PROGRAMMA DI MATEMATICA, FISICA, ELETTRONICA
Collezione diretta da
Sergio Carrà, Emilio Gatti, Francesco Gherardelli, Luigi Radicali, Giorgio Talenti
Mario Ageno, Elementi di fisica
T. M. Apostol, Calcolo
VoI. l Analisi l
VoI. 2 Geometria
VoI. 3 Analisi 2
Scipione Bobbio e Emilio Gatti, Elementi di elettromagnetismo
Max Born, Fisica atomica
Vito Cappellini, Elaborazione numerica delle immagini
Francesco Carassa, Comunicazioni elettriche
P. A. M. Dirac, I princìpi della meccanica quantistica
Albert Einstein, Il significato della relatività
Enrico Fermi, Termodinamica
Bruno Ferretti, Le radici classiche della meccanica quantica
Giorgio Franceschetti, Campi- elettromagnetici
Giovanni Gallavotti, Meccanica elementare
Enrico Giusti, Analisi matematica l
Enrico Giusti, Analisi matematica 2
Werner Heisenberg, I princìpi fisici della teoria dei quanti
Gerhard Herzberg, Spettri atomici e struttura atomica
Charles KitteI, Introduzione alla fisica dello stato solido
Charles Kittel e Herbert Kroemer, Termodinamica statistica
Serge Lang, Algebra lineare
Giorgio Letta, Teoria elementare dell'integrazione
P. F. Manfredi, Piero Maranesi e Tiziana Tacchi, L'amplijicatore operazionale
J acob Millman, Circuiti e sistemi microelettronici
Jacob Millman e C. C. Halkias, Microelettronica
R: S. Muller e T. L Kamins, Dispositivi elettronici nei circuiti integrati
Athanasios Papoulis, Probabilità, variabili aleatorie e processi stocastici
W olfgang Pauli, Teoria della relatività
Giovanni Prodi, Analisi matematica
Antonio Ruberti e Alberto Isidori, Teoria dei sistemi
Walter Rudin, Analisi reale e complessa
H. H. Schaefer, Introduzione alla teoria spettrale
Edoardo Sernesi, Geometria l
I. M. Singer e J. A. Thorpe, Lezioni di topologia elémentare e di geometria
W. V. Smith e P. P. Sorokin, Il laser
Giovanni Soncini, Tecnologie microelettroniche
Guido Tartara, Teoria dei sistemi di comunicazione
Bruno Touschek e Giancarlo Rossi, Meccanica statistica

EDOARDO SERNESI
GEOMETRIA 1
CE
ti
BOLLATI BORINGHIERI

Prima edizione ottobre 1989
) 1989 Bollati Boringhieri editore s.p.a., Torino, corso Vittorio Emanuele 86
I diritti di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento totale o parziale con
qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati
Stampato in Italia dalla Stampatre di T orino
CL 74-9284-7 ISBN 88-339-5447-1
Geometria 1/ Edoardo Sernesi. .. Torino: Bollati Boringhieri, 1989
480 p. ; 24 cm. .. (Programma di matematica, fisica, elettronica)
L SERNESI, Edoardo
1. GEOMETRIA - Manuali
2. CURVE ALGEBRICIIE PIANE . Manuali
CDD 516
(a Cllra di S. & T. - Torino)

Indice
F!rejazione, 9
r Geometria affine, 13
I Vettori geometrici. Spazi vettoriali
2 Matrici
3 Sistemi di equazioni lineari
4 Alcune nozioni di algebra lineare
5 Rango
6 Determinanti
7 Spazi affini (I)
8 Spazi affini (Il)
9 Geometria in un piano affine
lO Geometria in uno spazio affine di dimensione 3
Il Applicazioni lineari
12 Applicaziom lineari e matrici. Cambiamenti di coordinate affini
13 Operatori lineari
14 Gruppi di trasformazioni. Affinità
2 Geometria euclidea, 190
15 Forme bilincari e forme quadratiche
16 Diagonalizzazione delle forme quadratiche
17 Prodotti scalari
18 L'operazione di prodotto vettori aie
19 Spazi euclìdei
20 Operatori unitari e isometrie
21 Isometrie di piani e di spazi tridimensionali
22 Diagonalizzazione di operatori simmetrici
23 Il caso complesso
 Geometria proietti va, 283
24 Spazi proiettivi
25 Geometria affine e geometria proietti va
26 Dualità
27 Cambiamenti di coordinate omogenee e proicttività

6
Indice
4 Curve algebriche piane, 337
28 Generalità
29 Curve algebriche reali
"30 Classificazione delle coniche proiettive
31 Classificazione di coniche affini e coniche euclidee
32 Geometria delle coniche euclidee
"33 Intersezione di due curve: proprietà elementari
34 Proprietà locali delle curve' algebriche piane
35 Sistemi lineari di curve piane
36 Cubiche
Appendici, 421
A Domini, campi, polinomi
B Permutazioni
Risoluzione degli esercizi, 445
Bibliograjia, 471
Elenco dei simboli, 473
Indice analitico, 475

Prefazione
La presente opera, rivolta anzitutto agli studenti della Facoltà di Matematica,
tratta gli argomenti usualmente svolti in un primo corso di geometria nelle uni-
versità italiane. Supponendo note le principali proprietà dei numeri reali e com-
plessi e utilizzando la teoria degli spazi vettoriali e l'algebra lineare, vi si espon-
gono i fatti fondamentali delle geometrie affini, euclidea e proiettiva e la teoria
elementare delle curve a/gebriche piane.
Per conciliare il più possibile l'esigenza del rigore con quella, pure importante,
di non appesantire la trattazione con- una teoria algebrica troppo astratta e for-
male, l'algebra lineare è esposta con gradualità e in alternanza con la geometria.
Questo anche al fine di porre nel dovuto rilievo gli aspetti geometrici della teoria
degli spazi vettoriali.
Il volume si compone di quattro capitoli, più due appendici i cui contenuti,
di carattere algebrico, esulano dall'algebra lineare.
L'esposizione, di tipo elementare, si avvale di numerosi esempi per facilitare
l'apprendimento dei concetti più delicati. Lo stesso scopo hanno gli esercizi che
compaiono al termine di ogni paragrafo (di molti di essi si dà la soluzione a fine
volume). In molti casi i paragrafi sono corredati di Complementi" che conten-
gono spunti per approfondimenti ulteriori. (Vi si trovano, fra l'altro, ifatti essen-
ziali sulle ipersuperfici in spazi di dimensione qualunque, e la classificazione delle
quadriche.)
Nel/'organizzazione della materia, infine, si è cercato di assicurare una flessi-
bililà sufficiente da consentire una lettura diversificata, e dunque una maggior
libertà nell'organizzazione dei corsi. Ad esempio, la trattazione del capitolo 3 può
essere svolta prima di quella del capitolo 2; allo stesso modo, è possibile passare
direttamente dallo studio della geometria euc/idea (cap. 2) a quello delle sole curve
piane affini ed euclidee (cap. 4) giungendo rapidamente alla classificazione delle
coniche. È pure possibile una lettura che separi più nettamente l'aigebra lineare
dalla geometria, e che può ben conciliarsi con le esigenze di un corso diviso in
due semestri.
E. S.

AVVERTENZE
Il testo presuppone la conoscenza delle nozioni di base della teoria degli insiemi e delle
principali proprietà degli insiemi numerici fondamentali, per i quali si usano le seguenti
notazioni:
N: l'insieme dei numeri interi naturali (O incluso).
Z : l'insieme dei numeri interi relativi.
Q: l'insieme dei numeri razionali.
R: l'insieme dei numeri reali.
C: l'insieme dei numeri complessi.
In prima lettura la conoscenza dei numeri complessi non è strettamente necessaria.
Le notazioni e i simboli adottati sono quelli di uso più comune nella letteratura. Per
comodità del lettore ne diamo un elenco.
A C B oppure B::::> A significano: l'insieme A è un sottoinsieme dell'insieme B.
aEA significa: a è un elemento dell'insieme A.
A U B, A n B, A x B sono rispettivamente l'unione, l'Ìntersezione e il prodotto carte-
siano dei due insiemi A e B.
Se A C B, B\A denota l'insieme differenza di B meno A, che consiste di tutti gli ele-
menti di B che non appartengono ad A.
Se n > 1 è un intero e A è un insieme, A n denota .il prodotto cartesiano di A per sé
stesso n volte.
La scrittura
J:A -+ B
a......b
significa che l'applicazionef dell'insieme A nell'insieme B manda l'elemento aE A in b E B.
Se J: A -+ B e g: B -+ C sono applicazioni, la loro composizione si denota con g 0/.
Per ogni numero intero positivo k, il simbolo k! denota il prodotto l o 2 o ... "k, chia-
mato "k fattoriale". Per definizione si pone 01 = l.
Dati a, bER, 0< b, si denoteranno con (a, b), [a, b], (a, b], [a, b) gli intervalli rispetti-
vamente aperto, chiuso, aperto a sinistra, aperto a destra, di estremi a e b.
Il coniugato a - ib di un numero complesso z = a + ib si denota con z. Il modulo di
z è ..J a 2 + b 2 " e si denota con I z 1_
Per gli altri simboli utilizzati rinviamo il lettore alla lista che si trova alla fine del volume.
Le nozioni introdotte nelle Appendici vengono liberamente utilizzate nel testo.

Geometria 1
A Stefania e Marta

Capitolo 1 .
Geometria affine
1 Vettori geometrici. Spazi vettoriali
Lo studio della geometria nella scuola secondaria si basa sul sistema assioma-
tico di Euclide, nella formulazione moderna che gli fu data da David Hilbert
(1862-1943) alla fine del secolo XIX. Per la geometria piana tale sistema considera
come enti primitivi il punto e la retta. Inoltre vengono considerate come primitive
alcune nozioni quali: l'appartenenza di un punto a una retta; il giacere di un punto
tra altri due punti; l'uguaglianza di segmenti; l'uguaglianza di angoli (le nozioni
di segmento e di angolo sono definite a partire dagli assiomi).
Analogo sistema di assiorni esiste per la geometria dello spazio.
Noi adotteremo un altro punto di vista, che consiste nel fondare la geometria
sul concetto di "vettore". L'assiomatica basata su tale concetto, oltre ad essere
molto semplice, riveste una grande importanza in tutta la matematica.
Per motivare le definizioni che dovremo dare, cominceremo con l'introdurre
il concetto di vettore nel piano e nello spazio della geometria di Euclide (che d'ora
in poi chiameremo piano e spazio ordinari), e metteremo in evidenza le proprietà
che verranno successivamente utilizzate per l'impostazione assiomatica. Per ora
ci limiteremo a considerazioni di carattere intuitivo, senza curarci di dare dimo-
strazioni complete.
Un vettore applicato (o segmento orientato) dello spazio ordinario è indivi-
duato da un punto iniziale A e da un punto finale B, e viene denotato con il sim-
bolo (A, B). II punto A si dice anche punto di applicazione del vettore applicato
dato. Un vettore applicato viene rappresentato con una freccia che congiunge i
punti A e B come nella figura 1.1.
Due vettori applicati (A, B) e (C, D) si dicono equipollenti se hanno la stessa
direzione, la stessa lunghezza e lo stesso verso, cioè se giacciono su rette parallele
(eventualmente coincidenti) e se, movendo una delle due rette parallelamente a

14
Geomelria affine
A
Figura 1.1
;;/

Equipollenti
Non equipollenti
Non equipollenti Figura 1.2
sé stessa, è possibile portare i due segmenti a sovrapporsi in modo che i loro punti
iniziali e i loro punti finali coincidano. Nell'insieme di tutti i vettori applicati l'equi-
pollenza è una relazione di equivalenza, perché soddisfa in modo evidente le tre .
proprietà di riflessività, simmetria e transitività. Un vettore geometrico (o sem-
plicemente vettore) è, per definizione, una classe di equipollenza di vettori appli-
cati, cioè è l'insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti a un segmento orien-
tato assegnato (fig. 1.2).
I vettori verranno di solito denotati con lettere in neretto a, b, v, w ecc.
Ogni vettore applicato che individua il vettore a si dirà rappresentante di a.

Il vettore avente rappresentante (A, B) verrà anche denotato con AR. Dato un
punto A, ogni vettore a ha un rappresentante, e uno .solo, applicato in A.
Nella definizione non abbiamo escluso che A = B. II vettore individuato da
uno qualunque dei segmenti orientati (A, A) si chiama vettore nullo: esso ha lun-
ghezza nulla, direzione e verso indeterminati e si denota con O.
Si può definire la somma di due vettori mediante loro rappresentanti nel modo
seguente (fig. 1.3).
  --+
Siano a = AB e b = BC; allora a + b = A C.
B
A
c
D
Figura 1.3

1/Vettori geometrici. Spazi vettoriali
15
Se invece i vettori a e b sono dati mediante loro rappresentanti applicati nello
stesso punto, cioè a = Alt e b = AD rispettivamente, allora a + b = AC, dove il
punto C è il quarto vertice del parallelogramma i cui altri vertici sono A, B, D.
Questo modo di costruire a + b è chiamato regola del paralle/ogramma.
L'operazione di somma di due vettori è associativa, cioè
a + (b + c) = (a + b) + c
[1.1]
per ogni terna di vettori a, b, c. Ciò si verifica immediatamente utilizzando la
figura 1.4.
,b
(a + b) + c = a + (b + c)
Figura 1.4
Dalla [1.1] segue che sommando tre vettori si possono omettere le parentesi
perché la scrittura a + b + c ha un solo significato. Una proprietà simile vale per
la somma di un numero finito qualunque di vettori (cfr. osservazione 1.3(2».
Da come è stata definita è evidente che l'operazione di somma è commutativa,
cioè che
a+b=b+a
per ogni coppia di vettori a, b.
Si noti anche che il vettore O soddisfa alla
a+O=O+a
per ogni vettore a.
 
Se a = AB denoteremo con - a il vettore BA. Esso verifica evidentemente
l'identità:
a+(-a)=O.
Definiamo ora il prodotto di un vettore a per un numero reale k (i numeri reali,
nel contesto dei vettori, vengono anche chiamati scalarl). Esso è, per definizione,
il vettore ka che ha la stessa direzione di a, lunghezza uguale a quella di a molti-
plicata per I k I, e verso discorde o concorde con a a seconda che k abbia segno
positivo o negativo; se k = O oppure a = O, allora ka = O.
L'operazione di moltiplicazione di un vettore per uno scalare è compatibile con
quella di somma di vettori e con le operazioni di somma e di prodotto tra scalari.

16
Geometria affine
Ad esempio la seguente identità è di immediata verifica:
na = a + ... + a (n volte)
per ogni vettore a e per ogni intero positivo n. In particolare
la == a.
I no Itre
(- l) a = - a.
Si può verificare facilmente che
(k + h) a = ka + ha
e che
(kh) a = k(ha)
per ogni coppia di scalari k, h e per ogni vettore a.
È anche facile verificare geometricamente che la seguente identità è valida:
k(a + b) = ka + kb
per ogni scalare k e per ogni coppia di vettori a, b.
In modo simile al precedente si introducono i vettori della retta e i vettori del
piano ordinario.
È importante notare che, per definire i vettori e le operazioni di somma di due
vettori e di moltiplicazione di un vettore per uno scalare, abbiamo solo usato il
concetto di parallelismo tra rette e la possibilità di confrontare le lunghezze di
due segmenti situati su rette parallele (cioè la possibilità di trovare il numero reale
k che rappresenta la misura di uno di essi rispetto all'altro, e viceversa, di asso-
ciare a un segmento e a uno scalare k un secondo segmento che abbia misura k
rispetto al primo). Queste possibilità sono garantite dagli assiorni della geometria
euclidea.
Non abbiamo richiesto, per le nostre definizioni, che sia possibile confrontare
due segmenti qualsiasi o misurare l'angolo di due semirette. In particolare non
è necessario disporre di un' unità di misura assoluta delle distanze, né del concetto
di perpendicolarità.
Ora che abbiamo verificato in modo geometrico intuitivo le proprietà dei vet-
tori, capovolgeremo il punto di vista prendendo queste proprietà come assi orni
per la definizione di "spazio vettoriale".
Uno spazio vettoriale è sempre definito in relazione a un campo di scalari (cfr.
app. A), che nell'esempio precedente era R, ma che può scegliersi in modo del
tutto generale. Noi non ci metteremo nella massima generalità possibile, ma pren-
deremo per campo di scalari un sottocampo di C.

J / Vettori geometrici. Spazi vettoriali
/7
Pertanto d'ora in poi (ad eccezione che in app. A) denoteremo con K un sotto-
campo di C che si supporrà fissato una volta per tutte.
In prima lettura sarà sufficiente limitarsi a considerare il caso K = R. Tuttavia
è molto importante tenere presente che ciò che diremo ha una validità più generale.
1.1 DEFINIZIONE Uno spaiio vettoriale su K, ovvero un K-spazio vettoriale,
è un insieme non vuoto V tale che:
l) per ogni coppia di elementi v, wEV sia definito un terzo elemento di V, che
denoteremo con v + w, e che chiameremo la somma di v più w,
2) per ogni v E V e per ogni k E K sia definito un elemento di V, che denoteremo
con kv, e che chiameremo prodotto di v per k,
in modo che le seguenti proprietà siano soddisfatte:
SVI (Proprietà associativa) Per ogni u, v, WEV si ha
(u + v) + w = u + (v + w).
SV2 (Esistenza dello zero) Esiste un elemento O E V, chiamato lo zero, o il
vettore nullo, tale che
O+v=v+O=v
per ogni vEV.
SV3 (Esistenza dell'opposto) Per ogni vEV l'elemento (-1) v soddisfa
l'identità
v+(-l)v=O.
SV 4 (Proprietà commutativa) Per ogni u, v E V si ha
u + v = v + u.
SV5 (Proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori) Per ogni u, v E V
e per ogni kE K si ha
k(u+v)=ku+kv.
SV6 (Proprietà distributiva rispetto alla somma di scalari) Per ogni v E V e
per ogni h, kE K si ha
(h + k)v = hv + kv.
SV7 Per ogni v E V e per ogni h, kE K si ha
(hk) v = h (kv).
2

/8 Geometria affine
SV8 Per ogni v E V si ha
Iv = v.
Diremo anche che le due operazioni definiscono sull'insieme V una struttura
di K-spazio vettoriale.
È implicito che su un insieme possono a priori esistere diverse strutture di spa-
zio vettoriale, cioè diversi modi di definire su V delle operazioni che ne facciano
uno spazio vettoriale, eventualmente su campi diversi (cfr. esempio 1.2(4».
Gli elementi dello spazio vettoriale V si dicono vettori, e gli elementi di K si
dicono scalari.
I vettori deIIa forma kv, k E K, si dicono proporzionali a (o multipli di) v.
Per ogni v E V il vettore (- 1) v, chiamato l'opposto di v, si indica con - v,
e si scriverà u - v invece di u + (-1) v.
Dagli assiomi SV1, ..., SV8 seguono diverse proprietà elementari che verranno
discusse alla fine di questo paragrafo (cfr. 1.3), e che d'ora in poi supporremo
note al lettore.
Quando K = R (K = C), V si dice anche spazio vettoriale reale (spazio vetto-
riale complesso). ,
Un insieme costituito da un solo elemento è in modo banale un K-spazio vetto-
riale il cui unico elemento è il vettore nullo.
Vediamo ora alcuni esempi non banali di spazio vettoriale.
1.2 Esempi
1. Le proprietà che abbiamo verificato all'inizio del paragrafo implicano che
l'insieme V dei vettori geometrici del piano, quello dei vettori geometrici dello
spazio e quello dei vettori geometrici della retta, dotati delle operazioni di somma
di due vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare, costituiscono altrettanti
spazi vettoriaIi su R.
2. Siano n > 1 un intero e V = Kn, l'insieme delle n-uple ordinate di elementi
di K.
Definiamo la somma di due n-uple (XI' ..., X n ), (Yt, ..., Yn)E Kn come
(Xl' ..., X n ) + (YI' ..., Y n ) = (Xl + YI' ..., X n + Yn)
e, per ogni kE K, (XI' ..., Xn)E Kn, definiamo
k(x I , ..., x n ) = (kx I , ..., kx n );
in particolare
- (XI' ..., X n ) = (- XI' ..., - X n ).
È immediato verificare che, con queste operazioni, Kn soddisfa gli assiomi
SVI, ..., SV8 e quindi è un K-spazio vettoriale. Esso viene solitamente chiamato
l'n-spazio numerico su K.

1/Vettori geometrici. Spazi vettoriali
19
L' l-spazio numerico è K stesso, il quale, con le sue proprie operazioni di somma
e di prodotto, è uno spazio vettoriale su sé stesso.
Se (Xl' ..., X n ) E Kn, gli scalari Xl' ..., X n si dicono componenti, e Xi è l'i-esima
componente, di (Xl' ..., x n ).
3. Sia I un insieme non vuoto qualunque e sia V l'insieme i cui elementi sono
le applicazioni I: I ----. K. Per ogni I, g E V definiamo I + g: I ----. K ponendo
(I + g) (x) = I(x) + g(x)
per ogni x E I. Otteniamo in questo modo un elemento f + g E V_
Se lE V e kE K, definiamo k/: I ----. K ponendo
(ki) (x) = kl(x}
per ogni xE I. Si ottiene quindi klE V.
È facile verificare che V, con le operazioni che abbiamo introdotto, è un
K-spazio vettoriale.
4. Sia F un sottocampo di K. Se V è uno spazio vettoriale su K, allora su V
resta indotta una- struttura di F-spazio vettoriale dalle stesse operazioni che defi-
niscono la struttura di K-spazio vettoriale. In altre parole, la somma di due vet-
tori rimane la stessa, e la moltiplicazione di un vettore per uno scalare a E F si
definisce considerando a come un elemento di K e quindi utilizzando la defini-
zione di moltiplicazione per elementi -di K.
Ad esempio, il campo C dei numeri complessi può essere considerato, oltre
che uno spazio vettori aie complesso (l'l-spazio numerico su C), anche come uno
spazio vettoriale reale, perché R è un sottocampo di C. .
1.3 Osservazioni
1. Alcune delle proprietà che discendono dagli assiomi SVI, ..., SV8 di spazio
vettori aie sono evidenti nel caso dei vettori geometrici, ma richiedono una dimo-
strazione nel caso di uno spazio vettoriale qualsiasi. Vediamole.
Denotiamo con V un K-spazio vettori aIe'.
In V esiste un solo vettore nullo, cioè, se 0 1 e O 2 sono vettori tali che
0 1 + v = V, O 2 + v = v per ogni vE V, allora 0 1 = 02.
Infatti, ponendo v = 0 1 nella O 2 + v = v si ottiene O 2 + 0 1 = 01' mentre ponendo
v = O 2 nella 0 1 + v = v si ottiene 0 1 + O 2 = O 2 . Quindi
0 1 = O 2 + 0 1 = 0 1 + O 2 = O 2 .
Per ogni vE V esiste un solo opposto, cioè, se v + VI = O = v + v 2 , allora
v l = V 2 .
Infatti si ha
VI = O + VI = (v + v 2 ) + VI = V + (v 2 + VI) = V + (VI + v 2 ) = (V + VI) + V 2 =
= O + V 2 = v 2 -

20
Geomelria affine
Per ogni a, b E V, l'equazione x + a = b ha l'unica soluzione x = b - a.
Infatti (b - a) + a = b, e, se x + a = b, allora
x = (x + a) - a = b - a.
Per ogni v E V, si ha Ov = O, dove O E K è lo scalare zero e O E V è il vettore zero.
Infatti Ov = (O + O) v = Ov + Ov, e quindi Ov = Ov - Ov = O.
Analogamente si ha kO = O per ogni kE K.
Infatti kO = k(O + O) = kO + kO, e quindi kO = kO - kO = O.
2. Sia V un K-spazio vettoriale. Dati tre vettori u, v, w E V, scriveremo u + v + w
per denotarne la somma effettuata in uno dei due modi possibili, i quali, per l'as-
sioma SV1, danno lo stesso risultato.
Supponiamo ora dati n > 3 vettori v l' ..., V n E V . Vogliamo dimostrare che la
loro somma eseguita disponendo in un modo qualunque le parentesi:
(V l + (v 2 + ( ... + v n) ... )
[1.2]
dà un risultato che dipende solo da v l' ..., V n' e che quindi può essere denotato
con v I + ... + v n' omettendo le parentesi.
Procediamo per induzione su n: se n = 3 l'affermazione è vera per l'assioma
SV1.
Sia n > 4 e supponiamo dimostrato l'asserto per ogni intero k compreso tra
3edn-l.
Possiamo scrivere due diverse somme [1.2] come a + 13 e'Y + O rispettivamente,
dove a, p sono somme in cui compaiono VI' ..., V k , e V k + 1 ' ..., V n rispettivamente,
mentre in 'Y,  compaiono v l' ..., V j e V j +-1' ..., V n rispettivamente, per opportuni
interi positivi j, k minori di n.
Se k = j, allora, per l'ipotesi induttiva, si ha a = 'Y e  = o, e quindi
a + p = 'Y + o.
Supponiamo ora k <j. Per l'ipotesi induttiva si ha
a+(v k + I +... +vj)=Y
(V k + I +... +v j )+o=13
e quindi a + p = Q, + (V k + I + ... + v j ) + o = y + o.
Esercizi
1. Un'applicazione s: N --+ K dell'insieme dei numeri naturali in K si dice successione di
elementi di K. Se s(n) = a n E K, la successione s si denota anche con {a n }nEN, o sem-
plicemente con {a n }.
Sia SK l'insieme di tutte le successioni di elementi di K. Si definiscano in SK le opera-
zioni seguenti:
{ a n } + {b n ) = (a n + b n },
k { a n } = {ka n }

2/Malrici
2/
per ogni {a n }, {b n } E SK, k E K. Dimostrare che, con queste operazioni, SK è un K-
spazio vettoriale (questo è un caso particolare dello spazio vettoriale V considerato
nell'esempio I 2(3».
2. Una successione {a n ) E SR si dice limitata se esiste RE R tale che a n < R per ogni n E N.
Sia L R il sottoinsieme di SR costituito dalle successioni limitate. Dimostrare che, con
le stesse operazioni definite nell'esercizio (1), L R è uno spazio vettoriale reale.
3. Siano a, bER, a < b, e sia Cta,b} l'insieme di tutte le applicazioni continue definite nel-
l'intervallo (a, b) a valori in R. Per ogni f, gE C(a, b) si definisca f + g: (a, b)  R
ponendo
(f + g) (x) = f(x) + g(x) per ognI xE (a, b).
Se fE C(a, b) e cE R, si definisca cf: (a, b)  R ponendo
(cf) (x) = cf (x) per ognI
xE (a, b).
Dimostrare che f + g e cf sono continue e quindi nel modo anzidetto restano definite
due operazioni su C(a, b). Dimostrare che con queste operazioni C(a. Il) è uno spazio vet-
torialc reale.
4. Sia X un 'indeterminata e sia K [X] l'insieme dei polinomi in X a coefficienti in K. Per
ognif, gE K[X} e aE K, ianof + gE K[X] il polinomio somma dife g, e afE K[X]
il polinomio prodotto di a, considerato come un polinomio costante, per f. Dimo-
strare che, con queste operazioni, K [X] è un K-spazio vettoriale.
2 Matrici
Siano m, n interi positivi. Una matrice m x n a elementi in K è una tabella ret-
tangolare
ali a I2 a In
a 2I a 22 a 2n
A=
amI a m2 a mn
di mn elementi di K. Scriveremo anche A = (aij)lS/Sm o semplicemente A = (aij).
1 sj $ n
L'i-esima riga della matrice A è la matrice 1 x n
A (i) = (a n a/ 2
a in ), i=l,...,m
e la j-esima colonna è la matrice m x 1
a 1j
-a 2j
A U ) =
,
j=l, ..., n.
a mj

22
Geometria affine
A possiede m righe ed n colonne. Ognuno degli elementi aij della matrice è
contrassegnato da due indici, di cui il primo denota la riga (indice di riga) e il
secondo la colonna (indice di colonna) cui l'elemento appartiene.- aij viene chia-
mato l'elemento di posto i, j.
Ad esempio
3

-2
4
5
183
[2.1 ]
-7r
è una matrice 2 x 3 a elementi in R; le sue righe sono
(3 -2 :) , ( 7r 183),
c le sue colonne
,
,
L'elemento di posto 2, l è 2, quello di posto 1,3 è .
Se m = n la matrice A si dice quadrata di ordine n. 5
Una matrice l x n, cioè a una sola riga ed n colonne, viene anche chiamata
vettore riga oppure n-vettore riga, mentre una matrice n x l, a n righe e una
colonna, si dice vettore colonna, oppure n-vettore colonna.
La trasposta della matrice m X n A = (a jj ) è la matrice n x m
alI a 21
°12 a 22
TA = (a jj ) =
a 1n a 2n
amI
a m2
Qmn
ottenuta scambiando tra loro le righe e le colonne di A. Ad esempio) la trasposta
della matrice [2.1] è
3
-2
4
5

7r
183

2/ Matrici
23
L'insieme di tutte le matrici m x n a elementi in K si denota con Mm.n(K) e
l'insieme di tutte le matrici quadrate di ordine n con Mn(K). Ovviamente
Mn,n(K) = Mn(K), ed M1(K) = K, perché una matrice l X I non è altro che un ele-
mento di K.
Una convenzione molto utile che adotteremo d'ora in poi consiste nell'identi-
ficare K n con Mn,I(K), l'insieme degli n-vettori colonna. Pertanto un n-vettore
colonna
XI
X 2
X n
denotato brevemente con x, verrà identificato con l'elemento (XI' x 2 , ..., X n ) E Kn.
Scriveremo anche x = t(x I x 2 x n ).
2.1 PROPOSIZIONE Ponendo
( a.. ) + ( b. . ) = ( a.. + b.. )
Il IJ IJ IJ
k(a ij ) = (kaij)
per ogni (aij), (bij) E Mm.n(K), kEK, si definisce su Mm,n(K) una struttura di
K-spazio vetforiale. Lo zero è la matrice nulla m X n, cioè la matrice m X n avente
tutti i suoi elementi uguali a O.
La dimostrazione è lasciata allettare.
Se A = (aij) e B = (bij), kE K, le matrici (aij + bij) e (kaij) si denoteranno con
A + B e kA rispettivamente.
È possibile definire un'operazione di prodotto tra matrici.
Dati un n-vettore riga
A = (al a 2 ... On)
e un n-vettore colonna
b I
b 2
B= ,
b n

24
Geometria affine
il loro prodotto è l'elemento di K definito dalla seguente identità:
b l
b 2 ,.
(al a 2 ... a n )
= al b l + a 2 b 2 + .. + anb n .
[2.2]
b n
Più in generale, date una matrice A = (aij)EMmn(K) e una matrice B = (b jk ) E
E Mn,p(K), il loro prodotto righe per colonne è la matrice ABEn.p(K) il cui
elemento di posto i, k è il prodotto della i-esima riga di A per la k-esima colonna
di B. In formule si ha
AB = (A (i) B(k» = ai I b 1k + a i2 b 2k + ... + a in b nk .
Il prodotto di un vettore riga per un vettore colonna, definito dalla [2.2], è
un caso particolare di prodotto righe per colonne di due matrici.
Si noti che il prodotto AB è stato definito nell'ipotesi che il numero delle colonne
di A sia uguale al numero delle righe di B: esprimeremo questo fatto dicendo che
le matrici A e B possono essere moltiplicate.
2 1 0-1
Ad esempio, le matrici (: : ) e
O I I O possono essere mol-
136 2
tiplicate, e il loro prodotto è:
2 1 0-1
( 'l 2 l ) O 1 1
2 3 O
136
o = (:
2
6 8
5 3
-) .
2 l O-I
Invece le matrici O l l O
(2 1 2 0 1 )
e non. possono essere molti-
3
l 362
'plicate.
In particolare due qualsiasi matrici quadrate A, BEMn(K) possono essere mol-
tiplicate. Si noti però che in generale AB  BA. Ad esempio:
( 1 l ) ( 1 O ) == ( 2 . O ) ,
O ] ,1 O, 1 O

2/Matrici
25
mentre
(: :) (: :)=(: :).
Se A = (ai}) E Mn(K), gli elementi all' a 22 ,..., a nn costituiscono la diagonale
principale di A. Se tutti gli elementi a u ' i  j, sono nulli, A si dice matrice dia-
gonale. Una particolare matrce diagonale n x n è la matrice unità In = (oij), dove
0-- = { l
l) O
se l =J
se i #- j.
[2.3]
Il Dij definito dalla [2.3] è detto simbolo di Kronecker.
Ad esempio
100
Il = (I), 1 2 = (: ), 13 = O l O .
O O l
Una matrice quadrata A E Mn(K) si dice triangolare superiore (triangolare infe-
riore) se ai} = O per oghi i> j (per ogni i < j). A si dice strettamente triangolare
superiore (strettamente triangolare inferiore) se ai} = O per ogni ì  j (per ogni
i j). Ad esempio, delle tre matrici quadrate a elementi reali:
O O O O
-1  -7 .7 O O O
(: : ), O O l I 7f O O
-
,
2 2
O O -3 O l l O
-
2
la prima è diagonale, la seconda è triangolare superiore, la terza è strettamente
triangolare inferiore. .
Una matrice quadrata A E Mn(K) tale che  = A si dice simmetrica; se invece
 = - A, allora A si dice antisimmetrica. Ad esempio la matrice
-1 5 3
5 O -1
3 -1 7r
2

26
Geometria affine
è simmetrica, ma non lo è la matrice
G :7 ) ·
La matrice
o -5 l
-
2
5 O 3
1 -3 O
--
2
è antisimmetrica.
Si noti che ogni matrice antisimmetrica ha necessariamente nulli gli elementi
della diagonale principale.
2.2 PROPOSIZIONE
l) Se A, BEMmn(K), C, DEMn,p(K) e kE K, allora
(A + B) C=AC+ BC
A( C + D) = AC + AD
A(kC") = k(AC) = (kA) C
A In = A,
IC=C
n
2) Se A E Mm,n(K), BEMn,p(K), CEMp,s(K), allora
(AB) C= A(BC).
3} Se A e B possono essere moltiplicate, allora tB e  possono essere molti-
plicate e si ha
t(AB) = tB.
4) Se A, BEM m n(K}, allora
,
 + tB = t(A + B).
Dimostrazione
1) Siano A (i) = (ai! a i2 ... a in ), B(i) = (bi}
di A e di B rispettivamente, i == 1, ..., m, e
C 1k
b i2 ... b in ) le i-esime righe
C 2k
C{k) ==
C nk

2/Matrici
27
la k-esima colonna di C, k = l, ..., p_ L'elemento di posto i, k di (A + B) C è
(A + B)(O C(k) = (a iI + b il ) C u + (a i2 + b i2 ) C 2k + ... + (a in + b in ) C nk
mentre l'elemento di posto i, k di AC + BC è
(i) (i)
A C(k) + B C(k) = (ai} C 1k + a i2 c 2k + ... + ainC nk ) + (bi} c Jk + b i2 C 2k + ...
... + binc nk )
e quindi essi sono uguali. La seconda e la terza identità si dimostrano in modo
analogo.
L'elemento di posto i, j di AIn è
A (i}(In)(j) = a n O + ... + aij-l O + auI + a jj + 1 0 + ... + ainO = a u '
e quindi AIn = A. Similmente si dimostra che InC = C.
2) Si osservi che ABEMm,p(K) e BCEMn.s(K), e pertanto sia AB e C che A e
BC possono essere moltiplicate. L'i-esima riga di AB, i = l, ..., m, è
(A B) (i) = (A (i) B(1) A (i) B(2) . _. A (i) B(p»
mentre la h-esima colonna di (BC), h = l, ..., s, è
8(1) C(h)
B (2) C
(h)
(BC )(h) =
B{n) C
(h)
Pertanto l'elemento di posto i, h di (AB) C è
(i) (i) (i) (i)
(A B) C(h) = (A B(1» C 1h + (A B(2» C 2h + ... + (A B(p» c ph =
= (ai! b Il + a i2 b 21 + ... + ainb n I) C 1h +
+ (a n b I2 + a i2 b 22 + ... + a in b n2 ) C 2h + ...
... + (ai I b IP + a i2 b 2p + ... + ainb np ) C ph .
[2.4]
L'elemento di posto i, h di A(BC) è invece
A (i)(BC)(h) == ail(B(I)C(h)} + a i2 (B(2)C(h» + ... + ain(B(n)C(h» =
= a il (b lI C Ih + b I2 C 2h + ... + b1pc ph ) +
+ a i2 (b 21 C 1h + b 22 C 2h + ... + b 2p c ph ) + -..
... + ain(b nI C 1h + b n2 C 2h + ... + bnpc ph ).
[2.5]
Confrontando [2.4] e [2.5] vediamo che essi coincidono, perché entrambi sono
la somma di tutti i prodotti della forma aijbjkc kh al variare di j = l, ..., n e di
k = 1, ..., p. Quindi le due matrici (AB) C e A(BC) coincidono elemento per ele-
mento e !'assérto è provato.

28
Geometria affine
3) Supponiamo A E Mm,n(K) e BEMn,p(K). Allora tBEMp,n(K) e EMn,m(K),
e quindi tB e  possono essere moltiplicate. Si ha
t(AB)jj = (AB)ij = A (i) B u > = CB)(j)()(i) = CB)ji.
4) La dimostrazione è lasciata al lettore.
Dalla (2) della proposizione 2.2 segue che possiamo scrivere ABC per denotare
indifferentemente (AB) C oppure A(BC), perché queste due matrici coincidono.
Più in generale, se AI' Al' ..., Am sono matrici ad elementi in K tali che Ak ed
Ak+l possono essere moltiplicate per k == l, ..., m -1, si dimostra facilmente che
il loro prodotto eseguito disponendo in un modo qualunque le parentesi:
A 1 (A l ( ... Am) ... )
dà un risultato che dipende solo da AI' Al' ...., Am. Pertanto denoteremo d'ora
in poi tale. prodotto con il simbolo AIAl...Am. La dimostrazione è simile a
quella data in 1.3(2), ed è lasciata al lettore.
Una matrice quadrata A di ordine n si dice invertibi/e se esiste una matrice
MEMn(K) tale che AM = MA = In. Se esiste, M è unica: infatti, se N è tale che
AN = NA = In' allora
M = MIn == M(AN) = (MA) N = InN == N.
M è l'inversa di A, e si denota con A - I.
Se A E Mn(K) è invertibile, allora affinché una matrice ME Mn(l<) sia l'inversa
di A è sufficiente che sia verificata una sola delle due condizioni AM = In'
MA = In. Infatti, se per esempio AM = In' si ha anche
MA = (A - lA) MA = A -I(AM)A = A -IInA = A -lA == Ill.
Similmente si dimostra che MA = In implica AM = In.
La matrice unità In è invertibile e coincide con la sua inversa.
Segue immediatamente dalla definizione che (A - I) - I == A per ogni matrice
invertibile A E Mn(K).
Se A, BEMn(K) sono invertibili, allora anche AB lo è, e si ha (AB) - I =
= B-IA -I. Infatti
(B- I A - I) (A B) = B- 1 (A - lA) B = B- 1 In B == B- 1 B = In.
Più in generale, se AI' ..., AkEMn(K) sono inverti bili, allora il loro prodotto
A 1 A l ... A k è invertibile, e si ha
(A I A 2 ... A k) - I = A k- I ... A 2- I A 1- l .
La verifica è simile alla precedente.
Nel paragrafo 3 descriveremo un procedimento che permette di calcolare l'in-
versa di una matrice invertibile assegnata.

2/Matrici
29
Il sottoinsieme di Mn(K) costituito dalle matrici invertibili viene denotato con
GLn(K).
Se k > l è un intero, denoteremo con A k il prodotto AA ... A di una matrice
A E Mn(K) per sé stessa k volte; porremo A o = In. Se A E GLn(K) definiamo
A - k = (A . I) k.
Una matrice quadrata reale A E Mn(R) si dice ortogonale se tAA = In' cioè se
lA = A .- I. Linsieme delle matrici ortogonali n X n si indica con O(n). Per defi-
nizione O (n) C GLn(R).
Le uniche matrici ortogonali I X l sono (1) e (-1). Una matrice A EM 2 (R) è
ortogonale se e solo se è della forma
A=(: -:)
[2.6]
oppure
A=(: _:)
[2.7]
con a 2 + b 2 = 1. Infatti, se A = (aij) si ha
2 + 2
( aIl a 21 ali a 12 + a 21 a 22 )
tAA =
a I2 a II + a 22 a 21 a?2 + a1
e quindi A E O (2) se e solo se
ai1 + ai I = 1 = a2 + ai2
alI a 12 + a 21 a 22 = o.
Dall'ultima condizione si deduce che esiste p ;é O tale che
(a l1 , a 21 ) = (- pa 22 , pa I2 ).
Dalle condizioni precedenti discende che p 2 = 1, cioè p = ::I:: l. Quindi
a 12 = ::I:: a 21 , a 22 = T a I l' e A è di una delle due forme dette.
Torneremo più diffusamente a parlare delle matrici ortogonali nei paragrafi
20 e 21.
Per descrivere le matrici è spesso utile la cosiddetta notazione a blocchi. Tale
notazione consiste nello scrivere una matrice A EMmn(K) nella forma seguente:
AlI A12 Alk
A 21 A 22 A 2k
A= ,
Ahl A h2 Ahk

30
Geometria affine
dove le Aij sono a loro volta matrici di ordini opportuni: precisamente
AijEMm1.nj(K), dove mI + m 2 + ... + m h == m, n I + n 2 + ... + n k == n.
Ad esempio, la matrice [2.1] può essere anche denotata a blocchi nella forma
seguente:
A ==(B C),
dove
3 -2 4

B= c== 5
,
 7f 183
2.3 C>sservazione
È possibile considerare matrici a elementi in un dominio qualsiasi D, anziché
nel campo K. Denoteremo con Mm,n(D) (rispettivamente Mn(D)) l'insieme di tutte
le matrici m x n (quadrate di ordine n) a elementi in D. I casi che considereremo
più frequentemente nel seguito sono D = Z e D == K[X I , ..., X N ], dove XI' ..., X N
sono indeterminate. Il prodotto di due matrici a elementi in uno stesso dominio
D si definisce come nel caso D == K. La proposizione 2.2 si estende senza cambia-
ment se nel suo enunciato il campo K viene sostituito da un dominio D.
I«:sercizi
l. Calcolare:
l
( -: : ) ( : 1 :) -J2
a)
6 3
-
2
3
b) (_:) (l
o
O
5 -J37 4291r 2 -2
I)
1
2
6
o
c)
 (5
O l
o).
2

2/Matrici
2. Sia
A=C
Calcolare:
a) A 2
3. Sia
I
A= O
31
:) EM 2 (R).
b) 3A 3 _1- A + A O
2
c) 2 + A + A - 31 2 .
l
EM 3 (R).
2
O -2 -1
Calcolare A 2 -  + 13.
4. Calcolare -.L 2
3
+ 1 2 -
l
l + i
l
5. Sia A EMn(K). Dimostrare che A +  è simmetrica c che A -  è antisimmetrica.
Dedurrc che A può esserc esprcssa come somma di una matrice simmctrica e di una
antisimmetrica.
6. Esprimere le segucnti matrici a elementi numeri razionali come somma di una matrice
simmetrica e di una antisimmetrica:
a) (_: ; )
b) (   )
c) l
2
l
o
O
-1 -1
1
o
7. Dimostrare che se A E M n (K), allora A è simmetrica.
8. Una matrice NEMn(K) si dice ni/potente se esistc un intero k > l tale che A k = O,
dove OEMn(K) è la matrice nulla. Dimostrare che per ogni a, b., cE K le matrici
o a b
(: :) e O O c
O O O

32
Geomelria affine
sono nilpotenti. Dimostrare che, più in generale, ogni matrice A E Mn(K) strettamente
triangolare (superiore o inferiore) è nilpotente.
9. Dimostrare che una matrice A E Mn(K) nilpotente non è invertibile.
IO. Stabilire quali delle seguenti matrici sono ortogonali:
-J2 -V2
o l l
a)
2 2
2
-J2
b) G _)
d)
.J3
3
2.J3
3
-- O
f)
h)
O -1 O
2
.Ji
c) L: - : )
2.J3
.J3
e)
3
-v6
3
3

3
.J2 -J2
2 2
-1
O
g)
O
l
O
.J'i 
O
2 2
I
2
.Jj
2
O O O
i)
l l O
O
l 8 4
999
j) 8 l 4
999
447
999
I
O
k)
O
O -
-V6
3
:J3
3
O -1
O
O
.J3
O
2
I
2
O
O
1
O
O
-Ji
2
-J2
O
l
O
O
-Ji
2

2
O
2

3/Sislemi di equazioni lineari
33
Il. Siano
al O
O a2
A==
O O
a n
b l O O
O b 2 O
B= E M n (K)
O O b n
O
O
due matrici diagonali di ordine n. Dimostrare che .
{ al bl O
O a2 b 2
AB=BA =u O
O
O
anb n
3 Sistemi di equazioni lineari
Le matrici intervengono in modo naturale nello studio dei "sistemi di equa-
zioni lineari".
Siano XI' ..., X n indeterminate. Un'equazione lineare (o di primo grado) nelle
incognite XI' ..., X n a coefficienti in K è un'equazione della forma
al XI + ... + anX n = b
oppure della forma equivalente
atX 1 +... +anXn-b=O
in cui a 1 , ..., a n , b E K. La [3.1] deve intendersi come una relazione tra quantità
variabili o incognite, rappresentate dalle indeterminate XI' ..., Xn.
Una soluzione dell'equazione [3.1] è un elemento (Xl' ..., x n ) di Kn che, sosti-
tuito nella [3.1] al posto deIla n-upla (XI' ..., X n ), dà luogo a una identità.
La [3.1] si dice omogenea (non omogen.ea) se b = O (se b  O).
Se si considerano simultaneamente m > 1 equazioni lineari nelle incognite
[3.1 ]
Xi' ..., X n =
a u X 1 + a I2 X 2 + ... + alnX n = b I
a 2I X 1 + a 22 X 2 + ... + a 2n X n = b 2
[3.2]
amIX 1 + a m2 X 2 + ... + amnX n = b m ,
si ottiene un sistema di m equazioni lineari nelle n incognite XI' ..., X n - Il sistema
[3.2] si dice omogeneo (non omogeneo) se b l = b 2 = ... = b m = O (se b j  O per
qualche i).
3

34
Geometria affine
Una soluzione del sistema [3.2] è un elemento (Xl' ..., x n ) E Kn che è soluzione
simultanea delle m equazioni [3.2]. Il sistema si dice compatibile (incompatibile)
se possiede almeno una soluzione (se non possiede soluzioni). Ogni sistema omo-
geneo ammette almeno la soluzione (O, ..., O), che viene detta soluzione banale,
e quindi è compatibile; ogni sua altra soluzione si dice non banale.
Si noti che, viceversa, se il sistema (3.2] ammette la soluzione (O, ..., O), allora
è omogeneo.
Ad esempio il sistema di equazioni a coefficienti reali
XI + 2X 2 == 1
XI + 2X 2 = O
è incompatibile, perché i primi membri delle due equazioni sono uguali, ma non
lo sono i secondi membri e quindi non esiste alcun (XI' x 2 ) E R 2 che soddisfi
entrambe le equazioni.
Il sistema
Xl +X 2 =1
XI - X 2 = 3
è compatibile e ammette l'unica soluzione (2, -I), che si ottiene nel modo seguente.
Sommando membro a membro le due equazioni, si ottiene la nuova equazione
2X I = 4, che è soddisfatta dall'unico valore XI = 2; sostituendo questo valore
nella prima equazione si ottiene l'unico valore X 2 = - 1 che la soddisfa. Inoltre
la coppia (2, - I) è soluzione anche della seconda equazione, e quindi è l'unica
soluzione del sistema.
Il sistema
XI + 3 X 2 = - 1
2X I + 6X 2 = - 2
è compatibile ed ammette le infinite soluzioni (- 1 - 3 t, t) al variare del parame-
tro tE R. Infatti le due equazioni sono proporzionali e quindi hanno le stesse solu-
zioni: risolvendo per esempio la prima si trovano le soluzioni dette.
Il sistema
alI XI + a n X 2 + ... + aInX n = O
a 2l X I + a 22 X 2 + ... + a 2n X n = O
[3.3]
amI XI + a m2 X 2 + ... + amnX n == O
si dice il sistema omogeneo associato al sistema [3.2].

3/Sistemi di equazioni lineari
35
3.1' PROPOSIZIONE Se il sistema [3.2] è compatibile, le sue soluzioni sono tutte
e sole le n-uple ottenute sommando a una qualsiasi di esse una soluzione del sistema
omogeneo associato [3.3].
Dimostrazione
Denotiamo con E e Eo i due sotto insiemi di K n i cui elementi sono rispettiva-
mente le soluzioni del sistema [3.2] e del sistema [3.3]. Se (YI' ..., Yn)E E e (XI' ...,
X n ) E Eo, allora
(Yl' ..., Yn) + (XI' ..., X n ) = (YI + XI' ..., Y n + Xn)E E.
Infatti per ogni j == l, ..., m si ha
ajI(Yl + XI) + a j2 (Y2 + x 2 ) + ... + ajn(Yn + x n ) =
= (ajlYl + a j2 Y2 + ... + ajny n ) + (aj1x I + a j2 x 2 + ... + ajnx n ) =
= b j + O = b j .
Viceversa, fissata (Y I , Y2' ..., Yn)EE, per ogni altra (Zh Z2, ..., Zn)EE si ha
(z) - YI' Z2 - Y2' ..., Zn - Yn)E Eo
perché:
ajI(zI - YI) + ... +ajn(Zn - Y n ) = ajIZ I + ... + ajnz n -
- (ajJYt + a j2 Y2 + ... + ajnYn) = b j - b j = O
per ogni j = 1, ..., m.
Poiché
(ZI' Z2, ..., zn) = (y l' Y2' ..., Y n) + (ZI - Y l' Z2 - Y2, ..., Zn - Y n)
abbiamo l'asserto.
Al sistema [3.2] possiamo associare la matrice A = (aij) E Mm,n(K) formata dai
coefficienti delle incognite delle m equazioni del sistema, che si dice la matrice
dei coefficienti del sistema [3.2]. Aggiungendo ad A come (n + I)-esima colonna la
b 1
b 2
b==
b m
formata dai termini costanti delle equazioni [3.2], si ottiene la matrice ad m righe

36 Geometria affine
e n + 1 colonne:
aJI a 12 a 1n b I
a 2I °22 a 2n b 2
(A b) =
amI a m2 a mn b m
che diremo la matrice orlata del sistema [3.2].
Possiamo interpretare gli m primi membri di [3.2] come le componenti di un
vettore colonna e riscrivere la [3.2] come un'uguaglianza di vettori colonna:
aUX 1 + a 12 X 2 + ... + aInX n b I
a 2I X t + a 22 X 2 + ... + a 2n X n b 2
[3.4]
0mIXI + Qm2 X 2 + ... + QmnXn b m
Ponendo
XI
X 2
x=
X n
e considerando X come un vettore colonna, il primo membro della [3.4] è il pro-
dotto righe per colonne A X. Il sistema [3.2] si scrive quindi anche nella seguente
forma più concisa:
A X = b.
[3.5]
Viceversa è evidente che per ogni matrice a m righe ed n + 1 colonne esiste un
sistema di m equazioni lineari nelle incognite XI' ..., X n di cui essa è la matrice
orlata. Nel seguito utilizzeremo spesso questa corrispondenza biunivoca esistente
tra matrici e sistemi di equazioni lineari per semplificare la trattazione, riducen-
doci a considerare matrici anziché sistemi.
Un sistema di equazioni lineari nelle incognite XI' ..., X n si dice a gradini se

3/Sistemi di equazioni lineòri
37
ha la forma seguente:
0I1 X I + 0I2 X 2 + ...
022 X 2 + ...
+ 0lnXn == b I
+ 02n X n :::: b 2
[3.6]
QmmXm + ... + omnXn= b m
con alI a 22 ... a mm  O. La matrice dei coefficienti di [3.6] è
a n a 12
O a 2 2
a 1n
a 2n
O
O
a mm
a mn
In particolare m < n.
Supponiamo m = n. L'ultima equazione di [3.6] è soddisfatta dal solo valore
X n = bnanl, il quale, sostituito nella penultima equazione, fornisce un unico
valore Xn- I che la soddisfa. I valori Xn- l' X n così ottenuti, sostituiti nella terz'ul-
tima equazione, danno luogo a un unico valore x n - 2 che la soddisfa. Procedendo
in questo.modo si arriva a ottenere un'unica soluzione di [3.6]. Quindi un sistema
a gradini di n equazioni in n incognite possiede un 'unica soluzione.
Se m < n il sistema [3.6] può essere riscritto nella forma equivalente seguente:
aIlX 1 + a 12 X 2 + ... + aImX m = b I - (a lm -f l X m + I + ... + QlnXn)
a 22 X 2 + ... + a 2m X m = b 2 - (02m+I Xm+1 + ... + a 2n X n )
ammX m = b m - (amm+IXm+I + ... + amnX n ).
Dando valori arbitrari t In + l' ..., t n E K alle incognite X m + l' ..., X n si ottiene un
sistema a gradini di m equazioni nelle m incognite XI' ..., X m =
a n XI + a 12 X 2 + ... + almX m = b I - (a 1m + I t m +] + ... + aInt n )
a22 X 2 + ... + a 2m X m = b 2 - (a 2m + I t m + I + ... + a 2n t n )
[3.7]
ammX m = b m - (a mm + I t m + I + ... + amnt n ),
il quale ha un'unica soluzione. Ne deduciamo che il sistema [3.6] ammette le infi-
nite soluzioni ottenute dalle [3.7] al variare dei parametri t m + I , ..., t n in K. Dal
modo in cui si calcolano le soluzioni si deduce che ogni soluzione di [3.7] si esprime

38
Geometria affine
come una n-upla
(SI (t m + l' ..., tn), S2(t m + 1 , ..., tn), ..., Sn(t m + I , ..., tn»
[3.8]
in" cui gli Si (t m + l' ..., tn) sono polinomi di primo grado nei parametri t m + I , ..., t n .
La [3.8] è la soluzione generale del sistema [3.6].
La n-upla dei termini costanti (Cl' ..., c n ) degli Si è una delle soluzioni, preci-
samente quella corrispondente ai valori t m + I = ... = t n =: O. Da ciò e dalla propo-
sizione 3.1 segue che la n-upla di polinomi omogenei in t m + I , ..., t n
(SI(t m + I , ..., tn) - Cl' S2(lm+I' ..., t n ) - Cl' ..., Sn(t m + u ..., t n ) - C n )
è la soluzione generale del sistema omogeneo associato a [3.6].
In particolare vediamo che un sistema a gradini è sempre compatibile. Espri-
meremo il fatto che le soluzioni di [3.6] si ottengono come funzioni di n - m para-
metri liberi di variare arbitrariamente, dicendo che il sistema [3.6] possiede oon. m
soluzioni. Nel caso n = m intenderemo con ciò dire che il sistema possiede una
sola soluzione.
Un'equazione lineare [3.1] in cui (al' a 2 , ..., a n ) # (O, ..., O) si può considerare
come un particolare sistema a gradini, salvo scambiare tra loro due delle variabili
se al = O; pertanto essa possiede oon- I soluzioni.
Due sistemi di equazioni lineari nelle stesse incognite XI' ...; X n si dicono equi-
valenti se possiedono le stesse soluzioni. Per essere equivalenti due sistemi non
devono necessariamente avere lo stesso numero di equazioni.
Vogliamo ora studiare un procedimento, detto metodo di eliminazione di Gauss-
Jordan, che permette di stabilire se un sistema è compatibile oppure no, e nel caso
affermativo di trovarne sistematicamente tutte le soluzioni. Tale procedimento
consiste nel sostituire il sistema assegnato con un sistema a gradini, ad esso equi-
valente, mediante passaggi successivi detti "operazioni elementari sulle equazioni
del sistema". Esse corrispondono ad altrettante operazioni sulle righe della matrice
orlata.
Esistono tre tipi di operazioni elementari sulle righe di una matrice:
I) scambiare tra loro due righe della matrice;
II) moltiplicare una riga della matrice per uno scalare non nullo;
111) sostituire una riga della matrice con quella ottenuta sommando ad essa
un multiplo di un'altra riga.
Le corrispondenti operazioni elementari sulle equazioni di un sistema sono le
seguenti:
I) scambiare tra loro due equazioni del sistema;
II) moltiplicare (primo e secondo membro di) un'equazione per uno stesso
scalare non nullo;
111) sostituire un'equazione con quella ottenuta sommando ad essa un multi-
plo di un'altra equazione.

3/Sistemi di equazioni lineari
39
Se si effettua su di un sistema un'operazione elementare del tipo (I), il nuovo
sistema che si ottiene è equivalente al precedente, perché le soluzioni di un sistema
non dipendono dall'ordine in cui si considerano le sue equazioni. Similmente un'o-
perazione del tipo (Il) non cambia l'insieme delle soluzioni del sistema perché due
equazioni proporzionali hanno le stesse soluzioni. Anche un'operazione del tipo
(111) non modifica l'insieme delle soluzioni del sistema: infatti se una n-upla
(XI' ..., x n ) E K n soddisfa due equazioni del sistema,
ajJX 1 + a i2 X 2 + ... + ainX n = b i
[3.9]
ajIX I + a j2 X 2 + ... + ajnX n = b j ,
allora per un qualsiasi c E K essa è soluzione delle due equazioni
a il XI + a i2 X 2 + ... + ainX n == b j
(a j1 X 1 + a j2 X 2 + ... + ajnX n ) + c(anX 1 + a i2 X 2 + ... + ainX n ) == bj+ Cbi.
[3 .10]
Si verifica in modo simile che viceversa ogni soluzione delle [3.10] soddisfa le
[3.9].
Quindi, se si effettua una qualsiasi operazione elementare sulle equazioni di
un sistema si ottiene un sistema ad esso equivalente.
Supponiamo dunque di avere assegnato un sistema [3.2]. Osserviamo prelimi-
narmente che se una delle sue equazioni, diciamo la i-esima, ha identicamente nullo
il primo membro, cioè è della forma
o = b i ,
allora essa è identicamente soddisfatta se b j = O, mentre è incompatibile se b i :;é O.
Nel primo caso potremo cancellare l'equazione e ottenere un sistema equivalente
al precedente, nel secondo caso il sistema [3.2] è incompatibile. Possiamo per-
tanto supporre che nessuno dei primi membri di [3.2] sia identicamente nullo.
Possiamo inoltre supporre che sia ail :;é O per qualche i = l, ..., m: ciò può
essere ottenuto scambiando eventualmente tra loro due delle incognite. Con
un'operazione elementare (I) possiamo ottenere alI :;é O, e moltiplicando per aI-j I
la prima equazione (operazione elementare (Il» possiamo ridurci al caso alI = l.
Sommando alle successive equazioni la prima moltiplicata rispettivamente per
- a 21 - a 31 , ..., - amI (operazione elementare (111») si ottiene un nuovo sistema
della forma seguente:
XI + a[2 X 2 + ... + a{nXn = b{
a;2 X 2 + ... + alnX n == b;
[3.11 ]
a/"2 X 2 + ... + a/nnX n = b/n.

40
Geomelria affine
Se qualcuna delle equazioni del sistema [3.11] è della forma O = O, possiamo
ometterla senza modificare l'insieme delle soluzioni. Se invece compare un'equa-
zione della forma O == b/ ' con b/ O, allora il sistema è incompatibile, e pertanto
anche [3.2] è incofupatibile ed il procedimento si arresta. Possiamo pertanto sup-
porre che nessuno dei primi membri del sistema [3.11] sia identicamente nullo.
Ora procediamo sul sistema [3.11] senza più occuparci della prima equazione
. e ragionando, sulle rimanenti equazioni, come nel caso precedente. Effettuando
eventualmente un cambiamento dell'ordine delle variabili ed operazioni elemen-
tari (I) (Il) possiamo supporre 0;2 = 1. Sommando alle successive equazioni la
prima moltiplicata rispettivamente per - 0;2' - 0;2' ..., - 0/"2 (operazione elemen-
tare (111», si ottiene un nuovo sistema della forma seguente:
XI + Ot2 X 2 + 0{3 X 3 + ... + o{nXn = b{
X 2 + 0;;X 3 + ... + aXn = b;'
" X + + " X b "
033 3 .. · Q3n n = 3
[3.12]
" X + + " X b "
O s 3 3 .. · O sn n = s.
Dopo aver eliminato dal sistema [3.12] tutte le equazioni della forma O = O,
verifichiamo se vi compare un'equazione della forma 0= bt, b/,  O: in caso
affermativo il sistema è incompatibile e pertanto anche [3.2] lo è, ed il procedi-
mento ha termine. In caso contrario applichiamo di nuovo lo stesso procedimento
al sistema [3..12] escludendo le prime due equazioni.
Questo procedimento potrà essere iterato fintanto che non si arrivi a un sistema
incompatibile oppure a un sistema a gradini equivalente al sistema [3.2] da cui
eravamo partiti. Nel primo caso possiamo concludere che il sistema [3.2] è incom-
patibile. Nel secondo caso possiamo calcolare le soluzioni del sistema a gradini,
che sono anche le soluzioni di [3.2], ed il procedimento di Gauss-Jordan ha ter-
mine. La soluzione generale del sistema a gradini che si è ottenuto è detta solu-
zione generale del sistema [3.2].
Daremo ora alcuni esempi per illustrare il procedimento di eliminazione di
Gauss-Jordan. Nella pratica è preferibile operare sulla matrice orlata del sistema
piuttosto che sulle equazioni. Inoltre è più opportuno effettuare i cambiamenti
nell'ordine delle variabili che dovessero rendersi necessari, corrispondenti allo scam-
bio di colonne della matrice, solo dopo aver effettuato tutte le necessarie opera-
zioni elementari sulle righe.
3.2 Osservazioni ed esempi
1. K = R
XI + 2X 2 + 3X 3 = 1
2X I + X 2 + 4X 3 == 2
3 XI - 3 X 2 + X 3 = 1.

3/Sistemi di equazioni lineari 41
Eseguiamo operazioni elementari sulle righe della matrice orlata:
1 2 3 l l 2 3 1
2 l 4 2 -+ O -3 -2 O -+
3 -3 l 1 O -9 -8 -2
1 2
l
1 2
3
-+
O l 2 OO 1
3
O O -2 -2 O O
Il sistema ridotto a gradini è
XI + 2X 2 + 3X 3 = l
2
X 2 +-X 3 =0
3
X 3 = 1,
che possiede l'unica soluzione
(-  ' -  ,1).
2. K = R
X 3 +2X 4 =3
2X 1 + 4X 2 - 2X 3 = 4
2X 1 + 4X 2 - X 3 + 2X 4 = 7.
3
2
3
1
I
O
l
[3.13]
Eseguiamo operazioni elementari sulle righe della matrice orlata:
O O
O O
l 2 3
1 2 -1 O 2
2 4 -2 O 4  2 4 -1 2 7 
2 4 -1 2 7
1 2 -1 O 2
-+ O O 1 2 3 -+C
O O l 2 3
l 2 3
2 -1 O
012
;) .

42
Geomelria affine
II sistema corrispondente è
XI + 2X 2 - X 3 = 2
X 3 + 2X 4 = 3.
Prendendo le variabili nell'ordine Xl' X 3 , X 2 , X 4 le stesse equazioni si riscrivono
nella forma seguente:
XI -X 3 +2X 2 =2
X 3 + 2X 4 = 3.
Abbiamo pertanto un sistema a gradini, la cui soluzione generale, che è anche
la soluzione generale del sistema [3.13], è
(Xl' X 2 , X 3 , X 4 ) = (5 - 21 - 2u, 1, 3 - 2u, u), 1, uE R.
Il sistema possiede 00 2 soluzioni.
3. K = R
X 2 - X 3 = - 1
XI + X 3 = l
2X t + X 2 + X 3 = 2.
Eseguiamo operazioni elementari sulle righe della matrice orlata:
o l -1-1
l O
l
l
l O
2 l
1  O l -1 -1 
1
l
2
2 1
l
2
1 O l l l O
I 1
-1 -1 .
O I
 O l -1 -1 -+ O I
O l -1 O O O
La terza riga corrisponde all'equazione incompatibile O = l; pertanto il sistema
è incompatibile.
4. Ogni sistema omogeneo di m equazioni in n incognite, con n > m, possiede
OON soluzioni per qualche N > n-m. Infatti il sistema è compatibile perché omo-
geneo, e il procedimento di Gauss-Jordan lo trasforma in un sistema a gradini
di p equazioni con p < m. Quindi il sistema originario possiede oon- p soluzioni
ed n - p > n - m. Vediamo un esempio.

3/Sistemi di equazioni lineari
43
K=R
XI + X 2 + 2X 3 + X 4 = O
Xl + X 2 + X 3 + 2X 4 - X 5 = O
XI + X 2 + 3 X 4 - 2X 5 = O
XI + X 2 + 3X 3 + X 5 = O.
[3.14]
Questo sistema è omogeneo; in questo caso è sufficiente considerare la matrice
dei coefficienti, anziché la matrice orlata. Eseguiamo operazioni elementari sulle
righe della matrice:
] ] 2 1 O 1 1 2 1 O
1 1 l 2 -1 O O -1 l -1
---+ ---+
l l O 3 -2 O O -2 2 -2
1 l 3 O 1 O O I -1 l
l l 2 l O
O O l -1 l -+ (:
---+
O O O O O
O O O O O
l
O
2
l
l
-1
:)
e scambiamo tra loro la seconda e la terza colonna:
C 1 2 1 :) -+ G 2 l l ).
O 1 -1 1 O -1
Otteniamo il sistema a gradini
XI +2X 3 +X 2 +X 4 =0
X 3 - X 4 + X 5 = O
che possiede 00 3 soluzioni. Pertanto la soluzione generale del sistema [3.14] è
(XI' x 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) = (- t - 3u + 2v, t, U - v, u, v) t, u, vE R.
5. Supponiamo che
A X = b,
[3.15]
A E MnO(), b E Kn, sia un sistema di n equazioni in n incognite tale che A sia inver-
tibile. Allora esso è compatibile e possiede un'unica soluzione x = t(x I ... x n ) E Kn

44
Geometria affine
data dall' espressione
x = A - Ib.
[3.16]
Infatti, sostituito nella [3.15] al posto di X il valore di x dato dalla [3.16], si
ottiene l'identità AA -Ib = b e quindi x è una soluzione. Viceversa ogni soluzione
y E Kn soddisfa A y == b: moltiplicando primo e secondo membro a sinistra per
A - I troviamo y = A - 1b = x.
La [3.16] fornisce un etodo per trovare la soluzione di un sistema [3.15] di
n equazioni in n incognite tale che A sia invertibile, purché si sappia calcolare
A - l. Tale metodo si dice metodo dell ';nversa.
Vedremo tra poco un procedimento per calcolare A - I per mezzo di operazioni
elementari sulle righe di A.
6. Una matrice elementare di ordine n è una matrice RE Mn(K) che può essere
ottenuta dalla matrice identità per mezzo di un'operazione elementare sulle righe.
Ad esempio, ognuna delle seguenti matrici è elementare di ordine 4 a elementi reali:
1 O O O l O O O 1 O O O
O O O 1 O l O O O 1 5 O
,
O O 1 O O O 2 O O O 1 O
O l O O O O O 1 O O O l
Introduciamo le seguenti notazioni per le matrici elementari di ordine n:
Rjj: matrice ottenuta scambiando tra loro l'i-esima e la j-esima riga di In;
RF(c): matrice ottenuta moltiplicando per cE K* la i-esima riga di In;
RfJ(c): matrice ottenuta sommando alla i-esima riga di In la j-esima moltipli-
cata per cE K.
Talvolta adotteremo la scrittura più semplice Rij, Rj(c) ed Rij(c) per denotare
le matrici elementari.
L'utilità di queste matrici sta nel fatto che, se A EMn.m(K), allora ogni opera-
zione elementare sulle righe di A si ottiene moltiplicando a sinistra A per la corri-
spondente matrice elementare.
La dimostrazione di quest'affermazione è lasciata al lettore.
Le seguenti identità sono di verifica immediata:
R .-: I = R ..
l) JI
Rj(c) - j := Rj(c- I)
Rjj(c) -. I := Rij( - c).
In particolare vediamo che le matrici elementari sono invertibili e hanno per
inverse matrici elementari dello stesso tipo.

3/Sistemi di equazioni lineari
45
7. Sia A E Mn(K). Le seguenti condizioni sono equivalenti:
a) A è invertibile;
b) A si può esprimere come prodotto di matrici elementari.
(a) :=) (b). Per quanto visto nell'esempio 5 il sistema omogeneo di n equa-
zioni n n incognite A X = O ha l'unica soluzione x = o. Quindi, utilizzando il pro-
cedimento di Gauss-Jordan, con operazioni elementari esso può essere trasfor-
mato in un sistema a gradini di n equazioni omogenee in n incognite, cioè della
forma
Xl + a{2 X 2 + ... + a{nXn = O
X 2 + ... + a;nXn = O
X n - J + a;-InXn = O
X n = o.
Con ulteriori operazioni elementari del tipo (111) è possibile ridurre questo
sistema nella forma X = O, cioè
X 2
==0
=0
XI
X n = o.
Tale trasformazione corrisponde alla moltiplicazione a sinistra del primo mem-
bro del sistema A X = O per il prodotto di un numero finito di matrici elementari,
cioè si ha
R(1) ... R(s) A X = X = In X
per opportune matrici elementari R(1), R(2), ..., R(s). Pertanto R(1)... R(s)A = In;
per l'unicità di A - I si ha R(I) ... R(s} = A I e quindi
A = (R(I) ... R(S» -1 = R(s)-l ... R(2)-.IR(I)-I
è un prodotto di matrici elementari.
(b)  (a). Se A è un prodotto di matrici elementari, allora è inverti bile per-
ché ognuno dei fattori lo è.
8. Siano A, BEMn(K). Se ME Mn(K), allora M e la matrice (A B)EM n 2n pos-
,
sono essere moltiplicate, e dalla definizione di prodotto righe per colonne segue che
M(A B) = (MA MB).

46
Geometria affine
Supponiamo che la matrice A E Mn(K) sia invertibile e consideriamo la matrice
(A In) E Mn 217. Moltiplicandola a sinistra per A -1 otteniamo
A -1(A In} = (In A -I).
Poiché dall'esempio 3 segue che A -I è esprimibile come prodotto di matrici
elementari, vediamo che la matrice (In A -1) pUÒ essere ottenuta a partire da
(A In) mediante operazioni elementari sulle righe.
Si ottiene così il seguente metodo pratico per stabilire se una matrice data
A E Mn(K) è invertibile e, se lo è, per trovare A -1. Si considera la matrice (A In):
se, effettuando operazioni elementari sulle sue righe, è possibile ottenere una
matrice della forma (In B), allora A è invertibile e la matrice B così ottenuta
necessariamente coincide con A - I. Se invece ciò non è possibile, allora A non
è invertibile.
Consideriamo ad esempio la matrice
c -;).
Si ha
G
1
-1
l
O
) -+ G
1 l
-3 -2
) -+
1 l l O 1 O l 1
- -
 ---+ 3 3
l 2 O 1 2 1
- - --
3 3 3
1 1
- -
Quindi A è invertibile e A-I = 3 3
2 1
- --
3 3
2 l 2 1 1
Invece la matrice non è invertibile. Infatti la non
1 l I 1 O 1
2 2
può essere trasformata in una della forma (1 2 B) con operazioni elementari.
La verifica di questo fatto è lasciata al lettore.
Consideriamo ora
1 1
A= O 1
-1 O
2
O .
1

3/Sistemi di equazioni lineari 47
Si ha
1 l 2 l O O 1 1 2 1 O O
O l O O 1 O  O 1 O O 1 O 
-1 O 1 O O l O 1 3 1 O 1
1 1 2 1 O O l O 2 1 -1 O
-+ O 1 O O l O  O 1 O O 1 O 
O O 3 l -1 l O O 3 1 -1 1
1 l 2 l O O 1 1 2
1 O O - -- -- - -- --
3 3 3 3 3 3
 O l O O 1 O  O 1 O O l O
3 1 -1 1 O O 1 1 l l
O O - -- -
3 3 3
Quindi A è invertibile e
l 1 2
- -- --
3 3 3
A' I = O l O
I 1 I
- -- -
3 3 3
Nel paragrafo 6 descriveremo un altro metodo per calcolare l'inversa di una
matrice.
Esercizi
1. Risolvere i seguenti sistemi con il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan:
a) (K = Q) X - 3 Y + 5 Z = O
2X- 4Y+2Z=O
5X-l1 Y+9Z=O
b) (K = Q) XI - 2X 2 + 3X 3 + 4X 4 + 5X 5 = O
Xl + 4X 2 + 7 X 4 + 2X s = O
XI + 4X 2 + 7 X 4 + 2X 5 = O
2X I + 2X 2 + 3X 3 + Il X 4 + 7 X 5 = O
3X) + 6X 2 + 3X 3 + 18X 4 + 9X 5 = O

48 Geometria affine
c) (K = R) XI + 2X 2 - -V2X 3 = O
3X J - (.../2 + 6)X 3 = O
- XI + X 2 + 3X 3 = - l
d) (K=C) 2X 2 + X4+5Xs=i
2X) + 2X 3 + X 4 - 3X 5 = i
X J + X 2 + X 3 +X 4 + Xs=O
e) (K = R) X 3 + 2X 4 = 3
2X 1 + 4X 2 - 2X 3 = 4
2X t + 4X 2 - X 3 + 2X 4 = 7.
2. Dimostrare che una matrice diagonale
al O
O a2
o
O
A = ·
EMn(K)
O O a n
è invertibile se e solo se a) a2 ... a n -;é O, ed in tal caso la sua inversa è
a )n ) O
O
-I
a2
O
O
AI
O
O
-)
a n
3. Calcolare 3A -, - AH -2, dove A = C
-1 ) _ ( O 2 )
, B - .
1 -1 1
4. Calcolare l'inversa, se esiste, di ognuna de.lle seguenti matrici:
l 3 -J3"
-
a) (K = Q) 3 b) (K== R)
5 2 1
-3 2
C -} ) -V2
c) (K = R) 4
O
-1 O
( :i i) ( 2:i 2- i)
d) (K = C) e) (K =: C)
-1 -2
1 6 -3 -2
1 -
f) (K = C) 2 g) (K =: Q) 5 -2 -2
1
5 -3 -1

3/Sistemi di equazioni lineari
h) (K = Q)
2 - 1
13 - lO
49
l O l
i) (K = Q) l l O
l O
-1 O O 2
O l O O
k) (K = Q) O O l
I
1 O l l
2 -5 4
2i O l
j) (K = C) O O l
l 1 l
O O O l
O O l O
l) (K = C)
O l O O
l O O O
5. Risolvere i seguenti sistemi con il metodo dell'inversa:
a) (K = Q)
b) (K = C)
c) (K = R)
Z
X+ Y--= l
2
12 Y - Z = 12
X +"3 Y = 3
iX - Y = 2i
3X - 2i Y = l
X+Z=.J2
1
X + ..J2 Y + - Z = 2.../2
2
2 .J2
-X+ 2Y+-Z=3.
2 2
6. Esprimere ciascuna delle seguenti matrici quadrate ad elementi reali come prodotto
di matrici elementari:
O 2
a) l
- O
"2
2 l O
d) l l O
O O 2
I
b) C -)
( 3 2 5 )
c) 1
l 3 O
e) 2 l l
2 -1 O

50
Geometria affine
4 Alcune nozioni di algebra lineare
Sia V' uno spazio vettori aie su K.
4.1 DEFINIZIONE Un sottoinsieme non vuoto W di V si dice sottospazio vet-
toriale di V se:
l) per ogni Wl' w 2 EW, la somma Wl + W 2 appartiene a W;
.2) per ogni wEW e per ogni cE K, il prodotto cw appartiene a W.
Le condizioni (1) e (2) della definizione 4.1 implicano che le operazioni di somma
e di prodotto per uno scalare definite in V inducono altrettante operazioni in W;
inoltre, per la proprietà (2) applicata agli scalari O, - 1, si ha rispettivamente
0= OwEW e - wEW. Quindi W soddisfa gli assiorni SV2 ed SV3. Poiché gli
altri assiorni SV1, SV4, ..., SV8 sono soddisfatti da V, essi sono a maggior ragione
soddisfatti da W. Quindi W è esso stesso uno spazio vettoriale.
È evidente che se W è un sottospazio di V e U è un sottospazio di W, allora
U è un sottospazio di V. Analogamente, se U e W sono sottospazi di V ed U C W,
allora U è un sottospazio di W.
4.2 Esempi
1. Esempi di sottospazi di un qualsiasi spazio vet.toriale V sono V stesso e il
sottoinsieme costituito dal solo O, che si denota con (O). Questi due sottospazi
sono detti sottospazi impropri o banali di V.
Sia v E V un elemento qualsiasi. L'insieme
(v) = {cv:cEK}
costituito da tutti i multipli di v costituisce un altro esempio di sottospazio di V;
la verifica è immediata ed è lasciata al lettore. Nel piano e nello spazio ordinari,
i sottospazi della forma (v) sono quelli che si ottengono fissando una retta e con-
siderando tutti i vettori ad essa paralleli.
2. Sia V = Kn, n > 2. Il sottoinsieme H 1 di V costituito dalle n-uple della
forma (O, x 2 ' ..., x n ), al variare di X 2 , ..., xnE K, è un sotto spazio vettoriale di Kn.
Infatti HI non è vuoto; inoltre, per ogni x 2 , ..., X n , Y2' ..., Y n' C E K, si ha
(O, X 2 , ..., X n ) + (O, Y2' ..., Yn) = (O, X 2 + Y2' ..., X n + Yn) E H I
c(O, X 2 , ..., X n ) = (O, CX 2 , ..., CXn)EH I .
In modo analogo si verifica che per ogni indice i compreso tra l ed n il sottoin-
sieme Di .di Kn costituito dalle n-uple il cui i-esimo elemento è uguale a O è un
sottospazio vettoriale.
Dati a 1 , ..., anE K non tutti uguali a O, sia
H = {(Xl' ..., Xn)E Kn; atx 1 + ... + anx n = O).

4/ Alcune nozioni di algebra lineare
51
Se (XI' ..., X n ), (Yl' ..., Yn)EH e CEK, allora
a 1 (X l + Yl) + ... + an(x n + Yn) = alx t + ... + anx n + a1YI + ... + anY n =
="0 + O = O
al (CX 1 ) + ... +an(cx n ) = c(aIX 1 + ... + anx n ) = cO = O,
cioè (Xl' ..., X n ) + (Yh ..., Yn) E H e c(X l , ..., x n ) E H; pertanto H è un sottospazio
vettoriale di Kn. I sottospazi H j sono casi particolari di H che si ottengono pren-
dendo ai = 1 e a j = O, se j "# i.
In modo simile il lettore può verificare che, pii! in generale, l'insieme E C Kn .
costituito dalle soluzioni di un assegnato sistema di equazioni lineari omogenee
in n incognite è un sottospazio vettoriale di Kn.
3. Sia V lo spazio vettoriale reale dei vettori geometrici dello spazio ordinario,

sia 1t un piano e P un punto di 1t. L'insieme W dei vettori di V della forma PQ
per qualche Q E 1t è un sottospazio vettoriale di V.
Infatti per ogni Q, RE 1t si ha
 
PQ + PREW,
perché il quarto vertice del parallelogramma di vertici P, Q, R appartiene a 7r,
mentre per ogni c E R e Q E 1t si ha

cPQ E W
perché la retta contenente P e Q è contenuta in 1t.
Si noti che W dipende solo da 1t e non dalla scelta del punto PE 1t utilizzato
per definirlo.
Segue subito dalla definizione 4.1 che se U e W sono due sottospazi vettoriali
di V, l'Ìntersezione U n W è ancora un sottospazio vettoriale di V.
Più in generale, /'intersezione n'EI Wl di una famiglia qualsiasi {Wl }iEI di sot-
tospazi vettoriali di V è un sottospazio vettoriale di V. La verifica è immediata
ed è lasciata al lettore.
L'unione U U W di due sottospazi non è in generale un sottospazio di V. Ad
esempio, se u e w sono due vettori non proporzionali di V, allora (u) U (w) con-
tiene i vettori U e w, ma non contiene u + w, perché questo non è multiplo né
di U né di w: (u) U (w) non soddisfa la condizione (1) della definizione 4.1.
Il sottoinsieme di V costituito da tutti i vettori della forma u + w, al variare
di o in U e di w in W, verrà denotato con U + W.
Se U l , 02EU, Wl' w 2 EW, e cEK allora
(DI + Wl) + (0 2 + wJ = (DI + O 2 ) + (Wl + w 2 )EU + W
C(OI + Wl) = CUI + CW l EU + W

52
Geomelria affine
e quindi U + W è un sottospazio vettoriale di V. Esso si chiama il sottospazio
somma dei sottospazi U e W.
Si osservi che D + W contiene U U W perché contiene tutti i vettori D = D + O
e w = O + w al variare di u E D e di w E W.
Se D (ì W = (O), allora U + W è detto somma diretta di D e W, e si denota
con U E9 W.
Ogni vettore di D Ci) W si esprime in modo unico nella forma u + w.
Infatti, se
u + w == D' + w'
per qualche D, u ' ED, w, w' EW, allora D - D' = w' - wEU n W, e quindi
u - u' == w' - w = O
,
cioè
D = u' e w = w' .
Se V = D Ci) W i sottospazi U e W si dicono supplementari in V.
Nel caso in cui U = (u), W = (w), con u, wEV non proporzionali, si ha
(u) n (w) = (O). (u) Ci) (w) consiste di tutti i vettori della forma au + bw, al
variare di a, b E K. La figur 4.1 si riferisce al caso dello spazio ordinario.
Se U e W sono due K-spazi vettoriali, il loro prodotto cartesiano U X W è un
K-spazio vettoriale se si definiscono in esso le operazioni di somma di due vettori
e di prodotto di un vettore per uno scalare nel modo seguente:
(u, w) + (D' , w') = (u + u', w + w')
a(o, w) = (au, aw)
per ogni (D, w), (u', w')EU X W, aE K. Il vettore nullo di U X W è (O, O).
Figura 4.1

4/ Alcune nozioni di algebra lineare
53
Le verifiche di questi fatti sono lasciate al lettore.
I sottoinsiemi
V' = {(u, O): n E V }
W' = (O, w): wEW}
sono due sottospazi di V x W. Si ha evidentemente
V' (ì W' = (O, O);
inoltre
(u, w) = (u, O) + (O, w)
per ogni (u, w) E V x W. Pertanto si ha
VxW=V'EeW / .
Ad esempio lo spazio vettoriale Km+n si identifica con Kn x Km, ed è somma
diretta dei due sottospazi
Kn' = (XI' x 2 , ..., X n , O, ..., O): XI' ..., XnE K}
Km' = {(O, ..., O, YI' Y2, ..., Ym): YI' ..., YmE K}.
Un procedimento per costruire sottospazi vettoriali è fornito dalla nozione di
"combinazione lineare".
Siano VI' ..., VnE V e al' ..., a n E K. II vettore
aIvI+...+anv n
[4.1 ]
si dice combinazione lineare dei vettori VI' ..., V n e al' ..., a n si dicono coefficienti
della combinazione lineare.
Se i coefficienti sono tutti uguali a O, allora la [4.1] è uguale al vettore O e si
dice combinazione lineare banale di VI' ..., V n . Ogni combinazione lineare di
v l' ..., V n in cui i coefficienti non siano tutti nulli si dice non banale.
(Attenzione: una combinazione lineare può essere non banale e tuttavia essere
uguale al vettore nullo. Questo è il caso ad esempio di Ov + aO, per ogni V E V,
a E K* . )
Le combinazioni lineari di un vettore v E V sono i suoi multipli.
Si noti che
Vi = OV 1 + ... + OV i - I + 1 Vi + OV i + 1 + ... + OV n
è combinazione lineare di V h ..., V n , i = l, ..., n.
Segue immediatamente dalla definizione 4.1 che se W è un sottospazio vetto-
, riai e di V e V l' ..., V n sono elementi di W, allora ogni combinazione lineare di
VI' ..., V n appartiene a W.

54
Geometria affine
4.3 PROPOSIZIONE Sia {VI' ..., v n } un sottoinsieme finito di vettori di V.
L'insieme (VI' ..., v n ) costituito da tutte le combinazioni lineari di VI' ..., v n è un
sottospazio vetloriale di V. Esso è uguale all'intersezione di tutti i sottospazi di
V che contengono {v l' ..., V n } ·
Dimostrazione
Se al VI + ... + a n V n e b J VI + ... + b n V n sono due elementi qualsiasi di (VI' ..., V n )
e c E K, allora
(al VI + ... + a n v n ) + (b I VI + ... + b n V n ) = (al + bI)V I + (a 2 + b 2 )V 2 + ...
... + (a n + bn)v n
e
c (a l v I + ... + a n V n) = ca l V I + ca 2 V 2 + ... + ca n V n
sono elementi di (VI' ..., v n ), e quindi (VI' ..., V n ) è un sottospazio vettoriale di V.
Denotiamo con W !'intersezione di tutti i sottospazi di V che contengono
{ VI' ..., V n}. Poiché (V l' ..., V n) è un sottospazio vettoriale contenente {v l' ..., V n} ,
si ha W C (Vi' ..., v n ). D'altra parte W, essendo un sottospazio, contiene tutte
le combinazioni lineari di suoi elementi, e quindi contiene quelle di V l' ..., V n; cioè
W ::J (V], ..., V n). In conclusione W = (V l' ..., V n) .
Chiameremo (VI' ..., V n ) il sottospazio generato da VI' ..., V n .
Osserviamo che, se 1 < m < n, il sottospazio (VI' ..., v m ) è contenuto in
(VI' ..., v n ), perché ogni combinazione lineare di VI' ..., V m è anche una combi-
nazione lineare di VI' ..., v n =
a]v) + ... + amv m = al VI + ... + amv m + OV m + 1 + ... + OV n .
,,-
Diremo che VI' ..., V n generano V, oppure che {VI' ..., V n } è un sistema di
generatori di V, se (VI' ..., V n ) = V. Quindi VI' ..., V n generano V se e solo se per
ogni V E V esistono al' . .., a n E K tali che
V = al VI + ... + anv n .
4.4 DEFINIZIONE J vettori VI' ..., vnEV si dicono linearmente dipendenti se
esistono scalari a J' ..., a n E K non tutti nulli tali che
al VI + ... + anv n = O,
o, equivalentemente, se il vettore O si può esprimere come loro combinazione lineare
non banale.
Altrimenti VI' ..., V n si dicono linearmente indipendenti.
Vediamo alcune semplici conseguenze della definizione 4.4.

4/ Alcune nozioni di algebra lineare
55
4.5 PROPOSIZIONE Un vettore v è linearmente dipendente se e solo se v = o.
4.6 PROPOSIZIONE Se VI e V 2 sono due vettori tali che v 2 sia proporzionale
a VI' cioè tali che V 2 := aVI per qualche aE K, allora VI e V 2 sono linearmente
dipendenti.
Infatti aVI - V 2 = O è una loro combinazione lineare con coefficienti a e - l,
e quindi non entrambi nulli.
Viceversa, se VI e V 2 sono due vettori linearmente dipendenti, allora uno di essi
è multiplo dell'altro. Infatti al VI + a 2 V 2 = O, cioè a 2 V 2 := - al VI' con al' a 2 non
entrambi uguali a O, implica, supponendo ad esempio a 2  O, che V 2 = aVI' dove
-I
a := - al a 2 ·
4.7 PROPOSIZIONE V l' ..., V n E V, n > 2, sono linearmente dipendenti se e solo
se uno almeno di essi si può esprimere come combinazione lineare dei rimanenti.
Infatti, se VI' ..., V n sono linearmente dipendenti, allora
o == al VI + ... + a n V n '
con ai  O per qualche i; quindi
ai Vi = - (al VI + ... + ai-I Vi_I + a i + I V i + 1+ ... + a n V n )
cioè
V j = -aj-I(aIV I +... + ai-1v i - I +ai+lv i + 1 +... +anv n )==
_ -I -I 1 -I
- - a j al VI - ... - ai ai-Iv i - l - ai ai+1v i + 1 - ... - ai anv n .
Viceversa, se per qualche i
V j = bIVI + ... + bi-1V i - I + bi+IV i + 1 + ... + bnv n ,
allora
O = b l VI + ... + b i - 1 V i - I - Vi + b i + I V i + I + ... + b n V n
e quindi V l' ..., V n sono linearmente dipendenti.
4.8 PROPOSIZIONE Se l'insieme {VI' ..., v n } contiene il vettore O, allora
VI' ..., V n sono linearmente dipendenti.
Supponiamo infatti che si abbia Vi == O per qualche i compreso tra l ed n.
Allora si ha
OV I + ... + OV i - 1 + 1 Vi + OV i + 1 + ... + OV n = Vi == O,
e O è una combinazione lineare non banale di v l' ..., V n.
Si può anche osservare che Vi == O può essere espresso come combinazione
lineare di VI' ..., Vi-I' V i + H ..., v n ' la loro combinazi,?ne lineare banale, e quindi
VI' ..., V n sono linearmente dipendenti per la proposizione 4.7.

56
Geometria affine
4.9 PROPOSIZIONE Se {VI' ..., v n } sono linearmente indipendenti e l < m < n,
allora {Vi' ...., vml sono linearmente indipendenti. Equivalentemente, se {vI' ...,
V m} sono linearmente dipendenti, allora anche {v l' ..., V n} sono linearmente
dipendenti.
Dimostriamo la seconda affermazione. Se VI' ..., V m sono linearmente dipen-
denti, allora
O=atv l +... +amvm=aIv I +... + amv m + OV m + 1 + ... +Ov n
per qualche scelta di al' ..., amE K non tutti nulli, e quindi il terzo membro è una
combinazione lineare non banale di v l' ..., V n che è uguale a O, cioè V l' .., V n sono
linearmente dipendenti.
4.10 PROPOSIZIONE Se VI' ..., V n sono linearmente indipendenti, e al' ..., a n ,
b l , ..., bnE K sono tali che
al VI + ... + anv n = bIVI + ... + b n V n ,
allora al = b h a 2 = b 2 , ..., a n = b n .
Infatti, essendo
o = aIv I + ... + a n V n - (bIVI + ... + b n V n ) = (a 1 - bl)V I + ... + (a n - bn)v n
si deve avere a 1 - b I = a 2 - b 2 = ... = a n - b n == O.
4.11 DEFINIZIOE Un sottoinsieme finito {VI'...' V n} di V si dice base finita, o
semplicemente base, di V se VI' ..., V n sono linearmente indipendenti e generano V.
Se {VI' ..., V n } è una base, allora, poiché VI' ..., V n generano V, per ogni vE V
esistono al' ..., a n E K tali che
V = al VI + ... + a n v n ;
[4.2]
inoltre, per la proposizione 4.10, al' ..., a n sono univocamente determinati da v.
I coefficienti al' ..., a n della combinazione lineare [4.2] si dicono le coordinate
di V rispetto alla base {VI' ..., "Il}' e (al' ..., a n ) si dice la n-upla delle coordinate
di v. Quindi, una volta assegnata una base {v l' ..., V n} di V, ad ogni vettore V E V
viene univocamente associata una n-upla di coordinate; viceversa ogni n-upla
(al' ..., a n ) E Kn individua univocamente il vettore [4.2] di cui essa è la n-upla delle
coordinate.
Un vettore V di coordinate al' ..., a n verrà spesso denotato con v(a I , ..., a n ).
Lo spazio vettoriale {O} costituito dal solo vettore O non possiede una base
finita, perché il suo unico elemento è linearmente dipendente. Non tutti gli spazi
vettoriali diversi da {O} possiedono una base finita (cfr. esempio 4.15(5».
Dimostreremo tra poco che se uno spazio vettoriale V possiede una base costi-

4/ Alcune nozioni di algebra lineare
57
tuita da n elementi, ogni altra base ha lo stesso numero n di elementi. Questo risul-
tato fondamentale è conseguenza del teorema seguente.
4.12 TEOREMA Sia {VI' ..., V n } un sistema di generatori di V e siano Wl' ....,
W m elementi di V. Se m> n, allora Wl' ..., W m sono linearmente dipendenti.
Dimostrazione
Per la proposizione 4.9, se Wl' ..., W n sono linearmente dipendenti lo sono
anche Wl' ..., W m . Pertanto non sarà restrittivo dimostrare l'asserto supponendo
che Wl' ..., W n siano linearmente indipendenti. Sarà sufficiente dimostrare che
Wl' ..., W n generano V, perché da ciò seguirà che W m può esprimersi come loro
combinazione lineare, e quindi dalla proposizione 4.7 seguirà la dipendenza lineare
di Wl' ..., W m .
Dall'ipotesi che VI' ..., V n generano V si deduce che esistono scalari aH ..., Qn
tali che
wl=alI+". +anv n .
Poiché abbiamo supposto che Wl' ..., W n siano linearmente indipendenti, Wl
è diverso da O e quindi i coefficienti al' ..., a n non sono tutti nulli. Salvo rinu-
merare VI' ..., V n , possiamo supporre al  O. Pertanto:
_ -I -l
VI - al Wl - al a 2 v 2
-I
- al anv n ,
cioè VI E (w}, v 2 , ..., v n ). Poiché ovviamente anche v 2 , ..., VnE (Wl' V 2 , ..., v n ),
si ha
(Wl' V 2 , ..., V n )-:) (VI' V 2 , ..., V n ) = V,
cioè Wl' V 2 , ..., V n generano V.
Supponiamo ora che per qualche 1 < S:5 n - l si abbia
( W l' ..., w s' V s + l' ..., V n) = V. -
[4.3]
Segue da ciò che esistono scalari b 1 , ..., b s , CS-i l' ..., c n tali che
W s+] = b I W I + ... + b s W s + C s + I V s + I + ... + c n V n.
Poiché Wl' ..., W s ' W s + 1 sono linearmente indipendenti, uno almeno dei coeffì-
cienti C.+ l' ..., c n deve essere diverso da o: salvo rinumerare V s+ l' ..., V n se neces-
sario, possiamo supporre C s + l ;é O. Deduciamo che
- -I b -I b + --I
V s + 1 - - +I IW I - .... - C s + I sW s Cs+IW s + 1 -
- I
-=- C s + I C n V n'
e quindi v s + 1 E (Wl' ..., w s , wst-I, v s + 2 , ..., v n ) (rispettivamente, VnE (Wl' ..., W n )
se s = n-l). Pertanto si ha
(Wl' ..., w s ' w s + 1 , v s + 2 , ..., v n ) :) (Wl' ..., W p V s + I ' ..., V n ) = V
cioè Wl' ..., W s , W s + I ' V s + 2 , ..., v n (rispettivamente Wl' ..., w n ) generano V.

58
Geometria affine
Abbiamo già dimostrato che l'ipotesi [4.3] è vera se s = l; la conclusione segue
allora per induzione su s.
4.13 COROLLARIO Siano {VI' ..., V n } e {Wl' ..., w m } due basi dello spazio
vettoriale V. Allora m = n.
Dimostrazione
Poiché VI' ..., V n generano V e Wl' ..., W m sono linearmente indipendenti, dal
teorema 4.12 segue che m < n. D'altra parte, poicné Wl' ..., w m generano V e
VI' ..., V n sono linearmente indipendenti, dallo stesso teorema segue che anche
n :5 m. Quindi m = n.
4.14 DEFINIZIONE Se il K-spazio vettoriale V possiede una base finita
{ v l' ..., V n}' il numero n si dice la dimensione di V, e si denota con dim K (V), o
semplicemente dim (V). Se V = {O} consiste del solo vettore nullo, si pone
dim(V) = o.
Se V = {O}, oppure V possiede una base finita, diremo che V ha dimensione
finita.
Dal corolIario 4..13 segue che la definizione di dimensione è ben posta perché
il numero di elementi di una base dipende solo da V.
4.15 Esempi
1. Sia V = OP un vettore geometrico non nullo della retta ordinaria. Poiché
ogni altro vettore geometrico è multiplo di v, {v} è una base dello spazio dei vet-
tori geometrici della retta ordinaria, il quale quindi ha dimensione l.
Sia V lo spazio vettoriale reale dei vettori geometrici del piano ordinario, e siano
VI e V 2 due vettori non proporzionali di V, che penseremo applicati in uno stesso
punto O, rappresentati nella forma
--+ 
VI = OP h v 2 = OP 2
per opportuni punti P I e P 2 (fig. 4.2). Dalla proposizione 4.6 segue che VI e V 2
sono linearmente indipendenti. Denotiamo con l (con Z,2) la retta contenente i
punti ° e P 1 (i punti O e PJ.

Sia v = OPEV un vettore qualsiasi. Detto Qr (rispettivamente QJ il punto di
intersezione con z.} (con Z,2) della retta parallela a Z,2 (a Z,l) e passante per P, sia
 -+-+-+
OQI = al OP I e OQ2 = a 2 0P2 per opportuni al' a 2 E R.
Poiché
-+  ---+ -+
V = OQI + OQ2 = aIOP 1 + a 2 0P 2 = al VI + a 2 v 2
vediamo che V è combinazione lineare di VI e di V 2 e che quindi Vi' V 2 generano
V. Dunque {VI' V 2 "} è una base di V. Pertanto V ha dimensione 2.

4/ Alcune nozioni di algebra lineare
59
Figura 4.2
---+-  ---+-
Nello spazio ordinario tre vettori geometrici VI = OPI' V 2 = OP2' V 3 == OP 3
sono linearmente indipendenti se e solo se i punti O, P I , P 2 , P 3 non giacciono in
uno stesso piano: ciò segne subito dal fatto che la dipendenza lineare di VI' V z ,
V 3 equivale all'essere uno di essi combinazione lineare dei rimanenti. Se VI' V z , V 3
sono linearmente indipendenti, allora, con una costruzione simile a quella illu-
strata dalla figura 4..2 nel caso del .piano ordinario, si verifica che ogni vettore
geometrico si può esprimere come loro combinazione lineare. Quindi {v l' V 2' V 3 }
è una base, e i vettori geometrici dello spazio ordinario costituiscono uno spazio
vettoriale reale di dimensione 3.
2.. Sia n > 1. Consideriamo lo spazio vettoriale numerico Kn, e siano
E 1 = (1, O, ..., O),
E 2 == (O, 1, O, ..., O),
...,
En = (O, ..., O, 1).
I vettori E I , ..:' En generano Kn. Infatti per ogni (Xl' ..., Xn)E Kn si ha
(XI' ..., X n ) = Xl E} + x2Ez + ... + XnEn.
[4.4]
Inoltre, essendo (XI' ..., X n ) = O se e solo se XI = X 2 = ... = X n = O, segue dalla
[4.4] che E 1 , ..., En sono linearmente indipendenti.. Quindi {E I , ..., En} è una base
di Kn e Kn ha dimensione n.
{ E 1 , ..., En} si chiama la base canonica di K n .
Per n = 1 otteniamo che il campo K, considerato come uno spazio vettoriale
su sé stesso, ha dimensione 1, la sua base canonica essendo costituita dal solo 1 E K.
Dalla [4.4] segue che le coordinate di un vettore (XI' ..., x n ) rispetto alla base
canonica coincidono con le sue componenti XI' ..., Xn.
3. Siano A EMmn(K), X = t (XI X 2 ... X n ) indeterminate, e
AX == O [4.5]
il sistema omogeneo, di m equazioni nelle incognite X, la cui matrice dei coeffi-

60
Geomelria affine
ci enti è A. Denotiamo con Eo l'insieme delle soluzioni del sistema. Come
abbiamo già osservato nell'esempio 4.2(2), Eo è un sottospazio vettoriale di Kn.
Le m equazioni [4.5] si dicono equazioni cartesiane del sottospazio Eo di Kn.
Quindi, per definizione, due diversi sistemi di equazioni lineari omogenee nelle
incognite X sono equivalenti se e solo se sono equazioni cartesiane dello stesso
sottospazio di K n .
Gli elementi di Eo possono interpretarsi come relazioni di dipendenza lineare
tra le colonne A(1)' A(2)' ..., A(n) di A, considerate come vettori di Km. Infatti
x == t (XI X 2 x n ) E Kn è soluzione di [4.5] se e solo se A x = O, o, equivalen-
temente, se e solo se
A(I)x 1 + A(2)X 2 + ... + A(n)x n = O.
4. Consideriamo un sistema di m equazioni lineari omogenee a gradini:
ali XI + a I2 X 2 + ...
a 22 X 2 + ...
+ Q1nXn = O
+ a 2n X n == O
[4.6]
ammX m + ... + amnX n = O,
alI 022 ... a mm # O. Se n == m, il sistema [4.6] ammette solo la soluzione banale.
Se n> m le oon-m soluzioni di questo sistema sono ottenute dando valori arbi-
trari alle incognite X m + l , ..., X n , e risolvendo il corrispondente sistema di m equa-
zioni nelle X)' ..., Xm. Consideriamo in particolare le n - m soluzioni
sm+1 = (sm+l1' sm+I2, ..., sm+lm' I, O, ..., O)
sm+2 == (sm+21' sm+22' ..., sm+2m, O, l, O, ..., O)
sn == (Sn l' Sn2,
· . ., Snm'
o, ..., O,
I)
ottenute in corrispondenza alle (n - m)-uple
(t m + l , lm+2' ..., 'n) = (I, O, ..., O), (O, l, O, ..., O), ..., (O, ..., O, l)
rispettivamente.
Per ogni lm+l' t m + 2 , ..., lnEK si ha
t m + I S m + 1 + t m + 2 S m + 2 + ... + tns n == (t m + 1 S m + 1I + ... + tns nl , t m -+ I S m+12 + ...
... + In s n2' ..., tm+Ism+lm + ... + tns nm , t m + I , 'm+2' ..., In). [4.7]
II secondo membro è uguale a (O, ..., O) se e solo se t m + 1 = Im+2 = ... = t n = o.
Quindi sm+l' Sm-t 2' ..., Sn sono linearmente indipendenti.
Il secondo membro della [4.7] è la soluzione del sistema [4.6] che corrisponde
alla .scelta dei valori t m + l' I m + 2 , ..., 'n per le incognite X m + l' ..., X n ; la [4.7] mostra
che tale soluzione è combinazione lineare di Sm+ l' Sm+2' ..., sn. Quindi sm+ l'

4/ Alcune nozioni di algebra lineare
61
Sm+2' ..., sn generano lo spazio Eo delle soluzioni del sistema [4.6]. Segue che
{Sm+I' Sm+2' ..., sn} è una base di 1:0. In particolare, dim{Eo) = n-m. Pertanto
l'infinità delle soluzioni del sistema omogeneo a gradini [4.6], così come è stata
definita nel paragrafo 3, coincide con la dimensione dello spazio delle sue soluzioni.
Più in generale, poiché ogni sistema di equazioni lineari omogenee [4.5] è equi-
valente a un sistema a gradini, abbiamo che l'inlinità delle soluzioni di un sistema
di equazioni lineari omogenee è uguale alla dimensione dello spazio delle sue
soluzioni.
5. Sia X un'indeterminata. Il K-spazio vettoriale K [X] dei polinomi in X a coef-
ficienti in K non ha dimensione finita.
Supponiamo infatti per assurdo che esista una base finita (J; (X), ..., In (X) }
di K[X]. Detti di' ..., d n i gradi di ft(X), ..., fn(X) rispettivamente, poniamo
D=max(d 1 ,..., d n }, e sia f(X) un polinomio di grado d>D. Poiché
{J; (X)}, ..., h(X)} è una base, esistono al' ..., a n E K tali che
f(X) = a 1 h(X) + ... + anfn(X).
Ma il polinomio a secondo membro ha grado non superiore a D e quindi non
può essere uguale a f(X). Questa contraddizione implica che la base finita
{Il (X), ..., In(X)} non esiste.
In modo simile si dimostra che il K-spazio vettoriale K [XI' ..., Xn] dei poli-
nomi nelle indeterminate XI' ..., X n a coefficienti in K non ha dimensione finita.
6. Per un qualsiasi intero positivo d, lo spazio vettoriale K [Xl' ..., Xn]d costi-
tuito dai polinomi omogenei di grado d in XI' ..., X n a coefficienti in K e dal poli-
nomio O possiede una base finita: ad esempio quella costituita da tutti i monomi
monici di grado d. Quindi K[X I , ..., Xn]d ha dimensione finita uguale a
(d + ; -1), per il lemma A.1I; in particolare lo spazio vettoriale K[X), ..., Xn])
dei polinomi omogenei di primo grado in XI' ..., X n ha dimensione n.
7. Lo spazio vettoriale Mmtn(K) delle matrici m x n a elementi in K ha dimen-
sione mn. Consideriamo infatti, per ogni 1 < i < m, 1 < j < n, la matrice lij che
ha 1 nel posto i, j e ogni altro elemento uguale a o. Otteniamo così un insieme
di nm matrici {1 11 , 1 12 , ..., lmn}, che costituisce una base di Mm,n(K). Infatti, se
A :::: (aij) E Mm.n(K), allora in modo unico si ha
A = a Il l Il + a 12 1 12 + ... + a mn 1 mn.
4.16 PROPOSIZIONE Supponiamo che dim(V) = n.
1) Se v l' ..., V n E V sono linearmente indipendenti, (v l' ..., V n} è una base di V.
2) Se VI' ..., vkE V sono linearmente indipendenti, esistono v k + l' ..., VnE V tali
che {VI' ..., V n} sia una base di V.

62
Geometria affine
Dimostrazione
l) È sufficiente mostrare che (v l' ..., V n> == V. Per ipotesi esiste una base
{ b), ..., b n } di V, e ciò implica, per il teorema 4.12, che per ogni v E V i vettori
VI' ..., V n , V sono linearmente dipendenti. Pertanto esistono ah ..., a n , aE K non
tutti nulli tali che
QIVI+". +OnVn+av=O.
Poiché VI' ..., V n sono linearmente indipendenti, deve essere a  o. Quindi si ha
-1 -1
V= -a al VI -... -a anV n ,
cioè vE (VI' ..., v n ). Essendo vE V arbitrario, si ha l'asserto.
2) Per il teorema 4.12 deve essere k < n. Se k = n la conclusione segue dalla
parte (1); supponiamo dunque k < n.
VI' ..., v k non possono generare V, altrimeni si avrebbe una base costituita da
k  n elementi, il che contraddirebbe il corollario 4.13. Pertanto possiamo tro-
vare un vettore V k; I E V " (v l' ...., V k ) ·
Supponiamo che al' ..., a k , 0k+I E K siano tali che
al VI + ... + akv k + a k + 1 V k + I = o.
Deve essere a k + I = O, perché se fosse a k + I  O si avrebbe
-I -I
V k+ l = - ak+ I al VI - ... - a k + 1 0k V k,
cioè v k + I E (VI' ..., v k ), il che è contro l'ipotesi; pertanto si deve anche avere
al = ... = a k = O, perché v!' ..., V k sono linearmente indipendenti. Dunque i vet-
tori V l' ..., V k' V k+ l sono linearmente indipendenti.
Se k + l = n si conclude, per la parte (1), che {VI' ..., V k ' V k + l } è una base, e
l'asserto è provato; se invece k + l < n possiamo ripetere il ragionamento prece-
dente e trovare V k + 2 EV tale che {VI' ..., V k , V k + I ' V k + 2 } siano linearmente indi-
pendenti. Iterando questo procedimento n - k volte è possibile trovare V k+ l'
V k + 2' ..., V n E V tali che {v h ..., V n} siano linearmente indipendenti. Per la (1),
{ V H ..., V n} è una base, e l'asserto è provato.
4.17 COROLLARIO Se dim(V) = n, ogni sottospazio vettoriale W di V ha
dimensione finita non superiore ° n.
Dimostrazione
Per il teorema 4.12, per ogni sottoinsieme finito {Wl' ..., wmJ di W costituito
da vettori linearmente indipendenti deve essere m :5 n. Quindi, se W ha dimen-
sione finita, ogni sua base deve essere costituita da non più di n elementi, cioè
dim(W) < n. D'altra parte, se W non avesse dimensione finita, per ogni sottoin-
sieme finito {w l' ..., W m} di vettori linearmente indipendenti di W si avrebbe
(Wl' ..., W m )  W, e quindi esisterebbe W m + 1 EW tale che Wl' ..., W m , W m + I siano

4/ A lcune nozioni di algebra lineare
63
linearmente indipendenti (cfr. dimostrazione di 4.16(2». Ciò implica l'esistenza
di insiemi finiti di vettori linearmente indipendenti di V con un numero arbitra-
riamente alto di elementi, il che è impossibile per il teorema 4.12.
Se in particolare dim(W) = O oppure n, allora W = (O) oppure W = V rispet-
tivamente.
Per ogni sottospazio vettoriale W di V, il numero
dim (V) - dim (W)
si dice codimensione di W in V.
Dimostreremo ora un'importante formula che mette in relazione le dimensioni
di due sottospazi, della loro intersezione e della loro somma.
4.18 TEOREMA Siano U e W due sottospazi di dimensione finita dello spazio
vettoriale V. Allora U (ì W e U + W hanno dimensione finita e
dim(U) + dim(W) = dim(U + W) + dim(U (ì W).
[4.8]
In particolare, U + W è somma diretta di U e W se e solo se
dim(U + W) == dim(U) + dim(W).
Dimostrazione
U n w è un sottospazio di U, che ha dimensione finita, e quindi anche U n W
ha dimensione finita. Sia dunque {Zl' ..., Zq} una base di U n W. Per la proposi-
zione 4.16(2) esistono DI' ..., 0lEU e Wl' ..., wsEW tali che {ZI' ..., Zq, DI' ..., D l }
sia una base di U e {Zl'...' Zq' W l' ..., w s } sia una base di W. Poiché
dim(U) + dim(W) - dim(U (ì W) = q + t + s,
per dimostrare la prima parte del teorema sarà sufficiente dimostrare che
{ZI' ..., Zq, DI' ..., D" Wl' ..., w s } è una base di U + W.
Sia 0+ WEU + W. Esistono scalari al' ..., a q , a, ..., a, b I , ..., b" CI' ..., C s
tali che
u == al Zl + ... + aqZ q + b I U 1 + ... + b, D,
W == a Z1 + ... + aZq + Cl Wl + ... + CsW s .
Si ha quindi
D + W == (al + a)ZI + ... + (a q + a)Zq + bID I + ... + blu t + CI Wl + ...
... + C s W s.
Dunque ZI' ..., Zq' DI' ..., DI' Wl' ..., W s generano U + W.
Supponiamo ora che al' ..., a q , b I , ..., b" CI' ..., csE K siano tali che
alzI + ... + aqz q + blU] + ... + btU, + C 1 W I + ... + CsW s == O.
[4.9]

64
Geometria affine
Dalla [4,,9] segue che
CI Wl + ... + CsW s := - (al ZI + ... + aqZ q + b l DI + ... + blu r ).
[4.10]
Poiché il primo membro della [4.10] appartiene a W, il secondo membro sta in
un W. Essendo {ZI' ..., Zq} una base di U n W, si ha
alzI + ... + aqz q + b1u I +... +b,u{=e1z l +... +eqz q
per opportuni e l , ..., eqE K, o, equivalentemente,
. -(à I - eI)zI + ... + (a q - eq)zq + blu l + ... + btU t = O.
Per l'indipendenza lineare di ZI' ..., Zq' UI' ..., D, tutti i coefficienti sono O, e in
particolare b l = ... = b, = o. Per la [4.9] si ha dunque
alzI + ... + a q Zq + C l Wl + ... + C s W s = O.
DaII'indipendenza lineare di ZI' ..., Zq, W l' ..., W s segue che anche
al = ... = a q = CI = ... = C s = o.
Quindi ZI' ..., Zq' DI' ..., 01' Wl' ..., W s sono linearmente indipendenti.
L'ultima asserzione del teorema segue immediatamente dalla [4.8] e dalla defini-
zione di somma diretta.
La [4.8] è detta formula di Grassmann vettoriale.
Esercizi
1. Stabilire quali dei seguenti insiemi di vettori sono linearmente indipendenti, quali sono
un sistema di generatori dello spazio, e quali costituiscono una base:
In R2:
a) {( l, 123), (- 7r, - 7r)}
c) {(4/5, 5/4), (4,5)}
b) (2, -1/3), {-I, 1/6»)
d) {(l, 2), (11, -7-V2), (-1, l»).
In R3:
e) {(I, l, 3), (2, 2, O), (3, 3, - 3)}
f) {(l, - l, - -J5), (1, l, -J5), (O, l, 2-J5)}
g) {{I, O, O), (I, l, l), (O, 1,2), (-l, - 2, - 3)}.
In Col:
h) {(I, O, i, O), (i, O, i, O), (O, l, l, O), (O, i, O, i»)
i) {(O, 1, l, O), (O, - i, - 2i, l), (O, i, O, l), (1, O, O, O)}
2. Dimostrare che le matrici
l
:), C:
l
:), C
-2
O
) EM 2 ,3(Q)
c
O
O
sono linearmente indipendenti.

4/ Alcune nozioni di algebra lineare
65
3. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi di R 3 sono sottospazi vettoriali:
a) {(O, O, O») b) {(x, O, O): xE R, x;é O)
c) {(x, y, z): x - 2y + Z = l ) d) {(I, t, l): O  1  I }
e) {(t, l, t): O < t < l } f) R 3 \ {(O, O, l)}
g) HI U H 2 U H 3 , dove H i = f (x t, X2, X3): Xi = O}
h) {(x, y, z): x 2 + y2 + Z2 = l }
i) {(x,y, z):x+y-5z=0, 2(x+y)=} j) {(t, l, t): tER}.
4. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3, e sia {i, j, k} una base di V. Siano
U = <i + j, i - j), W = <j + k, j - k). Dimostrare che V = U + W, e che la somma
non è diretta.
5. Dimostrare che R 4 = U EB W, dove
U = «1, O, - .J5, O), (.J-S, O, -1, O»,
W = «O, - 2, O, 3), (O, I, O, l»,
6. Dimostrare che R 3 = U EB W, dove
U = {(x, y, z): x - y = O},
W = «I, O, l».
7. Utilizzando esclusivamente operazioni elementari sui vettori, trovare una base del sot-
tospazio di Q4 generato dai seguenti vettori:
v) =(1, 1,2,3), v2=(3, 2, l, O), v3=(-1, 0,3,6), V4 == (2, 2, 2, 2).
8. Dimostrare che gli n vettori
(1, l, ..., l), (O, I, ..., l), (O, O, l, ..., l), ..., (O, ..., O, l, l), (O, ..., O, l)
costituiscono una base di K n .
9. Sia V un K-spazio vettoriale. Si supponga che VI, ..., Vk E V siano linearmente
indipendenti; dimostrare che Al v h ..., Ak V k sono linearmente indipendenti per ogni
Ah ..., AkE K*.
IO. Sia l < i < n. Determinare una base del sottospazio H i di Kn.
Il. Dimostrare che GLn(K) non è un sotto spazio vettoriale di Mn(K).
12. Sia A = (ai) E Mn(K). La traccia di A è
tr(A) = alI + a22 + ... + a nn .
Dimostrare che il sottoinsieme - di M n (K) costituito dalle matrici aventi traccia
uguale a O è un sottospazio vettoriale, e calcolarne la dimensione.
13. Le matrici di M 2 (C)
E, = C ), E 2 = C -), E 3 = C -:)
5

66
Geometria affine
--Si dicono matrici di Pauli. Dimostrare che:
a) Ef = E == E = 1 2
E I E 2 = iE3
E2E3 = iE]
E3 E) == iE 2
E 2 E 1 = - iE3
E3E2 = - iE I
EI E3 = - iEz.
b) (1 2 , Eh E 2 , E 3 } è una base di M 2 (C).
Calcolare le coordinate in tale base delle matrici
IJI=( :). 112=(: ).
1 21 = (  : ). b = (:  ) .
14. Dimostrare che lo spazio vettori aIe SK delle successioni di elementi di K non ha dimen-
sione finita.
15. Dimostrare che l'insieme L R delle successioni limitate di numeri reali costituisce un
sottospazio vettoriale dello spazio SR. Dimostrare che L R non ha dimensione finita.
16. Sia SK lo spazio vettoriale delle successioni di clementi di K, e sia P K il sottoinsieme
di SK costituito dalle successioni {a n } tali che a n = O per tutti gli n sufficientemente
grandi. Dimostrare che P K è un sottospazio vettoriale di SK.
17. Siano a, bER, a < b. Dimostrare che lo spazio vettoriale C(D.b} di tutte le applicazioni
continue dell'intervallo (a, b) in R non ha dimensione finita.
18. Sia X un 'indeterminate ed;?: 1 un intero. Dimostrare che il sottoinsieme K [X Jd di
K [X] costituito dai polinomi di grado non superiore a d e dal polinomio O è un sotto-
spazio vettori aIe di dimensione d + l.
19. Dimostrare che i polinomi omogenei di secondo grado
X, xi + X, X + Xf + X, XoX), XI X 2 , XOX2
costituiscono una base di K [Xo, X h X 2 ]2.
20. Siano W o , W 01, W 012 i seguenti sottoinsiemi di K [Xo, XI' X 2 ]2:
W o = {FE K[Xo, XI' X 2 ]2: F è divisi bile per X o };
W o ) = (FEK[X o , Xl, X Z ]2: F=XoLo+XILI per qualche Lo, L 1 EK[X o , X h X 2 ]1};
W OIz = {FEK[X o , X h X 2 h: F==XoLo+XILI +X 2 L 2 per qualche Lo, LhL2EK[Xo,
XI, X 2 ]d.
Dimostrare che W o , W 01 e W 012 sono sottospazi vetoriali di K [Xo, Xl, X 2 h e calcolarne
la dimensione.
21. Una successione {a n } di elementi di K è una successione di Fibonacci se per ogni n > O
si ha a n +2 = a n + ani I. Dimostrare che le successioni di Fibonacci costituiscono un sot-
tospazio vettoriale F K di SK, e che dim (F K ) = 2.

5/Rango
67
5 Rango
Il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan, molto utile in pratica per risplvere
sistemi di equazioni lineari, non si presta troppo bene ad essere utilizzato in que-
stioni teoriche, in cui è preferibile avere criteri generali di risolubilità espressi attra-
verso le matrici associate al sistema. Criteri di questo tipo possono essere ottenuti
in modo naturale per mezzo della nozione di "rango".
Se V è un K-spazio vettoriale, e {v l' ..., V m} è un sottoinsieme finito di V, il
rango di {VI' ..., V m} è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti
appartenenti a {V}, ..., V m}. Equivalentemente, il rango di {V l' ..., V m} è la dimen-
sione del sottospazio vettoriale (Vi' ..., V m ).
Se A E Mm,n(K), il rango per righe di A è il rango dell'insieme delle sue righe,
cioè il massimo numero di righe linearmente indipendenti di A, considerate come
vettori di Kn. Analogamente si definisce il rango per colonne di A.
L'utilità di queste nozioni deriva dal seguente risultato.
5.1 TEOREMA Il rango per righe e il rango per colonne di una matrice
A E Mm,n(K) coincidono.
Dimostrazione
Siano r il rango per righe" e c il rango per colonne di A. Se r = O, allora tutti
gli elementi di A sono nulli e quindi anche c = O. Pertanto possiamo supporre r> O.
Una relazione di dipendenza lineare tra le colonne di A è una soluzione non
banale del sistema omogeneo
AX=O
[5.1]
dove X = t (XI ... X n ). Pertanto il rango per colonne di A è individuato dall'in-
sieme delle soluzioni del sistema [5.1]. Se le righe di A si dispongono in ordine
diverso, c non cambia perché un cambiamento nell'ordine delle equazioni del
sistema, cioè una successione di operazioni elementari (I), non influisce sull'in-
sieme delle sue soluzioni. Neanche r cambia se si riordinano le righe di A, perché
il rango di un insieme di vettori non dipende dal loro ordine.
Pertanto non è restrittivo supporre che le prime r righe di A siano linearmente
indipendenti. La matrice
a I1 a 12 a 1n
a 21 a 22 a 2n
A*=
arI a r2 a rn
ha rango per righe uguale a r.

68
Geomelria affine
Consideriamo il sistema
A*X=O
[5.2]
e sia (XI' ..., x n ) una sua soluzione. Se r < m, allora per ogni i = r + 1, ..'-, m
l'i-esima riga di A è combinazione lineare delle righe di A *, e quindi si ha
aiIx I + .... + ainX n == al (alI XI + .... + a1nx n ) + ... + ar(arJx 1 + ... + arnx n ) =
=0+...+0=0
per opportuni al' ..., arE K. Pertanto (XI' ..., x n ) è anche soluzione di [5.1]. Vice-
versa è ovvio che ogni soluzione di [5.1] è soluzione di [5.2], che è un suo sotto-
sistema. In conclusione [5.1] e [5.2] sono equivalenti, e quindi il rango per colonne
di A* è uguale a c. Poiché le colonne di A* sono vettori di Kr, si ha c < r.
Ragionando allo stesso modo su tA si deduce che anche r < c, e l'asserto è
provato.
Il valore comune del rango per righe e del rango per colonne di A si dice
rango di A e si denota con r(A). È evidente che r(A) < min(m, n) per ogni
A EMm.n(K).
La proposizione seguente afferma che le operazioni elementari sulle righe di
una matrice non ne modificano il rango.
5.2 PROPOSIZIONE Sia A EMm,n(K). Se BEMm,n(K) è ottenuta da A mediante
una successione di operazioni elementari sulle righe, allora r(A) = r(B).
Dimostrazione
È sufficiente dimostrare l'asseTto nel caso in cui B è ottenuta da A mediante
una sola operazione elementare sulle righe. Se B è ottenuta da A per mezzo di
, . l t (I) l . h A (l) A (1) A (s) A (m)
un operaZIone e emen are , e sue rlg e sono , ..., , ..., , ..., per
qualche l < s < t :s m, e quindi si ha
(A (1), ..., A (I), ...., A (5), ..., A (m» = (A (I), ..., A (m»,
cioè r(A) = r(B), perché il rango di un insieme di vettori non dipende dall'ordine
in cui si considerano.
Se si è effettuata un'operazione elementare (Il), le righe di B sono A (I), ...
..., cA (l), ".., A (m) per qualche cE K* e 1  t:5 m, e si ha evidentemente
(A (1\ ..., cA (l), ..., A (m» = (A (1\ ..., A (m»,
cioè ancora r(A) = r(B).
Se l'operazione elementare è del tipo (111), le righe di B sono A (1), ..., A (s- J),
A (s) + cA (I), A (s+ I), ..., A (m>, per qualche cE K e 1 < s, t '5: m, s # t; poiché tali
righe sono combinazioni lineari di A (1), ..., A (m), si ha
(A(J), ..., A(S-I), A(S) + cA(t), A(s+l), ..., A(m» C (A (I), ..., A(m».

5/Rango
69
D'altra parte
A (s) = (A (s) + cA (l» - cA (t)
e quindi è vera anche l'inclusione opposta:
(A(1), ..., A(s-J), A(s) + cA(t), A(s+l), ..., A(m» :J (A (l), ..., A(m»,
e di nuovo r(A) = r(B).
5.3 PROPOSIZIONE
l) Se A e B sono due matrici che possono essere moltiplicate, allora
r(AB) < min(r(A), r(B».
2) Se A E GLm(K), BEMmn(K), CE GLn(K), allora
r(AB) = r(B) = r(BC).
[5.3]
Dimostrazione
l) Siano A=(aij)EMmn(K) e B=(bjh)EMn.s(K). Per ogni i=I,..., m, la
i-esima riga di AB è
A(i)B = (ai}b II + ... + ainb nI , ai}b l2 + ... + a in b n2 , ..., ai I bIs + ... + ainb ns ) =
= (ai} b]J, ai! b I2 , ..., aiI b 1s ) + (al 2 b 21 , a i2 b 22 , ..., a i2 b 2fi ) + ...
... + (ainb nI , a in b n2 , ..., ainb ns ) =
= a. B(l) + a . B (2) + + a : B (n)
l l l 2 · · · In ·
Quindi, essendo ogni A (i) B combinazione lineare delle righe di B, si ha
(A (1) B, A (2) B, ..., A (m) B) C (B(1), B(2), ..., B(n})
e pertanto r(AB) < r(B).
D'altra parte si ha anche
r(AB) = r(t(AB» = rCBtA) < rCA) = r(A)
e la (1) è dimostrata.
2) Per la (1) si ha
r(AB) < r(B) = r(A -1 (A B» < r(AB)
e quindi r(AB) = r(B). La seconda uguaglianza in [5.3] si dimostra in modo simile.
Per le matrici quadrate si ha il seguente teorema.
5.4 TEOREMA Una matrice quadrata di ordine n è invertibile se e solo se ha
rango n.

70
Geometria affine
Dimostrazione
Per la proposizione 5.3(2) una matrice inverti bile A ha lo stesso rango di
In = A -lA. II rango di In è n, perché le sue righe costituiscono la base canonica
{Et, ..., En} di Kn. Viceversa, s A ha rango n, le sue righe A (1), ..., A (n) costi-
tuiscono una base di Kn. Quindi, per ogni i = l, ..., n, esistono b il , ..., binE K tali
che
E - b A (l) b A (2) + b A (n)
i - i l + i2 . .. + in ·
[5.4]
Consideriamo la matrice B = (b jj ) EMn(K). La [5.4] equivale all'identità
I =BA
n
e quindi A è invertibile.
Una sottomatrice p x q di una matrice A EM m n(K) è una matrice costituita
,
dagli elementi di A comuni a p righe e a q colonne fissate in A. Scelti indici
1:s il < i 2 < ... < ip < m e 1 '5:jI <j2 < ... <jq < n, la sottomatrice di A corrispon-
dente alle righe i)-esima, i 2 -esima,..., ip-esima, e alle colonne jl-esima,
j2-esima,..., jq-esima, si denota con A(i l i 2 ... ipljI j2". jq). È una matrice
px q.
Ad esempio se
5 -2 1 O .J3
8 O -1 3 1
-
A= lO EM 4 ,5(R),
2 -5 7f  6
1 l l O -5
-
2
allora
3 1
-
A (2 413 4 5) = lO EM 2 ,3(R)
1 O -5
5.5 PROPOSIZIONE Se B è una sottomatrice della matrice A, allora r(B) < r(A).
Dimostrazione
Sia A Entn(K) e B = A (il i 2 ... ipjjI j2 ... jq). Consideriamo la sottomatrice
di A
c = A (il 1 2 ... ipll 2 ... n)EMptn(K)

5/Rango
71
costituita dalla il-esima, i 2 -esima, ..., ip-esima riga. La disuguaglianza
r(C) s r(A)
[5.5]
è ovvia se interpretata come una relazione tra i ranghi per righe delle due matrici.
D'altra parte B è una sottomatrice di C, e precisamente
B = C ( l 2 · .. p I j l j 2 ... j q),
la sottomatrice costituita dalla jl-esima, j2-esima, ..., jq-esima colonna di C.
Anche in questo caso la disuguaglianza
r(B) < r( C)
[5.6]
è ovvia se interpretata come relazione tra i ranghi per çolonne delle due matrici.
La [5.5] e la [5.6] insieme implicano r(B) < r(A).
Come conseguenza dei risultati che precedono abbiamo il seguente teorema.
5..6 TEOREMA Il rango di una matrice A è uguale al massimo degli ordini delle
sue sottomatrici quadrate invertibili.
Dimostrazione
Sia p il massimo degli ordini delle sottomatrici quadrate invertibili di A. Dalle
proposizioni 5.4 e 5.5 segue che p < r(A). D'altra parte, posto r = r(A), se le
righe A (il), A (i 2 ), ..., A (ir) di A sono linearmente indipendenti, la sottomatrice
B = A (il". i r ll ..... n) ha rango r, e quindi possiede r colonne linearmente indi-
pendenti BUI)' Bu' ..., BUr). La sottomatrice quadrata B(1 ... rfjl ... jr) di B
ha rango r, cioè è invertibile. Poiché
B(I .... rljl ... jr) == A (il.... irljl ... jr)
.
è una sottomatrice di A, si ha anche p > r(A).
La nozione di "determinante", che introdurremo nel prossimo paragrafo, ed
il teorema 5.6 insieme forniscono un metodo pratico per calcolare il rango di una
matrice (cfr. corollario 6.6).
Dalla dimostrazione del teorema 5.6 segue che se B = A (il .... i r (jl .... jr) è
una sottomatrice quadrata invertibile di A, allora le righe A (il), A (h), ..., A (i r ) di
A sono linearmente indipendenti. Similmente, le colonne A UI )' A(J2}'.'" AUr)
sono linearmente indipendenti.
Passiamo ora a considerare i sistemi di equazioni lineari. La nozione di rango
permette di dare il seguente semplice criterio di compatibilità di un sistema.
5.7 TEOREMA (KRONECKER-RoUCHÉ-CAPELLI) Un sstema di m equazioniin
n incognite
AX = b, [5.7]

72
Geometria affine
dove A E M m . n (K), bEMm.1(K), X = t(X]
r(A) = r(A b).
X n ), è compatibile se e solo se
In tal caso il sistema [5.7] possiede oon-r soluzioni, dove r = r(A).
Dimostrazione
Sia
a 11 a 12
a 21 a 22
A=
a ln
Q2n
a m I a m2 Qmn
Una n-upla (XI' ..., x n ) E K n è soluzione di [5.7] se e solo se si ha
U I1 a I2 a 1n b l
a 21 a 22 a 2n b 2
XI +X 2 + ... + X n [5.8]
amI a m2 a mn b m
La [5.8] esprime la condizione che il vettore b sia combinazione lineare delle
colonne di A. Questa condizione è verificata se e solo se la matrice (A b) ha lo
stesso rango per colonne di A, cioè se e solo se r(A) = r(A b). La prima parte del
teorema è dimostrata.
Se il sistema [5.7] è compatibile, e r = r(A), possiamo supporre che le sue prime
r equazioni siano linearmente indipendenti e sostituire [5.7] con il sistema equi-
valente:
a lI X I + a 12 X 2 + ... + a1nX n = b l
a 21 X I + a22 X 2 + ... + Q2n X n = b 2
[5.9]
arI XI + a r2 X 2 + ....+ QrnXn = b r .
Applicando il procedimento di Gauss-Jordan al sistema [5.9], nessuna delle
equazioni si riduce a O = O, perché ciò implicherebbe che essa è linearmente dipen-
dente da quelle che la precedono. Quindi il sistema [5.9] si può trasformare in
un sistema a gradini di requazioni; ciò significa che [5.9], e quindi [5.7], possiede
oon r soluzioni.

6/Determinanti
73
Esercizi
t. Calcolare il rango delle seguenti matrici a elementi razionali:
l l -1
l 3 l -1
-
2 O l l
a) l 4 2 O b) I -1 -1
1 -2 -1 O O O l
-
2
O O O
l -2 3 4 5
1 4 O 7 2
c)
2 2 3 Il 7
3 6 3 18 9
2. Dimostrare che tutte le matrici n x m a elementi in K di rango minore o uguale a 1
sono della forma
(b l ... b m ), al, a n , bJ, ..., bnEK.
6 Determinanti
In questo paragrafo descriveremo un modo di associare un elemento di K, chia-
mato "il determinante di A" , ad ogni matrice quadrata A a elementi in K. Il deter-
minante, come vedremo, è uno strumento di fondamentale importanza pratica
in algebra lineare.
Faremo uso del simbolo di sommatoria E per denotare la somma di un numero
finito di termini contrassegnati da uno o più indici; gli insiemi di variabilità degli
indici saranno indicati sotto e/o sopra al simbolo E.
Similmente il simbolo TI sarà utilizzato per denotare un prodotto.
6.1 DEFINIZIONE Sia n > 1 e
aH a 12 a 1n
a 2 ] a 22 a 2n
A= E Mn(K).
anI a n2 a nn

74
Geomelria affine
Il determinante di A è f'elemento di K
det(A) = E E (p) al p(I)a 2p (2) ... anp(n)'
p E Un
[6.1]
dove (J n denota f'insieme di tutte le permutazioni di {l, 2, ..., n} e dove E (p) è
il segno della permutazione pE (Jn (cfr. app. B); det(A} verrà anche indicato con
det(aij) oppure con I A I. .
La [6.1] è una somma di n! termini, che, a meno del segno, sono tutti i possi-
bili prodotti di n elementi di A appartenenti a righe ed a colonne diverse.
Se n = l, allora A == (a) e si ha det(A) = a.
Se n = 2 e
( aH
A=
a 2I
a 12 ) ,
a 22
allora
al I a 12
== 0 11 a 22 - a u a 21 .
a 2I a 22
Se n == 3 si ha
a l1 a l2 a 13
a 2I a 22 a 23 = a l1 a 22 a 33 - alI a 23 a 32 + 0Ua 23 a 31 - a I2 a 2I a 33 + a l3 a 21 a 32 -
°31 a 32 a 33 - °13 Q 22 a 31.
AI crescere di n il determinante di una matrice n X n qualsiasi non è facile da
calcolare direttamente a partire dalla sua definizione [6.1]. Vedremo tra poco dei
modi più semplici di rarlo senza dover ricorrere alla [6.1].
Se A E Mn(K), denoteremo come al solito con A (1), ..., A (n) le sue righe e con
A(1)' ..., A(n) le sue colonne; scriveremo, con notazione a blocchi,
A == (A(1)A(2) ... A(n»
oppure
A (1)
A (2)
A=
A (n)

6/Determinanli
75
Scriveremo quindi
A (l)
A (2)
det(A) = det(A(I)A(2) ... A(n» = det
A (n)
Con queste notazioni il determinante verrà considerato come una funzione di n
vettori colonna oppure di n vettori riga.
6.2 TEOREMA Sia n > 1 un intero e sia
AO}
A (2)
A = (ai}) = (A(I)A(2) ... A(n» ==
E Mn(K).
A (n)
Allora:
l) det() == det(A).
2) Se A (I) == cV + Cl V' , per qualche l -< i < n, c, c' E K, cioè se la i-esima riga
di A è combinazione lineare di due n-vettori riga, allora
A{1}
A (1)
det{A)==cdet V
+ Cl det V'
A (n)
Analogamente, se A(i) = cW + c' W' per qualche l < i < n, c, c' E K, dove W
e W' sono due n-vettori colonna, si ha
det(A) == cdet(A(I) ... W ... A(n» + Cl det(A(I) ... Wl... A(ll}).
3) Se la matrice BEMn(K) è ottenuta da A scambiando tra loro due righe
oppure due colonne, si ha det(B) == - det(A).
4) Se A ha due righe oppure due colonne uguali, allora det(A) = O.
5) det(I n ) == l.
Dimostrazione
l) Si ha
det() = E €(p) a p (l)1a p (2)2". ap(n}n.
p E Un
[6.2]

76
Geomelria affine
A meno del segno, gli addendi di [6.2] sono gli stessi di [6.1]; infatti il termine
ap(l) l a p (2) 2 ... ap(n)n
[6.3]
può anche essere scritto nella forma seguente:
a 1q (1)02q(2) ... °nq(n)
[6.4]
dove q = p - I E un. Osservando poi che €(p -I) = €(p), si conclude che gli addendi
di det(A) e di det() sono gli stessi, cioè det(A) = det(S4).
2) Le due affermazioni sono equivalenti per la (1), e quindi è sufficiente dimo-
strare la prima. Siano
v == (VI
V n ), VI = (v{
v;).
Si ha
(a n a i2 ... a in ) = (CV I + Cl v( CV 2 + Cl v;
cv + Cl VI )
n n
e
det(A) = E €(p) a 1p (l)a 2p (2) ... anp(n) =
péo n
= E f(p) a1p(I) ... (CVp(i) + Cl v; (i» ... anp(n) =
pEo n
= c E E (p) a)p(l)." Vp(i) ... anp(n) + Cl E f(p) a)p(I) ... V;(i) ... anp(n) =
pE pE
A(1)
A (1)
== c det V
+ Cl det VI
A (n)
A(n)
3) Per la (I) è sufficiente dimostrare la (3) nel caso in cui B sia ottenuta da
A scambiando due righe, siano esse la i-esima e laj-esima, dove 1 < i <j:5 n. Posto
B = (b hk ), si ha
det(B) = E f(p) bIP(I}". biP(i)". bjp(j) ... bnp(n) =
pEu n
= E é(P) aIp(l) ... ajp(i) ... a;p(j) ... 0np(n) =
p E Un
= E é (p) a1(tp)(I) ... ai(tP)(i) ... aj(lp) U) ... 0n(tp)(n)
pEo n
dove abbiamo denotato con t la trasposizione che scambia i con j. Poiché

6/Determinanti
77
E(P) = - f(top) e poiché al variare di pE(Jn, top descrive tutto Un' si deduce:
det(B) = 1: - f(q) a1q(l) a.. ajq(i)..a ajq(j) ... anq(n) = - det(A).
q E (Jn
4) Supponiamo che A abbia due righe uguali. Scambiando tra loro tali righe
si ottiene ancora la matrice Aa Per la (3) si ha quindi det{A) = - det(A), sicché
det(A) = O.
5) L'unico addendo di det(I n ) diverso da O è
a II a 22 ... a nn = 1.
Dal teorema 6.2 segue facilmente il risultato seguente.
6.3 COROLLARIO Se A, BEMn(K), allora det(AB) = det(A) det(B).
In particolare, se A è invertibile, allora det(A - l) = det(A) - I..
Dimostrazione
Siano A = (aìj) e
B(I)
B(2)
B=
B(n)
Si ha, utilizzando la (2) e la (3) del teorema 6.2:
B {l) + B (n)
ali ... + a 1n
B (I) + + B (n)
a 21 ... a 2n
det (A B) = det
B (1) + B (n)
anI .. .. + a nn
a B (p(l»
lp (I)
a B(p(2»
2p(2)
B(P(I)
B{P(2»
= 1: det
pEo n
= 1: a lp (1)... anp(n) det
p E (Jn
a B(p(n»
np(n)
B(p(n»
B(I)
B(2)
= E f(p)a1p(I)." anp(n) det
p E (Jn
= det(A) det(B).
B(n)

78
Geometria affine
L'ultima affermazione segue immediatamente dalla prima applicata aI prodotto
1 11 = AA J, tenuto conto del teorema 6.2(5).
Una proprietà fondamentale del determinante è la sua relazione con il rango,
che è espressa dal seguente teorema.
6.4 TEOREMA Sia A E Mn(K). Allora det(A) # O se e solo se r(A) = n.
Dimostrazione
Se r(A) = n, aIIora A è invertibile per il teorema 5.4. Dal corollario 6.3 segue
che dev'essere det(A - I) = det(A)-1, e pertanto det(A) # o.
Supponiamo r(A) < n, cioè che le righe di A siano linearmente dipendenti. Salvo
scambiare tra loro due righe di A, il che, per il teorema 6.2(3), non influisce sulla
conclusione, possiamo supporre che
A (I) = c 2 A (2) + ... + cnA (n),
C 2 , ..., C n E K,
cioè che la prima riga sia combinazione lineare delle rimanenti righe di A. Per
il teorema 6.2(2) si ha
A (2) A (3) A (n)
A (2) A (2) A (2)
dct(A) = C 2 det + c 3 det + ... + C n det
A (n) A (n) A (n)
Poiché ognuna delle matrici che compaiono a secondo membro ha due righe
uguali, per il teorema 6.2(4) il suo determinante è o. Pertanto
det(A) = c 2 0 + c 3 0 + ... + cnO = o.
6.5 DEFINIZIONE Sia MEM m n(K). Un minore di M è il determinante di una

sua sottomatrice quadrata. L 'ordine del minore è l'ordine della sottomatrice qua-
drata corrispondente.
Abbiamo il seguente utile coroIIario.
6.6 COROLLARIO Sia ME Mm.n(K). Il rango di M è uguale al massimo ordine
dei minori non nulli di M.
II corollario è immediata conseguenza dei teoremi 5.6 e 6.4.
Le seguenti ulteriori proprietà del determinante seguono facilmente dai teo-
remi precedenti.

6/ Determinanti
79
6.7 PROPOSIZIONE Sia A = (aij)EMn(K):
I) Se A ha una riga oppure una colonna nulla, det(A) = O.
2) Se BEMn(l() è ottenuta da A sommando a una sua riga (colonna) un mul-
tiplo scalare di un'altra riga (èolonna), allora det(B) = det(A).
Dimostrazione
l) Se A ha una riga, o una colonna, nulla, r(A) < n, e quindi det(A) == O per
il teorema 6.4.
2) Supponiamo che si abbia B == (B(l) ... B(n» con B(j) == A U ) + cA(j)' per
qualche i # j, e B(k) = A(k) per ogni k # i. Allora
det(B) = det(A) + c det(A(I) ... A(j) ... A(n» == det(A) + cO == det(A)
perché (A(I) ... A(j> ... A(n» ha uguali la i-esima e la j-esima colonna, e
quindi ha determinante uguale a O. In modo simile si procede nel caso in cui
B(i) = A (i) + cA (j).
Daremo ora una definizipne che ha una notevole importanza pratica nel cal-
colo dei determinanti.
6.8 DEFINIZIONE Data A = (aij) E Mn(K), per ogni 1":5 i, j:5 n sia A (1 ... l...
. .. n Il ... j ... n) la sottomatrice quadrata di ordine n - I di A ottenuta cancellando
la i-esima riga e la j-esima colonna.
l/ complemento algebrico (o cofattore) dell'elemento a jj di A è
A IJ == ( - l)i -t j det (A (1 ... l... n Il ... J ... n».
La matrice cofattore di A è
cof(A) == (Aij) E Mn(K).
Il risultato seguente fornisce un procedimento induttivo per calcolare il deter-
minante di una matrice.
6.9 PROPOSIZIONE Sia A E Mn(K). Per ogni l < i, j < n si ha
det(A) == anAiI + a j2 A i2 + ... +ainA in
[6.5]
e
det(A) == aIjAlj + a 2j A 2j + ... + anjAnj.
[6.6]
La [6.5] e la [6.6] sono rispettivamente lo sviluppo di det(A) secondo la i-esima
riga e secondo la j-esima colonna.
Dimostrazione
Sostituendo A con la sua trasposta ci si riduce a dimostrare solo la [6.5].

80
Geometria affine
Mediante i-l scambi fra righe contigue di A si ottiene una matrice
A 1(1)
A I (2)
AI=:
A ' (n)
la cui prima riga è A I (1) = A (1), e le rimanenti righe sono nella stessa posizione
relativa delle righe di A, cioè
A (I)
A  (2)
A I (3)
A (i .. I)
A (i+ I) ·
A ' (n)
A (n)
Si ha pertanto
det(A I) = (_l)i-I det(A).
Inoltre, per ogni 1 < j < n:
A {; = ( - 1) j + I det [A I (2 ... n J 1 ... j . .. n)] =
- ( - l) j+l d [A (1 -:- Il ':' ) - ( _ l) it l A
- et... l ... n .. . J ... n - ij.
Quindi, se la [6.5] è vera per A', lo è anche per A. Quest'osservazione ci con-
sente di limitarci a considerare il caso i = l, cioè a dimostrare lo sviluppo [6.5]
di A secondo la prima riga.
A questo scopo consideriamo i termini della sommatoria [6.1] in cui compare
a 1j , che sono della forma
f(p) aIj Q 2p(2) ... anp(n)
[6.7]
dove pE Un è una permutazione tale che p(l) = j. Ad ogni tale p possiamo far cor-
rispondere la permutazione qE (Jn- J definita, per k = l, ..., n -1, da
q(k) = p{k + l)
:= p(k + 1)-1
se p{k + 1) <j
se p(k + l) > j.
[6.8]
Si ha
(-l)j-I f(q) = f{p).

6/Determinanli
81
Infatti la permutazione rE un definita da
r(I)== l,
r(k) == q(k - l),
k == 2, ..., n
è ottenuta componendo p con j - 1 trasposizioni di elementi contigui, e quindi
soddisfa E(r) == (-I)j-l €(p). D'altra parte, per definizione, si ha evidentemente
€(q) == E (r).
Poniamo B == (b hk ) == A(2... nll ...j... n). Poiché al variare di pEa n tale che
p(l) == j la permutazione qO:definita dalla [6.8] descrive tutto U n _ l' la somma dei
termini [6.7] è uguale a
a1j(-I)j-I E €(q)b1q(I)". bn-1q(n-O == aIj(-I)j-I det(B) = aljAu.
qEo n I
In conclusione, la somma di tutti i termini della [6.1] è uguale a  aIjA lj' che
è la [6.5] per i == l. J
Nell'applicare la proposizione 6.9 è conveniente, quando possibile, scegliere una
riga o una colonna nella qual compaiano degli zeri, allo scopo di abbreviare i
calcoli.
Il seguente corollario fornisce in particolare un metodo pratico per calcolare
l'inversa di una matrice A E GLn(K), alternativo a quello descritto nell'esempio
3.2(8).
6.10 COROLLARIO Per ogni A == (a jj ) E Mn(K) sussiste /'identità
At[cof(A)] = det(A)In.
[6.9]
In particolare, se A è invertibi/e, si ha
A -I =
1
t [cof(A)].
det (A)
[6.10]
Dimostrazione
La [6.9] è equivalente alle n 2 identità seguenti:
n
E ajkA jk == det(A) oij [6.11]
k = l
dove oij è il simbolo di Kronecker. Infatti il primo membro è l'elemento di posto
i, j della matrice A t [cof(A)]. Nel caso i == j la [6.11] coincide con la [6.5], che
è già stata dimostrata. Se i  j la [6.11] è
n
E aikA jk == O. [6.12]
k =1
Per la proposizione 6.9, il primo membro della [6.12] è lo sviluppo secondo
la i-esima riga del determinante della matrice B ottenuta da A sostituendo la sua
riga i-esima alla j-esima. Poiché B ha due righe uguali il suo determinante è O,
e pertanto la [6.12] è vera.

82
Geometria affine
. La [6.10] segue dalla [6.9] moltiplicando ambo i membri a sinistra per
det (A) - I A - I .
Il metodo dell'inversa, che abbiamo introdotto nel paragrafo 3 per risolvere
un sistema di n equazioni lineari in n incognite, può ora essere formulato in un
modo diverso, e più preciso, noto come regola di Cramer:
6.11 COROLLARIO (REGOLA DI CRAMER) Siano A = (aij) E GLn (K), b =
=: I (b I ... b n ) un n-vettore colonna e
AX =: b [6.13]
il corrispondente sistema di n equazioni in n incognite. L 'unica soluzione di [6.13],
x = I(X I ... x n ), è data dalla formula
n
E bkAki
k = I
det(A)
,
i=: 1, ..., n.
[6.14]
x.=
l
Dimostrazione
Basta ricordare la regola dell'inversa [3.16] che dà x = A - I b, e sostituire la
[6.10] al posto di A -l.
Si noti che il secondo membro della [6.14] ha per numeratore il determinante
della matrice ottenuta da A sostituendo la colonna b al posto della colonna i-esima.
Descriveremo ora un metodo di calcolo dei determinanti che generalizza la pro-
posizione 6.9. Allo scopo avremo bisogno della seguente generalizzazione della
definizione 6.8.
6.12 DEFINIZIONE Sia A E Mn(K), e sia
M=A(i l ... i k ljl ... jk)
una sottomatrice quadrata di ordine k di A. Il complemento algebrico (o cofat-
tore) di M è
(- 1)1 1 4- ... .t i,; + j, + ... + jk det (A ({ l, ..., n} \ { il' ..., i k } I { 1, ..., n} \ (jI' ..., jk})'
cioè è il determinante della sottomatrice quadrata di ordine n - k di A ottenuta
cancellando le righe e le colonne di M, preso con il segno + o - a secondll che
il + ... + i k + jl + ... + jk sia pari o dispari.
Nel caso particolare k = 1 si riottiene la definizione 6.8 di complemento alge-
brico di un elemento di A.
Dimostreremo ora un teorema che generalizza lo sviluppo del determinante
secondo una riga o una colonna.

6/Determinanti
83
6.13 TEOREMA (LAPLACE) Sia A E Mn(K), e siano assegnate k < n righe
(colonne) di A. Allora det(A) è uguale alla somma dei prodotti dei minori di ordine
k di A estratti dalle righe (colonne) assegnate per i corrispondenti co/attori. '
Dimostrazione
La daremo nel caso delle righe, lasciando al lettore l'immediata estensione al
caso delle colonne.
Denotiamo con D(A) la somma indicata nell'enunciato, che vogliamo dimo-
strare essere uguale a det(A). Il prodotto di un minore di ordine k estratto dalle
k righe assegnate per il corrispondente complemento algebrico è una somma di
k! (n - k)! termini, perché il minore è un determinante di ordine k, e quindi otte-
nuto sommando kI termini, mentre il cofattore è un determinante di ordine n - k,
quindi somma di (n - k)! termini. Inoltre il numero dei minori di ordine k distinti
che si possono estrarre dalle k righe assegnate è
( n ) n!
k - k! (n - k)! ·
Pertanto D(A) è somma di () k! (n - k)! = n! .termini. Poiché anche det(A)
è somma di n! termini, sarà sufficiente dimostrare che ogni termine di D(A) appare
almeno una volta in det(A).
Supponiamo dapprima che le righe assegnate siano A (I), A (2), ..., A (k). I ter-
mini di D(A) sono prodotti di un termine di det(A(1 ... kljI ... jk) per uno di
det(A (k + 1 ... n I { l, ..., n} \ {jI' ..., jk})' per qualche scelta di j1' ..., jk'
moltiplicati per (- l) I + ... + k + jl -+ ... + jk. Consideriamo il caso particolare in cui
{jl' ..., jk} = {I, ..., k}. Un termine di D(A) corrispondente è della forma
(- l) 1+ ... + k+ l + H' + k [E (s) a 1s (l) ... akS(k)] [E (t) a k + I k . '(1) ... a n k+l(n-k)] =
= E (S)E (t) [aJS(I) ... aks(k)a k + I k+t(I)." ank+t(n -k)]
dove sE u k , tE (In . k.
Per riconoscere che [6.15] è un termine di det(A) osserviamo che la permutazione
[6.15]
u = C;l)
k k+l
s(k) k + t(l)
k + t - k»)
ha segno uguale a E(S)E(t), perché ogni indice s(h} è minore di ogni indice t(f),
e quindi il numero di trasposizioni di cui u è prodotto è la somma del numero
di trasposizioni di s e di quelle di t. Da ciò segue che [6.15] è un termine di det(A).
Per dimostrare che il prodotto di un termine di det(A (1 .... klj. ... jk)
per uno di det (A (k + l ... n I { l, ..., n} \ {j l' ..., j k }) moltiplicati per
(-1)1 +... +k+jJ+ ... +A, per scelta arbitraria di l Sjl <j2 < ... <jk < n, è un ter-
mine di det(A), scambiamo tra loro opportunamente le colonne di A in modo
da ottenere una matrice B in cui la jcesima colonna, la j2-esima colonna ecc.

84
Geolnetria affine
di A si trovino rispettivamente come prima, seconda, ..., k-esima colonna. Così
facendosioperano(jI-1)+(j2-1)+(jk-I)=j,+ ... +jk-(l+ ... +k)
scambi di colonne, e quindi
det(B) = (-I)JI+ ..0 +jA-(1 +... + k) det(A) = (-1)1+... +k+-j]+... +jA det(A).
Il termine di D(A) che stiamo considerando è uguale a (-1)1 +... +k+J. +... +JJ.
per un termine di D(B) del tipo che abbiamo considerato nella prima parte della
dimostrazione, e quindi è uguale a (- 1)1 +... +k+J,1 h. +j" per un termine di det(B),
cioè è uguale a un fermine di det(A).
Se le righe assegnate sono A (il), A (il), ..., A (i,,), consideriamo la matrice C
ottenuta da A con opportune trasposizioni delle righe in modo che la i,-esima
riga, la i 2 -esima riga ecc. di A siano rispettivamente prima, seconda, ..., k-esima
riga di C. II numero di. inversioni effettuate è
(i I - l) + (i 2 - l) + ... + (i k - l) = i I + ... i k - (1 + ... + k),
e quindi det(C) = (- l)i] + ho + i k - (I + ... +- k) det(A). D'altra parte ogni termine di
D(C) è uguale a (- l)i l + ... + h -- (I + ... -+ k) per un termine di D(A), e quindi
D(C) == (_I)i 1 + ... + il. . (I + ... + k) D(A).
Confrontando otteniamo D(A} = det(A), come si voleva.
II procedimento per calcolare il determinante di una matrice quadrata descritto
dal teorema 6.13 è chiamato metodo di Laplace o sviluppo di Laplace. Esso è
particolarmente utile quando la matrice A di cui si vuole calcolare il determinante
ha molti elementi uguali a o. Consideriamo ad esempio la matrice
1 -2 l O
2 I -2 O
A=
o -3
O -)
l 4
2 -1
Sviluppando det(A) con il metodo di Laplace rispetto alle prime due righe si
trova:
1 -2 I 4 1 l -3 4
det(A) = (- 1)6 + (- 1)7
2 1 2 -1 2 -2 -} -1
= 5 x (- 9) - (- 4) x 7 == - 17.
II calcolo di det(A) mediante lo sviluppo secondo una riga o una colonna sarebbe
stato più laborioso.

6/ Determinanti
85
6.14 Osservazioni ed esempi
l. Sia A una matrice triangolare superiore (inferiore). Sviluppandone il deter-
minante secondo la prima colonna (la prima riga), si trova subito, procedendo
per induzione su n, che det(A) è uguale al prodotto degli elementi della diagonale
principale.
2. Sia data una matrice M E Mm, n (K) e supponiamo di volerne calcolare il
rango utilizzando il corollario 6.6. Supposto che M non sia la matrice nulla, e
quindi che il suo rango sia almeno l, si dovranno calcolare i minori di ordine via
via crescente, a partire dall'ordine 2. Quando per un certo r si sarà trovato un
minore di ordine r non nullo, mentre tutti i minori di ordine r + l si annullano
(oppure non ce ne sono se r == min(m, n», si concluderà che r(M) = r. Infatti dal-
l'annullarsi di tutti i minori di ordine r + l discende l'annullarsi dei minori di ordine
superiore: ciò segue subito per induzione su s sviluppando ogni minore di ordine
s > r secondo una sua riga o una sua colonna.
II calcolo del rango può essere semplificato notevolmente se si tiene conto del
cosiddetto principio dei minori orlati, cioè della seguente osservazione.
Sia B == M (i} ... irlj) ...j,.) una sottomatrice quadrata di un certo ordine r della
matrice M, tale che det (B) ;f; o. Supponiamo che ogni sottomatrice quadrata
di ordine r + l di M ottenuta aggiungendo a B una riga e una colonna di M
(fig. 6.1) abbia determinante nullo, cioè che i cosiddetti minori orlati di B siano
tutti nulli. Allora M ha rango r.
Infatti dall'ipotesi det(B);f; O discende che le colonnejI-esima, ..., jr-esima di
M sono linearmente indipendenti, e pertanto la condizione sui minori orlati implica
che ogni altra colonna di M è combinazione lineare delle colonnejcesima, ...,
jr-esima. Quindi M ha rango r.
Ad esempio, la matrice
M= 1
100
l l 2 3
O 023
GJ ". "1
*
.
**.a_** *
Figura 6.1

86
Geomelria affine
ha rango 2. Infatti la sottomatrice
B=M(12113)= C :)
ha det(B) = - 2, e quindi r(M) > 2; inoltre i due minori orlati sono:
1 l 2
det(M (1231123) = l l O =0
O O 2
e
1 2 3
det(AI(123 l 134) = 1 O O -O
- ,
O 2 3
e quindi r(M) = 2.
3. Il determinante, per la sua stessa definizione [6.1], è ben definito anche
quando gli elementi della matrice quadrata A appartengono a un dominio qual-
siasi D. Ovviamente il determinante di una matrice siffatta è ancora un elemento
del dominio D. Ad esempio il determinante di una matrice in Mn(K[X]), cioè ad
elementi polinomi in una indeterminata X a coefficienti in K, è un polinomio di
K [X]; se A E M n (2), allora det (A) è un numero intero ecc. Noi utilizzeremo que-
st'osservazione e considereremo per esempio matrici a elementi polinomi di una
o più variabili, i loro determinanti quando esse sono quadrate, i minori ecc.
4. Consideriamo il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite:
2X 1 + 3X 2 - X 3 = 1
XI + 4X 2 + 2X 3 = 2
3X 1 - X 2 - X 3 == 3.
Il determinante della matrice dei coefficÌenti è
2 3-1
1 4 2 = 30  O
3 -1 -1
e quindi il sistema ammette un'unica soluzione (XI' X 2 , x 3 ), data dalla regola di

6/Determinanti 87
Cramer:
l 3 -1
2 4 2
3 -1 -1
XI =. = 36/30 = 6/5
det(A)
2 l -1
l 2 2
3 3 -1
x 2 = = 6/30 = - 1/5
det (A)
2 3 1
1 4 2
3 -1 3
x 3 = = 24/30 = 4/5.
det(A)
5. Supponiamo assegnato un sistema di m equazioni in n incognite, in cui i
coefficienti delle incognite e i termini noti siano funzioni di uno o più parametri
variabili in K. Per ogni valore assunto dai parametri si ottiene un diverso sistema
a coefficienti in K di cui si vuole accertare la compatibilità e ricercare le eventuali
soluzioni: lo studio dei casi che si presentano e la ricerca delle rispettive soluzioni
si dice la discussione del sistema assegnato. Il modo più efficace e naturale di pro-
cedere in questo caso è quello di utilizzare il teorema 5.7 analizzando i valori pos-
sibili del rango della matrice dei coefficienti e della matrice orlata in funzione dei
parametri. Una volta stabiliti i valori dei parametri per cui il sistema è compati-
bile, e in ogni caso l'infinità delle soluzioni, si procederà a risolverlo in ciascun caso.
Consideriamo ad esempio il sistema a coefficienti reali nelle incognite X, Y, Z:
x- Y+mZ=O
mY- z=o
-X+ Y+ Z=m.
II determinante della matrice dei coefficienti è m 2 + m, che si annulla per m = O,
- I . . Per ogni m # O, - 1 la matrice dei coefficienti ha rango 3 e quindi il sistema
è compatibile, per il teorema 5.7, e possiede l'unica soluzione
( 1m )
1 - m, , .
m+l m+l

88
Geolnetria affine
Quando m = O si ottiene il sistema omogeneo
x- y=o
-Z=O
- X +' Y + Z = O,
che possiede le infinite soluzioni: {(t, t, O): t E R }. Quando m = - l si ottiene il
sistema
X- Y-Z= l
-Y-Z=-I
-X+ Y+Z= -2
che è incompatibile.
6. Siano Xl' X 2 , ..., X n E K, n > 2. Il determinante V(x I , x 2 , ..., x n ) della matrice
di Vandermonde
1 1
1
Xl X2
X7 x
X n
X2
n
Xf - l X; - l
n-I
X n
è detto determinante di Vandermonde relativo a XI' X 2 , ..., X/l.
Si ha
V(x t , x 2 , ..., x n ) = (x 2 - XI) ... (x n - Xl) (X 3 - X 2 ) ... (X n - X 2 ) (X 4 - X 3 ) ...
... (X n - X n ._ I ),
[6. 16]
il secondo membro essendo il prodotto di tutti i termini della forma (Xi - Xj)'
I < j<i < n.
La [6.16] si dimostra per induzione su n, il caso n = 2 essendo ovvio. Suppo-
niamo n > 3 e che la [6.16] sia stata dimostrata per n-l. Operiamo sulle righe
della matrice di Vandermonde, sottraendo dall'n-esima riga la (n -I)-esima mol-
tiplicata per XI' dalIa (n -I)-esima la (n - 2)-esima moltiplicata per Xl ecc. Si
ottiene
1 I 1
O x 2 - Xl X n - XI
V(X}7 X 2 , ..., X n ) = O X 2 (X 2 - XI) Xn(X n - XI) -
o X-2(X2 - XI)
n- 2 ( )
X n X n - XI

6/ Delerminanti
89
1
1
1
Xl
X 3
X n
= (Xl - XI) (X 3 - Xl) ... (X n - XI)
X- 2 X-2
n-l
X n
= (Xl - XI) (X 3 - XI) ... (X n - XI) V(X 2 , ..., X n ) = V(X I , Xl) ..., X n ).
7. Non è difficile dimostrare che le proprietà (2), (3) e (5) del teorema 6.2 sono
sufficienti a caratterizzare univocamente il determinante. Precisamente, si dimo-
stra che, se D: Mn(l<)  K è un'applicazione tale che, per ogni A = (A(l)
A(n»EMn(K) si abbia
a) D(A(I) cV + c' V' ... A(n» = cD(A(I)
+ c' D(A(1) ... V' ... A(n»
b) D (A{l) ... A(i) ... A U ) ... A(n)} = -D(A(I)
per ogni l::;i<j < n,
v ... A (n» +
se A U ) = cV + c' V' ,
... A u > ... A(i)". A(n)}
c) D(In) = l,
allora
D(A) = det(A)
per ogni A EMn(K).
Esercizi
l. Ca1folare l'inversa di ognuna delle matrici dell'esercizio 4 ( 3) utilizzando il corolla-
rio 6.10.
2. Discutere i seguenti sistemi nelle incognite reali X, Y, in cui m è un parametro reale:
a) 2X - Y = m + l
InX + Y = l
b) 2X+ mY=!
2X + (1 + m) Y = I
(3 - m) X + 3 Y = I + m
c) 2X+mY=-4
mX - 3 Y = 5
3X+ ¥=-5m.
3. Discutere i seguenti sistemi nelle incognite reali X, Y'I Z, in cui m è un parametro reale:
a) X+mY+Z=2m
mX+ Y+Z=2
b) Y + mZ = m + 1
X+Y+Z =2
mX + Y = m + l
c) 2X + mY + mZ = l
mX + 2 ¥ + mZ = l
mX + m Y + 2Z = l
d) X + Y - 2 Z = O
2X- Y+mZ=O
X- Y- Z=O

90
Geometria affine
e) X + Y + 2Z == 1
X+2Y+4Z==1
2X+ 3Y+6Z==m
f) X - Y == 2
mY+ Z==m
Y + mZ == m
g) m Y + (m - 2) Z == O
mX+ Y+ 2Z=O
mX+ 3Z==O
h) X - Y + Z == O
- X - mY + 2mZ == - 1/3
mX + m Y == - 1/3.
4. Risolvere i seguenti sistemi con la regola di Cramer:
a) (K == R) 2X - Y == 2 - -J2
- X + ..j2z = l
..J2X + Y = 2.v2
b) (K = C) 2X + i Y + Z == 1 - 2i
2 Y - iZ == - 2 + 2i
iX + iY + iZ == 1 + i
c) (K == Q) XI + 2X 3 - 4
-XI +X 2 - - I
X 2 + X 3 - 2
XI + X 4 = l.
5. Siano A, B, CEMn(K), e siano M, NEM 2n (J<) le matrici seguenti:
M=(; ;), N=(; ;).
Dimostrare che det(M) == det(A) det(C) == det(N).
6. Sia A == (aij) E M n _ In (K) e r(A) == n - l. Dimostrare che le 00 I soluzione del sistema
omogeneo in n incognite A X == O sono proporzionali alla n-upla dei minori di ordine
massimo di A, presi a segni alterni.
7. Siano al, a2, ..., a n E K*. Si consideri la matrice M = (mij) E M n (K) così definita:
m ii = 1 + ai, i == l, ..., n,
m- . == l se i  J ..
l)
Dimostrare che det(M) == ala2 ... a n ( 1 +  +  + ... +  ) .
al a2 a n
8. Siano D un dominio e x, a12, ..., aln, a23, ..., a2m ..., a n -2n- h a n .2n, a n - 1n E D.
Dimostrare la seguente identità:
x a12
al n
x x a23 a2n
= x(x - a12) (x - a23) (x - a34) ... (x - a n in).
x
x an-.ln
x
x x

7/Spazi affini (1)
91
7 Spazi affini (I)
In questo paragrafo introdurremo gli "spazi affini" , che generalizzano il piano
e lo spazio ordinari, e nei quali lo spazio dei vettori è assegnato nella definizione.
Negli spazi affini si studiano esclusivamente le proprietà geometriche deducibili
per - mezzo dell'uso dei vettori.
Le figure che accompagnano il testo si riferiscono per lo più al piano e allo
spazio ordinari e costituiscono esclusivamente un supporto intuitivo alla lettura.
7.1 DEFINIZIONE Sia V uno spazio vettoriale su K. Uno spazio affine su V
(ovvero uno spazio affine con spazio vettoriale associato V) è un insieme non vuoto
A, i cui elementi si dicono punti di A, tale che sia data un'applicazione
AxA-+V
[7 .1]
-----..
che associa ad ogni (P, Q)EA X A un vettore di V, denotato con PQ e chia-
mato vettore di punto iniziale P e di punto finale Q, in modo che i seguenti due
assiomi siano soddisfatti:
..
SAI Per ogni punto PE A e per ogni vettore v E V esiste un unico punto QE A
tale che
--+
PQ = v.
SA2 Per ogni terna P, Q, R di punti di A è soddisfatta la seguente identità:
--+- --+ ---+
PQ+ QR=PR.
-+
Per ogni (P, Q)EA x A diremo P punto di applicazione del vettore PQ.
Se K = R (K == C) A si dice spazio affine reale (spazio affine complesso).
L'applicazione [7.1] definisce una struttura di spazio affine sull'insieme A.

Prendendo P = Q = R nell'assioma SA2 abbiamo che PP = O per ogni PEA.
-+ --+
Prendendo invece R = P troviamo QP = - PQ per ogni P, Q E A.
Similmente a quanto accade per gli spazi vettoriali, su un insieme non vuoto
A possono esistere diverse strutture di spazio affine, cioè diversi modi di asse-
gnare uno spazio vettoriale V e una applicazione A x A -+ V che soddisfa SAI
e SA2.
Nel seguito considereremo esclusivamente spazi affini tali che lo spazio vetto-
rlale associato V abbia dimensione finita.
La dimensione di V è detta dimensione dello spazio affine A, ed è denotata
con dim(A).
Uno spazio affine di dimensione 1 (dimensione 2) viene comunemente chia-
mato retta affine (piano affine).

92
Geomelria affine
7.2 Esempi
l. La retta, il piano e lo spazio ordinari sono rispettivamente una retta affine
reale, un piano affine reale e uno spazio affine reale di dimensione 3. Gli spazi
vettoriali associati sono quelli dei vettori geometrici dei rispettivi spazi, e l'opera-
zione che associa un vettore a una coppia ordinata di punti è quella con cui nel
paragrafo 1 abbiamo definito i vettori geometrici. Quindi gli spazi affmi sono gene-
ralizzazioni della retta, del piano e dello spazio ordinari.
2. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su K. Ponendo

ab = b - a
si definisce su V una struttura di spazio affine su sé stesso.
L'assioma SAI è soddisfatto perché per ogni punto p E V e per ogni vettore
v E V il punto q = p + v è l'unico che soddisfi l'identità q - p = v. La proprietà
SA2 è verificata perché sussiste l'identità
r - p = (q - p) + (r - q)
per ogni p, q, rEV.
Quindi ogni spazio vettoriale V può considerarsi come uno spazio affine, su
sé stesso. Con questa struttura di spazio affine, V si denoterà con Va.
3. Un caso particolare dell'esempio precedente si ha prendendo V = Kn. Lo
spazio affine (Kn)a si chiama n-spazio affine numerico su K. Esso si denota con
A n(K), o semplicemente A n quando dal contesto il campo K risulti individuato
senza possibilità di equivoco.
L'assioma SAI implica che se in uno spazio affine A si fissa un punto OEA
---+
e si associa ad ogni punto PEA il vettore OPEV, si ottiene una corrispondenza
biunivoca di A su V. Tale corrispondenza è la generalizzazione di quella che, nello
spazio ordinario in cui si sia fissato un punto O, associa ad ogni. punto P il vet-
tore geometrico rappresentato dal segmento orientato di punto iniziale O e punto
finale P.
7.3 DEFINIZIONE Siano V un K-spazio vettoriale e A uno spazio affine su V.
Un sistema di coordinate affini (ovvero un riferimento affine) nello spazio A è
assegnato una volta fissati un punto O E A e una base {e l , ..., e n } di V; esso viene
denotato con Oe J ... e n .

Per ogni punto PEA si ha op= aIe} + ... + ane n per opportuni al' ..., anEK.
Gli scalari al' ..., Qn si dicono coordinate affini (o semplicemente coordinate) e
(al' ..., a n ) si dice n-upla delle coordinate, di P rispetto al riferimento OeI ... e n .
Il punto O si dice origine dél sistema di coordinate. Esso ha (O, ..., O) per n-
upla delle coordinate.

7/Spazi affini (I)
93
Dato un riferimento affine OeI ... e n in A, scriveremo P (XI , ..., X n ) per deno-
tare un punto PEA di coordinate XI' ..., X n (la fig. 7.1 si riferisce al piano
ordinario).

Se A(a l , ..., a n ), B(b 1 , ..., b l1 ) E A, il vettore AB ha (b I - al' ..., b n - a n ) come
-----+
n-upla di coordinate rispetto alla base {e l , ..., e n }. Ciò segue dall'identità AB =
-----+ -----+
== 08- OA.
Se A == A I1 , il riferimento affine OE I ... En in cui O == (O, ..., O) ed {E I , ..., En}
è la base canonica di KIl, si dice riferimento affine standard. In questo riferi-
mento ogni punto (Xl' ..., x n ) E A n ha sé stesso come n-upla di coordinate.
I più importanti sotto insiemi di uno spazio affine sono i "sottospazi affini",
che ora introdurremo.
7.4 DEFINIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale e sia A uno spazio affine su
V. Siano assegnati un punto Q E A e un sottospazio vettoriale W di V. Il sottospa-
zio affine passante per Q e parallelo a W è il sottoinsieme S di A costituito da
-----+
tutti i punti PEA tali che QPEW.
Si oti che Q E S, perché il sottospazio vettoriale W contiene il vettore nullo
-
O == QQ; in particolare S  0.
Il sottospazio W C V è chiamato giacitura di S; il numero dim (W) è detto dimen-
sione di S e si indica con dim (S).
Se dim (S) == O, allora S == {Q} è un punto; viceversa, ogni sottoinsieme di A
costituito da un solo punto è un sottospazio affine di dimensione o.
Se dim (S) == 1, S si dice retta di A e W direzione di S; un qualunque vettore
non nullo a E W è un vettore di direzione della retta. Segue dalla definizione che
---*
la retta S consiste di tutti i punti PE A tali che QP = la per qualche tE K.
Se dim (8) == 2, S si dice piano di A. (La fig. 7.2 rappresenta un piano dello
spazio ordinario.)
P(2,1)
8 1
f'igura 7.1

94
Geomelria affine
.
Figura 7.2
p
o
La dimensione di un sottospazio affine non può superare dim (A). Se
---+
dim (8) = dim (A), allora 8 = A, perché in tal caso W = V e quindi QP E W per ogni
PEA.
Se dim(8) = dim(A) -1, 8 è detto iperpiano. Ad esempio una retta in un piano
affine è un iperpiano, e così anche un piano in uno spazio affine di dimensione 3.
7.5 Esempi
1. Sia A lo spazio ordinario. I sottospazi affini di A sono i punti, le rette, i
piahi e A stesso.
2. Sia V uno spazio vettori aie non nuno di dimensione finita su K. Conside-
riamo un sottospazio vettoriaIe W C V e un punto q E Va. II sottospazio affine di
Va passante per q e parallelo a W è l'insieme
q + W = {q + w: w E W } .
Infatti q + W consiste di tutti i v E Va tali che v - q E W.
Se in particolare q E W, allora q + W = W. Vediamo quindi che i sottospazi
vettoriaIi di V sono particolari sottospazi affini di Va e che ogni sottospazio
affine è della forma q + W, per qualche q E Va e per qualche sottospazio vetto-
riale W C V, cioè è un traslato di un sottospazio vettoriale di V.
3. Dati s + 1 > 2 punti Po, ..., P N di uno spazio affine A, il sottospazio affine
--+  ---+
passante p er Po e avente giacitura (POP I , P O P 2 , ..., POP N ) viene indicato con
POP I ... P N e si chiama sottospazi o affine generato da Po, .., P N .
È facile vedere che POPj ... P N non dipende dall'ordine in cui vengono presi
 --+ --+
i punti Po' ..., P N . Infatti il sotto spazio vettoriale (POP I , PoPz, ..., POP N ) con-
 ----+ 
tiene tutti i vettori PiP j = POPj - POPi' e quindi
--+   
(POPj, ..., POP N ) :J (PiPO' ..., PiP N )
[7.2]

per ogni i = 1, ..., N. Viceversa, per ogni i = 1, ..., N, ogni vettore poP J " si può
 ---+ 
esprimere come POPj = PiPj - PiPO' e quindi anche
  ---+ ----+
(POPI' ..., PoP N) C (PiPO' ..., p/p N) ·
[7.3]

7/Spazi affini (I)
95
--+ --+ 
Pertanto, se PEA soddisfa PoPE (POPh ..., POP N ), allora
-----+ --+   --+
PjP = PoP - POPi E (PiPO' ..., PjP N )
--+  --+
per la [7.3]. D'altra parte, se PiPE (PiPO' ..., PjP N ), allora
-----+    
PoP = FjP - PjPoE (POPi' ..., POP N )
per la [7.2].
Dalla definizione di POPI ... P N segue che dim(POPI ... P N ) :5 N. Se vale l'ugua-
glianza i punti Po, ..., P N si dicono indipendenti; altrimenti Po, ..., P N si dicono
dipendenti. Per definizione i punti Po, ..., P N sono indipendenti se e solo se i vet-
----+  
tori POPI' P O P 2 , ..., POPN sono linearmente indipendenti. Se Po, ..., P N sono indi-
pendenti, allora N :5 dim (A).
Due punti Po, P I E A sono indipendenti se e solo se sono distinti; in questo
caso POPI è una retta. Tre punti Po, P I , P 2 sono indipendenti se e solo se non
appartengono a una retta; in questo caso P O P 1 P 2 è un piano (fig.. 7.3).
I punti Po' ..., PNEA si dicono allineati (o collineari) se esiste una retta che
li contiene, o, equivalentemente, se
dim(POP I ... P N ) < l;
altrimenti Po' ..., P N si dicono non allineati (o non eo/lineari).
I punti Po, ...., PNEA si dicono complanari se esiste un piano che li contiene,
o, equivalentemente, se
dim(POP] .... P N ) < 2.
4.. Sia A uno spazi affine su V, e sia C E A. Per ogni PE A, il punto simme-
trico di P rispetto a C è il punto uc(P) che soddisfa l'identità vettori aIe
) 
Cac{P) = - CP.
Si osservi che si ha D"c(ac{P» = P per ogni PE A perché
) ) ----+
Cuc{ac(P» = - CUc(P) = CP.
Se in A è fissato un riferimento affine Oel ... e n , e i punti C e P hanno ri-
spettivamente coordinate Cl' ..., C n e Xl' ..., X n , il punto ac{P) ha coordinate
P,
.
}4'igura 7.3
P2
.

96
Geometria affine
2c] - XI' ..., 2c n - xn. Infatti
(2c I - XI' ..., 2c n - X n ) - (Cl' ..., c n ) = (CI - Xj, ..., C n - X n )
---+ 
è la n-upla delle coordinate di PC = - CP. Nel caso particolare C == O, le coor-
dinate di (]c(P) sono - XI' ..., - x n "
L'applicazione (Je: A  A manda sottospazi affini in sottospazi affini. Più
precisamente, sia S C A il sottospazio affine avente giacitura W C V e passante
per il punto Q E A. Allora (Je(S) = {{]e{P): PE S} è il sottospazio affine S'avente
la stessa giacitura W e passante per ue(Q).
Infatti, per ogni PE S, si ha
» ) )   
(Je(Q) (Jc(P) = (Jc(Q) C + CUc{P) = CQ - CP = - QPE W,
e quindi (Jc{P) E S'. Viceversa, se p' E S', allora, posto P = uc(P'), si ha
---+- )  )
QP = QC + CP = - (Jc{Q) C - CP' == - (Jc(Q) P' E W
e quindi PE S. Dunque p' == (Jc{P) E (Jc(S). (La fig. 7.4 si riferisce al piano
ordinario. )
7.6 PROPOSIZIONE
l) Un sottospazio affine è individuato dalla sua giacitura e da uno qualsiasi
dei suoi punti.
2) Sia S un sottospazio affine di A avente giacitura W. Associando ad ogni
---+-
coppia di punti P, Q di S il vettore PQ si definisce su S una struttura di spazio
affine su W.
Dimostrazione
1) Sia S il sottospazio affine di A passante per Q ed avente giacitura W. Sia
M E S e sia T il sottospazio affine passante per M ed- avente giacitura W.
Se PE S, allora si ha
--+--+ 
MP=:=MQ+ QP= - QM+ QP
che è un vettore di W perché entrambi gli addendi vi appartengono; quindi PE T.
Se viceversa PE T, allora
 ----+ --+ ---+
QP= QM+MP= -MQ+MPEW,
e quindi PES. In conclusione, S = T.
--+
2) Se P, QE S, allora PQE W perché, per la (1), S coincide con il sottospazio
affine passante per P e parallelo a W. Otteniamo quindi un'applicazione
SxSW

(P, Q)  PQ
la quale soddisfa le proprietà SAI ed SA2, perché esse sono verificate in A.

7/Spazi affini (I)
97
Figura 7.4
7 .7 Esempi e osservazioni
1. Sia A uno spazio affine reale con spazio vettori aIe associato V. Fissati un
punto QEA e un vettore non nullo aEV, l'insieme dei punti PEA tali che

QP= ta
per qualche t > O è la semiretta di origine Q e direzione 8.
Se A e B sono due punti distinti di A, il segmento di estremi A e B è l'insieme
dei punti PE A tali che
 
AP= tAB
per qualche t E R tale che O < t sI, e si denota con AB.
I pùnti P 1 , ..., Pt_1EAB che dividono il segmento in t parti uguali, cioè tali
  )
che API = P I P 2 = ... = P t - I B, sono definiti dalle condizioni
---+ i---+
APj= tAB, i=l,..., t-l.
Se in A è fissato un riferimento affine Oe I ... e n e A = A(a t , ..., a n ),
B = B(b 1 , ..., b n ), Pj = Pi(X I , ..., x n ), la condizione è equivalente alla seguente:
l
(Xl - ah ..., X n - an) = t (b l - aH ..., b n - a n )
e pertanto
(XI' ..., X n ) = + (ib l + (1 - i) al' ..., ib n + (1 - i) a n ).
In particolare, il punto medio del segmento AB ha n-upla di coordinate
(XI' ..., x n ) = ( al : b l , a 2 : b 2 , ..., a n : b n ) .

98
Geometria affine
c
c
A
8
A
B
Triangolo
Parallelogramma
Iligura 7.5
2. Sia A uno spazio affine reale, e siano A, B, GEA tre punti non allineati.
Il triangolo di vertici A, B, C è l'insieme dei punti PE A tali che
----+ ---+ ---+
AP= tAB+ uAC
per qualche t, uE R, con t, u > O e t + u:s 1.
Ilparallelogramma individuato da A, B, C (fig. 7.5) è l'insieme dei punti PE A
tali che
-+ --+ ----+
AP= tAB+ uAC
per qualche t, uE R, con O:s t, u < l.
3. Sia A uno spazio affine reale, e siano A, B, C, D E A punti non complanari.
Il tetraedro di vertici A, B, C, D è l'insieme dei punti PE A tali che
----+ -+  
AP = tAB + uAC + vAD
per qualche t, u, vER, con t, u, v > O e t+u+v < l.
Il parallelepipedo individuato da A, B, C, D (fig. 7.6) è l'insieme dei punti
PE A tali che
 ----+  
AP= tAB+ uAC+ vAD
per qualche t, u, vE R, con O S t, u, v < 1.
c
I
l
I
I
,
f
..L-
-
--"... D
_.....-
A
8
A
B
Parallelepipedo
Figura 7.6
T etraedro

7/Spazi affini (I)
99
4. I segmenti, i triangoli e i tetraedri sono casi particolari di sottoinsiemi degli
spazi affini reali chiamati "simplessi".
Sia A uno spazio affine reale, e siano Po, P 1 , ..., PkE A punti indipendenti. Il
k-simplesso di vertici Po, P t , ..., P k è-l'insieme dei punti PEA tali che
 --+ ----+ ---+
PoP= t1POP 1 + 1 2 P o P 2 + ... + tkPOP k
k
per qualche ti' t 2 , ..., lkE R, con tI' 1 2 , ..., t k > O e E ti :51.
i= l
Per k = 1, 2, 3 un k-simplesso è un segmento, un triangolo, un tetraedro rispet-
tivamente.
5. Sia A uno spazio affine reale. Un sottoinsieme S di A si dice convesso se
per ogni A, BES il segmento AB è contenuto in S (fig. 7.7).
È facile verificare che ogni sottospazio affine e ogni simplesso A sono sottoin-
siemi convessi.
Dalla definizione segue che l'intersezione di una famiglia qualsiasi di insiemi
convessi è un insieme convesso.
Se Y è un sottoinsieme di A, l'inviluppo convesso di _Cf è il più piccolo sot-
toinsieme convesso di A contenente -Y;.cioè è l'intersezione di tutti i sottoinsiemi
convessi di A che contengono _Y(fig. 7.8).
Convesso
Non convesso
Figura 7.7
[JI = inviluppo convesso di
Figura 7.8

100
Geometria affine
6. Sia A uno spazio affine con spazio vettori aie associato V. L'assiorna SAI
definisce un'applicazione
t:AxVA

che associa a una coppia (A, a) il punto B = t(A, a) tale che AB = a.
L'applicazione t gode delle seguenti"proprietà:
a) t(t(A, a), b) = t(A, a + b) per ogni A EA e a, bEV;
b) per ogni A, BEA esiste un unico aEV tale che B= t(A, a).
Ponendo infatti B = t(A, a), C = t(t(A, a), b), si ha Ai = a, BC = b, e la (a)
-+
afferma che AC = AB + BL:, che è vero per l'assiorna SAl.
La (b) è una riforrnulazione di SAI..
Viceversa, dati uno spazio vettoriale V, un insieme A e un'applicazione
t:A X V  A che soddisfa le condizioni (a), (b), resta definita su A una struttura
di spazio affine con spazio vettoriale associato V. Infatti, per la (b), t individua
un'applicazione A x A  V che soddisfa SAI, e che, per la (a), soddisfa anche SAl.
-+ -+
7. Sia A uno spazio affine e A, B, C, DEA. Se AB = CD, allora AC= Bli
(fig. 7.9).
Infatti si ha
 -+ 
AC=AB+BC
  -+
BD=BC+ CD,
e quindi
  ---+- 
AC-BD=AB- CD=O,
---+ 
cioè AC = BD.
8
D
A
c
Figura 7.9
8 Spazi affini (Il)
Sia A uno spazio affine su V in cui supponiamo fissato un riferimento affine
Oel ... e n .

8/Spazi affini (Il)
101
Sia S il sotto spazio affine passante per il punto Q(ql' ..., qn)EA e parallelo
al sottospazÌo vettoriale W di V. Scegliamo una base {Wl' ..., w s } di W, dove
wj(w li , ..., w ni ), i = l, ..., s = dim(S).
Per ogni punto P (XI , ..., x n ) E S si ha
-+-
QP= tI Wl + ... + tsw s
[8.1 ]
- per opportuni t}) ..., tsE K. Uguagliando le coordinate di primo e secondo mem-
bro della [8.1] si ottiene
XI = ql + tI W u + ... + tsw Is
X 2 = q2 + tI W 21 + ... +" t s w 2s
[8.2]
X n = qn + tI W nI + ... + tsw ns .
AI variare dei parametri t l' ..., t s E K le [8.2] danno le coordinate di tutti i punti
di S; le [8.2] sono equazioni parametriche di S.
Si noti che le equazioni parametriche [8.2] non sono univocamente determi-
nate da S, ma dipendono dalla scelta di Q e di Wl' ..., w s .
Nel caso in cui il sotto spazio affine è una retta , passante per il punto
Q(qI' ..., qJ e avente vettore di direzione a(a h ..., a n ) (fig. 8.1), le [8.2] prendono
la forma
xI=ql+a1t
X 2 = q2 + a 2 t
[8.3J
X n = qn + ant.
Le [8.3] sono equazioni parametriche della retta .
o
Ic'igura 8.1

102
Geometria affine
Quando la retta  è assegnata mediante due suoi punti distinti Q(ql' ..., qn)
e Q'(q[, ..., qn')' QQ ' è un vettore di direzione di  e nelle [8.3] si può
-
prendere a = QQ', cioè (al' ..., a n ) = (q{ - qJ, ..., q - qn).
Se n = 2, cioè se A è un piano affine, le [8.3] si riducono a due equazioni. Le
coordinate di a si denotano in questo caso di solito con l, m, le coordinate del
punto variabile con x, y e quelle del punto Q con a, b; quindi le equazioni para-
metriche di una retta in un piano affine si scriveranno:
x = a + lt
y = b + mt.
Nel caso in cui dim(A) = 3 le equazioni parametriche di una retta si scrivono
Invece
[8.4]
x = a + lt
y = b + mi
[8.5]
z = c + nt,
denotandosi con x, y, z le coordinate del punto variabile P, con l, m, n quelle
del vettore di direzione e con a, b, c le coordinate del punto QE.
Torniamo a considerare il caso generale. Un altro modo di rappresentare un
sottospazio affine mediante equazioni è dato dal seguente teorema.
8.1 TEOREMA
1) Sia
aIIX} + ... + aInX n = b I
atIX l + ... + atnX n = b n
[8.6]
un sistema di equazioni lineari nelle incognite XI' ..., X n - L'insieme S dei punti
di A le cui coordinate sono soluzioni di [8.6], se non è vuoto, è un sottospazio
affine di dimensione n - r, dove r è il rango della matrice dei coefficienti del
sistema. La giacitura di S è il sottospazio vettoriale W di V avente per equazioni
cartesiane il sistema omogeneo associato
QIlX I + ... + a1nX n = O
[8.7]
a/IX} + ... + atnX n = O.
2) Per ogni sottospazio affine S di A di dimensione s esiste un sistema di n - s
equazioni lineari in n incognite le cui soluzioni sono le coordinate di tutti e soli
i punti di S.

8/Spazi affini (Il)
103
Dimostrazione
. 1) Per ipotesi esiste un punto Q(qI' ..., qn) E S. Per ogni punto P(x 1 , ..., x n ) E S
si ha
ajl(X I - qI) + ... + ajn(x n - qn) = aj1x 1 + ... + QjnXn - (aj1ql + ... + Qjnqn) =
= b j - b j = O [8.8]
per ogni j = l, ..., t, cioè (XI - ql' ..., X n - qn) è una soluzione del sistema [8.7],

ovvero QPEW; quindi S è contenuto nel sottospazio affine E passante per Q e
parallelo a W.
s, -+
Viceversa, se P(x I , ..., xn)EE, allora QPEW e quindi le coordinate
(XI - qI' ..., x n - qn) di QP sono soluzione delle [8.7]. Si ha dunque
0= QjI(X 1 - qt) + ... + ajn(x n - qJ = ajJx 1 + ... + ajnx n - (aj1qI + ... + ajnqn)
ovvero
a j1 x 1 + ... + ajnx n = a j ) ql + ... + ajnqn = b j
per ogni j = 1, ..., t, cioè PE S. Quindi S = E ed S è un sottospazio affine.
2) Supponiamo che S C A sia il sottospazio affine passante per il punto
Q (q l' ..., q n) e avente giacitura W. Siano
aIIX 1 + ... + a1nX n = O
a n - s1 X 1 + ... + an-snJ(n = O
equazioni cartesiane di W. I punti P(x}, ..., x n ) di S sono caratterizzati dalla con-

dizione QPEW, cioè
ajI(X 1 - ql) + ... + ajn(x n - qn) = O,
j = l, ..., n - s,
ovvero
aj1x 1 + ... + ajnx n = b j ,
j==l,..., n-s
dove abbiamo posto b j = a j 1 q I + .... + a jn q n.
Dunque i punti P(x 1 , ..., Xn)ES sono precisamente quei punti di A le cui coor-
dinate sono soluzioni del sistema
allX 1 + ... + u1nX n = b I
a n - s1 X. + ... + an-snXn = b n - s ·
Le [8.6] si dicono equazioni cartesiane del sottospazio S rispetto al riferimento

/04
Geolnetria affine
Oel ... e n . È evidente che le [8.6] non sono univocamente determinate da S: due
sistemi di equazioni lineari definiscono lo stesso sottospazio affine di A se e solo
se sono equivalenti.
8.2 Osservazioni
I. Il sottospazio S di equazioni cartesiane [8.6] contiene l'origine se e solo se
b I = ... = b( = O, cioè se e solo se il sistema è omogeneo. Quindi ogni sistema di
equazioni lineari omogenee [8.7], oltre a definire un sottospazio vettoriale W di
V, definisce anche un sottospazio affine S di A passante per l'origine e avente
per giacitura W. Per ogni punto P(x 1 , ..., Xn)ES il vettore w(x t , ..., x n ) avente le
stesse coordinate di P appartiene alla giacitura W di S; si ottiene così una corri-
spondenza biunivoca tra S e la sua giacitura W.
2. Dal teorema 8.1(2) segue che ogni iperpiano H di A si rappresenta con
un'equazione cartesiana
aIX 1 + ... + anX n = b,
in cui al' ..., anE K non sono tutti uguali a O. In particolare, se dim(A) = 2 ogni
retta di A ha un'equazione cartesiana della forma
aIX 1 + a 2 %2 = b.
Analogamente, se dim (A) = 3 ogni piano di A ha un'equazione cartesiana della
forma
atX 1 + Q2 X 2 + a 3 X 3 = b.
L'iperpiano H dello spazio affine A contiene l'origine se e solo se b = O. In
particolare, per ogni j = l, ..., n, l'iperpiano di equazione
x.=O
I
passa per l'origine; esso si dice j-esimo iperpiano coordinato.
8.3 DEFINIZIONE Siano S e T due sottospazi affini di A, aventi giaciture W
ed U rispettivamente, di dimensione maggiore di zero.
S e T si dicono paralleli se W C U oppure U C W. Scriveremo talvolta S Il T
come sinonimo di ccs e T sono paralleli".
Se dim(S) = dim(T), allora Se T sono paralleli se e solo se W = U; in partico-
lare due sottospazi affini uguali sono paralleli. Nella figura 8.2 sono rappresen-
tati due piani paralleli dello spazio ordinario.
Nel caso in cui S e T sono due rette il loro parallelismo significa che hanno
la stessa direzione, cioè che hanno vettori di direzione proporzionali.

8/Spazi affini (Il)
105
T
Figura 8.2
Se il sottospazio affine S è contenuto nel sottospazio affine T, allora S è paral-

lelo a T: infatti al variare di P, QES, il vettore QP descrive la giacitura W di S,
ma è anche contenuto in quella U di T perché P, Q E T. Quindi W C U.
8.4 PROPOSIZIONE Siano S, T C A due sottospazi affini paralleli, tali che
dim(S)  dim(T).
.
l) Se S e T hanno almeno un punto in comune, allora Se T.
2) Se dim(S) = dim(T), ed S e T hanno almeno un punto in comune, allora
S= T.
Dimostrazione

1) Sia QE S n T. Per ogni PE S si ha QPE W C U, quindi PE T; dunque Se T.
2) Se dim(S) = dim(T), allora W = U: dalla (1) si deduce che S C T e Te S,
cioè S = T.
8.5 COROLLARIO Se S è un sottospazio affine di A e PE A, esiste un unico
sottospazio affine T contenente P, parallelo a S e tale che dim(T) = dim(S).
Dimostrazione
Segue immediatamente dalla (2) del teorema 8.4.
Nel caso in cui A è il piano affine ordinario ed S una retta, il coroIlario 8.5
è equivalente al quinto postulato della geometria euclidea piana (il cosiddetto
"postulato delle parallele' '). Gli assiorni di piano affine implicano quindi la vali-
dità di tale postulato in un piano affine qualunque.
8.6 Esempio
Siano V uno spazio vettoriale su K e W un sottospazio vettoriale di V. Dalla
proposizione 8.4(2) segue che, se v, v' E V, i due sotto spazi affini v + W e VI + W
di Va O coincidono oppure sono disgiunti. Da ciò segue che la famiglia dei 80t-
tospazi affini di Va aventi giacitura W costituisce una partizione di V. L'insieme

/06
Geometria affine
quoziente di V rispetto a tale partizione, cioè l'insieme i cui elementi sono i 80tto-
spazi affini di Va aventi giacitura W, si denoterà con V /W .
Si noti che v + W = v' + W se e solo se VI E v + W, perché ciò equivale alla con-
dizione
(v + W) n (v' + W)  0
cioè all'esistenza di w, w I E W tali che v + w = VI + w I, cioè alla condizione
VI = v + (w - w/)EV + W.
Definiamo un'operazione di somma in V/W ponendo
(VI + W) + (v 2 + W) = (VI + v 2 ) + W.
Quest'operazione è ben definita, perché non dipende dai vettori VI e V 2 che sono
stati scelti per rappresentare i due sottospazi. Infatti, se
VI+W==V+W, V2+W=V+W,
allora v = VI + Wl' v = V 2 + w 2 per qualche Wl' W 2 EW e quindi
(v + v) + W = (VI + V 2 + Wl + w 2 ) + W = (VI + v 2 ) + W.
Definiamo in V /W un' operazione di moltiplicazione per elementi di K ponendo
c(v + W) = cv + W.
Anche quest'operazione è ben definita, perché v + W = VI + W significa
V' = v + W, wEW, e quindi
evI + W = c(v + w) + W = (cv + cw) + W = cv + W.
Lo zero rispetto alla somma in V /W è il sotto spazio W = O + W, come si vede
subito. È immediato verificare che V/W, con le operazioni che abbiamo intro-
dotto, è un K-spazio vettoriale, che si chiama spazio vettoriale quoziente di V
modulo W (oppure rispetto a W).
Si noti che se V = W, lo spazio V/W possiede un unico elemento, V stesso,
e quindi si identifica con lo spazio costituito dal solo vettore nuIIo. Se invece
W = (O), i sotto spazi affini di giacitura W sono i punti di Va' cioè lo spazio V/W
coincide con V.
8.7 DEFINIZIONE Due sottospazi affini S e T di A non parai/eli si dicono
sghembi (incidenti) se sono privi di punti in comune (se hanno almeno un punto
in comune) (fig. 8.3).
Consideriamo due sottospazi affini S e T, con dim(S) = s, dim(T) = t. Suppo-

8/Spazi affini (Il)
107
Incidenti
Figura 8.3
Sghembi
niamo che essi abbiano equazioni cartesiane:
n
S: .1: mij10 = b j ,
J=I
i=I,..., n-s,
[8.8]
n
T: .1: n kj 10 = C k ,
J=1
k = l, ..., n-t.
[8.9]
L'intersezione S n T è il luogo dei punti di A le cui coordinate sono simulta-
neamente soluzioni delle equazioni cartesiane di S e di T; quindi i punti di S n T
si ottengono in corrispondenza delle soluzioni del sistema
n
E m..X. = b.
. I IJ J l'
J=
i=I,...,n-s,
[8.10]
n
1: nk.X. = c k
. I J J '
J=
k=l,..., n-t.
Per il teorema 8.1 il sistema [8.10], se ha soluzioni, rappresenta un sottospazio
affine. Quindi, se non è vuoto, S n T è un sottospazio affine di A.
La dimensione di S n T è uguale a n - r, dove r è il rango della matrice dei
coefficienti del sistema [8. IO]. Poiché
r '5: n - s + n - t = 2n - (s + t),
si ha che, se sn T0,
dim(S n T) = n - r > n - [2n - (s + t)] = s + t-n.
[8. I l]
D'altra parte, essendo S n T contenuto sia in S che in T, la sua dimensione
non può superare il minimo tra s e t.
Riassumendo quanto detto, possiamo enunciare la seguente proposizione.
8.8 PROPOSIZIONE L'intersezione S n T di due sottospazi affini S e T di A,
se non è vuota, è un sottospazio affine tale che
dim(S) + dim(T) - dim(A):5 dim(Sn T):5 min[dim(S), dim(T)].
[8.12]

108
Geometria affine
Dalla dimostrazione segue che nella [8.12] sussiste la seconda uguaglianza se
e solo se S C T oppure T C S. Se invece S e T sono paralleli e disgiunti, allora
S n T = 0. Il caso in cui vale la prima uguaglianza nella [8.12] è considerato nella
proposizione seguente.
8.9 PROPOSIZIONE Siano S e T sottospazi affini di A di giaciture W e U rispet-
tivamente. Allora S n T # 0 e
dim(Sn T) = dim(S) + dim(T) - dim(A)
[8.13]
se e solo se V = W + U.
Dimostrazione
Supponiamo che S e T abbiano equazioni cartesiane [8.8] e [8.9] rispetti-
vamente. La [8.13] sussiste precisamente quando S n T 0 e si ha l'ugua-
glianza nella [8.11]. La [8.11] si può leggere come una relazione tra s = dim(W),
t = dim(U) e dim(W n U) = dim(S () T), ed è una conseguenza diretta della
formula di Grassmann. Più precisamente, la formula di Grassmann afferma
che la [8.11] è un'uguaglianza se e solo se n = dim(W + U), cioè se solo se
V = W + U. Per concludere è quindi sufficiente mostrare che in questo caso il
sistema [8.10] è compatibile. Ma la matrice dei coefficienti del sistema [8.10] ha
rango r = (n - s) + (n - t) = 2n - (s + t), che è il numero delle sue righe, e la
matrice orlata ha lo stesso numero di righe e quindi lo stesso rango: il sistema
è compatibile per il teorema 5.7.
Applicate ai casi dim(A) = 2,3, le proposizioni 8.8 e 8.9 permettono di ritro-
vare i risultati sulla posizione reciproca di rette e piani che sappiamo essere veri
nel piano e nello spazio ordinari. Nei paragrafi 9 e IO tratteremo questi casi diret-
tamente senza ricorrere a questi risultati.
Un caso particolare importante della proposizione 8.9 è quello in cui le giaci-
u = (u)
}'igura 8.4

8/Spazi affini (Il)
109
ture W e U dei sottospazi affini S e T sono supplementari in V, cioè tali che
V = W EB U: poiché in questo caso dim(S) + dim(T) = dim(A), la [8.13] afferma
che S e T hanno un solo punto in comune. Ciò è quanto avviene ad esempio per
due rette non parallele in un piano affine, oppure per un piano e una retta non
paralleli in uno spazio di dimensione 3.
Da quest'osservazione si deduce la seguente costruzione geometrica. Sia S un
sottospazio affine di dimensione s di A, e sia W la sua giacitura. Fissiamo un sot-
tospazio vettoriale U di V tale che W E9 U = V. Per il corollario 8.5, per ogni punto
PEA esiste un unico sottospazio affine T p . 1J contenente P e avente giacitura U.
Dalla [8.13] segue che S n T p . u == {Q}. L'applicazione Ps.u: A --+ S, definita
ponendo PStu(P) = Q, è chiamata proiezione di A su S parallela a U.
Se dim(U) == l, allora S è un iperpiano e Ps,u è la proiezione di A su Snella
direzione U. La figura 8.4 si riferisce allo spazio ordinario.
Esercizi
l. In A 3 (C) sia ft il piano di equazione 2X + Y - 1 = O. In ciascuno dei seguenti casi
calcolare le coordinate di Pu (x, y, z), dove Pu: A 3 -+ft è la proiezione, (x, y, z) E A 3
è un punto variabile e u E C 3 è il vettore
a) (1, O, O)
b) (i, O, O)
c) (2i, i, l)
d) (O, i, 2).
2. Sia A uno spazio affine reale con spazio vettoriale associato V. Si supponga fissato
un riferimento affine Del ... ell.
Sia H C A un iperpiano di equazione
al Xl + ... + a/ 1 X I1 + c = O.
I sottoinsiemi di 
E + = (P(Xh ...., XII) : a}x) + .... + a/IX/l + c > O)
E_ = (P(x" ...., X,,) : al X, + ... + a ll x ll + c < O)
sono i semispa-:.i di A definiti da H. Dalla definizione segue che
E, n E_ = H
E. U 1; = A.
Verificare che la definizione di semispazio non dipende dall'equazione né dal sistema
di riferimento.
Dimostrare che i semi spazi sono sottoinsiemi convessi di A.
Se dim(A) = l, (dim(A) = 2), i semispazi sono chiamati semi rette (semipiani). Se
dim (A) = l, dimostrare che una semiretta, così definita, coincide con una semiretta
di A come definita in 7.7(1).
(Suggerimento. Verificare che E io e E_ sono caratterizzati dalla seguente proprietà
geometrica: fissato PoE E-r (rispettivamente PoE E ), il punto PE E+ (il punto PE E_)
se solo se il segmento PoP è interamente contenuto in E -t (in E. ».
3. Sia A uno spazio affine reale e siano A, B, C, D punti indipendenti di A. Dimostrare
che il triangolo di vertici A, B, Cè )'inviluppo convesso di (A, B, C) e che il tetraedro
di vertici A, B, C, D è l'inviluppo convesso di fA, B, C, DJ.

110
Geomelria affine
9 Geometria in un piano affine
In questo paragrafo considereremo il caso dei piani affini, cioè degli spazi affini
di dimensione 2 su K. Tra questi rientra come caso particolare il piano ordinario,
che è un piano affine reale.
Consideriamo dunque uno spazio vettoriale V su K, tale che dim(V) = 2, e un
piano affine A su V. Fissiamo un riferimento affine OeI e 2 in A e denotiamo con
x, y le coordinate di un punto variabile PE A e con X, Y indeterminate. I sotto-
spazi affini di A sono le rette, oltre ad A stesso e ai punti di A.
Ogni retta  di A ha equazioni parametriche
x = a + It
[9.1]
y = b + mt
in cui Q(a, b) è un punto qualsiasi di  e v(l, m) è un vettore di direzione di .
Poiché ha codimensione 1 in A, la retta  si può anche rappresentare per mezzo
di un'equazione cartesiana
AX + BY + C = O,
[9.2]
per opportuni A, B, CE K tali che (A, B)  (O, O). Le costanti A, B, C sono
individuate da  solo a meno di un comune fattore di proporzionalità non nullo,
e quindi una retta  possiede infinite equazioni [9.2], tutte tra loro proporzio-
nali. La retta t- di equazione [9.2] contiene l'origine O se e solo se C = O. Le rette
di equazioni X = O e Y = O si dicono assi coordinati, rispettivamente asse delle
Y e asse delle x.
Per ottenere un'equazione cartesiana della retta  a partire da sue equazioni
parametriche [9.1], cioè una volta noti un suo punto Q(a, b) e un suo vettore di
direzione v (I, m), si può osservare che le [9.1] esprimono la condizione che il vet-
--+
tore QP sia parallelo a v, e che la stessa condizione può esprimersi imponendo
che (x, y) sia soluzione dell'equazione in X, Y:
X-a Y-b =0
l m
[9.3]
cioè
m(X - a) - I(Y - b) = O,
[9.4]
o, equivalentemente,
mX - IY + lb - ma = o.
[9.5]
L'equazione [9.3] è soddisfatta da tutti e soli i punti P(x, y) E. Quindi la [9.3],
oppure la [9.4] o la [9.5], è un'equazione cartesiana di .

9/Geomelria in un piano affine
111
Se la retta  è assegnata mediante due suoi punti distinti Q(a, b) e Q'(a', b'),
-+
allora come vettore di direzione si può prendere v(a' - a, b' - b) = QQ' e la [9.3]
prende la forma
X-a Y-b
a' - a b' - b
= o.
[9.6]
9.1 PROPOSIZIONE Siano  ed' due rette di A di equazioni cartesiane
AX +BY + C= O,
e
A'X+B'Y+C' =0
rispettivamente. Allora:
l)  ed' sono parallele se e solo se la matrice
(, :,)
[9.7]
ha rango 1, cioè se AB I - A I B = O.
2) Se  ed ' sono parallele, allora sono disgiunte oppure coincidono a seconda
che la matrice
( ,
B
,)
[9.8]
B'
abbia rango 2 oppure 1.
3)  ed ' hanno uno e un solo punto in comune se e solo se la matrice [9.7]
ha rango 2. In questo caso il punto  n' ha coordinate
CB' - C'B
x=
o AB'--A'B'
AC'-A'C
==
o AB' - A' B ·
[9.9]
Dimostrazione
Le direzioni di  e di ' sono determinate dalle equazioni omogenee
AX +BY= O,
e
A'X+B'Y=O
rispettivamente. Quindi  ed' sono parallele se e solo se A' = pA, B' = pB
per qualche p;é O in K, cioè se e .solo se la [9.7] ha rango 1. Ciò prova la (1).

/12
Geolnetria affine
La matrice [9.8] ha rango 1 se e solo se le equazioni di  e di ' sono propor-
zionali, cioè se e solo se  = ' . Quindi, se la [9.8] ha rango 2 e la [9.7] ha rango
l,  ed' sono distinte e, per la (1), parallele, e pertanto non hanno punti in
comune. La (2) è dimostrata.
Infine, la [9.7] ha rango 2 se e solo se  ed' non sono parallele. In questo
caso, per il teorema di Cramer, il sistema costituito dalle equazioni di  e di t-'
ha un'unica soluzione (x o , Yo) data dalla [9.9]. Ciò prova la (3).
I casi che vengono considerati nell'enunciato della proposizione 9.1 sono tutti
quelli che si possono presentare per la posizione reciproca di due rette di A, per-
ché corrispondono a tutte le possibilità per un sistema di due equazioni lineari
in due incognite. In particolare vediamo che l'unica possibilità perché due rette
 ed' non abbiano punti in comune è che la [9.7] abbia rango 1 e la [9.8] abbia
rango 2, e questo caso corrisponde al parallelismo di  ed '. Quindi due rette
di un piano affine non possono essere sghembe.
Sia Q(x o , Yo) E A. L'insieme 4> i cui elementi sono le rette di A passanti per Q
si dice fascio proprio di rette e Q si dice il suo centro (fig. 9.1).
Siano
AX +BY + C=O
A'X+B'Y+C'==O
equazioni cartesiane di due rette distinte, aventi in comune il centro Q di 4>. Siano
À, p E K due scalari non entrambi nulli; la retta di equazione cartesiana
À(AX + BY + C) + p, (A , X + B' Y + C') == O
[9. lO]
passa per Q e quindi appartiene al fascio 4>.
Viceversa, se E 4> e P(x, y) E  è un punto diverso da Q, la condizione
À(Ax+ By + C) + p(A'x+ B'y + C') == O
[9.11 ]
è un'equazione lineare omogenea in À e p che ha un'unica soluzione, determinata
Figura 9.1

9/ Geometria in un piano affine
113
a meno di un fattore di proporzionalità: la retta [9.10] in cui À. e IL soddisfano
la [9.11] appartiene a cp e passa per P, quindi coincide con .
Pertanto tutte le rette di cp si rappresentano nella forma [9.10]; una retta di
cp determina À., IL solo a meno di un fattore di proporzionaIità.
Un caso particolare della [9.10] si ha prendendo  ed' parallele agli assi:
si ottiene che ogni retta del fascio cp si può scrivere nella forma
À.(X - xo) + p,(Y - Yo) = O
per opportuni À., /l.
I fasci di rette sono utili in pratica soprattutto quando il punto Q è individuato
da due rette che lo contengono ma le sue coordinate non sono note, e si vuole
individuare una retta contenente Q soddisfacente a condizioni assegnate, ad esem-
pio la condizione di passare per un punto P diverso da Q, oppure di essere paral-
lela ad una retta assegnata.
È talvolta più conveniente utilizzare un solo parametro non omogeneo t, invece
della coppia di parametri omogenei À., Jl. In altre parole, anziché nella forma [9.10],
,i può scrivere la retta variabile nel fascio nella forma
AX + BY + C + t(A' X + B' Y + C') = O,
[9.12]
e la condizione di passaggio [9.11] diventa un'equazione lineare in t:
Ax + By + C + t (A' x + B I Y + C') = O,
[9.13]
la cui soluzione, se esiste, determina la retta cercata.
Si faccia però attenzione: nella forma [9.13] si rappresentano tutte le rette del
fascio <P ad eccezione della retta
A'X+B'Y+C'==O.
[9.14]
Ciò corrisponde al. fatto che l'equazione [9.13] è incompatibile se (e solo se)
A'x+B'y+C' =0
e
Ax+By+ C;éO,
cioè se P;é Q e P appartiene alla retta [9.14].
Con questa avvertenza, si può sempre utilizzare un parametro non omogeneo
per determinare una retta del fascio CP, purché si interpreti nel modo detto l'equa-
zione [9. 13] quando essa risulti incompatibile.
Considerazioni simili alle precedenti si possono fare nel caso dei "fasci impro-
pri". Dato un vettore non nullo v E V, l'insieme i cui elementi sono le rette di A
aventi direzion (v) è unfascio improprio di rette, e (v) è la sua direzione (fig. 9.2).
Data una retta del fascio improprio CP, di equazione
AX + BY + C = O,

114
Geomelria affine
ogni altra retta di cp è della forma
AX+BY+t=O
al variare del parametro l E K. Ciò segue immediatamente dalla proposizione 9.1.
Per ogni punto P(x, y)EA esiste un'unica retta di cp contenente P, che è quella
corrispondente al valore"
l = - (Ax + By).
Si noti che, mentre per individuare un fascio proprio sono necessarie due sue
rette, un fascio improprio è individuato una volta assegnata una sola sua retta.
Il motivo di ciò sarà chiaro quando, nel capitolo 3, interpreteremo i fasci daI punto
di vista dalla geometria proiettiva.
9.2 Esempio
Sia C(x o , Yo) E A e sia P(x, y) un altro punto qualsiasi. Il punto simmetrico di
) --+ "
P rispetto a C è il punto uc{P) tale che C(Jc(P) = PC (cfr. esempio 7.5(4». Le
coordinate x' , y' di (Jc(P) sono individuate dalla condizione
(x' - Xo, y' - Yo) = (x o - x, Yo - y)
e quindi sono
(x' , y') = (2x o - x, 2yo - y).
Sia  la retta di equazioni parametriche
x=a+lt
y = b + mI.
Se P(a + Il, b + mt)E, il punto (Jc{P) è
(2x o - a -Il, 2yo - b - mI).
Da ciò discende che aI variare di PE il punto (Jc(P) descrive la retta di equa-
zioni parametriche
x = 2x o - a - Il
Y = 2yo - b - mi,
.
v
Figura 9.2

9/Geometria in un piano affine
/15
che denotiamo con (1c(). Si noti che (1c() passa per (1c(Q), dove Q(a, b) E, ed
è parallela a , avendo un vettore-di direzione di coordinate (-l, - m».
Il risultato seguente è una generalizza:zione del classico teorema di Talete a piani
affini qualunque.
9.3 TEOREMA (TALETE) Siano H, H', H" rette parallele e distinte del piano
affine A, ed I' 2 due rette non parallele ad H, H', H". Siano inoltre
p. = . n H p.' = . n H' p. H = . n H"
/ l , l l , l l ,
i = l, 2,
e k I , k 2 EK tali che
 
p.p." = k.P.P.'
l l l l l'
i = l, 2.
Allora k) = k 2 .
Dimostrazione
Supponiamo 1  2 (fig. 9.3), perché se I = 2 il teorema è banalmente vero.
Salvo scambiare tra loro due delle rette H, H' , H" , possiamo supporre P 1 ;é P 2 .
---+
Poniamo v = P 1 P 2 . Si ha
--+
P 2 P; -P 1 P; ==P{P; -P 1 P 2 ==av
) ) ) 
P 2 P;' - P 1 P( = Pt pr - P 1 Pz = {3v
per opportuni ex, {3 E K.
Se ex = O, 1 ed 2 sono parallele; allora anche (3 == O, perché se fosse (3 ;é O il
1
2
...
v
Figura 9.3

116
Geometria affine
vettore v sarebbe parallelo a I e a 2' contro l'ipotesi. In questo caso:
)  
P 2 pr = k 2 P 2 Pl == k 2 P 1 P(
) )
P1P{' = kIP1Pt
) )
e poiché pl.pr = PP; otteniamo k I = k 2 .
Se Ci #. O allora
) )  
P2 P {' - P 1 P (I = {3 V = Ci - I {3 (Ci v) == Ci I {3 P 2 P; - ex - I {3 P, P ( .
[9.15]
D'altra parte si ha anche
) ) --7 --7
P 2 pr - P 1 P{' = k 2 P 2 P; - k I P 1 P{ ·
[9.16]
 --7
Poiché ex;é O, P 1 P{ e P 2 P; non sono paralleli, e quindi ono linearmente
indipendenti. Confrontando [9.15] e [9.16] deduciamo che k 2 = Ci '{3 == k I.
Il teorema di Talete afferma essenzialmente che lo scalare k = k l == k 2 dipende
solo da H, H', H" e non daU€ rette trasversali I' 2. Un caso particolare si
ottiene prendendo I ed 2 incidenti in un punto OE H. In questo caso si ha
  ---+- 
P 1 == O = P 2 e il teorema afferma che OP{' = kOP!, OPi' == kOP; .
Utilizzando il teorema di Talete dimostreremo ora due importanti risultati di
geometria affine piana.
9.4 TEOREMA (PAPPa) Siano H e H' due rette distinte, del piano affine A.
Siano P, Q, R E H, p l , Q', R' E H' punti dislint nessuno dei quali comune ad
H e ad H'. Se PQ 'll p1Q e QR 'II Q'R , allora PR'II P'R .
Dimostrazione
Supponiamo che N e H' non siano parallele, e sia {OJ == Nn H' (fig. 9.4).
""igura 9.4

9/Geometria in un piano affine
/17
Per il teorema di Talete si ha, per opportuni h, kE K*:
 
OP' = kOQ' ,
 
OQ' = hOR',
--+ ---+
OQ = kOP perché
-+- -+-
OR = h OQ perché
PQ ' II P'Q ,
QR' Il Q' R .
Ma allora:
  ---+- ----+ -+
PR' = OR' - OP= h-tOQ' - k-IOQ
  ---+ ---+ ---+.
RP' = OP' - OR = kOQ' - hOQ,
---+ ---+ - -
e quindi RP' = hkPR /, cioè RP'II PR'.
Se HIJH', allora .si ha
--+ ----+
PQ= Q'P'
---+ ---+
QR = R'Q'
perché PQ 'II p' Q ,
perché QR ' Il Q' R ,
e quindi
--+ ---+ ---+ ----+  
PR=PQ+QR=Q'P' +R'Q' =R'P'.
Pertanto PR 'II p' R .
Esistono altre versioni del teorema di Pappo, per le quali rinviamo il lettore
a [7] e [2]. II secondo teorema che vogliamo dimostrare è dovuto a Desargues.
9.5 TEOREMA (DESARGUES) Siano A, B, C, A', B', C'E A punti a tre a tre
non allineati, tali che AB II A'B ', BC II B'C ', AC II A'C '. Allora le tre rette
- - -
AA', BB', CC' sono parallele oppure hanno un punto in comune.
Dimostrazione
Supponiamo che AA ', BB ', CC ' non siano parallele. Allora due di esse si
incontrano, e possiamo quindi supporre che AA ' n BB ' = {O} (fig. 9.5).
--
Per il teorema di Talete applicato ad AB, A' B' si ha
---+ --+  ---+
OA' = kOA, OB' = kOB, kE K.
Sia (C" ) = OC n A' C' . Per il teorema di Talete applicato ad AC, A' C' si ha
---+ ---+
OC"=kOC
[9.17]
---+ ----+ - -
perché OA' = kOA. D'altra parte, posto {C'" } = OC n B' C', il teorema di Talete

118
Geometria affine
Figura 9.5
applicato alle rette BC , BI C I implica che
 ----+-
OCI" = kOC
[9.18]
---+- ---+-
perché OBI = kOB. Confrontando le [9.17] e [9.18] vediamo che C" = CHI = CI,
e quindi O, C, C' sono allineati.
Questi due teoremi hanno anche versioni proiettive che vedremo nel capitolo
3. La loro importanza è dovuta soprattutto alla relazione che hanno con la carat-
terizzazione degli spazi affini per mezzo di proprietà di natura grafica. (Per det-
tagli su quest'argomento cfr. [7] e [12].)
Esercizi
1. Stabilire quali delle seguenti sono terne di punti allineati di A 2 (R):
a) [ G · 2). G · 100). G · :) J
b) {(I, 1), (I, -1), (-1, l)}
c) [ e · :) , ( -  ' - ) , G ' :) J.
2. Determinare un'equazione cartesiana della retta t" di A 2 (R) contenente i punti P e
Q in ognuno dei casi seguenti:
a) P = (1, :) . Q = G ' l)
b) P=(O, 172), Q=(i, O)

IO/Geometria in uno spazio affine di dimensione 3
119
c) P =.J, n.J,', Q = t () t' , dove .J" J,;', t, t' sono le rette
.J,:X+5Y-8=0, .1.--':3X+6=0, t:5x_L=I, !':X-Y=5.
2
3. Determinare equazioni parametriche della retta di A 2 (C) paraIlela al vettore v e pas-
sante per il punto  nJ,; in ciascuno dei casi seguenti:
a) v = (2, 4), : 3X - 2 Y -7 = O, .1.--: 2X + 3 Y = O
b) v=(-52, 7), : X- Y=O, .J,: X+ Y=l.
4. Siano P = (2, 3), Q = (11, - -JS) E A 2 (R). Determinare il punto medio del segmento
PQ.
5. In A 2 (R) siano P = (1, - 1), Q = (2, 15/2). Determinare i punti che suddividono il
segmento PQ in 4 parti uguali.
6. Dimostrare la seguente generaIizzazione del teorema di Talete.
In uno spazio affine A su K siano H, H', H" iperpiani paralleli e distinti, e siano
h t- 2 rette non parallele ad H, H', H". Siano P i = i n H, P/ = i n H' ,
p/, = i n HO , i = l, 2, e siano k I , k 2 E K gli scalari tali che
 -----+
PiPr = kiPiP/ , i = 1, 2.
allora k I == k 2 .
lO Geometria in uno spazio affine di dimensione 3
Considereremo ora il caso degli spazi affini di dimensione 3. Tra questi rientra
come caso particolare lo spazio ordinario.
Supponiamo assegnato un K-spazio vettori aie V di dimensione 3 e uno spazio
affine A su V. Fissiamo un riferimento affine Oel e 2 e 3 in A; denotiamo con x,
y, z le coordinate di un punto variabile PEA e con X, Y, Z indeterminate.
I sottospazi affini di A sono i piani e le rette, oltre ad A stesso e ai suoi punti.
Un piano ft di A passante per un punto Q(qt, q2' q3) ha equazioni parame-
triche della forma
x = ql + al U + b I v
y = q2 + a 2 u + b 2 v
Z=q3+ a 3 u + b 3 v ,
[10.1]
dove {a(a 1 , a 2 , a 3 ), b(b l , b 2 , b 3 )} è una base della giacitura W del plano
(fig. IO. I).
Il piano ft, avendo codimensione l, si rappresenta anche con un'equazione

/20
Geometria affine
Figura 10.1
cartesiana
AX+BY+ CZ+D=O
[10.2]
per opportuni A, B, C, DE K tali che (A, B, C) # (O, O, O). Le costanti A, B, C,
D sono individuate da Iv solo a meno di un comune fattore di proporzionalità
non nullo.
Il piano Iv contiene l'origine O se e solo se D = O. I piani di equazione X = O,
Y = O, Z = O si dicono piani coordinati, e rispettivamente piano YZ, piano XZ,
piano XY.
Possiamo ottenere un'equazione cartesiana [10.2] di Iv a pre dalle [10.1]
osservando che esse esprimono la dipendenza lineare dei vettori QP, a, b; le [10.1]
sono pertanto equivalenti all'annullarsi del determinante della matrice le cui righe
sono le coordinate di questi vettori. Quindi il punto P(x, y, z) appartiene al piano
passante per Q(ql' q2' q3) e parallelo a (a (al' a 2 , a 3 ), b(b l , b 2 , b 3 » se e solo
se le sue coordinate soddisfano l'equazione in X, Y, Z
X-q} Y-q2 Z-q3
al a 2 a 3 -O
- .
b} b 2 b 3
[10.3]
Espandendo il primo membro della [10.3] secondo la prima riga, e ponendo
A= a 2 °3 B=- a J °3 C= al °2 [10.4]
, , ,
b 2 b 3 b I b 3 b l b 2
si ottiene
A(X - ql) + B(Y - q2) + C(Z - q3) = o.
[10.5]
Si noti che A, B, C, non sono tutti nulli: ciò segue dalla loro definizione e dal

IO/Geometria in uno spazio affine di dimensione 3
121
fatto che a e b sono linearmente indipendenti. Se poniamo
D = - Aq] - Bq2 - CQ3'
possiamo scrivere la [10.5] nella forma
[ l O . 6]
AX + BY + CZ + D = o.
[lO. 7]
La [10.7] è soddisfatta da tutti e soli i punti P(x, y, z)Eft e quindi è un'equa-
zione cartesiana del piano ft ·
Se ft è assegnato mediante tre suoi punti non allineati Po(x o , Yo, zo), P 1 (Xl'
--+ ---+
YI' ZI)' P2(X 2 , Y2' Z2)' la sua giacitura è generata dai vettori POP) e P O P 2' e la
[10.3] prende la forma seguente:
X-X o Y-Yo Z-Zo
Xl - Xo YI - Yo Z l - Zo = O. [10.8]
x 2 - XO Y2 - Yo Z2 - Zo
La [10.8] è un'equazione cartesiana del piano passante per i punti Po, P h P 2 .
Una retta  C A ha equazioni parametriche della forma
X = a + It
Y = b + mI
[10.9]
z = c + nl,
dove Q(a, b, c)E e v(/, m, n) è un suo vettore di direzione. La retta  può
anche essere definita da due equazioni cartesiane, cioè come intersezione di due
piani, perché ha codimensione 2:
AX +BY + CZ +D= O
A'X+B'Y+C'Z+D' =0.
[10.10]
La direzione di  è il sottospazio vettori aie di dimensione 1 di V definito dal
sistema omogeneo associato
AX + B Y + CZ = O
A I X + B' Y + C' Z = o.
[10.11]
Da ciò segue che il vettore v(/, m, n) di coordinate
B C A C A B
1= , m=- n=
B' C' A' C' A' B'
è un vettore di direzione di, perché (I, m, n) è una soluzione non nulla del sistema
[10.11].

122
Geometria affine
Quest'osservazione fornisce un metodo pratico per calcolare un vettore di dire-
zione di una retta  assegnata mediante equazioni cartesiane [10.10].
Se viceversa la retta  è assegnata mediante un suo punto Q(a, b, c) e un suo
vettore di direzione v (I, m, n), ovvero per mezzo delle [10.9], se ne possono otte-
nere equazioni cartesiane imponendo la condizione che si annullino i minori di
ordine 2 della matrice
(Xa
Y-b Z-C ) .
m n
[10.12]
Infatti questa condizione nelle indeterminate X, Y, Z è soddisfatta dalle coor-

dinate dei punti P(x, Y, Z)EA tali che il vettore QP sia proporzionale a v, cioè
dai punti di .
Supponendo ad esempio I # O, la condizione detta è equivalente alle due equa-
zioni seguenti:
m(X - a) -/(Y - b) = O
n(X - a) -/(Z - c) = O,
[10.13]
cioè alle
mX - IY - (ma - Ib) = O
nX - IZ - (na -" Ic) = O,
[10.14]
che sono equazioni cartesiane di due piani distinti contenenti  (che i due piani
sono distinti segue dal fatto che, essendo I # O, la matrice dei coefficienti delle
incognite delle due equazioni [10.14] ha rango due), i quali quindi definiscono
. Si noti che le [10.13] implicano l'annullamento del rimanente minore della
[10.12]:
n(Y - b) - m(Z - c) = 1-1{m[n(X - a) -1(Z - c)] - n [m (X - a)-
-/(Y - b)]} == o.
10.1 PROPOSIZIONE Siano ft e ft' due piani di A, di equazioni cartesiane
AX +BY+ CZ +D= O,
A I X + B' Y + C' Z + D' = O
[10.15]
rispettivamente. Allora:
1) ft e ft' sono paralleli se e solo se la matrice
B
,
,)
[10.16]
B '
ha rango 1.

IO/Geometria in uno spazio affine di dimensione 3
123
2) Se la matrice [10.16] ha rango 1, allora ft e ft' sono paralleli e disgiunti
oppure coincidono a seconda che la matrice
B
C D )
C' D'
[10.17]
(,
B'
abbia rango 2 oppure 1.
3) Se ft e ft' non sono paralleli, allora sono incident(e ftrìft' è una retta;
ciò avviene se e solo se la matrice [10.16] ha rango 2.
Dimostrazione
I casi considerati nell'enunciato corrispondono alle possibilità che si hanno per
il sistema [10.15], di cui la [10.16] e la [10.17] sono rispettivamente la matrice
dei coefficienti e la matrice orlata.
Poiché le giaciture di ft e di ft' sono determinate dalle equazioni omogenee
associate
AX + BY + CZ= O
A' X + B' Y + C' Z = O,
[10.18]
il parallelismo di ft e ft' è equivalente alla condizione che le [10.18] siano pro-
porzionali, cioè che la [10.16] abbia rango 1. In questo caso la matrice [10.17]
ha rango l o 2 rispettivamente, a seconda che il sistema [10.15] sia compatibile
oppure no, cioè che ft n ft' # 0 oppure ft n ft' = 0. Nel primo caso dev'essere
ft = ft' perché i due piani sono paralleli. Ciò dimostra (1) e (2).
Per la (1) la [10.16] ha rango 2 se e solo se ft e ft' non sono paralleli.
In tal caso il sistema [10.15] è compatibile, perché anche la [10.17] ha rango 2.
Il sistema [10.15] possiede 00 I soluzioni e ft n ft' è una retta. Anche la (3) è
dimostrata.
Passiamo ora a considerare il caso di una retta e di un piano. La proposizione
seguente descrive tutti i casi che si possono presentare nella loro posizione relativa.
10.2 PROPOSIZIONE Sia  una retta di equazioni parametriche [10.9] e carte-
siane [10.10], e sia ft" un piano di equazione
A" X + B" Y + C" Z + D" = o.
[10.19]
1)  e ft" sono paralleli se e solo se
A
B C
B' C' =0
B" C"
[10.20]
A'
AH

/24
Geomelria affine
o, equivalentemente, se e solo se
A"I+B"m+C"n=O.
[10.21]
2) Se la [10.20] è soddisfatta, allora  e ft" sono paralleli e disgiunti oppure
coincidono a seconda che la matrice
A
B
C D
[10.22]
A' B' C' D'
A" B" C"
abbia rango 3 oppure 2.
3) Se  e ft" non sono paralleli, allora sono incidenti ed  n ft" consiste di
un solo punto; ciò avviene se e solo se
A
B
c
AI B' C' # O
[10.23]
A" B" C"
o, equivalentemente, se e S% se
A" l + B" m + C" n  o.
[10.24]
Dimostrazione
Supponiamo soddisfatta la [10.20]. Allora il sistema omogeneo
AX + BY + CZ = O
A ' X + B' Y + Cf Z = O
[10.25]
A "X + B" Y + C" Z = O
è equivalente al sistema costituito dalle sue due prime equazioni, che definiscono
la direzione di . Pertanto ogni vettore di direzione di  soddisfa la terza equa-
zione [10.25], che è un'equazione della giacitura di ft"; cioè ft" ed  sono paral-
leli. Se viceversa ft" ed  sono paralleli, necessariamente la terza equazione [10.25]
è dipendente dalle prime due, e la [10.20] è soddisfatta. L'equivalenza delle con-
dizioni [10.20] e [10.21] si vede sviluppando il determinante [10.20] secondo la
terza riga. La (1) è dimostrata.
Se ft" ed  sono paralleli, allora coincidono oppure sono disgiunti a seconda
che il sistema
AX + BY + CZ + D =: O
AI X + BI Y + Cf Z + DI = O
[10.26]
A" X + B" Y + C" Z + D" = O
sia compatibile oppure no. Ciò prova la (2), tenuto conto del teorema 5.7.

IO/Geometria in uno spazio affine di dimensione 3
125
Per la (l), ft" ed  non sono paralleli se e solo se la [10.23] o la [10.24],
che come già osservato sono equivalenti, sono soddisfatte. In questo caso il sistema
[10.26] è compatibile e ammette un'unica soluzione, per il teorema 5.7. Quindi
 e ft" hanno un unico punto in comune.
La [10.20] e la [10.21] danno la condizione di parallelismo di una retta e di
un piano.
Passiamo ora a considerare due rette e le loro posizioni relative.
Due rette  e I di A si dicono complanari se esiste un piano che le contiene
entrambe.
10.3 PROPOSIZIONE Due rette  ed I di A sono complanari se e solo se una
delle condizioni seguenti è verificata:
1)  ed I sono parallele;
2)  ed I sono incidenti.
In particolare  ed I sono complanari se e solo se non sono sghembe.
Dimostrazione
Poiché due rette di un piano affine che non sono incidenti sono necessaria-
mente parallele, se  ed I sono complanari, allora o sono parallele o sono
incidenti.
Viceversa, se  = I' allora ovviamente t" ed l sono complanari. Se  ed I
sono parallele e distinte sono contenute nel piano che passa per un punto qual-
--+ .
siasi QE e di giacitura (v, QQI)' dove v è un vettore di direzione di  e
di l e Ql E I. Se  ed 1 sono incidenti e distinte sono contenute nel piano pas-
sante per il punto  n 1 e di giacitura (v, V I)' dove v e v l sono vettori di dire-
zione di t" e di J rispettivamente.
La proposizione che segue dà dei criteri per riconoscere la complanarità di due
rette assegnate.
10.4 PROPOSIZIONE Siano  ed I due rette di A; supponiamo che  abbia
equazioni cartesiane [10.10] e che l abbia equazioni cartesiane
A)X+B1Y+C1Z+DI=0
AX + B{ Y + C)' Z + n: = O.
[10.27]
Siano Q{a, b, c) E, QI (ai' b I , CI) E 1; siano inoltre v{/, m, n) e vJ{/ 1 , mI' n I )
vettori di direzione di t- e di I rispettivamente. Le seguenti condizioni sono
equivalenti:
1)  ed I sono complanari;

/26 Geomelria affine
2)
a- al b- b I c- Cl
l m n - o.
- ,
," mI n l
I
3)
A B C D
A' B' C' DI
-O
- .
AI B I CI DI
AI B' CI DI
I l I l
Dimostrazione
(1) => (2) "Se  ed I sono parallele, allora v e VI sono proporzionali, e quindi
la (2) è soddisfatta. Se  ed I sono incidenti, allora sono contenute in uno stesso
--+-
piano 1'; il vettore QQI appartiene alla giaci tura di 1" che è generata da V
e da v l' e di nuovo la (2) è soddisfatta.
(2) => (1) Se la (2) è soddisfatta, allora o le ultime due righe della matrice
a - al b - b l C - CI
l
m
n
[10.28]
Il mi n I
sono proporzionali, e le due rette sono parallele, oppure la prima riga della [10.28]
è combinazione lineare delle ultime due, e il piano 1'. di giacitura (v, VI) pas-
sante per Q, che contiene , contiene anche QI, e quindi contiene I. In ogni caso
le due rette sono complanari.
(3) => (1) Se il sistema costituito dalle [10.10] e dalle [10.27] è compatibile,
allora  ed I sono complanari perché hanno punti in comune.
Supponiamo che il sistema non sia compatibile. Allora, poiché il rango R della
matrice
A B C D
AI B' CI DI
AI BI Cl DI
A B' C: DI
l I
è al più 3, e quello r della matrice
A B C
AI BI CI
Al B I CI
AI BI CI
I 1 I
[10.29]
[10.30]

IO/Geometria in uno spazio affine di dimensione 3
127
è almeno 2, si deve avere R = 3 ed r = 2. La condizione r == 2 implica che le due
ultime righe della [10.30] sono combinazione lineare delle prime due;  ed l
hanno pertanto la stessa direzione, cioè sono parallele, e in particolare complanari.
(1)  (3) Se  ed I sono incidenti il sistema costituito dalle [10.10] e dalle
[10.27] è compatibile, e quindi la [10.29] ha rango minore di 4. Se invece  ed
I sono parallele, la [10.30] ha rango 2 e conseguentemente la [10.29] ha rango
al più 3. In entrambi i casi la (3) è verificata.
Sia  una retta di A. L'insieme CP dei piani di A che contengono  si dice fascio
proprio di piani, ed  è detta asse del fascio (fig. 10.2).
Consideriamo due piani distinti ft e ftI di CP, di equazioni rispettive
AX + B Y + CZ + D == O
A1X+B1Y+C1Z+D1=0.
Come nel caso dei fasci di rette, si verifica che ogni piano appartenente a cp ha
equazIone
À(AX + BY + CZ + D) + p.(AIX + BI Y + C1Z +D 1 ) == O
per opportuni À, p. E K non entrambi nulli.
Anche in questo caso si può utilizzare un parametro non omogeneo t per rap-
presentare i piani del fascio nella forma
AX + BY + CZ + D + t(A1X + B 1 Y + CtZ + DI):::::: O,
tenendo presente che il piano ftI è l'unico elemento di cp che non si può ottenere
in questo modo.
Se  è un piano non parallelo a , i piani appartenenti al fascio q, di asse
 intersecano  nelle rette appartenenti al fascio di rette di  di centro il punto
 n  (fig. 10.3).
Sia W un sottospazio di dimensione 2 di V. L'insieme 'Ir dei piani di A che
hanno giacitura W si dice fascio improprio di piani e W si dice giacitura del fascio.
Se  è un piano del fascio '¥, di equazione
t-
.'igura 10.2

128
Geometria affine
Figura 10.3
Se  è un piano del fascio 'Ir, di equazione
AX + BY + CZ + D = O,
allora ogni altro elemento di v ha equazione
AX +BY + CZ + /=0
al variare di / E K.
10.4 Esempio
Siano  ed .J, due rette sghembe di A, e sia PEA un punto non appartenente
a  U J.- (fig. 10.4).
Figura 10.4

IO/Geometria in uno spazio affine di dimensione 3
129
Esiste una e una sola retta contenente P e complanare sia con  che con .
Per vederlo si osservi che esiste un unico piano jv contenente sia Ì/ che P, e
un unico piano jv' contenente sia .J, che P. Poiché jv e jvl hanno in comune
il punto P e sono distinti (altrimenti t- e .J, sarebbero complanari), jv n jvl è
una retta t che contiene P e, per costruzione, è complanare sia con  che con
. L'unicità di t segue da quella di jv e di jv' .
Si noti che certamente t non è paraIIela sia a  che a , perché in tal caso
Ì/ ed  sarebbero parallele tra loro. Quindi t interseca almeno una delle due rette.
Esercizi
]. Stabilire quali delle segucnti sono terne di punti allineati di A 3 (C):
a) [<2, l, -3), (1, -1,2), G ' O, - ) ]
b) {(I, l, l), (2, - l, 3), (2, l, - 5)}
c) (i, O, O), (1+i,2i, 1),(1,2, -i)J
d) (l, O, O), (2, -1, -l), (-2, -2, l»)
e) {(I, O, - l), (2, l, 2), (- l, - l, 3)}
f) (1 - i, i, 2), (3, 6i, - 3), (2 - i, 3 i, l)}.
2. In ciascuno dei seguenti casi determinare, se esiste, il valore del parametro reale m
in corrispondenza del quale si ottiene una terna di punti allineati di A 3 (R):
a) {(2, - 1, 2), (I, l, l), (2, - m + l, 4»)
b) (3, O, O), (O, 1, l), (m, m, m»)
c) {(l, - m, O), (m, l, l), (1, -l, - 3)}
d) {(l, m, O), (2, V2, 1), (2,110, l)}.
3. Dopo aver verificato che ciascuna delle seguenti terne consiste di punti non allineati
di A 3 (R), determinare equazioni parametri che e cartesiane dei piani da esse rispetti-
vamente individuati:
a) {(2,.../2, l), (1, l, ) (O, O, l)}
b) [<5, -l, O), (1, l, ..(5), ( -3, l, ;) ]
c) {(I, l, l), (- 2, l, O), (2, 2, 2»)
d) {(I, 1000, O), (3,55, 21[, O), (1,10 5 , O)}.

130
Geometria affine
4. In ciascuno dei seguenti casi determinare un'equazione cartesiana del piano di A 3 (C)
passante per il punto Q e parallelo al piano ft:
a) Q = ( - 1, 2, ), ft: X + 2 Y + 3 Z + l = O
b) Q = (i, i, i), ft: 2X - Y = O
c) Q=(I, i, i+I), ft: iY-2Z+3i+l0=0
d) Q = (1- 2i, l, 1ri), ft: i Y = 3.
5. In ciascuno dei seguenti casi verificare se i tre piani di A 3 (R) di equazioni assegnate
appartengono o no a uno stesso fascio:
a) X - Y + Z = O, - X + 3 Y - 5Z + 2 = O, Y - 2Z + 1 = O
b) 2X-3Y+3=0, X- Y+6=0, X-3Z=-1
c) X - 5 Y + I = O, X - 5 Y = O, 2X + Z = O
d) X - Y + Z + 5 = O, 2X - 2 Y + 2Z + 77 = O, - X + Y - Z = O.
6. In ciascuno dei seguenti casi determinare equazioni parametriche e cartesiane della retta
di A 3 (R) passante per il punto Q e parallela al vettore v:
a) Q = (1, l, O), v == (2, -1,.J2)
c) Q = (1, 2, 3), v = (l, 2, 3)
e) Q = (1, 1, O), v = (1, l, - I).
b) Q = ( - 2, 2, - 2), v = (1, l, O)
d) Q = (O, O, O), v = (1, O, O)
7. Determinare equazioni parametriche di ciascuna delle seguenti rette di A 3 (C) assegnate
mediante equazioni cartesiane:
a) X - i Y = O, 2 Y + Z + 1 = O
b) 3X+Z-l =0, Y+Z-5=0
c) X-l = O, Z - l = O
d) 2iX - (i + 2) Y + Z - 3 + i = O, Z + i Y = 2i.
8. In ciascuno dei seguenti casi determinare equazioni parametriche della retta di A 3 (C)
passante per il punto Q e parallela alla retta :
a) Q = (1, 1, O), t-: X - i Y = O, Z + l = O
b) Q=(l, O, O), t-: X+2Y-I =0, X=2
c) Q = (2, 1, - 5), : Y = 2, X = iZ + 7
d) Q = (3, O, O), : 3X - Y - Z + l = O, X - 5 Y + .J2Z -7000 = O.
9. In ciascuno dei seguenti casi determinare un'equazione cartesiana del piano di A 3 (R)
passante per il punto Q e parallelo alle rette t- ed :
a) Q = (1, - l, - 2), t-: X - Y - l = O, X + Z - 5 = O, J,: X = I, Z = 2
b) Q = (O, l, 3), t-: X + Y + 5 = O, X - Y + 2Z = O,
: 2X + 2 Y - l = O, X - Y + 2Z - l. = O
c) Q = (3, 3, 3), t-: X - 2 Y + l = O, X + Z + l = O,
: 2X + 2Z - 1 = O, X - 2 Y + 1 = O.

IO/Geometria in uno spazio affine di dimensione 3
131
lO. In ciascuno dei seguenti casi verificare se le rette  ed .J; di A 3 (R) sono o no com-
planari e nel caso lo siano, verificare se sono parallele o incidenti e, dopo aver verifi-
cato che sono distinte, determinare un'equazione cartesiana del piano che le contiene:
a) : x = 1 + t, Y = - t, z = 2 + 2 t, J-,,: x = 2 - t, Y = - 1 + 3 t z = t
b):2X+Y+l=O, Y-Z=2, .J;:x=2-t,y=3+2tz=1
c) : 2X + 3 Y - Z = O 5X + 2Z -I = O, .J.-: 3X - 3 Y + 3Z - I = O,
5X + 2Z + 1 = O
d) : 2X + Z - 1 :=.. O, y - Z + 1 = O, J,: 2X - Y + 3 Z = O, 2X + Y - 3 = O
e) : X + 1 = O, Z - 2 = O, J-,,: 2X + Y - 2Z + 6 = O, Y + Z - 2 = O.
Il. In ciascuno dei seguenti casi determinare la posizione reciproca della retta  e del
piano ft di A 3 (R) e, se sono incidenti, determinare il loro punto di intersezione:
a): x=l +t,y=2-2t, z=1-4t, ft: 2X- Y+Z-l=O
b) : x = 2 - t, Y = 1 + 2t z = - l + 3 t, ft: 2X + 2 Y - Z + l = O
c) : X+Z-2=0 Y=l, ft: X- Y+2Z-5=0
d) : X + Z + l = O, X - Z = O, ft: X + Z - l = o.
12. In ciascuno dei seguenti casi determinare un'equazione cartesiana del piano di A 3 (R)
contenente il punto Q e la retta :
a) Q = (3, 3, l),
b)Q=(2,1,0),
c) Q = (1, O, 2),
d) Q = (2, 2, 2),
: x=2+3t,y=5+t, z=1+7t
: X - Y + l = O, 3X + 5Z - 7 = O
: Y + 2Z - 5 = O, Z = 1
: x = 5 + t, Y = - 3 - 3 t, Z = 3 + 3 t.
13. In ciascuno dei seguenti casi determinare equazioni cartesiane della retta  di A 3 (R)
passante per il punto Q, contenuta nel piano ft e incidente la retta .J.-:
a) Q = (1, 1, O), ft: 2X - Y + Z -1 = O, J-,,: x = 2 - t, Y = 2 + t, z = t
b) Q = (-1, -1, -1), ft: X + Y + Z + 3 = O, .J.: X - 2Z + 4 = O,
2Y-Z=0
c) Q = (1, 2, 3), ft: 2X - Y = O, .J.: X + Z + l = O, 2X + 2 Y - Z - 3 = o.
14. In ciascuno dei seguenti casi determinare equazioni cartesiane della retta t di A 3 (R)
passante per il punto Q e complanare con le rette  ed .J,-. Stabilire se t è incidente
o parallela a  e a .J;:
a) Q=(I, l, 2), : 3X-5Y+Z+l=0, 2X-3Z+9=0,
J-,,: X + 5 Y - 3 = O, 2X + 2 Y - 7 Z + 7 = O
b) Q = (2, O, - 2), : - X + 3 Y - 2 = O, X + Y + Z + l = O,
.J,-: x = 2 - t, Y = 3 + 5 t, Z = - t
c) Q=(I, -I, -1), : 2X+ Y+l=O, -2X+3Y+Z=0,
.J.-: Y = 2, Z = 1.

/32
Geomelria affine
15. In ciascuno dei seguenti casi determinare il valore del parametro reale k per cui le rette
 ed J,., di A 3 (R) sono complanari. Determinare un'equazione cartesiana del piano
che le contiene e trovarne il punto comune nel caso siano incidenti:
a) : x = k + t, Y = l + 2 t, Z = - l + kt, J,.,: x = 2 - 2 t, Y = 3 + 3 t, z = 1 - t
b) : x = 3 - t, Y = 1 + 2 t, Z = k + t, J,.,: x = l + t, Y = l + 2 t, z = l + 3 t
c) : X - k Y + Z + l = O, Y - k = O, J,.,: X - Z + k = O, Y = l.
16. In A 3 (R) determinare un'equazione cartesiana del piano ft contenente la retta
comune ai due piani di equazioni
X+ Y=3, 2Y+3Z=4
e parallelo al vettore v = (3, -1, 2).
Il Applicazioni lineari
Siano V e W due K-spazi vettoriaIi. Un'applicazione
F: VW
si dice lineare se per ogni V, VI E V e c E K si ha
F(v + VI) = F(v) + F(v / )
F(cv) = cF(v).
[11.1]
[11.2]
Le due condizioni [11.1] e [11.2] sono equivalenti all'unica condizione
F(cv + Cl VI) = cF{v) + c' F(v')
[11.3]
per ogni v, VI E V e c, Cl E K. Infatti la [11.3] si traduce nella [11.1] prendendo
c = c' = 1 e nella [11.2] prendendo Cl = O; viceversa, se F soddisfa le [11.1] e [11.2],
allora
F(cv + Cl VI) = F(cv) + F(c l VI) = cF(v) + c' F(v / ),
dove la prima uguaglianza segue dalla [11.1] e la seconda dalla [11.2].
Applicando ripetutamente la [11.3] si deduce che, se F è lineare, per ogni VI'
V 2 , ..., V n E VecI' c 2 , ..., c n E K si ha
F(C 1 VI + C 2 V 2 + ... + c n v n ) = cJF(v I ) + c 2 F(v 2 ) + ... + cnF(v n ).
[ Il.4]
Si osservi che la [11.2], applicata a c = O e vEV qualsiasi, implica che se F è
lineare
F(O) = O.
Un'applicazione lineare F: V  V è detta operatore lineare su V, oppure endo-
morfismo di V.

Il/Applicazioni lineari
133
Un'applicazione lineare F: V -+ K prende il nome di funzionale lineare su V.
Se G: U -+ V ed F: V -+ W sono applicazioni lineari, la composizione Fo G:
U -+ W è un'applicazione lineare. La verifica è immediata ed è lasciata al lettore.
Diremo che un'applicazione lineare F: V -+ W è un isomorfismo se è un'appli-
cazione biunivoca.
L'applicazione inversa F- 1 : W -+ V è anch'essa lineare e quindi è un isomor-
fismo. Siano infatti w, w'EW, e V=p-l(W), v' =F-1{w'). Si ha
P--I(W + Wl) = F-1(F{v) + P(v'» = F-1(F(v + VI» =
= v + v' = p- l (w) + F- I (w').
Analogamente, se cE K,
p- I (cw) = F- I (cF(v» = F- I (P{cv}) = cv = cF-- I (w).
Un isomorfismo di uno spazio V in sé stesso è un automorfismo di V.
Nel seguito Hom(V, W) denoterà l'insieme di tutte le applicazioni lineari di
V in W, End(V) l'insieme di tutti gli operatori lineari su V, e V" l'insieme di tutti
i funzionali lineari su V. Denoteremo poi con GL (V) il sottoinsieme di End (V)
costituito dagli automorfismi.
Il.1 Esempi
1. Per ogni V e Wl' applicazione nulla O: V -+ W, definita da
O(v) = OEW
per ogni v E V, è un'applicazione lineare.
In ogni spazio vettoriale V l'identità Iv, cioè l'applicazione che manda ogni
vettore in sé stesso, è un automorfismo. Se F, GEGL{V), allora anche F I e
Fo G appartengono a GL(V).
Se cE K, l'applicazione cl v definita da
(cl v ) (v) = cv
è lineare. Se c = O, allora Olv = O. Se c  O, allora c1 v è un automorfismo il cui
inverso è c. I Iv.
Se dim(V) = l gli unici operatori lineari su V sono quelli della forma cl v . Sia
infatti FE End (V) ed e E V, e  O; poiché {e} è una base di V, si ha F(e) = ce per
qualche CEK, e quindi per ogni v=xeEV:
F(v) = P(xe) = xF(e) = x(ce) = c(xe) = cv.
2. Sia e = {e 1 , e 2 , ..., e n ) una base del K-spazio vettoriale V, e
C{Je: V -+ Kn

/34
Geometria affine
l'applicazione definita da
<Pe(x1e I + ... + xne n ) == (x H ..., x n ),
cioè l'applicazione che associa ad ogni vettore v = x1e I + ... + xnenEV la n-upla
(Xl' ..., x n ) delle sue coordinate rispetto alla base e.
C{Je è un isomoiflSmo. Infatti, per ogni c E K, v == Xl e I + ... + xne n , VI == YI e l + ...
... + YnenE V, si ha
<Pe(v + VI) == <Pe«XJ + YI) e l + ... + (X n + Yn) e n ) == (Xl + YI' ..., X n + Yn) =
= (XI' ..., X n ) + (YI' ..., Yn) == <Pe(V) + <Pe(V / )
<Pe(CV) == (ex I , ..., CX n ) == C(X 1 , ..., X n ) = C<Pe(V),
e quindi <Pe è lineare. Inoltre, per le proprietà delle coordinate di un vettore
rispetto a una base, <Pe è biunivca.
CPe è l'isomorfismo definito dalla base e.
Se ad esempio V == Kn, ed e è la base canonica, allora <Pe è l'identità di Kn in
sé stesso.
3. Sia V un K-spazio vettoriale e siano U, W due sotto spazi supplementari in
V, cioè sia
V==UEBW.
[ Il.5]
Poiché ogni v E V si esprime in modo unico come v = u + w, U E U, w E W, pos-
siamo definire l'applicazione
p: V -+ W
ponendo
p(u+w)=w.
p è la proiezione di V su W definita dalla decomposizione [11.5].
p è un'applicazione lineare. Inftti, se v = u + w, VI == u' + w I E V, c, c' E K,
allora:
p(cv + Cl VI) == p(cu + cw + Cl u l + Cl w') == p(cu + Cl u' + cw + c' Wl) ==
== cw + C'Wl == cp(v) + c'p(v').
Se in particolare W è un iperpiano, allora U = (u) per qualche uEV' W, e
in questo caso p è detta proiezione di V su W nella direzione (u).
Se {e I , ..., e n } è una base di V e I < k < n, la proiezione di V su (e k + I , ..., e n )
definita dalla decomposizione V == (e l , ..., e k ) (f) (ek+l' ..., e n > è:
P (Cl e I + ... + cne n ) == C k + I e k + I + ... + cne n *
Se 1t è il piano ordinario,  una sua retta, V e W sono gli R-spazi vettoriali
dei vettori geometrici di 1t e di  rispettivamente, e u E V\ W è un vettore non paral-

Il/Applicazioni lineari
135
leI o a , la proiezione di V su W nella direzione (o) è l'applicazione illustrata
dalla figura Il.1.
In modo simile, fissato un piano 1t nello spazio ordinario E, detti V e W gli
spazi dei vettori geometrici di E e di 1t rispettivamente, e fissato o E V\ W, si descrive
la proiezione p di V su W nella direzione (u) (fig. 11.2).
Le proiezioni qui descritte per i vettori del piano e dello spazio ordinari sono
basate sullo stesso principio geometrico con il quale abbiamo definito le proie-
zioni di uno spazio affine su un suo sottospazio alla fine del paragrafo 8.
4. Siano V uno spazio vettoriale su K ed e = (e l , ..., e n } una sua base. Per
ogni i = 1, ..., n definiamo
'¥Ji: V -+ K
ponendo
7Ji(C 1 e I + ... + cne n ) = Ci'
cioè associando ad ogni vettore la sua i-esima coordinata rispetto a e. È facile
verificare che '1Ji è un funzionale lineare su V. Infatti, presi comunque
v = c1e I + ... + CnC n ' v' = d)e I + ... + dne n
Figura Il.1
Figura II.2

136
Geomelria affine
in V e k, k' E K, si ha
1Jj(kv + k'v') = 1Ji«kc l + k' dI) e I + ... + (kc n + k' d n ) e n ) = kC j + k' di =
= k1Ji(V) + k'1Ji(V').
5. Siano V uno spazio vettoriale su K e U, W sottospazi supplementari in V.
Definiamo un'applicazione
p: V -+ V
ponendo
p(u + w) = u - w
per ogni v = U + WEV, DEV, wEW.
Si verifica subito che p è un operatore lineare che ha le seguenti proprietà:
p(U) = D per ogni DEV,
pop==lv.
La seconda proprietà implica che p è invertibile, e quindi pEGL(V).
Se e = {el' ..., e n } è una base di V e l < k < n,
V = (e l , ... e k ), W = (e k + I , ..., e n ),
allora
p(cle I +... +cnen)=c1e I +... +ckek-ck+lek+I-". -cne n .
6. Sia V uno spazio vettoriale su K, V un suo sottospazio, e consideriamo lo
spazio vettoriale quoziente V IV. L'applicazione
p: V-+V/V
definita da
p(v) = v + U
è lineare. Essa è chiamata proiezione naturale di V su V IV. Lasciamo al lettore
il compito di verificare che p è lineare.
7. Sia V un sottospazio del K-spazio vettoriale V. L'inclusione i di U in V è
un'applicazione lineare. La verifica è Ìmmediata.
11.2 PROPOSIZIONE Siano F: V  W un'applicazione lineare di K-spazi vet-
toria/i, VI' ..., VnE V e W i = F(v i ), i = 1, ..., n. Se VI' ..., V n sono linearmente dipen-
denti, anche Wl' ..., W n sono linearmente dipendenti.
Equivalen temen te, se w l' ..., W n sono linearmente indipendenti, anche
v l' ..., V n sono linearmente indipendenti.

Il/Applicazioni lineari
137
Dimostrazione
Dimostriamo la prima affermazione. Siano Cl' ..., C n E K scalari non tutti
uguali a O tali che
Cl V] + ... + CnV n = O.
Allora si ha
CIW 1 +... + CnW n = cjF(v i ) + ... +cnF(vn)=F(CIV I +... + CnV n ) = F(O) =0,
e quindi w l' ..., W n sono linearmente dipendenti.
11.3 TEOREMA Siano V e W due K-spazi vettoriali, e == {e l , e l , ...., e n } una
base di V, e Wl' Wl' ..., w n vettori arbitrari di W. Esiste un'unica applicazione
lineare F: V  W tale che
F(e i ) == Wl'. i = 1, 2, ..., n.
Dimostrazione
Se F esiste è unica, perché per ogni
v == x1e l + x 2 e Z + ... + xnenEV
si deve avere, per la [11.4]:
F(v) ==xIF(e I )+ ... +xnF(en)=x1w I +x 2 W Z +... +xnw n
[11 .6]
e i coefficienti XI' Xl' ..., X n sono univocamente determinati perché e è una base.
Sarà pertanto sufficiente dimostrare che l'applicazione F definita dalla [11.6]
è lineare. Verifichiamo la condizione [11.1]. Se
v =xlel+xZe2+.,,+xnen
VI == y] e] + yze z + ... + yne n
sono elementi di V, si ha
F(v + v') = (XI + YI)W I + (xz + Yl)W 2 + ... + (x n + Yn)w n =
==(X I W 1 +X Z W 2 +... +xnwn)+(y]wI+YlWZ+". +YnWn) =
= F(v) + F(v').
Verifichiamo la [11.2]. Se CE K e v == XI e] + X 2 C l + ... + xne n si ha
F(cv)=cXIW] +CX 2 W l +... + cxnw n =
= C (XI Wl +XZW Z +... +XnW n ) = cF(v).
Quindi F è lineare.
11.4 DEFINIZIONE Sia F: V  W un 'applicazione lineare di K-spazi vettoria/i.
1/ nucleo di F è
N(F) = {vEV: F(v) == O},

138
Geometria affine
cioè N (F) è il sottoinsieme di V costituito da tutti i vettori che vengono mandati
in OEW da F.
L'immagine di F è il sottoinsieme di W
Im(F) = (w=F(v): vEV}.
N (F) e 1m (F) sono sottospazi vettoriali di Vedi W rispettivamente (la verifica
di questo fatto è lasciata al lettore). Se hanno dimensione finita, la dimensione
di 1m (F) si dice rango di F, e si denota con r(F), la dimensione di N(F) si dice
nullità di F.
Dalla [11.4] segue che se {e 1 , e 2 , ..., e n } è una base di V, aIIora
1m (F) = (F(e}), F(e 2 ), ..., F(e n )}.
11.5 PROPOSIZIONE Un 'applicazione lineare F: V --+ W di K-spazi vettoriali
è iniettiva se e solo se N (F) = (O).
Dimostrazione
Se F è iniettiva, allora O è l'unico elemento di N(F), e quindi N(F) = (O).
Viceversa, supponiamo che N(F) = (O). Se v, v' EV sono tali che
F(v) = F(v'),
allora
F(v - v') = F(v) - F(v') = O
e quindi v - v' E N (F). Poiché O è l'unico elemento di N (F), si ha v - v' = O, cioè
v = v'. Quindi F è iniettiva.
Abbiamo il seguente importante teorema.
11.6 TEOREMA Sia F: V  W un'applicazione lineare di K-spazi vettoriali,
con dim(V) = n. Allora N(F) e 1m (F) hanno dimensione finita, e
dim[N(F)] + r(F) = n.
Dimostrazione
Poiché V ha dimensione finita, anche N (F), che è un sottospazio di V, ha c;limen-
sione finita; sia s = dim(N(F». Fissiamo una base {DI' ..., Ds} di N(F), e siano
V s + 1 ' ..., vnEV tali che {Ol' ..., Ds, V s + I , ..., v n } sia una base di V. Per comple-
tare la dimostrazione del teorema sarà sufficiente dimostrare che (F(v s + l )'''.
...., F(v n )} è una base di 1m (F).

11/ Applicazioni lineari
139
Ogni vettore w E 1m (F) è della forma
w = F(a i DI + ... + asos + b S + J VSf-1 + ... + b n V n ) =
= aIF(OI) + ... +asF(ns)+b+IF(vs+I)+." + bnF(v n ) =
= bS+1F(v s + t ) + ... + bnF(v n ),
per opportuni scalari al' ° 2 ,." a s ' b s + l ' ..., bn- Quindi F(v s + I )' ..., F(v n ) generano
1m (F).
Supponiamo che c s + 1 , ..., cnEK siano tali che
C s + I F(v s + l) + ... + cnF(v n) = O.
Allora
F(c s + I v s + I + ... + C n v n ) = C s + IF(v s + I) + ... + cnF(v n) = O
e quindi C s + I v s + l + ... + C n V n E N (F). Poiché {Oh.'" Ds} è una base di N (F), esi-
stono di' ..., ds.E K tali che
Cs+1V s + 1 + ... + cnv n := dIo} + ... + dsos
cioè tali che
dI DI + ... + dsns - c s + 1 v s + 1 - ... - c n v n = o.
Ma DI' ..., ns, V s + h ..., V n sono linearmente indipendenti, e quindi tutti i coeffi-
cienti sono nulli; in particolare
C s + I :::: ... := C n = O
ed F(v s + I )' ..., F(v n ) sono linearmente indipendenti.
Si noti che nell'enunciato del teorema precedente non si è supposto che W abbia
dimensione finita.
Si ha il seguente
Il.7 COROLLARIO Se U è un sottospazio del K-spazio vettoriale V di dimen-
sione finita, allora
dim(V IU) = dim(V) - dim(U).
[11 . 7]
Dimostrazione
La proiezione naturale p: V --+ V IU è suriettiva e ha nucleo uguale a U.
Il corollario seguente fornisce una semplice caratterizzazione degli isomorfi-
smi, e segue immediatamente dal teorema 11.6. La sua dimostrazione viene Iasciata
al lettore.

/40
Geometria affine
Il.8 COROLLARIO Se V e W sono K-spazi vettoriali di dimensione finita tali
che dim(V) = dim(W), ed F: V -+ W è un' applicazione lineare, allora le seguenti
condizioni sono equivalenti:
1) N(F) = (O);
2) 1m(F) = W;
3) F è un isomorfismo.
Abbiamo il seguente teorema.
11.9 TEOREMA (DI OMOMORFISMO PER GLI SPAZI VETTORIALI) Sia F: V -+ W
un'applicazione lineare di K-spazi vettoriali. F definisce un isomorfismo
F': V IN (F) -+ 1m (F)
tale che
F==;oF'op,
[11.8]
dove p: V-+V/N(F) è la proiezione naturale e i: Im(F)-+W è l'inclusione.
Dimostrazione
Siano VI' v 2 E V. Si ha F(v l ) = F(v,J se e solo se F(v 2 - VI} == 0, cioè se e solo
se V 2 - VI E N (F), ovvero
F(v I ) = F(v 2 ) # v 2 E [VI + N (F)]
Possiamo quindi definire F': V IN (F) -+ 1m (F) ponendo
[11.9]
F' (v + N(F}) == F(v).
F' è biunivoca perché, oltre ad essere ovviamente suriettiva, è anche iniettiva
per la [11.9]. La verifica della Iinearità di F' e della [11.8] è lasciata al lettore.
Il.10 DEFINIZIONE Siano V e W due K-spazi vettoriali. V e W si dicono iso-
morfi, oppure si dice che V è isomorfo a W, se esiste un isomorfismo V -+ W.
Ogni spazio vcttoriale è isomorfo a se stesso, perché lv è un isomorfismo. Se
V è isomorfo a W, anche W è isomorfo a V, perché l'inverso di un isomorfismo
è un isomorfismo. Infine, poiché la composizione di isomorfismi è un isomorfi-
smo, se V è isomorfo a W e W è isomorfo a U, allora V è isomorfo a U. Quindi
l'isomorfismo è una relazione di equivalenza tra spazi vettoriali.
Il.11 TEOREMA Due K-spazi vettoriali di dimensione finita sono isomorfi se
e solo se hanno la stessa dimensione.
Dimostrazione
Supponiamo V e W isomorfi, e SIa F: V -+ W un isomorfismo. Poiché

/1/ Applicazioni lineari
141
N (F) == (O), per il teorema 11.6 si ha
dim(W) == r(F) = dim(Y).
Viceversa supponiamo dim (V) == n . dim (W), e siano {v l' ..., V n} e {W l' ..., W n }
basi di Y e di W rispettivamente. L'applicazione lineare F: Y -+ W definita da
F(vJ=w j , i=l,...,n,
è suriettiva perché Wl' ..., W n generano W. Per il teorema 11.6, dim(N(F» = O,
e quindi F è anche iniettiva. Dunque F è un isomorfismo.
Terminiamo questo paragrafo con la descrizione di alcune proprietà dell'in-
sieme dei funzionali lineari su uno spazio vettoriale.
Sia Y un K-spazio vettoriale. È possibile introdurre in Y", l'insieme dei funzio-
nali lineari su Y, una struttura di K-spazio vettoriale definendo le operazioni nel
modo seguente.
Se L j , LzEY", definiamo LI +LzEY" ponendo
(LI + Lz) (v) == LI (v) + Lz (v)
.
per ognI
vEY.
Verifichiamo che LI + L 2 è lineare. Per ogni v, v' E Y, c E K si ha
(LI + Lz) (v + v') ::::: LI (v + v') + Lz(v + v') ==
== LI (v) + LI (VI) + Lz(v) + Lz(v / ) ==
== LI (v) + Lz(v) + LI (VI) + Lz(v / ) =
== (L j + L;) (v) + (LI + L 2 ) (v').
(LI + Lz) (cv) = LI (ev) + Lz(cv) == eLI (v) + cLz(v) ==
== c(L 1 (v) + L 2 (v» ==
= c(L I + Lz) (v),
e quindi LI + Lz è lineare.
Se L E Y" e c E K, definiamo cL E y v ponendo
(cL) (v) == cL (v).
La verifica della linearità di c L è lasciata al lettore.
Il funzionale nullo O E y v , definito da
O(v) = O per ogni VEY,
soddisfa evidentemente
L + O == L per ognI IJ E Y" .
Lasciamo al lettore la facile verifica del fatto che Y", con le operazioni che
abbiamo definito, è un K-spazio vettoriale. V" si chiama spazio vettoriale duale
di V.

142
Geometria affine
Supponiamo che V abbia dimensione finita, e sia e = (eh ..., e n } una sua base..
Sia 1 < i :5 n. Per il teorema Il.3 esiste un unico 11 i E Y" tale che
fl. ( e. ) = o..
.'1 J I)'
[11.10]
dove
o.. = { O
l)
1
se i#j
se i = j
è il simbolo di Kronecker. Otteniamo così n funzionali lineari fJ l' ..., 11 n' che sono
gli stessi considerati nell'esempio 11.1(4).
Il.12 TEOREMA Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione finita, e sia
{el' ..., e n } una sua base. L'insieme {111' ..., l1n} dei funzionali lineari definiti
dalla [11.10] è una base di Y"; in particolare
dim (V") = dim (V)
e quindi Y e Y" sono isomorfi.
Dimostrazione
Sia LEY" e al = L (e}), a 2 =L(e;), ..., an=L(eJ. II funzionale a 1 111 + a 2 112 + ...
... +a n l1n soddisfa l'identità
(a) '111 + ... + a n l1n) (e;) = (al 111) (e i ) + ... + (a i l1) (e i ) + ... + (a n l1n) (e i ) =
= al fJI (e;) + ... + a i 1Ji(e;} + ... + a n rJn(e;} =
= a j 1Ji(e i ) = ai' . i = 1, ..., n
e quindi al '111 + a 2 1/2 + ... + a n l1n ha gli stessi valori di L sulla base {e l' ..., e n }.
Dal teorema Il.3 discende che
al 111 +a 2 '112+ ... + a n 1/n=L.
Quindi 111' ..., 1/n generano y v . Supponiamo ora che aj' ..., anE K siano tali che
a 1 111 + a 2 '112 + ... + a n '11n = o.
Allora, per ogni i = 1, ..., n:
o = O(e i ) = (a 1 1/1 + ... + a n 1Jn) (e i ) = al 111 (e i ) + ... + a n l1n(e j ) =
= a.fl. ( e. ) = a.
1 .'1 l l.
Quindi al = ... :::: a n = O, e pertanto 111' ..., l1n sono anche linearmente indi-
pendenti.
L'insieme di funzionali lineari {'111' ..., 1/n} è la base duale della base (e l , ...
. .., e n} di Y..

/ l/Applicazioni lineari
143
Se L = a l 1JI + ... + anrJnEVv, si ha
L(xe l + ... + xne n ) = (a 1 111 + ... + a n l1n) (XI e l + ... + xne n ) =
= (al 111) (x1e I + ... +xne,) + ... + (a n l1n) (xle l + ... +xne n ) =
= afx 1 + a 2 x 2 + ... + anx n ,
perché 1Ji(X f e I + ... + xne n ) == Xi' j = l, ..., n. Quindi ogni lunzionale lineare su V
si esprime in modo unico come un polinomio omogeneo di primo grado nelle coor-
dinate dei vettori rispetto alla base {e I , ..., e n }. I coellicienti del polinomio sono
le coordinate dellunzionale rispetto alla base duale {111' ..., l1n}.
In particolare, se V = Kn, e {E 1 , ..., En} è la base canonica, ogni funzionale
lineare L su K n si esprime in modo unico come un polinomio omogeneo di primo
grado:
L(x I , x 2 , ..., x n ) == a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + anxn.
[11.11]
Si osservi che se il funzionate L: V  K non è nullo, la sua immagine è un sot-
tospazio vettoriale di K diverso da (O), e quindi 1m (L) = K; da ciò e dal teorema
Il.6 segue che dim[N(L)] = n-I.
Il.13 PROPOSIZIONE Siano V un K-spazio vettoriale ed f, gE VV tali che si
abbia I(v) == O per ogni v E N (g), cioè N (I) =:) N (g). Allora esiste CE K tale che
1= cg.
Dimostrazione
Se g = O, allora N (g) == V e quindi N (I) = V, cioè 1 == O == g. Supponiamo vice-
versa g  O. In tal caso N (g) è un iperpiano. Fissiamo e E V \ N (g), e sia c E K tale
che/(e) == cg(e). Si ha V = (e) EB N(g) e quindi ogni vEV è della forma v = xe + w,
per qualche w E N (g) e xE K. Pertanto
I(v) == I(xe + w) = I(xe) + I(w) = xl(e) == xcg(e) = cg(xe) ==
= cg(xe) + cO == cg(xe) + cg(w) == cg(xe + w) = cg(v),
cioè 1 == cg.
Dati due K-spazi vettoriali V e W, è possibile introdurre in Hom(V, W) una
struttura di K-spazio vettoriale definendo F + G e cF, per ogni F, G E Hom (V, W),
c E K, nel modo seguente:
(F + G) (v) = F(v) + G(v)
(cF) (v) = cF(v) per ogni v E V.
Lasciamo al lettore il compito di verificare, in modo simile al caso di
VV = Hom(V, K), che queste due operazioni definiscono su Hom(V, W) una strut-
tura di K-spazio vettoriale, in cui lo zero è l'applicazione nulla O.

144
Geometria affine
Nel caso particolare Y == K, lo spazio Hom(K, W) è isomorfo a W: un isomor-
fismo À: W --+ Hom (K, W) è definito associando a w E W l'applicazione lineare
À(w): K --+ W tale che À(w) (1) = w; lasciamo al lettore la verifica del fatto che À
è un isomorfismo. À si chiama isomorfismo canonico di W su Hom(K, W), per-
ché è individuato univocamente da W.
11.14 Complementi
I. Sia Y un K-spazio vettoriale. Il duale di Y", cioè lo spazio Hom(Y", 1<),
si chiama spazio bidua/e di Y, e si denota con Y"". Se dim (Y) = n, allora segue
dal teorema 11.12 che
dim(Y"V) = dim(Y") = dim(Y) == n,
e i tre spazi V, Y", Y"" sono tra loro isomorfi.
Se si sceglie una base {e I , ..., e n } di Y, resta definita la base duale {11 l' ..., 1] n }
di V", e un isomorfismo cp: V --+ y v è definito ponendo cp(e j ) = l1i' i == 1, ..., n.
L'isomorfismo cp dipende dalla base assegnata, cioè se si sceglie un'altra base di
Y, si ottiene un isomorfismo diverso da cp (cfr. esercizio 6).
Per lo spazio Y"V si ha una situazione diversa: è infatti possibile definire un
isomorfismo {3: V -+ Y"" in modo del tutto intrinseco, cioè indipendente da qua-
lunque scelta ulteriore, il quale per questo motivo si dice l'isomorfismo canonico
di V su Y"".
13 è l'applicazione che ad ogni v E Y associa il funzionale (j (v): Y"  K definito
nel modo seguente:
(j(v) (L) = L (v)
per ogni LEV v .
Verifichiamo che (j(v) è lineare:
(j(v) (cL + c' L') = (cL + c' L') (v) = (cL) (v) + (c' LI) (v) =
= cL (v) + c' L' (v) = c{j(v) (L) + c' (j(v) (L'),
per ogni L, LI E V", c, Cl E K, e quindi (j(v) è un funzionale lineare su y v .
Verifichiamo ora che {j: Y  y vv è lineare. Per ogni v, v' E Y, c, c' E K, si ha
(j(ev + c'v') (L) = L(ev + c'v') = cL (v) + Cl L(v') =
== e{j(v) (L) + Cl (j(v') (L) == [c{3{v) + Cl (j(v')] (L)
per ogni L E Y", e quindi (3(ev + Cl v') == c{j{v) + Cl (3{v'), cioè {j è lineare.
Per dimostrare che {j è un isomorfismo è sufficiente far vedere che N ((3) == (O),
perché dim(Y) == dim(Y"V). Supponiamo per assurdo che esista v E V, v  O, tale
che (j(v) == OEY"". Allora si ha
(j(v) (L) == L (v) == O

1/ / Applicazioni lineari
145
per ogni L E V". Siano v 2 ' ..., vnE V tali che {v, V z , ..., v n } sia una base di V. Il
funzionale L E VV definito da
L(v) = 1, L(v j ) = O, i = 2, ..., n,
dà una contraddizione.
2. Sia V un K-spazio vettoriale, dim(V) = n. Se L E VV, i vettori del nucleo di
L, cioè i v E V tali che L(v) = O, si icono talvolta ortogonali a L. Se q, è un sot-
toinsieme di VV, un vettore v E V si dirà ortogonale a  se v è ortogonale ad ogni
LEq" cioè se L (v) = O per ogni L E <P. L'insieme
<I> 1- = {v E V : v è ortogonale a <I>} = n Leq, N (L) C V .
è un sottospazio vettoriale perché è !'intersezione di una famiglia di sottospazi
vettoriali di V. Chiameremo q, 1- il sottospazio di V ortogonale a cp.
Supponiamo in particolare che <P sia un sotto spazio vettoriale di Vv. Sia
dim (4)) = t e {LI' ...., Lt} una base di <P. Allora si ha
q, 1- = N (LI) n .... n N (L t )
[11.12]
e
dim (q, 1. ) = n - t.
[11.13]
Infatti, se VEN(L 1 ) n ... n N (L t ), allora per ogni L = alLI + azLz + ... + atLI
si ha
L(v) = aILI(v) + a 2 Lz(v) + ... + a[Lt(v) = O
cioè v E N (L). Pertanto N (LI) n ... n N (Lt) C cl> 1 . L'inclusione opposta è ovvia-
mente vera, e la [11.12] segue.
Sia m = dim(cp J). Osserviamo che q, J coincide con il nucleo dell'applicazione
lineare
<p:VKI
definita da <p(v) = (LI(v), Lz(v), ...., L[(v». Dal teorema 11.6 segue che m > n - t.
Supponiamo per assurdo che sia m > n - t. Scegliamo una base {e I , ....., e n } di V
tale che {e I , ...., e m } sia una base di <P 1- .
La matrice t x n:
O
O
O L1(e m + I)
O L 2 (e m + 1)
L I (e n)
Lz(e n )
o
O Lt(e m + I )
L I ( e n)
lO

146
Geomelria affine
ha rango non superiore a t -1, perché ha m > n - t colonne nulle. D'altra parte
le sue t righe sono linearmente indipendenti, perché sono i vettori delle coordi-
nate di LI' ..., Lt rispetto alla base {111' ..., 1Jn}' duale di {e l , ..., e n }. Abbiamo
una contraddizione, e quindi dev'essere m = n-t.
3. Siano dati due spazi vettoriali complessi V, W. Un'applicazione
F: VW
si dice" antilineare se soddisfa le seguenti condizioni:
F(v + v') == F(v) + F(v'),
F(cv) = cF (v),
[11.14]
[ 11.15]
per ogni v, VI E V, cE C. Una condizione equivalente alle [11.14], [11.15] è la
seguente:
F(cv + c'v') == cF (v) + c ' F(v')
per ogni v, v' E V, c, c' E C. La verifica dell'equivalenza è lasciata al lettore.
Esercizi
l. Siano g: U -+ V, f: V -+ W applicazioni lineari. Dimostrare che
N (g) C N (f o g)
Im(f):J Im(fo g).
2. Dimostrare che se F: V -+ W è un'applicazione lineare tale che N(F) = (O), e VI' ...
..., vnE V sono vettori linearmente indipendenti, allora F(v l ), ...., F(v n ) sono linear-
mente indipendenti.
3. Sia H C R 3 il piano di equazione Xl + X 2 - X 3 = O, e sia u = (O 1, 1). Dopo aver veri-
ficato che R 3 = H(£; (u), trovare l'espressione analitica della proiezione p : R 3 -+ H
nella direzione (u).
4. Sia W il sottospazio di R 4 di equazioni cartesiane
2X 1 + X 3 = O, -X 2 - 3 X 4 = O,
e sia U = «l, O, O, O) (O, t, O, O». Dopo aver verificato che R 4 = U EB W, trovare
l'espressione analitica della proiezione p : R 3 -+"W definita dalla precedente decom-
posizione di R 4 in somma diretta.
5. Esprimendo i funzionali lineari su R 3 come polinomi omogenei in XI, X 2 , X 3 a coef-
ficienti reali, determinare le basi di (R 3 r duali di ognuna delle seguenti basi di R3:
a) {(l, O, O), (O, l, O), (O, O, l»)
b) [(2,0, O), (O, Ji ' O), (0,0, - ) ]
c) {(I  -1, O) (O, l, l), (1, O, 2)}
d) {(I, O, O), (1, l, O), (1, l, l)}.

12/ Applicazioni lineari e malrici. Cambiamenti di coordinale affini
147
6. Sia V un K-spazio vettoriale tale che dim (V) = 1  e sia e E V\ { O }. Sia 17 E V" il funzio-
naIe duale di e, cioè il funzionale definito dalla condizione
1J(e) =1.
Dimostrare che per ogni aE K*:
a) il funzionale lineare duale di ae è t = a 0 1 11 ;
b) se q;, 1/; : V -+ VV sono gli isomorfismi definiti rispettivamente da q>(e) = 1J,
1/;(ae) = t, allora 1/; = 0- 2 cp.
12 Applicazioni lineari e matrici. Cambiamenti di coordinate affini
Siano V e W due K-spazi vettoriali di dimensione finita, e v == {VI' ..., V n} e
w = {Wl' ..., w m } basi di Vedi W rispettivamente.
Sia F: V  W un'applicazione lineare. La matrice m x n la cuij-esima colonna,
j = l, ..., n, è costituita dalle coordinate del vettore F(vj)EW rispetto alla base w
è la matrice associata a F rispetto alle basi v e w, e si denota con Mw y(F). Espli-
,
citamente:
m II m I2 mI n
m 21 m 22 m 2n
M w .l'(F) = ,
mmi mm2 mmn
dove
F(v j ) = mljw I + m 2j w 2 + ... + mmjW m .
Ovviamente M W .l'(F) dipende, oltre che da F, anche dalle basi ve w. L'utilità
della matrice Mw,y(F) sta nel fatto che, una volta assegnate le due basi ve w, da
essa si può risalire all'applicazione lineare F, come chiarito dalla seguente propo-
SIZIone.
12.1 PROPOSIZIONE Siano V e W due K-spazi vettoriali, y= (VI' ..., v n } e
w = {Wl' ..., w m ) basi di Vedi W rispettivamente, e F: V --+ W un' applicazione
lineare. Per ogni V = XI VI + ... + X n vnE V si ha
F(V)=YiWI +... +Ymwm
dove
YI
XI
= Mw y(F)
t
Y n
X n

148
Geomelria affine
Dimostrazione
Si ha:
F(v)==F(XIV I +X 2 V 2 +... + XnV n ) = x]F(v I ) +x 2 F(vJ + ... +XnF(V n ) =
== XI (m Il Wl + m 21 W 2 + ... + mmI W m ) +
+X 2 (m I2 w 1 + m l2 w l + ... + mmlWm) + ...
... +xn(m1nW 1 +mlnW l + ... + mmnWm) =
n n n
== ( .E mtjx j ) Wl + ( .E mljX j ) Wl + ..o. + ( .E mmjX j ) W m .
J=I )-1 J=I
Quindi il vettore colonna delle coordinate di F(v) è
YI
Y2
n
E ml.x-
. I J J
J=
XI
n
Em 2 -x.
. I J J
J=
Xl
== Mw,y(F)
Y n
X n
Abbiamo il seguente teorema.
12.2 TEOREMA Siano V e W due K-spazi vettoriali, e siano v == {v l' . .., V n}
e w == {W j, ..., W n} basi di Vedi W rispettivamente. L' applicazione
Mw,y: Hom(V, W)--+Mm,n(K)
F...... Mw,v(F)
è un isomorfismo di K-spazi vettoriali. In particolare
. dim[Hom(V, W)] == mn.
Dimostrazione
SianoF, GEHom(V, W), M=Mwy(F), N=Mwv(G), e cEK.
, ,
Se v == Xl VI + ... + X n v n , denotiamo con x == 1(X I ... x n ) l'n-vettore colonna deIIe
coordinate di v rispetto alla base v. Gli m-vettori colonna delle coordinate di F(v)
e di G(v) rispetto a w sono rispettivamente Mx ed Nx, mentre il vettore colonna
delle coordinate di (F + G) (v) == F(v) + G(v) è Mx + Nx == (M + N) x; quindi
Mw v(F + G) = Mw v(F) + Mw v(G).
. , ,
Inoltre l'm-vettore colonna delle coordinate di (cF) (v) == cF(v) è
c(Mx) == (cM) x, e quindi
Mw,y(cF) == cM w ,l'(F).
Pertanto Mw,y è un'applicazione lineare.

12/ Applicazioni lineari e malrici. Cambiamenti di coordinate affini
149
Sia A E Mm,n (K) e definiamo
FA : V  W
ponendo
FA (Xl VI + X 2 V 2 + ... + X n v n) = (A (I) X) Wl + (A (2) X) W 2 + ... + (A (m) X) W m'
dove abbiamo denotato con x = t (x] ... X n ) e A (I), A (2), ..., A (m) le righe di A. In
altre parole, il vettore colonna delle coordinate di FA (v) è A x.
Verifichiamo che FA è un'applicazione lineare. Consideriamo due vettori qual-
· · + + " + + I d . V S . h
SlaSI v =XIV I ... XnV n ' V =XIV I ... XnV n I . I a
FA (V + v') = A (I)(x + x') Wl + ... + A (m) (x + x') W m =
= {A (l)x + A (l)X') Wl + ... + (A (m)x + A (m)x / ) W m =
= (A (I) x) Wl + ... + (A (m) x) W m + (A (l)X / ) Wl + ... + (A (m)X') W m =
= FA(v) + FA(V / ).
Se cE K si ha inoltre
FA(cv) = (A (l)CX) Wl + ... + (A (m)cx) W m =
= c(A(1)x) Wl + ... +c(A(m)X)W m =
= c [(A (l) x) Wl + ... + (A (m) x) W m ] = cFA(v).
Quindi FA è lineare. Per definizione si ha
Mw,y(FA) =A.
D'altra parte, se A = Mw,v(F) si ha evidentemente FA = F. In conclusione,
l'applicazione
Mm,n(K)Hom(V, W)
A ...... FA
è l'inversa di Mw,,,. L'ultima affermazione del teorema segue dall'esempio 4.15(7).
L'applicazione FA introdotta nel corso della dimostrazione del teorema 12.2
si dice applicazione lineare associata alla matrice A rispetto alle basi v e w. Essa
è definita, per ogni A E Mm,n(K), ponendo
FA (X1V J + ... +XnVn)=YIWt+... +Ymw m ,
dove y = A x, essendo x = t(x I ... x n ), Y = t(yl ... Yn).
Si noti che Mw,v fa corrispondere all'applicazione lineare O la matrice nulla
m x n. Dalla definizione segue inoltre che per ogni V E V il vettore FA(v) ha per
coordinate polinomi omogenei di primo grado nelle coordinate di v.

/50
Geomelria affine
12.3 PROPOSIZIONE Siano U, V, W spazi vettoriali su K di dimensioni s, n
ed m, e siano u = {DI' ..., usI, v = {VI' ..., V n } e w = {Wl' ..., W m} loro rispettive
basi. Siano G: U  V ed F: V  W applicazioni lineari. Si ha
Mw,u(po G) = Mw,,,(F) M lI ,u(G).
Dimostrazione
Seu=ZIul+Z2U2+ ".. +ZsosEU, siano
G(U)=X1V 1 +X 2 V 2 +... +xnv n
F(G(u» = (Fo G) (u) = Yl Wl + Y2 W 2 + ... + YmW m .
Ponendo z = t(ZI Z2 .... zs)' x = t(x I X 2 ... x n ), Y = t(vI Y2 ... Ym)' si ha
x = M", u(G) z
y = Mw, y(P) x = Mw, ,,(F) [M",u(G) z] = [M w ,lI(F) M lI ,u(G)]z.
Se V = W e se v = {Vi' ..., V n } e w = {Wl' ...., W n } sono due basi di V, ad ogni
operatore lineare F su V è associata una matrice quadrata M w ,l'(F)EM n (K).
Se V = W, dalla proposizione 12.3 segue che FEGL(V) se e solo M v ,l'(F)EGL n (l<),
e in questo caso si ha
M y ,,, (P-l) = Ml', l'(F) - I.
Inoltre M y . y{F) = In se e solo se F = Iv.
Un caso particolare importante si ha prendendo due basi distinte v e w di V
e F = Iv, l'applicazione identità. In questo caso Mw, ,,(Iv) è detta matrice del cam-
biamento di coordinate dalla base v alla base w.
Per definizione la colonnaj-esima di Mw y(lv) è costituita dalle coorditiate di
,
v j rispetto alla base w, per ogni j = 1, ..., n. Per ogni vettore v E V si ha
V=X 1 V I +X 2 V 2 + ... +x n v n =Yt W I+Y2 w 2+." +Ynwn
e, posto x = t(x I ... x n ), Y = t(YI ... Yn), si ha
y = Mw, y(lv) x.
Quindi la matrice M w .l'(lv) permette di ottenere le coordinate y di un vet-
tore v rispetto alla base w una volta note le sue coordinate x rispetto alla
base v.
Si noti che, per la proposizione 12.3:
M",w(lv) Mw,y(lv) == Ml',lI(lv) = In
e quindi
M",w(lv) = Mw,y(lv)-I.
[12.1]

/2/ Applicazioni lineari e matrici. Cambiamenli di coordinate affini
/51
Supponiamo ora che lo spazio vettoriale V sia reale. Due basi e = lei' ..., e n }
ed f== {fi' ..., fn} di V si dicono orientate concordemente se det(Me,f(lv» > O,
e si scrive e -cl. Altrimenti le due basi si dicono orientate discordemente.
Ogni base è orientata concordemente a sé stessa perché Me e{lv) = In. Inoltre,
,
poiché Mf,e(lv) == Me,,(lv) -I, il fatto che due basi siano orientate concordemente
o discordemente non dipende dall'ordine in cui esse sono state prese. Infine, se
e ed l sono orientate concordemente, e così pure l e g = {gl' ..., gn}' allora anche
e e g sono orientate concordemente. Infatti si ha
det(Me,g{lv» = det(Me,,(lv) (Mt,g(lv» = det(Me,t(lv» det(Mt,g(lv» > o.
Deduciamo che -c è una relazione di equivalenza nell'insieme _Y8 di tutte le
basi di V. Ogni classe di equivalenza si chiama orientazione di V.
Quante sono le orientazioni di V? Certamente almeno due, perché se
e = {e I , ..., e n } è una base di V, esiste qualche base orientata discordemente da
e, ad esempio la base f= {- e p e 2 , ..., e n }. Infatti
-1 O
O 1
Me,t(lv) =
O O
O
O
l
D'altra parte, le orientazioni non sono più di due: infatti se esistessero tre basi
e, f e g orientate discordemente a due a due, si avrebbe l'assurdo
O> det(Me,g(lv» = det(Me,t(lv» det(Mt,g(lv» > o.
Quindi V possiede due orientazioni, cioè ga è ripartito in due classi di equiva-
lenza rispetto a -c. L'orientazione cui una data base eE_98 appartiene è l'orien-
lozione di V definita da e.
12.4 Esempi
1. Se V = Kn, W = Km e ve w sono le basi canoniche di Kn e di Km rispettiva-
mente, l'applicazione FA associata a una matrice A E Mm,n(l<) è data da
FA (x) = Ax per ogni xE Kn,
se gli elementi di Kn e di "Km sono visti come vettori colonna.
Poiché le colonne di A sono i vettori FA(E t ), F A (E 2 ), ..., FA(En)' si ha
Im(F A ) = (FA(E 1 ), FA(EJ, ..., FA(E n ».
In particolare r(F A ) = r(A).
Si noti che le coordinate del vettore A x sono m polinomi omogenei di primo

/52
Geomelria affine
grado in Xl' X 2 , ..., X n - Viceversa, una qualunque applicazione lineare F: Kn -+- K111
è della forma
F(x I , X 2 , ..., xJ = (FI(X h x 2 ' ..., x n ), F 2 (x l , X 2 , ..., x n ), ..., Fm(x t , x 2 , ..., x n »
in cui ognuno degli Fj(x h x 2 ' .. _, x n ) è un funzionale lineare su K n: infatti Fj è
uguale alla composizione
1J j O F: Kn -4 Km -+- K,
che è lineare. Ricordando la [11.11], vediamo che ognuno degli Fj(x l , X 2 , ..., x n )
è un polinomio omogeneo di primo grado in X t ,X 2 , ..., xn..
Quindi ogni applicazione lineare F: Kn  Km è definita da m polinomi
omogenei di primo grado in XI' ..., X n , e la corrispondente matrice ha per prima,
seconda, ..., m-esima riga i coefficienti di F 1 (XI' Xz, ..., x n ), F 2 (X 1 , X 2 , ..., X n ), ...
..., Fm(x l , X 2 , ..., X n ).
Ad esempio, alla matrice
3
1 2 .J2
1 E M 2 , 3(R)
2
1
A=
è associata l'applicazione lineare FA: R 3  R Z cosÌ definita:
FA (XI' X 2 , X 3 ) = (XI + 2x 2 + .J2x 3 , 3x 1 + X 2 - x 3 /2).
Viceversa all'applicazione lineare F: R 4  R 3 seguente:
F(x l , X 2 , x 3 , x 4 ) = (2xJ - x 3 + X 4 , x 2 - .J3x 3 + 3x 4 /2, XI - X 2 + X 3 + 5 X 4 )
è associata la matrice
2 O -1 1
O -.J3 3
1 -
2
1 -1 l 5
2. Siano A E Mm,n(K), b = t(b 1 ... b m ) E KJn, e consideriamo il sistema di m equa-
zioni lineari in n incognite
AX=b
,
[12.2]
dove X = 1 (XI ... X n ). Un vettore x = t (XI ... x n ) E K n è una soluzione del sistema
[12.2] se e solo se FA(x) = b, dove FA: Kn  Km è l'applicazione lineare associata
ad A. Affinché un xE Kn siffatto esista è necessario e sufficiente che bElm(F A ).

12/Applicazioni lineari e matrici. Cambiamenti di coordinale affini
153
D'altra parte, poiché Im(F A ) è generata dalle colonne di A, affinché bElm(F A ),
cioè affinché il sistema [12.2] sia compatibile, è necessario e sufficiente che
r(A) = r(A b).
In questo modo abbiamo ottenuto una nuova dimostrazione del teorema" di
Kronecker - Rouché-Capelli.
Sappiamo che, se è compatibile, il sistema [12.2] possiede oon-r soluzioni, dove
r = r(A). Ciò può essere dimostrato anche osservando che il sistema [12.2] pos- "
siede un'infinità di soluzioni uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni
del sistema omogeneo associato
AX=O
,
e che tale spazio coincide con N (FA). Per il teorema 11.6 abbiamo
dim[N(F A )] = n - r(F) = n - r.
3. Sia V uno spazio vettori aie reale di dimensione 3, e sia e = {e I , e 2 , e 3 }
una base di V. Consideriamo le seguenti basi, i cui vettori assegniamo in coordinate
rispetto a e:
v = {v 1 (1, 1, O), v 2 (2, l, 1), v 3 (O, - 2, I)}
w= (wl(-I, O, l), w 2 (1, -2, -3), w 3 (1, l, l»).
Si ha
1 2" O 3 -2 -4
Me,v(lv) = 1 1 -2 M",e(l v } = Me,v(lv) . 1= -1 l 2 .
O 1 l l -1 -1
Similmente
-1 l 1
Me w(lv) = O -2 l
,
1 -3 l
1 -2 3
- -
2 2
Mw,e(lv) = Metw(lv) " 1= 1 -1 l
- -
2 2
1 -1 1

154
Geometria affine
Per calcolare Mw.,,(lv) conviene utilizzare la proposizione 12.3. Si ha
Mw.,,(lv) = Mw,e(lv) Me. ,,(Iv) =
l -2 3 1 2 O 3 1 1 l
- - -- - -
2 2 2 2 2
l -1 1 l 1 -2 l 1 5
- - - - -- - -
2 2 2 2 2
1 -1 l O I 1 O 2 3
Infine, per calcolare M,,w(lv) possiamo utilizzare l'identità
M" w(lv) = Mw ,,(Iv)-l
. 
e calcolare l'inversa' di Mw, ,,(Iv), oppure scrivere
M". w(lv) = M".e(lv) Me. w(lv) =
3 -2 -4 -1 1 1 -7 19 -3
..
- -1 1 2 O -2 1 - 3 -9 2
1 -1 -1 1 -3 1 -2 6 -}
4. Siano V e W spazi vettoriali reali, dim(V) = 4, dim(W) = 2, siano v =
= {VI' V 2 , v 3 , v 4 } e w = {Wl' w 2 } basi di V e W rispettivamente, e sia F: V --+ W
l'applicazione lineare tale che
Mw v(F) =
,
.2 O 1 O
1 3 -2
Siano
e = felCI, l, 1,2), e 2 (2, -1,3, O), e 3 (-J2, l, O, O), e 4 (1, _1-, l, 5)}
2
f = {f i (2, - 3), f l ( - l, 3)}
nuove basi di Vedi W rispettivamente, assegnate mediante le loro coordinate
nelle basi v e w. Per la proposizione 12.3 si ha
Mi. e (F) == Mi, w (l w ) Mw, ,,(F) M".e(lv).
Poiché
M w ,/(l w } = c-: -;)

12/ Applicazioni lineari e matrici. Cambiamenti di coordinate affini 155
1 1
- -
3 3
M f ...{lw) = Mw f{lw) u I = l 2
. .
-- -
3 3
1 2  1
1 -1 l 1
--
M.e{lv) == 2
1 3 O 1
2 O O 5
si ottiene
1 2 1
1 1
- - 1 1
3 3 1 3 -2 - l -1 1 --
Mf,e{F) == 2 2
l 2 2 O 1 O l 3 O 1
-- -
3 3 2 O O 5
1 2 .J2 l
1 1 1 1 1 -1 l 1
-- - --
3 6 2
- -
1 -1 4 1 1 3 O 1
---
3 6
2 O O 5
=(: O .J2+1 :).
7 .J2-1
5. Nello spazio vettoriale M 2 {C) delle matrici 2 X 2 a coefficienti complessi
consideriamo le basi
e= [111= ( :),1]2= G ), 1 21 = G :),1 22 = G )J
P=[I 2 ,E 1 =G ),E2=G i),E3=C 1)J.

156
Geometria affine
dove 1: 1 , 1: 2 e 1:3 sono le matrici di PauIi (cfr. esercizio 13,  4). Poiché
1 2 = 1 11 + 1 22 , 1: 1 = 1 12 + 1 21 , 1: 2 = - il 12 + i1 21 , 1:3 = I II - 1 22 ,
si ha:
Me.p(l) =
1
O
O
I
O O 1
1 -} O
1 . O
I
O O -I
1 O O
-
2
1
2
o 1 1
- -
2 2
Mp,e(l) = Me,p(l) -I == .
O 1 I
2 2
o
o
1
2
O
o
1
2
In uno spazio affine A con spazio vettoriale associato V consideriamo due rife-
rimenti affini, Ee I ... e n e Ff I .-. 'n' e un punto qualsiasi PE A.
Sia x == t (XI ... xn) il vettore colonna delle coordinate di P nel riferimento
Ee I ... e n e sia y = t(yI ... Y n ) quello delle coordinate di PE A rispetto a Ff l ... 'n.
Si ha
---+
EP::::: XI e l + ... + xne n
--?-
FP = Yl f i + :.. + Yn f n .
Supponiamo di conoscere x e di voler trovare y.
Denotiamo con e = {e I , ..., e n } ed f == {f l' ..., f n } le due basi di V, con
A = (aij) = Mf,e(lv} e con c = t(c l ... c n ) il vettore delle coordinate di E rispetto
a Pf I ... fn. L'identità vettoriale
---+ --+ 
FP=FE+EP,
espressa rispetto alla base f, ci dà
y = A x + c.
[12.3]
La [12.3] è la formula del cambiamento di coordinate affini dal riferimento
Ee I ... e n al riferimento Ff I ... 'n.

12/Applicazioni lineari e matrici. Cambiamenti di coordinate affini
157
Come era prevedibile, la [12.3] dipende solo dal1e basi e ed f e dai punti E ed
F, le origini nei due riferimenti affini assegnati.
Nel caso in cui lo spazio A è uno spazio affine reale, due riferimenti affini
Ee I ... e n e Ff I ... f n si diranno orientati concordemente (orientati discordemente)
se le basi e ed f sono orientate concordemente (orientate discordemente).
Consideriamo l'insieme  di tutti i riferimenti affini di A, e in !Il diciamo
equivalenti due riferimenti se sono orientati concordemente. Procedendo in modo
simile al caso vettori aIe, possiamo verificare che quella che abbiamo definito è
effettivamente una relazione di equivalenza, e che le classi di equivalenza sono
due. Esse si dicono le orientazioni di A. L'orientazione cui un dato riferimento
Ee l ... enE - appartiene è l'orientazione di A ,definita da Ee I ... e n .
12.5 Esempi
1. Se Ee I ... e n è un riferimento affine dello spazio affine A e se un secondo
riferimento affine assegnato è Fe I ... e n , cioè è ottenuto solo cambiando la posi-
zione dell'origine e lasciando invariata la base dei vettori, la formula [12.3] si riduce
alla seguente:
y = x + c.
[12.4]
Se invece il secondo riferimento è Ef I ... 'n' cioè è ottenuto cambiando la base
dei vettori, ma non l'origine, la formula [12.3] diventa
y = Ax.
[12.5]
Ogni cambiamento di riferimento affine si può ottenere come la composizione
di uno del tipo [12.4] seguito da uno del tipo [12.5], o viceversa. La verifica è
lasciata al lettore.
2. Siano Ee 1 ... e n , Ff l ... f n e Gg 1 ... gn tre riferimenti affini in A, e siano
x = t(x I ... x n ), y = t(YI ... Yn) e z = t(ZI ... zn) i vettori delle coordinate di un punto
PE A rispetto ad ognuno dei riferimenti dati. Supponiamo che il passaggio dalle
coordinate x alle y sia dato dalla [12.3] e che quello dalle y alle z sia dato dalla
formula
z = By + d
[12.6]
con B == (bij), e d = t (di." d n ). Allora la formula che esprime il passaggio dalla
x alle z si ottiene sostituendo la [12.3] nella [12.6], e quindi è
z = BAx + (d + Bc).
3. Con le notazioni della [12.3] la formula che esprime il passaggio dalle coor-
dinate y alle x, cioè il passaggio inverso di quello dato dalla [12.3], è
x = A - I Y - A - I c.
[12. 7]

158
Geometria affine
Infatti, sostituendo la [12.3] nel secondo membro della [12.7] si ottiene l'iden-
tità x = x.
4. Sia A uno spazio affine reale di dimensione 3, e sia V lo spazio vettoriale
associato. Siano Ee I e 2 e 3 ed Ff l f2f3 due riferimenti affini in A. Supponiamo che
f l = e I + e 2 , f 2 = - e l + e 3 , f3 = e) + e 2 + e 3 ,
e che F bbia coordinate (5, - 3/2, 1/2) nel riferimento Ee 1 e 2 e 3 .
Per conoscere la formula di cambiamento di coordinate dal riferimento
Ee I e 2 e 3 al riferimento Ff I f2f3 occorre conoscere la matrice Mf,("(lv), nonché le
coordinate Cl' c 2 , c 3 di E rispetto a Ff} f2f3. Si ha .
1 -1 1
Me,f(lv)::::; 1 O 1
O 1 1
e quindi
-1 2 -1
Mf,e(lv) = Me,f(lv)-I = -1 1 O .
1 -1 1
Per determinare (Cl' C 2 , c 3 ) utilizziamo la matrice Mr,e(lv) che abbiamo appena
calcolato. Si ha
----+  ( 3 1 )
Clfl+C2f2+C3f3=FE=-EF=- 5el-2e2+2e3 ·
Pertanto
5 -5 17
-1 2 -1 -
Cl 2
c 2 = Mf,e(lv) 3 -1 1 O 3
- - - - 13
2 2 -
c 3 1 -} } 2
1 1
-- --
2 2 -7
In conclusione, la formula del cambiamento di coordinate dal riferimento

12/ Applicazioni lineari e malrici. Cambiamenli di coordinate affini
159
Ee 1 e 2 e 3 al riferimento Fflf2f3 è
17
-
YI -1 2 -1 XI 2
Y2 -1 l O X 2 + 13
-
2
Y3 l -1 1 x 3
-7
ovvero:
17
YI = - XI + 2x - x + -
2 3 2
13
Y2 = - XI + x 2 + -
2
Y3 = Xl - x 2 + x 3 - 7.
Esercizi
1. Sia F: R 2 -+ R 3 l'applicazione lineare
F(Xh X2) = (XI + X2, Xl - 2X2, XI).
Determinare Mb'. b(F), dove
b = {(l, l), (O, -l)}, b' = {(l, l, l), (1, -2, O), (O, O, l)}.
2. Sia F: R 2 -+ R 3 l'applicazione lineare
( XI 3 X2 3 XI X2 )
F(xI, X2) = - 2 + 2 ' 2 - 2 ' 2XI .
Determinare Mb', b(F), dove
b = (I, l), (I, -I)}, b' = {(l, O, l), (O, l, l), (2, -1, -l)}.
3. Sia F: C 3 -+ C 2 l'applicazione lineare definita dalla matrice
A= (   -I )
l l l+i
rispetto alle basi b = {(I, i, i), (i, i, l), (O, i, O») di C 3 e b' = {(l, l), (i, - i)} di C 2 .
Determinare la matrice che rappresenta F rispetto alle basi canoniche.
4. Siano vI=(-I, l, l), v2=(1, l, O), V3=(0, 2, I)ER 3 . Dimostrare che non esiste
un'applicazione lineare F: R 3 -+ R 3 tale che
F(v}) = (1, O, O), F(V2) = (O, 1, O), F(V3) = (O, O, l).

/60
Geometria affine
5. Per ognuna delle seguenti coppie di basi b e b' di R 2 , determinare Mb. b' (1):
a) b= {I, O), (O, l)}, b' = (1, ..Jj) (-J3, l)}
b) b = {(l, -1), (l, I)}, b' = {(I, O), (I, I)}
c) b= {(2, l), (2, 2)}, b' = {(v'5, -.J5), (.J5, ..JS)}.
6. Per ognuna delle seguenti coppie di basi b e b I di C 2 , determinare Mb, b' (l):
a) b = {(I, i), (i, l)}, b' == {(2, l), (l, 2)}
b) b = {(i, i), (- 1, I)}, b' = {(i O), (O, i)}.
7. Per ognuna delle seguenti coppie di basi b e b' di Q3, determinare Mb,b,(l):
a)- b = (1, O, l), (l, 1, O), (O, l, I)} b' = (I, l, l), (O, l, l), (O, O, I)J
b) b= {(l, -l, l), (-l, l, 1), (l, l, I)},
b' == {(13, 5, - 6), (8, -lO, - 4), (- 17 O, -7)}.
8. In un piano affine reale A si supponga fissato un riferimento affine Oij.
Determinare le formule di cambiamento di coordinate dal riferimento Oij al riferi-
mento O'i'j' dove O' = 0'(1,2), i' = i + 3j, j' = i + j.
9. In un piano affine reale A si supponga fissato un riferimento affine Oij, e siano ,
' ed " le rette di equazioni
:X+Y=O, ':X-Y-l=O, ":2X+Y+2=0.
 ---J>
Posto O' =  n ', u =  n /, V' == ' n ", siano i' = O' V, j' = O' U'. Dopo
aver verificato che i vettori i' e j' sono linearmente indipendenti, determinare le for-
mule del cambiamento di coordinate dal riferimento Oij al riferimento D'i' j I .
10. Sia A uno spazio affine reale di dimensione 3, in cui sia fissato un riferimento affine
Dijk. Determinare le formule del cambiamento di coordinate dal riferimento Oijk
al riferimento O' i ' j 'k ' , dove
0'=O' (; . -1[, ;) .
i' ;:::: i + k, j' = j - k, k' == i + j + k.
11. Siano e == {CI, ..., e n J, b = (b), ..., b n } due basi del K-spazio vettoriale V, e siano
11 == {1]1, ..., 1/n}, f3 = {l3h ..., {3n} le basi di V" duali di e e di b rispettivamente. Dimo-
strare che
M p , T] (Iv.) == l [Me. b(l v )].
13 Operatori lineari
Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione finita, e sia e = {e I , ..., e n } una
base di V. Per ogni operatore FE End(V) scriveremo Me(F) invece di Me e(F), e
.
chiameremo Me(F) la matrice di F rispetto a/la base e.

I3/0peratori lineari
161
Dal teorema 12.2 discende che l'applicazione
Me: End (V) -+ Mn(K)
Ff-+ Me(F)
è un isomorfismo di K-spazi vettoriali. Si ha
Me(lV) = In'
e Me(F)EGLn(K) se e solo se FEGLn(V), cioè un'operatore F è un automorfi-
smo se e solo se Me(F) è invertibile. Quindi l'applicazione Me induce una biezione
che denotiamo con lo stesso simbolo:
Me: GL(V) -+ GLn(K).
Sia f= {f I , ..., fn} un'altra base di V. Dalla proposizione 12.3 deduciamo che
Mf(F) = M f ,e(l v ) Me(F) Me, f(lv).
Poiché Mf,e(lv) = M e ,f(lv) -I, otteniamo
Mf(F) = Me.f(lv) - I Me(F) Me,f(lv)
[13.1]
da cui segue immediatamente che
det(Mf(F» = det(Me(F»,
cioè det(Me(F» non dipende dalla base e, ma solo da F. Chiameremo pertanto
det(Me(F» il determinante dell'operatore F e lo denoteremo con det(F), senza
dover specificare la matrice Me (F) attraverso la quale è stato calcolato.
13.1 DEFINIZIONE Due matrici A, B E M n (K) si dicono simili se esiste
MEGLn(K) tale che B::::: M-I AM.
La similitudine è una relazione di equivalenza in M n (K). Infatti ogni matrice
è simile a sé stessa: A = I. I A In. Se B = M-I AM, allora
A,= (MM- I)A(MM- I ) =M(M-IAM)M- I = (M-1)-IBM- 1
e la relazione è simmetrica. Se B = M- 1 AM e C = N- I BN, allora
c = N-l (M-I AM) N = (MN) - lA (MN)
e la relazione è transitiva.
13.2 PROPOSIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale, dim(V) = n, e siano A,
BEMn(K). A e B sono simili se e solo se esistono un operatore lineare FEEnd(V)
e basi e ed f di V tali che Me(F) = A ed Mf(F) = B.
11

/62
Ge0111etria affine
Dimostrazione
Se F, e, f esistono, allora dalla [13.1] segue che A e B sono simili. Supponiamo
viceversa che
B == M- IAM.
[13.2]
Sia e una base arbitraria di V e sia F == FA l'operatore associato alla matrice A
rispetto alla base e. Per ogni j = l, ..., n sia fj il vettore le cui coordinate rispetto
a e sono gli elementi della j-esima colonna di M, cioè fj == m1jc I + m 2j e Z + ...
... + mnje n . Poiché M ha rango n, i vettori fI' ..., f n sono linearmente indipen-
denti e quindi {f H ..., f n } è una base di V. Si ha inoltre
M = Me,,(lv).
Dalla [13.2] discende che B = M,(F).
13.3 DEFINIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale, dim(V) == n. Un operatore
FE End(V) si dice diagonalizzabile se esiste una base e di V tale che Me(F) sia
una matrice diagonale, cioè della forma
À-} O O
O À 2 O
O O Àn
per opportuni À 1 , À. 2 , ..., ÀnE K.
Se ciò avviene e è una base diagonalizzante per F.
Una matrice A E Mn(K) si dice diagonaIizzabile se è simile a una matrice dia-
gonale.
Ovviamente, se FE End(V) ed e è una base di V, F è diagonalizzabile se e solo
se Me (F) è una matrice diagonalizzabile. In particolare A E Mn(K) è diagonaliz-
zabile se e solo se l'operatore FA: Kn  Kn definito da A è diagonalizzabile.
Se F: V --+ V è un operatore lineare diagonalizzabile ed e è una base diagonaliz-
zante per F, si ha
F(e;} == Àje i , i = 1, ..., n.
[13.3]
Viceversa, se una base e soddisfacente la [13.3] esiste, allora la matrice Me (F)
è diagonale, e quindi F è diagonalizzabile ed e è una base diagonalizzante.
Si noti che, se dim(V) = l, allora ogni FEEnd(V) è diagonalizzabile ed ogni
base di V è diagonalizzante per F. Se dim (V) > 2 non tutti gli operatori F E End (V)
sono diagonalizzabili. Similmente non tutte le matrici A E Mn(K) sono diagona-
IizzabiIi se n > 2 (cfr. esempio 13.15(3».

J3/0peratori lineari
163
In relazione al problema di stabilire l'esistenza di basi diagonalizzanti si pre-
sentano in modo naturale le nozioni di "autovettore" e di "autovalore".
13.4 DEFINIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale, e sia FE End (V). Un vettore
v E V si dice autovettore di F se v # O ed esiste uno scalare À. E K tale che F(v) = A. v.
Iv è l'autovalore di F relativo all'autovettore v.
Il sottoinsieme di K costituito dagli autovalori di F è lo spettro di F.
Se A E Mn(K), un autovettore di A è un auto vettore x E Kn dell'operatore
FA: Kn  Kn definito da A, e un autovalore di A è un auto valore di FA.
Ad esempio, se F = Iv, ogni v # O è un autovettore di F con autovalore À. = l.
Se F è un operatore tale che N (F) # (O), ogni v E N (F) \ { O} è un autovettore
di F con autovalore Iv == o.
Diamo qui di seguito alcune semplici proprietà degli autovettori e degli auto-
valori di un operatore FE End(V). Supporremo dim(V) = n > 1.
13.5 PROPOSIZIONE L 'autovalore relativo a un autovettore v è univocamente
determinato.
Dimostrazione
Se Iv v = F(v) = Il v per qualche À., Il E K, allora (A. - IL) v = O e, poiché v # O,
dev'essere À, - Il = O, cioè Iv = p,.
13.6 PROPOSIZIONE Se vI' v 2 E V sono auto vettori relativi allo stesso autova-
fore À, allora per ogni CI' c 2 E K il vettore CI VI + c 2 v 2 , se non è il vettore nullo, è
ancora un auto vettore con auto valore Iv.
Dimostrazione
Si ha
F(c 1 VI + C 2 V 2 ) = cIF(v I ) + c 2 F(v 2 ) = CIÀ,V I + C 2 lvV 2 = À(c I VI + C 2 V 2 ).
Dalla 13.6 segue che l'insieme
V ì.. (F) = {v E V: v è un autovettore di F con autovalore À} U {O}
è un sottospazio vettoriale di V, detto l'autospazio relativo all'autovalore À.
Per una matrice A EMn(K) si definisce l'autospazio V ì..(A) relativo all'autova-
lore À come il sottospazio VÀ(A) = Vì..(F A ) di Kn.
13.7 PROPOSIZIONE Se VI' ..., vkEV sono auto vettori relativi agli auto valori
ÀI , ..., À k , e se questi À j sono a due a due distinti, allora v l' ..., V k sono linear-
mente indipendenti.

164
Geomelria affine
Dimostrazione
L'asserzione è banalmente vera se k = l, perché VI  O. Procediamo per indu-
zione su k, e supponiamo k  2. Se
C I V I + c 2 V 2 + ... + c k V k = O,
[13.4]
allora, applicando F a entrambi i membri, si ha anche
c,F(v l ) + c 2 F(v.) + ... + ckF(v k ) = O,
cioè
Cl AI VI + C 2 A 2 v 2 + ... + CkA k V k = O.
[13.5]
D'altra parte, moltiplicando ambo i membri della [13.4] per AI' si ottiene
AI CI VI + A I C 2 V 2 + .... + À,ICkVk == O,
[ 13 .6]
e sottraendo la [13.6] dalla [13.5]:
C 2 (À,2 - AI) v 2 + ... + Ck(A k - AI} v k = O.
[ 13 . 7]
Per l'ipotesi induttiva V 2 , ..., V k sono linearmente indipendenti, e quindi i coef-
ficienti del primo membro della [13.7] sono tutti uguali a o. Poiché Aj - AI  O
per ogni j, si deduce che C 2 = ... == C k = o. Quindi la [13.4] si riduce a CI VI = O,
e quest'identità implica che anche CI == O, perché VI  o.
13.8 PROPOSIZIONE Se ogni vE V\(O} è un auto vettore di F, allora esiste AE K
tale che F = A Iv.
Dimostrazione
Se dim(V) = 1 l'asserzione è ovvia. Possiamo quindi supporre dim(V) > 2. Sia
{ e l , ..., e n } una base di V. D alI 'ipotesi segue che esistono AI' À,2' ..., An E K tali che
F(e i ) = Aie;, i = l, ..., n. Siano l < i, j $ n due indici distinti, e sia vij = e i + e p Per
ipotesi esiste Aij E K tale che
F ( v. . ) = À,..v.. == A..e. + À,. .e..
IJ l} Il iJ l l} J
D'altra parte si ha
F ( v. . ) = F ( e. + e. ) == F ( e. ) + F ( e. ) = A.e. + A.e. ,
l} 1 J l J 1 I '} J
e, per l'indipendenza lineare di e i ed ej'J deduciamo che Ai = Aj = Aij. In conclu-
sione AI = A 2 == ... == À,n, e l'asserto è provato.
In pratica nella ricerca degli autovalori di un operatore o di una matrice si uti-
lizza il cosiddetto "polinomio caratteristico". La sua definizione si avvale del
seguente semplice risultato.

ì3/0peralori lineari
165
13.9 PROPOSIZIONE Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia
FEEnd(V). Uno scalare À.EK è un auto valore di F se e S% se l'operatore
F - À.1v: V  V
definito da
(F-À.l v )(v)=F(v)-À.v perognivEV,
non è un isomorfismo, o, equivalentemente, se e solo se det(F- Alv) = o.
Dimostrazione
F- À.1v non è un isomorfismo se e solo se N(F- À.1v» # (O), cioè se esiste
v E V, v # O, tale che (F - Alv> (v) = O, ovvero tale che
F(V)=AV.
[ 13.8]
La [13.8] afferma che F possiede l'autovettore v con autovalore À..
Sia e = {e l' ..., e n } una base di V. La matrice associata alI' operatore Al y è
À. O O
O A O
O O À.
e, se A == (a jj ) = Me(F), allora
0 11 - À a I2
a In
a 21
a 22 - À.
a 2n
Me(F - À.l y ) =
anI
a n2
a nn - Iv
13.10 DEFINIZIONE Sia A E M n (K) e sia T un 'indeterminato. Il determinante
a l1 - T a 12
a ln
a 21
a 22 - T
a 2n
PA(T) = I A - TIn , =
anI
a n2
a nn - T
è un polinomio di grado n in T, detto polinomio caratteristico di A.

166
Geometria affine
Se FEEnd(V), e = {eh ..., e n } è una base di V e A = Me (F), allora PA(T) è
il polinomio caratteristico di F, e si denota con PF(T).
La definizione di PF(T) è indipendente dalla base e, perché due matrici simili,
come sono quelle che rappresentano F in due basi diverse, hanno lo stesso polino-
mio caratteristico.
Per vederlo, siano A e B due matrici simili, cioè si abbia B = M - I AM, per
qualche MEGLn(K). Allora
B- TIn=M--IAM- TIn==M-1(A - TIn)M.
Pertanto I B - TIn f = I M'- l' r A - TIn I l M I = I A - TIn I.
Si noti che il coefficiente di r n in PA(T) è (-l)n, e quindi (-I)nP A (T) è un
polinomio monico.
Dalla proposizione 13.9 deduciamo il seguente corollario.
13.11 COROLLARIO Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n, e sia
FEEnd(V). Allora AE K è un autovalore di F se e solo se À, è radice di PF(T). In
particolare F possiede al più n auto valori distinti..
Dimostrazione
La prima asserzione è una riformulazione della proposizione 13.9. Poiché
P A (T) ha grado uguale a dim (V), l'ultima asserzione segue dal fatto che un poli-
nomio di grado n a coefficienti in K possiede al più n radici in K.
II corollario 13.11 fornisce un metodo pratico per calcolare autovalori ed auto-
vettori di un operatore. Rinviamo agli esempi alla fine del paragrafo per iIlustra-
zioni pratiche di questo metodo.
Il problema di stabilire se un operatore è diagonalizzabile è un problema di
ricerca di autovalori e dei relativi autovettori. Si ha infatti:
13.12 PROPOSIZIONE Sia V uno spazio vettori aie di dimensione/inita. Un ope-
ratore FEEnd(V) è diagonalizzabile se e solo se V possiede una base costituita
da auto vettori di F.
Dimostrazione
Segue immediatamente dalla [13.3].
Il risultato seguente dà una condizione necessaria e sufficiente affinché un ope-
ratore sia diagonaIizzabiIe.
13.13 TEOREMA Sia V un K-spazio vettoriale, dim(V) = n, e sia FEEnd(V).

13/0peratori lineari
167
Se {À I , ..., Àk} C K è lo spettro di F, allora si ha:
dim(VAt(F» + ... + dim(VAk(F» < n
e l'uguaglianza sussiste se e solo se F è diagonalizzabile.
[13.9]
Dimostrazione
Per ogni j == l, 2, ..., k poniamo d(i) == dim(VA,(F», e sia (ei],... eid(i)} una
base di V A{F). In virtù della proposizione 13.12 sarà sufficiente dimostrare che
,
i vettori
e II , ..., eId(l)' e 2I , ..., e 2d (2)' ..., e kJ , ..., ekd(k)
sono linearmente indipendenti.
Supponiamo che si abbia
o = c ll e ll + ... + cId(l)eId(l) + C 2I e 2I + ... + c 2d (2)e 2d (2) + ...
... + C k I e k l + ... + ckd(k)ekd(k)
[13.10]
per opportuni scalari c U .
Ponendo Vi = Ci] elI + ... + cid(i)eid(i)' si ha ViE V Aj(F) e la [13.10] può essere
riscritta nella forma seguente: .
o == V I + V 2 + ... + v k-
[13.11]
Poiché Vi = O se e solo se Ci I = C i2 == ... == Cid(i) = O, sarà sufficiente dimostrare
che v I == V 2 == ... == V k == O. Se V i "# O, allora Vi è un autovettore relativo a Ai e dalla
[13.7] segue che {VI' V 2 , ..., vkJ\{O} è un insieme di vettori linearmente indipen-
denti. Quindi il secondo membro della [13.11] può essere uguale a O se e solo se
tutti gli addendi sono o.
Un caso particolare importante del teorema 13.13 è il seguente immediato
corollario. .
13.14 COROLLARIO Se dim(V) := n ed FE End(V) possiede n auto valori distinti,
allora F è diagonalizzabile.
Si noti che la condizione sufficiente di diagonalizzabilità espressa dal corolla-
rio 13.14 non è necessaria. Infatti l'operatore Iv è diagonalizzabile qualunque sia
n == dim(V), ma possiede l'unico autovalore À == 1.
13.15 Esempi e osservazioni
1. II coroIlario 13. I l fornisce un metodo pratico per calcolare autovettori e
autovalori di un operatore o di una matrice. Scegliendo una base di V ci si riduce
a considerare il solo caso delle matrici.

168
Geometria affine
Sia dunque assegnata A E Mn(K). Si cominci con il calcolarne gli eventuali
autovalori che si trovano calcolando il polinomio caratteristico P A (T) e le sue
radici in K.. Per ogni autovalore À. E K, il sistema omogeneo di n equazioni nelle
n incognite X = t (Xl ... X n ):
(A - ÀIn) X = O
ha rango r < n e possiede quindi soluzioni non banali. Lo spazio delle soluzioni
è l'autospazio VA (A). Se la somma delle dimensioni degli autospazi così trovati
al variare di A tra tutte le radici di PA(T) è uguale a n, allora A è diagonalizza-
bile, per il teorema 13..13.. Una base diagonalizzante si ottiene scegliendo una base
di ciascun autospazio e prendendone l'unione.
Ciò fornisce in linea di principio un metodo di calcolo di tutti i vettori di una
base diagonalizzante e della matrice del corrispondente cambiamento di base.
Si osservi che un operatore può non avere autovalori, e quindi neanche auto-
vettori, perché il polinomio P A (T) può non avere radici in K. Se però K = C,
allora dal teorema fondamentale dell'algebra segue che P A (T) possiede radici in
C, e pertanto: ogni operatore di uno spazio vettoriale complesso di dimensione
finita possiede almeno un autovalore, e quindi possiede auto vettori. Ciò non signi-
fica necessariamente che l'operatore sia diagonaIizzabiIe (cfr. esempio 3).
Se K = R può accadere che un operatore di uno spazio V non possieda autova-
lori (cfr. esempio 4). Se però dim (V) è ...dispari, allora il polinomio caratteristico
ha grado dispari, e quindi possiede almeno una radice reale. In conclusione, ogni
operatore dì uno spazio ve/toriale reale di dimensione dispari possiede a/meno
un auto va/ore e quindi possiede auto vettori.
2. II polinomio caratteristico della matrice identità n x n è
P I (T) = (1 - T)n.
n
Il polinomio caratteristico della matrice nulla n x n è
Po(T) == (- l)nT n .
In entrambi i casi l'unico autospazio della matrice è Kn.
3. Se A = (aij) E Mn(K) è una matrice triangolare (superiore o inferiore), si ha
P A (T) = (ali - T) (a 22 - T) ... (a nn - T)..
Se aIJ' a 22 , ..., a nn sono distinti, allora, per il corollario 13.14, A è diagonaliz-
zabile perché possiede n autovalori distinti; altrimenti può non esserlo.

13/0peratori lineari
169
Ad esempio la matrice n x n, n  2,
o l O O
O O 1 O
A= E M n (K)
O O O 1
O O O O
ha polinomio caratteristico
PA(T) = (-I)nr n
e quindi possiede l'unico autovalore À = O. Da ciò segue che se A fosse diagona-
lizzabile sarebbe simile alla matrice O. Ma O è simile soltanto a sé stessa. Infatti
per ogni M E GLn (K) si ha
M-1OM=O.
Quindi A non è diagonalizzabile.
La matrice
l l O O O
O 1 1 O O
B=A+I= EMn(K)
n
O O O 1 1
O O O O 1
ha polinomio caratteristico PB(T) = (1- T)n, uguale a quello della matrice In. B
non è diagonalizzabile, perché se lo fosse sarebbe simile a In' la quale invece è
simile solo a sé stessa: infatti M- I InM == In per ogni M E GLn(K).
4. La matrice
A = ( O l ) E M 2 (R)
-1 O
ha polinomio caratteristico l + T 2 . Poiché questo polinomio non ha radici reali,
A non possiede autovalori né autovettori in R 2 . Se però A viene considerata come
una matrice ad elementi complessi, allora possiede i due autovalori distinti À = ::I:: i.

170
Geometria affine
Per il corolIario 13.14, A è diagonalizzabile in M 2 (C), ed è simile alla matrice dia-
gonale
B =( _).
Per trovare la matrice M tale che B = M" I AM, dobbiamo trovare una base
di C 2 costituita da autovettori di A, il che equivale a trovare un autovettore per
ciascuno dei due autovalori. Possiamo procedere nel seguente modo.
Per la proposizione 13.9 gli autovettori relativi a A = i sono gli elementi del
nucleo di A - iI 2 , cioè sono le soluzioni del sistema omogeneo
- iX + Y = O
-X-iY=O,
che ha rango l, ed è quindi equivalente alla prima equazione. Soluzioni sono i
vettori della forma (I, it), i quali, al variare .di tE C, descrivono l'autospazio
C?(A). Prendendo ad esempio t = 1 si ottiene J'autovettore (1, i) relativo a A = i.
Analogamente, considerando il sistema omogeneo corrispondente a A + i1 2 , otte-
niamo i vettori della forma (t, - il), e quindi (i, l) è un autovettore relativo a
À = - i. La base b = {(I, i), (i, l)} è diagonalizzante. Detta e la base canonica, si ha
M = Me,b(l) = (: :)
e
1 .
l
-
2 2 (- ) (: :) = ( -) .
M-IAM = 1
l
-
2 2
5. Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione finita. Sia FE End (V) e sia À E K
un autovalore di F. La dim(V1(F» si dice molteplicità geometrica di Iv per F. La
molteplicità algebrica di À per F è la molteplicità h (À.) di À come radice del poIino-
mio caratteristico di F.
In generale la molteplicità geometrica e quella aIgebrica sono diverse. Ciò accade
ad esempio per le matrici A e B delI'esempio 3. Per A si ha infatti, evidentemente,
h (O) == n, mentre per B si ha h(l) = n. D'altra parte A non è diagonalizzabile e
quindi dim(Vo(A» < n. Similmente per B.
Per ogni FEEnd(V) e À-E K autovalore di F sussiste la disuguaglianza
dim{V1(F» < h(À),
[13.12]
cioè la molteplicità geometrica non supera la molteplicità algebrica.

I3/0peratori lineari
171
Per dimostrarlo si supponga che d = dim(VÀ(F» > 1, e sia {el' ... e n } una base
di V tale che {e I , ..., ed} sia una base di V Il. (F). Si ha
( À. Id
A =M.(F) = O
:)
dove BEMd,n_d(K), OEM n _ d,d(K) è la matrice nulla, e CEMn'-d.n-d(K). Svilup-
pando I A - TIn I con la regola di Laplace rispetto alle prime d righe si trova.
PF(T) = (À. - T)dp(T),
dove p(T) = Pc(T) è un polinomio di grado n-d. Pertanto h(À.) > d.
Se il campo K è algebricamente chiuso e A. I , ..., À. k sono gli autovalori di F,
si ha
h(À}) + ... + h (A k ) == n.
Pertanto, dalla [13.12] e dal teorema 13.13 segue immediatamente che se il
campo K è algebricamente chiuso l'operatore F è diagonalizzabile se e solo se per
ogni autovalore À di F si ha
dim(VÀ(F» = h (À),
cioè se e solo se la molteplicità geometrica e la molteplicità algebrica di ogni auto-
valore À coincidono.
6. Se A == (aij) E M 2 (K), allora si ha
P A (T) = T 2 - tr(A) T + det(A),
dove tr(A) = aH + a 22 è la traccia di A. La verifica è lasciata al lettore.
7. Sia
P(T) = go + gI T+ ... + gn-I T n . 1+ Tn
un polinomio monico di grado n a coefficienti in K, e sia
o O
1 O
Mp = O I
O -go
O - gl
O -g2
o O 1 - gn- t
Il polinomio caratteristico di M p è uguale a (- l)n P(T). Se n = l, l'afferma-
zione è evidente: M p - T = - go - T. Procediamo per induzione su n, e suppo-

172
niamo n 2: 2. Si ha
-T O O -go
1 -T O -g)
I M p - TI" l ::::: O 1 O -g2 -
Geometria affine
O O l -g - T
,,-1
-T O - gl l -T O
l O -g2 O l O
=-T + (-l)n go -
O 1 -g - T O O 1
n-I
= - T( _l)n'-I (gI + g2 T + ... + gn-J Tn -2 + m-I) + (-l)n go = (-l)n P(1),
dove il valore del primo determinante è dedotto dall'ipotesi induttiva.
Quest'esempio dimostra che per ogni polinomio monico di grado n > 1 in K[T]
esistono matrici quadrate di ordine n di cui esso, o il suo opposto, a seconda che
n sia pari o dispari, è il polinomio caratteristico.
Esercizi
1. Sia F: R 3 -4 R 3 l'operatore lineare
F(x, y, z) = (x + y - z, y + z, 2x).
Determinare la matrice Mb(F), dove b = {(l,I, O), (- 1, O, I), (I, 1, l)}.
2. Sia F: R 3 -4 R 3 l'operatore lineare
F(x, y, z) = (2x, x- y, y - z).
Determinare la matrice M b (F 2 ), dove b= {(I, l, O), (2, -1, l), (O, l, -l)}.
.3. Sia F: C 3 -4 C 3 l'operatore lineare definito dalla matrice
l l O
l -1 -2
2 l -3
rispetto alla base canonica. Determinare la matrice Mb(F) che rappresenta F rispetto
alla base b = {( - 2 i, i, i), (- l, - l, 1), (1, O, - 1) } .

13/0peratori lineari
173
4. Sia F: R 3 -+ R 3 l'operatore lineare definito dalla matrice
2
l
1
o l
o O 3
rispetto alla base canonica. Determinare la matrice M,,(F) che rappresenta F rispetto
alla base b :::: {( l, l, O), (- l, O, l), (1, l, l)}.
5. Sia F: R 3 -+ R 3 l'operatore lineare definito dalla matrice
121
l -1 3
102
rispetto alla base canonica. Determinare la matrice Mb(F) che rappresenta F rispetto
alla base b = {( - 1, O, - 1), (l, l, 1), (1, - l, O)}.
6. Sia F: C 3 -+ C 3 l'operatore lineare definito dalla matrice:
-1 l
2 l
l+i O O
rispetto alla base canonica. Determinare la matrice M,,(F) che rappresenta F rispetto
alla base b = (i, l, -l), (- 2, i, O), (2i, l, i)}.
7. Determinare autovalori e auto vettori di ciascuna delle seguenti matrici di M 2 (R):
a) (: _ :)
c) (:. :)
b) ( :)
d) (: :) .
8. Determinare autovalori e autovettori della matrice
( :) EM 2 (C),
in cui a, b sono parametri reali.
9. Sia F: R 3 -+ R 3 l'operatore lineare
F(x, y, z) = (y - z, - x + 2y - z, x - y + 2z).
Dimostrare che F è diagonalizzabile, trovando una base b di R 3 formata da autovet-
tori di F. Determinare la matrice che rappresenta F in tale base.

174
Geomelria affine
IO. Calcolare gli autovalori e la loro molteplicità algebrica e geometrica per ognuna delle
seguenti matrici di M3 (R), e dedurre se sono o no diagonalizzabili:
-6 2 -5 -8 -13 -14
a) -4 4 -2 b) -6 -5 -8
lO -3 8 14 17 21
l O O -5 4 -1
c) O -3 -15 d) -4 l -2
O 2 8 8 -4 3
13 59 34 -4 2 5
e) lO 40 24 f) O -44 - 120 .
-18 -79 -46 O 16 44
Il. Calcolare gli autovalori della matrice
O .1 O O
O O l O
EM 4 (C).
O O O l
I O O O
12. Determinare a, b, c, d, e,fER sapendo che (1, l, 1), (I, O, - I), (1, -1, O)ER 3 sono
autovettori della matrice
111
a b c.
d e f
13. Sia A E Mn<f(). Dimostrare che se A possiede l'autovalore A, la matrice C = aA + bIn,
dove a e b sono scalari, possiede l'autovalore a À, + b.
14. Siano A, BEMn(K). Dimostrare che se ME GLn(K) è tale che B = M-.] AM, allora, per
ogni intero k > O, si ha B k = M-IA"M. In particolare, se A e B sono simili, A k e B k
sono simili per ogm intero k > o.
15. Utilizzare l'esercizio precedente per calcolare FS, dove F: R 3  R 3 è l'operatore lineare
considerato nell'esercizio 9.

14/Gruppi di trasformazioni. Affinità
175
14 Gruppi di trasformazioni. Affinità
Il concetto di "gruppo", ed in particolare quello di "gruppo di trasformazioni",
ha fondamentale importanza in geometria. Uno studio sistematico della teoria dei
gruppi non rientra però negli scopi di un primo corso di Geometria; ci limiteremo
pertanto a dare le definizioni essenziali, che sono sufficienti a rendere naturale
la trattazione degli esempi geometrici più importanti. Rinviamo il lettore al corso
di Algebra per maggiori dettagli.
14.1 DEFINIZIONE Un gruppo è una coppia (  .) costituita da un insieme
non vuoto  e da un'operazione binaria in  cioè un' applicazione
.: _x   che associa ad ogni (g, g')E x  un elemento g.g'E, chia-
mato prodotto di g per g', in modo che siano soddisfatti i seguenti assiomi:
GI (Associatività) (g.g').g" = g.(g' .g") per ogni g, g', g" E 
G2 (Esistenza dell'elemento neutro) Esiste eE _C# tale che e.g = g.e = g per
ogni gE 
G3 (Esistenza dell'inverso) Per ogni gE _ esiste g-l E  .tale che g.g-I =
=g-l. g =e.
Un gruppo (_( .) si dice commutativo o abeliano se soddisfa il seguente
assioma:
G4 (Commutatività) g. g' = g' · g per ogni g, g' E _
In un gruppo abeliano l'operazione viene di solito denotata con il simbolo +
e chiamata somma.
Quando è chiaro dal contesto quale sia l'operazione definita in  il gruppo
(_( .) si denota semplicemente con la lettera _
Un esempio importante di gruppo è l'insieme .9' ( 8) di tutte le applicazioni biu-
nivoche di un insieme non vuoto 8 in sé stesso, dette anche trasformazioni di S.
Associando ad ogni (f, g) E-?(8) x _9(8) la trasformazione compostafo gE3(8)
si ottiene un'operazione tale che gli assiorni 01, 02, 03 siano soddisfatti, con
e = ls (la verifica, immediata, è lasciata al lettore). La coppia (3(8), o) è quindi
un gruppo, e prende il nome di gruppo delle trasformazioni di S.
Se V è uno spazio vettoriale, allora V è un gruppo abeliano rispetto all'opera-
zione di somma tra vettori: gli assi orni sono soddisfatti perché (V, +) soddisfa
gli assi orni SV1, SV2, SV3, SV4. (V, +) si dice gruppo additivo dello spazio vet-
toriale V.
Dalle proprietà delle matrici che abbiamo studiato in questo capitolo segue che
l'insieme GLn (K) di tutte le matrici invertibili n X n a elementi in K è un gruppo

176
Geometria affine
rispetto all'operazione di prodotto righe per colonne; esso è chiamato gruppo
lineare generale di ordine n su K. L'elemento neutro di GLn(K) è In.
14.2 DEFINIZIONE Un sottoinsieme Y di un gruppo !# si dice sottogruppo
di :# se soddisfa alle seguenti condizioni:
SOl Per ogni f, l' E_gr il prodotto 1.1' EY
S02 L'identità eEY
SG3 Se IE- allora l-I EY
È immediato verificare che se !£ c !ff C  ed !#- è un sottogruppo di 
allora!£ è un sottogruppo di _se e solo se è un sottogruppo di  Inoltre, se
_ed y, sono due sottogruppi di  la loro intersezione 9-n _, è ancora un
sottogruppo di  il quale, per quanto abbiamo appena osservato, è anche un
sottogruppo sia di Yche di Y'.
I sottogruppi di GLn(K) sono detti gruppi lineari di ordine n. Ad esempio,
l'insieme SLn(K) costituito dalle matrici A E GLn(K) tali che det(A) = l è un
gruppo lineare, chiamato gruppo lineare. speciale di ordine n.
Un altro esempio di gruppo lineare è O(n), che è il sottogruppo di GLn(R)
costituito dalle matrici ortogonali; ricordiamo éhe una matrice A E Mn(R) si dice
ortogonale se A = In- Per la sua stessa definizione, una matrice ortogonale è
invertibiIe, e A -I = . Poiché detCA) = det(A), per una matrice ortogonale si
ha det (A)2 = det (In) = 1, e quindi det (A) = ::I:: l.
Verifichiamo che O(n) è un gruppo. Se A, BEO(n), si ha
t (A B) (AB) = tB(A) B = tRIn B == tBB = In
cioè ABE O(n), e la condizione SGI è soddisfatta. La S02 è ovvia. Per verificare
la S03 consideriamo A E O(n); si ha
t(A -I)A -1 == tCA)  == A == tIn = In
e quindi anche A - I E O(n).
O(n) si dice gruppo ortogonale di ordine n.
Il sottoinsieme di o (n) costituito dalle matrici ortogonali aventi determinante
uguale a 1 è un sotto gruppo, denominato gruppo ortogonale speciale di ordine
n, e indicato con SO(n).. Si ha
SO(n) = o (n) n SLn(R).
I gruppi ortogonali e ortogonali speciali hanno grande importanza in geome-
tria eucIidea, oltre che in meccanica classica, e su di essi ritorneremo più diffusa-
mente nel capitolo 2.
Lo studio dei gruppi lineari complessi è rilevante in meccanica relativistica. Un
esempio importante di gruppo lineare complesso è U (n), il gruppo unitario di ordine

/4/Gruppi di lrasformazioni. Affinità
177
n: esso consiste di tutte le matrici A = (aij) E OL n (C) unitarie, cioè tali che
*AA = In'
-
dove * A =  = (a j j ), la trasposta della matrice complessa coniugata di A. La
verifica delle condizioni SO 1, S02, SG3 si effettua in modo simile a quanto già
visto nel caso ortogonale.
Poi ché si ha det(*A) = det(A) per ogni A E Mn(C), dalla definizione segue che
det(A) det(A) = 1, e quindi ogni AEU(n) soddisfa
I det (A) I == l.
Le matrici A E U (n) tali che det(A) = 1 costituiscono a loro volta un sottogruppo
di U (n), chiamato gruppo unitario speciale di ordine n, e denotato con SU (n).
Si ha evidentemente
SO (n) = SU (n) n OLn(R).
Altri esempi di gruppi lineari verranno introdotti più avanti.
Un sottogruppo  del gruppo _9(8) delle trasformazioni di un insieme 8 si
dice gruppo di trasformazioni di 8.
Evidentemente _9(8) stesso è un gruppo di trasformazioni di S. Un altro esem-
pio di gruppo di trasformazioni è il sottoinsieme {ls} costituito dalla sola
identità.
Sia SES, e sia 31(S)s l'insieme di tutte le trasformazioni fE .Y'( S) tali che
f(s) = s. Sef, gE.Y(S)s' allora (fog) (s) =f(g(s» = f(s) = se quindi fog E 37(S)s.
Ovviamente lsE_9(S)s, e, sefE31(S)s' allora f-I(s)=s e quindi f-- 1 E5(S)s.
Dunque .Y(S)s è un gruppo di trasformazioni di S; esso viene chiamato stabiliz-
zatore di s.
Se Y è un gruppo di trasformazioni 8 ed sE 8, l'intersezione _  n 3(8)s è un
sottogruppo di _ che si chiama stabilizzatore di s in _  e si denota con 
14.3 DEFINIZIONE Se  e _(, sono due gruppi, un'applicazione w:-+ ,
è un omomorfismo se w(f-g) == w(f)-w(g) per ogni f, gE ,(ç: Un omomorfismo
biettivo si dice isomorfismo; in questo caso anche w - I "è un isomorfismo. Se un
isomorfismo w: :#' esiste, i due gruppi  e , si dicono isomorfi.
Una classe importante di esempi è costituita dai gruppi di trasformazione lineari
di uno spazio vettoriale.
L'insieme OL(V) di tutti gli automorfismi di uno spazio vettoriale V è un gruppo
di trasformazioni di V (la verifica è immediata) denominato gruppo lineare gene-
rale di V. Ogni gruppo di trasformazioni dello spazio vettoriale V che consiste
di trasformazioni lineari è un sottogruppo di GL(V).
Sia dim(V) = n > 1 e sia {e p ..., enl una sua base. Se si associa ad ogni auto-
J2

178
Geometria affine
morfismo di V la matrice che lo rappresenta rispetto alla base {e I , ..., e n }, si
ottiene un isomorfismo di gruppi GL(V)  GLn(K). Ciò segue subito dalla pro-
posizione 12.3.
Le trasformazioni di uno spazio affine geometricamente interessanti sono le
"affinità", che ora introdurremo.
14.4 DEFINIZIONE Siano V e V' due K-spazi vettoriali, A uno spazio affine
su V e A' uno spazio affine su V ' . 'Un isomorfismo di A su A' è un' applicazione
biunivocaf: A  A' tale che esista un isomorfismo degli spazi vettoriali associati
cp: V  V I soddisfacente alla condizione
) ---+
f(P) f(Q) = cp(PQ)
per ogni P, Q E A.
Un 'affinità di A è un isomorfismo di A su sé stesso.
Segue subito dalla definizione che l'Ìsomorfismo <p: V  V I è univocamente
individuato daf; esso viene chiamato /'isomorfismo associato af. Sefè un'affi-
nità, allora <PEGL(V): diremo cp /'automorfismo associato a f.
Se un isomorfismo f: A  A' esiste, i due spazi affini A e A' si dicono iso-
morfi. L'identità lA: A  A, l'applicazione inversaf-I: AI  A di un isomorfi-
smo f e la composizione g o f: A  A 1/ di due isomorfismif: A  A' e g: A '  A Il ,
sono ancora isomorfismi (le relative verifiche seguono facilmente dalla definizione
14.4 e sono lasciate al lettore). Pertanto l'isomorflsmo è una relazione di equiva-
lenza tra spazi affini.
Un esempio importante di isomorfismo si ottiene considerando un riferimento
affine OeI ... e n in uno spazio affine A suno spazio vettoriale V, e l'applicazione
f: A  A n(K) definita da
f(P(x I , ..., x n » = (XI' ..., x n ),
cioè l'applicazione che associa ad ogni punto la n-upla delle sue coordinate. Per
ogni coppia di punti P(x 1 , ..., x n ), Q(Yh ...., Yn)E A, si ha
) ----+
f(P)f(Q) = (Y1 - XI' ..., Y n - X n ) = CPe(PQ),
dove ((Je: V  Kn è l'isomorfismo che associa ad ogni vettore la n-upla delle sue
coordinate rispetto alla base e = [e I , ..., e n }. Poiché è biunivoca, f è un isomor-
fismo con associato l'isomorfismo ((Je.
Da questo esempio si deduce che ogni spazio affine di dimensione n su K è
isomorfa ad A n (K). Dalla transitività della relazione di isomorfismo si deduce in
particolare che due spazi affini su K della stessa dimensione sono isomorfi.
Sia V un K-spazio vettoriale e sia A uno spazio affine su V. Un'affinità di A
può essere intuitivamente pensata come una trasformazione che è compatibile con

14/Gruppi di trasformazioni. Affinità
179
la struttura di spazio affine e pertanto lascia inalterate le relazioni geometriche
dipendenti dalle proprietà dei vettori.
14.5 LEMMA Fissato un punto O E A, per ogni O I E A e per ogni cp E GL (V)
esiste una e una sola affinitàf: A  A tale chef(O) = O' e tale che l'automorfi-
smo associato a f sia </).
In particolare un 'affinità f è univocamente individuata dall'automorfismo di
V ad essa associato e dall'immagine f(O) di un qualsiasi punto OEA.
Dimostrazione
) -----+
Per ogni PEA l'identità O'f(P) = cp(OP) individua univocamente un punto
f(P) E A. Otteniamo cosÌ un'applicazione f: A  A che, è immediato verificar lo,
è un'affinità di A avente le proprietà volute.
Se g: A  A è un'altra affinità con le stesse proprietà, per ogni PE A si ha
) -----+ ) ) )
f(O) f(P) = cp(OP) = g(O) g(P) = O' g(P) = f(O) g(P),
e quindi f(P) = g(P).
L'ultima affermazione è un'ovvia conseguenza della prima.
Come abbiamo già osservato, l'identità lA: A --. A è un'affinità, con automor-
fismo associato l'identità Iv E GL(V). Per ogni affinità di A, con automorfismo
associato cp, la trasformazione inversa f- I è un'affinità con automorfismo asso-
ciato cp  I. Infine, se f e g sono affinità con automorfismi associati cp e 1/; rispet-
tivamente, allora fo g è un'affinità, con automorfismo associato cpo 1/;.
Vediamo dunque che l'insieme di tutte le affinità di A è un gruppo di trasfor-
mazioni; esso si chiama gruppo affine di A, denotato con Aff(A). Nel caso parti-
colare in cui A = An(K), il gruppo Aff(An(K» viene chiamato gruppo affine di
ordine n su K, e indicato con Affn(K).
I sottogruppi di Aff(A) si chiamano gruppi di trasformazioni affini di A.
14.6 Esempi
l. È facile verificare con esempi che, se n > 2, il gruppo GLn(K) non è abe-
liano. Ad esempio nel caso n = 2 si ha
(: ) (: :) = (: :)
e
(: :) (: ) (: :),
per ogni a, b, c, dE K. Una verifica simile si può fare per n > 2 qualsiasi, dimo-

180
Geomelria affine
strando che per le matrci elementari Rfj, i  j (cfr. 3.3(6» si ha in generale
RfjA ;é AR[j.
Similmente accade per i gruppi o (n), n  2, ed SO (n), n > 3, i quali non sono
abeliani. Invece è facile verificare che SO(2) è abeliano, utilizzando il fatto che
ogni A E SO (2) si esprime nella forma [2.6].
Per verificare ad esempio che 0(2) non è abeliano, è sufficiente osservare che
( O - l ) ( 1 O ) ( O 1 )
-1 O O -1 = -1 O
mentre
( I O ) ( O -1 ) = ( O - I )
O -1 -1 O 1 O
ove entrambi i fattori appartengono a 0(2), ma non a 80(2).
Il sottoinsieme Dn(K) di GL(K) costituito dalle matrici diagonali invertibili è
un sottogruppo abeliano di GLn(K). Ciò segue immediatamente dal fatto evidente
che, per ogni al' ..., a n ,- b I , ..., bnE K, si ha
diag(a h ..., a n ) diag(b I , ..., b) = diag(a I b u ..., anb n ),
dove abbiamo denotato con diag(c I , ..., c n ) la matrice diagonale avente per ele-
menti diagonali CI' ..., C n .
2. Un'importante classe di trasformazioni affini di uno spazio affine A su V
è quella costituita dalle "traslazioni".
Sia vEV. La traslazione definita da v è l'affinità che associa ad ogni PEA il
)
punto tv(P) tale che Pty(P) = v.
Verifichiamo che t y è effettivamente un'affinità. Per ogni QE a, posto
--+ --+
p = t_y(Q), si ha Q = ty(P) perçhé QP = - v e quindi PQ = v. Pertanto Iv è una
biezione, la cui inversa è t -v. Si ha inoltre
) )  )  
tv(P) ly(Q) = ly(P) P + PQ + Qty(Q) = - v + PQ + v = PQ
e quindi Iv è un'affinità con isomorfismo associato l'identità Iv E GL(V).
Viceversa, se f: A  A è un 'affinità con isomorfismo associato Iv E GL (V),
allora per ogni P, QE A si ha
) 
f(P)f(Q) === PQ
[14.1] .
e quindi
) )
Pf(P} = Qf(Q) = v
è indipendente da P. Si ha pertanto f = (v. Quindi le traslazioni sono precisa-
mente le affinità che hanno come isomorfismo associato lvEGL(V).

14/Gruppi di trasformazioni. Affinilà
181
La [14.1] esprime la proprietà delle traslazioni di mandare ogni coppia ordi-
nata di punti in un'altra che definisce lo stesso vettore. Intuitivamente le trasla-
zioni possono quindi essere pensate c9me "movimenti rigidi" dello spazio.
L'identità è una traslazione, quella lo definita dal vettore O. Il prodotto di due
traslazioni Iy e Iw è Iyo/w = t y + w ' ancora una traslazione. Infatti per ogni PE A,
posto Q == tw(P), si ha
) )  )
P(tyotw(P» = Pty(Q) = PQ + Qty(Q) = w + v.
La trasformazione inversa di t v è I -v' come è già stato verificato. Pertanto le
traslazioni di A costituiscono un gruppo di trasformazioni affini, il gruppo delle
traslazioni di A, indicato con T A .
Associando a una traslazione t v E T A il corrispondente vettore v E V, si ottiene
una corrispondenza biunivoca
T A -+ V
[14.2]
che al prodotto di due traslazioni fa corrispondere la somma dei vettori corrispon-
denti. La [14.2] è pertanto un isomorfismo del gruppo T A sul gruppo additivo
di V.
3. Sia A uno spazio affine su V. Supponiamo assegnato un punto O E A e con-
sideriamo il gruppo di trasformazioni affini Aff(A)o = (jEAff(A): f(O) = Dj.
Per ogni fEAff(A)o denotiamo con (f)EGL(V) !'automorfismo associato.
Otteniamo un'applicazione
: Aff(A)o -+ GL(V).
[14.3]
Dal lemma 14.5 segue che ogni fE Aff(A)o è completamente individuata da
(f), e, viceversa, che ogni <pEGL(V) è immagine di qualche/E Aff(A)o. Quindi
 è biettiva. Poiché la composizione di affinità ha per automorfismo associato
la composizione dei corrispondenti automorfismi, l'applicazione  è un isomor-
fismo di gruppi.
Se cE K è uno scalare non nullo, l'affinità  -" I(cl v ) E Aff(A)o sì dice orno/e-
lia di centro D e fattore c, e si denota con Wo c. Si ha quindi
,
) 
OWo,c:(P) = cOP.
Si ha lA = W o , l. Inoltre (Wo. c ) -1 = wO,c I perché per ogni PE A il punto
Q = wo,c l(P) soddisfa la
 
OQ = c--10P
e quindi
) . --+-
OWo,c(Q) = cOQ = OP

182
Geomelria affine
ovvero woc(Q) = P. Pertanto wO,cowo,c I = lA. Si ha poi
WO,c o WO,d = WO,cd
. perché se PEA, posto Q = U)oc(P), si ha
) -+ ----+- ----+-
OWO,d(Q) = dOQ = d(cOP) = (cd) OP.
In conclusione le omotetie di centro O costituiscono un sottogruppo di
Aff(A)o.
4. Supponiamo fissato neno spazio affine A su V un punto C. Per ogni PE A,
il punto simmetrico di P rispetto a C (cfr: 7.5(4» è il punto uc(P) che soddisfa
l'identità vettoriale
) 
CUc(P) = - CP.
Da quest'uguaglianza segue che, per ogni P, QEA,
) ) )   
uc{P) ue(Q) = uc{P) C + Cuc(Q) = CP - CQ = - PQ
e quindi u e : A -+ A è un'affinità con isomorfismo associato -Iv.
Si calcola immediatamente che ueo u e = lA.
Nel caso in cui A = A n e C = (CI' ..., c n ), si ha
uc(P) = (2c 1 - X h ..., 2c n - x n )
per ogni P = (x), ..., x n ).
Un sottoinsieme S di A si dice simmetrico rispetto a un punto CEA se
ue{P) E S per ogni PE S. In questo caso C si dice centro di simmetria di S.
Un insieme S può non avere alcun centro di simmetria oppure averne più d'uno.
Ad esempio, ogni sottospazio affine di A è simmetrico rispetto ad ogni suo
punto.
Supponiamo infatti che il sottospazio Sabbia giacitura W e sia C un suo punto.
----+- )  )
Se PES, allora CPEW e uc{P) soddisfa CUc(P) = - CP, e pertanto Cuc(P)EW e
ue(P) E S. Dunque S è simmetrico rispetto a C.
14.7 LEMMA Siano OEA e fEAff(A). Esistono v, v' EV e gEAff(A)(}J uni-
vocamente individuati da f, tali che
f = go t v
f = t v ' o g.
[14.4]
Dimostrazione
) . )
Poniamo v == - Of-I(O), v' = Of{O), .g =fot_", e g' = t-v' of. È evidente

14/Gruppi di trasformazioni. Affinità
183
che go t'I == f == t v ' o g'. Inoltre si ha
g(O) = (fot_ v ) (O) =f(f-1(0» = O
g' (O) = (t -v' o f) (O) == (t v,) (f(O» == O,
cioè g, g' E Aff(A)o. Si osservi anche che, per il lemma 14.5, g e g' sono univoca-
mente determinate dall'appartenere ad Aff(A)o e dall'avere lo stesso automorfi-
smo associato dif; pertanto g == g'. Infine le identità t'I = g-1 o f) t v ' = fo g-I indi-
viduano univocamente anche v e v' .
Vediamo ora come si descrivono esplicitamente gli elementi di Affn(K).
Sia f: A n  A n un'affinità e sia cp: Kn  Kn l'isomorfismo associato. Suppo-
niamo che A E GLn(K) sia la matrice che rappresenta cp nella base canonica, e che
f(O) == c. Per definizione di affinità, per ogni x E A n l'identità seguente è soddi-
sfatta:
f(x) - c = f(x) - f(O) = A (x - O) = A x.
L'affinità f è data dunque dalla formula
f(x) = Ax + c.
[14.5]
Viceversa, per ogni AEGLn(K), cEKn, l'applicazione fA c: AnAn definita dalla
,
[14.5] è un'affinità. Infatti si ha
)
fA,C(X 1 ) fA, c (x 2 ) = fA, c (x 2 ) - fA,C(X 1 ) = (A x 2 + c) - (A XI + c) = A (x 2 - XI)
e quindi fA c è un' affinità, con isomorfismo associato quello definito dalla matrice
,
A rispetto alla base canonica di Kn.
In conclusione Affn(t<) è uguale all'insieme di tutte le trasformazioni fA,C.
Nel caso n == l, si deduce che le affinità di A I sono le trasformazioni del tipo
f(x) == ax + c per qualche a # O, c in K.
Date due affinità fA,C' fB,d E Affn(K), il loro prodotto è
fB,d o fA,C:::: fBA,d+BC'
[14.6]
mentre l'inversa di fA,c è
(fA,c) -1 = fA \ -A' lC.
Le affinità);,c sono le traslazioni di A n e vengono denotate con tc; si ha dunque
t c (x) = x + c.
Le affinità appartenenti allo stabilizzatore dell'origine Affn(K)o sono precisa-
mente quelle della forma fA,O' e corrispondono biunivocamente alle matrici
A E GLn(K). Si ottiene così un'identificazione tra Affn(K)o e GLn(K).

184
Geomelria affine
Nel caso di A n il lemma 14.7 afferma che ogni affinità fA,c E Aff n (1<) può sem-
pre ottenersi in uno dei due modi seguenti:
fA,c = te o fA,o = fA,o o t A IC.
Le affinità di uno spazio affine qualunque A si descrivono esplicitamente in un
modo del tutto simile al caso di A n, una volta fissato un riferimento affine
Del." e n . Abbiamo infatti il seguente teorema.
14.8 TEOREMA Nello spazio affine A su V sia fissato un riferimento affine
Del." e n . Ogni affinitàjEAff(A), con automorfismo associato cp, si esprime nella
forma
f(P(x I , ..., x n » = Q(YI' ..., Yn)
con
y = A x + c,
[14. 7]
dove c == t(c 1 ... c n ) E Kn è il vettore delle coordinate di f(O), e A = Mc(q;) E
E GLn(K).
Viceversa, ogni trasformazione f: A  A della forma [14.7] per qualche
AEGLn(K), cEKn, è un'affinità.
Nel caso particolare in cui A = A n e Oe j ... e n è il riferimento affine standard,
si riottiene la descrizione delle affinità di A n data in precedenza. La dimostrazione
del teorema è essenzialmente identica a quella precedente, ed è lasciata al lettore.
Sì noti l'analogia della [14.7] con la formula [12.3] che esprime il cambiamento
di coordinate da un riferimento affine ad un altro. Le due formule descrivono però
due operazioni di natura completamente diversa: la [12.3] dà le coordinate di uno
stesso punto in riferimenti diversi, mentre nella [14.7] compaiono le coordinate di
due punti diversi in uno stesso riferimento.
Abbiamo il seguente corolIario.
14.9 COROLLARIO Nello spazio affine A su V sia fissato un riferimento affine
Del... e n . L'applicazione
Aff(A) Affn(K)
[14.8]
che associa a un 'affinità f di A l'affinità fA,c di A n data dalla [14.7] è un isomor-
fismo di gruppi.
Dimostrazione
Dal teorema 14.8 segue che la [14.8] è biettiva, e pertanto sarà sufficiente dimo-
strare che è.un omomorfismo. SeI, gEAff(A), con automorfismi associati 'P e 1/;

14/Gruppi di trasformazioni. Affinità
185
rispettivamente, sono date dalla [14.7] e da
y = Bx + d
rispettivamente, il loro prodotto g o f ha automorfismo associato 1/1 o cp, che è rap-
presentato dalla matrice BA nella base e. Inoltre il punto (go f) (O) ha coordinate
Bc + d. Quindi l'affinità di An che corrisponde a gofnella [14.8] èfHA Bc+d. POÌ-
. ,
ché af e a g corrispondono rispettivamente fA c edfB d' confrontando con la [14.6]
 ,
si deduce che la [14.8] è un omomorfismo, come si voleva.
I sottoinsiemi di uno spazio affine A vengono anche chiamati figure geometri-
che (affini) di A.
14.10 DEFINIZIONE Due figure geometriche F, F' C A si dicono affinemente
equivalenti se esiste un'affinità che trasforma F in F', cioè se esistefEAff(A) tale
che f(F) = F'.
Una proprietà affine di una figura F è una proprietà che è comune a tutte le
figure affinemente equivalenti a F.
Se ad esempio F è un insieme finito di punti, il numero di punti di cui consiste
è una sua proprietà affine, perché ogni affinità è una biezione. Se F è un sottospa-
zio affine, allora la sua dimensione è una proprietà affine, come affermato dalla
seguente proposizione.
14.11 PROPOSIZIONE Sia F un sottospazio affine di A e fE Aff(A). L'imma-
gine f(F) di F tramite f è ancora un sottospazio affine e dim(f(F» = dim(F).
Dimostrazione
Supponiamo che F sia il sottospazio passante per Q E A ed avente giacitura W
e chefEAff(A) sia un'affinità con isomorfismo associato epEGL(V). Allora cp(W)
è un sottospazio vettori aIe tale che dim(cp(W» = dim(W). Inoltre per ogni PEF
) 
si ha f(Q) f(P) = cp(QP) E cp(W): quindi f(P) appartiene al sottospazio -S pas-
) .
sante per f(Q) e avente giacitura cp(W). Viceversa, per ogni RES si ha Qf-I(R) =
)
= cp-l(f(Q)R)EW, cioè f-I(R)EF, e quindi REf(F). Perciò f(F) = S, e ciò
prova l' asserto.
Abbiamo anche la proposizione seguente.
14.12 PROPOSIZIONE Sia A uno spazio affine su V di dimensione n, e siano
{Po, P t , ..., Pn} e {Qo, QI' ..., Qn} due (n + I)-pie di punti indipendenti. Allora
esiste un'unica affinità f: A -+ A tale che
f(Pi) = Qì' i = O, 1, ..., n.

186
Geometria affine
Dimostrazione
Per l'ipotesi di indipendenza, gli insiemi di vettori
 --+ 
{POPh P O P 2 , ...., pO.Pn}
---+ ---+ --+
{QoQJ, QOQ2' ..., QOQn}
costituiscono due basi di V. Pertanto l'unico operatore lineare cp: V  V tale che
 ---+
cp(POPj) = QoQj, i = l, ..., n, è un isomorfismo. Definiamo f: A  A mediante
la condizione:
) 
Qof(P) = cp{PoP)
per ogni PEA. Evidentemente f è una biezione, e soddisfa all'identità
) ) ) ) 
f(P)f(P') = Qof(P') - Qoi(P) = cp(PoP') - cp{PoP) ==
---+  
== cp(PoP' - PoP) == cp(PP');
quindi f è un' affinità. Inoltre
) 
Qof(Po) = cp(PoPo) = O,
e quindi f(Po) ::::: Qo. Infine per ogni i == l, ..., n si ha
) ---+ 
QOf(P i ) == cp{POPj) = QoQi
per la definizione di cp; pertanto f (Pj) == Qi.
L'unicità di f segue da quella di cp, dalla condizione f(Po) = Qo e dal lemma
14.5.
14.13 COROLLARlO Sia A uno spazio affine su V di dimensione n. Allora:
l) Per ogni 1 < k < n + l, due qualsiasi k-uple di punti indipendenti di A sono
affinemente equivalenti.
2) Due sottospazi affini di A sono affinemente equivalenti se e solo se hanno
la stessa dimensione.
Dimostrazione
l) Se {Po, ..., P k - I} e {Qo, ..., Qk- I} sono due k-uple di punti indipendenti,
esistono P k , ..., Pn e Qk' ..., Qn tali che {Po, ..., Pn} e {Qo, ...., Qn} siano due
(n + l)-uple indipendenti. L'affinità f la cui esistenza è affermata dalla proposi-
zione 14.12 manda {Po, ..., P k - I } in {Qo, ..., Qk--I}.
2) Se i sottospazi affini S ed S' di A sono affinemente equivalenti, allora, per'
la proposizione 14.11, hanno la stessa dimensione.
Viceversa, supponiamo che dim(S) == dim(S ') == s.. È possibile trovare .punti
indipendenti Po' PJ,...., Ps E S tali che S == POPJ ..... Ps. Similmente esistono

14/Gruppi di trasformazioni. Affinità
/87
Qo, ..., Qs indipendenti tali che S' = QOQI ... Qs. Sia 1 un'affinità tale che
I(P i ) = Q;, i = O, ..., s. Alloraf{S) = S'. Infatti, poiché I{S) contiene Qo, ..., Qs
ed è un sotto spazio affine, si ha 1 (S)  S'; ma dim [/(8)] = dim (S) = dim (S '), e
quindi f{S) = S' .
Esercizi
1. Dimostrare che i gruppi SO(2) e U(I) sono Ìsomorfi.
-
2. Per ognuna delle seguenti matrici A determinare A, , *A:
a) C -:) b) C ) c) t :)
-J2 i 3 4i
- -
2 2 5 5
d) i -J2 e)
4i 3
-
\ 2 2 5 5
f) (1 . 1 + 1) .
l-i -1
3. Dire quali delle matrici dell'esercizio precedente sono unitarie.
-
4. Sia A E U (n). Dimostrare che ciascuna delle matrici , A, A* è unitaria.
5. Dimostrare che se , .J;, t sono rette di un piano affine A che non appartengono
a uno stesso fascio, allora, date comunque tre rette ', .J;', t' che non apparten-
gono a uno stesso fascio esiste un 'unica affinità f: A -+ A tale che f(  ) = ',
f(.J; ) =.J;', f(t) = t'.
6. In uno spazio affine A di dimensione 3 sia data una terna di piani ftl  ,  tali
che ftl n n consista di un solo punto. Dimostrare che per ogni altra terna di
piani h 2'  tali che ) n  n 3 consista di un solo punto, esiste fEAff(A)
tale che f(fti) = i' i = 1, 2, 3.
7. In ciascuno dei casi seguenti determinare l'affinitàf: A 2 (Q) -+ A2(Q) che soddisfa le
condizioni assegnate:
a) f(O, O) = (I, -l), f(l, O) = (3, - 1), f(O, l) = (2, 2)
b) f(2, 1) = (1, 2), f( -1, -1) = (I, I), f(O, l) = (2, -1)
c) f(  ) = t,-', f{.J; ) =.J;' ') f(t) = t',
dove
z,: X = l, .J;: Y = X, t: y = - 2,
t,-': 2X - y= O, .J;': X + Y= O, t': 2X + Y= l.

188
Geomelria affine
8. Dimostrare che, se A è un piano affine reale:
a) due semirette qualsiasi di A sono affinemente equivalenti (suggerimento: dimo-
strare che un punto e un vettore non nullo assegnati possono essere trasformati
in un altro punto e in un altro vettore non nuno arbitrari);
b) due segmenti qualsiasi di A sono affinemente equivalenti;
c) due semipiani qualsiasi di A sono affinemente equivalenti;
d) due triangoli qualsiasi di A sono affinemente equivalenti.
9. Sia A uno spazio affine reale. Dimostrare che:
a) due semi spazi qualsiasi di A sono affinemente equivalenti;
b) se U C A è un sottoinsieme convesso, ogni sottoinsieme affinemente equivalente
a U è convesso. Quindi la convessità è una proprietà affine;
c) ogni affinità di A trasforma il punto medio di un segmento nel punto medio del
segmento immagine.
lO. Sia bEA n e cEK*. Dimostrare che Wb,c = Tel. b(1-c}.
11. Sia n > 1 un intero. Due numeri interi a, bEZ si dicono congrui modulo n se b - a
è divisi bile per n. Dimostrare che la congruenza modulo n è una relazione di equiv:a-
lenza in Z.
L'insieme delle classj di congruenza (dette anche classi resto) modulo n si denota con
-- -
Z/nZ, e consiste degli n elementi O, l, ......, n -I, le classi di O, 1, ..., n -l.
Dimostrare che la somma in Z induce in Z/ n Z un' operazione rispetto alla quale Z/ n Z
è un gruppo abeliano.
12. Sia  un gruppo. Un sottoinsieme  di ,cç si dice sistema di generatori di 
se ogni elemento di r:# si può esprimere come prodotto di un numero finito di ele-
menti di :# e di loro inversi. Se ç consiste di un numero finito di elementi, !ff'
si dice finitamente generato. Se :.# = {g} consiste di un solo elemento :# è detto
gruppo ciclico di cui g è un generatore.
Dimostrare che:
a) ogni gruppo ciclico è abeliano;
b) Z (con l'operazione +) e Z/nZ, n > 1, sono gruppi cicIici;
c) ogni gruppo ciclico è isomorfo a Z oppure a Z/nZ per qualche n > 1;
d) l'insieme delle radici n-esime di l è un sottogruppo ciclico di C (ogni suo genera-
tore è chiamato radice primitiva n-esima di 1).
13. Siano n > 2 un intero. Nel prodotto cartesiano
Z Z
-x-
nZ 2Z
definiamo un'operazione nel modo seguente:
- - -
(al, O) (ii2 O) == (01 + a2, O)
- - - - -
(li!, O) ({i2, l) = (01 + a2, l) = (Oh l) ( - a2, O)
- - -
(il], 1 ({i2, l) = (01 - a2, O).

14/Gruppi di trasformazioni. Affinità
189
Dimostrare che:
z Z
a) con questa operazione nZ x 2Z è un gruppo il cui elemento neutro è
e = (O, O); questo gruppo, indicato con D 2n , è detto gruppo diedrale di ordine 2n;
b) posto x = (1, O) e y = (O l), si ha
D ( o ,,n- I n- I J
2n = X = e, x, ..., À , y, xy, ..., x y;
c) x genera un sottogruppo di D 2n isomorfo a Z/nZ;
d) y genera un sottogruppo di D 2n isomorfo a Z/2Z;
e) D2n non è abeliano.
14. Sia n  2 un intero. L'insieme Un di tutte le permutazi<?ni di un insieme finito conte-
nente n elementi è un gruppo di trasformazioni che si chiama gruppo simmetrico su
n elementi. Dimostrare che Un non è abeliano se n > 3.

Capitolo 2
Geometria euclidea
15 Forme bilineari e forme quadratiche
In geometria affine hanno senso solo proprietà geometriche che non utilizzano
nozioni di natura metrica quali quelle di angolo, distanza, perpendicolarità. In
questo capitolo vedremo come in uno spazio affine reale sia possibile introdurre
una struttura più fine, quella di spazio euclideo, in cui gli ordinari concetti metrici
sono definiti. Per far ciò sono necessari nuovi argomenti di algebra lineare, e pre-
cisamente la teoria delle forme bilineari e delle forme quadratiche, che inizieremo
a studiare in questo paragrafo. Tratteremo anche aspetti della teoria non stretta-
mente necessari nel seguito, e però di importanza fondamentale in matematica.
15.1 DEFINIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale. Un'applicazione
b: V X V  K
si dice forma biIineare su V se è lineare in ognuno dei due argomenti, cioè se sod-
disfa le seguenti condizioni:
FBl b(v + v' , w) =: b(v, w) + b(v / , w)
FB2 b(v, w + Wl) = b(v, w) + b(v, w')
FB3 b(kv, w) == b(v, kw) = kb(v, w)
per ogni v, VI, w, Wl E V, kE K.
La forma bilineare b si dice simmetrica se
b(v, w) = b(w, v) per ogni v, wEV;
b si dice antisimmetrica, o alterna, se
b(v, w) = - b(w, v) per ogni v, wEV.

/5/ Forme bilineari e forme quodroliche
191
Se b è antisimmetrica, allora b(v, v) = - b(v, v) = O per ogni VEV. D'altra parte,
una forma bilineare b tale che
b(v, v) == O per ogni vE V
è antisimmetrica. Infatti, dalle FBl, FB2 segue che per ogni v, w E V si ha
O == b(v + w, v + w) == b(v, v) + b(v, w) + b(w, v) + b(w, w) ==
== b(v, w) + b(w, v).
15.2 Esempi
l. Un esempio banale di forma bilineare su uno spazio vettoriale V è l'applica-
zione identicamente nulla: O(v, w) == O per ogni v, w E V. O si dice forma bilineare
nulla. Essa è simmetrica e antisimmetrica.
2. Sia A == (aij) E Mn(K); considerando i vettori di Kn come degli n-vettori
colonna, otteniamo una forma bilineare su Kn ponendo
b ( x y) = txA Y == E a. .x. y .
, .. Il I I
l,l
per .ogni x = t(x I ... x n ), y == l(YI ... Yn). Dalle proprietà del prodotto di matrici
segue che in questo modo si è definita una forma bilineare (cfr. proposizione
2.2(1 ». Se {El' ..., En} è la base canonica di Kn, si ha
b ( E. E- ) = a..
l' J Il
per ogni l :5 i, j < n.
Se ad esempio si prende n == 3 e
/ 1 O -2
A= O
O
l
2
O
,
-1
7r
allora la corrispondente forma bilineare su K 3 è
b(x, y) == XI YI - 2X I Y3 + X 2 Y3 /2 - X 3 YI + Il" X 2 Y3.
Questa forma bilineare non è simmetrica perché
b(EI' E 3 ) = - 2 # - l == b(E3' E 1 ).
Se A == In' matrice identità, si ottiene
b(x, y) == t xy == X I Yl + X 2 Y2 + ... + xnYn.
[15.1]
La b definita dalla [15.1] è una forma bilineare simmetrica che è chiamata forma
simmetrica standard su K n .

/92
Geometria euclidea
Se n = 2k, cioè se n è pari, e se si prende A = J k , dove
( Ok
J k ==
- Ik
Ik ) ,
Ok
si ottiene
b(x, y) = X1Yk+1 + ... + XkYn - Xk+IYI - ... - XnYk'
che è una forma bilineare alterna, chiamata forma alterna standard su Kn.
Sia b: V x V -+ K una forma bilineare. La bilinearità di b permette di definire
due applicazioni lineari di V in V" nel modo seguente.
Per ogni v E V l'applicazione b y : V -+ K definita da
by(w) = b(v, w), per ogni wEV,
è un funzionale lineare. Infatti dalla definizione segue che
by(cjw J + c 2 wJ = b(v, CI Wl + c 2 wJ = c1b(v, Wl) + c 2 b(v, w 2 ) ==
= ctby(w I ) + c 2 b y (W2)
per ogni Wl' W 2 E V, CI' c 2 E K. Quindi, ponendo Ob(V) = b y per ogni vE V, si ottiene
un' applicazione
0b: V -+ Y".
La 0b è lineare. Infatti per ogni VI' v 2 EV, CI' C 2 EK si ha
[Òb(C l VI + C 2 vJ] (w) = bCIYl+CZY2(W) = b(c I VI + C 2 v 2 , w) ==
= c 1 b(v l , w) + c 2 b(v 2 , w) = ctbyl(w) + c 2 b y2 (w) ==
= [ClOb(V t ) + C 2 0 h (V 2 )] (w)
per ogni wEV, cioè 0b(C I VI + C 2 V 2 ) = CIOb(V I ) + C20h(V).
In modo simile si verifica che ponendo o(w) = b;, dove b: Y -+ K è il fun-
zÌonale definito da
b;(v) == b(v, w) per ogni vE V,
si definisce un'applicazione lineare
O;: V  V" .
Il lettore non avrà difficoltà a dimostrare che Oh = o£ se e solo se b è sim-
metrica.
15.3 DEFINIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione n, {e l , ..., e n }
una sua base, e sia b: V x V  K una forma bilineare su V.
La matrice di b (o che rappresenta b) rispetto alla base {e l , ..., e n } è la matrice

15/Forme bilineari e forme quadratiche
193
A = (aij) E Mn(K) così definita:
aij = b(e i , e j ), l < i, j <: n.
La matrice A individua la forma bilineare b. Infatti per ogni v, wEV
v == xte l + ... + xne n , W == y1e l + ... + yne n ,
si ha
b(v, w) = b(x1e I + ... + xne n , YI e l + ... + Ynen) ==
== b(x1e l , y1e 1 + ... + yne n ) + ... + b(xne n , Yl e l + ... + Ynen) =
= XI b(e t , YI e 1 + .... + yne n ) + ... + xnb(e n , Yl e I + ... + Ynen) =
= XI [b(e l , YI e 1 ) + ... + b(e}'J Ynen)] + ... + X n [b(e n , YI e I ) + ...
... + b(e n , Ynen)] =
= Xl [Yl b(e 1 , e l ) + ... + Ynb(e l , e n )] + ... + X n [YI b(e n , e]) + ...
.... + ynb(e n , e n )] ==
= E ..x. y .b ( e- e. ) == txA y,
l} l} l' J
dove abbiamo denotato con x e y i vettori colonna delle coordinate di vedi w
rispettivamente.
Viceversa, se A == (aij) E Mn(K) è una qualunque matrice quadrata di ordine n
ed {e 1 , ..., e n } è una base di V, ponendo
b ( v W ) = E a..x. y - == txA y
, .. Il l J
'd
per ogni v(x l , ..., x n ), W(Yl' ..., Yn)EV, sì definisce una forma bilineare su V.
Infatti, per ogni v, W, v'(x{, ..., x), w'(y{, ..., Y)EV, kE K si ha
b(v + v', w) = t(x + x')Ay == txAy + tx'Ay == b(v, w) + b(v', w),
b(v, w + w') == txA(y + y') == txAy + txAy' == b(v, w) + b(v, w'),
b(kv, w) == t(kx)Ay == k{xAy == kb(v, w)
b(v, kw) == txA(ky) == ktxAy = kb(v, w).
È evidente che la forma bilineare b così definita ha proprio A come matrice
rispetto alla base {e 1 ,..., e n }.
Si osservi inoltre che sì ha
b(w, v) == tyAx == t x y
e quindi
b(v, w) = b(w, v)
per ogni v(x I , ..., x n ), W(YI' ..., Yn) E V se e solo se  == A. In altre parole, la
forma bilineare b è simmetrica se e solo se la matrice A è simmetrica. Analoga-
mente, b è antisimmetrica se e solo se  == - A, cioè se e solo se A è antisim-
metrica.
Riassumendo, possiamo enunciare la seguente proposizione.
13

194
Geomelria euclidea
15.4 PROPOSIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione finita, e sia
e = {e I , ..., e n } una sua base. Associando ad ogni forma bilineare la sua matrice
rispetto a e si ottiene una corrispondenza biunivoca tra l'insieme Bil (V) delle forme
bi/ineari su V ed Mn(K). Tale corrispondenza induce un'applicazione biunivoca
del/'insieme delle forme bilineari simmetriche (forme bilineari antisimmetriche)
sull'insieme delle matrici simmetriche (matrici antisimmetriche).
Ovviamente la corrispondenza biunivoca descritta dalla proposizione 15.4
dipende dalla base che si è scelta, cioè le matrici che rappresentano una data forma
biIineare rispetto a due diverse basi sono in generale diverse. Vediamo in che modo.
Supponiamo che b: V x V -+- K sia una forma bilineare e che e = {e I , ..., e n }
ed f= {f I , ..., fn} siano due basi di V. Siano
A = (aij) = (b(e j , e j »
B = (bij) = (b(f j , fj»
le matrici che rappresentano b rispetto a e ed f rispettivamente. Se v, w E V sono
due vettori qualunque, con coordinate rispetto alle due basi
v=xIe I + ... +xnen=x(f r + ... +x;f ll ,
w = YI e l + ... + yne n = y(f 1 + ... + y;f n ,
si ha
b(v, w) =: txAy = IX' By'.
[15.2]
Posto M = Me,t(lv), si ha x = Mx', y = My' e, sostituendo nella [15.2], si ottiene
t x ' By' = t(Mx')A (My') = tx'CMAM) y'..
[15.3]
Poiché la [15.3] è vera per ogni x', y'EKn, deduciamo che
B = 1ft1AM.
[15.4]
La [15.4] esprime la relazione esistente tra le matrici A e B che rappresentano
la forma bilineare b rispetto alle due basi e ed f rispettivamente.
Viceversa, se A è la matrice che rappresenta la forma bilineare b rispetto alla
base e, e se MEGLn(K) è una qualunque matrice invertibilc di ordie n, allora
esiste una base f tale che M = Me ,(Iv). Pertanto B = tMAM è la matrice che rap-
.
presenta b rispetto a f.
Diremo che due matrici A, BEMn(K) sono congruenti se esiste MEGLn(K) tale
che
B = IMAM.
Lasciamo al lettore il compito di verificare che la congruenza di matrici è una
relazione di equivalenza in M n (K).

J5/Forme bilineari e forme quadratiche
195
In conclusione abbiamo dimostrato la seguente proposizione:
15.5 PROPOSIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione n. Due matrici
A, BEMn(K) rappresentano la stessa forma bilineare b su V rispetto a due diverse
basi se e solo se sono congruenti.
Dalla proposizione 4.3(2) segue che due matrici congruenti hanno lo stesso
rango. Pertanto, per la proposizione 15.5, il rango r della matrice A che rappre-
senta una data forma bilineare b rispetto a una base qualsiasi non dipende dalla
base, ma solo da b: chiameremo r rango della forma bilineare b.
Se b ha rango r = dim (V) (r < dim (V» la forma bilineare si dice non degenere
(degenere). La seguente proposizione dà diverse caratterizzazioni delle forme bili-
neari non degeneri.
15.6 PROPOSIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione finita e sia
b: V x V  K una forma bilineare. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
l) b è non degenere.
2) Per ogni v;é O in V esiste wE V tale che b(v, w) ;é o.
3) Per ogni w;é O in V esiste v;é O tale che b(v, w);é O.
4) L'applicazione Db: V -+ V" è un isomorfismo.
5) L'applicazione D/;: V -+ V" è un isomorfismo.
Dimostrazione
Scelta una base e = {el' ..., e n } di V, sia A E Mn(K) la matrice di b rispetto a e.
(1) => (2) Se A ha rango n e x ;é O è il vettore delle coordinate di v, allora
txA ;é (O .... O), e quindi esiste y E KIl tale che lxA y ;é O; il vettore w di coordinate
y è tale che b(v, w);é O.
(2)  (1) Per ipotesi per ogni x ;é O esiste y tale che lxA y ;é O; ciò implica
txA ;é (O.... O) per ogni x;é O, e questo significa che A ha rango n.
(1) ç} (3) Si dimostra in modo simile.
(2)  (4) Poiché dim(V) = dim(VV), è sufficiente far vedere che N(D b ) = (O).
Sia dunque v E V tale che b v sia il funzionale nullo. Allora
0= bv(w) == b(v, w)
per ogni WEV. Ciò contraddice la (2) a meno che v = O.
(4)  (2) Per ogni v E V, v ;é O, Db(V) = b v ;é O, e quindi esiste w E V tale che
O ;é b v (w) == b(v, w).
L'equivalenza di (3) e (5) si dimostra nello stesso modo.
D'ora in poi ci limiteremo a considerare le forme biIineari simmetriche, le quali
hanno una particolare importanza per gli argomenti geometrici che svilupperemo.

/96
Geomelria euclidea
15.7 DEFINIZIONE Sia b una forma bilineare simmetrico su uno spazio vet-
o;
toriale V, e sia v E V. Un vettore w E V si dice ortogonale (o perpendicolare) a v,
se b(v, w) = O. In tal caso i due vettori v e w si dicono ortogonali (o perpendicolari).
Supponiamo assegnata in V una forma bilineare simmetrica b. Sia S un sot-
toinsieme di V; l'insieme dei vettori ortogonali ad ogni v E S si denota con S 1. ;
in simboli:
81- = {wEV: b(v, w)=O per ogni VES}.
È immediato verificare che S 1. è un sottospazio vettoriale di V. Infatti, se w,
w I E S .L, k E K, allora
b(v, w + w') = b(v, w) + b(v, Wl) = O + O = O
b(v, kw) = kb(v, w) = kO = O,
per ogni v E S. Chiameremo S .L il sottospazio ortogonale ad S. Se S = {v}, è abi-
tuale scrivere v1. anziché {v J  .
Due sottospazi U e W di V si dicono ortogonali se U C W 1-; dalla simmetria
di b segue immediatamente che:questa condizione è equivalente a W C U 1-. II sot-
tospazio V1. è detto radicale di V. Dalla proposizione 15.6 segue che b è non
degenere se e solo se V 1. == (O).
Un vettore v E V è isotropo rispetto alla forma bilineare simmetrica b se v E v 1. ,
cioè se b(v, v) = o. Ovviamente O è isotropo. Se v E V è isotropo e k E K, allora si ha
b(kv, kv) = k 2 b(v, v) = k 2 0 = O
e quindi il sottospazio (v) consiste di vettori isotropi.
Se v non è un vettore isotropo posto, per ogni w E V,
av(w) = b(v, w)/b(v, v),
[ 15.6]
si ha
b(v, w - av(w) v) = O
cioè w - a v (w) v E v 1-. Poiché
w = av(w) v + (w - av(w) v)
deduciamo che V = (v) + v1.. D'altra parte (v) n vl. = (O) perché v non è iso-
tropo e pertanto (v) n v1. è un sottospazio proprio di (v). Quindi per ogni vet-
tore non isotropo v E V si ha
V=(v)Et)v1..
[ 15 . 7]
Lo scalare av(w) definito dalla [15.6] è detto coefficiente di Fourier di w
rispetto a v. Si noti che av(w) è definito solo se v non è un vettore isotropo.

15/Forme bilineari e forme quadratiche
197
Se V ha dimensione finita ed e = {e l , ..., e n } è una base di V tale che i vettori
che ne fanno parte siano a due a due ortogonali, cioè soddisfino la condizione
b(e i , e j ) == O per ogni i  i,
allora e è una base ortogonale, o diagonalizzante, per b.
Se e è una base ortogonale, allora la matrice A = (aij) che rappresenta b
rispetto ad e è una matrice diagonale, perché aij = b(e i , e j ) = O per ogni i  j. In
tale base la forma bilineare si esprime pertanto nel modo seguente:
b(v, w) == QlI X IYI + a 22 x 2 Y2 + ... + annxnYn.
[15.8]
Si osservi che se una base ortogonale e esiste, essa non è unica: ad esempio
ogni base della forma {À} e I , À 2 e 2 , ..., À,n e n }, À I , ..., Àn E K*, è ancora ortogonale.
Ponendo
q(v) = b(v, v) per ogni vEV
si definisce un'applicazione
q: V  K,
detta forma quadratica determinata da (o associata a) b.
Se ad esempio b è la forma bilineare (simmetrica) standard su Kn, la forma
quadratica ad essa associata è
q(x)=xf+x+... + x;,
chiamata forma quadratica standard su K n .
15.8 PROPOSIZIONE Sia V uno spazio vettoriale su cui sia assegnata una forma
bilineare simmetrica b: V x V  K. La forma quadratica q associata a b soddisfa
le seguenti condizioni:
q(kv) = k 2 q(v)
2b(v, w) = q(v + w) - q(v) - q(w)
per ogni k E K, v, w E V.
Dimostrazione
La prima proprietà è immediata conseguenza della FB3. Si ha poi
q(v + w) - q(v) - q(w) = b(v + w, v + w) - b(v, v) - b(w, w) =
= b(v, w) + b(w, v) = 2b(v, w).
Dalla proposizione 15.8 discende in particolare che una forma quadratica q
individua univocamente la forma bilineare simmetrica b cui è associata, perché
b si esprime per mezzo di q; segue da ciò che è equivalente assegnare su V una

/98
Geomelria euclidea
forma bilincate simmetrica oppure la forma quadratica ad essa associata. La forma
bilineare simmetrica b si dice forma bilineare polare della forma quadratica q.
Nel caso in cui V ha dimensione finita diremo che q ha rango r se r è il rango di b.
Se {el' ..., e n ) è una base dello spazio V, e se A = (aij) è la matrice (sim-
metrica) che rappresenta la forma biIineare simmetrica b, si ha, per ogni
v (XI' ..., x n ) E V:
q( v )  .xAx = Ea..x.x.
_ _ l} l r
l.l
Quindi q(v)  Q(x), dove
Q( X ) = lXAX:= a..X.X.
_. Il l l
I.J
[15.9]
è un polinomio omogeneo di grado 2 nelle indeterminate XI' ..., X n , che sono
state rappresentate complessivamente come un vettore colonna X = t(X I ... X n ).
Diremo che Q(X) rappresenta la forma quadratica q nella base e.
Se ad esempio dim (V) = 3 e la matrice di b rispetto alla base {e}, e 2 , e 3 } è
2 -1 5
-I O l
-
3
5 1 -3
-
3
si ha
Q(X):= 2Xt - 2X t X 2 + 10X I X 3 + 2 X2X3 - 3X;.
3
Si noti che ogni polinomio omogeneo di secondo grado in n indeterminate
Q(X) == _. qijXi
I 1"5:J$n
può rappresentarsi nella forma [15.9] per un'opportuna matrice simmetrica A,
e quindi, in una data base e di V, Q rappresenta una forma quadratica q la cui
forma biIineare polare è quella rappresentata da A. La matrice A = (aij) è data
dalla seguente formula:
aii == qii' i = 1, ...., n
ai} = qij/2, i ;r. j.
Un polinomio omogeneo di secondo grado Q(X) può sempre essere conside-
rato come un'applicazione Q: Kn K. Ovviamente Q è una forma quadratica il
cui polinomio associato rispetto alla base canonica è Q(X) stesso. Pertanto spesso
identificheremo il polinomio Q(X) con la forma quadratica Q. Un polinomio

/5/ Forme bilineari e forme quadratiche
199
siffatto viene anche chiamato forma quadratica n-aria (binaria se n = 2, ternaria
se n == 3 ecc.).
Se A è una matrice diagonale il polinomio [15.9] è privo dei "termini misti"
qijXjX j , i  j, e quindi è della forma
Q(X) = aIlXf + a 22 Xi + ... + annX";.
[15.10]
Pertanto una base e di V è diagonalizzante per la forma bilineare b se e solo se
il polinomio che rappresenta la forma quadratica q è della forma [15.10]. Diremo
in tal caso che 8 è una base diagonalizzante per q.
Evidentemente, due polinomi omogenei di secondo grado Q(X) = tXA X e
R(X) = tXBX nelle indeterminate X == t (XI ... X n ) rappresentano la stessa forma
quadratica su V in due basi diverse se e solo se le matrici simmetriche A e B sono
congruenti. Infattit per la proposizione 15.5, l'essere congruenti è condizione neces-
saria e sufficiente affinché le matrici A e B rappresentino la stessa forma bilineare
in due basi diverse.
Nel paragrafo 16 dimostreremo che ogni forma quadratica su uno spazio vet-
toriale di dimensione finita possiede una base diagonalizzante.
Supponiamo che sul K-spazio vettoriale V sia definita una forma bilineare sim-
metrica b: V x V -+ K, con forma quadratica associata q, e sia W un sottospazio
di V. Allora b induce un'applicazione
b': WxWK
la quale evidentemente soddisfa ancora le condizioni della definizione, ed è per-
tanto una forma bilineare su W. Inoltre b' è simmetrica perché b lo è. Nello stesso
modo vediamo che la forma quadratica q': W  K associata a b' coincide con
la restrizione di q a W, e pertanto la restrizione di q a W è ancora una forma
quadratica.
15.10 Complementi
l. Siano U e W sottospazi vettoriali di uno spazio V tali che V = U EB W. Sup-
poniamo assegnate forme bilineari h: U x U  K, k: W x W --+ K. Definiamo h (f) k:
V x V  K ponendo
(h EB k) «u, w), (u', Wl» = h(u, u I) + k(w, Wl).
L'applicazione h EE> k è una forma bilineare, detta somma diretta di h e k. Se
h e k sono entrambe simmetriche (entrambe alterne) h EF> k è simmetrica (alterna).
Le verifiche sono lasciate al lettore.
2. Sia b: V x V  K una forma bilineare, e = {eh...' e n } una base di V e
A = (aij) la matrice di b rispetto a e. Sia e V = {1J}, ..., 1Jn} la base di VV duale di

200
Geomelria euclidea
e. Allora  è la matrice che rappresenta l'applicazione lineare
fJ b : Y -+ y v
rispetto alle basi e ed e".
Ricordiamo che 0b è definita da 0b(V) = b v , dove b v E y v è il funzionale
bv(w) = b(v, w), wEY.
Per dimostrare l'affermazione precedente è necessario dimostrare che, per ogni
i = 1, ..., n, si ha
n
hb(e i ) = E a it 1Jr
'==1
[15.11]
Ma per ogni i = l, ..., n abbiamo
[Ob(e i )] (e j ) = b(e j , e j ) = a ij ,
mentre
n n
[  ai/q,] (e j ) = E ai/D/j = a u .
1=1 1=1
Poiché assumono gli stessi valori sulla base e, il primo e il secondo membro
di [15.1 I] sono uguali, e questo prova quel che si voleva.
Si verifica in modo simile che A è la matrice che rappresenta l'applicazione
o;: Y -+ V" rispetto alle basi e ed e V .
3. Sia U un K-spazio vettoriale tale che dim(U) = 2. Supponiamo assegnata
su U una forma bilineare simmetrica h non degenere tale che esista un vettore
isotropo rispetto ad h e non nullo. Allora h si dice forma iperbolica su U e la
coppia (U, h) si dice piano iperbolico.
Se (U, h) è un piano iperbolico, U possiede una base {DI' u 2 } formata da due
vettori isotropi tali che h (u l' D 2 ) = 1. Infatti, per definizione esiste DI ;é O iso-
tropo. Poiché h è non degenere, esiste v E U tale che h(u I , v) = I. I vettori DI' v
non sono proporzionali, perché si ha h(D I , ku l ) = kh(u t , DI) = O per ogni kE K;
pertanto DI e N. sono linearmente indipendenti. Prendendo U 2 = v - h(v, v)u]/2
si ottiene la base richiesta.
Una base {UI' u 2 } con tali proprietà è detta iperbolica. La matrice che rap-
presenta h rispetto a una base iperbolica è
G ).
[15.12}
È evidente, viceversa, che se lo spazio vettoriale U ha una base {OI' 02} tale
che la matrice della forma bilineare sia la [15.12], allora (U, h) è un piano iper-
bolico.

/5/Forme bilineari e forme quadratiche
201
Ad esempio, la forma bilineare
h(x, y) = X}Y2 + X 2 YI
su K 2 è iperbolica, e la base canonica è iperbolica. Anche la forma bilineare
l 1
k(x, y) = -xtYt - -X 2 Y2
.22
è iperbolica, e una base iperbolica è (1, l), (1, - l)}. Per la forma k la base cano-
nica è diagonalizzante.
4. Siano V uno spazio vettoriale e b: V x V  K una forma bilineare simme-
trica non degenere tale che V contenga un vettore isotropo u "# O. Allora esiste
.un sottospazio U di V contenente u e tale che la coppia (U, b u ) sia un piano iper-
bolico.
Infatti, poiché b è non degenere, esiste v E V tale che b (u, v) == 1. Il vettore
b(v, v)
2
w==v-
u
è isotropo e tale che b(u, w) == 1. Quindi il sottospazio U = (u, w) ha le proprietà
volute.
5. Siano V uno spazio vettoriale e q: V  K una forma quadratìca. Uno sca-
lare ex E K si dice rappresentabile mediante q se esiste v E V, v "# O, tale che q(v) == cx.
Se V è uno spazio vettoriale complesso e q è non degenere, allora ogni Ci E C
è rappresentabile mediante q. Infatti, fissata una base {e],..., e n } tale che
b(e l ) "#0, e detta t3EC una radice quadrata di aq(et)-t, si ha
q({3e t ) == (32q(e t ) == cx.
Se K == R, V == Rn, n > 1, q(x) = x; + ... + x;, la forma quadratica standard,
allora, evidentemente, nessun numero Ci < O è rappresenta bile mediante q. Invece
ogni numero reale ex > O lo è: lo si può dimostrare esattamente come nel caso degli
spazi complessi, tenendo presente che Ci possiede una radice quadrata reale.
La nozione di rappresentabilità di uno scalare mediante q è importante se K == Q.
L'insieme degli scalari rappresentabili mediante una data forma quadratica q su
un Q-spazio vettoriale, ad esempio su Qn, ha una notevole importanza aritmetica.
Se (U, h) è un piano iperbolico e q: U  K è la forma quadratica associata ad
h, allora q(U\ {O}) = K, e quindi ogni elemento di K è rappresentabile mediante q.
Infatti, se {DJ, 02} è una base iperbolica di U e cx E K, si ha
q(u 1 +  U2)=a.
Dall'osservazione precedente e dalla 15.10(5) segue subito che se q è una forma
quadratica non degenera su uno spazio vettoriale V, tale che esista in V un vet-

202
Geometria euclidea
tore isotropo non nullo, allora ogni Ci. E K è rappresentabile mediante q. In altre
parole, se O è rappresentabile mediante q, lo è ogni ex E K.
Prendendo ad esempio K = Q e V == Q2, otteniamo che ogni numero razionale
a può essere espresso nella forma
l ( 2 2 )
a=-x-y,
2
con x, YEQ.
6. Sia b: V x V  K una forma bilineare simmetrica non degenere su un K-spazio
vettoriale V, e sia U un sottospazio di V. Il sottospazio ortogonale U 1- coincide
con l'ortogonale di 0b(U)CV V , così come è stato definito in 11.14(3). Suppo-
niamo che V abbia dimensione finita. Poiché b è non degenere, Oò è un isomor-
rismo, e quindi dim (U) == dim [Ob(U)]. Dalla [11.13] segue pertanto che
dim(U -L) = n - dim(U).
[15.13]
Se U non contiene vettori isotropi non nulli, si ha U n u 1. = (O), e dalla
[15.13] segue allora che V == U (f) U 1-. Prendendo in particolare U == (v), dove v
è un vettore non isotropo, si ottiene l'identità [15.7] dimostrata in precedenza.
7. Sia b: V X V ---+ K una forma bilineare simmetrica suHo spazio V, e deno-
tiamo con Ib(V) C V l'insieme dei vettori isotropi ,rispetto a b. Ib(V) è detto cono
iso/ropo di V (rispetto a b). Un so/tospazio U di V si dice iso/ropo se U C Ib(V).
Ovviamente (O) è un sottospazio isotropo di V, che si dice banale. Se b è dege-
nere, allora il suo radicale V 1. è un sottospazio isotropo non banale. .
Se U è un sottospazio isotropo e DJ' U 2 E U, allora, poiché 01 + O 2 E U, si ha
o == b(u 1 + u 2 , U 1 + u 2 ) == 2b(u I , u 2 ),
cioè U I e U 2 sono ortogonali. Da ciò discende che U C U 1-. Viceversa, se U C U J.,
aIJora è evidente che U è isotropo.
La forma b si dice anisotropa se V non possiede vettori isotropi non nulli, cioè
se Ib (V) == {O}. Ad esempio la forma bilineare standard su R n è anisotropa.
Supponiamo b non degenere, e sia U un sottospazio isotropo. Allora si ha
dim(U) <  dim(V).
2
[15.14]
Infatti U isotropo significa che U C U 1-, e quindi, per la [15.13], abbiamo
dim(U) < dim(U.L) = dim(V) - dim(U),
cioè la [15.14].

16/Diagonalizzazione delle forme quadraliche
203
Esercizi
1. Stabilire quali delle seguenti sono forme bilineari su Rn.
n
b) (x, y) = I .E XjYi l
)=-1
d) <x, y) = lil XJ yJ
a) (x, y) = E Xj I Yj I
j=l
c) (x, y) = ( .E XI ) ( .E YJ )
1=1 J=:I
n n n
e) (x, y) == E (Xj+ Yj)2 - E xJ - E y].
j=1 j1 j-)
2. In ciascuno dei casi seguenti determinare la forma bilineare polare della forma qua-
drica q: R 2 -4 R:
a) q(x Y) =: 3x 2 - 8xy - 3y2
c) q(x, y) =: 4x 2 - 4xy + 7 y2
e) q(x, y) =: 3 + IOxy + 3y2
b) q(x, y) = 4x 2 - 9xy + 5y2
d) q(x, y) = x 2 - 2xy + y2
f) q(x, y) == 6xy.
3. Determinare la matrice e il rango di ciascuna delle forme quadrati che dell'esercizio
precedente.
4. In ciascuno dei casi seguenti determinare la forma bilineare polare della forma qua-
dratica q: R 3 -4 R:
a) q(x y z) == xz + xy + yz
c) q(x, y, z) == x 2 - 2xz - y2 - Z2
e) q(x, y, z) =: - x 2 - 4xy + 3y2 + 2Z2.
b) q(x, y, z) == 2xy + y2 - 2xz
d) q(x, y, z) = 5x 2 + 3y2 + xz
5. Determinare la matrice e il rango di ciascuna delle forme Quadratiche dell'esercizio
precedente.
16 Diagonalizzazione delle forme quadratiche
In questo paragrafo considereremo il problema dell'esistenza di basi diagona-
lizzanti per una forma bilineare simmetrica su uno spazio vettoriale. Il risultato
principale sull'argomento è il seguente teorema.
16.1 TEOREMA Sia V un K-spazio vetforiate, dim (V) = n > 1, e sia b una
forma bilineare simmetrica su V. In V esiste una base diagonalizzante per b. Equi-
valentemente, ogni matrice simmetrica A E Mn(K), n > 1, è congruente a una
matrice diagonale.
Data l'importanza del teorema, ne diamo due dimostrazioni.

204
Geometria euclidea
Prima dimostrazione
Procediamo per induzione su n = dim(V). Se n = 1 non c'è niente da dimo-
strare. Supponiamo dunque n > 2, e che ogni forma biIineare simmetrica su uno
spazio di dimensione minore di n possieda una base diagonalizzante.
Se b è la forma bilineare nulla non c'è niente da dimostrare, perché in una
qualsiasi base la matrice di b è la matrice nulla, che è diagonale, e quindi ogni
base di V è diagonalizzante. Possiamo dunque supporre che b non sia la forma
bilineare nulla, e quindi che esistano v, w E V tali che b(v, w) ;é O. Da ciò segue
che uno almeno dei tre vettori v, w, v + w è non isotropo. Infatti, se v e w sono
entrambi isotropi, allora
b(v + w, v + w) = b(v, v) + b(w, w) + 2b(v, w) = 2b(v, w)  o.
Pertanto esiste un vettore e J E V tale che b(e l , el)  O. Dalla [15.7] segue che
V = < e l ) Ef> e/-; in particolare dim (elJ.) = n-l.
Per l'ipotesi induttiva la forma bilineare b' indotta da b su e/- possiede una
base diagonalizzante: sia essa {e 2 , ..., e n }. Allora e == {e I , e 2 , ."., e n } è una base
di V: infatti e 2 , ..., e n sono linearmente indipendenti ed) altra parte e l  (e 2 , ...
..", e n ) = e1J., sicché eh e 2 , ..., e n sono linearmente indipendenti.
Inoltre b(e I , e j ) = O per ogni j = 2, ..., n, perché ejE e/" Infine b(e j , e j ) =
= b' (e i , e j ) = O per ogni i j, 2 < i, j < n, perché {e 2 , ..., e n l è una base di el-
diagonalizzante per b'" Quindi e è una base diagonalizzante per b.
Seconda dimostrazione (Lagrange)
Per induzione su n = dim(V). Se n = l non c'è niente da dimostrare. Suppo-
niamo n > 2, e che ogni forma biIineare simmetrica su uno spazio di dimen-
sione minore di n possieda una base diagonalizzante.. Scegliamo una base
b = {b I , ..., b n } di V. Se b è la forma bilineare nulla, allora b è diagonalizzante,
e non c'è niente da dimostrare. Se b non è la forma bilineare nuna, allora pos-
siamo ottenere da b una nuova base c = {CI' ..., c n } tale che b (CI' CI)  O. Infatti,
se b(b j , b j ) '# O per qualche i, sarà sufficiente scambiare b J con b i - Se viceversa
b(b i , b i } == O per ogni i, allora dev'essere b(b i , bj);é. O per qualche i;é j; scam-
biando ancora possiamo supporre b(b J , b 2 )  O, e la nuova base
c = {b l + b 2 , b z , ..., b n }
ha la proprietà voluta. Nella base c la forma quadratica q associata a b ha
l'espressione
n n
q(v(YJ' ..., Yn») = hllyt + 2.1: hliYIYi + .  hijYiYj'
1.:=2 lt}"2
[16.1 ]
dove h ij = b(c j , c j ). Poiché h ll == b(c 1 , CI)  O, possiamo riscrivere la [16.1] nel
modo seguente:
n
q(V(YI' ..., Yn» = ho (YI + E h lJ I h li Yi)2 + (termini in cui non compare Y 1 ).
. i=2

/6/Diagona/izzazione delle forme quadratiche
205
Eseguiamo il cambiamento di coordinate
n
ZI =YI +.E h 1I 1 h u Yi' Z2=Y2, ..., Zn=Yn'
1=2
che corrisponde al passaggio dalla base c alla nuova base
d = (di' ..., d n ) ==
== {CI' -hl-IlhI2CI +C 2 , -hIIlh13CI +C 3 , ..., -hlIlhlnCI +CnJ.
In queste coordinate q ha la forma
q(V(ZI' ..", Zn» = hIIz: + q' (Z2, ..., zn)'
dove q' (Z2' ..., zn) è un polinomio omogeneo di secondo grado in Z2' ..., Zn, e
quindi è una forma quadratica sullo spazio < d 2 , ..., d n >. Per l'ipotesi induttiva
<d 2 , ..., d n > p'ossiede una base {e 2 , ..., e n } diagonalizzante per q'. Pertanto la
base - { dI' e 2 , ..", e n } di V è una base diagonalizzante per q.
Il teorema precedente afferma l'esistenza di una base e rispetto alla quale
b ha la forma [15.8], con all' a 22 , ..., annE K. Dimostreremo che nei casi
K = R, C si possono ottenere risultati più precisi. Iniziamo dal caso K = C (consi-
dereremo più in generale il caso in cui K è algebricamente chiuso).
16..2 TEOREMA Supponiamo che K sia algebricamente chiuso. Sia V un K-
spazio vettoriale, dim (V) = n > l, e sia b: V x V -+ K una forma bilineare simme-
trica.. Esiste una base {ej' ..., e n } diagonalizzante per b tale che la matrice di b
sia della forma
( Ir
D=
O 2
0 1 )
0 3
[16.2]
dove r è il rango di b e 01 EMrn-r(K), 02EMn-rr(K), 03EMn-rn r(K) sono le
matrici nulle.
Equivalentemente, ogni matrice simmetrica A E Mn(K) di rango r è congruente
alla matrice [16.2]..
Dimostrazione
L'equivalenza delle due affermazioni è evidente" Dimostreremo la prima.. Per
il teorema 16.1 esiste una base f = {f l , ."., f n } tale che la matrice di b rispetto a
f sia diagonale della forma
a ll O O
O a 22 O
O O a nn

206
Geomelria euclidea
Salvo scambiare tra loro Il, ..., 'n' possiamo supporre all' a 22 , ..., a rr diversi da
O, e a r + Ir + 1 =... =ann=O. Siano al' a 2 , ..., arEK tali che al=a ii , i=l, ..., r
(gli ai esistono perché K è algebricamente chiuso) e consideriamo i vettori
-I f --I f f f
e) = al l' ..., e r = a r r' e r + 1 = r+I, ..., e n = n.
Ovviamente e = {e I , ..., e n } è una base ortogonale. Inoltre
b ( e. , e. ) = b ( a.-1f. , a.- I f. ) = a.- 2 b ( f- , f. ) = a.- 2 a.. = 1 i = l , ... , r
l l I 1 l l l I I l Il ,
b(e i , e i ) == b(f j , fi) = O i == r + l, ..., n.
Quindi e ha le proprietà volute.
Nella dimostrazione del teorema precedente si è utilizzato il fatto che K è alge-
bricamente chiuso per ottenere l'esistenza degli scalari ai. Nel caso K = R si
ottiene un risultato un po' più debole.
16.3 TEOREMA (SYLVESTER) Sia V uno spazio vettoriale reale, dim(V) = n > 1,
e sia b: V X V  K una forma bi/ineare simmetrica. Esistono un numero intero
non negativo p < r, dove r è il rango di b, dipendente solo da b, e una base
e = {e I , ..., e n } di V, tali che rispetto a e la forma b abbia la seguente matrice:
 O O
O - Ir-p O ,
O O O
[16.3]
dove il simbolo O denota matrici nulle di ordini opportuni.
Equivalentemente, ogni matrice simmetrica A E M n (R) è congruente a una
matrice diagonale della forma [16.3] in cui r = r(A) e p dipende solo da A.
Dimostrazione
L'equivalenza delle due affermazioni è evidente. Dimostreremo quindi la prima.
Per il teorema 16.1 esiste una base f= {fI' ..., f n } di V tale che
q(v) = alIyf + a22Y + ... + anny;
per ogni v = YI f I + Y2 f 2 + ... + Y n f n E V. Il numero di coefficienti aH che sono
diversi da O è uguale al rango r della forma q, e quindi dipende solo da q. Salvo
riordinare la base possiamo supporre che i primi r coefficienti siano diversi da
zero e che tra essi tutti quelli positivi figurino per primi. Si avrà dunque
a Il := af, ..., a pp = a;, a p + I p + 1 = - a; io- l' ..., a rr = - a;
per un opportuno intero p s r e opportuni numeri reali positivi al' a 2 , ..., a f .

J 6/ Diagonalizzazione delle forme quadratiche
207
Esattamente come nella dimostrazione del teorema precedente si verifica che
rispetto alla base
e} = ft/aJ, e 2 = f 2 /a 2 , ..., e r == fr/r' e r + 1 == f r + 1 , ..., e n = f n
la matrice di b è la [16.3], e quindi la forma quadratica q associata a b è
( ) 2 2 2 2
q V ==x 1 + ... +xp-x p + I -". -x r
[16.4]
per ogni v = XI e} + ... + xllenE V.
Resta da dimostrare che p dipende solo da b, e non dalla base {e 1 , ..., e ll }.
Supponiamo dunque che in un'altra base b = {b l , .. ", b n } la forma b si esprima
come
( ) 2 2 2 2
q V = ZI + ... + Zt - Z t + I - ... - Zr,
[16.5]
per ogni v = ZI b} + ... + ZnbnE V, per un opportuno intero t < r. Dobbiamo far
vedere che t = p. Se p  t possiamo supporre che sia t <p. Consideriamo i 50t-
t05pazi
S = (el' ..., e p )
T = (b t + 1 , ..., b n ).
Poiché
dim{S) + dim{T) == p + n - t> n,
dalla formula di Grassmann segue che S n T # (O), e quindi esiste v E S n T, v :;z: o.
Si ha quindi
v = xle I + ... + xpe p = Zt+ l b t + 1 + ... + Znbn.
Poiché v  O, dalla [16.4] segue che
q(v)=x;+... +x;>O,
mentre dalla [16.5] si deduce che
q{v) = - Z21+1 - ... - z; < O,
e cioè una contraddizione. Quindi p = t.
L'espressione [16.4] si dice lo forma canonico della forma quadratica q. Gli
interi p ed r - p si dicono rispettivamente indice di positività e indice di negati-
vità, e la coppia (p, r - p) è detta segnatura, di b e di q.
Una forma quadratica q sullo spazio vettoriale reale V si dice: definita posi-
tiva se q{v) > O per ogni v E V; definita negativa se q{v) > O per ogni v  O; semi-
definita positiva se q{v) < O per ogni v  O; semidefinita negativa se q{v) < O per
ogni v E V .
Evidentemente, se q è definita positiva (negativa) allora è anche semidefinita

208
Geomelria euclidea
positiva (negativa). Se non è semidefinita positiva né semidefinita negativa, q si
dice indefinita.
Analoga terminologia si usa per la forma biIineare polare di q.
Le forme canoniche corrispondenti ai diversi casi, e le relative segnature, sono
le seguenti:
Forma quadratica
2 2
- XI - ... - X r , r < n
2 2 2 2 2
XI + X2 + ... + X p - X p + I - ... - X r ,
O<p<r < n
Segnatura
(n, O)
(r, O)
(O, n)
(O, r)
(p, r - p)
definita positiva
semidefinita positiva
definita negativa
semidefinita negativa
indefinita
2 2
Xl + ... + X n
2 2
Xl + .... + Xo r  n
- xf - ... - 
Una matrice simmetrica A E Mn(R) si dirà definita positiva o, rispettivamente
semidefinita positiva, definita negativa, semidefinita negativa, indefinita se la cor-
rispondente forma quadratica è definita positiya, semidefinita positiva eéc.
Dal teorema di Sylvester discende anche che ogni classe di congruenza di matrici
simmetriche reali di ordine n contiene precisamente una matrice diagonale della
forma [16.3]. Si ha dunque una corrispondenza biunivoca tra tali classi di cgn-
gruenza e le matrici [16.3], cioè le matrici [16.3] costituiscono un insieme com-
pleto di rappresentanti delle classi di congruenza di matrici simmetriche reali di
ordine n.
In particolare una matrice simmetrica reale di ordine n è definita positiva se
e solo se è congruente alla matrice unità In' cioè se e solo se esiste MEGLn(R)
tale che A =  InM = 'MM. Abbiamo quindi il seguente corollario.
16.4 COROLLARIO Una matrice simmetrica A EMn(R) è definita positiva se
e solo se esiste una matrice MEGLn(R) tale che"A = tMM.
Le forme bilineari simmetriche definite positive sugli spazi vettoriali reali sono
molto importanti in geometria euclidea, perché, come vedremo nei prossimi para-
grafi, esse permettono di introdurre tutte le nozioni di natura metrica. Anche altri
tipi di forme bilineari su spazi vettori ali reali hanno importanza in geometria e
in fisica. Un esempio particolare è lo spazio vettori aie reale R 4 dotato dalla forma
quadratica
 ( ) _ 2 2 2 2
A XI' X 2 , X 3 , X 4 - XI + X 2 + X 3 - X 4 ,
che si chiamafornia di Minkowski. Iv è non degenere indefinita, di segnatura (3, 1).
La coppia (R 4 , À) è detta spazio di Minkowski e ha importanza fondamentale in
relatività ristretta.

I7/Prodotti scalar;
209
Esercizi
l. In ciascuno dei seguenti casi determinar.e un base rispetto alla quale la forma quadra-
tica assegnata su C 2 assuma la forma [16.2], e la relativa formula di cambiamento di
coordinate:
a) - x 2 + y2
c) 4x 2 + 9y2
b) ix 2 - 2 y 2
d) - x 2 - 25 y 2.
2. In ciascuno dei seguenti casi determinare un base rispetto alla quale la forma quadra-
tica assegnata su R 3 assuma la forma canonica, e calcolarne la relativa segnatura:
a) 4x 2 - 5y2 + 12z2
c) - x 2 _ y2 + Z2
b) - x 2 + 9z 2
d) y2 + 16z2.
3. Diagonalizzare ciascuna delle forme quadratiche dell'esercizio 2 ( 15), determinando
il relativo cambiamento di coordinate e la segnatura di q.
4. Per ciascuna delle forme quadratiche dell'esercizio precedente, esprimere la matrice
B della forma diagonalizzata come B = tMAM, dove A è la matrice della forma qua-
dratica assegnata.
5. Diagonalizzare ciascuna delle forme quadratiche dell'esercizio 4 ( 15), determinan-
done la segnatura e le trasformazioni effettuate.
6. Per ciascuna delle forme quadratiche dell'esercizio precedente, esprimere la matrice
B della forma diagonalizzata come B = tMAM, dove A è la matrice della forma qua-
dratica assegnata.
17 Prodotti scalari
Sia V uno spazio vettoriale reale. Una forma bilineare simmetrica definita posi-
tiva su V si dice prodotto scalare. Se su V è assegnato un prodotto scalare, V si
dice spazio vettoriale euclideo.
Si noti che la definizione non richiede che V abbia dimensione finita, e infatti
esistono esempi di spazi vettoriali euclidei che non hanno dimensione finita (cfr.
esempio 17..8(2». La nostra trattazione sarà però finalizzata al caso finito dimen-
sionale..
La forma bilineare standard [15.1] su Rn, n > 1, è un prodotto scalare che
chiameremo d'ora in poi prodotto scalare standard su Rn; se x, y E Rn denoteremo
il loro prodotto scalare standard con il simbolo x.y; si ha quindi
x.y:= X 1 Y 1 + X 2 Y2 + ... + XnY n = t xy .
Dotato del prodotto scalare standard, Rn è uno spazio vettoriale euclideo,
denominato n-spazio vettoriale euclideo.

210
Geometria euclidea
Sia V uno spazio vettoriale euclideo qualsiasi; denoteremo il prodotto scalare
di due vettori v, wEV con il simbolo (v, w), che si legge "v scalare w".
17.1 TEOREMA Se v, wEV, allora
(v, W)2 < (v, v) (w, w)
e l'uguaglianza vale se e solo se v e w sono paralleli.
[17.1]
Dimostrazione
Se w = O la [17.1] è ovvia, essendo uguali a O entrambi i membri. Possiamo
dunque supporre w # O. Per ogni a, bE R si ha
O < (av + bw, av + bw) = a 2 (v, v) + 2ab(v, w) + b 2 (w, w)
e l'uguaglianza vale se e solo se av + bw = O, cioè se e solo se v e w sono paralleli.
Prendendo in particolare
a==(w,w), b=-(v,w),
si ottiene
o < (w, W)2 (v, v) - 2(w, w) (v, W)2 + (v, W)2 (w, w).
Poiché w # O, si ha (w, w) > O, e dividendo il secondo membro per (w, w)
otteniamo
O « w, w) (v, v) - (v, W)2,
cioè la [17.1].
La [17.1] è chiamata disuguaglianza di Schwarz.
Se VEV, la norma, o lunghezza, di v si definisce come
UvU =.J( v, v) .
Utilizzando la norma, la disuguaglianza di Schwarz si può esprimere neIla forma
equivalente
I (v, w) I :s Il v 1111 w Il,
[17.2]
ottenuta estraendo la radice quadrata da primo e secondo membro della [17.1].
La lunghezza di un vettore gode delle seguenti proprietà:
NI Per ogni v E V si ha Il v Il > 0, e vale l'uguaglianza se e solo se v == O.
N2 Per ogni rE R, v E V, si ha Il rv Il = f r I Il v Il.
N3 Per ogni v, w E V, si ha Il v + w Il < Il v Il + Il w Il e vale l'uguaglianza se e
solo se v e w sono paralleli.
La Nl è una formulazione della proprietà del prodotto scalare di essere defi-

17/Prodotti scalari
211
nito positivo. La N2 segue estraendo le radici quadrate del primo e secondo mem-
bro dell'uguaglianza seguente:
< rv, rv) ::::: r 2 (v, v).
La N3 è detta disuguaglianza triangolare e si dimostra nel modo seguente. Per
la [17.2] si ha
IIv+wIl 2 ==(v+w, v+w)= IIvIl 2 +2{v, w)+ IIwll 2 s
< IlvU 2 +2l1vllllwU + IIwIl 2 =(lIvli + UWIl)2
che è equivalente alla N3.
Per la Nl un vettore v ha lunghezza O se e solo se v == O.
Un vettore v lunghezza 1 si dice versore. Per la N2, se v # O, vi Ilv Il è un ver-
sore parallelo a v, che si dice ottenuto normalizzando v.
Ricordiamo che due vettori v, w E V sono detti ortogonali, o perpendicolari,
se (v, w) = O. Dalla definizione segue che il vettore O è perpendicolare ad ogni
altro vettore di V. Poiché il prodotto scalare è definito positivo, O è l'unico vet-
tore perpendicolare a sé stesso. .
U n insieme finito {v l' V 2' ..., V t} di vettori non nulli di V è un insieme
ortogonale di vettori se i suoi elementi sono a due a due ortogonali, cioè se
(Vi' V j ) = O per ogni i  j, l < i, j < t.
{ V l' V 2' ..., v t } si dice insieme ortonormale di vettori se è un insieme
ortogonale e se i suoi elementi sono versori. Se {VI' V 2 , ..., VI} è un insieme
ortogonale, normalizzando i suoi elementi si ottiene un insieme ortonormale:
{ v 1 I Il VI Il, v 2 1 Il v 2 11 , ..., V t I Il v I Il } .
Se V ha dimensione finita, una base ortogonale (una base ortonormale) di V
è una base {e}, e 2 , ..., e n } che è un insieme ortogonale (un insieme ortonormale)
di vettori.
17.2 PROPOSIZIONE Se {VI' v 2 , ..., VI} è un insieme ortogonale di vettori,
allora VI' V 2 , ..., VI sono linearmente indipendenti. In particolare, se V ha dimen-
sionejinita, un insieme ortogonale di n = dim(V) vettori è una base ortogonale
di v.
Dimostrazione
Se al VI + a 2 v 2 + ... + a/v t = O, allora, per ogni i = l, ..., t,
o == (v i' a I V I + a 2 V 2 + ... + al V I) =
= al (Vi' VI) + a 2 (v j , v 2 ) + ... + at(v j , v t ) =
= ai(v j , Vi).
Poiché (Vi' Vi) > O, dev'essere ai::::: O. Quindi Vi' V 2 , ..., VI sono linearmente
indipendenti.

212
Geometria euclidea
Dal teorema 16.1 discende che V possiede basi ortogonali se ha dimensione
finita positiva; normalizzando (gli elementi di) una base ortogonale si ottiene una
base ortonormale, e quindi V possiede anche basi ortonormali. Questo fatto segue
anche direttamente dal teorema di Sylvester, visto che il prodotto scalare ha segna-
tura (n, O).
Se e = leI' e 2 , ..., e n } è una base orto normale di V, allora la matrice che rap-
presenta (,) rispetto alla base e è In. Pertanto per ogni v = XI e l + ... + X n e n ,
w = yIe l + ... + Ynen si ha
(v, w) = X I Y1 + X 2 Y2 + ... + XnYn = x-y.
In altre parole in una base ortonormale il prodotto scalare di due vettori si
esprime come il prodotto scalare standard dei vettori colonna delle loro coordi-
nate. Nella pratica è conveniente utilizzare basi ortonormali anzièhé basi qualun-
que perché i calcoli con le coordinate dei vettori sono notevolmente più semplici.
Il risultato seguente descrive la matrice di un cambiamento di base ortonormale.
17.3 PROPOSIZIONE Siano e = {el' ..., e n }, f = {f l , ..., f n } due basi dello spa-
zio vettoriale euclideo V, e supponiamo che e sia ortonormale. La base f è orto-
normale se e solo se la matrice Me 7 f(lv) del cambiamento di coordinate da f a e
è una matrice ortogonale.
Dimostrazione
Le colonne della matrice M = Me,f(lv) sono le coordinate dei vettori fI' ..., f n
rispetto ad e. Pertanto f è ortonormale se e solo se
M ( . ) -M ( ' ) = ( f, f. ) == o..
I J l' J 1)*
[17.3]
Le [17.3] esprimono precisamente la condizione tMM == In' cioè MEO(n).
Dcscriveremo ora un metodo molto semplice per costruire insiemi ortogonali
e trovare esplicitamente basi ortogonali (e quindi basi ortonormali), il cosiddetto
"procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt". Tale procedimento
è basato sulla nozione di "coefficiente di Fourier", che abbiamo introdotto nel
n. 15. Ricordiamo che, se v è un vettore non nullo di V, per ogni w E V il coeffi-
ciente di Fourier di w rispetto a v è lo scalare
ay(w) = (v, w)/(v, v).
Definiamo la proiezione ortogonale di w nella direzione di v come il vettore
ay(w) v. La terminologia è giustificata dal fatto che
(w - ay(w) v, v) = (w, v) - ay(w) (v, v) = O,
cioè w - a y (w) v è perpendicolare a v (fig. 17.1).

J 7/ Prodotti scalari
213
W-8 y (W)V
8 y (W)V
v
Iligura 17.1
Nel caso particolare in cui v è un versore, per ogni w E V il coefficiente di Fou-
rier di w rispetto a v è:
av(w) = (v, w);
la proiezione ortogonale di w nella direzione di v è (v, w)v e w - (v, w)v è
ortogonale a w.
17.4 TEOREMA (DI ORTOGONALIZZAZIONE DI GRAM-SCHMIDT) Sia VI' v 2 , v 3 , ...
una successione (finita o infinita) di vettori dello spazio euclideo V. Allora:
l) Esiste una successione (corrispondentemente finita dello stesso numero di
elementi o infinita) Wl' w 2 , W 3 , ... di vettori di V tale che per ogni intero k > 1
si abbia:
a) (VI' V 2 , ..., v k ) == (Wl' W 2 , ..., w k );
b) i vettori Wl' W 2 , ..., W k sono a due a due ortogonali.
2) Se 01' O 2 , 0 3 , ... è un'altra successione che soddisfa le condizioni (a) e (b) per
ogni k > l, allora esistono scalari non nulli c l' c 2 , ... tali che U k = c k W k' k = l, 2, ...
Dimostrazione
l) Costruiremo gli elementi Wl' W 2 ,... per induzione su k. Prendiamo Wl = VI'
che evidentemente soddisfa (a) e (b) per k = l. Sia t > 1 e supponiamo di aver
costruito Wl' ..., W t soddisfacenti alle condizioni (a) e (b) per k = t. Definiamo
t
W t + I == V t + I - E T Qw (v t + J) W j
. i = I l
(dove E' denota la somma estesa ai soli indici i tali che w j # O).
Dalla definizione segue che V t + I è combinazione lineare di Wl' W 2 , ..., W t + l' e
per l'ipotesi induttiva i vettori VI' ..., V t sono combinazioni lineari di Wl' W 2 ' ..., Wt.
Quindi (VI' V 2 , ..., V t + I ) C (W u W 2 , ..., w t + l ). D'altra parte, sempre per la defi-
nizione di W t + l , abbiamo che W t +) è combinazione lineare di Wl' W 2t ..., Wl' V t + I .

214
Geometria euclidea
Per l'ipotesi induttiva i vettori Wl' W 2 , ..., Wl sono combinazioni lineari di
VI' V 2 , ..., VI' e quindi W t + l è combinazione lineare di V h V l , ..., V l + I ; dunque si
ha anche (Wl' W 2 , ..., W t + l ) C (VI' V 2 , ..., Vt-t l). Pertanto la (a) è soddisfatta
per k = t + 1.
Si ha poi, per ogni i=l, ..., t, tale che wi#O:
f
(w t + I , w i ):=; (V(-f 1 - 1:' aw.(vt+I)w j , Wl) = (V'+I' W i ) - a w {v t + 1 ) (Wi,W i ) =
j=l J t
== (V,+ l' W i ) - (V,+ l' W i ) = O.
Essendo per l'ipotesi induttiva anche
(W j , w i ) = O
per ogni i # j, 1 < i, j < t) la (b) è soddisfatta per k = t + 1. Ciò dimostra la parte
(1) del teorema.
2) Procediamo per induzione su k. Per k = 1 la conclusione è ovvia. Suppo-
niamo t > 1 e che esistano Cl' Cl' ..., Cl tali che U k = CkW k per ogni k < t. Per la
(a) si ha
0'+1 == Z + c t + l W 1 + I '
per qualche zE (Wl' ..., w,), C'+l E R. Poiché, per la (b), sia U 1 + I che W'+I sono
ortogonali a z, anche 01+ l - C t + l W t + l == z è ortogonale a z, cioè z è ortogonale a
. sé stesso; quindi z == O.
Si noti che la (b) del teorema 17.4 non afferma che {Wl' W 2 , ..., w k } è un
insieme ortogonale di vettori, perché può accadere che qualcuno dei vettori Wl'
Wl' ..., W k sia uguale a o. Se W H Wl' ..., W k sono tutti non nulli, allora {Wl' Wl' ...
. . ., W k} è un insieme ortogonale di vettori.
Se V ha dimensione finita e {VI' ..., v n } è una base di V, il procedimento di
Gram-Schmidt applicato ai vettori V l' ..., V n fornisce vettori W l' ..., W n' a due a
due ortogonali, che generano V, e quindi tutti diversi da o: dalla proposizione
17.2 segue che {w l' ..., W n} è una base ortogonale di V. Per ottenere una base
ortonormale non resta che normalizzare {Wl'...' W n} ·
17.5 Esempi
1. Sia V uno spazio vettoriale euclideo, dim (V) == 4, e sia {e l , e 2 , e 3 , e 4 } una
base ortonormale di V. Consideriamo i vettori
VI(O, 1, O, l), v 2 (2, 1, O, l), v 3 {-I, O, O, l), v 4 (0, O, l, O).
Il procedimento di Gram-Schmidt applicato a VI' V 2 , V 3 , V 4 dà
Wl = VI'
(Wl' v 2 ) 2
w 2 == v 2 - Wl == V 2 - - Wl == 2e u
(Wl' Wl) 2

17/ Prodotti scalari
215
(W h V 3 ) (W 2 , v 3 ) 1 -2
W 3 = V 3 - w- W 2 = V 3 - - Wl - W 2 =
(W h Wl) I (W 2 , w 2 ) 2 4
l 1
== - - e 2 + - e 4 ,
2 2
(w h v 4 ) (W 2 , V 4) (W 3 , V 4 )
W 4 == V 4 - W - W 2 - W 3 =
(Wl' Wl) 1 (W 2 , W 2 ) (W 3 , W 3 )
o O O
==V --W --W --W =V
4 2 I 4 2 1/2 3 4.
I vettori Wl' W 2 , W 3 , W 4 costituiscono una base ortogonale di V. Normalizzando
questi vettori si ottiene la base ortonormale
f. e 2 e 4 e 2 e 4 ]
l -J2 + -J2 ' e l' - -Ji i'- -J2 ' e 3 .
2.. Consideriamo R 4 con il prodotto scalare:
1 1
(x, Y) = -X1YI + -X 2 Y2 + X 3 Y3 + X 4 Y4.
2 2
Applicando il procedimento di Gram-Schmidt ai vettori
VI = (I, l, -1, -1), v 2 = (1, l, l, l),
v 3 =(-I, -1, -1, l), v 4 =(I, O, O, l)
otteniamo
Wl == VI'
W 2 =V 2 - (Wl' V 2 ) W ==V -w == (     )
(VI' VI) I 2 3 I 3' 3 ' 3 ' 3 '
(Wl' V 3 ) (W 2 , v 3 ) -1 -4/3
w 3 == v 3 - W 1 - W 2 =V --w - W 2 =
(Wl' Wl) (w 2 , W 2 ) 3 3 I 8/3
1 l
=V 3 +-W 1 +- W 2=(0, O, -1, l},
3 2
(Wl' v 4 ) (w 2 , v 4 ) (w 3 , v 4 )
w 4 == v 4 - w- w- w 3 =
(W h Wl) I (W 2 , w 2 ) 2 (w, w)
1/2 4/3 l
== v 4 - 3 Wl - 8/3 W 2 - 2 W 3 =
== v + 1- w _1- w _1- w == ( 1-, - 2 1 , O, O ) .
4 6 1 2 2 2 3 2

216
Geometria euclidea
Quindi [O, 1, - 1, - 1), (; , ; ,  , ). (0, 0, - l, 1), ( ' -  ' 0, O) J
è una base di R4 ortogonale rispetto a (,).
17.6 PROPOSIZIONE Sia V uno spazio vettoriale euclideo e W # (O) un suo
sottospazio vettoriale di dimensione finita. Allora ogni elemento v E V si può espri-
mere in modo unico come
v=w+w / ,
[17.4]
dove w E W e w' E W 1-. Quindi si ha
V=WEf)W1-.
Dimostrazione
Sia {e}, ..., e,} una base ortonormale di W. Se v E V, poniamo
w = (v, e I ) e I + ... + (v, et)e,
w/=v-w.
Evidentemente w E W. Inoltre, per ogni i == l, ..., t:
(Wl, e j ) = (v, ej) - (w, e i ) = (v, e i ) - (v, e i ) (e b e i ) = O,
e quindi Wl, essendo perpendicolare a e l , ..., e t , è perpendicolare ad ogni loro
combinazione lineare, cioè w I E W 1-. Quindi v = w + w I si esprime nella forma
voluta.
Se v = u + u I per qualche D E W, u' E W .L, aUora
w-u=u' -w'EWnW1-
e quindi w - d, essendo perpendicolare ad ogni elemento di W, è anche ortogo-
nale a sé stesso. Ma allora w - D = O = u l - w', cioè w == u e w' = DI.
L'elemento w che compare a secondo membro della [17.4] si dice proiezione
ortogonale di v sul sottospazio W.
Esplicitando l'identità Il v 11 2 = (w + Wl, W + Wl> si ottiene immediatamente la
seguente:
IIvll 2 = IIwll 2 + flw' 11 2
che è detta identità pitagorica.
La disuguaglianza di Schwarz [17.1] permette di introdurre in uno spazio vet-
toriale euclideo V la nozione di "angolo convesso di due vettori non nulli" nel
modo seguente.
Supponiamo che v, w E V siano due vettori diversi da o. La [17.2] si può anche

I7/Prodotti scalari
217
scrivere nella forma equivalente:
- IIvll Uwll < (v, w) < IIvllllwll
dalla quale, dividendo per Il v Il Il w Il, .si ottiene
(v, w)
-1 < < 1.
Il v Il Il w Il
[17.5]
Dalla [17.5] e dalle proprietà della funzione coseno disc.ende che esiste un unico
numero reale (), tale che O < () < 1f, e tale che si abbia
(v, w)
cos () =
Il v Il Il w Il
Potremo quindi scrivere
( v, w) = Il v Il Il w Il cos O.
[17.6]
Chiameremo
( v, w) )
() = arccos
Il v Il Il w Il
[1 7 . 7]
l'angolo convesso (o non orientato) tra i (o formato dai) vettori ve w. Dalla sua
espressione vediamo che l'angolo convesso formato dai vettori v e w non dipende
dall'ordine in cui essi sono presi. Si noti che dalla definizione segue che due vet-
tori non nulli v, w sono perpendicolari se e solo se il loro angolo convesso è 7r/2.
Inoltre cosO = (v, w) se v e w sono versori.
Al lettore più attento non sarà sfuggito che la definizione [17.7] di angolo con-
vesso di due vettori, facendo ricorso alla funzione inversa della funzione cos (),
apparentemente utilizza la geometria euclidea elementare, nell'ambito della quale
le funzioni circolari vengono di solito definite. Questo rende inconsistente la nostra
pretesa di sviluppare la geometria in modo indipendente dalla geometria elemen-
tare. La contraddizione è pero solo apparente: infatti tutt le funzioni circolari
e le loro inverse possono essere definite in modo completamente autonomo dalla
geometria elementare, mediante serie di potenze. Rinviamo il lettore ai corsi di
analisi matematica per i dettagli. Per i nostri scopi sarà sufficiente sapere che
le funzioni trigonometriche e le loro inverse si possono definire in modo pura-
mente analitico, cosicché la definizione di angolo convesso di due vttori di uno
spazio vettoriale euclideo qualunque data dalla [17.7] è indipendente dalla geo-
metria euclidea elementare. L'angolo convesso così definito è un numero reale
compreso tra O e 7r, e non ha il significato geometrico che tale nozione possiede
nella geometria del piano ordinario. La relazione esistente tra questa definizione
ed il concetto di angolo che si dà nella geometria euclidea elementare è spiegata
nell'esempio 17.7. Avvertiamo il lettore che d'ora in poi faremo liberamente uso
delle principali proprietà delle funzioni trigonometriche.

2/8
Geometria euclidea
17 .7 Esempio
Sia V lo spazio dei vettori geometrici del piano ordinario, in cui supponiamo
introdotta un 'unità di misura per le lunghezze dei segmenti. Per ogni v E V la lun-
ghezza di v, denotata con I v I, si definisce come la lunghezza di uno qualsiasi
dei rappresentanti di v. Se v, w E V sono entrambi non nulli, l'angolo convesso
(o non orientato) tra v e w si definisce come l'angolo convesso () (0:5 () < 1f se
espresso in radianti) formato da rappresentanti di v e w applicati in uno stesso
punto (qui stiamo utilizzando la definizione di angolo della geometria euclidea
elementare). Queste definizioni sono state date senza utilizzare alcun prodotto sca-
lare su V. È possibile però introdurre in V un prodotto scalare in modo che le
nozioni di lunghezza di un vettore e di angolo convesso tra due vettori non nulli,
che si ottengono utilizzando il prodotto scalare, coincidano con quelle che abbiamo
appena introdotto geometricamente.
Per ogni v, w E V poniamo
{ Iv r l w r cos O
vXw=
O
se vOw,
altrimenti.
[17 .8]
Allora x definito dalla [17.8] è un prodotto scalare in V; lasciamo al lettore
la facile verifica di questo fatto.
Si osservi che se v e w sono versori allora il loro prodotto scalare coincide con
il.coseno dell'angolo da essi formato. Inoltre la norma Il v Il di un vettore v coin-
cide con la sua lunghezza 'v I . Se due vettori v, w soddisfano v X w == O e nessuno
dei due è O, allora cosO = O, cioè il loro angolo è 1r/2; quindi il concetto di per-
pendicolarità di vettori così come viene definito dal prodotto scalare [17.8] coin-
cide con quello usuale.
 --+
Siano v = OA, w == OBEV, v  o.
Sia P il piede delIa perpendicolare condotta da B sulla retta contenente i punti
D e A. È immediato verificare che il coefficiente di Fourier av(w) è il rapporto.
 
tra la lunghezza di OP e quella di DA, preso con il segno + o - a seconda che
 
OP e DA siano orientati concordemente o discordemente. La proiezione ortogo-
--+ 
naIe di w nella direzione di v è il vettore OP = av(w) v, e w - av(w) v = PB, che
è perpendicolare a v.
Consideriamo una base ortonormale {i, j} di V.
Se v = XI i + x 2 j, l'identità
IvI2=X+X
è nient'altro che il teorema di Pitagora.
Notiamo ancJ.le che la disuguaglianza di Schwarz
Ivxwl < Ivl'wl
segue immediatamente dal fatto che I cos () I < l.

17/ Prodotti scalar;
219
Se si considera lo spazio vettoriale V dei vettori geometrici dello spazio ordi-
nario in cui sia stata introdotta un'unità di misura dei segmenti, la [17.8] defini-
sce anche in questo caso un prodotto scalare in V, per il quale valgono considera-
zioni del tutto simili cl quelle fatte nel caso precedente.
Per le esigenze dell'algebra lineare e della geometria euclidea non è sufficiente
disporre del concetto di angolo non orientato di due vettori, dato dalla [17.7],
e si rende necessaria l'introduzione di una nozione di "angolo orientato". La defi-
nizione di angolo orientato, come nel caso precedente, sarà data ricorrendo alle
proprietà dei numeri reali nel modo seguente.
Definiamo in R la seguente relazione. Diremo che O, cp E R sono congrui modulo
27r, oppure che O è congruo a cp modulo 211", e scriveremo () == cp (mod. 2;r) se
O - cp = 2k1r per qualche kEZ.
Si verifica facilmente che la congruenza modulo 21f è una relazione di equiva-
lenza. Le classi di congruenza verranno chiamate angoli orientati, o semplicemente
angoli. Dalla definizione segue subito che un angolo è un sottoinsieme di R della
forma
{..., 0- 411", 0- 27r, O, 0+ 27r, 0+ 47r,...} = IO + 2k1r: kEZ)
[17 .9]
per qualche O E R. Poiché le classi di congruenza costituiscono una partizione di
R, ogni numero reale O individua un angolo [17.9] cui appartiene e uno solo. Gli
elementi di un angolo sono le sue determinazioni; per definizione, due determina-
zioni di uno stesso angolo differiscono per un multiplo intero di 27f. Ogni angolo
possiede un'unica determinazione 0 0 tale che O < (Jo < 27r, la cosiddetta determi-
nazione principale. Con abuso di linguaggio identificheremo spesso un angolo con
una sua determinazione, cioè con un numero reale, sottintendendo che due numeri
reali rappresentano lo stesso angolo se e solo se la loro differenza è un multiplo
intero di 2 1r .
Poiché ogni angolo possiede un'unica determinazione principale, si ha una cor-
rispondenza biunivoca tra l'insieme , di tutti gli angoli e l'intervallo chiuso a
sinistra [O, 211").
In precedenza abbiamo definito un angolo convesso come un numero reale nel-
l'intervallo [O, 11"]. Ad ogni angolo {O + 2k1r: kEZ} si può associare il numero reale
min { I O + 2 k 7f I: k E Z } ,
che, è immediato verificarlo, appartiene a [O, 7f], e si dice l'angolo convesso
associato.
GIi angoli si possono sommare tra loro sommandone le determinazioni: se
{O + 2k 7f: k E Z} e {11 + 2 k7f: k E Z} sono due angoli, la loro somma è l'angolo
{ () + 11 + 2 k 7f: k E Z } .

220
Geometria euclidea
Rispetto all'operazione di somma gli angoli costituiscono un gruppo !.»
il cui elemento neutro è l'angolo {2k1r: kEZ}, e in cui l'opposto dell'angolo
{O + 2 k 1r: k E Z} è (- O + 2 k 1f: k E Z } .
Per ogni O E R consideriamo la matrice
_ ( COSO - sinO )
Re- .
sin O cos O
Dall'identità (COSO)2+ (sinO)2= 1 segue che ReE SO (2). Dalle proprietà elemen-
tari delIe funzioni trigonometrich'e si deduce che per ogni (a, b) E R 2 tale che
a 2 + b 2 = 1 esiste (JE R tale che a = cosO, b = sin(J, e quindi, poiché ogni matrice
in SO(2) è della forma [2.6], al variare di (JE R la matrice Re descrive tutto SO(2).
Infine, essendo le funzioni coseno e seno periodiche di periodo 27f, si ha
Re = R." se e solo se O e q; sono due determinazioni dello stesso angolo. Da ciò
segue che associando ad ogni angolo la matrice Ro, dove O è una qualunque deter-
minazione dell'angolo, si ottiene una corrispondenza biunivoca di g su 80(2).
È facile verificare che questa corrispondenza è un isomorfismo di gruppi. Allo
scopo è sufficiente osservare che, se cp, (J E R, allora
R.pRe = R." + e,
cioè:
( CS ({J
SIn cp
- sin CP ) ( CS (J
cos cp SIn O
- sin O ) = ( COS (cp + O)
cos O sin (cp + O)
- sin(cp + O» ) .
cos(cp + O)
[17.11]
La [17.11] segue immediatamente calcolando il prodotto a primo membro e
dalle ben note formule che esprimono cos(cp + O) e sin( + O) in funzione di cos'P,
cosO, sincp, sinO.
Consideriamo ora una spazio vettoriale euclideo V di dimensione 2, in cui si(J.
fissata una base ortonormale {i, j}. Siano u(u j , u 2 ), v(v I , vJ due versori, e siano
<P, E R tali che
(u I , uJ = (cos cp, sin cp)
(VI' v 2 ) = (cos 1/;, sin 1f).
Definiamo l'angolo orientato formato dai versori u e v come l'angolo UV, una
cui determinazione è1/;- cp.
Se a, b E V sono due vettori non nulli, il loro angolo orientato è definito come

ab= a b
lIall IIbll
L'angolo orientato gode delle seguenti proprietà:
a)
b)
c)
d)
.A...
aa=O
,
 '"
ab = - ba,
 /'. /"..
ati + bc = ac,
-------- 
(Àa) (J-tb) = ab

17/ Prodolti scolari
221
per ogni terna di vettori non nulli a, b, c e per ogni A, J1 > O. Le relative verifiche
sono lasciate al lettore.
Si osservi che per la definizione di angolo orientato è stata fissata una base
ortonormale di V. In realtà la definizione dipende solo dall' orientazione di V defi-
nita dalla base fissata.
Infatti, sia {i I , 1 ' } un'altra base ortonormale, concordemente orientata con
{i, j}, e sia
( COS a
A=
.
SIlla
- sin a )
cosa
la matrice del cambiamento di coordinate da {i, j} a {i I , j I }. Se
u = cos  i + sin cp j = cos <P I i I + sin cp I j I
V = cos 1/1 i + sin if;j == cos 1/1 I i' + sin if; I j' ,
allora si ha
( cs cp ' ) = ( cs a
slncp' SIn a
e similmente
( cS l/; ' ) = ( cs a
SIn 1/; I SIn a
- sin a ) ( CSCP ) = ( cS(CP + a»
cosa Slnep sln(ep + a)
- sin a ) ( CS 1/; ) = ( cs (I/; + a» .
cosa SIn 1/; sln(if; + a)
Quindi si ha "",' - ep' =: (if; + a) - (cp + a) == 1/J - cp (mod. 21["), e pertanto le due
basi definiscono lo stesso angolo orientato tra u e v.
17.8 Complementi
l. L'insieme C dei numeri complessi è uno spazio vettoriale reale di dimen-
sione 2. La base {I, i} identifica C con R 2 associando ad un numero complesso
a + ib la coppia (a, b). Se z = a + ibE C, il modulo di z, che è definito come
I z I = VZZ = .Jlii-+ ij2,
è uguale a lI(a, b) Il. Ad ogni ZEC* possiamo associare il numero complesso
z a + i b che ha modulo l, e quindi è della forma
Izi Izl Izf
z () . . ()
= cos + 1 SIn .
I z I
L'angolo individuato da () si dice l'argomento di z e si denota con arg(z); la
determinazione principale di arg(z) è talvolta chiamata argomento principale di z.

222
Geometria euclidea
Poiché z = I z I z deduciamo da quanto detto che ogni numero corn-
I z I
plesso z  O si scrive nella forma seguente:
z = I z I (cosO + i sinO)
[17.12]
dove () è una determinazione di arg(z). La [17.12] è una rappresentazione trigono-
metrica di z.
Se z, wEC* allora si ha I zw I = I z I I w I e arg(zw) = arg(z) + arg(w). Ciò può
essere verificato per mezzo delle rappresentazioni trigonometriche nel modo
seguente. Siano O E arg(z), E arg(w). Allora:
zw = I z I (cosO + i sinO) I w I (cos + i sin cp) =
= I z I I w I (cos O cos  - sin O sin cp + i (cos O sin  + sin O cos » =
= I z I I w I [cos(O + cp) + i sin (O + cp)].
2. Consideriamo lo spazio vettoriale R[X] dei polinomi a coefficienti reali in
una indeterminata X. Per ognif(X), g(X)ER[X] poniamo
I
<1, g} = 1 1(x)g(x) dx.
-- I
Dalle proprietà dell'integrale definito segue subito che (,) è un prodotto sca-
lare. Dotato di questo prodotto scalare, R [X] è uno spazio vettori aie euclideo
che non ha dimensione finita.
Esercizi
l. Dimostrare che in uno spazio vettoriale euclideo (V, < , » sussistono le seguenti iden-
tità, per ogni v, w E V:
a) Il v + w f + Il v - W 11 2 = 211 V 11 2 + 211 w 11 2
b) IIv+wI1 2 -lIv-wIF=4(v, w).
2. In ciascuno dei seguenti casi applicare il procedimento di Gram-Schmidt per determi-
nare una base ortonormale del sottospazio vettoriale di R 3 (con prodotto scalare sta n-
dard) generato dai vettori assegnati:
a) (1, l, l), (1, O 1), (3, 2 3)
b) (1, l, l), (-1, l, -1) (1, O, l).
3. Verificare che ponendo
(x, y) = XIYI + 2X2Y2 - XIY2 - X2YI + X3Y3
si definisce un prodotto scalare su R 3 .
4. Risolvere l'esercizio 2, sostituendo al posto del prodotto scalare standard il prodotto
scalare definito nell' esercizio 3.

/8/ L  operazione di prodotto vettoriale
223
5. Verificare che ponendo
< x, y) = XIYl + 6X2Y2 - 2XtY2 - 2X2Yl + X3Y3 - X2Y3 - X3Y2 + X4Y4
si definisce un prodotto scalare su R 4 .
6. Sia V uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 4, in cui sia fissata una base orto-
normale e, e sia W il sottospazio generato dai vettori
Wl (l, l O, l), w 2 (1, - I, O, -1) w3(3 l O, l).
Determinare dim (W) trovarne una base ortonormale ed estendere tale base a una base
orto normale di V.
7. In ciascuno dei casi seguenti determinare una base ortonormale del sottospazio vetto-
riale di R 4 generato dai vettori assegnati:
a) (2, 0, 0, 1), (1, 2, 2, 3), (lO, -l, --;.-, o), (5, 2, 2, 5)
b) (-1 O, l, I), (2 l l 4), (O, l, 3, 6)
c) (1, l, -1, l») (-2) -2,2, -2), (2, l, 1,2), (3, 1 l, l)
d) (1, l, O, -1), (- 2, l, , 5), (4, 4, V3, 2), (- 6, - 3, O, 3).
8. Determinare una base ortonormale dì R 4 applicando il procedimento di Gram-
Schmidt al sistema di vettori seguente:
(O, l) O, 1), (2 l  O, l), (- l, O, O, l), (O, O, l, O).
9. Utilizzando il procedimento di Gram-Schmidt, si ortogonalizzi la base canonica di R 4
rispetto al prodotto scalare
< x, y) == 2XIYl + XIY2 + X2Yl + 2 X 2Y2 + 2X3Y3 + X3Y4 + X 4 Y3 + 2 X 4Y4.
IO. Dimostrare che i numeri complessi di modulo l costituiscono un sottogruppo del gruppo
moltiplicativo C*, isomorfo a SO (2).
Il. Sia V uno spazio vettoriale euclideo e sia v E V, v ;é o. Dimostrare che l'applicazione
Iv : V  ( v ), che ad ogni w E V associa la sua proiezione ortogonale nella direzione di
v, è lineare.
12. Sia V uno spazio vettoriale euclideo e sia v un suo vettore non nullo. L'applicazione
p", : V  v .L ,
definita da Pv(w) == w - av(w)v, si dice proiezione di V su v J . Verificare che pv è
lineare.
13. Dimostrare che se due basi {i, j} e {i I , j'} di un piano vettoriale euclideo V sono
discordemente orientate, definiscono angoli orientati opposti.
18 L'operazione di prodotto vettoriaIe
Denotiamo con V uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3, con prodotto
scalare (,). Fissiamo una base ortonormale {i, j, k} di V.

224
Geomelria euclidea
18.1 DEFINIZIONE Siano vr(x I , YI' ZI) e V 2 (X 2 , Y2, Z2) due vettori di V. Il pro-
dotto vettoriale di VI per V 2 è il vettore VI /\ v 2 (si legga "VI vettore v 2 ") le cui coor-
dinate sono
(YI Z2 - ZIY2' ZI x 2 - XI Z2, $IY2 - YI X 2 ),
cioè i minori di ordine 2, presi a segni alterni +, , +, della matrice
( XI YI ZI ) .
x 2 Y2 Z2
L'operazione di prodotto vettoriale che abbiamo introdotto associa a una coppia
ordinata di vettori un terzo vettore, cioè è un'applicazione
VxV-+V.
Poiché è stata definita utilizzando le coordinate dei vettori, dobbiamo aspet-
tarci che quest'operazione dipenda dalla scelta della base ortonormale {i, j, k}.
Studiandone le proprietà vedremo che in effetti il prodotto vettoriale dipende solo
dall' orientazione di V definita dalla base.
Il teorema seguente descrive le principali proprietà del prodotto vettoriale.
18.2 TEOREMA Per ogni scelta di VI' v 2 , V 3 EV e per ogni cER si ha
1) V I /\V 2 = -V 2 /\V I
2) v 1/\ (v 2 + V 3) = VI /\ V 2 + VI /\ v 3
3) c(v i /\ vJ = (evI) /\ V 2 = V 1 /\(CV 2 )
4) (VI' Vp/\ V 2 ) = O
5) (V 2 , VI /\ V 2 ) = O
6) Il VI/\ v 2 1f 2 == Il VI 11 2 Il v 2 11 2 - (VI' V 2 )2
7) VI 1\ v 2 == O se e solo se VI e v 2 sono paralleli.
Dimostrazione
Le dimostrazioni relative alle (1), (2), (3) e (7) sono facili e vengono lasciate
al lettore.
La (4) si dimostra osservando che (v h VI J\ v 2 ) uguaglia il determinante della
matrice
Yl ZI .
Y2 Z2
XI YI ZI
che ha due righe uguali e quindi ha determinante nullo. Nello stesso modo si dimo-
stra la (5).

18lL'operazione di prodotto veltoriale
225
Per dimostrare la (6) scriviamo esplicitamente
Il VI A v 2 11 2 = (YI Z2 - ZlY2)2 + (Zi X 2 - XI Z2)2 + (X 1 Y2 - Yl X 2 )2
e
Il VI 11 2 Il v 2 11 2 - (VI' V 2 )2 = (X + y + zf) (X + Y + z) - (X 1 X 2 + YIY2 + ZIZJ2.
Svolgendo i calcoli si verifica che i secondi membri sono uguali.
Si osservi che la (6) può anche esprimersi nella forma seguente:
IIV 1 AV 2 11 2 =
(VI' V)
(V 2 , VI)
(VI' V 2 )
(V 2 , V 2 )
18.3 COROLLARIO
8) Se VI e v 2 sono linearmente indipendenti, ogni vettore ortogonale sia a VI
che a V 2 è un multiplo scalare di V I A v 2 .
9) Se V J e V 2 sono linearmente indipendenti, {v l' V 2' V lA V 2} è una base di V
concordemente orientata con {i, j, k}.
Dimostrazione
8) Poiché VI e V 2 sono linearmente indipendenti e dim(V) == 3, si ha
dim ( { V l' V 2 } 1.) = dim ( < V l' V 2) 1.) = l.
Per la (4) e la (5), V I I\V 2 E {VI' v 2 }1., e per la (7), V 1 Av 2  o. Quindi v I Av 2
genera {VI' v 2 } 1..
9) L'indipendenza lineare di VI' V 2 , VI A v 2 segue dal fatto che V]' V 2 lo sono
e che V I l\v 2 E{v I , v 2 }1.. Poiché dim(V) = 3 si conclude che {VI' V 2 , V I AV 2 } è
una base.
Per dimostrare che {v lJ v 2 , V I A v 2 } è concordemente orientata con {i, j, k}
basta osservare che la matrice del cambiamento di coordinate da {v l' V 2' V I A V 2 }
a {i, j, k} ha determinante uguale a IIV 1 AV 2 11 2 .
Ora non è difficile accertare in che modo VI A v 2 dipende dalla scelta della base
ti, j, k}.
Se VI e V 2 sono linearmente dipendenti, il loro prodotto vettoriale è VIA v 2 = O
e quindi è univocamente determinato da V j e da V 2 -
Se viceversa VI e v 2 sono linearmente indipendenti, Il vIA v 2 11 è univocamente
individuato dalla proprietà (6), e vIA v 2 appartiene a {v j , v 2 } 1. , che ha dimensione
1. Vediamo dunque che una diversa scelta della base può cambiare v J A V 2 nel suo
. opposto, e, per la proprietà (9») questo avviene se e solo se le due basi non sono
concordemente orientate. In conclusione VI A v 2 dipende solo dall'orientazione
dello spazio V definita dalla base {i, j, k}.
La proprietà (6) ha una interessante interpretazione, data dalla seguente pro-
pOSIZIone.
J6

226
Geometria euclidea
18.4 PROPOSIZIONE Supponiamo che v e w siano linearmente indipendenti,
e scriviamo v = a + b, dove a è parallelo a w e b è ortogonale a w. Allora
UvAwll = IIbli Uwll.
Dimostrazione
Si ha, utilizzando le proprietà (2), (7) e (6):
IIvAwII = U(a + b)Awll = Il (aAw) + (bAw) Il = IIbAwll = IIbli UwlL
Si noti che nel caso in cui V è lo spazio dei vettori dello spazio ordinario, la
proposizione 18.4 afferma che JI v A w Il è uguale all'area del parallelogramma
costruito sui vettori v e w (fig. 18.1).
Dati VI' V 2 , V 3 EV, il prodotto scalare (VI' V 2 AV 3 > è detto prodotto misto di
VI' v 2 e v 3 .
Se le coordinate dei vettori dati sono rispettivamente (Xl' Yl' ZI)' (X 2 , Y2' Z2),
(X 3 , Y), Z3)' si ha
XI YI ZI
(VI' V 2 AV» = X 2 Y2 Z2 .
X 3 Y3 z)
Da quest'espressione di (VI' v 2 A V 3 > segue immediatamente che scambiando
fra loro due dei fattori il prodotto misto cambia di segno e che (VI' V 2 !\V 3 > = O
se e solo se VI' V 2 e V 3 sono linearmente dipendenti.
Concludiamo il paragrafo con un'identità dovuta a Lagrange.
18.5 PROPOSIZIONE (IDENTITÀ DI LAGRANGE) Per ogni v, w, a, bEV si ha
(VAW, aAb) =
(v, a)
(w, a)
(v, b>
(w, b)
[18.1]
b
a
w
Figura 18.1

/9/Spazi euclidei
227
Dimostrazione
Se le coordinate dei vettori dati sono (VI' V 2 , V 3 ), (Wl' W 2 , W 3 ), (al' a 2 , a 3 ),
(b I , b 2 , b 3 ), il primo membro della [18.1] è
V 2 V 3
a 2 a 3
b 2 b 3
VI V 3
al a 3
VI V 2
al a 2
+
+
W 2 W 3
Wl W 3
b l b 3
Wl W 2
b l b 2
il secondo membro è
(vla l + v 2 a 2 + v 3 a 3 ) (wlb l + w 2 b 2 + w 3 b 3 ) - (v1b l + v 2 b 2 + v 3 b 3 ) (Wl al +
+ w 2 a 2 + w 3 a 3 ).
L'identità [18.1] si verifica svolgendo i calcoli e confrontando le due espressioni.
19 Spazi euclidei
Sia E uno spazio affine reale con associato spazio vettori aie V. Diremo che
E è uno spazio euclideo se in V è assegnato un prodotto scalare definito positivo,
cioè se V è uno spazio vettoriale eucIideo. Useremo la notazione (v, w) per il
prodotto scalare di due vettori v e w in V.
Lo spazio affine numerico An(R) diventa uno spazio euclideo se in Rn si asse-
gna il prodotto scalare standard. Questo spazio euclideo, denotato con Ell, viene
chiamato l'n-spazio eue/ideo numerico. Il suo spazio vettoriale associato è !'n-
spazio vettoriale euclideo.
Un sistema di coordinate Oe I ... C n nello spazio euclideo E tale che {e I , ..., e n }
sia una base ortonormale di V si chiama sistema di coordinate cartesiane oppure
riferimento cartesiano. Nello studio degli spazi euclidei è naturale utilizzare sistemi
di coordinate cartesiane: ciò facilita notevolmente i calcoli.
È opportuno notare sin d'ora che la formula del cambiamento di coordinate
da un riferimento cartesiano a un altro ha una forma particolare, dovuta al fatto
che le corrispondenti basi dei vettori sono ortonormali. Siano infatti Oe l ... e n
e O I e: ... e/; due riferimenti cartesiani in E, e sia PE E un punto di coordinate
x = t(x I ... x n ) rispetto al primo riferimento e x' = l(X(... x;) rispetto al secondo.
Allora si ha
x'=Ax+c,
dove A = M e J e (l v ) è una matrice ortogonale e c = t (Cl... C n ) è individuato, come
sappiamo, dall'identità

0'0 = cle: + ... + cne;.
Nel caso n = 2, cioè in cui E è un piano euclideo, la matrice A è di una delle

228
Geometria euclidea
due forme [2.6] o [2.7] a seconda che i due riferimenti siano concordmente o
discordemente orientati.
Utilizzando il prodotto scalare definito nello spazio vettoriale associato V, è
possibile introdurre nello spazio euclideo E nozioni di natura metrica come distanze,
angoli, aree.
19.1 DEFINIZIONE Siano P e Q punti dello spazio euclideo E. La distanza
tra P e Q, indicata con d(P, Q), è

d(P, Q) = IIPQ Il.
Se in E è fissato un sistema di coordinate cartesiane Oel ... e n , e se i punti dati
sono P(X 1 , ..., X n ) e Q(yu ..., Yn) rispettivamente, allora si ha
d(P, Q) =  (YI - X I )2 + (Y2 - X 2 )2 + ... + (Yn - xn)2.
Nel caso in cui E = Va' dove V è uno spazio vettoriale euclideo, si ha
d(v, w) = IIw - vII.
19.2 PROPOSIZIONE La distanza gode delle seguenti proprietà:
SMI d(P, Q) 2: O per ogni P, QE E e d(P, Q) = O se e solo se P = Q.
SM2 d(P, Q) = d(Q, P) per ogni P, QEE.
SM3 d(P, Q) + d(Q, R) > d(P, R) per ogni P, Q, REE.
. -
La proposizione segue immediatamente dalle proprietà del prodotto scalare.
Le tre proprietà della proposizione 19.2 possono essere prese come assi orni per
definire una classe più generale di spazi, gli "spazi metrici".
Precisamente, uno spazio metrico è un insieme X su cui sia definita una distanza,
cioè un' applicazione d: X x X -+ R che soddisfi alle tre condizioni SM l, SM2, SM3.
La 19.2 afferma che, con la distanza definita dalla 19.1, ogni spazio euclideo
è uno spazio metrico. Non è vero il viceversa: in generale uno spazio metrico non
è uno spazio euclideo, e infatti gli spazi metrici sono oggetti molto più generali
la cui geometria non studieremo in questo corso. Per rendersi conto della loro
maggior generalità si pensi che ogni sottoinsieme di uno spazio metrico è ancora
uno spazio metrico; in particolare tutti i sottoinsiemi di uno spazio euclideo E
sono spazi metrici.
È anche possibile definire la nozione di angolo convesso di due rette utilizzando
quella di angolo convesso di due vettori, definito in V grazie al prodotto scalare.
Data una retta  in E, un vettore di direzione di  di lunghezza 1 si dirà
versore di . Ci sono esattamente due versori di , l'uno opposto dell'altro.
Per definire l'angolo convesso fra due rette date  ed I dobbiamo fissare

19/5pazi euclidei
229
vettori di direzione a e al di  e di l rispetivamente. Definiamo quindi }' an-
golo convesso <P tra  ed l come l'angolo convesso tra a e al' cioè mediante
le condizioni seguenti:
. (a, al)
O < cp < 1f, cos cp == ·
Il a Il Il al Il
Questa definizione dipende dalla scelta di a e di al: l'angolo cp così definito
viene sostituito da 1r - cp se uno dei due vettori viene moltiplicato per uno scalare
negativo. Si noti che anche per definire l'angolo convesso di due rette nella geo-
metria euclidea elementare è necessario fissare un verso di percorrenza su ognuna
di esse, che è quanto fissarne vettori di direzione.
Due rette in E si dicono ortogonali (o perpendicolari) se il loro angolo con-
vesso è 1f/2, cioè se un (e quindi ogni) vettore di direzione di una delle due rette
è ortogonale a un (e quindi ad ogni) vettore di direzione dell'altra.
È possibile definire angoli e distanze tra sottospazi di uno spazio euclideo E
in casi più generali; non è però nei nostri scopi sviluppare una teoria generale:
intendiamo piuttosto limitarci a considerare spazi euclidei di dimensione 2 o 3,
i quali, dovrebbe ormai essere chiaro al lettore, possiedono essenzialmente tutte
le proprietà geometriche del piano e dello spazio ordinari.
Sia E un piano euclideo in cui sia fissato un riferimento cartesiano Oij. Consi-
deriamo una retta , avente equazione cartesiana
AX + BY + C = o.
[19.1]
Ricordando che a( - B, A) è un vettore di direzione di , si deduce che i vettori
a
:1= U = :1=
Il a Il
di coordinate
 (  ' A2B2 )
sono i versori di .
Un vettore non nullo m si dice ortogonale (o perpendicolare, o normale) a 
se m è ortogonale a un (e quindi ad ogni) vettore di direzione di . È evidente
che, essendo dim(V) = 2, due vettori qualunque ortogonali a  sono fra loro paral-
leli. Inoltre esistono esattamente due versori, l'uno opposto dell'altro, che sono
normali a , e si dicono versori normali a .
Poiché a( - B, A) è un vettore di direzione di , il vettore n(A, B) è ortogo-
nale a , e quindi i versori normali a  sono
:i: v = :f:
n
IInll

230
Geometria euclidea
e hanno coordinate
:i: (  A 2  Ji2 ·  A 2 -[j2 ).
Dato un punto Q(a, b) E , un'equazione cartesiana di  si scrive nella forma
A(X - a) + B(Y - b) = o.
[19.2]
Poiché la [19.2] è individuata da a, b, A, B, vediamo che  è individuata da
un suo punto Q(a, b) e da un vettore normale n(A, B): una retta in E può quindi
essere individuata assegnando un suo punto e un vettore ad essa perpendicolare.
Se  ed l sono due rette di equazioni cartesiane [19.1] e
AIX + BI Y + Cl = O
[19.3]
rispettivamente, il loro angolo convesso cp, riferito ai vettori di direzione a( - B, A)
e al ( - B 1 , A l)' è definito dalle condizioni O < cp < 7f e
(8, al)
cos cp =
Il a Il Il al Il
AA I + BB 1
 A 2 + B 2  A 7 + Bf ·
In particolare  ed I sono perpendicolari se e solo se
AAI +BB] =0.
Supponiamo data una retta  di equazione cartesiana [19.1], e un punto
Po(x o , Yo) E E. Consideriamo la retta l che passa per Po ed è ortogonale a ; evi-
dentemente questa retta esiste ed è unica. Poiché l non è parallela a , essa ha
uno e un solo punto N in comune con : N è il piede della perpendicolare con-
dotta da Po a .
La distanza d(Po, N) si chiama distanza di Po da , e si denota con d(Po, ).
È possibile calcolare d(Po, ) trovando un'equazione di t- I , e poi le coordi-
nate di N, e infine calcolando d(Po, N). Un metodo più efficiente è il seguente.
19.3 PROPOSIZIONE La distanza d(Po, ) di un punto Po(x o , yo)EE dalla
retta  di equazione [19.1] è data dalla seguente formula:
, (Ax o + Byo + C) r
d(po. t-) = -J -- ·
A 2 + B 2
Dimostrazione
Si osservi che se v è un versore normale a t- e se Q(a, b) è un punto qualsiasi
di , allora
---+
d(Po, ) = I (v, QPo> , ,
--+
cioè d(Po, ) eguaglia il valore assoluto del prodotto scalare (v, QPo> (fig. 19.1).

/9/Spazi euclidei
23/
Po
v
Q
N

."igura 19.1
Scegliamo v ( A , B ) come versore normale; poiché  ha
-V A 2 + B 2 -V A 2 + B 2
coordinate (x o - a), (Yo - b),-tenendo presente che C = - (Aa + Bb), otteniamo
I A (x o - a) + B(yo - b) I
d{Po, ) =
.JA2" + B 2
I (Ax o + Byo + C) I
..J/f2 + B 2
Se  ed ' sono due rette parallele di E, la loro distanza d(, ') è per
definizione uguale a d(P, /), dove P è un punto qualunque di . Per calcolare
d(, ') è sufficiente trovare un punto PE  e applicare la formula della proposi-
zione 19.3.
Sia E uno spazio euclideo di dimensione 3 con spazio vettoriale associato V.
Supponiamo fissato in E un sistema di coordinate cartesiane Oijk.
Consideriamo un pino ft in E, di equazione cartesiana
AX +BY + CZ +D= o.
[19.4]
Un vettore m si dice ortogonale (o perpendicolare, o normale) a ftse è ortogo-
nale ad ogni vettore della giacitura di ft. Se inoltre m è un versore, esso viene
detto versore normale a ft ·
Poiché dim{E) = 3, due qualsiasi vettori normali a ft sono tra loro paralleli;
quindi ft possiede esattamente due versori normali.
Fissiamo un punto Po(x o , Yo, Zo)Eft e consideriamo l'equazione cartesiana
dift
A (X - xo) + B(Y - Yo) + C(Z - Zo) = O. [19.5]
---+
Ogni vettore appartenente alla giacitura di ft è della forma PoP, PEft;
quindi dalla [19.5] vediamo che il vettore n(A, B, C) è normale a ft. Ne dedu-
ciamo che i due vettori  v:= ::I:: nl Il n Il di coordinate
::i:: ( v'A 2 + 2 + C 2 '
B
-V A2 + B 2 + C'l. '
v' A 2 + 2 + C 2 )
sono i versori normali a ft.

232
Geometria euclidea
La [19.5] mostra inoltre che un qualsiasi piano è individuato da un suo punto
e da un vettore ad esso perpendicolare.
Passeremo ora in rassegna le principali formule che permettono di calcolare
distanze e angoli in E.
Angolo convesso tra due piani
L'angolo convesso fra due piani di E può essere definito utilizzando i loro vet-
tori normali. Siano ft e ftI due piani, di equazioni cartesiane [19.4] e
AIX + B1Y + CJZ + DI == O.
[19.6]
L'angolo convesso di ft e ftl è l'angolo conve9SO tra i vettori D(A, B, C) ed
DI (AI' B 1 , CI)' cioè è l'angolo q; definito da O < <P < 1r e da
(o, DI) AA I + BEI + CC I
cos q; = - [19. 7]
Il D Il Il D) Il  A 2 + B 2 + ci '" A i + Bi + Ci .
Si osservi che la definizione di cp dipende dai vettori n ed DI' e quindi dalla
scelta delle equazioni [19.4] e [19.6]. Moltiplicando una o l'altra delle [19.4] e [19.6]
per un fattore di proporzionaIità negativo, <P si cambia in 1f - q;.
Se <P = 7(/2 i due piani si dicono perpendicolari od ortogonali. Ciò avviene se
e solo se
AA 1 + BB I + CC I = o.
Angolo tra una retta e un piano
Sia ft un piano di equazione [19.4], e sia  una retta con vettore di direzione
a(l, m, n). L'angolo tra ft ed  è l'angolo una cui determinazione è
cp=1/;-,
2
dove 1/; è l'angolo convesso tra i vettori n (A, B, C) e a. Quindi q; è definito dalle
condizioni
1r 7f
-- < q; < -
2 2
e
. AI + Bm + Cn
Sin <P =  -- .
V A 2 + B 2 + Cl v 1 2 + m 2 + n 2
Se cp =  7r/2, allora ft ed  si dicono perpendicolari (od ortogonali).
Si noti che ponendo sin cp = O si ritrova la condizione di parallelismo tra ft ed 
Al + Bm + Cn = O
già data nella proposizione 10.2.

19/5pazi euclidei
233
Distanza di un punto da un piano
La distanza di un punto da un piano si definisce in modo simile al caso della
distanza punto-retta in un piano euclideo.
Sia ft il piano, di equazione [19.4}, e sia Po(x o , Yo, zo) E E il punto. Conside-
riamo la retta  passante per Po e perpendicolare a ft e denotiamo con
N ft n  il piede della perpendicolare condotta da Po a ft. Definiamo la
distanza di Po da ft come
d(Po, ft) = d(Po, N).
Si dimostra che
I (Ax o + Byo + CZo + D) I
d ( P. o h, ) == .
'/C/  A2+B2+C2
La dimostrazione è simile a quella della proposizione 19.3 ed è lasciata al lettore.
Distanza tra una retta e un piano paralleli
Se  e ft sono rispettivamente una retta e un piano paralleli, la loro distanza
d(, ft) è per definizione d(P, ft), dove P è un qualsiasi punto di . Per calco-
lare d(, ft) è sufficiente trovare le coordinate di un punto PE  e applicare la
formula che dà d(P, ft).
Distanza lii un punto da una retta
Sia  una -retta e sia PoE E. Consideriamo il piano ft passante per Po e per-
pendicolare a  e sia N =  n ft. La distanza di Po da  è definita come
d(Po, ) = d(Po, N).
Se  passa per il punto Q(a, b, c) e ha vettore di direzione a(l, m, n), e
. .
Po(x o , Yo, zo) E E, (illora si ha la seguente formula:
I Yo m b Zo  C 2 + Xo  a Zo  c 2 + Xo  a Yo m b 2
d(Po, ) 
 12 + m 2 + n 2
Infatti
-+  
QPo = QN + NP o ,
 -+
e QN è parallelo ad a, mentre NP o è perpendicolare ad a.
Dalla proposizione 18.4 si deduce che
---+
 Il aAQP o Il
d(Po, ) = Il NP o Il == .
lIali
Esplicitando l'uguaglianza si ottiene 1'asserto.

234
Geometria euclidea
Distanza Ira due. rette
Date due rette non parallele  ed 1 in E, definiamo la loro distanz, che
denoteremo con d(, 1)' nel modo seguente.
Supponiamo che  passi per il punto Q(a, b, c) e abbia a(l, m, n) come vet-
tore di direzione, e che l passi per Q] (al' b I , CI) e abbia vettore di direzione
al (11' mi' n I ).
Osserviamo che esiste una e una sola coppia di punti, NE  ed N 1 E I' tali che
la retta che li contiene sia perpendicolare sia a  che a l. Infatti le due condi-
zioni di perpendicolarità sono

(NN I , a) = O
[19.8]

(NN t , al) = O
e scrivendo
 
ON= OQ + ta,
-+ -;
ON I = OQI + tI al'
si ottiene
 
NN I = QQI + ti al - la
e quindi le [19.8] diventano

(QQI + tI a] - la, a) == O

(QQI + t l 8 1 - ta, al) = O
cioè:

(QQI' a) + tI (al' a) - t(a, a) = O

(QQI' al) + tI (al' al) - t(a, al) = O.
[19.9]
Poiché a ed al sono linearmente indipendenti, per il teorema 18.2(6) si ha
(al' a) (a, a)
= n a 1\ al Il 2  O.
(a., al) (a, al)
Quindi il sistema [19.9] ammette una e una sola soluzione (t, tI)' e ciò signi-
fica appunto che esiste un 'unica coppia (N, N 1 ) che soddisfa alla condizione
voluta.
La retta J.., passante per N e per N I si chiama perpendicolare comune a 
e a l (fig. 19.2).
Ciò posto, definiamo la distanza di  da I come
d(, I) = d(N, N 1 ).

/9/Spazi euclidei
235
.J.,
Q1 N 1
8 1 t- 1
Ib
Figura 19.2
Si ha la seguente formula che permette di calcolare agevolmente la distanza
di due rette assegnate:
a - al b-b c - CI
I
l m n
d(t-, t- I ) = Il mi n} [19.10]
I :] n 2 l n 2 l m 2
+ +
n l Il n} Il mI
La [19.10] si dimostra nel modo seguente.
Sia b un versore della perpendicolare comune a t- e a I. Si ha
 --+  ---+-
(b, QQI) = (b, QN) + (b, NQI) = (b, NQI)
e quindi
 
d(t-, t- I ) = I (b, NQI) I == I (b, QQI) I .
D'altra parte, poiché b è ortogonale sia ad a che ad aH si ha
b = ::f::
aAa l
Il aAa) Il
Quindi
--+
I (aAa H QQ}) I
d (t-, t-t) =
lIaAa} Il

236
Geomelria euclidea
Esplicitando quest'uguaglianza si ottiene la formula cercata.
Per trovare equazioni cartesiane della retta J-, perpendicolare comune a  e
a I si procede nel modo seguente.
Conosciamo aAa l , vettore di direzione di , le cui coordinate denotiamo con
({31' (J2' (33). Denotando con P(X, Y, Z) un punto di coordinate indeterminate,
e imponendo le condizioni di complanarità di  e di I con la retta passante
per P.e avente vettore di direzione aAa l otteniamo le due seguenti equazioni:
X-a Y-b Z-c
{31 {J2 {33 = O,
l m n
X-a Y- b 1 Z-c
I I
{Jl {32 (13 = o.
Il mi n]
Poiché queste equazioni rappresentano due piani distinti e sono soddisfatte. dai
punti di J-" esse sono equazioni cartesiane di J".
19.4 Complementi
l. Supponiamo fissato in uno spazio euclideo E un riferimento carte siano
Del." e n , ed un punto C(c l , ..., c n ). Sia r> O.
La sfera di centro C e raggio r è il sottoinsieme S (C, r) di E costituito dai punti
P(x I , ..., x n ) tali che d(C, P) = r, cioè tali che
(X I -C I )2+... +(xn- c n)2:=r 2 .
[19.11]
Il disco di centro C e raggio r è il sottoinsieme D (C, r) di E costituito dai punti
P(x l , ..., x n ) tali che d(C, P) < r, cioè tali che
(XI - C I )2 + ... + (x n - C n )2 < r 2 .
Nel caso in cui E sia un piano, S(C, r) e D(C, r) sono la circonferenza e il
cerchio rispettivamente, di centro C e raggio r.
Se dim(E) = I, D(C, r) è il segmento di lunghezza 2r e di centro C, ed S{C,
r) è l'insieme costituito dai suoi estremi.
Quando E = En, si usano i simboli sn-l e D n per denotare S(O, 1) e D(O, 1)
rispettivamente.
Dalla [19.11] deduciamo che S(C, r) è l'insieme dei punti di E le cui coordinate
sono soluzioni dell'equazione
(X} - C I )2 + ... + (X n - C n )2 = r 2
[19.12]
nelle indeterminate XI' Xl' ..., Xn. La [19.12] è detta equazione cartesiana della

19/5pazi euclidei
237
sfera S(C, r). Portando r 2 a primo membro e svolgendo i calcoli troviamo che
la [19.12] è equivalente all'equazione
XT+ ... +X;+dIX) + ... +dnXn+d=O
[19.13]
dove di == - 2c;, i = 1, ..., n, d = ci + ... + c - r 2 . A causa della loro defini-
zione e del fatto che r 2 > O, i coefficienti d), ..., d n , d della [19.13] soddisfano la
condizione
d 2 d 2 d 2
I 2 n O
-+-+... +--d> .
4 4 4
[19.14]
Viceversa, un'equazione della forma [19.13] i cui coefficienti soddisfano la con-
dizione [19.14] è equazione cartesiana di una sfera S, il cui centro C(c I , ..., c n )
e raggio p sono
Ci = - ; , r = -J :i + : + ... + : - d .
Nel caso particolare n = 2, la [19.13] è l'equazione di una circonferenza e ha
la forma, nelle indeterminate X, Y,
 + f2 + di X :+ d 2 Y + d = O
d d . ( dI
con - + - - d > o. Il centro della cIrconferenza è C - - ,
442
tre il raggio è
I d 
r=4+4-d.
Le circonferenze verranno considerate nuovamente nel capitolo quarto da un
punto di vista diverso, come casi particolari di curve piane di secondo grado
("coniche").
[19.15]
d 2 )
-2 ' men-
2. Sia E un piano euclideo in cui sia assegnata un'orientazione (un piano eucli-
deo orientato) e siano J-, ed J-,' due semirette aventi origine nello stesso punto
o. Detti a e a' vettori di direzione di J-, ed J, I rispettivamente, l'angolo aa' si

dice l'angolo orientato tra J"., ed J-,' e si denota con .t.-.t.-'.
3. In un piano euclideo orientato E fissiamo una semi retta J-, di origine o.
Per ogni punto P  O consideriamo la semiretta J-,p di origine O e vettore di
direzione oP. Lo scalare positivo p == Il oP Il, e l'angolo O = U p si dicono coor-
dinate polari di P, e rispettivamente il modulo e l'anomalia di P rispetto alla semi-
retta .t.-. Diremo che .t.- definisce in E un sistema di coordinate polari.
Le coordinate polari (p, fJ) di un punto P # O lo individuano univocamente.
Infatti fJ individua una semiretta J-,o di origine O, e P è il punto di intersezione
di J-,8 con la circonferenza di centro O e raggio p (fig. 19.3).

238
Geometria euclidea
Quindi per ogni coppia di numeri reali (p, 8), con p > O, esiste un unico punto
p le cui coordinate polari sono p e l'angolo definito da 8. Si conviene di estendere
le coordinate polari anche al punto O assegnandogli modulo p = O ed anomalia
indeterminata.
Consideriamo il riferimento cartesiano Oij appartenente aIl'orientazione asse-
gnata in E, avente origine in O e tale che i sia il versore di direzione di .J, (Oij
è univocamente individuato da queste condizioni). Sia P "# O un punto avente coor-
dinate polari (p, 8) e coordinate cartesiane (x, y). Allor.a si ha
x = pcos(}
[19. 16]
y = psin(}.
Viceversa:
p = .vx 2 + yi
() = E(Y) arccos ( x ) ,
-v x2 + y2
in cui si è denotato con E(Y) = ::I:: 1 a seconda che Y > O oppure y < O (con questa
formula si individua una determinazione dell'angolo () compresa tra - 1r e 11").
Le [19.16] e [19.17] sono le formule di passaggio da coordinate polari a coor-
dinate cartesiane e viceversa. La verifica della validità di tali formule è lasciata
al lettore.
[ 19. l 7]
4. Sia E uno spazio euclideo di dimensione n, Oe l ... C/1 un riferimento carte-
siano, e siano Ao(a?, ..., a), AI (a, ..., a), ..., An(af, ..., a) E E punti indipen-
denti. Il volume dell'n-parallelepipedo determinato da Ao, Al' ..., An è definito
come I det (M) I, dove
a I - a O al - a O
I I 2 2
ai - a? a - a
M=
a" - a O a - a
I I
al - a O
n n
2 O
alI - a n
a - a?z I
In particolare, per n = l, 2, 3 parleremo di lunghezza, area, volume di un seg-
mento, di un parallelogramma, di un parallelepipedo rispettivamente. La lunghezza
di un segmento A (a)B(b) di una retta euclidea è J b - a I, quindi coincide con
d(A, B).
L'area del parallelogramma individuato da A (I' aJ, B(b l , b 2 ), C(c I , c:J in un
piano euclideo è
b l - al b 2 - a 2
CI - a] c 2 - a 2

/9/Spazi euclidei
239
.J.,
Figura 19.3
Il volume del parallelepipedo individuato da A (al' a 2 , a 3 ), B(b h b 2 , b 3 ),
C(c h c 2 , c 3 ), D(d I , d 2 , d 3 ) in uno spazio euclideo di dimensione 3 è
b I - al b 2 - a 2 b 3 - a 3
CI - al c 2 - a 2 c 3 - a 3 .
dI - al d 2 - a 2 d 3 - a 3
Osserviamo che la definizione di volume di un n-parallelepipedo non dipende
dalla scelta del riferimento cartesiano Oe I ... e n . Infatti le righe della matrice M
  
sono le coordinate dei vettori AoAI' AoA2' ..., AOAn rispetto alla base leI' ..., e n };
 
se OfI ...f n è un'altro riferimento cartesiano, le coordinate di AoAI' AoA2' ...
---+
..., AOAn rispetto alla base {f I , ..., fn} si ottengono dalle precedenti moltiplican-
dole per una matrice ortogonale. Quindi la matrice N analoga di M nel riferimento
OfI ... f n si ottiene da M moltiplicandola a destra per una matrice ortogonale, che
ha determinante uguale a ::f:: 1; dunque
I det(M) I = I det(N) I.
5. Sia E uno spazio euclideo. Un sottoinsieme S C E si dice limitato se è conte-
nuto in un disco, cioè se esistono C E E ed r > O tali che S C D (C, r).
Un poliedro convesso è un sottoinsieme limitato di E che non è contenuto in
un sottospazio affine proprio di E e che è l'ÌntersezÌone di un numero finito di
semi spazi. Un poliedro convesso è un insieme convesso perché lo è ogni semispa-
zio. La dimensione di E è detta dimensione del poliedro. Se dim(E) == 1 si ottiene
un segmento. Se dim(E) = 2, 3 un poliedro convesso si dice poligono convesso
e solido convesso rispettivamente.
Lasciamo al lettore il compito di introdurre in modo appropriato tutte le nozioni
elementari relative ai poligoni convessi, come quelle di vertice, lato e angolo, di
n-agono regolare, di lati adiacenti o consecutivi ecc. in analogia con quanto vien
fatto in geometria euclidea elementare.
Supponiamo dim(E) = 3 e sia Il C E un solido convesso. Se £ è un piano di
E tale che Il sia contenuto in uno dei due semispazi definiti da £, allora abbiamo

240
Geometria euclidea
le seguenti possibilità:
£(1 II =0;
£(1 II è un punto, che si dice vertice di II;
£(1 n è un segmento, che si dice spigolo (o lato) di II;
£(1 n è un poligono, che si dice faccia di n.
Dal fatto che n è intersezione di un numero finito di semispazi segue che esso
possiede un numero finito v di vertici, s di spigoli, ed f di facce. È facile vedere
che ogni spigolo è lato di due facce e ogni vertice è vertice di almeno tre facce
e di altrettanti spigoli.
Per ogni solido convesso n sussiste la seguente relazione tra v, s ed f:
v - s + f = 2.
[19.18]
Questa notevole identità era già nota a Cartesio nel 1640, ma la sua prima dimo-
strazione fu data da Eulero nel 1752.
Daremo una dimostrazione della [19.18] che è simile a quella originale di Eulero.
Per semplificare l'argomentazione supporremo che sia possit:ile costruire il solido
II partendo da una sua faccia e aggiungendone poi una alla volta in modo che
ogni nuova faccia che si aggiunge abbia solo Iati adiacenti in comune con quelle
precedentemente inserite.
Si osservi che necessariamente f > 3. Ad ogni stadio del procedimento deno-
tiamo con  il numero v - s + f - l. Per una sola faccia si ha q, = o. Procediamo
per induzione sul numero di facce inserite, dimostrando che finché il poliedro non
è stato completato, si ha cP == o. Supponiamo che ciò sia vero a un dato stadio
della costruzione in cui restano da inserire almeno due facce ancora. Aggiungiamo
una nuova faccia F avente p lati, di cui q consecutivi siano in comune con le pre-
cedenti; pertanto q + l vertici di F appartengono alle precedenti facce. Abbiamo
quindi aggiunto l nuova faccia, p - q nuovi spigoli e p - q - l nuovi vertici. Deno-
tando con cP' la quantità corrispondente di cP relativa alla nuova configurazione,
si ha
cp' = cI> + (p - q-I) - (p - q) + l = CP = O,
come asserito. Osserviamo che quando si aggiunge l'ultima faccia non si modi-
fica né il numero dei vertici né quello degli spigoli, mentre il numero delle facce
aumenta di l. Quindi per il si ha cP == 1, cioè la [19.18].
Gli analoghi in dimensione 3 dei poligoni regolari sono i "solidi regolari". Un
solido regolare è un solido convesso avente per facce poligoni regolari tutti ugali
tra loro. È un fatto notevole che, diversamente da quello che avviene per i poli-
goni regolari, esistono solo un numero finito, precisamente 5, di classi di similitu-
dine di solidi regolari (per la definizione di similitudine cfr. 20.10(2»: il tetrae-
dro, l'ottaedro, il cubo, il dodecaedro, l'icosaedro (fig.. 19.4).

19/5pazi euclidei
T etraedro
Dodecaedro
Ottaedro
t
I
1
I
I
I
)
...L---
,..
,..
.,.,
,..
241
Icosaedro
Figura 19.4
Questi solidi erano noti fin dall'antichità. Poiché la scuola platonica se ne inte-
ressò, in particolare Platone ne parla nel Timeo, essi vengono anche chiamati solidi
platonici; Teeteto li studiò sistematicamente attorno al 380 a.C. e di essi tratta
il XIII libro degli Elementi di Euclide. (Per maggiori dettagli rinviamo il lettore
a [7]).
Esercizi
Cubo
1. Sia E uno spazio euclideo in cui sia fissato un riferimento cartesiano Del." e n , e sia
H C E un iperpiano di equazione
al Xl + ... + anX n + c == o.
Un vettore m si dice ortogonale ad H se è ortogonale ad ogni vettore della giacitura
di H. Dimostrare che:
a) due vettori ortogonali ad H sono proporzionali
b) il vettore m(a), ..., a n ) è ortogonale ad H.
2. In ciascuno dei casi seguenti calcolare la distanza del punto P dalla retta  in E2:
a) P=(l, -3), :2X- Y+I =0
b) P == (1,4), 4X - 3 Y + 7 = O.
16

242
Geometria euclidea
3. Determinare equazioni cartesiane della retta J-" di E 3 passante per il punto
p = (1, O, - l), incidente la retta  di equazioni X + Y - 2 = 2 Y - Z = O e ad essa
perpendicolare.
4. Determinare un'equazione del piano Iv di E 3 contenente la retta  di equazioni
X-l Y - 2 Z l al . d . . 2X 2 Y Z O
= = -, e ortogona e plano 0/ l equazIone + + = .
2 3 4 p
5. Determinare equazioni cartesiane della retta  di E 3 passante per il punto P = (1,2, l)
e incidente perpendicolarmente la retta
J", :X + 1 = Y - Z = X + Z.
6. Determinare equazioni cartesiane della retta  di E 3 passante per il punto
. X+l Z
p = (3, 2, l), perpendIcolare alla retta J-" : = Y - 2 = - - e incidente la
3 2
retta t:X - 3 Y - Z = X + 7 Y + Z - 6 = o. Calcolare la distanza tra  ed J-" .
7. Determinare il coseno dell'angolo convesso formato dalle due seguenti rette di E3:
 :X - 3 Y + Z - 2 = O = X - 5 Y + 2Z + 2
J-" :2X - Y + Z + 1 = O = X - 2 Y + 2Z - 3.
8. Determinare equazioni cartesiane delle rette di E 3 contenenti il punto P = (1, l, l),
parallele al piano Iv di equazione: Y + V2Z -1 = O, e formanti con l'asse Xun angolo
convesso uguale a 1r /3.
9. In ciascuno dei seguenti casi, dopo aver verificato che le rette  ed J", di E 3 sono
sghembe, trovarne distanza e perpendicolare comune:
a)  :2X - Y - Z -1 = O = X + Y - 2Z
J-,,:2X+ Y-Z+2=0= Y+3Z-2
b) : Y + X - 3 = O = X - Z + l
J-" :x = l - t, Y = 3 + 3t,.z = l - 2t.
lO. Determinare equazioni cartesiane delle circonferenze di E 2 di centro e raggIo
assegnati:
a) C = (3, - 4)
b) C = (I, 2)
r=l
r=
l
r=-.
2
c) C=(l, -1)
t 1. Determinare centro e raggio delle circonferenze di E 2 di equazioni:
a) X 2 + y2 - 6X + 8 Y = O
b) X 2 + y 2 + 8X -lO Y + 32 = O.
12. Sia E uno spazio eucIideo. Dimostrare che un disco di E è un insieme convesso, e che
una sfera non è convessa. Dimostrare inoltre che il centro di un disco, o di una sfera,
è il suo unico centro di simmetria.

20/0peratori unitari e isometrie
243
20 Operatori unitari e isometrie
Sia V uno spazio vettoriale eucIide con prodotto scalare (, ). In questo para-
grafo supporremo che V abbia dimensione finita.
Un operatore T: V -+ V si dice unitario se
(T(v), T(w» = (v, w)
[20.1]
per ogni v, w E V. A parole la condizione [20..1] si esprime dicendo che T preserva
il prodotto scalare..
20.1 TEOREMA Sia T: V -+ V un'applicazione. Le seguenti condizioni sono
equivalenti:
l) T è un operatore unitario.
2) T è un operatore tale che IIT(v)1I = Il v Il per ogni vEV.
3) T(O) = O e IIT(v) - T(w) Il = Ilv - wll per ogni v, wEV.
4) T è un operatore, e per ogni base ortonormale {e 1 , ...., e n } di V, {T(e I ), ...
..., T(e n )} è una base ortonormale.
5) T è un operatore, ed esiste una base ortonormale {e 1 , ..., e n } di V tale che
{T(e 1 ), ..., T(e n )} sia una base or/onormale.
Dimostrazione
L'implicazione (1)  (2) è ovvia, perché
Il T(v) Il 2 == (T(v), T(v» = (v, v) = IIv1l 2 .
Per dimostrare (2)  (1) osserviamo che si ha, per ogni v, w E V:
4(v, w) = (v + w, v + w) - (v - w, v - w)
4(T(v), T(w» = (T(v) + T(w), T(v) + T(w» -
- (T(v) - T(w), T(v) - T(w».
[20.2]
[20.3]
Dalla linearità di T segue che il secondo membro della [20..3] è uguale a
< T(v + w), T(v + w» - (T(v - w), T(v - w»,
il quale, poiché T soddisfa la (2), è uguale al secondo membro della [20.2]: quindi
4(T(v), T(w» = 4(v, w), cioè T soddisfa la (1).
(2)  (3) La dimostrazione è lasciata al lettore.
(3)  (1) Per ogni v E V si ha
Il T(v) Il = Il T(v) - O Il = Il T(v) - T(O) Il = Il v - O Il == Uv Il. [20.4]
Esplicitando l'uguaglianza
IIT(v) - T(w) 11 2 == Uv - W 11 2

244
Geometria euclidea
per ogni v, w E V otteniamo
IIT(v) 11 2 - 2 (T(v), T(w» + IIT(w)11 2 = IIvfl2 - 2(v, w) + IIw1l 2 .
_ Utilizzando la [20.4] deduciamo che
(T(v), T(w» = (v, w)
[20.5]
per ogni v, w E V .
Per concludere è sufficiente dimostrare che T è lineare. Sia {e I ,..., e n } una
base ortonormale di V. Dalla [20.5] segue che {T(e f ), ..., T(e n )} è una base orto-
normale, perché soddisfa
(T(e i ), T(e j » = (e j , e j ) = oij per ogni 1 <. i, j <. n.
Per ogni v = XI e l + ... + X n e n si ha quindi
n n n
T(v) =  (T(v), T(e j » T(e j ) =  (v, e i ) T(e j ) ==  xiT(e i ),
1=1 1=1 1=1
cioè
n n
T( E xje i ) = E xiT(e i ),
i=1 i=I
e pertanto T è lineare.
(1)  (4) La dimostrazione è lasciata al lettore.
(4)  (5) Ovvio.
(5)  (l) Sia {e 1 , ...., e n ) la base ortonormale la cui esistenza è affermata
dalla (5). Siano v == XI e I + ... + xne n , W = YI e l + ... + Ynen. Si ha
(T(v), T(w» = (XI T(e 1 ) + ... + X n T(e n ), Y1 T(e 1 ) + ... + Yn T(e n » ==
== ijXIYj(T(ei)' T(e j » = EjXjYi= (v, w).
La condizione (3) del teorema 20.1 può essere considerata come una condi-
zione sullo spazio euclideo Va- Essa infatti afferma che T lascia fisso il vettore
O e conserva la distanza tra vettori di V, senza supporre che T sia un'applicazione
lineare.
La condizione (2) del teorema afferma che T preserva la norma dei vettori.
Dalla (2) segue subito che se T è unitario allora T(v) == O implica v == O, cioè
N(T) == (O). Quindi un operatore unitario è invertibile.
L'inverso T - I di un operatore unitario T è ancora unitario e la composizione
dei due operatori unitari è ancora unitaria; la verifica è lasciata al lettore. Per-
tanto gli operatori unitari formano un sottogruppo di GL(V), che si chiama gruppo
ortogonale di V, e si denota con O(V).
Supponiamo che e = {el' ..., e n } sia una base ortonormale di V, e sia
A == Me(T) la matrice dell'operatore T rispetto a e. Poiché le colonne A(l)' ...
..., A(n) di A sono le coordinate di T(e 1 ), ..., T(e n ) rispetto a e, e poiché rispetto
a una base ortonormale il prodotto scalare di due vettori è uguale al prodotto sca-

20/0peratori unilari e isometrie
245
Iare standard delle loro coordinate, per la (5) del teorema 20.1 T è unitario se e
solo se
A(i) · A u > = oij
per ogni l < i, j'5: n, cioè se e solo se A = In- Quindi abbiamo il seguente
corollario:
20.2 COROLLARIO Un operatore T: V -+ V è unitario se e solo se la matrice
di T rispetto ad una qualsiasi base ortonormale di V è ortogonale.
Pertanto, fissata una base ortonormale e di V, l'applicazione
Me: GL(V)-+GLn(R)
che associa ad ogni operatore T la sua matrice Me (T) rispetto ad e, induce un
isomorfismo del gruppo O(V) sul gruppo O(n).
Si noti che un operatore unitario T: V -+ V soddisfa la condizione
det (T) = ::I:: l
[20.6]
perché ogni matrice ortogonale ha determinante uguale a :1= l. Gli operatori uni-
tari T tali che det(T) = l costituiscono un sottogruppo di O(V), il cosiddetto
gruppo ortogonale speciale di V, che denoteremo con SO (V). Gli elementi di SO (V)
si dicono rotazioni di V. Dal corollario 20.2 segue immediatamente che, fissata
una base ortonormale e di V, l'applicazione Me induce un isomorfismo di SO (V)
su SO (n).
Gli operatori unitari godono della seguente proprietà relativa agli autovalorì.
20.3 PROPOSIZIONE Sia TE O (V). Se À. E R è un autovalore di T, allora À. = ::I:: 1.
Se A EO(n) e ÀE R è un auto valore di A, allora À = ::I:: l.
Dimostrazione
La seconda affermazione segue dalla prima, tenuto conto del corollario 20.2.
Supponiamo che À. E R sia un autovalore di T, e sia v E V un autovettore di À.. Poi-
ché T è unitario si ha
Il v Il = Il T{ v) Il := Il Iv v Il = I À. I Il v Il
e quindi dev'essere I À I = l.
Una caratterizzazione degli operatori unitari, equivalente a quella del corolIa-
rio 20.2 ma più intrinseca, si ottiene introducendo il concetto di "operatore
aggi unto" o "trasposto".
20.4 PROPOSIZIONE Per ogni operatore FE End (V) esiste un unico operatore

246
Geometria euclidea
G E End (V) tale che
(F(v), w) = (v, G(w»
[20.7]
per ogni v, wEV. L'operatore G si dice trasposto o aggiunto di F.
Dimostrazione
Per ogni w E V l'applicazione Fw: V -+ R definita ponendo
Fw(v) == (F(v), w) per ogni vE V
è un funzionale lineare. Infatti si ha
Fw = b oF, per ogni UEV;
poiché b ed F sono entrambe lineari, anche Fw lo è. Dato che il prodotto sca-
lare (, ) è una forma bilineare non degenere, per la proposizione 15.6 esiste un
unico G(w) E V tale che si abbia l'uguaglianza di funzionali lineari
Fw=(-,G(w»,
cioè tale che si abbia
Fw(v) = (v, G(w» per ogni VEV.
L'applicazione G: V -+ V così definita soddisfa la condizione [20.7] ed è evi-
dentemente unica; per concludere ci resta da dimostrare che G è lineare. Siano
Wl' w 2 EV e CI' C 2 ER; si ha, per ogni VEV,
(v, G(clw j + C 2 W 2 » = FC1Wl+C2WJV) = (F(v), C1W 1 + C 2 W 2 ) =
= CI (F(v), Wl) + c 2 (F(v), w 2 ) =
= CI Fw)(V) + c 2 F w2 (v) =
= c 1 (v, G(w l » + c 2 (v, G(w 2 » =
= (v, CI G(w I ) + C 2 G(W 2 »,
e quindi G(CfW I +C2W2)=CIG(WI)+C2G(W2). Pertanto G è lineare.
L'aggiunto di un operatore lineare F si denota solitamente con il simbolo tF.
Dalla proprietà di simmetria del prodotto scalare segue subito che t CF) = F.
Diremo anche che F e tF sono aggiunti (o trasposti) uno dell'altro.
Il motivo della terminologia che abbiamo introdotto si spiega subito nel seguente
modo.
Supponiamo che e == {el' ..., e n } sia una base ortonormale di V, e siano
A = Me(F), B = MeCF). Allora, per ogni v = XI e l + ... + xne n , W = YI e I + ...
... + yne n si ha
(F(v), w) == (A x). y = t(A x) y == txy == x. CA y).
e
(F(v), w) = (v, G(w» == x-(By).

20/0peratori unilari e isometrie
247
e quindi
S4 y = By.
[20.8]
Poiché è vera per ogni y, la [20.8] implica che  = B. A parole: rispetto a una
base ortonormale il trasposto di un operatore è quello rappresentato dalla matrice
trasposta della matrice che rappresenta l'operatore.
F E End (V) si dice operatore simmetrico (o autoaggiunto) se F = tF. Diremo
invece F antisimmetrico se F = - tF.
Da quanto abbiamo visto si deduce che F è un operatore simmetrico (antisim-
metrico) se e solo se rispetto a una base ortonormale si rappresenta con una matrice
simmetrica (antisimmetrica).
Ora possiamo dare una nuova caratterizzazione degli operatori unitari:
20.5 PROPOSIZIONE Un operatore T: V  V è unitario se e solo se
tTo T= Iv.
Dimostrazione
T è unitario se e solo se per ogni v, w E V si ha
(v, w) . (T(v), T(w» = (v, tT(T(w») = (v, CTo T) (w)}.
Poiché quest'uguaglianza è valida per ogni v, w E V, si deve avere
w = (tTo T) (w)
per ogni WEV, cioè tTo T= Iv.
La discussione precedente mostra che gli operatori unitari sono essenziamente
gli Ìsomorfismi che rispettano la struttura di spazio vettoriale euclideo. È natu-
rale quindi utilizzare la nozione di operatore unitario per definire, in uno spazio
euclideo, delle particolari affinità che sono compatibili con la struttura metrica.
20.6 DEFINIZIONE Sia E uno spazio euclideo su V. Un 'affinità f: E  E si
dice isometria di E se l'automorfismo associato cp: V -+ V è un operatore unitario.
L'identità lE' e più in generale ogni traslazione, è un'isometria perché l'isomor-
fismo associato è l'identità di V, che è un operatore unitario. La composizione
di due isometrie è un'isometria perché l'automorfismo associato è unitario, essendo
la composizione di due operatori unitari. Analogamente l'inversa di un'isometria
è ancora un'isometria. Pertanto le isometrie di E costituiscono un sottogruppo
di Aff(E), cioè un gruppo di trasformazioni affini di E, indicato con Isoin(E)
e denominato gruppo delle isometrie di E.
I sottogruppi di Isom (E) si dicono gruppi di isometrie di E.
Un'isometria f, con automorfismo associato cp, si dice diretta se det(cp) = 1,

248
Geomelria euclidea
e inversa se det(ço) = - 1. Le isometrie dirette costituiscono un sottogruppo,
Isom + (E), di Isom (E).
Le traslazioni sono particolari isometrie dirette, e quindi TE è un gruppo di
isometrie dirette di E.
Sia O E E, e consideriamo lo stabilizzatore Isom (E)o di O in Isom (E). Le iso-
metrie dirette appartenenti a Isom(E)o si dicono rotazioni di centro O, e costi-
tuiscono il sottogruppo Isom(E)o (ì Isom + (E). L'Ìsomorfismo
CP: Aff(A)oGL(V)
(cfr. esempio 14.6(2» induce isomorfismi:
Isom (E)o  O (V)
Isom(E)o (ì Isom + (E)  SO(V).
Se si fissa anche una base e = {e I , ..., e n } di V, dal corollario 20.2 deduciamo
che la composizione Me o cp induce isomorfismi:
[20.9]
Isom(E)o  O(n)
Isom(E)o (ì Isom + (E)  SO (n).
[20.10]
In particolare il secondo isomorfismo identifica il gruppo delle rotazioni di cen-
tro O con quello delle matrici ortogonali speciali di ordine n.
Dal teorema 14.8 e dal corollario 20.2 segue direttamente il seguente teorema:
20.7 TEOREMA Sia E uno spazio euclideo in cui sia assegnato un riferimento
cartesiano Oel ... e n . OgnifElsom(E), con automorfismo associato ço, si esprime
nella forma
f(P(x I , ..., x n » = Q(YI' ..., Yn)
con
y = A x + c,
[20.11]
dove c = 1(C 1 ... C n ) E Rn è il vettore delle coordinate di f(O), e A = Me(ço) E O(n)
è la matrice di ço nella base e.
Viceversa, ogni trasformazione f: E E della forma [20.11] per qualche
A EO(n), cE Rn, è un'isometria.
In particolare le isometrie (rispettivamente le isometrie dirette) di En sono pre-
cisamente le affinità fA c tali che A E O (n) (rispettivamente A E SO (n».
.
Il seguente teorema fornisce una caratterizzazione geometrica delle isometrie
analoga della condizione (3) del teorema 20.1.
20.8 TEOREMA Sia E uno spazio euclideo. Un'applicazionef: E E è un'i-

20/0peratori unitari e isometrie
249
sometria se e solo se
d(f(P), f(Q» = d(P, Q)
[20.12]
per ogni P, Q E E.
Dimostrazione
Se f è un 'isometria, con isomorfismo associato cp: V -+ V, allora
)  
d(f(P), f(Q» = Il f(P) f(Q) Il = Il (PQ) Il = Il PQ Il = d(P, Q)
perchè cp è un operatore unitario, e per il teorema 20.1(2).
Supponiamo viceversa che la condizione [20.12] sia soddisfatta. Fissiamo arbi-
trariamente un punto OE E e definiamo un'applicazione cp: V -+ V ponendo
 )
(OP) =f(O)f(P).

Poiché ogni vettore v E V è della forma v = OP, l'applicazione  è ben definita
 )  --+
e tale che cp(O) = cp(OO) =f(O)f(O) = O. Inoltre, se v = OP, w = OQ, si ha
----+  ) )
Il cp(v) - (w) Il = Il cp(OP) - (OQ) Il = IIf(O) f(P) - f(O) f(Q) Il =
) ----+
= Il f (Q) f (P) Il = Il QP Il = Il v - w Il.
Dal teorema 20.1 (3) segue che cp è un operatore unitario.
Inoltre, poiché per ogni P, Q E E si ha
  -+ -+- ) )
cp(PQ) = cp(OQ - OP) = cp(OQ) - cp(OP) =f(O)f(Q) - f(O)f(P) =
)
=f(P)f(Q),
f è un'affinità con isomorfismo associato cp, e pertanto è un'isometria.
Il teorema 20.8 rende possibile lo studio delle isometrie in modo puramente
geometrico.
Il modo più efficiente per trovare gruppi di isometrie di uno spazio euclideo
è quello di studiare le isometrie di una figura geometrica.
Sia F C E una figura geometrica. Un'isometria fE Isom(E) tale che f(F) = F
si dice isometria. di F. È evidente che le isometrie di una figura F costituiscono
un gruppo di trasformazioni di F che è un sottogruppo Isom(F) di Isom(E); esso
viene chiamato gruppo delle isometrie di F.
Ad esempio, se O E E, allora
Isom (O) = Isom (E)o-
Se S (O, r) è la sfera di centro O e raggio r > O, allora
Isom(S(O, r» = Isom(E)o.
[20.13]

250
Geometria euclidea
Infatti ognifElsom(E)o trasforma S(O, r) in sé stessa, perché
r = d(O, P) = d(f(O), f(P» = d(O, f(P»
e quindi f(P) E S(O, r) per ogni PE S(O, r); dunque fE Isom(S(O, r».
Per dimostrare il viceversa, osserviamo preliminarmente che per due punti qual-
siasi P, QES(O, r) si ha d(P, Q):5 d(P, O) + d(O, Q) = 2r e vale l'uguaglianza
se e solo se R, Ot S sono allineati, cioè se e solo se R ed S sono diametralmente
opposti. Sia dunquefElsom(S(O, r»: allora, scelti P, QES(O, r) diametralmente
opposti, si deve avere d(f(P),f(Q» = 2r, sicchéf(P),f(Q) E S(O, r) sono ancora
diametralmente opposti. Pertanto il punto medio O del segmento PQ viene tra-
sformato nel punto medio del segmento f(P) f(Q), che è ancora o. Quindi
f(O) = O, cioèfElsom(E)o. Ciò conclude la dimostrazione della [20.13].
Lo studio dei gruppi di isometrie delle figure euclidee costituisce un capitolo
classico e molto vasto della teoria dei gruppi. Intuitivamente il concetto di isome-
tria di una figura geometrica corrisponde a quello estetico e artistico di "simme-
tria". Più grande è Isom (F), più la figura è "simmetrica", cioè possiede "sim-
metria". Storicamente la nozione di gruppo astratto è stata preceduta da quella
di gruppo di trasformazioni, ed in particolare di gruppo di isometrie. Alcuni esempi
di gruppi di isometrie verranno dati nel paragrafo 21.
20.9 DEFINIZIONE Duefigure geometriche F'ed F' di E si dicono congruenti
se esiste f E Isom (E) tale che f (F) = F' . Le proprietà di u.na figura F che sono pos-
sedute da tutte le figure ad essa congruenti si dicono proprietà euclidee di F.
Ogni proprietà affine di una figura F C E è anche una proprietà euclidea per-
ché Isom(E) C Aff(E), e quindi ogni figura congruente a F è anche affinemente
equivalente a F; in generale, però, una proprietà euclidea non è una proprietà
affine. Ad esempio, la distanza di due punti P, Q E E è una proprietà euclidea
di {P, Q}, ma non è una sua proprietà affine, perché un'affinità di E non tra-
sforma necessariamente P e Q in punti che hanno la stessa distanza.
20.10 Complementi
l. Le condizioni (1), (2) (3) del teorema 20.1 hanno senso anche se V è uno
spazio vettoriale euclideo che non ha dimensione finita; anche la dimostrazione
della loro equivalenza non utilizza alcuna ipotesi su dim (V). Quindi le (1), (2) (3)
sono condizioni equivalenti per un operatore definito in uno spazio vettoriale eucli-
deo qualunque.
2. Nella geometria elementare si studiano anche proprietà che non dipendono
dalle distanze o dalle grandezze delle figure, ma solo dalla loro forma e dalle loro
proporzioni: le proprietà di similitudine. Queste proprietà vengono mantenute,
oltre che dalle isometrie, anche dalle omotetie (cfr. 14.6(3), e quindi dalle affinità

20/0peratori unitari e isomelrie
251
ottenute componendo un numero finito di isometrie e di omotetie in tutti i modi
possibili. Tali affinità si chiamano similitudini, e costituiscono un sottogruppo,
Simil(E), di Aff(E). Infatti l'identità è un'omotetia, e quindi una similitudine.
Inoltre la composizione di due similitudini al o Wl o ... o a k o Wk e TI orlo... o Tj o t j è .
al o Wl o ... o a k o Wk o Il o ti o ... o Ijo tj' che è una similitudine. L'inversa di una
similitudine (lI o Wl o ... o a k o Wk è w k - I o (Jk- l o ... o WI-. I o (}l-- I, che è una similitudine.
È evidente che Simil(E) contiene Isom(E) e tutte le omotetie.
Denoteremo con Simil + (E) il sottogruppo di Simil (E) costituito dalle simili-
tudini dirette.
Identifichiamo E 2 con C associando ad ogni (x, y) E E 2 il numero complesso
z == x + iy E C. Con questa identificazione è possibile dare una semplice descrizione
di Simil(E2) e di Simil + (E 2 ) nel modo seguente.
Siaf(z) un'affinità di C, considerato come spazio affine complesso di dimen-
sione 1:
f(z)=az+b a,bEC, aO.
[20.14]
La [20.14] si può interpretare come un'affinità del piano euclideo E 2 . Scrivendo
a == a' + i ali , b == b' + ib' la [20.14], come affinità di E 2 , ha la forma
f(x, y) == (a' x - a"y + b', a"x + a'y + b")
. e quindi è un'affinità diretta perché ha determinante
a,2 + a" 2 > o.
Con b == O la [20.14] diventa
f(z) == az
[20.15]
Se aE R, .la [20.15] rappresenta un'omotetia di E 2 , perché è della forma
f(x + iy) == ax + iay.
Se I a I = l, si ha a == cosO + i sinO, e la [20.15] diventa
f(x + iy) == xcosO - y sinO + i(x sinO + ycosO),
che rappresenta una rotazione. Poiché a == 'a I u, dove I u I == l, per ogni a E C,
la [20.15] è in ogni caso la composizione di una omotetia e di una rotazione. Da
ciò segue che le affinità [20. 14] di C coincidono con le affinità dirette del piano
euclideo [2 che sono composizione di traslazioni, rotazioni e omotetie, cioè con
le similitudini dirette. Dunque Affl(C) si identifica con il gruppo Simil + (E 2 ).
Per ottenere anche le similitudini inverse di E 2 sarà sufficiente comporre tutte
le affinità [20.14] con una particolare isometria inversa: ad esempio con'il coniu-
gio, che associa ad ogni z == x + iYE C il suo coniugato z == x - iy.
Quindi, le similitudini inverse di E 2 corrispondono alle trasformazioni a di C

252
Geomelria euclidea
}'igura 20.1
della forma
a(z) = a z + b, a, bEC, a  o.
3. Sia V sia uno spazio vettoriale euclideo, e sia v E V, v  O. La riflessione defi-
nita da v (fig. 20.1) è l'applicazione Pv: V  V seguente:
p (o) = u - 2 (v, u) v.
v .
(v, v)
Ricordando la definizione di coefficiente di Fourier av(u), possiamo scrivere
in forma equivalente
Pv(u) = u - 2a v (u) v.
Si verifica facilmente che Pv è lineare; inoltre, per ogni u E V:
Il Pv (u) 11 2 = Il u - 20v (u) V 11 2 == Il U 11 2 - 4 a v (u) (u, v) + 40v (u) 2 II v Il 2 = Il U 11 2 ,
e pertanto Pv è un operatore unitario.
Dalla definizione segue subito, infine, che p; = lv, cioè Pv = P v - I.
4. In uno spazio euclideo E su V supponiamo fissati un riferimento cartesiano
Del ... e n e un iperpiano H di equazione
atX 1 + ... + anX n + c = o.
Sia P(x t , ..., xJEE. Il punto simmetrico di P rispetto ad H è il punto PH(P)
definito dall'identità
) 
N PH(P) = - NP,
cioè
) ----+
PPH(P) = - 2NP,
dove N denota il punto di intersezione di H con la retta t- passante per P e per-
pendicolare ad H, cioè la retta per P avente vettore di direzione a(a 1 , ..., a n )
(fig. 20.2).
Se si fissa un punto Q(ql' ..., qn)EH qualsiasi; si ha
) 
PPH(P) = - 2 (QP, a) a/(a, a),

20/0peratori unitari e isometrie
253
e quindi
) .  ) ---+-
QpH(P) = QP + PPH(P) = Pa(QP),
dove Pa: V  V è la riflessione definita da a (cfr. (3».
Tenuto conto che a1qI + ... + anqn = - c, le coordinate di PH(P) sono
al Xl + ... + anx n + c
p H (P)i = Xi - 2 ai n . , i = 1, ..., n.
E a?
i= I J
[20.16]
È immediato verificare che Pl/(PH(P» == p per ogni PE E e che PH(P) = P se
e solo se PE H.
Inoltre, per ogni P, P' E E:
) ) )
d(PH(P), PH(P'» = IIPH(P).PH(P')II = IlpH(P)N+Np/I(P')11 =
  --+-
= IINP-NP'II = IIP'PII = d(P, P'),
e quindi l'applicazione
PH: E E
è un'isometria. PJ[ è la riflessione definita da H (o che fissa H).
Nel caso n = 2 si ottiene la nozione di riflessione di asse una retta, che" verrà
ripresa nel paragrafo 21.
Da quanto visto segue che p1= lE e che PH fissa ogni punto di H.
Un sottoinsieme F di E si dice simmetrico rispetto all'iperpiano H se PH(P) E F
per ogni P E F. In questo caso H si dice iperpiano di simmetria di F. Nel caso n = 2,
H è una retta, che si dice asse di simmetria di F.
p
a
PH(P)
Figura 20.2

254
Geometria euclidea
5. Tra i gruppi di isometrie più interessanti vi sono i cosiddetti "gruppi
discontinui" .
Sia E uno spazio euclideo sullo spazio vettoriale euclideo V. Un sottogruppo
 di Isom(E) si dice discontinuo se per ogni PE E esiste r> O tale che nessuno
dei punti g(P), gE:#, sia contenuto nel disco D{P, r).
Ogni sottogruppo finito  di Isom(E) è un gruppo discontinuo. Infatti,. per
ogni PE E, un qualsiasi O < r < min (d(P, g{P»: g E } soddisfa la condizione
della definizione.
Fissato un vettore non nullo v E V, l'insieme di tutte le traslazioni della forma
t hv ' h E Z, è un sottogruppo discontinuo TE(v) di Isom(E). TE (v) è un gruppo infi-
nito perché t hv = t kv se e solo se h = k.
Un gruppo finito di isometrie di E non può contenere traslazioni diverse dall'i-
dentità, perché se contenesse la traslazione Iv, O;é vE V, conterrebbe anche TE (v),
che è infinito.
Un gruppo discontinuo di isometrie di E che può essere generato da riflessioni
si dice gruppo di Coxeter.
6. Siano V un K-spazio vettoriale e b: V x V -+ K una forma bilineare. Diremo
che un automorfismo fEGL(V) preserva b se
b{f(v), f(w» = b(v, w)
[20.17]
per ogni v, w E V .
L'insieme di tutti gli automorfismi di V che preservano b è un gruppo lineare,
che si chiama gruppo ortogonale di V relativo a b, e si denota con 0b{V). Per
verificare che 0b(V) è effettivamente un gruppo si osservi che per ogni fE 0b(V)
e VI, Wl EV, detti v, wEV i vettori tali chef(v) = VI ,f(w) = Wl, la [20.17] può
anche scriversi
b(v / , Wl) = b(f-l(V/), f-l{W'»
e quindif-1EOb{V). Evidentemente lvEOb(V); infine, sef, gEOb(V), si ha
b«g o f) (v), (go f) (w» == b(g{f{v», g(f(w» = b(f(v), f{w» = b(v, w)
per ogni v, w E V, e quindi go fE Ob(V).
Queste nozioni generalizzano quelle di operatore unitario e di gruppo ortogo-
nale, che si ottengono prendendo come V e b uno spazio vettori aie euclideo e il
suo prodotto scalare rispettivamente.
Supponiamo V == Kn, e b sia la forma bilineare associata a una matrice
A E Mn{K), cioè definita da b(x, y) = txA y. Allora Ob(Kn) consiste delle matrici
ME GLn(K) tali che
MAM=A.
[20.18]

20/0peratori unitari e isometrie
255
Infatti MEOb(Kn) se e solo se per ogni x, yEKn si ha
txAy = t (Mx) A (My) = tx(UAM)y.
Poiché quest'identità dev'essere vera per ogni x, y E Kn, M deve soddisfare la
[20.18] .
Prendendo K = R e A = In' la [20.18] esprime la condizione che A E O (n), cioè
Ob{Rn) = O(n) se b è la forma simmetrica standard.
Se V = Rn e b è la forma bilineare simmetrica polare della forma quadratica
( ) 2 2 2
q X =X 1 +... +Xp-X p + 1 -... -X n
il gruppo ortogonale di V relativo a b si denota con O(p, n - p). In particolare"
O{3, 1) coincide con il gruppo degli automorfismi di R 4 che preservano la forma
di Minkowski, ed è detto gruppo di Lorentz.
Un altro caso particolare importante si ottiene prendendo la forma alterna stan-
dard su K 2k , k  l:
b(x, y):= XtYk+1 + ... + xkYn - Xk+IY) - ... - XnYk = tXJky,
dove n = 2 k e
J k = ( Ik  ) .
Il corrispondente gruppo ortogonale si dice gruppo simplettico di ordine 2k
su K, e si denota con Sp(2k, K). Da quanto detto sopra segue che una matrice
M E GL 2k (K) appartiene a Sp (2 k, K) se e solo se soddisfa l'identità
UJkM=M.
Esercizi
l. In ciascuno dei casi seguenti determinare l'isometriaf: E 1  E I individuata dalle con-
dizioni assegnate:
a) f(l) = 7f ed f è un'isometria diretta;
2
b) f(1r) = - 2 ed f è un'isometria inversa.
2. In ciascuno dei casi seguenti determinare la riflessione di E 2 definita dalla retta di
equazione assegnata:
a) X = O
d) 2X - 3 Y = O
b) X+ Y=O
e) X + Y - l = o.
c) X - 2 Y == O

256
Geomelria euclidea
3. In ciascuno dei casi seguenti dimostrare che esiste un'unica isometria 1 di E 2 che sod-
disfa le condizioni assegnate, e determinarla:
a) 1(0, O) = (I, 1),/(1, O) = (2, l) ed 1 è un'isometria diretta
b) 1(0, O) = (1, 1),/(1, O) == (2, l) ed 1 è un'isometria inversa
c) f lascia fissa la retta : X - 2 Y = O e non è l'identità
d) f lascia fissi i punti (1, 7), (- l, ...1) e non è l'identità.
4. In ciascuno dei casi seguenti determinare la riflessione di E 3 definita dal piano di
equazione assegnata:
a) X - Y = O
d) 2X - Z + l = O
b) X+ Y+Z=O c) X- Y+Z=O
e) 2X - 2 Y + Z - 4 = O.
5. In ciascuno dei casi seguenti dimostrare che esiste un'unica isometrial di E 3 che sod-
disfa le condizioni assegnate, e determinar la:
a) 1 fissa l'asse X e l'asse Yed è un'isometria diretta
b) f fissa l'asse Y e l'asse Z ed è un'isometria inversa.
6. Determinare equazioni cartesiane della retta ' di E 3 simmetrica della retta  di
equazioni: X = Y = Z - l rispetto al piano Iv di equazione X + Y + Z = O.
2
21 Isometrie di piani e di spazi tridimensionali
In questo paragrafo tratteremo in maggiore dettaglio le isometrie di piani e
di spazi tridimensionali, particolarmente importanti a causa della loro relazione
con la geometria euclidea elementare. Per ulteriori notizie il lettore può consul-
tare [12], [1], [16].
Gli elementi di 80(2) sono le matrici della forma
( cos O
Re=
sin (J
- sinO ) ,
cosO
OER.
Per descrivere i rimanenti elementi di 0(2), cioè quelli di determinante -1,
si può utilizzare il fatto che, se A, B E 0(2)\80 (2), allora AB E SO (2) perché
det(AB) = det(A) det(B) = 1.
Da ciò segue che ogni elemento A E 0(2)\80(2) può ottenersi come prodotto
A = (AB)B- 1
di una matrice di 80(2) per una fissata B I E 0(2)\80(2). Prendendo ad esem-

21/lsometrie di piani e di spazi lridimensionali
257
pio tale matrice come
( -:)
si vede che tutti gli elementi di O(2)\SO(2) sono della forma
Ae = Re (:
== ( COS O
sin O
In particolare:
O ) _ (cosO
- l - \sinO
- sin O ) ( l
cosO O
-:)=
si n O )
- cosO '
O E R.
Ao = ( _ ) .
21.1 LEMMA
l) Ao = RoAo == AoR _ o per ogni O E R.
2) Acp o Ae = Rcp-o per ogni C{:>, O E R.
3) Ogni matrice Ao possiede gli auto valori À. = ::I:: l, con autospazi di dimen-
sione l tra loro ortogonali.
Dimostrazione
1) Segue subito da un calcolo diretto.
2) Per la (1) si ha
AcpAe == (RcpAo) (AoR-o) = Rcp(AoAo)R-o == RcpR . o = Rcp-o-
3) Si verifica subito che il polinomio caratteristico di Ae è T 2 - l, sicché gli
auto valori sono À = ::I:: l. Gli autospazi sono pertanto di dimensione 1, e definiti
rispettivamente dalle equazioni in coordinate X, Y
(cosO - l) X + (sinO) Y = O,
(cosO + 1) X + (sinO) Y = O,
À==l
À == - l.
[21.1 ]
Poiché (cosO -1) (cosO + 1) + sin 2 0 == O, i due autospazi sono ortogonali tra
loro.
Consideriamo un piano euclideo E con piano vettori aIe euclideo associato V
e fissiamo un riferimento cartesiano Oe l e 2 . Sia C E E, e sia a: E -+ E una rota-
zione di centro C. Mediante l'isomorfismo [20.10] possiamo associare a a un ele-
mento Re E SO (2). O è detto l'angolo della rotazione a. Per distinguerla dalla
17

258
Geomelria euclidea
matrice R(J, la rotazione di centro C corrispondente a R(J si denoterà con Re(J.
Essa può rappresentarsi come la composizione
Re,e = to Ro.oo t_
e pertanto le coordinate y = t(YI yJ del trasformato Re,e(P) di un punto P di
coordinate x == t (x 2 x 2 ) sono
y = Re(x - c) + c,
dove c = t(c 1 cJ sono le coordinate di C.
Un'isometria p di E, diversa dall'identità, che fissa tutti i punti di una retta
 è detta riflessione (cfr. anche 20.10(3». La retta  è l'asse della riflessione.
Una riflessione è un'isometria inversa il cui quadrato è l'identità. La figura 21.1
dà un esempio di sottoinsieme del piano ordinario che è trasformato in sé stesso
dalla riflessione p.
Una riflessione fissa ogni punto del suo asse. In particolare le riflessioni con
asse passante per l'origine si identificano con gli elementi di O(2)\SO(2), perché
fissano l'origine ma non sono rotazioni. Ognuna di esse è quindi rappresentata
da una matrice Ao, per qualche () E R.
Per distinguerla dalla matrice, denoteremo la riflessione corrispondente ad Ao
con il simbolo Ao.e. L'asse 6 di A o . o è la retta per l'origine che ha per direzione
l'autospazio relativo all'autovalore À. = l, cioè la retta di equazione la prima delle
[21.1]. Un versore di direzione di 6 è (cos«(}/2) sin(O/2» (fig. 21.2).
21.2 LEMMA
1) Siano  una retta di E, CE  un suo punto ed R e ,6 una rotazione di
centro C. Esistono rette J" e t contenenti C tali che
Re(J = p o P.l- = Pt o p.
Viceversa, per ogni coppia di rette  ed J" passanti per un punto C, la com-
posizione P o P.l- è una rotazione di çentro C e p o P.l- = lE se e solo se  =J".

Figura 21.1

21/1sometrie di piani e di spazi tridimensionali
259
Re (e 2 )
A,(e 1 ) = ReCe,}
8
e 1
A 8 (e 2 )
Figura 21.2
2) La composizione Re,9oRD,'P di due rotazioni di centro i punti C e D e di
angoli () e cp rispettivamente, è una rotazione di angolo () + cp, a meno che non
si abbia () + cp = 2k7r, kEZ; in questo caso Re,9oRD,4fJ è una traslazione, che è
diversa dall'identità se e solo se C;é D.
3) Se C e D sono due punti distinti ed  la retta che li contiene, e se le rota-
zioni Re,9 ed RD,'P sono non banali e () + cp;é 2k7r, allora le rotazioni Re,9 o RD,'P
ed Re,_9oRn,_4fJ hanno centri distinti e simmetrici rispetto a .
Dimostrazione
l) Possiamo supporre C = O e quindi Pi- == Ao,a per qualche aE R. Per il
lemma 21.1(2) si ha Ro = A Q o Aa-O e pertanto Ro,o = Pt- o Pj.-' dove  è l'asse della
riflessione Ao,a- 9; similmente
R o ,8 == A O ,9+a o Ao,a == p/o Pt-
dove t è l'asse della riflessione Ao,t'J+o. Supponendo C = O il viceversa è una
riformulazione del lemma 21.1(2).
2) Se C = D, si ha ovviamente Re,o o Re, 'P == R C ,9+'P. Supponiamo C;é D (e
quindi anche (), cp;é 2k1r) e denotiamo con  la retta passante per C e per D.
Per la (1) esistono una retta t contenente C e una retta  contenente D tali che
Rc,e = PtO Pz-, RD,q; = Pt- o Pj.-.
[21.2]
Quindi
Re, o o RD,'P = (Pt o p,,) o (pz- o p;-) = Pt o (pz, o pJ o PJ, = PtO P,J,
[21.3]
Se t ed  sono parallele, Pt o P.J- è una traslazione in direzione perpendicolare
a t ed ; se non sono parallele, allora, per la (1), Pt o P.j, è una rotazione.
D'altra parte, siano c = t(c 1 c:J e d = t(d 1 d 2 ) le coordinate di C e di D rispet-

260
Geometria euclidea
tivamente. Utilizzando la [21.3] troviamo che per ognI PE E di coordinate
x = t(X I xJ il punto (Re, e o R D .4p) (P) ha coordinate
y = Re (R4p(x - d) + d-c] + c = R o +4p(x - d) + Ro(d - c) + c.
[21.4]
Questa è una traslazione se e solo se () + cp = 2k1r; in caso contrario, per quanto
osservato in precedenza, la [21.4] è una rotazione di un angolo che per la sua espres-
sione è uguale a () + cp. Se () + cp = 2k1r si ha
y == x + [Re(d - c) - (d - c)],
che non è l'identità perché d-c  O, ed Re  1 2 .
3) Siano  e t le rette definite nella dimostrazione di (1), e tali da soddisfare
le [21.2]. Si ha
Re.-6 = (Re, e) -} == P'b o Pt
RD,_ep == (RD.I/') - I = P,j.- o Pt-
c, per la [21.3],
R c _ o oR D _ ==P 0p;,0p 0p = p o R co oR D O p .
'. . ep 'b v .j- t- z- , . 4p 
Da questa espressione si verifica subito che, detto Q il centro della rotazione
Re,oo R D .4p' il punto Pt-(Q) è trasformato in sé stesso dalla rotazione R e .- e o RD.-.f(J'
e quindi è il suo centro. Poiché Re.8 ed RD,f(J sono non banali, si ha J"    t
e quindi Q ==J" nt non sta su . Pertanto i punti Q e Pt-(Q) sono distinti.
Una glissoriflessione è un'isometria f di E ottenuta come la composizione
f == t v o Pt- di una riflessione Pt- di asse una retta  e di una traslazione Iv  1 E tale
che il vettore v  O sia parallelo a . La retta  è l'asse di f. È immediato verifi-
care che si ha anche f == Pt- o Iv.
Una glissoriflessione è un'isometria inversa che non fissa alcun punto di E.
La figura 21.3 dà un esempio di sottoinsieme del piano ordinario che è trasfor-
mato in sé stesso da una glissoriflessione di asse la retta .
Un teorema classico afferma che ogni isometria di E è di uno dei tipi che
abbiamo descritto.
21.3 TEOREMA (CHASLES, 1831) Una isometria del piano euclideo E che fissa
un punto è una rotazione oppure una riflessione a seconda che sia diretta o inversa.
Una isometria di E che non fissa alcun punto è una traslazione oppure una
glissoriflessione a seconda che sia diretta o inversa.
Dimostrazione
Se fE 1som (E) fissa un punto, la conclusione segue dalla discussione precedente
il lemma 21.2.

21/Isometrie di piani e di spazi tridimensionali
261

Figura 21.3
Supponiamo ora che f sia una isometria diretta priva di punti fissi. Allora anche
f2 è priva di punti fissi, perché se si avesse P = f2(P) per qualche P, il segmento
Pf(P) verrebbe trasformato dafnel segmento
f(P) p = f(P)f2(p),
cioè nello stesso con gli estremi scambiati, e quindi il suo punto medio sarebbe
fissato da f, il che non è possibile.
Per ogni PE E, consideriamo i tre punti P, f(P), j2(p), che sono distinti per
quanto appena visto, e facciamo vedere che sono allineati.
Se così non fosse (fig. 21.4) gli assi dei due segmenti Pf(P) e f(P)f2(P) si
incontrerebbero in un punto Q: poiché d(P, I(P» = d(/(P), 12(P», si avrebbe
anche
d(Q, P) = d(Q, f(P» = d(Q, f2(P».
Poichéfpreserva l'orientazione, ne segue che il triangolo di vertici Q, P,f(P}
viene trasformato da I nel triangolo di vertici Q, f(P), f2(P), e quindi Q == f(Q),
una contraddizione.
Ne segue che i punti P,f(P),f2(P), ...,fi(p), ..., sono allineati, sicchéfagi-
sce sulla retta che li contiene come una traslazione. Poiché è una isometria diretta,
I deve agire come la stessa traslazione su tutto il piano, e quindi è una traslazione.
Supponiamo infine che f sia una isometria inversa priva di punti fissi. Allora
f2 è una isometria diretta e, ragionando come nel caso precedente, si dimostra
che f2 == Iv per qualche v.
Consideriamo un punto PEE qualsiasi: le rette o = PI2(P) e I =/(P)f3(p)
sono parallele (ma non necessariamente distinte) e vengono scambiate dal. Quindi
ftrasforma in sé stessa la retta , parallela ad o e a l ed equidistante da esse
(fig. 21.5).
Ma allora, poiché f2 agisce su  come la traslazione Iv, f agisce su z. come
la traslazione t v / 2 . La composizione t -v/2 o f fissa quindi tutti i punti di  e per-
ciò, non essendo l'identità perché è una isometria inversa, essa è una riflessione.
Da ciò segue che 1= t v / 2 o (I . v/2 o I) è una glissoriflessione.

262
Geometria euclidea
f(P}
,
I
\ I
\ I
, \ I
, \ I
" \ l
, \ I
, \ I
" \ ,
, \ I I /
, \ , I /
'\. \ I I /
" \ I / //
'\lt//
Q
/
/
/
/
/
/
/
/
/
Figura 21.4
f(P}
f3 (P)
.
.
t- 1
z,
.
.
t- o
p
(2 (P)
Figura 21.5
I gruppi discontinui di isometrie del piano euclideo E si suddividono in tre classi:
i gruppi finiti, i cosiddetti gruppi dei fregi, ed i gruppi cristallografici piani. Il
loro studio si effettua attraverso quello delle figure di cui essi sono gruppi di iso-
metrie.
Esiste una loro classificazione completa; noi ci limiteremo a considerare i sot-
togruppi finiti di Isom(E).
Uno di questi è il gruppo Isom(IIn) delle isometrie di un poligono regolare IIn,
di n > 3 lati, che supponiamo inscritto nella circonferenza S di centro l'origine
e raggio l di E (fig. 21.6).
Isom(II n ) contiene la rotazione u = R 21f1n , C quindi anche le rotazioni
0- 1 2 n-l
U - , (J, (J , ..., u .
Poiché evidentemente ogni fE Isom(II n ) deve fissare O, e quindi deve essere
una rotazione di centro O oppure una riflessione di asse una retta per O, dedu-
ciamo che non ci sono altre rotazioni in Isom(Iln).
Inoltre, se per ogni lato l di IIn consideriamo il diametro I di S che lo biseca,
la riflessione p/ di asse I sta in Isom(II n ). Per ogni vertice v di IIn, anche la
riflessione Pv di asse il diametro v di S che contiene v appartiene a Isom(nn).

21/Isomelrie di piani e di spazi tridimensionali
263
,
,
,
,
--
-
/
/
/
,
,
,
,
/
/
/
/
, I /
" I // -__
,1/
" I //
---*--- ---
/1'
// 1 "
/ I ,
/ I '
\
\
\
Figura 21.6
Se n è dispari, allora, per ogni vertice v, si ha Pv = Pb dove l è il lato opposto a v.
Sia p una delle riflessioni che abbiamo descritto.
Se ex E Isom(II n ) è un'isometria inversa, allora ex o p è un'isometria diretta, e
quindi ex o p = ai per qualche i; ne segue che ex = ai o p - I = ai o p, perché p o", J == p.
Pertanto Isom(II n ) consiste dei seguenti elementi:
O- l 2 n-l
a - , a, a , ..., a
p, a o p, a 2 o p, ..., (1n - l o p,
che, è facile verificarlo, sono tra loro tutti distinti.
Possiamo concludere che Isom (IIn) è isomorfo al gruppo diedrale di ordine
2n, denotato con D 2n .
Si osservi che Isom (I1n) è generato da p e da a: cio è evidente dal modo in cui
abbiamo descritto i suoi elementi. Però è anche possibile generare Isom(IIn)
mediante p e (10 p, perché (1 = (a o p) o p. Notando che (JO p è una riflessione, per-
ché è una isometria inversa che fissa O, ne deduciamo che Isom(lln) può essere
generato da due riflessioni, e quindi è un gruppo di Coxeter.
Si noti che {l, a, (J2, ..., a n - I} è un sottogruppo di Isom (II n ), isomorf o al
gruppo ciclico Z/nZ. È facile verificare che esso si identifica con il gruppo delle
isometrie di un poligono non regolare P2n a 2n lati contenuto in IIn. La figura
21.7 si riferisce ai casi n = 3, 4; in essa P6 e Pg sono i poligoni corrispondenti alle
regioni punteggiate.
Un altro sottogruppo finito di Isom(E) è il gruppo delle isometrie di un trian-
golo isoscele T, non equilatero: Isom(T) è isomorfo a Z/2Z, perché, oltre all'i-
dentità, contiene solo una riflessione (fig. 21.8).
Se consideriamo un rettangolo F che non sia un quadrato, otteniamo come
Isom (F) un sottogruppo finito di Isom (E) diverso da quelli considerati in prece-
denza: se F è centrato nell'origine, Isom(F) è il sottogruppo di O(2) costituito
dall'identità, dalle due riflessioni Pl' P2 di assi gli assi coordinati, e dalla rota-
zione Ro 1/".
.

264
Geometria euclidea
Figura 21.7
i
I
t
_______L_______ ___
I
I
I
I
I
I
 Figura 21.8
Questo gruppo è il cosiddetto gruppo quadrinomio, o di Klein, ed è isornorfo
a D 4 , il gruppo diedrale di ordine 4.
È chiaro che se si considerano poligoni regolari centrati in un punto qualsiasi
C E E, anziché nelI' origine, si ottengono sottogruppi finiti di Isom (E) isomorfi a
quelli che abbiamo descritto, ma contenuti in Isom(E)c anziché in Isom(E)o.
I gruppi finiti di simmetrie che abbiamo considerato furono studiati sistemati-
camente da Leonardo da Vinci nel corso delle sue indagini architettoniche sulle
simmetrie di un edificio, e sul modo in cui esse vengono modificate dall'aggiunta
di absidi e nicchie.
Il seguente teorema .afferma che non ci sono altri sottogruppi finiti di Isom(E).
21.4 TEOREMA Ogni sottogruppo finito non banale di lsom (E) è isomorfo
a Z/nZ, per qualche n  3, oppure a uno dei gruppi diedrali D 2n , n > 1.
Dimostrazione .
Sia  un sottogruppo finito non banale di Isom(E). Come abbiamo già osser-
vato in 20.10(5), _cç non può contenere traslazioni non banali, e conseguente-

21/Isometrie di piani e di spazi tridimensionali
265
mente non contiene neanche glissoriflessioni, perché il quadrato di una glissori-
flessione è una traslazione non banale. Quindi, per il teorema 21.3, <:# può
contenere unicamente rotazioni e riflessioni.
Supponiamo dapprima che  consista unicamente di rotazioni.
Siano Re,e, RD,ep E  due rotazioni, diverse dall'identità, tali che C # D.
Se () + cp == 2k7r, allora Re, e o RD,'P è una traslazione Don banale, e ciò è impos-
sibile. Supponiamo invece () + cp  2k7f.  contiene la composizione
f == (Re,e) - l o (RDtf{J) - lo Re, e o RD,'P.
Poiché (Rc,e) - I = Re,-e ed (RD,f{J) -I = RDt-'P' dal lemma 21.2 segue che gl =
= (R cte ) -} o (RD,f{J) -I e g2 = Re,e o RD,ep sono rotazioni di angoli - () - 'P e (J + 'P
rispettivamente, e di centri diversi. Quindi, sempre per il lemma 21.2, f = gl o g2
è una traslazione non banale. Poiché ciò è impossibile, si deve avere C = D.
Il sottogruppo  consiste dunque di rotazioni aventi tutte lo stesso centro C.
Sia R = Rc.-yE  tale che')' abbia il più piccolo valore positivo. Se Re, o E 
con () > O, deve essere Re o = R k per qualche intero k > O, perché altrimenti per
qualche k si avrebbe Re,e R -k = Re,e-k-yE  con 0< () - k')' < ')', e ciò contrad-
dice la minimalità di ')'. Quindi gli elementi di  sono le potenze di R, e ,
è un gruppo ciclico.
Supponiamo ora che  contenga almeno una riflessione. Il sottoinsieme di
tutte le isometrie dirette appartenenti a  costituisce un sottogruppo di  il
quale, per la prima parte della dimostrazione, è un gruppo ciclico costituito da
tutte le potenze di una rotazione R di un certo angolo 27f/n:
R, R 2 , ..., Rn=1
(se n = 1 ,non contiene rotazioni diverse dall'identità). Supponiamo che 
contenga m riflessioni, e sia p una di esse.
Gli n prodotti poR, poR 2 , ..., poR n - I , p sono isometrie inverse distinte tra
loro e quindi sono altrettante riflessioni. Ne segue che n < m.
D'altra parte, se si moltiplica p a destra per le m riflessioni distinte di  si
ottengono altrettante rotazioni distinte: se ne deduce che m < n.
In conclusione n = m, e gli elementi di ,( sono
R, R 2 , ..., Rn = l,
P o R P o R 2 P o R n--1 P
, , ..., ,.
Quindi  è isomorfo a D 2n .
Passiamo ora al caso tridimensionale. Il punto di partenza nello studio di SO (3)
è il seguente lemma.
21.5 LEMMA Ogni RESO(3), R # 1 3 , possiede l'autovalore A. = 1 con auto-
spazio di dimensione l.

266
Geomelria euclidea
Dimostrazione
Poiché è una matrice quadrata reale di ordine dispari, R possiede almeno un
autovalore À. (cfr. 13.15(1». Per la proposizione 20.3 sappiamo. che À = ::I:: l.
Se À. = - l, sia x E R 3 un autovettore relativo a À. Per ogni y E x.L si ha
- Ry.x = Ry.(- x) = Ry.Rx = y.x = O
[21.5]
e quindi RyExl.; ne consegue che R trasforma xl. in sé stesso e definisce un ope-
ratore unitario R' su x.L. Scegliendo una base ortonormale di R 3 il cui primo vet-
tore è x/Il x Il, si vede che l = det(R) = (-1) det(R '). Si deduce da cià che R' è
una riflessione del piano x l.. Poiché R' possiede l' autovalore l, anche R ha l
come autovalore.
Sia W C R 3 il corrispondente autospazio; come in [21.5] si verifica che
R (W .L) = W l., sicché W .i. è un autospazio di R. Poiché det (R) = 1, se
dim (W) = 2 R induce l'identità anche su W.L. Ciò significa che W.l C W, cioè
W = R 3 , ovvero R = 1 3 , contro l'ipotesi. Quindi dim(W) = 1.
Dal lemma 21.5 discende che una rotazione R lascia fissi tutti i punti di una
retta passante per O che si dice asse della rotazione. Se si sceglie una base ortonor-
male {D, e l , e 2 } di R 3 orientata concordemente alla terna canonica {E 1 , E 2 , E 3 }
e tale che n appartenga all'asse, R induce sul piano (e I , e 2 ) una rotazione di un
certo angolo O, O '< O < 21f'. Sostituendo la base {n, e I , e 2 } con {- n, e 2 , e I }, l'an-
golo di rotazione O si muta in 21r - O. Quindi, a meno di tale sostituzione, cioè
a meno di scambiare n con - D, si può sempre supporre O '< O < 7r. Chiameremo
O angolo convesso della rotazione R.
Si noti che ogni rotazione R E SO (3) individua univocamente la coppia (o, O)
a meno che non si abbia O = 1r: in questo caso O = 21r - O e quindi n e - o defini-
scono lo stesso angolo. .
Viceversa, ogni coppia (o, O) E S2 X [O, 1r], dove S2 denota la sfera unitaria in
E 3 , individua un elemento RESO(3) così definito:
R(n) == D, R(e}) = (cosO) e I + (sinO) e 2 , R(e 2 ) = - (sinO) e I + (cosO) e 2 [21.6]
dove e l , e 2 sono univocamente determinati dalla condizione che {n, e}, e l } sia una
base ortonormale..
Possiamo riassumere quanto dimostrato sopra nella seguente proposizione:
21.6 PROPOSIZIONE La [21.6] definisce un'applicazione p: S2 x [O, 1r] -+ SO (3)
la cui restrizione a S2 X (O, 7r) è biunivoca, e tale che
p(n, O) = 13
p(o, 1(") = p(- n, 7r) per ogni OES 2 .
Mentre le rotazioni attorno allo stesso asse si compongono sommando gli angoli
di rotazione, le rotazioni attorno ad assi diversi hanno una legge geometrica di

21/Isometrie di piani e di spazi tridimensionali
267
composizione più riposta, il che rende la struttura di SO (3) più complicata di quella
di SO(2).
Esiste una descrizione molto esplicita di SO(3), dovuta a Eulero, ottenuta per
mezzo di particolari rotazioni.
Per ogni O E R, siano
l O O
Xo== O cosO - sin O
O sin O cosO
e
cosO - sinO O
Zo== sin O cosO O
O O l
Queste matrici rappresentano rotazioni di un angolo O attorno agli assi X e
Z rispettivamente. Poiché consideriamo orientazioni fissate degli assi X e Z, non
abbiamo la possibilità di ridurre l'angolo O ad un angolo convesso, cioè in [O, 7r],
come si è fatto nella dimostrazione della proposizione 21.6; pertanto, per poter
ottenere tutte le rotazioni attorno a tali assi occorre considerare O E R qualunque.
21.7 TEOREMA (EULERO, 1776)
Ogni RE SO(3) è della forma
R == Z o X O oZ I
'P 'I{I
dove O < cp, if; < 27[, O < O < 7r. Gli angoli cp, O,  sono detti angoli di Eulero della
rotazione R, e sono da essa univocamente determinati.
Dimostrazione
Una rotazione R, dovendo preservare l'orientazione, è completamente deter-
minata dalle immagini dei vettori CI == (1, O, O) ed e 3 == (O, O, l).
Per visualizzare il ragionamento pensiamo il vettore e r applicato nel punto
e 3 == (O, O, l) (fig. 21.90) ed R(e 1 ) applicato in R(e 3 ).
Applicando prima Xe e poi Zq; per opportuni O e cp tali che O < O < 1r,
O < cp < 27f, possiamo ottenere una rotazione che trasforma e 3 in R(e 3 ); O e cp
sono univocamente determinati e corrispondono rispettivamente alla "latitudine"
ed alla "longitudine" di R(e 3 ).
Il vettore (Zq; o Xe) (e I ), applicato in R{e 3 ), forma un angolo if; con R{e).
Facendo precedere la trasformazione Zq; o Xe da Z:/; si ottiene
(Ztp o Xe o Z) (e t ) == R(e I ),

268
(8)
(e)
mentre
Geometria euc/idea
(b)
(d)
Figura 21.9
(Ztp o Xo o ZtP) (e 3 ) = (Z'f) o Xo) (e 3 ) -:- R(e 3 ),
e quindi Z'f) o Xo o Z1/t = R.
Le figure 21.9b, c, d illustrano la successione delle trasformazioni effettuate.
Sia E uno spazio cuclideo tridimensionale..
La classificazione delle isometrie di E è simile a quella data dal teorema 21.3
per le isometrie del piano. Oltre alle rotazioni, riflessioni e traslazioni, si hanno
i seguenti altri tre tipi di isometrie.
Una glissoriflessione è definita come la composizione di una riflessione con
una traslazione in una direzione parallela al piano di simmetria della riflessione.

22/Diagonalizzazione di operatori simmelrici
269
Una glissorotazione è la composizione di una rotazione con una traslazione
in una direzione parallela all' asse della rotazione.
Una riflessione rotatoria è la composizione di una rotazione con la riflessione
rispetto a un piano perpendicolare all'asse della rotazione.
Nel 1776 Eulero dimostrò che ogni simmetria di E è di uno dei sei tipi che
abbiamo descritto, e cioè le rotazioni, le traslazioni, le riflessioni, le glissorifles-
sioni, le glissorotazioni e le riflessioni rotatorie.
Non daremo la dimostrazione di questo risultato. È abbastanza curioso il fatto
che l'analogo, e più semplice, teorema 21.3 che classifica le isometrie piane sia
stato dimostrato solo nel 1831, cioè cinquantacinque anni più tardi.
22 Diagonalizzazione di operatori simmetrici
Nelle pagine precedenti abbiamo introdotto due diverse relazioni di equivalenza
tra matrici quadrate: la similitudine e la congruenza. Ricordiamo che due matrici
A, BEMn(K), n > 1, sono dette simili (rispettivamente congruenti) se esiste
MEGLn(K) tale che B = M-1AM (B = MAM).
La similitudine è stata introdotta allo scopo di studiare le matrici che rappre-
sentano un operatore su di uno spazio vettoriale rispetto a due diverse basi; la
congruenza è stata invece definita per descrivere le matrici di una forma bilineare
rispetto a basi diverse.
In corrispondenza alle due nozioni si hanno due diversi problemi di diagona-
lizzazione, che possono così enunciarsi: data A E Mn(K), trovare una matrice dia-
gonale BEMn(K) simile (oppure congruente) ad A.
Il secondo problema, quello dell'esistenza di matrici diagonali in una data classe
di congruenza, equivalente al problema della diagonalizzazione delle forme bili-
neari, è risolubile se ci si limita a considerare forme bilineari simmetriche, e cioè
matrici A simmetriche: è quanto afferma il teorema 16.1.
Come sappiamo, facili esempi mostrano che il primo dei due problemi non
ammette soluzione in generale, cioè non tutte le classi di similitudine contengono
una matrice diagonale (cfr. esempio 13.15(3».
In questo paragrafo considereremo un'altra questione, più particolare ma molto
importante in geometria euclidea, vale a dire il problema di diagonalizzare matrici
simmetriche reali per mezzo di matrici ortagonali.
Se A E Mn(R) ed MEO(n), si ha
M IAM::::: AM
[22.1 ]
e quindi la matrice [22.1] è simultaneamente simile e congruente ad A. Parlando
di diagonalizzazione di una matrice per mezzo di matrici ortogonali, non è dun-
que necessario specificare se ci si riferisce alla similitudine o alla congruenza per-
ché le due nozioni sono equivalenti. Il limitarsi a considerare le matrici MEO(n)

270
Geometria euclidea
è equivalente a considerare, in uno spazio vettori aIe euclideo di dimensione finita
V, solo basi ortonormali; quindi la diagonalizzabiIità di una matrice simmetrica
A per mezzo di matrici ortogonali significa che sia la forma quadratica definita
da A che l'operatore di matrice A rispetto a una base ortonormale di V sono dia-
gonalizzabili in una base ortonormale.
Una semplice, ma fondamentale, proprietà delle matrici simmetriche reali è
descritta dal seguente lemma.
22.1 LEMMA Il polinomio caratteristico di una matrice simmetrica
A E Mn(R) possiede solo radici reali.
Dimostrazione
Possiamo considerare A come una matrice di numeri complessi e quindi come
un operatore T A : Cn -+ cn. Sia À E C una radice del polinomio caratteristico di A,
e sia x E cn un corrispondente autovettore. Si ha
A x = AX.
[22.2]
Prendendo i complessi coniugati di primo e secondo membro, si ha anche
-
A x = A x .
[22.3]
Consideriamo lo scalare tx A x, e scriviamolo in due modi diversi utilizzando
la [22.2] e la [22.3]:
tx Ax = tx (Ax) = t X A.X = A/xx
[22.4]
- -
tx Ax = ( tx A) x = t (Ai) x = t(À.X) x = À rxx.
Osservando che
[22.5]
t- _- - -
xx - XI XI + X 2 X 2 + ... + XnX n
-
è un numero reale positivo, perché x  O, dalle [22.4] e [22.5] deduciamo che À. = À,
cioè che À è reale.
22.2 TEOREMA (SPETTRALE) Siano V uno spazio vettoriale euclideo di dimen-
sione finita e T: V -+ V un operatore simmetrico. Esiste una base ortonormale di
V rispetto alla quale la matrice che rappresenta T è diagonale.
Dimostrazione
Procediamo per induzione su n = dim(V). Se n = l non' c'è niente da dimo-
strare; supponiamo quindi n > 2 e che il teorema sia vero per spazi di dimensione
n - l. Poiché l'operatore T è simmetrico, il polinomio caratteristico di T possiede
radici reali, per il lemma 22.1. Quindi T possiede un autovalore À; sia e I un cor-
rispondente autovettore, che possiamo supporre di norma 1, e sia U = eI-L il com-

22/Diagonalizzazione di operatori simmetrici
271
plemento ortogonale di e I . Per ogni u E U si ha
(T(u), e I ) = (u, T(e I » = (u, À.e l ) = A(U, e I ) = AO = O,
e quindi T(u) E U, cioè T induce un operatore Tu: U  U. Poiché Tu(u) = T(u)
per ogni U E U, l'operatore Tu è simmetrico. Per l'ipotesi induttiva, U possiede
una base ortonormale {e 2 , ..., e n } che diagonalizza Tu. Allora {el' e 2 , ..., e n } è
una base ortonormale di V che diagonalizza T.
Il teorema spettrale può enunciarsi nella forma equivalente seguente.
22.3 TEOREMA Per ogni matrice simmetrica reale A EMn(R) esiste una
matrice ortogonale ME O (n) tale che M-- IAM sia diagonale.
Dimostrazione
A è la matrice di un operatore simmetrico T A di Rn rispetto alla base cano-
nica. Dal teorema spettrale segue che T A è diagonalizzabile in una base ortonor-
male, e quindi l'asserto.
Un enunciato equivalente del teorema spettrale si può dare in termini di forme
quadratiche:
22.4 TEOREMA Per ogni forma quadratica q: V -+ R su uno spazio vettoriale
. euclideo di dimensione finita, esiste una base ortonormale diagonalizzante.
La dimostrazione del teorema 22.4 è simile alla precedente ed è lasciata al lettore.
La principale applicazione geometrica del teorema spettrale è un elegante teo-
rema di classificazione delle coniche euclidee, che dimostreremo nel capitolo 4,
e più in generale un teorema di classificazione delle quadriche in uno spazio eucli-
deo di dimensione qualunque.
Il seguente risultato è implicito nel teorema 22.2 nel caso finito-dimensionale:
22.5 PROPOSIZIONE Sia T: V  V un operatore simmetrico sullo spazio vet-
toriale euclideo V. Se À, p., sono due autovalori distinti di T, ogni autovettore rela-
tivo a A è ortogonale ad ogni autovettore relativo a J1..
Dimostrazione
Siano v, w E V autovettori relativi a À e a p, rispettivamente. Si ha:
(T(v), w) = (Àv, w) = À(v, w)
(v, T(w» = (v, J1.w) = J1.(v, w)
e, poiché T è simmetrico, si deduce che
A(V, w) = J1.(v, w).
Poiché À  J1., si deve avere (v, w) = o.

272
Geometria euclidea
22.7 Complementi
l. Come abbiamo ricordato all'inizio di questo paragrafo, non tutte le matrici
A E Mn(K) sono simili a una matrice diagonale. Tale circostanza fa sorgere il pro-
blema di trovare una classe di matrici, da chiamarsi forme canoniche, il più pos-
sibile semplici, tra le quali rientrino le matrici diagonali come casi particolari, e
tali che ogni classe di similitudine ne contenga una. Tali matrici, se esistessero,
potrebbero essere prese come rappresentanti delle classi di similitudine, e quindi
fornirne una classificazione esplicita. Tra tutte le soluzioni note di questo pro-
blema la più importante è la cosiddettaforma canonica di Jordan, a cui accenne-
remo brevemente, rinviando il lettore a testi specializzati di algebra lineare per
le dimostrazioni (cfr. ad esempio [6]).
Un blocco di Jordan di ordine n è una matrice n X n a elementi in K della forma
À O O
1 À O
O l O
o O 1 À
per qualche ÀE K. Denoteremo un blocco di Jordan siffatto con il simbolo J n À.
.
Una matrice A E Mn(K) si dice informa canonica di Jordan se è della forma
seguente:
J O
nh À. 1
O J
n2. À7
A=
O O
o
O
J
nJ.., Àk
per opportuni interi positivi n l' ..., n k tali che n l + .... + n k = n, e À 1 , ..., Ak E K.
Si dimostra facilmente che gli scalari Àt, ...., Ak sono gli autovalori di A.
Se, in particolare, k = n ed n j = l per ogni j == 1, ...., n, allora A = diag (AI' ...
. .., Àn) è una matrice diagonale.
Si ha il seguente risultato:
TEOREMA DI JORDAN Supponiamo K algebricamente chiuso. Sia V un K-spazio
vettoriale di dimensione finita, e sia T: V  V un operatore. Esiste una base e di
V tale che la matrice Me(T) sia in forma canonica di Jordan.
Una conseguenza immediata del teorema di Jordan è che ogni MEMn(K) è
simile a una matrice in forma canonica di Jordan.

23//1 caso complesso
273
Esercizi
l. In ciascuno dei casi seguenti determinare una matrice ME 50(2) che diagonalizzi la
matrice simmetrica assegnata:
a) C :) b) (-1: -I;)
1 l
7 -2 -
c) d) 2
5 1
-2 - - l
3 2
2. In ciascuno dei seguenti casi detèrminare una trasformazione ortogonale di R 3 che
diagonalizzi la forma quadratica assegnata:
a) q(Xh X2, X3) = 2xf + 2XIX2 + 2XIX3 + 2x; + 2X2X3 + 2xj
b) q(Xl X2, X3) = - 2XIX2 + 2XIX3 - 2xi - 2X2X3 - 2x;
c) q(xJ, X2, X3) = xt + 4X)X3 - xi + x;
e trovarne la corrispondente forma diagonale.
3. Dimostrare che se A E M n (R) è una matrice antisimmetrica, ogni radice non nulla del
suo polinomio caratteristico è un numero complesso puramente immaginario.
23 Il caso complesso
Abbiamo visto che in uno spazio vettoriale euclideo è possibile definire tutti
i concetti di natura metrica della geometria euclidea utilizzando il prodotto sca-
lare. In un campo K diverso da R in generale non ha senso parlare di positività
e quindi non è possibile introdurre la nozione di prodotto scalare in uno spazio
vettoriale su un campo qualsiasi. Nel caso K = C è però possibile aggirare questa
difficoltà in un modo molto semplice, modificando la definizione di forma bili-
neare simmetrica in quella di "forma hermitiana".
23.1 DEFINIZIONE Sia V uno spazio vettoriale su C. Un'applicazione
h: V x V -+ C è una forma hermitiana su V se soddisfa le seguenti condizioni:
h(v+v', w)=h(v, w)+h(v', w)
h(v, w+w')=h(v, w)+h(v, w')
h(cv, w) = c h(v, w)
h(v, w) = h(w, v).
[23.1 ]
[23.2]
(23.3]
[23.4]
18

274
Geometria euclidea
La [23.1] e la [23.3], insieme, affermano che h(v, w) è C-lineare in v, mentre
la [23.2] afferma che h(v, w) è additiva in w. Dalla [23.4] deduciamo che si ha
h(v, cw) == h(cw, v) == c h(w, v) = c h(v, w)..
[23.5]
La [23.2] e la [23.4] insieme ci dicono quindi che h(v, w) è antilìneare in w
(cfr. complemento 11.14(3)).
Dalla [23.4] segue anche che h(v, v) E R per ogni v E V_
La forma hermitiana h si dice semidefinita positiva (semidefinita negativa) se
h (v, v) > O (h (v, v) :5 O) per ogni v E V; h si dice definita positiva (definita nega-
tiva) se h(v, v) > O (h(v, v) < O) per ogni v  o.
Supponiamo che V abbia dimensione finita e sia e = {e l , ..., e n } una sua base.
Per ogni 1 :5 i, j < n poniamo hij == h (e i , e j ). La matrice
H= (hij) E Mn(C)
è detta la matrice che rappresenta h rispetto alla base e. Per la [23.4] si ha
-
h.. == h.. P er O g ni 1 < i, J . < n,
J I l)
ovvero H == t H. .
Una matrice HEMn(C) tale che H == t H si dice hermitiana. Quindi la matrice
che rappresenta una forma hermitiana rispetto a una qualunque base è una matrice
hermitiana. Si noti che se la matrice H è hermitiana, allora in particolare hiiE R
per ogni i = 1, ..., n. Se H è simmetrica a elementi reali, allora è hermitiana.
Come nel caso delle forme bilineari, la matrice di una forma hermitiana rispetto
a una base e determina la forma. Infatti, per ogni
v==xte I +... +xne n , W=YleI + ... +yne n
[23.6]
si ha
h(v, w) = h(x1e I + ... + xne n , Ytel + -.. + Y17en) =
= E ..x. y .h ( e- e. ) == txHV y
l) l I l' J ·
Viceversa, data una matrice hermitiana HEMIl(C) e una base e di V, ponendo
h(v, w) == (x Hy
per ogni v, wEV come in [23.6], si definisce una forma hermitiana su V. La veri-
fica è lasciata al lettore.
Nel caso particolare in cui H è la matrice nulla, si ottiene corrispondentemente
la forma hermitiana nulla: h (v, w) == O per ogni v, w E V.
Molte definizioni e risultati dimostrati in precedenza per le forme bilineari sim-
metriche si estendono al caso delle forme hermitiane.
Due vettori v, w E V si dicono ortogonali o perpendicolari se h (v, w) == O. Se
S C V, definiamo
S.l = {w E V: w è ortogonale ad ogni v E S }

23//1 caso complesso
275
e chiamiamo S.l sottospazio ortogonale a S; si verifica immediatamente che S.l.
è un sottospazio vettoriale di V.
Una base e = lei' ..., e n } di V si dice diagonalizzante o ortogonale per h se
i vettori e 1 , ..., e n sono a due a due ortogonali.
23.2 TEOREMA Sia V uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita
maggiore di zero, e sia h una forma hermitiana su V. Esiste in V una base diago-
nalizzante per h.
Lasciamo al lettore il compito di dimostrare il teorema 23.2 adattando oppor-
tunamente le dimostrazioni dell'analogo teorema 16.1.
Il caso più importante che verrà esaminato è quello in cui h è definita positiva.
Una forma hermitiana h definita positiva sarà anche chiamata prodotto hermi-
tiano su V. Uno spazio vettoriale complesso su cui è assegnato un prodotto her-
mitiano si dice spazio vettoriale hermitiano.
Ponendo
h(x, y) = x- y = X] Y l + X 2 Y2 + ... + xn Y n
[23. 7]
si definisce un prodotto hermitiano su C n , il prodotto hermitiano standard. La
verifica del fatto che la [23.7] è un prodoio hermitiano è lasci3:ta al lettore. C n
dotato del prodotto hermitiano standard è detto n-spazio vettoriale hermitiano.
Gli spazi vettori ali hermitiani sono l'analogo complesso degli spazi vettoriali
euclidei e la teoria sviluppata in quel caso si generalizza ad essi con pochi cambia-
menti. Ad esempio, in uno spazio vettoriale hermitiano le nozioni di norma, o
lunghezza, di un vettore, di coefficiente di Fourier e di proiezione di un vettore
lungo la direzione di un vettore non nullo si definiscono esattamente come in uno
spazio euclideo.
Conseguentemente la nozione di base ortonormale si dà come nel caso eucli-
deo. Dal teorema 23.2 discende immediatamente l'esistenza di una base ortonor-
male, che si ottiene a partire da una base ortogonale normalizzando ne gli elementi,
cioè dividendo ogni vettore della base per la sua norma. Il procedimento di Gram-
Schmidt si estende senza cambiamenti agli spazi vettoriali hermitiani.
Fissiamo uno spazio vettoriale hermitiano V di dimensione finita, e denotiamo
con (v, w) il prodotto hermitiano di due vettori.
Se e = {e I , ..., e n } è una base ortonormale di V, la matrice che rappresenta il
prodotto hermitiano rispetto ad e è In. Pertanto il prodotto hermitiano di due vet-
tori v = XI e I + ... + X n e n , w = Y I e] + ... + Y n e n è
(v, w) = t x y ,
cioè uguaglia il prodotto hermitiano standard delle loro coordinate.
Anche la disuguaglianza di Schwarz si estende agli spazi vettoriali hermitiani,
ma la dimostrazione è un po' diversa dal caso euclideo.

276 Geometria euclidea
23.3 TEOREMA (DISUGUAGLIANZA DI SCHWARZ) Per ogni v, WEV si ha
I (v, w) I < Il v Il Il w Il [23.8]
e vale /'uguaglianza se e solo se v e w sono paralleli.
Dimostrazione
Se w = O la [23.8] è ovvia. Possiamo quindi supporre w  O. Per ogni a, bE C
si ha
O:s (av + bw, av + bw) = (av, av) + (av, bw) + (bw, av) + (bw, "bw) ==
- -
= aa (v, v) + ab(v, w) + a b(w, v) + bb(w, w).
Sostituendo i valori a = (w, w) e b == - (v, w) si ottiene
0 < IlwIl 4 I1vIl 2 .- 211wll 2 (v, w) ( v, w ) + IIwll 2 (v, w) ( v, w ).
Poiché (v, w) ( v, w ) == I (v, w) 1 2 , si ha
IIwI1 2 1{v, w) 1 2 < IIwll 4 11vll 2
e dividendo per Il w 11 2 si ottiene la [23.8]. L'uguaglianza è vera se e solo se
av + bw == O, che è soddisfatta se e solo se v e w sono proporzionali.
La norma -dei vettori gode delle proprietà Nl, N2, N3 (cfr.  17). La Nl è ovvia
e la N2 segue dall'identità
(rv, rv) = I r I 2 (v, v).
La N3 è la disuguaglianza triangolare e si dimostra nel seguente modo. EspIi-
citiamo
Uv + wll 2 == (v + w, v + w) == (v, v) + (v, w) + (w, v) + (w, w)
e osserviamo che
(v, w) + (w, v) == (v, w) + ( v, w ):5 21(v, w) I.
Utilizzando la [23.8] otteniamo quindi
Il v + w 11 2 :5 Il V 11 2 + 2 I (v, w) I + Il w 11 2 :5
< Il V 11 2 + 211 v Il Il w Il + Il w 11 2 == (Il v Il + Il w Il)2,
cioè la N3.
23.4 DEFINIZIONE Un operatore T: V  V si dice unitario se soddisfa la con-
dizione
(T(v), T(w» == (v, w) per ogni v, WEV.

23/1/ caso complesso
277
Abbiamo il seguente risultato, del tutto simile al teorema 20.1, che caratterizza
gli operatori unitari:
23.5 TEOREMA Sia T: V  V un' applicazione. Le seguenti condizioni sono
equivalenti:
l) T è un operatore unitario.
2) T è un operatore tale che Il T(v)1I = Il v n per ogni v E V.
3) T(O) = O e I1T(v) - T(w)1I = Il v - wll per ogni v, WEV.
4) T è un operatore e per ogni base ortonormale {el' ..., e n } di V, {T(e I ),...
..., T(e n )} è una base ortonormale.
5) T è un operatore ed esiste una base ortonormale {e 1 , ..., e n } di V tale che
(T(e l ), ..., .T(e n )} sia una base ortonormale.
La dimostrazione del teorema 23.5 ricalca esattamente quella del teorema 20.1,
cui rinviamo il lettore.
Si noti che dal teorema precedente segue che un operatore unitario T è inverti-
bile, cioè TE GL(V).
23.6 COROLLARIO Sia T: V  V un operatore unitario.
l) Ogni autovalore À. di T è tale che I À. I = 1.
2) Se v e w sono due auto vettori relativi ad autovalori distinti À., p, rispettiva-
mente, allora v e w sono perpendicolari.
Dimostrazione
l) Sia v E V un autovettore relativo a À.. Si ha
-
(v, v) = (T(v), T(v» = (À.v, À,v) = À.À.(v, v).
-
Poiché (v, v) # O, dev'essere À.À, = 1, cioè I À.I = 1.
2) Si ha
(v, w) = (T(v), T(w» = (À.v, p,w) = 'Ap, (v, w).
[23.9]
- -
Se (v, w) # O, dalla [23.9] segue À, p, = 1; ma si ha anche À.À. = 1, e quindi À. = p"
cioè À. = p" che è contro l'ipotesi.
Gli operatori unitari sono strettamente in relazione con le matrici unitarie.
23.7 COROLLARIO Un operatore T: V  V è unitario se e solo se la matrice
che rappresenta T in una qualunque base ortonormale di V è unitaria.
Dimostrazione
Sia e = {e I , ..., e n } una base ortonormale di V, e sia A = (a ij ) E M n (C) la

278
Geometria euclidea
matrice che rappresenta l'operatore T rispetto a e. Allora T è unitario se e solo
se si ha
Òij = (e j , e j ) = (T(e i ), T(e j » = (i)A(j)' l < i, j < n,
dve A(I)' ..., A(n) sono le colonne di A. Pertanto abbiamo A == In' ovvero
A = In.
La principale differenza tra operatori unitari nel caso reale ed in quello com-
plesso riguarda la loro diagonalizzabilità. Il risultato seguente vale infatti per gli
operatori unitari complessi, ma non per quelli reali.
23.8 TEOREMA Sia T: V -+ V un operatore unitario, e supponiamo
dim (V) == n  l. Esiste una base ortonormale dì V che diagonalizza T.
Dimostrazione
Per induzione su n. Se n = 1 non c'è niente da dimostrare. Supponiamo n 2: 2
c che il teorema sia vero per spazi di dimensione minore di n. Sia e} E V un auto-
vettore di T e sia À il relativo autovalore. Possiamo supporre Il e I Il = l. Sia
U = e/-. Poiché ÀÀ. = l, per ogni uEU si ha
-
( T( u), e.) = (T( u), ÀÀ e I ) == À. ( T( u), T( e i » = À (u, e I ) = À. O = O.
Quindi T trasforma U in sé stesso, e induce un operatore unitario
Tu: U -+ U.
Per l'ipotesi induttiva U possiede una base ortonormale {e 2 , ..., e n } rispetto
alla quale Tu è diagonale. Allora {e], e 2 , ..., e n } è una base orto normale di V che
diagonalizza T.
Il teorema 23.8, tenuto conto del corollario 23.7, afferma in particolare la dia-
gonalizzabilità di ogni matrice unitaria mediante una matrice unitaria. Precisa-
mente si ha:
23.9 COROLLARIO Per ogni A E U (n) esiste M E U (n) tale che M--1AM sia dia-
gonale, o, equivalentemente, tale che *MAM sia diagonale.
Dal corollario segue in partico)are la diagonalizzabilità di ogni matrice A E O(n).
Si faccia però attenzione: una matrice ortogonale non è in generale diagonalizza-
bile per mezzo di matrici reali, perché non possiede, in generale, autovalori reali.
Ad esempio le matrici Rf) E O (2) O < () < 7r, non hanno autovalori reali.
23.10 DEFINIZIONE Un operatore T: V -+ V si dice hermitiano se soddisfa la
condizione
(T(v), w) = (v, T(w» per ogni v, wEV.

23/11 caso complesso
279
Supponiamo che e::::: {e}, ..., e n } sia una base ortonormale di V, e sia A la
matrice che rappresenta un operatore hermitiano T rispetto a e. Si ha, per ogni
v = xte t + ... + xne n , W == YleI + ... + Ynen:
(T(v), w) = t (Ax)y = tx y
(v, T(w» = tx(Ay) = tx Ay
[23.10]
e quindi t x  y = tx A y . Poiché quest'uguaglianza è vera per ogni x, y E cn,
dev'essere :4 = A ,.cioè A è una matrice hermitiana.
Se viceversa A E Mn(C) è una qualsiasi matrice hermitiana e T è l'operatore
rappresentato da A nella base ortonormale e, allora dalle [23.10] segue che T è
hermitiano. Abbiamo pertanto la seguente proposizione:
23.11 PROPOSIZIONE Un operatore T: V -+ V è hermitiano se e solo se la
matrice A che rappresenta T rispetto a una qualunque base ortonormale è una
matrice hermitiana.
Gli operatori hermitiani sono gli analoghi, per gli spazi vettoriali hermitiani,
degli operatori simmetrici nel caso euclideo. Abbiamo la seguente estensione del
lemma 22.1:
23.12 LEMMA Tutti gli autovalori di un operatore hermitiano T: V  V sono
reali.
Dimostrazione
Sia A E C un auto valore di T, e sia v E V un autovettore relativo a À.. Si ha
-
À(v, v) = (Àv, v) = (T(v), v) = (v, T(v» = (v, AV) == A.(v, v).
-
Poiché (v, v)  O, si deduce che À, = A..
Il teorema spettrale, che abbiamo dimostrato per gli operatori simmetrici, si
estende a quelli hermitiani:
23.13 TEOREMA (SPETTRALE) Sia T: V  V un operatore hermitiano. Esiste
una base ortonormale di V che diagonalizza T. .
La dimostrazione è identica a quella del teorema 22.2 e pertanto la omettiamo.
23.14 Complementi
Sia h: V x V --+ C una forma hermitiana sullo spazio vettoriale complesso V.
Separando la parte reale da quella immaginaria, per ogni v, w E V possiamo scrivere
h(v, w) = s(v, w) + ia(v, w)

280
Geometria euclidea
con s(v, w), a(v, w)E R. Segue subito dalle [23.1] e [23.2] che s(v, w) e a(v, w)
sono additive sia rispetto a v che a w. Inoltre, per ogni c E R, v, w E V, si ha
s(cv, w) + ia(cv, w) = h(cv, w) = ch(v, w) = cs(v, w) + ica(v, w)
per la [23.3], e
s(v, cw)+ia(v, cw)=h(v, cw)=ch(v, w)=cs(v, w)+ica(v, w).
Quindi s(v, w) e a(v, w) sono due forme biIineari su V considerato come uno
spazio vettoriale reale.
Per la [23.4] si ha anche
s(w, v) + ia(w, v) = s(v, w) - ia(v, w)
e quindi
s(w, v) = s(v, w)
a(w, v) = - a(v, w)
per ogni v, w E V. Pertanto
s: V x V  R
è una forma R-bilineare simmetrica, mentre
a: V X V  R
è un forma R-bilineare antisimmetrica.
Inoltre, esplicitando le identità
h(iv, w) = ih(v, w)
h(v, iw) = - ih(v, w)
si ottiene
a(v, w) == - s(iv, w) = s(v, iw)
s(v, w) = a(iv, w) = - a(v, iw)
[23.11]
[23.12]'
per ogni v, wEV.
Infine, esplicitando l'identità
h(iv, iw)::= h(v, w)
si ottiene
s(iv, iw) = s(v, w)
a (i v, i w) == a (v, w)
per ogni v, wEV.
[23.13 ]
[23.14]

23//1 caso complesso
281
Dalla [23.11] segue che s individua a, mentre la [23.12] mostra che, d'altra parte,
a individua s.
Viceversa, data una forma R-bilineare simmetrica s: V x V  R soddisfacente
la [23.13], ponendo
h(v, w) = s(v, w) + is(v, iw)
si definisce una forma hermitiana h: V x V  C. Verifichiamo la [23.3] e la [23.4].
Si ha, per ogni c=a+ibEC, v, wEV:
h(cv, w) = s(av, w) + is(av, iw) + s(ibv, w) + is(ibv, iw) =
= ah(v, w) + b[s(iv, w) + is(iv, iw)] =
== ah(v, w) + b[s(- v, iw) + is(v, w)] =
= ah(v, w) + ibh(v, w) == ch(v, w)
e la [23.3] è soddisfatta. Inoltre
h(w, v) = s(w, v) + is(w, iv) = s(v , w) + is(i v, w) =
== s(v, w) + is( - v, iw) = h(v, w),
e anche la [23.4] è verificata.
In modo simile si dimostra che, data una forma R-bilineare antisimmetrica
a: V X V -+ R soddisfacente la [23.14], ponendo
h(v, w)=a(iv, w)+ia(v, w)
si definisce una forma hermitiana su V.
Riassumendo possiamo dire che assegnare una forma hermitiana sullo spazio.
vettoriale complesso V è equivalente ad assegnare su V una forma R-bilineare sim-
metrica soddisfacente la condizione [23.13], oppure una forma R-bilineare anti-
simmetrica soddisfacente la [23.14].
Esercizi
l. Stabilire quali delle seguenti sono forme hermitiane su C 2 :
a) (x, Y> = XIYl + ix 1 Y2 + ix 2 YI
c) (x, Y) = XIYl + 2ix l Y2 - 2ix 2 YI
e) (x Y) = XIYI + 2X2Y2.
b) (x y) = i J xd I yll
d) (x, y) = I + XIY) + XIY2
2. Stabilire quali delle seguenti matrici sono hermitiane:
l:;) b) G )
d) G -;)
a) C-i
c) C )

282 Geolnelria euclidea
O l l l l l
e) I 2 1 +i f) 2
-1 l-i O -2i O
3. Utilizzando il procedimento di Gram-Schmidt, orto normalizzare la seguente base di
C 3 rispetto al prodotto hermitiano standard:
b == {(i - i, O), (O, i, O), (O, i, i)}.
4. Per ciascuna delle seguenti matrici hermitiane A determinare una matrice unitaria M
tale che *MAM sia diagonale:
V3 l
a) (_: : )
2
2
Y3
b)
1
2 2

Capitolo 3
Geometria proiettiva
24 Spazi proieitivi
La geometria euclidea studia proprietà che, nella loro formulazione e dimo-
strazione, fanno ricorso a misurazioni e a confronto di lunghezze e di angoli. Anche
nella geometria affine reale si ricorre a misurazioni, sebbene le distanze si con-
frontino solo lungo rette parallele. Per diversi secoli la geometria è stata studiata
esclusivamente da un punto di vista metrico, e solo in tempi relativamente recenti
ci si è accorti che esistono proprietà geometriche che possono essere formulate
senza ricorrere a misurazioni o al confronto di grandezze. Alcune di queste pro-
prietà vengono studiate dalla "geometria proiettiva".
Questa geometria ha le sue origini nelle regole della prospettiva, che gli artisti
del Rinascimento (Brunelleschi, L.B. Alberti, Piero della Francesca e altri) stu-
diarono scientificamente e utilizzarono in modo sistematico. Tali regole sono basate
sull'idea 4i "punti di fuga", verso cui concorrono i contorni degli oggetti così
come essi appaiono da un punto di osservazione.
Precursore della geometria proiettiva fu Girard Desargues (1593-1650), il quale
per primo considerò rette e piani paralleli come casi particolari di rette e piani
incidenti. La nascita della geometria proiettiva come una parte organica della mate-
matica risale alla prima metà del secolo XIX con l'opera di Gaspard Monge
(1746-1818) e di l.V. Poncelet (1788-1867). Gli spazi ambiente in cui essa viene
studiata costituiscono un modello matematico astratto di spazio in cui valgono
proprietà di natura grafica simili alle regole del disegno prospettico. Gli spazi proiet-
ti vi nascono dall'esigenza di una geometria da cui venga eliminata la nozione di
parallelismo, che in geometria affine comporta il dover tenere conto di casi d'ec-
cezione quando si considera l'intersezione di sottospazi. La geometria proiettiva
consente inoltre di interpretare geometricamente e rendere più trasparenti certe
parti dell'algebra lineare, come ad esempio la teoria dei sistemi di equazioni lineari
omogenee.

284
Geometria proietliva
24.1 DEFINIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione finita. Lo spa-
zio proiettivo associato a V è l'insieme P (V) l cui elementi, chiamati punti di P (V),
sono i sottospazi vettorlali di dimensione 1 di V.
Se K = R (K = C), P(V) si dice spazio proiettivo reale (spazio proiettivo
complesso).
La dimensione di P (V) è definita come dim(V)- l e si denota con dim (P (V».
Se ha dimensione 1 (dimensione 2), P(V) è una retta proiettiva (un piano
proiettivo ).
Ogni ve V \ {O} genera il sottospazio di V di dimensione uno
( v > = {À. v: A E K};
quando lo considereremo come un punto di P(V) denoteremo questo sottospazio
con il simbolo [v]. Due vettori v, w E V\ {O} definiscono lo stesso punto di P(V),
cioè [v] = [w], se e solo se esiste AE K, À.  O, tale che w = AV.
Se dim(V) == O, cioè V = {O}, si ha P(V) = 0, perché V non possiede sottospazi di
dimensione I. Quindi, per.definizione, 0 è uno spazio proiettivo di dimensione -1.
Se dim(V) == l, P(V) possiede un solo punto, V stesso, e dim(P(V» = o: uno
spazio proiettivo di dimensione O consiste dunque di un solo punto.
Gli esempi più importanti di spazi proiettivi si ottengono considerando V = Kn+I.
Lo spazio p(Kn+l) si denota con pn(K), o semplicemente con pn se non c'è pos-
sibilità di equivoco. È uno spazio proiettivo di dimensione n, che si chiama l'n-
spazio proiettivo numerico.
Per ogni (xo,Xi' ..., x n )  (O, O, ..., O) denoteremo con [Xo,x I , ..., xn] il punto
corrispondente di pn. Si ha
[XO'X I , ..., xn] = [YO'YI' ...,Yn]
se e solo se esiste A.  O in K tale che Yj= AX j , i = O, ..., n.
24.2 DEFINIZIONE Sia P = P(V) e sia {e o , ..., e n } una base di V. Diremo che
{e o , ..., e n } definisce in P un sistema di coordinate omogenee (o un riferimento
proiettivo). Tale sistema verrà denotato con e o ... e n . Sia
v = Xo e o + XI e I + ... + X n e n E V \ { O } ·
Gli scalari XO' ..., X n si dicono coordinate omogenee del punto P = [v] E P rispetto
al riferimento e o ... e n . Scriveremo P[x o , ..., xn] per denotare il punto pep di
coordinate omogenee xo' ..., xn.
I punti
Fo[I, O, ..., O] = reo], ..., Fn[O, ..., O, l] = [e n ],
U [1, 1, ..., l] = [e o + ... + e n]
si diranno rispettivamente punti fondamentali e punto unità del riferimento
e o ... e n .

24/Spazi proiettivi
285
Poiché [v] == [A. v], e
A v = À.xoe o + AX} e I + ... + AXne n ,
per ogni v E V\ {O), À.  O, le coordinate omogenee di un punto P = [v] E P rispetto
a un dato riferimento proiettivo sono determinate da P solo a meno di un fattore
di proporzionalità non nullo. In altre parole, se Xo, ..., X n sono coordinate omo-
genee di P, lo sono anche AX o , ..., AX n per ogni A  O in K.
Se invece della base {e o ,. . . , e n } di V si considera la base proporzionale
{ Il eo, ..., Il e n } per un qualsiasi Jl  O in K, si ha
v == xoe o + xte l + ... + xne n
e
IL v == xo(p.e o ) + x 1 (lle I ) +... + xn(JLe n )
per ogni vEV\ {O}. Dunque le coordinate omogenee di [v] = [JLv] rispetto ai due
riferimenti -sono le stesse. Per questo motivo si considerano identici due sistemi
di coordinate omogenee se sono definiti da basi di V proporzionali; in simboli
e o ... e n = (p., eo) ... (IL e n) ·
In pn il riferimento determinato dalla base canonica di Kn-f I si dice riferimento
proiettivo standard. Ripetto ad esso le coordinate omogenee di P = [x o , ..., xn]
sono Xo, ..., X n , e si dicono coordinate omogenee standard di P. I punti fonda-
mentali di questo riferimento sono [1,0, ..., O], ..., [O, ..., O, l], e il punto unità
è [1, ..., 1].
Un sottospazio vettori aie W di V definisce a sua volta uno spazio proiettivo
P(W) contenuto in P = P(V) , che è detto sottospazio proiettivo (o sottospazio
lineare) di P. In particolare P stesso è un sottospazio proiettivo (improprio) di
sé stesso.
Si ha dim[P(W)] == dim(W) -1, e quindi
dim(P) - dim [P (W)] == dim(V) - dim(W);
il numero dim(P) - dim[P(W)] è detto codimensione di P(W) in P.
I sottospazi di codimensione uno si dicono iperpiani. Se dim(P) = n, le rette
ed i piani di P sono i sottospazi di codimensione n - l ed n - 2 rispettivamente.
Nello spazio proiettivo P = P (V) supponiamo assegnato un sistema di coordi-
nate omogenee e o ... e n , e sia
aoXo + ... + anX n == O
[24.1 ]
un'equazione lineare omogenea nelle indeterminate Xo, ..., X n , ajE K, tale che
(a o , ..., a n )  (O, ..., O).

286
Geometria proiettiva
In V la [24.1] rappresenta, rispetto alla base {eo, ..., e n }, un iperpia.no vetto-
riale, cioè un sottospazio vettoriale H C V di codimensione I. I punti P = [v] E P
le cui coordinate omogenee soddisfano la [24.1] sono quelli tali che vEH, v  O,
e quindi la [24.1] è soddisfatta dalle coordinate di tutti e soli i punti dell'iperpiano
P(H) di P. La [24.1] è un'equazione cartesiana dell'iperpiano P(H).
Si osservi che, poiché la [24.1] è un'equazione omogenea, una (n + 1)-upla
(x o , ..., x n ) E K n + I \ {O} è una sua soluzione se e solo se lo è (À,X o , ..., À,x n) per ogni
Iv  O in K; quindi ha senso dire se le coordinate omogenee di un punto PE P sod-
disfano la [24.1] oppure no.
Se O < i < n, l'iperpiano di P di equazione cartesiana Xi = O è detto i-esimo
iperpiano coordinato e consiste di tutti i punti la cui i-esima coordinata omoge-
nea è uguale a O (questa condizione è indipendente dalla scelta della (n + l)-upIa
di coordinate omogenee del punto).
Gli iperpiani coordinati di p n , rispetto al riferimento proiettivo standard, si
indicano con Ho, H 1 , ..., Hn. Si ha quindi
H i = {[x o , ..., Xn] E pn: Xi = O}.
Ad esempio, ogni iperpiano di P 1 ha dimensione zero e pertanto consiste di
un solo punto; in particolare Ho = {[O, I] }, e Hl = {[1, O] J.
Più in generale consideriamo un -sistema di t equazioni lineari omogenee
alOX O + ... +a1nXn=0
[24.2]
atOXo + ... + amX n = O.
Sia W il sottospazio vettoriale di V di cui le [24.2] sono equazioni cartesiane
nella base {e o , ..., e n J. L'insieme dei punti PE P le cui coordinate omogenee sono
soluzioni di tutte le equazioni del sistema [24.2] è P (W). Le [24.2] si dicono per-
tanto equazioni cartesiane del sottospazio proiettivo P(W) nel riferimento
e o ... e n.
Poiché tutti i sottospazi proiettivi sono della forma P(W) per qualche sotto-
spazio vettori aie W C V, ogni sottospazio proiettivo possiede equazioni cartesiane,
essendo ciò vero per ogni W. È evidente che un sottospazio proiettivo P (W) non
possiede un unico sistema di equazioni cartesiane: due sistemi di equazioni lineari
omogenee in n + 1 indeterminate Xo, ..., X n sono infatti equazioni cartesiane
dello stesso sottospazio se e solo se sono equivalenti.
Detta A = (aij) la matrice dei coefficienti di [24.2], ed r = r(A), si ha
dim(P(W») = dim(W) - l = dim(V) - r - I = dim(P) - r = n - r,
ovvero P(W) ha codimensione r in P.
Siano P(WI) e P(WJ due sottospazi proiettivi di P, aventi come equazioni

24/Spazi proiettivi
287
cartesiane, nel riferimento e o ... e n , rispettivamente i sistemi
AI X = O,
A 2 X = O,
[24.3]
[24.4]
dove AI ed A 2 sono matrici, rispettivamente t X (n + 1) ed s x (n + l), a elementi
in K e X = t(X o ... X n ).
L'intersezione P(W I ) n P(W2) è ancora un sotto spazio proiettivo, e preCI-
samente
P(W I ) n P(WJ = P(W 1 nWJ.
[24.5]
Infatti P (W 1) n p (W J è il luogo dei punti le cui coordinate omogenee sono
soluzioni di entrambi i sistemi [24.3], [24.4]; questo luogo coincide con
P(W 1 n W 2 ), e le equazioni dei sistemi [24.3], [24.4] costituiscono un suo sistema
di equazioni cartesiane.
Si ha in particolare P(W I ) n P(WJ = (2) se e solo se Wl n W 2 == (O), il sotto-
spazio vettoriale nullo di V, cioè se e solo se il sistema delle [24.3], [24.4] non
possiede soluzioni non banali.
I due sottospazi P (W I) e p (W 2) di p si dicono incidenti (sghembi) se
P(WI) n P(WJ  0 (se P(WI) n P(WJ = 0). In particolare un punto P e un sot-
tospazio P(W) sono incidenti se PEP(W).
Più in generale, consideriamo una famiglia qualunque {P(WJ LEI di sottospazi
proietti vi di P. L'intersezione n i n /p (W i) è ancora un sottospazio proiettivo di
p e si ha
n iE / P (W i ) = p(niE/W i ).
Infatti niE1P(W i ) ha per elementi i sottospazi vettoriali di dimensione I di V
che sono contenuti in ognuno dei Wj.
Se J è un sottoinsieme non vuoto di P, l'intersezione di tutti i sottospazi proiettivi
che lo contengono, denotata con L(J), si dice sottospazio generato da J: L(J)
è un sottospazio proiettivo di P e per qefinizione è il più piccolo sottospazio che
contiene J. Ovviamente L(S) = S se e solo se S è un sottospazio proiettivo.
Se J = (P 1 , ..., P,I consiste di un numero finito di punti, scriveremo
L(P 1 , ..., P,) invece di L({P I , ..., P,}). DiremocheP I , ...,P,generanoL(P 1 , ..., P,).
Si ha
dim(L(Pl' ..., P,»:5 t-l.
[24.6]
Infatti, se p. = [VI]' P2 = [v 2 ], ..., p/ = [V,], allora
L(P 1 , ..., P,) = P«V 1 , ..., v,»,
e la dimensione del sottospazio vettori aie (VI' ...., v t ) non supera t, dal che segue
la [24.6].

288
Geometria proiettiva
Se nella [24.6] vale il segno di uguaglianza i punti P I , ..., Pt si dicono linear-
mente indipendenti: altrimenti PJ, ..., Pt si dicono linearmente dipendenti. Que-
sta definizione è motivata dal fatto evidente che P 1 , ..., Pt sono linearmente indi-
pendenti se e solo se lo sono i vettori VI' ..., V t .
Due punti sono linearmente indipendenti se e solo se sono distinti. In questo
caso lo spazio che essi generano è una retta; quindi per due punti distinti P e Q
passa una e una sola retta, cioè L (P, Q).
Tre punti sono linearmente indipendenti se e solo se non sono allineati, cioè
non giacciono su una retta. In questo caso lo spazio che essi generano è un piano,
ed è l'unico piano che li contiene.
Segue dalla definizione che se i punti P 1 , ..., p/ sono linearmente indipendenti,
alIora t < n + 1, e ogni sottoinsieme di {P 1t ..., P t } è costituito da punti linear-
mente indipendenti.
I punti P I , ..., P, si diranno in posizione generale se sono linearmente indipen-
denti (e in questo caso t < n + 1) oppure se t > n + 1 e n + 1 tra essi, comunque
scelti, ono linearmente indipendenti. In quest'ultimo caso L(P 1 , ..., P t ) = P.
Poiché ogni sottospazio vettoriale di V possiede una base, ogni sottospazio
proiettivo S di P può essere generato da un numero finito, pari a dim(S) + l, di
suoi punti linearmente indipendenti.
Supponiamo ad esempio che dim(S) = k, e siano [V o], [V d, ..., [v k ] E S linear-
mente indipendenti. Poiché [V o], [VI]' ..., [V k ] generano S, per ogni PE S si ha
p = [À.ov o + À1V 1 + ... + AkV k ]
per opportuni À.o, À.], ..., Ak E K non tutti uguali a O, e definiti univocamente da
V o' VI' ..., V k e da P a meno di un comune fattore di proporziona1ità. Se rispetto alla
base {e o , e I , ..., e n } di V le coordinate dei precedenti vettori sono rispettivamente
(POO,POI' ..., POn)' (P1O' Po, ..., Pln), ..., (PkO, PkI' ...., Pkn), e P=- P[XO'x 1 , ..., x n ],
allora si ha
Xo = À.oPoo + A. 1 P1O + ... + À.kPkO
XI = À.OPOl + À.1PI I + ... + À.kPkI
[24.7]
X n = À.OPOn + À.1Pln + ...+ ÀkPkn.
Le [24.7] sono equazioni parametriche del sottospazio S. Esse dipendono, oltre
che dalla scelta dei punti [V o ], [VI]' ...., [v k ] che generano S, anche da quella dei
vettori vO' VI' ..., V k , e quindi dalla scelta di coordinate omogenee di [v o],
[VI]' ..., [v k ].
Nel caso particolare k = 1 si ottengono equazioni parametriche della retta che

74/Spazi proiettivi
289
contiene i punti [v o], [VI]:
Xo = AoPoo + A1PlO
Xl = AoPOI + AlPI J
X n = AoPon + AIPln.
Se P è un piano proiettivo ed  una sua retta assegnata mediante due punti
distinti P[PO,PI,P2]' Q[qO,ql,qJ,  possiede l'equazione cartesiana
Xo XI X 2
Po PI P2 = o.
qo ql q2
[24.8]
Infatti il primo membro della [24.8] non è identicamente nullo perché P ;é Q,
e quindi la [24.8] è l'equazione di una retta. Questa retta contiene sia P che Q:
infatti se si sostituiscono le- coordinate di P, o quelle di Q, al posto di Xo, Xl'
X 2 , il primo membro è il determinante di una matrice avente due righe uguali,
quindi si annulla. Dunque la [24.8] è un'equazione cartesiana della retta passante
per i punti P[po, PI' P2] e Q[qo, ql,q2].
Similmente si dimostra che se P è uno spazio proiettivo di dimensione 3 e
P[Po, PI' P2' P3]' Q[qo, qI' q2' q3]' R [ro, rl' r 2 , r 3 ] sono tre suoi punti non alli-
neati, un'equazione cartesiana del piano L(P, Q, R) è la seguente:
Xo XI X 2 X 3
Po PI P2 P3 = o.
qo qI q2 q3
ro r I r 2 r 3
Se SI ed S2 sono due sottospazi proiettivi di P, il sottospazio L(SI U 8 2 ) gene-
rato dalla loro unione è il sottospazio somma di SI ed S2 e viene denotato con
con il simbolo L(8 I , S2).
Se SI = P(W I ), S2 = P(W 2 ), si ha
L(S., SJ = P(W I + WJ.
[24.9]
Infatti ogni sottospazio proiettivo P(W) contenente SI U S2 contiene
P(W I + WJ perché W deve contenere sia Wl che W 2 : quindi
- P(WI + W 2 ) C L(SJ, 8 2 ).
1-9

290
Geometria proietti va
D'altra parte, poiché Wl + W 2 contiene sia Wl che W 2 ,
P(W I + WJ J L(SI' S2)'
e la [24.9] è vera.
Per ogni coppia di sottospazi SI ed S2 di P sussiste la seguente identità:
dim [L (SI' S2)] = dim (SI) + dim (S;) - dim (SI n S2).
[24.10]
La [24.10] è dettaformula di Grassmann proietti va . Essa è un'immediata con-
seguenza della formula di Grassmann vettoriale, tenuto conto della [24.5] e della
[24.9] .
Se ad esempio si considerano una retta  e un punto P E P, L (, P) è un piano
se PE, ed è la retta  se PE .
Se 1 ed 2 sono due rette, L(I' J ha dimensione 3, 2, l a seconda che
I ed 2 siano rispettivamente sghembe, incidenti e distinte, coincidenti.
La formula di Grassmann è uno strumento molto utile per studiare le proprietà
di incidenza dì sottospazi proiettivi.. Si noti che, poiché dim [L (SI' 8 2 )] :5 dim(P),
dalla [24.10] segue la disuguaglianza
dim(SI n S2) > dim(SI) + dim(S2) - dim(P).
[24.11]
In particolare, se dim(SI) + dim(S2) > dim(P), i sottospazi SI ed S2 sono inci-
denti, perché dim(SI n 8;) > o se e solo se SI n 8 2  0. Quindi due sottospazi
proietti vi sghembi in P hanno dimensioni la cui somma non supera dim(P) -1.
Come conseguenza abbiamo la seguente proposizione:
24.3 PROPOSIZIONE
l) In un piano proiettivo due rette qualsiasi si incontrano.
2) In uno spazio proiettivo di dimensione 3 una retta e un piano qualsiasi si
incontrano, e due piani distinti qualsiasi hanno in comune una retta.
In un piano proiettivo non ha dunque significato parlare di parallelismo tra
rette, né in uno spazio proiettivo tridimensionale ha senso il parallelismo tra piani
o tra rette e piani.
La proposizione 24.3 può anche essere dimostrata utilizzando equazioni carte-
siane: nel caso (1) il sistema costituito dalle equazioni cartesiane delle due rette
possiede soluzioni non banali perché è un sistema di due equazioni omogenee in
tre incognite, e quindi le due rette hanno punti in comune. In modo simile si ragiona
nel caso (2).
Torniamo al caso generale. Quando !'intersezione di due sottospazi proiettivi
SI ed S2 di P ha la dimensione più piccola possibile, compatibilmente con la
[24.10], SI ed S2 si dicono in posizione generale.
Pertanto, se SI' 8 2 e P hanno rispettivamente dimensione h, k ed n, SI ed 8 2

24/Spazi proiettivi
291
J
Cp(J)
}'igura 24.1
sono in posizione generale se e solo se dim(SI n S2) == h + k - n nel caso
h + k > n, oppure SI n 8 2 == 0 se h + k < n.
Ad esempio, due rette di p2 sono in posizione generale se sono distinte, e
quindi hanno in comune un punto; due rette di pn, n > 3, sono in posizione gene-
rale se sono sghembe.
Sia J un sottoinsieme dello spazio proiettivo P e PE P un punto qualsiasi. Il
cono proiettante J da P è l'unione Cp(J) di tutte le rette che contengono P ed
almeno un punto di J (fig. 24.1), cioè
Cp(J) = UQEJL(P, Q).
24.4 PROPOSIZIONE
l) Se S è un sottospazio proiettivo di P, al/ora Cp(S) = L (S, P) per ogni PE P.
In particolare, se S è un punto e P # S, Cp(S) è lo retta che contiene S e P.
2) Se SI ed 8 2 sono sottospazi proiettivi di P, al/ora
L(SI' S2) = U P1ES 1 , P2 Es 2 L (P I , P 2 ) = U j>(S2 C p (8 j )..
La dimostrazione è lasciata al lettore.
Sia H C P un iperpiano e PE P\H. La proiezione di P su H di centro P è l'ap-
plicazione
7r p , H:P\ {P}  H
definita da
7r p , u(Q) = L (P, Q) n H.
A parole, 7r P,ll è l'applicazione che associa a un punto Q # P il punto di inter-
sezione di H con la retta congiungente P e Q. Per ogni sottoinsieme J di P tale
che Pf/:.J si ha quindi
1fp H(J) == H() Cp(J),
,
cioè 7r P ,H(J) è l'intersezione con H del cono proiettante J da P.. L'insieme
7r P . H (J) viene chiamato proiezione di J da P in H.

292
Geometria proiettiva
Ad esempio, se in pN si considerano l'iperpiano.H o e P = [1, O, ..., O], per ogni
Q = [x o , Xl' ..., Xn] "# P si ha
7rPHo(Q) = [O, X H ..., X n ].
Infatti la retta L (P, Q) consiste dei punti
[A. + p'Xo, p,X t , ..., p,x n ],
al variare di [A., JL] E pI, e il punto 7r P ,Ho(Q) = Ho n L (P, Q) si ottiene in corri-
spondenza a [À, IL] = [ - x O .' l].
L'operazione di proiettare un sottoinsieme di P in un iperpiano è la versione
geometrica astratta dell'operazione grafica di rappresentare un oggetto tridimen-
sionale J su di un piano H così come esso appare da un punto di osservazione
P. Questa è la costruzione su cui si basa il disegno prospettico.
24.5 Esempi e osservazioni
l. Sia V un K-spazio vettori aie e -- la relazione di equivalenza in V \ { O} così
definita: v -- w se e solo se v = À w per qualche A. E K. Allora l'insieme quoziente
[V\ {O}]/ -- è in corrispondenza biunivoca naturale con P(V).
Infatti le classi di equivalenza in V \ { O} sono i sottospazi vettoriali di dimen-
sione uno di V privati di O, e quindi ogni classe di equivalenza individua un ele-
mento di p (V); viceversa, ogni elemento [v] E P (V) è una classe di equivalenza cui
è stato aggiunto O, e quindi individua un elemento di [V\ {O }]/ --.
Per questo motivo si usa talvolta definire P (V) come [V \ { O }] / -- .
2. Un punto di pn, n > l, è essenzialmente una (n + 1)-upla ordinata di sca-
lari non tutti nulli, assegnati a meno di un comune fattore di proporzionalità non
nullo. Un sottospazio proiettivo di pn può vedersi come l'insieme delle soluzioni
non banali, prese ognuna a meno di un fattore di proporzionalità, di un sistema
di equazioni lineari omogenee in n + l incognite. La geometria proiettiva dei sot-
tospazi di pn può quindi interpretarsi come lo studio delle proprietà degli insiemi
di soluzioni non banali di sistemi di equazioni lineari omogenee in n + l incognite.
3. Se dim(P) = 3, i sottospazi proiettivi non vuoti di P sono, oltre ai punti e
a P stesso, i piani e le rette. La seguente tabella mostra quali sono le intersezioni
di due sottospazi di P che si trovano in posizione generale:
retta piano
retta
plano
(2)
punto
punto
retta
Se dim(P) = 4 i sottospazi non vuoti di P sono, oltre ai punti e a P stesso,
le rette, i piani, e gli iperpiani, che hanno dimensione 3. La seguente tabella mostra

24/Spazi proiettivi
293
le intersezioni di due sottospazi di P in posizione generale:
retta piano . .
lperplano
retta (2) (I) punto
plano (2) punto retta
. . punto retta
lperpIano plano
4. Sia n la dimensione di P = P(V). Un riferimento proiettivo e o ... e n di P
determina gli n + 1 punti fondamentali Fo = reo], F 1 = rea, ..., Fn = [e n ], e il punto
unità U = [e o + ... + e n ] E P .
È immediato verificare che i punti Fo, F 1 , ..., Fn, U sono in posizione generale.
Viceversa, assegnando una (n + 2)-upla ordinata di punti in posizione generale
Po, P 1 , ..., Pn' NE P, esiste un unico sistema di coordinate omogenee di cui essi
sono i punti fondamentali.
Infatti consideriamo vettori vo, ..., VnEV tali che [Vi] = Pj, i = O, ..., n. Poiché
Po, P 1 , ..., Pn sono linearmente indipendenti, {V o' ..., V n } è una base di V.
Quindi, se scegliamo un vettore D E V tale che [D] = N, abbiamo
n = Àov o + ... + Ànvn
per opportuni Ào, ...., Àn E K, tutti diversi da zero per la condizione che Po, P 1 , ...,
Pn, N siano in posizione generale.
Il sistema di coordinate (À o v o ) ... (À n V n) ha le proprietà volute. La sua unicità
segue da quella di Ào, ..., Àn.
5. Sia n > 1 e. siano Xo, XI'...' X n indeterminate. Denotiamo con K [X o ,
XI' ..., Xn]d' o piu brevemente con K[X]d, il K-spazio vettoriale i cui elementi
sono il polinomio O ed i polinomi omogenei di grado d > 1 nelle indeterminate
Xo, XI' ..., Xn. Gli elementi dello spazio proiettivo P(K[X]d) si chiamano iper-
superfici di grado d di pn. Lo spazio P (K [X]d) è il sistema lineare delle ipersu-
perfici di grado d di pn. Se F(X)EK[X]d' l'equazione
F(X) = O
[24.12]
si dice equazione dell'ipersuperjicie [F(X)] E P(K [X]d). Per definizione, ogni altra
equazione della stessa ipersuperficie è della forma
aF(X) = O
per qualche a E K*. Le ipersuperfici di grado d = 1, 2, 3, si dicono rispettivamente
iperpiani, quadriche, cubiche ecc. Se n = 2 le ipersuperfici si chiamano curve alge-
briche piane, e verranno studiate nel capitolo 4. Se una (n + l)-upla di scalari non
tutti nulli Xo, Xl' ..., X n è soluzione delIa [24.12], diremo che [x o , Xl' ..., xn]Epn
è un punto dell'ipersuperficie di equazione [24.12]. Questa definizione è ben posta,
cioè non dipende dalla scelta della (n + l)-upla di coordinate omogenee del punto:
infatti per una proprietà dei polinomi omogenei (cfr. proposizione A.12), ogni

294
Geometria proiettiva
altra (n + l )-upla ad essa proporzionale AX o , ÀX 1 , ..., Àx n , À;tt. O, è soluzione della
[24.12] .
6. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia l < k < dim(V). La
grassmanniana dei k-spazi di V è l'insieme i cui elementi sono i sottospazi vetto-
riali di dimensione k di V, e si denota con Gk(V). Se V = Kn la grassmanniana
si denota di solito con G(k, n) anziché con Gk(Kn). Gli spazi proiettivi sono casi
particolari di grassmanniane, essendo P(V) = G 1 (V). Le grassmanniane furono
introdotte per la prima volta nel 1844 da H.G. Grassmann.
In virtù della corrispondenza biunivoca esistente tra sottospazÌ vettoriali di
dimensione k di uno spazio vettoriale V e sottospazi proietti vi di dimensione k - 1
di P (V), la grassmanniana Gk(V) può anche interpretarsi come l'insieme i cui ele-
menti sono i sottospazi proiettivi di dimensione k - l di P(V).
L'esempio più semplice di grassmanniana che non è uno spazio proiettivo è
G(2, 4), la grassmanniana delle rette di P3.
È possibile rappresentare 0(2, 4) come un'ipersuperficie quadrica di p5 asso-
ciando ad ogni retta di p3 le sue "coordinate pliickeriane", nel modo seguente.
Siano P[x o , Xl' X 2 , x 3 ], Q[yo, YI' Y2, Y3] Ep 3 due punti distinti e consideriamo
la matrice
( Xo Xl X 2 X3 ) .
Yo Yl Y2 Y3
[24.13]
Poniamo, per ogni coppia di indici i, j tali che O < i <j < 3:
X. X.
l J
Pij= = X;Yj - XjYi.
Yi Yj
Poiché la [24.13] ha rango 2, i Pij non sono tutti uguali a zero, e quindi defini-
scono un punto [POI' P02' P03, PI2' PI3, P23] E p5 le cui coordinate omogenee POI'
P02, P03, PI2' PI3' P23 si dicono coordinate pliickeriane della retta L(P, Q); esse
prendono il nome da J. Pliicker (1801-1868) che per primo le utilizzò.
A priori la definizione del punto [POI' P02, P03' P12, Pn'P23] E p5 sembra dipen-
dere non solo dalla retta L (P, Q), ma anche dalla scelta dei punti P, Q e da quella
di loro coordinate omogenee. È facile però convincersi del contrario. Innanzitutto
notiamo che se le coordinate omogenee di P o di Q vengono moltiplicate per un
fattore di proporzionaIità Ci E K*, le coordinate pliickeriane di L (P, Q) vengono
anch'esse moltiplicate per lo stesso fattore, e quindi il punto di p5 che esse defi-
niscono non cambia. Se poi il punto P viene sostituito da un altro punto
p' [x, x{, x 2 ', x 3 '] EL(P, Q) diverso da Q, allora esistono due scalari À # O, IL
tali che
X/ = ÀX j + ILYi' i = O, ..., 3.

24/Spazi proiettivi
295
Sostituendo nella [24.13] le coordinate X, x{ , X;, x; al posto di Xo, XI' X 2 , X 3 ,
e calcolando le nuove coordinate pliickeriane PI' pfn, P3' P{2,P{3' P;3' si trova
P .'. = À p . .
IJ lr
Similmente si procede se Q è sostituito da un altro punto Q' E L (P, Q).
Pertanto possiamo affermare che il punto [POI' P02' P03' PI2' P13' P23] EP5
dipende solo dalla retta L(P, Q).
Osserviamo che le coordi1!ate pliickeriane POI' P02' P03' PI2' PI3, P23 della retta
L(P, Q) soddisfano l'identità
POIP23 - P02P13 + P03PI2 = o.
Infatti il primo membro è il determinante
[24.14]
Xo XI X 2 x 3
Yo YI Y2 Y3
xo XI X 2 X 3
Yo YI Y2 Y3
sviluppato secondo i minori delle prime due righe, con il metodo di Laplace, ed
è nullo perché ha due righe uguali. Pertanto il punto [POI' P02, P03, PI2' PI3, P23]
appartiene alla quadrica di p5 di equazione
X Ol X 23 - X 02 X I3 + X 03 X I2 = O,
[24.15]
nota come quadrica di Klein.
Non è difficile verificare che ogni punto C[POJ' P02' P03' P12' Po, P23] apparte-
nente alla quadrica di Klein proviene da una e una sola retta di P3. A tale scopo
non è restrittivo supporre POI  O (se POI = O si può ragionare in modo simile
rispetto a un'altra coordinata). Consideriamo i punti di p3
P = [O, POI' P02' P03]' Q = [- POI' O, P12' PI3].
Le coordinate pliickeriane di L (P, Q) sono, tenuto conto della [24.14],
2
POI' POI P03' POIPI2' POlP13' POIP23,
e quindi, poiché POI # O, C è il punto associato alla retta L (P, Q). Se z, è un'al-
tra retta le cui coordinate pliickeriane sono proporzionali a quelle di C, essa non
è contenuta nei piani coordinati di equazioni Xo == O ed XI = O, perché altrimenti
sarebbe POI = o. Siano [O, al' a 2 , a 3 ] e [- bo, O, b 2 , b 3 ] i punti di intersezione di
z, con i due piani. Si ha
[POh P02, P03, PI2, PI3' P23] = [al bo, a 2 b o , a3 b O' al b 2 , al b 3 , a 2 b 3 - a 3 b 2 ].
Poiché al b o # O, si deduce che [O, al' a 2 , a 3 ] = P (confrontando le prime tre
coordinate) e che [- bo, O, b 2 , b 3 ] = Q (confrontando la prima, quarta e quinta

296
Geomelria proiettiva
coordinata), e quindi  = L (P, Q). In conclusione: le coordinate pliickeriane di
retta stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle rette di p3 e
i punti della quadrica di Klein in P5.
In modo simile è possibile introdurre coordinate pliickeriane per i sottospazi
proiettivi di dimensione k - l > 1 di uno spazio pn. Per ulteriori dettagli rinviamo
il lettore al classico trattato [2], oppure a [8].
7. Sia J un sottoinsieme dello spazio proiettivo P (V). Il sottoinsieme di V
C(J) = {VEV\{O}:[V]EJ} U {O}
è il cono su J in V. Questa terminologia è motivata dal fatto che C(J) è un'u-
nione di sottospazi vettori ali di dimensione 1 di V. Lasciamo al lettore il compito
di verificare che se J = P (W) è un sottospazio proiettivo di P, allora C( J) = W.
Si ha inoltre
C(I) n C(J} = C(I n J)
C(l) U C(J) == C(I U J)
per ogni coppia di sottoinsiemi l, J di P.
Esercizi
l. In ciascuno dei seguenti casi determinare un'equazione cartesiana della retta dj P2(C)
contenente i punti assegnati:
a) [-1, l, l], [1, 3, 2i]
c) [1, l, 2i], [1, -2, 2i].
b) [1, -1, i], [i, 1, l]
2. Verificare che le seguenti rette di P2(C):
iX 1 - X 2 + 3iXo = O, Xo + XI - iX 2 = O, 5X o + Xl + 3iX 2 = O,
hanno intersezione non vuota.
3. Verificare che i punti A = [1, 2, 2], B = [3, l, 4], C = [2, -1, 2] di p2(R) sono alli-
neati, e determinare un'equazione cartesiana della retta che li contiene.
4. In p3 (R) siano P = [1, l, O, O], e H il piano di equazione
2X o - XI + X 3 = O.
Determinare la proiezione 1fP.H da P in H di ognuno dei seguenti punti:
Ql = [1, O, O, O], Q2= [1, l, l, l]; Q3 = [I, -1, -1, l], Q4 = [1, l, -1, -1].
5. Verificare ,se le rette di p3(R)
 : Xo - Xl + X 2 = O,
 :Xo + X 2 - 3X 3 = O,
XI - 2X 2 + X 3 = O
Xo - 2X) - 2X 2 = O
sono sghembe oppure incidenti.

251Geometria affine e geometria proiettiva
297
6. Dimostrare che, dati comunque due rette , ' sghembe in p3(K) e un punto
p,.  U /, esiste un'unica retta J, contenente P ed incidente sia  che /.
7. In p3 (R) determinare equazioni cartesiane della retta J, contenente P e incidente sia
 che  I in ciascuno dei seguenti casi:
a)  : Xo - X 2 + 2X 3 = O, 2X o + XI = O
':2Xl-3X2+X3=0, X O +X 3 =O, P=[O, 1,0, I]
b)  :Xo - Xi + X 3 = O, Xo + X 2 - 2X 3 = O
':2XO-XI+X3=0, X O +X 2 -X 3 =0, P=[l, 1,2, -3].
8. Dimostrare che, date comunque tre rette , ',  If di p4 (K), non contenute in uno
stesso iperpiano e a due a due sghembe, esiste un 'unica retta J, incidente ,  I ed  n .
9. Sia P uno spazio proiettivo in cui sia assegnato un riferimento proiettivo eOeI ... e n e
SIano
p] [PiO, PII, ..., PIn], P 2 [P20, P2h ..., P2n], ..., Pn[PnO' PnI, ..., Pnn]
punti linearmente indipendenti. Dimostrare che
Xo XI X n
PiO PII Pin
P20 P2I P2n =0
PnO Pn I Pnn
è un'equazione dell'iperpiano L(P h P 2 , ..., Pn).
lO. Siano FOh F o2 , F 03 , F I 2, F I3 , F 23 i sei punti fondamentali del riferimento standard di p5.
Verificare che j è il punto della quadrica di Klein che corrisponde alla retta
L(, Fj) di P3, dove Fo, Fh F 2 , F3 sono i punti fondamentali del riferimento proiet-
tivo standard di p3.
25 Geometria affine e geometria proiettiva
Gli spazi proiettivi furono inizialmente definiti come "ampliamenti" di spazi
affini, ottenuti aggiungendo ad essi certi "punti impropri". Per illustrare la costru-
zione geometrica su cui si basa tale definizione, consideriamo Pl(R), visto come
l'insieme delle rette di A 2 (R) passanti per l'origine (fig. 25.1).
Per ogni [x o , xa E P I (R), il punto (Àx o , ÀX 1 ) descrive, al variare di À. E R, la cor-
rispondente retta per l'origine in A 2 (R). In particolare il punto Ho = [O, l] E P I (R)
corrisponde alla retta di equazione Xo = O. Si consideri in A 2 (R) la retta  di
equazione Xo = l. Per ogni' [X o , Xl] E p I (R) \ {Ho}, la corrispondente retta di
A 2 (R) non è parallela a  e interseca  nell'unico punto (1, XO-1X I ). Viceversa

298
Geometria proiettiva
[0,1]

Figura 25.1
ogni (1, x) E  appartiene a un'unica retta per l'origine, quella corrispondente
al punto [1, x] E P I (R) \ {Ho}. Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra 
e PI(R)\ {Ho} ovvero tra  U {Ho} e PI(R).
Possiamo pensare Ho come un "punto all'infinito" o "punto improprio" che
viene aggiunto a  per ottenere pl (R). Infatti la retta [O, l] può essere consi-
derata come la posizione limite della retta [1, x] quando Ix I tende all'infinito.
Si osservi che si può far tendere Ix I all'infinito in due modi, facendo avvicinare
x verso + 00 oppure verso - 00, ottenendo in entrambi i casi la stessa retta [O, l]
come posizione limite.
Questa costruzione geometrica, risalente a Desargues, si può ripetere utilizzando,
invece del punto Ho e della retta , un qualsiasi punto H E P I (R) e una retta di
A 2 (R) non passante per l'origine e avente direzione H.
È facile generalizzare l'esempio precedente. Consideriamo lo spazio
pn = pn(K), identificato con l'insieme delle rette di An+ I passanti per l'origine
(fig. 25.2): ogni punto [x o' Xl' ..., Xn] E pn corrisponde alla retta di An+ I costituita
dai punti (AX o , À.x I , ..., AX n ) al variare di AEK (questi punti sono, con l'eccezione
di (O, ..., O), le (n + 1)-uple di coordinate omogenee di [X o , Xl' ..., x n ]). I punti
PE Ho corrispondono alle rette contenute ncll'iperpiano affine di equazione
Xo = o.
l'igura 25.2

25/Geometria affine e geometria proiettiva
299
Si consideri !'iperpiano affine A di equazione Xo:= l, cioè l'insieme dei punti
di An+I della forma (1, YI' ...,-Y n ), YI' ..., YnE K. Le rette per l'origine non appar-
tenenti ad Ho non sono parallele ad A, e quindi ognuna di esse ha in comune con
A uno e un solo punto. Si ottiene così una corrispondenza biunivoca
j: A  pn\Ho
tale che
j ( l, Y l' ..., Y n) := [1, Y l' ..., Y n]
e
. _ I ( XI X 2 X n ) .
J ([X o , x l' ..., X n ]) = l, -, -,.. · ,
Xo Xo Xo
L'applicazionej induce pertanto una corrispondenza biunivoca tra A U Ho e
pn. Si noti che gli elementi di Ho sono le direzioni delle rette di A, essendo essi
i sotto spazi vettoriali di dimensione l di Kn+ I contenuti nella giacitura di A, che
è appunto l'iperpiano vettoriale di equazione Xo := o. Anche in questo esempio
Ho e A possono essere sostituiti da un qualsiasi iperpiano P(H) di pn e da un
iperpiano affine di An+ I avente giacitura H e non passante per l'origine.
Se nella costruzione precedente identifichiamo A con A n , utilizzando l'applica-
zione biunivoca che associa ad ogni (Yl' ..., Yn) E An il punto (1, YI' ..., Yn) E A,
l'applicazione j viene a corrispondere all'applicazione biunivoca
jo: An  pn\Ho
definita da
j o (y l' ..., Y n) = [1!t Y l' ..., Y n] ,
la cui inversa è
jo'l:pn\HoAn
definita da
jo-I([X O ' XI' ..., x n ]) = ( Xl , ..., Xn ) .
Xo Xo
La jo è l'applicazione di passaggio a coordinate omogenee (la jo- l, di passag-
gio a coordinate non omogenee) rispetto a xO. I punti di Ho sono chiamati punti
impropri (i punti di pn\Ho, punti propri), e Ho è detto iperpiano improprio,
rispetto a xo.
La definizione di queste applicazioni utilizza il fatto che le n + l coordinate
omogenee di un punto [x o , Xu ..., Xn] E pn\Ho, pur non essendo univocamente
determinate, individuano univocamente gli n rapporti XI I xo, x 2 1 xo, ..., xn l xo.
Nel caso di Pl(K) si denota talvolta il punto Ho = [O, l] con il simbolo ex> e
si identifica P I (K) con K U { ex>} per mezzo dell'applicazione jo: K  P I (K) \ { ex> } ;
ciò ha il significato di assegnare la "coordinata non omogenea 00" al punto [O, 1].

300
Geomelria proietliva
Considerando, invece di Ho, uno qualsiasi degli iperpiani H;, i = l, ..., n, e
procedendo come nel caso precedente, si ottiene l'applicazione biunivoca
jj: An -+ pn\H i
definita da
jj(Yo, ..., Yi-I' Yi+l' ..., Yn) = [Yo, ..-, Yi-I' l, Yi+I' ..., Yn]
per ogni (Yo, ..., Yi-I' Yi; l' ..-, Yn)EAn. Laji è l'applicazione di passaggio a coor-
dinate omogenee (la ji - I, di passaggio a coordinate non omogenee) rispetto a Xi.
I punti di  sono detti punti impropri (i punti di pn\H i , punti propri), e H j è
denominato iperpiano improprio, rispetto a Xi-
Le costruzioni precedenti possono essere generalizzate in uno spazio proiet-
tivù qualunque. Consideriamo un K-spazio vettoriale V, dim(V) = n + l  2, e sia
H C V un iperpiano. Siano P = P(V) e H = P(H). Dati P = [u], p' = [u'] EP\H,
definiamo un'applicazione lineare <ppp': V IH -+ H nel modo seguente (fig. 25.3).
Sia v + HE V IH. I sottospazi (u) e (u') di V non sono paralleli a v + H, non
essendo contenuti in H, e pertanto ognuno di essi ha in comune con v + H un
unico punto. Esistono dunque h, h' E H tali che
v+hE(u)
v + h' E (u').
Poniamo
C{Jpp,(v + H) = h' - h.
Si osservi che h e h' a priori dipendono non solo da (u), (u') e dalla classe
laterale v + H, ma anche dal suo rappresentante v. È però facile verificare che
h' - h è indipendente dal rappresentante: infatti, se v + H = w + H per qualche
Figura 25.3

25/Geometria affine e geometria proiettiva
301
w E V, si ha w = v + k, k E H, e
v + h = w + h - k, v + h I = W + h' - k;
pertanto qJpp'(w + H) = (h' - k) - (ho - k) == h' - h. Quindi qJpp'(v + H) dipende
solo da P, P' e v + H.
L'applicazione CPpp' è lineare. Siano infatti VI + H, v 2 + H E V IH, k l , k 2 E K. Se
VI +hIE(U), VI + hE(o'),
v 2 +h 2 E(U), v2+hE(n'},
allora
k l VI + k 2 V 2 + (k 1 h I + k 2 bJ = k I (VI + h l ) + k 2 (V 2 + hz} E (u),
k l VI + k 2 V 2 + (k l h + k2b) = k l (VI + h) + k 2 (V 2 + b) E (o'),
e quindi
qJpp,(k1v I + k 2 v 2 + H) = klh + k 2 h; - (k1b l + k 2 h 2 ) =
= kl(h - b l ) + k2(h - h 2 )=
= k} CPpp' (VI + H) + k 2 C{Jpp' (V 2 + H).
Abbiamo il seguente teorema.
25.1 TEOREMA Siano V, H, P e H come sopra.
1) Associando ad ogni (P, P')E(P\H) X (P\H) l'applicazione lineare
CPpp' E Hom (V IH, H), si definisce su P \H una struttura di spazio affine con spa-
zio vettoriale associato Hom(V IH, H). Per ogni sottospazio proiettivo S = P(W)
di P non contenuto in H, S n (P\H) è un sottospazio affine di P\H avente per
giacitura il sottospazio vettoriale Hom(V IU, W n H) di Hom(V IH, H).
2) Assegnato in Va un iperpiano affine A di giacitura H e non contenente O,
si definisce su P\H una struttura di spazio affine con spazio vettoriale associato
Hfacendo corrispondere ad ogni (P, P')E (P\H) x (P\H), con P = [u], P' = [u'],
il vettore a' - aEH, dove a = A n (o), a' = A n (u').
Dimostrazione
1) Siano P = [U]EP\H, e cpEHom(V/H, H). Consideriamo un vettore
VEV\H, e sia bEH tale che V + hE (u); poniamo P' = [v + h + cp(v + H)].
È immediato verificare che cppp, = cp.
Poiché dirn(V IH) = 1, ogni vettore di V IH è della forma av + H, aE K, e
av + abE (u). Di conseguenza
[av + ah + cp(av + H)] == [av + ah + acp(v + H)] =
= [a(v + h + qJ(v + H»] = P' ,
cioè p' dipende solo da P e da cp, e pertanto l'assiorna SAI è soddisfatto.

302
Geometria proiettiva
Per verificare l'assioma SA2 consideriamo tre punti P == [u], p l == [U/],
P" == [u"] EP\H. Sia v + DEV/H, e siano
v+hE(U), v+h/E(u / ), v+h"E(U"}.
Allora
cp pp' (v + H) == h I - h, cp p' P" (v + H) = h" - h I , ({J PP" (v + H) == h /I - h
e quindi
[CPpp' + ({Jp'p"] (v + H) == ({Jpp'(v + H) + cpp'p"(v + H) == h ' - h + h" - h' ==
= h" - h == CPPP" (v + H).
Dunque ({Jpp' + ({Jp'p" = CPpp" e l'assioma SA2 è soddisfatto.
Se P= [D], pl = [u']ESn" (P\H), allora ({Jpp'(v + H)EW n H per ogni
v+HEV/H. Infatti, essendo (u) ed (u') contenuti in W, se v+hE(u) e
v+h/E(U'} allora cppp,(v+H)=h/-h=(v+h/)-(v+h)EW. Quindi
cppp,EHom(V/H, WnH). Viceversa, se PESn(P\H) e P'EP\H soddisfa
({Jpp' E Hom (V IH, W n H), allora, per ogni v + H, ({Jpp' (v + H) E W n H e quindi
v+hE(O), v+h/E(u') con h/-hEWnH. Poiché (u)CW, si ha v+hEW
e pertanto
v + h' == (v+ h) + (h / - h)EW.
Dunque anche pl E S n (P\H), e la (1) è dimostrata.
2) Poiché P e p l non appartengono ad H, (o) e (u I) non sono paralleli ad
A, e quindi a = A n (o) e al == A n (u I) sono ben definiti. Inoltre a I - a E H,
perché la giacitura di A è H. La verifica degli assiorni SAI ed SA2 è lasciata al
lettore.
Si osservi che dim(H) == n e che, essendo dirn(V IH) == 1, si ha
dim [Hom(V IH, H)] = dirn(V IH) dirn(H) == dim(H) == n.
P\H è dunque uno spazio affine di dimensione n sia nel caso (1) che nel caso
(2). La struttura di spazio affine definita in 25.1(2) dipende da A, oltre che da
H, mentre la struttura definita in 25.1(1) dipende solo da H.
Nel caso (2), associando ad ogni a E A il punto [a] E P\H, si ottiene una corri-
spondenza biunivocaj: A -+ P\H, che abbiamo già considerato in precedenza nel
caso di pn e di H = Ho, in cui A era l'iperpiano di equazione Xo = 1. L'applica-
zione j è un isomorfismo di spazi affini su H, con isomorfismo associato l'iden-
 )
tità 1u, perché per ogn P, p l E A si ha ppl == j(P)j(PI).
Come applicazione del teorema 25.1 daremo una dimostrazione dell'analogo
proiettivo del teorema di Pappo in cui si utilizza la sua versione affine (cfr. teo-
rema 9.4).

25/Geomelria affine e geometria proiettiva
303
25.2 TEOREMA (DI PAPPO-PASCAL) Siano P == P(V) un piano proiettivo, 
ed ' due rette distinte di P, e P, Q, R, P', Q', R' sei punti distinti tali che
P, Q, RE  \(  n '), P', Q', R'E '\(  n '). Allora i tre punti
L(P, Q')nL(p', Q), L(Q, R')nL(Q', R), L(P, R')nL(p', R)
sono allineati. La retta che li contiene è detta retta di Pascal della configurazione
(fig. 25.4).
Dimostrazione
Sia  la retta che contiene L (P, Q') n L(P', Q) e L(Q, R') n L(Q', R). Per
il teorema 25.1, P\  è un piano affine, e .,t ==  n (P\ ), .,t, = ' n (P\  )
sono due rette di P\. Si ha P, Q, RE.,f, P' , Q' , P' E .,t' , PQ' Il p' Q , PR' Il P' R .
Per il teorema 9.4 si ha anche PR' Il p' R , e pertanto L(P, R') n L (P', R) E.
Si consideri uno spazio affine A sul K-spazio vettoriale V. Siano Po, P I E A,
e Ào, À I E K tali che A.o + A.} == l. Resta definito un punto di A, che denoteremo
con AoPo + A.1P I , mediante una delle due condizioni equivalenti:
) 
Po (A.oPo + A. I P 1 ) == A) POPI
[25. l]
) 
P I (A.oPo + AI P I ) :=: A.OPI Po.
L'equivalenza delle due condizioni [25.1] segue subito dall'identità vettoriale
  
AI POPI - A.oP} Po = POPI.
Si noti che, se PO==P 1 , allora ÀoPo + A.1P I == Po == P 1 . Se invece Po  P I , allora
- -  
ÀoPo + À] P I appartiene alla retta POPI; viceversa, se PE POPI' allora PoP == ÀP()P 1
per qualche ÀE K, e quindi P == (1 - A)Po + ÀP 1 . Dunque ogni punto della retta
Po P 1 è della forma ÀoPo + /vI P I al variare di Ào, À] E K tali che Ao + A. I == I, i quali
sono univocamente determinati dal punto.
L'osservazione precedente può essere utilizzata per definire un K-spazio vetto-
riale V ponendo
V == V U (K* x A)

'
}'igura 25.4

304
Geomelria proiettiva
e definendo le operazioni in V nel modo seguente:
(h, P) + (k, Q) = { (:: k, h: k P + h = k Q)
hQP
h(k, P) = (hk, P) se h  O
O(k, P) = OEV
----+
(h, P) + v = (h, Q) con PQ = h-IV;
se h+kO
se h+k=O
le operazioni in V sono quelle che vi sono già definite. Lasciamo al lettore il com-
pito di verificare che V è un K-spazio vettoriale. V è chiamato spazio vettoriale
universale di A.
25.3 LEMMA Sia {e l , ..., e n } una base di V e sia OEA. Per ogni hEK*,
{(h, O), e 1 , ..., e n } è una base di V; in particolare dim(V) == dim(V) + l.
Dimostrazione
Supponendo che
a(h, O) + al e I + ... + ane n = O,
si ha
a(h, O) = - (ale I + ... + ane n ) E V
e pertanto a == o. Di qui
al e I + ... + ane n = O,
e anche al = a 2 = ... = a n == O per l'indipendenza lineare di eh ..., e n . Quindi
(h, O), e l , ..., e n sono linearmente indipendenti.
Per dimostrare che (h, O), e l , ..., e n generano V si consideri un elemento qual-
siasi (k, P) E K* x A. Si ha
(k, P) = kh - I(h, O) + aIe l + ... + ane n ,
dove al' a 2 , ..., a n E K sono definiti dalla condizione

OP = k - 1 (al e l + ... + ane n ).
Poiché anche V = (e l , ..., e n ) C «h, O), e l , ..., e n ), si ha
«h, O), e l , ..., e n ) = V.
V è un sottospazio vettori aie di V. L'iperpiano affine VI == {l} x A di V ha
giacitura V, perché è della forma
V I = {(I, O) + v: vE V } ,

25/Geometria affine e geometria proiettiva
305
e si identifica in modo ovvio con A. Consideriamo lo spazio proiettivo P(V) e
il suo iperpiano P (V). Dal teorema 25.1 (2) segue che P (V) \P (V) è uno spazio affine
su V e che si ha un isomorfismo
j: VI -+ P(V)\P(V).
Identificando V I con A otteniamo una corrispondenza biunivoca
A U P (V) -+ P (V).
[25.2]
Dalla costruzione fatta segue che la biezione [25.2] è univocamente determi-
nata da A. Ciò giustifica il considerare P (V) uguale ad A U P(V) per mezzo della
[25.2]. Quindi A U P(V)è uno spazio proiettivo, di cui P(V) è un iperpiano.
Nel caso in cui A è la retta ordinaria e V è lo spazio dei suoi vettori geometrici,
p (V) è un punto e A U P (V) è una retta proiettiva reale che si chiama retta ordi-
naria ampliata. Similmente, se A è il piano ordinario (lo spazio ordinario) e V
è lo spazio dei suoi vettori geometrici, A U P (V) è un piano proiettivo reale (uno
spazio proiettivo reale di dimensione 3) che si chiama piano ordinario ampliato
(spazio ordinario ampliato).
25.4 Esempi e osservazioni
l. Un modello geometrico di PI(C) può essere ottenuto per mezzo di un'ap-
plicazione chiamata "proiezione stereografica".
Consideriamo in E 3 , con coordinate x, y, z, il piano ft di equazione Z = O e
la sfera 8 2 di centro l'origine e raggio l, e denotiamo con N il punto (O, O, l) E S2.
Per ogni P(x' , y' , z') E S2\ {N} denotiamo con a(P) il punto di ft allineato
con N e con P. Si ottiene così una corrispondenza biunivoca
a: 8 2 \ {N} -+ft '
chiamata proiezione stereografica di 8 2 suft (fig. 25.5).
Poiché la retta NP ha equazioni parametriche
x=x'f, y=y't, z=(z'-l)t+l,
Figura 25.5
20

306
Geometria proiettiva
si ha
( X' y' )
a(x' , y' , z') . ft n NP = , , o ·
l-z' l-z'
a è un'applicazione biunivoca perché possiede l'inversa:
-I ( 2u 2v U 2 +V 2 -l )
a (u, v, O) = , , .
u 2 + v 2 + 1 u 2 + v 2 + 1 u 2 + v 2 + 1
L'applicazione CI consente di rappresentare la sfera 8 2 come il piano ft cui
è stato aggiunto il punto N, il quale può interpretarsi come "punto all'infinito"
di ft, perché all'allontanarsi di QEft dall'origine O, cioè al tendere di II OQ Il
all'infinito, a-l (Q) si avvicina a N.
Se identifichiamo ft con C, facendo corrispondere al punto (u, v, O) il numero
complesso z = u + iv, otteniamo un'applicazione biunivoca
a: S2 -+ p l (C) = C U {ex>}
in cui a(N) = ex> e
x' y'
a(x' , y', z') = + i
l-z' l-z' l-z'
La sfera fornisce in questo modo un modello geometrico di P I (C), chiamato
.
sfera di Riemann.
x' + iy'
se z' # 1.
2. Un'ulteriore descrizione geometrica degli spazi pn = pn(R) può essere data
nel modo seguente.
Identifichiamo pn(R) con l'insieme i cui elementi sono le rette per l'origine di
En+ J, e consideriamo la sfera sn C En+ I, di centro l'origine e raggio 1. Definiamo
un' applicazione
k: sn-+ pn
ponendo
k(x) = retta per l'origine che contiene x.
Poiché ogni retta  passante per l'origine incontra sn in due punti simmetrici
rispetto ad essa (cioè antipodali o diametralmente opposti) {x, - x}, l'applica-
zione k è suriettiva, e tale che k - I () consiste di due punti per ogni  E pn.
k fa dunque corrispondere biunivocamente pn(R) all'insieme i cui elementi sono
le coppie di punti antipodali {x, - x} di sn; in altri termini, possiamo rappre-
sentarci pn(R) come l'insieme quoziente sn/ ==, dove x == y se e solo se y = - x.
Un altro modello di pn{R) si ottiene considerando il semispazio E di En+I
definito dalla condizione Xo > O, e la restrizione di k alla "semisfera"
E' = sn n E. Sia M = E' n H, dove H è l'iperpiano di equazione Xo = O.
Le rette  di En+I passanti per l'origine che non sono contenute nell'iper-
piano H, cioè tali che Ho' incontrano E ' in un solo punto; se invece EHo'
allora  n E I è una coppia di punti antipodali appartenenti a M.

25/Geometria affine e geometria proiettiva
307
L'applicazione k induce pertanto una biezione di E' \M su pn\Ho; inoltre k
induce una applicazione di M su Ho in cui due punti hanno la stessa immagine
se e solo se sono diametralmente opposti.
pn(R) può essere dunque rappresentato come l'insieme che si ottiene da E'
facendo coincidere tra loro punti diametralmente opposti di M.
Nel caso n = l, E' è una semi circonferenza, e pOI si ottiene da essa "incollan-
done" gli estremi (fig. 25.6).
La figura 25.7 si riferisce al caso n = 2.
Nel caso n = 3 l'applicazione k induce una biezione di p3(R) su SO(3). Per
dimostrarlo utilizzeremo l'applicazione p: 8 2 x [O, 7r] -+ SO(3) descritta nella pro-
posizione 21.6. Denotiamo con k': 1;' -+ p3 la restrizione di k, e definiamo
un'applicazione
h: 1;'  SO(3)
ponendo
_ [ p (x/llxll, 1r Ilxll)
h(t, XI' X 2 , x 3 ) -
_ 13
se x  O
sex=O
dove x = t(x i X 2 x 3 ). Si noti che h è ben definita perché O < Uxll :51. La restri-
zione di h a E' \M è biunivoca, perché IIxll < 1 se (t,XI' X 2 , X 3 )EE' \M.
Dalle proprietà di p segue che su M si ha
h{O, XI' X 2 , x 3 ) = h{O, YI' Y2, Y3)
se e solo se (YI' Y2' Y3) = (- Xl' - X 2 , - x 3 ). Confrontando con l'applicazione k' ,
vediamo che h induce una biezione p3 (R) -+ SO (3).
3. Un altro modo di descrivere PI(R) si ottiene considerando la circonferenza
C C E 2 di raggio 1 e centro nel punto (1, O) (fig. 25.8).
Le rette per l'origine diverse dall'asse Xo = O (cioè quelle che rappresentano
i punti di P I (R) \ {Ho}) incontrano C in due punti, di cui uno è (O, O) e l'altro
è variabile; invece la retta Xo = O incontra C solo in (O, O). Facendo corrispon-
dere alla retta  variabile la sua intersezione "'I () con C, diversa da (O, O), si
definisce una corrispondenza biunivoca
"'I: pI (R) \.{Ho} -+ C\ {(O, O)}.
Ponendo 'Y (Ho) = (O, O), "'I si estende a una corrispondenza biunivoca "'I: P l (R)  c.
In questo modo si ottiene una circonferenza come modello geometrico di P I (R).
4. Denotiamo con YI' ..., Yn le coordinate di un punto variabile in A n = A n(K),
e con Xo, XI' ..., x n le coordinate omogenee di un punto variabile in pn.
Si consideri un iperpiano H di A n, di equazione
al Y 1 + ... + Un Y n + a O = O.
[25.6]

308
Geometria proiettiva
1:'
Figura 25.6
k(Q) = k(Q')
Figura 25.7
L'applicazione jo: A  pn\Ho trasforma i punti di H nei punti propri dell'i-
perpiano H di pn di equazione
aoXo + al X) + ... + anX n = O.
[25. 7]
Infatti, se (YI' ..., Yn) soddisfa la [25.6], allora [1, YH ..., Yn] soddisfa la [25.7].
Viceversa, se [X o , XI' ..., Xn] E H è un punto proprio, allora Xo ;é O, [X o , XI' ..., Xn] =
= jO(xllx o , ..., Xn/X o ), e (X1/X o , ..., xn/X o ) soddisfa la [25.6].
H è la chiusura proietti va (o proiettificazione) di H.
Più in generale, si consideri un sottospazio affine S di A n, definito daI sistema
di equazioni lineari
a 11 Y I + ... + alnY n + CI = O
alI Yl + ... +a tn Y n + CI = O.

25/Geometria affine e geomelria proietliva
309
Figura 25.8
L'applicazione jo trasforma i punti di S nei punti propri del sottospazio S di
pn di equazioni cartesiane
alI XI + ... + aInX n + c1X o = O
a/IX I + ... + atnX n + ctXo = O.
La verifica è simile al caso dell 'iperpiano.
Il sottospazio S si dice chiusura proiettiva (o proiettijicazione) di S.
Consideriamo aIcuni casi particolari. Il caso n = 1 non è molto significativo,
perché un sottospazio affine S  AI è ridotto a un punto, e S = j($). Quindi
l'unico punto improprio di P I non è punto improprio di alcun sottospazio affine
S#A I .
Passiamo al caso n = 2. Sia  una retta di A 2 , di equazione
AX + BY + C= O.
[25.8]
jo trasforma i punti di  nei punti propri di p2 appartenenti alla retta  di
equazione
AX I + BX 2 + CX o := o.
[25.9]
La retta [25.9] è la chiusura proiettiva di ; essa consiste dei punti di jo() e del
punto [O, - B, A], il suo punto improprio, che è la sua intersezione con la retta
impropria Ho. Si osservi che (- B, A) è un vettore di direzione di .
Ogni retta di p2 diversa dalla retta impropria, e quindi definita da un'equa-
zione della forma [25.9] con (A, B) # (O, O), è la chiusura proiettiva di una retta
di A 2 , precisamente çlella retta  di equazione [25.8]..
Mediante la corrispondenza jo le rette di p2 passanti per un punto proprio
jo(Q) sono le chiusure proietti ve delle rette di A 2 del fascio proprio di centro Q.
Invece le rette passanti per un punto improprio [O, l, m] sono tutte, meno una,
le chiusure proiettive delle rette di A 2 del fascio improprio di direzione < (l, m».

310
Geomelria proiettiva
Fa eccezione la retta impropria, l'unica retta di p2'che non è la chiusura proiet-
tiva di alcuna retta di A 2 .
Consideriamo ora il caso n = 3 _ Se ft è un piano di A 3 di equazione
AX +BY + CZ+D= O,
[25.10]
l'equazione
AX 1 + BX 2 + eX 3 + DX o = O
[25.11]
definisce la chiusura proitiva ft di ft in p3. _
I punti impropri di ft sono i punti della retta Ho n ft, ovvero l punti
[O, l, m, n] tali che I, m, n siano soluzioni non banali dell'equazione
AX I + BX 2 + eX 3 = O,
cioè tali che (l, m, n) sia un vetto!e non nullo della giacitura di ft. In particolare
l'insieme dei punti impropri di ft coincide con la retta P (W), dove W è la giaci-
tura di ft-
Se una retta  di A 3 ha equazioni cartesiane
AX + BY + CZ + D = O,
AIX + Bl Y + CIZ + DI = O,
la chiusura proiettiva di  è la retta  di p3 di equazioni cartesiane
[25.12]
AX 1 + BX 2 + eX 3 + DX o = O,
AI XI + B I X 2 + C I X 3 + DIX O = O.
Essa consiste dei punti di jo() e del suo punto improprio, che è [O, /, m, n],
dove (/, m, n) è un vettore di direzione di : infatti [O, I, m, n] è il punto impro-
prio comune ai piani [25.13].
Ogni piano di p3 diverso da Ho è la chiusura proiettiva di un piano ft di A 3 .
Se una sua equazione è la [25.11], ft è il piano di equazione [25.10].
Nello stesso modo si vede che ogni retta di p3 non contenuta in Ho è la chiu-
sura proiettiva di una retta  di A 3 . I piani contenenti la retta data sono tutti
e soli i proiettificati dei piani di A 3 del fascio di asse .
Invece i piani che contengono una retta di p3 contenuta in Ho sono tutti, ad
ed eccezione di Ho, proiettificati dei piani ft di A 3 appartenenti al fascio impro-
prio di giacitura corrispondente alla retta impropria data.
[25.13]
5. Sia A uno spazio affine sul K-spazio vettoriale V. Dati punti Po, P I , __.
..., PkE A e scalari Ao, AI' ..., AkE K tali che Ao + AI + ... + Ak = l, resta univoca-
mente determinato un punto, che denotiamo con AoPo + AlPI + ... + AkP k , dalla
seguente condizione:
)   
Po (AoPo + AI P I + -.. + AkP k ) = AI POPI + A 2 P O P 2 + ... + ÀkPOPk.
[25.14]

25/Geometria affine e geometria proiettiva
311
È immediato verificare che la [25.14] è equivalente ad ognuna delle seguenti
condizioni:
) ----+  
Pj(ÀoP o + AlPI + ... + À.kP k ) = A.oPjPO + ... + Aj-IPjPj-I + A j + I PjPj+I + ...
----+
... + ÀkPjP k , j == l, ..., k.
Per defi nizione il punto ÀoPo + A. I P 1 + ... + A.k P k appartie ne al sottospa-
zio affine POPi." P k ; viceversa, ogni punto PEPOP 1 ... P k è della forma
p == A.oPo + À] P 1 + ... + A.kP k per opportuni Ào, A. 1 , ... A. k E K tali che Ào + A. I + ...
. .. + Àk = 1.
----+  
Se Po, p], ..., P k sono punti indipendenti, i vettori POPI' P O P 2 , ..., PoPk sono
linearmente indipendenti e pertanto Ao, A. 1 , ..., Ak sono univocamente determi-
nati dal punto AoPo + 1v1P 1 + ... + AkP k . Se, in particolare, k == n = dim(A), e
Po, P I , ..., Pn EA sono indipendenti, ogni punto PEA individua univocamente
n + l scalari Ao, A.], ..., A. n tali che Ao + A.] + ... + An = l e tali che
p == A.oPo + Iv i P I + ... + ÀnPn.
Gli scalari A.o, A.), ...., A. n si dicono coordinate baricentriche di P rispetto a
Po, P 1 , ..., Pn. Si noti che Àh ..., A. n sono le coordinate di P nel riferimento affine
----+
POe] ... e n , dove e j = POPj, e A.o = 1  A.} - ... - A. n .
Se Po, PJ, ..., P k sono punti indipendenti, il punto
B = (k + 1)--1 Po + (k + 1)-] P 1 + ... + (k + 1)--1 P k
è detto baricentro di Po, P I , ..., P k . Se K = R il baricentro di due punti distinti
P, Q è il punto medio del segmento PQ.
Se K = R i punti della forma A.oPo + AI P I + ... + À.kP k , con Ào + ... + Ak == 1
e Ào, À I , ..., Àk > O, sono i punti del k-simplesso individuato da Po, p], ..., P k .
Le coordinate baricentriche furono introdotte per la prima volta nel 1827 da
A. F. Moebius.
6. Le coordinate omogenee risultano utili anche in geometria euclidea, perché
spesso permettono di esprimere in modo più semplice relazioni e grandezze metri-
che. Si considerino ad esempio una retta  di E 3 e due punti distinti (x, y, z)
(Xl, Y I , z') di t,. La chiusura proiettiva di z, (rispetto a jo) ha coordinate pliic-
keriane:
I I I
POI == x - x, P02 = Y - y, P03 == Z - Z
, I I I l'
P12 == xy - x y, PI3 == xz - x z, P23 = yz - y z.
Denotiamole rispettivamente con
l, m, n,
L, M, N,

312
Geometria proiettiva
e chiamiamole coordinate pliickeriane di . Dalla definizione segue che (l, m, n)
è un vettore di direzione di , mentre (L, - M, N) = (x, y, z)A(X' , y' , z').
Sia ' un'altra retta di E 3 avente coordinate pliickeriane l' , m' , n' , L' , M' ,
N', e supponiamo che ' non sia parallela a ; Si ha
IL' +Ll' - ( mM' +Mm' ) +nN' +Nn'
') =
I l m 2+ l n 2 + m n 2
 [' m' l' n' m' n I
d(,
In particolare le rette  ed ' sono incidenti se e solo se
IL' +Ll' -(mM' +Mm')+nN' +Nn' =0.
La verifica di questi fatti è lasciata al lettore.
Esercizi
1. Determinare il punto improprio (rispetto a xo) di ciascuna delle seguenti rette di
A 2 (C):
a} 3X + Y + 1 = O b) X - 2 Y - 1 = O
c) 2iX + 3 Y + 9 = O d) X + I = O
e) Y + 6 = O f) X - 2 Y = O.
2. Determinare equazioni in coordinate omogenee di ciascuna delle rette considerate neI-
l'esercizio precedente.
3. Determinare equazioni in coordinate non omogenee di ciascuna delle seguenti rette
di P 2:
a) 7X o -4X I +X 2 =0
c) iXo + 2iX 2 - X) = O
b) 2X 1 - X 2 + iX o = O
d) (1 - i)X o + 2X 2 = o.
4. Determinare coordinate omogenee del punto comune alle chiusure proiettive di cia-
scuna delle seguenti coppie di rette di A 2(C):
a) 3X+iY+1 =0, X- Y=O
b) - iX + (i + l) Y -1 = O, 2 - 2X = O c) X - 3 Y = i, X - 3 Y + 4 = O.
5. Determinare un'equazione cartesiana del piano di p3 (R) passante per il punto
[1, l, O, 1] e per i punti impropri delle rette  ed j" di A 3 (R) di equazioni:
 : X + Y + Z - 1 = 2X - Y - Z = O, .J; : 2X - Y - 2Z + l = Y + Z - l = O.
6. Sia A uno spazio affine su V avente dimensione n, e siano Po, P h ..., PnEA punti
indipendenti. Dimostrare che
a) {(l, Po), (1, PJ), ..., (1, P n )} è una base dello spazio universale V;
b) se PE A ha coordinate baricentriche À.o, À 1 , ..., Àn rispetto a Po, PJ, ..., Pn,
allora Ào, Ah ..., An sono le coordinate di (1, P) rispetto alla base {( l, Po),
(1, p), ..., (1, Pn») di V.

26/Dualità
313
26 Dualità
Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione finita. Lo spazio proiettivo
pv = p (VV), dove VV == Hom (V, K) è lo spazio vettoriale duale di V, si dice spazio
proiettivo duale di P = P(V).
P e p v hanno la stessa dimensione perché dim(V) = dim(VV).
Per definizione, due funzionali F, F': V -+ K, entrambi non nulli, definiscono
lo stesso elemento di p v , in simboli [F] = [F'], se e solo se F' = ÀF per qualche
À.  o. Poiché in tal caso si ha N (F) = N (F'), l'iperpiano N (F) di V dipende solo
dal punto [F] E P". Quindi si definisce un'applicazione, ,detta di dualità,-
o: p v -+ {iperpiani di P}
ponendo o([F]) = P(N(F».
o è iniettiva, perché due funzionali non nulli che hanno lo stesso nucleo sono
proporzionali e quindi definiscono lo stesso punto di p v . Poiché ogni iperpiano
di V è il nucleo di un funzionale lineare, o è anche suriettiva, e quindi è un'appli-
cazione biunivoca. Essendo univocamente definita da P, () identifica in modo intrin-
seco, cioè dipendente solo da P, l'insieme {iperpiani di P} con lo spazio proiet-
tivo p v . In particolare () permette di considerare {iperpiani di P} come uno spazio
proiettivo.
Diremo che un numero finito di iperpiani H 1 , Hz, ..., Ht di P sono linearmente
indipendenti o viceversa linearmente dipendenti a seconda che i punti (, -1 (H 1 ),
o - I (H 2 ), ..., 0- 1 (Ht) di pv siano linearmente indipendenti o linearmente
dipendenti.
Supponiamo fissata una base {eo, ..., e n } in V, e sia {1l0, ..., l1n} la base-di VV
duale di {e o , ..., e n }, definita, lo ricordiamo, dalle condizioni l1i(e j ) = D ij , O < i,
j '5 n. Il riferimento proiettivo 110 ... lln di P" si dice riferimento proiettivo duale
del riferimento e o ... e n di P. I due sistemi di coordinate omogenee sono duali
l'uno dell'altro.
Sia H C P un iperpiano di equazione
aoXo + a) XI + ... + anX n = O.
Allora H = P(N(F», dove FEV è il funzionale
F(xoe o + x1e I + ... + xne n ) = aoxo + aIx 1 + ... + anx n ,
e quindi H = {)([F]). Gli scalari a o , al' ..., a n sono coordinate omogenee di [F]
rispetto al riferimento proiettivo 110 ... 'YJn di p v e vengono anche chiamati coor-
dinate omogenee dell'iperpiano H. Denoteremo H anche con H[a o , ..., an].
Gli iperpiani coordinati del riferimento e o ... e n sono le immagini tramite ()

314
Geometria proiettiva
dei punti fondamentali del riferimento duale 'YJo
1Jn. Si ha cioè
Ho = Ho[l, O, ..., O] = 0([110])'
Hn = Hn [O, ..., O, I] = o([1Jn]).
Sia S un sotto spazio di P di dimensione k < n-l. L'insieme Al (S) i cui ele-
menti sono gli iperpiani di P che contengono S si dice il sistema lineare di iper-
piani di centro S. Se k = n - 2, AI (S) è un fascio di iperpiani.
Ad esempio se P è un piano e PE P è un suo punto, l'insieme delle rette che
passano per P è un fascio di rette; se dim (P) = 3 ed t è una retta, Al () è un
fascio di piani. Queste nozioni sono simili a quelle di fascio di rette e fascio di
piani studiate nel capitolo 1.
Se dim(P) = 3 e PEP è un suo punto, AI (P) è anche chiamato stella di piani.
26.1 PROPOSIZIONE Supponiamo che il sottospaziò 8 di P abbia dimensione
k, ed equazioni cartesiane
alOX o + a II Xl +... + alnX n = O
a 20 X O + a 2I X j + ... + a 2n X n = O
[26.1 ]
a n kOXO + ano kIXI + ... + an-knX n = O,
che scriveremo in breve
F 1 (X o , . .., X n ) = O
F 2 (X O ' ..., X n ) = O
Fn-k(X O ' ..., X n ) = O.
Allora il sistema lineare AI (8) consiste degli iperpiani di equazione
À]F 1 (X o , ..., X n ) + A 2 F 2 (X O ' ..., X n ) + ...
... + Àn-kFn-k(XO' ..., X n ) = O,
[26.2 ]
dove Al' À. 2 , ..., An-kE K sono scalari non tutti uguali a O.
Dimostrazione
Ogni iperpiano della forma [26.2] appartiene a AI (8), cioè contiene S, perché
le coordinate di ogni punto di S annullano i poli nomi F 1 , F 2 , ..., Fn-k e quindi

26/Dualità
315
annullano il primo membro della [26.2]. Viceversa, sia H un iperpiano contenente
S, di equazione:
aoXo + al XI + ... + anX n = O.
[26.3]
Il sistema [26.1] e quello costituito dalle equazioni [26.1] e dalla [26.3] sono
equivalenti. Quindi la [26.3] è combinazione lineare delle equazioni [26.1], cioè
è della forma [26.2], come si voleva.
Denotiamo con H I , H 2 , ..., Hn-k gli n - k iperpiani definiti dalle equazioni del
sistema [26.1]. Osserviamo che ogni iperpiano H definito dalla [26.2] ha coordinate
omogenee che sono combinazioni lineari di quelle di H I , H 2 , ..., Hn-k. Ciò
significa che o - I (H) appartiene al sottospazio L (o - I (H 1 ), o . I (H;), . .., o - I (H n - k »
di pv. Pertanto la proposizione 26.1 afferma che
O-I [AI (8)] = L(0-I(H 1 ), o-I(H 2 ), ..., 5- 1 (H n _ k ».
Poiché o -I (H 1 ), o -l (H;), ..., o - I (Hn _ k) sono linearmente indipendenti, si
deduce, in particolare, che o -l [A} (8)] è un sottospazio proiettivo di pv di dimen-
sione n - k - 1. Si ottiene così una corrispondenza tra sottospazi di dimensione
k di P e sottospazi di dimensione n - k - 1 di p v . Questa corrispondenza è biuni-
voca perché un sistema lineare è individuato dal suo centro. Inoltre, se 8 C S' ,
tra i sistemi lineari corrispondenti si ha l'inclusione opposta AI (S') C AI (S).
Abbiamo pertanto il seguente teorema:
26.2 TEOREMA Sia dim(p) = n. L'applicazione o: pv  {iperpiani di P } defi-
nita più sopra è una biezione che fa corrispondere ad ogni sottospazio proiettivo
di dimensione n - k - 1 di pv un sistema lineare di iperpiani di P di centro un
sottospazio proiettivo di dimensione k. Si ottiene in questo modo una corrispon-
denza biunivoca tra sottospazi di p v e sottospazi di P che rovescia le inclusioni.
Se k = dim(S), allora n - k -1 è la dimensione del sistema lineare AI (S). Ad
esempio, i fasci di iperpiani di P hanno centro di dimensione n - 2, e pertanto
hanno dimensione n - (n - 2) - l = l, cioè corrispondono alle rette di p v .
Se P E P, allora AI (P) ha dimensione n - l, cioè corrisponde a un iperpiano
di pv. Otteniamo così una corrispondenza biunivoca:
OV: P  {iperpiani di P V }
P 1-+ Al (P)
[26.4] .
(per ulteriori informazioni sull'applicazione oV, cfr. 26.5).
Si ha dim [AI (S)] = n se e solo se AI (8) = pv, e ciò avviene se e solo se S = 0.
Diremo p v = AI (0) il sistema lineare improprio.

316
Geometria proiettiva
26.3 Esempi
1. Sia P un piano e sia PEP. Ogni retta del fascio A 1 (P) si può esprimere
come combinazione lineare di due rette distinte , .J.- passanti per P. Se  ed
.J.- sono assegnate mediante equazioni cartesiane:
aoXo + a 1 X 1 + a 2 X 2 = O, per,
boXo + b 1 XI + b 2 X 2 = O, per.J.-,
ogni altra retta di AI (P) ha equazione
À(aoX o + al XI + a 2 XJ + p,(boXo + b) XI + b 2 X 2 ) == O
con (À, p,) # (O, O).
Se  è una retta di P, il sistema lineare AI () ha dimensione O, ed  è il suo
unico elemento.
2. Supponiamo che dim(p) = 3. Se PEP, il sistema lineare AI (P), la stella di
centro P, ha dimensione 2. Se invece  C P è una retta, AI () è un fascio di piani
e quindi ha dimensione 1. Infine, se jv C P è un piano, AI (jv) ha dimensione O,
e consiste del solo piano jv.
In particolare, a punti, rette e piani di P corrispondono rispettivamente piani,
rette e punti di P v .
Siano P[x o , ..., xn]EP e H[a o , ..., a n ] un iperpiano di P. La condizione che
PEH, cioè che P e H siano incidenti, è equivalente alla seguente identità:
aoxo + al XI + ... + anXn.= O.
[26.5]
Fissati a o , ah ..., a n , la [26.5] è una condizione sulle coordinate di punto,
soddisfatta da tutti e soli i punti P[x o , ..., xn] EH. D'altra parte, se teniamo fissi
Xo, XI' ..., x n , la [26.5] si può considerare come una condizione sulle coordinate
di iperpiano, che è soddisfatta da tutti e soli gli iperpiani H E AI (P).
Supponiamo assegnata una configurazione di punti e di iperpiani di P, in modo
che certe relazioni di incidenza tra di essi siano soddisfatte. Tali relazioni si espri-
mono come identità della forma [26.5] nelle coordinate dei punti e degli iperpiani
della configurazione stessa. Se le coordinate di ogni punto della configurazione
si interpretano come coordinate di iperpiano, e quelle di ogni iperpiano della stessa
come coordinate di punto, si ottiene una nuova configurazione di punti e di iper-
piani che viene chiamata configurazione duale della precedente. I suoi punti e i
suoi iperpiani si diranno duali dei corrispondenti iperpiani e punti della configu-
razione di partenza. Poiché la [26.5] è simmetrica nelle coordinate di punto e di
iperpiano, tutte le incidenze che sono soddisfatte dai punti e dagli iperpiani della
configurazione data sono anche verificate dai corrispondenti elementi della con-
figurazione duale. Possiamo utilizzare questa osservazione per ottenere da ogni

26/Dualità
317
proposizione vera che riguarda configurazioni di punti, iperpiani e loro incidenze
una nuova proposizione, ancora vera, riguardante le configurazioni duali di iper-
piani, punti e loro incidenze, come espresso dal seguente principio di dualità:
Ad ogni proposizione vera riguardante punti e iperpiani di P e loro incidenze
corrisponde una proposizione ancora vera riguardante iperpiani e punti di P e loro
incidenze, che si ottiene dalla precedente scambiando tra loro le parole ]Junto"
e iperpiano". Le due proposizioni si dicono duali l'una dell'altra.
Una coppia di proposizioni duali è la seguente:
n punti indipendenti generano un
iperpiano
n iperpiani indipendenti hanno
in comune un punto.
Per riconoscere che le due proposizioni sono duali, le possiamo così riformu-
lare: la prima afferma che esiste un unico iperpiano incidente n punti indipen-
denti, mentre la seconda afferma che esiste un unico punto incidente n iperpiani
indipendenti. Secondo il principio di dualità, dal fatto che la prima proposizione
è vera discende che lo è anche la seconda. Ovviamente in questo caso noi già sap-
piamo che entrambe le proposizioni sono vere senza dover ricorrere al principio
di dualità; ma ciò non sempre avviene, e i principio fornisce in generale un modo
di dedurre nuove proposizioni geometriche.
Similmente possiamo riconoscere che le due seguenti proposizioni sono duali:
Due punti distinti generano una
retta.
Due iperpiani distinti hanno per
intersezione un sottospazio di
codimensione 2.
La prima proposizione afferma che esistono n - 2 iperpiani indipendenti inci-
denti due punti distinti (e la cui intersezione è la retta da essi generata), mentre
la seconda afferma che esistono n - 2 punti indipendenti che sono incidenti due
iperpiani distinti.
Una proposizione si dice autoduale se coincide con la sua duale.
Dimostreremo un teorema classico riguardante le configurazioni di rette e di
punti in un piano proiettivo, il teorema di Desargues, la cui versione affine è stata
dimostrata nel paragrafo 9.
26.4 TEOREMA (DI DESARGUES-VERSIONE PROIETTIV A) Sia P == P (V) un piano
proiettivo e siano p], ..., P 6 E P punti distinti tali che le tre rette L (P 1 , P 4 ), L (P2,
P 5 ), L(P 3 , P 6 ) abbiano in comune un punto Po, diverso da P 1 , ..., P 6 .
In tali ipotesi i punti
L(P 1 , P 3 ) n L (P 4 , P 6 ), L(P 2 , P3) n L (P 5 , P 6 ), L(Pt, P 2 ) n L (P4' P 5 )
sono allineati (fig. 26.1).

318
Geometria proiettiva
Figura 26.1
Dimostrazione
Siano vo, VI' ..., v 6 E V tali che Pj = [Vi]' i = l, ..., 6. Per ipotesi esistono sca-
lari al' ..., a 6 E K tali che
V o = al VI + a 4 v 4 = a 2 v 2 + a 5 v 5 = a 3 v 3 + a 6 v 6 .
Poiché Po è diverso da P I , ..., P 6 , gli al' ..., a 6 sono tutti diversi da zero. I
tre punti L(P I , P 3 ) n L (P 4 , P 6 ), L(P 2 , P 3 ) n (Ps, PJ, L(P I , P 2 ) n L (P 4 , Ps) sono
rispettivamente associati ai vettori
al VI - a 3 v 3 = - a 4 v 4 + a 6 v 6
-a 2 v 2 + a 3 v 3 == a S v 5 - a 6 v 6
- al VI + a 2 v 2 = a 4 v 4 - a 5 v S .
Questi tre vettori sono linearmente dipendenti perché la loro somma è O, e quindi
i tre punti corrispondenti sono allineati.
Il teorema 26.4 si può anche enunciare così: sotto le ipotesi dette, sono alli-
neati i tre punti di intersezione delle coppie di lati ordinatamente corrispondenti
dei due triangoli di vertici P I , P 2 , P 3 e P4' P5' P6.
Lasciamo al lettore il compito di verificare che il teorema di Desargues è
autoduale.

27/Cambiamenti di coordinale omogenee e proieltività
319
26.5 Complementi
Sia P == P(V). Lo spazio proiettivo (P")", duale di p v , coincide con spazio proiet-
tivo P(V"V) associato al biduale di V, e si dice spazio proiettivo bidua/e di P.
L'isomorfismo canonico (3: V --+ V"" di V sul suo biduale induce una corrispon-
denza biunivoca b: P --+ (P")", che associa ad ogni P = [v] E P il punto [(J(v)] E (P")".
Consideriamo l'applicazione di duaIità di p":
o' :(PV)V --+ {iperpiani di P"}
e la composizione
o' o b: P --+ {iperpiani di P"}.
È facile veq.ere che o' ob coincide con l'applicazione o" definita dalla [26.4].
Se infatti P= [v] EP, allora, poiché (3(v) (F) = F{v) per ogni FEV v , si ha
(o' o b) (P) = o' ([{3(v)]) = {[F] E p": FE N ({3(v»} =
= ([F] E p": F(v) == O} = AI (P) = o" (P).
Esercizi
1. Dimostrare che, se S ed S' sono due sottospazi proiettivi di P, allora
A1(S) n A 1 (S') = A1(L(S, S'».
2. Sia dim(P) = 3. Formulare la duale di ognuna delle seguenti proposizioni:
a) Dato un punto e una retta che non lo contiene, esiste un unico piano contenente
entrambi.
b) Due rette incidenti sono complanari.
c) Date comunque due rette sghembe ed un punto fuori di entrambe esiste un'u-
nica retta contenente il punto e incidente le due rette date.
d) Assegnati comunque tre punti linearmente indipendenti, esistono tre rette distinte
ognuna delle quali ne contiene due.
27 Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività
Siano V un K-spazio vettoriale di dimensione finita e P = P (V) lo spazio proiet-
tivo associato, e sia dim(P) = n.
Supponiamo assegnati due riferimenti proiettivi in P, rispettivamente dalle basi
e = {e o , e l , ..., e n } ed f== {fo, tI' ..., fn} di V, e sia A = Mf.e(1v)EGLn+I(K) la
matrice che esprime il cambiamento di coordinate dei vettori di V dalla base e
alla base f. Si ha
y=Ax
[27 .1]

320
Geometria proiettiva
per ogni vettore
v=xOeO+x1e I +... +Xnen=YOfO+YlfI +... +Ynfn
di V. Sia P = [v] E P. Se x = t(x o XI... X n ) si interpreta come una (n + I)-pIa
di coordinate omogenee di P nel riferimento proiettivo e o ... e n , una (n + 1)-upla
di coordinate omogenee di P, nel riferimento fo... f n , è y = t(yo YI ... Yn) data
dalla [27.1].
Osserviamo che se x viene sostituita da una (n + 1)-upla proporzionale A.X, cioè
da un'altra (n + 1)-upia di coordinate omogenee dello stesso punto P nel riferi-
mento e o ... e n , si ottiene al posto di y la (n + I)-upla A.y, che rappresenta ancora
P nel riferimento fo ... f n.
La matrice A non è univocamente determinata dai due riferimenti proiettivi
assegnati, perché questi individuano le due basi e ed f di V solo a meno di un
fattore di proporzionalità. Una diversa scelta delle due basi avrà l'effetto di sosti-
tuire A con una matrice ad essa proporzionale aA, a "# O, dalla quale si otterrà
una formula analoga alla [27.1]:
y = aAx. [27.2]
È evidente che la [27.2] e la [27.1] sono equivalenti perché, date coordinate
omogenee x di un punto PEP nel riferimento e o ... e n , entrambe forniscono coor-
dinate omogenee y di P nel riferimento fo ... fn.
Quanto fin qui detto è riassunto nella seguente proposizione:
27.1 PROPOSIZIONE Siano e o ... e n ed fo ... f n due riferimenti proiettivi in P.
Esiste una matrice A E GL n + I (K), individuata solo a meno di un fattore di pro-
porzionalità non nullo, tale che, se PE P ha coordinate omogenee x nel riferimento
e o ... e n , allora coordinate omogenee y di P nel riferimento fo ... f n sono date dalla
formula [27..1]..
La [27..1] è laformula del cambiamento di coordinate omogenee dal riferimento
e o ... e n al riferimento fo.... 'n.
Siano e o .... e n , fo.... 'n' go.... gn riferimenti proiettivi in P, corrispondenti a
coordinate omogenee di punto x, y, z, e siano y = A x, e z = By le formule che
esprimono i rispettivi cambiamenti di coordinate omogenee di punto. Sostituendo
nella seconda il valore di y dato dalla prima si ottiene la formula
z = (BA)x
che esprime il cambiamento di coordinate omogenee da e o ..... e n a go ... gn" La
formula
x = A -Iy
esprime il cambiamento di coordinate da fo...... f n a e o ..... e n ..

27/Cambiamentj di coordinale omogenee e proiettività
321
Supponiamo fissato in P un riferimento proiettivo e o ... e n . In pratica un
nuOVO riferimento proiettivo viene spesso assegnato mediante una (n + 2)-upla
ordinata
Po[Poo, ..., POn], P 1 [PIO' ..., PIn]' ..., Pn[PnO' ..., Pnn]' M[m o , ..., m n ]
di punti in posizione generale (cfr. esempio 24.5(4».
Siano Ao, ..., Àn E K tali che si abbia
Ao(Poo, ..., POn) + ... + À.n{PnO' ..., Pnn) == (mo, ..., m n ).
Allora la formula del cambiamento di coordinate dal riferimento e o ... e n al nuovo
riferimento è la [27.1] in cui A = B- 1 , dove
AoPoo AnPnO
ÀOPOI AnPnl
B=
AoPOn À.nP nn
Infatti i vettori di V le cui coordinate rispetto a (e o ,..., e n } sono le colonne
di B costituiscono una base di V che individua il nuovo riferimento. Quindi B
è la matrice che esprime il cambiamento di coordinate inverso, cioè quello che
fa passare dal riferimento individuato da Po, ..., Pn' M al riferimento e o ... e n .
27.2 Esempio
Sia P una retta proiettiva in cui sia assegnato un riferimento proiettivo, e siano
Pl [AI' JA.t1, P 2 [À 2 , IL2]' M [A 3 , IL3] punti distinti. Siano ex, {j E K tali che
() =a(:J +()
e, per ogni punto P [x o , Xl] E P, siano 'Y, o E K tali che
( x o ) = "I ( ex AI ) + o ( (3 A 2 ) .
Xl a JA.I (3 IL2
Allora P ha coordinate omogenee "I, (, nel riferimento individuato da P I , P2'
M. Calcolando a, (3 e "I, o con la regola di Cramer ed eliminando i denominatori
otteniamo
[ X A
["I, o] = o 2
X J 112
AI A3
JA.I 113
AJ Xo
À3 À 2 ] .
113 JA.2
[27.3]
Ili XI
Passiamo ora a considerare le trasformazioni di uno spazio proiettivo.
21

322
Geomelria proiettiva
27.3 DEFINIZIONE Siano P = P (V) e P' = p (V ') due spazi proiettivi. Un' ap-
plicazione biunivoca f: P  P' è un isomorfismo di P su P' se esiste un isomor-
fismo cp: V  V' tale che
f([v]) = [cp(v)]
per ogni [v] E P. L 'isomorfismo f si dice indotto da cp. Se un isomorfismo f esiste,
p e P' si dicono isomorfi.
Una proiettività di P è un isomorfismo di P in sé stesso.
È evidente che ogni isomorfismo di spazi vettoriali cp: V  V' induce un iso-
morfismo di P su P' .
Lasciamo al lettore il compito di verificare, nel modo consueto, che l'isomor--
fismo è una relazione di equivalenza tra spazi proietti vi.
Due spazi proiettivi isomorfi hanno evidentemente la stessa dimensione. D'al-
tra parte, poiché ogni K-spazio vettoriale di dimensione n + 1 è isomorfo a Kn i-I,
ogni spazio proiettivo di dimensione n è isomorfo a pn. Da ciò segue che due
spazi proiettivi della stessa dimensione sono isomorfi.
Se una proiettività f: P  P è indotta da cp, essa è anche indotta da Acp, per
un qualunque À.E K*: infatti si ha
[(À.cp) (v)] == [A(cp(V»] = [cp(v)] = f([v])
per ogni v E V\ { O }. Viceversa, se 1/;: V  V induce f, allora 1/; = À. cp per qualche
A E K*. Infatti per ogni v E V esiste À. E K* tale che cp(v) = A 1/;(v}, ovvero tale che
(1/; - I ocp) (v) = À v; ne consegue che ogni v E V\ {O} è un autovettore di 1/; - I 0cp, e
quindi 1/; --lo cp = À.1v per qualche A E K*, cioè 1/; = Àcp. Quindi l'automorfismo che
induce una data proiettività è individuato solo a meno di un fattore di proporzio-
nalità non nullo.
L'identità lp è una proiettività, perché è indotta da Iv. Se f, g: P  P sono
proiettività indotte da cp, 1/;E GL(V) rispettivamente, la loro composizione go f è
una proiettività, indotta da 1/; o cp. L'inversa f--l della proiettività f è ancora una
proiettività, indotta da cp .. I. Le proiettività di P costituiscono dunque un gruppo
di trasformazioni chiamato gruppo proiettivo di P, e denotato con PGL(P).
Il gruppo proiettivo di pn si denota con PGL n + l (K), e si chiama gruppo lineare
proiettivo di ordine n + 1.
Associando ad ogni cp E GL (V) la proiettivifà indotta di P = P (V), si ottiene
un omomorfismo suriettivo di gruppi
1r: GL(V) PGL(P(V».
Osserviamo che cpEGL(V) è tale che 1r(<,o) == lp se e solo se cp = A1v per qual-
che À. E K*. Quindi
{cpEGL(V): lr(cp) = l p } = {Àl v : AEK*}.
[27.4]

27/Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività
323
Il primo membro della [27.4] è un sottogruppo di GL(V) (il nucleo di 1r).
Se nello spazio proiettivo P (V) è assegnato un riferimento proiettivo, associato
alla base {e o , ..., enl di V, ed fEPGL(P{V», allora, per ogni automorfismo
q; E GL (V) che induce f, diremo che la" matrice A E GLn + I (K) associata a cp rispetto
alla base {e o ,.", e n } definisce f rispetto al riferimento proiettivo e o ... e n . La
matrice A non è univocamente determinata. Un'altra matrice RE GL n -+ I (K) defi-
nisce la stessa proiettività rispetto allo stesso riferimento proiettivo se e solo se
B = ÀA, per qualche À E K*. La verifica è lasciata al lettore.
La seguente proposizione fornisce un procedimento geometrico per individuare
un isomorfismo di spazi proiettivi, e in particolare una proiettività.
27.4 PROPOSIZIONE Supponiamo che P = P (V) e p' = P{V') abbiano
dimensione n. Date comunque una (n + 2)-upla ordinata Po, ..., Pn, P n + I di punti
di P in posizione generale, e una (n + 2)-upla ordinata Qo, ..., Qn, Qn + 1 di punti
di P' in posizione generale, esiste uno ed un solo isomorfismo f: P -+ P' tale che
f(Pj) = Qi' i = O, ..., n + 1.
In particolare, una proiettività che lascia fissi n + 2 punti di P in posizione gene-
rale è l'identità.
Dimostrazione
Supponiamo Pj = [va, Qi = [wJ, i = O, ..., n + 1. Poiché dim{V) = n + 1 =
== dim{V '), {v o' ..., V n} e {w o' ..., w n } sono basi di Vedi V' rispettivamente,
e quindi si ha
V n + I = Ào V o + ÀI V I + ... + Àn V n'
W n + l = /lo W o + /lI W I + ... + J..tn W n
per opportuni À.o, ..., Àn, /lo, ..., /ln E K che sono tutti non nulli per l'ipotesi che
le due (n + 2)-uple siano in posizione generale. Sostituendo À. j Vi al posto di Vi e
JLiWi al posto di Wi' i = O, ..., n, possiamo supporre che tutti i coefficienti siano
uguali al, cioè che si abbia
V n + I = V o + VI + ... + v n
[27.5J
Wn+I=WO+W I +... +w n -
Poiché {v o , ..., v n } è una base di V, per il teorema Il.3 esiste un'applicazione
lineare cp: V -+ V' tale che cp{v j ) = Wl' i = O, ..., n.
Per le [27.5] e per la linearità di cp si ha cp(v n + I ) = W n + 1 . L'isomorfismo f
indotto da cp ha le proprietà volute.
Supponiamo ora che f': P -+ P' sia un'altro isomorfismo avente le stesse pro-
prietà. Consideriamo la composizione g = f' - I o f: P -+ P, che supporremo asso-
ciata a 1/;E GL(V). Si ha g(P i ) = P i , i = O, ..., n + 1, e pertanto
1/;(V j )= Ci.iV j , ;=0,..., n+1,

324
Geometria proiettiva
per opportuni ai E K*. Quindi
n
an+IV n + 1 = 1/;(v n + I ) = 1/;(v o + Vi + ... + V n ) = E 1/;(v j ) =
1=0
=aov o +... +anv n -
[27 . 6]
D'altra parte si ha
a n + l V n + i == a n + 1 (V O + V I + ... + V n).
[27 . 7]
çonfrontando [27.6] e [27.7] deduciamo che
<xo = al == ... = <Xn+I.
Quindi 1/;(v i ) = a o Vi' cioè 1/; = a o Iv. Dalla [27.4] segue ch g = lp, cioèf = f- I,
e l'unicità di f è dimostrata.
In particolare una proiettività di una retta proiettiva è individuata una volta
assegnate le immagini di tre suoi punti distinti; una proiettività di un piano proiet-
tivo è individuata dalle immagini di quattro punti, a tre a tre non allineati.
Una proiettivitàf: P (V) -+ P(V), essendo indotta da un automorfismo cp: V -+ V,
trasforma ogni sottospazio S = P(W) di P (V) nel sottospaziof(S) = P(cp(W», che
ha la sua stessa dimensione. Poiché cp induce un isomorfismo di W su (W), f
induce un isomorfismo di S su f(8).
27.5 DEFINIZIONE Due sottoinsiemi (o figure) F ed F' dello spazio proiet-
tivo P si dicono proiettivamente equivalenti se esiste f E PGL (P) tale che f (F) = F' .
Le proprietà che sono comuni a tutte le figure proiettivamente equivalenti ad
una figura F si dicono proprietà proiettive di F.
Ad esempio, due sottospazi proiettivi 8 ed S' di P(V) aventi la stessa dimen-
sione sono proiettivamente equivalenti. Infatti, se S = P(W), 8' = P(W'), esiste
cp E GL (V) tale che  (W) = W' , e allora f (8) = S', dove f è la proiettività asso-
ciata a cp.
Per la proposizione 27.4 due sottoinsiemi di P costituiti ognuno da k punti in
posizione generale sono proiettivamente equivalenti se k < dim (P) + 2. .Se
k > dim (P) + 2, ciò non è vero già nel caso di 4 punti di una retta proietti va. Sorge
allora il problema di descrivere le classi di equivalenza proiettiva di k-uple di punti
di uno spazio proiettivo P, quando k > dim (P) + 2, cioè di classificare tali classi
di- equivalenza.
Come vedremo tra poco, la soluzione completa di questo problema può essere
data nel caso di quaterne di punti distinti di una retta proiettiva per mezzo della
nozione di "birapporto". Il risultato che otterremo sarà applicato nel capitolo 4
alla classificazione delle cubiche piane proiettive.
27.6 DEFINIZIONE Sia P una retta proiettiva, e siano P 1 , P 2 , P 3 , P4 E P, con

27/Cambiamenti di coordinale omogenee e proiettività
325
P I , P 2 , P 3 distinti. Il birapporto di P h P 2 , P 3 , P 4 è
(3(P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ) = YI/YoE K U {oo},
dove Yo, YI sono coordinate omogenee di P 4 nel riferimento proiettivo in cui P 1
e P 2 sono i punti fondamentali e P 3 è il punto unità.
Osserviamo che nella definizione si è supposto che P I , P 2 , P 3 siano distinti,
ma non si è fatta alcuna ipotesi su P 4 .
Se in P è fissato un riferimento proiettivo rispetto al quale i 4 punti assegnati
sono Pi[A;, ILi]' i = l, ..., 4, allora, tenuto conto della [27.3], abbiamo la seguente
espressione del loro birapporto:
Al A4 A 2 A3
(3 (p], P 2 , P 3 , P 4 ) = ILI J.t4 JL2 f-t3 [27.8]
A 2 A.4 AI A3
/L2 JL4 P-I IL3
Considerando invece coodinate non omogenee Zi = /li/A. j dei punti Pj, si
çleduce dalla [27.8] la seguente espressione:
R ( P p P P ) == (Z4 - ZI) (Z3 - Z2)
,.., l' 2' 3' 4 ·
(Z4 - Z2) (Z3 - Zt)
[27.9]
Il secondo membro della [27.9] ha senso solo se nessuno degli Zi è 00, cioè se
Ai  O per ogni i == 1, ..., 4. Altrimenti si utilizzerà la [27.8], che definisce in ogni
caso un elemento di K U { 00 } .
Si noti che i valori (3(P 1 , P2' P3' P 4 ) == O, 00, l sono assunti in corrispondenza
a P 4 == P 1 , P 2 , P 3 rispettivamente.
II significato proiettivo del birapporto è dato dal seguente teorema.
27.7 TEOREMA Siano P = P(V) e P' = P(V') rette proiettive, e siano P 1 , P 2 ,
P 3 , P 4 EP, QI, Q2' Q3' Q4 EP ', con P 1 , P 2 , P 3 distinti e QI' Q2, Q3 distinti.
Esiste un isomorfismo f: P -+ P' tale che f (P i ) == Qi' i = l, ..., 4, se e solo se
(3(P 1 , P2' P 3 , P 4 ) = (3(QI' Q2' Q3' Q4).
Dimostrazione
Per la proposizione 27.4 esiste un'unico isomorfismo f: P -+ P' tale che
f(Pi) = Qi' i == l, 2, 3. Siano P i == [va, i = l, ..., 4, Qi == [Wj]. Come nella dimo-
strazione della proposizione 27.4 possiamo supporre che f sia indotto da un'ap-
plicazione lineare cp: V -+ V' tale che lp(v) = W i , i = l, 2, 3. Se P 4 ha coordinate
omogenee Yo, Yt nel riferimento definito in P dai punti P I , P 2 , P 3 , allora f(P 4 )
ha le stesse coordinate omogenee Yo, Yl nel riferimento definito in P' dai punti

326
Geometria proiettiva
Ql' Q2' Q3. Quindi si ha
(3(P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ) = Yl 1 yO = (3(Ql' Q2, Q3' f(P 4 ».
Maf(P4) = Q4 se e solo se Q4 ha coordinate omogenee Yo, Yl' e questa condi-
zione è equivalente a
(3(Q., Q2' Q3' Q4) = yIlyo.
Il birapporto di quattro punti di una retta proiettiva P dipende dall'ordine in
cui essi vengono considerati. Se P 1 , P 2 , P 3 , P 4 E P sono distinti il birapporto di
una loro qualsiasi permutazione è definito, e posto (3 = (3 (Pt, P 2 , P 3 , P 4 ), si ha
(3 = (3 (P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ) = (3 (P 2 , Pl' P 4 , P 3 ) =
= (3 (P 3 , P4, P 1 , P 2 ) =: (3(P 4 , P 3 , P 2 , P 1 )
11 {3 = (3 (P 1 , P 2 , P 4 , P 3 ) = (3 (P 2 , P 1 , P 3 , P 4 ) =
= (3(P 4 , P3' P 1 , P 2 ) = (3 (P 3 , P 4 , P 2 , P 1 )
1 - (3 = (3(P 1 , P 3 , P 2 , P 4 ) = (3(P 3 , P 1 , P 4 , P 2 ) =
= (3(P 2 , P4' P t , P 3 ) = (3(P 4 , P 2 , P 3 , P 1 )
1/(1 - (3) = {3(P 1 , P 3 , P 4 , P 2 ) = {3(P 3 , P 1 , P 2 , P 4 ) =
= {3 (P 4 , P2' P 1 , P 3 ) = {3 (P 2 , P 4 , P 3 , P 1 )
({3 - 1)1 {3 = {3 (P 1 , P 4 , P 2 , P 3 ) = {3 (P 4 , P 1 , P 3 , P 2 ) =
= {3(P 2 , P 3 , P t , P 4 ) = {3(P 3 , P 2 , P 4 , P 1 )
(31«(3 -1) = (3(Pt, P 4 , P 3 , P 2 ) =: {3(P 4 , Pj, P 2 , P 3 ) =
= {3(P 3 , P 2 , P 1 , P 4 ) = {3(P 2 , P 3 , P 4 , P 1 ).
Quindi i 24 birapporti che si possono ottenere a partire da 4 punti distinti si
riducono a 6, e sono in generale distinti (cfr. 27.10(3». Dunque a una quaterna
di punti distinti di P non è associato un solo valore del birapporto. Si può però
ricorrere al seguente lemma.
[27.10]
27.8 LEMMA Si consideri la funzione razionale
. [3 _ (f32 - [3 + 1)3
J( ) - [32([3 _1)2
che è definita per ogni {3 E C\ {O, l }. Si ha j({3) = j({3'), (3, (3' E C\ {O, l }, se e solo
se {3' E { (3, l / (3, 1 - {3, 1 1 l - {3, ({3 - 1)1 (3, {3 / «(3 - l) } ·
Dimostrazione
Si calcola facilmente che
j«(3) =j({3-I) =j(l- (3) =j(l/(l- (3» =j«(3 -1)/(3) =j({3I({3 -1».
D'altra parte, per ogni fissato {3 E C\ {O, l} si ha j({3) = j({3') se e solo se
q({3') = O

27/Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività
327
dove
q(X) = (X2 - X + 1)3 - j({3) X 2 (X -1)2.
Il primo membro è un polinomio monico di sesto grado in X. Poiché le sei
costanti
{3, 1/ {3, l - {3, 1/1 - (3, ({3 -1)/ {3, (3/({3 - 1)
[27 . l 1]
sono radici di q(X), se sono distinte esse sono tutte le radici di q(X) e il lemma
segue in questo caso. Con un calcolo diretto si verifica subito che le [27.11] non
sono distinte nei casi seguenti:
{3 = -1, 2, 1/2, - €, - €2,
dove
l .J3.
€= --+-1
2 2
è una radice cubica primitiva di l. Nei casi {3 = - 1, 2, 1/2 si ha j ((3) = 27/4 e
q(X) = (X + 1)2 (X - 2)2 (X - 1/2)2,
mentre per (3 = - €, - €2 si ha j(ft) = O e
q(X) = (- X + 1)3 = (X + E)3 (X + €2)3.
In entrambi i casi le radici di q(X) sono solo quelle appartenenti all'insieme
dei valori [27 .11]: il lemma è dimostrato.
Dal lemma segue che se (3 è il birapporto di 4 punti distinti di una retta proiet-
tiva P presi in un certo ordine, alloraj({1) non dipende dall'ordine in cui i punti
sono stati scelti. Di conseguenza, per una quaterna non ordinata di punti distinti
{P t , P2' P3' P 4 } è ben definito j({3(P 1 , P2, P 3 , P 4 », che è detto modulo della
quaterna {P 1 , P2' P3' P 4 } ed è denotato conj(P h P2, P 3 , P 4 ). Si noti che, poiché
(3(P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ) E K, dall'espressione di j({3) e dal fatto che K è un campo segue
che anche j(P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ) E K.
27.9 TEOREMA Due quaterne non ordinate di punti distinti {P 1 , P2, P 3 , P 4 },
{Q l' Q2' Q3' Q4} di una retta proiettiva P sono proiettivamente equivalenti se e
solo se
j(P u P 2 , P 3 , P 4 ) = j(Qt, Q2, Q3' Q4).
[27.12]
Dimostrazione
Se {P t , P 2 , P 3 , P 4 } e {QI' Q2' Q3' Q4} sono proiettivamente equivalenti allora
esiste fE PGL(P) tale che (f(P 1 ), f(P2)' f(P 3 ), f(P4)} = {Qt, Q2' Q3, Q4}. Per

328
Geomelria proiettiva
il teorema 27.7 si ha in tal caso:
(3(P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ) = (3 (f(PI)' f(P;}, !(P3)' f(P4»
e quindi j(P 1 , P2, P 3 , P 4 ) = j(f(Pl)' f(P 2 ), f(P 3 ), !(P 4 » == j(Qh Q2' Q3' Q4).
Viceversa, se la [27.12] è verificata, allora, per il lemma 27.8 e per le [27.10], pos-
siamo supporre, dopo aver eventualmente permutato i punti Qi' che si abbia:
(3(p], P 2 , P 3 , P 4 ) = (3(QI' Q2' Q3' Q4).
Dal teorema 27.7 segue che {P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } e {QI' Q2, Q3' Q4} sono proietti-
vamente equivalenti.
Il teorema precedente risolve il problema di classificazione che ci eravamo posti:
esso infatti afferma che le classi di equivalenza proietti va di quaterne di punti
distinti di una retta proiettiva sono in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei
valori assunti dal modulo, cioè sono classificate da tale insieme.
Dalla dimostrazione del lemma 27.8 segue che in una retta proiettiva
ci sono al più due classi di equivalenza proiettiva di quaterne di punti tali che tutti
i loro possibili birapporti siano meno di 6; esse possono esistere in corrispondenza
ai valori j(P 1 , P2, P3' P 4 ) = 27/4, O. Il primo di tali valori viene assunto per
(3 = -1, 2, 1/2, il secondo per (3 = - €, - €2. Ovviamente, nel secondo caso una
quaterna siffatta non può esistere se € f. K, in particolare se K = R. Una quaterna
{Pj, P 2 , P 3 ,P 4 } di punti di P si dice armonica se j (P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ) = 27/4, e si dice
equianarmonica se j(P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ) = o. Per informazioni sulle quaterne armo-
niche rinviamo il lettore a 27.10(5).
27.10 Complementi
1. Abbiamo visto come ad ognuna delle tre geometrie, l'affine, l'euclidea e la
proiettiva, siano associati dei gruppi di trasformazioni: il gruppo Aff(A) per la
geometria di uno spazio affine A, il gruppo Isom (E) per quella di uno spazio eucli-
deo E, e il gruppo PGL (P) per la geometria di uno spazio proiettivo P. In corri-
spondenza a questi gruppi abbiamo introdotto delle relazioni di equivalenza tra
figure geometriche. Due figure equivalenti possono essere considerate come due
diversi rappresentanti di una stessa entità (la classe di equivalenza) nella geome-
tria che si sta studiando e si può quindi affermare che la geometria (affine, eucli-
dea o proiettiva) consiste dello studio delle proprietà delle figure che sono inva-
rianti per equivalenza, cioè di quelle proprietà che ua figura ha in comune con
tutte quelle ad essa equivalenti. In questo modo il gruppo di trasformazioni dello
spazio determina le proprietà geometriche che si vogliono studiare.
Più in generale possiamo considerare un qualunque gruppo :# di trasforma-
zioni dello spazio e associare ad esso una "geometria", che definiremo come l'in-
sieme delle proprietà e delle grandezze calcolate nello spazio che sono invarianti
rispetto a tutte le trasformazioni del gruppo.

27/Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività
329
Ad esempio, se si considera uno spazio euclideo E, il gruppo Aff(E) ne defini-
sce la geometria affine, mentre lsom (E) è il gruppo della geometria euclidea di
E. Un'altra geometria è quella definita dal gruppo Simil(E) delle similitudini. Nel
caso in cui E è il piano o lo spazio ordinario, la geometria del gruppo Simil (E)
coincide con la geometria euclidea elementare.
Se  è un sottogruppo di ,<9; ogni proprietà (o quantità) invariante rispetto
a  lo è anche rispetto a . Quindi quella di  è una geometria più "ricca",
cioè in cui le figure hanno più proprietà, di quella d,i  Si pensi ad esempio a
uno spazio eucIideo E: il gruppo Isom(E) è un sotto gruppo di Aff(E), e ciò corri-
sponde al fatto che ogni proprietà affine di una figura geometrica di E è anche
una proprietà euclidea.
La stretta relazione esistente tra gruppi di trasformazioni e geometria fu messa
in evidenza per la prima volta da F. Klein nel 1872, in una conferenza tenuta
presso l'Università di Erlangen e rimasta famosa con il nome di "Programma di
ErIangen". Per una discussione approfondita di quest'argomento si rimanda a [lO].
2. Il gruppo PGL 2 (C) delle proiettività di PI(C) può essere descritto come il
gruppo delle "trasformazioni lineari fratte" di C U {oo } .
Siano a, b, c, dE C tali che ad - bc;é o. Ponendo
f(- d/c) = 00
f (00) = a/c,
e per z E C\ { - d/c} :
f (z) = az + b
cz+d
[27.14]
si definisce un'applicazione biunivocaf: C U {oo } -+ C U {oo}, chiamata trasfor-
mazione linearefratta (TLF) o trasformazione di Moebius di parametri a, b, c, d.
La biunivocità di f discende dal fatto che essa possiede l'inversa, data da
f- I ( ) = - dz - b
Z cz+a
che è ancora una TLF.
La composizione della [27.13] con un'altra TLF,
az + (3
g(z) = ,
-yz + o
è ancora una TLF, perché si ha
(gof)(z) = (aa + (3c)z + (ab + (3d)
(-ya + oc)z + -yb + od

330
Geomelria proiettiva
e
(aa + (3 c) ("fb + l)d) - (ab + (3d) ("la + oc) = (al) - (3"1) (ad - bc);é. O.
L'identità di C U { oo} è una TLF, ottenuta in corrispondenza a a = d = I,
b = c = o.
Segue che le TLF costituiscono un gruppo di trasformazioni di C U {oo}.
Si noti che questo gruppo non è abeliano. Infatti, considerando ad esempio
f(z) = I/z, h(z) = z + I, si ha
1 1
f(h(z» = z + 1 ;é. Z + 1 = h (f(z».
Identificando C U {oo} con pl = Pl(C), una TLF può considerarsi come una
trasformazione di pl in sé stesso. In coordinate omogenee la TLF [27.13] si
esprime nel modo seguente:
f([x o , Xl]) = [cx 1 + dx o , aX r + bx o ]
e quindi è la proiettività definita dalIa matrice
(: :).
Pertanto il gruppo delle TLF coincide con il gruppo PGL 2 (C) delle proietti-
vità di PI.
Poiché numeratore e denominatore della [27.13] possono essere moltiplicati
per un comune fattore di proporzionalità senza modificare la trasformazione f,
ogni TLF può essere scritta nella forma [27.13J con
ad - bc = 1.
[27.14]
Diremo f normalizzata se a, b, c, d soddisfano la condizione [27.14]. Osser-
viamo che la [27.14] individua a, b, c, d a meno di moltiplicazione per -1.
Le TLF si classificano per mezzo dei loro punti fissi, o poli, cioè dei punti Z
tali che f(z) = z. Dall'espressione della [27.13] segue che 00 è un polo se e solo
se c = o. Gli altri eventuali poli si ottengono esplicitando la condizione f(z) = z,
e quindi sono gli zE C che soddisfano l'identità
cz 2 + (d - a) Z - b = o.
[27 .15]
Dunque una TLF diversa dall'identità ha almeno uno e al più due poli. Se ha
un solo polo, f si dice parabolica.
Quando c = O, cioè quando uno dei poli è 00, la [27.13] si riduce alla forma
(in questo caso si può supporre d = l)
f(z) = az + b,
[27.16]

27/Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività
331
cioè è un' affinità di C. Le affinità costituiscono un sottogruppo Aff l (C) di
PGL 2 (C) che si identifica al gruppo Simil-4 (E2) (cfr. 20.10(2».
Dalla [27.15] discende che la [27.16] non ha altri poli oltre 00, cioè è parabo-
lica, se e solo se a = l, cioè se è una traslazione. In caso contrario la [27.16] ha
il polo b/(l- a). Otteniamo quindi che ogni similitudine diretta di E 2 diversa da
una traslazione ha un punto fisso.
Si osservi che ogni similitudine di E 2 trasforma rette in rette, perché è una par-
ticolare affinità. È anche facile vedere che una similitudine trasforma circonf-
renza in circonferenze. Infatti ciò è vero per le isometrie e per le omotetie, e quindi
anche per le similitudini che, per definizione, sono composte di isometrie e
omotetie.
Viceversa non è difficile dimostrare che un'affinità di E 2 che trasforma rette
in rette e circonferenze in circonferenze è una similitudine (per maggiori dettagli
cfr. [5]).
Per descrivere la geometria definita in C U {oo} dal gruppo di tutte le TLF sarà
opportuno considerare circonferenze e rette di E 2 simultaneamente: un sottoin-
sieme di E 2 sarà detto cerchio di Moebius se è una retta oppure una circonfe-
renza. Un cerchio di Moebius ha equazione della forma
E(x 2 + y2) + Ax+ By + C= O
con A, B, C, EER tali che
A2+B 2 -4EC>0.
[27.17]
La [27.17] rappresenta una retta oppure una circonferenza se E = O oppure E "# O
rispettivamente. Ponendo z = x + iy e utilizzando le identità
zz == x 2 + y2,
x== z+z ,
2
z-z
y= ,
2
la [27.17] può essere riscritta nella forma equivalente:
Ezz + A(z + z )/2 + B(z - z )/2 + C = O.
La TLF
[27.18]
f(z) ::::: l/z
è chiamata inversione. Si haf(oo)==O,f(O)=oo ef=f-l. Sostituendo l/z al
posto di z nella [27.18] e razionalizzando otteniamo
Czz +A(z + z )/2 - B(z - z )/2 + E = o.
Questa è l'equazione dell'immagine del cerchio di Moebius [27.18] tramitef,
e rappresenta una circonferenza eccetto quando C = O, nel qual caso è una retta:
ciò avviene precisamente se la [27.18] è un cerchio di Moebius passante per l'ori-
gine. Vediamo quindi che l'inversione trasforma cerchi di Moebius in cerchi di
Moebius.

332
Geometria proiettiva
Passiamo ora a considerare una TLF [27.13] qualsiasi. Essa può anche essere
espressa nella forma
I (z) =  + bc - ad .
c c(cz+ d)
Ponendo
ZI = cz + d
z2=1/z 1
a bc-ad
Z3=-+ Z2
c c
abbiamo
I(z) = Z3 (Z2 (ZI (z»)
cioèf(z) è la composizione di un'affinità con l'inversione seguita da un'altra affi-
nità. Poiché l'inversione e le affinità trasformano cerchi di Moebius in cerchi di
Moebius, deduciamo che ogni TLF trasforma cerchi di Moebius in cerchi di
Moebius.
PGL 2 (C) possiede diversi sottogruppi notevoli dal punto di vista geometrico,
che hanno la proprietà di trasformare in sé regioni particolari del piano.
Ad esempio il sottogruppo PGL 2 (R) di PGL 2 (C), che consiste delle TLF
[27.13] in cui a, b, c, dE R, trasforma R U {oo} in sé stesso, perché è il gruppo
delle proiettività di pl(R). Consideriamo il sottogruppo PGL 2 + (R), costituito
dalle lE PGL 2 (R) tali che ad - bc > O. Moltiplicando numeratore e denominatore
per (ad - bc) -112, si può normalizzaref(z) in modo che si abbia ad  bc = l. Si
calcola facilmente che si ha (denotando con Im(u) la parte immaginaria di un
numero complesso u):
1m (f(z» == Im(z)
e quindi il gruppo PGL 2 (R) trasforma in sé il semipiano
h= {ZEC: Im(z»O},
e ne costituisce un gruppo di trasformazioni. La geometria definita in h da
PGL 2 (R) è un modello di "geometria non euclidea" nota come geometria iper-
bolica.
Identificando C U {oo} con la sfera di Riemann per mezzo della proiezione
stereografica, le TLF si identificano con trasformazioni di 8 2 , che in alcuni casi
sono rotazini. Si dimostra che una TLF corrisponde a un elemento RESO(3)
se e solo se è della forma normalizzata
I (z) =
UZ+v
- v z + u
[27 .19]

27/Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettivilà
333
con uu + vv = l, e che ogni elemento di SO(3) proviene da una TLF di questa
forma.
Pertanto SO(3) è isomorfo al sottogruppo di PGL 2 (C) costituito dalle TLF
[27.19]. La geometria della sfera 8 2 definita dal gruppo SO (3) coincide quindi
con la geometria di C U {(X)} definita dal gruppo delle [27.19]. Essa costituisce
un modello di geometria non euclidea chiamata geometria ellittica. I due numeri
complessi u, v che appaiono nella [27..19] si dicono parametri di Cayley-Klein della
rotazione R; essi sono individuati da R solo a meno di moltiplicazione per - l.
Per ulteriori dettagli sulla geometria del gruppo PGL 2 (C) e dei suoi sotto-
gruppi rinviamo il lettore a [4], [5], [6], [7], [12], [13], [14].
3. Sia assegnata un'affinità di An(K):
TB,c: An-+An
T B c{x) = c + Bx,
,
dove c = t(c 1 ... c n ) E Kn, B = (b jk ) E GLn(l<).
Consideriamo l'applicazione di passaggio a coordinate omogenee:
jo: A n -+ .pn\Ho.
Poniamo x' := t(1 Xl". X n ), y' = 1(1 YI ... Yn)' e sia
l O O
Cl b II b 1n
A= E GL n + 1 (K).
C n b nI b nn
Si ha
y' =Ax'.
La proiettività f: pn -+ pn definita dalla matrice A trasforma in sé stessi Ho e
pn\Ho. Ciò segue subito dalla forma di A.
È anche immediato verificare che l'affinità TB,c coincide con la restrizione di
fad An, cioè conjo-Iofojo.
Vediamo quindi che il gruppo Affn{K) può considerarsi come un sottogruppo
di PGL n + 1 (K), precisamente quello rappresentato dalle matrici A della forma
detta sopra.
4. Se fE PGL (P (V» è una proiettività, indotta da  E GL (V), i punti fissi di
f, cioè i punti PE P tali chef(P) = P, sono tutti e soli quelli della forma P == [v],
dove v E V è un autovettore di cp. L'esistenza di autovettori di cp è quindi equiva-
lente all'esistenza di punti fissi dif. Deduciamo che se P è uno spazio proiettivo
complesso, ogni proiettività di P possiede almeno un punto fisso. Similmente, se
P è uno spazio proiettivo reale di dimensione pari, ogni proiettività di P possiede
almeno un punto fisso. Quest'ultima affermazione segue dal fatto che un opera-

334
Geometria proiettiva
tore di uno spazio vettoriale reale di dimensione dispari possiede almeno un auto-
vettore (cfr. 13.15(1».
Una proiettività di uno spazio proiettivo reale di dimensione dispari può non
avere punti fissi. Un esempio è dato dalla seguente proiettivitàf: pI (R) -+ pI (R):
f([x o , xt1) = [- Xl' x o ].
5. Siano P I , P 2 , P 3 , P 4 punti distinti di una retta proiettiva P. La quaterna
ordinata (P I , P 2 , P 3 , P 4 ) è detta armonica se
(3(P 1 , P2' P 3 , P 4 ) == -1.
In tal caso i punti P 3 , P 4 si dicono coniugati armonici rispetto aPI' P 2 . Dalle
[27.10] segue che anche P., P 2 sono coniugati armonici rispetto a P 3 , P 4 -
Se i punti di una quaterna armonica vengono permutati in tutti i modi possi-
bili, i valori assunti dal birapporto sono solo tre, e precisamente - 1, 1/2, 2. Ciò
segue subito dalle espressioni [27.10] di tali birapporti. Si ha inoltre in tal caso
j(P I , P2' P 3 , P 4 ) = 27/4.
Se P 2 è il baricentro dei punti P 1 e P 3 nella retta affine P\ {P 4 } (il punto medio
del segmento P 1 P 3 se K = R), è possibile scegliere il riferimento in modo che
P 1 = P 1 [1, O], P 4 == P 4 [O, I], P 3 = P 3 [1, 1], P 2 = P 2 [2, 1], e quindi
(3(P I , P 4 , P 3 , P 2 ) == 1/2,
da cui si deduce che
(3(P I , P 2 , P 3 , P 4 ) == -1
. e quindi p], P 2 , P 3 , P 4 è una quaterna armonica.
Un altro modo di costruire quaterne armoniche è il seguente. Sia P un piano
proiettivo, e siano 0 1 , O 2 , 0 3 , 0 4 punti a tre a tre non allineati.
Siano P 1 = L(OI' OJ (ì L(03' 0 4 ), P 2 = L(OI' 0 4 ) (ì L (0 2 , 0 3 ) e sia  = L(P I , PJ.
Consideriamo i punti di 
P 3 =  n L (0 2 , 0 4 ), P 4 =  (ì L(OI' 0 3 ).
Allora P 1 , P 2 , P 3 , P 4 è una quaterna armonica su t, (fig. 27.1).
Per dimostrarlo fissiamo in P coordinate omogenee in modo che 01' O 2 , 0 3
siano i punti fondamentali e 0 4 il punto unità. Si calcola subito che P 1 = P 1 [1, 1, O],
P 2 = P 2 [O, 1, 1], P 3 == P 3 [1, 2, 1], P4 = P 4 [1, O, -1]. Poiché si ha
(1,2,1)=(1,1,0)+(0,1,1)
(1, O, -1) == (1, 1, O) - (O, 1, 1),
otteniamo
(3(PJ, P 2 , P 3 , P 4 ) == -1.

27/Cambiamenti di coordinate omogenee e proieltività
335
P1
P3 P2
P4
f/
F'igura 27.1
La configurazione di rette che abbiamo appena descritto è detta quadrilatero
completo.
Esercizi
l. Determinare la formula y = Ax del cambiamento di coordinate dal riferimento stan-
dard di p2 (R) al riferimento individuato dai punti Po, P I , P 2 , M in ciascuno dei casi
seguenti:
a) Po= [1, l, -1], P I = [2,1, O], P 2 = [0,1, I], M= [1, l, O]
b) Po= [1, -1, O], p) = [0,1,1], P 2 = [2, 0,1], M= [1,2,2]
c) Po = [1, l, 1], P, = [1, O, 1], P 2 = [1,  ' O]. M= [4,2,2].
2. Determinare la proiettività f di P 1 (R) che soddisfa le condizioni seguenti:
f([I, 1]) = [1, -I], f([2, O]) = [1, 1], f([l, -1]) = [2, 1].
3. Determinare la proiettività f di p2(R) che soddisfa le condizioni seguenti:
f() = ' , f() =' , f([l, 2, 1] = [1, O, O], dove:
: Xo - Xl = O, ': Xo + X) == O, : Xo + Xl + X 2 == O, .J,': X) + X 2 = O.
4. Determinare i punti fissi delle seguenti proiettività di P':(R):
a) f([xo, XI, X2]) = [- Xo + 15x) + 6X2, - 2xo + 8x) + 2X2,4xO -18x) - 5X2])
b) f([xo) Xl, X2]) = [Xo - Xl, Xo + 3x I , 2X2].
5. Dimostrare la seguente identità:
(3(P h P2, U, V) (3(P2, P 3 , U, V) (3(P 3 , P h U, V) = 1
dove P I , P 2 , P 3 , U, V sono punti distinti di una retta proiettiva P.

336
6. Dimostrare che le seguenti TLF:
l l z-l z
z, 1 - z, ,
z l-z z z-l
costituiscono un sottogruppo di PGL 2 (C), isomorfo a (13.
Geometria proiettiva

Capitolo 4
Curve algebriche piane
28 Generalità
Uno dei concetti primitivi della nostra intuizione spazi aIe è quello di linea, o
curva, piana. Già i geometri dell'antica Grecia consideravano curve piane parti-
colari, ottenute come "luoghi geometrici": ad esempio la circonferenza come luogo
dei punti equidistanti dal centro. Per questa via furono studiate diverse curve,
in modo spesso ingegnoso.
La nozione stessa di curva ha subìto un'evoluzione. Inizialmente, ad esempio
nella scuola pitagorica (sec. VI a.C.), una curva era definita in modo empirico
come aggregato di piccoli corpuscoli. Successivamente, con Platone e Aristotele,
tale definizione lasciò il posto ad altre, ad esempio a quella di luogo descritto da
un punto che si muove in un piano.
Ancora nel secolo XVIII veniva chiamata "curva piana" qualsiasi linea che si
potesse tracciare con un tratto di penna.
Tali definizioni sono prive di significato per la matematica di oggi; d'altra parte,
alla definizione rigorosa si è giunti solo attraverso approssimazioni successive, di
cui le precedenti sono esempi. Questa evoluzione è avvenuta di pari passo all'ac-
crescersi delle nostre conoscenze sulle curve.
Per uno studio il più generale possibile occorrerebbe considerare curve defi-
nite in un piano euclideo, o in un piano affine o proiettivo sul campo K. Tuttavia,
per semplicità, considereremo solo i piani numerici A 2 (K), E 2 , P2(K), ai quali
d'altra parte è sempre possibile ricondursi mediante la scelta di un sistema di coor-
dinate; l'estensione al caso generale è trattata nei complementi (cfr. 28.4(1».
La definizione intuitiva di "luogo generato da un punto mobile" corrisponde
a quella di curva definita in A2(K) da equazioni parametriche, come luogo dei
punti P(x, y) di coordinate
x = a(t), y = (3(t),

338
Curve algebriche piane
dove a (t) e (3 (t) sono opportune funzioni non entrambe costanti di un parametro
t variabile in K, o in un suo sottoinsieme. Si pensi ad esempio alle equazioni para-
metriche di una retta.
Un altro punto di vista è quello di definire una curva mediante un'equazione
cartesiana. Il caso più importante è costituito dalle curve algebriche, che sono otte-
nute uguagliando a zero un polinomio e comprendono come casi particolari le
rette. 1110ro studio corrisponde a quello delle soluzioni di un'equazione poli no-
miale in due o tre variabili. È soprattutto su questo secondo punto di vista che
ci concentreremo in questo capitolo.
Due polinomi non costantif(X, Y), g(X, Y)E K[X, Y] si diranno proporzio-
nali se esiste a E K* tale che g = af. È evidente che la proporzionalità è una rela-
zione di equivalenza in K[X, V].
28.1 DEFINIZIONE Una curva algebrica di A 2 (K) è una classe di propor zio-
nalità di polinomi non costanti di K[X, Y]. Sef{X, Y) è un rappresentante della
curva, l'equazione
f(X, Y) = O
[28.1 ]
si dice equazione della curva, oppure equazione che definisce la curva. Il sotto-
insieme  C A2(K) costituito dai punti le cui coordinate soddisfano l'equazione
[28.1] è il supporto della curva. 11 grado di f{X, Y) si dice grado della curva.
Le curve algebriche di A 2 {K) di grado l, 2, 3,4, ... si chiamano rette, coniche,
cubiche, quartiche ecc.
Se K = R e si considera E 2 al posto di A 2 {R) si ottiene la definizione di curva
algebrica di E 2 .
Per semplicità spesso si denoterà la curva algebrica di equazione [28.1] ed avente
supporto  semplicemente con la lettera :a: sottintendendo che un'equazione
della curva sia stata assegnata. Parleremo quindi di  come della curva di
A 2 (K) (o di E2) definita dal polinomio f(X, V), o dall'equazione [28.1]. Deno-
teremo con gr( ) il grado di 5t:
La definizione di curva algebrica di P2{K) si dà in modo simile, ma richiede un
commento preliminare. Consideriamo il piano proiettivo P2(K}. Se f{X o , Xl' X 2 )
è un polinomio a coefficienti in K, non ha senso dire che le coordinate omogenee
di un punto soddisfano l'equazione
f{X o , XI' X 2 ) = O,
perché in generale, assegnati Xo, XI'. X 2 E K non tutti e tre nulli, e À  O in K, può
accadere che si abbia f(xo, XI' xJ = O e f(Àx o , AX 1 , AX 2 )  o. Se ad esempio
f(Xo, Xu X:J=Xo+l, si haf(-I, O, 0)=0 ef{l, 0,0)=2.
Ciò non si verifica se il polinomio che si considera è omogeneo. Infatti, se
F(X o , Xl' X 2 )E K[Xo, XI' X 2 ] è omogeneo di grado n, allora, per ogni XO' XI'

28/Generalità
339
xzEK, ÀEK*, si ha
F(Àx o , AX 1 , AX 2 ) = À n F(x o , XI' X 2 )
(cfr. A.12(1» da cui si vede che il primo. membro si annulla se e solo se si annulla
il secondo. Ha dunque senso dire che le coordinate omogenee di un punto
PEP2(K) annullano il polinomio omogeneo F(X o , XI' X 2 ). Per questo motivo nel
definire curve piane proiettive utilizzeremo solo polinomi omogenei.
Due polinomi omogenei non costanti F(X o , XI' XJ, G(X o , XI' XJE K[X o , XI'
X 2 ] si dicono proporzionali se esiste a E K* tale che G = aF.
28.2 DEFINIZIONE Una curva algebrica di p 2 (K) è una classe di proporzio-
nalità di polinomi omogenei di K[X o , XI' X 2 ]. Se F(X o , Xl' X 2 ) è un rappresen-
tante della curva, l'equazione
F(X o , XI' XJ = O
[28.2]
si dice equazione della curva, ovvero equazione che definisce la curva. Il sottoin-
sieme % C p2(K) costituito dai punti le cui coordinate soddisfano la [28.2] è il
supporto della curva. Il grado di F si dice grado della curva.
Come nel caso affine, una curva algebrica di p2(K) è individuata da una sua
equazione; spesso denoteremo semplicemente con :t: la curva individuata dalla
[28.2] e avente supporto uguale a  sottintendendo che una sua equazione sia
stata assegnata; il grado di :c si denoterà con gr(.).
Una curva algebrica definita in A 2 (K) (rispettivamente, in E2; in p2(K» è detta
affine (euclidea; proiettiva).
Le definizioni 28.1 e 28.2, associando strettamente una curva alla sua equa-
zione, permettono di mantenere un legame tra l'algebra e la geometria, che si per-
derebbe se si definisse una curva semplicemente come un sottoinsieme di A 2 (K),
E 2 o P2(K), identificandola con il suo supporto.
Consideriamo ad esempio una retta affine  di equazione
AX + BY + C= o.
[28.3]
La  ha lo stesso supporto della curva piana definita dall'equazione
(AX + BY + c)n = O
[28.4]
per un qualsiasi n > 2, perché la [28.3] e la [28.4] hanno le stesse soluzioni. Ma
la [28.3] e la [28.4] definiscono due diverse curve, di gradi 1 e n rispettivamente.
Consideriamo un altro esempio. Per ogni numero reale c> O, l'equazione
X 2 + y 2 + c = O
[28.5]
non ha soluzioni reali, e quindi definisce in A 2 (R) una curva che ha per supporto
l'insieme vuoto. Due diversi valori di c > O definiscono due curve aventi lo stesso

340
Curve algebriche piane
supporto 0, e tuttavia diverse perché i corrispondenti polinomi non sono propor-
zionali. In questo esempio la curva ha un contenuto esclusivamente algebrico, in
quanto il suo supporto è vuoto.
L'equazione
X 2 + y2 = O,
[28.6]
definisce invece una curva di A 2 {R) il cui supporto è ridotto -al solo punto
{(O, O)}. Questo esempio, come il precedente, è molto lontano dal concetto intui-
tivo di curva da cui eravamo partiti.
Il fenomeno che si presenta con gli esempi [28.5] e [28.6] dipende dalle pro-
prietà algebriche di R, e precisamente dal fatto che R non è algebricamente chiuso.
Il problema non si presenterebbe se invece di A 2 (R) si stesse considerando A 2 (C):
le equazioni [28.5] e [28.6] possiedono infinite soluzioni in A 2 (C), proprio per-
ché C è algebricamente chiuso. Più in generale, lo studio delle curve algebriche
in un piano affine A 2 (K) è più naturale e facile nel caso in cui K è algebricamente
chiuso perché situazioni particolari come quelle illustrate dagli esempi [28.5] e [28.6]
non si presentano. Faremo pertanto questa ipotesi nell'affrontare lo studio di pro-
prietà generali delle curve algebriche piane. Faremo poi vedere come 'sia possibile
analizzare le proprietà delle curve di A 2 (R) e E 2 considerandone i "punti com-
plessi" (cfr. 9 29). Studieremo inoltre la teoria classica delle coniche reali sia dal
punto di vista affine che da quello euclideo.
-Nell'insieme delle curve algebriche affini (euclidee; proiettive) si introduce la
nozione di equivalenza affine (di congruenza; di equivalenza proiettiva). Poiché
una curva non si riduce al suo supporto, cioè non è un sottoinsieme del piano,
ma è definita da un'equazione, l'equivalenza va definita in relazione alle equa-
zioni delle curve. Vediamo in che modo, cominciando dal caso affine.
Consideriamo un' affinità T: A 2 (K)  A 2 (K) definita da
T(x, y) = (a II x + a 12 y + CI' a 21 x + a 22 y + C 2 ),
e sia . la curva di A 2 (K) di equazione [28. l] .
La curva g di equazione
g(X, Y) = O
dove
g(X, Y)=f(a I1 X+a I2 Y+c l , a2IX+a22Y+c2)
è detta trasformata di _ tramite T - I, e si denota con
r:g = T.- I( 5f).
[28. 7]
[28.8]
Se l'affinità inversa di T è
r--I(x, y) = (bux + b l2 y + dI' b 2I X + b 22 y + d 2 )

28/Genera/ità
341
allora si ha
g(blIX + b 12 Y + dI' b 2I X + b 22 Y + d;) =f(X, Y)
[28.9]
e quindi
:£ == T( g),
[28.10]
Cloe :c è la trasformata di 9 tramite T.
Dall'identità [28.7] si deduce immediatamente che, se P (x, y) E, cioè se
(x, y) è soluzione della [28.7], llora T(P) E -C£. Viceversa, dalla [28.9] segue che
per ogni QE  si ha T-1(Q)E f:g. Quindi le rlazioni [28.8] e [28.10] sono veri-
ficate dai supporti di  e di 0, e in particolare i supporti di :c e di , sono
affinemente equivalenti.
Consideriamo una proiettività T: p2(K)  P2(K) definita da
T([x o , Xl' x) = [aoox o + a01x 1 + a 02 x 2 , aIOx O + aUx 1 + a 12 x 2 , a 20 x O + a 2I x 1 +
+ a 22 x 2 ],
e sia  la curva di p2(K) di equazione [28.2]. La curva g di equazione
F(aooX o + aOlX 1 + a 02 X 2 , a10X O + alI XI + a 12 X 2 , awXo + a2I X l + a 2 2 X 2 ) = O
si dice trasformata di :t: tramite T-I. Scriveremo
9 == T- 1 ( 5f).
Come nel caso affine, si verifica che
:C" = T( f$)
e le stesse relazioni sono soddisfatte dai supporti di  e di f::J.
28.3 DEFINIZIONE Sia  una curva di A 2 (K) (di E2; di P2(K)}. Una curva
, si dice affinemente equivalente (congruente; proiettivamente equivalente) a
. se esiste un' affinità (un'isometria; una proiettività) T tale che  = T{ 9&).
Nll'insieme di tutte le curve affini (euclidee; proiettive) quella che abbiamo
introdotto è effettivamente una relazione di equivalenza.. La verifica si fa nel modo
usuale, ed è lasciata al lettore.
Dalle osservazioni che precedono la defnizione si deduce che i supporti di due
curve affinemente equivalenti (congruenti; proiettivamente equivalenti) sono essi
stessi affinemente equivalenti (congruenti; proiettivamente equivalenti).
Nello studio delle curve algebriche piane affini (euclidee; proiettive) è naturale
considerare le proprietà che una curva ha in comune con tutte quelle ad essa affi-
nemente equivalenti (congruenti; proiettivamente equivalenti). Esse vengono deno-
minate proprietà affini (euclidee; proiettive).

342
Curve algebriche piane
Ad esempio il grado di una curva è una proprietà affine (eucIidea; proiettiva)
cioè due curve affini (euclidee, proiettive) equivalenti hanno lo stesso grado.
Supponiamo assegnata una curva :c di A 2 (K) avente equazione [28.1]. Per
denotare l'operazione di passaggio da _ a.una curva < affinemente equia-
lente a  è spesso conveniente considerare il cambiamento di variabili:
x = alI Y' + a I2 Y' + CI
Y = a 2I X' + a 22 X' + C 2
corrispondente all'affinità T considerata, in cui X' e Y ' sono nuove indetermi-
nate, ed effettuare la sostituzione [28.11] nel polinomio f. Si otterrà il polinomio
[28.11]
g(X', Y') = f(a ll X' + 'a 12 Y' + CI' a 2I X' + a 22 Y' + C 2 )
e l'equazione
g(X', Y/) = O
è un'equazione di 9 = T- 1 ( if) nelle nuove indeterminate X', Y ' .
Ponendo A = (aij), c = 1(C I c 2 ), X' = t(X ' Y') scriveremo anche
g(X ') =f(AX' + c ).
Considerazioni simili possono essere fatte nel caso proiettivo.
Uno dei problemi più importanti che si pongono nello studio delle curve alge-
briche è quello della classificazione, in breve il problema di catalogare la totalità
delle curve in un modo conveniente che tenga conto delle loro proprietà geome-
triche.
A tal fine è utile la nozione di equivalenza di due curve rispetto alle trasforma-
zioni del piano in cui sono definite, introdotta nella definizione 28.3. Infatti è
naturale cercare di classificare le curve a meno di equivalenza, individuando le
classi di equivalenza mediante loro particolari rappresentanti. Ciò conduce alla
ricerca di una lista di cosiddette forme canoniche delle curve di dato grado, cioè
una lista di curve particolari, che abbiano equazione abbastanza semplice, nelle
quali ogni altra curva possa essere trasformata per mezzo di affinità, o isometrie
o proiettività.
Ad esempio, esiste una sola classe di equivalenza affine di rette, perché ogni
retta di A 2 (K) può essere trasformata in ogni altra. In questo caso il problema
della classificazione è banale: ogni retta è equivalente, ad esempio, alla retta di
equazione X == O. Lo stesso è ovviamente vero nel caso euclideo e in quello
proiettivo.
Le coniche si possono classificare in modo completo, anche se meno banal-
mente, e ciò verrà fatto nei paragrafi 30 e 31. Naturalmente la lista delle forme
canoniche sarà diversa a seconda che si stia considerando il problema nel caso
affine, o euclideo, o proiettivo.

28/Generalilà
343
Per le curve di grado superiore a due il problema è ben più difficile, anche
perché il punto di vista della riduzione in forma canonica mediante trasforma-
zioni nOll. conduce a una classificazione soddisfacente. Già per curve euclidee di
grado tre tale riduzione è piuttosto complicata, e le difficoltà aumentano note-
volmente con l'aumentare deI grado. Nei casi affine e proiettivo la situazione non
è molto migliore (fanno eccezione le cubiche proiettive, della cui classificazione
ci occuperemo nel 9 36).
Questa circostanza impone un approccio totalmente diverso alla classificazione
delle curve piane, che viene trattato in corsi più avanzati.
In modo simile a come si è fatto per le rette nel paragrafo 25, è possibile defi-
nire la "chiusura proiettiva" di una curva affine o euclidea. Sarà sufficiente con-
siderare il solo caso affine perchè quello euclideo rientra in questo come caso par-
ticolare.
La chiusura proiettiva della curva  di A 2 (K) di equazione [28.1] è la curva
aIgebrica _* C P2(K) definita dall'equazione [28.2], dove F(X o , Xl' XJ è il poli-
nomio omogeneizzato di f(X, Y). Le curve :c e :C* hanno lo stesso grado.
Segue dalla definizione che per ogni punto P (x, y) E  il punto jo(P) =
= [1, x, y] Ep2 appartiene a .* e che ogni punto di .tf* n P2\Ho è immagine
tramite jo di un punto di 
I punti di :£* n Ho si dicono punti impropri di C:C rispetto a Xo: sono i punti
[O, X h x 2 ] le cui coordinate omogenee soddisfano l'equazione
F(O, XI' X 2 ) = O.
Scrivendo
f(X, Y)=Fo+FI(X, Y)+... +F n - 1 (X, Y)+Fn(X, Y),
dove Fk(X, Y)EK[X, Y] è omogeneo di grado k, otteniamo
F(X o , XI' X 2 ) = FoXg + FJ(X I , X 2 )xg. 1+ ... + Fn-I(X I , XJXo +
+ Fn(X I , X 2 ).
Allora
F(O, Xl' X 2 ) = F n (X 1 , X 2 ),
e quindi le coordinate [O, Xl' X 2 ] dei punti impropri di _ sono le soluzioni non
banali dell'equazione
Fn(X I , X 2 ) = O
dove Fn(X, Y) è il polinomio omogeneo costituito dai monomi di grado massimo
di f(X, Y).
Viceversa, supponiamo data una curva  di P 2 (K) di equazione [28.2], dove
F(X o , XI' X 2 )E K[X o , XI' X 2 ] è un polinomio omogeneo non costante. La curva

344
Curve algebriche piane
_* di A2(K) di equazione [28.1], dovef(X, Y) è il polinomio deomogeneizza.to
di F, ha per supporto ::c n (P2\HO).
Le due curve!£' e :ff* hanno lo stesso grado se e solo se Xo non divide F. Se
X<>," divide F, ma non lo divide Xo'"+ l, allora gr(5f*) = gr(%*) - r.
Una curva affine :c c !;..2(K) è simmetrica rispetto a un punto C (detto cen-
tro di simmetria, o semplicemente centro, della curva) se :c = T(:t;), dove
T: A 2  A 2 è la simmetria di centro C (cfr. 14.6(4». Se C = (O, O), la simmetria
T corrisponde al cambiamento di variabili
x == - X'
Y = - Y'.
Ne consegue che se ha equazionef(X, Y) == O, allora:e è simmetrica rispetto
a (O, O) se e solo sef( - X, - Y) == O è un'equazione di  È immediato verificare
che ciò equivale alla condizione che tutti i monomi di f abbiano grado pari. Più
in generale, se C = (x o , Yo) la condizione di simmetria è che
f(2x o - X, 2yo - Y) == O
sia un'equazione di 
Una curva euclidea :e C E 2 è simmetrica rispetto a una retta , denominata
asse di simmetria di  se :c = T(), dove T: E2 E 2 è la simmetria di asse
 (cfr. esempio 20.10(4». Supponiamo che  contenga l'origine, e abbia
equazIone
aX + b Y == O.
Normalizzando quest'equazione in modo che si abbia a 2 + b 2 = I, la simme-
tria T è data dal cambiamento di variabili
x == (1 - 2a 2 ) X' - 2abY'
Y == - 2abX' + (1 - 2b 2 ) Y' .
Se  ha equazione f(X, Y) == O, la simmetria di ::c rispetto a  si esprime
con la condizione che
f«l- 2a 2 )%' - 2abY', - 2abX' + (1- 2b 2 ) Y') = O
sia ancora un'equazione di 
In particolare la condizione che  sia simmetrica rispetto all'asse X == O (a = 1,
b = O) è che
f(- X, Y) == O
sia ancora un'equazione di :a; ciò equivale alla condizione che in tutti i monomi
di f la variabile X appaia con grado pari. Similmente, :c è simmetrica rispetto
all'asse Y = O se e solo se in tutti monomi di f la Y ha grado pari.

28/Generalità
345
28.4 Complementi
1. Il concetto di curva algebrica pina può introdursi in un qualunque piano
affine, euclideo o proiettivo.
Sia A un piano affine su K (rispettivamente, un piano euclideo).
Consideriamo l'insieme ..Yf! i cui elementi sono le coppie (Oe l e 2 , f(X, Y»,
dove OeI e 2 è un riferimento affine (un riferimento cartesiano), ed f(X, Y) E
E K [X, Y] è un polinomio non costante.
Due elementi (Oe I e z , f(X, Y», (O' e{ e;, g(X, Y» di _ sono equivalenti se
g(X, Y) = Ci.f(auX + a I2 Y + C h a 21 X + a 22 Y + c 2 ),
per qualche Ci.  O, essendo
x = alI x ' + a I2 y' + CI
Y = a 2I x' + a 22 y , + C 2
le formule di cambiamento di coordinate dal riferimento O' e{ e{ al riferimento
Oel e 2 .
È una conseguenza delle proprietà dei cambiamenti di coordinate affini (di coor-
dinate cartesiane) il fatto che in questo modo si è definita una relazione di equiva-
lenza tra gli elementi di 5t:
Una classe di equivalenza in ..Yf! è una curva algebrica di A. Diremo che la
curva algebrica rappresentata dalla coppia (Oe l e 2 , f(X, Y» ha equazione
f(X, Y) = O
[28.12]
nel riferimento Del e 2 . Il grado di una sua qualunque equazione è il grado della
curva, e l'insieme  dei punti le cui coordinate nel riferimento OeI e 2 soddi-
sfano la [28.12] è il suo supporto.
Dalla definizione segue che una curva algebrica in A è individuata da una sua
equazione in un dato riferimento.
Consideriamo ora il caso proiettivo. Sia P = P (V) un piano proiettivo, dove
V è uno spazio vettorialc di dimensione 3 sul campo K. Consideriamo l'insieme
_Vi cui elementi sono le coppie (e O e I e 2 , F(X o , XI' X 2 », costituite da un sistema
di coordinate omogenee eOe] e 2 e da un polinomio omogeneo non costante F(X o ,
XI' X 2 ) di K[X o , XI' X 2 ].
Due elementi (e o e] e 2 , F(X o , XI' XJ), (e e{ e;, G(Xo, XI' X 2 » di _5/ si
dicono equivalenti se
G(X o , Xl' XJ = aF(aooX o + a01X I + a 02 X 2 , alOX o + alIX I +
a 12 X 2 , a 20 X O + a 2I X 1 + a 22 X 2 )
dove Ci. E K* e A = (aij) definisce il cambiamento di coordinate dal sistema e e{ e;

346
Curve algebriche piane
al sistema eoe l e 2 . Segue dalle proprietà dei cambiamenti di coordinate omogenee
che la relazione così definita è una relzione di equivalenza in 
Una classe di equivalenza in _Y è una curva algebrica di P. L'equazione
F(X o , XI' X 2 ) = O
[28.13]
è una equazione della curva algebrica rappresentata dalla coppia (eOe I e 2 , F(X o ,
Xl' X 2 » e l'insieme  dei punti le cui coordinate omogenee nel riferimento
e O e 1 e 2 soddisfano la [28.13] è il suo supporto. II grado di una sua qualunque
equazione è detto grado della curva.
2. Sia ::c C A 2 (K) la curva piana di equazione f(X, Y) = O, e SIano
A = (aij) E GL 2 (K), c = t(c I c 2 ), X' = t(X I Y'). L'equazione
f(AX' +c)=O
[28.14]
può interpretarsi in due modi.
Per la definizione 28.3, la [28.14] può essere considerata come l'equazione
di una curva piana g affinemente equivalente a _ e precisamente
!C = TA,c( g). D'altra parte possiamo interpretare la sostituzione
X=AX'+c
come un cambiamento di coordinate affini, e quindi, per quanto visto in (1), la
[28.14] può anche vedersi come un'equazione della stessa curva  in un nuovo
riferimento.
Un'osservazione del tutto simile può farsi per curve euclidee o proiettive.
3. Una generalizzazione naturale della nozione di curva algebrica piana è quella
di "ipersuperficie algebrica" di An (K), En o pn (K).
Un'ipersuperficie a/gebrica di An(K) è una classe di proporzionalità di poli-
nomi non costanti di K[Xl' ..., X n ]. Sef(X 1 , ..., Xn)E K[X t , ..., Xn] è un polino-
mio non costante, l'equazione
f(X 1 , ..., X n ) = O
[28.15]
è un'equazione de//'ipersuperficie rappresentata daf, e il suo grado è detto grado
dell'ipersuperficìe. Il supporto dell'ìpersuperfìcie di equazione [28.15] è l'insieme
q- costituito dai punti P E A n le cui coordinate sono soluzioni della [28.15]. In
modo simile si definisce un'ipersuperficie algebrica di En.
Un'ipersuperficie a/gebrica di pn(K) è una classe di proporzionalità di poli-
nomi omogenei non costanti di K[X o , X h ..., X n ]. Le nozioni di equazione,
grado t supporto si danno in modo del tutto analogo al caso delle curve piane.
Si osservi che questa definizione di ipersuperficie algebrica di pn è equivalente
a quella che abbiamo dato nell'esempio 24.5(5).
Un'ipersuperficie di A 3 , E 3 o p3 è detta superficie, rispettivamente affine,
euclidea o proiettiva.

29/Curve algebriche reali
347
Un'ipersuperficie di supporto 9: viene di solito denotata con la lettera _q:
.
restando con ciò sottinteso che una sua equazione è stata assegnata. Un'ipersu-
perficie di grado 1 è un iperpiano, e se ha grado 2, 3, ..., si dice quadrica, cubica ecc.
Il lettore non avrà difficoltà a estendere al caso delle ipersuperfici algebriche
le definizioni di equivalenza affine, congruenza e equivalenza proiettiva.
Esercizi
1. Determinare chiusura proietti va e punti impropri delle curve di A 2(C) di equazioni
seguenti:
a) X + 2 y2 - 1 = O
c) 3 Y + Xy + Xy 2 = O
b) X 2 y2 -1 == O
d) X 2 Y - Xy2 + X 2 - Y = O.
2. Stabilire quali delle seguenti curve di E 2 sono simmetriche rispetto all'origine o
rispetto agli assi coordinati:
a) XY+ y2_ y=o
c) 1 + X 2 + y2 = o.
b) X+ y+XY=O
.
3. Dimostrare che se f (X, Y) E R [X, Y] soddisfa f (X, Y) == f (Y, X), allora la curva
Yt C E 2 di equazione f(X, Y) = O è simmetrica rispetto alla retta di equazione
X - Y = o.
29 Curve algebriche reali
Nel paragrafo 28 abbiamo considerato sempici esempi di curve di A 2 (R) il cui
supporto è ridotto a un solo punto, o addirittura è 0. Questi esempi dipendono
dal fatto che R non è aIgebricamente chiuso; essi non si presentano per curve piane
complesse..
Precisamente, consideriamo in A 2(C) una curva algebrica  di equazione
f(X, Y) = o.
[29.1 ]
e supponiamo che il polinomiof(X, Y) abbia grado m > 1 nella variabile Y, cioè
si scriva nella forma
f(X, Y) =fo(X) + fJ(X) Y + ... + fm(X) ym
conJo(X),.f;(X), ..., fm(X) E C [X]. Nel caso in cuif(X, Y) sia costante rispetto
a Y scambieremo la X con la Y nelle considerazioni che seguono.
Sia L1 il sottoinsieme finito di C costituito dalle radici di fm(X). Per ogni
xE C\ il polinomio in Y
f(x, Y) =fo(x) + fI(X) Y + ... + fm(x) ym
[29.2]

348
Curve algebriche piane
ha grado m e quindi, per il teorema fondamentale dell'algebra, possiede m radici
Yl (x), ..., Ym(x), non necessariamente distinte. I punti (x, YI (x», (x, Y2(X», ...
.. ., (x, Y m (x» di A 2 (C) appartengono alla curva  Al variare di x E C\L\ si
ottengono così tutti i punti di  con l'eccezione, al più, di un numero finito
di punti, corrispondenti alle radici dei polinomif(x, Y) per XEL!, che non abbiamo
considerato. Poiché x, variando in C\L!, descrive un ente a due dimensioni reali,
anche la curva  è, dal punto di vista reale, un ente a due dimensioni. In partico-
lare deduciamo che il supporto di una curva affine complessa contiene infiniti punti.
Un ragionamento simile porta a dimostrare che anche il supporto di una curva
proiettiva complessa contiene infiniti punti. Supponiamo infatti che la curva 
di p2(C) abbia equazione
F(X o , Xl' X 2 ) = O.
Se si suppone che il supporto di :c non si riduca alla retta Xo = O, nel qual caso
essa ha infiniti punti, passando a coordinate non omogenee si trova che il sup-
porto di  contiene quello della curva affine di equazione
F(l, X, Y) = O,
il quale, per quanto appena visto, contiene infiniti punti.
29.1 DEFINIZIONE Una curva algebrica Y; di A 2 (C) si dice reale se può
essere definita da un'equazione
f(X, Y) = O,
dovef(X, Y)ER[X, Y].
Se  è una curva di A 2 (C), di equazione
[29.3]
f(X, Y) = O
con f(X, Y) E C [X, Y], la curva  di equazione
-
f(X, Y) = O,
-
dove f{X, Y) è il polinomio complesso coniugato di f(X, Y) (cioè il polinomio
avente per coefficienti i coniugati dei coefficienti di f), è detta curva complessa
coniugata di :c.
Definizioni analoghe si danno di curva proiettiva reale e di curva proiettiva
complessa coniugata di una curva di P2{C).
Si noti che la [29.3] è equivalente ad una qualsiasi delle equazioni
af(X, Y) = O
a E C*, e che quindi una curva reale può anche essere definita da un polinomio

29/Curve algebriche reali
349
a coefficienti non reali; tuttavia, perché la curva sia reale deve esistere un polino-
mio a coefficienti reali che la definisce.
Per definizione, una curva  è reale se e solo se Y! = :c.
Poiché C 2 è anche uno spazio vettoriale reale di dimensione 4, il -piano affine
complesso A 2 (C) può essere considerato come uno spazio affine reale di dimen-
sione 4. Per ogni punto P(x' + ix" , y , + iy") E A 2(C), (x' , x" , y' , y") è la qua-
terna delle coordinate reali di P nel riferimento affine reale di A 2 (C) avente come
origine O e come base dei vettori
{(I, O), (i, O), (O, l), (O, i)}.
A 2 (R) è un sottospazio affine reale di A 2 (C) avente equazioni
X" = O, Y" = O..
Consideriamo una curva algebrica Y! di A 2{C). Il sottoinsieme :g n A 2(R),
costituito dai punti di _ a coordinate reali, è l'insieme dei punti reali di :c.
Dalla definizione segue che i punti reali di  dipendono dalla posizione di .Cff
rispetto al piano A 2 (R).
Ad esempio, la retta
iX + i Y + 1 = O
[29.4]
non ha punti reali, mentre la retta
iX + Y + 1 = O
[29.5]
possiede l'unico punto reale (O, -1). Nessuna delle due è una retta reale. Invece
iX + i Y + i = O
coincide con la retta di equazione
X + Y + 1 = O,
[29.6]
che è una retta reale, e ha infiniti punti reali. Si noti che le [29.4], [29.5] e [29.6]
sono affinemente equivalenti: esse differiscono solo per la loro posizione rispetto
ad A 2(R).
La [29.3] può essere considerata in due modi: come l'equazione di una curva
algebrica :C' di A 2(R), oppure come quella di una curva algebrica reale :e di
A 2(C). Il supporto di :e' è l'insieme dei punti reali di :£: I punti di \_ I
vengono chiamati punti non reali di :t: e di  I . Molto spesso è conveniente
interpretare una curva di A 2(R) come una curva reale di A 2(C), considerandone
anche i punti non reali. Ciò vale anche per le curve di E 2 . Un esempio tipico è
fornito dalle circonferenze, che possono essere caratterizzate da alcune condizioni
di cui una rIguarda i loro punti non reli (cfr. 32.3(2».
Consideriamo un'affinità T: A 2(C)  A 2(C), definita da
T(x, y) = (a Il x + a I2 y + CI' a 2J x + a 22 y + C 2 ),
[29.7]

350
Curve algebriche piane
dove A = (aij) E GL 2 (C), Cl' C 2 E C. È evidente che in generale T(A 2 (R» non è con-
tenuto in A 2(R), cioè un'affinità complessa non trasforma punti reali in punti
reali. Le curve [29.4], [29.5] e [29.6] esemplificano questo fatto, essendo curve
affinemente equivalenti ma con insiemi di punti reali di natura completamente
diversa tra loro. Gli stessi esempi mostrano anche che un'affinità in generale non
trasforma curve reali in curve reali.
Abbiamo però il seguente risultato:
29.2 TEOREMA Sia T: A 2 (C) -+ A 2 (C) l'affinità definita dalla [29.7]. Le con-
dizioni seguenti sono equivalenti:
1) T(A 2(R» = A 2(R).
2) A E GL 2 (R), CI' C 2 E R.
3) La trasformata T() di ogni curva reale :£ C A 2(C) è una curva reale.
Dimostrazione
L'equivalenza di (1) e (2) e l'implicazione (2)  (3) sono evidenti. Per dimo-
strare che (2) <= (3) si osservi che le rette reali X = O e Y = O sono trasformate rispet-
tivamente nelle rette:
alI X + a 12 Y + c J = O
a 2I X + a 22 Y + C 2 = o.
Perché queste siano reali dev'essere verificata la (2).
Consideriamo ora il caso proiettivo. Il piano proiettivo complesso p2(C) con-
tiene come sottoinsieme p2 (R), che si identifica con il sottoinsieme costituito dai
punti [X o , XI' X 2 ] E p 2 (C) tali che Xo, XI' X 2 E R. L'analogia con il caso affine non
. si estende oltre, perché il piano proiettivo complesso non può essere in alcun modo
considerato come uno spazio proiettivo reale.
Consideriamo una curva proiettiva :c C p2(C), di equazione
F(X o , Xl' X 2 ) = o.
[29.8]
Similmente al caso affine, i punti di  n P2(R) si dicono punti reali di .
Se F(X o , XI' XJER[Xo, XI' X 2 ], la [29.8] può essere interpretata sia come
l'equazione di una curva reale :c di P2(C) sia come l'equazione di una curva
, di p2(R) il cui supporto coincide con l'insieme dei punti reali di 
Il seguente risultato è l'analogo proiettivo del teorema 29.2.
29.3 TEOREMA Sia f: P2(C) -+ p2(C) una proiettività. Le seguenti condizioni
sono equivalenti:
l) f(p2(R» = p2(R).
2) f può essere definita da una matrice A EGL 3 (R).
3) La trasformata f('<£) di ogni curva reale  C P 2 (C) è una curva reale.

29/Curve algebriche reali
35/
La dimostrazione del teorema 29.3 è simile a quella di 29.2, ed è lasciata al
lettore.
29.4 Esempi
I. Consideriamo la conica reale di equazione
X 2 + y 2 = o.
[29.9]
Poiché
X 2 + y2 = (X + i Y) (X - i V),
il supporto della [29.9] si decompone nell'unione dei supporti delle due rette
X+iY=O
e
x - i Y = O,
che sono due rette non reali, complesse coniugate, il cui unico punto reale è
l'origine.
2. Consideriamo la conica reale Y! di equazione
X 2 + y2=C
,
[29.10]
dove cE R. Se c = O otteniamo l'esempio (1). Se c> O e consideriamo E 2 in
A 2 (C), allora i punti reali di ::C sono quelli della circonferenza di centro l'ori-
gine e raggio .J c. Se invece c < O, allora :e non ha punti reali (è una "circonfe-
renza di raggio immaginario").
Si noti che i due casi c> O e c < O sono affinemente equivalenti in A 2(C).
Infatti la sostituzione
x = i X* , Y = i y*
trasforma la conica [29.10] nella conica di equazione
X*2+ y*2= - c.
Questo mostra che le coniche [29.10] con c;é O sono tutte tra loro affinemente
equivalenti in A 2(C). Ciò che le differenzia è )a loro posizione rispetto a A 2 (R).
Una situazione simile a questa si ha per tutte le coniche reali, che verranno
discusse in maggiore dettaglio nei paragrafi successivi.
3. Considereremo ora alcuni esempi di curve affini reali di grado tre, le cosid-
dette parabole cubiche di Newton. Queste sono cubiche reali :c di equazione
y 2 = aX 3 + bX 2 + cX + d,
[29.1 I]
a, b, c, d E R, a;é O, il cui luogo dei punti reali ha una forma che dipende dalle

352
Curve a/gebriche piane
radici À, J!, v del polinomio aX 3 + bX 2 + eX + d. Tali radici corrispondono ai
punti (À., O), (J!, O), (v, O) di intersezione di :c con l'asse Y = o.
Si possono presentare i seguenti casi:
À, IL, v sono reali e distinte. Si ha la cosiddetta parabola campaniforme con
ovale (fig. 29.1 a).
À, Il, v sono distinte, e due delle tre radici sono non reali e complesse coniu-
gate. Si ha la parabola eampaniforme senza o40 va l e (fig. 29.1 b).
À., J!, v sono reali e due di esse sono uguali tra loro (À. = J.t). Si ha la parabola
campaniforme puntata (fig. 29.1 c), oppure la parabola nodata (fig. 29.1 d) a
seconda che À. == J.t < v oppure À. = Il > v.
À. = J.t = v reale. Si ha la parabola euspidata (fig. 29.1 e).
Un'importante generalizzazione delle nozioni introdotte in precedenza è la
seguente.
Una curva _Yt di A 2(C) è definita su K se può essere definita da un'equazione
[29.3] tale che f(X, Y)EK[X, Y). I punti di .1fnA 2 (K) si dicono punti K-
razionali di _cc. Nel caso particolare K == R si riottengono le nozioni di curva reale
e di punti reali.
Un caso importante è K = Q. Esso corrisponde allo studio geometrico delle equa-
zioni polinomiali su Q, e delle loro soluzioni in Q e in Z. Vediamo alcuni esempi.
Consideriamo la curva :e di equazione
x 2 + y2=1,
[29.12]
il cui supporto nel piano euclideo è la circonferenza di centro l'origine e raggio
1. Un punto Q-razionale della [29.12], che possiamo scrivere nella forma
(p/r, q/r), p, q, rE N,
[29.13]
dà luogo a una terna di numeri naturali (p, q, r) tali che
p2 + q2 == r2,
cioè a una terna pitagorica. La ricerca delle terne pitagoriche si può quindi ricon-
durre a quella dei punti Q-razionali della curva [29.12].
Si dimostra che esistono Ìnfinite terne pitagoriche, e questo può essere fatto
facilmente con il seguente ragionamento geometrico.
Consideriamo una retta t, del fascio di centro il punto (1, O). t- ha equazione
X + À. Y -1-= o.
Calcoliamo le intersezioni di  con  Sostituendo X == 1 - À. Y nella [29.12]
otteniamo l'equazione in Y
(À. 2 + 1) y2 - 2À. Y = O.

29/Curve algebriche reali
À.
À=p,
23
IL
(a)
(e)
(e)
Figura 29.1
353
(b)
v
(d)

354
Curve algebriche piane
La radice Y = O corrisponde al punto (1, O), mentre l'altra radice corrisponde
a un altro punto di intersezione di  con  le cui coordinate sono
«1 - À.2)/(l + À.2), - 2À/(1 + À 2».
Notiamo che anche il punto di coordinate
«A. 2 - 1)/(1 + À. 2), 2À./(1 + À. 2»
appartiene a _C£. Al variare di Iv in N si ottengono in questo modo infiniti punti
della forma [29.13], e quindi le infinite terne pitagoriche
(A. 2 -1, 2À., 1+À.2), À.EN.
Un altro esempio è costituito dall'equazione
X 2 - 2 y 2 == l,
[29.14]
interessante per il fatto che ogni sua soluzione (x, y) soddisfa la condizione
. l x  1
,,2-- < - < ,,2+-
y y y ,
cosicché, al crescere di y, I x/y I costituisce un'approssimazione via via migliore
di . È noto che la [29.14] possiede infinite soluzioni in Q2 (e addirittura in Z2),
ognuna delle quali fornisce nel modo detto un'approssimazione razionale di .
Le approssimazioni che così si ottengono sono molto accurate. Ad esempio, la
soluzione (1393, 985) fornisce il valore
1393/985 == 1,4142131.
La [29.14] è l'equazione di un'iperbole, che è una conica affine di un tipo par-
ticolare (cfr.  31 e 32).
Si osservi anche che, al contrario della [29.14], la curva
X 2 - 2 y2 = O
ha (O, O) come unico punto Q-razionale, perché  è irrazionale.
Consideriamo ora la curva :a: di equazione
x n + yn - l = O, n > 3.
Per nessun valore di n > 3 sono noti punti Q-razionali (x, y) E 54: tali che
x # O;é y. Un celebre problema posto da Fermat è di stabilire se :a: possiede
punti Q-razionali per qualche n  3, ovvero, equivalentemente, di stabilire se per
qualche n > 3 l'equazione
x n + yn = zn
possiede o meno soluzioni in numeri interi (x, y, z) tali che xyz;é o. Un recente
risultato (G. Faltings, 1983) implica che tali soluzioni, se esistono, sono al più

30/Classificazione delle coniche proiettive
355
in numero finito. Questo problema, nonostante la sua semplice formulazione, si
è rivelato molto difficile, avendo resistito a tutti i tentativi di soluzione da più
di tre secoli.
30 Classificazione delle coniche proiettive
L'equazione di una conica Yt di p2 == P2(K) può scriversi nella forma
auXi + 2a I2 X I X 2 + a22X + 2a Ol X O X I + 2a 02 X O X 2 + aooX == O,
con a j k E K, non tutti nulli.
Poniamo
[30.1 ]
a 21 == a 12 , a lO = aOI' a 20 = a 02
e consideriamo la matrice simmetrica
a OO a Ol a 02
A= a IO a ll a 12 .
a 20 a 21 a 22
Indicato con X il vettore colonna t(X o XI X 2 ) delle indeterminate, la [30.1]
può anche scriversi, concisamente,
lXAX == o.
[30.2]
Consideriamo ora una matrice MEGL 3 (K). Se nella [30.1], oppure nella
[30.2l. sostituiamo MX al posto di X, otteniamo l'equazione
tXBX == O
,
[30.3]
dove B = tMAM. Per la definizione 28.3, la conica .qJ di equazione [30.3] è
proiettivamente equivalente alla conica -Yf: e viceversa ogni conica proiettivamente
equivalente a !tf si ottiene in questo modo per qualche M E GL 3 (K).
Osserviamo che det(B) == O se e solo se det(A) == O; più precisamente, A e B
hanno lo stesso rango. Pertanto il rango di A è una proprietà proiettiva della conica
5e; esso si dice rango di _ e si denota con r(.). In particolare l'annullarsi o
meno di det(A) è una proprietà proiettiva di _ Si noti che sussistono le disugua-
gIianze
1 < r(_1f) < 3
perché uno almeno dei coefficienti a jk è diverso da zero.
30.1 DEFINIZIONE La conica  è non degenere se det(A)  O, degenere se
det(A) == O; è semplicemente degenere se r(¥f) == 2, doppiamente degenere se
r(.) == l.

356
Curve algebriche piane
Consideriamo il problema di classificare le coniche di p2, cioè di trovare dei
particolari tipi di equazioni [30.1] (dette forme canoniche) tali che ogni conica
di p2 sia proiettivamente equivalente ad una di esse. Tratteremo i casi K algebri-
camente chiuso e K = R.
30.2 TEOREMA Supponiamo K algebricamente chiuso. Ogni conica Y! di
P2(K) è proiettivamente equivalente a una delle seguenti:
X5 + Xi + X = O conica generale;
X3 + Xf = O conica semplicemente degenere;
X5 = O conica doppiamente degenere.
e queste tre coniche sono a due a due non proiettivamente equivalenti.
Dimostrazione
Come abbiamo visto, una proiettività di matrice M trasforma la conica di equa-
zione [30.2] nella conica [30.3]. Poiché B = tMAM è congruente ad A, per il teo-
rema 16.2 esiste MEGL 3 (K) tale che B sia una delle matrici:
100 100
O l O, O l O
O O l O O O
100
O O O .
O O O
I tre casi corrispondono a r(5f) == 3, 2, 1 rispettivamente, e sono le matrici
delle tre coniche dell'enunciato. Pertanto _ è proiettivamente equivalente ad una
di esse. Poiché .tali coniche hanno ranghi diversi, esse sono a due a due non proiet-
tivamente equivalenti.
Il teorema precedente può anche enunciarsi così: se K è algebricamente chiuso,
in P2(K) esistono precisamente tre classi di equivalenza proiettiva di coniche,
ognuna delle quali è individuata dal rango delle coniche che vi appartengono.
Se K non è algebricamente chiuso la situazione è in generale diversa. Il teo-
rema seguente afferma che nel caso K = R le classi di equivalenza proiettiva di
coniche sono cinque.
30.3 TEOREMA Ogni conica ::C di P2(R) è proiettivamente equivalente a una
delle seguenti:
X + XT - X = O conica generale;
X5 + Xf + X = O conica generale a punti non reali;
X - xi = O }
coniche semplicemente degeneri;
X + XT = O
X=O
conica doppiamente degenere.
Queste cinque coniche sono a due a due non proiettivamente equivalenti.

30/Classificazione delle coniche proiettive
357
Dimostrazione
Utilizzando il teorema di Sylvester e ragionando come nella dimostrazione del
teorema 30.2, si deduce che ogni conica  di P2(R) è proiettivamente equiva-
lente ad una delle cinque coniche dell'enunciato.
Per dimostrare che due qualsiasi di esse non sono proiettivamente equivalenti
si osserva che due delle equazioni della lista rappresentano coniche di diverso rango,
oppure di stesso rango ma aventi supporti diversi: la conica generale a punti non
reali ha supporto 0, il che non avviene per la conica generale; le due coniche sem-
plicemente degeneri hanno supporto costituito rispettivamente da due rette distinte,
e da un solo punto.
30.4 Osservazioni
l. Dai teoremi precedenti si deduce, in particolare, che una conica proiettiva
doppiamente degenere ha per supporto una retta: infatti il polinomio che la defi-
nisce è il quadrato di un polinomio di primo grado, sia nel caso reale che in quello
di K algebricamente chiuso.
Una conica semplicemente degenere è invece definita da un polinomio che, nel
caso di K algebricamente chiuso, si spezza nel prodotto di due polinomi distinti
di primo grado, e quindi la conica ha per supporto l'unione di due rette distinte.
Nel caso reale, come già osservato nel corso della dimostrazione del teorema 30.3,
lo stesso avviene per la prima delle due coniche semplicemente degeneri (di eq.
X - xi = O), mentre l'altra (di eq. X + xi = O) ha per supporto un solo
punto.
2. Per ogni MEGL 3 (K), la [30.3] si può pensare come l'equazione di 
stessa rispetto a un diverso sistema di coordinate (cfr. 28.4(2».
Con ovvie modifiche, la dimostrazione del teorema 30.2 può essere adattata
per dimostrare che, nel piano proiettivo P2(K), per ogni conica esiste un oppor-
tuno riferimento nel quale essa ha una delle tre equazioni elencate.
Un'osservazione simile può farsi nel caso di p2(R).
3. Dal teorema 30.3 segue che se una conica non degenere di p2(R) possiede
un punto, allora ne possiede infiniti.
Infatti, poiché due coniche proiettivamente equivalenti possiedono supporti
proiettivamente equivalenti, è sufficiente verificare l'asserzione per un rappresen-
tante di ogni classe di equivalenza proiettiva di coniche non degeneri, cioè per
le coniche non degeneri elencate nel teorema 30.3, il che è immediato.
30.5 Complementi
Quasi tutte le considerazioni fatte per le coniche proiettive si estendono alle
quadriche di pn(K), n  3. Una quadrica !Il di pn(K) ha un'equazione della
forma
Q(X) = O,
[30.4]

358
Curve algebriche piane
dove X == t(X o XI... X n ), e Q(X) è un polinomio omogeneo di secondo
grado, che, come sappiamo (cfr.  15), si può esprimere nella forma
Q(X) == tXA X,
con A E M n + I (K) simmetrica. Se M E GL n + 1 (K), e se sostituiamo MX al posto di
X nella [30.4], otteniamo una nuova quadrica.Q' di equazione
lXBX == O
,
dove B == tMAM. !2' è proiettivamente equivalente a ..q, e ogni quadrica proiet-
tivamente equivalente a!2è ottenuta in questo modo per qualche matrice M. Poi-
ché il rango di A e quello di B sono uguali, deduciamo che r(A) è una proprietà
proiettiva di il; esso si chiama dunque rango di !2, e si denota con r(..q). Diremo
f:?2 non degenere (o viceversa degenere) se r(9) = n + 1 (se r(9) < n).
I teoremi 30.2 e 30.3 possiedono le seguenti generalizzazioni al caso delle iper-
superfici quadriche di pn (K).
Se K è algebricamente chiuso, ogni quadrica !2 di pn(K) è proiettivamente
equivalente alla quadrica di equazione
x+Xf+... +X;=O,
dove r + 1 == r(g).
Ogni quadrica ,g di pn (R) è proiettivamente equivalente a una e una sola qua-
drica della forma
X+Xf+... +X;-X;+1- ... -X;=O,
per qualche O '$ P < r < n, tali che 2p > r - 1.
Le dimostrazioni sono del tutto simili a quelle dei teoremi 30.2 e 30.3.
Esercizi
1. Classificare le seguenti coniche di p2 (R), determinandone rango ed equazIone
canonica:
a) xJ-Xt+X 1 X 2 =O b) XOXI+XIX2+XOX2=O
c) XJ + Xt + X - 2X O X 1 + 2X O X 2 - 2X 1 X 2 = o.
2. Classificare ciascuna delle coniche dell'esercizio precedente in p2(C).

360
Curve algebriche piane
Eseguendo la sostituzione [31.4] nella [31.2] otteniamo l'equazione di g nelle
nuove variabili X', Y':
(1 X' Y') B
= O,
[31.6]
1
dove
B = tMAM.
[31. 7]
Dalla [31.7] si vede che B e A hanno lo stesso rango, e quindi il rango di A
è una proprietà affine della conica  che chiameremo rango di  e denoteremo
con rC).
La conica  è non degenere, degenere, semplicemente degenere, doppiamente
degenere, a seconda che si abbia rispettivamente r() = 3, rC) < 3, r(5lf) = 2,
r() = 1.
Denotiamo con Ao la seguente sottomatrice di A:
_ ( al1 aJ2 )
Ao-
a 21 a 22
e con Bo la corrispondente sottomatrice di B. Allora
Bo = tMAoM.
[31.8]
Per vederlo si osservi che la sostituzione [31.3] si può ottenere come composi-
zione delle due sostituzioni successive
( ) ( : ) + (:J
e
( X:: ) = ( mIl m 12 ) ( X: ) .
Y m 21 m 22 Y
La prima sostituzione, che è una traslazione, non modifica i termini di secondo
grado dell'equazione di jf. Osservando poi che Ao è la matrice simmetrica della
forma quadratica su K 2 definita dai termini di secondo grado della [31.1], si
deduce che la seconda sostituzione cambia Ao in Bo secondo la formula [31.8].
Dalla [31.8] deduciamo che Ao e Bo hanno lo stesso rango e quindi il rango
di Ao è una proprietà affine di jf.
Se det(A o )  O,  è una conica a centro, e se det(A o ) = O è una parabola.
Nel caso particolare K = R la formula [31.8] implica che il segno di det (A o)
è lo stesso di quello di det(B o ), e quindi anche det(AO> > O e det(Ao) < O sono pro-

3I/Classificazione di coniche affini e coniche euclidee
361
prietà affini di  Se la conica:C di A 2 (R) di equazione [31.1] è a centro, allora
_ è un'ellisse o un'iperbole a seconda che det(A o ) > O o det(A o ) < O.
Dimostreremo ora il teorema di classificazione delle coniche affini nei casi K
algebricamente chiuso e K = R.
31.1 TEOREMA Ogni conica di A 2 (K) è affinemente equivalente a una delle
seguenti:
1) K algebricamente chiuso:
X 2 + y 2 - I = O conica a centro
x 2 + y2 = O conica a centro degenere
y2 - X == O parabola
y2 - 1 == O parabola degenere
y2 = O conica doppiamente degenere
2) K == R:
x 2 + y2 - l = O e/lisse
x 2 + y2 + l = O ellisse a punti non reali
X 2 + y2 = O ellisse degenere
X 2 - y2 -1 == O iperbole
X 2 - y2 == O iperbole degenere
y2 - X == O parabola
y2 - 1 == O }
parabole degeneri
y2 + l == O
y2 == O conica doppiamente degenere.
Le coniche di ognuno dei gruppi precedenti sono a due a due non affinemente
equivalenti.
Dimostrazione
Parte della dimostrazione sarà data nei due casi simultaneamente. Supponiamo
che :ff abbia equazione [31.1]. Per trasformare .YJ in una delle coniche dell'e-
nunciato abbiamo a disposizione una sostituzione [31.3], o, equivaIentemente, una
successione finita di tali trasformazioni. Procederemo in diversi passi.
Passo I: eliminazione del termine 2a I2 XY
Per il teorema 16.1 è possibile trovare una matrice MEGL 2 (K) tale che la

362
Curve algebriche piane
sostituzione
() =M (;:)
trasformi l'equazione [31.1] nella [31.6] in cui Bo sia una matrice diagonale.
Possiamo quindi supporre a I2 = O, cioè che :tf abbia equazione
a Il X 2 + a 22 y 2 + 2a OI X + 2a 02 Y + a oo = o.
Notiamo che Ctf è una conica a cèntro se e solo se al I a 22 ;r. O.
[31 .9]
Passo 2: eliminazione di termini di primo grado e del termine costante
Supponiamo che Yf sia a centro. Allora, mediante la traslazione
a
X=X' -
all
a
y = Y' - 
a 22
l'equazione [31.9] si trasforma nella seguente:
a 11 X' 2 + a 22 y'2 + C oo = O,
[31.10]
dove c oo E K si esprime per mezzo dei coefficienti della [31.9].
Se  non è una conica a centro possiamo supporre, salvo scambiare fra loro
le variabili, che alI = O e a 22 ;r. O. La traslazione
X=X'
a
y = Y' - 
°22
trasforma la [31.9] nella seguente:
022 Y' 2 + 20 0I X' + d oo = O,
per un opportuno d oo . Se 00I = O otteniamo l'equazione
022 Y'2 + d oo = O,
[31.11 ]
mentre, se a OI ;r. O, possiamo eseguire l'ulteriore traslazione
d
X' = XII _ 00
2001
Y' == Y" ,
ottenendo la nuova equazione
° y"2 +2 0 X"-O
22 OI -.
[31.12]

31/Classificazione di coniche affini e coniche euclidee
363
Passo 3: normalizzazione dei coefficienti
Dobbiamo distinguere il caso K = R da quello in cui K è àIgebricamente chiuso.
K algebricamente chiuso. Se :c è una conica a centro e quindi è stata trasfor-
mata nella conica di equazione [3 1.10], possiamo supporre che C oo sia - l oppure
O (se C oo # O basta moltiplicare primo e secondo membro della [31.10] per - C oo I).
Eseguendo la sostituzione
X' = X

Y' = Y

otteniamo rispettivamente la prima e la seconda equazione della lista (1).
Se  non è a centro ed è stata trasformata nella conica di equazione [31.11]
possiamo supporre che d oo sia - l oppure O. Mediante la sostituzione
XI =X
YI:= y

ci si riconduce alla quarta e alla quinta equazione rispettivamente (nel caso
d oo = O è sufficiente moltiplicare primo e secondo membro della [31.11] per a 22 I ).
Se infine  è stata trasformata nella conica di equazione [31.12], la sosti-
tuzione
X" =
x
- 2 a 01
Y" = Y

trasforma la [31.12] nella terza equazione dell'enunciato (parabola).
K = R. Se  è una conica a centro e quindi è stata trasformata nella conica
di equazione [31.10], possiamo supporre che C oo sia -1 oppure O ed eseguire la
sostituzione
X'= X
'" I aH I
Y' = Y
'" I a 22 I
con la quale ci si riconduce a una delle prime cinque equazioni della lista (2).
Se la conica !£ non è a centro, ed è stata trasformata nella conica di equa-
zione [31.11], possiamo supporre che d oo sia - l oppure O ed eseguire la sosti-

364
Curve algebriche piane
tuzione
X' =x
Y' = y
v' I Q22 I
con la quale ci si riconduce a una delle ultime tre equazioni della lista (2).
Infine, se  è stata trasformata nella conica di equazione [31.12], possiamo
supporre 022 > o. La sostituzione
X" =
x
- 20 0l
Y" = y

trasforma la [31.12] nella sesta equazione della lista (2) (parabola).
L'ultima asserzione del teorema segue dall'osservare che, in ognuno dei casi
(1) e (2), due coniche diverse della lista possono distinguersi una dall'altra attra-
verso r(A), o r(AO>, oppure attraverso il fatto che hanno diverso supporto. Il teo-
rema 31.1 è dimostrato.
Confrontando gli enunciati dei teoremi 30.2, 30.3 e 31.1 vediamo che le possi-
bili forme canoniche delle coniche affini sono più numerose di quelle delle coni-
che proiettive. Ciò non sorprende se si osserva che la riduzione in forma canonica
si è ottenuta, sia nel caso affine che in quello proiettivo, essenzialmente operando
sulla matrice simmetrica A associata a una equazione di !ff mediante una oppor-
tuna trasformazione della forma [31.6]. La matrice M E GL 3 (K) può essere scelta
in modo arbitrario nel caso proiettivo, e invece della forma particolare [31.5] nel
caso affine. Pertanto, avendosi nel caso proiettivo più matrici a disposizione che
in quello affine per eseguire la riduzione, due matrici A e B riducibili una all'altra
nel senso affine lo saranno anche in quello proiettivo, ma il viceversa non sarà
necessariamente vero.
Si noti che le classi di equivalenza affine di coniche di A 2 (K) sono in numero
finito in ognuno dei casi considerati.
31.2 Osservazioni
l. Una conica a centro è così chiamata perché possiede un centro di simme-
tria, cioè esiste un punto C(x o , Yo)EA 2 rispetto a cui !£' è simmetrica. Il centro
di simmetria è unico.
Se  ha equazione [31.1], il centro C ha per coordinate la soluzione (x o , Yo)
del sistema
011 X + a 12 Y + a 10 = O
a 2I X + a 22 Y + a 20 = O
[31.13]
(il sistema [31.13] ha un'unica soluzione per l'ipotesi det(Ao) # O).

31/Classificazione di coniche affini e coniche euclidee
365
Per dimostrarlo si effettua la sostituzione
x == 2x o - X'
Y == 2yo - Y'
sul primo membro della [31.1]. Si vede subito che il polinomio che così si ottiene
è proporzionale al primo membro della [31.1], ed è effettivamente uguale ad
esso (ma come polinomio nelle nuove variabili) se e solo se (x o , Yo) è solu-
zione del sistema [31.13]. Pertanto (x o , Yo) è ltunico centro di simmetria di -
(cfr. 28.4(3».
Le rette che passano per il centro di Y;; si dicono diametri della conica.
[31.14]
2. Il significato geometrico della distinzione delle coniche di A 2 (R) in ellissi,
iperboli e parabole si può spiegare facilmente se si considerano i punti impropri
di _Cjf Per ottenerne le coordinate bisogna risolvere l'equazione omogenea di
secondo grado
ali xi + a22X + 2a I2 X 1 X 2 == O,
[31.15]
il cui discriminante è - det(Ao). Quindi le soluzioni dell'equazione [31.15] sono
rispettivamente reali e distinte, reali e coincidenti, oppure complesse coniugate
(non reali) a seconda che  sia un'iperbole, una parabola o un'ellisse, ovvero
abbia due, uno, nessun punto improprio reale (ossia, nel caso dell'ellisse, abbia
due punti impropri complessi non reali).
In altre parole, la distinzione in tre tipi di coniche corrisponde ad altrettanti
possibili comportamenti all'infinito.
3. Nella dimostrazione del teorema 31.1 l'ipotesi K algebricamente chiuso
oppure K == R è stata utilizzata solo nel passo 3 (normaIizzazione dei coefficienti).
Dalla dimostrazione di 31.1 segue pertanto che, qualunque sia il sottocampo K
di C, ogni conica di A 2 (K) è affinemente equivalente a una delle coniche [31.10],
[31.11]t [31.12].
Passiamo ora a considerare il caso delle coniche euclidee. Le definizioni di rango,
di conica non degenere, degenere, semplicemente o doppiamente degenere, hanno
ovviamente senso anche in questo caso. Ha pure senso la definizione di conica
a centro, di parabola, di ellisse e di iperbole.
31.3 TEOREMA Ogni conica  di E 2 è congruente a una delle seguenti:
X2 y2
-+-=1
a 2 b 2
(a > b > O)
ellisse
X2 y2
-+-= -1 (a > b>O)
a 2 b 2
ellisse a punti non reali

366
Curve algebriche piane
X2 y 2
-+-=0
a 2 b 2
(a > b > O) ellisse degenere
X2 y2
---=1
a 2 b 2
(a > O, b > O) iperbole
X2 y2
---=0
a 2 b 2
(a > b > O) iperbole degenere
y2-2pX=0
y2 _ a 2 = O
(p > O) parabola
y2 + a 2 = O
(a > O) ]
parabole degeneri
(a > O)
y2=0
conica doppiamente degenere.
Le coniche precedenti sono a due a due non congruenti.
Dimostrazione
Supponiamo che _ abbia equazione [31.1].. Un'isometria modifica l'equa-
zione di _Cf! mediante la sostituzione [31.3] in cui M è una matrice ortogonale.
Potremo quindi procedere come neIIa dimostrazione del teorema 31.1, avendo
però a disposizione solo cambiamenti di coordinate in cui la matrice M è orto-
gonale.
Per il primo passo della dimostrazione (eliminazione del termine 2a I2 XY) pos-
siamo utilizzare il teorema spettrale (teorema 22.3) per diagonalizzare la matrice
Ao: questo teorema afferma che esiste M E O (2) tale che la sostituzione [31.3] tra-
sformi l'equazione [31.1] nella [31.6] in cui Ho è una matrice diagonale; gli ele-
menti diagonali di Bo sono gli autovalori di Ao.
Possiamo quindi supporre che  abbia equazione [31.9] con alI ed a 22 non
entrambi nulli. Il secondo passo della dimostrazione del teorema 31.1 si può ripe-
tere parola per parola anche nel nostro caso. Possiamo quindi ricondurci ad un'e-
quazione della forma [31.10], [31.11] o [31.12].
A questo punto non è difficile riconoscere che queste equazioni, ove si sosti-
tuiscano le variabili X', Y' ed X", Y" con X, y, sono quelle dell' enunciato.
Consideriamo infatti la [31.10]. Se c oo  O possiamo dividere per  l e otte-
nere l'equazione di un'ellisse, o di un'ellisse a punti non reali, o di un'iperbole
a seconda del segno dei coefficienti di X 2 e di y2, e a meno di uno scambio di
assi (che è un'isometria). Se invece c oo = O otteniamo un'ellisse degenere oppure
un'iperbole degenere.
Le equazioni [31.11] e [31.12] si trattano allo stesso modo.
Il terzo passo della dimostrazione del teorema 31.1 (normalizzazione dei coef-
ficienti) non ha senso nel caso euclideo, perché le trasformazioni utilizzate non
sono ortogonali e quindi le equazioni [31.10], [31.11] e [31.12] non sono ulterior-
mente riducibili. Questo conclude la dimostrazione.

31/Classijicazione di coniche affini e coniche euclidee
367
Dal teorema 31.3 segue che in E 2 ci sono infinite classi di congruenza di coni-
che, contrariamente a quanto avviene per le classi di equivalenza affine, che sono
in numero finito: esse sono rappresentate dalle coniche dell'enunciato al variare
dei parametri o, b e p che vi compaiono.
Nel prossimo paragrafo studieremo le principali proprietà geometriche delle
coniche euclidee.
31.4 Complementi
Una quadrica 9 di An(K) ha equazione
n n
.E ajjX} + 2 .D. aijXi + 2 .E OOjX j + 0 00 == O,
)=1 ]l<)n )=1
[31 .16]
in cui non sono tutti nulli i coefficienti dei termini di secondo grado, cioè i coeffi-
cienti aij' con l '5: i < j < n. Ponendo Ojj = a u ' per O < i <j < n, all'equazione
[31.16] è associata la matrice simmetrica A == (oij). Con notazione matriciale pos-
siamo riscrivere l' equaiione [31.16] nella forma seguente:
1
XI
(1 XI X 2 ... X n ) A X 2 = O.
[31.17]
X n
Ponendo x.= t(X 1 ... X n ), e introducendo nuove variabili Y == t(Y} ... Y n ), una
affinità di An(K) corrisponde alla sostituzione X == MY + c, dove MEGLn(K),
c = t(c i ... c n ) E Kn, e trasforma l'equazione [31.16] in quella di una quadrica affi-
nemente equivalente a g. Scrivendo la sostituzione nella forma equivalente
l 1
Xl Y I
X 2 ==M Y 2
X n Y n
dove
_ ( 1 O )
M = c M EGLn+i(K),

368
Curve algebriche piane
e sostituendo nella [31.17], la nuova quadrica ha equazione
1
Y 1
(1 Y I Y 2 ... Y n ) B Y2 = O,
[31.18]
Y n
dove
t - -
B = (bij):= MAM.
Quindi r(B) = r(A). Segue da ciò che il rango di A è una proprietà affine di.
9, che si chiama rango di !l2, e si denota con r(.çj). Diremo 9 non degenere
o viceversa degenere a seconda che sia r(9) = n + 1 oppure r(9) < n.
Le quadriche affini ed euclidee rispettivamente di An(K) e di En si possono
classificare con metodi sostanzialmente simili a queJli visti per le coniche. Il teo-
rema di classificazione, che include anche i casi degeneri, ha u enunciato un po'
più lungo a causa delle numerose possibilità che si presentano. Si trova comun-
que che le classi di equivalenza affine di quadriche di An(K), K algebricamente
chiuso, e di An(R), sono in numero finito. Limitandosi a considerare i soli casi
non degeneri, si hanno i seguenti risultati:
Ogni quadrica non degenere di An(K) è affinemente equivalente a una e una
sola delle seguenti:
l) K algebricamente chiuso:
n
EX-1 =0
l
i,"" I
n-I
E X- X = o.
l n ,
i= I
2) K = R:
p n
EX- E X=1
l J'
i= I j=p+ l
p = O, ..., n
p n-I
EX;- E XJ-Xn=O,
/=1 j=p+l
p = O, ..., n
(se p = O si intende che la prima somma/oria non compare).

31/Classijicazione di coniche affini e coniche euclidee
369
Ogni quadrica non degenere di E n è congruente a una e una sola delle seguenti:
p n-l
Ea.X- E a J .X } -Xn=O,
l l . 1
i= l }=p+
al > ... > a p > O
a p + l > ... > CXn>O,
al > ". > ap>O
CX p + 1 > ... > an-l> O,
p = O, ..., n
P 2 n X 2 l
a.X.- E a. .==,
t.J l l. J}
i= I }=p+ I
p = O, ..., n.
Diamo un cenno della dimostrazione dell'esistenza, senza discutere l'unicità
delle equazioni.
Iniziamo dal caso affine. Per il teorema 16.1 è possibile trovare una matrice
MEGLn(K) tale che la sostituzione X == MY trasformi la quadrica ..q in una di
equazione [31.18] tale che bij == O per l < i, j < n, i  j, cioè tale che
b oo bO]
bIO b II
B=
b no O
b on
o
b nn
Se tra i coefficienti b o , b 22 ", ..., b nn ve ne sono r non nulli, possiamo supporre
che siano i primi r, a meno di permutare le variabili. Poiché det(B)  O perché
per ipotesi 9 è non degenere, dev' essere r  n - l; ciò si verifica sviluppando
det(B) secondo l'ultima colonna.
Eseguiamo la traslazione
b Oj
Jj==Zj--, j=I,..., r,
b..
}}
Y n == Zn (nel caso r == n - l).
L'equazione [31.18] si trasforma nella
n
.E bjjZ} + c oo == O
}=I
[3 I .19]
se r == n, oppure nell'altra,
n-I
.E bjjZ} + 2b on Z n + d oo = O,
}=l
[31.20]
ser==n-l.
Supponiamo di essere nel caso [31.19]. Poiché 9 è non degenere si ha
C oo ;é o. Dividendo per - C oo possiamo supporre C oo == - 1. Se K è algebricamente
24

370
Curve algebriche piane
chiuso la sostituzione
x.
Z - )
j- h '
vb;.
il
j = l, ..., n,
trasforma la [31.19] nella prima delle due quadriche dell'enunciato (1). Se invece
K = R allora la sostituzione
x.
z.= l
) y I b.. I '
li
j= l, ..., n,
seguita, se necessario, da una permutazione delle variabili, trasforma la [31.19]
nella prima quadrica dell'enunciato (2) per qualche p.
Supponiamo ora di essere nel caso [31.20]. Poiché 9 è non degenere dev' es-
sere b on  O. Dividendo per - 2b on possiamo supporre b on = -1/2. Mediante la
traslazione
Z.=T.
J l'
j==l,..., n-l,
Zn = Tn + d oo
la [31.20] si trasforma nelI' equazione
n-I
.E bjjTJ- Tn = O.
)=-1
[31.21]
Se K è algebrìcamente chiuso, la sostituzione
X.
T - i
j - {- ,
vb..
)l
j=l, ..., n-l,
Tn == X n
trasforma la [31.21] nella seconda quadrica dell'enunciato (1). Se invece K = R,
la sostituzione
X.
T - l
j- .,
v I b:; I
)i
j=l,..., n-I,
Tn = X n ,
seguita, se necessario, da una permutazione delle variabili, trasforma la [31.21]
nella seconda quadrica dell'enunciato (2) per qualche p. Questo conclude la dimo-
strazione del teorema di classificazione nel caso affine.
Nel caso euclideo si procede in modo simile, utilizzando il teorema spettrale
invece del teorema 16.1, fino a ridursi a una delle equazioni [31.19] e [31.21]. A
questo punto, dopo aver eventualmente permutato le variabili, è facile ricono-
scere in queste equazioni quelle dell'enunciato.

32/Geomelria delle coniche euclidee
371
Esercizi
1. Sia  una conica a centro di A 2 (K), di equazione f(X, Y) = o. Dimostrare che:
a) le coordinate Xo, Yo del centro C sono individuate dalla condizione di annullare
entrambe le derivate parziali fx ed fy di f; b) C = (O, O) se e solo se f non contiene
termini di primo grado. c) Dedurre che la traslazione X = X' - Xo, Y = Y' - Yo tra-
sforma :£' in una conica la cui equazione è priva dei termini di primo grado.
2. Per ciascuna delle seguenti coniche _ di A 2 (R), determinare se _ è a centro
oppure no, e nel caso lo sia, determinare le coordinate del suo centro C; determinare
inoltre le coordinate dei punti impropri (eventualmente non reali) di 
a) X 2 + y 2 +XY+X+ Y=l
b) 5X 2 - 26XY + 5 y 2 + 72 = O
c) X 2 + y 2 - 2XY - 2 Y = O
d) 3X 2 - 8XY - 3 y2 + lO = O
e) 2 y 2 + 2v'3 XY - 2{j- X + 2 Y - 5 = O
f) 9X 2 + 16 y2 + 24XY - 40X + 30 Y = O
g) 2X 2 + 4XY + 5 y2 - 12 = O
h) 3X 2 +2XY+3y2+2V2X-2V2Y=0.
3. Si considerino le coniche di .:2 le cui equazioni sono quelle assegnate nell'esercizio
precedente. Per ognuna di esse determinare un'isometria diretta che la trasforma in
forma canonica, e la forma canonica ottenuta.
4. Dopo aver verificato che ciascuna delle seguenti coniche di A 2 (R) è degenere deter-
minare equazioni cartesiane delle rette in cui si decompone:
a) X2- y2+2X-2Y=0
b) X 2 + y2+2XY+X+Y-l =0
2 2
c) 3X 2 - v2 y2 + (3{2 - l)XY = O
d) 2X 2 + 2 y 2 + 4XY = o.
32 Geometria delle coniche euclidee
Le ellissi, iperboli e parabole euclidee furono studiate fin dall'antichità come
luoghi geometrici e come sezioni di un cono circolare con un piano, e da ciò deriva
il loro nome. Le studieremo nelle forme canoniche date dal teorema 31.3, limi-
tandoci a considerare le coniche non degeneri a punti reali.

372
Curve algef!riche piane
Ellisse
Sia  l'ellisse di E 2 di equazione
X2 y2
-+-=1
a 2 b 2 '
[32.1 ]
con a > b > O.
Se a = b l'equazione [32.1] diventa
 + y2 = a 2
e Y; è una circonferenza di centro l'origine e di raggio a.
Il supporto dell'ellisse [32.1] è contenuto nel rettangolo delimitato dalle rette
di equazioni
X=:f:a, y= :l:::b,
cioè nel sottoinsieme di E 2 costituito dai punti P(x, y) tali che
I x I s a, I y l < b.
Infatti, se P(x,y) è tale che I x I > a, allora x 2 / a 2 > 1 e quindi, essendo
y2/b 2 > O, la [32.1] non può essere soddisfatta dalle coordinate di P.
I punti di coordinate (:I::: a, O) e (O, :I::: b) appartengono a  essi sono i vertici
di 
Dalla forma dell'equazione [32.1] segue immediatamente che y; è simmetrica
rispetto all'origine e rispetto agli assi coordinati.
Se ::C è una circonferenza, ogni retta per l'origine è un suo asse di simmetria:
la verifica è un facile esercizio.
Si chiamano semiassi i quattro segmenti di estremi l'origine e uno dei vertici.
I numeri a e b sono le lunghezze dei semiassi.
Per avere un'idea della forma di  si può risolvere l'equazione [32.1] rispetto
a Y:
b r-r---
Y = :I::: - "a 2 - X 2 .
a
[32.2]
Se P(x, y) E  al variare di x tra - a e O i due valori della y dati dalla [32.2]
variano tra O e :I::: b, mentre quando x varia tra O e a essi variano tra  b e O.
La forma dell' ellisse è quella che si vede nella figura 32.1.
Posto
c = . b 2 ,
i punti di coordinate (c, O) sono i fuochi dell'ellisse, e il numero
e = c/a
[32.3]
è la sua eccentricità.

32/Geometria delle coniche euclidee
373
y
(O,b)
I (- c,O)
(- a,O)
\
(a, O)
x
(O, - b)
X=-a/e
X=a/e
Figura 32.1
Si ha sempre O :5 e < l. Se  è una circonferenza, e solo in quel caso, e = O
e i fuochi coincidono tra loro e con il centro.
Se e  O, le due rette di equazioni x= ::i: a/e sono dette direttrici dell'ellisse
(quella con segno ::i: nell'equazione si dice relativa al fuoco (:f:: c, O».
Iperbole-
Sia  l'iperbole di E 2 di equazione
x2 y2
---=1
a 2 b 2 '
[32.4]
con a > O, b > O.  è detta iperbole equilatera se a = b.
Come nel caso dell'ellisse, si vede che l'iperbole di equazione [32.4] è simme-
trica rispetto all'origine e rispetto ai due assi coordinati.
L'asse di simmetria Y = O incontra  nei punti (:f:: a, O), che si chiamano vertici
di  Invece l'asse di equazione X = O non incontra 
Dall'equazione [32.4] segue subito che nessun punto P(x, y) per cui si abbia
t.x I < a appartiene a  quindi  è contenuta nei due semipiani 1: _ e 1: + ,
definiti rispettivamente dalle condizioni x < - a e x 2: a. I sottoÌI:tsiepri  n 1: +
e  n 1:_ sono i rami dell'iperbole.
Risolvendo la [32.4] rispetto alla Y troviamo
Y = :f::  X2 - a 2 .
a-
Poiché per ogni x tale che I x I > I a I si ha
  x 2 - 0 2 I < I t;: I,

374
y
Curve algebriche piane
x
X= -aIe X=ale
Figura 32.2
:c è contenuta nel sottoinsieme di E 2 definito dalla disequazione
I Y I <: I b; .
Le due rette di equazioni
Y = ::I: bX
a
sono gli asintoti di . La forma dell'iperbole è illustrata nella figura 32.2.
Posto
c = ..J a 2 + b 2 ,
i punti di coordinate (::I: c, O) si dicono fuochi di :c.
Il numero
[32.5]
e = cl a
è l'eccentricità di  e le rette di equazioni
X=::I:
e
sono le sue direttrici (quella con segno ::I: nell'equazione si dice relativa al fuoco
(::i: c, O». Si noti che e> l.
Parabola
Consideriamo la parabola  di E 2 di equazione
y 2 = 2pX,
[32.6]
con p > o.

32/Geomeiria delle coniche euclidee
375
Poiché nella [32.6] l'unico termine in cui compare la Y è y 2 ,  è simme-
trica rispetto all'asse Y = o. Questa retta incontra :t: nell'origine, che è detta
vertice di 
Dall'equazione [32.6] segue immediatamente che :£' non ha punti P(x, y) tali
che x< O, e quindi è contenuta nel semipiano definito dalla condizione x > O. Risol-
vendo la [32.6 ] risp etto a Y otteniamo
Y = -:J= -v 2pX .
Deduciamo che se x varia da O a + 00 e P(x, y) E  allora y varia da O a ::i: 00
(fig. 32.3).
Il punto di coordinate (P/2, O) è il fuoco di  e la retta di equazione
X = - p/2
è la sua direttrice. L'eccentricità di :t: è per definizione e = l .
Descriveremo ora alcune proprietà geometriche di ellisse, iperbole e parabola,
le cosiddette proprietà foca/i, che permettono di ottenerle come luoghi geome-
trici. La prima caratterizzazione riguarda ellissi e iperboli.
32.1 PROPOSIZIONE L'ellisse [32.1] (/'iperbo/e [32.4]) ha per supporto il luogo
dei punti di E 2 le cui distanze dai due fuochi hanno somma (differenza) costante
(costante in valore assoluto), uguale a 2a.
Dimostrazione
Denotiamo con F ed F' , rispettivamente, i due fuochi (-:J= c, O). Per un punto
P(x, y) la condizione
f d(P, F) :f: d(P, F') I = 2a
[32.7]
si tradu ce nella cond izione
v (x - C)2 + y2 ::I: -v (x + C)2 + y2 = 2a.
[32.8]
Portando il secondo radicale a secondo membro ed elevando due volte al qua-
drato per eliminare i radicali, si arriva all'identità
x2 y2
- + = l, [32.9]
a 2 (a 2 - c 2 )
la quale rappresenta la [32.1] oppure la [32.4], a seconda che c sia dato dalla [32.3]
oppure dalla [32.5].
Per concludere resta da verificare che il luogo rappresentato dalla [32.9], il quale
certamente contiene quello rappresentato dalla [32.7], coincide con esso. A que-
sto proposito notiamo che il procedimento di passaggio dalla [32.8] alla [32.9]
è reversibile, a meno di ambiguità dei segni dei radicali. Pertanto basta osservare
che la condizione c < a (c > a) è compatibile solo con la [32.7] in cui si prenda
il segno + (il segno -).

376
x= -p/2
Curve algebriche piane
y
x
Figura 32.3
Un'altra caratterizzazione delle coniche come luoghi geometrici è data dalla
proposizione seguente.
32.2 PROPOSIZIONE L'ellisse [32.1], l'iperbole [32.4], la parabola [32.6] hanno
per supporto il luogo dei punti le cui distanze da un fuoco e dalla relativa diret-
trice hanno rapporto costante, uguale all'eccentricità della rispettiva conica.
Dimostrazione
Consideriamo il caso di ellisse e iperbole. Per un punto P(x, y) la condizione
dell'enu nciato è
..J (x T C)2 + y2
I x T al e I
= e,
che è equivalente a quella che si ottiene elevando al quadrato:
(x T C)2 + y2 = (ex T a)2,
ovvero a
x 2 (1 - e 2 ) + y2 = 2(c - ea)x + a 2 - c 2 ,
che è appunto l'equazione [32.1] oppure [32.4].
Nel caso della parabola si procede nello stesso modo.
32.3 Complementi
1. La proposizione 32.2 si presta a fornire una nuova rappresentazione anali-
tica delle coniche, nel modo seguente. Supponiamo che la conica Y; abbia eccen-
tricità e > O, e siano F ed  rispettivamente un suo fuoco e la relativa direttrice
(fig. 32.4). Sia J." la retta per F perpendicolare a , e Fo =  n J.--. Si ha
d = d(F,  ) = d(F, Fo).

32/Geometria delle coniche euclidee
377
p

Fo
Figura 32.4
Poniamo
 
n = FFol Il FFoli.
Per ogni PEE 2 abbiamo
 --+  --+
(FP + PFo).n = FFo.n = IIFFoli = d,
cioè
 
PFo.n = d - FP.n;

poiché I PFo.n I = d(P,  ), otteniamo

d(P,  ) = I d - FP.n I.
Da quest'identità e dalla proposizione 32.2 deduciamo che i punti PE  sono
precisamente quelli che soddisfano la seguente equazione:
 
IlFPII =eld-FP.nl.
[32.10]
Supponiamo F = O e che la retta  abbia equazione X = d. Allora
n = E 1 = (1, O), e, dette (p, O) le coordinate polari di P, la [32.10] si traduce nel-
l'equazione in p, (}:
p = e l d - pcos(} I.
[32.11]
Per eliminare dall'equazione il segno di modulo, dobbiamo distinguere due casi.
Se P ed F sono nello stesso semipiano rispetto a , allora pcos(} < d, e la [32.11]
è equivalente a
p = e(d - pcos8),
che, risolvendo rispetto a p, può essere riscritta nella forma
p=
ed
ecos(} + l
[32.12]

378
Curve algebriche piane
Se invece Ped Fsono in semipiani distinti, allora pcos(J > d, e la [32.11] è equi-
valente a
p = e(pcos(} - d),
che, risolta rispetto a p, prende la forma
ed
p= .
ecos(} - l
Questo secondo caso è possibile solo se e> l, cioè se  è un'Ìperpole: in tal
caso . possiede due rami, di equazioni rispettivamente [32.13] e [32.12]. Se invece
O < e < l, allora _ è un'ellisse oppure una parabola: in questo caso  possiede
un solo ramo, situato nello stesso semipiano di F rispetto a , e avente equazione
[32.12]. Riassumendo abbiamo il seguente risultato.
[32.13]
Sia !if una conica di eccentricità e, avente un fuoco fnell'origine e per relativa
direttrice la retta  di equazione X = d. Se O < e :5 l, ::c è un 'ellisse o una para-
bola, e i suoi punti hanno coordinate polari che soddisfano /'equazione
ed
p= .
ecos(J + l
Se e > 1, _Cf! è un 'iperbo/e, i cui due rami, giacenti nei due semipiani definiti
da , sono costituiti dai punti le cui coordinate polari soddisfano le equazioni
ed
p=
ecos(} + l
ed
p=
ecos(} -1
dette equazioni polari della conica.
2. Consideriamo una circonferenza :c C E 2 di centro il punto (x o , yo) e raggio
r > O; essa ha equazione
(X - XO)2 + (Y - YO)2 = r 2 ,
[32.14]
cioè
x 2 + .y2 + 2a Ol X + 2a 02 Y + 0 00 = O,
dove 001 = - Xo, a 02 = - Yo, a oo = x + y - r 2 . In particolare si ha
oJ + a2 - a oo > O.
[32.15]
[32.16]
Viceversa una conica di equazione [32.15] e tale che sia verificata la [32.16]
è una circonferenza. Infatti la [32.15] si può scrivere nella forma [32.14] con

32/Geometria delle coniche euc/idee
379
y
y
(a)
(b)
z
y
(c)
(d)
y
(e)
Figura 32.5
2 2 2 . d . CL;:? , ..c d .
Xo = - a Ol , Yo:= - a 02 , r = a 01 + a 02 - a oo , e qUln I .Ja e una clfconlerenza l
centro (x o , Yo) e raggio r.
Si noti che i punti impropri della circonferenza [32.15] sono i due punti non
reali [O, 1, :f:: i], che sono chiamati punti ciclici del piano euclideo E 2 .
Si verifica subito che una conica  di equazione
a u X 2 + a 22 y 2 + 2aI2XY + 2a 01 X + 2a 02 Y + a oo = O
passa per i punti ciclici se e solo se alI = a 22 , 012 = o. Quindi, supponendo
a u = 022 = 1 dopo aver eventualmente diviso per all' se anche la [32.16] è soddi-

380
Curve algebriche piane
sfatta  è una circonferenza. Se invece si ha
aI + a2 - a oo = O,
 è una circonferenza degenere (caso particolare dell'ellisse degenere), e se si ha
aI + a2 - aoo < O,
!£ è una circonferenza di raggio immaginario (caso particolare dell'ellisse a punti
non reali).
In particolare una conica non degenere con almeno un punto reale e passante
per i punti ciclici è una circonferenza.
3. Nel caso particolare di E 3 il teorema di classificazione delle quadriche eucli-
dee (cfr. 31.4) afferma che ogni quadrica non degenere di E 3 a punti reali è con-
gruente a una delle seguenti 5 forme canoniche (fig. 32.5):
a)
x 2 y2 Z2
-+-+-=1
a 2 b 2 c 2
(a > b > c > O)
ellissoide
b)
x 2 y2 Z2
-+---==1
a 2 b 2 c 2
(a > b > O, c > O)
iperboloide iperbolico
(a una falda)
c)
x 2 y2 Z2
-----=1
a 2 b 2 c 2
(a > O, b > c > O)
iperboloide ellittico
(a due falde)
d) X2 y2 (a > b > O) paraboloide ellittico
-+--z=o
a 2 b 2
X2 y2 paraboloide
e) ----z=o (a, b > O) iperbolico.
a 2 b 2
Esercizi
l. Dimostrare che una circonferenza ha ogni retta contenente il suo centro come asse
di simmetria.
2. Calcolare coordinate dei fuochi, eccentricità ed equazioni delle direttrici delle coniche
di equazioni
x2 y2
a) -+-=1
9 4
b) X 2 _ y2 = l
2
c) y2=4X.

33/Intersezione di due curve: proprietà elementari
381
33 Intersezione di due curve: proprietà elementari
In questo paragrafo supporremo K algebricamente chiuso, salvo avviso con-
trario ·
Consideriamo una curva algebrica affine  di grado n in A 2 = A 2(K), di
equazione
f(X, Y) = o.
[33.1 ]
:c si dice irriducibile sef(X, Y) è un polinomio irriducibile di K[X, Y]; altri-
menti si dice riducibile.
Sia data una curva . riducibile; se il polinomio f si fattorizza come
f(X, Y) =J;(X, Y) ...fk(X, Y),
allora, dette , ...,  le curve di equazioni
[33.2]
fl(X, Y)=O,
[33.3]
fk(X, Y) = O,
sussiste, tra i supporti, la relazione
. = _ U ... U .
Infatti, stante la [33.2], ogni soluzione (x, y) dell'equazione [33.1] è necessa-
riamente soluzione di almeno ùna delle equazioni [33.3], e viceversa. Scriveremo
 ==  + ... + 
[33.4]
per esprimere il fatto che si ha la decomposizione [33.2].
Se la [33.2] è la decomposizione di f(X, Y) in fattori irriducibili, le curve irri-
ducibili , ...,  si dicono componenti irriducibili di 
Se Jj (X, Y) è un fattore multiplo di f(X, Y) di molteplicità Jlj' la .corri-
spondente componente irriducibile di .Cff è detta componente multipla di molte-
plicità Jlj.
La curva  si dice ridotta se non possiede componenti multiple.
Ad esempio, una conica è irriducibile se e solo se è non degenere. Una conica
semplicemente degenere possiede due componenti irriducibili distinte che sono due
rette, mentre una conica doppiamente degenere è non ridotta, essendo costituita
da una retta con molteplicità 2.
Utilizzando i risultati dell'appendice A (pp. 435-37) è immediato verificare che
una curva :t: è irriducibile se e solo se lo è ogni curva ad essa affinemente equi-
valente. Quindi riducibilità e irriducibilità sono proprietà affini.

382
Curve algebriche piane
Analogamente, sono proprietà affini di una curva numero, grado e moltepli-
cità delle sue componenti irriducibili.
Con ovvie modifiche, le nozioni che abbiamo introdotto per le curve affini (irri-
ducibilità, componenti irriducibili ecc.) si possono dare per le curve algebriche
proiettive. Si dimostra allora che riducibilità e irriducibilità, numero, grado e mol-
teplicità delle componenti irriducibili di una curva :e di p2 sono proprietà
proiettive.
Evidentemente il grado di una curva è uguale alla somma dei gradi delle sue
componenti irriducibili, purché ogni componente venga contata un numero di volte
pari alla sua molteplicità: infatti la stessa proprietà vale per i poli nomi.
La teoria delle curve algebriche piane dipende in buona parte dallo studio delle
intersezioni di due curve. Ciò corrisponde algebricamente a risolvere un sistema
di due equazioni polinomiali. In quanto segue ci limiteremo a trattare aspetti ele-
mentari dal problema.
33.1 TEOREMA Siano  e g curve algebriche piane, affini o proiettive,
di gradi n ed m rispettivamente. Se  e g non hanno infiniti punti in comune,
esse hanno al più nm punti in comune.
Se :c e . sono curve proiettive, esse hanno almeno un punto in comune.
Dimostrazione
Se  e 9 sono curve affini aventi un numero finito di punti in comune,
anche le loro chiusure proiettive hanno un numero finito di punti in comune. Pos-
siamo dunque limitarci a dimostrare l'asserto nel caso proiettivo. È evidente inol-
tre che non è restrittivo sostituire !C c g con due curve loro trasformate mediante
una (e la stessa) proiettività.
Siano dunque   C p2, e IP I , ..., P N } = _)fn .. Per ognij;é k, sia jk
la retta per Pj e P k . Poiché esiste almeno un punto di p2 non appartenente alla
curva riducibile :c + g + Ejk ik' possiamo supporre, eventualmente utilizzando
una proiettività per trasformare :é' e [:g, che [O, O, l]   + g + E;k ik.
Siano
F(X o , XI' XJ = O, G(Xo, XI' X 2 ) = O
equazioni di !ff e di .qJ rispettivamente, dove
F(X o , Xl' X 2 ) = An(XO' XI) + An-I (X o , X I )X 2 + ... + AoX,
G(X O ' XI' X 2 ) = Bm(XO' XI) + Bm-1(X O ' X I )X 2 + ... + BoXf,
con Ah' BkE K[XO' XI] omogenei di grado h, k rispettivamente.
Sia R(X o , XI) il risultante di F e G rispetto a X 2 . Poiché [O, O, 1]  U PZ, si
ha AoBo;é O, e di conseguenza, per ogni Xo, Xl E K, i polinomi in X 2 F(x o , XI' XJ e
G(x o , XI' XJ hanno grado effettivo n ed m rispettivamente. Pertanto, per ogni
XO' Xl E K, R(x o , Xl) è il risultante di F(x o , XI' XJ e G(xo, XI' X 2 ).

33/Intersezione di due curve: proprietà elementari
383
Se [X o , XI' x:J E .)f n , si ha R (x o , XI) = O perché F(x o , XI' XJ e G (X o , Xl' XJ
hanno la radice comune x 2 . Viceversa, ad ogni (X o, XI) tale che R(x o , XI) = O
corrisponde almeno una radice comune X 2 di F(xo, XI' XJ e G(xo, XI' XJ che defi-
nisce un punto [X o , XI' XJ E Yt (ì 0. . Quindi, poiché R (X o , XI) ha almeno una
radice, :c (ì f:g  0.
Poiché :Cn.r;g è finito, R(X o , XI) non si annulla identicamente. Dal teorema
A.18 segue che R(X o , XI) è omogeneo di grado nm. Poiché R(X o , XI) possiede
al più nm radici distinte, per concludere la dimostrazione sarà sufficiente far vedere
che, per ogni radice (X o , XI) di R (X o , XI)' esiste al più un punto [X o , XI'
X 2 ] E!Cn (:$.
Ma se [X o , Xl' X 2 ], [X o , XI' y:J E :c n , x 2 -# Y2, la retta che contiene questi due
punti passa per [O, O, 1], e ciò contraddice l'ipotesi.
È possibile che due curve !tf e 9 abbiano meno di nm punti in comune anche
nel caso proiettivo; ciò apparirà chiaro man mano che procederemo nella discus-
sione, e diversi esempi ci si presenteranno. Nel caso particolare in cui 9 è una
retta, il teorema afferma che !f! e g hanno al più n punti in comune.
Ovviamente nel caso affine due curve possono non avere alcun punto in comune
(si pensi a due rette parallele).
Si noti anche che se K non è algebricamente chiuso due curve proiettive possono
non avere punti in comune. Ad esempio la conica X + X j 2 + X 2 2 = O di p2(R)
non ha punti reali e quindi ha intersezione vuota con ogni curva.
È possibile introdurre in modo opportuno una nozione di "molteplicità di inter-
sezione" di due curve in un loro punto comune. Una versione più precisa del teo-
rema 33.1, il teorema di Bezout, afferma che due curve proiettive che non hanno
infiniti punti in comune ne hanno precisamente nm, purché ognuno di essi venga
contato con la sua molteplicità di intersezione. La dimostrazione del teorema di
Bezout è alquanto più delicata e verrà data solo nell'ipotesi che una delle due curve
sia una retta.
Consideriamo ora il caso in cui _ e .g hanno infiniti punti in comune.
33.2 TEOREMA Siano. e .?J curve algebriche piane, affini o proiettive,
con .r;» irriducibile. Se Y! e 9 hanno infiniti punti in comune, g è una com-
ponente irriducibile di ce.
Dimostrazione
Daremo la dimostrazione nel caso affine, lasciando al lettore la facile estensione
a quello proiettivo.
Supponiamo dapprima che g sia una retta t-, di equazione
aX + bY + c= O
[33.5]
e che _ abbia equazione [33.1]. I punti di t- (ì _ corrispondono alle solu-

384
Curve algebriche piane
zioDÌ del sistema costituito dalla [33.1] e dalla [33.5]. Supponiamo b # O (il
caso b = O si tratta nello stesso modo, scambiando X e Y). Sostituendo
Y = - b-1aX - b-le nella [33.1] otteniamo un'equazione in X:
Aoxn + A 1 xn -1 + ... + An = O,
[33.6]
dove
Aoxn + AIX n - l + ... +An =f{X, - b-laX - b-le).
[33. 7]
Ogni soluzione della [33.6], sostituita nella [33.5], formsce le coordinate di uno
dei punti di  n  e tutti i punti di  n Yf sono ottenuti in questo modo. La
condizione che  e Yt abbiano infiniti punti in comune è pertanto equivalente
a quella che il polinomio [33.7] sia identicamente nullo.
D'altra parte,  è una componente irriducibile di Yf se e solo se il polinomio
Y + b-1aX + b-le divide f(X, Y), cioè se si ha
f(X, Y) = (Y + b-1aX + b-.1e)h{X, Y)
per un opportuno h (X, Y) E K [X, Y]. Sostituendo a primo e secondo membro di
questa identità - (b- 1 aX + b-Ie) al posto di Y, si deduce che la condizione detta
è equivalente alla condizione
f(X, - (b-laX + b-Ie» = O.
Ma il primo membro è il poIinomio [33.7], il cui annullarsi equivale alla condizione
che  e Yt abbiano infiniti punti in comune. Ciò dimostra il teorema nel caso
in cui , è una retta.
Consideriamo ora il caso generale. Supponiamo che  e ,92 abbiano rispetti-
vamente equazione
f{X, Y) = O, g{X, Y) = O,
conf(X, Y), g{X, Y) E K [X, Y] non costanti, e g{X t Y) irriducibile. Se f{X, Y)
è costante rispetto a Y,  consiste di un numero finito di rette parallele all'asse
Y. In questo caso !:» interseca una almeno di queste rette in infiniti punti, e quindi
la ha come componente irriducibile. Ma 9, essendo irriducibile, coincide con una
di tali rette, e quindi è una componente irriducibile di 
Sef{X, Y) non è costante rispetto a Y, consideriamof(X, Y) e g{X, Y) come
elementi di D[Y], dove D = K[X], e denotiamo con F il campo dei quozienti di
D. Supponiamo per assurdo che g{X, Y) non dividaf{X, Y). AIloraf(X, Y) e
g(X, Y) sono privi di fattori comuni non costanti rispetto a Y, cioè in D[Y] non
hanno fattori comuni non costanti. Per la proposizione A.16, f{X, Y) e
g(X, Y) non hanno fattori comuni non costanti in F[Y], cioè MCD(f, g) = l in
F[Y). Per le proprietà del MCD esistono A, BE F[Y] tali che
l =Af+Bg.
[33.8]

33/Intersezione di due curve: proprietà elementari
385
Poiché F è il campo dei quozienti di K[X], esiste h E K[X], h # O, tale che Ah
e Rh appartengano entrambi a K[X]. Moltiplicando primo e secondo membro
della [33.8] per h si ottiene l'identità
h = (Ah)f + (Bh)g.
[33.9]
Dalla [33.9] deduciamo che ogni punto comune a  e çg appartiene alla
curva ,C$ di equazione h = O. Quindi çg e 5tP hanno infiniti punti in comune,
perché infiniti ne hanno  ed 9; poiché _ è un'unione di rette parallele
all'asse Y, ragionando come sopra si deduce che g è una retta. Per la prima
parte della dimostrazione çg è una componente irriducibile di  e questa è
una contraddizione.
33.3 COROLLARIO Se due curve (affini o proiettive) di gradi m ed n rispetti-
vamente hanno mn + l punti in comune, al/ora hanno una componente irriduci-
bile in comune.
Dimostrazione
Siano Y; e 9 le due curve.. Dal teorema 33.1 discende che esse hanno in
comune infiniti punti. Poiché  ha un numero finito di componenti irriduci-
bili, una almeno di esse, .', ha infiniti punti in comune con :£. Per il teorema
33.2 g' è una componente irriducibile di ,c;;:
Consideriamo una curva ::c C p2 di grado n di equazione
F(X o , XI' X 2 ) = O
[33.10]
e sia  una retta, assegnata mediante due suoi punti distinti P = [Po, Pl' P2], e
Q = [qo, q), q2]. Il punto variabile su  è
[APO + p,qo, API + p.,ql' AP2 + P,q2].
[33.11]
Denoteremo tale punto con AP + p,Q. Esso appartiene a ::C se e solo se
F(APO + p,qo, API + p,qJ, AP2 + p,q;) = O
[33.12]
ovvero, più sinteticamente, se
F(AP + p, Q) = o.
La [33.12] è un'equazione omogenea di grado n in A, p" le cui soluzioni, sosti-
tuite nella [33.11], determinano i punti di  n :£. Segue dal teorema 33.2 che.
il primo membro della [33.12] si annulla identicamente se e solo se  è una com-
ponente irriducibile di 
Assegnando due ulteriori punti p' [p, p{ , p;], Q' [q, q{ , q2'] E , ed espri-
mendo il punto variabile su  come
A' p' + p, I Q' = [A I P + p,' q, À' p{ + p.' q[, A/p; + p,' q{],
[33.13]
25

386
Curve algebriche piane
si ottengono i punti di  (ì  anche sostituendo nella [33.13] le soluzioni dell'e-
.
quazlone
F(À/ P' + /L' Q') = O.
[33.14]
Ma À.P + JLQ = À,' P' + Il' Q' se e solo se esiste una matrice A = (aij) E GL 2 (K)
tale che
aÀ.=aIIA' +a I2 P'
ap, = a 21 A' + a 22 /L'
[33.15]
per qualche a # o. Quindi, a meno di un fattore a n , la sostituzione [33.15] tra-
sforma l'equazione [33.12] nella [33.14]. Poiché la [33.15] è invertibile, essa fa cor-
rispondere biunivocamente i fattori irriducibili dei due polinomi F(AP + p,Q) e
F(A' P' + IL' Q'), e quindi le soluzioni delle due equazioni si corrispondono biuni-
vocamente in modo che quelle tra loro corrispondenti (che definiscono lo stesso
punto di  (ì jf) abbiano la stessa molteplicità. In particolare la molteplicità della
radice della [33.12] corrispondente a un determinato punto di  n  dipende solo
dal punto e non da P e Q.
Le osservazioni precedenti consentono di dare la seguente definizione.
33.4 DEFINIZIONE Siano  e ::£ una retta e una curva di P2. Con le nota-
zioni testé introdotte, diremo che  e :c hanno molteplicità di intersezione
I(:ff: ; Po) nel punto Po == ÌvoP + JLoQE , se (A o , Po) è una radice di molteplicità
I(!C, ; PJ del polinomio F(AP + pQ), convenendo di porre I(:ff: ; PJ = O nel
caso in cui Po (ì , e l(:ff: ; Po) = ex> se t- C :e.
Come abbiamo appena verificato, la molteplicità di intersezione così definita
non dipende dalla scelta dei due punti P e Q su , e quindi la definizione è ben
posta. Il seguente teorema è un caso particolare del teorema di Bezout, cui abbiamo
accennato precedentemente.
33.5 TEOREMA Siano:£ C p2 una curva di grado n ed  una retta che non
è sua componente. Allora
 I(:ff: t-; Pc) = n.
PoEz,
[33.16]
Dimostrazione
Supponiamo che jf abbia equazione [33.10] e che  sia individuata dai punti
p e Q.. La sommatoria a primo membro della [33.16] consiste di infiniti addendi,
di cui solo un numero finito sono diversi da zero, ed è uguale alla somma delle
molteplicità delle radici del polinomio F(AP + /LQ). Poiché questo polinomio è
omogeneo di grado n, l'asserto segue dalla proposizione A.13..

33/Intersezione di due curve: proprielà elementari
387
La nozione di molteplicità di intersezione di una retta e di una curva in un punto
si può dare anche nel caso affine, in modo simile al precedente.
Se la curva  C A 2 ha equazione [33.1], e la retta  ha equazioni parame-
triche
x = a + Lt
y= b+Mt,
[33.17]
sostituendo le [33.17] nella [33.1] si ottiene l'equazione in t
f(a + Lt, b"+ Mt) = O,
le cui soluzioni, sostituite nelle [33.17], determinano le coordinate dei punti di inter-
sezione di :tf ed .
33.6 DEFINIZIONE Siano  e  rispettivamente una retta e una curva di
A 2. Con le notazioni introdotte sopra, diremo che  e :t! hanno molteplicità di
intersezione I( ; Po) nel punto Po = (a + Lt o , b + Mt o ) E  se t o è una radice
di molteplicità I(:J!, ; Po) del polinomio f(a + Lt, b + Mt), convenendo di porre
I(C£, ; Po) .. O nel caso in cui Po" ::c n , e I( ; Po} = 00 se  C 
Riducendosi al caso proiettivo si può verificare che la definizione 33.6 è ben posta.
Consideriamo infatti le chiusure proiettive  * ed * di !f! e di  rispettiva-
mente. La curva * abbia equazione [33.10]. La retta * ha equazioni parame-
triche
Xo == À.
XI = aÀ. + Lp,
x 2 =bÀ.+Mp
perché contiene [I, a, b] e il punto improprio [O, L, M]. Sostituendo le [33.18] in
F(X o , XI' XJ si ottiene un polinomio omogeneo in À. e J.t
[33.18]
F(À., aÀ. + Lp" bA + M p,)
tale che
F(I, a + Lt, b + Mt) =f(a + LI, b + Mt).
[33.19]
Poiché I(:t!*, *; Po} è per definizione la molteplicità della radice (1, fo) per
F(À., aÀ. + Lp" bÀ. + Mp,), vediamo che
I(Y!, ; Po) = I(:t! *, *; Po)
[33.20]
e quindi la definizione di I( ; Po) è ben posta perché 1(::£*, *; Po) dipende
solo da   e Po.

.388
Curve algebriche piane
Si osservi che, posto Pc» = [O, L, M], il punto improprio di , 1(:£*, *; P)
è uguale alla massima potenza di Àche divideF(A, aÀ + Lp., bÀ + Mp,). Dalla [33.19]
segue che il grado in t di f(a + Lt, b + MI) è n - I(*, *; P). In particolare
l'analogo del teorema 33.5 non è necessariamente vero nel caso affine, perché in
generale si può avere 1(:£*, *; P) > O.
Il teorema seguente è una conseguenza immediata di quanto abbiamo osservato
e del teorema 33.5.
33.7 TEOREMA Siano  C A 2 una curva di grado n ed  una retta non con-
tenuta in  Al/ora
E I( ; P) < n
PEt
e /'uguaglianza vale se e solo se il punto improprio di  non è punto improprio
di :c.
33.8 C>sservazioni
1. Dalla [33.20] segue che le definizioni 33.4 e 33..6 sono equivalenti, nel senso
che, per calcolare la molteplicità di intersezione di una curva (affine o proiettiva)
e di una retta in un punto proprio P, si può utilizzare indifferentemente una delle
due definizioni, a seconda che si vogliano utilizzare coordinate omogenee o coor-
dinate non omogenee.
Il teorema 33.7 e le osservazioni che lo precedono mostrano inoltre che, con
le notazioni introdotte poc'anzi, si ha
I(*, *; Pr») = n - gr[f(a + Lt, b + MI)]
[33.21]
dove a secondo membro si intende il grado in t di f(a + LI, b + Mt).
2. Se  e 9 sono curve affini o proiettive,  una retta che non è compo-
nente né di Y; né di , e Po E, si ha
I( ; Po} + I(g, ; Po) = I( + ., ; P o ).
[33.22]
Consideriamo il caso affine (nel caso proiettivo la dimostrazione è simile): sup-
poniamo che :e e ,g abbiano equazioni
f(X, Y) = O, g(X, Y) = O
rispettivamente, e che  abbia equazioni parametriche [33.17].
La [33.22] esprime semplicemente il fatto che la molteplicità di una radice t o
del polinomio
f(a + Lt, b + Mt) g(a + Lt, b + Mt)
,uguaglia la somma delle molteplicità di t o per ognuno dei fattori f(a + Lt,
b + MI) e g(a + Lt, b + MI).

33/Intersezione di due curve: proprietà elementari
389
Terminiamo il paragrafo con un utile risultato che mette in relazione le molte-
plicità di intersezione di curve e rette proiettivamente equivalenti.
33.9 PROPOSIZIONE Siano  e  rispettivamente una retta e una curva di
p2, e sia T: p2 -+ p2 una proiettività. Per ogni PE  si ha
l( ; P) = I(T(), T(); T(P».
[33.23]
Dimostrazione
Se Pt  (ì  T(P) E T(t-) n T(:C) e quindi primo e secondo membro della
[33.23] sono uguali a o.
Supponiamo che P[po' PI' P2] E  n e sia Q[qo, q), q2] # P un altro punto
di . Sia N = (n ik ) E GL 3 (K) una matrice che rappresenta T. Se  ha equazione
[33.10], T(.5f) è la curva di equazione
G(X o , XI' X 2 ) = O,
dove
G(X o , XI' XJ = G(X) = F(N-1X).
Inoltre si ha
T(P) = N
= [noopo + nOIPJ + n 02 P2, nIOPo + nllPI + n I2 P2, n 20 po + nZIPI + n 22 P2].
qo
T(Q) = N ql
q2
= [nooqo + nOJ qI + n o2 Q2' nlOqo + n lI qI + n 12 q2, n 20 qo + n 21 qI + n 2 2q2].
Poiché T() è la retta che contiene T(P) e T(Q), i suoi punti sono della forma
Po
qo
+ Il N qI = N("AP + JlQ), (À, p,) # (O, O).
"AT(P) + p,T(Q) = À N
P2
q2
Si ha quindi
G(À T(P) + p, T(Q» = G(N(''AP + p,Q» = F(N- 1 (N(ÀP + JlQ)}) =
= F(ÀP + Il Q».

390
Curve algebriche piane
Da quest'identità segue che la molteplicità della radice (À, p.) = (1, O) per il poIi-
nomio G(À T(P) + p. T(Q» e quella della stessa radice (1, O) per F("AP + p, Q» sono
uguali perché i due polinomi coincidono. Ma queste due molteplicità sono rispet-
tivamente I(T(_), T(); T(P» e I( ; P), e quindi la [33.23] è vera.
34 Proprietà locali delle curve algebriche piane
In questo paragrafo, come nel precedente, supporremo K algebricamente chiuso.
34.1 DEFINIZIONE Sia  una curva algebrica (affine o proiettiva) e sia P
un punto del piano. La molteplicità mp(:C ) di :e in P (o di P per :£) è il
minimo delle molteplicità di intersezione in P di _ con , al variare di i tra
tutte le rette del fascio di centro p; in simboli:
mp( ) = minpEk,I( ; P).
Poiché esistono rette contenenti P e non contenute in :e: si ha mp( ). 00,
e precisamente
o < mp(:C ) < gr(5e ), [34.1]
ed m p (9! ) = O se e solo se P :£.
Se mp( ) = l, P è un punto semplice, o non singolare, di :£.
Se mp( ) > l, P si dice punto multiplo, o singolare, di  diremo anche che
p è un punto m-up/o di :g se mp( ) == m (in particolare doppio, triplo ecc.
se m := 2, 3, ...).
La curva Y; si dice non singolare se tutti i suoi punti sono semplici, e singo-
lare se possiede almeno un punto singolare.
Se :c è una curva affine e :£ * C p2 è la sua chiusura proiettiva, dalla
[33.20] discende che per ogni PE!£ si ha mp(:e) = mp(:tf*).
Sia  una curva affine, di equazione
f(X, Y) = O,
[34.2]
e sia P= (a, b) E :£. Una retta  passante per P ha equazioni parametriche
X == a + LI
Y = b + MI
dove (L, M)  (O, O). Il punto pe:£ n  corrisponde alla radice t = O del
polinomio
[34.3]
a(t) ==f(a + Lt, b + MI),
e I( ; P) uguaglia la molteplicità di tale radice.

341Proprietà locali delle curve algebriche piane
391
Per il lemma A.9, t = O è una radice multipla se e solo se a' (O) = O, cioè se
e solo se
fx(a, b)L + fy{a, b)M = O,
[34.4]
dove"fx ed fy denotano le derivate parziali di f{X, Y) rispetto a X e a Y rispetti-
vamente. Si vede dunque che, se fx(a, b) ed fy(a, b) non sono entrambe uguali
a O, l'unica retta 7 passante per P per la quale si abbia I(:£', 7; P) > 2 è quella
per cui L ed M soddisfano la [34.4]; ogni altra retta t- per P soddisfa l{:£', ;
P) = 1. In questo caso P è un punto semplice; in caso contrario è un punto multiplo.
Riassumendo:
34.2 PROPOSIZIONE Sia Yt C A 2 la curva di equazione [34.2]. Un punto
PE AZ è semplice per :£ se e solo se PE:£' e almeno una delle derivate parziali
di f(X, Y) è diversa da zero in P.
Viceversa, P è singolare per :c se e solo se f (X, Y) ed entrambe le derivate
parziali prime di f(X, Y) si annullano in P.
Se P = (a, b) è semplice per !C C A 2 , l'unica retta 7 tale che I(:£', 7; P) > 2
si dice retta tangente a  in P.
Risolvendo la [34.4] si deduce che 7 ha il vettore di direzione
(L, M) = (fy(a, b), - fx(a, b»
e quindi la retta tangente a Y; in P ha equazione cartesiana
fx(a, b) (X - a) + fy(a, b) (Y - b) = O.
[34.5]
Consideriamo ora il caso di una curva proiettiva :£ C p2, di equazione
F(X o , XI' XJ = O,
[34.6]
e sia P = [Po, PI' pJ E - Una retta  passante per P ha equazioni parametriche
Xo = Àpo + p,qo
Xl = ÀPI + /lqI
x 2 = ÀP2 + P,Q2'
dove Q = [qo, ql, q2]  p è un altro punto di . Sostituendo nella [34.6] otte-
niamo un'equazione omogenea in À, p,:
A (À, IL) = O,
dove
A (À, p,) = F(Àpo + p,qo, ÀPI + P.qI' ÀP2 + ILq2).
Il punto PE :£'(1  corrisponde alla radice (À, p) = (1, O), ovvero, deomoge-

392
Curve a/gebriche piane
neizzando A (A, p,), alla radice t = O del polinomio
A (1, t) = F(po + tqo, PI + tqI' P2 + tq;J,
e I (.:t: ; P) è pari alla molteplicità di tale radice.
Dal lemma A.9 si deduce che t = O è una radice multipla del polinomio A(I, t)
se e solo se dA (1, t)/dt = O. Questa condizione equivale alla seguente:
Fo(P)qo + F 1 (P)ql + F 2 (P)q2 = O,
[34.7]
dove F;(P) denota la derivata parziale iJF/iJX j calcolata nel punto P.
Si vede dunque che P è punto singolare per :Jf se e solo se
Fo(P) = Fl (P) = F 2 (P) = o.
[34.8]
Infatti in questo caso, e solo in questo, la [34.7] è soddisfatta da ogni QEP2 e
quindi I(.:t: ; P) > 1 per ogni retta  passante per P.
Si noti che, posto n = gr(F), si ha
Fo(Xo, XI' XJXo + F I (X o , XI' XJXt + F 2 (X o , Xl' XJX 2 = nF(X o , XI' X 2 )
[34. 9J
(cfr. proposizione A.12(3» e quindi le condizioni [34.8] implicano anche F(P) = O,
cioè PE !ff.
Possiamo riassumere quanto detto più sopra nel seguente enunciato:
34.3 PROPOSIZIONE Sia:£ C p2 la curva di equazione [34.6]. Un punto
PE p2 è semplice per ::c se e solo se Pe :t: e almeno una delle derivate parziali
prime di F(X o , XI' XJ non si annulla in P.
Viceversa, il punto PE p2 è singolare per :tI se e solo se tutte e tre le deri-
vate parziali prime di F(X o , XI' X 2 ) sono nulle in P.
Supponiamo che P sia un punto semplice per :£ C p2, e consideriamo la retta
T di equazione
Fo(P)Xo + FI (P)X I + F 2 (P)X 2 = O.
[34.10]
Dalla [34.9] si deduce immediatamente che pe T. La [34.7] implica poi che T
è l'unica retta tale che
I(.:t: 1"; P) > l.
T si dice retta tangente a  nel suo punto semplice P.
34.4 PROPOSIZIONE Una curva irriducibile (affine o proiettiva) possiede al
più un numero finito di punti singolari.

34/Proprietà locali delle curve algebriche piane
393
Dimostrazione
Sia Y; affine di equazione [34.2]. Per la proposizione 34.2, i punti singolari
di  sono i punti comuni a :c e alle curve -)fx e 5f y , di equazioni rispettive
fx(X, Y):::: O,
fy(X, Y) = o.
Sarà quindi sufficiente dimostrare che .1rn -1fx è finito. Poiché !ff è irriduci-
bile e gr(x) < gr(5f), 5f x non può essere una componente di  Dal teorema
33.2 discende che x e ::c hanno solo un numero finito di punti in comune.
Se  è proiettiva di equazione [34.6], ed è diversa dalla retta o di equazione
Xo = O, allora !£ è la chiusura proiettiva della curva affine q di equazione
F(l, X, Y) = O,
che è ancora una curva irriducibile. I sùpporti di 5f e di g differiscono solo per
i punti di n o, che sono in numero finito; inoltre un punto di  è singolare
per !?J se e solo se lo è per  Poiché per la prima parte della dimostrazione 9
possiede al più un numero finito di punti singolari, lo stesso è vero per 
Se PE:C è un punto singolare, ogni retta  contenente P è tale che
ItC£, ; P) > mp() > 2.
Per questo motivo si conviene di considerare tangente a  ogni retta pas-
sante per P.
34.5 DEFINIZIONE Sia  una curva algebrica (affine o proiettiva) e sia PE 5f
un suo punto. Una retta  tale che I(Y!, ; P) > mp() è detta tangente prin-
cipale a !£ in P.
Si noti che se P è un punto semplice, la nozione di tangente e quella di tan-
gente principale coincidono.
Sia  una curva affine e sia * C p 2 1a chiusura proiettiva di  Una retta
 C A 2 la cui chiuura proiettiva sia una tangente principale a * in uno dei
punti impropri di  si dice asintoto di  La curva  non possiede asintoti pre-
cisamente quando i suoi punti impropri hanno come unica tangente principale
la retta impropria.
Ad esempio, una parabola non degenere non ha asintoti. Infatti, essendo non
singolare ed avendo un unico punto improprio, è intersecata con molteplicità 2
dalla retta impropria, la quale è la sua tangente in quel punto. Una conica a ce n-

394
Curve algebriche piane
a centro possiede due asintoti perché interseca la retta impropria in due punti distinti
e quindi non può averla come tangente.
Passiamo ora a studiare la struttura di un punto singolare di una curva 
calcolandone la molteplicità e le tangenti principali.
Consideriamo ancora una curva qffine  di equazione [34.2] e un punto
p = (a, b) E  Sostituiamo inf(X, Y) le espressioni a secondo membro nelle equa-
zioni parametriche [34.3] di una retta  passante per P. Utilizzando il teorema
di Taylor otteniamo l'identità:
f(a + Lt, b + Mt) = [fx(a, b) L + fy(a, b) M] t +
fxx(a, b)L 2 + 2fxy(a, b)LM + fyy(a, b)M 2
+ t 2 + ...
21
kO ()fX' 'yk(a, b)Lr-kM k
. .. + t r + ... [34. Il]
r!
dove fx(a, b), fxx(a, b), ..., fx r kyk(a, b),... denotano le derivate parziali di
f(X, Y) rispetto alle .variabili indicate, calcolate nel punto P = (a, b).
Dalla [34.11] si deduce che la condizione necessaria e sufficiente affinché t = O
sia una radice di molteplicità m per f(a + Lt, b + Mt) è
io ()fX' kyk(a, b)Lr-k M k = O
[34.12]
per r = 1, ..., m-l, e
kO ()fxm kyl(a, b)Lm-kM k  O. [34.13]
Quindi mp(:tJ ) = m se e solo se la [34.12] è soddisfatta per ogni scelta di L,
M e la [34.13] è soddisfatta per almeno una scelta di L, M. Queste condizioni
sono evidentemente equivalenti all'annullarsi in P di tutte le derivate parziali di
f (X, Y) fino all' ordine m-l incluso, e al non annullarsi in P di una almeno delle
derivate parziali di ordine m.
Il caso di una curva proiettiva di equazione [34.6] viene trattato in modo simile
utilizzando il polinomio F(po + tqo, PI + fq1' P2 + tq2). Precisamente, il teorema
di Taylor dà
 F}k(P)Qjqk
j,k
F(po + tqo, PI + tqJ, P2 + tq;) = [E Fi(P)qi]t +
i 2!
t 2 + ...
[34.14]
dove Fi(P), F}k{P), ... denotano le derivate parziali di F(X o , XI' X 2 ) rispetto alle

341Proprielà locali delle curve algebriche piane
395
variabili corrispondenti agli indici, calcolate nel punto P. Anche in questo caso
la condizione m p (5C) = m è equivalente all'annullarsi in P di tutte le derivate
parziali di F di ordine minore o uguale ad m - l ed al non annullarsi in P di almeno
una delle derivate di ordine m.
In questo caso la sola condizione di annullamento in P delle derivate parziali
di ordine uguale a m - l implica l'annullamento di tutte le derivate parziali di ordine
inferiore. Infatti, poiché F è omogeneo, le sue derivate parziali sono polinomi omo-
genei. Per la proposizione A.12(3) si ha
( m - 2 ) F. - . ( X o X I X 2) =
'1 / 2 -.. 1m-2 ' ,
= F. . . o( X o X I X 2) X O + F. - - I ( X O X I X 2) X I +
1.12... l m 2 " li / 2... l m 2 ' ,
+ F';l i 2'" i m 2 2 (X O ' XI' XJX 2 .
Se ognuno degli addendi a secondo membro, che sono derivate parziali di ordine
. m - l di F, si annulla in P, ciò è vero anche per il primo membro, e dunque
F;i i 2 ... i m 2 (P) = O. Pertanto ogni derivata parziale di ordine m - 2 si annulla in P.
In modo simile si dimostra che sono nulle le drivate parziali di ordine inferiore
a m - 2.
Possiamo dunque enunciare il risultato seguente:
34.6 PROPOSIZIONE
l) Sia C A 2 la curva di equazione [34.2]. Un punto PE::C ha molteplicità
m per  se e solo se in P si annullano tutte le derivate parziali di f(X, Y) fino
all'ordine m -1 e almeno una delle derivate di ordine m non si annulla.
2) Sia C p2 la curva di equazione [34.6]. Un punto PE ha molteplicità
m per  se e solo se in P si annullano tutte le derivate parziali di F(X o , XI' X 2 )
di ordine m -1, e non si annulla almeno una delle derivate di ordine m.
Supponiamo che ::c sia affine di equazione [34.2], e che il punto P = (a, b)
abbia molteplicità mp(!e) = m.
Le tangenti principali sono le rette  il cui vettore di direzione (L, M) annulla
il primo membro della [34.13]: poiché questo è un polinomio omogeneo di grado
m in L, M, deduciamo che esiste almeno una tangente principale, e che ve ne sono
al più m = mp() distinte, ed esattamente mp(:C) se il primo membro della
[34.13] ha radici tutte distinte.
Nel caso in cui  è proiettiva di equazione [34.6], e il punto P è di molteplicità
m, valgono analoghe osservazioni relativamente al coefficiente di t m nella [34.14].
Otteniamo la seguente
34.7 PROPOSIZIONE-DEFINIZIONE Sia P un punto di molteplicità m p (5t) per
la curva piana (affine o proiettiva) _ Il numero  di tangenti principali distinte

396
Curve algebriche piane
a  in P è tale che
l <  < mp().
Se  = mp() 2= 2, P si dice punto multiplo ordinario.
Un punto doppio ordinario si dice nodo.
In un punto doppio non ordinario P la curva  possiede un'unica tangente
principale T, ed essa è tale che 1(Y!, T; P) > 3. Un punto doppio non ordinario
p tale che
I(Y!, T; P) = 3
è detto cuspide ordinaria.
Il calcolo delle tangenti principali a una curva affine di equazione [34.2] in un
suo punto P = (a, b) si effettua, molto semplicemente, come segue.
Supponiamo dapprima P = (O, O), e scriviamo il polinomio f(X, Y) come
somma di polinomi omogenei
f(X, Y) = Fo + F 1 (X, Y) + F 2 (X, Y) + ...,
dove Fo == 1(0, O) = O, e Fr(X, Y), r > l, è somma di tutti i monomi di grado r
dif(X, Y). La [34.11] si ottiene sostituendo X == Lt, Y = Mt; uguagliando i coef-
ficienti di t r si deduce
io ()fxrky'(O. O)Lr-kM k
Fr(L, M) =:
r!
Pertanto, ,posto m = m(Ot O)C), si ha
F}(X, Y)=... = Fm-1(X, Y)=O, Fm(X, Y);éO,
cioè m(o. O)() eguaglia il minimo grado dei monomi non nulli di f(X, Y).
Segue inoltre che le tangenti principali a ::c in (O, O) hanno equazioni
MX - LY = O, al variare di (L, M) tra le radici dell'equazione omogenea
Fm(X, Y) = o.
[34.15]
Ciò equivale a dire che le equazioni delle tangenti principali si ottengono egua-
gliando a zero i fattori lineari del polinomio Fm(X, Y). Quindi la curva di equa-
zione [34.15] si decompone nell'unione delle tangenti principali di 
Se Fm(X, Y) si decompone in m fattori lineari distinti, e solo allora, l'origine
è un punto m-uplo ordinario per :c.
Nel caso generale P = (a, b) poniamo
f(U+a, V+b)=g(U, V)=GO+G1(U, V)+G 2 (U, V)+...,

34/ Proprietà locaU delle curve algebriche pÌane
397
ed esprimiamo f(X, Y) nel modo seguente:
f(X, Y) = f«X - a) + a, (Y - b) + b) = g(X - a, Y - b) ==
== 0 0 + 0 1 (X - a, Y  b) + O 2 (X - a, Y - b) + ...,
dove 0 0 = g(O, O) = f{a, b) = O. Sostituendo X = a + Lt, Y = b + Mt a primo
membro si ottiene la [34.11]. Confrontando con l'ultimo membro e uguagliando
i coefficienti di t r , si deduce
io ()fX_kYk(Q, b)Lr-k M k
Gr(L, M) == ·
r!
Pertanto si ha
01(X-a, Y-b)=G 2 (X-a, Y-b)= ... = Gm_t{X-a, Y-b)=O
e Gm{X - a, Y - b) non è identicamente nullo.
La curva di equazione
Gm(X - a, Y - b) _ O
si decompone nell'unione delle tangenti principali a  in P.
Consideriamo alcuni esempi di curve affini con diversi tipi di singolarità nel-
l'origine. Nelle figure 34. la-e ne è rappresentato il supporto reale.
a) X 3 - X 2 + y 2 = O: la curva possiede un nodo nell'origine, con tangenti
principali X - Y = O e X + Y = o.
b) X 3 - y2 = O: la curva possiede una cuspide ordinaria nell'origine, con tan--
gente principale Y = o.
c) 2X 4 - 3X'l Y + y 2 - 2 y 3 + y 4 = o: anche questa curva possiede un punto
doppio nell'origine, con unica tangente principale 7: Y = O. Si calcola facilmente
che I(!£, 7;'0) = 4, e quindi O non è una cuspide ordinaria. Questa singolarità è
chiamata tacnodo.
d) (X 2 + y2)2 + 3X 2 Y - y3 = o: l'origine è un punto triplo ordinario, con
tangenti principali Y = O, Y - X = O, Y + X = o.
e) (X 2 + y2)3 - 4X 2 y2 = O: l'origine è un punto quadruplo non ordinario,
con due tangenti principali: X = O e Y = o.
Un punto semplice P di una curva affine o proiettiva :c è un flesso se
I(!£, r; P);:; 3. Un flesso si dice di specie k( > l) se
I( 7; P) = k + 2.
Un flesso di specie k == 1 (risp. k > 2) si dice ordinario (non ordinario).
Una retta  è una curva non singolare che coincide con la sua tangente in ogni
suo punto; quindi ogni suo punto P è un punto di flesso perché I(, ; P) = 00.

398
Curve algebriche piane
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 34.1

34/Proprietà locali delle curve algebriche piane
399
Poiché in ogni punto P di una curva !ff si ha I(!e, 7; P) < gr( ) a meno
che T non sia contenuta in !e, una conica irriducibile non possiede punti di flesso,
e una cubica irriducibile può possedere solo flessi ordinari.
La curva affine :c di equazione
y - Xk+2 = O, k  1
ha nell'origine un flesso di specie k.
Sia 5f C p2 una curva proietti va di equazione [34.6], avente grado n > 3.
L'hessiana di :c è la curva di equazione
H(X) = O,
dove H(X) è il determinante della matrice 3 X 3
Foo{X) POJ (X) F 02 (X).
F lO (X) Fu {X} F I2 (X} ·
F 20 (X) F 21 (X) F 22 (X)
[34.16]
La [34.16] e H(X) si dicono rispettivamente matrice hessiana e determinante
hessiano di F{X). Si ha
gr(H(X» = 3(n - 2).
L'hessiana di una curva serve a individuarne i punti di flesso.
34.8 PROPOSIZIONE l flessi di una curva proiettiva  sono i punti non sin-
golari che la curva ha in comune con la sua hessiana.
Dimostrazione
Consideriamo un punto semplice P = [Po, PI' P2] E !e, e un punto qualunque
Q = [qo, qI' q2] E p2. Si ha
F(lP + fLQ) = F(P)V + E F;(P) q;'A. n-.. fL +  EF;iP)q[q).. n-2fL2 + ... .
i 2! i,j
Il punto P è un flesso di  se e solo se
EF..(P)q.q. == O
.. I) l )
ld
per ogni Q tale che
E(P)qi = O,
i
cioè per ogni Q appartenente alla retta tangente 7 in P, che ha equazione
E(P)Xi = o.
i

400
Curve algebriche piane
Quindi P è un flesso se e solo se T è una componente della conica r di equazione
EF..(P)X.X. = o.
.. IJ l J
l,)
Se P è un flesso, r è degenere, cioè H(P) = O.
Viceversa, supponiamo H(P) = O, cioè r degenere. Applicando due volte la
proposizione A.12(3), si trova
.F;j(P)PiPj = [Foj(P)pj]Po + [Flj(P)Pj]PI + [F2j(P)Pj]P2 =
l,) J ) J
= (n -l)EFi(P)Pi = n(n -I)F(P) = O,
i
e quindi PEr. Inoltre la tangente a r in P ha equazione
E F.. ( P' p .X. = O
.. l) J l J .
l,)
Poiché si ha
.Fij(P)Pì = (n -1)F;(P)Xi'
I.) l
la tangente a r in P è T. Il fatto che r è riducibile implica che T è una componente
di r. Quindi P è un flesso.
Dalla proposizione precedente e dal teorema 33..1 segue immediatamente il
seguente corollario.
34.9 COROLLARIO Una curvaproiettiva di grado n > 3, se non ha infinitiflessi,
ne ha al più 3n(n - 2) e, se è non singolare, ne ha almeno uno.
Il risultato seguente esprime la relazione esistente tra le proprietà locali di due
curve proiettivamente equivalenti.
34.10 PROPOSIZIONE Siano C p2 una curva e T: p2 p2 una proiettività.
l) Per ogni PEp2 si ha
m p (5tf) = mT(p)(T();
in particolare P è punto semplice (punto multiplo) per  se e solo se T(P) è punto
semplice (punto multiplo) per T().
2) Una retta  è tangente (tangente principale) a Y! in P se e solo se T()
è tangente (tangente principale) a T(:C) in T(P).
3) PE:t: è un flesso di specie k per Y! se e solo se T(P) è un flesso di specie
k per T()..

34/Proprietà locali delle curve algebriche piane
401
4) PE  è un punto multiplo ordinario (non ordinario) per  se e solo se T(P)
è un punto multiplo ordinario (non ordinario) per T().
Dimostrazione
1) Poiché le rette del fascio di centro P e quelle del fascio di centro T(P) si
corrispondono biunivocamente, per la proposizione 33.9 si ha
mp(:C) = minpEI( ; P) = minT(P)ET()I(T(), T(); T(P» =
= m T (p)(T(5f».
Le (2) e (3) sono una conseguenza immediata della (1) e della proposizione 33.9.
La (4) segue dalla (2) e dal fatto che le rette del fascio di centro P e quelle del
fascio di centro T(P) si corrispondono biunivocamente.
34.11 Complementi
1. Siano !£ e g due curve (affini o proiettive). Per ogni punto P del piano
si ha
mp() + mp() = mp(Yf + 9).
[34.17]
La dimostrazione è un facile esercizio (si applichi la [33.22]).
Dalla [34.17] discende che, data una curva qualsiasi  i suoi punti singolari
sono singolari per qualche sua componente irriducibile, oppure appartengono ad
almeno due componenti, o a una componente multipla.
Supponiamo in particolare che  sia ridotta. Dalla proposizione 34.4 segue
che le componenti irriducibili di :ffhanno al più un numero finito di punti singo-
lari; d'altra parte i punti di intersezione di tutte le possibili coppie di componenti
irriducibili distinte di  sono in numero finito. Deduciamo quindi che ogni curva
ridotta possiede al più un numero finito di punti singolari.
Dalla [34.17] segue anche che se una curva (affine o proietti va) :c di grado
n si decompone in n rette, non necessariamente distinte, passanti tutte per un punto
P, allora mp() = n.
Viceversa, se una curva (affine o proiettiva) :c di grado n possiede un punto
p di molteplicità n,  si decompone in n rette, non necessariamente distinte, pas-
santi per P.
Infatti ogni retta che contiene P e un altro punto di  ha almeno n + 1 inter-
sezioni con  e quindi, per il coroIlario 33.3, è una componente irriducibile di
 Ne segue che ogni componente irriducibile di :£ è una retta contenente P, e
quindi l'asserto.
Supponiamo:£ affine di equazione [34.2]. La condizione che O = (O, O) sia un
punto n-uplo per :c equivale, per quanto appena visto, alla condizione chef(X,
Y) si decomponga nel prodotto di n fattori lineari omogenei, e ciò è equivalente
alla condizione che f(X, Y) sia un polinomio omogeneo.
26

402
Curve a/gebriche piane
."igura 34.2
2. Sia Jt C p2 una curva proiettiva di equazione [34.6] e sia P = [Po, PI' P2]
un punto di P2. Sostituendo
X + tP = (X o + tpo, Xl + tPI' X 2 + tP2)
al posto delle variabili X = (X o , Xl' XJ in F(X) , otteniamo il polinomio
F(X + t P) in Xo, XI' X 2 , t. Uguagliando a zero il coefficiente di t r in F(X + t P)
si ottiene una curva rr = r(5f), detta l'r-esima PQ/are di P rispetto a _
Se :Jf ha grado n, rr ha grado n - r e ha equazione
. E . Fi1...i r (X)Pi 1 ... Pi r == o.
117 ....lr
In particolare, rr è definita per O < r < n-l. Si ha r O =  e la prima polare
r I di P è la curva di equazione
E Fi(X)Pi = O.
i
[34.17]
La più importante proprietà di r l è la seguente: n r (5f) consiste dei punti
QE5f che sono singolari oppure tali che la tangente a :tf in Q contenga P.
Infatti QE:lfn r<-) se e solo se F(Q) = O = EFi(Q)Pi. Ciò avviene pre-
. i
clsamente se
Fo(Q) == F I (Q) = F 2 (Q) = O,
cioè se Q è singolare per , oppure se P appartiene alla tangente in Q, che ha
.
equazIone
E(Q)Xi = O.
i
Quindi le tangenti condotte da P a , in suoi punti non singolari sono le rette
congiungenti P con i punti non singolari di  che stanno su r (.). Da ciò
segue che il numero di tali tangenti è al più n(n - 1). Segue anche che, se PE
allora PE r (.Yf).

35/Sistemi lineari di curve piane
403
Ad esempio, se  è una conica irriducibile r<-W) è una retta. Se PE:ff,
r() è la tangente a in P. Se invece P, allora l'<-) n= (QI' Q2)'
e le rette L(P, QI) ed L(P, Q2) sono tangenti a  (fig. 34.2).
Esercizi
1. Verificare che gli asintoti di un 'iperbole come sono stati definiti nel  32 sono asintoti
anche nel senso della definizione data in questo paragrafo.
2. Nel piano affine A 2 (C) si considerino le curve di equazioni:
a) y2(X - 2 Y) - (X 2 + y2) = O
b) (X - Y)3 + X 2 - y2 - 4X = O
c) X 2 (X 2 - y2) - 4X 2 Y + y3 = O
d) X 2 (X 2 + y2) - X 2 Y - 4 y3 = O
e) X 2 y2 - X 3 - y3 - Xy == O
f) y2 + X 4 + X 5 = O
g) y - 4X 2 - X 5 = o.
Di ognuna di esse studiare le proprietà locali nell'origine e all'infinito.
3. Determinare equazioni cartesiane delle rette polari dei seguenti punti di P 2 (C): Fo ==
= [1, O, O], F I = [O, l, O], F 2 = [O, O, 1], U = [1, l, l], P[I, 2, 3], rispetto a ciascuna
delle coniche di equazioni seguenti, in coordinate non omogenee:
a) X 2 + 2 y 2 - 4 = O
c) XY = 4
b) X 2 -3XY+ y=O
d) X 2 + y2 - 2XY = O.
4. Determinare equazioni cartesiane delle rette tangenti alla conica _Yt di equazione
XJ - X; + X = O e passanti per il punto [1, O, l].
5. Sia :t: una conica a centro di A 2(K). Dimostrare che la polare del centro di ,è
la retta impropria.
35 Sistemi lineari di curve piane
Anche in questo paragrafo supporremo che il campo K sia algebricamente
chiuso.
Sia n > 1 un intero. La totalità delle curve di grado n di p2 = P2(K) si dice il
sistema lineare di tutte le curve di grado n, e si denota con An-
Denotiamo con K [X]n C K [X] = K [X o , XI' X 2 ] lo spazio vettoriale costituito
dal polinomio O e da tutti i polinomi omogenei di grado n. Dalla definizione 28.2

404
Curve algebriche piane
segue che una curva di p2 = p2 (K) di grado n può identificarsi con un elemento
dello spazio proiettivo P(K[X]n). Quindi An = P (K[X]n) è uno spazio proiettivo.
Nel caso n = 1 otteniamo il sistema lineare delle rette.
La base di K [X]n costituita da tutti i monomi monici di grado n individua
come coordinate di un polinomio i suoi coefficienti. Quindi le coordinate omoge-
nee di una curva 5f E An, rispetto al riferimento proiettivo individuato dai
monomi monici, sono i coefficienti di uno qualsiasi dei polinomi che la defini-
scono. La dimensione di An è uguale a
dim(K[X]n) -1 = (n ; l) -1 = n(n 2+ 3) .
In particolare, il sistema lineare delle rette ha dimensione 2, quello delle coni-
che ha dimensione 5, queUo delle cubiche ha dimensione 9 ecc.
Un sistema lineare di curve di grado n è un sottospazio proiettivo A di An. Se
ha dimensione O, A consiste di una sola curva; se ha dimensione 1, il sistema lineare
è un fascio, se ha dimensione 2 è una rete.
Un sistema lineare di dimensione r può essere individuato da (r + l) sue curve
indipendenti di equazioni
Fo(X) = O, ..., Fr(X) = o.
[35.1]
Ogni altra curva del sistema ha equazione
 À..F.(X) = O
. ') J
J
per opportuni (À. o , ...., Ar};t. (O, ..., O). Un caso particolare che abbiamo già incon-
trato in precedenza è quello di un fascio di rette, individuato da due sue rette distinte
qualsiasi.
Un sistema lineare A può essere assegnato anche come intersezione di iper-
piani di An- L'equazione di un iperpiano di An è lineare omogenea nei coefficienti
della curva variabile, e viene chiamata condizione lineare sulle curve del sistema
lineare An.
P · h ' h d " . n (n + 3) .. n (n + 3)
OIC e An a ImenSlone  comunque SI assegnIno M s
2 2
condizioni lineari, esistono curve di grado n che le soddisfano. Tali condi-
zioni individuano quindi un sistema lineare A di dimensione pari almeno a
n(n + 3)
-M.
2
Il più naturale tipo di condizione lineare si ottiene imponendo il passaggio per
un punto assegnato P[Po, Pl, P2]. Sia
. . k
F(X) =  UjjkXbX{X2
i+j+kn
il polinomio omogeneo di grado n in Xo, XI' X 2 i cui coefficienti sono delle inde-

35/Sistemi lineari di curve piane
405
terminate U ijk . Chiameremo F(X) il polinomio omogeneo generico di grado n.
La condizione di passaggio per P è F (P) = O, cioè
. . k
E  'k POP{P2 = O,
. . k J
1+ J+ =-n
che è appunto una condizione lineare omogenea nei coefficienti U ijk . Quindi le
curve di An che contengono P sono quelle le cui coordinate U ijk sono soluzioni
dell'equazione precedente: esse costituiscono pertanto un iperpiano di An.
Più in generale, imponendo il passaggio per un punto assegnato P con molte-
plicità almeno r, dove r > 1, si ottengono r(r + 1)/2 condizioni lineari corrispon-
denti all'annullarsi in P di tutte le derivate parziali di F (X) di ordine r - 1, rispetto
alle variabili Xo, XI' X 2 .
Si ha quindi la seguente proposizione.
35.1 PROPOSIZIONE Comunque si assegnino punti distinti P I , ..., P" e interi
rJ, ..., r l > l, tali che
n (n + 3) I ( r. + l )
> E J ,
2 j= I 2
esistono curve di grado n passanti per P 1 , ..., Pt con molteplicità almeno r l , ..., r l
rispettivamente, e la loro totalità costituisce un sistema lineare di dimensione
almeno uguale a
n(n + 3) l ( r. + 1 )
- E J .
2 j= I 2
Dalla proposizione 35.1 discende in particolare che esistono curve di grado n
. n(n+ 3)
passantI per M < 2 punti comunque assegnati. In particolare, per 2 punti
passa una retta, per 5 punti passa almeno una conica, per 9 punti passa almeno
una cubica ecc.
Il sistema lineare descritto dalla proposizione 35.1 si denoterà con
An(P[I, P2, ..., P?).
[35.2]
Se
. n(n + 3) ' ( r. + 1 )
dlm [An(P?, p2, ..., P?)] = -.E J 2 '
2 J=I
diremo che i punti P I , ..., P, aventi rispettivamente molteplicità r I , ..., r l impon-
gono condizioni indipendenti alle curve di grado n.
Più in generale, assegnato un sistema lineare A di curve di grado n, i punti

406
Curve algebriche piane
P 1 , ...., P l , di rispettive molteplicità r I , ..., r l , impongono condizioni indipendenti
a Ase
dim[An(pi', P?, ..., P?) n A] = dim(A) - il (r j ; l) .
Se r I = ... = r, = 1 diremo semplicemente che i punti P 1 , ..., Pt impongono
condizioni indipendenti a A.
È evidente che, se P 1 , ..., P, impongono condizioni indipendenti a A, ciò
avviene per ogni loro sottoinsieme.
Un punto P appartenente a tutte le curve di un sistema lineare A si dice punto
base di A. Se tutte le curve di A hanno una componente irriducibile 4>0 in
comune, la curva -Po si dice componente fissa di A.
Ad esempio, i punti P 1 , ..., Pt sono punti base del sistema [35.2]. Essi si
dicono punti base assegnati del sistema lineare [35..2], ed rI' ..., re le loro molte-
plicità.
Non sempre i punti base di un sistema lineare coincidono con quelli assegnati.
Ad esempio, dati 3 punti base P 1 , P 2 , P 3 su una retta , tutte le coniche che li
contengono hanno  come componente, e quindi  è una componente fissa di
A 2 (P 1 , P 2 , P 3 ), e ogni altro punto di  è un punto base non assegnato del
sistema lineare A 2 (P 1 , P 2 , P 3 ).
I punti base di un fascio A sono esattamente i punti di intersezione di due sue
curve qualsiasi. Infatti, se
: Fo(X) = O e : FI(X) = O
sono due curve del fascio, ogni altra curva  E A ha equazione
AFo(X) + /LFI (X) = O
[35.3]
e quindi contiene ogni PE_ (ì. Viceversa, se P è un punto base di A allora
in particolare appartiene a  e a .
Se alle curve del fascio A si impone il passaggio per un punto qualsiasi Q diverso
dai punti base, si ottiene dalla [35.3] un'equazione lineare omogenea in A, p" che
ammette un'unica soluzione. Quindi esiste un'unica curva di A che contiene Q.
In altre parole, Q impone una condizione a A.
Più in generale, sia A un sistema lineare di curve di grado n di dimensione r > 1.
Se si scelgono punti distinti P I , ..., Pr in modo sufficientemente generale, essi
impongono condizioni indipendenti a A..
Basta infatti scegliere P 1 che non sia punto base di A, P 2 che non sia un punto
base di A n An(Pl)' P3 che non sia un punto base di A n An{Ph P 2 ) ecc.
Se il sistema A è individuato dalle r + 1 curve [35.1], e se P I , ..., Pr impongono
condizioni indipendenti a A, allora la curva appartenente a A e contenente

35/Sistemi lineari di curve piane
407
P 1 , ..., Pr ha equazione F(X) = O, dove F(X) è il determinante della matrice
Fo(X)
FO(P 1 )
Fr(X)
Fr(P I )
Fo{Pr)
Fr{Pr)
Infatti dalla sua espressione si vede che il polinomio F(X) è combinazione lineare
di Fo (X), ..., Fr(X), e quindi definisce una curva :c E A. Inoltre  contiene
P 1 , ..., Pr, perché per ogni i = 1, ..., r, F(P i ) è il determinante di una matrice
avente due righe uguali.
Le proprietà dei fasci di curve consentono di dimostrare il seguente teorema:
35.3 TEOREMA Se due curve proiettive di grado n hanno in comune N « n 2 )
punti distinti, e se mn di essi appartengono a una curva irriducibile di grado m < n,
allora i rimanenti N - mn punti appartengono a una curva di grado n-m.
Dimostrazione
Siano  e  le due curve di grado n, e sia .9 la curva irriducibile di grado
m che contiene gli mn punti dell'enunciato. Fissato arbitrariamente un punto PE g
diverso da questi mn punti, esiste una curva  del fascio individuato da  e
 che contiene P. Poiché  ha mn + 1 punti in comune con ,, essa ha una
componente irriducibile in' comune con .qJ. Ma 9 è irriducibile, e quindi
 = 9 +  dove !kf è una curva di grado n - m. Poiché Yf contiene gli N punti
 n  e . contiene mn di questi e nessuno dei rimanenti N - mn (perché
altrimenti .9 sarebbe componente irriducibile di  e di , il che contraddi-
rebbe il fatto che  e  hanno solo un numero finito di punti in comune), que-
sti sono contenuti in 
Terminiamo il paragrafo con un teorema che descrive la trasformazione di An
indotta da una proiettività di p2.
35.4 TEOREMA Sia T: p2-+ p2 una proiettività. Per ogni n > ll'app!icazione
di An in sé stesso che associa ad ogni curva  E An la trasformata T() è una
proiettività.
Dimostrazione
Supponiamo che si abbia
T-I (x o , XI' xJ = (aooxo + aOIx I + a 02 x 2 , aIOx O + alI XI + a 12 x 2 , a 20 x O +
+ a 2I x I + a 22 x 2 ).

408
Curve algebriche piane
Per ogni curva .1fE An di equazione
E U j 'kXX{ Xf = O
- . k J
I+J+ =n
la trasformata T(!C) ha equazione
E VijkXX{ Xf = O,
i+ j+k=n
dove
..E V;jkXÒX{ X =..E Ujjk(aOOXO + aOIX 1 + a 02 X 2 )i (alOX O + anX 1 +
I+J+k=n I+J+k=n j k
+ a I2 X 2 ) (a 20 X O + a 21 X 1 + a 22 X 2 ) ·
I coefficienti Vijk sono espressioni omogenee di primo grado degli U ijk a coef-
ficienti polinomi omogenei di grado n negli a/h. Ciò equivale a dire che la trasfor-
mazione che muta gli Uijk negli Vijk è una proiettività.
La proiettività di An indotta da una proiettività di p2 induce, come ogni altra,
un isomorfismo di ogni sottospazio di An sulla sua immagine. Quindi sistemi
lineari vengono trasformati in sistemi lineari della stessa dimensione. Un caso par-
ticolare di cui faremo uso nel paragrafo 36 si ottiene per n = l: ogni proiettività
T: p2-+ p2 induce una proiettività di AI' e, per ogni PEP2, questa induce un iso-
morfismo del fascio di rette AI (T(P» sul fascio di rette AI (P).
35.5 Complementi
l. Condizione di tongenzo a una retta in un suo punto. Sia  una retta di
equazione
aoXo + ajX I + 02X2 = O
e P = [Po, PI' P2] un suo punto. Imponiamo ai coefficienti del polinomio gene-
rico F (X) la seguente condizione di proporzionalità:
[a o ' aJ' 02] = [Fo(Po, Pt, P2)' FI (Po, Pt, P2)' F 2 (po, PI' P2)].
La [35.4] è la condizione che la matrice
( Fo(Po, PI' P2) F I (Po, PI' P2) F 2 (po, PI' P2) )
00 ° I 02
[35.4]
abbia rango l, ed equivale all'annullarsi dei suoi minori di ordine 2. Se ad esem-
pio 00 ;é O questa condizione equivale alle due seguenti condizioni lineari omo-
genee sui coefficienti di F (X):
al Fo(Po, PH pJ - aOFI(po, PI' pJ = O
a 2 F o (po, PI' P2) - a O F 2 (po, PI, pJ = O.

35/Sistemi lineari di curve piane
409
È facile verificare che queste due condizioni sono linearmente indipendenti.
Dunque le [35.4] individuano un sistema lineare 0 p . t " di curve di grado n, avente
n(n + 3)
dimensione - 2.
2
Se  F(X) = O è una curva appartenente a ept' allora, per un opportuno
a  O, si ha
nF(P) = Fo(P) Po + F I (P) PI + F 2 (P) P2 = aaopo + aaIPl + aa 2 P2 = O,
e quindi  contiene P. Inoltre, per la [35.4],  è tangente a  in P oppure P
è singolare per 
Viceversa, è evidente che ogni curva di grado n avente  come tangente in P
oppure singolare in P appartiene a 0p..
2. Sistemi lineari di curve affini. La teoria dei sistemi lineari, pur appartenendo
alla geometria delle curve proiettive, può utilmente applicarsi allo studio delle curve
affini ed euclidee, utilizzando il passaggio da coordinate omogenee a non omo-
genee e viceversa. Accenniamo brevemente al caso dei fasci, lasciando al lettore
il caso generale.
Sianof(X, Y), g(X, Y)E K[X, Y] di gradi n ed m rispettivamente, n > m  o.
Al variare di tE K l'equazione
f(X, Y) + tg(X, Y) = O
[35.5]
definisce una curva di grado n di A 2(K) la cui chiusura proiettiva è la curva di
grado n
F(X o , XI' XJ + txg-mG(Xo, XI' Xz} = O,
[35.6]
dove F e G sono i polinomi omogeneizzati di f e g. La [35.6] definisce un fascio
di curve di grado n di cui la [35.5] è l'equazione in coordinate non omogenee.
Se ad esempio g è costante, il fascio [35.6] è quello individuato dalla curva
F(X o , XI' XJ = O e dalla retta impropria contata n volte.
Queste osservazioni si applicano anche al caso di un campo K qualsiasi, e al
caso euclideo. Ad esempio, siano  g C E 2 due circonferenze aventi in comune
i due punti P, QEE 2 , e :it*, .?2 * C p2(C) le loro chiusure proietti ve. Poiché
* n çg * consiste dei punti cicli ci e di P e Q, ogni conica reale non degenere
del fascio di coniche A individuato da *, 9 * possiede punti reali e passa per
i punti ciclici, quindi è la chiusura proiettiva di una circonferenza di E 2 passante
per P e Q. Per questo motivo A si dice fascio di circonferenze.
Analogamente, se f(X, Y) = O è l'equazione di una parabola  di E 2 , e
aX + bY + c è un polinomio non nullo di grado minore o uguale a l, l'equazione
f(X, Y) + t(aX + bX + c) = O
[35. 7]
rappresenta ovviamente ancora una parabola per ogni t E R, perché i termini di

410
Curve algebriche piane
secondo grado del primo membro sono gli stessi di quelli di f(X, Y). Abbiamo
quindi un fascio di parabole. Dal punto di vista proiettivo la [35.7] si interpreta
osservando che la sua chiusura proiettiva è la curva di equazione
F(X o , XI' XJ + tXO(aX I + bX 2 + cX o ) = O.
[35.8]
Poiché le coniche di equazioni F(X o , XI' XJ = O e XO(aX I + bX 2 + cX o ) = O
hanno per tangente la retta impropria  nel punto improprio di  ciò avviene
anche per la [35.8], perché entrambe appartengono al sistema lineare 0 p  (cfr.

complemento l).
In modo simile si dimostra che se  è un'ellisse, o un'iperbole, allora per tE R
la [35.7] è l'equazione di un'ellisse, rispettivamente di un'iperbole, e quindi si ha
un fascio di e//issi, rispettivamente un fascio di iperbo/i.
3. Generazione proiettiva delle curve piane. Sia r > O un intero. Per ogni
i = O, ..., r siano o(X), ..., Fir(X) polinomi omogenei di grado n j linearmente
indipendenti, e sia A(i) il sistema lineare di curve di grado n i di equazione
AoFiO(X) + ... + À.rFir(X) == o.
Sia G(X) il determinante della matrice
Foo(X)
F10(X)
FOr(X)
Flr{X)
Fro(X)
Frr(X)
che è un polinomio omogeneo di grado no + n I + ... + n r .
Sia _ C p2 la curva piana di equazione G(X) = o. Un punto P appartiene a
Y; se e solo se la matrice [35.9], calcolata in P, ha rango < r. Ciò è equivalente
all'esistenza di una soluzione non banale del sistema di equazioni lineari omoge-
nee di cui essa è la matrice dei coefficienti, cioè all'esistenza di lo, ..., /r E K non
tutti nulli tali che si abbia simultaneamente
loo{P) + ... + Irr(P) = O, i = O, ..., r.
Quindi PE _ se e solo se P appartiene simultaneamente alle r + 1 curve di
. .
equazIonI
loFio(X) + ... + /rF:r(X) = O, i = O, ..., r.
Questa descrizione di  è una sua generazione proiettiva per mezzo dei sistemi
lineari A(o>, ..., A(r).
Ad esempio, dati Foo(X), F OI (X) omogenei di grado n, FIO(X), Fu (X) omoge-

35/Sistemi lineari di curve piane
411
nei di grado m, linearmente indipendenti, la curva di grado n + m di equazione
Foo(X) F11(X) - F 01 (X) FIO (X) = O
[35.10]
è il luogo dei punti di intersezione variabile delle curve dei due fasci
AoFoo(X) + A1FOl(X) = O
AoFIO (X) + A. 1 F I I (X) = O
per stessi valori dei parametri A.o, AI . Nel caso n = m = l la [35.10] è una conica.
Esercizi
1. Siano (00, ah a2), (ho, bI, b 2 ), (c o, c), C2), (do, dI-, d 2 ), (eo, eh e2), (/O, Il, h) sei punti
di P2(K). Dimostrare che esiste una conica che li contiene se e solo se è soddisfatta
la condizione
a 00 al aOa2 a ala2 ai
b bob) b o b 2 bf b 1 b 2 b1
cJ COCI COC2 ct C 1 C2 c
d do dI d o d 2 d; d}d 2 di = o.
e eOel eOe2 e; ele2 ei
f lo/I foh f flf2 li
2. Siano (ao, ah a2), (b o , b h b 2 ), (co, eh C2), (do, dI, d 2 ), (eo, eh e2), cinque punti di
p2(K). Dimostrare che essi impongono condizioni indipendenti al sistema lineare delle
coniche se e solo se la matrice
a aOa) aOa2 af ala2 ai
bt bob) b o b 2 bf b) b 2 b1
c CoC) COC2 cf C)C2 cf
d do d) d o d 2 df d l d 2 di
e eOel eOe2 e ele2 ei
ha rango massimo. Dimostrare che se questa condizione è soddisfatta, allora la conica
che contiene i cinque punti assegnati ha equazione
xt XOXI XOX2 Xf X 1 X 2 xi
a5 aOa) aOa2 a; a)a2 ai
b bob l b o b 2 bf b)b 2 bi
cJ COC2 cf C)C2 ci = o.
COc)
d do d) d o d 2 d; d)d 2 di
eJ eOe) eOe2 ef e)e2 ei

412
Curve algebriche piane
3. Siano P h P 2 , P 3 , P 4 E P 2 (K) punti distinti e non allineati. Dimostrare che P h P2,
P3, P 4 impongono condizioni indipendenti alle coniche, e che pertanto Al (p], P 2 , P 3 '} P 4 )
è un fascio di coniche.
4. Dimostrare che se P 1 , P 2 , P 3 , P 4 E p2 (K) sono punti distinti e a tre a tre non allineati,
allora P h P 2 , P 3 , P 4 sono gli unici punti base del fascio di coniche A 2 (P h P P 3 , P 4 ).
5. Dimostrare che un fascio di coniche di p2 (K) privo di componenti fisse contiene al
più 3 coniche degeneri, e che se il fascio ha 4 punti base (distinti), allora le sue coniche
degeneri sono esattamente 3 (cfr. fig. 35.1).
Figura 35..1
6. Dimostrare il seguente teorema di Poncelet:
Se una curva proiettiva irriducibile :£ di grado n > 3 è intersecata in n punti distinti
da una retta , le n tangenti a .1fin questi punti incontrano .1fin altri M < n (n - 2)
punti che appartengono a una curva di grado n - 2.
(Suggerimento. Considerare il fascio 'determinato da .1f e dalla curva costituita dalle
n tangenti, e imporre alle curve del fascio il passaggio per un punto di . Quindi uti-
lizzare il complemento 35.5(1).)
36 Cubiche
In questo paragrafo supporremo K = C.
Nello studio delle cubiche proiettive complesse si presentano fenomeni geome-
trici nuovi rispetto al caso delle coniche. In questo paragrafo ne illustreremo alcuni
aspetti, iniziando da quello della classificazione. Il primo passo per classificare
le cubiche proiettive non singolari è costituito dal seguente teorema.
3,6.1 TEOREMA Ogni cubica non singolare :f: C p2 = P2(C) è proiettiva-
mente equivalente a una cubica di equazione affine:
y2 =X(X -1) (X - c),
per qualche cE C\ {O, l}.
[36.1]
Dimostrazione
Poiché è non singolare,  possiede almeno un flesso P. Con una proiettività

36/Cubiche
413
possiamo trasformare P nel punto [O, O, l] in modo che la tangente di flesso sia
la retta di equazione Xo = O. In coordinate affini la curva trasformata di ::e ha
equazIone:
y 2 = g(X)
[36.2]
dove g(X) è un polinomio di grado 3. Se g(X) avesse una radice multipla a, la
curva [36.2] sarebbe singolare in (a, O). Quindi g(X) è della forma
g(X) = a(X - <XI) (X - ( 2 ) (X - ( 3 ),
con a  O, e al' a 2 , 0!3 E C distinti. L'affinità corrispondente alla sostituzione:
x = ( a 2 - al) XI + al
Y = -v a"(a 2 - ( 1 )3 Y'
trasforma la [36.2] nella [36.1], con c = (a 3 - lX i )/(a 2 - al).
Dal corollario 34.9 segue che una cubica possiede al più 9 flessi distinti, se non
ne possiede infiniti. Per le cubiche non singolari abbiamo il seguente risultato più
preCISO:
36.2 TEOREMA
l) Una cubica non singolare  possiede esattamente nove flessi, che hanno
lo proprietà che una retta che ne contiene due, ne contiene un terzo.
2) Dati comunque due flessi A e B di , esiste una proiettività cp: p2 -+ p2
che trasforma :$' in sé stessa e scambia tra loro A e B lasciando fisso il flesso
allineato con A e B.
Dimostrazione
Grazie al teorema 36.1, è sufficiente dimostrare il teorema per le cubiche della
forma [36.1], o, equivalentemente, della forma
f(X, Y) == O,
dove
f(X, Y) = y2 - X 3 + (c + l) X 2 - eX.
Si calcola facilmente che, in coordinate non omogenee, l'hessiana dif(Xt Y) è
h (X, Y) = 8 [(y 2 + eX) (3X - (c + l» - «c + l) X - C)2]
e il risultante di f e h/8 rispetto a Y è
R(X) = 3X 4 - 4(c + I)X 3 + 6cX 2 - c 2 .

414
Curve algebriche piane
Calcolando il discriminante di R(X) si trova
c 4 «c + 1)2 - 4C)2 = c 4 (c - 1)4 # O,
e quindi R(X) ha quattro radici distinte, nessuna delle quali è o. Poichéf(X, Y)
e h (X, Y) contengono la Y solo in grado 2, per ogni (x, y) che li annulla entrambi,
anche (x, - y) ha la stessa proprietà. Quindi ognuna delle radici di R(X) corri-
sponde a due punti propri distinti in comune a  e alla sua hessiana, perché ogni
punto siffatto (x, y) soddisfa la condizione y # o. Se ne deduce che, oltre al punto
improprio [O, O, l], _ possiede altri 8 flessi, cioè  ha in totale 9 flessi.
Siano ora assegnati due flessi di  Possiamo supporre che uno di essi sia [O,
O, l], e l'altro sia (x, y), y;é O. Allora (x, - y) è un flesso ed è allineato con [O,
O, l] e (x, y). La prima parte del teorema è così dimostrata.
Siano A e B due flessi qualsiasi di  e sia C il terzo flesso allineato con A
e B. Possiamo supporre C = [O, O, l], e quindi A = (x, y), B = (x, - y). La
proiettività
(Xo, Xl' X 2 ) = (X O ' XI' - X 2 ),
ha la proprietà voluta.
II seguente è un risultato classico sulle cubiche non singolari:
36.3 TEOREMA (SALMON, 1851) Sia . una cubica non singolare di p2 e sia
p un suo flesso. . possiede esattamente quattro tangenti distinte che contengono
P, inclusa la tangente in P. Il loro modulo è indipendente dalla scelta di P.
Dimostrazione
Supponiamo dapprima che _CC sia la cubica [36.1], per qualche c # O, l, e che
p == [O, O, l]. .CC possiede quattro tangenti distinte passanti per P: le rette Y == c,
Y == l, Y = O, e la retta impropria.
Sia ora :e una cubica non singolare qualsiasi e sia cp: p2  p2 una proietti-
vità che trasforma :t! in una cubica [36.1], in modo che cp(P) = [O, O, l]. Poiché
le tangenti a  passanti per P e quelle a cp<-) passanti per [O, O, l] si cor-
rispondono biunivocamente (cfr. proposizione 34.10), la prima parte del teorema
è dimostrata.
Inoltre il birapporto delle 4 tangenti in P è lo stesso delle loro trasformate,
prese nello stesso ordine, perché cp induce un isomorfismo dei due fasci di rette
di centro P e [O, O, l] rispettivamente.
Il modulo comune delle quaterne di tangenti passanti per i flessi di una cubica
non singolare  di p2 si chiama modulo della cubica, e si indica con j(Y::).
Se la cubica _ce ha equazione [36.1], allora c = (3(0, 00, 1, c). Poiché la corri-
spondenza che alle rette del fascio di centro [O, O, l] associa il loro punto di inter-

36/Cubiche
415
sezione con la retta X 2 = O è un isomorfismo di rette proiettive, segue che c è
anche il birapporto delle quattro corrispondenti rette tangenti a  e passanti per
[O, O, 1] (Y = O, la retta impropria, Y = l, Y = c). Quindi
. ( CL? ) _ . ( ) _ (c 2 - c + 1) 3
J J? -J C - ·
c 2 (c - 1)2
Dimostreremo che il modulo j(:t:) individua la classe di equivalenza proiet-
tiva della curva.
36.4 COROLLARIO Due cubiche non singolari  e :d" di p2 sono proiettiva-
. mente equivalenti se e solo se j(5£) = j(').
Dimostrazione
Se  e , sono proiettivamente equivalenti, allora entrambe sono equiva-
lenti a una stessa cubica della forma [36.1], e quindi
j() =j(c) =j(Yf').
Viceversa, supponiamo che la cubica _CC abbia equazione [36.1] e :t: ' abbia
equazione
y 2 = X(X - l) (X - c'),
[36.3]
conj(c) =j(c'). Se c # c', allora c' è una delle seguenti cinque espressioni in c:
1
c '
l-c
,
1
1- c '
c
c-l '
c-l
c
Sarà sufficiente determinare una proiettività che trasforma la [36.1] nelIa [36.3]
nei due casi c' = c -1, l - c; negli altri casi le proiettività si ottengono compo-
nendo opportunamente queste due.
Se c' = c -1, la proiettività corrispondente alla sostituzione di (cX, C 3 / 2 Y) al
posto di (X, Y) trasforma la [36.1] nella [36.3].
Se c' = 1- c, si considera invece la proiettività corrispondente alla sostituzione
di (-X + 1, i Y) al posto di (X, Y).
Sia 1 = {classi di equivalenza proiettiva di cubiche non singolari).
Il corollario 36.4 stabilisce una corrispondenza biunivoca tra 1 e il sottoin-
sieme di C costituito da tutti i valori j(c), cE C\ {O, l}. Ogni j(c) proviene da al
più 6 valori distinti di c: poiché C è infinito, in particolare anche 1 è infinito.
Si osservi la differenza tra questo caso e quello delle coniche: abbiamo infatti
dimostrato nel paragrafo 30 che esiste un'unica classe di equivalenza proiettiva
di coniche non singolari.

416
Curve algebriche piane
Terminiamo lo studio dell'equivalenza proiettiva di cubiche, considerando le
cubiche singolari. Ci limiteremo al caso irriducibile.
Per il teorema 33.5 una cubica irriducibile possiede al più un punto singolare,
il quale deve essere un punto doppio, altrimenti la cubica si spezzerebbe nell'u-
nione di tre rette passanti per quel punto.
Se :c ha un punto doppio ordinario P, con una proiettività possiamo tra-
sformarlo nel punto [O, O, l] in modo c.he le tangenti principali siano le rette di
equazioni Xo = O e XI = O. Allora !ff ha equazione affine
XY + aX 3 + bX 2 + cX + d= O
[36.4]
con a  o. La proiettività corrispondente alla sostituzione
x == !J a-- Id X',
Y = !Ja d 2 Y'
trasforma la [36.4] nella
X' Y' + X' 3 + l = O,
che non dipende da a, b, c, d. Se ne deduce che tutte le cubiche irriducibili con
un nodo sono proiettivamente equivalenti tra loro.
In particolare ogni cubica irriducibile con un nodo è proiettivamente equiva-
lente alla cubica di equazione
y 2 = X 2 (X - l)
che è irriducibile, ha un nodo nell' origine e un flesso in [O, O, 1]. Quindi tutte
le cubiche irriducibili con un nodo possiedono almeno un flesso.
Se ::c ha un punto doppio non ordinario P, la tangente principale incontra
C£ in P con molteplicità 3. Quindi P è una cuspide ordinaria. Con una proietti-
vità possiamQ trasformare P nel punto [O, O, l] in modo che la tangente princi-
pale sia la retta di equazione Xo = O. Allora Y! ha equazione affine
Y + aX 3 + bX 2 + cX + d = O,
[36.5]
con a  o. La proiettività corrispondente alla sostituzione
X=X' -
3a
b 2
Y= Y' --+c
3a
trasforma la [36.5] nella
Y' +aX'3+ o =0

36/Cubiche
4/7
per un opportuno o E C. Con l'ulteriore sostituzione
XI = a-l X
YI == Y - o
si ottiene l'equazione
Y + X 3 = O,
[36.6]
che non dipende da a, b, c, d. Deduciamo quindi che tutte le cubiche irriducibili
con una cuspide ordinaria sono proiettivamente equivalenti tra loro.
In particolare ogni cubica irriducibile con un punto doppio non ordinario è
proiettivamente equivalente alla curva di equazione
y2 = X3,
che è irriducibile, ha una cuspide ordinaria nell'origine, e un flesso in [O, O, 1].
Deduciamo quindi che tutte le cubiche irriducibili con una cuspide ordinaria pos-
siedono almeno un flesso. Riassumendo, abbiamo il seguente teorema.
36.5 TEOREMA
1) Esistono due classi di equivalenza proiettiva di cubiche irriducibili e singo-
lari, che sono rappresentate dalle curve di equazioni:
y 2 = X 2 (X - l)
y2 = X3.
[36.7]
[36.8]
Le curve della classe [36.7] hanno un nodo, quelle della classe [36.8] una cuspide
ordinaria.
2) Ogni cubica irriducibile ha almeno un flesso.
Il teorema precedente completa la classificazione proiettiva delle cubiche irri-
ducibili. La classificazione proiettiva delle cubiche riducibili si fa facilmente uti-
lizzando quella delle coniche e viene lasciata al lettore.
La classificazione delle cubiche affini e di quelle euclidee è più complicata, e
la sua trattazione esula dagli scopi del presente volume. Essa si ottiene, in modo
analogo al caso delle coniche, suddividendo le cubiche secondo il loro comporta-
mento all'infinito. Le possibilità che si presentano quando si ha un solo punto
all'infinito sono esemplificate, nel caso euclideo, dall'esempio 29.4(3) (parabole
cubiche di Newton).
Su una cubica non singolare è possibile definire in modo puramente geome-
trico una struttura di gruppo abeliano, una volta fissato un suo punto di flesso.
27

418
Curve algebriche piane
(ligura 36.1
Consideriamo infatti una cubica non singolare  di p2 e sia O un suo flesso.
Definiamo un' applicazione
+: x _:e
nel seguente modo. Per ogni A, B E _ce sia R (A, B) il terzo punto di intersezione con
 della retta L(A, B) (o della tangente in A se A = B), convenendo di conside-
rare ogni punto di intersezione con la sua molteplicità (fig. 36.1). Definiamo
A + B = R(R(A, B), O).
36.6 TEOREMA Con l'operazione + introdotta sopra, la cubica non singolare
 è un gruppo abeliano, il cui elemento neutro è O.
Dimostrazione
È immediato verificare che O è un elemento neutro rispetto a +, e che per
ogni A E -A = R(A, O). Il fatto che l'operazione sia commutativa è ovvio.
Resta quindi solo da verificare l'associatività di +.
Dobbiamo verificare che, dati comunque tre punti A, B, CE si ha
A + (B + C) == (A + B) + C,
cioè che
R(A, B + C) = R(A + B, C).
[36.9]
Considerata la cubica
!?)= L(A, B) + L(A + B, C) + L(O, B + C),
si ha
5fn= {O, A, B, C, A + B, B + C, R(A, <B), R(A + B, C), R(B, C)}.
Daremo la imostrazione nel caso in cui questi 9 punti sono distinti. Poiché i 3
punti B, C, R(B, C) sono allineati, dalla proposizione 35.3 segue che i rimanenti 6
sono su una conica. Ma di questi, O, A + B ed R (A, B) sono su una retta; ancora
dalla proposizione 35.3 segue che gli altri 3 punti, A, B + C ed R (A + B, C), sono
allineati, cioè la [36.9].

36/Cubiche
419
Dalla definizione di + sulla cubica non singolare :£ segue subito che 3 punti
A, B, CE sono allineati se e solo se A + B + C = o.
36.7 Esempi
l. Una cubica non singolare  proiettivamente equivalente alla cubica di
equazione
y2 = X(X -1) (X + 1)
si dice armonica.
Se invece Yf è proiettivamente equivalente alla cubica di equazione
y2 = X(X - l) (X - 1 - E),
dove E  1 è una radice cubica di 1,  si dice equianarmonica.
Le cubiche armoniche ed equianarmoniche hanno modulo rispettivamente
uguale aj(-l) = 27/4, j(l + E) = O.
2. Le cubiche non singolari del fascio
y2 = tX(X -1) (X - c)
hanno tutte lo stesso modulo j(c). Invece le cubiche non singolari del fascio
y2 = X(X - 1) (X - t)
hanno modulo variabile j(t).
Esercizi
1. Determinare l'hessiana della cubica !tf di equazione
XJ + X + xi = O
e dimostrare che .tP ha i seguenti flessi:
[O, l -1], [O, 1, - E], [O, 1, - E2]
[- E 2 , O, l], [-1, O, 1], [- E, O, 1]
[l, - E, O], [1, - €2, O], [1, - 1, O],
dove € ;i: l è una radice cubica di l.
2. Dimostrare che le cubiche passanti pe i 9 punti dell'esercizio precedente sono precisa-
mente quelle appartenenti al fascio
I(XJ + X? + Xi) + mX O X)X 2 = O.
3. Determinare le cubiche singolari che appartengono al fascio dell'esercizio precedente.
4. Un fascio di cubiche tale che ogni cubica del fascio abbia per flessi i punti base è un
fascio sizigietico. Dimostrare che il fascio dell'esercizio 2) è sizigietico.

420
Curve algebrich.e piane
5. Dimostrare che la cubica armonica di equazione affine
y2 = X(X 2 -1)
ha la proprietà di essere l'hessiana della propria hessiana.
6. Dimostrare che una cubica irriducibile con una cuspide possiede un unico flesso.
(Suggerimento. È sufficiente dimostrare che la cubica di equazione affine y2 = X 3
possiede un unico flesso.)
7. Dimostrare che una cubica irriducibile con un nodo possiede tre flessi, che sono allineati.
(Suggerimento. È sufficiente dimostrare l'asserto per la cubica di equazione
Xy + X 3 + 1 = O.)
8. Siano F(X) = O, G(X) :::::: O le equazioni di due coniche prive di componenti in comune,
L (X) = O, M(X) = O le equazioni di due rette distinte, e :c la cubica di equazione
F(X) G(X)
L (X) M(X) = O.
!£ è proiettivamente generata dal fascio di coniche.
lF(X) + p,G(X) = O
e dal fascio di rette
A.L(X) + p,M(X) = O
(cfr. complemento 35.6 (3». Dimostrare che _C£ passa per i punti base del fascio di
coniche e per il centro del fascio di rette.
Si supponga che il fascio di coniche abbia 4 punti base distinti dal centro O del
fascio di rette. Dimostrare che ogni conica del fascio interseca  in altri 2 punti alli-
neati con O.
9. Dimostrare che su una cubica non singolare Ctf su cui sia fissato un flesso O, esistono
4 punti distinti A tali che 2A = O.
(Suggerimento. Utilizzare il teorema di Salmon.)

Appendici
A Domini, campi, polinomi
In quest'appendice sono trattati alcuni argomenti di algebra che vengono uti-
lizzati in questo testo. L'esposizione non sarà completa di tutte le dimostrazioni,
per alcune delle quali rinvieremo a un testo di algebra.
Definizioni
Fra le strutture algebriche maggiormente usate in geometria troviamo quelle
di "campo" e di "dominio".
Un campo è una terna (K, + , . ) costituita da un insieme non vuoto K e da due
operazioni binarie su K, cioè due applicazioni
+ : K x K  K, . : K x K  K
chiamate somma e prodotto, che associano ad ogni coppia (a, b) E K x K un ele-
mento a + bE K, chiamato "somma di a più b" e un elemento ab, chiamato "pro-
dotto di a per b", in modo che siano soddisfatti i seguenti assiomi:
Kl (Commutatività della somma) a + b =: b + a, per ogni a, bE K.
K2 (Associatività della somma) a + (b + c) = (o + b) + c, per ogni a, b, cE K.
K3 (Esistenza dello zero) Esiste un elemento OE K tale che a + O = O + a = a,
per ogni a E K.
K4 (Esistenza dell'opposto) Per ogni aE K esiste a' E K tale che a + a' = O.
K5 (Commutatività del prodotto) ab = ba, per ogni a, bE K.
K6 (Associatività del prodotto) a(bc) = (ab)c, per ogni a, b, cE K.
K7 (Esistenza dell'unità) Esiste un elemento 1 E K tale che al = lo = a, per
ogni aE K.
K8 (Esistenza del/'Ìnverso) Per ogni a E K, a ;é O, esiste un elemento a* E K
tale che aa* = 1.

422
Appendici
K9 (Distributività della somma rispetto al prodotto) a(b + c) = ab + ac, per
ogni a, b, cE K.
K10 (Non-esistenza di divisori dello zero) Se ab = O e b # O, allora a = O.
Se la terna (K, +,.) soddisfa gli assiorni K1, ..., K7, K9, K10, ma non necessa-
riamente K8, essa si dice dominio (o dominio d'integrità).
Quando non vi sia possibilità di equivoco sulle operazioni che vi sono definite,
il campo, o il dominio, (K, +,.) si denoterà semplicemente con la lettera K. Deno-
teremo il sottoinsieme K\ { O} con K*.
Con le usuali operazioni l'insieme Z dei numeri interi relativi è un dominio.
Sono campi Q, R e C, gli insiemi dei numeri razionali, reali e complessi rispetti-
vamente, con le operazioni usuali. Zp = ZlpZ, l'insieme delle classi resto modulo
un numero primo p  2, dotato delle operazioni indotte dalla somma e dal pro-
dotto in Z, è un campo.
Sia K un dominio. Le seguenti proprietà seguono facilmente dagli assiomi e
la loro dimostrazione verrà omessa.
i) Esiste un unico zero, cioè se O' E K soddisfa a + O' == O' + a = a per ogni aE K
allora O I == o.
ii) Esiste un unico elemento unità, cioè se u E K soddisfa au = ua = a per ogni
aE K allora u = 1.
iii) Per ogni aE K l'elemento a' E K di cui è asserita l'esistenza nell'assioma K4
è unico; esso si dice l'opposto di a, e viene di solito denotato con - a; si scriverà
b - a invece di b + ( - a).
iv) Un elemento aE K è detto invertibi/e se esiste a* E K tale che aa* = a*a = 1.
L'elemento a* è univocamente determinato da a, si chiama l'inverso di a, e si denota
con a -1; talvolta si scrive al b invece di ab - 1 .
Se n E N e aE K, scriveremo na per indicare la somma
a + ... + a (n addendi)
intendendo Oa = O. Se n E Z, n < O, a E K, poniamo per definizione na == an =
= (- n)(- a).
Se per ogni intero n > O si ha n l # O il dominio K ha caratteristica o. Se invece
esiste p > O tale che p 1 == O, allora K ha caratteristica positiva; il più piccolo intero
p con tale proprietà è la caratteristica di K.
Z, Q, R e C hanno caratteristica o. Un esempio di campo di caratteristica posi-
tiva è il campo Zp delle classi resto modulo p, dove p > 2 è un numero primo.
Un so ttodom in io di un dominio D è un sottoinsieme F di D sul quale le opera-
zioni definite in D inducono altrettante operazioni in modo che esso sia ancora
un dominio. Un sottocampo di un campo K è un sotto dominio F di K che è un
campo. Se F è un sottocampo di K, K è un'estensione di F. Ad esempio Q ed R
sono sottocampi di C e Q è anche un sottocampo di R. Altri esempi di sottocampi

A/Domini, campi, polinomi
423
di C sono:
Q [i] = {a+ib: a, bEQ}
Q [.Jn] = {a+-Jn b: a, bEQ),
n intero positivo
non divisibile per un quadrato
Z è un sottodominio di ognuno dei campi Q, R, C.
Un sottoinsieme F di un campo K è un sottocampo se e solo se verifica le seguenti
condizioni:
SKl O, lE F.
SK2 Se a, bE F allora a - bE F.
SK3 Se a, bE F e b  O, allora ab- I E F.
È evidente che ogni sottocampo soddisfa le SKl, SK2, SK3. Viceversa, se F
verifica queste condizioni, dalla SKl segue che F 0; dalla SK2 con a= O segue
che per ogni b E F anche - b E F, e dalla SK3 con a = 1 segue che b - I E F se b  o.
Quindi si ha pure a + bE F e abE F per ogni a, bE F. Le due operazioni inducono
dunque operazioni su F in modo che K3, K4, K7 e K8 siano soddisfatti. Gli altri
assiomi sono soddisfatti perché lo sono in K. Quindi F è un sottocampo di K.
Un sottodominio di un dominio D ha la stessa caratteristica di D. In partico-
lare, ogni sottocampo di C ha caratteristica o. Dalle SKl, SK2, SK3 discende imme-
diatamente che ogni sottocampo di C contiene Q. Ogni dominio contenente Q
ha caratteristica o.
In un dominio si mantengono le usuali notazioni e convenzioni sugli esponenti:
si scrive a n per denotare
aa ... a
(n fattori)
e, se a  O è invertibile, a-Il denota con (a - I)n.
Un importante esempio di dominio è costituito dai polinomi in una indetermi-
nata a coefficienti in un dominio.
Siano D un dominio e X un'indeterminata. Per ogni successione finita a o ,
al' ..., a n di elementi di D, l'espressione
f(X) = a o + a}X + a 2 X 2 + ... + anxn
definisce unpolinomio in X a coefficienti in D, di cui a o , al' ..., a n sono i coeffi-
cienti, e a o , a}X, ..., anX n i monomi, o termini. Un'altra espressione g(X) = b o +
+ bIX + ... + bmxm, bo, ..., bmE D, definisce lo stesso polinomio se e solo se
f(X) e g(X) hanno gli stessi termini con coefficienti diversi da o. Il polinomio
a coefficienti tutti nulli si dice polinomio nullo, e si denota con o. Se f(X)  O,
il grado dif(X) è il più grande intero d tale che ad  O, e si denota con gr(f(X».

424
Appendici
Un polinomio f(X) di grado d si dice monico se ad == l; f(X) si dice costante se
è O oppure se ha grado o. L'insieme di tutti i polinomi in X a coefficienti in D
si denota con D [X]. La somma di due polinomi
f(X) = a o + a 1 X + a 2 X 2 + ... + anX n , g(X) = b o + bIX + ... + bmX m ,
si definisce come il polinomio
f(X) + g(X) = a o + b o + (a) + bI)X + ...
e il loro prodotto come
f(X) g{X) = aob o + (aob l + al bo)X + (a O b 2 + al b l + a2bo)X + ...
Segue subito dalla definizione che, se f, g, f + g ;é o:
gr(f + g):5 max {gr(f), gr(g)},
gr(fg) = gr(f) + gr(g).
Con le operazioni di somma e di prodotto che abbiamo definito, O[X] è un
dominio. La verifica è immediata ed è lasciata al lettore.
Se D è un dominio ed XI' X 2 , ..., X N sono indeterminate, un polinomio in
XI' ..., X N a coefficienti in O è definito induttivamente come un polinomio in X N
i cui coefficienti sono polinomi in Xl' ..., X N - 1 a coefficienti in D. L'insieme di
tali polinomi si denota con D [XI' ..., X N - I , X N ]. In simboli,
D [XI' ..., X N - I , X N ] = D [XI' ..., X N - 1 ] [X N ].
Ogni f(X 1 , ..., XN)E D [X t , ..., X N - I ' X N ] è in modo unico somma finita di
monomi, cioè di termini della forma
X i] iN
ai] ... iN l. .. X N
dove ai] ... iNE 0* è il coefficiente del monomio, ij il grado rispetto a X j , e
il + ... + iN il grado (o grado totale) del monomio; se ai] ... iN = 1 il monomio si
dice monico. Il grado di un polinomio non nullo f(X 1 , ..., X N ) rispetto a  è
il massimo dei gradi rispetto a  dei suoi monomi; il grado (o grado totale) di
f(X t , ..., X N ) è il massimo dei gradi dei suoi monomi, e si denota con
gr(f(X 1 , ..., X N ». Per definizione il polinomio nullo ha grado indeterminato.
Siano O e D' due domini, con unità IDEO e lD,EO' rispettivamente. Un'ap-
plicazione f: O  O' si dice omomorfismo se soddisfa le condizioni
f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a) f(b) per ogni a, b ED.
f{1 D ) = lD'.
(A vvertenza: taluni autori non richiedono quest'ultima condizione nella defi-
nizione, e chiamano "omomorfismi unitari" quelli che noi abbiamo chiamato omo-
morfismi.)

A/Domini, campi, polinomi
425
L'identità lD: D  D e la composizione go f: D  D 11 di due omomorfismi
f: D  D I e g: D I  D H sono omomorfismi.
Un isomorfismo è un omomorfismo f: D  D I che possiede un omomorfismo
inverso. Due domini D e D' si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo f: D  D I .
L'identità, l'inverso di un isomorfismo e la composizione di isomorfisrni sono
isomorfismi. Pertanto l'isomorfismo è una relazione di equivalenza tra domini.
Si osservi che un omomorfismo f: D  D'in cui D è un campo, è iniettivo.
Infatti, se esistesse xE D* tale che f(x) = O, si avrebbe l'assurdo l D , = f(lD) =
::.f(;XX-1) = f(x)f(x- I ) = Of(x- I ).
Il campo dei quozienti di un dominio
Sia D un dominio. È possibile costruire un campo contenente D, che è in un
certo senso il più piccolo campo con questa proprietà, in un modo che genera-
lizza la costruzione del campo dei numeri razionali a partire da Z.
A.l TEOREMA Per ogni dominio D esiste un campo L, unico a meno di iso-
morfismi, e chiamato campo dei quozienti di D, tale che
1) D è isomorfo a un sottodominio D I di L;
2) ogni elemento di L è della forma al b, dove a, b E D I .
Dimostrazione
Sia 8 il sottoinsieme di D x D costituito da tutte le coppie (a, b) tali che b  o.
Definiamo una relazione -- in 8 ponendo (a, b) - (c, d) se e solo se ad - bc = o.
È facile verificare che -- è una relazione di equivalenza. Denotiamo con L l'in-
sieme delle classi di equivalenza, e con S(a b) E L la classe dell'elemento (a, b).
Definiamo operazioni in L nel modo seguente:
8(a, b) + S(c, d) = 8(ad + bc, bd)
8(a, b) 8(c, d) = S(ac, bd).
Queste operazioni sono ben definite perché non dipendono dai rappresentanti
delle classi che intervengono nella definizione. Infatti, se
8(a, b) = S(a 1 , b l ), S(c, d) = S(c}, dI)'
allora
ab. = a1b, cdi = c1d
e quindi
(ad + C)bl di = ab I dd} + bb) cd} = al bdd} + bb l CI d = (al di + b} cl)bd
acb1d} = aIc}bd.
È facile verificare che L, con queste operazioni, soddisfa gli assiorni di campo,
se si prendono come zero e unità rispettivamente 8(0, l) ed 8(1, 1). Il sottodomi-

426
Appendici
nio D' costituito dagli elementi della forma 8(a, l), aE D, soddisfa le condizioni
(1) e (2) per la definizione stessa di L.
Se H è un campo contenente un sottodominio D" tale che esista un isomorfi-
smo i: D -+ D" e soddisfacente la condizione (2) rispetto a D" , allora l'applicazione
f: L -+ H,
definita ponendo
f(8(a, b» = i(a)/i{b),
è un omomorfismo suriettivo di campi, e quindi è un isomorfismo.
In pratica è più comodo denotare un elemento 8(a, b) del campo dei quozienti
L di un dominio D con il simbolo a/b.
Come abbiamo detto prima, il campo dei numeri razionali Q è il campo dei
quozienti di Z. Un altro esempio importante di campo dei quozienti si ottiene con-
siderando D -.: K[X], dove K è un campo ed X è un'indeterminata. Il campo dei
quozienti di D si chiama campo delle funzioni razionali in X a coefficienti in K,
e si denota con K(X). I suoi elementi sono frazioni della formaf(X)/g(X), dove
f (X), g(X) E K (X], g(X) # o.
Più in generale, il campo dei quozienti di K[X I , ..., X N ], dove K è un campo
- e XI' ..., X N sono indeterminate, si chiama campo delle funzioni razionali nelle
indeterminate XI' ..., X N a coefficienti in K, e si denota con K(X h ..., X N ).
Proprietà di divisibilità e di fattorizzazione
Sia D un dominio. Dati a, bE D diremo che a divide b, oppure che b è divisibile
per a, in simboli a I b, se esiste cE D tale che b = ac. In particolare, a è invertibile
se e solo se a Il.
Si ha che a I b e b J a se e solo se b = ea, dove e E D è un elemento invertibile.
In questo caso a e b si dicono associati.
Un elemento aE D è irriducibile se è divisibile solo per i suoi associati e per
gli elementi invertibili; altrimenti è riducibile.
Una espressione a = a} ... a r è unafattorizzazione di a, di cui gli a j si dicono
fattori.
D si dice dominio afattorizzazione unica se in esso sono soddisfatte le seguenti
condizioni:
DFUI Ogni elemento non invertibile aE D si può fatto rizzare come il prodotto
al". a r di un numero finito di elementi irriducibili di D.
DFU2 Se al". a r = b I ... b s , in cui gli a j e i b k sono irriducibili e non inverti-
bili, allora r = s ed è possibile riordinare gli a j in modo che a j sia associato a b j ,
j=l, ..., r.

A/Domini, campi, po/inomi
427
È ovvio che ogni campo K è un dominio a fattorizzazione unica. Facendo uso
della teoria elementare della divisibilità si dimostra che Z è un dominio a fattoriz-
zazione unica.
Sia B un dominio. Le definizioni precedenti applicate a D = 8 [XI' ..., X N ]
danno luogo alle nozioni di divisibilità tra polinomi, poli nomi associati, polinomi
irriducibili.
Ogni polinomio di grado 1 a coefficienti invertibili in B è irriducibile.
L'irriducibilità di un polinomio in generale dipende da B. Ad esempio, X 2 + 1
è irriducibile come polinomio di R[X], ma in C[X] si fattorizza come
X 2 + 1 == (X + i) (X - i).
Si osservi che se K è un campo, K[X] contiene infiniti polinomi monici irridu-
cibili. Infatti t K[X] contiene qualche polinomio monico irriducibile (i polinomi
X -ex, aEK). D'altra parte, sefl(X),f2(X), ...,fn(X)EK[X] fossero tutti i poli-
nomi monici irriducibili, il polinomio monico
1; (X) 12(X) ... In(X) + 1
sarebbe irriducibile, perché non divisibile per alcuno di essi, e diverso da 11 (X),
f;(X), ...,ln(X). Quindi/ l (X),/2(X), ...,ln(X) non esauriscono tutti i poIinomi
monici irriducibili, che sono pertanto infiniti.
Si ha il seguente importante teorema.
A.2 TEOREMA (DI FATTORIZZAZIONE UNICA) Se D è un dominio a lattorizza-
zione unica e X è un 'indeterminata, D [X] è anch 'esso a fattorizzazione unica.
In particolare, se K è un campo e XI' ..., X N sono indeterminate, K[X t , ..., X N ]
è un dominio a fattorizzazione unica.
Per la dimostrazione del teorema A.2 rinviamo il lettore a [15].
Raccogliendo i fattori che ricorrono più volte nella fattorizzazione di un poli-
nomio fE K[X 1 , ..., X N ], si può scrivere
f == g e l g es
I ... S
dove gl' ..., gs sono irriducibili e distinti. L'esponente e j si dice molteplicità di gj
in j. Se e j > 1, gj è un fattore multiplo di f. Si ha l'identità:
gr(f) == e} gr(gI) + ... + esgr(gs).
A.3 PROPOSIZIONE Siano K un campo e X un'indeterminata. Per ogni f,
gEK[X], esiste hEK[X] tale che:
l) h ]f, h I g;
2) se klf, klg, allora klh;
3) esistono A, BEK[X] tali che h ==Af+Bg.

428
Appendici
h è detto massimo comun divisore (MCD) dif e g, esi denota con MCD(f, g);
esso è individuato a meno di un fattore costante.
Per la dimostrazione della proposizione rimandiamo il lettore a [15].
Radici
Siano D un dominio e X un'indeterminata. Per ogni
f(X)=a O +a 1 X+... +adXdED[X]
e per ogni aE D, il valore di f(X) in a è l'elemento di D
f(a)==a O +a I a+a 2 a 2 +... +ada d
ottenuto per sostituzione di a al posto di X. Si definisce in questo modo una appli-
cazione f: D  D, detta funzione polinomiale definita da f.
Se D' è un dominio contenente D come sottodominio, allora D [X] C D' [X],
cioè ognif(X) E D [X] è anche un elemento di D' [X]. Pertanto ha senso parlare
della sostituzione di un elemento a' E D' inf(X) al posto di X, e del valoref(a'),
che è un elemento di D'. Quest'osservazione si applica ad esempio al caso
D' = D [X] e permette di considerare il polinomio f(g(X» ottenuto per sostitu-
zione di un polinomio g(X) E D [X] al posto di X in f(X).
Siaf(X) un polinomio di grado positivo. Un elemento aE D tale chef(a) = O
è una radice di f (X).
A.4 PROPOSIZIONE ex E D è una radice di f (X) se e solo se il polinomio X - ex
divide f(X).
Dimostrazione
Se X -ex dividef(X), alloraf(X) = (X -a)g(X), e quindi ex è una radice
di f(X).
Supponiamo viceversa che a sia un radice dif(X). Se a == O,f(X) ha termine
costante uguale a O, e quindi è divisi bile per X.
Se invece ex "# O, introduciamo una nuova indeterminata Y e sia
[(Y) == f(Y + a) E D [Y].
Si haj(O) == O e quindij(Y) = Yg(Y) per un opportuno i(Y)E D [Y]. Sostituendo
Y = X - a otteniamo
 
f(X) =f(X - çi) == (X - a)g(X - a) = (X - a)g(X),
dove abbiamo posto g(X) == g(X - ex).
exE D è una radice multipla dif(X) se (X - a) è un fattore multiplo dif(X),

A/Domini, campi, polinomi
429
cioè se si ha
I(X) = (X - a)eg(x)
[A. l]
per qualche e > 2. Il massimo intero e .per cui esiste una fattorizzazione [A. l] si
dice molteplicità della radice ex per il polinomio I(X). Se ha molteplicità e = l,
a è una radice semplice. A un a che non è radice di I, si conviene di attribuire
molteplicità e = o.
Si noti che e è la molteplicità di ex per I(X) se e solo se il polinomio g(X)
che figura nella [A. 1 ] soddisfa g(ex)  O; poiché g(X) ha grado uguale a gr (I) - e,
sì ha e < gr(/).
A.5 COROLLARIO Un polinomio f (X) E D [X] di grado positivo d possiede
al più d radici in D, se ognuna di esse viene contata con la sua molteplicità.
Dimostrazione
Per induzione su d. Se d = Il'asserto è evidente. Supponiamo d > 2 e che/(X)
possieda le radici distinte ex], ..., al' di ,molteplicità e l' ..., e t .
Scriviamo
f(X) = (X - (1)e l gI (X)
per un opportuno gI (X) E D [X] di grado d - e I che soddisfa gi (al)  O. Per ogni
j = 2, ..., t si ha
O = I(a j ) = (ex j - exI)e] gl (a j ).
Poiché ex j  a] e D è un dominio, è gl (cx j ) = o. Per l'ipotesi induttiva,
e 2 +... +e, < d-e l , e quindi
e I + e 2 + ... + e, < d.
Il numero di radici che un polinomio ha in D dipende da D. Si pensi al polino-
mio X 2 + 1, che in C ha le radici ::I:: i, ma non ne ha in R.
Supponiamo che K sia un campo. Se ogni/(X) E K[X] non costante possiede
almeno una radice in K, il campo si dice algebricamente chiuso. Dalla proposi-
zione A.4 si ottiene facilmente per induzione il seguente risultato (la dimostra-
zione è lasciata al lettore).
A.6 TEOREMA Supponiamo che K sia un campo algebricamente chiuso. Ogni
polinomiol(X) E K[X] di grado d ha esattamented radici, se ognuna di esse viene
contata con la sua molteplicità. Pertanto I(X) si fattorizza come
I(X)=a(X-aI)...(X-a d ), aO,
dove al' ..., adE K sono le sue radici, non necessariamente distinte.

430
Appendici
Si noti che un campo algebricamente chiuso Kpossiede infiniti elementi. Infatti
segue dal teorema A.6 che gli unici polinomi monici irriducibili in K [X] sono della
forma X - a, a E K, e, come già osservato, i polinomi monici irriducibili sono
infiniti.
R non è algebricamente chiuso, perché esistono polinomi non costanti a coef-
ficienti reali che non hanno radici reali, come i polinomi aX 2 + bX + c, in cui
b 2 - 4ac < o.
Si ha il seguente classico risultato, dimostrato per la prima volta da Gauss nel
I 799.
A.7 TEOREMA (FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA) Il campo C dei numeri com-
plessi è algebricamente chiuso.
Per la dimostrazione di questo teorema il lettore può consultare, per esempio,
[La] .
Il risultato seguente viene solitamente chiamato principio d'identità dei
polinomi.
A.8 TEOREMA Siano K un campo, ZH ..., ZN indeterminate, edf(Z;, ..., ZN)E
E K [Z], ..., ZN]. Se esiste un sottoinsieme infinito J C K tale che
f(a I , ..., a N ) = O
per ogni (al' ..., aN) E JN, allora !(Zj, ..., ZN) = o.
Dimostrazione
Per induzione su N. Il caso N = 1 è conseguenza del corollario A.5.
Supponiamo N  2 e che il teorema sia vero per polinomi in N-l indetermi-
nate a coefficienti in K. Scriviamo
f(X 1 , ..., X N ) = Io + j:.X N + ... + fdXfv, d > O
dove./jE K[X h ..., X N - I ]. Se f  O possiamo supporre che siafd  O. Per l'ipotesi
induttiva esiste (al' ..., aN_1)EJ N - I tale chefd(a H ..., <xN_1);é.O. Pertanto, per
il corollario A.5, esistono al più d valori di <XN per i quali f(a I , ..., a N ) = O. Ciò
è contrario all'ipotesi, e quindi f === o.
In particolare, se K è infinito ef(X)E K[X] soddisfaf(a) = O per ogni aE K,
alloraf = o. Questo non è vero se non si suppone K infinito. Ad esempio, si con-
sideri K = Z/(p), p numero primo. Il polinomio XP - XE K[X] non è nullo, ma
ha per radici tutti gli a E K.
Derivate e teorema di Taylor
La nozione di derivata di un polinomio può essere introdotta in modo formale
senza far uso di alcun concetto del calcolo infinitesimale. Ciò consente di esten-
dere tale nozione a polinomi a coefficienti in un dominio qualunque.

A/Domini, campi, polinomi
431
Consideriamo un dominio D, e sia
!(X)=adXd+ad_lXd-l +... +aIX+aoED[X].
La derivata di f(X) è il polinomio
j'(X)=dadX d - I +(d-l)a d _ 1 X d - 2 +... +a p
Per indicare la derivata dif(X) si usa anche il simbolo df/dX.
La derivata k-esima di f(X) è il poIinomio dkf/dX k (indicato anche con
f(k)(X» definito induttivamente nel modo seguente:
dkf d(f(k-l)(X»
dX k dX
Se !(X j , ...., X N ) E D [XJ, ..., X N ], la derivata parziale di f rispetto a Xi) che si
indica con af /ax;, è definita come la derivata di f considerato come un polino-
mio in Xi a coefficienti nel dominio D [Xl' ..., -I' +h ..., X N ).
Analoga definizione si dà delle derivate parziali successive di f.
È un facile esercizio dimostrare che le derivate parziali successive di un polino-
mio j sono indipendenti dall'ordine in cui si eseguono.
(Suggerimento: è sufficiente dimostrarl0 per i monomi.)
A.9 LEMMA ex E D è una radice multipla del polinomio f(X} se e solo se a
è radice di f(X) e di f' (X).
Dimostrazione
Supponiamo che Ci. sia una radice di molteplicità h  1 di f(X). Si ha
f(X) = (X - a)hg(X).
Derivando primo e secondo membro si ottiene l'identità
f' (X) = h(X - a)h-Ig(X) + (X - Ci.)h g' (X).
Se h 2:. 2, f' (a) = O. Se invece h = l,
f' (ex) = g(a)  o.
Le derivate di un polinomio sono state definite in modo puramente formale,
senza far uso di concetti del calcolo infinitesimale. Sempre in modo formale è
possibile dimostrare il teorema di Taylor per i polinomi in una o più indetermi-
nate, purché il dominio D contenga Q. Ricordiamo che questa condizione è in
particolare soddisfatta da ogni sottocampo di C.
A.I0 TEOREMA (DI TAYLOR) Supponiamo che il dominio D contenga Q. Per

432
Appendici
ogni f(X) E D [X] di grado d e per ogni aE D si ha
f /I (a) f(d) (o)
f(X) =f(o) + f' (a) (X - a) + (X - a)2 + ... + (X - a)d.
2! d!
Dimostrazione
Consideriamo il polinomio f(Y + a), che supponiamo abbia la forma
f(Y+a)=aO+aIY+ ... +ady d .
[A.2]
Derivando successivamente otteniamo
f'(Y+a)=a l +2a 2 Y+... +dady d - I ,
f"(Y + a) = 2a 2 + 6a 3 Y + ... + d{d -1)a d y d - 2 ,
j(d)(y + a) = d! ad-
Ponendo Y = O in ognuna di queste identità otteniamo
a o = f{a), a j = f' (a), a 2 = /" (a)/2!, ..., ad = j(d) (a)/ d!
(poiché D contiene Q si può dividere per 2!, 3!, ..., d!).
Sostituendo nella [A.2] e ponendo Y = X - a otteniamo li conclusione.
Polinomi omogenei
Siano K un campo e Xo, ..., X N indeterminate. Un polinomio non nullo
F(X o , ..., XN)EK[X o , ..., X N ] si dice omogeneo se tutti i suoi monomi hanno lo
stesso grado.
Si denoterà con K[X o , ..., XN]d l'insieme costituito dal poIinomio nullo e dai
polinomi omogenei di grado d. K[X o ' .._, XN]d è uno spazio vettoriale su K in cui
i monomi monici di grado d costituiscono una base.
A.II LEMMA Per ogni d > O
dimK(K[X o , ..., XN]d) = r; d)
dove
[A.3]
( N + d ) = (N + d) (N + d-l) ... (N + l)
d d!
convenendo di porre () = 1.
Dimostrazione
Procediamo per doppia induzione su N e su d.

A/Domini, campi, polinomi
433
Se N = 1 la [A..3] è evidente, perché per ogni d > O esistono d + l monorni manici
di grado d in Xo, Xl' e precisamente xg, Xg-1X 1 , ..., xoxt- I , X1.
Supponiamo sia N > 2 e di aver dimostrato la [A.3] per N - l. Se d = O la [A.3]
è ovvia. Supponiamo d 2: l e che la [A.3]- sia stata dimostrata per d-I.
L'insieme T dei monomi monici di grado d in Xo, ..., X N si suddivide nell'u-
- nione disgiunta T= T' U T", dove TI è l'insieme di quelli in cui compare X N
e T" è costituito dagli altri monorni. Denotiamo con # [la cardinalità di un
insieme finito I. Dividendo ogni monomio di T' per X N , T' corrisponde biuni-
vocamente all'insieme dei monorni di grado d -) in Xo, ..., X N . Per l'ipotesi
induttiva su d, abbiamo quindi
# T' = dimK(K[X o , o.., XN]d-J) = (N; d ; 1) o
D'altra parte, T" ha cardinalità uguale a quella dell'insieme dei monomi di
grado d in X o , ..., X N - h che, per l'ipotesi induttiva su N, è
# T" = (N + : - 1) o
In conclusione:
dimK(K[X o , ...., XN]d) = # T= # T' + # T" =
= (N; d ; 1) + (N + : - 1) = (N; d) o
Nella proposizione seguente si enunciano alcune importanti proprietà dei poli-
. .
nomI omogeneI.
A.12 PROPOSIZIONE
1) Un po/inomio non nullo F(X o , ..., XN)E K[X o , ..., X N ] è omogeneo di grado
d se e solo se sussiste !'identità
F(tX o , ..., tX N ) = tdP(Xo, ..., X N )
[A.4]
fra polinomi di K[X o ' ...., XN,t], dove t è un'indeterminata.
2) Supponiamo che f, g E K [X o ' ..., X N] e che g I f. Se f è un polinomio omo-
geneo, anche g lo è.
3) (Identità di Eufero) Se F(X o , ..., X N ) è omogeneo di grado d, allora
N iJF
1: Xi = dF.
i=O ò X.
l
[A.5]
Dimostrazione
1) La condizione è evidentemente necessaria. Per dimostrarne la sufficienza,
28

434
Appendici
scriviamo
F=F I +F 2 + ... +Fr'
dove Fj  O ed è omogeneo di grado , con dI < ... < d r . La [A.4] si traduce nel-
l'identità
tdJF t + ... + tdrPr = t d F I + ... + t d Fr.
Quindi si deve avere t dl = t d , ..., t dr = td. Ciò implica r = l e dI = d.
2) Sia! = gh, e supponiamo che g non sia omogeneo. Esprimiamo g e h co.me
somma di polinomi omogenei:
g=Gj+G j + I +... + G j + r ,
con Gj#O, Gj+rO, r>O, gr(Gj)=j, e
h = H i + Hi+l + ... + Hi+k'
con H j # O, Hi+k # O, k > O, gr(H i ) == i. Si ha quindi
!= GjH; + (GjHi+I + Gj+IHj) + ... + Gj+rHi+k
con GjHi  O, Gj+rHi+k # O e gr(GjH j ) = i + j < i + j + r + k = gr(Gj+rH i + k ).
Dunque! non è omogeneo, e ciò contraddice l'ipotesi.
3) Derivando primo e secondo membro della [A.4] rispetto a t si ottiene l'identità
N òF(tX o , ..., tX N ) d-I
E  = d t F(X o , ..., X N ).
1=0 òX.
l
La conclusione si ottiene ponendo t = 1.
Sia!(X I , ..., XN)E K[X H ..., X N ] di grado d. Il polinomio omogeneizzato di
!(X 1 , ..., X N ) è il polinomio F(X o , Xl' ..., X N ) E K [X o , XI' ..., X N ] cosÌ definito:
F(X o , XI' ..., X N ) = xgf ( XI , ..., X N ) .
Xo Xo
È facile verificare che F è omogeneo di grado d. Viceversa, se F(X o , XI' ___,
XN)EK[X o , XI' ..., X N ] è un polinomio omogeneo, il suo deomogeneizzato è il
polinomio P(l, Xl' ..., XN)E K[X I , ...., X N ].
Si deduce immediatamente che, dato !(X 1 , ..., XN)EK[X t , ..., X N ], se si
considera il suo omogeneizzato, e di questo il deomogeneizzato, si riottiene
!(X 1 , ..., X N ).
È ugualmente semplice verificare che, se F(X o , XI' ..., X N ) E K[X o ) XI' ..., X N ]
è un polinomio. omogeneo, l'omogeneizzato del-suo deomogeneizzato coincide
ancora con F se e solo se Xo non divide F.

A/Domini, campi, polinomi
435
Per i polinomi omogenei in due indeterminate, si ha il seguente risultato.
A.13 PROPOSIZIONE Se K è un campo algebricamente chiuso ed F(X o ,
Xl) E K [X o , Xl] è un polinomio omogeneo di grado positivo d, esistono d coppie
(ai' b i ) E K 2 , i = 1, ..., d, tutte diverse da (O, O) tali che
F(X o , XI) = (alX t - bIX o )." (adX 1 - bdX O ).
[A.6]
Le coppie (ai' b i ) sono univocamente determinate a meno del loro ordine e di
fattori di proporzionalità non nulli al ..., ad tali che al". ad = 1; esse si dicono
radici del polinomio F(X o , Xl).
Dimostrazione
Supponiamo che r sia la molteplicità di Xo come fattore di F(X o , XI) (even-
tualmente r = O). Si ha allora
F(X o , XI) = XoG(Xo, XI)
dove G è un polinomio omogeneo di grado d - r. Il polinomio G(l, XI) ha grado
d - r e, poiché K è algebricamente chiuso, si fatto rizza come
G(l, XI) = a(X I - b I ) ... (Xl - b d -- r ), a;é O.
Quindi, omogeneizzando, otteniamo
G(X o , XI) = a(X I - b 1 X O ) ... (Xl - b d - rXO)
e in corrispondenza abbiamo la fattorizzazione
F(X o , XI) := aX(XI - bIX o )". (Xl - bd-rX O )'
che è quanto si voleva dimostrare. L'unicità delle radici segue dal teorema di fat-
torizzazione unica per K [X o , XI].
La fattorizzazione [A.6] può esprimersi nella forma equivalente
a I b l Q2 b 2 ..
F(X o , XI) =
Xo XI Xo XI
ad b d
Xo XI
Sostituzioni lineari
Spesso è utile considerare una N-upla di indeterminate XI' ..., X N come
un "vettore colonna"; denotiamolo con X. Conseguentemente l'anello dei
polinomi in Xl' ..., X N a coefficienti nel campo K verrà denotato con K[X]
e un polinomio in XI' ..., X N si indicherà con j(X). Con queste notazioni, se

436
Appendici
A = (aij)EGLN(K) e eEK N , si ha
aIlX 1 + ... + aINX N + CI
a 21 X 1 + ... + a 2N X N + C 2
AX + e =
[A.7]
aNIX 1 + ... + aNNX N + c N
Sef(X)EK[X], denotIamo conf(AX +c)EK[X] il polinomio ottenuto da!
sostituendo A X + e al posto di X. Otteniamo cosÌ un'applicazione
K[X]  K[X]
f(X) 1-+ f(A X + e)
[A.8] .
che è un omomorfismo: infatti segue subito dalla definizione che
f(AX + e) + g(AX + e) = (f + g) (A X + c),
f(AX + e)g(AX + c) = (fg) (A X + e),
perché queste proprietà sono vere per i monomi.
Inoltre, la [A.8] è un isomorfismo perché possiede un'inversa, che è la trasfor-
maZIone
K[X]  K[X]
f(X) I-t f(A -IX - A -le).
Ciò segue dal fatto che si ha
A -I (A X + c) -A -le = X.
Poiché i polinomi [A.7] sono di primo grado, si ha
gr lf(A X + c)] < gr [f(X)].
D'altra parte, ragionando nello stesso modo con la trasformazione inversa, si trova
anche
gr[f(X)]:5 gr[f{AX + c)],
e quindi f{X) e f(AX + c) hanno lo stesso grado.
Se e == O, i poIinomi [A.7] sono omogenei. Per questo motivo, se f (X) è un
polinomio omogeneo, anche f(A X) è omogeneo e dello stesso grado di f(X).
Si noti che, poiché la [A.8] è un omomorfismo, essa rispetta la decomposi-
zione in fattori. In particolare, se
f(X) =fl(X) ...fk(X)

A/Domini, campi, po/inomi
437
è la decomposizione in fattori irriducibili del polinomio f(X), allora
f(AX + c) =fJ(AX + c) ...fk(AX + c)
è la decomposizione in fattori irriducibili di f(AX + c).
Consideriamo nuove indeterminate Y 1 , ..., Y N' ed un polinomio f (y ) E K [Y],
dove abbiamo denotato con Y il vettore colonna delle indeterminate Y 1 , ..., Y N .
Sostituendo Y = A X + c nel polinomio f(V) otteniamo il 'polinomio in X
g(X) = f(A X + c).
Si verifica immediatamente che le derivate parziali prime di g(X) sono date
dalle seguenti espressioni:
òg(X) N fJF
= E ajJ (A X + c),
òX 1 ;=1 a Y i
òg(X) N fJF
= E a iN (A X + c).
aX N 1=1 a Y;
Il risultante di due polinomi
Sia D un dominio a fattorizzazione unica. Descriveremo un procedimento ele-
mentare per stabilire se due polinomi di D[X] hanno fattori comuni non costanti.
Iniziamo dalla seguente proposizione.
A.14 PROPOSIZIONE Due polinomif, gED[X], di gradi n ed m rispettiva-
mente, possiedono un fattore non costante in comune se e solo se esistono A,
BEK[X] tali che gr(A) < gr(f), gr(B) < gr(g), e Bf= Ag.
Dimostrazione
Se f e g hanno un fattore non costante in comune h, allora
f = Ah, g = Bh,
con gr(A) < gr(f), gr(B) < gr(g), e Bf= Ag.
Viceversa, supponiamo verificata la condizione dell'enunciato. Ognuno dei fat-
tori irriducibili di g divide Bf. Poiché gr(B) < gr(g), uno almeno dei fattori non
costanti di g divide f, e quindi f e g hanno un fattore non costante in comune.
Supponiamo che f, gE D [X] siano della forma seguente:
f= a o + a 1 X + ... + anX n ,
g=bo+b]X+... +bmX m ,
anO
b m  o.

438
Appendici
Chiameremo risultante di f e g il determinante R (f, g) della matrice
(m + n) X (m + n) seguente:
a n
o
o
O
a o a}
O a o a}
a n O
o
b o b}
O b o b}
a o al
b m O
b m O
a n
O
O
[A.9]
b o b}
b m
le cui prime m righe sono formate dai coefficienti a o , ..., a n , mentre le successive
n righe sono formate dai coefficienti bo, ..., b m .
A.15 TEOREMA f e g hanno un fattore non costante in comune se e solo se
R(f, g) = O.
Dimostrazione
Supponiamo che f e g abbiamo un fattore non costante in comune. Allora esi-
stono A, BED[X], della forma
A - X X n-I
- -a) -a 2 -... -a n
B = {3} + {32X + ... + {3m xm - l ,
[A. lO]
con a j  O e {3k  O per almeno un j e un k, e tali che Bf= Ag. Quest'identità
implica che
a o {31 = - bOa}
a) {31 + a o {32 == - b l al - b O a 2
[A.II]
a n {3m == - bma n .
Le [A.II] esprimono l'esistenza della soluzione non banale {3., {32' ..., (3m,
a], ..., a n di un sistema di equazioni lineari omogenee la cui matrice dei coeffi-
cienti è la trasposta della [A.9]. Da ciò segue che R(f, g) == o.

A/Domini, campi, polinomi
439
Viceversa supponiamo R(f, g) = o. Allora il sistema [A.II] nelle incognite
{31' {32' ....., 13m' al' ..., Ci. n ha una soluzione non banale in F, il campo dei quozienti
di D, e quindi anche in D, perché il sistema è omogeneo. Dalla forma delle equa-
zioni [A. Il] discende che la soluzione è tale che fXj;é O  {3k per qualchej, k. Ciò
implica che i polinomi [A. lO] soddisfano BI= Ag: dalla proposizione A.14 segue
che I e g hanno un fattore non costante in comune.
Un'utile conseguenza del teorema A.15 è il risultato seguente:
A.16 PROPOSIZIONE Siano f, g E D [X] e sia D'un dominio a jattorizzazione
unica (ad esempio un campo) contenente D. Sef e g hanno unfattore non costante
in comune in D' [X], allora ne hanno uno anche in D[X].
Dimostrazione
Entrambe le condizioni sono equivalenti all'annullarsi di R(/, g), il quale
dipende unicamente dai coefficienti di I e di g.
Il risultante R(/, f') di un polinomio f e della sua derivata si dice discrimi-
nante di I, e si indica con  (f). Si ha la seguente prot>osizione..
A.17 PROPOSIZIONE le D [X] ha un fattore multiplo non costante se e solo
se (f) = o.
Dimostrazione
Supponiamo L1(f) = o. Dal teorema A.15 segue chefedf' hanno un fattore
non costante g in comune, che possiamo supporre irriducibile. Si ha 1= gh e
f' = g' h + gh '; poiché g I l' , si ha anche g I g' h. Dal fatto che gr(g') < gr(g) e
g è irriducibile, segue che glh. Quindi g21/.
Viceversa, se esiste g non costante tale che f = g2k, allora l' = 2gg' k + g2k ' ,
cosicché glf e gli'. Dal teorema A.15 segue che 11(f} = o.
Nel caso in cui D = K, un campo algebricamente chiuso, dal teorema A.15
discende che R (f, g) = O è una condizione necessaria e sufficiente affinché f e g
abbiano una radice in comune. La proposizione A.17 implica invece che l'annul-
larsi di 11 (f) è condizione necessaria e sufficiente affinché f abbia una radice mul-
tipla. Infatti i soli fattori irriducibili non costanti di un polinomio di K [X] sono
della forma (X - Ci.) Ci. E K, e i loro associati.
Siano f, gE K[X 1 , ..., X N ], N;;:: 2.. Se si considerano come poIinomi in X N a
coefficienti in D [XI' ..., X N - 1 ], il loro risultante R(J, g) viene chiamato risultante
di f e g rispetto a X N - R(f, g) appartiene a D [XI' ..., X N _ t1, e viene perciò anche
detto il polinomio ottenuto eliminando X N da I e g.
La costruzione di R (f, g) è una generalizzazione del metodo di eliminazione
di Gauss-Jordan per risolvere i sistemi di equazioni lineari. Tale costruzione può
essere estesa a più polinomi simultaneamente.

440
Appendici
Nel caso in cui i due poli nomi considerati sono omogenei, anche il loro risul-
tante lo è. Più precisamente si ha il seguente teorema.
A.18 TEOREMA Siano
F=An+An-IXN+". +AoX,
G=Bm+Bm-IXN+". +BoX
dove, per ogni j = O, ..., n, k = O, ..., m, Aj e Bk sono omogenei di grado j e k
rispettivamente in XI' ..., X N -- 1 , e AoBo # O. Allora il risultante R(F, G) di F e
G rispetto a X N è un polinomio in XI' ..., X N - 1 omogeneo di grado mn, oppure
R(F, G) = O.
Dimostrazione
Ponendo R(F, G) = R(X 1 , ..., X N - 1 ), si ha
R(tX., ..., tX N - 1 ) 
t n An In -I An I Ao O
O t n An t n - I An-- I ... Ao O...
O
O
=
O lnA n tn-IAn I Ao
tmBm (m-I B m - J Bo O O
O tmBm 1 m - I B m - J Bo O ... O
O
O 1 m Bm t m - l Bm I
Bo
Moltiplichiamo la i-esima riga degli A per t m - i + 1 e laj-esima riga dei B per t n - j + l .
Otteniamo
(P R (tX], ..., tX N - l) =
t n + m An ln"t"m-l An- I
1 m Ao O
o
O
ln+m-l An
(mAl 1 m 1AO O ... O
= O [n+ l An lAo =
ln+m Bm t n + m - 1 Bm_l ... (n Bo O O
O t n + m - I Bm (n - 1 Bo O O
o
= (qR(XI, ..., X N - 1 ),
O t m + I Bm
tBo

B/ Permutazioni
441
dove
( m + l ) ( n + 1 )
p=m+(m-l)+... +l+n+(n-l)+ ... +1= 2 + 2
e
( m + n + l )
q = (n + m) + (n + m - l) + ... + l = 2 ·
Deduciamo
R(tX 1 , ...., tX N - 1 ) == t q - p R(X 1 , ..., X N - 1 ) = t mn R(X h ...., X N - 1 )
e la conclusione segue dalla proposizione A.12 (1).
A.19 Esempi
l. Nel caso n = m = 2, cioè se
F=A 2 +AIXN+AoX
G = B 2 + B1X N + BoX,
si ha
4R(F, G) = ( 2A oB2 - AlBi + 2A2 B O)2 - ( 4A oA2 - Af)( 4B oB2 - Bf).
2. Nel caso m = l, cioè se
F=An+ A n-lXN+." + AOXN'
G = B 1 + BOXN'
si ha
R(F, G) = (- Bo)np(- B 1 /B o ) =
= AoB - AIBoBf-l + A2BBf-2 + ... + (-l)n AnBo.
B Permutazioni
In quest'appendice esponiamo alcune proprietà delle permutazioni degli insiemi
finiti, che vengono utilizzate nella definizione e nello studio dei determinanti.
Sia / un insieme finito. Una permutazione di / è una corrispondenza biu-
nivocap: // Supponiamo che / consista di n elementi. Dopo averli nume-
rati, si può identificare /' con l'insieme {I, 2, ..., n} dei primi n numeri natu-
rali. Ci limiteremo quindi a considerare le permutazioni di {l, 2, ...., n}. Esse
costituiscono un gruppo rispetto alla composizione, consistente di n! = 1 · 2.. .". · n
elementi (la verifica è lasciata al lettore); denoteremo tale gruppo con il simbolo

442
Appendici
Un. Un elemento pE Un viene spesso indicato con una tabella:
(P;l)
2
p (2)
P) )
in cui sotto al numero i compare la sua immagine p(i). Ad esempio, la permuta-
zione identica 1 è rappresentata da
c
2 ... n ) .
2 ... n
Questa notazione non richiede che nella riga superiore della tabella i numeri
l, 2, ..., n siano disposti in ordine crescente: ad esempio, per ogni pE Un la tabella
( P(I) p (2) ... P (n» )
1 2 ... n
rappresenta la permutazione p - I .
Siano al' a 2 , ..., a r elementi distinti di {I, 2, ..., n}. La permutazione k defi-
nita da
k(a l ) = a 2 , k(a;} = a 3 , ... k(a r _ I) = a r , k(a r ) = al'
k(b) = b per ognI bE (al' a 2 , ..., a r },
è un ciclo di lunghezza r, e si denota con (al a 2 ... a r ). In particolare:
( 1 2 ... n-l
(1 2 ... n) =
2 3 ... n
).
Ad esempio (1 3 2 6) E u 6 è la permutazione
( 1 23456 ) .
3 6 2 4 5 1
Ogni ciclo di lunghezza 1 è la permutazione identica. Un ciclo di lunghezza
2 si dice trasposizione. Una trasposizione scambia tra loro due elementi e lascia
fissi tutti gli altri. In particolare una trasposizione è inversa di sé stessa.
Due cicli (al a 2 ... a r ) e (b! b 2 ... b s ) si dicono disgiunti se
{al' a 2 , ..., a r } n {b I , b 2 , ..., b s } = 0.
B.I PROPOSIZIONE
l) Ogni permutazione pE Un è prodotto di cicli a due a due disgiunti.
2) Ogni permutazione pE Un è prodotto di trasposizioni.

B/ Permutazio'!i
443
Dimostrazione
1) Sia al E {l, ..., n} qualsiasi, e siano a 2 = p(a I ) a 3 = P (a 2 ), a 4 = P (a 3 ), ... .
Nella successione
a l' a 2 , a 3 , a 4 , ...
[B.l]
il primo elemento che viene ripetuto è al' perché se la prima ripetizione fosse
a r = a k , 2 < k < r, si avrebbe a r - I = a k - 1 , e la ripetizione non sarebbe la prima.
La [B.1] è dunque della forma
al' a 2 , ..., ar' ah a 2 , ...,
e quindi p permuta ci elica mente gli elementi al' a 2 , ..., a r -
Consideriamo il ciclo (al a 2 ... ar). Se r = n, allora p = (al a 2 a n )
e l'asserto è vero. Altrimenti esiste b 1 E {l, ..., n}\ {ah ..., Or}. Ragionando come
prima si ottiene un ciclo (b 1 b 2 ... b s ) disgiunto dal precedente. Procedendo
in questo modo otterremo un numero finito di cicli disgiunti K 1 , K 2 , ..., K j tali
che
p = K 1 o ... o K 2 0K i .
[B.2]
2) In virtù della (1), è sufficiente dimostrare l'asserto nel c.aso in cui p =
= (al a 2 a r ) è un ciclo. A questo scopo è sufficiente osservare che
(al a 2
a r ) = (al ar) o (al a r _ I) o
o (al a 3 ) o (al a 2 ).
I cicli K I , K 2 , ..., K i , essendo disgiunti, sono a due a due permutabili, cioè la
scrittura [B.2] è indipendente dall'ordine in cui vengono presi. Se nella [B.2] com-
paiono dei cicli di lunghezza l, questi possono essere omessi perché corrispon-
dono alla permutazione identica. Pertanto ogni permutazione si scrive in modo
irridondante come prodotto di cicli disgiunti di lunghezza almeno 2.
Si noti che l'espressione di una permutazione come prodotto di trasposizioni
non è unica. Ad esempio si ha
(1 2 3)=(1 3)0(1 2)=(2 3)0(1 3).
B.2 TEOREMA Sia p E C1 n . Supponiamo che
P - T o T o ... o T - S 0 8 o ... 0 8
- 1 2 h - I 2 k,
dove TI' ..., Th'J SI' ..., Sk sono trasposizioni. Allora h==k (mod. 2), cioè h e k
hanno la stessa parità.
Dimostrazione
Poiché 1 = p o p-l = SI o 8 2 o ... o Sk o Th o ... o T 2 o TI' è sufficiente dimostrare
che la permutazione identica non può essere ottenuta come prodotto di un numero
dispari di trasposizioni.

444
Appendici
Sia
1 = R I o ... o R m'
[B. 3]
con R I , R 2 , ..., Rm trasposizioni. Supponiamo che si abbia Rj = (1 a j ), per ogni
j = l, ..., m. Allora, poiché 1 (a j ) == a j , la trasposizione (1 a j ) == (a j l) compare
un numero pari di volte in [B.3], e quindi il numero m di fattori è pari. Se per
qualche j si ha Rj = (b j , a j ), con b j  l  a j , allora, poiché
(b j , a j ) = (1 b j ) o (I a j ) o (1 b j ),
possiamo sostituire Rj con il prodotto a secondo membro senza cambiare la
parità del numero di fattori della [B.3]. Ci si può quindi ridurre al caso prece-
dente, in cui l'asserto è già stato dimostrato.
B.3 DEFINIZIONE Sia pE un. Se p = TI o T 2 0 ... o T h , con TI' T 2 , ..., Th traspo-
sizioni, il segno di p è €(p) = (-I)h.
Dal teorema [B.2] segue che la definizione di segno di una permutazione p è
ben posta, perché la parità di h dipende solo dap. Il segno €(p) gode delle seguenti
proprietà, che discendono immediatamente dalla definizione.
B.4 PROPOSIZIONE
l) €(l) = l.
2) €(p-I) = €(p) per ogni pEu n .
3) E(p o q) = E (p) E(q).
4) e(T) = -1 per ogni trasposizione TE un.

Risoluzione degli esercizi
 2
o o o o
( 24 + 9 )
1. a)
- 8 + sfl:
b) (_::)
5 O 1 O
c)
o O O O
IO O 2 O
5. l(A + lA) = lA + A = A + lA; t(A - tA) = tA -A = - (A - lA).
Si ha A = 1- (A + lA) + 1- (A - lA) e il primo addendo è una matrice simme..
2 2
trica, mentre il secondo è una matrice antisimmetrica.
l 1 O 3
- -
6. a) 2 + 2
1 O 3 O
- --
2 2
b) G ) + G :)
1 l 1 O 1 -1
- --
2 2
c) 1 -1 O + l O -1
- -
2 2
l O O l l O

446
Risoluzione degli esercizi
lO. c), d) e h) non sono ortogonali, tutte le altre lo sono.
 3
1. a) Soluzione generale: (7 t, 4t, t)
b) (- 2t , - 5 t 2 - 4t 3 .  (t, - t 2 + t 3 ). tI, t 2 . t 3 ) c) incompatibile;
d) incompatibile e) (5 - 2t l - 2t 2 , ti, 3 - 2t 2 , t 2 ).
1 l
-- --
12 6 1 ( 2 2 - i).
4. c) e) -
1 9 2 + i -2
-- O
4
5. a) (O, l, O) b) (1, - i) c) (V2, 1, O).
o 2 1 O
-
O = R2IR, G) R 2 (2) = G :) 2 G )
6. a) 1
-
2 O l
G -I)
b) O = R 2 (2)R 12 (I)R. (- 1)R 12 =
= G :) C :) (-  ) G ).
c) G ) = R 21 G) R 2 G) Rd5)R , (3)
2 l O
d) 1 l O = R, (2)R 21 (I)R I2 (1)R 2 () R 3 (2)
O O 2
1 3 O
e) 2 l l = R 3Z R 21 (2)R 2 ( - 7)R I2 (3)R 31 (2)R 32 (1).
2 -1 O

Risoluzione degli esercizi
447
 4
t. a) base
c) base
e) Il sistema omogeneo
b) dipendenti e non generano
d) dipendenti e generano
l
2
3
o
1 o, + 2 02 +
3 03 == O
3
o
-3
O
possiede soluzioni non banali se e solo se i vettori dati sono linearmente dipendenti.
Risolvendo si trova che il sistema possiede 00 l soluzioni, sicché i vettori sono linear-
mente dipendenti; il sottospazio che essi generano ha dimensione 2 e quindi non è l'in-
tero spazio R 3 .
f) indipendenti
h) base
g) dipendenti e generano
i) dipendenti e non generano.
3. a), i).
4. U contiene i = 1-[(i + j) + (i - j]) e j = [(i + j) - (i - j)]; inoltre U + W contiene
2 2
k = (j + k) - j. Quindi U + W = V perché contiene i, j, k.. La somma non è diretta
perché dim(U) = dim(W) = 2, e quindi, per la formula di Grassmann, dim(U n W) = l.
6. I vettori (1, 1, O) e (O, o l) appartengono a U e sono linearmente indipendenti: poiché
dim(U) < 2, {(l, I, O), (O, O, l)} è una base di 1). Si ha W n u = (O) perché ogni
multiplo non nullo di (1, O, l) è della forma (I, O, t)t t =fi OJP e questo vettore non appar-
tiene a U perché la sua prima coordinata è diversa dalla seconda. Quindi
U + W = U (f) W; poiché U (f> W contiene propriamente U, si ha dim(U Cf) W) = 3, cioè
U(f)W=V.
1]. GLn (K) non contiene la matrice nulla.
12. Identificando Mn(K) con Kl'i, - si identifica con l'insieme delle soluzioni del-
l'equazione di primo grado omogenea au + a22 + ... + a nn = o. Quindi -%- è un 50t-
tospazio vettoriale. Poiché l'equazione precedente possiede oon2-1 soluzioni, si ha
dim(_%) = n 2 -1.
14. Supponiamo per assurdo che esistano n successioni al = {a lO, all, a12, ...}, a2 = {a20,
a2I, a22, ...), ..., 8n = {ano, Un h On2, ...} che generano SK. Allora, per ogni (b o , bI, ...
..., bn)E Kn+l esistono Xh X2, ..., XnE K tali che
b = Xl al + X2 8 2 + ... + Xnft n ,
dove
b = {b o , b h ..., b n , O, O, ...}.
Da ciò segue che
(b o , bJ, ..., b n ) = xJ(aIO, aI1, all, ..., al n) + X2(a20, a2h 0 2 2, ... a2n) + ...
... + xn(anO, a n ), a n 2, ..-, Onn),

448
Risoluzione degli esercizi
cioè gli n vettori
(a IO, alI, a12, ..., al n), (a20 a2I, a22, ..., a2n), ..., (anO a n h a n 2, ..., a nn )
generano Kl2+I: ciò è assurdo, perché Kn-f l ha dimensione n + 1.
17. Ogni polinomio f(X)E.R [X] può identificarsi con un elemento di C(a,b) e quindi
R [X] può considerarsi come un sottoinsieme di C(a,b). Poiché le operazioni in R [X]
sono quelle indotte dalle operazioni in C{o.b), R [X] è un sottospazio vettori aIe di C(a.b).
Poiché R [X] non ha dimensione finita, neanche C(Q, b) ha dimensione finita.
18. I polinomi l, X, X2 ..., X d costituiscono una base di K[X]d.
 5
1. a) 3
b) 3
c) 2.
 6
2. a) Il determinante della matrice dei coefficienti delle incognite è 2 + m, e si annulla
per m = - 2. Quando m  - 2 il sistema è compatibile per il teorema 5.7, e possiede
l'unica soluzione (1, l - m), che può essere calcolata con la regola di Cramer o con
il metodo di eliminazione. Quando m = - 2 il sistema diventa
2X - Y = - 1
-2X+Y=1,
ed è ancora compatibile; esso possiede le infinite soluzioni (t, 2t + 1), tE R.
b) Compatibile solo se m =  ' ed in questo caso la soluzione è ( ' O).
3. b) Se m  O, 2 il sistema possiede l'unica soluzione
( l-m 2 l -m ) .
 , ,
2-m 2-m 2-m
se m = O, possiede le (0) soluzioni (1 + t, l, - t), tE R; se m = 2, è incompatibile.
c) Se m = -1 il sistema è incompatibile; se m = 2, possiede le 00 2 soluzioni
( - s - t, s, t), s, tE R; se m  -l, 2, possiede l'unica soluzione
C(m 1 + l) , 2(m 1 + l) , 2(m l + lJ .
e) Incompatibile se m  2. Se m = 2 possiede le ex> l soluzioni (l, - 2 t, t), t E R.
f) Incompatibile se m = - l. Se m  - l, l il sistema possiede l'unica soluzione
( 3m + 2 , m , m ) ; se m = l, possiede le ex> I soluzioni (2 + t, t 1- t), tE R.
m+l m+l m+l
g) Se m = O il sistema possiede le ex> I soluzioni (t, O, O), t E R; se m = l, possiede le ex> l
soluzioni (- 3 t, t, t), tE R; se m  O, 1 il sistema possiede l'unica soluzione (O, O, O).

Risoluzione degli esercizi
449
4. a) (1, .../2, .../2 )
b) (1, i, - 2i)
c) (2, l, l, -1).
6. I minori di ordine massimo di A presi a segni alterni sono:
ai = (- 1 Y det [A (l 2 . .. n - I Il .. " [ .. . n)] , i = 1, ..., n.
Gli a; non sono tutti uguali a O perché r(A) = n - l. Per ogni j = 1, ..., n - l si ha
ajl al + aj20l2 + ... + ajnfX. n = dt(B),
dove
ajI aj2
aH aI2
B=
a n - Il a n - 12
ajn
al n
a n - In
Poiché B ha due righe uguali, det(B) = O, e quindi (ah ..., a n ) è soluzione della
j-esima equazione del sistema.
 8
( I-Y )
1. a) 2' y, Z
( l-Y )
b) 2 ' y, z
( X 2y 2 2x 4y 1 2ix iy i )
c) 5-5+5' -5+5+5' 5+5+ z -5
d) (x, 1-2x, 4ix+2iy+z-2i).
 9
1. a), c).
2. a) 2X + 3 Y = 6
x y
b) - + - = l.
..J7 172
c) La retta cercata appartiene simultaneamente ai due fasci individuali da J,.- ed j",' ,
e da t e t'. La condizione che la retta di equazione
(1 + 3/) X + 5 Y + (61 - 8) = O,
variabile nel primo fascio, appartenga al secondo è
1+ 3t
lO
l
5 6t - 8
-] -2 =0
-1 -5
cioè t = 7. Pertanto  è la retta di equazione 22X + 5 Y + 34 = O.
29

450
Risoluzione degli esercizi
21 14
3. a) x=-+2t, y=--+4t
13 13
( l! 3- )
4., .
2 2
5. e ' : ) , G ' l:) , c ' ).
l
b) x = - - 5 .J2 t,
2
1
y = - + 7t.
2
 lO
1. a).
3
2. a) m = 2 b) m = - c) nessuno d) nessuno.
4
3. a} x=2t+u, y= ...J2t+u, z=I+(...J2-1)u;
(2 - ) X + 2(1- ..J2) Y + (2 - .J2) (Z -1) = O
b)x=5-4t-8u y=-1+2t+2u, z=..J5t+u;
(11" - 2../5) (X - 5) + (211" - 8../5) (Y + l) + 8Z = O 2
c) x = 1- 3t + u, y = l + u, Z = 1- t + u; X + 2 Y - 3Z = O.
d) x = t, Y = u, Z = O; Z = O.
4. a) X+2Y+3Z-9=0 b) 2X- Y-i=O
c) i Y - 2Z + 3 + 2i = O d) Y - 1=0.
5. a), b), c) no; d) sì.
6. a)x=I+2t, y=l-t, z=t; X+2Y-3=0, X-..J2Z-1=0
b) x = - 2 + t, y = 2 + t, z = - 2t; Z = - 2; X - Y + 4 = O
c) x = l + t, Y = 2 + 2t, z = 3 + 3 t; 2X - Y = O, 3X - Z = O
d) x = t, Y = O, z = O; y = O, Z = O
e) x = 1 + t, Y = l + t, z = - t; X - Y = O, X + Z - 1=0.
7. a) x=it, y=t, z= -1-2t
b) x=t, y=4+3t, z=1-3t
c) x = l, Y = t, Z = 1
d) x = J... - 2. i + (1 - i) t, Y = 2 + t, z = - it.
2 2
8. a) x=l+it, y=l+t, z=O
b) x=l, y=O, z=t
c)x=2+it, y=l, z=-5+t .
d) x = 3 + (...J2 + 5) t, Y =: (3..J2 + l) t, Z = 14t.
9. a) X + Z + 1 = O b) X - Y + 2Z - 5 = O c) X - 2 Y + 3 = o.
lO. a) sghembe
d) sghembe
b) sghembe c) parallele; 3X - 3 Y + 3Z -1 = O
e) incidenti; 2X - 3Z + 8 = o.
Il. a)  cft
c) incidenti, nft = {(- 2, l, 4)}
b) incidenti,  n ft = {( - 6, 17, 23)
d) parallele.

Risoluzione degli esercizi
451
12. a) ZX+ Y-Z- 8 =0 b) 7X- Y+ IOZ-13 =0
c) Y + 3Z - 6 = O d) 3X + 2 Y + Z -12 = o.
13. a) 2X - Y + Z - 1 = O, X - Z - 1 = O
b) X+ Y+Z+3=0. X+I0Y--7Z+4=0
c) 2X - Y = .0, 2X + 2 Y - Z - 3 = O.
14. a) -13X+25Y-8Z+4=0, 3X+7Y-7Z+4=0
b) 3X + 7 Y + 4Z + 2 = O, 13X + 2 Y - 3Z - 32 = O
c) 4X + 6 Y + Z + 3 = O, 2 Y - 3 Z - l = O.
16. 2X - 3 Z - 2 = O.
 Il
( - XI + X2 - X3 - XI - X2 + X3 )
3. P(Xl, X2, X3) = XI' 2 ' 2 .
4. p(x" X2. X3, X4) = 0  . 3 X 4. X3, X4)'
5. a) (XI, X 2 , X 3 }
b) [l . -lix 2 . - 6 X 3]
c) {2X 1 + X 2 - X 3 , 2X 1 + 2X 2 - X3 - XI - X 2 + X 3 }
d) {XI - X 2 , X 2 - X 3 , X 3 }.
 12
1. La matrice cercata ha per colonne le coordinate rispetto a b I dei vettori
F(l 1)=(2, -1, l) eF(O, -1)=(-1,2, O). Quindi
XI Yl
Mb'.b(F) = X2 Y2 ,
X3 Y3
dove XI, YI, X2, Y2, X3, Y3 sono i coefficienti delle combinazioni lineari seguenti:
l l O 2
XI l +X2 +X3 O -
l O l l
l l l
YI l + Y2 -2 +Y3 O - 2
l O l O

452
Risoluzione degli esercizi
Risolvendo i due sistemi così ottenuti si trova:
l O
Mb'.b(F) = l -}.
O O
2.
l O
M"",,(F) = l
O -}
. ( - 3 - 2i
3. 
2 - l - 4i
4- 2i
-4-i )
- 2 - 3i
2i
4. I vettori Vh V2, V3 sono linearmente dipendenti. Se F esistesse, anche le loro imma-
gini E], E 2 , E3 sarebbero linearmente dipendenti, il che è falso perché {E), E 2 , E 3 } è
una base di R 3 .
5. a) Mb,b' = ( 3).
b) Detta e la base canonica, si ha
( ' l
Mb,b' = Mb.eMe,b' =
-1
:r 1 C
:) -
l
2
l
2
1
O
c) Mb,b' = Mb,.M.,b' = C
2 ) -) ( 
2 -5
5
.J5) = _ 3.J5
2
O
.J5
2 2
C-i 1- 2i) l ( l :) .
6. a) Mb.,,' = 1- b) Mb,b' =-
2 1 - 2i 2 - i 2 -i
l O 1 Il -6 7
l l O -1 b) 1 19 12 -lO
7. a) Mb,b' = - --
2 2
l 2 l -18 2 17

Risoluzione degli esercizi
453
x Y l
8. x' = - - + - --
2 2 2
X Y l
9. x' = - - + - + - ,
555
3x y l
,
Y ------
- .
2 2 2
3x 3y
,
y=----.
5 5
41r
IO. x' = 2x - y - z - - ) y' = x - z, z' = - X + y + Z + 7r.
3
Il. Posto Me.b{lv) = (ni.j) Mp.l1(lv"} = (mk/)' si ha
n n
b j = E nijej, 1Je = E mk/{3h
i=) k = I
j, l = l, ..., n.
Calcolando in b j primo e secondo membro della seconda identità troviamo l1/(b j } =
= mj/. D'altra parte
n
1Ji(b j ) = 1],( E nijej) = n/j,
i= I
e quindi mjl = n/j per ogni j, l = l, ..., n.
g 13
t. Detta e la base canonica, la matrice cercata è
M,,(F) = Mb.e(l) Me(F) Me." (I).
Si ha:
l 1 -I 1 -1 1
Me(F) = O 1 .. l  Me.,,(I)  l O l
2 O O O l 1
-1 2 -1
Mb,e(l) = Me,,,(l) - 1= -1 l O ,
l -I l
e quindi
-2 6 l
M,,(F) = -1 3 1
3 -5 l

454
Risoluzione degli esercizi
2. Procedendo come nell'esercizio precedente si deduce che
1 I 1
Mb (F) = 1 3 J
- - --
2 2 2
1 7 5
-- - --
2 2 2
quindi l 6 -2
M b (P2) = M b (F)2 = 3 l l
-
2
5 -4 4
-
2
7 - 8i 6i
3. Mb(F) = 12i lO -9
25i 24 -20
O 1 -1
5. M,,(F) = -3 1 -1
l l -2
9. b = {( l, l, - 1), (1, l) O), (- 1, O, l)}.
2 O O
Mb(F) = O l O .
O O 1
lO. a) Il polinomio caratteristico della matrice assegnata A è T 3 - 6 T 2 + 12 T - 8 =
= (T - 2)3, e quindi l'unico autovalore è À = 2, con molteplicità algebrica h(2) = 3.
La matrice A - 213 ha rango 2 e quindi dim(R) = 3 - 2 := l. A non è diagonalizza-
bile perché la somma delle dimensioni degli autospazi è minore di 3.
b) À. = 2, 3, h (2) = l, h(3) = 2, dim(R1) = dim(Ri) = l; A non è diagonaliz-
zabile.
c) À. = 1, 2, 3, h(l) = h (2) = h(3) = l, dim(Ri) = dim(R?) = dim(Ri) = 1; A è
diagonalizzabile.
d) À. =  l, l, h(-I) = 2, h(l) = l, dim(R 3 _I) = dim{R;) = l; A non è diago-
nalizzabile.
e) À. = 7, O, h (7) = l, h (O) = 2, dim (Ri) = dim (RJ) == l; A non è diagonaliz
zabile.
f) À. =  4, 4, h{- 4) = 2, h(4) = l, dim(R4) = dim(Rl) = l; A non è di ago-
nalizzabile.

Risoluzione degli esercizi
455
Il. :!: l, :!: i.
13. I C - (aÀ. + b) In' = I (a A + bIn) - (aÀ. + b) Inf = la(A - À.In) I = a n I(A - À.In) I = o.
15. La matrice che rappresenta F rispetto alla base canonica è
o l -1
A= -1 2 -1
l -1 2
Posto B = Mh(F), si ha A = MBM- l, dove
l l -1
M = Me.b(l) =
1 l
o
-1 O l
e quindi A 5 = MB 5 M - I. Poiché
-1 l -1
M-- 1 = 1 O 1 
-1 l O
si ha
32 O 0\
B 5 = O l O ,
O O l
-30 31 -31
A 5 = -31 32 -31
31 -31 32
e quindi
F 5 (x, y, z) = (- 30x + 31y - 31z, - 31x + 32y - 31 z, 31 x - 31y + 32z).
 14
1. Gli elementi di U (1) si possono identificare con i. numeri complessi di modulo 1. Defi-
niamo f: U (1)  50(2) ponendo
( a - a b ) .
f(a+ib)= b
È immediato verificare che f è un isomorfismo di gruppi.

456
-
2. a) A = A =  = *A
c) A = , A = *A = ( l.
-1
.J2
-
d) A = , A = *A =
2
i
-
e) A =, A = *A =
4i
b) A = ,
2
3
5
)
-J2i
--
2
.J2
2
4i
--
5
3
5
5
f)  = A = ( 1
l + i
1 - i ) ,
*A = A.
-1
3. a), b), d), e).
( - i
A = *A = O
7. a) f(x, y) = (2x + y + 1 3y -1)
( l 3 5 3 7 3 )
b)f(x,y)= --x+-Y+-, -X--Y+-
2 4 .4 2 4 4
( X Y 1 x Y 1 )
c) f(x, y) = - 4 - 12 + 3 ' 2 - 6 - 3 ·
lO. Wb. c è individuata dalla condizione
y - b = c(x - b),
dove y = Wb.C(X), e quindi
y = b(l- c) + cx,
cioè
Wb.c = TcI,b(l-c).
Risoluzione degli esercizi
J

l l 1 1 l l
4. a) -XIZ2+-X2ZI +-XIY2+- X 2YI +-YIZ2+-Y2Z1
2 2 2 2 2 2
b) XIY2 + X2YI + YIY2 - XIZ2 - X2Z1
c) XIX2 - XIZ2 - X2ZI - YIY2 - Z1Z2
l l
d) 5XIX2 + 3YIY2 + -XIZ2 + -X2ZI
2 2
e) - XI X 2 - 2 X IY2 - 2X2YI + 3YIY2 + 2Z I Z 2 -
O l 1
- -
2 2 O l -1
5. a) l O l r=3 b) l l
- - O ,r=3
,
2 2
-1 O O
l l O
- -
2 2
5 O l
-
l O -1 2
c) O -1 O r=3 d) O 3 O r=3
, ,
-} O -1 1
- O O
-2 O 2
e) 3 O  r = 3.
O O 2
Risoluzione degli esercizi
 15
l. c), e).
2. a) 3XIX2 - 4XIY2 - 4X2Y' - 3YIY2
c) 4XIX2 - 2XtY2 - 2 X2YI + 7 YIY2
e) 3XtX2 + 5 X tY2 + 5X 2 YI + 3YIY2
(-: -4) 4
3. a) , r= 2 b)
-3 9
--
2
(-: -2) (-:
c) 7,r=2 d)
e) (; : ). r = 2 f) (:
457
9 9
b) 4XIX2 - -XIY2 - -X2YI + 5YIY2
2 2
d) XtX2 - XIY2 - X2Yl + YIY2
f) 3XIY2 + 3 X 2YI-
9
2
5
, r= 2
-1 )
1 ' r = 1
: ). r = 2.

458
 16
1. a) {{i, O), (O, l)}  x = ix' , y = y'
b) [(  +  i, O), (O,  )]. x = (  +  i) x' ,
c) [(  ' O), (O,  )), x. =  x', y =  y'
d) {(i, O), (O, 5i)}  x = ix' , y == 5 iy' .
2. a) [(  ' O, O ), (O, O, 2 )' (O,  , O) ), (2, 1)
b) [(O, O,  ), (1, O, O), (O, 1, O)]. (1,1)
c) ({O O, 1) (l,O, O), (O, 1 O)J, {I, 2)
d) [(O, 1, O), (O, O,  ), (1, O, O»), ( 2, O).
Risoluzione degli esercizi
l ,
y=-y
-n.
3. a) Seguendo il procedimento utilizzato nella seconda dimostrazione del teorema 16.1,
si effettua il cambiamento di coordinate x = x' +..! y', y' = y, il quale trasforma q
nella forma diagonale: 3
25
q(x'  y') = 3X,2 _ - y,2.
3
La segnatura è (l, l).
l
b) 4X,2__ y ,2,
16
c) 4X'2+6y'2
9
x=x' +-y' y=y', (l, l).
"8 '
l
x = x' + - y'  y = y', (2, O).
2
d) x 2 , X = x' + y', y = y'  (1, O).
16
e) 3x,.2__ y ,2,
3
5
x=x'--y',y=y',
3
(1, l).
f) In queto caso è evidente che il cambiamento di coordinate x = x' - y',y = x' + y',
trasforma la forma Quadratica nella forma diagonale 6X,2 - 6 y '2. Segnatura: (1, l).
3 O
4. a) -
O 25
--
3
l
O
l
( 3 - 4 )
-4 -3
1
O
l

Risoluzione degli esercizi 459
4 O 1 O 4 9
--
2 l
b) -
O l 1 9 5
-- --
16 2 O l
c) G :) = l O ( 4 -2) (l
1 l -2 7 \0 l
-
2
d) C 0) = C 0) ( l -l) C l)
O O 1 1 -1 1 O 1
3 O 1 O 1 5
G :) --
e) 3
-
O 16 5 1
-- -- l
3 3
f) (: -:)=(-: :) G ) (: -:) .
5. a) Una prima sostituzione x = x', y = y' - x', z == z' riduce q alla forma q(x', y', z') =
= - X,2 + Xl y' + y' z'. Procediamo come nella dimostrazione del teorema 16.1.
Con la sostituzione x,. = x" + 1- y", y' = y" , z' = z" la forma si riduce alla seguente:
2
q(x" , y" , x") = - x" 2 + 1- y,,2 + y" z". Infine, la sostituzione x" = x, y" = Y - 2i,
4
z" = i dà luogo alla seguente espressione per q:
( - -;'\ -2 1.... 2 -2
q X, Y, Zj = - X + - y - z .
4
Scambiando tra loro y e x otteniamo q (x, j, z) = 1- x 2 - j2 - i 2 , dove si è posto
- A - .A - .... S (1 2) 4
x = y, y = x, z = z. egnatura , .
b) X'2+ y '2_ Z I2, x=z' -y', y==x' +y' -z',
z = y' , segnatura (2, l)
c) X,2 - y'Z - 2Z'2, x== x' + z', y ==y', Z == z', segnatura (1,2)
l
d) 5X'2+3 y /2_- Z '2,
20
x=x' --Lz', y=y',
lO
z == z' , segnatura (2, l)
e) 2X'2 + 7y,2 - Z'2, X == z', y = y', z == x' - 2y', segnatura (2, 1).
6. a) La matrice M è ottenuta come prodotto delle matrici corrispondenti alle successive

460 Risoluzione degli esercizi
sostituzioni effettuate; pertanto
l 1 O
1 O O - l O O O l
2 O
M= 1 O O l O O l -2 1 O O -
O O 1 O O 1 O O 1 O 1
1 l -1
-
2
l -1
- - -1
2
O O l
Si ha dunque:
O l l 1 1 -1
- - -
l O O l 1 O 2 2 2
- - -
4 2 2 l 1 l
- O - -1 -1
O -1 O - l -1 O 2 2 2
O O -1 -1 -1 l 1 l O O O l
- -
2 2
c) O -1 O - O 1 O
l
b) O
O
O
l
O
O
O -
-1
O O
1
O 0-2
O
l
O l O
l 1
] -1 O
O l
1 l
O
-: (: -:
1 -1
1 O O
l O -1 l O 1
O -1 O O l O
l O l -1 O -1 O O 1
5 O O l O O 5 O 1 l
- 1 O
--
2 lO
d) O 3 O - O l O O 3 O
O l O
O O l l O l l
- -- O O
20 10 - O O l
2
e) O 7 O - O l - 2
2 O O
O O -1
l O O
O O 2
1 -1 -2 O O O 1
O O
l -2 O
3 O O
l O

Risoluzione degli esercizi
461
 17
6. dim(W) = 2; base orto normale di W:
[VI (  ,  , 0,  ), V2(  ' - J6 ' 0, -  ));
vettori che la completano a una base ortonormale di V:
V3(0, 0, 1, O), V4 (o, -  ,0,  ).
[( 2 l ) ( 1 2 2 2 )
7. a) .J5 ' 0, 0, .../5 ' - ..Jf3 ' ..Jf3 ' ..Jf3 ' ..Jf3 '
(  '  ' 3 '7 3 , - ..J33) J
b) [( -  , 0, J3 '  ) ,(  ,  , 0,  ) J
f ( 1 l 1 1 ) ( 1 2 1 ) ( l l )J
c) l 2' 2' -2' 2' ..J6 ' 0, ..J6 ' ..[6 ' ..J2 ' 0,0, - ..J2 .
f ( -J2 -J2 ) ( 2 i ) J
8. l 0, 2' 0, 2 ,O, 0, o, O), 0, - 2' o, 2 ,(O, 0, 1, O) .
9."[0,0,0, O), (-  , 1,0, o), (0,0,1, O) (0,0, -  , 1)).
 19
6
2. a) -
.J5
b) 1-.
5
3. X - Y - 2Z - 3 = X + 3 Y - Z - 2 = O.
4. 5X - 6 Y + 2Z + 7 = O.
5. X + Y - 3 = O, Z = I.
X-3 Z-1 4
6. : = Y - 2 = ; d(,.t-) = -.
3 5 .JIO
. 3X l 6Z
9. a) PerpendIcolare comune: - + - = 6 Y + 3 = - - + l;
225
5
d(, .t-) = .  .
'\f 42
lO. a) X 2 + y2 - 6X + 8 Y + 24 = O
7
c) X 2 + y 2 - 2X + 2 Y + - = o.
4
b) X 2 + y2 - 2X - 4 Y + 3 = O

462
Risoluzione degli esercizi
Il. a) C = (3, - 4), r= 5
b) C = (- 4, 5), r = 3.
 20
l. a) Poiché è un'isometria diretta, f è della formaf{x) = x + c per qualche CE R. Per
la condizione f(l) = 7r dev'essere c = !!..- -1. Pertanto f(x) = x + 1f' -1.
2 2 2
b) f(x) = - x + 1f' - 2.
2. a) f(x y) = (- x, y) b) f(x, y) = (- y, - x)
c) f(x, y) = ( 1-x+ -! y, x _1- Y )
555 5
( 5 12 12 5 )
d) f(x y)= -x+-y, -x--y
13 13 13 13
e)f(x,y)=(-y+l, -x+l).
3. a) f(x, y) = (x + 1, y + l) b) f(x y) = (x + 1, - y + l)
c) f(x, y) = ( 1- x +-!y, x-1-; )
555 5
d) f(x, y) = ( - x+ 1- y - B-, 1- x +  y +  ) .
5 5 5 5 5 5
4. a) f(x, y, z) = (y x, z)
( X 2 2 2 y 2 2 2 Z )
b) f(x. Y. z) = 3-3 Y -3 z . -3 x +3-3 z . -3X-3Y+3
c) f(x, y, z)= ( +2y_2z, 2x+L+2z, -x+y+ )
3 3 3 3 3 3 3 3 3
d) f (x y  z) = ( _1- x +  z -  , y,  x + 1- z +  )
5 5 5 5 5 5
e) f(x, y, z)= ( +y_..!z+ 16 , x+.L+z-,
99999999
-  x +  y + 2- z +  ) .
9 9 9 9
5. a) f è l'identità. b) f(x, y, z) = (- x, y, z).
6.  incontra ft nel punto P = ( - 1.., - -L,  ) . La retta ' contiene P ed il sim-
244
metrico di un qualsiasi punto di z" ad esempio di (O, O, l), il cui simmetrico è
Q = ( - 2, - 2, 1.. ) . Pertanto z,' è la retta di equazioni cartesiane:
333
5X - 2 Y + 2 = O, X - Z + 1 = O.

Risoluzione degli esercizi
463
L'esercizio può essere risolto calcolando direttamente la trasformata di t" rispetto
alla riflessione definita da Iv (cfr. esercizio 4(b». Si trovano per la retta ' le equa-
zioni 5 X - 4 Y + 2Z = O, X - Z + 1 = O.
 22
2 l 1 1
- - - --
I. a) 5  b) 2 ..J2
1 2 1 1
-- - - -
   .J2
3 l
-- --
v'W d) -J2
c)
l l
- -
O .J2
2. a) La trasformazione- ortogonale è quella che fa passare dalla base canonica ad
una base ortonormale costituita da autovettori della matrice di q. Gli autovalori
sono À = 1, 4. L'autospazio Ai ha dimensione 2 ed una sua base ortonormale è
[( 1 - l ) ( - 2 1 1 ) . R 3 h d . . l -
O, ---:-, -, -, - , - . L'autospazlo 2 a ImenSlone e un suo
2  2 .J6..J6..J6
, ( 1 1 l ) Q . d * l c. 1 ..
versore e -  -, -. uln l a tras1ormaZIone ortogona e e
..J3 ..J3 -J 3
O -2 l
XI - - Yl
-J6 -J3
1 1 l
X2 - - - Y2
.J2 -J6 -J3
1 l l
X3 -- - - Y3
v2 -J6 -J3
La corrispondente forma. diagonale è q(Yh Y2, Y3) = Y + Y + 4y*
b) Forma diagonale: q(YI, Y2, Y3) = - 2y - 3Yi + Y. Trasformazione ortogonale:
1 O 2
Xl - - YI
-J3 
1 1 l
X2 - - - - Y2
 .J2 .J6
1 1 1
X3 -- - -- Y3
-J3 -J2 .J6
c) Forma diagonale: q(Yh Y2, Y3) = - Y - Y + 3y. Trasformazone ortogonale:
l O l
- -
Xl -n. Y2. Yl
X2 - O l O Y2
X3 l l
- O -
{2 {i

464
Risoluzione degli esercizi
fi 23
1. c), e).
2. a), c), e).
3. [(  . -  , o), (  ,  , o), (O, O, j)].
4. a) A possiede gli auto valori À = O, 2. I corrispondenti autovettori ( -L, -  ) e
V2 .J2
( .l, -L ) costituiscono una base ortonormale di C 2 rispetto al prodotto hermitiano
.J2.J2
standard; pertanto la matrice cercata è:
l l
-
 .J2
M=
1 l
--
 .J2
 i
-
b) M= 2 2
l ..J3
-
2 2
 24
1. a) (2i - 3)X o + (2i + I)X i - 4X 2 = O
b) - (1 + i)X o - 2X I + (1 + i)X 2 = O
c) 2iX o - Xl = O.
3. 6X o + 2X. - 5X 2 = O.
4. 1rP.H(Ql) = [1,2, O, O], '1rP,H(Q2) = [1, l, -1, -1], 1C"p,n(Q3) = [3,5, l, -1],
1rP.H(Q4) = Q4.
5.  ed J-" sono sghembe.
6. J, = L (P, )n L (P, ').
7. a) L(P, ) è il piano contenente P e due punti di , per esempio [O, O, 2, l] e
[1, - 2, l, O]. Similmente L (P, t-') è individuato da Pe da [O, 3, 2, O], [2, l, O, - 2] E'.
QuindiJ, = L (P, ) n L (P, ') ha equazioni 3X o + 2X. + X 2 - 2X 3 = O, 3X o - 2X t +
+ 3X 2 + 2X 3 = o.
b) J, ha equazioni cartesiane: 4X o - 3X I + X 2 + X 3 = O, 7 Xo - 3X I + X 2 + 2X 3 = O.

Risoluzione degli esercizi
465
 25
l. a) [O 1, - 3]
b) [O 2, I]
c) [O, - 3, 2i}
d) [O, O, 1].
2. a) 3X t + X 2 + Xo = O
c) 2iX t + 3X 2 + 9X o = O
b) XI - 2X 2 - Xo -: O
d) Xl + Xo = O.
3. a) - 4X + Y + 7 = O
c) 2iY-X+i=0
b) 2X - Y + i = O
d) 2 Y + 1 - i = O.
4. a) [3. + i, - 1, - l]
b) [1, l, 1]
c) [O, 3, I].
5. La giacitura del piano di A 3(R) cercato è generata dalle direzioni di  ed J-". Impo-
nendo il passaggio per il punto assegnato, si ottiene il piano di equazione in coordi-
nate omogenee: Xo - X 2 - X 3 = O.
 27
l -2 2
1. a) A = l -1 b) A =
I -2 -1
-1 2 1
c) A = l -2 l
I O -1
2. f([xo, XI]) = [xo - 3XI, Xo + Xl].
1 2-2
-1 2
1 1-1
4. a) fpossiede i 3 punti fissi [3 2, -4], [4, 2, -5] [1, l, -2].
b) f fissa tutti i punti della retta di equazione Xo + XI = O, e il punto [O, O 1].
 28
1. a) XOX I + 2X; - X = O, [O, 1, O]
2 2 4 .
b) Xl X 2 - Xo = O, [O, l, O], [O, O, 1]
c) 3XX2 + X O X 1 X 2 + XIX = O, [O, l, O], [O, O, 1];
d) X I 2 X 2 - XI Xi + xf Xo - x 2 xJ = O, [O, l, O], [O, O, l], [O 1 1].
2. a) e b) non sono simmetriche rispetto all'origine né rispetto ad alcuno degli assi coor-
dinati; c) è simmetrica rispetto all'origine e rispetto ad entrambi gli assi coordinati.

466
Risoluzione degli esercizi
 31
2. a) Poiché
1
1 1 1
- -
I 2 2
-
2 = 2. > O, 1 1 = 1-  O,
- l -
4 2 2 2
1 1 1
- - 1
2 2
1
2
:£' è un'ellisse non degenere, in particolare è una conica a centro. Inoltre il punto
( - l, - 1) appartiene a . _ e quindi  è un' ellisse a punti reali. Le coordinate del
centro sono la soluzione del sistema
1 1 1 l
X + - Y + - == O, -X + Y + - = O
2 2 2 2
e quindi C = (-  , - ) . l punti impropri [O, x.. xJ hanno per coordinate le
soluzioni dell'equazione Xf + xi + X i X 2 = O, e sono pertanto [O, - 1 +..["3 i 2],
[O, l + .J3 i, - 2].
b) Iperbole non degenere. C = (O, O). Punti impropri: [O, 5, l], [O, 1 5].
c) Parabola non degenere. Punto improprio: [O, 1, l].
d) Iperbole non degenere. C:::: (O, O). Punti impropri: [O, 3, 1], [O, -1, 3].
e) Iperbole non degenere. C = (- ..J3 l). Punti impropri: [O, l, O], [O, -1, v'3].
f) Parabola non degenere. Punto improprio: [O, 4, - 3].
g) Ellisse a punti reali. C = (O, O). Punti impropri: [O, - 2 + i.J6, 2], [O, 2 + i..J6, - 2].
h ) Ell. . l . C ( -J i .J2 ) P .. . [ .  3
lsse a puntI rea l. = - -, -. untI ImproprI: O, -1 + 2v2, ]
[O, 1 + 2, - 3]. 2 2
3. a) Poiché il centro di :e è C = (-  ' - ) la traslazione
x = X' _1-, y = Y' - 1-
3 3
trasforma :e nella conica di equazione
X,2 + y,2 + X' Y' -  = O
,
3
l
1
2
1
della forma qua-
che ha centro nell'origine. Gli autovalori della matrice
1
2

Risoluzione degli esercizi
467
dratica X,2 + y,2 + X' Y' sono À =1-, 1-, con autospazi
2 2
R /2 = < ( - l, l», R /2 = < (l, 1».
La base ortonormale [( -L, - -L ) , ( -L, -L )] consiste di autovettori ed è
V2 Y2 V2 {2
concordemente orientata con la base canonica. In corrispondenza otteniamo la rotazione
X" Y"
X' =-+-,
Y2 Vi
X" X"
Y' =--+-
v2 Vi
l l
di matrice V2 V2. Sostituendo troviamo la conIca di equazione
l l
--
V2 V2
1- X" 2 + 1- Y" 2 - -.! = O. La forma canonica è pertanto 2- X"2 + .2.. Y,/2 = l.
22388
L'isometria cercata è la composizione della traslazione e della rotazione effettuate,
. , X" Y" l , X" Y" 1
Cloe: X=-+---, Y == --+---.
V2 V2 3 V2 Vi 3
X' Y I X' Y'
b) Isometria: X=---, Y=-+-.
Vi -ti V2 Vi
X' 2 y,2
Forma canonica: - - - = l.
4 9
. X' Y' X' Y'
c) Rotazione: X=---, y=-+-.
V2 vi V2 V2
Traslazione: X' = X" + {2 Y' = Y " _--L.
, .
8 2V2
Forma canonica: y,,2 = V2 X n .
2
X' 2 2 Y'
d) Isometria: X=- -- Y', Y=-X' +-.
V5 V5 Y5 V5
X/2 y,2
Forma canonica: - - - = l.
2 2
e) Isometria: X = X' - v3 Y' - V3, Y = V3 X' + Y' + l.
2 2 2 2
Forma canonica: 3X,2 - y,2 = 1.
f) I . X 4 X I 3 Y ' Y 3 X I 4 Y '
sometrla: = - + - , = "- - + - .
5 5 5 5
Forma canonica: y,2 - 2X' = O.
) I . X 2 x , Y' Y XI 2 Y '
g sometrIa: =- +-, = --+- .
V5 Y5 V5 V5
XI2 y,2
Forma canonica: - + - = l.
12 2

468
Risoluzione degli esercizi
X' Y' V2 X' y' 
h) Isometria: X=----- y=-+-+-.
-ti  2 0V'i V2 2
Forma canonica: 2X,2 + y,2 = l.
4. a) X + Y + 2 = O
X-Y=O
b) 2X + 2 Y -1 = O,
x Y
-+-+1 =0
2 2
c) Y - 3X = O,
X+V2Y=O
d) X + Y = O.
 34
2. a) La curva contiene l'origine perché la sua equazione non ha termine costante; i termini
di grado più basso sono quadratici, e quindi l'origine è un punto doppio per  Poiché
X 2 + y 2 = (X + iY) (X - iY), le tangenti principali nell'origine hanno equazioni:
X + iY == O, X - iY = O.. Le coordinate [O, Xl X2] dei punti impropri sono radici dell'e-
quazione ottenuta annullando i termini di grado massimo, cioè di Xl(X 1 - 2X 2 ) = O,
e quindi i punti impropri sono: [O, l, O], [O, 2, 1]. Poiché la retta impropria interseca
:£ in [O, 2 I] con molteplicità l, l punto [Ot 2, 1] è semplice per :£ e la retta impro-
pria non è la tangente. Quindi :£' ha un asintoto in corrispondenza a questo punto
ed esso ha equazione X - 2 Y = c per qualche cEC. Per determinare c si considerano
le intersezioni di -Cf! con la retta variabile di equazione precedente, e si ottiene l' equa-
zione in Y
(c - 5) y2 - 4cY - c 2 = o.
Poiché il grado di quest'equazione si abbassa per c = 5, la retta di equazione X - 2 Y = 5
ha due delle sue tre intersezioni con  raccolte nel punto improprio, e quindi è l'asin-
toto cercato.
Procedendo in modo simile con l altro punto improprio si trova che esso è semplice
per  con tangente la retta impropria.
b) L'origine è un punto semplice, con tangente di equazione X = O. L'unico punto
improprio è [O, 1, l], che è un punto doppio ordinario con tangenti principali la retta
impropria e la retta di equazioe X - Y - 2 = O, che è pertanto un asintoto di .
c) L'origine è un punto triplo ordinario, con tangenti principali:
Y = O, 2X - Y = O, 2X + Y = O.
Punti impropri: [O, O, l] [O, l, l] e [O, l, -1] semplici, con tangenti rispettivamente
la retta impropria e le rette X - Y = 1-, X + Y = _1-.
2 2
f) L'origine è un punto doppio non ordinario (che non è una cuspide ordinaria), con
tangente principale Y = O. L'unico punto improprio è [O, O I], che è semplice con tan-
gente la retta impropria: è un flesso di specie 3.
3. a) rfo:XO=O, rF:X1=0, r F :X 2 =0, r u :-4X O +X 1 +2X 2 =0,
o 1 2
r p : - 2X o + XI + 3X 2 = O.
b) r F :X 2 = O, r p :2X I - 3X 2 = O, I\.: - 3X 1 + Xo = O,
o 1 2
ru:xo - Xl - 2X 2 = O, r p : 3X o - 5X 1 - 5X 2 = O.

Risoluzione degli esercizi
469
4. Le rette cercate sono le tangenti a  nei due punti  () r p. La polare r p ha equa-
zione Xo + X 2 = O, e interseca :£' nei punti [1, :f:: V2" l]; le corrispondenti tangenti
hanno equazioni Xo =F V2 Xl + X 2 = O.
g 35
l. Il determinante si annulla se e solo se esiste una relazione di dipendenza lineare tra
le colonne della matrice, cioè se e solo se esistono aoo, 2aOh 2a02, all, 2a12, a22 E K
non tutti nulli tali che si abbia:
aJ aOa] aOa2 a:
bJ bob l b o b 2 bt
aoo cJ + 2aOl COc] + 2 a 02 COC2 +all ct +
dt do dI d o d 2 dt
e eOe] eOe2 e
10 2 fo/. !oh i?
a]a2 a? O
b]b 2 bi O
+ 2a.2 C]C2 + <:l22 cf O
-
d J d 2 df O
e)e2 el O
!t/2 fl O
Questa condizione equivale all'appartenenza dei 6 punti assegnati alla conica di
equazione
<:lOOX02 + 2<:101XOXI + 2a02XOX2 + aIlX. 2 + 2aJ2 X ]X 2 + <:l22Xl = O.
5. Supponiamo che le coniche del fascio abbiano equazione
lF(X o , XI, X 2 ) + p,G(X o " X., X 2 ) = O, (À., IL) E K 2 \ {(O, O»).
Se
F(X o , X., X 2 ) = tXAX, G(X o , XI, Xo) = tXBX,
dove A = (ai) e B = (bij) sono le matrici delle due coniche, allora
ÀF(X o , XI, X 2 ) + p,G(, XI, X 2 ) = .X(ÀA + p. B) X
e le coniche degeneri corrispondono alle coppie (À., JL) tali che
det(lA + p,B) = o.
Questa è un'equazione omogenea di grado 3 in l, IL, che ha al più tre soluzioni distinte:
quindi le coniche degeneri del fascio sono al più 3.
Se il fascio ha 4 punti base distinti Pt, P 2 , P 3 , P 4 , allora questi punti sono a tre a tre

470
Risoluzione degli esercizi
non allineati, e le tre coniche riducibili
L(P h P2) + L(P 3 , P4), L(P 1 , P 3 ) + L (P 2 , P4), L(PJ, P 4 ) + L (P 2 , P 3 )
sono distinte e appartengono al fascio.
 36
l. L'hessÌana ha equazione X O X 1 X 2 = O. Quindi i flessi sono i 9 punti di intersezione di
!Il con le rette Xo == O, X) = O, X 2 = O, e si verifica immediatamente che essi coinci-
dono con i punti assegnati.
3. Sono le 4 cubiche di equazioni seguenti: .
XOXI X 2 == O,
(X o + XI + X 2 )(f 2 Xo + EX. + X 2 )(X O + EX. + €2 X 2 ) = O,
(X o + €2 Xl + e 2 X 2 )(e 2 Xo + XI + f2 X 2 )(€2 Xo + €2 Xl + X 2 ) = O,
(EX o + XI + X 2 )(X O + €X. + X 2 )(X O + XI + eX 2 ) = O,
ognuna delle quali è riducibile in 3 rette distinte. Queste 12 rette si ottengono congiun-
gendo in tutti i modi possibili 2 dei 9 punti base del fascio.
4. È sufficiente dimostrare che J'hessiana di ogni cubica del fascio contiene i punti base.
L'hessiana della cubica corrispondente ai valori l, m dei parametri ha equazione
6lX o mX 2 mX 1
mX 2 6lX 1 tnX o = o.
mX 1 mX o 6lX 2
È immediato verificare che le coordinate di ognuno dei punti base annullano il deter-
minante a primo membro.

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[16] WeyI H., Symmetry, Princcton University Press, Princeton 1952 [trad. it. La simmetria, FeItri-
nelli, Milano 1962].

Elenco dei simboli
Mm.n(K), Mn(K) 23 Affn(K) 179
In 25 T A , WO. c 181
GLn(K),O(n) 29 fA.c 183
R '. R (l R fJ.(c) 44 D 2 m (f n 189
l)' l , l}
(f) 52 Jk, Ob, Oh 192
< ) 54 a"¥ (W) 196
v(ah ..., Qn) 56 Il V Il 210
dim (V) 58 (/J E (J (mod. 2 '1") 219
Eh ..., En 59 .....
Re, ab 220
tr (A) 65 v I 1\ V2 224
r(A) 68 En 227
A (il ... ipljl ...jq) 70 d(P, Q) 228
E,Il 73 d(Po, ) 230, 233
det(A), JA I, det(aij) 74 d(Po, ft) 233
cof(A) 79 d(, l) 234
V(xJ, ..., x n ) 88 S(C, r), D(C, r), sn-J, Dn 236
Va, An{K), Del." e n 92 j}' 237
Po ... P N 94 O(V) 244
(fc(P) 95 SO (V) 245
SII T 105 Isom (E) 247
V/W 106 Isom + (t:) 248
Ps.u 109 Simil (E) 252
Hom(V, W), End(V), V", GL(V) 133 p"¥, PH 252
N (F) 137 Ob(V) 254
Im(F), r(F) 138 Sp(2k, K) 255
V"v 144 Ae 257
MW t v (F) 147 Re. o 258
FA 149 Xe, Zo 267
Me (F) 160 J n . À 272
det (F) 161 P(V), pn(K), [v], [Xo, ..., Xn]
VI. (F), V). (A) 163 eo ... e n , P[XJ, ...., Xn] 284
p A (T) 165 L(J), L(PJ, ..., P t ) 287
PF(T) 166 L (SI, S2) 289
,(S) 175 Cp(J), 1fp, H 291
SLn(K), SO (n) 176 Gk(V), G(k, n) 294
U (n), SU (n) 177 C(J) 296
Aff (A) 179 lo 299

474 Elenco dei simboli
jj 300 mp<-ce) 390
loPo + À1P I 303 rp(.) 402
 An
V 304 403
ÀoP o + ... + ÀnPn 311 An(PP, ..., P[t) 406
p", O 313 e p. t, 409
Al (8) 314 j() 414
li' 315 O[X] 423
PGL(p), PGLn+I(K) 322 D [X h ..., X N - 1 , X N ] 424
(3(P 1 , P 2 , P 3 , p 7 325 K(X), ..., X N ) 426
j() 326 MCD(I, g) 428
j (P h P2, P 3 , P 4 ) 327 dI al
gr <-)f) 339 dX ' - 431
ax;
T() 341 (:)
r(.1f) 355 432
r(fd) 358
- + ... +-% 381 R (I, g) 438
I (5$', ; Po) 386 (f) 439

Indice analitico
Affinità, 178
Angolo(i):
convesso, 217
tra due. piani, 232
tra due rette, 229
di una rotazione, 257
orientato, 219
tra due semirette, 237
tra due vettori, 220
tra una retta e un piano, 232
di Eulero, 267
Applicazione:
antilineare, 146
di dualità, 313
di passaggio a coordinate omogenee (non omo-
genee), 299
lineare, 132
associata ad una matrice, 149
Area di un parallelogramma, 238
Argomento (principale) di un numero complesso,
221
Asintoto, 393
di un'iperbole, 374
Asse(i):
coordinati, 110
di simmetria di una curva, 344
di una riflessione, 253, 258
di un fascio di piani, 127
Automorfismo di uno spazio vettoriaIe, 133
Autospazio, 163
Autovalore, 163
Autovettore, 163
Baricentro, 311
Base (finita), 56
canonica dì K n,59
duale, 142
ortogonale (o diagonalizzante), 197, 275
ortonormale, 211, 275
Birapporto, 325
Campo, 421
algebricamente chiuso, 429
dei quozienti di un dominio, 425
delle funzioni razionali, 426
Caratteristica di un dominio, 422
Centro:
di simmetria di una curva, 344
di simmetria di un insieme, 182
di una conica, 364
di un fascio di rette, 112
Cerchio, 236
di Moebius, 331
Chiusura proiettiva:
di una curva affine, 343
di un iperpiano, 308
di un sottospazio affine, 309
Ciclo, 442
Circonferenza, 236, 372
Classe resto, 188
Codimensione di un sottospazio:
proiettivo, 285
vettoriale, 63
Coefficiente:
di Fourier, 196
di una combinazione lineare, 53
di un polinomio, 423
Cofattore, 79, 82
Combinazione lineare, 53
Complemento algebrìco, 79, 82
Componente:
di un vettore di K n, 19
fissa, 406
irriducibile, 381
multipla, 381

476
Condizione(i):
di complanarità di due rette, 125
di parallelismo di due piani, 122
di parallelismo retta-piano, 125
di tangenza, 408
indipendenti, 406
lineare, 404
Configurazione duale, 317
Conica, 338
a centro, 360
degenere (semplicemente o doppiamente), 355,
360 .
Cono:
isotropo,202
proiettante, 291
su un insieme, 296
Coordinate:
affini, 92
baicentriche, 311
omogenee (o proiettive), 284
di iperpiano, 313
standard, 285
pluckeriane, 294
polari, 237
Cubica:
armonica, 419
equianarmonica, 419
Curva( e) aIgebrica( e):
affine, 338
affinemente equivalenti, 341
complesse coniugate, 348
congruenti, 341
hessiana, 399
irriducibile (riduci bile), 381
non singolare (singolare), 390
proiettiva, 339
proiettivamente equivalenti, 341
proiettificata di una curva affine, 343
reale, 348
ridotta, 381
simmetrica rispetto ad una retta, 344
simmetrica rispetto ad un punto, 344
Cuspide ordinaria, 396
Derivata di un polinomio, 431
Determinante, 73
di Vandermonde, 88
hessiano, 399
Determinazione (principale) di un angolo, 219
Diametri di una conica, 365
Dimensione:
di uno spazio affine, 9]
di uno spazio proiettivo, 284
di uno spazio vettoriale, 58
di un sistema lineare di iperpiani) 315
Direttrice(i):
Indice analitico
di un'ellisse, 373
di un'iperbole, 374
di una parabola, 375
Direzione:
di una retta, 93
di un fascio improprio di rette, 113
Disco, 236
Discriminante, 439
Distanza:
tra due punti, 228
tra due rette, 231, 234
punto-piano, 233
punto-retta, 230, 233
Disuguaglianza:
di Schwarz, 210
triangoIre, 211
Dominio, 422
a fattorizzazione unica, 426
Eccentricità:
di un'ellisse, 372
di un'iperbole, 374
di una parabola, 375
Ellisse, 361
Endomorfismo, 132
Equàzione(i):
di una curva, 338 sg.
di una retta affine, 101
di una retta proietti va, 289
di un iperpiano, 104, 286
di un'ipersuperficie, 346
di un piano, 121
di un sottospazio affine, 101, 104
di un sotto spazio proiettivo, 286, 288
lineare (di primo grado), 33
omogenea (non omogenea), 33
Equipollenza, 14
Estensione di un campo, 422
Fascio:
di circonferenze, di ellissi, di iperboIi, di par
bole, 409 sg.
di curve, 404
di iperpiani, 314
di piani (proprio, improprio), 127
di rette, 314
improprio, 113
proprio, 112
sizigizietico di cubiche, 419
Fattorizzazione, 426
Figura( e):
affinemente equivalenti, 185
congruenti, 250
geometrica affine" 185
proiettivamente equivalenti, 324
Flesso, 397

Indice analitico
Forma:
bilineare (simmetrica t antisimmetrica, alterna),
190
alterna standard, 195
anisotropa, 202
degenere (non degenere), 195
polare di una forma quadratica, 198
simmetrica standard, 191
canonica:
delle coniche affini, 361
delle coniche euclidee 365
dele coniche proiettive, 356
delle quadriche affini, 368
delle quadriche euclidee, 380
delle quadriche proiettive, 358
di J ordan, 272
hermitiana, 273
definita, semi definita, 274
quadratica, 197
definita, semidefinita, 207
di Minkowski, 208
indefinita, 208
iperboIica, 200
n-aria, 199
Formula:
del cambiamento di coordinate, 150
affini, 156
omogenee, 320
di Grassmann:
proietti va, 290
vettoriale, 63
Funzionale lineare, 133
Fuoco(i):
di un'ellisse, 372
di un'iperbole, 374
di una parabola, 375
Generazione proiettiva delle curve piane, 410
Giacitura:
di un fascio improprio di piani, 127
di un sottospazio affine, 93
Glissoriflessione, 260, 268
Glissorotazione, 269
Grado:
di una curva, 338 sg.
di un polinomio, 423
Grassmanniana, 294
Gruppo(i), 175
abeliano, 175
affine, 179
ciclico, 188
cristallografici piani, 262
dei fregi, 262
delle similitudini, 251
di Coxeter, 254
diedrale, 189
477
di isometrie, 247
di una figura, 249
di Lorentz, 255
discontinuo, 253
di trasformazioni, 177
affini, 179
finitamente generato, 188
lineare t 176
generale, 176
proiettivo, 322
speciale, 176
ortogonale (speciale), 176, 244 sg., 254
quadrinomio (o di Klein), 264
simplettico, 255
unitario (speciale), 177
Identità:
di Eulero, 433
di Lagrange, 226
pitagorica, 216
Immagine di un'applicazione lineare, 138
Indice di positività (negatività), 207
Insieme:
convesso, 99
limitato, 239
ortogonale (ortonormale) di vettori, 211
Inviluppo convesso, 99
Iperbole, 361
I perpiano(i):
affine, 94
coordinato, 105, 286
di simmetria, 253
improprio, 299
proiettivo, 285
Ipersuperficie, 293, 346
Isometria, 247
Isomorfismo:
di domini, 425
di gruppi, 177
di spazi affini, 178
di spazi proiettivi, 322
di spazi vettoriali, 133
Lunghezza di un segmento, 238
Massimo Comun Divisore, 428
Matrice(i), 21
antisimmetrica,. 25
associata a un'applicazione lineare, 147
congruenti, 194
dei coefficienti di un sistema, 35
diagonalizzabile, 162
di PauIi, 66
di una conica, 355
di una forma bilineare, 192
di una proiettività, 323

478
di un cambiamento di coordinate, 150
di un operatore lineare, 160
di Vandermonde, 88
elementare, 44
hermitiana, 274
hessiana, 399
invertibile, 28
nilpotente, 31
orlata, 36
ortogonale, 29
quadrata, 22
simili, 161
simmetrica, 25
definita, semidefinita, indefinita, 208
trasposta, 22
triangolare, 25
unitaria, 177
Metodo:
dell'inversa, 44
di eliminazione di Gauss-Jordan, 38
di Laplace, 84
Minore(i), 78
orlati, 85
Modulo:
di una quaterna di punti, 327
di una cubica, 414
Molteplicità:
algebrica (geometrica) di un autovalore, 170
d'Ìntersezione retta-curva, 386 sg.
di una componente irriducibile, 381
di una curva in un punto, 390
di una radice, 429
di un fattore, 427
di un punto base, 406
n-spazio numerico:
affine, 92
proiettivo, 284
vettoriale, 18
Nodo, 396
Norma (lunghezza) di un vettore, 210
Notazione a blocchi, 29
Nucleo di un'applicazione lineare, 137
Omomorfismo:
di domini, 424
di gruppi, 177
Omotetia, 181
Operatore(i) Iineare(i), 132
aggiunti (trasposti), 246
antisimmetrico, 247
autoaggiunto (simmetrico), 247
diagonalizzabile, 162
unitario, 243, 276
Operazioni elementari, 38
Orientazione:
Indice analitico
di uno spazio affine, 157
di uno spazio vettoriale, 151
Parabola, 360
cubica di Newton, 351
Parallelepipedo, 98
Parallelogramma, 98
Permutazione, 441
Perpendicolare comune, 234
Piano(i):
affine, 92
coordinati, 120
ordinario, 13
ampliato, 305
perpendicolari (o ortogonali), 232
proiettivo, 284
Polare, 402
Poliedro convesso, 239
Poligono convesso, 239
Polinomio, 423
caratteristico, 165
costante, 423
generico, 405
irriducibile, 427
monico, 423
omogeneizzato (deomogeneizzato), 434
omogeneo, 432
Principio:
d'identità dei polinomi, 430
di duaIità, 317
Prodotto:
di matrici, 24
hermitiano, 275
misto, 226
scalare, 209
standard, 209
vettoriale, 224
Proiettività, 322
Proiezione, 134, 291
naturale, 136
ortogonale, 212, 216
parallela, 109
stereografica, 305
Proposizione autoduale, 318
Proprietà:
affine, 185, 341
di simiIitudine, 250
euclidea, 250, 341
focale, 375
proiettiva, 324, 341
Punto(i):
aIlineati (o collineari), 95
base, 406
ciclici, 379
complanari, 95
fondamentale, 284

Indice analitico
indipendenti, 95
in posizione generale, 288
K-razionale, 352
linearmente indipendenti, 288
medio di un segmento, 97
multiplo (singolare), 390
ordinario, 396
proprio (improprio), 299
reale di una curva, 349 sg.
semplice, 390
simmetrico:
rispetto a un iperpiano, 252
rispetto a un punto, 95
unità, 284
Quadrica, 293
di Klein, 295
Quadrilatero completo, 335
Quaterna:
armonica, 328
equianarmonica, 328
Radicale, 196
Radice di un polinomio, 428
Rami di un'iperbole, 373
Rango:
di una conica, 355, 360
di una forma bilineare, 195
di una matrice, 67
Rappresentazione trigonometrica di un numero
complesso, 222
Regola
del parallelogramma, 15
di Cramer, 82
Rete di curve, 404
Retta( e):
affine, 91
di Pasca), 303
ortogonaIi (o perpendicolari), 229
proietti va, 284
tangente, 392
principale, 393
Riferimento:
affine, 92
standard, 93
cartesiano, 227
proiettivo, 284
duale, 313
standard, 285
Riflessione, 252
rotatoria, 269
Risultante di due poIinomi, 438
Rotazione, 245, 248
Scalare, 16
Segmento, 97
orientato, 13
479
Segnatura di una forma quadratica, 207
Semi assi di un' ellisse, 372
Semipiano, 109
Semiretta, 97
Semispazio, 109
Sfera, 236
di Riemann, 306
Simbolo:
di Kronecker, 25
di sommatoria, 73
Similitudine, 251
Simplesso, 99
Sistema:
di equazioni lineari, 33
a gradini, 36
lineare:
di curve, 404
di iperpiani, 314
Solido convesso, 239
regolare, 240
Soluzione generale di un sistema, 40
Somma diretta, 52
Sottocampo, 422
Sottodominio, 422
Sottomatrice, 70
Sottospazio(i) :
affine, 93
generato da un insieme finito di punti, 94
incidenti (sghembi), 107
paralleli, 105
proiettivo (o lineare), 285
generato da un s.i., 287
incidenti (sghembi), 287
in posi.;zione generale, 290
somma di due sottospazi, 289
vettori aie, 50
generato da un insieme finito di vettori, 54
isotropo, 202
ortogonale a un s.i. di V, 145
ortogonali, 196
somma (diretta) di,52
supplementari, 52
Spazio(i):
affine, 91
numerico, 92
euclideo, 227
numerico, 227
metrico, 228
ordinario, 13
ampliato, 305
proiettivo, 284
biduaIe, 319
duale, 313
numerico, 284
vettoriale, 17
biduale, 144

480
duale, 141
euclideo, 209
hermitiano, 275
isomorfi, 140
numerico, 18
quoziente, 106
universale, 304
Spettro, 163
Stabilizzatore, 177
Stella di piani, 314
Struttura:
di gruppo su una cubica, 418
di spazio affine, 91
di spazio vettoriale, 18
Successione, 20
di Fibonacci, 66
limitata, 21
Supporto di una curva, 338 sg.
Tacnodo, 397
Tangente, 392
principale, 393
Teorema:
di Bezout, 383
di Chasles, 260
di Desargues, 117, 318
di Eulero, 267
di fattorizzazione unica, 427
di Gram-Schmidt, 213
di J ordan, 272
di Kronecker-Rouché-Capelli, 71
di Laplace, 83
di omomorfismo per gli spazi vettoriali, 140
di Pappo, 116
Indice analitico
di Pappo-Pascal, 303
di Poncelet, 412
di Salmon, 414
di Sylvester, 206
di Talete, 115
di Taylor, 431
fondamentale dell'algebra, 430
spettrale, 270, 279
Terne pitagoriche, 352
Tetraedro, 98
Traccia di una matrice quadrata, 65
Trasformazione, 175
lineare fratta (o di Moebius), 329
Traslazione, 180
Trasposizione, 442
Triangolo, 98
Versore, 211
di una retta, 228
normale a una retta, 229
normale a un piano, 231
Vertici:
di un'ellisse, 372
di un 'iperbole, 373
Vettore(i):
applicato, 13
colonna, 22
di direzione di una retta, 93
geometrico, 14
isotropo, 196
linearmente indipendenti (dipendenti), 54
ortogonaIi, 196, 274
riga, 22
V olume di un parallelepipedo, 238