополнительная группа..................................
30.	Простые и составные группы. Наибольшие нормальные дели-
тели .........................................................
31.	Характеристические подгруппы; центр....................
32.	Коммутаторы, коммутант.................................
38—34. Определяющие равенства. Теорема В. Дика................
35.	Транспозиции. Симметрическая, знакопеременная группа . . .
36.	Знакопеременные группы простые прим>4..................
37.	Группы многогранников . ........................... .	.
ГЛАВА IV
Гомоморфизм и автоморфизм	Стр.
38.	Полугруппы.............................................. 55
39—41.	Гомоморфизм. Изоморфизм дополнительных групп.......... 56
42.	Автоморфизмы, внешние и внутренние...................... 58
43—44.	Группа автоморфизмов.................................. 59
45.	Характеристические подгруппы не изменяются при автоморфиз-
мах. Элементарные группы....................................... 61
46.	Совершенные группы...................................... 63
ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
ГЛАВА V
Введение
47.	Всякая группа изоморфна с регулярной группой подстановок .	66
48.	Конечность числа групп данного порядка.................... 67
49.	Группы порядка р*............•............................ 67
50.	Группы 8-го порядка....................................... 69
51.	Конечность числа групп с данным числом классов............ 70
52—53.	Композиция групп. Формула Фробениуса.................... 73
54.	Первая теорема Силова..................................... 74
55—57.	Группы подстановок. Транзитивность и примитивность ...	76
58.	Представления абстрактной группы подстановками............ 78
59.	Теоремы Фробениуса о нормальная делителях................. 79
ГЛАВА VI
Фундаментальные теоремы
60.	Композиционные главные и характеристические ряды.......	81
61.	Теорема Жордана-Гельдера.................................. 83
62.	Композиционный ряд подгруппы.............................. 85
63—64.	Свойства разрешимых групп..............................  86
65.	Разрешимые примитивные группы подстановок................. 88
66—67.	Теорема Фробениуса ..................................... 89
68—69.	Добавления и следствия из нее........................... 92
70.	Вторая теорема Силова..................................... 93
71.	Группы порядка pq......................................... 94
72.	Группы 12-го порядка...................................... 95
ГЛАВА VII
Абелевы группы и прямые произведения
73.	Разложение абелевой группы на произведение	циклических .	.	98
74.	Однозначность разложения . . . . •.................... 99
75.	Инварианты абелевой группы. Базис...................... 101
76—78.	Разложение группы на прямые множители. Теоремы	Ремака	.	103
79.	Типы абелевых групп и их подгрупп.................. 106
80.	Автоморфизмы абелевой группы.................... 	.	108
81.	Элементарная абелева группа и ее группа автоморфизмов. Ли-
нейные подстановки	по	простому	модулю................... 109
82.	Голоморф группы............................................ 111
86—84.	Порядки автоморфизмов	конечной группы..................... ИЗ
85.	Характеристический ряд абелевой группы. Порядки ее автомор-
физмов .......................................................... ИЗ
ГЛАВА VIII
Группы порядка рт а их прямые произведения
86.	Подгруппы Силова. Специальные группы....................  .	.	117
87—89. Характеристические свойства специальных групп. Ряд обобщен-
ных центров....................................................... 118
90.	Теорема Вендта о группах с простыми индексами	главного ряда	122
91.	Обобщение второй теоремы Силова.........•................... 123
92.	Об инвариантных элементах подгрупп Силова....................124
93—95.	Гамильтоновы группы.................................. 125
93—97.	Группы порядка рт, имеющие только одну подгруппу порядка р*	129
98.	Группы порядка рг..................................... 132
99.	Литература о специальных группах...................... 133
ГЛАВА IX
Теория характеров
100.	Линейные подстановки и матрицы........................... 134
101.	Свойства матриц, группы матриц . . :..................... 135
102.	Характеристическое уравнение и характер .	•.............. 136
103.	Характеры абелевых групп................................. 137
104—105. Групповые матрицы, свойства неприводимых................ 138
106.	Соотношения между членами неприводимых групповых матриц 141
107—108. Приведение матриц. Теорема Машке........................ 143
109-	Определители групповых матриц............................ 145
110.	Обыкновенные подстановки как частный случай линейных . .	147
111.	Приведение регулярной групповой матрицы.................. 148
112.	Общие свойства характеров ............................... 152
113.	Соотношения между простыми характерами .................. 154
ГЛАВА х
Дальнейшие свойства и приложения характеров
114—115.	Свойства характеров как чисел.......................... 157
116—117.	Свойства системы индексов.............................. 159
118.	Нахождение нормальных делителей........................... 162
119-	Композиция классов. Вычисление характеров................. 163
120—121. Теоремы Бернсайда и Фробениуса о простых и разрешимых
группах........................................................... 165
122—123.	Порядки простых групп.................................. 169
124—125.	Простые группы простейших порядков..................... 172
Указатель............................................... 178
Именной указатель...................................... 180

ГЛАВА 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ
§ 1.	Мы будем рассматривать совокупности конечного или бесконечного
числа некоторых элементов
А, В, С, ...
При этом мы будем предполагать, что известен закон, по которому
из любых двух одинаковых или различных элементов А и В совокуп-
ности однозначно получается некоторый третий элемент D, который
может принадлежать или не принадлежать к совокупности. Эта операция
называется композицией или символическим перемножением элементов,
а результат ее—произведением элементов А и В. Произведение будем
записывать знаком:
D — АВ.
Заметим при этом, что закон композиции может быть таким, что
результат символического перемножения зависит от порядка перемно-
жаемых элементов, т. е. АВ, вообще говоря, не равно ВА.
Подобная совокупность © называется группой, если удовлетворяются
следующие требования.
1.	Произведение любых двух элементов из © должно само при-
надлежать к ©.
2.	Символическое перемножение должно подчиняться сочетатель-
ному (ассоциативному) закону, т. е. для любых трех элементов из ®
А (ВС) = (АВ) С.
3.	В совокупности ® должен быть по крайней мере один элемент I,
обладающий тем свойством, что для всякого элемента А из ® удовле-
творяется равенство:
AI — А.
4.	Для одного определенного из элементов 1 и для всякого А дол-
жен существовать такой элемент X из ®, чтобы
АХ=1.
Мы увидим на примерах, что совокупности, удовлетворяющие этим
требованиям, действительно существуют, т. е. эти требования не за-
ключают противоречия. С другой стороны, они независимы, так как ни
одно из них нельзя вывести из трех других.
&
Определению группы удовлетворяет, например, совокупность всех
рациональных чисел, кроме нуля, если композицией их считать умно-
жение в обычном смысле слова. Роль элемента I, на который можно мно-
жить любой элемент совокупности, не изменяя его, играет единица, а
элементом X, удовлетворяющим равенству:
АХ — 1,
в этом случае будет, очевидно, обратное число.
§ 2.	В каждой группе S по определению заключается такой эле-
мент I, что
AI = А
при всяком А, входящем в группу ®. Элементы, обладающие этим свой-
ством, по аналогии с простым умножением, естественно называть правыми
единицами. Подобным же образом элемент 1Ь удовлетворяющий равенству:
4А = А,
можно назвать, если он существует, левой единицей.
Теорема I. Группа содержит только одну единицу. Она является
как правой, так и левой.
Докажем прежде всего, что правая единица, I, о которой говорится
в четвертой части определения группы, есть в то же время и левая.
Пусть
АХ=1.	(1)
Тогда по определению единицы
1АХ*=11 — Ц
а следовательно по (1)
1АХ= АХ.
Умножим элементы последнего равенства на элемент К, удовлетво-
ряющий равенству:
XY=I.
По определению группы (требование 4) такой элемент существует.
Итак,
/AXY = AXY,
т. е.
IAI — AI,
а потому
1А=А,
т. е. I—также левая единица.
Предположим, что кроме I существует другая правая единица
Тогда по определению единицы
= А
но мы доказали, что
Z/i = А,
следовательно,
10
Если же /2— левая единица, то подобным же образом из
= I и IJ = /2
получаем:
^2 = Л
что и требовалось доказать.
Единственную в группе единицу / мы будем в дальнейшем просто
обозначать 1.
Теорема II. Если А и X — элементы группы ® и
АХ=1,
то и
ХА = 1,
и кроме X нет элементов в данной группе, удовлетворяющих хотя
бы одному из этих равенств.
По определению группы, при любом А, входящем в группу, суще-
ствуют такие элементы X и Y, что
АХ = 1, XY = 1.
Умножив первое равенство справа на Y, получаем:
Y = (АХ)У = A(XY~) = A,
т. е.
ХА = 1.	(2)
Если теперь
AXt = l,
то, умножая слева на X, получаем:
ХАХ2 = X,
откуда в силу (2)
Х1 = Х.
Таким же путем мы легко убе/кдаемся, что нет такого, отличного от
X, элемента Х2, что
ЛГ2г4 = 1.
По аналогии с обыкновенным умножением чисел элемент X носит
название обратного А и обозначается знаком А-1, так что
АА-1 = А-1 А = 1.
Для элемента А-1 обратным, очевидно, служит в свою очередь А,
и-)-• = л.
Заметим еще, что обратный элемент произведения получается по
правилу:
(АВ)-1 = В-1А-\
так как
(В-М-1) (АВ) = В-ХА-Ч) В = В-1 В = I.
Теорема Ш. Если А и В — два элемента группы ®, то уравнению
AY = В
удовлетворяет один и только один элемент из ®.
В самом деле, А~гВ, как непосредственно видно, будет таким эле
ментом. С другой стороны, если У — решение этого уравнения, то, умно
жая последнее на А-1, получаем:
У = А-*В.
Такое же заключение справедливо относительно уравнения
У А = В.
§ 3.	Итак, группа есть совокупность, обладающая следующими свойст-
вами:
Элементы группы могут по известному закону перемножаться,
причем результат перемножения — произведение — любых двух эле-
ментов есть снова определенный элемент той же группы.
Это символическое перемножение элементов подчинено сочета-
тельному закону.
В группе существует один и только один элемент 1, от умно-
жения на который справа или слева ни один элемент группы не из-
меняется.
Всякий элемент А группы имеет один и только один обратный
элемент А—1, т. 'е. такой элемент, что
АА~1 = 1.
Вообще уравнения
AY = В, УА=В,
где А и В, элементы одной и той же группы, имеют по одному и
только по одному принадлежащему к той же группе решению.
Некоторые из этих свойств, как мы. видели, являются следствиями
других, вошедших в определение группы. Это определение можно фор-
мулировать различными способами в зависимости от того, какие свойства
груты считать основными, лишь бы все остальные свойства вытекали из
принятого определения. Определение, которому мы следовали, принадле-
жит Е. X. Муру (Е. Н. Moore) и Л. Е. Диксону (L. Е. Dickson) *). С дру-
гими мы познакомимся впоследствии.
§ 4.	Число различных элементов группы может быть конечным, — тогда
группа называется конечной, а число ее элементов — порядком (Ordnung,
ordre) группы. Существуют также группы с бесконечным числом элемен-
тов, они называются бесконечными группами.
Совокупность рациональных чисел (кроме нуля), как мы видели, есть
бесконечная группа относительно умножения. Вместе с нулем эта сово-
купность есть также группа, если за символическое перемножение при-
нять простое сложение чисел. Единицей в этой группе служит число 0„
"и обратный числу А элемент есть —А.
Ч Transactions of the American Mathematical Society, VI (1905).
Элементами группы могут быть не только числа, но и операции, дви-
жения и т. д. Групповым характером обладает, например, совокупность
всех перемещений, которые твердое тело может совершить в простран-
стве. Единицей служит пребывание в покое, а обратным элементом —
возвращение в прежнее положение.
§ 5.	Важнейший пример конечных групп представляют так называемые
группы подстановок.
Пусть п букв или каких-либо других символов расположено извест-
ным образом в ряд:
а1> а2> аз< •  •> ап'
Замена этого расположения некоторым другим:
^1> ^2> ^з> • • •>
где каждое bt есть одно из ак, называется подстановкою (Permutation).
Можно записывать подстановку знаком:
/ а11 а2> аз> • • •> ап\
U. Ь2, ья,...,ь„)’
который выражает, что всякая буква верхней строки переходит в непо-
средственно под нею стоящую букву нижней.
Каждой подстановке соответствует, очевидно, перемещение индексов
1, 2, 3,..., п. Если в написанной выше подстановке &, = ак, то ее можно
записать и знаком:
/1, 2, 3, .... п \
й2, k3, ..knl
или короче:
О
Произведением двух подстановок будем называть ту третью подста-
новку, которая производит такое же перемещение индексов, какое по-
лучится, если сначала произвести первую подстановку, а затем над ре-
зультатом другую, т. е. в нашем сокращенном обозначении:
В самом деле, первая подстановка переводит цифру I в kit вторая
цифру kt в 1к;, в результате, следовательно, i переходит в 1к, но то же
действие производит и подстановка
Будем первою всегда производить подстановку, стоящую слева.
Произведениями подстановок
например, будут подстановки:
13
Перемножение подстановок подчиняется сочетательному закону.
В самом деле, мы непосредственно убеждаемся, что каждая из подстановок
где скобками указан порядок действий, равна подстановке
т. е. указанные подстановки равны. Подстановка
где не производится никакого перемещения, называется тождественного
подстановкою. От умножения на нее подстановки не изменяются.
Будем называть обратною данной подстановке ту подстановку, от
умножения на которую получается тождественная подстановка. Для
%
обратная подстановка будет
для
обратной является
и, очевидно, наоборот. Например, подстановки
обратны одна другой.
Известно, что число различных перемещений п букв есть л!, столько
же существует, следовательно, и различных подстановок л букв. Эти
л! подстановок образуют группу, так как удовлетворяются, как мы только
что увидели, все требования, входящие в определение группы. Единицей
служит тождественная подстановка. Все подстановки трех букв или цифр
образуют, например, следующую группу шестого порядка:
§ 6.	Обозначение подстановок, которое мы употребляли в прошлом
параграфе, очень громоздко.
Обыкновенно пользуются разложением подстановок на циклы, кото-
рое получается следующим образом. Пусть данная подстановка перево-
дит букву а в b, b в с, с в d и т. д. Так как число п перемещаемых
букв конечно, то мы придем в конце концов к той букве /, которая
переходит в а. Получаем ряд букв:
а, Ь, с, ...,/,
каждая из которых переводится данной подстановкой в последующую
за нею, а последняя — в первую.
Если этот ряд не обнимает всех перемещаемых букв, берем какую-
нибудь букву ах, не входящую в этот ряд, и строим для нее подобным
же образом новый ряд:
«п bt, clt
Так мы поступаем до тех пор, пока не исчерпаем всех перемещае-
мых букв. Тогда можно данную подстановку представить символом:
(а, Ь, с, d,	.....Л)..,	(О
где знак
(а, Ь, с, ...J)
обозначает подстановку, переводящую а в b, b в с... и, наконец, / в а.
Такая подстановка называется круговою или циклическою. Мы, сле-
довательно, доказали, что всякая подстановка может быть представ-
лена произведением циклических. Непосредственно очевидно, что такое
разложение на циклы возможно только одним способом.
Если подстановка не меняет буквы т, то получается цикл (лг), со-
стоящий из одного элемента. Такие циклы .обыкновенно опускаются. Из
определения цикла очевидно, что цикл можно начать с любой входящей
в него буквы, т. е.
(а, Ь, с, d, .. ., f) = (b, с, d,. . ., f, а) = (c, d.f, a, b) = ...
Подстановка
/1, 2, 3, 4\
’2, 3, 4, J
представляется одним циклом:
(1, 2, 3, 4),
а подстановка
 1,2,3, 4, 5,6, 7\
\2‘, 5,6, 7, 1,3,4)
равна.
(1, 2, 5)(3, 6) (4, 7).
Перемножить подстановки, написанные в циклах, очень легко. Пусть,
например, потребуется перемножить подстановки:
3 = (1, 2, 3)(4, 5, 6) и Т=(1, 7, 2, 4, 5)(6, 3).
При составлении ST начнем с цифры 1. 5 переводит 1 в 2, а Т—
2 в 4; в результате 1 переходит в 4. Затем S переводит 4 в 5, Г перево-
дит 5 в 1. Первый цикл, следовательно, будет:
(1, 4).
Рассуждая таким образом дальше, получим:
S7'=(l , 4) (2, 6, 5, 3, 7).
Группа всех подстановок трех букв в циклах представится в виде:
1, (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3).
Все подстановки четырех элементов будут:
1, (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3). (3, 4), (2, 4),
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3),
(1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2),
(1, 2)(3, 4), (1, 3) (2, 4), (1, 4) (2, 3).
Они образуют группу порядка 4! = 24.
Число символов (букв, цифр и т. д.), которые перемещаются под-
становками какой-нибудь группы ©, называются степенью группы ®.
ГЛАВА II
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
§ 7.	Если в группе находится элемент А, то эта группа должна
заключать и элементы
АА, ААА и т. д.
Подобные произведения нескольких одинаковых элементов можно
называть степенями элемента А и обозначать
АА - А2, ААА = А3 и т. д.
Естественно также принять обозначение
А-1А-1 =(А-1)2=А“1;	А_,А_1А-1 = (А-1)3= А-4
и вообще (А-1)" = А~п.
Под А ° будем понимать АА~ = 1.
Пользуясь сочетательным законом, мы, очевидно, можем степени
собирать и раскладывать как угодно, т. е.
А'А9=ААА. . .А • АА...А=А’+Р = А₽- Аа.
а раз {3 раз
Подобным же образом
А-ТА8 =А"1А~1... А-1 • АА ... А = AS-Y = A~t+*.
Т раз	8 раз
Вообще для всех положительных, отрицательных или равных нулю
целых чисел т и п
Ат А" = А" Ат = Ат+п.
Отсюда ясно, что элементу А“ соответствует обратный (А~1)а=: А~а,
так как
Аа • А"“ = А° = 1.
§ 8.	Группа 5) называется подгруппой (Untergruppe, sous-groupe)
группы ®, если все элементы S находятся среди элементов ®.
2 Абстрпктвал теорм групп.
17
Элемент 1 сам по себе составляет группу — подгруппу всех других
групп.
Сама группа ® обыкновенно не причисляется к ее подгруппам. Вме-
сто термина подгруппа употребляют также термин делитель (Teller,
diviseur).
Совокупность всех целых положительных и отрицательных чисел,
очевидно, образует группу относительно простого сложения. Эта сово-
купность есть подгруппа группы, составленной из всех рациональных
чисел (§ 4). Последняя, в свою очередь,—делитель группы, образован-
ной относительно простого сложения всеми комплексными числами вида
а + Ы, где i8 = — 1.
Пусть А — какой-нибудь элемент группы ®. Тогда все элементы ряда
...А~2, А-1, А° = 1, А, А2...,
продолженного в обе стороны без конца, составляют группу. В самом
деле, произведение любых двух элементов этого ряда есть снова элемент
того же ряда; другие требования определения группы, очевидно, тоже
удовлетворены. Такого рода группы 21, образованные степенями одного
элемента А, называются циклическими. Если S заключает элементы, не
входящие в 21, то 21 — циклическая подгруппа группы ®.
§ 9.	Если АВ = В А, то говорят, что элементы А и В перестановоч-
ны. Из § 7 ясно, что две степени одного и того же элемента всегда
перестановочны.
Если любые два элемента группы S перестановочны, то ® называ-
ется коммутативной или абелевой группой. [В честь знаменитого Нильс-
Генрик Абеля, который показал, как решать уравнения особого вида
(абелевы уравнения), теория которых тесно связана с коммутативными
группами]. Из этого определения следует, что все подгруппы коммута-
тивной группы сами коммутативны.
Группы всех подстановок трех и четырех элементов, как мы видели,
не принадлежат к абелевым. Наоборот, все числа образуют как относи-
тельно сложения, так и относительно умножения абелевы группы, так
как известно, что сложение и умножение подчинены перестановительному
(коммутативному) закону. Циклические группы коммутативны.
Известный пример абелевой группы представляют классы чисел
по модулю т, взаимно простых с т.
Предположим, что существует © (ж) чисел, меньших т и взаимно
простых с т. Как известно из теории чисел, каждое взаимно простое
с т число сравнимо (mod tn) с одним из этих ср (т) чисел. Таким обра-
зом все взаимно простые с т числа разбиваются на ср (те) классов, при-
чем все элементы каждого класса сравнимы между собою, и в каждом
классе есть одно положительное число, меньшее /я; его можно считать
представителем класса. От перемножения числа класса А с числом класса
В получается число некоторого класса С. Этот класс С, очевидно, вполне
определяется классами А и В и не зависит от того, какие элементы мы
взяли из А и В. В самом деле, если а и b будут представителями
классов А и В, то при всех целых k и I
{km + a) (hn -\-b)saab (mod т).
18
Говорят, что класс С есть результат композиции классов А и В. Мы
можем писать символически:
С= АВ = ВА.
Классы образуют, очевидно, группу и притом абелеву. Единицей
служит класс, имеющий представителем число 1. Существование обрат-
ного элемента ясно из того, что если а — взаимно простое с т, сравнение
ах = 1 (mod т)
всегда имеет решение.
Например, для т — 9 получаем классы, имеющие представителями
1, 2, 4, 5, 7, 8.
Классы можно называть по-их представителям.
Очевидно, что произведением классов 2 и 7 будет класс 5. Классом,
обратным 2, будет 5, обратным 7 — будет 4 и т. д.
§ 10.	Предположим, что элементы ряда
. . . А-2, А-1, 1, А, А2 . . .
не все различны. Пусть, например,
Awt"=A",
тогда, умножая на А-’1, получим:
А” = 1.
Пусть а будет наименьший положительный показатель, при котором
А“ = 1,
тогда ряд
1, А, А2,... , А0'1	(1)
состоит из различных элементов, и любая положительная или отри-
цательная степень А равна одному из элементов (1).
В самом деле, если бы два элемента (1) А₽ и А* были равны
(р > q), то из
Ар —Аг-
вытекало бы:
A?"f = 1,
а это невозможно, так как, очевидно, р — q меньше а, в то время как
А ° есть низшая степень А, равная единице.
С другой стороны, пусть А’п будет какая-то степень А, пусть
т = па -|- р,
где
О^р <а.
Тогда
Ат = Апа+Р = (Ae)”A? = А”,
а А? уже принадлежит к ряду (1).
'2*	19
Итак, мы доказали, что если не все степени А различны, цикличе-
ская группа степеней элемента А сводится к ряду (1). Число а есть,
очевидно, порядок этой группы и называется порядком элемента А.
Если все степени А различны, то А — элемент бесконечно большого
порядка.
Порядок элемента S = (1, 2, 3, 4), например, есть 4. В самом деле,
S2 = (1, 3)(2, 4), S3 = (1, 4, 3, 2), S4 = (1, 2, 3, 4) (1, 4, 3, 2) = 1.
Вообще порядок циклической подстановки равен числу перемещае-
мых букв.
Это положение нетрудно доказать. Возьмем подстановку
S =(1, 2, 3, 4, .. ., л).
S переводит 1 в 2, а 2 в 3. Поэтому S2 = SS переводит 1 в 3.
Подобным же образом S3 переводит 1 в 4, и вообще 5° переводит 1
в a -f- 1. Следовательно, низшая степень подстановки S, переводящая 1
в 1, будет Sn. Так как вместо единицы цикл можно было начать с лю-
бой цифры, то 5“ оставляет все цифры без изменения, т. е.
S* =1.
Подстановки, перемещающие различные буквы, всегда перестановочны;
например, очевидно
(a, b, с) (d, е) = (d, е) {а, Ь, с).
На этом основании порядок подстановки, состоящей из нескольких
циклов, равен наименьшему кратному порядков этих циклов.
В самом деле, пусть Сг, С2 .Ст будут циклы, на которые разби-
вается подстановка S, т. е.
S = C1C2...Cn.
Никакие две подстановки С,., Ck не имеют общих букв, они поэтому
перестановочны, и мы получаем:
s~ = c\c,-...c„~.
Если 5* = 1, то любая буква, перемещаемая С{, должна оставаться
на месте, следовательно,
С," = 1, (i=l, 2,
что и доказывает теорему.
Например, подстановка
(1, 2, 3, 4) (5, 6, 7) (8, 9)
будет 12-го порядка.
§ 11.	Как до сих пор, так и во вс.-м дальнейшем, мы будем сово-
купности, системы и группы обозначать большими немецкими буквами,
а отдельные элементы — большими латинскими.
Если система 01 состоит из элементов А, В, С, ..., то это записы-
вается знаком:
S = А + 3+ С+ ...,
20
подобным же образом знак
® = 21 + 03 + € + ...
обозначает, что система состоит из всех элементов систем 21, 23, ®
и т. д.
Если каждый элемент системы 21 входит также в систему 23 и
наоборот, то пишут:
21 = 23,
если же 23 заключает в,се элементы системы 21 и, кроме того, еще дру-
гие элементы, то
21 <23.
Если 21 и 23—две системы элементов, то знаком 2123 будем обо-
значать систему, состоящую из всех элементов вида АВ, где А—любой
элемент йз 21, а В — любой элемент из 23. В частном случае система
23 может состоять только из одного элемента В; таким образом полу-
чаются обозначения:
218, Л23.
Ясно также, что выражают обозначения
2123&, 218® и т. д.
Составление системы 2123 из систем 21 и 23 называют композицией
систем.
Как при композиции систем, так и во всех остальных случаях мы
будем совместно рассматривать только такие системы, элементы которых
можно между собою однозначно перемножать, причем сохраняется ассо-
циативный закон.
Теорема I. Если ©— группа, a G— один из ее элементов, то
G®=&.
В самом деле, из определения группы следует, что каждый элемент
левой части входит в S. С другой стороны, для всякого элемента О'
из ®, по § 2, уравнение
GX = G'
имеет решение, принадлежащее к ®, следовательно, все элементы правой
части входят также и в левую.
Подобным же образом доказывается, что
®G = ®.
§ 12.	Пусть и 5>2 —две одинаковые или различные группы,
подчиненные только что высказанному условию, R — какой-нибудь эле-
мент. Рассмотрим системы вида
Теорема I. Если две системы	и имеют общий
элемент, то они равны.
Пусть
HrRH2 = Ht'SHz',	(1)
21
где и Нг’ элементы Jot, а Н2 и Н2—элементы S2. Тогда, за-
мечая, что по теореме предыдущего параграфа
и
&t = Н2$)2 = Я2'5>2,
имеем:
S^RSh = S^RH^ = S^SH^ = S\S&Z,
что и требовалось доказать.
Если = S1S&2, то R и S называются эквивалентными по
двойному модулю (S(, S2J.
Теорема II. Если ® — гр vnna, имеющая подгруппы и $)2, то ®
можно разложить на системы'.
®==5)1G15>24-&1G25>2 + 5>1G3S2+.(2)
не имеющие общих элементов.
Возьмем какой-либо элемент Gx группы ®. Если система
-SiGi-fca
не исчерпает группы ®, то пусть G3 — один из элементов ®, не входя-
щий в эту систему. По теореме I система S)XG2$)2 не будеть иметь об-
щих элементов с первой системой. Если еще не все элементы ® исчер-
паны, берем один из оставшихся элементов, например G3, и составляем
третью систему ^iG35>2 и т- Д- Теорема доказана.
Полученный ряд систем может быть и бесконечным. В этом случае
совокупность систем может не быть перечислима. Как в этом случае,
так и во всем дальнейшем, нумерацию, которую мы употребляем для
удобства, не надо понимать в том смысле, что получаемые совокупности
должны быть перечислимыми.
Теорема III. Одновременно с разложением (2) существует раз-
ложение
® = SaGj-1 JOj -f- 5j2G2-i	+ ^OjjGg-'S], + •..,	(3)
причем системы A2Gi~1A1 и	также не имеют общих
элементов.
Если бы две из систем (3) имели общий элемент, например,
Н2О~ХН1 = H^G^H^,
то, взяв обратный элемент для обеих частей, получим равенство:
: ед-1=/л'-чн/-1 >
противоречащее теореме II.
Если бы, далее, в ® был элемент G, не входящий ни в одну из
систем 5>2G,b—1Si, соответствующих системам разложения (3), то G~x не
входил бы ни в одну из систем ряда 2, так как из
G-1 = НгОП1Н2
следовало бы:
G = H2-yGm-xHi~l.
32
Мы пришли бы к результату, что системы
561G~1552 и
где 551Gm552 есть любая из систем разложения (2), не имеют общих эле-
ментов, что невозможно. Следовательно, сумма, стоящая в правой части
(3), действительно равна ®.
За элемент Gx в разложении можно взять единицу.
Ряд элементов
01=1, 02, 03,...
называется полной системой неэквивалентных элементов или полной
системой вычетов по модулю S2). Разложение останется прежним,
если G, заменить любым эквивалентным ему элементом по модулю
т. е. любым элементом системы 56jG(,562.
Разложение по двойному модулю ввели Фробениус (Frobenius) и Де-
декинд (Dedekind) J).
§ 13.	Если в разложении предыдущего параграфа за группу 552
взять элемент 1, который сам по себе составляет группу, то, обозначая
5бх = 55, получим разложение по модулю S:
®=<5G1+5>G2 + SG3 + ...	(1)
Элементы Gx = 1, G2, G3,... образуют полную систему вычетов
по модулю 55- Системы 55G( и S~>Gk не имеют общих элементов. Из всех
систем S)Gf только первая 55G, = 56 есть группа, так как другие не
имеют единицы. Системы разложения (1) называются смежными
(Nebengruppen).
По теореме III предыдущего параграфа одновременно с (1) суще-
ствует разложение:
® = 53 G2 $з -f- G3 S -4* • • •
Разложение вида (1) рассматривал еще Галуа (Galois).
Если число смежных систем в разложении (1) конечно, т. е.
® = 56 + 56Ga + 55G3 +... + 55G,,
то число j называется индексом подгруппы А, а S называется подгруп-
пой конечного индекса группы ®.
Если ® — конечная группа, то все ее подгруппы суть подгруппы
конечного индекса. Пусть порядок ® есть g, а порядок 56 есть h, тогда
в любой из смежных систем будет h различных элементов, ибо ра-
венство
HGm = HkGm
влечет за собою
Н = Нк.
Всех элементов в ®, следовательно, будет
hj = g-
х) Journ. f. Math., 101, GCttinger Nachrichten, 1894.
23
Мы получили знаменитую теорему Лагранжа (Lagrange):
Теорема Лагранжа. Порядок и индекс всякой подгруппы
конечной группы ® суть делители порядка последней.
В частном случае, если 5) есть циклическая подгруппа, образован-
ная степенями одного элемента, получаем как следствие, что порядок
любого элемента конечной группы ® есть делитель порядка ®.
§ 14. Для иллюстрации выведенных свойств группы займемся зада-
чей определить все возможные группы низших порядков.
Если группа состоит из всех возможных комбинаций элементов А,
В, D между собой, то условимся ее обозначать знаком {А, В,..., D}.
Циклической группе, очевидно, будет соответствовать знак {А}.
Группа второго порядка, очевидно, имеет, кроме 1, только один
элемент А, который будет второго порядка, т. е.
Аа = 1.
Группа третьего порядка подобным же образом состоит из степе-
ней одного элемента В третьего порядка
В3 = 1.
Вообще группа, порядок которой есть простое число, может быть
только циклической, так как по теореме Лагранжа порядок любого эле-
мента, кроме 1, есть р. Пусть А — один из элементов группы, тогда
вся группа состоит из элементов:
А, Аг, А'......А’~', А’ = 1.
Группа вполне определена равенствами:
® = {А}, А’ = 1.
Обратимся к порядку четвертому.
По теореме Лагранжа группа четвертого порядка может заключать
элементы порядков второго и четвертого. Если группа ® содержит эле-
мент Q четвертого порядка, то группа циклическая:
® = {Q}, Q*-l.
Предположим теперь, что группа $> четвертого порядка содержит
только элементы порядка второго, пусть А я В — два таких элемента.
Тогда АВ = ВА, ибо иначе получилось бы пять различных элементов
группы
1, А, В, АВ, ВА.
Итак, группа = {А, В} — абелева. Она образована двумя эле-
ментами А я В, подчиненными зависимостям:
А2 = 1, В2 = 1, АВ = ВА.
Обратно, этими равенствами группа S) вполне определена. Из них,
например, вытекает:
(АВ)2 = ABBA = 1.
24
Мы получили две различные группы четвертого порядка. Других ти-
пов групп этого порядка, очевидно, быть не может.
§ 15. Чтобы группа была нам вполне известна, мы должны быть
в состоянии для любых двух элементов А и В указать тот элемент С,
который равен их произведению, т. е., как говорят, мы должны знать
„строй" или „структуру" группы. Чтобы нагляднее представить строй
группы порядка я, надо составить квадрат из п2 клеток и с каждой
колонной и каждой горизонталью сопоставить один из п элементов.
Тогда клетки квадра'а можно заполнить элементами группы таким обра-
зом, что на пересечении горизонтали, соответствующей элементу А, и
колонны, соответствующей элементу В, помещается элемент АВ.
Если все элементы группы суть
1, д2, д3,..., а
то получится квадрат:
А,
а2
а2
Аа
At
а2
AJ
А3А2
А.Аа
Д2Д3
4А
ДзА
А2
Здесь элементы ДаД3, Д42 и т. д. надо заменить равными им эле-
ментами А(, Ак и т. д.
Заметим, что при этом в каждой колонне и каждой горизонтали
должны встретиться все п различных элементов, ибо иначе было бы,
например
АВг = С, АВа = С,
что противоречит теореме III § 2.
Такие квадраты, дающие непосредственное представление строя
группы указаны Кели (Cayley).
Горизонтали и колонны можно обозначать элементами в каком
угодно порядке. Выгоднее всего выбрать такой порядок, -чтобы по диа-
гонали везде стоял элемент 1. Для этого, очевидно, нужно с i-й гори-
зонталью сопоставить элемент Д( *, если i-й колонне соответствует А(.
Построим квадрат Кели для группы S = {Д, В} четвертого поряд-
ка, у которой
Д2 = В2 = 1, АВ = ВА.
25
Он, очевидно, будет:
Чтобы быть уверенным, что S> действительно группа, надо еще убе-
диться, удовлетворяется ли сочетательный закон, т. е. для любых трех
элементов надо проверить справедливость равенства:
(АВ) С = А(ВС).
Мы в этой главе не будем проделывать этой нетрудной, но неин-
тересной проверки, тем более, что при рассмотрении конечных групп
(глава V) будет указано, что сочетательный закон всегда удовлетво-
ряется, если только в каждой строке квадрата Кели действительно стоят
все п различных элементов.
Продолжим на ни исследования. Рассмотрим все возможные типы
групп пятого, шестого и седьмого порядка. Для порядков 5 и 7 полу-
чается только один тип — циклическая группа, так как 5 и 7 — про-
стые числа.
В случае шестого порядка возможна, во-первых, циклическая группа
®', образованная одним элементом шестого порядка О, так что
О6 = 1.
Если же группа ®" не циклическая, то ее элементы могут быть
второго или третьего порядка. Все элементы не могут быть второго
порядка. В самом деле, если А, В и АВ — три элемента второго по-
рядка, то из
АВ АВ = 1
умножением справа на В и слева на А, получаем:
В А = АВ.
Таким образом получается группа, состоящая из элементов 1, А, В,
АВ = В А. Эта группа четвертого порядка по теореме Лагранжа не мо-
жет быть подгруппой группы шестого порядка.
Итак, существуют элементы третьего порядка. Пусть Д — один из
них. Получаем три элемента группы:
1, Д, Д2.
Пусть В — один из оставшихся элементов. Тогда получаем еще
три элемента:
В, АВ, А2В.
26
Других элементов группа шестого порядка не имеет; следовательно,
В2 = 1, А или А2. Но, если В2 — А или А2, то В — шестого порядка,
и мы возвращаемся к предыдущему случаю циклической группы. Остается
предположение
В2 = 1.
Но вместо В мы с равным правом могли взять элемент АВ или
А2В, следовательно, также
АВ АВ = 1,
откуда, умножая слева на А2 и справа на В, получаем:
В А = А2В.
Выведенных равенств оказывается достаточно для построения квад-
рата Кели для группы ®". Получаем квадрат:
А2 В АВ А2В
1
А2
А
В
АВ
А2В
. 1
А2
А
В
АВ
А2В
А
1
А2
А2В
В
АВ
А2 В
А А2В
1 АВ
АВ 1
А2В А
В А2
АВ
В
А2В
А2
1
А
А2В
АВ
В
А
А2
1
К этому типу принадлежит, очевидно, группа всех подстановок трех
символов (§ 6), если положить
(1, 2. 3) = А, (1, 2) = В.
§ 16. Мы видели в предыдущем параграфе, что все элементы группы
могут получаться как результат перемножения нескольких из них. Такие
элементы группы S, которые, будучи всеми способами перемножены ме-
жду собою, дают все элементы группы, называются ее производящими
элементами.
Мы также видели, что конечная группа становится нам вполне из-
вестной, если мы в состоянии построить для нее квадрат Кели. Но для
построения этого' квадрата достаточно знать некоторое число равенств
между комбинациями производящих элементов. Так, например, квадрат
группы четвертого порядка, помещенный в предыдущем napai рафе, легко
построить на основании трех равенств:
А2 = 1, В2 = 1, АВ = ВА.
27
Квадрат группы ®" прошлого параграфа выводится из таких трех
равенств:
А3 = 1, В2= J, ВА = А2В.
Равенства, из которых выводится строй группы, называются равен-
ствами, определяющими данную группу.
Подробнее о производящих элементах и определяющих равенствах
будет сказано в следующей главе (§ 33, 34).
Группа всех подстановок трех символов, следовательно, произведена
элементами:
А = (1, 2, 3) и В==(1, 2)
и определяется равенствами:
А3 = В2 = lj ВА = А2В.
Группа всех подстановок четырех элементов (§ 6) произведена эле-
ментами:
А = (1, 2, 3, 4), В = (1, 4, 3)
и определяется равенствами:
А4= 1, В3 = 1, (АВ)2 = 1.
§ 17. Две группы ® и $> называются изоморфными, если их эле-
менты
G, Оъ О21...
и
Н, Ни Н2...
можно так однозначно сопоставить друг другу, что если элементам G и
Gj группы ® соответствуют элементы Н и Н1 группы jo, то произведе-
нию OGj соответствует ННГ
Очевидно, две группы, изоморфные с третьей, изоморфны между
собою.
Очевидно также, что соответствующие друг другу элементы должны
быть одинакового порядка и что каждой подгруппе одной из двух изо-
морфных групп соответствует изоморфная подгруппа другой.
Если группа ® имеет производящие элементы А, В, С,..., то
для группы $з производящими будут соответствующие им элементы Д,,
^1, • • • > и определяющие равенства будут иметь один и тот
же вид.
Если группы ® и S конечны, то их квадраты Кели, таким обра-
зом, должны быть одинаковы.
Вообще изоморфизм групп ® и $5 выражает то свойство, что эти
группы имеют одинаковый строй.
Группа называется абстрактной, если известен только ее строй, но
природа элементов остается безразличной. Если группу определять ее
производящими элементами и определяющими равенствами, то получается
абстрактная группа.
Та часть математики, которая занимается свойствами групп, выте-
кающими из определения группы, независимо от характера элементов,
28
т. е. свойствами абстрактных групп, носит название абстрактной тео-
рии групп.
Изоморфные группы имеют одинаковый строй, следовательно, с точки
зрения абстрактной теории групп они ничем друг от друга не отли-
чаются. Их поэтому в абстрактной теории можно считать равными.
§ 18.	Поясним понятие изоморфизма на ряде примеров.
I.	Возьмем абстрактную группу, образованную элементами А и В,
которые связаны равенствами:
А* = 1, В3 = 1, ВА = А3В.	(1)
Последнее равенство позволяет всякий элемент вида ВАа заменить
равным ему элементом А^В. Всего поэтому получится восемь элементов-
1, А, А2, А3, В, АВ, А2В, А3В.
Квадрат Кели будет иметь вид:
	1	А	А2	А8	В	АВ	А3В	А8В
1	1	А	А2	А8	В	АВ	А2В	А’В
Д’	А8	1	А	А2	А8В	В	АВ	А2В
А2	А2	А8	1	А	А2В	А3В	В	АВ
А	А	А2	А8	1	АВ	А2В	А3В	В
В	В	А3В	А2В	АВ	1	А3	А2	А
АВ	АВ	В	А8В	А2В	А	1	А8	А2
АВ	А2В	АВ	В	А3В	А2	А	1	А’
А3В	А3В	А2В	АВ	В	А8		А	1
II.	Рассмотрим группу подстановок четырех символов, которая полу-
чится от комбинации подстановок:
А =(1, 2, 3, 4), . В = (1, 3).
Нетрудно убедиться, что получится группа восьмого порядка, изо-
морфная с абстрактной группой I.
Эта группа {(1, 2, 3, 4), (1, 3)} есть, очевидно, подгруппа группы
всех подстановок четырех символов, которая приведена в § 6.
III.	Как известно, тригонометрические функции sinx, cosx, tgx и
ctgx не меняется все от замены х на х 4-360°. Если не считать раз-
личными преобразования, при которых тригонометрические функции из-
меняются одинаковым образом, то существует всего восемь различных
29
преобразований, при которых некоторые из четырех функций не изме-
няются, а именно:
(х, 90° ±х), (х, 180° ± х), (х, 270° ±х), (х, 360° ±х),
где, например, (х, 90° х) обозначает, что х заменяется на 90° 4- х.
Если сначала произвести одно преобразование, например х заменить
на 180°+ х, а затем над результатом — другое, например (х, 90°-|-х),
то получим, очевидно, снова преобразование такого ж- рода, например:
90° + [180° + х] = 270° + х.
Это можно написать знаком:
(х, 180° + х)(х, 90° + х) = (х, 270° + х).
Итак, эти восемь преобразований тригонометрических функций обра-
зуют группу. Единицей служит преобразование (х, 360° + х) = (х, х).
Легко проверить, что все остальные требования определения группы удо-
влетворены.
Эта группа имеет производящие элементы:
А = (х, 90° + х), В = (х, 180°—х).
Очевидно,
А2 = (х, 180° + х). А3 = (х, 270° + х), Л4 = (х, 360° + х) = 1,
А3В — ВА = (х, 270° — х).
Получаем равенства:
А* = 1, В2 = 1, ВА = А3В.
Группа изоморфна с абстрактной группой I.
IV.	Выберем на кубе две противоположные грани. Они вместе имеют
восемь углов. Совмещая один из этих углов с семью другими и не изме-
няя притом положения куба в пространстве, получаем семь вращений
куба, которые вместе с совмещением угла с самим собою дадут группу
восьмого порядка. Эти вращения суть комбинации таких двух: вращения
А на 90° в определенном направлении вокруг оси, соединяющей центры
выбранных граней, и вращения В на 180° вокруг оси, проходящей через цен-
тры двух других противоположных граней, которые тоже нужно определенным
образом выбрать Эта группа изоморфна с группой I, в чем читатель
легче всего убедится, составив чертеж.
Такова же группа вращений октаэдра, состоящая из комбинаций вра-
щения А на 90° в определенном направлении вокруг оси, соединяющей
две выбранные противоположные вершины, и вращения В на 180° во-
круг оси, соединяющей середины двух определенных противоположных
ребер, которые не проходят через указанные выше вершины.
V.	С группами I—IV изоморфна также группа подстановок восьми
символов, образованная подстановками
Л = (1, 2, 3, 4)(5, 6, 7, 8), В = (1, 5)(2, 8)(3, 7)(4, 6).
30
Сравнивая с И, мы видим, что группы подстановок различного числа
символов могут быть изоморфны.
VI.	Знаком (х, /(х)) будем выражать то обстоятельство, что х пре-
образуется в /(х). Символическое произведение
(к, /(х)) (х, <р(х))
будет обозначать, что х преобразован в /(х), а затем /(х)—в <р[/(х)|,
так что можно написать:
(*. /)(х) (х, 7 (х)) = (х, <р[/(х)]).
Дробные линейные преобразования
А = (х, ix\ А8 = (х, — х), А3=(х, —lx),
в	S> = A<_(x, х)= 1,
ВА=(х,	А2В = (х, X), А* В = (х, —
составляют, как легко проверить, группу, изоморфную с группами I—V..
§ 19.	Пусть ® и $) — две группы, подчиненные условию §11. Рассмо-
трим совокупность элементов, общих этим двум группам. Тот случай, когда
группы вовсе не имеют общих элементов, не приходится рассматривать;
оставляя его в стороне, мы можем высказать такое предложение:
Теорема. Совокупность элементов, общих двум группам, есть
снова группа.
Обозначим совокупность общих элементов через ©. Пусть А — эле-
мент, принадлежащий к Единицы групп ® и $> обозначим соответ-
ственно через I и Е.
Тогда, по определению группы, в ® есть такой элемент G, что
AG = GA = I.
Подобным же образом в 55 есть элемент Н, удовлетворяющий равен-
ству:
АН = НА = Е.
Тогда из равенства
AI — А, ЕА = А,
умножая их соответственно на Н и G, получаем:
НА1 = НА, EAG = AG,
т. е.
El — Е, El = I,
Е = 1.
Итак, группы имеют одну и ту же единицу. Из AG = АН получаем
также G=jH,'t. е. обратный А элемент—один и тот же в обеих группах
и принадлежит, следовательно, к 'Э.
31
Если А и В — два элемента из ®, то их произведение АВ принад-
лежит к ® как произведение двух элементов из © и принадлежит к S),
так как А и В входят в Jo, следовательно, АВ входит в Ф.
ф, таким образом, удовлетворяет всем требованиям определения
группы. Теорема доказана.
Группа ® называется общим наибольшим делителем групп ® и Si.
Если группы не имеют общих элементов, кроме единицы, т. е. ф= 1,
то они называются взаимно простыми.
Подобным же образом можно говорить об общем наибольшем дели-
теле нескольких групп. Он всегда будет группой.
20. Через
(®,
обозначим индекс подгруппы Si группы S, если он — конечное число, и
число нуль, если Si — подгруппа бесконечного индекса.
Теорема. Если ® имеет подгруппу A, a Si— подгруппу 3, wo
индексы связаны соотношением:
(®, 3) = (®, &)(&, 3).
Пусть существуют разложения:
® = + Jo02 + SG3+...	(1)
J6 = 3 +ЗЯа + ЗЯ9+...	(2)
Пусть Gm и G„ будут любые два из элементов системы вычетов
группы ® по модулю Si, а Не, Нк—два каких угодно элемента системы
вычетов J6 по модулю 3.
Тогда системы
34-0. И 340.
не имеют общих элементов, ибо при т ф п системы
S0_ и so.
имели бы общие элементы, а из
следовало бы:
А4-44-
что противоречит разложению (2). Итак, все системы вида:
34°.	(3)
при различных i, k различны между собою. Поэтому, если одна из сис-
тем вычетов
1, G2,'GSi...
1,
состоит из бесчисленного множества элементов, то и вычетов ® по мо-
дулю 3 будет бесчисленное множество, т. е.
(®, 3) - 0.
32
Если же (®, А) и (jo, 3) отличны от нуля, то различных систем
(3) будет как раз (®, Jd)-(5>, 3). Этими системами исчерпывается разло-
жение ® по модулю 3, так как для всякого О существует равенство
вида:
За - зяс. =зда.®. - Зад,
если G принадлежит к системе &>Gn, а Н — к ЗНт.
Итак, теорема доказана во всех случаях.
§ 21. В § 13 мы дали определение подгруппы конечного индекса.
Пуанкаре (Poincare) J) называет две группы соизмеримыми, если их общий
наибольший делитель есть подгруппа конечного индекса каждой из них.
Относительно соизмеримости существуют две теоремы Пуанкаре, простое
доказательство которых мы сейчас приведем.
Теорема I. Две подгруппы конечного индекса одной и той же
группы соизмеримы.
Пусть S и Я — две подгруппы конечного индекса группы ®, ф — их
общий наибольший делитель.
Разложим S по модулю
<О = ®+ ®Я2 + ФЯ3+..-	(1)
Составим ряд систем:
Я, %Н2, ^Н9,...	(2)
Эти системы не имеют общих элементов. В самом деле, если бы
две из них, например &Н{ и RHt, имели общий элемент, то они были
бы равны, т. е.
= ЯН1г
откуда
Н{ =КНи
а элемент К= , очевидно, принадлежит к ф, следовательно, ФЯ,. и
фЯг имели бы общий элемент, что противоречит смыслу разложения (1).
Итак, системы (2) действительно все различны. Поэтому, по определению
индекса, в разложении $3 по модулю Ф систем не больше чем (®, &),
т. е. (&, ф| не равно нулю.
Подобным же образом докажем, что (Я?, ®) отлично от нуля.
Теорема II. Две группы ®х и ®а, соизмеримые с третьей ®3, со-
измеримы между собою.
Обозначим общие наибольшие делители через
®23> ®13> ®12>
так что, например, ®]3 есть общий наибольший делитель групп ® j и ®3.
Группы Ф23 и ф,3 суть, но условию, подгруппы конечного индекса
группы ®3, поэтому их обший наибольший делитель S есть, по теореме
I, подгруппа конечного индекса обеих групп ®23 и Ф13. Так как
(®!, €) = (©!, Ф!3)Ф13, ®),
!) Journal de math6matiques, serie 4, t. 3, 409 (1887).
3 Абстрактная теорвя групп.
33
то (©J, €) и подобным же образом (®9, (Ё) отличны от нуля. Но ®,
будучи подгруппой ®j и ®2, входит в О12. Имеем:
(®„ «) = («,, ®„)(®„, S).
I®,,	©„)(©„, g),
(®„ Ф„) и (®а, ®„)
отличны от нуля, что и требовалось доказать.
Заметим еще, что группа € будет, очевидно, общим наибольшим
делителем всех трех групп ®г, ®2, ®3. Как мы видели, ® для каждой
из них — подгруппа конечного индекса.
ГЛАВА Hl
СОПРЯЖЕННОСТЬ И ИНВАРИАНТНОСТЬ
§ 22. Теорема. Если $э— подгруппа, a R—некоторый элемент
группы ®, то система элементов 3 — R~y &>R будет также группой.
В самом деле, возьмем произведение каких-либо двух элементов этой
системы, например R~'H'R и R~XH"R. Получаем:
(7? -1 H'R) (7?-1 H"R) = R-1 ^'(RR-1 )H"R = R~l H'H"R.
Так как й — группа, то Н'Н'' есть элемент S, и R~lH'H"R при-
надлежит к 3- Кроме того, в 3 всякому элементу R-1 HR соответствует
обратный R~'И"1 R. Наконец, в 3 есть элемент R~l -1-R = 1.
Итак, все части определения группы удовлетворяются.
Две подгруппы Jo, и S2 группы ® называются сопряженными под-
группами ®, если в ® есть такой элемент G, что
jo1 = g-1Jo8g,
а следовательно, также
Jo2 = GSjG-1.
Замесим по поводу этого определения следующее. Пусть ® будет
подгруппой *5, тогда возможно, что Jbj и Й2 будут сопряженными под-
группами <5, не будучи сопряженными в ®. Это произойдет в том слу-
чае, когда в 'J существуют такие элементы F, что
но нн один из этих элементов не принадлежит к ®.
Такое же определение дается и для отдельных элементов.
Два элемента А и В группы ® называются сопряженными, если в
® есть такой элемент С, что
А = С-1 ВС.
Говорят также, .что элементы А, В (или подгруппы Jdj, £>») подоб-
ны, или что В преобразовано в А при помощи С.
Каждый элемент сопряжен с самим собою, вследствие
А =
Произведения АВ и ВА всегда сопряжены, так как
АВ = В"1 (ВА) В.
3*	35
. § 23. Теорема. Два элемента, сопряженные с третьим, или
две группы, сопряженные с третьей, сопряжены между собою.
Пусть
А = Е~1СЕ, B = F~1CF,
тогда
C = FBF~*
и
4 = Е~г FBF~lE = (F -'E)-1 В (F~' Е),
что и требовалось доказать. Если вместо элементов А, В, С взять под-
группы 21, 23, <&, то придем к тому же результату.
Доказанное свойство группы позволяет разбивать все элементы
группы на классы сопряженных элементов таким образом, что все эле-
менты одного класса сопряжены один с другим, а элементы различных
классов никогда не сопряжены. Элемент 1, очевидно, кроме самого себя
ни с каким элементом не сопряжен, он один образует отдельный класс.
На этом основании классы, кроме 1, никогда не подгруппы.
Классы сопряженных элементов — чрезвычайно важное понятие, вве-
денное в науку Фробениусом (1887 г.).
Группа всех подстановок трех символов разобьется на классы сле-
дующим образом:
(Ц; [(1, 2), (1, 3), (2, З)]; [(1, 2, 3), (1, 3, 2)].
В один класс, как мы видим, попали элементы, представляющие со-
бою циклы одинакового порядка..
§ 24. В § 9 мы назвали элементы А и В перестановочными, если
АВ = ВА.
Обобщим это определение. Две системы 21 и 23 назовем перестано-
вочными, если
21^=2321,
т. е. если каждый элемент вида АВ равен какому-нибудь элементу вида
В'А', и наоборот.
Элемент А будет перестановочным с системой 23, если
423 = 234.
Подчеркнем, что по этому определению не требуется, чтобы каж-
дый элемент системы 23 был перестановочным с 4. Достаточно, что-
бы для каждого В нашелся в 23 такой элемент В', что
АВ = В'А.
Если 91—какая-либо часть группы ®, то из равенства
9?® = ®, ®9? = ®
следует, что группа перестановочна с любою своею частью.
Теорема. Если %—система элементов, взятых из группы ®,
то совокупность элементов ®, перестановочных с 21, есть группа.
36
Назовем совокупность перестановочных с 21 элементов 03. Очевидно,
элемент 1 перестановочен со всяким другим элементом, а потому при-
надлежит к 03, затем из
C2l= 21С
следует:
С-121 =21 С-1
и, наконец, из
В21 = 21В, С21=21С
вытекает:
(BC)2l = В21С = 21 (ВС).
Итак, 23 удовлетворяет определению группы.
В частных случаях система 21 может состоять из одного элемента А
или быть подгруппой S группы ® х).
§ 26. Если элемент V перестановочен с системою 21 (элементом или
подгруппой), то
J	V-12lV= V-1 V2l=2l,
т. е. 21 не изменяется от преобразования при помощи V. Если
В-,21В = 21',
то и при любом элементе V группы 03
(VB)-12l( VB) = В-1 ( V- ’21 V)B = В-121В = 21',
и наоборот, если
Х-121Х = 21' = В-121В,
то
21GYB-1) = (ЛВ-‘)21,
т. е. ХВ~Х есть некоторый элемент V группы 23, а потому
Х= VB.
Мы приходим к заключению, что все элементы системы 23В и толь-
ко они преобразуют систему 21 в ту же систему 21', в какую преобра-
зует ее элемент В.
03—некоторая подгруппа группы ®. Разложим © по модулю 03:
® = оз + озо2 + озо3 + ...
Тогда, по доказанному, все элементы одной и той же системы 23G*
преобразуют 21 в одну и ту же систему:
21* = О*-’21G*,
а элементы различных систем не могут давать одинакового преобразо-
вания, так как из
О,-121О, = О*-121О1;
получили бы:
О, = 210*,
что противоречит смыслу разложения по модулю 23.
*) Некоторые авторы называют 93 „нормализатором' системы 21.
Итак, считая 21 элементом А или подгруппой й группы S, можем
высказать такую теорему.
Теорема. Если А(й) — некоторый элемент (подгруппа) группы ®,
93 — группа перестановочных с А($э) элементов ©, то мы получим
все различные и только различные сопряженные с Л(й) элементы
(подгруппы), если будем -4(Й) преобразовывать при помощи полной
системы вычетов ® по модулю 93.
Если эта система вычетов будет 1, G2, G3, ..., то класс, к кото-
рому принадлежит А, состоит, следовательно, из элементов А, О2-1ДО2,
Gs_,j4G3 ...
Если 93 — подгруппа ® конечного индекса, то и сопряженных с А
элементов — конечное число, равное (®, 93). Это число можно назвать
порядком класса сопряженных с А элементов.
§ 26. В группе © могут существовать элементы С, перестановоч-
ные со всеми элементами ®. В этом случае 93 = ®, и класс состоит из
одного элемента С. Такие элементы называются инвариантными или
изолированными.
Единица — инвариантный элемент во всякой группе. Абелевы группы
состоят из одних инвариантных элементов.
Возможно также, что какая-нибудь подгруппа й перестановочна со
всеми элементами ®. Тогда она совпадает со всеми своими сопряженными.
Подгруппа й группы ©, совпадающая со всеми своими сопряжен-
ными, называется инвариантной подгруппой или нормальным делителем
группы ©.
Возможно также такое определение:
Подгруппа й группы S называется инвариантной, если она пере-
становочна со всеми элементами ®.
Эти два определения выражают одно и то же, ибо из
С-»ЙО = Й
следует:
йо=ай,
и наоборот.
Понятие инвариантной подгруппы, одно из самых важных в теории
групп, введено Галуа *). Этим положено начало теории групп, тогда как
до Галуа существовали только отдельные замечания, относившиеся к груп-
пам, но никакой теории не составлявшие.
У абелевых групп все подгруппы инвариантны. Как мы увидим
впоследствии, это не единственные группы, обладающие этим свойством.
Группа всех подстановок трех символов имеет один нормальный делитель,
состоящий из элементов:
I, (1, 2, 3), (1, 3, 2).
Группа всех подстановок четырех символов имеет один нормальный
делитель 12-го порядка (см. § 35) и один 4-го. Последний состоит из
элементов:
1, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1. 4)(2, 3).
“Oeuvres р. 2(5.
Докажем три простые теоремы, относящиеся к нормальным делите-
лям. Мы будем употреблять оба термина „инвариантная подгруппа" и
„нормальный делитель" как получившие одинаковое распространение в
науке.
Теорема I. Если S)—подгруппа ®,	— подгруппа S> и притом
нормальный делитель ®, то & — также нормальный делитель •
Это очевидно, так как будучи перестановочна со всеми эле-
ментами группы ®, должна быть в частности перестановочна со всеми
элементами подгруппы 5).
Заметим, однако, что & может быть нормальным делителем 5>, не
будучи нормальным делителем ®.
Теорема II. Если и $)2—инвариантные подгруппы группы S,
то их общий наибольший делитель ф будет инвариантной подгруп-
пой всех трех групп.
Пусть D — какой-нибудь элемент из ф. D принадлежит kJ5v а по-
тому. по определению инвариантной подгруппы, при любом G
G~*DG = HV
где принадлежит к S)v Но, с другой стороны, D принадлежит к 5>2,
а следовательно,
G~lDG = Hs.
Получаем:
С-1ОС = Я1 = //8 = О1,
где Ох — элемент, общий обеим группам и т. е. принадлежит
к Ф. Итак,
0-1фб = Ф,
что и требовалось доказать.
Теорема III. Общий наибольший делитель всех подгрупп, сопря-
женных с данной подгруппой S) группы есть инвариантная под-
группа ®.
Пусть ряд различных сопряженных с подгрупп будет:
*0, Gj-l5>G„ Gs-iSGa,...	(1)
Если группы
Gm-1SGM и Gj-’JoGj
различны, то различными будут также группы
R-1Gm~1S)GmR и R-'Gf'&Gfi,
где R — какой угодно элемент группы ®.
Поэтому, преобразуя все группы ряда (1) при помощи R, мы полу-
чим снова ряд различных групп:
R-1 S)R, R~l Gt~l loGuR...	(2)
который может, очевидно, отличаться от первого только порядком, в ко-
тором группы написаны. Но если общий наибольший делитель групп
первого ряда есть Ф, то группы второго ряда имеют, очевидно, общим
39
наибольшим делителем группу 7?-1®/?. Так как оба ряда состоят из
одних и тех же подгрупп, то
=ф,
что и требовалось доказать.
§ 27. Частным случаем композиции систем (§ 11) является компо-
зиция групп.
Пусть 5) и 2?— две группы, удовлетворяющие условиям, которые
мы наложили на группы, совместно рассматриваемые. Пусть, кроме того,
5> и 2? имеют общую единицу. Тогда мы можем образовать новую груп-
пу £CQ, составляя все возможные комбинации элементов групп S и 5
между собою. Группа £01, очевидно, заключает в себе группы S> и *5 и
называется их наименьшим кратным.
Наименьшее кратное £0? данных групп есть наименьшая группа,
содержащая эти данные группы. Слово „наименьшая* надо понимать в
том смысле, что для любой группы 91, содержащей все данные группы,
справедливо соотношение:
91>£0?.
Мы будем £0? обозначать
|Л, ®|.
Если £0? — наименьшее кратное групп и 2У, то, очевидно,
£К>Л£.
Равенство будет иметь место тогда, когда система — группа.
Теорема. Если S) и 2?—две группы с общей единицей, то Sffi
тогда и только тогда группа, когда $> и <3 перестановочны, т. е.
й^ = 2?&.	(1)
Предположим, в самом деле, что равенс< во (Г) справедливо. Обо-
значая элементы группы соответственными латинскими буквами, будем
иметь:
(HF) (ад,) = h(fhjf =	= (ад (ад),
!	(И, F,) «= Hz (Ы,) Е е нг (ч. h] Ъ =	*1' Р.Ь»
т. е. произведение двух элементов системы S'? принадлежит снова к пей.
Элементу HF соответствует обратный: Р~гН-г — Н^Ру.
Наконец, общая единица групп S) и ‘Э будет единицей и для 5)2?-
Итак, совокупность 5>2У удовлетворяет вполне определению группы.
Обратно, предположим, что 5)2?— группа. Тогда мы можем разложить
эту группу по двойному модулю (5), 2?)- Мы, очевидно, получим:
М = 6  1 • 5.
Но по теореме § 12 мы вместе с тем имеем:
1-1 .5> = фо,
что и требовалось доказать.
5)2? мы будет называть произведением групп 5) и Ф
40
§ 28. Если Jo и 'J два нормальных делителя группы ®, то их произве-
дение— всегда группа, так как для всех элементов F
S)F = FS),
а потому и
&<5 = $J6.
Если Jo и 'З — взаимно простые группы, и каждый элемент одной
из них перестановочен с каждым элементом другой, то их произведение
Jo's? называется прямым произведением (direktes Produkt). Очевидно, S>
и 'J будут нормальными делителями группы Jo'j.
Мы будем прямое произведение обозначать точкой
J5-
Если группа есть прямое произведение двух других групп, то она
называется разложимой (zerfallend), в обратном случае — неразложимой.
Аналогично и произведение нескольких групп называется прямым,
если каждый множитель — взаимно простой с произведением остальных,
и любой элемент каждого из них перестановочен с любым элементом
каждого из других множителей.
Теорема. Если группа Jo перестановочна с каждым элементом
группы |5, а группа 'J—с каждым элементом Si, и если группы Si и
взаимно простые, то каждый элемент S) перестановочен с каж-
дым элементом т. е.
Jo'S = Jo • S-
В самом деле: пусть Н и F—два произвольных элемента групп
Jo и <3:. Тогда элемент
Н~хF~l HF
можно представить в виде Н~г(Р~гНЕ) или в виде {H~1F~lH)F.
По условию теоремы получаем:
Н-ЦР-'HF) =
(H~iF-iH)F=F1F,
т. е. H~l F~' HF принадлежит к обеим группам Jo и следовательно,
по условию теоремы
H-^F-^HF^ 1,
откуда
HF = FH,
что и требовалось доказать.
Каждый элемент G прямого произведения
S=Jo-<5-Я...
можно представить в виде:
G = HFK...
Элементы Н, F,... называются компонентами G. Если бы было
G = HFK...	(1)
41
то группы й и 'J • $... не были бы взаимно простыми вследствие
Н^Н — )(FK ..)“
следовательно, равенства вида (1) невозможны, если не все соответст-
венные компоненты равны. Таким образом каждый элемент прямого про-
изведения 'однозначно представляется как произведение компонентов.
Если ЭД— подгруппа ©, то все компоненты элементов ЭД, относя-
щиеся к любому из множителей, например к й, образуют группу, назы-
ваемую компонентом ЭД в S>. В самом деле, если
' M = HF...,	M1=H1Fl...,
то элемент также принадлежит к компоненту ЭД, так как он будет
•компонентом элемента тИЛГ,. Если ЭД — нормальный делитель произведе-
ния ®, то каждый из компонентов ЭД в любом из множителей S) будет
также нормальным делителем ®, так как при любых М = HF.
G = HiF1... имеем, по условию:
G-1MG = M' = H'F'...
Но, очевидно,
'G-1 MG =G~}HG-G -1 FG..
откуда
G~yHG — Н'.
§ Пусть группа & имеет нормальный делитель й. Разложим ®
по модулю й:
® = Й + ЙОа + йб34-.-.	(1)
Рассмотрим произведение двух смежных систем ЙО, и ЙО,.
По свойству нормального делителя мы получаем:
ЙС*£О, = &S)GkGt = S)GkGr
Элемент GkGl должен принадлежать к одной из смежных систем
разложения (1). Пусть он принадлежит к системе ЙО,„ и равен HGm.
Тогда
S>GkS3Gt = S)Gm.
Полученная система S)Gm, очевидно, не зависит от выбора вычетов
систем &Gk и ЙО,. Итак, произведение любых двух смежных систем
есть вполне определенная третья система. При этом перемножении пер-
вая система $)Gk = й играет роль единицы, так как
S}GtS3 — S>S)Gk = S>Gk.
Пусть G*-1 = HkG„ тогда
S)GkS>G„ — £>,
т. e. системе S>Gk соответствует обратная ЙО,. = ЙО,.-1. Последняя
тоже не зависит от выбора вычетов Gk, ибо при любом Н
(но,)-' - о,-'н-> = и, о.н' = Н'Н-О..
Мы приходим к такому выводу:
Теорема 1. Если нормальный делитель группы ® и
® = 6 + 6Gt + 6G3 + ...,
то системы
6, &>G2, S)Ga,...
образуют группу, если за символическое произведение принять компо-
зицию систем.
Единицей служит система = &>
Эта группа обозначается знаком и называется дополнительной
к S) группой (komplementare Gruppe, Faktorgruppe). Она введена Жорда-
ном (Jordan) и Гельдером (HSlder).
Теорема II. Если дополнительная группа -® имеет подгруппу,
состоящую из систем
S>tS)Ga, &G1....................  (2)
то совокупность
5 = 6 + 60/ + 60/ + ...
есть группа. Если	—нор мальный делитель	той 5— нормаль-
ный делитель ®.
се	(а
Если — подгруппа -g-, то для любых k, I мы должны иметь:
60/60/ = 60/,
где 60/ есть также одна из систем (2>. Но это значит, что произ-
ведение любых двух элементов HG* и H\G[ совокупности 5 есть свова
элемент HZG^ той же совокупности. Так как, кроме того, 5 заключает
группу 6, а потому и единицу, и вместе с системой 6О„Л содержит
и систему 6G/-1, то для всякого элемента совокупности 5 обратный
тоже принадлежит к Чу. Следовательно, 5— группа.
се	S
Если же —нормальный делитель то это значит, что при лю-
бом G для любого О/ имеется такая система О/, что
6О-16О/6О = 60/,
бо-^бо=5>
откуда
G-16^6G=G-i5G=^,
что и требовалось доказать.
, Если и 6 — конечные группы, то порядок *5 есть, очевидно,
се
произведение порядков 6 и -
Очевидна справедливость обратной теоремы:
Если ® имеет подгруппу 'J, заключающую $з, то имеет под-
группу -g-, и если 'J — нормальный делитель ®, то ----нормаль-
ный делитель -g-,
§ 30.	Если группа не имеет нормальных делителей, кроме единицы,
то она называется простою, если же есть хотя бы один отличный от
единицы нормальный делитель, то группа называется составною.
Нормальный делитель & группы ® называется наибольшим нор-
мальным делителем ®, если кроме й группа S не имеет нормального
делителя, заключающего $). По этому определению группа может иметь
несколько различных наибольших нормальных делителей.
Из теоремы II предыдущего параграфа получается следствие:
Группа & тогда и только тогда — наибольший нормальный дели-
тель группы ®, когда дополнительная группа простая.
Если й—подгруппа группы S, то будем группу ® называть наи-
большим нормальным делителем (25, заключенным в А, если
€ < Й,»
и нет такого нормального делителя ‘J группы S, чтобы
®<^<Й.
Теорема. Если S) — нормальный делитель группы ®, и ® — два
наибольших нормальных делителя ®, заключенных в &>, © — их общий
наибольший делитель, то группа изоморфна с (а также, ко-
нечно, с j, ® — наибольший нормальный делитель ®, заключен-
ный в или ®, и
Произведение €*5,— очевидно, нормальный делитель ® и заклю-
чается в Но так как € — наибольший из таких нормальных делителей,
то должно быть
®$ = Й.
Пусть разложение 'J по модулю ® будет:
<5 = ® + ®f2 + ®f3 + ...,	(1)
тогда, очевидно, будем также иметь:
Й =	-J-	+ ...,
т. е.
Й = ® + ®F24-£F3-h...,	(2)
41
причем две системы ©F„ ®Fk не имеют общих элементов, так как ра-
венство вида:
-ЕЛ
влекло бы за собою
Eg-1 Е, = Е^-1 = D,

ft
6
что невозможно при k ф I-
Итак, (2) есть разложение Jo по модулю (£. Изоморфизм групп
с, СЕ
-g- итеперь очевиден.
Таким же способом мы доказали бы изоморфизм групп -ф и
Если бы существовал такой нормальный делитель группы ©, что
Ф < Я <
то произведение S& также было бы нормальным делителем ® и вместе
с тем было би	®Э<<£Я<в®,
что противоречит предположению, следовательно, Ф— наибольший нор-
мальный делитель, заключенный в ф или €.
Остается показать, что
ft = _€ . J5
Во-первых, две системы
ФЕ и ®F
(3)
не могут равняться друг другу, так как в этом случае группы € и *5
имели бы общие элементы, не входящие в ф. Следовательно, группы
~ и -ф — взаимно простые. Из того, что € и J—нормальные делители ®
следует, что удовлетворяются условия теоремы § 28, т. е. произведение
есть прямое произведение. Наконец, из
<?> = €$
следует, что любой элемент И можно предствить в виде EF, откуда,
если Е = DxEt, F = DJ1*, для системы ®Я получается выражение:
ФЯ= ®EF = ©DjE^gF,. = ©EjSF,.,
доказывающее окончательно равенство (3).
Отметим частный случай теоремы, на который нам придется со-
слаться. Положим, S= ®, тогда мы получим следствие:
Если (£ и <5—два наибольших нормальных делителя ®, Ф— их
общий наибольший делитель, то
е ~ ©’
где знак ~ выражает изоморфизм групп.
45
§ 31. Если инвариантная группа S) группы Ф инвариантна также
в любой группе &, заключающей ® как инвариантную подгруппу,
то S) называется характеристической, подгруппой группы ® (Frobe-
nius, Sitzungsberichte der Berl. Akad., 1895, S. 183).
Если 'J—характеристическая подгруппа 53, а .’о—характеристическая
подгруппа ®, то Si инвариантна во всякой группе в которой ® есть
инвариантная подгруппа. Но но определению, инвариантна во всякой
группе, в которой S) инвариантна, следовательно, 'J— инвариантная под-
группа т. е. характеристическая подгруппа характеристической
подгруппы Si группы ®, есть сама характеристическая подгруппа Ф.
Теорема. Совокупность всех инвариантных элементов (§ 26}
группы ® есть ее характеристическая подгруппа.
Пусть А и В — два инвариантных элемента группы ®, тогда АВ,
В А, А-1, В-1 также будут перестановочны со всеми элементами S,
т. е. совокупность всех инвариантных элементов есть группа ®.
Эту группу будем называть центром (Zentrum, central) группы S.
(De S ё g u i е г, El£ments de la th£orie des groupes abstraits, p. 57).
Из того, что любой элемент ® перестановочен с любым элементом ®,
ясно, что ® есть нормальный делитель ®. Пусть теперь 5? - какая-ни-
будь группа, в которой ® — нормальный делитель. Тогда, если С — какой-
нибудь элемент центра €, а К—элемент группы 5?, то элемент
К~гСК — В
должен приналлежать к ®. Докажем, что В перестановочен с любым
элементом О группы ®. В самом деле, мы имеем KGK~' = О,, откуда
BG = К-1 CKG= К~гСОхК = К-1 ОгСК = GK"1 СК = GB.
Итак, В также принадлежит к центру ®, т. е. € — инвариантная
подгруппа что и требовалось доказать.
§ 32. Если А и В — два элемента некоторой группы, то, как изве-
стно, не всегда
АВ=В4.
так что, если положить
АВ = ВАС,
элемент С оказывается, вообще говоря, отличным от единицы. Этот
элемент называется коммутатором элементов А и В.
Совокупность коммутаторов группы ®, вообще говоря, не представ-
ляет собою группы, но если мы составим все возможные комбинации
из них, то получим группу называемую коммутантом или первою
производною группы ® (Kommutatorgruppe, commutant). может совпасть
с S (тогда С. Ли (S. Lie), которому принадлежит понятие о „производ-
ной" группе, называет ®, „perfekte Gruppe"). Если ® — абелева группа,
и только в этом случае, $?= 1.
Теорема I. Коммутант 5? группы S есть характеристическая
подгруппа последней,.
Пусть ® — нормальный делитель группы 91. Так как каждый элемент К
группы Я’ есть произведение нескольких коммутаторов С, Сг, С2,... и
A-1 KN = N 1 СЫ-К~г CjN-N'1 C>N...,
46
то достаточно доказать, что если К — коммутатор, то и L — N~' KN бу-
дет коммутатором двух элементов группы ®.
Пусть
А'=Я-! В-1 АВ,
и
N~1 AN = N~lBN=Blt
откуда
N~lA~l N = A1~\ N~lB~lN = Bi-1.
Элементы .4X н В, принадлежат к ®. Мы имеем:
N~lKN = N^A-' B~'aBN =
=N~'A~' N • N^B-'N • AT1 AN - N~'BN=A1~1B1~aA1B1^= Ki,
что и требовалось доказать.
Теорема IIЧ Если $) — нормальный делитель группы &, то
тогда и только тогда абелева группа, когда коммутант R группы ®
заключается в £>.
В самом деле, пусть < 5> и © = S) + О25> + О35> +   -; тогда
G^G^S) = О£к$> = GkG,KS) = 0*0,5) = 0*5>G,5>,
т. е. — абелева группа. Наоборот, если
0^0*5) = G*5)G,5),	(1)
то коммутатор двух элементов О,- и О* должен принадлехсать к £>, так
как по (1)
0,0* = GkG,H.
Теорема III. Коммутант группы S заключает по крайней мере
столько различных элементов, сколько содержится в любом классе
сопряженных элементов.
Пусть, в самом деле, какой-нибудь класс группы ® состоит из
сопряженных элементов:
А, Вг~гАВ2, В3~'АВ„ BC'ABi....
Умножая все элементы класса слева на А~ , получим:
Я-1Я=1, Я-1В3_1ЯВ2, А~1В3~‘ЯВ3,...
Все элементы этого ряда различны между собою, и каждый из них
представляет некоторый коммутатор.
§ 33. Рассмотрим теперь подробнее свойства производящих элемен-
тов и определяющих равенств (§ 16).
Если группа состоит из комбинаций конечного числа элементов
S2,
то эти элементы называются производящими.
1 Miller. Quarterly Journal, 28, р. 267.
47
Если мы отбросим все те из них, которые получаются как комбина-
ции остальных, то получим систему независимых производящих элементов.
Так как каждому элементу группы, в том числе и производящему должен
соответствовать обратный, то между производящими элементами должно
существовать, по крайней мере, одно равенство, дающее выражение отри-
цательных степеней производящих элементов через комбинации положи-
тельных степеней. Всякое равенство между независимыми производящими
элементами называется определяющим равенством. Перенося все элементы
в одну сторону и заменяя отрицательные степени равными им комбина-
циями положительных, можно всякое определяющее равенство привести
к виду:
= 1,
где а, Ь,...,с — целые положительные числа, а индексы р, q,...,r—
числа ряда
1, 2, 3, .... п,
которые могут несколько раз повторяться. Из системы определяющих
равенств можно исключить те равенства, которые являются следствиями
остальных.
Системой независимых производящих (образующих) элементов и си-
стемой определяющих равенств строй, группы вполне определен. Группы
с одинаковыми производящими элементами и равенствами изоморфны, и
наоборот.
Все конечные группы, очевидно, производятся конечным числом эле-
ментов, но для бесконечных групп это не всегда имеет место.
Совокупность рациональных чисел, кроме нуля, образует как мы
видели, группу относительно умножения. . Бесконечность ряда простых
чисел показывает, что в этом случае нет конечного числа производящих
элементов, наоборот, относительно сложения все целые числа образуют
циклическую бесконечную группу, образованную степенями элемента 1,
причем существует только одно определяющее равенство:
1+(-!)-О-
Вообще бесконечная циклическая группа образована положительными
степенями двух элементов, Sj и S2, связанных равенством:
StSz = 1.
§ 31. Теорема *). Пусть группа ® образована комбинациями
п независимых элементов Slt Sz, • - • ,Sn, удовлетворяющих т опреде-
ляющим равенствам:
Л й)= >./=<«<)=>•	/.(«<)-!
Если другая группа ® образована также п элементами
•5ц	S8, ..., 5П,
’) W. D у с k, Math. Ann., 20 (1882); W. В u г n s i d е, Theory of groups, p. 374
(2-v издание).
48
подчиненными тем же т равенствам'.
=i......./.®-т с»
и, кроме того, q другим'.
л(Т)=т.л($<)«г,... ,^($)=т,	(2)
то ® изоморфна с группой где & — группа, образованная всеми
комбинациями элементов вида'.
R-'gk(S{)R(k=\, 2, ...,q},
причем R — любой элемент группы ®.
Будем элемент 5, сопоставлять с S,. и вообще всякий элемент G =
= <р (SJ с элементом. G = <р (S,). Тогда элементу 1 группы ® будут, оче-
видно, соответствовать все элементы группы 6, и обратно, если
G =	.. . S' соответствует единице, т. е.
$/$?... $г'=т	(3)
то О принадлежит к $). В самом деле, равенство (3) должно быть след-
ствием равенств (1) и (2), т. е. при помощи (1) элемент SfaS?.. .Sr‘
может быть представлен как произведение элементов вида:
а в этом случае G принадлежит к $>.
Пусть разложение © будет:
® = -S3 4" О26 4" G36 -f-...
Системе G*6 будет соответствовать один определенный элемент G*,
причем произведение Gk$>G-eS) соответствует элементу GkGe, так как
0*60,6 = 0*0,6,
Однозначность сопоставления элементов групп ® и вытекает из
того, что если бы две различных системы 0*6 и 0,6 соответствовали
одному элементу, то произведение
О*бО,-1$
соответствовало бы единице 1, т. е.
0*6 О,-16 = 6,
откуда
О* = 0,6,
что невозможно. Итак, группы и ® изоморфны.
Эта теорема дает общий способ получения всех нормальных делите-
лей данной группы (собственно говоря, всех дополнительных групп),
4 Австрпипм теория групп.
49
причем изоморфные делители не считаются различными. В самом деле,
если к равенствам данной группы ® прибавить любую систему равенств
^1(5) = 1>	•••,
то в результате получается группа, изоморфная с дополнительной груп-
пой к некоторому нормальному делителю 5). Обратно, > усть <о, какой-
нибудь нормальный делитель группы ®, состоит из элементов, выражаю-
щихся следующим образом через производящие:
к, (S) - Vs.*   • «Л	, X, (S),...
Присоединим к определяющим равенствам группы ® ряд равенств:
^(S)= 1, ЛГа(6) = 1,...,
причем можно исключить из них те, которые являются следствием остальных.
Тогда полученная система равенств определит группу, изоморф-
ную с
В виде примера присоединим к равенствам группы ® ряд ра-
венств вида:
Л-1В-14В = 1,	(4)
где АВ, пробегают все элементы группы ®. Получ иная группа, как
показывают уравнения (4), — абелева. Она изоморфна с дополнительной
группой-^-, где й — группа, состоящая из всех комбинаций элементов
вида R-1 A~1B~lABR, т. е. коммутант. Мы пришли снова к теореме,
что группа, дополнительная к коммутанту, абелева.
Если ® — простая группа, то присоединение какого угодно равенства
/<5) = 1
должно влечь за собою равенство единице всех элементов группы ®
так как должно быть S) = ®, ~ = 1.
С рассмотрением производящих элементов Дик связывает гео-
метрическое представление групп при помощи деления плоскости или
некоторой поверхности на области. Другое геометрическое представление
дал Кели. Оба исследования воспроизведены в курсе В. Бернсайда,
(W. Burnside) „Theory of groups of finite order" fe главах XVIII и XIX (по
2-му изданию).
Эти соображения связывают теорию групп с топологией и те-
орией функций. Они очень интересны сами по себе, но не сыграли
большой роли в развитии абстрактной теории групп.
Заметим еще, что с геометрическим представлением групп связано
понятие о роде (Geschlecht, genus) группы. Если группа порядка N обра-
зована п производящими элементами Sit S2, ...,Sn, удовлетворяющими
равенствам:
-= S? = 1,..., S”n = 1,
^...5П=1,
60
то группа называется р-го рода, где число р определяется равенством:
Г=1
если производящие элементы выбраны так, что р — минимум.
§ 35. Заключим эту главу рассмотрением одного важного примера
простых групп, который дает нам теория подстановок.
Подстановку, состоящую из одного цикла второго порядка, т. е. под-
становку вида:
(». Ц.
называют транспозицией. Транспозиция, очевидно, равна своей обратной
подстановке.
Всякую подстановку можно заменить произведением транспозиций,
так как каждый цикл
(а, Ь, с,
можно заменить произведением:
(я, Ь)(а, с),	,(a, d),
что легко проверить.
Такое разложение на транспозиции возможно бесчисленным числом
способов, но при всех разложениях число транспозиций остается
всегда четным или всегда нечетным.
В этом мы убедимся следующим образом. Покажем, что от умно-
жения на какую-нибудь транспозицию (я, /) число циклов данной под-
становки увеличится или уменьшится на единицу. В самом деле, если
обе буквы я, f принадлежат к одному циклу
(я, Ь, ..., е, f, g, ..., fe),
то от умножения на (я, /) слева получатся два цикла:
(я, g, ..., k) (f, b, ..., e),
если же буквы а и / принадлежат к разным циклам
(я, b ,..., в),
(Л g,  • •, *),
то, умножая слева на (я, /), соединим все буквы в один цикл:
(я, g,..., k, f b,-..., г).
Пусть теперь данная постановка, перемещающая п букв, разбитых
на т циклов, раскладывается на а транспозиций. Обратная подстановка
будет состоять из тех же а транспозиций, написанных в обратном порядке.
Умножая на а транспозиций обратной подстановки, мы приходим к еди-
нице, т. е. к п однобуквенным циклам:
(я), (&),...,(«).
51
Таким образом число циклов увеличилось на п— т. Но так как
каждой из а транспозиций соответствует потеря или приобретение цикла, то
а — (п — т)
есть четное число. Так как число я—т постоянно для данной подста-
новки, то при любом способе разложения на транспозиции четность числа
их а одна и та же, что и требовалось доказать.
Можно поэтому все подстановки я символов разбить на два класса,
на четные и нечетные подстановки, смотря по тому, раскладываются ли
они на четное или нечетное число транспозиций. В обоих классах оди-
наковое число подстановок, так как умножением на одну транспозицию
каждая подстановка четного класса переводится в нечетную, и наоборот.
Всех подстановок п символов л!; в каждом классе, следовательно,
я!
у подстановок.
'	подстановки четного класса составляют группу, так как
произведение двух четных подстановок — снова четная подстановка и
1 = (а, Ь)(а, Ь)
также принадлежит к четному классу.
Группа всех я! подстановок я символов (или, как чаще говорят,
„подстановок я элементов”) называется симметрической группой (sym-
metrische Gruppe) степени я, а группа у четных подстановок называется
знакопеременной группой (alternierende Gruppe) той же степени.
Знакопеременная группа есть нормальный делитель симметрической,
так как при любом 5 подстановка
s-us
всегда четная, если только А — четная.
Знакопеременная группа третьей степени состоит из подстановок:
1, (1, 2, 3), (1, 3, 2),
а знакопеременная группа четвертой степени есть группа 12-го порядка:
1, (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2)
(1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3)
(1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4,)(2, 3).
§ 36. Теорема. При л>4 знакопеременная группа п-й степени
есть простая группа.
Предположим обоатное, пусть знакопеременная группа QI имеет
нормальный делитель 23, отличный от единицы.
Пусть В — такой элемент группы 23, который перемещает наимень-
шее число символов среди всех подстановок 23. Пусть В содержит цикл,
перемещающий более трех элементов, т. е., например:
В = (а, Ь, с, d,
62
Подстановка (а, b, с) = (а, Ь)(а, с) как четная принадлежит к 21.
Если 93— нормальный делитель, то подстановка
В' = (а, с, Ь)В(а, Ь, с) = (Ь, с, а,
принадлежит к 93, следовательно, к 93 принадлежит и подстановка
B~'B' = (c)(b, d,...},
перемещающая, вопреки предположению, менее букв, чем В.
Итак, подстановка В содержит только двойные или только тройные
циклы (если бы В заключала одновременно циклы второго и третьего
порядка, то В2 ф 1 перемещала бы меньше букв), т. е.
В = {a, b)(c, d)... или В = (a, b, c)(d, е, /)...
Преобразуем В при помощи (а, Ь, е); получим:
В' == (а, е, Ь) В (а, Ь, е),
причем
В1 = (b, е) (с, d)... или В' — [a, f, d) (b, е, с)...
Группа 93 содержит также элемент ВВ', равный
(с) (d) (а, е)... или (6) (а, е, d, с, f)...,
что снова противоречит выбору В. Остается единственное допущение,
что В состоит из одного тройного цикла, т. е.
В — (а, Ь, с),
так как В как четная подстановка не может равняться одному двойному
циклу.
Преобразуя В при помощи (a, p~)(b, q), придем к выводу, что 93
содержит все подстановки вида:
(А А ?),
где р и q — любая из перемещаемых группою 21 букв. Следовательно,
93 содержит и (с, г, р), а потому и
(р, Р, г, р) = (р, q, г),
т. е. 93 содержит все тройные циклы. Но группа, содержащая все
тройные циклы, должна заключать всю знакопеременную группу 21,
так как любая подстановка группы 21, будучи четной, может быть пред-
ставлена в виде произведения пар транспозиций, а каждая пара транспо-
зиций есть произведение тройных циклов. В самом деле,
...(а, 6) (а, с) = (а, Ъ, с),
(а, b)(c, d) = (а, Ь)(а, с) (с, а)(с, d) = (a, b, с,)(с, a, d).
Тео; ема, таким образом, доказана. Заметим, что мы при доказатель-
стве пользовались существованием пятого перемещаемого элемента е,
кроме четырех элементов a, b, с, d. Наши рассуждения, следовательно,
53
несправедливы в случае п = 4. Действительно, знакопеременная группа че-
твертой степени имеет инвариантную подгруппу, состоящую из подстановок:
1, (a, b)(c, d), (a, c)(b, d), (a, d)(b, с),
или, в нашем прежнем обозначении:
1, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3).
§ 37. Знакопеременная группа четвертой степени называется иначе
группой, тетраэдра, симметрическая — группой октаэдра и знакопере-
менная группа пятой степени — группой икосаэдра.
Порядки этих групп 12, 24 и 60; посдедняя из них, по доказанному,
простая.
Названия оправдываются тем, что указанные группы изоморфны
с группами этих многогранников.
Рассмотрим, например, все вращения октаэдра, которые переводят
его в самого себя, т. е. не изменяют его 'положения в пространстве,
а только перемещают один угол на место другого.
Октаэдр ограничен восемью треугольными гранями, всех углов граней,
следовательно, 24; таково же число различных вращений.
Если вращать октаэдр вокруг прямой, соединяющей противоположные
вершины, как около оси, то мы один из прилегающих к выбранной вер-
шине углов можем совместить с тремя другими, прилегающими к той же
вершине. После четырех поворотов, на 90° получится первоначальное
положение; мы имеем, следовательно, вращение четвертого порядка. Так
как осей этого рода три, то всего получится 3-3 = 9 вращений четвер-
того порядка. Вращая теперь на 120° вокруг оси, соединяющей центры
противополжных граней, получим вращение третьего порядка, число
которых будет 2-4 = 8.
Наконец, соединяя середины противоположных ребер и вращая на 180°
вокруг полученных прямых, будем иметь, очевидно, вращения второго
порядка, числом 6. Если прибавить сюда еще совмещение угла с самим
собою, играющее роль единицы, то всего получается как раз
94-8 + 6 + 1= 24
вращения, соответствующих 24 подстановкам симметрической группы
четырех элементов.
Присоединим к указанным трем группам циклические группы, назы-
ваемые иначе группами вращения правильной пирамиды, и так называемые
группы вращения двойной пирамиды (Diedergruppen), равенства которых
V = 1, -$г2 = 1, (ад2 = 1,
а порядок 2п. Мы получим пять типов групп, которые носят вместе
название групп многогранников (Polyddergruppen). Это очень важный
класс групп, имеющий связь с большим числом вопросов.
С теорией групп многогранников читатель может познакомиться по
второму тому „Lehrbuch der Algebra" Г. Вебера (Н. Weber), а также,
более подробно, по книге Г. В. Пфейффера „Группы многогранников".
Заметим еще, что группы многогранников суть единственные группы
нулевого рода (§ 34).
ГЛАВА IV
ГОМОМОРФИЗМ И АВТОМОРФИЗМ
§ 38. Введем понятие о полугруппе т). Полугруппой называется со-
вокупность' элементов, которые между собою однозначно компонируются,
удовлетворяющая требованиям 1 и 2 данного в § 1 определения группы,
а также такому третьему требованию:
3. При любых элементах А, В, X, Y совокупности из
АХ = AY или ХВ = YB
следует:
Х= Y.
Примерами полугрупп могут служить совокупности всех натуральных
или всех четных чисел, если композицией считать простое умножение.
Вторая совокупность показывает, что в полугруппе может не быть еди-
ницы, а первая,— что единица может существовать, но не все элементы
могут иметь обратные.
Ясно, что все группы принадлежат к полугруппам. Полугруппа
с конечным числом элементов должна быть группой. В самом деле,
пусть X в произведении АХ пробегает все п элементов полугруппы. Тогда,
по определению, нее полученные и элементов вида АХ принадлежат
к полугруппе и различны между сотого. Другими словами, среди элемен-
тов АХ находятся все элементы полугруппы, в том числе и А, т. е. суще-
ствует такой элемент I, что
А! = А,	(1)
1 служит правой единицей для всех элементов полугруппы, т. е. не за-
висит от А, так как мы из (1) получаем:
XAI = ХА,
а ХА, как и АХ, может представить любой элемент полугруппы.
Среди элементов А X должна заключаться и единица/, т. е. всякому А
соответствует элемент X, дающий
АХ = 1.
Таким образом определение группы § 1 удовлетворяется, что и тре-
бовалось доказать.
На этом основании конечную группу можно определять требованиями
начала этого параграфа. Для определения бесконечной группы надо до-
i) De Sёg uiег. Elements de laThdorie des Groupes Abstraits(Paris 1904), p.8.
55
бавить четвертое требование о том, что при всех А, В существуют эле-
менты полугруппы, удовлетворяющие равенствам:
АХ=В, YA = B.
В таком виде определение группы дано у Г. Вебера („Lehrbuch der Alge-
bra", II).
Нетрудно убедиться, что определение, несмотря на простоту формы,
заключает в себе, по существу, гораздо больше требований, чем приве-
денное в § 1.
§ 39.	В § 17 мы познакомились с понятием изоморфизма групп.
Обобщая это понятие, мы придем к так называемому гомоморфизму.
Две группы @ и ®' называются гомоморфными, если каждому эле-
менту одной из них соответствует один или несколько элементов другой,
причем, если элементы G и Gj группы ® соответствуют элементам
О' и О/ группы S', то и GGj и G' G/ соответствуют друг другу.
Слово „гомоморфизм" предложено Ф. Клейном (F. Klein) („Math.
Ann.", 41). До него употреблялся термин „обобщенный изоморфизм".
Само понятие введено Капелли (Capelli) (Giornale di matematiche, 16).
Теорема I. Если группы ® и®' гомоморфны, через 3 обозначен
комплекс элементов ® соответствующий единице группы ®', а через
2;'—комплеск, соответствующий единице ®, то 3 “ 3' — полугруппы х).
В самом деле, произведение двух элементов комплекса 3 само при-
надлежит к 3, так как, по определению гомоморфизма, < но соотьетствует
тоже единице ®’, а требования 2 и 3 § 38 удовлетворены вследствие того,
что 3 есть часть группы ®.
Теорема И. Если одна из полугрупп 3, 3' — группа, то и дру-
гая тоже группа.
Пусть 3 — группа. Тогда в 3 будет заключаться единица Е группы
S, единицы двух-групп, следовательно, соответствуют друг другу, а потому
в будет также заключаться единица Е' группы ®'.
Затем, пусть I'— один из элементов 3'; докажем, что к 3' принад-
лежит и Z'-1, тогда будет доказано, что Г—группа. Но если Z'-1 со-
ответствует элементу К группы @, то Г1'~1 = Е' соответствует ДАТ = Д',
т. е. К есть один из элементов группы 3, а тогда элементу Е', между
прочим, будет соответствовать и Д’-1. Следовательно, элементу
Д'/'-1=Г-1
будет соответствовать
К~гК=Е,
чго и требовалось доказать.
§ 40.	Остановимся подробнее на том случае, когда 3 и 3'—группы.
Они тогда будут нормальными делителями соответ.твенных групп ® и ®'.
Пусть, в самом деле, G соответствует G', a G~1 соответствует К', тогда
GG~ 1 = Е соответствует О' /С, т. е.
G'K'=I',
J) Dickson, Transactions of the Amer. Math. Soc., 6.
56
где Г— один из элементов 3'. Отсюда получаем К= О'~ 1Г и О'1 Е = G~‘
будет также соответствовать
т. е. обратные двух соответственных элементов также соответствуют
друг другу.
Если теперь I — один из элементов 3, то G~ 4G будет соответство-
вать G'~1Е' G' = Е', т. е.
о-1зо = з,
что и требовалось доказать.
Если 3 и 3'—группы, то гомоморфизм сводится к изоморфизму
по следующей теореме.
Теорема. Дополнительные группы и ®, изоморфны ’).
Очевидно, каждому элементу Е  1=1 группы 3 соответствуют все
элементы Е'Г = Г группы 3', и наоборот. Поэтому, если G и О' со-
ответствуют друг другу, то каждому элементу 10 системы SG соответ-
ствуют все элементы 3'0'. Обратно, если К' соответствует О, то К'
должно принадлежать к 3'0', так как элементу О • 0~г = Е будет, между
другими, соответствовать К'0'~\ т. е.
K'G'~1 = r, K' = I'G'.
Итак, 3'0' исчерпывает все элементы, соответствующие какому-либо
из элементов системы 3G, и, конечно, наоборот.
Разложим © по модулю 3:
® = 3Gj + 3G2 + ЗО8 +...;
пусть полной системе вычетов
Gi, G2, 08,...
соответствуют в ©' элементы
(1)
тогда
&
(2>
В самом деле, системы (2) различны между собою, так как соот-
ветствуют различным системам разложения (1), и, кроме того, они ис-
черпывают собою ®', так как каждому элементу G' должна соответство-
вать какая-нибудь система 3G,-, т. е. О' должно принадлежать к одной
из систем 3'0/.
Теперь изоморфизм дополнительных групп очевиден.
§ 41.	Если единице группы ® соответствует бесчисленное множество
элементов гомоморфной группы ®', т. е. в 3' бесчисленное множество
различных элементов, то любому G соответствует также бесчисленное
множество элементов ®', так как если G соответствует О', то G будут
х) См. Frobenius, Sitzungsberichte der Berl. Akad., 1895, стр. 169, и de
S ё g u i e r, Groupes Abstraits, стр. 66.
соответствовать и все элементы системы 3'G'. Если же 3' — конечного
порядка т, то 3 и 3' — группы, и, как мы видели в прошлом параграфе,
каждому элементу G соответствуют ровно т элеменюв системы 3'®'.
' Если каждому элементу ® соответствуют т элементов S' и каждому
элементу группы S'—п элементов группы ®, то гомоморфизм групп
®, ®' называется — -значным. Одно из чисел п, т или оба могут
равняться бесконечности.
Особенно интересен у-значный гомоморфизм, т. е. тот случай, ког-
да каждому элементу S соответствует только один элемент группы ®',
а каждому (У — п элементов группы S. Такой гомоморфизм называется
кратным или мероэдгшческим.
Говорят: „® л-кратно гомоморфна с S''.
Кратный гомоморфизм введен К. Жорданом (Тгайё des Substitutions,
р. 56) под названием „мероэдрического изоморфизма". В отличие от
него изоморфизм § 17 называется голоэдрическим.
В случае л-кратного гомоморфизма 3 обязательно группа, так как
3' сводится к группе Е'. Дополнительная группа изоморфна с S'.
Если элементу G соответствует О', то ОЗ исчерпывает элементы, соот-
ветствующее О'.
Приведем для иллюстрации один пример гомоморфизма.
Симметрическая группа подстановок четырех символов четырехкратно
гомоморфна следующей группе подстановок шести символов:
1; (1, 2, 3)(4, 5, 6); (1, 3, 2) (4, 6, 5)	(1)
(1, 4) <2. 6)(3, 5); (1, 5) (2, 4) (3, 6); (1, 6) (2, 3) (3, 4).
Единице этой группы соответствуют подстановки:
1; (1, 2)(3, 4); (1, 3)(2, 4); (1, 4)(2, 3)
симметрической группы. Они образуют группу 3- Обозначая симметри-
ческую группу через получим разложение:
©4 = 3 + (1, 2, 3)3 + (1, 3, 2)3+ (3, 4)3 +(2, 4)3 + (1, 4)3,
причем смежные системы соответствуют в указанном порядке под-
становкам группы (I).
§ 42.	Пусть
01, Gz, G3>...	(1)
все элементы некоторой группы ®. Сопоставим с каждым G,- некоторый
элемент G/ той же группы; тогда мы получим ряд:
01, Ог’, G3,....	.	(2)
состоящий также из всех элементов ®, причем G/ сопоставляется с эле-
ментом G( первого ряда. Если это сопоставление таково, что для всех
О/. Gk
O^G' = G,',
58
когда G,Gt= Ge, т. e. произведение элементов, соответствующих G{ и G*,
•соответствует произведению последних, то между рядами (1) и (2) уста-
навливается изоморфизм в смысле определения § 17. Но эти ряды состоят
•из одних и тех же элементов. Мы получили изоморфизм группы ® с со-
бою. Такая зависимость между двумя расположениями элементов одной
и той же группы ® называется автоморфизмом.
Мы получим, например, автоморфизм, если каждому элементу G бу-
дет соответствовать элемент A~]GA, где А — некоторый определенный
элемент той же группы ®. Такого рода автоморфизмы, которые вызы-
ваются преобразованием группы при помощи одного из ее элементов,
носят название внутренних или когредиентных.
Но бывают и другие автоморфизмы. Возьмем, например, нецикли-
ческую группу четвертого порядка (§ 14), образованную двумя элемен-
тами А и В при условиях:
А2 = В2 = 1, АВ = ВА.
Мы получим автоморфизмы, как легко проверить, если элементам
1, А, В, АВ заставить соответствовать 1, В, А, АВ или 1, А, АВ, В
или 1, В, АВ, А. Между тем внутренних автоморфизмов нет, так как
все элементы группы перестановочны между собою. Все невнутренние
.автоморфизмы называются внешними или контрагредиентными.
§ 43.	Пусть некоторый автоморфизм представит группу:
в виде
® = g1+g2 + ...
® = G1' + Ga' + ...,
(1)
а при другом автоморфизме каждому О/ соответствует элемент G/.
Тогда представление ~	„
будет также результатом некоторого автоморфизма группы (1). В самом
деле, если G,Gt = G;, то по первому условию О/О/ = G/, а отсюда по
второму: G/G*" = G/.
Автоморфизмы образуют группу, если под перемножением двух
автоморфизмов понимать применение второго к результату первого. В са-
мом деле, обозначим на время через
элемент G элементом Go. Тогда, как мы видели,
автоморфизм, заменяющий
Lo'j|G'J [о*]
Единицей этой группы, называемой группой автоморфизмов данной
I G1
группы ®, служит тождественный автоморфизм , при котором каждый
ГО 1	Г°'1
элемент сопоставляется с самим собою. Обратным I будет I q •
Группа автоморфизмов рассмотрена впервые Гельдером 1).
1) Math. Ann., 43.
59
Группу автоморфизмов можно себе различно представлять. Можно
сказать, что каждый автоморфизм производит некоторую подстановку
элементов группы ®; например, первый автоморфизм, о котором шла речь
в этом параграфе, производит подстановку:
(О» G2, G3,...\
\о/, с2', G3',...)'
Таким образом группа автоморфизмов оказывается изоморфной
с некоторой группой подстановок конечного или бесконечного числа
символов. Этим представлением мы выше неявно пользовались, сокращенно
обозначая
Gb G3, G3, ...\__ rGj
О/, G2', G/..J [g'J’
Но для более близкого изучения это представление оказывается удоб-
ным только в случае конечных групп. Можно получить другое представ-
ление группы автоморфизмов *).
Займемся сначала внутренними автоморфизмами. Они образуют
группу, так называемую группу внутренних автоморфизмов. В самом
деле, произведением автоморфизмов, сопоставляющих с элементом G
элементы A~1GA и В~гОВ, будет автоморфизм, сопоставляющий
с G элемент В~ гА~ 1GAB = (АВ)-1 G (АВ1, т. е. также внутренний
автоморфизм.
Теорема. Группа внутренних автоморфизмов изоморфна с группой
® , если S — центр группы ©.
Пусть
© = ®GX + €G2 +...	(2)
Все элементы одной системы ®О,- производят один и тот же вну-
тренний автоморфизм группы ©, так как при любом С из б и любом
G из ©
(CG£)~1G (CG,) = G- 1С- ^CG, = Gt~ 1GGi.
Обратно, если А~1 GA = В '1 GB для всех G из ®, то ВА~ 1 пере-
становочно со всеми G, т. е. В = СА. Итак, каждый внутренний авто-
морфизм производится одной определенной из систем (2). Из
(ЗДг > (c,oj- > о (од (од = (<оду-  о (од<у,
где С3 = С2С1, следует доказываемый автоморфизм.
Так как в нашей абстрактной теории изоморфные группы не счи-
• ®
таются различными, то мы можем называть группой внутренних авто-
морфизмов.
§ 44.	Если Т—элемент, перестановочный с группой © (принадле-
жащий к ® или нет), то от преобразования © при помощи Т получается
*) Ср. Н. Н i 11 о п, An Introduction to the Theory of Groups of Finite Order,
Oxford, 1908, p. 136.
60
некоторый автоморфизм этой группы, если G сопоставлять с Т~ гСТ,
так как
Т- ^00^ = Т- 1GT • T-’GjT.
Наоборот, всякий автоморфизм © можно себе представить проис-
шедшим от преобразования S при помощи некоторого элемента Z. В са-
мом деле, если в каком-нибудь автоморфизме элементам Gn Ga, Gs,...
соответствуют элементы G/, G2', G3',... той же группы ©, то опреде-
лим Z равенствами:
Z-lGvZ = Gx', Z~lG3Z = G2',...	(1)
При этом можно ограничиться писанием таких равенств для произ-
водящих группу © элементов.
Если все возможные автоморфизмы группы S получаются от пре-
образования © при помощи Zx, Z2, Z3,. .то мы можем составить но-
вую группу:
®° = {®, Z„ Z2,...},
заключающую © как нормальный делитель. Всякий автоморфизм © про-
изводится по крайней мере одним из элементов этой группы ©°. Эле-
менты ®°, перестановочные с каждым элементом ®, образуют некото-
рую группу $). Если Н— элемент Si и ZfiZ-1 = G„ то мы имеем, оче-
видно:
Z^H-^ZfiZp- xHZl = Z “ 'H-'GJiZ, = Z-JGfZ( = G,
так что Zi~yHZl = H{, и 55— нормальный делитель ©°. Как в предыду-
щем параграфе для внутренних автоморфизмов, мы легко убеждаемся,
что каждому автоморфизму © соответствует одна и только одна система
56Z разложения:
©0 = SZ/ + 56Z2' + SiZ3 + ...,
где Zx', Z2',... — некоторые элементы группы ©°. Мы приходим к вы-
®°
воду: группа автоморфизмов изоморфна с группой Г = g- . Мы можем
Г называть группой автоморфизмов.
Внутренние автоморфизмы получаются от преобразования © эле-
ментами различных систем GG( (§ 43), или, так как все элементы 56
с © перестановочны, различными системами 55G(, которые, очевидно, со-
ставляют группу 55© = ©56. Мы получаем —^ = Л и можем А
считать новым представлением группы внутренних автоморфизмов. Так
как ©5)—нормальный делитель ©°, то (§ 29) А — нормальный делитель
Г, и мы пришли к следующей теореме:
Теорема. Группа внутренних автоморфизмов есть нормальный
делитель группы автоморфизмов.
§ 45.	Теорема. Характеристические подгруппы группы © суть
единственные подгруппы, не изменяющиеся при всех автоморфизмах ®.
Действительно, по определению характеристических подгрупп, они —
нормальные делители всех групп, для которых © есть нормальный дели-
61
тель, следовательно, они между прочим, будут нормальными делителями
группы ©° предыдущего параграфа. Но все автоморфизмы ® происхо-
дят от преобразования элементами ®°, следовательно, характеристические
подгруппы от этих автоморфизмов не изменяются.
Обратно, если подгруппа 5) группы © не изменяется от всех авто-
морфизмов ©, то она характеристическая, так как из Т~}®Т = © должно
следовать	= ибо Т производит некоторый автоморфизм ®>
и его можно взять за один из элементов Z группы ©°.
Группу, не имеющую характеристических подгрупп, называют эле-
ментарной х).
Исключив из рассмотрения те (очевидно, бесконечные) группы, у ко-
торых каждый нормальный делитель заключает в себе другой отличный
от единицы нормальный делитель данной группы, докажем теорему:
Теорема. Группа тогда и только тогда элементарна, когда она
или. простая или равна прямому произведению изоморфных простых
групп.
Пусть группа © не имеет характеристических подгрупп. Если © не
простая, то пусть — нормальный делитель ®, который сам не имеет
подгрупп, инвариантных в ®. Очевидно 5>х тоже не должен иметь харак-
теристических подгрупп.
Так как <blt по условию — не характеристическая группа, то эле-
менты Z предыдущего параграфа не могут все оставить без измене-
ния. Пусть
S>t, -£>2>	•
те различные группы, в которые $з переходит от автоморфизмов ©. Эти
группы взаимно простые, ибо все они, очевидно, нормальные делители
S, так как Sj = Z4~1J5Z4 есть нормальный делитель Zi-1©Z< = ®,
и если бы = Zf~1&Zl и имели общий делитель ®4 - то он
был бы нормальным делителем ©, и йх, вопреки предположению, заклю-
чала бы нормальный делитель ® = Z4®4Z4—1 группы ®. По теореме
§ 28 произведение всех S>t будет прямым произведением
£>1 • .£>а • 5>з • • • . = *5-
Очевидно, ‘J не меняется от всех автоморфизмов ©, следовательно,
5 — характеристическая подгруппа, т. е. должно быть 'J = ® или
© = -£>! • £)а • £)3...
Но все элементы групп 5>2, £>3>. -  перестановочны со всеми элемен-
тами JOj, следовательно, всякий нормальный делитель был бы также
нормальным делителем ©, а потому Jox, должна быть простой группой.
Так как все изоморфны с £>lf то первая часть теоремы доказана.
Наоборот, пусть
©=£>! • <62-<О3...,	(1)
где все 5,, — изоморфные между собою и простые группы. Тогда © —
i) Frobenius S. В. А., 1902, 358.
62
элементарная группа. В самом деле, допустим, что существует характери-
стическая подгруппа ©'. Пусть
один из ее элементов. Если общий наибольший делитель групп ®'
и Д отличен от единицы, то он должен равняться $)„ так как ®,—
нормальный делитель а эта группа простая. Но замена Д на &к равно-
сильна некоторому автоморфизму ®, группа ®' от этого автоморфизма
не должна изменяться, следовательно также ©* ₽= Jo* при любом k, и мы
приходим к выводу, что ®' заключает в себе все группы Jo,, S)2,	,...,
т. е. ®' = ®.
Итак, все Ф4 = 1. Меняем и Jo* местами. От этого автоморфизма
Ht перейдет в соответственный элемент Нк, а Нк — в Ht', следовательно,
А перейдет в
причем А' также должно принадлежать ®', а потому и
А" = АА1 -1 = Я(Я/ -1 • я*я; -1 = Я/ • Я/.
Если А" ф 1, то общий наибольший делитель групп ®'и	&>к
отличен от единицы. Очевидно, ®Jt — нормальный делитель &>{ • $>к. Ком-
понент в (§ 28) должен равняться S){, так как эга группа про-
стая. Вследствие Ф, = ф* = 1 каждый элемент входит только один:
раз компонентом в элемент следовательно, группы Фй и SS( изо-
морфны. В разложении (1) можно 8з( заменить на Ф<г Переставляя фа
и любую мы, как выше, приходим к результату:
®' = ®.
Если, наконец, все элементы вида А" равны единице, то это зна-
чит, что каждый элемент А группы ©' представляет собою произведение
соответствующих друг другу элементов изоморфных групп Jb2,...
Следовательно, ©' изоморфна с этими группами и может быть постав-
лена в (1) вместо любой из них. Очевидно, ®' в этом случае не может
быть характеристической подгруппой.
§ 46.	Заключим главу указанием на один любопытный класс групп,
введенный в рассмотрение Гельдером, а именно на „совершенные" группы.
Группа называется совершенной (vollkommene Gruppe, complete group),
если она не допускает никаких внешних автоморфизмов и ее центр
равен единице х).
Теорема I 2). Если какая-нибудь группа ® имеет совершенный
нормальный делитель Jo, то ® — прямое произведение Jo а некоторой
другой группы.
ПУСГЬ	® = S + &Ог + SC, + ...
Систему вычетов 1, G2, О3,... можно всегда так выбрать, что все О{.
перестановочны со всеми элементами Я группы Jo. В самом деле, если
J) Holder, Math. Ann., 45, p. 325.
s) Ibid., p. 325.
63-
элемент G< — не перестановочный со всеми /7, то он производит неко-
торый автоморфизм 5». Ввиду отсутствия внешних автоморфизмов
в $у должен существовать элемент /7, производящий то же действие,
что и G(, но тогда элемент H~1Gi—перестановочный со всеми элемен-
тами S), и мы его можем взять вместо Gf.
Если система вычетов выбрана указанным образом, то они обра-
зуют группу 5, так как из равенства вида
G'G" = HG'"
следовало бы, что Н принадлежит к центру 55, т. е. по определению
совершенной группы /7=1. Итак,
®= <6-^.
Теорема II *). Если центр группы ® равен единице, а ее группа
внутренних автоморфизмов Д есть характеристическая подгруппа
группы всех автоморфизмов Г, то Г — совершенная группа.
Присоединим к определяющим равенствам группы ®° § 44 условие:
S = 1.	(1)
Тогда мы получим по теореме В. Дика (§ 34) группы Г и Д, изоморф-
иые с -у- и -j-- Так как в нашем случае (S и 55— взаимно простые
V Ч?
группы, то ® не изменится от условия (1), и мы, очевидно, получаем
Д=®. Таким образом ® при этом представлении является подгруппой
своей группы автоморфизмов Г.
Так как Г не может заключать элементов, перестановочных со всеми
элементами ®, то центр Г равен единице. Первая часть определения
совершенной группы удовлетворяется.
Доказанным свойством группы Г воспользуемся, чтобы для нее, как
выше для ®, построить группу автоморфизмов Г°, подгруппой которой
Х>ыла бы Г. В силу того, что Ф = Д— характеристическая подгруппа
Г, она будет нормальным делителем Г°, и всякий элемент у0 последней
группы будет производить некоторый автоморфизм ®. Такой же авто-
морфизм должен произвести некоторый элемент у из Г, следовательно,
Т- 7° перестановочно со всеми элементами ®. Если мы теперь покажем,
что у0 перестановочно со всеми элементами Г, то это будет озна-
чать, что -j0 производит внутренний автоморфизм Г, т. е. Г° — Г, что
и требуется доказать.
Итак, пусть
(Т"17О)"1Т1(Г17°) = Т2.
где 71 и у2 — элементы Г. Покажем, что 7j = 7г. Для любого G из ®
.имеем:
Кт“1 rt Ti (т~ ’ 1°)Г1 а КГ’ т°)"1 т. Ст-’ т’Я = тГ' ст,.
х) Burnside, Theory of groups, p. 95.
>64
как легко проверить, т. е.
Т. ‘0т> = Т1 ‘Gil,
откуда и следует 73 = ^ По основному свойству группы автоморфизмов.
Следствие. Если ® — элементарная неабелева группа, то ее
группа автоморфизмов Г — совершенная.
В самом деле, ® — прямое произведение изоморфных простых групп,
следовательно, центр ее равен единице, если группа не абелева. Кроме
того, ® — характеристическая подгруппа группы Г, построенной указан-
ным выше образом, так как в обратном случае ® от одного из авто-
морфизмов, произведенных над группой Г, перешла бы в другой нор-
мальный делитель ®' той же группы Г. Группы ® и ®' должны быть
взаимно простыми, так как их общий наибольший делитель был бы нор-
мальным делителем Г, а потому характеристической подгруппой ®, что
противоречит тому, что ®—элементарная группа. Если же ® и ©' —
взаимно простые, то по теореме § 28 каждый элемент ®' перестаново-
чен с каждым элементом ®, в то время как в Г не может быть элемен-
том такого рода.
Отметим без доказательства следующую теорему из теории подста-
новок х):
Симметрическая группа степени п есть совершенная группа, если
п ф 6.
i) Holder, Math. Ann., 46, S. 345; Burnside, J. c., p. 209.
5 Абстрактная теорм групп.
теория КОНЕЧНЫХ ГРУПП
ГЛАВА V
ВВЕДЕНИЕ
§ 47. Займемся теперь теми свойствами групп, которые вытекают
из допущения, что порядок группы есть конечное число.
Группу © порядка п будем иногда обозначать знаком ®п.
Оказывается, что существует только конечное число неизоморф-
ных групп данного порядка п. Это обстоятельство чрезвычайно важно
оно дает возможность составлять каталоги групп, т. е. перечислить все
группы любого данного порядка.
Для вывода этого предложения воспользуемся важной связью конеч-
ных абстрактных групп с группами подстановок.
Теорема. Всякая группа конечного порядка п изоморфна- с не-
которою группою подстановок п символов.
 Выпишем в ряд все элементы группы © л-го порядка:
G2, G3....,G„.	(1)
Пусть G,- — любой элемент этой группы. Сравним ряд (1) с рядом
G]GZ, G2G,-, G3Gz, ... ,GrtG,.,	(2)
представляющим собою i-ю горизонталь квадрата Кели.
Элементы ряда (2), очевидно, все различны между собою и принад-
лежат к ®; следовательно, в ряду (2) находятся все элементы группы,
т. е. ряд (2) состоит из тех же п элементов, что и (1), только написан-
ных в другом порядке. Умножение всех элементов группы на G„ таким
образом, равносильно некоторой подстановке этих элементов. Указанную
подстановку можно записать знаком:
.........\
\GiGi. GiGi....Опв,-/
Двум различным элементам Glt Qk соответствуют две различные
подстановки, так как из
/'<?!, Gg, . ..,G„	G» ...,G„ \
\ GjG,. GjGft..., G„Gt / GjG*, GtGk.....G„Gk I
66
следовало бы, например;
GjG, = 6^,
G, = Gk.
Мы видим, что каждому элементу Gt соответствует определенная
подстановка, и наоборот. Произведению G, Gt соответствует подстановка
SjS,, так как 5, переводит Gm в GmGt, a SlSl переводит Gm в GmG(Gr
Итак, доказано, что подстановки St образуют группу, изоморфную с груп-
пой ®. Единице группы ® соответствует тождественная подстановка.
Другую изоморфную группу подстановок получили бы, умножая элементы
слева на G{.
Очевидно, что каждая из подстановок S(, кроме тождественной,
переметает все п элементов, так как равенство вида
требует
О,= 1.
Группа подстановок, у которой число перемещаемых символов равно
числу подстановок, т. е. степень равна порядку, и каждая подстановка
перемещает все элементы, называется регулярною. Итак, всякая группа
порядка п изоморфна с регулярной группой подстановок того же порядка.
§ 48.	Выведенная в предыдущем параграфе теорема дает простое
доказательство конечности числа групп данного порядка. В самом деле,
каждая группа я-го порядка изоморфна с группой подстановок п сим-
волов того же порядка. Но всего существует N = и! подстановок п сим-
волов. Число различных групп л-го порядка из этих подстановок, оче-
видно, не больше числа сочетаний из W элементов по л, т. е. число групп
н-го порядка меньше конечного числа
или равно ему.
На самом деле эта граница оказывается чересчур высокой, число
групп значительно меньше.
Мы не будем ближе останавливаться на этом вопросе, для нас было
важно доказать конечность числа групп данного порядка.
Мы видим, между прочим, что при проверке того, представляют ли
данные равенства группу, нет надобности в проверке сочетательного за-
кона, если только все элементы в каждом ряду квадрата Кели различ-
ны, ибо тогда каждому элементу соответствует некоторая подстановка,
а для последних сочетательный закон удовлетворяется.
§ 49.	Одна из важнейших задач теории конечных групп состоит
в том, чтобы для каждого п подробно определить’все группы я-го поряд-
ка. Эта задача, теоретически возможная, на практике требует при уве-
личении п очень громоздких исследований. Она поэтому решена вполне
только для простейших порядков п, а именно, для порядков вида р, рг,
pq, р3, pq2, pqr, pi, р5 х), где р, q, г—простые числа, и для наимевь-
Holder, Math. Ann., 43, 1893. Bagnera. Potron.
5*	67
ших порядков иного вида. Кроме того, исследованы частные типы групп
различных порядков.
С группами порядка pq и р2 мы познакомимся в дальнейшем изло-
жении. Сейчас покажем только, что существует всего два типа групп
порядка р2, причем обе группы коммутативны.
В самом деле, пусть ®— порядка р2. По теореме Лагранжа (§ 13)
порядок всякой подгруппы ® есть р или 1, следовательно (§ 25), число
сопряженных элементов в каком-либо классе есть 1 или р.
Пусть группа состоит из k классов, в которых содержится соответ-
ственно Vj, v2,..., vA. элементов. Элемент 1 один образует класс, следо-
Из этого равенства видно, что по крайней мере р классов должно
состоять из одного элемента, иначе правая часть не делится на р. Итак,
существуют отличные от единицы инвариантые элементы. Если существует
элемент порядка р2, то группа, очевидно, циклическая, т. е. коммутатив-
ная. Она определяется равенством:
Это первый тип. Если же все элементы будут порядка р, то пусть
А — один из инвариантных элементов, а В — произвольный элемент груп-
пы, не равный степени А. Тогда с В перестановочны все 2р различных,
элементов ряда:
1, А... Ар~\ В, ВА...ВАР~1.
Но перестановочные с В элементы образуют группу. По вышесказан-
ному, число их, будучи больше р, должно равняться р2, т. е. все
элементы с В перестановочны, группа — абелева.
Группы jA] и {В}—взаимно простые, ибо из равенств
А“ = В3,
где а, р не равны р, мы возвышением в степень х, определяемую срав-
нением
Рх = 1 (mod р),
получим:
А” = В3'= В,
что противоречит предположению. Итак, все р2 элементов вида А’В3
(аир пробегают числа 1,2,различны, ® есть прямое произве-
дение групп {А} и {В[ и определяется равенствами:
АР=В₽=1, АВ = ВА.
Эго второй тип группы порядка р2. Других типов нет.
В {А| • {В | всего р2 — 1 элементов порядка р. В каждой группе
этого порядка их р— 1, следовательно, всего р +1 подгрупп порядка р.
68
§ 50.	Дополняя исследования § 15 и 49, приведем еще все типы
групп восьмого порядка. Порядок 7, как простой, дает один тип, поря-
док 9 = З2— два типа, определенные в предыдущем параграфе.
Итак, пусть ® — группа восьмого порядка. Если она содержит эле-
мент восьмого порядка, то она циклическая—первая абелева группа.
Если все элементы второго порядка, то из
Д2 = Б2=(ДВ)2= 1
следует:
В А  1 = ВА(АВАВ) = 1 - АВ.
Группа оказывается абелевой. Ее определяющие равенства, очевидно,
имеют вид:
А2 = В2 = С2 = 1, АВ = ВА, АС = СА, ВС = СВ,
в=(А)-(В).(С).
Это второй тип абелевой группы восьмого порядка.
Пусть, далее, S заключает элемент А четвертого порядка. Если
В — не принадлежащий к {Д} элемент группы, то ® состоит из восьми
различных элементов:
1, Д, А2, А3, В, BA, BA2, BA3.	(1)
Элемент АВ должен равняться одному из этих элементов; если
АВ = ВА,
то группа абелева. Элемент В можно предполагать второго порядка, ибо
В2 = А или В2 = Д3
невозможно (В было бы, вопреки условию, восьмого порядка), а если
Вг = А2,
то вместо В можно взять АВ, которое второго порядка. Итак, S опреде-
лится уравнениями:
Д‘ = 1, В2 = 1, АВ = ВА.
Мы получили третий тип абелевой группы восьмого порядка.
Предположим теперь, что АВ равно ВА2 или ВА3. Первое предпо-
ложение, однако, невозможно, ибо из
АВ = ВА2
следовало бы:
В~'АВ = А2, В~гА2В=1,
т. е., вопреки предположению, Д2=1. Итак,
ЛВ = В А3,
откуда
А2В = ВА2, А8В = ВА.
69
Как в предыдущем случае, мы видим, что
В2 = А или В2 = А3
невозможно, следовательно,
В2 = 1 или В2 = А2.
В первом случае
В АВ = В2 А3 = А3, ВА2В = А2, ВА3В = .4
группа определяется равенствами
А4 = 1, В2 = 1, АВ = В А3.
Во втором случае
ВАВ = В3А3 = А, ВА3В = 1, ВА3В = А3.
Опряделяющие равенства будут
А4 = 1, В4 = 1, АВ = ВА3.
Итак, мы получили всего 5 различных типов групп 8-го порядка,
3 коммутативных и 2 некоммутативных. Представителями этих типов
можно считать группы, образованные следующими подстановками:
I.	А = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
II.	А = (1, 2) (3, 4) (5, 6) (7, 8); В = (1, 3) (2, 4) !5, 7) (6, 8);
С=(1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8)
или
А = (1, 2), В = (3, 4), С = (5, 6).
III.	А = (1, 2, 3, 4) (5, 6, 7, 8); В = (1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8)
или
А = (1, 2, 3, 4), В = (5, 6).
IV.	А = (1, 2, 3, 4) (5, б, 7, 8); В = (1, 5) (2, 8) (3, 7) (4, 6)
или
А = (1, 2, 3, 4), В = (1, 3).
V.	А =(1, 2, 3, 4) (5, 6, 7, 8); В = (1, 5, 3, 7) (2, 8, 4, 6).
Последняя группа называется группой кватернионов, так как ее
законы перемножения элементов одинаковы с правилами, по которым
происходит перемножение единиц в созданном Hamilton'oM исчислении
кватернионов (Lectures on Quaternions, 1853). Эта группа замечательна
тем, что все ее подгруппы инвариантны, как легко проверить. В главе
VIII мы найдем все группы, обладающие этим свойством.
§ 51. С вопросом, который нас занимал в начале этой главы, свя-
зана следующая интересная теорема Е. Landau v).
’) .Mathematische Annalen, 58.
70
Теорема. Существует только конечное число неизоморфных конеч-
ных групп, имеющих данное число k классов сопряженных элементов.
Здесь k может быть любым целым числом.
Теорема будет доказана, если мы убедимся,что с каждым k можно
сопоставить конечное число N, обладающее тем свойством, что порядок
п любой группы, имеющей как раз k классов, должен быть меньше N.
В самом деле, групп каждого порядка п конечное число; следова-
тельно, конечно и число групп, порядок которых меньше N, а тем более
конечно число тех из последних групп, элементы которых распадаются
на k классов.
Пусть группа порядка п распадается на k классов, которые содер-
жат соответственно va,..., элементов. Мы знаем, что единица одна
образует особый класс, и что (§ 25) все суть делители числа п, т. е.
где gt целое число.
Мы, очевидно, имеем:
Я = ‘gi,
или
Si
gk
(1)
Мы можем предположить, что
а следовательно,

(2)
причем
«-! = «•
Если А=1, группа состоит из одного элемента 1, если £ = 2,
то из
следует:
так как п делится на v2. Мы снова получаем одну возможную группу.
Пу.ть теперь k >2. Из (1) и (2) получаем:
1 gk + gk + ' ’' + gk gk’
откуда
gf.‘'k-
Далее,
...	1	J	1ft _________ 1
1“й"л+&+“,+£7чл-1 +	4-i = &-1’
71
так как, очевидно,
sk-l<
= 2(k — l),
Предположим теперь, что мы уже нашли некоторые верхние пре-
делы для чисел
Ski Sfo — !>•> Si'
а именно числа:
°*. °»-1...°»
покажем, что в этом случае и gt_x не может превзойти некоторого ко-
нечного числа Oj_r В самом деле, мы попрежнему имеем:
1 gi й + 1	” gk gi +g2 +	g{_ х gi’
откуда
I— 1
Si _ i <----J----i----------f 
gl gl + 1	gk
Очевидно, что
(3)
ибо иначе равенство (1) не могло бы удовлетворяться. Каждое gi(i = l)
Z-f-l,...,А) способно принимать конечное число значений, меньших или
равных Ог. Из конечного числа систем значений чисел
Si> ^Z-|- Sk
выбираем ту, при которой знаменатель правой части (3) принимает наи-
меньшее значение ht_v Это значение, очевидно, не может быть бес-
конечно малым, следовательно, для gj _, получается конечный верхний
предел:
Для gk и gt, мы уже нашли пределы. По только что доказан-
ному получается также конечный верхний предел для gk _ 2; применяя
вышеизложенные рассуждения достаточное число раз, мы придем к вы-
воду, что все gt (i — 1, 2,..., А) не могут превосходить известных ко-
нечных положительных чисел, следовательно, и g1 — п должно быть
меньше некоторого конечного числа N, что и требовалось доказать.
§ 52. Уже в § 13 мы познакомились с одной из фундаментальных тео-
рем теории конечных групп — с теоремой Лагранжа. Доказательство ее
основано, как мы видели, на свойствах разложения групп по какому-
нибудь модулю. Разложение по двойному модулю также приводит к ин-
тересным результатам. Очевидно., что конечная группа распадается по
двойному модулю на конечное число систем.
В § 27 мы видели, что если ® и & — две группы, то ®&> будет
тогда и только тогда группой, когда
©55 =55®.	(1)
Дадим теперь для конечных групп другое доказательство этой тео-
ремы и попутно сосчитаем число элементов в системе ©55, если порядки
® и 55 суть g и h х).
Пусть в выражении
GH
G пробегает все элементы ®, а Н—все элементы 55. Если при этом
GH — G1H1,
то
Oj-1 G = HJT1 = D,
где D — элемент общего наибольшего делителя ® групп ® ий, откуда.
G1 = GD~X, Ht = DH.
Мы, следовательно, получим один и тот же элемент
GH,
если вместо G, Н будем брать любую пару GD-1, DH. Таких пар,
очевидно, d, если через d обозначать порядок группы 3). Итак, в ком-
плексе ®55 каждый элемент получается d раз, если G пробегает все g
элементов S, а Н— все h элементов 55; число различных элементов
в ®55 или, как мы будем говорить, порядок этой системы, следова-
тельно, равен
d
Таково же, очевидно, число элементов в й®.
Если теперь ®$) — группа, то произведение (GH) {G^Hj) должно
снова принадлежать к ®55, т. е. должно быть:
GHGJ^ = G2H2t
откуда
НС, «(ГГ10,) («,«""),
т. е. элементы системы $з® входят в состав системы ®$). Но, по до-
казанному, порядки этих систем одинаковы, следовательно,
55® = ©5.
l) Frobenius, S. В. А., 1895, S. 166.
7&
Достаточность же условия (1) ясна из того, что при его соблю-
дении
(GH) (GjH,) = G (HGJ Ht = G (GZH2) Н = GZHZ.
§ 53. Теорема Фробениуса1). Пусть разложению руппы S
порядка g по двойному модулю 3, S) имеет вид:
® = 3Gi<0 + 302& + ... 3G.S.	(1)
Через обозначим общий наибольший делитель групп
&> и Gf-’go,..
Тогда между индексами существует соотношение:
(®, 3) = (£>, ®) + (&®8) + • •. + (S, ©,).	(2)
Для доказательства сосчитаем число различных элементов в системе
ЗОЛ
В ней, очевидно, столько же элементов, сколько в системе
G.-’SG.A;
но G£" '30,- — группа, следовательно, по предыдущему параграфу, поря-
док G,-13GfA, а потому и порядок 30,55 равен
Ji
J3l-
если через у, h, di обозначим соответственно порядки групп S, S и
Суммируя порядки, получаем по (1):
s=7(S,3)=y‘+yA + ...+7|,
откуда, разделяя на j и замечая, что
J-SS,®,),
получим требуемую формулу (2).
§ 54. По теореме Лагранжа порядок всякой подгруппы группы ® по-
рядка g есть делитель g. Обратное утверждение, что всякому делителю
h числа g должна соответствовать подгруппа порядка /г, в общем слу-
чае неверно. Например, знакопеременная группа 214 подстановок четырех
символов будет 12-го порядка, но не имеет делителя шестого порядка.
Только для тех делителей А, которые суть степени простого числа, тео-
рема Лагранжа обратима. Получается знаменитая теорема Силова.
Первая теорема Силова2). Если порядок g группы ®
делится на l-ю степень простого числа р, то ® имеет подгруппу
порядка р!.
Ч Journ. f. Math., 101; S. В. A. 1895, S. 167.
*) Math. Ann., 5, 1872. См. также Frobenius, J f. M., 100, 101.
74
Мы непосредственно убеждаемся в справедливости теоремы для групп
низших порядков, до восьмого включительно, все виды которых мы уста-
новили. Это дает нам право применить метод индукции, доказывая, что
если теорема справедлива для всех групп, порядок которых меньше g,
то она справедлива и для групп порядка g.
Предварительно покажем, что абелева группа 21, порядок а кото-
рой делится на простое число р, должна заключать элементы
порядка р.
И эту теорему можно доказать по индукции, считая ее справедли-
вой для групп меньшего порядка.
Очевидно, что возведением любого элемента в надлежащую степень
мы можем получить элемент простого порядка. Пуста Q—элемент по-
рядка q, причем q — простое число. Циклическую группу {Q} обозна-
чим через 23. Если q = р, теорема доказана; если нет, то дополнительная
91	а
группа -jq будет порядка —; этот порядок делится на р и меньше а,
следовательно, по предположению, в есть элемент Р23 порядка р. Это
значит, что
p?=Q’.
Пусть х удовлетворяет сравнению:
рх = — a (mod q),
тогда вследствие перестановочности
(PQry =	= Q’Q-’ = 1,
т. е. в группе оказался элемент порядка р, что и требовалось доказать.
Докажем теперь теорему Силова. Пусть ® распадается на k клас-
сов, в которых содержатся vx, v2,..., элементов. Все инвариантные
элементы составляют отдельные классы, пусть их число, т. е. порядок
центра S (§ 31), есть с, тогда
= ч2 = ••  = vs = 1,
я мы получаем:
£=c + *e+i + --- + ^	(1)
где все числа v. ,	уже больше единицы.
Если с не делится на р, то, так как g на р делится, равенство (1)
требует, чтобы по крайней мере одно из чисел ve + 1,..., v*, например,
также не делилось на р. Но
где hm — порядок подгруппы £>, состоящей из всех элементов, переста-
новочных с одним из элементов zn-го класса (§ 25).
Очевидно hm должно делиться на р и
hm<g-
75
Для группы £> теорема, по предположению, верна, следовательно, она
имеет подгруппу порядка рг, которая, конечно, будет и подгруппой ®.
Если же с делится на р, то абелева группа ® имеет элемент Р
порядка р. Группа =	—нормальный делитель ®, так как Р — ин-
вариантный элемент; дополнительная группа будет порядка кото-
рый делится на р1~\ По предположению, теорема для нее верна,
имеет подгруппу порядкаНо тогда по § 29 ® имеет под-
группу порядка р1, что и требовалось доказать.
Частный случай теоремы Силова (при I = 1) доказан еще Кошиг).
§ 55. При изложении теории конечных групп мы будем постоянно
пользоваться как примером и ближайшим приложением группами под-
становок, которые, и обратно, имеют значение для абстрактной теории
групп, как мы неоднократно имели случай убедиться. Ввиду сказанного.
введем в наш курс два новых понятия теории подстановок, хотя они
для абстрактной теории групп непосредственного значения не имеют.
Речь идет о понятиях транзитивности и примитивности.
Группа подстановок п элементов (букв, чисел и т. п.) называется
транзитивною, если при помощи подстановок этой группы любой эле-
мент может быть переведен в любой другой, в обратном случае группа
интранзитивна.
Так, например, группа
1, (1, 2)(3/ 4),' (1, 3)(2, 4), (1, 4](2, 3)
транзитивна, а группа
1, (1, 2), (3, 4), (1, 2)(3, 4)
интранзитивна, потому что в ней нет подстановок, переводящих 1 в 3
или 1 в 4.
Для транзитивности группы достаточно, чтобы она один определен-
ный элемент, например а, переводил во все другие перемещаемые
элементы. В самом деле, докажем, что при этом предположении произ-
вольный элемент b может быть переведен в любой элемент с. По усло-
вию, в группе существуют подстановки Sj, переводящая а в Ь, и S2,
переводящая а в с. Тогда подстановка Si” о2 переводит Ь в с.
Если подстановки группы ® позволяют перевести k произвольных
элементов в k любых, то ® называется k раз транзитивною группою.
Чтобы группа была k раз транзитивна, снова достаточно, чтобы она k
определенных элементов переводила в k любых. Доказательство прежнее.
Пусть группа ® интранзитивна. Тогда произвольный элемент а пе-
реводится не во все другие элементы, а лишь в некоторые; пусть эти
элементы будут
a, b,...,d.	(1)
Мы попрежнему убеждаемся, что любой из элементов (1) перево-
дится подстановками группы в любой другой той же системы (1), т. е.
1 ) Exercices d'Analyse, 3, 1844.
78
элементы (1) транзитивно связаны между собой. Пусть -е—элемент,
не принадлежащий к системе (1). Для него получим другую систему:
(2)
транзитивно связанных элементов. Системы (1) и (2) общих элементов
иметь не мог.т, ибо если b— общий элемент, то а может перейти в b
и b в е, следовательно, вопреки предположению, а могло бы перейти в г.
Продолжая таким образом далее, мы разобьем все перемещаемые
элементы на так называемые системы интранзитивности, обладающие
тем свойством, что элементы каждой системы транзитивно связаны
между собой и не могут переходить в элементы других систем.
§ 56. Транзитивные группы разделяются на примитивные и имприми-
тивные.
Транзитивная группа называется импримитивной, если перемещае-
мые элементы можно разбить на системы таким образом, чтобы элемен-
ты, принадлежащие к одной системе, не разъединялись подстановками группы,
т. е. либо только перемещались между собою, либо все переходили
в элементы одной и той же другой системы. Если такое разделение
невозможно, то транзитивная группа называется примитивною.
Очевидно, что все „системы импримитивности“ заключают одинако-
вое число элементов. Если систем — г, а в каждой s элементов, то оче-
т. е. число систем и число элементов каждой суть делители степени п
группы.
Подстановки Н, которые перемещают только элементы внутри
систем, но не перемещают систем между собою, образуют нормальный
делитель группы S. В самом деле, пусть произвольная подстановка
О группы © переводит элементы первой системы в элементы второй,
тогда G-1 переводит элементы второй системы в элементы первой, а
GHG~\
очевидно, только переместит элементы первой системы между собой.
То же справедливо и для других систем.
Отметим еще, чю, очевидно, группы, дважды и более транзитивные,
не могут быть импримитивными.
§ 57. Пусть ®—транзитивная группа степени п и порядка g. Все
подстановки, которые не меняют данного символа а, образуют группу 5>,
так как произведение двух таких подстановок также не меняет а. Пусть
® = £G1 + £O8 + ...-|-£Gj.	(1)
Если G,- переводит а в а', то все подстановки системы 5>G( произ-
водят то же действие. Обратно, если G переводит а в а’, то GG{~
не меняет а, т. е.
GG, = Я,
где Н принадлежит к й. Отсюда
G = HG,.
77
Итак, все подстановки, переводящие а в какую-нибудь букву а',
исчерпываются одной из смежных систем разложения (1). В силу тран-
зитивности а может переходить в любую из п перемещаемых букв,
следовательно,
I = л,
и
g = hn,
если h — порядок S). Мы пришли к теореме:
Порядок транзитивной группы делится на ее степень.
Теорема. Если транзитивная группа имеет интранзитивный нор-
мальный делитель, то она импримитивна.
Путь ® — транзитивная группа, SS — ее нормальный делитель. Пред-
положим, что S) интранзитивно. Пусть системы интранзитивности будут:
а , b , с ,..
а!, b' ,d,...,
а", Ь", с",...,
Если бы группа S была примитивной, то в ней была бы подстанов-
ка G, которая переводит, например, а в а' и Ьв Ь". В S) должна най-
тись подстановка Н, переводящая а в Ь. Тогда G~1 HG = Hlt принад-
лежа по условию к $>, переводит а' в Ь", что невозможно. Итак, ®
импримитивна.
§ 58. В начале этой главы мы видели, что всякая абстрактная груп-
па порядка g может быть представлена в виде изоморфной ей группы
подстановок степени g. Покажем, как получить другое представление
в виде гомоморфной или изоморфной группы подстановок меньшей степени,
чем порядок группы g. Пусть S) — подгруппа ®, порядки пусть бу-
дут h и g
®=45О1+45О2+ . . . + 45оя.
Возьмем произвольный элемент А из ®, тогда
®А=® =&G1A + $>G2A+ . . . +450*4
будет другое разложение группы. Смежные системы останутся те же,
но будут известным образом перемещены. Каждому элементу А группы,
соответствует, таким образом, некоторая подстановка от k = симво-
лов. Произведению АВ, как легко видеть, соответствует подстановка
SAB = SASB. Мы получим гомоморфную с ® группу подстановок. Эта
группа транзитивна, в чем легко убедиться.
Единица группы подстановок будет соответствовать всем элементам А
группы, для которых
&GA = 450
при любом О. Отсюда следует:
0~1&0А — О-1450,
78
т. е. А принадлежит к G-1SG. Итак, тождественной подстановке соот-
ветствуют элементы общего наибольшего делителя Э всех групп, соп-
ряженных с &>. Получаем теорему:
Если. S порядка h есть подгруппа ® порядка g и если © — общий
Наибольший делитель всех сопряженных с А подгрупп, то можно
представить в виде транзитивной группы 'подстановок символов.
Если ® = 1, т. е. сопряженные с А подгруппы общих элементов
не имеют, то получается изоморфная группа. При А= 1 мы вернемся
к результату § 47.
Можно указать еще один способ. Пусть 21,— какая-нибудь система
(например отдельный элемент или подгруппа) из группы ®. Будем 21,
преобразовывать всеми элементами S. Пусть все различные системы,
которые при этом получатся, будут:
21,, 212,. . .,21».
Преобразуя этот ряд при помощи G, получим новый ряд:
G-’QljO, G-12l2G,... .G-^sG,
состоящий из тех же систем, только написанных в ином порядке. Эле-
менту G, таким образом, соответствует некоторая подстановка элемен-
тов (1). Это представление есть только видоизменение прежнего. В
самом деле, пусть $ — группа перестановочных с 21, элементов, и
® = ®С1+60! + ... + $0,;		(21
все системы суть результаты преобразования 21, при помощи системы
вычетов
G,, G2,..., О»,
21,-= G,-a2l1G,..
Если
G-12l,.G = 2l„
то
§G,.G=$Ge,
и элемент G при преобразовании производит между системами (1) ту же
подстановку, что между системами
»С„ »О......,S>0„
при способе, указанном в начале параграфа.
Задача нахождения группы подстановок наименьшей степени, изо-
морфной с данной абстрактной группой, не решена в общем случае.
§ 59. Общие теоремы этой главы приводит к многочисленным важ-
ным следствиям. Укажем для первого примера два таких предложения,
вытекающих из результатов этой главы.
Теорема I. Если группа ® порядка ab имеет инвариантную под-
группу 21 порядка а, и если а — взаимно простое с Ь, то все элементы
®, порядок которых есть делитель а, заключаются в 21х).
^Frobenius, S. В. А. 170, 1895.
Пусть G — элемент порядка alt делящего а. В силу инвариантности
21 мы имеем:
21{G} = {G}21, '
т. е. 21{G} =$) есть группа. Ее порядок по § 52 равен -^-.еслиг^—
порядок общего наибольшего делителя групп 21 и {0}. Это число -2^1
по теореме Лагранжа должно быть делителем порядка ab группы S, сле-
,	а,
довательно, о делится на — , что невозможно, если не а, = а,, но в этом
а* _
случае G принадлежит к 21. Итак, 21 — единственная подгруппа ® поряд-
ка а, следовательно, 21 — характеристическая подгруппа ®.
Т е о р е м а II. Если <о порядка h—подгруппа ® порядка fh а если f^p,
где р — наименьшее простое число, входящее eh, то $з — инвариант-
ная подгруппа х).
Разложим S по двойному модулю &, $у.
S = S)S) +&G2S) + ... + S)GtS).
Тогда по формуле Фробениуса (§ 53)
/ = ф, <0) + ф, ®2) + ... + ФА).
Все числа ф, —делители h; если бы одно из них ф, ©J было
больше единицы, то оно было бы больше или равно р, и получилось бы
/>ф, 6) + ф, ©*)>?•
Итак, все ф, ©,.) = 1, т. е.
G,-1&Gi = &
при всех G;, что и доказывает инвариантность.
Это предложение ‘можно доказать также другим способом, пользу-
ясь результатом § 58.
Если все группы, сопряженные с 55 имеют общий наибольший де-
литель © порядка d, то ~ изоморфна с группой подстановок степени /.
Но тогда у — должно быть делителем /!, что возможно (в силу
условий доказываемой теоремы) лишь в случае, когда d = h, т. е. когда 55
нормальный делитель G.
о Frobenius, S. В. А. 171, 1895.
ГЛАВА VI
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
§ 60. В § 30 были введены понятия „наибольший нормальный де-
литель группы ®“ и „наибольший нормальный делитель группы ф, за-
ключенный в
Ряд конечных групп
Ф, S2l.. .,S)k = 1,
в котором каждая группа есть наибольший нормальный делитель преды-
дущей, называется композиционным рядом группы (Kompositionsreihe,
suite de composition). Дополнительные группы	и т. д. по § 30
простые.
Главным рядом группы © называется ряд
(1)
каждый член S>t которого есть наибольший, заключенный в предыдущем
Jo<_i нормальный делитель в.
Таким образом все члены главного ояда суть нормальные делители
первой группы ®. Очевидно, ряд (1) не был бы главным, если бы суще-
ствовал нормальныйделительфгруппы ©заключенный в и заключающий в
себе £><4.1, поэтому дополнительная группа > которая является нормаль-
ным делителем > не я°лжна иметь характеристических подгрупп
вследствие теоремы II § 29. Итак, все дополнительные группы глав-
ного ряда суть элем>.нтарные группы (§ 45), т. е. ------------простая
группа или прямое произведение изоморфных простых групп.
Можно подобным образом составить ряд характеристических под-
групп группы ®, в котором каждый член есть наибольшая характеристическая
подгруппа предыдущего. По доказанному в § 31 все члены ряда будут
характеристическими подгруппами ®. Дополнительные группы этого ряда.
конечно, тоже элементарны.
Вообще говоря, построение рядов возможно различными способами.
Свойства этих трех рядов имеют большое значение в теории конеч-
ных групп и в ее приложениях к алгебре. Композиционные и главные ряды
6 Абстрактная ?оория групп.
81
введены Жорданом х), а ряды характеристических подгрупп Фробениу-
сом 2).
Из каждого ряда характеристических подгрупп группы &
®, (£, 0.2,...,^-!,^...
можно получить главный. В самом дрле, если наш ряд не главный, т. е.,
например, (£,— не наибольший нормальный делитель ®, заключенный
в (Ec_i, то существует нормальный делитель (£'4 группы ®, заключенный
в пределах
Очевидно, (£/ будет нормальным делителем (E4-i, a (£,— нормаль-
ным делителем Построим новый ряд:
®,	.,е4_х,
если он также не главный, то вставим еще подгруппу и т. д., пока не
получим главного ряда.
Подобным же образом из всякого главного ряда вставкою подгрупп
можно получить композиционный. Однако не всегда из композиционного
ряда можно получить главный, опуская некоторые из подгрупп ряда.
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим, например, четвертую группу
восьмого порядка из найденных в § 50. Она определяется равенствами:
A* * =.1,В2 = 1, АВ = ВА3;
различные элементы группы можно представить в виде:
1, А, А2, Аа, В, ВА, ВА2, ВА2.
Очевидно, что группы {Л) и {Л5) порядков 4 и 2 будут нормаль-
ными делителями нашей группы, так как
В—1 АВ = В АВ = А2, В-1 А2В = А,
В~гА2В = {ВА) (АВ) = В АВ А2 = В (АВ) А2 = В2 А* = А2.
Итак, получается главный ряд:
, (А,В|, (Л), |Л’|, 1,
все индексы которого равны 2. Этот ряд будет, очевидно, в то же время
и композиционным; 'можно, однако, построить другой композиционный
ряд, а именно:
{А, В), (Л>, В], (В), 1,
что легко проверить. В этом ряде |в)—не нормальный делитель {л, В}»
но, опуская его, мы не получим главного ряда, так как |Ла, В) заклю-
чает нормальный делитель |Л2| нашей группы.
2) См. ниже.
*) S. В. А., 1806, S. 1027.
82
Если Jo — один из нормальных делителей группы ®, то можцо по-
строить главный ряд, заключающий в себе S), а следовательно и такой
же композиционный ряд. Действительно, если Jo — наибольший нормальный
делитель ®, то мы с 6 и начнем составление ряда, если же S) — не
наибольшая инвариантная подгруппа, то Jo — подгруппа некоторого наи-
большего нормального делителя Началом ряда будет ®, 'Зг,.. •
Между S и 0 снова вставляется инвариантная подгруппа ® и т. д.
Значение рядов основано на классической теореме Жордана-Гельдера,
к доказательству которой мы и приступаем.
§ 61.	Теорема Жордана-Гельдера. Если группа & имеет
два различных композиционных ряда
®, JOj, Йа, . . ., Jo* = 1,
®.	«...  -,S, = 1,	(|)
то k — I, и два ряда дополнительных групп
© *1
£>/ а/ • •  ’
©	51
51.’ 5»’ ‘ ’ ‘
состоят из одних и тех же групп, если изоморфные группы не счи-
тать различными, и могут отличаться только порядком, в котором
они расположены.
Таким образом ряд индексов
(®, Jox), (Jo., Jo,)...
состоит из одних и тех же чисел, хотя бы и в различном порядке,
как бы мы ни выбирали композиционный ряд.
Жордан доказал совпадение рядов индексов *), а Гельдер2)— со-
впадение дополнительных групп.
Так как теорема очевидна для простых групп, а группы второго и
третьего порядка — простые, то мы можем доказать теорему по индукции,
считая ее справедливою для групп меньшего порядка, чем ®. Наша
теорема получается легко из частного случая теоремы II § 30, отмечен-
ного в конце § 30.
В самом деле, по этой теореме
© „51 ®	*1	(ол
где ф — общий наибольший делитель JOj и 'J1. Группы и —
простые, по определению композиционного ряда, следовательно, простыми
х) Comptes Rendus, LXVIII, 1869, р. 257; Тгайё des Substitutions, р. 41.
*) Math. Ann, 34, 1889, S. 37.
83
будут также и , т. е. Ф есть наибольший нормальный делитель
и Йр Мы можем составить два новых композиционных ряда:
®, Sb ©, Фр Ф2, ...,	(4)
&, Sr, ®, Фр ©2, ...	(5}
Для этих рядов теорема верна, так как, начиная от ф, ряды тож-
® S, ®
дественны, а группы-g-,	и -^-удовлетворяют соотношениям (3).
С другой стороны, она считается верной для группы &г, поэтому
композиционные ряды
1,
5>1, Ф, ©J,...!
имеют одинаковые дополнительные группы, и подобным образом также
ряды
$р
•51, ©, ©1....1.
Отсюда вытекает справедливость теоремы для рядов (1) и (4), а также
(2) и (5). Для (4) и (5) она выше доказана, следовательно, она верна
для (1) и (2), что и требовалось доказать.
Подобным же образом доказывается такая же теорема для главных
рядов:
Дополнительные группы двух главных рядов группы ® одинаковы,
отличаясь только порядком, в котором они следуют друг за другом 1).
Для доказательства можно воспользоваться общей теоремой II § 30.
Докажем лемму: если S) — нормальный делитель ©, то во всех глав-
ных рядах ®, в которых встречается S), например в главных рядах
1,	(6)
®,..., £>, €, €1(..., 1	(7)
совокупности дополнительных групп
S	& £
и ® ’
одинаковы, если не обращать внимания на порядок.
Эта лемма очевидна, если- Jo не заключает в себе нормального де-
лителя ®, кроме самого себя. Допустим ее справедливость для всех
нормальных делителей ®, меньших 55. Если ф— общий наибольший
делитель 5 и 6, то по теореме § 30 имеем:
S S> 6
"6 1X1 ®	© *
По той же теореме ф — наибольший нормальный делитель ®, заклю-
ченный в ф или ®, так что мы можем построить главные ряды:
®,. ,5, -5, ф, Фг, „. ,1,	(8)
Ф, ©n...,1,	(9)
*) Jordan, Trait6, р. 663; Holder, 1. с..
84
для которых лемма справедлива. По предположению, Она справедлива
также для (6) и (8) или (7) и (9), следовательно, она верна вообще.
Полагая в условии леммы S) — ®, получаем нашу теорему. Наконец,
и для рядов характеристических подгрупп справедлива такая же теорема.
Доказательство то же.
§ 62. Если %— делитель группы ®, то индексы композиционных
рядов группы суть делители тех же индексов рядов группы ®.
Пусть ® имеет композиционный ряд:
®, £>2,..., 1.
Обозначим через общий наибольший делитель групп и Д
и составим ряд:
5,	1,	(1)
при этом несколько смежных могут равняться друг другу.
Так как	— нормальный делитель 6(_3, то элементы пере-
становочны с Д, и
будет группой с нормальным делителем Группа^— нормальный де-
литель группы — так как все элементы последней перестановочны
и с и с а потому и с их общим наибольшим делителем. Оче-
видно, из равенства
F^^F'^%
где Fi-i, F't-x—элементы следует:
F^&^F,'-А,
и наоборот. Следовательно, группы — и изоморфны. Но
Ui
> S>4' > &>t, следовательно St) = (^4_ъ ^4) — делитель	Мы
убедились, что каждая группа ряда (1) есть нормальный делитель пре-
дыдущей. Мы можем составить композиционный ряд:
<5,	SV.-,	$;_„•••. ‘5р...
вставив между ____3 и нормальный делитель группы ^{_х> заключаю-
щий и т. д. При этом все числа (^4_15	i, SZ—i»)-  •
будут делителями *&), т. e. делителями S)^}, что и требовалось
доказать.	__
Составим для примера главный и композиционный ряды групп ®4
и 214— симметрической и знакопеременной групп четвертой степени. Мы
знаем, что <34— 24-го порядка и имеет инвариантную подгруппу 014 12-го
порядка; последняя, как видно из таблицы. § 35, имеет нормальный де-
литель Q3, состоящий из подстановок:
1, (1, 2) (3, 4), (1, 3) (2, 4), (1, 4) (2, 3),
а у группы Q3, как абелевой, все делители нормальные, и можно взять,
например, QB = {1, (1, 2) (3, 4)}.
85
Итак, мы получаем композиционный ряд:
64, 214, 03, QB, 1
и ряд индексов
2, 3, 2, 2.
Если откинуть первый член @4, то получим композиционный ряд
знакопеременной группы “214. Главные ряды имеют вид:
©4, 214, 03, 1
Ф, 03, 1.
§ 63. Разрешимые группы. Все дополнительные группы компози-
ционного ряда—простые. Среди простых групп находятся циклические
простого порядка.
Если все индексы композиционного ряда группы ® — простые числа,
т. е. все дополнительные группы — циклические простого порядка, то
группа ® называется (по Жордану) разрешимой (r£soluble, auflOsbar
или metazyklisch, soluble). Эго название взято из алгебры, где разрешимым
группам соответствуют уравнения, решаемые в радикалах.
Как видно из предыдущего параграфа, группы S4 и разрешимы.
По § 62 все подгруппы разрешимой группы тоже разрешимы,
Теорем а. Если So—нормальный делитель S, и если S) и раз-
решимы то и ® разрешима.
В самом деле, разрешимая группа имеем нормальный делитель
простого индекса, ему по § 29 соответствует нормальный делитель
группы ® того же индекса. Группа как подгруппа опять раз-
решима. Повторяя наше рассуждение несколько раз, мы придем к ряду
подгрупп:
®, <о2, 5>2,..., &,
из которых каждая есть нормальный делитель предыдущей простого
индекса. Присоединяя группы композиционного ряда S), мы получим
композиционный ряд группы ® с простыми индексами:
в, <о2,..., S), $>',	1,
так что в разрешима.
Абелевы группы разрешимы. В самом деле, все делители абелевой
группы нормальные, следовательно, она может быть простой только тогда,
когда она не имеет подгрупп, кроме единицы; для этого она должна
быть циклическою и притом простого порядка, так как если бы порядок
образующего ее элемента А был тп, то элементы
Ат, А2т, ..., Апт = 1
образовали бы подгруппу. Итак, абелева группа сложной степени не
может быть простой.
86
Все дополнительные группы композиционного ряда абелевой группы
® тоже абелевы. Следовательно, они, будучи простыми, должны быть,
по доказанному, простого порядка, что и требовалось доказать.
Группы, порядок которых есть степень простого числа рп, раз-
решимы. По теореме Силова (§ 54) такие группы имеют подгруппы по-
рядка а по теореме II § 59 эти подгруппы инвариантны. Следова-
тельно, при п > 1 группы порядка р" не могут быть простыми. Отсюда
следует их разрешимость. В самом деле, все индексы композиционного
ряда как делители порядка группы суть некоторые степени р*. По до-
казанному, соответственные дополнительные группы могут быть простыми
только при 8=1, следовательно, ряд индексов имеет вид:
Р, р, р,... (п раз).
§ 64. Разрешимые группы обладают некоторыми характерными
свойствами, которые можно было бы взять за определение разрешимых
групп.
Теорема I. Группа тогда а только тогда разрешима, когда
индексы ее главных рядов суть простые числа или их степени.
••	-Si-i
Мы знаем, что дополнительные группы -g— главных рядов группы
в суть группы элементарные, т. е. прямые произведения изоморфных прос-
тых групп. Если один из этих простых множителей, то ему соответ-
ствует подгруппа Д' группы ®, имеющая нормальный делитель &>{. Эта
группа А- имеет композиционный ряд:
Д', д,...,
так как группа простая. Если ® разрешима, то и Д' разрешима,
следовательно, ~ простого порядка р и будет порядка рк, если она
распадается на k изоморфных множителей. Наоборот, если порядки всех
дополнительных групп
пени простых чисел, то эти
главного ряда ®, Д, А& ...,Д, 1 суть сте-
разрешимы по § 63. Между прочим’,
разрешимы — = Д и откуда по теореме предыдущего параграфа
следует, что Ak-! также разрешима. Повторяя это рассуждение, мы убе-
димся, что и ® разрешима.
Следствие. Разрешимые группы имеют отличный от единицы абе-
лев нормальный делитель.
Последняя группа Ак главного ряда группы S должна по только
что доказанному быть прямым произведением групп простого порядка р.
Эти группы, очевидно, циклические, а потому абелевы. Их прямое
произведение Ак будет, конечно, также абелевым.
Заметим, что этим свойством могут обладать и неразрешимые
группы.
87
Теорема II1). Группа тогда и только тогда разрешима, когда ее
ряд коммутантов оканчивается единицей.
„Рядом коммутантов" называется ряд
®, Я, Ях, Я2, . . .,Я,-Х, Я„
каждый член которого есть коммутант предыдущего, так что й—комму-
тант ®, Ях — коммутант Я и т. д. Все дополнительные группы ряда ком-
мутантов— абелевы (§ 32). Если этот ряд оканчивается единицей, т. е.
Ях = 1,тоЯ2_х — абелевыгруппы, а потому разрешимы; следова-
тельно (§ 63), разрешима также Я2_2. Повторяя это рассуждение, мы
убедимся последовательно в том, что Я2_3,..., Я2, Яъ ® разрешимы. Если
наоборот, ® разрешима, то она имеет нормальный делитель £> простого
индекса. Дополнительная группа ®- циклическая, следовательно абелева,
значит, коммутант Я группы ® заключен в S (§ 32). Итак, Я < ®.
Коммутант Я — снова разрешимая группа, следовательно, если не Я = 1,
то его коммутант Ях < Я и т. д. Порядок коммутантов все время умень-
шается, следовательно, ряд их оканчивается единицей.
Доказанное выше следствие теоремы 1 вытекает также из теоремы II.
В самом деле, для разрешимых групп Я, = 1, Я^ — абелева группа
и характеристическая подгруппа ®.
Разрешимые группы являются одной крайностью, простые—другой.
В первом случае в каждом композиционном ряду столько членов,
сколько простых множителей в порядке группы, т. е. максимальное число
членов; во втором случае — только один член. Между этим группами се-
редину занимают неразрешимые составные группы. Такие группы сущест-
вуют, примером являются симметрические группы л-й степени при л > 4.
Они имеют нормальным делителем знакопеременную группу, а послед-
няя простая, так что ряд индексов есть
о nl
Т •
Только циклические группы простого порядка могут быть причислены
как к простым, так и к разрешимым группам.
Для нахождения всех возможных групп необходимо знать все воз-
можные композиционные ряды, а эта задача приводит к нахождению
всех простых групп. Последняя задача чрезвычайно трудная. Мы к ней
еще вернемся. Простые группы, таким образом, играют очень важную
роль как тот простейший материал, из которого строятся все остальные
группы.
§ 65. Для иллюстрации теории разрешимых групп обратимся к теории
подстановок.
Покажем, что разрешимая транзитивная группа подстановок мо-
жет быть примитивною только тогда, когда ее степень есть сте-
пень простого числа.
х) Jordan, ТгаНё р., 395.
88
Мы знаем (§ 57), что все нормальные делители примитивной группы»
транзитивны. Если группа ® разрешима, то порядок последнего члена
главного ряда S) есть степень простого числа р". В силу транзитивности
этого нормального делителя его порядок р" должен делиться на степень,
группы, т. е. последняя есть также степень рт простого числа, что и
требовалось доказать.
Группа $> коммутативна. Покажем, что порядок транзитивной ком-
мутативной группы равен ее степени.
Очевидно, порядок не меньше степени. Если же он больше, то су-
ществуют подстановки, оставляющие один символ а без изменения. Пусть
А — одна из таких подстановок, д — любой символ из перемещаемых груп-
пой. Вследствие транзитивности существует подстановка В, переводящая-
а в Ь. Тогда в равенстве
В-1ДВ = А
левая часть оставляет b без перемены, следовательно, и правая часть А
оставляет любой символ без перемены, т. е. А = 1.
Применяя это заключение к последнему члену S) главного ряда-
примитивной разрешимой группы- ®, мы приходим к результату, что
порядок S) равен степени группы ®.
§ 66-Теорема Фробениуса1). Число элементов группы © поряд-
ка g, п-я степень которых равна заданному элементу А группы®, де-
лится на общий наибольший делитель чисел nuv, где v—число элементов
перестановочных с А, а следовательно, — число элементов, сопря-
женных с А.
Если Xя = А, то элемент X принадлежит к группе 03 элементов,,
перестановочных с А. Порядок этой группы есть v, В группе 03 А будет
инвариантным элементом
Теорема, следовательно, может быть формулирована и так:
В ели А — инвариантный элемент некоторой группы порядка h, то
число элементов группы, п-я степень которых равна А, делится на
общий наибольший делитель чисел h и п.
Искомое число элементов может равняться нулю, что теореме не про-
тиворечит.
Если порядок g группы имеет с п общий наибольший делитель
ль причем п = пхт, то можно найти два таких числа г и в, что
пг—gs — пх.
Тогда каждое решение уравнения
Хя = А
будет также решением уравнения
X"' = Аг,
ибо
Xя'= ХпТ~яе = Хпг = Аг,
(1>
(2>
i) S. В. А., 1903.
89
так как Xя = 1. И обратно, каждое решение уравнения (2) будет реше-
нием уравнения (1), так как из
X"' = Аг
следует:
пн, гн п, 4-9»	д
X* = X п‘ = Ап' = А " =Л ЛИ‘ *,
й
а 4"‘= 1, если только уравнение (1) имеет хоть одно решение Y, так
как из Г" = А вытекает:
Л^=у<=1.
Итак, число решений уравнения (1) равно нулю или числу решений
уравнения (2). Мы можем поэтому ограничиться доказательством теоремы
для того случая, когда п есть делитель порядка группы.
Далее, если га = ab, где а и b — взаимно простые числа, то теорема
справедлива для показателя га, если она верна для показателей а и Ь.
В самом деле пусть
П, г,..... Yt
•будут все решения уравнения Ya = А.
Каждое решение одного из уравнений
Хь = Гу Хь= У21. ...Xb = Yk	(3)
будет в то же время решением уравнения (1) и, наоборот — каждое ре-
шение X уравнения (1) будет решением одного из уравнений (3). Но
число решений каждого из уравнений (3), по предположению, делится на
Ь, следовательно, и число решений уравнения (1) делится на Ь. Точно
так же доказывается, что это число делится на а, но так как а и b — вза-
имно простые, то число решений должно делится на ab = га, что и тре-
бовалось доказать. Мы, следовательно, вправе ограничиться доказатель-
ством теоремы для случая п = р™, где р — простое число.
Предположим также теорему справедливой для групп низшего порядка.
Рассмотрим сначала тот случай, когда порядок элемента А делится
на р, т. е. равен kp. При этом А будем предполагать каким-нибудь эле-
ментом, не обязательно инвариантным.
Порядок любого решения X уравнения ХР — А будет kp*+\ ибо
с одной стороны, Хкр’п =А = 1,асдругой—если<?—какое-нибудь
простое число, входящее в kpm +1, то оно' входит и в kp, а потому
»уст+1	kp •
X ч = Л« ф1.
Если ХР = А и I = 1 (mod kp), то и (Х1)* = А. Наоборот, если
какая-нибудь степень X1 элемента X удовлетворяет уравнению:
то должно быть I =1 (mod kp).
90
Но из этого сравнения следует, что I взаимно простое с kpmJrl,
а следовательно, можно найти такое число г, что Zr s=l (mod Лр’"+1
и (Л'/’-Х
Мы видим, что если одно решение есть степень другого, то и вто-
рое будет степенью первого. Это обстоятельство дает нам возможность
разбить все решения на системы, относя два элемента в одну систему,
если каждый есть степень другого. Система, содержащая X, будет со-
стоять из элементов:
X, Х\ Х1ср+1Х2кр +	Л^"-1)'с₽ + «,
если I—какое-нибудь решение сравнения /si (Ар).
Приведенные элементы все различны, так как порядок X есть Apm+1.
Число элементов каждой системы равно р’я, следовательно, число всех
решений есть кратное р”1, что и требовалось доказать.
Перейдем теперь к случаю, когда порядок элемента А не делится
нар, причем А — не инвариантный элемент. Перестановочные с А элементы
образуют группу *23 порядка v, в которой А будет уже инвариантным
элементом. Уравнение (1) имеет в 03’те же решения, что и в ©, но для
*23 теорема считается справедливой, следовательно, число решений (1)
делится на общий наибольший делитель v и р". Уравнение вида (1) для
всех сопряженных с А в ® элементов В, С, ... имеет, очевидно, оди-
наковое число решений. Всех сопряженных с А элементов а потому
число всех элементов ®, р"-я степень которых сопряжена с А, делится
на общий наибольший делитель g и р”, т. е. на р”.
Остаются инвариантные элементы группы порядок которых не
делится на р. Они образуют группу S), так как порядок произведения
двух инвариантных элементов не может делиться на р,если ни один из
порядков множителей на р не делится. Мы уже доказали, что число
элементов, рт-я степень которых равна какому-нибудь элементу, не вхо-
дящему в 5>, делится на р’п; так как, кроме того порядок группы, т. е.
число всех элементов, по сделанному предположению, делится на р”, то
и число элементов, рт-я степень которых входит в й, должно быть крат-
ным р“. Порядок h группы Si по теореме Силова не делится на р, сле-
довательно, теорема будет доказана, если мы убедимся, что для любого
элемента И группы S) число решений уравнения Хрт — Н равно одному
и тому же числу $. В самом деле, тогда мы имеем всего hs элементов
таких, что их р^-я степень входит в Si. Так как hs должно делиться на
pm, а А не делится на р, следовательно, s делится на рт, что и составляет
сущность теоремы.
Остается, следовательно, доказать, что для любого Н число решений
уравнения
хрт= Н
одинаково, т. е. равно числу решений уравнения
У₽м= 1.	(5)
91
Это нетрудно сделать. Определим число г таким образом, чтобы
rpm= 1 (mod Л). Тогда всякому решению X уравнения (4) соответствует
решение Н~г X уравнения (5), и, обратно, всякому корню Yуравнения (5)
соответствует корень HrY уравнения (4). Число решений обоих урав-
нений, следовательно, одинаково.
§ 67. Вместо одного элемента А можно, как легко видеть, взять класс
сопряженных элементов и даже совокупность нескольких классов, т. е.
так называемый „инвариантный комплекс элементов*. Получается теорема:
Если 01 есть инвариантный комплекс элементов группы ® по-
рядка g, то число элементов этой группы, п-я степень которых вхо-
дит в состав комплекса, делится на общий наибольший делитель чи-
сел gun.
Достаточно рассмотреть теорему для простейшего комплекса, сос-
тоящего из одного класса элементов, сопряженных с элементом А.
Но с этим ограничением мы теорему выше уже доказали.
Если за элемент А взять 1, то из теоремы § 66 получается важное
следствие.
Следствие. Если п — делитель порядка некоторой группы, то
число элементов группы, порядок которых есть делитель п, т. в.
которые удовлетворяют уравнению Xя= 1, есть кратное п.
§ 68. Теорема. Если 21 — нормальный делитель группы S, и
п — делитель порядка g, то элементы ®, удовлетворяющие условию:
Xя <21,
производят нормальный делитель 3>, порядок h которого делится на
п. Если 21 — характеристическая подгруппа, то и будет характе-
ристической подгруппой.
Если Xя = А, то
(R^XR)" =R~'AR.
Если поэтому
/?-М/?<21, •
то и
R~1XR<8b.
Пусть п = pq..., тогда, по условию, и g делится на ра, q\... По
теореме Силова ® имеет подгруппу ф порядка ра, Q — порядка q9 и
т. д. Но все элементы подгрупп ср, Q удовлетворяют равенству:
Хп< 21,
Ф, Q поэтому—подгруппы 5>, и порядок последней h должен де-
литься на ра, q9,..., т. е. делиться на п.
Элемент 1 сам по себе составляет характеристическую подгруппу.
Полагая 21 = 1, получаем как следствие последней теоремы следующую
теорему Фробениуса1).
Если порядок группы ® делится на число п, то элементы, поря-
док которых есть делитель п, производят характеристическую под-
группу группы ®, порядок которой делится на п.
х) S. В. А., 1895, S. 986.
92
§ 69. Если элемент А порядка rs, причем г и s—взаимно простые
числа, то А можно представить в виде произведения двух перестановоч-
чных элементов степеней г и $. В самом деле, мы можем найти два числа
х и у, удовлетворяющих соотношению:
ГХ + sy= 1.
Тогда
А=АГХ  A‘v
и элементы Агх Аву суть искомые.
Из теоремы Фробениуса мы получаем такое следствие1):
Если порядок группы © делится на взаимно простые числа г и з
и если в © ровно г элементов А, порядок .которых есть делитель г,
и ровно s элементов В, порядок которых делит в, то всякий
элемент А перестановочен со всяким Вив® ровно rs элементов,
порядок которых делит число rs.
Всякий элемент, порядок которого есть делитель rs, можно по
только что доказанному представить в виде АВ, причем АВ = ВА.
Если бы, значит, не все г элементов А были перестановочны со всеми
В или если бы не все элементы АВ были между собою различны, то
в © заключалось бы меньше rs элементов, удовлетворяющих условию
Х™— 1, что противоречило бы теореме Фробениуса.
Итак, мы имеем:
АВ = ВА
для всех А, В, и rs различных произведений АВ исчерпывают все эле-
менты, порядок которых есть делитель rs.
§ 70. Вторая теорема Силова. Если рк есть высшая степень
простого числа р, на которую делится порядок группы ®, то всякая
ее подгруппа порядка р1 (/< k) заключается по крайней мере в одной
из р групп порядка рк. Последние все между собою сопряжены, и
число их psi (mod р), причем р, конечно, — делитель порядка ©.
По первой теореме Силова существуют группы порядка рк. Пусть
будет одна из них. Обозначим через 93 группу перестановочных с ф
элементов. Если
® = QJ-|-Q3O8 + ... + Q3Gn,
то (§ 25) все различные сопряженные с группы будут:
<?>, (1)
и число их равно индексу п подгруппы 93.
Применим к разложению
© = 93°р + 93О,ф + ... + 930^
формулу Фробениуса (§ 53). Получим:
« = СР. +	+	(2)
где есть общий наибольший делитель групп и 93, = G,-193G,.
') Frobenius, S. В. A., 1895, S. 987.
93
Все индексы (ф, ®(), очевидно, степени числа р. Первый из них
Если бы еще (<р,®|) = 1, то 'Р входило бы в О^ОЗО,-.
Но последняя группа имеет нормальный делитель G4_1^G(> следовательно,
по теореме § 59, ф входило бы в Q-A'pG,, т. е. эти группы были бы равны.
Итак, только ('р, ®)= 1, все же остальные ®() суть отличные
от единицы степени р. Получается сравнение:
п ss 1 (mod р).
Пусть теперь S) будет любая подгруппа ® порядка р1. Разложим
® (mod 93, 55):
® = 9355 + 93G255 +... + 930*55,
п =(£>,®i) + (56,®а) +...,
где теперь уже ®( обозначает общий наибольший делитель групп 55 и
Gt-193G(. Все (56,суть степени р; так как л si, то по крайней мере
один из индексов (55,®() должен равняться единице, т. е. содержится
по крайней мере в одной из групп G{~1 93G,, т. е. в одной из групп <pJ.
Если положить I = k, то окажется, что все подгруппы ® порядка
рк находятся в ряду сопряженных групп (1), их число р, следовательно,
равно п. Теорема, таким образом, доказана во всех частях.
Если порядок наибольшего из общих наибольших делителей
двух различных сопряженных групп ‘р и 'р, есть ра, то по формуле (2),
очевидно,
п = р = 1 (mod р*~5).
§ 71. Применим выведенные фундаментальные теоремы к некоторым
примерам.
Прежде всего определим все типы групп порядка pq, где р и q —
различные простые числа. Группы порядка р1 уже разобраны в § 49.
Будем предполагать q >р. Тогда искомые группы ® имеют только
одну подгруппу порядка q, так как в обратном случае по второй тео-
реме Силова должно было быть р = 1 (mod q), откуда следовало бы
р> q. Итак, ® имеет нормальный делитель, образованный степенями
одного элемента Q порядка q. Пусть Р— элемент порядка р, такие
элементы, по первой теореме Силова, существуют. Вследствие инвариант-
ности {QJ мы должны иметь:
P~'QP =
откуда
Р-Ч?Р = Qy° и Р-Х^РЯ = Q^.
Вследствие Q^P* = Р1^* все элементы группы заключаются среди
pq различных элементов вида P’Q3, так что порядок, действительно,
равен pq.
Полагая х =р, у = 1, получаем:
P-’Qpf = Q-" = Q,
т. е.
i’=l (mod q).	(1)
94
Пусть g—первообразный корень простого числа q, тогда из (11
следует а е= g р (mod q). Если q — 1 не делится на р, то а е= 1
(mod q) — группа абелева и равна
®.=(₽}{«)•
То же наступит, если равенство
g = l (modp)	(2>
удовлетворяется, но k делится на р. Если же, при условии (2), А на
не делится, то найдем корень сравнения:
kz = 1 (mod />).
Если вместо Р за образующий элемент взять Р* = Р1г то получим.
V <» -11
P1-1QP1 = р QP = Q* = Q5 Р = Q9 р.
Итак, существуют два типа групп порядка pq. Один абелев.
с уравнением
I.	Р” = 0«=1, PQ = QP>
другой неабелев, его уравнение
и.	р' = е“=1, p-‘Qp=e'* ,
где g—первообразный корень числа q. Второй тип существует только-
при условии (2). Группы этого типа имеют одну подгруппу порядка q
и q подгрупп порядка р. Сравнение (2) подтверждает справедливость
теоремы Силова.
К этому типу принадлежит симметрическая группа третьей степени 68-
Мы видим, что группы порядка pq разрешимы.
§ 72.	Для второго примера рассмотрим группы 12-го порядка,
Будем во всем параграфе обозначать группы шестого порядка буквой
четвертого—Q, третьего —	второго —ф, а элементы тех же порядков —•
буквами S, Q, Т и D.
Выделим сначала абелевы группы 12-го порядка. Они имеют, по-
теореме Силова, нормальные делители Q и t и, следовательно, являются
их прямым произведением:
Группа Q может быть двух типов, а именно:
а, = {<г}, аа-{о}-|о,}.
-Поэтому получаются две абелевы группы:
I и П. ®1={т}. {<?} и ®2={Т). {dJJdJ.
95-
Возможна еще одна распадающаяся, но уже неабелева, а именно
*®3 = ф • S, где ® = /Dx), а © неабелева группа шестого порядка,
определяемая равенством DTD = Т2, так что ®8 определяется равен-
ством:
Ш. DTD=T2, DiD — DDv Z)17'=TDX.
Других распадающихся групп, очевидно, не может быть. Обратимся
ж нераспадающимся. Но теореме Силова, группы ® 12-го порядка могут
иметь одну или четыре группы и одну или три группы Q.
Рассмотрим сначала случай одной группы § = Пусть суще-
ствует элемент Q. Тогда
IV.	Q-rTQ = Т2,
так как при Q~rTQ = Т получили бы группу ®х. Равенство IV опреде-
ляет четвертый тип — ®4.
Если нет элемента Q, то существует группа Q = {D,
При DTD = T получается одна из групп ®а, ®3. Следовательно,
DTD = Т2, D1TD1 = T2,
но тогда
DDjTDjD = DT2D = Т,
и если вместо D за производящий элемент взять DDlt то группа ока-
•зывается изоморфной с ®3. Следовательно, соответственной нераспадаю-
щейся группы нет.
Остается случай, когда © содержит четыре группы третьего порядка,
т. е. 4-2 = 8 элементов Т. Поэтому остается только одна группа Q.
Пусть = одна из групп третьего порядка. Если Q = {QJ, то
должно быть:
T-^QT=Q\
откуда
J—bQT3 =	= Q,
т. е.
а3 = l(mod 4).
Это сравнение имеет один корень а = 1. Получается абелева группа ®х.
Если
О - (о, Oj = [1, D, D„ DDt],
то неабелева группа ®5 должна определяться равенством:
V.	7-1DT=D1, T~1DlT=DDv
Других типов нет.
Проверка того, удовлетворяется ли ассоциативный закон и действи-
тельно ли найденные группы будут 12-го порядка, не представляет труда.
Мы ее приводить здесь не будем.
96
Сосчитаем число элементов различных порядков в пяти найденных
группах. Элементы 12-го порядка обозначены Л]2. Получается таблица
Эта таблица подтверждает, что найденные нами группы, действи-
тельно, различны. На ней легко проверить теорему Фробениуса (§ 66).
Мы уже указали (§ 49), что Гельдер нашел все группы порядков
р\ Р2Ч> РЧГ> Р1- После него найдены также группы порядков р6. Кроме
того, известны все типы групп различных низших порядков.
С увеличением порядка такие исследования становятся очень кро-
потливыми. Для низших порядков до 31 число не изоморфных групп
дается таблицей х):
I Порядок •  . . I 2 | 3 | 4 | 5 | б | 7 | 8 | 9 1101 И | 12 113 114 115 116 I
I Число групп ..|1|1|2[1|2|2|5|2]2|1|5|1|2|1114|
Т Порядок. .  . I 17 118 | 19 | 20| 211 22 | 23 | 24 | 25 | 26 [ 27 |28 | 29 [ 30 | 31 j
] Число групп . . I 1 I 5 | 1 | 5 |2|1|1|15|2|2|5|4|1|4]11
1) Miller, C.R., СХХП, (1896), 370.
7 Абстрактная теория групп.
97
ГЛАВА VII
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
§ 73. Коммутативными, или абелевыми, называются, как мы знаем,
группы, символическое перемножение элементов которых подчиняется
коммутативному закону, т. е.
АВ = ВА
для любых двух элементов одной группы. Абелевы группы обладают
более определенными свойствами, чем остальные группы, и их теорию
можно развить гораздо более подробно.
Займемся прежде всего разложением абелевых групп на прямые
произведения. Пусть абелева группа порядка paq?... гТ, где р, q,..., г—
различные простые числа. По теореме Силова S имеет подгруппы ср,
Q,..., 9? порядков рл, г'<. Все эти группы между собою пере-
становочны и взаимно простые, следовательно, мы можем составить их
прямое произведение
cp.Q. ..9?.
Но так как порядок этого прямого произведения, равный произведе-
нию порядков множителей, есть p*q$... ft, то мы получаем:
© = <£• Q...9?.
Итак, абелева группа порядка р' q$... Н (р, q,..., г — различные
простые числа) есть прямое произведение групп порядков ра, q?,... ,ft.
Очевидно, что (3 содержит только одну группу ф порядка рЛ, ибо
из существования другой такой же группы следовало бы по теореме
§ 52, что ® заключает группу 'p'pj =<Р3СР порядка рт, где т>а.
Займемся теперь абелевыми группами ф, порядос р* которых есть
степень простого числа. Покажем, что такая группа разложима на
прямое произведение циклических групп 1).
Предположим, что ф не циклическая группа. Пусть G — элемент
наивысшего порядка ра группы ср. Рассмотрим дополнительную группу
{G}
х) Ср. Н. Hilton, An Introduction to the Theory of Groups of Finite Order,
Oxford, 1908, p. 126.
98
пусть Н {Gj — элемент наивысшего порядка рь последней. Тогда
нг‘=о”',
где п на р не делится. В системе H{G} можно выбрать элемент степени
р\ в самом деле, так как порядок Н не выше порядка G, то b«Пр-
если Нр 4= 1, то возьмем вместо Н элемент HG~nf,~b, тогда будет
(W0—= 1.
Предположим, что Н уже выбрано надлежащим образом, тогда группы
(Gj и {//}— взаимно простые, в ф заключается их прямое произведение:
Если ф этим произведением не исчерпывается, то снова возьмем
элемент F{ G} {Я} наивысшего порядка ре в дополнительной группе
Тогда
рР° _ Qnpa pfW*
причем снова с^т. Если бы было Рр°ф 1, то мы вместо F мо-
гли бы взять элемент FG-np'> СНтр' °, который уже будет порядка ре.
Выбрав F таким образом, мы получим прямое произведение:
{С} • (Н)  (F).
Если оно еще не исчерпывает ср, то продолжаем дальше такое же
рассуждение, пока не придем к прямому произведению:
равному р.
Циклические группы степени ра неразложимы на прямые произве-
дения. В самом деле, допустим, что
{P} = 2l-lS,
где 21 и 93— группы порядков ра, рь. Мы имеем:
Р = АВ,
где А — элемент из 21, а В—из S3. Если то
рр" = А?". Вр&=1-1 = 1,
откуда b = а, 23 = {Р}, 21 = 1.
§ 74. Соединяя результаты предыдущего параграфа, мы приходим
к теореме:
Всякая абелева группа разлагается ни прямое произведение цикли-
ческих групп, порядки которых суть степени простых чисел-, эти же
группы уже неразложимы.
99
Такое разложение группы ® порядка ра, q?,. ..,rt может, вообще
говоря, совершиться различными способами, однако произведение всех
множителей, порядки которых суть степени одного и того же числа р,
всегда равно единственной подгруппе <р порядка р* группы ®. Различие
может получиться только в разложениях отдельных групп <р, Q , . . ., Э1.
Докажем основную теорему теории абелевых групп.
Если абелева группа ® двумя способами разложена на прямое
произведение неразложимых циклических множителей, то множители
обоих разложений попарно изоморфны, так что порядки этих мно-
жителей одинаковы для всех разложений.
Эта теорема очевидна для групп простой степени, мы можем поэтому
применить метод индукции, считая теорему справедливой для всех групп
более низкого порядка, чем рассматриваемая ®. Пусть
& = <0t • £, • •. S)k = ф, • ‘Рз... 'р;,
где все S)t, "р,— циклические неразложимые группы, порядки которых,
следовательно, — степени простых чисел.
Пусть 55х — любой из множителей этих разложений, jpj образо-
вана степенями одного элемента Ну, мы имеем:
Я1=Р1-Р2...,
где Р( принадлежит к *^Р,; порядки этих Plt очевидно, делители порядка
Нх. Представим, обратно, элемент Р, через компоненты (§ 28) левой
части, так что
Р{ = Н^Нр ...
Так как произведение всех Pt есть Hlf то по крайней мере один
из элементов Н^1, например Н°', должен быть того же порядка />я, как
Hv Тогда
Рх = Н^Н{*...
будет также порядка р*. Группа {Р/ — ср/ изоморфна с и каждый
элемент Р/ группы ср/, кроме единицы, имеет отличный от единицы
компонентН^* в группе следовательно, группы <р/ и 5>2-63...йА.
— взаимно простые. Мы можем составить прямое произведение:
P/-<5a-J58...S*.
Однако это произведение того же порядка, что и ^x«S3-^o8...5>A.
т. е. равно ®, и мы получаем:
® =^/.й2.У)3... <6А = <Рх -срз • . .
Если элементы ср( представить через компоненты, принадлежащие
к левой части, то отсюда следует:
Т, =
а вследствие предполагаемой неразложимости
Р/ = Фх, <0 = 1.
100
Теперь мы имеем:
®	...S, =%. -
Группы 32-^>з...	= ®'и ср2-срз. ..'pj, очевидно, изоморфны,
так как обе изоморфны с дополнительной группой Из этого изо-
морфизма вытекает представление:
®' = S)2-S>3...S>k = S)z'-Ss'...
где
Но для ®' теорема предполагается справедливой, следовательно,
k = I, Д 3/ (i = 2, 3,..., А),
откуда
{1 = 2, 3,...,А).
Но мы уже имели
следовательно, теорема доказана вполне.
§ 75. Мы видели, что при всех возможных разложениях абелевой
группы ® на неразложимые прямые множители порядки последних по-
стоянны. Их поэтому можно назвать инвариантами группы ®.
Очевидно, изоморфные группы имеют одинаковые инварианты. На-
оборот, группы с одинаковыми инвариантами изоморфны. В самом деле,
две такие группы S и ® должны быть прямыми произведениями:
а=(Я11-(я,
причем элементы Н1 и Gt — одинакового порядка; но тогда каждому элементу
Н2'Н2'... можно заставить соответствовать элемент G^GZ*... Gkaxt
и изоморфизм очевиден.
Если разложение ® на неразложимые множители есть
® = ;а1;-!а!|,..(с,),
причем инварианты суть р^, р2°*..., pkak , то всякий элемент G можно
представить в виде:
G^G2x‘...GkXk
к притом только одним способом, если пробегает все значения по мо-
дулю р/1, х2— все значения по модулю р2< и т. д. Мы будем говорить,
что элементы Gp G2,..., Gk представляют фундаментальный базис
группы ®.
Вообще базисом абелевой группы S называется всякая совокупность
Hlt Н2,...,Н1 элементов группы ®, обладающая тем свойством, что
всякий элемент ® представляется одним способом в виде произведения:
. Hfi,
101
если каждое xt пробегает все значения по модулю, равному порядку
элемента Н{ базиса. Очевидно, всякому базису соответствует разложение
на прямые множители

однако циклические множители {/fj только тогда все неразложимы, когда
базис фундаментальный.
Пусть порядок Н, будет Л = p"qx.. .г?. Тогда, как легко видеть,

и последние множители уже не разложимы. Следовательно, числа pa,qx,...,
г? принадлежат к инвариантам ®. Мы приходим к теореме:
Каким бы способом ни представлять абелеву группу через базис,
степени различных простых чисел, на которые раскладываются порядки
элементов, образующих базис, суть инварианты группы.
• Это свойство инвариантов служит определением последних у
Г. Вебера х).
Всякая функция инвариантов группы, очевидно, будет также инва-
риантной при всех представлениях группы, а также для всех изоморфных
групп.
Фробениус и Штикельбергер (Stickelberger), которые впервые разра- ’
ботали теорию абелевых групп и ввели в употребление понятие об инва-
риантах группы 2), придали это название следующим функциям наших инва-
риантов. Пусть
Ра\ Р**, - >POfe >
q^,, q^b
(1)
инварианты группы ®, расположенные таким образом, что
•• и Т. Д.
Фробениус и Штикельбергер называют первым, вторым и т. д. ин-
вариантами ® числа
ра' q^'... fu, р^ q&... rf«
Очевидно, каждый из этих „инвариантов" есть делитель предыду-
щего. Как легко видеть, и эти „инварианты" определяют группу вполне;
достаточно их разложить на степени различных простых множителей,
чтобы получить числа, которые мы назвали инвариантами. * •)
х) Lehrbuch der Algebra, II, 48.
•) Journ. fiir Math., 86, 236, 1879.
103
Если таблице (1) соответствуют производящие элементы:
Л. Р,.....Р„
Qu Qz> • • , Qii
то, очевидно,
® = {P1Q1.../?1}-{P2Q2.../?2}..,	(2)
Здесь все множители циклические, так что получается некоторый
базис. Докажем, что при таком представлении получается наименьшее
число элементов базиса. В самом деле, число этих элементов здесь равно
наибольшему из чисел
k, 1,...,т
в таблице (1). Пусть k—это число. Тогда, если
А, В, С,...
образуют другой базис, то, как мы видели, высшие степени р, входящие
в порядки элементов Л, В, С,..., суть инварианты первой горизонтали (1).
Число этих элементов, следовательно, не может быть меньше k, что
и требовалось доказать. Базис разложения (2) можно назвать мини-
мальным.
Число элементов минимального базиса называется рангом абелевой
группы.
§ 76. Доказанная в § 74 теорема об инвариантах абелевой группы
есть частный случай обшей теоремы, доказанной впервые Р. Ремаком 1).
Если $3 и	—две изоморфные подгруппы группы ®, причем элементу
Н соответствует
= HF,
то изоморфизм называется центральным, если все элементы F принад-
лежат к центру группы S.
Теорема Ремака гласит:
Если конечная группа разложена двумя способами на прямые не-
разложимые множители, то множители обоих разложений попарно
центрально изоморфны.
Независимо от Ремака эта теорема была высказана, но не вполне
доказана Маклаган - Веддербурном (Maclagan Wedderburn 2). Простое
доказательство дано автором этой книги3).
Мы видели уже (§ 28), что всякий элемент прямого произведения
однозначно представляется как произведение компонентов, принадлежащих
к различным множителям одного разложения. Ясно также, что если А
и В—перестановочные элементы, то всякий компонент А перестановочен
Ч Journ. Math., f. 139.
’) Annals of Mathematics, ser. 2, vol. 10, p. 173.
3) Киевск унив. изв., 1912. Протоколы Физ.-мат. общества; Ср. также
Р. Р е м а к, те же Протоколы, 1913; О. Schmidt, Bulletin de la Society Mathe-
matique de France, 1913.
103
со всяким компонентом В. Отсюда непосредственно следует, что центр
прямого произведения есть произведение центров множителей.
, Будем обозначать центральный изоморфизм знаком Очевидно из
21^23,
следует:
Лемма. Если
®= $  S1 = $  &.
то
т. е. два „дополнительных множителя11 к одному и тому же множи-
телю центрально изоморфны.
Справедливость леммы вытекает из того, что обе группы и §э
изоморфны с дополнительной группой ®- , следовательно они изоморфны
между собою, причем элементы Н± и Н2 соответствуют друг другу,
если
откуда
,ЭД = ЭД,
HL = ЭД,
где компонент Н принадлежит к группе $з. Но так как Нг перестановочно
со всеми элементами $), то и Н с ними перестановочно, т. е. Н принад-
лежит к центру й, а следовательно, и к центру ®, что и требовалось
доказать.
§ 77. Приступим теперь к доказательству теоремы Ремака. Так как
абелева группа совпадает со своим центром, то две изоморфные под-
группы абелевой группы обязательно центрально изоморфны, следова-
тельно, доказанная выше теорема об инвариантах этих групп является
действительно частным случаем теоремы Ремака.
Будем доказательство и в общем случае вести по индукции, т. е.
считать теорему справедливой для групп низшего порядка, чем рассма-
триваемая. Разберем отдельно два случая. Пусть в первом случае в
разложениях
® = S1-Sa...<bs = cpi-cp2...cPi	(1)
находится хоть один коммутативный множитель. Тогда мы слово в слово
повторяем доказательство § 74, т. е. если — коммутативный множи-
тель, то мы обнаруживаем центрально изоморфный множитель
правой части и приходим к разложениям:
® = 'Р1.5>2...ЗоА = ^1.Та-.-<Рг
(2)
При этом надо только в § 74 слово „изоморфно" везде заменить
словом „центрально изоморфно", на что мы имеем право, так как Hlf
а следовательно, и все его компоненты, принадлежат к центру ®.
104
Пользуясь леммой предыдущего параграфа, из (2) получаем:
откуда, как в § 74
l=k,
Й.-^Р, (х = 2,3,... ,*).
Вместе с главной теоремой Ремака для первого случая равенство (2)
доказывает следующее предложение:
Теорема П. Каждый коммутативный множитель в разложении
группы на прямые неразложимые множители может быть заменен
центрально изоморфным множителем из любого другого разложения.
Заметим, что в правой части (2) может быть несколько множителей
центрально изоморфных с но мы в праве только утверждать,
что может быть заменено одним из них.
§ 78. Обратимся теперь к тому случаю, когда в разложениях
0 = ^. <о3...’?>, = р1-ра...рг
нет ни одного коммутативного множителя.
Пусть —один из множителей наивысшего порядка в обоих раз-
ложениях. Обозначим через р/ компонент (§ 28) группы ip], принад-
лежащий к р,. Присоединим к элементы, необходимые для получения
произведений всех <р/. Мы будем иметь:
<р1’.<р2'...ср/ = 51-
Если бы все *р/ равнялись своим р„ то все элементы 5>2, будучи
перестановочными со всеми компонентами элементов были бы пере-
становочны со всеми элементами групп Рх, Р2,..., р2, т. е. со всеми
элементами ®. Группа 5>а оказалась бы принадлежащей к центру ®,
т. е. коммутативной, что противоречит предположению.
Итак; хоть одна группа *р/ меньше соответственной р„ а потому
©' <_ ®, и мы к ®' уже можем применить теорему; следовательно,
центрально изоморфно с одним из неразложимых множителей левой части,
например с множителем <р1" группы *р/. Но так как 55, есть множитель
наивысшего порядка, то
Р^-^-Р,,
Каждый элемент группы р/ = является компонентом одного
<13 элементов Так какг порядки равны, то и, наоборот, каждый эле-
мент кроме единицы, имеет отличный от единицы компонент в ра,
следовательно, группы
S, и	,.=Р,	(1)
взаимно простые. По определению центрального изоморфизма все группы
р2', рз',..., р/ принадлежат к центрам групп р2,Р3,... ,Р(, следова-
тельно, каждый элемент перестановочен с каждым элементом послед-
105
них групп, и мы можем составить прямое произведение групп (1). Оче-
видно, мы получаем:
® = Si-S2...SA = S1-'P2-cp3...<pJ.	(2)
Из (2) мы, как выше, получаем:
k = l,
и теорема доказана вполне.
Теорема III. В разложении конечной группы на прямые нерезло-
жимые множители каждый некоммутативный множитель может
быть заменен центрально изоморфным из другого разложения.
Пусть ® двумя способами разложено на неразложимые множители:
=	(3)
Возьмем любой некоммутативный множитель левой части, например
Sj. Пусть — центрально изоморфный множитель правой части, так что
(4)
Как выше, мы получаем:
-S',
где 'р/ — компонент принадлежащий к По главной теореме .£>Л
центрально изоморфно-с одним из множителей левой части последнего
равенства. По определению центрального изоморфизма группы
коммутативны, следовательно, Si может быть изоморфно только с не-
которыми множителем ‘р’’ группы <Р/. Но вследствие (4)
<Р/ = <р/ = <рх.
Теперь мы, как выше, легко убеждаемся, что в (3) 'pj можно за-
менить группой Sx. Подобным же образом мы убедились бы, что Si
можно заменить группой <р1.
§ 79.	Вернемся теперь к абелевым группам. Задача нахождения
всех абелевых групп данного порядка п решается весьма просто. Если
n=paqb... где p,q,...,r—различные простые числа, то, как мы
знаем, группа порядка п одним способом представляется как прямое
произведение групп порядка ра,Достаточно поэтому определить
все группы последних порядков.
Так как группы с одинаковыми инвариантами изоморфны и наоборот,
то задача сводится к нахождению всех возможных систем инвариантов
групп порядка /?“, где р — простое число. Если система инвариантов
есть р’1, р*а,, ра™, то, очевидно,
а = <Х1 + «2 + • •. + «„•	(1)
10в
Наоборот, если положительные целые числа а, удовлетворяют со-
отношению (1), то существует группа порядка ра с инвариантами р*1,
р“2,. .. , р"т. Мы приходим к выводу:
Число различных абелевых групп порядка ра равно числу пред-
ставлений показателя а в виде суммы целых положительных
слагаемых.
Абелева группа порядка ра с инвариантами р11,/»”2, ... , рх„ назы-
вается группой типа (at, a2,..., am}.
Определим теперь все возможные типы подгрупп у групп данного типа.
Теорема. Группа типа {а1Л а3,..., ает| имеет подгруппы, типа
(?1> Ра- • • , Рт|, вели последние числа можно так расположить, что
p4<at (/=1,2,..., от),	(2)
и, наоборот, все подгруппы должны быть таких типов. При этом
некоторые из чисел р могут, конечно, равняться нулю.
Первая часть теоремы очевидна. Пусть в самом деле, фундаменталь-
ный базис данной группы будет Pv Pz, ..., Рт. Тогда искомой под-
группой будет:
Вторая часть теоремы очевидна для циклических групп, т. е. для
типа (ах}. Предположим ее на этом основании справедливой для всех
групп меньшего порядка, чем данная абелева группа ®.
Пусть р”1— наибольший инвариант ®. Мы знаем по § 73, что за
первый элемент базиса можно взять любой элемент высшего порядка.
Поэтому, если подгруппа S) содержит элемент порядкар*1, то мы можем пред-
положить, что это и есть первый элемент Рг базисов групп @ и $>.
Если базис -S образуют элементы /?1(Р2,..., Р„, то мы имеем:
/А = Л>
р, = р/’ р/' ... р™м = р?"1 к, о - 2,з,
Очевидно, можно также представить в виде:
s = {Л}  (К.)    {м = (Р1) • &	Р
При этом 5>i подгруппа группы
{Р.}-{₽.} •- - {Л.} - ®х
Для теорема, по предположению, справедлива, следовательно,
типа {Зв. Рз> • • • > Pmj, причем числа р так расположены, что
p,<a( (i = 2, 3,...,от).	(4)
Равенство (3) показывает, что 5> типа {р1} р2, • • • > Рт}> причем к
неравенствам (4) присоединяется равенство:
₽£ = «!
107
Итак, для S) теорема доказана, если в Й есть элемент высшего по-
рядка Предположим теперь, что в й такого элемента нет. Тогда й
подгруппа группы
Для &' теорема справедлива, следовательно, й типа р2,
причем
₽х < ах — 1, ₽,-<«, (I = 2, 3,.. . ,т),
откуда следует справедливость неравенств (2), которые и требовалось
доказать.
§ 80. Всякий автоморфизм абелевой группы происходит, очевидно,
от замены одних элементов фундаментального базиса другими.
Если разложение порядка группы п на простые множители есть
л = р“ . . . гт, то для абелевых групп S, как мы знаем,
®я=^агЭ...9?А>
где при каждой группе указан ее порядок. Непосредственно очевидно,
что группа автоморфизмов группы S есть прямое произведение групп
автоморфизмов подгрупп <^>, Q,. .. , 9?.
Пусть для примера ф — циклическая группа порядка рт, т. е.
® = {Р}. За производящий элемент Р можно взять любой из элементов
порядка рт. Если Р — один из них, то другие получатся от возвышения Р
в различные степени, меньшие рт и взаимно простые с рт. Таких степе-
ней, как известно, <р (рт) = рт — рт ~\ таково же число элементов по-
рядка рт, следовательно, и порядок группы автоморфизмов есть
Если р > 2, то существуют первообразные корни числа рт. Пусть
а — один из них, Т—элемент группы автоморфизмов, переводящий Р
в Ра, тогда
Т~ к Р1к = Ра>>
и мы видим, что Т порядка <f(pm)=pm "1 (р — 1), т. е. группа авто-
морфизмов циклическая.
Для второго примера рассмотрим группы порядками типа {1,1,...,1},
т. е. элементарные абелевы группы (§ 45). Найдем порядок трупы
автоморфизмов такой группы; для этого надо определить, сколькими
способами можно выбрать базис группы. Так как все элементы порядка р,
то за первый элемент Aj базиса можно взять любой из р”—1, отличных
от единицы элементов группы. Для второго элемента А2 базиса может
быть взят любой элемент группы, кроме р элементов группы {дх}, т. е.
этот выбор возможен рп—р способами. Третий элемент может быть
любым, не заключенным в {А,} • {А2}, его можно, следовательно, выбрать
р”—рг способами. Рассуждая таким же образом дальше, мы придем к вы-
воду, что число возможных базисов, т. е. порядок группы автоморфизмов есть
(рп-1)(рп-р)...(рп-Рп-г).
108
§ 81. Элементарная абелева группа порядка/?" и ее группа автомор-
физмов допускают очень удобное представление в виде некоторой группы
подстановок, которая имеет большое значение в приложениях, а также стала
предметом важных теоретических исследований и обобщений.
Пусть
Л,
образуют базис группы. Тогда всякий элемент имеет вид: Р2'Р2\.. Рп,т
и, следовательно, характеризуется вполне системой чисел (хх, х2,... ,х„),
взятых по модулю р, и, наоборот, каждая такая система чисел соответ-
ствует определенному элементу группы. Умножение всех элементов
группы на определенный элемент Р2'Р2' •  • Рп*п производит, как мы
знаем, некоторую подстановку элементов, или что то же, подстановку со-
ответственных систем чисел. Так как
то эта подстановка переведет систему (хх, х2,. . .,хп) в
(хх 4- ах, х2 + а2,..., х„ + а„) (mod р).	(1)
Итак, наш элемент производит подстановку (1). Другой элемент
Р2'Р%'...	, который можно обозначить (Въ р2,.. произведет
подстановку:
(хх + ₽i, х2 + р*... ,х„ + ₽„) (mod р),
а их произведение (ах + рх, а2 (?2,... ,ап 4- Рп), очевидно, подстановку
(*1 + «j + Pi,- х2 + а2 4- р2............. 4- а„ 4- PJ (mod р).
Подстановки вида (1), соответствующие различным элементам дан-
ной группы, образуют, таким образом, изоморфную с нею группу.
Обратимся теперь к группе автоморфизмов. Каждый автоморфизм
производит некоторую подстановку элементов группы. Пусть при некото-
ром автоморфизме элементы базиса Р{ заменяются элементами:
Р/п Р2аи ... (i = 1, 2 ,.,., и).
Тогда любой элемент Pi1 Р2* ... Р*л, который мы условились
обозначать (хх, х2,... ,х„), перейдет в (y1}y2,. • >У„), где, очевидно,
= «11*1 + «12*2 + • • • + «1Л.
j/2 ss а21хх 4- а22х2 4- • •. 4- «2Л>
......................................(mod	р),
(2)
Уп s а.лхг + a.axz + • • • + а»»хп-
Итак, всякому автоморфизму соответствует подстановка чисел, выра-
жаемая сравнениями (2). Очевидно, различным автоморфизмам соответ-
ствуют различные системы показателей ailc, а потому и различные под-
109
становки (2). Покажем, что эти подстановки образуют группу. В самом
деле, пусть другому автоморфизму соответствует подстановка, переводя-
щая х, в
^a*i+^а + --- + ^Л (» = 1, 2,... ,га).	(3)
Возьмем произведение двух подстановок, т. е. произведем (3) над
результатом (2). Для этого надо в (3) вместо хк подставить то число,
в которое хк переходит от подстановки (2). Мы получаем результат, при
котором х{ переходит в
«+«+ + V. (1=1.2,
где, как легко вычислить,
+ Ь~Л, +    + ».А> = 2 Мл (modp).
Мы видим, что от перемножения получилась подстановка того же
вида. Коэфициенты получаются по правилу умножения матриц (опреде-
лителей). Легко убедиться, что в произведении получается как раз та
подстановка, которая по сделанному определению соответствует произве-
дению данных автоморфизмов. Итак, доказано, что подстановки вида (2)
образуют группу, изоморфную с группой автоморфизмов элементарной
абелевой группы. Тот факт, что каждая подстановка действительно про-
изводит автоморфизм, непосредственно очевиден.
Остается определить, все ли системы сравнений вида (2), т. е. все
ли комбинации чисел aik производят действительно подстановку среди
систем (х15 хй,... ,хя). Для этого, очевидно, необходимо и доста-
точно, чтобы различные системы переходили в различные же, т. е. что-
бы сравнения вида:
«1Л 4- а12х2 + ... + aJnx„ == ацх/ + а12х/ 4-... 4- а1пх„',
алх1 + ^аа^а + • • • + а2пхп = a2ixi + Й2гха' + • • • + а2пхп>
..................................................(mod р),
ап1Х\ + в«Л 4- .. . + аппхп = ап1Х1 + ап2х2Г + • • • 4- а„пХп
• были невозможны, если не
xi = xi'.
Это равносильно с требованием, чтобы система сравнений
anzi + ai2z2 + • • • + oinzn = 0 (mod р)
не имела решений кроме zt = z2 =.. . == zn ss 0, а для этого необхо-
димо и достаточно, чтобы определитель
аП> а12 » • • , «1п
a21> Я23 > • • • > а2п
а,л > ап2> •   > апп
был отличен от нуля (по модулю р).
110
Группа подстановок (2) носит название группы однородных линейных
подстановок.
Очевидно, эта группа перестановочна с группой подстановок (1).
Произведение этих двух групп называется группой неоднородных линей-
ных подстановок. Эти подстановки переводят х, в
+ • •. + anixn + (modp).
Порядок однородной линейной группы найден в предыдущем пара-
графе и равен
а порядок неоднородной, очевидно, будет:
р"(р--1)(р--р)...(р"-р-‘).
Эти группы обобщаются, если вместо рациональных чисел aik по
модулю р рассматривать числа по двойному модулю, т. е. так называемые
„элементы поля Галуа“. Теория линейных групп, простых и обобщен-
ных, прекрасно изложена в книге L. Е. Dickson, Linear groups with ап
exposition of the Galoisfield theory, Leipzig 1901.
§ 82. В предыдущем параграфе мы видели пример группы пред-
ставляющей собою произведение двух взаимно простых групп 21 и <23,
причем 91 — группа автоморфизмов 93, т. е. от преобразования 93 при
помощи различных элементов 91 получаются все возможные автоморфизмы
93 и притом по одному разу.
Группу $ такого рода английские авторы называют „голоморф"
группы 93 (Holomorph of 93).
Все элементы перестановочные со всяким элементом 93, образуют,
очевидно, группу 93'. Покажем, что 93' <^>93. Будем 93 считать конеч-
ной группой.
Очевидно, 93' заключает центр € группы 93. Пусть
® = (£ + В2(£4-.,.ВД.
Элементы В2, В3, .. . ,Bf производят отличные от тождествен-
ного и различные  внутренние автоморфизмы 93, следовательно, в 21
должны заключаться элементы Аг, А3,... ,А,, производящие те же авто-
морфизмы. Очевидно, элементы В2 = Aa~ В3,..., В/=> А^ В} при-
надлежат уже к 93'. Мы получаем:
93' > S + В2'€ + -. . + В’,(£.	(1)
С другой стороны, все элементы 93' имеют вид В’ = АВкС, где
А и С — некоторые элементы групп 21 и (£, а В*—один из элементов
системы вычетов В2, ..., В,-. Отсюда следует, что А производит
автоморфизм, обратный Вк, т. е. А = Ал’-1н В'=ВкС. Следовательно,
в (1) должен стоять знак равенства, и изоморфизм станет очевидным,
если каждому В заставить соответствовать В= В~ А. В самом деле,
111
тогда будет В/В/= В* ’Л^В, 1А1 = Вк 1АкВ1 *Ак 1АкА1, цо по
условию ЛдВг““ 1Ак~1— ВкВ^ гВк~ \ так что
В/ • В/ = В Г \В~ 1АкА1 = (ВА.Вг)“ lAkAt.
Так как, очевидно, 21 и 03' — взаимно простые группы, то & можно
представить в виде:
Я =2123'.
Легко также видеть, что 03' — нормальный делитель 5?. Наконец, из
предположения А~ 'В'А = В', т. е. А~ 1ЛЛ~ окСА = Лд.— 1ВкС> следо-
вало бы:
А~ %" ’Л = А~ \ А~1ВкСА = ВкС,
и мы видим, что ни один элемент 01 не перестановочен со всеми элементами
03', следовательно, 21 есть группа автоморфизмов 23'. Группы 03 и S3'
в $ совершенно равноправны.
Для конечной группы легко построит голоморф в виде группы подста-
новок. Пусть группа © состоит из элементов G1} G2,...,G„. Мы знаем,
что S можно представить как группу подстановок вида:
Ох . Оа ,  • • , G» \ I G \
ОкО1г  G2Gt, GnG{ / \QGtr
а группу автоморфизмов — в виде группы £ подстановок:
Glt Git...,G„\(G\
О/. G./,...,G,// \G’)’
если автоморфизм состоит в том, что G заменяется элементом G'. Оче-
видно, эти группы ® и £ — взаимно простые, так как все подстановки
первой перемещают все элементы, а подстановки второй оставляют еди-
ницу без изменения. Мы имеем;
/Gy1/ О\/О\ /G4/GGA / О' \ = / О\
\G7 \GgJ\G') \GGj\G'Gitl	\GG;]’
откуда следует, что при нашем представлении группы подстановки £
производят действительно все автоморфизмы группы подстановок ®.
Обозначим
{©,. £} = £© = &.
Очевидно, & и будет голоморфом ®. Роль группы 23' будет играть
группа ®' подстановок вида:
(p,oo-')(aa) = (ata\
и мы имеем также:
Я = £®'.
112
§ 83. Воспользуемся найденным в § 80 порядком группы автомор-
физмов элементарной абелевой группы для вывода одной теоремы Фро-
бениуса об авюморфизмах конечной группы х).
Пусть ф — группа порядка рт, и
Т, ^2,...,^, 1	(О
ее ряд характеристических подгрупп. Мы знаем, что индексы
р1', р^...........................р‘‘
этого ряда — определенные числа, не зависящие от того, какой из воз-
можных рядов мы построили. Если р\=р*—наибольший из этих ин-
дексов, то обозначим, следуя Фробениусу:
Все группы ряда (1) как характеристические не изменяются от лю-
бого автоморфизма группы Пусть SPf_|_i и
?. = ЛТж+Р.Т<+*+    +
две смежные группы из ряда (1). Тогда любой автоморфизм группы
может или только перемещать элементы ^+-1 между собою, оставляя
системы без изменения, или также перемещать эти системы; в
последнем случае он явится некоторым автоморфизмом группы .
А-н
Эта группа — элементарная абелева (§ 60), следовательно, всякий ее авто-
морфизм, возведенный в степень (рх< — 1)(рм — р) • (ри — рм-1), рав-
няется тождественному автоморфизму, т. е. не перемещает систем
Так как х—наибольшее из чисел kjt то мы приходим к выводу, что
всякий автоморфизм группы ф, возведенный в степень
(₽* — 1)(р’ — р) ...(у—р'-1)
(2)
оставляет все элементы всех дополнительных групп
.................................. 1
без изменения.
Рассмотрим теперь автоморфизм Т, получающийся от возвышения
некоторого автоморфизма в степень (2). Пусть
ф=р,<р, + р$>,+... + Pf°pv
Т оставляет одновременно ср1 и Р^ру без изменения, следовательно,
Т~1Р^)1Т = T-'PT°f)v
т. е.
Т~1РТ=Р-Р’,
l) S. В. А., 1895, S. 1028-1030.
8 Абстрактная те орал трупп.
113
pi
мы имеем:
к выводу, что
где Р' принадлежит к Рассуждая таким же образом, мы получи м
Т~1р’т=Р'Р1", где Р” принад1вжит к ^2, так что
у—2руг _ y-iРТ. Т~гР'Т=Р-Р,*Р”
и вообще
у-/’руР = р.р'Рр2''.
Но вследствие известных свойств группы
Р'р = Р3",
т. е. Р'р принадлежит к 'рг, следовательно,
T~PpTf = р.р"
Продолжая наше рассуждение, мы придем
Р трв Р • р^^
где /Х«+]) — элемент группы ^,4-1. Наконец, полагая s = 1, получим:
p-р1 ррР1 = Р-1 = Р.
Итак, окончательно, порядок каждого автоморфизма группы 'р есть
делитель числа
Р1 (.Р* — 1) (Рх — /О •  • (Рх —Рх_1)>
а если порядок автоморфизма взаимно простой с числом р, то он
должен быть делителем числа
§ 84. Перейдем теперь к конечным группам ® произвольного по
рядка n=paq? ...ft. Такие группы имеют подгруппы ‘р, £},..., 9?
порядков р*, q$ ,... ,/т . Обозначим через & (S) наименьшее кратное
чисел	_	_
Э(=Р), &(Q),...,&(9?).
Так как по теореме Силова все группы порядка р* сопряжены, то
число & (ф) не зависит от выбора группы *р. То же справедливо, конеч-
но, и для 8(Q&[9J).
Теорема. Если порядок какого-нибудь автоморфизма группы ®
взаимно простой с п, то он должен быть делителем &(®).
На основании замечания в начале § 69 достаточно доказать теоре-
му для того случая, когда порядок автоморфизма Т равен /р , где t—
простое число, не входящее в п.
Если в ® всего р подгрупп порядка ра, то р — делитель п, следо-
вательно, р и tv- — взаимно простые числа. Автоморфизм Т перемещает
эти р групп между собою. Получается подстановка, «порядки всех цик-
лов которой должны быть степенями /, ибо иначе Т^не равнялось
бы тожд ственному автоморфизму. Так как р на t не делится, то дол-
жны существовать единичные циклы, т. е. группы порядка р’ , с кото-
рыми Т перестановочно.
114
Пусть ф— такая группа. Тогда по доказанному в предыдущем па-
раграфе Т в степени &(ф) оставляет все элементы ф без изменения.
Подобном же образом находятся группы Q,...,9l, перестановочные
с Т, и мы убеждаемся, что Т в cieneHH H(Q) перестановочно со всеми
элементами Q ит. д., следовательно, Т в степени &(©) перестановочно
со всеми элементами групп ф, Q, ...,9?.
Но
(“Р, а....эд}-®,
так как порядок этого наименьшего кратного должен делиться на все
порядки р’,	,..., гТ ; следовательно. Т в степени & (®) перестановоч-
но со всеми элементами ®, что и требовалось доказать.
§ S5. Определим теперь ряд характеристических подгрупп для про-
извольной абелевой гр ппы ф порядка рт и применим к нему резуль-
таты предыдущих параграфов х). Очевидно, будут характеристическими
подгруппы и 9?, , получаемые следук шим образом: фр. состоит из
всех элементов, удовлетворяющих равенству:
= 1,
а 9?, — из тех элементов, которые останутся, если все элементы ф воз-
вести в степень р’. Характеристическими будут, конечно, и общие наи-
большие делители фр,, групп вида фр. и 9?,.
Пусть базисом группы ф являются элементы различных порядков:
т1 > тг > ... > т,,
причем из них порядка ms будет пг элементов:
р 1 » ?т г > • • Ч ?т п
(з=1,2,...,г).
Построим следующий ряд. Возьмем все группы фДр. = 0,1, ...
причем ф0 = 1 и фт1 = ф, и расположим их по убывающим значкам;
получится ряд подгрупп, который, однако, в общем случае еще не бу-
дет искомым. Между группами фр и фр-i вставим ряд групп:

где скобки, как всегда, означают наименьшее кратное; тогда мы будем
иметь новый ряд из характеристических групп. Несколько смежных групп
могут оказаться одинаковыми, тогда можно их не повторять.
Докажем, что получился полный ряд характеристических подгрупп.
Возьмем две смежных группы ряда, например (фр — i, фр,т,-н} и
{фи_1, фр,т,_1_р}. Базисы этих двух групп отличаются тем, что в
а в базис второй:
рр«,-Н-1	рр~,-'+‘	рр".-г+'
mt,\ ’ m,ti ' ' ‘ ’	т,>п,	’
во всем остальном базисы одинаковы. Ясно поэтому, что их дополни-
тельная группа — элементарная порядка рп*, и что всякий ее автомор-
физм вызывается перемещением элементов базиса данной группы ф,
т. е. будет автоморфизмом последней. Отсюда непосредственно вытекает,
что между выбранными группами нельзя вставить никакой характеристи-
ческой подгруппы данной группы <р. В самом деле, в обратном случае
дополнительная группа имела бы подгруппу jo, не изменяющуюся при
всех автоморфизмах ср, а следовательно, по только что сказанному, <о
не изменялась бы от всех автоморфизмов дополнительной группы, т. е.
была бы характеристической подгруппой последней, что противоречит ее
элементарности.
Если пк—наибольшее из чисел га4, то по § 83, порядок всякого ав-
томорфизма ф должен делиться на р или быть делителем числа
»(ЗД-(₽’*-!)fr"*-1-!) ... (р-1).
ГЛАВА VIII
ГРУППЫ ПОРЯДКА рт И ИХ ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
§ 86. В эт й главе мы займемся ближе прямыми произведениями
групп, порядки которых суть степени простых чисел.
Если порядок группы есть ра q$ ... П (p,q	г— различные прос-
тые числа), то она имеет, по теореме Силова, подгруппы порядков
/>“,	. Эги подгруппы называют подгруппами Силова данной
группы.
Итак, предмет настоящей главы составляют группы, которые можно
представить как произведение своих подгрупп Силова. Некоторые авто-
ры называют такие группы „специальными". Для краткости и мы в этой
главе будем употреблять это не совсем удачное название.
Мы уже видели (§ 63), что все группы порядка рт, а следовательно,
и их прямые произведения разрешимы. В этом можно убедиться еще и
следующим образом (Силов).
Пусть ®—группа порядка рт. Пусть она р?спадается на k классов
сопряже нных элементов, причем порядки классов суть числа а15 аг,...,
Тогда
Рт= «х + «а + • • • «*,
при этом все af степени р и ах = 1, так как элемент 1 составляет класс.
Из этого1 равенства, очевидно, следует, что не все числа а2, ай,...,ак
делятся на р, а некоторые из них должны равняться единице. Следова-
тельно, группы порядка рт имеют инвариантные элементы, кроме
единицы, центр (Е их больше единицы, значит, они могут быть простыми
только тогда, когда т = 1. Поэтому все дополните ьные группы компо.
зиционного ряда должны быть порядка р, что и требовалось доказать-
Так как элементы подгрупп Силова различных порядков у специ-
альных групп перестановочны, то, очевидно, всякая подгруппа специаль-
ной группы будет также специальной.
Если группа ® порядка paq$...ft имеет инвариантную подгруппу
Силова любого порядка ра ,	то по теореме I § 59 ® имеет
только по одной подгруппе Силова каждого порядка />“, q?
По теореме § 63 ® — их прямое произведение.
Если S) =	... Л‘'т', где при каждом множителе указан его по-
рядок,—нормальный делитель специальной группы © =	-Qf0....	,
то дополнительная группа — тоже специальная. В самом деле,
117
® имеет нормальный делитель , следовательно, © имеет также
нормальный делитель фр = ^>plx • &'яу .. .9?'гт', откуда имеет
нормальный делитель порядка рл~а'.
Повторяя это рассуждение для чисел q,..., г, мы придем к выводу,
_	S	®
что подгруппы Силова группы инвариантны, значит, — специаль-
ная группа.
§ 87. Специальные группы обладают многими характерными, т. е.
только им принадлежащими, свойствами. Приведем их.
I. У специальных групп и только у них каждая подгруппа явля-
ется нормальным делителем некоторой большей подгруппы.
Так как эта большая подгруппа снова должна быть нормальным де-
лителем некоторой подгруппы еще большего порядка, то можно теорему
формулировать и так:
У специальных групп и только у них каждая подгруппа может
быть заключена в композиционный ряд.
Пусть сначала ® — группа порядка рт с подгруппой S). Разложим
® по модулю (ф ф). Тогда получим формулу Фробениуса (§ 53;:
(«,&)=(&«,)+№,
При этом (Зо, <Эг) =1, все (ф ®() суть степени р. Левая часть
делится на р, следовательно, некоторые (ф должны равняться еди-
нице, т. е. группы S) и G{~1 £)G( равны, значит, существует элемент
вне &>, перестановочный с S). Группа всех перестановочных с £> эле-
ментов группы ® и будет искомая.
Если теперь ® = <PJ>« 	, то каждая подгруппа ф по
§ 86, должна иметь вид:
Если, например, ах<<х, то ‘ЗУр’! — нормальный делитель некоторой
подгруппы <р'р«« группы FPp=, причем а±>аг Группа 'р' • $У...9Г>36
заключает ф как нормальный делитель.
Обратная теорема доказывается пак же просто.
Пусть ®n (n = ра . гт ) обладает указанным свойством. Тогда
подгруппа Силова ‘рр» должна входить в некоторый композиционный ряд:
®,ф...,Ф,<Р,...
По теореме 1 § 59, Р— характеристическая подгруппа ф следова-
тельно, Р— нормальный делитель всех предыдущих групп ряда и, нако-
нец, нормальный делитель ®. Подобным же образом, все подгруппы Силова
порядков	будут нормальными делителями ®, следовательно, ® —
их прямое произведение.
Доказанная теорема еще раз подтверждает, что в группе порядка рт
делители порядка рт~1 нормальны. Если р. и рх —две подгруппы этого
порядка группы ®₽«, то они — нормальные делители, следовательно,
Ф'р, = Р>Р = ®.
118
По теореме § 52 из этого равенства вытекает, что порядок общего
наибольшего делителя 'р и ф, есть р”*-2.
II. Для специальных групп и только для них можно построить
такой ряд нормальных делителей'.
®, Ьг,	1,	(1)
что всякий элемент группы есть инвариантный элемент
группы g-i).
Если ® — специальная группа, то такой ряд легко построить. Пусть
—центр ®. Мы знаем, что €^>1. Дополнительная группа
«1-2	11
тоже специальная и имеет отличный от единицы центр g—, которому
соответствует нормальный делитель (£J2 группы ®. Продолжая это рас-
суждение, мы получим ряд подгрупп ®j= 1,.	®{_2... Так как все
группы щ—]... — специальные, то их центры все больше 1, следо-
вательно, ряд состоит из подгрупп все возрастающего порядка и должен
поэтому окончиться ®. Мы приходим к ряду вида:
®,	’	(2)
который, очевидно, удовлетворяет условию.
Докажем теперь обратную теорему.
Пусть ® — группа порядкаpaq$ ... ft, для которой можно построить
ряд вида (1). Мы видим, что все дополнительные группы -|~ ряда (1)
обладают тем же свойством, что S, так как для них можно построить ряд:
® Зз, &к -1 '"1
&к’ ~Sk’	’ Й
такого же характера, как (1). Так как теорема тривиальна для групп
простого порядка мы можем ее доказать для группы ®, считая ее спра-
ведливой для всех групп того же характера меньшего порядка, между
прочим, для Пусть порядок S)j будет p*'qy... ft', тогда имеет
нормальный делитель порядка рв-а', и ® имеет нормальный делитель 5)'
порядка p'qV ...ft', заключающий S)t. Очевидно, принадлежит к цен-
тру ®, следовательно, она как коммутативная группа имеет нормальный
делитель порядка qV...ft'. Группа $э' будет иметь эту подгруппу 'З
и подгруппу Силова порядка р”. Так как 5 принадлежит к центру, то
и ф — нормальный делитель &>'. По теореме I § 59	— характеристи-
ческая подгруппа S' и потому нормальный делитель ®.
*) Burnside, Theory, р. 167: Loew у, Math. Anm., 55; Remak, Joum. f.
Math., 142.
119
Подобным же образом мы убеждаемся, что все подгруппы Силова
порядков q\ нормальные делители ®, следовательно, ® — их пря-
мое произведение.
§ 88. В предыдущем параграфе мы построили для специальных
групп ряд
®,	G,= l,
S
где для всех k =— есть центр группы . Будем для краткости в этом
Ч-Ь	^к
параграфе называв такой ряд „рядом обобщенных центров". Очевидно,
© «
---абелева группа.
Все группы ряда обобщенных центров суть характеристические под-
группы группы ®х). Это очевидно, так как ®_i есть характеристическая
подгруппа ®, значит, из Т~г®Т=® следует	Т = (&_i, а потому и
7-1 ® г__®_
®i-i “ ®i-i ’
но тогда Т перестановочна с центром ^=-2, т. е. и с группой ®_2 и т. д.
Если S; — первый член ряда обобщенных центров, равный единице,
то некоторые авторы называют число I специальностью ®.
Ш. Если для специальной группы построить группу внутренних
автоморфизмов, для последней — снова группу внутренних автомор-
физмов и т. д., то мы придем, в конце концов, к единице, и наоборот,
если построенный таким образом для группы ® ряд внутренних авто-
морфизмов оканчивается единицей, то группа специальная 2).
Зная, что группа внутренних автоморфизмов изоморфна с группой,
дополнительной к центру, мы замечаем, что ряд групп внутренних авто-
морфизмов специальной группы ® есть
® _®_	® 1
®(’	1’ ‘ Sx’ ’
он оканчивается единицей, так как g--абелева группа. Обратная тео-
рема также непосредственно вытекает из II, так как она вз ражает то
обстоятельство, что для ® существует ряд:
® = So, An -Й2,..., S)k, 1 = 5>i+i,
где = если 'jjr-i— центр 5>r—i. Замечая, что •£>> = где
*
Л"	/75 Л	®	—1	®
— центр ®, £>а — где -g-----------центр g- и т. д., мы последова-
тельно переходим от этого ряда к ряду обобщенных центров:
1, (£х, =®,
т. е. к ряду вида (1) предыдущего параграфа.
*) Young, Amer. Joum. of Math., 15.
a) Ahrens. Bericht Uber die Verh. der Kgl. Sachs, Ges. d. Wiss. zu Leipzig.
М.-Ph. CL, 1897, S. 616; A. Loewy, M. A., 55.
120
Из теоремы II предыдущего параграфа вытекает еще одно важное
следствие. В ряде (1) предыдущего параграфа каждый элемент группы.
&r-l	S	3,_!
—g-----инвариантный в следовательно, —g--------абелева группа, и всякий
делитель , например , будет нормальным делителем g-, так
что 'J — нормальный делитель ®. Ряд
®,	«оа,..., «о,.!, -г, «бг,..., 1
обладает, очевидно, тем же свойством, что и ряд (1). Продолжая вста-
влять в этот ряд новые члены, не изменяющие его характера, мы, в конце
концов, придем к ряду нормальных делителей ®:
®, 1,
Si-i х
где все группы —абелевы и уже простые. Но тогда они все про-
стого порядка. Последний ряд есть, очевидно, один из главных рядов
группы ®, следовательно, инаексы главных рядов специальных групп —
простые числа. Всякий главный ряд, таким образом, в то же время' и
композиционный, но обратное утверждение было бы ошибочным, как мы
видели в § 60 на примере группы восьмого порядка.
Указанное свойство специальных групп не является характерным для
них, так как, например, все группы порядка pq тоже им обладают.
§ 89.	IV. Специальные группы — единственные, которые имеют
нормальный делитель л акого угодно порядка, делящего порядок группы.
Пусть ®=SPp«. Q^...9?rT—специальная группа. По только что
доказанному, главный ряд группы 'р имеет только простые индексы, сле-
довательно, имеет по крайней мере один нормальный делитель каж-
дого порядка рш(со<а). Подобным образом, Q имеет нормальный дели-
тель любого порядка дш'(о/<Р) и т. д. Все эти нормальные дели iели
групп Q... будут, очевидно, в то же время и нормальными делите-
лями ®, следовательно, их прямое произведение будет нормальным
делителем ® порядка	Числа о, со'...—любые, соответственно
меньшие а, [3...
Обратная теорема очевидна, так как группа порядка п = pfq^. ..ft.
имеющая нормальные делители всех порядков, делящих п, должна иметь
нормальные делители порядков р’, q&,..., ft, т. е. инвариантные под-
группы Силова всех возможных порядков, следовательно, ® — специаль-
ная группа.
Однако специальные группы не единственные, имеющие вообще под-
группы (не обязательно инвариантные) какого угодно порядка, делящего
порядок группы. Все группы порядка pq, например, тоже обладают
этим свойством.
Из IV непосредственно следует еще одно характерное свойство.
V. Специальные группы — единственные, у которых любому рас-
положению поостых чисел, входящих в порядок группы, соответствует
композиционный ряд с тем же расположением индексов.
121
Пусть выбранное расположение есть
Pi, Рг, Р»-~
где Pi, р2,... — различные или одинаковые простые числа. Специальная
группа (3„ имеет по IV нормальный делитель & порядка—. Последний,
будучи также специальной группой, имеет нормальный делитель
порядка и индекса р2 и т. д. Мы получим ряд с индексами, таким
Р1Р»
же образом расположенными.
Если, наоборот, группа ® порядка paq$...f< обладает указанным
свойством, то мы можем выбрать такое расположение, где а последних
индексов равны р. Тогда получится композиционный ряд:

группа сРр“ будет характеристической подгруппой S), а следовательно, и
всех предыдущих групп ряда, до ® включительно.
§ 90.	Мы видели в § 88, что специальные группы принадлежат к тем,
у которых индексы главных рядов — простые числа. Общее свойство
таких групп дает теорема Е. Вендта *).
Если индексы главных рядов группы ЭЛ — простые числа, и 91 —
наибольший нормальный делитель группы 9R, который является специ-
альной группой, то дополнительная группа будет абелевой.
Все специальные нормальные делители заключаются в наибольшем
из них 91 = “рр® •	..., ибо если нормальный делитель 2=СР'Р.' 
не заключается в 91, то произведение £2Q будет больше 91. Эго произ-
ведение— группа и притом некоторый нормальный делитель QB группы 9R,
так как и £, и 91 по условию — нормальные делители. Все ф, Q,..., ^Р',
как характеристические подгруппы групп £ и 91 — тоже нормаль-
ные делители 9Я. Поэтому QS — прямое произведение некоторых групп
причем
Таким образом получится специальный нормальный делитель, боль-
ший 91, что противоречит предположению.
Теперь теореме Вендта можно придать такую формулировку:
Если индексы главного ряда группы 9Я — простые числа, то комму-
тант будет специальной группой.
Эти две формулировки тождественны, ибо из первой, по теореме
§ 32, (вытекает, что $ заключается в 91. т. е. является специальной груп-
пой, а из второй, в силу той же теоремы, следует первая, так как мы
только что доказали, что в случае справедливости теоремы Вендта Я дол-
жно заключаться в 91.
122
Приступим теперь к доказательству теоремы. Пусть
ЭЛ,...,21,23,...,1
будет главный ряд; 21, Н— две любых смежных группы ряда; дополни-
21
тельная группа простого порядка, т. е. - циклическая, поэтому
21 = 23 + Д23 + Д223 + ... + A'-'H.
делители HI. Пусть М иМг будут два любых
21 и 23— нормальные
элемента <ЗЛ. Тогда
МАНАТ1 = А*Н,
М^АНМ^1** А'Н,
откуда:
Л4Л11Д23М1_1 ЛГ1 = Д“23 = /И1Л4Л23ЛГ17И1-1.
Из последнего равенства следует:
(M^M^MMJ Д23 = АН (АТ1 ЛТГ1 ММг),
т. е. все коммутаторы элементов группы ЭЛ, а следовательно, и все эле-
менты коммутанта перестановочны с элементами любой дополнитель-
ной группы главного ряда группы ЭЛ. Далее, как нормальный дели-
тель входит в состав некоторого главного ряда
ЭЛ,...,Я ^,^,...,1.
Все элементы Я, по доказанному, перестановочны со всеми элемен-
Й	Я
тами всех дополнительных групп тем более все элементы пере-
становочны со всеми элементами т. е. удовлетворяется условие II
§ 87 и тем доказано, что группа & — специальная.
§ 91.	Доказанные свойства групп порядка рт дают возможность
обобщить вторую теорему Силова.
Теорема1). Если порядок группы ® делится на р* (р— простое
число) и если —подгруппа ® порядка pd (d^ k), то число подгрупп ®
порядка р\ делящихся на ф, сравнимо с единицей по модулю р.
Обозначим через гг число искомых групп порядка р1. Наша теорема
справедлива при k — d, поэтому можно при доказательстве применить
метод индукции, считая доказанным, что
—  ='.-I -1 <m°d ?>
Обозначим через
211э 2l2,...,2lri_i
содержащие ф, а через
2?!, 232,. • .,23rt
искомые группы порядка р .
подгруппы порядка р1
(1)
(2)
*) Frobenius, S. В. A., 18S5. 989.
123
Через ар обозначим число подгрупп (2), заключающих 21р, а через
Ь,—число подгрупп (1), входящих в 93,. Имеем очевидное равенство
<*1 + а2 + Яз + • • • + агк_г =	+ ^2 + • • • +	(3)
каждая из сторон которого выражает число таких пар 2lp, 21,, что
21р входит в 21,.
По условию, теорема справедлива для подгрупп порядка рк~г, поэ-
тому
^ = 62 = . .. = дГА=1,
а следовательно,
+ ^2 + • • • + b,k es Гк.	(4)
С другой стороны, и все Др = 1. В самом деле, ни одно at неравно
нулю, так как если ра — наивысшая степень р, на которую делится поря-
док группы ®, то по второй теореме Силова каждая группа 91, входит
по крайней мере в одну группу порядка ра. По теореме § 87 21р вхо-
дит в некоторый композиционный ряд последней группы, а так как эта
группа разрешима, то 21р заключается по крайней мере в одной группе
порядка р\ т. е. по крайней мере в одной группе 93,. Пусть 21р заклю-
чается в группах 931, ‘ЗЗ» • • , ^Здр РяДа (2)- По II теореме § 59 21р будет
нормальным делителем этих групп, а также нормальным делителем их
наименьшего кратного S. Дополнительная группа имеет ар подгрупп
^Ср	п
—% ........порядка р. Других подгрупп порядка р она не имеет,
21р лр -Др	i
ибо каждой такой подгруппе соответствует группа 93 порядка р , заклю-
чающая 21? (§ 29). Итак, будет иметь ар (р— 1) элементов порядка р.
Но число всех элементов, порядок которых делится па р, включая и
элемент 1, по теореме Фробениуса, есть кратное р, следовательно,
ар (р — 1) + 1 - 0 (mod р),
откуда
ар = 1 (modp) (р = 1, 2,..r*_i).
Следовательно,
а + а2 + ... агк_к = гк_г е= 1 (modp).
Вспоминая (3) и (4), получаем:
что и требовалось доказать.
Особенно важен случай d = 0, ^>=1; тогда мы получаем такое
следствие'.
Если порядок группы ® делится на k-ю степень простого числа
р, то число всех подгрупп порядка рк группы ® сравнимо с единицей
по модулю р.
§ 92.	Выведем еще одно следствие из второй теоремы Силова, кото-
рое нам пригодится в дальнейшем. Пусть — одна из подгрупп Силова
124
группы ®, а Р и Q—два инвариантных элемента р, которые, однако,
сопряжены в ®. Докажем, что они в таком случае сопряжены в группе
91 всех элементов, перестановочных с р.
По предположению, для некоторого элемента G из ®
G~1PG=Q,	(1)
О-1<РО = Р',	(2)
Группа Р преобразуется в какую-то подгруппу Силова Р'. Равенство (1)
показывает, что Q будет инвариантным элементом также и в Р', следова-
тельно, обе группы р и Р' войдут в группу 9В всех элементов, кото-
рые перестановочны с Q. По второй теореме Силова р и Р' должны
быть сопряженными подгруппами ЗВ, т. е. в 9В существует элемент IF,
для которого
iF-ip,ir=p.
Принадлежа к 9В, W будет, конечно, перестановочным с Q:
W~1QW=Q.
Преобразуя (1) и (2) при помощи W, мы теперь получим:
W-iG-'PGW^ TF-iQIF = Q,	(3)
W’-1G-1PGIF= !F-iP'l7 = p.	(4)
Равенство (4) показывает, что GW принадлежит к 91, но тогда (3)
дает, что Р и Q сопряжены в 9?, что и требовалось доказать. Итак,
если Рра — подгруппа Силова группы ®, 9? — подгруппа всех переста-
новочных с Р элементов, то элементы, инвариантные в Р, но сопря-
женные в ®, сопряжены также в 9? х).
В частном случае, если Р—абелева группа, то все элементы р,
сопряженные в ®, сопряжены уже в 91.
Отметим еще одно свойство групп порядка р”: у них элемент по-
рядка р никогда не может быть сопряженным со своею степенью.
В самом деле, пусть
Т9 и Г = 1.
Если порядок S есть рт, то
= т= Т9^,
т. е.
Ррт =» 1 (modp),
откуда 0 = 1 (mod р).
§ 93.	Займемся исследованием важного класса групп, все подгруппы
которых инвариантны. Ясно, что эти группы принадлежат к специаль-
ным. В самом деле, если порядок такой группы есть ра q9, то она
х) Burnside, Theory of Groups, p. 155. Там же — обобщения.
125
имеет взаимно простые инвариантные подгруппы порядков ра, q\ . . ., а
следовательно, является их прямым произведением.
Указанным свойством обладают все абелевы группы. Мы также ви-
дели уже одну неабелеву группу такого рода, а именно группу кватер-
нионов (§ 50). Неабелевы группы, подгруппы которых — нормальные
делители, получили название гамильтоновых в честь творца учения
о кватернионах. Они впервые исследованы Дедекиндом (Math. Ann., 48).
Так как гамильтоновы группы принадлежат к специальным, то зай-
мемся прежде всего определением гамильтоновых групп порядка ра, где
р — простое число.
Теорема. Гамильтоновы группы порядка ра невозможны,
если р — нечетное простое число.
В гамильтоновой группе должны найтись по крайней мере два непере-
становочных элемента А и В. Если есть низшая степень А, пере-
становочная с В, то вместо А возьмем Ар ; таким же образом под-
берем элемент В, чтобы получить группу $), образованную парою
неперестановочных элементов А, В, р-е степени которых, однако, уже
принадлежат к центру этой группы. Пусть порядки этих элементов будут
рт и рп. Предположим, что мы выбрали ту пару элементов, у которых
т — максимум, а п — минимум, при выполнении прочих условий. Как
всякая неабелева подгруппа гамильтоновой группы, S) будет тоже
гамильтонова.
Циклическая группа, образованная элементом А, должна быть нор-
мальным делителем, следовательно,
Подобным же образом
А~'В А = В?.
Из этих равенств следует, что
Л-'В’А’ = Bjl".	(1)
Вспоминая, что р-е степени перестановочны, получаем:
В~'АРВ = Ара = Ар,
откуда
ра = р (mod рт)
и
а = 1 (mod рт —1),
т. е.
а = 1 + kpm~1.
Так же получили бы:
р=1 + /р«-1.
Применяя теперь формулу (1) несколько раз подряд, найдем, что
(/ГВ*/ = А^В**+’°у1рП ~1	.
126
Пусть р1 будет низшая степень В, равная какой-нибудь степени эле-
мента А
В’'= А’Г',
причем г не делится на р.
По сделанному выбору o^-f. По последней формуле
Мы видим, что элемент А~гр 1 В, удовлетворяя тем же требова-
ниям, что и В, будет порядка рт, если только не р = 2, 8 = у = 1. Если
р > 2, то, по сделанному выбору элемента В, должно быть f — п, т. е.
группа Q3, образ ванная элементом В, — взаимно простая с группой 21,
образованной элементом А. Группа й будет прямым произведением 21-23
и будет абелевой, вопреки предположению. Теорема, следовательно,
доказана.
§ 94.	В предыдущем параграфе остался нерассмотренным исключи-
тельный случай:
/> = 2,7 = 8 = 1.
Он соответствует гамильтоновой группе, образованной двумя непере-
становочными элементами А к В, между которыми существуют зависимости
а-'ва+	(1)
г—нечетное число. Вспомним, что из всех пар неперестановочных эле-
ментов, каждый из которых перестановочен с квадратом другого, пара
А, В i-ыбрана таким образом, что 2” — порядок А — максимальный, а 2“ —
порядок В — минимальный. Но из (1) следует /п = п, т. е. все указан-
ные пары элементов имеют одинаковый порядок 2“. Пара А, А~ТВ
удовлетворяет требованию, но порядок А ~гВ, как нетрудно убедиться,
есть 4, следовательно,
m = 2.
Группа Q, образованная элементами А и В, определяется уравне-
ниями:
Ai = Bt = lt ла = S2; А - iBA = B3t
а это уравнения группы кватернионов (§ 50).
Итак, во всякой гамильтоновой группе заключается группа кватер-
нионов.
Если теперь С—какой-нибудь элемент гамильтоновой группы, не при-
надлежащий к Q и неперестаноьочный с А, то, так как {А} — нормаль-
ный делитель,
С-ЧС=А®,	(2)
ибо из С~1АС = Аг следовало бы:
C~1A«C=Af = l, т. е. А2==1.
127
Из равенства (2) получаем:
С-14гС = Л« = Л2 и С~2АС2 = А9 = А,
т. е. пара А, С удовлетворяет сделанному выше условию; вместо элемента В
можно было взять С, следовательно,
С2 = А2, & = 1,
т. е. квадрат всякого неперестановочного с А или В элемента равен
А2 = В2, порядок его, следовательно, равен 4.
Пусть D — перестановочный с А и В элемент. Тогда DA будет уже
неперестановочно с В. По вышедоказанному
(РЛ)2 = D2 А2 = А2, т. е. D2 = 1,
порядок всякого перестановочного с А и В элемента есть 2.
Докажем теперь, что всякая гамильтонова группа порядка 2* есть
прямое произведение группы кватернионов и абелевой группы, все эле-
менты которой второго порядка.
Теорема справедлива для Л = 3; будем ее считать справедливой для
порядка г*-1 и докажем для 2й. Гамильтонова группа $> порядка 2й за-
ключает, по доказанному, группу кватернионов Q. По тесреме § 87
последняя входит в некоторую подгруппу группы S) порядка 2*-1; на-
зовем ее Тогда
$) = $)' +Н$)'.	(3)
Для S)' мы предполагаем теорему справедливой, т. е. S)' = Q • 21,
где 21—абелева группа указанного свойства. Если Н неперестановочно с А,
т. е.
Я"1Л// = Л8,
то элемент Нг = НВ уже будет перестановочен с Л; если Ht еще непере-
становочно с В, то Н2 = НгА, как легко проверить, будет уже переста-
новочно и с 4, и с В. Заменяя в (3) Н на Н' — перестановочный с А
и В элемент—получаем (так как И второго порядка)
S = 5>' +&$) = $) -{7/} = ®-21 • {H'} = Q .93,
где 23 — абелева группа, у которой, как и у 21, все элементы второго
порядка. Теорема доказана и для 55.
Из доказанного, между прочим, вытекает, что для каждого т су-
ществует только одна гамильтонова группа порядка 2т.
§ 95. Соединяя результаты двух последних параграфов, приходим
к теореме:
Всякая гамильтонова группа есть прямое произведение группы
кватернионов, абелевой группы, все элементы которой второго порядка,
и абелевой же группы нечетного порядка.
Обратное предложение, что всякая группа такого вида — гамильто-
нова, не нуждается в доказательстве.
Если А обозначает один из неперестановочных элементов группы
128
кватернионов, то коммутант $ гамильтоновой группы 5) = Q • "Л сос-
тоит из двух элементов:
а центр
1, А2,
А' = Я • М.
Группа внутренних автоморфизмов будет четвертого порядка и изоморфна
с той же группой для группы кватернионов.
§ 96. По обобщенной второй теореме Силова, во всякой группе ®
порядка рт число подгрупп порядка р" (s < т) есть число вида 1 + kp.
Какова будет группа ®, если k = 0, т. е. если существует только одна
подгруппа порядка р®? Ответ дает следующая теорема.
Теорема1). Если группа ® порядка рт имеет только одну под-
группу S) порядка р‘, то ® — циклическая группа. Исключение пред-
ставляет. случай р = 2, s=l. Группа порядка 2т, имеющая только
одну подгруппу второго порядка, либо будет циклическая, либо будет
определяться уравнениями'.
р2т~1=11 Q2 = p2m~2t Q~'1PQ = P~l.
(1)
Заметим, что циклическая группа порядка р”, образуемая элементом
А, имеет только одну подгруппу любого порядка рк (А < га), которая-
состоит из элементов:
— к д<1рП — кдзрп — к , . дрк„п— к_ j
т. е. из всех элементов группы, удовлетворяющих равенству:
Рассмотрим сначала случай m = s+ 1. .Если бы группа ® не была
циклической, она заключала бы какой-нибудь элемент Р порядка рй
(Л<а), не входящий в S). Но предположение h=s означало бы суще-
ствование второй подгруппы порядка ра, а если h<s, то группа {Р}
порядка рк должна заключаться по § 87 в какой-нибудь группе .поряд-
ка р", т. е. в группе &, ибо других групп этого порядка нет. Остается,
следовательно, только одно допущение, что ® — циклическая группа.
Если	то теорема доказана для всех подгрупп ® по-
рядка Мы можем вообще считать ее справедливой для всех групп
порядка рт~1 и доказать для группы S порядка рт. Итак, все под-
группы группы ® порядка р’"~1 — циклические и, следовательно, имеют
по одной только подгруппе порядка рт~2, которая, конечно, тоже ци-
клическая. Но мы знаем (§ 87), что общий наибольший делитель двух
каких-либо подгрупп порядка рт~1 есть группа порядка р”1-2! это нас
приводит к заключению, что все подгруппы порядка рт~ заключают
одну и ту же подгруппу порядка рт ~2. А так как другие подгруппы
этого порядка входили бы в одну или несколько подгрупп порядка р”- ,
то оказывается, что группа ® имеет только одну и притом цикли-
*) Burnside, Theory, р. 75.
9 Абстрактная теорвя групп.	129
чесиую подгруппу ф' порядка рт~2. Так как всякая подгруппа порядка
р*(й<т—2) должна входить вф', а ф' имеет только по одной под-
группе каждого порядка р\ то и ® имеет только по одной подгруппе
порядков pk(h = 1, 2, . . . , т— 2). Все эти подгруппы как единст-
венные будут нормальными делителями, все подгруппы порядка рт~х —
также нормальные делители (§ 87), следовательно, все подгруппы
группы ® суть нормальные делители... Группа S будет или абелева,
или гамильтонова. Если р > 2, то она не может быть гамильтоновой;
то же самое и в случае р = 2, $ > 1, ибо из § 95 ясно, что никакая
гамильтонова группа не может иметь только одну подгруппу какого-
либо порядка 2’, если $>1.
Если же ®— абелева группа, то пусть ф—одна из циклических
подгрупп порядка р"*-1, образованная элементом Р. Базис ® должен
состоять из Р и какого-нибудь элемента Q порядка р, не входящего в
ф. Но таких элементов нет. Остается, следовательно, только одна воз-
можность, а именно: ® — циклическая группа.
§ 97. Если группа ® порядка 2“ имеет только одну подгруппу
второго порядка, то индукция прошлого параграфа неприменима. В са-
мом деле, мы имеем группу восьмого порядка, группу кватернионов, ко-
торая имеет только одну подгруппу порядка 2.
Рассматривая различные типы групп четвертого и восьмого поряд-
ков, мы видим, что одну подгруппу имеют среди них только цикличе-
ские группы и группа кватернионов. Уравнения последней совпадают с
уравнением (1) прошлого параграфа, если в них положить т = 3. Для
т = 3 и т — 2 теорема, следовательно, справедлива. Предположим, что
она справедлива вообще для всех порядков 2”, если	1, и до-
кажем ее для групп порядка 2W.
Пусть ® будет группой порядка 2т(т> У), имеющей только один
элемент второго порядка. Для подгрупп ® порядка 2"-1 теорема, по
предположению, считается справедливой, следовательно, они или цикличе-
ские, или имеют уравнения вида (1) предыдущего параграфа. Если бы
все они были циклическими» то каждая имела бы только одну подгруп-
пу порядка 2"~2, которая по § 52 была бы общим наибольшим дели-
телем всех подгрупп порядка 4т— . Так как, с другой стороны, каж-
дая подгруппа порядка 2м-2 входит в одну из групп порядка 2Ж-1,
то оказалось бы, что ® имеет только одну подгруппу порядка 2Ж—2,
что при т > 3 противоречит предыдущему параграфу. ® поэтому
имеет подгруппу й порядка 2“-1, определяемую уравнениями:
m - 2	т - 3
А2 = 1,	= А2 , В-1 АВ = А-1.	(1)
2">—з
Единственным элементом второго порядка является В2 — А
Остальные элементы, кроме степеней А,—все четвертого порядка,
вследствие
( ВЛ")2 = В(Л ‘В)Л‘ = В’Л—Л’ - В2,
130
причем, конечно, все элементы & по уравнениям (1) могут быть приве-
дены к виду Аа или ВАа.Группа {Л}, следовательно, при от > 4— един-
ственная циклическая подгруппа $ порядка 2"*-2, как таковая она яв-
ляется характеристической, а потому будет нормальным делителем ®.
Того же мы достигнем и при т = 4, если заметим, что тогда (1) —
группа кватернионов, в которой все элементы четвертого порядка рав-
ноправны, и все подгруппы четвертого порядка — циклические. Среди по-
следних должен быть нормальный делитель ®. Выберем А так, чтобы {Л}
и была этим нормальным делителем.
Убедимся теперь в том, что, с другой стороны, S имеет также и
циклическую подгруппу порядка 2" ~ . Допустим, в самом деле, против-
ное, что все подгруппы этого порядка имеют вид (1). Пусть в одной
из них С и D играют роль А и В, Если С—степень А, то DB, не
принадлежа к будет с А перестановочно, и группа {A, DB) окажется,
вопреки предположению, абелевой порядка 2т— . Обе группы {Л} и
{С} —нормальные делители ®, так что имеется уравнение вида:
Л4-1ЛЛ1 = А*
(2)
для всякого М из ®. Отсюда следует, что В не может быть четной
степенью какого-нибудь элемента ®, так как из В = 7И2 и (1) полу-
чается:
А'2 = М~гАМг = В~г АВ = Л-1,
а сравнение
а® = — 1 (mod 2”‘ ~ 2)
при и>4 не имеет решений.
Рассмотрим теперь группу {С, В} = <$. Если т > 4, то и С не
может быть степенью В, группа '5 будет порядка 2я*-1 и, по предпо-
ложению, должна определяться равенствами вида:
= 1, В2 = С2
В ‘ СВ = С
Такие же равенства должны быть справедливы и для ВА, облада-
ющего теми же свойствами, что и В; но из
следует:
(ВЛ)"’с(ВЛ) = С-1 и В~1СВ = СГ1
А~ 1СА=А~1(В~1(Г1В) А= С,
и элементы Л и С оказываются перестановочными, что нас снова при-
водит к существованию абелевой группы порядка 2т-1.
Если т — 4, нам в случае С = ВАа останется только повторить пре-
дыдущее рассуждение для Л и для D, и мы придем к тому же
результату.
$>•
Итак, существует циклическая группа {//} порядка 2м 1; не бу-
дучи- четной степенью, элемент В к ней принадлежать не может; но, конечно,
Группа '{Нг, В}, не будучи циклической, должна определяться ра-
венством:
= Я-2,
откуда, если положим В~ НВ = Н , получится:
28== — 2 (rnod2m-1).
Это сравнение имеет корни —1 и — 1 -f- 2" “ 2. Во втором случае
будем иметь:
(ВЯ)2 = В (ЯВ) Н = ВЧГ+* = В2 • В2 1;
но так как существует только один элемент второго порядка, то мы
пришли к абсурдному результату:
ВН= В2.
Итак, остается единственная возможность:
8 = —1,
и мы получаем искомые уравнения группы:
в'= в~'нв = н~‘.
§ 98.	В виде примера найдем в заключение все группы порядка р3.
Группы порядка р2 уже найдены в § 40. Абелевы группы порядка р3
являются, как мы видели в главе VII, прямыми произведениями цикли-
ческих групп. Они бывают трех родов — циклические, прямые произве-
дения двух и трех циклических. Займемся неабелевыми группами по-
рядка р3. Случай р = 2 уже рассмотрен в § 50, будем предполагать р < 2.
1.	Предположим, что исследуемая группа ф имеет элемент Р по-
рядка рг. Так как не предполагается циклической, то должен суще-
ствовать элемент R, порядка р, не входящий в{р). Труппа {р}— нор-
мальный делитель, как все подгруппы порядка р2. Поэтому
Я-1РЯ = Ра,
P”p PR" = P=:P'P,
следовательно,
ар==1 (modp2), a=l(modp),
т. е.
а = 1 + kp.
Определим число х сравнением:
йх= 1 (modp),
тогда
Я-’РЯ* = Ра”=Р1+2’.
132
Обозначим через S. Тогда единственная группа порядка р3, за-
ключающая элемент порядка р2, определяется уравнениями:
Рр2 = \, Sp=l,
S-1P5 = P1+r.
2.	Пусть все элементы будут порядка р. Пусть Р— элемент центра,
R—какой-нибудь элемент, который не является степенью Р. Груп-
па {Р, Р} будет равна {Р[ • {Р} и будет порядка р2. Пусть 5—элемент,
не входящий в {Р} • {Р}. Тогда
s-^ps=Р“Р3.
Если бы а = О, то по замечанию в конце § 92
S-1PS = P.
Группа ® в этом случае была бы равна {Р} • {Р} • {5} и была бы абелевой.
Итак, а ф 0 (mod р). Подберем у так, чтобы
тогда
Пусть
тогда
ay == 1 (mod р),
бГ1Р*5 = Раур^ = РР^.
PS = Q,
У-1 Q5"= pq\
S-’Qtf = pl+W’+ • • • +^-1Q^= Q,
=Q,	(mod/?),
следовательно, получается группа, определяемая уравнением:
Рр = Q” = S” = 1, PQ = QP, PS =SP,
S-'QS^PQ.
Итак, если р — нечетное простое число, то существует всего пять
различных групп порядка р3— три абелевы и две неабелевы.
Если р = 2, то первый тип совпадает с группой I § 50, а вто-
рой— обращается в абелеву. Но зато существует группа кватернионов,
которая не имеет аналогии при р 2> 2.
§ 99.	Специальные группы принадлежат к наиболее изученным.
Большое количество отдельных типов групп порядка рт разобрано в
прекрасной книге Бернсайда, „Theory of groups of finite order" (Cambridge
1897, 2-е издание, 1912 г.), на которую мы уже много раз ссылались, а
также в курсе De Sdguier „Elements de la thdorie des groupes abstraits"
(Paris 1904). Специальным группам посвящено также много отдельных
статей различных ученых, из которых я укажу на работы американских
ученых G. A. Miller’a и W. В. Fite. Между прочим, в Transactions of the
American Mathematical Society (III, 1902) последний подробно разбирает
особого вида специальные группы, которые он назвал метабелевскими.
Это те специальные группы, у которых дополнительная к центру группа
— абелева, иными словами, метабелевские группы сугь те, все коммута -
торы которых — инвариантные элементы.
133
ГЛАВА IX
ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ
§ 100.	Для более глубокого изучения свойств абстрактных групп
оказывается часто полезным рассматривать не прямо данную абстракт-
ную группу, а ту или иную конкретную, с нею изоморфную.
Всякая конкретная группа, изоморфная или -значно гомоморфная
с данной абстрактной, называется представлением последней. Гомомор-
физм ----значный надо понимать в том смысле (§ 41), что каждому
элементу абстрактной группы соответствует один элемент представле-
ния, а каждому элементу представления могут соответствовать несколько
элементов абстрактной группы.
В главе V исследовались представления в виде групп подстановок.
Это очень важный и удобный вид представлений, помогающий изучить
некоторые свойства абстрактных групп, но много прекрасных теорем
абстрактной теории были найдены только при помощи более общих предста-
влений, а именно при помощи групп линейных подстановок или матриц.
В § 81 мы видели линейные подстановки по модулю. Те линейные
подстановки, о которых мы теперь будем говорить, имеют такой же
вид; они переводят систему значений хг, х2, . . . , хп в
Л =“1Л + “1Л+  •  +
л = «И*1 + V1 + • 
З’» = “.л + °.А+• 
но здесь коэфициенты аа не берутся по модулю, а могут быть любыми
числами. Подстановка задается системой чисел а{к, а обозначения х,- и
yt безразличны. Поэтому рассматривать приходится только матрицы
ап а12  • • а1п
а21 а22 • • • а2п
и вместо линейных подстановок можно говорить о матрицах.
184
§ 101.	Сопоставим общеизвестные свойства матриц и правила их
исчисления, на которые мы будем ссылаться в дальнейшем изложении.
Матрицей называется совокупность тп чисел ailt(i=l, 2, т;
= Ь • • • > и), расположенных в прямоугольной схеме:
аи «ha • • • ai„
а21 а22 • • • й2п
Сокращенно такую матрицу будем обозц^ать
II || .
Числа ал называются членами, матрицы.
Если Х^, Хп„ Xnt—матрицы с числом
лонн, указанных значками, то под знаком
горизонталей и ко-
будем понимать матрицу с т + п горизонталями и л -}- t колоннами,
которая получится, если выписать в указанном порядке все члены
матриц X™ и т. д.
Суммою Д + В матриц А = ||	|| и В = || btll || называется матрица
II II , т. е. такая, у которой каждый член равен сумме соответ-
ственных членов слагаемых.
Особенно важно для нас понятие произведения матриц. Пусть
матрица А = || аЛ || имеет т колонн, а В = || blk || —т горизонталей.
Произведением АВ этих матриц называется матрица || сй || , общий член
которой получается по формуле:

при этом АВ имеет столько же горизонталей, сколько у А, и столько
же колонн, сколько у В.
Важно отметить, что это символическое перемножение матриц, во-
обще говоря, некоммутативно.
Мы будем иметь дело, главным образом, с квадратными матрицами,
у которых одинаково число горизонталей и колонн. Это число назы-
вается степенью матрицы. Определитель, составленный из членов квад-
ратной матрицы А, называется просто ее определителем и обозначается
| А | . Если этот определитель равен нулю, матрица называется особен-
ною, в обратном случае — неособенною.
Рангом прямоугольной матрицы называется наибольшая из степе-
ней неособенных квадратных матриц, полученных из данной при помо-
щи вычеркивания некоторых колонн и горизонталей.
136
Квадратные матрицы одинаковой степени могут составлять группы
относительно умножения. Такими группами мы и будем заниматься.
Обратим внимание на свойства интересной матрицы, у которой чле-
ны по главной диагонали — все единицы, а остальные—нули. Такую ма-
трицу будем называть единичной и обозначать Е или Ен, если п—ее
степень. Легко видеть, что от умножения на единичную все матрицы
той же степени не изменяются, т. е. для всех А той же степени
АЕ = ЕА = А.	(I)
Для каждой неособенной матрицы А существует обратная А-1, об-
ладающая свойством:
А-1 А = АА-* = Е.	(2)
Мы ее получим, если в А каждый член заменим его алгебраиче-
ским дополнением, деленным на Д”, где Д — определитель А.
Поэтому, если какая-нибудь группа матриц заключает неособенную
А, то единицей группы должна быть Е. В самом деле, пусть /— едини-
ница группы. На основании (1) будет
Е1=1,
кроме того, AI = А, откуда на основании (2):
А-1 А/ = Е/— А-'А = Е,
т. е. I = Е.
Если не будет повода к недоразумению, то можно Е просто обо-
значать единицей.
Интересны также квадратные матрицы, у которых по главной диаго-
нали стоит одно и то же число k, а остальные члены — нули. Легко
убедиться, что от умножения любой матрицы А той же степени на та-
кую матрицу справа или слева все члены А получают множитель k, а
в остальных отношениях матрица не изменяется. Таким образом ука-
занные матрицы в смысле исчисления матриц равносильны обычным
числам. Мы их будем называть скалярными матрицами и обозначать kE
или иногда просто k.
Важно обратить внимание на то, что скалярные матрицы перестано-
вочны со всеми матрицами той же степени.
§ 102.	Нашей задачей будет исследование групп матриц, гомомор-
фных с данной абстрактной группой, т. ё. изучение представлений аб-
страктной группы в виде группы матриц.
Выгода таких представлений заключается в том, что структура аб-
страктной группы находит свое выражение в различных числовых соот-
ношениях между членами соответственных матриц. Здесь играют роль
коэфициенты так называемого характеристического уравнения матрицы
А, т. е. уравнения:
136
которое сокращенно можно записать так:
| А — хЕ | =0,
Пока исследована зависимость от структуры группы только двух
крайних коэфициентов характеристического уравнения — произведения и
суммы корней, т. е. определителя матрицы и суммы ее диагональных
членов называемой характером матрицы.
Рассмотрение определителя дает лишь очень простые, почти триви-
альные, хотя и важные результаты, вроде, например следующего: заме-
чая, что определитель произведения матриц равен произведению их
определителей, мы убеждаемся в том, что опд^рлитель обратной матрицы
есть обратная величина определителя данной; отсюда сразу следует, что
элементы группы, которым соответствуют в каком-нибудь представлении
матрицы с определителем 1, образуют инвариантную подгруппу, a
следовательно, определители всех матриц простой группы равны единице.
Напротив, рассмотрение характеров стало одним из самых тонких
и могущественных орудий теории групп, которому она обязана главней-
шими результатами последних 15 лет, в особенности относительно таких
вопросов, как простота или разрешимость групп. Поэтому и вся совре-
менная теория представления абстрактных групп в виде группы матриц,
носит название теории характеров.
Впервые теория характеров построена Фробениусом в 1896—1899 гг.1).
Введением к чтению этих трудных работ Фробениуса может служить глава
о характерах в „Lehrbuch der Algebra" Г. Вебера (11,193). Другой вывод
теории дал Бернсайд в 1903—1904 гг. (последнее изложение его спо-
соба во втором издании его теории групп). Наконец, в 1905 г И. Шур
(I. Schur) 2) дал совершенно элементарную теорию характеров, основан-
ную исключительно на исчислении матриц. Мы здесь будем следовать
изложению Шура.
§ 103.	Предварительно рассмотрим характеры абелевых групп, ко-
торыми пользовались задолго до Фробениуса. Общая теория характеров
вначале возникла именно как обобщение характеров абелевой группы.
С каждым элементом А абелевой группы можно сопоставить число
а таким образом, что а — корень n-й степени из единицы, если А п-го
порядка, т. е. одновременно
А" = 1, а“= 1.
Пусть элементами базиса являются Alt А2,... , Ат порядков п1У
п2,..., пт. Выберем систему а1, а2,..., ат корней из единицы сте-
пеней пь л2,... ,пт и сопоставим каждое а, с At. С элементом А",
Ах,...АтХт сопоставим число a2qa. Тогда, если элементам
группы А и В соответствуют числа а и р, АВ будет соответствовать
число ар. Таким образом система полученных чисел в смысле простого
умножения представляет собою группу, гомоморфную с данной абелевой.
х) Sitz, Berl. Ak.
’) Sitz, Berl. Ak., 1905.
137
Мы эти числа а, р,... можем рассматривать как матрицы первой
степени. Они тогда сами будут служить и определителями и характерами.
Их именно называют характерами первой степени абелевой группы.
Сколько различных систем характеров первой степени допускает
данная группа {А,} • {А2}... {Ли,} порядка g = nvп2... лт? Очевидно, ха-
рактеры элементов базиса независимы между собою. С каждым А,, можно
сопоставить любой из в,-ых корней из единицы. Всего получится
g —	... пт комбинаций. Итак, число различных систем характеров
первой степени абелевой группы равно ее порядку.
Любая группа имеет по крайней мере одну систему характеров пер-
вой степени, а именно то представление, когда каждому элементу соот-
ветствует число 1. Если группа ® имеет еще другое представление в
виде группы матриц первШ степени, то ® n-кратно гомоморфна неко-
торой абелевой группе, т. е. ® имеет инвариантную подгруппу 6 по-
®
рядка п с абелевой дополнительной группой^. По § 32 заключает
в себе коммутант 5? группы ®. Отсюда следует, что ® допускает столь-
ко различных систем характеров первой степени, каков порядок абелевой
®
группы ц, т. е. индекс коммутанта.
§ 10-1. Перейдем теперь к систематическому изложению теории ха-
рактеров.
Матрицу, соответствующую элементу А, будем в дальнейшем обо-
значать (А).
Пусть Ох = 1,	...,О„ — элементы конечной группы ®, и пусть
в некотором представлении им соответствуют матрицы:
(01). (О.)....(О.),	(1)
которые могут быть не все различными. Если (1) представление, т. е.
матрицы (1) образуют группу, гомоморфную с®, то должно быть
(K)(S) = (KS)
для всех матриц.
Изложение, теории упростится, если вместо п матриц (1) рассматри-
вать только одну, получаемую следующим образом. Помножим все
матрицы (1) соответственно на независимые между собою неопределен-
ные множители xej, х^,..., х6 и сложим их. Полученная матрица
называется групповой матрицей (Gruppenmatrix) представления (1). Чле-
ны ее — линейные однородные функции переменных xGl, хвъ, . . хСп.
Очевидно, матрицы, перестановочные со всеми (Gf), перестановочны
и с групповой матрицей, и наоборот.
В отличие от групповых матриц мы будем называть постоянною
всякую матрицу, члены которой — постоянные числа, не зависящие от х-ов.
Два представления одной и той же группы с групповыми матрицами
X ч Y называются эквивалентными, если существует такая неособен-
ная постоянная матрица А, что
А-1 ХА = У,
138
откуда и наоборот:
(,А~1)~1УА~1=Х.
Сами групповые матрицы тоже называются эквивалентными. Две мат-
рицы, эквивалентные с третьей, эквивалентны между собою, так как из
А~1ХА = У и B~1ZB=Y
следует:
(ЛВ-'у-'ХЛВ-'^ Z.
Групповые матрицы и соответственные представления делятся на
приводимые и неприводимые.
Групповая матрица X называется приводимою, если она эквивалентна
матрице вида:
где Хх и Х2—квадратные матрицы.
§ 105. В общей теории матриц или определителей просто доказы-
ваются такие два предложения:
1. От умножения любой матрицы (не только квадратной) на квад-
ратную неособенную ранг ее не изменяется.
2. Если Р— матрица ранга г с т горизонталями и п колоннами,
то можно найти такие квадратные неособенные матрицы А и В степеней
тип, что матрица АРВ получает следующий вид: г первых членов
главной диагонали равны единице, а все остальные члены равны нулю.
Из предложения 1 следует, что две эквивалентные групповые мат-
рицы имеют одинаковый ранг. Кроме того, очевидно, их определители
одинаковы. Наконец, докажем, что и характеры их равны. Достаточно
показать, что равны характеры двух матриц (7?) и А -1(7?)А. Обозначим
члены (7?) через гк1, члены А и Д-1 — через аы и аы. Очевидно, об-
щий член- си„ матрицы А~ '(₽) будет	следовательно, общий
член duw матрицы А~ (Р)А равен:
= си fliv ” S S “«/а-
I	I к
Вычислим характер Получаем:
= SS3 а«ЛА« = SSrwS <^лаы-
и	и I к	к I и
Но по определению обратной матрицы будет:
2а:Ал- = 1 или °’
смотря по тому, будет ли l = k, или нет. Следовательно,
— HjriM
т. е. характеры равны.
139
Изложение Шура основано на такой теореме:
Теорема I. Пусть Хи X' — неприводимые групповые матрицы
степеней f и f. Если постоянная матрица Р с f горизонталями и f
колоннами удовлетворяет уравнению:
ХР = РХ',	(1)
то или Р = 0, или степени f и f равны, Р—неособенная квадратная
матрица, X и X' эквивалентны.
В самом деле, если матрица РфО, то ее ранг г>0. Можно найти
две такие неособенные постоянные квадратные матрицы А и В, степеней
f и чтобы
*	II Er !|
где Ег—единичная матрица степени г, Ntk—нулевая матрица (т. е. мат-
рица, у которой все члены нули) с указанным числом горизонталей и
колонн. Здесь положено
1 — r-S, f— r~‘.
Из (1) получаем:
АХА~'АРВ = АРВВ~1Х'В,
а если обозначить матрицы	и В~1Х'В, эквивалентные соответ-
ственно с X и X', через Хг и Хг', то
*i<2 = QXi	(2>
Напишем матрицы Хг и Х^ в виде:
ив
тогда, производя перемножение, из (2) получим:
откуда
Xsr = 0, Xrt' = 0.
Если не t = 0, то X' оказывается эквивалентной матрице
следовательно, X/ приводима, вопреки предположению. С другой сто-
роны, если s ф 0, то X эквивалентна матрице
140
а если преобразовать -Yj при помощи неособенной матрицы
то получится:
^“41*: U
и X, эквивалентная с Х2 = (АС) гХАС, окажется тоже приводимой.
Итак, должно быть s = t = 0, f—f =г. Матрица Р — квадратная
неособенная, X и х£— Р~хХР эквивалентны.
Теорема И. Постоянная матрица Р, перестановочная с неприво-
димою групповою X, должна быть скалярной.
Пусть а — корень характеристического уравнения
|Р—хЕ| = 0.
Матрица Q — P—аЕ будет особенною и будет удовлетворять
равенству:
XQ = QX,
следовательно, по теореме I должно быть
О = О, Р = аЕ,
что и требовалось доказать.
Определитель неприводимой групповой матрицы X отличен от
нуля, если не считать неприводимыми матрицы первой степени, равные || ОЦ.
В самом деле, пусть (Е)— матрица, соответствующая единице груп-
пы. (Е) перестановочна с X, следовательно, (Е) имеет вид aEf, если f—
степень X. Но, вследствие (Е)2 = (Е),
а2 = а,
т. е. а равно нулю или единице; если а — 0, то и (Е) = 0 и
X (Е) = X = 0, что невозможно. Итак,
(£)-£?
Но тогда определитель X отличен от нуля, так как если бы он
равнялся нулю, то равнялись бы нулю определители всех матриц (/?),
в том числе и (Е).
§ 106. Выведем некоторые, соотношения, которым удовлетворяют
члены неприводимых групповых матриц.
Порядок представляемой группы обозначим через h, а степень не-
приводимой групповой матрицы X—через/. Элементу группы R будет
соответствовать матрица (/?) = Иа«11» члены групповой матрицы обозначим
через хв₽. Тогда
.	R
где сумма распространена на все элементы группы.
141
Возьмем произвольную матрицу U — || аа? || и рассмотрим матрицу
v= 2(я-')ад.
Л
Очевидно, V=||«»в? || перестановочна со всеми матрицами (/?),
а потому и с X, так что V должна быть скалярной матрицей:
V = vE.
Следовательно,
~ Veay
где, как и в дальнейшем, через еа? обозначаем число, равное единице
при а = 3 и нулю в остальных случаях.
В начале предыдущего параграфа мы нашли выражение для членов
преобразованной матрицы. Пользуясь им, получим:
(1>
Величину v найдем, положив а = [3 и суммируя по а от 1 до /.
Тогда
/'0“222“»2аГ'“';.
В к I а
но 2 aai ~ еа вследствие (fi) = (Е), следовательно,
°= ?22а«г»-
Подставляем это значение v в (1); сравнивая коэфициенты при
одинаковых членах и1к, получаем соотношение:
X' В~ 1 a h	.Л.
IX =	<2>
Если же
В
другая неприводимая групповая матрица степени /' и
то возьмем постоянную матрицу U с / горизонталями и /' колоннами и
рассмотрим матрицу
v' = 2w~’)W-
В
Очевидно, теперь
XV = УХ’,
следовательно, по теореме I § 105
V = 0.
142
Если составим выражение для членов V через члены U, то полу-
чим:
222«Г'“^-о.
<С к I
откуда
2<Ч-°-	(3)
R
Из соотношений (2) и (3), указанных впервые И. Шуром, получа-
ются все соотношения между характерами группы.
§ 107.	Обратимся теперь к приводимым матрицам. Основой является,
следующая теорема Машке (Maschke) х).
Теорема. Если групповая матрица X эквивалентна матрице
НН-
то она эквивалентна также матрице
НН-
Докажем эквивалентность X' и X". Степени Хх и Х2 обозначим
через т и п. Пусть в представлении X1 элементу группы R соответ-
ни-
Для удобства печати будем употреблять справа в виде индексов
строчные буквы, соответствующие прописным левой части. Таким образом,
например для (/?£) обозначения буд)Т Ar„ CTt и т. д.
Надо найти такую постоянную матрицу Р, чтобы
p~w=|;?’D°|	а)-
для всех R. Поищем Р в форме:
м-
Условие (1) тогда равносильно условию:
CT+Df=FAr.	(2)
Этому уравнению удовлетворяет матрица:
F = ^C,A71-DbCs,	(3).
s
где DB, СБ, АБ соответствуют единице группы, а сумма распространена
на все ее элементы.
Ч Math. Ann., S2.
143-
В самом деле, из (/?)(£) = (PS) получаем:
= Ars> DP. = Dr,>	(4)
CTA, + DTC,= Cr,	(5)
Если вместо F подставить его значение (3), то правая часть (2)
превратится в
т2с/,"Ч-адл„	(6)
а левая в
С, — ИДС, +	"
Последнее выражение после замены DTDE и DrC, их значениями из (4)
и (5) примет вид:
c-d^+|2c,a“‘-ca,	Р)
так как
Л S^r24»"4» I= ~h = ^tAE-
s	s
Если в (5) вставить S — E, то окажется
CrAE + DTCE = Cr,
я (7) обратится в-^-	Но это выражение равно (6), так как
А~1АГ = Д"21 , а элемент S под знаком суммы можно заменить через
который тоже вместе с 5 пробегает все элементы группы; что же каса-
ется DeCeAt, то эта матрица равна нулю, так как по (5)
Ве@ЕАг ~ (Ов---СеАЕ^Ат = СеАт--СеАт — 0.
Итак, требуемая матрица Р найдена, и теорема доказана.
§ 108.	Мы видели в предыдущем параграфе, что приводимая групповая
матрица X эквивалентна матрице вида:
И °11
HI» 4
Если Z приводима, т. е. существует матрица Р, преобразующая Z в
то и X' можно преобразовать при помощи
144
где у — степень Y, в матрицу
II к о о]
р-'х' р=х" = о и О .
[о о v|
Продолжая такое рассуждение, мы придем, в конце концов, к матрице,
эквивалентной X и имеющей вид:
. О
. О
где матрицы Хе неприводимы, либо равны нулю.
Заметив, что симметрическое перемещение i-й колонны и горизонтали
на место А-ых равносильно преобразованию при помощи матрицы, у кото-
рой aih = au= 1, диагональные члены, кроме а,,- и акк, также равны еди-
нице, а все остальные члены — нули, мы можем предыдущей матрице
придать такой вид, чтобы все нулевые матрицы оказались последними.
Тогда мы можем высказать такую общую теорему:
Любая групповая матрица X эквивалентна матрице вида:
где все Xt неприводимы, a Nt—нулевая матрица.
Такие матрицы мы будем называть приведенными.
§ 109.	Если
к -1	|| - ||2»'.л11. х = || х'., || = || 2	||....
не эквиваленты# между собою неприводимые групповые матрицы, соот-
ветствующие одной и той же абстрактной группе ®, то все х^,
x'-fi ,... — линейно независимые функции переменных хг!).
В самом деле, предположим существование зависимости
2С«?Х“₽ + 2е т8**5 +• • • = °,
где , с'Т4... —числа; тогда для каждого R
2СЛ + 2<А +  = “	С)
«•?	т-° * 10
*) Как в § 107, для удобства печати употребляем в качестве индексов строч-
ные буквы вместо прописных.
10 Абстршетаал теория групп.
145
Умножим (1) на акг 1 и возьмем сумму по /?, тогда по § 106 по-
лучим:
О— у	/С,Л>
т. е. все коэфициенты сй = 0, что и требовалось доказать.
Определитель Д неприводимой групповой матрицы — неприводимая
функция переменных хг.
Действительно, члены матрицы — линейно независимые функции этих
переменных, им, следовательно, можно дать совершенно производные
значения и^\ тогда хг определятся как линейные функции этих иа$.
Если бы теперь определитель Д был приводимой функцией от хг, то,
после подстановки вместо хг их выражений через Д обратился бы
в приводимую функцию от иа0, между тем как известно, что определи-
тель— неприводимая функция своих членов.
Определители эквивалентных матриц, конечно, равны. Обратно, если
определители неприводимых групповых матриц X и X' рйвны, то
матрицы эквивалентны.
Действительно, если бы Л' и Л' не были эквивалентны, то их члены
были бы линейно независимы, и переменные хг можно было бы так подо-
брать, чтобы эти члены принимали любые значения, следовательно, опре-
делители не могли бы равняться друг другу.
Это замечание дает доказательство такой теоремы.
Если групповые матрицы
. . 0
. . о
00 - •
0 0... Х‘т-
где X, и Хк — неприводимые матрицы с отличными от нуля определи-
телями, эквивалентны, то т = т', и матрицы Хк, Х%,..., Хп' экви-
валентны матрицам Хг, Х2,... ,Хт, хотя бы и в другом порядке.
Пусть Д{—определитель X,, а Д/ — определитель X*. Тогда опре-
делители данных матриц равны:

причем все А и Д' — неприводимые функции.
Но целая функция только одним способом разложима на произведе-
ние неприводимых множителей, следовательно т = т1, и определители Д'
равны опрелителям Д в некотором порядке или отличаются от них на
постоянные множители. Однако, если дать переменным значения хЕ = 1,
хг = 0 (для всех 7? ф £), то Д и Д' обратятся в единицу, следовательно,
равенство между определителями полное. А это значит, что матрицы X'
эквивалентны в некотором порядке матрицам X.
Итак, если мы эквивалентные матрицы не будем считать существенно
различными, то каждой групповой матрице X в приведенном виде
146
соответствует совершенно определенная система неприводимых груп-
повых матриц
называемых „неприводимыми частями" ее.
Среди матриц Xt могут быть эквивалентные между собою. Преоб-
разованием всегда можно достигнуть того, чтобы эквивалентные непри-
водимые части стали в точности равными, и чтобы все равные неприводи-
мые части располагались рядом.
Если после этого в преобразованной матрице неприводимая часть X,
повторяется г. раз, то будем rt называть индексом части Xt.
§ 110.	Обыкновенные подстановки составляют частный случай линей-
ных. Те линейные подстановки (матрицы), которые им соответствуют,
играют большую роль в теории характеров. Рассмотрим их поэтому
подробнее.
Если подстановка S имеет вид:
то соответственная линейная, производящая то же перемещение, будет
такова;
У1 = х,,
Уй=хк,
Получается матрица, у которой в каждой горизонтали один член
равен единице, а все другие — нули. Легко видеть, что такая матрица тол! ко
тогда будет действительно представлять линейную подстановку, когда и
в каждой колонне также будет только один член, равный единице. Опре-
делитель такой матрицы равен ± 1. Всегда, если подстановка переводит
хк в хг, то аи= 1, а остальные члены k-Vi горизонтали и l-Я колонны—
пули.
Например, подстановке (1, 2, 8) соответствует матрица
а подстановке (1, 4)(2, 5, 3) — матрица:
I	0	0	0	1	о
0	0	0	0	1
|	о.	1	о	о	о
1	0	0	0	0
II	О	0	1	о	о
147
Если дня всех подстановок группы степени п (т. е. перемещающей и
символов) составить такие матрицы, то получается изоморфная группа
матриц. При этом, конечно, все матрицы должны быть одной степени п,
и в подстановках должны приниматься во внимание единичные циклы.
Например, симметрическая группа третьей степени будет иметь вид:
В =
1 о о
О 1 о
0 0 1
О 1 о’
1 о о
0 о 1
О 1 О
О 0 1
1 О О
10 0
О 0 1
О 1 О
А2 =
аА2В =
О 0 1
1 О О
О 1 О
0 0 1
О 1 О
1 О О
А =
, АВ =
§ 111. В § 47 мы видели, как абстрактная .группа представляется
в виде группы регулярных подстановок. Все элементы группы выписыва-
лись в известном порядке в ряд, и рассматривались подстановки эле-
ментов ряда, происходящие от умножения с определенной стороны на
элементы группы.
В дальнейшем будем умножать справа.
Группа матриц, соответствующая этим регулярным подстановкам,
является очень важным представлением абстрактной группы. Пусть /? —
какой-нибудь элемент группы. В матрице (/?), соответствующей регуляр-
ной подстановке, на пересечении горизонтали Р и колонны Q тогда
и только тогда будет единица, когда Q = PR, т. е.
P-iQ=R.
Рассмотрим соответственную групповую матрицу:

Ее можно называть регулярной матрицей.
Очевидно, в регулярной группе подстановок только одна подстановка
P~yQ переводит Р в Q, следовательно, в групповой матрице на пересе-
чении горизонтали Р и колонны Q стоит только хр—1д, т. е.
Степень регулярной групповой матрицы равна Л, порядку группы.
Преобразуем X в приведенную матрицу Y, у которой все эквивалент-
ные неприводимые части равны и расположены рядом (§ 109).
Пусть Y имеет I различных неприводимых частей Yx, Ye,..., У,
степеней /х, /2,..., ft и индексов , г2,..., гг.
Числа r(, f и I связаны для регулярной групповой матрицы замеча-
тельными соотношениями.
Во-первых, в матрице X членами являются сами переменные хг, число
линейно независимых среди членов, следовательно, в точности равно
числу переменных хг, т. е. Л. С другой стороны, у У по теореме
§ 109 Л2+А2 + .  •+/г2 линейно независимых членов. Но эти числа
148
должны быть одинаковыми, так как X и У эквивалентны,
F—линейные функции членов X, и наоборот. Итак
т. е. члены
/? + /22+ ••-+/? = Л.
Чтобы определить г{ и /, найдем число произвольных параметров,
от которых .зависят члены самой общей постоянной матрицы V, переста-
новочной с X, а также число произвольных параметров в самой общей
матрице U7, перестановочной с X и со всеми V. Те же числа найдем
для У и приравняем их, так как искомые числа у эквивалентных
матриц, очевидно, равны.
Начнем с У. Эта матрица имеет вид:
Ki 0 .	.	.00.	.	. О.!
О Yi .	.	.00.	.	.0
причем матрица Уг повторяется Fj раз, матрица У2—г2 раз и т. д.
Представим перестановочную с у матрицу А в виде:
/Х1.1) рад _ _ _ р(1,ц р<1,2) . _ . рад
рл1)	^12) • • ’ Р=г’г)
рад ра,1>. # . ра,')	. рад
/Х2Д) р(2,1) , . . р(2,1) р?2,2) _ ; . р<2,1)
р(1,Т) pfti) p(U) ZXW) . . р(М)
Г,1 г? ' - ‘ rf2 гг*	ггп
где — прямоугольная матрица с fm горизонталями и/я колоннами.
Из
У А =АУ
получаем:
у р(т,и) — р(т,п)у
♦я ар ар п '
Но если т п, то Ут и Уп неэквивалентны, следовательно (§ 105),
'	jW».») = 0	(т± п).
149
По той же теореме § 105

Итак, произвольными параметрами являются числа
а%>.
Значки а и (3 меняются of 1 до гт, ат — от
произвольных параметров
'г2 + г/ + • • • + Ф
до I, следовательно,
Конечно, этот результат правилен для всякой матрицы, не только
регулярной.
Найдем теперь число произвольных параметров в матрице В, имею-
щей вид, подобный А, и перестановочной со всеми А, т. е. при всех
значениях
«Р
Пусть значения а<”> для В будут Тогда, как легко видеть, должны
быть перестановочными матрицы:

а(п> а12>    > “1?
а$,	• • • > агг
д<7>, 6<”'\ . . . Ь<^
Ь%\ Ь%\ . . . Ь™
и
а(*), а(£', .  . , а<^>
Ь$\ bty, . . . ?/;>
где г написано вместо гп. Но А„ — совершенно произвольная матрица
с независимыми между собою членами, следовательно, Вт должна быть
скалярной матрицей
Итак, в В остаются произвольными параметры
&1, Ь2, ... , bt;
число их I.
Найдем теперь соответственные числа для X. Вспомним, что строки X
обозначены элементами абстрактной группы. Пусть
перестановочна с
Сравнивая в матрицах
XV = VX
члены на горизонтали R и колонне Q, получим;
S г 1 ®	5v х 1 •
—4 R~‘S S.Q R.SS-^Q
1.50
х v = V v ,х ,
Р RP,Q ~ R.QP- P
V = 1>	, .
RP, Q R, QP -1
обозначим vBT через vT Тогда окажется
осталось h пооизвольных членов Вспоминая
Изменим теперь обозначение, вставив вместо S в левой части RP,
а в правой QP"1, и вместо 5 суммируем по Р. От этою равенство не
нарушится, так как S, Р, RP и QP-1 одинаково пробегают все элементы
группы. Получаем:
2
откуда
Положим R = Е и
Итак, в матрице v
число произвольных параметров в матрице А, перестановочной с Y,
получаем:
г,> + г,’+... +	(1)
Степень матрицы Y, равная h, очевидно, равна сумме степеней всех
приводимых частей, т. е.
АГ1 + fir2 + • • • + fil = fl-	(2)
Кроме того, мы имеем:
А2 + А2 + ...+/? = А.	(3)
Из этих трех равенств вытекает:
(/1 -А)2 + О* - А)2 + • • • + to -Л)2 = о,
^=Л;	(4)
для регулярной групповой матрицы индексы неприводимых частей равны
их степеням.
Определим, далее, для X число произвольных членов в матрице W,
перестановочной с X и со всеми V. Конечно, W должна также иметь
вид:
С другой стороны, если бы мы искали общий вид матрицы, пере-
становочной с матрицей
у которой числа v,„ произвольны, то таким же путем, как мы выше
для ||*Р_1в|| получили перестановочную матрицу в виде	мы для
последней получили бы, наоборот, матрицу
111
Итак, в матрице должно быть
или, если положим Q = PR:
следовательно, члены W, обозначенные элементами одного и того же
класса сопряженных элементов, равны. Произвольных членов будет столько,
сколько различных классов в абстрактной группе. Мы обозначим это
число через k. Тогда оказывается
l = k-,
в регулярной групповой матрице столько различных неприводимых
частей, сколько классов в группе.
§ 112. Приведение регулярной групповой матрицы дало нам k раз-
личных (неэквивалентных) неприводимых представлений. Других непри-
водимых представлений той же абстрактной группы, неэквивалент-
ных полученным, нет.'
В самом деле, если существует еще неэквивалентное с данными
неприводимое представление степени то по § 109 все члены числом
/,’+/?+—+Л'+Г‘.
линейно независимы, но мы только что получили:
Л*
а линейно независимых между собою функций от h переменных хг не
может быть больше h.
Итак, неприводимыми частями всякой групповой матрицы являются
неприводимые части регулярной матрицы, повторенные то или иное число
раз. Эти неприводимые части и должны быть ближе исследованы. Нас
особенно будут интересовать характеры, соответствующие неприводи-
мым представлениям, которые называются простыми характерами.
Характеры элемента R в k неприводимых представлениях обозначим
Х1(Я), Z>W)...... А (Я).
Если y_(R) — характер R в каком-нибудь представлении, которое
после приведения имеет индексы	"	,
г1, г2,..., гк,
то, очевидно,
Z (я) = riZi («) + 'Л (Я) +    + AZ. (Л.
так что все сводится к рассмотрению простых характеров.
Выведем, однако, еще несколько свойств характеров вообще. Для
этого обратимся к абелевым группам. Мы нашли в § 103 Л неприводи-
мых представлений абелевой группы порядка Л. Эти представления не-
эквивалентны, ибо эквивалентные матрицы первой степени попросту равны.
152
Следовательно, других неприводимых представлений абелевы группы не
имеют. Характерами этих представлений являются, как мы видели, корни
из единицы.
Возьмем теперь в любой группе ® циклическую подгруппу {/?}. Во
всех представлениях ® этой циклической группе будет соответствовать
циклическая группа матриц. Так как циклические группы — абелевы, то
после приведения такой циклической группы приведенные части все будут
первой степени. Получатся матрицы, у которых по главной диагонали
стоят несколько корней из единицы, а остальные члены — нули, т. е.
матрица вида:
рх 0 . . .00. . .0
О р3 . . .00. . .0
0 0. . . рг 0 . . .0
00. . .00. . . о
00. . .00. . .о
где р,—корни из единицы. Число г равно рангу групповой матрицы.
Но характеры от преобразования не изменяются. Отсюда следует, что
характер всякой матрицы есть сумма корней из единицы.
1(«)’Л + Р1+- + Рг
В частности, для единицы Е все р равны единице, и получается:

У неприводимых матриц ранг равен степени, следовательно, для z-ro
из k различных неприводимых представлений
Х< (£)=/<»
&(#)== Pi + Рг + ••• + P/f •
Мы видели в § 105, что эквивалентные матрицы имеют одинаковые
характеры. Между прочим, если группу ® преобразовать при помощи
какой-нибуд подстановки S той же группы, то групповая матрица
R
преобразуется в эквивалентную ей:
2(5-'Я5>».
R
15В
•следовательно,
7.(Ю = Х($" ^1, •
т. е. характеры сопряженных элементов равны. Отсюда получаем, за-
меняя /? на SR:
7.(SR)~i(RS).	(I)
§ 113.	Обратимся теперь к простым характерам и выведем соотно-
шение между ними. Мы нашли уже, что существует k систем простых
характеров, а именно системы:
й(Я), х.да,- -, Х,(Я),
где R пробегает все элементы группы. При этом
-д(Е)=Л, Z.B-A........	(1)
где /, — степень i-ro неприводимого представления. Числа /( связаны ра-
венством:
Л=+Л* +•..+/? = *.	(II)
Все эти неприводимые представления являются частями регулярной
групповой матрицы, причем индексы частей равны степеням. Так как
регулярные подстановки, отличные от единицы, перемещают все элементы
без исключения, то все члены.по главной диагонали у таких матриц —
нули, кроме тождественной, у которой они равны единице, т. е. для ge-
гулярной групповой матрицы
/-(/?) = О
при R ф Е, и
Х(£) = Л.
Вспоминая, что индексы неприводимых частей регулярной матрицы
равны степеням, имеем:
2/Л(^) = Ч>	О”)
г = 1
где ег равно единице для R *= Е и нулю в остальных случаях;
Воспользуемся выведенными в § 106 соотношениями между членами
неприводимых групповых матриц:
2“.Г'“*г = 7'.гЛ*	Р)
Я	'
2“"'Ч-=°.	(3)
Я
где е равно единице при v = p и нулю при различных значках.
ПустЬ 5 п Т — два элемента группы. Умножим (2) на а$л а^. и просум-
мируем по а и А. Будем иметь:
2(2	(2 44) - т-2	2 .»4 
Я а	к	1 «	к
154
Очевидно,
V „sb-1 „SR ~1 Vi т п TR
«	к
так что получается:
V „SR ~'„TR — Л nз * s * „7	Гл,
2- ati йб,з — f at?ait-	(D
Предположим теперь, что матрицы ||а^||'соответствуют неприводимому
представлению X. Тогда надо положить / = /, и
s»:=-/.,№> ’
Возьмем в этом предположении частный случай формулы (4) когда
7 = I = а, 8 = р, Т= Е. Она обратится в
v „ЗВ-1 В ft Я .
Х> йм азз — у ’
В	,
суммируя по а и £, получим:
Jz.W-')Z,ffl-fZ1(S).	(S)
в
В частности, для S = Е получается:
2z,(«-1)z,W) = '>-	(iv)
В
Если же в (4) положить 8 == I = a, f = р, то формула примет вид:
х? „SR -1 „TR к я „Т
X %	“7V”’
В	J
Суммируем по а и по [3. Замечая, что
V „SB-1 „ТВ SR~1TP.
Z аз, fl«? = й₽э
получим:
z,(S)z.(ri-42zf<ffi'lre)- <v»
В
Другие соотношения получим аналогичным способом из (3). Для
этого умножаем (3) на o.sabfh и суммируем по-а и к. Получится:
з	и
в
Применяем эту формулу к тому случаю, когда матрицы ||a^j| отно-
сятся к неприводимому представлению Xf, а ||	—к Хв.
156
Тогда полагая Т=Е, т = /==а, 6 = £ и суммируя по а и £, по-
лучим:
2х,(ж~‘ШЧ-°- '	(’)
£
При S = Е эта формула превратится в
2z,(S‘‘)z,«)-<>	(VI>
Я
Из полученных соотношений выведем еще несколько следствий. Сум-
мируем (V) по р от 1 до k. Получим:
2 z, (Ч х, Ю - 22
р	Яр
По формуле (Ш) в правой части сумма по р не равна нулю только
тогда, когда
=	(8)
т. е. R~' TR = S'1. Следовательно, если Т и 5“’ не сопряжены, то эта
сумма всегда равна нулю, если же эги элементы принадлежат к одному
и тому же классу порядка ha, то сумма при изменении R примет зна-
чение единицы
h
Л.-
раз, так как таково число решений уравнения (8) относительно R.
Итак,
2z,Wz.(Z) = o,	(VII)
р
если S " и Т не сопряжены, и
2 z,(4z,	(viu)
ГЛАВА X
ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА Н ПРИЛОЖЕНИЯ ХАРАКТЕРОВ
§ 114.	Предыдущая глава заключает общую теорию характеров.
Основные свойства их выражены в восьми соотношениях конца главы,
помеченных римскими цифрами. Теперь займемся выводами из этой
теории, получим еще ряд свойств характеров и, проследив, как на ха-
рактерах отражаются свойства представляемой группы, перейдем к при-
ложениям теории характеров к абстрактной теории групп.
Почти все теоремы об абстрактных группах, доказанные при помощи
характеров, устанавливают наличие нормального делителя у группы при
тех или других условиях. Всеми результатами в этой области наука
обязана Фробениусу и Бернсайду. Работы первого, относящиеся сюда,
напечатаны в протоколах Берлинской академии наук (1900—1903J,
а исследования второго воспроизведены во втором издании его „Theory
of groups". Мы ограничимся только самыми замечательными теоремами,
которые имеют приложения к нахождению всех простых групп данного
порядка, и для характеристики последней задачи заключим книгу опре-
делением простых групп, порядок которых состоит из пяти или меньшего
числа Простых множителей.
§ 115.	Дополним последние результаты предыдущей главы несколь-
кими новыми предложениями.
Вспомним, прежде всего, что характеры как суммы корней из еди-
ницы— целые алгебраические числа. Это дает возможность доказать
следующее предложение:
Все числа ff (степени неприводимых представлений) — делители по-
рядка h данной группы.
Для доказательства обратимся к равенству (5) § 113, переписав
его в виде:
где, как и раньше, е = 1 при SR~l = Е и е = 0 в остальных случаях.
Такие -равенства напишем для всех h элементов 5. Получим h линей-
ных однородных уравнений относительно h. количеств у (/?), если скобки
рассматривать как коэфициенты. Так как по крайней мере один из ха-
рактеров, а именно х (Д) = ( » отличен от нуля, то должен равняться
нулю определитель из коэфициентов
157
причем /? и S пробегают все h элементов группы. Отсюда ясно, что
-у удовлетворяет уравнению степени h с целыми алгебраическими
коэфициентами и с коэфициентом 1 при старшей степени, т. е., по из-
вестной теореме, -у — целое алгебраическое число. Будучи в то же время
рациональным, оно может быть только целым рациональным числом,
что и требовалось доказать.
Среди неприводимых представлений каждой группы имеется и еди-
ничное представление, когда всем элементам группы соответствует мат-
рица первой степени || 1 ||. Будем считать это представление первым.
Тогда
/1=1, z(«)-/l=l
для всех /?.
В единичном представлении сумма характеров всех элементов равна,
очевидно, порядку h. Во всех других представлениях эта сумма равна
нулю. В самом деле, если в формуле (VI) положить р= 1, то х1р?“1) =
= 1, и
2z,W = o
R
для а = 2, 3,..., k.
Укажем еще связь между характерами обратных элементов R и /?-1.
Пусть (/?) — неприводимое представление. По § 112 после приведения
циклической группы {(/?)} получится матрица вида:
I Pi 0 . . .0
I 0 р2 . . .0
| о о . . . pr i
причем р4 — корни из единицы. Если написанная матрица соответствует R,
то /?’ 1 будет соответствовать матрица:
РГ1 о . . .0
0р2-1. . .0
0 0. . . р"1
так как Е соответствует единичная матрица. Принимая во внимание, что
корни из единицы р и р-1 — сопряженные комплексные числа, приходим
к выводу, что
сопряженные числа.
158

§ 116.	Так как эквивалентные представления не считаются различ-
ными, то приводимое представление вполне определяется своей системой
индексов rt (§ 109). Покажем, что индексы можно найти, зная характеры
/(/?) представления, т. е. что представление определяется вполне своими
характерами.
В самом деле, пусть известны числа:
•zW)-2vz.(S)-
»•=!
Умножим обе части на один из простых характеров и про-
суммируем по R. На основании равенств (IV) и (VI) теории характе-
ров, получим:
2-z(R)-z,W"*)-4,	(О
К
и индекс г найден. Отсюда ясно также, что два представления тогда
эквивалентны, когда их характеры равны.
В частном случае, когда характеры ^(7?) относятся к группе подста-
новок, индекс гг единичного представления всегда отличен от нуля..
В этом нас убеждает последнее равенство, которое для единичного
представления имеет вид:
2 z(s> =
R
так как все ух(5) равны единице. В случае группы подстановок -/(/?)—
неотрицательные целые числа, и -/(£)>0, так что левая часть, наверно,,
отлична от нуля, а потому
гх > 0.
Если группа подстановок транзитивна, то
^ = 1.
В самом деле, пусть степень группы п, а порядок h = тп. В силу
транзитивности будет ровно т подстановок, переводящих любой символ
в любой другой, в частности т подстановок, оставляющих первый сим-
вол без изменений, столько же для второго и т. д. Отсюда следует, что-
в матрице ^(7?) диагональные члены все равны т, следовательно,
R
характер этой матрицы равен
пт — h.
Но, с другой стороны, он равен сумме всех характеров представ-
ления, так что
2-х(Я)=*.
Я
•ткуда
169
§ 117.	Если перемножить почленно равенства:
хда- 2w(R),
? = ’
P = 1
м взять сумму по R, то те же формулы (IV) и (VI) дают:
Н	р = 1 '
Для матрицы, соответствующей регулярной группе подстановок.
Определим теперь значение 2 г 2 для лю^0^ транзитивной группы
^подстановок. Вспомним для этого из § 111, что 2Г 2 равно числу про-
извольных параметров, от которых зависит самая общая матрица, пере-
становочная с групповой матрицей, т. е. со всеми (/?). Найдем это число
непосредственно. Пусть групповая матрица будет:
*-2 *»(«)“ W-
.данную транзитивную группу подстановок, перемещающую п символов,
например, числа 1, 2,..., л, обозначим®, a SER пусть будет под:руппа
подстановок, не перемещающих символа 1. Если G2, G3,...,Gn—ряд
^подстановок, переводящих 1 в 2,3,..., п соответственно, то
® = 9R + 9RG2+... + SRG„.
Если т — порядок S£R, то в группе будет как раз т подстановок,
'переводящих I в h, а именно подстановки системы
Вспомнив, что в матрице, соответствующей подставке, на пересечении
г-й горизонтали и й-й колонны стоит единица, если подстановка пере-
водит t в k, и нуль во всех других случаях, легко усидим, что хи.
равно сумме переменных хл, распространенной на все R, которые вхо-
дят в G(-1SERGt. Ясно также, что каждое xR встречается только раз
в каждой строке.
Рассмотрим теперь матрицу А = || а1к ||, перестановочную с X. Мы
должны иметь
АХ = ХА,
•откуда
2 аихл = 2 xaatk 
2160
На основании предыдущего рассуждения,
если многочлены хл и хи содержат оба какое-нибудь переменное хл,
т. е. если
О~г<5Яак и G~l<$lGt,
имеют общий элемент
= О<~гМ2О„
откуда
GiG~1Ml = MiGtGk~1
или
ЭДО,О,^‘ЭД = ЭДС,С,-’ЗД,
т. е. OtG,~1 и С2Ок~г сравнимы по двойному модулю ЭД, ЭД (см. § 12).
Итак, среди членов А столько независимых, сколько различных
элементов в полной системе вычетов ® по двойному модулю ЭД, ЭД.
Найдем это число. Сопряженные системы ЭДО, и ЭДО* окажутся
в одной системе ЭДО(ЭД, если
Gk =
Gk переводит 1 в k, следовательно, М2 переводит I в к. Наоборот,
если существует элемент М2, переводящий i в k, то О(М2 = Л13Ок, откуда
ЭДО<ЭД=ЭДО*ЭД.
Мы видим, что ЭДО4 и ЭДО4 тогда и только тогда заключаются
в одной системе ЭДОЭД, когда в ЭД есть элемент, переводящий i
в k. Следовательно, различных систем ЭДОЭД будет столько, на сколько
систем интранзитивности (§ 55) разбивает группа ЭД те п символов,
которые перемещаются подстановками ®, включая и символ 1, которому
в разложении по двойному модулю соответствует система ЭДЭД = ЭД.
Итак, если транзитивная группа подстановок, рассматриваемая
как группа матриц, имеет систему индексов гх, г2,..., гк то
к
2'.’
<=1
равняется числу систем интразитивности, на которые разбиваются
перемещаемые символы подстановками подгруппы, оставляющей один
символ без изменения.
Мы доказали эту теорему на основании теории И. Шура. В книге
В. Бернсайда она доказана на осноиании его теории представлений
и характеров х).
Для дважды транзитивной группы получается как следствие:
2 г.2 = 2,
J) Р. 275.
так что в приведенной матрице всего два неприводимых представления:
единичное и еще одно, например, второе. Следовательно, для такой группы
подстановок
г1 = г2 = 1, rf=0(j>2),
откуда, можду прочим, видно, что абстрактная группа, которую можно
представить в виде дважды транзитивной группы подстановок, имеет
систему целых рациональных характеров, кроме единичной.
Если же группа подстановок ® только один раз транзитивна, т. е.
S01 интранзитивна относительно п—1 символов 2, 3,..., и, то
S > 2 •
Докажем, что в приведенном виде © заключаются по крайней мере
три различных неприводи ых представления 1).
В самом деле, г,= 1, если же еще тол-ко один из индексов отли-
чен от нуля, н пример г2, то г2>1. Возьмем подстановку /?, переме-
щающую все символы; ее характер равен нулю, т. е.
0 = l+vza(^),
и у2(/?) оказывается дробным числом, чего быть не может.
Остается убедиться, ч о во всякой транзитивной группе имеются
подстановки, перемещающие все символы. Пусть л — степень, а пт — по-
рядок транзитивной группы. Тогда будет т подстановок, не изменяю-
щих символа 1, столько же для симв >ла 2 и т. д. Среди этих подста-
новок каждый раз считается и тождественная, следовательно, различных
подстановок, перемещающих ке все символы, будет не больше чем
1 Ч-л(/я — 1) <пт,
так что в егда остаются подстановки, перемещающие все п символов.
§ 118. Посмотрим, как на простых характерах проявляется суще-
ствование нормального делителя у группы.
Если группа ® имеет нормальный делитель 5), то всем представ-
® к	ж	/й
лениям будут соответствовать гомоморфные представления ф, при
которых со всеми элементами S) сопоставлена одна и та же матрица (Е).
Если произвести приведение этих представлений, то получится несколько
неприводимых представлений, обладающих тем же свойством. Поэтому
будет несколько таких систем ур(/?) простых характеров ®, что харак-
теры всех элементов S) одинаковы и равны характеру единицы, т. е. /р.
Справедливо также обратное заключение: если в не-единичном пред-
ставлении характер y(R) какого-нибудь элем, нта, кроме единицы груп-
пы, равен у(Е) — t, то R принадлежит к некоторому нормальному
делителю группы, отличному от самой группы.
Это заключение верно д же в том случае, когда y(R) = о>/, где
о> — любой корень из единицы. Де-ствительно, мы знаем, чтоу(7?)—сумма
/ корней из единицы. Из геометрического представления мнимых вели-
х) Burnside, Theory, р. 338.
162
чин сразу видно, чго эта сумма может иметь модулем f только в том
случае, когда все корни одинаковы, ибо иначе модуль суммы был бы
меньше суммы модулей. Следовательно, из условия у(А?) = <о/ вытекает,
что после некоторого преобразования (§ 112) матрица (/?) переходит в
скалярную <аЕг Но скалярная матрица со всеми перестановочна и от
преобразования не изменяется, так что и до преобразования
(R) = а>Ег
~ Ясно, что (/?) принадлежит к центру представления, следовательно,
будет ли представление изоморфным или гомоморфным, — во всех слу-
чаях (§ 29) R принадлежит к действительному нормальному делителю
группы, за исключением тривиального случая циклической группы.
§ 119. Знание строя абстрактной группы (§15) позволяет вычислить
все k систем простых характеров. Для этого можно воспользоваться
композицией классов.
Пусть Ct=l, С2, С3,..,,СЛ— все классы сопряженных элементов
группы ®. Рассмотрим систему С(СИ. Если в ней находится элемент Gt
класса Ct, то в ней весь класс С, целиком; в самом деле, одновременно с
Gi = GiGm
в С,Сет будут входить все элементы
5_1GjS =
Если мы будем каждый элемент считать столько раз, сколько он
появляется при перемножении всех элементов С{ со всеми элементами С„„
то получим, таким образом:
— 5 CimlGl >
где с(ш|—целые неотрицательные числа.
Рассмотрим теперь для какого-нибудь представления матрицу, рав-
ную сумме матриц всех элементов класса Си — обозначим ее через (СД
Тогда будем иметь:
= (1)
Обратим внимание на то, что система С, перестановочна со всеми
элементами группы:
S~1CiS=Ci,
так как обе стороны равенства состоят из одних и тех же элементов.
Поэтому и матрица (Ct) перестановочна со всеми матрицами группы,
или, что то же, с соответственной групповой матрицей. Следовательно,
для неприводимого представления по теореме II § 105
(С,)=<’£,,.
Число сф связаны с характерами. Если ht—порядок С„ то, оче-
видно,
z/cj='<<’.
11*
163
где Хр обозначает характер элемента i-ro класса в р-м неприводимом
представлении. С другой стороны.
х, К) = <"/,.
поэтому
или, наоборот,
(О -44”
Хр-Лг-
Зная с®, мы, таким образом, найдем 7^, а числа Ср’ найти нетрудно.
Будем в дальнейшем писать х( вместо Ср”. Равенство (1) равносильно
такому:
= 2 смхг
Получается система k уравнений:
xix\ — 2 cnixi>
Х1Х2 — 2 С1зЛ
Х1Хк — 2 СШХ1 
Из чисел х( по крайней мере хг ф О, но эта система имеет отлич-
ные от нуля решения относительно xlt х2, •.>х1 только при
условии:
Г«Т1	ХИ	Cil2 • •	•	• » CfU
Cl21 >	Ci2J--xi> •	•	• , clih
= 0.
(2)
САЛ • CU2 > • • • 1 cHk Xi
Ч 1сла clni все известны, если мы знаем строй группы, следовательно,
это уравнение дает возможность найти х(, и притом все k значений
этого числа. Порядки классов h{ также известны из строя группы, так
что после решения уравнений (2) для всех i найдены числа:
164
Затем из формулы (IV) теории характеров, которую можно перепи-
сать так:
Хр (/?-»)___л_
21 >, '	f,"
получаем ff, и, наконец, характеры -%® находятся окончательно.
§ 120. Уравнение (2) предыдущего параграфа показывает, что числа
х’-“77
целые алгебраические.
Характер — сумма ft корней из единицы некоторой степени,
скажем р., т. е. сумма ft целых степеней некоторого первообразного
корня г. Если заменять г другими первообразными корнями, то полу-
чатся сопряженные с xt целые алгебраические числа.
Возьмем норму х4, т. е. произведение сопряженных чисел. Она будет
рациональным числом (как симметрическая функция первообразных кор-
ней), с другой стороны, она — число целое алгебраическое, следовательно,
она — обыкновенное целое число. То же справедливо и для нормы харак-
(0 с	(О
тера Хр • Если сопряженные с числа будут аь а2,..., ат, то норма
Пусть целые числа ht и f9 — взаимно простые, тогда П должно
делиться на т. е.
гь,
/Г
целое число. В то же время и модуль
т
П | а, |
» = 1
целое положительное число или нуль. Но мы видели уже в § 118, что
модуль каждого из чисел аа не больше ff , следовательно, указанное
число может равняться только нулю или единице. Если оно нуль, то все
W
а, нули, в том числе и •/,, а если единица, то для всех s
I ».!=/,.
что по тому же параграфу возможно лишь в случае аа = <»а/9, где <оа —
корень из единицы. В частности
165
Получается теорема Бернсайда *):
Если степень ff какого-нибудь неприводимого представления —
взаимно простая с порядком ht какого-нибудь класса, то характер
элементов класса равен или нулю или корню из единицы, умножен-
ному на ff .
В § 118 мы видели, что во втором случае группа обязательно
имеет нормальный делитель, т. е. составная.
Замечательны следствия теоремы Бернсайда 2), представляющие яркий
пример приложений теории характеров. Эти следствия из других сообра-
жений пока не получены.
Следствие I. Если порядок какого-нибудь класса абстрактной
группы — степень простого числа, то группа не может быть простою.
Пусть ht = ра . Из соотношения
2/,! = "
р
видно, что кроме Д существуют и другие /р, не делящиеся на р, на-
зовем их /2,...	. По теореме этого параграфа группа могла бы быть
простою только в том случае, если
-х,®-- -х.‘10 = о-
Но тогда равенство
2/,х® = »
р
приводит к сравнению:
/де®=0 (mod р),
или
1 еыеО (mod р),
что доказывает невозможность допущения.
Как и в § 118, исключен из рассмотрения тривиальный случай группы
простого порядка.
Следствие II. Группа, порядок которой делится только на два
различных простых числа, всегда разрешимая.
Действительно, в группе порядка p*q'? имеется подгруппа Силова
порядка ра . Инвариантный элемент этой подгруппы будет во всей группе,
очевидно, принадлежать к классу из	элементов. Применяя след-
ствие I, убеждаемся, что группа составная. Но те же рассуждения спра-
ведливы относительно всякого нормального делителя и всякой дополни-
тельной группы, так что последние могут быть простыми, только если
они простого порядка, т. е. группа должна быть разрешимой.
§ 121. Мы знаем, что подстановки изображаются матрицами, у ко-
торых в каждой колонне и горизонтали по одной единице, а остальные
члены—нули. Рассмотрим подобные им матрицы, где в каждой строке
’) „Theory", р. 322.
’) Ibidem.
166
только один отличный от нуля член, но не обязательно единица. К ним
можно притти следующим образом (Бернсайд.)
Пусть ® имеет подгруппу 55, а последняя — нормальный дели ель
и притом такой, что — циклическая группа (такой делитель суще-
ствует всегда, если & не совпадает со своим коммутантом). Пусть
® = 5о + ЙТ2 + ...+<о7-в,	1
<0 = <5 + ^S + ...+S:5m-1, )
(О
Составим выражение
а = g + «” -‘да +... + «.gs" -
где ш — корень те-й степени из единицы. Замечаем, что 2 не изменяется
от умножения (справа) на элемент группы *5 и получает множителем
число о> от умножения на S. Построим п выражений
а, ат,,..., ат,.	(2)
Если от умножения справа на О система S)Tt переходит в 8>Т,
то
Tfi = НТ} = FSaTjt
а тогда
QTtG = QFS' Ту = о>°2 Ту.
Итак, от умножения справа на любой элемент G группы ® выраже-
ния (2) претерпевают подстановку, как и сопряженные системы (1 ,
и, кроме того, умножаются на различные степени <о, т. е,- получается
матрица указанного вида.
Определитель Д такой матрицы, очевидно, по абсолютной величине
равен произведению всех множителей <ов. Если он не для всех G равен
единице, то группа имеет нормальный делитель, состоящий из тех G, для
которых Д = 1.
Возьмем тот случай, когда 55— подгруппа Силова порядка р’, и
обозначим 3 подгруппу всех перестановочных с 55 элем.нтов. Предпо-
ложим, что все элементы 3 перестановочны со всеми элементами 55, так
что сама 55—абелева. Вспомнив теорему § 92, по которой инвариант-
ные элементы $>, сопряженные в ®, сопряжены также уже в 3, мы
видим, что в данном случае никакие два элемента $> не сопряжены в ®.
Если в базис 55 входит элемент 5 порядка р$, то существует под-
группа 'J порядка рл такая, что
Применим к этому случаю предыдущие рассуждения. Пусть QTt,
одно из выражений (2), от умножения на 5 приобретает только множи-
тель ш, не переходя в другое из выражений (2). Тогда TlS = HT„ от-
куда, по только что сказанному, Н = S,
ЙТ,5 = 25Т4=®2Г(.
167
Таких Т4, перестановочных с S, будет —а , если v — порядок группы
перестановочных с <$ элементов, т. е. число их взаимно простое с р.
Если о> был первообразный корень из единицы, то произведение
множителей, приобретаемых этими 2ТЛ будет также первообразный
</₽-й корень.
Рассмотрим теперь ряд выражений 27}, перемещаемых циклически
умножением на S; обозначим их
21( 2г, . . . , 2pS(i<P).
Пуст1 при этом 2j переходит в	Умножение на S** не бу-
дет перемещать этих выражений, а только умножит каждое из них на
^«. + *+•••+«11 =
где р. = р*. Вследствие
У = 1
должно быть
= ;=«->•.	(з)
Определитель матрицы, соответствующей S, есть произведение всех
со на ш" (к = ), т. е. вследствие (3) равен первообразному корню
степени р$ из единицы, а следовательно, группа S имеет нормальный
делитель, не заключающий в себе 5. К этому  нормальному делителю
можно применить то же рассуждение, и тогда окажется, в конце концов,
что ® имеет нормальный делитель порядка Получается теорема 1).
Если ® порядка g имеет подгруппу Силова &> порядка р’ н S)
входит в центр группы 3 всех перестановочных с S) элементов, то
® имеет нормальный делитель порядка .
Наиболее существенный случай этой теоремы доказан впервые
Фробениусом в 1895 г. 2), а именно группа ® имеет нормальный
делитель порядка , если подгруппа Силова Sb (порядка р’) абелева
и числа g и
»(*)-(/—	!)...&> — 1)
взаимно простые. Значения 9 (Jo) указаны в § 83. По § 83 в нашем случае
все элементы 3 могут производить только тождественный автоморфизм Jo,
т. е. перестановочны со всеми элементами последней; вторая теорема
поэтому, — частный случай первой.
Повторяя это рассуждение несколько раз, получим теорему Фробе-
ниуса в такой формулировке.
Если порядок ® есть g = p*<ft  Ят, где т не делится на про-
стые числа р, q,...,r, и если подгруппы. Силова Q^,...,9?/ —
х) Burnside, Theory, р. 327; Frobenius, S. В. A., 1901.
a) S. B. A., 1895, p. 1035.
168
абелевы и 8 (FP) — взаимно простое с g, 8 (£5)— взаимно простое
с ря и т- д. и, наконец, 8(9?)—взаимно простое с т, то ® имеет
ряд нормальных делителей порядков
g
,, т.
В самом деле, существование первого нормального делителя ®(
порядка Д- доказано. Таким же образом убеждаемся, что SL имеет нор-
мальный делитель ®2 порядка и т. д. Но, как легко видеть, ®,—
характеристическая подгруппа ®4_i, так как содержит все элементы,
порядок которых делит порядок ®(, следовательно, все эти группы —
нормальные делители ®.
Важно по приложениям такое следствие х): Если ® порядка
р'р,'---р^-'р'г.
где
Pi <Рл < • • • <Рп>
и если все подгруппы Силова	., 'р,,-!— абелевы рангов 1 или
2, то ® разрешима, кроме случая рх = 2, р2 = 3,	2. Действительно,
(pi — 1)(р — 1) делится на простое числ большее р, только при р = 2,
когда этим делителем является 3.
В частности, все группы, порядок которых не делится ни на куб
простого числа, ни на 12, разрешимы.
Обратим внимание на то, что группа, порядок которой делится на
12, но не на 8, только тогда действительно явится исключением из по-
следнего следствия теоремы Фробениуса, когда по общей теореме этого
параграфа подгруппа четвертого порядка заключается инвариантно в не-
коммутативной подгруппе 12-го порядка, т. е. иными словами, когда
данная группа име-т подгруппу типа тетраэдра.
§ 122. Предыдущие теоремы проливают некоторый свет на вопрос,
каковы порядки возможных нециклических простых групп. Мы видели
что такой порядок должен делиться на три или более различных простых
числа, и что наименьший из простых делителей должен входить в него,
по крайней мере в кубе, если порядок не делится на 12. Найденные
до настоящего времени простые группы все оказались порядков не только
четных, но даже кратных 12-ти. Вопрос о существовании простых групп
нечетного п рядка приобретает поэтому особенный интерес; трудности,
которые придется преодолеть при его решении, явятся новым толчком
к развитию теории групп. До сих пор, кроме предыдущих теорем, в этом
направлении сделано еще очень мало, доказано еще несколько очень
частных предложений, не имеющих большого значения, и установлено,
что нечетные числа до 100 000 не могут быть порядками простых групп 2).
*) Frobenius, 1. с., р. 1041.
г) См. Rietz, Am. Journ. of Math., XXVI (1904). В последние годы (1930—
1233) ряд важных результатов получен В. К. Туркиным.
169
Обращаясь к простым группам четного порядка, мы видим, что
порядок должен делиться на 8 или на 12. Покажем еще, что если
порядок не селится на 16, то он делится на 12 или 56
Пусть ®—данная простая группа порядка 8m (m — нечетное),
35—ее подгруппа Силова порядка 8. Если — абелева, то по общей
теореме предыдущего параграфа т делится на 7 или на 3.
Предположим, что $з не абелева. Тогда 6 (.So) — 3, и если т не
делится на 3, то по § 83 элемент нечетного порядка G, перестановоч-
ный с 35, перестановочен со всеми ее элементами Н.
55 может быт двух типов (§ 50). Пусть сначала 35 определяется
равенствами:
Д4=1, В2 = 1, АВ = ВА3.	(1)
Если В не сопряжено с А2, то В не перестановочно ни с одним
из элементов С = S^AS, сопряженных с А, так как иначе группа
{С, была бы абелевой восьмого порядка, вопреки предположению.
Поэтому, если рассмотрим изоморфную с простою группою ® группу
подстановок, которым подвергаются элементы класса А от преобразо-
вания всеми G, то подстановка В перемещает все символы. Порядок
группы перестановочных с А элементов, очевидно, делится на 4, но не
на 8, следовательно, число сопряженных с А элементов равно 2р., где
р. — нечетное. Подстановка В второго порядка; разбивая 2р. символов
на циклы по 2, она окажется нечетной подстановкой. Очевидно, что
четные подстановки ® образуют ее нормальный делитель,— она не простая.
Если же В и А2 сопряжены, то т делится на 3, как мы сейчас
увидим. В группе & А2 — инвариантный элемент. По нашему предполо-
жению, В окажется инвариантным в некоторой группе $)', сопряженной
с й. В группе 23 элементов, перестановочных с В, будет группа S)'
и элемент А2; по теореме Силова А2 должно входить в одну из под-
групп $з" восьмого порядка группы 03. Рассматривая 3d и &>", мы видим,
что они обе заключают группу {Д2, В} как нормальный делитель, т. е.
группа *253 элементов, перестановочных с {Д2, В}, имеет подгруппы
35 и $)". Если порядок 2В не делится на 3, то все ее элементы нечет-
ного порядка по уже цитированной теореме § 83 перестановочны со
всеми элементами {Д2, В| в отдельности, в частности и с В, а так
как элементы Sf тоже с В перестановочны, то все элименты 2В оказы-
ваются с В перестановочными, в том числе и Д, что противоречит
уравнениям (1).
Такие же рассуждения решают вопрос, если & — группа кватернио-
нов с уравнениями:
Д*=1, В*=1, АВ = ВА3.	(2)
Все элементы S) перестановочны с {д}. Если порядок группы не
делится на 3, то это справедливо также относительно всех элементов
нечетного порядка, перестановочных с S), следовательно, вообще, все
*) Burnside, Theory, р. 329.
170
элементы, перестановочные с 5>, входят в группу ЭД перестановочных
с {А} элементов.
Предположим, что В и А сопряжены, т. е. существует в ® такой
элемент S, что
S~lBS=A, S~1AS = C.	(3)
Элементы группы ={А, С1} входят в ЭД, так что по второй
теореме Силова существует в ЭД элемент UZ, переводящий 3 в
откуда следует, что SVT-1 с S) перестановочно, по тогда SUJ’-i по
вышесказанному, входит в ЭД, т. е. 5 входит в ЭД вопреки равенствам (3).
Итак, А и В не сопряжены. Класс А состоит из 2г элементов
(" — нечетное). Ни с каким А' из них В не перестановочно, так как
иначе группа {А' б)— абелева и восьмого порядка, по той же причине
А перестановочно только с А и А-1 из элементов своего класса. Мы
видим, что в группе подстановок, соответствующей классу А, подстановка
В перемещает все символы, а А — все без двух. Равенство А2 — В2
показывает, что в обоих подстановках одинаковое число циклов чет-
вертого порядка, а число циклов второго порядка на единицу разнится,
следовательно, эти подстановки не могут быть обе четными, ® — не
простая группа.
Мы доказали, таким образом, что порядок простой, группы, если
он четный, делится на 12, 16 или 56.
§ 123. Отыскание простых групп может производиться в двух
направлениях: во-первых, можно исходить из состава порядка, разложен-
ного на множители, и определять все простые группы, порядки которых
являются произведением двух, трех и т. д. простых множителей (три-
виальный случай группы простого порядка, конечно, в расчет не при-
нимается). Во-вторых, можно рассматривать группы, порядки которых
не превосходят известного числа, и постепенно повышать этот предел.
В первом направлении имеется пока следующий результат: простых
групп, порядок которых является произведением не более пяти множи-
телей, существует четыре, а именно >.о одной группе порядков 60, 168,
660 и 1092 х).
Во втором направлении исследование различными авторами продол-
жено до порядка 3640 2): оказались простые группы порядков 60, 168;
360, 504, 660, 1092, 2448, 2520 и 3420, по одн й каждого порядка
(для 2520 число простых групп осталось под сомнением). Эти исследо-
вания с возрастанием порядка становятся очень громоздкими.
Все эти группы прина тлежат к известным бесконечным системам
простых групп. Таких систем найдено много, одну мы встречали — сис-
тему абстрактных групп, изоморфных со знакопеременными группами
подстановок различных степеней п. Их порядки равны и они прос-
*) Frobenius, S. В. А., 1895 (без доказательства) и Burnside, Theory,
1-е издание.
•) Галуа до 60, Гельдер в 1892 г. до 200, Коле в 1893 г. до 600, Бернсайд
в 1895 г. до 1092, Линг и Миллер в 1°00 г. до 2000 и Siceloff в 1911 г.
(American Journal of Mathematics, XXXIV) до 3640.
171
тые при п > 4. Другие системы дает теория линейных групп в конечном
nm(pa’n—1)
поле, например системы простых групп порядков 2я* (22—1) и-----------
при простом р > 2. Но известны также группы, которые, хотя и прос-
тые, пока на включены ни в какую систему. Отметим еще, что некото-
рым порядкам принадлежит более одной простой группы, например,
8!
известны две простые группы порядка —.
Теория линейных групп в конечном поле изложена в книге
Л. Е. Диксона „Linear groups with an exposition of the Galois field theory*
(1901). Там же указаны все известные в то время системы и отдельные
простые группы.
При практическом решении вопроса, возможна ли простая группа
данного порядка g, часто достаточно воспользоваться второй теоремой
Силова. По этой теороме, если g = раq$...г*(р, q,..— различные про-
стые числа), то подгрупп порядка р" будет р = \-\-kp, причем р —делитель
g, следовательно, если g не имеет делителя такого вида, то р= 1, данная
подгруппа — единственная своего порядка, а потому инвариантная. Напри-
мер, группа порядка 84 не может быть простой, так как 84 не имеет
отличного от 1 делителя вида 1 -|- 7 k.
Другое соображение, часто оказывающее помощь, состоит в следу-
ющем. Если данная группа порядка пт, предполагаемая простою, имеет
подгруппу порядка т, то (§ 58) она изоморфна или кратно гомоморфна
с группою подстановок степени п. Но кратный гомоморфизм предпола-
гает существование нормального делителя (§ 41), у простых групп он
п!
невозможен, следовательно пт должно быть делителем —, порядка
знакопеременной группы. Поэтому, например, группа порядка
1500 = 4 • 3 • 53 не может быть простою, так как существует под-
12!
группа индекса 12, а — на 1500 не делится.
§ 124. В виде большого примера, иллюстрирующего применение
различных выведенных общих теорем, определим простые группы,
порядок которых равен произведению не более пяти множителей, и
тем заключим книгу.
Из теоремы Фробениуса, доказанной в § 121, ясно, что порядок
простой группы заключает не менее четырех множителей, и четыре мно-
жителя возможны только в случае порядка вида 4 • 3 • р, где р—прос-
тое число, большее или равное 5. Теорема Силова показывает, что р
равно 5 или 11. Во втором случае группа имеет 12 подгрупп порядка
11, тогда не будет элементов, перестановочных с подгруппой порядка 11,
кроме самой подгруппы (теорема Силова, § 70). Поэтому общая теорема
§ 121 применима, если положить р==11, Jo = группа оказывается
составной. Аналогичное положение у нас еще встретится, поэтому под-
черкнем, что если вообще группа порядка g — hp, где h на р не де-
лится, имеет h подгрупп порядка р, то теорема § 121 применима,—
группа составная.
1Т2
При р = 5 порядок равен 60. Мы уже знаем одну простую группу
этого порядка—знакопеременную группу подстановок пятой степени.
Легко видеть, что это единственная простая группа 60-го порядка, так
как группа по § 121 должна заключать группу 12-го порядка, т. е.
представляется подстановками пяти символов.
Перейдем теперь к порядкам, состоящим из пяти множителей.
Ясно, что нечетные порядки надо рассматривать только вида p*qr при
р <_q < г. Убедимся, что и такого вида нечетные числа не могут быть
порядками простых групп.
Если в условии теоремы § 121 вместо р поставить q, мы убежда-
-мся, что в нашем случае q—1 должно делится на р, т. е.
? = l(modp).	(1)
Подгрупп порядка pz будет г или qr, следовательно,
r=l(modp) или gr=l(modp).
Но (1) показывает, что всегда имеют место оба сравнения. Итак,
q = r=l (modp).	(2)
Пусть в нашей группе а подгрупп порядка q и р подгрупп порядка г.
По замечанию в начале этого параграфа, значения а = р3г и 3 = p3q
невозможны. Невозможно также а = р3, так как тогда подгруппа Q
порядка q заключалась бы инвариантно в подгруппе ЭД порядка qr. Но
последняя имеет также нормальный делитель порядка г, следоват-льно,
(§ 71) она абелева, и можно применить теорему § 121, положив 5>=О.
Тот же результат получится при Р=р8 (см. § 71), если только не
г = 1 (mod q). Но тогда было бы одновременно:
рг + р 4- 1 = 0 (mod г) и г = 1 -J- kpq > 2р2.	(3)
Итак, возможны только значения
а = p’r, v = 0, 1, 2,
₽ = ₽Ч Н = 1» 2.
Значение а — г (т. е. v = 0) также приходится откинуть, так как
тогда снова
г = 1 + kpq,
p*q = 14-/r=14-Z-f- Ikpq,
откуда I < p и в то же время
(= — 1 (mod pq).
При v > 0 положим
а = р"г = 1 4- kq, р =	= 1 4- 1г.	(4)
Тогда
р^+'г = р^ 4- k 4- klr,
откуда
k = —р* + nr.
173
Но в то же время из (4) в силу (2) получается, что k = — 1 (mod р),
следовательно, п — — 1 4- тр, и окончательно из (4):
4- p*q + qr = 1 4- mpqr,	(5)
Каждый из членов левой части меньше pqr, следовательно, ввиду
нечетности левой части т = 2. Перепишем последнее равенство так:
Из (2) мы имеем: q =1 -f-sp, r=l + tp, но p, q, r—все нечет-
ные, следовательно, s, t&z2 и
q>2p, r>2p,
а потому
чем доказана невозможность (6).
Итак, группа порядка psqr при р > 2 не может быть простою.
§ 125. Обратимся теперь к четным порядкам, состоящим из пяти
множителей. Легко видет, что до равенства (5) включительно рассуждения
предыдущего параграфа о группах порядка p3qr сохраняют свою силу и
при р = 2, если q > 3. Равенство (5) перепишется так:
27 4- 2^7 4-^=1 4- 2mqr,
откуда теперь уже следует т = 1, так что
27 4- 2^ = 1 4- qr,	(1)
и получается неравенство:
1 4- qr<4(q 4- г)< 8г,
т. е. <7. Но легко видеть, что при q = 7 нет решений, а при q — 5
только одно решение: г =19, но группа порядка 8-5-19 не может
быть простою по § 122.
Итак, подлежит еще рассмотрению числа таких видов:
8 - 3 - г, 4 - З2 - г, 4 • 3 • г2, 4 - 3 - q - г.
Разберем их по очереди.
I. g = 8 • 3 • г. Теорема Силова допускает для т значения 5, 7, 11
и 23. Последнее отпадает по соображениям начала предыдущего пара-
графа. При г=5 мы имеем шесть подгрупп пятого порядка, группа
должна была бы входить в знакопеременную 2(в с индексом 3, вслед-
ствие чего последняя представлялась бы под видом группч подстановок
третьей степени. При г = 11 (т. е. g = 264) мы имеем 12 подгрупп
порядка 11, каждая из них ф входит инвариантно в некоторую группу
174
gjt 22-го порядка. Если рассматривать группу подстановок 12-й степени,
изоморфную с нашей, причем перемещаемыми символами служат сопря-
женные группы ф0 = Ф, Ф1> Фг- • • •, ‘Рц, то элемент Р группы ф
11-го порядка перемещает циклически 11 символов 1, 2,..., 11, не
трогая символа 0. Этого символа не изменяет и элемент D второго
порядка, перестановочный с {Р| = 'р. Группа ‘ЭК не должна быть абе-
левой, чтобы здесь не имела места теорема § 121, поэтому D непереста-
новочно с Р, но тогда возможно только
D~xPD = p-\ т. е.
DP = P~lD.
D—второго порядка. Пусть D не изменяет еще символа „I-, тогда,
так какР = (1, 2,..., 10, 11), то из предыдущего равенства видим, что
О = (2, 11) (3, 10) (4, 9)(5, 8) (6, 7),
т. е. D оказывается подстановкой нечетной, — группа не простая.
Наконец, при г = 7 существует действительно простая группа
порядка 8 • 3 • 7 — 168.
П. £ = 4-32*г. По теореме Силова г = 5, 7, 11 или 17. При
г = 7 нет перестановочных с подгруппой седьмого порядка элементов,
кроме входящих в эту подгруппу, следовательно, как неоднократно разъ-
яснено, группа не простая. При г = 5 имеем 36 или 6 подгрупп пятого
порядка. В первом случае можно рассуждать, как для г — 7, а во втором
наша группа входила бы в знакопеременную 21в с индексом 2, что
невозможно. Если г = 11, мы имеем 12 по;групп 11-го порядка, каждая
из которых инвариантна в подгруппе 33-го, но по § 71 последняя —
абелева, и наша группа подходит под теорему § 121.
Если же г = 17, то тем же рассуждением, которое выше применено
к случаю g= 264, мы убеждаемся, что элемент второго порядка, пере-
становочный с группой 17-го, перестановочен с двумя из 18 подгрупп
порядка 17, а остальные 16 разбиваем на 8 транспозиций. В нашем
случае это четная подстановка, но зато подстановка второго порядка,
перемещающая все символы была бы нечетной. Следовательно, все под-
становки второго порядка входят каждая в две под| руппы 34-го порядка,
в последней их число равно 17, а потому всего в нашей группе под-
становок второго порядка будет 9 • 17 = 153, а с единицей будет 154-
Но наша группа должна заключать группу тетраэдра, следовательно,
в ней нет элементов ч-твертого порядка, и найденные элементы второго
составляют все решения уравнения х4= 1, однако их число не делится
на 4, что противоречит теореме Фробениуса.
III. £ = 4 • 3 • г2. Этот случай явно невозможен, так как при г — 5
мы имели бы 6 подгрупп порядка 52, а 61 на 52 не делится, если же г> 5,
то 12! не делится на г2.
IV. г = 4 • 3 • q • г. Элементов порядки qr не может быть, так как
тогда группа порядка г была бы инвариантна или только в циклической
группе порядка qr, когда применима теорема § 121, или в большей
подгруппе, которая по отношению к данной была бы индекса меньшего
175
или равного 6, что опять-таки невозможно. Пусть в группе а подгрупп
порядка q и {3— порядка г. Тогда по теореме Фробениуса (§ 66):
а(<7 —l) + p(r—1)+1 = ТС6	(1)
причем
а = 1 (mod q), (3 = 1 (mod г),
откуда ясно, что а=ег. Если г >11, то также (3 = 8?, так что
8*7 + er — 1 = (8 + е —-y)qr.
Числа 8 и е—делители 12-ти. По неоднократно указанной причине
должно быть 8	6, е 6. В таком случае, очевидно, левая часть меньше
2qr, значит, 8-|-е — 7 = 1, и
Zq + er—l = qr.	(2)
Очевидно также, что левая часть меньше (8-{-е)г^ 12г, так что
q < 12.
При всех сделанных ограничениях получаются только следующие сис-
темы решений:
<7=5,	5,	7,	7,	11,
г = 19, 29, 13, 41, 13,
8= 4,	6,	2,	6,	6,
е = 4,	4,	6,	6,	6.
В первых двух случаях группа пятого порядка инвариантна только
в группе 15-го, которая по § 71—абелева, так что, как известно,
наша группа не может быть простою. В двух последних случаях мы
имеем 7 = 11, остается всего qr элементов порядков, отличных от q и г.
Между тем, так как элемент второго порядка не может в данном случае быть
перестановочным с элементом порядка q или г (иначе была бы применима
теорема § 121), то одних элементов второго порядка в г уппе qr или ?>qr.
И наконец, в случае q = 7, г =13, g-= 1092 существует прост я
группа.
Мы выше предпол жили г >11. Если г = 7, q = 5, подгруппа {S}
порядка 7 инвариантна в подгруппе 28-го порядка, которая, как и вся
наша группа, имеет нециклическую подгруп у четвертого порядка. Если,
из эле иентов последней А и В преобразуют S в 5“ *, то А В перестано-
вочно с S; следовательно, существует элемент второго порядка, переста-
новочный с элементом седьмого. Так как подгруппа |(Q} пятого порядка
подобным же образом инварианта в группе порядка 0 = 4-5, то для
нее справедливо то же рассуждение. Но по § 121 наша группа заклю-
чает подгруппу 12-го порядка типа группы тетраэрда, т. е. э ементы D
второго п фядка все между собою сопряжены, а следовательно, каждый
элемент D перестановочен с каким-нибудь S и каким-нибудь Q, т. е.
инвариантен или во всей заданной группе или в подгруппе индекса З-
176
В обоих случаях группа составная. Если г •-= 11, q = 7, группа 11-го по-
рядка инвариантна в подгруппе 77-го, но последняя абелева группа, состав-
ная а при г=11, 9 = 5, £-=660 простая группа существует.
Следовало бы еще проверить, что найденным порядкам 168, 660
и 1092 действительно соответствуют простые группы, и притом по одной
каждого порядка. Если представить группы подстановками, эта проверка
не представляет затруднений, но пришлось бы много писать, мы ее по-
этому опускаем.
Так как из чисел, разложимых на 6 множителей, среди которых 3
различных, только одно — 240 — меньше 300, то, разобрав еще случай
£ = 240, мы определим все простые группу до порядка 30 J включительно.
Но ясно, что простая группа 240-го порядка имеет 16 подгрупп пятого,
из которых каждая инвариантна в подгруппе порядка 15. Последняя абе-
лева; следовательно наша группа составная.
177
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелевы группы 18, 9*.
Абелевой группы характеры 137.
Абстрактные группы 28.
Автоморфизмы 5'.
_ абелевой группы 108;
____ конечной группы 113
Базис абелевой группы 101.
Бесконечные группы 12.
Внутренний, внешний автоморфизм 58
Вычеты по модулю 23.
Гамильтоновы группы 126.
Главный ряд 81.
Голомоэф Ш.
Голоэдр (ческин изоморфизм оо.
Гомоморфизм 56.
_ -значный 57.
п
Группа автоморфизмов 59.
Групповая матрица 138.
Группы определение 9, 12, оо.
_ порядка р 24.
_	—	р’	68.
_	—	р’	132.
_	—	pq	94.
_	—	4	24.
_	—	6	26.
_	—	8	69.
_	—	12	95.
Дополнительная группа 43.
Делитель 18.
Единица группы 10.
Единичная матрица 136. ,
Единичное представление 158.
Знакопеременная группа 52.
Знак { } 24, 40.
— ио 45.
с- 104.
3(@). из.
21<2 21.
Знак -р- 43.
— (®, S) 32.
Изолированные элементы 38.
Изоморфизм 28.
Икосаэдра группа 54.
Импримитивные группы подстановок
77.
Инвариантные подгруппы 38.
— элементы 38.
Инварианты абелевой гпуппы 101.
Индекс неприводимой части 147.
— подгруппы 23, 32.
Интранзитивные группы подстановок
76.
Кватернионов группа 70.
Классы сопряженных элементов 36.
Когредиентный автоморфизм 58.
Коммутант 46.
Комму(ативная группа 18.
Коммутатор 46.
Композиционный ряд 81.
Композиция групп 40.
—	клас-ов 163.
—	систем 21.
—	элементов 9-
Компоненты 41.
Конечная группа 12.
Контра среди ентный автоморфизм 59.
Крашый гомоморфизм 58.
Круговая подстановка 15.
Линейная подстановка 134.
___	— по модулю 111.
Матрицы 135.
Матриц группы 136.
Мероэ :рический гомоморфизм 58.
Метабелевские группы 133.
Минимальный базис абелевой группы
103.
Многогранников группы 54.
Наибольший нормальный делитель 44
Наименьшее кратное двух групп 40.
178
Неприводимые части групповой ма-
трицы 147.
Нечетные подстановки 52.
Нормальный делитель 38.
Обратный элемент 11.
Общий наибольший делитель двух
групп 32.
Октаэдра группа 54.
Определитель матрицы 135.
Определяющие равенства 28.
Особенные матрицы 135.
Перемножение, символическое 9.
Перестановочные системы 36.
— элементы 18.
Подгруппы 17.
— конечного индекса 23, 33-
Подгруппа Силова 117.
Подстановки 13.
Полугруппы 55.
Порядок группы 12.
—	класс! 38-
— элемента 20.
Постоянные матрицы 138.
Представления абстоактной группы
группами "одсгановок 66, 78-
—	группы 134.
Приведение групповой матрицы 145.
Приводимые матри ы и представле-
ния 39.
Примитивные группы подстановок 77.
Произведение групп 40, 73.
Производная группа 46.
Производящие элементы 27, 47.
Простые группы 44, 171.
— характеры 152.
Прямое произведение 41.
Разложение по модулю 22, 23, 74.
Разложимые группы 41.
Разрешимые группы 86—88.
Ранг абелевой группы 103.
— матрицы 133.
Регулярная групповая матрица 148.
Регулярные группы подстановок 67.
Род группы 50.
Ряд коммутантов 88.
— обобщенных центров 120.
Симметрическая группа 52.
Системы интранзи г явности 76.
Скалярные матрицы 136.
Смежные системы 23.
Совершенные группы 63.
Сопряженные подгруппы 35.
— элементы 35.
Составные группы 44.
Специальные группы 117.
Степени элемента 17.
Степень группы подстановок 16.
— матрицы 135.
Строй группы 25.
Теоремы кла сические:
— Фробениуса 89.
— Жордана-Гельдера 83.
— Лагранжа 24.
— Силова 1-я 74.
—	— 2-я 93.
—	— обобщенная 123-
Тетраэдра гр ппа 54.
Тип абелевой группы 107.
Тождественная подстановка 14.
Транзитивные гр.ппы подстановок 76.
Транспозиции 51.
Формула Фробениуса 74.
Фундаментальный базис абелевой
группы 101.
Характеристический ряд 81.
Характеристический ряд абелевой
группы 115.
Характеристические подгруппы 46.
Характеристическое уравнение ма-
трицы 136-
Характер матрицы 137.
Характеры 1-й степени 13S.
Центральный изоморфизм 103-
Центр группы 46.
Циклические группы 18.
Циклы; циклические подстановки 15.
Четные подстановки 52.
Члены матрицы 135.
Эквивалентность по двойному модулю
22.
Эквивалентные матрицы и предста-
вления 38.
Элементарные группы 62.
— абелевы группы 108-
12'
I T9
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель (Abel) 18.
Аренс (Ahr-ns) 12С.
Бернсайд (Bernside) 3, 48, 50, 64, 65,
119, 125, 129, 133, 137, 157, 161, 166,
167, 168, 170, 171.
Бликфельдт (Blikfeldt) 4.
Вебер (Weber) 54, 55, 102, 137.
Вендт (Wendt) 122.
Галуа (Galois' 23, 38, 111, 171.
Гамильтон Hamilton) 70, 126.
Гельдер (Holder) 43, 59, 63, 65, 67,
83, 171.
Гильтон (Hilton) 60, 98.
Дедекинд (Dedekind) 23, 126.
Дик (Dyck) 48, 50.
Диксон (Dickson) 4, 12, 56, 111, 172.
Жордан (Jordan) 43, 58, 82, 83,
84, 88.
Капелли (Capelli) 56.
Келн (Cajley) 25, 50.
Клейн (Klein) 56.
Коши (Cauchy) 76.
Дагранж (Lagrange) 24.
Ландау (Landau) 70.
Леви (Loewy) 4, 119, 120.
Ли (Lie) 46.
Маклаган-Веддерберн (Maclagan-Wed-
derburn) 103.
Машке (Maschke) 143.
Миллер (Miller) 4, 47, 97, 133, 171.
Мур (Moore) 12.
Пуанкаре (Poincare) 33.
Пфейффер 54.
Ремак (Remak) 103, 119.
Риц (Rietz; 169.
Сегье (S6guier) 46, 55, 57, 133.
Силов (Sylow) 74, 93, 117.
Туркин (Turkin) 169.
i Файт (Fite) 133.
I Фробениус (Frobeniucs) 23. 36, 46,
1	62, 73, 74, 80, 82, 89, 92, 93, 102,
113, 115, 123, 137, 157, 168, 169, 171.
| Шмидт (Schmidt) 103.
Шпейзер (Speiser) 4.
 Штикельбергер 102.
j Шур (Scuur) 137, 143.
, Юнг (Young) 120.