Paolo Marcellini - Carlo Sbordone
Esercitazioni di
Matematica
2° Volume
parte prima
edizione riveduta
Ligu'ori Editore

Pubblicato da Liguori Editare
Via Mczzocannonc 19, 80134 Napoli
® Liguori Editore, S.r.l., 1989.1995
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per tutti i Paesi Nessuna pane di questo volume può essere riprodotta, registrata o
trasmessa con qualsiasi mezzo: elettronico, eleurosiatico, meccanico, fotografico,
ottico o magnetico (comprese copie fotostanche, microfilm e microfiches).
Seconda edizione italiana Gennaio 1995
9876543 2.10
2001 2000 1999 1998 1997 1996 1995
Le cifre sulla destra indicano il numero e l'anno dell'ultima ristampa effettuata
Printed in Italy, Officine Grafiche Liguori, Napoli
ISBN 88-207-1864-2
INDICE
Capitolo 1 I
SUCCESSIONI E SERIE 'DI FUNZIONI
1A. Successioni di funzioni: convergenza
puntuale ed uniforme pag. 9
1B. Serie di funzioni y - " 37
1C* Serie di potenze " 46
1D. Serie di Taylor " 54
Capitolo 2
SPAZI METRICI E SPAZI NORMATI
2A. Spazi metrici " 76
2£. Condizione di Cauchy. Completezza " £6
2C. Spazi metrici compatti " 93
2D. Spazi normati " 97
Capitolo 3
FUNZIONI .DI PIÙ' VARIABILI
3A. Rappresentazione grafica
3B. Insiemi di definizione
3C. Limiti e continuità
3D. Derivate parziali
3E. .Differenziabilità
3F, Derivate delle funzioni composte
3G. Gradiente.* Derivate direzionali '
3H. Funzioni di tre o più variabili reali
»» '
»»
!»
»» .
»»
»» *
ti
u
107
115
123
138
154
166
.174
186

6
Capitolo 4
EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI
4A. Equazioni differenziali lineari del
primo ordine pag. 197
4B. Equazioni differenziali lineari
omogenee a coefficienti costanti ft 211
4C. Equazioni lineari non omogenee a
coefficienti costanti ft 222
4D. Il metodo della variazione delle
costanti " 232
4E. Problemi ai limiti " 236
4F. Equazioni lineari di Eulero . tf 242
4G. Integrazione per serie tf 250
4H. Sistemi di equazioni differenziali
lineari ff 255
Capitolo 5
EQUAZIONI DIFFERENZIALI NON LINEARI DEL
PRIMO ORDINE
5A. Equazioni a variabili separabili ff 265
5B. Equazioni di Bernoulli ft 2 79
5C. Equazioni della forma yt=g(y/x) " 289
5D. Equazioni della forma yf=g(ax+by) ft 297
5E. Equazioni della forma yt=g (——,, . ,—r) ft 302
n afx+bfy+cf
5F. Equazioni non normali della forma
x = g(y') " 305
5G. Equazioni non normali della forma
y=g(yf) " 308
5H. Equazioni di Clairaut ff 311
51. Il teorema di Cauchy tf 319
5L. Integrazione grafica tf 329
5M. Esercizi di riepilogo tf 339
Capitolo 6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI NON LINEARI DI
ORDINE SUPERIORE AL PRIMO
6A. Generalità pag. 344
6B. Equazioni della forma g(x,yf,y")=0 " 346
6C. Equazioni della forma g(y,yf ,yft)=:0 ff. 35 7
6D. Equazioni di ordine superiore al
. secondo " 357

Capitolo 1
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
1A. Successioni eli funzioni : convergenza
^puntuale eci uniforme
Sia (fn) una successione di funzioni reali
definite nell'intervallo I di R.
Si dice che (fn) converge puntualmente in I verso la
funzione f:I-HR, se risulta
lim fn(x) = f(x) , Vxel,
n-f00
cioè se: Ve > 0 e Vxel, esiste v£. x eN tale che per
n > ve>x si ha |fn(x)-f(x)| < e.
In generale, il numero v£ dipende anche da x;
se invece, Ve > 0, tale numero è indipendente da x,
si parla di convergenza uniforme.
Precisamente, si dice che (fn ) converge uniformemen
te in I verso f, se Ve > 0 esiste ve£N tale che

10
Yn > ve si ha
|fn(x)-f(x)| < s Vxel.
Dunque la convergenza uniforme implica quella pun
tuale.
Se le funzioni fn , f sono limitate .in I, allora
(fn) converge uniformemente verso f in I se e solo
se, posto Mn = sup {|fn(x)-f(x) | :xel}, risulta
lim MM = 0.
La successione (fn) si dice equilimitata in I,se
esiste una costante M > 0 tale che
|fn (x) ! < M VneN, VXeI;
si dice equicontinua in I, se, per ogni e > 0 esiste
óe > 0 tale che
|x-y|<óe = > |fn(x)-fn(y)|<£, VneN.
Sussistono i seguenti notevoli teoremi.
TEOREMA 1 (di. Ascoli -Arzelà) . Se (f'n) è una successione
di funzioni equilimitate ed equicontinue nell' intervallo chiù -
so e limitato I = [a,b ] , allora essa ammette un'estratta con
vergente uniformemente in I.
TEOREMA 2 (Condizione di Cauchy uniforme) . Condizione
11
necessaria e sufficiente affinchè la successione (fn) converga
uniformemente verso una funzione definita in I è che: Ve > o
esista VE tale che Vp,q > V£ sia |f (x)-f (x)| < £,
Vxel.
TEOREMA 3 (Continuità del limite uniforme di
funzioni continue) . Se (fn) converge uniformemente verso f e
tutte le f„ sono continue in xn, allora anche f là è.
n °'
TEOREMA 4 (Passaggio al limite sotto il segno di
derivata) . Sia (f ) una successione di funzioni derivabili in
I=(a,b) ed ivi convergente puntualmente verso f. Se la
successione (fL) converge uniformemente in I, allora f è derivabile
in I e si ha:
lim fnr(x) = ff(x) Vxel.
TEOREMA 5 (Passaggio al limite sotto il segno di
integrale) . Sia (fn) una successione di funzioni continue in
I = [a,Jbj ed ivi convergente uniformemente verso f. Allora si
ha
lim fn (x)dx =
n -+00 L
f(x)dx.
1.1 Siano a,0 due numeri reali e sia (fn) la succes-

12
sione definita in (0,1) da
fn (x) = 1
a se xe(0,l/n]
P se xe(l/n,l)
Determinare il limite puntuale di (fn) e
stabilire, sotto quali condizioni la .convergenza è an
che uniforme.
[ Il limite puntuale è la funzione identicamente uguale a |3. Inoltre,
essendo
sup |fn(X) - 3| * |ct- 31
xe(0,i)
si ha convergenza uniforme se e solo se é a =(3 ]
3.2 Studiare la convergenza delle successioni di
funzioni (fn), (gn) definite per xeR da
:n (x) = sen nx , gn(x) =
cos nx.
[Si ha lim f (x) = 0 solo per x=kTT , con k e Z e lim g (x)=l so-
n-*™ n-»oo n
lo per x=2kTT , con k e Z (si veda il paragrafo 12D del voi. I, parte
prima)J
1.3 Verificare che la successione (fn) definita da
fn(x) = xn per xe(-l,l) converge verso la fun -
zione f(x} « 0 puntualmente, ma non uniformemen
13
te.
[Si ha lim f (x) = lim xn = 0, VX6(-1,1).
n->oo n -k»
Essendo poi
, n « , n .
sup I x -01 = sup I x j =1 ,
x€(-l,l) x6(-l,l)
la successione non converge uniformemente J
1.4 Verificare che la successione (fn) definita da
f (x) = x per xe(-l,l) converge uniformemente in
ogni intervallo del tipo (~a,a) con 0 < a < 1.
r • r I n I t n n
l Si ha sup { j x -0 I ; xG (-a,a) j = a . Essendo lim a = 0, si ha
n ->oo
l'asserto]
1.5 Studiare la convergenza della successione di
funzioni fn(x) = x negli intervalli
(a) I = Cl,+u0 (b) J = (2,+-)
[La successione (f ) converge puntualmente verso zero per x _^_ l.(a) Es
sendo M = sup { x n : x€ i} =1, la successione (M ) non converge a
zero e dunque (f ) non converge uniformemente in I. (b) Essendo M' - sup
{ x"n : x€ j} = 2~n si ha lim M' = 0 e perciò la successione (fn)con
n->°°
verge uniformemente a zero in J ]
.6 II teorema 5 stabilisce che la convergenza unifo£

14
me è una condizione sufficiente per passare al li
mite sotto il segno di integrale. Non è però con
dizione necessaria. Per mostrare ciò si consider-
ri la successione di funzioni (un altro esempio
è proposto nell'esercizio 1.25):
2 2
-n x
fn(x)=nxe , VxeR,
e si verifichi che
(a) fn(x) converge a f(x)=0 per ogni xeR.
(b) (fn) non converge uniformemente in [0,1].
(e) L'integrale definito di fn(x)
nell'intervallo [0,1] converge a zero.
(d) Si determinino tutti e soli i numeri reali
a,b (a<b) con la proprietà che (fn) converga
uniformemente in [a,b].
[ (b) Consideriamo
Mn = sup { |fn(x)-f(x) | : xe [0,l] } = max (fn(x) : x6 [o,l] } .
Fissato n, il massimo assoluto di f (x) nell'intervallo [o,l] si
determina scegliendo il valore più grande tra fn(0), fn(l) e frAx^ Per
x tale che f'(x) = 0. La derivata prima vale
2 2
f^(x) = n e"" X (l-2n 2 x 2 )
e si annulla in [o,ì ] per x = / l/(2n2) . Essendo fn(0) = 0,
-n2
f(l) = ne ~* 0> per ri sufficientemente grande risulta
M" = f" \V^/- "2-
La successione (M ) è definitivamente costante (> 0) e non converge a
zero. Perciò (f ) non converge uniformemente in [ 0,1 ] .
(e) Per n->+°° l'integrale definito di fn(x) in [o,l] converge a
zero (è zero è il valore dell'integrale definito di f(x) in [o,l]); in -
fatti:
A
A
fn(x)dx = n
dx = n
-1
2n2
1 1
1 -n*
= — (l-e )->0.
2n
(d) La successione converge uniformemente in [ a,b ] se a,b hanno lo
stesso segno, mentre non converge uniformemente se a,b hanno segni di -
scordi o se uno di essi è nullo. Infatti, ad esempio se 0 < a < b, defi
nativamente si ha / l/(2n2 ) < a e quindi
Mn - max { f (x) : x 6 [a,b ] } = f (a) -> 0 ]
1.7 Sia (f ) una successione di funzioni continue
nell'intervallo I di R, convergente
uniformemente in I verso f. Verificare che, se xn,xel e x -►
->x, allora si ha
lim fnCxn) = f(x).
n -*«>
[ Sia C>0 e sia V£ tale che Vn > V£ , j fn(x)-f(x) |< £ fi ,
Vx 61. Allora per n > Vp si ha
|fn(xn)-f(x) |< | fn(xn)-f(xn) |h- |f(xn)-f(x) J<
< E/2 + |f(xn)-f(x) |.
Poiché f è continua e x -* x 61, si ha anche f(x ) ->f(x)> per cui
3V^ > V£ tale che |f(xn)-f(x) | < E 11, Vn > V^. Ne segue
facilmente l'asserto]
1.8 Sia a un parametro reale e sia (fn) la successio

16
ne di funzioni definita da
(X -n ^x^
fn(x) = n xe , VxeR.
(a) Verificare che, per ogni aeR, fn(x)
converge a f(x)=0 puntualmente su R.
(b) Utilizzando la proprietà enunciata nellreser_
cizio précédente con xn=l/n, verificare che
(fn) non converge uniformemente su R. se a>,l.
(e) Verificare che (f ) converge uniformemente su
R se a <■ 1.
(d) Mostrare che, se a < 0, la successione delle
derivate (fJ^) converge a zero uniformemente
su R.
(e) Verificare che, per a=0, la successione (f^)
converge puntualmente per ogni xeR ad una fun
zione g(x) f f'(x) (questo esempio mostra che
il teorema 4, di passaggio al limite sotto il
segno di derivata, non vale in generale
supponendo che la successione delle derivate (f^)
converga soltanto puntualmente,' invece che U
niformemente).
[ (b) Essendo f(x) =* 0 per ogni x€ R, in "base alla proprietà enunciata
nell'esercizio 1.7, se (f ) convergesse a f(x) uniformemente su R, dp_
vrebbe risultare
lim fn(xn) = f(x) = 0 ,
n-* + °°
per ogni successione (x ) convergente ad x. Invece, se (X >_ 1, posto
x = 1/n si ottiene
17
a-i -i
lim f (x )='lim n e =
n-^+°° n-++°°
+ °° se a > 1
se a = 1
(e) Come nell'esercizio 1.6 (b), si verifica che
Mn = max { | fn(x) | : x €R } =
/2n
2e
Vn6N.
Se ne deduce che (f ) converge uniformemente su R se e solo se Ot<l.
2 2
Oi ~"n * 2 2
(d) La successione delle derivate vale fn(x) = n e (l-2n x ) e,
se a < 0, converge a zero per ogni x e R. Inoltre si verifica che
il massimo assoluto di |f'(x) | su R è raggiunto per x=0 ( | fn(x) | pre
senta massimi relativi anche se x2=3/(2n )) ed il valore di massimo
vale
max{ |f^(x)|: x€R } = max { | f^O) | ; | f^ ( /3/(2n2)) | }
a
= n max
^■> Jn > " "a >
se Ct < 0 tale valore converge a zero per n-> +00 .
2 2
(e) Se a =0 la successione f'(x) = e~n x (l-2n2x2) converge a
lim f^(x) - g(x)
0 se x f 0
1 se x = 0.
Essendo f(x) = 0 per ogni x 6 R, risulta f'(x) = 0 é g(x) nel punto x=
o]
1.9 Studiare la convergenza in I=[0,1] delle succe^
sioni di funzioni
(a) £n(x)=x/(l+nx) (b) gn (x)=nx/(l+nx).

18
[ (a) Si ha lim fn(x) == O per ogni x € I. La convergenza è uniforme ;
infatti, fissato £ > 0 per n >V=l/£ si ha fn(0) = 0 <£ e, per
xe(0,l] risulta 0 <fn(x) = 1/ [(l/x)+n]< 1/n < £ .
(b) Posto. g(x) = lira g1(x), si ha g(0) =0 e g(x) = 1 per ogni x 6
n*>°°
6(0,1 ]. Poiché le gn ano continue e g è discontinua, la convergenza
non è uniforme, grazie il teorema 3. Il grafico della funzione g è
rappresentato in fig. 1 1 per n = 1,2,10,30]
figura 1.1
1.10 Studiare la convergenza in (0,1) delle succes
sioni di funzioni
(a) £ (x)=n/(l+nx)2
(b) gn(x) = l/(n'x)
[ Le due successioni convergono puntualmente verso la funzione identica
mente nulla, ma la convergenza non è uniforme, perchè ie f e le. g
19
non sono funzioni equilimitate in (0,1)]
1.11 Studiare la convergenza in I=[-l,l] delle
successioni di funzioni
(a) £n(x) * x/(l+n2x2) (b) gn(x)=nx/(l+n2x2)
[(a) Si ha lim fn(x) » 0 per ogni x è I. Essendo fn(x) « (l/n)nx/ [l+
+(nx)2 ] , la convergenza è uniforme in quanto t/(l+t2) < 1/2 per o-
gni t > 0.
(b) Si ha lim g (x) = 0 per ogni x€ I. Essendo gn(l/n)=l/2 (x= 1/n
è punto di massimo per g), la convergenza non è uniforme, grazie al
l'esercizio 1.7. Il grafico di gn è rappresentato in figura 1.2 per
n = 1,2,10 ]
figura 1.2

20
1.12 Studiare la convergenza in I = (0,1] della
successione di funzioni f (x) = n2/(l+n2x2).
[Si ha lim fn'(x) - 1/x 2= f(x) per ogni x€ I. Essendo | fn(x)-f(x) | =.
n~»°°
= 1/x2 (1+nx ), la convergenza non è uniforme, perchè nessuna delie furi
zionì f - f è limitata in l] .
1.13 Studiare la convergenza in I = [0,1] della
successione di funzioni fn(x) = n2x2/(l+n2x2).
[Si ha lim fn(x) - 1 per ogni x 6 I. Essendo £ (l/n)«l/2,la convergenza
n^oo
non è uniforme, grazie all'esercizio 1.7 ]
1.14 Sia (fn)-una successione di funzioni derivabili,
in un intervallo chiuso e limitato {a,b] con
derivata continua» Dimostrare che;
(a) Se (£n) converge per qualche x0e[a,b]e se la
successione delle derivate (f^ converge
uniformemente in [a,b], allora anche (fn) converge uni^
formemente in [a,b].
(b) Se (f n-) converge puntualmente e se esiste u-
na costante M tale che |fn(x)| £ M per ogni néN
e per ogni xe[a,b], allora (fn) converge
uniformemente in [a,b].
21
[(a) In base alla formula fondamentale del calcolo integrale possiamo
scrivere
f rx
n% * n^ o'
fn« " fn(i0) + f fn(t)dt , Vx€ [a>b] § 7n 6N<
x_
Indichiamo con g(x) il limite per n -* +00 di f ' e con & il limite
della successione di numeri reali f (xq). Definiamo poi
f X
x) « £ + I g(t)dt , Vx6[a,b] .
j
x
Con lo scopo di provare che (f ) converge ad f uniformemente in
[a,b ] , consideriamo:
|fn(x)-f(x)| < |fn(xo)-A|+ | fn(t)-g(t) | dt <
Ja
£ | fn(xo)-£|+(b-a)max { | fn(x)-g(x) | : x € [a,b] } .
Si giunge facilmente alla conclusione utilizzando le ipotesi di
convergenza fatte su fn(*o) e fn(x).
(b) Basta dimostrare che vale la condizione di Cauchy uniforme (teo
rema 2). Per ipotesi e per il teorema di Lagrange si ha, Vn:
I fn(x)-fn(y) I 1 M | x-y | , Vx,y e [ a,b ] .
Sia £ > 0 e sia ó =£/3M. Sia { Ix ,... ,1^} una partizione di
l a,b ] costituita da intervalli di ampiezza minore di ó.. e siano
y. € Ii. Per ogni p,qe N e per ogni i è{ l,...,r} si ha, per x è
€ [a,b] :
I yx)-fq(x> | < |fp(x)-fp(yi) | +| cpiy±)-fq(y±) l + ;
+ IVyi}"fq(x)l-M 'X'"yil+Ifp(yi)~fq(yi) l+M lX-yil

22
Sia V tale che Vp,q > V e Vi e{l,.,.,r} risulti
I fpfy) - fq(y±) | < C/3.
Allora, poiché Vx 6 [a,b] , 3ie{ l,...,r} tale che | x-y. |< ó =
- E/3M, si ha
lfp(x) - fq(x) | < e , vp,q > V e Vx€[a,b]]
1.15 Verificare che la successione (fn) definita da
r r ^ sen nx
fnW = ~ ^X€[0,2^]
converge uniformemente verso la funzione
identicamente nulla.
[La successione (f ) converge puntualmente verso zero. Essendo I f'(x)|=
= I cos nx I j£ 1, basta invocare il risultato dell'esercizio preceden
te.Si conclude anche osservando che | f (x) | < l/n ]
1.16 Dimostrare che, se (gn) è una successione di
funzioni continue ed equilimitate in [a,b], allora
la successione (fn) definita da
X
£n(x) = J gn(t)dt
ha un*estratta convergente uniformemente.
[ Sia M > 0 tale che | gn(t) \< M per ogni n e per ogni t. Essendo
i
23
fÀ00 = 8n(x), si ha (f^x) |l M e
|fn(x) |< (^(tJldti Mdt< M (b-a)
a a
per ogni n e per ogni x. Dal teorema di Ascoli-Arzelà segue la tesi ]
1.17-Si dimostri il seguente teorc-ma del Dinl. Sia (£n)
una successione di funzioni continue convergen
te puntualmente verso una funzione continua in
un intervallo chiuso e limitato [à.b].
Se (f n) è monotona rispetto ad n, allora con -
verge uniformemente in [a,b].
[Pur di cambiare f con -f , possiamo limitarci a considerare il caso
in cui fn(x) è decrescente rispetto ad n. Indichiamo con f(x) il
limite puntuale di (fn). Posto gn(x) = f(x) - f(x), si ha g (x) >,
- ^n+1^ e ^n^ converSe a zero, puntualmente, Dimostriamo che gn
converge uniformemente. Fissato € > 0, per ogni x 6 [a,b J esiste
V € N tale che 0 < g., (x) < £/2. Grazie alla continuità delle fun
x
zioni g e per la decrescenza della successione (g ) esiste
un'aperto A contenente x tale che 0 < gn(y) < B, vy 6 A e Vn > Vx»
Siano x. ,. . . ,x^ tali che [a,b]c; Av U . . . U Av e poniamo V -
•*• r x i , x
= max {v ,..., Vv } , Allora si ha 0 < g„(y) < £ per ogni y e
xi xr n
per ogni n >^ V,
Proponiamo anche una seconda dimostrazione, per assurdo: se la
successione (f ) non converge uniformemente ad f in [a,b] , esiste
8 > 0 tale che, per ogni \>€N, esiste n >V per cui la relazione
|f (x)-f(x) | _> £ è verificata da qualche x e [a,b] . Consideriamo

24
il caso in cui (fn) è decrescente rispetto ad n. Essendo f (x) > f(x),
risulta quindi fn(x)-f(x) > £ per qualche x€ [a,b] . Ponendo V = k ,
con k arbitrario in N, si ottiene:
YkéN 3nk>k, 3xkf[a,b]: . fn (xfc)-f(xk) > E.
Per l'ipotesi di monotonia, se ni <, k, si ha
fm(x) > fk(x) > fn (x)., V xe [a,b ] , k > m.
Perciò risulta anche
fm(xk) " f(xk> ^ £ > Vm,k 6 N, con k > m.
La successione (xk) è limitata in [a,b], E' perciò possibile
estrarre da essa una sottosuccessione x^ convergente ad un numero reale
xoeCa,b] * Pe** ^ continuità di fffl(x) e di f(x), al limite per h "*" +°°
otteniamo
fm(xo) " fK) > e > Vm €N.
Ancora al limite, stavolta per nr>+°° , troviamo l'assurdo 0 ;> E ]
1.18 Dimostrare con un esempio che il risultato
dell'esercizio precedente non sussiste se si
sostituisce lfintervallo chiuso e limitato [a,b]
rispettivamente con:
(a) l'intervallo aperto (a,b).
(b) un intervallo chiuso, ma illimitato.
[ (a) La successione fn(x) * xn converge decrescendo alla funzione
continua f(x) = 0 per ogni xè (0,1), ma la convergenza non è uniforme in
(0,1) (si veda l'esercizio 1.3)5 la stessa successione converge decre-
25
scendo anche nell'intervallo chiuso e limitato [o,l ], ma in tal caso
!
la funzione limite non è continua. ;
Anche le successioni (fn)> (g^ dell'esercizio 1.10 sono continue
rispetto ad x 6(0,1), sono decrescenti rispetto ad n e convergono
puntualmente in (0,1) alla funzione identicamente nulla, ma la
convergenza non è uniforme,
(b) la successione (O* definita da fn(x) = x/n, converge decrescendo
a f(x) = 0 nell'intervallo [o,+ °°), ma non uniformemente.
Le successioni fn(x) = ex"n, gn(x) - e'x+1'n' convergono decrescen
do rispettivamente a f(x) = 0 e g(x) = ex, ma la convergenza non è uni
forme su r]
1.19 Sia fn(x) una successione di funzioni convesse
in [a,b] che converga puntualmente, per n-*+°°,ad
una funzione f(x). Dimostrare che f (x) è conves
sa in [a,b].
[ Per ipotesi, per ogni n £N, fn(x) verifica la relazione
fn(XXl+(l-À)x2)£ Àfn(Xl)+(l--À)fn(x2), VÀ€[o,lL VXl,x2€[a,b].
Al limite per n-* +00 si ottiene la disuguaglianza di convessità per
f(x) ] *
1.20 Sia fD(x) una successione di funzioni convesse
in [a,b] che converga puntualmente, per n-++°°,ad
una funzione f(x). Sia x0e(a,b). Se fn(x)e f(x)
sono derivabili in x0 e se f^(x0) converge ad £,
allora £=f*(x0).
[Dato che per ogni n eN,fn(x) è derivabile in xo e convessa in [a,b ] ,
t
risulta 1

j
26
fn(x) > fn(xo) + fA(xo)(x-xo), Vx € [a,b] .
Al limite per n -> +00 otteniamo
f (x) > f (xo) + £(x-xo) , VX € [a,b ] .
Dividiamo entrambi i membri per (x-xq), distinguendo se (x~x ) è posi
tivo o negativo:
fW-f(*J s « s f(x)"f(xj
*- > J6 se x > x ; *- <: £ se x < x .
Al limite per x ->x si ottiene la tesi f'(x ) = £]
1.21 La proprietà di convergenza delle
derivate,proposta nell'esercizio precedente, vale in ogni
punto x0 interno all'intervallo [a,b], ma in g£
nerale non vale agli estremi dell'intervallo.Mo
strare ciò discutendo il caso in cui £ (x) sia
definita nell'intervallo [0,1] da:
f„(x) = ^ , Vxé[0,1] .
|_ f (x) è una successione di funzioni convesse che, per n~* -f00 , converge
a f(x) = 0 per ogni x 6 L°>l] • Ia successione delle derivate f '(x) =
-xn~ , per x = 1 è costante (f ' (1) = 1) e quindi converge al valore
H - 1, che è diverso dalla derivata f'(l) = 0 J
1.22 Dimostrare il teorema 5 sul passaggio al limite
sotto il segno di integrale.
[ Sia £ > 0; allora 3V6N tale che per ogni n £ V si ha
27
| fn(x) - f(x) | < e/(b-a), Vxe[a,b]
Ne segue che per n >. V
j fn(x)dx - f(x)dx
<r
fn(x)-f(x) ,
dx <
E /(b-a)dx = e]
1.23 Sia (f ) una successione di funzioni continue
in [a,b]> convergente uniformemente verso f.M
mostrare che, per ogni p >_ 1, risulta
lim
n->°° J.
|£n - £|p dx = 0
[Dal teorema della media segue che
~ f |fn-f|Pdx < sup |fn- f|
*a x€[a,b]
da cui la tesi ]
1.24 Data la successione (£n) definita in R da (fig.
1.3):
fi se n < x < n + 1
altrimenti
£n(x) =
k
verificare che £n (x) -» £(x) = 0 per ogni x€R.
Verificare inoltre che essa converge uniforme -
mente in ogni intervallo limitato, ma non con-

28
verge uniformemente in tutto R.
[ Per ogni intervallo [a,b] , se n > b si ha sup {fn(x):a<x<b } «0.
Da ciò segue in particolare che f*n(x) -> f(x) = 0, Vx 6R. Invece si
ha sup {fn(x) : xéR } » 1 per ogni n €N ]
n+1
V^
0
I
4-
1 1 1
2n n
figura 1.3
figura 1.4
1.25 Per ogni neN si consideri la funzione f (x) rajj
presentata in figura 1.4 e definita in [0,1] da
'/n
£nCx)-
0
se
altrimenti.
l/(2n)< x £ 1/n
29
Mostrare che :
(a) La successione (fn) converge verso la fun -
zione f (x) =? 0 puntualmente, ma non uniformemen
te in [0,1].
(b) Per n->+°° l1 integrale definito di f (x)
nell'intervallo [0,1] converge a zero,
[(a) Si ha fn(0) = 0 per ogni n. Se poi x £(0,1 ] , per ogni n> 1/x
si ha x > 1/n e perciò fn(x) = 0. Ne segue la convergenza puntuale di
f verso f. La convergenza non è uniforme, in quanto sup (fn(x) : x €
e [o>l]} - vn non converge a zero.
ri
(W
fn(x)dx =
■'o
. 1/n
l/(2n)
/n dx = /n f )-* 0,
\ n 2n/
Si noti che 0 è il valore dell'integrale definito di f(x) nell'inter
vallo [0,l] ]
1.26 Siano a > 0, b > 1. Studiare la convergenza in
I =. [0,b] della successione di funzioni (f ) de_
finita da
0 < x < T/n
fnU)
an"x
a
1-b
0
n2x +
ab
b-1
1/n </ x < b/n
b/n < x £ b
In particolare, studiare la convergenza per n^°°
dell1integrale di f su I.
[ Se vede subito che (f ) converge puntualmente alla funzione f(x) = 0,

30
fb
Vx€L Essendo I fn(x)dx = ab/2,
v ^o
vergenza uniforme, grazie al teorema 5 ]
f(x)dx = 0, non può esservi con
1.27. Data la successione di funzioni f (x)=nCx n-
- x) , calcolare, per x > 0, le funzioni g0, g19
g2 , . . . tali che •
g0(x)=lim £ (x) , gx(x) = lim f'(x),
n->«> n n+<x> n
g2'(x) = lim fn'(x),...
n-*co
Trovare inoltre il legame tra g0,g1,g2,-..
[Si trova in particolare g0(x) = x log-x. Si verifica anche che ? è la
derivata h-sima di g ]
1.28 Verificare che la successione di funzioni f (x)=
= (x2-x)n converge a zero uniformemente
nell'intervallo [0,1].
[Se verifica facilmente che -l<x2-x£0 per ogni x '€ [o,l] . Perciò
f (x) converge a zero per ogni x € [o,l] . Calcoliamo
Mn=max{ |(x2-x) |n : x e-[o,l] } = max{(x-x2)n : x e[o,l]}.
la funzione gn(x) = (x-x2) è non negativa in [o,l] e si annulla agli
estremi dell'intervallo. Perciò assume massimo in un punto interno allo
intervallo Lu>i]> che si può determinare annullando la derivata prima.
« n-1
Risulta g^(x) = n(x-x^) (l-2x) = 0 per x = 0, x = 1 e x=l/2. Il
punto x = 1/2 è di massimo per g (x) ed il valore massimo vale M -
31
= gn(l/2) - (1/4) . Dato che per n -*+ °°, Mn converge a zero, la
successione fR(x) converge uniformemente in [o,l] . In figura 1.5 abbiamo di
segnato il grafico di fn(x) per alcuni valori di n (cnn due diverse u-
nità di misura sugli assi) J
figura 1.5

32
1.29 Verificare che la successione di funzioni fn(x)=
= (x-l)x converge a zero uniformemente nell'in
tervallo [1, +°°) .
[poniamo M = sup { (x*-l)x : x >. 1 } . Per determinare M consideriamo
la derivata
f^x)' - x"""1 [ n - (n-l)x] .
Per n=l risulta f'(x) > 0 per ogni x >, 1; mentre per n >, 2, f '(x) si
annulla per x = n/.(n-l), che è un punto di massimo (assoluto) per f(x) nel
l'intervallo [l,+°°). In corrispondenza otteniamo M^ le
"»='-'^'-<à-"à»'n
n-1 n
Per n ->+°°, M converge a zero. Perciò fn(x) converge uniformemente in
[l, + °°). In figura 1.6 abbiamo disegnato il grafico di fn(x) per alcu
ni valori di n ]
33
1.30 Posto fn(x) = n(x-l)x_:n , verificare che:
(a) £n(x) converge a zero per ogni x >. 1.
(b) f n(x) non converge uniformemente nell'inter
vallo [1,+°°) .
(e) f n(x) non converge uniformemente nell'ihte:r
vallo [1,2].
(d) fn(x) converge uniformemente
nellfintervallo [2,+«).
[Si può procedere come nell'esercizio precedente. In particolare in (b)
e (e) per ogni n >. 2 risulta
n n In _ i
« Il n-]_ n-l n
perciò M non tende a zero e quindi la convergenza non è
uniforme.Invece, nel caso (d), per ogni n >_ 2, si ha:
Mn - fn(2) = n2"n -> 0 ]
1.31 Stabilire per.quali xeR risulta convergente la
successione f (x)=n ( /x - 1) e determinare il
limite. Determinare inoltre un intervallo in cui
la successione converge uniformemente.
[Per ogni n pari fn(x) è definita per x >_ 0. La successione diverge a
- °° per x = 0 e converge per x > 0 a f (x) = logx in base al limite
x1/n-3 xfc-l t
lim ^n(x) = li,Tl = lim = li"1 x 1°8X = logx«
n->+°° n-> + °° 1^n t->0+ t t->0+
Per determinare un intervallo in cui la convergenza è uniforme studia-

34
mo per x > 0 e n 6 N la funzione gn(x) = fn(x) - f(x)=n ( /x -1) -
- logx. La derivata
1.1
g«00 =x - - = - (x - ì)
1 XX
si annulla per x = 1, è positiva per x > 1 ed è negativa in (0,1).Il
punto x=l è di minimo per gn(x) ed il valore minimo è g (l)=0.
Perciò gn(x) > 0 per ogni x€ (0,f°° ). Se ne deduce inoltre che fn(x)
converge a f(x) uniformemente in ogni intervallo [a,b] , con 0<a<b;
infatti, ad esempio, se a = 1 risulta:
Mn - max {|fn(x)-f(x)| : xG [l,b] } = max { | gn(x) | : x G [l,b] }
= max { gn(x) : x 6 [l,b] } = gn(b) ■+ 0 ]
1.32 Date le successioni di funzioni
(a) £n(x) = (e-1/n2x2)/nx (b) gn (x)=e"1/(x2+n)
stabilire per quali xeR convergono e calcolarne
il limite. Determinare almeno un intervallo non
degenere in cui.la convergenza sia uniforme.
[ (a) Si ha fn(x) -> f (x) = 0 per ogni x ^ 0. La convergenza è
uniforme in ogni intervallo che non contenga un intorno di zero, (b) Si ha
& (x) -*• g(x) = 0 uniformemente in R ]
1.33 Date le successioni di funzioni
(n2-x2)2
l&J ln(.Xj — ~~f ~ 2Ì2.1
n (n2-x2;2+l
35
cu\ r \ i 3(x+n)2+2
(b) gn(x) = log (^+n/2 +1
stabilire per quali xeR convergono e calcolarne
il limite. Determinare almeno un intervallo non
degenere in cui la convergenza sia uniforme.
[(a) Si ha f (x) -*■ f(x)=l, per ogni x €R. La convergenza è uniforme in
ogni intervallo limitato.
(b) Si ha gn(x) -♦* g(x) = log 3 per ogni xe R. La convergenza è unifor
me in ogni intervallo [a,+°° ) con a €R ]
1.34 Verificare che nell'intervallo [1,+°°)
fn(x) = (xn"1 + logxn)/xn -* 1/x non uniformemente
gn(x) = (logx-xn+2 )/xn -> -x2 uniformemente
1.35 Verificare che nell'intervallo [0,+<*0
fn(x) = (x+e(n+1)x)/enx -► ex uniformemente
gn(x) = (e^n" 'x+ nx)/enx -* e ~x non uniformemente
1.36 Verificare che nell'insieme R
r , v n sen(x2+l)+n2x x . r
£ (x)= ; -* -,-—- uniformemente
nv n2(x2+l) x2+l
nx ^-^ in-f-1 ) 2senx »
gn(x)= — -> seri x non uniformemente
1*37 Verificare che

36
fn(x) = sen(x2/n) + (1-/1-X2 )/n + 0
in [-1,1] uniformemente.
1.38 Verificare che
fn(x) = (cos x)/n-cos(x/n) -» f(x)=-l
in R non uniformemente.
[ Si ha fn(n)-f(n)->l-cos l]
1.39 Sia (xn) la successione dei numeri razionali del_
l'intervallo [0,1]. Studiare la convergenza
della successione fri definita in [0,1] da
fnC*)<
1 X6^1,...,xn}
0 «[O.IJ-^,...,* }
[La successione (f ) converge puntualmente verso la funzione f definita
da f(x) - 1 se x è razionale, f(x) - 0 se x è irrazionale. Infatti se
x è razionale, allora esiste V tale che x 6 (xx ,...,x } per ogni
n > V e perciò risulta fn(x) = 1 per ogni n > V. Se x è
irrazionale si ha fn(x) = 0 per ogni n. Poiché per ogni n €N risulta fn(xn+-j)=0
" f (xn+l^ ~ 1 allora stlP { I *n(x) " f(x) I : x € [o,l] } = 1 e perciò
non vi può essere convergenza uniforme ]
37
1B . SoitriLo di JETuinz;±o«.±
Sia (fn) una successione di funzioni reali
definite nell'intervallo I di R. Se per ogni xel la
serie
£1(x)+ f2(x) + ...+ £n(x) + ... = E fn(x)
n=l
è convergente, cioè, se la successione (s ) delle som
me parziali
sn(x) = f.Cx) + f2(x) +;. .+ £nCx)
converge puntualmente in I, allora si dice che la se
rie di funzioni
(1) f1+ fa+...+ £n +... = 1 £n
n=l
è convergente in I .
Se la successione (s ) converge uniformemente in
I verso f, allora si dice che la serie (1) converge u-
niformemente in I verso f.
Se esistono dei numeri reali Mn > 0 tali che
|fn^x^l~ ^n Per X€* e Per n€^ e se -*a serie
numerica Ml + M2 +. . . + Mn + ... è convergente, allora s i di
ce che la serie (1) è totalmente convergente in I.
Si verifica facilmente che una serie totalmente
convergente è anche uniformemente convergente.
I teoremi di passaggio al limite sotto il segno

38
di integrale o di derivata per le successioni di
funzioni (ved,paragrafo 1A) implicano i seguenti
gelativi all'integrazione o alla derivazione per serie,
rispettivamente.
TEOREMA (di integrazione per serie). Se la serie (1) di fun -
zioni continue in I = [a,b] converge uniformemente verso f,al^
co ft>
f(x)dx = l fn(x)dx
lora
f
IhOREMA (di derivazione per serie). Se la serie (1) di funzio
ni derivabili in I = (a.,b ) converge in I verso f e se la
serie derivata
n=l
converge uniformemente in I, allora f è derivabile in I e risul
ha
£'(x) = I f^Oc) v-xéI.
n=l
•40 Dire se la serie geometrica
1 + x + x2 + . . . +xn_1 +. . .
è convergente uniformemente per x€l = [-a,a], con
0 < a < 1.
[Essendo
x"'1 I < a""1 VX 61
essendo 0 < a < 1, la serie data è maggiorata da una serie numerica
39
convergente e perciò essa converge totalmente in I ]
1.41 Dire se la serie
senx - sen 2x + sen 3x - sen 4x +...
è convergente per xg(0,it).
[La serie non converge in alcun punto x € (0, IT ), perchè il" suo
termine generale (-1) * xsen n x non converge]
1.42 Studiare per xeR la convergenza della serie
" cos n x
n=l n2
[La serie è totalmente convergente in R. Infatti si ha j (cos nx)/n2 \^_
co
<_ 1/n2 e la serie numerica £ 1/n2 è convergente (ved. es* 6.21
n=l
del voi. I, parte seconda) J
1.43 Stabilire per quali x > 0 convergono le serie
CO -j CO -1
(a) I —n" (b) Z -j-s
n=l nx n=l n X
[(a) x > 1; (b) x > l]
1.44 Verificare che la serie
converge totalmente in [!,+<»).

40
[ Per ogni x >, 1, risulta I/O** xn) < 1/n1* ]
1.45 Studiare la convergenza puntuale in R delle
serie
00 1
n=l ne
L (a) La serie converge puntualmente se e solo se x > 0. Infatti, se x<0
-nx
il termine generale f"n(x) = e x/n non è infinitesimo*per n ~vo°. Se
x = 0 risulta fn(0) - 0 e la serie ha somma zero. Se infine è x > 0 ,
"X
essendo 0 < e < 1, la serie
oo -x n
x i ii-L
n*l n
converge in base al criterio della radice o del rapporto; (b) la serie
converge puntualmente se e solo se x > o]
00 X
i.46 Si consideri la serie I ~Z7~: rr essendo p un
n=i np(l+nx2)
parametro reale. Verificare che essa;
(a) converge puntualmente su R se p > 0;
(b) converge uniformemente su R se p > 1/2.
[ (a) Se x = 0 la serie ha somma zero. Se x ^ 0, per il criterio degli
infinitesimi (paragrafo 6B del volume 1°, parte seconda) la serie data
ha lo stesso carattere della serie armonica generalizzata
1 -i-
ed è quindi convergente se (e solo se) p + i > 1, cioè se p > 0.
(a) I *
n=l.
n
41
(b) Poiché la funzione dispari f (x)=x/(l+nx2 ) assume il valore massi,
mo su R per x = l//n , risulta
nP(l+nx2 )
•7 2n(P+1/2)
, (p+1/2) .
La serie numerica di termine generale l/n e convergente se p+
+ 1/2 > 1. Dunque la" serie data è totalmente e perciò uniformemente
(e assolutamente) convergente se p > 1/2 ]
1.47 Verificare che la serie
x-(x2/2) + (x3/3)-(xV4) + . . .
è uniformemente convergente in [0,1], ma non è
ivi totalmente convergente..
[si ha sup [ xn/n | = l/n ed essendo divergente la serie di termine gè
°<x<.l
nerale l/n, allora la serie data non è totalmente convergente.
Per ogni x e [o,l] la serie data è una serie numerica alternata con
termine generale infinitesimo e decrescente in valore assoluto.
Per il teorema sulle serie alternate (ved. paragrafo 6C del vol,I,
parte seconda) la serie è convergente puntualmente in [0>1J verso una
funzione f(x); inoltre, detta (s (x)) la successione delle ridotte,ri-
su Ita
) |f(x) - sn(x)| < xn+1/(n+l) < l/(n+l)
e perciò la convergenza di sa f è uniforme J
1.48 Utilizzando il teorema di derivazione per serie
calcolare la somma della serie
l+2x+3x2+4x3+. . . + nx11"1 +. . .

42
nell'intervallo I = [-a,a], con 0 < a < 1.
- [Osserviamo in primo luogo che per x 6 I la serie data' è convergente.In
fatti si ha
= jx | < a < 1
(si veda la (4) del paragrafo 7D del voi. I, parte prima) ed allora la
serie converge assolutamente grazie al criterio della radice (ved. il
cap. 6 del voi. I parte seconda). Essendo n | x | <. na11 per x€I,
la serie è totalmente e perciò uniformemente convèrgente.
La serie data si ottiene derivando termine a termine la serie geome
trica
n
x +...
che converge totalmente e perciò uniformemente in I verso la funzione
f(x) = l/(l-x). Pertanto, dal teorema di derivazione per serie, segue
che
00
l+2x+3x2 +...+ nx11"1 +...- D ( I xn) = D — = ( — )2 ]
n=0 1_x l~x
1.49 Verificare che la serie di funzioni
X - e_n-x
n=l n
converge totalmente in I = [0,°O.
[La serie converge puntualmente in I (ved. l'esercizio 1.45). Per
stabilire se essa converge totalmente in I, calcoliamo l'estremo superiore:
M = sup { - e : x >. 0 ; .
43
Per ogni n 6N la funzione fn(x) = xe /ne derivabile e risulta f '(x)=
■~nx
= e (1 - nx)/n. La derivata f' si annulla per x = 1/n, che è punto di
massimo per f . Si verifica facilmente che M = f (1/n) * l/(en2). Poi.
che la serie numerica
00 -CO
E m = i X -i-
n=l e n=i n^
è convergente (ved. es. 6.21 del voi. I, parte seconda) allora la
serie di funzioni considerata è totalmente convergente in I e quindi an
che uniformemente ed assolutamente convergente in tale insieme ]
n=l
verge totalmente in I = [0,+«>).
' [ Posto Mn= sup {xe""11*: x >. o} , si vede che M =l/(en).Perciò la serie
data non converge totalmente]
1.51 Stabilire se la serie considerata
nell'esercizio precedente converge totalmente in I=[l,+°o).
[Posto M = sup { xe : x >. l} , si vede che M = e *. Perciò la
serie converge totalmente per x :> l]
1.52 Stabilire per quali x >_ 0 converge la serie
l (/n3+(x2+2)n2+4 - /n3+3xn2+l )
n=l
[La serie converge solo per x = 1 e x = 2; essa è invece divergente
in ogni altro x .> 0. Infatti si ha
/n3 + (x2 + 2)n2 + 4 - v/n3+3xn2+l =

44
(* 2 ~ 3x + 2) n2+ 3
/n3 +(x2 + 2)n2 + 4 + /n 3 +
3xn 2 + 1
Ne segue che : se x2 - 3x + 2 = 0 *(cioè se x = 1 oppure x=2), allora
il termine generale della serie è infinitesimo dello stesso ordine di
"■"si 2
n ' e quindi la serie è convergente (ved. il paragrafo 6B del voi.
I, parte seconda). Altrimenti il termine generale non è infinitesimo
per n -*■+ °° ]
1.53 Determinare l1insieme dei numeri reali x in cui
la serie
j log(l+nx)
n=sl n3x+n2
converge e stabilire se in tale insieme la
convergenza è totale.
[ La serie converge puntualmente e totalmente per x >, 0. Si osservi che
dalla disuguaglianza log (1+y) < y> yy > - 1 (ved. l'eserc. 1.50 del
voi. I, parte seconda) segue che il termine generale della serie data
si può maggiorare con 1/n2 J
1.54 Studiare la convergenza puntuale della serie
» n log (1+x/n)
n-l CX+n)2
[ La serie converge puntualmente per x > - 1 ]
1.55 Verificare che la serie dell'esercizio preceden
te converge totalmente nellfinsieme [0,+°°).
45
1.56 Stabilire per quali xeR risulta convergente li
oo
serie E £n (x) con
n=l
(nx) /n! se x > 0
(a) f (x) = <
/(nxT^+1 -n2 se x < 0
(b) £ fx)
3x/n - 21/n se x > 0
n!/(nx)n se x < 0
[(a) 0 < x < l/e, x=-l; (b) x =log 2 /log 3, x < - I/e ]
1.5 7 Studiare per x > 0 la convergenza puntuale del'
la serie
l x"log n
[La serie si può rappresentare sotto la forma
™ -(log n)(log x) ™ -log x
le = L n
n-l
n=l ■
ed e quindi convergente se log x > 1, cioè se x > e (ved. es.6.21 del
voi. I, parte seconda) ]
1.58 Studiare la convergenza puntuale della serie di
funzioni

46
* [(x/2)n + i/xn] .
n=l
[E» opportuno eseguire la scomposizione
00
f [ (x/2)n + l/xn] . £ (x/2)n + £ i/x„ _
n_1 n=1 n=l
I* serie risulta convergente per ogni x tale che 1< | x | < 2 ]
1C. Serie cìi jpcftz&rxzo.
Sia a0,a2,...,an,... una successione di numeri
reali. La serie di funzioni
(1) E anxn = a0 + axx +...+ anxn + ...
si chiama serie di potenze (di punto iniziale zero], di
coefficienti a0,a1,...,a ,... .
Si chiama raggio di convergenza della serie di poten
ze (1) l'estremo superiore re[0,+°°J dell'insieme
degli xeR nei quali essa converge.
Si possono verificare tre casi:
1) r-0. Allora la serie (1) converge solo per x = 0.
2)0<r<+°°. Allora la serie (1) converge assolutamente
per x e (-r,r) e totalmente in ogni intervallo chiuso
contenuto in (~r,r)f mentre non converge in alcun punto x tale che
\x\ > r.
3) r = + oo# Allora la serie (1) converge assolutamente in o-
gni xe R e totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato
di R.
47
Osserviamo che, nel caso 2), nulla, si può dire in ge^
nerale sulla convergenza della serie di potenze nei
punti -r, r.
Per il calcolo del raggio di convergenza di una
serie di potenze, sussistono i seguenti, teoremi.
TEOREMA DI CAUCHY. Se esiste il limite
lim \/| a | = i e R,
allora il raggio di convergenza r della serie di potenze (1)
è dato da
r = l/£,
pur di porre 1/0 = + °°.
TEOREMA DI D'ALEMBERT. Se risulta an ? 0 per ogni n ed e-
siste il limite
lim
an+l
l e R ,
allora il raggio di convergenza r della (1) è dato da
r = l/£
pur di porre 1/0 = + °°.
Più in generale, una serie di funzioni del tipo
(2) 1 an(x-x0)n= a0+ax(x-x0)+...+an(x-x0)n+...,
n=0
ove x0eR, si chiama serie di potenze di punto iniziale x0.
Si dimostra che l'insieme X dei numeri reali per cui

48
essa converge è sempre un intervallo, detto intervallo
di convergenza. Precisamente, se r è il raggio di con -
vergenza della serie (1) avente gli stessi coefficien
ti e punto iniziale 0, allora l'intervallo di
convergenza X è:
i) [x0,xj = {x0}, se r = 0 ;
ii) uno degli intervalli di estremi x0-r, x0+r, se
0 < r < + °° ;
iii) R, se r = + °°,
Il numero r si chiama raggio di convergenza anche de^l
la serie (2).
Si dimostra che se la serie di potenze (2) ha rag
gio di convergenza r > 0, la sua somma f(x) definita
per xe(x0-r, x0+r) da
(3) f(x) = Z an(x-xjn
n=0
derivabile in (x0-r, x0+r). Inoltre ri-
fr(x) = Z nan (x-x0)n
n=l
C5J f f(t)dt = Z ~j (x-xj1
è continua e
sulta
C43
>n+l
n + 1 U'XrtJ
n=0
s< -~. - -wuauu memoro delle f4ì p (k\ _„.,
an-
±e serie a secondo membro delle (4) e (5) avendo
ch'esse raggio di convergenza uguale a r.
Si dimostra inoltre che, se la serie (3) ha
raggio di convergenza r > 0, allora f è dotata di deriva
te di ogni ordine in (x0~r, x0+r) e risulta
a _f(n)(xn)
a" " n!
per cui la (3) può esser riscritta sotto la forma
(6) f(x) « Z Cx-xJn .
.n=0 n *
Enunciano infine il seguente
TEOREMA DI ABEL. Se la serie di potenze (2) ha raggio di
convergenza r£(0,+ °°J e converge in x0+r (rispettivamente in
xQ-r), allora essa converge uniformemente in [ s,x0+r] (rispet^
tivamente in [x0-r,s]) per ogni s e (xQ-r, xQ+r). In
particolare la somma f(x) è continua in [ s, x0+r ] (risp. in [x0-r,
si).
1.59 Verificare che le seguenti serie di potenze han
no raggro di convergenza r = 1
co co n ©o n
(a) Z xn (b) Z ^ (e) Z ^ •
Studiarne il comportamento agli estremi dellrin
tervallo di•convergenza.
[(a) Si tratta" della serie geometrica di ragione x che converge solo se
jx j < 1. (b) Si ha ^n+T/a = n/n+1 e perciò r = 1, grazie al
teorema di D'Alembert. La serie converge per x = - 1 (ved. l'esercizio 6.38
del voi. I, parte seconda), non converge per x = 1 (ved. l'esercizio
6.5 del voi. I, parte seconda), (e) Si ha a +1/a = n2/(n+l)2 e
perciò r = 1, grazie al teorema di D'Alembert. La serie converge per x =
= - 1 (ved. l'esercizio 6.39 del ,vol. I, parte seconda), e per x = 1
(ved. l'esercizio 6.21 del voi. I, parte seconda) J
co
1.60 Verificare che la serie di potenze Z n i xn ha
n=o
49
VneN.

50
raggio di convergenza r = 0.
[Si ha Wan = (n+1)!/n! = „ + L ed ^^ ^ .nvocare ^ teQrema ^
D'Alembert ]
1.61 Determinare il raggio Hi r>^„
rie di potenze divergenza r delle se-
Ca) ? nTI *n Cb) J —^
[(a) Essendo
anhl = (n+l)/(n+2) (n+l)2
an n/(n+l) " n(n+2)
si ha ^lim an+1/an = X e perció r = ^ a noma del ^^ ^ ^^
Wt. (b)Sihal^VT7T^^ - Hm 1/[»(!/->]- 1/3 . p«
ciò r = 3, a norma del teorema di Gauchy ]
1.62 Determinare il raggio di convergenza r delle
seguenti serie di potenze
00 £ ^J (b) Z n! (x/2)n
n=l n- n=1
n
fri Y X °° v
tC0 Z ?T (d) Z \"
n=1 n-1 n
Ce) T ^ xn rn v Hi. .n
ni
„=! n'
n-1 n
[(a) Essendo an/an+1 - („+1),/n! . n+1, si ha r=+ro ? g ^ ^ fc
51
n
di D'Alembert, (b) r=0. (e) Essendo /a =1/5, si ha r « 5, a norma
del teorema di Cauchy. (d) Essendo /a =* 1/n, si ha r=+ °° . (e) Es -
n ( n n __
sendo /a - n/ /n! ,.risulta lim /a = e (ved. 1' esercizio
n-»oo
7.58 del voi. I parte prima) e perciò si ha r-l/e. (f) r = e]
1.63 Determinare l'intervallo I di convergenza delle
serie
2
co n 00 n Tìy. Il
(a) Z 2L- (b) Z
con-
n=0 n! n=l vii
n2
[(a) Per |x | £ 1 si ha |x | /n» £ 1/n» e perciò la serie
n2 ' 2
verge. Per |x| >1 si ha lim ( | x | /ni) >_ lim (|x|n /nn) =
n-><° n-?"00
• I n n
= lim ( I x I /n ) = + <» , perciò là serie non converge. Pertanto I =
n ->°°
= [ -1,1 ] . (b) Posto t = 2x, studiamo la convergènza della serie
oo
? t / /n. Essendo (l//n+l )/(l/ /7ì)= /n/(n+l) -» 1, per il tecre-
n=l
ma di D'Alembert questa serie converge per jt (< 1 e diverge per |t|>
co
> 1. Per t =* 1 essa si riduce alla serie divergente E 1. / V n e per
t = - 1 alla* serie alternata E (-1) Vn che converge. In definitiva
n=l
la serie data converge per x €1 = [-1/2, 1/2) ]
1.64 Determinare lfintervallo di convergenza I della
co n
serie E TTTTwr .
n=o (n+D 2
[Essendo an+1/an = (n+l)2n/ [( n+2)2n+"1 ] « (n+l)/2(n+2), dal teorema di
D'Alembert segue che il raggio di convergenza della serie data vale r-
=2. Pertanto la serie converge per |x | < 2. Per x = - 2 essa si

52
riduce alla serie armonica alternata che converge, mentre, per x=2 essa
si riduce alla serie armonica che diverge. Dunque è I = [-2,2) J
1.65 Determinare l'intervallo di convergenza I della
. " log n n
serie I —tzt- xn ,
n-1 n'2
[Essendo '
an-fl _ 16g(n+l) ^ n2fì _ 1 __n_ log(n+l)
an (n+l)2n+1 log n 2 n+1 logn '
dal teorema di D'Alembert segue che il raggio di convergenza della
serie data vale r - 2. Pertanto la serie converge per | x | < 2. Per
x = - 2 essa si riduce alla serie alternata
°° n log n .
n-1
che converge, mentre per x = 2 essa si riduce alla serie
f log a
n=l n
che diverge in quanto maggiorante della serie armonica]
1.66 Calcolare, per ogni valore del parametro realea,
il raggio di convergenza della serie di potenze
I .g(a-l) - - - fa-n)
n=l
n!
[Essendo
*n+l
I a -n-1 f
, per.il teorema di D'Alembert si ha
n+1
r^l se a i 0,1,2,3,. v. Altrimenti il termine generico della serie data
è definitivamente nullo e perciò essa ha raggio di convergenza r-+°°]
53
1.67 Studiare la convergenza delle serie di potenze
?n n xn
[(a) Essendo an+1/a = 2 / n+3 / /n+4 , per il teorema di D'Aleni -
bert il raggio di convergenza è r = 1/2. Per x = - 1/2 si ottiene .una
serie alternata convergente, mentre per x = 1/2 la serie diverge (ved.
es. 6.21 del voi. I, parte seconda), (b) Si verifica facilmente che
lim a .i/a - 1/9. Perciò il raggio di convergenza vale r = 9. La se
n->oo
rie non converge per x - ±9, perchè il suo termine generale non è in
finitesimo J
1.68 Calcolare il raggio di convergenza r di
ciascuna delle seguenti serie di potenze
CO r CO 7
(ai E % x" (b) l 7^7 "
2n ' J n (n+1)
n=l ù n=0 ^Jl ±J
(e) E J x (d) l — ( )
n=o n! n=1 n+i s
Ce)„fx 7n+l)5"+1log(n+l) (£)Ìi T^y^
[(a) r = 2; (b) r = + <*>; (e) r = 1; (d) r = 5; (e) r=5; (f) r=l ]
1*69 Determinare l'intervallo di convergenza di
ciascuna delle seguenti serie di potenze

54
00 r . - a n
(e) E I2±£2_ ,. » „ n
„-i n2 . Cd) Z n Cx+7)
n=l
n-1
n»l Z n n=2 (n-lj z
[(a) (-5, -1); (b> [-6, -2); (e) [-3, -1); (d) {-7 } ;
(e) [-5, -i] ; (f) [ -10, -8] ]
1D . S€*jc±<=* eli Taylor
Sia f(x) una funzione reale dotata di derivate di
ogni ordine nell'intervallo (a,b) e sia x0e(a,b). La
serie di funzioni
00 r (n) s -\
(1) I * P^ (x-xjn
n=0 n-
prende il nome di serie di Taylor di f (x) , di punto i-
niziale x0.
Se la serie (1) è convergente in (a,b) verso f(x),
cioè se risulta, Vxe(a,b):
allora si dice che f (x) è sviluppabile in serie di Taylor
di punto iniziale xc, nell'intervallo (a,b).
Dalla definizione del resto n-simo Rn (x) della
formula di Taylor
55
« f(k) fx*1 k
Rn(x) = f(x)- E vXoJ(x-xJk
si ricava che: condizione necessaria e sufficiente affinchè
f(x) sia sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale x0,
in (a,b) è che
(2) lim Rn(x) = 0 Vxe(a,b).
n-><»
Da tale condizione, ricordando l'espressione di La-
grange per il resto Rn(x):
-(rH-i) rrì
C3) RnW= (n * 1)1 Cx"X°)n+1
(con 5 opportuno valore compreso fra x0 e x)e la con
seguente stima del resto
M
nell'ipotesi Mn+1 = sup {|f (x)|:xe(a,b)}< °°-,
si deduce il seguente
TEOREMA 1. Se f(x) è dotata di derivate di ogni ordine in (a}
b) ed esistono M,L .> 0 tali che
|f(n)(x) | < MLn Vxe(a,b)
(in particolare se le derivate di f sono equi limitate in (a,b))
allora, Yx0 e (a,b), f(x) è sviluppabile in serie di Taylor di
punto iniziale x0 nell'intervallo (a,b) e si ha:

56
(5) |Rn(x)| l^^"'1 M, Vx«(a,b).
Le stime del resto (4) e (5) hanno notevoli applica
zioni al calcolo numerico dei valori delle funzioni.
Utile è inoltre il seguente
TEOREMA 2 . Sia f(x) dotata di derivate di ogni ordine in (a,
b) e sia x0 € (a\b) . Se risulta
co r (n) e \
n=l ^n -W •
cioè, se la serie derivata della serie di Taylor di f ha per
somma f, allora f è sviluppabile in serie di Taylor di punto i_
niziale x0 nell'intervallo (a.,b).
Nel caso x0 = 0, la serie (1) prende anche il nome di
serie di Mac Laurin di f (x) .
Sussiste infine il seguente
TEOREMA 3 Se f(x) è sviluppabile in serie di Taylor di punto
iniziale xQ nell'intervallo I =(x0-r, X0+r) e se g:X -> I
è una funzione definita nell'insieme X e R tale che g(Xj è chiù
so, allora si ha, uniformemente* in X
f(gtx))=£Cx0)+f(x0)(g(x)-xo) + ...+ f^Xo) (g(x)-
-x0)"+...
CO
1.70 Sia f(x) = £ an*n Pe*" \x\< T e sia g(x)
n=o
oo
= E t)n^n per |x|< s. Posto t-min {r,s},
verifico
care che
co
f(x)+g(x)= I (an+bn^xn Per lXl< t*
n=0
57
[ Basta osservare che per ogni k e N
k
| Z.(an + bn)xn - (f(x)+g(x)) | <
n=0
k k
< I E anxn-f(x)| +j E b xn - g(x) |]
- n=0 n n=0
1.71 Calcolare i primi quattro coefficienti della S£
rie di Taylor di punto iniziale x0 = l di f(x) =
= l/(l+x2).
[ao=f(l)= 1/2; essendo f ' (x) =- 2x/(l+x2 )2 , si ha a^f » (l)=-l/2;
essendo f"(x) = (6x2-2)/(l+x2)3 , si ha a2 = f"(l)/2! = 1/4; essendo
(3)
f'"(x) = 24(x-x3)/(l+x2 )k , si ha a3 = f (l)/3l = o]
1.72 Scrivere la serie di Mac Laurin della funzione
f(x) = cos hx = (ex + e"x)/2.
[Si ha f^n'(x) = cos hx se n è pari, f^(x) = sen hx se n è dispari .
Pertanto è f (0) - 1 se n è pari, f '(0) = 0 se n è dispari. La se
rie di Mac Laurin di cos hx è perciò l+(x 2 Ili ) + (x^ /4! ) + ... +
+[x2n/(2n)!]+...]
1.73 Scrivere la serie di Mac Laurin della funzione
£(x) = e-2x
[Si ha f'(x)=-2e~2xj f"(x)=22 e~2xj f(3)(x)=-23 e"2x ; ...f{n\x)i =
72 2
= (-l)n2ne"2x. Ne segue che la serie cercata è l-2x+ — x2 x3 +..
n * *
...+ (-l)n- xn+... ]
ni
1.74 Scrivere la serie di Mac Laurin della funzione
f(x)=(l+x)a per x > - 1, aeR.

58
[Si ha f »(x) = a (1+x) a" ; f"(x)= a (a -l)(l+x) a" ; ...f (x) =
•= 0£ (a -1) *...-( a -n+1) (1+x) n. Perciò f " (0) = a (a -1)*
... * ( a -n+1), e la serie cercata è
i a " a (a -i)...(a -n+i) n -,
1+2, x J
n=l n!
1.75 Scrivere la.serie di Mac Laurin della funzione
y = arcsenx.
[ Si ha y» = l//l-x 2 , y" » x/ / (1-x2 ) 3 = xy'/(i-x2),... da
cui
(6) (1-x2 )y" - xy' = 0.
Dalla (6) si deduce una formula per ricorrenza assai utile per il
calcolo delle derivate successive di y=arcsen x. Calcolando la derivata
n-sima del primo membro della (6) si ha
2 (IH 2) (n+1) (n) (n+1) (n)
(1-x )y - 2nxy - n(n-l)y -xy -ny = 0
da cui, semplificando
o (n+2) , (nn) 9 (n)
(1-x2 ) y - (2n+l) xy - n2 y = 0
ed ancora
(n+2) r x (n+1) 3 (n) -, 2
yV = [ (2n+l)xyV + n2 yV ]/(l-x 2 ) .
(n+2) 9 (ni (0) . x
Ponendo x = 0 si ha y (0) = n ^ y (0), da cui, essendo y (0) =
= y(0) = 0 segue
(2k) (2k+l) > o •> > ,2
■y\ '(0>0; yK (0)=12 *32*5 2 ... (2k-l)2 .
Se ora indichiamo, vme N, con mìì n prodotto di ^ .
rali non maggiori di m ed aventi la sta-*- —- ^ /
«averci la stessa parità di m (ad esempio 6«!=
59
= 2*4*6; 7!! = 1*3*5*7), dalle precedenti relazioni segue
yC2k+1)(o)= [C2k-i)M V
Perciò la serie di Mac Laurin di y = arcsenx .è
q «- oc 2n+l
1 x3 1*3 x5 * (2n-l)!! x -,
x+ +• -—+...= E ]
2 3 2*4 5 n*0 (2n)M 2n+l
1.76 Scrivere la serie di Mac Laurin della funzione
f(x) = log (1+x).
[Si verifica per" induzione che f (x) = (-1) (n-l)!/(l+x) e perciò
la serie cercata è
*-T +J- -..•♦(-!) -+...]
.n-1 xn
n
1.77 Verificare che sussistono i seguenti sviluppi in
serie di Taylor
(a) ex = l+x+ t+77+...+ 't+... xeR
ZI
ni
(b) 1/x = l-(x-l) + (x-l)2-...+(-l)n+1(x-l)n"1 +
+... xe(0,2)
(e) logx=(x~l)- 2 + - . . . +
+ (-!)*" ISilil +<
X€(0,2)
[(a) Le derivate di f(x) = ex essendo equilimitate in ogni intervallo li
mitato di R, basta applicare il teorema 1. (b) Per x €(0,2) si ha 1 -
-xe(-l,l), perciò la serie geometrica di primo termine 1 e ragione 1-x
è convergente e si ha

60
1 1 0 n-1
"=—— = 1 + (l-x)+(l~x)2+...+(l-x) +... .
x l-(l-x)
(e) La serie derivata della serie a secondo membro di (c),_coincide con
quella considerata in (b) che converge verso D logx - 1/x. Si può
perciò applicare il teorema 2 J
1.78 Verificare che sussistono i seguenti sviluppi in
serie di Mac Laurin.
(xeR)
(a) e"x = l-x+ f- -...+(-l)n *1 +
z • n ! ' ' '
,_ . v3 2n+l
(b) senx = x- 77 +. . .+(-i) n ^ : + , „,
3! <• ^ (2n+l)! +--' ^xeR)
(C) COSX=l- ~ +.. +r-l)n -* , , _
2! •• • ^ lj (2n)! +... (xeR)
2n+l
f^r+-- (x€[-i,i])
r *> ^3 2n+i
(d) arctgx=x- ^+ ... + (-i)n x
r Y3 2n+l
Ce) senhx - x + ~ +. . + 2- . ■ ( _
3! (2n+l)! '•• ^X6R)
x2 2n
(£) coshx=l+ —+...+ x
[(a) Segue dall'esercizio precedente.(b) Le derivate di f(x) = senx
essendo equilimitate in R, basta invocare il teorema 1. (e) Le derivate di
f(x) = cosx essendo equilimitate in R, basta invocare il teorema 1. (d)
La serie derivata della serie a secondo membro è 1-x 2+.. .+(-l)nr* x ' ' +
... cioè è la serie geometrica di primo termine 1 e di ragione -x2,che
nell'intervallo (-1,1) ha per somma l/(x2 +1); allora, invocando il teo
rema (2) si ha lo sviluppo indicato per x 6 (-1,1).Che lo sviluppo sus
sista anche per x - ±1 segue dal teorema di Abel. (e) Essendo senhx =
- (e - e"K)/2, si può invocare il risultato dell'esercizio 1.70 e gli
61
sviluppi (a) del presente esercizio e di quello precedente, (f ) Si sfrut
ti come in (e) l'uguaglianza coshx = (ex + e*~x)/2 ]
1.79 Verificare che per xe(-l,l) sussistono i
seguenti sviluppi in serie di Mac Laurin
co r . n+l
(a) log (1+x) = E i^ xn
n=i n
(b) 7^ = E (_1) x
l+A n=Q
1_ " ._ 2"
l-x:
Ce) T-T7 = E *
n=0
—— oo 2n+l
[(a) Ved. la (e) dell'esercizio 1.7 7. (b) E' la serie geometrica di
primo termine 1 e ragione -x 2 . (e) E' la serie geometrica di primo
termine 1 e ragione x2 . (d) La serie derivata delia serie a secondo membro
di (d) coincide con quella considerata in (e) che converge verso 1/(1 -
-x ) = D log v (l+x)/(l-x). Si può perciò applicare il teorema 2. Si
può procedere anche per altra via. Precisamente, osservando che
log /(l+x)/(l-x) = [log(l+x)~ log (1-x) ] Il ed allora dalla (a) e
dalla (a) stessa, nella quale si cambi x in -x, si ottiene per sottra -
zicne lo sviluppo desiderato ]
1.80 Dimostrare la relazione
[poiché la serie a secondo membro converge (ved. l'esercizio 6.38 del
voi. I, parte seconda), possiamo applicare alla serie (a) dell'esercì -
zio precedente il teorema di Abel. Pertanto la (a) sussiste anche per

62
x-l]
81 Calcolare la derivata sesta f (0) della funzio
ne £(x) = 1/Cl+x2), utilizzando il suo sviluppo
in serie di Mac Laurin.
r (6) .
[ Dalla (b) dell'esercizio 1.79 segue che f (0)/6!, cioè il coefficien
te di x , e uguale a -1. Pertanto f (0)= - 6! J
1.82 Senza effettuare il calcolo delle derivate
successive della funzione f(x) = log (1+x)} verifi
care' che f <7> (0) = 6!
[Dalla (a) dell'esercizio 1.79 segue che f (0)/7l, cioè il coefficien
te di x7 , è uguale a 1/7]
1.83 Dare un esempio di funzione indefinitamente
derivabile in tutto R, la cui serie di Mac Laurin
non converge in tutto R.
[Ad esempio f(x) = l/(l+x2) la cui serie di Mac Laurin, indicata
nell'esercizio 1.79 (b), converge nell'intervallo [-1,1 ] ]
1.84 Sia f(x) una funzione derivabile n+1 volte in
[a,b] con derivata f (x) continua.
(a) Dimostrare -per induzione la formula
Rn(x) =
(x-t) (n+1) , ,
! n! f ^dt , VX€[a,b],
che esprime, in forma integrale, il resto della
formula dx Taylor di f di punto 'iniziale x^
00 Dedurre dalla rappresentazione del resto in
63
forma integrale la sua espressione secondo La-
grange: esiste un punto £ nell'intervallo di e-
stremi x ed x0 per cui
f (n+1)m
[Ricordiamo che, per definizione, è
n+1
n f fy ) k
R(x) » f(x) - X L£i <x-x )
(a) Per n = 0, dalla formula fondamentale del calcol
niamo
o integrale otte *
I f'(t)dt - [f(t)]^ - f(x) - f(x0) - Ro(x).
Supponiamo per induzione che per qualche n risulti
n f(k)(x) k
f (x) . Z £•> (x-x )k +
rx n
(x-t) fn+lì
-Jj— f ;(t)dt.
Supponiamo anche che f(x) ammetta derivata (n+2)-esima continua in
[ a,b J . Integrando per parti otteniamo
(k)
t{K) - 2, (X-X )
k=0 k! °'
n+1
(x-t) Jn+1) ,
~^— f (t)
t*x
n+1
(x-t) (n+2)
t-o %
f (Q , n+1
"7 ■—Q- (x-x ) +
(n+1)! °;
n+1
(x-t) (n+2)
■&VT f (t)dt

64
che è quanto si voleva dimostrare.
(b) Supponiamo x > xq (le differenze con il caso x < xo sono soltanto
formali). Indichiamo con ni,M rispettivamente il minimo ed il massimo di
(n+1) x r ., (n+1)
f (t) nell'intervallo ix ,x J , certo esistenti essendo f con-
(n+1) r -,
tinua. Dalle disuguaglianze m < f (t) < M, Vt è Lxo,x J, e
dall'espressione integrale del resto Rn(x) ne deduciamo che
| (x-t)
dt
< Rn(x) < n . i£*L dt.
L'integrale è calcolabile elementarmente e vale
fx r , ,n+l
1 f « ' '
(x-t)n dt . -L
ni
(x-t)"
n+1
jt=x n+l
't=x (n+1)!
Perciò
x o'
< M
Per il teorema dell'esistenza dei valori intermedi applicato alla fun -
zione f (t) (tale funzione assume tutti i valori compresi tra il mi
v ?- r -i (n-fl)
nimo m ed il massimo M), esiste e, e l x ,xj tale che f ( t, ) =
n+1 n
- Rn(x)-(n+l)i/(x-xo) ]
a
1.85 Dimostrare che VaeR la funzione £(x) = (1+x) è
sviluppabile in serie di Mac Laurin nellfinter -
vallo (-1,1) e risulta
(8)
n=o V n /
65
ove! ) = a(a-l)...(a-n+l)/n!' La serie a
secondo membro della (8) si chiama serie JbinomiaIe(ved
esercizio 1.74).
r (n+1) a-n-1
LEssendo f (t) = a (a-1).. .(a-n)(l+t) ( ved. l'esercizio
1.74), il resto Rn(x) della formula di Mac Laurin è
a (a -i)...(a -n) f e x-t n t a-i
R (x) - — — ( ) (1+t) dt
nV n! J v 1+t
(ved. l'esercizio 1.84 (a)). Essendo, per 0 < 11 | < | x | < 1, |x-t \l
/ 11+t | < |x | , si ha
dt
i ,1 r X
, , a (a -i)...(a -n) , ,n f a-1
K(x) I < ' n, -1 |*| (1+t) d
•'o
e perciò Rn(x) -+ 0 grazie al risultato dell'esercizio 1.66 ]
1.86 Sviluppare in serie di Mac Laurin la funzione
f(x) = /I+x7 .
[Ponendo nella serie binomiale (ved. l'esercizio 1.85) a = 1/2 e x 2
al posto di x, si ha per |x | < 1
/
1+x * = 1+ + x ** +
11 111
(-)(.-!, (->(-- 1)(- -2)
2- 2 3!
= l + x2/2 - x4/8 + x6/16+... ]
1.87 Dimostrare la relazione
(« ■&■ -1 ♦ ì (-»■ 'j4-(2;;"
v2 n=i • 2 • 4 ♦ ... * (zn )

66
[Ponendo nella serie binomiale (ved. l'esercizio 1.85) (X =-1/2, si ha
per |x | < 1
1 1 1 3 0 n l-3...(2n-l) n
—zzz =l--x+---x": -.. .+(-1) x +...
/l+x 2 2 4 2-4...2n
Poiché la serie a secondo membro della (9) converge in quanto essa è
una serie alternata e la successione ( [ 1-3 • • (2n - 1)]/ [2-4-
•...•2n] ) è decrescente e infinitesima, allora possiamo applicare il
teorema di Abel allo sviluppo di 1/ /l+x ]
1.88 Sviluppare in serie di Mac Laurin
nell'intervallo (-1,1) la funzione f(x) = (1-x2)
r -1/2
[Lo sviluppo in serie di g(x) =(l+x) per x6 (-1,1) è dato da (ved .
l'esercizio 1.85)
(l+x) =1 x + x^ x 3 +...
2 2-4 2-4-6
Sostituendo -x 2 al posto di x si ha
2 -1/2 1 2 1-3 , 1-3-5 fi -,
(1-x2) = 1 + - x2 + xk + •* x6+... ]
2 ■ 2-4 2-4-6
1.89 Verificare che lo sviluppo in serie di Mac Lau -
rin in (-1,1) della funzione f(x) = arcsenx è
dato da (ved. l'esercizio 1.75):
1 x3 1-3 x5 , 1-3-5 x7 ^
[poiché la serie derivata della serie al secondo membro converge per x è
6 (-1,1) verso f'(x), allora a norma del teorema 2, .si ha lo sviluppo in
dicato]
67
1.90 Sviluppare in serie di Mac Laurin la funzione
4
f(x)
(l-x)(l+3x) '
dopo averla rappresentata come somma di due fra
zioni aventi a denominatore un polinomio di prji
mo grado.
[Vale la scomposizione
1 3
f (x) = — +
1-x l+3x
La formula per la somma della serie geometrica fornisce gli sviluppi
1 "T n 1 - nnn
= E x , = £ (-1) 3 x ,
1-x n=0 l+3x n=0
validi rispettivamente per | x j < 1 e per |x | < 1/3.
Pertanto risulta f(x) - E Ll+(-l) 3 Jx per x < 1/3 J
n=0
1.91 Verificare che sussistono i seguenti sviluppi in
sèrie
f 1 t 7' 9 3 ,. SI 5 + M)n32n+1 2n+l
(a) sen3x=3x- - x3 + — x5-...+ (/n+1) , x
2 4 2n
(b) cos f=l- ^7 + y^- -...+ (-l)n 2Ì(2n)!+-
, , -x2 , , Xh X6 X8 , ,.n X2n ^
(c) e =l-x2+ — - — + — + . . . + C- 1J + . . .
, ,, i+x ex2 ex3 ex ,
(d) e =e + ex + — + — + ' ' • + ~^T~
uniformemente in ogni intervallo limitato di R.

68
[ Basta applicare il teorema 3 ]
Sia f(x) una- funzione sviluppabile in serie di
Taylor di punto iniziale x0 nell'intervallo (x0-
-r, x0+r). La ridotta n-sima della serie di
Taylor
" f(k)(x0) , ,k
è un polinomio di grado n che si chiama polinomio
di Taylor (di Mac Laurin se x0 = 0) , di ordine n e
centro xOJ della funzione f(x).
1.92 Rappresentare graficamente la funzione y = sen x
ed i suoi polinomi di Mac Laurin di ordine 1 e 3.
figura 1.7
69
[i polinomi di Mac Laurin di y = senx di ordine 1 e 3 sono
rispettivamente px (x) = x e p 3 (x)=x-x 3 /6 (fig^ 1.7). In fig. 1.8 sono
poi rappresentati i polinomi di Mac Laurin fino all'ordine 19. La
figura è stata eseguita con l'ausilio di un computer ]
P5 Pi* P17
P P7 P„ P,5 P»
figura 1.8
amo sostituire sen x
1 93 Per quali valori di x possi _ _
con x, commettendo un errore non maggiore ai e-
= 0.0005?
•• [Essendo senx = x-x3/3> +... una serie alternata, l'errore 1 sen x - x |
si maggiora con |x3 | /3i (vedi il paragrafo 6C del voi. I, parte
seconda). Allora risulta |x3|/3! < e se |x3 |< 0.003, cioè se |x|<
< ^ 0.003 ]
1.94 Nel 1706 il matematico J. Machin scoprì un mete}

do per calcolare le prime 100 cifre decimali di
ti, basandosi sull'identità
(10) tt=16 arctg (1/5)-4 arctg (1/239)
e sullo sviluppo in serie di Mac Laurin per l'aj
cotangente. Dimostrare tale identità.
[Per dimostrare la (10), poniamo a = arctg (1/5); allora tg2 (X=2tgp£/(1-
-tg2a) = 5/12 e tg 4 a = 2tg 2a /(1-tg2 2a ) = 120/119. Posto |3 =
=4 a - 7T /k, dalle formule di addizione per la tangente si ricava
tg P = (tg4a -l)/(l+tg4a ) = 1/239. Essendo 0 < g < 7T /2, si ha g =
= arctg (1/239) = 4 a - TT/4 e cioè la (10). Nel 1973 j'. Guilloud e
M. Bouyer arrivarono a calcolare un milione di cifre di TT , basandosi
sull'analoga identità:
IT =48 arctg (1/18)+ 32 arctg (l/57)-20 arctg (1/239).
Nel 1983 sono state calcolate oltre "16 milioni di cifre di TT , con un
metodo un pò diverso. L'uso della (10) per il calcolo approssimato di
7T è assai più vantaggioso di quello dell'identità TT = 4 arctg 1, che
fornisce l'espressione
111 ni
(11) IT = 4 (1 + '+... + (-1) + ...), in quanto questa
3 5 7 2n+l
ultima serie converge "lentamente". Applicando i noti risultati sulle
serie alternate (ved. il paragrafo 6C del voi. I, parte seconda) si
deduce la disuguaglianza
, 4 4 4 n+1 4 . 4
IT _ (4- - + +.. .+(-1) ) < .
1 3 5 7 2n-l ' 2n+l
Per n = 500, questa stima implica che l'errore che si commette appressi,
mando TT con la somma dei primi 500 termini della serie (11) è minore
di 4/1001 < 0.004 < 0.005. Invece, lo sviluppo di arctgx applicato alla
(10) fornisce l'espressione
71
Si noti che, ad esempio, risulta
16 1 1
5 3-25 5-25
2 ) = 3.1415...
2 239
e cioè, prendendo la somma di tre termini della prima serie e solo il
primo termine della seconda, si ottengono già quattro cifre decimali
esatte di IT. La convergenza in questo caso è molto veloce. Consideran
do un numero maggiore di addendi si trovano ad esempio le prime trenta
cifre decimali:
IT = 3.141592653589793238462643383279 ]
Negli esercizi che seguono vogliamo mostrare co
me si possa ricorrere allr integrazione per serie,al
lo scopo di calcolare gli integrali definiti di
funzioni non integrabili elementarmente.
1.95 Calcolare l'integrale
ex dx.
Jo
[Lo sviluppo ex - l+x+(x2/2!)+...+(x /n!) + ... sussiste uniformemente
in ogni intervallo limitato di R. Sostituendovi x2 al posto di .x si
ha
2 <* x2n
ex = Z —
n=0 n!
uniformemente per x e [o,l ] . Perciò si ha
Z
00 f l x2n
ex dx = Z dx
n=0 J n!
0 0
n=0 (2n+l)n!
1.96 Calcolare l'integrale
,i
2
e "x dx con errore
inferiore a 0.001.
[Sostituendo -x2 al posto di x nello sviluppo di Mac Laurin di ex si
ha

11
1 - x2 + (a* /2!)-(x6 /3!) + (x8/4i)-
uniformemente per x € [ 0,1 ] . Perciò si ha
1
dx
/ dx" / x2dx+ J JTdx- f 17
o •'o •'o o-
\ iv
0 L
x5
+ l~
IO
- 1 -.(l/3)+(l/10)-(l/42)+(l/216)-(l/1320)+...
All'ultimo membro abbiamo una serie alternata e perciò (ved. il paragra
fo 6C del voi. I, parte seconda) l'errore si maggiora con il valore
assoluto del primo termine trascurato. Per avere un errore inferiore a
0.001 dovremo sommare fino al termine 1/216 incluso. Perciò, a meno di
0.001 si ha
e dx S 1 - (1/3) + (i/io) - (1/42) + (1/216) S0>747 j
1.97 Calcolare, con sei cifre decimali esatte, il
valore dell'integrale
sen x
dx.
[Si ha sen x = I (-1)" x2"+1/(2n+l)! per x 6R e perciò
sen x
x
n=0
2 *♦ 6 Ln
x' x4 x° n x
! + +...+(-1)
31 5! 7J ' (2n+l)l
uniformemente nell'intervallo (0,1). Infatti la serie a secondo membro
è maggiorata dalla serie numerica di termine generale l/(2n+l)! nell'in
tervallo (0,1). Quest'ultima converge, come si verifica facilmente
mediante il criterio del rapporto. Integrando per serie si ha perciò
73
r r 2 '■+ g
I sen x xx x
dx = (1 + + ...)
J x j 3! 5! 7!
dx ■
1111
= 1 + + -
3-31 5-5! 7*7! 9*9!
Per un teorema sulle serie alternate (ved. il paragrafo 6C del voi. I-,
parte seconda) l'errore che si commette arrestando lo sviluppo si tnag -
giora con il valore assoluto del primo termine trascurato. Sommando,per
ciò, solo i primi quattro termini, l'errore sarà minore di 1/9-9! =
= 0.0000003. Il valore approssimato richiesto è dunque
111 -,
! + = 0.94.6083 J
3-3! 5*5! 7-7!
1.98 Calcolare per serie gli integrali
ri
(a)
logCl+x)
dx
00
log x
x+1
dx
n-1
L (a) h (-1) /n ; (b) Integrando per parti si è ricondotti all'in
n=l
tegrale in (a) ]
1.99 Calcolare per serie gli integrali (xeR):
(a)
sen(t2)dt
(b)
cos(t2)dt
r T n 4n+3 r -,
[(a) 1 (-1) x /[(2n+l)!(4n+3)] ;
n^O i
» n 4n+l r it
(b) E (-1) x /[(2n)i(4n+l) ] ]
n=0

Riepilogo di sviluppi in serie notevoli
x x2 xn
2! " ni ■■■
3 2n+l
2. senx = x +,tt+(-i)n Jf ,
(x€ R)
(2n+l)| """ (xeR)
x2 v ** 2n
3. cosx - i '+ ÌL . +Mxn x
4. (b+x)a= ba + ab0'1 x+.,,+ a(a-i)-..(a-n+i) a.n
b Uxn+,,,
(1*1 < Ibi )
5. aX ■ i+ x ioga+ (XJ2SÌL M , _(* Ioga)"
21 """ n!" +""" (x e R)
6. arcsenx = x + i^L3 + .-1'3'*5, , l'3-5-x7
2'3 2-4-5 2~^T+""
i.Q.t:. /„ , 2n+l
+ - ---'(2n-l)x
2"4-6'..,.2n(2n+l) + " ' ( | x | < i)
x3 x5 v7 2n+1
3 5 ? ....+ (-!) _ + ... ( |x(ll)
x3 2n+1
8. senhx = x + — +...+ 2 _ +
3* "" (2n+l)! "" (x€R)
x2 x ^ 2n
9. coshx = 1 + — + — +. . ,+ JS _ +
21 4! ".' (2n)| "" (x 6 R)
10. sett sen hx - x- — + -1'3** l'3-5x7
2"3 2-4-5 2-4-Ó-7 + ""*
75
+(-D
n l'3-5-...-(2n-l)x
2-4-6--...-2n(2n+l)
2n+l
q - 2n-H
XX X
11. sett tghx = x + — + — + ...+ +...
3 5 2n+L
( |x|< 1)
( |x|< 1)
12. log (l+x) = x- — + ~ - ... +(-l)n+1 ~ + . . .
2 3 n
(-K x < 1)
1+x
2n+l
13. log — =2 (x + ~ + - +...+- + _}
1 x 3 5. 2n+l ;
(|x|< 1)
14. log x = 2
x-1 1 x-1 3 1 x-1 2n+l
+ -( ) +...+ ( ) +•
x+1 3 x+1 2n+l x+1
(x > 0)
, x' x9
15. sen hx + senx = 2 (x + — + — +..,)
51 9!
(X 6R)
16. cos hx + cos x = 2 ( 1+ ^- +, -— +. .. )
41 81
(x€R)

Capitolo 2
SPAZI METRICI E SPAZI NORMÀTI
- •-* • Sp>SL2:dL metarici
Sia X un insieme e d : X x X -» [0,+°°) una funzio-
r*e. Si dice che d è una distanza o metrica su X, se
sciiO verificate le condizioni:
~j d(x,y) =0 se e solo se x - y
iijd(x,y) = d(y,x) per ogni x,yeX
iiijd(x,y)£ d(x,z)+d(z,y) per ogni x,y,z€X.
C disuguaglianza triangolare)
Se d è una distanza su X si dice che (X,d) è uno
spazio metrico, o anche che X è uno spazio metrico,quan
ao non vi sarà possibilità di equivoco.
Per ogni r > 0, x0eX, si' chiama cerchio aperto (o
intorno sferico o sfera aperta ) di centro x0 e raggio r,
i r insieme
B(x0,r) = {xeX : d(x,xj < r } ;
si chiama cerchio chiuso di centro x0 e raggio r l'in -
77
sieme
C(xOJr) = {xeX : d(x,xj £ r}.
Un insieme AcX si dice aperto, se VxeA esiste un cer
chio aperto B(x,r) contenuto in A. Un'insieme C £ X
si dice chiusoy se X-C è aperto.
Se xeX, IcX, si dice che I è un intorno di x, se
esiste un cerchio aperto B(x,r) contenuto in I.
Sia Y e X. Un punto xeX di dice di 'accumulazione
per Y se, per ogni intorno I di x, si ha I fì(Y-{x})7é0.
L'insieme (eventualmente vuoto) dei punti di
accumulazione di Y si indica con D(Y).
La chiusura dell'insieme Y e X è l'insieme Y £ X
definito da Y = Y U D(Y). Un insieme C è chiuso se e
solo se C = C, cioè se e solo se C £ D(C).
Se x = (Xj, . . . ,xn) , y = (yx , . ., ,yn) sono punti
di R ,posto
(1) dn(x,y) = /(x.-yJ^.-.-Kx^yJ2
la coppia (R ,'d ) è uno spazio metrico (ved.es.2.3) che
si chiama spazio euclideo a n dimensioni e che indicher_e
mo semplicemente con Rn.
Per n = 1 la (1) si riduce a
di(x,y) = |x-y| . (x,yéR)
Se (X,d) è uno spazio metrico e Y è un sottoin -
sieme di X, allora, la restrizione della funzione d
a Y x Y è una metrica su Y, che si chiama metrica in-

78
dotta da d su Y.
Un sottoinsieme Y dello spazio metrico (X,d) si
dice limitato, se esiste un cerchio (chiuso) C che con
tiene Y, ovvero se esiste r > 0 .tale che d(x,y) £ r,
per ogni x,y€Y.
2.1 Sia X un insieme e sia, per x,yeX
d(x,y)
ì 0 se x = y
li se x f y
Verificare che (X,d) è uno spazio metrico nel
quale ogni insieme è aperto e chiuso.
2.2 Siano a = (a1,...,an) e b = (h1,...,bn) punti di
R . Verificare che sussiste la disuguaglianza di
Cauchy-Schwarz
[Si ha, per ogni t e R
0 < £ (a. + tb.)2 =
1=1 x ■*-
n
l
n
« ( 1 b.2)t2 +2(Z a.b.)t + ì a.2 »
i=l 1 i-l X x i.x x
= at2 + 2|3t + y •
Si noti che a , y > 0; inoltre se a = 0 (ed analogamente y) i b. sono
tutti nulli ed in tal caso la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è
ovviamente verificata. Supponiamo quindi a > 0; il polinomio di secondo gra
do in t: at 2 + 2 3 t + Y é non negativo per ogni t 6 R. Quindi l'è -
79
quazione di secondo grado ad esso associata non ha due radici reali (al
trimenti il polinomio sarebbe negativo all'interno dell'intervallo del
le radici). Ciò equivale a dire che A/4'= g2- ay <. °* c*oe P 2£.aY
che, ricordando il significato dei simboli a, |3, y, corrisponde alla
tesi ]
2.3 Tenendo presente l'esercizio precedente,dimostra,
re che la funzione dn definita dalla (1) è una.
metrica (detta metrica euclidea*) .
[ La (i) e la (ii) valgono banalmente. Dimostriamo che d {x,y)<. d (x,z) +
+ ^n(z?y) con x=(x1,...,xn), y = (y-L,...,yn), z = (z1?...,zn), cioè'
che si ha
(\ :\xi-yì\2)m<{tZ K-zjM^ + C 2 hi-yil2)1/2
1-1 i=l Ì-1
Posto a. = x. - z. e b. = z. - y. , basta dimostrare che
E (ai+b.)2< [( E a|)l/2+( ì b|)1/2 ]2
i=l * x i*l * i=l
o, ciò che è lo stesso, che
" " 9 1/2 ^ « 1/2
E a.b. < ( I a2 ) (l b±2)
i«l x 1 • 1=1 * i«l X
relazione vera, grazie all'es. precedente J
2.4 Per x = (xnx2), y = (x1?y2)eR2, poni
amo
d!(x,y) = Ixj-yj + |x2-y2|
' dh(x,y) = max {(x^yj, |x2-y2|}.
Verificare che d! e d" sono metriche in R2. Rap-

80
presentare graficamente in un riferimento carte -
siano il cerchio di centro 0 = (0,0) e raggio 1
relativo ai tre spazi metrici CR2 d ) fR2 ri' 1
(R2,d') (ove d2 e la metrica euclidea).
LVed. fig. 2.1 ove sono rappresentati i cerchi
cd
figura 2.1
di centro 0 e raggio 1, rispettivamente C, (nella
la metrica df) e C,,, (nella metrica d") ]
metrica d2) Cd r(nel-
2.5 Verificare che tra la metrica euclidea d in R e
le metriche
dn' (x,y) = Z |X -y
1 = 1 X X
d;f (x,y) = max {(x.-y.) : i=:i,..
sussistono le relazioni
dntx>y)< dn(x,y) < dn< (x,y)<nd;' (x,y),
,n}
81
che sì esprimono anche dicendo- che esse sono me -
trìche equivalenti.
[ Basta osservare che, se a1?a 2,... ,a sono numeri reali non negativi,si
ha
max
{a1,...an}< Aj+...+ a^ < . Z_ ai < n max {al,... ,an }
la seconda disuguaglianza essendo equivalente all'altra: a^ + ...+ a^ <
n
<. ( E ai)2 > di semplice verifica]
i=l
2.6 Sia (x ) una successione di punti di R .Se
Se x = (xx ,..,,xn j, verificare che per x =
(k)
= (x1,...,xn), si ha dn(x ,x) ** 0 per k ^ se e
(k)
solo se risulta xi -> xi (per k-*°°) per ogni i = l,
. . . ,n.
[ Dall'esercizio precedente segue che per ogni i = l,2,...,n, si ha
00 x I (k)
"x ' " max * v
l<j<n
, (k) , (k) I W I i
x. ; - x. < dfx' ;,x) < n max | x- - x. | J
1 i l! n u^n J
2.7 Posto per x,yeR
d(x v> = _ |x-y[
verificare che d è una metrica (limitata) su R.
j
[ Dimostriamo che d soddisfa alla disuguaglianza triangolare (iii). Se
x,y,z €R, tenendo conto dell'esercizio 1,58 del voi. I, parte seconda ,
si ha.
At ^ lx~y| 1 (x-z)+(z~y) |
d(x)y) = —-i r- = —i T" <
1+|x-y | l+|(x-z)+(z-y)| -

< —ii V- + 'li = d(x,2)+ d(z,y).
~ 1+|x-z j 1+jz-yj
Evidentemente, risulta d(x,y) < 1 per ogni x,y €R e perciò d è una fun -
zione limitata J
.8 Sia (S,d) uno spazio metrico e siano B1=B(x1,r1)e
B2=B(x2,r2) due cerchi aperti. Verificare che, se
y€B1flB2, allora esiste r > 0 tale che B(y,r)cB1 fi
(1 B2.
[Posto r = min{ rx -d(x1 ,y), r2-d(x2 ,y) } sia x6 B(y,r). Allora si ha
d(*>x±) < <J(x,y) + d(y,xi) < r + d(y,xi) < r± per i = 1,2. 'Ne segue
.9 Verificare che ogni intervallo aperto I di R con
tiene un cerchio aperto concentrico, e che ogni
cerchio aperto B di Rn contiene un intervallo a-
perto concentrico.
[sia I = (c1 -6j, ca + 5.) x...x (cn-^n,c + 6 ) un intervallo aperto
di R di centro e = (c1?c2,... ,c ) e sia 6 - min { ó i ,..., 6 } . Dej:
to B il cerchio aperto di centro e e raggio ó, se x = (x2 ,...,x )6 B ,
si ha, Vj = 1,... ,n
| x.-c | < ( 2 |xi-ci |2 ) < 6 < ó.
J J i=l J
e dunque x€ I.
Siano e = (c1 ,.. . ,c ) e r il centro ed il raggio del cerchio aperto
B e sia
83
I=(c1-r//n , c2+ r//n )x.. .x(cn~r/ / n, cn+r//n").
Se x = (xx ,...,xn) 61 si ha, Vi, | x^c^ | < r//n ed anche, som -
mando membro a membro, d (x,c) < r, cioè x€ b] v
2.10 Indichiamo con lm lfinsieme di tutte le
successioni limitate (xn) di numeri reali. Posto, per
* = (*„), y = (yn) * £a>:
. d(x,x) = sup |xn ~ yn |
n
verificare che (i^d) è uno spazio metrico.
[Limitiamoci a dimostrare la disuguaglianza triangolare. Siano x = (x )
y. ' (yn) > 1 = (zn) elementi di Jl<„. Si ha
lxn ' ynl * lxn'znl + lzn - ^ I *
< sup |xn-z |+ sup |zn - y |
n n
= d(x, z) + d(2, y)
Prendendo l'estremo superiore su n del primo membro, si ha lfasserto ]
2.11 Sia X = l/"([0,1]) 1'insieme delle funzioni reali
limitate in [0,1] .e poniamo per u,veX
d(u,v) = sup{ |u(x)-v(x)| :xe[0,l]}.
Verificare che d è una metrica su X (ved la fig.
■2.2). . .
[La (i) e la (ii) sono ovvie. Per dimostrare la disuguaglianza! triango-

84
lare, siano u,v,w t X.
Allora
d(u,v) « sup { |(u(x)-w(x))+(w(x)-v(x}) | : x€ [o,l] } <
< sup { |u(x)-w(x}| +| w(x) - v(x) j: x€ [o,l] } <
< sup { |u(x) - w(x) | : x € [0,l]} +
+ sup { (w(x)-v(x) I : x€ [0,l] } =
= d(u,w) + d(w,v) ]
figura 2.2
2.12 Sia X = C([0,1]) l'insieme delle funzioni reali
continue su [0,1], Per u,veX poniamo
ri
d(u,v) =
|u(x)-v(x)|dx
85
Verificare che d è una metrica su X (la
distanza d(u,v) è rappresentata dall'area della regio
ne tratteggiata in figura 2.3).
figura 2.3
[La disuguaglianza triangolare si ottiene integrando su [u,l] membro
a membro la relazione
|u(x)-v(x) | < |u(x)-w(x)j + (w(x)-v(x) | , Vx€[0,l]
E' ovvio che d(u,v) = d(v,u). Infine, in base alla continuità di.u, v.
come nell'esercizio 5.4 del volume I, parte seconda, si prova che, se
d(u,v) = 0 allora risulta |u(x)-v(x) | - 0 per ogni x6 [o,l] e
quindi u = v ]
2.13 Dimostrare che l'unione di due sottoinsiemi Y2,
Y2 limitati dello spazio metrico (X,d) è un
insieme limitato.
[Sia C. = C-(x.,r.) un cerchio chiuso contenente Y ., per i = 1,2. Allo
ra il. cerchio chiuso C = C (x x ,r) di centro xa e raggio r=max {r a,

86
*2Ì + *(*lt*s) contiene C, U e, e perciò v. U v T_^H ~
contiene ovviamente C, ed inoltre risulta
<Kx,Xl) <d (x,x2)+d(x2,Xl) <r
per ogni x 6 C2 ]
2B. Condizione ct± Cstxj.olny. Completezza.
Sia (X,d) uno spazio metrico e sia xn una
successione di punti di X. Si dice che xn converge verso un
punto xeX se, per ogni e > 0, esiste veN tale che
d(xnx) < e per ogni n > v, cioè, se risulta d(xnx)-»0
per n-*».
Sia C un sottoinsieme di X, allora si verifica
che C è chiuso se e solo se C contiene il limite di
ogni successione convergente xn con xneC, VneN.
Si dice che xn è una successione di Cauchy se, per £
gni e > 0, esiste v € N tale che d(x , x ) < e, per
ogni p,q > v.
Una successione convergente è anche di Cauchy,ma,
in un generico spazio metrico, una successione di
Cauchy non sempre è convergente (ved. l'eserc. 2.15).
Lo spazio metrico (X,d) si dice completo se ogni
successione di Cauchy è convergente.
Poiché ogni successione di Cauchy di numeri reali
è convergente, lo spazio euclideo R è completo (ved.
l'eserc. 2.20).
Relativamente agli spazi metrici completi è imporr
87
tante il seguente:
TEOREMA DELLE CONTRAZIONI. - Sia (X,d) uno spazio
metrico completo e f una contrazione su X con costante L,
cioè una funzione definita su X a valori in X tale che
d(f(x), f(y)) < Ld(x,y)
per ogni X,yeX, con L numero reale positivo e minore di 1.
In tali ipotesi esiste uno ed un solo XQeX tale che f (xQ) ~
= X0 (x0 si dice punto unito o punto fisso per f(x)).
Rimandiamo al paragrafo 12C del volume I (parte
prima) per una discussione e per la dimostrazione del
teorema delle contrazioni nel caso in cui X sia un
intervallo chiuso di R e d la usuale distanza
euclidea d(x,y) = |x-y|.
2.14 Sia f:R-*R definita da f(x) = mx+q, con m,qeR.V£
rificare che:
(a) f (x) è una contrazione su R se e solo se
|m| < 1.
(b) Se m=l la funzione f(x) o non ha punti
fissi, oppure, se esiste un punto fisso su R,
esso non è unico.
[(a) Vale l'identità
j f(x)-f(y) | - |m(x-y)| = | m| •| x-y | * , Vx,y€ R.
Perciò f(x) è una contrazione con costante L = [ m | se e solo se
[ m | < 1; (b) se ni s 1 risulta f(xj = x + q. L'equazione xq + q= xq
o non ha soluzioni(se q t 0), oppure ogni x eR è soluzione (se q=0) ]
2.15 Verificare che lf insieme Q dei numeri razionali,
munito della metrica usuale d(x,y) = |x-y| non

d(x,y)
è completo.
[La successione di numeri razionali x = (l+l/n)n è di Cauchy (in quanto
convergente in R) ma non è convergente in Q, in quanto lim x - e £ Qj
n-M»
2.16 Sìa X un insieme e sia d la metrica definita da
0 se x = y
1 se x f y.
Verificare che una .successione xn di punti dì X
è convergente verso x, se e solo se essa è
definitivamente costante, cioè se e solo se esiste
veN, tale che xn = x, per ogni n, > v.
[Poiché la relazione lim d(x ,x) = 0 implica che esiste V€N tale
n
che d(x ,x) < i/2 per n > V , si ha l'asserto J
2.17 Verificare che lo spazio metrico (X,d) definito
nell'esercizio precedente è uno spazio metrico
completo.
[Se x è una successione di-Cauchy, allora esiste V€ N tale che d(xD ,
x ) < 1/2 per p,q > V. Ne segue d(x ,x ) = 0 e perciò x = x per
ogni p,q > V . Dunque x è una successione definitivamente costante e
perciò convergente]
2.18 Verificare che una successione xn di Cauchy
nello spazio metrico (X,d) è limitata.
[Poiché x è di Cauchy, esiste V6N tale che d(x ,x ) < 1 per ogni p,q>
O »
> V. Perciò l'insieme degli elementi della successione aventi indice
maggiore di V è limitato. Poiché l'insieme degli elementi della sue -
cessione aventi indice minore o uguale a V , essendo finito, è limita
to, l'asserto segue dall'esercizio 2.13]
2.19 Sìa (X,d) uno spazio metrico e sia xn una sue -
cessione dì Cauchy dotata di un'estratta x con
vergente verso x0. Allora anche xn è
convergente verso x0.
[Fissato e > 0, sia V tale che
d(xp>xq) < £/1 Per P,q > V
d(xn , xq) < 8/2 per k > V.
Allora, per k > V risulta
d(xk,xo) 1 *(\>\) + d <xnk>Xo) < £
in quanto n, 2 k > v]
2.20 Dimostrare che una successione di Cauchy di
numeri reali è convergente.
[Se x è di Cauchy, essa è limitata (ved. l'eserc. 2.18) ed allora^ a
norma del teorema di Bolzano-Weierstrass (ved. il paragrafo 7H del voi
I, parte prima) essa ammette un'estratta x convergente. Dall'eserci-
nk
zio 2.19 segue l'asserto]
2.21 Dimostrare che R , con la metrica euclidea d è
uno spazio metrico completo.
[Sia x, = (xik> x2k*'**'xrik) una successi°ne di Cauchy in (Rn,dn). Es-

90
sendo per i = l,...,n
'Xip-Xiql ^<VV V ,
le successioni xifc sono di Cauchy in R . perciò convergenti. posto ^
= lim X., e y « (v \
j^oo ik c A vx1 ,...,xn) si ha (ved. l'eserc. 2.5)
<3n(xk,x) < l jx . I
per cui risulta d fy v\ -> n
u^a V*k,x) + 0, cioè xk converge verso x in Rn ]
2.22 Sia I un intervallo di R e sia L.(I) lo spazio del.
le funzioni reali limitate su I. Posto per u,v e
e LCD
d(u,v) = sup : { (u(x)-v(x) j : xel};
verificare che la successione une L(I) converge
verso ueL(I) nella metrica d, se e solo se u -» u
uniformemente in I.
[ved. il paragrafo 1A J
2.23 Verificare che lo spazio L([0,r]) delle funzioni
limitate in [0,1], munito della distanza
(*) d(u,v) = sup {(u(x)-v(x)|: xe[0,l]}
è uno spazio metrico completo,
[sia (un) una successione di Cauchy in L([o,l] ); allora (u ) verifica
la condizione di Cauchy uniforme e, perciò, per il teorema 2 del par. 1A,
essa converge uniformemente verso una funzione u6 L( [o,l] )]
91
2.24 Verificare che lo spazio C([0,1]) munito della
metrica (*) è uno spazio metrico completo.
[Basta tener presente l'esercizio precedente e ricordare che il limite
uniforme di funzioni continue è continue (teorema 3 del par. 1A ) J
2.25 Sia C1C[a,b]) l'insieme delle funzioni continue,
con derivata prima contir.ua in [a,b] . Posto
df(u,v) = sup |u(x)-Vvx}-|+ sup |uf (x)-vf(x) |
x€ [a,b] x6 [a,b]
verificare'che (C1([a,bj). df) è'uno spazio
metrico completo.
[Che df sia una metrica, si prova cooe nell'esercizio 2.11. Sia un una
successione di Cauchy rispetto ad'; allora u e u' sono .entrambe di
Cauchy in (C°( [ a,b ] ),d) ove d è l'usuale metrica su C° ([ a,b J )
considerata nell'esercizio 2-24. Poiché C°( [a,b] ) è completo, esisto
no due funzioni continue u e v tali che d(un,u) -> 0 e d(u^,v) ->0.
Dimostriamo che v(x) = u'(x) per ogni x € [ a,b J . Essendo
un(x) - un(a) = u^t) dt
e un(x) -> u(x), u (a) -* u(a), applicando il teorema di
passaggio al limite sotto il segno di integrale (ved. il paragrafo 1A del
cap. 1), come è lecito in quanto u' ■+ v uniformemente, si ha
X
u(x) - u(a) = v(t)dt.
a
Da quest'ultima uguaglianza segue u' = v]

92
2.26 Sia (X,d) uno spazio metrico completo, e sia YcX.
Dimostrare che Y, munito della metrica indotta da
d, è uno spazio metrico completo se e solo se Y
è un sottoinsieme chiuso di X.
[Se Y è completo rispetto a d, sia y una successione di punti di Y con
vergente verso x 6X. Poiché y è una successione di Cauchy in Y , essa
converge verso un punto y € y . Dunque risulta x = yey e perciò Y è chiù
so, in quanto contiene il limite di una sua qualunque successione con -
vergente.
Viceversa, sia y chiuso in X e sia x ey una successione di Cauchy.
Poiché (X,d) è completo, esiste x£ X tale che x "*x. Poiché Y è chiuso e
xn €Y>.allora anche x èy . Pertanto Y è uno spazio metrico completoJ
2.27 Considerata la successione u (x) = /l+n2x2/n, per
xe[-l,l], verificare che' un (x) -» jx| uniformemen
te. Dedurne che lo spazio C1 ([-1,1]) delie fun -
zioni continue con la loro derivata prima in [-1
lj, munito della metrica della convergenza uni -
forme
d(u,v)- sup { |u(x)-v(x) j : xe[a,bj) ,
non è completo,
[si ha
ì i
■ , < -
n [/l+n2x2 +n |x| ] n
per cui un(x) ->■ |x ( uniformemente. Allora il sottoinsieme C1([-l,lj)
di C°([ -l,l] ) non è chiuso rispetto alla metrica d. Tenendo conto del
l'esercizio 2.26, si ha l'asserto]
un(x)-
Sl+n2x2-n\x
93
2C. Sj>stz± m^tiardLcii compatti
Uno spazio metrico (X,d) si dice compatto se da £
gni successione di punti di X se ne può estrarre una
convergente verso un punto di X.
Poiché da ogni successione limitata di numeri rea.
li se ne può estrarre una convergente, allora un sot_
toinsieme chiuso e limitato Y di R, munito della
metrica indotta da quella euclidea, è uno spazio metrji
co compatto.'
Sia (X,d) uno spazio metrico e sia f :X->R- una fun
zione reale definita in X.
Si dice che f è continua in xceX se per ogni e>0
esiste ó>0 tale che per ogni xéX con d(x,x0) <ó,
risulti |f(x)-f(x0) | < e.
Si dice che f è continua in x se f è continua in
ogni punto x0eX.
Si dice che f è uniformemente continua in X se, per
ogni e > 0 esiste ó > 0 tale che d(x,y)<6 => |f(x) -
- f(y)| < e.
Sussistono i seguenti notevoli teoremi.
TEOREMA 1. Se (X,d) è uno spazio metrico compatto,allora. es_
so è completo.
TEOREMA 2 (di Weierstrass) . Se (X,d) è uno spazio
metrico compatto e f. : X ~* R è continua, allora f ha massimo e mi_
nimo in X.
TEOREMA 3 (di Cantor) . Se (x,d) è uno spazio metrico
compatto e f : X -* R è continua, allora f è uniformemente
continua.
ì
Uno spazio metrico (X,d) risulta separato (o di Haus -
dorff ),cioè due punti distinti di X ammettono sempre
almeno due intorni disgiunti.
Sia (X,d) uno spazio metrico. Un sottoinsieme Y
di X si dice compatto se, munito della metrica
indotta da d, esso risulta uno spazio metrico compatto.

94
Un sottoinsieme chiuso di uno spazio compatto è
compatto.
Si dimostra, infine, che un sottoinsieme Y dello
spazio euclideo Rn è compatto se e solo se Y è chiuso e limitato.
2.28 Verificare che, se (X,d) è uno spazio metrico e
f : X -> R è una funzione reale, allora f è cont_i
nua in X se e solo se xn -» x => f (xn ) -> f (x) .
2.29 Verificare che, se (X,d) è uno spazio metrico e
f : X -* R è una funzione reale, allora f è uni -
formemente continua se e solo se, per ogni
coppia xn , yn di successioni di punti di X tali che
lim d(xn,yn) = 0, si ha lim | f (xn ) -f (yn ) | = 0.
n n
[Ved. l'esercizio 9.31 del voi. I, parte prima]
2.30 Sia (X,d) uno spazio metrico. Fissato x0eX, veri_
ficare che la funzione xeX -> d(x,x0) è
uniformemente continua su X.
[Proviamo preliminarmente la disuguaglianza
|d(x,xo)-d(y,xo) | < d(x,y) , Vx,y ex.
Dalla disuguaglianza triangolare deduciamo che
<Kx,xo) < d(x,y) + d(y,xo) => d(x,xo)-d(y,xo) < d(x,y);
d(y,xo) < d(y,x) + d(x,xo) => d(y,xo)-d(x,xo) < d(y,x).
La disuguaglianza iniziale segue dalla definizione di valore assoluto e
dalla proprietà della- distanza d(x,y) = d(y,x). La verifica della conti,
nuità uniforme la si fa con 6= £ ]
2.31 Dimostrare che uno spazio metrico compatto (X,d)
è anche completo (teorema 1) .
95
[sia x una successione di Cauchy. Poiché X è compatto,esiste un'estrat
ta da x convergente verso un punto di X. L'asserto segue allora dallo
esercìzio 2.19 J
2.32 Dimostrare che un sottoinsieme Y compatto di u-
no spazio metrico (X,d) è limitato.
[Se Y non fosse limitato, esisterebbero due successioni x , y di
punti di Y tali che lim d(x ,y ) = + °° . Poiché Y è compatto, da tali
n
successioni se ne potrebbero estrarre due x e y , convergenti ri -
spettivamente verso i punti x,y € Y . Essendo, come si verifica facil -
mente,
|d(x,y)-d(xnk,ynk) | < d(x,xnk)+ dCy,^),
si avrebbe lim d(xr. ,y ) = d(x,y), il che è assurdo ]
k k nk
2.33 Sia Y il sottoinsieme dello spazio £«> definito
da Y = {xe£00 ; d(x,0) <_ 1} ove d(x,y) è
definita come nellfeserc. 2.10 e 0 = (0,0,0,.,.).
Verificare che Y non è compatto.
[La successione di punti di Y
xx = (1,0,0,..O, x2=(0,l,0,...), x3= (0,0,1,...),
cioè la successione xk * (\±) \2> ^ definita da xfei = 5 ki, non
ammette estratte convergenti, in quanto per k i h si ha
d(xh,xk) = sup | Xhn - Xkn | = l]
n
2.34 Dimostrare che lo spazio C([0,1]) non è
compatto rispetto alla convergenza uniforme.

yo
[La successione u (x) = xn per x e [ 0,1 ] non ammette alcuna estratta
convergente uniformemente, in quanto una qualsiasi estratta
puntualmente convergente, converge necessariamente verso la funzione discontinua
u(x) =0 per x 6 [ 0,1), u(l) - 1 ]
2.35 Una famiglia Y di funzioni appartenenti a C°([a,
b]) si dice equicontinua se Ve > 0, 3ó>0 tale che
per x,ye[a,b]
|x-y| < 6 => |u(x)-u(y)| < e ueY.
Dimostrare che una famiglia YcC°([a,b]}
equicontinua ed equilimitata è compatta in C°([a,b]).
[Basta invocare il teorema di Ascoli-Arzelà]
2.36 Sia (X,d) uno spazio metrico compatto, sia x0e X
e sia xn una successione di punti di X. Se ogni
estratta da xn convergente, converge verso x0,a_l
lora xn ~» xD .
n *'
[se x non convergesse verso xq, esisterebbe £ > 0 ed un'estratta x
da xM tale che d(x ,xM ) > Z per ogni k CN. Poiché X è compatto, x„
° k e
ha un'estratta x converger.te verso un punto x< Dall'ipotesi, segue
kh
che necessariamente x = x e cioè x_ -*• x , Il che é assurdo, in
quanto d(xo,x ) £ £ , per ogni h € N ]
kh
i
2.37 Sia (X,d) uno spazio metrico e sia f : X-»R uni -
formemente continua. Verificare che se xn è una
successione di Cauchy di punti di X-, allora f(xn)
è una successione di Cauchy di numeri reali.
97
[ Fissato Z> 0, esiste <5>0 tale che d(x,y) < 6 => |f(x)-f(y) |< S.
Poiché x è di Cauchy, in corrispondenza di 6, esiste VGN tale che,
per p,q > V , si ha d(x ,x ) < 6 ed anche | f(x )-f(x ) |< s]
2D. S]p-etz:i. normati
Sia X uno spazio vettoriale. Una funzione che ad
ogni xeX associa il numero reale llxll si chiama norma
su X se ha le seguenti proprietà:
(j) llxll _> 0; llxll = 0 se e solo se x = 0
(jj) lUxll = |X| -llxll , VxgX e YAgR
(jjj)llx+yll < llxll + llyll ,
Se il li è una norma su X, si dice che (X, Il II) è uno
spazio normato, o anche che X è uno spazio normato, quan
do non vi sarà possibilità di equivoco. Dato uno
spazio normato (X, Il il), ponendo d(x,y) ~ llx - yli si
ha una distanza su X, per cui ogni spazio normato *-è
anche metrico. Se (X,d) è completo, si dice che X è
uno spazio di Banach .
Due norme II II x e II II 2 sullo spazio vettoriale X
si dicono equivalenti se esistono due costanti cx,c2>
>0 tali che
c1\\x\\1 < llxll 2 £ c2 llxll, VxeX,
Per indicare che la successione xn di punti dello spa,
zio normato (X, li il) converge verso il punto xeX,cioè
per indicare che ||xn-xil-»0, scriveremo xn -> x.
Evidentemente, se due norme sono equivalenti,es-
se determinano le stesse successioni convergenti.

98
Nello spazio R la norma
(1) |x| = ( l x.2)1/2
i-l
prende il nome di norma euclidea.
Se X è uno spazio normato, una funzione f : X •-* R
verificante le proprietà
f(x+y) = f(x) •+ f(y) Vx-,yeX -
f(ax) = af(x) VxeX, VaeR
prende il nome di funzionale lineare su X.
2.38 Sia X uno spazio normato e siano An,AeR; xn,yn ,
x,yeX. Dimostrare che sb An-*A, xn -* x, y^y, aJL
lora si ha: xn+yn->x^y, Axn-»Àx, Anx -*■ Ax .
[ Dagli assiomi della norma, segue II (x+y)-(x+y ) Il < !i x-x !l +
+ Hy-ynlh HAx- AxJI = |A| Il x-xjl ; il X nx- Àxll-|Xn- A| -
• llx li]
2.39 Sia X uno spazio normato. Dimostrare che, per x
yéX, risulta | llxll - llyll | £ ilx-yli. Dedurne che,
se xn -> x, allora lixjl -> llxll.
[ Dalla disuguaglianza (jjj) segue II xll = il (x-y)+y|| < llx-yll +11 yll ;
scambiando x con y si ottiene la disuguaglianza richiesta ]
2.40 Sia C°([a,b]) l'insieme delle funzioni reali con
tinue nellfintervallo chiuso e limitato [a,b] .
99
Posto, per u€C°([a,b])
llull = sup { |u(x) | : xe[a,b]}
verificare che II 11^ è una norma, rispetto alla
quale C°([a,b]) è uno spazio di Banach.
[La (jj) è evidente. Si veda l'esercizio 2.11 per la (j) e la (jjj). Che
lo spazio sia di Banach segue dal teorema 2 del paragrafo 1A e dell'e-
ser.2.22 ]
2.41 Sia X uno spazio normato e sia f : X -* R un fun
zionale lineare su X. Dimostrare che f è
continuo se e solo se 3k >_ 0 tale che
(*) |f(x) | < k llxll VxeX.
[Se vale la (*), allora per la linearità di f, si ha |f(x )-f(x) |
= |f(*n " x) I £ k ^xn " x^ > Per cui> se xn "* x> allora e f(xn)~*"
> f(x).
Viceversa sia f continua e supponiamo per assurdo che non valga la
(*). Allora per ogni n €N esiste xn e X- {o} tale che j f (xn) | >
> n llx il . Posto yn - xn/(ir II xa ll)5 si ha il yn II* 1/n -* 0 e per -
ciò y -> 0. Poiché f è continua, dovrebbe essere f(yn) "* f(°) = ° >
il che contrasta con la disuguaglianza
f(yn) - *(—s—\ - —— f(xJ > 1> v'n€ N]
11 Vnllv I! I nlllCL. Il
2.42 Sia aeR e consideriamo il funzionale f(x)
n
= 1 aixi ove a = (a^.-.aj e x = (x15...,xn) .
Verificare che esso è un funzionale lineare con

100
tinuo sullo spazio euclideo R .
[Tenendo presente la definizione (1) della norma euclidea su R e 1*é
cizio 2.2 si ha
. . 2 o 1/2 , , n
| f(x)| < ( I af ) |x | VXGR .
i*l
Applicando l'esercizio precedente, si ha l'asserto j
2.43 Per ueC°([a,b]0 poniamo
I(u) = f u(x)dx ;
a
verificare che I è un funzionale lineare conti -
nuo.su C°([a,b]) munito della norma Iluli=max{ |u(X}|
: a £ x £ b}
[Tenendo presente l'esercizio 2.41, basta osservare che, per il teorema
rb
della media, Vu €C°( [a,b] ) si ha | I(u) | = | u(x)dx j £ (b-a) • ||u II]
Ja
2.44 Consideriamo l'insieme C°([a,b]) delle funzioni
continue nell'intervallo chiuso e limitato [a,b].
Posto per p _> 1, usC°([a,b])
rb
llu|lp = ( j |u(x)|pdx)1/p ,
a
verificare che II II è una norma.
p
[Per verificare che ||u II =0 —>' u=0, si tenga presente l'esercizio
5.4 del voi. I, parte seconda. La condizione (jj) è evidente. La
condizione (jjj) diviene
101
(J |u(x)+v(x) |P dx)1/P < ( I | u(x) |Pdx)1/P +
r*
+ (
|v(x) |Pdx)1/P
e prende il nome di disuguaglianza di Mlnkowski . Dimostriamola.
Si ha
P-l|
| u(x) + v(x) | P dx = | u(x) + v(x) | P""11 u(x)+v(x) | dx <
rb
p-1
|u(x) + v(x) ( P X | u(x) | dx +
rb
p-1
|u(x) + v(x) | P X | v(x) | dx
Dalia disuguaglianza di Holder (ved. l'eserc. 5.97 del voi. I, parte
seconda, con g(x) = | u(x) + v(x) | e f(x) = u(x), oppure f(x) =
= v(x), (1/p) + (1/q) = 1) si deduce
/•b
|u(x) + v(x) \V'X |u(x) |dx <
< [
( luCxHv^P'Vdx]^ [ |u(x)|PdxP
ed anche
p-1
|u(x) + v(x) | |v(x)| dx <

102
1
P
a J U
Dalle precedenti disuguaglianze, osservando che (p-1)q . p, segue
J | u(x) + v(x) |P dx <
a
r * b Ih
1 | ! I "(*)+v(x) | Pdx 15 F( J |u(x) |Pdx)f +
+(J |v(x)|Pdx)? 1
Dividendo ambo i membri per il primo fattore a secondo membro ed
osservando che 1 - (1/q) = 1/p, segue l'asserto]
2.45 Lo spazio C°([a,b]), munito della norma II II
definita nell'esercizio precedente, non è uno
spazio di Banach. Verificare ciò per p=l, facendo ve
a -u i • r \ l/(2k-l) . , . _
dere che la successione uk(xj = x e di
Cauchy in C°([-l.l]), ma non converge, rispetto ai-
la norma II II.,, verso una funzione di C°([-1,1]J.
[per h,k €N, si ha
1
f
,uh" uk «i « |uh(x) -uk(x) (dx^
-1
= J l%W"\W |dx+ K(x)-uk(x) |
"*1 *T>
dx
Con la sostituzione x = - y si ha
103
r° r1
luj/x)- uk(x) | dx = |^h(y)- uk(y) | dy
-1 *0
e perciò
f
ri
(uh-l)+(l-uk) | dx <
< 2
L "0
ri ri
uh-l-| dx+ |uk - l| dx
Essendo per ogni m€ N
A
|um(x)-l|dx =
, l/(2m-l) -, 1
L 1-x J dx * --
2m
dalle precedenti disuguaglianze segue
1111
k, - u, L < 2 (- + - ) = - f -
n K 1 2h 2k h k
e perciò la successione u, è di Cauchy. Supponiamo ora, per assurdo ,
che uk converga ad una funzione u €C° ([-l,l] ) rispetto alla
norma II • Il 1. Tenendo presente il risultato dell'integrale
precedente abbiamo
ri ,1
u(x)-l dx <
( | u-uj + ji^-l | ) dx
J0
< — +
" 2k
u^-utl x ,

104
.1

esersi vede
Per k -> +°° otteniamo | u(x)-l | dx = 0; per l'ipotesi di conti-
nuità di u, risulta u(x) = 1 per ogni x e [o,l] (si veda 1'
cizio 5.4 del volume I, parte seconda). Per motivi analoghi
che deve essere u(x) = - 1 per ogni x < 0. Ciò contrasta con la ipote
si di continuità di u(x) in [-1,1 ]]
2.46 Sia IMI la norma definita su C°([a,b]) nell'e-
sercizio 2.44. Posto
Nuli = lim Bull
verificare che llull - max {|u(x)| : xe[a,b]}
[si tenga presente l'es. 5.99 del voi. I, parte seconda]
2,47 Posto per uéC°([.0,2])
2
f
llull = sup Ju(x)J + |u(x)| dx
0£x£l J±
dire se II f| è una norma in C°([0/2])
[Se II ull = 0, allora sup { |u(x)| : 0 < x < l} = 0 e |u(x)jdx=0,
perciò risulta u(x) = 0 per x 6 [o,2] . La condizione (jj) è di facile
verifica. Per dimostrare la (jjj) si asservì che
sup |u(x)+v(x)| < sup |u(x)|+ sup |v(x
°^x^ 0<x<l , o<x<l
)l
(ved. l'eserc. 1.46 del voi. I, parte prima) e che
105
ri ,2
| u(x) + v(x) |dx < [ |u(x) | + |v(x) | ] dx ]
1 Jl .
2.48 Si consideri su C°([0,1]) la norma llull
definita per ogni p > 1 nell'esercizio 2.44. Si consi_
deri anche la successione di C°([0,1]):
ufx) = /n xn ,
Vxe[0,i] , VneN.
(a) Verificare che un converge verso la
funzione identicamente nulla u=0eC°([0,1]) rispejt
to alla norma llull x.
(b) Verificare che un non converge verso u=0 ri^
spetto alla norma llull 2.
[(a) llun - ull 2 -
1 f1
| /n x | dx = /n
x dx =
/r7
n+1
perciò
vn
lim liti -u II . = lim = 0; (b) invece si
n ■*• • n + l
ha:
n->+°°
n^ +
llun-u|l2-= {J3 |/n" xn | 2 dx }è = {n
0
e tale quantità non converge a zero per n ->+°°]
^
2n, ,
X QX )
2n+l
2.49 Generalizzando lfesercizio precedente, verifica
re
da
re che la successione u in C°([0,1]) definita
, n J-/q ri
un(x) = n H x

?jr
106
u=0nriSnPtLCTerge Per n"+<0 VerS° la Azione
u 0 rispetto alla-norma ||ullp se e solo se p < q
0 '0
1/p
= n(l/q)-(l/p)
P+(l/n)
}'
e tale quantità converge ver^n v«->- o
. . 5C verso.zero se e solo se risulta (l/q)-a/p)<0
cioè, se e solo se p < q ] Wq; ^/p'<0
Capitolo 3
FUNZIONI DI PIÙ» VARIABILI
3A. Rappresentazione grafica
In questo capitolo prendiamo in considerazione
funzioni reali di n variabili reali, che denotiamo
con il simbolo
f(x18 x2,...,xn) f
In particolare consideriamo* n = 2; in tal caso
diremo che f -è una funzione reale di due variabili
reali e useremo indifferentemente le notazioni
£(x19x2) oppure f(x,y);
naturalmente nel primo caso le due variabili indipen
denti sono xx, x2, mentre nel secondo caso sono x,y.
Rimandiamo invece la trattazione delle funzioni
di tre o più variabili all'ultimo paragrafo di
questo capitolo.
Per rappresentare graficamente una funzione di
due variabili si può procedere in due modi. Un primo

108
metodo consiste nel rappresentare i punti di coordina,
te (x,y, f(x,y)) in un riferimento cartesiano
ortogonale di assi x,y,z, ottenendo una superficie in R3 dejt
ta grafica della funzione f(x,y).
Un secondo metodo consiste nel disegnare nel
piano x,y le linee di livello della funzione f(x,yj, cioè
il luogo dei punti di coordinate (x,y) tali che
f(x,y) = z = costante,
per diversi valori della costante. Questo metodo si u
tilizza usualmente per rappresentare una zona
geografica su di una carta topografica; in tal•caso la
linea di livello z = 0 (livello del mare) rappresenta ]a
costa, le linee di livello z ~ costante > 0 rappreseli
tano i punti al di sopra del livello del mare ad
altezza fissata, mentre le linee di livello z =
costante < 0 danno una rappresentazione del fondo del mare.
Di seguito proponiamo alcuni esempi.
figura 3.1
109
3.1 Si consideri la funzione f(x,y) = x2+y2.
Verificare che il grafico di f è un paraboloide come
in figura 3.1 e che le linee di livello di f si
rappresentano in un riferimento cartesiano
ortogonale di assi x,y come nelle figure 3.2(a) e
3.2(b).
figura 3.2 (a) figura 3.2 (b)
3.2 Disegnare il grafico e le linee di livello della
funzione di due variabili f(x,y) = y2-x2.
[ Il grafico è in figura 3.3. Le linee di livello y -x = z = costante
sono iperboli equilatere, se z / 0. Mentre, se z = 0, il luogo dei
punti di coordinate (x,y) tali che y - x = 0 è costituito dalle due ret
te di equazione y - ± x. Si veda la figura 3.4 ]

110
figura 3.3 figura 3#4
3.3 Disegnare approssimativamente e, limitatamente al_
le coppie (x,y) per cui f (x,y) >_ 0, il grafico del^
le funzioni
(a) , f(x,y)=y2-x2 (b) f(x,y)=x2-y2
[ (a) Il grafico di f(x.,y) in un intorno dell'origine è disegnato in figura
3.3 i, limitatamente alle coppie (x,y) per cui f(x,y) >, 0, in figura 3.5;
(b) figura 3.6 ]
111
figura 3.5 ^eora 3.6
3.4 Disegnare approssimativamente e limitatamente ajL
le coppie (x,y) per cui f(x,y) > 0 il grafico del
la funzione f(x,y) = sen x. Determinare inoltre
le linee di livello.
[ La funzione f(x,y) dipende esplicitamente dalla sola variabile x„* Come
tutte le funzioni costanti rispetto ad y (e definite per ogni x € R),le
linee di livello sono rette parallele all'asse y. Il grafico della par
te positiva di f(x,y) è disegnato in figura 3.7 ]

112
figura 3.7
3.5 Disegnare il grafico della funzione f(x,y)=x2~x3
[ Figura 3.8]
3.6 Disegnare il grafico della funzione f(x,y)=/x2+y2i
[ Per y - 0 risulta f(x,0) = /x2 = | x| . Analogamente, per x = 0 ri -
sulta f(0,y) » j y | . Il grafico di f(x,y) si ottiene facendo ruotare in
torno all'asse z il grafico della funzione di una variabile reale x-* | x j.
Si ottiene un cono circolare retto (con z j> 0), come in figura 3.9 J
113
figura 3.8
figura 3.9
3.7 Determinare le linee di livello e disegnare per
x il 0 > y 2L 0 i grafici delle funzioni
(a)
_£
x2+y2
00
z =
JQL
x2+y2
[ Le funzioni date non sono definite nell! origine degli assi. Le linee di
livello sono costituite dalle semirette passanti per l'origine. La
funzione in (a) è maggiore od uguale a zero per ogni (x^y) ì (0,0). Il
minimo di f(x,y) si ottiene per y-0 e vale 0; il massimo si ottiene per

114
x = 0 e vale 1. Il grafico della funzione in (a) è in figura 3.10; in
particolare per x - y la funzione vale 1/2. La funzione in (b) assume
il valore 0 in corrispondenza dei punti (x,y) tali che x = 0 (e y i 0),
oppure tali che y - 0 (e x i 0). Il massimo di f'x,y) si ottiene in cor
rispondenza della retta di equazione y = x" e vale z = 1/2 (il minimodi
f (x,y) vale -1/2 ed è assunto sulla retta di equazione y=-x). Il
grafico è in figura 3.11 ]
figura 3.10 figura 3.11
3.8 Disegnare il grafico della funzione z=e~(x +y K
r La funzione è definita e positiva per ogni (x,y) £ R2 . Il massimo su R
è assunto per (x,y) - (0,0) e vale z=l. Il grafico è.in figura 3.12]
115
figura 3.L2
3B. IrLsdLo-mdL <3± definizione
Di seguito proponiamo la determinazione
dell'insieme di definizione , o campo di esistenza , O dominio, di
una assegnata funzione di due variabili reali.
3.9 Determinare lfinsieme di definizione delle
seguenti funzioni
(a) z = log (l~x2-y2) ,(b) z = /2-x2-y2
(e) z = log (x2+y2-l) (d) z = /-|x2+y2-2|
(e) z = log (x2+y2) (f) z = (x2+y2)'
-i

llb
[(a) La funzione è definita se 1-x2 -y 2 > 0, cioè se x 2+ y2 < 1, che
è il.luogo geometrico dei punti del piano x,y interni al cerchio di cen
tro,(0,0) e raggio 1 (circonferenza esclusa); (b) la funzione è
definita nei punti del cerchio di centro (0,0) e raggio /2 (circonferenza
inclusa); (e) la funzione è definita ali1 esterno del cerchio di centro
(0,0) e raggio 1 (circonferenza esclusa), (d) là funzione è definita so
lo se x2 + y2 - 2 = 0, cioè sulla circonferenza di centro (0,0) e rag -
gio /£"; (e), (f) definite se (x,y) f (0,0) ]
3.10 Rappresentare graficamente in un piano
cartesiano x,y gli insiemi di definizione delle funzioni
(a) f(x,y) - /y2-xi
(b) f(x,y> /^P
[(a) La funzione è definita per ogni coppia (x,y) € R2 per cui y 2 -x^O ,
cioè y2 >^ x ** , cioè ancora y >^ x 2 oppure y < - x2 . Si ottiene lo
insieme dei punti del piano x,y al di sopra della parabola di equazione
y * x 2 e al di sotto della parabola di equazione y - - x2 , tratteggia
to in figura 3.15. Ad esempio, si verifichi come riprova, ponendo x = 0,
che la funzione è definita su tutti i punti dell'asse y. (b) Il dominio
è costituito dall1insieme
{ (x,y) €R2 : - x2 < y < x2} ,
rappresentato con tratteggio in figura 3*14 ]
figura 3.13
117
3.11 Rappresentare graficamente l'insieme di
definizione delle funzioni
(a) z=log(l-x2)+log(l-y2) (b) z=log
1-x2
1-y2
x2-l
(e) z = log(x2-l)+ log(l-y2) (d) z = log y~
[(a) La funzione è definita nel quadrato (lati esclusi) definito da
{ (x,y) €R2 : - 1 < x < 1; -1 < y < 1 }
tratteggiato in figura 3.15; (b) figura 3.16; (e) figura 3.17; (d)
figura 3.18]
1 X
figura 3.15
figura 3.16
1
sr-
figura 3.17

118
3.12 Determinare 1*insieme di definizione delle fun
zioni
(a) z = /sen/x2+y2 (b) z = /x sen/x2+y2
[(a) la funzione è definita quando sen / x2 +y2 >. Q> cioè per 2k U <^
< /x2 +y2 <. (2k+l) IT , per k * 0,1,2,... L'insieme di definizione è
tratteggiato in figura 3.19; (b) l'insieme di definizione è
tratteggiato in figura 3.20 ]
figura 3.19
figura 3.20
3.13 Determinare 1!insieme di definizione delle fun
zioni
(a) z =
arcsen
x+y-1
x-y+1
L (a) la funzione è definita sotto le condizioni
X2-y2+l
(b) z=arctg '——,—7
6 x2+y2+l
119
x+y-i
-! < <± x-y+1^0.
- x-y+1 -
Si è così ricondotti a risolvere i due sistemi di disequazioni
x-y+1 > 0
-(x-y+1)< x+y-1 < x-y+1
xry+l < 0
x-y+1 < x+y~l < - (x-y+1)
Il primo sistema ha per soluzioni le coppie (x,y) €R2 tali che x >. 0
y < 1 (la condizione x-y+1 > 0 è soddisfatta di conseguenza purché sia
(x,y) 1 (0,1)). Il secondo sistema ha per soluzioni le coppie (x,y) e
6 R2 tali che x <. 0, y > 1, purché sia (x,y) t (0,1). L'insieme di ta
li punti costituisce il campo di esistenza della funzione ed è
rappresentato con tratteggio in figura 3.21; (b) la funzione è definita per
ogni (x,y) €R 2 ]
figura 3.21
figura 3.22

120
3.14 Determinare l'insieme di definizione della fun -
zione
£(x,y) = ,/y2-x2 + log (l-x'-y2)
[La funzione è definita per le coppie (x,y) verificanti le condizioni
Ìy 2 - x2 io
1 - X2 -y2 > 0
Le soluzioni del sistema sono rappresentate graficaaente in figura 3.2?1
3.15 Determinare l'insieme di definizione delle
funzioni di due variabili
Ca) z-io8i0gC*-i)a;yl
x2+y2
(b) z=log(x log —)
[(a) L.a funzione è definita per tutte le coppie (x,y) €R2 tali che x<1/2
con 1-esclusione del punto (0,0), (b) l'insieme di definizione è tratte,
giato in figura 3.23 ]
figura 3.23
figura 3.24
121
3.16 Rappresentare graficamente in un piano cartesia
no x,y l'insieme di definizione della funzione
fcx.y) = \/2*;cr+y2)
V x2+y2 - x
[La funzione è definita per tutte le coppie (x,y)€ R2 soddisfacenti le
limitazioni x<x2 + y2 < 2x, Geometricamente (si veda il paragrafo 6D
del volume 1°, parte prima) tale insieme è costituito dai punti del cer
chio di centro (1,0) e raggio 1, privato dei punti del cerchio di
centro (1/2,0) e raggio 1/2, tratteggiato in figura 3.24 ]
3,17 Determinare l'insieme di definizione delle
funzioni di due variabili
Ca) f(x,y)'- \PP^
i 2
y
(b) f(x y) = J(|x|-l)(lY|-lI
W ±U,yJ y |x| + |y|-l
Ce) fCx.y) = log arcsen (x'^V2-1)
r^ rr \ arcsen (x+y~2)+ arcsen (x-y)
(d) fCx'y) = Cx2 -Jx+y+S)*
[(a) L'insieme di definizione, rappresentato in figura 3,25, è dato dal,
l'unione:
i
{ (x,y) €R2: x2 +y2 < 4; x > y }U{ (x,y) €R2 : x2+y2 > 4; x<y },
(b) Si noti in particolare che l'insieme { (x,y) €R2 : |x |+ |y |<l}
è il quadrato (lati esclusi) di vertici (±1,0) e (0, ±1). La
funzione data è definita nell'insieme tratteggiato in figura 3.26j (e)
figura 3.27; (d) figura 3.28]

122
yt
^
figura 3,25
figura 3.26
figura 3.27
figura 3.28
123
3.18 Determinare l'insieme di definizione della,
funzione
f(x,y) =arccos (~
r2 «.
2)
[La funzione è definita nell'insieme tratteggiato in figura 3.29, costi,
tuito dall'ellisse di equazione (x2 /4)+ y <. 3, privato dei punti
interni all'ellisse di equazione(x 2/4} + y2 < 1 ]
figura 3.29
3C.
Limiti
continuità. *
Ricordiamo la definizione di limite per una
funzione di n variabili reali. Se indichiamo con x un
generico punto di Rn e con (xx ,x2 , . . . ,xn) le sue compio
nenti, useremo la notazione
f (x) = f (xx,x2, . . . ,xn)

124
per indicare una funzione di n variabili reali. Inol^
tre, denoteremo con |x| il modulo (o norma) di x, da
to da
Sia D lfinsieme di definizione della funzione
f(x) e sia x0 un punto di accumulazione per D; f (x)
converge ad l e R per x che tende ad x0 se, per ogni
e > 0 esiste un numero ó > 0 tale che |f(x)-l\< e per
ogni xeD tale che 0 f |x~x0| < 6. In simboli ciò si
scrive:
Ve >0 3ó>0: VxèD-{x0}
|x-x0|<ó => |f(x)-*|<e
Il lettore noti l'analogia con la definizione di
limite (finito) per le funzioni di una variabile rea.
le. Faccia però attenzione che in questo caso il sim
bolo |x-x0| denota il modulo della differenza x-x0 ,
cioè la distanza (euclidea) di x da x0; invece |f(x)-
-&| è il valore assoluto di f(x) - l. Si ricordi anche
che x-x0 è un vettore di Rn mentre f(x)-£ è una quan
tità reale (scalare).
Se f(x) è definita in x0 e se il limite per x->x0
di f(x) è uguale a f(x0), si dice che f(x) è continua
in x0.
Anche in questo paragrafo prenderemo.in
considerazione le funzioni di due variabili e rimandiamo i
limiti e lo studio della continuità di funzioni di
tre o più variabili alla fine del capitolo. Per n=2,
ponendo come dfuso (x1,x2) = (x,y), abbiamo la se -
guente definizione di limite:
lim f(x) = l <=>
o
125
kre>0 H<5>0: V(x,y) eD- { (x0 ,y0) }
lim f(x,y)=S. <=>]
l/(x-xj2 + (y-y0)2<«=>
=> j£(x,y)-«.|<e
3.19 Utilizzando la definizione di limite,
verificare che
lim „2+v2
(x,y)->-(o,o) * T?
[Per mezzo della disuguaglianza x*=x2 • x 2 < x2 (x 2 +y2 ) otteniamo
x2+y2
x" < x2ix2:y2)^2<x2,y2
x2+y2 " (x2+y2)
Perciò, per ogni E > 0, posto 6 = /e , si ha
' < £ ]
/ x2 + v 2 < 6 =>
2. 2
3.20 Utilizzando la definizione di limite,
verificare che
lim
(x,y) ->(0,0)
endo
x* -y** 1
x2 + y2 1
^^7= 0 .
x2+ y2
y"
x + . y :... 9 si può procedere come nellfe
c2+y2 x2+y2
sercizio precedente J

126
3.21 Verificare che lini y2 cos ~^—
(x,y)-> (0,0) *y
= 0.
[La funzione è definita al di fuori degli assi coordinati. Dalla relazio
ne
y cos
xy
- y'
xy
< y'
si deduce che nella definizione di limite si può scegliere 6 = /e ]
3.22 Utilizzando la definizione di limite, .verificare
che
r , -, . 3x3+2x2+2y2
(a) lim ; ; '— = 2
(x,y)^(u,o) *2+Y2
(6) lim
(y-D
(*,y)->(i,U x2+y2+2(l-x-y)
= 0
[ (a) In base alla relazione | x 3 | = j x j . x 2 < | x | (x2 + y* ) si ottiene
3X3 + 2x2+2y2
x2+y2
3x'
x2+y2
3 [x3 j < 3 |x [(x2+y2)
x2+y
X2+ y2
-3 x
Dato che |x | - /^ < /x = +y2 , per Qgn. £ > 0> posto 6 __£/3>
si ottiene
/x2+y2 < 6 »>
3x3 + 2x 2 + 2y 2
x2+y2~
< E ;
(b) il denominatore si può rappresentare nella forma x2 +y2+2(l-x-y) =
= (x-lj 2 + (y-l)2 . Si verifica la definizione di limite con la relazio
ne
127
(y-D'
x2 +y 2+2à-x-y)
(y-l).l_ . (y-l)2[(x-l)2^(y>l)2]
<
"(x-l)2+(y-i)2 - (X-1)2+ (y-l)2
« (y-D2 ]
3.23 Utilizzando la, definizione di limite,
verificare che
fa) lim (x-l)*-(x-l)2-3(Y-l)2
r^\ i • xy + y2 + x + y
(b) lim -1 1 *- = 3
(x,y)*+(4,-l) y + l
[ (a) Il denominatore si può rappresentare nella forma
x2 +3y2 -2(x+3y-2) « (x-1)2 + 3(y-l)2 .
Si può procedere come nella parte (b) dell'esercizio precedente; (b)
la funzione data è definita nell'insieme { (x,y) GR2 : y i - l} . In
tale insieme vale la scomposizione
xy+y2 +x+y y(x+y)+(x+y) (x+y)(y+l) «
« = = x + y . 1
y + i y + 1 y+l
Occorre perciò stimare j (x+y)-3 | . Risulta
| (x+y)-3| =| (x-4)+(yfl)|<J x-4 | + | y+l | = / (x-4) 2 + /(y+l)2 ;
dato che / (x-4) 2 < / (x-4) 2 + (y+l) 2 (ed analogamente per /(y+l)2)
si conclude ponendo 6 = £/2 ].
3.24 Utilizzando la definizione, verificare che la
funzione f(x.y) = xy è continua nel punto (0,0).

128
[occorre verificare che lira xy = 0. A tale scopo è utile la disu
(x,y) + (0,O)
guaglianza | xy [ £ - (x 2 + y 2 ) che, come facilmente si verifica, si
riconduce a x 2 +y2 ± 2xy > 0, V(x,y) € R2 . in base a tale disuguagliai .
za, per ogni E > 0 risulta [xy | < £ se x2+ y2< 2 £. Perciò
nella definizione di limite si può scegliere ò - /Te ]
3.25 Verificare che la funzione f(x,y) = sen (xy) è
continua nel punto (0,0).
[Si può procedere còme nell'esercizio precedente utilizzando la disugua -
glianza [sent | _<_ j t | (valida per ogni t € R) con t = xy]
3.2 6 Le seguenti funzioni
r ^ sr ^ sen(x2+y2/3)
ca) f(x,y) = x2; y2;3/
rx.-\ r \ 1-CQS (xy)
(b) g(x,y) = " x2y2 y
non sono continue in (0,0), non essendo ivi .defi
nite. Estenderle a (0,0) in modo da renderle, se
possìbile, continue in tale punto.
[(a) La funzione f(x,y) può essere definita in (0,0) con il valore f(0,0) =
=1 ed in tal modo l'estensione risulta continua in (0,0) (e su tutto R2)
dato che
sen(x'2+y 2/3)
lim —x j~ = 1;
(x,y) + (0,0) * +y /3
sent
ciò segue dal limite di funzione di una variabile lim =1. Infat
t-*0 t
129
ti, per ogni Z > 0 esiste un numero 6 > 0 per cui | (sent)/t-l| <
< E se 0 / |t | < ó. Perciò, posto t - x2 +y2/3, risulta
0 i /x2 +y2 < /T /x2 +y2/3 < /Tó" =>
sen (x2 +y2/3)
x^ + y V3
< E
(b) Si può procedere come nella parte (a) ponendo g(O,0) * 1/2 e uti
lizzando il limite di funzioni di una variabile
1 - cost 1 -,
lim 2- = — J
f+0 t 1
3.2 7 Estendere con continuità a tutto R2 , se possibi
le, le seguenti fuhzioni dì due variabili reali
JDL
(a) f(x.y) = 5enx,^X-2y) Cb) fCx.y)- |xy|
C-c) f(x,y) = xy log|xy|
(d) £(x,y) = xy log (x2+y2)
ex+y- 1
(£)£Cx,y) =(^)
[(a) La funzione è definita nell'insieme {(x,y) € R2 :x i y } . In
base al limite di funzione di una variabile t(-x-y)
sen 2t
lim , = 2
t->0 t
è possibile estendere con continuità f (x,y) a tutto R 2 ponendo f(x,y)=

160
= 2 se x=y. (b) La funzione non è definita in corrispondenza degli assi
coordinati. Dato che non esiste il limite per t -*- 0 della funzione t -*■
-* t/ | t j , non é possibile estendere con continuità f(x,y) a tutto R2.
Si noti che la funzione data vale 1 se xy >. 0 (cioè nel primo e nel ter
zo quadrante) e vale -1 se xy < 0. (e) La funzione converge a zero se
il prodotto xy tende a zero, in base al limite
lim t log t * 0 j
t-»o+
perciò é possibile estendere con continuità, con il valore 0, la funzio
ne f(x,y) anche in corrispondenza degli assi coordinati, (d) La
funzione non é definita nell'origine. Dato che [ xy | <, (x2 + y2)/2 per ogni
(x,y) G R2 (infatti ciò corrisponde a x2+ y 2± 2xy >. 0), risulta
anche
|f(x,y)|« |xy | (log (x2 +y2)| < ì (x2+y2) log (x2 + y2 );
1
2
. 2. „2
ponendo t = x2+y2 , si verifica come in (e) che f(x,y) -> 0 per (x,y)->
"^(OjO)* perciò la funzione si estende con continuità all'origine degli
assi ponendo f(0,0) = 0. (e) La funzione si estende con continuità allo
insieme { (x,y) 6R2:x + y=o} con il valore 1/3. (f) La
funzione si estende con continuità all' insieme {(x,y) € R2 : y = 0 }
1+Y 2 ~»
con il valore e J
Ricordiamo che una condizione necessaria
affinchè una funzione f(x,y) abbia limite £ per(x,y)-»
"*(*<> >Yo) è che, per ogni curva regolare di
equazioni parametriche x=x(t), y-y(t) passanti per
(x0,y0) in corrispondenza ad un valore t0 (cioè
tali che x(t0) = x0, y(t0)=y0), risulti
lim f(x(t),y(t)) - £.'
t-*t_
otiamo esplicitamente che, per l'esistenza del
imite della funzione di due variabili, il vaio-
131
re Jl deve essere indipendente dalla curva (x(t) ,
y(t)) scelta.
In pratica spesso si prende in
considerazione il fascio di rette passanti per (x0,y0), di
" equazioni parametriche
x(t) = x0+£t, y(t)=y0 + mt,
con £, m parametri direttori della generica
retta (in questo caso è t0 = 0) . Oppure, escludendo
le rette parallele ali1asse y, si considera la
famiglia di rette di equazione cartesiana
y(x) = y0 + m (x-xc),
dove il parametro m è il coefficiente angolare
della retta. In questo secondo caso la variabile
indipendente è t = x e risulta t0 = x0.
Ricordiamo che lfapplicazione del criterio S£
pra esposto con una particolare scelta delle cur
ve passanti per (xo,y0) (ad esempio con una fami^
glia di rette) fornisce una condizione solo
necessaria, ma non sufficiente, per l'esistenza del
limite. Di seguito diamo alcuni esempi.
3.28 Verificare che non esiste il limite per (x,y) -+
-►(0,0) d*ella funzione
fCx.y) = ^7 .
[Consideriamo una generica retta passante per l'origine, di equazioni pa
rametriche x(t)= £t, y(t)=mt, con il ,m €R ( l 2+ m 2 i 0), La funzione
composta (di una variabile reale) vale
f(x(t), y(t))=f(£tjmt)= {i^(mt)2 = J^T , Vt/0.
Perciò, fissati i ,m e R, la funzione composta è costante rispetto a t

132
e quindi, per f* 0, converge al valore £ m/( £2 +m2). Tale valore'
dipende, evidentemente, dalla particolare retta scelta; perciò la
funzione di due variabili non ammette.limite per (x,y)-» (0,0).
Si giunge allo stesso risultato considerando la famiglia di rette di
equazione cartesiana y(x) = mx. In tal caso la funzione composta (della
variabile x) vale
f(x,y(x))=f(x,mx)= 2"7 « ° Vx9,0
x2+(mx)2 I4m2 ' X f Um
Anche in questo caso il valore limite (per x + 0) dipendè dal parametro
m che individua, la retta]
3.29 Verificare che non esiste il limite per (x,y) ->
-> (0,0) della funzione
[Come nell'esercizio precedente si verifica ad esempio che
11» f(JU,mt) -^y ]
3.30 Si consideri la funzione f definita per ogni (x
y)<=R2 da:
£(x,y)« -^Xj se (x,y) f (0,0); f(0,0)=0.
Si verifichi che f(x,y) è continua separatamente
rispetto alle variabili x e y, ma che essa non è
continua in (0,0) come funzione di due variabili.
[Per y=0 la funzione vale identicamente zero. Perciò
lira f(x,0) = lim 0 = 0= f(x ,0).
x-*x^ x->x °
133
La funzione f(x,0) della variabile x è quindi continua su R. Se y=y #)
la funzione f(x,yo) è continua perchè rapporto tra due polinomi con.de
nominatore che non si annulla. Analogamente la funzione della
variabile y,f(xo,y) è continua su R per ogni xq €R. Però la funzione ,di due
variabili non è continua in (0,0) perchè, come mostrato nell'esercizio
3.28, non esiste il limite per (x,y)-> (0,0) di f(x,y).
Il grafico di f(x,y) è rappresentato in figura 3.11;. si noti in
particolare che la funzione z = f(x,y) è nulla in corrispondenza agli
assi x,y. La discontinuità in (0,0) è evidenziata in figura 3.11 dal
fatto che, avvicinandosi al punto (0,0) percorrendo una generica retta
per l'origine, si rimane ad uria quota (valore di z) dipendente dalla
retta stessa; in particolare, per x = y, si ottiene la quota z=l/2,men
tre per y=0 (asse x) si ottiene la quota z=0 ]
3.31 Utilizzando le rette per l'origine, verificare
che le seguenti funzioni non ammettono limite
per (x,y)-K0,0).
r \ 4-1. <-u\ „ ~ sen(x-2y)
(a) z=arctg ^ kJoj z -
& x x-y
[(a) La funzione è costante sulle rette di equazione y=mx e la costante
(=arctg m) dipende dalla rettaj (b) ponendo y=mx risulta
sen(x-2mx) sen [ (l-2m)x] l-2m l-2m
lim = lini —; -—■ • = •
x-*0 x-mx x-* 0 (3-2m)x I-m I-m
Dato che il risultato del limite per x -*- 0 dipende dal parametro m, la
funzione di due variabili non ammette limite per (x,y)-> (0,0) J
3.32 Si confrontino gli esercizi 3.31(b) e 3.27(a) .
Si verifichi in particolare che il metodo prop£
sto per lo studio del primo limite non si
adatta per l'altro.
3.33 Si consideri la funzione f(x,y) = x2+yu •

134
Verificare che:
(a) Esiste il limite per x-»0 della- funzione com
posta f(x,mx) su ogni retta, per l'origine di e-
quazione cartesiana y=mx ed il valore limite è
indipendente da m.
(b) Non esiste il limite di f(x,y)per (x,y) ->
-»(0,0), dato che il limite per t+0 della funzi£
ne composta f(£t,mt) sulle rette di equazione pa
.rametrica x=£t, y=mt dipende dalla retta scelta.
[ (a) Per ogni x/0 risulta f(x,mx)
x2^^* = 1+mS2 '
Perciò lìm f(x,mx)sO. Si ricordi che la famiglia di rette di equazio
x-K>
ne y=mx non costituisce l'insieme di tutte le rette per l'orìgine, ma
rimane escluso l'asse y, di equazione x=0. Per x=0 risulta f(0,y) * 1
per ogni y f Q, Quindi.la funzione f(x,y) ristretta agli assi x,y
converge a valori fra loro distinti (lim ,f(x,0)=Q; lim f (0,y) - 1). Ciò è
x-> 0 y -H)
sufficiente ad affermare che la funzione dì due variabili non ammette
limite per (x,y)-> (0,0). , k ^ 2
m t m t
(b) Per ogni t i 0 risulta f( &t,mt) = 2 2 —r—jf = a 2. f „ 2 •
ÌC t + m t X +m t
Si verifica facilmente che
f 0 se . liO
lìm f{ £ t,mt) - < -,
t-> 0 I 1 se £ - 0 (ed m ^ 0) J
x2 y
.34 Si consideri la funzione f(x,y) = ~t—, -
x-+y~
Verìficare che:
(a) Esìste il lìmite per t-»0 della, funzione com
posta f(£t,mt) su ogni retta per lforìgine dì £
quazìone parametrìca x=£t, y=mt ed il valore lì
mite è indipendente dai parametri £,m.
(b) Er possibile determinare due curve regolari
passanti per l'origine sulle quali la funzione
135
assume limiti distinti; perciò la funzione f(x,
y) non assume limite per (x,y)-»(0,0).
r _ £2mt3 £2mt
[(a) Per ogni t t 0 risulta f(£t,mt) - (jLt) *+(nt)2 " £*ta + n2 •
Tale quantità converge a zero per t -* 0 qualunque siano il ,m €R (con
£2+m2j^0) (in particolare f(£t, mt) è identicamente nulla se m=0).
(b) Si considerino le parabole di equazione cartesiana y=mx , con na
parametro reale (tale scelta è suggerita dalla struttura del denominar
tore, quadratico rispetto ad y e di quarte grado rispetto ad x; la sceJL-
ta è suggerita anche dal fatto che tali parabole sono linee di livello
della funzione). Risulta
mx1* m
f(x,mx) = r——-r- 5 , Vx / 0.
/ (1+m2 )x * 1+m2
Perciò la funzione è costante sulle parabole scelte ed il valore della
costante dipende da m. Ad esempio, per y = ± x risulta f (x, ± x )«
= ± 1/2 e tale è anche il limite per x *->• 0 dì f(x, ± x2 )]
3.35 Siano a, (3 parametri reali non negativi.
Verificare che la funzione
f (x v) = JJ^J—
r^x,y; x2+-y2
ammette lìmite finito (uguale a zero) per(x^y3~*
->(0,0) se e soltanto se a + p > 2.
[Lungo le rette y=mx per l'orìgine la funzione vale
f(x,mx)« * * { { = { l x
•' (l+m2)x2- 1 + n2 ' '
Se a+g -2 < 0 allora f(x,mx) -* +00 per x -»0. Se Ot + p-2 = 0 la
funzione è costante sulle rette per l'orìgine (che risultano quindi linee
di livello) e la costante (= |m ( " /(1+m2 )) dipende da m. Perciò, se
a+P< 2, la funzione f(x,y) non ammette lìmite finito per (x,y)-*(0,0).
Viceversa verifichiamo che, se (X + )3> 2, allora f(x,y) converge a
zero per (x,y) ~*(0,0). A tale scopo osserviamo che

136
|x|a=(/^)0t<(/lP17T)a= (x2+y2)a/2
ed analogamente |y| i(x2+y2) • Perciò
I lal |P / 2^ 2J + 2 .a + g.n
0< hUi±- <-ÉL4z!25—=(x2+y2)^+2 x .
x +y x +y .^6.!
Se a + P> 2 allora a/2 + $ /2 - 1 > 0. Perciò (x2 + y2)2 2 -* 0
per (x,y) -* (0,0). In base al teorema di confronto dei carabinieri la
funzione data converge a zero ]
3.36 Siano a,(3,y parametri reali non negativi. Deteir
minare i valori dei parametri in modo che le
seguenti funzioni ammettano limite finito per (x,
fai ffx vì= —|x| lyi rbì ffx vì= lx| yi
[(a) Come nell'esercizio precedente,la funzione converge a zero se e sol.
tanto se 0£ + |3> 2y ; (b) utilizzando le parabole di equazione y=mx2, si
verifica che la funzione non ha limite finito se (X+2fi-hY< 0. Vicever
sa, se tale condizione non vale, la funzione f(x,y) converge a zero per
(x,y) -*■ (0,0); ciò si dimostra con il teorema di confronto (come nell'e
sercizio precedente), utilizzando le disuguaglianze
|x| = (x4*) 4 <(x* + y2)4 ; |y|P < (x* + y2)2 .
In definitiva la funzione risulta convergente in (0,0) se e soltanto se
Ct+2|3- 4y > 0. Si noti che la funzione dell'esercizio 3.34 è un. caso
particolare (a parte i valori assoluti a numeratore) con CX =2, (3=1 e
Y - 1; risultando in tal caso a+2(3- 47 = 0, la funzione non ammette
limite (finito), in accordo con quanto stabilito nell'esercizio 3.34 ]
137
Calcolare i seguenti limiti
2 2
lim *2^ 6 (b) 1„
(x,y)-KO,0)X +y (x,y)+(0,0) X ^
r \ i • x2y2 ... . l-cos(xy)
(a) lim J2+V6 (b) llin ^^
e \ i• l-cos(xy) r,. .. log(l+xy)
(e) lim —~ s 7/ (d) lim —2I 2
(x,y)-»(o,o) x +y (x,y)^(o,o> * +y
r -\ -. • log(l+x8y2) .-.v - . 1-e
(e) lim —e , 2 (£) lim —r
Xx,y)->(o,o) x +y (x,y)+(o,o) x
x3y2
2 2
[(a) Essendo x2 < x2 + y 6risulta anche 0 <,—5 r— <y2<.x2 + y2 . Ne
x +y ~
segue che il limite per (x,y) ~* (0,0) vale 0; (b) sulle rette di
equazione y = nix la funzione vale
l-cos(mx2) l-cos(mx2) m2
x^m^" = (mx2)2 ' T^~ ' Y**0,
m2
e per x ->0 converge al limite j—* . Dato che tale valore dipende
2(l+m )
dal parametro m, il limite in (b) non esiste; (e) il limite vale zero
e si può ottenere come prodotto dei limiti 3.37(a) e 3.26(b); (d)
considerando la funzione sulle rette per l'origine, si verifica che il
limite non esiste; (e) si può calcolare il limite con il prodotto
log (1+x3 y2) x3y2
lim ^—^ • lim g g-
(x,y)-*(0,0) X y (x,y)-*(Ò,0) X +y
Il primo fattore vale uno in base al limite di funzione di una varia-'
bile reale lim log(l+t)/t = 1; il secondo limite vale zero e lo si
t-> 0
può verificare in modo simile a come indicato nella parte (a) del pre.
3/2
sente esercizio; (f) lungo le curve di equazione y = mx ' con x>0,

138
la funzione vale
m 2x6 n
1-e 1-e
, 6..«»„6
xb+m*x6 m2x6 1+m* "
In base al limite di funzione di una variabile lim (1-e )/t * - 1, per
tr»0
+
x -*0 l'espressione precedente convèrge a -m2 /(1+m **). Dato che tale
valore dipende da m, cioè dalla curva scelta, il limite in (f) non
esiste]
3.38 Quali delle funzioni considerate nell1 esercizio
precedente si possono estendere con continuità
nel punto (0,0)?
[E1 possibile estendere con continuità le funzioni in (a), (e), (e)
definendole zero per (x,y) * (0,0). Non è invece possibile estendere in(0,0)
le funzioni in (b), (d), (f) ]
3D. D^ari^v-st-t:^ jp&licz±3lX±
Una funzione f definita in un intorno del punto di
coordinate (x,y) ammette derivate parziali in tale
punto se esistono finiti i limiti (di una variabile
reale) :
lim f(x+hfy?-f(x,Y) . lim f(x,y+k)-f(xyy)
h ->0 h k •* 0 ^
Il primo dei due limiti si chiama derivata parziale
di £ rispetto ad x e si denota con uno dei simboli,fra
loro equivalenti,
£x ; fx(*,y) ; ^ ; M-
Analogamente, il secondo limite si chiama derivata par-
139,
ziale di f rispetto ad y e si denota con uno dei simbo^
li
fy; fy(x,y); — ; Dyf.
Se f ammette derivate parziali in un punto (x,y)
si dice anche che f è derivabile in tale- punto (il let
tore faccia attenzione a non confondere il concetto
di derivabilità con quello di- differenziabilità, che
prenderemo in considerazione nel paragrafo
successivo) .
Diretta conseguenza della definizione è che le
derivate parziali fx, f di una assegnata funzione &
due variabili f(x,y) si calcolano con le usuali re^
gole di derivazione delle funzioni di una sola varia
bile reale, considerando l'altra variabile costante
con il ruolo di parametro.
3.39 Calcolare, nel punto (x,y) = (4,7), le derivate
parziali della funzione
f(x,y) = x3 + y2 - xy
[Per determinare la derivata parziale di f rispetto ad x nel punto(4,7)
si fissa y = 7 e si calcola la derivata della funzione della sola va -
riabile x:
f(x,7) = x3 + (7)2 - 7x ;
si ottiene 3x2 - 7; ponendo x = 4 si determina il valore di f nel pun
to (4,7): f (4,7) = 3-(4)2 - 7 = 41» Per determinare la derivata par -
ziale di f rispetto ad y nel punto (4,7) si fissa x - 4 e si calcola
la derivata della funzione di una variabile (4) 3 + y 2 - 4y, che vale
2y - 4; ponendo y = 7 si ottiene il valore di f nel punto (4,7) :
f (4,7) - 2-7-4 =■ 10. In un punto (x,y) generico di R2 le derivate

140
parziali valgono
fx(x,y) - 3x 2 - y ; fy(x,y) « 2y - x ]
3.40 Calcolare le derivate parziali £x, £ delle
seguenti funzioni nei punti interni ai rispettivi
insiemi di definizione.
[ fx=2x; fy = 2 ]
C fx=y > f y = * ]
f fX=2x> fy =- 2yJ
L fX = ~ > fv=- "2 ]
y y yz
x (X+y)2 ' *y (x+y)2 J
rf . 1+y2 . i+x2 ,
£=
£=
£=
f
£
f
f
£
£ =
£ =
£ =
£ =
=x2 + 2y
=xy
=(x+y)(x-y)
X
y
x+y
= x+y
1-xy
x
x2+y2
X2
x2+y2
- x2-y2
x2+y2
xy
(x2+y2)2
■ l*-y|
: /x+2y
x (1-xy)2 > y" (i-xy):
,2 _v2
[f . i ~x . f - ~2xy i
L x (x2+y2)2' V (x2+y2)2 J
f 2xy2 - -2x2y
x~ (x2+y2)2' V (x2+y2)2
r f * 4xy . f - "4x y i
L x (x2+y2')2 ' V (x2+y2)2 J
r f - "x2y+y3 . f _ *3-*y2 i
L x~(x2+y2)3 ' V (x2+y2)3 J
r f - y e y-x i
[ f * ■ li. ; f v= 7= ]
x 2/x+2y y A+2y
f=/x2+y2
f=2/xy
3
f- /x34-y3
f=sen(xy)
f=sen x- sen y2
f= -r sen2x+ r"cos2y
f=xy-sen(xy)cos(xy)
£=xy sen(xy)+cos(xy)
£=x2 +
+ senCx^y^cosCx2^2)
r x2
L fx * (x3+y3)2/3 ^
f y2 i
fy ~ (x3+y3)2/3 J
[ fx=y cos(xy); fy=x cos(xy) ]
[ f « cos x»sen y 2 ;
f -2y senx-cosy2 ]
r 2
I f * — senx cosxj
x 3
f * - seny cosy ]
[ fk=2y sen2 (xy);
f * 2x sen2 (xy) ]
[ fx- xy2cos(xy) ;
fy=*x2y cos (xy) ]
[fx=4x cos2(x2 + y2)-
f -2y cos 2(x2 + y2) ]

142
f --*- Cfv=-^; v-i- ]
seri x * -— *- v
£ = tgx-tgSy [V.*? s ,.->* ]
x cos x y cos 3y
r tgX r
"tgy x cos2xtgy ' y sen2y
f== l~tg(xy) . -2y
l+tg(xy) x~ [sen(xy)+.cos(xy)]2 ;
-2x ,
y [sen(xy)+cos(xy) ]2
£= arctg(xy) [f «—L_ . f =
x l+x2y2 ' y" l+x2y
£= arctg(5x-7y) [v _J^ ^2 . fw. m,'\y2 ]
x
x l+(5x-7y) 2 y l+{5x~7y):
£= arctg ~ ff = _Z . f = * i
Y L x X2+y2 ' *y x2+y2 J
£= 1+arctg ^ rf =. - y , f s _*_ 1
V L v ? . 2 * v 2.2 J
a a x+y y x +y
.e /• o.X.5 r 2y arctg(x/y)
f=(arctg -)2 [f - *v ;
y x x^ +yz
-2x arctg (x/y)
~y x2+y2
- ~^x arcr.g yx/y; -
v~ -, 2. „2 J
£= arctg ^^ [f = ~r~--2 ; fv = ir"2 1
x-y x *+y y x + y
143
x-y
£ =
£ =
arctg
arctg
arctg
x+y
*-y
1+xy
x+y
1-xy
arcsen
r y
Lfx= ^772 ; fy = ^+P
r x - -1 n
Lf-=I^"; fy = i+y2 J
Cf^=I^"; fy = i+y2 ]
[f.
-y
1*L
y x/^F ]
f.. =
f = arcsen
x+y
[f.
x | x+y | / xy
f„ =
y | x+y | /xy
]
£ =
£ =
log(2x+2y)
log |x-y|
log (xy)
Cfx=fy=^ ]
1 1 1
Cfv-1; fv-zl
f = log
f = log
x+y
Cfx=-> V'y ]
Lfx" x2_y2 ' *y y2-x2 J

44
f - log(x2-y2) [f .** t
x x2-y2' y"y2-x2
x x y
£ -log /x2-fy* [ £ . X ; f _^_
x x^+y^ y x2 + y2
f-log sen(x2+y2) [ f
2x cos(x2 + y2)
x sen(x2 + y2 )
]
2y cos(x2 + y2 )
y sen(x2 + y2)
f=Xy [l-log(xy)] [f = - y log(xy);
f = - x log(xy) ]
£-1 X+/1 + X2- i -i
og y+zi+72" Lfx= 7i^"; fy= 7ì^ ]
\c -. l+/x2+y2
f=log — 7 r f =
° -l . /„2 i -.2 L ■Lv
2x
l-/x2+y2 L x-(hx2.y2)/^p- '
2y
y (l-x2-y2)/x^TP
x'y x/v
r- x/y _ e -x ex/y -,
f-eVe* [ fx = ex"-v; fy =-ex-y ]
£=2y/x [ f> - 'y 2y/2Xl°8 2 ;
]
y/x
2 log 2 -,
y x J
145
£ = TT Xy [ fx- TT Xyy log* ; fy= 7TXy x log IT ]
£ = xe^ [ V(l+K)eX+3y; f - 3xeX+3y ]
£ -(x - ±)e* [fx=xyexy; f y- (■£■ + x 2 -i ) eXy ]
£ =ex (seny + COSy) [ fx=£j fy=eX(cosy-seny) ]
f=ex(sen2y+cos2y) [ fx = e* ; fy - o 3
£ = x y [ fx= y*rl; fy = xy 1os x 3
f = Xx [fx = xX(l-Mogx); £y-0 ]
. x/2 -i
£ - /y** [ Si noti che f (x,y)*y J
f = (^)xy [fx = yiog(xy)(f)Xy ;
f, = x log (xy) (^ )xy ]
y e
f -y^ [fx = yiosx ^;
log x logx -,
f = y ■ J
y y y

146
f = (senx) C°Sy [ fx=cosx. cosyCsenx)008^1 ;
cosy -,
f =-(senx) seny log senx J
x L x x2 (.1+ x ; »
fv = (i+ - >y iog(1+ ì ) ]
£_xy [ fx = y* x^* (lcgy logx + ì )j
X.
'fy= xyx_1 x^ log- x ]
£ = xXy [f^x^x^Cl+ylogx);
fv = xxy Xy (logx)2 ]
£ = x*y C',-*^;
fv = xy y^ logx (1+logy) ]
3.41 Verificare che la funzione f(x,y)=/x2+y2 non a -
mette derivate parziali nel punto (0,0).
[Per y=0 risulta f(x,0) = Vx2 = j x j e, come ben noto, tale funzione
(di una variabile reale) non è derivabile per x-0; perciò non esiste
f (0,0). Si può anche procedere in base alla definizione, mostrando che
sono diversi i limiti destro e sinistro:
f(h,0)-f(0,0) |h |
lim = lim -1 = ± 1.
h~>0± h h->0± h
147
In modo analogo si verifica che non esiste f (0,0) ]
3.42 In quali punti (x,y)eR2 esistono le derivate pax
ziali della' funzione f(x,y) = |xy| ?
[ Fissato y G R, la funzione f(x,yo) - | x | • |y | è derivabile
(rispetto ad x) per ogni x r 0 se y ^0; mentre, se y = 0, la funzione f (x,
y ) è identicamente nulla e quindi è derivabile per ogni x6 R. Ne segue
che la funzione f(x,'y) ammette derivata parziale rispetto ad x in tutti
i punti dell'insieme
{(x,y) €R2 : x + 0}U{ (0,0) },
cioè in tutti i punti del piano xy, escluso l'asse y ma inclusa l'origi
ne degli assi. Analogamente f esiste nell'insieme
{ (x,y) 6R2: y f 0 }U{(0,0) }]
3.43 Stabilire se la funzione f (x,y) = | x*y | (x+y) ammet.
te derivate parziali nei punti di coordinateti,1),
(0,0), (3,2) e (2,3).
[ La funzione non ammette derivate parziali nel punto (1,1); infatti ad e
sempio, per il limite del rapporto incrementale relativo ad f (1,1), ri -
sulta
f(l+h,l) - f(l,l) [h |(2+h)
lim = lim — ■ = ±2.
h->0± h h^O* h
Viceversa la funzione ammette derivate parziali nel punto (0,0) ed esse
valgono zero} infatti ad esempio per f
f(h,0)-f(0,0) I h I h , ,
fx(0,0) = lim K = lim J ! = lim |h| =0.
h ** 0 h h->0 h ir* 0
La funzione è derivabile in (3,2) e (2,3) e con le usuali regole di de-

148
rivazione si trova fx(3,2) = 6, fy(3,2)=-4; fx(2,3)=-4, f (2,3)=6 ]
Supponiamo che una funzione f(x,y) ammetta deriva
te parziali fx(x,y), f (x,y) in un insieme aperto. Se
le funzioni fx, £ ammettono a loro volta derivate par
ziali
-A £ _L£ A * _L f
8x ^' 9y ^' 3x ~y'- 3y y '
esse vengono chiamate derivate parziali seconde, della fun
zione f e si indicano anche con i simboli
f f f f
XX > xy > xyx > xyy
oppure con i simboli
d2£ d2f 32f
d2£
dx2 ' dxdy ' dydx ' 3y2
Le derivate f , f si chiamano derivate seconde
miste. Per esse sussiste il seguente importante teor£
ma di Schwarz: Le derivate seconde miste £vv , f.
guai! in tutti i punti in cui sono continue
xy ) x sono u-
3.44 Calcolare le derivate seconde delle seguenti fun
zioni alifinterno dei rispettivi insiemi di defi
nizione e verificare che le derivate seconde
miste sono uguali fra laro.
(a) f(x,y)= /x2+3y2 (b) f(x,y)=ex cos y
(e) f(x,y) = yx (d) f(x,y)=arctg j^-
149
x+^
(e) f(x,y)=arctg ±^JL (f) £(x,y)-log /x2+y2
(g) f(x,y)= 2(^2^y2) (h) f(x,y) = ~^
f, ì e - 3y2 f _p "3xy 3x2
(x* + 3y2)3/2 ' ^"^ (x2+3y2)3/2 ? *yy= (x2+3y2)3/2
(b) fxx = e cosy; fxy=fyx=-e seny; fyy=-e cosy.
(c) fxx *y (logy)2 ; fxy=fyx=y (1+xl°gy)5 fyy^x-Dy
2x 2y
YY '-.-2x2 > xyv ^ u> rw~
xx (1+x2)2 ' xy yx > yy (i+y2)2
2xy y2-x2 -2xy
(e) fxx= /..2...2x2 5 fvv=fvy r.. 2,..2x2 > f
xx (x2+y2)2 ' xy ^yx (x2+y2)2> ^yy (x2+y2^2 *
y 2 - x 2 -2xy x 2 - y 2
(f) fXX~ /„2.„2n2 '> fXV fVX /v2.„2n2 > f"
02+y2)2 ' xy yx (x2+y2)2 ' yy (x2+y2)2 '
y8-2x2y6-3xV4 4x3y3
(g) fvv /..2 . _. 2 \ *♦ > fyv~^V5C~
(x2+yV ' ^ ^x (x2+y2)3 '
x8-2x6y2-3xV
V (x2+y2)^
= -2xy3(xV2x2y2-f3ytt) ^ x2(x6+7xV-f3x V~3y6)
xx r 2 x 2^ ' Xy"fyx~ 2,-2x<f j
(x + y ) (x +y *) H
i
-2x3y(3xV2x2y2 -y4) -,
V (x2+yV J
3.45 Verificare che la funzione f(x,y) definita da
3
f(0,0)=0 e f(x,y)= ~^ se (x,y)^(0,0),
x *ry

150
ammette derivate seconde miste f , £ fra loro
distinte nel punto (x,y) = (0,0). Verificare i-
noltre che le derivate seconde miste non sono con
tinue in (0,0), in accordo con il teorema di
Schwarz.
[si noti che, essendo lim f(x,y)=0 (esercizio 3.35) ed essendo
(x,y)->(0,0)
anche f(0,0)^0, la funzione è continua in (0,0) (ed anche in tutto R2).
Le derivate parziali prime, per ogni (x,y) i (0,0), valgono
x**y+3x 2y 3 x5 - x3y2
/ 2, 2\2 > xv\^>y) / 2 , 2\ 2
(x*+y*)* y (x*+y*)*
Come nell'esercizio 3.36 (a) si verifica che sia fv(x,y) che f (x,y)con
y
vergono a zero per (x,y)-^ (0,0). Ciò implica che f , f sono continue
(anche) in.(0,0),essendo fx(0,0)=f (0,0) =0;infatti,ad esempio per fx(0,0):
f(h,0)-f(0,0)
fx(0,0) * lim _1_2«£_L-L_j! s lim 0 = 0.
h->0 h h~*0
Calcoliamo le derivate seconde miste in (0,0):
fx(0,k)-fx(0,0)
fxv(0,0) - lim ; = lim 0 - 0;
AJF k-»0 k k~»Q
f (0,0) - lim —z l = lim = 1.
y* h^0 h hs.0 h
Perciò le derivate seconde miste sono fra loro distinte in (0,0).Al con
trario, in base al teorema di Schwarz, esse sono tra loro uguali per o-
gni (x,y) i (0,0). Con le usuali regole di derivazione si trova
x'8 + 7x6y 2 +3XV4 " 3x2 y6
fxy(x,y)=fyx(x,y)= (x2+ y2)** » V(x>Y)t (0,0).
Essendo fxy = fyx per (x,y) f (0,0) e fxy(0,0) i fyx (0,0) ne segue che
almeno una delle due derivate seconde miste non è continua in (0,0). Co
151
munque, con verifica diretta, si prova che fv..(*,y) e f,.v(x,y) non am-
xy yx
mettono limite per (x,y)-*- (0,0); infatti, sulle rette y=0 e x=0 si
ottengono i limiti fra loro- distinti
x8
lim f,.v(x,0) = lim fVY(x,0) = lim —g- = 1 ;
x+0 Y x^O Y x^O x
lira fxv(0,y) = lira fvx(0>y) = lira 0 = 0 ]
y->0 y y->0 y y->0
3.46 Siano a3b parametri reali e sia £(x,y) la
funzione definità in R2 da
f(0,0)=0 e f(x,y)= aX^+y2bXy3 se (x,y)^(0,O).
Verificare che f (0,0)=b e che f„v(0,0) = a.
[si può procedere come nell'esercizio precedente oppure, più
rapidamente, nel modo seguente: si pone f(x,y) = ag(x,y.) + bh(x,y), dove g,h sp_
no definite da
3 •=?
XV XV
g(0,0)=h(0,0)=0 e g(x,y)= -j—J > h(x,y)= 2^ 2 se (x,y)^(0,0).
Per la linearità delle derivate risulta
f = ag + bh ; f = ag + bh
xy sxy xy ' yx Byx yx
Le derivate seconde miste in (0,0) della funzione g, calcolate
nell'esercizio precedente, valgono g (0,0) = 0, g (0,0) - 1. Per simmetria,
scambiando il ruolo di x,y, risulta anche h (0,0) = 1, h (0,0) = 0.
Perciò fxy(0,0)= b e fyx(0,0) = a ]
3.47 Sì considerino le funzioni definite per x=0 da
f(0,y) = 0 e per x ^ 0 rispettivamente da

152
(a) f(x,y)=x2 sen ^ Cb) f (x,y)=x2arctg ^
Verificare che f (0,0)=0 e che fw(0,0)=l.
xy yx
[(a) Essendo f(0,y) = 0 risulta
f/nv, „m f(h,y)-f(0,y) y
fx(°>y; = lim = lim h sen - = 0 ;
h->0 h h-»0 h
• fx{0,k)-fx(0,0)
perciò f (0,0) = lim * = lim 0 = 0.
Con le usuali regole di derivazione si ottiene f (x,y)=x cos(y/x) per o
gni x t 0; inoltre, dato che f(0,y) è costante (=0), risulta f (0,0)=0.
Quindi
fy(h,0)-fy(0,Q) h
f (0,0) = lim -* -Z = lim - = 1 ;
y h~»0 h h->0 h
(b) si verifica in modo analogo ]
3.48 Generalizzando l'esercizio precedente, sia g(t)
una funzione di una variabile reale, limitata su
R e derivabile per t = 0, e sia f(x,y) la funzio.
ne di due variabili definita da
f(x,y)=0 se x=0 e f(x,y)=x2g(Z) sex/0.
Verificare che £ (0,0)=0 e che fyx(0,0)=gf(0).
[Si giunge ,alla conclusione con lo stesso metodo dell'esercizio
precedente. Si noti che anche la funzione dell'esercizio 3.45 è del tipo qui con
siderato, con g(t) = t/(l+t2 )]
3.4 9 Mostrare con un esempio che la tesi
dell'esercizio precedente non vale se g(t) non è una funzi<D
ne limitata su R.
153
[Ad esempio la tesi non vale se g(t)=t, Vt€ r]
3.50 Una funzione di due variabili u(x,y) si dice
armonica in un insieme aperto AcR2 so- essa ammet.
te derivate seconde uxx , u per ogni (x,y)eA e
se esse soddisfano l'equazione differenziale(aj^
le derivate parziali, detta equazione di Laplace)
uxx + uyy = °"
Verificare che le seguenti funzioni sono armoni
che nel loro insieme di definizione
(a) u=3x+2y (b) u=e seny
(e) u=x2-y2 • (d) u=x'+""6x2y2+yI+
(e) u=log(x2+y2) Cf) u=arctg (y/x)
Cg) u=arctg ^ Ch) u-x6-15xV+15x2y4-y6
X X 2 "* V 2
Ci) u= ~~; r Ci) u= 7 2i 5sj
v x2+y2 Cx2+y2)2
/ > xy f n y3-yx2
(m) u= ,f '—rry [nj u= r 2, 2s3
Cx2+y2)2 Cx2+y2)3
[(d) u =-u - 12(x2-y2); (e) u.
2(y2-x2)
■XX" uyy" iMA y }> K } ux*~ UYJ " (x2+y 2)2 >
—2xv
(£), (gì "XX=-V = PTPP ' (h)uxx=-uyy=30x'*-180x2y2+30y^
2x(x2- y2) 6(x1,-6x2y2+y") -,
<l> uxx = " uyy =(x2+y2)3 5 CD «*x~V (x2+y2)* ]

154
3E. E>±dE"f ^3T^jrTL2:istl>iX±tSL
Al contrario di quanto accade per le funzioni di
una variabile reale, per le funzioni di due o più
variabili l'esistenza delle derivate parziali in un pun
to non implica la continuità nel punto, stesso. Un e-
sempio in tal senso è proposto nell'esercizio 3.52(si
veda anche l'esercizio 3.82). La nozione naturale per
le funzioni di più variabili, che estende il concetto
di derivabilità per le funzioni di una variabile
reale, è quella di differenziabilità.
Siano x,heRn e sia f(x) una funzione della
variabile (vettoriale) x. Si dice che la funzione f è
differenziabile in x se esiste una funzione lineare L;Rn-*
■*R tale che
lim
h->o
f(x+h)-ffxl-Lfhl
|h|
in tal caso L si chiama differenziale della funzione f
nel punto x e si verifica che
L(h) = Z £x (x)h. ,
dove h± (i=l.2,..., n) sono le componenti del vettore
h e fx# sono le derivate parziali della funzione f.Si
dice anche che f è differenziabile in un insieme A se
essa è differenziabile in ogni punto xeA.
In particolare si osservi che se f è
differenziabile in x allora £ è anche derivabile in x, cioè ammejt
te derivate parziali d£/dx± per i=l,2,...,n.
Viceversa, un importante teorema (detto teorema del differen
ziale) afferma che se f ammette derivate parziali in un
intorno di X e se tali derivate sono continue in X , allora f
è differenziabile in X.
Diretta conseguenza della definizione è che, se f
155
è differenziabile in x, allora f è anche continua in
tale punto.
Una applicazione geometrica del concetto di
differenziabilità è la seguente: se la funzione f(x) è
differenziabile in x0,allora esiste il piano
tangente in (x0,f(x0))€R al grafico della funzione f(x)
ed ha equazione
z = f(xj + L(x-xJ
= f(xj + E fx. (xj(x-x0). ,
i=l x x
dove (x-x0) indica la componente i-esima del vetto-
i
re x-x0.
Spesso si utilizzano le seguenti notazioni. Sia
A un insieme aperto di Rn. Se f è una funzione contai
nua in A si dice che f è di classe G° in A e si
scrive feC°(A). Se f ammette derivate parziali prime e
se queste sono contìnue nell'aperto A, si dice che f
è di classe C1 in A e si scrive' f eC x (A) . Più generajL
mente feCk(A), keN, significa che f ammette derivate
parziali in A fino all'ordine k e che queste sono fun
zioni continue. Sé feCk(A) per ogni keN si dice che
feC^CA). ,
Con i simboli introdotti valgono le implicazioni
feCHA) => £ è differenziabile in A => feC°(A).
Nella pratica, per decidere se una data funzione
è differenziabile, si studia la continuità delle
derivate parziali prime e si applica, se possibile, il
criterio enunciato nel teorema del differenziale. C£
sì, in base a tale criterio, le funzioni elementari
(composizioni razionali di polinomi, esponenziali,lo
garitmi, funzioni trigonometriche, ecc.) risultano
differenziabili all'interno del rispettivo insieme

156
di definizione.
-*^gli esercizi che seguono proponiamo lo studio ,
tra l'altro, della differenziabilità di funzioni in
situazioni tali da non poter applicare il criterio e-
nunciato nel teorema del differenziale.Ricordiamo che.,
per, verificare direttamente con la definizione se una
data runzione f è differenziabile in un punto x, è ojd
portano calcolare preliminarmente le derivate
parziali e successivamente verificare che è nullo il limite
.'- e in vettore di componenti .(h^.))
f(x+h) - f(x) - ì fx. (x)h.
lim rr-j i=l ~ .
h -o • I h I
In particolare, per n=2, una funzione di due va -
r:ao:..i ?r/.,yJ è differenziabile in un punto (x,y) se
essa annette derivate parziali f x, f in tale punto e
]in f(x+h,y+k)-f(x,y)-fx(x,y)h-fy(x,y)k _q
^«,k; ^(()to) /h2+k2
Se ff/,y) è differenziabile in (x0,y0), il piano
tangente al grafico della funzione in corrispondenza
aa ^^yj, cioè tangente nel punto (x0 , y0 , f (x0 ,y0) ) ,
-'a equazione
7--zf (*o,y<J+fx Uo ^o) Cx-x0)+£y (x0,y0) (y-y0) .
-.51 Mostrare che la funzione f(x,y) = |xy| è diffe -
renziabile nel punto (x ,y) = (0 , 0) , ma non è diffe,
renziabile nel punto (x,y) = (1,0).
LLa funzione è identicamente nulla in corrispondenza degli assi
coordinaci- Perciò le derivate parziali in (0,0) valgono zero; risulta quindi
157
f(h,k)-f(Q,0)-fv(0,0)h-fv(0,0)k . hk
lim x z = lim --===
(h,k)->(o,o) /h2 + k2 (h,k)+(o,o) /h +k-
il limite vale zero perchè, essendo |hk | < - (h2 + k2), risulta 0 <,
i | 2
< ' I < - /h2+k2 . In base alla definizione, la funzione è
" /h2+k2 ~ 2
differenziabile in (0,0)- Ponendo x=l, la funzione f(l,y)*= |y | non è
derivabile per y=0; perciò la funzione f(x,y), non ammettendo derivata
parziale f (1,0), non è differenziabile in (1,0)]
3.52 Si consideri la funzione definita da
f(0,0)=0 e fCx,y)= -g~r se (x,y) f (0,0).
x "^y
Verificare che;
(a) f(x,y) non è continua in (0,0).
(b) f("x,y) è derivabile in (0,0).
(e) f(x,y) non è differenzi-abile in (0,0).
[(a) Si vedano gli esercizi 3.28 e 3.30; (b) la funzione è costante(=0)
sugli ass,i coordinati; perciò fx(0,0) = f (0,0)«0j (e) essendo f
discontinua in (0,0) ne. segue che essa non è differenziabile in tale pun
to. In ogni caso la verifica diretta, in base alla definizione, è
molto semplice: essendo f(0,0) = fx(0,0) = fy(0,0), £ è differenziabile il
(0,0) se e solo se è nullo il limite seguente
f(h,k) _ hk_
M-
►(0,0) A2+kz (h,k)->(0,0) (h2 + k2)J
Si verifica invece, con le rette per lforigine, che il limite non
esiste]
3.53 La continuità di una funzione f(x,y) in un
punto non implica la sua differenziabilità in tale

punto. Dimostrare l'affermazione fatta studiando,
nel punto (0,0), le funzioni
(a) f(x,y) = /x2+y2
(b) f(x,y) = /|xy|
(e) f(0,0)=0 e f(x,y)= 7=#= se (x,y)^(0,0)
/x2+y2
[(a) La funzione è continua in (0,0) ma, non essendo derivabile in tale
punto (esercizio 3.41), none nemmeno differenziabile in (0,0); (b) la
funzione è continua in (0,0) (si può procedere come nel L'esercizio 3.24)
ed è derivabile con derivate fx(0,0) = fy(0,0) =0. Non è però differen
ziabile in (0,0) perchè non esiste il limite
f(h,k) % hk
lim -;~~ . = lim
,o) Vh2+k2
(h,k)->(0,0) /h2+k2 (h,k)->(Q,0) »h2+k2 '
(e) utilizzando la disuguaglianza | xy (<. - (x2 +y2 ) si verifica che
la funzione è continua in (0,0). E» anche derivabile nell'origine e le
derivate parziali valgono zero. Però non è differenziabile in (0,0) per
che non esiste il limite
f(h,k) hk
= lim
(h,k) •+ (0,0) v h2fk 2 (h,k)^ (0,0) h 2+k 2
3.54 La continuità delle derivate parziali prime im -
plica la differenziabilità. Mostrare che non
vale il viceversa studiando, nel punto (0,0), la
funzione definita da
f(x,0)=0 e f(x,y)=y2cos - se y f 0.
[La funzione f(x,y) è costante rispetto ad x; perciò fx(x,y)=0 per ogni
(x,y) 6 R2 . La funzione è derivabile anche rispetto ad y e risulta
159
f(x,k)-f(x,0) 1
f (x,0) = lim '• = lim k cos — - Q )
y k_>0 k k _► 0 k
1 1
fv(x>y) = 2y cos — + sen -, se y ì 0.
La derivata parziale fy(x,y) non è continua in (x,0) perchè non esiste
il limite per y* 0 di f (x,y). Però la funzione risulta
differenziabile in (x,0) perchè
f(x+h,k) k2cos(l/k)
lira — - = lim • = 0
(h,k)->(0,0) vV +k2 (h,k) ->(0,0) /h2+k2
essendo | k2 cos(l/k)/ /h2+k2 | < k 2 / / h2+k 2 i|k| ]
55 Traendo spunto dall'esercizio precedente,si con
Sideri una funzione costante rispetto ad x, del.
la forma f(x,y) = g(y) . Mostrare che f è
differenziabile in (x,y) se e solo se g è derivabile
in- y.
[Se f è differenziabile in (x,y), esistono le derivate parziali f , f .
Essendo f (x,y) = lim [ g(y+k)-g(y) ]/k, la funzione g è derivabile
y k->0
in y e g'(y) = fy(x,y). Viceversa, se g è derivabile in y, risulta
g(y + k) = g(y) +g«(y)k + o(k)
°(k) g(y+k)-g(y)
(infatti = g'(y) converge a zero per k-*0).
k k
Essendo |k/ A2 +k2 I < i, si ottiene
f(x+h,y+k)-f(x,y)-fxh-fyk o(k) k ,
lim ~ *— = lim ' ■■> rr, =0J
(h,k)->(0,0) /h2+k2 (h,k)->(0,0) k Vh2+k2
5 6 Sia a un parametro positivo. Mostrare che la fun
zione
f(x,y) = |xy|

160
è diffe renziabile in (0,0) se e soltanto se a>l/2.
[La funzione è identicamente nulla sugli assi coordinati. Perciò fx(O,0)=
=f (O,O)=0.La funzione risulta differenziabile in (0,0)se e solo se
i i G
hk
lim ' ' = 0 .
(h,k)~K0,O) A2+k2
Con il metodo dell'esercizio 3.35 si verifica che il limite vale zero
se e solo se a > 1/2 ]
3.57 Stabilire per quali valori dei parametri a, (3 _> 0
risulta differenziabile in (0,0) la funzione
definita da
f(0,0)=0 e f(x,y> '*j J^l se (x,y)^(0,0).
[Con il metodo dell'esercizio 3.35 si verifica che la funzione è differen
ziabile in (0,0) se e solo se a+3 > 3 ]
3.58 Sia p un parametro reale positivo ed f la
potenza p-esima del modulo di (x,y), cioè la funzione
definita da
f(x,y) = (x2+y2)p/2 .
oo
Se p è un numero naturale pari, allora feC (R2).
Se invece p è un numero naturale dispari, allora
f€Cp (R2)-CP(R2). Se infine p non è un numero
naturale,allora f eC^ ^ (R2) -C^ +1 (R2) , dove il
simbolo [p] indica, come al solito, la parte
intera di p.
Si verifichi la proprietà enunciata per alcu
ni valori di pj ad esempio per p=2,4, per p=l e
per p = 1/2, 3/2.
161
[per p=2,4, o in generale se p è un naturale pari, la funzione f(x,y) è
un polinomio di grado 2p e perciò è di classe C (R2 ). Se p a 1 .(ed
anche se p - 1/2) la funzione è continua, ma non derivabile in (0,0) 5
perciò in tal caso f 6 C°(R2), ma f l C1(R2). Se p=3/2 le parziali
in (0,0) sono nulle e per (x,y) i (0,0) esse valgono
X 4 Vx2+y2 y 4 Vx2+y2
Con il metodo dell'esercizio 3.35 si verifica che f (x,y), fv(x,y)
sono continue (anche)in (0,0). Inoltre la funzione non ammette derivate
seconde fvv(0,0), ^.(O^O) (mentre le derivate seconde miste in (0,0)s£
xx yy
no
nulle). Perciò, se p * 3/2, f 6 C1 (R 2 ) ma f H C 2 (R 2) ]
Si consideri la funzione definita da f(0,0)=0 e
£(x,y)= x^x-y(y-l)+xy--y3 ^ v(Xjy)^(0>0).
Stabilire se è differenziabile in (0,0) ed in
caso affermativo calcolarne il differenziale.
h2k^
(Risulta f(h,k)-f(0,0)- £_(0,0)h-f__(0,0)k * -5 5- e per (luk)~K0,0)
x j h +k
tale espressione, divisa per /h2 + k2 , converge a zero. Perciò la
funzione è differenziabile in (0,0) ed il differenziale vale L(h,k) -
- fxC0,0)h + fy(0,0)k - h-k]
Nel caso siano differenziabili in (0,0),
determinare il differenziale delle seguenti funzioni:
(a) f=x2+x(|y|-l)+2y (b) f=(|x|-x)|y|-3y+l
(e) f=x (1+ /|sen y| ) (d) £«(/13rf-x)i/|seny | +
+ 4y

[(a) Risulta f(h,k)- [f (0,0)-fx(0,0)h - f (0,0)k ] = h 2+h | k | . Si
verifica (con il metodo dell'esercizio 3.35) che
h24-h I kl
lim ,. ' ' -'0 .
(h,k)-> (0,0) /h2+k2
Perciò la funzione è differenziabile ed il differenziale vale L(h,k) =
=-h + 2k; (b) la funzione è differenziabile in (0,0) ed il
differenziale vale L(h,k)=-3k; (e) la funzione è differenziabile in (0,0) ed il di_f
ferenziale vale L(h,k)=h; (d) la funzione, pur ammettendo derivate
parziali f (0,0)=0, f (0,0)=4, non è differenziabile in (0,0) perché non
esiste il limite (si considerino le rette per l'origine, h^mk):
(/JET - h) /
lim !—!
(h,k)->(0,0) /h2+k2
senk
]
3.61 Stabilire se è differenziabile in (0,0) la fun
zione definita da
f(0,0)=l e f(x,y)= ^0^ se (x,y)^(0,0).
[La funzione ammette derivate parziali in (0,0) e queste valgono zero.In
fatti, ad esempio per f (0,0):
ffnm i- f(h,0)-f(0,0) ,. sen(|h|)-|h| o(h2) .
f (0,0)= lim = lim !—!—■—- - lim —»—- = 0.
h->0 h h-»0 h |h | h->0 h |h I
La funzione è anche differenziabile in (0,0). Infatti, ponendo t =
= /h2 +k 2 , si ottiene
f(h,k)-f(0,0) sen A2 + k2 - A2 +k2
lim — ■ ,=— = lim
(h,k)-»(o,o) ^h2 +k2 (h,k)^(o,o) h2+ k
sent - t -,
lim 5 = 0 J
163
3.62 Stabilire se in (0,0) risulta continua,
derivabile o differenziabile la funzione f definita da
f(0,0) = 0 e, se (x,y) f (0,0), rispettivamente
da
r > r 1-cos xy ri_. - 1-cos xy
(a) f = —r— -f- (b) f= -7— r*-
xf + yH X2 + y2
** 4-Zv1*
, . r sen xy r,. r 21 x**+3y
Ce) f = ■^~L Cd) f=x*log —^
Ce) £ = x loe x2+5y2 (£) £= sen2*+se"2y
iej_ t x log x2+y2 UJ ± S^Tpr
[(a) Con le rette per l'origine (si veda anche l'esercizio 3.37(b)) si
verifica che f non è continua in (0,0) e quindi neanche
differenziabile. E' però derivabile e le derivate parziali in (0,0) sono nulle; (b)
é continua, derivabile e differenziabile in (0,0); (e) non è continua,
né differenziabile, ma è derivabile in (0,0); (d) utilizzando le
disuguaglianze, valide per ogni (x,y) i (0,0)
x^+y4 xH3y'4 l^+Zy*
0=log i. » £ leg k v i lo& "~TT—tT = lo6 3>
x +y x -+y x +y
si verifica che la funzione é differenziabile in (0,0); (e) funzione
continua e derivabile, ma non differenziabile in (0,0); (f) continua ,
ma non derivabile né differenziabile in (0,0)]
3.63 Determinare l'equazione del piano tangente al
grafico delle seguenti funzioni, in corrispon -
denza dei punto indicato.
(a) f(x,y)=x3-2x2y+5xy2+y3 (x,y)=(0,l)
(b) f(x,y)=x3-2x2y+5xy2+y3 (x,y)=(l,0)
(e) f(x,y)=arctg (x+2y) (x,y)=(l,0)
(d) f(x,y)=arctg (x+2y) (x,y)=(0,0)
(e) f(x,y)-(xa+y2)'2 (x,y) = (l?l)

164
(£) f(x,y) = (x2+y2r2 (x,y) = (/2,0)
[(a) z=*5x+3y-2; (b) z=3x-2y-2; (e) z = x/2 + y + IT/4 - 1; (d) z=x+2y;
(e) z*5/4-(x+y)/2; (f) z.=5/4 - x//F ]
3.64 Determinare l'equazione del piano tangente al.gra.
fico della funzione dell'esercizio 3 . 59 per (x,y) =
=(0,0).
[z = x - y }
3.65 Determinare, in un punto generico di coordinate
(xo->y0)> l'equazione del piano tangente al grafj._
co della funzione f(x,y) = x2+y2.
[z = 2(xox + yoy)-(xo2+y2) ]
3.66 Determinare l'equazione del piano tangente al gra
fico della funzione
f(x,y) = /x2+y2
in un punto generico di coordinate (x0,y0)^(0, 0).
[z = (xox + yoy>/ /xo2+ yo2 ]
3.67 Due funzioni differenziabili in un aperto conne_s
so, con derivate parziali fra loro uguali, diffe
riscono per una costante. Utilizzare tale proprie
tà per discutere le identità (cioè per determinare
re se e in quale insieme esse valgano):
(a) arctg ^ + arctg ~ = j
• y ;x IT
(b) arctg -*- + arctg — = - —
X y ù
[La funzione f(x,y) = arctg (y/x) + arctg (x/y) è derivabile al di fuori
degli assi coordinati e le derivate parziali sono nulle (perciò la fun -
165
zione è differenziabile al di fuori degli assi, perchè le derivate
parziali sono costanti e quindi continue). La funzione f(x,y) è costante ii
ogni componente connessa del suo insieme di definizione, cioè in ognuno
dei quattro quadranti. Le costanti si determinano scegliendo (x,y) ad e
sempio uguale a (1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1). Risulta che l'identità'
(a) vale nel primo e nel terzo quadrante (cioè per xy > 0), mentre
l'identità (b) vale nel secondo e nel quarto quadrante ]
y =
figura 3.30
figura 3.31
3=68 Discutere le identità
(a) arctgx + arctgy = arctg
(b) arctgx - arctgy = arctg
X TT X~ V
(c) arctg - * 7 + arctg —
v J & y 4 to x+y
x+y
1-xy
*-y
1+xy

166
[(a) Calcolando le derivate parziali prime,si verifica che la funzione
x+y.
f(x,y) = arctgx + arctgy - arctg
1-xy
è costante in ognuno dei tre insiemi connessi A,B,C rappresentati in
figura 3.30 e definiti da
A* { (x,y)'6R2 : xy <l}; B= { (x,y) 6R2 :x>0,y>-ì };
C- { (x,y)€R2: x < 0, y < - •} .
x
Ponendo (x,y) * (0,0) si verifica che f(x,y) è nulla in A. Ponendo y-x
e calcolando il limite
IT 7T TT
lim f (x,x) =- + - + -
x+l+ 4 4 Z '
si verifica che f(x-,y) vale TT in B. Analogamente f(x,y) vale -TT in C.
Perciò l'identità (à) vale nell'insieme A, cioè per xy < 1; (b) l'iden
tità vale nell'insieme { (x,y) èR 2 : xy >-l } . Si noti che l'identità
(b) si ottiene dall'identità (a) scambiando y con -y; (e) l'identità va
le nell'insieme tratteggiato in figura 3.31 ]
3F. OeardLv.SL'fc.e delle ftjnzioiii composte
Siano x(t), y(t) due funzioni reali definite nel-
l'intorno di un punto t e sia f(x,y) una funzione di
due variabili definita in un intorno del punto (x(t),
y(t)). Se le funzioni di una variabile x(t), y(t)
sono derivabili in t e se la funzione di due variabili
f(x,y) è differenziabile in (x(t), y(t)), allora ri -
sulta derivabile'rispetto "a t la funzione composta(di
una variabile reale) t-»f (x(t) ,y(t) ) e la derivata
vale
^f(x(t),y(t))»£x(x(t),y(t))x'(t)+£ (x(t),y(t))y'(t).
.167
Geometricamente x=x(t), y=y(t) sono le equazioni
parametriche di una curva in R2 (nel piano x,y), men
tre
x=x(t), y=y(t), z-f(x(t), y(t))
sono le equazioni parametriche di una curva in R^neJ^
lo spazio di assi x,y,z) che giace sulla superficie
di equazione cartesiana z=f(x,y), come nelle figure
3.32, 3.33, 3.34, 3.35. In particolare, in figura
3.32 abbiamo scelto x(t)=x0, y(t)=t, che sono le e-
z= f(x,y)
figura 3.32
z = f(x.y)
figura 3.33

168
quazioni parametriche di una retta passante per (x0,
0) e parallela all'asse y; in fig. 3.33 consideriamo
una retta parallela ali1asse x, di equazioni x(t)=t,
y(t)=y0.
figura 3.34
figura 3.35
169
La derivata della funzione di una variabile
reale t->f (x(t) ,y(t)) fornisce una misura della pendenza
del cammino scelto, quando si pensi al grafico della
funzione z=f(x,y) come alla superficie di una zona
geografica, ad esempio • una collina, e alla curva
(x(t), y(t), ,f(x(t),y(t))) come ad un sentiero trac -
ciato su tale superficie. Con questa analogia di
tipo geografico, la curva di equazioni parametriche x=
=x(t), y=y(t) è la rappresentazione topografica bidi
mensionale (nel piano x,y, che costituisce la carta
topografica) del sentiero sulla superficie della col^
lina.
3.69 Determinare la derivata, rispetto alla
variabile reale t, delle funzioni composte come indica.
to di seguito
(a) f(x,y)=x2+y2 con x(t)=l+t, y(t)=l-t
(b) f(x,y)=x2+y2 con x(t)=cost?y(t)-sent
(e) f(x,y)= -f£r con x(t)-y(t)-t (t f 0 )
x -ry
(d) f(x,y)= t|J— con x(t)=3t2, y(t)«2t (t*0)
x*+y
(e) f(x,-y)=log(x2-y2) con x(t)secost, yft)
«sent (0<t< j )
(f) f(x,y)=log(x2-y2) con x(t)=/l+t2, y(t)=t
[(a) — f(x(t),y(t))-fx(x(t),y(t))x'<t)+£v(x(t),y(t))y'(t)-2(l+t) -
dt x y
- 2(l-t) = 4t.
(b) fx(x(t),y(t))x'(t)+fy(x(t),y(t))y«(t)=-2 sent cost + 2 sent cost=0.
La derivata rispetto a t è identicamente nulla. Ciò significa che la
funzione f(x,y) è costante lungo la curva di equazioni parametriche
x(t) = cost, y(t) = sent. Infatti tale curva è la circonferenza di een
tro (0,0) e raggio 1 ed è una delle linee di livello di f(x,y) (si ve-

170
da l'esercizio 3.1 e la figura 3.2. Infine osserviamo che, con una
semplice verifica per sostituzione, risulta f(cost,sent) costante, uguale
ad uno. (e) Le derivate parziali di f(x,y), per (x,y) f (0,0), valgono
Y^y^-x2) 2xy(x2-y")
x~ (x2+y*)2 ' V (x2 + y*)2
e la derivata della funzione composta è uguale a (1-t 2)/(l+t2) 2 . (d)La
derivata rispetto a t della funzione composta f(3t2,2t) è nulla;
infatti la parabola di equazioni parametriche x(t)=3t2 , y(t)=2t (e di
equazione cartesiana x » (3/4)y2 ) per t f 0 è una linea di livello di f(x,
y). (e) La derivata della funzione composta vale -2 sen(2t)/cos(2t).(f)
La derivata della funzione composta è nulla; la funzione è costante lun
go il ramo di iperbole di equazioni parametriche x(t) = / 1+t 2, y(t)=
=t (e di equazione cartesiana x2 -y2 *1, x > 0) ]*
3.70 Sia A un insieme aperto di R2 con la proprietà
che, se (x,y)eA, allora (tx,ty)eA per ogni t > 0
(un insieme siffatto si dice un cono di R2). Una
funzione di"due variabili f(x,y) si dice omogenea
di grado asR in A se, per ogni (x,y)eA, risulta
(*) f(tx,ty) = taf(x,y) , Vt>0.
Ad esempio le funzioni dell'esercizio 3.3 sono
omogenee di grado 2 in R2; quella dell'esercizio
3.6 è omogenea di grado 1 in R2; quelle dell' e-
sercizio 3.7 sono omogenee di grado zero in R2 -
-{(0,0)}.
Sia f (x,y) una funzione differenziabile e omogenea
di grado a. Verificare che:
(a) le derivate parziali sono omogenee di grado
a-1; .
(b) vale l'identità di Eulero xfx +y£ = af.
|_Si inizi derivando la relazione di omogeneità (*).
(a) Derivando rispetto ad x la (*) membro a membro,si ha
tfx(tx,ty) = tafx(x,y).
171
Dividendo entrambi i membri per t,si vede che f è omogenea di grado
a-1. Analogamente per f v
(b) Derivando membro a membro rispetto a.t la relazione di omogeneità1
(*), in base alla formula di derivazione delle funzioni composte si ot
tiene
xfx(tx-,ty) + yfy(tx,ty) = at01"1^^.
Si ottiene la conclusione per t = 1 J
Dato che una derivata parziale si calcola rispejt
to ad una variabile reale considerando lfaltra varia
bile costante (o le altre variabili costanti) con il
ruolo di parametro, vale la formula di derivazione
della funzione composta f(x,y) anche quando x,y sono
a loro volta funzioni di due (o più) variabili reali
Così, se x=x(5,ri), y=y(£,n) sono funzioni derivabili
e se f(x,y) è differenziabile, risulta
~ f(xU,n),ya,Ti)) = fxx? + fyy5
— £(x(5,n),y(5,Ti)) = £xxn + fyyn .
3.71 II legame tra le coordinate cartesiane (x,y) e
le coordinate polari (p,§) si esprime con le rela
zioni
x = p cos $, y=p sen $.
Assegnata una funzione differenziabile f(x,y) ,
verificare che le derivate parziali della
funzione composta f(pcos$, psenS) rispetto alle va
riabili p,$ sono date da
£n = f cose + £v sen %
M x j

172
f§ =- fxpsen$ + f pcos§ .
3.72 Verificare la seguente identità, che esprime in
coordinate polari il quadrato del modulo del gra
diente di una funzione differenziabile f(x,y)(per
il gradiente si veda anche il paragrafo che
segue) :
f2 .+ f2 = f2 + -ir f2
[utii izzando le espressioni fQ , fa dell'esercizio precedente,si ottiene
ff + ì f 2= f2CQS2G+ 2fJf^ sen^cosa+ f2
-p " P2 *e ■ **~ - ~*y —s%+ fy sen^+
+ fzjsen2^-2f f sen 8 cos %+ f2cos2§=f2 + f2 ]
a x y y X y
3.73 Sia f(x,y) una funzione di classe C2. Calcolare
le derivate parziali seconde fpp, fpG, f§$ della
funzione composta f(pcos§, psen$).
[Utilizzando le formule dell'esercizio 3.71 si ha:
f = JL [f (pcos§, p sen § )cos§ + f t (pcos§ , psen§)sen§J
mm d p x y
=f vv cos 2 § + 2f sen$ cos % + f sen 2 % ;
xx xy yy
3
f D a = [ f ( p cos % ,p sen % )cos§ +f (p cos % ,p sen % )sen§]
^ 3§ y
=-fxx p sen §cos $+ f pcos2S - fx sen§
-f p sen 2 $* + f p sen % cos $ +f ..cos %
yx yy y
= P [ (fyy-fxx)sen ^ cos % +fxy(cos ^ -sen2%)+fycos $-fxsen$] ;
173
3 ,
f^£T7 L-fx(pcos%, psen$)psen§+f (pcos$, psen§)pcos $]
=fxxP 2 sen2 ^~fxy p 2 sen 3cos §- fx pcos§
-f p 2 sen§ cos § + f p 2 cos 2$ - f psen§
•»p2(fxxsen2$-2fxysen$cos$ + £ cos2S>- p(fxcos$+f senS) ]
3.74 Verificare la seguente identità differenziale ,
.che è utile nello studio di alcune proprietà deJL
le funzioni armoniche (esercizio 3.50):
£xx + £yy = £PP + p fp + — £%%
[utilizzando le espressioni di f DD , f aa dell'esercizio precedente e
l'espressione di fQ data nell'esercizio 3.71, otteniamo
1 1
£PP +Y2 f%% +pfP =
= fvvcos2$ + 2f sen % cos &+f,_. sen2$
xx xy yy
+ f^sen2.^ - 2f sen % cos %+ f cos 2§
- ~ (fxcos $+fy sen%) + ~ (fxcos$+ fy sen % ) = f^ + f^]
3.75 Verificare che le seguenti funzioni, espresse in
coordinate polari p,§, sono armoniche per p f 0
(qualunque sia il valore del parametro reale a)
(a) f(p,$) = pa cos(ae) (b) f (p,S) = pasen(aS)
[(a) Essendo fp = apa""1cos d$ , fpp « Q (a -1) pa"2cos 0L%,

174
f %% =~ Ot2pacosa0, si ha
fpp + ^fp+-p f%%= cxpa"2cosae[(a-i)+ i-a] - o.
In base ali1 identità differenziale dell'esercizio precedente, la
funzione f è armonica. In (b) si procede analogamente ]
3.76 Si consideri la trasformazione di coordinate
x = C + n, y a 5 - lì •
Verificare che, per ogni funzione f(x,y) di
classe C2, vale l'identità differenziale
f - £ = £r
xx yy x5n *
ff 5 s 9^" (f( 5+Tl» 5-n» = f^ + fy , da cui
f Sn = J^ (fx^+ n '5 -ti )+ fy (5+n ,5-n ))=fxx-fxy+fyx-fyy ]
3G. G3i*«a.<d±^n.t^ - D^MinL-vetto direzionali
Se f(x,y) è una funzione derivabile in un punto
(x,y), in tale punto è possibile definire il
gradiente di £, indicato con DF o Vf oppure con gradf,
che per definizione è il vettore di R2 avente per
componenti le derivate parziali di f; quindi
Df(x,y) = (fx(x,y), fy(x,y))
o, più concisamente, Df = (f ,f ).
y
Per capire il significato geometrico del
gradiente è opportuno considerare anche le derivate
direzionali di f, A tale scopo consideriamo un vet.
tore di modulo unitario X=(X1,X2), cioè tale che
X2 + À2 = 1. Un tale vettore si chiama anche una
175
direzione in R2 . La derivata direzionale di f (x,y)
in un punto (x,y) nella direzione (X1,X2) è il
limite (se esiste ed è finito)
lim f(x+tX1Ty+tX?)-f (x,,y)
t->o ^
3f
e si indica con il simbolo — , con X=(X1,X2) e
o A
eR2.
In particolare, se X=(1,0), la direzione con
siderata è quella parallela alleasse x (ed il
verso è quello delle x positive) e la derivata
direzionale coincide con la derivata parziale
rispetto ad x; mentre, se X=(0,1), si ottiene ]a
derivata parziale rispetto ad y.
3.77 Si calcoli in base alla definizione la derivata
direzionale della funzione f(x,y)=(x+y)2 nel pun
to (x,y) = (1,2) nelle direzioni di seguito
indicate:
(a) x=(i,o) (b) x=(o,-i) Cc)x-CY.±y)
[ingenerale, se X=(X1,X2), si ha
3f M ,ì - H„ [3+tqi+ A2)j2-9
T-r (1,2) = lim
dÀ t-^-0 t
6t<x^xa)4t'(X^xa)»_6(XitXa?
-2
qua , t a n ;tm
lim
t"*0 t
Quindi nel caso (a), se X-(X1 ,X2) = (1,0), si ha 3f/ 3X=6; (b)
3f/ 3X=-6j (e) se X= ( /~2/2, /ili) allora 3f/3X = 6 /z ; se
invece X=(/Ì/2, -fili) allora 3f/3X= o]
Seguendo la definizione, la derivata dire -
zionale 3f/3X, con X=(X1,X2), è la derivata del^
la funzione di una variabile reale t+f(x+tX,,y+

+tX2), calcolata per t=0. Se £(x,y) è differen -
ziabile in (x,y), per.la regola di derivazione
delle funzioni compostela derivata direzionale è
data da
3£
— = f^x^^ + fy(x,y)X2 .
Con i simboli vettoriali X=(X1,X2) e Df =
=C£x,£y), in ogni punto dove £ è differenziabile
la derivata direzionale risulta uguale al
prodotto scalare tra il gradiente Df e la direzione X
(si ricordi che il prodotto scalare tra due
vettori v=(v1,v2) e w - (w^w,,) è uguale a v1w1 +
+ v2w2). Utilizzando il simbolo (,) per il
prodotto scalare, si ha
ff=(Df,A).
Il prodotto scalare tra due vettori non
nulli di modulo fissato è massimo qua^ndo i due
vettori sono fra loro paralleli e orientati nello
stesso verso (il prodotto scalare è minimo se i
due vettori sono paralleli e con versi discordi,
mentre il prodotto scalare vale zero se i due vet
tori sono ortogonali). Quindi nel nostro caso la
derivata direzionale risulta massima se X è la
direzione del gradiente.
Dato che- la derivata è una misura della
pendenza della funzione considerata, ne risulta che
il vettore gradiente, se* non è nullo, indica la
direziona di massima pendenza.
In altre parole, fissato un punto (x,y), la
funzione di una variabile reale
t ► f(x+tX,,y+tX2)
177
(che, come già detto nel paragrafo precedente,ge£
metricamente corrisponde ad un cammino sulla
superficie z = f(x,y)) ha derivata massima per t=Q
(il sentiero ha la massima pendenza) se X ha la
stessa direzione e lo stesso verso del gradiente
Df.
78 Si consideri la funzione f(x,y) = x2+y2.
(a) Calcolare il gradiente di f in un punto gene
rico di coordinate (x,y).
(b) Calcolare la derivata direzionale di f nel
punto (1,1), nella direzione della retta y=x
nel verso delle x crescenti.
(e) Si verifichi che, in ogni punto (x,y)^(0,0),
il gradiente è ortogonale alle linee di
livello (rappresentate nelle figure 3.2(a) e
3.2(b)) della funzione f.
[ (a) Df = (2x,2y)j (b) Si richiede di calcolare la derivata nel punto
(1,1) nella direzione X =( v2/2, / 2/2) (si ricordi che la direzione X
ha modulo unitario). La derivata direzionale vale
_ = 2x_ + 2y_=/2(x+y)
e nel punto (1,1) essa risulta uguale a ■2/r. (e) Le linee di livello
di equazione f(x,y) = z, con z costante positiva, sono le circonferenze
rappresentate nelle figure 3.2(a) e 3.2(b) di centro (0,0) e raggio /z.
Consideriamo un punto di coordinate (x,y) sulla linea di livello x2+y2=
=zj il vettore r di componenti (x,y), applicato all'origine, è un rag -
gio del cerchio in figura 3.36 e, naturalmente, è ortogonale alla cir -
conferenza x2 + y2^, z; il gradiente Df = (2x,2y) è uguale a 2r ed è
quindi anch'esso ortogonale in (x,y) alla circonferenza.
Si può anche procedere analiticamente nel modo seguente: consideriamo u
na generica circonferenza di equazione x2 + y2 - z, con z > 0. In forma
parametrica tale circonferenza può essere rappresentata con le
equazioni
x(t)=/z cost, y(t)=/~z sent, 0 < t < 2 IT .

178
x2+y2=z
figura 3.36
La retta tangente alla circonferenza in (x(t), y(t)) ha coseni
direttori proporzionali alle derivate x'(t), y'(t), cioè ha la direzione del
vettore v = (x'(t), y*(t)) = (-/z sent, /z cost). Il gradiente vale
l)f = (2x,2y) e, per (x,y) = (x(t), y(t)), risulta nullo il prodotto sca
lare tra i due vettori v e Df ; infatti
(v,Df)=x'(t)x(t) + y!(t)y(t) = -/~z sent cost + /Tcost sent = o]
3.79 Si verifichi che il gradiente, quando non è
nullo, è ortogonale alle rispettive linee di
livello nei casi in cui la funzione f(x,y) sia definii
ta da
(a) f(x,y) = y-x
(e) f(x,y) = ex> ^ 4
[(a) L'insieme delle linee di livello è costituito dalle rette parallele
alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Il gradiente è costante e
(b) f(x,y)=y2-x.:
W £Cx,y)- -j%-
179
vale Df=(^-l,l);il vettore di componenti (-1,1) ha la direzione della hi
settrice del secondo quadrante ed è quindi ortogonale alla famiglia di
rette parallele anzidette, (b) Le linee di livello, di equazione y2 -
~x2 = z, sono iperboli per ogni z / 0, mentre sono le due rette di equa
z.'*one y - ± x se z=0 (si veda la figura 3.4). Se z f 0 tali iperboli
si rappresentano in forma parametrica per mezzo delle funzioni iperboli.
che (il lettore segua, in dettaglio, anche questa strada) oppure, se
z>0e y > 0, ad esempio con le equazioni
x(t)=t, y(t) = /z+t2 , Vt€ R.
La direzione del vettore tangente è data da
(x'(t), y'(t)) = (1, t/ /z+t2 )
/ede immediatam
tore è ortogonale a
e si vede immediatamente (verificando che x'f-+ yffv = 0) che tale vet-
x y
Df = (~2x,2y) = (-2t, 2 / z+t2 ).
Se z = 0 e se consideriamo ad esempio la linea di livello y-.x(^0), essa
ha la direzione del vettore (1,1)5 il gradiente Df=(-2x,2y), se non è
nullo, per x=y ha la direzione del vettore (-1,1) ed i due vettori sono
tra loro ortogonali.
(e) Le linee di livello hanno equazione ex= z con z costante positiva ,
cioè x - logz = costante. Perciò le linee di livello sono rette parai le
le all'asse y. La direzione del gradiente Df ~ (ex,0) è costante ed è
la stessa del vettore (l50), che è ortogonale alle linee di livello,
(d) La funzione è rappresentata in figura 3.11. Le linee di livello
sono semirette per l'origine di equazioni pararnetriche x(t)= £t, y(t)~mt,
con t > 0 ed £2 + m2=l(il vettore (£,m) è la direzione della
semiretta). Il gradiente vale
y(y2-x2) x(x2- y2) x
VV)2 ' (x2 + y2)2 )
e si verifica che x'(t)f + y'(t)f = £ f + mf =0; infatti:
x y . x y
m(ni2 -£2) £(£2- m2)
^ ~ t(£2+m2)2 + m t(£2+m2):
. nHm -x, - ) x^x, - m -; n
£fx + mfv = £ , 0 2 .—277 + m wd2, _2x 2 = ° J

180
3.80 Si consideri la funzione dell'esercizio 3.79(d):
ri-x,y; x2+y2 *
Calcolare ove possibile:
(a) il modulo' del gradiente |D£|;
(b) il vettore (di modulo unitario) Df/|Df| e
rappresentare graficamente il corrispondente
campo vettoriale (cioè disegnare la
direzione ed il verso di Df/|Df| (o
equivalentemente di Df) in corrispondenza ad ogni punto (x
y))-
lx2 - v2 I
[(a) |Df|= ' ; , (x,y) * (0,0).
(x2+y2)3/2
(b) Df non è definito in (0,0) e, altrimenti, è nullo se y = ± x.
Tolti questi casi, il vettore Df / | Df j è uguale a
Dfy2-x2 y x 2 - y 2 x
]DfJ = ( |x2~y2| " (x2+y2)1/2 ' |x2-y2| " (x2+y2)l/2 } '
Distinguendo i casi y ^ x2 , si ottiene
Df , , y -x I I > I I
Df/ |Df | è il vettore unitario tangente alla circonferenza di centro la
origine e passante per il punto (x,y), orientato in verso orario se
|y|> |x | (figura 3.37(a)) ed in verso antiorario se |y [< |x | (figu
ra 3.37 (b)). '
Sia per |y | > |x | che per |y | < |x | il versore Df/ |Df | indica la
direzione ed il verso da prendere per "avvicinarsi" alla retta di equa
zione y = x (x t 0). 'Dato che il gradiente (e quindi anche Df/ |Df | ) in
dica la direzione di massima pendenza, ciò significa che,
avvicinandosi a tale retta lungo le circonferenze per l'origine, la funzione f ere
sce. Ciò è visibile anche dal grafico di f in figura 3.11: in corrispon
181
-y
figura 3.37(a)
figura 3.37(b)
denza della retta y=x(xf0) la funzione assume il suo massimo (z=l/2) ,
mentre assume valori inferiori in corrispondenza alle altre rette per
l'origine. In particolare f(x,y) è nulla lungo gli assi coordinati (o-
rigine esclusa) ed è minima in corrispondenza alla retta y=-x (x / 0).
Il campo del gradiente è schematizzato in figura 3.38 ]
figura 3.38

182
3.81 Sia g(t) una funzione derivabile per t > 0 e sia
£(x,y) = g(/x2+y2 ).
Verificare che |Df| = |gf| per ogni (x,y)^(0,0).
[si osservi che, essendo g(t) derivabile per t > 0, con il metodo
dell'esercizio 3.55 si può provare che f(x,y) è differenziabile per ogni(x,y)^
i (0,0). Il metodo più elegante per calcolare il modulo del gradiente di
f è quello di scrivere f in coordinate polari, mediante la
trasformazione x ~ p cos§ , y « p sen§, e di utilizzare l'espressione del modulo del
gradiente (si veda l'esercizio 3.72):
1*1" ^1Ì7TI - /fp+-p fl •
Essendo nel nostro caso f = g(p ), risulta f a = 0 e quindi
M=/^= |fpi-kl •
Si può anche procedere in base alla formula di derivazione delle
funzioni composte:
3
fx^— g(^2+y2 H^*2+y2) -7=t ; Vg'(A2+y*)7!— ;
da cui |Df |«/f*+f* - |g<| )j~~ + ^ - |g'| ]
3,82 Utilizzando la definizione, verificare che la fun
zione f(x,y) definita da
f(x,y) = zSjr se (x,y)^(0,0) e £(0,0) = 0
X ~ry
ammette in (0,'0) derivata direzionale in ogni d_i
.rezione A=(X1,À2), pur non essendo ivi continua.
Verificare inoltre che in (0,0) non vale la
formula df/dX = £xXx + £ \2.
183
[sia X=(XX, X2) un vettore di modulo unitario. In base alla defini -
zione, la derivata di f, nel punto (0,0), nella direzione X è data da
9f f(tX1,tX2)-f(0,0) X*X,
(0,0)=lim : = lim
9X t->0 t t-»0 Xjt2+Xij
X^/X2se X 2#)
0 se X.
'2
Perciò la funzione f è derivabile in (0,0) in ogni direzione. Però
essa non è continua in tale punto perchè non esiste il limite di f(x,y)
per (x,y)-* (0,0); si verifica ciò considerando le parabole per l'erigi
ne di equazione y=mx2 , con m 6 R, come indicato nell'esercizio 3.34(b).
Da verifica diretta in base alla definizione, oppure dal limite
precedente ponendo rispettivamente X =(1,0) e X=(0,1), si vede che
in (0,0)le derivate parziali valgono f (0,0)=f (0,0)=0.Se invece X=(X 2,X2)
rappresenta una direzione diversa dalle direzioni degli assi
coordinati (ciò corrisponde al caso in cui sia X ^ che X2 sono non nulli) al
lora 9f/9X = X^/X2 1 0. Perciò in (0,0) la derivata direzionale
non è combinazione lineare delle due derivate parziali]
3.83 Sia f(x,y) la funzione dell'esercizio
precedente e sia g(x,y)=[f(x,y)]2. Verificare che g(x,y)
non è continua in (0,0) nonostante che la
derivata direzionale esista e valga zero, qualunque
sia la direzione.
[Come nell'esercizio precedente (si veda anche 3.34fb))si verifica che
g(x,y) non ammette limite per (x,y) ->(0,O). Circa la derivata direzio
naie, risulta
9g 9 r ,t 0 9 f
T\mT\ [f(x'y) ] = 2f(x'y) n •
Essendo f(0,0) = 0, risulta 9g/9X = 0 nel punto (0,0) qualunque sia
x]
3.84 Si consideri la funzione f(x,y) = x2+2xy+2y2 in
un intorno del punto (2,1). Determinare in
quale direzione X la derivata 9f/9X, calcolata per
(x,y) = (2,1), è massima ed in quale direzione

184
è minima.
[il gradiente indica la direzione di massima pendenza. Perciò il massimo
della derivata direzionale si ottiene per X = Df/ |Df | ed il valore
massimo è
9f fx fv f*2+fv2 , ,
Analogamente, la derivata direzionale è minima nella direzione e nel ver
so opposta al gradiente, cioè per X=- Df / [Df | ed in tal caso la
derivata vale df/ 3 A =- | D£ | .
Per la funzione presa in considerazione otteniamo i valori Df-(2x + 2y,
2x + 4y) ed in particolare Df(2,l) = (6,8). In (2,1) risulta quindi
|Df(2,l) | = /ó2 + 82 = 10 e Df/|Df | = (3/5, 4/5). Perciò, nel punto
(2,1), la derivata direzionale 8f/ dX è massima se X =(3/5,4/5) ed
in tal caso 8f / dX - 10. La derivata direzionale è minima (e vale -10)
nella direzione X=(-3/5, -4/5) J
3.85 Come nell'esercizio precedente, si consideri la
funzione f(x,y)=x2+2xy+2y2 in un intorno del puri
to (2,1). Determinare una direzione X in cui la
derivata direzionale 3f/3X nel punto (2,1) sia
nulla.
[La direzione X deve essere ortogonale al gradiente. Essendo in (2,1)
Df / |Df | = (3/5,4/5), si può scegliere À =(4/5,-3/5) oppure X = (-4/5 ,
3/5) ]
3.86 Sia f(x,y) una funzione con derivate seconde con
tinue. Verificare che la derivata seconda di f
nella direzione X = (X1,X2) vale
-^ £(x+t\lfy+tX2)=.fxxXÌ+2fJWX1X2 + £yyXl .
[Nell'ipotesi che la funzione sia di classe C2, si può applicare due vo.1
te la formula di derivazione delle funzioni composte, ottenendo
185
d* d
^2f(x+tX1,y+tX2 )«— [yx+tA^yftXj) Aj+f (»ftXx,yM:X2)X2]
=fxxÀl+fxy XiX2+fvxX2^i+fvy A2 3
\7 Dimostrare la seguente formala di Taylor con il
resto di Lagrange del secondo ordine : nell'ipotesi che
f(x,y) sia una funzione di classe C2 in un
insieme aperto A, se (x,y) e (x+h,y+k) sono punti
di A con la proprietà che il segmento di
estremi (x,y) e (x+h,y+k) è contenuto in A, allora _e
siste un numero reale Se(0,1) tale che
f(x+h,y+k)=f(x,y)+fx(x,y)h + fy(x,y)k +
+ ^ [fxx(x+^h,y+Sk)h2+2fxy (x+$h,y+$k)hk +
+ fyy(x+Sh,y+$k)k2]
[La funzione di una variabile reale g (t)=f (x+th^y+tk) è derivabile due
volte, con derivata seconda continua. Possiamo perciò scrivere la
formula di Taylor di g (t), con centro t =0, con t=l e con il resto di La
grange al secondo ordine; esiste un numero §e (0,1) tale che
g (1) - g (0) +g'(0) +i g •»($).
La tesi segue ponendo rispettivamente t=0 e t= % nelle due relazioni
g'(t) * fx(x+th,y+tk)h + fy(x+th,y+tk)k
S"(t> = fxx(x+th,y+tk)h2 + 2fxy(x+th>y+tk)hk+fyy(x+tli,y+tk)k2 ]

j. o vj
3H, Funzioni eli tar^ o j>ixx va.ria.bili reali
Proponiamo in questo paragrafo esercizi relativi
a funzioni di tre variabili reali
f = f(x,y,z) , con (x,y,z)èR3,
ed anche, soprattutto, relativi a funzioni di n varia,
bili reali (n >. 1)
f=f(x)=f(xlfx2,...,xn), con x=(xi)eRn.
Nei paragrafi precedenti abbiamo già enùnciato,nel
caso generale delle funzioni di n variabili, le
principali definizioni e proprietà, come ad esempio la de_
finizione di limite ed i concetti di continuità, derjl
vabilità e differenziabilità. Ricordiamo qui che usici
mo la notazione
|x| = il x2. )1/2 , con x = (x^eR* ,
per indicare il modulo (o norma ) del vettore x.
Denotiamo inoltre con
(x,y) = E x±yi (x=(x.), y^CyJeR11)
1=1
il prodotto scalare tra i vettori X e y.
3.88 Verificare che il prodotto scalare fra vettori
di Rn verifica le seguenti proprietà (x,y,zeRn ,
AeR) :
(a) (x,y) = Cy,x)
(b) (x+y,z) = (x,z) + (y,z)
(e) (Àx,y) = X(x,y)
187
(d) (x,x) _> 0 e (x,x)=0 se e solo se x=0
(e) | (x,y) |l|x| • |y( (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz)
[(a),(b),(c),(d) sono diretta conseguenza ' della definizione (x^y)=
= Z x-y. . La disuguaglianza di Cauchy-Schwafz (e) é conseguenza del-
i=l
le proprietà precedenti ed è provata nell'esercizio 2.2]
3.89 Dedurre dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e
dalla relazione (x,x) = |x|2 la disuguaglianza trian
gol are :
|x+y| <_ |x| + |y| , Vx,yeRn.
[ |x+y |2 = (x+y, x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y) = |x | 2 + 2(x,y)+ |y | 2 <
< |x|2+2 Ix||y|+|y|2= (|x|+|y|)2 ]
3.90 Verificare che le seguenti funzioni sono conti -
nue su Rn:
(a) f(x) = |x| (norma di x)
(b) g(x) = (x,y) (prodotto scalare con y fissato)
[ (a) Procediamo come nell'esercizio 2.39. Dalla disuguaglianza triangola
re si deduce che
| x|= |(x-y)+y |< |x-y| + |y |-
da cui |x I - |y | < J x-y | . Scambiando il ruolo di x,y otteniamo j | x |-
- | y | | < | x-y | . Quindi
|f(x)-f(xa) | = MX|- K | |i|x-xo | ;
ciò implica che lim £(x) = £(x ).
x -*x
o
(b) La tesi segue dalla disuguaglianza seguente, conseguenza delle prò -

188
prietà (b), (e) con X =-1, (e) dell'esercizio 3.88:
|g(x)-g(xo) |= |(*,y)-(xo,y) H(x-xo,y) |<|x-xo | | y | ]
3.91 Verificare che la funzione f(x) = |x|, con xeR ,
non è derivabile per x=0, mentre se x f 0 le
derivate parziali valgono fx. = xi/|x| per ogni i=
=1,2,...,n.
[Ad esempio f non ammette per x=0 derivata parziale rispetto ad xx ;
infatti
e <^ ■■• f(h,O,...,O)-f'(O,O,...,0) t. SìF . .
fv (0) s lim = lim • = ± 1.
Xl h->0± h h+0* h
Se x f 0f le derivate parziali, per i«l,2,...,n, valgono
f - ' J x 2+x2+ j.y2 _ xj -]
Xi P)y vxl+x2+ +Xn y-2 5 2~" * "1 r -I
1 dxi n VXi + x22 + ...+xn2 [xj
3.92 Sia X una direzione di Rn (cioè XeR con |X|=l)e
sia f(x) = |x|. Verificare che, per ogni x f 0,
f(x) è differenziabile e che il gradiente Df eia
derivata direzionale 9f/3X valgono
D£ " Ixl • ax " Ixl • Yx * °"
ogni
[Per x ^ 0 le derivate parziali di f valgono fx. « x./ [ x | , per
i=l,2,...,n. Tali derivate, come rapporto tra funzioni continue (con de
nominatore non nullo), sono continue. Perciò f è di classe C1 in R1 Mo}
e quindi è anche differenziabile. Il gradiente vale
La derivata direzionale, per x i 0, vale
189
3.93 Verificare che l'equazione del piano tangente
al grafico della funzione f(x)=|x| in corrispon
denza di un punto generico x0 f 0 è
y - ^ ,
«.n
[y = f(xo)+(Df(x0),x-xo) = I xo I + ( Al > x-*„> -
I o I
-I*. 1+iT-r [<*.»*>- k I2 3 - (jfr^r 1
3.94 Verificare che l'equazione del piano tangente aL
grafico della funzione f(x) = |x|2 in un punto
generico x0eRn è data da
y-2(x,x0) - |x0|2 , VX€Rn .
3.95 Sia g(t) una funzione derivabile per t > 0 e sia
f(x) = g(|x|).
(a) Calcolare le deriva-te parziali di f per x^O
(b) Verificare che f è derivabile per x=0 se e
solo se gf(0) = 0.
(e) Verificare che f è differenziabile per x = 0
se e solo se g' (0) = 0.
3 x«
[(a) fXi = g'(|x|). — |x|- g'(|x |). j^j , Vx^O, Vi=l,2,...n.
(b) Per i = l,2,...,n e per h € R risulta
-. g( | h | )-g(0) n. g( | h | )-g(0) |h I
ìim ~ = i*» —■—h-] • j—i-^ + gi^)
h+0± h ^o± ihl h.
e quindi esiste il limite per h^-0 (=0=fx,(0)) se e solo se g'CO^O.
(e) Se f è differenziabile in 0,deve essere anche derivabile in tale
punto e perciò è necessario che g'(O)=0. Viceversa, se g'(0)=0, risul-

190
ta fx.(0) - 0 per ogni i=l,2,... ,n; quindi,se h=(h.) €R ,
n
f«Hh)-f(0)- E fx.(0)h. . ,
Un. i-1 Xl 1 .. g( h )-g(0)
iim j—-. = lim —r*—f—i =g'(O)=0
h -K) I h I h-> 0 Ih I
e quindi f è differenziabile in o]
3.96 Sia f(x)=|x|p con p parametro positivo. Verifica
re che i è differenziabile per x=0"se e solo se
p>l .Si verifichi inoltre che se p è un intéro pari
allora f è di classe C°°(Rn) ,mentre se, ad esempio, p =
-3/2 allora f è di classe C1CRfl)ma non di classe C2(Rn ) .
[Per quanto riguarda la differenziabilità in x=0, si può applicare il cri
terio dell'esercizio precèdente con g(t)=t*\ Per il resto si proceda
come nell'esercizio 3.58 ]
3.97 Sia f(x,y,z) la funzione di tre variabili reali
definita da-
f(x,y,z) = |xyz|a , V(x,y,z)eR3,
con a parametro positivo. Verificare che nel pun
to (0,0,0) la funzione f è;
(a) derivabile per ogni a > 0;
(b) differenziabile se e solo se a>l/3.
[(a) Essendo f-0 lungo gli assi coordinati, in (0,0,0) le derivate f ,f .,
^ y
f sono nulle.
(b) La funzione è differenziabile in (0,0,0) se e solo se è nullo il
limite
(*) lim
Ixyzl
(x,y,z)->(0,0,0) A2+y2 + z2
Utilizzando la disuguaglianza
191
|x| = /"x"5" < /x2+y2+z2
e le analoghe disuguaglianze per [ y | , | z | , otteniamo |xy& | <
< (x2 + y2+z2 )'3/2, da cui, se (x,y,z) i (0,0,0)
a 3a-i-
/x2+y2+z2
0< w <(^+yHZ=) 2
Perciò, se a > 1/3, il limite (*) vale zero. Se invece QK 1/3, lun
go le rette per l'origine di equazioni parametriche
x(t)=£ t, y(t)=mt, z(t)=nt
(Ji2 + m2+n2=l), il rapporto in (») vale
|Xyz|a IM \t\ ìo ,a , ,3a-i
/x2 + y2 + z2 /jò2+m2 + n2 |t|
e, se a<l/3, diverge all'infinito (per £mn f 0) mentre, se a=l/3,di
pende dalla retta scelta; ciò prova che, se 0t £_ 1/3, non esiste il
limite (-) ]
3.98 Generalizzando l'esercizio precedente (ed anche
l'esercizio 3.56), verificare che la funzione
r/ ì = I \a
t ( X x , X 2 , . . . , X n) I X l ' X 2 ' . . . • Xn I
è differenziabile nell'origine degli assi se e
solo se a > 1/n. ;
[utilizzare la disuguaglianza | x^ j < |x | , valida per ogni i=l,2,..n
e per ogni x =(x±)t Rn (si faccia attenzione che a primo membro della
disuguaglianza c'è un valore assoluto, mentre a secondo membro c'è un
modulo) J
3.99 Calcolare, all'interno dei rispettivi insiemi di
definizione, le derivate parziali delle
seguenti funzioni di tre variabili reali

192
(a) f = xyz (b) f = log(xyz)
(e) f = x?z (d) f = x*z
[(a) fx= yz, fy=xz, f?=xy; (b) fx=l/x, fy-l/y, fz=l/z;
(e) fx=yzxyz"* , f =xyzz logx, fz = xyz y logx;
(<*) fx-yz x^1, fy=xyZ yz"1zlogx, fz = xyZyzlogx logy ]
3.100 Verificare che le seguenti funzioni di tre
variabili reali
(a) f = log —^ (b) f = x arctg (yz)
soddisfano la tesi del teorema di Schwarz
relativa alle derivate seconde miste:
f=f f=f f = f .
xy yx * xz zx ' yz zy
3.101 Calcolare le derivate parziali fx. (i=l,2,...,n)
delle seguenti funzioni di n variabili reali
v.x1,x2,...,xnJ — x;
n
(a) f=log(x1 «x2-. . .-xn) (b) f = E_ x±x.
i,j~i
Ce) £=arcsen |A| (d) £=log \/ r1]^
/|x|2+l V 1+1*1
[ (a) fx.= 1/x. ; (b) fx. -2xi (il lettore in difficoltà provi a conside
rare preliminarmente il caso n=2);
(e) f = ^ ; (d) f = ^ ]
1 |x|(|x|2+l) 1 |*|(|x|2-l)
3.Ì02 Calcolare la derivata direzionale delle
funzioni considerate nell'esercizio precedente, nella
193
direzione della retta di equazione x^x,,^. . . =
=xn, nel verso delle xi crescenti.
[.Si chiede di calcolare la derivata direzionale 3f/ 8À, dove X è il.
vettore unitario
X - (Ai)= (4- , ■■■, 4-) •
x v n v n
Nei punti in cui f è differenziabile, la derivata direzionale vale
9f n in
-r- = E fx.À. ~ ""7=- E fx. .
dX i=i xi 1 /n i=1 xi
Ad esempio, nel caso (a), nell'insieme di definizione di f risulta
9 £/ 3X= (1//JT) 2 l/x-J
i=l
3.103 Sia f(t) una funzione definita in [0,+») e
derivabile due volte per t> 0. Poniamo
u(x)=f(jx|), VxeRn .
Verificare che, per ogni x f .0, le derivate se
conde u soddisfano la relazione
I uXiX.(x) = f"(|x|) + Cn-l) f'f'fn
Ì=l ' " '
2 2
[uXi = f ( |x| ) ^ ; ^^^-dxD^p+f^W)^- fp) ■
Nel sommare rispetto ad i-l,2,...,n occorre tener presente che
nx? 1 n2 nl n n *± 1
i-i#"Ff Jixi = lii=E1 FTR ;i=i Tx73=R J
3.104 Sia g(t) una funzione derivabile due volte per
t >_ 0 e sia
u(x) = g(|x|2) , Vx€Rn .

194
Verificare che, per ogni xeRn, si ha
|ux.x.(x) -4[g»C|x|*)|x|*+ f g'C|x|*)].
n
3.105 Sia u(x)=f(|x|), con f(t) derivabile due volte
per t>0. Verificare che, per ogni x f 0,risulta-
À' 3^7- ( /i+|duV/ = Ci+f ,2)3/2 + "M 'Ci+£,2)1/2'
3.106 Una funzione di n variabili reali u(x1,x2,....
. . . ,xn) si dice armonica in un insieme aperto A se
essa ammette in A derivate seconde uv.v. e se. es
se soddisfano l'equazione differenziale (equazio
ne di Laplace)
n
£ uxìXì = 0 > Vx-Cx^Xj,. . . ,x )eA.
Verificare che, se n>3, la funzione u(x)=|x|
è armonica in R - {0} .
• .. —. . ^ oppii
L Si può utilizzare la formula dell'esercizio 3.103 con f(t)=t
(2-n)/2
re quella dell'esercizio 3.104 con g(t)=t . Ad esempio,per.f(t)
risulta
f"(t)+(n-l) —-^ =t"n [(2-n)(l-n)+(n-l)(2~n)] =0, Vt ì o]
3.107 Verificare che la funzione u(x) =*/!-|x| 2 (che ha
per grafico una semisfera in Rn) verifica lf e-
quazione differenziale alle derivate parziali
(detta equazione delle superfici con curvatura
media costante)
i
195
i -2- ( "Xiì =-n, VxeRn: |x|< 1.
i=1 dx± \ /l+|Du| 2 I { '
[ Si utilizzi la fòrmula dell'esercizio 3.105 con f(t)=/l-t2 ]
3.108 Una funzione f definita in Rn-{0'} si dice
omogenea di grado a se
f(tx)=taf(x) , Vt>0, VxeRn-{0}.
Sotto tale ipotesi, verificare che:
(a) se f(x) è differenziabile in Rn - {0} , le
• derivate parziali sono omogenee di grado
a-1 e vale l'identità di Eulero
n
E x.j fv. = a f :
i=i x Xl
(b) se a < 0,non è finito il limite per x-»0 di
f(x), a meno che f non sia identicamente nulla;
(e) se a=0,non esiste il limite per x-*0 di f(x)
a meno che f non sia costante;
(d) se a>0 e se f(x) è continua in Rnr{0},
essa può essere estesa per continuità in x=0
(con il valore f(0) = 0) .
[ (a) Si veda l'esercizio 3.70; (b) consideriamo la semiretta per
l'origine di direzione X e di equazioni parametriche x(t)- Xt (t > 0).
Lungo tale retta la funzione vale f(x)=f(tX )=t af( X) ; se f(X) #),
per t -M- °° tale espressione diverge all'infinito; (e) se a =0, con
le notazioni precedenti si ha f(x) =t f(X)=f(X). Perciò, se f non
è costante, su ogni semiretta per l'origine di direzione X, f (x) as_
sume valore costante rispetto a x, ma dipendente da X . Ciò implica
che non esiste il limite di f(x) per x~+0; (d) per il teorema di
Weierstrass, la funzione f(x) assume massimo e minimo (ed è quindi
limitata) nell'insieme chiuso e limitato {x 6Rn : |x | = 1 } . Sia
Me R tale che |f(x)|<! M per ogni x € Rn, con jx | =1. Essendo
x/ I x I un vettore di modulo l,per ogni x € R - {o ), otteniamo

196
U00|= f(l*l- fr)
W
Dall'ipotesi a > 0 segue che f (x)-> 0 per x-*o]
3.109 Dimostrare la formula di Taylor con il resto di La -
grange al secondo ordine : se f (x) è una funzione di
classe C2 in un insieme convesso A, se x, x + h
sono punti di A, allora esiste un numero reale
8e(0,l) tale che
f(x+h)=f(x)+ Z fx. (x)h.+ ì i fx.x.Cx+8h)h,h,
i=i x x 2. . - xixj i J
In simboli più compatti, si può scrivere tale fo_r
mula in modo equivalente (dove (Df,h) è il prc)
dotto scalare tra il gradiente Df ed il vettore
h, D2f è la. matrice nxn delle derivate seconde,
D2f'h è un prodotto tra matrici con h pensato
matrice riga o colonna, infine (D2f-h,h) è un
prodotto scalare tra vettori di Rn):
f(x+h)=f(x) + (Df(x),h) + \ (D2f(x+$h)-h,h) .
[Applichiamo il metodo proposto nell'esercizio 3.87 per il caso n = 2.
Posto g (t)=f (x+th) per t? [o,l] , in base alla formula di Taylor (per
le funzioni di una variabile) con il resto di Lagrange al secondo ordì
ne, con centro t =0 e con t=l, esiste % 6 (t ,t1)=(0,l) per cui
g(t) = g(0) +g'(0) + ~ g"(S) .
Si ottiene la tesi esplicitando le derivate g!,gn con la regola di de
rivazione delle funzioni composte:
n
g'(t)« E fx (x+th)hi ;
i=l *
n n -, n
g"(t)= E I fx.x.(x+th)h. h, = .2 fx.x.(x+th)h.h. ]
* v i=l L j=i xixj JJ x i,j=i xixJ x J
i ce I
A 1*1
< M
Vx^O.
• Capitolo 4
EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI
4A. Eajjuazsioni differenziali lineari del
primo ordine
Un1equazione del tipo
(1) g(x,y,yf) = 0,
ove y=y(x) è una funzione incognita e yf la sua derj,
vata prima ed ove g è un'assegnata funzione reale di
tre variabili reali, prende il nome di equazione diffe
renziale (ordinaria)del primo ordine. Per soluzione (o in -
tegrale particolare) della (1) ,, si intende una funzione
y=y(x) definita in un intervallo I di R ed ivi
derivabile, che soddisfi la (1), cioè tale che risulti
g (x,y(x), yf(x)) - 0, VxcI.
Un1equazione differenziale del primo ordine si i
ce di forma normale se è del tipo
(2) y' = f(x,y).
Un'equazione del primo ordine del tipo
(3) y* = a(x)y + b(x) ,

198
ove a(x) e b(x) sono funzioni continue nellfinterval_
lo I, si dice lineare . Se è b (x) = 0, liquazione (3)
si dice omogenea. Le funzioni a(x) , b (x) si chiamano,
rispettivamente, coefficiente e termine noto dell'equa,
zione (3).
Esempi di equazioni lineari del primo ordine
sono le equazioni
(4) y' = b(x)
(5) y' = y.
Com'è noto dal calcolo integrale, le soluzioni
della (4) sono date dalla formula
(6) y = B(x) + e
ove B(x) è una primitiva di b(x) e ceR. Per quanto ri
guarda la (5), osserviamo che le funzioni
y = cex (ceR)
sono sue soluzioni. Viceversa,se y(x) è una
soluzione della (5), cioè se risulta
y'(x)-y(x)=0, Vxel,
moltiplicando ambo i membri per e"x , si ha
e"x y1 (x) - e"xy(x) = 0
e cioè
^ [e"xy(x)] = 0, Vxcl.
Ne segue
e~x y(xj = e
199
con e costante opportuna e perciò
(7) y(x) = e ex.
Abbiamo così verificato che tutte le soluzioni
dell1equazione differenziale (5) sono date dalla (7).
Le equazioni differenziali (4) e (5), che sono
casi particolari della (3) , ammettono infinite
soluzioni, dipendenti da una costante arbitraria e. Ef
perciò naturale aspettarsi che, anche in generale,la
equazione differenziale (3) ' ammetta infinite soluzio.
ni, dipendenti da una costante scelta
arbitrariamente.
Sussiste in proposito il seguente
TEOREMA. Tutte le soluzioni dell'equazione differenziale
(3) sono espresse da
(8) y(x) = eA« ( [ e*' b(x)dx)
ove A(xJ è una primitiva di a(x) .
Si noti che l'integrale indefinito che figura nel
la (8), dipende, al solito, da una costante
arbitraria. Volendo mettere bene in evidenza la dipendenza
dalla costante, possiamo riscrivere la (8) nel modo
seguente :
(81) y(x)= eA<x> ( [ e"AW b(x)dx+c).
j
La dimostrazione del teorema fornisce anche il
procedimento che conviene seguire nella pratica per
risolvere equazioni particolari e perciò la richiamia
mo. Moltiplichiamo ambo i membri della (3) per é~A(x}
detto fattore integrante , ottenendo
(9) e~A(xV (x)=e"A<x} a(x)y(x)+e-AW'b(x);

')AA
cioè, essendo A!(x) = a(x);
e-A(x)yt(x).e.A(x) A. (x)y(x)=e-A(^bCx)}
relazione che può esser riscrìtta nel modo seguente:
A [e-A(x) y(x)]= e-A(x) b(x)
Integrando ambo ì membri, sì ha
e-A(x) y(x) = f e"A^x) b(x)dx,
cioè la (8). Viceversa, se y(x) è data dalla (8), si
Verìfica facilmente che essa soddisfa 1!equazione(3).
La (8) prende il nome dì integrale generale dell'je
equazione differenziale (3).
In particolare, le soluzióni dell'equazione
omogenea
(10) y' = a(x)y
sono espresse da
(11) y(x) = e eA<x> (ceR)
con A(x) primitiva di a(x).
Sussiste inoltre il
TEOREMA DI CAUCHY(PER LE EQUAZIONI LINEARI DEL PRI -
MO ORDINE) . Siano a.(x) e b(x) funzioni continue nell'inter -
vallo chiuso e limitato I, e sia X0el. Per ogni yQeR
esista una ed una sola funzione u(x), derivabile in I , soluzione
del problema di Cauchy
201
(12)
fy! = a(x)y + b(x)
y(*o) = Yo
Dalla formula (8) sì ricava l'espressione della
soluzione y(x) dì (12):
J a(t)dt x -J a(s)ds
(13) y(x)=e X° •• (y0+ { e X° b(t)dt)-
che, per b(x) = 0 sì riduce
J a(t)dt
(14) y(x) = Yo e x°
4.1 Dimostrare che la funzione identicamente nulla è
l'unica soluzione del problema dì Cauchy
f y' = a(x)y
j y(xj = 0
ove a(x) è continua in I e x0el.
[ Che la funzione y(x) = 0 sia soluzione del dato problema di Cauchy è e-
vidente. Che sia l'unica segue dal teorema di esistenza ed unicità J
4.2 Dimostrare che la soluzione del problema di
Cauchy
yf = a(x)y
y(x0) = 1
con a(x) continua in [a,b] e x0e[a,b], non si an

202
nulla in alcun punto di [a,b].
[ Se esistesse x e [a,b ] tale che y(x)=0, la funzione y(x) sarebbe anche
soluzione del problema di Cauchy
f y1 s a(x)y
1 y(x) = o
e cioè, per l'esercizio precedente, dovrebbe essere y(x) identicamente
nulla, contro il fatto che y(x ) = 1 ]
4.3 Sia y0(x) la soluzione del problema di Cauchy
f yf * a(x)y
| y(xj = 1
con a(x) funzione continua in [a,b] e x0e[a,b] .
Dimostrare che l'integrale generale dell'equazio
ne y'=a(x)y è dato da
y = cy0(x).
[ Si deve dimostrare che la generica soluzione y dell'equazione y'=a(x)y,
è data da y(x) = cy (x), con e costante opportuna. Posto c^yCx ), le
funzioni y(x) e cy (x) sono entrambe soluzioni del problema di Cauchy
y' « a(x)y
y(xo) * e
i
e perciò, per il teorema di unicità di Cauchy, risulta y(x)=cy (x) per
ogni x 6 [a,b] ]
4.4 Risolvere l'equazione differenziale lineare
omogenea y'=8xy.
[ Una primitiva di a(x)=8x è A(x)=4x2 . Moltiplicando ambo i membri della
203
-A(x) -4x2 ; -4x2 -4x2
equazione data per e v^'=e , si ha y'e =8xe y, cioè
y'e"4x - 8x e"4x y = 0, da cui
-f- (e-4x2y) = 0.
dx
-■4x2 . » 4x 2 i
Ne segue e y = e, cioè y = e e j
4.5 Risolvere l'equazione differenziale lineare
omogenea
» = x
y x2+l y
[ Una primitiva di a(x) = x/(x2 +1) è A(x) = log \/x 2+l . Moltiplicando
ambo i membri dell'equazione data per e" ^x' = l//x2+l , si ha
[y»/ W+l ]-[yx/(x2+l)3/2] = 0 da
cui
d _
(y//x2+l ) = 0.
dx
Ne segue y/ /x +1 = e, cioè y = e /x + 1 ]
4.6 Risolvere nell'intervallo (0,it) l'equazione
differenziale omogenea
y' = (cotg x)y.
[ Una primitiva della funzione a(x)=cotgx è A(x) = log | senx | .
Nell'intervallo (0, IT ), la funzione senx è positiva; quindi in tale intervallo ,
A(x) = log senx. Dalla formula risolutiva (11), si ricava
y(x) = e eA<x> = e elo8 senx= e senx.
Si poteva procedere anche tenendo conto dell'esercizio 4.3. Infatti,det
ta y(x) la soluzione del problema di Cauchy

204
(y1 = (cotg x) y
y<*0) =.i
si ha y(x) > 0 per x e(0,1T ), grazie all'esercizio 4.2, e perciò,
y'/y = cotg x.
Integrando arabo i membri fra x e x, si ha
rx . -x
f y'(t) f
dt = cotgt dt
J y(t) J *
X X
o o
da cui, essendo log y(xo) = log 1=0
log y(x) = log sen x - log sen x
Scegliendo x = IT 11 si ha log y(x) = log sen x e infine y(xJ)=senx.Dal.
l'esercizio 4,3 segue che la generica soluzione dell'equazione data è
é y = e sen x. In generale, per x f kTT , si trova la soluzione y=c' |senxj
che è equivalente a y=c senx pur di cambiare il segno alla costante]
4.7 Determinare l'integrale generale delle seguenti
equazioni differenziali lineari omogenee
y' = 3y
y*=2xy
y,=(x-l)y/x
yf=(cosx)y
y? = - ex y
t n x2
y = 2xex y
y'=(tgx)y
yT=-y/2x
3x
l y = ce J
[ y = ce ]
[ y - ce /x ]
,. senx -,
[ y = ce J
-ex
[ y = ce ]
L y = cee ]
[ y = c/cosx ]
[ y - e// x ]
205
[y = cx2 ]
[ y = c/senx ]
r. 2/o/x3") .
L y = ce J
r 2/x+5 -,
L y = ce J
r (log2 x)/2 ,
L y = ce J
r I 2 , i1/2
Ly - e |xz -1 1
[ y * ex. ]
[ y = e logx ]
[y=c tg [ (x+l)/2]]
r (sehx-xcosx) -,
L y=ce J
r cos2 x n
L y = e e J
r xarctgx, / T
l y=c e //l+x2
]
]
/ ■ n
yf=2y/x
yf=-(cotgx)y
y'=(/x)y
yf=y//x+5
y!=(logx)y/x
y'='xy/(x2-l)
yf=(l+log x)y
y'=y/(x logx)
y*=y/sen(x+l)
y*=xy sen x
y'=- (sen2x)y
y'=(arctgx)y
, , > r (x arcsenx + /l-x2 ) -,
y f = (aresenx)y [ y=c e ]
y'=g'(x)y [y = ceg(x)]
4.8 Risolvere l'equazione differenziale non omogenea
, 2 ' sen 4x
y» =- - y + -
x x2
[ Una primitiva A(x) di a(x)=-2/x è A(x)=-21cg | x j =-logx*, per cui il
fattore integrante è e v ' = x~ . Si ha, moltiplicando per x ambo i
membri dell'equazione, x2y'=-2xy + sen4x, cioè x2 y'+2xy=sen4x e anco-
ra D(x y)=sen4x. Integrando ambo i membri di quest'ultima relazione,si
ha x2 y = J sen4xdx =-(cos4x)/4 + c e ,perciò y=(-cos4x/4+c)/x 2 J
4.9 Determinare l'integrale generale delle seguenti
equazioni differenziali lineari non omogenee
y'=3y+l [y = c e3x - (1/3) ]
y'=ay+b, (a,beR, a^O) [y » e e" - (b/a) ]

206
yf=y+x
y f =-y+e""x
y'+y/x = 1/x
y,=Cy/x)+xex
y f =y+e x
y f =4y~e2x
y'=ay+ebx (a^b)
2
y,=-2xy+xe ~x
y'=(2y/x)+(x+l)/x
y*=y+X2-1
y,=ex-(y/x)
yf =2xy+e x cosx
y « =-y + e-X COSX
y « =- (y+e "x/x2)
y « +y=2xe "x
y » +y=3x2e~x
y « +y=e ~x /2/x
y T = (cosx,)y+e senxlogx
yf = (3y/x)+x3ex
y(=(tgx)y+cosx
y'-Cy+D/Zx
y» =(y+l)cOSX
[y - e e -x-l]
r -x -,
Ly=e (x+c) J
[y=l+c/x ]
[y=xe +cx ]
x
[y=(c+x)e ]
r 4x 2x n
[y=ce + e /2 J
_ r bx n -
[y= [e /(b-a) J+c ]
-x2 '
[y*e (e + x2 /2) ]
[y=cx2 - x -(1/2) ]
[y=ceX -(x+1)2]
[y= [ c+(x-l)eX ] /x ]
2
[y=ex (senx + e) ]
r -x -,
[y=e (senx + e) J
[y=e % + 1/x) ]
|>e""X(x-2 + e) ]
|>e~X(x3 + e) ]
[y?e (/x + e) ]
[y=e (xlogx-x+c)]
[y=x3 (eX + e) ]
[y= [(x/2)+(sen2x)/4+c ]/cosx ]
r 2v x 1
Ly-c e - l j
r senx -,
Ly=c e - 1J
4.10 Risolvere il problema dì Cauchy
207
yf = 3x ex y
y(0) = 1
2 2
[Una primitiva di à(x)=3xex è A(x)=3ex /2, perciò L'integrale generale
dell'equazione data è y(x)=c e3e '2. Imponendo la condizione y(0)=l ,
si trova y(0) = e e3'2 = 1, da cui e = e"3'2. Pertanto la soluzione del
2
problema di Cauchy è y(x)=e3'e "1^ 2 ]
4.11 Risolvere i seguenti problemi dì Cauchy
Jyf = (i-y)/x
y(D = o
[y = (x-l)/x ]
y,=2y+l 2x
[y = <3e -l)/2 ]
y(o)=i
yf=ay+b (a,beR,a^0) ax n , .
L y = (e -l)b/a J
,y(o)=o
y' + - y = x3
x Ly = x'i/5]
y(D = 1/5
yf=(tgx)y+l
y(TT) = 1
[ y - tgx -(1/cosx) ]
y,=[(x+l)y/x]+x(l-x) x-i 21
L y=(e-l)xe + x2]
y(D = e

208
yf =[-y/(sen2x cotgx)]+
+cotg2x
y(7T/4)=log(/"2/2)
[y = (cotgx)(log senx) ]
yf= 2y/x+3x2cosx
yO) * 3ir3
[y = 3x2 (sen x + TT) ]
yf «- (cosx)y+senxcosx r -senx n
L y = senx + e - 1 J
y(o) = o
y'=(cotgx)y + x5senx
y(0) = 0
[ y = senx (e + x 6/6) ]
y'=2xy/Cl+x2) + Cx+x3)senx
y(0) = 0
[y=(l+x2 )(senx-x cosx) ]
4.12 Siane a(x) e b(x) funzioni continue
nell'intervallo chiuso e limitato [a,p] e siano x0e[g,p],
y0eR. Detta y(x) la soluzione del problema di
Cauchy
yf = a(x)y + b(x)
[ y(x0)=y0
ed indicata con II II la norma del sup in C°([a ,
p]), dimostrare che esiste una costante e > 0 ,
dipendente da a,p e II a,11, ma indipendente da.y(x),
tale che
llyl + lly1 II < c(|y0|+ llbll) .
20
[Dalla formula risolutiva (13), tenendo presente che (xo £ x)
.x rx rP
a(t)dt
| a(t) | dt
|a(t)| dt
< e
*a
(p-a)lla II
< eV = K
e che
a(s,)ds
a(s)ds
< e
< K
e ricordando le proprietà degli integrali definiti, si ha
x
| y(x)| < K ( |yo | +| f Kb(t)dt |) <
x
o
< K( I yo |+ K |b(t) I dt) <
Ja
< K(| yo |+ K( P-a) llbll ) <
<K'( |yo |+ llbll)
ove si é posto K'=max {K,K2 (P -a ) ) .
Passando al sup per x e f a, P] , ne segue
(*) llyll < K'( | y0 |+llbll )
con K! costante dipendente solo da a., P, a(x) e non da y(x).
Essendo per ipotesi y1 = ay + b, si ha
||y' Il < Hall- lly 11+ llbll ;

dalla (*) segue allora
llyll+lly' II < ( II a II+1) Il y II + Il b II <
< ( 1lal|+l)K»( |y0.| + llb||) + llbll
< e (|yJ+ llbll)
ove si è posto e = ( Ila ll-KL) K1 + 1 ]
Siano a(x) e bn (x) funzioni continue nell'Inter,
vallo [a,p] e sia yo una successione di
numeri reali. Supposto che bn (x) -* b(xj unìformemen
te in [a,p] e che y0 n -» yOJ dimostrare che la
successione yn(x) delle soluzioni dei ■ problemi
dì Cauchy
{yn^o) = y0,n
converge in C1([a,pj) verso la soluzione y(x)
del problema dì Cauchy
Jyf = a(x)y + b(x)
(y(x0) = yc
[Sottraendo membro a membro, si ottiene
<yn-y)f = a(x)(yn-y)+ bn(x)-b(x)
(y„-y)(x0) = y0>n - y0 *
Applicando il risultato dell'esercizio precedente,si ha
Il yn-yll +H yi-y'll < e ( | y0^n-yo |+ llbn-b!l)
211
da cui segue l'asserto, ricordando la definizione della norma su C
(ved. esercìzio 2.25) J
4B . Equazioni ci i £"£"<=* oc* eri zì-slI i lineari
omogenee 3l coefficienti o-oslz-SLarx-t-i
Un'equazione differenziale del tipo
(1) yM + ayf + by = f(x)
con a,beR e f(x) funzione contìnua in un intervallo
I di R, prende il nome di equazione differenziale linea -
re del secondo ordine a coefficienti costanti, dì
termine noto f (x) . L'equazione (1) sì dice omogenea se f(x) =
E 0, altrimenti si dice non omogenea.
Per soluzione (o integrale particolare) dell'equazìo
ne (1) , si intende una funzione y = y(x) , derivabile
due volte in I, che soddisfi la (1), cioè tale che
y"(x)+ay' (x)+by(x) =f (x) Vxel.
L'equazione differenziale omogenea
(2) y" + ay' + by = 0
prende il nome di equazione omogenea associata all'equa,
zìone (1) .
Nel presente paragrafo ci limitiamo a studiare
l'equazione omogenea (2), rimandando al paragrafo sue
cessivo lo studio della (1) .
Per determinare l'integrale generale dell'equa -
zione (2) e cioè l'insieme di tutte le sue soluzioni
particolari y(x), assai utili sono i seguenti
teoremi.
TEOREMA. 1. Se y1 e y2 sono due soluzioni particolari

212
della (2), allora anche la funzione
y(x) = c1y1(x)+c2y2(x)
con Cp C2 e R, è una soluzione particolare della (2).
TEOREMA 2 . Se y. e y2 sono due soluzioni particolari
della (2), tali che
(3) y1(0)y2(0)-y2(0)y{CO) ^ 0,
allora tutte le soluzioni della (2) sono del tipo C1y1(x) +
+ C2y2 (x) , al variare dei parametri Cx , C2 .
Si dimostra che la condizione (3) equivale a
dire che le funzioni y1(x), y2 (x) sono linearmente indi -
pendenti, cioè che le uniche costanti clf c2 per cui
si ha
c1y1(x) + c2y2(x) = 0 VxeR
sono le costanti cx = c2 = 0.
Dal teorema 2 segue, perciò, che: per determinare
l'integrale generale dell1 equazione omogenea
(4) L(y) = y" + ayf + by = 0
basta conoscere due suoi integrali particolari linearmente
indipendenti y 1 e y 2 .
Per determinare esplicitamente due integrali pajr
ticolari y1 e y2 della (4), si considera la sua
equazione caratteristica
v"5) X2 + aA + b = 0,
che è un'equazione algebrica di secondo grado,le cui
213
radici (complesse) sono
(6) Ax«(-a-/A )/2 ; A2=(-a+ /E )/2,
ove A = a2 - 4b.
Se A < 0, allora porremo
(7) a = - a/2 , (3 = Z^/2
in modo che a e ±|3 saranno, rispettivamente, La parte
reale ed il coefficiente della parte immaginaria dei
numeri complessi \1 e X2 .
Si dimostra il seguente
TEOREMA 3 (SOLUZIONI DELL'EQUAZIONE OMOGENEA ) .
Tutte le soluzioni dell'equazione (4) sono date da
e . \ r \ At X A 0 x
(ì) y(x)=c1e 2 + c2e 2 , se
(ii) y(x)=c1e lX + c2xe lX, se
(injy(xj=c1e cos£x+c2e sengx, se
ove C1 e C2 sono costanti arbitrarie, ed ove \19
sono definite dalle (6) , (7) •
4.14 Risolvere le equazioni differenziali omogenee
(a) y"-6yf+5y = 0 (b) y"-2yf+2y = 0
[(a) L'equazione caratteristica À2 -6 À+5=0 ha discriminante A=16 > 0
e perciò ammette due radici reali e distinte: Xx =1, A2-5. Perciò lo
integrale generale è y(x)=c1 ex+c2 e x.
(b) L'equazione caratteristica À 2 -2 À+2=0 ha discriminante à~-h- < 0
ed ammette come radici i numeri complessi coniugati Aj =l-i, X 2 =l+i
A > 0
A = 0
A < 0,
À2, a,|

214
Perciò l'integrale generale è y(x)=c1 excosx + c2 exsenx ]
4.15 Risolvere 1 ì equazione differenziale y"-2yf +y=0 .
[L'equazione caratteristica è X2-2 X+1=0, ossìa (X -1) 2 »0 ed ammet
te Xx*l come radice doppia. Perciò l'integrale generale è y(x)=c1 ex+
+ c2 xex ]
4.16 Risolvere 'le. equazioni differenziali lineari o-
mogenee
(a) ytf-2y'=0 (b) y"+4y=0
[(a) L'equazione caratteristica è X2-2 X =0, cioè X (X-2)=0, ed ani -
mette le due radici reali 0 e 2. Perciò, l'integrale generale è y=c ,+
tc2ex. (b) L'equazione caratteristica è X2+4=0, ed ammette le due
radici complesse coniugate ± 2ì. Perciò l'integrale generale è y =
=c1cos2x+c2 sen2x ]
4.17 Risolvere l'equazione yfr+2yt+y=0.
[L'equazione caratteristica è X2+2X + 1 = 0, cioè (X+l)2 =0. Perciò
-1 è radice doppia e l'integrale generale è y^^ +c2 x)e~x ]
4.18 Determinare l'integrale generale delle seguenti
equazioni lineari omogenee
y"-3y'+2y=0 [y- CleX+c2e2x ]
y"-10y'+21y=0 [y - e, e3x + c2 e?x]
y"-2yt+y=0 [y = (c^ c2x) ex]
yff-10yf+25y=0 [ y = (cx + c2 x) e5x]
y + y = 0 [ y s e 2 cosx '+ c 2 senx ]
ytf + 3y = 0 [ y=c1cos(/Tx)+c2sen(/"3 x) ]
y"-2y'-15y = 0 [ y = Cl e~3x + c, e5x ]
215
yff-y=0 [y=Cl e"x + c2ex]
yff-4yf+4y=0 [y=(Cl +c2x)e2x ]
yf!-2y f +5y=0 [y=eX(c1 cos2x + c2sen2x) ]
y"+y ' +y=0 [ y=e"X 2[ C]> cos(/~3 x/2)+c2sen( VTx/2) ] ]
2x
y'!-4y ' +20y=0 [y=e (c1 cos4x+c2 sen4x)]
y"+9y=0 [y=c1 cos3x +. c2 sen3x ]
y"-6yf+10y=0 " . [y=e3x(c1cosx + c2senx) ]
y"+ /2 y'=0 [y=Cl + c2 e" % X ]
y"-8y'+l6y=0. [y=(ca + c2 x)e4x ]
yff-yf/2 + y/l6 = 0 [y-(Cl + c2x)ex/4 ]
Passiamo ora a studiare l'equazione differenzia
le lineare omogenea di ordine n:
(8) y(n) + a1y(n-1)+...+ an.lY'+ any - .0.
a coefficienti costanti a1,...,an„1 ,ane R.
La (8) è un caso particolare della più generale
equazione differenziale lineare di ordine r?
(9) y^-)+a1-(x)y<n"1) + . . .+an-1 (x)yf+an (x)y=f(x) .
Per l'equazione (9) si dimostra il seguente
teorema di Cauchy l
TEOREMA 4 (DI ESISTENZA ED UNICITÀ'). Se i coeffi
denti a- (x) ed il termine noto f(x) dell'equazione (9)
sono continui nel l'intervallo limitato [a,b], allora, per ogni
x0e[a,b] e per ogni (y0,y0 , . . . , y0 JeR , esiste una
ed una sola soluzione y in [a,b] della (9), tale che

216
(10) y(xJ=yOJ y'(x0)=yo(1) ,...,y(n"1) (x0)=yl0n-1) .
La soluzione y, di cui al teorema di Cauchy, si
chiama soluzione del problema di Cauchy relativo alla
equazione (9) ed alle condizioni iniziali (10).
L'equazione (9) si dice omogenea se risulta f(x) = 0, altri.
nienti si dice non omogenea.
Analogamente a quanto già visto nel caso n=2, si
dimostra che se- y1 (x) , y2(x),. ..,yk(x) sono k inte -
grali particolari dell'equazione (8), allora anche
una loro combinazione lineare del tipo
c1y1(x)+ c2y2(x) + . ..+ckyk(x)
è un integrale particolare della (8).
Se ora yx (x) , y2 (x) , . . .yn(x) sono n integrali par_
ticolari dell'equazione (8) il loro Wronskiano è, per
definizione,il seguente determinante
h/i
!y;
(x)
(x)
y(r1}Cx)
y2
Yl
ri
(x) ..
(x) ..
(xs..
■ y»Cx)
• y;cx)
(n-l)
J n
che si dimostra essere o identicamente nullo o sem -
pre diverso da zero nell'intervallo [a,b]. .Si ha
W(x) 1 0 per ogni xe[a,b] se e solo se le. funzioni
y1 (x) , . . . ,yn (x) sono linearmente indipendenti, cioè S"e
c1y1(x)+..-+cnyn(x)=0, Vx => c1=...-cn=0.
Sussiste* il seguente
TEOREMA 5. Se y1(x),...,yn (x) sono n soluzioni parti_
217
colari linearmente indipendenti dell'equazione (8), allora una
qualsiasi soluzione della (8) è del tipo
(11) y(x)=c1y1(x) + . . .+cnyn(x),
cioè, la (11) è 1'integrale.generale dell'equazione (8).
Per determinare n integrali linearmente
indipendenti dell'equazione (8), basta conoscere le radici
dell'equazione algebrica di grado n
X^-a^V . .+an^À+an-.0,
che prende il nome di equazione caratteristica della (8)
in modo analogo a come abbiamo già visto nel caso n-
= 2.
Si dimostra infatti che
1) Se le n radici (reali o complesse) X1 ,X2 , . . . , A dell'equa
zione caratteristica sono tutte distinte, allora le
funzioni (rispett. reali o complesse)
X . x X ~ x À nx
e L . e 2 , . . . , e n
sono n soluzioni linearmente indipendenti della (8).
2) Se X è una radice (reale o complessa) multipla di ordine r
dell'equazione caratteristica, allora le funzioni (rispett.
reali o complesse)
Xx Xx r-1 X x
sono r soluzioni linearmente indipendenti della (8).
Poiché per ogni radice X si trova un numero di
soluzioni linearmente indipendenti della (8) pari al_
la molteplicità di X, in tal modo si determinano n
soluzioni linearmente indipendenti della (8).
OSSERVAZIONE 1. Se l'equazione caratteristica ha

218
una radice complessa X=a + ip, essa avrà anche la rad^L
ce coniugata X « a-ig ed alle due soluzioni
complesse
Àx OtXx _ . ^ .
e = e (cospx + 1 sen|3x)
^ x ax , „ . rtv
e » e (cospx.- 1 sen|3x)
si potranno sostituire le due soluzioni reali
ex x ,Xx. Àx^ ,„
e cos0x = (e + e )/2
ax r Xx ÀxWn.
e senpx = (e - e )/2i,
risultando, il nuovo sistema di integrali
particolari che si ottiene, ancora di n integrali linearmente
indipendenti.
4.19 Risolvere l'equazione ym+ y = 0.
[L'equazione caratteristica A3+l-0 ammette le radici -1,(1/2) ±i / 3/2
-x [(l/2)+i/372xl
e perciò l'integrale generale è dato da y(x)=cJe +c2e +
[ (l/2)-i/I/2 x ]
+ e3 e , , ovvero, tenendo conto dell'osservazione 1,
—x x/2 x/2 —
da.y(x) = e 1 e + c2 e cos / 3/2 x + c3 e sen /3/2 x ]
4.20 Risolvere l'equazione yfff - 3yff + 3y ' -y-0.
[L'equazione caratteristica (À-1)3=0 ammette la radice tripla X =1.
Perciò l'integrale generale è dato da y(x)~ex(cì +c2x+c3x2 ) ]
4.21 Risolvere l'equazione ym-5y"=0.
[L'equazione carattetistica è X 3-5 À2=À2(A-5)=0 ed ammette la radice À=
=5 e la radice doppia À-O.Perciò l'integrale generale è dato da yfx^c^
5x
+c2x+c3e .Si poteva procedere anche diversamente:posto u^y',l'equazione
data diviene u^-Su'-O.L'integrale generale di quest'ultima equazione e'
^xJ^Cj+c^e x. Risolvendo l'equazione y,=u(x)=c1 +c2 e , . si trova
219
y III
y MI
ylll
ylll
ylll-
= 0
- 4y! =
- y» =
-4y"+4y
-2y!!+5y!
= 0
0
= 0
= 0
5x
y(x)=cx x+5c2e + c3 , integrale generale che coincide con quello già
determinato, per l'arbitrarietà delle costanti ]
4.22 Determinare l'integrale generale delle seguenti
equazioni omogenee del terzo ordine
[y-c1+c2x+c3x2]
[y=c1+c2e~2x-*-c3e2x] .
[y=c1+c2x+c3 ex]
[y=c1+(c2+c3x)e2x]
[y=c1 + ex(c2 cos2x+c3 sen2x)]
. ylll.yll_yl+y=0 [y=C 2 B^C ^C 3 ^ ]
ym+y...y..y=0 [y = c/+(c2 4c 3X) e"x ] !
ym+6y"+12y,+8y=0 [y=(Cl+c2x-*-c3x2)3-2X ]
y'"+2y,,-lly,-12y=0 [y=cx e~x+c2 e3x-*-c3e~4x ]
y"'-4yM + 5y!~2y=0 [y = (cl + c2x)ex -1- c3 e2x ]
4.23 Risolvere l'equazione y - y - 6yM = 0,
[L'equazione caratteristica è X1*- X?- óX2= À2 ( X-3)(X+2)=0, quin
di -2 e 3 seno radici semplici e 0 è radice doppia. .L'integrale genera
le è dato da y(x) *c1+c2x + c3 e"2x + c^ e3x ]
(4)
4.24 Risolvere l'equazione y + 3y" - 4y = 0.
[L'equazione caratteristica Xk + 3X2 - h'=- 0 è biquadratica e le sue ra
dici sono ±1 e ± 2i. Perciò l'integrale generale è dato da y(x) =
= cx e + c2 e + c3 e + e k e , ovvero, tenendo conto
dell'osservazione 1, da y(x) = c1 e"x + c2 ex + c3 cos2x + e k sen2x ]
4.25 Risolvere l'equazione y (4) +2y (3) + 3y" + 2yf +y=0 .

zzu
[L'equazione caratteristica può essere scritta sotto la forma ( Xz + X+
+1)2 = 0. Perciò l'integrale generale è y(x) = e~x'2 [(c^CjX )
cos ( i/I/?)x + (c3 + Cifx)sen( /T/2)x ]]
4.26 Risolvere l'equazione y + y" = 0.
[L'equazione caratteristica è À4+ À2= À2(À2+1)=0; essa . ammette
la radice doppia À =0 e le radici ± i. Perciò l'integrale generale è
dato da ylxJ^Cj+c 2 x+c 3 cosx+c^senx ]
4.27 Risolvere l'equazione y + y = 0.
[L'equazione caratteristica è À^+1^0; le sue soluzioni sono le radici
, . ' TTi/4 ,— 3TT i/4 ,—
complesse quarte di -1, cioè e = (l+i)/\/2 , e = (i~l)/ v 2,
51TÌ/4 /- 7TTÌ/4 ,~-
e = - (i+l)/v 2 , e = (l-i)//2. Perciò, l'integrale gene-
, x x//2 ,— x/ /F ,—
rale e y(x) = c1 e cos(x/ / 2) + c2 e sen(x//2 ) +
-y.l /2~ , ,— -x/ /i" ,- -,
+ c3 e cos(x/v 2) + c^ e sen (x/ /2 ) J
(4)
4.28 Risolvere l'equazione y + y' = 0.
[L'equazione caratteristica è Xk+X - À (À3 + 1)=0; le sue soluzioni
TTi/3 ,—
sono 0 e le radici complesse terze di -1, cioè -1, e =(l+i v 3)/2,
2 IT i/3 ,— -x
e = (l-i^ )/2. Perciò l'integrale generale è y(x)=c1+c2e +
x/2 /— x/2 /— -,
+ e - e cos (•3x/2) + cu e sen (v 3x/2) J
4.29 Determinare l'integrale generale delle seguenti
equazioni omogenee del quarto ordine
y =0 [y=c1 +c2x+c3x2+cit x3 ]
y(4)+ 3y'"-4y" = 0 [y=c1+c2x+c 3e"4x+c, eX ]
y(4) -3y'" + 2y" = 0 [y=c1+c2x+c3eX+c, e2x ]
y ~2y"f +2yff = 0 [y=c1+c2x+e (c3cosx+cifsenx) ]
I
221
y(4) -6y"+8y=0
y(4) -3yr,-4y=0
y(4) «y Iti -yff+y'= 0
y(4) -4y"=0
y(4) -2y"'+y" = 0
y (4) +2y"+y=0
y(4)-a4y=0
y(4) +a2yf,=0
-2x 2x
L y=c1 e +c 2 e +c
-/2 x /2x -,
+<Ue J
r -ZX, ZX, , -i
Ly^Cj e +c 2e +c3cosx+clf senx J
[y=c, + (c2+cax)e + c.e ]
Cyssc1
+ c,x+cqe2x + c11e"2x
]
[y=c1+c2 x+(c3 + ct+x)eX ]
[y=(c1+c2x)cosx+(c3+c ^ x)senx ]
r • -ax ax n
Ly-Cje +c2e +c3 cosax+c^senax J
[y=c1+c2x+c3cosax + cf+senax ]
4.30 Determinare l'integrale generale delle seguenti
equazioni omogenee di ordine superiore al
quarto.
r 2 3 4 ~i
L y=c1+c2>l+c3x +ci+x +c5x J
r -XX -,
L y=c1+c2x+c3e +0^ +c5cosx+c6senx J
r -2x 2x -,
L y-c1+c2x+c3e H-c^e +c5cos2x+c6sen2x J
[ y~c1+c2x+c3x2+c^x3+c5e +c6e J
r 2 -2x 2x -,
|_y=c1+c2x+c3x +cke +c5e J
y(5) =
y(6)-
y(6)-
y(6)-
y(5)-
0
yn = 0
16yn = 0
yw = o
4ym = 0
4.31 Determinare la soluzione del problema di Cauchy
y» - 2y' - y = 0
y(o) = o
y'(0)= 2/1
[L'equazione caratteristica À2-2 X -1 - 0 ammette le due radici reali
1 ± /2 . Perciò l'integrale generale dell'equazione data è y(x) =
(1+/T)x (1-/T)x j# . , . „ . n,
= cTe +c2e *La condizione y(0)=0 implica c2 =- cx .
_ (i+/T)x _ ,- (1-/F)x
Essendo y'(x)= cx (l+/2)e
- cx (l~/2)e
si ha

222
y,(0)=2c1 /2 . La condizione y'(0) = 2/2 implica perciò c1 = 1 e
(l+/"2)x (l-/~2)x -
e2 = - 1. La soluzione e y = e - e J
4.32 Determinare la soluzione di ciascuno dei seguen
ti problemi di Cauchy
(a)
y"-y'-2y = 0
y(o>o.
y'(0)=3
(b)
y"-6y'+10y=0
y(o)=r
y'(0)=0
(e)
y"-10y'+25y=0
y(0)=0
y'(o)=i
'y"-2y'+5y=0
(d) <jy(0)=l
y'(0)=l
r 2x -x 3x 5x x -,
[(a) y = a -e . (b) y=e (cosx-3senx); (e) y=xe ; (d) y-e cos2xJ
4.33 Risolvere il problema di Caucjay
J y"f - 2y" + 5y' = 0
[y(0) = 0, y'(0)=l; y"(0) = 0
[y « - 2/5 +• e [ (2/5) cos2x + (3/lO)sen2x] ]
4C . Equazioni lineari non omogenee a co<
ficienti costanti
Sia
(1) y^+a^x) y(n"1} +...+an.1(x) y'+an(x) y = £(x)
223
unfequazione differenziale lineare di ordine n, a
coefficienti ai(x) e termine noto f(x) continui in
un intervallo limitato [a,b]. Per determinare lf
integrale generale della (l) , assai utile è il seguente
TEOREMA 1. Sia vo un integrale particolare della (1) e
siano y1 , . . . >yn? n integrali particolari linearmente indi -
pendenti dell'omogenea associata
y(n) +a1(x)y(n"1)+...+an.1 (x)y'+an(x)y = 0. '
Allora, 1'integrale generale della (1) è dato da
y(x) = c1y1 (x) + . . .+cnyn (x) + v0 (x) .
In questo paragrafo ci limitiamo a studiare
zioni del tipo (1) a coefficienti costanti,
equazioni
(2) y(n)+ a1y(n"1) + ...+an.1y'+any=f(x),
in cui f (x) è un termine noto di tipo particolare.
Sia
P(À) = Xn + a1Xn"1 + ...+ an„1 X + an = 0
l'equazione caratteristica dell'equazione
(n) (n-i)
y +aiyv +.. .+ a^ y' + any = 0
omogenea associata alla (2). Si dimostra che, nel
caso
f(x) = e XpmCx)
con p (x) polinomio di grado m,
le equa-
cioè le

224
i) se P( X ) ? 0, allora la (2) ammette un integrale particola^
re del tipo
Xx xv
e qm(x)
con CLmC*) polinomio di grado m.
ii) se P(X)~0 e X ha molteplicità h, allora la (2) ammette un
integrale particolare del tipo
h Xx .v
x e % O) *
Si dimostra inoltre che, nel caso
f (x)=.e [p (x) cospx+r, (x) senyx]
con pm(x) polinomio di grado m e rk(x).polinomio di
grado k:
j) se P(X±ì]l) ? 0, allora la (2) ammette un integrale
particolare del tipo
X x
e [q_(x)cosyx + s~(x)senyx]
con q- (x) , s-(x) polinomi di grado m = max {m,k }
j j) se P( X±Ì}l)-0 e X + iy ha molteplicità h, allora la (2)
ammette un integrale particolare del tipo
x e [qjj(x)cosyx + s-fx)sen]ix]
In particolare: se f(x) è un polinomio di grado m e
risulta, nell'equazione (2), a0 ? 0, allora la (2}ha
per integrale particolare un polinomio dello stesso
grado;, se invece ao = 0 e perciò X=0 è una radice di
225
P(X)=0, allora la (2) ha per integrale particolare
un polinomio di grado m+h del tipo xh(b1+b 2x+...+bfflxITl)
ove h è la molteplicità della radice X = 0.
4.34 Risolvere l'equazione differenziale non omoge -
nea y"-3y' + 2y = 2x3 ~ x2 + 1.
[L'equazione caratteristica dell'omogenea associata è X -3X+2-0 ed
ammette le radici 1,2; perciò l'integrale generale dell'omogenea
associata è c,ex+c«e . Poiché il termine noto dell'equazione
differenziale data è un polinomio di terzo grado, e X =0 non è radice
dell'equazione caratteristica, allora l'equazione data ammette un integrale par
ticolare del tipo v (x^) = b^+b^+b^x+K. Sostituendo vq nell'equa -
zione, si ricava v'o'(x) - 3v^(x) + 2vo(x)=2x3 -x2 +1, cioè:
(6box + 2b1)-3(3box2+2b1x+b2)+2box34-2b1x2+2b2x+2b3=2x3-x2+l,
da cui, per ogni xe R
2box3+(2b]-9bo)x2+(6bo-6bi+2b2)x+2b1-3b2+2b3=:2x3-x2+l.
Da tale relazione, per il principio di identità dei polinomi, segue:
bo*l, 2b1-9bo=-l, 6^-6^+21)2=0, 2bx -3b2+2b3=l
e cioè b =1, bx =4, b2 =9, b3 =10. Pertanto, l'integrale generale è
y(x)=cx ex+c2 e2x+x 3 +4x 2 +9x+10 ]
4.35 Risolvere l'equazione differenziale non omoge -
nea yf,-4y' = x2 + l.
[L'equazione caratteristica dell'omogenea associata è X -4 X = 0 ed
ammette le radici 0,4; perciò l'integrale generale dell'omogenea asso
4x
ciata e e, + c2e .
Poiché il termine noto dell'equazione data è un polinomio di secon

226
do grado e X =0 è radice semplice dell'equazione caratteristica, allo
ra l'equazione data ammette un integrale particolare del tipo v (x) =
x (b x2+b1x+b2). Sostituendo v (x) nell'equazione, si ricava
(6box+2b1)-4(3box 2+2b1x+'b2) = x2 + 1,
da cui, per ogni x£ R
-12box-2+(6bo-8b1)x + 2b1 - 4b2 = x2 + 1.
Da tale relazione, per il principio di identità dei polinomi segue
-12b =1; 6b -8b, =0: 2b, -4b 0 = 1
o ' o 1 ? 1 2
e cioè bQ--l/12, b x --1/16, b2=-9/32. Pertanto, l'integra le generale
è y(x) - cx + c2 e4x - x[ (x 2 /l2)+(x/16)+(9/32) ] ]
4,36 Risolvere l'equazione differenziale non omoge -
nea, y" - 2yf - 3y = 8e3x .
[L'equazione caratteristica dell'omogenea associata è X -2 X-3=0 ed
ammette come radici -1 e 3; perciò l'integrale generale dell' omogenea
associata è cxe +c2 e , Poiché X-3 è radice dell'equazione caratte
ristica (per la ii)) l'equazione data ammette un integrale particolare
3x
del tipo v (x) = bxe ". Sostituendo v (x) nell'equazione data, si tro-
(6be3x + 9bxe3x)-2(be3x+3bx e3x)-3bxe3x=8e3x
3x
da cui, dividendo ambo i membri per e , segue b=2. Pertanto, lfinte
graie generale è y(x) - c1e"x + c2e5x + 2x e3x J
4.37 Dimostrare che se il termine noto
dell'equazione
(*) y" + ay1 + by = £(x)
227
è del tipo f(x) = I f,(x) e se y. (x) verifica
1=1 x x
1'equazione
y!' + ay[ + by.. = £±(x) ,
n
allora y(x) = Z y.(x) verifica 1requazione(*)
i=l x
4.38 Tenendo presente l'esercizio precedente,
determinare l'integrale generale dell'equazione yM-
-3y'+2y = 2x3 + 1 - x2 + e3x
[y(x) = x3 + 4x2 + 9x + 10 + (e3x/2) + cx ex + c2 e2x ]
4.39 Risolvere l'equazione differenziale non
omogenea y" - 2y' - 3y = cos 2x
[L'equazione caratteristica dell'omogenea associata è À2-2 À-3 =0
ed ammette come radici -1 e 3; perciò l'integrale generale
dell'omogenea associata è c,e"*x + c2e3x. Poiché 0 ± 2i non è radice dell'equa -
zione caratteristica, allora per la j), l'equazione data ammette un in
tegrale particolare del tipo v (x) = bcos2x + csen2x. Si ha v'(x) -
= - 2b sen2x + 2c cos2x, v"(x) = - 4b cos2x - 4c sen2x. Sostituendo nel.
l'equazione data si trova
(-7b - 4c)cos2x + (4b-7c) sen2x = cos2x,
da cui segue -7b -4c = 1 e 4b - 7c = 0 e quindi b=-7/65, c=-4/65. Per-
tanto l'integrale generale è y(x)=-(7/65) cos2x-(4/65) sen2x + c,e~x +
+ c2e-3* ]
4.40 Risolvere l'equazione differenziale non omoge -

228
nea yn - 2yf + y = xex .
[L'equazione caratteristica dell'omogenea associata è À2-2 X+1=(X -
-1)2 = 0 ed ammette la radice doppia À=l. Perciò l'integrale generale
dell'omogenea associata è c,ex + c2x ex. Poiché X =1 è radice doppia
dell'equazione, caratteristica^ per la ii) l'equazione data ammette un
integrale particolare del tipo v (x) - x2ex(bx+c).
Si ha
vj(x) = 2xex(bx+c) + x2 ex (bx+c) -+ bx 2 ex =ex [bx3+(3b+c)x2+2cx ]
v^'(x) = ex [bx3+(3b+c)x2+2cx]+ex [3bx2 + 2(3b+c)x + 2c ] =
= ex [bx3+ (6b+c)x2 + (6b + 4c) x + 2c]
da cui, sostituendo v nell'equazione data, si ha
ex [ bx 3+(6b+c)x2 +(6b + 4c)x + 2c ] -2ex[bx3+(3b+c)x2 +
+ 2cx ] + x2 ex(bx + e) = x ex
ed anche, semplificando
ex (óbx + 2c) - xex .
Dividendo per ex ed applicando il principio di identità dei polinomi ,
si ha b = 1/6, e = 0. Pertanto l'integrale generale delllequazione
data è y(x) = c1ex + c2xex + x3ex/6 ]
4.41 Risolvere le seguenti equazioni differenziali déL
secondo ordine lineari, non omogenee:
yM + y =.' x + 1
y1,-2yf+y = x2+x
y"-2y,+'y = ex
yM - 5y'+6y = ex
[y=c,cosx+c2senx+x+l j
[y=(c1 + c2x)ex+x2+5x+8 ]
[y= (Cl+c2x)ex+x2ex/2 ]
[y = Cle2x+ c2e3x+ ex/2 ]
229
y,,-2y,-3y=(2x+l)ex [ y-Cle-x4c2e3x*(2x+i)ex/4 ]
y'f-y = xex [ y=c1e"*x+c2ex+(x2-x)ex/4 ]
y,,-2yf + 2y = e 2x [ y-ex(c1cosx+c2senx)^e2x/2]
yn-y f -2y = 2senx [ y=c1e"x+c2e2x+(cosx-3sen x)/5 ]
y" + y = COSX [ y=c1cosx+c2senx+(xsenx)/2]
yn + 4y . = sen2x [ y«c1cos2x+c2sen2x-(xcos2x)/4]
yn - 2yf + 2y = senx ' [ y=ex(c1cosx+c2senxH2cosx+senx)/5]
yn-2y'+y = e2x [ y=(cftx)ex + e2x ]
y"-4y,+4y=e2x [ y=(c1+c2x)e2x+x2e2x/2 ]
yn-yf = COSX [ y=c1+c2ex-(cosx + senx)/2 ]
y" -f y'=senx+cosx [ y=c1+c2e""x - cos x ]
y"-y=2xsenx [ y=c1e"x+c2ex-xsenx-cosx ]
y"-3y'+2y=2e3x [ y=Clex+c2e2x+e3x ]
y" + y'=ex (3Cosx + senx) [ y=c1+c2e~x-fexsenx ]
y"+y,=5x+2ex [y=c]L+c2e"x+(5/2)x2 -5x+ex]
yf,-2y f +2y = e xsenX [y*ex(c.jCosx+c2senx)-xexcosx/2 ]
yn + 9y=senx + e2x
[y^c1cos3x f c2sen3x+ (senx)/8 + e2x/J3 ]
y"-4v=e 2x sen2x
[ y = Cne""2x + c2e2x- e2x (sen2x + 2cos2x)/20 ]
y" - y = xe ~x
[ y - C;Lex + c2e"x - (x2 + x) e"x/4 ]
y?f + 2yf + 3y = e"xcosx
[ y' - e"x(c-,cos ( / 2x) + c2sen (/ 2 x) + cosx) ]
ytf + y = x sen 2x

230
[ y = c-jsenx + c2cosx - x(sen2x)/3 - 4(cos2x)/9 ]
y"+y=x exsenx
[ y=c1senx+c2cosx+ex [ (14-10x)cosx+(5x-2)senx ]/25]
y"-fy=x+ex senx
[ y=c;,senx+C2Cosx+x+(exsenx-2excosx)/5 ]
4.42 Risolvere liquazione ym- y"=senx.
[L'equazione caratteristica dell' omogenea associata è A.3 - X2 =
= À2 (X - l) = 0 ed ammette la radice semplice À s 1 e la radice
doppia À=0. Perciò l'integrale generale dell'omogenea associata è c1ex +
+ c2x + c~. Per la j) dell'introduzione, esistono due numeri reali q,s
tali che v (x) = qcosx + s senx è un'integrale particolare dell'equa -
zione data. Sostituendo v nell'equazione, si ricava q=s=l/2, pertanto
l'integrale generale della data equazione è y(x) - c.,ex+c2x+c«-f{cosx+
+senx)/2 *]
4.43 .Risolvere l'equazione differenziale y ^4) -y=x3.
[L'integrale generale dell'omogenea associata è y=c.,e~x+c2ex + c~cosx+
+ e,senx. Cerchiamo un integrale particolare sotto la forma v (x) =
=ax3 + bx2+ ex + d. Imponendo a v di risolvere l'equazione data,si
trova vq(x) = - x3 . Perciò l'integrale generale è y=c1e"x + c2ex +
+ CoCosx + e, senx - x3 ]
(4)
4.44 Risolvere l'equazione y + 2y" + y=xex .
[L'equazione caratteristica dell'omogenea associata è Àu+ 2À2 + 1= 0
ed ammette le due radici doppie i, -i. Pertanto l'integrale generale
dell'omogenea associata è c.cosx + c2senx + x (c~cosx + e, senx).
Poiché À= 1 non è radice dell'equazione caratteristica, l'equazione
data ammette un integrale particolare del tipo vq(x) = ex(b,x + t>2). So
stituendo v nell'equazione, si ricava b.. = 1/4, b2=-l/2; pertanto lo
231
integrale generale, della data equazione è y(x) = c-,cosx + c«sen x +
+ x(c3cosx + c4senx) + ex [ (l/4)x-(l/2) ] ]
5 Risolvere le seguenti equazioni lineari non omo
genee di ordine superiore al secondo
ylll - 3y»l + 3y» - y ^ CQSX
[ y = c^ + c2xex + c3x2ex + (senx + cosx)/4 ]
y HI + y" - y » - y - e 2X
[ y=c1ex + c2e~x+ c3xe~x+ e2x/9 ]
2y'" + 7y" + 7y ' + 2y = x2
[ y^e""2* + c2e"x/2 + c3e"x + (l/2)x2 - (7/2)x + 35/4 ]
y'" - 2y" + 2y' = e2x
[ y = c1 + ex(c2cosx + c3senx) + e2x/4 ]
y'" - 2yM + 2y' = cos x
[ y = c1 + ex(c2cosx + c3senx) + (senx + 2cosx)/5 ]
y'!' - y" = 3x2 + x
[ y = C;L + c2x + c3ex - (l/4)xt+ - (7/6)x 3 - (7/2)x2 ]
y + y = 2senx cosx
[ y = C;Lex/ ^ 2 cos(x/ /£" ) + c2 ex/^ 2 sen (x/ fi ) +
+ c3e"x//2 cos(x//F) + c4e"x/v/2 sen (x/ /T )+(sen2x)/17 ]
y(4) - 3y'" + 2y" = cosx
[ y=Cl + c2x + c3ex + c4 e2x + (3senx - cosx)/IO ]

232
4D. IX metodo della variazione delle co—
statratidL
Consideriamo l'equazione lineare del secondo
ordine
(1) yM + a(x)yf + b(x)y = f(x)
a coefficienti e termine noto continui. Nel
paragrafo 4C abbiamo visto che, per determinare il suo inte_
graie generale, è sufficiente conoscere due
integrali yx(x), y2(x) linearmente indipendenti
dell'omogenea associata ed un suo integrale particolare v0(x).
In tal modo, l'integrale generale è dato da
y(x) = c1y1 (x)+c2y2(x)+v0(x).
Per determinare vG(x) si può ricorrere al metodo della
variazione delle costanti, dovuto a Lagrange, descritto
dal seguente
TEOREMA. Siano y x (x) , y? (x) due integrali
linearmente indipendenti dell 'omogenea associata alla (1). Siano Yi (x)
Y2(x) due funzioni tali che le loro derivate prime risolvano
il sistema
r
Y{(x)y.(x) + y:(xJv2(x) = 0
l
[ y!(x)v'(x) + y2(x)v2(x) = f(x).
Allora la funzione v~(x) = Y i (xj y, (x) + Y2 Cx) y 2 (x) è un
integrale particolare dell' equazione (1).
4.46 Determinare l'integrale generale dell'equazione
y" + y = 1/cosx.
[Le due funzioni y, <x)=cosx, y?(x) = senx sono integrali particolari li.
nearmente indipendenti dell'omogenea associata. Per determinare un'in-
233
tegrale particolare dell'equazione data con il metodo della variazione
delle costanti, cerchiamo una soluzione della data equazione sotto la
forma
vo(x) = Y1(x)y1(x) + Y2(x)y2(x)
con YiU)> Y2(x) soluzioni del sistema
(Y2(x)cosx + Y2(x)senx a °
-Yi(^)senx + yt£x)cosK = 1/cosx.
Si trova Y{(^)=_tgx b Y2'(x) = *• Una primitiva di tali funzioni è da
ta da
yi(x) = log |cosx | , y2 (x) = x.
Perciò risulta v (x) = (log Jcosx |) cosx + xsenx. L'integrale genera
le dell'equazione data è y(x) = (log j cosx j ) cosx + x senx + c,cosx +
+ c^senx J
4.47 Applicando il metodo della variazione delle
costanti, risolvere l'equazione
y" - y = 3x2 - 1
[L'integrale generale dell'omogenea associata è c,ex + c2e~x. Cerchiamo
una soluzione della forma vq(x) s Yi (x)ex + Y2 (x)e"X con Y[(x) ,
Y2(-x) soluzioni del sistema
[Y;(x)ex+ Y2(x)e"x = 0
| Y!i(x)ex - Y'2(x)e"
Si trova
Y^x) = e"x(3x2-l)/2
Y'(>•.)=■- ex(3x*-l)/2.

234
Una primitiva, di tali funzioni è data da
Yx (x)=-3e~x [x2+2(x+l)-(l/3) ] /2
Y2 (x)=-3ex [x2-2(x-l)-(l/3) ]/2.
In definitiva, l'integrale generale è y = c.,ex+ c2e~x - 3x2 -5 ]
4.48 Applicando il metodo della variazione delle
costanti, risolvere le equazioni differenziali
(a) yM + y = tgx (b) y"+y=cotgx
x ir
cotg ( - + 7 )
2 4
[(a) y=c,cosx + c^senx + cosx - log
(b) y=c1cosx + c2senx + senx - log | tg(x/2) | ]
4.49 Applicando il metodo della variazione delle
costanti, risolvere le seguenti equazioni diffe -
renziali
(a) y"-3y'+2y=2e2x (b) y"+4y=5 sen2x
(e) yn+4y - 5 sen3x - 7 cos3x
(d) yn-3y'+2y=xe3x (e) y"+2y*+y=(logx) /ex
[(a) y = c1ex + c2e2x + 2xe2x. (b) y = c1cos2x + c2sen2x -
- 5(xcos2x)/4. (e) y = c1sen2x + c2cos2x - sen3x + 7(cos3x)/5;
(d) y = C;Le2x + c2ex + [ (x/2)-(3/4) ] e3x; (e) yKc^xJe"* +
+ x2e~x(2 logx-3)/4.]
4.50 Determinare lrintegrale generale dell'equazione
differenziale y" + k2y= f(x), ove £(x) è una fun
zione continua nell'intervallo limitato [a,b] e
k -4 0.
235
[i due integrali dell'omogenea associata y-.(x) = sen k x, y2(x)=cos k x
sono linearmente indipendenti, in quanto il loro Wronskiano è uguale
a -k. Cerchiamo un integrale particolare dell'equazione data sotto la
forma
v (x) s Yi(x) senkx + y 2(x) coskx
con Y'i(x)> Y2M soluzioni del sistema
Yi(x) senkx + Y2(x)coskx = °
Yi(x) kcoskx - Y2(x)ksenkx = f(x)
Si trova Yi(x) - ~ f(t)cosktdt, Y2(x) = " ~ f(t)senktdt e
a a
1 fx
pertanto risulta v (x) = - f(t) [ senkx coskt-coskx sen:.kt]dt =
x ,. x
f(t)senk(x-t)dt.L'integrale generale è y= -
f(t)senk(x-t)dt+
a
e,senkx + c^coskx J
4.51 Determinare l'integrale generale dell'equazione
differenziale yu - k2y= f(x) ove f(x) è una fun
zione continua in [a,b] e k f 0.
[Applicando il metodo della variazione delle costanti, in modo analogo
a quanto fatto nell'esercizio precedente, si trova y(x)=c^e +c2e +
+ [e1^
f(t) e"kt dt - e_kx
x
Jet
f(t) ekt dt ] /2k ]
4.52 Risolvere l'equazione lineare del primo ordine
yf = a(x)y+b(x), ricorrendo al metodo della
variazione delle costanti.

236
[sia yx (x) f 0 un integrale particolare dell'omogenea associata;
allora si ha y\ - a(x)y1 . Cerchiamo un integrale particolare del tipo
v (x)=Y (x) yx (x).Imponendo che vqverifichi l'equazione data si trova
y 'Yi* Yy'i = aO) Yyx + b(x), da cui, per l'ipotesi su yx, Y'yf
,x ' I a(t)dt
f ^t) jx
= b(x). Ne segue Y (*) ~ r dt, con Yi(x)=e ° 5 si ri-
J Yi(t)
x
o
trova così la formula (13) del paragrafo 4A ]
4,53 Applicando il metodo della variazione delle
costanti, risolvere l'equazione y"-3y!+2y=ex/(ex+
+ 13.
[y = CjLex + c2e2x + (ex + e2x) log (l+e"x) ]
4E . Problemi slì. X±m±t±
Come sappiamo dal teorema 1 del paragrafo 4C, lo
integrale generale di un'equazione differenziale
lineare del secondo ordine è dato da
(1) y(x)=c1y1(x)+c2y2 (x)+v0(x)
ove y1,y2 sono due integrali particolari,
linearmente indipendenti, dell'omogenea associata e v0 è un
integrale particolare dell'equazione data,definiti in
un intervallo [a,b].
Dal teorema di Cauchy enunciato nel paragrafo 4B
sappiamo che è sempre possibile determinare
univocamente le costanti cx e c2 in modo da ottenere un
integrale particolare verificante le condizioni iniziali
y(xj = y0> y! (*0) = y0(1) •
237
Se invece si impongono alla y le cosiddette condì
zioni ai limiti y(a) = A, y(b) = B, o, più in generale"
hy(a) + h!y!(a) = A, ky(b)-fk!yf (b) = B con h e h'
non entrambe nulle e k,k! non entrambe nulle, si po_s
sono avere una sola soluzione o nessuna soluzione o
infinite soluzioni.
Ad esempio, nel caso più semplice delle condizro
ni ai limiti y(a) - A, y(b) = B, si ottiene il
sistema di due equazioni lineari nelle due incognite
(2)
y1(a)c1 + y2(a)c2 =-v0(a) + A
J1(b)c1 + y2(b)c2 =-v0(b) + B
il cui determinante dei coefficienti
A=
yx(a) y2(a)
y^b) y2(b)
può essere diverso da zero o uguale a zero.
Il sistema omogeneo associato al sistema (2) è
quello relative alirequazione differenziale omogenea
associata alla data, con le condizioni ai limiti omo
genee, cioè nelle quali risulti A=0, B=0. Perciò, se
questo problema omogeneo ha come unica soluzione la
funzione identicamente nulla, il problema non
omogeneo avrà un'unica soluzione. Se il problema omogeneo
ha invece una soluzione non nulla, il problema non
omogeneo avrà infinite soluzioni, o sarà impossibile
a-seconda che il termine noto f(x) e le costanti A,
B verifichino, o meno, certe condizioni.
Ad esempio, studiamo i problemi ai limiti per la
equazione differenziale y" + y = 0, con le
condizioni

238
(a)
y(o) =
y(ir/2)^
00
y(o)=i
y00=i
(e)
y(0)-0
y(TT)=o
L'integrale generale è y(x)=c1cosx + c2senx; imponen
do le condizioni (a), si ottiene il sistema lineare
nelle incognite cl9 c2
(Cj cos 0 + c2 senO = 1
'cx cos(tt/2) + c2sen(ir/2)=-l
cioè c1=l, c2=-l, per cui il problema ammette
l'unica soluzione y = cosx-senx.
Imponendo le condizioni (b), si ottiene il siste
ma
CjCosO + c2senO '= c1=l
Cj^costt + c2seniT =-c1 = l
che è impossibile, per cui il problema non ha solu -
zioiie. Infine, nel caso (e) si ottengono le infinite
soluzioni y=c2senx, c2eR.
4,54 Determinare tutti i valori reali del parametro
k, per cui esiste un'unica soluzione del proble^
ma
+ ky
0
\ y(0)=y(TT)-0
[L'equazione caratteristica è X2 + k = 0. Distinguiamo tre casi:
(a) k > 0, (b) k = 0, (e) k < 0.
(a) Le soluzioni dell'equazione caratteristica sono . ± i/ k , perciò
l'integrale generale è y(x)=c1 cos(v k x)+ c2 sen (/k x). Affinchè
risulti y(0) = y(TT)=0, dovrà essere
239
I cx cos (/k 7T ) + c2 sen(/k IT ) = 0
ovvero cx = Q, c2 sen( /k IT ) = 0.
Se vk è intero, allora si'ha sen(v k TT)=0 per cui il sistema
precedente è soddisfatto da cx = 0, c2 6 R. Se / k non è intero, allo
ra sen( vk TT ) i 0 perciò dev'essere cx = c2 = 0.
In definitiva, se k > 0, il problema considerato ha una ed una
sola soluzione (identicamente nulla) se e solo se v k non è intero,
(b) L'equazione caratteristica X2 = 0 ammette lo zero come radice doj)
pia, per cui l'integrale generale è y(x) = c1 + c2 x. Affinchè risulti
y(0) = y(^ ) = 0> dovrà essere c1 = c2 = 0e cioè y(x) = 0 per ogni x.
Pertanto in questo caso il problema ha unica soluzione,
(e) L'equazione caratteristica X - (-k)=0 ammette le due soluzioni
/ v -k x - v-k x
±v-k , perciò l'integrale generale è y(x)= cx e + c2 e
Affinchè risulti y(0) = y(TT) = 0, dev'essere
e, +c2= 0
/-k TT - y~k TT
2 e, + e c0 = 0
ovvero c1 - c2 = 0. Pertanto in questo caso il problema ha unica
soluzione ]
4.55 Determinare i valori del parametro k per cui e-
siste una ed una sola soluzione del problema ai
limiti
Ì' x
y" + 4yf + ky = xe
y(0) = y(l) = 0
[Per k ^ - 5 l'equazione differenziale ammette l'integrale particolare
r x 6 -i x
v (x) = 5 e
L k+5 (k+5)2 J

240
Per k<4(k/-5) l'integrale generale è
X ■> x X j x
y(x) = e, e + e 2 e * + v (x)
A. = - 2 ± /4-k . Le condizioni ai limiti implicano
c1 + c2 * 6/(k+5)2
cxe x+c2e ^ = - v (1)
e perciò il problema ai limiti ha unica soluzione.
Per k=4, l'integrale generale è
-2x -2x
y(x) = e xe '+ c2 xe + vq(x).
Le condizioni ai limiti implicano
, = 2e/27
-2
" vA(l)
e perciò il problema ai limiti ha unica soluzione.
Per k > 4, l'integrale generale è
-2x
y(x)=c1 e eos(x / k-4 )+c2 e sen(xv k-4)+vo(x)
e le condizioni ai limiti implicano
e Cl = ó/(k+5)2
-2
-2
e, e cos
L "i
/k-4 + e P e sen /k-4 = - v (1)
Il determinante di .questo sistema nelle incognite c i > c2 ® ^
e sen/k-4 , perciò il sistema ammette unica soluzione se k^ 4+h IT
con h intero.
Nel caso k=-5, si verifica che il problema ha unica soluzione J
241
4.56 Determinare i valori del parametro keR per i.qua
li esiste almeno una soluzione del problema ai
limiti
y'f+y = asenkx + geoskx
y(0) = yC-rr) * 0
[L'integrale generale dell'equazione è dato da
, . CX senkx |3coskx
y(x)=c1 cosx +c2 senx + ^- +
1-k" 1-k z
se k j* ±1; è dato da
y(x)=c1cosx + c2 senx + ( |3 senx-a cosx) x/2
se k = 1; è dato da
y(x)= c1 cosx + c2 senx + ($ senx + a cosx)x/2
se k=-l. Nel caso k / ± 1- le condizioni ai limiti implicano
f y(0) = Cl+ g/(l-k2) = 0
y(TT )=- c1 + 3 coskTT /(1-k2 ) = 0
e questo sistema è compatibile se e solo se coskTT =-1, cioè se e solo
se kTT = (2m± 1) TT con m intero. Per k = ±1, il sistema è compatibile
solo se a = 0 ]
4.5 7 Determinare i valori del parametro k f 0 per i
quali il problema ai limiti
f y» + k2y = f(x)
1 y(0) = y(ir) = 0
con £ continua in [0,tt], ammette una ed una so-

242
la soluzione.
[Dall'esercizio 4.50 segue che l'integrale generale dell'equazione è da
to da
-i f
y(x) =- J f(t)senk(x-t)dt + cx senkx + c2 coskx.
Imponendo le condizioni ai limiti, si ricava il sistema nelle
incognite cx , c2 t
e 0 = 0
/•TI
1
k
f (t)senk( 7T -t)dt + c1 senk 7T = 0
Se sen kTT i 0, cioè se k non è intero, la costante cx è individuata
univocamente, al pari di e 2 , e perciò il problema ai limiti
ammette soluzione unica.
Se k è intero, la seconda equazione del sistema è impossibile (e
perciò il problema ai limiti non ha soluzione) a meno che non risulti
f(t)senk(lT-t) dt = 0,
'0
nel qual caso c1 è indeterminata (e perciò il problema ai limiti ha in
finite soluzioni) ]
4F. E<r*jt<s*.:z:±ori± 1 iLnc^ax^ cl± Eulero
i
Si chiama equazione di Eulero un'equazione diffe
renziale lineare del tipo
,r <n> . !Ll (n-l) ' , ■ an-l , L an
y + — y +. ..+ —— y» + — y = g(x)
-a. -v-n-x v
con a,. a
1 ) ^2 >
.,an€R. Per x f 0 l'equazione può seri-
243
versi nella forma equivalente.
xny(n) + a1xn"1y (n"lì + . . .+an-1 xyf +■ any = f(x),
dove si è posto £(x) = x g(x). Tale equazione, pur es_
sendo a coefficienti variabili, mediante la
sostituzione t = log|x| si riduce ad un equazione
differenziale lineare a coefficienti costanti.
Considereremo nel seguito equazioni di Eulero del
secondo ordine:
(1) x2yn + pxy' + qy = f (x)
ove p,qeR e x > 0. Effettuando per x > 0 la
sostituzione t = logx (cioè x=et) si ha
dy_ _ dy_ dt _ 1 dy
dx dt dx x dt
dx2 dx L x dt ' x2 dt x .dt2 dx
x2 ^ dt2 dt ;"
Perciò la (1) si trasforma nell'equazione a coeffi -
cienti costanti
L'equazione caratteristica dell'omogenea associata
alla (2) è
(3) X2 + (p-l)X + q = 0.
Se X è una radice semplice della (3) allora l'equa -
zione omogenea

244
(4) x2yff + pxyf + qy = 0
ammette l'integrale particolare e , cui corrisponde,
come integrale della (4), la funzione x . Se X è una
radice doppia della (3), allora la (4) ammette
l'integrale particolare te , cui corrisponde, come inte^
graie della (4), la funzione x logx.
Il fatto che la (4) ammetta integrali
particolari del tipo
X X,
x , x logx
può essere anche dedotto direttamente dalla (4) ste_s^
sa. Ad esempio, posto, nella (4), y = x , con X da
determinarsi, si ha
yf=XxÀ_1 y" = X(X-l)xA~2.
Sostituendo nella (4), si ottiene
. r. .. ■% A ÀX X
X(X-l)x + p x +qx =0,
ovvero
X(X-l) + pX + q = 0
cioè, l'equazione caratteristica (3).
Per determinare l'integrale generale dell'equa -
zione omogenea (4), una volta che sia noto un suo
integrale particolare y1(x)y può essere utile
applicare il procedimento di abbassamento dell'ordine di una
equazione omogenea.
Tale procedimento consiste nellfeffettuare nella
(4} il cambiamento di funzione incognita .
245
y = v(x) y2(x).
In tal modo la (4) diviene, con semplici
passaggi
x2y1vM + Ux^J+pxy^v1 = 0
Posto u = v* si perviene così all'equazione del
primo ordine
ur + ( Ili + £ )u =
di facile risoluzione.
4.58 Verificare che se l'equazione (3) ammette due
radici reali e distinte X19 X2, allora le fun-
• • A, \9
zioni x A, x 2 sono integrali particolari
linearmente indipendenti dell'equazione di Eulero
omogenea x2y" + pxyf + qy = 0.
[Si vede subito che il Wronskiano delle funzioni x l . x 2 è uguale a
. y , A -, + X ~ ~1 _
( X2 -A1)x d / 0 per x > 0 j
4.59 Verificare che se l'equazione (3) ammette una
radice doppia X, allora le funzioni x'\ xAlogx
sono integrali particolari linearmente
indipendenti dell'equazione (4). ^
r. . XX
j_ Supponiamo che risulti c]Lx + c2x logx * 0 per x > 0. Scegliendo x=
x
=1, ne segue cx =0, e perciò anche c2 x logx = 0 per ogni x > 0. Ma
allora dev'essere anche c2 = 0 ]
4.60 Verificare che se l'equazione (3) ammette due
radici reali complesse Xx = a + i|3, X2 = a-i|3,al.

246
r • • a+ig a-ip , . ,
lora le funzioni x , x sono due mie -
grali particolari linearmente indipendenti del-
1'equazione (4)%
20t -1
[si vede subito che il Wronskiano è uguale a ~2i|3x i 0 perchè $ì
f 0. Due integrali reali linearmente indipendenti sono x a cos(|3 logx),
x asen( (3 logx) in quanto
a±i|3 a ±iP a ligiogx ar n n , -,.
x =xx = x e =x L cos(p logx) ±isen(p logx) JJ
4,61 Risolvere l'equazione di Eulero omogenea x2y" -
- 4xy' + 4y = 0
r X a ^L
LCerchiamo un integrale particolare della forma y = x . Si ha y' = Ax
y«t « A (A - l)x . Sostituendo nell'equazione, si ha
> , À _ A A
A (A - l)x - kXx + 4x =0
A _ o >
ossia, dividendo per x , A-5A+4 = 0. Le radici di questa equa. -
zione sono X = 4 e X = 1. Perciò l'integrale generale èy-c1xt+ +
4.62 Risolvere l'equazione di Eulero x2y"+2xy'-2y=x:
r t
[Ponendo x = e , si ottiene liquazione
d2y dy dy t 2 2t
—f . JL + 2 JL - 2y = (e ) -- e ,
dt2 dt dt '
d2y dy 2t
(«) -2 + % - 2y - e .
L'equazione caratteristica dell'omogenea associata è X + X-2=0 ed am
mette le radici Xx =-2, X2=l. Perciò l'integrale" generale dell'omo-
-2t t
genea associata èc]Le + e2e . Un integrale particolare dell'equa-
247
2t
zione (*) è v (t) = be . Imponendo che vo(t) risolva (*) si trova b =
-2t t 2t
= 1/4» Perciò l'integrale generale di (*) è y(t)=cxe +c2e +e /4 .
t
Ponendo nuovamente x = e , si trova che l'integrale generale dell'equa
~21ogx logx 21ogx, -2 2 -,
zione data è cxe + c 2 e +e /4 = c,x +c2x + x/4J
4.63 Risolvere l'equazione differenziale di Eulero
x2y" + 2xy* - y = x (logx + 2),
[Ponendo x=e si ottiene l'equazione
d2y dy dy x t
—! - -i + 2 ~ - y = (t + 2)e
dt2 dt dt
d 2y dy t
dt2 dt
L'equazione caratteristica dell'omogenea associata è X +X - 1=0 ed
ammette le radici (-1± /5 )/2. Perciò l'integrale generale dell'omoge
(-l-/~5)t/2 (-l+/I)t/2
nea associata alla (*) è c1 e + c2 e .Un integra'
t
le della (*) è v (t) = (bt+c)e . Imponendo la condizione che vQ(t)
risolva (*), si trova b=l? c=-l. Perciò 1! integrale generale di (*)
(-1- /7)t/2 (-l+/?)t/2 t
è y(t) = e, e +c2e + Ct""l)e . Ponendo nuova -
mente x = e , si trova che l'integrale generale'dell'equazione data è
(-1- /5)/2 (-1+ /5)/2 ^ ^ -f
K + C 2 X + X(logx-l) J
4.64 Determinare per x > 0 l'integrale generale
delle seguenti equazioni differenziali ,
x2y" + 2xy'-6y=0 [y=ci x + c2 x2 ]
x2y" + xy' - 4y = 0 [y = cxx + c2 x2 ]

248
x2y!!-5xy,4-9y=0 [y=clX3+ c2x3iogx ]
X2y!!+Xy!+4y=0 [y=Cl cos(21ogx)+c2sen(21ogx) ]
x2y!!-4xy!+6y=0 [y=clX2 + c2x3 ]
X2y!!-.5xy ! +13y=0 [y=c1x3cos(21ogx)+c2x3sen(21ogx) ]
x2y!!-2xy *+2y=x2+2 [y=c1x + c2x2 +x2 iogx+i]
x2y!!-5xyf +9y=x3 [y=c1x3 + c2x3iogx + (x3/2)iog2 x]
X2yf!-5xy!+10y=0 [y=c1x3cos(logx)+c2x3sen(logx)]
X2y!!+xy!+y=0 [y=C;Lsen(logx)-i-c2cos(logx) ]
x2y!! + 3xy! + y=0 [y = Clx" +c2x~ logx ]
x2y!! + 2xy!+y = 0
[y- [c1cos(\/3/2 logx)+c2sen(/"3/2 logx) ] //7 ]
x2yf!-xy! -3y=x2logx
[y=clX + c2x^ -(2/9)x2 -(x2 logx)/3 ]
x3yi! + x2y + xy + 1 = 0
[y - c1 cos(logx) + c2 sen(logx) - 1/(2x) ]
x3yf! _ x2y! + 5xy . 1Q = 0
[ y = cx x cos(log(x2))+ e 2 x sen(log (x2))+ 5/(4x)]
x3y,! + 2x2yf - 2xy + 4 = 0
[y = cxx + (c2/x2 ) + 2/x ]
x2y" + xyf + k2y = 0
, [y = c^cosCklogx) + c2sen(klogx) ]
X2ytt + xyf . k2y = 0 [y = ClXk+ (C2/Xk) ]
4.65 Determinare le soluzioni dell!equazione diffe -
renziale x2yf!+xy!-4y=x~3 - x che soddisfano la
condizione lim .
x-> +00 X 3
r t
|_Posto x = e si ottiene l'equazione
d2y -3t t
(*) --{ - 4y = e
249
dt
- e
T. . -2t 2t
L'omogenea associata ha come integrale generale y (t)=c1 e +c?e
d2y ~3t .-3t
Un integrale particolare di —^ - 4y = e è e /5 - un integrale
■ d2y t t
particolare di —r- - 4y = e è -e /3 ; perciò un integrale partico-
dt
lare di (<:) è vq - (e /5) + e /3. Allora l'integrale generale di (*)
è y(t) = c1 e~2t + c2 e2t + (e""3t/5) + e^^/3. Posto di nuovo x = et, la
equazione data ammette l'integrale generale y(x) = (c1 /x2 )+c2x2 +
+ l/(5x3) + x/3. Imponendo la condizione lim y(x)/x ~ 1/3 si ha
c2 = 0. Perciò le soluzioni richieste sono y(x) == (c/x2 )+(l/(5x3)) +
+ (x/3) con e eR ]
4.66 Determinare le soluzi'oni dell! equazione diffe -
renziale x2yH+4xy! + 2y=x3-x"1 che soddisfano la
condizione lim x2y(x) = 0
x ->o
[y(x) * (c/x) + (x3 /20) - (logx)/x, con e 6 r]
4.67 Considerata l'equazione differenziale
Cx-a) 2yf!+p(x-a)y! + qy = 0,
detta anch!essa equazione di,Eulero , verificare
che, se l'equazione caratteristica
X(X - 1) + pX + q = 0
ha due radici reali distinte Xx, X2, il suo in-

250
tegrale generale è dato da
y^CiCx-a) * + c2(x-a) 2 ,
mentre se X è una radice doppia, 1 ' integrale
generale è dato da
y55^^ c2log(x-a)](x-a)
4.68 Determinare i valori del parametro k / 0 per i
quali il problema ai limiti
{x2y" + xyf + 4k2y = 0
y(l) - y(2) = 0
ammette una soluzione diversa da quella identi.
camente nulla,
[ L'equazione differenziale essendo un'equazione di Eulero omogenea ,
cerchiamo le sue soluzioni sotto la forma y = x .Si trova l'equa -
z ione X2+ 4k2 - 0 le cui radici sono date da X= ±. 2ki.
Essendo k j 0, l'integrale generale è y(x) = ex sen(2klogx) +
+ c2 cos (2klogx). La condizione y(l) = 0 implica c2 = 0, La condì -
zione y(2) - 0 implica cl sen(2klog2) = 0.
Pertanto, se k f- hlT /(21og2) con h intero, allora si ha cx = 0 e
perciò l'unica soluzione del problema ai limiti è quella identicamen
te nulla. Se invece esiste un intero h r 0 tale che k = hTT/(21og2) ,
allora la funzione y(x) = c^ sen [(hTT logx)/log2 ] è soluzione non
nulla (se c1 i 0) del problema dato ]
4G. Integ3ra.sione jp&xr serie
Non sempre è possibile integrare unfequazionedif
feienziale mediante funzioni elementari, cioè fun -
zioni polinomiali, esponenziali, trigonometriche e
loro inverse. Talvolta, la soluzione va cercata sojt
251
to la forma di una serie di potenze
(1) y = \ cn(x-x0)n ,
n=0
i cui coefficienti possono essere identificati,
imponendo che la (1) sia soluzione della data equazi£
ne. Il punto x0 che figura nella (l) potrà essere il
punto nel quale sono assegnate le condizioni inizici
li y(xj = y0, yf(xj = y^ , ecc.
Ad esempio, si voglia risolvere il problema di
Cauchy
Cerchiamo la soluzione sotto la for
y(x) = I ax11 .
n=0 n
ma
Derivando si ha
h'(x) = I nax""1
n=l n
e, sostituendo nell'equazione differenziale, si ha
r- n-1 n n+1
E nan x = x l ax = E a x ,
h=0 n=0 n=0
ovvero
a1+2a2x+3a3x2+4aux34-. . .=a0x+a1x2+a2x3+. . . .
Uguagliando i coefficienti delle stesse potenze di
x si ottengono le seguenti relazioni tra i coeffi -
cienti incogniti

252
a^O, 2a2-aOJ 3a3 —a1, 4alf-a2> 5a5-a3, . .
e, in generale nan = an_2 per n> 2.
Ne segue a-2n+i=0 per ogni n, ed inoltre a2n
= a2n-2/^n' Dalle relazioni
a2=a0/2, ai+=a2/4, a6 = a^/6 , . . ,
segue
a" 2-4 ' ae 2-4-6 ' "', a2n 2-4- ... • 2n
cioè
a2n " a0/(2nn!) .
Si ottiene così l'espressione di y(x)
co x2n
y(x) = a0 E — .
n=o 2nn!
Essendo y(0) = 1, si ricava a0=l e perciò
co v 2n
y(x)
n=o 2nn!
La serie dì potenze a secondo membro essendo lo sv_i
x2/2
luppo di MacLaurin della funzione e , ritroviamo
così la soluzione y(x) = ex ^2 che avremmo determina,
to procedendo direttamente all'integrazione, con i
metodi del paragrafo 4A.
Osserviamo che non sempre la soluzione ottenuta
mediante integrazione per serie sarà rappresentata
da una serie convergente verso una funzione
elementare .
253
4.69 Risolvere il problema di Cauchy
y" + 2xy' + 2y = Q
y(0)=l, y'(0)=0
[ Cerchiamo una soluzione sotto la forma
y = E an x"
n=0
Essendo
co co
y1 = I naRx , y" = E n(n-l)anxn ,
n=l n=2
sì ha
co co co
y" + 2xy' + 2y = E n(n-l)a xn"2 + E 2na *n + E 2a„xn =
n=2 n n=l n n=0 n
co co co
= E (n+2)(nKL)a„,0xn + E 2na£n + E 2a xn
n=0 n-0 n n»0 n
Perciò dev'essere, per ogni x
co
E [(n+2)(n+l)an+2 + 2(n+l)an ]Xn * 0
n=0
e quindi i coefficienti a devono soddisfare le relazioni di ricor
renza
(*) an+2 = " 2V<n+2> n^°*
Essendo y' (0) * a x = 0, dalla (-) segue che &2k+l = 0 per ogni k. Se
invece n = 2k, la (*) implica
a2(k+l) " " ^'^
Essendo y(0) = a = 1, ne segue

.254
a9 = - an = - 1, a ,= - a2 /2 = 1/2
a6 = - a^/3 - - 1/(2-3), a8= - a6 /4 = 1/(2-3-4)
k+1
e cosi via. Pertanto risulta ^(k+l) ~ ^~1^ /(k+l)l
e cosi si ottiene l'espressione di y(x):
00 k 2k
(**) y(x) = Z (-1) x /k!
k=0
Abbiamo perciò dimostrato che se la soluzione del problema di Cauchy
si può rappresentare mediante una serie di potenze, allora la serie è
necessariamente quella che figura al secondo membro della (**). Poi -
che tutti i passaggi eseguiti sono invertibili, per dimostrare che la
serie rappresenta effettivamente la soluzione,'basterà dimostrare che
essa converge. Ciò segue subito dal criterio del rapporto. Osserviamo
2
che {'«•) è lo sviluppo dì MacLaurin della funzione y(x)=e~x e che
tale è la soluzione del dato problema di Cauchy]
4.70 Risolvere, mediante integrazione per serie, la
equazione differenziale yff + xyf + y = 0
m n 2n co n 2n-*ì
I y(x) = a L + a , l ; J
yK ° ri=0 2nni l n=0 1-3-5-...-(2n+l)
4,71 Risolvere, mediante integrazione per serie, la
equazione differenziale (l-x2)yff-2xyf + 2y=0 .
[y(x)=a x + a1[l-x2-(xl» /3)-(x6 /5)-(x8/7)- ]]
4.72 Risolvere, mediante integrazione per serie, le
seguenti equazioni
(a) yff+5xy=0 (b) yM+xyf+3y=0
(e) yf,+xy'+7y=0 (d) yT,+x2yT +xy=0
zìo
[ Si ha y = E a x
n=0
con aQ e ax costanti arbitrarie e (a) a2 = 0 ,
an+2= " 5an-l7 C(n+l)(n+2) ], per n > l; (b) an+2 — (n+3)^/ [(n +
+l)(n+2) ], per n > 0; (e) an+2 =-(n+7)an/[ (n+l)(n+2)] , per nM);
(d) a2 = 0, an+3 *-(n+l)an/[ (n+3)(n+2)] per n > o]
4.73 Per ogni ceR risolvere mediante. integrazione
per serie l'equazione differenziale di Hermite
yff-2xyf +2cy = 0.
00
[ y = E a-nx , con an+2 = - 2(c-n)an/ [ (n+l)(n+2) ] e ao,ax
costando
ti arbitrarie]
4H. S±st<E*m± cii &<q.\x3LZ±orL± <3L±ff^^^x\z±SLX±
X±ne:Q.x"i
po
(1)
Un sistema di n equazioni differenziali del ti-
y'i = a11(x)y1+ a12(x) y2+...+ aln(x)yn + f2 (x)
y2 s a21(x)yi+ a22(x) y2+...+ a2n(x)yn + t% (x)
K = am<x)yi+ ah2wy2+-+ annW yn + Vx)
SÌ chiama sistema di equazioni differenziali lineari del
primo ordine. Per soluzione di tale sistema si
intende una n-pla di funzioni derivabili y1=yx (xj ,... ,y„=
= ynCx) °he soddisfano simultaneamente le n equazi£
ni per x appartenente ad un intervallo I di R.
Sussiste il seguente teorema di Cauchy

25 6
TEOREMA (DI ESISTENZA ED UNICITÀ1) . Se i coeffi -
denti a^ (x) ed i termini noti .fi (x) sono funzioni conti^
nue nell'intervallo limitato [a,b], allora, per ogni X0t[a,
b , ] e per ogni (y£ ,y° , . . . , y°) e R esiste una ed una sola
soluzione del sistema (1) verificante le condizioni iniziali :
Il sistema (1) si dice omogeneo se tutti i termini
noti £,. (x) sono identicamente nulli in [a,b]; altrjL
nienti si dice non omogeneo.
Per risolvere il sistema omogeneo a
coefficienti costanti
(2)
yi = «nyi + ai2y2+---+ainyn
y«2- a2iyi + a22y2+...+ a2nyn
cerchiamo di soddisfarlo ponendo
(3)
Bx , 0£x ttx
yr^e > y2=x2e * • • • * yn* xne
costanti da determinarsi.
con X2, . . . ,Xn.,a
Imponendo che le funzioni y!,...,yn soddisfino
il sistema (2), si perviene al sistema di equazioni
lineari nelle incognite X1,...,Xn:
(4)
f (au- a)Xx* a12 X2 + ...+aln XR = 0
a21X1+ (a22-a)X2 +...+ a2nXn = 0
anlXi +an2X2 +---+ (ann" a> Xn = °
•257
che ammette una soluzione diversa dal vettore (0
•••>0J se e solo se risulta '
(5)
anl
an2
aln
a2n
= 0
cioè (ved. il paragrafo 5G del voi. I, parte prima)
se e solo se a è autovalore della matrice .a.. . La
(5) è un'equazione algebrica di grado n che prende
il nome .di equazione caratteristica del sistema (2) .
Si dimostra che, se l'equazione caratteristica
(5) ha n radici distinte a2,a2, . . . ,an, cioè, se la
matrice a., ha n autovalori distinti, allora, detta
(k) (k)
(X2 , ...,X ) la soluzione del sistema (4) per a =
= ak, le funzioni
7W _ (k)
:kx
y(k)=,(k)eakX
costituiscono una soluzione del sistema (2), e che
le soluzioni (y (k) y (k)
w 1 ' J 2
rW
), al variare di
k = l,...,n, costituiscono un insieme di soluzioni
linearmente indipendenti. Pertanto, l'integrale
generale del sistema (2) è dato da (y1,...,yn) con
, (ì) aax (2) a2x (n) anx
y1-c1 Aj e +c2^i e +...+ cnA1 e
i (1) aix , \(2) a2x . (n) Otx
y2 = c1 X2'e +c2 X\Je 2 +..,+ cn\y e n
(i) alX (2) a2x (n) ax

258
(k)
ove ej,...,e sono costanti arbitrarie e X1 , ,
, Xn sono autovettori della matrice A = (a^ ) corr_i
spondenti ,allfautovalore afc.
Consideriamo ora il sistema non omogeneo a coefficien
ti costanti
(6)
y».(x) - ayx(x) + by2 (x) + f(x)
[y2(x) = cyxCx) + dy2(x) + g(x)
e supponiamo che i termini noti f(x) e g(x) siano de_
rivabili nellfintervallo [a,p].
Per risolverlo, possiamo procedere nel modo
seguente. Deriviamo rispetto a x la prima equazione,
ottenendo
yy = ay{ + by* + £f.
Sostituendo il valore di y[ ricavato dalla
seconda equazione, otteniamo
yV - ay{ + b(cyx + dy2 + g)+£f =
•=ayj + bcy1 + dby2 + bg + ff.
Il valore by2 può essere ricavato dalla prima
equazione; by2 - y* - ayx - £. Sostituendo, si ot -
tiene
yy = ayj + bcyx +d(y ' -alyx -f) +bg+£ì
ovvero l'equazione del secondo ordine
nell'incognita yx
yy-(a+d)yj + (ad-bc^ = bg-df+f.
259
Dopo aver determinato y13 si ricava y2 dal
sistema (6) .
4.74 Risolvere il sistema omogeneo
(y[ = 5y2 + 4y2
[ y2 = Yl + 2y2
r /5 M
I La matrice dei coefficienti è A = f
\i 2;
L'equazione caratteristica è
5 - a 4
i 2 - a
= (5-a )(2-a )-4=ot2-7a+ 6 = o.
Quindi la matrice A ha i due autovalori semplici 6 e 1. Per
determinare un autovettore di A corrispondente ali1 autovalore Ct=6,
risolviamo il sistema
X 1 + 4 X2 = 0
Àj-4 À2 =0
da cui segue Aj = 4À2 j ad esempio (4,1) è un autovettore. Analoga
mente si vede che (1,-1) e un autovettore corrispondente al l'auto
valore Q=l. Allora l'integrale generale del sistema dato è
6x x
6x x -,
y2 = cie - c2 e J
4.75 Risolvere il sistema omogeneo
Yl = 2Yl + y2
l
Yi + 2y:

260
x 3x x ìx -,
[yi = cx e +c2e , y2 = - Cj e + c2 e J
4.76 Determinare la soluzione del sistema
y{ = y2
y'2 = Yi
che verifica le condizioni iniziali yx(0)
y2(0) = 0.
[yi= (eX + e"X)/2, y2 = (eX - e"X)/2 ]
1 ,
4.77 Determinare la soluzione del sistema
vi = y2
Yi = "
Yx
che verifica le condizioni iniziali y^O)
y2(o) = i.
[ Vj^ = senx, y2 = cosx ]
o,
4.78 Risolvere i seguenti sistemi omogenei
Ca)<
f y{ = 2Yl + 3y2
3y2 = yi + 6y.
(b)
"Yi = Yx + Y:
^2y2 =- Sy^Syj
(e)
y{ = yx + 2y;
2Yx + Y:
(d)
yi = Yi + y2
Yz = Yi " Ys
3x x 3x x X 2x
[(a)y1=3c1e - 3c 2 e , Y2=cie +c2e;(b)y1=c1e* +c2e ,
x 2x -x 3x -x 3x
y2 = cxe +3c2e ; (c)y1=c1e + c2 e ,y2=-c1e +c2e ;
261
(d) y1 - cx e
-/Fx -
/ 2 x - / 2 x — /2x ,—
+c2e >y2"ci(^2-l)e - c2 (/2+
+ lje
4.79 Risolvere il sistema omogeneo
Yi" = 3yx + 7y2 - 9y;
, Yi = 2y2 - 3y3
L La matrice del sistema è
L'equazione caratteristica è
-a 0 1
3 7-a -9
0 2 -1-a
7-a -9
2 -i-a
+ 6
ossia (a-l)(a -2)(Q£ -3)=0« Per determinare un autcvettore corrispon.
dente all'autovalore a =1, risolviamo il sistema »
- \1 + X3 » o
<j 3 \1 + 6À2 - 9 X3
2À2 -2À3=0
La soluzione è del tipo (k,k,k) con k 6R - {o } e perciò un auto

262
vettore di A è (1,1,1). Per determinare un autovettore della matrice
A corrispondente ali'autovalore OL-2, risolviamo il sistema
f -2ÀX + A3. = 0
< 3AX + 5 A2 - 9 A3 =0
[ 2A2 - 3A3 = 0
La soluzione è del tipo (k, 3k, 2k) con k ^ 0 e perciò un autovettore
dì A* è (1,3,2). Per determinare un autovettore corrispondente
all'autovalore a-3, risolviamo il sistema
I -3AX + A3 = 0
S 3AX -f 4 A2 - 9 A3 =0
[ 2A2 - 4A3 = 0
La soluzione è del tipo (k,6k,3k) con k 7* 0 e perciò un autovettore cfi.
A è (1,6,3)» Allora, l'integrale generale del sistema dato è
( x 2x 3x
yi= cie +c2e + c3e
I x 2x 3x
< y2s Cje + 3c2 e + 6c3 e
x 2x 3x
y3 = e. e + 2c2 e + 3c3 e
con cx , c2, c3 costanti arbitrarie ]
4.80 Risolvere il sistema omogeneo
yl = y3
y\ = yi
yl = yx - 3y2 + 3y3
v
[ Gli autovalori della matrice del sistema sono -1,1,3. Corrispondenti
autovettori sono, rispettivamente (1,-1,-1), (1,1,1), (1,3,1/3).
Perciò l'integrale generale è y1 - cx e~x + c2 ex + c3 e x, y2 =-c1é +
263
x j. » 3x "x x 3x -,
+ c2 e + 3c3 e , y 3 =- e l e + c2e + c3 e /3j
4.81 Risolvere il sistema omogeneo
y[ = 6Yl - 2y2 + 2y3
y2 = - 2yx + 5y2
^3 = 2yx + 7y3
r 3x 6x 9x 3x 6x 9x
Ly1=2c1e - c2 e + 2c3 e , y2 = 2cx e + 2c2 e -e 3 e , y3
3x 6x 9x -,
= -cae +2c2e + 2c3 e J
4.82 Risolvere il sistema non omogeneo
fyi = Ti - y2 + ex
[vi = 2yi-y2 + 1
[ Derivando la prima equazione, si ha y'J = y^ - y'2 + e . Sostituendo 3a
espressione di y2 dedotta dalla seconda equazione si ha y'{ = y' -
x x
~ (2yx - y2 + l)+e = yì - 2yx + y2 - 1 + e . Poiché dalla prima e-
x
quazxone segue y2 = y x ~ y*x + e , sostituendoci ottiene l'equazione
lineare m yx : y'J =- y1 + 2e -1, cioè y*{ + y x = 2e -1. L'integrale
„. , . , x
generale di tale equazione e y x = cx cosx + c2 senx + e -1, come si
verifica facilmente. Dalla prima equazione segue poi y2 = yx - y' +
x x
+ e - cx (cosx-senx) + c2 (senx - cosx)-l + e . La coppia di funzio
ni yx (x), y2 (x) così ottenute fornisce l'integrale generale del si
stema datoj

264
4.83 Risolvere il sistema non omogeneo
y
Sy-! - 2y2 + cosx
[yr
(2-/~5)x t (2+/?)x
+ e.
(7cosx-senx)/10;
Sl (3+ /T)e(2- ^ + c2 (3- /7)e<2+ /5>x
(26 cosx +
+ 2senx)/10 ]
4.84 Risolvere il sistema non omogeneo
r[ = - 2yx + y2
y\ - - 4yx + 3y2 + 10 cosx
2x
[yx (*) = cx e A + c2
- 7cosx + senx J
, , -x 2x
3cosx - sen x; y2 ^xj^c-j^ e + 4c2 e
4.85 Risolvere il sistema non omogeneo
Ìy[ = - y2 + cosx - senx
y2 = - yl + cosx + senx
r x -x x -x -,
[y 1 (x) = e x e + e 2 e + cosx + senx; y 2 (x) =-c1e + c2e J
Capitolo 5
EQUAZIONI DIFFERENZIALI NON LINEARI
DEL PRIMO ORDINE
Preliminarmente esponiamo i metodi di risoluẓ
ne per alcune equazioni differenziali non lineari
del primo ordine. Successivamente,nel paragrafo 51,
discutiamo del teorema di Cauchy di esistenza ed u-
nicità.
5A. Equazioni a va:rriat>ili separabili
Sì dice a variabili separabili' un'equazione diffe
renziale del primo ordine del tipo
(*) y' = £(x)-g(y) ,
con £ e g funzioni continue. Ad esempio, sono a
variabili separabili le equazioni differenziali
y. = £ . y. = : + y2_

266
Nel primo caso è f(x) = x e g(y) = 1/y, mentre, nel
secondo caso, si può porre f(x) = 1 e g(y)' = 1 + y2.
Per determinare le soluzioni dell'equazione
differenziale (*), si scrive la derivata yf come rappoir
to tra differenziali y' = dy/dx; si ottiene
g=fCx)-g(y) ;
poi si separano le variabili (supponendo g(y) f 0)
1
g(y)
dy = f(x)dx
e si integra membro a membro
f 1
g(y)
dy =
f(x)dx
Si ottiene una relazione del tipo G(y) = F(x)+c che
esprime il legame (in forma implicita) tra x e y.
5,1 Risolvere le equazioni differenziali a variabili
separabili
(a) y' = ~ (b) y» = 1 + y2
[(a) Si scrive l'equazione differenziale nella forma equivalente
dy _ x
dx y
da cui
y dy = x dx.
Integrando membro a membro, otteniamo
fydy = |
y2 x2
x dx => — = — + e »
2 2 '
cioè ancora y 2 = x 2 + 2c (si noti che, pur di cambiare la costante,si
267
può scrivere equivalentemente y2 = x2+c'). L'insieme delle soluzioni,
è quindi costituito dalla famiglia di iperboli equilatere y2-x2-c* ,
se e* t 0, e dalle rette di equazione y - ± x, se e* = .0.
Si può controllare l'esattezza del risultato ottenuto calcolando
la derivata y' e verificando che y* = y/x. A tale scopo ricaviamo la y
in funzione di x dalla relazione y2 = x2 + 2c:
y = ± /x2+2c
(si noti che, globalmente, y non è funzione di x; infatti y=/x + 2e
è una funzione di x e y = - A +2c è un'altra funzione). Derivando
otteniamo
x xx.
e quindi
A2+2c y ±/x2 +2c
(b) Scriviamo l'equazione differenziale nella forma equivalente
dy o <ty
-=- = 1 + y 2 => ~-^-o = dx
dx l+yz
ed integriamo membro a membro
dy
arctg y - I 5 = I dx = x + e .
1 1+y '
Quindi, in forma implicita, le soluzioni' sono rappresentate dalla rela
zione arctg y = x + e, Ve £ R. Ricavando la y si può scrivere anche
y * tg(x + e).
Verifichiamo il risultato controllando che y1 = 1 + y :
y' = D tg(x+c) = 1/cos 2(x + e);
0 0 sen2 (x+c) 1 -,
1 + y2 = 1 + tg2 (x+c) - 1 + 2) ; = 2 ]
■ cos * (x+c) cos (x+c)
5.2 Risolvere le seguenti equazioni differenziali a
variabili separabili

268
(a) yf = cos2y (b) yf=2x cos2y
[(a) Dividendo per cos2y (se cos2y f 0) e integrando, otteniamo
—— = dx => tg y = | —~— = | dx = x + e,
cos y
J cos2y J
Quindi le soluzioni trovate sono rappresentate analiticamente dalla rela
zione tg y = x + e, Vc e R. Limitatamente alle funzioni y(x.) per cui
- TT/2 < y(x) < IT /2 si può scrivere y(x) = arctg (x+c).
Oltre a ciò, occorre verificare che, separando le variabili, non si
siano perse alcune soluzioni corrispondenti al caso cos2 y = 0; infatti,
ad esempio, per la funzione costante y(x) = TT/2, per ogni x eR risulta
y*(x) = 0 e quindi y' = cos2 y" = 0. Analogamente ogni altra funzione
costante y(x) = TT /2 + kTT (k 6Z) è soluzione. Riassumendo, le soluzioni
sono rappresentate da
IT
tg y = x+c, vc€ R e y - — + kTT , vk 6 z.
e
(b) Come in precedenza si determinano le soluzioni
2 TC -,
tgy= x'+c, Vc6 ^. e y = - + kT, Vk e Z J
5.3 Risolvere le equazioni a variabili separabili
(a) y» = 2xy (b) y' = J (e) y»=- -
[(a) Oltre che a variabili separabili, l'equazione differenziale è anche
lineare omogenea. Notiamo subito che la funzione identicamente nulla è
una soluzione; inoltre, separando le var"ib-1'x", abbiamo
dy f dy
dx
I — = I 2^dx, log |y | = x2+ e;
da cui I y | = ex c = ex •
ti i numeri reali positivi; perciò ec rappresenta una generica
costante positiva. Si noti che il secondo membro eK + c non si annulla; perciò
269
y(x) non si annulla per alcun valore della x. Distinguendo i casi y^O
v2 c
si giunge alla rappresentazione y = + e • e . Tenendo conto che
anche y = 0 è soluzione e ponendo e1 = ± ec se y(x) i 0 e ci=0 se
y(x) = 0, si giunge" alla rappresentazione di tutte- le soluzioni nella
2
forma y(x) = e1 ex .
(b) y(x) = 0 per ogni x e R (x i 0) è soluzione. Separando le
variabili si ottiene
log |y | = —- = — = log |x | + e = log (ec | x | ),
da cui I y I = e | x | . Come in (a), posto e* = ± e se y(x) ^ 0 e
e' = 0 se y(x) = 0, si trovano le soluzioni nella forma y(x) » c'x ,
Ve16 R.
(e) Le soluzioni (in forma implicita) sono date dall'equazione x- +
+ y2 » e che, geometricamente, corrisponde alla famiglia di
circonferenze con centro l'origine degli assi (per ogni scelta della costante
e > 0) ]
5.4 Risolvere le equazioni a variabili separabili
(a) xyf = tg y (b) yftgx = y
[(a) Per applicare il metodo della separazione delle variabili, occorre
dividere entrambi i membri per x tgy. Essendo tg y~0 per y * kTT , con
k GZ, tutte le funzioni costanti y(x) = kTT sono soluzioni. Inoltre ,
supponendo tgy ^ 0 (e anche x i 0), separando le variabili otteniamo
log I seny I = ^fZ dy = ~ = log | x I + e = log (ec | x | ).
J seny J x
Ponendo e' = te, come nell'esercizio 5.3 si ottiene seny = c'x.
Notiamo che, per e1 =0, si riottengono le soluzioni costanti y(x) = kTT,
con k G Z. Perciò tutte le soluzioni si possono rappresentare nella for

270
ma sehy = c«x. (b) y(x) = e senx, con e6 R ]
5.5 Disegnare in un riferimento cartesiano
ortogonale il grafico delle soluzioni dell1equazione con
siderata neilT esercizio 5 . 3 (a) . ""
[si veda la figura 5.l]
figura 5.1 figura 5#2
5.6 Risolvere l'equazione differenziale y'=-2xy e di.
segnare in un riferimento cartesiano ortogonale
il grafico delle soluzioni trovate.
~x2 '
|_y(x) * e e , rappresentate in figura 5.2 ]
5.7 Determinare tutte le soluzioni dellf equazione dif
ferenziale
y* = 2x/TryT
271
[y(x)=sen(x2 + e), con e £ R, oltre alle due funzioni costanti y(x)=±l]
5.8 Risolvere l'equazione differenziale y'=exycosx.
[Separando le variabili si ottiene
x
dy e cosx
dx ey
J.y«y- }
e cosx dx.
Si può calcolare l'integrale a secondo membro utilizzando due
volte la formula di integrazione per parti
x x I x x
e cosx dx = e senx - e senx = e (s.enx + cosx)
x
e cosx dx
da cui
x 1 x
e cosx dx = — e (senx + cos x) + e.
2
Perciò l'integrale generale dell'equazione differenziale è dato da e =
x y-x
= (l/2)e (senx + cosx) + e, cioè e = (1/2) (senx + cosx) + e, da cui
y = x + log
senx + cosx
+ cj ]
5.9 Siano a,b costanti reali non nulle..Risolvere ,
con il metodo della separazione delle variabili,
1'equazione lineare
y' = ay + b
[Separando le variabili abbiamo
— log | ay + b | =
dy
ay+b
dx = x + e
r a(x+c) -, ax ac
da cui y(x) = |_e -bj/a = c1e - b/a, avendo posto c'=e /a .
Il lettore controlli che si ottiene lo stesso risultato utilizzando la
formula risolutiva per le equazioni lineari del primo ordine, già
considerata nel capitolo 4 ]

272
5.10 Risolvere i seguenti problemi di Cauchy
(a)
Xy»=l+y2
y(D = i
00
xy'=l+y2
l y(-D = i
L L'equazione differenziale si risolve separando le variabili ed ha le
soluzioni y(x) = tg(c + log | x | ).
(a) Le soluzioni y(x) SQno definite per x ì 0 (e per c+log ( x \l TT/2+
+ kTT); è quindi opportuno considerare separatamente gli intervalli
(-°°,0) e (0,+ °°). Dato che cerchiamo la soluzione y(x)che soddisfa la
condizione iniziale y»l per x=l > 0, ci poniamo nell'intervallo (0,
+00 ). In tal caso risulta y(x) = tg (e + logx) e y(l) = tgc. Perciò
la condizione y(l) = 1 equivale a tgc = 1, cioè e = TT /4 + kTT . Dato
che la funzione tangente è periodica di periodo TT , basta scegliere
ad esempio e = TT /4. La soluzione del problema di Cauchy è quindi
y(x) = tg ( TT/4 + logx). (b) y(x) = tg( TT/4 + log(-x)) ]
5.11 Risolvere i seguenti problemi di Cauchy
(a)
f yf+3x2y*=0
y(D = 0
(b)
y'+Sx^^O
y(D - 1 •
[ (a) La funzione identicamente nulla soddisfa sia l'equazione differen
ziale che il dato iniziale ed è quindi soluzione (unica) del problema
di Cauchy. Si noti che, separando le variabili, si perde proprio la
soluzione y(x) = 0, Vx €R; (b) dopo aver separato le variabili
otteniamo
1 -3
-4
y <ty
■i
-3x* dx
X + C
da cui y~3 = 3x 3 - 3c. Imponendo la condizione y(l)-l si trova l=3-3c
da cui 3c = 2. Perciò la soluzione del problema di Cauchy è data da
y(x) = l/(3x3- 2)1/3]
273
5.12 Risolvere le equazioni a variabili separabili
(a) y'-y cotg x (t>) y'=(y-3)cotg x
r I I f <Ìy f C°S X II.
[ (a) log y = — * dx = log senx | + e,
J y J .sen x
da cui log ( y ( = log e ( senx j e quindi y= ± e ( senx | .
Cambiando la costante, le soluzioni si possono anche scrivere nella
forma y(x) * e'senx (si noti che anche y(x) =0è soluzione e si
ottiene per c'=0); (b) y(x) = 3 + csenx]
5.13 Risolvere l'equazione 2x2yy' = 1+y2 .
[ Separando le variabili otteniamo
o f 2y f dx
log (i+y2 ) = J —2 <*y = J -p
da cui y(x) = ±(ec"1/x - 1) ]
5.14 Risolvere l'equazione xy' = ylogy.
[ La funzione costante y=l, che annulla il secondo membro, è
soluzione dell'equazione differenziale (mentre y = 0 è da scartare).
Separando le variabili, otteniamo y(x) - ecx; in particolare, la solu
zione costante y = 1 corrisponde a e = 0 J
x~l + e,
5.15 Risolvere l'equazione 4/x*3" yy' = 1 ~ y
' [y(
x[~ i/A
(x) » ± \jl+ e e

274
5.16 Risolvere i problemi di Cauchy
(a)
y2-i
x2-l
y(0) = 0
00
y x2 + l
y(o) = o
(e)
y2-l
y(o)=i/2
ry =•■
Cd) <
x2 + l
y(0)= /3
[ (a) y(x)-x; (b> y(x)-x; (e) y(x)= ^; (d) y(x) -tg(H +arctx)J
5.17 Risolvere l'equazione differenziale
/x y' + /y sen/x = 0
[ La funzione costante y=0 è soluzione. Inoltre, se y 4- 0,
sen/x
2 /'
y =
il
/'7
/x
dx
l'integrale a secondo membro si può calcolare per sostituzione, ponen
do V x = t. Si ottiene l'insieme di soluzioni y(x) = (c + cos/~x)2 oJL
tre, naturalmente, alla funzione identicamente nulla]
5.18 Determinare l'integrale generale della
equazione differenziale
4xey(y<)2+ (4xex+ yey)y« + yex = 0.
L L'equazione data non è in forma normale. E' possibile ricavare la y'
275
in funzione di x e y mediante la formula risolutiva delle equazioni
algebriche di secondo grado:
yis [-(4xeX + yey)± / (4xex + yey) 2 -16xy ex ey ] *
8xey
8xey
[-(4xe + ye ) ± / (4xex - yeY)2 ]
-(4xe + ye ) ± (4xe - ye )
8xey x y
I -e /e
Perciò l'equazione data è equivalente alle due equazioni
differenziali in forma normale
y e*
y' = - :- ; r - - -z ■
4x ev
Entrambe le equazioni sono a variabili separabili e si vede facilmente
che l'integrale generale della prima è y(x) = c| x | , mentre l'in
tegrale generale della seconda è y(x) = ìog (c-e ) J
5.19 Determinare l'integrale generale
delllequazione differenziale
y! = log [(x + /1+x2 y ]
[La funzione costante y = 0 è una soluzione. Separando le variabili
e risolvendo per parti l'integrale in dx, otteniamo
log |y | = x log (x + /l + x 2 ) - /l+x2 + e,
z -0 x -/ 1+x 2
cioè anche y(x) = c'(x+/l+x ) e . Si noti che la funzione
identicamente nulla rientra.in tale rappresentazione, in corrisponden
za di e' = 0 ] •
5.20 Determinare le curve y = y(x) la cui retta tari
gente nel punto (x,y(x)) incontra l'asse delle

276
x nei punto (-x,0), come in figura 5.3,
X~x
Yf /
y(x).
S7 i
Ss l
y/^/ f
S^ / 1
/ 1
/ 1
/ f
/ 1
1
1
1—,
X
_ ►
X
figura 5.3
[ Le curve incognite, di equazione y = y(x), hanno retta tangente
(x,y) di equazione (nel piano di assi X,Y):
Y = y(x) + y'(x)(X - x) .
La retta tangente incontra l'asse delle X nel punto (-x,0) se
se 0 = y(x) + y'(x)(-x-x), cioè se e solo se
solo
2xy' ~ 0.
Si tratta di un'equazione differenziale a variabili separabili che,
integrata, fornisce le soluzioni y(x) = e / | x \ . Si tratta di archi
di parabola aventi l'asse coincidente con l'asse delle ascisse e
vertice in (0,0) ]
277
5.21 Determinare le curve y-y(x) la cui retta norma
le nel punto (x,y(x)) incontra l'asse delle a-
scisse in un punto C = C(x) a distanza uguale
ad 1 da (x,y(x)), come in- figura 5.4.
CP =1
figura 5.4
[ Nel piano X,Y l'equazione della normale al grafico di una funzione
derivabile y - y(x) (con derivata non nulla), passante per (x,y(x)),
è data da
Y - y(x) -
y"(x)
(X-x)-
Tale retta incontra l'asse delle ascisse nel punto C di coordinate
(X,0), con X soddisfacente l'equazione 0 = y(x)-(X-x)/y! (x), cioè
yy' = X-x, da cui X = x + yy'. La distanza del punto P = (x,y(x))
dal pulito C = (x + yy',0) è data da
CP = / [ (x+yy')-x ]2 + [-y]
Ayy')2 + y2

278
Imponendo la condizione CP = 1 si ottiene l'equazione differenziale in
forma non normale
(yy'):
che, evidentemente, può avere soluzioni solo se 1-y >. 0, cioè se
-1 < y < 1. Si riconosce che le funzioni costanti y = ± 1 sono due
soluzioni. Inoltre l'equazione data è equivalente alle due equazioni
differenziali a variabili separabili
yy' = vi-
yy'
- /
i-y
che, risolte, danno le soluzioni (x+c) 2 + y2 == 1; si tratta della fa
miglia di circonferenza di centro (-c,0) e raggio 1. Come già detto, a
questa famiglia di circonferenze vanno aggiunte le due rette di equa -
zione y=» ± 1 ]
22 Siano A e B i punti di intersezione degli assi
coordinati con la retta tangente al grafico del_
la funzione y = y(x) nel punto generico (x,y(x))
come in figura 5.5. Determinare le curve y(x)ta
li che :
ycx)
B s (o, y-xy')
figura 5.5
279
(a) l'ascissa di A sia uguale a 2x;
(b) l'ordinata di B sia uguale a 2y;
(e) l'ascissa di A sia uguale a kx (k>0) ;
(d) l'ordinata di B sia uguale a ky (k>0) .
. La retta tangente di equazione Y=y(x) + y'(x)(X-x) incontra gli assi
X,Y nei punti A e B le cui coordinate si determinano imponendo
rispettivamente Y = 0eX = 0e calcolando in corrispondenza 1' altra
coordinata. Ad esempio, posto Y = 0, risulta y + y'(X-x) - 0 da cui,
sey'jÉO, X = x - y/y'. In modo analogo si determina B. Con
riferimento alla figura 5.5 si ha:
Intersezione con l'asse X: A E (x-y/y',0)
Intersezione con l'asse Y: B = (0,y-.\y')
(a) la condizione richiesta è x-y/y' = 2x che, se y' ^ 0, equivale al,
l'equazione differenziale a variabili separabili y' =- y/x. Tale e-
quazione ha per soluzioni le iperboli y(x) = c/x, con ce R (c=0 è da
I i l/(l-k)
scartare); (b) y(x) = c/x con ce R; (e) y(x) - e | x | con
e ^ 0 se k f 1; altrimenti, se k = 1, non esistono funzioni y ~y(x)
che soddisfano la condizione posta; (d) y = e | x | , con e 6 Rj
5B. Equazioni di. Bernoulli
Si dice di Bernoulli un'equazione • differenziale
del primo ordine del tipo
a
y1 = a(x)y + b(x)y
con a(x), b(x) funzioni continue in un intervallo
prefissato e con a parametro reale diverso da 0 e
da 1 (altrimenti l'equazione è lineare).
Il metodo di risoluzione è il seguente: prelim_i
ilarmente si. dividono entrambi i membri dell' equazro

280
ne per y (così facendo si trascura la soluzione i-
denticamente nulla, nel caso in cui a è positivo); si
ottiene
y ' f ^ ì-a _ ,\
-^ = a(x) y + b(x) .
Si pone poi z (x) = (yCx))1"01. La derivata della
nuova funzione incognita z(x), per la regola di deri
vazione delle .funzioni composte, vale •
Zt(x)= di M*»1'" =(l-a)y"ay' = (l-a) *1 .
L'equazione differenziale, nell'incognita z,
diviene
z' = (l-a)a(x)z + (l-a)b(x); %
è lineare del primo ordine e quindi si risolve con i
metodi descritti nel capitolo 4. Vediamo alcuni esem
pi.
5.23 Risolvere l'equazione differenziale di Bernoul-
li
yf = 2y - e y2
[ Cominciamo con l'osservare che, essendo Ot =2 > 0, la funzione costante
y = 0 è una soluzione. Per determinare le altre soluzioni dividiamo en
trambi i membri per y :
y«y = 2y - e ,
Poniamo z(x) - (y(x))"1 , da cui z'=-y~2y'. Rispetto a z l'equazione
diventa
281
z' = - 2z + e
ed è quindi un'equazione lineare del primo ordine, cioè del tipo z' =
= a(x) z + b(x), con a(x) = - Z e b(x) = ex. Scegliendo A(x)SB-2x come
primitiva di a(x), si trova l'integrale generale
z(x) = e
A(x)
-A(x) . -2x
e • b(k)dx = e
2x x
dx
-2x 1 3x 1 x
= e (-e + e) = - e + e
-2x
Ricordando che z = y"l , risulta quindi y(x) - z" 1 =(e /3 + e e " ) .
Tali funzioni, unitamente alla funzione identicamente nulla, sono tut
te le soluzioni dell'equazione data]
5.24 Risolvere le seguenti equazioni di Bernoulli
(a) r
x y
(b) 2y«
y
[ (a) Si tratta di un'equazione differenziale di Bernoulli con esponen
te a=-l. Dividendo entrambi i membri per y" 1 (cioè moltiplicando
per y) otteniamo l'equazione
, 1 2
yy> ., - y - 1 .
Nell'incognita z = y2 , essendo z' * 2yy', si ha l'equazione lineare
z' = - z - 2 .
x
Una primitiva di a(x) = 2/x è A(x) = 2 log j x | = log x2 . Perciò,po
sto b(x) = - 2, si ha
z(x)=e
A(x)
f , -A(x) 2
1 e l(x)dx = x
-2
dx
= x2 ( - + e) = Zx + cxz .
x

282
In definitiva, essendo y= ± / z, l'equazione data ha come soluzioni le
funzioni y(x) =+ Ax+cx 2 , con ce R. (b) y(x) = + -J |x | (c-iog |x [)]
5.25 Risolvere i seguenti problemi di Cauchy
(a)
2y' =
X . *
x y
y(D = i
Cb)
y'
1 . il
X X
yCD = 1/2
[ (a) L'equazione è di Bernoulli con esponente OL--1. Dividendo
entrambi i membri per y~ 1 e ponendo z = y 2, otteniamo successivamente
2yy« = — - x ; z' = - z - x .
x x
Notiamo che il coefficiente a(x) = 1/x non è definito per x=0. Dato
che la condizione iniziale è posta nel punto x = 1, ci limitiamo a
considerare il caso x > 0 in cui A(x) = log x (invece che, più generaj.
mente, log | x | ) è una primitiva di a(x). La funzione z(x) risulta u-
guale a
z(x) = x
— • (-x)dx = x(-x + e)
x
x + ex
da cui y(x) * ± v ex - x . Imponendo la condizione iniziale y(l) =1
si trova 1 * ± v c-1 j si deve quindi scegliere il segno + e e - 2.
Perciò la soluzione del problema di Cauchy è y(x) = / 2x - x2 . Si
noti che tale funzione, definita per 0 £ x <. 2, è derivabile solo per
0 < x < 2 e perciò è soluzione solo nell'intervallo aperto (0,2). Per
y > 0 si può scrivere nelle forme equivalenti
/2x
xz -2x + y^= 0; (x-1) ^+ y^ = 1;
in particolare, dall'ultima espressione, si riconosce facilmente che
y(x) ha per grafico la semicirconferenza di centro (1,0) e raggio 1,
con y > 0.
(b) L'equazione differenziale è di Bernoulli con esponente a=2,ma an-
283
che a variabili separabili. La soluzione è y(x) = x/(x+l) ]
5.26 Risolvere le equazioni differenziali di Bernoul_
li
(a) y' = ^ + 2x/y (b) y' = ^2L + 2x/y
x x
[(a) E' un'equazione di Bernoulli con esponente Qi =1/2, La funzione c<d
stante y=0 è una soluzione. Se y 1 0 dividiamo entrambi i membri per
/y e poniamo vy - z, da cui z' = x + z/x. Una primitiva di a(x) =
= l/x è A(x) = log |x I . In base alla formula risolutiva per le
equazioni differenziali lineari del primo ordine, otteniamo (separatamente
per x > 0 e x < 0)
z(x) = e
A(x)
-A(x)
xdx
dx
± x ± dx = x dx = x(x+c)
( Vx i 0).
Quindi le soluzioni dell'equazione differenziale iniziale sono y(x) =
= (x2 + ex)2 , oltre a y=0; (b) y(x)=x'4 (e + log | x | )2e y=0J
5.27 Risolvere l'equazione differenziale y'=x(y3-y)
[ E' un'equazione di Bernoulli con esponente a =3. Oltre a y(x) = 0 ,
Vx €R, le soluzioni sono espresse da y(x) = ± 1/ / l+ce~x ' ]
5.28 Risolvere con il metodo di Bernoulli l'equazio
ne differenziale proposta nell'esercìzio 5.15.
5.29 Risolvere il problema di Cauchy:
y(l)=l; 2xyy' = y2-x2+l .
[ L'equazione differenziale è di Bernoulli con esponente CL=-1. La so-

284
luzione, espressa analiticamente dalla funzione y(x) = / l+3x-x 2
,corrisponde geometricamente alla semicirconferenza di centro (3/2,0) e rag
gio y/ 5/2, con y > 0 ]
5.30 Risolvere le equazioni di Bernoulli
(a) 4yf = y tgx - ^^ (b) yf= ^ - xy2
y ^
[ (a) y(x) =
(f>) y(x) -
2+ce
-xz/k
e y
= 0]
5.31 Risolvere ì problemi di Cauchy
(a)
y'=xy+xy3
y(0) = 1/2
(b)
y'=xy+xy3
y(i/2) = o
[ L'equazione differenziale, oltre ad essere del tipo di Bernoulli, è an
-x2 _1/2 , i
che a variabili separabili, (a) y(x) = (l+3e ) ; (b) y(x)=0 J
5.32 Determinare l'integrale generale delle seguenti
equazioni differenziali
3/2
(a) xyf + 2y = 2y logx
(b) yf = y cosx (1-y senx)
(e) yf + 2y = /y senx
ed, y*f ijti
/y
)
(e) 2x3yf + x2y + y"5tgx = 0
(f) yf = 2x/y (x2 + /y )
r "2
l (a) y(x) = 0 e y(x) =- (ex + logx + 1) ;
(b) y(x) = 0 e y(x) = (ce + senx - 1) ;
(e) y(x) = 0 e y(x) = (senx - cosx + ce ) /16;
285
(d) y(x) = (x2 -1 + e /x2 -1 )
2/3
1/6
(e).y(x) = x"1/2(c + log |cosx| 3) ;
(f) y(x) = 0 e y(x) = (x 2 + 2 + e ex /2) ]
5.33 Determinare una funzione y(x) che diverge a +°°
per x->l+ e che è soluzione nell'intervallo (1,
+co) rispettivamente delle equazioni differen -
ziali:
(a) y* = xy [/y + l/(x2-l)]
(b) y' = 7 (
3/2 .
+ xy )
[ (a) y(x) =
25
(1-x2)2
(b) y(x) =
121
9(l-x2)2
5.34 Sia a(x) una funzione derivabile in R con der_i
vata a!(x) continua. Determinare, per ogni
valore del parametro reale a f 1, l'integrale ge_
nerale delle equazioni differenziali
(a) (l-a)yt = a'(x)[y+a(x)ya]
(b) (l-a)y' = a'(x)[y+ya ]
[ (a) Se a > 0, una soluzione è y(x)=0 per ogni x€ R. Dividendo entrambi
i membri per ya e ponendo z(x)= [ y(x)] 1-a, otteniamo z'=a'(x)[z+
+ a(x) ] . Si tratta di un'equazione lineare nell'incognita z che ha
per soluzioni:
z(x)
a<x).
-a(x)
e * a'(x)a(x)dx.
Calcoliamo per parti l'integrale a secondo membro:
-a(x)
e •-a'(x)a(x)dx =
d - -a(x) -,
— [-e J a(x) dx
dx

286
*(x)a(x)+Je-a(X)
• -a(x) f -a(x) -a(x) -a(x)
=-e a(x)+ e a'(x)dx = - e a(x) - e + e.
a(x) l/(l-a)
In definitiva, per ogni a ^ 1, si ottiene y(x) = (ce -a(x)-l) ,
a(x)
oltre naturalmente alla soluzione nulla se a> 0. (b) y(x)=(ce
1/(1-01) , x 1
-1) e y(x) = 0 se a > 0 J
5.35 Siano a(x), b(x) funzioni derivabili su R con
derivata continua e con a(x) non identicamente
nulla. Determinare tutte le soluzioni delle e-
quazioni differenziali
(a) a(x)y' = a'(x) (y+y2)
(b) a(x)y' = a'(x)y + bf(x)y2
[ Inequazione in (a) è un caso particolare di quella in (b) e si ottiene
ponendo b(x) = a(x)\ Perciò discutiamo il caso più generale (b).
Cominciamo con l'osservare che la funzione costante y=0 è soluzione. Dividen
do entrambi i membri per y2, otteniamo
a(x)y' - a'(x)y
2 = b W •
y
Poi si può procedere oltre con il metodo di Bemoulli, con la sostitu -
zione y~ s z. Proponiamo un altro metodo di risoluzione: a primo meni -
bro, a meno del segno, compare la derivata rispetto ad x del quoziente
a(x)/y? perciò l'equazione si può scrivere nella forma equivalente
d. r a(x) -,
dx y
Risulta quindi (se y i 0) a(x)/y + b(x) = costante = e, da cui y(x) =
= a(x)/ [ c-b(x) ] . Nel caso particolare dell'equazione in (a) l'insie
me di tutte le soluzioni è dato da y(x) - a(x)/[ c-a(x) ] , oltre a
y(x) = 0, Vx e r]
287
5.36 Sia y=y(x) una funzione definita per x > 0 e
non negativa. Indichiamo con B il punto di
intersezione dell'asse delle ordinate con la ret
ta tangente al grafico della funzione in un
punto generico (x,y(x)), come in figura 5.5. De_
terminare :
(a) le curve y(x) tali che l'ordinata di B sia
proporzionale a ya, con a > 0;
(b) la curva y(x) soddisfacente la condizione
y(2) = 2 e tale che l'ordinata di B sia uguale
a y2 .
[ (a) Come già mostrato nell'esercizio 5.22, l'ordinata del punto B,in
tersezione della retta tangente con l'asse delle ordinate, vale y -
-xy'. Indicando con k il fattore di proporzionalità, la condizione di
Cd
viene y - xy' - ky .Si tratta di un'equazione differenziale di Ber
noulli • che, oltre a y(x) ~ 0, ha come soluzioni y(x) = (k ■+
1-0C 1/(1- a )
+ e x ) per x > 0.
(b) Ponendo k=l a C£= 2 nella espressione determinata in (a), si
ottiene
e -1 x
y(x) = (1 + - ) = •
X X+C
Imponendo la condizione iniziale y(2) - 2, si trova c=-l. Perciò la
funzione cercata è y(x) = x/(x-l) ]
5.3 7 Determinare le curve tali che il punto di
mezzo del segmento sulla retta normale, con estre
mi sulla curva e sull'asse delle x, sia
situato sulla parabola x = y2.
[ Si fa riferimento alla figura 5.6.Se P ha coordinate{x,y(x)), allora,
come mostrato nell'esercizio 5.21, C ha coordinate (x + yy',0).
Perciò il punto medio M ha coordinate (x + (yy')/2> y/2)$ tale punto
giace sulla parabola di equazione x = y 2 se e solo se (per y £ 0)

il
ifp
**?--(f)*<->
2x
y
Si tratta di un1 equazione di Bernoulli che ha per soluzioni y(x) =
1/2
± (4x + 4 + ce ) .in particolare, per e = 0, si ottiene la
parabola di equazione x - (y 2 /4) - 1. n lettore disegni in uno stesso si
sterna di riferimento tale parabola e la parabola iniziale x=y 2 e veri
fichi dal disegno la proprietà enunciata nel testo]
figura 5.6
289
5C. EqAJi<2iz:±o:rTL± della forma yf = g (y/x)
Si dicono brevemente omogenee le equazioni diffe
renziali ordinarie che si pongono nella forma
y' = g (*)
con g funzione continua. Il metodo di risoluzione
consiste nel porre
z = "^ , cioè y(x)=xz(x), da cui y!=z+xzf.
x
L'equazione, rispetto all'incognita z, diviene
xz' = g(z) - z
ed è a variabili separabili. Vediamo alcuni esempi:
5.38 Risolvere l'equazione differenziale di tipo o-
mogeneo
y' = 1 + Z
x
[ E' un'equazione dei tipo y' ■= g(y/x), con g(t) = 1+t. Poniamo yjx-z,
da cui y = xz e y'=z + xz'. Otteniamo l'equazione equivalente
z + xz' - 1 + z, cioè xz' = 1,
che si risolve separando le variabili:
dz
- dx = log | x | + e = log (ec | x | )=log(c'x)
dove si è posto e' = ±-e . Ricordando che y - xz, si ott-.engono le so
luzioni y(x) = x log(c'x) J
5.39 Le seguenti equazioni sono nello stesso 'tempo

290
di tipo omogeneo e a variabili separabili ( la
prima è anche lineare) :
(a) y'= l 0>) y- = * (e) y' = - *
Risolverle con entrambi i metodi.
[ (a) rette per l'origine y(x)=cx; (b) iperboli equilatere di equazione
(e) e
rigine di equazione x2 + y2 = e (y 4- 0) ]
x - y =c (y / 0); (e) circonferenze concentriche con centro nell'o
5.40 Integrare l'equazione differenziale yf=2- — .
[ Posto z = y/x (da cui y'=z + xz') otteniamo l'equazione equivalente xz'=
- (2z - 1 - z )/z; separando le variabili si ha (se z ^ 1, cioè se
(z-ir
dz
dx
- log (ex)
Inoltre, sommando algebricamente -1 e + 1 a numeratore dell'integrando
a primo membro, otteniamo
(z-D
,dz
z-1
j (z-1)'
dz +
J (z-D
z-1
+ cost:
perciò l'equazione differenziale data, oltre a y(x)=x, ha come soluzÌ£
ni le funzioni definite implicitamente dalla relazione
( L -1) - log
X
= log(cx) ]
j.41 Risolvere l'equazione differenziale omogenea
y
X
1 +
291
e verificare che l'integrale generale è costi -
tuito dalla famiglia di funzioni
u(x).
.2 .
(con ex - ^ > 0)
x —
2 2c
[Con la sostituzione z = y/x si giunge all'equazione xz' = vl+z ; da
cui, separando le variabili
dz
dx
log (c'x).
/ITI7
Come indicato nel paragrafo 4G della parte seconda del 1° volume, l'in
tegrale a primo membro si determina con la sostituzione /1+ z = t-z.
Si ottiene (si veda anche l'esercizio 4.119, volume 1°, parte seconda):
log
2z + 2 /z2 + 1
dz
/ l+zJ
log (c'x).
Pur di cambiare la costante e', ciò equivale az + /z. + l = ex.
Ricordando che z = y/x, si giunge alla rappresentazione delle soluzioni
nella forma
v^y
+ 1 = ex
Dopo aver posto la condizione ex - (y/x) > 0 ed elevando entrambi i
membri al quadrato si giunge alla conclusione ]
5.42 Risolvere per x > 0 il problema di Cauchy:
y(D = o; y = * + \ji -(^)2 .
[L'equazione differenziale ammette come soluzioni y(x)=x sen iog(cx) ,
con e / 0, oltre a y(x) = ± x. Tra tali soluzioni, quella che
soddisfa la condizione iniziale y(l) = 0 è y(x) = x senlogx]

292
5.43 Risolvere per x > 0 i problemi di Cauchy
(a)
•y'= ^ + te ^
x x
y(2) .= tt/3
(b)
y,:
yCU
tg
[L'integrale generale dell'equazione differenziale è della forma sen(y/x) =
= ex, con e e R4 (a) La soluzione è sen (y/x) - x/4j esplicitando la y
si ottiene y(x) = x arcsen (x/4). Si noti che y(x) è derivabile
nell'intorno di x = 2 individuato dalle limitazioni -1 < x/4 < 1, cioè
nell'intervallo (-4,4)5 inoltre, formalmente, il secondo membro dell' equazione
differenziale non è definito per x = 0; perciò y(x) è soluzione del
problema di Cauchy nell'intervallo (0,4). (b) y(x) = TT x]
5.44 Risolvere le seguenti equazioni differenziali o-
mogenee
(a) x2yf = y2 + xy + 4x2
(b) y'
Ce) y'
(d) yf
(e) y'
2 \y x
x + 1
y x
x = 1
y x
.i = XZX
y+x
(f) xy' = y (I-log y + logx)
[(a) y.(x) « 2x tglog(cx) 2 ; (b) y(x) = ± /x2 + ex ;
(e) y(x) = ±x /log(cx)2 ; (d) y(x) = ±x /log (c/x)2 ; v
od anche, trasferendo i lo
(e) arctg - ■ + log l/l +( ~ ) = log
y e
garitmi a secondo membro, arctg - = log ■ =
x /x2 + y2
(f) y(x)=xe° X ]
293
5.45 Determinare, per ogni valore reale del pararne -
tro a f -0,1, le soluzioni dell'equazione
differenziale
axyyf = x2 + y2 t
/ . .2(1-00/ a v 1/2
["•'■*-e-',.. •') ]
5.46 Verificare che la soluzione del problema di Cau
chy
y' = ^ , y(D - 0
è la spirale logaritmica che, in coordinate pola-
ri (p,§), si esprime con l'equazione p=e .
[Posto z=y/x, ed essendo z(l) =0, si trova la soluzione arctg z -
- log /l+z* = log x, cioè arctg (yTx) = log / x2 +y2 . Rimane da
osservare che p = / x2+y2 e che §=arctg (y/x) ]
La sottotangente relativa ad un punto generico di
una curva di equazione y=y(x) è per definizione la
lunghezza (con il segno) del segmento orientato HA
in figura 5,7, cioè del segmento di estremi H=(x,0)e
A, punto di incontro dell'asse delle ascisse con la
retta tangente al grafico della funzione nel punto
O.yCx)).
Ricordando (si veda l'esercizio 5.22) che A ha
coordinate (x-y/yf, 0), per definizione risulta
y
sottotangente = HA — - ~^J .

294
y = y(x)
figura 5.7
Analogamente la sottonormale è la lunghezza (con
il segno) del segmento orientato HC in figura 5.7,cioè
del segmento di estremi H = (x,0) e C, punto di intejr
sezione dell'asse delle ascisse con la retta normale
al grafico della funzione nel punto (x,y(x)).
Ricordando (si veda l'esercizio 5.21) che C ha
coordinate (x+yyf,0), risulta
sottonormale - HC
yy
5.47 Determinare le curve y=y(x) aventi la sottotan.-
gente uguale alla media aritmetica delle
coordinate del punto di tangenza.
[La condizione è: sottotangente = (x+y)/2, cioè
y_
r
x + y
da cui
-2y
x+y
-2(y/x)
1+ (y/x)
295
Notiamo che la funzione costante y = 0 non è accettabile come
soluzione del problema geometrico proposto,perchè per essa non è definita
la sottotangente. Con la sostituzione z = y/x, essendo y^z+xz', ot
teniamo xz' =-(3z + z2 )/(l + z). Da cui, separando le variabili ,
si è ricondotti a calcolare l'integrale indefinito della funzione
razionale (l+z)/(3z + z ); a tale scopo è utile la scomposizione
1 + 2
z2+3z
z+3
(A+E)z + 3A
z(z + 3)
con A + B = 1 e 3A = 1. Si trovano i valori A=l/3 e B=2/3; perciò
si determinano le soluzioni nella forma:
log - =
x
dx
x
1+z
dz =
dz 2
z 3
T~ = 7 log|z[+^log|z+3J.
z+3
che, in base alle proprietà dei logaritmi, si possono anche scrivere
nella forma z(z + 3)2 = (c/x) 3 , con z = y/x ]
5.48 Determinare le curve y = y(x) aventi la sotto_
normale uguale all'ascissa del punto di
tangenza.
[Dato che la sottonormale vale yy1, le curve y(x) devono soddisfare
l'equazione differenziale del primo ordine yy' = x. Si tratta di
un'equazione omogenea, ma anche a variabili separabili. Il suo inte
graie generale è dato dalla famiglia di iperboli di equazione y(x)=
- ±/x2 +c ]
5.49 Determinare le curve piane tali che
l'ordinata del punto di intersezione dell'asse delle
ordinate con la re età tangente al grafico
in (x,y) sia uguale alla distanza di (x^jdaj^
1T origine.

296
figura 5.8
[Con le notazioni della figura 5.8 la condizione da imporre è OB=OP
Dato che OB = y - xy1 (si veda l'esercizio 5.22), si ottiene
l'equazione differenziale y-xy1 = «/x 2+y 2 , cioè anche y* = (y/x)
- / l+(y/x) . Posto z = y/x, con lo stesso metodo dell' esercizio
5.41 si trova la soluzione z + / z2+l = c/x che, per x ì; o, equiva
le a y ± /y2+x2 = e j
5.50 Determinare le curve piane tali che, indicato
con P un punto generico della curva (come in
figura 5.8), con A l'intersezione della retta
tangente con Passerelle ascisse e con 0
l'origine degli assi, il triangolo. AOP risulti i-
soscele dì base OP.
[La condizione da imporre è OA = AP. Ricordando che A = (x-y/y',0 )
297
(si veda l'esercizio 5.22), risulta (x-y/y1) - /(-y/yf )2 + y2 , d<
cui, semplificando, si giunge all'equazione differenziale omogenea y'
(2xy)/(x
= o y
y 2 ) che ha per soluzioni le circonferenze x 2 + y 2 +
cy
5.51 Determinare le curve piane tali che il
prodotto del quadrato della distanza dall'origine de^
gli assi di un punto generico P 5 (x,y) della
curva per l'ordinata del punto di intersezione
dell'asse y con la retta normale alla curva in
P sia uguale a:
(a) y3 (b) -2y3
[ Per l'equazione cartesiana della retta normale si veda i' esercizio
5.21. (a) L'equazione differenziale è xyy' =-(x2 + y2 ) che ha per S£
luzioni le funzioni y(x) = ± /(c-x** )/(2x 2); (b) l'equazione diffe
renziale é y' =-(x3 + xy2 )/(x2y + 3y 3 ) che ha per soluzioni le cur
ve di equazione implicita xk + 2x2y + 3y ** = e ]
5D. IL<%TjL<3LZ.±or\± della forma y' = g(ax+by)
Un'equazione differenziale del primo ordine del
tipo
y1 = g(ax + by)
con g funzione continua e a,beR (con a,b non nulli,
altrimenti l'equazione è già a variabili separabili)
sì riconduce ad un'equazione a variabili separabili
con la sostituzione
z(x) = ax + by(x) ;

298
infatti, essendo zf = a + by', si ottiene
l'equazione equivalente nell'incognita z: z' = a + bg(z).
5.52 Risolvere l'equazione differenziale
yt = l + x2 - 2xy + y2.
[ L'equazione si può porre nella forma y' = 1 + (x-y) 2 . Con la
sostituzione z = x - y (il lettore svolga l'esercizio anche con l'altra sosti,
tuzione z - y - x), essendo z1 = 1 - y', si ottiene l'equazione equiva
lente
z' = 1 - y' = 1 - [l+(x-y) 2 ] = - z 2 ;
da cui, separando le variabili (se z i 0)
dz
~~2
dx = x + e.
Perciò z(x) = l/(x+c) (oltre a z = 0), da cui, essendo y(x) = x - z(x),
risulta y(x) = x - l/(x + e) oppure y(x) = x ]
5.53 Risolvere l'equazione y' = (x+y)2.
[ Posto z = x + y si ha z' = l + y' = 1 + (x + y)2= 1 + z2 ; da cui,
separando le variabili, arctg z = x + e. Perciò z(x)=tg(x + e) e
quindi y(x) = z(x)-x = tg(x + e) - x ] -
5.54 Risolvere l'equazione y' = ex+y .
[ Posto z-x+y, si trova l'equazione equivalente z'=l+e , cioè
dz
1+e*
dx = x + e.
Si risolve l'integrale a primo membro con la sostituzione e = t:
299
dz
l+ez
[ ez=t]
dt
t(l+t)
= log
t
t+1
[t=ez ]
+ e ' = log + e '.
ez+l
Perciò l'integrale generale si scrive nella forma implicita e /(ez +
+ 1) = e c e, con semplici passaggi algebrici, nella forma esplicita
x+c
z(x) = log
1-e
x+c
log
= x - log (e"c - ex) ;
da cui y(x) = z(x) - x =- log(e - e ). Si osservi che l'equazione i.
niziale è anche del tipo a variabili separabili e si può risolvere per
mezzo degli integrali indefiniti
-A-y
e y dy =
eX dx = ex + e"
Risulta y(x) = - log(-c" - e ) come nel caso precedente, pur & porre
-e" = e"c ]
5.55 Risolvere le equazioni differenziali
r ^ * » X V
(aj e y' = e + e
Cb) eyyr= ex+ ey
[(a) Dividendo entrambi i membri per ex,si ottiene l'equazione
differenziale equivalente y'=l + e^ x, che si risolve con la sostituzione
z = y - x. Rispetto a z si ha z' = ez , da cui, separando le
variabili, z(x) = - log [- (x + e) ] , cioè y(x) = x + z(x) =
= x - log [- (x + e) ]. (b) Si può procedere come nella parte
(a) ottenendo la soluzione y(x) = x + log (x + c). Si può anche
procedere nel modo seguente: dato che e^y' è la derivata del-
y00
la funzione w(x) = e , con tale sostituzione otteniamo l'equazione
differenziale lineare w' = ex + w, il cui integrale generale è espres.
so da

300
w(x)=ex
dx = ex(x + e).
Perciò y(x) = log w(x) = log [ ex(x + e) ] = x + log (x+c) ]
5.56 Risolvere-le equazioni differenziali
(a) y'
4y-x+l
4y-x+4
[ (a) 4y + log (4y-x)'+ = e + 2x;
(b) y
f= x+y-i
2-x-y
(b) y(x) = 2-x ± /c-2x ]
5.57 Determinare le soluzioni dei problemi di Cauchy
fy'=(x+y-5)2
y(0)=6'
Ca)
(b)
l= 2x+y+4
y " (2x+y+3)2
-2
y(o) = -2
[ (a) y(x) = 5 - x + tg (x + ir /4);
(b) (2x + y + 2)2 /2 + log |2x + y + 4| = x + log 2 ]
5.58 Risolvere l'equazione differenziale lineare
yf = ax + by
con a,b costanti reali non nulle.
[ Si può determinare l'integrale generale con la formula risolutiva
y(x) = e
bx
ax e dx,
oppure mediante la sostituzione z=ax+by? ottenendo l'equazione
(lineare) a variabili separabili z,=a+by'- ~ a+bz. Si ottengono le soluzioni
b(x+c) bc 2
z(x) = (±e - a)/b; perciò, posto ±e /b = e', si ha
301
z(x)-ax bx a a 1
y(x) = ___ = c.e . _ . _ x ]
5.59 Determinare, per ogni valore del parametro
reale X, tutte le soluzioni dellfequazione
differenziale
y! = X cos (Xx + y) .
[ Posto z = X x + y, si ottiene l'equazione equivalente z* = X(l+cosz),
Il secondo membro si annulla per X =0 e per z ~ TT + 2k1T ; se X- 0
y = z = costante è soluzione. Invece, in corrispondenza di z=TT + 2kTT
si trovano le soluzioni y(x) * z - Xx = IT + 2kTT - X x, Vk € Z.Per
X^ 0 e cos z t - 1, separando le variabili, otteniamo
dz
dx - x + e.
1 + cosz
In base all'identità 1 + cosz = 2 cos2 (z/2), si ha
dz 1 C dz f d(z/2)
1 f dz f d(z/2
2 J cos2 (z/2) J cos2(z
z
1+cosz 2 J cos* (z/2) J cos2(z/2) 2
Perciò, seX^Oez^ TT+2kTT, si trovano le soluzioni .nella
forma implicita tg(z/2) - X(x+c), cioè tg [ (Xx+y)/2 ]= X (x+c).In
fine, per | z j < IT , tali soluzioni si possono rappresentare nella
forma y(x) = - Xx + 2 arctg [X(x+c) ] .
Si noti che, per X =0, si è ritrovata la soluzione
identicamente nulla, mentre, come verificato in precedenza, anche ogni altra fin
zione costante è soluzione. Infine osserviamo che, per X r 0, ci si
può ricondurre ad un'equazione differenziale indipendente dal pararne
tro X con iT cambiamento di variabile x'- Xx. In tal caso infatti ,
posto w(x') = y(x) - y(xV X), risulta w'=dw/dx' = y1/ X e l'equazio,
ne diventa w' = cos (x + w) J

302
5E. E<qxxaLZ±or\d. «detlX-a. forma y ' -g
Consideriamo un'equazione differenziale del tipo
/ax + by + e \ ;
y * \afx+'bfy+cf/
con g funzione continua e a,b,e,a1,b',e'eR. Se le co
stanti a,b,a',b' sono tutte nulle, il secondo membro
dell'equazione differenziale si riduce ad una costan
te e quindi y(x) è una funzione lineare. Se a,b,af ,
br non sono contemporaneamente nulle e se a',b! sono
proporzionali rispettivamente ad a,b (af=ka,.b'=kb),
allora il secondo membro dell'equazione è funzione
solo di ax+by e si ritrova il caso già considerato
nel paragrafo precedente, che si risolve con la
sostituzione z = ax + by.
Rimane il caso in cui a',b' non sono proporziona,
li ad a,b,o, più precisamente, il caso in cui ab' -
- a'b f 0. Geometricamente, ciò corrisponde a due
rette di equazione ax + by +- e = 0 e a'x + b'y+c' = 0
che si incontrano in uno ed in un solo punto.
Indichiamo con (x0,y0) le coordinate del punto
intersezione delle due rette; per risolvere lTequa -
zione differenziale è utile la trasformazione di cocr
dinate da (x,y) in (£., nj definita da
£ = x - x0 , n = y - y0 .
Essendo ax0 + by0 + e = 0, risulta
ax+by+c = a(5+x0)+b*(T)+y0)+c = a£ + bri
ed analogamente a'x + b'y + e' = af£ + b!n-
Infine, dato che ri ' = drj/d£ = dy/dx, si giunge
ali'equazione differenziale
ax + by +
a'x+b 'y
+cf /
303
1 *■ a'5+b'n
g
a + b(T)/Q\
a'+b'Cri/^)/
si tratta di un'equazione differenziale omogenea(di
grado 0) , del tipo già considerato nel paragrafo 5C;
che si risolve con la sostituzione z = n/£-
5.60 Risolvere l'equazione y'
y-x-2
y+x
[ Occorre determinare preliminarmente il punto di incontro .delle ■ due
rette di equazione y-x-2=0 e y+x=0. A tal fine risolviamo il sistema
y + x = 0
y-x-2=0
y = - x
-2x-2=0
x = - 1
y = i
Le rette si incontrano nel punto (xq,yo) = (-l,l). E' quindi utile la
trasformazione di coordinate £~ x + 1, T\ =y-l (cioè x=£ -1, y= "H+l);
si ottiene l'equazione differenziale
f _ (r)+l)-( g-l)-2 = TI - S _ ( T)/Z)-l
" (ti+i)+( 5-1) n + 5 c n/£ )+i
Applichiamo il metodo proposto nel paragrafo 5C: con la sostituzione
z=Tì/ £ (da cui r\ ' = (z?)1 = z'£ + z) otteniamo
.r z~1 *r 1+z
2+1 Z+l
e. separando le variabili,
z+l
Ti?
dz =
d ? = - log(c£ ).
Per l'integrale a primo membro si ha
2z
z+l 1
5 dz = -
1+z2 2
1+z"
dz +
dz 1 0
- s - log(l+z )+arctgz+c'
1+-Z

304
Ricordando che z = TI /£ = (y-l)/(x-KL) si ottiene infine 1* integrale
generale neila forma implicita
ì l08(1 + (£r) +arctg.£i --**«*«»>
che, equivalentemente, si può anche scrivere nella forma
y-1
log (e / (x+1)2 + (y-1)2 ) + arctg — = 0 ]
- x+1
5.61 Risolvere l'equazione yf = —^
x+y-16
[Le rette di equazione y+5=0', x+y-16~0 si incontrano nel punto (x ,y ) =
(21,-5). Con la trasformazione di coordinate £=x-21, r|=y+5 si ottiene
l'equazione differenziale
5+ri " i+n/£ '
da cui, posto z = T)/ ?>
z -z
i- z' = - z =
1+z 1+z
Si noti che z = 0 è una soluzione (ciò corrisponde a"T|=y+5 = 0, cioè
y E - 5). Separando le variabili abbiamo 1/z = log(c£ z) = log(c Tj ).Quin
di £>= T\_log(cr\ ), cioè x-21 = (y+5) log [c(y+5)] . A tali soluzioni
occorre aggiungere la soluzione costante y(x)=-5 ]
y l
5.62 Risolvere l'equazione yf = 2 + ■*- - — .
x x
[ Si può scrivere l'equazione nella forma y'=(2x + y - l)/x, eseguendola
trasformazione di coordinate £ =x, T) =y - 1, da cui rj'=2+(r|/5) •
Posto z = r| /% , si ottiene £ z' =2, le cui soluzioni sono z( £) ~ 2
log (e £). Perciò l'integrale generale è y(x)=l+ xlog(cx)2 . Si noti
che l'equazione data è lineare ]
305
5.63 Risolvere i problemi di 'Cauchy
(a)
fy'W^)!=o
yC3)
Cb)
y(3) - 4
[ (a) La soluzione è definita implicitamente dall'equazione
y-4 • 1 -IT/2
2 arctg + log cy-0 con c - — e ;
4-x 5
(b) y(x) costante uguale a 4 ]
5F. EqLtaaLè5±on± non normali della drToarma
x - gCy1)
Nei paragrafi precedenti abbiamo preso in cons_i
derazione equazioni differenziali del primo ordine
in forma normale , cioè del tipo yf = f(x,y). Da que-
sto paragrafo consideriamo anche equazioni non in
forma normale. Cominciamo con equazioni della forma
x = g(y') ,
essendo g una funzione derivabile con derivata
continua. Come al solito, per le equazioni differenzia
li ordinarie del primo ordine, l'insieme delle
soluzioni dipende da una costante arbitraria e che,in
questo caso, è sempre additiva rispetto alla y;
infatti si vede immediatamente dalla struttura dell!£
quazione che, se y(x) ^è una soluzione, anche y(x)+c
è tale.
Osserviamo anche che, se g è invertibile,
allora l'equazione differenziale nella forma equivalen-

306
te yf = g"1(x) è a variabili separabili ed e
risolubile mediante una sola integrazione (y è l'integrale
indefinito di g*1(^()),
Nel caso generale si cerca una soluzione in
forma parametrica x = x(t),. y=y(t). Il metodo di risolu
zione consiste n-ell 'assumere come parametro t=y'.Daj^
l'equazione differenziale si ricava subito x=g(t); i^
noltre risulta anche
dy _ dy # dx
dt dx dt
ed integrando per parti
r d£
g'(t) =.tg'(t)
y(t);
dt
[ tg,(t)dt=tg(t)T f
dt» tg'(t)dt
g(t)dt
Indicando con G (t) una primitiva di g(t), le
soluzioni sono quindi espresse in forma parametrica
(x(t), y(t)) da
x(t)=g(t),
y(t) = tg(t) - G(t) + e.
5.64 Risolvere l'equazione x = y'(1+2 logy'),
[ L'equazione differenziale è della forma x-g(y'), con g(t)=t(l+21ogt) .
Una primitiva G(t) di g(t) si determina con un'integrazione per parti:
G(t) =
g(t)dt =
(t + 2t logt) dt =
~ + 2 (— logt
dt) = t logt + costante.
Quindi, in forma parametrica, le soluzioni sono date da
x(t) = g(t) = t(l + 21ogt);
y(t) = tg(t)-G(t)+ e = t2 (1 + logt) + e ]
307
5.65 Risolvere l'equazione differenziale (y')2=x-2,
[ Si tratta di un'equazione del tipo x = g(y'), con g(t)=r2 + t2 , Una
primitiva di g(t) è G(t) - 2t + t3 /3, Perciò le soluzioni sono e-
spresse in forma parametrica da
x(t)« g(t)- 2 + t2 ,• y(t) = tg(t)- G(t)* - t3 + e.
In questo caso é semplice rappresentare in forma cartesiana le
soluzioni; a tale scopo si può ricavare t dalla prima equazione e sosti-
1/2
tuire il valore trovato nella seconda: t - ± (x-2) ' , da cui y(x)-
3/*?
=± (2/3)(x-2) '" + e. Notiamo che l'equazione data è equivalente
alle due equazioni differenziali in forma normale: y' - / x-2 , y* =
= - /x-2 le quali, risolte per semplice integrazione, ridanno le
stesse soluzioni]
5.66 Traendo spunto dallfesercizio precedente, si
consideri un' equazione differenziale del tipo
x=g(yf), con g invertibile su R, e siano G,F
primitive rispettivamente di g e g"1. Verifica,
re che tutte le soluzioni in forma parametrica
x(t>g(t), y(t)«tg(t)-G(t)+c
sono anche esprimibili nella forma cartesiana
y(x) = F(x) , + e.
[ Dato che g è invertibile, la relazione x=g(t) equivale a t=g"x (x) .
Perciò nella rappresentazione parametrica delle soluzioni si può
assumere x come parametro ottenendo y(x)=g (x)x-G(g (x))+ e.
Rimane da provare che y(x) è una primitiva di g~x ; infatti (essendo
gCg""1 (x))= x):
-ì [g~ x (x)x-G(g-1 (x))+c]=(g-1 )' x + g-x- G'te"1 ){gl )'-
dx
= (g~X )' x + g^-gCg"1 )(g"1),Kg"1),x+g"1 -xCg'M^g"1 J

308
5.67 Risolvere le seguenti equazioni differenziali
(a) x/y"1" = sen/y"*" (b) x(l+sen2yf)=cosyf
Ce) 8x = (y')3 Cd) x(l-yf) = yf
Ce) xCyf)2=l-Cyf)3 (£) x^' (seny1+cosyf)
[ (a) x(t) = (sen /t)/ /t , y(t)=/t sén/t + 2cos e,che, pur
di porre s » / t > 0, si può scrivere più semplicemente x(s)=(sens)/s,
y(s) = s sens + 2 ,coss + e.
cost tcost
(b) x(t) « -- j- , y(t) « —■ j— - arctg sent + e.
1+sen t 1+sen t
(c) y(x) = (3/2)x + e. (d) y(x) * x - log | x+1 | + e.
(e) x(t) = - t + 1/t2 , y(t) * - t2 11 + 2/t + e .
t t . t ,
(f) x(t) = e (sent + cost), y(t) = te (sent + costj-e sent + e J
5G . EqiasLzdLoridL non. normali della forma
y = g(yf)
Consideriamo un'equazione differenziale del
primo ordine non normale del tipo
y = g(yf)
con g funzione derivabile con derivata continua.Come
nel paragrafo precedente,cerchiamo soluzioni in
forma parametrica (x(t), y(t)) scegliendo come pararne -
tro t = yf. Si ricava subito y=g(t); inoltre,se yf 1
dx dx . di = _1_ f, , = g'(t)
dt dy dt y' g LW t
309
Perciò x(t) si ricava integrando gfCt)/t. Indicata
con G(t) una primitiva di gf(t)/t, si ha quindi
xCt) - G(t) + e, yCt) « gCt).
Come verifica notiamo', direttamente dall'equa -
zione differenziale yCx) = gCyf(x)), cambiandox con
x + e, che se (x(t), y(t)) è una soluzione allora
anche (x(t) + e, y(t)) è tale.
Notiamo anche che, -avendo posto y' f 0,
potremmo aver perso soluzioni per cui y1 - 0 in un
intervallo. In tal caso yCx) = costante = e è soluzione
dell'equazione differenziale y = g(yf) se e solo se
e - g(0). Perciò alle soluzioni espresse precedente,
mente in forma parametrica va Ceventualmente, se
g(t) è definita per t == 0) aggiunta la soluzione pax
ticolare yCx) ~ g(0), VxtR.
5.68 Risolvere l'equazione y^y'seny' + cosy'.
[ Per y* = 0 si ottiene la soluzione costante y = cos 0*1. Posto
g(t) = t sent + cost, risulta g» (t)=t cost. Una primitiva di g'(t)/t
è G(t) - sent. Quindi le soluzioni, in forma parametrica, sono e-
spresse da
x(t) = e + sent, y(t) * t sent + cost,
oltre, naturalmente, alla funzione costante y = l]
5.69 Risolvere l'equazione y - log /l -f- Cyf)2 -
[L'equazione si può scrivere equivalentemente y'=± / e2y -1 e si
può risolvere separando le variabili. Con il metodo esposto in que -
sto paragrafo si nota preliminarmente che y r Oè una soluzione; i-
noltre, posto g(t) = log / 1+t2 risulta g'(t) = t/(l + t2 ) e una
primitiva di g(t)/t è G(t) = arctg t. Si ottengono le soluzioni in
forma parametrica: x(t) = e + arctg t, y(t) = log /l + t2 . Ricavan-

310
do il parametro t dalla prima equazione si determina la forma carte -
siana delle soluzioni:
y(x) * log /l + tg2 (x-c) ,
oltre alla funzione costante y = 0 ]
5.70 Risolvere le equazioni differenziali
(a) y. * (y1)2 (1-2 logy')
(b) y - [(y'-D2 + 1] e*1
(e) y + /1-Cy'J* = 0
[ (a) x(t) = 4 (1-t logt) + e, y(t) » t2 (1-2 logt).
(b) x(t) « (t-l)et + e, y(t) » (t2 - 2t + 2) ety oltre alla funzione
costante y * 2'.
(e) y(x) * - | cos(x+c) | per x + e j ( IT il) + kTT , ke z, oltre a
y(x) «- 1, Vx 6 R]
5.71 Determinare, con il metodo proposto in questo
paragrafo, le soluzioni dell'equazione lineare
a coefficienti costanti y' = ay + b, essendo a^
f 0.
[ Scrivendo l'equazione differenziale nella forma y=g(y'), con g(t) =
=(t~b)/a, si trovano (oltre alla soluzione costante y=-b/a) le solu -
zioni in forma parametrica
1 i \ , t-'b
x(t) = e + - log t , y(t) « .
a a
Eliminando il parametro (e cambiando opportunamente la costante) si
giunge -a y(x) = (c'eax- b)/a ]
311
5H. Equazioni di ClaLiaremL-fc.
Si dice di Clairaut un'equazione differenziale
del primo ordine non normale del tipo
y = xy' + g(y') ,
con g funzione derivabile. Come nei due paragrafi
che precedono, si cercano soluzioni in forma pararne
trica (x(t), y(t)), scegliendo come parametro t=y'.
Però, a differenza delle equazioni non normali
considerate nei paragrafi precedenti, in questo caso
la relazione y = xt + g(t) non definisce y in fun -
zione della sola t; per eliminare la dipendenza e-
splicita da x, è opportuno preliminarmente derivare
entrambi i membri dell'equazione differenziale:
cu y(x) = d7 [xyJ w + s(yf (x^
ottenendo (nell'ipotesi che y(x) sia derivabile due
volte) y'=y l+xy!,+gl (y ' )y", da cui
y"[x + g'(y')] = 0.
Si hanno due possibilità: (a) yM = 0; (b)x+g'(y') =
=0. Nel primo caso, se y" = 0 in un intervallo, y'
è costante (=c) e, dall'equazione differenziale injl
ziale, si ottengono le soluzioni y(x)=xc +
g(e).Tali soluzioni sono polinomi di primo grado (geometri,
camente corrispondono a rette) per ogni valore
della costante e.
Nel secondo caso, se x+g'(y')^0, posto t=y', si
hanno le equazioni parametriche x(t)=-gf(t), y(t) =
=-tg'(t)+g(t). La curva così ottenuta si dice iute -
graie singolare delifequazione di Clairaut.
Riassumendo, le soluzioni dell'equazione di Cla_i
raut sono date dalla famiglia di rette di equazione

312
y = ex + g(c)
e dall' integrale singolare di equazioni pararne tri che
x(t)«-gf(t), y(t)=-tgf(t)+g(t).
5.72 Risolvere l'equazione y=xyf - -r (y1)2 .
[ Si tratta di un'equazione di Clairaut con g(t)*-t2 /4. L'insieme delle
soluzioni è costituito dalla famiglia di rette y=cx-(c2 /4), al
variare di e in R, e dall'integrale singolare di equazioni parametriche
x(t)=-g'(t)= J t, y(t)-tg«(t)+ g(t)- 7 t2 ;
2 4
essendo t=2x, risulta anche y = - (2x)2 = x2 , che è l'equazione carte
4
siana dell'integrale singolare J
5.73 Si rappresentino in uno stesso sistema di
riferimento i grafici delle soluzioni
dell'equazione di Clairaut dell'esercizio precedente:
y = a - j e2 (ceR), y = x2.
[ Si disegnino le rette y = ex - (e 2 fk) per alcuni valori di e 6 R; ad
esempio per e * ± 1, ± 1, come in figura 5.9. La famiglia di rette
completa è rappresentata in figura 5.10 ]
313
figura 5.10

314
5.74 Si considerino la parabola di equazione y = x2
e la famiglia di rette y = cx-c2/4 (figura 5.10)
Esse hanno la seguente proprietà: Ogni retta è
tangente al! a parabola in almeno un punto e viceversa, o
gni punto della parabola è di tangenza per una retta del
la famiglia. Sotto queste condizioni si dice che
la parabola è una curva inviluppo della famiglia
di rette.
Verificare analiticamente la proprietà enun
ciata.
[ Cominciamo con il determinare le intersezioni della parabola y=x2 con
la retta y = ex - e Ih, Deve risultare x - ex - e /4, cioè x2-cx +
+ c2/4 - 0, cioè ancora (x-c/2)2 = 0. Ciò significa che, per ogni c6R,
x = c/2 è l'ascissa dell'unico punto di intersezione. La retta
tangente alla parabola y=x 2 per x = c/2 ha equazione y=f(x )+f • (x )(x-x )
con f(x) = x 2 ; quindi:
y * x 2 + 2x (x-x ) = 2x x - x 2 = ex - e2 /4
J o o N o ' o o
come si voleva dimostrare J
5.75 Si considerino le soluzioni dell!equazione di
Clairaut y = xy1 4 g(yf), supponendo che g,! ^0.
Generalizzando l'esercizio precedente, verifica
re che la curva di equazioni parametriche
x(t) = - gf(t), y(t)=~tg'(t) + g(t)
è inviluppo della famiglia di rette y=cx+g(c).
[ Le intersezioni della curva con le rette si determinano con la condì -
zione y(t) = cx(t) + g(c), cioè
-tg'(t) + g(t) =- cg'(t) + g(c). /
Si vede che t=c è una soluzione; in corrispondenza il punto di interse
zione ha coordinate (x ,y ) = (-g'(e). -cg'Cc) + g(c)). La retta tan -
315
gente alla curva (x(t), y(t)) ha la direzione del vettore (x'(t),
y'(t)) = (-g"(t), -tg"(t)) che, se £'f(t) t 0, è la stessa direzione
del vettore (l,c) (per t=c). Perciò l'equazione della retta tangente
per t - e, è
y s yo + c(x-xo)—cg' + g + c(x + g')= ex + g ]
.76 Si consideri liquazione differenziale y =
=(x-l)y,) che è allo stesso tempo lineare e di
Clairaut con g(t) =-t (con riferimento ali1 e-
sercizio precedente si noti che g,r=0
identicamente) . Verificare che l'equazione ha per solu
zioni una famiglia di rette, ma non ammette in
tegrali singolari.
figura 5.11

316
[ L'integrale generale y=c(x-l) è rappresentato in figura 5.11 e si de -
termina con il metodo delle equazioni dì Clairaut, ma anche con il
metodo delle equazioni lineari. Formalmente l'integrale singolare
avrebbe espressione analitica x(t)-l, y(t)=0; però (1,0) è solo un punto di
R2 e non è una curva regolare. Sì noti comunque che (1,0) è proprio £1
centro del fascio dì rette y=c(x-l) ]
5.77 Risolvere le seguenti equazioni dì Clairaut
(a) y=xy' + ey' (b) y=xy'+ /y7"
(e) y=[x(y')3-l]/(y')2 (d) y=xy'-seny'
[ (a) y(x)=cx + e0', y(x)=x-x logx. (b) y(x)=cx-+ /e ,- y(x)=-l/(4x)
e) y(x) = ex - (I/c2 ); y(x)=
cost, y(t) = t cost - sent ]
1/3
(e) y(x) = ex - (I/c2 ); y(x)=-3(x 2 /4) . (d) y(x)=cx-senc; x(t)
5.78 Determinare una soluzione del problema di Cau
chy
xy '
seny '
y(D
IT .
[ Dato che l'equazione differenziale non è in forma normale, non è possi
bile applicare il teorema di Cauchy dì esistenza ed unicità. Le solu -
zìoni dell'equazione sono indicate nella risposta dell'esercizio 5*77
(d). L'unica retta della famiglia y(x) = cx-senc che soddisfa la condì
zìona iniziale y(l)= TT (cioè TNc-senc) si ottiene (soltanto) per e- IT
ed è quindi la rotta y-TTx (infatti, dal segno della derivata prima si
vede che la funzione f(x) - x •• senx è strettamente crescente su R ;
dato che f ( IT ) = IT , risulta f(x) / 7T per ogni x 1 TT). Per stabilire
se la curva singolare (x(t), y(t)) passa per il punto (1, TT), studiamo
il sistema
cost = 1
<==>
t cost-sent=7T
cost = 1
t-sent= IT
<=>
t=2kTT (k6Z)
t = TT
317
Il sistema non ha soluzioni e l'unica soluzione del problema di
Cauchy è y(x) = TT x ]
5.79 Studiare ì problemi dì Cauchy
y=xy*-Cy')2/4
(a)
y=xy'-(y')2/4
(b)
y(o)=i
y(D=i
[ L'equazione differenziale è risolta nell'esercizio 5.72. Come sì
vede dalle figure 5.9 e 5.10, nessuna soluzione passa per il punto di
coordinate (0,1). Quindi il problema di Cauchy (a) non ha soluzioni.
Invece per il punto (1,1) passano le due curve y(x) - x2 e y(x) *
= 2x-l, che sono entrambe soluzioni del problema dì Cauchy (b). Il
lettore ritrovi per via analìtica i risultati indicati ]
5. £0 Per ogni valore del parametro reale a f 0,1 de_
terminare le soluzioni dell'equazione differen
ziale di Clairaut
y = xy1 - (y')
r a
L L'integrale generale è dato dalla famìglia di rette y - ex - e .Lo
integrale singolare in forma parametrica ha equazioni x(t)=at ,
a a/( a -1)
y(t) = ( a-l)t ed in forma cartesiana y(x)=(a-l)(x/a) J
Il Determinare la curva piana tale che il
prodotto delle lunghezze (con il segno) dei segmenti
orientati intercettati sugli assi coordinati
dalla retta tangente in un punto generico sia
costante uguale a 4.
[ Con riferimento alla figura 5.5, la condizione da imporre è 0A*0B=4.
Cìà equivale a

318
y
( x - -7 ) (y - xy1) = 4 .
y'
L'equazione si può scrivere nella forma equivalente (se y' ± 0):
(y-xy')2 - - 4y', cioè y - xy1 ± 2 / -y'
Naturalmente deve essere y1 < 0 (ciò è evidente anche dal fatto che
OA'OB > 0) .Abbiamo due equazioni di Oairaut che hanno come soluzioni le fari-
glie di rette y = ex ± 2/-e e gli integrali singolari di equazioni
parametriche x(t) « ± 1// -t , y(t)* ± v-t ; eliminando il pararne
tro si trova l'iperbole equilatera di equazione y=l/x. Il lettore
verifichi che le soluzioni trovate soddisfano effettivamente la condì -
zione OA'OB » 4; ad esempio verifichi che la retta tangente
all'iperbole y=l/x in un punto generico (xq> 1/xq), con xo ± 0, ha equazione
y=cx + 2 /-e con c=y,(xo)=-l/xo2 e che le intersezioni con gli
assi coordinati valgono A = ( ± 2/v -e, 0) e B = (0, ± 2 /-e), per
cui OA'OB = 4 1
5.82 Determinare le curve del piano tali che il
segmento della retta tangente in un punto generico
delimitato dalle intersezioni con gli assi coo£
dinati, abbia lunghezza uguale ad 8.
[ L'equazione differenziale è
y 2 (l+(y«) 2 )-2xyJ(14(y«) 2 )y+(x2 +x2 (y')2 -64)(y») 2 - 0
che, esplicitata rispetto ad y, dà le equazioni di Clairaut
y*
y * xy' ±8
/l+(y')<
che ammettono per soluzioni la famiglia di rette y=cx ±(8c)/ / 1+c 2 e
2/3 2/3 -
1' "asteroide" di equazione x + y =4 J
319
51. Il teorema <3L± Cauchy
Richiamiamo il teorema di Cauchy, di esistenza
ed unicità locale per un* equazione *'differenziale del
primo ordine in forma normale. A tale scopo consid£
riamo una funzione di due variabili f(x,y) definita
nell'intorno rettangolare I x J del punto (x0,y0)d_e
. finito da (a,b > 0):
IxJ={(x,y) €R2 :x0-a£x£x0+a, y0 -b <_ y £yc+b}.
Supponiamo che:
(1) f(x,y) è continua nel rettangolo I x J;
(2) f(x,y) è Lipschitziana rispetto a y, nel
senso che esiste una costante L tale che
|f(x,y1)-£Cx,y2)| £ L |y1-y2 |
per ogni (x,yx), (x,y2)e I x J (alcune proprietà dejL.
le funzioni Lipschitziane sono discusse nei paragra,
fi 9C e 12C del 1° volume, parte prima).
Usiamo le notazioni:
M=max {|f(x,y)|: (x,y)elxj}; ó=min{a; - } ,
TEOREMA DI CAUCHY. - Nelle Ipotesi (1) e (2) esiste
una ed una sola funzione y=y(x) definita e derivabile
nell'intervallo (x0-ó, X0 + ó) che verifica il problema
differenziale, detto di Cauchy
(*)
fy? (x)=f (x,y(x)), Vxe(x0~ó, x0 + 6)
y(x0) = Yo
Notiamo che, talvolta, nella tesi del teorema
di Cauchy si afferma lf esistenza della soluzione

320
y(x) nell'intervallo (x0~ò, x0+6), con 6 definito,in
vece che da ó=min{a; b/M}, da 6 < min {a; b/M; 1/L}.
La formulazione dipende dalla dimostrazione adottata
e comunque non cambia la sostanza del teorema, che
afferma l'esistenza (e unicità) di una soluzione "in
piccolo", cioè definita in un intorno di x0, intorno
contenuto nell'intervallo I = [x0-a, x0+a]. La
ulteriore limitazione ó < 1/L è utile in una dimostra -
zione di tipo funzionale, basata sul teorema delle
contrazioni negli spazi metrici (si veda il
paragrafo 2B) , e si può evitare con una dimostrazione di a-
nalisi reale, basata sulle proprietà degli integrali
definiti e sulla convergenza uniforme di successioni
di funzioni.
Molto importante è la seguente formulazione del
teorema di Cauchy:
COROLLARIO. - Sia f (x,y) una funzione definita in un
intorno rettangolare I X J del punto (x0,y0). Se f(x,y)e
la sua derivata parziale f (x,y) sono continue in I X J ,
allora esistono 6 > 0 ed una ( unica) funzione y = y(x)
definita e derivabile in (x0-<5, X0 + ó)c I, soluzione del
problema di Cauchy (*) .
Dimostrazione - Le funzioni di due variabili | f(x,y) j e j f (x,y) j so
no continue in I x J. Consideriamo un rettangolo chiuso e limitato I* x J',di
centro (xQ,yo), contenuto in I x J. Per il teorema di Weierstrass jf j e |f |
assumono massimo su I' x J' . Se indichiamo con H,L i rispettivi valori di mas,
simo, abbiamo
| f(x,y) | £ M, |fy(x,y)| < L, v (x,y) €1' x J».
In base al teorema di Lagrange (per le funzioni di una variabile reale), per
ogni yj , y2^ J1 esiste 5€J' taie cne
| f(x,yi)-f(x,y2 ) |= |f (x, ?)(yi -y2) | < L | yx -y2 |
321
Quindi, in I' x J',f(x,y) è Lipschitziana in y uniformemente rispetto a x .
Perciò, essendo soddisfatte le ipotesi, vale la tesi del teorema di Cauchy.
Le ipotesi del teorema di Cauchy sono sufficien
ti per l'esistenza di una soluzione del problema di
Cauchy definita localmente in un intorno di x0, e per
l'unicità della soluzione in tale intorno. Nel segui
to discutiamo di queste questioni e della necessità
delle ipotesi, cominciando dal problema
dell'unicità.
5.83 Si consideri il problema di Cauchy
2/3
Si verifichi che non sono soddisfatte tutte le
ipotesi del teorema di Cauchy. Si verifichi i-
noltre che il problema ammette più di una solu
zione.
2/3
[ L'equazione differenziale è della forma y'=f(x,y), con f(x,y)=y (f
è costante rispetto ad x). La funzione f(x,y) è continua su R (da-
? /°
to che y è continua su R), ma f non è continua in un intorno di
-11% • ^
(0,0); anzi, f = (2/3)y ' non è definita per y-0 e diverge a ± °°
i y 2/3
per y~K)- . Ciò implica che y non è una funzione Lipschitziana
in un intorno di y=0 (si veda il paragrafo 12C del 1° volume, parte
prima).
Si vede subito che il problema di Cauchy ammette la soluzione i-
denticamente nulla. Per determinare eventuali altre soluzioni usiamo
il metodo dèlie equazioni a variabili separabili. Se y £ 0 abbiamo
1/3
3y
-2/3
y <ty
dx = x + e,
da cui y(x) = (x+c) 3 /27. Deve essere y(0)=O, cioè 0-c /27, cioè an
cora c=0. La
di Cauchy ]
cora c=0. La funzione y(x)=x3 /27 è un'altra soluzione del problema

322
5.84 Si verifichi che il problema di-Cauchy dell'e -
sercizio precedente ha infinite soluzioni. In
particolare si verifichi che, per ogni k >_ -0, è
soluzione su R la funzione yk(x) definita da
yk(x)= <
(x-k)3/27 se x > k
0 se |x| <I
(x+k) 3/27 se x < - k.
[Si noti in particolare che yfc(x) è derivabile anche per x= ± k ]
5.85 Verificare che il seguente problema di Cauchy
fy'cosx = 4y senx + 4 Vy3
|y(0) « 0
ammette nell'intervallo [0,tt/2) più di una solu
zione.
[La funzione identicamente nulla è una soluzione. Con il metodo delle e
'. 3/4
quazioni di Bernoulli (dividendo entrambi i membri per y , sostituen
do la funzione incognita y con z = y e ponendo z(0) = 0) si trova
anche la soluzione y(x) = (x/cosx) ** ]
5.86 Verificare che il problema di Cauchy
ammette, in un intorno sinistro di x0=l, più di
una soluzione.
323
[Si tratta di un'equazione differenziale omogenea del tipo y'=g(y/x) .
Con la sostituzione z=y/x ci si riconduce all'equazione a variabili se
parabili xz' = / 1-z 2 . Per procedere oltre, prima di separare le
variabili, è opportuno discutere il caso / 1 - z =0. Notiamo che la
condizione iniziale y(l)=l corrisponde a z(l)=y(l)/l * 1. Siamo quindi
proprio nel caso / 1-z * (x) = 0, per x=l.'Si vede facilmente che la
funzione costante z = 1 è una soluzione (e ciò corrisponde a y(x) =
= xz(x) = x). Un'altra soluzione si ottiene separando le variabili e
supponendo che z2 (x) < 1 per x $ 1; per x > 0 si ottiene
arcsen z
dz
A-z2
f dx
— = e + logx
X
Imponendo la condizione z(l)=l si trova e =. arcsen 1 * TT/2. Se | TT/2+
+ logx I < IT/2 (e ciò accade in un intorno sinistro di x =1) risulta
z(x) = sen(7T/2 + logx) = cos(logx). In termini di y(x) = xz(x) ; il prò
blema di Cauchy ha quindi almeno le due soluzioni (in un intorno
sinistro di x =1)
y(x) = x ; y(x)=x cos(logx) ]
Negli esercizi che seguono discutiamo della
esistenza locale delle soluzioni (cioè, come talvolta si
dice, delle soluzioni " in piccolo", per distinguerle
dalle soluzioni n in grande ", che risultano definite
in un intervallo fissato a priori) ed in particolare
della stima fornita dal teorema di Cauchy della semi-
ampiezza 6 dell'intervallo di definizione della solu
zione.
5.87 Si consideri il problema rjli Cauchy
con (x0,y0)€R2 e y0 > 0. Si noti che la
funzione a secondo membro dell'equazione differenzia-

324
le f(x,y)=y2 è continua su tutto R2. Cionono -
stante, si verifichi che:
(a) la soluzione y(x) è definita
nell'intervallo (x0-ó, x0+ó), con 6 = l/y0;
Cb) il più grande valore di ó, stimato in base
all'enunciato del teorema di Cauchy (ó = min {a;
b/M}), è ó = l/(4yj.
[ (a) Con il metodo delle equazioni a variabili separabili, oltre a yEo.
si ottengono le soluzioni dell'equazione differenziale y(x)=-l/(x+c) .
La condizione iniziale y(xo)=yo vale se c--x -(1/y ). Perciò la solu -
zione del problema di Cauchy è data da
yOO
1-y (x-x )
J o v o '
La funzione y(x) è definita per x } xq +(l/yo). Limitatamente all'in -
tervallo contenente xq, la funzione è definita in (-00 , x +(l/y )). Il
più grande intervallo del tipo (xq- ó, xq+ 6 ) in cui la funzione y(x)
è definita si ha per 6 =l/y .
(b) Le funzioni f(x,y) = y2 e f (x,y)=2y sono continue su R2 (quindi
il problema di Cauchy ammette Lina ed una sola soluzione y(x) definita
in un intorno di xq). In particolare f(x,y) è continua in ogni
rettangolo I x J del tipo
I x J = { (x,y) 6R2 : xo-aj<x<,xo + a, y -b<.y<y +b }
con a,b > 0.
II massimo M di f(X,y) ir. I x J vale
M=max { f(x,y) :(x,y) G I x J }=max {y 2 :yo~b<y<yo+b} =(yo+b) 2 .
Il teorema d'i Cauchy stabilisce per 6 la stima 6 =min{ ajb/M } . Po -
tendo scegliere a,b€ R ed essendo b/M=b/(yo+b)2 indipendente da a, è
conveniente scegliere a in modo che a >, b/M: ir. tal caso risulta
6 = min { ajb/M } = b/(y + b) 2 .
-Ora scegliamo b in modo da ottenere per ó il massimo possibile; cioè
calcoliamo il massimo (assoluto) di ó=ó(b).Risulta Ó(0)=0 e ó(b)->0
per b-»+°°: quindi il massimo assoluto di 6 (b) si ottiene in corri -
325
spondenza ad un valore b > 0 per cui la derivata ó'(b) si annulla. Ri.
sulta
(y +b)2 -2(y"+b)b y -b
ó *(b) = ° ' ° °
(y0+i>r (y0+b)J
perciò Ó ' (b) = 0 per b=y e quindi max{ó(b) :b>o}=<S(y) =
= l/(4y ). Il teorema di Cauchy, nelle ipotesi ottimali bay e a>b/M ,
stabilisce l'esistenza di una ed una sola soluzione del problema
differenziale nell'intervallo (xq- 6 , xq+Ó), con ó=l/(4yo); come si vede
confrontando con (a), la soluzione' è di fatto definita in (- OT , x +
+ (1/y )) che è un intervallo contenente (x-ó,x+<5).
Infine osserviamo che la funzione f(x,y)=y2 è Lipschitziana ri -
spetto ad y € [y -b, y +b ] con costante L data da (si veda il par agra
fo 12C del 1° volume, parte prima):
L-max { | fy | : y 6 [yo-b, yo+b ] } = 2(yo+b).
In particolare, per il valore ottimale b*y sopra scelto, risulta L=4yo;
perciò Ó=l/(4y ) è uguale a l/L e risulta anche Ó=min {a,* b/M; l/L}]
Si consideri il problema di Cauchy
2
-. J y' = U+y)
[y(o) = o
Si verifichi che;
(a) la soluzione è definita per' Jx| < ir/2 e non
è definita per x - ± tt/2;
(b) il più grande valore di ó, stimato in base
all'enunciato del teorema di Cauchy (ó-min { a ;
b/M}) è 6=1/2.
[(a) L'equazione differenziale è del tipo y'=g(ax+by) e si risolve con
la sostituzione z(x)=x+y. Si trova la soluzione y(x) = tgx - x.
(b) Sia f(x,y) = (x+y)2 ,* come nell'esercizio precedente, si pone (si
noti che (xo,yo) - (0,0)):
M=max { f(x,y): jx j< a, ] y| < b } * (a+b)2 ,

326
essendo a,b > 0. Per determinare il massimo rispetto ad a,b e R di 6 =
= min { a; b/H } s min { a; b/(a+b)2 } , è opportuno calcolare, per o
gni a > 0, il massimo assoluto della funzione b -*b/(a+b)2 . Tale firn -
zione vale zero per b=0 e converge a zero per b -*• +°° ; il massimo
assoluto si ottiene quindi quando la derivata
d-
db (a+b);
a-b
(a+b)3
si annulla e ciò accade per b=a. Posto b=a, risulta Ó=mirt (a'jl/(4a) },
\ / 1
\ / ó = min a ; —
\ / l 4a
\
/
/
^>
?>.
<U 1
r
2
figura 5.12
Come si vede dalla figura 5.12, il massimo di <5 = ó(a) si ottiene, quan
do 6 =a=l/(4a) e ciò accade" per a=l/2. Il valore massimo è ó m#av =
max
~- ó (1/2),- 1/2] •
Il teorema di Cauchy vale per equazioni
differenziali in forma normale, cioè del tipo y'=f(x,y), e non
327
vale in genere per equazioni non normali. Di seguito
proponiamo alcuni esercizi relativi ad equazioni di:£
ferenziali non in forma normale. In particolare gli
esercizi 5.89 e 5.90 sono esempi di non unicità, men
tre l!esercizio 5.91 è un esempio di non esistenza.
5.89 Verificare che y^TT-x, y=x+iT sono due soluzioni
del problema di Cauchy
Ìy! seny + senx = 0
y(0) = tt
5.90 II seguente problema differenziale non ha unicjl
tà. Una soluzione è data da y(x)=x+2TT. Trovarne
un1altra.
y!seny = senx
( y(0) = 2tt
[Ad esempio y(x) = 21T - x]
5.91 Verificare che non esìstono, in un intorno
destro di xo = 0, soluzioni del pi^oblema di Cauchy
Ìy'cosy = cosx
y(o) = tt/2
[Già dall'equazione differenziale, ponendo x=0 e y= IT /2, si trova l'as.
surdo 0=1 (purché y'(0) e R; si noti che, dall'espressione analitica
che determiniamo di seguito, la derivata y'(x) diverge per x~* 0 ).
Essendo D(sen y(x))=y'cosy(x), dall'equazione differenziale si ottiene
sen y(x)
f f
D(seny(x))dx = I y'cosy dx = I
cosx dx=c + senx.
Dovendo risultare y(0)= 7T /2, si ha
l=sen( TT/2) = e + sen 0 = e,

328
da cui seny = 1 + senx. Tale relazione non definisce una funzione y(x)
nell'intervallo (0,TT ), perchè in tal caso seny = 1 + senx > 1 è
assurdo. Quindi il problema di Cauchy non ha soluzione in un intorno de
stro di xo=0. Per x€ [- 7T,0 ] risulta y(x) = arcsen (1+senx). Si
noti che tale funzione non è derivabile per x=0 e quindi y(x) non è
soluzione del problema di Cauchy (in senso classico) nemmeno in un
intorno sinistro di x =0 1
o J
5.92 Si consideri un'equazione differenziale del
tipo
x = g(yf)
con g funzione di classe C1(R). Verificare che
se g(t) non è invertibile (localmente) in un in
torno di un punto t0, allora in .corrispondenza
la rappresentazione parametrica delle soluzioni
x(t)=g(t) , y(t)=tg(t)-G(t)+c,
(con Gf(t)=g(t)) ottenuta nel paragrafo 5F, è
non regolare, nel senso che xf(t0)=y'(t0)=0.
[ Se g non è invertibile -in un intorno di t allora necessaria-
o
mente g'(to)=0 (infatti, se fosse g'(to)^ 0> g sarebbe strettamente
monotona in un intorno di t ). Ne segue che x'(t)=g'(t)ey ' (t)=tg'(t)
si annullano entrambe per t=t j
Concludiamo il paragrafo con il seguente
TEOREMA DI PEANO - Se f(x,y) è una funzione continua, in un
intorno di (x0,yo), esiste una funzione y(x), derivabile
in un intorno di X0 rche soddisfa il problema di Cauchy
y'=f(x,y) , y(x0)=y0.
Notiamo che il teorema di Peano è un risultato di
329
esistenza, ma non di unicità. Ad esempio i problemi
di Cauchy degli esercizi 5.83, 5.85 e 5.86 sono del
tipo yf = f(x,y), con f continua, ma non Lipschitzia
na in y (la funzione t-*/t~ è continua in un intorno
destro, di t=0, ma non è Lipschitziana) e non hanno
unicità.
La dimostrazione del teorema di Peano, simile
sotto certi aspetti a quella del teorema di Cauchy,
è basata sul teorema di Ascoli-Arzelà (paragrafo 1A)
5L. Xr\-tz&££icaLZ.dLoT\& g;arsii: :Losi
Talvolta è possibile determinare alcune propri^
tà del grafico di soluzioni di una equazione
differenziale ordinaria
yf = f(x,y)
a priori, senza risolvere l'equazione
analiticamente. In particolare può essere possibile determinare
gli intervalli di monotonia delle soluzioni, gli
eventuali py.nti dì massimo e di mìnimo relativo, gli
intervalli di convessità e concavità , i punti dì
flesso egli asintoti orizzontali.
intervalli di monotonia: Sì determinano stabilendo
il segno di yf(x). In base all'equazione differen -
ziale yf = f(x,y), risulta yf ì 0 in corrispondenza
ai punti (x,y)eR2 per cui f(x,y) % 0.
Intervalli di convessità : Si determinano in base àL
segno di yM(x). A tale scopo è opportuno derivare
entrambi i»membri dell'equazione differenziale yf (x)=
= f(x,y(x)):
y!'=fx (x,y)+fy (x,y)y ' =fx (x,y)+fy (x,y)f (x,y)
(occorre supporre che f sia una funzione differen -
ziabile; nell'ultimo passaggio si è tenuto conto del

330
fatto che y,=f(x,y)). Risulta quindi yn £ 0 in corri
spondenza ai punti (x,y)eR2 per cui f + fvf % 0.
x y
Asìntoti orizzontali : Consideriamo per semplicità S£
lo il caso yf=£(y), con f funzione continua
indipendente da x, anche se il metodo che esponiamo si
applica talvolta- anche al caso generale. Consideriamo
gli asintoti orizzontali per x-*+°°; il caso x-*-<» è a-
nalogo.
Ef opportuno stabilire innanzi tutto il segno di
yf; se esiste x0eR pei" cui y1 (x) ha segno costante
per x > x0, allora y(x) è monotona per x .> x0.
Indichiamo con JteRU {+«>} il limite per x-»+°° di y(x) . In
base al teorema di L'Hopital, se £€R anche y'(x) ha
limite per x-»+°° e tale limite vale zero; infatti:
L'Hopital
0=(~ = )» lim *^L = lim y»(x).
Notiamo che, per applicare il teorema di L'Hopital ,
è necessario verificare a priori che esiste il
limite a secondo membro; ciò si ottiene direttamente dajL
l'equazione differenziale y'(x) = f(y(x)); infatti ,
per la continuità di f, y'(x) converge a f(£) per
x-»+a>. Ricordiamo anche che il teorema di L1 Hópital
si applica alle forme indeterminate 0/0 e «>/<», ma an
che al caso £/«, con iUR.'
Al limite per x->+°° nell'equazione differenziale
y ' (x)~f(y(x)), otteniamo 0=f(jO, che è un' equazione
(algebrica o trascendente) nell'incognita JUR.
Spesso dall'equazione £(J£j~0 e dalle proprietà di monoto
nia di y(x) è possibile determinare £.
5=93 Determinare"gli intervalli di monotonia e di
convessità e gli eventuali asintoti orizzontali
delle soluzioni dei problemi di Cauchy
331
r\ri
(a)
y' = (y2-4y+3)'
fy'=(y2-4y+3)3
y('o) = 2
y(o) = o
[(a) L'equazione differenziale è.a variabili separabili, ma non è agevo
le risolverla analiticamente e determinare l'espressione cartesiana «tei
la soluzione. Applichiamo il metodo di integrazione grafica descritto
precedentemente. La derivata y' è positiva se
y'=(y2 -4y + 3)3= (y-1)3 (y-3)3 > 0 ;
ciò si verifica se y è esterno all'intervallo [l,3J . Inoltre y ' < 0
se y €(1,3) e y'=0 se y=l oppure se y=3. Si noti che le funzioni co -
stanti y=l e y=3 sono due soluzioni dell'equazione differenziale.
Dato che la condizione iniziale è y(0)=2, per la continuità di y(x)
(notiamo che, in base al teorema di Cauchy, esìste una (unica)
funzione* derivabile y=y(x) che risolve il problema (a) in un intorno di x =<3)
risulta y(x) e [l,3j in un intorno di x =0 e quindi y'(x) < 0 in tale
intorno (y(x) è perciò strettamente decrescente). E' possibile che y(x)
sìa illimitata nel suo insieme di definizione? E' possibile che y(x)d_i
venti negativa per qualche valore di x > 0? Se ciò accadesse,, per il
teorema dell'esistenza degli zeri esisterebbe x 1 > 0 per cui ylXj^ )=1;
avremmo quindi due funzioni (la soluzione y(x) che stiamo studiando e
la funzione costante uguale ad 1) che soddisfano entrambe il problema
di Cauchy
y» = (y2 - 4y + 3)3 , y(x ± ) = 1.
Per il teorema di unicità dovrebbe risultare y(x) identicamente uguale
ad 1, in contrasto con il fatto che y(0)=2. Perciò y(x) non assume mal
il valore 1 e quindi è tale che y(x)>l per ogni x.Analogamente y(x)<3
per ogni x dell'insieme di definizione. Ne segue, tenendo conto anche
della monotonia, che y(x) è definita in (più precisamente, può essere
estesa a) tutto R ed è limitata su R (1 < y(x) < 3 per ogni x 6R).
Indichiamo con £€[l,2] il limite di y(x) per x -> +00 . Dalle condizio-

332
lim y(x) = £, lim y'(x)=0, y'«(y2 ~4y+3) 3
otteniamo ( £ 2 -4 £+3)3 =0, cioè £ =1 oppure £ =3. Dato che y(0)=2 e
che y(x) è decrescente, y(x) converge ad 1 per x -* +00 . Analogamente
y(x)-> 3 per x->- °°.
Per determinare gli intervalli di convessità e concavità, calcolia
mo
y" = 3(y2 -4y' + 3)2 (2y-4)y' .
Abbiamo già stabilito che la nostra soluzione y(x) è decrescente con
y'(x) < 0 per ogni x €R. E' allora facile verificare che yM > 0 se e
solo se y < 2. La soluzione y(x) è convessa se y(x) < 2 ed è concava
se y(x) > 2; dato che y(0) = 2 e che y(x) è decrescente, ciò significa
.che y(x) è convessa nell'intervallo [ 0,+ °° ) ed è concava in (-°°,c]
il punto x =0 è di flesso. Il grafico di y(x) è disegnato in figura
5.13,
figura 5.13
X
333
(b) La soluzione y(x) è strettamente crescente e concava su R. La
retata di equazione y=l è un asintoto orizzontale per x-*~t-°° , mentre y(x)
diverge a - °° per x ■+ -00 (infatti y(x), essendo monotona, ha limite
per x ->+00 . Se convergesse ad un limite £6R, £ dovrebbe essere una
soluzione dell'equazione ( £2-4 £ +3) 3 * 0, da cui £=1 oppure £=3 .
Ciò contrasta con il fatto che, essendo y(x) una funzione strettamente
crescente con y(0)=0, essa è negativa per x < 0) J
5.94 Determinare per x >/Q gli intervalli di
monotonia e di convessità e gli eventuali asintoti o-
rizzontali delle soluzioni dei problemi di Cau-
chy
(a)
y'=x-y
y(o)=o
,2
Cb)
[(a) Risulta y' > 0 pei x > y2 , che è l'insieme piano tratteggiato in
figura 5.14, delimitato dalla parabola di equazione x=y2 .
figura 5.14
figura 5.15

334
La derivata seconda vale y" = 1 - 2yy' = l-2y(x-y2 ) = l-2xy+2y3 . Ri
sulta yM=0 se l-2xy+2y3 =0, da cui
2y3 + 1 2 1
X - - y * + m
2y ' 2y
Per y > 0 risulta y" < 0 purché x > y2 + l/(2y) (insieme tratteggiato
in figura 5.15). La soluzione y(x), esistente in un intorno di x =0
per il teorema di Cauchy, è strettamente crescente e convessa nelle
vicinanze di x =0; essendo y(0) = 0, dall'equazione differenziale
segue che y'(0)=0; quindi y(x) ha tangente orizzontale in
corrispondenza di x = 0, Risulta inoltre y(x) < V x per ogni x > 0; infatti, se
fosse y(x x ) - / kx per. qualche xx> 0 e y(x) < /x _per ogni
x€ (OjXj ), dovrebbe risultare (si noti che x-Xj è negativo):
y(x)-y(x1 ) /x - /xx
y'(x1) = lim >_ lim
x~»x~ x " x i x ->x\ x " x 1
r d /— i i
dx 2/x
il contrasto con il fatto che y'(xx ) = x±- (y(x1 ))2 = xx -(/x 1)2-
* 0. Perciò è provato che 0 < y(x) < /x per ogni x > 0. Per x~> + °°
y(x) non ha asintoti obliqui (perchè è limitata superiormente da /x ),
né asintoti orizzontali; infatti, se y(x) convergesse per x -M- °° ad un
numero reale £ , risulterebbe y'(x)->0 per x ->+ °° e quindi,
dall'equazione differenziale, otterremmo l'assurdo 0=+ <»-£2=+ co. Il grafico
della soluzione y(x), per x > 0, ò schematizzato in figura 5.16. (b)
figura 5.17 ]
5.95 In dinamica delle popolazioni, un modello di cre_
scita di una popolazione isolata è descritto me_
diante l'equazione differenziale
yf = qy - my2,
335
x I *
figura 5.16 figura 5.17
con q,m costanti positive. La condizione inizisi
le è y(xo)=y0, con 0 < y0 < q/m. Determinare le
proprietà grafiche della soluzione.
[Notiamo preliminarmente che l'equazione data è a variabili separabili
ed anche del tipo di Bernoulli ed è quindi integrabile esplicitamente
(oltre a y =0, l'equazione differenziale ammette le soluzioni y(x)=
= 1/ L (m/q) + e e J , con ce R). Comunque, per ottenere rapidamente
un grafico approssimativo della soluzione del problema di Cauchy, si
può osservare che la derivata y' = y(q-my) è positiva se 0<y< q/m(cp_
me nello schema in figura 5.18). Dato che y = 0 e y = q/m .sono
soluzioni dell'equazione differenziale, per il teorema di unicità ogni
altra soluzione non può assumere i valori O e q/m; quindi se, come nel
nostro caso, y(xo)=yo è interno all'intervallo [ 0,q/ro ] , y(x) rimane
interno per ogni altro xG R. In particolare la nostra soluzione veri fi
ca le limitazioni 0 < y(x) < q/m per ogni x €R, ed è strettamente
crescente su R. Circa la derivata seconda, abbiamo y" = (q-2my)y' ; ad e-
sempio, nella zona 0 < y < q/m risulta y' > 0 e quindi y" > 0 per q -
- 2my > 0, cioè per y < q/(2m). In figura 5.19 è rappresentato uno sene
ma di convessità e concavità delle soluzioni. Circa gli asintoti
orizzontali y r £, deve risultare q£ - m Z2- 0, cioè i-0 oppure £ =q/m

336
y"> o
figura 5.18
figura 5.19
In base alle proprietà di monotonia, si ottengono i grafici in figura
5.20. Il grafico di una particolare soluzione y(x) tale che 0<y(x )<
< q/m è rappresentato in figura 5.21 ]
figura 5.20
figura 5.21
337
5.96 Prescindendo (eventualmente) dallo studio del se_
gno della derivata seconda, disegnare
approssimativamente i grafici delle soluzioni delle e-
quazioni differenziali del tipo yf = f(y):
(a) y!=(y2-6y+8)(y-10)20 (b) yf-y seny
(e) y'=eylog(y2-6y-ó)
(d) yf=yeylogy
5.97 Disegnare .approssimativamente i grafici delle so^
luzioni dellfequazione differenziale yf=-2xy.
[il segno della derivata prima, schematizzato in figura 5.22, è
positivo nel secondo e nel quarto quadrante. In. particolare la funzione
costante y=0 è una soluzione e nessun*altra soluzione tocca l'asse x .
Inoltre y(x) ha un punto di massimo per x=0 se y > 0, mentre ha un pun
to di minimo se y < 0.
y.
/y'>o
/
\
\y'<o
y'<0 \
\
y>0 /
\
y
y">0 j y"<0
y"< 0
Vi
y > 0
^2
y" >0 J y"< 0
figura 5.22
figura 5.23
La derivata seconda vale y,,=-2y-2xy'=-2y-2x(-2xy)=2y(2x2 -1). Se y > 0
risulta y11 < 0 all'interno dell'intervallo [ ~/2/2, /2/2] ; in
figura 5.23 è rappresentato uno schema di convessità e concavità. Dalle
proprietà di monotonia e limitatezza di y(x) si deduce che essa ha cer

338
tamente asintoto orizzontale per x+ ±°° e, dall'equazione differenzia
le, si ottiene che l'asintoto ha equazione y=0. Il grafico delle
soluzioni è in figura 5.2; come indicato nell'esercizio 5.6, le soluzioni
-x2
sono y(x) -ce , con e 6R. Il lettore verifichi da tale
espressione analitica che, ad esempio, x= ±/2/2 sono punti di flesso per y(x)]
5.98 Disegnare approssimativamente per x > 1 il
grafico della soluzione del problema di Cauchy
x y
y(D
[ La soluzione è strettamente crescente e concava per x >_ 1 e diverge
a + °° per x •* +00 . Il grafico è rappresentato in figura 5.24J
/
y
'/ o < y < x
/
/
/
-r-
2 xi
figura 5.24 figura 5.25
339
5.99 Disegnare approssimativamente per x > 2 il gra.
fico della soluzione del problema di Cauchy
1 1
yf = - - -
x y
L y(2) = ì
[ In un intorno destro di xo=2,y(x) è strettamente decrescente e conca
va. Tali proprietà sono comunque verificate se 0<y<x. Ne segue che
y(x) non è definita su tutto l'intervallo [2,+ °° ) perchè, se lo
fosse, dovrebbe incontrare l'asse delle x in un punto xx dove,
essendo y(xx)=0, il secondo membro dell'equazione differenziale non è
definito. Quindi, per x >. 2, y(x) è definita in un intervallo
massimale [2,xx ) e,per x -» x\, y(x) converge a zero e y'(x) (dall' e-
quazione differenziale) diverge a - °°, cioè la soluzione si avvicina
all'asse x con tangente verticale. Il grafico è schematizzato in
figura 5.25 ]
5M. Esercizi eli riepilogo
In questo paragrafo preponiamo, in ordine
sparso, la risoluzione di alcune equazioni
differenziali (o problemi di Cauchy) del primo ordine dei tipi
considerati nei paragrafi precedenti, ivi comprese
le equazioni lineari..
5.100 y!=4x+xy2 [ y(x)-2tg(x2 +c) ]
x2 11
5.101 y!=4x+xy [ y(x)=c e -4]
5.102 y'-y-xy2 [ y(x)=i/(x-i+ce~x)5y(x)=o ]
5.103 y'=y/(x+y) [ y(x)=0; x=y log cy ]
5.104 yf=2xy-(x2+y2) [ y(x)=x-tg(x+c) ]

340
— y-2(^r
5.106 yf
5.107 yf =
3*y
x2-x-2
x5+4y
5.108 yf
x+y
5.109 yf =
JZl
x2+xy
5.110 y=f^
3-x~3y
5 ljL1 ,= ^Cy+D-2x
5A12 y,, 2(2x-y)^ll(v-:,f
Cy-2x+3)^
y+4
_ 2 arctg + i0g cy=0 1
x-4 J J
. y(£}=c(x+i)(x-2)2 ]
. y(i«=x5+ ex1* ]
.PH=0: (x~y)2 + cy-0 ]
fc y-i O; y + x log cy = 0 ]
_ log : 3y+x J = x + y + e ]
_x--2y"-3xy-3x + 4y = e ]
5.113 yf= ^ - - - 1
X X
y-lv-l;* /2+log| y-2x+4 | =c-x ]
v =»: log(cx)]
5.114 x = sen yf + yf cos v'
. i - =sent+t cost,y(t)=t2 cost +c]
5.115 y=2(y')3-3(y')2
[ x(t)=5v:-l : - e, y(t)=2,t3 ~3t2 ; y(x)=C ]
5.116 y=xyf-y2
5.117 y=xyf-(y')2
5.118 x=y+Cy'-l)2
v =cx/(l-cx); y(x)=-l ]
-£ =cx-c 2 ; y(x)=x2 Ih ]
>: =x-(x-c)2 lk; y(x)-x ]
I
5.119 y=x2y^y2
5.120 y-xy'-iogy
5.121 y=(y')2.logyt
5.122 * + yy1 = o
5.123 yy. = /jrp-
5-124 2y+(x2.1}yt=0
5.125 2y<-f(x2_1)y=0
5.126 2xyy'-x2,y2=0
341
l/x
[y(x)=c/(c-e ); y(x)—l ]
[ y(x)*l+logx; y(x)=cx-logc J
fx(t)-2t+(l/t)+c, y(t)-t2 -logt ]
[y2+x2=c2]
[ (x+c);
+y =l,con la condizione yy'>0]
[y(x)=c(x+l)/(x-l) J
, -(x3 /6)+ (x/2) -,
L y(x)=c e J
[y2 = x 2+ ex ]
5.127 (x+y-f2)y<+x+y+1
5.128 yeyt = 2 ,
•129 y'=eya-x); yC0} =log2
ty(x)=-log ((X-1}2 /2) J
5-130 xy'+y=e"x. „/- ,-,
5.131 y-=y+eX; y(o}=o ^^
5'132 xy' + y=2 ^9 ; y(i) - !
fy(*) = (x2+i)2 Ax ]
5.13 3 l-v^/TTC T-7-
. t yW = x - sen x ]
5.13 4 V'= l/i * 1
y l/1 + yT ; y(oj = . !
[y(x)=- v/x2+2v/2x + l j

342
5.135 y'=x- ~^ ; y(0)=0 [yto--^- (j -2x+log [(x+i)2])]
5.136 yf=cos(x+y-l); y(0] = l [ y(x)=i-x+2 arctgx ]
5.137 yf=cos2y; y(0)=7T [ y(x)= tt + arctg x ]
5.138 y'=y tgxj y(0)=2 [ y(x) « 2/cosx]
5.139 X=COS2yf [x(t)«cos2t, y(t)= -tcos(2t)- -sen(2t)+c]
2 4
5.140 y = yf(x-senyf) [y(x)=c(x-senc);x(t)=sent+tcost,y(t)=t2cost]
5 .141 yf senx+y(cosx-senx)-x=0
C y(x)7(cex-l-x)/senx]
5.14 2 yfsenx-(xy+senx+cosx)y = 0
[ y(x)=0; y(x)=senx/(l-x+ce""x)]
5.143 x2yf = cosVy71"
[x(t)=(cost)/t, y(t)=tcost-2sent+c,con t=/y' ]
2fYf)2
5.144 x = i+(yf)2 - arctS yf
2t2 2t ^
^x(t)= 7772 - arctgt, y(t)= —-5 + e ]
l+t 1+t
5.145 x(y')3/2 = l+y(y*)1/2
[y(x)=cx-l/ /e ; y(x) - (3/2)(2x)1 3 ]
5.146 (^)2 + 1 -(* - jrf [x2+y2=cy]
343
5.147 x = -fV + logCy'+l)
y'+l
t t2
[ x(t)= — + log (t+1), y(t)= — + e ]
5-14 8 y'+ ^^ =0 [x2+y2 + xy + y=c J
5.149 x2(y*-l)-y(l+2x)=0 [y(x)=x2 (ce"1/x-i)]
5.150 x2+4y=(x+2y')2 [y(x)=cx+c2 ; y(x)=-x2 Ih ]

Capitolo 6
EQUAZIONI DIFFERENZI AL X NON LINEARI
DI ORDÌNE SUPERIORE AL PRIMO
6A . G^n^arsL 1 i "tst
Una relazione del tipo
g(x,y,y',...,y(n)) = 0,
con x variabile indipendente, y=y(x) funzione inco -
gnita e y (i = l, 2 , . . . ,n) derivata i-esima di y(x) ,
prende il nome di equazione differenziale (ordinaria)
di ordine n.
Una soluzione (o integrale particolare ) è una fun -
zione y=y(x) definita in un intervallo I (con
interno non vuoto) di R, derivabile n volte in I e tale
che g(x,y(x), yf(x),...,y M) = 0 per ogni xel.
Un'equazione differenziale di ordine n si dice
in forma normale se può essere rappresentata da
(n) r( , (n-l) ^
yv '=f(x,y,y!,...,y ),
345
con f funzione reale di n+1 variabili reali. Per le
equazioni differenziali di tipo normale vale il
seguente teorema di Cauchy di esistenza ed unicità:
TEOREMA DI CAUCHY. - sia n > 1, x0*R e (yoly;,...
(n-l). ^ n
• • • >Yo J6jK * s*a t una funzione reale di n+1 variabili
reali, di classe C1 in un intorno di (xc , y0 , y^ ,..., yi" ).
Allora esiste una funzione reale di una variabile reale y =
=y(x), di classe C in un intorno di x0 , ■ soddisfacente
il problema di Cauchy
y = f(x,y,yf,. . . ,yv )
yCx0)=y0; yr(x0)=y»; . . . ;y (xo)=y0v
6.1 Nelle ipotesi del teorema di Cauchy sopra
enunciato, provare che:
(a) la soluzione y(x) è di classe Cn ;
k
(b) se f è di classe C , per qualche k>l, allo_
ra y(x) è di classe Cn ;
co
(e) se f è di classe C allora anche y(x) è di
ex?
classe C .
[(a) Secondo il teorema di Cauchy y(x) è una funzione di classe C che
verifica in un intorno di x l'equazione differenziale
(n) / (n-1)
y (x) = f(x,y(x), y»(x),...,y (x)).
Per ipotesi la funzione di n+1 variabili f è di classe C 1 ; è perciò
anche differenziabile. In base alla regola di derivazione delle funzio
ni composteci secondo membro dell'equazione differenziale è
derivabile. Perciò anche y'n'(x) è derivabile e si ha

346
y<"+1>(x)= ± yW(x). ± £(x,y(x).y.Wf...,y(n"1)(x)) -
dx dx
" fx + V + fy'y" +---+fy(n-l)y(n) •
n
Dato che y è di classe C , dalla rappresentazione trovata si deduce che
(n+1) , . n+1
y (x) è una funzione continua; perciò y e di classe C
(b) Con k > 1 si può procedere per induzione in modo analogo al caso k=
=£ già considerato in (a),
(e) Diretta conseguenza di (b) ]
Nei paragrafi seguenti prendiamo in considerazio
ne equazioni differenziali di ordine superiore al pri
mo, che si risolvono con opportune sostituzioni
della funzione incognita,allo scopo di abbassare l'ordì,
ne dellf equazione. In particolare prendiamo in consi.
derazione alcuni tipi di equazioni del secondo
ordine la cui risoluzione può essere ricondotta a•quella
di equazioni del primo ordine. Le equazioni possono
essere non lineari, ma i metodi di risoluzione si a£
plicano anche alle equazioni differenziali lineari.
6B. Equazioni della forma g (x , J ' , y") =0
Se una equazione differenziale del secondo
ordine è della forma
g(x,y',y") = 0,
cioè se la funzione g non dipende esplicitamente da
y, allora si può abbassare l'ordine con la sostitu -
zione z(x) = y'(x). Infatti, essendo z'(x)=yH(x), la
equazione nell'incognita z diviene
g(x,z,zf) = 0.
347
Si tratta di un'equazione differenziale del
primo ordine che, se possibile, si risolve con uno dei
metodi indicati nei capitoli 4 e 5. Dopo aver
calcolato z(x), si determinano le soluzioni y(x) come prjL
mitive di z(x) .
Si noti che in generale z, soluzione di una equa
zione differenziale del primo ordine, dipende da una
costante arbitraria z=z(x,c1); perciò y, primitiva di
z, dipende da due costanti arbitrarie : y(x)=Z(x,c1) +
+ e2, con Z' = z.
6.2 Risolvere le equazioni differenziali
(a) y"-(y')2' = 1 (b) y"+(y')2 = 0
[ (a) Si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine mancante
della y (oltre che della x). Con la sostituzione z(x)=y'(x), essendo
z'=y", si ottiene l'equazione del primo ordine
che è del tipo a variabili separabili. Risulta dz/dx = 1 + z2 ,da cui
dz
C
arctg z - | -^ = I dx = x + e 2
Perciò z(x) = tg(x+c1 ) e quindi
y(x)
z(x)dx =
sen(x-ì-c1) , ,
cosCx+cJ dx = c2"l°S IcosU+cJ |.
• 1/
(b) Con la sostituzione z(x) = y'(x) otteniamo l'equazione z'+z2= 0 ,
che si risolve con il metodo delle equazioni a variabili
separabili.Oltre a z = 0 (che annulla il denominatore e che corrisponde a y(x) =
costante) si ottengono le soluzioni
dz
-p = | dx = x + cx
da cui z(x) = l/(x + c1 ) e quindi

348
y(x)
s(x)dx = « log I x + e, I
J x+cx ' x '
2
Si noti che, ponendo c3 =±e >%= ± cxc3, è possibile
esprimere le soluzioni nella forma y(x) = log(c3 x + c^). In questo modo si rap
presentano anche le soluzioni costanti (per c3 = 0) ]
6.3 Risolvere Inequazione differenziale
2xy'yff " (yf) 2 + 3 = 0
[Si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine mancante
della y. Con la sostituzione z(x) = y'(x), essendo z' = y", si giunge a
2xzz' - z2 + 3 = 0.
Si tratta di ^un'equazione differenziale del primo ordine del tipo di
Bernoulli (paragrafo 5B), che si risolve con la sostituzione w(x)=z2 (x)
Dato che w' = 2zz', rispetto all'incognita w si ottiene l'equazione
differenziale lineare
1 3
w ' = - w
x x
le cui soluzioni sono w(x) = c-,^ + 3. In corrispondenza risulta z(x) =
= ±Vcxx + 3 , da cui
y(x) =
f + 2 3/2
z(x)dx = ± /c1x+3 dx = (Cj^x+3) + c2 .
Tali funzioni y(x) sono definite per ogni valere della costante c-^R,
con Cj / 0; invece, se e^ - 0, risulta
y(x) = z(x)dx = ± /3 dx = ±/ 3 x
+ c2 .
3/2
Riassumendo, le soluzioni sono date da y(x) = c2 ± (2l3cx)(CjX+3) ,
Ve, t 0, Vc2 €R e da y(x) * c2 ±/Fx ]
349
6.4 Risolvere liquazione differenziale
yf = x(2-y")
[ Si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine mancante de.1
la y. Posto z(x) = y'(x) (da cui z' * y") si ottiene z=x(2-z') che è
un'equazione lineare del primo ordine. Le soluzioni sono date da z(x) -
= (c1 /x), + x, da cui
,2
y(x)-
Cl I I X 1
z(x)dx = ( -A + x)dx = e, log x + — + c9 J
• x 2
6.5 Risolvere le equazioni differenziali
(a) yf « xy" - (y")2
(b) y' = xy" - (yft)"1/2
[ (a) L'incognita z(x)=y'(x) soddisfa l'equazione di Clairaut z=xz'-(z')2.
Come indicato nel paragrafo 5H, l'equazione ammette come soluzioni la
famiglia di rette
z(x) = cx x - c1 (c^ 6R)
e l'integrale singolare di equazioni parametriche
x(t) = - 2t, z(t) = t2 -
il quale, posto t = - x/2, si può anche scrivere nella forma cartesiana
z=x2/4. In corrispondenza si ottengono le soluzioni dell'equazione
iniziale
y(x) =
z(x)dx =
y(x) = z(x)dx =
(c1x-c2 )dx = -^x2-c2x + c2;
x2 x3
— dx = + e .
4 12
Cl 2 X , x 9 3/T 4/3 ^ 1
(b) y(x)= -± x2 - -, ; y(x) = - V 2 x + e J
2 v C1 8

350
6.6 Risolvere l'equazione differenziale
yf = xy" - (y')2
[Con la sostituzione z(x) = y'(x) si ottiene l'equazione differenziale
del primo ordine a variabili separabili z'-(z2 + z)/x, che ammette come
soluzioni
z(x) =
(C;ieR)j z(x)
In corrispondenza alla funzione costante z(x) = - 1 si ha y(x) - e - x,
mentre le altre soluzioni sono espresse da
y(x)= z(x)dx=
dx =
J l-clX
) dx
=-x log 11-e x x |
se e x f 0, altrimenti y(x) - costante ]
+ e.
6.7 Integrare l'equazione differenziale
xy" + yflogx - y'iogy'
0
[Con la sostituzione z(x) - y'(x) si ottiene l'equazione differenziale
equivalente z' = (z/x)log(z/x), che è del tipo z'=g(z/x) e che si
integra (si veda il paragrafo 5C) ponendo w=z/x (da cui z=xw, z'=w+xw'). Ne
risulta l'equazione del primo ordine w+xw' = wlogv che si risolve
separando le variabili
log I logw-1
dw
w(logw-1)
dx
— = log (c2x),
oltre alla funzione costante w = e, che annulla il denpminatore (w=0 è
da scartare). Pur di cambiare il segno di Cj , risulta logw - 1 = c1 x,
da cui, ricordando che z(x) = xw(x) e che y'(x) = z(x),
351
f f f l+c,x
y(x)= z(x)dx = x w(x)dx = x e dx =
x 1+c,x 1
— e - —
1+c, x / x 1
e x dx = / — - -*•
dx = j —* 2 ' e + c0
\ci ci
l+cxx
A tali soluzioni va aggiunta quella corrispondente a w - e, cioè (z=xw)
z=ex, cioè ancora (y'-z) y(x)=(e/2)x 2 + e ]
6.8 Determinare le soluzioni delle equazioni lineari
(a) y" + y' = e"*x cos x
(b) xy" = 2yf + x + 1
(e) xy" = 3yf + x"ex
(d) y" + yftgx + senx cosx = 0
[ (a) Con la sostituzione z(x) = y'(x) si ottiene l'equazione differenzia
""X
le lineare del primo ordine z' + z = e cosx, che ha per soluzioni
-x
z(x) = e (senx + e1 ) .
Calcoliamo per parti l'integrale indefinito:
-x -x
e senx dx = - e senx +
e cosx dx
-x -x -x
-e senx - e cosx - • e s*enx dx,
•x -x
da cui e senx dx = - e (senx + cosx)/2.
Perciò le soluzioni sono espresse da
| -x -x senx + cosx
y(x) = e (senx + cx )dx = - e { • + c1) + c;
(b) y(x) = clX3 - (x2+ x)/2 + c2 .
(e) y(x) - e 1 x k + e (x 3 - 3x2 + 6x - 6) +

352
(d) y(x) = (x + senx cosx)/2 + c1 senx + c2 ]
6.9 Risolvere le equazioni differenziali lineari
(a) y" - - y' = xL
(b) y.. . I.y. » ! . ì
(e) y" +
x2~l
y' = 0
[(a) y(x) = x6 /6 + clx5 + c2 ; (b) y(x) - x +
+ (x2 12) log (Clx) - (x2/4) + c2 ; (e) y(x)=C]L (x+2 log |x-l| + c2 ) ]
6.10 Determinare le soluzioni dell'equazione diffe -
renziale
y" + (yf - x)2 = 0
[ Con la sostituzione y'(x) = z(x) si perviene a z'+(z-x)2 =0, che è
un'equazione del tipo z'~g(ax+bz) (si veda il paragrafo 5D) che si ri-
, solve con la sostituzione w(x) = z(x) - x. Essendo w'1 - z1 - 1, si ha
w' + 1 + w2= 0, da cui, separando le variabili
dw
arctg w
1+w'
dx = - (x + Cj_)
Perciò w=tg [-(x+Cjl)] =-tg(x+c1),cioè y'(x)=z(x)=x+w(x)=x-tg(x+c ^.Infine
f 2
y(x) = z(x)dx = — + log |cos (x + c1) | + c2 ]
J 2
6.11 Determinare tutte le soluzioni dell ' equazione
differenziale
xytf + y1 + (xy')2 = 0
353
[Con la sostituzione z(x) = y'(x) si perviene ad un'equazione di Ber-
noulli che ammette le soluzioni z(x) = l/(x2 +c1x), oltre alla
funzione costante z(x) = 0. Quindi, oltre a y(x) = e, l'equazione data arranet
te le soluzioni
J xN-cxx J cx \ x x+Cj /
dx *
1
— log
ci
X
x+c.
+ e.
se cx £ 0; altrimenti, per cx = 0, si ottengono le ulteriori soluzioni
y(x) = - (1/x) + e ]
6.12 Risolvere le equazioni differenziali
(a) (l-yn)2 + y' = x
(b) xy" - y1 + e2yM - o
x2 1 x2
[(a) y(x) = y - — (x-C]L)3+ c2 ; y(x) - j .
e, 0 2c, x2 /-x\3«t
(b) y(x) = -^ x2 + xe x + c2 ; y(x) « — log l ~ ) - r x2+c ]
6.13 Determinare la soluzione del problema di Cauchy
f 2y,y, , (y,)2 . x
1 y(0) = y' (0) = 1
[Con la sostituzione z(x) = y' (x) si giunge all'equazione del primo
ordine del tipo di Bernoulli 2zz' - z 2 - x, che ha come soluzioni z(x)=
= ±)/c1 ex+l+x . Dalla condizione iniziale z(0) = y'(°) - 1 si deduce
che c1 = 0 e che z(x) = + V 1+x . Integrando z(x) si trova y(x)=*c2 +
3/2
+ (2/3)(1+x) ; imponendo la condizione iniziale y(0)=l si determina
c2 = 1/3. Perciò la soluzione del problema di Cauchy (per x > - 1) è
3/2
y(x) = [l+2(l+x) ] /3 ]

1- .-.isolvere i problemi di Cauchy
y" + (y'j3 = 0
y(2) = 2; y»(2) = 1/2
'a)
xyn + yf = 1
y(D - i; yf(D=o
f (i+x2) yM + i +(y')2 = o
[y(D = 1/2; y'(l) = - 1
/ y(x) = */2x~; (b) y(x) = x - logx; (e) y(x) = l-(x2 /2) ]
■ : determinare, per ogni beR e per ogni (y0,yo)eR2,
la soluzione del problema di Cauchy
! y"cosx - y'senx + b cosx = 0
| y(0) - y0; y'(0) = yj
_ Con la sostituzione z(x) = y'(x) si giunge all'equazione lineare del
primo ordine z' = z tgx - b, le cui soluzioni sono espresse da z(x) =
s (ci /cosx) - b tgx. In base alla condizione iniziale z(0)=yi-(O) * y'
risulta cx = y1 ; quindi
Y(x)
z(x)dx - y'
dx
- b
tgx dx
cx + y; log J tg ( - + -
b log I cosx j
(per il calcolo delle primitive di 1/cosx si vedano gli esercizi 4.21,
4.22 del 1° volume, parte seconda). Infine, imponendo la condizione
y(0) = yQ si trova c1 = y ]
355
6.16 La legge del moto (s = s(t), spazio in funzione
del tempo) relativa ad un punto materiale
soggetto all'accelerazione di gravità che, partendo
da una posizione di equilibrio per t=0, cade ajt
traverso un mezzo resistente, soddisfa il
problema di Cauchy
sff = g - ks '
s(0) = 0; s' (0) = 0 ,
dove g è l'accelerazione di gravità e k(> 0)una
costante di attrito (che è inversamente
proporzionale alla massa del corpo). Determinare la
velocità asintotica (circa uguale alla velocità
che ha il corpo al momento di toccare" il
terreno, se cade da una grande altezza), cioè il
limite per t^+«3 di v(t) = s'(t).
[L'equazione differenziale (lineare) non dipende esplicitamente da s.
Con la sostituzione v(t) = s'(t) otteniamo il problema di Cauchy
v» = g - kv ; v(0) = 0.
Si può determinare il limite per t -*+ °° di v(t) con il metodo (di in -
tegrazione grafica) proposto nel paragrafo 5L. A tale scopo si osservi
preliminarmente che v'(t) > 0 nella zona g-kv >0, cioè per v < g/k. Es
sende v(0) = 0, risulta v(t) < g/k per ogni t > 0 (infatti, pei il teo
rema di unicità, v(t) non può assumere il valore g/k, essendo tale
valore costante soluzione, al pari di v(t), dell'equazione differenzia -
le). Indicando con £e (0,g/k ] il limite per f*+00 di v(t),dato che
v'(t) -* 0, dall'equazione differenziale si ottiene 0=g-k £ , cioè i =
=g/k. Perciò la velocità asintotica per t ->+°° h g/k.
Osserviamo che è semplice risolvere il problema di Cauchy e che si
trova
g -kt
v(t) = f (1 - e ) ;
k

356
g r 1 -kt n
s(t)=- [t+- (e -1)] .
Il modello proposto descrive, ad esempio, il moto di una goccia di
pioggia che si origina ne1 l'atmosfera, diciamo a 1000 metri di altezza
e che cade verso il suolo. La sua accelerazione s" è il risultato
della somma algebrica dell'accelerazione di gravità g e
dell'accelerazione, contraria al moto, dovuta all'attrito con l'aria e proporzionale
alla velocità s' . Con tale modello la velocità asintotica per t -*+ °°
risulta finita. Viceversa, se assumessimo cene modello quello della ca
duta libera nel vuoto (quindi senza attrito) avremmo il moto
uniformemente accelerato (soluzione del problema di Cauchy s"=g; s(0)=s =Q
s»(0) » vo = 0):
v(t) = vo + gt = gt ,
s(t) = so + vot + ~gt2 = Ìgt2 ;
in tal caso, se lo spazio percorso per raggiungere il suolo è di 1000
metri, il tempo impiegato sarebbe
/"2s" /2-1000
t = W— = ./ s 14.2 secondi
V g V 9-8
e la velocità corrispondente
v = gt = 9.8:14.2 = 139.16 m/sec .
La velocità di 139 metri al secondo è circa uguale _'.lla velocità di
500 km all'ora (si moltiplica per 3600 (secondi) e si divide per 1000
(metri)). Se una goccia d'acqua arrivasse al suolo a tale velocità a-
vrebbe un effetto devastante. Invece, nella realtà, ciò non avviene ;
significa che il modello matematico descritto all'inizio è più
realistico del modello (di caduta nel vuoto) del moto uniformemente
accelerato ]
357
6C. ttci\jLaLZ.±or\± della forma g (y , y f , y") =0
Nel caso in cui un'equazione differenziale del
secondo ordine non dipenda esplicitamente dalla
variabile indipendente x, cioè sia del tipo
g(y,yf,y") = o ,
allora è opportuno, come nel paragrafo precedente, £
seguire la sostituzione z=yf, considerando però, in
questo caso, y come variabile indipendente.
Cioè, più precisamente, si pone z (y) 2 y' e ri -
sulta
ff dyf dz (y) dz dy . f f
J dx dx dy dx
Si ottiene quindi un'equazione differenziale del prji
mo ordine nella forma g(y,z,zfz) = 0 che, se possibi,
le, si risolve con uno dei metodi indicati nei
capitoli 4 e 5, pervenendo ad un insieme di funzioni del_
la forma z=z(y,c1), con c1 costante arbitraria. Ri -
cordando che z=yf, si ottiene la nuova equazione dif_
ferenziale del primo ordine (con cx parametro)
yf = zCy,^)
che, non dipendendo esplicitamente da x, è a variabjl
li separabili.
6.17 Risolvere l'equazione yff + (y1)2 = 0.
[Si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine mancante del
la x (oltre che della y). Con la sostituzione z(y) = y1, essendo y" -
= z'z, si ottiene l'equazione del primo ordine
z'z + z2 =0,
cioè z(z' + z) = 0. Si presentano due possibilità: o z=0 (e quindi y'=0

358
da cui y = costante), oppure zf + z = 0, da cui z(y) = e l e . Ricor
dando che y'=z, abbiamo l'equazione differenziale del primo ordine in
y« = e xe
che, risolta con il metodo della separazione delle variabili, forni -
sce le soluzioni
/
e dy
c1dx = c1x + c2
Tutte le soluzioni sono quindi espresse da y(x) = log (cxx + c2). In
particolare le soluzioni costanti si ottengono per c± =0. Si
confronti il metodo qui proposto con quello dell'esercizio 6.2 (b) ]
6.18 Risolvere le equazioni del secondo ordine
(a) 2yyn = 1 + (y')2 (b) 2yyn = (y1)2
(e) yy" = (y<)2 (d) yy" + (y')2 = 0
[ (a) Poniamo z(y) = y', da cui y" = zz'. Si ottiene l'equazione del
primo ordine 2yzz' = 1 + z2 . Separando le variabili abbiamo (si
noti che y E 0 non è soluzione) :
2z dz
log (1+z z)
1 + z*
dy
log cxy
cioè l + z2=c1y, cioè ancora z= ± -J e Yy~~i
Ricordando che y1 - z, risolviamo le equazioni y'= ± / cxy-l
separando le variabili
— /ciy-1
dy
In forma cartesiana si ha infine
dx
(x + e 2 ).
y(x)
lì , o 1
t (x + c2)2+ —
359
(b) y(x) = cx (x + c2)2; y(x) = e.
(e) y(x) = c2 e x . (d) y(x) = ± /c1x+ e 2 ]
6.19 Determinare, per ogni valore dei parametri
reali a,b, tutte le soluzioni dellfequazione diff^
renziale
r
y-a
(yf)
0
[Poniamo z(y) = y', da cui y" = zz'. L'equazione diviene
z z' z ]= 0
\ y-a
In corrispondenza a z=0 otteniamo le soluzioni costanti. Altrimenti la
equazione z' - bz/(y-a) = 0 si risolve separando le variabili
log I z =
dz
z
b dy - , b
= log (e i I y-a I )
da cui, pur di cambiare il segno di e x , z(y) = c1 | y-a | . Essendo
b
y' = z(y), risolviamo l'equazione differenziale y'-Cj^ (y-a)
(limitandoci al caso y > a e supponendo b f 1) separando le variabili
1-b
(y-a)
1-b
dy
(y-a)
Conglobando il fattore 1-b nelle costanti c± , c2 > otteniamo la rap
presentazione
l/(l-b)
y(x) = a + (CjX + c2 )
e , x + c2 -,
Se invece b=l risulta y(x) = a +*e J

360
6.20 Risolvere le equazioni differenziali del
secondo ordine
(a) yy" + (y1)2 - (y»)3 = 0
(b) yy" - (y*)2 - (y')3 = 0
(e) yy" - (y')2 + (y')3 = 0
(d) yy" - (y')2 " y2y' = 0
(e) yy" + (y')2 + y(y')3 = 0
[ (a) y = e; e, y2 + y = x + c2 .
(b) y = e; y-(l/c1) log cxy = c2 - x.
(e) y « e; y-Cl/cj) log cxy = x-c2 .
(d) y - C, e(X+C2)'Cl / [ l-e<X+C2>/Cl] ; y(x) =-l/(X+c).
(e) y=c; Cly2 + (y2 /2) log y = x + c? ]
6.21 Risolvere l'equazione differenziale
JL
Cy')
j^i
y(i+y2)
[L'incognita z(y) = y' soddisfa l'equazione differenziale del primo
ordine
z* y2 -1
y(i+yz)
che si risolve separando le variabili
2y
log
i-i-K^-f)*-^.^)
da cui, pur di cambiare il segno di c1 , z = c^ (1+y2 )/y. Ricordando
che y,=z, separando di nuovo le variabili, otteniamo
361
log (1+y2)
i+y2
dy
2c x dx = 2c x x + e 2 ,
da cui y(
, , 2c,x+c9 1/2 -,
x) = ± (e x 2- 1) ]
6.22 Risolvere il problema di Cauchy
(yff + 2 seny cos3y - 0
y(l) = 0; y»(l)' .-1
[Con la sostituzione z(y) = y1 (y" * zz») otteniamo zz' + 2 seny cos3y=
=0, da cui, separando le variabili,
z
2
z dz
-2 seny cos y dy = - (cos y +' cx )
Quindi z = c1 + cos** y. Nel determinare la costante c1 è opportuno ri
cordare che z è funzione di y; più esplicitamente, z=z(y(x)). Per x=.l
risulta y=0 e y' = z = 1. Perciò, sostituendo i valori y^O e z=l
otteniamo 1 = ^ + 1 , da cui c1 - O. Quindi z - cosu y, cioè z~± cos^
Affinchè risulti z=l per y=0 occorre scegliere il segno positivo,*
perciò z = cos 2 y.
Essendo y1 = z, si perviene all'equazione differenziale y'=cos2 y,
che ha come soluzioni
tg y
dy
cos2y
dx -• x + e.
Ricordando che y = 0 per x = 1, si ottiene tg 0 = 1 + c2 , da cui c2
= - 1. In definitiva, la soluzione del problema di Cauchy è y(x)
= arctg (x-1) ]
6.23 Risolvere i problemi di Cauchy
(a)
y" + seny cosy = 0
y(l) = 0; y'CD = - 1

362
(b)
ylfcosy + (yf)2seny = yf
y(O) = - tt/6; y'(0)=-l/2
1-x
1-x
e —l TT
[ (a) y(x) * 2 arctg . = - - + 2 arctg e
e1 X+l 2
(vale l'identità perché le due funzioni sono uguali per x=l ed hanno
le derivate identicamente uguali fra loro).
(b) y(x) = 2 arctg (-e*tg( TT/12)) ]
6.24 Risolvere i problemi di Cauchy
f y" = 3y5
y(2)=-l; yf(2)~-1
(a)
(b)
y(2)=-l; y,C2>0
[ (a) y(x) - - il / 5-2x ; (b) la soluzione è immediata! E' la funzione
costante y=... ]
6.25 Risolvere il problema di Cauchy
(1+y2) y" = y(yf)2
ly(4) = 0; y'(4) = i
[Con la sostituzione z(y)=y', essendo y"=zz', l'equazione differenziale
si trasforma in (l+y2)zz! - yz*. In corrispondenza a z=0 si hanno le
funzioni y = costante, che però non verificano la condizione iniziale
y'(4)=l e quindi non sono soluzioni del problema di Cauchy. Per z i 0
otteniamo (1+y2 )z' = yz cioè, separando le variabili
363
log
dz
z
—2 dy = - log (1+y2 ) + cx
1+y 2 x
Per x=4 risulta y=0 e y'=z=lj ponendo y=0 e z=l si determina cx = 0 .
Perciò I z I = / 1+y2 ed ancora, essendo z=y' = 1 > 0 in
corrispondenza di x=4, abbiamo z - /l+jr . Per separazione delle variabili si
ha (z = y' = dy/dx)
dy
1+y^
L'integrale a primo membro si calcola per sostituzione, ponendo t = y+
+ /l+y2 (si veda l'esercizio 4.119 del 1° volume, parte
seconda).Lina primitiva di 1// 1+y 2 è log j y+ / 1+y 2 j . L'equazione in forma
implicita che definisce y(x) è quindi log | y+ /l+y | = x + c2 , In
base alla condizione iniziale y(4)=0 si ottiene c2=-4 e log(y+/l+y )-
=x-4, dato che l'argomento del logaritmo è positivo in un intorno di
y=0. Con semplici calcoli si ricava y(x):
V 1+y = e -y => 2y e = (e )
2
x-4 -(x-4)
ed infine y(x)=(e -e )/2 - senh(x-4). Si arriva al risultato fi
naie più rapidamente ricordando che una primitiva della funzione y ->
1+y 2 è il settore seno iperbolico di y ]
6.26 Si consideri il problema di Cauchy
y" = /FT
y(0) « 0; yf (0) = 0 .
(a) Verificare che il problema ha più di una s£
luzione.
(b) Spiegare perchè non vale il teorema di
Cauchy di (esistenza e) unicità.
[(a) Si vede subito che la funzione y(x)=0 per ogni x €R è una
soluzione. Con il metodo basato sulla sostituzione z(y)=y' si trova, ad esem-

364
pio, anche la soluzione y(x) = x k /144. -(b) L'equazione differenziale
è nella forma normale y"-f(y),< con f funzione continua, ma non di clas.
se C1 (e nemmeno Lipschitziana). Perciò non sono soddisfatte le
ipotesi del teorema di Cauchy ]
6.27 Sia y=y(x) una funzione derivabile due volte in
un intervallo di R. La curvatura del grafico di
y(x) nel punto x è data del rapporto
_£L
[l+(y')2]3/2
Determinare le funzioni y(x) il cui grafico ha
curvatura costante, uguale a k.
[ Si deve risolvere l'equazione differenziale del secondo ordine
[i+(y')2]3/2
Se k - 0 risulta y,1=0, da cui y(x) - cx x + c2 ; perciò, secondo la de
finizione data, le rette (e soltanto le rette) hanno curvatura
identicamente uguale a zero.
r 213/2
Se k/--C, posto z(y) . = y1 ed essendo y'^zz1 si ottiene zz'/j_l+z J =
= k, da cui, separando le variabili
zdz
r 2 i ~l/2
~ [ 1+z 2 ]
[l+z2]
2 13/2
* k
dy = k(y+c ± )
ed elevando entrambi i membri al quadrato (tenendo presente che k(y +
cx ) < 0)
1 ~ 2 1-k2 (y+cx)2
5 *kfc(y+c, 2- => z2= ~ ^ .
1+z2 KJ l k2 (y+c^2
Ricordando che z = y' abbiamo
365
± - /l-k2(y+c1)2 = +
f k(y+d)
J /l-k2(y+Cl)
dy = x+c2 .
Risulta infine 1-k2 (y+c1)2= k2 (x+c2)2, cioè anche (x+c2 ^(y+c^2 =
= 1/k 2 . Si tratta della famiglia di circonferenze di raggio 1/ | k | e
centro in un generico punto di coordinate (-c2 , -c1 ). Notiamo che,
anche in generale, la quantità
FI
[i+(y')2 3
|y" I
3/2
è chiamata raggio di curvatura.
Relativamente alla nostra equazione differenziale, ricordando . che
deve essere k(y + c1) < 0, otteniamo per k i 0 le soluzioni (si vedano
le figure 6.1, 6.2):
y(x)=-c.f - /l/k2- (x+c2)2
y(x)-Cl + /l/k2 - (x+c2);
(se k > 0)
(se k < 0) ]
curvatura = k> 0
i curvatura = k < 0
-Co
figura 6.1
figura 6.2

366
6.28 Trovare le curve piane il cui raggio di curvatura
r = [1 + (y')2]3/2/|y,f|
è uguale alla lunghezza del segmento di normale
compreso tra la curva e Passe delle ascisse.
[ Il segmento di normale compreso tra la curva e l'asse delle ascisse è
rappresentato in figura 5.4. La sua lunghezza vale (si veda l'esercì -
zio 5.21) v (yyf) 2 + y2 . Occorre perciò risolvere l'equazione diffe
renziale
,3/2
[i+(y')2] / |y" | - Ayy'^ + y2 .
Posto z(y)=yf risulta y" = zz', da cui, elevando al quadrato e s empiii" i
cando, si ottiene
zz' 1
1+z2 " ~ y
Consideriamo separatamente il segno + ed il segno -. Nel primo caso
abbiamo
- log(l+z2 )--
zdz
1
- dy = log (cx y)
y
con cx é 0, da cui 1+z2 - c2y2 ed ancora z= ±vc2 y2 - 1 . Ricordando
che z=y' = dy/dx, abiamo
L'integrale a primo membro si risolve tramite la funzione inversa del
coseno iperbolico; oppure, ad esempio, con la sostituzione /e2 y2 -1 -
- t - cx y (si veda il paragrafo 4G del 1° volume, parte seconda), per
cui, elevando al quadrato, si ha y=(t+l/t)/(2c1 ), da cui
k l1"?) • <~i*-ì('
^6~
Perciò l'integrale diviene
dy 1
V et yA
i y* -i ci
—■ = — log |Cly+ /c2y2-l |
t cx
1
Dalla relazione implicita — log | e x y + V e? y2 -1 | - r(x+c2)
ci
si ricava la y:
1 r ±c, (x+c~ ) + e, (x+c~ ) -i 1
y(x)= le lV 2 ' + e x 2 J = — cosh^x+c^)
2ci ci
(si noti che cosh(t) - cosh(-t). Nel caso del segno - abbiamo log/l+z"2
l°g (ci y) (ci ^ °)> da cui ^ 1+z 2 = l/(c1 y) ed ancora z =
= ± /(l-c2y2 )/(c2 y2 ). Ponendo z=y!=dy/dx e separando le
variabili otteniamo
1 /-—i~i f ciy dy
- — /l-cf y" = j
/l-c2y2
dx = ± (x+c2 ).
Si tratta della famiglia di circonferenze di equazione y2+(x+c2 )
= 1/0? ]
6D . 3Eciut<SLz;±c>rx± <i± oirclrLne* superiore <aiX se —
condo
Per risolvere un'equazione differenziale di ordj^
ne superiore al secondo, ammesso che sia possìbile
per via analitica, può essere utile sostituire la fun
zione incognita y(x) con una sua derivata (z=yf, cu
pure z=yff, oppure...) in modo da abbassare l'ordine
dell1equazione; però è necessario che 1f equazione dif
ferenziale non dipenda esplicitamente da x, oppure
da y, oppure da y,yf, oppure da... Vediamo alcuni e-
s emp i.

368
.29 Risolvere, per x > 0, le equazioni differenzia
li del terzo ordine *
(a)
(b)
(e)
y'" = 2
y"* = 2
yiii = A;
HI
X
HI
X
■ili
fé
+ 2x /y"
[ (a) Dato che nell'equazione differenziale non compaiono
esplicitamente y e y'? è opportuno porre z(x) = y"(x). Essendo z'=y'", otteniamo,
l'equazione del primo ordine in z:
z*
■f-/r •
che è del tipo di Bernoulli (ed anche del tipo z1 = g(z/x), con g(t) =
- 2t - /1 ). In base al metodo di Bernoulli (paragrafo 5B),
dividiamo entrambi i membri dell'equazione differenziale per /z (nel caso
in cui z(x) > 0; notiamo anche che z = 0 è una soluzione ed in corri,
spondenza (y"=z=0) y(x) =c1x+c2 è soluzione dell'equazione del
terzo ordine) e poniamo w - vz . Essendo w' = z'/(2/z ), otteniamo
l'equazione differenziale lineare
1 1
x 2/T
Una primitiva di a(x) = 1/x è, per x > 0, A(x) = logx. Perciò, per
x > 0:
dx
A(x) f -A(x) / 1 \
w(x)=e Je (-J77J
-3/2 -xii.
x dx = x(x +c1).
(v x + cx x) - x + 2cx x
che y1f(x)-z(x), integrando due volte, otteniamo infine
f - ì „"3/2 ... , -1/2
Ne risulta z=w 2 = (/"x + c1x)2=x + 2c1x + e2 x 2 « Ricordando
369
x2 4 5/2 1,3
y'(x) - | z(x)dx = y + - cxx + - e2 x3 + e 2 ;
(x) - |z(x)
[ y'(x)
7/2 1
,2 „<4
y(x)= I y'(x)dx = — + ~ cxx + ~ cx x + c2 x +c3 .
(b) y(x) = —- x6 + — e, xb + — ci xh + c9 x + c~ , oltre a y(x)=c, x+
30 10 12 * 2 3 l
*2
(e) y(x) = — + cl x (1-logx) + c2 x + e 3 J
6.30 Risolvere le equazioni differenziali del terzo
ordine
(a) yfyf,f - (yn) 2 = 0
(b) yfy!,f + (yH)2 = 0
[(a) Neil' equazione differenziale non compare esplicitamente la y (ol -
tre che la x); è perciò opportuno porre z(x)=y'(x)j essendo z'=y", zn-
=y"1, otteniamo l'equazione del secondo ordine
zz" - (z')2 =0
che è del tipo g(z,z',z")-0 (considerato nel paragrafo precedente) e
che si risolve con la sostituzione w(z) = z'. Essendo
dz' dw(z) dw dz
z11 = = = — . — = w'z' = w'w,
dx dx ^2 dx
otteniamo l'equazione di primo ordine nella variabile w:
zw ' w - w 2 = 0
che si scompone in w = 0 (cioè zl=0, cioè ancora z^c-j^ e quindi y(x) =
= cx x + c2 ) ed in zw' - w = 0. Ricordando che w' = dw/dz, separando
le variabili otteniamo

370
log w
dw f dz
w J z
log I e 1 z
da cui, pur di cambiare il segno dic1,w = c1z, cioè z^c^. Si
tratta di un'equazione lineare del primo ordine che ha per soluzioni
e, x
z(x) = c2 e
c,x
Infine, essendo y'(x) - z(x), abbiamo y(x) = (c2/c1)e + c3 , se
cx ^ 0, altrimenti y(x) = c2x + c3 (soluzioni che avevamo già trova
tro in precedenza).
(b) Come in (a) si pone z(x)-y'(x) e w(z)=z'; si trovano le
condizioni w=0 oppure zw' + w = 0. In corrispondenza risulta z(x)=c1 (y(x) -
=c1x + e 2 ) oppure
li f dw f dz
log w ] = — = - — = log
J w J z
da cui, pur di cambiare il segno di Cj , w-c x /z. Essendo z^w-Cj/z,
separando le variabili si trova z(x) = ± vc1x+c2 (pur di cambiare
2^ con c-j^ ). Infine
y(x) =
±2
3/2
z(x)dx = ± | /clX + c2 dx = (cxx + c2) +c,
3ci
con c2 / 0, oltre a y(x) = c1 x + c2 ]
6.31 Risolvere il problema di Cauchy
' yMf = [(x-l)y"]2 - y"
y(0) = 3; y'(0) = 2; y"(0) = 1
[ La funzione z(x) = yn(x) soddisfa l'equazione differenziale del primo
ordine
z» = [ (x-l)z ]2
371
che è del tipo di Bernoulli; con la sostituzione w(x)=l/z(x) (si noti
che z = 0 non soddisfa la condizione iniziale z(0) = y"(0) = 1) si
giunge all'equazione lineare del primo ordine
w' = w - (x-1)2 ,
che ammette l'integrale generale w(x) = c,ex + x2+l. La condizione
iniziale z(0)=y"(0)=l permette di determinare c 1 ; infatti, dato che
w(0)=l/z(0) = 1, è c^O. Perciò z(x> = l/(x2+ 1) e
y'(x) =
z(x)dx = arctg x + c2
Dovendo essere y'(0) = 2, si trova c2 = 2; infine, tenendo conto della
condizione iniziale y(0) - 3, risulta
y(x) = 3 + 2x + x arctgx - log / 1+x 2 ]
6.32 Determinare tutte le soluzioni dell1 equazione
differenziale del quarto ordine
x2y(IV) + (ytM)2 = 0 .
[La funzione z(x) « y'" soddisfa l'equazione differenziale del primo or
dine x2z1 + z2 = 0 che, risolta per separazione delle variabili, dà
il risultato
z(x) = 0 e z(x) -
-x
l+c,x
In corrispondenza a z = y"' = 0 si ha y(x) = c1x2 +c2x + c3 . Nel ca-
,so particolare z=-x/(l+c1x) con cx=0 risulta y"1 = z = - x, da cui
X*
y/x) - + C x + C0X + Co •
24 x 2 3
Infine, se z = - x/(l+c1x) con cx4 0, abbiamo
y"(x)-
z(x)dx-
dx = + —« log |l+c,x I + e 2 ;
1+CjX Cx C1
poi y(x) si ottiene integrando due volte y"(x) J

372
6.33 Sia n >_ 1, f(x) una funzione continua in un
intervallo I e sia x0€l. Verificare che la solu -
zione del problema di Cauchy
»
£(x)
\ r \ (o) i t \ (i) ("-1) r \ fa-i)
[y(x0)=yo ; yf(x0)=y0 ;...;y (x0)=yv0
/ (0) (1) (n-l) v _n
con (y0 ,y0 ,...,y0 )eR , può essere rappre
sentata, per xel, nella forma
y(x)= Z — (x-x0) +
k=0 K*
f(t)
Cx-t)
n-l
(n-l)
dt.
[ In base al teorema di Cauchy (per le equazioni lineari) il problema ha
una sola soluzione y(x) definita in I. La formula di Taylor, (valida per
ogni funzione derivabile n volte con derivata n-sima continuaci y(x),
di punto iniziale x e con il resto in forma integrale (si veda l'eser
cizio 1.84(a)), fornisce la rappresentazione
y(x)
n"x y (x ) k
S ° (x-x ) +
k=0
k!
(n),. (x-t)
y (t)
(n-l)!
n-l
dt;
(n),
si noti che y(x) ha derivata n-sima continua, essendo y (x)=f(x) per
(k) (k)
ogni x € I. Tenendo anche presente che y (x ) = y per ogni k =
* 0,1,...,n-l, y(x) si rappresenta come indicato nell'enunciato ]

La parte seconda del 2° volume di esercizi contiene i seguenti capitoli:
- MASSIMI E MINIMI PER LE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
- MISURA ED INTEGRAZIONE IN Rn
- METODI DI CALCOLO PER GLI INTEGRALI MULTIPLI
- FUNZIONI IMPLICITE
- INTEGRALI SU CURVE E SUPERFICI
- FORME DIFFERENZIALI