У и 511(075) К 59
Козельский Я.
Арифметические
предложения... Спб., 1764
Инв.№ 245507
ПРЕДЛОЖЕНІЯ чн

;	и. ь 9

для употребленія

Обучающагося вЪ Артиллерійскомъ
и инженерномъ ШляхетномЪ Кадепг-
скомЪ Корпусъ благороднаго Юноше-
ства.

СОЧИНЕННЫЯ

Артиллеріи Капитаномг

ЯкоьомЪ Козельскимъ.

«V»

ІЙ

О О О О О о о <» <> о » <» <» о о о о о

ВЗ Санхтлсте
>	. л^'.'лтмі

Геч*”**	—


ЕГО ВЫСОКОПРЕВОСХОДИТЕЛЬСТВУ

АЛЕКСАНДРУ НИКИТИЧУ
ВИЛБОА

господину

Генералу Фелдцейгмейстеру
инженернаго корпуса
Генералу Директору
и

Орленой Снятаго ливрея Первозваннаго,
Святаго Александра невскаго и Святыя
Анны Кавалеру -

Милостивому Государю.

ЙЫСОКЭПРЕВОГ ХОД Й-
ТЕЛЬНОИ ГОСПОДИНЪ
] ЕЕ ЕРА ЛЪ ФЕ ЛДЦЕИГ-»
МЕИС ГЕРЪ

Милостивой Государь!

ТТЕусыпіісгГашего Высоко-
превосходительства по-
печеніе о всѣхъ, по важному
вашему чину касающихся до
васъ, дѣлахъ подаетъ чув-
ствч-
ствительной примѣръ и
всѣмъ подчиненнымъ Іашего
Б ы с о к опревосхо д и т ельс піва
трудиться 5 со всевозмож-
нымъ прилѣжаніемЪ, вЪ по-
рученныхъ имЪ должно-
стяхъ: я, вЪ согласіе и уго-
жденіе такой Ьашего Высо-
копревосходительства пре-
полезной и великихъ похвалъ
и одобренія достойной волѣ,
послу чаю пребыванія моего
при Артиллерійскомъ и Ин-
женерномъ Шляхетномъ Ка-
детскомъ Корпусѣ, сдѣлалъ
порученное мнѣ перьвое сіе
сочиненіе по благопристой-
ности
носити, какъ содержащее бЪ
себЪ перьвую чаешь матема-
тики, іпо есть ариѳметику,
для употребленія об\ чающа-
гося вЪ ономЪ Шляхетномъ ч
КадешскомЬ Корпусѣ благо-
роднаго юношества.

А какъ Ваше Бысоко-

превосходительство повели-
тель Артиллерійскаго и
Инженернаго Корпусовъ ,
какъ такихъ департамен-
товъ , коихЪ управленіе
требуетъ просвѣщеннаго ра-
зума и обширнаго знанія въ
воинскихъ наукахъ , для
которыхъ
)оС

которыхъ сія наука (окоец
я сочинилъ книгу) служитъ
заоснованіе , и:о потому я ,
имЪя ціастіе быть подъ по-
веявіііемъ вашимъ, предста-
вляю Вашему Высокопрево-
сходительству какъ покрой
вишелю нау къ сію мою книгу,
вЪ честь славнаго Вашего
имени; и ежели Ваше Высоко-
превосходительство удо-
стоите се высокой Рашей
аппробаціи, то я сочту се-
бя весьма щасгпливымЪ. Въ
заключеніе сего я, ласкае-
мой надеждою высокой Ва-
щей ко мні милости, прино-

шу
шу Вашему Высокопревосхо-
дительству истинное мое
усердіе и преданность, и сЪ
глубочайшимъ моимЪ къ особъ
Вашего Высокопревосходи-
тельства почтеніемъ на
всегда пребуду.

Вашего Высокопревосходительства

Милостиваго Грсудярм

Всенижайшій Слуга

НкрвЪ Козельское.

РѢЧЬ КЪ ЧИТЛТЕ^ІЮ

Причину имѣю -я думать , лю-
бопытной читатель что тр^дЬ
діой , пЗ сочиненіи сеи книги , пока-
жется для пасЗ беЗлолезенЗ , ло-
тпол/у что о о?и наукѣ много уже
книгЗ издано на Россійскомъ языкѣ,
л такЪ сіе сочиненіе должно быть
лишнее > но я памЪ на то лред-
станлто; что, какЗ пЪ дапніе, такЗ
и не дапніе предЗ силіб иреліена, сколь-
ко нинисали апторопЪ на латын-
ско «3, НѣліецкоуиЪ, ФранцузокодіЗ
и другмусѣ языкамъ о какиуеЪ лидо
наукакЪ; однако и пЪ нынѣшніе
Прелі на о тѣооЪ же наукамъ не
перестаютъ писать нопые апторы,
да иплредь нелереотанутЗ. ЧтожЗ^
Разпѣ для того почесть ліожпо
труды мрсЪ за (безполезные* НѣтЪ.
ВопсяколіЗ акторѣ , какопЗ (Гы онЗ
сласГъ нисГылЗ, нельзя,чтосГѣ не сбыло
челіЗ нисбудь лопользопаться; по-
толіу что ииои апторЗ ліожетЪ
Неоьуна ясно изтолкопыпать спои
-мысли, другой насГлюдаетЗ стрОео
Діателіатическои порядок'б , тре-
тій песаха искусно солркуплятъ

•можетЗ
ж

теорію и практику науки ,
ъетгпертРй дѣлаетъ много новых-3
изобрѣтеній, атому весьма труд-
рз статься , чтобЪ ВЗ одномъ
авторѣ ,р?отя бы онЪ былЪ самой
лучшей , сыскать можно было леѣ
тахі? совершенства 5 часто слу-
чается , что вЪ самсмЪ луч-
шемъ авторѣ бываютъ нѣкоторые
предложенія весьма трудно напи-
саны , крторые вЗ другирзЪ ниже
сланою апторарсЪ гораздо яснѣе
мзтолкопаны; снерідоЬ того надле-
житъ знать , что я сочинялЗ оію
книгу не по жадной Орестѣ , чтобЗ
реотя сЪ б^днымЪ сочиненіедіЪ ч
толъкобЗ пеолоздатъ поспѣть пЪ
число апгпоропЬ, но дОлопелѢпію ко-
Діанды, для употребленія обучаю^
щагооя пЪ Артиллерійскомъ и Инже-
нерномъ ІПлярсетномЪ КадетскомЪ.
корпусѣ благороднаго іоношеотппд,.

А какЪ нѣкоторые пЗ ариѳме-
тикѣ полагаемые правила помно-
?ирсЗ прежде меня писапшгірсЪ авто-
рахъ изтолкопаны политерамЪ ;
мрлододіу человѣку начинаю-
щему


іцему учиться лониматъ тпРУДи^і
то я (хотЯ сіе мнѣ и н-сСзЗ тируд-
яоетпя сГыло) для легчайшаго и%3
^понятія лостарался псѣ такге
лралила налисатъ и доказать с/езЪ-
улотре сГленія литерных^ тшкла-
докЪ

ПрисемЪ за с&сіго разоуДилЪ я
нало.иянутъ памЪ (ГлагосклонноЯ
читатель слѣдующее : часто слу-
чается, что молодые люди, ОоучмпЪ
псѣ лралила ари&л етикисЪ цуждою
мо^утЪ , или и солено'ДіЗ не зпаютб
рѣшитъ еа 'ИЫтсЪ лег.киро-3 лридіѣ-
ропЗ, ежели Нісказатъ ѵ^иЪ, до '-:о~.
тораго они лринадлетотЗ лрапила.
Причиною Сего отд части слао'се ло
Діалолътстлу нхЗ разоудл-чіе , а
отъ части лорядохЪ ученія, потому
что учители, лрилоказа- ы луапилЬ,
Ос/’ыкнопенно задаютЗ ученихамЪ
стоимъ примѣры ѵЪ однихъ цы-
фрахЗ состоящіе, неупоминая лри-
чпомЗ никакпхЪ случающихся пЪ
жизни челоцѣческой нуждЪ, которые
принадлежатъ , Для рѣшенія , кЗ
тѣмЪ лрапиламЪ и такъ осГу-,
чающеис^
дающемся симЪ ооразомЪ молодо.
челопѣкЬ дѣзает'6 рѣшеніе одния?
Лрасилб , непнимая нимало пЗ у до
тресГленіе и рсЪ кЪ житейскимъ ну
ждамЪ и неусилипая лрипычкоі
кЪ тому спосго разсужденія $ от
чего происходить , что ежели оц
не имѣетЪ отЬ природы допольп
^хорошаго разсужденія , тпо Х‘от,
сГы и тпердо зналЪ исѣ ари<& нети
ческія лрапила^ однако лрирѣшенг
слѵчающирсся пЪ оо'рсожденги т-елопѣ
ческомд лотресГностей логрі^шит
мсжетЬ, не зная, хоторо- хЪ толпу
лрапило улс/тресГлтъ должно-^ чего
ради молодому челонѣху угсГучающе^
муся ариѳметикѣ Пе осруод,лмо на-
досГно псепозможнымЪ осГраз'мЪ на-
пылать кЪ тому , чтосРб знать,
какое лрапило и п5 какомд сДу-,
чаѣ улотрес/дять п5 согласіе се-
го ПОЛОЖИЛЪ я здѣсь лрипсѣрсЪ
лрапилауЪ случаещіеся п5 жиз-
ни челопѣческой примѣры , ко-
ими старался я псепозможнымЪ
образомъ изЪяснитъ доказанные
мною а наилаче такіе лрапила ,
жоторые пЪ другирсЪ апторагЪ по-
казались
казались липѣ или слас/о , лиеГо ни-
мало і еизтолкопаніЩ дабы начи-
нающій учиться ари&ліетикѣ не-
идіѣлЪ нужды искать рѣшенія
принадлежащихъ кЪ сей наукѣ
примѣровъ вЪ другирсЪ книгахъ, а
успѣлб ли я вЪ томЪ, или нѣтъ, то
отЪ праведнаго .мнѣнія діоихЪ чита-
телей зависѣть будетъ. Я изклю-
чилЪ изЪ сего сочиненія нѣкоторые
прапила , для того что онѣ ни п5
житеисхиусЪ нуждарсЪ ни пЪ дѣй-
стиіЩХЪ натуры .мѣста не Илиѣ-
ютЪ, да и трудъ вЪтако-мЪ дѣлѣ
по справедливости почесть діожно
засГезполезное и сожалѣнія достоіі-
ное удіетпопаніе >' напротивъ того
старался я локраинеи позліожнос-
ти не проау стить ника копа правила
употрес&яедіаго пЪ житеиски^сЪ
пѵждауЪ; и ненадѣюеь, чтосГЪ дюгЪ
сыскаться какой случаи кЪ ари&-
діетикѣ принадлежащій', коегобЪ по-
напчсанныд,Ъ зд^ол правиладіЪ рѣ-
шить не діожно ^ьідо.

Теперь слѣдуетъ діиѢ л/СсГопыт-
нои читатель представитъ вадіЪ
осодержанги секкііп^н. Она раздѣлена
паче-


гй Ъетьірѣ г лапы, пзЪ хомрсЪ лерпад
содержитъ иЪсеоѣ цѣлы? числа, и то-
рал ломаные , тпретял содержанія
я пролооіДи чиселЪ, а четиертая гео4
метрическіе шя кладки. Л понеже на-
ука предложенная пЬ сей книгѣ еотЦ
математическая, то для того к$
Сочиненію ея употребилъ я мате-
маттескои Поо я долѣ, то есть
уардѣлилЪ псѣ ея претила наопре-
дѣленія, положенія, аксіомы тео-
ремы, задачи, слѣдствія, при-
мѣ^ач'ія, ачто значатъ сіи предло-
женія і то я ЗаблагоразсудилЪ из-
толхопатіу ііуЪ по кратцѣ:олредѣ-*
ленге какой ни есть пещи есть не-
^тпо ’ иное, какЪ япстпенное ея
понятіе. Полорреніезіо пазыпается
ѣіо , когда ас-торЪ улозіинаіотЪ о
Лртіятпі/рсЪ отЪ сесГя, или отЪ
Другаго кого зпакаурб какирсЪ или
ъсізпй’.ІяхЪ употресГляезіырсЪ пЪ
ііаѵкѣ. ЛкСІОзіа есть такое пред-
ложеніе , которое хотя и ложно
доказать, одпакожЪ оно ибезЪдака<
Ѣательстпа вразумительно. Те-
орема есть такое предложеніе, ко-
рі'раео безЪ доказательства ра-
зулпѣтя
)°С

зуліѣтъ не льзя> а состоитъ оно изЪ
лоложенія и доказательства. За“
яа*/а есть тахое предложеніе , ло-
РпеДстволіЪ котораго доказанные пб
теоремѣ истинны производитъ ліо-
жно пЪ дѣйстпо; а состоитъ оно изб-
лоложенія, рѣшенія,а ихогда иліѣетЪ
при себѣ и доказательство. Слѣд-
ствіе есть такое предложеніе, л'о-
торое выводится и зЪ опредѣленія,
или изЪ ахс'іоліы, либо изЪ п.еоре^іыі
или задачи, стотря на ирсЪ обстоя-
тельства. Л вЪ при^иѣчаніярсЪ пи-
шутся гисторическіе и другіе лег-
каго понятія дѣла.

Наконецъ Осталось лтѣ доне-
сти паліЪ любопытной читатель,
что желаніе люе изполнится, хогдсі
сія книга рЪотЯ вЪ лшлую послу-
житъ палі5 ліожетЗ пользу; а еже-
ли будутъ п<5 ней какіе недоотат-
хи, то благосклонной читатель кз-*
пипить гср5 жожетЪ, пЪ разсужде-
ніи тоео, что сочиненіе сіе издаю я
свѣтЪ яеръпое въ прочеліЪ пре-

13ашЪ доброжелатель

ЛковЬ Козслі«ьѵй.

*****»*** г»****»**»

ЯЛ2 &	?ЛУ '-ЕЛіЬХ*^')

АРИѲМЕТИЧЕСКІЕ

ПРЕДЛОЖЕНІЯ

ГЛАВА I.

о цѣлыхъ ЧИСЛАХЪ

Опредѣленіе.

г Ариѳметика, есть на-
ука содержащая вЪ сееѣ пра-
вила, какъ по извѣстнымъ
числамъ сыскивать неизвѣ-
стныя.

Опредѣленіе.

§ 2. Есе то называется
число, чемЪ отвѣтствовать
должно на вопросъ сколько-

Л	-ііримВ^
Примѣчаніе.

$3- Числа выражать можно произвола
иыни знаками; мы предложимъ здѣс
ціѣ; которые почти опіЬ всЪхЪ обита
юЩихЪ во вселенной народовъ вЪупошреб
леніе приняты; онЪ называются и из
обряжаются слѣдующимъ образомЪ: '

ОдинЪ	.......	।

Два	.......	а

'1 ри	.......	3

ЧЬтырЪ	... ...

Пять	......

Шесть	......	б

Семь	.......	7

ВосЪмь	- - _ ...	8

Девять	......	&

Ноль	......	о

Десять	или	десятокЪ ...	10

Одиннадцать .	.	.	- - іі

Дв дцать то есть два» десятка - зо
Тридцать	.	-	.	.	. з0

СорокЪ	-	-	.	. 4о

Пять десятЪ -	-	-	-	-	-50

Шесть десятЪ -	-	-	-	_	" б.о

СЬмдесятЬ	7о

ЪосѢмдесяшЪ -	.	-	-	.	_ §о

дузяяосшо	*	»	»	—	_ро

Сто или сотня	.... 1Оо

Тысяча	іооо

десять
Десять	‘

Сто тысячъ

Ты яча тысячъ или мимонЬ - юосооо
Тысяча тысячъ миліоновЪ или

БидіонЪ	-	-	- * ю<оосооооооа

ТриліэнЪ -	•	іотОоосообосогоооо

К'адрч’ііонЪ ’осоосеогОсосооо оОсОооео
ипрочая , ивсѣ сіи числа вообще ИазЫ«
ваюпіся цыфрами ; цыфра о ежели одна
СтснтЪ, лю вЪ піакомЪ случаѣ ничего
яезначитЪ ; акогда она приставлена
будетЪ сЪ правой стороны к’1 одной или
нѢсколікимЪ изЪ девяти другихЪ ЦыфрЪ>
іпо занимаетъ мѣста. десжпковЪ , сотенЪ
ипрочая смотпря по числу предписанныхъ
ей сЬ лѣвой кѣ правой сторонѣ ЦыфрЪ'

Примѣчаніе.

і 4. Что нашЬ щотЬ начинаясь отЪ
единицы кончится надесятк? > анена-

другомЬ какомЪ бодыиемѣ или мекынемЬі
чисаЁ, то причиною сего десятичнаго
счисленія безЪ сомнѣнія нейное что }
какѣ десятичное число НашИхЪ пальЦо^»
ибо и вЪ нынѣшніе времена находя.ПсЯ
нѣкоторые народы, которые счкшдхотЬ
попальцлмѣь

Примѣчаніе!.

і 5 Ѵдмвлеіаія достсйио * что НйоГіа
Мапіемлгпики не почитаюпіЬ едяиицы за
число, а Самиже онй еяселй Гдѣ упомй-
и.юіпЪ О’іислителъныхЪ аыакахЪ» то еди-

▲ я

вицы
ницы изЪ числа птТхЪ знаковЪ иевът-1
хлочаюлгі; почему кажепкя что такос
ихЪ мнѣніе вразсужденіи явнаго самимЪ
себѣ противорѣчія подтве] ждеаія не
достойно.

Опредѣленіе.

§. 6. Число означающее
одну или нѣсколько вещей ве й
свои части имѣющихъ назы-
вается цѣлымъ.

Примѣчаніе.

$ 7 Числа раздѣляются напростпые или
единакіе (питегі мтріісеь) и на сложные
(питегі Соггромй) начошы или чотные
чйсла (Мшпегі рагев) инанечоты и ни нечо
хпчые (питегі ітрагев) аопределенія ихЬ
с$іпъ ниже слѣдующіе.

Опредѣленіе

§ 8. Простымъ или оди-
накимъ числомъ называется
каждая изъдевяти первона-
чальныхъ ЦЫфрЪ і. 2. 7.

* и прочая


ипрочая, ежели она одна
будетъ; асложнымЪ назы-
ваются нѣсколько ЦЫфрЪ
одна подлѣ другой нера-
здѣльно поставленныхъ; на
примѣръ іо, и, 12, или 1049
120, либо іооо, 1504 ипро-
чая.

Опредѣленіе.

§. 9. ЧотЪ или чотноечи-.
сло называется то, которое
раздѣлить можмонадвѣ рав-
ныя части безъ остатка : на
примѣръ 4, 6; а нечотЪ или
нечотное число есть то, ко-
торое на двѣ равныя части
безъ остатка раздѣлиться
неможетЪ: на примѣръ. /, т і.

А з	За-
Задача.

5. ю. Ежели какихъ ве-!
іпей сложное число выражено
будетъ цыфрами, то какъ
узнать его содержаніе, то
есть разобрать сколько оно
единицъ въ себѣ имѣетъ.

рБіпеніс

Надлежитъ раздѣлить данное
число точками на класы, начиная сЪ
правой стороны кЪ лѣвой , нопрс-
дѢляя вЪ каждой класЪ потри цы-
фры , потомЪ означить вЪ тре-
тьемъ класѢ настоящей сЪ правой
стороны перьвой цыфрѣ маленькую
черту, вЪ пятомЪ класѢ настоящей
еЪ іпойже стороны первой цыфрѢ
дрБ черты , итакЪ далѣе; всогйасіе
сего раздѣленія первой класЪ бу-
депіЬ сод^ржатьвЪ себѣ числа прости-
рающіссь отЪ единицы до ста, вто-
рой ошЪ одной тысячи до ста ты-


7

сячь, аттірстсй огпЪ одного миліона
доста милІоновЪ. и такѣ далѣе;
ичрезЬ Сіе дѣйствіе узнать можно
содержаніе даннаго числа : на при-
мѣрѣ ежели надобно будетЪ
узнать содержаніе слѣдующаго чи-
сла 28456094-7032485224 рублевЪ
тпо разбирать его нижеписаннымЪ
образомѣ.

3
Е

о

«?

. х

з 5
! 5
а я

•< Е

0> X

X
X

Е
о

X
X .
.. з

Е

<и

X
ѵо

Е

Е

3
х

х
х

Е

X

X

У

3
и Е

3
Е

Е

X
о

О 51

3
Е

3
Е

Е

я

3

Е

х
X

Е

х 3

Е §

I

5 2-

560. 94 7.

485.224.

О

И піакЪ по выше обЪявленному
разысканное сіе число содержишь вЪ
себѣ двѣсти восБмдесятЪ четырѢ
тысячи , пять согпЬ шестьдесятъ
биліоновЪ , девять сотѣ сорокѣ
сѣмь тысячъ, тридцать два миліона
чсшырѢста восѢмдссятЪ пять ты-

А 4	сячь
сячь , двѣсти двапцатпь четыре рѵ,
(ШвЬ.	1

Опредѣленіе. I

§. п. Количество ши вЦ
личина называется все то,
что увеличишь или умалишь
можно.	I

Примѣчаніе.

12. Количествѣ или величинѣ суть
дка рода$ вѣ первомЪ пол-г-ются количе«|
етва состоящіе маѣ ч детей раздѣльныхъ
жСл^ду сс&ю ; какѣ напримѣръ куча лѣ-
ску или друііе иаЪ частей состоящіе
в<щи$ а вѣ другомЪ тѣ величины, кото-
рыхЬ части соединены исвязлны между
собою ; какѣ на примѣрѣ палк?$ и пои же
количества только перваго рода сосгпа-
вляюаіЪ подлинной предметѣ аргече-
тики , то мы обЪ однихѣ ихЪ здѣсь
предлагать будемѣ, оставляя величины
другаго рода ; по тому что онѣ при-
надлежитъ догеомешріи.

Опредѣленіе,

§.13. Равные числа сушь
тѣ , изъ которыхъ одно
вмѣсмо
тмѣсіпо другаго безъ пере-
мѣны его величины упо-
требишь можно: на примѣръ
вмѣсто 5 можно взять 2
вмѣстѣ сЪ

п оложснТе.

§. 14. ЗнакЪ равенства естьз^ги вы-
говаривается равно: напрѵмВрЪ
взжпымЪ вмѣстѣ сЪ 6. то есть
равно. 2 вмѣстѣ взятымЬ сЪ 6.

Опредѣленіе

§. 15. числа называются
однородными (питегі Ьото-
^епеі) вЪ такомъ случаѣ,
когда ими означаются нѣ-
сколько вещей одного рода:
аразнородными ( питегі Ье-
Гего^епеі) вЪ то время ,
когда онѣ употреблены бы-

А 5 ГаюіпЪ
I,

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I
I
I

ваютЪ кЪ вещамъ разнаго
рода.	1

Аксіома.

§. іб\ Цѣлое количество
равно всѣмъ своимъ частямъ
вмѣстѣ взятымъ; или взаим-
номъ образомъ всѣ части
количества вмѣстѣ взятые
равны ему будутъ.

Опредѣленіе.

і/. Сложеніе чиселі
есть дѣйствіе, посредствомі
котораго сыскивается та-
кое число совокупно выра
женное , которое равнс
нѣсколькимъ числамъ одной
рода выраженнымъ порознь


ІІ

выраженые порознь, или за-
данные числа называются
слагаемые числа (питегі
Биттапсіі) а совокупно выра-
женное, или искомое число
называется сумма (штта).

Положеніе.

§ і$. ЗнакЬ сложенія употреб-
ляется -4-и выговаривается И , пли
сложено (ріиз) на примѣръ 2.-4-р
выговаривается 2. и 3. или 2. сло-
жено сЪ 3.

Задача.

§. 19. Сложить нѣсколько
заданныхъ однородныхъ чи-
селъ , шо есть сыскать
ихЪ сумму.

Поставить
рѣшеніе

Поставить однѣ числа под]
другими шакимЪ образомЪ , чтоб]
единицы подЪ единицами, десяткі
подѣ десятками, а сотни псдЬсош
нями стояли и такЬ далѣе, и про
ПіянувЪ подЬ ими линею, чтобі
слагаемые числа не смѣшалися сі

суммою, сложить прежде единицы
и сумму ихѣ поставить нйже ли
неи подЬ единицімиже слагаемый]
чиселЪ; и ежели вЪ суммѣ единицѣ
случится одинЪ или нѣсколько Де-
сятковѣ , то не ставя ихѣ подѣ

единицами слагаемыхъ чиселЪ пере
несть кѣ десягпкамЬ, слагаемыхъ
чиселЪ оставляя подЪ единицами
только сверьхѣ десятковЪ находя*
іціесь единицы; а ежели ихЪ не бу*
деіпЪ , то ноли •' и когда вЪ сум-
мѣ десятковЪ будетЪ одна или
нѣсколько сопснѣ, иго перенесть
ихЪ кЪ сочічямѣ слагаемыхъ чи-
селЪ поступая сЪ остатками со-

шенЪ
гпенЪ вышеобЬявленнымЪ при сло-
женіи единицѣ способомъ, и ежели
продолжаемо будетЪ такимЪ обра-
зовъ дѣйствіе сложенія и по про-
чимЪ рядамѣ слагаемыхЪ чиселЪ і о
произойдетъ оігіЬ того искомая
сумма: на примѣрѣ огнѣ созданія
города рима до учрежденія вѣ немЪ
консуловъ прошло 23 5 лѣтѣ, отѣ
начала консуловъ довзятпья галлами
рима і $О, отЪ взятья рима до раЗ-
зорені'я Карѳагена 240. отЪ раззо-
ренія Карѳагена , до рождества Хрі-
стова 144. а отЪ рождества Хрі*
стова понынѣшнее время 1762 года
такѣ сколько будетѣ всѢхЬ лѣтѣ
отЪ созданія города рима по ны-
нѣшнее время; понеже для рѣшенія
сего вопроса надлежигпѣ сложить
сіи числа, то мы поступимѣ вЪ
томѣ слѣдующимъ образомЪ :
поставимъ слагаемые числа одно
подЪ другимЪ такЪ чтобЪ единицы
подѣ единицами и прочая стояли
сла- то 5, 4, 2. сосгпавяіпЬ 1
гае- і такЪ повышеписанноюй
мыс- 240 ставимЪ мы подЪ едини!
чис- 14.4 цами слагаемыхъ чисслд
ла 1762 і. а десятокЪ сноСимЪ кУ
еумм»2лі ряду десятковЪ искладываЛ
емЬ его сЪ сЬ$. сЪ 4. сЪ 4 и си
6. десятками 5 и понеже сумма
ихЪ составляетъ двадцать одиніі
десятокЪ , или двЪ сотни и одиніі
десятокЪ, то мы потому сгпазимН
подЬ рядомЪ десятковЪ слагаемыхъ
чиселЪ і. а 2 сотни перенесши кЬ
сопінямЪ слагаемыхъ чиселЪ скла4
дывасмЪ ихЪ сЬ 2, сЬ і. сЪ 2. сЬ
і. и сЪ 7. и какЪ ихЪ сумма со-
ставляешь пятьнадцать соігснЪ ,
или тысячу пять сошЪ , то мы
ставимЪ 5 сопЪ подЬ сотнями
слагаемыхъ чиселЬ, а ісоо перено-
симъ кЪ тысячи слагаемыхъ чиселЪ
и какЪ ихЪ сЪ тою тысячью бу-
дешЪ только 2, то мы ставимЪ і

піыся
тысячи подЪ тысячью слагаемыхъ
чиселЪ; И посему дѣйствію явилось,
что оптѣ созданія города рима по-
нынѣшнее время прошло 2511 лѢтЪ.

Доказательство

ДанныхЪ чиселЪ единицы , де-
сятки , сотни ипрочая сушь нечто
иное, какЪ ихЪ части ; и такЪ ко-
гда онБ асѣ вмѣстѣ возьмутся , то
будугпЪ равны даннымЬ числамЪ ,
какЪ своему цЪлому количеству (по
§ іб) но понеже изЪ рѣшенія даннаго
примѣра видно , что подЪ линесю
поставленное число составлено изЪ
всѢхЪ единицѣ , десятковЪ, сотенЬ
и прочая данныхЪ чиселЪ { и такЪ
имЪ равно, слѣдовательно будетЪ
вѣрная ихЪ сумма.

Слѣдствіе

§ 20 ИзЪ рѣшенія примѣра сей
Задачи ясно видѣть можно , что
вЪ которомЪ ряду сумма чиселЪ
прево-
превосходипіЪ число девяти, то сгпоЦ
лько вЪ немЪ девятковЪ осшавляс.)
тся, сколько КоЪ суммы праваіі
ряда налѣвой переносится единѵцЪІ
чего ради ежели почесть всѢ слагай
емые и рЪ суммѣ находящіеся чисч
За едмннця , не взирая на то, что нѣі
которые изЬ ихЪ ЗанимоЮтЪ мѣси і1
десятковЬ, сотенЬ, тысячѣ и проча
то вЪгпакомЬ случаѣ число находя
Щихся вЪ слагаемыхъ числахЪ девЯ
ГпковЪ сЬ остаткомъ (ежели како

козЪ оставленныхъ во время сложе
нія заданныхъ чиселЪ сложснном
сЪ числомЪ находящихся вЪ сумм
ДевятковЪ сЬ остапгкомЬ (ежели он
будетЪ) какЪ то и вЬ нашемЪ прі

мѣрѣ вЪ слагаемыхъ чмслахЪ нахо
дится пять дсзяшковЪ , также оста
вленныхЪ вовремя сложенія задін*
ныхЪ слагаемыхъ чиселЪ девятковЪ
чешырѢ авЪ суммѣ одинЪ*, и такЪ сіе
равенство числа находящихся вп
слага-

слагаемыхъ —

числомЪ девятковЪ находящихся
вЪ суммѣ и оставленныхъ во время
сложенія слагаемыхъ чиселЪ слу-

- жить можетЪ вмѣсто повѣренія
* задачѣ рѣшенныхъ по правилу сло-

4 женія.

Опредѣленіе

2і Вычитаніе есть дѣй-
ствіе, посредствомъ кото-
гаго изъ данныхъ двухъ
однородныхъ чиселъ сы-
скать можно третье ;
которое ежели сложить сЪ
однимъ изЪ данныхъ чи-
селъ , то оно будетъ равно
Другому : число, которое
вычитается , называется
вычитаемое ( пишегиз ГпЬ-

Б Іга-

МпМст»» ^гЛ(ЖТИ>
ІгаЬепскіз) шо число, изъ
коего вычетъ дѣлается
уменьшаемое ( питегиз тЦ
пиепсіиз) а искомое оста4
токъ или разность (геГь
скшт ѵеі ЗіЯёгепгіа.)

Положеніе.

22.	Знакѣ вычитанія полагается—|
и выговаривается безЪ ( тітіб ) на«І
примѣрѣ 8-3 , выговаривается во*'
семь бслЬ трехЪ.

Задача.

23.	Вычесть вычита-
емое число изъ уменьша-
емаго.	, I

Рѣшеніе.

НэдлежитЪ поставить вычи-
таемое число подЪ умсншаемымЬ
такимЪ
такимЪ образомЪ, чгпсбЬ единицы ,
десятки, сотни и пречая вычі тае-
ыго числа были нодЬ единицами,
десятками , сотнями и прочгя
уменшаемаго числа 5 какЪ по вЬ
задачЪ сложенія пскаЗію (§ 19.)
пошомЬ провесть т дЬ сими чи<*
слами линсю , и вычесть единицы
изЪ едингцЪ , дссяп.ки .изЪ дсся-п-
коі-Ъ и прочая , и каждой оста-
токъ написать подЬ линія ю вЬ
пристойномъ мЪспіЪ , то есть
остзтокЪ едѵницЪ подЪ единицами*
десятковЪ подЪ десятками и прочая ;
а ежели вЪ какомЪ ряду случится
вычитать большее число изЪ мсн*
таго или изЪ ноля , то для вы*
читанія такого числа надобно пе-
ренесть вЪ тотЬ рядЬ изЪ лЪваго
единицу , которая вЪ немЪ будетЪ
стоять, десяти ( по § ю ) а число
уменшенное единицею, означить
точкою, чтсбЪ не позабыть , что
оно уменшено $ притомЪ ежели

ба	вЪ
вЪ уменшаемомЪ числѣ случится
много нолей одинЪ задругимЪ слВ«
дующихЪ , то они всЬ такимЬ
образомЪ перемѣняются вЪ десятки,
а меньшее число , изЪ кошорапі
вычитать должно, увеличивается
десяткомЪ; и ежели симЪобразомѣ
поступать при вычитаніи одного
числа изЪ другаго , то сыщется
требуемой осиіатокЪ: напримѢр!
отЪ приходу Энеева вЪ Італік
по раззореніи Трои донынѣшмягс
времени прошло 29?9* лѢтЪ ,
а римляне взяли подкопами ві
*7§§ году послѣ Энеева приходу
вЪ Італію , городѣ Вей , не по-
далеку отЪ нихЪ стоявшей .
такЪ по сему узнать надобно
сколько ліэіпЪ прошло отЪ топ
времени, какЪ при взятіи городові
подкопы употребляться стали; мь
по тому, что рѣшеніе сего вопрос;
принадлежитъ до правила вычигпа
нія, посшупимЪ вЪ томЪ предпи
саннымЪ порядкомЪ; ежели вычесть 8
уменьшеное число 2р^9 пэЬ р то
вычитаемое число 7^8 будетЪ,
осшатокЪ или разн. 2.1^ і осглатокЪ
отЪ вычитанія единицѣ изЪ единицЪ
і, которой ставимЪ мы подЪ еди-
ницами стоящихъ выше линейки
чиселЪ, а понеже 8 слѣдующихъ
десятковЪ изЪ $ вычесть нельзя >
то для того взять надобно изЬ
р. сотенЪ1 одну , сложить ее сЪ
тремя десятками , кои сЪ нею со-
ставятъ і$. десятковЪ; изЪ кото-
рыхЪ ежели вычесть 8, то проис-
ходящей отЪ того остатокЪ бу-
детЪ десятковЪ • которей по-
ставить должно вЪ послѣдованіе
предписаннымъ правиламъ подЪ де-
сятками же находящихся выше ли-
нейки чиселЪ; теперь вычесть 7.
сошенЪ не изЪ 9. но йзЪ §. пото-
му, что сЪ правой стороны при
нихЬ стоящая точка значитЪ ,
что число р единицею уменьшеноі
.И остатокЪ оігіЬ того і. написать
подЬ сотнями верхнихЬ чиселЪ ;
наконецЬ поставишь должно подЪ
линѢею 2 тысячи непремѣнные; длд
того, что вычитать пзЬнихЪ нѢчсго
и чрезЪ сіе дѣйствіе явилось, что
сш Ь того времени , какѣ при ога-
дахЬ городовЬ подкопы дѣлаются,
прошло 215г годѣ.

Доказательство

При рѣшеніи сей Задачи вычи-
таемы бы іи вычитаемаго числа
единицы, десятки, сотни и прочая
мзЪ единицѣ десятковЪ и сотенЪ
уменша» м го? то есть всѢ части
вычитаемаго числа изЪ всѣхЪ частей
уменшаемаго, а всѣ части вычитае-
маго числа вмѣстѣ взятые равны цѣ-
Лом / вычитаемому числу, также и
всѢ части уменшаемаго числа вмѣ-
стѣ взятыя равны цѣлому уменша-
емому числу (по § іб.) слѣдова-
тельно при шакомЪ правильномъ
вычи-
вычитаніи одного числа иэЪ другаго
остапюкЬ будетЬ вВренЪ.

СлѢдс ш віе.

24 ИзЪ остатка происходящаго
отЪ вычитанія одного числа изЪ
другаго узніть можно, чемЬ одно
изЬ ихЪ превссходиіпЪ другаго 5 и
по сему ежели почесть вычитаемое
число, и остатокЪ за слагаем я
числа, то уменшаемое число б/-
де’пЪ ихЬ суммі; и симЪ сбраэомЪ
повѣрять можно рѣшенныя по пра-
вилу вычитанія задачи; какѣ то и
вЪ заданномЪ примѣрѣ, ежели сло-
жить вычитаемое число 7^8. сЪ
осяіаточнымЬ 2151, то сумма
сихЪ чиселЪ равна будетЪ умен-
шлемому числу 2939; чрсзЬ что
узнать можно, что заданной при-
мѣрѣ рѢшенЪ вѣрно.

Примѣчаніе.-

При сложеніи слагаемыя числа и
сумма, а при вычитаніи уменьшаемое, вы-
читаемое и остаточное числа должны
быть одного рода- потому, что вЪ прогни-
вномЬ случаѣ слагаемые числа н-могутЪ
ѣ 4 соітавипі*
составить суммы , ежели онѣ не будутЬ
одного роду; для того, что сумма по-
честься можетѣ за цѣлое количество, а
слагаемые числа за части его, также и
при вычитаніи не можно вычесть числа
вещей одного рода изЪ числа вещей дру-
гаго ; для того, что уменшаемое число
также почесться можепіЬ за цѣлое коли-
чество, а вычитаемое за часть его, что
вЪ разнородныхъ числахЬ быть не мо-
жешЪ.

Оиредѣленіе.

26 умноженіе есть дѣй-
ствіе , помощію котораго
одно какое ни есть изъ дан-
ныхъ двухъ чиселъ во столь-
ко разъ увеличивается, ско-
лько другое единицъ въ себѣ
имѣетъ. Одно изъ данныхъ
чиселъ въ верьху стоящее
называется множимое число
( пишепіз тиігіріісапсіиз )
а другое множитель (тиі-
ііріісагог) оба вообще мно-
жимыя числа ( Еасйэгез )
а происходящее отЪ умно-
женія ихЪ между собою
число именуется произве-
деніе [ргосіисшт].

Положеніе.

27 ЗнакЪ умноженія есть, или
X, которой ставится между мно-
жимымъ числэмЪ и множителемЪ и
выговаривается умножено , на при-
мБрЪ 4. или 4, X Ъ выговари-
вается четыре умножено тремя.

Задача.

28 Вдѣлать таблицу
умноженія.

б 5 рѣшеніе
2,6

(О)

рѣшеніе.

Начертить четверосшоронную
и равносторонную фигуру , и ра-
здѣливЪ каждую изЬ се сторонѣ
на 9. рівныхЬ частей, провссіпі
чргзЪ точки раздѣленія другихЪ
противолежащпхЪ сторонѣ другіе
прямые линѢи разсѣкающіе прежнихЬ
накрестЪ , то гпакимЪ образомЬ
раздѣлится та фигура на нѣсколь-
ко маленькихЪ четыреугольниковЪ;
послѣ сего приготовленія надле-
житъ написать какЪ вЪ верхнемЬ
ряду такЪ и вЪ томЪ , которой
на лѣвой сторонѣ фигуры сверьху
внизЪ простирается, по 9. ць;фрЬ1
пощомЪ ставить дважды взятое 2
то есть 4. подЪ 2, дважды взятое $
то есть 6. подЪ и такЪ далѣе ,
трижды взятое 2. то есть б. подЪ
2. трижды взятое 3. то есть 9

подЪ и такЪ далѣе , продолжая
нѣсколько кратное всѢхЪ чиселЪ
даже


даже до ю- повтореніе , пока вся
таблица написана будетЪ ; какЪ
піо сіе ивЪ самой се яснѣе видѣть
можно.

1	2І	ЗІ	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	ІС	12	«4	іб	18
3	6	9	12	15	і8		24	27
	8	I 2	16	20	24	2^	?2	>о егч
5	ІО	>5	20	2Т	3е	35	40	4<
6	12	і8	2 4	з°.	^6	4»	48	54
7	14	21	28	35	42	49	•чб	
8	»6	24	Р	_4о	48	5 <5	6л	72
9	18	27	з>	*5	54	б3	7*	8і

Примѣчаніе.

59- Начинающему учить умноженіе
необходимо надобно выучить прежде
таблицу умноженія } потому что б зЪ
знанія ее весьма трудно умножать
числа.

-Задача.
ь'іх Задача.

50. ИзЪ данныхъ двухъ ।
чиселъ одно другимъ умно-І
жшнь.

рѣшеніе.

Поставить данныя числа одно!
ПодЬ другимЪ такимЬ образомЪ ,
какЪ и вЬ сложеніи , потомЪ про -|
весть подЪ ними прямую линЕ>ю; я
ниже линѣи надобно ставить про-'
изведенія изЪ множителя на мно-
жимое число, наблюдая притомЪ ,
чтобЪ десятки всякаго произведенія
сносимы были кЪ слѣдующимъ
произведеніямъ, также, чтобЪпро-І
изведеніе изЪ множимаго числа на
десятки множителя противЪ де- '
сятковЪ , а произведеніе изЪ мно-
жимаго числа на сотни множителя
противЪ сотенЪ начиналось • по-
ШомЪ надобно сложить частныя

произве-
произведенія , то сумма ихЪ бу-
детЪ искомое произведеніе; на при-
мѣръ надобно знать сколько 24 мЪ
исдовѣкамѣ всѢмЪ дано денегЬ ,
когда на каждаго изЪ ихЪ досталось
по 56. рублевЪ: для рѣшенія сего
примѣра поставить должно 56.
подѣ 24. по предписаннымъ пра-
виламъ , и множишь 4. чрезЪ 6,
множимое число 24 и какЪ отѣ
множителя б, 56 выходитѣ п р о-

144 изведеніе 24.

120 то поставить
произведеніе 1344-иодЪ линѢикою
противЪ единицѣ множимыхъ чи-
селЪ 4 а 2 десятка перенесть кЪ
произведенію изЪ 6. на 2. то есть
кЪ 12, сложить ихЪ вмѣстѣ , и
поставить 14. теперь, когда взять
вторую цыфру множителя 5. на-
чать умножать ею множимаго чи-
сла перьвую Цыфру 4. и понеже
отЪ того происходитъ произведе-
ніе 20. то должно его поставить
противЪ
противЪ 5. то есть противЬ де»
сятковЪ множителя, потому что
произведеніе сіе не изЪ едѵнпцЪ ,
но изЪ дссятковЪ мьожитслсвыхЪ
на множимое число 4. а 2. псре*
несть кЪ слѣдующему произведенію
изЪ на 2. то есть кЪ ю. и,
сложивЬ вмЪспіЬ поставить 12.
наконсцЪ когда сложить сіи част-
н >ія произведенія , то выдетЪ
требуемое произведеніе 1344. озна-
чающее чссло денегЬ данныхЪ всЬмЪ
24 человЪкамЬ.

Доказательство.

ИзЪ самаго рѣшенія и таб лицы
умноженія явствуетЪ, что первое
между линЬиками написанное число
і«4 содсржитЪ вЪ себЪ всЪ мно-
жимаго числа цыфры , то есть
всВ его части ; слѣдовательно
все множимое число столько разЪ,
( по § 26.) сколько первая множи-
телева
птелева цыфра единицѣ ,• такимЪ
же образомЬ узнать можно , что
и другое между линѣйками находя-
щееся число ійО столько разЪ
содержитъ вЪ сесэѣ множимое чи-
сло , сколько другая множителева
цыфра единицѣ,- а понеже числа ме-
жду линѣйками написанные соста-
вляютъ вмѣспѣ произведеніе про-
исходящее отЪ умноженія всБхЪ
данныхЪ чиселЪ между собою, то
сумма ихЪ равна имЬ будетЪ ( по
§ 17.) которая столько разѣ со-
держитъ вЬ себѣ множимое число,
сколько всѣ множителевы цыфры,
то есть всѣ его части , слѣдова-
тельно весь множитель еіиницѣ ,
вЪ себѣ имѣетѢ : и такимЪ обра- •
зомЪ сія сумма будетЪ произведе-
ніе изЪ множимаго числа на мно-
жителя.

Примѣчаніе.

3». Кж-ли случится у множите»»
Ніи у множимаго числя, либо у обѢнхЬ
ЧиселЪ на концѣ по нѣскольку нолей ,

то
то для облехченія излишняго труд^
вЪ умноженіи должно множить одя®
только тѣ цыфры, которые содержать
вЪ себѣ единицы , а ноли вс?}, сколько
вхЪ ни будетЪ , приставливать ОзЫ
умноженія кЪ произведенію; потому, чш!
они какЬ ничего незначащіе цыфры умвод
жать не могутѣ; также ежели доведете!
умножать какое большое число чрезЪ
или 99. либо чрезЪ 999. и такЪ далѣе, та
вмѣсто умноженія его чрезЬ 9. множить
чрезѣ іо.вмѣсто 99. чрезЪ гсо.виѣсторррі
ЧрезЪ і ооо. и такЪ далѣе, и изЪпроиз^

веденія вычесть однажды множимое чи-
сло , шэ остатокъ будетЪ требуемо!
число ; какЪ то сіе яснѣе усмотрѣли

можно изЪ нижеслѢдующихЪ примѣровъ!
вмѣсто продолжи-гнадлежитЪ умно-
тельнаго сего умно- жать ниже слѣду»
экенія.	ющимЪ сокра щен»

нымЬ образомЪ.

300
ЭОІ

СООІ
бОО I
бооо|

280

99

252С
2520

277-іС

300
"О

Осоо

2бО]

І»-?! 2
28000

2 'ІО
27720

Опре-
(О)

Опредѣленіе

И

52 Дѣленіе есшь дѣй-
ствіе , помощію котораго
изъ двухЪданныхЪ чиселъ
сыскивается третее, ко-
торое столько единицъ
въ себѣ имѣетъ, сколько
разъ одно изъ данныхъ
чиселъ вычтено изЪ дру-
гаго: то число, которое
дѣлить должно называется
дѣлимое число (пптегиз
віѵЫепсіиз) то , нако-*
торое дѣлить , дѣли-
тель ( сііѵИог) а -что про-
исходитъ отъ дѣленія од-

В ного
Я	(О)

I

ного числа на другое, на
зываешся частное число

Положеніе.

55 Знакѣ дѣленія есть: поста’
вляемой вЪ срединѣ между дѣли-
телемЪ и дѣлимымЪ числомѣ } илі
другой знакѣ § надЬ кошорымѣ сша<
вится вверьху дѣлимое число а вни-
зу дѣлитель: и выговаривается
раздѣлено: на примѣрѣ 6: а или «
выговаривается 6 раздѣлено на 2,
I

Задача

54 раздѣлить данныя
числа одно на другое.

рѣшеніе.

Поставить дѣлителя сѣ лѣвой
стороны, а дѣлимое число сѣ пра-
вой 5
вой ; и означить между ними для
убѣжанія замѣшательства скобку,
потомЪ начиная сЪ лѣвой сторо-
ны дѣлимаго числа, и слѣдуя кЪ
правой надлежитъ смотрѣть, сколь-
ко разЪ дѣлитель состоящій изЪ од-
ной цыфры содержаться будешЪ вЪ
одной цыфрѣ, или ежели онЪ боль-
ше той цыфры будетЪ, то вЪ
двухЬ; дѣлитель имѣющій двѣ Цыф-
ры вЪ двухЪ; или вЪ трехЪ цыф-
рахЪ дѣлимаго числа, и такЪ далѣе,
а частное число, которое показыва-
етЬ, сколько разЪ дѣлитель содер-
жится вЪ дѣлимомЪ числѣ ста-
вить должно по правую сторону
дѣлимаго числа ознавивЪ между ни-
ми скобку >• потомЪ умножить сіа
частное число дѢлителемЪ' и про-
изведеніе отЪ того поставивъ сЪ
лѣвой стороны подѣ'одною, или
подЪ нѣсколькими цыфрами дѣ-
лимаго числа вычесть его изЪ
той одной или нѣсколькихЪ цыфрЪ •

? *	нако-
наконецй должно прибавишь к
остатку одну или нѣсколько цы-
фрѣ ; пока будетЪ остаточныхЪ
и приданныхъ чиселЪ сумма столь
велика, чшобЬ дѣлитель вЪ не!
содержаться могЪ, осторожно наб
людая притомЬ, чпгобЬ не забыт
ставить вЪ частномЪ числѣ столь-
ко нолей , сколько разѣ по приложе
ніи кЪ остатку дѣлимаго числа пі
одной цыфрѣ дѣлитель вЪ шоі
суммѣ сорержаться не можетѣ, и ко
гда такимЪ образомЪ со всѣми дѢ
лимаго числа цыфрами поступлено
будетЪ , то произойдетъ отЪ то-
го искомое частное число; на при
мѢрЪ на 28 человѣкѣ дано 2576
руб іевЪ желательно знать , по

скольку каждому достанется изі
той суммы ; а чтобЪ намЪ сіе уз-
нать, то мы поступпмЪ сЪ дан-
ными числами слѣдующимъ сбра-
ЮмЪ.

дѣли-
дѣлитель дѣлимое число частое число

28	) 2576 (	92

252

Понеже дѣлитель 28 вЪ первыхЪ
двухЪ цыфрахЪ дѣлимаго числа г
пю есть вЬ 25 содержаться не мо-
жешЪ, шо надобно взять кЪ тѣмЪ
двумЪ цыфрамЪ еще третью, и такЪ
будетЪ 257, теперь смотрѣть
должно , сколько разЪ дѣлитель 28
вЪ 257 содержится, и какЪ видно
что онЪ не менѣе содержится
какЪ девятью, то поставить за
скобкою сЬ правой стороны дѣли-
маго числа 9 и умножить тѢмЪ чи*
сломЪ 28; а произведеніе изЪ сихЪ
чиселЪ написать начиная отЬ пра-
вой руки кЪ лѣвой подЪ первыми
тремя цыфрами дѣлимаго числа: то
есть подЪ 257- потбмЪ вычетши
25г изЪ 257 остатокЪ 5 поста-

В $	вишь
вить подѣ линейкою, и кЪ сему ос-
татку приложитъ остальную дѣ-
лимаго числа цыфру 6; наконецЪ
когда и сЪ сею дѣлимаго часла ча-
стью поступлено будетЪ такимже
образомЪ, то выдетЪ частное чи-
сло 92 рубли на каждаго человѣка
пзЪ суммы 2576 рублевЪ.

Доказательство

ИзЪ рѣшенія сей задачи видно,
что сысканное частное число по-
казываетъ , сколько разЪ дѣлитель
»Ъ тысячахЪ, сотняхЪ, десяткахЪ
Ві единицахъ какЪ частяхЬ дѣлимаго
числа, и потому во всемЪ дѢлимомЪ
числѣ содержится,- слѣдователь-
но оно столько разЪ содержитъ вЪ
себѣ единицѣ, сколько дѣлимое
число дѣлителя, и такЪ сіе част-
ное число вѣрно.

Слѣдствіе

55 рѣшеніе задачѣ умноженія
И дѣленія показываетъ намЪ, что

при-
при умноженіи двухЪ чиселЪ можно
одно гэЬ нихЬ почесть за дѣлите-
ля, другое за частное число, а произ-
вед-ніе за дѣлимое число; іпакожѣ
про нг.внымЪ сбразомЪ при дѣленіи
чиселЪ дѢлит лі почесть можно за
множите ая частное число за мно-
жимое, а дѣлимое число за произве-
деніе ; и для сихЪ обстоятельствѣ
дѣленіе умноженіемъ, а умноженіе
дѣ іеніемЪ взавмнообразно повѣ-
рять можно, какѣ то явствуетЪ изЪ
задачъ умноженія и дѣленія 30.
34.]; ибо ежели раздѢлип’Ь 1344
рубли на 24 человѣка, то вЪ ча-
стномЪ числѣ вьідетЬ 56 число ру-
блевЪ на кач даго человѣка, также
ежели умножить 92 частное число
денегЪ на 28 число выражающее лю-
дей, то произведеніе 2576 выражаю-
щее цѣлую сумму денегЪ всѢхЪ лю-
дей покажетЬ данное дѣлимое число,

Примѣчаніе,

35 Надлежитъ знать, что при ум-
ноженіи и дѣленіи одного числа надру-

Ъ 1	гов
I
г

I

I

I

I

I

I

I

I

(

I


I

I

I

I



I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

1

I

I -

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

Г

I

I

I

гое надобно быть тѣмѣ числамЪ всегдЛ
разнаго рода, выключая случаи подоб.I
вые слѣдующимъ, ежели надобно б,.|
детѣ зіпть , сколько вѣ гпакой кологЛ
вѣ солдапіЪ, у которой фронтѣ вѣ $$І
человѣкѣ, а фасѣ или толстота вѣ 24, илц^
во сколько человѣкѣ бу детѣ фасѣ ил<1
толстота такой колонны г вЪ кошороЯ
всЕхѣ солдатѣ 1344 человѣкѣ, афронтѣ
ее ьѣ $б человѣкѣ; ибо изЪ обоихЬ сихЪ
случаевѣ какѣ вЪ первомѣ множимые чис-І
ла фронтѣ вѣ 56 человѣкѣ, и фзсѣ вЪ 24]
человѣка , такЪ и во второмѣ дѣлимое
число 1344 солдатѣ находящихся во-|
всей колоннѣ, и дѣлитель цб человѣкѣ!
изѣ коихѣ состоитѣ фронтѣ тойжв
колонны суть однородные числа; по-
тому что онѣ во всіхѣ случаяхъ озна-
чаютъ количество людей; и сіе одно об-
стоятельство причиною было, что вѣ
опредѣленіяхъ умноженія и дѣленія не-
упомянушо какимЪ вЪ нихѣ числамѣ быть
должно однимѣ ли разнороднымъ или и
однороднымъ.

Примѣчаніе.

37 Извѣстно намЪ, что при умноже-
ніи одного числа чрезЪ другое множи-
мое число во столько разЪ увеличивает-
ся, сколько множитель единицѣ вЪ себѣ
«мѣешѣ	также и при дѣленіи од-

ного
ЖОГО числа на другое дѣлитель столько
разЪ вычитается изЪ дѣлимаго чи-
сла, сколько частное число единицъ
вЪсебВ имѢетЪ (по $32); и посему умно-
женіе почитать можно за нѣсколько кра-
тное тогоже числа самого сЪ собою
сложеніе, а дѣленіе за нѣсколько кратное
одного числа изЪ другаго вычита-
іе.

Примѣчаніе

38 При задачахъ до дѣленія касаю-
щихся можно вмѣсто обыкновеннаго спо-
соба дѣленія дѣлать его сокращеннѣе вЪ
вѣкоторыхі ; случаяхЪ: а именно, ежели
БудетЪ у дѣлителя на концѣ одинЬ или
нѣсколько нолей , то вЪ такомЪ случаѣ
надлежитъ ихЪ отдѣлишь отЪ его, а вЪ
дѢ'имомЪ числѣ сЪ правой руки столько
цыфрѣ, и дѣлить остальное дѣлимое
число на однѣ тѣ дѣлителевы цыфры,
которые значатЪ единицы, то такимЪ
образонѣ выдетЪ искомое частное число;
и ежели какой остатокъ будещЪ то при-
дать кЪ ему взятые отЪ дѣлимаго чи-
сла цыфры , и поставить остатокъ, вЪ
ерху провесть подЪ нймЪ линѣйку ,
а внизу написать дѣлителя > то число
такого рода называется ломаное, или
дробь, либо доля; о которыхЪ вЪслѣду,
ющей главѣ предложено будетЪ; а при-
В у	мѣры
мѣры сокращені аго дѣленія ниже ссі
видны.

вмѣсто продолжительнаго сего
дѣленія»

2оо)і45б8з( 728 эѴб(остатокъотЬ
г 400	) дѣленія или

5е 8	(дробь

4 со

Хб8з”

ібоо
"8з“

можно дѣлить сокращенно
слѣдующимъ образомЪ
«(00)14.56(83) 728 э1| дробь

«4

$

ГЛА
ГЛАВА 2

о ЛОМАНЫХЪ ЧИСЛАХЪ

Опредѣленіе

39 Ежели раздѣлишь ка-
кую геіпЪ на сколько ниесшь
частей, и взять нѣсколько
изЪ нихЪ, то число тѣхЪ
частей вразсужденіи цѣ-
лой вещи будетъ дробь; на
примѣръ рубль раздѣляется
на десять равныхъ частей,
то есть на десять гривенЪ;
и ежели взять шесть гри--
венъ, или шестьдесятыхъ
частей рубля, то' онѣ бу-
дутъ вразсужденіи рубля
доли.
Слѣдствіе

40 Полное число тѣхЪ частей
на которые раздѣляется какая вещі
равно должно быть одной той цп
лол вещл ( по § 16 ), на примѢр]
импері'ялЬ раздѣляется на десяш
частей, то всѢ онѣ: то есть де
сять десятыхЪ частей имперіялі
равны будушЪ одному цѣлому им
періялу , или безЪ означенія вещ
равны будутЪ единицѣ, и по сс|
причинѣ меньшее число частей, не
жели на сколько дѣлится, какая вещі
на примѣръ шесть десятыхЪ часгаеі
имперіала называется дробь мень
ше единицы: полное число частей н
сколько дѣлится цѣлая вещь, на при
мѣрѣ десять десятыхЪ частей импе
ріала дробь равна единицѣ; а числ
частей больше нежели на сколько
раздѣляется цѣлая вещь - на примѣрѣ
двѣнатцать десятыхЪ частей импе
ріяла называется дробь больше еди-
ниЦЫ; первой изЪ сихЪ дробей
родЬ называется правильная дробь,
а послѣдніе два неправильные дроби,
и по справедливости не могутѣ на-
зываться дробями, а счисляются
онѢ между долями для того ,
чтобЪ вЪ нѢкоторыхЪ ариѳмети-
ческихъ дѣйствіяхъ по долямЪ мо-
жно было посредствомъ ихЪ лухче
и способнѣе дѣлать выкладку.

Положеніе

41 Математики вЗображіютЪ
дробь нижеписаннымЪ образомЪ ,
вверьху ставятЪ самую дробь, про-
водятъ подѣ ею линѢйку , а внизу
пишушЪ полное то число частей,
на сколько дѣлится цѣлая та вещь-,
которой части изображаетъ верх-
нее число: на примѣрѣ ежели будутЪ
тесть десятыхЪ частей рубля, то
Надлежитъ поставить шесть ввер-
ху ; и подЪ симЪ числомЪ провесть
линейку
линѣйку, а ниже линѣйки написапц
Заданные десятые части; что лех.
че понять можно изЪ фигуры, не-
жели изЪ толкованія •. на примѣрѣ |
или з рубля выговаривается шесть
десятыхЪ; или три пятыхЪ частей
рубля; пришомЪ же верхнее число 6

части, то число тѣхЪ частей бу-
детЬ также дробь; и посему можно
всякія вещи безЬ перемѣны ихЪ ве-
личины выражать цѣлыми и лома-
ными числами: напримѣрЪ шесть
рублевЪ чрезЪ ?з рублевЪ, то есть
чрезѣ бо гривенЪ.

или з называется числитель, по
тому что оно выражаетЪ число
нѣсколькихЪ частей отѣ цѣлой вещиЯ
а нижнее іо или 5 знаменатель, для
того, что оно показываетъ полное!
тло число частей, на сколько цѣлаяI
Вещь дѣлится.

Слѣдствіе

д2 Когда полное число шѢхЪ 1
частей , на которые дѣлится какая!
цѣлая вещь одна можетЪ назвать-!
ся дробью [по § 40 ], то сдѣду-1
етЪ изЪ сего, что ежели взять 1
и большее число такихЪ цѢлыхЪ '
вещей и раздѣлить ихЪ всѣхЪ наі
части |

Задача

43 Привесть цѣлое
число по заданному знаме-
нателю въ доли.

рѣшеніе

Надлежитъ умножить тпакре
цѣлое число даннымЪ знаменате-
лемЪ , произведеніе изЪ того по-
ставить вверьху, провесть подЪ
нимЪ линѢйку .и написать знамена-
теля ниже линейки по 41) то
такимЪ образомЪ заданное целое
число
число приредено будетЪ вЪ дро(
даннаго знаменателя; на примѢр!
ежели задано будетЪ цѣлое число
7 пудЪ привесть вѣ дробь данная
знаменателя до, то есть вЪфун
ты, то неправильная дробь “1? илі
2.Ео фунтовЬ будетЪ дробь дан
наго знаменателя произшсдшая из
цѣлаго числа.

С лѣдствіе

44 ПодобнымЪ образомЪ прі
весть можно заданное цѣлое числ<
сЪ дробью вѣ одну дробь: на при
мѣрЪ 2 и Іа пуда привесть можно
вЪ ’Із пуда или во іоо фунтовЪ;
напротпвЪ того ежели задано бу
детЪ сыскать, сколько находите
вЪ дроби большей единицы цѣлых
чиселЪ, то вЪ такомЪ случаѣ на
добно ту дробь больше единицы
дѣлить на знаменателя ее, а частно
число покажешЪ сколько вЪ не
цѣлыхі
г.

(О?	49

цѣлыхЪ чиселъ ; на прпмЪрЪ вЪ сей
большей единицы дроби ~ рублеЛ) бу-
дсгпЪ цБлыхЪ 2 рубля и правильная
дробь із рубля.

ПримЪчанКе

4? Доли бываю тъ одинакихЪ и раз-
ВыхЪ знаменателей ; на примѣръ *0 и ^сут*
дроби одинакихЪ знаменателей э л | и « раз-
ныхъ.

Опредѣленіе

46 Однородные доли на-
зываются тѣ, которые со-
держатъ бЪ себѣ части ве-
щей одного рода 9 хотя бы
тѣ части были одинакіе или
разные, то есть хотя бы
такіе доли имѣли одинакихъ
иди разныхъ знаменателей;

Г	на .
на примѣръ тз, -г? и ? рубля
суть однородные доли; по-
тому что онѣ означаютъ
части вещей одного рода. I

Опредѣленіе '

47 Разнородные доли па-|
зываются іпѣ, которые озі
на чаютъ части вещей раз-’
мыхЪ родовъ, хотя бы таХ
кіе доли имѣли разныхъ или
•одинакихъ знаменателей ;
на примѣръ і рубля, । круж-
ки воды и Я пуда воску суть
разнородные доли; для того
что онѣ означаютъ части
.разныхъ жщей.

х -	І

I еорсма
. . Теорема

4$ Ежели какой дроби
числитель и знаменатель
умножены или раздѣлены
будутъ на какое ни есть
число, іпо содержаніе * ИЛИ
величина той дроби не пере-
мѣнится , но будетъ Она
въ разсужденіи цѣлой тойве-
щи отъ которой она дробь
такая же часть, какая была
прежде умноженія или Дѣле-
нія числителя и знаменате-
ля ее на какое внесть - Число*
а перемѣняются только ча-
сти составляющія Дробь ;
Потому что онѣ ЬЪ случаѣ
Г а. умно
умноженія числителя и зна-
менателя на какое ни есть
число дѣлаются величиною
меньше, а числомъ больше ,|
авслучаѣ дѣленія величиною
больше, а числомъ меньше.

Доказательство.

I
I
I.

ПоложймЪ дробь *а рубля, ежели
сей дроби члелигпеля и знаменателя
умножить на примѣрѣ чрезЪ Ю или
раздѣлить на 5. то вЪ первомѣ слу-
чаѣ выд-тЪ дробь а вЪ другомЪ
і; сіи двѣ дроби і’6°о и • содержаніемъ
или величиною равны будутѣ дроби
іі ибо хотя числитель и знамена-
тель дроби ’<я больше а числитель
и знаменатель дроби 1 меньше, не-
жели числитель и знаменатель дро-
би Д; но когда мы разсудимъ, что
сіи дроби суть доли одной вещи, ко-
вторая раздѣлена сперва на 2 части,
потомЬ каждля изЪ двухѣ се частей
на 5 меньшихЬ частей, и такЪ цѣ-
лая вещь на ю частей, и наконсцЪ
каждая изЪ десяти частей на Ю
еще меньшихЪ частей; слѣдователь-
но цѣлая вещь на юо частей, то
изЬ сего узнаемЪ мы что I гпой
вещи которая дѣлится на ю и на
юо частей равна будетЪ содержа-
ніемъ или величиною » и чэсшямЪ;
потому что вЪ семѣ случаѣ « вещи
состоитЪ изЬ Д меньшихЬ частей или
изЪ т?. еще меньшихі; пикЪ изЪссго
явствуетЪ, что содержаніе или ве-
личина дробей 6тЬ умноженія и дѣ-
ленія на какое ниесгпь одно число не
перемѣняется, а перемѣняется толь-
ко число и величина частей, кото-
рыя ту дробь составляютъ.

Г 3' Задача
I

н

и

Задача

49 Данныя дроби раз*
НЫХЪ знаменателей пріьі
весть въ дроби одинакихи
знаменателей безъ перемѣны
ихЪ величины, то есть од4
породныхъ вещей части иллі
доли разной величины при!
весть въ части или доля!
одной величины.

рѣшеніе.

Надобно умножить числителя іг
Знаменателя кождой изЪ всѢхЪ дробей,
Которыя приводятся кЪ одинакимЪ
ЗнаменатслямЪ, знаменателями всѣхЬ
прочихЬ долей, то такимЪ обрлзомЪ тВ
доли приведены будушЪ кЬ одинакимЪ
знаменателямъ бсзЪ перемѣны ихЬ
величины
величины (п° § 4$) НЛ прим рЪ
ежели нмобно будетЪ привесть кЪ

одинакимЬ знаменатсдямЪ « ♦ и а

рубля, то должно
піоѵЪ слѣдующимъ

поступить вЪ
образомЬ умно-

4 6  4 4	3 4 б б	I 2  4 4
	 —	— —	— - —
іб 24	18 24	4 8
2 2	2 2	6 6
	 .—	— —.	—* —

>'2 49 36

48 24 4Я

жить числителя первой дроби 4 и зна-
менателя б знаме-
нателями второй
и третей дробей
4 и 2 , числителя
второй дроби $
и Знам-нателя 4
знаменателями

первой и третей долей би іи числи-
теля третей доли і и знаменателя а
Знаменателями первой и второй долей
6 , 4 > и произшедтк отЪ спхЬ умно-
женій произведенія ’»	~ будутЪ

доли приведенныя кЪ одинакимЪ зна-
менателямъ ; потому чгпо каждой
изЪ мхЪ какЪ числитель такЪ и зна-
менатель умножены однЬмл числа-
ми. (по § 48 )
(О)

Слѣдствіе.

$0. Для скорѣйшаго рѣшенія піа-
кихі) задачЬ можно употреблятькраіц-І
чайшіе способы а именно или умно-
жать только числителя каждой дробиі
Знаменателями прочихЪ долей кромЪ
своего, и псп'.омЬ всѣхЪ знамснатс^І
лей между собою, какЪ видѣть мо-
жно изЪ нижеслѣдующаго пр-імѣрЯ
4Х|Х2, ?ХбХ2, ІХ4.Х6,	32, 36, 2|Д

6х 1-Х2	48 I

либо ежели случатся такія доли,!
что самой большей у нихЪ і зЪвсЬхЬІ
знаменатель можетЪ раздѣлиться!
на каждаго пзЬ мгньшихЬ знамена-1
іпелей нацѣло, и притомѣ ежели I
шЬ доли имѢютЪ такихЪ знамена-1
телей , что за первымЪ взг іядомЪ 1
узнать можно, какія произойти дол- |
жны частныя числа отЬ дѣленія
большаго знаменателя накаждаго изЪ
меньшихЪ, то вЪ такомѣ случаѣ

надобно
надобно только умножить на тѣ
частныя числа соотвѣтствующихъ
имЪ долей какЪ числителей шакЬ
и знаменателей, то снѣ шакимЪ
образомЪ приведены будутЪ кЪ оди-
накимЬ знаменателямъ ; на примѣрѣ
у долей іН в I пуда самой большей
знаменатель 4° мсжегпЪ дѣлиться
накаждаго изЪ меньшихЪ Ю и 5 на-
цѣло , и какЪ мы за псрьвымЪ
взглядомъ узнать можемЪ, что отЪ
дѣленія большаго знаменателя <О
наменьшихЪ ю и 5 произойти до-
лжны частныя числа 4 и 8, то ьЬ
такомЪ случаѣ ничего болѢе не на-
длежитъ дѣлать , какЪ только умно-
жить дроби ~ какЪ  числителя 6,
такЪ и знаменателя Ю на 4, а дро-
би $ какЪ числителя 4 такЪ и зна-
менателя $ на 8 , то чрезЪ сіе дѣй-
ствіе доли Л и і приведутся вЪ до-
ли й и I? одинакихЬ знаменателей
сЪ дробью і5. .
і

Слѣдствіе.

$і. Между долями Имѣющими
одинакихЪ знаменателей , а разныхЬ
числителей та будете больше, ко-
торая имѢстЪ большаго числителя
на примѢрЪ дробь ~ больше , неже
ли-,* ; между долями, укошорыхЪ чи-
слители едчнаки, а знаменатели
разные, та будетЪ больше, у кото-
рой знаменатель меньше; на гри«
мѣрЬ дробь > больше, нежели ?; а
ежели будутЬ доли имѣющія и чи^
слителен и знаменателей разныхЬ,
то вЪ гпдкомЬ случаѣ надобно при-
весть ихЪ прежде кЪ одинаквмЪ зна-
менателямъ или числителямЬ, и то-
гда ужЪ легко уэнапъ можно по
вышеписаннымЪ вЪ семЪ же предложе-
ніи правиламЪ большую дробь: на
примѣрѣ между долями ; ~ и г про-
сто узнать нельзя, которая изЪ ихЪ
больше ; а какЪ онѢ приведутся кЪ
одинакимЪ знаменатслямѣ или' чи-
слителямѣ
слошелямЪ ~ Й .5 »л» й “ » ®о
тогда безЪ всякой шрудносш > узнать
можно что первая дробо или *
больше, нежели вторая и «і а вто-
50	♦♦

рая больше нежели третья 15а или ?«.

Слѣдствіе.

52. Приведеніе долей рлзныхЪ
внаменагпелей кЪ одинакимЪ мОжсшЬ
еще служишь и кЬ рѣшенію слІэдую-
щ іхЬ случаевЪ; напримБрЪ ежели на-
добно будепЪ сыскать такія два чи-
сла , изЪ коіпорыхЪ бы I одного
равны были ? другаго; сіи доли
ежели привесть вѣ доли одинакихЪ
Знаменателей, іпо будетЬ и ~?а
или (оставивЪ знаменателей , пото-
му что сни одинаковы) 8 и 9 тре-
буемыя числа ; для того что ежели
раЗдБлсть 9 на а 8 на 4, что ? д
то есть 6 равны будушЪ I 8 то
ссшь 6,
Примѣчаніе

93 ПрисемЪ надлежишЪ знать, что,
дробямЪ разныхЪ, знаменателей колюры*
приводятся кЪ одинакимЪ необходимо
надобно быть однородными потому что
чрезЪ приведеніе дол й разныхЪ зна-
менателей • кЪ одинакимЪ не иное что
дѣлается, каг.Ъ сносятся онѣ одна сЬ
другою, чтоб> можно было узнать сколь-
ко одна дробь другой больше , или мень-
ше} чего сЪ разнородными д лями дѣлать
нельзя $ потому что онЬ никзкова сно-
шенія между собою им^ть не могутЪ}
ыапримѢрЪ гз рубля сЪ « пуда сносить
ми какЪ немирно.

Задача

54 Заданную дробь въ
большихъ числахъ выразить
безъ перемѣны содержанія
или величины меньшими чи-
слами, то есть по обыкновен-
ному названію уменьшишь
дробь.
рѢ шсніс

Надобно раздѣлить числителя
и знаменателя данной дроби на та-
кое число, которое обѣихЪ дѣлить
можетЪ нацѣло безЪ остатку, част-
ныя числа происходящія отЪ того
дѣленія поставить перьвое вверху
выше линейки, а другое ниже ее; то
симЪ сбразомЬ выраженная дробь
меньшими числами равна будетЪ со-
держаніемъ или величиною заданной
вЪ большихъ числахЪ (по § 48) на
примѣрѣ дробь ~ или Л~|, то
есть заданныя доли т, и п по раздѣ-
леніи каждой изЪ нихЪ какЪ числи-
теля такЪ и знаменателя на одно
чисю 6 или з равны будутЪ со-
держаніемъ выраженнымЬ меньшими
числами долямЬ ж и 5.

Опредѣ-
Опредѣленіе.

5$. Самое большее изЪ
всѣхъ возможныхъ чеселЪ ь
на которыя числитель и зна-
менатель какой дроби при
перемѣненіи ее изЪ большихъ
Чиселъ вЪ меньшія нацѣло раз-
дѣлишься можетъ, называет-
ся общей большой дѣлитель;
общей онЪ называется пото-
му что какъ числитель такъ
И знаменатель оба на одного
его дѣлятся; а большей, для
того что числитель й зна-
менатель ни накакое боль-
шее отъ него число нацѣло
раздѣлиться не могутъ: на-

г	Примѣрѣ
примѣръ дробь *♦ можетъ
перемѣнится вЪ дроби рав-
ной величины меньшими чи-
слами выраженные % * и I но
ни 2 ниже 4 немогутЪ быть
большимъ дѣлителемъ да
только 8 ; потому что чи-
слитель и знаменатель ни
накакое большее -отъ сего
число нацѣло раздѣлиться
неможетЪ.

Слѣдствіе

56. Ежели у какой дроби числи-^
тпель пзн імснашель состоять будутЪ
ѣізЪ большихЪ чиселЪ, вЪ такомЪ слу-
чаѣ понеже вдругЬ неможно узнать
на какое число онѢ нацѣло раздѣ-
литься могутЪ, йадлежитЪ дѣлишь
Знаменателя такой дроби начисли*
теля
теля ее; нежели отЪ дѣленія небу-
детЪ ни какова остатка, то самой
числитель шой дроби будетЪ общей
дѣлитель. а ежели отЬ дѣленія зна-
менателя начислишеля будетЪ какой
остатокЪ, то надобно взять его
вадѣлиггеля а числителя данной дро-
би бывшаго вЪ прежнсмЪ дѣленіи дѢ-
лишелемЪ за дѣлимое число, и дѣлить
юхЪ одно надругаго когдажЪ еще и
отЪ вторичнаго дѣленія явится ка-
кой осташокЪ, то также ваять его
За дѣлителя, а прежняго дѣлителя
ва дѣлимое число и такимЪ образомЪ
доконца продолжать дѣленіе • пока |
одно число надругое раздѣлится на-
цѣло, то изЪ тѢхЪ чиселЪ дѣли-
тель будетЪ общей дѣлитель числи-
теля и знаменателя данной дроби ;
но ежели случится, что отЪ дѣланна-
го гпакимЪ оброзомЪ данной дроби
дѣленія произойдетъ вЪ остаткѣ
единица, то еіе значитЪ , что той
Дроби меньшими числами выразить не-
можно
Можно потому что она другаго с(5л
Щіго дѣлителя неимѢетЪ, какЬ толь-
ко единицу; а примѣры Длй всѣхЪ
сихЪ случаевЪ здѣсь сдѢдуютЪ- дро-
би ,іо зчамедатель 2іб раздѣляется
на числителя безЪ остатку • такЪ
числитель сей дроби 56 самЬ бу-
детЪ общій дѣлитель, то есть ежелй
раздѣлить числителя $6, и знамена-
теля 2іб на 36. то выдетЪ вЪ ча-
СшномЪ числѣ отЪ перваго дѣленій
1, а отЪ другаго 6; слѣдовательно
заданная вЪ большихЪ числахЪ дробь
і®о равна будетЪ величиною Выражен-
ной меньшими числами дроби I, Дро-
би іСД знаменателя 144 ежели раздѣ-
лить на числителя 96, то произой детъ
вЪ частномЪ числѣ I и вЪ остат-
кѣ 48, накоторой ежели раздѣлить
числителя сей Дроби 96 бывшаго вЪ
ІірежнемЪ дѣленіи дѢлителемЪ $ іт 0
выдетЪ вЪ частномЪ числѣ і а
остатка никакова небуДетЪ • почему
дѣлитель послѣдняго дѣленій 4З бу-
3	#тЪ
детЪ СбщТй дѣлитель данной дроби,
то есть ’Дт '« наконсцЪ понеже вЬ
дроби /і послЬ Дменія знаменателя
55 начислишеля 9 выходишЬ вЪ ос-
гоагпкЬ 8, накоіпорой раздѢливЪ чи-
слителя 9 получимЪ вЪ остаткѣ I,
то сіе значвтЬ что дроби & мень-
шими числами выразишь неможно

Примѣчаніе

§ ?7- При перемѣненіи долей состоя-
щихъ изЬ большихъ чиселЪ вЪ равные со.
держаніемъ или величиною доли выражае.
иые меньшими числами примѣчать на.
добно слѣдующіе случаи; осіпімЪ дѣли-
телемъ будетЪ число 2 у такой дроби ,
гдѣ числитель и знаменатель окончиза-
ются чошными числами , число 3, ежель
у числителя и знаменателя какой дрсб»
всѣхЪ чиселЪ составляющихъ ее велнчин)
м положенныхъ за единичные сумма мо-
жетЪ р здЬлиться на п< рп безЪ остатку
нлпримЬрЪ у дроби	»чисдо 4 у вся-

кой такой дроби ,

у которой

левы и знаменателеяы крайніе двѣ цыф
ры могутЪ дѣлиться я* 4* безЪоусгоатка
напри мѣрЪ у дроби 2^— > число $ , ;
іпакихЪ долей, коихЪ числители оканчи-
ваются числомъ 5і напримѣрЪ у дроби
,7 или	, число б у такой дроби ,

которой числитель и знаменатель могутЪ
нацѣло раздѣлиться на 2 и на Зі напри-
мѣрѣ у дроби	, число 8- У ВСЯ-

КИХЪ такихЪ дробей , кошорыхЪ числи-
телевы и знаменателевы крайніе сЪ пра-
вой стороны три цыфры могутЪ на цѣло
дѣлиться на 8, напримѣрЪудроби |22?—
число 9 у такой дроби , гдѣ сумма числЪ
величину числителя и знаменателя со-
ставляющихъ почитанмыхЪ всѢхЪ за еди-
ничные можетЪ раздѣлиться на д безЪ
остатка, напримѣрЪ у дроби —2-— -1 , чи_
слѳ іэ у такихЪ долей, коихЪ числители
и знаменатели оканчиваются сЪ правой
стороны нолемЪ; на примѣрѣ у дроби |б~“.

Примѣчаніе

$8. Польза отЪ приведенія дробей изЬ
болыцихЪ чиселЪ вЪ меньшіе равнаго содер-
жанія состоитъ вЪтомЪ, чт.о мы екорѣа
узнать можемЪ изЪ дроби меньшими , не-
жели большими числами выраженной, ка-
кую часть отЪ цѣлой вещи она вЪ себѣ
содержитЪ; напримѣрЪ скорѣе мы узнать
можемЪ какая часть будетЪ $ рубля, не-
жели скорѣе нежели руГля, хопі<
-всЪ сіи /оли одинакою ьеличинсю часш»
рубля сзначаюздЪ.

Задача

5р. Ежели задано будетъ
сыскать сумму нѣсколькихъ
однородныхъ ломаныхъ чи-
селъ одинакихъ или разныхъ'
знаменателей хотя сЪ цѣ-
лыми числами или безЪнихЪ,
то какъ въ томъ поступить
должно.

рѣшеніе.

Ежели будутЬ доли одинакихЪ зна-
менателей , то надлежитЪ сложить
ихЪ числителей и поста сить подЪ
пхЪ сумму общаго знаменателя *
и когда сумма ихЬ будетЪ дробь боль-

ше
іпе единицы, то надлежитъ вычесть
изЪ, се цѣлые числа (по § <н ) и поста-
вить подлѣ нихЪ остальную дробь,
ежели какая будетЪ; а ежели случат-
ся доли разныхЬ знаменателей, то
должно ихЬ прежде сложенія привесть
кЪ одинакямЬ знаменателямЬ (по §
49) а послѣ того поступать сЪ ними,
какЪ сЬ долями одинакихЬ знамена-
телей; наконецЬ когі^ при ломаныхЬ
числахЬ будуиіЪ цѣдые, то надле-
житъ ихЬ одняхЪ сложишь особо ,
потомЪ приложить кЪ нимЪ и тѣ
цѣлые числа, ежели какіе прои-
зойдутъ отЪ сложенія долей вЪ одну
сумму; на всѣ сія случаи положены
нижесл'Ѣдуюціс примѣры.

ежели задано)то посту-1) отЬчеговы-
будепіЪ сло-) пащь при-) дедіЪ иско-
житъ. )томЪтакЪ) мая сумма

> рубля'' ~	+ Л - Го ~ рѵбля

М. ЧУДа) 1-Ьі-+-І -Н +Н-«^2^
Д э	$,
I

61, ? | рубля) 61+35=9! ~ ІО рублямъ
5*Л аршина ) 51+1=5 в+»=5г = б;=б^
сукна. ) аршина

Слѣдствіе.

6о, Вейлу 49 и 59, Параграфовъ
можно рѣшить слѣдующую задачу:!
сыскать два числа такіе, изЬ котоЛ
рыхЪ бы і и 5 одного числа равн а.
были ? и * другаго; ибо ежели слоЛ
жить з и I , то произойдетъ ихЪІ
сумма в (по § 59) также изЪ ? и ||
будетЪ сумма (по § т) сіи двѣ’
доли 5 и — ежели привесть кЪ оди-І
накимЪ знаменателямЪ ~ и , то
будутЪ онѣ искомые числа; для
увѣренія в5 томѣ приведемЪ мы
доли ~~ и изЪ большихЪ чиселЪ
вЪ меньшіе , то будетЪ а ?а-о
’’ (по§ 54) апонеже сіи доли приво-
димы были кЪ одинакимЪ знамена-
телямЪ, то будушЪ онѣ одной цѣ-
лой

I
лой вещи доли, и пришомЪ одинакой
величины (по § 4.9) ; чего ради можно
поставить ихЬ и бсзЪ знам нап»елси,
какЪ цѣгыя числа; 50 и 39; теперь
ежсле мы возьмемЬ отЬ 50 ? и *
то есть , то будотЪ такое число
52 і’зг ;о • (по § 54) также ежели
взя пь отЪ 59 » и і то есть », то
будетЬ и то число 32 I (по §
т) ; и такЪ сія задача рѣшена вѣрно.

Задача'

би Ежели надобно бу-
детъ вычесть изъ одной
дроби другую однородную
съ нею, хотя бы тЪ доли
имѣли цѣлые числа или нѣтъ,
также одинакихъ или раз-
ныхъ знаменателей 9 то
какъ рѣшить такіе задачи.
Ежели будутЬ доли одинакихЪ
знаменателей, и вычитаемая дрсб$
меньше уменьшаемой , гоо надобье
вычесть только числителя вычита-
емой дроби изЪ числителя умень-
шаемой , и подЪ осшаткомЪ соста-

I

I

I
I

вишь шегоже знаменателя • а когда
рычишасмая дробь больше будете!
уменьшаемой ; то вЪ гпакомЪ Слу<
ЧаБ для узнанія недостатка умень-і
ціаемой доли противЪ вычитаемой
надлежитъ вычесть уменьшаемую
долю изЪ вычитаемой , ипередь,
рстаткомЪ поставить энакЪ вычи-
ріанія, которой показывать будсшЪ
Недостатокъ уменьшаемой дроби,
д зя коцюраго нельзя вычесть нзЪее
реей вычитаемой; а ежели притакихЪ ,
дробяхЪ, г дБ большая изЪ меншей вы-
читается, будутЪ цБлые числа, та
вЪ шакомЬ случа'Ь надобно взять кЪ
уменьшаемой доли для дополненія

ея
ея недосшошка изЪ цѣлаго числя
единицу, и привесть ее по знаменагпе^
ЛЮ данной дроби вЪ дробь равную
единицѣ, то есть своему змаменсъ-
іпслю ( по § 43 и 40. ) пошомЪ

сложить ее сЪ недостаточною
уменьшаемою дробью , и вычесть изЪ
нее вычитаемую, также и цѣлые числа
паѣ цѣлыхѣ особо ; а ежели наконецъ
будутЪ доли разныхЬ знаменателей,
то привесть только ихЪ кЪ одина-
кимЪ, 15 поступать во всемЪ, прсд,
писацнымЪ обраэомЪ; какЪ то сіе
цзЪ, ниже слѣдующихъ примѣровъ
ясно видѣть ? можно.

ежели на до-") то посту-» ЭотЪчего про-
бно будетЪ )пашь при- )изойдвтЪис-
^ычесть )томЪтакЪ) комой оста-

)	,	) токЪ

доРУбЛД^ ,-3I*—

изЪ
изЪ

мзЪ зірубляі) ,|-і=з^=й я

мзЪ 5«Фунта2в} 5?—2^- -2*

мзЪ ірубля : ) і-л -’^г=’о=^

изЬ Ѵьунта і ) ?-і=3-г^=~в-— ?

изЪ б.^увля?! 6;;-Я=6-3~Л°
изЪ і о;фу нта|} х 05-?=і сѴ—

Примѣчаніе.

62 Ежели заданы будутЪ доли сЪ
цѣлыми числами хотя одинакихЪ или'
разныхЬ знаменателей, то можно ихЪ
складывать ивычитать одну изЪ другой,
приведши прежде цѣлые ихЪ числа сЪ
ними жЪ однѣ доли , но такое сложеніе|
мвычищаніе продолжителнѣе будетЪ еы-
шеобЬявленныхЪ.

Задаача
.	Л	« ГТ

65. Ежели задано будетъ
умножитъ, дробь цѣлымъ
числомъ, или дробь съ
цѣлимъ числомъ цѣлымже
числомъ,
числомъ, то какъ рѣшить
такіе задачи.

рѣшеніе.

ВЪ перьвомЪ случаѣ надобно
умножить , числителя данной дроби
цѢлымЪ числомЪ, а вЬ другомЪ при-
весть прежде цѣлое число сЪ дро-
бью вЪ одну дроёь , иумножать другое
цѣлое число числителемЪ непра-
вильной той дроби , то произойдутъ
вЪ обоихЪ, примѢрахЪ 'искомые вѣ-
рные произведенія вЪ такомЪ
только случаѣ , когда тѢ произве-
денія сЪ заданными дробями хотя
одними или имѣющими при себѣ цѣлые
числа , будутЪ однородные числа ;
какЪ то явствуетЪ изЪ слѣдую-
щихъ примѣровъ.

сколько дать За 8)
фунтовЪ кодді і(	~	,

фунтѣ продаепз-)°Х*—♦—орублямЪ
ся по ? рубля (
сколько дать за 2)
аршина когда 1 ар- (
цинѣ продается по) 	’

3>рубля	(

Доказательство.

Знаменатели полагаемые при до-
Ляхѣ служатЪ кЪ показанію на
сколько частей раздѣлена цѣлая та
вещь, отЪ которой данные доли суть
части, и піакЪ всякіе доли какЪ сЪ
Знаменателями такЪ и безЪ нихѣ пре-
бываютЬ гоѣже доли ; почему мы сЬ
ними также поступать можемѣ какЪ
сЪ цѣлыми числами: что видѣть
Можно изЪ правилѣ сложенія и вычита-
нія долей (§ 5$ и 6і) гдѣ мы складыва-
емѣ и вычитаемѣ однихѣ числителей
не касаясь кѣ знаменатслямѣ, такѣ
равномѣрно издѢсь вѣ правилѣ умно
женія для вышеобъявленной причины
почитая доли зацѣлыя числа надле-
житъ умножать только однихѣ мхѣ
числи-
числителей другими числами ті ста-
вить подЪ такими произгеденіямя
Знаменателей данныхЪ долей , то про
исходящіе ѵпакимЪ обраЗомЪ дроби
-будушЬ искомые произведенія*

Примѣчаніе

64. Мы вЪ семЪ правилѣ Предлагаема
только два Примѣра , вЪ которыхЪ ум о»
Жаті должно дробЬ нецѣлое число 4
или дробь сЪ цѢлымЪ числомЪ на цѢлоежЪ
число, да и сіи два примѣра только вЪ
такомЪ случаѣ * когда искомое Произведе-
ніе сЪ заданною дробно одною, или иско-
мое произведеніе сЪ заданною дробно
имѣющею при себѣ цѣлое число булутѣ
Числа одного рода ; Для того что во
всѢхЪ другихЪ .случаяхЪ произведенія
выхо/ящЪ не вѣрные , и меньше надле-
жащихъ; а мы чрезЪ умноженіе цѣлыми
Числами цѢлыхЪ чиселЪ поЛучаемЪ про-
изведенія больше каждаго изЪ множи-
мыхъ чиселЪ ; напротивъ того вЪ Случа-
яхъ , когда данная дробь хотя одна или
имѣющая при себѣ цѣлое число и искомое
Произведеніе будутЪ числа разнородные ,
«ли когда двѣ дроби хотя сЪ цѣлыми
Числами, или безЪ нихЪ умножатся ме-

*АУ
жду собою, то произведенія выходятъ
меньше множимыхъ чиселЪ ; почему шакихЪ
случаевЪ не надлежало бы и назывить
умноженіемъ долей : для того что спіЪ
умноженія вЪнихЪ числителей и знамена-
телей между собью увеличиваются толь-
ко одни ихЪ числители и знаменатели ,
а дробь напротивъ того , вмЪсто чтоэЪ
ей увеличиться > умаляется; почему та-
кіе примѣры надлежлтЪ кЪ рѣшенію до
другаго правила; которое ^Ъ послѣ іукм
щсмЪ предложено будетЪ ; а посему рѣши-
ться не могутЪ, кромѣ геометрически*]
сдучаевЪ , вЪ коихЪ отЪ умноженія ме-
жду собою дробей означающихъ мѣру раз-
стояній произведенія выходятЪ вѣрные,
мы для лучшаго увѣренія обЪ истиннѣ сегЗ
предложенія полагдемЪ виже еего всѢхИ
вЪ немЪ упомянутыхъ случаевЪ примѣры

Заодну чствергоь(ниже слѣдующіе про
аршина сукна дано(изведен!я всѢ невѢр
6. рублевЪ сколь-(ныс |хб~т —4?
ко надобно дашь(
за I аршина (
сколько дашь за 3? С

аршина когда *	3*—1

аршина продаешпя С	руб.

по 2 рубли. С
когда пуда нѣко- (
раго металла про- (
дается по 2’рубля	»Х*—•{— іс» •

то сколько дать (
за 4 і пуда. (
сколько дадь за 2’ (

фунта когда * про (2|Х|—2іі
дается по з рубля. (
за пуда дано* руб- (

ля сколько датьза із(т.х*—ГГ

Примѣчаніе

6? НапрогпивЪ того ежежи надобна
знать, сколько будетЪ частей квадрат-
наго фута когда умножишЪ | линейнаго
фута |тогоже фута, то отЪ умноженія
такихЪ долей между собою выходитЪ
проиведеніе верное|Х|=% но умножать;
такіе доли междусобою нЪтЪ обыкновенія;
ибо вмѣсто 5 и | фута лучше взятЪ каж-
дой изЪсихЪ дробей равные 8. дюимовЪ м
умножишь между собою.

Задача
.задача

66. Ежели заданобудетпЪ
раздѣлишь дробь одну или
съ цѣлымъ числомъ на цѣ-
лое число 5 или дробь сЪ
цѣлымъ числомъ на дробь сЬ
цѣлымже числомъ^ то какЪ
рѣшить такіе задачи*

рѣшеніе

Поставивши напереди дѣлимой
Число, занимѣ ЗнлкЬ дѣленія а за
ЗнакомЪ дѣлителя, надлежитЪ вЪ
ПерьвомЪ случаѣ раздѣлишь числи-
теля данной дроби на данное цѣлое
число , и подЪ часшнымЬ числомЪ
ПроведЪ линейку постайить знаме-
нателя данной Дроби і Но понеже
НС «сякая данная дробь На всякое

Данной
данное число дѣлиться нацѣло мо-
жетЬ , то для такихЪ случаевЪ луч-
ше недѣля числителя данной дроби
умножить се знаменателя тѣмЪ же
діннымЪ цЬдымЬ числомЪ , то чрезЪ
сіе дѣйствіе произойдетъ искомая
частная дробь : вЪ ДругомЪ случаѣ
надобно прежде привесть данное цѣ-
лое число сЪ дробью вЪ одну дробь,
а вЪ шреіпьемЪ привесть какЪ вЪ
дѣлимомЪ числѣ такЪ и.ьЪ дѣлите-
лѣ цѣлые числа сЪ долями вЪ доли,
умножить знаменателя дѣлимой
дробя числителсмЬ дѣлящей , а чи-
слителя дѣлимой дроби знамена-
телемъ дѣлящей, то происходящіе
такимЪ образомЪ числа будутЪ ,
искомые частные дроби ; а примѣры
для всѢхЬ сихЪ случасвЪ ниже ссгр
полагаются

за ? фунта дано)

і рубля по' чему і х
обошолся каждой)'*

фуншЬ

Е	за
эа 2 аршина дано ) р

6 і рубля , чего) ’’	8 8 * *’

стоишЪ каждой )

аршинЪ	)

за 2 і аршина сукна)

дано 5 I рубля, )

вочто сшалЪ )53-24—3:7—»х*і—*'2
каждой аршинѣ )

Д жазательство

Когда знаменатели придоляхЪ.
полагаются только для пісго, чтсбЬ
чрезѣ нихЬ показать , на сколько!
частей цѣлая вещЪ раздѣлена, отЪ ко-
торой заданные доли суть части і
(по §4г. ) такЪ посему мы сЪ до-І
лями также поступать можемѣ,
какЪ и сЬ цѣлыми числами, какЪ напри-I
мѢрЪ и здѣсь при дѣленіи долей од-1
нпхЪ й сЪ цѣлыми числами на цѣлые
числа должны мы дѣлить однихѣ
числителей данныхЪ долей на данные
цѣлые числа не касаясь кЪ ихЪ зна-
менателямъ , а подЪ частные доли
ставишь
Ставить знаменателей дѣлимыхЪ
долей ; но когда мы сысканную та-
кимЪ образомЪ частную дробь пред*
ставимЪ вЪ большихъ числахЪ бсзЬ
перемѣны ее содержанія умножая »
какЪ числителя пзакЬ и знаменаіислА
се изданное цѣлое число, которой
было у данной дроби дѢлигаелсмЪ ।
то вЪ такомЪ случаѣ произойдетъ
у нее числитель равной чкслптслід
заданной дѣлимой дроби а знамена*
тель , напротивъ того  больше зна-
менателя заданной дѣлимой дроби
но понеже такая большими числамй
выраженная дробь равна будетЪ
содержаніемъ или величиною сы-
сканной частной дроби состоящей
изЪ мсньшихЪ чиселЪ { по § : 48 )у
то для сей причины при дѣленіи долей
на цѣлые числа вмѣсто дѣленія ихЪ
числителей на заданные цѣлые числа
можно множить >, ихЬ знаменателей
На тѣ же числа а наипаче вЪ такомЪ
случаѣ когда дѣлимой дроби числи*

Е й	шелв
щель не можсгпЪ раздѣлиться безЪ
остатку наданное цѣлое число;
такимЪ же образомЪ и пре дѣленіи до-
лей сЪ цѣлыми числами на долей сЪ
цѢлымижЪ числами множить должно
числителя не правильной дѣлящей
дроби назнаменателя дѣлимой дроби
по вышеобѣявлснной вЪ семЪ же дока-
зательствѣ причинѣ . и какЪ симЪ
споссбомЪ дѣлится данная дробь
на большее число, нежели какЪ надобно^
ибо сісжЪ самое число имѢетЬ
своего знаменателя; на коего оно
раздѣлиться должно, такЬ чрезЪ
I уноженіе симЪ знаменагаелемЪ той
| , дроби , которія раздѣлена на большее
I	отЬ надлежащаго число сыщется

I	требуемая частная дробь.

Примѣчаніе

61. Что мы вЪ семЪ правилѣ иепохо-
। жиля такихЪ случаевъ, гдѣ цѣлое число
дѣлипня иа дробь одну или сЪ цѢлымЪ
числомЪ, либо дробь безЬ цЪлыхЪ чиселЪ,
1 то причиною сему то,что такіе случаи
। по сему правилу рѣшиться не могутЪ ;
,	а над.
я надлсжатЪ они до другаго ; котпорое вЪ
првдь имІ^гпЪ выть предложено • я для
лучшаго увѣренія вЪ іпомЪ 9 предложиміэ
мы здѣсь такіе примѣры.

за * а рши и а су к н а да но) невБ рм ые ч аст~
6. рублевЪ такЪ чсю)ные числа.
стоитЪ каждая че- )	ру.

ліверпть	5б:|~?х|=5*—8-

дано 12 рублевЪ за т$)
пуда такЬ по чему)
обошлась каждая че-) ♦	*

тверть нуда ,	)

за I фунта дэнс^руб:)
такЪ по чему стала )
каждая четверть)	рѵб ;

Фунта	) Л:I = «: XI” -г?

И шжкЪ понеже мы сіи примѣры
рѣшили такимЪ же образомЪ, какЪ и выше
предложенные вЪ ладачЪ дѣленія долей,
по отЪ произіпіДші'хЪ нгаѢрныхЪ ча-
стныхЬ чиселЪ $. руб: 8 руй и ,о ₽У
заключать должно , что такіе примі ры
надлежать до другаго прав»ла ; а пгее-
>*У рѣшиться не могѵтЪ,' для т то что,
хотя отЪ дѣленія цѣлаго и іи ломанаго
числа на числителя дѣлящей дроби и
происходитъ вѣрное частное число , одна.
жо оно увеличивается чрезЪ умноженіе
рго знаменателемъ дѣлящей дроби*

Опредѣленіе.

68. Доли долей или
вторые и третіе доли отъ
перьвыхъ долей называются
такіе числа, которые выра-
жаютъ части частей нѣ-
которой вещи: напримѣръ^
рубля перьвая дробь а *
дроби» рубля будетъ дробь
вторая; и по сему мы знать
можемъ, что будетъ тре-
тья дробь и прочая.

Опредѣ-.
Опредѣленіе.

бр Приведеніе вто-
рыхъ или вторыхъ и тре-
тьихъ, долей вЪ перьвые
есть такое дѣйствіе, по-
средствомъ, котораго узнать
можно 5 скольскнмЪ частямъ
вЪ перьвой дроби вгпорая
или сколькимъ частямъ ,
въ перьвой и второй дроби
третья равна будетъ, ежели
раздѣлить вЪ перьвомЪ слу-
чаѣ перьвую дробь на части
равные частямъ второй дро-
би, а вЪ другомъ случаѣ перь-
вую и вторую дроби на части
равные частямъ третей
дроби.

Е 4’

Задачи.
Задача

/о. Привесть доли до-
лей или вторые и третіе
доли в'Ъ перьвые.

рѣшеніе.

умножить между собою числи-,
щелей и знаменателей данныхЪ]
дробей , то произведеніе оірЬ того
будетЪ искомая дробь; НапримЪрЪ
ежели взять отЪ I руда ? , и^и
отЪ * руб: □ и ’г, то послѣ умно-
женія числителей и знаменателей >с-
жду собою произойдутъ искомая
доли в ~ + пуда и іо„ рубля.

/ока зательство

Когда надобно взять отЪ
числа требуемую дробь , то
такомЪ случаЪ дѣлимЪ по

на знаменателя

требуемой

какого
мы вЪ

чис/р
дрори
а про-
а происходящее ОГпЬ такого дѣленія
число содержать будетЪ одну тре-
буемую долю, потпомЪ надлежитъ смо-
трѣть , сколько числитель данной
дроби единицѣ вЪ ссбВ имѢетЪ , и
ежели только одна будетЪ , п о про-
изшедшее отЪ дѣленья назнаменаше-
ля данной дроби число будетЬ иско-
мое ; а ежели больше, гпо вЪ такомЪ
случаѣ» для полученія всѣхЪ гпрсбуе*
мыхЬ долей надлежитъ умножить то
число числителемЪ дзннрй дроби ; 4
происходящее отЪ того умноженія чи-
сло дастЪ намЬ требуемую дребь ,
такимЪже образомЪ и здѣсь вЪ приве-
деніи вторыхЪ долей вЪ первые чреаЪ
умноженіе знаменателемъ вторыхЪ
долей знаменателя перьвыхЪ получа-
емЪ мы одну требуемую часть, а чрезЬ
умноженіе числителей сихЪ обѣихЪ
долей между собою выведемЪ мы пол-
ное число требуемыхЪ частей; что
примѣчать должно и при пюмЪ слу-
чаѣ , когда надобно приводить третіи
ДОЛИ в]э церьвые.

Е $	Примъ*
(о)

ІТримѣчаніе

ПІ. Полагаемые вЪ щетЪ вещи дѣлить мо-
жно неравныя части двоякимЪ образомЪ
или на произвольное и не употребительное
число частей; какЪ напримѢрЪ двѣ третіе
части рубля, или пять шестыхЪ частей
пула > потому что вѢтЬ обыкновенія дѣ-
лить рубль на три части нпудЪ нашесть,
либо наобыкнеьѣиное и употребительное чи-
сло, напримѢрЪ шесть десятыхЪчастей руб-
ля, то есть шесть гривенЪ, или пять сороко-
выхЪпуда; то есть, пять фунтовЪ, для то-
го что мы обыкновенно дѢлимЪ рубль наде-
ся пь частей а пудЪ на сорокѣ: и какЪ часто
бычаетЪ надобно приводить доли не упот»
р бительиаго раздѣленія вЪ доли употре-
бительнаго раздѣленія, то потому назвать
пхЪ можно перемѣнными долями, а доли
употребительнаго раздѣленія непремѣн-
ными долями , для того что мы не имѣ-
емЪ нужды приводить ихЪ вЪ доли ее
употребительнаго раздѣленія, но мы уже
предложенія касающесь доперемѢниыхЪ
долей окончили, а осталось памЪ только
упомянуть оприведеніи перемѣнныхъ до-
лей вЪ непремѣнные, также и положеніи,
вычитаніи , умноженіи и дѣленіи тѢхЪже
непремѣнныхъ долей , а потребные кЪ
тому предложенія ниже сего слѣдовать
МмѢютЬ.
Задача.

72 Привесть перемѣн-
ные доли вЪ непремѣнные,
шо есть, доли не употре-
бительнаго раздѣленія вЪ
доли употребительнаго ра-
здѣленія.

рѣшеніе.-

Раздѣлишь знаменателя иско-
мой непремѣнной дроби назндменатс-
ля данной перемѣнной дроби , и прои-
сходящее отЪ того частное число
умножить числителемЪ данной пере-
мѣнной дроби, или какЪ обыкновенно
дѣлается умножить числителя дан-
ной перемѣнной дроби знаменате-
лемъ искомой непремѣнной дроби ,
и происходящее отЪ того произведѢ-
Ніс раздѣлишь назнаменаіпеля данной
реремѣн-
перемѣнной дроби : то вЪ семЪ слу-
чаѣ частное число, а вЪ перьвомЬ
произведеніе будетЪ искомая непре-
мѣнная дробь • которую ставить мо.
жно хотя сЪ знаменателемъ ее, или
безЪ знаменателя ; напримѣрЪ ежели
Надобно будетЪ знать, сколько лр-
ШовЬ I фунта составляютъ ; поне-
же вЪ семЬ случаѣ знаменатель
искомой непремѣнной дроби будепіЬ
$2 , то мы раздѣлимЪ его назнач
менателя данной перемѣнной дроби,
и получимЪ частное число 8 ; которое
бу де умножить числитглемЪ данной
же дроби з, то произведенье фу-
нта , или 2 ] лота будетЪ, иско-
мая непремѣнная дробь ; также дѣла я
рѣшеніе другимЪ образомЪ ежели
умножить искомой непремѣнной
дроби знаменателя 32 чѵслителемЬ
данной перемѣнной дроби 3. и про-
изведеніе отЪтого 96 раздѣлить на
41 то частное число «♦ фунта или

лота будсшЪ искомая непремѣн-
ная
ная дробь гаа же, что и вЪ прежнемЪ
рѣшеніи.

Доказательство.

Ежели надобно вЗять отЪ какого
цѣлаго числа нѣсколько долей , то
вЪ піакомЬ случаѣ раздѣлить должно
то число, на знаменателя данной
дроби а частное число умножить
^се числителемЪ , то произведе-
ніе отЪ того будетЪ искомая дробь-
такЪ и вЪ семЪ случаѣ ежели почи-
тая знаменателя искомой непремѣн-
ной дроби за цѣлое число раздѣлить
его на знаменателя данной перемѣн-
ной дроби и частное число умно-
жить се же числителемЪ, то про-
изведеніе ОтЪ того будетЪ искомая
непремѣнная дробь; а что касается
до другаго способа рѣшенія; то о спра-
ведливости его и безЪ доказатель-
ства увѣришь себя можно , потому
что все равно , ежели какое число
раздѣ-
94

раздѣлить на другое, и умножить на
третье, или пер^мѣннымЪ образомЪ
то же число прежде множить піре-<
тьимЪ и раздѣлить на доугое ; ибо
ьЪ обЪгхЬ случаяхЬ одно число
ВыдетЪ.

Примѣчаніе

15 Здѣсь вообще примѣчать доіжнйі
Что вЪ перемѣнныхъ дочяхЪ пгѣ будѵгпЬ
одинакихЪ знаменателей , которые имѣ^
ютЪ одно названіе: на примѣрѣ всѣ часы
суть доли одинакихЪ зчаменателей і
потому что они имѢютЪ общаго знаме-
нателя 24 часа, то есть ц^лые сутки]
такіе доли складывать и вычитать мо-
жно, а множить только вЪ геометріи и то
такіе доли, которые означаютъ мѣры
разстояній; напротивъ того разныхЪ
знаменателей непремѣнныхъ долей впекла-*
дываіпь ни вычитать, развѣ множить и дѣ-
лить можно; напримѢрЪ 4 фунта и я
фунта складывать и вычитать можно: а
умноженьи дѣлить нельзя, напоошмвЪтого
2 фунтл и 4 гривны нисложишь, иивы-
честь развѣ умножить и раздѣлишь мо-*


(°)

Задача.

74, Сложить нѣсколько
непремѣнныхъ 9 долей*

рѣшеніе

ЧтобЪ, сложить такіе доли то
надобно ихЪ ставить рядами каждую
посе названію или знаменателю и скла-
дывать каждой рядЪ особо слѣдуя
отЪ правой руки кЪ лѣвой, и ежели
подЪ кото рымЪ рядомЪ сумма долей
будетЪ больше ихЪ знаменателя,
то раздѣлить се на знаменателя
и сстатокЪ ( ежели какой будетЪ )
поставить подЪ рядомЪ долей шого
знаменателя а частное число скла-
дывать сЪ числами слѣдующаго ряду
сЪ лѣвой руки: напримѢрЪ ежели
надобно сложить 4 рубли 50 копѢ-
екЪ \ полушки,- б рублевЪ 2 I полушки
3 рубли, 68 копѣекЪ, г > полу-
шки
9$	(°)

юки то складывать у ихЬ, слѣдую-

щимЪ образомЪ	приведши перемѢн-
ру&	ко:	по:	чью доли раэныхЬ
4	5°	3	знаменателей і и
6	О	2>	і кЬ одвнакимЪ, сло-
4  2	6 Я	91	жить ихЪ между со-
1	2	г1	□ого ( по § 59) и
14	20	сл	какЪ отЪ того вы-

дбтЪ дробь больше единицы то вы-
честь изЬ ее цѣлое число і и ос-
тальную дробь і поставить ниже
линейки подЬ рядомЪ , перемѢнныхЪ
Долей а цѣлое число і приложить
кЪ ряду полушекѣ, кзйхЬ числа
2 Й з сЬ одною вычтенною шЪ
дроби больше единицы сосгаавлйюшЪ
сумму полушекЪ; изЬ коихЪ можсгпЬ
вытти нѣсколько копѣекЪ; а понеже
знаменатель сложныхЪ сихѣ долей
еСійь 4 чіТсло полушскЪ составляю-
іЦйхЬ копѣйку; и когда мы раЭдѣлимЪ
т него сумму долей § полушекѣ, гпо
выдеійЬ вЪ частномЪ числѣ 2 копѣй-
ки ; кои сносимЪ мы кЪ ряду ко-
пѢекЪ
пБскЪ, и сложивши сЪ 68 и 50 полу-
чимъ сумму 120 копБекЪ 5 а понеже
знаменатель суммы долей но ко-
пБекЪ есть ісо , то есть , коликое
число копБекЪ находится вЪ рублБ -
и такЪ мы раздБлимЪ ісо на ісо,
и получимЪ вЪ частномЪ числѣ I,
а вЪ остаткѣ 20 когіѣекЪ ; которые
поставить должно подЪ рядомЪ когіѣ-
екЪ, а частное число снесть кЪ ряду
рѵблев'Ь; коихЪ всЪхЪ сумма бу-
детЬ 14.

Задача.

75. Вычесть непремѣнные
доли однѣ изъ другихъ.

рѣшеніе

Здѣсь также поступать должно
какЪ и вЬ сложеніи, то есть, поста-
вить дроби однѣ подЬ другими одина-
кихЬ знаменателей, и вычитать одну

Ж

изЬ
изЪ другой, и ежЬли случи,вся , чпю
вычитаемая дробь будетЪ больше
уменшаемой, или уменьшаемой дроби
не будетЬ того же знаменателя, шс
при такомЪ случзЬ надобно взять
ьЬ уменьшаемыхъ доляхЪ изЪ слЪ-
дующаго сЪ лБвой стороны ряду
единицу, которая равна будетЪ зна-
менателю вычитаемой дроби, и вы-
читать изЪ того числа, а осгпаткі
( ежели какіе будутЬ ) поставнпп
вЬ пристойныхъ мЪстахЪ, то есть
гдВ имЬ по сеоимЪ ЗнаменателямЬ

быть ДОЛЖНО;
добно будетЪ
12 сутокЪ ,

мину піЬ ,

3

минутЪ ,

то

напрнмЪрЪ, ежели на-
вычесть изЪ 8 лЬтІ

14 часовЪ и	5С

года, 7 мЪсяцовЪ

18	часовЪ	и	15

должно п ступишь

вЪ шомЪ слЪдѵющимЪ образомЬ
ежели вычесть 15 I минутЪ из!

20 і, то произойдетъ отЪ того
го: МБ: су: уа: ми: осптатпокЪ д| ми-
8- О 12. І 2с|- нуіПМ (по Ь 6і У
? *7 9 18 15?	“	‘

кошорои поста-
вишь должно

4 5 2 20 41

ниже линейки подЪ минутами же ,
а понеже 18 часовЪ изЪ >4 вычесть
не льзя , то отЪ ряду сутокЪ взять
единицу, которая будетЪ равна 24
часамЬ, кои сложивЪ сЪ >4 получіамЪ
38 часовЪ, изЪ которыхЬ ежели вы-
честь 18, то в'Ь остаткѣ будетЪ а о
чусовЪ ; которые поставишь прдЪря*
домЪ часовЪ ; теперь вычтемЪ мы <)
сутокЪ не изЪ і2 но изЪ 1і , потому
что ошЪ 12 отнята единица , (какЪ
иго приставленная точка означаешЪ)
и остатокъ 2 поставимъ подЪ рядомЪ
сутокЪ 5 теперь надобно вычесть 7
мЪсяцовЪ но понеже вЬ уменьша-
емомъ числѣ нѢтЬ мѢсяцовЪ, то
мы займемЬ единицу, котбрая равна
будетЪ і2 мЪсяцамЪ, изЬ коихЪ
мы вычшсмЪ 7 и посшавпмЪ осшатокЪ,

Ж 1	$
подЪ мѣсяцами; на консцЪ вычи-
піасмЬ мы $ года изЪ 7, и остаігокЪ
ставимЪ подЪ рядомЪ годовЪ, то
число 4 года 5 мЪсяцовЪ 2 сушокЪ
20 часовЬ и 4* минуты, будетЪ иско«
мой осташокЪ.

Задача.

/5. Умножить между
собою непремѣнныя доли,
хотя бы онѣ были однѣ , или
имѣли при себѣ еще и пере-
мѣнныхъ долей.

рѣшеніе

ВЪ перьвомЪ случаѣ надлежитЪ
Привесть обѣ данные дроби вЬ самой
меньшей родЪ каждую по ее знамена*
лю , потбмЬ тѣ доли приведенные
вЪ самые мал^е части у множить
между собою , то происходящее отЪ
того умноженія число будетЪ иско-
мое
мое произведеніе показывающее число
самыхЪ меньшихЬ частей, которые
привесть можно вЪ большіе поори-
стойнымЪ знамснашслямЪ. При рѣше-
ніи другаго случая, то же все примѣ-
чать должно, чіго и при перьеомЪ, кро-
мѣ ч по не премѣняую дробь приведен-
ную вЬ самой меньшей ( одЬ имѣющую
при ссбѢ перемѣнные дои?; почесть
должно за цВлое чи.сло, и привесть

се сЬ перемѣнною дроэыо вЪ одну
дробь; потбмЪ умножишь сію дробь
другою данною приведенною же вЪ са-
мой меньшей родѣ, и произведеніе отЪ
того раздѣлить на знаменателя пере-
мѣнной дроби, піо происходящее отЪ
того числа будешЪ искомое. Про-
изведеніе содержащее вЪ себѣ самыя

малыя части, которыя привесть мо-
жно вЪ большіе по надлежащимъ кЬ
тому знаменателямЪ, только при-
рѢшеніи примѣровъ содержащихъ пе-
ремѣнные дроби надлежитЬсмотрѣшь,
чтобЬ онѣ были пькова сьо'і-

Ж з	сшва,
ства , каково требуется вЪ правилѣ
умноженія переѵЪмныхЪ долей ( § 6$ ).
ибо еЪ пропшвномЬ случаѣ произве-
деніе не будетЪ вѣрное, для показан-
ныхъ вЪ томѣ же предложеніи при-
«?і’нЪ, а п'кмѣры для обѣ хЪ сихЪ
случаевЪ з.аѢсь полагаю вся.

I.	НѢкотороппроБз-(надлежитъ рас-
жей человѣкѣ, про Бз-( положишь с іи чи-
жаетЬ вЪ часЪ по-^Ссла, такнмЬ
Версты и по юо са- (образомЪ
женЪ; такЪ сколько ( дни ча:
переѢдетЬ онЪ вЪ 2 С 2	6 ~~ $4,

дни и 6 часовЪ. Све:	са:‘ са:

( 4.	ІОО—2100

,	(	108

( ве : са : са :
( 22б 4.ОО=Ііу}.ОО.

2.	ОДпнЪФунтЪнѢ-( пу :	фу: фѴ:

котораго металла ( 2—----8 ==88

продастся по 5 рѵб-( ру: гри : гри :
левѣ и 4.; гривныЦ 5	4.^=—=109

такЪ что должно (	----*

2

дать за 2 пуда и 8 С __________

ФунтовЪ	( руб: грп:

(ЛОох88=479	&
Задоча.

7/. Раздѣлишь непре-
мѣнные дроби одну на дру-
гую, хош я бы шѣ дроби имѣли 9
или не имѣли при себѣ пере-
мѣнныхъ долей.

л *

рѣшеніе

ВЪ перьвомЪ сучаѣ надобно при-
весть обѣ доли вЪ самые малые
части поданымЪ ихЪ знаменате-
лямЪ, и раздѣлишь дѣлимую лробь на
дѢлящѵю, то вѣ частномЪ числЬ
выдутЪ самые малые части дѣлимой
дроби, которые привесть можно вЪ
большіе по надлежащимъ кЪ ннмЪана-
менателямЪ, другой случай рѣшит-
ся шакѵмЬ же образокЬ, кромѣ чгпо
непремѣнные до іи приведенные вЪ
самые малые части имѣющіе при себѣ
перемѣнныхъ долей привесть должно
сЬ -ними вЬ одну дробь, потомЪ сЪ
ними шакЬ поступать, какЪ вЪ пра-
вилѣ дѣленія псремЬнныхЪ дочей
(§ 6$) показано, наблюдая притомЬ,
ЧіссбЬ заданной примѣрѣ имЪлЪупо-
мянутыя вЬ томѣ же правилѣ обегпо-
я пельства' ибо вЪ противномЪ слу-
чаѣ рѣшить его по сему правилу не
льзя, а примѣры служащіекЪсему пред-
ложенію здѣсь слѣдуюшЬ.

ве. са.

Нѣкоторой’ че-) 24.о,$зо=і20380саж,
ловпк Ь пере- )

ѢхалЬна почтѣ) 2.	4=52 часы

вЬ 2 сутки н 4 )	са. вер. са.

часа 240.верстЬ)	2315=4 и 315

и 380. сажснЪ,)

ПтакЬ поскольку)
гюреѢзжалЪ онЪ )
на каждой часѣ )
) нм ру

ЮІЯа
юо

даноЮ ммперіа-) іо 8 1<м
ловЬиб^РУблесЪ) ну Фу
за 2 пуда и 20. ' 2 20=100 Фун.
ФуншовЪ.изЪсего) ру. ру.
надобно у знать,)	—=і"-

,31 \ іоооО	ісоо» іоаа

почему дано за )
каждой фунтЪ. )

ГЛАВА?.

О СОДЕРЖАНІИ И ПрОПОрЦІИ
ЧИСЕЛЪ.

Опредѣленіе

/8. Содержаніе (гагіо)
есть такое однородныхъ
чиселъ между собою сно-
шеніе, посредствомъ кото-
раго узнать можно величи-
ну одного изъ данныхъ чи-
селъ отъ величины другаго
числа, которые сносятся
между собою, называются
воосще члены содержанія, а
особо перьвой или на передп
написанной называется пред-
идущей членъ, а второй или
послѣ написанной послѣдую-
щей. Л	• <і|

Слѣдствіе

79. Ежели два нибла сносятся
между собою, то онБ могутЪ быть
или равны, либо неравны одно дру-
гому ; чего ради и содержаніе ихЪ
вЬ перьвомЪ случаѣ называется со-
Р’кан!- равенства , а вЪ другомЪ
’ Одержаніе не равенства

Опредѣленіе

о о. Содержаніе большаго
не равенства, есть то, ко-
с	торое
іпорое имѣетъ болыпее чи-
сло кЪ меньшему, то есть,
большее написано прежде, а
меньшее послѣ, а содержаніе
меньшаго не равенства есть
то, которое имІетЪ мень-
шее число кЪ большему, то
есть, меньшее число напи-
сано прежде, а большее по-
слѣ.

пРимѣчаніе

$1. 'Ежели два числа не равные”сносяга-
ся между собою, то содержаніе ихЪ уз-
нать можно двоякимЪ образомЪ, или вы-
читая одно число изЪ другаго, или дѣля
одно число на другое 5 и для сихЪ при-
чинъ содержаніе чиселЪ между собою во-
обще разсуждаемое раздѣляется на Два
особые содержанія? изЪ коихЪ одно узна-
ваемое по вычитанію называется ариѳме-
тическое содержаніе, а другое узнаваемое
лодѣленію именуется геометрическое. Хо-
тя
щя оба онѣ, какЪ вЪ ариѳметикѣ такЪ,
ш вЪ геометріи употребляются.

Положеніе

82. Ариѳметическое содержаніе
двухЬ ччселЬ между гобою озна-
чается посредствомъ, знака вычита-
нія —.— потому что оно сыскивасшсзя
повычитанію : напримѣрЪ содержаніе
числа 7 кЪ числу 5 выражлсмЬ, мы
чрез'Ь 7 ----5 и выговариваемЪ 7

к'Ь 5; а геомел;рическос содержаніе изо-
бражается посредствомъ знака дѣле-
нія: для того что оноузнавается по
деленію: напримѢрЪ содержаніе чи-
сла 6 кЬ числу 5, изображается
чрезЪ 6: и выговаривается 6 со-
держится кЪ 5, или просто 6' кЪ 5»

Примѣчая іе

53. Надобно знать, что вЪ арнѳие-
•ШинескомЪ содержаніи наблюдается толь-
"Жо, чтобЬ иенъшее число вычитаемо
Онло изЬ большаго, а вЪгеометрическомъ,

чтобЬ
чтобЪ большее число раздѣляемо была
на меньшее , а что касается до того что >
предЪядущей ли членѣ вычитается иЛ
послѣдующ’го или послѣдующей изЬ
предыдущаго, или прсдЪидущей ли членЪ
дѣлится на по- чѣдующіго, лабо послѣду-
ющей на предЪидуцрго , то вЪ томЪ
нѣтѣ нужды; потому что содержаніе
чиселЪ вЬ ого.»хЪ случаяхъ пребывасійЬ
іііо же (по

Примѣчаніе

84* Между житейскими нуждами рѢ-
піимыми по геометрическимъ со гержаніямЬ
часто случаются такіе, вЪ которыхЬ
изЪдвукЪ или трехЪ содержаній надобно
сдѣлать одно, то для того мы здѣсь
предложимъ и осложенныхЪ содержаніяхъ»

Опредѣленіе.

8$. Содержаніе сложенное
ѣзЪ нѣсколькихъ другихъ на-'
зывается шо, кошорое имѣетъ
произведеніе изЪ нѣсколькихъ
предъ идущихъ членовъ ум-

ножен-
ІЮ

(о)

воженныхъ между собою къ
произведеніюизЪ нѣсколькихъ
послѣдующихъ членовъ умно-
женныхЪже между собою:
напримѣрЪ 6: 96: имѣетъ
содержаніе сложенное изъ 2,
8 и 3: і2, а особо называется

содержаніе удвоенное, когда
оно сложено изъ двухъ, у тро-
енное , когда изъ трехъ и
такъ далѣе: напримѣрЪ 6: 36
имѣетъ содержаніе удвоен-
ное изъ 2: 4 и 3: 9 или 30,
360 имѣетъ содержаніе утро-
енное изъ 2: 4, 5: ю и


Опредѣленіе

86. Разность между чи-
слами ариѳметическаго со-
держанія, называется раз-
ность содержанія, а част-
ное число происходящее отъ
дѣленія одного члена на дру-
гаго въ геометрическомъ
содержаніи называется зна-
менатель содержанія (сіепо-
тіпаіюг гаііопіу).

Опредѣленіе

8/. Ежели у двухъ со-
держаній ариѳметическихъ
разности а у геометриче-
скихъ знаменатели содержа-
нія
хіа	(о)

нія равны будушЪ, то такіе
содержанія сушь равные; а
равенство двухъ ариѳмети-
ческихъ или геометриче-
скихъ содержаній называет-
ся ариѳметическая или гео-
метрическая пропорція: на-
примѣръ / кЪ 5 и 9, кЪ ;
будетъ ариѳметическая ,
пропорція; потому что здѣсь
послѣ вычитанія однихъ чле-
новъ изъ другихъ выходягпЪ
разности равные; а § кЪ 4
и 6 кЪ з геометрическая
пропорція, для того что
здѣсь отъ дѣленія однихъ
членовъ на другихъ частные
числа выходятъ равные.

Положе-
Положеніе.

88.	равенство двухЪ содержаній»
или пропорція выражается посред-
ствомъ знака равенства напримВрЪ
I—4>ИЛ'Л 2>‘ 4= и выговари-
вается і такЪ содержится кЪ 2, какЪ
$ кЬ 4, или 2 такЪ содержится кЪ 4>
какЪ з кЪ б, либо просто і кЬ' 2 равно,
3 кЪ 4, или 2 кЬ 4 равно 3 кЪ б.

Опредѣленіе.

89.	Члены' іЪпрбпорцІи хо-
іпя йриѳмётйческой или ге-
ометрический по краямъ сто-
ящіе Называются крайніе чле-
ны^авЪ средйнѣешоящіе сред-
ніе: Напримѣръ у пропорціи
ариѳметической 9-6=35-2, и
геомеШрической 12:3=8: 2:9 и
3	2,
2, также 12 и 2 крайніе
члены, а 6 и 5, также 3 и
8 средніе.

Примѣчаніе.

90.	Пропорція какЪ ариѳметическая і
такЪ игеометрическая раздѣляется на
пропорцію раздѣльную) и пропорцію не-
прерывную.

Опредѣленіе

рі. Пропорція раздѣль-
ная есть та, у которой
средніе члены разные; на-
примѣръ пропорціи 5-8~б-9
и ю : 5=8:4 будутъ ра-
здѣльные ; потому что у
нихъ средніе члены 8 и 6,
также 5 и 8 разные. А про-
порція
порція непрерывная есть та,
у которой средніе члены
одинакіе: напримѣрЪ пропор-
ціи 7-5—5-3,84-4:2 суть не
прерывные , для того что
у нихЪ средніе члены 5-и 4
одинакіе, притомъ число за-
нимающее мѣста втораго
и третьяго члена, какъ вЪ
ариѳметической, такъ и ге-
ометрической непрерывной
пропорціи называется сред-
ней пропорціональной членъ.

Опредѣленіе

92.	Ежели будетъ боль-
ше трехъ членовъ въ непре-
3 2 рывной
*•?	(О),

рвдиой пропорціи, НТО они

сосцш^явдріЪ црсчресЦо,...

Положеніе,

93.	Прогрессія ариѳметическая и
зображастся знакомЪ — а гсомепіричс-
скаязнакомЬ наприлгБрЪ; —7 5,7? 9»1 Ь
і-З-ипрочая— 5—9~ і-	і -і ?•,

и прочая, бу/стЬ, ариѳметическая
пропорція 3442, 4, Я, іб, $2 и прочая
—2-: 4 7^4 :Я : і6~ 16: 32 ШірОЧаЯі
геод}сп|риче^каяГі

имѣчаніе

ц. КарЪ, ариояетическая- факіі и ге*.
Ометричесгая прогрессія раздѣляется на-
ирибм.ваірщ\ю (рГр^грГйоп сгоіГГарге.') і| уры-
вающѵю (рго^ГиГііоп <1е сгоіГГапге) напримТ'рЪ
3,6. ч. 12. І5:* І^сть прогрессія ариѳметическая
прибывающая, а. 32,	8, 4, есть про-

грессія геометрическая убывающая.

Аксі-
(°)

Аскі’оМѢ.

Ежели вычесть изъ
предъ идущаго члена вЪ
ариѳметическомъ содержа-
ніи большаго неравенствѣ
разность содержанія „ то
остатокъ равенъ будетъ
послѣдующему; напротивъ
того въ содержаніи мень-
шаго неравенства, ежели сло-
жить предъидущей членъ
съ разностью содержанія,
то сумма будетъ равна
послѣдующему.

3 5 Теоре-
Теорема.

96. Въ пропорціи ариѳме-
тической сумма крайнихъ
членовъ равна суммъ сред-
нихъ.

Доказательство.

Ежели пропорцію составляютъ со-
держанія большаго неравенства, то вЪ
такомЪ случаЪ предЪидущіе члены той
пропорціисостоятЪизЪпослЪдующихЪ
и разности содержанія, чего ради ежели
сложить перьвой членЪ сЬ четвер-
тымъ, то будетЪ сіе сложенное чи-
сло сумма изЪ втораго и четвертаго
члена , также и разности содержанія,
( по § ѵ,5 ) а ежели сложить второй
и третей членЪ, то будетЪ сіе сло-
женное число сумма изЪ втораго и
третьяго члена, или сумма изЪ вто-
раго члена разности содержанія и

‘ •'	чствер-
четвертаго члена ( пс§:т )• а ежели
пропорція имЪетЪ содержанія мень-
шаго неравенства , то послѣдующіе
члены ея содержаній будутЪ состо-
ять изЪ предЪидущихЬ и разности
содержанія; чего ради ежели сложить
перьвой членЪ сЬ четвертымъ, то та-
кое сложенное число будетЪ сумма
изЪ перьваго и третьяго члена, также
и разности содержанія ; ( по§:гп)
а когда сложишь второй членЪ сЪ
третьимЪ, то сіе сложенное число
будетЪ сумма изЪ перьваго члена раз-
ности содержанія и третьяго члена,
( по §: т.) а понеже во всЬхЪ сихЪ
случаяхЪ одинакая сумма выходитЪ,
то чрезЪ сіе явственно узнать можно,
что вЪ пропорціи ариѳметической
сумма крайнихъ членовЬ равна суммѣ
среднихъ.

Слѣдст віе.

97« ИзЪ сего слѣдуетЪ, 'что
вЪ неприрывной пропорцій сумма

3 4 крайныхЪ
крайныхЪ членовъ равна будетЪ
среднему члену взятому вЪ двое.

Задача.

$8. Къ тремъ даннымъ
членамъ ариѳметической про-
порціи сыскать четвертой,
или мржду двумя данными
членами , сыскать средней
пропорціональной.

4

рЪшенІе.

I

Ежели даны бухпЪ два средніе
члена, и одинЪ изЪ краинихЪ, то сло-
живши среднихъ вычесть изЬ той сум-
мы заданной одинЪ крайній членЪ,
а оептаггокЬ по^ажетЪ другой; когдажЪ
будутЪ даны два крайніе и оДинЪ сред-
ней, то вычесть изЪ суммы краинихЪ
заданной
заданной одинЪ средней, а остатокъ
будетЪ дрѵгои; ежели же заданы бу-
ду шЪ только два “Крайніе , то сло—
жить ихЪ, и сумму, раздѣлить на
двое , а вЪ частномЪ числЪ выдегпЪ
средній прояорцеональной членѣ
напри- 5—“7—9—0 сыскапи 74*9 5—И
мЪрЪ . 0-4—5—2 чешьер- 44-5-2—$

шон

заданс

5-О-І і-і 5
9—0—0—5

Слѣдствіе

99. По сему вЪ прогрессій ариѳме-
тической изЪ- нотнаго числа члсяовЪ
состоящей сумма краинихЪ членовЪ,
или равно отсшоящихЬ отѣ край-
нихъ равна буденЪ суммѣ среднихЬ>
члсновЬ, также вЪ прогрессій нечош-
нос число членовЪ имѣющей сумма
крайнихЬ членовЪ, или равно отстоя-
щихъ отЪ крайнихЬ равна будетЪ сред-
нему члену взятому вЪ двое (тиі^'р)

Слѣдствіе.
Слѣдствіе.

юо. ИзЪ сего слЬдустЪ , что
вЪ прогресіи арѳметической прибы-
вающей , каждой членЪ послѣ перьваго
содержимъ вЪ себѣ перьвой членЪ 1
и столько разЪ разность прогрессіи,
сколько передЬ нимЪ находится другихЪ
членовЪ, а вЪ убывующей прогрессіи
Напротивъ лого каждой членЪ,начи-
ная отЪ перьваго, содержитъ вЪ себѢ
Послѣдней членЪ , и столько разЪ раз-
ность прогрессіи, сколько нимЪ
находитсядругихЪ членовЪ, почему,
ежели вычесть изЬ послѣдняго члена
Прибывающей прогрессіи перьвой , то
будетЪ вЪ остаткѣ произведеніе взЪ
разности прогрессіи на число находя-
щихся передЪ послѣднимъ членомЪ
другихЪ членовЪ, также ежели вы-
честь изЪ перьваго члена убывающей
прогрессіи послѣдней членЪ, то оста-
нется произведеніе изЪ разности

прогре-
прогрессій на число персдЪ послѣднимъ
членомЪ находящихся членовЪ.

Теорема.

іот. Ежели умножить
БЪ прогрессіи ариѳметической
сумму крайнихъ или равно
отстоящихъ отъ крайнихъ
членовъ половиною числа
членовъ, то вы детЪ отЪ
того сумма всей ариѳмети*
ческой прогрессіи.

Доказательство.

ПоложимЪ прогрессію ариѳме-
тическою -г- 3, 5, 7>	>і» Ч»

извѣстно намЪ ; что сумма вЪ ней
крайнихъ , или равноотстоящихъ
отЪ крайнихЪ членовЪ равна бу-
ДстЪ
депіЪ суммѣ срсднихЪ 99,)
и какЪ вЪ ссй прогрессіи находится
только б члсновЪ ; чего ради ежели
начавЬ отЪ крайнихЪ станемЪ скла.
дывать кхЬ по два вЪ одну сумму,
дпо получимЪ три равные между
собою суммы (по §, т,) кои всЬ
вмѣстѣ Составляютъ сумму всей
Прогрессіи; но понеже число сихЬ
СѵмчЬ имБющихЪ по два члена есть
вЬ полы противЪ числа члсновЪ про-
грессіи, то для того произведеніе
мэЪполовмиы числа членовЪ ариѳме-
тической прогрессіи на сумму кз-
ждыхЪ крайнихЪ или равноотешоя-
іцихЪ отЪ крайнихЪ члсновЪ бу-
дстЪ вѣрная сумма всей ариѳмети-
ческой прогрессіи.

Слѣдствіе.

Ю2. По Сему предложенію безЪ по-
грѣшности заключить можно, что
«умма Ариѳметической погрессіи
имѣющей


(о)

гмВющгй не равное число члсновЪ
равна будетЪ, или проиведенйо изЪ
суммы крайнихЪ се члсновЪ ца. по-
ловину числа членовЪ либо про-
имедонПо среіняга члена наполнос
число членовЪ.

Примѣчаніе

ісз Обстоятельства , по коимЪ рѢ-
шить можно всѣ до ариѳметической про-
грессіи касающіеся задачи суть слѣду-
ющіеэпервойи послѣдней членѣ прогрессіи:
разность ея, число членовЪ и сумма . на
какЪ сіи обстоятельства' перемѣнять но
ясно многими образами, полагая одно изЪ
мхЪ, или два занеизвѣстные, а прочіе за-
мзвѣстные, шо по сему надлежалобЪ и за-
данъ. обЬ ариеметической. прогрессіи на-
писать много; по понеже тщательной чи-
татель самЪ ихЪ вывесть и рѣшить
можетЪ повышеписанпымЪ правиламъ „
то мы заблдгоразсуждяемЪ' здѣсь предло-»
жищь, для примѣру неболѣе какЪ толь-
ко.елѣдуюіщс двѣ труднѣйшіе прочихЬ
задачи.

Задача.
Задача.

104.	Между двумя дан-
ными членами ариѳметиче-
ской прогрессіи сыскать
столько среднихъ пропорціо-
нальныхъ членовъ, сколько по-
требно будетъ.

рЪшеніе.

КЪсысконію среднияЪ пропорціо-
нальныхъ членовЪ вЪ ариѳметиче-
ской прогрессіи надобно намЪ раз-
ность ее также и число членовЪ. Че-
го ради ежели вычесть меньшой
членЪ изЪ большаго, и раздЪлипть ту
разность на заданое число членовЪ
сложенное сЪ единицею , (потому,
чшо кромЪ искомыхЪ членовЪ
имЪющихЪ при себЪ разность и изЪ
данныхЪ большей заданЪ сЪ разно-
стью,) то получимЪ вЪ частномЪ
числЪ разнобшь членовЪ прогрессіи,
кошо-
которую сложивЪ сЪ меньшимЪ изЪ
данныхЪ членовЪ, сыщемЪ одинЪ изЪ
среднихЪ пропорціональныхъ, а когда
сЬсимЪ сложишь еще разность, то
сыщется другой , и такЬ далѣе про-
должая, пока выдешЪ большей изЪ дан-
ныхЪ членовЪ, какЬ шо видѣть можно
изЪ слѣдующаго примѣра; ежели на-
добно будетЪ сыскать между $ и ц
пять среднихЪ , пропорціональныхъ
членовЪ, то поступишь вЪ томЪ слѣ-
дующимъ образомЪ '7!—о’з:» разно-
сот членовЪ прогрессіи , которую
ежели складывать сЪ перьвымЪ, и слѣ-
дующими занимЪ членами, то про-
изойдутъ искомые средніе пропорці-
ональные члены $, у, р, 11, імежду
данными и 15-

Задача.

105.	Ежели заданы бу-
дутъ въ прогрессіи ариѳме-
тической
шической перьвой членъ, раз-
ность и число Членовъ ,
іпо какъ сыскать послѣдній
членъ и сумму всей прогрес-
сіи.

рѣшеніе,
г	л

Послѣдній членЪ сыскать Можно
чреэЬ умноженіе разности числомЪ
членовЪ уменьшенномъ единицею,
е чрезЪ сложеніе итого произведенія
еЪ перьоымЪ ,, членомЬ ( по § гоо )
а посысканіи ежели сложишь его сЬ
нерьнымЪ, и-1 умножить половиною чй4-
сла; членовЪ, пн> выдепЪ сумма всей
прогрессіи ( по § юі )• на примѣрЪ
вЪ древніе времена употребляемЪ
БылЪ порядокЪ сраженія называемой
клинЪ ,, пѳшому что онЪ фигурою по-
добенъ былЪ клину- и сжелц положить
вЪ шакомЪ клинЪ число шсреногЪ
, кои расположены такимЪ сбра-
ЗомЪ , что вЪ перьвой шеренгѣ по-
ставлено 4 человѣка, а вЪ другой 7.
И такѣ далѣе увеличивая непрерывно
мя человѣками слѣдующіе шерен-
ги і по сему надобно узнать , сколь-
ко будетЪ солдатѣ вЪ послѣдней
шеренгѣ и во всемЪ клинѣ ; теперь
ежели мы возмемЪ разность членовЪ
5 , умножимЪ ее числомЪ членовЪ
уменьшеннымъ единицею »ц, и про-
изведеніе отѣ шого 57 сложимЪ
сЪ перьвымЪ членомЪ 4, то выдетЬ
послѣдній членЪ прогрессія 61, озна-
чающій послѣднюю шеренгу, которой
Сложивши сЪ перьвымЪ, 4 умножишь
ихЪ сумму 65 половиною числа
ЧленовЪ прогрессія іо, то выдешѣ
Сумма всей прогрессіи 650, то есть
число всѣхЪ солдатѣ сосшавляю-
іЦихЪ клинЪ.

И

Аксі
40	(о)

одному

Аксіома.

Ежели два числа
третьему или рав-

нымъ равны, то онѣ бу-
дутъ равны и между собою,
Ежели придать одно или
равные числа кЪ равнымъ,
или вычесть изЪ равныхъ
одно или равные, то ві
перьвомЪ случаѣ суммы, а ві
другомъ остатки произой-
дутъ равные. Также ежели
умножить, или раздѣлить
равные числа на одно или
наравные, то произведенія
и частныя числа равны бу-
дутъ.



Аксі-
Со)

Аксіома

то/ Въ геометрическомъ
содержаніи большаго не ра-
венства произведеніе изъ
послѣдующаго члена и зна-
менателя содержанія равно
будетъ п редЪи д у щему члену,
а въ содержаніи меньшаго не
равенства произведеніе изъ
предъидущаго члена и знаме-
нателя содержанія равно бу-
детъ послѣдующему.

Т еорема

Іо8 ежели будутъ че-
тырѣ числа вЪ геометриче-

И 2 СКОЙ
(о)

ской пропорціи 9 шо произве-
деніе крайнихъ ея членовъ
равно будетъ произведенію
среднихъ.

^окаэдтедьспівр,

ВЪ случаѣ содержаній большаго
не равенства умноживши послѣдую-
щихъ члсновЪ,. а когда будуівЬ содер* |
жанія меньшаго не равенства , то
предЪидущихЪ знамена телемЪ содер.
жанія сдВлаемЪ* кадЪ вЪ перьвомЪ, I
пгакЪ и во щкоррмЪ содержаніи данной I
пропорціи предЪидущихЪ членовЪ рав-
ными поСлодующимЪ ( по § 105 ) ,
поіпомЬ ежели умножишь преді.иду-
щаго члена нерьваго содержанія по»
слБдующимЬ впюраго и послѣдующаго
члена перьваго Содержанія предЪиду-
щимЪ ^щорвіГа । дао получимЬ чрезЬ
то
іпо произведенія крайнихъ п среднихъ
членовЪ, равные ( по § ю5 ). но
понеже каждое изЪ сихЬ произведе-
ній умножено сверьхЪ надлежащаго
знаменателемъ содержанія данной
пропорціи ? чего ради раздБлвмЪ мы
ихЪ на того знаменателя, то част-
ные числа , или лучше Сказать под*
линные Произведенія крайнихЪ и сред-
нихъ членовЪ данной пропорціи
выдутЪ равные.

Слѣдствіе.

юр. ВЪ непрерывной пропорціи по-
слѣдующей членѣ перьваго содержанія
предЬидущей втораго составляютъ
однѣ числа, такЪ слѢдуетЪизЪ сей те-
оремы , что вЪ такой пропорціи про-
изведеніе крайнихЪ члсновЪ равно
будетЪ среднему пропорціональ-
ному члену самому собою умножен-
ному.

И з

Слѣд-
(о)

Слѣдствіе.

но И шакЪ ежели раздѣлить прои-
зведеніе среднихЬ членовЬ на одно*
го изЪ крайнихЪ , шо вь-дегаЪ вЪ част.
ном'Ь числѣ другой крайней, или произ-
веденіе крайнихЪ членовЪ на одного
изЪ среднихЬ , то вЪ частномЪ чи-
слѣ произойдетъ другой средней,

Приммѣчаніе.

ііі. По сей піеоремѣ р?шатся всі
такіе примѣры, коихЪ не справедливо на-
зиваютЪ праві ломЪ тройнымЪ прялымі
и обращеннымъ, складнымъ, пяч.ернымЪ
[попону что такіе случаи суть толь-
ко примВры на правила а не самые пра-
вила ] также правила фальшивыхЪ поло-
женій и правила смѣшенія , только дли
убѣжанія ѳщЪ погрѣшности при рЬшеніі
піакихЪ случ е-ѣ надобно осторожно па.
блюда п:ь слѣдующіе обстоятельстваДІері-
вое: примѣры , которые рѣшатся по сему
правилу, суть такова свойства э что
вЪ нихѣ даются только три числа , по
коимѣ для дополгенія пропорціи сыски-
вать должно чепп.сртой. Второе , издан-
ныхъ


(о)

иыкЪ трехЪ чиселЪ два должны быть
всегда однородные, а трешее вЪ разсуж-
деніи прочихЪ двухЪ разнородное. Трешес :
изЬ данныхЪ чиселЪ два разнородные ме-
жду со5ою должны быть положительные,
а трешее сЪ однимЪ изЪ положительныхъ
однородное , а сЬ другимЪ разнородное дол-
жно быть вопросительное. Четвертое: при-
расположеніи членозЬ пропорціи надобно
ставить всегда однородные числа вЪодно
содержаніе, атрепее разнородное отЪ
тЪхЪ двухЪ вЪ другое, гдЪ оно сЪ иско-
мымъ будетЪ однородное ѵ по $ ів). Пя-
тое : когда величина искомаго четвертаго
пропорціональнаго числа независишЬ ни
отЪ чего больше , какЪ только отЬ ѵпоми-
наемыхЪ вЪ примЪрЪ трехЪ чиселЪ про-
порціи , и притомЬ ежели искомому четвер-
тому числу столь больше, или меньше
ьЪ разсужденіи вопросительнаго быть
слБдуетЬ, сколь больше, или меньше бу-
детЪ одно положительное число однород-
ное сЪ искомымЪ, вЪ разсужденіи другаго
положительнаго однороднаго сЪ вопроси-
піельнымЪ, то такой примЪрЪ соста-
влять будетЪ пропорцію изЪ прямыхЪ
содержаній, аеяели напротивъ того ве-
личина искомаго четвертаго пропорціональ-
наго числа зависишЪ кромѣ упомина-

И 4	емыхЬ
емыхЪ вЪ примѣрѣ трехЪ чиселЪ еще отЪ
какой вещи, по копюрой ее распо-
лагать должно, (но самой той іещи »Ъ
число членовЪ пропорціи полагать не над-
лежитъ ; потому что обЪ ней вЪ задачѣ
упомянуть можно, хотя выражая» или
не выражая числомЪ ) , притомЪ когда
тому искомому четвертому числу тѣмЪ
больше быть должно вразсужденіи го-
просительнаго, чемЪ меньше одно поло-
жительное однородное сЪ искомымЪ вЪ раз-
сужденіи другаго положительнаго одно-
роднаго сЪ вопросителінымЪ, или когда
искомому четвертому числу тѣмЪ меньше
быть слѢдуетЬ вЪ разсужденіи вопроси-
тельнаго , чемЪ болші одно положитель-
ное число однородное сЪ ИСКОМЫМЪ , вЪ
разсужденіи другаго положительнаго
однороднаго сЪ вопросительнымЪ, то такой
ПримѢрЪ составишь пропорцію изЪ обра-
щенныхъ содержаній. Шестое: построгомЪ
наблюденіи всѢхЪ вышеписанныхЪ обстоя-
тельствъ вопросительное число вЪ про-
порціи состоящей изЪ прямыхЪ содер-
жаній занимать должно всегда мѣсто
послѣдующ и го члена перьваго содержа-
нія, а вЬ пропорціи состоящей изЪ обра-
щенныхъ содержаній мѣсто предЪиду-
щаго члена перьваго же содержанія; и по
сему выходитЪ, что вЪ пропорціи изЪ
пря-
ирямЫхЪ содержаній и редѣидугціе и по-
слѣдующіе члены со отвЕ-гпсвую вѣ между
собою; а вѣ пропорціи изѣ обращенныхъ
содержаній напрошивѣ «подо крайніе
и средніе. Седьмое : когда вопроситель-
ной членѣ Соль не положительнаго сѣ
нимѣ однороднаго , шо вЬ такомЪ случаѣ
располагать должно примѣрѣ пропорціи
изѣ прямыхЪ содержаній, посодержаніямЪ
меньшдго не равенства ; а примѣрѣ пропор-
ціи изѣ обращениыхѣ содержаній по содер-
Жанідмѣ большаго не равенства, а ежели во-
просительной членѣ меньше будетЪ по-
ложительнаго сЪ нимЪ однороднаго, то
надлежитъ располагать примѣрѣ пропор-
ціи изЪ прямыхѣ содержаній по содержа-
ніямъ большаго не равенства, а примѣрѣ
пропорціи изѣ обраіценныхѣ содержаній
по годержаніямѣ меньшаго не равенства.

Задача

П2. Къ тремъ дан-
нымъ числамъ, или членамъ
геометрической пропорціи
И 5 сыскать
сыскашь четвертой пропор
ціонадьной.

рѣ шсні’е.

Данныя числа предложенной про-
порціи расположишь построгому
наблюденію всѢхЬ предписанныя Ь
вЪ прежнемЪ примѣчаніи обсто-
ятельствъ, потомЬ у множить гпрешь-
ммЪ членомЪ второй, и произве-
деніе изЪ того раздѣлить на перьвой,
то такимЬ образомЬ выдетЬ че-
твертой { а примѣры рѢшимые по
сему правилу слѣдуютЬ нежс сего.

Примѣрѣ на пропорцію состоя-
щую изЪ прямыхЪ содержаній , ко-
торая обыкновенно называется трой-
ное правило прямое. ТремЪ артѢ-
лямЪ работниковъ велено дѣлать
каналѣ, такЪ желательно знать во

сколько
сколько времени онѣ всѢ три окон-
чатъ его , ежели каждая изЪ нихЪ
копаючи олна совершить его імо-
•кетЪ, перьвая вЪ 2 мѣсяца , другая
вЬ 4, а трегпяя вЪ 6 мѣсяцовЬ: когда вЪ
одпнЪ мѣсяцѣ полагая по самой задачѣ,
перьвая артѢль сдѣлаетЪ і, другая *?(
а трегаяя ’ канала , и какЬ всѢ сіи
дроби хотя разныхЪ знаменателей ,
однако однородные, то надобно
привесть ихЪ кЪ одинакимЪ знаме-
нателямъ !»+!?+ Д, и сложить ихЪ
вЬ одну сумму, то выдетЪ количе-
ство работы вЪ одинЪ мѣсяцѣ или
вЪ $ о дней # огпЪ всего канала;
пли ( раздВливЬ всего канала ра-
боту на 48 частей ) ♦♦ отЪ $ ка-
нала; теперь вѣдая, какую часть отЪ
всего канала сдѣлаютЪ онѢ вѣ одинЪ
мБсяцЬ положить можно —
3°' I* , и такЪ всѢ три артѣли
сдѣлать могутЪ каналѣ вЪ одинЪ
мѣсяцѣ и 5 дни.

При-
Прим'ѣрЪ на пропорцію состоящую
изЪ обращенныхъ содержаній. Сія про-
порція обыкновенно называется трой-
ное обращенное правило вЪ нѣко>
пюромЪ осажденномЪ городБ нахо-
дится сЪЪстныхЪ припасовЪ столь-
ко , что , раздѣляя ихЪ на каждаго
солдата по оцѣнкѣ на 4 копѣйки
вЪ день, сшанетЪ тЪхЪ припасовЪ
для прокормленія всего гарнизона
на і мѣсяцѣ, а находящійся вЪ томЬ
городѣ КомендантЪ вЪ надеждѣ по«
лученія чрезЪ 2 мѣсяца помочи хо-
чегпЬ, на столько времени отсро-
чить здачу города } вЪ піакомЬ слу*
чаѣ надобно знать , По скольку онЪ
выдавать доляснЬ каждому солдату
мзЪ сЪѣсяіныхЪ припасовЪ , полагая
вмѣсто ихЪ деньгами, ицѣны припа-
сорЪ неперемЕняя , для сего надобно
ра.положить числа слѣдующимъ
обрагомЪ по § і < і ) 2’ і — 4 і
2, которое число денегЪ сыскивается
вЪ силу
»Ъ силу сего предложенія чрезЪ умно-
женіс третьяго членя 4** на втораго
і и раздѣленіе такого произведенія
на перьвой членЪ 2, и по сему извѣ-
стно,что шошЪ Комендантѣ долженЪ
выдавать каждомЪ солдату взЪсЪ Ѣсгп-
ныхЪ припасовЪ вЪ день на 2 копѣйки.

Примѣрѣ рѣшимой попропорціи.
Называемой обыкновенно правило
складное нѣкоторой человѣкѣ дол-
женъ былЪ тремЪ заимодавцамъ
Зоосю рублеаЪ і изЪ коихЪ перьвому
»сооо , другому бооо, а третьему
4ооо рублей? , по смерти того дол-.
жника осталось у него капиталу
на 12000 рублевЪ, которой раздѣ-
лить должно на всѣхЪ трехЪ заимо-
давцевъ оо пропорціи каждаго данной
должнику суммы; и такЪ расположить
должно числа сего примѣра слѣдую-
щимъ обраэомЪ: какЪ долгЪ весь кЪ
остальной суммѣ всего капитала
доджникова, шакЪ одного заимодавца
сумма
сумма кЪ при надлежащей ему части
капитала, или изображая самое сіе
ЧИСЛаМИ: 2ООСО: I ІОСО ~ ІССОС 6000:
перьвому при надлежащая часть капи-
талу 2ООСО : 12ССО — боОО : ^бсо,
другому при надлежащая часть капи-
талу . 20000 :	12,000 — 4000:

2400 , третьему принадлежащая
часть капиталу.

ПримѣрЪ на пропорцію состоя-
щую изЪ содержаній сложныхЬ. Сія
пропорція обыкновенно называется
пятерное правило : 6о человѣкѣ вЪ 4.
дни переносили ао саженЪ дровЪ, по
сему надобно узнать, во сколько вре-
мяни 8о человБкЪ переносятЬ 1 бо
саженЪ, а чтобЪ сіе получить, то
надлежигпЪ разобрать и расположить
числа заданнаго примѣра вЪ силу вы-
шеобЪявленнаго (вЪ§ ш) примѣ-
чанія слѣдующимъ образомЪ } понеже
величина искомаго времени зависитЪ

-і-мт	отЪ
отЪ двухЪ содержаній, то естьотЪ
содержанія саженЪ и содержанія лю-
дей, то должно требуемаго времени
доискиваться сперьва по одному со-
держанію, напримВрЪ по содержанію
саженЪ, и когда положить вЪ мысли
для обВихЪ количествъ саженЪ
число людей одно, то есть бо че-
ловВкЪ, то сыщется порасположеніи
пропорціи вЪ силу вышсобЪявленнаго
примБчанія ( вЪ § 111 ) 20 : 6о ~ 4 г
12, время вразсужденіи однихЪ чиселЪ,
саженЪ; но понеже вЪ прим’Вр'В зада-
ны еще числа людей разные, и при-
томъ чВмЪ число людей 8о человВкЬ,
больше числа людей бо человВкЪ,
тЪмЪ точное время меньше быть
должно отЬ времени 12 дней, то
для сего расположишь должно про-
порцію посодержаніямЪ обращеннымъ,
вЪ силу вышеписаннаго ( вЬ § т )
примЪчанія 80 ; бо “ 12: 9 , исіс
время
Время будетЪ то, вЪ которое 8а
человѣкѣ 6о саженѣ дровЪ перено-
сить могутЪ; сіе самое время 9
дней сыщется не располагая чиселЪ
діннаго примѣра на двѣ пропорціи,
но на одну слѣдующимъ обраЗомЪ $0
X 20 ! 6э X бо ~ 4 : 9.

Другой примѢрЪ пропорціи по содер-
жаніямъ сложнымЪ называемой обык-
новенно складнымѣ правиломЪ; три че-
ловѣка дѣлали редутѣ, и вели свою ра-
боту на каждой день равно одинЪ про-
тивЪ другаго, а рабошалЪ изЪ нихЬ пс рь-
вой 12 дней,другой ю,атретсй8,ипо-
совершеніи того редута получили всѢ
Вмѣстѣ за работу 24 рубли, желательно 1
Знать, поскольку денегЬ всякому при
надлежитъ взять изЪ той суммы
попропорціи его работы 5 при рѣше-
ніи сего примѣра поступить должно
слѣдующимъ образомЬ * ежели сло"
жить вЪ одну сумму дни всѢхЪ
рабоіп* ’
нпковЪ, то будетЪ число дней
50 ; потбмЪ надлежиіпЪ посылать
іпакимЪ образомЪ : какЪ сумма
всЪхЬ дней, то есть, 30, кЪ осо-
бому каждаго работника числу
дней, такЪ всѢмЪ данная сумма
денегЪ, то есть, 24. руб: кЪ особой
суммѣ денегЪ принадлежащей ему
по числу дней его работы , или
выражая все сіе числами 30 :
12 “ 2<і-: 9 Ц $0 : ІО — 24 : 8.
30 : 8 “ 24 : 6 І51 и такЪ по сему
дѣйствію вышло гіерьвому за 12,
дней 9 55 рублевЪ, другому 8. ру»
блсвЪ, а третьему б Іо раблевЪ.

Опредѣленіе
* . • .	” , <

и5. Правило фальши-
ваго по ложенія или по обы-
кновенному названію пра-
вило Фальшивое есть то,
I посред-
посредствомъ котораго по-
ложивъ фальшивое число
сыскать можно вѣрное.

ІГремЪчаиіе.

і»4 Сіе правило есть двоякое, одного,
и ДвухЪ положеній.

Задача.

115 Рѣшить примѣры
принадлежащіе кЪ правилу
Фальшиваго положенія.

рБшснІе.

Вслучаѣ одного положенія взять
должно какое ни есть число , к по-
честь его за искомое, потомЪ на-
длежитъ сЬ тѣмЪ числомЪ сдѣ-
лать і все шо что обстоятель-
ства
гпва даннаго примѣра іпребуютЪ г
и когда сіе взятое по изволенію чи-
сло будетЪ самое то, котораго
доискиваться должно было , то
вЪ шакомЪ случаѣ чрезЪ одно сіе
дѣйствіе данной примѣрѣ рѢшенЪ
будетЪ; напротивъ того ежели
оно не будетЪ то число, кото-
рое требуется, то вЬ іпакомЪ
случаЬ искать его должно попропор-
ЦІИ; которую расположить надобно
слѣдующимъ образомЪ: сысканное
фальшивое число такѣ содержится
ко взятому поизволенію фальшивому
числу, какЪ вѣрное данное число
кЪ вѣрному искомому числу: на-
примѣрЪ , три человѣка хочіятѣ
купишь домЪ, которой оцѣненЪ
вЪ 27СО рублевЪ, другой купецЪ
хочетЪ дать вЪ двое противЬ перь-
ваго , третій вЪ трое противЪ
Другаго; по сему узнать надлежитЪ,
сколько денегЪ перьвой дашь долженЪ.
Для сего положимЪ произвольное
число рублевЪ перьваго хсо, и по
сему второй долженЪ дать 200, а
третей боо рублевЪ, но ісо-ь гос-ь
бсо “ 900 число фарьшивое; по-
тому что оно не составляетъ сум.
мы 2700. рублевЪ; чего ради изЪ взя-
таго поизволенію, сысканнаго фаль-
шиваго и даннаго вѣрнаго чиселЪ,
сдѣлать должно пропорцію слѣдую
іцимЪ обраЗомЪ : 900: юо ^22700:
—°°° = }оо числу рублевЪ перьваго
купца, по которому и другигЪ сум-
мы извѣстны будутЪ.

ол

ВЪ случаЪ двухЪ положеній
поступать должно такимЪ сбра-
ЭомЪ: положить какЪ и прежде
сего числа поизволеніе, издѢлашь
сЬ нимЬ все то, что требуется
вЪ задчнномЪ примѣрѣ, и ежели
выдетЪ искомое число фальшивое;
шо оно будетЪ несходно сЪ вѣр-
нымЬ
нымЪ числомъ или по недостат-
ку , либо по излишеству; поігбмЪ
взять другое число по изволенію
ступишь сЪ нимЪ по обстоятельст-
вамъ даннаго примѣра ,и когда иско-
мое число выдешЪ опять фальшивое
по недостатку или поизлишеству ,
тогда ежели оба сысканные фальши-
вые числа не сходны сЪ даннымЪ вѣр-
нымЪ числомЪ по однимЪ недостат-
камъ, либо по однимЪ излишествамЪ;
вЪ такомЬ случаѣ надобно посту-
пать слѣдущимЪ образомЪ: сдѣлать
между взятыми поизволенію числа-
ми и недостатками,или излишества-
ми, и между заданнымъ числомЪ два
сравненія и умножить тѢ сравне-
нія недостатками, или излишества-
ми накрестЪ, а вЪ произведеніяхъ
отЪ того вычесть меньшее изЬ
большаго, и происшедшую отЪ того
разность раздѣлить на разность
не достатковъ или излишествѣ ,

І 5	то
що частное число будетЪ искомое*
на примѣрѣ нѣкоторой человѣкѣ
ИмБегаЪ у себя столько денегЪ,
чп о ежели взять отЪ половины
того числа > и 1 половины же того
3

числа , то останется у него 50
рублевЬ ; по сему надлежитъ узнать
сколько всЪхЪ у него денегЪ ; поло»
ЖимЪ, что шотЬ человѣкѣ вмѣстѣ
48 рублевЬ , и ежели отЪ половины
сего числа, то есть , отЪ 24 ру-
блевЪ отнять т “ 8 рублямЪ и
ж — б рублямЪ, то останется Ю
рублевѣ, и такЪ сіе число фаль-
шивое , а несходьствуетЬ оно сЬ
ЕІрны мЪ 30 по недостатку 20,
положимЪ опять другое число боль-
ше прежде взятаго; напримБрЪ
120, и ежели вычесть изЪ половины

его, то есть, изЪ бо рублевЪ ’ “
20 рублемЪ и { — Ц рублевЪ, то
бЪ остаткѣ будетЪ 25 рублевЪ, ко*
шорос сысканное число также фаль-

шивое э
(О)



шивое , и несходсговуетЪ сЪ вѣр-
нымъ по недостатку $. Теперь над-
лежитъ сдѣлать между взятыми
поизволенію числами , недостат-
ками и заданнымъ числомЬ слѣду-
ющіе сравненія.

6о — (20 4- 15 ) — $о— <; 7 два сра-
24 —( 8 4- б ) — 30 — 20 Г ВНСНІЯ

1200—(4004-^00)—бсс— ІООЭ два про-
120 —(40 4- ^О)~15О— ооэизве^енія
іс8о — (3604,270)—450 разность,
“ —	15

которую раздѣлить должно на раз-
ношь недостатковъ 20 — 5 ~ 15,
зпо выдетЪ частное число
хо8о (3604-270 ) ~	~ 72 —

і$

(24 4- »8) — 30, то есть, ежели
вычесть изЪ половины искомаго чи-
сла 72 одну треть ея, то есть 24
и одну четверть, то есть 18; то
будетЪ вЬ осшаткЪ 30.

I 4	А ежели
А ежели изЪ сысканныхЪ фалыпи*
быхЪ ЧиселЪ одно не сходству стЪ
сЪ вѣрнымЪ но недостатку , а дру-
гое по излишеству , то вЪ такомЪ
случаѣ поступить надобно ниже-
писаннымъ образомЪ: сдѣлать меж-
ду однимЬ взятымЪ , поизволенію
числомЪ , его недостаткомъ и за-
даннымъ числомЬ, также и между
другимЪ взятымЪ поизволенію чи-
сломЪ, его излишествомъ изадан-
нымЬ числомЪ два сравненія, умно-
жить тѣ сравненія недостаткомъ
и излишествомъ накрестЪ , и про-
изведенія отЪ того сложишь вЪодну
сумму, которую раздѣлишь должно
на сумму изЬ недостатка и изли-
шества , іго частное число будепіЪ
искомое : напримѣрЪ, ежели вЪ пре-
жнемъ примѣрѣ одно поизволеніе
взятое число будетЪ тоже 120 і
и недостаткомъ % а другое пускай
будетЪ 240, изЪ коего половины
120, ежели отнять I, то есть, 4®
и і, то есть 30, то вЪ осшагакБ
будетЪ число 50, которое прево-
схедитЪ число 50 излишествомъ
20,- теперь ежели сдѣлать сравненія
бо — ( г _ + 15 ) гг 30— 5	? два

120 —(40 + 30):^ 30 + 20 г срав-
ненія
1200— '4004- 300)^600— юо ? два
бос —(^200+I 5О)~ І$О4-Ю< Г про—
18оо—(6оо+4-5о)г^7’,о сумма, извег
которую раздѣлить должно на
сумму изЬ недостастатка и
излишества 5 4- 2о ~ 25 , то
выдетЬ частное число искомое
1800—( 600 + 450 )	70 — 30.

Дока зашельство.

Справедливость рѣшенія правила
одного положенія довольно извѣ-
стна изЪвышеписаннаго предложе-
нія О пропорціи ( §; 112 ) Ч: б: П:
І '5	А что
А что касаесшя до рѣшенія пра.
вила двухЪ положеній, то дѣлаются
ьЪ немЪ сравненія для того, чтобЪ
узнать чемЬ взятые поизволенію
и расположенные по обстоя шель-
ствлмЬ заданнаго примѣра числа не-
достаточны, или превосходсшвуютЪ
протизЬ даннаго, потбмЪ умно-
жаются оба тѢ сравненія накрестЪ
недостатками, или излишествами,
для того , чтсбЬ вЪ обѣихѣ сравне-
ніяхъ недостаточные или излишніе
числа сдѣлать одинакіе, какЪ и вЪ
рѣшенной1) здѣсь примѣрѣ изЪ
сравненій 24 — ( 8+6 ) =50—20 и бо—
(204-15) = 30 — 5 имѣющихъ разные
недостаточные числа 20 и 5 сдѣланы
чрезЪ умноженіе недостатками сра-
вненія 12СО — ' 4С0+ 5ОО ) =бОС— I оэ
и І2С—С404-50)= 15с—іоо сЪ одина-
кими недостатками юоиіоо;ивЪ
случаѣ , когда у обѢихЪ сравненіи
будушЬ недостатки или у обѣихЪ

ИЗЛИ-
илиптества, вычитаются вЪ нихЪ
меньшее изЪ большаго? какЪ напри-
мѣрЪ сравненіе 12,0—(400+50^=150
— ісо вычитается изЪ сравненія 1200
—(4-оо+зоо)=6оо—12Э; для того,
чтобЪ уничтожить чрезЪ то недо-
статочные или излишніе числа :
НапрлмѢрЪ ісо и іо ч 4 и какЪ дан-
ное число 30 содержится вЪ боль-
шемъ произведеніи боо изЪ 30 на 20
дватцітью, а вЪ меньшемЪ произве-
деніи і изЪ 30 на 5 пятью? и такЪ
ежели вычесть вЬ сихЪ произведені-
яхъ меньшее изЪ большаго , то бу-
детЪ 50 содержаться вЪ остаткѣ
450 пядонагоцатыо; чего ради ежели
раздѣлишь остальное сравненіе на
і$, шо есть наразность недостат-
ковъ 20 и 5 , то вЪ частномЪ чи-
слѣ выдетЪ сЪ одной стороны
сравненія заданное число 30, а сЪ
Другой искомое равное тому и ра-
сположенное по обспоятельствамЬ
даннаго примѣра Ч. б. В.

А еже
(о)
*

А ежели случится, что одно срав-
неніе будетЪ по недостатку а другое
по излишеству, то послѣ умноженія
ихЪ недостаткомъ и излишествомъ
накрестЪ складывай ь ихЬ должно
вЪ одну сумму для того, чтобЬ уни«
чтожить чрезЪ то недостаточное и
излишнее число, какЪ и вЪ рѣтенномЪ
Здѣсь вторично примѣрѣ усложнен-
наго сравненія і8ос—і( с004-450 )—
750 недостатокъ — юо и излишество
4- юо уничтожаются. А понеже вЪ
суммѣ 750 состоящей изЪ числа
30 умноженнаго чрезЬ 5 и того же
числа 30 умноженнаго чрезЬ 20
Число должно содержаться дват-
Цатью пятью, то для того раздѣ-
лишь должно сложенное сравненіе
на сумму изЪ недостатка и излише-
ства, а вѣ часганомЬ числѣ выдетЪ сЪ
одной стороны сравненія данное чи-
сло 30, а сЪ другой искомое и равное

ему
ему число расположенное по об-
стоятельствамъ даннаго примѣра.

Примѣчаніе.

иб Н’ЛЛгжчтпЪ знать, что всякой та-
кой поимѢрЪ, которой рѣшиться можетЪ
по одному положенію, то рѣшится оиЪи
по двумЪ, напропивЪ того не всякой по-
двумЪ положеніямъ рѣшимой примѣрѣ
но одному рѣшиться можетЪ.

Опредѣленіе.

пПравиломъ смѣшенія
называется такое дѣйствіе,
по которому рѣтить можно
всѣ такіе примѣры, вЪ
которыхъ упоминается о
смѣшеніи пропорціи количе-
ствѣ , и цѣнѣ какихЪ вещей.

При-
Примѣчаніе.

Ц8 Сіе правило употребляется вЪ эко.
Иоміи, мѣдицинѣ и физинѢ, а примѣровъ
принадлежащихъ кЪ нему для рѣшенія
суть четыре рода, перьвой есть ког-
да требу.шея цѣна смѣшенной вещи, по-
данными раінымЪ смѢшиваемымЪ вещамЪ,
также цѣнѣико-іичеству оныхЪ; второй)
ежели будетЪ надобно сыскать пропор-
цію и количество сиѢшиваемыхЪ вещей,
чтобЪ получить требуемую смѣшенную
вещь посредней цѣнѣ и вЪ заданномъ
количествѣ: третей, когда потребно
будетЪ сыскать д нной смѣшенной ве-
щи большее или меньшее количество вЪ
щомЪ же частей содержаніи, вЪ которомЬ
и части данной смѣшенной вещи на-
ходятся ; четвертой , когда надобно
сыскать вЪ смѣшенной вещи изЪ нѣсколь-
кихЪ другихЪ вещей каждой вещи коли-
чество поданному тѢхЪ вещей между
собою и цѣлой смѣшенной вещи содержа-
нію.

Задача.

119 Рѣшитъ примѣры ка-
сающіеся досмѣшенія вещей.

рБ-
рѣшеніе

ВЪ перьвомЪ случаѣ, когда спра-
шивается средняя цѣна смѣшенной
вещи : поданной цѣнѣ и количеству,
особо каждой изЪ смѢшпвасмыхЪ ве-
щей, піо надобно поступить такимЪ
образомЪ: умножить число выра-
жающее особую цѣну каждой вещи
числомЪ выражающимЪ ихЪ количе-
ство, потбмЪ сложить сіи произве-
денія вЪодну сумму, которую ра-
здѣлить должно на сумму коли-
чествъ, то вЪ частномЪ числѣ вы-
детЪ средняя цѣна: напримѣрЪ,
ежели надобно будетЪ смѣшать
между собою трехЪ разныхЪ цѣнЪ
вино, то какЪ сыскать среднюю
цѣну, чтобЪ смѣшенное вино про-
дать ни дороже ни детевлѣ, какЪ
за столько денегЪ, сколькобЪ полу-
чить можно было, ежслибЪ продать
всѢ тѢ вина порознь ( и шакЬ сред-
няя
ібо

цѣна сыщетсяслѣду ютцпмЬ образомЪ.

іо

цѣна 30 прой- роэ

Вина ВБушылки 4 каж:

4.0 зке-

.бэ

буш-. $о деіпя|25о

с

У

сумма бушьілОкЬ 19 сумма произье -цо
а пораьдѢлсНіи суммы произведеній
на сумму бутылокЪ выдетЬ средняя
цѣна — Р когіВекѢ.

Другой примѣрѣ , надобно
смѣшать двухЬ родовЪ вино вЪ
одно, и прибавить кЪ тому нѢсколь-
ко воды ; вЪ такомЪ случаѣ,
какЪ сыскать среднюю цѣну, по
которой бы смѣшенное вино ни до-
роже ни дешевлѢ продать можно
было, какѣ только по такой цѣнѣ,
какѣ бы и не смѣшивая тѣхЪ винЬ

между собою и сЬ водою; и понеже во-
дѣ никакой цѣны неполагается,
ігю потому она несдѣлаетЪ ника-
кова произведенія, а вЪ числѣ буты-
локЪ ставится, потому что она
вело бушылбкѣ составляешЪ; и такЪ
выдетЬ
рьтдетЬ смѣшеннаго вина средняя
цѣна тккимЬ образомЪ.

)А число )1э) цЪна . 4.э'прои'4^о
БИна(В бушы-( б(. каждой ?о звеле зэ
воды С локЬ ) 4.)бутылкѣ пія |
сумма о^піылокѣ 2Эі сумма произведи; 580

А пораздѣленій суммы произве-
деній на сумму бутылокЪ выдетЪ
средняя цѣна 580: 20 — 29 ко-
пѣіікамЬ.

ВЪ другомЪ случаѣ, когда бу-
детЪ діна цѣна каждой изЬ смѣ-
шиваемыхъ, пещей и средняя Цѣна
смѣшенной вещи, атребуешся со-
держаніе смѢшиваемыхЪ вещей и
количество смѣшенной вещи , то
рѣшен е заданнаго примѣра распо-
ложить должно на двѣ Части / не-
рвное сыскать смѣшиваемыхЪ ве*
Щей содержаніе меж у собою, а по-
ШомЪ количество смѣшенной вещи*
ЧтобЪ получить Содержаніе, ко-

К	пюрос
торое і мВшь должны межАу
собою смыливаемые вещл, и среднюю
цБну, то надлежитъ поступишь ша-
кгмЪ образомЪ: данные цЪны смЪ.
шиваемыхЬ вещей выразить сравне-
ньями сколько аЪ нихЪ недостатку
или излишества прошивЬ дачной
средней цЪны, и поставишь сіи сра-
вненія одно подЪ другимЪ по два
вмЬгтВ, такЪ чтобЪ одно сра-«
вненіе было понедос татку, а другое
по излишеству противЪ данной срсд.
ней цЫны, потомЪ умножить сіи
сравненія числомЬ недостатку и
злітшества взаимообразно, но при-
томъ должно знать, что множи-
тель здВсъ всегді полагается за-
ііолэжительное число , на конецЬ
надобно сложить тВ произведенія
отЪ чего произойдетъ сравненіе
которое покажстЪ требуемое содер-
жаніе смЬшиваемьіхЬ вещей между I
собою, и противЪ нБкошпраго коли-
чссп'ва цЬлой 'смѣшеньи вЪщи: на-^
пршаЪро серсбрсникЪ имІкілЪ че-

ты
шырехЪ пробѣ серебро , изЪ кото-
рыхЬ одно А іа пробы, другое В
2і ; іпретсе С 2.6, четвертое Э
29, а требуется составить изЪ
всВкЬ <ихЬ сортовЪ серебра одно,
которое бы было 24 пробы, коіпо”
рѵю означить можно литерою М.
ПритакомЪ случаѣ надебно сы-
скать , поскольку изЪ каждаго сор-
ту серебра положить должно вЬ
смѣсь, чшобЪ вышло нѣкоторое
количество серебра ±4 пробы; что
сыскивается слѣдующимъ сбразомЪ.

А=М-б]	В\М—з

С-Мн-2 ___________Р-ІУІч-7

произвегА—2М—іа проиі- зЪ~$М—і $•
денія бС—бМ-нгведевія зВ—зМ+і^

А ежели сложить сіи сравненія, то
выдетЪ ихЪ сумма а А 4- 6 С ]

з В — хб М, то есть, ежели
ссребреникЬ захочсшЬ имѣть смѣ-
шеннаго серебра 24 пробы к^усскЪ
вЪ іб фунпіовЪ, то Должно ему
зЪ смѣсь положишь 2 фунта изЪ

К 2	ссре-
серебра А, 6 изЪ серебрі С, $ изЪ
серебра В И 5 изЬ серебра Р.

А ежели будуівЪ только двѣ
смѣшиваемые гещи, изЪ которыхЬ
одна больше, а другая меньше цѣною
ошЬ средней цѣны , то вѣ таксмЪ
случаѣ) будутЬ только два ергі не-
нія, ежели же будугпЪ три смѣши-
ваемые вещиизЪ коп орыхЪ двѣ
будугаЪ меньше, а третья больше,*
или двѣ будутЪ больше , а третья
меньше цѣною , • то вЪ обовхѣ та-
кихЪ случаяхъ будутЬ четыре
ерівненія, потому что одно сра-
вненіе , которое различесішусшЪ
отЪ прочихЪ недостаткомъ , или
излишествомъ, взять должно два
раза і напримѣрЪ, ежели будутЬ
трехЪ сортовЬ вина, изЬ кошорыхЪ
одного А бутылка продается по
50 копѢскЪ, другаю В по 40,
третьяго С по оо, а средняя цѣна
для гродажц свхЪ винѣ, ежели
онѣ смѣшаются , полагается 50 ко-
пѢекЬ
рѣекЪ и означается литерою М, то
сыщется вЪ силу вьшд писанныхЪ
прлыілЬ количество каждаго вина
Принадлежащее кЪ смѣшенію такимЪ
образомЪ.

д—М—гэ	В~М— і о

с— МЧ-Ю	С~М-4- ІО

Прі'ИЗ-ргЛ~.оМ—2ООПр ,ИЗ іісВ—(СІИ — ЮО
Веденія 2 зС— 20М+2ЭО аеденія'ісС—ісМ+іоО

Аежели сложить сіи сравненія,то
выдешЬ сумМі ю А + ю В + р
С ~ 50 М; итакЪ е^ели смѣшен-
наго вина М надебчо будетЪ 50
буіпылокЪ , то должно положить
вЪ такое смѣшеніе іо бушылокЬ
вина А, ю вина В и 50 вина С.

ВЪ третьемЪ случаѣ, тогда на-
добно сыскать по данной смБ ген-
ной вещи такую же смѣшенную
вещЪ вЪ мзвѢстномЬ количссвБ
большемЪ или меньтемЬ противЬ
Дінной смѣшенной всіцл : напри-
мѣрЪ, ежели положить ві> прежнему
К	примѣ-
ібб	(о)

примѣрѣ о смѣшеніи разныхѣ пробЪ
сбребра, что вмѣсто іб фуншовЬ
такого смѣшеннаго серебра на-
добно его 35 фунтовЪ, по третей
пробѣ 24 — У, то шакой случай
рѣшится попропорціи слѣдующимъ
образомЪ.

фу и. фун.

іб:	35: — А 2:4

іб:	35 “ В 5 : Юн

16:	35 “ С 6 : 13

іб:	?5 ~ С з : 6 итакЪ,

будетЪ всѣхЬихЬсумма 35фуніповЪ.

БЪ четвертомъ случаѣ, ежели да-
на будетЪ смѣшенная вещп изЬ нѢ-

сколькмхЪ другихЪ вещей; изЪ коихЪ
каждой дано содержаніе ея вЪ раз-
сужденіи другой ; напрпмѣрЪ на-
туральная тяжесть каждаго изЪ
двухЪ смѣшенныхЬ металловЪ ;
ежели положить напримЪрЪ сли-
токЬ изЬ золота и серебра вЪ 25
фунтовЪ, и надобно сыскать,

сколь-
сколько вЪ птакомЪ слиткѣ золота
и сколько серебра величиною и вѢ-
сомЬ ; а содержаніе вЪ кускахЬ Оди-
накой величины золота кЪ серебру
полагается 200: 51, также и ве-
личина слитка извѣстна, тогда
должно искать , сколь»© бы одно зо»
лото величиною равное данному
слитку вѣсило, нежели положить,
что вБсЬ тотЪ ськканЪ вЪ 75
фунтовЪ ; по сему вѣсу сыскать
должно вѣсЪ куска серебра величи-
ною равнаго данному слитку по-
средствомъ слѣдующей пропорціи.
200: 51—75-. 7^X51; то есть какЪ

2 00

Натуральная тяжесть золота со-
держится кЪ натуральной тяже-
сти серебра вЪ равныхЬ величиною
кускахЪ, такЪ вѣсЪ зоючіа вЪ вѣ-
су серебра вЪ кускахЬ равныхЬ ве-
личиною данному слитку, и такЪ
выдетЪ вѢсЪ серебра вЬ кускѣ ве-
личиною равномЬ данному слитку

К 4	вЪ
,іб.8	( о )

гвЬі9* фунтовЪ, теперь стели по»
дожить величину слитка і а вели-
чину частную золота вЪ слиткЪ
Г=:х, піо будетЪ величина частная
серебра вЪ елиткЪ і—х, вѣсѣ всего
слитка вѣ 25 фунпоаЬ назовсмЪ
Мэі литерою іг. , вЪсЬ вЪ к\скБ
Вояота величиною ра^номЪ слитку
литерою а, а вѣсѣ серебра такой
же величины литерою Ь, теперь по-
ложишь должно слЪдукщую про-
порцію. КакЪ величина цѣлаго слит-
ка содержится кв частной вели-
чинъ золота или серебра находя-
щаго: я вѣ слиткЬ, такѣ вЪсЪ эо-
ЛО'па или серебра вЪ кускЪ вели-
чиною равномЪ данному слипку
кЪ частному вѣсу золота находяще-
муся вЪ СЛИПжЪ или I: Х~Я: ЯХ,

1

иго есть кЪ вЪсу золота содержа-
щагося вЪ СлиткЬ ,	1: I— X—Ь;

Ь-Ьх то есть кЬ вЪсу серебра.

х

нахо*
находящагося вЪ слиткЪ ; но вЪсЪ
золо ііа , и вЁсЪ серебра находящая
гося вЬ слипікЬ вмБстЪ взятьіе
равны будутЬ цѣлому слитку, то
есть, ах + Ь- Ьх-т; слѣ-
довательно будетЪ частная вели-
чина золота вЬ слиткѣ,

_т-Ь__2г — ісі   42^44‘г_і_4Т_
а - Ь"' ту — «5в і в~~ 8 8	447

ко лерую ежели вычесть изо всего
ели ика , то останется частная
величина серебра вЪ слиткѣ *4? ,
а ежели надобно будетЪ сыскать
вѣсЪ золота и серебра , пю посту-
пить вЪ томЪ ігакимЪ образомЪ
447: 47 ~ 25: 2 ’Ѵ? и 447: 400
25: хг , коихЪ сумма будетЪ 25
фунгповЪ.

Доказательство.

Когда требуется средняя цБнг
смЪтеннон вещи по данной цЪнЪ ,
каждой изЪ см'БшиваемыхЪ вещей,
также числу или количеству ихЪ,

К 5	при
при такомЪ случай, ежели умно-
жить числомЪ вещей одного рода
ихЪ цЬну, то выдетЪ вЬ произ-
веденіи общая цЪнл за вей тЁ> вЕщ-т.
Также ежели умножить числомЪ
вещей другаго рода ихЪ цЬну, то
произведеніе будетЪ общая всЪхЬ-
ихЪ цона, и піакЪ далВе ; а ежели
сложить такіе произведенія , то
сумма покажетЬ общую всВхЪ піБхЪ
вещей разнаго рода цЬну, и тікЪ
когда смЪшать всВ тБ вещи по
даннымЪ ихЪ количествамъ , то
для сысканія средней цѣны за смВ-
іпенные вещи необходимо слВдуетЬ
раздВлить общую ихЪ цЬну, на
ихЪ же ВсЪхЪ сумму Ч : б : П :

Ежели надобно сыскать содер-
жаніе смВшиваемыхЪ вещей и коли •
чество смБшенной вещі, поданной
цВнЪ , каждой изЪ смВшиваемыхЪ
вещей и средней цБнВ смБшенной
вещи, тодЪлаюпіся сравненія меж-

*У
ду среднею цѣною смѣшенной
вещи, и цѣнами смѣши васмыхЪ ве-
щей для того, чігобЬ узнать ,
сколько недостаточны или превос-
ходсшвуюшЬ цѣны смВшиваемыхЪ
вещей эпрошивЬ средней цѣны
смѣшенной вещи , а умножаются
сравненія недостатками или изли-
шествами на крестЬ, и попюмЪ
складываются вЬ одну сумму, для
того, чтобЪ уничтожишь чрезЪ
іго недостаточные и излишніе чи-
сла , и тогда сыскиваются у сло-
женныхъ сравненій сЪ однихЪ сто-
ронѣ количества смѣшенной вещи,
а сЪ другихЪ содержаніе смѢшива-
емыхЬ вещей; и піакЪ ежели сло-
жить іпЬ сравненія вЬ одно , то
будетЪ вЪ немЪ сЪ одной сторо-
ны количество смѣшенной вещи, а

Другой содержаніе всѣхЪ смѣ-
шиваемыхЬ вещей Ч: б і Б:
Чшо касается дрпримѣровЪ смѣ-
шенія третьяго рода, ( гдѣ по дан-
ной смѣшенной вещи сыскрвасшся,
Зракая же смѣшенная есщь вЪ извЪ-
стнонЪ количествѣ брльшемЪ или
меншемЪ противЪ количества или
величины данной смѣшенной вещи, )
и примѣровъ сметенія четвертаго
рода, ( гдЪ смѣшенной вещи изЪ
^нѢско-ЛМці^Ь разныхЪ вещей дает-
ся содержаніе, и каждой изЪ смѢши-
Ваемыхѣ вЬ разсужденіи другой, так-
же сыскивается колі ррещвр или ве
личина каждой изЪ смѣщиваемыхЪ
вещей вЪ смѣч енной вещи,) то
справедлиорсть рѣшенія,ихЪ доволь-
но видр^а изЬ предложенія пропор-
ціи (§112) Ч. 6. Т. и,,ч.

Поимѣчаніе.

І?э По оходчопіи ве!?хЪ тЪхЪ пред-
ложеніи, которыхЬ рѣшеніе зависипф
ото перьвой ніеоремы опропорціи геоме-
трической, слідуетЪ продолжать пред-
ложенія
ло^е«Тя о рззныхЪ свойсивахЪ и перемЪ-
нахЪ сідеРжаній и пропорцій геомсшрп-
ч^скихЬ.

Т еорема.

і2і Ежели будутъ два
геометрическіе содержанія
I одному третьему или ра-
। внымЪ равны, то онЪ и ме-
1 жду собою должны быть
равны.

Доказательство

Кокда геометрическіе содержа-
нія узнаваются чрезЪ дѣленіе одно-
го члена на другаго ( по § 81 ), то
есть чрезЪ «устные числа гіроисхо*-
Дмціе отЪ дѣленія одного члена
На другаго или лучше скізать, чрезЬ
зніменашелей содержанія', ( по § Ьб )
а у содержаніи равныхЬ не обходимо
должны
должны быть знаменатели равны
( по § 87 ), и такЪ когда два зна-
менателя содержанія одному тре-
тьему равны, по они ра'ны бу-
ду тЪ и между собою ( по § ісб
то есть да содержанія одному
третьему раанѵе равны будутЬ
и между собою, или ежели положить
6:	— 8: 4 и Ю: 5 — 8: 4, то

будетЪ 6: $ — ІО; 5 Ч: 6: П:

* 1

А ежели два содержанія двумЪ
равнымЪ содержаніямъ равны, то у
нихЪ и два знаменателя двумЪ рав-
нымЪ знаменателямЪ равны будутЬ,
а понеже два знаменатля равнымЪ
равные равны будуіпЪ и между собою
( по §; юб ) по с гЬдуетЬ изЪ сего,
что два содержанія двумЪ равнымЪ
равные, будутЪ равны и между со-
бою.-или когда 12: 5 — 1(5: 4, а 20: $ з:
12: 1 И 8: 2 ~ 1(5: 4, шо будетЪ 20: 5
=28: 2.4. 6. В.


(О)

Теорема-

122 Содержаніе двухъ
чиселъ между собою не пе-
ремѣняется, когда вЪнемЪ
предъидущій и послѣдующій
члены умноженны, или раз-
дѣленны будутЬ на какое
ни есть одно число.

Доказательство.

Ежели положить напрнмБрЪ два
числа 12 и 4, у коихЪ знаменатель
содержанія 3, и когда сіи числа умно-
жатся числомЪ 2, то произведенія
24 и 8 имѢюшЬ такое же содержаніе
между собою, какЪ 12 и 4, то есть
24: 8—12: 4,потому что у обѢихЪ
сихЪ содержаній знаменатель одинЪ
Ъ Ч: 6: II: ѵ

•Лі

Также
1.75	( о )

Также ё&елй раздѣлить оба чи-
сла 12 и 4 ні 2 , то частные чи.
сла 6 и 2 , также содержатся ме-
жду собою, какЪ 12 и 4 для равен-
ства ихЬ' знаменателей содержанія,
йю есть, б/г ГС2 12: 4 Ч: б,- В:

, Теорема.

і2з Ежели произведе-
ніе двухъ чиселъ равно' бу.
детЪ произведенію дру-
гихъ двухЪчиселЪ, то такіе
4етыр$ числа должны быть,
пропорціо на льн ы.

Доказательство.

Когаа будетЪ произведеніе
двухЬ чиселЪ, напримЪрЪ 4. 5 го 2.
іо ~ го произведенію другихЬ чи-
сслЪ» то ежели взять изЬ каждаго
про-
произведенія по одному какому ни
есть числу, напримѣрЪ числа 4 и 2,
и умножить тѣ числа какимЪ ни-
будь ДирешьимЪ числомЪ взятымЬ
йзЪ одного какого нибудч произве-
денія, напримѣрЪ 5 , то будетЪ 4.
5: 2. 5 — 4: 2 (по § 122), но по-
неже 4. 5	2. іо поположенію, то,

ежели положить 2. іо вмѣсто 4. 5
(по § іоб), будетЪ 2 ю,- 2. 5=4-
2, но содержаніе 2 Ю: 2. 5. умноже-
но однимЪ числомЪ } и такЬ ежели
раздѣлить е^о на то число, то
очо неперемБнипіСЯ.^ ( по ^*і22),
то есть будетЪ, ХО: 5 ~ 2. Ю: 2.
5, а 2, ю: 2. $	4: 2; слѣдова-

тельно будетЪ ІС: 5 — 4: 2
( по § 121 ) , то есть, ежели про-
изведеніе двухѣ чиселЪ равно про-
изведенію другихЪ двухЪ чиселЪ,
то такіе четыре числа будутЪ
пропору іонал ьн ы.
Т еорема*

124.	Ежели бу дутъ че-
тыре числа, какъ б, 5, р, 2
вЪ геометрической пропор-
ціи, то есть 6: 3 — 4: 2,
. шо какимъ бы образомъ ни-
перемѣнить, толькобЪ оди-
наково предъидущихъ чле-
новъ пропорціи, вразсужде-
ніи послѣдующихъ, и послѣ-
дующихъ членовъ вразсу-
жденіи предъидущихъ, так-
же и предъидущихъ ипо-
елѣдуютихЪ членовъ вмѣ-
стѣ, шо всегда они про-
порціональны будутъ.

До
(О)

ДоказашелЬсійво.



Ежели положить вЪ такихѣ про-
порціональныхъ числахЬ всѣ воз-
можные одинаковые перемѣны прсдЪ-
мдущимЪ ^ленамЬ вразсужденіи
послѣдующихъ , и послѣдуй щ.мЪ
вразсужденіи предЪидущи.мЬ, так-
же предЪидущимЪхи послѢдѵю_цпмЪ
вмѣстѣ какЪ, напримѢрЪ вЬ числахЬ
6:	4=2, можно сдѣлать слѣдую-»

щіе перемѣны.

5 : 6 _ 2 :

6 : 4 — } : 2

б-Ь 3  3 = 4 4-2. : 2

6 : 6Ч-$ — 4 : 4Н-2
6-5	3 — 4-2 ; 2

б : 6— ? — 4 : 4—2
6. 3:	4- ?= 2

б : 3, 6 — 4 • 2. 6
6. 3 : 3. 2 " 4. 3 : 2. 2
Г-

1=4-- ?

6. 4: 3. 2 — 4. 6. 2. 3»

Л 2 Однако
і8о	(о)

Однако, понеже при всѣхЪ сихЪ
перемВнгхЪ произведенія крайнихЪ
членовЪ равны будутЬ произведе-
ніямъ среднихЬ • какЪ напримЬрЪ
?• 4 — 6. 2, (6Ч-О. 2 —(4Н-2).
з, 6. (4-2) ^4. (6-3}, 6. 3.2—4
3. 3 , 6Л — 4- I. и 6. 4. 2. з = 4.
6. 3. 2 и прочая , слѣдовательно
числа состоящіе вЪ геометрической
пропорціи при всѢхЪ вышеписанныхЬ
персмѢнахЪ пребудутЪ пропорці-
ональны.

Теорема.

125.	Ежели вЪ двухъ про-
порціяхъ^ какъ 12: 4 = 30: ю
и4: 2 = ю. 5 умножить или
раздѣлить предЪидущихЪ
и послѣдующихъ членовъ од-
ной пропорціи на предъ иду-

щихъ
щихЪ и послѣдующихъ чле-
новъ второй пропорціи, то
вЪ первомъ случаѣ произве-
денія, а въ другомъ частные
числа будутъ пропорці-
ональны.

Доказательство.

ВЪ геометрическихъ содержані-
яхъ большіе члены равны произве-
деніямъ изЪ меньшихѣ* назнамсна-
телсй содержаній ( по § 107), какЪ
напримЪрЪ вЪ содержаніяхъ дан-
ныхЪ пропорцій 12: 4=ЗО{ ю и
4'• 2=ю: 5, 12=4. ?, 30=10. 3.
4=2. 2, ю=^. 2, и такѣ ежели по-
ставить вЪ данныхЪ пропорціяхъ на
мБсша большихЪ ЧленовЪ равные
имЪ произведенія 4. 3: 4=10. 3:
ю И 2. 2 : 2 = 5. 2 и 5 , и умно-
жить между собою одноименные
Л з	члены
1?г	( о )

илены обЪехЪ пропорцій, іпо будутЬ
произведенія 4. 5. 2. 2 , 4. 2, ю.
3, 5.2, іо. 5 пропорціональны, то
есть 4 ^.2 2:4- 2.=. іс. 3. 5.
2: ю. 5, потому что вЪ сбЬихЪ
содержаніяхъ знаменатель одинЪ 3.
2 , Ч. б , П ,

Тоже будетЪ и придЪленіи од-
ноименныхЪ членовЪ одной про-,
порціи, на одноименныхЪ другой, по*
трму что ежели раздѣлить одну
пропорцію 4.	4 — ю. іо, на-»

другую 2. 2: 2 — ч. 2: 5, то ча-
стные числа 5 5 :	° а :	бу-г

дуто пропорціональны, для того
что вЬ обЪихЪ содержаніяхъ зна-
менатель одинЪ е-

Слѣдствіе.

126.	ИзЪ сего слѣдуетЪ , что
ежели умножить какіе пропорці-
ональные числа сами собою нѣ-

сколько
сколько разЪ , то такіе произведенія
будутЪ пропорціональны, или п ро-
тивнымЪ образомЪ, ежели умноже-
ньи: сами собою насколько разЪ про-
порціоналные числа раздѣлить нѣ-
сколько же разЪ на перьвоначальные
піЪ числа, отЪ коихЬ взаимнаго
умноженія произошли іпБ умножен-
ные числа , то и частнные числа
бу д у гпЪ пропо рціона льны: напримѢ рЪ,
ежели 4: 1 ~ 6 ? 5 , шо будутЪ
также 16: + " 0; 5) и 64: 8 ~
Яіб: 27 и прочая, а когда 64: &^Г21б:
$7, то будетЪ 4: а — 6: 3.
у ,

Слѣдствіе,

127.	А когда у пропорціональныхъ
чиселЪ умноженныхЪ самыхЪ собою
нЪскольо разЪ произведенія , а упро-
изведеній раздѣленныхъ нѣсколько
разЪ напсрвоначальные свои числа
частные числа будутЪ пропорціо-

Л 4	нальны,
нальны, то слѣдуешЪ изЪ сего, что
сЪ такими проведеніями и ча-
стными числами всѢ вышеписанные
( вЪ § І24 ) перемѣны дѣлать мо-
жно бсзЪ нарушенія пропорціи.

Т еорема.

128.	Въ прогрессіи геоме-
трической прибывающей ка-
ждой членъ рі венъ произве-
денію перьваго члена и знаме-
на піеля содержанія возвы-
шеннаго столько разъ, сколь-
ко передъ перьвымЪ членомъ
находится другихъ членовъ.

Доказательство.

Еж?ли положишь прогрессію ге-
ометрическую -44, і, 2. 4> $ іб, 3 2

и
И прОГПЧ1Я,~^-^ I, 2, 2. 2, 2. 2.2,
2. 2. 2. 2, 2. 2. 2. 2. 2. И ПрОШЧЭЯ ,
пю явственно видЪть можно, что
вЪ ней пятой членЪ 16~2- 2. 2. 2.
то есть псрьвому члену умножен-
ному на знаменателя возвышеннаго
вЪ четверо, какЪ то и передЪ перь-
вымЬ членомЬ только четыре члена
находится , что происходитъ и при
другихЪ членахЬ.

Слѣдствіе.

129.	А когда взять вЪ прогрессіи,
геометрической убывающей послБд-
ней членВза перьвой, шо и вЪ ней всБ
тЬ свой~тва будутЪ , которые и вЪ
прибывающей.

Примѣчаніе^

ізо.	Слѣдующіе обѣ геометрической
прогрессій Теоремы равномѣрно служашЪ
жакЪ кЪ прибывающей, такЪ и убывающей

Л	прогрес-
прогрессіи, только вЪ сей послЪдпей пре.,
враіценнымЪ образомЪ прошивЬ церьвой

Теорема.

131.	Въ прогрессіи геоме-
трической произведеніе к рай-
нихъ членовъ равно произве-
денію двухъ равно отсто-
ящихъ отъ крайнихъ 9|
или среднему члену самому
собою умноженному, ежели
число членовъ не чотяое
будетъ.	I

доказательство.

Когда будетЪ напримѢрЪ прогрес-
сія 3, 9. 27, 8і, 24^, у прочая,
то вЪ ней произведеніе краіінихЪ чле-
НовЪ р 245;~72р, а какЪ произведеніе

равно

равно отстоящихъ отЪ крайнихЪ
членовЪ 9. 81^:729, и произведеніе

средняго члена 27 самаго ссбою
умноженнаго 27, 27	"729, піс есть,

есВ сіи произведенія равны одному
729, слѣдовательно омЪ равны и

между созою

Т еорема.

132 Ежели будетъ вЪ
прогрессіи геометрической
знаменатель содержанія 2,
тм разность между перь-
вымЪ и послѣднимъ членомъ,
равна будетъ суммѣ всѣхЪ
членовъ, выключая самой
большей, а ежели знамена-
тель содержанія $, то раз-
ность между перьвымъ и
псслѣд-
послѣднимъ членомъ равна
будетъ двойной суммѣ
всѣхЪ членовъ, выключая
самой большей, а когда зна-
менатель содержанія 4, то
разность между перьвымЪ
и послѣднимъ членомъ ра-
вна будетъ тройной сум-
мѣ всѣхъ членовъ, выклю-
чая самой большей, и такъ
далѣе.

Доказательство.

Ежели будетЪ прогрессія 2 , 4,
8, тб, 32, и прочая, у которой
знаменатель содержанія 2 , то бу-
детЪ разность между перьнымЪ и
послѣднимъчленомЪ, 32 — 2 ~ 2-Н4
-4- 8 —Н іб — 30 : у прогрессіи 3. 9 >

27»
27, 8і и прочая, знаменатель со-
держанія 3, а разность между псрь-
вымЪ и посдЬднимЪ членомЪ 81 — 3
= ( 3 -Ь 9 -Ь 27 )• 2 — 78 ; у про-
грессіи 4, 16, 64, 256. Знамена-
тель содержанія 4, а разность меж-
ду перьвымЪ и послѣднимъ членомЪ
з$б — 4 — (4 4- 164-64)3 —252
и шакЬ далѣе.

Слѣдствіе.

133. ИзЪ сего слѣдуетЪ, что, вЪ
случаѣ потребности знать сумму
всей прогрессіи, должно раздѣлить
разность между самымЪ большимъ
и самымЪ меньшимЪ членами на
знаменателя прогрессіи уменьшен-
наго единицею (по §132) и сло-
жить то частное число сЪ са-
мымЪ большимъ членомЪ.

Тео-


(б)

Т еорема-

ВЪ прогрессіи геомепр
рической перьвой членъ
имѣетъ ко второму содер-
жаніе одинакое, кЪ треть-
ему удвоенное, къ четвер*
тому утроенное и прочая
противъ содержамія псрь-
ваго члена ко второму.

Доказательство.

Ежели положить прогрессію 2,
4,	З2 и прочая, то будетЪ

у 2 : 4 , знаменатель содержанія 2
у 2 8 , знаменатель содержанія 4,
у 2 : 16 знаменатель содержанія 8.
ы шакЪ далІх, изЪ чего явствуетЪ.
что знаменатель содержанія а : 8
то есть, 4 вЪ двое, а знаменатель со-
-	ч держанія
держанія я і іб, то есть 8 втрое
возвышенЪ пропшвЪ знаменателя
содержанія а : 4.

Задача.

Ежели данЪ будетъ вЪ
прогрессіи геометрической
прибывающей перьвой членъ
и знаменатель содержанія,
то какъ сыскать желан-
ной членъ.

рѣшеніе.

Ежели данЪ будепіЬ перьвой
членЪ и знаменатель содержанія, а
надобно будетЪ сыскать напримВрЪ
четвертой членЪ, вЪ такомЪ случаЪ,
понеже позади самаго большаго
члена находится три члена, то
надлежитъ возвысить знаменателя
содер-
содержанія втрое, и умножить гпо
число перьвымЪ членомЪ , шо про-
изведеніе будетЪ искомой членЪ;
напримЪрЪ, нЪкоторой купсцЬ не
уплативЪ долгу умсрЪ, и оста-
вилъ по себЬ 4 сыновей; коимЪ по-

велЪно было отЪ суда уплатить
отцовской долгЪ такимЪ сбразомЪ,
чтобЪ самой меньшой изю нйхЪ

эаплаіпилЬ десять рублевЪ, а стар-
шей по немЬ сто рублевЪ; а не много
стіЪ сего старшій долженЪ у
платишь еще больше увеличивая по
«пакому же сс держанію далБе ,
по сему надобно сыскать, сколько
денегЪ уплатить долженЪ самой
старшій сынЪ; понеже кромЪ сама-
Го старшаго сына находится еще
трое сыновей, шо ежели умножить
Знаменателя Ю. Самаго собою три-
жды, отоеспіь ю. ю ю. апотомЪ еще
на ю число рѵблевЪ самаго мень.
шаго, шо произведеніе іо . іо . іо.

іо,
(6)	щ

іСооО будетЪ число денегЪ ,
которое самой старшей сынЪ упла-
тишь долженЫ

Слѣдствіе.

і ИзЪ сего слѢдуетЪ, что еже-
ли будетЪ прогрессій Геометриче-
ская убывакіщя, и данЬ будетЪ вЪ
ней перьвой членЪ, знаменатель со-
держанія и число членовЪ, то сыплет-
ся послѣдній членЪ • ежели раздѣ-
лить перьвой членЪ назнаменателЯ
столько разЪ, сколько передЪ НимЪ
Находится членовЪ.

Задала.

Ежели будетъ извѣ-
стенъ перьвой и послѣдній
членъ, и знаменатель содер-
жанія, шо какъ по нимъ сьі-
М екать
скать сумму всей прогрес-
сіи.

рЪ шеніе.

Взять разность, между самымЪ боль-
шимъ и самымЪ меньшимЪ членами,
раздѣлить се на знаменателя содержа-
нія умсншеннаго единицею (по § і $
а частное число сложить сЬ самымЪ
большимЪ , то такая сумма будетЪ
сумма всей прогрессіи і напримѣрЪ ,
нѣкоторой человѢкЪ вЪ путеше-
ствіи своемЪ издержалЪ вЬперьвуюне-
лю 3 рубли, а во вторую о и іпакЪ да-
лѣе увеличивая число денегѣ на каж-
дую неделю, а вЪ послѣднюю неделю
издержалЪ онЪ 245. рубли? по се-
ми надобно узнать, сколько онЪ де-
негЪ издержалЪ во все время своего
путешествія: ежеди вычесть 5 изЬ
2.43, и разность 240 раздѣлить на
Внаменашеля содержанія уменьшенна-

го
го единицею $ — 3	2 » пэгпомЪ

частное число ’*’г: 120 сложить сЬ
СамымЪ большимЪ членомЬ 24.3, то
сумма 120 -4- 243 — $6$ будетЪ
сумма рублевЪ, сколько онЪ во все
время путешествія своего ізвдер-
жалЬ.

Задача. •

138. Ежеди извѣстенъ
будетъ перьвой и послѣдній
членъ и знаменатель прог-
рессіи, то какъ сыскать
число членовъ.

рѣшеніе.

Когда будетЪ перьвой членѣ 2, •
послѣдній 64> знаменатель содержа-
нія г, то по раздѣленіи послѣдня-
го члена 64. на перьвой 2 вЪ част-

М 2	номѣ
»р<5	(с)

Номѣ числѣ выдетЪ 52, знаМеНайіелі
содержанія возвышенной сп олько
разЪ, сколько позади послѣдняго чле-
на находится другихЬ ЧленовЪ <
й такЪ сжсЛи взять, и раздѣлять воз-
вышеннаго Знаменателя $2 на про-
СтаГо і. до іпЬхЪ порЪ, пока частное
число будетЪ равно простому зна-
менателю і-; цю такимЪ образомЪ
узнать можно будеіпЬ число, во
сколько ра*Ъ воэвышенЪ Знаменатель'
кЪ которому ежели придать едини-
цу За послѣдняго члена } то такая
сумма покажетЪ число члсновЪ про-
грессіи * и какЪ вЪ нашемЪ примѣрѣ
Число возвышено вЪ пятеро про-
ПіивЪ знаменателя 2, чего ради, по*
приложеніи кЪ числу 5 единицы, чи-
сло 6 будетЪ число членовЪ прогрес-
сіи 2, 4, 8, 17, 52, 64.

С

ІІримЪчаніе.

119 Есть еіце и другіе до прогрессіи гео-
метрической касающіеся задачи> однако
ихЪ
гхЪ легко рѣшить можно знающему яй-
Записанные положенія*

Примѣчаніе.

»4О* Теперь сЛѣдургнЪ предлагать ОрЪ
Геометрическихъ выкладкахЪ, которые
оставить могутЬ не желаю ли учиться
р-оме пріи • потому ЧПіО онЬ длд рдноЗ
ре потребны,

Глава

РВЫКЛАДКАХЪ ТЕОМЕТрИЧК-
скихъ.

І

Опредѣленіе.

14т. Выкладками геоме*
Шри іескими называются дѣй-
ствія и перемѣны чиселъ,
означающихъ величину про-
странедівЪ 5 а перемѣны шѣ

М 3 со*
состоятъ вЪ возвышеніяхъ
чиселъ,то есть, когда ка-
кое число умножается само
собою нѣсколько разъ; или
ВЪ уменыне ніяхЪ чиселъ, шо
есть , когда возвышенное
предписаннымъ образомъ чи-
сло раздѣлено будетъ нѣ-
сколько разъ напервоначаль-
ное то число, отъ коего оно
чрезъ нѣсколько краткое
умноженіе получило свое
возвышеніе; въ десятичныхъ
дробяхъ , то есть такихЪ,
кои увеличиваются или ума-
ляются по знаменателю со-
держанія ю; илогарифмахЪ
іпо есть такихъ выкладкахъ,
кои вЪ нѣкоторыхъ случа-
яхъ на мѣсто простаго
умноженія и дѣленія чиселъ
сЪ преимуществомъ упо-
требляться могутѣ.

Примѣчаніе.

14г. Когда мы разсуждаемъ околиче-
ствѣ или числѣ какихЪ вещей , то для
рѣшенія такихЪ случаевЪ употребляемъ
ариѳметическіе правила , а ежели намЪ
надобно знать величину какой вещи одной
или жѢсколькихЪ, не почислу ихЪ, ново-
особой же величинѣ каждой, то вЪ такомЪ
случаѣ слѢдуемЪ мы правиламъ геометріи,
которые припомощи ариѳметическихъ
выкладокЪ разрѣшаютъ намЪ всѣ сомни-
тельные случаи, но чтобЪ лучше выразу-
мѣть предлагаемые вЪ сей главѣ выклад-
ки означающіе собою мѣру пространствъ,
то мы представимъ себВ какую ни-
егть вещь занимающую пространство
»Ъ длину , ширину и высоту > напрлмЬрЪ
дерево гладко и равно выдѣланное сЪ

М 4	шести
еоа

Со)

Шести сгпоронЪ одна другой равныхЪ и вЪ
Одинаковомъ р З'Ліся-'.ти прстиаоп ідов
акенныхЪ; у чгпсбЪ намЪ сыскаігь велц-
чиг,у п.юстрачства шого дерева вЪ длину*
ріясиі.у И вь^эту , Шп МЫ ДЛЯ Щго
ВозчемЪ іЪ т>му п.исшойнѵю м^ру, по
сетц котораябЪ ’Ъ м^ряем» ю 'СЩію бь.®
да одного раду ; НапримТрЪ корда мы
положимЪ как.0і пространство вЪ одну
длину, или одну ширину, либо одну '’Ы*
Соту, гпобЪ и мЪра была такова свсйства,
І^рторая бы могла вымаривать просшр.і»®
ство вЪодну только сторону; и такая мЪ-
ра вЪ геометріи о^ыкнО'іенѵо называется
динецная м^рэ : нацримЕрЪ линейная са-
жень, линейной футЪ и прочая. Теперь
ролОж <мЪ пространство трго дерева вЪ
длину, ширину и высоту пр 2 фупц
&инецныхЪ, а чтобЪ намЪ узнать,, сколь®
КО одна того дерева сторона простираю®
Чігяся вмЪгі'тВ *ф ДЛИНУ и ширину имЪеп Ъ
вЪ себЪ проетирзюіЦ’>Х'Я «Ъ длину и
ширину ф/тЪ;шо поцеже такое простран-
ство вЬідетЪ , корда мы представимЪ
себЬ , ч"по двуфутная линея стоймя на
другой передвинута на два фута; и какЪ
она чрезЪ то опищ-тЪ шакое прсстран*
ство; которгс вЪ длину и ширину имБ-
етЪ по 2 фута; чего ради умножаемЪ мЫ
Пространство такова дерева вЪ длину

линей*
(о)	гог

^ИНейныхЪ фута пространствомъ вфщив
рину 2 же линейными футами , то прц-ч
ИЗз"Д"ві$ опф того 4 показываетъ намЪ?
Что сторона тсго дерева ьф длину и ши-
рину просгпиряоцряся, или пообыкнотіднч
рому названію плоскость , либо пд (Ціді>
р»ой стороны содержитъ вЪ себй * г]? длцау
И ширину просотир іоцихся, или ксалрлт-
врічЪ футЪ, потому что вЪ геометріи
пространство вЪ длину вмѣс <ф сЪ ширич
рою имѣющее тЬ длину и ширину равные,
называется квлдратЪі и піакЪ аы опф
рего знаемЪ, что мѣра потребляя кЪ из'
мЪренірз пространствъ вЪ длилу вмЬсщВ
сЪ ширинорэ называется мЬра квадріт-.
пая* или площадная: напримѣрЪквадрат-
ная сажень, квадратной ф^тЪ, а понеже
мы и высоту дерева полагаемЪ вЪ 2 же
линѢйныхЪ фута ; и такЪ корда
представимЬ сёбЬ , что прежде сыскан-
ная наци плоскость или сторона дерева
вЪ 4 квадратныхъ фута подвину лазь ра®
рныіЪ движеніемъ вЬ высоту на 2 фута;
то пространство, которое она пергЙдетЪ,
равно будещЪ тому, которое занимаетъ
дерево у то есть пространство вЬ длину*
Ширину и віасошу. Посему чтобъсыскатя
намЪ сіе пространство, то мщ уцножимЪ
4 квадратныхъ фута переходящую его

линейными футами, то «ни пространм

М :	сіпвомЪ
сгпвомЬ вЬ высоту , которое помянутая
плоскость описываетЪ; то отЪ того вы-
детЪ произведеніе или искомая величина
пространства вЪ длину, ширину и высоту,
предложеннаго вЪ нашемЪ примѣръ дерева
8 вЬ длину, ширину и высоту совокупно
простирающихся или хубичныхЪ футЪ;
потому что вЬ геометріи пространство
вЪ длину , ширину и высоту одинаково/!
величины называется кубЬ; и такЪ отЪ
сего знать можно, что мЪра пространствъ
вЪ длину вЪ мЪстЪ сЪ шириною и высо-
тою называется мЪра кубичная ; напри-
мЪрЬ кубичная сажень, кубичной футЪ и
прочая.

Опредѣленіе.

145. Пространство вЪ
одну длину протянутое
называется линея, а число
выражающее его величину
именуется радиксъ. А ежели
мы представимъ себѣ та-
кое
(О)
♦

кое пространство, у кото-
раго есть длина и ширина
равные между ссбою, и
стоятъ одна на другой пря-
мо , то сіе пространство
называется квадратъ, а чи-
сло выражающее его вели-
чину въ мѣрѣ или лучше
сказать число само собою
умноженное называется ква-
дратное число или просто
квадратъ: напримѣръ про-
странство въ длину и шири-
ну стоящихъ одна на дру-
гой прямо имѣющее по 5 Фута
будетъ квадратъ; а произве-
деніе изъ числа з умножен-
наго
Наго само собою означающее
величину того простран-
ства въ мѣрѣ, шо есть 9
квадратныхъ футъ назы-
вается число квадратное ;
или просто квадратъ. Про-
странство, которое имЪетТ?
длину, ширину и высоту
равные, и прямо одна на
другой стоящіе называется
кубъ; а число выражающее
величину такого простран-
ства вЪ мѣръ называется
число кубичное или просто
КубЪ: напримѣръ ежели взяті»
какую вещь , у которой
длина, ширина и высота
про-
Простираются на $ Фута ?
и стоятъ одна на другей
прямо, то сія вещь будетъ
кубъ; а-чиело выражающее
солную ея величину подли-
нѣ, ширинѣ яв высотѣ, то
есть число 27 кубичныхъ
ФутЪ ; называется число
кубичное или просто кубъ.
Вообще называется радиксъ:
напримѣръ $ перьвая степень
сего числа, квадратное чи-
сло напримѣръ 25 вторая
степень числа 5; кубичное
число напримѣръ 325 третяя
степень числа 5, и такъ
далѣе; напротивъ того чи-
	.	•	сло
сло невозвышенное или ра-
диксъ напримѣръ 5 вразсу-:
жденіи своего квадрата 25
называется радиксъ квадрат-
ной, а то же число 5 враз-
еужденіи своего куба 125
называется радиксъ кубич-
ной.	’

Примѣчаніе.

144.. НѢтЪ такова пространства на
свѣтѣ , которое бы могло имѣть больше
шрехЪ сихЪ измѣреній, а имянно вЪ дли-
ну , ширину и высоту ; чего ради мы и
возвышенія чиселЪ и шо только такихЪ ,
которые означаютъ мѣру пространствѣ, не-
иолагаетѣ больше какѣ только вѣ третью
степень , вѣ прочемѣ числа неозначаюіціе
ни какихѣ вещей можно возвышать До
четвертой, пятой степени и такѣдалѣеі
во понеже такіе возвышенія чиселЪ вЪ
простой геометріи рѣдко ѵпотребляютсяі
вдого ради мы заблдгоразсуждаемѣ и но

»зЬ«
изЪясмяшь здѣсь того вЪ такихЪ онВ
случаяхЪ употребляются.

т /л • Положеніе.

145. Математики поступаютъ
вЪ выраженіи возвышаемыхЪ чиселЪ
двоякимЬ образомЪ , иди возвыта-
ютЪ ихЪ дѣйствительно вЬ требу-
емую степень, либо невозвышая ихЪ
ставятЪ надЪ возвьііпаемымЪ числомЪ
вЬ правой сторонЪ цыфру означаю-
щую требуемую степень: на примБрЪ
радиксЪ 5 — 5*; квадратное число
2$ — 5*, кубичное число 125 и
сіи выраженія чиселЪ выговаривать
можно такимЬ образомЪ, радиксЪ 5 ,
равенЪ 5 степени перьвой, квадрат-
ное число 25 , равно 5 степени
второй, кубичное число 125 равно
5 степени третей.

Опре-
4 Опредѣленіе.	|

146* Возвысить число ВЪ
Желаемую степень есть не-
что иное , какъ умножишь
его самого собою до тѣхЪ
поръ , пока выдетЪ требу-
емая его степень: . напри-
мѣръ возвышеніе числа 4,
въ третью степень есть
4. ,4. 4^64^4; а извлечь
радиксъ изЪ числа данной’
степени есть не иное что,
какъ сыскать чрезъ дѣленіе
такое число ь которое еже-
ли умножить нѣсколько разіі
само собою 9 то оно про-

изведетъ
(о)



введетъ число равное чи-
слу данной степени: напри-
мЪрЪ извлеченіе радикса
кубичнаго изъ числа 64
есть (64: 4): 4 = іб : 4_ 4*

Примѣчаніе,

14Л. Для Скорѣйшаго йзя/счевтя радйк-
СОвЪ надооно выучишь слѣдующую іпаб-
липу.

радиксѣ	Г	2	3	+ 5	б	7	Я	9
квадратѣ	1	4_	9	1бі’ 5	Ь_6_	+ 9	4	'Ч
кубЬ	1	8-	’7	б4| '2,	^26	41	51	2 9

Положеніе.

14$. Мы можемЬ ёозвышяшь чи-
сла двоякимЪ образомЪ, или умножая
данное число само собою цѣло, либо
раздЪливЪ его на двѣ равные или не- г
равные части; потому что вЪ обо-
ихЬ случаяхЬ возвышенія одного чи-

Н	сла
сла вЪ желаемую степень выдугпЪ
одинаковы напримѣрЪ.

8

Я

61

8

____6+2

_____ 6+2

?6+24-+4-
6+2

12+|8+8
2тб+т І4-+24-

512	2і6+2іб+Т2+8

А что касается до извлеченія радик-
совЬ, то математики для лучшаго
истолкованія теоріи его всегда раЗ-
дѢляютЪ радиксЪ на двѣ части и назы-
ваютъ его рідиксомЪ двучастнымЪ.

Теорема.

164,. Квадратное число
радикса двучастнаго состо-
итъ изЪ квадрата перьвой ча-
сти изЪ двойнаго произведе-

нія
Со)

2Т 1

ні'я перьЕСЙ и второй чз сти ум.
ножаемыхЪ между собоюиизЪ
квадрата второй части.

Доказателысніво

Квадратное число выходитЪ, ко-
гда радиксЪ самЪ собою умноженЬ
будетЪ ( по § 143 )а мы полагаемЪ
радиксЪ рздзѣлснной на двѣ части,
піакЪ вЬ семЪ случаѣ, для полученія
квадратнаго числа такого радикса,
надобно каждую его часть умно-
жать не только саму собою, но
и другою частью, вЪ силу правила
умноженія ( § ?О ) вЪ коемЪ мы, для
полученія взданныхЪ двухЪ чиселЪ
произведенія, умножаемЪ всѣми часть»
ми множитслер.ыми всѢ части множи-
маго числа , то такимЪ образомЪ
и, пріумноженіи радикса двучленнаго
самаго собою, квадратное его число

Н 2 состоять
сосніоятьбудёшЪизЪ произведенія перь-»
р ол части самой насхбя, пю есть изЪ
ея квадра па, изЪ произведенія перьвой
части на вторую, изЬ произведенія вто-
рой части на первую, пго есть изЪ двой-
ною произведенія перьвой и второй
Части умножаемыхЬ Между собою ,
п изЬ произведенія второй части са-
мой на себя, то есть изЬ квадрата
второй часшв;

Теорема.

I	:	у

>50. Кубичное число ра-
дикса двучасшнаго состо-
ишь* изъ куба перьвой ча-
сти, изъ тройнаго произве-
денія квадрата перьвой ча-
сти на вторую, изъ тройна-
го произведенія квадрата
второй
(О)	аВ

ршорой части на перьвую и
изъ куба второй части.

Доказательство.

Кубичное число произходитЪ ,
ежели умножишь квадрашЬ его рідчк-
рсмЬ ; но квадратЪ радикса двуча-
стніга сосшришЬ изЪ квадрата перь-
вой части , изЬ двойнаго произведе-
нья происходящаго отЪ умноженія
перьвой и второй части между со-
бою и изЪ квадрата второй части,
чего рии ежели умножить квадрат-
ное число ріддкеа двучастнаго его же
двучастнымЬ р’диксомЪ, то вы-
детЪ вЪ такрмЬ случаЪ кубЬ радик-
са двучастнаго состоящій изЬ ку-
ба перьвой части, изЪ тройнаго про-
изведенія квадрата перьвой части на
вторую, изЬ тройнаго произведенія
квадрата второй части на перьвую
и изЪ куба второй части.

Н 5 Зада
Задача.

і$і. Ежели задано бу-
детъ число выражающее мѣ-
ру какого пространства въ
длину и ширину , то есть
квадратное число то какъ
извлечь изЬ него радиксъ,
то есть сыскать число вы-
ражающее величину сторо-
ны квадратнаго простран-
ства подающрйс| въ одну
только длину, или въ одну
только ширину.

рѣшеніе и Доказательство.

Данное число раздѣлить должно
на класы , начиная сЪ правой сто-
роны
роны кЪ лѣвой, п полагая вЪ каждой
КЛасЪ ПО Двѣ цыфры ; ПОІПОМу ЧП7О
никакого одинакаго числа квадрапіЪ
6о гьше двухЪ цыфоЪ вЪ себѣ имѣть
не можетЪ ( по § 147) только при-
пюмЪ надлежпгпЬ знать, что иногда
вЬ крайней сЪ лѣвой стороны класЪ
останется одна только цыфра ; и
насколько класовЪ заданное число
раздѣлится , то столько будстЪ ча-
стей радикса , и какЪ вЪ крайнемЪ сЪ
лѣвой стороны класЪ будетЪ ква-
дратѣ крайней сЪ лѣвой стороны
части радикса , то для того надобно
взять такое квадратное число, кото-
рое бы или равно было заданному, либо
бы его не много меньше , сЪ тѢмЪ на-
блюденіемъ , чшобЪ всякое квадрат-
ное число больше отЪ взятаго нами
было бы больше и піого, изЬ кото-
раго мы вычитать должны квадрат-
ное число , потомЪ сысканное та-
кимЪ образомЪ квадратное число
Н 4	вычесть
2іб

(О)

Вычесть изЪ заданнаго числа , ц
радиксЪ его поставить за линейкью
сЬ правой стороны заданнаго числа,
то такимЪ образомЪ вычшемЪ мы
квадрашЬ перьвой части радикса дву-
часшнаго, всыщемЪ его радиксЪ, то
есть первую часть радикса двуча-
Сіпнаго; потомЪ придать кЬ остатку
( ежели какой будетЬ) отЪ вычита-
нія квадрата перьвой части слѣдую-
щей класЪ, и умноживЬ цыфрою 2,
сосканной радиксЪ надлежитъ смот-
рѣшь , сколько разЪ содержаться мо-
жспіЬ сіе произведеніе вЪ той суммѣ,
кромѣ крайней сЪ правой стороны
цыфры, которая отдѣляется для под-
ставленія подЬ нее остальной части
квадрата радикса дву частнаго, и число
означающее то количество поста-
вить подлѣ сысканнаго радикса, кото-
рое будетЪ нечто иное, какЪ вто-
рая часть радикса, коею ежели умно-
жишь вЪдвое взятую перьвую частьра-
дикса *
^икса , пто произведеніе отЪ того
будетЪ двойное произведеніе перьвой
и второй частей д=участнаго радикса
умножаемыхЪ между собою, которое
произведеніе спіавимЪ мы подЬ тою
суммою начиная отЪ другой цьфры
сЪ правой стороны , и какЬ теперь
уже останется, кЪ полному извлечс^
Нію двучастнаго радикса изЪ его ква-
драта, вычесть только квадратЪ вто-
рой части , то мы, взявши квадратЪ
второй части , ставимЪ подЪ тою
суммою, начиная сЪ правой стороны
кЪ лѣвой подЪ перьвою цыфрою, от-
дѣленною отЬ суммы точкою, по-
хпомЪ, сложивши его сЬ двойнымЪ
произведеніемъ изЪ перьвой части на
вторую вычитаемЬ ихЪ сумму изЪ
преждепомянутой суммы , то та-
кимЪ образомЪ выдетЬ искомой ра-
диксЪ даннаго квадратнаго числа;
ежели оно состоитъ только изЪ
двухЪ класовЪ; а ежели вЬ немЪ бу*

Н 5	детЪ


детЪ больше двухЪ класовЪ, шо вЪ
такомЪ случаѣ извлеченной ра-
диксЪ изЪ двухЪ класовЪ почесть
должно за перьвую часть радикса
дву частнаго , коего вторую часть
извлечь должно взЪ третьяго класа •
а ежели будетЪ еще и болЪе класовЪ,
то постпупіть сЪ ними также, какЪ
поступлено прежде сЪ гпреіпьѵічЪ
класомЪ: все сіе изЪ нижеслѣдующаго
примѣра ясно видѣть можно ; ежели
ьадобно будетЪ сыскать стсрону
такого равносторонняго поля , ко-
торое простирается на 116064. квад-
ратныхъ саженЪ, то посшѵг.игпь вЪ
томЪ слѣдующимъ сбр^зомЪ.

ква. ра. двуч. и. 69.^4 | 342 радиксЪ
ква. і. ча. 9

6 I 269

ДВО. про. І.Ч.Н.2. I 24.
ква. 2. ч.	іб

2

68 [1364
дво. проі. ч. н. 2 рзб
ква. 2.ча.	4

и та-
и іпаквмЪ образомЪ сыскалось чрезЪ
извлеченіе радикса кзадрашн іго ,
что сторона того поля вЪ длину
или вЬ ширину имБетЪ 542 диней-
ныхЪ саагснЪ.

Задача.

152. Ежели задано бу-
детъ число выражающее мѣ-
ру какого пространства въ
длину, ширину и высоту
или глубину, то есть ку-
бичное число, то какЪ из-
влечЪ изъ его радиксъ, то
есть сыскать число выра-
жающее величину стороны
куба подающейся вЪ одну
только длину, или въ одну
только
только ширину, либо въ од-
ру ріолько высоту.

рѣшеніе и Доказательство.

Раздѣлить данное число на класьу
начиная сЪ правой стороны кЪ лѣвой, ।
и полагая вЪ каждой класЪ по п ри
Цыфры , потому ч по никакого оди-
накаго числа кубЬ больше трехЪ
цыфрЬ, вЪ ссбѢ имЪшь не може пЬ
( по § >47) только притомЪ надоб-
но знать , что иногда вЬ крайней
сЪ лѣвой стороны класЪ остается
одна только или двѣ цыфры , и на-
сколько заданное число раздѣлено бѵ-
детЪ клцсовЬ, по столько онэ частей
радикса вЪ себѣ имѣеіпЪ ; а понеже вЪ
крайнемЪ сѣ лѢзрй стороны класВ
будетЪ кубЪ крайней сЪ лѣ^ой сто-
роны части радикса , то для того
надлежишЪ взять такое кубичное
число > которое бы или равно было
заданному
заданному, либо бы не много его
меньше, сЪ піЪмЪ наблюденіемъ,
чтобЪ всякое кубичное «шело боль-
шее отЪ взятаго нами было больше
и итого, изЪ котораго мы вычитать
должны кубичное число ; поптомЬ
надлежитъ сысканное такимЪ сбра-
зомЪ кубичное число вычесть изЬ
даннаго числа, и радиксЬ его поста-
вишь залинейкою сЪ правой стороны
заданнаго чис ча , тло такимЪ обра-
зомЪ вычтенЪ будетЪ изЪ заданнаго
числа кубЬ перьвой части ‘радикса
двучастнгГо , и сыщется его радиксЪ,
то есть перьвая часть радикса дву-
членнаго , послѣ сего придать кЪ
остатку (ежели какой будетЪ) опЪ
вычитанія куба перьвой части слѣ-
дующій класЬ , и умноживЬ сыскан-
ной радиксЪ сЪ перьва самЪ собою,
а потомЪ тремя , смотрѣть , сколь-
ко разѣ содержаться можетЪ сіе
произведеніе вЪ щой суммѣ, кромѣ
двухЪ


222

(О)

двухЪ крайнгхЪ сЪ правой стороны
цыфрЪ, которые отдѣляются точ-
кою , для подстановленія подЪ нихЪ
друге.хЪ частей куба радикса дву-
частнаго , и число означающее то
количество поставить подлѣ сыскан-
наго радикса , которое будетЪ не-
что иное, какЪ вторія часть радикса,
которсіо ежели умножить втрое взя-
той квадратЬ перьвой части радикса,
то произведеніе отЬ того будетЪ
тройное произведеніе квадрата перьвой
части на вторую, которое произве-
деніе ставимЪ мы по/Ь тою суммою,
начиная отЬ третьей цыфры сЪ пра-
вой стороны , потомЪ слѣдуетЪ
взять квадратЪ второй части радикса,
и утроивЪ его умножить перьвою
частью, то произведеніе отЪ того
будетЪ тройное произведеніе квадра-
та второй части на перьвую, кото-
рое поставить 'должно подЪ тою
суммою, начиная ошЬ второй цыфры
сЪ правой стороны, на консцЪ теперь
остается взять только кубЪ второй
части , которой ставимЪ мы подЪ
суммою, начиная отЬ перьвой цыфры
сЪ правой стороны , и сложивши
тройное произведеніе квадрата перьвой
части на вторую, тройное произве-
деніе квадрата второй части на перь-
вую и кубЬ второй части вЪ одну-
сумму у вычесть се изЪ заданнаго
числа , пю такимЪ образомЪ выдетЪ
искомой радиксЪ кубичнаго чѵела ,
ежели оно состоитЪ только изЪ
двухЪ класовЪ ; а ежели будетЪ вЪ
немЪ больше двухЪ класовЪ , то
вЪ такомЪ случаѣ извлеченной радиксЪ
изЪ двухЪ класовЪ почесть должно
За перьвую часть радикса двучастнаго,
ксего вторую часть извлечь должно
изЪ третьяго, а ежели еще и болЪе
ихЪ будетЪ, то поступать сЪ ними
также , какЪ поступлено преже сЪ
третьимЪ класомЪ ; все сіе изЪ
ниже
НижеслЪдуюцр.го примѣра усмотрѣти
можно ; ежели ндаобно будсшЬ сы-
скать длину, или ширину, либо высо-
ту такого тѣла , которое по всѣмЪ
симЪ протяженіямъ содержитЪ вЪ
себѣ і16622 саженЪ й 342 фута ,
кубичныхЪ или 40001688 кубичныхЪ
фѵтЪ , то поступать вЪ шомЪ
слѣдующимъ образомЪ.

кубЪ ра: двуч. 4.0. ооі. 68§| 342 раДик.

куб. і. час. 27

втр. вз.к. і. ч. 27 13001

лір.пр к.і.ч.на.2 Ю8

Лтр.пр.к.2.ч наі. 1

кубЪ 2. ча. 64

І23^4~

втр. вз. к. т. ч. з 1691 697688
Пір. пр. к. і. ч. на. 2.| 6936
тр. ир. к. 2 ч. на і. 408
куоЪ 2 части	8

697688

теперь мы, отЪ извлеченія кубичнаго
радикса знасмЬ , что заданное тѣло

про-
Г ~

гростиріеепэся какЪ ьЪ длину» такЪ
ширину и высоту на 342. линсйныхЪ
фута, или на 4$ СайкенЪ м б фуійЪ
иинсйныхЪ

Примѣчаніе*

15$. Ежели при извлеченіи радикса ква-
дратнаго случится* что ьЬ остальныхъ
и приданныхъ ЧислахЬ двойное произведе-
ніе перьвой части на вторую» и Квадратѣ
второй части содёржатьгя не можетъ*
или при извлеченіи радикса кубичнаго
тройное произведеніе квадрата Перьвой ча-
сти на вторую, тройнсё произведеніе ква-
драта второй части на перьвуго* икубЪвто*
рой Части содержаться не можетЪ» тойЪ
такомЪ случаѣ задать должно Вторую
Часть радикса інѵемЬ і и продолжать да-
лѣе извлеченіе радикса*

Примѣчаніе

ІУД. Ой правила извлеченія кЯаДрэт-
НаГо и куби чнаго радиксовЪ служатЪ тонко
ПритакиХй ОИсЛахЪ* изЪ котОретхЪ радиксѣ
извлечь МоЖйо безЪ остатка* а ё*е*и
ьлучитсЯтакзйквэдрДтЪ*илНкубЪ,у Кот -

О	₽лК-


ряго послѣ извлеченія осіланетйся еще ка*
ксе числс; язЪ коего радикса извлечь не
льзя , то вѣ такомЪ случаѣ должно изл
вдекать радиксЪ изЪ заданнаго числа спо-
ссбсмЪ приближенія, которое вЬ слѣду»
ющяхЪ за симЪ предложеніяхъ о десяти?»
ной мѣрѣ или десятичныхъ дробяхЪ по*
казано, и вразумительнѣе будетЪ,

Примѣчаніе,

1;Всйкби народѣ вЪ измѣреніи проста
ранствЪ имѣетЪ особливую свою мѣру какЪ
' напримѣрЪ на іи и россіяне имѢютЪ сажень,
которая раздѣляется на сѢмьфутЪ, футЬ
на двѣнадцать дюймовЪ или долей, дюймѣ
на двѣнадцать линей или Граней , ликея
на двѣнадцать скрупблей. Нѣмцы употре-
бляютъ руту, которая раздѣляется на
двѣнадцать футѣ, футѣ на двѣнадцать
дюймовъ, и такЬ далѣе. ФранЦузы имгютЪ
тоазЪ , которой раздѣляется На шесть
футѣ, футЪ на двѣнадцать дюймовЬ, и
такЪ далѣе. А геомеПіры напротивъ того
для способности вЪ выкладкѣ каждой
свое;5? земли мѣру раздѣляютъ на десять
частей^ то есть саженЪ или руту, либо
гпоазЪ на десять футѣ, футѣ на десять
дюймовЪ, и такЬ далѣе; и потому называ-
ютъ такую мѣру геометрическою, или
деся-
^есй-пичйою мѣрою; либо десятичными
ДОЛЯ 1 и.

Опредѣленіе*

і $6. Десятичная мѣра или
десятичные дроби сушь ша-
кіе дроби, которые имѣютъ
у себя знаменателя единицу и
при ней столько нолей, сколь-
ко числитель имѣетъ ць Фрѣ;
и для того подъ такими
долями не ставятся знамена-
тели, а пишутся только одни
числители; передъ которыхЪ
цыфрами ставятЪнѣкошорые,
точку, для различія ихЪ отъ
цѣлыхъ чиселЪ( ежели какіе
будутъ) другіе въ томъ же на-

О 2 адѣренш
мѣреніи означаютъ цѣлые чт
сла нолемъ, а десятичные до.
ли Римскими цыфрами, и ста.
вятЪнадѣперьвою пыФроюсЪ
лѣвой стороны перьвуюРим.
скую цыфру і, надъ второю
другую и прочая: напримѣръ
ежели надобно написать 5 »”
руты, или 4 руты, то вы-
ражаются такіе числа слѣ-
дующимъ образомъ 5. 4 и
4- о б, или 7 у и 7 у; 1
но перьвое означеніе лучше
послѣдняго

СлБдствТе.

«5 7- ИзЪ сего слѣдуетЪ, что
вЬ дссятдчныхЪ доляхЪ перьвая Цыф-
ра
ра сЪ правой стороны означаетЪ ,
десятые части, вторая сотые, третяя
тысячные и прочая , пю есть 4. 284
---4' I >ООО "“I ЮОІ^'Н2"^ іо'

Слѣдствіе.

158.	Понеже всякой дроби величина
неперемѢняется, ежели умножить
какѣ числителя, такЪ и знаменателя
ея однпмЬ какимЪ числомЪ (по § 48^
то по сему будетЪ. і~ю~юо
—іеяггіввб и прочая ; слѣдовательно
количество десятичной дроби не»
увеличивается , ежели прибавить кЪ
ней сѣ правой стороны одинЪ или
нѣсколько нолей, по сему также из-
вѣстно , что 2 8 больше , нежели
2. 79 , также больше нежели 2. 799,
потому что 2. 8 ~ 2,5 а 2. 79 — 2
в?» И 2. 799 — 2 і353'

О 3

Зада-
Задача.

159.	Ежели задано бу-*
детЪ сложить между со-
бою десятичные дроби, или
ьычесшь одну нзЪ дрхгой 7
іно какъ рѣшишь такіе за*
дачт

рѣшеніе.

Сложить доли одинакихЪ вна*-
мбнатсл-гіі , то. есть такіе , кото-
рые имЪюнЪ вЪ чисдиніеля^Ъ сво-
ихЪ означающіе одинакую мѣру
цыфрыі и тогда складывать дроби
одну сЬ другою, или вычитать
одну изЪ другой, а цѣлые числа
складываются между собою и вьь
читаются одно изЪ другаго обык-!
цовеннымЬ образомЪ: на юримБрЪ

СЖСЛЦ
гжели надобно будетЪ сложитпь'дро-
би 4. 568, 0386, 62. і , піо посту-
пить вЬ томЬ слѣдующимъ обра-
?омЪ«

4.566	4 1*555

.О$ 8(5	53553

62. I “ 6і, 55653

6 6. усбб	ббШза

Или ежели требуется вычесть 6.
583 изЪ дроби 9. 436, то поступить
вЪ томѣ такимЪ образомЪ.

р. 4, $ б — 9 Гео

6. 5 8 $ ^2 б 4533	/

?. 8 5 3 — 2 І553

Примѣчаніе

< ’• „

»6ѳ, При сложеніи и вычитаніи десзгпичг«
иыхЪ долей примѣчать надлежитъ, чшобЬ
не только напримѣрЪ руты сЪ рутами э
футы сЪ футами складываній , также
гуты изЪ рутЪ и Футы изЬ ФуЦЮвЪ вычи-

О 4	тя?м«
іпаемы были „ во чтобЪ притомъ 6ычц
ХпѢ руты» или футы одной лин5.інойг
дали одной кіддрапщой, либо одной ку-
бичной м’Вры і а при умноженіи можетЪ
умножаться не только линейная мТ^ра
линейною, но и квадратная линейною ;
«придйлещи дѣлится квадрашнаяи кубич-
ная мЪрі на линейную также кубичная
Вд «аддратную»

Задача.

ібь Ежеди задано будетъ
умножить, иди раздѣлить
десятичные дроби одну на
другую, то какъ поступать
пришакомЪ случаѣ.

рБшсніс.

Надлежитъ умножишь одну дробь
другою, также и цѣлые числа (ежеш
будутЬ), какЪ обыкновенно дѣлается
при умноженіи цѢлыхЬ чиселЪ, а вЪ
произведеніи начиная сЪ правой сто-

роны
роны отчесть столько цыфрЪ, сколь-
ко вЬ ’множимомЬ числѣ и вЬ множи-
телѣ находится цыфрЪ означающихъ
доли , поставить подлѣ нихЪ точку,
для различія отЬ цѣлыхЪ чиселЪ. По-
дсбнымЬ образомЪ поступать должно
и прлдѣлбніи десятичныхЪ долей ,
какЪ и при цѣлыхЪ числахЪ, кромѣ
ч.по вЪ часганомЪ числѣ должно
отдѣлить точкою сЪ правой стороны
столько цыфрЪ, сколь больше вЬдѢ-
лимэмЬ числѣ, нежели вЬ дѣлителѣ
н ходится дольныхЪ цыфрЪ. На оба
сіи правила примѣры здѣсь слѣду-
ютѣ.

примѣры

умноженія

4- іг	а. 454*

7	о. соу

2Ь	7^626

12^6	1*27’0

"ц. а^4	~оацос>72б

О <	примѣ-
г И

е>)

примѣры

§.22|8.44

644.

Дѣленія

978

19? 2

~~7І

5Н
$2.6
2282
2282

Примѣчаніе.

162. ВЪ десятичной линейной мѣрѣ,
означаются сажени, руты и тоазы чрезЪ
о, футы чрезЪ Іа. дюймы чрезЪ II, линеи
чрззЬ ІІІ, сирупули чрезЪ ІУ и прочая?
НаіриаѢрЪ шестнадцать рутЪ, вэсѣмь
футЪ, девять дюймовЪ и чешырѣ гоани
лияейныхЪ. Означаются такЪ ° , ”, ««

16	8 р 4

сій знаки когда употребляютъ нѣкото-
рые вЪ квадратной и кубичной мйрѣ, то
выговаривать ихЪ такимЬ образомЪ. Цыф-
ры озяаченные знакомЪ о , называютъ
квадратными рутами, означенные знакомЪ
I рименЪ рутами, означенные знакомЪ
II квадратными футами , означен-
ные знакомЪ ІІІ рименЪ футзми, озиачен-.
|;ые знаковъ ІѴ квадратными, цолз^іи >

означенные
(ѳ)

0зч*’»епные знакомЪ V римемЪ ц мяли и проч
мая, а >Ъ кубичной »ѢрЪ ц&фры стоящіе
ііодЪзнакомЪо назывгюпіЬкуб>:чны-’и рута-:
ми3 подЪ знаксѵЪ I шахтѣ рутами, псдЪэна-
ромЪ ПСалчспЪ рутами, по-.Ъ зн ікомЬ ІІІ
кубичными футами, позЪзнаКОмЬІѴінахтЪ
фута^г, по-Ъ знзксмЪ V ба «к'-иЪ фунтамиі
 .О I и ТІ5 VI Ѵ’г Ѵ«

на примЪрЪ'у ѵ V з \ я-'квадратной
мѣры еыгоі аривгюсіЬ дкЪ кьа/р ш* мг руі
ты, четырЬ рименЪ руты, іие'ЩЬ кгадрагп-
вихЪ футЪ, восѣмь ркмгнЪ ф“/т Ь , пять
квадратныхъ цзлей девять ркменЪ прлей ц
двѣ квадратные грани, и	-6' у\

кубиичппй мѣоы выговарла ю’пЬ сѣчь ку-
бичныхЬ’ рутЪ. Пять ш’хтЬ рутЪ , во-,
семь балкемЪ рутЪ, два кубичныхЪ фу-
та, три щауи Ь фута, шесть баікенЪ
футЬ и ченіырЬ кубичныхЪ ц>ля ; но
йіакая забота вЪ разбираніи десятичной,
квадратной и кубичной мѣры кажется из-
лишняя и безполезная ; потому что она
СверьхЪ дру рихЪ неспособностей положенное
отЪ всЬхЪ математиковъ постоянное
наименованіе зяаковЪ сей міры уничто-,
жаеті; а лучше бы слѣдовать примѣру поч-
ти всѣхЪ авпюровЪ; которые вышеписан-
ную квадратную и кубичную мѣру пишутЪ
Ѵ4	И у 5Г 8Ѵ,?6^ИВЫГО.

варигаютЬ такимЪ сбргзомЪ: два миліона,
четырѣ ста шестьдесятъ восемь тысячъ
Ііяпіь сртЪ дсвяцосшо ДБ$ квадращч
ѢЫХ&


ныхЪ граніЯ , или отличая большую мѣру
отЪ малой , двѣ руты сорокЪ шесть футѣ
восЬмь десять пять цолей и деьянссиіо
двѣ граній квадратьЫхЪ, также сйнь
лиліоновЬ пятьсотЪ восѣмдесять двѣ
тысячи триста шестьдесятъ четырѣ
цоля кубичнь.хЪ , или сѣмь саженЪ
пятьсотЪ восѣчдесять два фута и три-
ста шестьдесятъ четырѣ цоля кубич-
ныхЪ ; а такой способъ означенія и вы-
говариванія квздраной и кубичной мѣры
для меня да и для другихЪ кажется мнѣ
легче ; поточу что вс о авторы его вЪ
своихЪ книгахЪ употребляютъ.

Примѣчаніе.

Іб?. Такое легкое приведеніе большей
мѣры вЪ меньшую и меньшей вЪбольную
служитЪ только вЪ деСятичномЪ раздѣ-
леніи , гдѣ веякая большая квадратная
мѣра содержитъ вЪ себѣ изЪ меньшей
мѣры по сту частей , также всякая
большая куб'чная мѣра содержитъ вЬ се-
бѣ изЪ меньшей мѣры по тысячи частей ;
напротивъ того ежели будетЪ квадрат-
ная или кубичная мѣра не по геометри-
ч?скому, а по народному раздѣленію, то
вЪ такомЪ случаѣ большая мѣра вЬ мень-
шую и меньшая вЪ большую приводится
не шакЪ
не гпакЪ лехко. Потому что вЪней число ча-
стей меньшей квадратной или кубичной мѣры
содержащейся вЪ болшей несостоитЪ ни
изоста ни изЪ тысячи, но изЪ другаго числа:
на примѣрѣ ежели бы надобно было сы-
скать, сколько такое пространство и мѢеигЪ
вЬ себѣ квадрагпныхЪ саженЪ фѵтЪ у
коего длина вЪ 4 сажени и пять фѵтЪ,
а ширина вЪ 5 сажени и 6 футЪ, то при-
ведЪобѢ сіи мѣры вЪ меньшую, то есть
вЪ футы получимЪ длину вЬ 33 фута,
а ширину вЬ футЪ; нежели умножить
сіи числа одно другимЪ, то выдетЪ ,
отЪ того произведеніе 891 квадратныхЪ
футЪ, или , пораздѣленіи сего числа на
49 > то есть число квадратныхЪ футЪ
содержащихся вЪ квадратной россійской
сажени , будетЪ 18 саженЪ и 8 футЪ ква-
дратныхъ , а ежели на вышеписанномЪ
пространствѣ взведена будетЪ стѣна іы-
сотою вЪ я сажени и шесть футѣ или
вЪ 20 футЪ, то, чтобЬ узнать, сколько
вЪ ней кубичныхЪ саженЪ и футЪ, надоб-
но умножить »8 саженЪ и 8 футовЪ
квадратныхЪ или 891 квадратныхЪ
футЪ, 20 линейными футами ; отЪ чего
выдетЪ произведеніе ііего кубичныхЪ
футЪ; а пораздѣленіи ихЪ на 34? » то
есть число кубичныхЪ фукіЪ, находящих-
ся вЪ кубичной сажени, будетЪ всего
(&)

ірі
вЪ ілакь'й стѣнѣ *І. сажанъ и 527 фушІЭ
кубичг.ЫхЪ.

ПримѢчан іеі

164* Всякому извѣстно; что выше-
Писанныя прави,а с'.сженія, вычитанія,
умноженія и дѣленія десятичныхъ долей
с .ужатЪ только вЪ гпакомЪ случаѣ, когда
мѣра пространствъ какого народа разпс-
Ложеча будешЬ подесятинному раздѣленію;
напротивъ того ежели мѣра у потреблена
будетЪ посбыкновенному вЪ народѣ раз-
дѣленію, піовЬ спакомЪ случаѣ сіи правила
негодяпкя, а надобно будетЬ производить
потребныя дѣйствія сЬ такою мѣрою вЪ
большихъ и малыхЪ ея частяхъ по прави-
ламъ непремѣнныхъ долей (по $04.75.7 6. 77.)
Я немало удивляюсь тому, что матема-
тики для мѣрѣ располагаемыхъ подеся-
тинному раздѣленію полагаютЪ не только
особые правила, но и особую главу,
хотя ихЪ можно также складывать.
вычитать умножать и дѣлить какЪ и
прочіе непремѣнные доли понаписан-
выпЪ о сихЪ доляхЬ правилахъ, что вся-
кой читатель чрезЪ опытЪ усмотрѣть
ііожетЪ; а хотя нѣкоторые и превра-
щэюшЬ вЪ народѣ употребляемую мѣру
для скорѣйшаго будто вЪ потребныхЪ
случаяхъ
(о)	«39

случаяхъ окончанія выкладки, однако та
не справедливо ; правда что это мо-
гло бы быть такЪ, ежелибЪ шо дѣлалось
безЪ приведенія обыкновенной мѣры аЪ
десятичную; но когда вЪ случаѣ потреб-
ности выкладывать многіе числа озна-
чающіе мѣру пространствъ надобно ихЪ
преже всѣ приводить вЪ десятичную
мѣру, а потомЪ окончивать ихЪ выклад-
ку по правиламъ десятичныхъ долей ,
такЪ мнѣ кажется, что все будетЪ оди-
наковъ буди небольшія трудЪ; и такимЪ
образомЪ польза сихЪ правилЪ (кажется
мнѣ что) не стоитЪ труда употреб-
леннаго'; на сочиненіе ихЪ , я не смотря
на сіе написалЪ правила десятичныхъ
долей для охотниковъ, а что прина-
длежитъ до меня собственно, то я сихЪ
ПравилЪ о десятичныхЪ доляхЪ никогда
употреблять не намѣренъ , предпочи-
тая вышезбЪявленные способы какЪ
легчайшіе по моему мнѣнію кЪ рБшенію
потребныхЪ случаевъ.

Примѣчагііе.

Ібг. Здѣсь послучаю разсужденія оде-
сятичной мѣрѣ можно упомянуть и обЪ-
обыкновенныхЪ вЪ нѣкоторыхъ народахъ
мѣрахъ , и перемѣненіи ихЬ изЪ одной вЪ
другую.
И
другую. Присеми надлежитъ знать что
математики вЪ семЬ намѣреніи раздѣлили
футы всЬхЪ европейскихъ народовъ на
равные величиною чаете; изЪ коихЪ ро.»
сійской или Аглицкой фѵтЪ солеожитЬ
вЪ себЬ із «о, р-ирландской 1592 > Фран-
цузской 1440 а протчихЬ я не упоминаю)
потому что онБ у насЬ рЬдко упот-
ребляются.

Задача.

166.	Прнвестьмѣруодно*
го народа вЪ мѣру другаго
народа.

рѣшеніе.

Ежели положишь на примѣрѣ 6»
р:инландскихЬ рутѣ , кои надобно
превратить вЬ россійскіе сажени. Для
сего вЬ перьвыхо надоб о сдѣлать
изЬ ѵпоминаемыхЪ вЬ ЗаданномЬ
случай мЬрЪ Д^В пропорціи слѣду-
ющимъ образомЪ хі 13927г і2$о<
Н 7^аоо»'
І8792СО ПИКЖС I : I 3І50 Ег I 3$)2 і
і 879200 • и»Ь равенства между со-
бою четвертыхъ членовЪ спхЬ про-
порцій угнать можно, ч по 1356
рейн гандскгхЬ фу і Ъ и 1592 рсс-
сійскдхЬ по равному числу р ВЬЬ.хЪ
частей, то есть по 1879:00 вЬ се-
бЪ содержашЪ, то есть 1.50 р<йч-
ландскихЬ футЪ р»ены россій-
скимъ фу тіамЪ; а сіе. ьЬдал привесть»
можно 6 рейнландскихЬ ру тЪ ві фу-
ты* и послать гпакимЬ обр-’?омЬ
І350 рей: 139а ро: —72: 7Д 2=
6 , 2 то есть 6 рей гландс» ихЬ’
рушЬ равны 6 росшій-.кпмЬ сяженямЬ
и 1 оза ф/тамЪ; такимЪ же сбра-
ЗомЪ поступать должно при »срег
мЬненіи и прочихЪ мЪрЪ вЪ другіе;

СлЬдс т в і е;

167.	А ежели случится приводить'
одну мВру вЪ другую, которые бу-
дутЬ меньше фута, какЪ то дюймы

I П	Ьлй
или линеи и прочая: напримѣрЪ еже-
ли надобно будетЪ сыскать, сколько
вЪ б французскихъ дюймахЪ будетЪ
россійскихъ, то вЪ такомЪ случаѣ
поступилъ должно слѣдующимъ об-
разомЪ 135О: 1440 и: і44°Х^:

12

1550 ~~ 440^6. і 14404-6 —

І2.	1^0	124-1350

8640 -- 8 россійскаго фута; что
162'0	>5

можно изобразить яснѣе помощію
слѣдующей пропорціи 15: 8~ 12;
б I? РОССІЙСКИХЪ ДЮЙМОВЪ.

Слѣдствіе.

іб8.	у пропорціональныхъ чиселЪ
квадраты и кубы суть пропорці-
ональны(по § 12 бЪ чего ради подобнымЪ
образомЪ можно квадратную и ку-
бичную мѣру одного народа приво-
дить вЪ мѣру другаго народа.

Примѣ-


Примѣчаніе.

І&Р» Теперь, вѣдая свойство и раздѣленій
разныхЪ мѣрѣ, можно легче выр^зумЪтв
«зЪ влеченія радиксдвЪ квадратнаго ы ку»
бичнаго чрезЪ приближеніе-.

Задача»

і/о. Ежели случится т&=
кое пространство,коего дли*
на вЪ /о саженъ и 6 ФутЪ^
а ширина въ 40 саженъ и
4 Фута, слѣдовательно пло*
щадь его въ 140864 ФутЪ
или 2874 саженъ и 58 ФупіЪ>
квадратныхъ, а надобно бу-
детъ извлечь изЪ такого
числа радиксъ чрезЪ при-
ближеніе или сыскать сто*
П а рон/


ропу такого квадрата, ко.
шорой бы площадью своею
равенъ былъ тому про-
странству, то какъ посту,
пить вь такомъ случай

рЪшенІСі

ИзЪ 140864 квадратныхЪ футЪ
йе льзя извлечь іпакого радикса, ко-
іпорой бы близко поДходилЪ кЪ сто-
ронЪ квадрата ражаго площадью
своею пространству ьЪ 140864 ква-
драпіныхЪ футЪ, ежели не привесть
Прежде сихЬ квадратныхЪ футЪ вЪ
меньшую мЪрУ, то есть вЪ квадрат-
ные дюймы, потому что послЬ извле-
ченія квадратнаго радикса изЬ і 40864.
квадратныхЪ футЪ: еще остается
480 квадратныхЪ футЪ і чего ради
йадлежитЬ сіи квадратные футы
о Г	при-
привесть вЬ дюймы ; но какЪ квад»
ратной россійской футЬ содсржишЪ
вЬ себВ 144 квадршіныхЬ дюйма ;
то мы симЪ числомЪ умножимЬ
число 140864 і отЪ чего выдетЪ
произведеніе 20284416 квадратныхЪ
ДЮЙМОВЪ; изЪ коихЪ ежели извлечЪ
квадратной радиксЪ обыкновеннымъ
образомЪ, то будетЪ онЪ 4^03 линей-
выхЪ дюймовЪ, или з7> футЪ ц
3 дюйма лкнсйныхЪ, либо 53 саже-
ри, 4 фута и з дюйма линейныхЪ $
и сей способЪ извлеченія радикса
называется извлеченіе радикса чрезЪ
приближеніе.

Слѣдствіе,

171. Подобнымъ образомЪ извлег
кается и кубичной радиксЪ чрезЪ при*?
Сложеніе: на примВрЬ ежели положишьпр
десятичной мЬрЪ длину какого іиБл<і
вЪ зруты, ширину вЪарушы и Зфутаг

П з	высощу


(о)

высоту вЪ з руты и 2 дюйма; піа
выдетЪ іголстота всего іпЬла вЪ
27784000 куб.ічныхЪ дюймовЪ или вЪ
27 рутЪ и 784 футЪ кубичныхЪ; и
КакЪ послБ извлеченія радикса
линейныхЪ дюйма изЬ 2778400с ку-
<5ячныхЬ дюймовЪ остается еще

кубичныхЪ дюймовЪ; то поне-
же вЪ десятичной мЬрБ каждая
большая кубичная мВра содержишЪ
вЬ себЪ изЪ меньшей по юоо ча-?*
стей, для того надлежитъ умножить
сей остатокЪ юсо и продолжать
извлеченіе радикса * то выдетпЪ онЪ
вЪ 505 линейныхЪ дюйма и сверьхЪ
того вЪ а линейныхЪ грани чрезЪ
приближеніе извлеченныхъ.

Примѣчаніе.,

о». Теперь слѣдуетъ предлагать оло
іариемахЪ, кои выдуманы для облегченія
»Ъ нѣкоторыхъ случаяхъ простаго умно-?
ЗКСнія и дѣленія чиселЪ; но для лучша-
го выразумѣнія ихЪ надсбво знать слѣ-
дующіе предложенія.

Опредѣленіе.

) 73. Ежели, въ случаѣ на-
добности какого нибудь чи-
сла, оно есть, шо такое чи-
сло называется положитель-
нымъ и пишется передъ нимЪ
знакъ сложенія ч- напримѣръ
е^ели кто долженъ будетъ
6 рублевЪ , а у него есть
столько,шо сіе число будетъ
положительное; а ежели нѣтъ
такого числа , какое тре-
буется, шо называется оно
отрицательнымъ, и пишется
обыкновенно передъ нимъ
П 4 знакъ
знакъ вычитанія-напримѣрЪ
ежели кшо долженъ 9 руб-
лей Ь, а утго нѣтъ ничего
денегъ на уплату того долгу,
то число 9 будетъ ошрица-.
щелыіое,

Слѣдствіе,

174.. По сему почесть можнц
Ц фру ноль за середину между поло-
жишсльнымЬ и оіврі цательнымЪ чи-
рломЬ, и ежели положишь, что ко-
личество какое но есть весьма малое,
ко порое бы едва разнилось отЪ ноля,
начинается и возрастаетъ вЪ про-
грессіи арі’ѳмети »сской начальна хЪ
чиселЪ слЪдукщлхЬ одно за дрѵгвмЬ
ро порядку , то можно сказать, что
роль будетЪ перьвой членЪ у такой
ррогрессіи, а прочіе члены будутЬ
начальные
рачлдгные числа , порядочно одно 34
^руг.імЬ Слѣдующіе.

Слѣдствіе.

175. Ежели в?я'ііь увеличивая]^
числа , начин я оп Ь единицы, произ-
ьольчымЬ знаменашсдемЪ * одержанія х
напркмЪрЬ ан.іменап елсмО ссдкржанід
ІО, какЪ ню всЁ> математики дѣла*
І< тЪ, попрячинБ десятичнаго вовссмЬ
свѣтѣ усо преб я.ѵаі о щешу » то
вь:Д-піЪ оіт.Ъ того слѣдующая геоме-
трическая прогрессія — і. іо. >со.
іооо. іоосо. і ооср. и прощая; мате-
матики ежели изображаютъ сію про-
грессію нероз^ыи'ая дѣйствительно
вЪ требуемую степень. гпосптагятЪ
надЬпсрьвымЬ членомЪпрогрессіи, то
есть надЪ единг.ц ю показателя во-
звышенія о, для п ого что нЪтЪ та-
кого числа изЪ цВлыхЬ, коегобЪ оно
превосходишь могло, а на противЪ

П 5	шогд
того всВхЪ меньше, надЪ вторымЪ
члсномЪ, шо есть надЬ десятью по-
казателя возвышенія і , Д'ѵя того
что число іС превосходи пЪ едини*
цу , а надЬ третьимъ члсвомЬ гго
есть надЪ іоо а, для того что
третій членЪ имЪешЬ два превосход-
ства, шо есть не только надЬ еди-
ницею, но и надЪ десятью; и такЪ
далЪе; и по сему такая прогрессія вы-

О I
ражается симЪ образомЪ г і. іо.
» б ♦	5 б

Ю. ю. іо. іо. іо. И прочая , то
есть показатели возвышенія членовЪ
геометрической прогрессіи начинаю-
щейся отЪ единицы состоять вЪ
прогрессіи ариѳметической. Теперь
ежели умножить вЬ геометрической
прогрессіи напрчмЪрЪ третей членЪ
ісо четвертымъ »сос, то выдетЪ
отЪ того произведеніе юоссо рав-
ное шестому члену прогрессіи; и когда
взять вЬ ариѳметической прогрес-
сіи
СІи псказ теля возвышенія третьяго
члена 2 и сложить его сЪ показа-
ш'ЬлемЪ возвышенія четвертаго чле-
на з , то сумма изЪ того 5 равна
будетЪ показателю возвышенія ше-
стаго члена 5 , также ежели ряздБ-
лигпь вЪ геометрической прогрессія
шестой членЪ на второй , то вы-
дстЪ вЬ частномЪ числЪ , пятой
членЪ , тожЪ самое будетЪ , ежели
и вЪ ариѳметической прогрессіи вы-
честь показателя возвышенія вто-
раго члена изЪ показателя возвыше-
нія шестаго члена, то вЪ остапгкЪ
будетЪ показатель возвышенія пятаго
члена; и такЪ мы теперь явственно
видимЪ, что посредствомъ сложенія
и вычитанія показателей возвышенія
чиселЪ можно сыскать все то, что
мы получаемЪ чрезЪ умноженіе и дБ-
леніе тБхЪ же чиселЪ; и сіи обсто-
ятельства заставили искать лога-
риѳмовЪ; ЧШОбЬ ПОМОЩІЮ ИхЪ МОЖ-

НО
но было убѣжать отЪ неспособно»
стей бывающихъ при обыкновенномъ
умноженіи и дѣленіи большихЬ чи-
релЪ.

Опредѣленіе.

і/6. Ежели написать про-
грессію геометрическую на-
чинающуюся отЪ единицы а
то показатели возвышенія
членовъ шой прогрессіи на
зываюшся ихЪ логариѳмы.

Слѣдствіе.

>77. Когда надобно бываетЪ п₽рь-
вой степени число возвысить во,
вторую или трегаюю степень и про-
чая , то есть радиксЪ вЪ квадратѣ
рли вЪ кубЬ и прочая, ціо вЪ та-
(О)

ІІІ

комЪ случаѣ берется показатель
перьвой степени или радикса вЪ двое,
втрое или и болѣе, смотря по степе-
ни, вЪ которую данное число возвы-
сить должно і по сему выд- шЪ ло-
гариѳмѣ даннаго числа вЪ данной
степени, ежели умножить лога-
риѳмѣ радикса показателемъ шоЙ
степени; также противнымЬ обра-
зомЪ получить можно логариѳмѣ
радикса возвышеннаго числа ежелй
раздѣлить логариѳмѣ его на пока-»
ѣателя возвышенія ( по § 17$ ) •

Задача.

і/8. Сыскать логариѳмъ
всякаго числа и сдѣлать
таблицу логариѳмовъ чи-
селъ одно за другимъ по-
рядочно слѣдующихъ.

рѣшеніе
рѣшеніе

Ежели начать отЪ единицы уве*
личивать числа вЪ прогрессіи гсоме-
•прической по произвольному Зна-
менателю содержанія, а лучше всего
подесятичному, вЬ послѣдованіе при-
нятому отЪ всѢхЪ магпематиковЪ
обычаю то будетЬ прогрессія ихЪ, ,о.
іо-іо 1О-ІО іо іо и прочая, у коей пока-
затели возвышенія будутЪ логариѳ-
мы соотвѣтствующихъ имЪ чи-
селЪ ( по § 176 ) , а чтобЪ намЪ сы-
скать логариѳмы среднихЪ чиселЪ
отЪ единицы до десяти и отЪ десяти
до ста и прочая, то надлежитЪ искать
между единицею и десятью, и между
десятью и стомЪ и прочая среднихЪ
геометрическихъ пропорціональныхъ
ЧиселЪ , а между ихЪ показателями
возвышенія среднихЪ ариѳметиче-
ски пропорціональныхъ ; но какЪ ме-
жду единицею и десятью не льзл
сьм
сыскать точнаго радикса, какЪ
только чрезЪ приближеніе, то для
того математики употребляюшЪ
при нихЪ десятичные доли, и прикла-
дываютъ какЪ кЪ членамЪ прогрессіи,
такЪ и кЪ ихЪ показателямъ возвы-
шенія по сВми нолей, то есть пои-
водятЪ ихЪ вЪ дроби десятичныхЬ
ЗМаменателейизЪ коихЪ укаждзгоперь-
вая цыфра единица а за нею слЪдуюпіЪ
сБмь нолей; и сіи числа приведенные
такимЪ образомЪ вЪ десятичные дро-
би величины своей неперсмЪняютЬ
(по § 4.8) , пошомЪ надлежитъ искать
между членами геометрической про-
грессіи приведенными вЪ десятич-
ные дроби среднихЪ геометрически
пропорціональныхъ членовЪ и между
ихЪ показателями возвышенія также
приведенными вЪ десятичные доли
среднихЪ ариѳметически пропорці-
ональныхъ членовЪ, то сіи будутЪ
вЪ разсужденіи перьвыхЪ членовЪ
лога-
Логариѳмы ихЪ ( ПС § 175 ) напрпмЪрЪ
ежели надобно Сыскать лагаргѳмЪ
девяти, то поступить вЪ помЪ та-
кимЪ образомЪ: Между единицею А.

и десяггкомЬ Р
умноженнымі
сЪмьЮ НОЛЯМ4
йадлежпті
сьскать сред
нее пропорці-
Ьнальмое гсо-

А

С

метрическое
число, которое
Понеже меньше
десяти, то есть
сБмгю НОЗЯМІ
умноженнаго $
то между симі
СысканнымЪ
ЧисломЪ С
десяткомЪ - 1
искать средня
ІО яройорці

П

В

О
Е

Н

Е

^пропор. ЧИС:

1. О ООООО

В 3- 6'22777

•о. оосоооо

Логариѳ.

О. ООСГОССЭ
о. 50000 оо
I ООООООСО

В |І , ООООООСІ* 1- оооэоо-о
ЭІ $. 6234  32 |С- 75000000

В"

3.' >622-77 °- 5*000000

ІО. ООООСООІ. ОбСООООО
7. 49й942Т О. 87500 . ОЭ
У. 6234-1 "2 О. 93750000

В іо. 000000-0 I < СОООООО
Е 8. 6^9643 ? о. 93750000

Е 7.40-0421 О. 87і-О-'ОсО

'. сс соооо 1 • -с.гоо„о
9. 3057204 с- 9*58750000
₽. 6^4.32 {о. 937500ОО

9, 30*7- < 4 0.9 975000

6. 9768713

9- ->*572 4

I 9 И 98170

Н 8.9^872 3

-.95512500

о. 93750000

. 9бЬ75е>оо
96093750
\ 937125’°

ОНДЛЬНаГО
Ьнальнаго гео-

мешрическаго |

В , которое К
также мснь Р_
ше о. ссоэсо_|К.

г
чего ради меж- ~
ду имЬ и де--
сяткомЪ В и„- м

кашь средняго н
Пропорціоналъ-
наго геомет-

рическаго чис- М_
ла Е5 которое Ы
опять меньше 9Г
М

р. СООООСО И1

такЬ между
СимЪ и тЬмжс
дссяткомЬ ис-
кать средняго
пропорціонал -
наго геомет-
рическаго чис-
ла которое

О
р

М

О

Р

р

р

•ропер.чис: Лога)> -ѳ;

.. ] ?с.8і7О с. 960917., О

. 04'79771 о Ч- ЮЛ2Г

І 9’68113 о. ЦУІ ,2<гООл

і 0519177	951°31^3

9. ОПЗЗЗЗ	9>5°78І5

8.9 ^81 3 ;0.95'^24’00 I

9 01133 3 3 0.94 4018*2

8. 99',°79б 9-934,оі-5'<?

8.	9І68ИЗ 0.94312400

9-СП3333 о. 94101812
9 00120 8 0 95'45'8934
3. 9910196 о 9і4<оіз6

9.	СС12ООЗ О. 95448984

9. 002*388 0. 9 434 510

8. 9970196 0.954 ОІ56

р. 0021338 О. 4>5434*1°  8. 999603$ О.97422363  8. 99Ю196 ;О 9 4 0156	
9. 0003188  9 0008131  8 9996008	О;954345Ю  О. 9 5+28467 о. 95422363
ч. 00087 і і  9- 0002412  9. 999оО38 1	О.954284Л о. 9с + 2 >4 ’ 5 0. 954223 63

такЬ
25»

Со)

Шзкже будсгп	^пропо: чис.-'Аога рыѳм

меньше, не же ТТТЗЗ	—

»	к. 9.000 4.12 о 954254<5

ЛИ" 9. ООО- 8 8. і>99 С 2 уо о. 05413',39
СОСО , ІГО ме- Р 8. «99608? О 9542->36з

жду нимЪ и; К.
дссяіпкомЬ В. $
сыскать пятое —

9. 00-^24 т О 95*254'5
9 ееоо^зг 0.554. 4652
Ч 999 О 50	9 542?<89

среднее пропор-
ціональное ге

Г1 19. 000С831 0,95424652
ѵ 9 с00004г О. 954242Ч
3.9949250 о оу« 424889

8

омепі ричсскос
число С; а по
нсже сіе чис*
ло больше, не
жели р осоо-
осо, шо меж
ду нпмЪ и бди
же меььшвмЪ
ЧѴ СЛОМЪ ] СЬі»

V
X
V
2

V

9- Ос 00041 о. 95424271

з 9999650 О. 95424030

909 2 ^,0.95421889

1. ОСОО4І О. 9542 4221
 °999845 с. 9^424-’П
4999650 'о 4 '424^80

00С0041 о. 95424 "’і
3. 999994 5 г« 9 5424223
'.9040945 о. 454242І7

скашь шесто-

среднее геом<-
отроческое пр«
порціонально.

число Н, ко-.

V |э. о СС41 0.9,424271
Ѵч. 9999992 С. 95424241
X Ч 4999044 О. 95424223

V 4. 000004
^Л9 ооо-цб

& 8- 9999с92

. 95*24-Ч’
о. 95424259
о. 95Ч2424-Т

V
V
8

пюрое
			
торое понеже		ПрОПО: ЧИС;	Лсгар* в лЪ
меньше неже-	АА	9. ОСО С16	>.і»л424259
ли 9. со оооо	ВВ	9.СОСООС4	э. 9<4г%2у?
то между ,	&	8- 9199992	• 9Г4242-П
нимЪ и ближе	вв	9.іоооооч	Э. 9: 42-^2 >3
болЬШимЬ чи-	сс	8. 99*0998	<)І4242 ;О
сломЪ С сыс-	*	8. 9999992	0. РѴ42424Ч
кать седьмое среднее про-	вв	9. ОСОЭОС4	о. 994"+ ’ ѵ?
	по	9 оэооосо	0. 9:4242:1
порціональное	сс	8. 0999998	^>- 9*4’42уО

геометрическое число І, Которое хо-
тя и больше, нежели 9, о о о о о о
о ,однако нетакЪ много, какЪ первое
число С, и такимЪ образомЪ ежелл
продолжать искать м' жду бли^е бэ-
лыпнмЪ и ближе МеньшемЪ числами

средніе пропорціональное геоме-
трическіе числа, то СудутЪ сьхо-
дить числа что далЪ, тЪмЪ Солзе

геометрически

подходящіе кЪ требуемому числу 9.
о о о о о о о 5 которое ВЬ'ДегпЪ.
наконецЪ посысканіи 24 ссе^ниг.Ь
пропорціональныхъ

р а	ча-
йбо	( о )

ЧиселЪ; погпомЪ, сыскавши его такпм'Ь
образомЪ , надобно, какЪ между
числами А и В сыскивано среднее
геометрически пре персональное чи-
сло, С, такЪ и между ихЬ легар ѳмами
искать средняго ариѳметически про-
йорціоналнаго числа, Шо будетЪ оно
логаргѳмЪ сысканнаго числа С; та-
кимже образомЪ сыскать можно» всіхЬ
прочнхЪ сысканныѵЪ среднихЪ геоме-
трически пропорціональныхъ чиселЪ
логариѳмы. а послЪдняі о или девяти
логарпѳмЪ будетЪ 0.9^4.24^5 Ц
такимже образомЪ и первЪйшихЪ чиселЪ
сыскиваются Логарх-ѳѵы, а отЪ сум-
мы логарі ѳмовЪ первВ ппихЪ чиселЪ
происходятъ лоі о| »•емы больтпхЬ
чиселЪ, какЪ выше показано вЪ ( § 175 }»

Примѣчаніе.

І"7Р Мы гидѣли прирѣіиеиііи сей задачи^
Что. логариѳмы в<ѢхЬ чиселЪ отЬ едиквцьі
до десяти неимЪюшЪ присебѣ викан^хЬ
цЪлыхВ


^ВлыхЪ чиселЪ , кромѣ десятипныхѣ х>с-
/Іей , лргарне ы всѢхЪ чиселЪ очіЪ де-
сяти до ста ьм* ютЪ присѣбѣ цѣлое чи-
сло і и десятичные доли , а лагаривчы
вс*хЪ чиселЪ ото ста до тысячи имѣютЪ
при себѣ цѣлое число 5. и десятичные д іли
и прочая-. и гибкіе цѣлые числа для убѣ-
жанія замѣціателсства отдѣляются
обыкновенно отЪ долей точкою и »«зы-
ваются указатели логаркемовЪ (,СЬагас-
{егЬсіса.)

Примѣчаніе.

18о. Перьвой изобрѣтатель логариомовЬ
был^ барояЪ Н.-перЪ, а дѢлалЬ ихЪ сЪ по*
мощію больше двадцати человѢкЪОксфірд-
ской ПрсфоссорЪ ІенрикЪ БриггЪ. Кромѣ
ВышеобЬявл- инаго ( вЪ § ІТ? ) способнаго
употребленія сихЪ выкладокЪ при умно-»
хеши и дѣленіи большихЪ чиселЪ главная
ихЪ польза видима вЪ тригонометріи ; и
какЪ мы видѣли, сколько трудиться на»
дсбно, для сысканія догариема одного чи«.
сла 9, то по сему разсудить можно ,
сколь много труда сносить должны были
издатели сихЪ выкладохЪ; которые сп-ь
чиняли ихЪ отЪ і до юоэоо , и употре-
били на сей тяжкой трудЪ около трит-
^ати лѣтѣ; такая ихЪ чрсзвычайн-д
р $	крѣпость
крѣпость духа вЬ понесеніи сего жесто-
каго труда великого удивленія достойна.

Задача.

іЗі. Сыскашь логариѳмъ
іпакого числа 5 которое боль-
ше чиселъ находящихся вЪ
таблицахъ логариѳмовъ , а
меньше юооосоо.

рѣшеніе.

Отдѣлить лзѣ даннаго числа сЪ
лѣвой стороны чегпырѢ цыфры и
сыскать ихѣ логариѳмѣ вѣ табли-
ЦіхЬ, погаомѣ вычесть тпотЪ лога-
риѳмѣ изЬ ближеслѣдующаго вѣ
ігабігцѣ , и наконецЬ послать ша-
кимѣ образомЪ : какѣ разность чиселЪ
сысканныяЬ вЬ таблицахъ , кѣ раз-
ности соошвѣшсшвующ/хѣ дамѣ ло-
гарив-
гариѳѵіовЪ, такЪ остальные цыфры
заданнаго числа кЬ раз’осп.и лога-
р ѳмдческой > которую сь.скзшті ,
отнять отЪ нея сЪ правой стороны
столько цьфрѣ , сколько бмло у
заданнаго числа сЪ правой стороны
отЪ точки раздѣленія ц фрЬ, при-
дать тотЬ остатокЬ кЬ Логариѳму
четырі хЪ прежде ошдѣ ченныхѣ
цьфрЪ , также и кЪ указателю та-
кого логар ©мл прибавить столгко
единицѣ, сколько уданнаго числа, кро-
мѣ отдВ ленныхЪ четырѢхЪ остает-
ся другихЪ ц фрЪ, то такая сум-
ма будетЪ искомой логориѳмЪ :
напримЪрЬ ежели надомно сыскать
логариѳмѣ числа 92375 • то °’М'В
лить отЪ него четырѣ цѵфры у 237,
сыскать сихЪ четырѣхѣ ц фрѣ ло-
гаргѳмЪ 3* 9655409, и вычесать сей
логариѳмѣ изЬ логариѳма 3. 9^5780
ближе большаго числа 92 8 , то
будетЪ разность ихѣ 471, которую
р 4.	ум.чо-




умноживши сс  альнлю изЬ даннірц
^исла цыфр- ю 5 , и раздѣливши пір
произведеніе на един цу , полу іимЪ
число ; отЪ котораго ежели
отнять крайнюю цыфру 5, а осталь-
ные елржить сЬ логарѵ.ѳѵюмЬ 3.
<,655*09 , прндраЪ кЪ р'о указатели^
елинт-цу , то такая сумма будетЪ
рскомой логаркѳмЬ 4. 9655544..

Задача.

і8‘2. Сыскагпь число со-
ршвѣтсвующее данному ло-
ррифму.
’Ь	*

рѣшеніе.

ЦадлежитЪ мекать рЪ таблгцахЪ,
доѵарѵѳѵ!ичссі$ііхЪ, нЪпіЪ ли какого
рзЬ логарѵѳмовЪ всЪхЪ чиселЪ ме-
в^ду $еоо и юооо, не смотря на ука-
затели
Загпеля даннаго логариѳма , и при-
томЬ примѣчать два случая.

Перьвой ежели тамЪ находится
точно за іанной логармѳмЬ , шо
противъ сго стоящее число будетЪ
искомое , а ежели указатель діннаго
лоіаріѳма меньше то отдѣлить
усысканчаго числа сЪ правой стороны
столько цыфрЬ, сколько вЬ указателѣ
Заданнаго логар'. ѳма не достаешЪ
едині цЬ до числа 3; И такимЪ обра-
зомЪ стоящіе сЪ лѣвой стороны
огаЬ точки отдѣленія цыфры будутЬ
цѣлые числа , а сЪ правой стороны
десятичные дроби соотвѣтствующіе
данному логариѳму , а ежели указа-
тель даннаго логариѳма больше
числа 3 , то прибавить кЪ сыскан-
ному числу столько нолей , сколь-
кими едингц ми больше указатели
даннаго логариѳма отЬ числа $ -
шпримѣрЪ у логариѳма 3. 5523031

Р 5 числ&
число соотвѣтствующее будетЪ
5567, у логариѳма 2. 55230;і чи-
сло 356/5 у логарифма і. 5523031
чясю З^?. у логариѳма о. 5523041
число З5^' вапротивЪ того у лога-
риѳма 4. 55x3031 будетЪ число
35970 и такЪ ділБе.

«Другой случай ежели вЪ иіабли-
ірхЪ Заданной логлрсѳмЬ точно
не сыщется, и соотвсствующее ему
число состоять должно больше, не-
жели изЪ чеіпырЬхЬ цыфрЪ, то вЪ
івакомЪ случаѣ надобно также , не-
смотря на указателя логаримѳма ,
юскап ь между логариѳмами всѢхЪ
чиселЪ отЪ іосо до іоооо. біиже
меньшаго логариѳма, которой вы-
честь изЪ даннаго логариѳма а кЪ
остатку придать столько нолей, сколь-
ко кЪ искомому числу соотвѣтствую-
щему данному логариѳму кромѣ
четырѣхЬ цыфрЪ еще надобно, по-
томЪ
гломЬ раздѣлишь то число нараз-
ногть между логариѳмами ближе ме-
ньшимЪ и ближе большимЪ о«.Ъ дая-
н го логариѳма и частное число
поспавпть подлѣ 4исла соошвѣтсву-
ісцгго ближе меньшему логариѳму (
иак->иеі»Ь должно смотрѣть , схоль
ве/икЬ будсгпЪ указатель даннаго
ло. арі , п.о го немЪ узнапь мо-
жно будетЪ, ско ько вЬ такомЪ
сысканномЬ числѣ будетЪ цѣлкхЪ
чгселЬ и сколько десяшичныхЪ до-
лей : напримѣрЪ ежели заданЪ бу-
Д'шЬ логаргѳмЪ, 4« 55244118, то
ближе меньшей его вЬ ггаблицахЪ
б дечіЪ 5523031, соогавѣшсву-
кщ е сему логариѳму число 5567 }
сей логар’ѳмЪ ежели вычесщь изЬ
заданнаго логариѳма, то останется
і - 87 , кЪ ко горому остатку ежели
пробасишь три ноля, то будетЬ
1087000 , а пораздѣленіи сего числа
на разность ближе меньшаго и ближе
боль-
большаго логаріДОмовЪ 1217 ны®
дегаЬ частное число 894, которое
ежели поставить подлЬ числа 35$??
то проійойдетЪ число 5556894,
а понеже указатель заданнаго лога-
ркѳиа 4 то искомое сооаів’Ъству-
ісщее ему число будетЪ 35678 йв,

Сгѣдствле.

іВ?. НддлокитЪ знать , что когда
^адобво будепіЬ сыгк.тиі кЬ тремЪ ка-
минѣ чи^ламЪ четвертое пропо, д,іоналіп
чое число помощію логариѳмовъ, т> пе-_
реже очи дѣланы по ариѳметической про-
пс ціи , для того должно складывать и
вычитать ихЪ танѣ, гдѣ множатся и дѣі
лаю ася простые числа.

Примѣчаніе,

184. Здѣсь приокенчаніи сей книга
заблаго разсудилъ я положить мѣры
^іростріяствЪ, вѣсы и монеты разныхЪ
рг р дсвЪ также м ерлвнен’е ихЪ между
'обою»
Раздѣленіе фупіовЪ разныхЬ наро*
довЪ на равные части, мзЪ которыхЪ
имЬешЪ.

константинопольской
Венеціанской
Краковской *
Старой еврейской
Старой греческой
Старой римской -
Новой римской
бононской
Амстердамской
Стразбургской	-

Ниренбергской
Лейденской	•

ЛпсабонскоЙ
Парижской
Лондонской
рсйнландской
Шведской

Датской -	-

Вѣнской

*	3140
мй	1540
м	158а
	’59°
м	1350
*	«306
к	I $20
м	
	124
	1282
и	Ч4<5
	і^о
	1387
<1	>44°
т	1350
к?	Ч91
т	I $20
і»	«4^3
	1400
	Данциг-
Данцигской	-	•	1721

Л й -цпгской	-	-	1397

Гадской	-	-	-	132О

Кельнской	-	-	-	12 20

Авг.бургсксй	-	-	Ч2?

біварской	-	-	-	і 8о

Прагской	-	-	-	із?8

Гиссенской	•-	-	-	1320

Обыкновенной іпагЪ по обЪявлснію
Міллегпа содержгоіЬ вЬ ссбЪ 2 1
французскихъ фуіга, а Геометрячес*
кой тагЪ 5 КоролесскихЬ ф ранцу з-
скгхЪ футЪ} онЪ же вЬ< равненіи миль
разныхЪ народовъ полагасгпЪ насре-
днюю или обыкновенную милю.

Итадіячскую

іеоэ гео-. шаговЪ

Аглинскую -	1250

Шотландскую игрландскую 1500
Старѵю францѵзкѵю	-	і^со

Новую французкую	-	' ^оо

Литовскую »	-	~	^512

Голландскую
Голландскѵю	4242
Польскую	ЗССО
Гишпанскую	5428
Германскую	4'52
Ш, ед скую	5000
Датскую	-	• $8со
Венгерскую	бооо
россійскую версту -	75°
Китайскую милю	-	240
Китайскую большую	милю пю
называемую	*	2400
Японскую	-	2000

Индійскую милю косЪ называ-

емую	?4оо
Персидскую парасангу	3000
Греческую стадію ВЪсы разныхЪ народовЪ	-	125

россіискіе вЪсы

берковецЪ содсржитЪ
пудЬ

фуншЪ

лоіпЪ

- іс пудЪ

40 фунтовЪ

52- лота

3. золотника
Эстланд»
Шетландскіе и лгф іандскіе вБсы

ластЪ содержипіЬ - шкф ф ?нтовЪ
тгфЬ фуншЬ -	4, лсфа

лефЬ -	- Ф ЛИС: фуніПОвЪ

лис: фунтЪ	- го фунтоаЬ

фѵніоЬ	-	•	дб.  унцій

унція	-	-	2. лота

лопіЪ	-	-	4»	драхмы

цснтнерЪ и&іБеівЪ - І2о. фѵншовЪ
тонна -	- 240 фунтовЪ

голландскіе вЬсы

іпиф. фунтЪ содер -
жишЬ - 2о. ЛИС: -
ЛИС: фунтЪ
шійейнЬ -	-

фунтЪ
МаркЪ * -
унція
лопіЪ	-

СНіСлЬ	»	«і

фунтовЪ

«5 фун-

8, фунтовЪ

2	. марка

3	унцій

2. лота
іо- енгел?
2]- агса

Нирен-
Ниренбергскіе 4 вѣсы
ВЪ большой части

употребляемые

фунтЪ ссдержипЪ

МаркЬ - а>

2 марка

лотЬ
драхма
фенингЪ

8.

2

4.

4
4*

унцій
лота
драхмЪ
фенин.
геллера

кельнскіе

вБсы

употребляемые кЪ вывЪшивані'ю до
рогихЬ вещей.

фунтЪ содержитЪ
маркЪ

. унція
лошЬ
драхма
фенин гЪ
1

- 1, марка

8 унцій
а- лота у
ф др хмЪ
4. фенинга
>5» .Граній

с

тройскіе
Тройскіе вЪсы употребляемые вЪ
Англіи.

фунтЪ содержитъ *• * 12. унцій
унція -	20. пеннЬ

пснні	*•	- 24. Грани

Аглинскіе вЪсы для выв'Бшийанія
простыхъ товаровъ называемые
аперЬ депоа:
і

тонна имЪешЪ - 2о ЦентнсровЪ
центнерЬ -	112. фунтовЪ

фуншЪ	-	*	іб. унцій

унц?я	-	-	8. драхмЬ

драхма *	 •	3. скрупуля

• •

А ьѢсы при пробЪ серебра употре-
бляемые во франціи.

маркЬ имЪетЪ
деніерЪ

* 12. дсніеровЪ

- 24 грановЪ

вро}




йо вѣ пробованіи золота
»

МарйЪ содержитъ • 24. карата
каратѣ -	* за,» граьовЪ

таблица сравненій обыкновеннаго
Лейпцігскаго фунта сЪ другими
Евровпейскими фунтами аЛсйгуиг’»
скойфунтЪ содержитъ вЪ себѣ 52: ло-
та, лотѣ 4 квмнтлейна, квингплсйнЪ
4 фенинга, фенингЪ гоано&Ь*
и такЪ по Лсйцигскому вѣсу будетЪ
содержать вѣсебБ одинЪ фунтЪ.

вЪ Амстердамѣ
Антверпенѣ
Архангельскомъ
городѣ -
Авспургѣ фунтѣ
большаго вегу
тамже фунтѣ ма«
лаго вѣсу

ФУктт.^от-і.хеиипіъ'ПФС! гракі'

27

2.

і
й,

Соцснѣ»

і

I

I

I

3

3

3

3

ю

3

3
27$	(с)				
	«унтъ лотъквннігі		пфргграв:	
боуечѢ бу рдо брауншвсйгЬ бремснѣ бреславлѣ бриссс чѢ КадинеѢ  Кельнѣ  V	м-  Константинополѣ Коппснгагенѣ КрановѢ  Данцхѣ - Флоренція Франкфуртѣ при рѣкѣ Мйй * нѢ  Женевѣ	•	•  Генѵи	~	-  Гамбургѣ - Кенигсбергѣ ста- раго вѢ у - Тамже но аговѣсу	г.ш I  I 1  -7  і  V і  2 2!  1  2"  2р ч  I  I 5  2 1  I I  2 6  1	3  3  2  3  3 .  3 I  3  2  I  1  I	» 6 3  7  2  3 .  2 6  1 ?  I  I I I  3 3  1  I	

Ландау
Ландау

Л іо -* Б

Лиссабонѣ -

ЛивсрнЪ
Лондонѣ

ЛюбессЪ

Магдебургѣ

Малагѣ

Ма оселіи
Мем.ѵвнгенѣ
М анхенѣ -
] ка юлѣ

ПаринЪ
Петербургѣ
Прагѣ
Регенсбургѣ
рИгЪ
Римѣ
ЗілцбургЪ
Тамже малаго

'СУ

	ФУ іті Догпъкнлртпі^пфс^				граиі
-		3‘	1	3	1С>’
	1	1		5	
*		V	1	3	/
-		=3	1	1	с
		30	3	3	9
•	I	і		2	
-	I	<	і	I	5
	1			1	
-		3»	2		
«►		оо 04	I	1	8
V	1	3		1	7
-	I	6		I	3
-		1)		1	
-	і	2	?	3	
-	1	I	2	1	1С
-		'г8			3
-	1	3		3	5
ш	1	6	[	3	
«а		8	г	п «»	8
		г3	(		
-	1	5	і	2	
вЪ-		>			
-	1	и	3		

С 3	Ііксра
фѴчпіЭ лотъ квинтъ пфгл і					'Рань*
Ш фгаузеьп		51	2>		
СтраЗбургБ - і	1		I	I	
Венеція великаго в’Ьсу	I		2	3	
Тааджс малаго вБ-					
РУ  ВсррнБ великаго		20	2	2	9
вТсу	I	2		I	5,
Т-м же малаго ьБсу		22	2	3	г\ а
У »ьмг»  ТііріцзвЪ малаго	І			2	I
гЪсу		м-	3	2	5
ьЪнЪ	1	6	?		
Ц рп’*‘Ь г					

момеліы р'ЗчыхЬ народавЬ
Рсеіискіе монеты

радгісрѴялЪ вмЪешЪ
НплуимерІялЪ
р':бд.Ь

йе •»“»> 5 2 •

і V-

- 2. ПОЛуИ. ИМ«

- 5. рублевЪ

* 2„полтины.

полуполшиннгка
грѵ ВАННИКОВЪ

колу-.
полуполтинное
гривеникЪ
пятикопЪ^чникЪ

ГроиіЪ
копБйка

денежка

К,
л

5-

2.

пятикогіВеч,
пятикопЬсч,
когіЬекЪ
коііБйки
денежки
подушки

монеты употребляемые вЪ нарвЪ
ревелЪ идерпаф свсрхЪ россійскимъ
монсшЪ.

реихсталерЪ им'БетЪ 64 вейс: Зо ко.
рейхсталсрЪ ходячей 52. вейсс 65 ко.

каролинЬ шведской 20. вейсе:; 5 ко:
всйссенЪ •	•	- і I коп:

вЪ рпгЬ употребляемые монеты све-
рхъ россійскихъ.

АлбертсшалерЪимВепіЪ 3«Гул. Т05.К0.

ГульденЬ - 5. марковЪ 35 когіВ.
маркЪ 14. фердннга 7. ко.
фердингЪ і I гроша і I ко.

С 4	цБнд
уЪна монетЪ много завпситЬ ошЬ
произволенія людей, и часто нЬ
неіг бываюіпЪ вел кіе перемѣны;
какЪ капри мЬрЪ вЪ вексельныхъ
курсахЪ, посему чгпо росіпскія
монета рубль иногда ходптЪ боль-
ше «(О. X ДЯ < ’ХЬ ГСЛ ЛаНдСКІіХ ? шіпи-
бсровЬ, а иногда меньше; и поссй
причинЪ постояннаго сравненія ме-
жду монетами різныхЬ народовЪ
положить нель?а; чею ради мы
возмемЪ среднюю мх!' цВчу,и поней
сдЬлаемЬ сравненіе ихэ между со-
бою ниже слЪ чующее : вЬ амспіе-
рдамЪ, и вовсей Голландіи употре-
бляются ходячіе и блнкоаые денги і
ко хЪ обЪихЪ раздѣленія одинаковы,
только вЪ томЪ разнствую пЬ, что
банковые денги 5. процентами выше
ходячихЪ.

гульденЪ имЪетЬ 20. штиберовЪ 40
КО; шшиб^рЪ і, ф:н; ф'ѵе.м; 2 копБ:
рейхс-
рейхсгпалерѣ 50. штиберовЪ юо. ко.
вЬ Лондонѣ и вовсей Англіи упо-

требляемые монеты.

гиней имѣетѣ 2і шилингЪ пппер*
линговЪ 473 ко:

фунтѣ штерлингЬ 20. шили: штер:
.4 440. ко:

кронѣ
шилингЪ

5. шили: ште. но. ко-,
штерлингѣ 12. фснинштср:
22 ко;

Гратѣ
фен: штер:

4 фен: штер;

4 фердинга,

7 »
і ё

ВЬ Гамбургѣ и любекѢ употребля-
ются ходячіе и банковые деньги : и
банковые превосходяшѣ ходящихъ
іб процентами.

фунтѣ флемской вмѣстѣ 2 шилгн.

фле: 225 ко:
талерѣ - -	марка со ко:

вексельной талерѣ 2. марка 6о.
шилингЪ флем: 6 ши: лю5: 11 + ко
шилингЪ любской 12 люб: фен: і в ко.

С 5 шилингЪ
йЬ лейпцигЪ и вовсей саксоніи та-
кже и брандебургіи употребляются
слѣдующія монеты.

іпалерЬ содержишь Я4-- гутснЬ гро-»
та •?& ко.

гугпенЬ грошЬ і I мірсенЪ гроша з?
марсенЪ грошЬ. 8 фенинговЬ а I

ВЪ бременБ употребляются ниже*
писанные монеты.

ТалерЪ содержитЪ 72 гроша 78 когіБ.

ГрошЬ ‘	4 фенинга і іг

ВЪ Франкфуртѣ при рЪкЬ МайнЪ

ТалерЪ имБешЪ

ГульденЬ	з

КопфшшикЪ 5

блценЪ	2

і« Гульдена
копфштика
бацгновЬ
Альбуса

АльбусЪ 2 крейцера

КейзерЬ грошЬ 3 крейцера

75 ко:.

5°

181

X

* I

I '

X

2 і
ВЬ данцвхЪкенигсбергБи всей пруссіи.

ТалерЪ имЪетЪ 3	гульдена	78	коі

ГульденЪ	?о грошей	26	ко:

ГрошЬ	3	шилвнга	і|

ШилингЪ	6	фенинговЪ

француэкіе монеты

старой люйдорЬ имБетЪ 375 когіБ^.
нррой люйдорЬ -	-	-	448.

люйблжкЬ -	іо\

экю или талерѣ 3. ливра - бог
ливрѣ * - - - 20 су 2Ъ.
ру -	-	-	.12 деніеровЪ

Игааліянскіе монеты

скудЪ имБеігіЬ 20. сольдовЪ 64. ко.
СольдЪ	!г. дснарІевЪ. 4 іа

ВЪ Даніи употребляемые монеты

гпа лерЬ вмБетЪ 3. дацкихЪкронѣ 90 ко.
Д1ЦКЛЯ крона. 2. ЛЮб: Марка $О;КО.

Люб*
Лкбской маркЪ 2 дац; марка 15.
маркѣ	іб. шилинговЬ.

Ш ілингЪ 12. фенинговЬ

ВЪ Швеціи употребляются серебре.
ные и мѣдные денги.

серебренной талерѣ имЪетЬ 4
сер .• мар: 36 КО:
серебреная марка. 8 серебре: эрбзЪ. 9.
мѣдной талерѣ. 4 мэдныхЬ

марокЬ 12. ко.
модная марка. 8. мѢднахЪ э^розЬ^
серебренной шале: 5. талера мѣдныхѣ

Гтппанскіе деньги
пистоль	ч 8 э * ко.

пезодошто -	- 95 I косій.

реалЬ	-	-	• 9 '/ копѣ.

мареведисЪ	•	- копѣ.

Португальскіе деньги
крузадЪ имѣетЪ вЪ себо 430 ресозЪ
48 ко*.
маркирперЪ крузадь	бэ. ко:

пикіполь
	(О)	28$
пѵкптоль		360. КС:
патачонЪ		72 КО:
Гишггнской	пезод лито	рО КО:
ігссп онЪ		12 КО:
рсаль ,		4 | КО:
реэсЬ		з ко;

КОНЕЦЪ.