Similar

Курсъ математики сочиненіе господина ​Безу​ переводъ ​Василья​ Загорскаго

Арифметика для всех 1

История индуктивных наук от древнейшего и до настоящего времени. Том 2

Арифметика для всех

Text 
                    Ун 511(075) К 59
Козельский Я.
Арифметические
предложения... Спб., 1764
Инв.№ 245507

ПРЕДЛОЖЕНА чн

;	и. ь 9

для употреблантя

Обу^ающагося вЪ Аршиллер1йскоыЪ
и инЯ'енерйомЪ ШляхешногЛЪ Кадсш-
скомЪ Корпус Б благороднаго Юноше-
ства.

СОЧИНЕННЫ#

Дртиллхрш Капшпаномг

ЯкоьомЬ КозельскимЪ.

Г’ЭГ'ЭГ'Э
SuJ€x>2 Eu2
‘Vs
«Й

и О О О О о о <» «> о «* <> <» <> <» о о о

ВЗ Санктлете

_	. л^.'лти

Гее»*»’*'**	—



ЕГО ВЫСОКОПРЕВОСХОДИТЕЛЬСТВУ

АЛЕКСАНДРУ НИКИТИЧУ
ВИ ДБО А

господину

Генералу Фелдцейгмейстеру

Инженерна го корпуса

Генералу Директору

и

ОрленовЪ Сьятааго диарея Первозваннаго,
Свяшаго Александра невскаго н Свяшыя
Анны Кавалеру -

Милостивому Государю.



Высок ЭПРЕВОГ ХОД й-
ТЕДЬНОИ гэсподинъ
ГЕЕ ЕРА ЛЪ ФЕ ЛДЦЕИГ»
МЕИСГЕРЪ

Милостивей Государь!

ТТЕусыписгГашего Высоко-
превосходительства по-
печете о рсЬхЪ, по важному
вашему чину касающихся до
васъ, дЪлахЪ подаегаЪ чув-
СЙШ1-

СПТВИШСЛЬНОЙ ПрЕМЪрЪ и
всЪмЪ подчиненны мЪ Laaiero
Высок опревосхо д и m ельс шва
трудишься 5 со всевозмож-
ным!) прилЪжан-емЪ, вЪ по-
ру ченныхЪ имЪ должпо-
сшяхЪ: я, вЪ согласие и уго-
ждение такой Вашего Высо-
копревосходительства пре-
полезной п великихЪ похвалЪ
п одобрен!Я достойной волЬ,
послу чаю пребывания моего
при АршиллершскомЪ и Ин-
жснерномЪ ШляхетномЪ К а-
дешскомЪ Корпус!), сд^лалЪ
порученное мн Ъ перьвое cie
сочинение по благопристой-
ности

w

носши, какЪ содержащее бЪ
себФ перьвую чаешь матема-
тики, то есть ариемешику,
для у потреблен! я об\ чающа-
гося вЪ ономЪ ШляхегпномЪ ч
КадетскомЬ Корпуса благо-
роднаго юношества.

А какЪ Ваше Высок о-

превосходительство повели-
тель Артиллер!йскаго и
Инженернаго Корпусовъ ,
какЪ шакихЪ депаршамен-
товЪ , коихЪ управление
требуетЪ просвЪщеннаго ра-
зума иобширнаго зпашя вЪ
воинскихЪ наукахЪ , для
которых ь

)оС

которых!? ст наука (окоец
я сочинпдЪ книгу) служить
заосиовате , и:о потому я ,
имЬя macmie быть подЪ по-
ведШемЪ вашпмЪ, предста-
вляю Вашему Высокопрево-
сходительству какЪ покрой
вишелю пау кЪ ci ю мою книгу,
вЪ честь славна го Вашего
имени; и ежели Ваше Высоко-
превосходительство удо-
стоите се высокой Рашей
аппробац'ш, то я сочту се-
бя весьма щасгпливымЪ. Въ
заключенie сего я, ласкае-
мой надеждою высокой Ba-
щей ко мнЬ милости, прино-

шу

шу Вашему Высокопревосхо-
дительству истинное мое
усердХе и преданность, и сЪ
глу бочайшимЪ моимЪ кЪ особЪ
Вашего Высокопревосходи-
тельства почтешемЪ на
всегда пребуду.

Вашего Высокопревосходительств*

Милосшиваго Государя

Всенижайшей Слуга

НкрвЪ Козельском.



Pfylb КЪ ЧИТАТЕЛЮ

Причину им^ю я думать , лю-
с'слытной читатель что тр^Д#
мой , пЗ сочинены сеи книги , лока-
жется для васЗ (ГеЗлолезенЗ , ло-
тому что о о?и наукЧ) много уж&
книгЗ издано на РоосгмскомЪ язык^Д
я такЪ с'ге сочинейге должно сГыть
лишнее > но я вамЪ на то лред-
ставлю; vmo, какЗ вЪ давн^, тахЗ
мпедаангелредЗ сим.3 времена, сколь-
ко нилиеаяи апторопЪ па латын-
ско «3, НЪмецкомЗ, ФранцузокомЗ
и другмусЗ языках# о каких# Лидо
наукакЗ; одпако и пЪ нын'Ъшнге
Ярем на о тЪооЬ же наукахЪ не
перестают# писать нопые авторы,
да иплредь нелереотанутЗ. ЧтожЗ*
РазтгЬ для того почесть можно
труды ирсЬ за йезлолезные* НЪтЪ.
ВолсякомЗ автора , какопЗ ды онЗ
сласГЗ нисГылЗ, нельзя,чтосГЪ не выло
чемЗ нисГудь лопользоваться; ло-
тому что инои апторЗ можетЪ
Ueobyfta ясно изтолкопыпать спои
мысли у другом гкиГлюдаетЗ строго
математическом лорядокЗ , тре-
mtit весьма искусно соиокулллтг»
можетЗ

ж

у4/ожетЗ тпеоргю и практику науки ,
четгпертРй дЪлаетЪ много туопыхЗ
и sotfp"^ тенгй, а тому песъма труд-
но статься , чтодЪ ПЗ одно^З
aumopi ,рсотя сГы он? {Тыл? самой
лучшей , сыслатъ можно сГыло псЪ
maxi? оопершенстпа 5 часто слу-
чается , что п? самом? луч-
шем? ацтор'Ъ осыпают? некоторые
предложения песъма трудно напи-
саны , крторые пЗ другцроЪ пике
сланою апторарсЪ гораздо лснЪе
изтолкопаны, cnephpob того надле-
житЪ знать , что я оочинялЪ сгю
книгу не по жадной ореотЪ , чтосГЗ
рсотя сЪ ^днымЪ оочмнешемЪ ч
mOAbKOtfb пеолоздатъ послать пЪ
число апторопЪ, но лОлопелЬнгю ха-
Луанды, для улотпресГленгя Ос/учаю^
щагося пЪ ^ртиллергйском'б и Инже-
нерном?) Шлярсетном? КадетскомЪ
корпус^ сГлагороднаго tOHOinecmnq,.

Л как? некоторые пЗ ари.&ме-
тихТз полагаемые лрапила помно-
^ирс? прежде меня лисапнщрс? апто-
рах>3 мзтолкопаны лолитерамЪ ;

мрлодолпу челозгЪку начинаю-
щему

С

учиться лоии^патъ тРУДм&$
то я (уотя оге лпнЪ и н-сСзЗ труд-
ности сГызо] для легчайшего иуЗ
^юнятгя лостаралея лсЪ' такге
лрапила налисатъ и доказать &?зЗ-
улотресГленгя лптерпъруЬ лыкла-
,40x3

ПриселиЗ за сГлаго разоуДидЪ я
нала .илнуть па.мЪ (РлагосклонноЛ
читатель следующее : часто слу-
чается, что лиолодые люди, ссГучппЗ
noil лрапила ари&летихисЗ цу ж до их
лиоэут.3 , или и сопо о'ллЗ не знаютЗ
решить са 'ны х,5 легкирс-3 лрил^'-
jJOnt, ежели наказать и^иЪ, до го-,
чпораго очи лринадлетатЗ лрапила.
Причиною Сего отд части слаа'се ло
Д<алолътотту нхд разсухдт?? , а
отд части лор я до'<3 ученгя, лотому
что учители, лрилогаза. ги лрапилЬ,
ОсГыкнопе-яно ладаютд ученихажЪ
споил/З лрллТзры пд одниу-С) цы-
фрауЗ состоящее, неуполипная лри-
чпо^д никакпуд елу^ающпуся пЗ
жизни челоиЪческой нуждЬ, которые
ярпнадлежатЗ , Для рЪшеигя , кЗ
ТпЪдф лрапилаляЪ -t и такЗ O(fy^t
чающеис.%

дающемся симЪ образомб молодо.
челопЪхб д'Ьлает'б рбшенб о длит?
Лрапилб , неинимая нимало пЗ у до
‘тпребленге проб хб житейсхимб ну
ж дамб	и неуснлипая лрипычхо!

хб тому спосго разсужденгя , от
чего происходить , что ежели он
не нмЪетб отЬ природы допольп
рхороыаго разсуждеягя , то Х‘от,
бы и тпердо зналб исЪ ари<& йети
чесхгя лрапила, однахо лрирЪшенг
случающиеся пЪобрсож денги ^-еяон'Ъ
чесхомд потребностей логО'Ьшътт:
мсжетб, не зная, хоторо- хЪ том'
лрапим употребить должно-^ чего
ради молодому чедод^ху обучающе-
муся арифметику не О(Гуод,лмо на-
добно псепозможнщ^н^) образ 'мЪ на-
пыхать хЪ тому э чтобб знать,
хахое пропило и пЗ хахомб сДу-,
чаЪ употреблять j п5 согласие се-
го положилб я здЪсъ припСЬусЪ
лрапиларсб случаещгеся п5 жиз-
ни челопЪчеохой примеры , хо-
ими старался я псепозможнымб
образомЗ избяонитъ дохазанные
мною а наипаче marie лрапила ,
которые лб другирсб апторахб по-
казались

казались дшЪ или сласГо , либо ни-
мало I еизтолзсопашЩ дабы начи-
нающгй учиться ари&лгетик'Ъ не-
илгЪлЬ нужды искать рЪшенгя
принадлежащих 5 х5 сем паук’Ъ
лрил:1>ропЪ ub другирсЪ книгауЗ, а
усл'Ьлб ли я п5 то-яЬ, или 1сЬтЪ,то
omb драпе дна го линТ>н1я лиоихЪ чита-
телей записать о'удетЗ. Л изклю-
чилЪ изЬ сего сочпненгя ?/•&которые
лрапила , для того что он1> ни пЗ
житеисхиуоЪ нуждар?Ь ни пЪ дЪй-
огпигядсЬ натуры дуЪста не плеЬ-
ютЬ, да итрудЪ и 5 тако-мЪ яЬлЪ
по спрапеддипсети почесть дюжно
засГезполезное и оожал'Ьнгя достой-
ное уД1стпопанге >' иапротипЪ того
отаралс-я я лограйпей позяюжпос-
ти Кедрову отитъ ника копа прапила
употрес/Ляедшго п5 житейскирсЗ
нхждарЬ; и ненадЪ'ЮСЩ чтосГЬ дюгЗ
опекаться какой случай кЪ ари&~
л/етик'Ь принадлежащей'* жоегорЪ по-
напчсанныд*Ь зд^съ прапиладгЪ ре-
шить не можно ^ь>до.

Теперь сл'ЪдуетЪ лищЬ любопыт-
ной читатель лредстапитъ падгЪ
осодержанги секхип-к^. Она разделена
wave-



rd <;еть1р% главы, из? коирсЗ лерггад
содержит? n?ce<rb грЬлыг умела, вто-
рая ломаные , третяя содержания
я лролоогди чисел?, а четиертал гео4
метрические пыкладки. Л лоне же на-
ука предложенная nb сей книгк есть
математическая, то для того кА
Со^пнетю ел улотресшл? л мате-
маттескои Boj лдокЪ, то есть
разделил* пск ел правила наопре-
дкленгл, положения, аксгомы тео-
ремы, задачи, сл'Ъ дстпгя, при-
м'сяа'-гя, ачто знауатЪ с'ги лредло-
iner.ifi j то л ЗасГлагоразсудилЪ м3‘
толкопс!~пъ иу5 по кратц-Ь: олредЪ^
ленге каком ин есть лещи есть не-
Ъто ’ иное, какЪ ли с,пленное ел
лонлтге. ПолвженгелиЬ пазыпается
fno , когда ас тор? улолипнаютЪ о
кринлтз^? от? сесГл, или отЪ
Другого кого знакаур? какмрсЪ или
ъазпй’.глх? улотресГлледил^о? вЗ
йаул*&. Лкогома естъ такое пред-
ложение , которое хотя и сложно
доказать, однакожЪ оно иРёзЪдока^
кательстпа вразумительно. Те-
орема есть такое предложение, ко-
-Цтраго (feab доказательства ра-
зудрЬтя

)°С

думать не льзя> а состоитЗ оно изЪ
положения и доказательства. За-
дача. есть тахо? лредложенге , ло-
ОреДстпомЗ хоторагО доказанные пЗ
теорем'Ь истинны производить мо-
жно пЪ дЪистпо; асоотоитЬ оно изЗ-
доложен1я, рЪтенгя.а ихогда имЪетЗ
при cedb и доказательств. СлЪд-
Стпге есть такое лредложенге, хо-
торов пыподигпся и зЪ определенья,
или изй акс'гомы, либо изЗ теоремы!
или задачи, смотря на ирсЗ обстоя-
телъотпа. Л пЗ лри^'ЪчанглрсЗ :и>-
ищутся гисторнчесхге и другге лег-
хаго лонятгл д'Ъда.

НахонъцЪ Осталось лпСЬ доне-
сти памЗ любопытной читатель,
что желан'ге мое изполнится, хогдс*
огя книга рОотЯ пЗ малую послу-
жить памЗ можетЗ пользу; а еже-
ли будутпЗ пЗ не/t хахге педоотат-
хи, то благое хлопнем читатель из-*
пинить ггрЗ можетЪ, пЗ разеужде-
нги того, что сочиненге de издаю я
еиЪm3 яеръиое из лрочемЗ лре-

ЕашЪ доброжелатель

Л&овЬ Козсл1«к«Д.



*****»*** г»*»**»**»

(£j$!29 ,£*£?	-J- & ?ЛУ '-£ЛлЬч£х')

д рИОМЕТИЧ ECKIE

ПРЕДЛОЖЕН!#

ГЛАВА I.

о цЪлыхъ ЧИСЛАХЪ

Спред Влепю.

г Ариемешика есть на-
ука содержащая вЪ сееъ пра-
вила, какЪ по извБспшымЪ
числамЪ сыскивать неизг.Ъ-
сшныя.

СпредЪлен!е.

§ 2» Есе то называется
число, чемЪ отвЬтствоватт*
должно на вонросЪ сколько-
А	>примЬ-

Пр им’Ьчавке.

$3- Числа выражать можно произвол ъ-
иыни знаками; мы предложимЪ здЪс
mt; которые почти omb всЪхЪ обита
юЩихЪ во вселенной народовЪ вЪупошреб
леще приняты; онЬ называются и из
обращаются слЪдующимЪ образомЪ: -

ОдинЪ .......	।

Два	.......	а

'1 ри	.......	j

ЧбтырЪ	... ...

Пять	......	$

Шесть	......	с

Семь	.......	7

ВосЪмь	- - _ ... 8

Девять	......	д

Ноль	......	о

Десять	или десятокЪ ...	J0

Одиннадцать .	.	.	- - ii

Дв дцать то есть два» десятка - зо
Тридцать	.	-	.	.	. з0

СорокЬ	-	-	.	. 4о

Пять десятЪ -	-	-	-	-	-50

Шесть десятЪ -	-	-	-	_	" б.о

СБмдесятЬ	7о

ЪосЪмдесятЪ -	.	.	_	.	- 8о

д^^яносгпо	* т	w

Сто или сотня .... 1Оо
Тысяча	. loco

десять

Десять	-	-	-	-

Сто тысячь

Ты яча гпЫсячЬ или мимонЬ - юосооо
Тысяча тысячь милЮновЪ или

БидЮнЪ	-	- -	* ю.оосооообоа

Трил^энЪ -	•	lomooor.oofcocoroooo

К^адримонЪ ’осоосеогОсосооо оОсОооео
мпрочая , ивсЬ сш числа вообще МазЫ«
ваются цифрами ; цифра о ежели одна
СтситЪ , лю вЪ такомЪ случае ничего
яезначитЪ ; акогда она приставлена
будетЪ сЪ правой стороны к11 одной или
нЬсколькимЪ изЪ девяти другихЪ ЦыфрЪ,
то заниИаетЬ мЬсп>а деситковЪ , сотенЪ
«прочая смотпря по числу предписанпыхЪ
efl cb лЬвоы кЪ правой сторон!) цыфрЪ'

II р и и Ъ ч а я ie.

$ 4. Что няшЪ щптЪ начинаясь omb
единицы кончится надесятк! > анена-

другомЬ какомЪ бодыиемЪ или меньшем!*
чиечб, то причиною сего десяотичнаго
сЧислен<я безЪ сомнбшя неиное что »
какк десятичное число НашИхЪ плльЦовУ^
ибо в вЬ нынЪщню времена находя.ПсЯ
некоторые народы * которые счнпзахошЪ
попал ьцлмЪь

При м1)ЧаПУСь

< s Удивлена доетеймо * что HhoHa
Математики не почитаютЪ единицы за
число, а Самиже онй ежелй ГдЬ упомй-
и.,Ю1пЬ О’шслительныхЪ аыакахЪ» то еди-

▲ я

вицы

ницы изЪ числа птТхЪ знаковЪ иевът-1
К/ючаюпУ} почему кажепкя что такос
ихЪ мнЪнге вразсужденш явного самимЪ
себЬ противорЬч1я no/тве; ждеагя не
достойно.

ОпредФленте.

§. 6. Число означающее
одну или нисколько вещей ве й
свои части имЬющихЪ назы-
вается цФлымЪ.

ПримЪчанИе.

5 7 Числа разделяются напростпые или
единак1е (numeri simplicts) и на сложные
(numeri Cotrpositi) начошы или чотние
’чйсла (Numeri pares) инанечоты и*и нечо
хп^ые (numeri imparts) аопределенКя ихЬ
с^шь ниже слЪдующ1е«

ОпредЪленге

§ 8. ПростымЪ или оди-
накимЪ числомЪ называется
каждая изъдевяши первена-
чальныхЪ цыфрЪ I. 2. 7.

* и прочая

ипрочая, ежели она одна
будет!; асложным! назы-
ваются НИСКОЛЬКО ЦЫфрЪ
одна подле другой нера-
здельно поставленных!; на
пример! ю, п, 12, или 1049
120, либо юоо, 1504 ипро-
чая.

Определение.

§. 9. ЧотЪ или чошноечи-.
ело называется то, которое
разделишь можмонадве рав-
ный части без! остатка : на
пример! 4, 6; а нечот! или
нечотное число есть шо, ко-
торое на две равныя части
без! остатка разделишься
неможет!: на пример!. 7, т г.

А з	За-

Задача.

5. го. Ежели какихЪ ве-!
1пей сложное число выражено
будешь цифрами, то какЪ
узнать его содержанТе, то
есть разобрать сколько оно
единицЪ въ себЪ имЬешЪ

рБ|пен!е

НадлежишЪ раздБлить данное
число точками на класы, начиная сЬ
правой стороны кЪ лЪвой , нопре-
дЪляя вЪ каждой класЪ потри ци-
фры , потомЪ означить вЪ тре-
юьемЪ класЪ настоящей cb правой
стороны перьвой цыфрЪ маленькую
черту, вЪ пятомЪ класЪ настоящей
еЪ «пойже стороны первой цыфрЪ
дрБ черты , итакЪ далЪе s всогйас!е
сего раэдЪлен!я первой класЪ бу-
дсгпЬ сод^ржатьвЬ себЬ числа прости-
рающксь отЬ единицы до ста, вто-
рой ошЪ одной тысячи доста гпы-

сячь, ашретсй огпЪ одного милЮна
доста милЮновЪ. и такЪ далЬе;
ичрезЬ С1е дЪйствКе узнать можно
содержание даннаго числа : на при-
мЪрЪ ежели надобно будетЪ
узнать содержанТс слБдукицаго чи-
сла 28456094-7032485224 рублевЪ
тпо разбирать его нижеписаннымЪ
образомЪ.

4
. x

s
X

х

a
E

p

3

J E

3 5
! 5
S Я
*c E

X
to

E

<u s

x
x

E
о

X
ж .
.. 3

E

<u

x’ 3

E §
be =

x
я

E

3
x

E

3
E

E

x
о

5 Si

a
E

3
E

E

s

3

E

к
X
E

I

5 2-

560. 94 7.

485.224.

О

И птакЪ по выше обЪявленному
разысканное cle число содержишь вЬ
себЬ двЪсти восБмдесятЪ четырЪ
тысячи , пять comb шестьдесятЪ
6ил5юновЪ , девять comb сорокЪ
сБмь тысячь. тридцать два милТона
чсшырЪста восЪмдссяшЪ пять ты-

сячь , двести двап цать четыре рч.
(ШвЬ.	1

ОпредЪленте.

п. Количество или ве!
личина называется все moJ
что увеличишь или умалишь
можно.

ПримЪчанЗе.

f. 12, КоличествЪ или величинЪ суть
дка рода; вЪ первомЪ пол-г-ются количе*
«тва состояние маЪ частей раздЪльныхЪ
жсакду сс&ю ; какЪ напримЪрЪ куча иЪ-
ску цлч друые иаЪ частей состоящее
вици; а вЪ другомЪ тЪ величины, кото-
рых Ь части соединены исвязлны между
собою ; какЪ на примЪрЪ палка; ипонже
количества только перваго рода соста-
ВлядогпЪ подлинной предметЪ арсоче-
тики , то мы обЪ однихЪ ихЪ здЪсь
предлагать будемЪ, оставляя величины
другаго рода ; по тому что онЪ при*
надле?клп1Ъ догеомешрш,

Опредфденте,

§.13. Равные числа сушь
шЪ , изЪ кошорыхъ одно

BMtCMO

тм'Ьстпо другаго безЪ пере-
мены его величины упо-
требишь можно: на примЪрЪ
бмЪсшо 5 можно взять 2
вмЪспгЬ сЪ

п ол о;кенТе.

§. 14. ЗнакЪ равенства естьи вы-
говаривается равно: напримГрЪ 8г^а
взжпымЪ вмЬсгпЬ сЪ 6. то есть 8.
равно. 2 вмВсшЪ взятпымЬ сЬ 6.

Опред-ЬденХе

§. 15. числа называются
однородными (numeri homo-
gen ei) вЪ такомЪ случай,
когда ими означаются ни-
сколько вещей одного рода:
аразнородными ( numeri he-
terogenei) вЪ то время ,
когда онЪ употреблены бы-

А 5 ВаюшЪ

I

L

I
I

I
I

I
I

I
I

I
I

I
I

I
I

I
l

I
I

I
I

I
I

I
I

I
I

I
i
i
i
l
I
l
i
I
I
I
I

I
I
i

I
i

I
I

I
I

I
I
i

I
I
I
i

IO	(o)

ваютпЪ кЪ всщамЪ разнаго
рода.	1

АксТома.

§. i6\ ЦЪлое количество
равно всЪмЪ своимЪ частямЪ
вмВстЪ взятымЪ; или взаим-
номЪ образомъ всё части
количества вмёсшё взятые
равны ему будутЪ.

ОпредЁленте.

I/. Сложение чисел!
есть дЁйсшвте, посредством!
котораго сыскивается та-
кое число совокупно выра
женное , которое равнс
нёсколькимЪ числамЪ одной
рода выраженным!) порознь

выражение порознь, или за-
данные числа называются
слагаемые числа (numeri
summandi) а совокупно выра-
женное, или искомое число
называется сумма (штта).

Положен^.

§ 1$. ЗнакЬ сложения употреб-
ляется и выговаривается И , пли
сложено (plus) на примБрЪ 2.-4-р
выговаривается 2. и или 2. сло-
жено сЪ J.

Задача.

§. 19. Сложить нисколько
заданныхЪ однородныхЪ чи-
селъ, шо есть сыскать
ихЪ сумму.

Поставить

рЬшен!с

Поставить однЪ числа под]
другими такимЪ образомЪ , чтоб]
единицы подЪ единицами, десятю
подЬ десятками, а сотни псдЬсош
иями стояли и такЬ далЪе, и про
тянувЪ подЬ ими линею, чтоб]
слагаемые числа не смЪшалися с!

суммою, сложить прежде единицы
и сумму ихЪ поставить нйже ли
Неи подЬ единицамиже слагаемых]
чиселЪ ; и ежели вЪ суммЬ единиц1
случится одинЪ или нисколько де-
сятковЪ, то не ставя ихЪ подЪ

единицами слагаемыхЪ чиселЪ пере
несть кЪ десяткамЬ, слагаемыхЪ
чиселЪ оставляя подЪ единицами
только сверьхЬ десятковЪ находя*
хцТесь единицы; а ежели ихЪ не бу*
детЪ , то ноли •' и когда вЪ сум-
мЪ десятковЪ будетЪ одна или
нисколько сопснЪ, иго перенесть
мхЪ кЪ со’ПнямЪ слагаемыхЪ чи«
сслЪ поступая сЪ остатками со-*

гаенЪ

тснЪ вышеобЬявленнымЪ при сло-
жен™ единицЪ способомЪ, и ежели
продолжаемо будетЪ такимЪ Обра-
зомЪ дЪйствге сложения и по про-
чимЪ рядам!) слагаемыхЪ чиселЪ i о
произойдешь отЪ того искомая
сумма: на примЬрЪ огпЪ создания
города рима до учреждения вЪ немЪ
консуловЪ прошло 23 5 лЪшЪ, отЪ
начала консуловЪ довзягпья галлами
рима 1 $О, отЪ взятья рима до раЗ-
зоренТя Кареагена 240. отЪ раззо-
ренТя Кареагена , до рождества Хри-
стова 144. а отЪ рождества XpN
стова понынВшнее время 1762 года
такЬ сколько будетЪ всЪхЬ лЪтЬ
отЪ создания города рима по ны-
нЪшнее время; понеже для рЪшенТя
сего вопроса надлежигпЪ сложить
с!и числа, то мы поступимЪ вЪ
томЪ слЪдующимЪ образомЪ :
поставимЪ слагаемые числа одно
подЪ другимЪ такЪ чтобЪ единицы
ПодЪ единицами и прочая стояли

ела- пто 5» 4, а. составяхпЬ 11J
гае- 130 такЪ повышеписанноюй
мыс- 240 ставимЪ мы подЪ едини!
чис- 14.4 цами слагаемыхЪ чиселд
ла 1762 1. а десятокЪ сноСимЪ кУ
сумм» 2fit ряду десятковЪ искладыва<
емЬ его сЪ cb$. сЪ 4. сЪ 4 и си
6. десятками , и понеже сумма
ихЪ составляешь двадцать один[1
десятокЪ , или двЪ сотни и один!]
десятокЪ, то мы потому ставим В
подЪ рядомЪ десятковЪ слагаемых/!
чиселЪ j. а 2 сотни перенесши кЬ
сопгнямЪ слагаемыхЪ чиселЪ скла4
дывасмЪ ихЪ сЬ 2, cb 1. сЪ 2. сЬ
I. и сЪ 7. и какЪ ихЪ сумма со-
ставляет Ь пятьнадцать сотенЪ ,
или тысячу пять сошЪ , то мы
ставимЪ 5 соиЪ подЪ сотнями
слагаемыхЪ чиселЬ, a icoo перено-
симЪ кЪ тысячи слагаемыхЪ чиселЪ
и какЪ ихЪ сЪ тою тысячью бу-
детЪ только 2} то мы ставимЪ i

хныся

тысячи подЪ тысячью слагаемыхЪ
чиселЪ; И посему д'ЬЙСШВПО явилось,
что отЪ создания города рима по-
нынВшнее время прошло 2511 лЪшЪ.

Доказательство

ДанныхЪ чиселЪ единицы , де-
сятки , сотни ипрочая сушь нечто
иное, какЪ ихЪ части ; и такЪ ко-
гда онБ act) вмЪстЬ возьмутся , то
будугпЪ равны даннымЬ числамЪ ,
какЪ своему цБлому количеству (по
§ 16) но понеже изЪ рЪшен1я даннаго
примера видно , что подЪ линесю
поставленное число составлено изЪ
вс'ВхЪ единицЪ , десятковЪ, сотенЬ
и прочая данныхЪ чиселЪ ( и такЪ
имЪ равно, слЪдовательно будетЪ
вЪрная ихЪ сумма.

СлЪдствТс

§ 20 ИзЪ рЬшенТя примера сей
Задачи ясно видБшь можно , что
вЪ кошоромЪ ряду сумма чиселЪ
прево-

превосходитЪ число девяти, то cmoJ
лько вЪ немЪ девяшковЬ оставлясЛ
тся, сколько КоЪ суммы npaEail
ряда налБвой переносится единиц!]
чего ради ежели почесть всБ слага]
емые и рЪ суммБ находящТеся чисч
За единиц, не взирая на то, что нБ|
которые изЬ ихЬ ЗанимоЮшЪ мЬсп i1
десятковЬ, сотенЬ, тысяч!) и проча
то вЬтакомЬ случаЪ число находя
Щихся вЪ слагаемыхЪ числахЪ девЯ
ГпковЪ сЪ остаткомЬ (ежели како

козЪ оставленныхЪ во время сложе
н!я заданныхЪ чиселЪ сложенном
сЪ числомЪ находящихся вЪ сумм
ДевятковЪ сЪ остапгкомЬ (ежели он
будегиЪ) какЪ гао и вЬ нашемЪ npi

м'БрБ вЪ слагаемыхЪ чмслахЪ нахо
дится пять дсзятковЪ , также оста
вленныхЪ вовремя сложенгя злдтн*
ныхЪ слагаемыхЬ чиселЪ девятковЪ
чешырЪ авЪсуммБ одинЪ*, и такЪ с№
равенство числа находящихся вп
слага-

слагаемых^ —

числомЪ девятковЪ находящихся
вЪ суммЪ и оставленныхЪ во время
сложения слагаемыхЪ чиселЪ слу-

- жить можетЪ вмЪсто повБрен'/я
* вадачЪ рЪшенныхЪ по правилу ело-

S ЖСН1Я.

ОпредЪлсше

2i ВычишанТе есть дЪй-
сшвю, посредсшвомЪ кошо-
taro изЪ данныхЪ двухъ
однородныхЪ чиселЬ сы-
скать можно третье ;
которое ежели сложить сЪ
однимЪ изЪ данныхЪ чи-
селЪ , то оно будетЪ равно
Другому : число, которое
вычитается , называется
вычитаемое ( numerus fub-

Б tra-

fwrM»CT*.k i4SA)mwi|

trahendus) шо число, изъ
коего вычетЪ дЪлается
уменьшаемое ( numerus mil
nuendus) а искомое ocmaJ
птокъ или разность (resi-
duum vel differentia.)	1

Положение.	I

22.	ЗнакЪ вычитанТя полагается—1
и выговаривается безЪ ( minus ) на«|
грим^рЪ 8—3 , выговаривается во-|
семь бслЬ трехЪ.

Задача.

23.	Вычесть вычита-
емое число изЪ уменыиа-1
емаго.	, I

рЬшен!е.

ГЬдлежитЪ поставить вычи-
таемое число подЪ умсншаемымЬ
такимЪ'

I

такимЪ образомЪ, чтсбЬ единицы ,
десятки, сотни и прочая выч! тае-
h.aro числа были подЬ единиц, ми,
десятками , сотнями и прочел
ументасмаго числа $ какЪ по ьЪ
задачЪ СложенТя пскаЗПО (§ 19.)
погсомЬ провеешь пс дЬ сими чи<*
слами линсю , и вычесть единицы
МзЪ единсцЪ , дссяп.ки .кзЪ дсся-п-
коЛ> и прочая , и каждой осша-
гпокЪ написать подЬ линЕкю вЬ
прйСшойьомЪ мЪстБ , то есть
осташокЪ единицЪ подЪ единицами,
десятковЪ подЪ десятками и прочая ;
а ежели вЪ какомЪ ряду случится
вычитать большее число изЪ мен*
шаго или изЪ ноля , то для вы*
читан!я такого числа надобно пе-
речесть вЪ тотЬ рядЬ изЪ лЪваго
единицу , которая вЪ немЪ будетЪ
стоять, десяти ( по § ю ) а число
уменшенное единицею, означить
точкою, чтсбЪ не позабыть , что
оно уменшено $ притомЪ ежели

ба	вЪ

вЪ уменшаемомЪ чзслБ случится
много нолей одинЪ задругимЪ слБ«
дующихЪ , то они всЬ таким!
обраэомЪ переменяются вЪ десятки,
а меньшее число , изЪ кошорагц
вычитать должно, увеличивается
десяткомЪ; и ежели симЪ образом!
поступать при вычитанш одюгс
числа изЪ другаго , то сыщется
требуемой остаток!: напримЪр!
отЪ приходу Энеева вЪ Тталхк
по раззорен!и Трои донынВшиягс
времени прошло 29?9* лЪтЪ ,
а римляне взяли подкопами в!
•7SS году послВ Энеева приход)
вЪ 1талХю , городЬ Вей , не по-
далеку отЪ нихЪ стоявшей .
твакЪ по сему узнать надобно
сколько л151пЪ прошло отЪ топ
времени, какЪ при взятш городов!
подкопы употребляться стали; мь
по тому, чшорВшеше сего вопрос;
принадлежишь до правила вычигпа
н!я, посшупимЪ вЪ томЬ предпи

саннымЪ порядкомЪ; ежели вычесть 8
уменыяеное число 29 $9 пэЪ р то
вычитаемое число	будетЪ,

осшагпокЪ или разн. 2.1^1 осглатокЪ
отЪ вычитанхя единицЪ изЪ единицЪ
I, которой ставимЬ мы подЪ еди-
ницами стоящихЪ выше линейки
чиселЬ, а понеже 8 слБдующихЪ
десятковЪ изЪ $ вычесть нельзя >
то для того взять надобно изЬ
р. сотенЪ одну , сложить ее сЪ
тремя десятками , кои сЬ нею со-
сшавятЪ 1$. десятковЪ; изЪ кото-
рыхЪ ежели вычесть 8, то проис-
ходящей отЪ того остатокЪ Су-
де гпЪ 5. десятковЪ • которой по-
ставить должно вЪ послЬдованТс
предписаннымЪ правиламЪ подЪ де-
сятками же находящихся выше ли-
нейки чиселЪ; теперь вычесть 7.
сошенЪ не изЪ 9. но йзЪ S. пото-
му, что сЪ правой стороны при
нихЪ стоящая точка значитЪ ,
что число р единицею уменьшено;

. востатокЪ отЪ того I. написать
подЬ сотнями верхнихЬ чиселЪ ;
наконецЬ поставишь должно подЪ
линЪею 2 тысячи непременные; длд
того, что вычитать пзЬнихЪ нЪчсго
и чрезЪ de дЪйств!е явилось, что
on Ъ того времени , какЪ при ога-
дахЬ городовЬ подкопы д'Блаются,
прошло 215г годЪ.

Доказательство

При рЪшенги сей Задачи вычи-
таемы бы т вычитасмаго числа
единицы, десятки, сотни и прочая
изЪ единицЪ десятковЪ и сотенЪ
у мента* м го ; то есть всЪ части
вычитасмаго числа изЪ всБхЪ частей
уменшаемаго, а всБ части вычитае-
тмяго числа вмЪстЬ взятые равны цБ-
лом / вычитаемому числу, также и
всБ части уменшаемаго числа вмБ-
с rib взятия равны цБлому уменша-
емому числу (по § 16.) слБдова-
шельно при шакомЪ правильномЪ

БЫЧИ»

вычитаны одного числа изЪ другаго
остапюкЬ будетЬ вВренЪ.

СлЪдс ш в!е.

24 ИзЪ остатка происходящая
ОиЪ вычитаны одного числа изЪ
другаго узннпь можно, чемЬ одно
изЬ ихЪ превссходишЪ другаго j и
по сему ежели почесть вычитаемое
число, и остатокЪ за слагаем я
числа, то уменшаемое число б/-
дс’пЪ ихЪ сумм,; и симЪ сбразомЪ
повЬрять можно рЪ.иенныя по пра-
вилу вычптачГя задачи; какЬ то и
вЪ заданномЪ гримЪрЬ, ежели сло-
жить вычитаемое число 7b8. сЪ
осшаточнымЬ 2151, то сумма
сихЪ чиселЬ равна будетЪ умен-
шлемому числу 2<??9; чрсзЬ что
узнать можно, что заданной при-
мЪрЪ рЪшенЪ вЪрно.

П р и м Ъ ч а и г ё.-

55 При сложен!» слагаемый числа и
сумма, а при вычитан!» уменьшаемое, вы-
читаемое и остаточное числа должны
быть одного рода- потому, что вЪ проти-
вномЬслучай слагаемые числа н-могутЪ

Б 4 составить

составить суммы , ежели он! не будут!
одного роду; для того, что сумма по-
честься можетЪ за цЪлое количество, а
слагаемые числа за части его, также и
при вычиташи не можно вычесть числа
вещей одного рода изЪ числа вещей дру-
гого; для того, что уменшаемое число
также почесться можетЪ за цЪлое коли-
чество, а вычитаемое за часть его, что
вЪ разнородных! числах! быть не мо-
жет!.

ОпредЪлеше.

26 умножеше есть дЪй-
сшв'те, помощпо котораго
одно какое ни есть изЪ дан-
ныхЪ двухъ чиселЪ во столь-
ко разЪ увелечивается, ско-
лько другое единицЪ вЪсебЪ
имЪетЪ. Одно изЪ данныхЪ
чиселЪ вЪ верьху стоящее
называется множимое число
( numerus multiplicandus )

а другое множитель (mul-
ti plica tor) оба вообще мно-
жимый числа ( factores )
а происходящее отЪ умно-
жены ихЪ между собою
число именуется произве-
дете [productum].

Положен! е.

27 ЗнакЪ умножения есть, или
X, которой ставится между мно-
жимымЪ числэмЪ и множителемЪ и
выговаривается умножено , на при-
мВрЪ 4. или 4, X выговари-
вается четыре умножено тремя.

Задача.

28 ЗдЪ'лашь таблицу
умножения.

б 5 рВшешс

2,6

(О)

рЪшен!с.

Начертить четверооторонную
и равносторонную фигуру , в ра-
здБливЪ каждую взЬ се сторонЬ
на 9. ртныхЬ частей, провссии
чргзЪ точки раздЪлен!я другихЪ
прошиволежащпхЪ сторонЪ другие
прямые линБи разсБкающте прежнихЬ
накрестЪ , то гпакимЪ образомЬ
разделится та фигура на нисколь-
ко маленькихЪ чешыреугольниковЪ;
посл£ сего приготовлен!я надле-
жшпЪ написать какЪ вЪ верхнемЪ
ряду такЪ и вЪ томЪ , которой
на лЪвой сторонЪ фигуры сверьху
внизЪ простирается, по 9. rjwcppb,
пощомЪ ставить дважды взятое 2
то есть 4. подЪ 2, дважды взятое $
то есть 6. подЪ и такЪ далЪе ,
трижды взятое 2. то есть б. подЪ
2. трижды взятое то есть 9

подЪ и такЪ далБе , продолжая
нисколько кратное всЪхЪ чиселЪ
даже



даже до ю- повторен» , пока вся
таблица написана будетЪ ; какЪ
то cie ивЪ самой се яснЬе видЬшь
можно.

1	21	3|	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	IC	IZ	»4	16	18
3	6	9	12	15	iB	> 1	24	27
	8	I 2	16	20	24	2^	?2	j6
5	IO	>5	20	2?	3е	35	40	4<
6	12	х8	2 4	з°.	^6	4&	48	54
7	14	21	28	35	42	49	S6	
8	»6	«4	Р	_4^	48	5 <5	64	72
9	18	27	з>	45	54	б3	72	81

При мЪчан!е.

59- Начинающему учить умноженТе
необходимо надобно выучить прежде
таблицу умноженья ; потому что б зЪ
знания ее весьма трудно умножать
числа.

-Задача.

bzn Задача.

50. ИзЪ данных!) двухъ j
чиселЪ одно другимЪ умно-1
жить.

рЪшен!е.

Поставить данный числа одно
подЪ другимЪ гпакимЬ образомЪ ,
какЪ и вЬ сложен!и , потомЪ про -|
Веешь подЪ ними прямую линЕ>ю; я
ниже линЬи надобно ставить про-'
мзведенгя изЪ множителя на мно-
жимое число, наблюдая притомЪ ,
чшобЪ десятки всякаго произведены
сносимы были кЪ слВдующимЪ
произведенЫмЪ, также, чшобЪ про-1
изведенТе изЪ множимаго числа на
десятки множителя прошивЪ де- '
сятковЪ , а произведете изЪ мно-
жимаго числа на сотни множителя
прошивЪ сошенЪ начиналось • по-
ШомЪ надобно сложишь частныя

произве-

произведения , mo сумма ихЪ бу-
детЪ искомое произведете: на при-
мЬрЪ надобно знать сколько 24 мЪ
и^довБкамЪ вс15мЪ дано денегЪ ,
когда на каждаго изЪ ихЪ досталось
по 56. рублевЪ: для рБшенГя сего
примера поставить должно 56.
подЪ 24. по прсдписаннымЪ пра-
виламЬ , и множишь 4. чрезЪ 6,
множимое число 24 и какЪ отЪ
множителя б, $ 6 выходитЪ п р о-

144изведен1е 24.

120 то поставишь
произведенТе 1544 подЪ линВйкою
противЪ единицЪ множимыхЪ чи-
селЪ 4 а 2 десятка перенес ть кЪ
произведена изЪ б. на 2. то есть
кЪ 12, сложить ихЬ вмЪсшВ , и
поставить 14. теперь, когда взять
вторую цифру множителя 5. на-
чать умножать ею множимаго чи-
сла перьвую цифру 4. и понеже
ошЪ того происходить произведе-
ние 20. то должно его поставить
противЬ

противЪ 5. то есть противЬ ле»
сятковЪ множителя, потому что
произведете cie не изЪ ед^ницЪ ,
но изЪ дссятковЪ МНОа;итсЛСВЫхЪ
на мно,жимое число 4. а 2. пере*
несть кЪ следующему произведений
изЪ на 2. то есть кЪ Ю. и,
сложивЬ вмЪсшЬ поставить 12.
наконсцЪ когда сложить с!и част-
н >!Я произведен^ , то выдетЪ
требуемое произведение 1344. озна-
чающее чесло денегЬ данныхЬ всБмЬ
24 челов'БкамЬ.

Доказательство.

ИзЪ самаго р’ВшенТя и таб лицы
умножевтя явствуетЪ, что первое
между линЬиками написанное число
И4 содержи тЪ вЪ себБ всВ мно-
жимаго числа цыфры , то есть
всЬ его части ; следовательно
все множимое число столько разЪ,
( по § 26.) сколько первая множи-
телева

шс лева цифра единицЪ ; такимЪ
же образомЬ узнать можно , что
и другое между линЬйками находя-
щееся число 1йО столько разЪ
содержитЪ вЪ сесэБ множимое чи-
сло , сколько другая множителева
ць:фра единицЪ,- а понеже числа ме-
жду линЪйками написанные соста-
вляютЪ вмЪспБ произведение про-
исходящее отЪ умножения всБхЪ
данныхЬ чиселЪ между собою * то
сумма ихЪ равна имЬ будетЪ ( по
§ 17.) которая столько раэЪ со-
Д'ржитЪ вЬ себЬ множимое число,
сколько всБ множителевы цыфры,
то есть всБ его части , слБдова-
тельно весь множитель елиницЪ ,
вЪ себЕ> имВетЪ : и такимЪ обра- •
зомЬ с!я сумма будетЪ произведе-
те изЪ множимаго числа на мно-
жителя.

ПримЪчан ie.

3’- Еж-ли случится у миожите»я
*ии у множ чма го числя, либо у обЬнхЬ
ЧиселЪ на ковцЬ по нЁекольху колей ,

то

jno для облехчешя излишняго труд4
вЪ умножении должно множить одг^
только гпВ ьдыфры, которые содержат])
вЪ себЪ едиь-кцы , а ноли всЪ, скольку
ихЪ ви будетЪ , приставливать ОзУ
умноженья кЪ произведенью; потому, чтя
они какЪ ничего везначанпе цифры умво«
жать не могутЪ; также ежели доведете!
умножать какое большое число чрезЪ J
или 99. либо чрезЪ 999. и ьпакЪ далЪе, mJ
вмЪсто умноженья его чрезЪ 9. множить
чрезЪ 1 о.вместо 99. чрезЪ ьсО.виЪсторрр]
ЧрезЪ t оос. и такЪ далЪе, и изЪпроизЛ

веденья вычесть однажды множимое чи-
сло , то остатокЪ будетЪ требуемо!
число ; какЪ то cie яснЪе усмотрели

можно изЪ нижеслЪдуюьцихЪ примЪровм
вмЪсто продолжи-гнадлежитЪ умно-
телыьаго сего умно- жать ниже слЪду-
экешя.	ющимЪ сокраьцен»

ныиЬ образомЪ.

300

ЭО1 I
cool
боо I
6ооо|
2Йо

99 2

252С

2520

277*0

300
"О

Осоо

28О]
а «->^1 2

28000

2 So

27720

Опре-

ОпредЪленТе

52 ДЪлеше есшь дей-
ствие , помощью кошораго
изЪ двухЪданныхЪ чиселЪ
сыскивается трешее, ко-
торое столько единицЪ
вЪ себЬ имЪетЪ, сколько
разЪ одно изъ данныхЪ
чиселЪ вычтено изЪ дру-
гаго: то число, которое
дЪлить должно называется
делимое число (numerus
dividendus) то , нако--
торое делить 9 дели-
тель ( divilor) а -что про-
исходить ощЪ дЪлешя од-

В ного

Я	(О)

I

ного числа на другое, на
зываешся частное число

Положен!е.

55 ЗнакЬ дЪленТя есть: поста’
вляемой вЪ срединЬ между дБли-
гселемЪ и дВлимымЪ числомЪ } ил|
другой знакЪ g надЬ кошорымЪ ста<
вится вверьху дБлимое число а вни-
зу дЪлитель: и выговаривается
разделено: на примЪрЪ 6: 2 или «
выговаривается 6 разделено на 2<

I

Задача

54 разделить данныя
числа одно на другое.

рЪшен!е.

Поставить дВлигпеля сЪ лБвой
стороны, а делимое чисю сЪ пра-
вой 5

вой ; и означишь между ними для
убЬжан!я замешательства скобку,
потомЪ начиная сЪ лЪвой сторо-
ны дЬлимаго числа, и слЪдуя кЪ
правой надлежишЬ смотрЪшь, сколь-
ко разЪ дБлитель состоящей изЪ од-
ной цыфры содержаться будешЪ вЪ
одной цифре, или ежели онЪ боль-
ше той цыфры будешЪ, то вЪ
двухЪ; дЪлитель имЪющш двЬ Циф-
ры вЪ двухЪ; или вЪ трехЪ цыф-
рахЪ дЪлимаго числа > и такЪ далЪе,
а частное число, которое показыва-
етЬ, сколько разЪ дЪлишель содер-
жится вЪ дБлимомЪ числЪ ста-
вить должно по правую сторону
дЪлимаго числа ознавивЪ между ни-
ми скобку >• потомЪ умножить cia
частное число дЪлителемЪ' и про-
изведете отЪ того поставивЪ сЪ
лЪвой стороны подЪ одною, или
подЪ нЪсколькими цыфрами дБ-
лимаго числа вычесть его изЪ
кой одной или нЪсколькихЪ ЦЫфрЪ •
и	? *	нако-

наконецй должно прибавишь к
остатку одну или нисколько цы-
фрЪ; пока будетЪ остаточных!
и приданныхЪ чиселЪ сумма столь
велика, чтобЪ дЪлитель вЪ нс!
содержаться могЪ, осторожно наб
людая притомЬ, чпгобЬ не забыт
ставить вЬ частномЪ числЪ столь-
ко нолей , сколько разЪ по приложе
нт кЪ остатку дЬлимаго числа т
одной цыфрЪ дЬлишель вЪ moi
суммЪ сорержаться не можетЪ, и ко
г да такимЪ образомЪ со всЪми дЪ
лимаго числа цифрами поступлено
будетЪ , то произойдешь отЪ то-
го искомое частное число; на при
мВрЪ на 28 человЪкЪ дано 2576
руб 1евЪ желательно знать , по

скольку каждому достанется изг
той суммы ; а чтобЪ намЪ с?е уз-
нать, то мы поступпмЪ сЪ дан-
ными числами слЬдующимЪ сбра*
ЮмЪ.

ДЁЛИ-

дЪлишель делимое число частое число

28	) 2576 (	92

252

Понеже дБлитель 28 вЪ первыхЪ
двухЪ цыфрахЪ дЬлимаго числа г
шо есть вЬ 25 содержаться не мо-
жетЪ , то надобно взять кЪ тБмЪ
двумЪ цыфрамЪ еще третью, и такЪ
будетЪ 257, теперь смотрЪть
должно , сколько разЪ дЬлитель 28
вЪ 257 содержится, и какЪ видно
что онЪ не менВе содержится
какЪ девятью, то поставить за
скобкою сЬ правой стороны дЬли-
маго числа 9 и умножить тЪмЪ чи*
сломЪ 28; а произведение «зЪ сихЪ
чиселЪ написать начиная omb пра-
вой руки кЪ лЬвой подЪ первыми
тремя цифрами дЬлимаго числа: то
есть подЪ 257- потбмЪ вычетши
25г изЪ 257 остатокЪ 5 поста-

В $	вишь

вить подЪ линейкою, и кЪ сему ос-
татку приложишЪ остальную дБ-
лимаго числа цифру б; наконсцЪ
когда и сЪ ссю дЪлимаго часла ча-
стью поступлено будешЪ такимже
образомЪ, то выдетЪ частное чи-
сло 92 рубли на каждаго человека
пзЬ суммы 2576 рублевЪ.

Доказательство

ИзЪ рЪшен!я сей задачи видно,
что сысканное частное число по-
казываетЪ , сколько разЪ дЪлитель
вЪ тысячахЪ, сотняхЪ, десяткахЪ
ti единицахЪ какЪ частяхЬ дЪлимаго
числа, и потому во всемЪ дЪлимомЪ
числЪ содержится,- слЪдователь-
но оно столько разЪ содержитЪвЬ
себБ единицЪ, сколько дЪлимое
число дБлителя, и такЪ cie част-
ное число вБрно.

СлБдств1е

55 рБшенхе задачЪ умноженТя
ЮдЪленТя показывастЪ намЪ, что

при-

при умноженТи двухЪ чиселЪ можно
одно гэЬ нихЪ почесть за дВлигсе-
ля, другое за частное число, а произ-
вед-Hie за дВлимое число; шакожЪ
про лквнымЪ образомЪ при дВлснки
чиселЪ дВлиш ла почесть можно за
множите ая, частное число за мно-
жимое, а дВлимое число за произве-
дете ; и для сихЪ обстоьтельствЪ
дВленге умноженкемЪ, а умножение
дВ ленкемЪ взавмнообразно пов£-
рять можно, какЪ то явсшвуетЪ изЪ
задачь умноженТя и дВлснТя £§ 30.
34.]; ибо ежели раздВлип’Ь 1344
рубли на 24 человека , то вЪ ча-
стномЪ числЪ выдетЪ 56 число ру-
блевЪ на кач даго человВка, также
ежели умножить 92 частное число
денегЪ на 28 число выражающее лю-
дей, то произведете 2576 выражаю-
щее цВлую сумму денегЪ всЪхЪ лю-
дей покажетЬ данное дВлимое число,

Пр и мЪ чайке,

35 НадлежитЪ знать, что при ум-
поденки идЬленки одного числа надру-

В 1	гое

I

I

I

I

I

I

I

I
(

I


I

I

I

I

I

I

I

I
I

I

I

I

I

I

I

I

1

I

I -

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

Г

I

I
I
i

гое надобно быть тТ>мЪ числамЪ всегд^
разнаго рода , выключая случаи подоб-
ные слЪдующимЪ, ежели надобно бу,
детЪ знать , сколько вЪ такой колон.
»Ь солдатЪ, у которой фронтЪ вЪ $;
человЪкЪ, а фасЪ или толстота вЪ 24, илц
во сколько человЪкЪ будетЪ фасЪ иля
толстота такой колонны , вЪ которой
всЕхЪ солдатЪ 1344 человЪкЪ, а фронт Я
ее кЪ $б человЪкЪ; ибо изЪ обоихЬ сихЪ
случаевЪ какЪ вЪ первомЪ множимые чис.
ла фронтЪ вЪ 56 человЪкЪ, и фзсЪ вЪ 24
человека , шакЪ и во второмЪ дЪлимо<
число 1344 солдатЪ находящихся во.
всей колоннЪ, и дЪлитель $б человЪкЪ
изЪ коихЪ состоишь фронтЪ тойж^
колонны суть однородные числа; по
тому что онЬ во всЕхЪ случаяхЬ озна-
чаю mb количество людей; и cie одно об-
стоятельство причиною было, что в!
опредЬленьяхЪ умноженгя и деленья не-
упомянушо какимЪ вЪ нихЪ числамЪ быть
должно ОднимЪ ли разнороднымЪ или и
однородны мЪ.

ПримЪчанге.

37 Известно намЪ, что приумноже-
нии одного числа чрезЪ другое множи-
мое число во столько разЪ увеличивает-
ся, сколько множитель единицЪ вЪ себЪ
«мЪешЪ ($ гб >) также ипридЬленш од-

него

этого числа на другое д’Блитель столько
разЪ вычитается изЪ дЪлимаго чи-
сла, сколько частное число единицЪ
вЪсебЬ имЬетЪ (по $32); и посему умно-
женье почитать можно за нисколько кра-
тное тогоже числа самого сЪ собою
сложение, а дЪленье за нисколько кратное
одного числа изЪ другаго вычита-
ie.

ПримЪчанге

38 При задачахЪ до дЪленгя касаю-
щихся можно вмЪсто обыкновеннаго спо-
соба дЪленгя дБлать его сокращеннее вЪ
вЪкоторых! ; случаях!?: а именно, ежели
БудетЪ у дЪлишеля на концЁ одинЬ или
нисколько нолей , то вЪ такомЪ случай
надлежит!) ихЪ отд Влить отЪ его, а вЪ
дЪ'имомЪ числЪ сЪ правой руки столько
цыфрЪ, и дЪлить остальное дЪлимое
число па однЪ тЪ дВлителевы цифры,
которые значатЪ единицы, то такимЪ
образонЪ выдетЪ искомое частное число;
и ежели какой осташокЪ будещЪ то при-
дать кЪ ему взятые отЪ дЪлимаго чи-
сла цифры , и поставить остатокЪ, вЪ
ерху провесть подЪ нймЪ линЪйку ,
а внизу написать дЪлителя , то число
такого рода называется ломаное, или
дробь, либо доля; о которыхЪ вЪслЪду.
ющей главЪ предложено будетЪ; а при-
В S	ыЪры

мТры сокращен! аго д’бленУя ниже со
видны.

вмЁстпо продолжительнаго сего
дЪлешя»

2оо)145б8з( 728 /^(остпатокЪотЬ
г 400	) дЪленга или

5е 8	(дробь

4 со

I6 8j"
1600
"’83“

можно дБ лить сокращенно
слФдующимЪ образомЪ
«(00)14.56(83) 7Z8 эВ дробь

«4

S

ГЛА.

ГЛАВА 2

оломлныхъ числлхъ

ОпрсдЬлсшс

39 Ежели разделишь ка-
кую вещЪ на сколько ниесшь
частей, и взять нисколько
нзЪ нихЪ, то число шЪхЪ
частей вразсужденш цЪ-
лой вещи будетЪ дробь; на
иримЪрЪ рубль разделяется
на десять равныхъ частей,
то есть на десять гривенЪ;
и ежели взять шесть гри--
венъ, или шесть десятыхЪ
частей рубля, то' онЪ бу-
дутЪ ъразсуждсши рубля
доли.

СлЪд-

Следствье

40 Полное число тЪхЪ частс^
на которые разделяется какая вещ(
равно должно быть одной той цп
лол вещ л ( по § 16 ), на примЪр]
имперУядЬ раздВляется на десяш
частей, то всВ онЪ: то есть де
сяшь десятыхЪ частей имперУял!
равны будушЬ одному цЪлому им
перУялу , или безЪ означенУя вещ
равны будутЪ единицЬ, и по cd
причинЬ меньшее число частей, нс
жели на сколько делится, какая вещ!
на примВрЪ шесть десятыхЪ чаете
имперУяла называется дробь мень
те единицы: полное число частей н
сколько дЪлится цЪлая вещь, на при
мВрЪ десять десятыхЪ частей импе
реяла дробь равна единицЪ; а числ
частей больше нежели на сколько
разделяется цЪлая вещь - на примЪрЪ
двВнатцашь десятыхЪ частей импе
рУяла называется дробь больше еди-

ниЦЫ; первой изЬ сихЪ дробей
родЬ называется правильная дробь,
а послЪднте два неправильные дроби,
и по справедливости не могутЬ на-
зываться дробями, а счисляются
онЬ между долями для того ,
чтобЪ вЪ нЬкоторыхЬ ариемети-
ческихЪ дойсшвтяхЬ по долямЬ мо-
жно было посредсшвомЪ ихЪ лухче
и способнее дЬлать выкладку.

Положен!е

41 Математики иЗображ?ютЪ
дробь нижеписаннымЪ образомЪ ,
вверьху ставятЪ самую дробь, про-
водятЪ подЬ ею линБйку , а внизу
пишушЪ полное то число частей,
на сколько дБлится цЪлая та вещь-,
которой части изображаешь верх-
нее число: на примЪрЬ ежели будутЪ
тесть десяшыхЬ частей рубля, то
надлежишЪ поставить шесть ввер-
ху ; и подЪ симЪ числомЬ провесть
линейку

линЪйку, а ниже линБйки написапц
Заданные десятые части; что лея
че понять можно изЪ фигуры, не-
жели изЪ толковаН1Я •. на примБрЪ |
или з рубля выговаривается шесть
десятыхЪ; или три пятыхЪ частей
рубля; притомЪ же верхнее число б

части, то число т'БхЪ частей бу-
дешЬ также дробь; и посему можно
всякая вещи безЬ перемены ихЪ ве-
личины выражать цЪлыми и лома-
ными числами: на примЪрЪ шесть
рублевЪ чрезЪ ?з рублевЪ, то есть
чрезЬ бо гривенЪ.

или з называется числитель, по
тому что оно выражаетЪ число
нЬсколькихЪчастей отЪцВлой вещиЯ
а нижнее ю или 5 знаменатель, для
того, что онопоказываетЪ полное!
иго число частей, на сколько цЪлаяI
Вещь д&лится.

Сл’ЬдствТе

42 Когда полное число т’БхЪ 1
частей , на которые дЪлится какая!
цБлая вещь одна можетЬ назвать-!
ся дробью [по § 4°]> то сдБду-1
етЪ изЪ сего, что ежели взять 1
и большее число такихЪ цБлыхЪ I
вещей и разделить ихЪ всВхЪ на!

части!

Задача

43 Привесшь цЪлое
число по заданному знаке*
нашелю вЪ доли.

рБшенТе

НадлежитЪ умножить пгакце
цЪлое число даннымЪ знаменате-
лемЪ , произведение изЪ того по-
ставить вверьху, провесть подЪ
нимЪ линЪйку .и написать знамена-
теля ниже линейки по 41) то
шакимЪ образомЪ заданное целое
число

число пригедено будетЪ вЪ дро(
даннаго знаменателя; на примЪр!
ежели задано будетЪ цЪлое число
7 пудЪ привесть вЪ дробь данная
знаменателя до, то есть вЪфун
ты, то неправильная дробь “1? ил]
2.?О фунтовЪ будетЪ дробь дан
наго знаменателя произшедшая из
цВлаго числа.

С лЪдствЗе

44 ПодобнымЪ образомЪ пр
весть можно заданное цБлое числ<
сЪ дробью вЪ одну дробь: на при-
мЪрЪ 2 и Is пуда привесшь можно
вЪ *»б пуда или во юо фунтовЪ;
на проши вЪ того ежели задано бу
дегпЪ сыскать, сколько находите
вЪ дроби большей единицы цБлых
чиселЪ, то вЪ шакомЪ случай на
добно ту дробь больше единицы
дЪлить на знаменателя ее, а чаепгне
число покажешЪ сколько вЪ не

цБлых1

г.

(О?	49

цЪлыхЪ чиселЪ ; на прпмЪрЪ вЪ сей
большей единицы дроби ~ рублеЛ) бу-
дсгпЪ цБлыхЪ 2 рубля и правильная
дробь it рубля.

ПримЪчанКе

4? Доли бываюпЪ одинакихЪ и раз-
ВыхЪ знаменателей ; на прим ЬрЪ *0 и ^сушь
дроби одинакихЪ знаменателей , л | и « раз*
выхЪ.

Определение

46 Однородные доли на-
зываются пгЬ, которые со-
держать бЪ себЪ части ве-
щей одного рода 3 хотя бы
тЪ части были одинак‘1е или
разные, то есть хотя бы
пгакгедоли имЪли одинакихЪ
или разныхЬ знаменателей;

Г	на .

на примЪрЪ , 75 и । рубля
сушь однородные доли; по-
тому что онЪ означаютЪ
части вещей одного рода. I

ОпредЪленхе '

47 Разнородные доли па-|
зываются гаЬ, которые оз!
начаютЪ части вещей раз-’
ныхЪ родовЪ, хотя бы таХ
к!е доли имЪли разныхЪ или
юдивакихЪ знаменателей ;
на примЪрЪ j рубля, । круж-
ки воды и Я пуда воску суть
разнородные доли; для того
что онЪ означаюшЪ части

. разныхЪ жщей.

х •	i

1 еорсма

. . Теорема

4S Ежели какой дроби
числитель и знаменатель
умножены или разделены
будутЪ на какое ни есть
число, пто содержание * ИЛИ
величина той дроби не пере-
менится , но будетЪ Она
въ разсужденХи цЪлой тойве-
щи отЪ которой она дробь
такая же часть, какая была
прежде умножения или деле-
ния числителя и знаменате-
ля ее на какое ниесть- Число*
а переменяются только ча-
сти составляющая Дробь ;
Потому что онЪ ВЪ случаи
Г а. умно

умножены числителя и зна-
менателя на какое ни есть
число дЪлаются величиною
меньше, а числомЪ больше ,|
авслучаЪ д-Тмешя величиною
больше, а числомЪ меньше.

Доказательство.

I
I
I.

ПоложимЪ дробь *а рубля, ежели
сей дроби члелишеля и знаменателя
умножить на примЪрЪ чрезЪ Ю или
раэдБлить на 5. то вЪ первомЪ слу-
чай выд-тЪ дробь а вЪ другомЪ
с!и двЪ дроби да и • содержанТемЪ
или величиною равны будуиЪ дроби
ибо хотя числитель и знамена-
тель дроби ’<£ больше а числитель
и знаменатель дроби s меньше, не-
жели числитель и знаменатель дро-
би Д; но когда мы разсудимЪ, что
с1и дроби суть доли одном вещи, ко-

вторая разделена сперва на 2 части,
пошомЬ каждля изЪ двухЬ се частей
на 5 меньшихЪ частей, и такЪ цЬ-
Лая вещь на ю частей, и наконсцЪ
каждая изЪ десяти частей на Ю
еще меньшихЪ частей; следователь-
но цЁлая вещь на юо частей, то
изЪ сего узнаемЪ мы что s той
вещи которая дЬлится на ю и на
юо частей равна б^детЪ содержа-
Н1емЪ или величиною w и чэстямЪ;
потому что вЪ семЬ случаЪ s вещи
состоитЪ изЪ Д меныиихЬ частей или
изЪ т?. еще меньших!; та к!> изЪ сего
явствуетЪ, что содержание или ве-
личина дробей 6тЬ умножения и дЬ-
лен1я на какое ниесть одно число не
переменяется, а переменяется толь-
ко число и величина частей, кото-
рыя ту дробь сосшавляютЪ.

Г 3' Задача

I

в

и

54	(е)

Задача

49 Данный дроби раз*
НЫХЪ знаменателей npid
реешь вЪ дроби одинакихи
знаменателей безЪ перемЪнц'
ихЪ величины, то есть од4
нородныхъ вещей части илл|
доли разной величины при!
весть въ части или долл!
одной величины.

рЪшен1с.

Надобно умножить числителя и'
Знаменателя кождой иэЪ всВхЪ дробей,
Которыя приводятся кЪ одинакимЪ
Знаменателям]?, знаменателями всЪхЪ
прочихЬ долей, то такимЪ образомЪ т.В
доли приведены будутЪ кЬ одинакимЪ
ЗНамсндшелямЪ безЪ псремЪны ихЬ
величины

величины (п° § 4$) НЛ прим рЪ
ежели нмобно будетЪ привесит кЪ

одинакимЪ знаменателям Ъ s ♦ и г

рубля, то должно
томЪ слЪдующимЪ

поступить вЪ
образомЪ умно-

4 6  4 4	3 4 б б	I 2  4 4
	 —	— —-	— - —
16 24.	18 24	4 8
2 2	2 2	6 6
	 .—	— —.	—* —

>'2 |S Зб

|8 24 4R

жить числителя первой дроби 4 и зна-
менателя 6 знаме-
нателями второй
и третей дробей
4 и 2 , числителя
второй дроби $
и Знам-нателя 4
знаменателями

первой и третей долей би 2 и числи-
теля третей доли i и знаменателя а
Знаменателями первой и второй долей
б , 4 , и произшедиЛе отЪ спхЪ умно-
жений произведения ’»	£ будутЪ

доли приведенный кЪ одинакимЪ зна-
менателямЪ; потому чгпо каждой
изЪ ихЪ какЪ числитель такЪ и зна-
менатель умножены одними числа-
ми. (по § ^8 )

(О)

СлЪдств!е.

$0. Для скорейшего рВшен!я та-
ких!) задачЬ можно употреблять крат-1
чайпне способы а именно или умно-
жать только числителя каждой дроби!
Знаменателями прочихЪ долей кромЪ
своего, и псп'.омЬ ьсЬхЪ знаменатс^!
лей между собою, какЪ вгдВть мо-
жно изЪ нгжеслЪдующаго прлмЬрЯ
4Х|Х2, ?ХбХ2, IX4.X6,	32, 36,

6XJ.X2	48 I

либо ежели случатся так!я доли,!
что самой большей у нихЪ 1зЪвсЬхЬ|
знаменатель можетЪ разделиться!
на каждого пзЬ маньшихЬ знамена-1
телей нацЬло, и пришомЪ ежели!
mb доли имВютЪ гпакихЪ знамена-1
телей , что за первымЪ взг аядомЪ 1
узнать можно, как!я произойти дол- |
жны частный числа omb дЪлен1я
большаго знаменателя накаждаго изЪ
меньшихЪ, то вЪ шакомЪ случай

надобно

надобно только умножить на тЪ
часшныя числа сооГОБВтств^ющихЪ
имЪ долей какЪ числителей шакЬ
и знаменателей, то снЪ шакимЪ
образомЪ приведены будутЪ кЪ оди-
накимЬ ЗнаменателямЪ ; на првмЬрЬ
у долей iH в I пуда самой большей
знаменатель 4° мсжегпЪ дЪлиться
накаждаго изЪ мсньшихЪ Ю и 5 на-
цело , и какЪ мы за псрввымЪ
взглядомЪ узнать можемЪ, что отЪ
дЪленгя большаго знаменателя <О
наменьшихЪ ю и 5 произойти до-
лжны частный числа 4 и 8, то ьЬ
такомЪ случаЪ ничего болЪе не на-
длежшпЪ дЪлать , какЪ только умно-
жить дроби ~ какЪ  числителя 6 ,
такЪ и знаменателя ю на 4, а дро-
би $ какЪ числителя 4 такЪ и зна-
менателя $ на 8 , то чрезЪ сТедВй-
ствТе доли Л и ? приведутся вЪ до-
ли й и I? одинакихЬ знаменателей
сЪ дробью •

СлЪдствТс.

$ i. Между долями имЪющп

одинакихЪ знаменателей

а разных!)

числителей та будете больше, ко-
торая имЪстЪ большаго числителя
на примЪрЪ дробь ~ больше , неже
ли-*-; между долями, укошорыхЪ чи-

слители едчнаки, а знаменагпел!
разные, та будешЪ больше, у кото
рой знаменатель меньше: на при-
м'ВрЬ дробь > больше, нежели ?; а
ежели будутЬ доли имВюиря и чи^
слителен и знаменателей разныхЬ,
то вЪ гпдкомЪ случаВ надобно при-
весть ихЪ прежде кЪ одинаквмЪ зна-
менателямЪ или числителямЬ, и то-
гда ужЪ легко уэнапъ можно по
вышеписаннымЪ вЪ семЪ же предложе-
на правиламЪ большую дробь: на
прпм'ВрЪ между долями ; ~ и г про-
сто узнать нельзя, которая изЪ ихЪ
больше ; а какЪ онВ приведутся кЪ
одинакимЪ знамснателямЪ или' чи-

слитслямЪ

САРгпелямЬ £ £ До или $ ?5* % тпо
тогдч безЪ всякой трудност - узнать
можно что первая дробо или *
больше, нежели вторая ’°, и ли а вто-
50	♦♦

рая больше нежели третья 15а или ??.

СлЪдсгпвТе.

52. Приведете долей рлЗныхЪ
внаменагпелей кЪ одинакимЪ мОжстЬ
еще служишь и кЬ рЬшснио сл'Ьдую-
щ 1хЬ случаев]?; напримБрЪ ежели на-
добно будепЪ сыскать гпак?я два чи-
сла , изЪ кошорыхЪ бы I одного
равны были I другаго; chi доли
ежели привесть вЪ доли одинакихЪ
Знаменателей, tno будетЬ и
или (оставивЪ знаменателей , пото-
му что они одинаковы) 8 и 9 шре-
буемыя числа ; для того что ежели
раздЬлгть р на а 8 на 4 > яю ? g
Шо есть 6 равны будушЪ I 8 то
ссшь б.

ПримЪчаша

ЦримЪчан1’е

S3 ПрисемЪ надлежищЪ знапть, что,
дробямЪ разныхЪ, знаменателей кодоры*
приводятся кЪ одинакимЪ необходимо
надобно быть однородными?} потому что
чрезЪ приведение дол й разныхЪ зна-
менателей • кЪ одинакимЪ не иное что
дЪлается , какЪ сносятся онЪ одна cb
другою, чтоб ? можно было узнать сколь-
ко одна дробь другой больше , или мень-
ше} чего сЪ разнородными д лями дВлать
нельзя} погашу что онЬ ник^кова сно-
шены между собою имЪпь не могутЪ}
мапримВрЪ гз рубля сЪ « пуда сносили
»и какЪ немирно.

Задача

54 Заданную дробь въ
болыиихЪ числахЪ выразить
безЪ перемЪны содержания
или величины меньшими чи-
слами, то есть по обыкновен-
ному названно уменьшишь
дробь.

рЪшснЮ

рЬ шсн!с

Надобно разделить числителя
и знаменателя данной дроби на та-
кое число, которое обБихЪ дЪлить
можетЪ нацело безЪ остатку, часгп-
ныя числа происходящая отЪ того
дЪленТя поставить перьвое вверху
выше линейки, а другое ниже ее; то
симЪ образомЪ выраженная дробь
меньшими числами равна будетЪ со-
держанТемЪ или величиною заданной
вЬ большихЪ числахЪ (по § 48) на
примЪрЪ дробь ~ или Л~|, то
есть заданныя доли т, и п порэзд’В-
лен!и каждой изЪ нихЪ какЪ числи-
теля такЬ и знаменателя на одно
чис чо 6 или з равны будугаЪ со-
держанкмЪ выраженнымЬ меньшими
числами долямЪ $ и г.

ОпредЪ-

ОпредЪлеше.

55.	Самое большее изЪ
ВсЪхЪ возможныхЪ чеселЪ ,
на кошорыя числитель и зна-
менатель какой дроби при
перемЪнеши ее изЪболыпихЪ
ЧиселЪ вЪ меньппя нацЪло раз-1
делиться можсшъ,называет-
ся общей большой дЪлишель;
общей онЪ называется пото-
му что какЪ числитель такЪ
И знаменатель оба на одного
его дЪлятся; а большей, для
того что числитель й зна-
менатель ни накакое боль-
шее отЪ него число нацЪло
разделиться не могу тЪ: на-

т	ПримБрЪ

примере дробь *♦ можетЪ
переменится вЪ дроби рав-
ной величины меньшими чи-
слами выраженные i и I но
ни 2 ниже 4 немогутЪ быть
болыпимЪ делителемЪ да
только 8 ; потому что чи-
слитель и знаменатель ни
накакое большее -отъ сего
число нацело разделиться
неможетЪ.

СлВдетвТе

56.	Ежели у как ой дроби числи J
тель изнлмснатель состоять будутЪ
ИзЪ большихЪ чиселЪ, вЪ гпакомЪ слу-
чаЪ понеже пдругЬ неможно узнать
на какое число онЪ нацВло раздВ-
литься могутЪ, йадлежитЪ дВлишь
Знаменателя такой дроби начисли*

теля



(о)

теля ее; нежели отЪ дБлснТя небу-
детЪ ни какова остатка, то самой
числитель той дроби будетЬ общей
дЪлитель. а ежели отЬ дВлен!я зна-
менателя начислишеля будетЪ какой
остатокЪ, то надобно взять его
вадЬлителя а числителя данной дро-
би бывшаго вЪ прежнсмЪ дБлен1и дБ-
лишелемЪ за дБлимое число, и дЪлить
ихЪ одно надругаго когдажЪ еще и
отЪ вторичнаго дБленТя явится ка-
кой осташокЪ, то также ваять его
Sa дЬлишсля, а прежняго дБлителя
ва дБлимое число и такимЪ образомЪ
доконца продолжать дБленТе • пока |
одно число надругое разд Бли гася на-
цБло, то изЪ т*БхЪ чиселЪ дЪли-
щель будетЪ общей дЪлитель числи-
теля и знаменателя данной дроби ;
но ежели случится, что отЪдБланна-
го такимЪ оброзомЪ данной дроби
дБлен!я произойдешь вЬ остаткВ
единица, то els значитЪ , что той
Дроби меньшими числами выразить не-
можно

Можно потому что она другаго c6J
Щгго дЪлишеля неимЪетЪ, какЬ толь-
ко единицу; а примЪры ДлЯ бсЪхЪ
сихЬ случаевЪ здЪсь сдЪдуютЪ; дро-
би ,,6 зчамедатель 216 разделяется
на числителя безЪ остатку • такЪ
числитель сей дроби самЬ бу-
детЪ общхй дЪлитель, то есть ежелй
раздЪлить числителя $6, и знамена-
теля 216 на 36. то выдетЪ вЪ ча-
СшномЪ числЪ отЪ перваго дЪленхЯ
1, а omb другаго б; слЪдовательно
заданная вЪ большихЪ числахЪ дробв

равна будетЪ величиною Выражен-
ной меньшими числами дроби J, Дро-
би знаменателя 144 ежели раздЪ-
лишь на числителя 96, то произойдешь
вЪ частномЪ числЪ I и вЪ ocmain-
кЪ 48, накоторой ежели раЗдЪлйВпь
числителя сей Дроби 96 бывшагО КЪ
йрежнемЪ дЪленш дЪлителёмЪ । h 0
выдетЪ вЪ частномЪ числЪ & t а
остатка никакова небуДетЪ • почему
дЪлитель лослВдняго дЪлентЯ 48 6va

детЪ СбщТй дЪлитель данной дроби,
то есть '« наконсцЪ понеже вЬ
дробя 5* послЬ лЪлен!я знаменателя
J5 начислишеля 9 выходишЬ вЪ ос-
гоаткЬ 8, некоторой раздЪливЪ чи-
слителя 9 получимЪ вЪ осташкВ I,
то с!е значвтЬ что дроби мень-
шими числами выразишь неможно

ЦримЪчав1е

§ Г7. Приперем,Ьнен1И долей состоя-
щихЬ »зЬ больших!) чиселЪ вЪ равные со.
держашемЪ или величиною доли выражае.
мые меньшими числами примечать на.
добно слЪдующьг случая; осщамЪ дЬли-
ТпелемЪ булешЬ число 2 у такой дроби ,
ТдЬ числитель и знаменатель окон чипа-
ются чошными числами , число ежел»
у числителя и знаменателя какой дрсб»
всЪхЪ чиселЪ соптавляющихЪ ее величин)
м положенных!» за единичные сумма мо-
жетЪ р здЬлиться на п< рп безЪ остатку
нлпримЬрЪ у дроби	«число 4 у вся-

кой такой дроби ,

у которой

левы и знаменателевм крайнге двЪ цыф
ры могугпЪ дЪлиться я* 4* безЪоусгаатка
напримБрЪ у дроби 22.37 > число 5 , ;

такихЪ долей, коихЪ числители оканчи-
ваются числомЪ s, напримЪрЪ у дроби
,7 или	, число б у такой дроби ,

которой числитель и знаменатель могушЪ
нацело разделиться на 2 и на 3J напри-
хЬрЪ у дроби	, число 8- У вся“

кихЪ такихЪ дробей , которыхЪ числи-
телевы и знаменателевы крайнУе сЪ пра-
вой стороны три цифры могутЬ на цЪло
дЪлиться на 8, напримЪрЪудроби Н2»—|j-*s
число о у такой дроби, гдЪ сумма числЪ
величину числителя и знаменателя со-
ставляющихЪ почитанмыхЪ всЪхЪ за еди-
ничные можетЪ разделиться на g безЪ
остатка, напримЬрЪ у дроби —2-— -1 , чи_
ело io у такихЪ долей, коихЪ числители
и знаменатели оканчиваются сЪ правой
стороны нолемЪ; на примЪрЪ у дроби |g—f.

Прим'БчанУе

$8. Польза отЪ приведения дробей изЬ
болыцихЪ чиселЪ вЪ меньшУе равнаго содер-
жания сосшоитЪ вЪтомЪ, чт.о мы екорЪа
узнать можемЪ изЪ дроби меньшими , не-
жели большими числами выраженной, ка-
кую часть отЪ цЪлой вещи она вЪ себВ
содержит!; напримЪрЪ скорее мы узнать
можемЪ какал часть будешЪ $ рубля, не-

ткели/j, скорее нежели руГля, xoni<
-всЪ С1И /оли одииак>ю величинеЮ част»
рубля сзначаюшЪ.

Задача

5р. Ежели задано будетЪ
сыскать сумму нЪсколькихЪ
однородныхЪ ломаныхЪ чи-
селЪ одинакихЪ или разныхЪ!
знаменателей хотя сЪ це-
лыми числами или безЪнихЪ,
то какЪ вЪ томЪ поступить
должно.

Р“Ьшен1 с.

Ежели будутЬ доли одинакихЪ зна-
менателей , то надлежитЪ сложить
ихЪ числителей и поста: ишь подЪ
пхЪ сумму общаго знаменателя *
и когда сумма ихЬ будешЪ дробь боль-

ше

ше единицы, то надлежишЪ вычесть
изЬ, се цВлые числа (по § <н ) и поста-
вить подлВ нихЪ остальную дробь,
ежели какая будетЪ; а ежели случат •
ся доли разныхЬ знаменателей, то
должно ихЪ прежде сложения привсспь
кЪ одинакимЬ знаменателя мЬ (по §
49) а поел В того поступать сЪ ними,
КакЪ сЬ долями одинакихЪ знамена-
телей; наконецЬ кос 14 при ломаныxb
числахЬ ©удутЬ цВдые, изо надле-
ж»шЪ ихЪ однпхЪ сложишь особо ,
потомЪ приложить кЪ нимЪ и гпВ
цЬлые числа, ежели как!е прои-
аойдушЪ отЪ сложения долей вЪ одну
сумму; на всЬ с!я случаи положены
ни;?;есл'Бдуюгрс примеры.

ежели задано)шо посту-) отЬчеговы-
будспгЪ ело-) папгь при-) дошЪ иско-
сишь. )шомЪшакЪ) мая сумма

> рубля'' ~	= г’ ~ £ РУбля

’ J, h иуда) ’-ng

Д э	$,

I

7°	(°)	О

61, ? | рубля) 61+31=9! ~ю РУблямЪ
5sJ аршина ) 51+1=5 в 4-?=5r = 6i=6j
сукна. ) аршина

СлЬдсгпв!с.

бо, Вейлу 49 и 59, ПараграфовЪ
можно рВшигвь слЪдующую задачу:!
сыскать два числа maxie, изЬ котоЛ
рыхЪ бы з и 5 одного числа равна,
были ? и * другаго; ибо ежели ело
жить а и I , то произоидетЪ ихЪ1
сумма в (но § 59) также изЪ I и II
будетЪ сумма (по § т) с!и двЬ’
доли в и — ежели привесть кЪ оди-
накимЪ знаменателямЪ ~ и , то
будутЪ он Б искомые числа; для
увЪренТя вЬ томЬ приведемЪ мы
доли ~~ и -^б изЪ большихЪ чиселЪ
вЪ меныше , то будетЪ '£~lz а 7ДС=
’’ (по§ 54) апонеже cin доли приво-
димы были кЪ одинакимЪ знамена-
шслямЪ f то буду mb онБ одной цБ-
лой

I

лой вещи доли, и пришомЪ одинакой
величины (по § 4.9) ; чего ради можно
поставить ихЬ и бсзЪ знам нап»елси,
какЪ цЬгыя числа; 50 и 39; теперь
ежсле мы возьмемЬ omb 50 ? и *
то есть , то будотЪ такое число
32 ;о • (по § 54) также ежели
взя пь отЪ 39 » и I то есть то
будетЬ и то число 32 I (по §
т) ; и такЬ с!я задача рЬшена вВрно.

Задача*

би Ежели надобно бу-
детЪ вычесть изъ одной
дроби другую однородную
съ нею, хотя бы тЪ доли
имЪли цЪлые числа или нЪшЪ,
также одинакихЪ или раз-
ныхЪ знаменателей 9 то
какЪ решить iiiaKie задачи.

Ежели будутЬ доли одинакихЪ
знаменателей, и вычитаемая дрсб$
меньше уменьшаемой , то надсбир
вычесть только числителя вычита-
емой дроби изЪ числителя умень-
шаемой , и подЪ осшаткомЪ поста-

I

I

I
I

вишь шегоже знаменателя • а когда
рычишасмая дробь больше будет!
уменьшаемой ; то вЪ такомЪ слу<
чаЬ для уанаьпя недостатка умень
щаемой доли противЬ вычитаемой
НадлежитЪ вычесть уменьшаемую
долю изЪ вычитаемой , ипередь,
рстапжомЪ поставить энакЪ вычи-
рннТя, которой показывать будешЪ
недосшагпокЬ уменьшаемой дроби,
дчя которого нельзя вычесть нзЪсе
всей вычитаемой; а ежели притакихЪ ,
дробяхЪ, г дБ большая изЪ меншей вы-
читается, будутЪ цБлые числа, та
вЪ такомЪ случа'Ь надобно взять кЪ
уменьшаемой доли для дополнения

ся недоспютка изЪ цВлаго числа
единицу, и привеешь ее по знаменате-
лю данной дроби вЪ дробь равную
единицЪ, та есть своему змамена-
уяслю ( по § 4з и 40. ) пошомЪ

сложить ее сЪ недостаточною
уменьшаемою дробью , и вычесть изЪ
нее вычитаемую, также и цЬлыс числа
nab цЬлыхЪ особо ; а ежели наконецЪ
будутЪ доли разныхЪ Знаменателей,
то привесть только ихЪ кЪ одина-
ж.имЪ, is поступать во всемЪ, пред,
писаннымЪ образомЪ j какЪ moefe
цзЪ, ниже слЬдующихЪ примЬровЬ
Ясно видБшь ? можно.

ежели на до-}шо песту-, ^отЪчего про-
бно будешЪ )патъ при- )изойдвтЪис-
^ычеешь )шомЪтакЪ) комой оста-

)	,	) шокЪ

5з“Хет—«-ri

изЪ

мзЪ ?<Т>унптг^Н-|-^-=-г-1

мзЪ ^рублях) ,|-х=з^=й

мзЪ 5»Фунща2^ 5S—2«=4-—24- -2*

мзЪ хрубля : ) |-л -’^г=’о=^

изЬ jcbyiima х ) j-s=3-^=-b-— ?

пзЪ б^рувляз! 6;:-^=6-^°
изЪ1о;фунта|; xol^^icV—Sr4-4»~9i

ПримЪчанЁе.

62 Ежели заданы будутЪ доли сЪ
цЪлыми числами хотя одинакихЪ млн'
разныхЬ знаменателей, то можно ихЪ
складывать ивычитагпь одну изЪ другой,
приведши прежде цВлые мхЪ числа сЪ
ними жЪ однЪ доли , но такое сложен!е|
мвычишанме продолжигаелнЪе будетЪ ем-
шеобЬявленныхЪ.

Задаача
.	Л	« ГТ

65. Ежели задано будетЪ
умножишЪ, дробь цЪлымЪ
числомЪ, или дробь сЪ
цЪлимЪ числомЪ цЪдымже

ЧИСДОМЪ,

(©)	>5

числомЪ, шо какЪ рЪшишь
шак1е задачи.

рЬгпенТе.

ВЪ перьвомЪ случай надобно
умножить , числителя данной дроби
цЪлымЪ числомЪ, а вЪ другомЪ при-
сесть прежде цйлое число сЪ дро-
бью вЪ одну дроёь , иумножать другое
цйлое число числителемЪ непра-
вильной той дроби , то проиаойдутЪ
вЪ обоихЪ, примйрахЪ ’искомые ве-
рные проиэведенТя вЪ такомЪ
только случай , когда тй произве-
денТя сЬ заданными дробями хотя
одними или имеющими приссбй цйлые
числа , будутЪ однородные числа ;
какЪ то явствуешЬ изЪ следую-
щих Ь примйровЪ.

сколько дать за 8)
фунтовЪ кодда	_

фунтЬ продаещ-уХ*—♦—орублямЪ
ся по ? рубля (

сколько дать за 2)
аршина когда 1 ар- (
Ш’нЪ продается по) 	’

3>рубля	(

Доказательство.

Знаменатели полагаемые при до-
ЛяхЪ служатЪ кЪ показан!ю на
сколько частей разделена цВлая та
вещь, отЪ которой данные доли суть
части, и такЪ всяюе доли какЪ сЪ
Знаменателями такЪ и безЪ нихЬ пре-
бываютЪ гоВже доли ; почему мы cb
ними также поступать можсмЪ какЪ
сЪ цЪлыми числами: что видЬть
можно изЪ правилЪ сложешя ивычита-
нТя долей (§ 59 и б i) гдВ мы складыва-
емЪ и вычитаемЪ одних!) числителей
не касаясь кЪ знаменатслямЪ, такЪ
равномерно издЪсь вЪ правилЪ умно
жен!я для вышеобьявленной причины
почитая доли зацВлыя числа падле-
житЬ умножать только однихЪ ихЪ
числи-

числителей другими числами к ста-
вить подЬ такими произгедешямя
Знаменателей данныхЬ долей , то про
исходящее такимЪ образомЪ дроби
-будушЪ искомые произведен!^

Примечанье

64. Мы вЪ семЪ правилЪ ПреялаггемЬ
только два ь^римЪра , вЪ которыхЪ ум о»
Жать должно дробЬ наЦ'Ьлое число 4
или дробь сЪ цЪлымЪ числочЬ на цЕлоежЪ
число, да и с(и два примера только ъЪ
такомЪ случай , когда искомое Произведе-
нье сЪ заданною дробно одною, или иско-
мое произведенье сЪ заданною дробью
имеющею при себЪ цЕлое число будутЬ
Числа одного рода ; Для того что во
всЬхЪ лругихЪ случаях!» произведенья
яыходягпЪ не вЪрные , и меньше надле-
жаьцихЪ; а мы чрезЪ умноженье ц!лымй
Числами щЪлыхЪ чиселЪ поХучаемЪ про-
изведенья больше каждаго изЪ множи-
мы хЪ чиселЪ J напротивЬ того вЪ Случи-
яхЪ, когда данная дробь хотя одна или
ммЪкяцзя при себЬ цЪлое число и искомое
Произведенье будупьЪ числа разнородные ,
Или когда двф дроби хотя сЪ цЪлыми
Числами, или безЪ нихЪ умножатся ме-

*АУ

жду собою, то произведен!» выходят!
меньше множимых! чисел! ; почему таких!
случаев! не надлежало бы и называть
умноженьем! долей : для того что от!
умноженья в! них! числителей и знамена-
телей между собсю увеличиваются толь-
ко одни ихЪ числители и знаменатели ,
а дробь напротив! того , вместо чтоэЬ
ей увеличиться > умаляется; почему та-
к!е примеры надлежит! кЪ решенью до
другаго правила; которое посл'Вьукм
щсм! предложено будет! ; а посему реши-
ться не могут!, к ром! геометрических!
случаев! , вЪ коихЪ отЪ умноженья ме-
жду собою дробей означающих! мЪру раз-
стояньй произведенья выходят! в15рныг;
мы для лучшаго увЪренья обЪ истины! се га
предложенья полагаем! ниже еего Bcfcx!
в! нем! упомянутых! случаевЪ примеры

Заодну чстверп}ь(ниже слЬдующТе про
артина сукна дано(изведен!я всЬ невЬр
6. рублевЪ сколь-(ные |хб~т —4?
ко надобно дашь(
за I аршина (

сколько дашь за з? С
аршина когда *	3*—1

аршина продаешпя С	руб.

по 2 рубли. С
когда пуда нЬко- (
раго металла про- (

дается по 2’рубля	’XJ—’J—jcJ •

то сколько дашь (
за zj s пуда. (
сколько дадь за 2’ (

фунта когда J про (2|Х|—-’XJ—
дается по з рубля. (
за пуда дано* руб- (

ля сколько дашьза1з(т.Х4—Г?

ПримФчаиХе

6? НапрошивЪ того ежежи надобна
знать, сколько будетЪ частей квадрат-
наго фута когда умножишЪ | линейнаго
фута |тогоже фута, то отЪ умножен!*
такихЪ долей между собою выходитЪ
проиведен!е верное |Х|=% j но умножать;
тпак!е доли междусобою нЪтЪ обыкновешя;
ибо вмЬсшо 5 и | фута лучше вздтЪ каж-
дой изЪсихЪ дробей равные 8. дюимовЪ к
умножишь между собою.

Задача

.задача

66. Ежели заданобудетпЪ
разделишь дробь одну или
съ цЪлымЪ числомЪ на цй-
лое число 5 или дробь сЪ
цЪлымЪ числомЪ на дробь сЪ
цЪлымже числомЪ^ шо какЪ
решишь waKie задачи*

рЪшен!е

Поставивши напереди дЪлимой
Число, занимЪ ЗнлкЬ дВлснтя а за
ЭнакомЪ дБлителя, надлежитЪ вЪ
ПерьвомЪ случай разделишь числи-
теля данной дроби на данное уЪлоб
число , и подЪ часшнымЬ числомЪ
ПроведЪ линейку постайить знаме-
нателя данной Дроби i Но понеже
НС всякая данная дробь На всякое

Данной

данное число дЬлиться нацЪло мо-
жетЬ , гпо для шакихЬ случаевЪ луч-
ше нсдВля числителя данной дроби
умножить се знаменателя шВмЪ же
даннымЪ цЬлымЬ числомЪ , то чрезЪ
cie дВйсшвте произойдешь искомая
частная дробь : вЪ ДругомЪ случае
надобно прежде привесть данное цВ-
лос число сЪ дробью вЪ одну дробь,
а вЪ третье мЪ привесть какЪ вЪ
дВлимомЪ числЪ такЪ и.вЪ дВлите-
л’Ь цВлые числа сЪ долями вЪ доли,
умножить знаменателя дВлимой
дробя числитслсмЬ дЬлящей , а чи-
слителя дВлимой дроби знамсна-
гпелемЪ дВлящей , то происходящТе
такимЪ образомЪ числа будутЪ ,
искомые частные дроби ; а примЪры
для вс^хЬ сихЪ случасвЪ ниже ссгр
полагаются

за ? фунта дано)

। ’^РУ6ля ntf чему }	£ х

обошолся каждой)*’

фуншЬ

Е	ва

эа 2 аршина дано) р

б а рубля , чего) *'	« » ♦ «

сгпоишЪ каждой)

аршинЪ	)

за 2 s аршина сукна)

дано 5 I рубля, )

вочто сшалЪ )5з-2+— 3:*’— .X*,—J'2
каждой аршинЬ )

Д жазательство

Когда знаменатели придолях!
полагаются только для того, чтоб1
чрезЬ нихЬ показать , на сколько
частей цЪлая вещЪ разделена, отЪ ко-
торой заданные доли сушь части
(по §‘4?. ) такЪ посему мы сЪ до-
лями также поступать можемЬ,
какЪ и cb цЪлыми числами, какЪ напри-
мЪрЪ и здЬсь при дЪлснш долей од-
нихЪ и сЪ цЬлыми числами на цБлыс
числа должны мы дЬлить одннхЬ
числителей данныхЪ долей на данные
цЪлые числа не касаясь кЪ ихЪ зна-
менашслямЪ, и подЪ частные доли
ставишь

Ставить знаменателей дЬлимыхЪ
долей ; но когда мы сысканную ша-
кимЪ образомЪ частную дробь пред-*
ставимЬ вЪ большихЪ числахЪ бсзЬ
перемЪны ее содсржан!я умножая »
какЪ числителя пзакЪ и знаменатислА
се наданное цЪлое число, которой
было у данной дроби дЬлителсмЪ ।
то вЪ такомЪ случаЕ» произойдет!*
у нее числитель равной чвслшпелФ
заданной дЪлимой дроби а знамена*
тель , напротивЪ того  больше зна-
менателя заданной дБлимой дроби $
но понеже такая большими числамй
выраженная дробь равна будетЪ
содсржанТемЪ или величиною сы-
сканной частной дроби состоящей
изЪ мсньшихЪ чиселЪ { по § : 48 )г
то для сей причины при дВленш долей
на цЪлые числа вмЪсто дЪленТя ихЪ
числителей на заданные цВлые числа
можно множить >, ихЪ знаменателей
На mb же числа а наипаче вЪ такомЪ
случаЪ когда дЪлимой дроби числи*

Е А	июль

тель не можсгпЪ раздВлнться безЪ
остатку наданнос цВлое число t
шакимЪ же образомЪ и предБлсн1и до-
лей сЪ цВлыми числами на долей сЪ
цВлымижЪ числами множить должно
числителя не правильной дВлящей
дроби назнаменашсля дВлимой дроби
по вышеобЪявлснной вЪ семЪ же дока-
ЗательствЬ причинБ . и какЪ симЪ
способемЪ дВлишся данная дробь
на большее число, нежели какЪ надобно^
ибо с!сжЪ самое число имЪетЬ
своего знаменателя; на коего оно
раздВлиться должно, такЪ чрезЪ
I уножен!е симЪ анаменателемЪ той
| t дроби , которая равдВлена на большее
I	отЪ надлежащаго число сыщется

I	требуемая частная дробь.

П р*и м Ъ ч а н Y е

61. Что мы вЪ семЪ правил^ иепохо-
। жиля такихЪ случаевЪ, гдЪ ц"Влое число
дЪлмпия иа дробь одну или сЪ цЪлымЪ
числомЪ, либо дробь безЬ цЪлыхЪ чиселЪ,
I то причиною сему то,что такте случаи
! по сему правилу решиться не ногутЪ ;
,	а над.

я надлежать они до другаго j которое вЪ
првдь имЬсптЪ быть предложено : я длл
лучшего ув*Врен1я вЪ том!) 9 предложим!)
мы здЪсь шаые примеры.

за * а рши и а су к в а да но) невЪ ри ъте ч аст-
6. рублевЪтакЪ чсю)ные числа.
стоитЬ каждая че- )	ру.

лгверть	5б:|~?xt=V—8-

дано 12 рублевЪзат$)

пуда такЪ по чему) .	, 12х£=8

обошлась каждая че-) ♦	*

тверть иуда ,	)

за^фунша дэнс^руб:)
такЪ по чему стала }

каждая четверть)	руб ;

Фунта	) Л:I — «:XI”-г?

И тжкЪ понеже мы ciи примеры
решили такимЪ же образомЪ, какЪ и выше
предложенные вЪ ллдачЪ дсленгя долей,
пп отЬ произпидш^хЪ нгвЪрныхЪ ча-
стныхЬ чиселЪ s. руб: 8 руй и fo ру >:
заключать должно , что такхе прим! ры
надлгжатЬ до другаго прав*ла ; а пгсе-
>*У решиться не могчпЪ,' для т то что,
хотя отЪ дЪленхя цЬлаго или ломанаго
числа на числителя дЪлящей дроби и
происходить вЪрное частное число , одна.

ко оно увеличивается чрезЪ умноженш
его знаменателем!» ДЁлящей дроби*

ОпредЪленте.

68. Доли долей или
вторые и nipemie доли отъ
перьвыхъ долей называются
такге числа 7 которые выра-
жаютЪ части частей не-
которой вещи: напримЪрЪ*
рубля перьвая дробь а £
дроби» рубля будетЪ дробь
вторая; и по сему мы знать
можемЪ, что будетЪ тре-
тья дробь и прочая.

ОпредЪ-.

Определение.

бр Приведете вшо-
рыхЪ или вгаорыхЪ и гпре-
тьихЪ, долей вЪ перьвые
есшь такое действие, по-
средсшвомЪ, кошораго узнать
можно 5 скольскнмЪ частямЪ
вЪ перьвой дроби вторая
или сколькимЪ частямЪ ,
вЪ перьвой и второй дроби
третья равнабудетЪ, ежели
разделишь вЪ перьвомЪ слу-
чае перьвую дробь на части
равные частямЪ второй дро-
би, а вЪ другомъ случае перь-
вую и вторую дроби на час ши
равные часшямЪ третей
дроби.

Е 4’

Задачи.

Задача

/о. Привесшь доли до-
лей или вторые и mpemie
доли в"й перьвые.

рЪшен!е.

умножить между собою числи-,
телей и знаменателей данныхЬ]
дробей , то произведена oipb того
будетЪ искомая дробь; Наприм'Вр’Ъ
ежели взять отЪ I руда ? , hjjji
о.пЪ * руб: а и то псслЪ умно-
жен'гя числителей и знаменателей >с-
жду собою прсизойдутЪ искомый
доли в ~ ? пуда и io„ рубля.

/ока зательство

Когда надобно взять отЪ
числа требуемую дробь , то
такомЪ случаЪ дВлимЪ по

на знаменателя

требуемой

какого
мы вЪ

чиелр
дрори
а про-

а происходящее Ofnb такого дЪленТя
число содержать будетЪ одну тре-
буемую долю, потпомЪ надлежитЪ смо-
трБшь, сколько числитель данной
дроби единицЪ вЪ ссбЪ имЪегпЪ , и
ежели только одна будетЪ , п о про-
изшедшес отЪ дЁлсн|я назнаменаше-
ля данной дроби число будетЪ иско-
мое ; а ежели больше, гпо вЪ такомЪ
случаЪ длд получсьйя ВсЪхЪ трсбуе*
мыхЬ долей надлежитЪ умножишь то
число числителемЪ данной дроби ; 4
происходящее отЪ тогоумноженТя чи-
сло даспЪ намЬ требуемую дрсбь ,
такимЪже образомЪ и здБсь вЪ приве-
денш вторыхЪ долей вЪ первые чреаЪ
умножете знаменателемЪ вторыхЪ
долей знаменателя перьвыхЪ получа-
емЪ мы одну требуемую часть, а чрезЬ
умножение числителей сихЪ обВихЪ
долей между собою выведемЪ мы пол-
ное число пгребуемыхЪ частей; что
примечать должно и при пюмЪ слу-
чаЪ , когда надобно приводить mpemia
доди перьвые.

Е j	Лрим£«

(о)

При мЪчан ire

*И. Полагаемые вЬ тцетпЪ вттци дЪлнть мо-
жно наравныя части двоякимЪ образомЪ
или на произвольное и не употребительное
число частей: какЪ напримЪрЪ двЪ третье
части рубля, или пять шестыхЪ частей
иуда > потому что нТтЪ обыкновенья дЪ-
лить рубль на три части ппудЬ нашесть,
либо наобыкнеьЪинов и употребительное чи-
сло, напримЪрЪ шесть десятыхЪчастей руб-
ля, то есть шесть гривенЪ, или пять сороко-
выхЪпула; то есть, пять фунтовЪ, для то-
го что мы обыкновенно дЪлимЪ рубль наде-
ся пь частей а пудЪ насорокЪ: и какЪ часто
бычаетЪ надобно приводить доли не упот»
р бительиаго раздЪленТя вЪ доли упощре-
6 :тельнаго разделенья, то потому назвать
ихЪ можно переменными долями, а доли
употребительна™ разделенья непремЪн-
цкчи долями , для того что мы не имЪ-
емЪ нужды приводить ихЪ вЪ доли не
употребительна™ раздВдеаья, но мы уже
предложенья касающесь допере^ЪниыхЪ
долей окончили, а осталось памЪ только
упомянуть оприведенТи псремЪнныхЪ до-
лей вЪ вепремЪчные , также и осложеньи,
вычитаньи , умножении и дЪленьи тЪхЪже
иепремЪнныхЪ долей , а потребчые кЪ
тому предложенья «иже сего следовать
МмЬютЬ.

Задача.

72 Привесгпь перемен-
ные доли вЪ непременные,
то есть, доли не употре-
би те льнаго разделенья вЪ
доли упошребишельнаго ра-
зделения.

рЪшенТе.-

РаЗдБлить знаменателя иско*
мой непременной дроби назндменате-
ля данной перемВнной дроби , и прои-
сходящее отЪ того частное число
умножить числителемЪ данной пере-
менной дроби, или какЪ обыкновенно
дЪластся умножить числителя дан-
ной перемЪнной дроби знаменатс-
лемЪ искомой нспремЪнной дроби ,
и происходящее отЪ того произвсдЪ-
Hlc раздЪлишь назнаменателя данной
персмЪн->

переменной дроби : то вЪ семЪ слу-
чай частное число, а вЪ перьвомЬ
произведена будстЬ искомая непре-
менная дробь • которую ставить мо.
жно хотя сЪ знаменателемЪ ее, или
безЪ знаменателя ; напримБрЪ ежели
Надобно будешЪ знать, сколько лр-
товЬ ? фунта составляютЪ ; поне-
же вЪ семЬ случаЪ знаменатель
искомой непременной дроби будет!»
$2 , то мы раздЪлимЪ его назнач
менателя данной переменной дроби,
и получимЪ частное число 8 ; которое
бу де умножить числит :лемЪ данной
же дроби з, то произведение фу-
нта , или 2 ] лота будешЪ, иско-
мая непременная дробь ; также дЪла я
рЬшенхс другимЪ образомЪ ежели
умножить искомой непременной
дроби знаменателя 32 чгслителемЬ
данной переменной дроби 3. и про-
извсден1е отЪшого 96 раздЪлить на
4> то частное число фунта или

лота будешЪ искомая непрсмЪн-
ная

ная дробь тпа же, что и вЪ прежнемЪ
рЬшсн1и.

Доказательство.

Ежели надобно вЗять отЪ какого
цВлаго числа нисколько долей , то
вЪ такомЪ случаЪ раз/Блить должно
пго число, на знаменателя данной
дроби а частное число умножить
^се числителемЪ , то произведе-
мте оптЪ того будетЪ искомая дробь?
такЪ и вЪ семЪ случаВ ежели почи-
тая знаменателя искомой непремен-
ной дроби за цЬлое число раздЬлитпь
его на знаменателя данной перемен-
ной дроби и частное число умно-
жить се же числителемЪ, то про-
изведение ОтЪ того будетЪ искомая
непременная дробь ? а что касается
до другаго способа рЪшентя; то о спра-
ведливости его и безЪ доказатель-
ства увЪригаь себя можно , потому
что все равно , ежели какое число
раздЪ-

94

разделишь на другое, и у множишь
третье, или пер^мБннымЪ образомЪ
то же число прежде множить nipe-i
тьимЪ и разделить на другое ; ибо
ьЪ обЪгхЬ случаяхЬ одно число
ВыдетЪ.

ПримЪчаИ!е

*75 Зд$сь вообще примечать до^жнд^
Что вЬ перемЬнвыхЪ дочяхЪ mb будущЬ
одинакихЬ знаменателей , которые kmSj
ютЪ одно название: иапримЪрЪ всЪ часы
суть доли одинакихЬ зчаменателей з
потому что они имЪютЬ общаго знаме-
нателя 24 часа, то есть цЬд,ые сутки;
такье дели складывать м вычитать мо-
жно, а множить только вЪ геомегпрш и то
такт доли, которые озяачаютЪ мЪры
разетояниТ; напротивЪ того разныхЪ
знаменателей непремЬннмхЪ долей ниекла-*
дывагпь нивычитать, разв£ множить и де-
лить можно; напримЬрЪ 4 фунта и я
фунта складывать и вычитать можно: а
умножлтьи делить нельзя, напоошмвЬтого
2 фунтл и 4 гривны нисложить, нивы-
честь развЪ умножить и разделишь мо-



(°)

Задача.

74, Сложишь НИСКОЛЬКО
непремЪнныхЪ 9 долей*

Р'ЬшсШе

ЧтобЪ, сложишь гпакТс доли то
надобно ихЪ ставить рядами каждую
посе названию или знаменателю и скла-
дывать каждой рядЪ особо слЪдуя
отЪ правой руки кЪ лЪвой, и ежели
подЪ кото рымЪ рядомЪ сумма долей
будетЪ больше ихЪ знаменателя,
то раэдЬлить се на знаменателя
исстатокЪ ( ежели какой будетЪ )
поставить подЪ рядомЪ долей того
знаменателя а частное число скла-
дывать сЪ числами слЪдуюЩаго ряду
сЪ лЪвой руки: напримЪрЪ ежели
надобно сложить 4 рубли 50 копВ-
екЪ \ полушки,- б рублевЪ 2 I полушки
3 рубли, 68 копЪекЪ, г > полу-
шки

9$	(°)

гики mo складывать т ихЪ, слЪду

щимЪ образомЪ	приведши перемЪн-
ру&	ко:	по:	чью доли разныхЬ
4	5°	?	знаменателей i и
6	О	2'	i кЬ одвнакимЪ, ело-
4  2	6 Я	91	-кить ихЪ между со-
1	2	г1	□ого ( по § 59) и
14	20	сл	какЪ отЪ того вы-

д£тЬ дробь больше единицы гао вы-
чесшь изЪ ее цЬлое число i и ос-
тальную дробь 1 поставить ниже
линейки подЬ рядомЪ , переменных!)
долей а цЬлое число t приложит*
кЪ ряду полушек!?, кзйхЬ числа
2 5, з сЬ одною вычтенною шЪ
дроби больше единицы составлйютЪ
сумму полушекЪ; изЬ коихЪ можетЬ
вытти нисколько копВекЪ; а понеже
знаменатель сложныхЪ сихЪ долей
еССйь 4 чйсло полушскЪ составляю-
ЩйхЬ KorifewKV; и когда мы раЗдБлимЪ
на него сумму долей S полушекЬ, то
выдегйЬ вЪ частномЪ числЪ 2 копБй-
КИ ; кои сносимЪ мы кЪ ряду ко-
пЕекЪ

пБскЪ, и сложивши сЪ 68 и 50 полу-
чимЪ сумму 120 копБекЪ } а понеже
знаменатель суммы долей но ко-
пБекЪ есть юо , то есть , коликое
число копБекЪ находится вЪ рублБ -
и такЪ мы раздБлимЪ i-O на ко,
и получимЪ вЪ частномЪ числЪ I,
а вЪ осгпаткЬ 20 копБекЪ ; которые
поставить должно подЪ рядомЪ копБ-
екЪ, а частное число снссть кЬ ряху
рублевЪ; коихЪ всБхЪ сумма бу-
детЬ 14.

Задача.

75. Вычесть непременные
долиоднЪ изЪдругихЪ.

рЪшен!е

ЗдБсь также поступать должно
какЪ и вЬ сложенТи, гпо есть, поста-
вить дроби однБ подЪ другими одина-
кихЬ знаменателей, и вычитать одну

Ж

изЬ

изЪ другой, и ежЬли случи,вся , что
вычитаемая дробь будешЪ больше
уменшаемой, или уменьшаемой дроби
не будешЬ того же знаменателя, то
при такомЪ случзБ надобно взять
вЪ уменьшаемыхЪ доляхЪ изЪ слЪ-
дующаго сЪ лВвой стороны ряду
единицу, которая равна будетЪ зна-
менателю вычитаемой дроби, и вы-
читать изЪ того числа, а остатки
( ежели какхе будутЬ ) поставишь
вЬ пристойных b мЪстахЪ, то есть,
гдВ имЬ по сеоимЪ ЭнаменателямЬ
быть должно; напримЪрЪ, ежели на-
добно будешЪ вычесть изЪ 8 лВтЪ
12 сутокЪ > 14 часовЪ и 2С1
минутЪ , з года, 7 мЪсяцовЪ ,
9 сутокЪ i8 часовЪ и
минутЪ, то должно п ступить
вЪ томЪ слЪдующимЪ образомЪ I
ежели вычесть 15 I минутЪ изЪ
20 5; то проиЗойдешЪ отЪ того

го»

го: МБ: су: \а: мн: оспгатпокЪ д| Ми,
8- О 12. ip 2с|- нупты (по fe 6i)
3 *7 9 18 151	“ * ‘

которой поста-
вишь должно

4	5' 2	20	41

ниже линейки лодЪ минутами же ,
а понеже 18 часовЪ изЪ >4 вычесть
не льзя , то отЪ ряду сутокЪ взять
единицу, которая будетЪ равна 24
часамЬ, коисложивЪсЪ >4 поЛучимЪ
38 часовЪ, изЪ кошорыхЬ ежели вы-
честь 18, то вЪ осташкЬ будетЪ а о
чусовЪ ; которые поставишь прдЪря*
домЪ часовЪ ; теперь вычтемЪ мы <>
сутокЪ не изЪ и но изЪ 11 , потому
что отЪ 12 отнята единица , (какЪ
ию приставленная точка означаешь )
и остатскЪ 2 поставимЪ подЪ рядомЪ
сутокЪ s теперь надобно вычесть 7
мЪсяцовЪ i но понеже вЬ уменьша*
емомЬ числЪ нЪтЬ мЪсяцовЪ, то
мы займемЬ единицу, которая равна
будетЪ 12 мЪсяцамЪ, изЪ коихЪ
мы вычтемЪ 7 и поставим!) осшапюкЪ»

подЪ месяцами; на консцЪ вычи-
шасмЬ мы $ года изЪ 7, и остапюкЪ
ставимЪ подЬ рядомЪ годовЪ, то
число 4 года 5 мЪсяцовЪ г сутокЪ
го часовЬ и минуты, будетЪ иско«
мой остатокЪ.

Задача.

/5. Умножить между
собою непременный доли,
хотя бы оне были однЪ , или
имели при себе еще и пере-
МЪнныхЪ долей.

рЪшснГс

ВЪ перьвомЪ случае надлежитЪ
Привесть обВ данные дроби вЬ самой
меньшей родЪ каждую по ее эн мсг а-
лю , потомЬ mb доли приведенные
вЪ самые мал^е части у множить
между собою , то происходя щее отЪ
того умножснЫ число будетЪ иско-
мое

мое произведение показывающее число
самыхЬ меньшихЬ частей, которые
привесть можно вЪ бэльнпе почри-
сшойнымЪ знамснашслямЪ. При рЪше-
нш другаго случая, то же все приме-
чать должно, что и при перьеомЪ, кро-
мЁ> ч по не прсмЪняую дробь приведен-
ную вЬ самой меньшей t одЬ имеющую
при ссбЪ переменные доли ; почесть
должно за цВлое чи.сло, и привесть

се сЬ переменною дроэыо вЪ одну
дробь; потбмЪ умножишь сью дробь
другою данною приведенною же вЪ са-
мой меньшей родЬ, и произведение отЪ
того раздБлить на знаменателя пере-
менной дроби, пю происходящее отЪ
того числа будетЪ искомое. Про-
лзведен1е содержащее вЪ ссбЪ самыя

малыя части, которые привесть мо-
жно вЪ большее по нлдлежащимЪ кЪ
том/ знаменателямЪ , только при-
рЪшенш прпм^роцЪ содержащихЪ пе-
ременные дроби надлежитЬсмотрЬшь,
чтобЬ онВ были пькова гьой-

ства , каково требуется вЪ правилЪ
умножейя переуЪиныхЪ долей ( §	).

ибо еЪ прошивномЬ случаВ произве-
дение не будетЪ вБрное, для показан-
ныхЪ вЪ шомЪ же предложении при-
®инЪ, а п'кмЪры для сбЪахЪ сихЪ
случаевЪ з.аБсь полагаются.

I.	Некоторой проБз- СнадлежплгЪ рас-
жей ”елов-jR-'b, про Бз-( положить с 1и чи-
жа стЬ вЪ часЬ 110-4 (ела, такнмЬ
Версты и по юо са- (образомЪ
женЪ; 1п?кЪ сколько ( дни ча:
гереБдетЬ онЪ вЪ 2 С 2	6 ~~ $4

дни и б часовЪ. (во: саг са:

( 4-	100 = 2100

,	(	108

( ве : са : са :
( 226 4.00=115400.

2.	ОДпнЪФувтЪнБ-( пу :	фу: ф\,:

когпораго металла ( 2—----8 ==88

юродасшси по 5 руб-( ру: гри : гри :
левЬ и 4; гривныЦ 5	=Юр

гпакЬ что должно (	---*

2

дашь за 2 пуда п 8 (	_______

ФунтовЬ	( руб: грп:

(JOox88=479	&

Задоча.

7/. Разделишь непре-
менные дроби одну на дру-
гую, хош я бы те дроби имели 9
или не имели при себе пере-
менныхЪ долей.

4	*

рЪтенхе

ВЪ перьвомЪ сучае надобно при-
сесть обЪ доли вЪ самые малые
части поданымЪ ихЪ знаменате-
лям!), и разделить дЪлимую лробь на
делящую, то вЪ частномЪ чвслВ
выдутЪ самые малые части дЪлимой
дроби, которые привесть можно вЪ
большее по надлежащимЪ кЪ нпмЪзна-
менателямЪ, другой случай рЪщит-
ся такгмЬ же образогиЪ, кромЬ что
непременные дош приведенные вЪ
самые малые части имеющее при ссбЪ
Ж 4	пере-

перемБнныхЪ лолей привссть должно
сЬ -ними вЬ одну дробь, потомЪ сЪ
ними гпакЬ поступать, какЪ вЪ пра-
вилЪ дЪлешя перемЬнныхЪ дочей
(§ 6$) показано, наблюдая притомЬ,
Ч|[;обЬ заданной примЬрЪ имЪлЪупо-
мянутым вЬ томЪ же правил® обегпо-
я пельства' ибо вЪ противном® слу-
ча® рВшить его по сему правилу не
льзя, а примеры служащ!екЪсему пред-
ложению здЪсь слБдуюшЬ.

ве. са.

НБ’-оптороп че-) 24-о,380=120380саж.
ловик b пере- )

ФхалЬнапочт®) 2.	4=52 часы

вЬ 2 сушки н 4 )	са. вер. са.

часа 240. верстЬ)	2315=4 и 3-15

м 380. сажснЪ,)
ПгакЬ поскольку)
персБз жалЪ опЪ )
на каждой цасЪ )

) им ру

Totaa
юо

даноЮ импорта-) io S 1OJ
ловЪиб^РУблесЬ) ну Фу
за 2 пуда и 20. ' 2 20=100 Фун.
ФуншовЪ.изЪсего) ру. ру.
надобно узнать, ) '-^=J —=i-
31 \ icooO 1СОО» Ito,
почему дано за )
каждой фуншЪ. )

г Л А В А 5.

О СОДЕрЖАНГИ И ПрОПОрЦШ

чиселЪ.

Опре дЪлен!е

/8. Содержание (ratio)
есть такое однородныхЪ
чиселЪ между собою сно-
uieH'ie, посредствомЪ когпо-
раго узнать можно величи-
ну одного изЪ данныхЪ чи-
селЪ отЪ величины другаго

Ж 5 числа,

числа, которые сносятся
между собою, называются
хоосще члены содержатя, а
особо перьвой или на передп
написанной называется пред-
иду щей членЪ; а второй или
послЪ написанной последую-
щей. л	• и|

СлВдств1е

79. Ежели два нибла сносятся
между собою, то онБ могутЪбыть
или равны, либо неравны одно дру-
гому ; чего ради и содержанае ихЬ
вЪ перьвомЪ случаЪ называется со-
Р’кан!- равенства , а вЪ другомЪ
’ Одерж^н!с не равенства

Определение

8 о. Содержаше болыпаго
не равенства, есть то, ко-
?	шорое

торос имЪешЪ болыпее чи-
сло кЪ меньшему, то есть,
большее написано прежде, а
меньшее послЪ, а содержаше
меньшаго не равенства есть
то, которое имЬетЪ мень-
шее число кЪ большему, то
есть, меньшее число напи-
сано прежде, а большее по-
слЪ.

ПримЪчанге

SI. 'Ежели два числа не равные~сносягл-
ея между собою, то содержание ихЪ уз-
нать можно двоякимЪ образомЪ, или вы-
читая одно число изЪ другаго, илидЪля
одно число на другое 5 и для сихЪ при-
чинЪ содержанте чиселЪ между собою во-
обще разеуждаемое разделяется на Два
особые содержания? изЪ коихЪ одно узна-
ваемое по вычитан!» называется ариеме-
тическое содержав!6, а другое узнаваемое
ЛодЪлен!» именуется геометрическое. Хо-
тя

щя оба онЪ, какЪ вЪ яриеметик-Б такЪ,
ш вЪ геометрш употребляются.

Положение

82. Api емсшическое содержание
двухЬ ччселЬ между гобою озна-
чается посредством!?, знака вычигпа-
и!я —.— потому что оно сыскивается
повычитанпо : напримЪрЪ ссдержац!е
числа 7 кЪ числу 5 выражлсмЬ, мы
чрез’Ь 7 ----5 и выговариваемЪ 7

к'Ь 5; а геометрическое содержание изо-
бражается посрсдствомЪ знака дЬле-
Н1я: для того что оноузнавается по
делению: напримЬрЪ содБржанк чи-
сла 6 кЬ числу 5, изображается
чрезЪ 6: и выговаривается 6 со-
держится кЪ 5, или просто 6' кЪ 5»

ПримЪчан ie

S3. Надобно гнать> что вЪ арнеме-
•ШическомЪ содержант наблюдается толь-
"Жо, чтобЬ иенъшее число вычитаемо
4$мло изЬ боль Шаго, а вЪ геомет ри ческомЪ,
чтобЬ

чтоВЪ большее число разделяемо было
на меньшее , а что касаешля до того что >
предЪядущей ли членЬ вычитлетсМ иЛ
посл^дуюЩ’ГО или последующей изЪ
предЪидущаго, или прсдЪидущей ли членЬ
дЫшся на по- чЪдующгго, лабо последу-
ющей на предЪидуцрго , то вЪ томЬ
ИетЪ нужды; потому что содержанте
чиселЪ вЬ ого.»хЪ случаяхЬ пребывасшЬ
то же (по

ПримЪчанте

84* Между житейскими нуждами ру-
шимыми пэ геомет ри чески мЪ со гержаШямЬ
часто случаются такТе, вЪ которыхЬ
изЪ двухЪ или трехЪ содержлн!й надобно
сделать одно, то для того мы здЪсь
предложимЪ и осложенныхЪ содержантяхЪ»

ОпредЪленХе.

8$. Содержание сложенное
йзЪ нЪсКолькихъ другихъ на-'
зывается шо, которое имФетЪ
произведете изЪ н’ВсколькихЪ
предъ идущихЪ членовъ ум-

ножен-

IIO

(о)

ноженныхЪ между собою кЪ
произведенпоизЪ НЪСКОЛЬКИХЪ
послЪдующихЪ членовЪ умно-
женныхЪже между собою:
напримЪрЪ 6: 96: имЪешЪ
содержан!е сложенное изЪ 2,
8 и 3: 12, а особо называется

содержанте удвоенное, когда
оно сложено изЪ двухъ, у тро-
енное , когда изъ трехъ и
такЪ далЪе: напримЪрЪ 6: 36
имЪегпЪ содержание удвоен-
ное изЪ 2: 4 и 3: 9 или 30,
360 имЪешЪ содержанте утро-
енное изЪ 2: 4, 5: ю и



Определение

86. Разность между чи-
слами ариемешическаго со-
держашя, называется раз-
ность содержант, а част-
ное число происходящее огпъ
дЪлешя одного члена на дру-
гаго вЪ геометрическомЪ
содержант называется зна-
менатель содержашя (deno-
minator rationiy).

Определение

8/. Ежели у двухъ со-
держаний ариеметическихЪ
разности а у геомет риче-
скихъ знаменатели содержа-

ния

xia	(о)

н!я равны будутЪ, mo тпакУ'е
содержания сушь равные; а
равенство двухъ ариемети-
ческихЪ или геомет риче-
скихъ содержать называет-
ся ариеметическая или гео-
метрическая пропорщя: на-
примЪрЪ / кЪ 5 и 9, кЪ ;
будетЪ ариеметическая ,
пропоршя; потому что здЪсь
послЪ вычиташя однихЪчле-
новЪ изЪ другихЪвыходягпЪ
разности равные; a S кЪ 4
и 6 кЪ з геометрическая
пропоршя, для того что
здЪсь отЪ дЪлешя однихЪ
членовЪ на другихЪ частные
числа выход ятЪ равные.

Положе-

Положен!^.

S3. равенство двухЪ соДержанш,
или пропорция выражается посред-
ством Ь знака равенства напримБрЪ
j—4>ЙЛ1’ 2>‘ 4= 3: и выговари-
вается I такЪ содержится кЪ 2, какЪ
$ кЬ 4, или 2 такЪ содержится кЪ 4>
какЪ з кЪ б, либо просто I кЬ 2 равно,
3 кЪ 4, или 2 кЬ 4 равно 3 кЪ б.

Определение.

89.	Члены' ЛЪпрбпорщй хо-
1пя афиемёптйческой или ге-
ометрический по краямЪ сто-
jfigie Называются крайнее чле-
нь^авЪ средйнйсшоящ1е сред-
нее: йапрймЪрЪ у пропорции
арие'метйческой 9-6=35-2, и
геометрической 12:3=8:2:9 и
3	2,

2, также 12 и 2 крайнее
члены, а б и 5, также 3 и
8 среднее.

При мЪчавке.

90.	Пропорцкя какЪ ариемептическая i
такЪ игеометрическая разделяется на
пропорцию раздельную > и пропорцию не«
прерывную.

Определение

рг. Пропорция раздель-
ная есть та, у которой
среднее члены разные; на-
примЪръ пропорцш 5-8=6-9
и ю : 5=8:4 будутЪ ра-
здельные ; потому что у
нихЪ сред Hie члены 8 и 6,
также 5 и 8 разные. А про-
порщя

порцгя непрерывна^ есть ша,
у которой средше члены
одинакге: напримЪрЪ пропор-
ет 7-5—5-3,8:4—4:2 сушь не
прерывные , для того что
у нихЪ среднТе члены 5-и 4
одинакТе, притомЪ число за-
нимающее мЪсша втораго
и шрешьяго члена, какЪ вЪ
арифметической, шакЪ и ге-
ометрической непрерывной
пропорции называется сред-
ней пропорциональной членЪ.

ОпредЪленХе

92.	Ежели будешЪ боль-
ше трехъ членовЪ вЪ непре-
3 2 рывной

*•?	(О),

рвдиой пропорц'ш, шо они

сосцш^яюрф црсчресЦо,...

Положен!©,

93.	ПрогрессТя ариеметическая и
зображастся знакомЪ — а гсомешричс-
скаязнакомЬ наприлгБрЪ; —7 5,7,9,1 Ь
1.3-ипрочая— 5—7^7—9—9— i. ipzi 1 -1
и прочая, бу/спД), ариеметическая
пропорцгя 3442,4, $, хб,$£и прочая
—2<4^4	16— 16: 32 ипрочаЯ1

гсод}сн|риче©каяГ1

П{э им'Вчанхе

ц. КарЪ, ариояетическая- флк11 и ге*.
©метрическая nrorpeccis разделяется на-
Лрибмвя1рщ\ю (prpgrpffion croiffapte} q Уры“
вающгю (progrtflion de croiffante) наприм4рЪ
3,6. 9. 12. I ^сть прогресая арифметическая
прибывающая , а, 32,	8» 4, есть про-

грессья геометрическая убывающая.

Акер

(°)

АскГоМк.

Ежели вычесть изЪ
преДЪ идущаго члена вЪ
ариеметическомЪ содержа-
нт болыиаго неравенства
разность содержанта ? то
остатокЪ равенЪ будетЪ
последующему; напротивЪ
того вЪ содержант мень-
шаго неравенства, ежели сло-
жить предЪидущей членЪ
съ разностью содержанта,
то сумма будетЪ равна
последующему.

3 5 Теоре-

Теорема.

96. Въ пропорции ариеме-
шической сумма крайнихЪ
членовЪ равна суммЪ сред-
НихЪ.

Доказательство.

Ежели пропорцию составляют! со-
держант большаго неравенства, то вЪ
такомЪ случаЪ предЪидущ1е члены той
пропорцшсостоятЪизЪпослЪдующихЪ
м разности содержантя, чего ради ежели
сложить перьвой членЪ сЬ четвер-
тым!?, то будетЪ cic сложенное чи-
сло сумма изЪ втораго и четвертаго
члена , также и разности содержания,
( яо § ^5 ) а ежели сложить второй
и третей членЪ, то будетЪ cie сло-
женное число сумма иэЪ втораго и
третьяго члена, или сумма изЪ вто-
раго члена разности содержания и
‘ •'	чствер-

четвертаго члена ( пс§:т )• а ежели
пропорция имЪетЪ содержания мень-
шаго неравенства , то послЬдующ!с
члены ся содержанТй будутЪ состо-
ять изЪ предЪидущихЬ и разности
содержашя; чего ради ежели сложить
перьвой членЪ сЬ четвергпымЪ, то та-
кое сложенное число будетЪ сумма
изЪ перьваго и третьяго члена, также
и разности содсржанТя ; ( по§:гп)
а когда сложишь второй членЪ сЪ
трстьимЪ, то cie сложенное число
будетЪ сумма иэЪ перьваго члена раз-
ности содержании третьяго члена,
( по §: пг.) а понеже во всЬхЪ сихЪ
случаяхЪ одинакая сумма выходитЪ,
то чрезЪ cie явственно узнать можно,
что вЪ пропорцТи арвеметической
сумма крайнихЪ членовЬ равна суммЬ
срсднихЪ.

СлЪдст Bie.

97« ИзЪ сего слЪдуетЪ, 'что
вЪ неприрывной пропорций сумма

3 4 крайныхЪ

крайныхЪ членов равна будетЪ
среднему члену взятому вЪ двое.

Задача.

58. Къ птремЪ даннымЪ
членамЪ ариемешической про-
порцш сыскашь четвертой,
или мржду двумя данными
членами , сыскашь средней
пропорциональной.

4

рЪшенТе.

I

Ежели даны бугпЪ два среднее
члена, и одинЪ изЪ краинихЪ, то сло-
живши среднвхЪ вычесть изЬ той сум-
мы заданной одинЪ крайЫй членЪ,
а остатгокЪ nosaa eirib другой; когдажЪ
буду mb даны два крайнее и оДинЪ сред-
ней, то вычесть изЪ суммы краинихЪ
заданной

заданной одинЪ средней, а осшатокЪ
будетЪ другой; ежели же заданы бу-
душЪ только два “Крайнее , то ело-
жить ихЬ, и сумму, разделить на
двое , а вЪ часшномЪ числ*Б выдетвЪ
среднш прояорцеональной членЪ
напри- 5—“7—9—0 сыскали 74*9 5—И
мЪрЬ . 0-4—3—2 чешьер- 44-3-2—$

ЩО11

заданс

3—О—II—15
9-0-0-S

СлЪдств? с

99. По сему вЪ прогрсссш ариоме-
тичсекой изЪ- чотнаго числа члсяовЪ
состоящей сумма краинихЪ членовЬ ,
или равно отстоящихЬ отЪ край-
нихЪ равна буденЪ суммЬ среднихК
члсновЬ, также вЪ прогрессий нечош-
ное число членовЪ имЪющей сумма
краинихЪ членовЬ, или равно отстоя-
1цихЪ отЪ краинихЪ равна будетЪ сред*
нему члену взятому вЪ двое (па§97;)

СлЪдсшвТс.

СлЪдствк.

too. ИэЪ сего слЬдустЪ , чгпо
вЪ прогрести артистической прибы-
вающей , каждой членЪ послЪ перьваго
содержитЪ вЬ себБ псрьвой членЪ 1
и столько разЪ разность прогрессы,
сколько передЬ нимЪ находится другихЪ
ЧленовЪ, а вЪ убывующей прогрессы
напротивЬ лого каждой членЪ, начи-
ная отЪ перьваго, содсржишЪ вЪ себЬ
последней членЪ , и столько разЪ раз-
ность прогреейи, сколько нимЪ
находитсядругихЪ членовЪ, почему,
ежели вычесть изЪ послЬдняго члена
Прибывающей прогрессы перьвой , то
будетЪ вЬ остаткВ произведены нзЪ
разности прогрессш на число находя-
щихся передЪ послЪднимЪ членомЪ
другихЪ членовЪ, также ежели вы-
честь изЪ перьваго члена убывающей
прогрессы последней членЪ, то оста-
нется произведены изЪ разности

прогре-

nporpeccW на число персдЪ послЪднимЪ
членомЪ находящихся членовЪ.

Теорема.

ют. Ежели умножить
въпрогресст арифметической
сумму крайнихЪ или равно
отсптоящихЪ отЪ краинихЪ
членовЪ половиною числа
членовЪ, то выдетЪ отЪ
того сумма всей ариемеши*
ческой прогрессш.

Доказательство.

ПоложимЪ прогресс! го ариеме-
тическою Ч- 5» 7»	«>» Ч»

мзвЬсшно намЪ ; что сумма вЪ ней
крайнихЪ , или равноотстоящихЪ
ошЪ крайнихЪ членовЪ равна бу-
ДетЪ

детЪ суммБ среднихЪ (по §,99,)
и какЪ вЪ ссй прогрсесш находится
только б члсновЪ ; чего ради ежели
начавЬ отЪ крайнихЪ станемЪ скла.
дывать ихЪ по два вЪ одну сумму,
апо получимЪ три равные между
собою суммы (по §, т,) кои всЬ
ЕмЪстЪ СосгпавляюшЪ сумму всей
Прогрессии; но понеже число сихЬ
CvmmB имЬющихЪ по два члена есть
вЬ полы противЪ числа члсновЪ про-
грссепт, то для того произведете
пэЪ половины числа членовЪ ариоме-
гпической прогрессТи на сумму ка-
ждых!) крайнихЪ или равноотешоя-
ЩихЪ отЪ крайнихЪ члсновЪ бу-
дстЪ вЪрная сумма всей ариемеши-
чсской прогрессш.

Сл^дсшвге.

102. По Сему предложенТю безЪ по-
грешности заключить можно, что
«умма с1ркемешической погреейи
имЕющсй

гмВющгй не равное число члсновЪ
равна будетЪ, или проиведенйо мзЪ
суммы крайнихЪ се члсновЪ вд, по-
ловину числа членовЪ либо про-
ижведонПо срешягочлена наполнос
число членовЪ.

ИримЬч*нХе

ЮЗ Обстоятельств* , по коимЪ pfi*
шить можно всТ> до арифметической про-
грессам касающдес* задачи суть слЪду-
юЩ1е»первойи последней членЪ прогрести:
разность «я, число членовЪ и сумма . на
какЪ с»ц обстоятельства' переменять но
ясно многими образами, полагая одно изЪ
мхЪ, или два занеизБЪстные, а проч'!© за-
мзвЪстные, то по сему надлежалобЪ и за-
дать. обЪ ариеметической. прогресс!и на-
писать много; по понеже тщательной чи-
татель самЪ ихЪ вывесть и рЪшить
можетЬ повкшеписанпымЪ правиламЪ ,*
то мы заблдгоразсуждяемЪ' здЪсь предло-»
жить, для примеру не болЪе какЪ толь-
КО слЪдукпще гррудпВйш!^ прочихЬ
задачи.

Задача.

Задача.

104.	Между двумя дан-
ными членами ариемешиче-
ской прогрессш сыскать
столько среднихЪ пропорцю-
нальныхЪ членовЪ, сколько по-
требно будетЪ.

рЬшен!е.

КЪсысконпо среднихЪ пропорцТо-
нальныхЬ членовЪ вЪ ариеметиче-
ской прогрессш надобно намЪ раз-
ность ее также и число членовЪ. Че-
го ради ежели вычесть меньшой
членЪ изЪ большаго, и раздЪлипть ту
разность на заданое число членовЪ
сложенное сЪ единицею , (потому,
чшо кромЪ искомыхЪ членовЪ
имЪющихЪ при себЪ разность и изЪ
данныхЪ большей заданЪ сЪ разно-
стью,) то получимЪ вЪ частномЪ
числЪ разноешь членовЪ прогрессш,
кото-

которую сложивЪ сЪ меньшимЪ изЪ
данныхЪ членовЪ, сыщемЪ одинЪ изЪ
среднихЪ пропорц!ональныхЪ, а когда
сЬсимЪ сложишь еще разность, то
сыщется другой , и такЪ далБе про-
должая, пока выдетЪ большей изЪ дан-
ныхЪ членовЪ, какЪ то видБть можно
изЪ слБдующаго примЬра; ежели на-
добно будетЪ сыскать между 5 и 15
пять среднихЪ , пропорцТональныхЪ
членовЪ, то поступишь вЪ томЪ слЪ-
дующимЪ образомЪ '6’^» разно-
сти членовЪ прогрессТи , которую
ежели складывать сЬ перьвымЪ, и слБ->
дующими занимЪ членами, то про-
изойдугаЪ искомые среднее nponoprji-
ональные члены у, 9, 11,13; между
данными J и 15.

Задача.

105.	Ежели заданы бу-
дутъ въ прогрессш ариеме-
шической

«В	(о)

шической перьвой чясиЪ, раз-
ность и число ЧленовЪ J
то какЪ сыскать гюслЪдшц
членЪ и сумму всей прогрев
Сш.

рВшен5с.
г	J

ПослЪдйУй члейЪ сыскать Можно
чрсэЬ умяожек?е разности числомЪ
чле но в Ъ у ш-ньтеннъмЬ единицею,
к чрезЪ сложение того произведен!»
еЪ перьвымЪ ,, членом]? ( по § гоо )
а посысканЗи ежели Сложить его ch
нерьвымЪ, и-1 умножить половиною нец-
ела. членовЬ, пн> выгдетЪ сумма всей
прогрессш ( по § Ю1 ): на примЪрЪ
вЪ древнхе времена употребляемЪ
БылЪ порядокЪ ераженТя называемой
КлинЪ у потому что онЪ фигурою по-
добенЪ былЬ клину- и сжелц положить
вЪ такомЪ клинЪ число шереногЪ

i0, кои расположены шакимЪ сбра-
йомЬ , что вЪ перьвоЙ шеренгЪ по-
ставлено 4 человека, а вЪ другой 7*
И такЪ далЪе увеличивая непрерывно

мя человЪками слБдующТе шерен-
ги » по сему надобно узнать , сколь-
ко будетЪ солдатЬ вЪ последней
шеренгБ и во всемЬ клинБ ; теперь
ежели мы возмемЪ разность членовЪ
5 , умножимЪ ее числомЪ членовЪ
уменьшеннымЪ единицею »ц, и про-
изведете о-г.Ь того 57 сложимЪ
сЪ перьвымЪ членомЪ 4, то выдетЪ
последний членЪ прогрессия 61, озна-
чающ!й последнюю шеренгу, которой
Сложивши сЪ перьвымЪ, 4 умножишь
ихЪ сумму 65 половиною числа
ЧленовЪ прогресс?^ to, tno выдетЪ
Сумма всей прогрести 650, то есть
число всБхЪ солДашЪ сосшавляю-
1ЦихЪ клинЪ.

И

Акс!

Чс	(о)

одному

Аксиома.

Ежели два числа
третьему или рав-

ным! равны, то он! бу-
дутЪ равны и между собою,
Ежели придать одно или
равные числа кЪ равным!,
или вычесть из! равных!
одно или равные, то в!
перьвомЪ случай суммы, а в!
другомЪ остатки произой-
дутЪ равные. Также ежели
умножить, или разделить
равные числа на одно или
наравные, то произведенья
и частный числа равны бу-
дут!.



Лксг

Co)

Аксиома

то/ Въ геометрическомЪ
содержант большаго не ра-
венства произведете изЪ
послЪдующаго члена и зна-
менателя содержант равно
будетЪ п редЪи д у щему члену,
а вЪ содержант меньшаго не
равенства произведете изЪ
предЪидущаго члена и знаме-
нателя содержания равно бу-
дешь последующему.

Т еорема

1о8 ежели будушЪ че-
тыре числа вЪ геомешриче-

И 2 СКОЙ

(О)

ской пропорщи 9 шо произве-
дете крайнихЪ ея членовЪ
равно будетЪ произведен^
среднихЪ.

Доказательство,

ВЪ случаБ содержат» большаго
не равенства умнодщвши послЪдую-
щихЬ членов^,. а когда будутЬ содср- I
жанхя меньшаго не равенства , то
предЪидущихЬ энаменателемЪ содер.
»ан?я сдБлаемЪ > какЪ вЪ псрьвомЪ, I
птакЪ и во щноррмЪ содержанш данной I
пропорции предЪидущихЪ членовЪ рав-
ными поСлБдующимЪ ( по § 105 ) ,
потомЬ ежели умножишь предЪиду-
njaro члена перьваго содержания по»
слЬдующимЬ впюраго ипослБдук’щаго
члена перьваго СодержанТя предЪиду-
щимЪ ^щорага то получимЬ чреаЬ

П1О

то произведения крайнихЪ и среднихЪ
членовЪ, равные ( по § ю5 ). но
понеже каждое иэЪ сихЪ произведе-
Hiii умножено сверьхЪ надлежащего
знамена телемЪ содержания данной
пропорции чего ради раздБлвмЪ мы
ихЪ на того знаменателя, то част-
ные числа , или лучше Сказать под*
линнЫе произведен!» крайнихЪ и сред*
нихЪ членовЪ данной пропорции
выдутЪ равные.

СлБдствТе.

юр. ВЪ непрерывной пропорцТи по-
следующей членЪ перьваго Содержан!я
предЪидущей втораго составляютЬ
одн£> числа, такЪ сл'БдуетЪизЪ сей те-
оремы , что вЪ такой пропорцТи про-
изведете крайнихЪ членовЪ равно
будетЪ среднему пропорциональ-
ному члену самому собою умножен-
ному.

И з

СлБд-

СлЪдсшвк.

пой шакЪ ежели раздЪлить прои*
зведенхс среднихЬ членовЬ на одно*
го изЪ краинихЪ , шо вь'дегаЪ вЪ част.
НомЪ числЪ другой крайней, или произ-
ведете краинихЪ членовЪ на одного
изЪ среднихЪ , то вЪ частномЪ чи-
слЪ произойдетЪ другой средней,

ПриммЪчан’хе.

иг. По сей шеорсмЪ решатся ес!
так jc примеры, коихЪ не справедливо на-
зиваютЪ прав; ломЪ тройнымЪ прямым!
и обращеинымЪ, складньнчЪ, пя'г.ернымЪ
[попону что такХе случаи суть толь
ко примБры на правила а не самые пра-
вила ] также правила фальшивыхЪ поло-
жены! и правила смЪшенгя , щолыо дл>
убЪжангя отЪ погрешности при рЬшенп
такихЪ случ е-Ъ надобно осторожно па.
блюдатьслЪдукчще обсшоятельства.Пер!-
вое: призеры , которые рЪшашея по сему
правилу, суть такова свойства э что
вЪ нихЪ даются только три числа , по
коимЪ для дополгенгя пропорции сыски-
вать должно четвертой. Второе 3 издан-

ии хЪ

яыкЪ трехЪ чиселЪ два должны быть
всегда однородные, а трешее вЪ разсуж-
ден1И прочихЪ двухЪ разнородное. Трешес :
нзЪ данныхЪ чиселЪ два разнородные ме—
жду со5ою должны быть положительные,
а трешее сЪ однимЪ изЪ положительныхЪ
однородное , a cb другимЪ разнородное дол-
жно быть вопросительное. Четвертое: при-
расположенги членозЬ пропорцки надобно
ставить всегда однородные числа вЪодно
содержанке, атренее разнородное отЪ
тЪхЪ двухЪ вЪ другое, гдЪ оно сЪ иско-
мымЪ будетЪ однородное v по f ig). Пя-
тое : когда величин* искомаго чепвсртаго
пропорц1°нальнаго числа независишЬ ни
отЪ чего больше , какЪ только отЪ гпоми-
наемыхЪ вЪ npHtfbpb трехЪ чиселЪ про-
порции , и притомЬ ежели искомому четвер-
тому числу столь больше, или меньше
ьЪ разеужденки вопросительнаго быть
слБдуетЬ, сколь больше, или меньше бу-
детЪ одно положительное число однород-
ное сЪ искомымЪ, вЪ разеужденки другаго
положительная) однородная) сЪ вопроси-
шельнымЪ, то такой примЪрЪ соста-
влять будетЪ пропорцц© изЪ прямыхЪ
содержав kft, аекели на противЪ того ве-
личина искомаго четвертак) прэпорцюналь-
наго числа зависишЪ кромБ упомина-

И 4	емыхЬ

емыхЪ вЪ примЪрЬ тпрехЪ чиселЪ еще опГЬ
какой вещи> по которой ее распо-
лагать должно, (но самой той гещи вЪ
число членовЪ пропорции полагать не над-
ЛРжитЪ; потому что обЪ ней вЪ задачЪ
упомянуть можно, хотя выражая» или
не выражая числомЪ ) , притомЪ когда
тому искомому четвертому числу тЪмЪ
больше быть должно вразсужденки со-
иросищельнаго, чемЪ меньше одно поло*
жишельное однородное сЪ искомымЪ вЪ раз-
суждеши другаго положительнаго одно*
роднаго сЪ вопросительнымЪ, или когда
искомому четвертому числу тЪмЪ меньше
быть сл’ЬдуетЬ вЪ разсужденки вопроси-
тпельнаго , чемЪ болте одно положитель-
ное число однородное сЪ искомымЪ, вЪ
разеужденки другаго положительнаго
однородна го сЪ вопросительнымЪ, то такой
ПримЪрЪ составишь пропорцию изЪ обра-
щениыхЪ содержаний. Шестое: построгомЪ
наблюдении всЬхЪ вышеписанныхЪ обстоя-
шельствЪ вопросительное число вЪ про-
порции состоящей изЪ прямыхЪ содер-
жангй занимать должно всегда мЪсшо
последующего члена перьваго содержа-
ла, а вЬ пропорщи состоящей изЪ обра-
щенныхЪ содержаний мЬсшо предЪиду-
щаго члена перьваго же содержанке; и по
сему выход май»» чшо бЪ пропорщи изЪ

п рх-

прямых! содержаний предЬидущте и по-
сл'Вду,о1Я’|е члены сО отвЕ-шсвую «! между
собою; а в! пропорции изЪ обращенных!
содержанш напротив! того крайнее
и средние. Седьмое : когда вопроситель-
ной член! боль не положительнаго с!
ним! однороднаго , то вЬ такомЪ случаЪ
располагать должно пример! пропорции
из! прямых! содержаний, посоде ржаниям!
мень'наго не равенства ; а пример! пропор-
ц!и из! обращенных! содержант по содер-
жав! лмЪ болыпаго не равенства, а ежели во-
просительной членЬ меньше будетЬ по-
ложительнаго сЬ ним! однороднаго, то
надлежит! располагать пример! пропор-
ц!и изЬ прямыхЪ содержаний по содержа-
н!яыЪ болыпаго не равенства, а примЪрЪ
пропорц!и изЪ обращенных! содержашй
по содержан!ямЪ меньшаго не равенства.

Задача

П2. Къ тремЪ дан-
нымЪчисдамЪ, или членамЪ
геометрической пропорши
И 5 сыскать

I
сыскашь четвертой пропор*
^опальной.

рЪ Ш С Н I с.

Данным числа предложенной про-
nopijiii расположишь построгому
наблюдению всЬхЬ предписанных b
вЬ прежнемЬ примЬчанш обсто-
ятельств!), потомЬ у множить трешь-
ммЪ членомЪ второй, и произве-
дение изЪ того разделить на перьвой,
то такимb образомЪ выдетЪ че-
твертой t а примеры рЪшимые по
сему правилу слЪдуютБ нежс сего.

ПримБрЪ на пропорцию состоя-
щую изЪ прямыхЪ содержант , ко-
торая обыкновенно называется трой-
ное правило прямое. ТремЪ артЪ-
лямЪ работниковЪ велено дЪлать
каналЪ, такЪ желательно знать го
сколько

I

I

сколько времени онБ всБ три окон-
чатЪ его , ежели каждая изЪ нихЪ
копяюни одна совершишь его jmo—
•кетЪ, перьвая вЪ 2 мЪсяца , другая
вЬ 4, а трегпяя вЪ 6 мБсяцовЬ: когда вЪ
одпнЪ мБсяцЪ полагая по самой зад а чЪ,
перьвая артВль сдБлаетЪ I, другая
а трегаяя ’ канала , и какЬ всЪ сТи
дроби хотя разныхЪ знаменателей ,
однако однородные, то надобно
привесть ихЪ кЪ одинакимЪ знаме-
нателямЪ !»+!?+ и сложить ихЪ
вЬ одну сумму, то выдетЪ количе-
ство работы вЪ одинЪ мЪсяцЪ или
вЪ $ о дней fg огпЪ всего канала;
пли ( раздЪливЬ всего канала ра-
боту на 48 частей ) ♦♦ отЪ $ ка-
нала; теперь вЪдая, какую часть отЪ
всего канала сдБлаютЪ онЪ вЪ одинЪ
мБсяцЬ положить можно £ i —
3О: I* » и такЪ всЪ три артБли
сдБлать могутЪ каналЪ вЪ одинЪ
мЪсяцЪ и 5 дни.

При-

ПримЪрЪ на пропорцию состоящую
иэЪ обращенныхЪ содержант. СТя про-
порц!я обыкновенно называется трой-
ное обращенное правило вЪ нЪко>
пюромЪ осажден но мЪ городЬ нахо-
дится сЪЪстныхЪ припасовЪ столь-
ко , что , раздБляя ихЪ на каждого
солдата пооцЪнкЪ на 4 коиВйки
вЪ день, станстЪ тЪхЪ припасовЪ
для прокормления всего гарнизона
на I мЪсяцЬ j а находящейся вЪ томЬ
городЪ КомендантЪ вЪ надежд!) по«
лучен!я чрезЪ 2 мЬсяца помочи хо-
чегпЬ, на столько времени отсро-
чить здачу города } вЪ такомЪ слу*
чаЬ надобно знать , По скольку онЪ
выдавать доляснЬ каждому солдату
мзЪ сЪБсшныхЪ припасовЪ t полагая
вместо ихЪ деньгами, ицЬны припа-
сорЪ нсперемЕняя , для сего надобно
расположишь числа слБдующимЪ
обрагомЪ £ по § *1*) 2’ I — 4 I
2, которое число денегЪ сыскивается
вЪ силу

»Ъ силу сего предложенТя чрезЪ умно-
ЖСН1С трешь яго членя 4** на втора го
1 и раздЬлен!е такого произведен!*
на перьвой членЪ 2, и по сему изве-
стно,что тотЪ КоменданшЪ долженЪ
выдавать каждомЪ солдату взЪсЪ Бет-
ныхЪ припасовЪ вЪ день на 2 копЪйки-

ПримВрЪ рЬшимой попропорц!и.
Называемой обыкновенно правило
складное некоторой человБкЪ дол-
женЪ былЪ тремЪ заимодавцамЪ
Зоосю рублеаЪ j иэЪ коихЪ перьвому
jeooo , другому бооо, а третьему
400Q рублей? , по смерти того дол-,
жника осталось у него капиталу
на J2QQO рублевЪ, которой раздЬ-
лить должно на всБхЪ трехЪ заимо-
давцовЪ оо пропорции каждаго данной
должнику суммы; и такЪ расположить
должно числа сего примера слЪдую-
ццимЪ образомЪ: какЪ долгЪ весь кЪ
остальной суммЪ всего капитала
длдиникова, шакЪ одного заимодавца
сумма

сумма кЪ при надлежащей ему части
капитала, или изображая самое cie
числами: 2ООСО: 1ДОСОГГ ЮСОС бооо:
перьвому при надлежащая часть капи-
талу 2ООСО : 12ССО ГГ боОО : ^бсо,
другому при надлежащая часть капи-
талу . 20000 :	12,000 — 4000:

2400 , третьему принадлежащая
часть капиталу.

ПримБрЬ на пропорцию состоя-
щую изЬ содержаний сложныхЬ. С1я
пропорция обыкновенно называется
пятерное правиле : 6о человЪкЪ вЪ 4.
дни переносили ао саженЪ дровЪ, по
сему надобно узнать, во сколько вре-
мяни 8о челорБкЪ переносятЪ 1 бо
саженЪ, а чтобЪ cie получишь, тпо
надлежишЪ разобрать и расположить
числа заданнаго примЪра вЪ силу вы-
шеобЪявленнаго (вЪ§ ш) примБ-
чанхя слТ>дук:щимЬ образомЪ } понеже
величина искомаго времени зависитЪ

•’рмт.-.	_ , .	отЪ

omb двухЪ содержан!й> mo естьотЪ
содержан!я саженЪ и содержания лю-
дей, то должно требуемаго времени
доискиваться сперьва по одному со-
держание, напримЬрЪ по содержан!ю
саженЪ, и когда положить вЪ мысли
для обВихЪ количествЪ саженЪ
число людей одно, то есть бо че-
ловЪкЪ, то сыщется порасположен'ш
пропорции вЪ силу вышсобЪявленнаго
примечанья ( вЪ § 111 ) 20 : 6о ~ 4 s
12, время вразсужденш однихЪ чиселЪ,
саженЪ; но понеже вЪ прим’Вр'В зада-
ны еще числа людей разные, и при-
томЪ чЪмЪ число людей 8о человЬкЬ,
больше числа людей бо человВкЪ,
щЪмЪ точное время меньше быть
должно omb времени 12 дней, то
для сего расположишь должно про-
порцию посодержан!ямЪ обращенным^
вЪ силу зышеписаннаго ( вЪ § т )
примЪчанш 8о ; бо “ 12 : 9 , и cie
время

И4 о;

Время будетЪ то, вЪ которое 8а
человВкЬ 6о саженЪ дровЪ перено-
сишь могутЪ; cie самое время 9
дней сыщется не располагая чиселЬ
Д1ннаго примЪра на двЪ пропорции,
но на одну слЪдующимЪ образомЪ $0
X до t 6э X бо ~ 4 : 9.

Другой примЪрЪ пропорцшпосодер*
жанТямЪ сложнымЪ называемом обык-
новенно складнымЪ правиломЪ; три че-
ловБка дЪлали редутЪ, и вели свою ра-
боту накаждой день равно одинЬ про-
тивЪ другаго, а рабошалЪ изЪ нихЪ пе рь-
вой 12 дней,другой ю,атретей8,ипо-
совершенТи того редута получили всЪ
ВмВсшБ за работу 24 рубли, желательно 1
Знать, поскольку денегЬ всякому при
надлежитЪ взять изЪ той суммы
попропорцти его работы 5 при рВше-
н1и сего примера поступишь должно
слЬдующимЬ образомЬ * ежели ело"
жить вЪ одну сумму дни всЬхЪ
работ* ’

нпковЪ, mo будетЪ число дней
50 ; потбмЪ надлежитЪ посылать
такимЪ образомЪ : какЪ сумма
всЪхЬ дней, то есть, 30, кЪ осо-
бому каждаго работника числу
дней, такЪ всЪмЪ данная сумма
денегЪ, то есть, 24. руб: кЪ особой
суммЪ денегЪ принадлежащей ему
по числу дней его работы , или
выражая все cie числами 30 :
12 “ 2±: 9 Ц 30 : 10—24: 8.
30 : 8 — 24 : 6 II, и шакЪ по сему
дЪйствпо вышло Перьвому за 12,
дней 9 II рублевЪ, другому 8. ру*
блсвЪ, а третьему б з! раблевЪ.

Определение
* . • . ” , <

п5. Правило фал’ши-
ваго по ложетя или по обы-
кновенному названию пра-
вило Фальшивое есть то,
I посред-

посредством!) кошораго по*
ложивъ фальшивое число
сыскать можно вЪрное.

ПремЪчатйе.

i»4 Cie правило естпь двоякое, одного,
и ДвухЪ положенгй.

Задача,

it5 Решить примеры
принадлежащее кЪ правилу
Фальшиваго положена.

рБшснТе.

ВслучаЬ одного положен!# взять
должно какое ни есть число , и по-
честь его за искомое, погвомЪ на-
длежишЪ сЪ тБмЪ числомЪ сдБ-
лать, все шо чшо обстоятель-
ства

гпва даннаго примера гпребуюгпЪ t
и когда сТе взятое по изволению чи-
сло будетЪ самое то, котораго
доискиваться должно было , то
вЪ шакомЪ случай чрезЪ одно cie
дЪйств?с данной пример рйшенЪ
будетЪ; напротивЬ того ежели
оно не будетЪ то число, кото-
рое требуется, то вЬ такомЪ
случаЬ искать его должно попропор-
ц!и; которую расположить надобно
слЬдующимЪ образомЪ: сысканное
фальшивое число такЪ содержится
ко взятому поизволенйо фальшивому
числу, какЪ вйрное данное число
кЪ верному искомому числу: на-
при мйрЪ , три человека хотятЪ
купишь домЪ, которой оцЪнснЪ
вЪ 27СО рублевЪ, другой купецЪ
хочетЪ дать вЪ двое противЬ перь-
ваго , третТй вЪ трос противЪ
Другаго; по сему узнать надлежитЬ,
сколько денегЪ перьвой дашь долженЪ.

t 2	ДЛЯ

Для сего положимЪ произвольное
число рублевЪ перьваго хсо, и по
сему второй долженЪ дать 200, а
третей боо рублевЪ, но ico+ 20С4-
бсо — 900 число фарыпивое; по-
тому что оно не сошпавляетЪ сум.
мы 2700. рублевЪ; чего ради изЪвзя-
таго поизволенпо,сысканнаго фэль-
шиваго и даннаго вЪрнаго чиселЪ,
сдЬлать должно пропорцТю слБдую
ЩИмЪ ОбраЗОмЪ : 900: ioO ZZ2 27CO;
—°°° = 300 числу рублевЪ перьваго
купца, по которому и другигЪ сум-
мы извБсшны будутЪ.

ол

ВЬ случаЪ двухЪ положен™
поступать должно такимЪ сбра-
ЗомЪ: положить какЪ и прежде
сего числа поизволенхе, издЪлать
сЬ нимЬ все то, что требуется
вЪ задчнномЪ примЪрЪ, и ежели
выдетЪ искомое число фальшивое,
то оно будетЪ несходно сЪ вЬр-

нымЬ

нымЪ числомЪ или по недостат-
ку , либо по излишеству; потгбмЪ
взять другое число по нзволенпо
ступишь сЪ нимЪ по обстояшельсш-
вамЬ даннаго примера ,и когда иско-
мое число выдетЪ опять фальшивое
по недостатку или поизлишесшву ,
тогда ежели оба сысканные фальши-
вые числа не сходны сЪ даннымЪ вЪр-
нымЪ числомЪ по однимЪ недосташ-
камЪ, либо по однимЪ излишествамЪ;
вЪ такомЪ случаБ надобно посту-
пать слЪдущимЪ образомЪ: сдЬлать
между взятыми поизволенТю числа-
ми и недостатками,или излишества-
ми, и между заданнымЪ числомЪ два
сравнены и умножить тЬ сравне-
н!я недостатками, или излишества-
ми накрестЪ, а вЪ проиэведен!яхЬ
отЪ того вычесть меньшее изЬ
большаго, и происшедшую отЪ того
разность раЗдЬлить на разность
не достатковЪ или иЗлишествЪ ,

i j	то

m.o частное число будетЪ искомое*
напримБрЪ некоторой человЬкЪ
им Бе mb у себя столько денегЪ,
чп о ежели взять отЪ половины
того числа > и J половины же того
3

числа , то останется у него 50
рублевЬ ; по сему надлежигоь узнать
сколько всЪхЪ у него денегЪ s поло»
ЖимЪ, что гаотЬ человБкЪ имБстЬ
48 рублевЬ , и ежели отЪ половины
сего числа, то есть, отЪ ’.4 ру-
блевЬ отнять т гг 8 рублямЪ и
ж — б рублямЪ, то останется хо
рублевЪ, и такЪ cle число фаль-
шивое , а несходьствуетЬ оно сЪ
вБрнымЪ 30 по недостатку 20,
положимЪ опять другое число боль-
ше прежде взятаго; напримБрЪ
120, и ежели вычесть изЪ половины

его, то есть, изЪ бо рублевЪ ’ “
20 рублемЪ и { — Ц рублевЪ, то
вЪ остаткЬ будетЪ 25 рублевЪ, ко-
торое сысканное число также фаль-

шивое э

(О)



шивое , и несходсгпвуетЪ сЪ вВр-
нымЪ по недостатку $. Теперь над-
лежитЬ сдЬлать между взятыми
поизволенпо числами , недостат-
ками и заданнымЪ числомЬ слЬду-
ющ1е сравнен!я.

6о — (го4- 15 ) — jo— <; 7 два сра-
24 —( 8 4- б ) — 30 — 20 Г ВНСН1Я

1200—(4004-^00)—бсс— ЮОЭ два про-
120 —(40 4- ^О)~15О— ОО ^изведен!*
ic8o — (3604,270)—450 разность,
“ —	15

которую разделить должно на раз-
ношь недостатковЪ 20 — 5 ~ 15,
тпо выдетЪ частное число
хоЗо (3604-270 ) ~ гг 72 —

~х5

(24 4- »8) — 30, то есть, ежели
вычесть изЬ половины искомаго чи-
сла 72 одну треть ея, то есть 24
и одну четверть, то есть 18; то
будетЪ вЬ осшаткЪ 30.

I 4	А ежели

А ежели изЪсысканныхЪ фалыпи*
быхЪ ЧиселЪ одно не сходству етЪ
сЪ вВрнымЪ но недостатку , а дру-
гое по излишеству , то вЪ такомЪ
случаЬ поступить надобно ниже-
писаннымЪ обраЗомЪ: сдБлать меж-
ду однимЬ взятымЪ , поизволенпо
числомЪ , его недостаткомЪ и за-
даннымЪ числомЪ, также и между
другимЪ взятымЪ поизволенпо чи-
сломЪ , его излишествомЪ изадан-
нымЬ числомЪ два сравнежя, умно-
жить тБ сравнения недссгпаткомЪ
и излишествомЪ накрестЪ , и про-
изведения отЪ того сложишь вЪодну
сумму, которую разделишь должно
на сумму изЬ недостатка и изли-
шества , iro частное число будетЪ
искомое : напримБрЪ, ежели вЪ пре-
жнемЪ примЪрЪ одно поизволен1е
взятое число будетЪ тоже 120 j
и недостаткомЪ % а другое пускай
будетЪ 240, изЪ коего половины

(О)



!

120, ежели отнять I, moeemi;, 40
и $, то есть 30, то вЪ остаткБ
будетЪ число 50, которое прево-
схсдитЪ число 50 излишсствомЪ
20; теперь ежели сдЪлать сравнения
бо — (2-4-15)=: 36 — 5	? два

120 —(40 + 30)=: 304-20 Гсрав-

ненТя

1200— '4004- зоо)=:боо— юс ? два
бос — (^2004- I 5О)~ 1$О4-Ю< (про-
18оо—(600 4-4503=7^0 сумма, изве:
которую раздБлить должно на
сумму изЬ недостастатка и
излишества 5 + 2о =: 25 , то
выдетЪ частное число искомое
18оо—( 6004-450 ) r= — Jo.

Дока зательешво.

Справедливость рБшсшя правила
одного положенкя довольно извЬ-
стна изЪвышеписаннаго предложе-
на О пропорцш ( §; 112 ) Ч: б: П:

I 5	Д что

i$4	(°)

А что касаесшя до рЬшенТя пра.
вила двухЪ положенТй, то дБлаюгпся
ьЪ немЪ сравненГя для того, чтобЪ
узнать чемЬ взятые поизволен!ю
и расположенные по обстоя гпель-
ствлмЬ заданнаго примера числа не-
достаточны, или превосходствуютЪ
npomusb даннаго, потбмЪ умно-
жаются оба тЪ сравнения накрест!)
недостатками, или излишествами,
для того , чтсбЬ вЪ обБихЬ сравне-
н!яхЪ недостаточные или излишн!е
числа сдЬлать одинакхе, какЪ и вЪ
решенном1) здВсь примБрЪ иэЪ
сравнен!*! 24 — ( 8+6 ) =30—20 и бо—
(204-15) = 30 — 5 имЬющихЪ разные
недостаточные числа 20 и 5 с д’Бланы
чрсзЪ умножение недостатками сра-
внения 12СО — ' 4С0Н- 3ОО ) =бос— I оз
п I2C—С404-30)= 15с—юо сЪ едина-
кпми недостатками 1ооиЮо;ивЪ
СлучаЪ , когда у обБихЪ сравненш
СудушЬ недостатки или у обЬихЪ

ИЗЛИ-

илитества, вычитаются вЪ нихЪ
меньшее изЪ болыпаго; какЪ напри-
мЪрЪ сравнено но—(400+30) =15о
— юс вычитается изЪ сравнсн!я 1200
—(4.00+300)2=600—12Э; для того,
чтобЬ уничтожить чрезЪ то недо-
статочные или излишн!е числа :
НапрлмЪрЪ ico и Ю ч j и какЪ дан-
ное число 30 содержится вЪ боль-
шемЪ произведении боо изЪ 30 на 20
дватцппью, а вЪ менынемЪ проивве-
ден!и 140 изЪ 30 на $ пятью; и такЪ
ежели вычесть вЬ сихЪ произведен!-
яхЪ меньшее изЪ большаго , то бу*
детЪ jo содержаться вЪ осшаткЪ
450 пядонагоцатыо; чего ради ежели
раздЪлишь остальное сравнение на
1$, шо есть нараэность недосташ-
ковЬ 20 и 5 , то вЪ частномЪ чи-
слЬ выдетЪ сЪ одной стороны
срлвненТя заданное число 30, а сЪ
другой искомое равное тому и ра-
сположенное по обспоятельствамЬ
даннаго примера Ч. б. В.

А еже

№	(о)

*

А ежели случится, что одно срав-
нен^ будетЪ по недостатку а другое
по излишеству, то послЪ умножены
ихЪ недосшаткомЬ и излишествомЪ
накрестЪ складывай ь ихЬ должно
вЬ одну сумму для того, чтобЬ уни«
чтожить чрезЪ то недостаточное и
излишнее число, какЪ и вЪ рБтенномЪ
здВсь вторично прпм'РрВ усложсн-
наго сравнены	с 004-450 )—

750 недосгпашокЪ — юо и излишество
4- ЮО уничтожаются. А понеже вЪ
суммВ 750 состоящей изЬ числа
30 умноженнаго чрезЬ 5 и того же
числа 30 умноженнаго чрезЬ 20
Число 30 должно содержаться дват-
Цатью пятью, то для того раздВ-
лишь должно сложенное сравненге
на сумму иэЪ недостатка и излише-
ства, а вЪ часшномЬ числЪ выдетЪ сЪ
одной стороны сравнен!я данное чи-
сло 30, а сЪ другой искомое и равное

ему

(°)	«?7

ему число расположенное по об-
сшояшельствамЪ даннаго примера.

При м15 чаше.

иб Н^лл^житЬ знать, что всякой та-
кой поимЪрЪ, которой решиться можетЪ
по одному положение, то рЪшится оиЪи
по двумЪ, напропивЪ того не всякой по-
двумЪ положенТямЪ рЪшимой примЪрЪ
по одному решиться можетЪ.

ОпредЪлен!е.

пПравиломЪ смЪшешя
называется такое дЬйсшвте,
по которому рЪтить можно
всё так‘1е примеры, вЪ
которыхЪ упоминается о
смъшенш пропорции количе-
ства , и цЪнё какихЪ вещей.

J

При-

Примечанье.

Ц8 Cie правило употребляется вЪ эко.
Ио.мш, м'Ьдицин’Ь и физинЪ, а примЪровЪ
иринадлежащихЪ кЪ нему для р'Вшещя
суть четыре рода, перьвой есть ког-
да требу.шея цЪна смЪшенной вещи, по-
данными разнымЪ смВшиваемымЪвещамЪ,
также цЬнВ и количеству оныхЪ; второй)
ежели будетЪ надобно сыскать пропор-
цию и количество сиЬшиваемыхЪ вещей.
чгообЪ получить требуемую смЪшенную
вещь пос ре дней цЪнЪ и бЪ заданномЪ
количеств^: третей, когда потребно
будетЪ сыскать д иной смЪшенной ве-
щи большее или меньшее количество вЪ
щомЪ же частей содержанги, вЪкоторомЪ
и части данной смЪшенной вещи на-
ходятся ; четвертой , когда надобно
сыскать вЪ смЪшенной вещи изЪ нЬсколь-
кихЪ другихЪ вещей каждой вещи коли-
чество поданному тЬхЪ вещей между
собою и цЪлой смешенной вещи содержа-
даю»

Задача.

119 РъшшпЪ примеры ка-
сающееся досмШешя вещей.

рБ-

рЬшен!е

ВЪ перьвомЪ случлЪ, когда спра-
шивается средняя цЬна смЪшенной
вещи : поданной цБнЪ и количеству,
особо каждой изЪ смЪшпвасмыхЪ ве-
щей, тпо надобно поступить такимЪ
образомЪ: умножить число выра-
жающее особую цЪну каждой вещи
числомЪ выражающимЪ ихЪ количе-
ство, потбмЪ сложить с!и произве-
денТя вЪодну сумму, которую ра-
зделить должно на сумму коли-
чествЬ, то вЪ частномЪ числЪ вы-
дстЪ средняя цЪна s напримЪрЬ,
ежели надобно будетЪ смЪшать
между собою шрехЪ разныхЪ цЪнЪ
вино, то какЪ сыскать среднюю
цЪну, чшобЪ смЪшенное вино про-
дать ни дороже ни детевлЬ, какЪ
•а столько денегЪ, сколькобЪ полу-
чить можно было, ежслибЪ продашь
всБ тЬ вина порознь j и такЪ сред-
няя

уБна сыгцегпсяслБду ющимЬ образомЪ.

ю

цЪна 30 прэи- роэ

Бина ВБушылки 4 каж:

4.0 зке-

.бэ

буш: 50 деп1я|2$о

с

S

сумм* бушЫлОкЬ 19 сумма произве цо
а пораьдБлснТи суммы произведен!#
на сумму бутылокЪ выдетЪ средняя
цБна 7’° — 37 копЪекЪ.

Другой прим'БрЬ , надобно
смБшать двухЬ родовЪ вино вЪ
одно, и прибавишь кЪ тому нЪсколь»
ко воды ; вЪ такомЪ случаЪ,
какЪ сыскать среднюю цБну, по
которой бы смЬшенное вино ни до-
роже ни дешевлВ продать можно
было, какЪ только по такой цЪнБ,
КакЪ бы и не смБшивая тБхЪ винЬ

между собою и сЬ водою; и понеже во*
дБ никакой цБны неполагается,
trio потому она несдБлаетЪ ника-
кова произведснТя, а вЪ числЪ буты-
локЪ ставится, потому что она
пело бушылбкЬ составляешЪ; и такЪ
выдетЪ

рьтдетЬ смБшеннаго вина средняя
цБна тккимЪ образомЪ.

)А число )1э)цЪна . J.-»'про и'4 "о
ЕИна (В бушы-( б(. каждой ?о звеле зэ
ВОДЫ С ЛОКЪ ) 4-)бу ШЫЛрЪ 4пя |
сумма'bjmMAOkb 20: сумма произведи; 5 80

А пораздЬленти суммы проиэве.
дентй на сумму бутылокЪ выдетЪ
средняя цЬяа 580: 20 — 29 ко-
пЬйкамЬ.

ВЪ другомЪ случай, когда бу-
детЪ Д1на цЪча каждой пзЪ смБ-
шиваемыхЬ, пещей и средняя цЪна
смЪшенной вещи , атребуется со-
держант смЪшиваемыхЪ вещей и
количество смЪшенной вещи , то
рБшен е заданнаго примера распо-
ложить должно на двЬ Части / пс-
рьвое сыскать смЪшийаемыхЪ ве*
Щей содержанте меж V собою, а по-
томЪ количество счБшеНной вещи*
ЧщооЪ получить Содержан!е, ко-

К	торос

mo рое i мБшь должны межАу
собою смыливаемые вещл, и среднюю
цБну, то надлежитпЪ поступишь та-
ким Ъ образомЪ: данные цЪны смБ.
шиваемыхЬ вещей выразить сравне-
ниями сколько аЪ нихЪ недостатку
или излишества прошивЬ дачной
средней цЪны, и поставишь cia cpal
внентя одно подЬ другимЪ по два
вмЬстВ, такЪ чтобЪ одно сра-«
внен!е было понедос татку, а другое
по излишеству противЬ данной сред.,
ней цЪны, потомЪ умножить сти
сравнснхя числомЪ недостатку и
злгшества взаимообрагно, но при-
тпомЬ должно знать, что множи-
тель здБсь всегд! полагается за-
солэжительное число , на конецЪ
надобно сложить тВ грэизведентя
отЪ чего произойдетЪ сравненте
которое покажстЪ требуемое содер-
жанте смешиваемыхb вещей между I
собою, и прогаивЪ нВкоптпраго коли-
чества цЬлой 'смешений вВщи: на-^
прцмЪро сертбрсьикЪ имВсшЪ че-

шырехЪ пробЪ серебро , изЪ кошо-
рыхЬ одно А 15 пробы, другое В
21 • inpemce С 26, четвертое D
29, а требуется составить изЪ
всЪкЬ <ихЬ сортовЪ серебра одно,
которое бы было J-4 пробы, кото-
рую означить можно литерою М.
ПритакомЪ случаЪ надебно сы-
скать , поскольку изЪ каждаго сор-
ту серебра положить должно вЬ
смЬсь, чшобЪ вышло некоторое
количество серебра 24 пробы; что
сыскивается слЬдующимЪ сбрэзомЪ.

А=М-б]	В-М—з

С-М-Ь2 ___________Р^М-ну

произвегА—2М—ха произ-	$В~$М—I $•

дешя бС—бМ-}-12вед€В1я gD—gM-Hs

А ежели сложить с!и сравнения, пго
выдетЬ ихЪ сумма г Ан- 6 С j
В з D хб М, то есть, ежели
ссребреникЬ захочешЬ имБть смЪ-
теннаго серебра 24 пробы к^усскЬ
вЬ 16 фунтовЪ, то должно ему
зЪ смБсь положишь 2 фунта изЪ

серебра А, 6 изЪ серебра С, $ изЪ
серебра В И j изЬ серебра D.

А ежели будугоЪ только двБ
смешиваемые ьещи, нзЪ которыхЬ
одна больше, а другая меньше цЬною
omb средней цБны , то вЪ таксмЪ
случаЬ будутЬ только два срнне-
нхя, ежели же будугпЪ три смеши-
ваемые вещиизЬ коп орыхЪ двЪ
будугпЪ меньше, а третья больше,*
или дв’Ь будутЪ больше , а третья
меньше цБною , • то вЪ обовхЬ та-
кихЪ случаяхЬ будутЬ четыре
срхвненСя, потому что одно сра-
внен1е , которое различестгустЪ
omb прочихЪ неДосшаткомЪ , или
излишествомЬ, взять должно два
раза: напримЪрЪ, ежели будутЬ
гпрехЪ сортовЬ вина, п»Ь которыхЬ
одного А бутылка продается по
50 копЬскЪ, другаь о В по 40,
трегпьяго С по оо, а средняя цЪна
для гродажц свхЪ винЪ, ежели
онБ смБшаюшся , полагается 50 ко-
пБскЬ

рВекЪ и означается литерою М, то
сыщется вЪ силу вышенисаннь-хЪ
прльилЬ количество каждаго вина
Принадлежащее кЬ смВшешю такимЬ
образом Ь.

д—М—г э	В~М— г о

с—МЧ-Ю	С~М4 ю

200>пр ,ИЗ рсВ—icM — ТОО
Ведено 2 зС— 20М+2ЭО аедешя'гсС—icM+ioO

Аежели слсжитьсТи сравнения,то
выдешЬ сумме Ю А 4- ю В + р
С ~ М; и такЪ е^ели смЬтен-
нзго вина М надебчо будетЪ 50
бутылокЪ , то должно положить
вЪ такое смЪшешс ю бутылокЪ
вина А, ю вина В и 50 вина С.

ВЪ третвемЪ случаЪ, тогда на-
добно сыскать по денной смБ вен-
ной вещи такую же смешенную
вещЪ вЪ мзвБстномЬ количесвБ
большемЪ или меныпемЬ прошивЪ
длиной смЪшенной вещ л ; напри-
мЬрЪ, ежели положить вХ> прежнемЪ
К,	примЪ-

примБрБ о смБшенЛи разныхЬ пробЪ
сбребра, что вмБсто >6 фунтовЬ
такого смБшеннаго серебра на-
добно его 35 фунтовЪ, по трепней
пробБ 24 — У, то такой случай
рБшится попропорцш слБдующимЪ
образомЪ.

фу и. фун.

16:	35: —	А	2:4	««

1б:	35	“	В	5 :	Юн

16:	35	“	С	6 :	13	Is

16:	?5	~	D	з :	6	|5 и такЪ,

будетЪ всБхЬихЬсумма 35 фунтовЪ.

БЪ чешвершомЬ случаЪ, ежели да-
на будетЪ смешенная веща изЬ нБ-

сколькмхЪ другкхЬ всщей} изЪ коихЪ
каждой дано содержание с я вЬ рдз-
сужденш другой; напримБрЪ на-
туральная тяжесть каждаго изЪ
двухЪ смБшенныхЬ металловЪ ;
ежели положить напримЪрЪ сли-
токЪ иэЪ золота и серебра вЬ 25
фунтовЪ, и надобно сыскать,

сколь-

сколько вЪ такомЪ слигпкЬ золота
и сколько серебра величиною и вЪ-
сомЬ ; а содержанТс вЪ кускахb оди-
Н1КОЙ величины золота кЪ серебру
полагается 200: $ г , также и ве-
личина слитка известна, тогда
должно искать , сколь»© бы одно зо»
лото величиною равное данному
слитку вЪсило, нежели положить,
что вБсЬ тотЪ ськканЪ вЪ 75
фунтовЪ ; по сему вЪсу сыскать
должно вЬсЪ куска серебра величи-
ною равнаго данному слитку по-
средством сдЪдующей пропорцТи.
2оо: 51—75-. 7^X51; тоестькакЬ

2 00

Натуральная тяжесть золота со-
держится кЪ натуральной тяже-
сти серебра вЪ равныхЬ величиною
кускахЪ, такЪ вБсЪ зоюта вЪ вЪ-
СУ серебра вЪ кускахЬ равныхЬ ве-
личиною данному слитку, и такЪ
выдетЪ в'БсЪ серебра вЬ кускБ ве-
личиною равномЬ данному слитку

хб.8	( о )

гвЪ19* фунтовЪ, теперь стели по»
дожить величину слитка i а вели-
чину часпную золота вЪ слигокЪ
zzzx, то будетЪ величина частная
серебра вЪ елиткБ i—x, вЬсЬрссго
слитка вЬ 25 фунпоаЬ назовсмЪ
Мэ! литерою it. , вЪсЬ вЪ кускБ
Золота величиною ранНОмЪ слитку
литерою а, а ьЬсЬ серебра такой
же величины литерою Ь, теперь по-
ложишь должно слТдукщую про-
порцию. КакЪ величина цЪлаго слит-
ка содержится кЬ частной вели-
чинЪ золота или серебра находя-
ijjarot я вЬ слиткЬ, такЪ вЪсЪ эо-
ЛО'па или серебра вЪ кускЪ вели-
чиною равномЪ данному слитку
кЪ частному вТсу золота находяще-
муся вЪ СЛИткЪ или I: Х~Я: ЯХ,

1

иго есть кЪ вБсу золота содержа-
щегося вЪ СлиткЬ , 1: I— X—Ь;
b-bx то есть кЬ вЪсу серебра.

х

нахо-

находящагоея вЪ слиткЪ ; но вЪсЪ
золота , и вБсЪ серебра находящая
гося вЪ слиткЬ вмБстЪ взятые
равны будутЬ цБлсму слитку, то
есть, ax + b- bx-m; слБ-
дователвно будетЪ частная вели-
чина золота вЬслиткБ,

_т-Ь__2г — 1<1  Ч  4^441_32_
а - Ь"' и — «5в	5- в~~ 8 8	447

которую ежели вычесть изо всего
ели пка , то останется частная
величина серебра вЪ слиткБ ,
а ежели надобно будетЪ сыскашь
вБсЪ золота и серебра , пю посту-
пить вЪ томЪ такимЪ образомЪ
447: 47 ~ 25: 2 ’V/ и 447: 400
55: гг , коихЪ сумма будетЪ 25
фунтовЪ.

Доказательство.

Когда требуется средняя иВнд.
смЪтеннон вещи по данной цЪнЪ ,
каждой изЬ см'БшиваемыхЪ вещей,
также числу или количеству ихЪ,

К 5	при

при такомЪ случаЪ, ежели умно-
жить числомЪ вещей одного рода
ихЪ цЬну, то выдетЪ вЬ произ-
ведении общая цЪнл за всЬ mt> вБщ'т.
Также ежели умножить числомЪ
вещей другаго рода ихЪ цЬну, то
произведете будетЪ общая всБхЬ-
ихЪ цона, и такЪ далБе ; а ежели
сложить шакТе произведенТя , то
сумма покажетЬ общую всВхЪ тЪхЪ
вещей разнаго рода цЬну, и такЪ
когда смВшать всВ тБ вещи по
даннымЪ ихЪ количесшвамЪ , то
для сысканТя средней цБны за смВ-
шенные вещи необходимо слВдуетЬ
раздВлить общую ихЪ цЬну, на
ихЪ же всВхЪ сумму 4 s б: П :

Ежели надобно сыскать содер-
жание смВшиваемыхЪ вещей и коли •
чество смБшенной вещ л, поданной
цВнБ , каждой изЪ смВшиваемыхЪ
вещей и средней цБнБ смБшенной
вещи, шодВлаюгася сравненТя меж-

V

ду среднею цЪною смЪшенной
вещи, и цБнами смВи’гваемыхЪ ве-
щей для того, чптобЬ узнать ,
сколько недостаточны или превос-
ходствуютЬ цБны смЪшивасмыхЪ
вещей эпротивЬ средней цБны
смЪшенной вещи , а умножаются
сравненТя недостатками или изли-
шествами на крестЬ, и потомЪ
складываются вЬ одну сумму, для
того, чшобЪ уничтожишь чрезЪ
то недостаточные и взлишнТе чи-
сла , и тогда сыскиваются у сло-
женныхЪ сравнен™ сЪ однихЪ сто-
ронЪ количества см'Вшенной вещи,
а сЪ другихЪ содержанте смЪшива-
емыхЬ вещей; и пгакЪ ежели сло-
жить нтЬ сравненТя вЬ одно , то
будетЪ вЪ немЪ сЪ одной сторо-
ны количество смЪшенной вещи, а

Другой содержанте всЪхЪ смЪ-
шиваемыхЬ вещей Ч: 6 s Б;

Что касается допримЪровЪ см^-
шемя шретьяго рода, ( гдЬ по дан-
ной смЬшенной вещи сыскрвастся,
Зракая же смБшенная вещь вЪ извЪ-
стнонЪ количсствЬ брльшемЪ или
меншемЪ прртивЪ количества иди
величины данной смЬшенной вещи, )
и примВровЪ смЬшенТя четвертаго
рода, (гдЬ смЬшсннрй вещп изЪ
jH'bcKOjibK^cb разчыхЬ вещей дает-
ся содержанае, и каждой пзЬ смЪши-
ВаемыхЪ вЬ разеужденш другой, так-
же сыскивается кодгррещвр или ве
дичина каждой изЪ смЬщивасмыхЬ
вещей вЪ смен енной вещи,) то
справеддиорсть p'cujcjni.4 ихЪ ^рволь-
но видр^а изЬ предложен™ пропор-
TJI.4J (§112) Ч. 6. Т. И,\ч.

ПоимЪчанте.

1?э По oxorpiOfiiH всФхЪ тЪхЪ пред-
ложении, которыхЬ ptineiiife зависипф
ото перьвоп теоремы опропорщи геоме-
трической, слЕдуетЪ продолжать пред-

ложены

ло^е«!я о рззныхЪ свойсивахЬ и прремЪ-
нахЪ с>держан1и и пропори геомсшри-
HJCKHXb.

Т еорема.

i2i Ежели будутЪдва
геомешрическте содержанта
I одному третьему или ра-
। внымЪ равны, то онЪ и ме-
1 жду собою должны быть
равны.

Доказательство

К ок да гебметрическТе содрржа-
Hi я узнаваются чрезЪ дЬленТс одно-
го члена на другаго ( по § 8» ), пто
есть чрезЪ «ретные числа Происхо-
дите отЪ дБлснТя одного члена
на другаго или лучше сказать, чрезЪ
знименашелей содержания', ( по § Ьб )
а у содёржанш равныхЬ нс обходимо
должны

должны быть знамена щели равны
( по § 87 ), и такЪ когда два зна-
менателя содсрьанТя одному тре-
тьему равны, по они ра'ны бу-
ду тЪ и между собою ( no § ic6
то есть да содержанья одному
третьему раань-е равны будутЬ
и между собою, или ежели положить
6:	— 8; 4 и io-- 5 — 8: 4, то

будетЪ 6: 3 — Ю; 5 Ч: 6: П:

* 1

А ежели два содержания двумЪ
равнымЪ сод? ржанУямЬ равны, то у
нихЪ и два знаменателя двумЪ рав-
нымЪ знаменателямЪ равны будутЬ,
а понеже два знаменатля равнымЪ
равные равны будушЪ и между собою
( по §: юб ) по с гЬдуетЬ изЪ сего,
что два сод?ржан!я двумЪ равнымЪ
равные, будутЪ равны и между со-
бою.-или когда 12: 5 — 1(5: 4, а 20: 5 ZZ
12: 1 и 8: 2 — 1(5: 4, шо будетЪ 2d 5
=28: 2.4. 6. В.



(О)

Теорема-

122 Содержание двухъ
чиселЪ между собою пене-
ремЪняешся, когда вЪнемЪ
предЪидущш и послЪдующш
члены умноженны, или раз-
дЪленны будут Ь на какое
ни есть одно число.

Доказательство.

Ежели положить напрнмБрЪ два
числа 12 и 4, у коихЪ знаменатель
содержаьпя 3, и когда с!и числа умно-
жатся числомЪ 2, то произведен^
24 и 8 имЪюшЪ такое же содержание
между собою, какЪ 12 и 4, то есть
24: 8—12: 4,потому что у обЪихЪ
сихЪ содержали знаменатель одинЪ
3- Ч: 6: II: v

Также

1.75	( о )

Также б&елй разделить оба чи-
сла 12 и д на 2 , то частные чи.
ела 6 и 2 , также содержатся ме-
жду собою, какЪ 12 и 4 для равен-
ства ихЬ' знаменателей содержания,
йю есть, 6/2 rzz 12: 4 Ч: б,- В:

, Теорема.

123 Ежели произведе-
те двухъ чиселЪ равно' бу.
дешЪ произведена дру-
гихЪ двухЪчиселЪ, то такте
4етыр$ числа должны быть,
пропорцю на льн ы.

Доказательство.

Когаа будетЪ произведемте
двухЬ чиселЪ, напримЪрЪ 4. 5 rz 2.
10 ~ 20 произнсденТю другихЪ чи-
сслЬ, то ежели взять изЬ каждого
про-

произведения по одному какому ни
есть числу, напримЪрЪ числа 4 и 2,
и умножить тБ числа какимЪ ни-
будь гпрешьимЪ числомЪ взятымЪ
йзЪ одного какого нибудч произве-
дения, напримЪрЪ 5 , то будетЪ 4.
5: 2. 5 — 4: 2 (по § 122), но по-
неже 4. 5	2. ю поположенТю, то,

ежели положить 2. ю вм’Бспго 4. 5
(по § юб), будетЪ 2 ю,- 2. 5=4-
2, но содержание 2 Ю: 2. 5. умноже-
но однимЪ числомЪ } и такЪ ежели
разделить е^о на то число, то
очо неперем'Бнится.^ ( по ^*122),
то есть будетЪ, хо: 5 ~ 2. Ю: 2.
5, а 2, ю: 2. 5	4: 2; следова-

тельно будетЪ IC: 5 — 4: 2
( по § 121 ) , то есть, ежели про-
изведен^ двухЬ чиселЪ равно про-
пэведенпо другихЪ двухЪ чиселЪ,
то такТе четыре числа будутЪ
пропоруюнал ьн ы.

>7$

Т еорема*

124. Ежели бу ду шЪ че-
тыре числа, какЪ б, 5, р, 2
вЪ геометрической пропор-
ции, пю есть 6: % — 4: 2,
. шо какимЪ бы образомЪ ни-
перемЪнишь, толькобЪ оди-
наково предЪидущихЪ чле-
новЪ пропорцш, вразсужде-
нш послЪдующихЪ, и послЪ-
дующихЪ членовЪ вразсу-
жденш предЪидущихЪ, так-
же и предЪидущихЪ ипо-
елЪдующихЪ членовЪ вмЪ-
сшЪ, шо всегда они про-
порциональны будушЪ.

До

(О)

Доказательство.



Ежели положить вЪ такихЪ про-
порцтональныхЪ числахЬ всЬ воз-
можные одинаковые перс мВ ны прсдЪ-
идущимЪ ^ленамЬ вразсуждешл
послЪдующихЪ, и послВдукщ.мЪ
вразсужденйд предЪидущимЪ, так-
же предЪидущимЬч и послЬдую^имЬ
вмВспГБ какЪ, наприм'ВрЪ вЬ числахЬ
6:	4=2, можно сдВлать сл'Вдую-’

щТе перемВны.

5	: 6^2: Л*

б	: 4 — V- 2

б-Ь 3 : 3=4 -Ь2 : 2

б : 6Ч-$ — 4 : 4Н-2
6-5 : 3 — 4-2 : 2
б : 6— ? — 4 : 4—2
б. 3:	4- ?= 2

б : 3, 6 — 4 • 2. 6
6. $ : 3. 2. — 4. 3 5 2. 2
Г- 5=1= 2
б: 1-4: »

6. 4: 3. 2 — 4. 6. 2. 3»

Л 2 Однако

i8o

(о)

Однако, поневе при всБхЪ сихЪ
перемВнгхЪ произведения крайнихЪ
членовЪ равны будутЬ проиаведе-
нТямЪ среднихЬ • какЪ напримЬрЪ
3- 4 — 6. 2, (6+?)« 2 —(4-4-2).
3> 6. (4-2)=+. (6-3), 6. 3.2—4
3. 3 , 6Л — 4- I. и 6. 4. 2. 3 = 4.
6. 3. 2 и прочая , слЪдовашельно
числа состоящте вЪ геометрической
пропорцхи привсЬхЪ вышеписанныхЬ
персмЪнахЬ пребудутЪ пропорц!-
ональны.

Теорема.

125. Ежели вЪ двухъ про-
порщяхЪ^ какЪ 12: 4^$о: ю
и 4: 2 = ю. $ умножить или
разделить предЪидущихЪ
и послЪдующихЪ членовЪ од-
ной пропорции на предЪ иду-

щихЪ

щихЪ и послЪдуюшихЪ чле-
новЪ второй пропорции, то
вЪ первомЪ случаЪ произве-
дет^ а вЪ другомЪ частные
числа будутЪ пропорць
ональны.

Доказательство.

ВЪ геомет рическвхЪ содержан!-
яхЪ большее члены равны произве-
ден!ямЪ изЪ меньшихЪ* назнамена-
телей содержаний ( по § 107 ), какЪ
напримЪрЪ вЬ содсржан!яхЪ дан-
ныхЪ пропорц!й 12: 4=$О} ю и
4: 2=10: 5, 12=4.	30=10. 3.

4=2. 2, 10=5. 2, и такЪ ежели по-
ставить вЪ данныхЪ пропорцЛяхЬ на
мБста большихЪ ЧленовЪ равные
имЪ произведения 4. 3: 4=10. ?
Юи 2. 2 : 2 = 5. 2 и 5 , и умно-
жить между собою одноименные

Л з	члены

члены обЪвхЪ пропорцТй, то будугпЪ
произведентя 4. 5. г. 2, 4. 2 , ю.
3. 5.2, Ю. 5 пропорциональны, то
есть 4 ^.2 2:4. 2 — 1С« 3* $.

2: ю. потому что вЪ сбВихЪ
содержэШяхЪ знаменатель одинЪ 3.

2, Ч. б, П,

Тоже будетЪ ипридЪленТи од-
ноименныхЪ членовЪ одной про-,
порц!и, на однопмснныхЬ другой, по*
трму что ежели разделить одну
пропорцию 4.	4 — ю. *о, на-

другую 2. 2: 2 — ч. 2: 5, то ча-
стные числа s g :	° а : ’° бу-г

дуто пропорцюнальны, для того
что вЬ обЪихЪ содсржан!яхЪ зна-
менатель одинЪ ®-

РлЪдствТе.

126. ИзЪ сего слЬдуетЪ , что
ежели умножить как!е пропорцх-
ональные числа сами собою нБ-

сколько

сколько разЪ , mo такТе произведснУя
будутЪ пропорцУональны, или п ро-
тивнымЪ образомЪ, ежели умноже-
ние сами собою нисколько разЪ про-
ПорцЮналные числа раздЬлить ни-
сколько же разЪ на перьвоначальные
тнЪ числа, отЪ коихЬ взаимнаго
умножснУя произошли mb умножен-
ные числа , то и частнные числа
буд у гпЪ пропо рцхона льны: напримЬ рЪ,
ежели 4: г ~ б ? 5 , то будутЪ
также 16: 4	36; и С4; 8 “

216: 27 и прочая, а когда 64: 8^Г21б:
27, то будетЪ 4: а — 6:
у ,

С ЛЪдствУе,

127.	А когда у пропорцУональныхЪ
чиселЪ умноженныхЪ самыхЪ собою
нЪскольо разЪ произведения , а упро-
изведенУй раздЪленныхЪ нисколько
разЪ напервоначальные свои числа
частные числа будушЪ пропорцто-

Л 4	нальны,

нальны, mo слЪдуешЪ изЪ сего, чгоо
сЪ птакпмз про'13=еден1ями и ча-
стными числами всЪ вышеписанные
( вЪ § 124 ) перемВны дЬлать мо-
жно бсзЪ нарушения пропорции.

Т еорема.

128.	Въ прогрессш геоме-
трической прибывающей ка-
ждой членЪ pi венъ произве-
дению перьваго члена и знаме-
на теля содержанья возвы-
шенна го столько разЪ, сколь-
ко персдЪ перьвымЪ членомЪ
находится другихЪ членовЪ.

Доказательство.

Еж?ли положить прогрессТю ге-
ометрическую -44, I, 2. 4> $ 16, 3 2,
и

Р протЧ1Я,~^-^ I, 2, 2. 2, 2. 2.2,
2. 2. 2. 2, 2. 2. 2. 2. 2. И ПрОШЧЭЯ ,
пю яисшвенно видВть можно, что
вЪ ней пятой членЪ 16~2- 2. 2. 2.
то есть псрьвому члену умножен-
ному на знаменателя возвышеннаго
вЪ четверо, какЪ то и передЪ перь-
вымЬ членомЪ только четыре члена
находится , что происходить и при
другихЪ членахЬ.

СлЪдсшв!е.

129.	А когда взять вЪ прогрессТи,
геометрической убывающей послВд-
ней членВза перьвой, то и вЪ ней всВ
тЬ свойства будутЬ, которые и вЬ
прибывающей.

Прим15чатпе\

130.	Сл’Вдукяцге обЪ геометрической
прогресс 1Й Теоремы равномерно служатЪ
жакЪ кЪ прибывающей, такЪ и убывающей
Л g	прогрес-

прогрессии, только вЪ сей послЪдпей npt,
вращеннымЪ образомЪ пропгивЬ церь^ой

в

Теорема.

г 3 г. Въ прогрессу геоме-
трической произведете к рай-
нихЪ членовЪ равно произве-
дена двухъ равно отсто-
ящихЪ отЪ крайнихЪ 9|
или среднему члену самому
собою умноженному, ежели
число членовЪ не чотяое
будетЪ.	I

доказательство.

Когда будетЪ напримВрЪ прогрео
С1Я г 3. Q. 27, Si, 24 игрочая,
шо вЪ ней произведение краинихЪ чле-
НовЪ J ; 24^.-729, а какЪ произведемте

равно

равно огпстоятгхЪ отЪ краинихЪ
членовЪ 9. S 1^729, и произведегйе

ереДнягЬ члена 27 самаго ссбою
умноженнаго 27' 27 "72о, тс есть,
есВ схи произведения равны одному
729, слЪдовашельно омЪ рав^ы и

между созою

Т еорема.

132 Ежели будетЪ вЪ
прогрессш геометрической
знаменатель содержания 2,
jhq разность между перь-
вымЪ и пос лЪднимЪчленомЪ,
равна будетЪ суммЪ всЪхЪ
членовЪ, выключая самой
большей, а ежели знамена-
тель содержания $, то раз-
ность между перьвымЪ и
псслЪд-

послЪднимЪ членомЪ равна
будешь двойной суммЪ
всЪхЪ членовЪ, выключая
самой большей, а когда зна-
менатель содержания 4, то
разность между перьвымЪ
и послЪднимЪ членомЪ ра-
вна будешь тройной сум-
мь всЪхЪ членовЪ, выклю-
чая самой большей, и такЪ
далЪе.

Доказательство.

Ежели будетЪ прогрессия 2 , 4,
8, тб, 32, и прочая, у которой
знаменатель содержан!я 2 , то бу-
детЪ разность между перьвымЪ и
послЪлнимЪ членомЪ, 32 — 2 ~ 2-Н4
-4- 8 —Н хб — 3° : у прогресст 9 >

27»

27, Si и прочая, знаменатель со-
держан!я 3, а разность между исрь-
вымЪ и посдЬднимЪ членомЪ 81 — 3
= ( 3 -Ь 9 -Ь 27 )• 2 — 78 ; У про-
rpeccin 4, 16, 64, 256. Знамена-
тель содержания 4, а разность меж-
ду перьвымЪ и послЪднимЪ членомЪ
2$б — 4 — (4 4- 164-64)3 —252
и такЪ далЪе.

СлЪдсшвТе.

133. ИзЪ сего слЪдуетЪ, что, вЪ
саучаЬ потребности знать сумму
всей прогресс!», должно разделишь
разность между самымЪ большимЪ
и самымЪ меньшимЪ членами на
знаменателя nporpecciu уменьшен-
ного единицею (по §132) и сло-
жить то частное число сЪ са-
мымЪ большимЪ членомЪ.

Теб-

irpo

(б)

T еорема-

ВЪ прогрессии гсомепр
рической перьвой членЪ
имЪешЪ ко второму содер-
жание одпнакое, кЪ треть-
ему удвоенное, кЪ чешвер*
тому утроенное и прочая
прошивЪ содержам'1я псрь-
ваго члена ко второму.

Доказательство.

Ежели положить прогрессйо 2,
4»	’6» З2 и прочая, то будешЪ

у 2 : 4 , знаменатель содержан!я 2
у 2 8 , знаменатель содержания 4,
у 2 s 16 знаменатель содержашя 8.
ы шакЪ дал^е, изЪ чего явствуетЪ.
что знаменатель содержан!я 2 : 8
то есть, 4 вЪ двое, а знаменатель со-

-	ч держанМ

(О)	*9*

деря.анТя а । |б. то есть 8 втрое
возвышенЪ прошивЪ знаменателя
содержан!я а : 4*

Задача.

Ежели данЪ будешЪ вЪ
прогрессш геометрической
прибывающей перьвой членЪ
и знаменатель содержашя,
шо какЪ сыскашь желан-
ной членЪ.

рЪшен!е«

Ежели данЪ будетЪ перьвой
ЧленЪ и знаменатель содсржан!я, а
надобно будетЪ сыскать напримЁрЪ
четвертой членЪ, вЪ такомЪ случаЪ,
понеже позади самаго большаго
члена находится три члена, то
надлежишЬ возвысить знаменателя
содер-

содержания втрое, и умножить дю
число перьвымЬ членомЪ , то про-
изведете будетЪ искомой членЪ;
напримЪрЪ, некоторой купсцЬ нс
уплативЪ долгу умсрЪ, и оста-
вилЪ по себБ 4 сыновей; коимЪ по-

велБно было ошЪ суда уплатить
отцовской долгЪ гпакимЪ сбразомЪ,
чшобЪ самой меньшой пзЪ нйхЪ

эаплашилЬ десять рублевЪ, а стар-
шей по немЬ сто рублевЪ; а не много
отЪ сего старгшй долженЪ у
платишь еще больше увеличивая по
такому же ссдержадйю далБе ,
по сему надобно сыскать, сколько
денегЪ уплатить долженЪ самой
стартТй сынЪ; понеже кромЪ сама-
Го старшего сына находится еще
трое сыновей, шо ежели умножить
Знаменателя Ю. Самаго собою три-
жды, отсесть ю. ю Ю. апотомЪ еще
на ю число рублевЪ самаго мень.
шаго, то произведен^ ю . io . ю.

ю,

(6)	щ

iCooO вудегпЪ число денегЪ f
которое самой старшей сынЪ упла-
тишь долженЫ

СлЪдств!е.

1 $6. ИзЪ сего слБдуетЪ, что еже-
ли будетЪ прогресс^ Геомсшркче-
ская убывания, и данЬ будетЪ вЬ
ней перЬЕОй членЪ, знаменатель Со-
держания и число членовЪ, то сыплет-
ся послВднхй членЪ • ежелй разде-
лить перьвой членЪ назнаменателЯ
столько разЪ, сколько передЪ НимЪ
Находится членовЪ.

Задала.

Ежелй будешь извЪ-
сшенЪ перьвой й последние
членЪ, и знаменатель содер-
жания, шо какъ по нимъ сы-

М екать

скашь сумму всей прогрес-
сы.

рЪ шен1'е.

Взять разность, между самымЪ боль-
щимЪ и самымЪ меньшимЪ членами,
раздЪлить се на знаменателя содержа-
нт уменшеннаго единицею (по § i $
а частное число сложить сЬ самымЪ
большимЪ , то такая сумма будетЪ
сумма всей прогрссс!и i напримБрЪ ,
нБкоторой человЪкЪ вЪ путеще-
ствшсвоемЪ иэдержалЪ вЬперьвуюне-
лю 3 рубли, а во вторую о и такЪ да-
лБс увеличивая число денегЬ на каж-
дую неделю, а вЬ последнюю неделю
иэдержалЪ онЪ 245. рубли; посе-
му надобно узнать, сколько онЪ де-
негЪ иэдержалЪ во все время своего
путешествхя: ежеди вычесть 5 изЬ
2.43, и разность 240 разделить на
Внаменашеля содержан!я умсньшенна-

го

го единицею $ — 3	2 » пэгпомЪ

частное число -£ ~z. 120 сложить cb
СамымЪ большимЪ членомЪ 24.3, то
сумма 120 -J- 243 — $6$ будетЪ
сумма рублевЪ, сколько онЪ во все
время путсшссшвТя своего ивдер-
жалЬ.

Задача. •

138. Ежели извЪстенЪ
будетЪ перьвой и посяЪдшй
членЪ и знаменатель прог-
рессы, то какЪ сыскать
число членовЪ.

рЪшен!е.

Когда будетЪ перьвой членЪ z, •
послБдшй 64> знаменатель содержа-
ния г, то по раздВлен1и послЪдня-
го члена 64. на перьвой 2 вЪ част-

М 2	номЪ

НомЪ числЪ выдетЪ $2, знаменатель
содержания возвышенной сп олько
разЪ, сколько позади пбслЪдняго чле-
на находится другихЬ ЧленовЪ-
И шакЬ сжсЛи взять, и раздЪляшЬ воз-
вышеннаго Знаменателя $2 на про-
СгпаГо И. до шЬхЪ порЪ, пока частное
число будетЪ равно простому зна-
менателю 2. ; цю такимЪ образомЪ
узнать можно будетЬ число, во
сколько ра*Ъ воэвышенЪ Знаменатель-
кЪ которому ежели придать едини-
цу Эл последнего члена } то такая
сумма покажетЪ число членовЪ про-
грессии - и какЪ вЪ нашемЪ примЪрВ
Число $2 возвышено вЪ пятеро про-
тивЪ знаменателя 2, чего ради, по*
приложении кЪ числу 5 единицы, чи-
сло 6 будешЪ число членовЪ прогрес-
са 2, 4, 8, 17, 52, 64.

t

1Грим15чан1е.

IIP Есть еще и дpytie допрогрессш гео-
метрической касаклц1еса задачи j однако
ихЪ

гхЪ легко рЪшигпь можно знающему ВЙ-
Записанные положен!**

ЦричЬчаыУе.

»4О* Теперь слБдуетЬ предлагать обЪ
ГеОметрическихЪ выклалкахЪ, которые
оставить могутЬ яе желаю ли учиться
усоме npin • потопу что онЬ ддд Одной
ре потребны.

Глава

Р БЫКЛАДКАХЪ ГЕОМЕТ рИЧБ-
СКИХЪ.

i

Определение,

14т. Выкладками геоме-
трическими называются дъй-
сшвгя и перемены чиселЪ,
означающихЪ величину про-
страцешвъ 5 а перемены шЪ

М з со*

сосптоятЪ вЪ возвышенхяхъ
чиселЪ,то есть, когда ка-
кое число умножается само
собою нисколько разЪ; или
ВЪ уменыне н!яхЪ чиселЪ, то
есть , когда возвышенное
предписан нымЪ образомЪ чи-
сло разделено будетЪ ни-
сколько разЪ напервоначаль-
ное то число, отЪ коего оно
чрезъ нисколько краткое
умножеше получило свое
возвышенте; въ десятичныхЪ
дробяхЪ , то есть такихЪ,
кои увеличиваются или ума-
ляются по знаменателю со-
держашя ю; илогарифмахЪ

то есть такихЪ выкладкахъ,
кои вЪ нЪкопторыхЪ случа-
яхЪ на мЬсто просшаго
умножешя идЪлентя чиселЪ
сЪ преимущесгпвомЪ упо-
требляться могутЪ.

ПримЪчан^е.

14г. Когда мы разсуждаемЪ околиче-
ствЪ или числЪ какихЪ вещей , то для
рЪшенья такихЪ случаев® употребляем®
ариеметическ!е правила , а ежели намЪ
надобно знать величину какой вещи одной
или нискольких®, не почислу ихЪ, ново-
особой же величин!? каждой, то в® таком®
случз® следуем® мы правиламЬ геометре и,
которые припомощи ариеметических®
выкладокЪ разрешают® намЪ всЬ сомни-
тельные случаи, но чтобЪ лучше выразу-
мЪть предлагаемые вЪ сей глав® выклад-
ки означающее собою мЪру прсстрансгпвЪ ,
то мы представим® себВ какую пи-
сать вещь занимающую пространство

длину , ширину и высоту > напрлмВрЪ
дерево гладко и равно выдЬланвое сЬ

М 4	шести

COQ

Co)

UjpqmH сгпоронЪ одна другой равныхЪ и вЬ
ёдинлко^омЪ p З'ПГСЦ’пи пргтиаоп 1ло«
акенныхЪ; у чтсбЪ намЪ сыскап-ь вели-
чину п.юсглрячства того дерева вЪ дличу?
ЩЛСИ1 у и Bhjqomy , шп мы для щго
розчедЪ ьЪ тому п.исшойную м^ру, по
сешц коти.раябЪ 'Ъ меряем» ю 'tigrio бы®
да одного раду ; НапримТрЪ корда мы
положимЪ какое пространство вЪ одну
длину, или одну ширину, либо одну вы*
Сету, гпобЪ и мЪра была такова свсйства,
которая бы могла выбривать просшр.жг
ство «Ъодиу только сторону; и такая мЪ-
ра вЪ геометрии обыкновенно называется
динецная н£рэ ; нацримБрЪ линейная са-
жень, лгпейнси футф и прочая. Теперь
ролОж *м!> пространство труо дерева вЪ
длину, ширину и высоту пр 2 фупц
ЛинецныхЬ, а чтоб]? намЪ угнать , сколь«
цо одна того дерева сторона простираю»
гяся Bwtcfmb (ф длину и ширину имЪепф
вЬ себф простирэЮ1Ц’>Х'Я «Ф длину и
ширину ф/тЪ; то цуцеже такое простран-
ство вЫдетЪ , корда мы представимЪ
себЬ , что двуфутнад линея стоймя на
другой передвинута на два фута; и какЪ
она чрезЪ то опищ-тЪ такое прсстран*
ство; кот орг с вЪ длину и ширину имЪ-
етЪ по 2 фута; чего ради умножаемЪ мы
Пространство такова дерева вЪ длину

линей*

(о)	ЙОГ

дИНеиныхЪ фута прост ранетовом^ вфщи«
рину 2 же линейными футами , то прцч
ИЗз"Дшяс опф того 4 показываешь намф|
Что сторона того дерева вЪ длину и ши-
рину прОСГПИрРЮЦрЯСЯ, ИЛИ П00бы«Н0Т|ДН-9
рому нознашю плоскость , либо ид (Щд1>
П»ой стороны содержишь вЬ сзбЬ 4 ф длцау
И ширину простир jojjcxch, или КЕалрлт-
в^1чЪ футЪ, потому чшо вЬ г?онетр1ц
пространство в!} длину вм£с <ф сЬ ширич
рою имеющееmb длину и ширину равные,
называется квллрашЬ» и гаакЪ мы опф
сего знаемЬ , что мЪрг потребляя кЪ из-
мЬренцо прлстранствЪ вЬ длту вмЬсщВ
сЬ ширинок» называется мЬра квадрат-,
пая* или площадная: наприм^рЪ,квлдрдгп-
ная сажень, {^.аадратной фупф, а понеже
мы и высоту дерева полагаечЬ вф 2 же
линЬйцыхЬ фута ; и та»ф когда
представичЬ сёбЬ , что прежде сыпан-
ная наци плоскость или сторона дереву
вЬ д квадратныхЬ фута подвинулазь ра-
рнычЬ движенимЪ вЬ высоту на з фута;
то пространство, которое она пергЙдетЪ»
равно будещЪ тому, которое зяаимаещф
дерево г то есть пространство вЬ длину*
Ширину и вымощу, Посему чтобЬ сыскатв
намЬ cie пространство, то мы уцножимЪ
4 квадратныхЪ фута переходящую erq

линейными футами, то сени простран-»
М s	сшвомЪ)

сшвомЪ вЬ высоту , которое помянутая
плоскость описываешЪ; то отЪ того вы-
детЪ произведение или искомая величина
пространства вЪ длину, ширину и высоту,
предложеннаго вЪ нашемЪ примЪрЪ дерева
8 вЬ длину, ширину и высоту совокупно
простирающихся или кубичныхЪ футЪ;
потому что вЬ геометрии пространство
вЪ длину , ширину и высоту одинаковой
величины называется кубЪ; и такЪ отЪ
сего знать можно, что мЪра пространсщвЪ
вЪ длину вЪ мЪстЪ сЪ шириною и высо-
тою называется мЬра кубичная ; напри-
мЪрЬ кубичная сажень, кубичной футЪ и
прочая»

ОпредЪлеше.

145. Пространство вЪ
одну длину протянутое
называется линея , а число
выражающее его величину
именуется радиксЪ. А ежели
мы представимЪ себЬ та-
кое

(О)
♦

кое пространство, у кошо-
раго есть длина и ширина
равные между собою, и
стоятЪ одна на другой пря-
мо , то cie пространство
называется квадратЪ, а чи-
сло выражающее его вели-
чину въ мЪрЪ или лучше
сказать число само собою
умноженное называется ква-
дратное число или просто
квадратЪ: напримЪрЪ про-
странство въ длину и шири-
ну стоящихъ одна на дру-
гой прямо имеющее по 5 Фута
будетЪ квадратЪ; а произве-
дете изЪ числа з умножен-
наго



Наго само собою означающее
величину итого простран-
ства въ мЪрЪ, шо есть 9
квадратныхъ футЪ назы-
вается число квадратное ;
или просто квадратЪ. 1?ро^
сшранство, которое имЪетТ?
длину, ширину и высоту
равные, и прямо одна на
другой стоящее называется
кубЬ; а число выражающее
величину такого простран-
ства вЪ мъръ называется
число кубичное или просто
КубЪ: наприм'ВрЪ ежели взят?»
какую вещь , у которой
длина, ширина и высота
про-

Простираются на s Фута 9
и сшоятъ одна на другой
прямо, то с1я вещь будетЪ
кубъ; а-число выражающее
полную ея величину подли-
нъ, ширин! г»и высот!, то
есть число я? кубичных!
ФутЪ ; называется число
кубичное или просто кубЪ.
Вообще называется радиксъ:
ваприм’ЬрЪ $ перьвая степень
сего числа, квадратное чи-
сло напримЪрЪ 25 вторая
степень числа 5; кубичное
число напримЪрЪ 125 третяя
степень числа 5, и такЪ
дал$е; налрошивЪ того чи-
‘ . Т	ело

ело невозвышенное или ра-
диксЪ напримЪрЪ 5 вразеу-:
жденш своего квадрата 25
называется радиксЪ квадрат-
ной, а то же число 5 враз-
су жденш своего куба 125
называется радиксЪ кубич-
ной.	’

ПримЪчанге.

Т44.. НВтЪ такова пространства на
свЪтЪ , которое би могло имЪть больше
шрехЪ сихЪ измЪренгй, а имянно вЪ дли-
ну * ширину и высоту ; чего ради мы и
возвышен!я чиселЪ и то только такихЪ,
которые означаютЪ мЪру пространствЪ.не-
иолагаещЪ больше какЪ только вЪ третью
степень , вЪ прочемЪ числа неозначающ'ю
ни какихЪ вещей можно возвышать До
четвертой, пятой степени и такЪдалЪе;
во понеже такУе возвышения чиселЪ вЪ
простой геометпр!и рЪдко употребляются;
того ради мы заблдгоразсуждаемЪ и но

«зЪ«

изЪясмяшь здЪсь того вЪ такихЪ онВ
случаяхЪ употребляются.

т /л • Положен1е.

145. Математики постпупаютЪ
вЪ выражении возвышаемыхЪ чиселЪ
двояким h образомЪ , или возвыта-
ютЪ ихЪ действительно вЬ требу-
емую степень, либо невозвышая ихЪ
сшавятЪ надЪ возвышаемымЪ числомЪ
вЬ правой сторонЪ цифру означаю-
щую требуемую степень: на примБрЪ
радиксЪ 5 — 5*; квадратное число
2$ — 5*, кубичное число 125— и
с1и выражения чиселЪ выговаривать
можно такимЪ образомЪ, радиксЪ 5 ,
равенЬ 5 степени перьвой, квадрат-
ное число 25 , равно 5 степени
второй, кубичное число 125 равно
5 степени третей.

Опре-

;(д')

1 ОпредЪлен!е. J

146* Возвысишь число вЪ
Желаемую степень есть не-
что иное , какЪ умножишь
его самого собою до пгЬхЪ
порЪ , пока выдетЪ требу-
емая его степень: . напри-
мЬръ возвышеше числа 4,
въ третью степень есть
4. ,4. 4^64—4; а извлечь
радиксЪ изЪ числа данной’
степени есть не иное что,
какЪ сыскать чрезЪ дЪлеше
такое число , которое еже-
ли умножить нисколько раз!»
само собою 5 то оно про-

изведешь

( о )	209

введешь число равное чи-
слу данной степени: напри-
мЪрЪ извлечете радикса
кубичнаго изъ числа 64
есть (6 4: 4): 4 = п5 ‘ 4 — 4*

ПримЪЧаШе,

14Л. Д'Я СкорЪйшаГо йзялсчевтя радйк-
СОвЪ надооио выучишь следующую Шаб-
липу.

радиксЪ	t	2	3	+ 5	б	7	Я	9
квадратЪ	1	4_	9	l6i2 5	Ь_б_	+ 9	4	*н
кубЬ	1		’7	641 *2,	^26	41	>1	2 9

Положение.

14$. Мы можемЪ бозвышашь чи-
сла двоякимЪ образомЪ, или умножая
данное число само собою цЬло, либо
раздЪливЪ его на двВ равные или не- t
равные части; потому что вЪ обо-
ихЬ случаяхЪ возвышения одного чи-

Н	ела

ела вЪ желаемую степень выдутЪ
одинаковы : наприморЪ.

8

8

61

8

___6+2

_ZZL 6+2

36+24.+4.

6+2
12+18+8
2 Тб+Т i Д-+24-
512	216+216+12+8

А что касается до и^влечешя радик-
созЬ, то математики для лучшаго
ис толкован! я теорш его всегда раз •
дБляютЪ радиксЪ на двВ части и назы-
вают!) его радиксомЬ двучастнымЬ.

Теорема.

164,. Квадратное число
радикса двучастнаго состо-
ишь изЪ квадрата перьвой ча-
сти изЪ двойнаго произведе-
ния

шя перьЕСЙ и второй чз сти ум.
ножаемыхЪ между собоюиизЪ
квадрата второй части.

Доказателыство-

Квадратное число выходитЪ, ко-
гда радиксЪ самЪ собою умноженЬ
будетЪ ( по § 143 )а мы полагасмЪ
радиксЪ рздзВлснной на двЬ части,
пзакЪ вЪ семЬ случаВ, для получения
кгадрашнаго числа такого радикса,
надобно каждую его часть умно-
жать не только саму собою, но
и другою частью, вЪ силу правила
умноженТя ( § ?О ) бЪ коемЪ мы, для
получен!я кзданныхЪ двухЪ чиселЪ
пропзведснзя, умножаемЪ всЪми часть-
ми множитслег.ыми всЪ части множи-
маго числа , то таквмЪ сбрааомЪ
и, пртуммоаснш радикса двучастнаго
самаго собою, квадратное его чмс^.о

Н 2 состоять

сосгпоятьбудётЪизЪ проиЗведен!я перь-
р о л части самой насьбя, пю есть изЪ
ся квадра па, изЪ произведения перьвой
части на вторую, изЬ произведена вто-
рой части напервую, иго есть изЬ двой-
ка! о произведения перьвой и второй
4асти умножаемыхЬ Между собою ,
и изЬ произведения второй части са-
мой на себя, то есть изЬ квадрата
второй части;

Теорема.

I	:	х

>50. Кубичное число ра-
дикса двучасшнаго состо-
ишь* изЪ куба перьвой ча-
сти, изЪ тройнаго произве-
денья квадрата перьвой ча-
сти на вторую, изЪ тропна*
го произведения квадрата
второй

Co)	aB

рттторой части на перьвую и
изЪ куба второй части.

Доказательство.

Кубичное число произходитЪ ;
ржела умножишь квадратЪ его радчк-
рсмЬ 5 но квадратЪ радикса двуча-
стнлга сострит Ь пзЪ квадрата перь-
вой части , изЬ двойнаго произведе-
ния происходящего огпЪ умноженТя
перьвой и второй части между со-
бою и изЬ квадрата второй части,
чего рии ежели умножить квадрат-
ное число рад,дкеа двучасшнаго его же
двучастнымЬ р’диксомЪ, то вы-
детЪ вЪ такрмЬ случаЪ кубЬ радик-
са двучастнаго состоящтй изЬ ку-
ба перьвой части, изЪ гпройнаго про-
мзведен!я квадрата перьвой части на
вторую, изЬ гпройнаго про^зведежя
квадрата второй части на перьвую
и изЬ куба второй части.

Н s Зада

Задача.

151.	Ежели задано бу-
дешь число выражающее мЪ-
ру какого пространства вЪ
длину и ширину , то есть
квадратное число то какЪ
извлечь изЬ него радиксЪ,
то есть сыскать число вы-
ражающее величину сторо-
ны квадрашнаго простран-
ства подающейсд вЪ одну
только длину, или вЪ одну
только ширину.

рЪшен?е и Доказательство.

Данное число разделить должно
на класы , начиная сЪ правой сто-
роны

роны кЪ лЪвой , п полагая вЪ каждой
класЪ по двЪ цыфры ; потому что
никакого одинакаго числа квадрашЪ
6о аьше двухЪ цыфоЪ вЪ себЬ имЬть
не можетЪ ( по § *47) только при-
пюмЪ надлежигпЪ знать, что иногда
вЬ крайней сЪ лЪвой стороны класЪ
останется одна только цы фра ; и
насколько класовЪ заданное число
раздЬлигпся , то столько будетЪ ча-
стей радикса , и какЪ вЪ крайнемЪ сЪ
лЪвой стороны класЪ будешЪ ква-
драшЪ крайней сЪ лЪвой стороны
части радикса , то для того надобно
взять такое квадратное число, кото-
рое бы или равно было заданному, либо
бы его не много меньше , сЪ тЪмЪ на-
блюденсемЪ , чшобЪ всякое квадрат-
ное число больше отЪ взятаго нами
было бы больше и того, изЬ когпо-
раго мы вычитать должны квадрат-
ное пиело , потомЪ сысканное та-
кимЪ образомЪ квадратное число
Н 4	вычесть

Вычесть Xisb заданнаго числа , ц
радиксЪ его поставить за линсйксю
сЬ правой стороны заданнаго числа,
то такимЪ обр.'ЗомЪ вычшемЪ мы
квадрашЬ перьвой части радикса дву-
часшнаго, »сыщемЪ его радиксЪ, шо
есть первую часть радикса двуча-
сшнаго; потомЪ придать кЬ остатку
( ежели какой будетЪ) отЪ вычнта-
нТя квадрата перьвой части следую-
щей класЪ, и умноживЬ цыфрою 2,
сысканной радиксЪ надлежит!? смот-
ре ть , сколько разЪ содержаться мо-
жет!? cie произведемте вЪ той суммЪ,
кромЪ крайней сЪ правой стороны
цьфры, которая отдЪлястся для под-
сшазденТя подЪ нес остальной части
квадрата радикса двучастнаго, и число
означающее то количество поста-
вить подлБ сыска ннаго радикса, кото-
рое будетЪ нечто иное, какЪ вто-
рая часть радикса, коею ежели у мно-
жить вЪдвое взятую перьвую частьра-
дикса *

^икса , nio произведен^ отЪ того
будетЪ двойное произведете перьвой
и второй частей д=учасгпнаго радикса
умножаемыхЪ между собою, которое
произведение ставимЪ мы подЪ тою
суммою начиная отЪ другой цьфры
сЪ правой стороны , и какЬ теперь
уже останется, кЪ полному извлечем
ц!ю двучасшнаго радикса изЪ его ква-
драта, вычесть только квадратЪ вто-
рой части , гпо мы, взявши квадратЪ
второй части , ставимЪ подЪ тою
суммою, начиная сЪ правой стороны
кЪ лБвой подЪ перьвою цифрою, от-
деленною omb суммы точкою, по-
томЪ , сложивши его сЬ двойнымЪ
произведенТемЪ изЪ перьвой части на
вторую вычишаемЬ ихЪ сумму иэЪ
преждепомянутой суммы , то та-
кимЪ образомЪ выдетЬ искомой ра-
диксЪ даннаго квадратнаго числа;
ежели оно состоишЪ только изЪ
двухЪ класовЪ; а ежели вЬ немЪ бу*

Н 5	детЪ



детЪ больше двухЪ класовЪ, то вЪ
такомЪ случаЪ извлеченной ра-
диксЪ изЪ двухЪ класовЪ почесть
должно за перьвую часть раД’кеа
двучастнаго , коего второю часть
извлечь должно взЪ третьяго класа •
а ежели будетЪ еще и болЪе класовЪ,
то'поступит» сЪ ними также, какЪ
поступлено прежде сЪ горетьимЪ
класомЪ: все cie изЪ нижсслВдующаго
примЬра ясно видЬгпь можно ; ежели
ьадобно будетЪ сыскать стерону
такого равностороннего поля , ко-
торое простирается на 116(764. квад-
ратныхЪ саженЪ, то посшгг.игпь вЪ
толЪ слЬдующимЪ сбр^зомЪ.

ква. ра. двуч. и. 69.^4 | 342 радиксЪ
ква. 1. ча. 9

6 I 269

ДВО. про. 1.Ч.Н.2. I 24.
ква. 2. ч.	15

2 f 6

68 [1364

ДВО. про!, ч. Н. 2 I г36

ква. 2.ча.	4

и та-

и такимЪ образомЪ сыскалось чрезЪ
извлечение радикса кзадратн iro ,
что сторона того поля вЪ длину
или вЬ ширину имБетЪ 542 диней-
ныхЪ сажснЪ.

Задача.

152.	Ежели задано бу-
детЪ число выражающее мЪ-
ру какого пространства въ
длину, ширину и высоту
или глубину, то есть ку-
бичное число, то какЪ из-
влечь изъ его радиксЪ, то
есть сыскать число выра-
жающее величину стороны
куба подающейся вЪ одну
только длину, или въ одну
только

только ширину, либо въ од-
ру рюлько высоту.	Ц

рВшен!е и Доказательство.

Разделить данное число на класы,
начиная cb правой стороны кЬ лЪвой, ।
и полагая вЪ каждой класЪ по п ри
Цыфры , потому ч по никакого оди-
накаго числа кубЪ больше трехЪ
цыфрЬ, вЪ себЪ имЪшь не може nb
( по § >47) только притомЪ надоб-
но знать , что иногда вЬ крайней
сЪ лЬвой стороны класЪ остается
одна только или двЬ ць.фры , и на-
сколько заданное число разделено бу-
детЪ клцсовЬ, по столько оно частей
радикса вЪ ссбБ имЪетЪ • а понеже вЪ
крайнемЬ сЪ лЪзрй стороны класЪ
будетЪ кубЪ крайней сЪ лБ^ой сто-
роны части радикса , то для того
НадлежитЪ взять такое кубичное
число > которое бы или равно было
заданному

заданному, либо бы нс много его
меньше, сЪ шЪмЪ наблюдсн1емЪ,
чтобЪ всякое кубичное «шело боль-
шее отЪ взятаго нами было больше
и итого, изЪ котораго мы вычитать
должны кубичное число j пои;омb
надлежйтЪ сысканное такимЪ сбра-
эомЪ кубичное число вычесть изЬ
даннаго числа, и радиксЪ его поста-
вишь залинейкою сЪ правой стороны
заданнаго чис ча , то такймЪ обра-
зомЪ вычтенЪ будетЪ изЪ заданнаго
числа кубЪ перьвой части ‘радикса
двучастнгГо , и сыщется его радиксЪ,
то есть перьвая часть радикса дву-
чястНаго, ПослЪ сего придать кЪ
остатку (ежели какой будетЪ) опЪ
вычитан1Я куба перьвой части слБ-
дующхй класЪ , и умноживЪ сыскан-
ной радиксЪ сЪ перьва самЪ собою,
а потомЪ тремя , смотрЬть , сколь-
ко разЪ содержаться можетЪ cfe
произведена вЪ той суммЬ, кромБ
двухЪ



222

(О)

двухЪ крайнгхЬ сЪ правой стороны
цыфрЪ, которые отделяются точ-
кою , для подстпановленья подЪ нихЪ
друге.хЪ частей куба радикса дву-
частнаго , и число означающее то
количество поставить подлЪ сыскан-
наго радикса , которое будетЪ не-
что иное, какЪ втор 1Я часть радикса,
которою ежели умножить втрое взя-
той квадратЬ перьвой части радикса,
то произведена omb того будетЪ
тройное произведен^ квадрата перьвой
части на вторую, которое произве-
дете ставимЪ мы полЪ тою суммою,
начиная omb третьей цифры сЬ пра-
вой стороны , потомЪ слВдуетЪ
взять квадратЪ второй части радикса,
и утроивЪ его умножить перьвою
частью, то произведете отЪ того
будетЪ тройное произведете квадра-
та второй части на перьвую, кото-
рое поставить 'должно подЪ тою
суммою, начиная ошЬ второй цифры

cb правой стороны, на консцЪ теперь
остается взять только кубЪ второй
части , которой ставимЪ мы подЪ
суммою, начиная отЬ перьвой цыфры
сЪ правой стороны , и сложивши
тройное произведен^ квадрата перьвой
части на вторую, тройное произве-
дена квадрата второй части на перь-
вую и кубЬ второй части вЪ одну-
сумму у вычесть се изЪ заданнаго
числа , то такимЪ образомЪ выдетЬ
искомой радиксЪ кубичнаго чгсла ,
ежели оно состоитЪ только изЪ
двухЪ класовЬ ; а ежели будетЪ вЪ
немЪ больше двухЪ класовЬ , то
вЪтакомЪ случаЁ извлеченной радиксЪ
вэЪ двухЪ класовЪ почесть должно
За перьвую часть радикса двучастнаго,
ксего вторую часть извлечь должно
изЪ третьяго, а ежели еще и болЪе
ихЪ будетЪ, то поступать сЪ ними
также , какЪ поступлено преже сЪ
трешьимЪ класомЪ ; все cie изЪ

ниже

НижеслЪдуюцу.го примера усмотрит!»
можно ; ежели ндаобно будетЪ сы-
скать длину, или ширину, либо высо-
ту такого тпЬла , которое по всЬмЪ
симЪ прошяжен/ямЪ содержитЪ вЪ
себЪ i16622 саженЪ й 342 фута ,
кубичныхЬ или 40001688 кубичныхЪ
футЪ , то поступать вЪ томЪ
сл'ВдующямЪ образомЪ.

кубЬ ра: двуч. 4.0. ooi. б88| И2 раДик.

куб. т. час. 27

втр. вз.к. i. ч. 2*7 13001

шр.пр к.1.ч.на.2 Ю8

Игр.пр.к.2.ч на I. 1

кубЪ 2. ча. 04
12^4--
втр. вз. к. г. ч. з 1-681 697688
jnp. ир. к. I. ч. на. 2.| 6936
тр. пр. к. 2 ч. на I. 408
куоЪ 2 части	8

691688

теперь мы, отЪ извлечешя кубичнаго
радикса знасмЬ , что заданное шЬло

про-

Г ~

npoemtspi естся какЪ ьЪ длину» такЪ
ширину и высоту на $4 2 линсйныхЪ
фута, или на 4g СайкенЪ и б футЪ
иинсйныхЪ

Примяв чав)е*

15$. Ежели при извлечевьи радикса оа-
дратнаго случится, что яЪ остальных!)
и приданвыхЪ ЧислахЪ двойное проиаведе»
Hie перьвой части на вторую» и квадрат!)
ьтсрой части содёржатьгя не можетЪ*
или при ийвлечен1и радикса кубичнаго
тройное произведение квадрата Перьвой ча*
tfflu на вторую, тройное произведенье ква»
дрэтавторой части на перьвуго, ИкубЪвтО*
рой Части содержаться не можетЪ» товЪ
ШакомЪ СлуЧаЬ задать должно Вторую
Часть радикса НОлемЬ * и продолжать да»
лЪе извлечение радикса*

ПрииЪчаНхе

»Уф. Ой правила и Зв лечен) я кВаДрзт»
Hafo и кубичнаго радйКСовЪ служатЪ mooted
ПритакиХЬ ОИсЛахЪ^ изЪ котОрвтхЪ радиксЪ
извлечь МоЖйо безЪ остатйаз й ё^ели
случИтеЯ такой нвздрЗтЪ, иай кубЪ*у Кот 

О	₽лК»



ррго послЪ извлечевтя остаметйся еще ка*
кое числе; язЪ коего радикса извлечь на
льзя , шо вЪ такомЪ случаЪ должно из*
вдекашь радиксЪ изЪ заданнаго числа спо-
ссбсмЪ приближенья, которое вЬ слЪду*
ющяхЪ за симЪ предложешяхЪ о десяти?*
нои мЪрЬ или десятычныхЪ дробяхЪ по*
казано, и вразумительнее будетЪ,

ПрииЪчан?е,

tss- Всйкбй народЪ вЪ измЪрен!и прост*
ранствЪ имЬетЪ особливую свою мВру какЪ
' напримЪрЪ наши россияне имЪютЪ сажень,
которая разделяется на сЪмьфутЪ, футЪ
на двенадцать дюймовЪ или долей, дюймЬ
на двенадцать линей или Граней , ликея
на двенадцать скрупблей. НЪмцы употре-
бляют!) руту, которая разделяется на
двенадцать футЪ, футЪ на двенадцать
дЮймовЬ, и такЬ дал$е. ФранЦузы имгютЪ
тоазЪ , которой разделяется На шесть
футЪ, футЪ на двенадцать дюймовЪ, и
такЪ далЪе. А геометйры напротивЪ того
для способности вЪ выкладкЪ каждой
свое;5? земли иЪру разд"ЬляютЪ на десять
частей, то есть саженЪ или руту, либо
гпоазЪ на десять футЪ, футЪ на десять
дюй«овЪ, итакЬдалЪез и потому называ-
юсь такую кЪру геометрическою} или
деся-

^есй-пичйою м!рою; либо десятичными
ДОЛЯ 1 и.

ОпредЪлеШе*

156. Десятичная мЪраили
десятичные дроби сушь ша-
к!е дроби, которые имЪюгпЪ
у себя знаменателя единицу и
при ней столько нолей, сколь-
ко числитель имЪетЪ ць Фрт;
и для того подЪ такими
долями не ставятся знамена-
тели, а пишутся только одни
числители; передЪ которых Ь
цыфрами ставятЪнЪкошорые,
точку, для различая ихЪ отЪ
цЪлыхЬ чиселЪ( ежели как‘1е
будушЪ) друrie вЪ шомЪ же на-

О 2 ]У}Ъренп1

2йЗ	(О)

мЪрен’ш означаютЪ цЪлые чт
ела нолемЪ, а десятичные до.
ли Римскими цифрами, и ста.
вятЪнадЪперьвою цыФроюсЪ
лЪвой стороны перьвуюРим.
скую цифру I, надЪ второю
другую и прочая: напримЪрЪ
ежели надобно написать 5 «’
руты, или 4 руты, то вы-
ражаются такте числа слЪ-
дующимЪ сбразомЪ 5. 4 и
4- о б, или 7 у и у у;
но перьвое означеше лучше
послЪдняго

СлБдствТс.

«57- ИзЪ сего слЪдуетЪ, что
вЬ десятичныхЪ доляхЪ перьвая циф-
ра

pa сЪ правой стороны означаетЪ ,
десятые части, вторая сотые, третяя
тысячные и прочая , пю есть 4. 284
-—-4' I >ООО "“I 1001^'Н2"^ и*

СлЪдств1с.

158.	Понеже всякой дроби величина
неперемЪняется, ежели умножить
какЬ числителя, такЪ и знаменателя
ея однпмЬ какимЪ числомЪ (по § 48J
то по сему будетЪ. i~ioszioo
—leezriwj и прочая ; слЪдовательно
количество десятичной дроби не»
увеличивается , ежели прибавить кЪ
ней сЬ правой стороны одинЪ или
нисколько нолей, по сему также из-
вестно , что 2 8 больше , нежели
2. 79 , также больше нежели 2. 799,
потому что 2. 8 ~ 2,5 а 2. 79 — 2
8/9 И 2. 799---2 *353’

О 3

Зада-

Задача.

159.	Ежели задано бу-*
детЪ сложить между со-
бою десятичные дроби, или
вычесть одну изЪ другой 7
ню как$ рЪпщшь шак!е за*
дачт

рБшен1сч

Сложить доли одинакихЪ зна*-
менатсл?й , то. есть так!с , коню-,
рые имЪютЪ вЪ числителя^Ъ сво-
ихЪ оз?«ачак?щ1е одинакую мЪру
цыфрыг и тогда складывать дроби
одну сЬ другою, или вычитать
одну иэЪ другой, а цЪлые числа
складываются между собою и вьь
читаются одно изЪ другаго обык-!
ровеннымЬ образомЪ: на иримБрЪ

СЖСЛЦ

гжели надобно будетЪ сложитпь'дро-
би 4. 568, о$8б, 62. I j пю посту-
пить вЬ томЬ слЪдующимЪ обра-
зомЪ»

4.56	6 — 4 I*S55

.О3 8(5 ZX 5*553

62.1	~ ба, jsesa

6 6. усбб	бб <6363

Или ежели требуется вычесть б.
583 изЬ дроби 9. 436, то поступить
вЪ томЪ такимЪ образомЪ.

р. 4, 3 б — 9 13«о

6. 5 8 $ б 563»	/

а. 8 5 3 rs 2 5563

ПрихЪчаяХе
« ’,

5бо, При сложенКи и вычитанТи десзтичг«
ныхЪ долей примЪчать надлежит!, чшобЪ
не только наприм'ВрЪ руты сЪ рутами э
футы сЪ футами складываны , также
руты из! рутЪ и Футы изЬ Футов! вычи-

О 4

шаемы были % во чтобЪ пришомЪ Гы му
щЬ руты» иди футы одной лин5.1нойг
дали одной квадратной, либо одной ку-
бичной нВры j а при умножении можетЪ
умножаться не только линейная MFpa
линейною, но и квадратная линейною ;
ВПрцдйлещи дЪлнпкя квадращнаяи кубич-
ная мЪра на линейную также кубичная
Вд квадратную»

Задача.

Ежеди задано будешь
умножить, иди раздВдить
десятичные дроби одну на
другую, шо какЪ поступать
лришакомЪ случаЪ.

рБшснгс.

НадлежитЪ умножишь одну дробь
другою, такжеицЪлые числа (ежеяи
будутЬ), какЪобыкновенно дВласотся
при умноженги цЪлыхЬ чиселЪ, а вЪ
праиавсдеши начинал сЪ правой сто-

роны

роны отчесшь столько цыфрЪ, сколь-
ко вЬ множимомЪ числЪ и вЬ множи-
тесь находится цыфрЪ означающихЪ
доли , поставить нодлЪ нихЪ точку,
д^я раЗличТя отЪ цБлыхЪ чиселЪ. По-
дсбнымЬ образомЪ поступать должно
и прлдЬлбнхи десятичныхЪ долей ,
какЪ в при цБлыхЪ числахЬ, кромЬ
ч.по вЪ часгпномЪ числЪ должно
отдЪлить точкою сЪ правой стороны
столько цыфрЪ, сколь больше вЬдЪ-
лимэмЬ числЪ, нежели вЬ дЬлителЪ
«ходится дольныхЬ цыфрЪ. На оба
chi правила примЪры здЬсь слБду-
ютЪ.

примЪры

умножения

4- 12.	а. 454*

7	о. соу

2Ь Ь4^	7^626

12^6	1*27’0

"ц. а*4	-"00400726

О < примЪ-

г И



примБры

§.22{8.44

644.

дЁ>лен!я

978

19? 2

5Н

2282

2282

ПримЬчанхе.

162. ВЪ десятичной лилейной мЪрЪ.
означаются сажени, руты и тоазы чрезЪ
о, футы чрезЪ 1а.дюймы чрезЪ II, линеи
ЧрззЪ III, с«рупули чрезЪ 1У и прочая?
Наприм^рЪ шестнадцать рутЪ, вэсЪмь
футЪ, девять дюймоьЪ и четырЪ гоани
лияейныхЪ. Означаются такЪ °. xL Ji С?

16	8 р 4

С1И знаки когда употребляютЪ нБкото-
рые вЪ квадратной и кубичной мЬрЪ, то
выговаривать ихЪ такимЬ обрадомЪ. Цыф-
ры озяаченные знакомЪ о , называютЬ
квадратными рутами, означенные знакомЪ
I рименЪ рутами, означенные знакомЪ
II квадратными футами , означен-
ные знакомЪ III рименЪ футзми, означен-,
fihie знакомЪ IV квадратными, целями >
означенные

0зч*’<епные знаком! V римем! ц оляии и проч
мая, a th куеичнси к'ЬрЬ п,&ф,?ы стоящхе
ПОдЪзнакомЪо назывгю:пЬкуб;:чны-’и рута-г
ми3 подЬ знаке.'-Ъ I шахт!рутами, псдЬэна-
ромЪ 11 СалчспЪ рутами, по -! ан «комЬ III
кубичными футами, позЪзнаКОмЫу тахтЪ
«Ъута^г, no -h знллемЪ V ба «к* нЪ фуигамн:
 .о « И ns VI Vr V»

вапримЪ'рЪу W V 5 \ квадратной
эРВры выговаривают! дбЬ кьа/р иг кг pyt
ты, чгтырЬ рименЪ руты, ше'ЩЬ квадрат-
ных! футЬ, восемь ркмгнЪ ф“/тЬ , пять
квадратных! цзлей девять ркмеч! нолей Ц
двЪ КЕаг’ратныегранп,п LL’J LX- XL.
кубиичппй мЪоы выговарлв ю'пЬ сВчь ку-
бичвыхЪ’ рутЪ. Пять шчхтЬ рутЪ , во-,
семь балкемЪ рутЪ, два кубичных! фу-
та, три ipayu Ь фута, шесть баЛкевЪ
футЬ и че«1ЫрЬ кубичных! Ц’ля ; но
такая забота вЪ разбираи’ш десятичной,
квадратной и кубичной мЪры кажется из-
лишняя и безполсзная j потому что она
СверьхЪ дру pixb неспособностей положенное
отЪ всЬхЪ машемашиковЪ постоянное
наименованы знаков!} сей мЬры уничто-^
жает!; а лучше бы следовать прим'Ьру поч-
ти вс^хЪ авторов!?; которые вышеписак-
ную квадратную и кубичную мЬру пишутЪ
V4	И у. 8^,36^ибЫГО.

варигаютЬ такимЪ сбргзомЪ: Два милюна,
четыре ста шестьдесят]} восемь тысячь
Цяри comb дсвяцосшо ДБ$ квадрат^
ЦЫхЬ



ныхЪ грань# , или отличая большую мЪру
отЪ малой , двЪ руты сорокЪ шесть футЪ
восЬмьдесять пять цолей ц деьянссто
дв!} транш квадратьЫхЪ, также сЬыь
лилюновЬ пятьсотЪ восЬмдесять двВ
тысячи триста шестьдесятЪ четырВ
цоля кубичнь.хЪ , или сЪмь саженЪ
иятьсотЪ восЪчдесять два фута и три-
ста шестьдесятЪ чепьььрЬ цоля кубич-
ныхЪ ; а такой способЪ означения и вы-
говаривайся квад раной и кубичной мЪры
для меня да и для другихЪ кажется мнЬ
легче ; поточу что ьсо авторы его вЪ
своихЪ книгахЪ употребляюшЪ.

Примечанье,

16?. Такое легкое приведете большей
мЪры вЪ меньшую и меньшей вЪбольную
служитЪ только вЪ десятичномЪ р.здЪ-
лен!и , гдВ всякая большая квадратная
мЪра содержишь вЪ себЬ изЬ меньшей
мЬры по сту частей , также всякая
большая куб'чная мЪра содержитЪ вЬ се-
бЬ изЪ меньшей лИвры по тысячи частей;
напротивЬ того ежели будетЪ квадрат-
ная или кубичная мЪра не по геометри-
ческому, а по народному разделенью, то
вЪ такомЪ случаЪ большая мЬра вЬ мень-
шею и меньшая вЪ большую приводится

не такЪ

не гпакЪ лехко. Потому что вЪней число ча-
стей меньшей квадратной или кубичной мЪры
содержащейся вЪ болшей несостоитЪ ни
изоста ни изЬ тысячи, но изЪ другаго числа:
на примЪрЪ ежели бы надобно было сы-
скать, сколько такое пространством мЪеигЪ
вЬ себЪ квадратныхЬ саженЬ футЬ у
коего длина вЪ 4 сажени и пять фу mb,
а ширина вЪ 5 сажени и 6 футЪ, то при-
ведЪобВ сьи мЪры вЬ меньшую, то есть
вЪ футы получимЪ длину вЬ 3? фута,
а ширину вЬ п футЪ; нежели умножить
ci и числа одно другимЬ, то выдетЪ ,
о mb того произведенье 891 кьадратныхЪ
футЪ, или , пораздЪленги сего числа на
49 > то есть число квадратныхЬ футЪ
содержащихся вЪ квадратной pocci Некой
сажени , будетЪ ig саженЪ и s футЪ ква-
дратныхЬ , а ежели на вышеписанномЪ
пространств!) взведена будетЪ стЬна гы-
согпою вЪ я сажени и шесть футЪ или
вЪ 20 футЪ, то, чтобЬ узнать, сколько
»Ъ ней кубичныхЪ саженЪ и футЪ, надоб-
но умножить »8 саженЪ и 8 футовЪ
квадратныхЬ или 891 квадратныхЬ
футЪ, го линейными футами ; отЪ чего
выдетЪ произведете ngzo кубичныхЪ
футЪ; а пораздЪлешГи ихЪ на 34? » то
есть число кубичныхЪ футЪ, находящих-
ся вЪ кубичной сажени, будетЪ всего

йЪ mm# стп^нБ ji. сажень и 527 $ymtj
ky 6’141. hl xb.

Прим’Ьчан iei

1б4< Всякому известно, что выше-
Писанный прави,а с'.ожешя, вычитанья,
умножения и дЪленья десятичяыхЪ долей
с ,ужатЪ только вЪ такомЪ случай, когда
мЪр.а пространствЪ какого народа разпс-
Ложеча будетЪ подесятинному раздЬленпо;
напротив!) того ежели мЪра у потреблена
будетЪ необыкновенному вЪ народЪраз-
дВлез1Ю, товЬ такомЪ случзЪ ейи правила
негодяпкя, а надобно будешЪ производить
потребныя дЪйспнЯя сЬ такою мЪрою вЪ
болыпихЪ и малыхЪ ея часшяхЪ по прави-
ламЪнепремЪнчыхЬдолеЙ(по$ч4.7 5.7<5. 77.)
Я иг мало удивляюсь тому, что матема-
тики для мЪрЪ располагаемыхЪ подеся-
тинному разделение полагаютЪ не только
особые правила, но и особую главу,
хотя ихЪ можно также складывать.
вычитать умножать и дЬлигпь какЪ и
прочГе непременные доли понаписан-
выпЪ о сихЪ доляхЬ правилахЪ, что вся-
кой читатель чрезЪ опыт!» усмотреть
ЬаожсгпЬ^ а хотя некоторые и превра-
прюгпЬ вЪ народЪ употребляемую мЪру
для скорЪйшаго будто вЬ потребныхЪ

случаяхЪ

ёлучаяхЪ ойопчаа!я выкладки, однако та
не справедливо ; правда что это мо-
гло бы быть такЪ> ежелибЪ шо дЪлалосв
безЪ приведения обыкновенной мЪры аЪ
десятичную; но когда вЪ случаЪ потреб-
ности выкладывать многхе числа озна-
чающее мЪру пространствЪ надобно мхЪ
преже всЪ приводить вЪ десятичную
мЪру, а потомЪ окончивать ихЪ выклад-
ку по правиламЪ десятичныхЪ долей ,
такЪ мнЬ кажется, что все будетЪ оди-
наковЪ буди небольипй трудЪ; и такимЪ
образомЪ польза сихЪ правилЪ (кажется
мпЬ что) не стоитЪ труда употреб-
леннаго* на сочиненхе ихЪ , я не смотря
на cie написалЪ правила десятичныхЪ
долей для охотникооЪ, а что прина-
длежитЪ до меня собственно, то я сихЪ
ПравилЪ о десятичныхЪ доляхЪ никогда
употреблять не намЪрснЪ , предпочи-
тая вышезбЪявленные способы какЪ
легчайше по моему мнЪн!ю кЪ рБшенхю
потребныхЪ случаевЪ,

ПримЪчаПТе.

16г. ЗдВсь послучаю разсуЯсденхя оде-
сятичиой мЪрЬ можно упомянуть и обЪ-
обыкновенныхЪ вЪ нЪкоторыхЬ народахЪ
мЪрахЪ , и перёмЪнен1и ихЪ изЬ одной вЪ
другую.

И
другую. Присеми надлежит! знать что
математики вЬ cewb намеренна разделили
футы всЬхЪ европейекихЪ иародовЪ на
равные величиною чаете; изЪ коихЪ ро.»
стекой или Аглицкой фущЪ солеожитЬ
вЬ себЬ lj«o, р-ирландской 1592 > Фраг»
цузской 1440 а протчихЬ я не упоминаю}
потому что онЬ у насЬ рЬдко упот-
ребляются.

Задача.

166.	ПривестьмЪруодно*
го народа вЪ мЪру другаго
народа.

рЪшен!е.

Ежели положишь на примВрЪ 6»
р:инландскихЬ рутЪ , кои надобно
превратить вЬ росс!йск!е сажени. Для
сего вЬ перьвыхо надоб о сдЬлашь
изЬ упоминаемыхЪ вЬ ЗаданномЬ
случай мЬрЪ Д^В пропорЦТй слЪду-
ЮЩИмЪ ОбразомЪ X •. 1392 I2SO f
Н 7^аоо»'

1879200 пикже is f^o Er 1392;
1879200» изЬ равенства между со-
бою четвергпыхЬ членовЪ спхЬ про-
ЬорцШ угнать можно, ч по 135O
рейн ындскгхЬ фу I Ь и 1592 рсс-
сТйскдхЬ ПО равному числу р ВЬЬ.хЪ
частей, то есть по 1879:00 вЬ се-
бЬ содержашЪ, то есть 1.50 р<йч-
ландскихЬ футЪ piBuM I592 росай-
скемЪ футамЪ; a cie ьЬдал привести
можно 6 рсйнландскихЬ рутЪ в1 фу-
ты» и послать гпакимЬ Обр-’?,омБ
1350 рей: 1392 ро: —72: 7Д

6 , 2 -^a ^10 сс” ь б р;Й мандсюхЬ’
рутЪ равны 6 рос<1й-.кпмЬ СаженямЬ
и 1 озЗ ф/тамЪ ; такимЪ же сбра-
ЗомЪ поступать должно при »срег
мЬненй! и прочихЪ м'БрЪ вЬ другхе,»

СлЬдс т в i е;

167.	А ежели случится приводить'
одну мВру вЪ другую, которые бу-
дутЬ меньше фута, какЬ то дюймы

I П	Ьлй

или линеи и прочая-. напримЪрЪ еже-
ли надобно будетЪ сыскать, сколько
вЪ б французскихЪ дюймахЪ будетЪ
россхйскихЪ, то вЪ такомЬ случаЪ
посту пи ль должно слЪдующимЪ об-
раЗомЪ 1350: 1440 и: 144°Х^:

12

1550 ~~ 44руб. I zzz 14 40-4-6 ~
12.	1^50	12-4-1350

8640 -- 8 росййскаго фута; что

162'0	>5

можно изобразить яснБс помощПо
Следующей ПрОПОрЦШ Д> : 8~ 12;
б if росстскихЪ дюймовЪ.

СлЪдствхе.

аб8. у пропорцхональныхЪ чиселЪ
квадраты и кубы сушь пропорц!-
ональны(по § хгбЪчегорадиподобнымЪ
образомЪ можно квадратную и ку-
бичную мВру одного народа приво-
дить вЪ мЪру другаго народа.

ПримТз-



Йрим^чантё.

Т&Р» Теперь, вЕдая свойство и разделе» И
раз в ыхЪ мЪрЪ, можно легче выр^зумЪть
«зЪ влечешя радиксбвЪ квадрат на го ы ку»
бичнаго чрезЪ приближение-.

Задача»

i/o. Ежели случится та*
кое пространство,коего дли*
на вЪ /о саженЪ и 6 ФупГЦ
а ширина въ 40 саженЪ и
4 Фута, слЪдовательно пло*
щадь его въ 140864 ФутЪ
или 2874 саженЪ и 58 ФушЪу
квадратныхЪ, а надобно бу-
детЪ извлечь изЪ такого
числа радиксЪ чрезЪ при-*
ближеше или сыскать сто*
П а рбну

444

(о)

pony такого квадрата, ко.
шорой бы площадью своею
равенЪ былъ тому про-
странству, то какЪ посту,
пить въ такомЪ случай

рЪшен!е;

ИзЪ j40864 квадратныхЪ футЪ
he льзя извлечь такого радикса, ко-
торой бы близко поДходилЪ кЪ сто-
ронЪ квадрата ранйаго площадью
своею пространству ьЪ 140864 ква-
дратныхЪ футЪ^ ежели не привссгпь
Прежде сихЬ квадратныхЪ футЪ вЬ
меньшую м’ЕрУ, шо есть вЪ квадрат-
ные дюймы, потому что послЬ извле-
ченТя квадрашнаго радикса иаЬ i40864.
квадратныхЪ футЪ: еще остается
480 квадратныхЪ футЪ i чего ради
йадлежитЬ с!и квадратные футы
о Г	При-

(° )

рривесть вЬ дюймы ; но какЪ квад»
ратной российской футЬ содсржишЪ
вЬ себЪ 144 кзадрипныхЪ дюйма f
то мы симЪ числомЪ умножимЪ
число 140864 s отЪ чего выдетЪ
произведете 20284416 квадратныхЪ
дюймовЬ; изЪ коихЪ ежели извлечЪ
квадратной радиксЪ рбыкно^ннымЪ
образомЪ, то будетЪ онЪ 4^03 линей-
выхЪ дюймовЬ, или з7> футЪ ц
3 дюйма линейныхЪ, либо 53 саже-
ри , 4 фута и з дюйма линейныхЪ j
и сей способЪ извлечения радикса
называется извлечете радикса чрезЪ
приближение.

СлЪдствТе,

171. ПодобнымЪ образомЪ извлек
кается и кубичной радиксЪ чрезЪ при*!
ближешс: на примВрЬ ежели положишь пр
десятичной мВрЪ длину какого гяЪл^
вЪ зрушы, ширину вЪ2руты и Зфутаг

П з	высощу



(о)

высоту вЪ з руты и 2 дюйма; тпа
выдегпЪ и-олспюта всего шЬда вЪ
27784СОО Куб.1ЧНЫхЪ ДЮЙМОвЪ или вЪ
27 рутЪ и 784 футЬ кубичныхЪ; и
КэкЪ послБ извлеченУя радикса
линейныхЬ дюйма изЬ 277840СС ку-
<5пчныхЬ дюймовЬ остается еще

кубичныхЪ ДЮЙМОВ^; то поне-
же вЪ десятичной мЬрБ к^^ДаЧ
большая кубичная мВрд содержитЪ
вЬ себЪ изЪ меньшей по юоо ча-
стей, для того надлежитЪ умножить
сей остатокЪ юсо и продолжать
извлечемте радикса * то выдетпЪ онЪ
вЪ 505 линейныхЪ дюйма и сверьхЪ
того вЪ а линейныхЪ грани чрез!)
Приближение извлеченныхЪ.

ПримЪчаше.,

о». Теперь сл^дуетЪ предлагать оло
ЯариемахЪ, кои выдуманы для облегченгя
»Ъ нЬкоторыхЬ случаяхЪ простаго умно-
ЗКСН1Я И дХ)лсц!а чисзлЪ; но ДЛЯ лучша-

го выразум^нХя ихЪ надсбво знать ел®-
дуюпре предложенхя.

Определенно.

) 75. Ежели, вЪ случае на-
добности какого нибудь чи-
сла, оно есть, то такое чи-
сло называется положитель-
нымЪ и пишется передЪ нимЪ
знаке сложення ч- напримерЪ
е^ели кто долженЪ будетЪ
6 рублевЪ , а у него есть
столько,то cie число будете
положительное; а ежели нетЪ
такого числа , какое тре-
буется, то называется оно
отрицательныме, и пишется
обыкновенно передЪ ниме
П 4 знаке

зпакЪ вычи1Г.ан1я-напрпмгрТ|
ежели кшо долженЪ 9 руб-
лей Ь, а у и.го нЪтЬ ничего
денегЪ науплашу того долгу,
то число 9 будетЪ ошрица-.
щелыюе.

С лВдствТе,

174.. По сему почесть можнц
Ц фру ноль за середину между поло-
жишсльнымЬ и oinps цательнымЪ чи-
слом.1?. и ежели положишь, что ко-
личество какое но есть весьма малое,
которое бы едва разнилось отЪ ноля,
начинается и возрастаешь вЪ про-
Грессди ариемети »сской начальна хЪ
чиселЪ слЪдукщ 7хЪ одно за другпмЬ
цо порядку , то можно сказать, что
роль будетЪ перьвой членЪ у такой
ррогрессш, а проч!с члены будутЬ
начальные

рачллгные числа , порядочно одно 34
^р$Г.:мЬ Сл£цуЮЩ1С.

СлЪдствТс.

175. Ежели взять увеличиваю^
висла , начин я on L едиыцы, произ-
ьольчымЬ энаменашслемЪ * одсргкаЫя :
напримЕрЪ анлменап елсмР ссдкржанЦ
Ю, кэкЪ ню всЁ> математики дЬла*
к тЪ, попрячинБ дсяшичн-го ворссмЬ
свЪшЪ уио прсб я-vai о щету , шо
вь:Д-п(Ъ ои.Ъ того следующая геоме-
трическая прогрессия 7— 1. ю. >со.
looo. looco. 1 ооср. и прочая; мате-
матики ежели изибр«Ажан»тЪ спо про-
гресс1ю невоз^ытая дЕмствишелычо
вЪ требуемую степень, то сптагятЪ
надЬпсрьрымЬ членомЬпрогресс™, то
есть надЬ единиц ю показателя во-
звышенТя о, для того что нЬтЪ та-
кого числа изЪ цЬлыхЬ, коегобЪ оно
превосходить могло, а на противЪ

П 5	morq

того всЪхЪ меньше, надЪ вторымЪ
члсномЪ, то есть надЪ десятью по-
казателя возвышения I , д^я того
что число а с превосходи пЪ едини*
цу , а надЪ третьимЪ члсномЪ гго
есть надЪ юо 2, для того чп о
пгреш!й членЪ имЪешЪ два превосход-
ства., шо есть не только надЪ еди-
ницею, но и надЪ десятью; и такЪ
далЪе; и по сему такая прогрессТя вы-
О I

ражается симЪ образомЪ г 1. ю.
» S ♦ S в

Ю. ю. ю. ю. ю. И прочая , то
есть показатели возвышения членовЪ
геометрической прогрессии начинаю-
щейся отЪ единицы состоять вЪ
nporpecci'.i аривметической. Теперь
ежели умножить вЪ геометрической
прогресс!!! напрчмЪрЪ трегйей членЪ
ico чствертымЪ acog, то выдетЪ
отЪ того произведете юоссо рав-
ное шестому члену прогрессш; и когда
взять вЬ аркеметической прогрес-
ти

с!я псказ теля возвышенхя третьяго
члена 2 и сложить его сЪ показа-
гп'ЬлемЪ возвышения четвершаго чле-
на з , то сумма изЪ того 5 равна
будетЪ показателю возвышения ше-
сшаго члена 5 , также ежели ряздЬ-
лигпь вЪ геометрической прогресс^
шестой членЪ на второй , то вы-
дстЪ вЬ частномЪ числЪ , пятой
членЪ , тожЪ самое будетЪ , ежели
и вЪ ариеметической прогрессш вы-
честь показателя возвышснхя вто-
рого члена изЪ показателя возвыше-
н!я шестаго члена, то вЪ остапгкЪ
будетЪ показатель возвышения пятаго
члена; и такЪ мы теперь явственно
видпмЪ, что посредсшвомЪ сложен!я
и вычитания показателей возвышенТя
чиселЪ можно сыскашь все то, что
мы получаемЪ чрезЪ умножен!е и дЪ-
ленТе тЪхЪ же чиселЪ } и сТи обсто-
ятельства заставили искать лога«
риемовЪ; чшобЬ помощЪо ихЪ мож-
но

но было убЬжать omb неспособнее»
стей бывающ^хЪ при обыкновенномЪ
умножен!*! и дВлснш большихЬ чи-
£СлЪ.

Определение.

i/б. Ежели написать про-
грессию геометрическую на-
чинающуюся отЪ единицы 3
то показатели юзвышешя
членовЪ той прогрессш на
зываюшея ихЪ логариомы.

СлЪдсшв!е.

>77. Когда надобно бывасгпЪ перн-
вой степени число возвысить во,
вторую или трегаюю степень и про-
чая , то есть радиксЪ вЪ квадратЪ
рли вЪ кубЬ и прочая, що вЪ та-

комЪ случаБ берешся показатель
перьвой степени или радикса вЪ двое,
втрое или и болЪе, смотря по степе-
ни, вЪ которую данное число возвы-
сить ДОЛЖНО ; ПО сему ВЫД'шЪ ло-
гариемЪ данного числа вЪ данной
степени, ежели умножить лога-
риемЪ радикса показателемЪ той
степени; также противнымЬ об ра-
зомЪ получить можно логариемЪ
радикса возвышеннаго числа ежели
разделить логариемЬ его на пока-»
Ьателя возвышения ( по § J7$ ) •

Задача,
в *! *•	,

1/8. Сыскать логариемЪ
всякаго числа и сделать
таблицу логаривмовъ чи-
селЪ одно за другимЪ по-
рядочно слЪдующихЪ.

рБшенТе

(о)

рЪшенхе

Ежели начать отЪ единицы уве*
личивать числа вЪ прогресс!и гсоме-
•прической по произвольному 9на-
менашелю содержанТя, а лучше всего
подесятинному, вЬ послЪдован1е при-
нятому отЪ вс'ЁхЪ машематиковЪ
обычаю то будетЬ прогресстя ихЪ,
io-io io-хо io io-и прочая, у коей пока-
затели возвышения будутЪ лОгарие-
мы соотвЪтствующихЪ имЪ чи-
селЪ ( по § 176 ) , а чшобЪ намЪ сы-
скать логариемы среднихЪ чиселЪ
отЪ единицы до десяти и отЪ десяти
до ста и прочая, то НадлежитЪ искать
между единицею и десятью, и между
десятью и стомЪ и прочая среднихЪ
геометрических!) пропорцТональныхЪ
ЧиселЪ , а между ихЪ показателями
возвышенТя среднихЪ аргемешиче-
ски пропорцюнальныхЪ ; но какЪ ме-
жду единицею и десятью не льзл
сы*

сыскашь точнэго радикса, какЬ
только чрезЪ приближен^, то для
того математики употребляютЪ
при нихЪ десятичные доли, и прикла-
дываютЪ какЪ кЪ членамЪ прогрести,
такЪ и кЪ ихЪ показателямЪ возвы-
шен^ по сБми нолей, то есть пои-
водятЪ ихЪ вЪ дроби десятичныхЪ
ЗМаменателейизЪ коихЪ укаждзгоперь-
вая ць фра единица а за нею слБдуюшЪ
сБмь нолей; ис!и числа приведенные
такимЪ образомЪ вЪ десятичные дро-
би величины своей неперсмЪняютЬ
(по § 4.8) , пошомЪ НадлежитЪ искать
между членами геометрической про-
грессТи приведенными вЪ десятич-
ные дроби среднихЪ геометрически
пропорцюнальныхЬ членовЪ и между
ихЪ показателями возвышения также
приведенными вЪ десятичные доли
среднихЪ ариеметически пропорцТ-
ональныхЬ членовЪ, то сш будутЪ
вЪ разсужденТи перьвыхЬ членовЪ
лога-

Логаргвмы ихЪ ( по § 175 ) наврпмЪрЪ
ежели надобно Сыскать лагаргемЪ
девяти, то поступить вЪ помЪ ша-
кимЪ образомЬ: между единицею А.

и десяггкомЬ Р
умноженным!
сЪмью нолям*.

й а д л е ж и m 1
сьскать сред
нее пропорц]-
Ьнальмое гео-

A

С

В

метрическое
число, которое
Понеже меньше
десяти, то есть
сБмНО НО ЗЯМ!
умноженнаго j
то между сим!
СысканнымЪ
ЧисломЪ С
десяткомЪ - 1
искать средня
to fiponoprji

D

В

G
F

Н

F

^пропоо. ЧИС:

1. О ооооо

В 3- 6'22777

Логарие.
о. oocrocc-d
о. 50000 ОО
I OOOOOOCQ

•о. oocoobo

В ц , оооооос!1- оооэоо-о
Dl 5. 6234  32 !с- 75000000

з;>622-77 °- 50000000

IO. OOOOCOOI. ОЬСООООО
7. 49й942Т О. 87500 . оэ
5. 6234Л '2 о. 0,3750000

В lO. 000000-0 1 < COOOOOO
F 8. 6^9643 г О. 93750000

Е 7.40-04.91 О. 875О"ОСО

- . ОС СОООО 1 • с-1.00-0
9. 3057204 е. 96875ООСО
F. 67af4>2 {о. 937УССОО

9, 30*7- < 4 0.9 87 5000

fe. 9768713

о 9- л 0572 4
J 9 I >98170

Н 8. 9768713

•. 950I2JOO

О. 9375ООЭО

.96S75OOO

96093750

\ 93312570

ональнаго

Ьнальнаго гео-

мешрическаго j

D , которое К
также мснь Р_
те о. ссоэсо-jK.

г
чего ради меж- ~
ду имЬ и де--
сяшкомЬ В и~- м

кашь средняго н
ПропорцЮнзлЬ-
наго геомет-

рическаго чис- М_
ла Е5 которое N
опять меньше 9,
М

9. СОООООО И1

тпакЬ между
СимЬ и тЬмжс
дссяткомЬ ис-
кать средняго
пропорцгонал -
наго геом.ли-
рические) чис-
ла J, которое

О
р

М

о

р

р

р

•ропср.чис: Логаj> -е;

.. ] з<,8по с. 96C9i7jO

. 04'79771 о Ч- ЮЛ2Г

: 9’68ИЗ о-95'4.2<ГООл

j OS'iym О; 957Oj1£j
9. 0113333 °- 9>5°78Ц
s. 9‘г'81 1 ;о. 95312506 (

9 01133 з? 0.93 3018*2
8.9910196 9-934‘ОГ£<?

8. 9168113 О. 93312300
9-0113333 0-95301812

9 00120 8 0 934389З4

3. 9970196 О 9>4[О15б

9- СС12ООЗ О. 95478984

9. 002*388 0. 9 434 5Ю

s. 9970796 0.954 OI56

р. 0021358 О. Р543477О  8. 9996О8З О.97422363  8. 9970196 ;О 9 4 0156	
9. ООО318Й  9 OOO8131  8 9996008	0*95434570 О. 5> 54-28467 о. 95422363
Q. 00087 i 7  9- 0002412  9.9996038 1	О.954284Л о. 9с + 2 j4 ’ 5 0. 9542236}

такЬ



ШЗКЖС будет! ^пропо: чис.-'Аога 9ывм

меньше, не же ТГ2	—

»	к. 9.000 4.12 О i>,~42S4»y

ЛИ"	ООО- s 8. £>99 5,2 5-0 О. О£413>,з9

СОСО , 1ГО ме- F 8-<500^08* О 9542-И6?

жду нимЪ в! К.
ДССЯ'.ПКОмЬ В. $
сыскать пяшос —

У. 000241 О 954254'5’
9 Оеоо-31 о. 9 $4. 4652
Ч 999 О 5-0	95423SS9

среднее пропор.
угона ль ное ге

Г1 19. OOOC83I 0,95424652

V 9 е00004г О. 9>4242"I
3. 9949250 о 9*423880

S

оме гп ричсское
число G; а по
не же cie чис*
ло больше, не
жели р осоо-
осо, то меж
ду нпмЪ и бли
же меььшвмЪ
ЧРСЛСМЪ J С bi*

Y
X
V
z
Y

9. ОсОСО4( о. 954242ц
8 999965O О. 9542408О

909 2 о ,О. 9542 7*89

1. OCOO4I О. 9542 4211
O0/9984f с. 9£424?П
;. 4999650 'о 4'424^80

O0C004I О- 95424 "’Г
3. 999994 5 г« 9 5424223
•'.90QC445 <-.4е424?17

скашь шесто-

среднее геомс
отроческое пр<
порцтонально.
число Н, ко-.

V |э. о СС41 0.9,424271
'’V s. У999992 О.95424241
Zs 4999044 о. 95424223

V 4. 000004
^Л9 ооо-цб

& 8- 9999с92

. 9?*24-‘7|
о. 95424259
о. 95-424244

V
V
S

пюрое

			
спорое понеже		ПрОПО: ЧИС;	Асгар*
меньше неже-	АА	9. ОСО с 16	"X .Sb 424259
ли 9. со оооо	ЕВ	9.СОСООС4	0. 9<Чг%2 53
то между ,	&	8- 91Р9992	.954242-П
нимЪ и ближе	вв	9. юооооч	Э. 95+2-12 >3
большимЪ чи-	сс	8. 99*9998	954242 50
сломЪ G сыс-		8. 9999992	0. 9542424ч
кать седьмое среднее про-	вв	9. OCODOC4.	о. 954'+ ’ 53
	DD	9 0 ЗОООСО	о. 95424251
персональное	СС	8. 5999998	э. 95-43425-0

геометрическое число t, Которое хо-
тя и больше, нежели 9, о о о о о о
о ,однако нетакЪ много, какЪ первое
чиЬло G, и такзмЪ обрдзомЪ сжел_д
продолжать искать м' жду блиъе бэ-
льшимЪ и ближе МеньшемЪ числами

средне проперцюмальн^е геоме-
трическТс числа, то СудутЪ еьхо-
дить числа что далЪ, тЪмЬ бол!эе

геометрически

подходящте кЪ требуемому числу 9.
о о о о о о о ,• которое ВЬ’ДетЪ«
наконецЪ посыскан!и 24 ссе^ниг.Ь
пропорцюкдльннкЬ

Р 2	43-

йбо	( б )

ЧиселЬ; погпомЪ, сыскавши его ЕпакимЬ
образом Ь , надобно, какЪ между
числами А и В сыскивано среднее
геометрически пропорциональное чи-
сло, С, такЪ и между ихЬ легар емами
искать средняго аргемешическй про-
йорц!оналнаго числа, Шо будешЪ оно
логаргемЬ сысканнаго числа С; ша-
кимже образомЪ сыскашь можно» всЪхЬ
прочнхЪ сысканныхЪ среднихЪ геоме-
трически пропорцТональныхЪ чиселЪ
лога ре омы. а пОсл'Ьдня! о или девяти
логарпемЪ будетЪ 0.9^4.24^5 Ь
такимже образомЪ и первЪйшихЪ чиселЪ
сыскиваются Логарге^ы, а отЪ сум-
мы логар! омовЪ первБ ппихЪ чиселЪ
провсходятЪ лого| »•емы большпхЬ
чиселЪ, какЪ выше показано вЪ ( § 175 }»

ПримЪчавХе.

Г?р Мы кидбли прир^шенш сей задачи^
Что. л огарке чы Bt*6xb чиселЬ отЪ едиккць!
до десяти неимЬюшЪ прмсебЪ викак^хЬ
цЪлыхЬ





дЬлыхЪ чиселЪ , кпомЪ десятичных!» х>с-
лей , лргарие ы всЪхЪ чиселЪ отЪ де-
сяти доста гм* ютЪ нрисЪбЪ цЪлсе чи-
ело 1 и десятичные доли , а лагаривчы
вс*хЪ чиселЪ ото ста до тысячи имЬютЪ
при себЪ цЪлое число 5. и десятичные д ^ли
и прочая: и такш цблые числа для убТ-
жантя замешательства отделяются
обыкновенно отЪ долей точкою и «мы»
ваются указатели лсгарнрмовЪ ^Charac-»
{erbtica.)

ЦримЪчаньр.

* 8о. Перьвой изобрЪтатель логариомовЪ
былк бзрояЪ He-перЪ, а дЪлалЬ ихЪ сЪ ио*
КО1Ц1Ю больше двадцати человЪкЪОксфзрд.
свой ПрсфоссорЪ ГенрикЪ БриггЪ. КромЪ
ВншеобЬявл-ннаго ( вЪ $ iTf ) способна го
употребленья сихЪ выкладоцЪ при умно-»
жеи!и и дБлеиги большихЪ чиселЪ главная
ихЪ польза видима вЪ тригонометрш ; и
клкЪ мы видЪли, сколько трудиться на»
дебяо, для сысканья. догариема одного чи«.
ела 9, то по сему разеудмть можно ,
сколь много труда сносить должны были
издатели сихЪ выкладокЪ; которые сп-с
чиняли ихЪ отЪ I до юоэоо , и употре-
били на сей тяжкой трудЪ около трит-
^ати лЪтЪ; такая nxjb чрезвычайн-ц

Р $	₽£Бпосщь

гбг

(О)

крепость духа вЬ поиесснш сего жесто-
кого труда великого удив\сн1Я достойна.

Задача.

iSr. Сыскать логариемЪ
такого числа 5 которое боль-
ше чиселЪ находящихся вЪ
табшцахЪ логариемовЪ , а
меньше joooocoo.

рБшснТе.

Отделить лзЪ даннаго числа сЪ
лБвой стороны чегпырЪ цифры и
сыскать ихЪ логариемЪ в’Ъ табли-
Ц1хЬ, погаомЪ вычесть пюпЪ лога-
риемЪ изЬ блнжеслЪдующаго вЪ
таблгцБ , и наконецЪ послать iua~
кимЪ образомЪ : какЪ разность чиселЪ
сысканныхb вЬ таблецахЪ > кЪ раз-
ности соошвЬшсшвующ/хЪ &мЪ ло-
га рие-

гари©\1овЪ, такЪ остальные цыфры
заданнаго числа кЬ раз’осп.и лога-
р емдческой > которую сьхкзвиы ,
отнять о: Ънся сЪ пр двои стороны
столько цьфрЪ , сколько 6-яло у
заданнаго числа сЪ правей стороны
отЪ точки раздБленгя ц фрЬ, при-
дать тотЬ остатокЬ кЬ Логариому
четыр! хЪ прежде отдЪ ченныхЪ
цьфрЬ , также и кЪ указателю та-
кого логар ©мл прибавить столгко
единицЪ, сколько уданнаго числа, кро-
мЪ от дБ ленныхЪ четь’рБхЪ остает-
ся друтихЬ ц фрЪ, то такая сум-
ма будетЪ искомой логориемЪ :
напримЪрЬ ежели надомно сыскать
логарсемЪ числа 92375 • то °
лить omb него четырЪ цч-фры С-37,
сыскать сихЪ четырЬхЬ ц фрЪ ло-
гаргомЪ 3* 9655409, и вычесть сей
логарсемЪ изЬ лог зреем а 3. 9^5780
ближе большего числа 92 8 , то
будетЪ разность ихЪ 471, которую
р 4.	ум.чо-





умноживши сс  альнлю изЬ даншрц
1;исла цыфр- ю 5 , и разделивши nip
прогзведен1е на един цу , полу шмЪ
число 2354 » опУЪ которого ежели
отнять крайнюю цыфру 5, а осталь-
ные елржить cb логарг.емомЬ 3.
1,65 5709, придлпЪ кЪ его указатели^
елингцу ? то такая сумма будешЪ
искомой логаркомЬ 4. 9655544..

Задача.

i8‘2. Сыскашь число со-
ршвЪтсвующее данному ло-
гарифму.
'Ь	*

рЪшенТе.

ЦадлежитЪ мекать pb таблгцахЪ,
^реар«емичес1$ихЪ, н’БтЪ ли какого
рэЬ логаргсамовЬ всЪхЪ чиселЪ ме-
я^ду $еоо и юооо, нс смотря на ука-
зателе

(₽}	2«$

загпеля даннаго логариема , и при-
томЬ примечать два случая.

Перьвой ежели тамЪ находится
точно за данной логариемЬ , шо
противЬ его стоящее число будетЪ
искомое , а ежели указатель дяннаго
лшаргема меньше 3, то отделишь
усысканчаго числа сЪ правой стороны
столько цыфрЬ, сколько вЬ укаэателЪ
Заданна! о логар'. ема не достаешЪ
един1 цЬ до числа 3; И такимЪ обра-
ЭомЪ сшоящТе сЪ лБвой стороны
огаЬ точки огпдЬлен!я цыфры будутЬ
цВлыс числа , л сЪ правой стороны
десятичные дроби сротвЬшствующТе
данному лога рг ему , а ежели указа-
тель даннаго логариема больше
числа з , то прибавить кЪ сыскан-
ному числу столько нолей , сколь-
кими единиц ми больше указателе
даннаго логариема отЬ числа 3 -
шпримЬрЪ у логариема J. 5523031

Р 5 числ&

число соотвЪп’стеующее будетЪ
5567, у логар-ома 2. 552303« чи-
сло 356/5 у логарифма 1. 5523031
чясао 3^s657, у логар'ома о. 55230U
число З^^ вапротивЪ того у лога-
ргома 4. 55x3031 будетЪ число
35970 и такЪ Д1лБе.

«Другой случай ежели вЪ табли-
1рхЪ Заданной логлрсомЪ точно
не сыщется, и соошвсствующее ему
число состоять должно больше, не-
жели пзЪ чешырЪхЬ цыфрЪ, то вЪ
такомЪ случаЪ надобно также , не-
смотря на указателя логаримема ,
искал ь между логареомами всЪхЬ
чиселЪ отЪ юоо до юооо. бшже
мекьшаго логариома, которой вы-
честь изЪ даннаго логариома а кЪ
остатку придать столько нолей, сколь-
ко кЪ искомому числу соотвБшствую-
щему данному логарс ому кромЪ
четырЬхЬ цыфрЪ еще надобно, по-
томЪ

гл о vi b раадЬлиггь mo число нараз-
ность между лоларсомами ближе ме-
ньшнмЪ и ближе большимЪ о«.Ъ дан-
н го догаряема и частное число
поставить подлЪ 4исла сосшвЭ’тсву-
К'цгго ближе меньшему логариому t
H2K->«ei»b должно смотрЪть , схоль
ве/нкЬ будсгпЪ указатель даннаго
zo. api ©vd , п.о го немЪ узнапь мо-
жно будетЪ, ско ько вЬ такомЪ
сыскангомЬ числЬ будетЪ цЬлгсхЪ
чгселЬ и сколько десяшичныхЪ до-
лей : напримЪрЪ ежели заданЪ бу-
Д'шЬ лога pi-©мЪ, 4« 5‘>24411^, то
ближе меньшей его вЬ ггаблицахЪ
б де'пЪ jj. 5523031, соотьошсьу-
кщ е сему логармему число 5567 г
ссй логар’омЪ ежели вычеещь изЬ
заданнаго логаркома, то останется
I - 87 , кЪ которому остатку ежели
прибавишь три ноля, то будетЬ
1087000 , а пораздЪлен!и сего числа
наразность ближе меньшаго и ближе

Соль-

болыпаго логар|ДОмовЪ 1217 ны,.
дегаЬ частное число 894, которое
ежели поставить подлЬ числа 3567,
то про^йойдетЪ число 5556894,
а понеже указатель заданнаго лога-
ркеиа 4 то искомое сооивТству-
К)щее ему число будетЪ 35678 tss.

С; Ъдствле.

18?. Ндда^жршЪ знжтп® , что когда
^адобво будетЬ сыекчп. кЬ тремЪ ка-
£ИмЪ чисда.мЪ четвертое пропо, д,»онал*п
чое число почещтю логариемовЬ, т> пе-
реже очи дЪланы по ариеметической про₽
по Ц1И , для того должно складывать и
вычитать ихЪ гпамЬ, гдЪ множатся и д^ч
лаю ася простые числа*

ПримЬчапТе.

I84. 31Ьсь приокенчянди сей книга
заблаго разсудилЪ я положить мЪры
TipocmpiBcmeb, в$сы и монеты разныхЬ
рг р дсвЬ также и ерлвнен’е ихЪ между
'обою.

(о)	2<ф

РаэдБленТе фушовЪ разныхЬ наро*
добЪ на равные части, мзЪ которыхЪ
имЬешЬ.

константинопольской
ВенецТанской
Краковской *
Старой еврейской
Старой греческой
Старой римской -
Новой римской
бононской
Амстердамской
Стразбургской	-

Ниренбергской
Лейденской	-

ЛпсабонскоЙ
Парижской
Лондонской
рсйнландской
Шведской

Датской -	-

ВЪнской

*	3140
мй	1540
м	158а
	’59°
м	1350
*	«306
Ml	I $20
м	
	1253
м!	1282
м»	1346
М	i^O
	1387
Ml	>44°
Ml	1350
М?	159г
ш	I $20
IM	«4^3
Mf	1400
	Данциг-

(°)

Данцигской	-	•	1721

Л й -цягской	-	-	1397

Гадской	-	-	-	132о

Кельнской	-	-	-	12 20

Авг;бургской	-	-	Ч2?

баварской	-	-	-	1 8о

Прагской	-	-	-	1з?8

Гиссенской	•*	-	-	1320

Обыкновенной гпагЪ по обЪявлснпо
М1ллеша содержал Ь вЬ себЪ 2 1
французских! фута, а Гсометрячес*
кой шагЪ 5 КоролессксхЪ француз-
скгхЪ фуптЬ} онЪ же вЬ< равнения миль
разныхЬ народовЬ полагастЪ насре-
днюю или обыкновенную милю.

Итад1ячскую

коо гео-. шаговЪ

Аглинскую -	1250

Шотландскую игр ’андскую 1500

Старую францу экую	- 15СО

Новую французкую	- ' soo

Литовскую »	-	-	^512

Голландскую

271

Co)

Голландским	4242
Польскую	ЗССО
Гишпанскую	5428
Германскую	4'52
Шсдскую	5000
Датскую	-	•	3800
Венгерскую	б ООО
российскую версту -	75°
Китайскую милю	-	240
Китайскую большую	милю пю
называемую	*	2400
Японскую	-	2000

Индийскую милю косЪ называ-

емую	?доо
Персидскую парасангу	3000
Греческую стадно ВТ’сы разныхЪ народовЪ	-	125

россТискТе вЬсы

берковецЪ содсржитЪ
пудЬ

фуншЪ

лошЪ

- io пудЪ
40 фунтовЪ
j2- лота
3. золотника
Эстланд»

&	(о)

ЙстландскТе и лиф гандскТе вБсы

ластЬ содержигяЪ - *2,. шкф ф ?нтовЪ
шгфЬ фуншЬ -	4, лсфа

лофЬ -	- ф лис-. фунтовЪ

лис: фунтЪ	-	20 фунтовЪ

ф?н;оЬ	-	•	дб.  унц?й

унуТя	-	-	2 лота

лотЪ	-	-	4. драхмы

центнерЪ и&БстЪ - 12о. фуншовЪ
тонна -	-240 фуншовЪ

голландскге вЬсы

1пиф. фунтЪ содер -
житЬ - 20. ЛИС: -
лис: фунтЪ
шгйсйнЬ -	-

фунтЪ
м^ркЪ * -
унц1'я
лотЪ	-

снгслЪ	-	-

фунтовЪ
«5 фун-

8. фунтовЪ
z. марка
3 уьц!й
2. лота

1о- енгсл?
2j. агса

Н1:рен-

Ниренбергс«!е 4 вЪсы
вЬ большой части

употребляемые

фунтЪ ссдеряитЪ

МаркЬ	- а>

2 марка

лошЬ
драхма
фенингЪ

8.

2

4.

4
4*

унЦ‘1й
лота
драхмЪ
фенин.
геллера

кельнские

вБсы

употребляемые кЪ вывЪшиванхю до
рогихЬ вещей.

фунтЪ содержитЪ
маркЪ

. унцТя
лошЬ
драхма
фенин гЪ
1

- 1, марка

8 унц!й

2- лота у

4* др хмЪ

4. фенинга

>5» ,гран!й

с

шройск!е

Тройскте вТ>сы употребляемые вЪ
Англии.

фунтЪ содержитЪ *• * 12. унцТй
у нудя -	20. пеннЬ

пенна	*-	- 24. Грани

Аглинскте вЬсы для вывЬшивашя
прос ш ыхЪ шоваровЬ называемые
аперЬ депоа:

тонна имЪешЪ - 2о ЦентнсровЪ
центнерЬ -	112. фунтовЪ

фуншЪ	-	*	16. унцтЙ

унц?я	-	-	8. драхмЬ

драхма *	•	3. скрупуля

• •

А ьЬсы при пробЪ серебра употре-
бляемые во франции.

маркЬ имЪетЪ
ден!ерЪ

* 12. дснТеровЬ

- 24 грановЪ

upoj



ho вЬ пробоважи золота

»

МарйЪ содержитЪ *24. карата
каратЬ -	* iju граней®

таблица сравнен^ обыкновенна го
Лейпцлгскаго фунта сЪ другими!
Евровпейскими фунтами аЛсйгуиГ»
скойфунтЪ содержит® вЪ себЪ 52: ло-
та, лотЪ 4 квинтлейна, КвингплсйнЪ
4 фенинга, фенингЪ 1$ гпановЬ*
и такЪ по Лсйцигскому вБсу будетЪ
содержать вЪсебБ одинЪ фунтЪ.

вЪ Амстердам^
Антверпен®
Архангельском®
город® -
АвспургБ фунтЬ
большаго весу
тамжс фунтЬ мз*
лаго вЪсу

ФУ1(тт.^отъхеиип1Ъ'ПФС! грак<‘

27

2.

I
й,

СоцснЬ

I

I

I

I

3

3

з

3

ю

3

3

275	(с)				
	оуитъ лотъквинтг!		пфргграв;	
боугчБ бу рдо брауншвсйгБ бремен!» б реславлВ бриссс W КадинеЬ  КельнБ  V	м-  КонсшангпинополБ КоппенгагенБ КрановБ  ДанцхБ - флорснцТз фра нкфиртЬ при рЪкБ М5й • нБ  /КеневВ	“	•  Ген7и	~	-  Гамбу ргБ - Кенигсберге сша- раго вЪ у - Тамже но аговБсу	Г.Ш 1  I 1  -7  1  V 1  2 2!  1  2"  29  23  I  1 5 21  1 1  26  1	3  3  2  3  3 .  3 I  3  2  I  i  I	* 6 3  7  2  3 .  2 6  1 ?  I  I I I  3 3  1  I	

Ландау

Лзндау
Л io - Б
.Лиссабон!) -
Ливсрн'Ь
ЛондонБ
ЛюбсссЬ

Магд бургБ
МалагБ
МарсслТи
МеммвнгенБ
М лнхенЪ -
] ка .олБ

Парии!)
Петербург!)
ПрагБ
регенсбургЬ
рогЬ
р^мБ
ЗзлцбургЪ
Тамже мала го

'СУ

	Ф} ншъ Догпъкшйтпъ^фс^				rp»Hi
-		3‘	1	3	1C>’
	1	1		5	
*		V	1	?	/
-		=3	1	1	c
		30		?	9
•	I	i		2	
-	I	<	1	I	5
	1			1	
-		З1	2		
«►		28	I	1	8
»	1			1	7
-	I	6		I	3
-				1	
-	1	2	?	3	
-	1	I	2	1	IC
-		'zS			3
-	1	3		3	5
ш	1	6	[	3	
«а		8	г	n «»	8
		23	t		i
-	1	5	।	2	
вЬ-		«			
-	1				

С 3	НЕ ер а

ФУ«гтт лотъ квинтъ пфгл гранью
Ш фгаузеьВ -	5i 2
Страсбург!)	- j 1	I г
JBencyin великаго
вЪсу	,	- I	23
Тааджс малгго вБ-	1
су	“	so 2.	2. 9
ВсррнБ велвкаго
Р.Тсу	-	- | I 2	1	5
Т-.мжемалаго ьЪсу	222	33
У \bV1f’	- | t	21
। раи вЁ>	мала? о
?Ъсу	- t 1	2$ 3	2 5
ьЬнЪ,	-	-	1 6 | 2
Ц рп’^Ь -	- 1 j j

вдоцеязы р'ЗчыхЪ народовЬ
PeCiiiCKie монеты

ръ^срУялЪ вмЪетЪ
ролупмерхялЪ
р':Од.Ь

йе -s-nj S 2 

I V

- 2. ПОЛуИ. HIV*

- 5. рублевЪ

* 2„полтины.

полуполшиннгка
ГревенниковЪ
колу-.

полу полтиннике
гривеникЪ
цягпикоп’Ь^чникЪ

ГрощЬ
копБйка

денежка

К,
л

5-

2.

пятикопЪеч,
пятикопЬеч,
копЬекЪ
копБйки
денежки
подушки

монеты употребляемые вЪ нарвЪ
ревелВ идерпаф свсрхЪ росеТйски^Ъ
монсшЪ.

реихсталерЪ им'БетЪ 64 вейс: 8о ко.
рейхсталерЪ ходячей 52. вейсс 65 ко.

каролпнЬ шведской 20. вейсст; 5 ко:
вейссенЪ •	•>	- i | коп:

вЪ рпгЬ употребляемые монеты cbq-
рхЪ росс1йсккхЬ.

АлбертсшалерЪимЬетпЪ 3«Гул. Т05.К0.

ГульденЬ - 5. марковЬ 35 копВ.
маркЪ 14. фердинга 7. ко.
фердингЬ I I гроша i I ко.

С 4	цБнд

уЕ>на монетЪ много завпситЬ отЬ
произволентя людей, и часто нЬ
ней* бываюшЪ вел кте перемены;
какЬ капри мВрЪ вЪ вексельныхЬ
курсахЪ, по пому чгпо росп>ск1Я
монета рубгь иногда ходешЬ боль-
ше so. х дя < -xb гол ландскпх? шша-
беровЬ, а иногда меньше; и посей
приченЬ постояннаго сравнения ме-
жду монетами разныхЬ народовЪ
положить нельзя; чего ради мы
возмемЪ среднюю их!' цВ -sy, и поней
сдБлаемЬ ср>внен!е ихэ между со-
бою ниже сл£>дующее : вЪ амсте-
рдамЪ, и вовсей Голландп! употре-
бляются ходя’йе и блн-юаые денги j
ко хЪ обТ'ихЪ разделенья одинаковы,
только вЪ томЪ разнствую nb, что
банковые денги 5. процентами выше
ходячихЪ.

гульденЪ имЪетЬ ао. штиберовЪ 40
КО; шшиб^рЪ Z, ф:н; ф'le.Mj 2 копВ:
рейхс-

рейхсгпалерЪ 50. штпберовЪ юо. ко.
вЬ лондонЪ и воЕсей Англ1и упо-

требляемые монеты.

гиней имЪетЪ 21 »в шилингЪ ютер*

линговЪ 47з ко:

фунтЪ штерлингЪ 20. шили: штер:
.4 440. ко:

кронЪ
шилингЪ

5. шили: ште. но. ко-.
штерлингЪ 12. фениншшер:
22 ко;

ГратЪ
фен: штер:

4 фен: штер;

4 ф^рдинга,

7 »

1 ё

ВЬ гамбургЪ и любекЪ употребля-
ются ходячю в банковые деньги : и
банковые превосходяшЪ ходящихЬ
16 процентами.

фуншЪ флемской имБетЪ 2 шилгн.
фле: 225 ко:

талерЪ - -	марка со ко:

вексельной гпалерЪ 2. марка 6о.

шилингЪ флем: 6 ши: люб: 11 + ко
шилингЪ любской 12 люб: фен: I в ко.

С 5 шилингЪ

йЬ лейпцигЬ и вовсей саксонУи та-
кже и брандебургш употребляются
слЪдующТя монеты.

тпалерЪ содержишь 24- гутенЬ гро-»
ma -78- ко.

гуспенЪ грошЪ I I мэрсенЪ гроша з?
марсенЪ грошЪ. 8 фенинговЬ a J

ВЪ бременЪ употребляются ниже*
писанные монеты.

ТалерЪ содержитЪ 72 гроша 78 копБ.

ГрошЪ ‘	4 фенинга i h

ВЪ Франкфурт^ при рБкЬ МайнЪ

ТалерЪ имБешЪ

ГульденЪ	J

КопфшшикЪ 5

блценЪ	2

1« Гульдена
копфштика
баценовЬ
Альбуса

АльбусЪ 2 крейцера

КейзерЬ грошЪ 3 крейцера

75 ко:

5°

18 I

* I

I '

ж

2 г

jjb данцихЪкенигсбергБи всей прусс!».
ТалерЪ имБетЪ 3 гульдена	78	koi

ГульденЪ	?о грошей	z6	ко:

ГрошЪ	J шилвнга	il

ШилингЪ	6 фенинговЪ

французкте монеты

старой люйдорЬ имВетЪ 375 копТк.
нррой люйдорЬ -	-	-	448.

люйблжкЬ -	го\

экю или шалерЪ 3. ливра - бог
ливрЪ - - - - до су 2b.
ру -	-	-	.12 ден!еровЪ

Игаал!янск!е монеты

скудЪ имЪетЬ 20. сольдовЪ 64. ко.
СольдЪ	!2« дснар!евЪ. 4 ia

ВЪ Дан!и употребляемые монеты
та лерЪ вмБетЪ 3. дацкихЪкронЪ 90 ко.
Д1ЦКЛЯ крона. 2. ЛЮб: Марка $О;КО.

Люб*

Лкбской маркЪ 2 дац; марка 15.
маркЬ	16. шилинговЬ.

ШллингЪ 12. ф:нинговЬ

ВЪ Швсцш учотребляюшся серебре,
ные и мЬдные денгп.

серебренной талер Ь имВетЬ 4
сер .• мар:	КО:

серебреная марка. 8 серебре: эрьзЪ. 9.
мВдной талерЬ. 4 мэдныхЬ
марокЬ 12. ко.

модная марка. 8. мВднахЪ э^розЬ^
серебренной тале: талера мВдныхЬ

Гишпанскхе деньги
пистоль	ч 8 э t ко.

пезодошшо -	- 95 ткопВ.

реалЪ	-	-	- 9 ’/ копВ.

мареведисЪ •	- копВ.

ПортугальскТе деньги
крузадЪимВешЪ вЪ себо дао ресозЪ
48 ко*.
маркирперЪ крузадь	бэ. ко:

пикшоль

	(°)	28$
пккптоль		360. КС:
патаконЬ		72 КО:
Гишгг некой	пезод ->тто	рО КО:
irccn онЪ		12 КО:
ре аль ,		4 | КО:
реэсЬ		з ко;

конец!).