Ў	ч"*	^Г
Ak A
i
с
4Ъ
•/.¦ /
M
> 4
jM
it;
:•*:.:?•«:• •'
/V/
•I Dili)
II ,1 "' i
> 4
>	4
^4
JM
>	4
A	A	A. A A. A.
M
>	4
>	4
>	4
4^
L
I •*
V	V	IT
Ў	Ў

Е. И. Игнатьевъ. '	*
,-!.¦.'¦'" /
ВЪ ЦАРСТВЪ- СМЕКАЛКИ
или
АРИ9МЕТИКА ДЛЯ ВСЪХЪ.
КНИГА ДЛЯ СЕМЬИ И ШКОЛЫ.
Книга первая
D-Е ПЕРЕСМОТРЕННОЕ ИЗДАШЕ).
(Математического
Колледжа НМУ
С.-ПЕТЕРБУРГЪ

Тип. Т-ва А. С. Суворина—..Новое Время". Эртелевъ. 13

ОГЛАВЛЕШЕ.
С1РЛН.
Нредислов1е къ 4-му издашю . . . .	vn
Введете. L Изъ предислов!я къ первымъ 3-мъ издашямъ . .	1
II. Счетъ, м4ра и число		5
III. Роль памяти въ математикъ1		14
Задача 1. Знатная дама	 		18
» 2. Удивительный отгадчикъ . 		22
» 3. Движешемъ пальца		25
Задачи-шутки и задачи-загадки	 ...	27
Задача 4. Зв-Ьриное число		—
» 5. Д'Ьлежъ		—
» 6. Сколько кошекъ		28
7. Задача цифръ		—
» 8		29
;> 9. Уродъ		—
10- Что сказалъ старикъ		30
Спички и палочки 	 . .	32
Задача 11		—
-, 12		33
13		-
» 14	 . . . .	34
Разный задачи	 		37
Задача 15. Вм-Ьсто мелкихъ долей крупный		—
16. Сумма посл'Ьдовательныхъ чиселъ	• . .	38
-- 17. Сборъ яблокъ		39
х 18. Бой часовъ	 .	40
» 19. Продажа яблокъ		—
20. Воришка съ яблоками		41
» 21. Каждому свое		42
;¦¦ 22. Какъ поделить?		43
» 23. За кашу	 ... . .	—
» 24. Кто правъ?	 -	44
» 25. Фальшивая бумажка		45

IV
стмн.
Задача 26. Велосипедисты и муха . . . ¦ . . . .	. .	46
» 27. Портной				47
» 28. Гусеница 				.	.	—
» 29. РазмЪнъ		. .	48
30.	То же иными знаками		—
31.	* - -	...		—
¦ 32. » >			.49
¦> 33. Замечательное число		50
Долежи при затруднительных* обстоятельствахъ	. 61
Задача 34. Д-Ьлежъ между тремя		—
» 35. -	» двумя		52
» 36.	»		....	53
37.	»			....	54
38.	Мужикъ и чортъ ...			.... 55
-, 39. Крестьяне и картофель 	57
» 40. Три игрока	 58
г 41. Два пастуха		. .	59
-> 12. НедоумЬше торговокъ		.60
» 43. Какъ гусь съ аистомъ задачу р-Ьшали .	.	62
14. Сколько было? . . 	 . . .65
» 45. Найти число			0E
» 46. Часы заведены в-Ьрно
-> 47. Возстановлеше записи		67
» 48. За грибами	 . . .69
? 49. Находка . .		 .70
Переправы			74
Задача 50. Черезъ ровъ	 		—
•> 51. Отрядъ солдать		75
>	52. Волкъ, коза и капуста		—
» 53. Мужья и жены		76
54. Четыре мужа		79
» 55. На станцш жел-Ьзной дороги 		86
56. РазъЪздъ 6-ти пароходовъ 		87
¦» 57. Угадать число		88
58. Кто первый скажетъ «сто» 		М
Обобщеше		Ш
Любопытная история ... 		93
Задача 59. По жребда	 ¦ .		94
Игра въ красное и черное		97
Задача 60. Четыре пары	 .	... 98
>	61. Пять паръ 	 99
-• 62. Шесть парь	 101
63.	Семь паръ		.	103
64.	Обманутый хозяинъ .	....	. 106
» 65. Слътгая хозяйка	109

СТРАН.
Задача <>С. Разстановка буквъ	 .110
» <>7.	»	> 		.111
» 6S. Волшебный" квадратъ изъ девяти кл-Ьтокъ	113
» 69. Въ 25 клЪтокъ		. 115
» 70. Раскладка картъ	116
ЗамгЬчаше		- 117
Домино	119
Историчесюя справки	¦		—
ОпредЪлешя	 .... 		—
Среднее		121
Дополнительный домино . . . . 	 ¦ .	—
Въ чемъ состоить игра		122
Забава-задача	•	 . . . .	—
Задача 71. Наиболышй ударъ. . . . 		123
>	73		124
» 73		125
» 74. В-Ьрная отгадка		127
Упражнения съ кускомъ бумаги ....	.	. . 129
Плоскость.—Прямоугольникъ.—Квадратъ	 .	131)
Задача 75		—
» 7С		132
>	77. Равнобедренный и равноетороншй треугольникъ . .	130
» 78		137
» 79. Шестиугольникъ		14U
» 80. Восьмиугольникъ		142
Разр^зываше и переложете фпгуръ	 144
Задача	HI. Какъ вырезать?	 . .	—
»	S2. Изъ прямоугольника квадратъ		145
»	83. Квадратъ изъ 20 равныхъ треугольниковъ		140
»	84. Теорема Пиеагора		147
»	85. Изъ квадрата три квадрата		148
>	S0. Изъ квадрата два квадрата . 		151)
>	87. Изъ квадрата три квадрата	 • .	151
»	88. Разр-Ьзываше шестиугольника	 ....	—
»	89. Ханойская башня. Тонкинскш вопросъ		152
Легенда	 155
Шахмати. . .		167
Задача 90. О восьми королевахъ	158
» 91. О ход-Ь шахматнаго коня	 	Ifi4
Карты .	. .	....	....	. 170
Задача 5B. Угадать, сколько очковъ въ 3-хъ картахъ .	.	172
!K. Угадать задуманную карту		. 174
Общее зам-Ьчаше	 178

VI
стрлн.
Задача 91. Угадать задуманную пару картъ		179
» 95. Угадать карту	 . . . .	182
>	90. Карта на мъ-сто	 ....	183
>	97. Кто что взялъ,—я узналъ . . . „		184
98		187
99 и 100		189
Мосты и острова		193
Задача 101. Кенигсбергсгае мосты въ 1759 г. . . . • . .	194
» 102. Переходъ черезъ 15 мостовъ		201
» 103. Петербургсше мосты		204
» 101. Путешеегае контрабандиста		205
О фигурахъ, вычерчпваемыхъ однимъ почеркомъ . . .207
Задача 105		—
» 106. Пять линш, 10 монетъ		214
Волшебная таблица . . . . •		215
Волшебный в-Ьеръ		216
Задача 107. Камни вм-Ьсто гарь.		217
Двоичное счислеше	 		219
О счисленш вообще		—
Двоичная система		220
Зам-Ьчашя о двъ-надцатичной систем!; . . 		221
Преимущества двоичной системы	 		—
Же-кимъ		222
Яшикъ съ гирями		224
Взвътливаше въ цъ'лыхъ числахъ 		226
Еще о волшебной таблиц-Ъ		—
Двойная прогресая		228
Совершенныя числа	 ...	229
Угадываше чиседъ		231
Задача 108. Угадать задуманное число		232
» 109. Видоизмъ-нете того же		233
» 110. Угадать иначе		237
¦>. 111. Иное pimeHie задачи		240
» 112. То же инымъ путемъ		242
» 113. Угадать несколько чиселъ . . 		244
» 114. Угадать, не спрашивая	 		247
115. Кто что выбралъ		248
* 116. То же съ двумя взаимно-простыми числами . ...	249
» 117. Отгадать несколько чиселъ не болыдихъ 10 ....	250
Волшебные квадраты		254
Полные волшебные квадраты		255
Среднее волшебные квадраты еь 16-ю клетками		260
Правильные волшебные квадраты оъ 16-ю клъ-тками		263
Полные и средше волшебные квадраты съ 64-ю клетками ....	267

ПРВДИСШЕ 1ГЬ ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНШ.
Въ настоящемъ четвертомъ издании первой книги
«Въ царствЪ смекалки» по сравнению съ предыдущими,
ея издашемъ не прибавлено новыхъ задачъ и упраж-
нешй. Исправлены лишь замъ-ченныя въ третьемъ изданш
опечатки, редактированы и дополнены почему либо
нуждавидяся въ этомъ задачи.
Существенное участие въ этой работъ- принялъ
В. И. Короленко, которому составитель считаетъ своимъ
долгомъ выразить самую сердечную благодарность.

ВВЕДЕШЕ.
i.
Изъ предисловш къ первымъ 3-мъ издашямъ.
Наступили времена «пара и железа», электричества и воз-
духоплавашя, съ одной стороны, а съ другой, — времена про-
ныкновешя въ глубочайнле тайники человйческаго духа и само-
познашя. Но въ какой бы области человеческая жизнь ни стре-
стремилась къ необходимому самосовершенствованш, несомненно то,
что всюду въ основанш в4рныхъ выводовъ должны лежать «счетъ
п м4ра», т. е. число въ той или иной форм4. Явлешя ли внъчн-
няго Mipa, глубины ли собственнаго духа желаетъ изслъ-довать
челов4къ и сказать свое бедное и жалкое «я» съ великимъ и
всеобъешлющимъ «все»—всюду и вездй только тогда шествуетъ
онъ по верному пути, если велитй и CTporifl духъ математики
будетъ имъ руководить.
Счетъ, м4ра и число... Математика—эта «сухая» и «строгая»
наука... Да! только эта целомудренная, съ глубоко-пытли-
вымъ взглядомъ богпня можетъ ввести насъ въ святое святыхъ
творен1я, приподнять завесу, скрывающую отъ насъ велиыя
тайны м!росоздан1я, показать возможность пространствъ, отлич-
ныхъ отъ нашего, ввести въ область пныхъ H3MipeHifi, дать
возможность уверенно говорить, о невидимомъ, какъ о видимомъ,
ВЪ ЦАРСТВЛ СМЕКАЛКи. КН. I.	I

о будущемъ и прошодшеыъ, какъ о настоящемъ, дать поня™
человеческому духу о великой и вечной цоэзш творческихъ
силъ природы... Станетъ ли кто въ наше время отрицать на-
стоятоятельную необходимость самаго шпрокаго распространен!^
п пшулярнзацш математических^ знангй? Железная сила логи-
логической или—-что то же—математической мысли, сила разумной
и быстрой «смекалки» только одна въ состоянш победить раз-
наго рода безпочвенныя самооболыцешя и низринуть дурачашде
бедное человечество кумиры.
Развише самой энергической самодеятельности ума, сообра-
сообразительности и «смекалки»—вотъ что все необходимее и пеоб-
ходимее делается человеку, если онъ желаетъ преуспевать и
достигнуть гармоши жизни. Существенно необходимо прежде
всего прюбр-Ьтеше самыхъ разнообразныхъ навыковъ въ счете,
мере и числе. Нисколько не рискуя впасть въ преувеличение,
повторимъ давно уже высказанную мысль: жизнь каждаго на-
народа культурна по стольку, по скольку въ нее входптъ мате-
математика. Вдумайтесь, и вы съ этимъ согласитесь!
Вотъ почему, между прочимъ, перБоначалышя математиче-
сшя познашя должны необходимо входить съ са51ыхъ раннпхъ
летъ въ наше образоваше и воспиташе. По справедливому
замечашю Кондорсе *) («Беседы о математике»), математичесшя
понятая, цифры и лпнш говорять даже детскому зарождаю-
зарождающемуся воображешю более, ч'Ьмъ иные думають. Но само собой
разумеется, что умственную самодгънтелъиостъ, сообразитель-
сообразительность и «смекалку» нельзя ни «вдолбить», ни «вложить» ни
въ чью голову. Результаты надежны единственно тогда, когда
введете въ область математпческихъ знашй совершается въ
легкой и пр1ятной форме, на предметахъ и прюгЬрахъ обы-
обыденной и повседневной обстановки, подобранныхъ съ надле-
жащимъ ocipoyMieMT, и занимательностью.
Впрочемъ, высказывая эти мысли, мы не говоримъ ничего
новаго. Съ этими последними положешямп согласится, кажется,
ныне всяый педагогъ современной русской гаколы п всякая
заботящаяся о разумномъ образовали и воспптанщ своихъ детей
1743—1794 г.

семья. Тъ\чъ бол'Ье удивительно и досадно, что на русскомъ
языки н'Ьтъ почти ни одной попытки дать въ руки семьи и
школы книгу, направленную къ популяризащи въ широкихъ
кругахъ математическнхъ познашй и могущую служить под-
ходящимъ пособ1емъ взрослому для обучешя своего ребенка, или
вообще учащемуся, поел! некоторой небольшой подготовки.
Это т'Ьмъ бол'Ье удивительно и странно, что въ заграничной
литературъ1 мы имт>емъ въ этомъ отнотенш прекрасные и та-
талантливо составленные образцы.
Предлагаемыя три книгп имйотъ въ виду до некоторой
степени пополнить указанный только что проб'Ьлъ. Пытаясь
перенести читателя въ «царство смекалки», мы, конечно, не
оболыцаемъ себя надеждой, что смогли показать ему это царство
во всей его прелести и полнотЪ. Для этого понадобились бы
не три такихъ книги: такъ велика и обширна область только
тФхъ отд4ловъ математики, которые можно подвести подъ
общее заглав!е «математическихъ игръ и развлеченш». Но что
же можетъ помешать нашу попытку и продолжить, если она
окажется удачной и полезной?
Внимательный читатель заметить, что каждая книга по
возможности разбита на отдъ-лы, содержащее каждый однород-
ныя задачи въ порядк'Ь возрасташя ихъ трудности. Н4тъ, во-
вообще говоря, никакой надобности читать и разбираться въ такой
книги «подрядъ». Каждый можетъ для начала взять тотъ
отдъ-лъ, который его наиболее заинтересуетъ, и разобраться
сначала въ немъ, затъчмъ перейти къ любому другому и т. д.
Что касается до такъ называемыхъ «разныхъ» задачъ, то со-
составитель и зд'Ьсь старался по сил'Ь разумт>шя разместить ихъ
въ порядк4 возрастающей сложности или трудности. Нельзя,
однако, поручиться, что принятая нами планировка матер1ала
удовлетворитъ веЪхъ. Слишкомъ субъективное это д4ло: что
одному дается трудно, то другому легко, и наоборотъ. Впрочемъ,
подчеркиваешь это еще разъ, предлагаемыя книги въ-дь не «ме-
«методика», ие «учебникъ» и не «задачникъ» въ обыкновеиноыъ
смысла этихъ словъ. Но всяшй, кто захочеть, можетъ воспользо-
воспользоваться предлагаемыми книгами применительно еъ своей метод'Ь
пли учебнику. Взрослый, взявши на себя трудъ познакомиться

съ любой.книгой, легко убедится, что все почти предлагаемыя въ
ней задачи можно видоизменять и делать предметомъ беседы
даже съ маленькими д'Ьтьми. Оъ другой стороны, см'Ьемъ на-
надеяться, что предлагаемыя книги могутъ быть недурньшъ посо-
б!емъ для математическаго саморазештя и самодеятельности и
нритомъ — не для одного только учащагося юношества, а для
всехъ вообще, чувствующихъ склонность къ работе ума. Въ силу
последняго эти книги названы также «Аривметикой для вс&хъ».
Предназначая эти книги для всчъхъ, мы вовсе не желаемъ ска-
сказать, что книги эти можетъ читать даже едва обучивнпйся гра-
грамоте ребенокъ. Но думаемъ, что мать, отецъ, старили братъ
или сестра найдутъ въ нихъ достаточно матерхала, чтобы на лег-
кихъ и занимательныхъ примерахъ, при помощи предметовъ,
находящихся у нихъ же передъ глазами, или подъ руками,
ввести ребенка въ кругъ математическихъ понятш. Но, «уча, мы
учимся сами», и надеемся, что предлагаемыя книги наилучше
каждаго въ этомъ убедятъ. Оближете математики съ жизнью,
введете ея въ повседневной обиходъ, уменье все окружаю-
окружающее насъ по возможности переводить на счетъ, меру и чи-
число—вотъ что главнымъ образомъ пмеютъ въ виду эти книги.
А такъ какъ въ нихъ есть и таия задачи, усвоеше и разборъ
которыхъ не требуетъ почти никакой математической подго-
подготовки, то ихъ можно смело дать для самостоятельнаго чтешя и
изучешя даже учащимся, начиная съ 10—-12 летъ, и т. д.
Возрастъ не ограниченъ, такъ какъ каждый найдетъ въ нихъ
кое-что и для себя.
1908.

II.
Счетъ, M-fepa и Число.
(историческш справки).
Вотъ я бросаю на столъ палочку, или спичку, или каие-
шекъ, или кубикъ, — словомъ какой-нибудь предметъ, и спра-
спрашиваю васъ: сколько предметовъ я бросилъ на столъ? Вы смо-
смотрите и отвечаете:
— Одинъ предметъ.
Я беру зат4мъ и бросаю передъ вами цйлую горсть камеш-
ковъ, илп спичекъ, или иныхъ какихъ иредметовъ и опять
спрашиваю: сколько зд4сь предметовъ?
Вы отвечаете: «.много!» Но меня этотъ отвътъ не удовле-
творяетъ. Я хочу знать точно, сколько именно предметовъ ле-
житъ предо мной. Для этого надо предметы сосчитать.
Въ чемъ состоптъ счетъ, вы тоже знаете. Вы берете одинъ
предметъ п говорите одинъ; прикладываете къ нему еще одинъ
и говорите: два; къ этимъ прикладываете еще одинъ и гово-
говорите: три; къ этимъ прикладываете еще одинъ и говорите:
4embq)e, затъ-мъ пять, шесть, семь, восемь, девять и такимъ
образомъ добираетесь до десяти (десятка).

Вы считаете предметы по одному, или, иначе говоря, еди-
единицами. Но. вы знаете также, что можно считать т4 же пред-
предметы парами (по два), тройками (по три), четверками (по че-
четыре) и т. д. Наконецъ, если предметовъ много, то можно
считать ихъ и десятками, совсЬмъ такъ же, какъ вы считали
единицами, т. е.: одинъ десятокъ, два десятка (или двадцать),
три десятка (или тридцать) п т. д. Когда у васъ набирается
десять десятковъ, вы называете это сотней (сто), и считаете
опять сотни, какъ единицы: сто, два ста (пли двести), триста,
четыреста п т. д. Такъ считаете вы, пока не получите десять
сотенъ, или тысячу, а затъ-мъ эти тысячи считаете опять,
какъ простыя единицы: одна тысяча, дв4 тысячи и т. д.
Все это вы знаете, и все это кажется такъ просто.
Итакъ, чтобы ответить на вопросъ, сколько предметовъ,
надо эти предметы сосчитать. Счетъ же состоитъ въ послФ-
довательномъ прибавленш къ единиц!- еще единицы, да еще
единицы, да еще единицы и т. д. до конца, а затъчиъ остается
сказать словами, что вы получили, или—иначе—назвать ре-
зультатъ счета. Этотъ результатъ, или отв^тъ на вопросъ:
сколько предметовъ'^—и будетъ не что иное, какъ число.
При первыхъ же шагахъ нашей болгЬе или менФе созна-
сознательной жизни мы учимся считать предметы и ыало-по-малу
вырабатываемъ въ своемъ умгЬ представленье о числ4, какъ
совокупности единицу независимо отъ самнхъ предметовъ, вы-
вырабатываемъ себъ1 поняпе о такъ называемомъ отвлеченномъ
числгь. Первое и основное математическое наше д'Ьйстае со-
состоитъ, следовательно, въ прикладывант къ единиц'Ь еще еди-
единицы да еще единицы, да еще и т. д. — въ послгьдователь-
помъ сложенш, въ счет4.
Само по себъ1, какъ видимъ, это flificTBie не трудное. Вся
трудность заключается не въ томъ, чтобы прикладывать еди-
единицу за единицей, а чтобы полученныя отъ такого приклады-
вашя числа назвать, или написать и запомнить. Вся труд-
трудность в-ь томъ, чтобы найти такой способъ. или систему счета,
при которой немногими отдельными словами можно было бы
называть, или немногими отдельными знаками можно было бы
записывать каия угодно числа.

Человечество счастливо и удачно разрешило этотъ воиросъ.
Выработана такая система устнаго и письменнаго счислешя,
которая быстро делается понятной каждому ребенку и усваи-
усваивается иыъ постепенно съ самыхъ раннихъ поръ. Выучиться
считать и писать числа по нашей такъ низываемой десятичной
системгь счислетя, въ основанш которой лежитъ число де-
десять, не стопт'1. почти никакого особаго труда. Вы знаете это
пзъ лпчнаго опыта, изъ того, чему научились дома и въ школФ.
Но знаете ли вы также, что тысячи и тысячи л4тъ нрошли
раньше, чъ-мъ люди додумались и дошли до того, чему мы те-
теперь ыожемъ такъ быстро и легко обучиться уже въ д'Ътскомъ
возраст^? Исторгя того, какъ люди научились считать и писать
числа, очень любопытная исторгя, и съ ней каждому слъ-дуетъ
хотя немного ознакомиться.
Въ глубокой древности, на самой ранней зарй своей жизни,
люди считали только съ помощью камешковъ илп же дъ-лали
царапины и зарубки на деревъ- или камн-Ь. Сколько было со-
сосчитано предметовъ, столько делалось и заруоокъ. Ташя зарубки,
относящаяся къ наиболее отдаленнымъ въ'камъ жизни человека
и имъчощгя несомненно значеше числовыхъ зам-Ьтокъ, нахо-
дятъ и теперь въ различныхъ м'Ьстностяхъ. Какъ видимъ, это—
самый простой способъ счета, заключающей въ ceoi поняпе объ
образованш числа прибавлешемъ последовательно единицы за
единицей. Прппомнимъ также, что не такъ еще давно на Руси
были распространены, а кое-гдгЬ остались въ употребленщ и
теперь, «бирки». Это не что иное, какъ деревянныя палочки,
на которыхъ черточками и крестиками ынопе неграмотные люди
ведутъ свой незамысловатый счетъ.
Какъ считали наши отдалениМпйе предки, можно прибли-
приблизительно судить и на прим'Ьрахъ существующихъ ньнгб наро-
довъ, стоящихъ на очень низкой ступени развитая, находящихся,
какъ говорятъ, въ дикомъ состояши. Такъ, одинъ путешествен-
никъ разсказываетъ. что дикари Андаманскихъ острововъ счи-
таютъ очень просто, но очень забавно и странно. Чтобы изо-
изобразить счетъ по одному, они, просто-на-просто, трутъ носомъ
о землю столько разъ, сколько надо. Если же имъ надо счи-
считать единицами бол4е высшаго порядка (скажеыъ, какъ у насъ

десятками), то они столько разэ,, сколько нужно, тянуть себя
за уши. Какъ ни простъ и ни сыйшоиъ этотъ способъ счета,
оиъ, однако, уже выше, ч^мъ тотъ, о которомъ мы упоминали
раньше, и где просто складываются камешки, илп проводятся
черточки. ЗдгЬсь мы впдимъ уже счетъ единицами двухъ раз-
личныхъ порядковъ: простыми единицами — «носовыми», по
способу этихъ дикарей, и единицами второго порядка или раз-
разряда—«ушными ».
Древше татары, когда д4ло шло о чпслахъ, сообщались
между собой посредствомъ особыхъ палочекъ Хе-му, накото-
рыхъ делались условныя нарезки. По этпмъ нар^зкамъ ка-
каждая орда знала, въ какое время она должна выступить въ по-
ходъ, сколько лошадей и людей должно выставить каждое се-
селенге.	)
Обитатели древияго государства Америки, Неру, во вре-
времена своихъ царей — инковъ для изображешя и запоминашя
чиселъ иы'Ьли особые приборчики—квитгосы. Это были кольца,
къ которьшъ прикреплялись веревочки съ узелками и палоч-
палочками разнаго цвета. Число узелковъ, ихъ завязываше и развя-
зываше, а также чередоваше веревочекъ съ палочками позво-
позволяло выражать много чиселъ. Да не сохранился ли и у насъ
до сихъ поръ обычай «завязывать узелокъ на память» и не
им4етъ ли онъ чего-то общаго съ этимъ квиппосомъ?
Но самымъ ближайшимъ и самымъ естественнымъ посо-
б!емъ человеку для счета были, конечно, его пальцы на рукахъ
и ногахъ. И действительно, есть все данныя предполагать, что
этотъ пальцевой счетъ былъ самымъ распространенныиъ съ
глубокой древностп у всъ-хъ почти сделавшихся потомъ обра-
образованными народовъ. Каждый палецъ зам'Ънялъ при этомъ ка-
каждый исчисляемый предмета. Такой способъ счета наблюдается
у дикихъ народовъ и въ наше время, при чемъ слФдуетъ за-
заметить, что подняие пальцевъ вместо того, чтобы назвать чи-
число, есть едва ли не единственный примъ-ръ, когда отвлечен-
отвлеченное поняие выражается оюестомг.
Но человъ-ческш умъ ищетъ своего выражешя въ слов4.
Изв4стное количество, известное число нредметовъ онъ выра-
жаетъ однимъ словомъ. Ташя слова иногда прямо указываютъ

на щнемы счета. Такъ, п теперь еще у нъчюторыхъ народовъ
число два обозначается словомъ «крылья», число три—словомъ
«клеверъ» (трилпстннкъ), число пять—словомъ «рука». У ин-
дййцевъ въ Америк^ числа 11, 12 и т. д. считаются такъ:
«ноги одпнъ», «ноги два»... (т. е. десять пальцевъ на ногахъ
да еще одпнъ, десять пальцевъ на ногахъ да еще два, и т. д.),
а число 20 обозначается словами «весь человъкъ». Въ Афрпк'Ь
для обозначешя болыпихъ чиселъ у пыыхъ народовъ употре-
употребляются ташя слова, какъ «куча», «гора-- и т. д. Накоиецъ,
не припомните ли по этому поводу, что въ пныхъ ы-Ьстахъ
нашей крестьянской Poccin, когда хотятъ выразить «много»,
говорятъ «гора» или «уйма»: эку «гору», эку «уйму» выва-
лилъ, заграбасталъ, забралъ и т. п., а въ иныхъ мйстахъ до
сихъ поръ еще ведется счетъ на «копы»? При чемъ «копа»
яицъ, наприм'Ьръ, значитъ 60 штукъ пхъ.
Подобное образоваше названш чиселъ иногда отражается
даже на изобразивши ихъ посредствомъ письменныхъ знаковъ.
Обратили ли вы внимаше на начерташе римской цифры пять?
Какъ известно, она пишется такъ: V и представляетъ собою
не что иное, какъ изображеше руки человека- Двй такпхъ
руки, сложенныхъ вм'ЬстЬ (одна вверху, другая—внизу), даютъ
вамъ римское изображеше числа десять: X.
Теперь является вопросъ, не илтдотъ лп какихъ-лпбо соотвйт-
ствующихъ, взятыхъ изъ природы, значетй наши назвашя чи-
чиселъ (одинъ, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, де-
девять, десять), положенныя въ основу нашей устной системы
счислешя?
Трудно, даже невозможно ответить на этотъ вопросъ. Можно
сказать только одно, что когда развился человъ-чесюй языкъ.
то и нервыя числовыя понятая вылились въ изв4стныя число-
выя слова. Если же эти слова п им4ли какое-либо значеше,
взятое изъ названШ окружающихъ человека предметовъ, то это
значеше давно забыто и утеряно, такъ какъ образоваше чпсло-
выхъ понят1й и выражающпхъ ихъ словъ у современныхъ обра-
зоваыныхъ народовъ относится къ глубочайшей древности. Чтобы
судить, какъ давно это было, достаточно заметить, что назва-
шя числительныхъ иыенъ совпадаютъ въ языкахъ: санскрит-

10
скомъ, зендскомъ, персидскомъ, греческомъ, латиыскомъ, кельт-
скомъ, герыанскомъ и славянскомъ. Что же это значитъ? А это
значитъ, что назвашя главныхъ чиселъ образовались еще тогда,
когда Bci эти народы составляли одну семью п говорили одшшъ
общимъ (аршскимъ) языкомъ. Это же было много и иного
тысячъ л4тъ тому назадъ, въ доисторическгя времена, потому
что за двЪ-три тысячи лътъ, о которыхъ сохранились бол4е или
мен^е достовт>рныя историческая свидетельства, вс4 перечис-
перечисленные выше народы уже жили и развивались, жпвутъ и раз-
развиваются отдельно.
Итакъ, если когда-либо, въ глубинъ- въ-ковъ, назвашя чиселъ
и им'бли какое-либо еще иное значеше, то оно съ течешемъ
времени утратилось, а остались только слова, даюпп'я отвле-
отвлеченное представлете о числахъ. А какъ только человъкъ на-
научился отвлеченному счету, т. е. просто счету, независимо отъ
т4хъ или другихъ предметовъ, то это было и первое истинно
математическое дМств1е человйческаго сознашя.
Прибавлять по едишщъ", да еще по едпнпц/Б, очевидно,
можно сколько угодно. Значитъ и чиселъ есть сколько угодно,—
ихъ, какъ говорятъ, безкопечпо много. И какъ только челов^къ
дошелъ до попятгя о числгб, то явилась тотчасъ задача, какъ
уже упомянуто выше, самаго легкаго и простого иазвашя и
написашя любого, сколь угодно большого, числа. Немногими
словами нужно было умт,ть называть любыя числа и немногими
знаками ихъ писать.
Мы знаемъ уже, какъ просто и легко это делается теперь
въ нашей десятичной системы счислешя. Однако, чтобы дойти
до этой легкости и простоты, опять понадобился длинный рядъ
въ-ковъ и тысячел-Ътш. Медленно и съ большими обходами дости-
достигало человечество ц4ли. И введете въ человечески обиходъ
Hbmi прпнятаго устнаго и пясьменнаго счпслешя можно счи-
считать происшедшимъ уже въ несомн'внно историчесшя времена.
Такъ, устное десятичное счислеше было известно древнимъ
грекашъ. Но, спрашивается, почему же наиболее иривплось и
распрост})анилось десятпчное счпслен1с? Почему мы штъ-емъ
девять простыхъ единицъ, а десять ихъ щшнпмаемъ за новую
высшую единицу—десятокъ и считаемъ зат-вмъ десятки, какъ

11
простыл единицы; десять десятковъ принпмаемъ за-еще выс-
высшую единицу—сотню, п считаемъ сотни, какъ единицы, десять
сотенъ опять принимаемъ за еще высшую единицу — тысячу,
и считаемъ тысячи, какъ простыя единицы и т. д.?
Почему въ основате нашего счета положено число десять?
Въ-дь можно, какъ знаемъ, считать парами, тропками, четвер-
четверками, пятками и т. д. Какъ вы знаете, существуете счетъ
«дюжинами», т. е. такой счетъ, при которомъ въ основаши
лежитъ число 12. Что не всегда и всюду число 10 признава-
признавалось за основу счета, на этотъ счетъ существуетъ мпого дока-
зательствъ. Помимо счета «дюжинами», припомните хотя бы
русскш счетъ «сорокъ сороковт.» или «копами». У другихъ
народовъ есть несомненные остатки такого счета, при которомъ
въ основе лежитъ число 2U. Однако, вей эти системы счета
вымерли и вымираютъ, а торжествуетъ десятичная. Объяс-
Объясняется это прежде всего и единственно устройствомъ нашихъ
рукъ, имъчощихъ въ общей сложности 10 пальцевъ, которые
были первыми и главными помощниками человека въ выра-
выработки имъ понятгя о числе и въ развитш устнаго счета.
Что касается письменнаго счета, т. е. уменья изобразить
любое число съ помощью немногихъ знаковъ, то онъ усовер-
усовершенствовался только сравнительно недавно, именно после вве-
дешя такъ называемыхъ арабскихь цифръ и прибавления къ
9 зпачащимъ цифрамъ еще незначащей—нуля. Птотъ послйдтй
у арабовъ назывался цифиръ (зефиръ), откуда и получилось
самое .слово «цифра». Самую же систему письменнаго счисле-
тя арабы, по всей вероятности, позаимствовали у индусовъ
или китайцевъ.
Некоторыя болышя подробности относительно счислешя
читатель, если заинтересуется вопрос омъ, найдетъ еще въ
3-й книг^ «Въ царств^ смекалки».
Такъ медленно и на протяжети многихъ вйковъ распро-
распространялся и утверждался въ понятш человечества тотъ устный
и письменный счетъ. которому намъ столь нетрудно научиться
ныне въ самое непродолжительное время и въ самолъ ран-
немъ возрасте. Неправда ли, что вы не помните даже, когда
научились считать,—до десяти, иапршгЬръ? Какъ начали учиться

12
говорить, такъ, само-собой, начали учиться и считать! Начали
вм^стт. съ тт,мъ пршбрЬтать и поняйе о числи. Л научившись
считать до десяти, не трудно пойти и дал-Ье. Видь десятки
считаются, какъ простыя единицы, и, чтобы добраться до сотни,
достаточно всего 11 разлпчныхъ словъ. ВатЬмъ сотни опять
считаютъ какъ единицы... Такъ счетомъ вы получаете все новыя
п новыя числа.
Но не только отъ одного счета получаются числа. Они
получаются еще путемъ сравнетл величины предметовъ. Глядя
на окружающей васъ м1ръ, вы скоро замечаете, что одни пред-
предметы въ немъ больше, друпе меньше. Это поняэте о величине
предметовъ, о болыиемъ и меньшемъ, вы варажаете разными
словами: выше, ниже, длиннее, короче, шире, уже, толще,
тоньше, легче, тяжеле и т. д. Подобпыя слова не даютъ, однако,
настоящаго, точнаго понятш о величины предмета. Чтобы имт»ть
точное понят!е объ этой величины, необходимо сравнить пред-
предмета съ другимъ подобныыъ ему предметомъ, величину котораго
вы хорошо знаете. Чтобы знать точно неизвестную вамъ длину,
надо сравнить ее съ другой длиной, которую вы точно знаете;
чтобы узнать величину неизвестной вамъ площади, надо срав-
сравнить ее съ известною вамъ площадью. Чтобы узнать в4съ тгЬла,
надо сравнить его съ известной вамъ тяжестью и т. д.
Какъ узнать точную длину стола, за которымъ вы сидите?
Что вы делаете для того, чтобы это узнать? Не что другое,
какъ сравниваете эту длину съ известной вамъ длиной, напр.,
аршина. Вы берете арппшъ и укладываете его вдоль стола. Вота
аршинъ поместился разъ да еще одпнъ разъ, да еще половина
аршина. Вы и говорите: «столъ имйетъ въ длину 2 съ поло-
половиною аршина». Вы сравнили длину стола съ длиною аршина,
иначе говоря, вы измприли аршиномъ длину стола. Аршинъ
у васъ есть единица мгьры длины, — такая единица мгЬры, о
которой вы должны имптъ точное представление и съ которой
вы сравниваете все остальныя длпны. Если вамъ надо измерить
болышя разстояшя, то вместо аршина удобнее взять большую
длину — сажень, версту, милю, но о всякой такой длине вы
должны имгьть точное понятге. Только въ такомъ случат,
вы сможете точно измерить и получить настоящее представленье

13
и о другой неизвестной еще вамъ длип'Ь и выразить эту длину
числомъ въ единицахъ известной ваыъ мгъры.
Что значитъ, когда вы говорите, что «этотъ ыЗшюкъ съ
хл'Ьбомъ вгьситъ 5 пудовъ»? Какъ вы это узнали? Конечно,
такъ, что взвшили на В'Ьсахъ этотъ ы^шонъ. Въ чеыъ заклю-
заключается взвгьшивате, или измъ-peme вгЬсаУ Да опять-таки въ
томъ, что Bieb этого мешка съ хлЪбомъ вы сравнили съ извгьст-
нымъ вамъ весомъ куска чугуна, или железа, — такого куска,
который вйситъ именно пудъ. Итакъ, что такое значитъ изме-
измерить? Это значитъ, другими словами, сравнить одинъ предмета
съ другпмъ однороднымъ ему, но изв'Ьстныиъ ваыъ предметомъ.
Этотъ известный вамъ предметъ, съ которымъ вы сравниваете
друйе предметы, называется мпрой. Какъ вы уже знаете, есть
много различныхъ мйръ: пространства, времени, вЬса, скорости,
силы и т. д.
Что получается въ результате каждаго измерешя? Число!
Что говорить вамъ это число? Оно даетъ вамъ точное поняие
о величине того или другого предмета! Гд'Ь находятся всЬ окру-
окружающее васъ предметы? Вь пространстве! Следовательно, съ
развипемъ поняия о числтз, какое другое развивается у васъ
поняйе? Поияпе о просгранств-Ь, объ окружающемъ васъ Mipil
Ясно ли вамъ теперь, что въ осповаше сознательной жизни
человека лежитъ счетъ и мира? Ясно ли вамъ, что если вы
хотите правильно судить объ окружающемъ васъ прострапствп,
если хотите знать, что такое время, то прежде всего вы должны
усвоить счетъ и миру, а следовательно, научиться свободно
обращаться съ числомъ? Ясно ли вамъ теперь, что истинное
развитге знашя и сознательности можетъ идти только рядомъ
съ развипемъ счета, м4ры, порядка и числа?
Вотъ почему не пренебрегайте ни малМглимъ случаемъ,
чтобы упражняться въ счетЬ, въ Mipi, порядки и числъ\ Не
отделяйте щивметику, или математику, вообще, отъ жизни.
Нельзя этого д'Ьлатъ, потому что человечество только тогда
вступило (а это произошло только въ самое последнее время)
на путь пстиннаго знашя, когда во все свои разсуждешя ввело
поняпе о счете, мере и порядке, т. е. поняие о чисмь. Если
вы хотите что-либо знать, то прежде всего вы должны вашъ

14
умъ воспитывать и упражнять въ области математнческихъ
познашй, т. е. такихъ, гдгЬ прежде всего входятъ поняия о
количеств^, величин!- и порядк'Ь, выражаемыхъ гЬмъ или дру-
гимъ числомъ или сочеташемъ чиселъ.
Трудно ли это? НгЬтъ. Стоитъ лишь только каждому изъ
насъ постоянно помнить и знать, что все въ окружающемъ насъ
Mipi основано иа счетй, числи и порядки. Челов'Ькъ считалъ,
вычислялъ, строилъ и м'Ьрилъ всегда, когда ему нужно было
сделать что-либо долговечное, даже въ то время, когда, считая,
вычисляя и строя < по пальцамъ», онъ не сознавалъ и не со-
знаетъ, что работаетъ въ области математики.
Теперь, съ разви'пемъ грамотности и письма, наступаем,
время, когда счетъ, мгЬра и порядокъ должны проникать каждый
шагъ нашей жизни.
Учитесь считать, мирить и вносить порядокъ въ свою жизнь,
начиная съ первыхъ же шаговъ. Все остальное дастся легко.
А учиться счету, порядку и siipi очень легко, какъ въ игрЪ
и забавъ1, такъ и въ дтлъ1. Стоптъ только этого захотеть и къ
этому постоянно направлять свой умъ, разбираясь во всякомъ
окружающемъ насъ явленш.
III.
Роль памяти въ математик-Ё.
Относительно математики въ нашемъ обществ-Ь еще до сихъ
поръ существуютъ самые странные предразсудки. Одни гово-
рятъ, что заниматься математикой могутъ только исключительные,
одаренные совсЬмъ особыми способностями умы, друие утвер-
ждаютъ, что для этого необходима особая, такъ сказать, «мате-
«математическая память» для запоминашя формулъ и т. д. Bci
подобные толки являются обыкновенно плодомъ недоразуытзшя,
зависящаго въ значительной степени отъ того низкаго уровня,
на которомъ находится у насъ состояше самыхъ элемептарныхъ
математпческихъ знашй и навыковъ.
Нельзя, конечно, спорить противъ того, что существуютъ
умы съ р'Ьзко выраженными склонностями къ той или шюй

16
сторон'Ь умственной деятельности. Но точно также никоимъ
образомъ нельзя утверждать, что существуютъ хотя мало-мальски
нормальные умы, которые совсЬмъ неспособны къ воспр1ятш
п полному усвоешю необходпмыхъ математическихъ знашй, хотя
бы, скажемъ, въ разм'Ьрахъ такъ называемаго «средняго курса».
Говорить противное значить доказывать, что для различныхъ
человйческихъ наукъ существуютъ и различный логики, съ ч'Ьмъ,
конечно, врядъ ли кто согласится.
Будемъ сираведливы и иризнаемъ наконецъ, что выражеше
«неспособенъ къ математике» есть прежде всего горыпй про-
дуктъ нашего неулгЬшя, а, пожалуй, иногда и легкомысленнаго
нежелашя поставить въ семье и школ-Ь преподаваше мате-
математики на должную высоту.
Еще менгЬе можно говорить о необходимости для математики
какой-то особой, спещальной памяти для запоминан1я (зазубрп-
вашя?) какихъ-то формулъ или правилъ, науку сознательной
и последовательной логической мысли обращать въ какой-то
механичесшй безеозиательный процеесъ. А, между тгЬмъ, какъ
далеко можетъ заходить дт^ло въ этомъ отношен!и, существуютъ
свидетельства такихъ авторитетовъ, какъ нашъ талантливгЬй-
шШ математикъ и профессоръ В. П. Ермаковъ. Вотъ что, между
прочимъ, сообщалъ уважаемый профессоръ въ одномъ изъ свопхъ
докладовъ Киевскому физико-математическому обществу:
«Когда мне пришлось студентамъ читать интегральное
печислеше, то въ первый же годъ произошелъ эпизодъ, который
всегда сохранится въ моей памяти.
«Прочитавши часть теорш, я для пояснешя даю задачи.
Я прошу студентовъ решать задачи на скаыьяхъ въ тетрадяхъ.
По мере решетя, я пишу полученные результаты на доске.
Однажды для пояснешя способовъ поннжешя бино^пальныхъ
интеграловъ я написалъ на доске подходящую задачу. И вотъ
вижу, что некоторые студенты вынпмаютъ изъ карыановъ ка-
ьЧя-то тетрадки и смотрятъ въ ипхъ.
«— Что это?
« — Обиця формулы.

16
«— Зач4мъ?
«— Намъ прежтй ирофессоръ совЬтовалъ иы'Ьть сппсокъ
общпхъ формулъ и по нему р'Ьшать частные промеры. В'Ьдь
не станете же вы требовать, чтобы мы заучили на память всЬ
сорокъ общихъ формулъ.
«— Заучивать въ математики нпкакихъ формулъ не слъ1-
дуетъ. Но я нахожу также неумт>стнымъ пользоваше справоч-
справочными пособ1ями и нахождеше интеграловъ по общимъ форму-
ламъ, подстановкою въ нпхъ данныхъ значенш показателей п
коэффпщентовъ. В'Ьдь не съ неба свалились къ вамъ обшш фор-
формулы; для вывода ихъ вы употребили рядъ разсуждешй; при-
применяйте т4 же разсуждетя къ частньшъ примъ'рамъ.
«Такимъ образомъ оказалось возможнымъ находить всягае
интегралы и безъ общихъ формулъ. Пришлось, впрочемъ, h4-
которыя выкладки видоизменить такъ, чтобы онЬ неиосред-
ственно могли быть приложены къ частнымъ пршгЬрамъ.
«Получилась еще и та выгода, что на каждомъ частномъ
примири студенты повторяли Bci тЬ разсуждешя. которыя
необходимы для вывода общей формулы. Отъ частаго повторе-
Н1я щлобрт>тался навыкъ п въ результат^—быстрота рЬшен1я
задачъ.
«Разсказанный эппзодъ заставилъ меня глубже вникнуть въ
сущность математики.
«Въ молодыхъ л^тахъ и я обращалъ все внимате на конеч-
конечные результаты. Разбирая какое-нибудь доказательство, я за-
заботился только о томъ, чтобы убедиться въ его строгости. Вотъ
добрался до окончательная) результата, и довольно! Дальше я
старался помнить окончататъные выводы, весь же процессъ до-
доказательства быстро испарялся. Но потомъ забывались и фор-
формулы, а часто эти формулы оказывались необходимыми при
дальнМшихъ заняияхъ. Что же оставалось д'Ьлать? Собирать
библютеку изъ справочныхъ кнпгъ? Но на это не хватало
средствъ, да и не было помт>щешя для библютеки. Поневол&
приходилось припоминать самый процессъ, при помощи котораго
выводилась та или иная формула. Такимъ образомъ вместо фор-
формулъ мало-по-малу я пришелъ къ самимъ доказательствамъ.
Оказалось, что легче припомнить процессъ математическаго

17
мышлешя, ч'Ьмъ голыя формулы. Да и Н'Ьтъ надобности помнить
ц'Ьликомъ весь процессъ мышлешя: достаточно наметить этап-
этапные пункты, по которымъ должна идти наша мысль. И вотъ
уже несколько л'Ьтъ, какъ я своимъ слушателямъ твержу: въ
математик* слйдуетъ помнить не формулы, а процессы мыш-
мышлешя. Прочитавши какой-нибудь отдтлъ изъ аналитической гео-
метрш, я излагаю студентамъ конспектъ, въ которомъ, безъ фор-
мулъ, намечаю главные пункты мышлешя.
«Если выраженъ словами процессъ математическаго мышле-
мышлешя, то получеше самихъ формулъ является уже д4ломъ чисто
механическимъ. Въ механизм^ же алгебрапческихъ дМствЫ
ученики должны npioopicTH навыки еще въ средней школъ1.
«Я пришелъ къ тому уб'Ьжденш, что указанный мною прин-
ципъ долженъ быть прим-внень и въ средней школ'Ь...»
Продолжимъ мысль В. П. Ермакова и скажемъ: указанный
принципъ долженъ въ особенности лечь въ основаше началь-
наго—какъ семейнаго, такъ и школьнаго—образован!я въ области
математическихъ знан!й. Не натаскивайте ни ребятъ, ни юно-
юношей на различныхъ «табличкахъ» сложен1я, вычитан1я, умно-
жешя, на механическомъ запоминан1и разныхъ «правилъ» и
формулъ, а прежде всего пр1учайте охотно и сознательно мы-
мыслить. Остальное приложится. Не мучьте никого длиннейшими
и скучнейшими механическими вычислешями и упражнешями.
Когда они понадобятся кому-либо въ жизни, онъ ихъ продъ-
лаетъ самъ, — да на это нынче есть всяйя счетныя машины,
таблицы и иныя приспособлешя.
ВЪ ЦАРСТВ* СМЕКАЛКИ. КН. I.

Щ§Шш
Задача 1-я.
Знатная дама и недобросовестный мастеръ.
Одна знатная дама им-Ьла крестъ, составленный]
изъ крупныхъ брильянтовъ. Сколько всего было этихъ
брильянтовъ, она даже не знала, да и не интересова-
интересовалась этимъ, потому что занимала ее другая особен-
особенность креста, а именно: съ какого бы изъ трехъ верх-
нихъ концовъ креста она ни считала брильянты, когда
приходила къ основание креста, всегда получала число
девять (фиг. I). Крестъ какъ-то понадобилось отдать
въ починку.
1 2 3
Фиг. 1.
При этомъ дама сообщила мастеру о чудесной осо-
особенности своего креста.

19
—	Видите ли!.. Съ какого бы конца я ни начинала
счетъ, всегда получается девять!.. Такъ я всегда про-
проверяю, всЬ ли камни въ наличности!
¦— Только такъ?—спросилъ мастеръ.
—	Ну да, только такъ: этого совершенно доста-
достаточно. Я и посл-Ь вашей починки проверю число кам-
камней такимъ же способомъ.
Мастеръ оказался недобросовтэстнымъ: онъ вынулъ
и оставилъ у себя два брильянта, передъ\лалъ затт^мъ
крестъ, починилъ его и возратилъ дамъч
Та пересчитала камни по-своему и нашла, что вс'Ь
камни налицо!
Спрашивается, что сдъ-лалъ мастеръ. возвративший
дам'Ь крестъ послЪ починки?
Р^шеше.
Не трудно видеть, что ыастеръ срйзалъ концы поперечной
перекладины вмести съ брильянтами, по одному съ каждаго
конца, и затЬмъ передвинулъ эту перекладину на одинъ рядъ
выше. Такимъ образомъ изъ креста, изображеннаго на фиг. 1,
получился крестъ, изображенный на фиг. 2.
Ill
]_
9
Фиг. 2.
Дама, пересчитывая въ	починенномъ кресгЬ брильянты «по-
своему», т. е. отъ каждой	пзъ трехъ верхнихъ оконечностей
креста до основашя, опять	насчитала по девяти камней и не
заметила обмана.
2*

20
Крестъ до починки.
Крестъ поел* починки.
или тоже на картахъ:
i
Фиг
0
>
>
3.
о
о
О
0
О
*
*
+ 4-
+ +
¦5- *
4- +
* +
4- +
+ +
* +
***
+ +
ft
О
<?
•
•
•
Фиг. 4.
Фиг. 5.

21
о
0
0
4-
+
4-
+
Л.
+ *
4- +
*
+ *
+ +
+ +
* +
4- +
Фиг. 6.
Совершенно ясно, что проверить ошибку наивной дамы и
показать недобросовестность ювелира можно, и не имйя драго-
ц^нныхъ камней. Для этого можете взять или 15 камешковъ,
или 15 кубиковъ, или 15 картъ, или нарезать просто 16 ку-
сочковъ бумаги. Вы получите фигуры 3, 4, 5 и 6.
Вместо того, чтобы срезать и пригвоить себ4 два камня,
мастеръ могъ съ неменьшимъ успъ-хомъ прибавить два камня
отъ себя, и дама этого не заметила бы при своемъ способ^
проверки. Въ такомъ случай ему пришлось бы поперечникъ

креста, увеличенный двумя камнями, опустить на одинъ рядъ
внизъ.
Мастеръ-ювелиръ поступилъ нехорошо, но слишкомъ наив-
наивной оказалась и дама, не сумевшая сд-Ьлать такой простой про-
проверки. Ясно, что одного умъ-нья считать до девяти еще слиш-
слишкомъ недостаточно для того, чтобы не попасться впросакъ на
самомъ простомъ подсчет^.
Задача 2-я.
Удивительный отгадчикъ.
Десять картъ (или домино) отъ туза до десятки
положены въ рядъ, начиная справа налево крапомъ
вверхъ (т. е. внизъ «лицомъ») и положены въ поотб-
довательномъ возрастающемъ порядке, т. е. тузъ, двойка,
тройка и т. д. до десятки. «Отгадчикъ» объявляетъ
остальнымъ, что онъ уйдетъ въ другую комнату или
отвернется, а они безъ него могутъ переместить справа
налево сколько угодно картъ, при чемъ единствен-
нымъ уокдаемъ ставится то, чтобы не изменялось
относительное расположеше какъ перемътденныхъ, такъ
и остальныхъ картъ. По возвращенш отгадчикъ берется
узнать не только число перемътденныхъ картъ, но и
открыть ту карту, которая укажетъ (числомъ очковъ),
сколько перемещено картъ.
PiineHie.
И действительно, оказывается, что требуемую карту всегда
можно открыть. Но для этого не нужно даже «догадки», а
достаточно самаго простого, не выходящаго изъ предала пер-
ваго десятка, ариеметическаго расчета.
Разъяснимъ подробно задачу. Для этого перевернемъ вст,
карты или домино лпцомъ вверхъ. Справа налево они перво-
первоначально лежать въ такомъ иорядк'Ь, какъ указано на фиг. 7-ой.
Воображаемый «магъ и чародей» оставляетъ комнату, а кто
желаетъ убедиться «въ чудесныхъ» его способностяхъ,—пере-

23
м'Ъщаетъ нисколько картъ справа налево, не изменяя ихъ отно-
сительыаго расположешя, а затъчяъ двигаетъ вс* карты въ
этомъ новомъ порядки такъ, чтобы весь рядъ картъ занималъ
+ +
* +
+ 4
4
4 4
4
4 4
4 4
+
4 +
4
+ 4
4 4-
4 4
4 4
•
\ * *
-
•
• •
• •
•
•
•
•
•
•
•
ш
Фиг. 7.
прежнее мъ-сто. Пусть, напр., перемещено вначале 4 карты.
Тогда новый порядокъ ихъ будетъ представленъ фиг. 8.
Очевидно, что первая карта (или домино) сл^ва, четверка,—
и показываетъ число перемЗлценныхъ картъ. Поэтому явивннйся
въ комнату «угадчикъ» открываетъ первую карту сл*ва, кла-
детъ ее на столъ и говорить: «Перемещено четыре карты»
(или «домино»). Здт>сь могутъ быть для большаго интереса пу-
пущены въ ходъ маленыпя невинныя хитрости. Хотя д-вло въ
томъ, чтобы посмотреть эту первую карту или (домино) сл^ва,
но «угадчикъ» можетъ сд'Ьлать впдъ и внушить собеевднпкамъ,
4 4
4 +
4
4
4
4
+
+
>:
4 4
:¦:
4 +
+ 4
4
4 +
4
4 +
4 +
4
4 +
4 4
4 4
4 4
4 4
+ 4
+ 4
•
•
•
•
• •
•
• •
•
• •
• •
•
•
•
•
•
•
¦
•
Фиг. 8.
что онъ знаетъ число перем'Ьщенныхъ картъ раньше, чгЬмъ
открываетъ карту, и что открывате четверки есть только до-
добавочное доказательство его всезнашя.

24
Дальше дело пойдетъ еще удивительнее и занимательнее.
Карты остаются въ томъ же порядке, и угадываюпцй уходитъ
зная, что последняя карта слева есть четверка. Сколько бы
картъ въ его отсутствге ни переместили (опять справа налево
и не изменяя порядка), если онъ придетъ и откроетъ б-ю карту
D -J- 1 = 5), считая слево направо, то число очковъ этой карты
покажетъ ему всегда число перемещенныхъ картъ. Такъ, пусть
перемещено во второй его выходъ справа налево три карты.
Тогда получится такой порядокъ картъ (фиг. 9):
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
4- +
•f
+
+
+
+
:*:
+ +
+ +
+
+ +
+
+ 4-
•
•
•
•
• •
•
• •
•
• •
• •
•
• •
• •
• •
•
•
•
•
Фиг. 9.
п пятая карта, считая слева, действительно показываетъ три
очка. Открывъ эту тройку и положивъ ее опять на место, не
трудно уже, не глядя, сообразить, что последняя карта слева
теперь будетъ семерка. Запомнивъ это, угадывающШ опять
уходитъ въ другую комнату, предлагая переместить сколько
угодно картъ справа налево, напередъ зная, что по приходе
онъ откроетъ 8 карту G+1), в число очковъ этой карты ему
покажетъ, сколько картъ было перемещено въ его отсутствхе.
Вообще, если вы знаете число очковъ последней слева карты
(или домино), а это, какъ видимъ, нетрудно, то къ этому числу
надо придать единицу, и вы получите то место, считая по
порядку слева, на которомъ лежитъ карта, указывающая,
сколько картъ перемещено. Задача эта, какъ видимъ, весьма
проста, но и весьма эффектна. Разобраться въ регпенш ея не
составляете особаго труда, и каждый желающШ можетъ это
сделать съ большой пользой для себя.

25
Задача 3-я.
Движешемъ пальца.
Одинъ малышъ жаловался, что ему очень трудно
запомнить таблицу умножешя первыхъ десяти чиселъ
на девять. Отецъ его нашелъ очень легши способъ
помочь памяти съ помощью пальцевъ рукъ. Вотъ этотъ
способъ въ пользу и помощь другимъ:
Положите об4 руки рядомъ на столъ и протяните
пальцы. Пусть каждый палецъ по порядку означаетъ
соответствующее число: первый отвва I, второй за
нимъ 2, третш з, четвертый 4 и т. д. до десятаго,
который означаетъ ю. Требуется теперь умножить
любое изъ первыхъ ю-ти чиселъ на девять. Для этого
вамъ стоитъ только, не сдвигая рукъ со стола, при-
приподнять вверхъ тотъ палецъ, который обозначаетъ
множимое. Тогда остальные пальцы, лежапце налево
отъ поднятаго пальца, дадутъ въ суммтэ число десят-
ковъ, а пальцы направо—число единицъ.
Умножить 7 на 9. Кладете объ- руки на столъ и подымаете
седьмой палецъ, налево отъ поднятаго пальца лежатъ 6 паль-
пальцевъ, а направо 3. Значитъ, результатъ умножешя 7 на 9
равенъ 63.
PiineHie.
Это удивительное на первый взглядъ механическое уыножеше
тотчасъ же станетъ понятны мъ, если разсмотръть слолбецъ таблицы
умножетя на 9 первыхъ десяти послтдовательныхъ чиселъ:
1 X 9 = 09
2X9 = 18
3X9 = 27
4X9 = 36
5 х 9 = 45
6X9 = 64
7x9 = 63
8X9 = 72
9X9 = 81
10X9 = 90

2в
Зд4сь цифры десятковъ въ произведешяхъ идутъ, после-
последовательно увеличиваясь на единицу: 0, 1, 2, 3, 4,...., 8, 9, а
цифры едпницъ идутъ, наоборотъ, уменьшаясь на единицу: 9,
8, 7,.. .. 1, 0. Сумма же цифръ единицъ и десятковъ всюду
равна 9. Простымъ подняйемъ соотв-Ьтствующаго пальца мы
отмъ-чаемъ это и... уыножаемъ. Человеческая рука есть одна
изъ первыхъ счетныхъ машипъ!

Задачи-шутки и задачи-загадки.
Задача 4-я.
Звериное число.
Число 666 (звериное) увеличить въ полтора раза,
не производя надъ нимъ никакихъ ариеметическихъ
д Метай.
Написать это число, а загЬмъ повернуть бумажку «вверхъ
йогами-» (на 180°). Получится 999. (Очевидно, вместо взятаго
большого числа можно начать съ 6).
Зам^чаше. Подробности о «звйришшъ числи» читатель
найдетъ въ 3-ей (последней) книги «Въ царетвъ1 смекалки->.
Задача 5-я.
ДЪлежъ.
РаздЪлиыъ 5 яблокт^ межч.у 5~ю лицами такъ, чтобы
каждый получилъ по яблоку, и одно яблоко осталось
въ корзин-fe.

28
PiiueHie.
Одно лицо беретъ яблоко вы4ст4 съ корзиной. (Въ данномъ
случай мы ямйемъ, очевидно, дъмо съ родомъ задачи-загадки).
Задача 6-я.
Сколько кошекъ?
Въ комнатЬ четыре угла. Въ каждомъ углу сидитъ
кошка. Насупротивъ каждой кошки по з кошки. На
хвостъ1 каждой кошки по одной кошктэ. Сколько же
всего кошекъ въ комнатъ?
PiineHie.
Иной, пожалуй, начнетъ вычислять такъ: 4 кошки въ
углахъ, по три кошки противъ каждой, еще 12 кошекъ, да на
хвостй каждой кошки по кошки, значитъ, еще 16 кошекъ.
Всего, значитъ, 32 кошки. Пожалуй, по-своему онъ будетъ и
правъ... Но еще болъ-е правъ будетъ тотъ, кто сразу сообра-
зитъ, что въ комнат^ находятся всего-на-всего четыре кошки.
Ни болйе ни мен4е.
Задача 7-я.
Задача цифръ.
Написано:
ill
3	3	3
5	5	5
7	7	7
9	9	9
Изъ этихъ 15-ти цифръ зачеркните 12 цифръ такъ,
чтобы при сложеши остальныхъ з-хъ незачеркнутыхъ
получилось 2о?

29
PimeHie.
Разсматривая написанныя числа, какъ 5 трехзначныхъ сла-
гаемыхъ, для получешя требуемаго вычеркиваемъ цифры, какъ
указано ниже. Сложеше остальныхъ и даетъ 20.
ч. 1 1
X X Я.
ЖЧ	или
X 9
ж 1
ЬХ X
X
з
X
7
Задачу можно видоизменять всячески.
Задача 8-я.
Къ числу 851 припишите одну, двЪ, три или болъ-е
цифръ, въ средину или по краямъ его—все равно, но
такъ, чтобы получившееся число было меньше 851.
PimeHie.
Это опять-таки родъ шутливой загадки, разгадка которой
очень проста. Цифры, каия вамъ угодно, приписывайте такъ,
чтобы получить дробь, или простую или десятичную,—все равно.
Видоизменять и ръ-шать эту задачу можно всячески.
Задача 9-я.
Уродъ.
Одинъ господинъ написалъ о себЪ следующее:
«Всвхъ пальцевъ у меня двадцать пять на одной
рукт,, столько же на другой рук"Ь, да на обЪихъ но-
гахъ десять». Отчего онъ оказался такимъ уродомъ?

зо
РЗяпеше.
Господинъ просто былъ или малограмотный, или очень ужъ
разсТшнный челов^къ: въ оОпомъ мгьстгь онъ не поставил»
знака 11реп11намя (двухъ точить). Ему нужно было бы напи-
написать такъ: «ВеЬхъ пальцевъ у меня двадцать: пять на одной
рук'Ь, столько же на другой рук-Ь, да на обт,ихъ ногахъ десять».
И не было бы никакого недоразуьгЬшя п вопроса объ уродствъ'.
Задача 10-я.
Что сказалъ старикъ?
Два молодыхъ казака, оба лих1е наездники, часто
бились между собою объ закладъ, кто кого перегонитъ.
Не разъ то тотъ, то другой былъ побътштелемъ,—
наконецъ, это имъ надоъчло.
—	Вотъ что,—сказалъ Грицко,—давай спорить на-
оборотъ. Пусть закладъ достанется тому, чей конь
придетъ въ назначенное мъхто вторымъ, а не первымъ.
—	Ладно!—отв'Ьтилъ Опанасъ.
Казаки выехали на своихъ коняхъ въ степь. Зри-
Зрителей собралось .множество: всъмъ хот-влось посмо-
посмотреть на такую диковинку. Одинъ старый казакъ на-
чалъ считать, хлопая въ ладоши:
—.Разъ!.. Два!.. Три!..
Спорщики, конечно, ни съ мъ-ста. Зрители стали
смеяться, судить щ рядить и порушили, что такой
споръ невозможенъ, и что спорщики простоять на
MicTi, какъ говорится, до скончан1я вЬка. Тутъ къ
толпе подошелъ с^дой старикъ, видавшш на своемъ
вЪку разные виды.
—	Въ чемъ дъио?—спрашиваетъ онъ.
Ему сказали.
—	Эге-жъ!—говоритъ старикъ,—вотъ я имъ сейчасъ
шепну такое слово, что поскачутъ, какъ ошпаренные...

31
И действительно... Подошелъ старикъ къ казакамъ,
сказалъ имъ что-то; и черезъ полминуты казаки уже
неслисъ по степи во всю прыть, стараясь непременно
обогнать другъ друга, но закладъ все же выигрывалъ
тотъ, чья лошадь приходила второй.
Что сказалъ старикъ?
PinieHie.
Старикъ шепнулъ казакамъ: «Пересядьте». Ti поняли, ыи-
гоыъ пересели каждый на лошадь своего противника, и каждый
погналъ теперь во всю прыть чужую лошадь, на которой оиъ
сидЪлъ, чтобы собственная его лошадь пришла 2-й.

Спички и палочки.
Запаситесь коробкой спичекъ, или пучкомъ палочекъ оди-
одинаковой длины. Съ помощью ихъ вы всегда можете придумать
рядъ забавныхъ и остроумныхъ задачъ, развивающихъ сообра-
сообразительность и смышленность. Вотъ для примера нйкоторыя
простййнля изъ нихъ (Во 2-й книги «Въ царств?, смекалки»
этому предмету посвящена бол'Ье обширная глава).
Задача 11-я.
Изъ 15-ти палочекъ одинаковой длины Гили спи-
спичекъ): I) Построить пять равныхъ прилегающихъ другъ
къ другу квадратиковъ; 2) снять три палочки такъ,
чтобы осталось всего три равныхъ квадрата.
Piiueme.
Нижесл'Ьдукищя фигуры вполн-Ь выясняютъ, какъ решаются
заданные вопросы:
Фиг.. 10.
Фиг. 11.

33
Задача 12-я.
Изъ 24-хъ равныхъ палочекъ (или спичекъ): i) со-
составить фигуру изъ 9-ти соприкасающихся квадратовъ;
2) снять затЬмъ восемь спичекъ такъ, чтобы осталось
только два квадрата.
PiiueHie.
Какъ решается первая часть вопроса, ясно изъ приложеи-
наго чертежа:
Фиг. 12.
Калъ, отнявъ восемь спичекъ, получить 2 квадрата, видно
изъ фиг. 13 и 14:
В
и
Фиг. 13.
Фиг. 14.
Очень хорошая задача со спичками или палочками равной
длины, дополняющая предыдущая, следующая —
Задача 13-я.
Изъ шести спичекъ или равныхъ палочекъ соста-
составить четыре равныхъ равностороннихъ треугольника.
ВЪ ЦАРСТВВ СМЕКАЛКИ. КН. I.

34
Можно см'Ьло поручиться, что мало кому сразу нридетъ въ
голову piuieme этой простой съ виду задачи. Дтло въ томъ,
что въ данномъ случай приходится строить изъ спичекъ не
плоскую фигуру, а фигуру въ пространства.
PiiueHie.
Задачу решите, вглядевшись въ фиг. 15. На ней изобра-
изображено геометрическое тЬло—правильная трехгранная пирамида,
иначе—«тетраэдръ», ограниченный четырьмя равными между
собою равносторонними треугольниками. Положите на столъ
Фиг. 15.
3 спички такъ, чтобы онт, составили треугольникъ, загЪмъ по-
поставьте остальныя три снички такъ, чтобы онт> нижними своими
концами упирались въ углы лежащаго на столт> треугольника,
а верхними концами соединялись вм'Ьстъ1 надъ срединою его,—
и вы выполните то, что требуется задачей.
Ниже предлагается еще несколько особаго рода развлечешп
съ палочками или спичками, принадлежащихъ уже скорее къ
области задачъ-загадокъ или просто шутокъ.
Задача 14-я.
Положено пять спичекъ:
Прибавить къ нимъ еще пять спичекъ такъ, чтобы
получилось три!

35
Решение.
Спички прикладываются сл'Ьдующпмъ образолъ:
И
Образуется слово: три.
Приложить къ 4 спичкамъ 5 спичекъ такъ, чтобы
получилось сто:
Четыре спички положены такъ:
Прибавляя къ нимъ еще пять, положенных! поперчно, обра-
зуеыъ слово:
Знающимъ французскш языкъ, или обучающимся ему, можно
предложить такую задачу:
Приложить къ шести спичкамъ три такъ, чтобы
получилось восемь.
Шесть еппчекъ положено такъ:
Какъ приложены три спички, ясно изъ нижеследующей
фигуры:
То есть получается французское слово Н1ЧТ (восемь).
8*

36
Не хотите ли еще поупражняться въ нймецкомъ языки?
Тогда къ шести палочкаыъ
прибавьте еще семь палочекъ такъ, чтобы получить десять.
Приложите эти семь палочекъ такъ:
-IN
Вы получили немецкое слово ZEHN (десять).
Подбныхъ задачъ можно придумать сколько угодно. Полезны
он-Ь не въ математическомъ, а въ общеобразовательном! отно-
шеши.

Разныя задача.
Задача 15-я.
Вместо мелкихъ долей крупныя.
Разделить поровну 5 пряниковъ между б-ю маль-
мальчиками, не разрезая ни одного пряника на б равныхъ
частей.
PimeHie.
Если ыы изъ б данныхъ пряниковъ 3 разр^жень пополаыъ,
то получимъ 6 равныхъ кусковъ, каягдый изъ которыхъ и от-
дадиыъ ыальчикаыъ. Зат^шъ 2 остальныхъ пряника разрйжемъ
каждый на 3 равныхъ части и получимъ опять шесть равныхъ
кусковъ, которые и, отдадимъ мальчикашъ. Такимъ образоыъ за-
задача решена, при чемъ ни одного пряника не пришлось раз-
разрезать на 6 частей.
Подобныхъ задачъ можно, конечно, придумать, сколько
угодно. Такъ, наприм^рь. въ данной задач!' вместо чпселъ о и
6	могутъ быть поставлены следующая числа: 7 на 12, 7 на 6,
7	на 10, 9 на 10, 11 на 10, 13 на 10, 5 на 12, 11 на 12,
13 на 12, 9 на 14, 11 на 14, 13 на 14, 15 на 14. 17 на 14
и т. д.

38
Во всЬхъ задачахъ подобнаго рода требуется мелшя доли
привести въ болъ'е круиныя. Разнообразить ихъ можно всяче-
всячески, предлагая, наприм'Ъръ, таи'е вопросы:
Можно ли 5 листовъ бумаги разделить между восемью уче-
учениками, не д'Ьля ни одного листа на восьмыя доли?
Подобныя задачи очень полезны для отчетливаго и оыстраго
понимашя дробей.
Задача 16-я.
Сумма послЪдовательныхъ чиселъ.
Понятое обгь аринмстической nporpeccin.
Для нижесл-Ьдующей задачи можно пользоваться обыкновен-
обыкновенными игральными или игрушечными картами. Если бы ихъ не
нашлось, то не трудно изъ бумаги нарезать карточки п на-
нарисовать на нихъ карандашолъ или чернилами черные кру-
кружочки. На первой—одинъ кружочекъ. на второй - 2, на третьей—
3 и т. д. до десяти.
Теперь мы вполнъ1 подготовлены для практическаго piuie-
шя такой задачи:
Взято десять картъ (или сд-Ьланныхъ нами карто-
чекъ) одной масти, отъ туза до десятки. Вычислить,
сколько всего очковъ будетъ въ этихъ десяти кар-
1ахъ, не прикладывая последовательно очковъ первой
карты ко второй, этихъ двухъ къ третьей, этихъ трехъ
къ четвертой и т. д., т. е. не дгвлая длиннаго ряда
посл'Ьдовательныхъ сложенш.
Р-Ьшеше.
Дъ'ло сводится, значитъ, къ тому, чтобы быстро, безъ послъ'до-
вательнаго сложешя узнать сумму первыхъ десяти чиселъ (отт.
1 до 10). Веремъ десять картъ (напр, червей) отъ туза до де-
десятки и кладет, пхъ въ рядъ (фпг. 16): тузъ, двойка, тройка
и т. д. до десятки. Беремъ затймъ десять другихъ картъ
(напр, трефъ) и подкладываемъ пхъ подъ первымъ рядомъ, но
только въ обратномъ порядк^: десятка, девятка и т. д.

39
<?
?
¦9 <?
<?
¦г <?
?¦:
:¦:
+ .+
* +
+ +
+ +
+
+
+
+
+
+
®
Фиг. 16.
У насъ получается два ряда по десяти картъ или десять
столбцовъ по дв'Ь карты. Если сосчитать, сколько очковъ въ
каждомъ столбца, окажется, что въ каэюдомъ столбца по один-
одиннадцати очковъ. А всего въ десяти столбцахъ или въ двухъ
рядахъ картъ — десять разъ по одиннадцати очковъ, или 110
очковъ. Но въ обоихъ длинныхъ рядахъ, очевидно, по одинако-
одинаковому числу очковъ. Значитъ, сумма веЬхъ очковъ одного ряда
равна половинъ- 110, т. е. равна 55. Птакъ, въ десяти кар-
тахъ отъ туза до 10-ти 55 очковъ.
Не трудно видеть, что подобнымъ же образомъ, не прибе-
прибегая къ последовательному сложен1ю, мы можемъ вычислить
сумму любого ряда целыхъ последовательныхъ чиселъ до любого
даннаго числа. Напримъ'ръ, сумма всехъ чиселъ отъ 1 до 100
будетъ равна половине сто разъ шятаго 101, т. е. 5 050.
Задача 17-я.
Сборъ яблокъ.
На разстоянш аршина одно отъ другого лежатъ
въ рядъ сто яблокъ, и на аршинъ же отъ перваго
яблока садовникъ принесъ и поставилъ корзину. Спра-
Спрашивается, какой длины путь совершить онъ, если
возьмется собрать эти яблоки такъ, чтобы брать ихъ
последовательно одно за другимъ и каждое отдельно
относить вь корзину, которая все время стоитъ на
одномъ и толъ же

40
PinieHie.
Нужно подойти къ каждому яблоку и возвратиться обратно
еъ корзинъ1. Значитъ, число пройденныхъ аршпнъ будетъ равно
удвоенной суммф первыхъ ста чиселъ, или сто разъ взятому 101,
т. е. Ю 100 аршинъ. Это составить почти ровно семь верстъ!
Какъ видимъ, способъ собирашя довольно утомительный!
Задача 18-я.
Бой часовъ.
Сколько ударовъ въ сутки д-Ьлаютъ часы съ боеыъ?
Pimeme.
Наибольшее количество ударовъ, отбиваемыхъ обыкновен-
обыкновенными часами, есть 12. Задача сводится, значить, къ толу,
чтобы узнать сумму всЬхъ чиселъ отъ 1 до 12. А это, мы уже
знаемъ, будетъ половина двенадцать разъ взятыхъ тринадцати.
Но въ суткахъ два раза 12 часовъ, или 24 часа. Значитъ часы
сдт.лаютъ ровно 12 разъ пи 13 ударовъ, т. е. 156 ударовъ
A2 X 13 = 156).
Если же часы отбиваютъ также и получасы, то сколько всего
ударовъ они дйлаютъ въ сутки? Полагаю, что вы безъ труда
ответите на этотъ вопросъ.
Задача 19-я.
Продажа яблокъ.
Крестьянка принесла на базаръ для продажи кор-
корзину яблокъ. Первому покупателю она продала поло-
половину всЬхъ своихъ яблокъ и еще полъ-яблока; вто-
второму — половину остатка и еще полъ-яблока, тре-
третьему—половину остатка да еще полъ-яблока и т. д.
Когда же пришелъ шестой покупатель и купилъ у
нея половину оставшихся яблокъ и полъ-яблока, то

41
оказалось, что у него, какъ и у остальныхъ покупа-
покупателей, всЬ яблоки ггблыя, и что крестьянка продала
веб свои яблоки. Сколько яблокъ она принесла на
базаръ?
Pimeme.
Задача решается тотчасъ, если сообразить, что последнему
(шестому) покупателю досталось одно цъугое яблоко. Значить:
пятому досталось 2 яблока, четвертому 4, третьему 8 и т. д.
Всего же яблокъ было
8 1 -I r> I On 	 CO
~~\~ J-D ~\-~ v?i	DO-
Крестьянка принесла на базаръ 63 яблока.
Задача 20-я.
Воришка съ яблоками.
Предыдущую задачу предлагаютъ иногда въ такомъ болЪе
простомъ, но забавномъ вархантй:
Воришка залЗззъ въ чужой садъ и набралъ яблокъ.
Подкрался сторожъ, поймалъ его, сосчиталъ наворо-
ванныя яблоки, но, въ виду слезъ и раскаяшя воришки,
говоритъ:
—	Ладно, я отпущу тебя, только съ уговоромъ:
отдай мн"Ь половину всЬхъ яблокъ да еще полъ-
яблока.
Ни у сторожа, ни у воришки ножа не было, да онъ
и не понадобился. Воришка отдалъ сторожу столько
яблокъ, сколько тотъ потребовалъ, и пустился бежать
безъ оглядки: да на-б'Ьду наткнулся на другого сторожа.
Этотъ тоже сосчиталъ яблоки у воришки и говоритъ:
—	Отдай половину да еще полъ-яблока.
Пришлось поделиться и съ этимъ сторожемъ, и
опять безъ ножа.

42
У самаго забора воришку остановилъ третчй сто-
рожъ. И этотъ отобралъ у него половину яблокъ да
еще полъ-яблока. Наконецъ воришка уже перелЪзъ
черезъ заборъ и вздохнулъ было свободно, какъ его
схватилъ четвертый сторожъ.
— Отдавай половину яблокъ да еще полъ-яблока!
Воришка обшарилъ карманы и нашелъ только одно
яблоко. Нечего д-Ьлать,—пришлось отдать сторожу
последнее яблоко, а самому уйти, не солоно хлебавши.
Не сумеете ли узнать, сколько яблокъ набралъ
воришка въ саду?
Pimeirie.
Послй предыдущей задачи ответить, что воришка набралъ
было 16 яблокъ, не трудно.
Задача 21-я,
Каждому свое.
Шли два крестьянина, и было у нихъ три одина-
коваго в-вса и стоимости хлъ-ба: у одного два хлъба,
а у другого одинъ. Пришло время объдать. Они сбли
и достали свои хл-вбы. Тогда къ нимъ подошелъ
третш крестьянинъ и попросилъ поделиться съ нимъ
хл-вбомъ, обЬщая заплатить за свою долю. Ему дали
одинъ хлЪбъ, а онъ уплатил?> 15 коп. Какъ должны
поделить два первыхъ крестьянина эти деньги?
Pimeirie.
Тотъ, кто отдалъ свой второй х.тЬбъ, очевидно, и во.г5ьметъ
себъ1 всЬ деньги.

43
Задача 22-я.
Какъ поделить?
Два путника сЬли обедать. У одного было 5 лепе-
шекъ, а у другого 3- ВсЬ лепешки были одинаковой
стоимости. Подошелъ къ нимъ третш путникъ, не
имъ-вшш чего ъхть, и пред ложи лъ пообедать этими
лепешками сообща, обещая уплатить имъ деньги за
ту часть лепешекъ, которая придется на его долю.
Пообъ\давъ, онъ заплатилъ за съЬденныя имъ лепешки
8 коп-Ьекъ. Спрашивается, какъ первые два путника
должны разделить эти деньги?
Piineirie.
По условш задачи выходить, что веЬ лепешки стоили
24 коп., такъ иакъ расходъ каждаго путника равеыъ 8 коп.
Отсюда слт>дуетъ, что каждая лепешка стоить 3 коп. Итакъ,
тотъ путыикъ, который далъ б лепешекъ, издержалъ 16 коп.,
и если вычесть отсюда 8 коп. за лепешки, съ'Ьденныя имъ
самимъ, то выходитъ, что ему нужно изъ денегь третьяго пут-
путника получить 7 коп. Разсуждая точно такъ же, находимъ, что
второй путнпкъ имЪлъ лепешекъ на 9 коп., и что ему прихо-
приходится пзъ денегъ третьяго получить 1 коп.
Задача 23-я.
За кашу.
Два человека варили кашу. Одинъ далъ для этого
2 фунта крупъ, а другсш з ФунТа- Когда каша была
готова, подошелъ трета! человЬкъ и попросилъ позво-
леьпя съьсть съ ними кашу за плату. ПослЪ -Ьды онъ
уплатилъ 5 коп. Какъ разделили эти деньги варивиле
кашу?

44
Pirn erne.
Решается задача совершенно подобно предыдущей. И деньги
поделены такъ: одинъ получилъ 4 коп., а другой 1 коп. (Какъ
и въ предыдущей задачи, секретъ заключается въ томъ, что
сразу чаще всего говорятъ: «Одинъ получилъ 2 коп., а другой
3	коп.).
Задача 24-я.
Кто правъ?
Два крестьянина, Никита и Павелъ, работали вмести
въ лесу и сЬли завтракать. У Никиты было 4 ле'
пешки, у Павла 7- Тутъ къ крестьянамъ подошелъ
охотникъ.
Вотъ, братцы, заблудился въ лесу, до деревни
далеко, а Ъсть смерть хочется: поделитесь со мною
хлт>бомъ- солью!
—	Ну, что-жъ, садись; чбмъ богаты, т"Ьмъ и рады,—
сказали Никита и Павелъ.
и лепешекъ были разделены поровну на троихъ.
После завтрака охотникъ пошарилъ въ карманахъ,
нашелъ серебряный гривенникъ и медную копейку и
отдаетъ крестьянамъ:
—	Не обезсудьте, братцы, больше при себе ничего
н-Ьтъ! Поделитесь, какъ знаете!
Охотникъ ушелъ, а крестьяне заспорили. Никита
говорил ъ:
—	По-моему, деньги надо разделить поровну 1..^
А Павелъ ему возражалъ:
—	За и лепешекъ и копЪекъ. На лепешку при-
приходится по копь-штЬ. У тебя было 4 лепешки, тебе
4	копейки, у меня 7 лепешекъ, мне 7 копеекъ!..
Кто изъ нихъ сделалъ правильный расчетъ?

46
PiineHie.
И Никита и Павелъ делаютъ неправильный расчетъ. 11 ле-
пешекъ разделены на троихъ поровну: значить, каждый съ^лъ
"/з A1 третей), т. е. 32/3 лепешки.
У Павла было 7 лепешекъ, онъ съЬаъ 32/з; следовательно,
охотнику отдалъ 3*/з лепешки, или 10/з A0 третей) лепешки.
Никита изъ 4-хъ своихъ лепешекъ съелъ тоже 32/з; сле-
следовательно, охотнику отдалъ */з (одну треть) лепешки.
Охотникъ съелъ 11 третей лепешки и заплатилъ за нихъ
11 коп^екъ; значить за каждую треть лепешки онъ даль по
копейке. У Павла онъ взялъ 10 третей, у Никиты—одну
треть: следовательно, Павелъ долженъ взять себе серебряный
гривенникъ, а Никита—медную копейку.
Задача 25-я.
Фальшивая бумажка.
Одинъ господинъ зашелъ въ магазинъ, чтобы ку-
купить себт> шляпу. Выбранная имъ шляпа стоила ю ру-
рублей. Онъ далъ хозяину 2 5-ти-рублевый кредитный
билетъ и попросилъ сдачу. У хозяина не было мел-
кихъ денегъ. Поэтому онъ послалъ данный ему би-
билетъ для размена въ сосЬдшй магазинъ. Тамъ его раз-
разменяли. Хозяинъ, получивъ мелшя деньги, далъ поку-
покупателю сдачу, и тотъ ушелъ. Спустя некоторое время
прибежали изъ магазина, гд"Ь производился разм"Ьнъ,
и заявили, что данный имъ кредитный билетъ—фаль-
билетъ—фальшивый. Хозяинъ шляпнаго магазина взялъ 25-ти-ру-
блевый фальшивый кредитный билетъ обратно, уничто-
жилъ его и отдалъ разменявшему магазину 25 рублей
настоящими деньгами. Спрашивается, кто и сколько
потерялъ при этомъ денегъ?

Piiiieirie.
Очень часто путаются при решети этой задачи и даютъ
различные отвиты. Pimeflie, однако, одно, и притоыъ оно
очень просто: потерялъ только хозяинъ шляпнаго магазина и
потерялъ ровно 25 рублей.
Задача 26-я.
Велосипедисты и мухи.
Два города А и В находятся на разстоянш
верстъ чругъ отъ друга. Точно въ одинъ день,
часъ, минуту и секунду изъ этихъ городовъ выЬз-
жаютъ другъ другу навстречу два велосипедиста и
мчатся, не останавливаясь, со скоростью 5° верстъ
въ часъ. Но вагбстЬ съ первымъ велосипедистомъ изъ
города А вылетаетх муха, пролетающая въ часъ
юо верстъ. Муха опережаетъ перваго велосипедиста,
летитъ навстречу другому, выехавшему изъ В. Встръ1-
тивъ этого, она тотчасъ поворачиваетъ назадъ къ
велосипедисту А. Повстръ'чавъ его, опять летитъ
обратно навстречу къ велосипедисту В и такъ повто-
ряетъ свое леташе взадъ и впередъ до той поры, пока
велосипедисты не съехались. Тогда она успокоилась и
свла одному изъ велосипедистовъ на шапку. Сколько
верстъ пролетвла муха?
Р"Ьшеше.
Очень часто при р^шеши этой задачи пускаются въ раз-
ныя «тошпя» и сложныя выкладки и соображешя, не давъ
ceoi труда уяснить, что муха, не останавливаясь, летала ровно
3 часа, а следовательно пролетала 300 верстъ.

47
Задача 27-я.
Портной.
Портной илгЬетъ кусокъ сукна въ тб аршинъ, отъ
котораго онъ отр'Ьзаетъ ежедневно по 2 аршина. По
истечешн сколышхъ дней онъ отръ'жетъ послЬднш
кусокъ?
P'bineHie.
Отвить таковъ: «По истеченш 7 дней», а не восьми, какъ,
можетъ быть, скажетъ иной.
Задача 28-я.
Гусеница.
Въ шесть часовъ утра въ воскресенье гусеница
начала всползать на дерево. Въ течете дня, т. е. до
6 часовъ вечера, она всползала на высоту 5 аршинъ,
а въ течеше ночи спускалась на 2 аршина. Въ какой
день и часъ она всползетъ на высоту 9 аршинъ?
РгЬшеше.
Часто при ръ-шенш подобныхъ задачъ разеуждаютъ такъ:
гусеница въ сутки, т. е. въ 24 часа, всползетъ на б аршинъ
безъ 2. Значить, всего въ сутки она всползаетъ на 3 аршина.
Следовательно, высоты 9 аргаинъ она достигнетъ по иггеченш
трехъ сутокъ, т. е. она будетъ на этой высотЪ въ среду въ
6 часовъ утра.
Но такой отв^тъ, очевидно, нев-Ьренъ: въ конц-Ь вторыхъ
сутокъ, т. е. во вторникъ въ 6 часовъ утра, гусеница будетъ
на высотъ1 6 аршинъ; но въ этотъ же день, начиная съ шестп
часовъ утра, она до шести часовъ вечера можетъ всползти еще
на б аршинъ. Следовательно, на высотъ 9-ти аршинъ, какъ
легко разечитать, она окажется во вторникъ въ 1 часъ 12 ми-
минуть пополудни.

48
Задача 29-я.
Разнгёнъ.
Какъ разменять одинъ 25-ти-рублевый кредитный
билетъ на ю кредитныхъ билетовъ?
Pinieme.
Одинъ 10-ти-рублевый, одинъ 5-ти-рублевый, одиыъ 3-хъ-
рублевый и 7 рублевыхъ:
(Ю + б + 3 + l + l-fl + H-l-f 1-Ь1 = 2б).
Читателю не трудно будетъ составить не одну задачу, по-
подобную этой. Известная (и не одна только практическая) польза
ихъ неоспорима.
Задача 30-я.
Тоже иными знаками.
Написать юо шестью одинаковыми цифрами.
Pimeiiie.
Зам-Ьчаше.
Задача, очевидно, можетъ видоизменяться всячески, и же-
лаюпдй можетъ придумать не одну задачу, подобную этой.
Нижеследующее даетъ еще образцы подобныхъ же задачъ.
Задача 31-я.
Написать число 9 поередствомъ десяти различныхъ
цифръ (девяти значащихъ и одной незначащей).
PiiueHie.
Число девять можетъ быть представлено въ виде частнаго
отъ дйлетя одного пятизначнаго числа на другое, при чемъ
цифры обоихъ чиселъ будутъ различны. Дадимъ 6 такихъ
piinemfl:
97524 95823 95742 75249 58239 67429
10836 ' 10647' 10638 ' 08361 ' 06471 ' 06381 '

49
Задача 32-я.
Изобразить число юо посредствомъ девяти различ-
ныхъ значащихъ цифръ.
Ptnieirie.
Задача имъ-етъ много разныхъ р&пенш. Дадимъ изъ нихъ
татя:
5742	7524	5823	1578	2148
У1	У1	91	У*	УЬ
638 ' У1~83Т' 91~647~' У*~263~' УЬ 537 '
96 Ш8 96
y6W 96
Вотъ еще ръ-шешя, содержания знакъ -\- :
100-75+ 24 +~+1
76
100
И т. д. Сюда же можно отнести и такое pimeme данной
задачи въ цтлыхъ числахъ:
+
46
- 37
15
98 или:
+ 2
100
56
~*~ 4
3
, 71
1 29
100
Какъ видимъ, въ предпослгЬднемъ рйшеши допущенъ ьйко-
рый «фокусъ». Сначала изъ 6-ти разныхъ цифръ составлено
три числа, дающихъ въ суммъ1 98 — число, опять-таки соста-
составленное изъ двухъ новыхъ цифръ, п къ нему прибавляется
число, изображенное недостающей цифрой 2. Въ сумм^ полу-
получается требуемое число 100. Подобно же составлено и послед-
последнее pimeme.
ВЪ ЦАРСТВ» СМЕКАЛКИ. КН. I.	4

60
Задача 33-я.
Зангёчетельное число.
Некоторое число оканчивается на 2. Если же эту
его последнюю цифру переставить на первое мт>сто,
то число это удвоится. Найти это число.
РЪшете.
Такъ какъ при перепесеши цифры 2 на первое м-Ьсто число
удваивается, то предпоследняя цифра его должна быть 4, пред-
предшествующая этой должна быть 8, предъ этой 6, предъ этой 3,
затймъ 7, заттзмъ 4, заттшъ 9 и т. д. Разсуждая подобный,
образомъ, находимъ, что искомое число есть
105 263 167 891736 842.
ЗавгЬчаше. npaBEflbHie будетъ сказать, что искомое число
состоитъ изъ ряда «nepiodoez», составленныхъ найденнымъ
числомъ.

Дшлежа пра затруднительны^
обстоятельства^.
Задача 34-я.
ДЪпежъ между тремя.
Три лица должны поделить между собой двадцать
одинъ боченокъ, изъ которыхъ 7 боченковъ полныхъ
вина, 7 полныхъ наполовину и 7 пустыхъ. Спраши-
Спрашивается, какъ они ыогутъ поделиться такъ, чтобы ка-
каждый им'Ьлъ одинаковое количество вина и одинако-
одинаковое количество боченковъ, при чемъ переливать вино
изъ бачснка въ боченокъ нельзя.
Р-Ьшеще.
Предполагается, конечно, что веЬ боченки—полные, полные
наполовину и пустые—равны между собою. Ясно, что каждый
долженъ получить по семи боченковъ. Подсчитаемъ теперь, сколько
же вина должно щнйтись на долю каждаго. Есть семь бочен-
боченковъ полныхъ и семъ пустыхъ. Если бы можно было отъ ка-
каждаго полнаго боченка отлить половину въ пустой, то полу-
полупилось бы 14 наполовину полныхъ боченковъ; прибавляя къ нимъ
еще 7 имеющихся наполовину полныхъ, мы получили бы
всЬхъ 21 полпыхъ наполовину боченковъ. Значптъ, на долю
4*

Б2
каждаго должны нргётись по сети наполовину полныхъ бочен-
ковъ вина. Сообразивъ это, иолучаемъ, что, не переливая вина,
можно поделить все поровну такъ:
Первое лицо	2
Второе » 	 2
Третье » 	 3
А вотъ и другое рФшеше:
Полные
бочонки.
3
3
1
Полные на-
3
3
1
Полные на-
пол	б0.
1
1
б
2
2
3
Пустые
боченкц.
3
3
1
Задача 35-я.
Д-Ёлежъ между двумя.
Двое должны разделить поровну восемь ведеръ вина,
находящагося въ восьмиведерномъ же боченк^. Но у
нихъ есть еще только два пустыхъ боченка, въ одинъ
изъ которыхъ входить 5 ведеръ, а въ другой—з ведра.
Спрашивается, какъ они могутъ разделить это вино,
пользуясь только этими тремя боченками.
Р'Ьшеше.
Задача эта, какъ и eci ей подобный, им'Ьетъ 2 решетя,
и pimeHifl эти состоятъ, очевидно, въ томъ, что изъ полнаго
восьмиведернаго боченка нужно отливать вино въ пустые бо-
ченки, изъ этихъ переливать опять п т. д.
Дадимъ эти решетя въ вид1! 2-хъ таблицъ, которыя по-
казываютъ, сколько въ каждомъ боченк1! остается вина поел1!
каждаго переливашя.

БЗ
»
»
' Р'Ьшеше 1-е.
Б о ч	е н к	и.
8-ведерн. б-ведерн.	3-видерн.
До переливашя — 8	О	О
" " 1-го пер. — 3	5	О
2-го > — 3	2	3
3-го » — 6	2	О
» 4-го » — 6	0	2
» б-го > — 1	5	2
>	6-го » — 1	4	3
» 7-го » — 4	4	О
Р-Ьшеше 2-е.
Б о ч е н к и.
8-ведерн. 5-ведерн.	3-ведерн.
До переливашя — 8	О	О
Послй 1-го пер. — б	О	3
>	2-го > — б	В	О
>	3-го » — 2	3	3
>	4-го » — 2	б	1
» 5-го » — 7	О	1
» 6-го > — 7	1	О
» 7-го » — 4	1	3
» 8-го » — 4	4	О
Вотъ еще подобныя же задачи:
Задача 36-я.
Полный боченокъ содержитъ i6 вед., а пустые-
п и б вед.
16-вед.
16
5
5
11
11
0
1-е р-Ьшеше.
11-вед.
0
11
б
5
0
11
В-вод.
0
0
6
0
5
б
2-е
16-вед.
16
10
10
4
4
15
р-Ьшеше.
11-вед.
0
0
6
6
11
0
6-вед.
0
6
0
6
1
1

64
lG-вед.
0
6
6
12
12
1
1
7
7
13
13
2
2
8
1-е piinenie.
11-БОД.
10
10
4
4
0
11
9
9
3
3
0
11
8
N
0 вод.
6
0
6
0
4
4
6
0
6
0
3
3
6
0
2-е
10-вед.
15
9
9
3
3
14
14
8
8
pliiucnie.
11-вод.
1
1
7
7
11
0
2
2
8
E-11ОД
0
6
0
6
2
2
0
6
0
Задача 37-я.
Полный боченокъ заключаетъ 42 ведра, а пустые-
по 27 и 12 вед.
42-вед.
42
16
16
27
27
39
39
12
12
24
24
36
36
9
9
21
1-е ръшеню.
27-вед.
0
27
16
16
3
3
0
27
18
18
6
6
0
27
21
21
12-вед.
0
0
12
0
12
0
3
3
12
0
12
0
6
6
12
0
2-е
42-вед.
42
30
30
18
18
6
6
33
33
21
21
р-Ьшеше.
27-вед.
0
0
12
12
24
24
27
0
9
9
21
12-вед
0
12
0
12
0
12
9
9
0
12
0

Задача 38-я.
Мужикъ и чортъ.
Шелъ мужикъ и думалъ: «Эхъ-ма! жизнь моя горь-
горькая! ЗаЪла нужда совсЬыъ! Вотъ въ карман-Ь только
нисколько грошей м-Ьдныхъ болтается, да и гЬ сейчасъ
нужно отдаль. И какъ это у другихъ бываетъ, что на
всягая свои деньги они еще деньги получаютъ? Гля-
Глядишь: на рубль зашибаетъ онъ два, на два—четыре,
на четыре—восемь, и все богатЪетъ да богагветъ...
Вотъ ежели бы, къ примвру, и мн'Ь такъ! Изъ денегъ,
что у меня въ карманЪ, сделалось бы сейчасъ вдвое,
а черезъ пять минутъ изъ этихъ еще вдвое, да еще
черезъ пять минутъ опять вдвое, и такъ пошло бы и
пошло... Скоро бы богатымъ сдЬлался... Такъ нЪтъ!
Не видать мнЪ такого счастья! Никто не поможетъ.
Эхъ! Право, хоть бы чортъ какой помочь захотЪлъ,
такъ и то бы я не отказался»...
Только успЪлъ это подумать, какъ, глядь, а чортъ
передъ нимъ и стоитъ.
—	Что-жъ,—говоритъ,—если хочешь, я тебЬ по-
помогу. И это совсЪмъ нетрудно. Вотъ видишь этотъ
мостъ черезъ рЪчку?
—	Вижу!—говоритъ мужикъ, а самъ заробълъ.
—	Ну такъ стоитъ тебтэ перейти только черезъ
мостъ,—и у тебя будетъ вдвое больше денегъ, чъ-мъ
есть. Перейдешь назадъ, опять станетъ вдвое больше,
ч-вмъ было. И каждый разъ, какъ ты будешь перехо-
переходить мостъ, у тебя будетъ ровно вдвое больше денегъ,
чбмъ было до этого перехода.
—	Ой-ли?—говоритъ мужикъ.
—	В-врно слово!—ув-вряетъ чортъ.—Только, чуръ,
уговоръ! За то, что я теб-b устраиваю такое счастье,
ты каждый разъ, перейдя черезъ мостъ, отдавай

56
пи 24 копейки за добрый ажЬтъ. Иначе ничего не
будетъ.
— Ну, что же, это не бъ\ца! говоритъ мужикъ.—
Разъ деньги все будутъ удваиваться, такъ отчего же
24 копЪекъ теб? каждый разъ не дать? Ну-ка попро-
буемъ!
Перешелъ онъ черезъ мостъ одинъ разъ, сосчи-
талъ деньги... Что за диво? Действительно, стало вдвое
больше. Бросилъ онъ 24 копМки чорту и перешелъ
черезъ мостъ второй разъ. Опять денегъ стало вдвое
больше, чъ'мъ передъ этимъ. Отсчиталъ онъ 24 ко-
пМки, отдалъ чорту и перешелъ черезъ мостъ третш
разъ. Денегъ стало снова вдвое больше. Но только и
оказалось ихъ ровнехонько 24 коп., которыя по уго-
уговору... онъ долженъ былъ отдать чорту. Отдалъ онъ
ихъ, и остался безъ копМки.
Ударилъ мужикъ о полы и началъ судьбу свою
клясть. А чортъ захохоталъ и съ глазъ сгинулъ.
Сколько же, значитъ, у мужика сначала денегъ въ
карман-Ь было?
Р-Ьшеше.
Задача разрешается очень легко, если только ръшеше ея
начать съ конца, принявъ во внимайте, что послй третьяго
перехода у крестьянина оказалось ровно 24 копейки, которыя
онъ долженъ былъ отдать.
Въ самомъ д^ле, если послй послт,дняго перехода у кре-
крестьянина оказалось ровно 24 коп., то, значитъ, передъ этимъ
переходомъ у него было 12 коп. Но эти 12 коп. получились
после того, какъ онъ отдалъ 24 коп.; значитъ. всего денегъ
у него было 36 коп. Следовательно, второй переходъ онъ на-
началъ съ 18-ю коп., а эти 18 коп. получились у него после
того, какъ онъ въ первый разъ перешелъ мостъ и отдалъ 24 коп.
Значитъ, всего после перваго перехода у него было денегъ 18
да 24 коп., т. е. 42 копейки. Отсюда ясно, что передъ т^мъ,

Б7
какъ первый разъ вступить на мостъ, крестьянипъ имгЬлъ въ
карман^ 21 копейку собственныхъ денегъ.
Прогадалъ крестьянинъ! Видно, что на чужой сов'Ьтъ всегда
надо еще свой умъ им^ть.
Зада а 39-я.
Крестьяне и картофель.
Шли три крестьянина и зашли на постоялый дворъ
отдохнуть да пообедать. Заказали хозяйка сварить
картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель,
но не стала будить постояльцевъ, а поставила миску
съ ъ-дою на столъ и ушла. Проснулся одинъ крестья-
крестьянинъ, увидЪлъ картофель и, чтобы не будить товари-
товарищей, сосчиталъ картофель, съЪлъ свою долю и снова
заснулъ. Вскоре проснулся другой; ему невдомекъ было,
что одинъ изъ товарищей уже съъугъ свою долю;
поэтому онъ сосчиталъ весь оставшийся картофель,
сътэлъ третью часть и опять заснулъ. Послъ- него
проснулся третШ; полагая, что онъ проснулся первый,
онъ сосчиталъ оставппйся въ чашкъ- картофель и
съъ\лъ третью часть. Тутъ проснулись его товарищи
и увидЪли, что въ чашкЪ осталось 8 картофелинъ.
Тогда'только объяснилось д-kro. Разочтите: сколько
картофелинъ подала на столъ хозяйка, сколько съъугь
уже и сколько имт^етъ право еще съъхть каждый,
чтобы всЬмъ досталось поровну?
Р-ЬшеМе.
Tperifl крестьяшшъ оставилъ для товарищей 8 картофелинъ,
т. е. каждому но 4 штуки. Значить, и самъ онъ съ^лъ 4 кар-
картофелины. Поел1! этого легко сообразить, что 2-й крестьянинъ
оставшгь своимъ товарищамъ 12 картофелинъ,—но 6-ти на
брата.—значитъ и самъ съ'Ълъ 6 штукъ. Отсюда слйдуетъ, что

68
первый крестьяне нъ оставдлъ товарищамъ 18 картофеля нъ,—
по 9 штукъ на каждаго, значитъ и самъ сът,лъ 9 штукъ.
Итакъ, хозяйка подала на столъ 27 картофелинъ, и на
долю каждаго, поэтому, приходилось по 9 картофелинъ. Но 1-й
крестьянинъ всю свою долю съ4лъ. Следовательно, взъ 8-ми
оставшихся картофелинъ приходится на долю второго 3, а на
долю третьяго б штукъ.
Задача 40-я.
Три игрока.
Три игрока условились сыграть три партш такъ,
чтобы проигравгшй партю давалъ каждому изъ осталь-
остальныхъ двухъ игроковъ по столько денегъ, сколько у
каждаго изъ выигравшихъ имеется. Сыграли три nap-
Tin, при чемъ оказалось, что проигрывали всЬ пооче-
поочередно, и noorfe этого у каждаго стало по 24 рубля. По
сколько рублей было у каждаго передъ началомъ игры?
Р'Ьшеше.
Трейй игрокъ проигралъ третью парию и удвоилъ коли-
количество денегъ каждаго пзъ остальныхъ двухъ, поели чего у всЬхъ
стало по 24 рубля. Следовательно, после второй игры, про-
проигранной вторымъ игрокомъ, они имели: первый 12 руб., вто-
второй 12 руб., третШ 48 рублей. Но передъ этпиъ первый игрокъ
и третШ удвоили свои деньги, такъ какъ проигралъ второй.
Значитъ, раньше первый имелъ 6 р., а трепй 24 р.; второй
же игрокъ имъ отдалъ изъ своихъ денегъ 30 руб. Итакъ, послъ1
первой игры они имели: первый 6 руб., второй 42 руб., трети
24 руб. Но передъ этимъ проигралъ первый, а второй и третШ
игроки, значитъ, пм4ли только по половине выгаеуказанныхъ
суымъ. Следовательно, первый, проигравъ, отдалъ имъ изъбывшихъ
у него денегъ 33 р. Итакъ, предъ началоыъ игры игроки имели:
первый 39 рублей, второй 21 рубль, трещи 12 рублей.

Задача 41-я.
Два пастуха.
Сошлись два пастуха, Иванъ и Петръ. Иванъ и
говоритъ Петру: «Отдай-ка ты мнЪ одну овцу, тогда
у меня будетъ овецъ ровно вдвое больше, чт^мъ у
тебя!» А Петръ ему отв-Ьчаетъ: «НЪтъ! лучше ты мн'Ь
отдай одну овцу,—тогда у насъ будетъ овецъ поровну!»
Сколько же было у каждаго овецъ?
Задача старинная и ыногимъ известная. Мнопе знаютъ
даже и отвт,тъ на ату задачу. Но какъ добраться до этого
отвъ-та, какъ понятно для всякаго решить ее, знаютъ, надо
полагать, немнопе. Попробуемъ добраться до этого ртяпешя
Р^шеше.
Ясно, что овецъ больше у перваго пастуха, у Ивана. Но
на сколько у него больше, чъ-мъ у Петра'? Уяснимъ это.
Еслп Иванъ отдастъ одну овцу не Петру, а кому-либо дру-
другому, то станетъ ли у обоихъ пастуховъ овецъ поровну? Нтлъ,
потому что поровну у нихъ было бы только въ томъ случай,
еслп бы эту овцу нолучьлъ Петръ. Значитъ, если Иванъ отдастъ
одну овцу не Петру, а третьему лицу, то у него все-таки бу-
будетъ больше овецъ, чгЬмъ у Петра, но на сколько больше?
Ясно, что на одну овцу, потому что, еслп прибавить теперь къ
стаду Петра одну овцу, то у обоихъ станетъ поровну. Отсюда
агЬдуетъ, что пока Ивант, не отдастъ никому ни одной своей
овцы, то у него въ стад1! иа дв4 овцы больше, чЗшъ у Петра.
Теперь примемся за второго пастуха, за Петра. У него,
какъ мы нашли, на двт. овцы меньше, чгЬмъ у Ивана. Значить,
если Петръ отдастъ, скажемъ, одну свою овцу не Ивану, а
кому-либо иному, то тогда у Ивана будетъ на три овцы больше.
ч'Ьмъ у Петра. Но пусть эту овцу получитъ именно Иванъ, а
не третье лицо. Ясно, что тогда у него будетъ на четыре овцы
больше, ЧТ)МЪ осталось у Петра.

. 60
Но задача говоритъ, что у Ивана въ этомъ случай будетъ
ровно вдвое больше овецъ, ч-Ьмъ у Петра. Стало быть, четыре
и есть именно то число овецъ, которое останется у Петра, если
онъ отдастъ одну овцу Ивану, у котораго получится восемь
овецъ: А до предполагаемой отдачи, значить, у Ивана было 7,
а у Петра 5 овецъ.
Длинный рядъ разсуждешй нужно употребить иногда для
Р'Ьшешя съ виду простой задачи.
Задача 42-я.
Недоум'Ъшя торговокъ.
Дв'в торговки сидЬли на базаръ- и продавали яблоки.
Одна продавала за одну копъ-йку два яблока, а другая
за 2 копМки з яблока.
У каждой въ корзинъ- было по 30 яблокъ, такъ
что первая разсчитывала выручить за свои яблоки
15 копвекъ, а вторая 2О коп. Об-в вмъхтъ1, значитъ,
он-в должны были выручить 35 коп-векъ. Смекнувъ
это, торговки, чтобы не ссориться да не перебивать
другъ у друга покупателей, решили сложить свои
яблоки вмйст-Б и продавать ихъ сообща, при чемъ он-fe
разсуждали такъ: «Если я продаю пару яблокъ за
копМку, а ты—три яблока за двъ1 копъ-йки, то, чтобы
выручить свои деньги, надо намъ, значитъ, продавать
пять яблокъ за три коп-бйки!»
Сказано, сдъ\шно. Сложили торговки свои яблоки
вмъхт'Б (получилось всего бо яблокъ) и начали про-
продавать по з копМки 5 яблокъ.
Распродали и удивились: оказалось, что за свои
яблоки он-Ь выручили 36 коп-векъ, т. е. на копейку
больше, чъ-мъ думали выручить! Торговки задумались:
откуда взялась «лишняя» копъйка, и кому изъ нихъ
сл-вдуетъ ее получить? Да и какъ, вообще, имъ под-в-
лить теперь все вырученныя деньги?
И въ самомъ д-Ьл-в, какъ это вышло?

61
Пока эти двъ~ торговки разбирались въ своей не-
неожиданной прибыли, двгЬ друпя, прослышавъ объ этомъ,
тоже ръшили заработать лишнюю копМку.
У каждой изъ нихъ было тоже по 30 яблокъ, но
продавали онЪ такъ: первая давала за одну копЪйку
пару яблокъ, а вторая за копМку же давала з яблока.
Первая после продажи должна была, значитъ, вы-
выручить 15 копЬекъ, а вторая —¦ го копЪекъ; обЪ же
влгЬстЪ выручали, следовательно, 25 копЬекъ. Онъ1 и
порушили продать свои яблоки сообща, разсуждая со-
всЬмъ такъ, какъ и тЪ дв'Ь первыя торговки: если,
молъ, я продаю за одну копМку пару яблокъ, а ты
за коггЬйку продаешь три яблока, то, значитъ, чтобы
выручить свои деньги, намъ нужно каждыя пять яблокъ
продавать за 2 копъйки.
Сложили он"Ь яблоки вмъ'ст'Ь, распродали ихъ по
2 копейки за каждыя пять штукъ, и вдругъ... оказа-
оказалось, что онЪ выручили всего 24 коггбйки, значитъ,
недовыручили цЪлую копЪйку.
Задумались и эти торговки: какъ же это могло слу-
случиться? и кому изъ нихъ придется этой копМкой по-
поплатиться?
Pinieme.
Недоум-Ьтя торговокъ разрешаются очень быстро, если со-
образимъ, что, сложивъ свои яблоки вм^ст^ и ыачавъ ихъ про-
продавать сообща, он-Ь, сами того не замечая, продавали ихъ уже
по другой ц-Ьн-Ь, ч-Ьмъ раньше.
Возьмемъ, для примера, двухъ посл'Ьднихъ торговокъ и раз-
смотриыъ, что oui, въ сущности, сделали.
Пока первая и вторая думали продавать свои яблоки от-
отдельно, то ц"Ьна одного яблока у первой была полкопййки, а
у второй треть копейки. Когда же онт. сложились и начали
продавать каждыя пять яблокъ по 2 копМки, то цйна каждаго
2
яблока стала уже — копейки.

62
Значитъ, первая торговка вей свои яблоки продала не по
полкоггЬйк'Ь штуку, а по ~'ь копФйкй л на каждоыъ яблок-Ь те-
1	/1 2 5 — 5 1\
ряла, значить, по-- копейки ( —— — —	==Тп ) ' а на
всЬхъ тридцати яблокахъ она потеряла 3 коп.
Вторая же торговка, наоборотъ, вошедгаи въкомпатю, выигры-
г л.	1	* = /2 1 6 —б
вала на каждоыъ яблокъ по — копъики ( — — - =
16	\5 3 - 15 ~15
а на вс4хъ 30 яблокахъ выиграла, значить, 2 коп.
Первая потеряла 3 коп., а вторая выиграла только 2 коп.
Въ общемъ, все-таки, копейка потеряиа.
Путемъ подобныхъ же разеуждешй легко узнать, почему у
первыхъ двухъ торговокъ оказалась «лишняя копейка».
А какъ теперь онгЬ должны поделить вырученныя деньги,
разеудите-ка сами на основаши предыдущихъ задачъ, гд4 гово-
говорилось о правильныхъ дт>лежахъ денегъ.
Задача 43-я.
Какъ гусь съ аистомъ задачу решали.
ЛетЪла стая гусей, а навстречу имъ летитъ одинъ
гусь и говорить: «Здравствуйте, сто гусей!» А перед-
Н1Й старый гусь ему и отв'Ьчаетъ: «НЬтъ, насъ не
сто гусей! Вотъ еслибъ насъ было еще столько, да
еще полстолько, да еще четверть столько, да ты, гусь,—
то было бы сто гусей, а теперь... Вотъ и разечитай-ка,
сколько насъ?
Р-Ьшеше.
Полет'Ьлъ одиноки гусь дальше п задумался. Въ самомъ
д4лт>, сколько же товарищей-гусей онъ встр4тилъ? Думалъ оиъ,
думалъ и съ какой стороны ни принимался,— никакъ не могъ
этой задачи ръшить. Вотъ увид'Ьлъ гусь на берегу пруда аиста,—
ходитъ длпнноноий и лягушекъ пщетъ. Аистъ птица важная
и пользуется среди другихъ птиць славой математика: по Ц'Ь-
лымъ часамъ иногда неподвижно на одной ногЪ стоитъ и все
думаегь, видно, — задачи р'Ьшаегт,. Обрадовался гусь, слегГшъ

__63
въ прудъ, подплылъ къ аисту и разсказалъ ему, какъ онъ стадо
товарищей встр?тилъ и какую ему гусь-поводырь загадку за-
далъ, а онъ никакъ этой загадки решить не можетъ.
—¦ Гы!.. откашлялся аистъ.—Попробуемъ решить. Только
будь внимателенъ и старайся понять! Слышишь?
—	Слушаю и постараюсь!—отв4тилъ гусь.
—	Ну вотъ. Какъ теб4 сказали? Если бы къ встр$чныыъ
гусямъ прибавить еще столько, да еще полстолько, да четверть
столько, да тебя, гуся, то было бы сто? Такъ?
—	Такъ!—отвътилъ гусь.
—	Теперь смотри,—скнзалъ аистъ.—Вотъ что я тебй на-
начерчу зд-Ьсь на прибрежномъ пески.
Аистъ согнулъ шею и клювомъ провелъ черту, ряцомъ та-
такую же черту, потомъ половину такой же черты, загЬмъ чет-
четверть черты да еще маленькую черточку, почти точку.
Получилось следующее:
I	11	11—I Н ¦
Гусь подплылъ къ самому берегу, вышелъ, переваливаясь,
на песокъ, сыотр'Ьлъ, но ничего не понималъ.
—	Понимаешь?—спросилъ аистъ.
—	Н^тъ еще!—отв'Ътилъ уныло гусь.
—¦ Эхъ, ты! Ну, вотъ смотри: какъ теб-Ь сказали,—стадо да
еще стадо, да половина стада, да четверть стада, да ты, гусь,—
такъ я и нарисовалъ: черту да еще черту, да полъ-черты, да
четверть этой черты, да еще маленькую черточку, т. е. тебя.
Понялъ?
—	Понялъ!—весело проговорилъ гусь.
—	Если къ встреченному тобой стаду прибавить еще стадо,
да полстада, »да четверть стада, да тебя, гуся, то сколько полу-
получалось?
—	Сто гусей!
—	А безъ тебя сколько, значить, будетъ.
—	Девяносто девять.
—	Хорошо! Откинемъ на пашелъ чертеж!' черточку, изо-
изображающую тебя, гуся, п обозначим!., что остается 99 гусей.

64
Аистъ заклевалъ носомъ и изобразилъ на пеотЪ:
стадо	стадо	пол" ™тверть
rt	*	стада стада
99 гусей.
—	Теперь смекни-ка,—продолжалъ аистъ,—четверть стада,
да полъ-стада, сколько это будетъ четвертей?
Гусь задумался, посмотр-Ьлъ на лиши на пескъ1 и сказалъ:
—	Линш, изображающая полъ-стада, вдвое больше, ч-Ьыъ
лишя четверти стада, т. е. въ половинт, заключается дв-Ь чет-
четверти. Значитъ, половина да четверть стада это все равно, что
три четверти стада.
—	Молодецъ!—похвалилъ гуся аистъ.—Ну, а въ цгьломъ
стадй сколько четвертей?
—	Конечно, четыре!—откЬтилъ гусь.
—	Такъ! Но мы им'Ьемъ зд^сь стадо да еще стадо, да полъ-
стада да четверть стада, и это составить 99 гусей. Значитъ,
если перевести все на четверти, то сколько всего четвертей бу-
будете?
Гусь подумалъ и отв'Ътилъ.
—	Стадо — это все равно, что 4 четверти стада, да еще
стадо:—еще 4 четверти стада, всего 8 четвертей; да въ доло-
вин-Ь стада 2 четверти: всего 10 четвертей; да еще четверть
стада: всего 11 четвертей стада, и это составить 99 гусей.
—	Такъ! сказалъ аистъ.—Теперь скажи, что же ты, въ
конц'Ь концовъ, получилъ?
—	Я получилъ,—отв'Ьтилъ гусь, что въ одиннадцати четвер-
тяхъ встр-Ьченнаго мной стада заключается 99 гусей.
—	А, значитъ, въ одной четверти стада сколько гусей?
Гусь под'Ьлилъ 99 на 11 и отв-Ьтиль:
—	Въ четверти стада—9 гусей.
—	Ну, а въ ц-Ьломъ стадъ1 сколько?
—	Въ ц-Ьломъ заключается четыре четверти... Я встргвтилъ
36 гусей!—радостно воскликнулъ гусь.
—	Вотъ то-то и оно! — важно промолвилъ апстъ. — Самъ,
небось, не могъ дойти!.. Эхъ, ты... гусь!..

66
Задача 44-я.
Сколько было?
БЪдная женщина несла для продажи корзину яицъ.
ВстрЬтившшся прохожШ по неосторожности такъ толк-
нулъ ее, что корзина упала на землю, и век яйца
разбились. ПрохожШ захотЪлъ уплатить женщин'Ь стои-
стоимость разбитыхъ яицъ и спросилъ, сколько ихъ всего
было. «Я не помню этого, — сказала женщина,—знаю
только хорошо, что когда я перекладывала яйца по
2,	то оставалось одно яйцо. Точно также всегда оста-
оставалось по одному яйцу, когда я перекладывала ихъ по
3,	по 4, по 5 и по 6. Когда же я перекладывала ихъ
по 7> то не оставалось ни одного яйца». Спрашивается,
сколько было яицъ?
Pimeiue.
Задача, очевидно, сводится къ нахождешю такого числа,
которое делится нацело (т. е. безъ остатка) на 7, а при доле-
долети на 2, 3, 4, 5 и 6 даетъ въ остатки 1.
Наименьшее число, которое делится безъ остатка на числа
2, 3, 4, б и 6 (наименьшее кратное этихъ чиселъ) есть 60,
Нужно, значить, найти такое число, которое делилось бы на
7 нацело и было бы вм-ЬстЬ съ т4ыъ на одну единицу больше
числа, д4лящагося на 60. Такое число тотчасъ можно найти
путемъ посл'Ьдовательныхъ попытокъ: 60, деленное на 7, даетъ
въ остатки 4, следовательно 2 X 60 даетъ въ остатки единицу
BX4 = 8; 8 — 7 = 1). Значитъ
2 X 60= числу кратному 7 -[- 1;
откуда сл-Ьдуетъ, что
G X 60 — 2 X 60) + 1 = числу кратному 7;
т. е. 5 X 60 1-1 = числу кратному 7.
5X60 + 1 = 301.
ВЪ ЦАРСТВ* СЛЕКАЛКИ. КН. I.	о

66
Итакъ, наименьшее число, решающее задачу, есть 301.
Т. е. наименьшее число яицъ, которое могло быть въ корзинт.
у женщины, есть 301.
Задача 45-я.
Найти число, которое, будучи разделено на 2, даетъ
въ остатка I, при дЪленш на з даетъ въ остаткъ- 2,
при долети на \ даетъ въ остатк'Ь з, ПРИ Д'Ьленш на
5 даетъ въ остатка 4> ПРИ Д'Ьленш на 7 даетъ въ
остаткъ1 5, но на 7 это число дЪлится наггвло.
Р4шен1е,
Р^шеше тотчасъ сводится къ прудыдущему, если сообразить,
что число кратное 6 да еще 5 есть въ то же время число крат-
кратное 6 безъ единицы, число кратное б да еще 4 есть въ то же
время число кратное 5 безъ единицы я т. д. Итакъ, нужно
для даннаго случая, чтобы удовлетворялось равенство:
Число кратное 7 = числу кратному 60 безъ L;
или: число кратное 60 = числу кратному 7-|Л-
Число 120 есть наименьшее, решающее задачу.
Задача решается подобнымъ же путемъ и въ томъ случай,
когда разница между каждымъ дъигателемъ и соотв^тствующимъ
остаткомъ есть число отличное отъ единицы.
Задача 46-я.
Часы заведены в-Ърно!
У меня нъчгъ карыанныхъ часовъ, а только стен-
стенные, которые остановились. Я отправляюсь къ своему
знакомому, у котораго часы идутъ въ-рно, просиживаю
у него некоторое время и, возвратившись домой, ставлю
свои часы в^Ьрио. Какимъ образомъ я могъ это сдЪлать,
если предварительно мнЪ не было известно, сколько
времени занимаетъ дорога отъ меня до моего знакомаго?

67
Р4шеше,
Вопросъ, очевидно, сводится къ тому, чтобы знать точное
время по возвращеши домой. Для этой пили я завожу своп
часы и передъ уходомъ замечаю ихъ ноказаше, которое, по-
ложимъ, равно а. Приходя къ знакомому, немедленно справляюсь
у него о времени, и пусть его часы показываютъ Ь. Передъ
уходомъ отъ знакомаго опять замечаю время по его часамъ,
которые на этотъ разъ показываютъ с. Придя домой, я неме-
немедленно замечаю, что мои часы показываютъ d. По этимъ дан-
нымъ легко определить искомое показаше часовъ. Разность d—а
покажетъ время моего отсутств1я изъ дому. Разность с—b есть
время, проведенное мною у знакомаго. Разность (d—а)—(с—Ь),
полученная отъ вычиташя второго времени изъ перваго, дастъ
время, проведенное мною въ дороги. Половина этого времени
-^t—_	употреблено мною на обратную дорогу. Прибавивъ
b + c + d — a
эту половину къ с, получимъ ¦	р	; это и будетъ точное
показаше часовъ при моемъ возвращенш домой.
Задача 47-я.
Возстановлеше записи.
При провърк'Ь памятной книжки уыершаго фабри-
фабриканта найдена была следующая запись: «За продажу...
кусковъ сукна, по 49 руб. 3^ коп. каждый кусокъ,
получено ...7 р. 28 коп.». Эта запись оказалась залитою
въ нЬкоторыхъ мъттахъ чернилами такъ, что нельзя
было разобрать ни числа проданныхъ кусковъ, ни пер-
выхъ трехъ цифръ полученной суммы. Спрашивается,
можно ли по сохранившимся даннымъ узнать чис ю
проданныхъ кусковъ и всю вырученную сумму?
Б*

68
Задачу можно решить двумя щлемами.
1)	По условш, вся вырученная сумма, очевидно, не пре-
вышаетъ 10 000 руб. Значить, число нроданныхъ кусковъ не
более 203.
Последняя цифра неизвестнаго числа кусковъ должна быть
такова, чтобы она, будучи умножена на 6, давала произведете,
оканчивающееся на 3; такая цифра можетъ быть 3 или 8.
Положимъ, что последняя цифра неизвестнаго числа кусковъ
равна 3. Стоимость трехъ кусковъ равна 14 808 коп. Вычитая
это число изъ вырученной суммы, мы должны получить число,
оканчивающееся на 920.
Предполагая, что последняя цифра равна 3, вторая отъ
конца цифра можетъ быть или 2 или 7, такъ какъ только эти
цифры, будучи умножены на 6, даютъ произведешя, оканчиваю-
оканчивающаяся на 2.
Положимъ, что неизвестное число оканчивается на 23. Вы-
Вычитая стоимость 23 кусковъ изъ всей вырученной суммы, по-
лучимъ число, оканчивающееся на 200. Третья цифра можетъ
быть или 2 пли 7; но такъ какъ неизвестное число не превос-
ходитъ 203, то наше предположеше невозможно.
Если бы мы предположили, что неизвестное число оканчи-
оканчивается на 73, то третьи цифра была бы равна 4 или 9; такое
предположете опять невозможно.
Итакъ, носЪдняя цифра не можетъ быть 3; остается пред-
предположить, что она равна 8. Разсуждешя, подобныя предыду-
щимъ, покажутъ намъ, что вторая цифра можетъ быть или 4,
или 9; изъ этихъ двухъ предположен^ возможно только второе.
Задача им4етъ одно решете: число проданныхъ кусковъ
равно 98, вся вырученная сумма равна 4 837 р. 28 коп.
2)	Задачу можно также решить алгебраически, что и пре-
доставляемъ сделать более подготовленному читателю.

Задача 48-я.
За грибами.
ДЪдушка пошелъ съ 4~мя своими внучатами въ
лъхъ за грибами. Въ л'Ьсу разошлись въ разныя сто-
стороны и стали искать грибы. Черезъ полчаса дедушка
ст?лъ подъ дерево отдохнуть и пересчиталъ свои грибы:
ихъ оказалось 45 штукъ. Тутъ прибежали къ нему
внучата, — всб съ пустыми руками: ни одинъ ничего
не нашелъ.
—	ДЬдушка!—проситъ одинъ внукъ:—дай мн^Ь сво-
ихъ грибовъ, чтобы кузовокъ не былъ пустой. Авось
съ твоей легкой руки много грибовъ наберу.
—	И мни, дъ\цушка!
—	И шкк дай!
Дъ\цъ далъ каждому и роздалъ такимъ образомъ
дтзТямъ всЪ свои грибы. Bc-fe снова разбрелись въ раз-
ньщ стороны, и случилось следующее. Одинъ маль-
чикъ нашелъ еще 2 гриба, другой 2 потерялъ, третШ
нашелъ еще столько, сколько получилъ отъ дЬда, а
четвертый потерялъ половину полученныхъ отъ д4да.
Когда дтуги пришли домой и подсчитали свои грибы,
то оказалось у всъхъ поровну.
Сколько каждый получилъ отъ дедушки грибовъ
и сколько было у каждаго, когда они пришли домой?
Р4шен1е.
Не трудно видеть, что третьему внуку д'Ьдъ далъ грибовъ
меньше всего, потому что трейй внукъ долженъ былъ набрать
еще столько же грибовъ, чтобы сравняться съ братьями. Для про-
простоты скажемъ, что третьему внуку д'Ьдъ далъ грибовъ одну горсть.
Сколько же онъ далъ такихъ же горстей четвертому?
ТретШ внукъ прииесъ домой 2 горсти, потому что саш>
еще нашелъ столько же грибовъ, сколько далъ ему Д'Ьдъ. Чет-

70
вертый внукъ принесъ домой ровно столько же гриоовъ, сколько
и трети: значить, тоже 2 горсти; но онъ половину своихъ гри-
бовъ растерялъ по дороги: стало быть, дйдъ далъ ему 4 горсти.
Первый внукъ принесъ домой 2 горсти; но изъ нихъ 2 гриба
онъ самъ нашелъ; значить, ему д'Ьдъ далъ 2 горсти безъ 2-хъ
грибовъ. Второй внукъ принесъ домой 2 горсти, да по дороги
онъ потерялъ 2 гриба; стало быть дйдъ, далъ ему 2 горсти, да
еще два гриба.
Итакъ, д'Ьдъ роздалъ внукамъ 1 горсть, да 4 горсти, да
2 горсти безъ 2-хъ грибовъ, да 2 горсти съ 2-мя грибами, и
того 9 полныхъ горстей (въ 2-хъ горстяхъ не хватало 2-хъ
грибовъ, зато въ 2-хъ другихъ горстяхъ были лишше 2 гриба).
Въ 9 равныхъ горстяхъ было 45 грибовъ; значить въ каждой
горсти 45 : 9 = 5 грибовъ.
Третьему внуку д'Ьдъ далъ 1 горсть, т.-е. 5 грибовъ; чет-
четвертому 4 горсти, т.-е. 5 X 4 = 20 грибовъ; первому 2 горсти
безъ 2-хъ грибовъ, т.-е. EX2) — 2 = 8 грибовъ; второму
2 горсти съ 2-мя грибами, т.-е. E X 2)-)- 2 = 12 грибовъ.
Задача 49-я.
Находка.
Четверо крестьянъ: Сидоръ, Карпъ, Пахомъ и Фока,
возвращались изъ города и говорили, что ничего не
заработали.
—	Эхъ! — сказалъ Сидоръ, — если бы мн-б найти
кошель съ деньгами, я бы взялъ себЪ только третью
часть, а остальныя съ кошелемъ щже отдалъ бы
вамъ.
—	А я, — молвилъ Карпъ, — подъ-лилъ бы между
всЬми нами поровну.
—	Я доволенъ былъ бы пятой всего частью,—ото-
частью,—отозвался Пахомъ.
¦— Съ меня же довольно бы и шестой части, —
сказалъ Фока. — Да что толковать... Статочное ли

71
д-кто,—деньги на дорог-Ь найти! Кто это ихъ для насъ
броситъ?...
Вдругъ и на самомъ ккл'к видятъ на дорогЪ коше-
лекъ. Подняли его и порушили поделить деньги такъ,
какъ каждый только что говорилъ: т. е. Сидоръ по-
лучитъ треть, Карпъ — четверть, Пахомъ — пятую, а
Фока- шестую часть найденныхъ денегъ.
Открыли кошелекъ и нашли въ немъ 8 кредит-
ныхъ билетовъ: одинъ въ 3 руб-, а остальные рубле-
рублевые, пятирублевые и десятирублевые. Но ни одинъ
крестьянинъ не могъ взять своей части безъ размена.
Поэтому рътпили ждать, не разм-вняетъ ли кто изъ
проЪзжихъ. Скачетъ верховой; крестьяне останавли-
ваютъ его:
—	Такъ и такъ,-—разсказываютъ они:—нашли ко-
кошелекъ съ деньгами; деньги хотимъ разделить такъ-то.
Будь такой добрый, разм-вняй намъ рубль!
—	Рубля я вамъ не разменяю, а давайте ын'к коше-
кошелекъ съ деньгами: я положу туда свою рублевку и изъ
всвхъ денегъ выдамъ каждому его долю, а кошелекъ
мнъ\
Крестьяне съ радостью согласились. Верховой сло-
жилъ все деньги вм-встЪ, выдалъ первому 73> второму
V*, третьему V5* четвертому '/в всвхъ денегъ, а коше-
кошелекъ спряталъ къ себъ- за пазуху.
—	Ну, спасибо вамъ, братцы, большое: и вамъ
хорошо и мн'Ь хорошо!—и ускакалъ.
Задумались мужики:
—	За что же онъ насъ поблагодарилъ?
—	Ребята, сколько у насъ всего бумажекъ?—спро-
силъ Карпъ.
Сосчитали,—оказалось 8.
—¦ А гд-Ь же трехрублевка? У кого она?
—	Ни у кого н-Ьтъ!

72
—	Какъ же такъ, ребята? верховой-то, значитъ,
надулъ насъ? Давай считать, на сколько онъ обидЬлъ
каждаго...
Прикинули въ умъ\
—	Н'втъ, братцы, я получилъ больше, ч-вмъ мнЬ
сл-вдовало!—сказалъ Сидоръ.
—	И я получилъ на четвертакъ больше)—сказалъ
Карпъ.
—	Какъ же такъ? всЬыъ далъ больше, чЬмъ нужно,
а трехрублевку увезъ! Должно быть, это л'кшй! ишь
ты, какъ ловко насъ обошелъ!—решили крестьяне.
Сколько денегъ нашли крестьяне? Обманулъ ли ихъ
верховой? Кашя бумажки далъ онъ каждому?
PimeHie.
Крестьяне не умили правильно сложить дробей. Въ самомъ
, сложите всгЬ части, на которыя крестьяне хотели поде-
поделить находку: Б' + т^к-Ьй' — «п- Значитъ, они всЬ вм-ЬстЬ
о 4 О О OU
хотели получить меньше, чъчиъ нашли (нашли они —). Найден-
ныя деньги вм^стъ1 съ деньгами верхового были разделены на
60 частей; изъ нихъ - отданы крестьянамъ, а ^илио?1» остались
DU	OU	zU
у верхового. Но мы знаемъ, что у верхового осталось 3 рубля.
Значитъ — вс4хъ денегъ составляетъ 3 рубля; следовательно,
zU
всЬхъ денегъ было 3 X 2U = 60 руб. Карпъ получилъ изъ этихъ
денегъ Y4 часть, т.-е. 15 руб.; но, если бы верховой не при-
ложилъ своихъ денегъ, Карпъ долженъ былъ бы получить на
четвертакъ меньше, т.-е. 15 р. — 25 к. = 14 р. 75 к.: такова
1/4 часть найденныхъ денегъ. Отсюда заключаемъ, что найдено
было 14 р. 75 к. X 4 = 59 р. Съ деньгами верхового стало 60 р.:
значитъ верховой приложилъ 1 рубль. Приложилъ онъ рубль,
а увезъ 3 рубля: 2 рубля выгадалъ себй за умный дйлежъ.

73
Кашя же кредитки были найдены въ кошельки?
Пять бумажекъ по 10 р., одна въ б, одна въ 3 и одна въ
1 рубль. Сидору верховой далъ 20 рублей: 2 десятирублевки;
Карпу—15 р., десятирублевку и пятирублевку, Пахоыу—12 руб.
десятирублевку и двй рублевки (одну — найденную, другую —
свою); Фок'Ь—последнюю десятирублевку, а трехрублевку взялъ
себъ1.

Переправы.
Задача 50-я.
Черезъ ровъ.
Четыреугольное поле окружено рвомъ, ширина ко-
тораго всюду одинакова. Даны дв-Ь доски, длина ко-
торыхъ равна точно ширин-Ь рва, и требуется съ по-
помощью этихъ досокъ устроить переходъ черезъ ровъ.
Pinieme.
Стоитъ взглянуть на прилагаемый зд^сь рисунокъ (фиг. 17),
чтобы понять, какъ решается задача.
Фиг. 17.
Что касается математическаго доказательства возможности
подобной переправы, то оно слйдуетъ изъ неравенства
21/2 <3,
и делается очевиднымъ, если принять ширину рва равной
тремъ какимъ-либо единицамъ.

75
Задача 51-я.
Отрядъ солдатъ.
Отрядъ солдатъ подходитъ къ ръ-К'Ь, черезъ кото-
которую необходимо переправиться. Но мостъ сломанъ,
а ртжа глубока. Какъ быть? Вдругъ капитанъ замтэ-
чаетъ у берега /цэухъ мальчиковъ, которые забавля-
забавляются въ лодкъ\ Но эта послЬдняя такъ мала, что на
ней можетъ переправиться только одинъ солдатъ, или
только двое мальчиковъ,—не больше! Однако все сол-
солдаты переправились черезъ рЪку именно на этой лодкъч
Какъ это было сд-влано?
Р-Ьшеше.
Д^ти переехали р^ку. Одинъ изъ мальчиковъ остался на
берегу, а другой пригналъ лодку къ солдатамъ и вылйзъ. Тогда
сЬлъ солдатъ и переправился на другой берегъ. Мальчикъ,
оставппйся тамъ, пригналъ обратно лодку къ солдатамъ, взялъ
своего товарища мальчика, отвезъ на другой берегъ и снова
доставилъ лодку обратно, поели чего вьигЬзъ, а въ нее сЬлъ
другой солдатъ и переправился...
Такимъ образомъ—посл-Ь каждыхъ двухъ перегоновъ лодки
черезъ р4ку и обратно — переправлялся одинъ солдатъ. Такъ
повторялось столько разъ, сколько было солдатъ и офицеровъ.
Задача 52-я.
Волкъ, коза и капуста.
Крестьянину нужно перевезти черезъ р?ку волка,
козу и капусту. Но лодка такова, что въ ней можетъ
поместиться только крестьянинъ, а съ нимъ или одинъ
волкъ, или одна коза, или одна капуста. Но если
оставить волка съ козой, то волкъ съесть козу, а
ее га оставить козу съ капустой, то коза съъхтъ ка-
капусту. Какъ перевезъ свой грузъ крестьянинъ?

76
PimeHie.
Ясно, что приходится начать съ козы. Крестьянинъ, пере-
перевезши козу, возвращается и беретъ волка, котораго перевозитъ
на другой берегъ, гд^ его и оставляетъ, но зато беретъ и ве-
зетъ обратно на первый берегъ козу. Зд-Ьсь онъ оставляетъ
ее и перевозитъ къ волку капусту. Вслйдъ зат-Ьмъ, возвратив-
возвратившись, онъ перевозитъ козу; и переправа оканчивается благопо-
благополучно.
Задача 53-я.
Мужья и жены.
Три мужа со своими женами желаютъ переправиться
съ одного берега рЪки на другой, но въ ихъ распо-
ряженш есть лодка безъ гребца, поднимающая только
двухъ челов-Ькъ. Д-Ьло осложняется еще тЬмъ, что ни
одинъ мужъ не желаетъ, чтобы его жена находилась
безъ него въ обществ-fc одного или двухъ другихъ
мужей. Какъ переправились при соблюденш этихъ
услов1Й, все шесть челов'Ькъ?
Р-Ьшеше.
Задача эта имйетъ за собой уже почтенную историческую
давность, и р'Ьшеше ея для классиковъ можетъ быть выражено
следующими латинскими стихами:
It duplex mulier, redit una vehitque manentem;
Itque una, utuntur tune duo puppe viri.
Par vadit, redeunt bini; mulierque sororem
Advehit; ad propriam sive maritus vadit.
Обозначимъ большими буквами А, Б и В мужей, а ихъ женъ
соответственно малыми буквами а, 6 и в. Им^емъ въ начали:
Первый берегъ.
В Б А
в 6 а
Второй берегъ.

77
I.—Сначала отправляются двЬ женщины.
В Б А	...
в	. 6 а
П.—Возвращается одна изъ женщипъ и перевозитъ третью
В Б А	...
в 6 а
III.—Возвращается одна изъ женщинъ и остается со своимъ
мужемъ. Два другихъ мужа отправляются къ своимъ женамъ.
В
в
Б
6
А
а
IV.—Одинъ изъ мужей возвращается со своей женой, оста-
вляетъ ее и забираетъ съ собой мужа.
В Б А
6
а
V.—Женщина переъ'зжаетъ п забираетъ одну нзъ женъ.
В Б А
в	.6а
YI.—Мужъ (или одна изъ женъ) йдетъ	обратно и перево-
перевозитъ оставшуюся.
В	Б А
в	6 а
Очень наглядно и весело решается эта же задача при по-
помощи картъ.
Пусть три мужа будутъ короли ппкъ, бубенъ п трефъ, а
дамы соотв'Ьтствующпхъ мастей будутъ ихъ жены. Сначала вс?
находятся на одномъ берегу ргЬки. Но вотъ начинается пере-
переправа.
I.—Сначала отправляются двъ1 дамы.
is

78
II.—Возвращается дама п перевозитъ третью.
III.—Возвращается одна изъ дамъ, остается съ мужемъ, а
два другпхъ мужа переправляются къ своимъ женамъ.
IV.—Мужъ съ женой возвращается на первый берегъ. Остав-
ляетъ тамъ жену и забираетъ съ собой мужчину.
i
ft
ft
Ш
V.—Со второго берега 1детъ на первый дама и перевозитъ
оттуда одну изъ подругъ.
л

79
VI.—Опять ^детъ на первый берегъ дама и. перевозить остав-
оставшуюся тамъ подругу (или можетъ и самъ мужъ съездить за своей
женой). И переправа окончена къ общему удовольствш.
р
ЗамЪчаше.
Попробуйте ту же задачу решить для случая четырехъ ко-
королей и даыъ. Вы увидите, что если лодка не вы'Ьщаетъ бо-
л4е двухъ лицъ, то переправа при соблюденш всЬхъ указан-
ныхъ условШ невозмжна. Но если взять лодку, въ которой мо-
гутъ поместиться три человека, то переправа можетъ быть совер-
совершена при соблюденш указанныхъ условШ,—т. е. ни одна дама
не будетъ оставаться безъ своего мужа въ присутствш другихъ
мужчинъ.
Подобная переправа совершается въ пять пргемовъ.
Взявъ четыре короля и четыре дамы, попробуйте для дан-
наго случая решить вопросъ. Это не трудно.
Но и на лодк'Ь, поднимающей только двухъ челов'вкъ, можно
совершить переправу четырехъ мужей съ ихъ женами, если по-
посреди р4ки есть островъ, на которомъ можно останавливаться. Pi-
шимъ еъ помощью картъ эту любопытную задачу.
Задача 54-я.
Четыре мужа съ ихъ женами должны переправиться
черезъ р'Ьку на лодк'Ь безъ гребца, которая не вм-Ь-
щаетъ болъ-e двухъ человЪкъ. Посреди р-Ьки есть
островъ, на которомъ можно высаживаться. Спраши-
Спрашивается, какъ совершить эту переправу такъ, чтобы ни
одна жена не была въ обществ-в другихъ мужчинъ ни
на берегахъ, ни на островъ-, ни въ лодк'Ь, если н-втъ
налицо мужа.

80
Р-Ьшеше.
изъ
Переправа совершается въ 12 пере'Ьздовъ, какъ видимъ
нижесл'Ьдующаго:
Беремъ четыре короля и четыре дамы. Условимся, гд4 пра-
правый берегъ р'Ьки, гд^ л-Ьвый, а между ними островъ:
V©
из
о
о,
о

ВЪ ЦАРСТВ* СМЕКАЛКИ. КН. I.
81

82

83

84

86
и

Задача 55-я.
На станщи железной дороги.
По'Ьздъ Б приближается къ станщи железной до-
дороги, но его нагоняетъ быстрее идущш поЬздъ А, ко-
который необходимо пропустить впередъ. У станщи отъ
главнаго пути отходитъ боковая вт/гочка, куда можно
отвести на время вагоны съ главнаго пути, но в-Ьточка
эта настолько короткая, что на ней не вмещается весь
поЪздъ Б. Спрашивается, какъ все-таки пропустить
по4здъ А впередъ?
PiiueHie.
Железнодорожный путь у станщи представляетъ такой видъ:
В4тка.
Главный путь.
Фиг. 18.
По главному пути, въ направлены, означенномъ стр-Ьлкой,
идутъ впередъ по4здъ Б, а за нимъ по'Ьздъ А, который надо

87
пропустить впередъ, пользуясь боковою веточкой, на которой
можетъ поместиться лишь часть вагоновъ (фиг. 18).
Поъ-здъ А нагналъ поъ-здъ Б и долженъ пройти дальше.
Какъ же быть? А вотъ какъ:
По^здь Б идетъ по главному пути и переходить весь за
начало боковой витки. ЗатЪмъ поъ-здъ Б идетъ заднимъ хо-
домъ на это отвъ-твлеше и оставляешь тамъ столько вагоновъ,
сколько умещается, а остальная часть поФзда Б вм4ст4 съ
паровозомъ уходить опять впередъ, за начало виточки. ЗатФмъ
пропускаютъ пойздъ А и, какъ только онъ весь пройдетъ за
начало в'Ътки, къ последнему его вагону прицфпляютъ остав-
ппеся на в4точкЬ вагоны поезда Б, и пойздъ А сводить эту
часть по'Ьзда Б съ виточки впередъ. Затъ-мъ пойздъ А пу-
скаютъ назадъ,—вл$во отъ начала виточки,—и оставляютъ тамъ
вагоны отъ поезда Б. Тою порою другая часть поезда Б (съ
паровозомъ) идетъ заднимъ ходомъ и становится на въ-точку,
открывая свободный путь для поезда А. Онъ мчится дальше,
а паровозъ поезда Б съ несколькими передними вагонами
опять выходитъ на главный путь, приц'Ьпляетъ стоящую вл^во
отъ начала виточки часть своего поезда и сл4дуетъ за по-
4здомъ А.
Задача 56-я.
Разъ'Ъздъ 6-ти пароходовъ.
По каналу, одинъ за другимъ, идутъ з парохода:
«Олегъ», «Владширъ» и «Петръ». Навстречу имъ по-
показались еще з парохода, которые тоже идутъ одинъ
за другимъ: «Mapin», «Екатерина» и «Россш». Каналъ
такой ширины, что два парохода въ немъ разъехаться
не могутъ; но въ канал4 съ одной его стороны есть
заливъ, въ которомъ можетъ поместиться только
одинъ пароходъ. Могутъ ли пароходы разъехаться
такъ, чтобы продолжать свой путь попрежнему?

88
Положеше судовъ и каналъ съ заливомъ изображены на
фиг. 19-ой.
-о°о"о
Фиг. 19.
Пароходы «В.» и «П.» отходятъ назадъ (направо), а «Олега»
входитъ въ заливъ; «М.», «Е.» и «Р.» проходятъ по каналу
мимо «Олега»; тогда «Олегъ» выходитъ изъ залива и идетъ
своей дорогой (влФво); «Р.», «Е.» и «М.» отступаютъ на преж-
прежнее мФсто (налъ-во); тогда съ «Владшпромъ» повторяется все,
что делалось съ «Олегомъ». Такимъ же образомъ проходитъ и
«Петръ», и пароходы плывутъ своей дорогой.
Задача 57-я.
Угадать число.
Числа, начиная отъ i и до любого предъ\ла, напи-
написаны и расположены въ послътювательномъ порядк'Ь
по кругу. Угадать любое изъ этихъ чиселъ, задуман-
задуманное к4мъ-либо.
Возьмемъ, напр., числа отъ 1 до 12 и расположимъ ихъ
по кругу (фиг. 20). Можно смФло взяться угадать задуманное
к4мъ-либо въ этомъ круг4 число.
12 ! 2
11	3
10	4
9	5
8 7 6
Фиг. 20.

89
Можно, очевидно, для той же цели взять часы и предло-
предложить угадать задуманный кЪмъ-либо часъ.
Можно также взять двенадцать картъ какой-либо масти (отъ
туза до дамы) и, считая валета за 11, а даму за 12, разло-
разложить ихъ, какъ указано на фиг. 21, и взяться угадать заду-
задуманную къ-мъ-либо карту.
+
+ ¦
+**
***
* +
* 4-
* *
¦ *
* *
* +
4
Фиг. 21.
Можно также пользоваться домино, очками лото и т. д.
Какъ же угадать задуманное число?
PinieHie.
Пусть кто-либо задумаетъ про себя любое изъ чиселъ на
круги. ЗатЪмъ укажите ему сами любое число на этомъ круги
и прибавьте про себя къ этому числу 12 (т. е. наивысшее
число круга). Вы получите некоторое число, и это число вы
скажете громко. Пусть потомъ задумавши считаетъ про себя
отъ задуманнаго имъ числа, притрогиваясь сначала къ указан-
указанному вами числу, а потомъ къ каждому следующему числу по
кругу, идя въ обратномъ порядки, и пусть считаетъ до ска-
заннаго вами громко числа. Когда онъ досчитаетъ до него, по-
последовательно притрогиваясь къ числамъ, то остановится какъ
разъ на задуманномъ имъ числе или часе, или карте.
Пусть, напримеръ, кто либо задумалъ на круге 5, а вы
указываете, напримеръ, 9, прибавляете къ нему про себя 12
и получаете 21. Зат-Ьмъ говорите громко задумавшему:

90
—	Считайте про себя начиная отъ задуманнаго вами числа
до 21, но, начиная счетъ, притроньтесь сначала къ 9, потомъ
къ 8, потомъ къ 7 и т. д., идя по кругу въ обратномъ по-
рядк'Ь; когда же досчитаете до 21, то скажите это число громко
и остановитесь.
Задумавппй исполпитъ сказанное ему, и когда досчитаетъ
до 21, то какъ разъ самъ укаэкетъ задуманное имъ число 5.
Можно обставить эту задачу еще таинственнее; напр, такъ:
Кто-нибудь задумываетъ какое-нибудь число (напр. б). Вы
берете, напр., число 9, прибавляете къ нему мысленно 12, по-
получаете 21 и говорите задумавшему:
—	Теперь я буду стучать карандашомъ (или пальцемъ) и
при каждомъ стукъ- вы прибавляйте про себя къ задуманному
вами числу по едпниц'Ь. Но когда досчитаете до 21, скажите
громко: «21».
ЗатЗшъ стучите по 9, по 8, по 7 и т. д. по 12, по 11
и т. д. Задумавнпй число въ это время про себя будетъ счи-
считать 5, 6, 7 и т. д., но когда скажетъ громко «двадцать одинъ»,
то окажется, что вы стучите какъ разъ по задуманному имъ
числу б.
—	Вы задумали число «пять!»—говорите вы ему.
—	Совершенно в'Ьрно!—отвФтитъ вамъ задумавши, дивясь,
какъ вы могли узнать это, если онъ самъ не знаетъ, въ чемъ
разгадка этого будто бы фокуса.
«Фокуса» здФсь, конечно, нгЬтъ, а есть только самый пра-
правильный математически расчета, состоящей въ слйдующемъ:
Чтобы отъ 5 прштп къ 9, нужно считать такъ: 5, 6, 7, 8, 9.
Значить, отъ 9 до 5 нужно пройти черезъ тЬ же числа 9, 8,
7, 6, б, только считая ихъ въ обратномъ порядки. Если, ука-
указывая на 9, мы скажемъ «пять», зат'Ьмъ, указывая на 8, ска-
жемъ «шесть», и т. д. то, придя къ задуманному числу 5,
скажемъ «девять». Если зат^мъ идти по кругу въ томъ же
направлеши и присчитать къ «девяти» еще 12 послътшватель-
ныхъ чисачъ круга, то опять приходимъ къ тому же числу б.
Д4ло сводится, следовательно, къ счету по кругу въ обратномъ
направленш отъ указаннаго числа У до 9 —{—12, т. е. до 21.
Если, наоборотъ, задумано 9, а указано б, то отъ 9 до б,

91
считая въ пряыомъ направлеши по кругу (по порядку возра-
станш чиселъ), получаемъ: 9, 10, 11, 12. 12 —|— 1, 12 -+- 2,
12 + 3, 12 + 4, 12+ 5, т. е. 17. Следовательно, начиная съ 5,
можно прйти къ задуманному числу 9, идя въ обратномъ на-
правленш и отсчитывая т4 же б -\- 12 = 17 чиселъ.
Д4ло простое, а развлечете получается интересное.
Задача 58-я.
„Кто первый скажетъ сто".
Двое поочередно говорятъ произвольныя числа, но
не превышаются десяти. Эти числа складываются одно
за другимъ, и выигрываетъ тотъ, кто первый достиг-
нетъ ста. Сделать такъ, чтобы всегда первымъ ска-
сказать «сто».
Напередъ заданное число есть сто, а числа, которыя гово-
говорятъ играюпце, не превышаютъ десяти, т. е. можно называть
10 и всякое меньшее число. Итакъ, если первый скажетъ,
напр., «7». а второй «10», получится «17»; затймъ первый
говорить, напр., «5», получится «22»; второй говорить «8»,
получится «30» и т. д. Поб'Ьдителемъ будетъ тотъ. кто первый
получитъ «100».
Pimeme.
Чтобы быть поб4дителемъ, старайтесь только о томъ, чтобы
вамъ пришлось сказать число 89. Ясно, что, если вы скажете
это число, то какое бы число (десять или меньше) ни приба-
вилъ вашъ противникъ, вы тотчасъ найдете соответственное
число, добавпвъ которое къ полученному противникомъ, вы по-
получаете сто и выигрываете.
Но чтобы суметь всегда сказать «89», а потомъ, значить,
и «100», постарайтесь разобраться въ следующихъ очень не-
трудныхъ разсуждешяхъ.
Начнемъ отнимать, сколько возможно, отъ ста по одиннад-
одиннадцати. Получимъ рядъ такихъ чиселъ:
89, 78, 67. 56, 45, 34, 23, 12, 1.

92
Или же, если напишемъ ихъ въ порядки возросташя, то
получимъ:
1, 12, 23. 34, 45, 56, 67, 78, 89.
Запомнить эти числа очень легко: стоитъ только взять пре-
предельное число, т. е. 10, и прибавить къ нему единицу—полу-
единицу—получится 11. Зат4мъ беремъ, это число и вс4 числа, составленныя
умножешемъ 11-ти на 2, на 3, на 4... на 8, — получимъ 11,
22, 32, 44, 56, 66, 77, 88. Увеличит, каждое изъ этихъ чи-
селъ единицей и начнемъ единицей же рядъ. Получимъ опять-
таки предыдущей написанный нами рядъ чиселъ:
1, 12, 23, 34, 45. 56, 67, 78, 89.
Ясно теперь, если вы скажете 1, то какое бы число (по
условш не больше 10) ни сказалъ другой играющдй, онъ не
помъчпаетъ вамъ сказать 12; точно такъ же дал4е вы всегда
можете сказать 23, а затъчиъ 34, 45. 56, 67, 78 и 89.
Когда вы скажете 89, то какое бы число (не больше 10)
ни сказалъ вашъ соперникъ, вы говорите «сто» и выигрываете.
Отсюда видно также, что если оба играющие знаютъ, въ чемъ
дЪло, то выигрываетъ всегда тотъ, кто первый скажетъ «одинъ»,
т. е. кто начинаете игру.
Обобщеюе.
Предыдущую задачу можно предложить и въ такомъ общемъ
вид4:
Двое говорятъ поочередно произвольный числа, не
превышающая, однако, какого-либо напередъ усло-
вленнаго предала. Эти числа складываются одно за
другимъ, и выигрываетъ тотъ, кто первый достигнетъ
какого-либо напередъ назначеннаго числа. Сде-
Сделать такъ, чтобы всегда первымъ пршти къ этому
впередъ назначенному числу.
Если вы хорошо усвоили ce6i ръчпеше предыдущей задачи,
то нетрудно видЪть, какъ надо поступать въ каждомъ отдйль-
номъ случай.

93
Пусть, напр., назначенное число будетъ 120; предельное,
какъ и выше, равно 10. Тогда, очевидно, нужно имт.ть въ
виду числа:
109, 98, 87, 76, 65, 64, 43, 32, 21, 10.
т. е. начиная съ 10, вст. кратныя 11, увеличенныя на 10.
Отсюда также видно, что знаююдй рт-шеше этой задачи вы-
игрываетъ всегда, если онъ начинаетъ.
Пусть еще, напр., напередъ заданное число будетъ 100, но
предельное число есть не 10, а 8. Въ такомъ случат, нужно
шить въ виду числа:
91, 82, 73, 64, 55, 46, 37, 28, 19, 10, 1.
т. е., начиная отъ единицы, вст. числа кратныя 9 и увеличен-
увеличенныя единицей. И въ данномъ случат, знаюшдй задачу всегда
выигрываетъ, если онъ начинаетъ.
Но если принять за предельное число, напр., 9, то числа,
которыя нужно идйть въ виду, будутъ:
90, 80, 70. 60, 50, 40, 30, 20, 10.
И ясно, что начинающей здт.сь можетъ проиграть, если дру-
другому извт>стенъ секретъ, ибо какое бы число начинающей ни
сказалъ, онъ не можетъ помешать другому назвать десять, 20
и т. д.—вст. числа до 100.
Любопытная истор!я.
Существуетъ разсказъ объ одномъ приключенш довольно
извт>стнаго историка древности Госифа Флав1я, жившаго въ
I-мъ вт.кт. по Рождествт. Христовт. и оставившаго описаше
1удейской войны. Онъ бьтлъ правителемъ одного города во время
осады и взяия его римлянами. Преследуемый разъяренными
римскими солдатами, ФлавШ укрылся со своимъ отрядомъ въ
одной пещерт.. Но съ этой минуты ему начала угрожать чуть
ли не худшая опасность отъ собственныхъ подчиненныхъ: худей,
когда онъ предложилъ имъ сдаться римлянамъ, пришли въ
страшную ярость и решили лучше перебить другъ друга, ч4мъ
подвергнуться позору плт.на.

94
1осифъ пробовалъ отговаривать пхъ отъ этого ужаснаго реше-
решетя, но напрасно. На всЬ его доводы они отвечали угрозами и хо-
хотели выполнеше своего нам4ретя начать съ пего. Тогда онъ при-
бътнулъ къ хитрости, чтобы спасти свою жизнь. Д-Ьлая видъ, что
онъ подчиняется ихъ ръчпешю, Госифъ воспользовался послйдтй
разъ своей властью надъ нимп и предложилъ слъ'дующш планъ:
Во избтжаше безпорядка и свалки при убйств^ другъ
друга, слъ-дуетъ-де стать имъ всЬмъ въ извйстномъ порядки
и, начавъ счетъ съ одного конца, убивать такого-то по порядку
(повествователь не указываетъ, какого именно) до т4хъ поръ,
пока останется только одинъ, который п убьетъ самъ себя.
Bci согласились. Тосифъ разставилъ ихъ, и самъ сталъ такимъ
образомъ, что остался посл4днимъ, и, конечно, себя не убилъ,
а пожалуй—сцасъ еще несколько челов'Ькъ, бол4е хладнокров-
ныхъ и об'Ьщавшихъ ему полное повиновеше.
«Вотъ замечательная исторгя (говорить по этому поводу
Баше де Мезирьякъ въ своей книг4, вышедшей въ 17-мъ сто-
л4тш и посвященной математическимъ развлечен!ямъ), изъ ко-
которой мы видимъ, что не сл4дуетъ пренебрегать даже малень-
маленькими тонкостями, изощряющими умъ. Он4 могутъ подготовить
человека къ бол4е важнымъ д4ламъ и принести иногда неожи-
неожиданную пользу»...
Очень можетъ быть, что приведенный выше разсказъ и по-
служилъ матер!аломъ. на которомъ создалась одна любопытная
задача, гдъ- дъмго идетъ уже о хрисзданахъ и туркахъ. Видно,
что сложилась она еще въ ту пору, когда Европа вела съ тур-
турками упорную войну.
Приводимъ эту задачу:
Задача 59.
По жреб|ю.
15 турокъ и 15 хрисианъ плыли по морю на не-
болыпомъ судн-fe. Вдругъ поднялась страшная буря, и
кормчШ сказалъ, что для спасешя хотя половины
людей остальныхъ 15 необходимо сбросить въ воду.
Находящееся на суднЪ предоставили д'Ьло жреб1ю;

9Б
они стали вс-fe въ рядъ и ръ-шили, считая по порядку
отъ i до 9> бросать въ воду каждаго девятаго до
тЬхъ поръ, пока останется на корабль- только 15 че-
лов'Ькъ. Нашелся хрисианинъ, который разставилъ
всЬхъ такъ, что въ воду попали век 15 турокъ, а
хриспане остались на суднъ\ Какъ онъ это сдЪлалъ?
Р^шеше.
Для р'Ьшешя задачи нужно пассажировъ поставить такъ:
4 хриейанина, 5 турокъ. 2 христианина, 1 турокъ, 3 христиа-
христианина, 1 турокъ, 1 христчанинъ, 2 турка, 2 христаанина, 3 турка,
1 хриейанинъ, 2 турка, 2 хрисианина, 1 турокъ.
Чтобы запомнить эти числа и быстро решить задачу, реко-
мендуемъ запомнить такое выражеше:
„Отъ бурь есть защита,
Спасенье, избавленье намъ1"
И запомнить также порядокъ (что не трудно) гласныхъ въ
азбуки: а, е, и, о, у; изъ нихъ первая а пусть означаетъ 1,
вторая е—2, третья и—3, четвертая о—4 и пятая у—5.
Рядъ начинается христаанами. Вы говорите про себя
«отъ»—и ставите 4-хъ хрисианъ, «бурь» и ставите 5 турокъ.
«есть»—и ставите 2-хъ хрисианъ, «за»—и ставите 1-го турка,
«щи»—и ставите 3-хъ христчанъ, «та»—и ставите одного
турка, «спа»—и ставите 1-го хриспанина, «се»— и ставите
2-хъ турокъ, «нье»—и ставите 2-хъ христаанъ, «из»—и ста-
ставите 3-хъ турокъ, «ба»~ и ставите 1-го христианина, «вле»—-и
ставите 2-хъ турокъ, «нье»—и ставите 2-хъ хриейанъ, «намъ»—
и ставите 1-го турка.
Запомнить рътпеше, какъ видно, не трудно. А какъ найтп
его? Сейчасъ увидимъ, что и это не представляетъ особой
трудности.
Поставимъ въ рядъ тридцать предметовъ, напр., спичекъ,
или палочекъ, или камешковъ, или кубиковъ и т. д.

96
Считая отъ 1 до 9, находимъ, что въ первый разъ при-
придется выбросать 9-ю, 18-ю и 27-ю палочки. Отбрасываемъ ихъ
и опять начинаемъ считать далйе отъ 1 до 9; сначала сосчиты-
ваемъ три палочки за 27-й, а затймъ возвращаемся къ началу
ряда, который содержитъ теперь только 27 палочекъ. Изъ него
придется, значитъ, на этотъ разъ выбросить 6-ю, 1б-ю и 24-ю
палочки. Отбросимъ эти палочки и, поступая по предыдущему,
въ полученномъ новомъ ряду изъ 24-хъ палочекъ опять от-
отбрасываемъ 6-ю, 1б-ю и 24-ю палочки. Послт. этого получаемъ
рядъ изъ 21 палочки. Считая отъ 1 до 9-ти, здт.сь мы должны
отбросить 9-ю и 18-ю. Останется 19 палочекъ. Считая далЪе
три палочки за 18-й и возвращаясь къ началу, отбрасываемъ
отсюда 6-ю и 15-ю. Останется рядъ изъ 17 палочекъ, изъ ко-
тораго, считая по предыдущему отъ 1 до 9, надо выбросить
б-ю и 14-ю палочки, и останется 15 палочекъ. Если разсмо-
тр4ть затт.мъ, на какихъ мъттахъ въ первоначальномъ ряду
палочки остались (хриспане) и на какихъ выброшены (турки),
то, заменяя выброшенныя палочки нулями, получимъ:
||||000и0||0|||0|00||000|00||0.
Т. е. получается данное уже нами ръчпеше задачи.
Вместо палочекъ или спичекъ можно для данной задачи
пользоваться картами, условившись, наприм., что красныя масти
обозначаютъ хрисианъ, а черныя—турокъ и т. д.
Задачу, конечно, можно видоизменять всячески. Въ общемъ
видт. ее можно выразить такъ:
Дано некоторое число различныхъ предметовъ. Расположить
ихъ въ такомъ порядк^, чтобы послт. отбрасывашя последова-
последовательно пятаго, девятаго, десятаго иди какого угодно по порядку
предмета (до извъ-стнаго предала, конечно), оставались напе-
редъ заданные предметы.
Какъ можно решить подобную задачу, ясно изъ разобран-
разобранной выше задачи «по жребш».

Игра въ красное а черное ала агра
въ жетоны.
Разсказываютъ, что знаменитый англШсшй ученый Тэтъ,
путешествуя по железной дороги, развлекался, между прочимъ,
следующей интересной игрой. Онъ вынималъ изъ кармана 4
золотыхъ монеты ц 4 серебряныхъ; затъчиъ клалъ ихъ въ рядъ
въ перем4нномъ порядки, т. е. золотую монету и серебряную,
золотую и серебряную и т. д., пока не раскладывалъ вс4 во-
восемь монетъ, оставя слива такое свободное мйсто, на которомъ
могли бы уместиться еще двт, монеты—не болтзе. Всл'Ьдъ зат4мъ
онъ задавалъ себ4 такую задачу:
Перемещать только двт, рядомъ лежатш монеты, не
.изменяя ихъ взаимнаго расположешя и пользуясь для этого
свободнымъ м4стомъ для двухъ монетъ, такъ, чтобы послй
четырехъ всего такихъ перем4щенШ оказались рядомъ четыре
золотыхъ монеты, а за ними следовали четыре серебряныхъ.
Попробуйте сделать это! Если у васъ н4тъ, что очень
можетъ быть, золотыхъ и серебряныхъ монетъ, то, быть можетъ,
найдутся серебряныя и мт>дныя... Сущность задачи в4дь отъ
этого не меняется! Или, быть можетъ, у васъ совс4мъ нгЬтъ
монетъ,—да еще ц4лыхъ восьми? Тогда ничто не мъчпаетъ вамъ
воспользоваться черными и белыми шашками, взявъ ихъ по
четыре. А если нить и гаашекъ, то ничто не помгЬшаетъ вамъ
ВЪ ЦАРСТВ* СМЕКАЛКИ. КН. I.	7

98
сделать 4 кружочка (жетона) черныхъ и 4 красныхъ или б'Ь-
лыхъ изъ бумаги, картона или дерева и попытаться решить
предложенную задачу. Возьмите, наконецъ, 4 красныхъ и
4 черныхъ карты.
При всей своей видимой простой, задача эта не такъ-то
легка, особенно если увеличивать число паръ монетъ, жетоновъ,
кружочковъ или картъ, т. е. если вместо 8-ми взять ихъ 10,
12, 14 и т. д.
Карты,—настояпця или игрушечныя, все равно,—весьма при-
пригодны для даннаго развлечетя. Назовемъ это развлечете
игрой въ красное и черное и начнемъ съ такой задачи:
Задача 60-я.
Четыре пары.
Взяты 4 красныхъ и \ черныхъ карты (или 4 крас-
красныхъ и 4 черныхъ кружка) и положены въ рядъ въ
перемъ-нномъ порядкъ-: красная, черная, красная, чер-
черная и т. д. Можно пользоваться свободнымъ мъхтомъ
только для двухъ картъ и можно на это свободное
мъхто перемещать только дв^Ь рядомъ лежания карты,
не мъ-няя порядка, въ которомъ онъ- лежатъ. Требуется
въ четыре перемътцешя картъ попарно переместить
ихъ такъ, чтобы оказались подрядъ четыре черныхъ и
затЬмъ четыре красныхъ карты (Помните, что всюду
вместо картъ можно брать разнаго цв^та кружки или
жетоны, или монеты и т. д.).
Р^шеше.
Возьмемъ изъ колоды четыре короля и четыре дамы и рас-
положимъ ихъ, какъ требуется, т. е. такъ:

99
Первое переягЬщеше.—СлЪва им'Ьемъ два свободныхъ м4ота;
перекладываемъ туда короля пикъ и бубенъ. Получается такое
расположеше:
Второе нерем-Ьщеше.—Даму червей и даму пикъ перекла-
перекладываемъ на освободивнпяся мт,ста и получаемъ:
*ж
Третье перем-Ьщеше.—Короля и даму бубенъ перекладываемъ
на свободныя м4ста, получаемъ расположен1е:
Четвертое переягЬщеше.—Наконецъ, перекладываемъ на сво-
свободныя м'Ьста даму пикъ съ королемъ трефъ и получаемъ требуе-
требуемое расположеше: идутъ годрядъ четыре черныхъ и четыре
красныхъ карты.
Изъ этого посл^дняго расположен!я картъ, наоборотъ, можно
перейти къ первому также четырьмя перемйщетями.
Ръчпите эту обратную задачу. Теперь это не трудно!
Задача 61-я.
Пять паръ.
Кладутъ въ рядъ пять красныхъ и пять черныхъ
картъ въ перемъ-нномъ порядкъ-: красная, черная, крас-
красная, черная и т. д.
7*

100
Требуется, пользуясь двумя свободными местами и
перемещая на нихъ по дв-fe карты безъ измъ-нешя ихъ
взаимнаго положешя, въ пять перемгЬщенш располо-
расположить ихъ такъ, чтобы красныя карты были съ крас-
красными, а черныя съ черными.
«-«•¦¦«¦
о
И
о
в
а,
03
О)
о
1=1
О)
g
>а
З
О
оооо
о о
оооо
a
CD
to
CD
M
и
s
с
1
Я
g
о
оЗ
Я
S
ее
05
В
I
о
S
оЗ
И
О)
оооо
о о
оооо
оооо
о о
оооо

101
P5
CD
О)
¦ ¦¦«•
О О OO
О О
О О OO
8
И
а
в
а
1
Н
и
VO
«HI
О
оооо
о о
оооо
мое.
о
VO
олучается тре
с
ts
118
о
оооо
о о
оооо
Задача 62-я.
Шесть паръ.
Положены въ рядъ въ перем'Ьнномъ порядкъ1 шесть
красныхъ и шесть черныхъ картъ: красная, черная,
красная, черная и т. д. Пользуясь двумя свободными

102
м'Ьсталш, требуется, передвигая каждый разъ только
по 2 карты безъ изм-Ьнешя ихъ взаимнаго положешя,
въ шесть перемещены расположить черныя карты съ
черными, а красныя съ красными.
о
и
о
В
картъ
эшэа
эное располо-
начал]
перво
•* *
Е>?> ?> Е>
?> Е>
?>?>?>?>
+Л+
Е> Е> 5> Е>
?>
?>?>?>?>
+ -Ь +
Е> ?> О
С- Е>
?>?>?>
4-4-4-4-
4- 4-
4-4 4 4-
о о о о
о о
оооо
¦ 4-4-4-
4-
4- «- 4/ •¦
ОООО
о
оооо
¦ 4-4-
4- 4-
4- 4- «-
О О О
о о
о о о
1
I
<s
<s
о
<s
к
•f +
+ + ^-*
?>?>?>?>
о
?> О !>
Е> 0-
^ С* &
4-4-4-4-
4- 4-
4-4-4-4-
оооо
о о
оооо
«•4-4- 4-
4-
«-4-4-4-
ооо о
о
оооо
¦ ¦¦•••
«• 4-
4- ¦ 4-
О О О
о о
о о о
?>?>?>?>
?> ?>
?>?>?>?>
•
•S
>т
Е
<s
Н
<s
о
о
W
4- + +
Е> €> Е>
?>?>?>
D(> 5> ?>
О
4- 4-
4-4-4-4-
ооо о
о о
оооо
«-4-4-4-
4-
«-¦ 4-4-
ОООО
о
оооо
4- 4-
4-4-4-
о о о
о о
о о о
?>?>?>?>
?> t>
?>?>(>(>

со о
X X
я
¦а*
га	о
К	я
-1	О
pa	ov
tQ	О
я
if
В *
tT1
Я
Е
ны
1 ^
73 СТ^
fa ^j
Я
ft я
Я о
rS	^
is	?j>
Сй	73
ъц	ас
-	Е
олько
О	Я	G1
(г>	й	Я
fa	S	^§
ь	^	ч
CD
3
«г
3
•а
со
go
go
J3
CD
CO
1
Третье перем-Ьщеше:
СО
°0°
О 0
0%
4- 4- ¦ 4-
4-
4-4-4-4-
o о о о
о о
с- о о о
<- <- 4- 4-
4 4
4-4 4-4-
* ' •
А
0 0
о0о
0 0
:*:
hi
Четвертое перем^щеше:
+ +
V V
%°
0 0
0%
:-:
***
оооо
о о
О ОО О
0 0
0°0
0 0
+ +
Пятое перепгЬщеше:
Шестое и последнее, решающее задачу перемйщеше:
1 +
Л Л.
Л
+++
¦¦¦
оооо
о о
оооо
v v
0 0
о°о
оооо!
о
ООО cj
<yv^
9? <?
о
со
4-4-4-
4- ¦
4-4-4-
оооо
о о
оооо
0 0
0
0 0
оооо
о
оооо
:«:
+ А*

104
по 2 карты безъ изм-Ьнешя ихъ взаимнаго положешя,
въ семь перемЪщенш расположить черныя карты съ
черными, а красныя съ красными.
о
К
?
к
исун
н
й у
Н <D
& "ЕЗ
¦-и о
М
j объясняется
ьное располо
И еЗ
О ев
И Я
ать, в
Перво
ъ
о
н
CD
tQ
+ + 4--Ь
?> ё> Б» Е>
Е> ?> Е> ?>
-I- 4 + *
&?>?>?>
+ 4- -Ь
+ •:-
+ -г 4-
?>?>!>
С> О- Е>
4-4-4-4-
4- 4-
4-4-4-41
ООО О
о о
О О О О
tf »t
4-4 4-4-
о о о о
о
о о оо
4-4-4-
4- 4-
4-4-4-
о о о
о о
ооо
4- 4- «-
4-
4-4-4-
о о о
о
ооо
1
CD
CD
4- 4-
?>?>?>?>
Е> Е> Е> Е>
+* + *+
¦>?>?>
Е> Е> S>
4-4-4-4-
4- 4-
О О О О
о о
оо о о
4- ¦ 4 «-
4-
4 4-4-4-
ОО О О
о
с о о о
*- «- 4-
* 4-
*- «- 4-
О О ¦¦>
о о
о о о
1-4
4-4-4-4-
4-
¦ «- 4-4-
О О О О
о
о о оо
D 5s ?> .-
!>
г> f> J> с>
+ 44
!> ?> ?>
?> ?>
* 4.4- 4-
4- 4-
о с- с о
о о
о о с о
W
4-
4-4- 4-4
О ОО О
о
о о о о
J> {>?»?>
+ ^- *f<
4- + +
- 1—i
¦ ¦< 4-
4- 4-
«- €- 4-
о о о
о о
ооо
4-4-4-
4-
4-4-4-
1о о о
о
ооо
&?>?>?>
О Е>
+
4-4-4-
<-
4-4-4-
О v О
О
ооо
{>?>?>?>
D E> E> D
+ -3- %* 4-
-: -ь-:- +
ооо о
о о
о о о о
D ?> ?>
?> ?>
€> Е> ?>
4-4- 4-4-
4- 4-
4-4-4-
4г 4-
4-4-4-
о о о
о о
о о о
4-4-4-
¦ 4-4-
ООО
о
ооо
4-4-4-4-
4- 4-
+ + + +

105
+ +
¦ «-¦¦
¦ «--•¦«<
оооо
о
ОООО
?>?>?>?>
?>?>?> ?>
УА
*¦*•*¦
*• *¦
ООО
о о
ООО
Оооо
о о
оооо
?> ?> О
?> ?>
?> О ?>
«-«-«-«-
¦ 4>
¦ ¦4>«-
«г « «•
«г ¦ ¦
ооо
о
о о о
?> Е> Е> 0
С- ?>
+ ++-J
^ + + •1
>
«-«-«-«-
4
4-4 4 4-
ооо о
о
оооо
?>?>?>?>
С-
ООО
О О
ООО
оооо
о о
оооо
?>?>?>
?> О
Е> ?> D
4- ¦ 4-
-С- ¦
4-4-4-
•€- ¦ ¦
4- ¦ ¦
ООО
о
ООО
!>?>&?>
D ?> Е> О
* + + *
+ +
оооо
о
оооо
<
<
е> е> е> е>
?>?>?>?>
ООО
о
ООО
?>?>?>&¦
?>?>?>?>
ООО
О О
ООО
ОООО
о о
оооо
?> ?> D
D D
D 5> Е>
«- 4>
¦ 4г «-¦
4- *
4- 4> 4-
4- 4-
4- «- 4-
4-4-4-
4-4-4-
?
1
>ооо
о
>о оо
>& Е> 5>
?>
& О О
О
с> о о
>?>?>?>
?> ?>
>?>&?>
>
ООО
О О
ООО
ОООО
о о
оооо
?>?>?>
Е> ?>
D ?> Ь
*¦ *«¦¦
4г ¦
4- 4- +
«• 4- ¦
4» 4-
¦ •«-«-
«• «- *
+ + + +
¦ «-¦ 4-
«-
•• 4- ••-¦
+ + + +

Задача 64-я.
Обманутый хозяинъ.
Следующая задача объ обманутомъ хозяин^ и воришк4-
сопровождается математическимъ доказательствомъ. Кому
не охота разбираться въ этомъ доказальствй, или кто не мо-
жетъ этого сделать,—пусть пока см4ло опускаетъ его. Но въ
самой задачи, какъ и въ следующей, сов'Ьтуемъ разобраться и
придумать еще подобныя же задачи.
Хозяинъ устроилъ въ сЕоемъ погребъ- шкафъ въ
формЪ квадрата съ 9-ю отдъ-лешями. Среднее (внутри)
отдъ-леше онъ оставилъ свободнымъ для пустыхъ буты-
бутылокъ, а въ остальныхъ расположилъ бо бутылокъ вина
такъ, что въ каждомъ угловомъ отдЪлеши ихъ было
по 6, а въ каждомъ изъ среднихъ по 9- Такимъ обра-
зомъ, на каждой сторонт> квадрата было по 21 бу-
тылктз. Слуга подмъ-тилъ, что хозяинъ провт^ряетъ число
бутылокъ только такъ, что считаетъ бутылки по сто-
ронамъ квадрата и наблюдаетъ только за т'Ьмъ, чтобы
на каждой сторонъ- квадрата было по 21 бутылкъч
Тогда слуга унесъ сначала четыре бутылки, а остальныя
разставилъ такъ, что вновь получилось по 21 на ка-
каждой сторонъ-. Хозяинъ пересчиталъ бутылки своимъ
обычнымъ способомъ и подумалъ, что бутылокъ

107
остается то же число, и что слуга только переставилъ
ихъ. Слуга воспользовался оплошностью хозяина и
снова унесъ 4 бутылки, разставивъ остальныя такъ,
что на каждой сторонъ- квадрата выходило опять по
21 бутылкЪ. Такъ онъ повторялъ, пока было возможно.
Спрашивается, сколько разъ онъ бралъ бутылки, и
сколько всего бутылокъ онъ унесъ?
Р-Ьшеше.
Слуга бралъ себъ1 по бутылки изъ каждаго средняго отд^-
лешя и изъ тЬхъ же отдйлешй, чтобы обмануть хозяина, посл4
каждаго воровства прибавлялъ по бутылкъ1 въ угловыя отд4ле-
шя. Такъ онъ воровалъ 4 раза по 4 бутылки, а всего, значить,
унесъ 16 бутылокъ. Все это очевидно изъ нижесл-Ьдующаго
(фиг. 22):
Первоначальное
расположеше
бутылокъ.
1-я кража.
2-я кража.
6
9
6
9
9
6
9
6
7
7
7
7
7
7
7
7
8
5
8
5
5
8
5
8
3-я кража.
4-я кража.
9
3
9
3
3
9
3
9
10
1
10
1
1
10
1
10
Фиг. 22.
Зам$чате. Математически вопросъ рязъясняется такъ:
Обозначаемъ черезъ а число бутылокъ въ каждой угловой
кл4тк4 (въ нашемъ случай а =6) и черезъ b число бутылокъ

108
въ каждой изъ средни хъ клФтокъ (въ нашемъ случай Ь = 9).
Тогда, очевидно, число всйхъ бутылокъ есть ±(а-}-Ь), или это
же число можно написать такъ:
2(a + b f а)+2Ъ.
Итакъ, если сделать такъ, чтобы сумма а -} b -\- а оставалась
постоянной, то число бутылокъ будетъ уменьшаться съ умень-
шешемъ Ь; и если b уменьшится на два, то общее число бу-
бутылокъ уменьшится на 4. Следовательно, всякй разъ, какъ
слуга бралъ по 2 бутылки изъ каждой средней клетки, что со-
составляло 8 бутылокъ,—онъ ставилъ по одной бутылкъ1 въ ка-
каждую изъ угловыхъ клт/гокъ, а 4 остальныхъ бутылки уносилъ.
Въ каждой изъ среднихъ кл'Ьтокъ было первоначально 9 буты-
бутылокъ. Следовательно, подобныя операцш слуга лгогъ произвести
4 раза и унести всего 16 бутылокъ.
Мы предположили, что, таская бутылки, недобросовестный
слуга сохранялъ, все же, сшшетрш первоначальнаго распре-
д-Ьлешя бутылокъ. Но можно предположить и какое угодно не-
несимметричное распредт>леше бутылокъ, лишь бы число ихъ S,
считая по каждой сторонт, квадрата, оставалось безъ измЬнешя.
Пусть, въ самомъ д4лт>, числа бутылокъ въ угловыхъ кл4ткахъ
будутъ т, п, р, q (фиг. 19). Тогда число всЬхъ бутылокъ есть
4S— (m + n + p + g).
Эта сумма уменьшится, если увеличится m -\- п + р -f- Ц.,
но S остается постоянньшъ. Напр. отнимемъ отъ /"и к по х бу-
m
к
Р
Г
h
п
е
1
Фиг. 23.
тылокъ, т. е. всего 2х бутылокъ. Если теперь ос прибавить къ
т, то S не изменится, и въ то же время число всЬхъ буты-
бутылокъ будетъ уменьшено на х. То же самое получится, если взять
по х бутылокъ отъ f и д и прибавить х бутылокъ къ п и т. д.

109
Точно также, если отнять по х отъ каждаго изъ чиселъ /,
д, h, к и прибавить по х къ т и q} или къ п и р, или по?
къ каждому изъ чиселъ т, п, р и д, то /8 не изменится, и
въ то же время число всЬхъ бутылокъ уменьшится на 2х.
Итакъ, можно по желашю уменьшать число бутылокъ на 1,
2, 3, 4 и т. д.
Задача 65-я.
Сл-Ьпая хозяйка.
Служанки находятся въ восьми комнаткахъ, кото-
рыя расположены такъ: 4 комнатки по угламъ квад-
ратнаго дортуара, а 4 остальныхъ въ серединъ* ка-
каждой стороны. Слъ-пая хозяйка провъ-ряетъ число слу-
жанокъ, находящихся въ трехъ комнатахъ каждой
стороны дортуара, и находитъ всюду 9 служанокъ.
Черезъ несколько времени она провъ-ряетъ, все ли въ
комнаткахъ. Считаетъ опять и находитъ въ каждомъ
ряду комнатъ опять то же число служанокъ, несмотря
на то, что къ нимъ пришли въ гости 4 подруги. Че-
Черезъ несколько времени, опять тъ-мъ же порядкомъ,
что и раньше, хозяйка провъ-рятъ число служанокъ
и находитъ опять по 9 въ каждомъ ряду, хотя 4 СЛУ~
жанки вышли вмъ-стъ- съ 4"ыя подругами. Какимъ
образомъ служанки обманывали хозяйку?
Р"Ьшен1е.
Ответь легко вид'Ьть изъ pascsiOTpiHifl слФдующихъ фигуръ
1-е посбщеше
хозяйки.
2-е пос?щеше
хозяйки.
3-е nocini,eHie
хозяйки.
3
3
3
3
3
3
3
3
•>
5
•>
5
5
5
о
4
1
4
1
1
4
1
4

110
Можно допустить еще, что 4 служанки, возвратившись, ка-
каждая привела съ собой еще двухъ подругъ, а хозяйка, считая
по своему, все же не заметила бы обмана, если бы вс4 рас-
расположились такъ (фиг. 24):
1
i
1
*
7
1
i
1
Фиг. 24.
Задача 66-я.
Разстановка буквъ.
Въ квадратЬ, состоящемъ изъ i6 клвтокъ, разста-
вить четыре буквы такъ, чтобы въ каждомъ гори-
зонтальномъ ряду, въ каждомъ вертикальномъ ряду
и въ каждой д]агонали встречалась только одна буква.
Какъ велико число рътешй этой задачи при одина-
ковыхъ и разныхъ буквах?.?
Р-Ьшеше.
Прежде всего положимъ, что буквы одинаковы. Поставимъ
одну букву въ какой-нибудь кл'Ьтк'Ь первой д!агонали. Съ этой
а
а
а
а
Фиг. 25.

Ill
клеткою во второй ддагонали есть одна клйтка. стоящая съ
ней въ томъ же горизонтальномъ ряду, и одна въ томъ же
вертикальномъ ряду; въ одной изъ остальныхъ двухъ клйтокъ
второй Д1агонали можно поставить вторую букву. Дал4е, легко
заметить, что двухъ буквъ, поставленныхъ на д1агоналяхъ,
вполне достаточно, чтобы, сообразно ушшямъ задачи, разста-
вить двй остальныя буквы. Итакъ, если дано двЪ буквы въ
одной Д1агонали, то задача ингЬетъ два ръчпешя; но такъ какъ
первую букву можно поставить въ какой угодно клйткъ1 первой
Д1агонали. то задача им^етъ 2x4 = 8 piunemfl. Bci восемь
р^шенШ получаются изъ одного поворачиватеиъ и переворачи-
ватемъ квадрата. Такъ какъ четыре различныхъ буквы можно
перемещать 24-мя способами, то при четырехъ разныхъ бу-
квахъ задача им^етъ 8X24=192 р4шешя.
Задача 67-я.
Данъ квадратъ, состоящш изъ тб клЪтокъ. Тре-
Требуется разставить въ клЪткахъ этого квадрата по че-
четыре раза каждую изъ четырехъ буквъ а, Ь, с, d та-
кимъ образомъ, чтобы въ каждомъ горизонтальномъ
и вертикальномъ ряду и въ каждой д1агонали не было
одинаковыхъ буквъ. Какъ велико число рЪшешй этой
задачи?
Pinieme.
Прежде всего ясно, что буквы, стояпця въ угловыхъ кл4т-
кахъ, должны быть различны. Поэтому поставимъ въ произволь-
номъ порядк^ четыре буквы по угламъ.
а
с
b
d
Фиг. 26.

112
Въ среднихъ шгЬткахъ д1агонали, содержащей а и d. должны
стоять буквы Ъ и с, но онт. могутъ быть поставлены въ одномъ
или въ другомъ порядки:
а
с
b
с
b
d
Фиг. 27.
а
с
с
b
b
d
Легко вид'Ьть теперь, что разставленныхъ буквъ вполнъ1 доста-
достаточно,, чтобы сообразно данныыъ услов1ямъ разставить буквы
въ остальныхъ кл'Ьткахъ. Прежде всего разставимъ буквы въ
крайнихъ горизонтальныхъ и вертикальныхъ рядахъ, а потомъ
во второй д1агонали. Такимъ образомъ получимъ:
а
d
b
с
с
b
d
а
d
а
с
b
b
с
а
d
Фиг. 28.
а
b
d
с
d
с
а
h
с
d
Ь
а
Ъ
а
с
d
Итакъ, если разставлены буквы въ угловыхъ кл^ткахъ, то за-
задача им^етъ два р^шешя. Но такъ какъ четыре буквы можно
перемещать 24-мя способами, то задача им4етъ 24X2=48 pi-
шешй.
Зам^тимъ зд^сь, что лзъ одного найденнаго квадрата пово-
рачиван!емъ и переворачиван1емъ его можно получить еще семь
подобныхъ квадратовъ.
Если мы условимся считать вев квадраты, полученные по-
ворачиван!емъ одного квадрата, за одно р^шеше, то при этомъ
условш задача им^зетъ 48: 8 = E

113
Задача 68-я.
Волшебный квадратъ изъ 9 кл-Ътокъ.
Расположить въ три ряда девять картъ, отъ туза
(принимаемаго за i) до девятки такъ, чтобы число
очковъ каждаго ряда, считая справа налево (гори-
(горизонтально), сверху внизъ (вертикально) и съ угла на
уголъ (по Д1агоналямъ), было одинаково.
PimeHie.
Расположимъ сначала карты такъ (фиг. 29):
***
4- 4-
4- 4-
>
4- 4-
* 4-
* *
+ *
4- *
* 4-
4-
Фиг. 29.
Всл4дъ затЬмъ кладемъ на незанятыя м4ста: туза подъ пя-
пятеркой, девятку—надъ пятеркой, тройку—слива, а семерку —
справа отъ той же пятерки и получимъ требуемое распре-
д|Ьлен1е картъ.
Если означимъ карты соответственными цифрами отъ 1 до
9, то это ргЬшеше изобразится такъ:
ВЪ Ц1РСТВВ СМЕКАЛКИ. КИ. 1.	8

114
7
<
8
1
5
9
2
6
3
4
3
8
9
5
1
Фиг. 31
7
6
• *
*
• ш
т Ш
•
—
•
•
•
•
• т
• •
• •
• •
• •
• •
Фиг. 32.
Фиг. 30.
Квадратъ, полученный на фиг. 31-ой,
и есть то, что называется волшебнымъ квад-
ратомг изъ 9-ти шгЬтокъ. Въ немъ сумма
чиселъ каждаго ряда, столбца и д!аго-
пали= 15.
Можно также для этой задачи, вм-Ьсто
картъ, взять соответствующая домино. По-
лучимъ фиг. 32.
Если въ данномъ примири съ картами
заменить тузъ двойкой, двойку—тройкой,
тройку — четверкой и т. д., наконецъ де-
девятку—десяткой, то получимъ тоже волшебный квадратъ:
к? о
^ с?
S? S?
9 <?
о
о
или тоже
числами:
5
4
9
10
6
2
3
8
7
Фиг. 33 а.
Фиг. 33.
Въ каждомъ ряду, столбцгЬ и д!агоналп этого посл'Ьдняго
квадрата заключается 18 очковъ, или единицъ.

11Б
Задача 69-я.
Въ 25 кл-Бтокъ.
Расположить 2> чиселъ, начиная отъ г до 25, въ
вид-Ь квадрата съ 25 клетками такъ, чтобы въ каждомъ
вертикальномъ, въ каждомъ горизонтальноыъ ряду и
съ угла на уголъ Гпо объ-имъ Д1агоналямъ) получались
одинаковыя суммы.
Pinieirie.
Строимъ квадратъ съ 25 шгЬтками ABCD (фиг. 35), загЪмъ
на всйхъ его сторонахъ строимъ еще по 4 клътки, чтобы по-
получилась фиг. 34-я. Вслйдъ затъчиъ въ полученной фигуръ* рас-
полагаемъ косыми рядами числа въ посл'Ьдовательномъ порядки,
какъ указано на фиг. 34-й. Перенеся, затЪмъ, числа, стоящдя
въ клйткахъ вн'Ь квадрата ABCD, соответственно на располо-
ложейныя дальше отъ нихъ свободныя клетки въ т^хъ же столб-
цахъ или рядахъ, получимъ требуемое (фиг. 35).
А
21
16
22
С
11
17
23
е,
12
18
24
1
7
13
1!)
25
2
8
14
20
3
9
15
В
4
10
5
Л
11
4
17
m
23
2-1
12
5
18
G
7
25
13
1
19
20
8
21
14
2
3
16
9
оо
15
Фиг. 35.
Фиг. 34.

116
Задача 70-я.
Раскладка картъ.
Взято по четыре «старшихъ» карты каждой масти
(тузъ, король, дама и валетъ каждой масти). Требуется
эти шестнадцать картъ расположить въ видъ- четыре-
угольника такъ, чтобы въ каждомъ горизонтальномъ
ряду, въ каждомъ вертикальномъ ряду и въ каждой
д1агонали находились въ какомъ-либо порядкъ- тузъ,
король, дама, валетъ и притомъ разныхъ мастей.
Pinieme.
Рътпеше изобразится такой таблицей:
Тузъ
червей.
Валетъ
бубенъ.
Король
пнкъ.
Дама
трефъ.
Король
трефъ.
Дама
пикъ.
Тузъ
бубенъ.
Валетъ
червей.
Дама
бубенъ.
Король
червей.
Валетъ
трефъ.
Тузъ
пикъ.
Валетъ
пикъ.
Тузъ
трефъ.
Дама
червей.
Король
бубенъ.
Фиг. 3G.
Придти къ этому р-Ьшенш можно путемъ слЪдующихъ раз-
суждешй:
Обозначимъ черезъ Л, В, С и D назвашя картъ незави-
независимо отъ ихъ мастей, а черезъ а, Ь, с, d ихъ масти. Задача
сводится къ тому, чтобы въ 16 кл'Ьткахъ квадрата разсмъттить
четыре большихъ буквы А, В, С, В такъ, чтобы вс4 четыре
находились въ каждомъ горнзонтальномъ и вертикальномъ ряду
и въ каждой Д1агонали, и то же самое сделать съ малыми бу-
буквами «г, Ъ, с, d такъ. чтобы они комбинировались съ большими
вс4ми возможными способами.
Расположимъ сначала больипя буквы, что не представляетъ
затруднешй. Расположимъ ихъ по алфавитному порядку вх

117
первой горизонтали и заполнимъ щагональ, идущую слева на-
направо,—это можетъ быть сделано только двумя способами: или
А, С, D, В, или Д, 1), В, С. Примемъ первое расположеше
и заполнимъ затт^мъ остальныя клетки квадрата, что можетъ
быть сделано уже только единственнымъ нутемъ. Получимъ квад-
квадратъ фиг. 37.
А
D
В
С
В
С
А
D
С
В
Ь
А
D
А
С
В
Аа
Db
Be
CM
Bd
Сс
Ab
Da
Cb
Ba
Dd
Ac
Dc
Ad
Ca
Bb
Фиг. 37.
Фиг. 38.
Чтобы разместить малыя буквы, мы сначала приставимъ къ
каждой д1агональной букве А, С, D, В по малой букв'Ь того
же наименовашя, а зат^мъ будемъ брать по две клетки, равно-
отстоящихъ по o6i стороны оть этой д1агонали, и около каждой
большой буквы поставпмъ малую одноименную съ большой буквой
другой соответствующей клетки. Получимъ квадратъ. изображен-
изображенный фиг. 38-й.
Если замт>нимъ теперь А, В, С, D соответственно черезъ
туза, короля, даму, валета, а буквамъ а, Ь, с, d иридадимъ
значеше мастей: черви, бубны, пики, трефы,--получимъ выше-
вышеприведенное р'Ьшеше задачи (фпг. 36).
Больш1я буквы можно заменить тузомъ, королемъ, дамой
и валетомъ 24-мя различными способами, точно также 4 малень-
шя буквы ложно заменить 4-мя мастями 24-мя способами. Та.къ
что можно получить 24X24=576 буквенныхъ peiuenin этой
задачи.
Замйчаше. Некоторыя изъ вышеприведенныхъ задачъ пред-
ставляютъ примеры вопросовъ, относящихся къ общей теорш
такъ назьтваемыхъ волшебныхъ квадратовъ. Задачей о соста-
вленш волшебныхъ квадратовъ математики занимались еще въ

118
глубокой древности, и происхождеше этой задачи приписы-
приписывается индусамъ. Несмотря, однако, на свою древность, нельзя
сказать, чтобы и по настоящее время вопросъ о волшебныхъ
квадратахъ былъ разрйшенъ и исчерпанъ вполнй. Зависитъ это
бол^е всего отъ того, что Teopia волшебныхъ квадратовъ стоитъ
особнякомъ и мало пока имъетъ связи съ остальной математикой.
Для желающихъ болйе основательно познакомиться съ этой инте-
интересной областью математики ниже мы даемъ нъчкоторыя обпця
положешя теорш волшебныхъ квадратовъ въ превосходномъ и
краткоыъ изложенш проф. В. П. Ермакова («Журналъ Элем.
Математики». Т. I. 1885 г.), позволивъ ce6i сделать въ зтпхъ
статьяхъ кое-кашя сокращешя.
Св'Ьдъ'шя по исторш и литератур-Ь вопроса читатель можетъ
найти также у Gunther'a: «Vermischte Untersuchungen zar
Geschichte der matematischen AVissenschafteu», кар. [V и др.,
G. Arnoux: «Arithmetique graphique; les espaces arithmetlques
hypermagiques».

Додои но.
Историческгя справки.
Предполагаютъ, что игра домино перешла къ намъ отъ
индусовъ или грековъ. Действительно, простота этой игры на-
водитъ на мысль, что она придумана еще въ очень отдален-
ныя времена, на первыхъ ступеняхъ цивилизацш. Что касается
назвашя самой игры, то филологи находятся относительно этого
въ разногласш. Иные ищутъ его корня въ древнехананейскихъ
наръ^яхъ, но B^poTHTie всего такое предположеше. Игра въ
домино въ прежшя времена была дозволена въ монастыряхъ и
религюзныхъ общинахъ. Но всякое Д'Ьло начиналось тамъ, какъ
известно, съ восхвалешя имени Бож!я. И когда игрокъ вы-
ставлялъ первую кость, онъ пронзносилъ: «benedicamus Domino»
(бенедикамусъ Домино), т. е. «восхвалимъ Господа». Или про-
произносилось «Domino gratias» (Домино гратаасъ), т. е. «благо-
дареше Господу». Отсюда и получилось въ сокращенш просто
слово Домино.
ОпредЪпешя.
Домино суть прямоугольныя продолговатыя плитки, ширина
которыхъ обыкновенпо вдвое больше толщины, а длина вдвое
больше ширины. Дтлаются онт> чаще всего изъ кости, или де-
дерева, а также и изъ металла; нижняя часть ихъ обыкновенно

120
черпая, а верхняя б'Ьлая п разделена на два квадратика, на
которыхъ обозначены точки плп очки домино. Чаще всего игра
состоять пзъ двадцати восьми домино, образующихъ вев комби-
пацш по два изъ семи чиселъ:
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Каждое домино определяется чпсломъ очковъ. заключаю-
заключающихся на двухъ его квадратахъ, и въ зависимости отъ этого
называется двумя числами, наприм., нуль и пуль обозначаетъ
пустое, б4лое домино, на квадратахъ котораго нъ-тъ очковъ;
нуль и одинъ—домино, на одномъ изъ квадратовъ котораго есть
одно очко, а другой густа; четыре и пять -домино, на одномъ
квадратй котораго стоитъ 4 очка, а на другомъ пять, и т. д.
Сообразно съ ятпмъ мы буделъ обозначать домино двумя ци-
цифрами, показывающими число очковъ на каждомъ квадратики п
поставленными рядомъ. Такъ, домино нуль и пуль будемъ обо-
обозначать 00, домино четыре и шесть обозначишь черезъ 46 и т. я.
Расположпмъ всю игру изъ 28 домино въ такомъ порядк'Ь
(фиг. 39):
06
05
04
03
02
01
00
16
15
14
13
12
11
26
25
24
23
22
36
35
34
33
46
45
44
56
55
66
Фиг. 39.
Если взять сумму всЬхъ очковъ, содержащихся во всей nrpi
домино, то окажется 168 очковъ.

121
Среднее.
ВсЬхъ очковъ на всЬхъ 28 плпткахъ, какъ сказано выше,
168. Если это носл'Ьднес число поделить на число домино
(шштокъ), то получимъ среднее каждой «кости», или плитки.
Это среднее, какъ видимъ, равно шести, и оно останется такпыъ
же, если мы отбросимъ всЬ двойняшки, т. е. двойныя домино,
какъ 66, 55, 44. и т. д. Это можно проверить непосред-
непосредственно. Въ самомъ д^лЬ, всЬхъ двойпяшекъ въ игр-Ь семь
F6, 55, 44, 33, 22, 11, 00), а число заключающихся въ ннхъ
очковъ оказывается равнымъ 42, (%-\-6-{-Ь-{-Ь-\-к-\-к-\-Ъ-\-
4-3-[-2-|-2-4-1-4-1= 42). Вычитая число 42 изъ общаго числа
очковъ всей игры 168, получаемъ 126, дгЬля же это последнее
число на число оставшихся домино, т. е. на 21 B8 — 7=21),
получаемъ опять среднее 6.
Есть игры домино съ болынимъ количествомъ костей. Такъ
можно составить игру, гдЬ наибольшая кость будетъ 77, и тогда
всЬхъ костей будетъ 36. Въ nrpi, гдъ1 наибольшее должно
будетъ 88, всЬхъ домино будетъ 45 и т. д. И во всЬхъ
такихъ играхъ относительно ихъ средняго будетъ наблюдаться
одна и та же последовательность. Среднее для игры, въ которой
наибольшее домино есть 77, будетъ семь, среднее для игры
долино съ наибольшей костью 88, будетъ восемь и т. д.
Дополнительныя домино.
Если возьмемъ 2 домпно (обыкновенной игры, гд^ наивыс-
наивысшая кость 6) такихъ, что числа очковъ квадратиковъ въ одноыъ
дополняютъ числа очковъ квадратиковъ въ другомъ до шести,
то ташя домино называются дополнительными другъ друга.
Такъ, наприм., домино 23 и 43 будутъ дополнительными другъ
другу, какъ и домино: 12 и 54, 14 и 52 и т. д.
Въ разсматриваемой нами обыкновенной игрЬ изъ 28 костей
есть четыре кости: 06, 15, 24 и 33, которыя дополняютъ сами
себя, т. е. не пмъчотъ другихъ дополнптельныхъ.
Если взять для всей игры всЬ ея дополнительныя домино,
то получимъ ту же игру только въ другомъ порядки.

122
Въ чемъ состоитъ игра.
Игра проста и состоитъ, въ общихъ чертахъ, въ сл^дую-
щеиъ. Два, или бол-Ье, игрока д-Ьлятъ между собой кости игры.
Чаще всего играютъ съ щжкупомъ, т. е. берутъ по известному
равному числу костей, а остальныя кости лицевой частью внивъ
лежатъ въ сторонтз. 1-й игрокъ выкладываетъ на столъ какое-
либо свое домино, 2-й по порядку долженъ приставить къ любому
ивъ квадратиковъ этого домино такую свою кость, квадратикъ
которой ии4лъ бы столько же очковъ, сколько находится на
квадратики выставленной кости. Получается фигура изъ двухъ
костей, оканчивающаяся двумя квадратиками. Къ любому ивъ
этихъ квадратиковъ сл^дующш игрокъ долженъ приложить свою
соответствующую кость и т. д. по порядку. Если у кого не
находится соотвтзтствующаго домино, онъ беретъ кости ивъ при-
прикупа до тЬхъ поръ, пока не найдетъ таыъ нужнаго доыино,
которое и приставляетъ къ образованной на столтз фигуръ\
Выигравшимъ считается тотъ, кто первый усп-Ьетъ положить все
имЬюпцяся у него домино. Основы игры, какъ видимъ, весьма
просты и несложны, а между ттшъ съ помощью домино можно
получить весьма поучительныя и полезныя развлечешя.
Забава-задача.
Переверните лицомъ внизъ всЬ кости игры домино. Одну же
изъ костей тихонько спрячьте, наблюдая только, чтобы эта кость
не была двойная. Заттшъ предложите кому-либо взять любую
ивъ лежащихъ на столй костей, посмотреть ее и положить на
столъ вверхъ лицевой стороной, а всл^дъ затъчиъ пусть онъ же
раскроетъ и всЬ остальныя домино и расположить ихъ вм-ЬстЬ
съ первой открытой костью по правиламъ игры, но такъ, чтобы
не замкнуть игры и не брать въ расчетъ двойняшекъ, или же
ввести ихъ въ игру внгЬ очереди. Получится некоторое располо-
жеше костей всей игры домино: и вы сможете зарангье пред-
предсказать числа очковг, которыя получатся на концахъ этого

123
расположения. Эти числа будутъ какъ разъ гЬ, которыя на-
находятся на квадратикахъ раньше спрятаннаго вами домино.
Въ самомъ д^'Ь, если расположить всЬ домино одно за
цругимъ въ иорядк^, требуемомъ привилами игры, т.-е. чтобы
посл'Ьдовательныя кости соприкасались квадратиками съ одинако-
вымъ числомъ очковъ, то игра всегда окончится такимъ же
числомъ очковъ, какимъ она началась. Если, скажемъ, располо-
жеше костей начинается квадратикомъ съ 5-ю очками, то оно
и окончится 5-ю, при условиз, конечно, не закрывать игру, пока
не будутъ положены вей кости. Итакъ, всЬ.28 костей игры
можно расположить, соблюдая правила игры, до кругу, и если
изъ этого круга отнять, иапримйръ, кость три и пять, то
ясно, что расположеше остальныхъ 27 костей начнется съ одной
стороны пятью, а окончится тремя.
Этой небольшой забавой вы можете очень заинтересовать
тЬхъ, кто не знаетъ, въ чемъ дъ\ло,—особенно, если показать
видъ, что вы будто бы производите въ умъ1 самыя сложныя
вычислешя. СлгЬдуетъ также при повторенш забавы по возмож-
возможности ее разнообразить и видоизменять.
Задача 71-я.
Наибольший ударъ.
Допустимъ, что играютъ въ домино четверо и что между
ними" поделены всЬ кости поровну, т.-е. при начали игры у
каждаго игрока есть по семи костей. При этомъ могутъ полу-
получаться так1я пнтересныя расположешя костей, при которыхъ
первый игрокъ обязательно выигрываешь въ то время, какъ
второй и трепй игроки не смогутъ положить ни одной кости.
Пусть, напр., у перваго игрока будутъ четыре первыхъ нуля и
три посл'Ьднихъ туза, т.-t;. ташя кости:
00, 01, 02, 03, 14, 15, 16,
а у четвертаго игрока пусть будутъ остальные тузы и нули,
т. е. кости:
И, 12, 12, 13, 04, 05, 06

124:
п еще какая-либо кость. Остальныя домино поделены между
2-мъ и 3-мъ игроками. Въ такомъ случай первый пгрокъ не-
необходимо выигрываетъ после того, какъ будутъ положены всЬ
13 указанныхъ выше домино, а 2-й и 3-й игроки не смогутъ
поставить ни одного пзъ свопхъ домино.
Въ самоыъ деле, первый игрокъ начинаетъ игру и ставить
60. Второй и треий досадуютъ, ибо у нихъ нить подходящей
кости. Тогда четвертый игрокъ можетъ положить любую изъ
трехъ костей 04, 05 или Об. Но первый приложить въ отв'Ьтъ
41, 51 или 61. Второй и третш опять не смогутъ ничего по-
положить, а четвертый поставить 11, или 12, или 13, на что
первый можетъ ответить костями 10, 20, 30 и т. д. Такимъ
образомъ онъ положить всЬ свои кости въ то время, какъ у
второго и третьяго игрока останутся все ихъ домино, а у чет-
вертаго одно. Сколько же выигрываетъ первый? Сумма очковъ
въ положенныхъ 13-ти домино равна, какъ легко видеть, 48.
а число очковъ всей игры есть 168. Значить первый игрокъ
выигрываетъ 108 — 48=120 очковъ въ одну игру. Это наи-
болъшШ ударь!
Можно составить и друпя партш, подобныя предыдущей.
Для этого стоитъ только нули и единицы заменить соответ-
соответственно домино съ иными количествами очковъ 2, 3, 4, 5 или
6. Число подобныхъ партш, следовательно, равно числу всйхъ
простыхъ сочеташй изъ семи элементовъ по 2, т.-е. равно 21.
Ясно, что вероятность получить такую партш случайно—весьма
мала. Кроме того все остальныя партш, за исключешеыъ при-
приведенной выше, дадутъ меньшее, Ч'Ьмъ 120, число выигранныхъ
очковъ.
Задача 71-я.
Расположить семь единицъ и еще дв"б кости до-
домино въ квадратъ- съ девятью клетками такъ, чтобы
сумма очковъ домино, считая ихъ по столбцамъ (вер-
(вертикально), по строкамъ (горизонтально) и по д!аго-
налямъ была постоянно одна и та же.

126
Р'Ъшеше.
Къ семи костямъ съ единицами прпбавляютъ еще 26 и 36,
и тогда не трудно составить слЬдующй волшебный квадратъ
(фиг. 40). Сумма очковъ въ его столбцахъ, строкахъ и д1аго-
наляхъ равна 15.
26
12
13
01
14
36
15
16
11
16
02
03
00
04
26
05
06
01
Фиг. 40.
Фиг. 41.
Если зд'Ьсь единицу заменить соотв'Ьтственно белыми, а 26 и
36 костями 16 и 26, то получимъ квадратъ (фиг. 41) съ по-
постоянной суммой, равной 12.
Точно также, если въ квадратт» (фиг. 36) вам'Ьнимъ домино
съ единицами костями съ двойками, а 26 и 36 черезъ 36 и 46,
то получимъ новый волшебный квадратъ, содержащей семь
костей съ двойками, въ которомъ постоянная сумма равна 18.
Можно также построить съ помощью домино волшебные ква-
квадраты, содержащее всЬ тройки или четверки съ двумя другими
соответственно подобранными костями. Постоянныя суммы
этихъ квадратовъ будутъ 20 и 24. Вообще при упражнешяхъ
съ волшебными квадратами домино даютъ обильный ыатер!алъ.
Задача 73-я.
Взяты всЬ нули и единицы домино, и къ нимъ при-
прибавлены еще три подходяшдя кости. Расположить
шестнадцать костей на i6 клЬткахъ квадрата такъ,
чтобы сумма очковъ, считаемыхъ вертикально, гори-
горизонтально и по объпмъ д1агоналямъ, была одинакова.

126
Р-Ьшеше.
Къ нулямъ и единицамъ надо прибавить еще 25, 26 и 36,
получимъ квадратъ (фиг. 42):
26
14
05
00
12
02
15
25
13
36
01
04
03
И
06
16
Фиг. 42.
Сумма очковъ каждаго столбца, каждой строки и каждой
д}агонали этого квадрата равна 18. Полученный квадратъ от-
отличается тъчиъ интереснымъ свойствомъ, что въ немъ можно
первый столбецъ передвинуть на 4-е мъсто, или верхнюю
строку перенести внизъ, и опять-тали получится волшебный
квадратъ, отличающшся свойствомъ постоянства суммы.
Если въ квадрат^ фиг. 42-й вм-Ьсто нулей и единицъ взять
всъ1 кости, содержания больше на очко или два, или 3, то
опять получимъ волшебные квадраты съ постоянными суммами 22,
26 и 30. Если въ полученныхъ квадратахъ заменить каждую кость
ея дополнительной, то опять получимъ волшебные квадраты.
Изъ 26 домино можно составить такой волшебный квадратъ
(фиг. 43):
35
11
62
01
44
03
32
46
31
41
06
61
00
52
34
22
45
21
63
02
51
40
24
33
05
Фиг. 43.

127
Сумма очковъ, считая по столбцамъ, строкамъ и д]'агона-
лямъ этого квадрата, равна 27.
Перенося въ этомъ квадрагв столбцы или строки, мы опять
будемъ получать волшебные квадраты, подобно тому, какъ по-
получали нхъ изъ квадрата съ 16-ю клетками (фиг. 42).
Задача 74-я.
Верная отгадка.
Возьмите двадцать пять костей домино, перевер-
переверните ихъ лицомъ внизъ и положите рядомъ одна за
другой такъ, чтобы они соприкасались бол-fee длин-
длинными сторонами. Вслъугь зат-Ьмъ объявите, что вы от-
отвернетесь, или даже уйдете въ другую комнату, а
кто-либо пусть съ праваго конца переместить на л^бвый
какое-либо число домино (не бол-fee, однако, двенад-
двенадцати). Возвратившись въ комнату, вы тотчасъ откры-
открываете кость, число очковъ которой непременно ука-
жетъ число перемъчценныхъ въ ваше отсутств1е домино.
Эта задача, очевидно, есть видоизм^нете задачи 2-й (стр. 22).
Все д'Ьло въ томъ, чтобы, приготовляясь къ «угадывашю»
и переворачивая домино лицомъ виизъ, тринадцать изъ нихъ
расположить въ такомъ иосл'Ьдовательномъ порядки (фиг. 44):
• ¦
• •
• •
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
Фиг. 44.
Рядъ этпхъ домино, какъ видимъ, представляетъ рядъ
первыхъ двенадцати чиселъ да еще нуль:
12, И, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0;
и числа эти идутъ въ убывающемъ порядки. Справа за этимъ
рядоыъ домино вы помещаете (тоже лицомъ внпзъ) еще 12 до-

128
мпно въ какомъ угодно порядки. Если теперь вы уйдете въ
другую комнату, а кто-либо перем'Ьститъ справа налево не-
несколько (мен'Ъе 12-тн) домино и приставить ихъ такъ, чтобы
они шли за 66 вл'Ьво, то, воротясь, вы откроете среднюю
(т. е. 13-ю по счету, считая слева) кость въ ряду и на от-
крытомъ домино будетъ какъ разъ столько очковъ, сколько
было перемещено въ ваше отсутств4е костей.
Почему такъ, нетрудно разобраться. Когда вы уходите въ
другую комнату, то вы знаете, что въ середине ряда перевер-
нутыхъ изнанкой вверхъ домино лежитъ белое домино, т. е. 00.
Представимъ теперь, что перемещено въ ваше отсутств1е съ
праваго конца на левый одно домино. Какое тогда домино
придется въ середине? Очевидно, 01, т. е. единица. А если
переместить 2 косги, то въ середине придется домино съ 2-ыя
очками; если переместить три кости, то въ середине будетъ
кость съ тремя очками и т. д. Словомъ, среднее домино обя-
обязательно и верно покажетъ вамъ число перемещенныхъ справа
на л^иый конецъ домино (Перемещаются, какъ надо всегда
помнить, не более 12-тп костей).
Игру можно продолжать. Опять уйти въ другую комнату
и попросить кого-либо переместить съ леваго конца на правый
еще несколько домино. Возвратясь въ комнату, вы тоже от-
откроете домино, указывающее число перемещенпыхъ костей. Оно
будетъ теперь вправо отъ средняго, и, чтобы найти его, надо
за этимъ средни мъ домино отсчитать по порядку ровнехонько
столько, сколько костей было перемещено въ предыдущей разъ.

Упражнетя съ кускодоъ бумага.
Врядъ ли кто изъ нашихъ читателей не умйетъ самъ изъ
квадратнаго куска бумаги получить «п-Ьтушка», лодочку, ко-
рабликъ, коробочку и т. д. Достигается это нутемъ разнооб-
разнаго перегибашя и складывашя бумажнаго квадрата. По-
Полученные при этомъ сгибы (складки) позволяютъ придавать
взятому куску бумаги ту или иную желаемую форму. Сейчасъ
мы убедимся, что съ помощью перегибашя бумаги можно
угтривать не одн'Ь только забавныя или интересныя игрушки,
но и получить наглядное представлеше о многихъ фигурахъ
на плоскости, а также объ ихъ свойствахъ. Кусокъ обыкновен-
обыкновенной б'Ьлой (а еще лучше—цветной) бумаги да перочинный
ножикъ для разглаживания или удалеш'я ненужныхъ частей
могутъ оказаться прекрасныыъ пособ1еыъ для усвоешя началъ
геометрш. Считаемъ долгомъ обратить внимаше читателя на
книгу Сундара Pay (Suudara Rowj: «Геометричесшя упраж-
нен!я съ кускомъ бумаги» х), гд4 этотъ вопросъ разработанъ
съ достаточной полнотой и занимательностью. ЗдЪсь мы при-
водимъ изъ указанной книги только несколько начальныхъ
упражнетйй, которыя будутъ полезнымъ введетпемъ и допол-
нен1емъ къ предлагаемымъ дальше задачамъ на разр^зываше
и переложеше фигуръ.
Есть въ перевод* на pyccKift явыкъ. Книгонвдательство «Mathesis».
ВЪ ЦАРСТВА СМЕКАЛКИ. КН. I.	9

130
Плоскость.—Прямоугольникъ.-Квадратъ.
На ровномъ столъ1 лежитъ кусокъ непзмятой гладкой бу-
бумаги. Верхняя сторона этой бумаги есть плоская поверхность,
или просто—плоскость. Нпжняя сторона бумаги, касающаяся
стола, есть тоже плоскость. Эти плоскости, или нлосшя поверх-
поверхности, разделены веществомъ бумаги. Но вещество это очень
тонко, поэтому друпя стороны бумаги не представляютъ за-
заметной поверхности, а на практики мы считаемъ ихъ просто
лишями. Такиыъ образоиъ, обЪ плостя поверхности бумаги,
хотя и различны, но неотделимы другъ отъ друга.
Допустилъ, что у насъ есть кусокъ бумаги неправильной
формы (см. фиг. 45). Страница лежащей передъ нами книги
имйетъ форму такъ называемаго прямоугольника. Зададимся
задачей:
Задача 75-я.
Куску бумаги неправильной формы дать форму
прямоугольника.
Положите кусокъ бумаги неправильпой формы на столъ и
сделайте сгибъ близъ края. Пусть полученный при этомъ
сгибъ будетъ XX'. Это прямая лпшя. Проведите ножомъ по
сгибу и отделите меньшую часть куска. Такимъ образомъ вы
получили прямолинейный край. Подобно предыдущему, согните
бумагу по лиши BY такъ, чтобы прямолинейный край XX'
накладывался аккуратно саыъ на себя. Развернувъ затъчиъ бу-
бумагу, мы убедимся, что сгибъ BY пдетъ подъ прямымъ
угломъ къ краю XX'; и наложеше показываетъ, что уголъ
YJBX' равенъ углу YBX, и что каждый изъ этихъ угловъ
равенъ угламъ страницы. Какъ раньше, проведите ножомъ по
второй складк^ и удалите ненужную часть.
Повторяя указанный пр1емъ, вы получите края CD и DA.
Наложеше докажетъ, что углы при А> В, С и В прямые
и равны другъ другу, и что стороны ВС и CD соотвйт-

131
ственно равны DA п ЛВ. Итакъ, полученный кусокъ бумаги
ABGD (фиг. 45) пм^етъ форму, подобную страницт, этой
книги. Его можно даже сделать равнымъ этой страниц^, если
взять достаточно большой кусокъ бумаги и отмерить АВ и ВС
такъ, чтобы он'Ь были равны сторонамъ странпцы.
I
D
К	- ! ¦
А'	В
Фиг. 45.
Полученная фигура, какъ мы уже говорили, называется
прямоугольиикомъ, и наложеше доказываете сл^дующ{я его
свойства: 1) четыре его угла всЬ прямые и равны между со-
собой, 2) четыре же стороны не всЬ равны, но 3) двй болйе
длинныя стороны равны между собой, а дв-fe болгЬе коротк1я—
между собой.

132
Задача 76-я.
Изъ прямоугольника сгибашемъ получить квадратъ.
Р-Ьшеше.
Взявъ прямоугольный кусокъ бумаге, А'В'СВ, складываемъ
его наискось такъ, чтобы одна изъ короткихъ сторонъ, напр.
СЛ, легла на длинную ВЛ', какъ это показано на фиг. 46-ой:
Уголъ В поместится на краю В А' въ точки А, конецъ
перегиба по краю С В1 получится въ точки В. Сд'Ълаемъ пере-
В
А	Б
Фиг. 46.
гибъ черезъ точки А и Ву зат"Ьмъ, отогнувъ, удалимъ по ли-
лиши АВ часть А'В'ВА, которая выдается. Развернувъ посл'Ь
этого листъ, найдемъ фигуру АВСВ, которая и есть квадратъ.
Въ немъ всЬ четыре угла прямые и всЬ стороны равны.
Лишя сгиба, проходящая черезъ два противоположные
угла В к В, есть дгагоналъ этого квадрата. Другая д!агональ
получается перегибомъ квадрата черезъ другую пару протпво-
положныхъ угловъ, какъ это видно на фиг. 47. Непосредствен-

133
нымъ наложешемъ убеждаемся, что дгагонали квадрата пере-
пересекаются другъ съ другомъ подъ прямыми углами, и что въ
Фиг. 47.
точке пересйчетя oni взаимно делятся пополамъ. Эта точка
пересЬчешя дгагопалей квадрата называется центромъ квадрата.
Фиг. 48.
Каждая дгагональ д'Ьлитъ квадратъ на два совпадающихъ
при наложенш треугольника, вершины которыхъ находятся въ

134
противоположныхъ углахъ квадрата. Каждый изъ этихъ тре-
угольниковъ имйетъ, очевидно, по двъ1 равныя стороны, т. е.
эти треугольники равнобедренные. Kpoirb того, эти треугольники
и прямоугольные, такъ какъ каждый изъ нихъ имйетъ по пря-
прямому углу.
Дв'Ь д1агонали, какъ легко видъ'ть, раздЬяяютъ квадратъ
на 4 совпадающихъ при наложенш (т. е. равныхъ) прямоуголь-
ныхъ и равнобедренныхъ треугольника, общая вершина кото-
рыхъ находится въ центрй квадрата.
Фиг. 49.
• Перегнемъ теперь нашъ бумажный квадратъ пополаыъ такъ,
чтобы одна сторона совпадала съ противоположною ей. Полу-
чаемъ сгибъ, проходящШ черезъ центръ квадрата (фиг. 48).
Лишя этого сгиба обладаетъ, какъ легко убедиться, слЪдующими
свойствами: 1) она перпендикулярна двумъ другиыъ сторонамъ
квадрата, 2) делить эти стороны пополамъ, 3) параллельна
двуыъ первымъ сторонаиъ квадрата, 4) сама делится въ центрй
квадрата пополамъ, 5) д-Ълитъ квадратъ на два совпадающихъ
при наложены пряй!оугольника, изъ которыхъ каждый равенъ,
значитъ, половин'Ь квадрата. 6) Каждый изъэтихъ прямоуголь-
никовъ равновелшъ (т. е. равенъ по площади) одному изъ тре-
угольниковъ, на которые квадратъ делится д1агональю.

135
Перегнемъ квадратъ еще разъ такъ, чтобы совпадали двъ1
друпя стороны. Полученный сгибъ и сделанный раньше дгЬ-
лятъ квадратъ па 4 совпадающихъ при наложены квадрата
(фиг. 48).
Пёрегнемъ эти 4 шенынихъ квадрата черезъ углы ихъ, ле-
жапце посередин'Ь стороиъ большого квадрата (по д!агоналяыъ)
л получимъ квадратъ (фиг. 49), вписанный въ нашъ началь-
начальный квадратъ. Этотъ вписанный квадратъ, какъ легко уб'Ь-
диться, равенъ по площади половин'Ь большого и щйетъ
тотъ же центръ.
Фиг. 50.
Соединяя середины сторонъ этого внутренпяго, вппсаннаго,
квадрата, получимъ квадратъ, равный четверти первом чальнаго
(фиг. 50). Если въ зтотъ послъ-дшй квадратъ но предыдущему
опять впишемъ квадратъ, то онъ будетъ равепъ восьмой доли
первоначальнаго. Въ зтотъ въ свою очередь можемъ вписать
квадратъ, равный шестнадцатой долт. первоначальпаго, и т. д.
Если перегнуть нашъ квадратъ какъ угодно, но такъ, чтобы
сгпбъ проходплъ черезъ центръ, то квадратъ разделится на
дет; совпадающая при наложен1и трапецги.

136
Задача 77-я.
Равнобедренный и равностороншй /
треугольники. /
Изъ бумажнаго квадрата сгибашемъ получить равно-
равнобедренный треугольникъ.	j
Р-Ьшеше.	/
Возьмеыъ квадратный кусокъ бумаги и гложимъ его вдвое
такъ, чтобы противоположные края его совпадали (фиг. 51).
Фиг. 51.
Получается сгибъ, проходящШ черезъ середины двухъ другихъ
сторонъ и перпендикулярный къ нимъ. На этой средней линги
квадрата беремъ какую-либо точку и д-Ьлаемъ тате сгибы,
которые проходятъ черезъ эту точку и черезъ углы квадрата,
лежапце по обй стороны средней линш. Такимъ образомъ полу-
чаемъ равнобедренный треугольникг, въ основаны котораго
лежитъ сторона квадрата. Средняя .гашя дъуштъ, очевидно,
равнобедренный треугольнпкъ на два совпадающихъ при нало-
женш и прямоугольныхъ треугольника. Она же делить уголъ
при вершить равнооедреннаго треугольника пополамъ.

137
Задача 78-я.
Изъ бумажнаго квадрата сбигашемъ получить равно-
стороннш треугольникъ.
Р-Ьшеше.
Возьмеыъ на средней ли Hie квадрата такую точку, чтобы
разстояшя ея отъ двухъ угловъ квадрата были равны его сто-
ронЪ, и сдт,лаемъ сгибы, какъ выше. Въ такомъ случай полу-
чимъ равностороншй треугольнпкъ (фиг. 52).
Фиг. 52.
Прим^чаше. Требуемую точку на средней лиши квадрата
найти легко. Для этого надо надъ А А' (фиг. 62) повертывать
основаше А В около одного пзъ его концовъ, А, пока другой
его конецъ, В, не упадетъ на среднюю лишю въ С.
Сложиыъ равностороншй треугольникъ, накладывая каждую
изъ сторонъ на основаше. Мы получимъ такпмъ образомъ три
высоты этого треугольника: АА\ ВВ\ СС (фиг. 53).
Вотъ некоторый свойства равносторонняго А-ка, которыя
можно вывести изъ разсмотрЪшя полученной нами фпг. 53:

138
Каждая изъ высота разд'Ьляетъ треуголышкъ на два совпа-
дающихъ при наложенш пряыоугольныхъ треугольника.
д'Ьлятъ стороны пополамъ и перпендикулярны къ нимъ.
проходятъ черезъ одну общую точку.
Пусть высоты А А' и СО встречаются въ О. Проведемъ ВО
и продолжимъ ее до встречи съ АС въ В'. Теперь докажеыъ,
что ВВ1 есть третья высота. Изъ треугольнпковъ С'ОВ и
BOA' находимъ, что ОС'=ОА' н убеждаемся, что ОВС' =
~ — А1 ВО. Зат^мъ, взъ треуголышковъ ABB1 и СВ'В сл^дуетъ,
А	<='	В
Фиг. 53.
что L AB'C=L. ВВ'С, т. е. каждый изъ нихъ есть прямой
уголъ. Значитъ, ВОВ' есть высота равносторонняго треуголь-
треугольника ABC. Она также д'Ьлитъ АС пополамъ въ В'.
Можно, сходно съ предыдущпыъ, показать, что ОА, ОВ и
ОС равны и что также равны ОА', ОВ' и ОС.
Поэтому изъ О, как* центра, ложно описать окружности,
которыя пройдутъ соответственно черезъ А, В и С и черезъ А',
В' и С'. Посгйдшй кругъ касается сторонъ треугольника.
Равностороннш треугольникъ ABC делится на шесть совпа-
дающихъ при наложенш прямоугольныхъ треуголышковъ, углы
которыхъ при точке О все равны, и на три такихъ совпадающихъ

139
при наложены симметричныхъ четыреугольника, что около нихъ
можно описать окружности.
Треугольникъ АОС равепъ удвоенному треугольнику А' ОС,
отсюда А 0=2 0А>. Аналогично. В0=2 0В' и С0=2 0С". Зна-
читъ, рад!усъ круга, описаннаго около треугольника ABC, вдвое
больше pafliyca вписаннаго круга.
Прямой уголъ А квадрата делится лишяыи АО и АС на
2
три равныя части. Уголъ BAC=-Q прямого угла. Углы О АО
о
А	С'	В
Фиг. 54.
и ОАВ' равны ¦_- прямого угла каждый. То же относится къ
угламъ при В л С.
2
Шесть угловъ при О равны -^ прямого каждый.
о
Перегните бумагу по лищямъ А'В', В'С и С А' (фиг. 54).
Въ такомъ случай А'В'С есть равностороншй треугольникъ.
Онъ равенъ по площади четверти треугольника ABC.
А'В', В1 С, С1 А1 параллельны соответственно АВ, ВС, СА
и равны половинаыъ пхъ.
АС'А'В' есть ромбъ; С'ВА'В' а СВ'С'А' также.
А'В', В'С, С А' дт,лятъ соответственный высоты пополамъ.

140
Задача 79-я.
Шестиугольникъ.
Изъ квадрата получить правильный шестиугольникъ.
PinieHie.
Перегибаемъ квадратъ черезъ середины противоположныхъ
сторонъ (фиг. 55). Получаемъ лиши АОВ и COD. На сгибахъ
Фиг. 53.
АО ш ОБ строимъ nseicTHbiMx намъ уже способомъ равносто-
ронше треугольники АОЕ, АОН, BOF, BOG.
Д4лаемъ сгибы JEF и JIG.
Многоугольникъ AHGBEFv будетъ правильный шестиуголь-
шестиугольникъ, въ чемъ каждый безъ труда убедится самъ. Наибольшая
ширина многоульника есть, очевидно, АВ.
Фигура 56-я представляем, образецъ орнамента изъ равно-
стороннихъ треугольниковъ и правпльныхъ шестиугольниковъ,
который вы теперь легко можете построить сами.
Можно въ свою очередь разделить шестиугольникъ на рав-
равные правильные шестиугольники и равносторонше треугольники

141
(фиг. 57), дъ'лая перегебы черезъ точки, д^ляпля его стороны
на три равныя части. Получается красивый симметричный орна-
ментъ.
Фиг. 56.
Фиг. 57.
Можно получить гаестиугольникъ еще и слъ'дующимъ путеиъ:
Возьмемъ равносторошпй треугольникъ и перегнемъ его такъ,
чтобы всЬ его вершины сошлись въ центръ1.

142
Изъ того, что мы уже узнаемъ о равностороннем, треуголь-
треугольники, не трудно вывести, что сторона полученнаго шестиуголь-
шестиугольника равна —стороны взятаго равносторонняго треугольника. Пло-
о
2
щадь же этого шестиугольника равна — площади взятаго тре-
О
угольника.
Задача 80-я.
Восыииугольникъ.
Въ данномъ квадрат-fe построить правильный восьми-
угольникъ.
Р-Ьшеше.
Возьмемъ квадратъ и извъттнымъ уже намъ способоыъ по-
средствомъ сгибовъ впишемъ въ него другой квадратъ (фпг. 58).
¦*?
А
Фиг. 58.
Разд4лимъ пополаыъ углы между сторонами даннаго и вписан-
наго квадратовъ. Пусть сгибы, равнодъ'ляшде эти углы, пере-
пересекаются въ точкахъ JE, F, G и Н.
Многоугольникъ AEBFCGDH и есть искомый правильный
восьмиугольнпкъ. Д'Мствительно, треугольники ABE, BFC,

143
CGD и DHA въ неыъ равнобедренные и при наложеши со-
впадаютъ. Значитъ, стороны полученнаго восьмиугольника равны,
(Сгибъ DH на фпг. 58 не сд'Ьланъ, по читатель легко воспол-
восполнить его самъ).
Углы его тоже равны. Въ самомъ дйл^, каждый изъ угловъ
при вершинахъ Е, F, G, Н тЬхъ же треугольниковъ равенъ
полтора раза взятому прямому углу, такъ какъ углы при осно-
BaHin этихъ треугольниковъ равны четверти прямого угла. От-
Отсюда ясно, что и углы восьмиугольника при точкахъ Л, Ву С в D
также равны полтора раза взятому прямому углу каждый, т. е.
всЬ углы восьмиугольника равны между собой.
Сторона взятаго квадрата, «, представляетъ наибольшую ши-
ширину восьмиугольника.

Разршзываше и переложеше фигуръ.
Призовемъ на помощь ножницы и будемъ не только пере-
перегибать, но и разрйзыьать бумагу. Такимъ путемъ придемъ ко
многимъ интересныыъ и поучительнымъ задачамъ.
Задача 81-я.
Какъ вырезать?
Фигура состоитъ изъ трехъ равныхъ квадратовъ,
расположенныхъ сл'Ьдующимъ образомъ:
Фиг. 59.
Вырезать изъ этой фигуры такую часть, чтобы,
приложивъ ее къ оставшейся части, получить внутри
полный квадратъ.
PinieHie.
При рйшеши этой задачи можно пользоваться листомъ кар-
картона или бумаги (лучше всего графленой на квадратныя клетки.
Какъ сделать требуемую вырезку, видно изъ нижеслъугующихъ
фигуръ F0 и 61):

146
Г
1
1
Щ
Фиг. 60.
Фиг. 61.
Не трудно видеть также, что вс4 четыре полученныя изъ
трехъ квадратовъ фигуры при наложенш одна на другую со-
впадаготъ.
Задача 82-я.
Изъ прямоугольника квадратъ.
Кусокъ бумаги или картона им^етъ форму прямо-
прямоугольника, одна сторона котораго равна 4-мъ, а дру-
другая 9"ти единицамъ длины. Требуется разрезать этотъ
прямоугольникъ на дв^Ь равныя части такъ, чтобы, сло-
живъ ихъ извЪстнымъ образомъ, получить квадратъ.
PimeHie.
Pimeme вопроса видно изъ слйцующихъ фигуръ F2 и 63):
i
Ш
ш
ш
ш
т
т
м
ш
ш
ш
ш
ш
Фиг. 62.
Фиг. 63.
Какъ ни проста и ни легка эта задача, но она предста-
вляетъ геометрическое толковаше того, что 4X9 = 6x6. Кромй
того, подобнаго рода задачи прекрасно подготовляютъ къ бол$е
сложнымъ задачамъ о превращенш одн^хъ фигуръ въ друг1я
посредствомъ разр4зыван!я ихъ на части и переложешя этихъ
частей. Желающ1й можетъ самъ придумать еще много подоб-
ныхъ задачъ.
ВЪ ЦАРСТВ* СМЕКАЛКИ. КН. I.	Ю

146
Задача 83-я.
Квадратъ на 20 равныхъ треугольниковъ.
РазрЪзать квадратный кусокъ бумаги на 2О рав-
равныхъ треугольниковъ.
Р^Ьшеше.
1) Середины сторонъ квадрата соединиыъ прямыми съ про-
противоположными вершинами квадрата; 2) изъ серединъ сторонъ
квадрата проведемъ лиши, параллельныя проведеннымъ линпшъ
соединешя до встръчъ съ другими лишями соединешя, 3) въ
полученныхъ црямоугольникахъ проведемъ д1агонали, и тогда
данный квадратъ будетъ разбить на 20 прямоугольныхъ тре-
треугольниковъ, какъ можно видеть изъ приложеннаго рисунка
(фиг. 64).
Фиг. 64.
Фиг. 65.
Не трудно показать также въ полученныхъ треугольникахъ,
что стороны, обнимаюпця прямой уголъ, таковы, что одна вдвое
больше другой (катетъ равенъ половин'Ь другого катета).
Полученные 20 треугольниковъ можно расположить въ пять
равныхъ квадратовъ, и эти квадраты расположить въ видй кре-
креста (фиг. 66).
Огромное значеше въ математики имъ'етъ следующая за-
задача, на которую сов'Ьтуемъ обратить особое внпмаше:

147
Задача 84-я.
Теорема Пиеагора.
Показать, что квадратъ, построенный на гипоте-
прямоугольнаго треугольника, равенъ сумлгв квад-
ратовъ, построенныхъ на его катетахъ.
Нарисуемъ 2 равныхъ квадрата (фиг. 67 и 68), стороны ко-
торыхъ равны сумм! обоихъ катетовъ даннаго треугольника
(фиг. 66).
Фиг. 66.
Всл'Ьдъ затъчиъ въ полученныхъ нами квадратахъ произве-
демъ построешя, указанныя на фиг. 67 и 68.
Фиг. 67.
Фиг. 68.
ЗдЪсь отъ каждаго изъ равныхъ квадратовъ мы отнпмаемъ
по 4 равныхъ треугольника. Если отнимать отъ равныхъ вели-
чинъ поровну, то и остатки получаются равные. Эти остатки
на фиг. 67 и 68 заштрихованы; но на фиг. 67-й получаются
два квадрата, построенныхъ на катетахъ дапнаго треугольника,
а на фиг. 68-ой—квадратъ, построенный на гипотенуз1?!; и сумма
первыхъ двухъ квадратовъ равна, следовательно, второму.
Мы доказали, такимъ образомъ, знаменитую теорему
Пиеагора.
		10*

148
Другое доказательство той же знаменитой теоремы найдемъ,
если на взятомъ бумажномъ квадрат^ сд'Ьлаемъ сгибы, какъ
указано на фиг. 69-ой.
Фиг. 69.
Здъ'сь FGH есть прямоугольный треугольникъ, и квадратъ,
построенный на FH, равенъ суммъ1 квадратовъ, иостроенныхъ
на FG и GH.
Задача 85-я.
Изъ квадрата 3 квадрата.
Разрезать квадратъ на семь такихъ частей, чтобы,
сложивъ ихъ надлежащимъ образомъ, получить три
равныхъ квадрата.
PinieHie.
Пусть будетъ ABCD (фиг. 70) данный квадратъ. Отложимъ
на его сторон^ литю АЕ, равную половинъ1 д1агонали этого
квадрата. Соединимъ D съ Е и на полученную дишю DE
опустямъ перпендикуляры AF и CG. ЗатЗшъ откладываемъ
прямыя GH, GK, FL, всъ1 равные AF, и заканчиваемъ построе-
Hie лин!ями, параллельными или перпендикулярными AF, какъ

149
указано на фигурй 70-ой. Если разрезать теперь квадратъ по
проведеннымъ лишямъ и сложить загЬмъ всЬ полученный
Фиг. 70.
части такъ, какъ указано на следующей фигурй 71-й, то и
получимъ 3 искомыхъ квадрата:
3 /
/ 4
5
Q
6 /\
/ 7 ^\
Фиг. 71.
Зам4чате. Математическое доказательство этого предоста-
вляемъ читателю, зам^тивъ только, что, пользуясь подоб1емъ тре-
угольниковъ и теоремой Пиеагора, доказанной въ предыдущей
задачъ1 (квадратъ гипотенузы = сумм'Ь квадратовъ катетовъ),
нетрудно вывести, что
Необходимо также еще заметить, что разсматриваемая задача
можетъ быть сведена къ такимъ:

160
1.	Разр-Ьзать квадратъ на наименьшее число частей,
который, соответственно сложенныя, давали бы неко-
некоторое число равныхъ между собою квадратовъ.
2.	Разрвзать квадратъ на ташя части, изъ которыхъ
можно было бы составить данное число равныхъ квад-
квадратовъ.
Задача 86-я.
Разрезать квадратъ на 8 такихъ частей, чтобы,
сложивъ ихъ соотвъ'тственнымъ образомъ, получить два
квадрата, изъ которыхъ одинъ былъ бы вдвое бол^Ье
другого.
PinieHie.
Изъ ирилагаеиаго чертежа (фиг. 72) видно, какъ нужно раз-
разрезать квадратъ. Лиши AF, С(т и точка L определяются
такъ же, какъ и въ предыдущей задачи.
ЗатЬыъ параллельно сторонамъ квадрата проводятся GH и
GJ (фиг. 72) и берется НК= GE. Такимъ образоыъ получается
восемь частей, изъ которыхъ и составляются требуемые квадраты.
6 \
— \ 5
7 \
8 у/
4
G \
2 \
Фиг. 72.
Фиг. 73.
Одинъ изъ ннхъ представленъ фиг. 73-ей, а другой есть
среднш въ фиг. 74-ой.

161
Задача 87-я.
Разрезать квадратъ на ташя 8 частей, чтобы, со-
соответственно сложенный, он^Ь составили з квадрата,
площади которыхъ были бы пропорцюнальны числамъ
2, 3 и 4-
PinieHie.
Евадратъ разр'Ьзывается точно такъ же, какъ и въ преды-
предыдущей задачи (фиг. 72). Изъ полученныхъ 8 частей соста-
составляются 3 требуемыхъ квадрата такъ, какъ на фиг. 74-ой:
Фиг. 74.
По даннымъ р'Ьшешямъ-рпсункамъ не трудно доказать ма-
математически правильность этихъ построешй, что желающШ вник-
вникнуть въ сущность данной задачи пусть и сд-Ьлаетъ.
Задача 88-я.
Разрезать правильный шестиугольникъ на 5 такихъ
частей, чтобы, соответственно сложенный, он1з образо-
образовали квадратъ.
РЪшете.
Равр^зываемъ шестиугольникъ сначала по дхагонали и скла-
дываемъ полученпыя 2 половины такъ, чтобы oni образовали
параллелограммъ ABFE (см. фиг. 75). Изъ точки А, какъ изъ
центра, радгусомъ, равнымъ средней пропорциональной между
длиной АЕ и высотой параллелограмма, проводимъ окружность,

162
которая нересЬчетъ BF въ точки G. ЗагЬмъ изъ точки Е
опускаемъ перпендикуляръ ЕН на продолжеше АО и про-
водимъ прямую Ш параллельно ЕН и на разстоянш отъ нея,
равномъ АО. Такимъ путемъ шестиугольникъ оказывается раз-
Фиг. 75.
р4заннымъ на б такихъ частей, изъ которыхъ можно образо-
образовать квадратъ. Не разъясняемъ бол-Ье этой задачи, такъ какъ
предназначаемъ ее для знающихъ курсъ элементарной геоме-
Tpin на плоскости.
Задача 89-я.
Ханойская башня. Тонкинскж вопросъ.
Возьмемъ 8 деревянныхъ, или изъ толстаго картона, круж-
ковъ уменьшающагося д!аметра и три вертикально укр-Ьплен-
ныя на пластинк1!! палочки (стержня). Кружки снабжены въ
центр'Ь отверсиями, и ихъ накладываютъ, начиная съ наиболь-
шаго, на одну ивъ палочекъ А такъ, что получается родъ
усЬченнаго конуса. Это и есть Ханойская башня въ 8 этажей.
(См. фиг. 76, А, вверху).
Требуется всю эту башню съ палочки А перенести
на палочку В, пользуясь третьей палочкой A, II, и III на

163
Фиг. 76.

164
нашемъ рисунков), какъ вспомогательной, и соблюдая
слЬдуюпп'я уигсшя: i) не переносить за одинъ разъ
бол'Ье одного кружка и 2) класть снятый кружокъ или
на ту палочку, которая свободна, или накладывать его
на кружокъ болытаго Д1аметра. Надавать на какую-
либо изъ палочекъ болышй кружокъ поверхъ мень-
шаго—нельзя.
Pimeirie.
Чтобы показать процессъ правильна™ перенесешя кружковъ,
обозначимъ кружки цифрами 1, 2, 3, . . ., 7, 8, начиная съ
наименыпаго; загЬмъ изобразиыъ процессъ перенесерия ниже-
нижеследующей табличкой:
до начала
после 1-го перенесешя:
» 2-го »
» 3-го »
» 4-го »
» б-го »
» 6-го »
» 7-го »
» 8-го »
¦» 9-го
» 10-го
» 11-го »
» 12-го
» 13-го »
» 14-го »
» 15-го »
и т д.
Палочка А.
1,2,3,4,5,6,7,8
2,3,	8
3,4 ... 8
3.4. 8
1,5 . .8
1,4,5, . 8
1,4,5,. . 8
4,5,. . 8
5,6,7,8
5,6,7,8
2,5,6,7,8
1,2,5,6,7,8
1,2,5,6,7,8
2,5,6,7,8
5,6,7,8
5,6,7,8
Вспомогатель-
Вспомогательная палочка.
—
1
1
—
3
2,3
1,2,3
1,2,3
2,3
3
3
—
1
1
— 1
Палочка
В.
—
—
2
1,2
1,2
2
—
—
м
1,4:
4
3,4
3,4
2,3,4
,2,3,4
Отсюда мы впдимъ, что на палочку III, когда она свободна,
надеваются только нечетные кружки A-ый. З-ifi, 5-ый и пр.),
а на В—только четные. Такъ что, напр., для перенесешя

166
четырехъ верхнихъ кружковъ, нужно было сперва перенести три
верхте на вспомогательную палочку — что, какъ видно ввъ
таблицы, потребовало 7 отдтльныхъ переложен^, — зат4мъ
ыы перенесли 4-ый кружокъ на третью палочку — еще одно
переложеше —и, наконец?., три BepxHie кружка со второй палочки
перенесли на ту же третью поверхъ 4-го кружка (при чемъ 1-ая
палочка играла у насъ роль вспомогательной), что опять по-
потребовало 7-ми отд'Ьльныхъ переложешй.
Итакъ, вообще: чтобы при такихъ услов!яхъ перенести
колонну изъ п какихъ нибудь элеыентовъ, расположенныхъ
вертикально въ убывающемъ порядке, нужно сначала перенесть
колонну изъ (п—1) верхнихъ элементовъ на одно взъ свобод-
ныхъ месть, потомъ основаше, т. е. п-яъШ элементъ—на другое
свободное место и, наконецъ,—на то же же место опять всю колонну
взъ (п—1) верхнихъ элементовъ.
Обозначая число необходимыхъ отд'Ъльныхъ перенесешй
буквою II со значкомъ, соотв'втствующимъ числу элементовъ,
им-Ьемъ, следовательно:
Понижая знячен1е п до единицы и д'Ьлая подстановку, легко
находимъ:
Пп = 2" + 2"~2 + • • 4- 23 + 22 4- 21 + 2°.
Получаемъ, следовательно, сумму геометрической nporpeccin,
которая даетъ
Я„ = 2--1.
Такимъ образомь, въ случать Ханойской башни, т. е. при.
8 кружкахв, нужно сдгьлать 28 — 1 или 255 отдплъныхъ пере-
ложенги кружковъ.
Легенда.
Если выше вместо S кружковъ возьмемъ 64 кружка, то по-
лучимъ задачу, связанную съ-древке-шшйгшй легендой. Легенда
эта гласить, будто въ городи Бенарест,, подъ куполомъ главнаго
храма, въ томъ м'Ьстъ1, гд-fc находится середина Земли, богъ
Брама поставилъ вертикально па бронзовой площадке три алмаз-

166
ныя палочки, каждая длиною въ локоть и толщиною въ корпусъ
пчелы. При сотворенш шра на одну изъ этихъ палочекъ были
од'Ьты 64 кружка изъ чистаго золота съ отверслями посредине,—
такъ, что они образовали родъ усЬченнаго конуса, такъ какъ
д!аметры ихъ шли въ возрастающемъ порядки, начиная сверху.
Жрецы, сменяемые одинъ другпмъ, днемъ и ночью безъ устали
трудятся надъ перенесетемъ этой колонны кружковъ съ первой
палочки на третью, пользуясь второй какъ вспомогательной,
при чемъ они обязаны соблюдать уже указанныя услов1я, т. е.
1)	не переносить за одинъ разъ бол-Ье одного кружка, и
2)	класть снятый кружокъ или на свободную въ этотъ моментъ
палочку, или накладывать его на кружокъ только болыпаго
д1аметра. Когда, соблюдая всв эти услов1я, жрецы перенесутъ
всЬ 64 кружка съ первой палочки на 3-ю,—наступить конецъ
ъйра...
Допустимъ, что нереносъ одного кружка продолжается всего
одну секунду, тогда на перепишете ханойской башни изъ
восьми кружковъ потребуется 4 минуты слишкомъ. Что же
касается переноса башни въ 64 кружка, то на это понадо-
18 446 744 073 709 551615 сек.
А это значить, не болгЬе и не менгЬе, какъ пять слишкомъ
мшыаардовъ в4зковъ (стол^тш).
Mipb Брамы, очевидно, продержится еще очень и очень
много л'Ьтъ.
Если кружки и палочки въ данной игр'Ь заменить входя-
входящими другъ въ друга колпачками, то получаемъ игру, назы-
называемую Тонкинскимъ вопросомъ или Китайскими шляпами.
Вместо кружковъ или колпачковъ, желающ!е могутъ упо-
употреблять обыкновенныя игральныя карты.

Ш а
а т ы.
По поводу ириведеннаго выше (задача 89-я) 20-ти-значнаго
числа существуете другая легенда, тоже индусскаго происхо-
ждешя, которую разсказываетъ арабски писатель Асафадъ.
Браминъ Сесса, сынъ Дагера, придумалъ игру въ шахматы,
гд"Ь король, хотя и самая важная фигура, не можетъ ступить
шагу безъ помощи и защиты своихъ подданныхъ п'Ьшекъ и
другихъ фигуръ. ИзобргЬлъ онъ эту игру въ забаву своему мо-
монарху и повелителю Инд1я, Шерану. Царь Шеранъ, восхищен-
восхищенный выдумкой брамина, сказалъ, что дастъ ему все, что только
браминъ захочетъ.
— Въ такомъ случай, ваше величество,—сказалъ Сесса,—
прикажите дать мн-Ь столько пшеничныхъ зеренъ, сколько ихъ
получится, если на первую клетку шахматной доски положить
зерно, на вторую 2,- на третью 4, на четвертую 8 и т. д.,
все удваивая, пока не дойдутъ до 64-й клътки.
Повелитель Индш не смогъ этого сдЬиать! Число требуемыхъ
зеренъ выражалось вышеприведеынымъ двадцатвзначнымъ чис-
ломъ. Чтобы удовлетворить «скромное» желаше брамина, нужно
было бы восемь разъ засиять всю поверхность земного шара
и восемь разъ собрать жатву. Тогда бы только получилось нуж-
нужное для Сессы количество зеренъ.
Обещать «все, что хочешь», легко, но трудно исполнить!

168
Задача 90-я.
О восьми королевахъ.
На шахматной доскг1>, состоящей изъ 64 клъ'токъ,
разставить 8 королевъ такъ, чтобы ни одна изъ нихъ
не могла брать другую. Другими словами: на восьми
клъткахъ шахматной доски поставить восемь королевъ
такъ, чтобы каждыя дв'Ь изъ нихъ не были распо-
расположены ни на одной лиши, параллельной какому-либо
краю, и ни на одной изъ Д1агоналей доски.
Задача эта н4кшмъ Наукоыъ предложена была для р'Ьтешя
знаменитому н-Ьмецкому математику Гауссу. Гауссъ посл-Ь нгЬ-
сколькихъ попытокъ нашелъ вс); ея р'Ьшешя.
Покажемъ нт,которыя р-Ьшетя (не Гаусса) этой задачи и
приведемъ затймъ таблицу всЬхъ 92-хъ ея решети.
Положете I.
Положен1е П.
Фиг. 77.
Фиг. 78.
На прилагаемой фигур-Ь 77-й содержится одно изъ р-Ьшешй.
Обозначимъ это ръчпеше восемью цифрами 6824175 3,
гд'Ь каждая цифра означаетъ высоту королевы въ каждой ко-
лонн4 доски, т. е. 6 показываетъ, что королева находится въ
первой колоний на шестой клгЬткгв, считая снизу, 8, что коро-

169
6
1
8
2
2
3
4
4
1
5
7
6
б
7
3
R
лева находится во второй колонн!' на восьмой шгЬткъ', считая
снизу, и т. д. Мы и впредь вертикальные ряды клъ"гокъ бу-
демъ называть колоннами, а горизонтальные лишями. Лиши
ыы тоже будемъ обозначать числами отъ 1 до 8 и считать ихъ
отъ низа, къ верху. Такимъ образомъ, записанное наши выше
первое pinieHie съ номощью одного ряда чиселъ было бы пра-
правильнее записать такъ:
Лиши . .
Колонны.
Если мы повернемъ доску на четверть окружности въ на-
правлеши, обратноыъ движении часовой стрелки, то изъ нерваго
решетя получимъ ему соответственное, которое представлено
у насъ на фиг. 78-ой.
Чтобы получить это соответственное решеше численно изъ
перваго, достаточно расположить колонки таблички (А) такъ, чтобы
цифры первой строки шли въ убывающемъ порядке. Получиыъ
(В)
Сохраняя только цифры второй линш таблички (В), можемъ
сокращенно обозначить это р'Ьшеше числомъ 26174835.
Лиши . .
Колонны.
8
2
7
6
6
1
5
7
4
4
3
8
2
3
1
5
Положеше Ш.
Положеше IV.
Фиг. 79.
Фиг. 80.
СлгЬдующ1я 2 фигуры, 79 и 80, представляютъ второе и
третье решетя, соответственныя фигурй 77-ой. Ихъ можно по-

160
лучить, заставляя шахматную доску вращаться еще на четверть
и еще на четверть окружности, въ направленш обратномъ дви-
женш часовой стрелки. Можно вывести также, подобно предыду-
предыдущему (и обозначить численно), положеше III (фиг. 79) изъполо-
жешя II (фиг. 78), а положеше IV изъ положеши III. Но можно
и прямо положеше III получить ивъ I, а положеше IV—изъП-го.
Для этого поступаемъ такь. Ръчпешя фиг. 77 и 78 обо-
обозначены у насъ числами
68241753 и 2617483 5.
Напишемъ эти числа въ обратномъ порядки:
35714886и53 84 7168
и вычтемъ каждую цифру этихъ чиселъ изъ 9, получимъ
64885713и4615283 7.
Это и будутъ численныя обозначешя рйшешй на фигурахъ
79-ой и 80-ой.
Такимъ обравомъ въ общемъ случай иныя рйтешя задачи
о королевахъ на никоторой доски даютъ мйсто четыремъ соотв*т-
ственнымъ рйтешямъ. Рйтешя эти носягь навваше непрямыхъ.
Фнг. 81.
Фиг. 82.
На фигу pi 81-ой дано полупрямое р-Ьшеше задачи. Осо-
Особенность его заключается въ томъ, что изъ него получается
только одно соответственное ръчпеше (фиг. 82). Въ самомъ

161
Ь, если повернуть шах латную доску на полуокружность, то
получаемъ опять то же расположеше. Число 4682713 5,
изображающее это ръчпеше, отличается т?мъ, что, сложенное
съ числомъ, состоящимъ изъ т4хъ же цифръ, но написаннымъ
въ обратномъ порядки, даетъ 99999999.
Наконецъ, прямымъ р'Ьшешемъ мы назовемъ такое ръчпе-
Hie, изъ котораго нельзя получить новыхъ ръчпенШ, поворачивая
доску на четверть или набольшее число четвертей окружности.
Такихъ ръчпенШ не существуетъ для обыкновенной шахматной
доски, съ 64-мя клетками, хотя для другихъ досокъ они имеются.
Возьмемъ какое-либо ръчпеше задачи восьми королевъ и иере-
вернемъ на фигурй порядокъ лингй, или колоннъ. Или, что
сводится къ тому же, напишемъ числовое обозначеше решетя
въ обратномъ порядки,—мы получимъ pimeme, обратное дан-
данному. Легко уб-Ьдиться, что это ръчпеше отличается отъ вся-
каго изъ соотвъ"гственныхъ рйшенгй. То же piineme полу-
получается еще и геометрически, если поставить шахматную доску
съ 8-ю королевами противъ зеркала и смотреть въ это послед-
последнее, или же вообразить себ4 доску перевернутой. Изъ разсмо-
тр-Ьтя соотв'Ьтственныхъ и обратныхъ р^шенШ совместно съ
простыми сл^дуетъ:
1.	Всякое простое непрямое р'Ьшеше даетъ 4 соотвйтствен-
ныхъ pimeHifl и 4 обратныхъ,—всего восемь ръчпенШ.
2.	Всякое простое полу прямое р'Ьшеше даеть два соотв'Ьт-
соотв'Ьтственныхъ и два обратныхъ ръчпешя,—всего четыре.
3.	Всякое простое прямое piineme даетъ еще только одно
обратное,—всего два.
Выведенныя правила относятся ко всякой доск4, кромгЬ со-
состоящей изъ одной клетки.
Опуская способы отыскашя самыхъ простъ'йшихъ
задачи, дадимъ эти рйшешя прямо. При этомъ зам^тимъ, что
ВЪ ЦАРСТВ* СМЕКАЛКИ. КН. I.	11

162
существуетъ 12 простыхъ, первоначальныхъ р-Ьшенш, кото-
рыя расположены въ следующей табличкгЬ.
Л» по по-
порядку.
Обозначения.
72
61
58
35
46
57
631
528
417
841
152
263
485
374
263
726
837
148
№ по по-
порядку.
7
8
9
10
11
12
Обозначешя,
16 837 4*5
57 263 184
48 137 263
51 468 273
42 751 863
35 281 746
Или гЬ же 12 рЬшенШ на фпг. 83-й.
•
и
'4
*
•
'4,
ft
tr.
¦¦'.
щ
%
'Л.
*?
Ш
ц
•
''Л
•
*
«
щ
&
• ш
1—72 G31 485 II -61 628 374 III—58 417 263 IV—35 841 726
4
Щ
а.
М
%
k
к
п
'&
•
й
?
4
ft;
%
1»
•
4
ш
и
'#,
\
1
-•
"А
•
*
•
Й
ь.
ш
4
'?,
л
р.
•
р.
ш
'>
ш
щ
tit
#
щ
ё
t
щ
•
ч
t
ш
"й
''А
§
•
Щ
'•л
%
т
i
1
1
4,
<<
%
i
•
ft
V—46 152 837 VI—57 263 148 VII—16 837 425 VII—57 263 184
i
I
Ь
т
t
Й
Ц
Ш
А-
Щ
Ш
щ
1
ft
ш
•
щ
•
%
'4
щ
Щ
i
*
?
1
it
ь-
ц
»
ш
•
й
й
%
i
Ш
щ
//¦
т
ш
fa
Ш
'4
ь
#
'it
;.
•
Щ,
'•"'¦
1
Р,
•
¦а
щ
Ш
щ
#
щ,
f,
fa
Ш
#
i
•
ш
Хг,
IV— 48 157 263 X—51 468 273 XI—42 751 863 XII—35 281 746
Фиг. 83.
ВсЬ эти простыя решетя непрямыя, и каждое изъ нихъ
даетъ, какъ выше объяснено, 8 piinemfl, последнее же, ХП-е,—
полупрямое и даетъ только четыре ргЬшешя. Всего, следова-
следовательно, получается 92 р4шешя. Вотъ таблица всЬхъ этпхъ р-Ь-
шен1Й:

163
Таблица всЬхъ 92-хъ piineHifl задачи
о восьми королевахъ.
1586
1683
1746
1758
2468
2571
2574
2617
2683
2736
2758
2861
3175
3538
3528
3571
3584
3625
3627
3627
3641
3642
3681
3724
7425
8253
2463
3175
3864
1863
4835
1475
8514
1463
3574
8246
1746
6471
4286
1726
8174
1485
5184
8572
8571
4752
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
3681
3682
3728
3728
3847
4158
4158
4258
4273
4273
4275
4285
4286
4615
4682
4683
4718
4738
4752
4753
4813
4815
4853
5724
4175
5146
6415
1625
2736
6372
613?
6815
6851
1836
7163
1357
2837
7135
1752
5263
2516
6138
1682
6276
7263
1726
47
48
19
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
5146
5184
5186
5246
5247
5261
5281
5316
5317
5384
5713
5714
5724
5726
5726
5741
5841
5841
6152
6271
6275
6317
6318
8273
2736
3724
8317
3861
7483
4736
8247
2864
7162
8642
2863
8136
3148
3184
3862
3627
7263
8374
3584
4853
5824
4275
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
6318
6357
6358
6372
6372
6374
6415
6428
6471
6471
6824
7138
7241
7263
7316
7382
7425
7428
7531
8241
8253
8316
8418
5247
1428
1427
4815
8514
1825
8273
5713
3528
8253
1753
6425
8536
1485
8524
5164
8136
6135
6824
7536
1746
2574
6275
Заметим1!., что таблица эта содержитъ:
4 ръчпешя, начинаюпцяся или оканчивакмщяся цифрами 1 или 8
8 рЬшенй,	»	»	»	» 2 » 7
16 »	»	»	»	» 3 » 6
18 »	»	»	»	» 4 » 5
Въ приведенной таблиц^ вс4 решетя расположены въ чис-
ловомъ порядки. Таблицу эту можно построить самому, поль-
пользуясь при этомъ сл'Ьдующимъ весьма простымъ систематиче-
скимъ пр1емомъ: Пом4щаютъ сначала одну королеву на самую
низкую кл'Ьтку первой колонны сл'Ьва, затъчмъ ставятъ дру-
11*

164
гую королеву во второй колоний опять на самую низкую по
возможности клЪтку и т. д., всегда стремясь поместить въ сле-
следующей колонн^ королеву настолько низко, насколько это поз-
воляютъ королевы, стояпдя сл^ва. Когда наступить такой мо-
ментъ, что въ колоний нельзя поместить королеву.—подымаютъ
королеву въ предыдущей колоний на одну, двй, три... кл'Ьтки
и продолжаютъ размещать остальныхъ королевъ, руководствуясь
всегда разъ принятымъ правиломъ: не поднимать поставленныхъ
королевъ выше, какъ только въ томъ случай, если справа нить
совсЬмъ мйста для следующей королевы.
Всякгй разъ, когда рйшеше*найдено, его записываютъ, и,
такиыъ образомъ, рйшешя будутъ следовать одно за другимъ
тоже въ постепенномъ числовомъ порядки. Таблицу, получен-
полученную ТаКИМЪ ПутеМЪ, МОЖНО ПрОВ^рЯТЬ, ГруППИруЯ COOTBUTCTBeH-
ныя и обратныя ръчлешя, которыя можно вывести изъ перваго,
и т. д.
Задача 91-я.
О ход-fe шахматнаго коня.
Задача о ход1! шахматнаго коня, или задача Эйлера, со-
стоитъ въ слъугующемъ:
Требуется обойти конемъ есть 64 клгьтки шахматной до-
доски такъ, чтобы на каждой клтьткп конь былъ только
одинъ разъ и затньмъ возвратгыся бы въ клтыпку, изъ кото-
которой вышелъ.
Задачей этой занимался Эйлеръ и въ письмй къ Гольдбаху
B6 апръмш 1757 года) далъ одно изъ ръчпешй ея. Вотъ что,
между прочимъ, пишетъ онъ въ этомъ интересномъ письм-в:
«...Воспоминаше о предложенной когда-то мни задачи по-
послужило для меня недавно поводомъ къ нъчкоторьшъ тонкимъ
изыскашямъ, въ которыхъ обыкновенный анализъ, какъ ка-
кажется, не иы^етъ никакого прим^нетя. Вопросъ состоитъ въ
сл^дующемъ. Требуется обойти шахматнымъ конемъ все 64 кл'Ьтки
шахматной доски такъ, чтобы на каждой кл'Ьтк'Ь онъ побывалъ
только одинъ разъ. Съ этой ц'Ьлью всЬ мФста. которыя зани-
малъ конь, при своихъ (посл4довательныхъ) ходахъ, закрыва-

166
лись марками. Но къ этому присоединилось еще требоваше,
чтобы начало хода делалось съ даннаго м4ста. Это последнее
услов1е казалось mh4 очень затрудняющимъ вопросъ, такъ какъ
я скоро нашелъ никоторые пути, при которыхъ, однако, выборъ
начала быль для меня свободенъ. Я утверждаю, однако, что
если полный обходъ коня будетъ возвратный (in se rediens),
т. е. если конь изъ посл'Ъдняго м^ста опять можеть перейти
на первое, то устраняется и это затруднеше. Посл^ нгЬкото-
рыхъ изыскан1й по этому поводу я нашелъ, наконецъ, ясный
способъ находить сколько угодно подобныхъ ръчпешй (число
ихъ, однако, не безконечно), не дъмая пробъ. Подобное pfone-
nie представлено въ нижеследующей фигур4 (84-ой).
Фиг. 84,
«Конь ходитъ въ порядка, указанномъ числами. Такъ какъ
изъ послъдняго м4ста 64 онъ можетъ перейти на № 1, то этотъ
полный ходъ есть возвратный (in se rediens).
Таково piineHie задачи о ход4 шахматнаго коня, данное
Эйлеромъ. Въ письма не указаны ни npieMbi, ни путь, кото-
которыми знаменитый ученый пришелъ къ своему открытш. Сей-
часъ мы укажемъ на npieMbi иныхъ, бол'Ье симметричныхъ и
методичныхъ

166
I.
Разд'Ьлимъ шахматную доску на дв4 части: внутреннюю,
состоящую изъ 16-ти клъ'токъ, и краевую, представляющую со-
собою родъ бордюра, шириною въ двй клетки (фиг. 85). Каждыя
12 кл?токъ краевой доски, обозначенныя у насъ одинаковыми
буквами, даютъ одинъ пзъ частныхъ зигзагообразныхъ ходовъ
шахматнаго коня вокругъ доски; точно такъ же четыре одно-
именныхъ клйтки внутренней части доски даютъ частный за-
замкнутый ходъ шахматнаго коня въ вид4 квадрата или въ вид4
ромба. Фиг. 86-я нредставляетъ 2 зигзагообразныхъ частныхъ
а
с
b
d
а
с
b
d
b
d
a
с
b
d
a
с
с
a
a'
c'
b'
dr
d
b
d
b
b'
df
a'
c'
с
a
a
с
с'
a'
d'
1)'
b
d
b
d
d'
b'
c'
a'
a
с
с
a
d
b
с
a
d
b
d
b
с
a
d
b
с
a'
• X •
• Y •
* X *
• Y • ^^T^*"^
• •
• Д •
• Y •
* X •
Фиг. 85.
Фиг. 86.
хода коня на краевой части доски. Эти ходы обозначимъ бу-
буквами а и Ъ. Тамъ же начерчены и два хода на внутренней
части доски. Эти ходы назовелъ а1 и Ъ1 соответственно обозна-
чешямъ на фиг. 85-й.
Закончивъ какой-либо частный круговой ходъ по краевой
части доски, конь можетъ перескочить на любой изъ трехъ хо-
ходовъ другого наименовашя на внутренней части доски. Не-
Нетрудно (стоить лишь взять въ руки шахматную доску и коня)
найти, и притомъ различными способами, четыре пути изъ 16
клъ'токъ—такихъ, напр., какъ
аЪ\ Ьс', сй\ da'.
Въ самомъ дъ^лъ1, всмотритесь въ данныя выше фигуры 85
и 86, или поставьте предъ собой шахматную доску, и вы уви-

167
дите, что для получения частнаго хода коня въ 16 кл'Ьтокъ,
надо только краевой частный круговой ходъ изъ 12-ти кл'Ьтокъ
соединить съ внутреннимъ ходомъ, но другого наименовашя
прямой чертой, уничтожая при этомъ въ каждомъ изъ частныхъ
круговыхъ (возвратныхъ) ходовъ замыкающую лишю. Такъ
получимъ 4 частныхъ круговыхъ хода по 16-тп кл'Ьтокъ. Эти
четыре частныхъ хода по 16-ти кл'Ьтокъ опять можно соединить
различнымъ образомъ и получить полный ходъ шахматнаго
коня въ 64 кл'Ьтки.
Итакъ, ставятъ коня на какую-либо клетку, напр., краевой
части доски и описываютъ по ней путь изъ 12 кл'Ьтокъ; всл'Ьдъ
затЪмъ конь перепрыгиваете на клетку одного изъ трехъ (не
одноименныхъ) внутреннихъ путей, проходитъ этоть путь въ
любомъ направленш и перескакиваетъ опять на краевую часть,
гд"Ь снова д4лаетъ шгЬдующШ частный зигзагообразный ходъ
изъ 12 клт,токъ, вновь перескакиваетъ на одгшъ изъ внутрен-
внутреннихъ, не одноименныхъ съ предыдущимъ путей, описываетъ
его, переходитъ опять на новый краевой путь и т. д., пока
не обойдетъ всЬхъ 04 кл'Ьтокъ.
Способъ pimeHifl задачи настолько простъ и легокъ, что
не нуждается въ болйе подробныхъ разъяснешяхъ и указа-
шяхъ.
II.
¦Можно эту же задачу ръчппть и другимъ, не мен'Ье легкимъ,
пр1емомъ. Здъть, для удобства, доска делится на 4 части по
16 кл'Ьтокъ въ каждой, двумя мед!анаыи (серединными лишями).
(См. фиг. 87). 16 кл'Ьтокъ каждой четверти, обозначенныхъ
одинаковыми буквами, можпо соединить посредствомъ сторонъ
двухъ квадратовъ п двухъ ролбовъ, не имйющихъ нп одной
общей вершины (см. фиг. 88). Соединяя, въ свою очередь, одно-
одноименные квадраты и ромбы всЬхъ четвертей доски, можпо по-
получить четыре частныхъ. круговыхъ нозвратныхъ хода, по 16 кл'Ь-
кл'Ьтокъ. Соединяя, затт,мъ, эти посл^дн!е ходы, получплъ полный
ходъ коня въ 64 кл'Ьтки.

168
а
с
b
d
а
с
b
.1
b
d
a
с
b
d
a
с
с
a
d
b
с
a
d
b
d
b
с
a
d
b
с
a
a
с
b
d
a
с
b
d
b
d
a
с
b
d
a
с
с
a
d
b
с
a
d
b
d
b
с
a
d
b
с
a
Фиг. 87.
Фиг. 88.
Полезно ед'Ьлать еще слъдующдя замйчатя: На каждой чет-
четверти доски ромбами и квадратами обозначены по четыре хода
коня. Если соединимъ ромбы и квадраты, обозначенные оди-
одинаковыми буквами во всЬхъ 4-хъ четвертяхъ доски, получимъ
по 4 частныхъ возвратныхъ хода по 16 кл'Ьтокъ.
Н^которьтя трудности иному логутъ представиться, когда
для получешя полнаго хода въ 64 клетки онъ начинаетъ соеди-
соединять между собой эти четыре частныхъ хода по 16 кл'Ьтокъ.
Зд4сь полезно им^ть въ виду, что цгьпъ, или рядъ ходовъ,
можно видоизмгьнять, не разрывая его. Основано это на та,къ
называемомъ правил1! Бертрана (изъ Женевы), которое состоитъ
въ сл4дующемъ:
Пусть им4емъ незамкнутую цЗшь ходовъ, проходящихъ че-
резъ кл4тки А, В, С, I), E, F, G, Н, /, J, К, L, и пусть
оконечности этой ц-Ьпи будутъ А и L. Если клъ-тка, напр., D,
отличная отъ предпоследней К, находится отъ последней L на
разстоянш хода коня, то DE можно замйнить черезъ DL и
ц^пь ходовъ обратится въ
ABCDLKJIHGFE,
т. е. вторая половина ninn будетъ пройдена въ обратноыъ по-
рядкъ\
То же самое относится п къ тому случаю, когда какая-либо
клетка, кром4 второй, сообщается ходомъ коня съ первой.

169
Итакъ, irkm, или рядъ, ходовъ можно видоизменять, не разры-
разрывая ее.
Число путей, которыми конь можетъ обойти доску и кото-
которые можно найти указанными выше пр!емами, не безконечно.
Но оно настолько огромно, что трудно его представить. Вотъ
что на этотъ счетъ говоритъ одинъ изъ математиковъ, Лавер-
недъ: «Я занимался числомъ р^шенШ, которое можетъ дать эта
задача,—писалъ онъ, -и хотя мой трудъ не конченъ, т4мъ не
мен4е я могу утверждать, что, пом4щая 50 путей на страниц^,
понадобилось бы не менчъе десяти тысячъ стопъ бумаги.
чтобы написать ихъ веб»!..
Этими беглыми указашями р^тешй задачи о ходи шах-
матнаго коня мы и ограничимся, предоставляя желающимъ за-
заняться этой задачей подробней обратиться къ спещальнымъ
сочинен!ямъ.

Карты.
Кажется, ни одна игра не пользуется болыпимъ распростра-
нешемъ среди современнаго человечества, какъ игра въ карты.
Эти послйдшя вы можете встретить чуть не въ каждомъ домй,
особенно въ Poccin. Очень жаль только, что во многихъ случаяхъ,
вместо пр1ятныхъ и развивающихъ сообразительность игръ,
картами пользуются для игры на деньги, «играютъ» также въ
глупыя азартныя игры, убывающая время, деньги и разстраи-
вающхя нервы.
Мы, впрочемъ, воспользуемся зд4сь колодой картъ, какъ
пользуемся ими и всюду, для другой дЬни для интересныхъ за-
дачъ и математическихъ развлеченШ. Съ колодой игральныхъ
или игрушечныхъ картъ въ рукахъ можно провести время не-
нескучно и съ пользой какъ для себя, такъ и для другихъ. Во-
Вообще, во многихъ случаяхъ карты могутъ быть незам'Ьнимымъ
и дешевымъ пособ1емъ для объяснешя многихъ матеыатиче-
скихъ вопросовъ и комбинаций.
Описывать, что такое карты, какъ полная колода картъ E2 кар-
карты) дъ-лится на масти, какъ называются эти масти и какъ
называется каждая карта въ отдъмгьностп,—кажется, излишне.
Ужъ наверное читатель этой книжки, кто бы и какого бы воз-
возраста онъ ни былъ, знаетъ это и играетъ,—ну хоть въ «ду-
«дурачки» или «мельника»...

171
К'Ьмъ, какъ, где и когда изобретены карты? Объ этомъ
ничего достоверно мы не знаемъ. Во всякомъ случай неверно
то, что карты изобретены, будто бы, во Франщи въ средше
века для развлечешя какого-то скучающаго короля. Скорее
всего карты — изобретете китайцевъ, въ книгахъ которыхъ
есть упоминаше о картахъ въ 1120 году. Въ Европе карты
стали известны со времени Крестовыхъ походовъ. Какъ бы то
ни было, въ Италш игра въ карты уже существовала въ 1379 году,
о чемъ есть упоминаше въ книге одного тогдашняго художника.
Въ Россш карты появились въ XVII столетш и скорее всего
пришли къ намъ черезъ Малороссш. И нужно сказать, что не-
несмотря на жестогая преследовашя и гонешя вначале (а скорее,—
благодаря этимъ гонешямъ) разнаго сорта глупыя и азартныя
«игры» привились у насъ очень быстро.
Мы, повторяемъ, постараемся здесь дать картамъ более блага-
родное и полезное назначеше— пособ1я для развитая сообрази-
сообразительности и счета, такъ называемой «смекалки»... Не проделы-
валъ ли въ вашемъ присутствш кто-либо съ помощью картъ
различнейппе, иногда прямо изумительные, фокусы? Быть
можетъ, вы сами знаете каюе-либо изъ этихъ фокусовъ и раз-
развлекаете ими иногда вашихъ знакомыхъ? Но «фокусы» въ
большинстве случаевъ основаны на ловкости, или просто-таки
на «отводе глазъ» и обмане присутствующихъ.
Мы же займемся здесь несколько иными «фокусами», сводя-
сводящимися къ самымъ настоящимъ латематическимъ задачамъ,
развивающимъ сообразительность и счетъ. Не пожалейте свобод-
наго времени на то, чтобы съ колодой картъ въ рукахъ усвоить
себе хорошенько предлагаемыя ниже задачи, а главное разобраться
въ нихъ. У васъ въ распоряженш отличное средство для раз-
развитая присущаго всякому человеку правильнаго математическаго
или, что то же.—логическаго мышлешя.
Разобравшись и овладевши сущностью каждой предлагаемой
задачи, вы будете въ состоянш всячески разнообразить ихъ,
увеличивать ихъ интересъ и, наконецъ, придумывать новыя
подобныя же задачи и развлечешя. Математика — неисчер-
неисчерпаема.

172
Задача 92-я.
Угадать, сколько очковъ заключается въ трехъ
взятыхъ к'Ъ'мъ-либо картахъ?
Изъ полной колоды въ 52 карты пусть кто-либо возьметъ
три карты и оставитъ у себя. Чтобы узнать, не глядя, сколько
очковъ заключается въ зтихъ трехъ картахъ, поступаютъ такъ.
Просятъ взявшаго три карты прибавить къ каждой взятой
имъ каргЬ по стольку картъ, чтобы вмгьстгъ съ очками каждой
взятой карты получалось 15 (Вс4 фигуры вообще счита-
считаются за 10). ПослФ этого угадывающему остается только взять
остальныя карты, сосчитать ихъ число (лучше всего сделать этотъ
счетъ незаметно, заложивъ, напримФръ, руки съ картами
за спину), отнять отъ полученнаго числа 4, и получится точная
сумма очковъ взятыхъ 3-хъ картъ.
Пусть, напримгъръ, кто-либо взялъ четверку, семерку и
девятку. Тогда къ четверки онъ долженъ онъ приложить 11 картъ,
къ семерки 8 картъ и къ девятки 6 картъ. Отъ колоды останется
24 карты. Отнимая отъ 24-хъ четыре, находимъ, что сумма
очковъ взятыхъ 3-хъ картъ должна быть равна 20, что и со-
согласуется съ действительностью.
Доказательство.
Докажемъ правильность нашего решетя задачи.
Положимъ, что выбранныя къчмъ-либо карты суть три наи-
менышя, т. е. три туза, считаемые по 1. Тогда очевидно, что
для получешя числа 15 нужно къ каждой взятой картЬ при-
прибавить еще по 14 картъ. Всего, значить, съ тремя тузами соста-
составится 45 картъ, л отъ колоды въ 52 карты останется только
7 картъ. Если, теперь, отъ 7 отнять 4, то и получится 3, т. е.
число очковъ взятыхъ трехъ тузовъ. Но не трудно показать,
что всегда достаточно отнять 4 отъ числа остающихся картъ,
чтобы узнать число всЬхъ очковъ любыхъ 3-хъ взятыхъ картъ.

173
Въ самомъ дЗугЬ, если взять 3 друйя выышя карты, то на
сколько увеличится число ихъ очковъ, на столько именно умень-
уменьшится число т4хъ картъ, которыя нужно добавлять къ каждой
взятой, чтобы получить число 15, и на столько же именно уве-
увеличится число остающихся картъ. Такъ что, отнимая отъ числа
остающихся картъ 4, получимъ остатокъ, который всегда равенъ
числу очковъ трехъ выбранныхъ картъ. Напримъръ, если вместо
туза возьмемъ шестерку, то сумма трехъ взятыхъ картъ
(полагая, что двъ1 остальныя—тузы) будетъ 8, т. е. увеличится
на б. Но зато къ шестерки для получешя числа 16 нужно
прибавлять не 14, а только 9 картъ, т. е. на б картъ меньше.
Значитъ остатокъ картъ увеличится на б картъ, и. отнимая
отъ этого остатка 4, получимъ опять точную сумму очковъ
всЬхъ взятыхъ картъ и т. д.; такимъ образомъ доказывается
правильность ръчпешя данной задачи для всякаго случая.
Если кто заинтересуется настоящей задачей и захочетъ болФе
серьезно обследовать ее, то пусть онъ разберется въ предлагае-
момъ сейчасъ ниже другомъ, болФе общемъ, поясненш задачи.
Пусть обозначаетъ число всЬхъ картъ, а, Ь, с числа
очковъ въ трехъ выбранныхъ картахъ и р число, которое
получается, если къ каждому изъ количествъ а, Ъ и с прибавить
некоторое число картъ, каждая изъ которыхъ считается за 1.
Число картъ, которыя прибавляются къ a, b и с, суть р—а,
р — Ь, р—с. Если къ этимъ числамъ прибавить три перво-
первоначально взятыя карты, да число оставшихся картъ, которое
обозначимъ черезъ г, то и получимъ всв карты, числомъ п, т. е.
Откуда, раскрывая скобки и перенося члены, получаемъ:
a + b + c = r + Cp + 3) —п.
Для п = 52 и р = 15 яжЬемъ а -\- Ъ -|-с = г — 4.
Для п = 32 и р = 15 имФемъ а + Ъ-}-с = г+16-
Изъ этого общаго ръчиешя можно вывести следующее правило:
Утройте число, которое получается отъ прибавлешя
ко взятымъ тремъ картамъ еще картъ, и прибавьте къ

174
этому числу 3- ЗатЬмъ возьмите разницу между этой
суммой и числомъ всЬхъ картъ и прибавьте ее къ
числу оставшихся картъ, или вычтите ее изъ этого
числа, смотря по тому, будетъ ли полученная сумма
больше или меньше всего числа картъ. Такимъ образомъ
всегда получите число всЪхъ очковъ взятыхъ кт>мъ-
либо трехъ картъ.
Замътимъ, между прочимъ, что для п = 36ир=11 получается
Зр -]— 3 — п:=0, а значить
а + b 4- с — г.
Заэгвчате I. Изъ предыдущего можно заключить, что нить
необходимости добавлять къ каждой изъ 3-хъ выбранныхъ картъ
столько именно картъ. чтобы получить одно и то же число р.
Можно вместо этого предлагать добирать къ каждой изъ взя-
тыхъ трехъ картъ еще по столько картъ такъ. чтобы получилось
3 какихъ-либо числа q, s, t, и тогда въ выведенную раньше
формулу вм^сть1 Зр нужно поставить сумму q —}- s —|— t.
Замт.чаще II. Если вместо трехъ картъ предлагать взять -i,
то формула приметъ видъ:
п.
Если предлагать взять пять картъ, получится
—n
и т. д.
Зам-Ьчаше III. Можетъ случиться, что не хватить картъ
для того, чтобы составить число р съ каждой изъ взятыхъ
картъ. Тогда спрашиваютъ число q, котораго яедостаетъ, и
поступаютъ далФе такъ, какъ если бы всЬхъ картъ было п + Ч.
при остатки г, равномъ нулю.
Задача 93-я.'
Некоторое число картъ разложено въ ряды. Уга-
Угадать задуманную кЪмъ-либо карту.

176
Pinieirie.
Возьмите 16 карг1ъ и разложите ихъ въ три ряда по б картъ
въ каждомъ. Пусть кто-либо задумаетъ одну какую-нибудь изъ
этихъ картъ и укажетъ только рядъ, въ котороыъ находится эта
карта. ПослФ этого соберите карты каждаго ряда и затъ-мъ сло-
сложите вой карты вм4ст4 такъ, однако, чтобы указанный рядъ
непременно попалъ въ середину—между картами двухъ осталь-
ныхъ рядовъ. Потомъ снова разложите карты въ три ряда въ
такомъ порядки1: одну карту положите въ первый рядъ, вторую—
во второй, третью— въ третш, четвертую—въ первый, пятую—
во второй, 6-ю—въ трепй. 7-ю—въ первый и т. д. до т?хъ
поръ, пока пе разложите вс?хъ картъ.
Разложивъ карты, спросите онятъ, въ какомъ ряду находится
задуманная карта: опять соберите карты всъ-хъ трехъ рядовъ и
сложите ихъ вмести, наблюдая снова, чтобы тотъ рядъ, гд^ на-
находится задуманная карта, непременно былъ посреди между
двухъ рядовъ, и снова разложите въ 3 ряда карты такъ, какъ
уже указано выше (при второй раскладки).
Спросивъ теперь, въ какомъ ряду находится задуманная карта,
можно тотчасъ указать ее: она будетъ третьей по порядку въ
этомъ ряду.
Чтобы лучше замаскировать задачу, можно совершенно такъ
же, какъ и въ предыдущихъ случаяхъ, еще разъ разложить карты,
и тогда задуманная ктшъ-либо карта непременно будетъ въ сред-
немъ *ряду третьей, т. е. въ середиий всЬхъ 16 картъ. Такъ
что, съ какого бы угла ни начать считать,—она всегда ока-
окажется на восьмомъ мъттъ1.
Доказательство.
Чтобы убедиться въ верности нашего ръчпешя, достаточно
показать, что, если раскладывать 3 раза карты, какъ указано,
то послФ третьей раскладки задуманная карта будетъ непременно
третьей въ томъ ряду, гдъ1 она находится. Въ самомъ д^лй, когда
мы раскладываемъ карты въ первый разъ и намъ укажутъ рядъ,
къ которомъ находится задуманная карта, то уже известно, что

176
она есть одна изъ 5 картъ этого указаннаго ряда. Помещая
тотъ рядъ, гд4 находится задуманная карта, между 2-мя осталь-
остальными рядами и раскладывая карты, какъ указано, во второй
разъ, не трудно определить, гдт, будутъ находиться т4 пять
картъ, между которыми находится задуманная карта:
1.	Одна упадетъ	на 2-е м?сто третьяго ряда
2.	Другая	»	» 3-е » перваго »
3.	Третья	»	» 3-е » второго »
4.	Четвертая »	» 3-е » третьяго »
б. Пятая »	» 4-е » перваго »
Обозначая черезъ 0 карты т-Ьхъ рядовъ, гд-Ь н-Ьтъ задуман-
задуманной карты, а черезъ 1 карты того ряда, гд4 находится задуман-
задуманная карта, находимъ, что послФ второй раскладки карты рас-
расположатся такъ:
1-й рядъ. 2-й рядъ. 3-й рядъ.
0
0
1—1
1
0
0
0
1—1
0
0
0
1
1
0
0
Следовательно, если задуманная карта находится въ пер-
вомъ ряду, то ясно, что это или 3-я или 4 -я карта этого ряда.
Поэтому, при перекладыванш картъ еще разъ такъ, какъ указано,
задуманная карта упадетъ на третье мйсто второго или третьяго
ряда. Если поели второй раскладки окажется, что задуманная
карта находится во второмъ ряду, то ясно, это есть третья карта
этого ряда, и что послФ следующей раскладки она опять упа-
упадетъ на то же мФсто. Наконецъ, если задуманная карта будетъ
въ третьемъ ряду, то ясно, что это одна изъ двухъ этого ряда,
2-я или 3-я, и послй третьей раскладки она будетъ третьей въ
первомъ или во второмъ ряду.
Напоминаю еще разъ, что вс4 эти доказательства надо
усвоивать съ картами въ рукахъ, хотя они и очень не трудны.
КромЬ того, всегда необходимо разбираться въ томъ, что общее
и что частное. Только что приведенное доказательство, напри-

177
м4ръ, относится, очевидно, только къ данному случаю и къ дан-
данному числу картъ A5). Оно не показиваетъ, можно ли, вообще,
при нечетномъ числе картъ, расположенныхъ въ нечетное число
равныхъ рядовъ, прйтп къ тому, чтобы задуманная карта на-
находилась въ середине игры.
Поэтому, если захотите, попытайтесь разобраться въ слъ-дую-
щеыъ более общеиъ доказательстве. Оно тоже не трудно.
Другое доказательство.
Пусть будетъ п число картъ каждаго ряда и t число рядовъ.
Задуманная карта пусть находится сначала въ числи п картъ
средняго ряда. При следующей раскладке эти п картъ распре-
распределятся въ t рядахъ; и если п, деленное на t, даетъ целое
частное е, то карты, въ числе которыхъ находится задуманная,
распределятся въ t рядахъ поровну, образуя группу въ е картъ
въ середине каждаго ряда. Напр., при 27-ми картахъ:
1-я
0
0
0
0
0
0
0
0
0
раскладка
L
L
1
1
1
1
L
1
1
картъ.
0
0
0
0
и
0
0
0
0
2-я
О
0
0
1
1
1
0
0
п
раскладка
0
0
0
]
1
1
0
0
О
картъ
0
и
0
1
1
1
0
0
О
То же самое получится, если частное е делится также на t.
а также если полученное новое частное f тоже делится на t и
т. д. Такимъ образомъ задуманная карта всегда находится въ
rpynni, занимающей середину взятой раскладки картъ, если
только она задумана изъ того ряда, который былъ среднимъ при
первой раскладй. .
Итакъ, если делешя на t совершаются безъ остатка до техъ
поръ, пока не получится частное 1, то какая-либо карта, за-
задуманная изъ средняго ряда, въ конце концовъ попадетъ въ
ВЪ ЦАРСТВ* СМЕКАЛКИ. КН. I.	12

178
середину этого средня го ряда. И когда угадываюнцй послъ1 н?-
сколышхъ раскладокъ скажетъ, что задуманная имъ карта на-
находится опять въ среднемъ ряду, то вы тотчасъ же можете ее
указать.
То же самое, впрочем!-, относится и къ случаю, когда ука-
занныя выше д^л^шя не совершаются нацело (безъ остатка).
Тогда получаются таше поперечные ряды, въ которыхъ встре-
встречаются карты двухъ рядовъ (т. е. изъ того ряда, въ которомъ
задумана карта, и изъ другого). Такъ, напр., для t = б и п = 9
можемъ имйть:	*
1-я раскладка картъ.	2-я раскладка картъ.
0 0100	00000
00100	0 0 0 О О
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
00100	00000
Но очевидно, что и зд^сь послй ряда соотвъ'тствующихъ
раскладокъ мы придеыъ къ тому, что задуманная карта, въ концъ1
концотъ, будетъ въ самой середин^ взятыхъ картъ.
Общее зам'Ъчаше.
Усвоивъ хорошо общдя основашя предыдущей карточной за-
задачи, не трудно всячески разнообразить ее со всякимъ числомъ
картъ. Все дъ\ио заключается только въ томъ, чтобы карты
одного какого-либо ряда посредствомъ другого расположешя ихъ
отделились и разместились въ разные ряды. Легко показать и
объяснить это на самоиъ простомъ пример^. Взявъ, наприм.,
16 картъ и расположивъ ихъ въ два ряда пр 8-ми картъ, спро-
спросите кого-либо, въ какомъ ряду находится задуманная имъ
карта. Тогда вы уже знаете, что задуманная карта есть одна
изъ восьми.

179
Взявъ, зат-Ьмъ каждый рядъ отдельно и располагая опять
карты въ такомъ порядки: одна въ первомъ ряду, другая во
второмъ, третья въ первомъ, четвертая во второмъ и т. д., не
трудно вид'Ьть, что изъ этихъ 8 картъ, гд'Ь находилась заду-
задуманная карта, 4 упадутъ въ одинъ рядъ и 4 въ другой.
Итакъ, если намъ укажутъ, въ какомъ ряду находится за-
задуманная карта, то вы знаете, что она есть одна ивъ 4-хъ
извФстныхъ картъ. Перекладывая соответственно карты, опять
найдете, что задуманная карта будетъ одной изъ 2-хъ извФст-
ныхъ картъ, и т. д., пока, наконецъ, не укажете задуманной
карты.
Задача 94-я.
Угадать задуманную пару картъ.
Пояснеше.
Предыдущую карточную задачу можно видоизменить слъ1-
дующимъ интереснымъ образомъ. Возьмемъ такое число картъ,
которое было бы равно произведенш множителей, представляю-
щихъ два послъ-довательныхъ (отличающихся другъ отъ друга
на одну единицу) числа.
То есть надо брать или ЗХ4 = Х2, или 4X6=^, или
б X 6 = 30, или 6X7 = 42 фкарты. Разложимъ зат?мъ вс4 эти
карты въ рядъ по дв4 и попросимъ кого-либо заметить любую
пару рядомъ лежащихъ картъ. Складываемъ вс? взятыя карты,
наблюдая, чтобы вс4 парныя карты лежали другъ за другомъ;
а зат?мъ раскладываемъ ихъ въ прямоугольникъ, наблюдая
такой порядокъ: сначала кладемъ три карты по порядку одна
возл^ другой, четвертую подъ первой, пятую возл'Ь третьей,
6-ю подъ 4-й, 7-ю возл'Ь пятой, 8-ю подъ 6-й и т. д. до тЬхъ
поръ, пока число картъ, которыя кладутъ рядомъ одна, возлй
другой, не будетъ равно большему множителю (пли, иначе,
числу, выражающему большую сторону прямоугольника), а число
картъ, положенныхъ одна подъ другой, не будетъ равно мень-
меньшему множителю. Лучше всего въ данномъ случай способъ
раскладки картъ пояснить на примерь1. Пусть взято 20 картъ
(т. е. 4 X б). Обозначимъ эти карты по порядку такъ: 1,2, 3,..., 20.
12*

180
Р'Ъшеше.
Разложиыъ карты по парамъ, дадимъ заметить кому-либо
любую пару, загЬмъ сложимъ и будемъ раскладывать въ прямо-
угольникъ. Разложеше, какъ объяснено выше, должно пропс-
ходить въ слйдующемъ порядки (см. фиг. 89):
В
F
Н
Л
с
Е
G
1
1
6
8
2
9
12
14
3
10
15
18
5
11
16
19
7
13
17
20
Фиг. 89.
ПослФ этого спросимъ, въ какомъ ряду, или въ какихъ ря-
дахъ находится задуманная кймъ-либо пара картъ, или, по на-
нашему обозначенш, пара чиселъ (при чемъ ряды считаются
горизонтально, какъ указано буквами,—т. е. первый рядъ есть
АВ. второй CD, третш EF, четвертый GH). Положимъ,
укажутъ, что оба числа находятся въ одномъ ряду, напр,
третьемъ. Тогда можно быть увйреннымъ, что оба эти числа
(или карты) находятся рядомъ, и первое изъ нихъ занимаетъ
третье же мФсто въ этомъ ряду, т. е. въ данномъ случай заду-
манныя числа (карты) будутъ 15 п 16.
Необходимо для вйрнаго рйшешя задачи заметить числа
(карты) 1 и 2 перваго ряда, 0 и 10 второго. 15 и 16—третьяго,
19 и 20—четвертаго. Эти числа (или карты) можно назвать клю-
чомъ задачи, и при помощи яхъ определяются числа (карты)
не только въ томъ случай, когда они находятся въ одномъ
ряду, но и въ томъ, когда они находятся въ двухъ разлпчныхъ
рядахъ. Въ этомъ случай, когда указаны ряды, въ которыхъ
находятся задуманныя числа (карты), нужно взять ключъ ука-
заннаго высшаго ряда и подъ первымъ числомъ этого ключа
въ указанноыъ нижнемъ ряду найдемъ одно задуманное число

181
(карту), а въ сторон* отъ второго числа (карты) ключа на та-
комъ же разстояши найдемъ второе задуманное число (карту).
Напр., пусть задуманныя карты будутъ 7 и 8. Тогда скажутъ,
что одна находится въ 1-ыъ ряду, а другая въ 4-мъ. Беремъ,
значитъ, ключъ перваго ряда, 1 и 2. Подъ 1 въ низкнемъ ряду,
т. е. на третьеыъ мйстт,, находится 8, а за вторымъ чпсломъ
ключа, 2, находится на третьемъ ьгЬсгЪ 7. Следовательно, по-
получаются задуманныя числа (карты).
Пусть еще скажутъ. что задуманныя чпсла находятся во
второмъ и четвертоыъ ряду. Беремъ первое число ключа
2-го ряда (т. е. 9), подъ нимъ вг четвертомъ ряду число 14,—
это и есть одно взъ задуманныхъ чиселъ, на такоыъ же раз-
разстоянш вправо отъ второго числа ключа, 10, находится 13,—
это и есть другое задуманное число (или карта).
Почему все это такъ, а не иначе, — ясно мзъ принятаго
способа раскладки картъ. Ясно также, что изъ чиселъ (картъ),
взятыхъ по парамъ, въ каждомъ ряду можетъ находиться только
но одной парт, (именно пара, входящая въ ключъ раскладки).
Изъ всЬхъ же остальныхъ паръ, если одно число (или карта)
будетъ въ одномъ ряду, то другое будетъ въ другомъ, и чтобы
угадать ихъ, необходимо только правильно разложить карты и
поступать, какъ объяснено выше.
Для 30 картъ раскладка им-Ьетъ елтдующш видъ (фиг. 90):
1
4
С
8
10
2
11
14
16
18
3
12
1!)
22
24
5
13
20
25
28
7
15
21
20
29
О
17
23
27
30
Фиг. 90.

182
Для 42 картъ имйемъ (фиг. 91):
1
4
0
8
10
12
2
13
16
18
20
22
3
14
23
26
28
3U
5
15
24
31
34
36
7
17
25
32
37
40
9
19
27
33
38
41
11
21
29
35
39
42
Фиг. 91.
Очевидно, что въ данной задачи можно предоставить уга-
угадывать пары картъ не только одному, но н^сколькиыъ лицамъ.
Затъ'иъ, разложивши указаннымъ способомъ карты въ пряыо-
угольникъ, спрашивать каждаго, въ которомъ ряду находятся
задуманный иыъ карты, и указывать ихъ по соответствующему
ключу, который для каждой раскладки легко определить, руко-
руководясь изложенными выше правилами.
Задача 95-я.
Изъ нЪсколькихъ взятыхъ картъ, или изъ п/Ьлой
колоды, угадать ту, которую кто-либо задумалъ.
Р-Ьшеше.
Возьмите нисколько картъ, или всю колоду, если хотите, и
показывайте ихъ по порядку задумывающему карту. Число
картъ, которьшъ вы пользуетесь при этой задачи, должно
быть вамъ напередъ известно. Показа въ, не глядя, вей карты
и сложивъ ихъ въ томъ же порядки, вы спрашиваете задумы-
вающаго: какую по порядку изъ показанныхъ карп, онъ за-
задумалъ (т. е. первую ли, вторую, третью, четвертую и т. д.)?
Затъ'мъ объявите, что, считая карты извъ'стнымъ образомъ, вы

183
откроете карту на томъ числъл, которое вамъ угодно (оно
должно быть, однако, равно или числу картъ, взятыхъ вами,
или большему числу). Чтобы достигнуть этого, вы спрашиваете,
какая карта по порядку задумана партнеромъ. Положимъ, что
у васъ 20 картъ, онъ скажетъ, что задумана имъ 7-я карта, а
вы объявите, что откроете задуманную карту на чпсл'Ь 20.
Тогда вы начинаете открывать карты со стороны, противопотож-
ной той, съ которой показывали карты, и первую карту счи-
считаете за семь, вторую—за восемь и т. д. Двадцатая карта и
будетъ задуманная.
Если вы заявите, что откроете задуманную карту на числи
болыпемъ, ч'Ьмъ число взятыхъ картъ, то должны соответ-
соответственно увеличить число задуманной карты, а затъ'мъ отсчиты-
отсчитывать по предыдущему.
Доказательство.
Предположимъ, что задуманная карта есть 7-я, и что взято
20 картъ. Отъ задуманной карты приходимъ къ последней,
если будемъ считать по норядку:
7, 8, 9, 10	, 17, 18, 19, 20.
Или, если сюда прибавить еще какое-либо число, напр. 3,
то получится:
1U, 11, 12,...., 20, 21, 22, 23.
Следовательно, отъ последней карты придемъ къ задуман-
задуманной, считая точно также, но начиная съ этой последней карты,
которую теперь называемъ числомъ «десять».
Задача 96-я.
Карта на м^сто!
Взята игра въ 32 карты (до сеыерокъ включительно;.
СдЬлать такъ, чтобы замеченная кЬмъ-либо карта на-
находилась на опред'Ьленномъ, сказанномъ впередъ, м'ЬстЬ.
Р-Ьшеше.
Предложите кому-либо заметить въ колодгЬ какую-либо карту,
а также запомнить про себя, на какомъ мъ'стъ', считая отъ

184
низа колоды, находится его карта, и объявите при этомъ, что
потомъ, считая сверху, онъ найдетъ ее на такомъ-то, задан-
номъ напередъ, скажемъ, — двадцатошъ мъ-стЬ.
Бсл^дъ затъ-мъ возьмите карты и переложите съ низу на
верхъ колоды 20 картъ (нужно сд'Ьлать это, держа руки за
спиной, чтобы замъ'тлвгшй карту незналъ числа переложенныхъ
вами картъ). Отдайте карты обратно заметившему карту и
спросите, на какомъ м'Ьстт> замт.тилъ онъ ])аньше свою карту.
Если онъ скажетъ число меньшее 20-ти, напр., 15, то значитъ,
его карта перешла наверхъ и до нея, считая сверху, будетъ 20 —
15 картъ, а сама она будетъ на B0—15-И)-мъ мъ'стъ1. Значитъ,
вы скажите ему. чтобы онъ вяялъ снизу колоды 15 — 1, т. е.
14 картъ, переложилъ ихъ наверхъ и считалъ затъчиъ по
порядку до 20-ти. На этомъ числе онъ и найдетъ свою карту.
Если, наоборотъ, замеченное имь раньше место картъ выра-
выражается числомъ, большимъ 20, напр., числомъ 25, то разсу-
ждаете такъ. Сначала, считая сверху, замеченная карта была
на C2—25-)-1)-мъ мт,стъ\ а зат^мъ на мести B0 )-33—25)-мъ,
т.е. на 28-мъ. Поэтому скажите угадывающему,чтобы онъ съ верха
положилъ на нпзъ колоды восемь C3—25=8) картъ и считалъ
карты сверху. На 20-мъ месте онъ и иаидетъ свою карту.
Вообще пусть а есть число, показывающее порядокъ, считая
съ низа, замеченной карты, a b число, на которомъ вы желаете,
чтобы выпала замеченная кемъ-либо карта. Переложите съ
низа на верхъ b картъ и спросите порядокъ замеченной карты.
Вамъ скажутъ а. Если а меньше Ь, то на верхъ нужно поло-
положить а — 1 карту; если а больше Ь, то нужно положить съ
верха подъ низъ 33—а картъ.
Считая затемъ карты сверху, найдемъ всегда замеченную
карту на месте Ь.
Задача 97-я.
Кто что взялъ,—я узналъ!
Угадать, не глядя, кЪмъ изъ трехъ лицъ взята ка-
каждая изъ трехъ вещей.
Положите на столъ три различныхъ вещи, напр., ножикъ,
карандашъ и перо. Положите на столъ также двадцать картъ,

186
или другихъ какихъ-нибудь одинаковыхъ предыетовъ (напр,
спичекъ, палочекъ, кубиковъ, каметковъ и т. д.). Пригласите
вагаихъ трехъ товарищей, напр., Петра, Павла и Ивана, сЬсть
за столъ, а сами оборотитесь къ нимъ спиною, или даже уйдите
въ другую комнату. Предложите этимъ товарищамъ вашимъ
разобрать три вещи по одной, какъ имъ угодно. Послъ1 этого
вы говорите: «Петръ, возьми одну карту (или спичку и т. д.),
Павелъ дв'Ь, Иванъ четыре». Когда это ваше желаше испол-
исполнено, говорите далъ'е: «Пусть тотъ, у кого карандашъ, возьметъ
ce6i еще столько картъ (или спичекъ и т. д.), сколько им'Ьетъ,
тотъ же, у кого ножикъ, пусть положить ce6i еще два раза
столько картъ (или спичекъ и т. д.) сколько имйетъ». Когда
и это второе ваше желаше исполнено, вы попросите, чтобы
вамъ дали оставгшяся карты. По этому остатку вы можете
узнать, у кого какая вещь. Но какъ?
PiineHie.
Здъ'сь вы должны разобраться въ HiKOTopbixb числахъ и
заранее заготовить ce6i или умйть составить въ любой данный
моментъ табличку извт>стныхъ чиселъ, основываясь на такихъ
соображешяхъ:
Предложивши тренъ лицамъ сначала взять одну, двт, и четыре
карты (или спички и т. д.), вы, въ сущности, отметили ка-
каждое лицо изв'Ьстныыъ числомъ (Петръ- одинъ, Павелъ—два,
Иванъ—четыре). />атЪмъ каждое пзъ этихъ трехъ лицъ по ва-
вашему указашю увеличиваетъ принадлежащее ему число. У кого
карандашъ. беретъ еще столько картъ, сколько имт,етъ; у кого
ножъ, еще два раза столько, сколько имъ'етъ. У каждаго обра-
образуется свое число. Вся задача въ томъ, чтобы по остатку отъ
двадцати картъ (или спичекъ и т. д.], которыя передаются въ
ваши руки, узнать, какое у кого число. Другими словами, все
основывается на томъ, что если мы числа 1, 2 и i будемъ
всячески перемножать на числа 1, 2, 3 и затймъ брать всЬ по-
лученныя суммы этихъ произведешй, то будемъ всегда полу-
получать различныя числа.

186
3
2
3
1
2
1
2
3
1
3
1
2
1
1
2
2
3
3
Составляя суммы произведен^ изъ 1, 2, 4 на 1, 2 и 3,
шлучнмъ таблицу:
1 2 4
11
12
13
15
16
17
Если мы числа 1, 2, 4, стояпдя наверху, перемножимъ
соответственно на стоящая подъ ними числа и сложишь полу-
ченныя произведешя, то получимъ суммы, написанныя въ на-
нашей таблице за чертою справа. Эта-то таблица и даетъ
средство угадать, кгьмъ изъ трехъ лицъ взята каждая изъ
трехъ данныхъ вещей.
Пусть, наирим^ръ, изъ двадцати огтавленныхъ на стол'Ь
картъ (или спичекъ и т. д.) вамъ возвратили только 5. Следо-
Следовательно, всего разобрано 15. По приведенной выше таблички
мы заметимъ, что 15 получается, когда мы 1 умножимъ на
1, 2 на 3, 4 на 2 и полученный пропзведешя сложимъ. От-
Отсюда мы заключаемъ, что тотъ, кто имЪлъ 4 карты (Иванъ),
взялъ еще столько же картъ, следовательно, у Ивана каран-
дашъ. Тотъ, кто имъмъ 2 карты (Павелъ), взялъ еще два раза
столько: следовательно, у Павла ножикъ.
ЗаигЬчаше. Эту задачу можно распространить и на боль-
большее число лицъ, напр., на четырехъ лицъ. Но для этого новаго
случая нужна и новая табличка, которую надо составить на
основанш такихъ соображенш: надо отыскать тамя четыре
числа (скажемъ: а, Ь, с, d), чтобы суммы произведенШ изъ
этихъ чиселъ на 1, 2, 3 и 4, составленныя всевозможными
способами, были различны между собой. Татя наименышя
искомыя числа суть 1, 2, 5, 13.

187
Составьте изъ этихъ чиселъ (помножешеыъ на 1, 2, 3, 4
и сложешемъ) табличку, подобную предыдущей, и вы можете
«угадывать», къжь изъ четырехъ лицъ взята каждая изъ дан-
ныхъ четырехъ вещей.
Задача 98-я.
НЪкто беретъ 27 картъ и раскладываетъ ихъ, по-
последовательно одна за другою, на три кучки по 9
картъ въ каждой (Карты въ рукахъ раскладывающаго
повернуты крапомъ вверхъ. и раскладывающш, при
распределены на з кучки, поворачиваетъ ихъ лицомъ
вверхъ). Просятъ кого-либо мысленно заметить во
время этой раскладки любую карту и по окончанш
раскладки сказать, въ какой изъ кучекъ находится
задуманная карта. Раскладывающей сладываетъ век
кучки вм-Ьст-Б такъ, чтобы порядокъ картъ въ каждой
изъ кучекъ не былъ нарушенъ, и вновь раскладываетъ
ихъ на три кучки, какъ указано выше, а вслъ-дъ за-
тъ-мъ вновь узнается, въ какой кучкъ1 карта теперь.
Вслъ-дъ зат-вмъ карты складываются опять-таки такъ,
чтобы порядокъ картъ въ каждой кучке не былъ на-
нарушенъ. Карты раскладываются и въ третШ разъ точно
также на три кучки; узнается, въ какой кучке на-
находится задуманная карта, и затЪмъ складываются
вновь безъ нарушешя порядка картъ въ каждой кучкъ-.
Спрашивается, какъ нужно всякш разъ помещать кучку,
содержащую задуманную карту, чтобы въ конц-в озна-
ченныхъ раскладокъ карта занимала напередъ опреде-
определенное м-бсто?
PimeHie.
Пусть а, Ь, с означаютъ порядокъ ьгЬста, на которое кла-
кладется та кучка, гд^ находится задуманная карта. Передъ этой
кучкой нужно, значить, предварительно распредьмить а 1 ку-
кучекъ взъ 9 картъ, что при нашеыъ распред'Ьлеши даетъ по
3(а—1) карты на каждую кучку. Затймъ та кучка, въ которой

188
находится задуманная карта, добавляете еще 3 карты къ
каждой кучк-Ь, такъ что если указать кучку, въ которой нахо-
находится задуманная карта, то она будетъ тамъ въ числи трехъ
послъ'днихъ изъ 3(а 1)—|—3 картъ.
ВслЪдъ затъчиъ передъ кучкой, гд'Ь находится задуманная
карта, пом^щаемъ b — 1 остальныхъ кучекъ, такъ что при-
придется передъ ней распределять 9(Ь — 1)-1-3(а —1)+3 карты.
Въ каждую кучку попадаетъ 3(Ь — 1) -f- (а — 1) +1 картъ, и
последняя изъ картъ и есть задуманная карта. Но, расклады-
раскладывая карты еще разъ, мы передъ кучкой, гдъ1 находится заду-
задуманная карта, пом'Ьщаемъ с — 1* кучку, что для мгЬста (назо-
вемъ его Tt) задуманной карты даетъ:
9(о —1) + 3(Ь —1) + (а-1) + 1.
Итакъ, для опред'Ьлетя R им^етъ формулу
Rr=9(c -l) + 3(b - 1) + а.
Отсюда, если известно a, b и с, находимъ Е. Если же R
дано напередъ, то a, b и с можно опредтлить по нижесл'Ьдую-
щему правилу:
Взятое число В надо делить па 3, полученное частное
опять на три. но такъ, чтобы первый остатокъ не былъ нуль.
Этотъ остатокъ будетъ а, и онъ указывает^, на какомъ м^стт,
нужно иом'Ьстить ту кучку картъ, гд^ находится задуманная
карта. Второй остатокъ. увеличенный единицей, даетъ атЬсто,
на которомъ должно указанную кучку поместить второй разъ,
а второе частное, увеличенное единицей, даетъ мйсто, гдт^ нужно
пом4стить укаяанную кучку картъ въ TpeTifi разъ.
Напримгьръ: Требуется, чтобы задуманная карта была один-
одиннадцатой.
11
2
3
3
0
в
1
Отсюда видно, что кучку, содержащую задуманную карту,
нужно въ первый разъ поместить на второмъ мйстй, второй—
на первомъ и третш на второмъ

189
Пусть еще требуется задуманную карту показать на девя-
томъ
9
3
3
2
2
3
О
Значить, кучку, гдъ' находится задуманная карта, въ пер-
вмй разъ нужно поместить на третьемъ jrfccrb. во второй разъ
тоже на третьемъ и въ тремй — на первомъ мт>стъ'.
Зам^Ьчаше.
Можно, конечно, разнообразить настоящую задачу, показывая
ее кому-нибудь. Такъ, напр., въ первый разъ послъ' веЬхъ рас-
кладокъ задуманпую къчиъ-либо карту можно изъять изъ ко-
колоды, держа ее за спиной, и положить ее затъ-мъ на столъ. Въ
другой разъ можно впередъ, до игры, объявить, на какомъ
м^стъ' будетъ задуманная карта, или же попросить любого изъ
зрителей, чтобы онъ самъ назначилъ мйсто, на которомъ же-
лаетъ, чтобы очутилась задуманная карта. Наконецъ, можно
отдать карты любому изъ присутствующихъ съ тймъ. чтобы
онъ раскладывалъ ихъ самъ и складывалъ кучки, какъ угодно
(не м^няя только порядка картъ въ кучкахъ). Нужно при
этомъ только замечать, на какомъ мъ'стъ- кладется кучка, со-
содержащая задуманную карту, и применять указанную выше
формулу. Подобные пр1емы оживляютъ задачу.
Задача 99-я.
Сделать то же, что и въ предыдущей задач?, но
съ 48-ю картами, которыя раскладываются три раза
на четыре кучки.
Р-Ьшеше.
Пусть а будетъ порядокъ кучкп съ задуманной картой посл-Ь
первой раскладка, Ь -порядокъ, въ которомъ она будетъ посл'Ь
второй раскладки, и с—порядокъ, въ которомъ она будетъ посл'Ь
третьей раскладки.

190
Если кучку, содержащую задуманную карту, положить на
ьйстт, Ъ, то до этой кучки, значить, находится 12F— 1) картъ,
и, раскладывая ихъ опять на 4 кучки, мы найдемъ, что на ка-
каждую кучку изъ этихъ картъ придется по 3F — 1). Значить,
задуманная карта находится въ своей кучк'Ь после этого коли-
количества 3F— 1) картъ; и если мы обозначимъ черезъ г мйсто.
которое она занимаетъ после этихъ картъ, то ея место во всей
кучк'Ь определится числомъ 3F — 1) -|- *"• Складываемъ опять
кучки и передъ кучкой, где помещается задуманная карта, кла-
••демъ теперь 12(с — I) картъ. Означая, затъ-мъ. черезъ В место,
которое занимаетъ карта во всей взятой игре, найдемъ, что
В=12(с — 1) + 3F— 1L-г.
Остается, теперь, определить количество г.
Когда складывали кучки въ первый разъ, то передъ кучкой,
находилась задуманная карта, было 12(а — 1) картъ. Раз-
ложивъ затеиъ карты, мы положили сначала въ каждую кучку
по 3(а — 1) карты и еще 3 карты изъ кучки, содержащей за-
задуманную карту. При следующей же раскладке этв 6 (а — 1) 4- -°>
карты распределились въ четырехъ кучкахъ после 3F — 1) картъ,
какъ указано выше. Это и есть то распределеше, которое даетъ
место г. Но если а = 1, то нужно распределить только 3 карты
где находится задуманная карта. Она, следовательно, будетъ
на первоыъ месте после 3F — 1) картъ и. значитъ,
Л=12(с—1) + 3F —1)+1	A)
Если а = ?. то количество 3(а — 1) + ^ равно 12. Эти две-
двенадцать картъ, будучи распределены, разложатся по 3 карты
на каждую кучку, и такъ какъ задуманная карта находится
между тремя последними, то она будетъ третьей где-то после
3F — 1) картъ, какъ это видно изъ следующей разстановки,
где х означаетъ въ кучке задуманную карту:
1-я
кучка.
С
С
С
2-я
кучка.
С
с
X
3-я
кучка.
С
с
X
4-я
кучка.
С
С
X

191
Въ этомъ случа'Ь:
В=Щс— 1) + 3F — 1) + 3	B)
Если а = 3, количество 3 (а—1) + 3 равно 9, и распре-
дълеше этихъ 9 картъ послт, 3 (Ъ — 1) каргъ, положенныхъ до
нихъ, будетъ таково:
1-я
кучка.
С
С
X
2-я
кучка.
С
С
3-я
кучка.
С
X
4-я
кучка.
С
X
Итакъ, если задуманная карта не въ первой кучкй, то она
будетъ во второй кучкй послЬ 3F—1) первыхъ картъ, и по-
получается
JB=12(c— 1) + 3F —1) + 2	C)
Но если задуманная карта находится въ первой кучкф, то
JR=12(c=l) + 30—1) + 3	D)
Если случится это последнее, то достаточно, сложивъ кучки,
взять одну карту съ верха игры и положить ее подъ низъ,
чтобы равенство D) заменилось равенствомъ C).
Итакъ, задача решается равенствами A), B) и C). Отсюда
вытекаетъ такое правило:
Число Л, означающее мйсто, на которомъ должна нахо-
находиться задуманная карта, дтлится на 3, а полученное частное
на 4, и притомъ такъ, чтобы первое дйлеше не давало въ
остатки нуля. Если первый остатокъ равенъ 1, то, складывая
кучки въ первый разъ, нужно кучку, содержащую задуманную
карту, положить наверхъ. Если остатокъ равенъ 3, то ее нужно
положить снизу, а если остатокъ равенъ 2, то нужно указан-
указанную кучку положить на третьемъ Midi. Второй остатокъ, уве-
увеличенный единицей, покажетъ м-Ьсто, гдъ1 нужно положить ука-
указанную кучку дослт, второй раскладки, а второе частное, уве-
увеличенное единицей, укажетъ, на какомъ мъ-стт, нужно поло-
положить кучку съ задуманной картой послт, третьей раскладки. Но
если посл4 первой раскладки приходилось кучку съ задуманной
картой класть на третьемъ Midi и зат'Ьмъ, если послт, третьей

192
раскладки задуманная карта окажется въ первой изъ четырехъ
кучекъ, верхнюю карту надо переложить виизъ.
Примпръ I. Требуется, чтобы задуманная карта была 37-ой.
37
1
3
12
0
4
3
Значитъ, въ первый разъ кучка съ задуманной картой
кладется первой, во второй равъ—тоже первой, а въ трети
разъ—четвертой.
иримгьръ II. Требуется, чтобы задуманная карта была 20-й.
20
2
3
G
2
4
1
Значитъ, кучку съ задуманной картой надо положить на
третье м^сто, во второй разъ тоже на третье и въ третШ—на
второе.
Иримгьръ III. Требуется, чтобы задуманная карта была 24-ой.
24
3
3
7
3
4
1
Въ первый разъ кучка съ задуманной картой кладется на
четвертомъ м'Ьстъ1, во второй разъ тоже на четвертомъ и въ
третш—на второмъ.

Мосты и острова.
Не приходилось ли вамъ жить, а мозкетъ быть вы п сейчасъ
живете въ город*, или местности, гдъ1 тече1ъ р^ка, которая де-
делится на протоки п рукава, образующее острова. Черевъ р-Ьку
и ея протоки переброшены, быть мозкетъ, мосты, соединяющее
различная части города. Въ Петербург^, напримт>ръ, очень
много подобныхъ протоковъ, развЗзтвлешй Невы и равныхъ ка-
наловъ, черезъ которые переброшено весьма большое количество
мостовъ и переходовъ. Не приходила ли вамъ когда-либо въ
голову мысль (если, конечно, вы живете въ местности, гдъ1 есть
рйка, острова и мосты) совершить такую прогулку, чтобы во время
ея перейти есть эти мосты, но перейти ихъ такъ, чтобы на ка-
ждомъ побывать только по одному разу? Врядъ ли вы думали
объ этомъ, а между т-Ьмъ мы стоимъ здъть передъ весьма инте-
интересной и важной задачей, поднятой впервые знаменитымъ ма-
тематикомъ Эйлеромъ.
Сов^туемъ въ свободное время заняться изучешемъ этой
задачи въ особенности. Она служитъ отличнымъ введешемъ въ
совсЬмъ особую область геометрш, которую можно было бы на-
назвать геометргей расположены (Geometria situs, Geometrie de
situations).
Геометргя расположен!й занимается только вопросами по-
порядка и 2шсположетя, оставляя въ сторонъ все относящееся
къ измйретю и отношенш величпнъ геометрически хъ
ВЪ ЦАГСТВВ СМЕКАЛКИ. КН. I.	13

194
и тт,лъ. Все почти вопросы, связанные съ такими играми, какъ
шахматы, шашки, домино, солитеръ, лото, миопя карточныя
задачи и т. д., наконецъ, такая практическая задача, какъ
подборъ разпоцв'Ьтныхъ нитей для составлешя извъстнаго узора
ткани,—все это относится къ геометрш расположений. Значить,
практически геометр1я эта известна людямъ съ глубокой древ-
древности. А на желательность ея научнаго разытя указывалъ еще
Лейбнпцъ въ 1710 году. Эйлеръ, какъ упомянуто, тоже зани-
занимался вопросами этого порядка и, между прочпмъ, задачей о
кенигсбергскихъ ыостахъ, которую мы здт.сь и излагаемъ въ сколь
возможно упрощенноыъ впд4.
Число научныхъ трудовъ и изсл'Ьдовашй въ области гео-
метрш расположен^ довольно значительно. Но, несмотря на
блестящую разработку н'Ькоторыхъ отд'Ьльныхъ вопросовъ, нужно
сказать, что для общихъ омговашй этой отраслл науки сделано
сравнительно мало. Для желающихъ посвятить себя этому пред-
предмету представляется обширное необработанное поле, на которомъ
можно сдъ-лать многое.
Вторая Поучительная сторона предлагаемыхъ задачъ состоитъ
въизсд'Ьдованш, возможна или нгЬтъ данная задача, прежде чт>мъ
приниматься за pimenie ея. Эйлеръ, въ частности, подробно
изслъ-довалъ случай невозможности.
Задача 101-я.
Кенигсбергск1е мосты въ 1759 году.
Задача, предложенная Эйлеромъ въ 1769 году, заключается
въ слтдующемъ:
Въ город4 Кенигсберг^, въ Померанш, есть островъ
по имени Кнейпгофъ. Р-Ька, огибающая островъ, дъ--
лится на два рукава, черезъ которые переброшено семь
мостовъ: а, Ь, с, d, e, f, g (см. фиг. 92). Спрашивается,
можно ли сделать такую прогулку, чтобы за одинъ
разъ перейти черезъ всЬ эти мосты, не переходя ни
черезъ одинъ мостъ два или болъ-е разъ?

195
Фиг. 92.
«Это вполн'Ь возможно!»—скажетъ кто-либо. — «Н/Ьтъ, это
невозможно!»—скажетъ иной. Но кто правъ и кто нъ"гъ, и какъ
это доказать?
Самый простой путь ръчпешя задачи, казалось бы, такой:
сделать есть возможным пробы такихъ переходовъ, т. е. перечис-
перечислить всЬ возможные пути, п затЪмъ разсиотр'Ьть. какой или кате
изъ нихъ удовлетворяю'™ услов1ямъ вопроса. Но очевидно, что
даже въ случай только семп мостовъ приходится Д'Ьлать слиш-
комъ много такихъ пробъ. А при увеличепш числа мостовъ та-
такой способъ ръчпешя практически совершенно немыслимъ. Да,
кромъ1 того, при одномъ и томъ же числъ1 мостовъ задача изме-
изменяется въ зависимости еще отъ расположены этихъ мостовъ.
Поэтому пзберемъ иной, бол'Ье надежный путь ръчпетя задачи.
Решете.
Прежде всего изслъ-дуемъ, возможенъ или нгыпъ искомый
нами путь для даннаго расположешя семи мостовъ. Для облег-
чешя разсужденШ введемъ так^я условныя обозначен!я:
Пусть А, В, С и D будуть разныя части суши, разделен-
разделенной рукавами р^ки (см. фиг. 92).
ЗатЬмъ: иереходъ изъ м'Ьста А въ м-Ьсто В мы будемъ
обозначать черезъ АВ,—все равно, по какому бы мосту мы ни
шли,—по а пли по Ъ. Если, затЪмъ, изъ В мы перейдемъ въ D,
13*

196
то этотъ путь обозначпмъ черевъ BD, а весь переходъ или
путь изъ А въ D обозначишь черезъ ABD, такъ что здъ-сь В
одновременно обозначаетъ и м4сто прибыия и место отпра-
влешя.
Если, теперь, пзъ D перейдемъ въ С, то весь пройденный
путь обозначимъ черезъ ABDC. Итакъ. это обозначьте изъ
четырехъ буквъ показываетъ, что изъ мъ-ста А мы, пройдя
места В я D, пришли въ С, при чемъ перешли три моста.
Если, значить, мы перейдемъ четвертый мостъ, то для
обозначешя пути намъ понадобится пять буквъ. После пере-
перехода слйдующаго пятаго моста понадобится обозначить прой-
пройденный путь гшестъю буквами и т. д.
Словомъ, — если бы мы обошли по одному разу всЬ семь
данныхъ мостовъ, то нашъ путь долженъ быль бы обозначиться
восемью буквами (Вообще, если есть п мостовъ, то для обозна-
обозначешя искомаго нами пути черезъ эти мосты понадобится п -\-1
буква).
Но какъ и въ какомъ порядкп долоюны итти буквы въ этомъ
обозначение?
Между берегами А и В есть два моста. Значить, последова-
последовательность буквъ АВ или ВА должна быть два раза. Точно также
два раза должно повторяться соседство буквъ А и С (Между
этими местами тоже два моста). Затймъ, по одному разу должно
быть соседство буквъ А и D, В и D, D и С.
Следовательно, если предложенная задача возможна, т. е.
возможно кенигсбергсше мосты перейти такъ, какъ требуется за-
задачей, то необходимо:
1) Чтобы весь путь обозначился только восемью буквами,—
не более; 2) чтобы въ расноложенш этихъ буквъ соблюдались
указанныя услов!я относительно соседства и повторяемости
буквъ.
Разберемся, теперь, въ слъ-дующемъ весьма важномъ обстоя-
тельств'Ь:
Возьмемъ, наприм., местность А, соединенную съ другими
местностями несколькими мостами: а, Ъ, с,.... (въ данномъ
случай пятью мостами). Если мы перейдемъ мостъ а (все равно
откуда, изъ А или другого места), то въ обозначенш пути

197
буква А появится одинъ разъ. Пусть п'Ьшеходъ прошелъ 3 моста
a, b и с, ведупце въ А. Тогда въ обозначены пройденнаго пути
буква А появится 2 раза, въ чемъ нетрудно убедиться. Если
же на А ведутъ 5 мостовъ, то въ обозначены пути черезъ всЬ
эти мосты буква А повторится 3 раза. Вообще легко вывести,
что если число мостовъ, ведущихъ въ А, есть нечетное, то чтобы
узнать, сколько разъ въ обозначены требуемаго пути повто-
повторится буква А, надо къ этому нечетному числу мостовъ при-
прибавить единицу и полученное число разделить пополамъ. То же,
конечно, относится и ко всякой иной местности съ нечетнымъ
числомъ мостовъ, которую для краткости будемъ называть не-
нечетной местностью.
Усвоивъ все предыдущее, приступимъ къ окончательному
изшгЬдовашю задачи о 7-ми кенигсбергскихъ мостахъ:
Въ местность А ведетъ 5 мостовъ. Въ каждую изъ местно-
местностей В, С и D ведетъ по три моста. Значитъ все эти местно-
местности нечетным, и на основанш только что сказаннаго—въ обо-
значеше полного пути черезъ всЬ семь мостовъ необходимо
чтобы
5+1
- суква А вошла —=—, т. е. 3 раза
в » —y~ » 2
С » ^^ » 2
D » Ш » 2
Всего 9 буквъ.
Получается, такимъ образомъ, что въ обозначены искомаго
пути необходимо должно войти 9 буквъ. Но мы уже доказали
выше, что въ случае возможности задачи весь путь долженъ
необходимо обозначиться только восемью буквами. Итапъ, за-
задача для даннаго расположенгя семге мостовъ невозможна.
Значитъ ли это, что задача о переходе по одному разу че-
черезъ мосты невозможна всегда, когда имеется одинъ островъ,

198
два рукава р'Ьки и семь мостовъ? Конечно, н'Ьтъ. Доказано
только, что задача невозможна для дстнаго расположения мо-
стовъ. При иномъ расположенш этихъ мостовъ л ртлиете могло
бы быть иное.
Теперь же замйтимъ, что во всЬхъ гЬхъ случахъ, когда
число мостовъ, ведущихъ въ различный м'Ьста, есть нечетное,
можно применять разсуждешя совершенно подобныя предыду-
щпмъ и такимъ образомъ убедиться въ возможности или не-
невозможности задачи. И не трудно вывести для даннаго случая
такое общее правило:
Если число буквъ, которым должны входить въ обозначс-
uie полнаго пути перехода черезъ ваъ мосты по одному разу,
не равно числу мостовъ, увеличенному единицей, то задача
невозможна.
Для этого же случая нечетныхъ местностей замъ-тимъ и то,
что правила для нахождетя числа повторенш какой-либо буквы,—
наприм. А,—въ обозначены полнаго пути всегда одинаково при-
ложимо, будутъ ли идунде изъ А мосты вести въ одно какое-
либо м'Ьсто В, или же въ различиыя м'Ьста.
Чтобы перейти къ бол'Ье общему р-Ьшешю задачи, необхо-
необходимо разсмотръ"гь случаи, когда HMieM'b четное число мостовъ,
ведущихъ откуда либо въ друпя м^ста.
Пусть, напримЪръ, изъ мгЬста А въ друия м-Ьста перебро-
переброшено черезъ piuy четное число мостовъ. Тогда при обозначе-
В
А
Фиг. 93.
ши пути перехода черезъ всв мосты по одному разу надо раз-
различать два случая: 1) начинается ли путь изъ А, или 2) пзъ
другого м-Ьста.
Въ самомъ д'Ъл'Ь, если изъ А въ В, напр., ведутъ два
моста, то путникъ, отправившшся изъ А и прошедппй по одному

199
разу оба моста, долженъ свой путь обозначать такъ: ABA, т. е.
буква А повторяется два раза. Если же путникъ пройдетъ черезъ
тЪ же два моста, но изъ м4ста В, то буква А появится всего
одинъ разъ, пбо этотъ путь обозначится черезъ ВАВ.
Предположимъ теперь, что въ А ведутъ 4 моста,—изъ одной
ли какой местности или изъ разныхъ, это все равпо. И пусть
путникъ отправляется въ обходъ по одному разу всЬхъ мостовъ
пзъ мйста А. Опять-таки легко видеть, что въ такомъ случай
при обозначена пройденнаго пути буква А повторится 3 раза;
но если начать обходъ изъ другой местности, то буква А по-
повторится только два раза. Точно также въ случай шести мостовъ
буква А въ обозначенш всего пути повторится четыре раза,
или три, смотря по тому, начался ли переходъ изъ А, илп пзъ
другой местности. Словом7ъ можно вывести такое правило:
Если число мостовъ известной местности есть чет-
четное (четная местность), то въ соотвътствующемъ
обозначеши пути буква, обозначающая местность, по-
появляется число разъ, равное половин-fc числа мостовъ,
если переходъ начался изъ другой местности. Если же
переходъ начался изъ самой четной местности, то
число появлешй этой буквы равно половинъ* числа
мостовъ да еще единица.
Очевидно, однако, что при полномъ пути переходъ начп-
нается изъ одной только какой-либо определенной местности.
Поэтому условимся разъ навсегда для четной мгьстпости
чпсло повторешй ея буквы въ обозначенш пути счптать равнымъ
половить числа мостовъ, ведущихъ въ эту местность; а для
нечетной местности число повтореиш ея буквы получпмъ, если
къ числу мостовъ этой местности придадимъ единицу и полу-
полученное чпсло раздЗшшъ пополамъ.
Итакъ, при р'Ьшеши задачи* о мостахъ необходимо различать
два случая:
1) Идущш отправляется изъ нечетной местности;
2) онг идешь тъ четной мпстности.
Въ первомъ случа'Ь число повторенш буквъ, обозначающихъ

200
полный путь, должно быть равнымъ числу мостовъ, увеличен-
увеличенному единицей. Въ противномъ случай задача невозможна.
Во второмъ случай полное число повторенш буквъ должно
равняться числу мостовъ, такъ какъ, начиная путь съ четной
местности, нужно число повторений соответствующей буквы
увеличить единицей только для одной местности.
Общее piuieme.
Разсмотримъ теперь задачу о мостахъ съ более общей точки
зрйшя. Ийъ прсдыдущихъ разсужденШ мы уже можеыъ вывести
общ1й npieMb решешя каждой подобной задачи о мостахъ. Во
всякомъ случае мы можетъ тотчасъ же убедиться въ невоз-
невозможности подобиаго решешя. Для этого расположимъ лишь
pinieme такъ:
1)	Отм'Ьчаемъ общее количество мостовъ и ставимъ его въ
заголовки ръчпешя;
2)	Обозначаемъ разлпчныя местности, разд4ленныя рекой,
буквами А, В. С, D... и пишемъ ихъ въ столбецъ одна подъ
другой;
3)	Противъ каждой изъ местностей пишемъ во второмъ
столбца число всЬхъ ведущихъ на нее мостовъ;
4)	Четныя т?ъстпости отмйчаемъ звездочкой при соотв'Ьт-
ствующихъ буквахъ 1-го столбца;
5)	Въ третьемъ столбце соответственно пишемъ половины
четныхъ чиселъ 2-го столбца; а если во второмъ столбце есть
числа нечетныя, то прибавляемъ къ нимъ единицу и пишемъ
въ 3-мъ столбце половину полученнаго числа (Каждое число
3-го столбца - показываетъ число повторешй соответствующей
буквы).
6)	Находимъ сумму 3-го столбца.
Если эта последняя сумма: 1) равна числу ыостовъ, или
2) больше его всего на одну единицу, то вопросъ о полномъ
обходе всехъ мостовъ по одному разу можетъ быть решенъ,
если только задача возможна вообще. Но при этомъ надо иметь
въ виду, что въ первомъ случае обходъ надо начинать съ
четной местности, а во второмъ—съ нечетной. Для случая раз-

201
смотренной нами задачи о 7-мп кенигсбергскихъ мостахъ будемъ
имйть, значить, такую схему решетя:
Число мостовъ 7.
А
В
С ....
D
... 5
3
. 3
	3
3
to to
Всего 9
Такъ какъ 9 больше, чтшъ 7-4-1, или 8, то, следовательно,
задача невозможна.
Задача 102-я.
Переходъ черезъ 15 мостовъ.
Попробуемъ теперь решить другую задачу, въ которой
имт>емъ два острова, соединенныхъ между собой и съ берегами
рйки 15-ю мостами, какъ это указано на прплагаемомъ рпсункъ1
(фиг. 94).
Фиг. 94.
Спрашивается: можно ли за одинъ разъ обойти вст> эти
мосты, не проходя ни черезъ одинъ бол^е одного раза?
Согласно выведеннымъ нами уже раньше щнеыамъ решетя,
обозначаемъ разными буквами всЬ местности, разд-Ьленныя раз-

личными рукавами ръчш п соединенныя мостами. Посл'Ь этого
соотавляемъ следующую таблицу:
Число мостовъ 15.
А* . .
В* .
С* . .
D
Е
р*
	8
. . 4
4
3
. . 5
	6
Всего . . .
4
2
2
2
3
3
16
Отсюда выводимъ, что задача возможна, ибо число повто-
ренш буквъ на единицу больше числа мостовъ. Кром-Ь того, по
предыдущему знаемъ, что обходъ долженъ начаться изъ нечет-
нечетной местности D или Е.
Искомый обходъ мостовъ можетъ быть сдъмганъ такъ:
EaFbBcFdAeFfCgAhCiDkAmEnApBqFlI)
или въ обратномъ порядки. Маленьшя буквы среди болыпихъ
показываюсь, каше именно переходятся мосты.
Изложенные выше npiesra р^шешя задачи прежде всего
позволяютъ судить объ ея возможности, или невозможности.
Сд'Ьлаемъ теперь еще нисколько выводовъ. ведущихъ къ болъ-е
определенному уясненго подобныхъ задачъ.
Зам'Ьтимъ прежде всего, что сумма чиселъ второй колонны
точно равна двойному количеству мостовъ. Это зависитъ отъ
того, что въ каждомъ мосту мы считаемъ обгЬ его оконечности,
упиракнщяся въ различные берега. Отсюда нетрудно вывести
следующее:
1)	Сумма чиселъ второго столбца всегда должна быть чет-
четной, ибо половина ея должна дать число мостовъ.
2)	Значптъ. если задача возможна, то въ ней или нтзтъ
совс^мъ нечетныхъ местностей, или же они есть въ четномъ
количеств^ (однако не бол-Ье двухъ, какъ увидимъ сейчасъ ниже).
Иначе второй столбецъ при сложенш не давалъ бы четнаго числа.

203
3)	Если въ задача» всЬ местности четныя, то задача всегда
возможна, изъ какой бы местности мы ни отправлялись.
Такъ, напримйръ, въ случай кенигсбергскихъ мостовъ задачу
можно было бы решить, если бы задано было обойти всЬ мосты
по 2 раза каждый, что сводится, въ сущности, къ удвоенш
числа мостовъ, т. е. къ обращешю всЬхъ данныхъ местностей
въ четныя.
4)	Если въ задаче есть только две нечетныя местности, а
остальныя всъ1 четныя, то сумма цифръ третьяго столбца на
единицу больше числа мостовъ, и задача возможна, если начать
обходъ мостовъ съ одной изъ двухъ нечетныхъ местностей. Но
если число нечетныхъ местностей будетъ более 2-хъ, т. е. 4,
6, 8 и т. д., то задача оказывается невозможной, такъ какъ сумма
чиселъ третьяго столбца будетъ более числа мостовъ на 2, на
3, на 4 и т. д. единицы.
Вообще: При всякомъ даниомъ расположенш мостовъ тот-
часъ же не трудно определить случай возможности или не-
невозможности задачи. Задача невозможна, если число нечетныхъ
местностей более двухъ. Задача возможна, если 1) все мест-
местности четныя и 2) если нечетныхъ местностей только 2. Въ
последнемъ случае обходъ мостовъ надо начинать съ одной
изъ этихъ нечетныхъ местностей.
Изследовавъ задачу и заключпвъ о ея возможности, остается
только совершить самый обходъ мостовъ. Но это уже сравни-
сравнительно легкая часть задачи, при выполненш которой лучше
всего придерживаться такого правила:
Отбрасываемъ мысленно столько группъ мостовъ. кедущнхъ
изъ одной местности въ другую, сколько возможно. Уменьшивъ
такимъ образомъ число мостовъ, определяема, чрезъ нпхъ путь.
Затемъ принимаемъ во внимаше отброшенные раньше мосты
и заканчиваемъ обходъ.

204
Задача 103-я,
Петербургом мосты.
Разсмотримъ теперь Петербурге™ мосты въ 1910 году,
расположенные по Невт. и ея рукавамъ.
Мы возьмемъ, впрочемъ, только вс/Ь мосты, ведущде черезъ
Большую Неву, п затгЬмъ мосты, переброшенные на болыше
острова черезъ Малую Неву, Большую, Малую и Среднюю Невки,
черезъ р. Крестовку п Ждановку. Кронверксгай пролпвъ съ
Петропавловской крепостью оставпмъ въ сторонъ1. Точно также
не беремъ Фонтанкп, Мойкп и многочпсленныхъ каналовъ съ
ихъ мостами, предоставляя читателю потомъ самому включить
ихъ въ задачу и разобраться въ возможности ея решетя, что
очень легко.
Итакъ, мы им-Ьемъ (сы. фиг. 95) 8 различныхъ местностей,
'If t t ¦J fo ^ №
E
Фиг. 95.
соединенныхъ 17-ю мостами. Приступимъ къ изсл^довашю
задачи по выведенной уже выше схемй.

206
Вс*хъ мостовъ 17.
Городъ do левую сторону Вольш. Невы А*	• ¦ . .	4
Петербургская сторона ... . . . В*	. • .	8
Васильевсшй островъ . С*	4
Петровскш островъ	D		3
Крестовсшй островъ .-	 Е*		4
Елагпнъ островъ ... . F . .	3
Каменный островъ ... . G*		4
Выборгская сторона . . . .	. Н*	. . .	.4
2
4
2
2
2
2
2
2
Всего	18
Мы видимъ, что число нечетныхъ местностей въ данноыъ
случай равно двуыъ, а сумма чиселъ третьяго столбца на еди-
единицу больше числа ыостовъ.
Итакъ, задача возможна, при чемъ обходъ надо начинать
изъ одной из'Ь нечетныхъ местностей I) или F, т. е. начать съ
Елагина острова и придти на Петровски, или наоборотъ. Если
начать съ Елагина острова, то обойти все мосты ложно, на-
прим'Ьръ, такъ:
Цифры, поставленный между буквами, указываютъ, каше
переходятся мосты.
Задача 104-я.
Путешеств1е контрабандиста.
Задачу о переходи черезъ мосты можно предлагать въ раз-
личныхъ видоизменешяхъ. Можно свести ее, наприм^ръ, на пу-
TeniecTBie контрабандиста, который р-вшилъ побывать во всЬхъ
странахъ Европы, но такъ, чтобы черезъ границу каждаго го-
государства ему пришлось переходить только одинъ разъ.
Въ данноыъ случай очевидно, что различный страны и ихъ
границы будутъ соответствовать разнымъ м'Ьстностямъ и рука-

206
вамъ р-Ькп, черезъ которыя переброшено по одному мосту (для
каждой границы, общей двуиъ страшшъ).
Изсл'Ьдуя возможность задачи, тотчасъ впдиыъ, что Шве-
цгя, Испашя и Дашя имтлотъ нечетное число гранпцъ съ со-
соседними государствами, т. е. число нечетныхъ местностей бо-
л^е двухъ. А следовательно, путешееттае, которое предпола-
гаетъ совершить контрабандпстъ, невозможно.

О фигура^ъ, вычерчивае^ы^ъ однида
почерко^ъ-
Задача 105-я,
Помню, что въ д^тств-Ь меня соблазняла одно время на-
надежда получить сразу тгвлый миллюнъ рублей!... Миллюнъ!...
Подумаешь, чего только нельзя сд'Ьлать за эти деньги! И чтобы
получпть это1ъ ипллюнъ, требовалось начертить только такую
простую фигурку (фиг. 96):
Фиг. 96.
Шутники уверяли меня, что англичане (почему именно они, а
не кто иной,— не знаю) тотчасъ дадутъ мпллюнъ рублей ка-
каждому, кто прпдетъ къ нимъ и начертитъ эту фигуру- Но
при вычерчиванш ставилось одно услов1е. Требовалось, чтобы
фигура эта была вычерчена однимъ непрерывнымъ почеркомъ,
т. е. не отнимал пера пли карандаша отъ бумаги и не удваивая

208
ни одной лиши, другими словами,—по разъ проведенной лиши
нельзя уже было пройти второй разъ.
Надежда стать «мшшонеромъ», р-Ьшпвъ такую легкую за-
задачу, заставила меня испортить много бумаги п потратить много
времени на попытки вычертить эту фигуру, какъ требовалось,
однимъ почеркомъ. Задача, однако, не решалась, и это было
т^мъ досадн'Ье, что она не решалась только «чуть-чуть»... Ни-
какъ не удавалось провести только одной «последней» какой-
либо лпти. Удалось даже открыть такой секретъ, что вся труд-
трудность въ томъ, чтобы вычертить сначала однимъ почеркомъ, не
повторяя лиши, еще болъ-е простую фигуру: четыреугольникъ
съ двумя Д1агоналями (см. фиг. 97). Это, казалось бы, уже со-
всвмъ просто, и все-таки... не удавалось!..
о	с
Фиг. 97.
—	Этого нельзя сделать!—восклицалъ я, наконоцъ, съ не-
подд'Ьльнымъ отчаяшемъ.
—	Почему же нельзя?—отвечали мнгЬ.—А вотъ найдется
такой «умный» челов'Ькъ, что возьметъ да начертитъ и полу-
читъ миллюнъ.
Но позволить кому-либо выхватить, такъ сказать, у себя
изъ-подъ носа миллюнъ я пикакъ не хогЬлъ и снова прини-
принимался за безконечныя попытки нарисовать эту фигурку однимъ
почеркомъ.
—	Этого нельзя сделать!—сказали мнгЬ, наконецъ, старппе,
знан1ямъ и словамъ которыхъ я безусловно в'Ьрилъ. Но тогда
и я, въ свою очередь, спросилъ:
¦— Почему?
И нужно сознаться, что никто изъ нихъ не могъ мнт, этого
объяснить, и сомнтлпе въ возможности этой задачи у меня такъ-
таки и осталось, гЬмъ бол'Ье, что фигуры горазцо бол'Ье слож-

209
ныя и трудныя съ виду легко вычерчивались однимъ почеркомъ.
Такъ, наприм^ръ, выпуклый пятиугольникъ со всЬми его Д1а-
гоналями легко вычерчивался однимъ непрерывнымъ движе-
шемъ безъ повторешя лиши, при чемъ получалась такая фи-
фигура (см. фиг. 98).
Фиг. 98.
То же самое легко удавалось со всякимъ многоугольни-
комъ съ нечетнымъ числомъ сторонъ и никакъ не удавалось
съ квадратомъ, шестиугольникомъ и т. д., словомъ—съ много-
угольникомъ съ четнымъ чпсломъ сторонъ.
Теперь намъ не трудно будетъ разобраться и доказать, ка-
какую изъ любыхъ данныхъ фигуръ можно вычертить однимъ
почеркомъ, безъ повторешя лиши, а какую н4тъ. Каждую изъ
задачъ подобнаго рода можно тотчасъ свести къ разобраной уже
нами Эйлеровой задачи о мостахъ.
Въ самомъ дъ\зЪ, возьмемъ, наприм., четыреугольникъ ABCD
съ двумя его д!агоналями, пересЬкающимися въ Е (фиг. 97).
Можно ли его вычертить однимъ непрерывнымъ почеркомъ, безъ
повторешя лиши?
Точки А, В, С, D и Е (эта последняя буква обозначаетъ
пересечете д!агоналей и на чертежи не показана) мы пред-
ставимъ себт., какъ центры нйкоторыхъ местностей, разд4лен-
ныхъ р-Ькой, а лиши, соединяющ1я эти точки, какъ мосты,
ведущее въ эти местности. Что же мы въ данномъ случай по-
лучаемъ? Пять местностей, изъ которыхъ 4 нечетныхъ и одна
четная. Мы знаемъ уже, что въ такомъ случай нельзя за одинъ
разъ обойти всЬ мосты, не переходя ни черезъ одинъ два раза,
ВЪ ЦАРСТВ* СМЕКАЛКИ. КН. I.	14

210
или, другими словами,—нельзя обойти всЬ данныя точки одной
непрерывной лишей безъ повторешя прежняго пути.
Случаи возможности и невозможности вычерчивашя однимъ
почеркомъ фигуръ совершенно тт> же, что и въ задачи о мостахъ.
Одна задача, въ сущности, сводится на другую.
Всяшй нечетный многоугольникъ со встши его д1агоналями
можно вычертить однимъ почеркомъ безъ повторешя литй по-
потому, что этотъ случай соответствуете тому, когда данныя
въ задачт, о мостахъ местности всЬ четныя.
Соображешя, изложенныя зд^сь, одинаково прилагаются ко
всякой фигур'Ь, образована ли она прямыми или кривыми ли-
линиями, на плоскости ли или въ пространств^. Такъ, нетрудно
видеть, что возможно описать однимъ непрерывнымъ движе-
шемъ Bci ребра правильнаго октаедра, и нельзя этого сделать
для четырехъ остальныхъ правильныхъ выпуклыхъ т4лъ.
Говорятъ, что Магометъ концомъ своей палки вместо под-
подписи (онъ былъ неграмотенъ) описывалъ однимъ почеркомъ та-
такой состояпцй пзъ двухъ роговъ луны знакъ (фиг. 99).
Фиг. 99.
И это вполне понятно, потому что въ данномъ случат* мы
имйемъ д'Ьло только съ точками четнаго порядка, а следова-
следовательно вычертить такую фигуру однимъ почеркомъ безъ повто-
повторешя твхъ же лини всегда возможно. Всегда возможно также
вычертить однимъ почеркомъ и такую фигуру, гдъ1 помимо то-
чекъ четнаго порядка есть и двй точки (но не болъ^е) нечет-
наго порядка. Вотъ весьма красивый и замысловатый образчикъ

211
такой фигуры, заключающей въ себЪ 2 нечетныя точки А и Z
(Фиг. 100):
Фиг. Ю0.
Съ какой-либо изъ этихъ точекъ и надо начинать непре-
непрерывное вычерчивате фигуры, какъ мы уже знаемъ изъ задачи
о мостахъ.
Также нельзя вычертить однимъ почеркомъ нижесл'Ьдующдя
фигуры A01 и 102).
Фиг. 101.
Фиг. 102.
при всей ихъ видимой простотй, такъ какъ въ первой 8, а во
второй двенадцать точекъ нечетнаго порядка. Первая можетъ
быть вычерчена не менйе какъ четырехкратной, а вторая не
мен^е, какъ шестикратной непрерывной лишей.
Если взятъ шахматную доску съ 64-мя клетками, то въ
ней 28 точекъ нечетнаго порядка, и, чтобы вычертить ее, надо
чертить 14-ти-кратную линш.
Съ другой стороны, если взять треугольникъ, поделить ка-
каждую изъ его сторонъ на 12 (или сколько угодно) равныхъ ча-
частей и провести изъ этихъ точекъ лиши, параллельныя дру-
гимъ сторонамъ, то полученная сЬтчатая фигура можетъ быть
вычерчена однимъ непрерывнымъ движешемъ безъ повторешй.
Такпхъ примЪровъ можно подобрать сколько угодно.
14*

212
Для упражнешя предлагаемъ читателю заняться во время
досуга вычерчивашемъ съ одного почерка нижеслйдующихъ
фигуръ:
Фиг. 103.
Фш. 104.
Фиг. 105.
Фиг. 106.
Фиг. 108.
Фиг. 107.
Фиг. 109.
Фиг. ПО.

213
Нижесл&дуюшдя фигуры показывають, какъ наиболее просто
делается вычерчивате съ одного почерка предыдущихъ фигуръ.
Фиг. 111.
Фиг. ш.
Фиг. 113.
Фиг. 114.
Фиг. 115.
Фиг. 116.
Фиг. 117.

214
Фиг. 118.
Задача 106-я.
Пять лиши, 10 монетъ.
Начертите на бумага пять прямыхъ лиши и разло-
разложите на нихъ то монетъ такъ, чтобы на каждой ли-
Н1и лежало по 4 монеты.
Фиг. 119 показываетъ, какъ решается задача:
Фиг. 119.
Можно ли эту фигуру вычертить съ одного почерка?

Волшебная таблица.
5
1E
17
18
19
30
21
32
23
34
25
36
37
38
29
30
31
16
4
8
0
10
11
12
13
14
15
24
35
26
27
38
29
30
31
8
3
4
5
6
7
13
13
14
15
20
21
23
23
38
39
30
31
4
2
2
3
С
7
10
И
14
15
18
19
22
23
26
27
30
31
2
1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
1

216
Вотъ таблица, въ которой въ 5-ти столбцахъ выписаны из-
вйстнымъ образомъ всгЬ числа отъ 1 до 31. Таблица эта отли-
отличается следующимъ «волшебнымъ свойствомъ»:
Задумайте какое угодно число (но, конечно, не
большее зО> и укажите только, въ какихъ столбцахъ
этой таблицы находится задуманное вами число, и я
тотчасъ же «угадаю» это число.
Если, напримйръ, вы задумаете число 27, то, ничего не го-
говоря иного, скажите только, что задуманное вами число нахо-
находится въ 1-мъ, 2-мъ, 4-мъ и 5-мъ столбцахъ; а я уже самъ
вамъ навгьрное скажу, что вы задумали именно число 27
(Можно это сказать, даже не смотря на таблицу).
Вместо такой таблицы можно, если угодно, смастерить:
Волшебный в-?еръ.
Сделайте сами, закажите или купите подходящей в4еръ и
на 5-ти пластинкахъ его выпишите изображенную выше
таблицу. Можете, обвивая себя вйеромъ, предлагать вашему
собеседнику задумать число и указать вамъ только пластинки,
на которыхъ оно написано. Вы тотчасъ угадаете задуманное
к?мъ-либо число.
Но въ чемъ секреть?
Разгадка.
Секреть угадывашя съ виду простъ: обратите внимаше на
цифры, написанныя въ самой нижней графи. Если вамъ ска-
жуть, напримйръ, что задуманное число находится во 2-мъ,
3-мъ и 5-мъ столбц'Ь, считая слива, (или на 2-й, 3-й, 5-й пла-
пластинки в'Ьера), то сложите числа, стояпдя въ этихъ столбцахъ
внизу, получите 22 B —|— 4 —}— 16), и будьте уверены, что заду-
задумано именно это, а не иное какое число.
Въ правильности таблицы можете убедиться и такъ: заду-
задумайте сами число (не больше 31), напримйръ 18. Вы найдете
это число во 2-мъ и б-мъ столбцахъ. Внизу этихъ столбцовъ

217
стоятъ числа 2 и 16; сложенный вместе, они даютъ, действи-
действительно, 18.
Но почему такъ? Какъ же составляется подобная таблица?
Сколько можно составить такихъ таблицъ?
Полный и подробный ответь на это вы найдете дальше, въ
главе о двоичномъ счислети, которую советуемъ внимательно
прочесть. Она даетъ много задачъ и объясняешь сущность яко
бы волшебной таблицы. Здесь же пока замъ"щмъ только слъ'-
дующее:
Если написать рядъ чиселъ, начиная съ 1, такихъ, чтобы
каждое было вдвое больше предыдущего, т. е.:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и т. д. (Иначе говоря:
рядъ посл-Ьдовательныхъ степеней 2-хъ), то числа эти отли-
отличаются тъчиъ зам'Ьчательнымъ свойствомъ, что изъ нихъ можно
получать сложешемъ решительно есть цгьлыя числа, даже не
входящш въ этотъ рядъ, и притомъ полученныя последова-
тельныя числа ряда войдутъ только по одному разу.
Въ нашей таблице (или веере) мы взяли только рядъ чи-
чиселъ 1, 2, 4, 8, 16 B°, 21, 22, 23, 24) и наглядно убеждаемся,
что съ помощью сложешя чиселъ этого ряда можно получить
все числа отъ 1 до 31, т. е. до 24—1. Впрочемъ, более точ-
точное и строгое объяснеше всему этому вы найдете, какъ ска-
сказано, въ следующей главе.
Тамъ же вы найдете решеше и объяснеше нижеследую-
нижеследующей интересной задачи.
Задача 107-я.
Въ лавкъ1 б"Ьднаго торговца вместо гирь было всего
4 камня. Однако, съ помощью этихъ камней онъ со-
совершенно правильно взв-вшивалъ все въ ц-Ьлыхъ фун-
тахъ, начиная съ одного фунта и до пуда, т. е. до
4<э фунтовъ. Спрашивается: какого в-feca были эти
камни.
Путемъ последовательныхъ пробъ, пожалуй, нетрудно ре-
решить эту задачу и найти, что камни должны быть весомъ въ

	218
1, 3, 9 п 27 фунтовъ. Но какъ найти общее ргьшете подоб-
ныхъ задачъ?
Все это разъяснится, если вы вникните въ следующую
главу. Но прежде чймъ взяться за ея чтеше и изучеше, совй-
туемъ нашему читателю вновь продумать, что такое десятичная
система счислешя, по которой считаетъ нын? все современное
образованное человечество (См. также главу П-ю введен1я:
«Счетъ, Mipa и число»).

Двоичное счисление
О счисленш вообще.
Уменье считать (счислеше) очень часто разсматриваютъ, какъ
основное ариеметическое д&ёствю, какъ начало всйхъ дМствш,
которыя можно производить надъ числами. Это большое заблу-
ждете, такъ какъ свойства чиселъ существуютъ независимо
отъ всякой системы счисления.
Счислеше или счетъ есть чисто условный языпъ, позволяю-
щш называть числа при помощи нъхколькихъ немногихъ словъ
въ разговорной р?чи, или иисать ихъ при помощи неыногихъ
знаковъ, цифръ, на письмй.
Основное dnucmeie аривметики есть законъ образовашя
чиселъ, т. е. сложете. Наше десятичное счислеше, наприм.,
есть уже дМете болт-е сложное. Оно заключаешь въ себт,
одновременно сложеше и умножен!е. Такъ, число 45 въ деся-
десятичной системъ1 есть результатъ, полученный отъ умножешя 10
на 4 и зат'Ьмъ прибавлешя къ полученному пяти единицъ.
Известно, впрочемъ, что десятичная система счислешя есть
сравнительно позднее создаше человеческой ариометики.
Само собой разумеется, что вместо того, чтобы считать числа
десятками, сотнями (т. е. группами по десяти десятковъ), ты-

сячами (т. е. группами по десяти сотенъ) и т. д., можно
было бы число десять заменить всякпмъ другимъ,—наиримйръ,
числомъ двгышдцатъ (дюжиной), и считать дюжинами. Уже
Арисготель зам^тилъ, что число четыре могло бы вполне за-
заменить десять. По этому поводу Вейгель въ 1C87 г. даже
предложилъ планъ четверичной аривметики.
Почти всеобщш выборъ числа десять за основаше счисле-
шя зависитъ, по всей вероятности, отъ устройства нагпихъ
рукъ (десять пальцевь), точно также, какъ большинство раз-
личныхъ единицъ у древнпхъ получили свое назваше и про-
исхождеше отъ различныхъ членовъ человеческаго т'Ьла, какъ
локоть, пядь и т. д.
Въ XVII Biiti Мельхиседекъ Вевено (Thevenot) пытался
найти всеобщую мгЬру, исходя изъ правильности и' равенства
граней пчелиныхъ восковыхъ ячеекъ. Новейци'я мгЬры построены
на бол'Ье прочныхъ основашяхъ и взяты изъ геодезическихъ,
физическихъ и др. соотношешй, какъ, метръ, граммъ и др.
Двоичная система.
Двоичная система счислешя есть счетъ, гдъ1 въ основате
кладется число 2.
Всякая система счислешя основана на употреблеши едпницъ
разныхъ разрядовъ, каждая пзъ которыхъ содержитъ единицу
предыдущаго разряда одно и то же число разъ. Число еди-
единицъ низшаго разряда, нужное для того, чтобы составить еди-
единицу высшаго, называется основателю системы счислешя.
Это основаше должно быть равно по меньшей мгЬрт, двумъ.
Въ сазгомъ дгЬлй, если взять за основаше системы одииъ,
то единицы различныхъ разрядовъ будутъ равны между собой,
и системы гчисленш въ сущности не будетъ.
Первымъ знакомствомъ съ двоичной аривметикой мы обя-
обязаны Лейбницу. Нъ этой систем^ за осиоваше принято число
два, и всЬ числа можно писать только цифрами 0 и J. При
этомъ принимается единственное ycjiOBie, сходное съ ппсьмен-
нымъ счислен1емъ въ десятичной системе, именно,— что всякая
цифра, помещенная сейчасъ влево, представляетъ единицы въ

221
два раза болышя, ч'Ьмъ стояпп'я непосредственно вираво. Сле-
Следовательно, по этой системе числа два. четыре, восемь, шест-
шестнадцать... напишутся такъ:
10, 100, 1000, 10000,...
Числа три, пять, одиннадцать, девятнадцать напишутся такъ:
11, 101, 1011, 10011,...
Слйдуетъ, вообще, освоиться съ нисашемъ чиселъ по дво-
двоичной систем'Ь. Это легко.
Зангёчашя о дв-Ёнадцатичной систем^.
Симонъ Стевинъ изъ Брюгге (умеръ въ 1633 г.) иредложилъ
когда-то ввести двенадцатичную систему, какъ более подходя-
подходящую къ нашему обыкновенно считать месяцы, года, часы дня,
градусы окружности и т. д. Но изменеше существующей си-
системы произвело бы слишкоыъ болышя неудобства сравнительно
съ теми преимуществами, которыя получились бы, если при-
принять число двенадцать на основаше системы.
Позднее знаменитый Огюстъ Контъ заметилъ. что строеше
руки, имеющей 4 пальца съ тремя суставами, или всего две-
двенадцать суставовъ противъ двухъ еще суставовъ пятаго, боль-
большого, пальца, позволяешь считать по пальцамъ все числа до
13 разъ 12, A3 X12 = 156). Такимъ образомъ по двепадца-
тичной систем1]; можно было бы легко вести на пальцахъ го-
гораздо более обширный счетъ, чемъ десятичный. Но отъ этой
остроумной выдумки въ настоящее время не сохранилось ничего,
кроме сравнешя, сделаннаго самимъ Контомъ, что четыре
пальца съ оольшимъ пальцелъ во главе напомпнаютъ четырехъ
солдатъ подъ командой капрала.
Преимущества двоичной системы.
Въ двоичной системе обыкновенныя ариеметичесшя дей-
ств1я сведены къ самымъ простейшимъ выражешямъ. Сложеше,
напримеръ, сводится къ следующему: 1 да 1 даетъ два, ставлю
О и замечаю 1. Таблицы уыножешя (Пиеагоровой) нетъ вовсе,

222
такъ какъ все уыножеше сводится къ следующему: 1, умноженная
на 1, даетъ единицу. Такъ что все умножеше заключается въ
соотвътствующемъ подписаши частичныхъ произведешй. При до-
долети не требуется никакихъ попытокъ. Кромъ- того, для этой
системы удобнее, чъчиъ для всякой иной, изготовлять счетныя
машины. Люка *), благодаря двоичному счислешю, нашелъ наи-
наибольшее изъ H3BicTHbiXb до сихъ поръ простыхъ чиселъ, а
также изобр'Ьлъ машину, дающую весьма болышя первоначаль-
ныя числа. Неудобство двоичной системы состоитъ въ большемъ
количеств!, писашя, которое необходимо для изображения не-
большихъ сравнительно чиселъ.
Лежандръ въ своей Teopiu чиселъ даетъ способъ, довольно
быстро ведупцй къ ц4ли, когда хотятъ изобразить большое
число по двоичной систем-!. Пусть дано, напр., число 11183 445.
Дъ'лимъ его на 64. Получается остатокъ 21 и частное 174 741.
Это последнее дъ'лимъ опять на 64, получается въ остатки 21
и частное 2 730. Наконецъ, 2 730, деленное на 64, даетъ
въ остатки 42 и частное 42. Но 64 въ двоичной системт. есть
1000 000; 21 въ двоичной систем1! есть 10101, а 42 есть
101001. Итакъ предложенное число напишется по двоичной си-
стемъ1 такъ:
101 010 101010 010 101 010101
Же-кимъ.
. Двоичная система счислешя позволяетъ объяснить одинъ
китайскШ символъ, носяпдй имя Жекимъ, или Жекгтгъ. При-
Приписывается онъ Фо-хи, древнейшему законодателю Китая (за
3000 л4тъ до Рожд. Христова). Символъ состоитъ изъ 64 не-
большихъ фигуръ, образованныхъ каждая изъ шести находя-
находящихся одна надъ другой горизонтальныхъ лиши; одни изъ этихъ
линШ сплошныя, друг1я им^ютъ въ cepeflHHi перерывъ. Символъ
этотъ приводилъ въ отчаяше какъ китайскихъ, такъ и евро-
пейскихъ ученыхъ, не могшихъ его удовлетворительно объяснить.
Знаменитый Лейбницъ, разсматривая различныя начертан!я Же-
*) Recherches sur plnsienrs onvrages de Leonard de Pise, et snr diverses
qnestions d'arithmetiqae. — Rome. 1877.

223
кима сравнительно съ рядомъ чиселъ, написанныхъ по двоич-
двоичной систем1!, нашелъ, что двоичная ариеметика разр4шаетъ
загадку, и что Же-кимъ есть ничто иное, какъ рядъ 64 по-
сл^довательныхъ первыхъ чиселъ, написанныхъ по двоичной
систем^, но въ обратномъ порядки. Въ самомъ д"!лт>, если
обозначимъ единицу сплошной прямой	, а нуль, прямой
съ перерывомъ посреди	, если кромъ- того условимся
единицы сдгЬдующихъ высшихъ разрядовъ писать не справа
Видъ Китайскаго
Же-киыа

Переводъ на
двоичную
систему
000000
000001
000010
000011
000100
000101
По десятич-
десятичной систем^
0
1
2
3
4
б
налево, но снизу вверхъ, то нетрудно найти, что этотъ китай-
СК1Й символъ, составленный изъ повторешй 6-ти горизонтальныхъ
лиши, можетъ быть истолкованъ такъ, какъ это указано на
таблицй, помещенной на этой страниц-!.
Въ этой столь удачно имъ разгаданной загадкФ Лейбницъ
вид^лъ также символъ творен1я изъ ничего по волт. Бога,
подобно тому, какъ, говорилъ онъ, всЬ числа въ двоичной
систем1! составляются изъ нуля и единицы. Мысль эта такт,
понравилась знаменитому философу, что онъ сообщилъ ее тогдаш-
тогдашнему MHecioHepy въ Китай, П. Буве, убеждая его развить ее

224
нередъ царствовавшимъ иыператоромъ и такимъ путемъ обра-
обратить его въ хрисэтанство... Впрочемъ, можно быть увйреннымъ,
что гешальный ученый не придавалъ этой своей пиеагорейской
идей болыпаго значешя, чъчиъ она того стоитъ.
Для большей ясности представлешя о Же-кимъ1 приведемъ
первыя 16 фигуръ его. Вотъ он4:
r-i
о —
о —
ОТО
1 i I
о -
<—, -
о-
нуль
четыре
восемь
э-
о -
о -
с -
--
с -
одинъ
пять
девять
о —
-
о -
два
шесть
десять
о
три
семь
е
одиннадцать
1
1 '
дв-Ьнадцать	тринадцать
четырна-
четырнадцать
пятнадцать
Ящикъ съ гирями.
Напишемъ по двоичной систем-! таблицу 32 чиселъ:
1
2
3
4
Б
С
7
8
1
10
II
100
101
110
III
1000
9
10
11
12
13
14
16
16
1001
1010
1011
1100
1101
1110
МП
10000
17
18
19
20
21
22
23
24
10001
10010
10011
10100
10101
юно
10111
11000
26
26
27
28
29
30
31
32
1001
1010
11011
1100
1101
НПО
Mill
100000

225
Легко эту таблицу продолжить до какихъ угодно пред4ловъ,
и такимъ образомъ вывести то общее правило, что любое число
можно получить путемъ сложетя различныхъ степеней двухя.
съ прибавкой единицы, т. е. каждое число можно получить пу-
путемъ сложешя изъ ряда:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,. . .
при чемъ при такомъ сложенш ни одно пзъ чпселъ ряда не
требуется брать дважды. Этимъ свойствомъ можно пользоваться
въ торговле и промышленности. Если намъ требуется взвесить
целое число, напр., граммовъ (или фунтовъ, лотовъ, пудовъ,—
словомъ, какихъ угодно единпцъ веса), то можно пользоваться
ящикомъ, въ которомъ находятся разновески такихъ тяжестей:
1 gTj 2 gr, 4 gr, 8 gr, 16 gr, 32 gr...
Съ шестью такими гирями можно взвешивать до 63 gr. Съ
числомъ п такихъ гирь можно взвешивать до тяжестей, полу-
чаемыхъ изъ формулы
2П —1.
На практике, однако, ящики съ гирями устраиваются иначе.
Во Франщи и другихъ образованныхъ странахъ (почти везде
кроме Россш), где принята десятичная система м4ръ и весовъ,
эти ящики содержать граммы, декаграммы, гектограммы п кило-
килограммы*) въ такомъ порядке:
1 gr 2 gr 2 gr 5 gr
1 <lg 2 dg 2 dg 5 dg
1 hg 2 hg 2 hg 5 hg
1 kg 2 kg 2 kg 5 kg
и т. д. Ясно, что изъ чиселъ 1, 2, 2, 5 можно составить все
осталышя до 10. Кроме того подобное устройство ящика съ
разновесками более подходите къ десятичной системе счислешя,
и подобной же системе меръ и весовъ, — следовательно, при
навыке не требуесъ почти никакого соображетя. Но если по-
посмотреть на дело съ иной стороны, то при двоичной системе
для взвешивашя до известнаго предела требуется меньше гирь,
чг1;мъ при десятичной.
*) 10 gr = l dg; 10 dg = I hg; 10 hg=l kg.
ВЪ ЦАРСТВ* СМЕКАЛКИ. КН. I.	15

226
Взв'Ъшиваше.
Составимъ такой рядъ чиселъ, въ которомъ первый членъ
будетъ единица, а зат4мъ идутъ степени 3-хъ, т. е.:
1, 3, 9, 27, 81,...
Онъ обладаетъ свойствомъ, состоящимъ въ томъ, что, склады-
складывая или вычитая извгьсенымъ образомъ его члены, мы?пакже
получишь всевозможных цгьлыя числа. Доказать это не трудно,
и мы останавливаться на этомъ не будемъ.
Свойствомъ этого ряда можно воспользоваться также для
того, чтобы взвешивать съ наименьшпмъ количествомъ различ-
ныхъ гирь предметы, вЬсъ которыхъ можно выразить въ ц'Ьлыхъ
числахъ. Такъ, наприм^ръ, при помощи перекладыватя гирь
на различныя чашки в^собъ можно взвесить въ цълыхъ фун-
тахъ вс4 тяжести отъ 1-го фунта до цъмгаго пуда при помощи
всего четырехъ гирь въ
1 ф., 3 ф., 9 ф., 27 ф.
При помощи пяти гирь въ 1, 3, 9, 27 и 81 фунтъ можно
взвешивать въ цЬдыхъ фунтахъ вс4 тяжести отъ 1-го до 121 фунта
и т. д. Вообще съ помощью п гирь в4сомъ въ
1, 3, З3, З4;... Зп—1 фунта
можно взвешивать вс4 тяжести до вйса въ
-х- Cй — 1) фунтовъ.
' Следовательно, геометрическая прогресс1я со знаменателемъ
отношешя 3 разр4шаетъ такую общую задачу: Найти наимень-
наименьшее число гирь, съ помощью которыхъ можно произвести всгь
взв?ыииватя въ цкълыхъ числахъ отъ 1 до суммы вгьса всгьхъ
взятыхъ тяжестей; и эта сумма должна быть наибольгией
относительно числа тяжестей.
Еще о волшебной таблицЪ.
Воспользуемся таблицей, составленной нами ран4е на стра-
ницъ1 224, для построешя новой, обладающей свойствомъ, заслу-
живающимъ вниман!я. Эту новую таблицу составимъ такъ:
Въ первомъ столбцъ1, справа, выпишемъ одно подъ другимъ

227
изъ таблицы на страниц1! 224 вс4 т4 числа по десятичной си-
стемъ1, которымъ въ двоичной систем'Ь соотвътствуютъ числа,
оканчивающаяся на 1. Затъчиъ во второмъ столбца, считая справа
налево, выпишемъ Bci ii числа, у которыхъ по двоичной си-
стемъ1 вторая цифра съ конца есть 1. Въ третьемъ столбца вы-
нишемъ все тъ1 числа, у которыхъ по двоичной систелъ1 третья
цифра съ конца есть 1, и т. д. Въ нашемъ случай, очевидно,
придется остановиться на 5-мъ столбцъ1, и наибольшее число,
входящее въ составляемую таблицу, есть 31. (Вообще же для
п-аго столбца такое наибольшее число будетъ 2" — 1). Такимъ
образоыъ мы получаемъ следующую таблицу:
5
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
4
8
9
10
11
12
13
14
15
24
25
26
27
28
29
30
31
3
L
5
6
7
12
13
14
15
20
21
22
23
28
29
30
31
2
2
3
6
7
10
11
14
16
18
19
22
23
26
27
30
31
1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
По этой таблиц1! можно угадать всякое задуманное к4мъ
либо число, если оно, конечно, не болйе 31. Въ самомъ д-Ьлъ1,
предложите кому либо задумать любое число, не большее 31,
и указать, въ какихъ столбцахъ оно находится. Если, начиная
отъ правой руки къ л4вой, мы будеиъ писать 1 для всякаго
столбца, гдъ1 задуманное число находится, и 0 для такого столбца,
15*

228
гд4 этого числа нт.тъ, то иолучимъ задуманное число, написан-
написанное по двоичной систем^. Задача облегчается если внизу столб-
цовъ написать соотвътствуюпця степени двухъ и затт.мъ, чтобы
узнать задуманное число, остается только узнать, въ какихъ
схолбцахъ оно находится, и сложить соотвйтственныл находя-
находящаяся внизу числа. Можно, впрочеыъ, этихъ степеней двухъ и
не подписывать внизу, такъ какъ они написаны нами уже въ
первой строк'Ь составленной нами таблицы A, 2, 4, 8, 16).
Вмъ-сто таблицы можно сдъ-лать изъ картона волшебный втеръ
и на пластинкахъ его написать соотвФтствующгя числа. Это раз-
смотрйно уже нами на стр. 215 — 217. Здт,сь мы ocBimaeMb
все это съ болйе общей точки зрт>шя.
Двоичная прогресс!я.
Возьмемъ число 2 и удвоимъ его. полученное число опять
удвоимъ, полученное снова удвоимъ, полученное снова удвоимъ
и т. д. То есть, другими словами, составимъ таблицу степеней
числа двухъ, начиная съ первой и до 32 степени:
Сте-
Степень
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2П
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2 048
4 096
8192
16 384
32 768
65 536
Сте-
Степень
п
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
2П
131072
262 144
524 288
1 048 576
2 097 152
4194 304
8 388 608
16 777 216
33 554 432
67108 864
134 217 728
268 435 456
536 870 912
1 073 741 824
2 147 483 648
4 294 967 296

229
Эта таблица представляетъ тотъ рядъ чиселъ, который Ферма
(Fermat) назвалъ двоичной прогрессгей. Нетрудно проверить съ
помощью этой таблицы, что для перемножешя какихъ-либо
степеней 2,— наприм., девятой и одиннадцатой, — достаточно
показателей этихъ степеней сложить. Т. е. 29Х2П = 220; или
512X2 048=1048 576.
Вообще: показатель произведешя двухъ степеней одного и
того же числа равенъ сулит, обоихъ показателей, а показатель
частнаго двухъ степеней одного и того же числа равенъ раз-
разности показателей дЬгамаго и делителя.
На разсмотрйнш и обобщенш этихъ свойствъ показателей
степеней основана теорш логаривмовъ.
ЗамФтимъ также, что, им'Ья предыдущую таблицу, мы весьма
быстро можемъ вычислить 64-ю степень 2-хъ, перемножая са-
самое на себя 32-ю степень этого числа, т. е.
2б4 _ 232 х 2з2 _ 4 294 967 296 X 4 294 967 296 =
= 18 446 744 073 709 551 616.
Съ этимъ послтднимъ числомъ, уменьшеннымъ на 1, связано
известное математическое предаше, указанное нами въ главт,
о шахматахъ объ изобретателе шахматной игры.
Совершенныя числа.
Двоичная nporpeccifl приводить къ нознанш такъ н^ываемыхъ
совершенных^ чпселъ. Такъ называется всякое ц4лое число,
сумма всЬхъ делителей котораго равна самому числу, пред-
предполагая, конечно, что само число исключено изъ этихъ дели-
делителей.
Teopifl нечетныхъ совершенныхъ чиселъ не разработана
вполнт, еще до сихъ поръ. Что касается до четныхъ совер-
шенныхъ чиселъ, то всгЬ они безъ псключешя содержатся въ
формул^.
N = 2й-1 Bа — 1),
ГДТ, второй множитель, 2а — 1, долженъ быть первоначальнымъ
числомъ. Следовательно, въ этой формул^ а нужно придавать

230
только тт, значешя, для которыхъ число 2а — 1 есть перво-
первоначальное число. Это было известно еще Эвклиду, но этотъ
геометръ не могъ доказать, что такимъ путемъ получаются ваь
четныя совершенныя числа.
Число 2а — 1 мозкетъ быть первоначальнымъ только въ
томъ случат,, если показатель а есть число первоначальное.
Это доказать не трудно, но этого недостаточно. Необходимо еще
удостовериться, что число 2а — 1 есть действительно первона-
первоначальное число. При настоящемъ состоянш высшей ариеметики
эта задача въ общемъ случат, неразрешима, если только пока-
показатель а больше 100. Совергаенныя числа, известныя ныне,
суть следующая восемь чиселъ, заключающихся въ нижеследую-
нижеследующей таблиц'Ь:
а
2
3
5
7
13
17
19
31
2а-1
2
4
16
64
4 096
65 536
262144
1 073 741 824
2а—1
3
7
31
127
8 191
131 071
524 287
2 147 483 647
Совершенныя числа.
6
28
496
8128
335 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008139952128
Въ первомъ столбце мы не находимъ для а значешй 11,
23, 29. Это потому, что соответствующая числа 211—1, 223—],
229 — 1 не суть первоначальныя, а делятся соответственно на
23, 47 и 233.
Мы видимъ, что совершенныя четныя числа оканчиваются
на 6 или 8. II можно доказать, что такъ будетъ постоянно
для всякаго подобнаго совершеннаго числа.

Угадыванье чиселъ.
О какомъ угадывати идетъ р-Ьчь?
Конечно, дйло, въ сущности, сводится не къ отгадки, а къ
рчыиетю некоторой задачи. Желающему предлагаютъ задумать
некоторое число и этого числа у него не спрашиваютъ. Вза-
мъиъ этого предлагаютъ задумавшему произвести надъ задуман-
ныыъ имъ числомъ разныя съ виду совсЬмъ произвольныя д-бйств1я
и сказать «угадывающему», что въ результат^ получилось. «Угад-
чикъ» получаетъ, такимъ образомъ, въ руки конецъ нити, по
которой разматываетъ весь клубокъ и добирается до начала.
Задаваемый въ остроумной и забавной форм-Ь, которую каждый
играюшдй можетъ придумать по своему вкусу, задачи эти со-
ставляютъ очень хорошее и полезное развлечете для всъ"хъ
играющихъ. Он-Ь развиваютъ навыки въ быстромъ умственномъ
счет-Ь и развиваютъ ихъ постепенно, такъ какъ можно задумы-
задумывать малыя и болышя числа, смотря по желанш и силамъ
участвующихъ въ игр-Ь лицъ. Теоретическ1я основатя подобныхъ
задачъ настолько просты, что мы даемъ ихъ сжато и кратко.
Впрочемъ, если «доказательства» въ нашемъ изложенш кому-
либо окажутся не по силамъ, то онъ мозкетъ ихъ смйло опу-
опустить, а пусть разберется только въ самой задачи. Разобрав-
Разобравшись, онъ, почти наверное, самъ дойдетъ до доказательства
и объяснетя каждой задачи.

232
Обращаемъ внимаше на то, что зд^сь въ большинства слу-
чаевъ даются только сравнительно cyxie остовы задачъ. Чита-
Читателю предоставляется самая широкая возможность каждое усло-
Bie подобной задачи украсить плодами собственной выдумки и
фантазш или приноровить къ известному случаю.
Развивайте въ себъ- самостоятельность мышлешя и сметку!
Задача 108-я.
Угадать задуманное к^шъ-либо число.
Задумайте число.
Утройте его.
Возьмите половину полученнаго числа, если оно дъ-лится
безъ остатка на 2; если же оно ровно пополамъ не делится,
то прибавьте сначала единицу, а нотомъ возьмите половину
числа.
Эту половину опять утройте.
Сколько разъ содержится У въ полученномъ теперь числъ1?
Если затъчиъ на каждую такую девятку взять по два, то и
получится задуманное число.
Нужно им-Ьть только въ виду, что если приходится при-
прибавлять единицу, чтобы разделить число нацело пополамъ, то
къ числу найденному, взявъ по 2 на каждую девятку, также
нужно прибавить единицу.
« Примеры. Задумано 6. Посл-Ь утроешя получается IS. По-
Половина этого числа равна 9. Утроивъ, получаемъ 27. Въ этомъ
числ-Ь 9 заключается 3 раза. Беремъ '6 раза по 2, и получимъ
задуманное число 6.
Пусть задумано б. Утроивая, получимъ 15. Чтобы разде-
разделить пополамъ нацело, нужно прибавить 1, получится 16.
Половина отъ 16 равна 8; утроивая, получаемъ 24. Въ этомъ
числЬ 9 содержится 2 раза. Беремъ 2 раза по 2, получаемъ 4,
да еще нужно прибавить единицу, такъ какъ приходилось
прибавлять единицу, чтобы разделить пополамъ нацело. Итакъ,
задуманное число равно 5.

233
Доказательство.
Если задумано четное число, т. е. вида 2п, то надъ шшъ
производятся сдъдуюпп'я дМшпя.
2п X 3 = 6п; 6п:2 = Зи; ЗиХЗ = 9п; 9й:9 = й;йХ2 = 2п.
Если задумано число нечетное, т. е. вида 2п -\- i, то тт, же
принимаюсь такой видъ:
Fп + 4): 2 = 3» + 2; (Зи + 2) X 3 = 9и + 6;
9 = я; пХ2-\-\.=2п-{-1.
Такимъ образомъ, поступая, какъ объяснено выше, мы
всегда должны придти къ задуманному числу.
Задача 109-я.
Видоизм/Ьнете той же задачи.
Утроить задуманное число, затЬмъ взять половину пропз-
ведеьия, если же произведете получится нечетное, то прибавить
къ нему единицу и потомъ разделить пополамъ. Утроить снова
эту половину, затЬмъ взять половину полученнаго числа, при-
прибавляя, какъ выше, единицу, если отъ умножешя на 3 поду-
подучится нечетное число. ЗатгЬмъ надо спросить, сколько разъ со-
содержится 9 въ этой последней половин'Ь, и на каждую девятку
взять по 4. При этомъ нужно им'Ьть въ виду, что если при
д-Ьленш на два въ первый разъ приходилось прибавлять еди-
единицу, то угадывающему нужно тоже держать въ уыъ1 единицу,
а если при д'Ьленш и во второй разъ приходилось прибавлять
единицу, то нужно запомнить еще 2. Следовательно, если оба
раза дт>лете на 2 не могло быть выполнено нацело безъ при-
бавлешя 1, то, взявъ на каждую девятку по 4, нужно къ по-
лучениому числу прибавить еще 3; если же дтлеше иополамъ
нацело не выполняется только въ первый разъ, то приба-
прибавляется 1; а если только во второй, то прибавляется 2.

234
Напримтръ: задумано 7; утроивая, получямъ 21; чтобы
разд-Ьлить пополаыъ нацело, надо прибавить 1; прибавляя ее и
дъ-ля 22 пополамъ, получимъ 11; по утроенш получимъ 33;
чтобы взять половину, опять нужно прибавить единицу, поели
чего получимъ 34, половина этого числа есть 17. Здъ"сь 9 содер-
содержится только одинъ разъ. Следовательно, нужно взять число 4
и къ нему прибавить еще 3, такъ какъ дъ-леше и въ пер-
вомъ, и во второмъ случай совершалось лишь послъ1 приба-
прибавления единицы.
Получается: 4 -(-3 = 7, т. е. задуманное число.
Доказательство.
Всякое число ыожетъ быть представлено въ одной изъ слъ1-
дующихъ формъ:
4n, 4n~fl, 4n + 2, 4п + 3,
гдЬ буквй п нужно придавать значешя 0, 1, 2, 3, 4 и т. д.
1)	Возьмемъ сначала число вида 4п и произведемъ падъ
нимъ указанныя выше д^йстя. Получается:
4?гХЗ = 12«; 12и : 2 = 6;?; вп ХЗ — 18щ 18n:2 = 9)i.
9п : 9 = щ 4Хи = 4«.
2)	Для числа вида 4?г 4" 1 получимъ:
Dя + 1)ХЗ = 12и + 3; 12и 4" 3 + 1 = 12п-\-4;
A2и4-4) : 2 = 6и4- 2; Fп4-2) X 3 = 18ю 4-6;
A8я+6) : 2=9я4- 3; (9«+3) : 9=щ 4 X п-\-1=4п-{-1.
3)	Для числа вида 4«-j-2 иыъ-емъ:
4) Для числа вида 4«4-3 имЪеыъ:
(An Н- 3) X 3 = 12я + 9; 12» + 9 ¦+ 1 = 12п + 10;

236
Fя + 5) X 3 = 18я + 15; 18я -f 16 + 1 = 18» -f-16;
A8и-Иб):2 = 9я
(9п-\-8):9 = щ 4
Такиыъ образоыъ, поступая по правилу, мы всегда получимъ
задуманное число.
Можно ту же задачу предложить и въ несколько изы-Ьнен-
номъ видъ1,—а именно:
Задумайте число; прибавьте къ нему половину того же числа;
къ полученной сумм-Ь прибавьте половину этой же суммы.
Затъ'мъ надо спросить, сколько разъ содержится девять въ
посжЬднемъ полученномъ числт,, и взять по 4 на каждую де-
девятку, какъ выше. Но и зд^сь, какъ всегда, нужно помнить,
что если въ первомъ случай число не дъ-лится нацело на два,
то нужно прибавить къ нему единицу и затЬмъ поделить на
дв-Ь равныя части; точно также нужно поступать и во второмъ
случай. А затамъ, если дъ'леше нацело не выполнялось только
въ первомъ случай, то угадывающш долженъ держать въ у мт, 1,
если только во второмъ, то 2, а если и въ первомъ и во вто-
второмъ, то 3, и эти числа соответственно потомъ прибавлять для
получения правильнаго отвита.
Наприм-Ьръ,—задумано 10; прибавляя къ нему его половину,
получнмъ 15, — число нечетное, — поэтому, прибавляя къ нему
1 и беря половину, получимъ 8; прибавляя 8 къ 15-ти, полу-
получимъ 23; въ этомъ числи 9 подержится 2 раза. Два раза по
четыре равно 8, но къ 8 надо прибавить еще 2, потому что
во ьторомъ случа'Ь, чтобы разделить на 2 нацело, приходилось
прибавлять 1. Птакъ: 8-|-2 —10, Т- е. получаемъ задуманное
число.
Если число нечетное, то раздъ'лимъ его на дв4 таия части,
чтобы одна была на единицу больше другой, а условимся для
краткости называть первое слагаемое большей половиной, а
второе — меньшей. Тогда разсматриваемую нами задачу можно
проделать еще въ одной довольно интересной форм-Ь.
Задумайте число. Прибавьте къ нему его половину или,
если оно нечетное, то его большую половину. Къ этой сумм-Ь

236
прибавьте ея половину или, если она нечетна, то ея большую
половину. Сколько разъ въ полученномъ числи содержится 9?
Взявши затймъ по 4 на каждую девятку, задумавшему число
надо предложить таые вопросы: если отъ последней суммы отнять
вей девятки, то можно ли отъ остатка отнять еще 8? Если можно,
то, значить, чтобы получить задуманное число, нужно къ числу,
полученному отъ умножешя 4-хъ на число девятокъ, прибавить 3.
Если же нельзя отнять 8, то надо спросить, нельзя ли
отнять б. Если можно, то нужно прибавить 2. Если же 5-ти
нельзя вычесть, то спросить, нельзя ли вычесть 3, и если можно,
то прибавляется 1.
Легко убедиться, что задача, предложенная въ этой послед-
последней формй, сводится, въ сущности, къ предыдущимъ, потому
что утроить число и взять потомъ половину полученнаго про-
произведешя, это все равно, что прибавить къ числу его половину
и т. д.
Замйчашя. Понявши и всесторонне усвоивппй доказатель-
доказательства двухъ приведенныхъ выше задачъ въ пхъ различныхъ
видоизмйнешяхъ можетъ самъ легко создать множество правплъ,
подобныхъ предыдущимъ, для угадывашя задуманнаго числа.
Можно, наприм., заставить утроить задуманное число, затймъ
взять половину полученнаго произведешя, эту половину предло-
предложить умножить уже на 5 и взять половину произведешя. Вслйдъ
затймъ спросить, сколько разъ въ этой последней половинй за-
заключается число 15, и для каждыхъ 15 взять по 4. При этшъ,
какъ и раньше, нужно къ произведешю четырехъ на число
содержащихся въ последней половинй 15 прибавлять 1, 2 или 3,
смотря по тому, когда дйлете на 2 не совершается нацело: въ
первомъ случай, во второмъ, или въ обопхъ выйстй.
Внимательный читатель легко все это докажетъ самъ. Къ
руководству его добавимъ только, что при доказательств^ онъ
увидится въ слйдующемъ:
Если задуманное число превышаешь какое-либо двойно-
четное *) число на 1, то, отнявъ вей 15, которыя содержатся
*) Будеыъ называть двойно-четнымъ или четно-четнымъ числомъ такое
число, которое делится на 4, и просто-четнытъ, которое д-Ьлптся на 2 и не
делится на 4.

237
въ последней половин^, найдемъ, что въ остатки заключается
еще б. Если задуманное число превышаетъ какое-либо двойно-
четное число на 2, то въ остатки послй дйлетя последней
половины на 16 будетъ заключаться 8; и если, наконецъ, за-
задуманное число превышаетъ двойно-четное на 3, то въ остаткт,
получится 13.
Заьйтивъ это, можно, угадывая число, разнообразить своп
вопросы по тому или другому изъ вышесриведенныхъ образцовъ.
Можно также, напр., предложить умножить задуманное число
на 5, взять половину полученнаго произведения, эту половину
опять умножить на пять и полученное снова разделить на 2,
а затъ-мъ спросить, сколько разъ въ полученномъ числт, заклю-
заключается 25, и для каждыхъ 25 взять по 4. При этомъ нужно
имгЬть въ виду опять-таки случаи, когда дъ'лете на 2 совер-
совершается нацело, и когда нт,тъ, чтобы прибавить 1, 2 или 3.
гд4 сл4дуетъ, или же не прибавлять ничего, если дъ-леше на 2
въ обоихъ случаяхъ было нацело.
Словомъ, предложенныя задачи можно разнообразить всячески.
Задача 110-я.
Угадать задуманное число инымъ способомъ.
Сначала нужно поступать, какъ въ предыдущихъ зацачахъ,
т. е. предложить утроить задуманное число, взять половину (или
большую половину) полученнаго произведешя, утроить эту по-
половину и взять снова половину (или большую половину) полу-
полученнаго числа. Но затъ-мъ, внъ-cto вопроса, сколько разъ въ
этой последней половин^ содержится 9, можно попросить на-
назвать вст, цифры, которыми пишется это последнее чпсло,
кромй одной, лишь бы эта неизвестная отгадывающему цифра
не была нуль.
Точно также необходимо, чтобы загадывающш сказалъ и по-
рядокъ цифръ—какъ т?хъ, которыя уже имъ названы, такъ и
той, которая угадывающему еще неизвестна.

238
После этого, чтобы узнать задуманное число, надо сложить
все цифры, которыя названы, и отбросить отъ этой суммы 9
столько разъ, сколько возможно. Остатокъ, который после этого
получится, надо вычесть изъ 9, и тогда получится неизвестная
цифра; или же, если остатокъ будетъ нуль, то неизвестная цифра
и есть 9. Поступаютъ именно такъ въ томъ случат,, если оба
раза д-Ьлеше пополамъ совершалось нацело. Если же, чтобы раз-
раздоить число пополамъ, приходилось прибавлять 1 въ первый
разъ, то нужно сначала къ сумме изв-Ьстныхъ цифръ приба-
прибавить еще 6 и поступать затймъ, какъ указано.
Если же для дт.летя пополамъ приходилось прибавить 1
только второй разъ, то къ той же сумме нужно добавлять 4.
Если же въ обоихъ случаяхъ дтлеше не совершалось сразу
нацело и приходилось прибавлять по 1, то къ сказанной сумме
нужно прибавить 1.
Нашедши, такимъ образомъ, неизвестную цифру последней
половины, мы узнаемъ и самую половину. Узнавъ же, сколько
разъ въ ней заключается по 9, взявъ соответственное число
разъ по 4 и прибавляя, когда нужно, 1, 2 или 3, получимъ
искомое задуманное число.
Напр.: задумано 24. Утроивъ и раздйливъ два раза, нахо-
димъ, что последняя половина есть 54. Пусть задумавний число
назоветъ угадывающему первую цифру 5. Тогда вычитатемъ 5
изъ 9 тотчасъ получается вторая цифра 4. Итакъ, последняя
половина есть 64. Въ ней 9 содержится 6 разъ.
-Следовательно, задуманное число есть 4X6=^-24.
Положимъ еще, что задумано 25. Утраивая и беря половину
произведешя, утраивая эту половину и беря снова половину,
находимъ 57. Но нужно помнить, что въ первомъ случае, чтобы
получить половину, приходилось прибавлять 1; поэтому, если
задумавннй число объявитъ, напр.. первую цифру 5, то надо
къ пяти прибавить 6, получится 11, отбрасывая 9, шлучимъ 2,
вычитая 2 изъ 9, получиыъ вторую цифру 7. Итакъ, вторая
половина 57; въ ней 9 содержится 6 разъ. Отсюда задуманное
число равно 4 X 6 -|- 1 = 25.
Пусть еще задумавшш число скажетъ, что последняя по-
полученная имъ половина числа состоитъ изъ 3-хъ цифръ, что

239
двт, иосл4днш цифры суть 13, и что для Д'Ьлешя пополамъ
нацело приходилось во второй разъ прибавлять единицу. Въ
такомъ случай къ сумм-Ь 1 + 3 = 4 нужно прибавить еще 4,
получается 8. Вычитая 8 изъ 9, получимъ единицу. Следова-
Следовательно, последняя половина есть 113; въ ней 9 содержится
12 разъ. Поэтому задуманное число есть 4х 12-[-2 = 60.
Точно также, если бы задумавшШ число сказалъ, что после
утроешй и дйлешй на два онъ получилъ трехзначное число, въ
которомъ первая цифра 1, а последняя 7, и что въ обоихъ
случаяхъ при долети на 2 приходилось прибавлять по 1, то
на основанш предыдущаго поступаешь такъ: 1 + 7+ 1 = 9.
Отбрасывая 9, получимъ въ остатки нуль, т. е. неизвестная
цифра последней половины есть 9, и сама эта половина есть
197, гд4 9 заключается 21 разъ. Отсюда по предыдущему за-
ключаемъ, что задуманное число есть 4х 21+3 = 87.
Доказательство.
Обращаясь къ доказательству, данному для задачи 109-й,
находи мъ, что для числа вида 4п окончательный результатъ
вычисленШ даетъ 9п, т. е. число кратное 9-ти. Следовательно,
сумма цифръ этого числа должна делиться на 9, а отсюда за-
ключаемъ, что неизвестная намъ цифра такова, что, сложивъ
ее съ остальными известными цифрами, мы должны получить число,
делящееся на 9 (т. е. кратное девяти). Если же сумма извест-
ныхъ намъ цифръ кратна 9, то, вначитъ, неизвестная цифра
сама есть 9, ибо намъ дано, что она не нуль.
Для числа вида 4п +1 результатъ вычисленш есть 9п + 3,
прибавляя сюда 6, получаемъ число кратное 9; т. е. кратна
9-ти и сумма его цифръ.
Для числа вида 4п-\-2 результатъ вычисленш даетъ 9п + 5;
прибавляя 4, получаемъ число кратное 9; следовательно, и
сумма его цифръ должна быть кратной 9.
Наконецъ, для числа вида 4п-\-3 окончательный резуль-
результатъ вычислешй даетъ 9п+8; прибавляя 1, находимъ число
кратное 9-ти.
Сумма его цифръ также должна быть кратной девяти.
Итакъ, указанныя нами выше правила верны.

240
Задача 111-я.
Иное р1>шеше задачи.
Можно предложить удвоить задуманное число и затймъ къ
полученному произведешю прибавить 5. Затъ-мъ полученное
число взять пять разъ и прибавить къ полученному 10. Эту
последнюю сумму умножить еще на 10. Если спросить затъ-мъ,
какое, въ концъ1 концовъ, получилось число, и отнять отъ него 350,
то число оставшихся сотенъ и будетъ задуманное число.
Напримйръ: Пусть задумано 3. По удвоенш его полу-
получается 6; прибавлетемъ б получается 11, взять пять разъ 11—
получится 55; прибавить сюда 10,—получится 65; увеличить
10 разъ—получится 650. Если отнять отсюда 350, останется 300,
т. е. три сотни. Итакъ, задуманное число есть 3.
Доказательство.
Надъ задуманнымъ числомъ п совершаются слъ-дуюшш
дъ1 истая:
=10и+Зб;A0и-}-Зб)х10=100и-|-Зб0;100п-|-Зб0—360=100».
100n:100 = п.
Т. е. всегда получится задуманное число.
Зам^чатя. Разсматривая предыдущее доказательство, не
трудно понять, что последней задачи1 можно придать любое
число различныхъ впдоизмъ-ненш. Такъ, напр., если пожелать,
чтобы всегда въ результат!1 число сотенъ выражало задуманное
число, и чтобы приходилось помножать всегда на 2, 6 и 10,
но вычитать приходилось бы не 350, какъ въ приведенной
задачи, а другое число,—то нужно принять во внимание, какъ
получилось въ вышеприведенной задачт, 350. Это число про-
произошло такъ: прибавлено 5, да умножено на 5, итого 25; къ
этому числу прибавлено 10, получилось 35; умноживъ же это
число на 10, получаемъ 350. Следовательно, если пожелать
вместо 350 вычитать нзъ окончательнаго результата другое

241
число, то и задавать нужно прибавлять не 5 и 10, а друпя
числа. Зададимъ, напримйръ, вместо 5 прибавить 4, а вместо
10 прибавить 12. Ясно, что изъ посл4дняго полученнаго числа
придется вычесть 320,DX5=20; 20+12=32; 32X10=320);
и тогда получимъ остатокъ, число сотенъ котораго и дастъ
намъ задуманное число. Такимъ образомъ задачу можно видо-
видоизменить до безконечности.
Точно также легко заметить, что, умножая задуманное число
на 2, на 5 и на 10, мы умножаемъ его, въ сущности, на
100, BX5X10=100).
Поэтому, желая опять-таки, чтобы число сотенъ окончатель-
наго результата показывало задуманное число,—все равно, ка-
каше множители выбрать, лишь бы умножеше на нихъ давало
въ окончательномъ результат!1 умножение на 100. Отсюда сле-
следуем,, что, оставляя т4 же множители 2. 5, 10, можно изме-
изменить ихъ порядокъ, т. е. сначала умножить, напр., на 5, по-
томъ на 10, а затамъ на 2 и т. д.
Точно также вместо множителей 2, 5, 10 можно брать дру-
rie, даюпце въ произведены 100, напр., 5, 4, б или 2, 2, 25
и т. д. Нужно помнить только при этомъ, конечно, что всЗшъ
этимъ шмъ"нешямъ множит&тей и прибавляемыхъ чиселъ со-
ответствуетъ изм^нете числа, которое въ конц^ нужно вы-
вычесть. Такъ, напр., будемъ помножать на 5, 4, 5, а прибавлять
числа 6 и 9, и пусть задуманное число будетъ 8.
Умноживъ на 5, получимъ 40; прибавивъ 6, получимъ
40-(-'6 = 46; умноживъ на 4, получимъ 160 -|- 24 = 184; при-
прибавивъ 9, получимъ 160 + 33 = 193; умноживъ это число на5,
получимъ 800-|- 165 = 9fi5. Т. е. для получешя числа сотенъ,
показывающего задуманное чигло, нужно отнять въ данномъ
случай 165; FX4 = 24; 24 + 9=33; 33X5=165).
Можно также взять не 100, а всякое иное число и сделать
такъ, чтобы оно заключалось въ остатке отъ носледняго вы-
читашя столько разъ, сколько единицъ заключается въ заду-
манномъ числе. Такъ, напр., возьлемъ число 24, которое можно
представить состоящимъ изъ множителей 2,3,4,BX3X4=24),
а числа, которыя будемъ прибавлять, пусть будутъ 7 и 8.
ВЪ ЦАРСТВ* СМЕКАЛКИ, КП I.	16

242
Пусть задуманное число есть 5. Удваивая его, находимъ 10,
прибавляя 7, находимъ 10 —(— 7 ^= 17; утроивая, находимъ
A0+7) X 3 = 30 + 21 = 51; придавая 8, находимъ 30+29=59;
беря последнее число 4 раза, получимъ 120+116 = 236.
Отнимаемъ отсюда 116, остается 120, въ которомъ 24 содер-
содержится 5 разъ, т. е. получается задуманное число 5.
Можно также вместо трехъ множителей брать только два,
а вместо двухъ чиселъ прибавлять только одно, и тогда число
десятковъ числа, полученнаго посл-Ь вычислешя, подобнаго пре-
предыдущему, покажетъ задуманное число.
Можно также брать четыре, пять, шесть и т. д. множителей,
прибавлять соответственное (три, четыре и т. д.) количество
чиселъ, затемъ, поступая, какъ указано выше, угадывать за-
задуманное къ-мъ-либо число.
Можно, наконецъ, вместо того, чтобы прибавлять числа, вы-
вычитать ихъ, а въ конце вм'Ьсто вычиташя прибавлять извест-
известное число. Такъ, напр., воспользуемся числами перваго при-
примера настоящей задачи, и пусть задуманное число будетъ 12.
Удвоивъ его, получпмъ 24; вычитая отсюда 5, получимъ 24—5;
умножая на 5, получпмъ 120 — 25; вычитая 10, получаемъ
120—35; умножая на 10, получимъ 1200- 350. Здесь вместо
того, чтобы вычесть, нужно прибавить 350: сумма получится
1200, и число сотенъ въ ней A2) даетъ задуманное число.
Словомъ, читатель можетъ видоизменять и разнообразить
эту задачу, какъ ему угодно.
Задача 112-я.
Угадать задуманное число инымъ путемъ.
Изложимъ теперь способъ, который съ виду кажется замы-
замысловатее другихъ, хотя доказывается очень легко.
Пусть кто-либо задумаетъ какое-нибудь число. Затемъ пред-
предложите ему умножить это число на какое угодно заданное вами
другое число, полученное произведете разделить на какое угодно
заданное вами число, затемъ частное опять умножить на какое
вамъ угодно число, это произведете опять разделить на какое

243
угодно заданное вами число и т. д. Если угодно, то можно
предоставить тому, кто задуыалъ число, самому умножать и
делить задуманное число на катя ему угодно числа, лишь бы
онъ сообщалъ каждый разъ, на какое число онъ множить и
на какое делить. Но, чтобы угадать задуманное число, саыъ
угадываюпп'й пусть въ то же время возьметъ какое-либо число
и продъмываетъ надъ нимъ вей тт, же самыя умножешя и д4-
лешя, что и задумавши число. Остановившись ват4мъ па ка-
комъ-либо д4левли, попросите задумавшаго число, чтобы онъ
раздЪлилъ на задумаиное имъ число то последнее число, кото-
которое онъ получилъ. Точно также и вы (угадывающей) разделите
последнее вами полученное число на взятое вами первоначально.
Тогда у васъ получится тоже число, что и у задумавшаго
число. Послъ1 этого пусть задумавппй число прибавить къ по-
полученному имъ въ умъ- частному задуманное число и скажетъ
вамъ результать. Вычитая изъ этого результата известное уже
вамъ частное, получаете задуманное число.
Например?.: Пусть кто либо задумаетъ число б. Предложите
ему помножить его на 4; результатъ B0) разделить на 2 (по-
лучитсл 10); полученное число умножить на 6 (получится 60);
это последнее произведете разделить на 4 (получится 15). Но
въ то же время вы сами должны выбрать какое-либо число и
делать надъ нимъ всЬ rh же д'Ьйсттая. Пусть, напр., вы возьмете
4 (лучше, вообще, брать для удобства 1). Умножая на 4, вы
получаете 16; дъ'ля на 2, вы получаете 8; умножая на 6, вы
получаете 48; дйля это число на 4, вы получаете 12. Всл*бдъ
зат4мъ вы говорите задумавшему число, чтобы онъ последнее
полученное имъ число (т. е. 15) разд4лилъ на задуманное
(т. е. 5). У него получается 3.
Если вы въ то же время свое последнее полученное число
12 разделите на взятое вами сначала, т. е. 4, то получите
также 3. Сд4лавъ видь, что вамъ неизвестно полученное ва-
шимъ партнеромъ частное, вы говорите ему, чтобы онъ приба-
вилъ къ полученному пмъ числу задуманное число и сказалъ
вамъ результатъ; онъ, конечно, скажетъ вамъ въ этомъ при-
Mipi 8. Отнимая отъ 8 полученное уже вами частное 3, най-
найдете задуманное вашимъ партнеромъ число 5.
16*

244
Доказательство.
Если надъ какпмъ-либо числомъ п производится рядъ умио-
Y . а-Ъ-с ....
женш и дълеши, то получается результатъ вида п-—у--г	•
Если произвести тгЬ же дт>йств1я надъ чпсломъ р, то получится
а-Ъ-с. ...
результатъ вида р—т—1	¦ ^оа эти результата, раздтзлен-
ные первый на п, а второй на р, дадутъ, очевидно, одно и
а-Ъ-с. ... Т1 а-Ъ-с. . . .
то же число—}~~5	• Итакъ, зная число —j—,	 и сумму
а-Ъ-с		Y
—j—т	\-п, достаточно изъ послт>дняго вычесть первое,
чтобы получить число п.
Зам&чате. Можно, очевидно, всячески видоизменять на-
настоящую задачу, такъ какъ, во-первыхъ, можно делить п умно-
умножать на катя угодно числа, а во-вторыхъ, вместо того, чтобы
умножать и делить поочередно, можно сначала умножать два,
три и т. д. раза сряду, а загЬмъ столько же разъ дгЬлить, или
наоборотъ. Можно также, зная последнее частное, заменять
сложеше вычитан1емъ, если задуманное число окажется меньше
полученнаго посл'Ьдняго частнаго, и т. д.
Задача 113-я.
Угадать несколько задуманныхъ к'Ьмъ-либо чиселъ.
I. Пусть кто-либо задумаетъ нечетное число какихъ-либо
чиселъ, т. е. 3, или 5, или 7, или 9 и т. д. чиселъ, и пусть
онъ скажетъ вамъ сумму перваго и второго чиселъ, затъчиъ суммы
второго и третьяго. третьяго и четвертаго и т. д., наконецъ,
сумму посл'Ьдняго изъ задуманныхъ имъ чиселъ и перваго.
Возьмите эти суммы въ томъ же порядки, какъ онт, сказаны
вамъ, и сложите вмести вст. тЬ, которыя стоятъ на нечетныхъ
м'Ьстахъ (т. е. 1-ю съ 3-ей, съ 5-й и т. д.), а затъчиъ сложите
всЬ тъ1, которыя стоятъ на четныхъ м'Ьстахъ (т. е. 2-ю съ 4-ой.
съ 6-й и т. д.), и вычтите изъ перваго результата второй. Оста-

245
тоеъ л дастъ удвоенное первое задуманное число. Веря поло-
половину этого остатка, получаемъ самое число. Зная его, не трудно
найти остальныя числа, такъ какъ суммы перваго и второго,
второго' и третьяго и т. д. известны.
Доказательство.
Пусть задуманныя числа будутъ а, Ь, v, d, e. Даны суммы:
a-\-b; b-\-c; c-\-d; d-\-e; e-\-a.
Складывая суммы, стоянця на нечетныхъ мйстахъ, получимъ:
а-\-Ъ-\-с-\-п-\-е-\-а,
и складывая суммы, стояшдя на четныхъ м4стахъ, получнмъ:
J + c-f-d + e.
Вычитая изъ первой суммы вторую, получаемъ 2а. Поло-
Половина этого числа есть первое изъ зацуманныхъ чиселъ а\ вы-
вычитая а изъ а -\- Ь, получимъ Ъ и т. д.
Другой случай.
П. Если же кто-либо задулаетъ четное число чиселъ, то,
какъ и выше, пусть онъ скажетъ суммы задуманныхъ чиселъ
по два (перваго со вторъшъ, второго съ третьимъ и т. д.), но
въ конггЕ пусть объявитъ сумму не посл4дняго съ первымъ
задуманнымъ числомъ, но посл^дняго со вторымъ. Послъ' этого
опять нужно сложить всЬ суммы, стоящ1я на нечетныхъ мъ1-
стахъ, кром4 первой, затъ'мъ вс4 суммы, стоящ!я на четныхъ
л4стахъ, и изъ второго результата вычесть первый. Остатокъ
и дастъ удвоенное второе задуманное число.
Доказательство.
Пусть задуманы числа о, Ъ, с, d, e, f.
Даны суммы:
с; c + rf; rf + e; e + /j f+Ъ.

246
Суммы, стояния на нечетныхъ ы-Ьстахъ, за исключешемъ
первой, даютъ:
c + d+e
Суммы, стоягщя на четныхъ мъ"стахъ. датотъ:
Разность между этой суммой и предыдущей есть 2Ъ; поло-
половина этого числа и есть задуманное второе число Ь. Остальныя
числа найти уже легко.
ЗавгЬчашя. Можно эту же задачу решать иными способами,
изъ которыхъ укажемъ на слйдугошде:
Пусть число задуманныхъ чиселъ будетъ нечетное.
Сложивъ вст, данныя суммы в раздтливъ полученное число
пополамъ, найдемъ сумму всЬхъ задуманныхъ чиселъ. Если же
задумано четное число чеселъ, то сложинъ вст, данныя суммы,
кромъ' первой, результатъ подтлимъ пополамъ и получимъ сумму
вс4хъ задуманныхъ чиселъ, кромъ' перваго. Но, зная сумму
вс4хъ задуманныхъ чиселъ, легко найти въ данномъ случай
каждое число въ отдельности. Пусть, наприм4ръ, задуманы числа
2, 3, 4, 5, 6. Суммы, который даются, будутъ: 5, 7, 9, 11, 8.
Складывая эти числа, получимъ 40. Половина этого числа B0)
и есть сумма всЬхъ задуманныхъ чиселъ.
Зная теперь, что сумма 2-го и 3-го задуманныхъ чиселъ есть
7, а сумма 4-го и 5-го чиселъ есть 11, вычитаеиъ 7 —(— 11 = 18
изъ 20 и получаемъ первое задуманное число 2 и т. д.
Подобнымъ же образомъ надо поступать и въ томъ случай,
когда задумано четное число чиселъ.
Можно узнавать числа и такъ. Если кто-либо задумаетъ
3 числа, предложите ему сказать пхъ суммы по 2, какъ объяс-
объяснено выше; если онъ задумалъ 4 числа, предложите ему сло-
сложить ихъ по три и сказать вамъ суммы; если задумано 5 чи-
чиселъ, предложите сложить ихъ по четыре и сказать вамъ суммы
и т. д. Зат'Ьмъ, чтобы отгадать задуманныя числа, нужно ру-
руководствоваться сл^дующимъ обпдшъ правиломъ.
Bc4 изв^стныя суммы сложить и полученный результатъ
разделить на число, единицей меньшее чцсла задуманныхъ чи-

247
селъ. Полученное частное и есть сумма вс4хъ задуманныхъ
чиселъ. Поели этого уже не трудно найти каждое число въ
отдельности. Пусть, например?., задуманы 3, 5, 6, 8. Суммы
ихъ по три будутъ 3 +5 + 6 = 24, 5 + 6 + 8 = 20, 6 + 8 +
+ 3 = 17, 8 + 3 + 5 = 16. Складывая эти суммы, получаемъ 66.
Эту сумму надо разделить на 3 (т. е. на число, меньшее еди-
единицей числа задуманныхъ чиселъ). Получается 22, сумма веЬхъ
задуманныхъ чиселъ. Если, теперь, изъ 22 вычесть 14, полу-
чимъ последнее изъ задуманныхъ чиселъ (8); вычитая 19, по-
получаемъ первое C) и т. д. Понять п доказать все это не трудно.
Желающимъ предоставляемъ доказать, почему въ случат,
четнаго числа задуманныхъ чиселъ нельзя брать попарно суммъ
такъ, чтобы последняя состояла изъ послъ'дняго задуманнаго
числа плюсъ первое, а непременно последнее и второе изъ за-
задуманныхъ чиселъ.
Задача 114-я.
Угадать задуманное число, ничего не спрашивая у
задумывающаго.
Предложите кому-либо задумать число, зат^мъ пусть онъ
умножитъ задуманное число на произвольно выбранное вами
число, къ этому числу пусть онъ прибавитъ любое данное вами
число и полученную сумму разделить на данное вами же про-
произвольное число. Въ то же время данный вами множитель раз-
разделите въ уме на данный делитель, и сколько единицъ и ча-
частей единицы заключается въ полученномъ частномг, столько
разъ предложите задумавшему число отнять отъ полученнаго
имъ частнаго задуманное число, и вы тотчасъ же скажете ему
остатокъ, который онъ получилъ. Этотъ остатокъ всегда равенъ
частному, полученному отъ д4лешя того числа, которое вы дали,
чтобы приложить къ произведет»), на данный вами же делитель.
НапривгЬръ: Пусть кто-либо задумаетъ 6; предложите ему
умножить его на 4. Получится 24; предложите прибавить 15;
получится 39. Пусть разделить на 3; получится 13. Деля въ
уме въ то же время 4 на 3, вы получаете 4/з или 1х/з. По-
Поэтому предложите задумавшему число отнять отъ полученнаго

248
нмъ частнаго задуманное число да еще одну треть этого числа
(т. е. шесть да еще два,—всего восемь): 13—8 = 5.—остается б.
Тотъ же результата получится, еслп вы данное вами число 15
разделите на данный вами же делитель 3.
Доказательство.
Д4йств1я, которыя производятся въ данномъ случай надъ
задуманньшъ чпсломъ п, можно выразить такъ:
па-\-Ъ . v па . Ъ
	—, а это выражена можно представить въ вид*	j— .
С	ОС
(г	а	Ь
Ясно, что вычитая п. —, получимъ остатокъ — -
с	с
Зам4чаше. Настоящая задача ртлпена зд^сь въ довольно
общемъ видъ1. Употребляется иными часто такой частный слу-
случай ея. Заставляютъ удваивать задуманное число, загЬмъ при-
прибавлять къ результату произвольное, но четное число, затъ'мъ
заставляютъ полученную сумму делить на 2 и изъ частнаго
вычитать одинъ разъ задуманное число. Остатокъ, конечно,
всегда получится равнымъ половии'Ь прибавленнаго раньше чет-
наго числа. Очевидно, однако, что интереснее решать задачу
въ общемъ виде. Тъ-мъ болъчз, что при этомъ можно практико-
практиковаться въ дробяхъ. Если же почему-либо нежелательно полу-
получать дроби, то всегда возможно подобрать тагая числа, чтобы
дробей не получалось.
Задача 115-я.
Дано 2 числа,—одно четное, другое нечетное,—и
предложено 2 лицамъ взять одному четное число, а
другому нечетное, какъ кто пожелаетъ. Угадать, кто
выбралъ четное, а кто нечетное?
Вы предлагаете, напр., Петру и Ивану два числа (одно
четное и другое нечетное), напр. 10 и 9. Изъ нихъ одинъ,
уже безъ вашего ведома, беретъ четное, а другой нечетное
число. Чтобы угадать, какое кто взялъ число, вы тоже возьмите
два числа, четное и нечетное, напр. 2 и 3, и предложите, чтобы

249
Петръ взятое имъ число помножить про себя па 2, а Иванъ
свое число на 3, послт. чего пусть они сложатъ полученный
ими числа и скажутъ намъ полученную сумму. Или же пусть
скажутъ только, четное или нечетное число они получили посл4
сложешя, такъ какъ вамъ нужно знать только это. Если же хо-
хотите задачу сделать бол4е непонятной, то выведайте это у
нихъ другимъ путшъ (Предлагая, напр., разделить полученную
или сумму на два и сказать, делится или не делится она на-
нацело и т. д.). Положимъ, вы узнали, что получилась четная сумма;
тогда ясно, что число, помноженное на 3, было четное, т. е.
Иванъ взялъ четное число 10, а Петръ нечетное 9. Если же
по сложенш у нихъ получилась нечетная сумма, то ясно, что
тотъ взялъ нечетное число, кому вы предложили умножить его
число на 3.
Доказательство.
Число, которое умножается на 2, даетъ всегда произведете
четное. Следовательно, сумма, обоихъ произведешй четна или
нечетна, смотря по тому, будетъ ли четно или нечетно другое
произведенье. Но если число множится на нечетный множитель,
то произведете будетъ четнымъ, если множимое четно, и не-
четнымъ, если нечетно множимое. Итакъ, по суммгЬ обоихъ
произведенш можно судить, четно или нечетно то число, которое
множится на нечетный множитель.
Задача 116-я.
Та же задача съ двумя взаимно-простыми числами.
Предложите 2-мъ лицамъ заметить любое изъ данпыхъ 2-хъ
чиселъ, но такихъ, чтобы эти числа были между собой взаимно-
простыя, какъ, напр., 9 и 7, и кромй того, чтобы одно пзъ нихъ
было составное (какъ въ данномъ npimlpi 9). Множителями,
на которые вы хотите, чтобы помножили зам4ченныя числа,
возьмите также два взаимно-простыхъ числа, но такихъ, чтобы
одно изъ нихъ содержалось п/Ьлое число разъ въ одномъ изъ
чиселъ, данныхъ на выборъ двумъ лицамъ. Напр., если взять
3 и 2, то эти числа и взаплно-простыя, и 3 есть множитель 9.

250
Всл'Ьдъ затймъ предложите одному лицу умножить выбранное
имъ число на 2, а другому на 3, сложить результаты и сказать
вамъ или полученную сумму, или же, делится ли эта сумма на-
нацело на тотъ данный вами множитель, который въ свою оче-
очередь содержится въ одномъ нзъ предложенныхъ вами на выборъ
чиселъ (Напр, во взятомъ нами примере узнать, делится ли
число на 3). Узнавъ это, тотчасъ же можно определить, кто
какое число зам'Ьтилъ. Въ самомъ деле, если полученная сумма
делится на три, это значитъ, что на 3 умножено число, не де-
делящееся на 3, т. р. 7; наоборотъ, если полученная сумма не
делится на 3, то это значитъ, что на три было умножено число,
делящееся па 3, т. е. 9. Точно также поступаютъ и въ т^хъ
случаяхъ, когда берутся и предлагаются иныя числа, лишь бы
они удовлетворяли изложеннымъ выше условтямъ.
Доказательство.
Пусть А и J5 суть взаимно-простыя числа, и два другихъ
а и с тоже взаимно-простыя числа, при чемъ А есть кратное
числа а. После соотвъ'тственныхъ умножений можетъ получиться
сумма
Ас-\-Ва или Аа-\-Бс.
И ясно, что первая сумма дтлима на а, вторая же—нить.
Следовательно, В умножится или не умножится на а, смотря
по^ тому, делима или неделима на а сумма, полученная заду-
задумавшими посл'Ь соответственныхъ умножешй и сложешя.
Задача 117-я.
Отгадать несколько задуманныхъ чиселъ, если ка-
каждое изъ нихъ не превышаетъ десяти.
Попросите задумавшаго умножить первое изъ задуманныхъ
чиселъ на 2 и къ произведенш прибавить 5, полученную сумму
умножить на о и къ результату прибавить 10. Къ получен-
полученному числу прибавить второе задуманное число и все помно-
помножить на 10; къ полученному результату прибавить третье за-

2Б1
думанное число и опять помножить на 10; потомъ прибавить
четвертое изъ задуманныхъ чиселъ и опять помножить на 10
и т. д. Словомъ, пусть задумавшш несколько чиселъ, каждое
изъ которыхъ не превышаетъ десяти, постоянно умножаетъ на
10 и прибавляетъ одно пзъ задуманныхъ чпселъ, пока не при-
прибавить послъущяго. Вслъугъ зат4мъ пусть задумавшш числа
объявить последнюю полученную имъ сумму; и если задумано
только 2 числа, то, вычтя изъ этой гуммы 35, найдемъ, что
число десяткокъ остатка даетъ первое задуманное число, а
число простыхъ единпцъ даетъ второе задуманное число. Если
же задумано три числа, то изъ сказанной вамъ суммы вычтите
350, и тогда число сотенъ дастъ первое задуманное число, число
десятковъ—второе, число простыхъ единицъ—-третье. Если за-
задумано четыре числа, то изъ сказанной вамъ суммы вычтите
3 500, и тогда число тысячъ остатка дастъ первое задуманное
число, число сотенъ—второе, число десятковъ третье, число про-
простыхъ едпницъ четвертое. Ясно, что въ случай 5 задуманныхъ
чиселъ нужно изъ сказаннаго вамъ результата вычитать 35 000
и т. д.
Напр., пусть задуманы 3, 5, 8, 2. Удваивая первое изъ
нихъ, получаемъ 6; придавая 5, находимъ 11; умножая это
число на б, им^емъ 55; придавая 10, получаемъ 65; при-
прибавляя сюда второе задуманное число, получаемъ 70; умножен-
умноженное на 10, оно даетъ 700; придавая сюда третье задуманное
число, получаемъ 708, умножая на 10, получаемъ 7 080; при-
придавая сюда четвертое число, получаемъ 7 082. Если, теперь, изъ
этого послйдняго числа вычесть 3 500, то получится остатокъ
3 582, который и выражаетъ по порядку цифръ задуманныя
числа: 3, 5, 8, 2.
Доказательство.
Пусть задуманныя числа будутъ а, Ь, с, d,... Надъ ними
производятся сл'Ьдуюппя д4йств1я:
Для первыхъ двухъ чиселъ:
Bа + 5) X 5 = Юа + 25; 10а + 25 + Ю = 10а + 35;

2Б2
Для третьяго числа:
Для четвертаго:
A00о+106+с+ЗбО)Х10-И=1000о+1П()Ь+10о+<?+3 500.
И т. д. Откуда и ясно, что, вычитая изъ результата 35,
350, 3 500, смотря по количеству задуманныхъ чдселъ, мы по-
лучимъ век задуманныя числа въ видгЬ цифръ остатка, считая
сл-вва направо.
ЗавгЬчашя. Данную задачу, изложенную въ довольно общемъ
вид4, можно, очевидно, видоизменять и прилагать ко многимъ
частнымъ случаямъ.
Такъ, напр., при игр4 въ кости съ помощью этой задачи
можно угадать, не смотря, число выброшенныхъ каждой костью
очковъ. И это тт>мъ болт,е легко, что число очковъ каждой кости
не превышаетъ 6-ти. Способъ угадывашя и правила остаются
совершенно тгЬ же.
Друпе пользуются этпми же правилами для того, чтобы
угадать, кто изъ н'Ьсколькихъ лпцъ взялъ какую-либо вещь, въ
какой рук4 ее держитъ, на какомъ пальцй и даже на какоиъ
суставт,.
Въ такомъ случай необходимо расположить данныхъ лицъ
въ извъттномъ порядк^ такъ, чтобы одинъ считался первымъ,
другой—вторымъ, слйдуюшдй—третьиыъ п т. д. Точно также
нужно представить, что одна рука есть первая, а другая—
вторая, и что на каждой рукт, есть первый, второй, трети,
четверый и пятый палецъ, и то же самое относительно суста-
вовъ на кашдомъ палыгв,—одинъ изъ нихъ пусть будетъ пер-
въшъ, другой вторымъ и т. д. Въ такомъ случай задача сво-
сводится къ угадыванш четырехъ задуманныхъ чиселъ. Въ са-
молъ д-Ьл-Б, пусть изъ н'бсколькихъ лицъ тотъ, кого вы на-
назвали четвертымъ, взялъ какую-либо вещь и держитъ ее въ
второй рук4, на пятомъ пальцй, на третьемъ сустав-Ь. Въ та-
такомъ случат, вы просите, чтобы взявппй вещь удвонлъ то число,
которымъ онъ считается по порядку (У него получится 8). При-
Прибавляя сюда 5, помножая результата на 5 и прибавляя 10,
взявшш вещь получить никоторое число (въ нашемъ примири 75).

263
Къ этому числу предложите ему прпбавпть число руки и результатъ
умножить на 10 (въ нашемъ приперт, получится 770); къ этой
сумм4 предложите прибавить число, выражающее палецъ руки, и
опять умножить па 10 (Въ нашемъ nprnrbpi взявшш вещь полу-
получить 7 750). И, наконсцъ, пусть прибавить къ этому последнему
числу число, выражающее суставъ, и пусть кто-либо пзъ нграю-
щихъ, не им-Ьющш вещи, скажетъ иамъ общую полученную сумму.
Вамъ скажутъ въ данноиъ прииъ'р'Ь 7 753. Отнимая отсюда
3 500, вы получаете 4 253. Числа 4, 2, 5 и 3 показывают?,
вамъ, что взятая вещь находится у четвертаго изъ играющихъ
лицъ во второй рук'Ь, па пятомъ пальнД; и на третьимъ суставъ1.

Волшебные квадраты.
Основы теорш.
Въ предыдущихъ главахъ мы уже пе разъ встречались съ
волшебными квадратами и при полощи картъ, или домино,
практически рЪшалп задачи о составлении ихъ. Войдемъ, въ за-
ключеше, въ область основныхъ теоретическихъ понятай о вол-
шебныхъ квадратахъ, т-Ьмъ болйе, что всякаго рода связанныя
съ ними задачи и развлечешя весьма распространены.
Для знакомства съ теоретическими началами приводимъ зд4сь
съ самыми небольшими сокращешями н-Ькоторыя статьи про-
профессора В. П. Ермакова, а также статью г. Е. Орлова, кото-
которым, были напечатаны въ «Журнале Элементарной Математики»
за 1884—5 годъ. Но, какъ уже упомянуто раньше, для болт,е
полнаго и детальнаго изучешя теорш волшебныхъ квадратовъ
необходимо обратиться къ спещальнымъ сочинешямъ, въ част-
частности хотя бы къ указанньшъ на страниц^ 118-ой настоящей
ш
КНИГИ.
Teopifl волшебныхъ квадратовъ, казалось бы, стоить особня-
комъ въ ряду иныхъ отдтловъ математики и им4етъ мало «прак-
тическихъ» приложешй. Т4мъ не мен'Ье пренебрегать ею не
слйдуетъ. Надъ ней работали таше высочайш1е математическ1е
умы, какъ Ферма, и съ помощью ея не разъ приходили къ са-
мымъ удивительныиъ и значительнымъ открътямъ.

266
Полные волшебные квадраты.
Въ квадрагЬ, состоящемъ изъ п2 кл4токъ, напишемъ вс4
числа отъ единицы до п1. Если суммы чиселъ въ каждомъ горизон-
тальномъ ряду, въ каждомъ вертикальномъ ряду и въ каждой
д1агонали одинаковы, то такой квадратъ называется волшебнымъ.
Изъ каждаго волшебнаго квадрата поворачивашемъ и пере-
ворачивашемъ можно составить еще семь новыхъ волшебныхъ
квадратовъ.
Если всъ1 восемь квадратовъ, полученныхъ поворачивашемъ
и переворачивашемъ одного квадрата, считать за одно реше-
решете, то въ такомъ предположенш существуетъ только одинъ
волшебный квадратъ. состоящш изъ девяти югвтокъ.
6
7
2
1
5
и
8
3
4
Для квадратовъ, состоящихъ изъ болыпаго числа клйтокъ,
мы введемъ еще новое условие. Если волшебный квадратъ, поели
перенесешя одного или нъеколькихъ горизонтальныхъ или вер-
тикальныхъ рядовъ съ одной стороны на другую, не теряетъ
своихъ свойствъ, т. е. остается также волшебнымъ, то такой
квадратъ мы будемъ называть полнымъ волшебнымъ квадра-
томъ. Если мы въ первомъ изъ написанныхъ ниже волшебныхъ
квадратовъ перенесемъ первый вертикальный рядъ съ л'Ьвой
стороны на правую, мы иолучимъ второй волшебный квадратъ.
1
14
4
15
8
11
5
10
13
2
16
3
12
(
9
0
8
11
5
If)
13
¦z
16
3
12
1
9
6
1
14
4
15
13
2
16
3
12
7
9
6
1
14
4
15
8
И
5
10
12
7
9
6
1
14
4
15
8
11
5
К)
13
2
16
3

256
Перенося во второмъ квадратт, первый вертикальный рядъ съ
л4вой стороны на правую, ыы получимъ трепй волшебный ква-
дратъ. Д4лая подобную операции съ третьиыъ квадратонъ, мы
получиыъ четвертый волшебный квадратъ. Bci эти четыре ква-
квадрата суть полные волшебные квадраты. Перенося въ каждомъ
нзъ нихъ вертикальные ряды съ одной стороны на другую, ыы
получимъ изъ каждаго квадрата еще три новыхъ полныхъ вол-
шебныхъ квадрата.
Дадиыъ еще другое опредйлеше полнаго волшебнаго ква-
квадрата. Двй параллельныя ддагонали, находящаяся съ различныхъ
сторонъ главной диагонали, ыы будеыъ называть дополнитель-
дополнительными, если число клйтокъ въ об4ихъ д1агоналяхъ равно числу
шгётокъ въ главной Д1агонали. Дв4 дополнительныя диагонали
надлежащимъ перенесешемъ горизонтальныхъ или вертикаль-
ныхъ рядовъ всегда ыогутъ быть преобразованы въ одну глав-
главную Д1агональ. Полнымъ волшебнымъ квадратомъ называется
такой квадратъ, въ которомъ сумма чиселъ въ каждомъ го-
ризонтальномъ ряду, въ каждомъ вертикальномъ ряду, въ
каждой главной д1агонали и въ каждыхъ двухъ дополнитель-
ныхъ д!агоналяхъ одна и та же.
Всякш полный волшебный квадратъ ncpeueceHieMb горизон-
горизонтальныхъ и вертикалышхъ рядовъ съ одной стороны на дру-
другую можетъ быть преобразованъ въ такой квадратъ, въ кото-
которомъ данное число находится въ данной кл4тк4.
Волшебный квадратъ съ девятью клетками не можетъ
быть полнымъ.
Покажемъ теперь, какимъ образомъ ыогутъ быть составлены
всЬ полные волшебные квадраты съ 16 клетками. Возьмемъ
четыре квадрата
а
а
а
а
а
а
а
а
b
b
b
b
b
b
b
b
с
с
с
с
с
с-
с
с
d
d
d
d
d
d
d
d

267
Наложивъ ихъ одинъ на другой и сложивъ буквы въ каждой
клгЬтк4, мы получиыъ слйдуютф'й квадратъ:
а+Ь-Ьс
c+d
a + b + d
b-f c + d
a-J-d
b
a + c
a + b
с
a+b+c+d
d
a + c + d
b-f d
a
b + c
Если мы въ этомъ посл4днемъ квадрат! вместо а, Ь, с и d,
поставимъ въ какомъ-нибудь порядки 1, 2, 4 и 8, послй этого
числа въ каждой клетки увеличимъ на единицу, то получимъ
такой полный волшебный квадратъ, въ котороыъ въ л-Ьвомъ
верхнемъ углу стоитъ единица. Полагая, напр., о=1, 6 = 2,
с=4 и й=8, мы получпыъ полный волшебный квадратъ, раз-
смотр-Ьнный нами раньше. Такъ какъ четыре буквы можно пере-
перемещать 24-мя различными способами, то нашпмъ пр1емомъ
мы можемъ получить 24 такихъ полныхъ волшебныхъ квадрата,
въ каждомъ изъ которыхъ въ л^вомь верхнемъ углу стоитъ
единица. Изъ полученнаго такимъ образомъ ка5кдаго квадрата
перенесешемъ горизонтальныхъ и вертикальныхъ рядовъ съ
одной стороны на другую мы можемъ образовать еще 15 но-
выхъ квадратовъ. Всего, следовательно, мы можемъ найти
16X24^384 полныхъ волшебныхъ квадрата съ 16-ю клетками.
Указанный нами npienrb даетъ вс4 возможные полные
волшебные квадраты съ 16-ю кл-втками; больше 384 такихъ
квадратовъ быть не можетъ.
Покажемъ теперь способъ составлен1я полныхъ волшебныхъ
квадратовъ съ 25 кл-вткааш. Наложивъ два квадрата:
ВЪ ЦАРСТВ* СМЕКАЛКИ. КН. 1.
17

258
а
d
b
e
с
b
e
с
a
d
с
a
d
b
e
d
b
p
с
a
e
с
a
d
b
a
9
e
b
d
b
d
a
g
e
9
e
b
d
a
d
a
g
e
b
e
b
d
a
9
одинъ на другой и сложивъ буквы въ каждой клетки, мы по-
лучимъ сл4дующш квадратъ:
а + а
d + g
b + e
e + b
c + d
b+ b
е + d
,- + a
a + g
d+e
c + g
a + e
d + b
b + d
e + a
d + d
b-4-a
e + g
с +e
a + b
e-f e
C + b
и -1 d
d + a
b+9
Если мы въ этомъ послъущемъ квадрат-Ь вместо а, Ь, с, d, e
подставимъ въ какомъ-нибудь порядки 1, 2, 3, 4, 5 и выпето
a, b, g, d, е подставимъ тоже въ произвольномъ порядки 0, 5,
10, 15, 20, то получимъ полный волшебный квадратъ. Такъ
какъ число перезйщешй лзъ пяти буквъ равно 120, то ука-
заннымъ способомъ мы можемъ образовать 120" <^120^=14 400
полныхъ волшебныхъ квадратовъ. Столько же полныхъ Болшеб-
ныхъ квадратовъ мы можемъ образовать, подставляя, наоборотъ,
0, 5, 10, 16, 20 вместо а, Ъ, с, d, е и 1, 2, 3, 4, 5 вместо
a, b, g, й, е.

2Б9
Полагая, напр., «=1, 6=2, с=3, d=4, e=5, a=U,
10, A=15, е=20, ыы получимъ сл'Ьдуюыцй квадратъ:
1
14
22
10
18
7
20
'3
11
24
13
21
9
17
5
19
2
15
23
6
25
8
16
4
12
Указанный нами щнемъ даетъ вс-fe возможные полные
волшебные квадраты съ 25-ю клетками; больше 28 880 та-
кихъ квадратовъ не можетъ быть.
Способъ составлешя полныхъ волшебныхъ квадратовъ съ 26
клетками ыожетъ быть распространенъ на квадраты съ боль-
шимъ числомъ кл4токъ, если только это число не делится ни
на два, ни на три; но доказать, что такимъ способомъ полу-
получаются вей возмолгеые полные волшебные квадраты, д-Ьло весьма
трудное.
Желаюш,1е доказать приведенныя выше теоремы могутъ
найти лхъ въ спец!альныхъ сочинен^яхъ, или же пусть дока-
жутъ ихъ сами. Предлагаемъ также заняться ооставлетемъ иол-
ныхъ волшебныхъ квадратовъ съ 3(з клетками. Для руководства
заы4тимъ, что методъ составлен1я полныхъ волшебныхъ квадра-
квадратовъ состоитъ главнымъ образомъ въ разложеши такихъ квадра-
квадратовъ на прост-Бйиле квадраты. Для рйшешя задачи необходимо
знакомство съ свойствами корней двухчленнаго уравнешя,
такъ какъ составлеше волшебныхъ квадратовъ находится въ
тесной связи съ разложетемъ на множители двучлена:
ж—1.
17*

260
Такъ, теперь мы им'Ьемъ:
ri6	1
Такъ какъ во второй части четыре множителя, то эта фор-
формула показываете, что каждый волшебный квадратъ съ ] 6
клетками можетъ быть разложенъ на четыре простой шихъ
квадрата.
Средше волшебные квадраты съ шестнад-
шестнадцатью клетками.
Возьмемъ волшебный квадратъ съ четнымъ числомъ кл4-
токъ и раздйлимъ его горизонтальной или вертикальной лишей
пополамъ. Еслп послй перестановки одной половины на м-бсто
другой квадратъ не издгЬняетъ своихъ свойствъ, т. е. остается
также волшебнъшъ, то такой квадратъ мы будемъ называть
среднимъ еолшебнымъ квадратомъ.
Складывая два квадрата:
а
d
b
с
с
b
d
а
A
а
с
Ъ
h
с
а
d
а
b
A
С
A
с
а
b
с
d
1)
а
Ь
а
с
d
мы получимъ общее выражение для средняго волшебнаго ква-
квадрата съ шестнадцатью клетками:
а + а
d+b
b + d
. с + с
С+ A
b + с
d+a
a + b
d + c
a +d
c+b
b + a
b+ b
C + a
a + c
d + d

261
Числа, стояпця въ клйткахъ этого квадрата, суть не что
иное, какъ показатели при различныхъ членахъ произведешя,
полученнаго отъ умножешя двухъ четырехчленовъ:
Р=ха-\- xb-\~xc-\-xd,
Наиъ известно также, что въ кл'Ьткахъ волшебнаго квадрата
должны стоять всЬ числа отъ единицы до шестнадцати; по-
поэтому
хг1—х
^ х— Г
Остается подобрать восемь чиселъ а, Ь, с, d, a, b, с, d такимъ
образомъ, чтобы посл4днее уравнеше обратилось въ тождество.
Вторая часть уравнешя разбивается на произведете четырехъ
двучленовъ, ибо
Отсюда сл^дуетъ, что нашему уравненш можно удовлетворить
шестью различными способами:
Ц+х)
2) Р+ж A4-ж)
3)	Р4-* A+ж) (l-f
4)	Р+я (l-f ж2) A + ^), <2+A+ж)
б) Р + х A4-ж2) A4-я8), <Ж14-я)
6) р+ж A+ж4) A4-
Сравнивъ показатели различныхъ членовъ въ об'Ьихъ ча-
стяхъ, мы зам^тимъ, что вместо а, Ь, с, d. a, b. с, d могутъ
быть подставлены числа, указанныя въ следующей таблпц'Ь:

262
а.
1.
1,
1,
1,
1,
1,
ь,
2,
2,
2,
3,
3,
5,
с.
3,
5,
а,
5,
9,
9,
A
4
6
10
7
11
13
а,
0,
и,
0,
0,
0,
0,
ь,
4,
2,
2,
1,
1,
1.
с,
8,
8,
4,
8,
4,
2,
A
12
10
6
9
5
3
По этой таблицт> вместо буквъ могутъ быть поставлены числа,
стоящдя въ какомъ нибудь взъ шести рядовъ. Вместо а, Ь, с, d
могутъ быть поставлены въ произвольном! порядкъ1 числа,
стояшдя въ какомъ-нибудь ряду съ лт,вой стороны таблицы;
вместо а, Ь, с, d могутъ быть поставлены также въ произволь-
номъ порядки чвсла, стоянця въ томъ же ряду съ правой сто-
стороны таблицы. Для примера, полагая
а=1, 6 =
2, d = 9,
а = 2, Ь= 4, с=6, d = 0,
мы составимъ слътгуюпцй волшебный квадратъ:
3
13
10
е
2
16
11
5
15
1
6
12
14
4
7
9

2СЗ
Такъ какъ четыре цифры мы ыожемъ перемещать 24-мя
способами, то число веЬхъ волшебныхъ среднихъ квадратовъ
равно 6 с 24Х24 = 3 456. Если же мы условимся считать за
одно ртлпеше всЬ восемь Евадратовъ, полученныхъ поворачи-
вашемъ и переворачивашемъ одного квадрата, то число раз-
личныхъ среднихъ волшебныхъ квадратовъ будетъ равно
3 456:8 = 432. Въ этомъ числт, заключаются также и полные
волшебные квадраты, такъ какъ посл'Ьдше представляютъ только
частный случай среднихъ квадратовъ.
Указанный пр!емъ даетъ всЬ возможные средше волшебные
квадраты съ шестнадцатью клетками; бол'Ье 3 456 такихъ ква-
квадратовъ не можетъ быть.
Правильные волшебные квадраты съ 16-ю
клетками.
Каждый волшебный квадратъ можетъ быть разложенъ на сумму
1гЬсколькпхъ квадратовъ. Возьмемъ волшебный квадратъ съ 16-ю
клетками; въ неиъ написаны вей чпела отъ 1 до 16. Уменьшивъ
каждое изъ чиселъ на 1, мы получимъ волшебный квадратъ, въ
кл'Ьткахъ котораго оудутъ вей числа оть 0 до 15. Каждое число
отъ 1 до 15 можетъ быть составлено сложешемъ четырехъ чи-
чиселъ: 1, 2, 4, 8 (См. выше, главу о двоичномъ исчислеши).
1 = 1
2 = 2
3 = 1 +
4=4
5 = Н
•2
4
6 = 2 + 4
7=1+2+4
8 = 8
9 = 1 + 8
10=2 + 8
11 =
12 =
1 Q
14 =
15 =
1 + 2 + 8
4 )-8
1+4 + 8
2 + 4 + 8
1+2 + 4+8.
Разложивъ такимъ образомъ каждое число на составныя
части и выд^ливъ въ одинъ квадратъ единпцы, въ другой—
двойки, въ третШ—четверки и въ четвертый—восьмерки, мы
разложимъ каждый волшебный квадратъ съ 16-ю кл'Ьткамн на
сумму четырехъ квадратовъ. Такъ, напр., квадратъ

264
9
15
0
6
14
4
11
1
2
8
7
13
5
3
12
10
разлагается на сумму четырехъ:
1
1
1
1
1
1
1
I
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
¦1
4
Волшебный квадратъ
0
9
14
7
4
13
10
3
15
2
5
8
11
б
1
12
разлагается на сумму четырехъ квадратовъ:
1
1
1
1
1
1
1
1
2
о
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
4
4
Я
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
Волшебный квадратъ съ шестнадцатью клътками мы будемъ
называть правильныыъ, если каждый нзъ его четырехъ состав-
ныхъ квадратовъ есть также волшебный квадратъ.

265
ПростЬйшихъ волшебныхъ квадратовъ, въ кл^ткахъ кото-
рыхъ стоятъ только два различныхъ числа, можетъ быть во-
восемь. Прежде всего, мы им-Ьемъ четыре полныхъ просгЬйшвхъ
квадрата:
а
а'
а
а1
а
а'
а
а'
а'
а
а'
а
а'
а
а'
а
b
b
IV
b'
b'
ь;
b
b
b
b
b'
b1
b'
b'
b
b
с
с'
с'
с
с'
с
с
с'
с
с'
с'
с
с'
с
с
с'
d
d'
d
d'
d'
d
d'
d
.1'
d
d'
d
d
d'
d
d'
Дал4е, им-Ьемъ два среднихъ квадрата:
р
е'
е'
е
е'
е'
е
е'
е
е
е'
е'
е
е
е'
f
f
f
Г
f
Г
f
f
г
г
f
f
f
f
f
f
Кромъ1 того, есть еще два ирост'Ьйшихъ волшебныхъ квадрата:
g
8
g'
g'
g
g'
g
g'
g'
g
g'
g
g'
g'
g
g
h
h'
h
hi-
h'
h
h
h
h
h'
h1
h1
h
h'
h
Складывая восемь простМшихъ квадратовъ по четыре, мы
можемъ получить Bci возможные правильные волшебные ква-
квадраты съ шестнадцатью клетками. Впрочемъ. мы должны вы-
выбирать только татя сочетатя по четыре, чтобы числа въ
клйткахъ полученнаго квадрата были различны между собою;
этому условш удовлетворяютъ только одиннадцать сочетатй.
Условимся обозначать наши прост^йние квадраты соответ-
соответственно буквами: А, Б, С, В, Е, F, G, Н. Прежде всего,

266
мы получаемъ полный волшебный квадратъ сложешемъ четы-
рехъ npocTifimnx'b полныхъ квадратовъ:
Дал-Ье мы имйежъ восемь слйдующпхъ среднихъ квадра-
товъ:	А + В-\ С+Е,
A + B+E+F,
A+C+D + E,
B-\-C+I) + F,
B-\-C-j~E~\-F,
Кромй того, мы им^емъ еще два правильныхъ волшебныхъ
квадрата:	C + E+G+H,
Въ каждомъ изъ найденныхъ одиннадцати квадратовъ,
вместо паръ буквъ а и а', Ь и Ъ', с и с1 и т. д., нужно под-
подставить въ какомъ-нибудь порядки четыре пары цифръ: 0 и 1,
0и2,0и4,0и8. Для примера возьмемъ квадратъ
C-\-E+G-\-H
и • положимъ въ немъ
с = 0, е = 4, д = 8, /* = ().
с'= 2, е' = 0, д' = 0, А'=1.
Такимъ обрайомъ, мы составимъ сл4дующ1й волшебный квадратъ:
12
11
2
5
J
15
I
8
6
0
U
7
9
3
4
13
10
Такъ какь четыре пары цифръ можно перемещать 24-ыя
способами, а цифры каждой пары—двумя способами, то число

2С7
всЬхъ правильныхъ волшебныхъ квадратовъ равно 11X16/N24=
= 4 224. Если же мы условимся считать за одно pimeme во-
восемь квадратовъ, полученныхъ поворачивашемъ и переворачн-
вашемъ одного квадрата, то число различныхъ правильныхъ
волшебныхъ квадратовъ будетъ равно 4 224:8 = 628.
Изъ нашей Teopin сл'Ьдуетъ, что къ числу правильныхъ квадра-
квадратовъ принадлежатъ также разсмотргЬнные нами раньше полные и
средше квадраты.
Кромъ1 правильныхъ квадратовъ есть еще много неправиль-
ныхъ волшебныхъ квадратовъ. Второй квадратъ, приведенный
въ начал^ этой главы, представляетъ собою прим'Ъръ неправиль-
неправильнаго волгаебнаго. квадрата.
Общее выражеше всякаго неправильнаго квадрата получается
сложешемъ двухъ квадратовъ:
а
d
b
с
с
b
d
а
d
а
г
b
Ъ
с
а
d
с—d
—c+d
a+b
—ас
— а-)-с
a- b
a—b
а—с
а-|-с
—а+Ь
c+d
- c+d
Такимъ образомъ, вопросъ о составлеши неправильныхъ вол-
волшебныхъ квадратовъ приводится къ опред'Ъленш восьми чиселъ:
а, Ь, с, d, a, b, с и d такимъ образомъ, чтобы въ кл'Ьткахъ
полученнаго квадрата, стояли Bci ц'Ьлыя числа отъ единицы до
шестнадцати. Мы не знаемъ простого рътаешя этого вопроса
и предоставляемъ читателямъ найти таковое.
Полные и средше волшебные квадраты
съ 64-мя клетками.
Въ настоящей главъ1 предлагаемъ вниманш читателей
доваше г. Е. Орлова о полныхъ средпихъ квадратахъ съ 64-мя
клетками.

268
Для квадрата въ 64 клетки шгёемъ:
ж64—1
•Л/	А.
т.е.получаемъ 6 множителей,показывающихъ число элементарныхъ
квадратовъ, составляющихъ общШ квадратъ. И действительно,
если мы возьмемъ 6 квадратовъ:
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
р
1?
е
е
е
е
е
е
е
е
р
е
е
с
е
е
е
е
е
р
е
е
е
е
е
е
е
е
е
b
b
h
b
b
b
Ь
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
h
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
f
f
f
f
f
f
f
f
Г
f
f
f
f
f
f
f
f
f
Г
f
f
f
f
f
f
Г
f
f
f
f
f
f

269
изъ которыхъ 3 послт>дше, занятые буквами d, e и /, полу-
получаются переворачивашемъ трехъ первыхъ около Д1агонали, со-
соединяющей лт,вый верхшй съ нравыыъ нижнимъ углоыъ, и
совмт,стимъ ихъ въ одинъ обпдй квадратъ, въ которомъ
сложены элементы совпадающихъ шйтокъ, то получиыъ такой
квадратъ:
А...
а+Ь
4-d
a+d
+ f
ь+г
C+d
+Р
a-j b
-Ьс+е
а+с
+e+f
b-t-c
-L-d+e
' -i f
a+d
b+e
e+f
a+b
+d+e
+f
a+c
b+c
4-d
c+d
4-f
a+b
+c+f
a-j с
+d
b+c
c+f
a+b
c+d
+f
a+e
b+d
+c
d 4-e
i-f
a-J-b
-f-e-rf
c+e
a+b
+c+d
-be
a+c
+d+e
+f
b+c
+e+f
d
a+b
a+f
b+d
+f
a+b
+f
d+f
b+d
a
a+b
+C+d
+e^f
c+e
+f
b+c
+e
a+c
1 d+e
b+d
+c+f
a+e
+f
a+b
+e
d+P
b+c
+f
a+c
+-d+f
a+b
+c+d
с
b+c
+d+f
a+c
+f
a+b
+c
c+d
b+e
+ f
a+d
+e+f
a+b
+d+e
e
a+b
+c++fe
c+d
+e+f
b+c
+d+e
a+c
+e
a+b
-t-d+f
f
b
a+d
Если мы замйнимъ въ немъ буквы а, Ь, с, d, e и f чи-
числами 1, 2, 4, 8, 16 и 32 въ произвольномъ порядк^, и за-
т^мъ прибавимъ на каждую кл-Ьтку по единиц^, то получимъ
полный волшебный квадратъ. Такъ какъ такихъ квадратовъ
можетъ быть составлено столько, сколько можно сделать пере-
становокъ изъ 6-тп чиселъ, именно Р6 = 6! = 720, и каждый
квадратъ даетъ вмйстъ- съ собою еще 64 квадрата, то наша
схема даетъ 64Р6= 64X720=46 080 квадратовъ. Нельзя,
однако, сказать, чтобы она исчерпывала собою всевозможные
полные квадраты о 64 клт.ткахъ. И действительно, оставляя,

270
напр., 3 первыхъ элементарныхъ квадрата прежними и заменяя
3 послъ-днихъ квадрата такими:
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
e
R
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
p
e
e
e
e
e
e
e
e
e
О
e
e

271
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
мы, по соединеши этнхъ 6-ти квадратовъ, получаемъ новую схему
полныхъ квадратовъ такого рода:
В...
а+Ь
+d
а+е
+f
b-f-e
+f
c+d
a+b
+c+d
a+c
+d+p
4-f
b+c
+e+f
a+d
4-e+t
b+d
+c+i
d
a-j b
a+c
+e+f
b+c
4-d+e
4 f
с
a+b
4-c
a+c
-'¦Г
b+c
-ь-d-t-t
c+c
a+b
c+e
a+d
4-f
b-t-cl
+f
d+e
a4-b
J-e
c+d
+e
a+b
I-c+d
+e
a+c
+d+f
b+c
с
a+b
fd+e
a+f
b i-f
a-rb
+e+f
e + f
b
a+d
a-|-b
+c+d
-1 e+i
c+e
+f
b+c
+d
'+S
b+d
a
a+b
+d+e
+f
d+e
4-f
b+c
a+c
a+b
t-c+e
ri
c+d
4-e+f
b+c
-1-е
a-pc
J-e
a+b
,c+l
c+d
+f
b d
+c
a+c
a+b
+d+f
<l+f
a ,-b
4-c4d
+f
c+f
b4-c
-d--e
a+c
fd+e
a+b
4-f
f
b+e
a+b
+e
и эта схема удовлетворяете тЬмъ же услов!ямъ, что и (А).
2. Но схема (А) отличается, однако, отъ схемы (В) гёмъ,
что она можетъ быть обобщена въ новую схему, захватываю-
захватывающую собою не только всЬ полные квадраты схемы (А), но и
массу негюлныхъ квадратовъ, и это делается такпмъ образомъ.
Разбивъ квадратъ (А) на 2 друпе квадрата, пзъ которыхъ

272
въ первый выд&лиыъ всЬ сочеташя буквъ а, Ъ и с, а во вто-
второй—всЪ комбинации остальныхъ буквъ d, e и f, мы получнмъ
2 таше квадрата:
а+Ь
а
b
с
а+Ь
+ с
а+с
Ь+с
a
b
a+b
a+c
b+c
с
a+b
+ c
a+c
b+c
с
a+b
+c
a
1)
a+b
a+c
a+b
a+c
b+c
a-! b
a
b
a+b
b
a
a+b
с
b + c
a+c
b
a
a-,-b
b+c
a-1-е
a+b
+c
с
b+c
a+c
a+b
+c
с
b
a
a+b
a+b
+c
с
b+c
a+c
a+b
b
a
d
drf
f
d+e
e
e+f
d+e
+f
d-, e
e
e+f
d+e
+f
d
d+f
r
d
f
d+f
e
d+e
d+e
+f
e+f
e
dJ e
d+e
+f
e+f
d
f
d+f
f
d+f
d
d+e
+ f
e f
e
d+e
d+e
+f
e+f
e
d+e
f
d+f
d
di-f
f
d
e+f
d+e
+f
d+e
e
e+f
d+e
+f
d+e
e
d -f
f
d

273
Зам'Ьнимъ въ первомъ квадрат^ величины О (т. е. пустую клетку),
а, а -\- с, с, а -\- Ъ: Ъ, Ь-\-с и а-\-Ь-}-с соответственно
черезъ а, Ь, с, d, е, f, h, а величины второго квадрата, именно:
О, d -f- е, d, e, f, d-\-e-\-f, d-\-fne-\-f, соответственно же,
заыенимъ черезъ a, b, g-, d, e, h, z и г, тогда мы иолучимъ
2 квадрата, наложен1е другъ на друга которыхъ составить, на-
конецъ, схему (С).
е
b
f
d
h
с
g
b
f
a
e
g
d
h
С
g
d
h
b
f
a
e
d
h
с
a
e
b
f
e
a
f
Ъ
h
d
e
с
f
b
e
a
g
с
h
d
g
С
h
d
f
b
e
a
h
Л
g
с
e
a
f
Ъ
a
8
z
e
b
el
r
h
b
d
r
h
a
g
z
e
g
a
e
г
d
b
h
r
d
b
l>
r
g
a
e
z
e
z
g
a
h
r
d
b
h
r
d
b
e
z
g
a
z
e
a
g
r
h
b
d
r
h
b
d
z
e
a
a
ВЪ ЦАРСТВ* СМЕКАЛКИ. КН. I.

274
С...
а+а
e+g
b+2
f+e
d+b
h+h
C+h
g+l>
>
b+b
f+d
a-Jh
e+h
c+a
s+g
d+*
h+e
c+g
g+a
d+e
h-i
b+d
f-,-b
a+b
e+h
d , d
h+b
c-l h
g4-h
a-rg
e+a
b+e
f-И
e-r e
a+z
f+9
b; a
h+h
d+h
g+«J
C+b
f-,h
b+r
e- d
a pb
h-, e
c+z
h+S
d a
g+2
c+e
h+a
d-rfl
f+h
b+h
e-| b
a+d
h+h
d+h
е+ь
c+u
е+г
a+e
f+a
b+0
Эта схема даетъ, кромт, полныхъ квадратовъ схемы (А), еще массу
неполныхъ квадратовъ. Для нея мы имт,емъ 20 двойныхъ ря-
довъ чиселъ, которые можно получить по способу, указанному
выше, въ статьи о средннхъ волшебныхъ квадратахъ съ 16-ю клет-
клетками, и которые приведены въ нижеследующей таблиц^.
1
¦2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Я
Д
Ы.
половина.
Правая половина.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57
1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12
1, 5, 17, 21, 33, 37, 49, 53
1, 2, 3, 4, 17, 18, 19, 20
1, 5, 9. 13, 33, 37, 41, 45
1, 2, 3; 4, 33, 31, 35, 36
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29
1, 2, 5, 6, 9, 10, 13, 14
1, 3, 17, 19, 33, 35, 49, 51
1, 2, 5, 6, 17, 18, 21, 22
1, 3, 9, 11, 33, 35, 41, 43
1, 2, 5, 6, 33, 34, 37, 38
1, 3, 9, 11, 17, 19, 25, 27
1, 2, 9, 10, 17, 18, 25, 27
1, 3, 5, 7, 33, 35, 36, 39
1, 2, 9, 10, 32, 34, 41, 42
1, 3, 5, 7, 17, 19, 21, 23
1, 2, 17, 18, 33, 34, 49, 50
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
О, 8,
О, 1,
О, 4,
О, 1,
О, 4,
0,1,
0,4,
О, 1,
О, 2,
О, 1,
О, 2,
О, 1,
О, 2,
О, 1,
О, 2,
О, 1,
0,2,
О, 1,
О, 2,
О, 1,
10, 24,
2, 3,
16, 20,
2, 3,
8, 12,
2, 3,
8, 12,
2, 3,
16, 18,
4, 5,
8, 10,
4, 5,
8, 10,
4, 5,
4, G,
8, 9
4, 6,
8, 9,
4, 6,
16, 17,
32,	40,
4,	5,
32,	36,
8,	9,
32,	36,
16,	17,
16.	20,
32,	33,
32.	34,
8, 9,
32, 34,
16, 17,
16, 18,
32, 33,
32, 34,
16, 17,
16, 18,
32, 33,
8, 10,
32, 33,
48, 56
6, 7
48, 52
10, 11
40, 44
18, 19
24, 28
34, 25
48, 50
12, 13
40, 42
20, 21
24, 26
36, 37
30, 38
24, 25
20, 22
40, 41
12, 14
48, 49

275
Ряды эти применяются для составления квадратовъ такимъ об-
разомъ: выбравши какой-либо рядъ, латинсшя буквы схемы при-
равниваютъ числамъ .гЬвой половины его, взятымъ тоже въ про-
извольномъ порядк'Ь, а жирныя буквы схемы приравниваютъ
числамъ правой половины его, взятымъ тоже въ произвольномъ
порядк'Ь, и тогда получается всегда неполный квадратъ, а въ
частныхъ случаяхъ могутъ получаться и полные. Число всЬхъ
квадратовъ, даваелыхъ последнею схемою, будетъ:
20-818! = 20 A-2-3-4-5-6-7-8J = 20-40 3202 =
= 20-1 625702400 = 32514048000,
такъ что даже 7в этого числа (принимая во внимаше квадраты,
получаемые поворачивашемъ и переворачивашемъ), и та будетъ
громадна, именно: 4 064 256 000, т. е. 4 слишкомъ ыилл1арда!