/
Author: Натансон И.П.
Tags: анализ математический анализ теория множеств теория функций математические методы
Year: 1974
Text
И. П. НАТАНСОН
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
ВЕЩЕСТВЕННОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1974
517.2
НЗЗ
УДК 517.5
Теория функций вещественной переменной.
И П Натансон, Главная редакция физико-
математической литературы изд-ва «Наука», 1974.
Книга посвящена, в основном, функциям одной
вещественной переменной. Лишь в трех главах
(XI—XIII) рассматриваются функции многих пе-
ременных и функции множества
Книга содержит большое количество упражне-
нии, и сравнительно легкие, доступные широкому
кругу читателей, и значительно более трудные, ко-
торые могут служить хорошим материалом для
студенческих математических кружков.
Рис. 9.
Исидор Павлович Натансон
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
М , 1974 г., 480 стр. с илл.
Редактор В. В. Абгарян
Техн редактор Л. В Лихачева
Корректор А. Л. Ипатова
Сдано в набор 20/11 1974 г Подписано к печати 26/VI 1974 г.
Бумага 60 x 90'/ie, тип № 3 Физ. печ. л. 30 Условн печ л.
30 Уч -изд л 31,31. Тираж 37 000 экз. Цена книги 1 р. 24 к.
Заказ № 1273.
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типо-
графия № 1 «Печатный Двор» рмени А М Горького Со-
юзполиграфпрома при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли, 197136, Ленинград, П-136, Гатчин-
ская ул., 26.
20203-099
053(02)-74 Н 74
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию ................................... 7
Предисловие ко второму изданию.................*.................... 8
Глава 1. Бесконечные множества...................................... 9
§ 1. Операции над множествами ................................ 9
§ 2. Взаимооднозначное соответствие ......................... 13
§ 3. Счетные множества....................................... 16
§ 4. Мощность континуума..................................... 20
§ 5. Сравнение мощностей .................................... 26
Глава II. Точечные множества ...................................... 34
§ 1. Предельная точка ....................................... 34
§ 2. Замкнутые множества .................................... 37
§ 3. Внутренние точки и открытые множества........... 41
§ 4. Расстояния и отделимость . . . . 44
§ 5. Структура открытых и замкнутых ограниченных множеств . . 47
§ 6. Точки конденсации. Мощность замкнутого множества .... 51
Глава III. Измеримые множества ., .................. 56
§ 1. Мера ограниченного открытого множества . . . . , ...... 56
§ 2. Мера ограниченного замкнутого множества......... 61
§ 3. Внешняя и внутренняя мера ограниченного множества ... 65
§ 4. Измеримые множества................................... 68
§ 5. Измеримость и мера как инварианты движения...... 72
§ 6. Класс измеримых множеств ............................... 76
§ 7. Общие замечания о проблеме меры................. 80
§ 8. Теорема Витали.................................. 82
Глава IV. Измеримые функции...................................... 86
§ 1. Определение и простейшие свойства измеримой функции . . 86
§ 2. Дальнейшие свойства измеримых функций .................. 90
§ 3. Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере 92
§ 4. Структура измеримых функций............................. 98
§ 5. Теорема Вейерштрасса .....................•’........... 103
Глава V. Интеграл Лебега от ограниченной функции.................. 109
§ 1. Определение интеграла Лебега .... 109
§ 2. Основные свойства интеграла............................ 114
1‘ 3
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла............... 119
§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега.................. 121
§ 5. Восстановление первообразной функции.................. 126
Глава VI. Суммируемые функции.................................... 129
§ 1. Интеграл неотрицательной измеримой функции............ 129
§ 2. Суммируемые функции любого знака...................... 136
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла............... 142
Г лав а-VII. Функции, суммируемые с квадратом .................... 154
§ 1. Основные определения. Неравенства. Норма .............. 154
§ 2. Сходимость в среднем .................................. 157
§ 3. Ортогональные системы ................................. 163
§ 4. Пространство /2........................................ 172
§ 5. Линейно независимые системы............................ 179
§ 6. Пространства Lp и 1р .................................. 183
Глава VIII. Функции с конечным изменением. Интеграл Стилтьеса . . 191
§ 1. Монотонные функции..................................... 191
§ 2. Отображение множеств. Дифференцирование монотонной
функции..................................................... 193
§ 3. Функции с конечным изменением.......................... 202
§ 4. Принцип выбора Хелли.................................... 207
§ 5. Непрерывные функции с конечным изменением ......... 210
§ 6. Интеграл Стилтьеса ..................................... 213
§ 7. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса .... 218
§ 8. Линейные функционалы.................................... 222
Глава IX. Абсолютно непрерывные функции. Неопределенный интеграл
Лебега ..................................................... 226
§ 1. Абсолютно непрерывные функции.......................... 226
§ 2. Дифференциальные свойства абсолютно непрерывных функций 229
§ 3. Непрерывные отображения................................ 230
§ 4. Неопределенный интеграл Лебега......................... 234
§ 5. Замена переменной в интеграле Лебега.................. 242
§ 6. Точки плотности. Аппроксимативная непрерывность...... 245
§ 7. Добавления к теории функций с конечным изменением и
интегралов Стилтьеса........................................ 248
§ 8. Восстановление первообразной функции.................. 251
Глава X. Сингулярные интегралы. Тригонометрические ряды. Выпук-
лые функции........................................... 257
§ 1. Понятие сингулярного интеграла........................ -257
§ 2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной
точке....................................................... 261
§ 3. Приложения в теории рядов Фурье ..................... 266
§ 4. Дальнейшие свойства тригонометрических рядов и рядов
Фурье '. . .’........................................... 273
§ 5. Производные Шварца и выпуклые функции.................. 279
§ 6. Единственность разложения функции в тригонометрический
ряд.......................................................... 289
4
Глава XI. Точечные множества в двумерном пространстве............. 300
§ 1. Замкнутые множества................:................... 300
§ 2. Открытые множества..................................... 302
§ 3. Теория измерения плоских множеств...................... 305
§ 4. Измеримость и мера как инварианты движения............. 312
§ 5. Связь меры плоского множества с мерами его сечений .... 318
Глава XII. Измеримые функции нескольких переменных и их интег-
рирование .................................................. 322
§ 1. Измеримые функции. Распространение непрерывных функ-
ций . ....................................................... 322
§ 2. Интеграл Лебега и его геометрический смысл ............ 326
§ 3. Теорема Фубини ............................... 328
§ 4. Перемена порядка интегрирований........................ 333
Глава XIII. Функции множества и их применения в теории интегри-
рования .................................................... 337
§ 1. Абсолютно непрерывные функции множества................ 337
§ 2. Неопределенный интеграл и его дифференцирование....... 342
§ 3. Обобщение полученных результатов ...................... 344
Глава XIV. Трансфинитные числа ................................... 348
§ 1. Упорядоченные множества. Порядковые типы............... 348
§ 2. Вполне упорядоченные множества ........................ 352
§ 3. Порядковые числа ...................................... 355
§ 4. Трансфинитная индукция ................................ 358
§ 5. Второй числовой класс ................................. 359
§ 6. Алефы.................................................. 361
§ 7. Аксиома и теорема Цермело.............................. 363
Глава XV. Классификация Бэра........................................................................................ 367
§ 1. Классы Бэра.............................................................................................. 367
§ 2. Непустота классов Бэра................................................................................... 372
§ 3. Функции 1-го класса...................................................................................... 377
§ 4. Полунепрерывные функции ................................................................................. 385
Глава XVI. Некоторые обобщения интеграла Лебега..................................................................... 392
§ 1. Введение .............................................................................................. 392
§ 2. Определение интеграла Перрона........................................................................... 393
§ 3. Основные свойства интеграла Перрона .................................................................... 395
§ 4. Неопределенный интеграл Перрона ................... . 397
§ 5. Сравнение интегралов Перрона и Лебега. 399
§ 6. Абстрактно заданный интеграл и его обобщение ....... 403
§ 7. Узкий интеграл Данжуа ............................. 408
§ 8. Теорема Г. Хаке................................... 411
§ 9. Теорема П. С. Александрова — Г. Ломана............................. 418
§ 10. Понятие о широком интеграле Данжуа.................................... 422
Глава XVII. Функции с неограниченными областями задания........... 425
§ 1. Мера неограниченного множества........................................................................... 425
§ 2. Измеримые функции ....................................................................................... 427
§ 3. Интегралы по неограниченным множествам ................................................................. 427
§ 4. Функции, суммируемые с квадратом......................................................................... 429
§ 5 Функции с конечным изменением. Интегралы Стилтьеса . . . 430
§ 6. Неопределенные интегралы и абсолютно непрерывные функ-
ции множества ,.....................................,.......................................................... 433
5
Глава XVIII Некоторые сведения из функционального анализа . . . 436
§ 1. Метрические и, в частности, линейные нормированные прост-
ранства . . ..................................... . . 436
§ 2. Компактность......................................... 442
§ 3. Условия компактности в некоторых пространствах...... 447
§ 4. Банаховский «принцип неподвижной точки» и некоторые его
приложения................................................ 462
Добавления..................................................... 471
I Длина дуги кривой................................... 471
II Пример Штейнгауза .................................. 474
III Некоторые дополни (ельные сведения о выпуклых функциях 476
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга представляет собою руководство, написанное при-
менительно к действующим учебным программам наших универ-
ситетов. Имея в виду все возрастающее значение теории функций
в системе образования математиков, я включил в книгу (мелким
шрифтом) также и ряд вопросов, выходящих за пределы программы.
Теория функций вещественной переменной излагается в уни-
верситете, начиная с третьего курса. Поэтому у читателя пред-
полагается свободное владение основными понятиями анализа:
иррациональные числа, теория пределов, важнейшие свойства
непрерывных функций, производные, интегралы, ряды считаются
известными в объеме любого обстоятельного курса дифференциаль-
ного и интегрального исчисления.
Большинство глав книги сопровождается упражнениями. Чита-
тель должен быть предупрежден, что они, как правило, довольно
трудны и требуют подчас весьма значительного напряжения. Тем
не менее, лицам, желающим основательно усвоить предмет, я на-
стоятельно советую постараться решить хотя бы часть приводи-
мых задач.
В своем настоящем виде эта книга является переработкой моей
более ранней книги „Основы теории функций вещественной пере-
менной", вышедшей небольшим тиражом в 1941 году в издании
Ленинградского университета и в скором времени полностью
разошедшейся. Мысль о переиздании этой, более ранней книги
возникла уже довольно давно и отчасти была осуществлена изда-
тельством „Радянська школа", выпустившим расширенный украин-
ский перевод книги, выполненный доцентом Киевского универси-
тета С. И. Зуховицким.
Профессор Е. Я. Ремез, бывший рецензентом упомянутого выше
украинского перевода, сделал по поводу него ряд ценных указа-
ний, которыми я воспользовался и при подготовке настоящего
издания. Кроме того, я весьма обязан профессорам Н. К- Бари,
Д. К. Фаддееву и, особенно, Г. М. Фихтенгольцу за многочис-
ленные советы и указания. Искренно благодарю всех названных лиц.
3 декабря 1949 г.
И. Натансол
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Важнейшие отличия настоящего издания от предыдущего таковы:
1. Изложен вопрос о замене переменной в интегралах Лебега
(для случая, когда старая переменная есть монотонная функция
новой).
2. Сообщены некоторые сведения о выпуклых функциях, вклю-
чая неравенства Йенсена и (в .Добавлении") Юнга.
3. Доказаны теоремы Кантора и Дю-Буа-Рёймонда — Валле-Пус-
сена и некоторые другие результаты, также относящиеся к воп-
росу об единственности разложения функции в тригонометриче-
ский ряд.
4. Изложена теория интегралов Данжуа — Перрона и дано
понятие об интегралах Данжуа — Хинчина.
5. Рассмотрен вопрос о переносе основных результатов книги
на функции с неограниченными областями задания1).
6. Изложен (в .Добавлении") вопрос о спрямлении явно задан-
ной кривой.
Чтобы избежать чрезмерного увеличения объема книги, я исклю-
чил теорему Хаусдорфа (о неразрешимости „легкой” задачи тео-
рии измерения), а также главу XVII старого издания (посвящен-
ную обзору отечественных работ по теории функций).
При подготовке нового издания я получил много ценных ука-
заний от проф. Г. М. Фихтенгольца. Ряд полезных советов мне
дали редактор книги доц. Г. П. Акилов и мой сын Г. И. Натансон.
Благодарю названных лиц.
8 декабря 1956 г. И- Натансон
*) При написании соответствующей главы я использовал те добавления,
которые внес в американское издание этой книги редактор перевода
проф. Хьюитт (Е. Hewitt).
ГЛАВА 1
БЕСКОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 1. Операции над множествами
Основой теории функций вещественной переменной служит так
называемая „теория множеств". Эта дисциплина имеет сравнительно
небольшую историю: первые серьезные работы в этой области,
принадлежащие Г. Кантору, появились в конце прошлого века.
Тем не менее, в настоящее время теория множеств представляет
собою весьма обширную область математики. В нашем курсе, для
которого теория множеств имеет лишь вспомогательное значение,
мы ограничиваемся только элементами этой дисциплины, отсылая
читателя, желающего углубить свои познания по теории множеств,
к книгам П. С. Александрова и Ф. Хаусдорфа. J)
Понятие множества является одним из основных математиче-
ских понятий и не поддается точному определению. Поэтому мы
ограничимся лишь описанием этого понятия. Множеством назы-
вается собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных
по какому-нибудь признаку. Например, можно говорить о мно-
жестве всех натуральных чисел, множестве всех точек прямой,
множестве всех многочленов с вещественными коэффициентами
и т. п.
Говоря о множестве, мы считаем, что относительно всякой
вещи верно одно и только одно из двух: эта вещь либо входит
в наше множество в качестве его элемента, либо не входит.
Если А есть некоторое множество, а х — вещь, то факт при-
надлежности вещи х множеству А обозначается так
х е А.
Если же х не входит в А, то это записывают так:
х е А.
Например, если R есть множество всех рациональных чисел, то
!) П. С. Александров, Введение в общую теорию множеств и функ-
ций, Гостехиздат, 1948; Ф. Хаусдорф, Теория множеств, ОНТИ, 1937.
9
Само множество никогда не является своим элементом:
А е= А.
В целях общности и простоты формулировок полезно ввести
так называемое „пустое множество", которое вовсе лишено эле-
ментов. Например, множество вещественных корней уравнения
х2 + 1 = 0 пусто. Пустое множество обозначается символом 0, при-
чем опасность смешения с числом „нуль" в дальнейшем не возни-
кает, ибо из контекста будет ясно, о чем идет речь. Иногда,
впрочем, пустое множество обозначают через Л.
Наряду с пустым множеством нам придется иметь дело с
„одноэлементными" множествами, т. е. множествами, состоящими
только из одного элемента. Например, множество корней уравне-
ния 2х—6 = 0 состоит из одного элемента — числа 3. Следует
остерегаться смешения одноэлементного множества с его единст-
венным элементом.
Если общее имя элементов множества А есть х, то иногда
пишут
Л = {х}.
Если же возможно выписать обозначения всех элементов мно-
жества, то пишут их подряд и заключают в фигурные скобки,
например
А = {а, Ь, с, d}.
Определение I. Пусть А и В два множества. Если всякий
элемент множества А является элементом множества В, то гово-
рят, что А есть часть (или подмножество) множества В и пишут
A cz В или В А.
Подобное соотношение называется включением.
Пусть, например, N есть множество всех натуральных, a R —
множество всех рациональцых чисел, тогда
NcR.
Ясно, что всякое множество есть часть самого себя
А с А.
Пустое множество есть часть всякого множества А. Для того
чтобы это утверждение стало вполне ясным, достаточно высказать
определение 1 в такой форме: ни один элемент, не входящий в В,
не входит и в Л.
Определение 2. Пусть А и В два множества. Если A cz В и
В с А, то говорят, что множества А и В равны и пишут
А = В.
Например, если А = {2, 3}, а В есть множество корней урав-
нения х2-5х + 6 = 0, то А = В.
ю
Определение 3. Пусть А и В два множества. Множество В,
состоящее из всех элементов обоих множеств Л и В и не содер-
жащее никаких других элементов, называется суммой множеств А
и В и обозначается так:
S = A-\-B, или S = Л IJ В.
Подобным же образом определяется сумма п множеств Лп
А2, ..., Ап, сумма последовательности множеств Alt А2, А3, ...,
и вообще сумма множества множеств А%, отмеченных для отли-
чия друг от друга значком |, принимающим какие-нибудь раз-
личные значения. Соответствующие обозначения таковы:
S = At 4* А2 Ап, S= У Ak,
k=i
S = Ai (J Л2и ... U Ап, или S= U Ak,
k= i
со
s = лх+л2+л3+..., s= y Ah,
4=1
5=ЛХ и л2 и Л3и .... или В = и л*,
fe=l
В = 2л5, или В=ил6.
Например1), если S есть множество всех положительных чисел,
то
оэ
S= у (А- 1, Н
4=1
Если Л сВ, то очевидно
л + в = в,
в частности
л + л=л.
Определение 4. Пусть Л и В два множества. Множество Р,
состоящее из всех элементов, общих обоим множествам Л и В,
и не содержащее никаких других элементов, называется пересе-
чением множеств Л и В и обозначается так:
Р = АВ, или Р = А П В.
!) Как обычно, при а^Ь, мы обозначаем через (а, ft), [а, ft], [а, Ь),
(а, Ь] множества чисел х, удовлетворяющих соответственно неравенствам
a<x<b, as^xs^b, a^xcb, а<хёд Каждое из этих множеств назы-
вается промежутком, а а и b его концами. Промежуток (а,Ь) называется
также интервалом, a [a, ft] отрезком, или сегментом. Проме-
жутки [a, ft) и (а, 6] называются полусегментами.
11
Например, если Л = {1, 2, 3, 4}, В = {3, 4, 5, 6}, то
ДВ = {3, 4}. '
Сходным образом определяется пересечение п множеств Аъ
А2, .... Аа, последовательности множеств Alt А2, Аа, ... и вообще
множества множеств Д^, отмеченных для отличия друг от друга
значком Соответствующие обозначения таковы:
Р==АХА2 ...,Ап, Р = П Ак,
1
Р = Аг П А2 П ••• Г1Л, или Р= П Ак,
k=\
р=а1а2а3..., р= П4
Р = Д1 Л А2 П Дз А •••. или Р= П Ак,
4=1
р==Пл5> или
Например,
= {0} (одноэлементное множество)
Е Е / I \
(0, £-) = 0 (пустое множество).
Если А <= В, то очевидно АВ = А и, в частности, АА = А.
То обстоятельство, что множества А и В не имеют общих
элементов, можно записать так:
ДВ = 0.
В этом случае говорят также, что множества А и В те
пересекаются».
Теорема 1. Пусть А некоторое множество и {2ц} множе-
ство множеств. Тогда
А^Е^^АЕ^.
Доказательство. Положим S = A£E$, Т = ^AEz.
I 1
Пусть х е S. Это значит, что х е А и что Послед-
нее же соотношение обозначает, что х е Eg„. Но тогда х е АЕ^ и,
тем более, х е Т. Итак, S <= Т.
Пусть теперь, наоборот, хеГ. Это значит, что х^АЕ^„.
Иначе говоря, х е А .и хе £^, но из того, что х е £g0, следует,
12
что а тогда (поскольку ге 4) rsS. Значит, TcS,
что вместе с доказанным выше дает S = T.
Из доказанной теоремы в частности вытекает, что
Л (В + С) = ЛВ-|-ЛС.
Определение 5. Пусть А и В два множества. Множество R,
состоящее из всех тех элементов множества А, которые не вхо
дят в множество В, и только из этих элементов, называв 1ся
разностью множеств А и В и обозначается так:
R = A — В или /? = Л\В.
Например, если А = {1, 2, 3, 4}, В = {3, 4, 5, 6}, то
Л-В = {1, 2}.
Теорема 2. Если А, В, С три множества, то
А(В-С) = АВ-АС.
Доказательство предоставляем читателю.
Бросается в глаза аналогия между свойствами операций над
множествами и свойствами арифметических действий. Однако
эта аналогия не полна. Мы уже видели, что Л + Л = Л, ЛЛ=Л;
этих соотношений в арифметике, вообще говоря, нет. Приведем
еще один пример нарушения указанной аналогии.
Теорема 3. Соотношение
(Л-В) + В = л (1)
верно тогда и только тогда, когда В cz Л.
Доказательство. Пусть (1) верно. Так как слагаемое
всегда есть часть суммы, то Л. Допустим теперь, что В cz Л.
Тогда очевидно (Л — В) + В с А. Но обратное включение (Л —
— В) + Вщ>Л, как легко видеть, верно без всяких ограничений,
откуда и следует (1).
§ 2. Взаимнооднозначное соответствие
Пусть Л и В два конечных множества. Естественно поставить
вопрос о том, одинаково или нет количество элементов в этих
множествах.
Для того, чтобы решить этот вопрос, мы можем сосчитать
элементы каждого из множеств и затем посмотреть, одинаковы
или нет получаемые в результате счета числа.
Однако поставленный вопрос можно решить и не считая эле-
ментов наших множеств. Пусть, например, А есть множество
латинских букв А = {a, b, с, d, е}, а В множество греческих
букв В = {а, р, у, 6, е}.
13
Если мы расположим элементы этих множеств так:
4:|a|&|c|d|e
В : |«( р | YJ6 |е ’
то без всяких подсчетов видим, что А и В имеют одинаковое
количество элементов.
Что характерно для этого способа сравнения множеств? Харак-
терно то, что для каждого элемента одного множества указы-
вается один и только один соответствующий ему элемент другого
множества и обратно.
Сила этого второго способа сравнения состоит в том, что
его можно применять и тогда, когда сравниваемые множества
бесконечны. Например, если W есть множество всех натуральных
чисел, а М множество чисел вида 1/п, то второй способ сравне-
ния сразу показывает, что «количество» элементов в множествах
N и М. одинаково; чтобы убедиться в этом, достаточно располо-
жить наши множества так:
N: 1|2|3|4
и считать взаимно соответствующими числа пи 1/п.
Перейдем теперь к точным определениям.
Определение 1. Пусть А и В два множества. Правило <р,
которое каждому элементу а множества А соотносит один и
только один элемент b множества В, причем каждый элемент
Ь^В оказывается соотнесенным одному и только одному а^А,
называется взаимнооднозначным соответствием между множест-
вами А и В.
Определение 2. Если между множествами А и В можно уста-
новить взаимнооднозначное соответствие, то говорят, что эти мно-
жества эквивалентны или что они имеют одинаковую мощность,
и пишут
А ~В.
Легко понять, что два конечных множества оказываются экви-
валентными тогда и только тогда, когда они состоят из одина-
кового числа элементов, так что понятие одинаковой мощности
есть прямое обобщение понятия одинаковой численности конеч-
ных множеств.
Приведем несколько примеров попарно эквивалентных мно-
жеств.
Пусть А и В суть множества точек на двух параллельных
сторонах прямоугольника (рис. 1). Легко понять, что А^В.
Пусть, далее, А и В суть множества точек двух концентри-
ческих окружностей (рис. 2). И здесь очевидно А ~ В.
14
Этот пример менее тривиален, чем предыдущий. Если мы
«распрямим» наши окружности, то одна из них превратится
в более короткий прямолинейный отрезок, чем другая. Казалось бы,
что на более длинном отрезке и точек «больше». Мы видим, что
это не так.
Вот пример, где этот парадокс еще более ярок. Пусть А
множество точек гипотенузы, а В множество точек катета прямо-
угольного треугольника. Как видно из рис. 3, А^В, хотя
катет и короче гипотенузы. Если мы наложим катет на гипо-
тенузу, то множество В окажется частью множества А и притом
отличной от самого А. Такую часть мы будем называть правиль-
ной частью множества (т. е. В
В с А, но В # Л). Таким обра-
зом, в последнем примере мы
сталкиваемся с множеством, у ко-
торого есть эквивалентная ему
правильная часть. Само собою
ясно, что конечное множество не
имеет эквивалентных ему пра-
вильных частей. Стало быть,
именно бесконечности множе-
ства А мы обязаны этим его
удивительным свойством. Ниже
мы убедимся, что всякое беско-
нечное множество имеет экви-
есть правильная часть А, если
валентные правильные части, а-пока иллюстрируем этот факт
еще одним примером.
Пусть N множество всех натуральных, а М — всех четных
чисел: .7У = {/г}, М = {2п}.
Располагая эти множества так:
N: | 1 |2|3|4| 5 |...
М: |21416|8110|...
мы непосредственно убеждаемся в их эквивалентности, хотя М
есть правильная часть N: «четных чисел столько же, сколько
всех натуральных».
15
Приведем некоторые простые свойства понятия эквивалент-
ности, доказательства которых можно предоставить читателю.
Теорема 1. а) Всегда Л^Л.
Ь) Если А ~ В, то В^А.
с) Если Л ~ В, а В~С, то А^С.
Теорема 2. Пусть Ль Л2, Л3, ... и Bit В.2, В3, ... две после-
довательности множеств. Если множества Ап не пересекаются
между собою, а множества Вп между собою
АпАп' = 0, ВЛВП' = О (п^п'),
и если при каждом п
Ап^Вп (п = 1, 2, 3, ...),
то
00 00
^Аь-^Вь.
4=1 *=1
§ 3. Счетные множества
Определение 1. Пусть /V множество всех натуральных чисел
Л/ = {1, 2, 3, 4, ...}.
Всякое множество А, эквивалентное множеству Л/, называется
исчислимым, или счетным.
Иногда говорят также, что множество Л «.имеет мощность а».
Очевидно, все счетные множества эквивалентны между собою.
Вот несколько примеров счетных множеств:
Л = {1. 4. 9, 16. п2, ...},
В = {1, 8, 27, 64, ..., п3, ...},
С = {2, 4, 6, 8. 2п, ...},
Z) = {1, 1/2, 1/3, 1/4. 1/л, ...}.
Теорема 1. Для того чтобы множество А было счетным,
необходимо и достаточно, чтобы его можно было «перенумеро-
вать», т. е. представить в форме последовательности:
А = {al а2, а3, ..., а,
(1)
Доказательство. Если множество Л представлено в форме
(1); то достаточно каждому его элементу а„ соотнести индекс п
этого элемента, чтобы получить взаимнооднозначное соответствие
между Л и N, так что Л счетно.
Обратно, если Л счетно, то существует взаимнооднозначное
соответствие <р между Л и N. Достаточно обозначить через ап
тот из элементов множества Л, который в соответствии <р отве-
чает числу п, чтобы получить представление А в форме (1).
16
Теорема 2. Из всякого бесконечного множества А можно
выделить счетное подмножество D.
Доказательство. Пусть А бесконечное множество. Выде-
лим из А произвольный элемент Так как А бесконечно, то
оно не исчерпывается выделением элемента alt и мы можем выде-
лить элемент а2 из оставшегося множества А — По тем же
соображениям множество А — {а1( не пусто, и мы можем
из него выделить элемент а3. Ввиду бесконечности множества А
мы можем продолжать этот процесс неограниченно, в резуль-
тате чего получим последовательность выделенных элементов
alt а2, ..., ап, ..., которая и образует искомое множество D.
Теорема 3. Всякое бесконечное подмножество счетного мно-
жества счетно.
Доказательство. Пусть А счетное множество, а В его
-бесконечное подмножество. Расположим А в форме последова-
тельности alt а2, а3, , ап, ... и будем перебирать один за дру-
гим элементы А в порядке их номеров. При этом мы время
от времени будем встречать элементы множества В, и каждый
элемент В рано или поздно встретится нам. Соотнося каждому
элементу В номер «встречи» с ним, мы перенумеруем множество В,
причем, в силу бесконечности его, нам придется на эту нуме-
рацию израсходовать все натуральные числа._
Следствие. Если из счетного множества А удалить конечное
подмножество М, то оставшееся множество А — М будет счетным.
Теорема 4. Сумма конечного множества и счетного множе-
ства без общих элементов есть счетное множество.
Доказательство. Пусть
Л = {а1, а2, ..., a„}, B = {blt b2, Ь3, ...},
причем ЛВ = 0. Если 4-|-В = 5, то S можно представить в форме
S = {an а2....ап, Ьъ Ь2, Ь3, ...},
после чего становится очевидной возможность перенумеровать S.
Условие отсутствия общих элементов как в этой, так и в сле-
дующих теоремах могло бы быть опущено.
Тёорема 5. Сумма конечного числа попарно не пересекаю-
щихся счетных множеств есть счетное множество.
Доказательство. Проведем доказательство для случая
трех слагаемых множеств; из контекста будет ясна полная
общность рассуждения.
Пусть А, В, С три счетных множества:
A = {alt а2, а3, ...}, B = {blt b2, Ь3, ...},
С = {Cj, с2, с3, ...}.
Тогда сумму 5 = Л + В-]-С можно представить в форме после-
довательности S=Ja1( bv сь a2, b2, сг, a3, ...}, и счетность ее
очевидна.
17
Теорема 6. Сумма счетного множества попарно не пересекаю-
щихся конечных множеств есть счетное множество.
Доказательство. Пусть Ak(k=\, 2, 3, ...) суть попарно
не пересекающиеся конечные множества:
A^af, &>, .... а^},
А2 = [аГ, а'23>, .... а%],
А3 = {а'?', а2’, .... <},
Для того чтобы расположить сумму их S в форме последова-
тельности, достаточно выписать подряд все элементы множества Лп
затем элементы Л2 и так далее.
Теорема 7. Сумма счетного множества попарно не пересе-
кающихся счетных множеств есть счетное множество.
Доказательство. Пусть множества ЛА(/г= 1, 2, 3, ...)
попарно не пересекаются и счетны. Запишем эти множества так:
Л1 = {а'11', а'2, аз’
Л2 = К, а^, ...},
Л8 = {«”» «2”,
Если мы выпишем элемент а\", затем оба элемента а'2" и а'?',
у которых сумма верхнего и нижнего индексов равна 3, затем
те элементы, у которых эта сумма равна 4, и т. д., то сумма
СО
S = У, Л* окажется представленной в форме последовательности
*=i
S = {a'i*’, а2", а\3’, <$', а’23’, a\s’, <#’, ...},
откуда и следует ее счетность.
Используя символ а как обозначение мощности счетного мно-
жества, мы можем доказанные теоремы изобразить с помощью
мнемонических схем:
а — п = а, а-\-п = а, а + а + ...-}-а = па = а,
n.i + n2 + n3^-... = a, а-\-аА~а-\-... = аа = а.
Теорема 8. Множество R всех рациональных чисел счетно.
Доказательство. Множество дробей вида p/q сданным
знаменателем q, т. е. множество \/q, 2/q, 3/q, ... очевидно счетно.
Но знаменатель может принять также счетное множество нату-
ральных значений 1, 2, 3, ... Значит, в силу теоремы 7, мно-
жество дробей p/q счетно; удаляя из него все сократимые дроби
и применяя теорему 3, убеждаемся в счетности множества 7?+
всех положительных рациональных чисел. Так как множество /?_
отрицательных рациональных чисел очевидно эквивалентно мно-
жеству R+, то счетно и оно, а тогда счетно и множество R, ибо
Я = /?_ + {0} + /?+.
18
Следствие. Множество рациональных чисел любого сегмента
[а, Ь] счетно.
Теорема 9. Если к бесконечному множеству М прибавить
конечное или счетное множество А новых элементов, то это
не изменит его мощности, т. е.
М + А~М.
Доказательство. Выделим, пользуясь теоремой 2, из М
счетное подмножество D и пусть M—D = P, тогда
M = P + D, M + A=P + (D + A).
Так как Р^Р, D-\-A^D (теоремы 4 и 5), то М А^> М.
Теорема 10. Если бесконечное множество S несчетно, а А
его конечная или счетная часть, то
S-A~S.
Доказательство. Множество М = S — А не может быть
конечным, ибо иначе исходное множество S было бы конечным
или счетным. Но тогда, в силу теоремы 9, будет М + А М,
а это и значит, что S^S — А.
Следствие. Всякое бесконечное множество содержит эквивалент-
ную правильную часть.
Действительно, удаляя из бесконечного множества произволь-
ное конечное подмножество, мы, согласно теоремам 3 и 10,
не изменяем его мощности.
Как уже отмечалось, конечное множество не обладает указан-
ным свойством. Это обстоятельство позволяет дать (принадлежа-
щее Р. Дедекинду) положительное определение бесконечного мно-
жества.
Определение 2. Множество называется бесконечным, если оно
содержит эквивалентную правильную часть.
В заключение докажем следующую, весьма общую теорему:
Теорема 11. Если элементы множества А определяются п
значками, каждый из которых, независимо от других, пробегает
счетное множество значений
А = {аХ1, х2.xj (xk = 41’, 4', ...; k = 1, 2, 3, .... п),
то множество А счетно.
Доказательство. Докажем теорему методом математи-
ческой индукции.
Теорема очевидна, если п = 1, т. е. имеется только один зна-
чок. Допустим, что теорема справедлива для п = т, и покажем,
что она справедлива для п = т+\.
Итак, пусть А = {ахгха.,m+l}.
Обозначим через Ai множество тех элементов А, для которых
хт+1=х^>+1, где одно из возможных значений (т4-1)-го
значка, т. е. положим А{=1аг r r м I.
( 1’ 2.. т т+1)
19
В силу сделанного допущения множество счетно, а так как
Л==2 А. то счетно и А. Теорема доказана
f=i
Вот несколько предложений, вытекающих из этой теоремы:
1) Множество точек (х, у) плоскости, у которых обе коорди-
наты рациональны, счетно.
2) Множество комплексов (пъ п2, ..., nk), состоящих из k
натуральных чисел, счетно.
Более интересным является следующий факт:
3) Множество многочленов До*" + Й!*”-1 + • • • + Ля-i* + л» с це-
лыми коэффициентами счетно.
В самом деле, это непосредственно следует из теоремы 11,
если рассматривать только многочлены фиксированной степени п,
и для завершения доказательства следует применить теорему 7.
Так как каждый многочлен "имеет конечное число корней, то
из доказанного предложения вытекает следующая тесрема
Теорема 12. Множество алгебраических чисел счетно.
(Напомним, что алгебраическим называется число, являю-
щееся корнем многочлена с целыми коэффициентами.)
§ 4. Мощность континуума
Не следует думать, что все бесконечные множества счетны.
Докажем это на следующем важном примере.
Теорема 1. Сегмент U = [0, 1] несчетен.
Доказательство. Допустим, напротив, что сегмент U есть
счетное множество. Тогда все точки его можно расположить в виде
последовательности
хъ х2, х3, ...
И
Пусть это сделано, т. е всякая точка х е U находится в
последовательности (*). Разделим U на три равные части точками
Рис. 4.
1/3 и 2/3. Ясно, что точка хг не может принадлежать всем трем
сегментам
(1)
и хоть один из них не содержит ее (рис. 4). Обозначим его
через U1 (если точка хх не принадлежит двум из сегментов (1),
то через (Д назовем любой из них, например тот, который
лежит левее другого).
Теперь разделим на три равные сегмента сегмент Ur и обозна-
чим через U3 тот из новых сегментов, который не содержит
точки х2 (а если таких сегментов два, то один из них).
Затем делим на три равные сегмента сегмент U2 и обозначаем
через U3 тот из них, который не содержит точки х3 и т. д.
В результате мы получим бесконечную последовательность
вложенных друг в друга сегментов U гэ zd U3 zz> U3 zz> ...,
которые обладают тем свойством, что хп е Un.
Ввиду того, что длина сегмента Un есть 1/3", ясно, что эта
длина с возрастанием п стремится к нулю, а тогда, по известной
теореме теории пределов, существует точка £, принадлежащая
всем сегментам Un
l^Un (п=1, 2, 3, ...).
Будучи точкой сегмента U, точка £ должна входить в после-
довательность (*), но это явно невозможно, ибо какое бы п
ни взять мы имеем
ха ё= Un, £ е U„, откуда g хп,
т. е. £ не может совпасть ни с одной из точек последователь-
ности (*). Полученное противоречие и доказывает теорему.
Доказанная теорема дает повод к установлению следующего
определения:
Определение. Если множество А эквивалентно сегменту U=[0, 1 ]
A~U,
то говорят, что А имеет мощность континуума или, короче,
мощность с.
Теорема 2. Всякий сегмент [а, 6], всякий интервал (а, Ь) и
всякий полусегмент (а, 6] или [а, Ь) имеет мощность с.
Доказательство. Пусть А = [а, ft], f7 = [0, 1]. Формула
у = а + (Ь — а) х устанавливает взаимнооднозначное соответствие
между множествами А = {у} и 67 = {х}, откуда и следует, что А
имеет мощность континуума. Так как удаление одного или двух эле-
ментов из бесконечного множества приводит к множеству, эквива-
лентному исходному, то промежутки (a, b), (а, t>], [а, Ь) имеют ту же
мощность, что и сегмент [а, 6J, т. е. мощность с. Теорема доказана.
Теорема 3. Сумма конечного числа попарно не пересекающихся
множеств мощности с имеет мощность с.
Доказательство. Пусть
п
S=^Ek (EkEk' = 0, k^k'),
4=1
где каждое из множеств Ek имеет мощность с. Возьмем полусег-
мент [О, 1) и точками со = О<с1<с2< ... <сл_!<ся= 1 раз-
ложим его на п полусегментов
[Cft-i, с*) (k = 1, 2, .... n).
21
Каждый из этих полусегментов имеет мощность с, так что мы
можем связать множество Ек и полусегмент [ск ь ск) взаимно-
однозначным соответствием. Легко видеть, что тем самым оказы-
вается установленным взаимнооднозначное соответствие между
суммой S и полусегментом
[О, 1)= 2 Iе*-о <*)•
k = 1
Теорема доказана.
Теорема 4. Сумма счетного множества попарно не пересекаю-
щихся множеств мощности с имеет мощность с.
СО
Доказательство. Пусть S= У, Ек (ЕкЕк' = 0, k^-k'),
* = ।
где каждое из множеств Ек имеет мощность с.
Возьмем на полусегменте [0, 1) монотонно возрастающую после-
довательность с0 = 0 < Cj < с2 <..., для которой limcft = l.
fe-»co
Установив взаимнооднозначное соответствие между множествами
Ек и [с*-!, ск) для всех k, мы тем самым установим взаимноодно-
значное соответствие между S и [0, 1).
Следствие 1. Множество Z всех вещественных чисел имеет мощ-
ность с.
В самом деле Z = У {[А — 1, &) + [—k, —£-|- 1)}.
* = 1
Следствие 2. Множество всех иррациональных чисел имеет
мощность с.
Следствие 3. Существуют трансцендентные1) числа.
Теорема 5. Множество Q всех последовательностей нату-
ральных чисел
<2={(«Ъ «2. «3. ••)}
имеет мощность с.
Доказательство. Установим взаимнооднозначное соответ-
ствие между Q и множеством всех иррациональных чисел интер-
вала (0, 1) (последнее множество очевидно имеет мощность конти-
нуума), считая взаимно соответствующими последовательность
(пи п2, п3, ...) eQ и иррациональное число х, для которого раз-
ложение в непрерывную дробь имеет вид
Возможность соответствия и доказывает теорему.
Изложенное доказательство предполагает, что читатель знаком
с теорией непрерывных дробей.2)
!) Т. е. неалгебраические.
2)'См., например, А. Я. Хинчин, Цепные дроби, Гостехиздат, 1949.
22
Можно дать другое доказательство, основанное на теории двоич-
ных дробей. С этой целью напомним некоторые факты этой тео-
рии. Они будут нам полезны и для других целей. Вот нужные
нам свойства двоичных дробей:
1) Двоичной дробью называется сумма ряда
У а„ (О
4 = 1 v
Указанная сумма обозначается символом
* 0, а&аз... (1)
2) Всякое число х е [0, 1] допускает представление в форме
х = 0, а^аз ...
Это представление единственно в случае, когда х не есть дробь
вида т/Т (т=1, 3, .... 2"—1). Числа 0 и 1 разлагаются (един-
ственным образом) в дроби
0 = 0,000..., 1=0,111...
Если же х = mj2n (т = 1, 3, .... 2" — 1), то х допускает два раз-
ложения. В этих разложениях знаки а1г а2, ..., совпадают,
а знак ап в одном из них равен 1, а в другом равен 0. Все
остальные знаки у первого разложения суть нули («0 в периоде»),
а у ьторого —единицы («1 в периоде»). Например,
3 _ Г0,011000 ...
8 “10,010111 ...
3) Всякая двоичная дробь (1) равна некоторому числу х из
[0, 1].
Если эта дробь содержит 0 или 1 в периоде, то х есть число
вида т!‘1п (т=1, 3,..., 2Л—1) (исключение составляют дроби
0,000 ... и 0,111 ...), и тогда, наряду с исходным, существует
еще одно двоичное разложение х. Если же дробь (1) не содержит
цифру 0 или 1 в периоде, то х ф т/2п и других двоичных раз-
ложений х не имеет.
Отметив это, возвратимся к теореме 5. Условимся не пользо-
ваться дробями, содержащими единицу в периоде. Тогда каждое
число из полусегмента [0, 1) будет иметь единственное предста-
вление в форме
0, ага2а3 ... (1)
причем какое бы число ЛГ ни взять, найдутся такие ak, что
ak — 0, k>N.
Обратно, любой дроби (1) с этим свойством отвечает точка из
[0, 1). Но задать дробь (1) можно, указав те k, для которых ak = 0.
23
Эти k образуют возрастающую последовательность натуральных
чисел
kx < &2 < k3 < ... (2)
и каждой такой последовательности отвечает дробь (1). Значит,
множество Н последовательностей (2) имеет мощность с. Но меж^у
множествами И и Q легко установить взаимнооднозначное соот-
ветствие. Для этого достаточно соотнести последовательности (2)
последовательность (щ, п2, п3, ...) из Q, для которой п1 = А1,
и2 = k2 k2, п3 — k3 k2, .. .
Теорема доказана. •*
Теорема 6. Если элементы множества А определяются п знач-
ками, каждый из которых, независимо от прочих значков, прини-
мает с значений1)
А = {% *2, . хп }’
то множество А имеет мощность с.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай трех
значков, ибо рассуждение имеет общий характер.
Пусть А = {ах, г}.
Назовем через X (соответственно, У и Z) множество значений
значка х (соответственно, у и г), при этом каждый из значков
изменяется независимо от прочих и каждое из множеств X, У, Z
имеет мощность с.
Установим взаимнооднозначное соответствие между каждым из
множеств X, У, Z и множеством Q всех последовательностей нату-
ральных чисел. Это позволит нам установить такое же соотно-
шение между А и Q.
Именно, пусть | есть некоторый элемент А. Тогда
I = а*<. а., где ха еX, y0^Y, z0^Z.
В соответствиях между X, У, Z и Q элементам х0, у0, г0 отве-
чают какие-то элементы из Q; пусть
элементу х0 отвечает последовательность (nlt п2, п3, ...),
» Уо » » (Р1> Рг< Рз, •••).
» г0 » » (41, йг, qs, - --)-
Соотнесем элементу £ последовательность
(«г. Pi. Як п2, q2, п3, ...),
очевидно входящую в Q. Легко понять, что этим мы действительно
получили взаимнооднозначное соответствие между А и Q.
Из доказанной теоремы вытекает ряд важных следствий.
!) И здесь и ниже мы употребляем такие обороты речи как «с значений»,
«в множестве есть с элементов» и т. п., вместо того, чтобы сказать «множество
значений имеет мощность лит. д.; надеемся, что это не затруднит читателя.
24
Следствие 1. Множество всех точек плоскости имеет мощ-
ность с
Следствие 2. Множество всех точек трехмерного простран-
ства имеет мощность с.
Иначе говоря, мощность множества точек пространства не
зависит от числа его измерений.
Следствие 3. Сумма с попарно не пересекающихся множеств
мощности с имеет мощность с.
Действительно, можно установить взаимнооднозначное соответ-
ствие между множеством слагаемых множеств и множеством всех
прямых плоскости ху, параллельных оси Ох. Если затем установить
взаимнооднозначное соответствие между каждым из слагаемых
множеств и соответствующей ему прямой, то мы, очевидно, по-
лучим взаимнооднозначное же соответствие между суммой и плоско-
стью ху.
Схематически теоремы 3, 4 и последнее следствие можно запи-
сать так:
сА-с-\-...-\-с = сп = с, с-\-с-\-с-}-...=са = с, сс = с.
Теорема 7. Если элементы множества А определяются с по-
мощью счетного множества значков
А = { aXit Xl. х>. ...
каждый из которых, независимо от прочих значков, принимает
с значений, то множество А имеет мощность с.
Доказательство. Пусть множество значений значка хк
есть Хк. Свяжем его взаимнооднозначным соответствием с множе-
ством Q всех последовательностей натуральных чисел. Пусть это
соответствие обозначено через <pft(k = 1, 2, 3, ...).
Сделав это, выберем произвольный элемент | s А. Тогда
£=ах(0> х(0> х(0> где хк'^Хк (А = 1, 2, 3, ...).
1 ’ 2 * 8 * '
Пусть в соответствии <pft значению х*’ значка -хк отвечает после-
довательность («<*>, п<*>, n<fe), ...)eQ. Тогда элементу £ е А отве-
чает бесконечная целочисленная матрица
и*1*, пр, пр, ...
пр, пр, пр, ...
пр, пр, пр,...
Легко видеть, что полученное соответствие между. А и мно-
жеством L матриц (*) взаимнооднозначно. Стало быть, остается
обнаружить, что множество L имеет мощность с. Но это почти
очевидно, ибо, соотнеся матрице (*) последовательность
(п*1’» «а1’. Пр, /г^, пр, пр, пр, ...)
V X * в 9 А 9 V 9 л 9 L 9 4 9 9
25
(построенную так же, как мы это делали при доказательстве тео-
ремы 7 § 3), мы сразу получим взаимнооднозначное соответствие
между L и Q.
Теорема 8. Множество Т всех последовательностей вида
(аь а2, а3, ...),
где ак, независимо друг от друга, принимают значения 0 u 1,
имеет мощность с.
Доказательство. Пусть S есть множество тех последова-
тельностей из Т, в которых, начиная с некоторого места, все ak
равны 1. Каждой последовательности (alt а2, а3, ...), входящей
в S, можно соотнести число, имеющее двоичное разложение
О, ау^а-, ...; это число будет или 1 или т/2п (т = 1, 3, ..., 2" — 1),
причем полученное соответствие между S и множеством чисел
указанного вида, очевидно, взаимнооднозначно, откуда следует,
что S есть множество счетное.
С другой стороны, если последовательности (аъ а2, а3, ...),
входящей в Т — S, соотнести число с двоичным разложением
О, ayi2a3 .... то мы получим взаимнооднозначное соответствие между
Т — S и полусегментом [0, 1), откуда вытекает, что Т — S, а зна-
чит, и Т имеет мощность с.
Следствие. Если элементы множества А определяются с по-
мощью счетного множества значков, каждый из которых, незави-
симо от прочих, принимает два значения, то множество А имеет
мощность с.
В самом деле, если А = { аХи } и х,= k , то достаточно
соотнести каждому элементу А последовательность (а1г а2, а3, ...),
где аЙ равно 0 или 1, смотря по тому, будет ли xk = lk или xk — mk,
чтобы получить взаимнооднозначное соответствие между А и Т.
§ 5. Сравнение мощностей
Мы определили выше смысл выражений «два множества имеют
одинаковую мощность», «множество имеет мощность а», «множество
имеет мощность с». Таким образом, встретив слово «мощность»
в одном из подобных выражений, мы знаем, что оно означает, но
само по себе это понятие у нас еще не определено. Что же такое
мощность множества?
Г. Кантор пытался определить это понятие с помощью таких,
довольно-таки туманных, выражений:
«Мощностью данного множества А называется та общая идея,
которая остается у нас, когда мы, мысля об этом множестве,
отвлекаемся как от всех свойств его элементов, так и от их порядка».
В связи с этим Г. Кантор обозначал мощность множества А символом
А
(две черты — «двойное» отвлечение).
26
В настоящее время канторовский способ определения понятия
мощности не считается удовлетворительным (хотя обозначение А
оказалось очень удачным) Вместо этого принято такое формальное
определение.
Определение 1. Пусть все множества разбиты по классам, так
что два множества попадают в один класс тогда и только тогда,
когда они эквивалентны. Соотнесем каждому такому классу мно-
жеств какой-либо символ и будем его называть мощностью любого
множества данного класса. При этом, если мощность некоторого
множества А есть а, то пишут
А — а.
При таком способе определения ясно, что эквивалентные мно-
жества действительно имеют одинаковую мощность, а также что,
соотнеся классу, содержащему множество N всех натуральных
чисел, символ а, можно сказать, что счетное множество имеет
мощность а.
Далее, буква с есть символ, соотнесенный классу,содержащему
множество U — [0, 1] и потому про все множества, эквивалентные U,
мы и говорим, что они имеют мощность с.
Приведем еще один пример применения определения 1. Пусть
классу, содержащему множество А = {а, Ь, с}, соотнесен символ «3».
Тогда можно сказать, что любое множество, эквивалентное мно-
жеству А (т. е., попросту сказать, любое множество из трех эле-
ментов), имеет мощность 3. Мы видим, что понятие количества
элементов конечного множества есть частный вид более общего
понятия мощности.
Наконец, 0 есть мощность пустого множества, а 1 —мощность
любого «одноэлементного» множества.
Имея, таким образом, определение понятия мощности, естест-
венно поставить вопрос о сравнении мощностей.
Определение 2. Пусть А и В множества, имеющие соответ-
ственно мощности а и
Т=а, В = $.
Если: 1) множества А и В не эквивалентны, но 2) в множе-
стве В есть часть В*, эквивалентная множеству А, то говорят,
что множество В имеет большую, а множество А—меньшую мощ-
ность, и пишут Р>а.
Например, если
Л = {ап а2, ..., а32}, /Г=32,
B = {blt Ьг...Ь49}, 5 = 49,
то А не но А~В*, где B* = {blt b2, ..., 632}, а потому
32 <49.
Точно так же любое конечное натуральное число п меньше,
чем каждая из мощностей а и с.
27
Наконец, если
Л/ = {1, 2, 3, ...}, N = a, t/ = [0, 1], U=c,
то У не ~ U (см. теорему 1, § 4), но N~U*, где
U* = { 1, V2, V3,
Поэтому а < с.
Вопрос о том, существуют ли мощности р., промежуточные
между а и с, т. е. такие, что а<р<с, еще не решен1), хотя ему
было посвящено много исследований.
Зато легко построить множества мощности, большей чем с.
Теорема 1. Множество F всех вещественных функций, задан-
ных на сегменте [0, 1], имеет мощность, большую чем с.
Доказательство. Покажем, прежде всего, что F не ~ U, -
где t/ = [0, 1]. Допустим, напротив, что F~U, и пусть <р есть
некоторое взаимнооднозначное соответствие между F и U. Усло-
вимся обозначать через ft(x) ту функцию из F, которая отвечает
в соответствии ср числу /е[0, 1]. Положим, F(t, x)=ft(x). Это
есть некоторая совершенно определенная функция двух перемен-
ных, заданная в области О -С t 1, Oscxscl.
Положим теперь ip(x) = F(x, х) + 1. Эта функция задана для
OsCx^C 1, т. е. ф(х) eF. Но тогда в соответствии ср функция ф(х)
отвечает некоторому числу ае(/, т. е. ф (х) =fa (х), или ф(х) =
= F (а, х).
Иначе говоря, при всех х из [0, 1] будет F(x, х)+ \=F(a, х),
а это невозможно, например, для х = а.
Итак, действительно, F не ~ U. Но если мы рассмотрим мно-
жество функций F* = {э-inх + с} (OsgcsC 1), которое есть часть F,
то сразу увидим, что F* ~ U.
Теорема доказана.
Определение 3. Мощность множества F всех функций, заданных
на сегменте [0, 1], обозначается символом f.
С помощью этого символа теорему 1 можно формулировать так:
c<f.
Существуют ли мощности, большие чем f? Оказывается, что да,
существуют. Больше того, мы покажем, что, исходя из множества
любой мощности, можно построить множество большей мощности.
Теорема 2. Пусть М какое-либо множество. Если Т есть
множество всех частей множества М, то Т>М.
Доказательство. Отметим, что элементами множества Т
являются все части М, в частности само М, пустое множество О
и все одноэлементные подмножества М.
1) Предположение, что таких мощностей нет, носит название <гипотезы
континуума». [Современное состояние вопроса о гипотезе континуума изложено
в книге: П Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза, «Мир», 1969
(Прим, ред.).\
28
Покажем, прежде всего, что Т не ~М.
Допустим, напротив, что Г ~ М, и пусть ср какое-либо взаимно-
однозначное соответствие между этими множествами Каждому
me М в соответствии ф отвечает определенный элемент Т, кото-
рый мы обозначим через ф (т), и каждый элемент Т есть ф (т)
для одного и только одного пг^М.
Назовем элемент т е М «хорошим», если m e <р (т), и «пло-
хим» в противном случае. Элемент, который в соответствии ф
отвечает самому множеству М, наверное «хороший», а элемент,
отвечающий пустому множеству, наверное «плохой». Пусть S мно-
жество всех «плохих» (и только «плохих») элементов М. Так как
S е Т, то в соответствии ф множеству S отвечает элемент т0 е М
S = ф (т0).
Каков же этот элемент т0 — «хороший» или «плохой»? Допу-
стим, что т0 «хороший» элемент. Это значит, что тое ф (tn0) = S,
а так как S состоит только из «плохих» элементов, то /и0 элемент
«плохой», что противоречит сделанному допущению.
Итак, та «плохой» элемент. Но тогда т0 ф (tn0) = S, а это
означает, что т0 «хороший» элемент. Стало быть, элемент т0 ни
«хороший», ни «плохой», а так как всякий элемент или «хороший»
или «плохой», то получается абсурдная ситуация, которая и обна-
руживает, что Т не ~М.
Но, если Т* есть множество всех одноэлементных подмно-
жеств М, то, очевидно, Т*~М, а так как Т* С.Т, то теорема
доказана.
Замечание. Пусть М конечное множество, состоящее из п эле-
ментов. Тогда множество Т содержит 2" элементов. В самом деле,
Т содержит одно пустое множество, Ch одноэлементных множеств,
Ch двухэлементных множеств, и т. д., а всего в Т будет входить
1+Q + Q+ ... +С" = 2П
элементов. Отметим, что этот результат верен и для случаев,
когда М пустое (л = 0), или одноэлементное (п=1) множество,
ибо в первом случае Т состоит из одного М, а во втором из М
и пустого множества.
В связи с этим естественно дать следующее определение.
Определение 4. Если множество М имеет мощность р, а мно-
жество всех его частей Т имеет мощность т, то говорят, что
т = 2<
Теорема 2 означает, что 2й > р.
Теорема 3. Справедлива формула с = 2а.
Доказательство. Пусть Т есть множество всех частей
Натурального ряда чисел N, a L множество всех последователь-
;Цостей вида
(О
(ai> а2, а3, ...), ak — {
29
Тогда (теорема 8, § 4) Т = 2а, Ъ — с.
Возьмем произвольный элемент N* е Т. N* есть некоторое
множество натуральных чисел. Соотнесем /V* последовательность
(alt а2, а3, ...) по такому правилу: если k е N*, то ak = 1, а если
kz=N*, то afe = 0. Очевидно, мы получаем при этом взаимноодно-
значное соответствие между Т и L, что и доказывает теорему.
Из теорем 2 и 3 снова следует, что с>а.
Следующие две теоремы имеют большое значение.
Теорема 4. Пусть A Л4 дэ Л2. Если А2~ А, то и Лт~ А.
Доказательство. Пусть <р есть некоторое взаимноодно-
значное соответствие между А и А2. Каждому элементу А в этом
соответствии отвечает некоторый элемент А2.
В частности те элементы А2, которые отвечают элементам Лъ
образуют определенное множество Л3с2Л2.
Таким образом Аг связано взаимнооднозначным соответствием
с А3. Но А2 cz Alt значит те элементы А3, которые при этом
отвечают элементам А2, образуют определенное множество Л4с А3.
Теперь, поскольку А3 cz А2, а А2 и Л4 связаны взаимноодно-
значным соответствием <р, можно образовать множество Л8 <= Л4
и состоящее из тех элементов Л4, которые отвечают элементам А3.
Продолжая этот процесс, мы получим последовательность
множеств
Л ==> Л4 Л2 Л3 о Л4 гэ Л8 о ...
такую, что
Л Л2, Л4~Л3, Л2~ Л4, Л3~Л8, ...
Отметим при этом, что справедливы и такие соотношения:
Л Л2~Л2— Л3,
Л1 Л2~Л3 — л4,
л2-л3~л4-л6, Г
вытекающие из самого определения1) множеств Аа.
Пусть D= ААгА2А3 ... Легко видеть, что
Л = (Л — Л4) + (Л1 — Л 2) + (Л2 — Л3) +
+ Мз — + (^4 ~ 48) + • • • 4* D
~ (^i ~ 42) 4* (Л2 —Л3) 4- (Л3 — Л4) + (Л4 — Л6) 4- ... 4-0,
причем отдельные слагаемые каждой из строк не пересекаются.
В силу (*) одинаково подчеркнутые слагаемые обеих сумм
эквивалентны друг другу. Но прочие слагаемые этих сумм по-
парно тождественны, откуда и вытекает эквивалентность Л и Л4.
4 Обращаем внимание читателя на то, что из соотношений А* с Л,
В* с: В, А* ~~ В*, А — В, не следует, что А — 4* ~fl — В*.
30
Теорема 5 (Э. Шрёдер — Ф. Бернштейн). Пусть А и В
два множества. Если каждое из них эквивалентно некоторой
части другого, то они эквивалентны между собой.
Доказательство. Пусть А^В*, В* cz В, В~А*,
Л* cz А.
Установим взаимнооднозначное соответствие между В и Л*,
при этом те элементы Л*, которые окажутся соответствующими
элементам множества В*, образуют некоторое множество Л**
Очевидно Л=>Л*=>Л** и Л-Л** (ибо Л — В*, В*~Л**)
Отсюда, на основании теоремы 4, Л~Л*, а так как Л*~В,
то Л В.
Теоремы 4 и 5 имеют ряд важных следствий.
Следствие 1. Если а и $ две мощности, то соотношения
а = 0, а <; 0, а > 0
несовместимы.
Действительно, тот факт, что соотношение а = 0 исключает
оба прочих, вполне очевиден.
Допустим теперь, что одновременно выполняются соотношения
а < 0 и а > 0. Пусть Л и В суть два множества мощностей
а и 0:
Л = а, В = 0.
Так как а<0, то
1) Л и В не эквивалентны,
2) Л ~ В*, где В* cz В.
Но из того, что а>0, следует, что
3) В ~ А*, где Л* с Л.
Из 2) и 3) вытекает, что Л~В, а это противоречит 1).
Следствие 2. Если а, 0, у три мощности и а<0, 0 < у,
то а<У, т. е. отношение < транзитивно.
В самом деле, если А, В, С три множества мощностей а, 0,
у, то Л ~ В* cz В, В~С* cz С, откуда следует, что Л ~ С* * сс
сС, где С** есть множество тех элементов С*, которые в соот-
ветствии между В и С* отвечают элементам В*.
Остается обнаружить, что Л не ~С.
Но если бы было Л~С, то оказалось бы, что С**~С,
а тогда, по теореме 4, мы имели бы, что С* ~ С, откуда В^С
и 0 = у.
Замечание. Из самого ^определения _2 вытекает, что если
А ~ В* cz В, то либо А = В, либо А <13.
В связи с этим соотношение Л~В*сВ часто записывают
так:
С помощью этого обозначения теорему 5 можно формулиро-
вать так:
31
Если a3s0 и asg0, то a = p.
Если тип два натуральных числа, то из трех соотношений
т = п, m<Zn, т> п
одно (и только одно) обязательно имеет место. В главе XIV мы
докажем, что для любых мощностей а и Р также обязательно
выполняется одно из трех взаимно исключающих соотношений
а = р, а < Р, a > р.
Это свойство мощностей называется трихотомией.
Покажем применение теоремы 5 на следующем примере.
Теорема 6. Множество Ф всех непрерывных функций, задан-
ных на сегменте [0, 1], имеет мощность с.
Доказательство. Пусть Ф* = {sin х-)-£}. Очевидно,
Ф*сФ и Ф*=с, откуда следует, что
Ф^с. (1)
Остается показать, что
Ф^<с. (2)
С этой целью обозначим через Н множество всех последователь-
ностей вида [их, и2, и3, ...], где uk, независимо друг от друга,
принимают все вещественные значения. В силу теоремы 7 § 4,
Н = с.
Перенумеруем все рациональные числа сегмента [0, 1]:
f\, гг, г3, ...
и каждой функции f (х) <= Ф соотнесем последовательность
а/ = [/(Г1), f(r2), f(r8),
Очевидно, aj^H. При этом, если непрерывные функции /(х)
и g (х) не тождественны, то ае.
Действительно, если бы было at = ае, то равенство f(x) = g (х)
выполнялось бы для любого рационального значения х из [0, 1],
откуда, в силу непрерывности обеих функций, следовало бы, что
это равенство верно для всякого х из [0, 1], и функции f (х) г
g(x) были бы тождественны.
Значит, множество Ф эквивалентно множеству Н* = {а/}. Так
как H*czH и Н = с, то доказано соотношение (2), а с ним и
теорема.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
1. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции разве
лишь счетно
2. Установить взаимнооднозначное соответствие между (0, 1) и [0, 1]
3. Доказать, что f = 2c _
4. Доказать, что если A = B-j-C, А~=с, то хоть одно из множеств
В или С имеет мощность с.
32
5. Пусть f (х) функция, обладающая тем свойством, что всякому х0 отве-
чает такое 6 > О, что как только |х—х0 | < 6, так сейчас же f (х) / (х0).
Доказать, что множество значений f (х) разве лишь счетно.
6. Показать, что в теоремах 4, 5, 6, 7 § 3 и 3, 4 § 4 можно откинуть
условие отсутствия общих элементов в складываемых множествах.
7. Доказать формулу Яй + С=(Я + С) (В + С) Обобщить ее.
8. Пусть Alt А^ Л3, . последовательность множеств. Обозначим через А
множество элементов, принадлежащих бесконечному множеству множеств Ап,
а через А множество элементов, не принадлежащих только конечному числу
со со ' со со
множеств А„. Доказать, что А = п S d= S П
п=1k — n п — 1 k — n
со _
9. Доказать, что если Л = и то хоть одно из множеств Дл
л =1
имеет мощность с.
«I И П Натансон
ГЛАВА II
ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА
В этой главе мы будем заниматься множествами точек число-
вой прямой. Все множество вещественных чисел мы будем обо-
значать символом Z. Отметим, что все понятия, которые встре-
чаются ниже, как-то: «точка», «сегмент», «интервал» и т. п., мы
употребляем в чисто арифметическом смысле; говоря, например,
что «точка у лежит правее точки х», мы имеем в виду,, чтоу>х
-и т. п.
§ 1. Предельная точка
Определение 1. Точка х0 называется предельной точкой1) то-
чечного множества Е, если всякий интервал, содержащий эту
точку, содержит хоть одну точку Е, отличную от точки х0.
Замечания: 1) Сама точка х0 может принадлежать, а может
и не принадлежать множеству Е.
2) Если точка х0 принадлежит множеству Е, но не является
его предельной точкой, то она называется изолированной точкой
множества Е.
3) Если х0 есть предельная точка множества Е, то всякий
интервал (а, 0), содержащий эту точку, содержит бесконечное
множество точек Е.
Докажем последнее замечание. Допустим, напротив, что интер-
вал (а, 0), содержащий х0, содержит только конечное число
точек Е. Пусть отличные от х0 точки множества Е (а, 0) суть
51, 5г....Вя- Обозначим через 6 наименьшее из положительных
чисел |х0-|1|, |х0-52|, ..., |х0-5„|, х0 —а, 0-хо и рассмот-
рим интервал (х0 —6, х04-6). Ни одна из точек 5а (А=1,2....п)
в него не попадает, а так как (х0 — б, х04-6)<=(а, 0), то ин-
тервал (х0 —6, х04-6) вообще не содержит точек Е, отличных
от х0, а это противоречит тому, что х0 предельная точка множе-
ства Е.
К понятию предельной точки можно подойти и с другой точки
зрения. С этой целью докажем следующее предложение.
Теорема 1. Для того чтобы точка х0 была предельной точ-
кой множества Е, необходимо и достаточно, чтобы из этого мно-
1) Или точкой сгущения.
34
жества можно было выделить последовательность различных то-
чек xlt х2, ... , хп, ... такую, что
х0= lim хп.
п -+ со
Доказательство. Достаточность условия вполне очевидна.
Докажем его необходимость.
Пусть х0 есть предельная точка множества Е. Выберем в ин-
тервале (х0 — 1, Хо+ i) точку Хх е Е, отличную от х0.
Затем в интервале (х0—1/2, х04-1/2) выберем точку х2 е Е,
отличную и от х0 и от х2 и т. д.
На n-м шагу процесса в интервале (х0— 1/n, х04- 1/«) мы
выбираем точку х„е£, отличную от х0, хх, .... хп^.
В результате из множества Е выделена последовательность
{хп}, для которой, очевидно, будет limx„ = x0.
Доказанная теорема позволяет высказать определение 1 в дру-
гой форме.
Определение 2. Точка х0 называется предельной точкой мно-
жества Е, если из этого множества можно выделить последова-
тельность различных точек хх, х2, х3, ... такую, что
х0= lim хп.
псо
Теорема 2 (Б. Больцано — К. Вейерштрасс). Всякое бес-
конечное ограниченное множество Е имеет хотя бы одну предель-
ную точку (которая может и не принадлежать Е).
Доказательство. Так как множество Е ограничено, то
можно указать содержащий его сегмент [а, 6].
Положим, с = и рассмотрим сегменты [а, с] и [с, 6]. Не
может оказаться, чтобы каждый из них содержал только конеч-
ное число точек Е, ибо в этом случае и все множество Е было
бы конечным. Значит, хоть один из этих сегментов содержит
бесконечное множество точек Е. Обозначим его через Ьх] (если
оба сегмента [а, с] и [с, Ь] содержат бесконечное множество
точек Е, то через [ах, Ьх] обозначаем только один из них, какой —
безразлично).
Положим c1 = ai'^ bl и обозначим через [а2, Ь2] тот из сегментов
(ах, сх] и [сх, 6х], на котором лежит бесконечное множество
Точек Е (существование его устанавливается так же, как и выше).
Продолжая этот процесс, мы построим бесконечную последо-
вательность вложенных сегментов
[а, Ь]гэ[пх, Ь2]=) ...,
каждый из которых содержит бесконечное множество точек Е.
Так как bn — b 2„а , то длина сегмента [ап, Ьп] с возрас-
тем п стремится к нулю и, по известной теореме теории
35
пределов, существует точка х0, общая всем сегментам [ап, Ь„], при-
чем lima„ = lim bn = x0.
Покажем, что х0 и есть предельная точка множества Е. Для
этого возьмем произвольный интервал (а, 0), содержащий ха.
Очевидно, если п достаточно велико, то [ая, 6,] с (а, 0), так что
в (а, 0) находится бесконечное множество точек £, откуда и сле-
дует наше утверждение.
Заметим, что условие ограниченности множества Е не может
быть опущено без нарушения справедливости теоремы. Примером
может служить множество У всех натуральных чисел. Оно хотя
и бесконечно, но не имеет ни одной предельной точки.
В приложениях часто оказывается полезной другая форма
теоремы Больцано — Вейерштрасса, в которой речь идет не о мно-
жествах, а о числовых последовательностях.
Мы говорим, что имеем дело с числовой последовательностью
Xi, х2, ха, ..., (*)
если каждому п соотнесено определенное число х„; при этом раз-
личные члены последовательности мог;ут быть равны друг другу.
Такова, например, последовательность
О, 1, 0, 1, 0, 1, ...
Если рассматривать ее как точечное множество, то это’ мно-
жество конечное, ибо состоит только из двух точех 0 и 1, как
последовательность же она бесконечна.
Последовательность (*) называется ограниченной, если суще-
ствует такое число К, что при всех п будет
\хл\<к.
Упомянутая выше форма теоремы Больцано — Вейерштрасса
такова:
Теорема 2*. Из всякой ограниченной последовательности
ХЪ х2, х3, ... (*)
можно выделить сходящуюся подпоследовательность
Хп„ хп„ Хп„ ... (П1<П2<П3< ...).
Доказательство. Рассмотрим множество Е членов после-
довательности (*). Если это множество конечно, то одна из его
точек встречается в последовательности (*) бесконечно много раз,
пусть эта точка £ и пусть хП1 = хп, = хп,= ... = тогда последо-
вательность требуемая.
Если же указанное множество бесконечно, то к нему приме-
нима теорема Больцано — Вейерштрасса. Пусть хй есть предель-
ная точка множества Е, тогда из Е выделяется последователь-
ность
Xmt, Хщ,, Xmtt > (**)
36
сходящаяся к точке х0, причем все члены ее, а тем более их
индексы mi, т3, т3, ... , различны.
Положим, п± = mt и обозначим через п2 первое из чисел ти т2,
т3, ... , которое окажется больше, чем пь затем обозначим через
п3 первое из этих чисел, которое больше, чем п2, и т. д. В ре-
зультате мы получим последовательность хП1, хП1, хПг, ... с воз-
растающими индексами. Поскольку эта последовательность есть
частичная для (**), то ясно, что limx„fe = x0. Теорема доказана.
§ 2. Замкнутые множества
Дадим определения целого ряда понятий, тесно связанных
с понятием предельной точки.
Определения. Пусть Е точечное множество.
1. Множество всех предельных точек Е называется производ-
ным множеством для множества Е и обозначается через £'.
2. Если Е' а Е, то множество Е называется замкнутым.
3. Если ЕсгЕ', то множество Е называется плотным в себе.
4. Если £ = £', то множество Е называется совершенным.
5. Множество Е-\-Е' называется замыканием множества Е и
обозначается через Ё.
Таким образом, множество называется замкнутым, если оно
содержит все свои предельные точки. Плотное в себе множество
лишено изолированных точек. Совершенное множество замкнуто
и плотно в себе.
Иллюстрируем данные определения примерами.
Примеры.
1. £ = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/п, ...}, £' = {0}. Множество не
замкнуто и не плотно в себе.
2. £ = (а, b), Е’=[а, &]. Множество плотно в себе, но не
замкнуто.
3. £ = fa, b], £' = [а, Ь]. Множество совершенно.
4. E — Z, E’=Z, т. е. множество всех вещественных чисел
совершенно.
5. £ = {1, 1/2, 1/3.1/п, ..., 0}, £' = {0}; множество замк-
нуто, но не плотно в себе.
6. E = R (множество всех рациональных чисел), £'= Z; мно-
жество плотно в себе, но не замкнуто.
7. £ = 0, £' =0, т. е. пустое множество совершенно.
8. £ —конечное множество, £'=0, т. е. конечное множество
замкнуто, но не плотно в себе.
Ниже мы познакомимся с более сложными и интересными
примерами замкнутых и совершенных множеств.
Теорема 1. Производное множество £' любого точечного мно-
жества Е замкнуто.
Доказательство. Теорема тривиальна, если £' пусто.
Пусть £' не пусто и х0 есть предельная точка £'.
37
пределов, существует точка х0, общая всем сегментам [ая, Ь„], при-
чем lima„ = lim Ья = х0.
Покажем, что х0 и есть предельная точка множества Е. Для
этого возьмем произвольный интервал (а, 0), содержащий х0.
Очевидно, если п достаточно велико, то [ая, Ья] с (а, 0), так что
в (а, 0) находится бесконечное множество точек Е, откуда и сле-
дует наше утверждение.
Заметим, что условие ограниченности множества Е не может
быть опущено без нарушения справедливости теоремы. Примером
может служить множество N всех натуральных чисел. Оно хотя
и бесконечно, но не имеет ни одной предельной точки.
В приложениях часто оказывается полезной другая форма
теоремы Больцано — Вейерштрасса, в которой речь идет не о мно-
жествах, а о числовых последовательностях.
Мы говорим, что имеем дело с числовой последовательностью
xlt х2, х3, .... (*)
если каждому п соотнесено определенное число хя, при этом раз-
личные члены последовательности могут быть равны друг другу.
Такова, например, последовательность
О, 1, 0, 1, 0, 1, ...
Если рассматривать ее как точечное множество, то это' мно-
жество конечное, ибо состоит только из двух точех 0 и 1, как
последовательность же она бесконечна.
Последовательность (*) называется ограниченной, если суще-
ствует такое число /<, что при всех п будет
|хя|<К.
Упомянутая выше форма теоремы Больцано — Вейерштрасса
такова:
Теорема 2*. Из всякой ограниченной последовательности
Xi, х2, х3, ... (*)
можно выделить сходящуюся подпоследовательность
Хп„ ХПг, ХПз, ... (П1<П2<П3< ...).
Доказательство. Рассмотрим множество Е членов после-
довательности (*). Если это множество конечно, то одна из его
точек встречается в последовательности (*) бесконечно много раз,
пусть эта точка £ и пусть хп, = хП1 — хП2= ... = £, тогда последо-
вательность требуемая.
Если же указанное множество бесконечно, то к нему приме-
нима теорема Больцано—Вейерштрасса. Пусть х0 есть предель-
ная точка множества Е, тогда из Е выделяется последователь-
ность
Хт,, Хтг, Хт3, ... > (**)
36
сходящаяся к точке хд, причем все члены ее, а тем более их
индексы т.1, т2, т3, ... , различны.
Положим, rtj — тг и обозначим через п2 первое из чисел mlt т2,
т3, .... которое окажется больше, чем nlt затем обозначим через
п3 первое из этих чисел, которое больше, чем п2, и т. д. В ре-
зультате мы получим последовательность хп,, хПг, хПз, ... с воз-
растающими индексами. Поскольку эта последовательность есть
частичная для (**), то ясно, что НтхЯ/г = х0. Теорема доказана.
§ 2. Замкнутые множества
Дадим определения целого ряда понятий, тесно связанных
с понятием предельной точки.
Определения. Пусть Е точечное множество.
1. Множество всех предельных точек Е называется производ-
ным множеством для множества Е и обозначается через Е'.
2. Если £' cz Е, то множество Е называется замкнутым.
3. Если Е cz Е', то множество Е называется плотным в себе.
4. Если £ = £', то множество £ называется совершенным.
5. Множество £ + £' называется замыканием множества £ и
обозначается через £.
Таким образом, множество называется замкнутым, если оно
содержит все свои предельные точки. Плотное в себе множество
лишено изолированных точек. Совершенное множество замкнуто
и плотно в себе.
Иллюстрируем данные определения примерами.
Примеры.
1. £ = {!, 1/2, 1/3, ..., 1/п, ...}, £' = {0}. Множество не
замкнуто и не плотно в себе.
2. Е = (а, Ь), £' = [а, &]. Множество плотно в себе, но не
замкнуто.
3. £ = [о, Ь], £' = [а, Ь]. Множество совершенно.
4. £ = Z, £'=Z, т. е. множество всех вещественных чисел
совершенно.
5. £ = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/п, ..., 0}, £' = {0}; множество замк-
нуто, но не плотно в себе.
6. £ = /? (множество всех рациональных чисел), £' = Z; мно-
жество плотно в себе, но не замкнуто.
7. £ = 0, £'=0, т. е. пустое множество совершенно.
8. £ — конечное множество, £' = 0, т. е. конечное множество
замкнуто, но не плотно в себе.
Ниже мы познакомимся с более сложными и интересными
примерами замкнутых и совершенных множеств.
Теорема 1. Производное множество £' любого точечного мно-
жества Е замкнуто.
Доказательство. Теорема тривиальна, если £' пусто.
Пусть £' не пусто и х0 есть предельная точка £'.
37
Возьмем произвольный интервал (а, р), содержащий точку х0.
По определению предельной точки, в этом интервале найдется
точка zeE’. Значит интервал (а, Р) есть интервал, охватываю-
щий предельную точку исходного множества Е (рис. 5), а потому
он содержит бесконечное мно-
и / __I 1_______\л жество точек Е.
'J Т 1? Итак, всякий интервал, со-
0 держащий точку х0, содержит
Рис. 5. бесконечное множество точек Е,
так что точка хп есть предель-
ная точка Е. Иначе говоря, хое Е'. Таким образом, множество Е’
содержит все свои предельные точки и, стало быть, замкнуто.
Теорема 2. Если А а В, то А' <= В'.
Этот факт очевиден.
Теорема 3. Справедлива формула
(А + В)' = А' + В'.
Доказательство. Включение А' + В' ст (А А~В)' вытекает
из теоремы 2. Установим обратное включение
(Л+5)' сЛ'+В'. (*)
Пусть х„ е (Л 4-5)'. Тогда из Л 4-5 выделяется последова-
тельность различных точек х1; х2, х3, .... такая, что limx„ = x0.
Если в этой последовательности найдется бесконечное множе-
ство точек, входящих в Л, то х0 будет предельной точкой мно-
жества Л и Л'сЛ'-Д'. Если же среди точек хп лишь
конечное число принадлежит Л, то ,гоеВ’с Л'+Е'. Таким
образом, всегда х0(=Л'4-5', откуда и следует (*), а значит и
теорема.
Следствие 1. Замыкание Ё любого множества Е замкнуто.
Действительно,
(£)' =(£ + £')' = Е' +(£')' с £'+£'=£' с Е.
Следствие 2. Для того чтобы множество Е было замкнутым, не-
обходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замыканием’.
Е = Е.
Достаточность этого условия вытекает из предыдущего след-
ствия. Обратно, пусть множество £ замкнуто, тогда Е = Е-\-Е' cz
с Е cz Е, откуда и следует, что Е = Е.
Следующая теорема также вытекает из теоремы 3.
Теорема 4. Сумма конечного числа замкнутых множеств есть
множество замкнутое.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай двух сла-
гаемых множеств Ф = 514-52-
В силу теоремы 3, имеем Ф' = F'XA-F2, но. так как 51с£1(
F2cz.F2, то Ф' сФ, откуда и следует теорема.
Общий случай исчерпывается способом математической индукции.
38
Замечание. Сумма бесконечного множества замкнутых мно-
жеств может и не быть замкнутым множеством.
В самом деле, пусть, например,
£„ = [!/«, 1] (п=1, 2, 3, ...).
Тогда все Fn замкнуты, но их сумма
SF„ = (0, 1]
Zl — 1
не замкнута.
Для пересечения замкнутых множеств справедлива сле-
дующая теорема:
Теорема 5. Пересечение любого множества замкнутых мно-
жеств есть множество замкнутое.
Доказательство. Пусть замкнутые множестваFt отмечены
для отличия друг от друга значком |, принимающим какое-нибудь
множество значений, и Ф = Р[^ их пересечение.
6
Тогда при любом откуда следует, что Ф' czF^ и тем
более Ф' czF\. Так как это верно при любом то Ф' cz
т. е. Ф' с Ф, что и требовалось доказать.
Лемма. Пусть множество Е ограничено сверху (снизу) и
P = sup£ (a = inf£); тогда pe£(ae£).
Доказательство. Если р е Е, то и подавно р е Е. Допу;
стим же, что Р (= Е. Так как при каждом е>0 существует такая
точка хе Е, что х>Р —е, то любой интервал, содержащий
точку р, содержит и точки множества Е, которые, очевидно, от-
личны от р, ибо Рё=Е- Значит, р есть предельная точка множе-
ства Е и, стало быть, р е£' с£. Итак, всегда р е £.
Теорема 6. В ограниченном сверху (снизу) замкнутом мно-
жестве F есть самая правая (самая левая) точка.
Действительно, пусть P = sup£. Тогда Ре£ = £.
Определение 6. Пусть Е — точечное множество, а ЭЛ — некото-
рая система интервалов. Если для каждого хе £ существует
интервал 6 е ЭЛ такой, что хе 6, то говорят, что множество Е
Покрыто системой интервалов Э.Л.
Теорема 7 (Э. Борель). Если замкнутое ограниченное мно-
жество F покрыто бесконечной системой интервалов ЭЛ, то из
последней можно извлечь конечную систему ЭЛ*, также покры-
вающую множество F.
Доказательство. Докажем теорему от противного. Допу-
стим, что из ЭЛ нельзя извлечь никакой конечной системы интер-
-валов, покрывающей множество F (отсюда, между прочим, выте-
кает, что множество F бесконечно).
Заключим F в некоторый сегмент [а, Ь] (что возможно, по-
скольку F ограничено) и положим с = —
39
Не может оказаться, чтобы каждое из множеств Е[а, с]
и F [с, Ь] могло быть покрыто конечным числом интервалов си-
стемы ЭЭ?, ибо в этом случае и все множество F покрывалось бы
конечным числом этих интервалов. Значит, хоть один из сегмен-
тов [а, с] и [с, Ь] содержит часть F, не могущую быть покрытой
конечной частью ЭЛ. Обозначаем через [ап тот из этих, сегментов,
который содержит такую часть F. При этом, если оба сегмента
[а, с] и [с, Ь] содержат части F, не могущие быть покрытыми
конечной частью ЭЛ, то через [а1( Ь2] обозначаем только один из
них, какой — безразлично. Ясно, что множество F [a1( bj беско-
нечно.
Положим теперь с2 = 01 "?- и обозначим через [а2, Ь2] тот из сег-
ментов [flj, bj и [Cj, &J, который содержит часть множества F,
а 6 не могущую быть покрытой ко-
t г" \ \ нечным числом интервалов си-
’ L I J р стемы ЭЛ; в том, что хоть один
х° из сегментов cj и [Гр
Рис. 6. этим свойством обладает, мы
убеждаемся так же, как и выше
(если они оба им обладают, то через [а2, 6.2] мы обозначаем только
один из них).
Продолжая этот процесс, мы построим последовательность вло-
женных сегментов [а, Ь] сэ [щ, bj со [а2, Ь2] .., обладающих
тем свойством, что ни одно из множеств F [ап, bn] (п = 1, 2, 3, ...)
не может быть покрыто конечным числом интервалов системы ЭЛ
(н, стало быть, каждое из этих множеств бесконечно).
т- г , 1 Ь — а
Так как длина сегмента |a„, o„J, равная с возрастани-
ем п стремится к нулю, то существует точка х0, общая всем этим
сегментам, причем lima„ = lim Ьл = х0.
Покажем, что точка х0 принадлежит нашему множеству F.
С этой целью выберем в множестве fej] точку лу, затем
в (бесконечном) множестве F [ait F2] выберем точку х2, отличную
от хъ затем в множестве F [а3, Ь3] выберем точку х3, отличную
от ху и от х2, и т. Д-
В результате мы получим последовательность х2, х2, х3, ...
различных точек множества F, причем а„^х„^Ь„.
Но тогда, очевидно, х0=Нтхл, так что х0 есть предельная
точка множества F.
Но ведь множество F замкнуто, значит, действительно, xoeF.
Теперь уже легко закончить доказательство. Так как множе-
ство F покрыто системой ЭЛ, то в системе ЭЛ существует интер-
вал 60 = (а, Р) такой, что х0е60.
Если п достаточно велико, то очевидно (рис. 6)
[а„, Ь„]с:60,
и тем более
F[a„, ba]cz60,
40
т. е. множество F [ап, Ьп] покрывается одним интервалом из 5)2,
а это противоречит самому определению сегмента [ап, Ьп], что
и доказывает теорему.
Замечание. Теорема перестает быть верной, если отбросить
условие ограниченности или условие замкнутости множества F.
В самом деле, рассмотрим, например, множество N всех нату-
ральных чисел. Оно замкнуто (ибо N' =0), но неограничено.
Рассмотрим систему 5)1 всех интервалов вида
(п — ± п + (п=1, 2, 3, ...),
покрывающую множество N. Так как каждый из интервалов си-
стемы 5)2 содержит только одну точку множества N, то ясно,
что никакая конечная система этих интервалов не в состоянии
покрыть бесконечного множества N. Итак, условие ограниченно-
сти существенно.
В качестве другого примера рассмотрим множество Е всех
чисел вида }/п
НЧ 4. •••}•
Это множество ограничено, но не замкнуто.
Построим около каждой точки ]/п интервал бя, содержащий
эту точку, но настолько малый, чтобы он не содержал никакой
другой точки множества Е, и обозначим через 5)2 систему всех
интервалов 6Я. Ясно, что система 5)2 покрывает множество Е, но
те же соображения, что и в предыдущем примере, показывают,
что Е не покрывается никакой конечной частью 5)2. Значит, усло-
вие замкнутости также существенно.
В заключение параграфа отметим одно свойство замкнутого
множества, применение которого могло бы несколько сократить
доказательство теоремы 7.
Теорема 8. Пусть F замкнутое множество и
xlt х3, х3, . .. (*)
последовательность точек F. Если limxn = x0, то x0^F.
В самом деле, если последовательность (*) содержит бесконеч-
ное множество различных точек, то х0 есть предельная точка F
и xoeF, если же в последовательности (*) лишь конечное число
различных точек, то, как легко понять, все члены последователь-
ности, начиная с некоторого, совпадают с х0 и xoeF.
§ 3. Внутренние точки и открытые множества
Определение 1. Точка х0 называется внутренней точкой мно-
жества F, если существует содержащий эту точку интервал (а, р),
Целиком содержащийся в множестве Е:
хое (а, Р) с=£.
41
Из самого определения ясно, что внутренняя точка множе-
ства Е принадлежит этому множеству.
Определение 2. Множество Е называется открытым, если все
его точки суть внутренние точки.
Пример ы.
1. Всякий интервал (а, Ь) есть открытое множество.
2. Множество Z всех вещественных чисел открыто.
3. Пустое множество 0 открыто.
4. Сегмент [а, Ь] не есть открытое множество, ибо его концы
не являются внутренними точками.
Теорема 1. Сумма любого множества открытых множеств
есть множество открытое.
Доказательство. Пусть S = ^G^, где все множества Gg
£
открыты. Пусть x0(=S, тогда x(l е Gg„ при некотором £0. Так как
Gg0 есть открытое множество, то существует такой интервал (а, Р),
что xos(a, Р) с Gg„, но тогда и подавно хое(а, Р) с: S, так
что х0 есть внутренняя точка S. Поскольку х0 есть произвольная
точка S, теорема доказана.
Следствие. Любое множество, представимое в форме суммы
интервалов, открыто.
Теорема 2. Пересечение конечного числа открытых множеств
открыто,
п
Доказательство. Пусть = где все открыты.
*=i
Если Р пусто, теорема тривиальна. Допустим, что Р не пусто,
и пусть х(] е Р.
Тогда х0 е Gk (k = 1, 2, ..., п) и для каждого k (k = 1, 2.п)
найдется интервал (ak, pfc) такой, что
х0 е= (ak, pft) <=. Gk.
Положим, X = max(a1, а2....а„); p. = min(P1, Р2, ..., р„), оче-
видно хое(Х, р.) с: Р, т. е. х0 есть внутренняя точка Р.
Теорема доказана.
Замечание. Пересечение бесконечного множества открытых
множеств может и не быть открытым множеством.
В самом деле, если
М~ДД) (п-1,2.3,...),
то все G„ открыты, но пересечение их
СО
П^=!°}
И —1
не есть открытое множество.
42
Определение 3. Пусть Е и S два точечных множества. Если
Е cz S, то множество S — E называется дополнением множества Е
до множества S и обозначается так:
CSE.
В частности, множество С?Е [где Z = (—оо, + оо)] называется
просто дополнением множества Е и обозначается через
СЕ.
С помощью понятия дополнения легко обнаружить связь
между замкнутыми и открытыми множествами.
Теорема 3. Если множество G открыто, то его дополнение
CG замкнуто.
Доказательство. Пусть тогда существует такой
интервал (а, 0), что х0 е (а, 0) ст G.
Этот интервал вовсе не содержит точек CG, стало быть, х:) не
есть предельная точка множества CG, а потому точка, являю-
щаяся предельной точкой множества CG, не может входить в G.
Отсюда следует, что CG содержит все свои предельные точки.
Теорема 4. Если множество F замкнуто, то его дополнение
CF открыто.
Доказательство. Пусть x0^CF. Тогда х0 не является
предельной точкой множества F и, следовательно, существует
интервал (а, 0), содержащий точку х() и не содержащий ни одной,
отличной от х0, точки F. Но так как -и х0 не входит в F, то
в (а, 0) вообще нет точек F, так что (а, 0) cz СЕ и есть внут-
ренняя точка CF.
В качестве примера отметим, что каждое из взаимно дополни-
тельных множеств Z и 0 одновременно и замкнуто и открыто.
Легко видеть, что 1) если G открытое множество ', а [а, Ь] —
содержащий его сегмент, то множество [a, b] — G замкнуто
и что 2) если F замкнутое множество, а (а, Ь') — содержащий
его интервал, то множество (a, b)—F открыто.
Эти утверждения следуют из очевидных тождеств
[a, b]-G = [a, b]-CG, (а, b)-F = (a, Ь)СЕ.
Напротив, если F замкнуто и [а, 6] zd F, то множество [a, b] — F
не является, вообще говоря, открытым. Пусть, например, F = [0, 1]
и [а, Ь] — [0, 2], тогда [п, Ь] — Е = (1, 2].
В связи с этим полезно дать следующее определение. ♦
Определение 4. Пусть Е непустое ограниченное множество и
a = infE, 6 = sup£. Сегмент S = [a, b] называется наименьшим
сегментом, содержащим Е.
Теорема 5. Если S есть наименьший сегмент, содержащий
ограниченное замкнутое множество F, то множество
CsF = [a, b]-F
открыто.
43
Доказательство. Очевидно, Достаточно убедиться в спра-
ведливости тождества CSF = (а, Ь) CF. __
Пусть xoeC$F; это значит, что х0 е [a, ft], xot=F.
Но раз х0 ее F, то х0 # а и х0 Ф ft (ибо по теореме 6 § 2 а
и ft входят в F). Значит х0 е (а, Ь). Кроме того, х0, очевидно,
входит в CF, так что CSF cz (a, ft) CF.
Обратное же включение очевидно. Теорема доказана.
§ 4. Расстояния и отделимость
Определение 1. Пусть хну две точки числовой прямой. Число
\Х~У\
называется расстоянием между точками х и у и обозначается через
Р(х, у).
Очевидно, что р (х, у) = р (у, х) 0, и что р (х, у) = 0 тогда
и только тогда, когда х = у.
Определение 2. Пусть хп некоторая точка и Е непустое точеч-
ное множество. Точная нижняя граница расстояний между х0
и точками множества Е называется расстоянием между точкой х
и множеством Е и обозначается через р (х0, Е) или р (£, х0)
р(хп, £) = inf{p(x0, х)} (хе£).
Очевидно, р (х0, Е) всегда существует и не отрицательно. Если
х0 е Е, то р (х0, Е) = 0, но обратное утверждение было бы неверно.
Например, если хо = О, а £ = (0, 1), то р(х0, £) = 0, но хоё=£-
Определение 3. Пусть А и В два непустых точечных множе-
ства. Точная нижняя граница расстояний между точками множе-
ства А и точками множества В называется расстоянием между
множествами А и В и обозначается через р(Л, В)
р(Л, £) = inf {р(х, у)} (х(=А, у<=В).
Очевидно, что р(Л, В) существует всегда и что р(Д, £) =
= р(В, Л)2г0.
Если множества А и В пересекаются, то р(Л, В) = 0, но об-
ратное утверждение неверно. Например, если Д = (—1, 0), В =
= (0, 1), то р(Л, В) = 0, но АВ = 0.
Заметим, что расстояние между точкой х0 и множеством £
есть не что иное, как расстояние между множеством £ и множе-
ством {х0}, единственной точкой которого является х0. Это заме-
чание будет нам очень полезно.
Теорема 1. Пусть А и В два непустых замкнутых множе-
ства, причем хоть одно из них ограничено. Тогда существуют
такие точки
х*еЛ, у* е В,
что
р(х*, у*) = р(А, В).
44
Доказательство. По определению точной нижней гра-
ницы, для каждого натурального п существуют две точки хп е А,
уп^ В такие, что
р(А, В)^\хп-уп\<р(Л, В) + 4- 0)
По условию одно из множеств А и В ограничено. Допустим,
например, что это А. Тогда ограничена последовательность {*„}
и по теореме Больцано — Вейерштрасса из нее выделяется сходя-
щаяся подпоследовательность хп,, хп„ хПа, ...
limxn =х*.
ft
В силу замкнутости множества А, точка х* должна принад-
лежать этому множеству, х* е Л.
Рассмотрим последовательность Если | Xnk | < С, то
+ + В) + ^-^С + р(Д, В)+1.
Отсюда видно, что последовательность [уПк] тоже ограничена,
а значит и из нее выделяется подпоследовательность, имеющая
предел
Уче Упк3..........ИтУп^У*-
При этом, благодаря замкнутости множества В, будет у* е В.
Нетрудно видеть, что
|^*_x*|==lim|f/n^ —хл^| = р(Л, В),
чем и доказана теорема.
Покажем на примере, что теорема становится неверной, если
оба множества Л и В не ограничены.
Пусть N = {n} и М = |п+-^-|. Оба эти множества замкнуты
(АГ =ЛГ =0) и р(П, Л4) = 0, но так как П -M—Q, то двух точек
k* е= N, у* <=М, для которых было бы р(х*. у*) = 0, не сущест-
вует. Ясно также, что если хоть одно из множеств Л и В не
замкнуто, то теорема также неверна, что видно хотя бы из при-
мера А = [1, 2), В = [3, 5], где р (Л, В)= 1.
Отметим несколько следствий доказанной теоремы.
Следствие 1. Если А и В замкнуты, хоть одно из них огра-
ничено и р(Л,В)=0, то А и В пересекаются.
Следствие 2. Пусть х0 произвольная точка и F непустое зам-
кнутое множество. Тогда в F есть точка х*, для которой
р(х0, х*) = р(х0, F).
Следствие 3. Если точка х0 и замкнутое множество F таковы,
адпо Р (*о> В) = 0, то хй е F.
45
Из доказанных результатов без труда выводится
Теорема 2. Если замкнутое множество А непусто и отлично
от всей прямой Z, то оно не может оказаться открытым.
Доказательство. Пусть А Ф О, А # Z, А замкнуто и А
открыто. Тогда таково же и его дополнение В = СА. Пусть D
отрезок, содержащий точки обоих множеств А и В. Обозначим
через х и у точки, для которых rs AD, y^BD, |х — г/| =
== р(ДО, BD) = d, и положим 2z = x-\-y. Тогда zeD и одно из
соотношений z е AD, г е ВО выполняется. Пусть хотя бы z е AD.
Тогда d = p{AD, BD)^\z — y\ = d/2, что нелепо, ибо d>0.
Перейдем к установлению важной «теоремы отделимости».
Предварительно докажем две простые леммы.
Лемма 1. Пусть А непустое точечное множество и d> 0 —
положительное число. Положим1)
B = Z (р(х, A)<d).
Тогда A cz В и В есть открытое множество.
Доказательство. Включение 'A cz В очевидно. Установим,
что множество В открыто.
Пусть хпеВ. Тогда р(х0, A)<d и в А найдется такая
точка х*, что р(х0, x*)<d.
Положим d — р(х0, x*) = h и покажем, что (x0 — h, x0A~h)
содержится в В. Отсюда будет следовать, что х0 внутренняя
точка В, а, стало быть, и то, что В открыто.
Возьмем произвольную точку г/е(х0 — h, x0-{-h). Тогда
I у — х01 < h, и так как | х0 — х* | = d — h, то
\у-х* I<z\y-х0| + |х0-х* \<h+(d-h) = d.
Значит, р(у, x*)Cd, и тем более р(у, A)<d, так что у^В.
Таким образом, действительно
(х0 — h, х0 + h) cz В,
и лемма доказана.
Лемма 2. Пусть Аг и А2 два непустых множества, причем
p(Ai, Д2) = г>0.
Положим
B^Z (р (х, до с , в2 = Z (Р (х, Д2) < .
Тогда
ВХВ2 “ 0.
Доказательство. Допустим, что ВХВ2 0, и пусть г е ВХВ2.
Тогда
p(z, ЛОСу, p(z, Д2)<у,
!) Смысл обозначения таков: «В есть множество тех точек х, для кото-
рых р (х, А) < У».
46
и найдутся точки х2 е AL и х.2 е А2 такие, что
I z — х21 < у, | z — х21 < у, откуда | х2 — х., | < г
и, тем более, р (Лп Л3) < г, что нелепо. Лемма доказана.
Теорема 3 (свойство отделимости). Пусть F2 и F2 два
не пересекающихся непустых замкнутых ограниченных множества.
Существуют открытые множества G2 и G.2 такие, что
Gi зз Flt G2 зз F2, G2G2 = 0.
Доказательство. По следствию 1 теоремы 1 имеем
Р (Л> Т2) = г > 0. Остается положить
G; = Z(p(x, Гг)<г/2) 0=1,2)
и применить леммы 1 и 2.
Заметим, между прочим, что условие ограниченности мно;
жеств Л и F2 можно снять без нарушения справедливости тео-
ремы, на чем мы, однако, не будем останавливаться. Напротив,
условие замкнутости обоих множеств существенно, что видно
хотя бы из примера Л = [0, 1), В = [1, 2].
§ 5. Структура открытых и замкнутых ограниченных
множеств
Определение 1. Пусть G открытое множество. Если интервал
(а, Ь) содержится в G, но его концы этому множеству не при-
надлежат _ ______
(a, b) cz G, а е G, b ^G,
то мы будем называть этот интервал составляющим интервалом1)
множества G.
Теорема 1. Если G есть непустое ограниченное открытое
множество, то каждая его точка принадлежит некоторому его
составляющему интервалу.
Доказательство. Пусть х0 s G. Положим f= [x0, +оо)- CG.
Каждое из множеств [х0, + оо) и CG замкнуто, а потому мно-
жество F также замкнуто. Кроме того, поскольку G ограничено,
F не пусто. Наконец, ни одна точка множества F не лежит левее
точки х0, так что множество F ограничено снизу. В таком случае
в этом множестве есть самая левая точка р, причем, очевидно,
р2зх0. Но x0(=G и, стало быть, xoef, так что х0 р, т- е-
< Р- _
Отметим далее, что li = G (ибо р е F с CG). Наконец, устано-
вим, что [х0, р) сз G. Допустим, напротив, что это не так. Тогда
должна найтись такая точка у, что у е [хи, р), у <^G.
1) Этот термин вводится здесь впервые.
47
Но из этих соотношений вытекало бы, что у &F, у а это
противоречит самому определению точки р.
Итак, нами установлено существование точки р со следующими
тремя свойствами:
1) р>х0, 2) |ieG, 3) [х0, p)<=G.
Аналогично доказывается существование такой точки Х-, что
1) Х<х0, 2) /.gG,'3) (X, х0] с: G.
Отсюда следует, что (X, р) есть составляющий интервал мно-
жества G, содержащий точку х0, что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы следует и самое существование соста-
вляющих интервалов у каждого непустого ограниченного откры-
того множества.
Теорема 2. Если (X, р) и (ст, т) два составляющих интервала
одного и того же открытого множества G, то они или тождест-
венны, или не пересекаются.
Доказательство. Допустим, что существует точка х,
общая обоим интервалам (X, р) и (о, т): Х<х<р, ст<х<т.
Предположим, что т<р. Тогда, очевидно, те(Х, р), но это
явно невозможно, ибо (X, р) cz G, теС. Значит р^т.
Но так как р и т совершенно равноправны, то по тем же
соображениям гср, а тогда т = р.
Аналогично устанавливается, что ст = Х, откуда следует, что
интервалы (X, р) и (ст, т) тождественны.
Следствие. Множество различных составляющих интервалов
непустого ограниченного открытого множества G конечно или
счетно.
Действительно, если мы выберем в каждом из этих интервалов
по рациональной точке, то множество составляющих интервалов
окажется поставленным во взаимнооднозначное соответствие с
частью множества R всех рациональных чисел.
Все сказанное можно резюмировать в форме теоремы:
Теорема 3. Каждое непустое ограниченное открытое мно-
жество G представимо в форме суммы конечного числа или счет-
ного множества взаимно не налегающих интервалов, концы которых
не принадлежат множеству G:
G = У, (Хц,, pj>.) (X^eG, pfe е G).
k
Мы уже отмечали, что и обратно: всякое множество, предста-
вимое в форме интервалов, открыто.
Теорема 4. Пусть G непустое ограниченное открытое мно-
жество и (а, Ь) — интервал, содержащийся в G. В таком случае
среди составляющих интервалов множества G найдется такой,
который содержит в себе интервал (а, Ь).
48
Доказательство. Пусть х0 е (а, Ь). Тогда х0 е G, и среди
интервалов, составляющих множество G, найдется такой интервал
(X, р), что х0 е (X, р).
Допустив, что р < Ь, мы получили бы, что р е (а, Ь), а это
невозможно, потому что реб. Значит, й^р.
Аналогично мы убедимся, что а тогда (а, Ь) с; (%, р),
что и требовалось доказать.
Перейдем к изучению структуры замкнутых ограниченных
множеств.
Пусть F такое множество и S наименьший сегмент, содержа-
щий F. Как мы знаем, множество CsF открыто. Если это мно-
жество не пусто, то к нему применима теорема 3. Поэтому имеет
место следующая теорема.
Теорема 5. Непустое ограниченное замкнутое множество F
или является сегментом, или получается из некоторого сегмента
удалением конечного числа или счетного множества взаимно не
налегающих интервалов, концы которых принадлежат мно-
жеству F.
Совершенно ясно, что и обратно — всякое множество, получае-
мое из сегмента удалением некоторого множества интервалов, —
замкнуто.
Отметим, что- составляющие интервалы множества CSF назы-
ваются дополнительными интервалами множества F.
Так как совершенное множество замкнуто, то и для него
справедлива теорема 5. Остается выяснить, какие требования
нужно наложить на дополнительные интервалы замкнутого мно-
жества, чтобы оно оказалось совершенным. Ответ на этот вопрос
дает следующая теорема.
Теорема 6. Пусть F непустое ограниченное замкнутое мно-
жество и S = [a, b] наименьший сегмент, содержащий F.
Тогда
1. Точка х0, являющаяся общим концом двух дополнительных
интервалов F, есть изолированная точка F.
2. Если точка а (или Ь) есть конец одного из дополнитель-
ных интервалов F, то она есть изолированная точка F.
3. Никаких других, кроме отмеченных в 1 и 2, изолированных
точек F не имеет.
Доказательство. Утверждения 1 и 2 очевидны. Дока-
жем 3. Пусть *0 есть изолированная точка F. Допустим сначала,
что a<ZxQ<zb. По определению изолированной точки, существует
содержащий эту точку интервал (а, 0), в котором нет отличных
от х0 точек множества F, причем, очевидно, (а, 0) <= [а, Ь].
Но тогда интервал (лг0, 0) вовсе не содержит точек F, и, стало
быть, (х0, 0) с CsF. Согласно теореме 4, существует дополнитель-
ный интервал (X, р) множества F, содержащий интервал (х0, 0).
Если бы было Х<х0, то точка х0 не принадлежала бы множеству
F, поэтому необходимо, чтобы было X х0. Но неравенство % > х0
противоречило бы тому, что (х0, 0) с (X, р).
49
Значит X = х0, т. е. х0 является левым концом одного из допол-
нительных интервалов множества F.
Совершенно так же устанавливается, что х0 служит и правым
концом какого-то дополнительного интервала F, откуда и следует 3.
Случай хп = а или хй = Ь исчерпывается таким же образом.
Из этой теоремы вытекает следующая теорема:
Теорема 7. Всякое непустое ограниченное совершенное мно-
жество Р есть или сегмент, или получается из некоторого сег-
мента удалением конечного числа или счетного множества взаимно
не налегающих интервалов, которые не имеют общих концов ни
друг с другом, ни с исходным сегментом. Обратно, всякое мно-
жество, полученное этим способом, совершенно.
Приведем интересный и важный пример совершенного множества.
Канторовы множества (?0 и Ро. Разделим сегмент [/ = [0, 1]
на три части точками 1/3 и 2/3 и удалим из него интервал (1/3, 2/3).
Ни»- (infill) (иМип।и11п ।пн) (и) (iihhi) (11)1
о f/j 2/3 1
Рис. 7.
Каждый из двух оставшихся сегментов [0, 1/3] и [2/3, 1] разде-
лим на три части (точками 1/9 и 2/9 для первого сегмента, и
точками 7/9, 8/9 для второго) и удалим средние интервалы (1/9, 2/9),
(7/9, 8/9). Далее делим на три равные части каждый из остав-
шихся четырех сегментов и удаляем из них средние интервалы
(рис. 7). Этот процесс мы продолжаем неограниченно.
В результате из [0, 1] окажется удаленным открытое мно-
жество Go, являющееся суммой счетного множества интервалов
г -р 2\щГР 2uJ7 8 ,i'
- \ 3 > 37 + [\ 9 ’ 9 J + \ 9 ’ 9 Л ~ • • •
Оставшееся множество Ро оказывается (в силу теоремы 7)
совершенным.
Множества Go и Ро носят название канторовых множеств.
Нетрудно дать арифметическую характеристику этих множеств.
С этой целью привлечем аппарат троичных дробей.
Какие точки попадают в первый из удаленных интервалов,
т. е. в интервал (1/3, 2/3)? Ясно, что при разложении каждой из
этих точек в троичную дробь х = 0, ащу^з- .. (я* = 0, 1. 2) необхо-
димо окажется аА = !I.
Концы же этого интервала допускают каждый по два пред-
ставления
1 _ ( 0,100000... 2 _ ( 0,12222...
3 = \ 0,022222...’ 3" ~ ( 0,20000...
Все остальные точки сегмента [0, 1] при разложении в троич-
ную дробь не могут иметь на первом месте после запятой единицу.
50
Итак, на первом шагу процесса построения множества Go из
сегмента U удаляются те и только те точки, первый троичный
знак которых необходимо есть 1.
Аналогично, мы установим, что на втором шагу удаляются
те и только те точки, второй троичный знак которых необхо-
димо есть единица, и т. д.
Поэтому после окончания процесса останутся неудаленными
те и только те точки, которые могут быть изображены троич-
ной дробью 0, .... в которой ни одно из ak не равно
единице.
Короче говоря, множество Go состоит из точек, троичное раз-
ложение которых невозможно без помощи 1, а Ро — из точек, для
которых такое разложение возможно.
Следствие. Канторово совершенное множество Ро имеет
мощность с.
В самом деле
Р« = {0, ща-Шз...},
( 0
ak = {
( 2
и дело сводится к следствию теоремы 8 § 4 гл. I.
Полученный результат показывает, что, кроме концов удален-
ных интервалов (которых есть только, счетное множество), канто-
рово множество Ро содержит и другие точки. Примером такой
«не концевой» точки служит любая дробь
Л ( 0
О, щщаз..., а* = 1
не содержащая 0 или 2 в периоде.
§ 6. Точки конденсации. Мощность замкнутого множества
В конце § 5 мы установили, что мощность канторова мно-
жества Ро есть с. Оказывается, что это свойство присуще всем
непустым совершенным множествам.
Теорема I. Всякое непустое совершенное множество Р имеет
мощность с.
Доказательство. Пусть Р непустое совершенное мно-
жество. Возьмем точку геР и интервал 6, содержащий эту точку.
Так как точка х не есть изолированная точка Р, то множество Рб
бесконечно.
Выберем в Рб две различные точки х(| и лу и построим такие
интервалы б0 и б1( чтобы при / = 0, 1 было:
1) Xi е бг, 2) б,- <= б, 3) 6Д = 0, 4) тб; < 1
(б есть замыкание интервала б, тб есть длина б).
Так как х() есть предельная точка множества Р, то в интер-
вале б0 есть бесконечное множество точек Р. Выберем среди них
51
две различные точки хп, 0 и хол и построим такие интервалы 60.0
и 601, чтобы при k = 0, 1 было
1) х0, te60. k, 2) 60,j,<=S0. 3) S0i0-60il = 0, 4) тб01Л<у.
Аналогичное построение проделаем, исходя из точки х1.
В результате у нас будут построены точки х * (/, £ = 0, 1)
и интервалы к такие, что '
1) xit k е P6it k, 2) 6Zi k g: 6,-, 3) 6t> * • 6f-f *-= 0, если (/, k) Ф (i1, k'),
4) tn8iik<z~.
Продолжаем процесс построения дальше. После /г-го шага у нас
будут построены точки
xiv i2.tn 0* = 0, 1; k = 1, 2, ... п)
и интервалы f........,л такие, что
i) ХЧ- ‘г.О е ‘2........2) Ч- Z2.......‘п-r ‘п С Ч.......
3) .2.i',........t'n = ° (если Ч- za* • ’ ln) * (<> > Q)«
4) .......
Так как каждая точка х^.....( есть предельная точка мно-
жества Р, то можно найти в множестве P6Z z две различные
точки xlf in, 0 и tn, t и построить интервалы 6^ ( 0
и б(...1л, j такие, что (при /п+1 = 0, 1)
Xii....‘п- 1л+10 Ч...о- w 2) Ч.......‘Пт1 - Ч......£п’
»> ч...<.. =°- 4) -ч................<7ТТ •
Предположим, что этот процесс проведен для всех натураль-
ных п.
Соотнесем каждой бесконечной последовательности
01. h, 'з. • •) (0 = 0,1)
точку
г‘1. h, Ц.
являющуюся единственной точкой пересечения последовательности
вложенных сегментов
Ч Ч, Ч, is, • •
Легко видеть, что точки г. , . и z.> , отвечающие
‘1-12> 1з* ‘г *2> ‘з>
двум различным последовательностям
0. 0. 0. ••И i\, Zj, 0, ...,
различны.
52
В самом деле, если п есть наименьшее из тех т, для которых
ТО
ll~hl ^2 = •••> *Л-1 ~ ln-ll
и сегменты
6. . И 6.Z .>
‘1..1п ‘1.‘п
не пересекаются, откуда и следует, что
2<Г'’2’ ‘з- - г‘р гз- -
Пусть S = {г/, щ ...}• В силу теоремы 8, § 4^ гл. I S = c.
Но легко видеть, что S с Р, откуда следует, чтс/ Р^с.
С другой стороны, ясно, что Р^с, откуда Р = с, что и тре-
бовалось доказать.
Нашей ближайшей задачей будет перенесение полученного
результата на произвольные замкнутые множества. Для этой цели
полезно ввести (принадлежащее Э. Линделёфу) понятие «точки
конденсации».
Определение. Точка хп называется точкой конденсации мно-
жества Е, если всякий интервал (а, Ь), содержащий эту точку,
содержит несчетное множество точек Е.
Очевидно, что всякая точка конденсации какого-либо множества
и подавно является его предельной точкой.
Теорема 2 (Э. Линделёф). Если ни одна из точек мно-
жества Е не является его точкой конденсации, то множество Е
разве лишь счетно.
f Доказательство. Назовем интервал (г, R) «правильным»,
если: 1) его концы г и R рациональны; 2) в этом интервале
^содержится разве лишь счетное множество точек множества Е.
/ Очевидно, что «правильных» интервалов существует разве лишь
^счетное множество, ибо вообще существует только счетное мно-
/жество пар (г, R) рациональных чисел.
? Установим, что каждая точка множества Е (мы, естественно,
^предполагаем множество Е непустым) содержится в некотором
^правильном» интервале. Действительно, пусть х^Е. Так как х
Же есть точка конденсации множества Е, то существует интервал
Ь), содержащий эту точку, и такой, что в нем имеется разве
длишь счетное множество точек Е. Если мы возьмем такие рацио-
нальные числа г и R, что a<.r <.х <R<.b, то интервал (г, R)
;,'ЧГ будет «правильным» интервалом, содержащим точку х. Отсюда,
^Кстати сказать, вытекает и самое существование «правильных»
/интервалов.
" Перенумеруем все «правильные» интервалы Slt S2. бз. • • •
Из доказанного только что предложения следует, что
Е = £ £6*.
53
В сумме, стоящей в правой части этого равенства, есть счетное
множество слагаемых, каждое из которых, в свою очередь, разве
лишь счетно. Отсюда и вытекает, что множество Е также разве
лишь счетно.
Следствие 1. Если множество Е несчетно, то существует
хоть одна точка конденсации этого множества, принадлежа-
щая ему.
Интересно сопоставить это следствие с теоремой Больцано —
Вейерштрасса. В то время как теорема Больцано — Вейерштрасса
относится ко всякому бесконечному множеству, в настоящем след-
ствии речь идет только о несчетных множествах. Зато здесь,
в отличие от теоремы Больцано —Вейерштрасса, нет надобности
требовать ограниченности множества Е и, кроме факта существо-
вания точек конденсации, можно гарантировать существование
таких точек конденсации, которые входят в множество Е.
Следствие 2. Пусть Е точечное множество и Р множество
всех точек конденсации множества Е. Тогда множество Е — Р
разве лишь счетно. '
Действительно, ни одна точка множества Е — Р, не будучи
точкой конденсации Е, и подавно не является точкой конденсации
самого множества Е — Р.
Следствие 3. Пусть множество Е несчетно и Р множество
всех его точек конденсации. Тогда множество ЕР несчетно.
В самом деле, ЕР = Е — (Е — Р), и дело сводится к теореме 10,
§ 3, гл. I.
Отметим, что следствие 3 покрывает собой следствие 1.
Теорема 3. Пусть множество Е несчетно. Тогда множество Р
всех точек конденсации множества Е есть множество совер-
шенное.
Доказательство. Установим сначала замкнутость множе-
ства Р. Пусть х0 есть предельная точка этого множества. Возьмем
произвольный интервал (а, Ь), содержащий точку х0. В нем имеется
хоть одна точка г множества Р. Но тогда интервал (а, Ь),
как интервал, содержащий точку конденсации множества Е,
содержит несчетное множество точек Е. Так как (а, Ь) есть про-
извольный интервал, содержащий х0, то х0 оказывается точкой кон-
денсации Е и, стало быть, принадлежит Р. Итак, множество Р
замкнуто.
Остается убедиться, что Р не имеет изолированных точек.
Пусть хоеР и (а, Ь) есть интервал, содержащий точку х0. Тогда
множество Q = E (а, Ь) несчетно; а потому, в силу следствия 3
теоремы 2, в Q содержится несчетное множество точек конденсации
множества Q. Но Qq£, а потому все точки конденсации мно-
жества Q суть и подавно точки конденсации Е, так что в Q
(а следовательно и в (а, Ь)) содержится несчетное множество
точек Р. Итак, любой интервал, содержащий точку х0, содержит
несчетное множество точек Р, откуда следует, что .i'oeP'.
Теорема доказана.
54
Теорема 4 (Г. Кантор — И. Бендиксон). Каждое несчетное
замкнутое множество F представимо в форме
F = P + D,
где Р есть совершенное, a D разве лишь счетное множество.
Доказательство. В самом деле, если Р есть множество
точек конденсации множества F, то Р cz F и D = F — Р разве
лишь счетно.
Следствие. Несчетное замкнутое множество имеет мощность с.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ П
1. Если f (х) непрерывная функция, заданная на [а, 6], то множество
точек, в которых f (х) 2э с, при любом с замкнуто.
2. Каждое замкнутое множество есть пересечение счетного множества
открытых множеств.
3. Доказать, что интервал (а, Ь) нельзя представить в форме суммы
счетного множества попарно непересекающихся замкнутых множеств.
4. Обобщить теорему отделимости на неограниченные замкнутые мно-
жества
5. Доказать, что множество точек [0, 1], десятичное разложение которых
возможно без помощи цифры 7, совершенно
6. Представить [0, 1] в форме суммы с совершенных множеств без
общих точек.
7. Доказать, что множество иррациональных чисел сегмента [0, 1] нельзя
представить в форме суммы счетного множества замкнутых множеств.
8. Построить на [0, 1] функцию ср (х), которая была бы разрывна в каж-
дой рациональной и непрерывна в каждой иррациональной точке.
9. Доказать невозможность построения на [0, 1 ] функции, непрерывной
р каждой рациональной и разрывной в каждой иррациональной точке.
10. Если функция fix), заданная на [a, i], такова, что множества
Z(f (х):>с) и Z(f (х)-'-/'). при любом с, замкнуты , то f (х) непрерывна .
11. Если множество Е покрыто произвольной системой интервалов дт?,
то из последней можно выделить счетную подсистему 3)1*, покрывающую
множество (Э Линделеф).
12. Доказать, что множество внутренних точек любого множества открыто.
ГЛАВА HI
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 1. Мера ограниченного открытого множества
В теории функций вещественной переменной большую роль
играет понятие меры точечного множества, обобщающее понятие
длины промежутка, площади прямоугольника, объема параллеле-
пипеда и т. д. В этой главе мы изложим теорию измерения линей-
ных ограниченных точечных множеств, принадлежащую А. Лебегу.
Так как наиболее простой структурой обладают открытые
множества, то естественно начать именно с них.
Определение 1. Мерой интервала (а, Ь) называется его длина,
т. е. Ь — а. Это число обозначается так:
т(а, Ь) = Ь — а.
Очевидно, что всегда т (а, Ь) > 0.
Лемма 1. Если в интервале А содержится конечное число
взаимно не налегающих интервалов бъ 62....6Л >
п
2 ,n&k ’ mA.
k= i
Доказательство. Пусть А = (А, В), 6A = (afe, bk) (fe=l,
2, .... n).
He нарушая общности, можно' считать, что интервалы 6*
перенумерованы в порядке возрастания левых концов, т. е. что
Qi <С <С • • •
Но тогда, очевидно, bk^akJrl (k—\, 2, .... п— 1), ибо иначе
интервалы 6* и бА+1 налегали бы друг на друга. Поэтому сумма
Q = (В — Ьп) 4- (ап — bn_t) +... + (a2 — ^i) + (ai—
п
не отрицательна. Но очевидно, что тА = У, m8k-\-Q, откуда и
k = i
следует лемма.
Следствие. Если на интервале А лежит счетное множество
взаимно не налегающих интервалов Sfe(A=l, 2, 3, ...), то
У, m6*<mA.
k= 1
56
[Имея дело с положительным расходящимся рядом, мы при-
писываем ему сумму, равную 4-оо; поэтому всякий положительный
СО
ряд имеет некоторую сумму. Неравенство У ak<C (для поло-
k= 1
жительного ряда) гарантирует его сходимость.]
Определение 2. Мерой rnG непустого открытого ограниченного
множества G называется сумма длин всех его составляющих
интервалов 6*:
mG — ^тдк.
k
(*Не зная, конечно или счетно множество {6*}, мы будем упо-
треблять обозначение ^тбл, подразумевая, смотря по обстоя-
k
п оо \
тельствам, под этим символом У тбл или У тдк. I
* = 1 k = 1 /
В силу вы [неотмеченного следствия,
mG < 4- оо.
Если множество G пусто, то мы, по определению, полагаем
mG = 0,
?так что всегда mG-s-.O.
4 Если Д есть интервал, содержащий в себе открытое мно-
^ жество G, то
> mGs^mA,
4 Что вытекает из того же следствия.
Пример (Канторово множество (?0). Построение Канторова
'убожества Go состояло из ряда последовательных шагов.
tHa первом шагу брался интервал (1/3, 2/3) длины 1/3. На вто-
шагу к нему присоединялись два интервала: (1/9, 2/9) и
, 8/9), длины 1/9 каждый.
На третьем шагу присоединялись еще четыре интервала,
яы 1/27 каждый и т. д.
-* Таким образом
mG0 = * + 9 + 247 + ...
Суммируя по известной формуле эту прогрессию, получаем
mG0= 1.
. Теорема 1. Пусть Gt и G2 два ограниченных открытых мно-
Если G1czGi, то
mG1-^mGi.
Ьказательство. Пусть б, (/= 1, 2, ...) и Д*(£= 1, 2, ...)
соответственно, составляющие интервалы множеств Gj н G2.
57
лЯЗ
В силу теоремы 4, § 5, гл. II, каждый из интервалов б,- содер-
жится в одном (и только одном) из интервалов Дй.
Поэтому множество {6J можно разбить на ряд взаимно не
пересекающихся подмножеств А1: А2, Аа, ..., относя б, в Ak в том
случае, когда б, cz Ак.
Тогда, пользуясь известными свойствами двойных рядов, мы
можем написать
mGi = У тбг = У, ( У, /пб,-
1 k /
Но, в силу следствия леммы 1,
У sg mAk, откуда mGL sg У тЛк = mG2,
^i£Ak к
что и требовалось доказать.
Следствие. Мера открытого ограниченного множества G есть
точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных
множеств, содержащих G.
Теорема 2. Если открытое ограниченное множество G является
суммой конечного числа или счетного множества взаимно не нале-
гающих открытых множеств
G = ^Gk (GftGA' = 0, k^k'),
k
то
mG = У mGk.
k
Это свойство меры называется полной аддитивностью.
Доказательство. Пусть б,</г) (г=1, 2,...) суть составляю-
щие интервалы множества Gfe. Покажем, что каждый из них
является составляющим интервалом суммы G.
В самом деле, то обстоятельство, что № с: G, очевидно.
Остается убедиться, что концы интервала б!*1 не принадлежат G.
Допустим, что, например, правый конец интервала б^1 принад-
лежит G. Тогда этот правый конец (обозначим его через р) должен
принадлежать какому-нибудь из слагаемых множеств. Пусть
(isGr- (Очевидно k'^=k, ибо множеству Gft точка р заведомо
не принадлежит.) Но множество Gk' открыто и, стало быть, точка р
принадлежит одному из составляющих интервалов этого множества
реб^'*. Однако это влечет за собой то, что интервалы б*А) и б(У
пересекаются, последнее же противоречит условию G*GA- = 0.
Итак, действительно, каждый из б'*’ есть составляющий интер-
вал множества G. С другой стороны, каждая точка G принадлежит
хоть одному б!*\ Наконец, все эти интервалы различны. Таким
образом, множество
{бУ} (/=1,2,...; 6=1,2,...)
есть множество всех составляющих интервалов суммы G.
58
Установив это, уже легко закончить доказательство:
mG = У, m6(tk) = У /у тбр’ ) = У mGk,
t, k k \ i J k
что и требовалось доказать.
Для того чтобы перенести теорему (соответственно изменив ее)
на случай суммы пересекающихся слагаемых, нам пона-
добятся две простые леммы.
Лемма 2. Пусть сегмент [Р, <2] покрыт конечной системой Н
интервалов (X, р). Тогда
Q-P<£m(Xt р).
н
Доказательство. Выделим из системы Н некоторую ее
часть Н*, которая строится следующим образом: обозначим через
(%!, рД какой-нибудь из интервалов системы Н, содержащих
точку Р
< Д < Pi
(хоть один такой интервал существует). Если окажется, что
Pj>-Q, то интервал (Х^ рД и составляет требуемую систему Н*.
Если же то Pie[P, Q], и можно в системе И найти
интервал (Х2, р2), содержащий точку ръ
Рт Р2*
Если окажется, что p,>Q, то процесс окончен, и интервалы
04, рД и (Х2, р2) и составляют систему Н*.
Если же pj-y;Q, то р2 <= [Р, Q], и можно в системе Н найти
интервал (Л3, р3), содержащий р.3,
*з 'Р Иг 'Р Из-
Если p3>Q, то процесс закончен, а если p3-CQ, то продол-
жаем наш процесс.
Е Но ведь множество Н по условию конечно, а наш процесс
Йростоит в выделении из Н все новых и новых интервалов, ибо
Р1<Р2<Рз<---
Поэтому процесс обязательно должен закончится, а конец его
Етоит в том, что какая-то из точек ц* окажется лежащей правее
к и Q.
Пусть Pn>Q, но Рл^-cQ, т. е. процесс заканчивается после
о шага.
Тогда интервалы 0Ч, рД, (?.21 р.Д, ..., (Х„, рл) и составляют
тему Д*. При этом Zft+1 <pft (6=1, 2, ... п— I).
Значит
У (и* — М > У (^л+i— М + (Ня— ^п) = Ил— ^-1»
k-=i k=i
59
а так как — M>Q — Р, то Q — P< У, (рл — ХА), откуда и
* = i
подавно
н
Лемма 3. Пусть интервал А есть сумма конечного или счет-
ного множества открытых множеств
k
Тогда
т\^ ^mGk.
k
Доказательство. Пусть Д = (Л, В) и пусть составляющие
интервалы множества Gk суть (z=l, 2, . ).
Возьмем положительное число в f 0 < е <——) и рассмотрим
сегмент [4 + е, В — в], содержащийся в интервале А.
Этот сегмент покрыт системой интервалов б,(/г) (г=1, 2, .. ;
k=\, 2, Применяя к этой системе теорему Бореля о конеч-
ном покрытии из § 2, гл. II, мы получим некоторую конечную
систему
6(*s) (s= 1, 2, ... п),
S
покрывающую сегмент [А + в, В — в]. В силу предыдущей леммы,
п
В - А - 2в < у тё^s\ откуда и подавно
5 = 1 s
В - А - 2е < £ тё™ = £ (S 'j = S mG*-
I, k k \ I / k
Так как число в произвольно мало, то
В - Л < У mGk,
k
и лемма доказана.
Теорема 3. Если открытое ограниченное множество G
является суммой конечного числа или счетного множества откры-
тых множеств Gk, G = У Gk, то
k
inG-^ ^mGk.
k
Доказательство Пусть A, (z = 1, 2, .. ) суть составляющие
интервалы суммы G. Тогда mG = ^mA,.
60
Но А, = A, 2 (АЛ), откуда, в силу леммы 3, mA, si
А А
sg 2 т (Afik) и, стало быть,
k
mG^s[z:m(AA)]=z:rz;m(AA)i. (*>
I |_ k k L * J
С другой стороны Gk = Gk У, A, = (A,Gfc).
При этом (что является здесь основным) отдельные слагаемые
правой части взаимно не пересекаются (потому что А;А(- = 0 при
t г'). Значит, мы находимся в условиях применимости теоремы 2,
а потому
2 т (АД) = mGk. (%)
I
Сопоставляя (*) и (%), мы и получаем теорему.
§ 2. Мера ограниченного замкнутого множества
Пусть F непустое ограниченное замнутое множество и S наи-
меньший сегмент, содержащий множество F. Как известно (тео-
рема 5, § 3, гл. II), множество CsF открыто и потому имеет
определенную меру m[CsF]. Это дает возможность установить
следующее определение.
Определение 1. Мерой непустого ограниченного замкнутого
множества F называется число
mF = В — А — т [C5F],
где $ = [Л, В] есть наименьший сегмент, содержащий множество F.
Для пустого замкнутого множества меру определять не нужно,
ибо такое множество открыто и мерой его мы уже условились
считать число 0. Кроме того (по теореме 2 § 4 гл. II), непустое
замкнутое ограниченное множество не может оказаться открытым
множеством, так что нет надобности ставить вопрос о связи
определений меры открытого и замкнутого множества.
Рассмотрим некоторые примеры.
1. F = [а, 6]. В этом случае, очевидно, S = [а, Ь] и CsF = 0,
Так, что т[а, b] = b — a, т. е. мера сегмента равна его длине
2. F есть сумма конечною числа попарно не пересекающихся
Сегментов F = [a!, 62]+ + [ая, Ьп].
С Можно считать, что сегменты перенумерованы в порядке возра-
’СтЬния левых концов; тогда, очевидно,
bk<Zak+1 (А=1, 2, ... п— 1),
откуда следует, что
5 = [ai, b„], CsF = (blt a2)-\-(b2, а3)+ .. • +(йя-1, й„).
61
Стало быть,
mF = bn - ar - У, (a*+1 - bk) = У (bk - ak),
k=i k=i
t. e. мера суммы конечного числа попарно не пересекающихся сег-
ментов равна сумме длин этих сегментов.
3. Пусть F = Ро (Канторово совершенное множество). В этом
случае В = [0,- 1] и CsF=G0, откуда
тР0 =1 — 1=0,
т. е. Канторово совершенное множество Ро имеет меру нуль.
Этот факт интересно сопоставить с тем, что мощность множества
Ро есть с.
Теорема 1. Мера ограниченного замкнутого множества F
не отрицательна.
Доказательство. Действительно, если пользоваться обо-
значениями определения 1, то очевидно CsF с: (А, В), и по тео-
реме 1, § 1, m[CsF]^m(A, В) = В — А, откуда и следует, что
mF 5= 0.
Лемма. Пусть F ограниченное замкнутое множество, содер-
жащееся в интервале А, тогда
mF = mA — т [СдК].
Доказательство. Множество C_\F — открыто, так что лемма
имеет смысл. Пусть А = (Д, В), а наименьший сегмент, содержащий
множество F, есть S = [a, b] (рис. 8).
Тогда легко видеть, что C&F = C\S + CsF.
Л(—£---------------------а----------
а. ъ
Рис. 8.
Оба слагаемые правой части открыты и взаимно не налегают.
Значит, по свойству аддитивности меры (теорема 2, § 1) будет
т [СдЛ = т [СдЗ] + т [С5В].
Но, очевидно, Сд5 = (Д, а) + (6, В), откуда
т [СдЗ] = (а — Д) + (В — Ь),
и следовательно,
т [СдВ] = (В — Д) — (6 — а) + m [CSF],
что и доказывает лемму.
Теорема 2. Пусть Ft и F2 два ограниченных замкнутых
множества. Если F^crF.,, то mF1^~.mF2.
Доказательство. Пусть Л есть интервал, содержащий
множество Ва. Тогда легко проверить, что Сд/д C&F2, и, стало
62
быть, in [Сд/Д $ m [Сд/Д, так что дело сводится к предыдущей
лемме.
Следствие. Мера ограниченного замкнутого множества F есть
точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств,
содержащихся в F.
Теорема 3. Пусть F замкнутое множество, a G открытое
ограниченное множество. Если F <^G, то mF mG.
Доказательство. Пусть А есть интервал, содержащий
множество G. Легко видеть, что Д = С + Сд/?, откуда, в силу
теоремы 3, § 1, получаем, что mA^mG^mlCkF], и дело сво-
дится к лемме.
Теорема 4. Мера открытого ограниченного множества G есть
точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств,
содержащихся в G.
Доказательство. В силу предыдущей теоремы, mG есть
верхняя граница мер замкнутых множеств F aG, и надо доказать,
что меры этих замкнутых множеств могут быть сколь угодно
близки к mG.
Пусть составляющие интервалы множества G суть (kk, рД
(k = 1, 2, ...), так что mG == v (цА _ х,;,).
Возьмем произвольное е > 0 и найдем столь большое нату-
п
ральное п, чтобы оказалось (щ — hk)>mG — .
*=• 1
' Затем для каждого k(k=\, 2.......п) найдем такой сегмент
[«а, Ра]. чтобы было
[aft, pft] с (Xk, щ), mfa*, Ра]>ш(Ха, рД-
(для чего достаточно взять такое т}*, что
0<m<min[^X у,
и положить сс* = А* Д-Ра = Ра —Ла). Положим, наконец,
п
^ = 2 [«А. Ра].
А=1
Тогда, очевидно, Fo ст G, Fo замкнуто, и
п п
mF0 = 2 (Ра - «а) > (Ра - ^а) - | > rnG - е.
А=1 А=|
Так как е произвольно мало, то теорема доказана.
Теорема 5. Мера замкнутого ограниченного множества F
есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых огра-
ниченных множеств, содержащих F.
Доказательство. Как и выше, достаточно показать, что
можно построить открытое ограниченное множество, содержащее
множество F и имеющее меру, сколь угодно близкую к mF.
63
С этой целью возьмем интервал А, содержащий множество F, и
рассмотрим открытое множество C&F. Каково бы ни было е>0,
мы можем (в силу теоремы 4) найти замкнутое множество Ф та-
кое, что Ф с СдЛ тФ > т [C&F] — е.
Положим С0 = СдФ. Легко видеть, что Go есть открытое мно-
жество, содержащее F. Вместе с тем
mG0 = mA — тФ < mA — m [С&F] 4- е = mF 4- е.
Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть ограниченное замкнутое множество F есть
сумма конечного числа взаимно не пересекающихся замкнутых
множеств
F = ^Fk (FkFk, = 0, k^k').
*=i
Тогда
mF^£ mFk.
а ।
Доказательство. Очевидно, достаточно рассмотреть слу-
чай двух слагаемых F = F14-T’2 (Л^г = 0)-
Возьмем произвольное е>0 и подберем два ограниченных
открытых множества Gx и G2 так, чтобы оказалось
G.zdF,-, mG;<mF,+ | 0 = 1, 2),
что возможно в силу предыдущей теоремы.
Положим G = Gi4-G2.
Тогда G есть открытое ограниченное множество, содержащее
множество F. Значит,
mF mG -С mGj 4- mG2 < mF2 4- mF2 4- е.
В силу произвольности е, отсюда следует, что ,
mF mFj 4- mF2. (*)
С другой стороны, в силу теоремы отделимости, существуют
такие открытые множества Вх и В2, что
В, гз F; (г =1,2), В,В, = 0.
Отметив это, возьмем произвольное е > 0 и найдем такое
открытое ограниченное множество G, что GzjF, mG <mF 4-е.
Тогда множества Bfi и B2G суть открытые ограниченные
взаимно не пересекающиеся множества, содержащие, соответст-
венно, множества F2 и F2.
Значит,
mF1 + mF2 ^т (B2G) 4-m(B2G) = m [BjG 4- S2G]
64
(здесь мы воспользовались аддитивностью меры для открытых
множеств). Но ByG + B.^ с G, откуда
mF\ 4- mF., sS mG < mF 4- е
и в силу произвольности е,
mF^mF^mF. (**)
Сопоставляя (*) и (%), получим
mF = mF± 4- mFit
что и требовалось доказать.
§ 3. Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества
Определение 1. Внешней мерой т*Е ограниченного множества Е
называется точная нижняя граница мер всевозможных открытых
ограниченных множеств, содержащих множество Е:
т*Е = inf {mG}.
Gz^E
Очевидно, для всякого ограниченного множества Е существует
внешняя мера, причем 0^т*Е <4-с°-
Определение 2. Внутренней мерой т*Е ограниченного множест-
ва Е называется точная верхняя граница мер всевозможных замк-
нутых множеств, содержащихся в множестве Е:
т^Е = sup {mF}.
FcE
Очевидно, что всякое ограниченное множество Е имеет внут-
реннюю меру, причем 0 - т Е < 4-
Теорема 1. Если G есть открытое ограниченное множество, то
m*G = m*G = mG.
Теорема вытекает из следствия теоремы 1, § 1 и теоремы 4, § 2.
Теорема 2. Если F есть замкнутое ограниченное множество, то
m'F = m*F = mF.
Теорема вытекает из следствия теоремы 2 и теоремы 5, § 2.
Теорема 3. Для всякого ограниченного множества Е
тД: ^т*Е.
Доказательство. Пусть G ограниченное открытое множе-
ство, содержащее множество Е. Какое бы замкнутое подмноже-
ство F множества Е ни взять, будет FczG и, в силу теоремы 3,
§2, tnF&zmG. Отсюда m^E^mG. Но так как это верно для
всякого открытого ограниченного множества G, содержащего Е, то
т*Е^т*Е, что и требовалось доказать.
3 и. п, Натансон 65
Теорема 4. Пусть А и В суть ограниченные множества.
Если A cz В, то
т.:А.--т,1В, т*А^т*В.
Доказательство. Оба неравенства доказываются анало-
гично. Остановимся для примера на первом из них.
Пусть А есть множество, состоящее из мер всевозможных замк-
нутых подмножеств множества А, а Т такое же множество для
множества В. Тогда /щ. Л — sup S, т ,В = sup Т.
Пусть F есть замкнутое подмножество А, тогда п подавно F
является подмножеством множества В. Отсюда следует, что S с Т,
и теорема вытекает из того известного факта, что точная верхняя
граница подмножества какого-либо множества не превосходит точ-
ной верхней границы самого этого множества.
Теорема 5. Если ограниченное множество Е есть сумма
конечного числа или счетного множества множеств Ek
Е^У\Ек, то т*Е ^^т*Ек.
k k
Доказательство. Теорема тривиальна в случае расходи-
мости ряда Ут*Еь- Предположим, что этот ряд сходится. Взяв
произвольное е;>0, мы можем найти такие открытые ограничен-
ные множества G/t, что
Gk^Ek, mGk<m*Ek+^ (/г — 1, 2, 3, ..
Назовем через А какой-нибудь интервал, содержащий множе-
ство Е. Тогда откуда, в силу теоремы 3, § 1,
k
т*Е <: т IА У Gk = т I У, AG\ У т (AGJ
|_ k I k k
у mGk < У m*Ek + е,
k k.
и теорема вытекает из произвольности числа е.
Теорема 6. Если ограниченное множество Е есть сумма
конечного числа, или счетного множества взаимно не налегающих
множеств Ek
E = ^Ek (EkEk’ = 0, k^k'),
k
mo
m.fE^^m^Ek.
k
Доказательство. Рассмотрим первые n множеств Elt E2>...
..., En. Для любого 8 > 0 существуют такие замкнутые множе-
ства Fk, что
FkC^Ek, mFk>m*Ek — ~^ (k = 1, 2, ..., п).
66
п
Множества Fk попарно не пересекаются и сумма их У, Fk
k^\
замкнута. Отсюда, применяя теорему 6, § 2, получим
т.,Е
т У Fk = У mFk
£-1
й-1
п
У т,;Ек-н.
/г-1
п
Так как б>0 произвольно, то У т^Ек^т^Е.
k— 1
Этим теорема доказана для случая конечного числа слагаемых
множеств. Если же этих множеств имеется счетное множество, то,
опираясь на произвольность числа п, мы установим сходимость
ряда и неравенство У
k- i
Легко видеть, что теорема перестает быть справедливой, если
отбросить условие отсутствия общих точек у множеств Ek. На-
пример, если Е! = [0, 1], Е2 = [0, 1], Е=Е1 + Е2, то mvE = \,
т^ + т^Е^Я.
Теорема 7. Пусть Е ограниченное множество. Если А есть
интервал, содержащий это множество, то
т*ЕА-т* [С&Е] = тА.
Доказательство. Возьмем произвольное е>0 и найдем
такое замкнутое множество F, что FaCsE, mF>[С&Е] — е.
Если мы положим G = C\F, то множество G будет открытым
ограниченным множеством, содержащим множество Е, откуда,
с помощью леммы § 2, находим
tiFE с mG == mA — mF < mA [СдЕ] + e.
Отсюда, в силу произвольности е, следует, что
m*E-[-m* [СдЕ] -С mA.
Для того чтобы получить обратное неравенство
т*Е + т* [СдЕ] Ss mA, (*)
приходится рассуждать тоньше.
Возьмем е > 0 и найдем такое открытое ограниченное множе-
ство Go, что Go гэ Е, mG6 < m*E + .
Назовем концы интервала А через А и В п построим такой
содержащийся в А интервал (а, Ь), что
Л<а<Л+4. B-F<b<B.
о и
Сделав это, положим G = AG0 + (A a)-F(b, В).
Множество G открыто, ограничено, содержит Е и таково, что
/йб<т*Е + е.
3* 67
Но кроме того (и это здесь основное) множество F = C\G ока-
зывается замкнутым, что вытекает из легко проверяемого тож-
дества F — [a, b} CG.
Так как/7 czC\E, то т*[СлЕ]^-тР = тЛ — mG^> тЛ — т*Е — е.
Отсюда, в силу произвольности е, следует неравенство (*),
а с ним и теорема.
Следствие. В обозначениях теоремы будет
т* [СдЕ] — т* [СдЕ] = т*Е — т*Е.
В самом деле, если мы переменим роли множеств Е и С&Е,
то получим, что т* [СдЕ] + т*Е = тД, откуда
т* [СдЕ] + т*Е = т*Е + т* [СдЕ],
а это равносильно доказываемому утверждению.
§ 4. Измеримые множества
Определение. Ограниченное множество Е называется измери-
мым, если его внешняя и внутренняя меры равны друг другу:
т*Е = т*Е.
Их общее значение называется мерой множества Е и обозна-
чается через тЕ:
тЕ = т*Е = т*Е.
Этот способ определения понятия меры принадлежит Лебегу,
в связи с чем иногда измеримое множество называют множеством
«измеримым в смысле Лебега», или, короче, «измеримым (Е)».
Если множество Е неизмеримо, то о его мере нельзя говорить,
и символ тЕ для нас лишен смысла. В частности, неизмеримыми
мы считаем все неограниченные множества. х)
Теорема /. Открытое ограниченное множество измеримо и
его вновь определенная мера совпадает с мерой, введенной в § 1.
Этот результат есть непосредственное следствие теоремы 1, § 3.
Точно также из теоремы 2, § 3 вытекает следующая теорема:
Теорема 2. Замкнутое ограниченное множество измеримо и
его вновь определенная мера совпадает с введенной в § 2.
Из следствия теоремы 7, § 3 вытекает:
Теорема 3. Если Е есть ограниченное множество, содержа-
щееся в интервале Д, то множества Е и С\Е одновременно
измеримы или нет.
Из сопоставления теорем 5 и 6, § 3 следует:
!) В гл XVII понятие измеримости обобщается на некоторые неогра-
ниченные множества.
68
Теорема 4. Если ограниченное множество Е есть сумма
конечного числа или счетного множества измеримых множеств,
попарно не имеющих точек,
E='^Ek (EkEk =0,
k
то множество Е измеримо и
тЕ = V mEk.
k
Доказательство вытекает из следующей цепи неравенств:
У = 2 Е<2 tn*Ek = ^mEk.
k k k k
Доказанное свойство меры называется ее полной аддитивностью.
В последней теореме существенно было, что отдельные слага-
мые попарно не пересекаются. Избавимся от этого ограничения,
пока, впрочем, для случая конечного числа сла!аемых множеств.
Теорема 5. Сумма конечного числа измеримых множеств есть
измеримое множество,
п
Доказательство. Пусть Е = У Ek, причем множества
k= 1
Ek(k=\, 2, .... п) измеримы.
Возьмем произвольное е>0 и построим для каждого k такое
замкнутое множество Fk и такое открытое ограниченное множе-
ство Gk, чтобы было
Fftc=EfeczGb mGk-tnFk<:^ (£=1,2..........п).
п п
Сделав это, положим F = G = У, Gk.
ft = l ft—I
Очевидно, что множество F замкнуто, a G открыто и ограни-
чено, и что F cz Е cz G, откуда следует, что
mF =^т*Е ^т*Е ^mG. (+)
Но множество G — F открыто (ибо его можно представить в
форме G CF) и ограничено. Значит, это множество измеримо.
Множество F также измеримо, а потому, поскольку
G = F + (G-F)
И множества F и G—F не пересекаются, можно применить пре-
дыдущую теорему, что дает mG = mF-F m(G — F), откуда
tn (G — F) = mG — mF.
Аналогично мы установим, что
m(Gk — Fk) = mGk — niFk (k = 1, 2....n).
69
Отметим теперь легко проверяемое включение
G-Fc (Gft-F*).
Все входящие сюда множества открыты и ограничены, так что,
на основании теорем § 1, мы имеем
п
in (G-F)^ ^tn(Gk- Fk),
k=i
или
n
mG — mF^^ [mGk — mFk] < e.
k=i
Отсюда и из (*) вытекает, что т^Е — т*Е < е, а так как е
сколь уюдно мало, то
т*Е = т*Е.
Теорема 6. Пересечение конечного числа измеримых множеств
измеримо.
п
Доказательство. Пусть Е = Ек, причем множества Ек
k_\
измеримы. Назовем через Л какой-нибудь интервал, содержащий
п
все множества Ek. Легко проверить, что С\Е = У, С\Ек.
Но множества C&Ek измеримы одновременно с множествами
Ек, откуда, в силу теоремы 5, следует измеримость множества С&Е,
а с ним и множества Е, что и требовалось доказать.
Теорема 7. Разность двух измеримых множеств измерима.
Доказательство. Пусть Е = ЕГ — ЕЛ, где множества Ег
и Е2 измеримы. Назовем через А какой-нибудь интервал, содер-
жащий оба множества Е± и Е2. Тогда £ = £1-Сд£2 и дело сво-
дится, к предыдущей теореме.
Теорема 8. Если в условиях теоремы 7 будет Ег дд Е2, то
тЕ = tnE-i — тЕ2.
Доказательство. Очевидно £х = Е + Е2 (££2 = 0), от-
куда, в силу теоремы 4, m£1 = m£ + m£2, что равносильно тео-
реме.
Теорема 9. Если ограниченное множество Е является суммой
счетного множества измеримых множеств, то Е измеримо.
СО
Доказательство. Пусть £ = У Ек. (
А = 1 |
Введем множества Ak(k=\, 2, ...), полагая
A1 = £i, Ла = £2 —£п •••, = Ек — (£j +...Д-Ек.Д, ...
70
co
Легко проверить, что Е = У, Ак. При этом все множества Ак изме-
k— 1
римы и попарно не пересекаются (в последнем вся суть доказа-
тельства), так что дело свелось к теореме 4.
Условие ограниченности множества Е (которое в теореме 5
выполнялось само собой) отбросить нельзя, как видно хотя бы
из примера £fe = [0, k}. где сумма У £ft = [0, -Too) неизмерима.
* = i
Теорема 10. Пересечение счетного множества измеримых мно-
жеств измеримо.
СО
Доказательство. Пусть £=p[£ft, где все множества
/г = 1
Ек измеримы. Так как Е cz £ъ то множество Е ограничено. Обо-
значим через Д какой-нибудь интервал, содержащий это множество,
и положим Ак = &Ek (k = 1, 2, 3, ...).
Тогда
СО СО оо
£ = Д£ = Д п^=П№)=Пда.
k = l /г-1 k = l
Легко проверить, что Сл,Е= У С\Ак, и дело сводится к тео-
k= 1
ремам 3 и 9.
В заключение установим две теоремы, играющие важную роль
в теории функций.
Теорема 11. Пусть множества Elt Ег, Е3, ... измеримы. Если
Е± cz Е2 а Е3 с ...
СО
и если сумма Е — У Ек ограничена, то
Л=1
тЕ = lim [т£п].
п-*со
Доказательство. Легко видеть, что множество £ можно
представить в форме
£ = £1 + (£2-£1)4-(£3-£2)4-(£4-£3) + ...,
где отдельные слагаемые попарно не пересекаются. Отсюда, в силу
теорем 4 и 8, следует, что
со со
тЕ = тЕг + У m(£fc+1-£fr)=/n£1 + У [тЕк+1-т£к].
k = l /г = 1
На основании самого определения суммы бесконечного ряда,
последнее равенство можно переписать так
тЕ= lim Imfj-T У [тЕк+1 — тЕк]\,
"-"Г й = 1 J
71
а это равносильно теореме, ибо
п- I
m£j+ У, \тЕк^х — тЕк]~тЕп.
4 = 1
Теорема 12. Пусть Elt Е>, Е3, ... суть измеримые множе-
ства, и Е = ]Д Ек. Если Et Е2 zd Е3 zj ..., то
4 = 1
тЕ = lim [тЕп].
П -• G.C
Доказательство. Эту теорему легко свести к предыдущей.
Действительно, обозначив через А какой-нибудь интервал, содер-
жащий множество Ех, мы будем иметь
со
Сд^! cz СдЕ2 cz Сд£3 cz ..., СдЕ = У СДЕА.
4 = 1
В силу теоремы 11 мы получаем, что
т {С*£')-= Нт [т (СдЕ„)],
и -* со
что можно представить и так:
т\ — тЕ = lim [mA — mE„],
n — co
a это равносильно теореме.
§ 5. Измеримость и мера как инварианты движения
Пусть даны два множества А и В, состоящие из объектов
любой природы. Если указано правило, которое каждому эле-
менту а множества А ставит в соответствие один и только один
элемент b множества В, то говорят, что установлено однозначное
отображение множества А в множество В. 11ри этом не пред-
полагается, что каждый элемент множества В оказывается соот-
несенным какому-нибудь элементу из А. Понятие отображения
есть прямое обобщение понятия функции. В связи с этим эле-
мент Ь<=В, отвечающий элементу ае/1, часто обозначают через
/(о) и пишут b-= f (и).
Если b-=f(a), то мы будем называть элемент b образом эле-
мента п, а элемент а прообразом элемента Ь. При этом один эле-
мент b может иметь несколько прообразов.
Пусть А ‘ есть часть множества Л, а В* есть множество об-
разов всех элементов А 1 (иначе говоря, если а е А \ то f (а) е В*,
и если й = то существует хоть один элемент а<=А* такой,
что f (а) =Ь). В таком случае множество В* называется образом
множества что записывают так: В* — f (А*).
При этом множество А' называется прообразом множества В*.
72
Установив эти общие понятия, перейдем к рассмотрению од-
ного важного специального вида отображений.
Определение 1. Однозначное отображение ср (х) числовой пря-
мой Z в себя называется движением, если расстояние между
образами любых двух точек прямой равно расстоянию между
самими этими точками:
I ф (*) - ф (У)! =! х - у I.
Иначе говоря, движением называется такое отображение мно-
жества Z в множество Z, которое не изменяет расстояний между
точками Z.
В определение понятия движения не включено требование,
чтобы каждая точка Z служила образом какой-нибудь точки, а
также требование, чтобы разные точки Z имели разные же образы.
Однако оба эти обстоятельства имеют место. Убедимся в этом
пока для одного из них.
Теорема /. Пусть ср (х) есть движение. Если х у, то
<р(х) ^(Не-
действительно, в этом случае 1 <р (х) — ср (у) | = | х — у [ -л 0.
Теорема 2. а) Если A cz В, то <р (Л) <= <р (В).
Ь) ф J'S = S ч> (£0
U / i.
с) ф(П^=Пф(£0
w / i.
d) Если Л пустое множество, то ср (А) = Л.
Доказательство предоставляется читателю, укажем лишь на
то, что при доказательстве с) используется теорема 1.
Легко проверить, что следующие три отображения являются
движениями:
I. <p(x) = x-}-d (сдвиг),
II. ф(х) = — х (зеркальное отражение),
III. ср(х) =— x-f-d.
Чрезвычайно важным является то, что этими тремя (собст-
венно—двумя, ибо III охватывает II) типами исчерпываются все
возможные движения в Z.
Теорема 3. Если ср (х) есть движение, то либо
ср(х) =zx-pd,
либо
<р(х) = —хДс/.
Доказательство. Положим, ср(0) = <7. Тогда для всякого х
будет | ср (х) — d | = | х | и, стало быть,
Ф(х) = (—l)u^x + d [о(х) = 0, 1].
Функция а(х) определена для всякого х 0. Нашей задачей
яется установление того, что о (х) есть постоянная величина.
73
Пусть хи// две точки, причем х 0, у 0, х # у. Тогда
ф W - Ф (У) = (- (— 1)° <«’//,
или
q>W -<р(у)=(~ 1)0(х)[х-(— W].
где р = о (у) — о (х) имеет одно из трех значений р=1, 0, — 1.
Пользуясь определением движения, можно утверждать, что
|х-(— l)vy\ = \x-y\.
Отсюда, либо х —(—1)р// = х — у, либо же х — (—1)р// =
= — х~\-у-
Но второй случай невозможен, ибо он приводит к тому, что
2х = г/[ 1 Д-(—1)р], откуда (при р = ±1) х = 0, или (при р = 0)
х = у, а это противоречит условию.
Значит, остается первый случай, который дает, что р = 0, т. е.
oW = o(j).
Значит, для всех х Ф 0 функция о (х) имеет одно и то же
значение о(х) = о (о = 0, 1), так что ср(х) = (—l)ax4-d.
Поскольку это равенство, очевидно, остается в силе и для
х = 0, теорема доказана.
Следствие. При движении каждая точка y^Z служит обра-
зом некоторой точки х Z, т. е. ср (Z) = Z.
Действительно, если <р(х) = (— l)°x + d, то прообразом точки у
служит точка х = (— 1)° (у — d).
Если ср (х) = (— 1)°х + d есть некоторое движение, то движе-
ние
Ф'Чх) = (- 1 г (X - d)
называется обратным движением. Эти два движения связаны соот-
ношениями
ср [ср’1 (х)] = ср-1[ср(х)]=х.
Иначе говоря, если точка х в движении ср имеет образом
точку у, то в движении ср 1 точка у имеет образом точку х.
Весьма важным является то, что для всякого движения сущест-
вует обратное ему движение.
Теорема 4. При движении: а) всякий интервал переходит
в интервал той же меры, причем концами интервала-образа слу-
жат образы концов интервала-прообраза;
Ь) образ ограниченного множества есть ограниченное же мно-
жество.
Доказательство. Пусть А = (а, й) есть некоторый интер-
вал. Тогда при движении ср(х)=х + с/ образом интервала А слу-
жит интервал (а 4- d, b-\-d), а при движении <р(х) = — x-\-d —
интервал (d—b, d — a). В обоих случаях пир (А) = Ь -а = т А.
Чтобы доказать Ь), обозначим через Е какое-нибудь ограничен-
ное множество. Если А есть интервал, содержащий множество Е,
то ср (£) ср (Д), так что ср (Е) ограничено. Можно рассуждать
74
и так: если для всех х из Е будет | х I < k, то для всех у из
<р(£) будет \у +
Теорема 5. При движении: а) замкнутое множество перехо-
дит в замкнутое множество-,
Ь) открытое множество переходит в открытое множество.
Доказательство, а) Пусть ф(F) есть образ замкнутого
множества F. Обозначим через какую-либо предельную точку
множества ф (F) и найдем последовательность {уп\, для которой
lim//„ = .%, ^ecp(F).
Пусть х0 = ф’1 (у0), хп = ф 1 («/„).
Тогда хп е F. Но i хп — х01 == ] уп — у0\, так что хп->х0 и, в силу
замкнутости F, х0 е F, откуда у0 = ф (х0) (= ф (F).
Значит ф (F) есть замкнутое множество.
Ь) Пусть G есть открытое множество. Положим F = CG. Тогда
F есть замкнутое множество и G-\-F = Z, G F = 0.
Отсюда, в силу теоремы 2 и следствия теоремы 3,
Ф(О)+ф(Г) = г, ф(6)-ф(Г) = о,
т. е. ф (G) является дополнением замкнутого множества q>(F) и,
стало быть, открыто.
Теорема 6. Мера открытого ограниченного множества не
меняется при движении.
Доказ ательство. Пусть G открытое ограниченное множество.
Тогда и ф(б) есть открытое ограниченное множество. Обозначим через
8k (k= 1, 2, 3...) составляющие интервалы множества G. На осно-
вании теоремы 4, составляющими интервалами множества ф (G) слу-
жат интервалы ф(б4), причем легко проверить, что этими интер-
валами исчерпываются все составляющие интервалы множества
Ф (G). Отсюда: тф (G) =_^щф (6А) = У, mbk = mG, что и требова-
k k
лось доказать.
Теорема 7. Движение не изменяет ни внешней, ни внутрен-
ней меры ограниченного множества.
Доказательство, а) Пусть Е ограниченное множество.
Взяв произвольное е>0, найдем такое открытое ограниченное
множество G, чтобы было Gt-. E, mG<Zm*E-\-e.
В таком случае ф (G) есть открытое ограниченное множество,
содержащее множество ф(£). Стало быть
т* ф (£) тф (G) = mG < т*Е 4- е.
В силу произвольности числа е, отсюда следует, что т* ф (Е)
^т* Е, так что при движении внешняя мера ограниченного
множества не увеличивается. Но тогда она и не уменьшается,
ибо иначе обратное движение привело бы к увеличению внешней
меры.
Итак:
т* ф (£) = т*Е.
75
b) Обозначим через Л какой-нибудь интервал, содержащий
множество Е. Тогда <р (А) есть интервал, содержащий множество
ф(Е). Положим, далее, Л = СдЕ.
Соотношения ЕДЛ-^Д, ЕА = 0 дают, что
Ф(Е) + ф(Л) = ф(Л), ф(Е) ф(Л) = 0,
так что ф (Е) есть дополнение множества ф (Л) относительно интер-
вала ф(Д). Отсюда, в силу теоремы 7, § 3,
т ф (Л) + in t ф (Е) = тер (А)
и, на основании уже доказанной части теоремы и теоремы 4,
т* А + т I. ф (Е) = mA.
Значит т* ф (Е) = mA — mA (С±Е), и снова применяя теорему 7,
§ 3, мы находим, что
щ*Ф(Е) = Щ( Е.
Следствие. При движении измеримое множество переходит
в измеримое множество той же меры.
Определение 2. Множества 4 и В называются конгруэнтными,
если существует движение, в котором одно из них переходит в другое.
С помощью этого термина доказанные результаты можно выска-
зать в такой форме.
Теорема 8. Конгруэнтные множества имеют одинаковые
внешнюю и внутреннюю меры Множество, конгруэнтное измери-
мому множеству, измеримо и имеет ту же меру.
§ 6. Класс измеримых множеств
В §§ 4 и 5 мы изучали свойства самих измеримых множеств,
здесь же мы остановимся на некоторых свойствах всего класса
измеримых множеств.
Теорема 1. Всякое ограниченное счетное множество измеримо
и мера его равна нулю.
Доказательство. Пусть ограниченное множество Е состо-
ит из точек v,, л2, л'3,. .
Обозначим через Е/ одноэлементное множество, состоящее из точ-
ки Xk- Очевидно Ek есть измеримое множество меры нуль, и тео-
СО
рема следует из равенства Е= У} Е* и теоремы 4, § 4.
fe I
Как показывает пример канторова совершенного множества Ро,
доказанная теорема не допускает обращения.
Определение 1. Если множество Е представимо в форме суммы
счетного множества замкнутых множеств
то говорят, что Е есть множество типа Fa.
76
Определение 2. Если множество £ представимо в форме пере-
сечения счетного множества открытых множеств
£= Ц Gk,
k= i
то говорят, что £ есть множество типа G&.
Из теорем 9 и 10, § 4 следует
Теорема 2. Всякое огпаниченное множество типа Fa или типа
G& измеримо.
Доказательство. Относительно множества типа £о это
очевидно, ибо из ограниченности суммы множеств вытекает ограни-
ченность слагаемых, а так как последние замкнуты, той измеримы.
Если £ есть ограниченное множество типа Gg, то, обозначив че-
рез Д какой-нибудь интервал, содержащий множество £, мы смо-
жем представить £ в форме пересечения измеримых множеств £ =
= II после чего измеримость множества £ становится оче-
А — 1
ВИДНОЙ.
Определение 3. Если множество £ может быть получено, ис-
ходя из замкнутых и открытых множеств, с помощью применения
конечного числа или счетного множества операций сложения и
пересечения, то множество £ называется борелевым множеством.
Ограниченное борелево множество называется измеримым (В).
Например, множества типа Fo и типа G^ суть борелевы мно-
жества.
Рассуждая как при доказательстве теоремы 2, установим, что
верна следующая теорема.
Теорема 3. Множество, измеримое (В), измеримо (L).
Обратная теорема неверна: существуют примеры множеств из- •
меримых (L) и неизмеримых (В). Первый эффективный пример
такого множества был построен безвременно умершим московским
математиком М. Я. Суслиным (1894— 1919). Суслин открыл чрез-
вычайно важный и обширный класс так называемых Л-множеств,
каждое из которых (при условии ограниченности) измеримо (L).
Этот класс содержит в себе класс всех борелевых множеств , но су-
щественно шире его.
Интересно выяснить, существуют ли вообще ограниченные
множества, неизмеримые (L)? Прямым счетом этого вопроса
решить нельзя, как показывает следующая теорема.
Теорема 4. Множество М всех измеримых множеств имеет
ту же мощность, что и множество всех точечных множеств,
т. е. 2е.
Доказательство. Прежде всего ясно, что Л4-:2С.
С другой стороны, возьмем какое-либо измеримое множество £
меры нуль и мощности с (например, канторово множество Plt) и
обозначим через S множество всех его подмножеств. Так как
77
всякая часть множества меры нуль также имеет внешнюю меру нуль
и, стало быть, измерима, то S сЛ4, а поскольку S = 2C, то ясно,
что Л1 2б.
Теорема доказана.
Тем не менее, имеет место следующая теорема.
Теорема 5. Существуют ограниченные неизмеримые множества.
Для доказательства этого факта приведем следующий пример.
Пример неизмеримого множества. Разобьем все точки сегмента
[—1/2, -ф1/2] на классы, относя две точки х и у в один класс,
тогда и только тогда, когда разность их х — у есть число рацио-
нальное Это можно сделать следующим образом’ соотнесем каж-
дой точке xg f—1/2, -ф 1/2] класс К (х), состоящий из тех точек
сегмента [—1/2, -ф 1/2], которые имеют вид х-^-r, где г —рацио-
нальное число. В частности х е К (х).
Покажем, что различные1) классы К (х) и К (у) не пере-
секаются между собою. Действительно, предположим, что они
пересекаются и пусть z = K(x)/((i/) Тогда z = хф-гх — у4-гу,
где щ и г, рациональные числа, откуда у = х-[- гх — гу.
Теперь, если t <= К (у), то
t = У + г = х + (гл - гу + г) = х + г',
так что / еК(х) и К (у) <= К (х). Аналогично мы установим, что
А (х) а К (у) и тогда окажется, что К (х) = К (у), т. е. К (х) и
К (у) представляют собою один и тот же класс, вопреки предпо-
ложению, что это различные классы.
Множество всех построенных таким образом классов и дает
нам требуемое разбиение.
Сделав это, выберем из каждого класса по одной точке и
обозначим через А множество выбранных точек.
Множество А неизмеримо.
Чтобы доказать это, перенумеруем все рациональные точки
сегмента [—1, +1]:
го = 0, гп г2, г3, ...
и обозначим через Ak множество, получаемое из множества А
сдвигом
(х) = х + гА.
(Иначе говоря, если леЛ, то х-ргке А*, и если хеА„, то
х-r* е= А).
В частности, А0 = А. Все множества А* конгруэнтны друг
с другом, а потому (теорема 8, § 5)
m*Ak = т*А=а, т*А/г = т*А =р (& = 0, 1, 2, ...).
Ч «Различные» в смысле теории множеств, г е такие, что К (х) -с- К(у).
Напротив, вполне возможно, что К (л) -- К (у), хотя хтьу, и тогда ути классы
не различны.
78
Убедимся, что
₽>0.
0)
Для этого заметим, что
(2)
П ” Г 1 I 1 1
Действительно, если х>=1— 2~, Д- , то х попадает в один
из классов произведенного выше разбиения. Если представитель
этого класса в множестве А есть х0, то разность х~х0 есть число
рациональное и притом, очевидно, принадлежащее сегменту
[—1, +1], откуда х —х„ = rk и Итак, (2) доказано.
Но тогда (теорема 5, § 3)
откуда и следует (1).
С другой стороны, легко показать, что
а = 0. (3)
Для этого прежде всего убедимся, что при п^п
АпАт = 0. (4)
В самом деле, если бы точка z входила в АпАт, то точки
xn = z — rn, хт = г—гт были бы (очевидно, различными) точками
множества А, т. е. представителями двух различных классов,
чего быть не может, ибо их разность — х,п= гт— гп есть число
рациональное. Итак, (4) доказано.
С другой стороны, легко видеть, что при любом k
+s]
(ибо, если xt—Ab, то x = x0-)-rft, где |X0[sg 1/2, | rk I 1), так
что
Из (5) и (4), в силу теоремы 6, § 3 следует, что
79
откуда
а + а 4- а 4-... 3 и а = 0.
Сопоставляя (1) и (3), получим т^А < т*А, что и доказы-
вает неизмеримость множества А.
Замечание. Если бы мы с самого начала разбили на классы
не регмент [—1/2, 4-1/2], а произвольное измеримое множество Е
положительной меры, то, буквально повторяя проведенное рас-
суждение, пришли бы к неизмеримому множеству A cz Е. Итак,
всякое множество положительной меры содержит неизмеримую
часть.
§ 7. Общие замечания о проблеме меры
Отрицательный результат, полеченный в конце § 6, наводит на мысль,
что самое мероопределение Лебега плохо, и приводит к естественному воп-
росу, нельзя ли как либо улучшить его.
Для ответа на этот вопрос прежде всего нужно точно сформулировать
проблему, которую желательно разрешить.
Задачу измерения точечных множеств можно ставить двумя способами.
I. Трудная задача теории измерения. 1) Требуется каждому ограниченному
множеству Е приписать неотрицательное число р.Е—его меру, так, чтоСы
были удовлетворены следующие требования:
1. Если Е = [0, 1], то рД = 1.
2. Если множества А и Д конгруэнтны, то рА =
3. Если множество Е есть сумма конечного чи^ла или счетного множе-
ства взаимно не налегающих множеств £\ (£=1, 2, 3, .. ), то
|1Е=2ц£)( (полная аддитивность меры),
k
Мы сформулировали задачу для случая множеств линейных, т. е. для
одномерного пространства Rv Ее можно было бы поставить и для плоскости
₽2 и вообще для «-мерного пространства Rn, только в требовании 1 нужно
было бы говорить не о сегменте [0, 1], а о квадрате [0, 1; 0, 1] или вообще
об «-мерном единичном кубе.
Однако легко показать, что справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Трудная задача теории измерения неразрешима даже в прост-
ранстве Rt.
Доказательство. В примере неизмеримого множества, приведенном
в § 6, мы построили взаимно не налегающие и попарно конгруэнтные множе-
ства Ло, Лх, Д2, ... такие, что
k = 0
Если бы трудная задача измерения была разрешима, то оказалось бы,
что
и “ 11 + 2 ] И [~ 2 ’ + 2 ] ‘
А=0
*) Термины «трудная», «легкая» задачи измерения не являются общепри-
нятыми. Я ввожу их лишь для краткости формулировок, хотя и не считаю
вполне удачными.
80
Но сегмент [—1/2, +1/2] конгруэнтен сегменту [0, 1], кроме того (для
любого k)
рД/г=рД -~а
и, наконец, множество [—3/2, +3/2] ограничено, откуда
1 - ст + ст + ст +... < + со,
что невозможно ни при ст > 0, ни при ст = О.
Теорема доказана.
В связи с этим ставится
II. Легкая задача теории измерения, которая формулируется почти так
же, как и трудная задача, с тем единственным отличием, что требование 3
ставится только для случая конечного числа слагаемых множеств, т. е.
вместо полной аддитивности меры требуется лишь конечная ее аддитивное! ь.
Относительно этой задачи мы приведем без доказательства следующие
результаты.
Теорема 2 (С. Банах). Легкая задача теории измерения разрешима для
пространств Rr и R±. но не единственным образом.
Теорема 3 (Ф. Хаусдорф). Для пространства Rn, где п^З, легкая
задача теории измерения неразрешима.
Различие между этими результатами объясняется тем, что понятие кон-
груэнтности, входящее в формулировку задачи, существенно связано с поня-
тием движения. Так как в пространстве с большим числом измерений группа
движений гораздо обширнее, то вполне естественно, что создать инвариант
такой группы труднее.
В заключение приведем некоторые соображения , до известной гдепени
«оправдывающие» мероопределение Лебега.
Пусть мы имеем некоторое решение легкой задачи теории измерения.
Тогда из соотношения А сВ вытекает, что рД рВ (принцип монотонности),
ибо рВ = рД + р (В —Д). Отсюда сразу следует, что мера рЕ всякого мно-
жества Е, состоящего только из одной точки, равна нулю, ибо на сегменте
]0, 1] можно указать сколь угодно большое число «множеств», конгруэнтных Е.
В свою очередь, отсюда вытекает, что мера р любого конечного множе-
ства равна нулю, а также что р (а, 6) = р(а, 6]=р [а, 6) = р(а, 6].
Далее, соотношение
показывает, что
откуда ясно, что мера р сегмента [а, 6] с рациональной длиной равна b — а.
Пользуясь принципом монотонности, легко установить, что равенство р[а, Ь] =
= Ь — а верно для любого сегмента [а, £>].
Но тогда ясно, что для любого открытого ограниченного множества G
с конечным числом составляющих интервалов будет pG = mG, если же состав-
ляющих интервалов счетное множество, то u/GcmG.
Наиболее естественными способами решения легкой задачи теории изме-
рения будут те способы, при которых мера р открытого ограниченного мно-
жества G равна сумме длин его составляющих интервалов (из сказанного
выше- ясно, что достаточно потребовать лишь того, чтобы было рб' У р<+
k
и то только для случая бесконечного множества интервалов). Из доказательства
теоремы Банаха можно усмотреть, что такие способы решения действительно
существуют (таким образом, мы принимаем это без доказательства). Если мы
назовем такие способы «регулярными», то легко докажем следующую теорему.
81
Теорема 4. При всяком регулярном способе решения легкой задачи теории
измерения мера рЕ измеримого множества Г. равна его лебеговой мере тЕ.
Доказательство. Из определения регулярного способа ясно, что
мера pG открытого множества G равна его лебеговой мере mG Но тогда для
всякого замкнутого ограниченного множества F также будет pF = mF.
Если теперь ограниченное множество Е содержит замкнутое множество F
и содержится в открытом ограниченном множестве G, то, в силу принципа
монотонности, rnFpFniG, откуда т.*Е ~. р£ т* Е и теорема доказана.
§ 8. Теорема Витали
Определение. Пусть Е есть точечное множество, а М — неко-
торая система (не вырождающихся в точки) сегментов. Если для
всякой точки х е Е и любого е> О существует такой сегмент
что x(=d, md<Ze, то мы будем говорить, что множе-
ство Е покрывается системой М в смысле Витали.
Иначе говоря, множество Е покрыто в смысле Витали систе-
мой Л1, если всякая точка Е содержится в сколь угодно малых
сегментах этой системы.
В теории функций многочисленные приложения имеет следую-
щая теорема.
Теорема 1 (Д. Витали). Если ограниченное множество Е
покрыто в смысле Витали системой сегментов М, то из послед-
ней можно выделить такое конечное или счетное множество сег-
ментов {dk}, что
dkd, = 0 (k # z), шИЕ—5^4 = О-
I k
Иначе говоря, сегменты dk попарно не пересекаются и покры-
вают множество Е с точностью до множества меры нуль.
Мы изложим принадлежащее С. Банаху доказательство этой
замечательной теоремы.
Доказательство. Возьмем какой-нибудь интервал А, содер-
жащий множество Е (оно ограничено!), и удалим из М те сегменты,
которые не содержатся целиком в Л. Легко понять, что система М „,
состоящая из оставшихся сегментов (т. е. тех сегментов исходной
системы М, которая целиком содержится в А) также покрывает
множество Е в смысле Витали.
Заметив это, возьмем какой-нибудь сегмент е Мо. Если
Е с dlt то вопрос исчерпан. В противном случае, мы будем про-
должать выделять из Ми один сегмент за другим, руководствуясь
следующим правилом. Пусть сегменты
dt, d.,, ..., dn (1)
п
уже построены и попарно не пересекаются. Если Е с: У, dk, то
А = 1
процесс выделения сегментов закончен н теорема доказана. Если же
Е - £ о, (2)
k-1
82
rt
то положим Fn = У, dk, Gn = A — Fn и рассмотрим все те сегменты
4 = 1
системы Мо, которые содержатся в открытом множестве G„. В силу
(2) такие сегменты заведомо существуют и их длины ограничены
(хотя бы числом mA). Обозначим через kn точную верхнюю границу
длин этих сегментов и обозначим через г/Лт1 тот из них, для
которогог)
md;i+1 > у kn. (3)
Ясно, что сегмент dn^ не пересекается ни с одним из сегмен-
тов (1).
Если процесс построения сегментов dlt d2, da, ... не обрывается
после конечного числа шагов (в каковом случае доказательство
было бы завершено), то он приводит к последовательности
<А, d2, da, ... (4)
попарно не пересекающихся сегментов. Мы покажем, что это и
есть искомая последовательность, т. е. что
т* (Е — S) = 0, (5)
ОО
где S = У dk.
k = 1
С этой целью построим для каждого k сегмент Dk, имеющий
ту же середину, что и сегмент dk, но в пять раз большую длину,
mDk = 5mdk. Легко видеть, что
У mDk < + со. (6)
4 = 1
Действительно, сегменты dk не пересекаются и содержатся в А,
так что
^mdk^mb, (7)
4 = 1
откуда и следует (6).
Поэтому для доказательства соотношения (5) дошаточно обна-
ружить, что при любом i будет
E-Sc £ ZV
4=1
(8)
Пусть х <= Е — S. Тогда .re G, и (поскольку G, открыто) суще-
ствует такой сегмент d системы А40, что xedczG,.
Однако не может оказаться, чтобы при всех п было
d cz Gn,
(9)
х) Так как сегменты системы М не вырождаются в точки, то kn > 0.
83
ибо отсюда следовало бы, что при всех п
md -sk„<Z 2md„+1,
а это невозможно, так как [в силу (7)] mdn-+0. Значит, при не-
которых п соотношение (9) не выполняется, а выполняется, стало
быть, соотношение
d-Fn^0. (10)
Мы будем считать, что п есть наименьшее из чисел, удовлетво-
ряющих соотношению (10). Так как d • Ft = 0, а Л cfa с...,
то ясно, что n>i.
Из определения п вытекает, что d-Fn j = 0, а отсюда, в свою
очередь, проистекают два следствия: во-первых,
d-dn^Q, (11)
а во-вторых, d с: Gn-1 и, стало быть,
md-^: /гпЛ < 2mdn. (12)
Но из (11) и (12) с очевидностью следует, что dczDn и, тем
со со
более, d cz У, Значит, х <= У Dk, откуда следует (8), и тео-
k=i k=i
рема доказана.
В приложениях иногда бывает полезна несколько измененная
форма теоремы Витали.
Теорема 2 (Д. Витали). В условиях теоремы 1, для всякого
е > 0 существует конечная система dlt d2, , dn взаимно не на-
легающих сегментов системы М, для которой
гп*(е- У dk\ < е.
\ А=1 /
Доказательство. Обозначим через Д какой-нибудь интер-
вал, содержащий множество Е, и выбросим из М все сегменты,
которые не содержатся в интервале Д. Если оставшаяся система
есть Л1п, то, очевидно, она также покрывает множество Е в смысле
Витали. Применим теорему 1 к системе Мп и построим систему
{dk\ взаимно не налегающих сегментов системы Л40, для которой
Если система конечна, то теорема доказана. Если же эта
система бесконечна, то, очевидно, У sg mA и можно найти
k= i
оо
столь большое п, что У mdk<ze.
84
Но легко видеть, что
Е- £ dkci Е — dk + £ dk,
k=l k = l J А — л 4~ 1
(13)
откуда
ибо внешняя мера первого слагаемого правой части (13) равна
нулю.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ш
Доказать, что:
1. В каждом совершенном множестве есть совершенное подмножество
меры нуль.
2. Если А измеримое множество положительной меры, то в нем сущест-
вуют такие точки х и у, расстояние между которыми рациональна
3. Для измеримости ограниченного множества Е необходимо и достаточно,
чтобы для всякого е > 0 существовало такое замкнутое множество F cr Е, что
т'(£ -- А) < к (Признак Валле-Пуссена.)
4. Для каждою ограниченного множества Е можно построить такие мно-
жества А и В, что А с: Е с В, А типа Fa, В типа 6’g и тА=т^Е, тВ—т*Е.
5. Если А и В два измеримых множества без общих точек, то для любого
множества Е будет
m’ [Z? (,4Н-В)] = пг* (ЕА)+т* (ЕВ), mt [Z? (Д + В)] = т* (EA)+mt (ЕВ).
6. Для того чтобы ограниченное множество Е было измеримо, нео (ходимо
и достаточно, чтобы для любого ограниченного множества А было т* А =
^т‘ (АЕ)-\-тл (А СЕ) (признак Каратеодори).
7. Множество Е называется нигде не плотным, если любой интервал со-
держит точки множества СЕ'. Построить нигде не плотное ограниченное совер-
шенное множество положительной меры.
8. Построить содержащееся в U = [0, 1] измеримое множество Е так,
чтобы для любого интервала А с (7 было т (Л • £) > 0, т (А СЕ) > 0.
9. Если Е= У Ек, Е3 с: Е2 с: Е3 с ... и Е ограничено, то при п—>оо
будет т*Еп^т*Е.
10. При всяком способе решения легкой задачи теории измерения мера
ограниченного счетного множества равна н\лю.
ГЛАВА IV
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Определение и простейшие свойства
измеримой функции
Если каждому х из множества Е поставлено в соответствие
некоторое число /(х), то мы будем говорить, что на множестве Е
задана функция f(x). При этом мы допускаем и бесконечные зна-
чения функции, лишь бы они имели определенный знак, т. е. вво-
дим «несобственные» числа —со и 4-ос. Эти числа связаны между
собой и с любым конечным числом а неравенствами
— оо<а<4~ос,
и мы устанавливаем для них следующие законы действий:
-f- co de а = -f- со, оо 4* (4~ со) = 4~ оо, оо — ( — со) = со,
— со±а= — оо, — оо-|-(—оо) = — оо, — оо — (оо) = — оо,
| оо [ = | — оо । = + оо, -)-оо а = а (4~оо) = 4-оо,
— оо-а = а-(—оо) =—со, если а>0,
4-оо.ц = а (4-ис)= — со,
— со-а = а-(—со) =4-со, если а < О
О (± co) = (de оо) -0 = 0,
(4- со) (4- сю) = (— оо) • (— оо) = 4- оо,
(4-со) (— оо) = (— со)-(4- со)= -оо,
Здесь а обозначает вещественное конечное число. Символы
4-со-(4-со), —со —(—со), 4-оо4-(—о_), — сю 4" (4- со).
± со а
± со ’ О
мы считаем лишенными смысла. *)
Имея дело с функцией /(х), заданной на множестве Е, мы
будем символом
E(f> а)
!) Обычно символам 0(± ос) и (1 ос) 0 также не приписывают смысла.
Нам кажется более удобным считать их равными нулю.
86
обозначать множество тех х из множества Е, для которых выпол-
нено неравенство f(x)'_>a.
Аналогичным образом вводятся символы
Е a), E(f = a), E(f-^a), E(a<zf-^b)
и т. п. Если множество, на котором задана функция f(x), обо-
значено какой-либо другой буквой, например А или В, то мы
соответственно будем писать
A(f>a), B(f>a)
и т. и.
Определение 1. Функция f(x), заданная на множестве Е, назы-
вается измеримой, если измеримо это множество Е и если при
любом конечном а измеримо множество
E(f>a).
В связи с тем, что здесь речь идет о множествах, измеримых
в смысле Лебега, часто (желая подчеркнуть именно это обстоя-
тельство) говорят об измеримой (L) функции. Если же Е и все
множества Е (J > а) измеримы (В), то и / (х) называется измеримой
(В) функцией.
Теорема 1. Всякая функция, заданная на множестве меры
нуль, измерима.
Это утверждение очевидно.
Теорема 2. Пусть f (х) есть измеримая функция, заданная
на множестве Е. Если А есть измеримое подмножество Е, то
f(x), рассматриваемая только для х^А, измерима.1)
Действительно, A(f>a) = A E(j>a).
Теорема 3. Пусть f (х) задана на измеримом множестве Е,
представимом в форме суммы конечного числа или счетного мно-
жества измеримых множеств Ek-
E = £Ek.
‘г
Если f (х) измерима на каждом из множеств Ек, то она изме-
рима и на Е.
В самом деле, Е (f > а) = Ek(f>a).
1г
Определение 2. Две функции f (х) и g(x), заданные на одном
и том же множестве Е, называются эквивалентными, если
тЕ (f-£g) = 0.
Обозначать эквивалентность функций f(x) и g (х) принято так:
g(x).
*) Вместо этого, несколько громоздкого, способа речи мы б^дем говорить,
что /(х) измерима на множестве Д.
87
Определение 3. Пусть некоторое обстоятельство S имеет место
для всех точек какого-нибудь множества Е, кроме точек, входящих
в подмножество Еи множества Е Если тЕ„ = 0, то говорят, что S
имеет место почти везде на множестве Е, или почти для всех
точек Е.
В частности, множество исключительных точек Еи может быть
и пустым.
Теперь можно сказать, что две функции, заданные на множе-
стве Е, эквивалентны, если они равны почти везде на Е.
Теорема 4. Если f (х) есть измеримая функция, заданная на
множестве Е, a g (х) ~ / (х), то g(x) также измерима.
Доказательство. Пусть A = E(j^g), В — Е — А. Тогда
тА = 0, так что В измеримо. Значит функция f(x) измерима на
множестве В. Но на множестве В функции f(x) и g(x) неотли-
чимы, так что и g (х) измерима на В. Поскольку g(x) измерима
и на Л (ибо тЛ = 0), она измерима на Е = А-\-В.
Теорема 5. Если для всех точек измеримого множества Е
будет f(x)=c, то функция f (х) измерима.
Действительно,
Е, если а <. с.
О, если аЭгс.
Е (ф>а)=1
Заметим, что в этой теореме с может быть и бесконечным.
Функция f(x), заданная на сегменте [а, Ь], называется сту-
пенчатой, если [а, £>] можно разложить точками
Од — a с1 <-С с2 сг1 — b
на конечное число частей, внутри которых (т. е. в интервалах
(сь <+i) при k = 0, 1, ..., /2 — 1) функция/(х) постоянна. Легко
понять, что из теоремы 5 вытекает
Следствие. Ступенчатая функция измерима.
Теорема 6. Если f(x) есть измеримая функция, заданная на
множестве Е, то при любом а измеримы множества
E(f^a), E(f = a), E(f^a), E(f<a).
Доказательство. Легко проверить, что
СО
Е (t а) = Д Е [f > а - ,
п = I
откуда следует измеримость множества Е ( f Ssa ). Измеримость про-
чих множеств вытекает из соотношений:
Е (f = a) = E(f^a)-E(f>a), E(f^a) = E-E(f>a),
E(J<a) = E-E(f^a).
Замечание. Легко показать, что если хоть одно из множеств
E(f^a), E(f^a), E(f<a) (1)
83
оказывается измеримым при всяком а, то функция f(x) измерима
на множестве Е (которое также предполагается измеримым).
Действительно, тождество Е (/> а) = а 4- показы-
п — I
вает, например, что / (л) измерима, если измеримы все множества
£(/>а). Сходным образом устанавливаются и остальные утвер-
ждения. Таким образом, в определении измеримой функции можно
заменить множество Е([>а) любым из множеств (1).
Теорема 7. Если функция f(x), заданная на множестве Е,
измерима, a k конечное число, то измеримы и функции 1) f(x) -}-k,
2) kf(x), 3) |/(л)(', 4) /2(.г), и если /(х) # 0, то измерима и функ-
ция 5)
Доказательство. 1) Измеримость функции f(x)-\-k выте-
кает из соотношения Е (/ + k> а) = Е(f >a — k).
2) Измеримость функции kf (х) при k = Q следует из теоремы 5.
Для прочих k измеримость следует из очевидных соотношений
ч-f E(f>a/k), если А>0,
° ( E(j<_a/k), если k <0.
3) Функция | f (х)) измерима потому, что
E(]f\
-f Е’
E(f>a) + E(f<-a),
если ас О,
если а - 0.
4) Аналогично, из того, что
Е(Р>а) =
Е,
E(\f\>Va),
если а < 0,
если a 3s 0,
вытекает измеримость функции f2 (х).
5) Наконец, при f(x)^O имеем
/ 1 > \E(f- >0), если а = 0,
ЕД>0/ = E(f- > 0) £ (/< 1/а), если а> 0,
E(f^ >0) + £((<0) E(f< Z 1/а), если а<0,
откуда и следует измеримость
Теорема 8. Функция /(х), заданная и непрерывная на сег-
менте £ = [А, В], измерима.
Доказательство. Прежде всего установим, что множество
F = Е (f а)
замкнуто. Действительно, если х0 есть предельная 'точка этого
множества и хп-*х0 (x„^F), то f(x„)xa и, в ситу непрерывно-
сти l(x), будет /(х0)=£са, т. е. xQ^F, что и устанавливает замк-
нутость множества F.
89
Но тогда множество £(/>а) = £-£(/<й) измеримо, и тео-
рема доказана.
Из самого определения измеримой функции следует, что функ-
ция, заданная на неизмеримом множестве, неизмерима.
Однако легко обнаружить существование неизмеримой функции,
заданной на измеримом множестве.
Определение 4. Пусть Л1 есть подмножество сегмента Е =
= [А, В]. Функция фм(х), равная единице на множестве М и нулю
на множестве £ — М, называется характеристической функцией
множества М.
Теорема 9. Множество М и его характеристическая функ-
ция <рд1 одновременно измеримы или нет.
Доказательство. Если функция <рЛ1 (х) измерима, то
измеримость множества М вытекает из соотношения
М = Е(ФЛ1>О).
Обратно, если М есть измеримое множество, то соотношения
Е (<рЛ1 >а) —
О, если а 1,
М, если ОгСаС 1,
Е, если а < О,
устанавливают измеримость функции флДх).
Отсюда, между прочим, весьма просто получаются примеры
разрывных измеримых функций.
§ 2. Дальнейшие свойства измеримых функций
Лемма. Если на множестве Е заданы две измеримые функции
f (х) и g(x), то множество E(fz>g) измеримо.
Действительно, если мы перенумеруем все рациональные числа
гг> г3, > то легко проверим справедливость соотношения
E(f>g)~ E(f>rk)E(ig<rk),
k = i
откуда и следует лемма.
Теорема 1. Пусть f (х) и g(x) суть конечные измеримые
функции, заданные на множестве Е. Тогда измерима каждая из
функций 1) /(x)-g(x), 2) /(x)-)-g(x), 3) f(x) g(x), и если
> (х)
g (х) =т^ 0, то измерима также функция 4) .
Доказательство. 1) Функция a-f-g(x) измерима при лю-
бом а. Значит (на основании леммы), множество Е (f>a + g) изме-
римо, а так как Е (f — g > а) —Е (/> tz-|-g), то измерима функ-
ция /(x)-g(x).
2) Измеримость суммы f (х)-|-g (л) следует из того, что
f(*) + gW = Kx) -I -£(х)1.
90
3) Измеримость произведения f(x)g(x) вытекает из тождества
И*)£(*) = ф {I/ W + s WP- Р W-gWF}
и теоремы 7, § 1.
,, тт f (*)
4) Наконец, измеримость частного -ф-т есть следствие тожде-
S\x)
ства
= f (х). 1
g(x) g(x}-
Эта теорема показывает, что действия арифметики, будучи при-
менены к измеримым функциям, не выводят нас за пределы этого
класса функций. Следующая теорема устанавливает сходный ре-
зультат относительно уже не арифметической операции — предель-
ного перехода.
Теорема 2. Пусть на множестве Е задана последовательность
измеримых функций f} (х), fi(x), ... Если в каждой точке х<=Е
существует (конечный или бесконечный) предел
F(x)= lim ftl(x),
п -* со
то функция F (х) измерима.
Доказательство. Фиксируем произвольное а и введем
в рассмотрение множества
А^ = Е^>а + ^\, А**».
k = п
Эти множества, очевидно, измеримы, и для доказательства
теоремы достаточно проверить, что
E(F>a)= £
п, т
Займемся же проверкой этого тождества.
Пусть х0 е Е (F >а), тогда F (х0) > а, и
ральное т, что F (х0) >• аф- ]/т. Поскольку
найдется такое п, что при k^n будет
найдется такое нату-
же fk(x)-+F(x0), то
fk (х0) > а ф- .
Иначе говоря, х0 е А™’ при всех k уп, а тогда х() е Вт} и тем
более г(|е V Вт\ Отсюда следует, что Е (F>a) cz У
tn п, т
Теперь остается установить обратное включение
£ Вт’cz Е (F >а), (*)
Л, Ш
и теорема будет доказана.
91
Пусть х0<= У, Вт}. Тогда при некоторых фиксиро-
л, т
ванных пит. Это значит, что хое А(т для k^n. Иначе говоря,
при k r^n будет fk (хп) >а+ \/т.
Устремляя k к бесконечности и переходя в последнем нера-
венстве к пределу, получим, что F(x0)^a+1/гп, откуда ясно,
что F(x0)>a, т, е. xu^E(F>a). Этим и доказано включение (т).
Доказанная теорема допускает следующее обобщение.
Теорема 3. Пусть на множестве Е заданы измеримые функ-
ции /i(x), fz(x), ...и некоторая функция F (х). Если соотношение
lim fn(x) — F(x) . (a)
п -+ со
выполняется почти везде на Е, то функция F (х) измерима.
Доказательство. Обозначим через А множество тех точек
хе £, в которых соотношение (а) не имеет места (в этих точках
предела ИтДДх) может вовсе не существовать). По условию,
mA =0 и F (х) измерима на множестве А. По теореме 2 она
измерима и на множестве Е — А, а тогда она измерима на всем
множестве Е.
§ 3. Последовательности измеримых функций.
Сходимость по мере
В этом параграфе нам придется рассматривать множества вида
E(\f-g\^o), Е (\f-g\<ci), гце f(x) и g(x) суть функции,
заданные на множестве Е, а о некоторое положительное число.
При этом точки, в которых обе функции /(х) и g (х) принимают
бесконечные значения одного знака, строго говоря, не входят ни
в одно из этих множеств, поскольку в этих точках разность
/(х) — g (х) лишена смысла. Так как указанное обстоятельство
представляет известные неудобства, то мы раз и навсегда условимся
эти точки относить к множеству Е (— g 15== о). х) При таком
соглашении, очевидно
E = E(\f-g\^o) + E(\f-g\<o)
и слагаемые правой части не пересекаются.
Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е
задана последовательность измеримых и почти везде конечных
функций /Дх), /, (х), /э (х), .... которая почти во всех точках Е
х) Это соглашение имеет довольно случайный характер. Но так как
в дальнейшем мы рассматриваем только почти везде конечные функции, а мно-
жества E(,f-~gJS^a) будут интересовать нас только с точки зрения их
меры, то в конце концов безразлично, как поступить с множеством
Е (f=± са) + Е (g = ± оо),
ибо мера его равна нулю.
92
сходится к почти везде конечной функции f(x). Тогда, каково бы
ни было а > 0, будет
lim [тЕ (\fn-f | 250)] = О.
fl —* СО
Доказательство. Отметим прежде всего, что в силу тео-
ремы 3, § 2, предельная функция /(х) также измерима и, стало
быть, измеримы те множества, о которых идет речь.
Положим
Д = £(|Ц = + оо), Дп=Е(|М= + М> B = £(fZI не->/)
ОО
Q = А Ц- У Дп + В.
Н = 1
Очевидно,
mQ = O. (1)
Пусть, далее,
С© ©о
£Иа) = £(|^-П^о), Rn(a)= 2 £Ио),
k = п п = I
• Все эти множества измеримы.
Так как (о) дэ У?2 (а) гэ /?3 (ст) о ..., то, в силу теоремы 12,
§ 4, гл. Ill, при я->сю будет
mRn (о) -> тМ. (2)
Убедимся в том, что
М cz Q. (3)
В самом деле, если xog=Q, то lim Д (х0) — f(xa), причем все
ft-
числа fl(х0), (2(х(|), ... и их предел f(xa) — конечны. Значит, най-
дется такое п, что для k^n будет , fk (х0) — f (х0)1 < о.
Иначе говоря, х0е£*(о) (k^п), а потому х0 <= А\ (о) и тем
более хоеМ, откуда и следует (3).
Но тогда, в силу (1), тМ = 0, и (2) принимает вид
т/?„(о) -» 0. (4)
п — оо
Этим и доказана теорема, ибо £„ (о) с: Rn (о).
Замечание. Отметим, что нами установлен результат (4), более
сильный, чем то, что мы хотели доказать. Ниже, при доказатель-
стве теоремы Д. Ф. Егорова, нам придется воспользоваться именно
этим более сильным результатом.
Доказанная теорема дает повод установить следующее ’)
Определение. Пусть на измеримом множестве £ задана после-
довательность измеримых и почти везде конечных функций
МД МД МД ••• (*)
1) Принадлежащее венгерскому математику Ф. Риссу.
93
и измеримая и почти везде конечная функция f(x). Если, каково
бы ни было положительное число о, оказывается, что
lim
Н — '"О
то говорят, что последовательность (*) сходится к функции f(x)
по мере.
Мы будем, следуя Г. М. Фихтенгольцу, обозначать сходимость
по мере символом
fn(x) =>f(x).
С помощью понятия сходимости по мере можно формулировать
теорему Лебега так.
Теорема /*. Если последовательность функций сходится почти
везде, то она сходится и по мере к той же предельной функции.
Следующий пример показывает, что эта теорема необратима.
Пример. Определим на полусегменте [0, 1) для каждого нату-
рального k группу из k функций: (х), (х), .... (х), по-
лагая
[В частности, на [0, 1). Нумеруя все построенные
функции подряд одним значком, мы получим последовательность
<PiU) = A‘ (х), Ф2(х) = /г W. Фз(х) = ^(-х), ф4(*) = /? (х), ...
Легко видеть, что последовательность функций ф„ (х) сходится
по мере к нулю. В самом деле, если фя (х) =/?•' (х), то при лю-
бом о > 0 будет
и мера этого множества, равная \/k, стремится к нулю с возра-
станием п. ‘)
Вместе с тем, соотношение фя(х)->0 не выполняется ни в одной
точке промежутка [0, 1). Действительно, если хое=[О, 1), т0 для
всякого k найдется такое /, что хое^^-^, так что f\k} (х0) —
— 1. Иначе говоря, как далеко мы ни продвинемся вдоль ряда
чисел Ф1 (х0), Ф2 vV„). Да(хп), .... мы всегда будем встречать в этом
ряду числа, равные I, что и доказывает наше утверждение.
Таким образом, понятие сходимости по мере есть понятие,
существенно более общее, чем понятие сходимости почти везде и
тем более, чем понятие сходимости везде.
1) Мы считаем, что о 1, ибо иначе множество Е (1 <frt I пусто и все
становится тривиальным.
94
Естественно спросить, в какой степени соотношение
fn (X) => / (х)
определяет функцию f(x), т. е. единственна ли предельная функ-
ция при сходимости по мере.
Теоремы 2 и 3 позволяют ответить на этот вопрос.
Теорема 2. Если последовательность функций fn(x) сходится
по мере к функции f (х), то эта же последовательность сходится
по мере ко всякой функции g(x), эквивалентной функции f(x).
Доказательство. При любом о>0 будет
£( fn-g S-o)cz E(f +
откуда (поскольку тЕ (f g) — 0)
тЕ ( fn - g 1 3s a) mE (। fn.- f) Ss o),
что и доказывает теорему.
Теорема 3. Если последовательность функций fn (х) сходится
по мере к двум функциям f (х) и g(x), то эти предельные функ-
ции эквивалентны.
Доказательство. Легко проверить, что при о>0 будет
Е(ф-ё^о)сЕ[ф,~{^ + (*)
ибо точка, не входящая в лрав^ ю часть этого соотношения, и по-
давно не может входить и в левую часть . Но соотношения
fn=$f, fn=>g
показывают, что мера правой части (*) стремится к нулю с воз-
растанием п, откуда ясно, что тЕ (\f — g , Э=о) =0.
Но так как
СО
E(f^g)cz У E(\f-g\^ х)
п = I
то f^g, что и требовалось доказать.
Теоремы 2 и 3 показывают, что, желая восстановить свойство
единственности предельной функции для сходимости по мере, мы
должны были бы условиться считать эквивалентные функции за
тождественные. Это обычно и делается в метрических вопросах
теории функций, т. е. в тех вопросах, где все свойства функций
изучаются с помощью меры множеств, на которых функция обла-
дает или не обладает тем или другим свойством. В интеграль-
ном исчислении мы найдем много примеров подобного подхода
к вещам.
‘) Было бы неверно употребить здесь знак = вместо знака с. Например,
те точки, в которых /(x)=g(x) = {-со, в левую часть не входят, но мы
условились их включать во все множества вида Е ( | f — g , -so).
95
Хотя сходимость по мс-ре общее сходимости почти везде, имеет
место все же следующая теорема.
Теорема 4 (Ф. Рисе). Пусть {Д(х)| последовательность
функций, которая сходится по мере к функции f(x). В таком
случае существует подпоследовательность
fnAx), 1пг(х), 1,гЛх), ••• (П1<П2<П,<...)>
сходящаяся к функции f(x) почти везде. ’)
Доказательство. Возьмем последовательность положи-
тельных чисел Oj >ст2 > оэ >... , для которой lim ст* = 0.
Пусть, далее, Лг + Лз + Лз-Т--- (л*>0) есть сходящийся поло-
жительный ряд.
Теперь мы можем построить требуемую последовательность ин-
дексов
Л1<П2<«3<--- (*)
следующим образом: обозначим через щ натуральное число, для
которого
Такое число обязательно существует, ибо
тЕ (i fn — f | SsOi) ->0 при n->oo.
Затем через п.2 обозначим то натуральное число, для которого
m£'(7„2-f)SsCT2)<r]2, л2>П1-
Вообще через п* мы обозначаем такое число, что
тЕ( \fnk-f | 2s О*) < Ль nk>nk^L.
Последовательность (*), таким образом, построена.
Теперь установим, что почти везде на множестве Е будет
lim/n (х) = /(х). (**)
/е-оэ *
Действительно, пусть
со со
₽= S E(\fnk-f\^ak), =
k = i i = 1
Так как PL zd /?2 => #з • < то (теорема 12, §4, гл. III)
mRi -> mQ.
СО
С другой стороны, очевидно, что mRt< У, т]*, так что
fc = i
и, стало быть, mQ = 0.
’) Формулируя теорему, мы считаем само собою ясным, что имеют место
все оговорки, сделанные при определении сходимости по мере, как-то: изме-
римость множества Е, на котором заданы функции, измеримость самих функ-
ций и т. п.
96
Остается проверить, что соотношение (*ч) имеет место для
всех х из множества Е — Q.
Пусть хое£ —Q. Тогда хоё=/?1„. Иначе говоря, при k'^ia
Х<1 Е (। f пк f I ==== Gfe)>
и, следовательно,
I fnk (*<>) - f Uu)' < <И (k -г- /0)
и, поскольку <Jk -> О, ясно, ЧТО [„ (х0) -> / (х„).
Теорема доказана.
Теорема Лебега дала повод к установлению понятия сходи-
мости по мере. С другой стороны, с помощью этой же теоремы
можно установить весьма важную теорему Д. Ф. Егорова. J)
Теорема 5 (Д. Ф. Егоров). Пусть на измеримом множе-
стве Е задана последовательность измеримых и почти везде ко-
нечных функций fi(x), [г(х), /з(х), .... почти везде сходящаяся
к измеримой и почти везде конечной функции f (х):
lim Д(х) = /(х). (*)
п СО
В таком случае, для любого 6 > 0 существует такое изме-
римое множество Е& cz Е, что:
1) mEg > тЕ — 6;
2) на множестве Е& стремление (*) происходит равномерно.
Доказательство. При доказательстве теоремы Лебега было
установлено, что при любом <т>0 будет
-> 0, (1)
П СО
СО
где Rn (о) = Л Е (| fk - f) s? о).
k — п
Заметив это, возьмем сходящийся положительный ряд
Л1 + 1]2 + Пз + --- 0ъ>0)
и стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел
°i > °2 > °з >• • •. limcr; = 0.
В силу (1), можно каждому натуральному i соотнести такое
натуральное что mRn (о,) < тр.
Сделав это, найдем такое /0, что тр <б (где 6 число, фи-
I = 10
со
гурирующее в формулировке теоремы), и положим е= У}/?,, (°0-
Очевидно,
те <6.
Д В менее общих предположениях этот результат был установлен и
К. Северини.
4 И, П, Натансон
97
Пусть E6 = £ — е. Установим, что множество Еб требуемое.
Неравенство тЕк> тЕ — б ясно, так что остается убедиться
в равномерности стремления
на множестве Е6.
Пусть е>0. Найдем i такое, что i^>iu, сг,<е, и покажем,
что при k^nl и при всех хе Ев будет
откуда и будет следовать теорема.
Если х е Е6, то Л'е е. Значит, в частности, х ё Кп (оу).
Иначе говоря, при k^-n,
хе SsoJ,
так что
\h(x)-f (х)' <о, (k^ щ),
и тем более
\fk(x)-f(x) ,<е (k^nt).
Теорема доказана, ибо nt зависит только от е, но не от х.
§ 4. Структура измеримых функций
При изучении какой-нибудь функции сам собою встает вопрос
о точном или приближенном представлении ее с помощью функций
более простой природы.
Таковы, например, алгебраические вопросы о разложении мно-
гочлена на множители или рациональной дроби на простейшие.
Таков же вопрос о разложении непрерывной функции в степен-
ной или тригонометрический ряд и т. п.
В этом параграфе мы устанавливаем различные теоремы о при-
ближении измеримых функций функциями непрерывными, т. е.
решаем сходный вопрос для измеримых функций. Эти теоремы
позволят нам найти основное структурное свойство измеримой
функции, выражаемое теоремой 4.
Теорема 1. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти
везде конечная функция f(x). Каково бы ни было 8>0, сущест-
вует измеримая ограниченная функция 'g (х), такая, что
mE(f^g)<e..
Доказательство. Положим
Ak = E(\f\>k), Q = E(\f\ = + ^).
По условию, mQ = 0. Ввиду очевидных соотношений
Л цэ Д2 о Ла
98
будет (теорема 12, § 4, гл. III) при
mA),-* mQ = 0.
Значит, найдется такое kQ, что тА^ < е.
Определим на множестве Е функцию g(x), полагая
[ZW при х е Е — Л*а,
| 0 при х е Ака.
Эта функция измерима и, кроме того, ограничена, поскольку
|g(x)|^&0. Наконец, Е ([ g) = Ак„, что и доказывает теорему.
Доказанная теорема означает, что всякая измеримая и почти
везде конечная функция становится ограниченной, если пренебречь
множеством сколь угодно малой меры.
Определение. Пусть функция f (х) задана на множестве Е пхае.Е,
причем f(x(,)^±oo. Говорят, что функция f (х) непрерывна
в точке ха в двух случаях: 1) если х() есть изолированная точка Е;
2) если х0 <= Е' и соотношения xn—>xlt, хп е Е влекут соотношение
f(xn)^f(x0).
Если f(x) непрерывна в каждой точке множества Е, то говорят,
что она непрерывна на этом множестве.
Лемма /. Пусть множества Flt F2, ..., Fn замкнуты и
попарно не пересекаются. Если функция <р (х), заданная на мно-
жестве
F=^Fk,
Л = 1
постоянна на каждом из множеств Fh, то она непрерывна на
множестве F.
Доказательство. Пусть х0еF' и х,х0, хл еF.
В силу замкнутости множества F точка х0 принадлежит этому
множеству и, стало быть, найдется такое т, что xoeFm.
Но множества Fk попарно не пересекаются. Значит, если k Ф т,
то хоеГ* и, в силу замкнутости множества Fk, точка х(1 не
является и предельной точкой этого множества.
Отсюда следует, что в последовательности {х,} может быть
только конечное число точек, принадлежащих множеству Fk при
k Ф т. Отметим все члены последовательности, которые входят
в одно из множеств F\, , Fm_lt Fm п ..., Fn, и пусть х(о, послед-
ний из них. Тогда при t > i0 необходимо будет x^Fm, т. е.
при t>t0 оказывается ср (хг) = ср (х(>), а это и доказывает лемму.
Лемма 2. Пусть F есть замкнутое множество, содержащееся
в сегменте [а, Ь}. Если функция <р(х) задана и непрерывна на
множестве F, то можно определить на [а, й] функцию ф(х) со
следующими свойствами'.
1) ф(х) непрерывна',
2) если x<=F, то ф (х) = ср (х);
3) max | ф (х) | = max | ср (х) | .
4* 99
Доказательство. Обозначим через [а, 0] наименьший сег-
мент, содержащий множество F. Если бы требуемая функция ф (х)
была уже построена на сегменте [а, 0], то достаточно было бы
дополнить ее определение, полагая
| ср (а), если х е [а, а),
х \ф(Р)> если Ь],
чтобы получить требуемую функцию уже на всем сегменте [а, ft].
Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что [a, ft]
и есть наименьший сегмент, содержащий множество F.
Если F = [а, ft], то теорема тривиальна. Будем считать, что
F дЬ[а, ft]. Тогда множество [a, ft] —F состоит из конечного или
счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы
которых принадлежат F (дополнительных интервалов множества F).
Зададим функцию ф(х), полагая ее равной ср (х) в точках мно-
жества F и линейной на всех дополнительных интервалах. *)
Убедимся в непрерывности этой функции. Непрерывность ее
в каждой точке множества [a, ft] — F очевидна. Пусть х0 есть
точка множества F. Мы покажем, что функция ф(х) непрерывна
в этой точке слева (непрерывность справа устанавливается совер-
шенно аналогично).
Если точка х(| служит правым концом какого-нибудь допол-
нительного интервала, то непрерывность функции ф (х) в этой
точке слева очевидна.
Пусть же х0 не является правым концом никакого дополни-
тельного интервала и пусть х2 <; х2 < х3 < ... последовательность
точек, стремящихся к х0.
Если (и=1, 2, 3,...), то, используя непрерывность
на множестве F функции ср (х), имеем ф (хч) = ср (х„) -> <р (ху) = ф (х0).
Поэтому можно считать, что х„ F (и = 1, 2, 3, ...).
В таком случае точка х2 попадает в какой-то дополнительный
интервал (Хп pj, причем р1<х0 (ибо х0 не служит правым кон-
цом дополнительного интервала). Пусть
<х*<р-! (k = 1, 2, .... nJ Хп. + ^Рр
Тогда Хп,+1 попадает в другой дополнительный интервал (Х2, р2)
причем снова ц2 < х0. Продолжая это рассуждение, мы приходим
к последовательности (%i, pj, (Х2, р2), (>.3, р3), ...дополнительных
интервалов, расположенных в порядке номеров слева направо
и таких, что
xk е (К, М.) (Л = л(_ 1 + 1, • - -, и,).
Соотношение х,1.<р(<х() показывает, что р;—>-х0, а из того,
что <х0, ясно, что и Х,->х0.
Но X, и р, входят в F, так что
1|тф(Х,) = Ишф(|1,)=ф(х0).
!) Точнее, на замыканиях этих интервалов.
100
Ввиду того, что значения линейной функции в каком-нибудь
интервале лежат между ее значениями на концах этого интервала,
ясно, что и lim ф (х„) = ф (х0).
Итак, непрерывность функции ф (х) доказана.
Из самого ер построения видно, что она совпадает с ср(х) на
множестве F.
Наконец, по известной теореме Вейерштрасса, среди значений
непрерывной на сегменте функции | ф (х) | есть наибольшее —
шах|ф(х)|. Легко видеть, что этот максимум достигается именно
в точке, принадлежащей множеству F, ибо на дополнительных
интервалах функция ф(х) линейна. Поэтому тах|ф(х)| = шах | ср (х) L
Лемма доказана полностью.
Теорема 2 (Э. Борель). Пусть на сегменте [а, 6] задана
измеримая и почти везде конечная функция f(x). Иаковы бы ни
были числа а > О и е > 0 существует непрерывная на [а, 6] функ-
ция ф (х), для которой
тЕ () f — ф | а) < е.
Если при этом | f (х) | К, то можно и ф (х) выбрать так,
что | ф (х) | К-
Доказательство. Предположим сначала, что /(х) ; К,
т. е. что функция /(х) ограничена.
Фиксируя произвольные о>0 и е>0, найдем столь большое
натуральное т, что Kim<Za, и построим множества
E,=E{j=±K^f<~К\ 2-т......<« 1)
E.~E{^-K^f^K).
Эти множества измеримы, попарно не пересекаются и
т
[а, 6]= 2 Ei-
1=1— tn
Построим для каждого i замкнутое множество FlccEl с. мерой
т
mF^ тЕ, — Д и положим F = 7 F,.
1 1 2m
l — l — пг
Ясно, что [а, &] — F = У,(£, — Fi), откуда т[а, b] — mF<Zs.
I
Зададим теперь на множестве F функцию ср (х), полагая
q(x) = EK при xeFt (i = 1 — т, ..., т).
В силу леммы 1 эта функция непрерывна на множестве F,
1<Р(х)КК и, наконец, при xef будет | / (х) — ср (х) | < о.
7 Остается применить лемму 2. Это приводит к непрерывной
Функции ф (х), совпадающей на множестве F с функцией ср (х),
101
причем | ф (х) | < К. Поскольку Е (| f -ip | Sso) cz [a, b]-F, ясно,
что функция ф(х) требуемая.
Итак, для ограниченной функции теорема доказана.
Допустим теперь, что f(x) не ограничена. Тогда, пользуясь
теоремой 1, можно построить такую ограниченную функцию g(x),
что тЕ (f g) < е/2.
Применяя уже доказанную часть теоремы к функции g(x), мы
найдем такую непрерывную функцию ф (х), что
р
тЕ (| g - ф | Ss о) < -2 .
Но легко видеть, что
£ (I f - Ф ! ст) cz Е (/ # g) + £ (| — Ф I сг),
так что функция ф(х) решает задачу.
Следствие. Для всякой измеримой и почти везде конечной функ-
ции f (х), заданной на сегменте [а, 6], существует последователь-
ность непрерывных функций ф„(х), сходящаяся по мере к функ-
ции f (х).
В самом деле, взяв две стремящиеся к нулю последователь-
ности
О1>СГ2^>О3> ..., csn—> О,
61 > е2 > е3 > ..., ег —> О,
построим для каждого п такую непрерывную функцию фя (х), что
тЕ (|/-ф„|^ая)<ея.
Легко видеть, что фя(х)=>^(х).
Действительно, какое бы ст > О ни взять, для п н0 будет
стя<о, а для таких п
Е (| f - ф„ | === о) cz Е (| f - фя | ол),
откуда и следует наше утверждение.
Применив к последовательности {фя (х)} теорему Ф. Рисса из
§ 3, мы приходим к последовательности непрерывных функций
|Фя*(х)}> которая сходится к функции f (х) почти везде.
Иначе говоря, установлена
Теорема 3 (М. Фреше). Для всякой измеримой и почти
везде конечной функции f (х), заданной на сегменте [а, &], суще-
ствует последовательность непрерывных функций, сходящаяся к f (х)
почти везде.
С помощью этой теоремы легко устанавливается весьма заме-
чательная и важная
Теорема 4 (Н. И. Лузин). Пусть f(x) измеримая и почти
везде конечная функция, заданная на [а, &]. Каково бы ни было
6>0, существует такая непрерывная функция <р(х), что
тЕ (f Ф <р) < 6.
Если, в частности, j/(x)j=cK, то и | <р (х) | К.
102
Доказательство. Пусть фг(х), ф2(х), <р3 (х), ... есть та
последовательность непрерывных функций, о которой шла речь
в теореме Фреше. Пользуясь теоремой Д. Ф. Егорова, мы найдем
такое множество Е&, что тЕф> Ь — а— % , причем на множестве Е&
равномерно относительно х будет cpn (х) -> f (х).
Отсюда, в силу известной теоремы анализа, функция f (х) непре-
рывна на множестве Eg1) (в смысле определения, данного в начале
параграфа. Не следует понимать это так, что функция /(х),
рассматриваемая на [а, 6], непрерывна в каждой точке множе-
ства Eg. Нужно вовсе отказаться от рассмотрения f(x) вне мно-
жества Eg).
Найдем замкнутое подмножество Е множества Eg с мерой
тг>тЕ^~ 2 .
Если функцию f (х) рассматривать только на множестве Е, то
она, очевидно, оказывается непрерывной на этом множестве.
Применяя лемму 2, мы приходим к непрерывной функции ф(х),
заданной на [a, EJ.H совпадающей с f (х) на множестве Е.
Значит, Е (/ Ф ф) с [a, b] — Е, и мера этого множества меньше б,
так что ср (х) есть требуемая функция.
Если, в частности, | f (х) | К, то это неравенство верно и для
тех х, которые входят в Е, а тогда, в силу той же леммы 2, и
IФ (* *Ж К-
Теорема доказана.
Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так: измери-
мая и почти везде конечная функция становится непрерывной,
если пренебречь множеством сколь угодно малой меры. Некоторые
авторы2) принимают это важное свойство за самое определение
понятия измеримой функции. Нетрудно установить равносильность
обоих определений; второе менее формально и сразу показывает,
что понятие измеримой функции тесно связано с понятием функ-
ции непрерывной.
§ 5. Теоремы Вейерштрасса
В предыдущем параграфе мы установили ряд теорем об аппроксимации
измеримой функции с помощью функций непрерывных. Можно пойти дальше
и вместо непрерывных функций говорить о многочленах.
Для этой цели нам понадобится, важная и сама по себе, теорема Вейер-
штрасса. Мы изложим ее, следуя С. Н. Бернштейну.
Лемма 1, При всяком х будет
п
2 С*Х* (1—х)”-* = 1. (1)
k = a
1) В курсах анализа теорема доказывается для случая функций, заданных
на сегменте, но доказательство сохраняет силу и для функций, заданных на
любом множестве.
*) См., например: П. С. Александров и А. Н. Колмогоров,
Введение в теорию функций действительного переменного, 1938 г.
103
п
Действительно, полагая в формуле бинома Ньютона (а + й)" =
*=о
а = х, b—1—x, получаем формулу (1)
Лемма 2. При. всех вещественных х будет
п
^(fc-nx^x^l-x)""^ " . (2)
* = о
Доказательство Продифференцируем по г тождество
2 C,y = (l+z)n (3)
А = 0
и умножим результат на г:
£ feC*? = nz(l И)"-' (4)
Л = 0
Дифференцируя (4) и умножая результат на г, получим
X к1ф'г = пг(1+нг)(1+г)'1-2? (5)
k = 0
Положим в (3), (4) и (5) г = х,(1—х) и умножим полученные тождества
на (1 — х)п Это дает
S С*х* (1 —x)n —*= 1, (6)
k = o
2 feC*/(l-x)n-* = nx, (7)
k = 0
у fe’C*xfe (1 —x)'I —* = nx (1 —х-)-пх). (8)
s = o
Умножим (6) на n2x2, (7) на — 2nx, (8) на 1 и все сложим:
2 (fe —nx)’’C*x* (1 — x)n “ft = nx (1 — х).
А = 0
Для доказательства леммы достаточно отметить, что при всех вещест-
венных х будет1) х (1 — x)sgl/4
Определение 1. Пусть f (х) конечная функция, заданная на сегменте [0, 1].
Многочлен
п
Пп(х)= ^^С^(1-х)п-к (9)
А = 0
называется многочленом. Бернштейна для функции f (х)
Теорема 1 (С. Н. Бернштейн). Если функция f (х) непрерывна на сег-
менте [0, 1 ], то при п — со равномерно относительно х будет
Bn(x)-+f(x). (10)
4 В самом деле, 4х2 —4x-f-1 = (2х—I)2> 0 Стало быть, 1э=4х(1— х).
104
Доказательство Пусть М = max I f (х)1 Возьмем е > 0 и подберем
такое 6 > 0, что I / (х") —/ (х') | < е, как только х — х' | < 6
Сделав это, возьмем произвольное х е [0, 1] Из (1) следует, что f (х) =
= / (х) С^х11 (1 — x)n~k, откуда
k = 0
\Brl(x)-f(x)\^ |/(^)-/(х)|сУ (1-х)п~*. (И)
6 = 0
Разобьем все числа fe = 0, 1, 2, , п на две категории А и В, так что
k <= А, если | — х | < <5, k е В, если | — х | б.
Если fee Л, то |1 —/(х)|<е, и, на основании леммы 1,
V I / Р ) (X) I C\xk (1 -X)'1 8 2 СУ (1 -ХУ1 ~ k
А 1/1 А
п
«=е У C*xft (1 — х)” —А=е. (12)
/£_пх}2
Если же k^. В, то -—^1, откуда, в силу леммы 2,
п2о2
2К«;~z w I с-х”(1 2{k~пх)2с*хк (1 -х)П~
в в
п
6 = 0
Сопоставтяя (11), (12) и (13), находим, что для любого х <= [0, 1}
\вп (х)-/(х)1<84—.
М
Значит, при n >будет Вп (х) —f (х) | < 2ь, что и требовалось доказать
Теорема 2 (К. Вейерштрасс). Пусть f (х) функция непрерывная на сег-
менте [а, й] Для любого а > 0 существует такой многочлен Р (х), что при
всех х е [а, й]
| / (х)-Р (х) | < е.
Доказательство Если [а, й] = [0, 1], то теорема непосредственно
вытекает из теоремы Бернштейна Пусть [а, й] ф [0, 1] Рассмотрим следую
щую функцию от аргумента у f [a-j-y (b — а)]
Эта функция задана и непрерывна на сегменте (0, 1 ] Найдем такой много-
член Q(y), что при рг=[О, 1]
\f[a + y(b -a)]-Q (j/)Ke.
Если х <= [а, й], то g [0, 1] и, стало быть,
105
Поэтому многочлен P(x)=Q^—требуемый.
С помощью теоремы Вейерштрасса можно теоремы Бореля и Фреше
(но не Лузина') формулировать иначе. Например, теорему Фреше можно
высказать в такой форме
Теорема 3 (М, Фреше). Для всякой измеримой и почти везде конечной
функции f (х), заданной на [а, &], существует последовательность многочленов,
сходящаяся к f (х) по imu везде
Доказательство Пусть {сря (х)} есть последовательность непрерыв-
ных функции, сходящаяся почти везде к f (х). Если Рп (х) такой многочлен,
что для всех х = [а, д]
\РП (*)-фп (*) | < ~ ,
то последовательность { Рп (х)} сходится к / (х) в любой точке х, где <р„ (х) —-
— f(x), что и доказывает теорему
Предоставляем читателю соответственно изменить теорему Бореля (с со-
хранением оценки Р„ (х) -с sup [ (х) ')
В тесной связи с доказанной теоремой Вейерштрасса находится другая
теорема того же автора об аппроксимации периодических непрерывных функ-
ции с помощью тригонометрических многочленов.
Определение 2. Тригонометрическим многочленом п-го порядка называется
функция
п
Г (х) = Д+2 (а/г c°s kx + bk sin kx).
* = l
Если =&,г = 0, то тригонометрический многочлен Т (х) называется
четны и
Лемма 3. а) Функция cosk х представима четным тригонометрическим
многоч геном
Ь) Если Т (х) тригонометрический многочлен, то Т (х) sin х также есть
тригонометрический многочлен
с) Если Т (х) тригонометрический многочлен, то Т(х-\-а) также есть
тригонометрический многочлен
Доказательство предоставляем читателю
Лемма 4. Если функция f (х) задана и непрерывна, на сегменте [0, л],
то д гч всякого t. > 0 существует такой четный тригонометрический много-
член 7 (<), что при всех х<= [0, п] будет
\f(x) — T (х) < е.
Доказательство. Рассмотрим функцию f (arccos у)
Эта функция задана и непрерывна на сегменте [—1, ф-1].
п
Поэтому нандется многочлен akyk такой, что при всех у е [—1, +1]
А=о
п
f (arccos у) — У akyk
/?=о
< 8.
Пусть теперь х е [0, л]. Тогда cos х (= [—1, +П и, стало быть,
п
f W — 5 ak cos* х
fe = o
8.
n
Остается заметить, что в силу леммы 3 (а) функция ak cos* х есть
четный гри!онометрический многочлен.
106
Следствие. Если четная функция / (х) имеет период 2л и непрерывна на
всей оси, то для всякого е > 0 найдется такой тригонометрический много-
член, что при всех вещественных л будет f (х) — Т (л) < е
Действительно, на сегменте [0, л] этому неравенству можно удовлетво-
рить четным тригонометрическим многочленом Т (х), так что неравенство само
собой удовлетворяется и при xs[—л, 0], а тогда, благодаря периодичности
разности / (х) — Т (х), оно удовлетворяется везде
Теорема 4 (К. Вейерштрасс). Пусть f (х) непрерывная периодическая
функция периода 2л Каково бы ни было е > 0, существует такой тригоно-
метрический многочлен Т (х), что при всех х будет
f (х) — Т (х) < е.
Доказательство В силу следствия леммы 4 для четных функций
f(x)+f(—*), If (x)-f (—х)]sin x
найдутся такие тригонометрические многочлены Тг (х) и Т2 (х), что
I (х) + f (—х) = Л (х) + (х), [/ (х) - f (—х) ] sin х = Т2 (х) + а2 (х),
где (х) < ь 2, а2 (х) < е'2
Умножая первое из этих равенств на stn2x, а второе на sin х, складывая
и деля на 2, получаем
/ о X
f (х) sin2 х = Т3 (х) + 0 (х) J 0 (х) | < 2 J ,
где Т3 (х) снова есть некоторый тригонометрический многочлен
Здесь функция f (х) была любой непрерывной периодической функцией.
Значит, такое же равенство справедливо для функции f ^х — 2 j:
f (х- т, ) sin2 х=Г4 (х)4-у (х) у (х) I <yj.
Заменяя здесь х на х + л'2, получим
f (х) cos2 х= Л (х) + 6 (х) [ б (х) i < | ,
откуда
f (х) = Т3 (х) + (х) 4- р (х) + б (х),
т е полином Т3 (х) -ф (х) требуемый.
Сейчас iTy теорему мы не будем связывать с теорией измеримых функ-
ций, но ниже она будет нам весьма полезна.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
1. Если fn (х) f (х), g„ (х) => g (V), то f„ (х) -\-gn (х) f (х) + g (X).
2. Если fn (х) / (х), a g (х) измерима и почти везде конечна, то
fn (х) g(x)=5f (х) g (х).
3. Распространить теорему Егорова на случай последовательности функ-
ций, которая в каждой точке множества Е стремится к -фоо.
4. Существует ряд многочленов pt (х) -рр2 (х) -ф р3 (х) , обладающий сле-
дующим свойством какую бы непрерывную па произвольном сегменте [о, Ь]
функцию f (х) ни взять, можно так сгруппировать члены ряда (не меняя их
порядка), чтобы ряд 2 [Р! (х) -ф.. +рп (х)| сходился к f (х) равномерно
на [а, &],
5. Для того чтобы последовательность измеримых и почти везде конеч-
ных функций Д (х), (х), ... сходились по мере, необходимо и достаточно,
107
чтобы всякой паре чисел а>0и в > О отвечало такое N, что при п> N и
т> N будет тЕ (I fn — f„,1 > о) < е (Ф. Рисе).
6. В теоремах Бореля и Фреше можно вместо непрерывных функций гово-
рить о тригонометрических многочленах (если основной сегмент есть [—л, +л]).
7. Точная верхняя граница счетного множества измеримых функций есть
измеримая функция.
8. Если при любом фиксированном п. и при kса будет
(х) =3 Гп> (X),
а при п —• со будет
f^'(x)=^f(x),
то из множества можно извлечь последовательность, сходящуюся по
мере к /(х).
9. Предыдущий результат не верен, если всюду в его формулировке заме-
нить сходимость по мере на сходимость в обычном смысле.
10. Пусть f (/) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на
сегменте £ = [а, й]. Доказать существование такой убывающей функции g (/),
заданной на [а, й], которая при всех вещественных х удовлетворяет соотно-
шению тЕ (g> х) = тЕ (f> х).
It. Пусть f(/) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на
сегменте Е = [а, />]. Доказать существование и единственность такого числа h,
что
тЕ (/> Л) 5s ЦД тЕ (f Я) < , при И > h.
(Л. В. Канторович).
ГЛАВА V
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ
§ 1. Определение интеграла Лебега
Классическое определение интеграла, данное О. Коши и раз-
витое Б. Риманом, состоит, как известно, в следующем: рассмат-
ривается конечная функция /(х), заданная на сегменте [а, Ь];
этот сегмент разбивается на части точками
х0 = а < хг < х2 <... < хп = Ь,
в каждой части [хь xfc+1] выбирается точка и составляется
риманова сумма
л —1
- Если сумма о при стремлении к нулю числа
к = птах (х*т1 — xk)
стремится к конечному пределу I, не зависящему ни от способа
дробления [а, &], ни от выбора точек то этот предел / назы-
вается интегралом Римана функции / (х) и обозначается символом
ь
$ f (х) dx.
а
Иногда, желая подчеркнуть, что речь идет именно о рнмано-
вом интеграле, пишут
(/?)^(х)г/х.
а
Функции, для которых интеграл Римана существует, называ-
ются интегрируемыми в смысле Римана или, короче, интегриру-
емыми (7?). Для интегрируемости (R) функции [ (х) необходимо,
чтобы она была ограниченной.
Еще Коши установил, что всякая непрерывная функция интег-
рируема (R). Существуют также и разрывные функции, интегри-
руемые (Р). В частности, такова любая разрывная монотонная
функция.
109
Легко построить, однако, ограниченную функцию, которая не
будет интегрируемой (/?). Рассмотрим, например, функцию Ди-
рихле ф(х), которая определяется на сегменте [0,'1] следующим
образом:
( 1, если х рационально,
| 0, если х иррационально.
Легко видеть, что эта функция не интегрируема (7?), ибо
сумма о обращается в 0, если все точки иррациональны и
о=1, если все tk рациональны.
Таким образом, риманово определение интеграла страдает
существенными недостатками—даже очень простые функции ока-
зываются неинтегрируемыми.
Нетрудно разобраться в причинах этого обстоятельства.
Дело заключается в следующем при составлении сумм Ри-
мана о мы дробим се[мент [а, Ь] на мелкие части [х0, лу],
[*!, х2], ...,[/„ i,xn] (обозначим их через е0, elt .... еп i), в каж-
п — 1
дой части ек берем точку g/, и, составив сумму о= f(^,k)mek,
Л = О
требуем, чтобы она имела предел, не зависящий от выбора точек
в множествах ек. Иначе говоря, каждая точка х из множе-
ства ек может быть взята за %к, а варьирование этой точки не
должно заметно влиять на значение суммы а. А это возможно
лишь в том случае, когда варьирование точки £,к мало изменяет
величину /(£*). Но что же объединяет между собой различные
точки х множества ек? Их объединяет то, что они близки друг
другу, ибо ек есть малый сегмент [лу, xfc)4].
Если функция f (х) непрерывна, то достаточная близость абс-
цисс х влечет за собой и близость соответствующих значений
функции и мы вправе ждать, что изменение точки в пределах
множества ек мало влияет на величину суммы о, но для функ-
ции разрывной это вовсе не так.
Иначе можно сказать, что множества ек составлены так,
что только для непрерывных функций значение /(£*) можно
считать нормальным представителем других значений функции
на ек.
Таким образом, самое определение риманова интеграла можно
считать вполне оправданным лишь для функций непрерывных,
для прочих же функций оно выглядит довольно случайным. Ниже
мы убедимся, что для интегрируемости (У?) необходимо, чтобы
рассматриваемая функция не была «слишком разрывной».
Желая обобщить понятие интеграла на более широкие классы
функций, Лебег предложил другой процесс интегрирования,
в котором точки х объединяются в множества ек не по случай-
ному признаку своей близости на оси Ох, а по признаку доста-
точной близости соответствующих значений функции. С этой
целью Лебег разбивает на части не сегмент [а, &], расположен-
но
ный на оси абсцисс, а сегмент [А, В], лежащий на оси ординат
и включающий все значения функции f (х):
A=y0<yL<...<yn = B.
Если составить множества ек так: ек -= Е (ук f < £/*г1), то
ясно, что различным точкам х е ек и в самом деле отвечают
близкие значения функции, хотя, в отличие от римановского про-
цесса, сами точки х могут быть весьма далеки друг от друга.
В частности, хорошим представителем значений функции на
множестве ек может служить, например, ук, так что естественно
п — 1
положить в основу понятия интеграла сумму У уктек.
k = 0
Перейдем теперь к точному изложению вопроса.
Пусть на измеримом множестве Е задана измеримая ограни-
ченная функция /(х), причем
A<f(x)<B. (1)
Разобьем сегмент [Л, В] на части точками
уа= А<у1<у1<...<уп = В
и соотнесем каждому полусегменту [ук, у^) множество
ек = Е (yk^f<yk+1) (fe = 0, 1, ..., n-1).
Легко проверить четыре свойства множеств ек:
1) Множества ек попарно не пересекаются: е/геА- = 0
2) Эти множества измеримы.
п — 1
3) Е = £ ек.
k^Q
n-l
4) тЕ = У тек.
k^O
Введем теперь нижнюю и верхнюю суммы Лебега s и S:
п— 1 п — 1
s= У yhmek, S= У ykJtlmek.
k-0 k=0
Если мы положим X = max (z/fe+1 — ук), то будем иметь
O^S-s-^AmE. (2)
Основное свойство сумм Лебега выражает
Лемма. Пусть некоторому способу дробления сегмента [Л, В]
отвечают суммы Лебега su и So. Если мы добавим новую точку
дробления у и снова найдем суммы Лебега s и S, то окажется
s, S У S(|.
Иначе говоря, от добавления новых точек деления нижняя
сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.
Доказательство. Допустим, что
yt < У < yl+i- (3)
111
Тогда при k~f i полусегменты [ук, yk х), а с ними и множе-
ства ek, фигурируют и в новом способе дробления. Полусегмент
же [у,, при переходе к новому способу заменяется двумя
полусегментами [у,, д'), [у, у, ,), в связи с чем и множество е,
разбивается на два множества
et = E(yL el’ = Е (у <у1г1).
Очевидно, что е^е^е?, <?Х = 0, так что
met = те} -ф mef. (4)
Из сказанного ясно, что сумма s получается из суммы sn
заменой слагаемого уупе, двумя слагаемыми уупе^ уте’^, откуда,
в связи с (3) и с (4), и следует, что s^s,.
Для верхних сумм рассуждение аналогично.
Следствие. Ни одна нижняя сумма s не больше ни одной верх-
ней суммы S.
Доказательство. Рассмотрим два каких-нибудь способа
дробления I и II, сегмента [Л, В]. Пусть этим способам отве-
чают соответственно нижние суммы и s2 и верхние суммы 5Х
и S2.
Составим третий способ дробления [И, В] —способ III, в кото-
ром точками деления сложат точки деления обоих способов 1 и II.
Если способу III отвечают суммы s3 и S3, то, в силу леммы,
sx «з, S3 S2, откуда, в связи с тем, что s3 53, ясно, что
sx •< S2, а это и требовалось доказать.
Выберем какую-нибудь определенную верхнюю сумму S„. Так
как для всякой нижней суммы $ будет s=^S0, то множество {s}
всех нижних сумм Лебега оказывается ограниченным сверху.
Пусть U есть его точная верхняя граница: £7 = sup {s}.
Тогда ясно, что U=^SU.
Ввиду произвольности суммы So, последнее неравенство
доказывает, что множество {£} всех верхних сумм Ле&га огра-
ничено снизу. Обозначим через V его точную нижнюю границу:
I/ = inf {5}.
Очевидно, при любом способе дробления будет
Но, как мы отмечали, 5— s-^AmE, откуда
0: V — 6’ hnE
и, так как X произвольно мало, то
Е = V.
Определение. Общее значение чисел U и V называется инте-
гралом Лебега функции f (х) по множеству Е и обозначается
символом
(L) J f (х) dx.
Е
112
В тех случаях, когда смешение с другими видами интеграла
исключено, пишут просто
$ f W dx.
Е
В частности, если Е есть сегмент [а, 6], употребляют символы
ъ ь
(L) f (х) dx, $ f (х) dx.
а а
Из сказанного выше следует, что каждая измеримая ограни-
ченная функция интегрируема в смысле Лебега, или, короче, инте-
грируема (L). Уже из этою замечания видно, что процесс инте-
грирования (L) приложим к гораздо более широкому классу функ-
ций, чем процесс интегрирования (7?). В частности, совершенно
отпадают все вопросы, связанные с признаками интегрируемости,
которые для ,интегралов (7?) имеют сравнительно сложный ха-
рактер.
Теорема 1. Если X —>-0, то суммы Лебега s и S стремятся
к интегралу $ f (х) dx.
L
Теорема непосредственно вытекает из неравенств
s -С $/(х) dx-<:: S, S тЕ.
Е
Из этой теоремы, между прочим, следует, что значение инте-
грала Лебега, которое в силу самого определения его связано
с числами А и В, на самом деле от них не зависит.
Действительно, допустим, что Л</(х)<В, A <f (х) <В*,
причем В* <.В. Раздробим сегмент [Л, В] на части
А =Уо<У1<---<У, i = B,
причем включим и точку В* в число точек деления В*=ут.
Если мы составим множества ek, то легко убедиться, что ek = 0
(k^m).
Значит,
s= У yktnek= У ykm£k = s*,
k=0 k=0
где s* есть нижняя сумма Лебега, построенная, исходя из сег-
мента [Я, В*]. Сгущая точки дробления и переходя к пределу,
найдем, что 1 = 1*, где I и /* суть значения интегралов Лебега,
отвечающие сегментам [Л, В] и [А, В*[. Таким образом, изме-
нение числа В не отражается на величине интеграла. То же отно-
сится и к числу А. Этот факт весьма существен, ибо только
теперь определение интеграла оказывается освобожденным от слу-
чайного характера выбора точек Л и В.
113
§ 2. Основные свойства интеграла
В этом параграфе мы установим ряд свойств интеграла от
ограниченной измеримой функции.
Теорема 1. Если измеримая функция f (х) на измеримом мно-
жестве Е удовлетворяет неравенствам a :- f (х) г;_ Ь, то
а • тЕ/ (х) dx-::3b . тЕ.
Е
Эта теорема обычно называется теоремой о среднем.
Доказательство. Пусть п натуральное число. Если мы
положим А=а—В = ЬА- -, то окажется, что Д</(х)<В,
и суммы Лебега можно будет составлять, дробя сегмент [А, В].
Но если ААут-В, то, очевидно,
А У tnek < У ykmek < В V тек
k = 0 А = 0 k = 0
или, что то же самое,
А тЕ 'ds -зВ • тЕ,
откуда и в пределе
(а — mE^^f (х) dx (b ф- } тЕ.
Е
В силу произвольности числа п, теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий.
Следствие I. Если функция f(x) постоянна на измеримом мно-
жестве Е и f(x) = c, то
jj/(x) dx = cmE.
Ё
Следствие 2. Если функция f(x) не отрицательна (не положи-
тельна), то таков же и ее интеграл.
Следствие 3. Если тЕ = 0, то для любой ограниченной функ-
ции f(x), заданной на множестве Е, будет
\f(x)dx = 0.
Е
Теорема 2. Пусть на измеримом множестве Е задана изме-
римая ограниченная функция f(x). Если множество Е есть сумма
конечного числа или счетного множества попарно не пересекаю-
щихся измеримых множеств
Е = ^Ек (EkEk' = Q, k^k'),
k
то
$ f (х) dx = £ $ f (x) dx.
E k Ek
114
Свойство интеграла, выражаемое этой теоремой, называется его
полной аддитивностью.
Доказательство. Рассмотрим сначала простейший слу-
чай, когда число слагаемых равно двум: Е = Е' Е" (Е'Е“ = 0).
Если на множестве Е
и мы, раздробив сегмент [Л, 5] точками у0, ylt уп, составим
множества
= Е (.Dk f < Ук +1) >
е'к = Е' (yk^f<yk+i),
— Е (ук '<-4 f <С 'У*.1),
то, очевидно, будем иметь ek=ek-\-ek (е'кек = 0), откуда
У УкПгек= У ykme’k+ уктек
k-а л—о а = о
и в пределе, при Х->0,
\f(x)dx=\ f (х) dx 4- 5 f (х) dx.
Е Ь' Е"
Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств.
Пользуясь методом математической индукции, мы легко распро-
страним теорему на случай любого конечного числа слагаемых
множеств.
ОО
Остается рассмотреть случай, когда Е = У Ек.
1
В этом случае У тЕк = тЕ, так что при п->оо будет
k = I
У тЕк-^. (*)
k = п + J
со
Заметив это, положим У Ek = Rn. Так как для конечного
к = п 4- I
числа слагаемых множеств теорема уже доказана, то
$Мх = у $ fdx+ Jj f dx.
Е k=M.k нп
В силу теоремы о среднем
А mRn $ f dx В mRn,
115
а в силу (*) мера mRn множества Rn стремится к нулю с воз-
растанием п, откуда ясно, что fdx->0. Но это и означает, что
СО
= 5 fdx-
Е k-= \ L.r
Из этой теоремы вытекает ряд следствий.
Следствие 1. Если измеримые ограниченные функции f(x) и
g(x), заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то
\f(x)dx = \g(x)dx.
Е Е
Действительно, если A = E(f^g), B = E(f = g), то m.4=0 и
jj f dx = \g dx = 0.
A A
На множестве же В обе функции тождественны и
\fdx= \gdx.
в в
Остается сложить это равенство с предыдущим.
В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен
нулю.
Само собою разумеется, что последнее утверждение необратимо.
Например, если f(x) задана на сегменте [ — 1, -)-1] так:
{ 1 при
) —1 при х < 0,
то1)
+ 1 о 1
J f (х) dx = $ / (х) dx + $ f (х) dx = — 1 + 1 = 0,
— 1 — 1 о
хотя функция /(%) и не эквивалентна нулю.
Однако справедливо
Следствие 2. Если интеграл от неотрицательной изме-
римой ограниченной функции f(x) равен нулю
\f(x)dx = 0 (f(x)^O),
L
то эта функция эквивалентна нулю.
В самом деле, легко видеть, что
СО
£(/>о)= 2 £(/> „)•
п = I
т) Так как выбрасывание из множества Е одной точки не меняет инте-
грала то мы вправе интеграл по любому из промежутков [а, Ь), (а, 6],
b
(а, Ь) обозначать так же, как и по сегменту [а, 6], символом \ / (х) dx.
116
Если бы f(x) не была эквивалентна нулю, то необходимо
нашлось бы такое п0, что mE(f> l//iu) = о > 0.
Полагая A = E(f> 1/нц), В = Е — А, мы имели бы, что
/ (х) dx 2? о, *\f(x)dx^O,
.1 п0 .)
А В
и, складывая эти неравенства, мы получили бы
( f(x)dx5? 1 о,
J п0
Е
что противоречит условию.
Теорема 3. Если на измеримом множестве Q заданы две изме-
римые ограниченные функции f (х) и Е (х), то
$ [/ (х) + Е (x)]dx = \f (х) dx + $ Е (х) dx.
Q Q Q
Доказательство. Пусть а < f (х) < b, A<cE(x)<zB.
Разобьем оба сегмента [а, Ь] и [Л, В} точками
а = у0<У1< • <уп=Ь, А = Уо < Yt < ... < Гл- = В,
и введем в рассмотрение множества
ek = Q (yk<Ук + 1), Ei = Q(Yi^F< Y,+1),
Ti,k = Etek (/ = 0, 1, .... Af — 1; k = 0, 1, .... n- 1).
Очевидно, Q = 2Ei, *1 и множества Tl<k попарно не пересе-
каются. Поэтому
$(/ + F)t/x = 2 $ (/ + Е)^х.
Но на множестве Tif k будет
Ук + И :;S f (х) + F (х) < yk + j + Уi+1»
откуда, на основании теоремы о среднем,
(Ук + Е,) mTit k < (f + F)dx^(t/A+1+y, + 1)ffiT,,ft.
Ti.k
Складывая все эти неравенства, получим
J] (yk + У,) тЪ, k^yf+Fydx^^ + Y^ mTh k. (1)
I, к Q ‘.к
Подсчитаем отдельно сумму
(2)
i, к
117
Ее можно представить в форме
п—I У-1 \
У У к У, mTit J.
k = о \ < = о !
Но
N- 1
У ml\ k = rn
"N — 1
2 T.
L i=o
’ N - 1
pv — 1
k =tn 2
= m У £, = m (ekQ) = mek,
i =0
L i = 0
п - 1
так что сумму (2) можно представить и так: У Уцгпек.
k = о
Иначе говоря, это есть нижняя сумма Лебега sz функции f(x).
Аналогично подсчитываются и прочие суммы, входящие в нера-
венство (1), так что этому неравенству можно дать вид
s/-\-F) dx Sf, (3)
Q
где введенные обозначения понятны сами собой.
Сгущая точки дробления сегментов [а, Ь] и [А, В] и переходя
в неравенстве (3) к пределу, мы и получим теорему.
Теорема 4. Если на измеримом множестве Е задана измери-
мая ограниченная функция f(x) и с есть конечная постоянная, то
$ с/ (х) dx — с J /• (х) dx.
Е Е
Доказательство. Теорема тривиальна, если с = 0.
Рассмотрим случай, когда с>0. Пусть А</(х)<В.
Разбивая сегмент [Л, В| точками ук и вводя, как обычно,
множества ек, мы будем иметь
п — 1
\cf(x)dx = У \cf(x)dx.
Е k=0lk
Но на множестве ек будет сук <,cf (х) <сук + 1, так что в силу
теоремы о среднем
\cf(x)dx^cyk+1mek.
еь
Складывая все такие неравенства, получим
cs J cf (х) dx sg cS,
Е
где s и S суть суммы Лебега для функции /(х). Теорема по-
лучается из последнего неравенства с помощью предельного пере-
хода.
118
Пусть, наконец, с<0. Тогда
О =$ [с/ (л-) + (— с) / (x)J dx = \ cf (х) dx + (—c) J / (х) dx,
Е ЕЕ
откуда и следует теорема.
Следствие. Если f (х) и F (х) измеримы и ограничены на мно-
жестве Е, то
$ [F (х) — f (х)] dx — \F (х) dx — (х) dx.
Е ЕЕ
Теорема 5. Пусть f(x) и F (х) измеримы и ограничены на
измеримом множестве Е. Если
f(x)^F(x),
то
f (х) dx йз F (х) dx.
Е Е
Действительно, функция F (x) — f (х) не отрицательна, так что
^F dx — dx = J (F — f) dx 2? 0.
E E E
Теорема 6. Если функция f (x) измерима и ограничена на изме-
римом множестве Е, то
5/(x)rfx|< \\f(x)\dx.
Ё | Е
Доказательство. Пусть Р = Е (/ 3s 0), N = Е (f < 0). Тогда
\fdx = ^fdx-\- ^fdx = ^\f\dx— $ | f | dx,
E P N P N
.\\f\dx = \\f\dx + \ \f\dx,
E P N
и дело сводится к элементарному неравенству
\а — Ь\^а-\-Ь (аЗзО, &ЗэО).
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла
Здесь мы рассмотрим следующий вопрос: пусть на измеримом
множестве Е задана последовательность измеримых ограниченных
функций Д (х), /2 (х), /3 (х), ..., fn (х), ... которая в каком-нибудь
смысле (везде, почти везде, по мере) сходится к измеримой огра-
ниченной функции F (х). Спрашивается, будет ли справедливо
соотношение
lim jj fn (х) dx = F (x) dx. (1)
« 0° £ E
Если (1) верно, то говорят, что допустим предельный переход
под знаком интеграла.
119
Легко видеть, что вообще говоря, это не так. Например, если
функции fn(x) определены на сегменте [0, 1] стедующим образом:
_ ( П при хе (О, \/п),
|0 при xge(0, 1//1),
то при всяком хе [0, 1] будет
lim fn (х) = 0, но ( fn (х) dx = 1,
«-00 0
и этот интеграл не стремится к нулю.
Поэтому естественно поставить вопрос о тех дополнительных
ограничениях, которые нужно наложить на функцию чтобы
равенство (1) все же имело место.
Мы ограничимся доказательством следующей теоремы.
Теорема (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е
задана последовательность (х), Д>(х), /”3(х), ... измеримых огра-
ниченных функций, сходящаяся по мере к измеримой ограниченной
функции F (х)
(х) =>F(x).
Если существует постоянная К, такая, что при всех п и при
всех х
\Ш\<к,
то
lim \fn (х) dx = $ F (х) dx. (1)
,1 СО £ £
Доказательство. Прежде всего заметим, что почти для
всех х е Е будет
(2)
В самом деле, из последовательности {/л(х)} можно (на осно-
вании теоремы Рисса) извлечь частичную последовательность
{/лА(х)}, которая сходится к F (х) почти везде. Во всех точках, где
f„.ft(x)->F(x),
можно перейти к пределу в неравенстве I /,ч (х) I < К, что и при-
водит к (2).
Пусть теперь о есть положительное число. Положим,
An(a) = E(\fn-F\^O), Bn(o) = E([fn~F\<(j).
Тогда
\fndx- \F dx < $|/rt-F;rfx =
E E E
= $ \Jn-F<dx+ \fn — F\dx.
Anw BnW
120
В силу неравенства | f„ (х) — F (х) | s?; | fn (х) | 4-1F (х) |, почти для
всех х из множества Л,До) будет | fn (х) — F (х) | < 2/С, так что по
теореме о среднем
$ \fn — F\dx^2K-mAn(sa) (3)
Д, (О)
(то обстоятельство, что неравенство \f„ —может не вы-
полняться на множестве меры 0, несущественно. Можно, напри-
мер, функцию I fn (х) — F (х) | на этом множестве изменить, сделав ее
равной нулю; тогда неравенство (3) будет выполняться во всех
точках А. Но так как изменение функции на множестве меры О
не влияет на величину интеграла, то (3) верно и без такого изме-
нения).
С другой стороны, опять-таки в силу теоремы о среднем,
I fn — F | dx sS отВп (о) отЕ.
Сопоставляя это с (3), находим, что
\fn dx — $ F dx I 2K mAn (o) + crnE.
e e |
(4)
Заметив это, возьмем произвольное е>0 и найдем столь малое
О 0, что а-тЕ <е/2. Фиксировав это о, мы, на основании са-
мого определения сходимости по мере, будем иметь, что при п->оо
тЛ„(о)-*0
и, стало быть, для п> N окажется 2/< • тАп (о) < е/2.
Для этих п неравенство (4) примет вид
\fndx—\F dx
L Е
< е.
что и доказывает теорему.
Легко понять, что теорема остается верной и в том случае,
когда неравенство |Д(х)|</< выполняется только почти везде на
множестве Е. Доказательство остается прежним.
Далее, поскольку сходимость по мере общее обычной сходи-
мости, то теорема и подавно сохраняет силу для того случая,
когда fn(x)-+F (х) почти везде (и тем более везде).
§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
Пусть на сегменте [а, &] задана (не обязательно конечная)
функция /(х). Пусть х0 е [а, 6] и 6>0. Обозначим через та(х0)
и Мд (х0) соответственно точную нижнюю и точную верхнюю гра-
ницы функции /(х) на интервале (х0 —6, х0 + 6)
ma(x0) = inf {/(х)}, Мй (х) = sup {/ (х)} (х0-6 <х<х0 + б).
121
(Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание лишь
те точки интервала (ха —б, xfl-|-6), которые лежат также и на сег-
менте [й, 6].)
Очевидно, т6 (хГ|) f (х„) < Л46 (х0).
Если 6 уменьшается, то т&(хи) не убывает, а М&(хй) не воз-
растает. Поэтому существуют определенные пределы
tn(x0) = lim m6(x0), М(х0) = lim М& (х0),
6-10 б-ч-о
причем, очевидно,
т6 (х0) < т (х0) f (х0) М (хп) М6 (х0).
Определение. Функции т (х) и М (х) называются соответственно
нижней и верхней функциями Бэра для функции f(x).
Теорема 1 (Р. Бэр). Пусть функция f(x) конечна в точке х0.
Для того чтобы f(x) была в этой точке непрерывна, необходимо
и достаточно, чтобы было
т(хй) — М(хЛ). (*)
Доказательство. Допустим, что функция f (х) непрерывна
в точке х0. Взяв произвольное е>0, найдем такое 6 > 0, что как
только |х — хп|<б, так сейчас же | /(х) — /(х0) | < е.
Иначе говоря, для всех хе(х(|- б, хиф-б) будет
/(х0)-е</(х)<Дх0) + в.
Но отсюда следует, что
/ (хД - е < тб (х0) < Л4в (х0) sg / (х0) Д е,
а стало быть, и тем более
/ (х0) - е < т (х0) -С /И (х0) < f (х0) + е,
откуда, ввиду произвольности е, и вытекает (*). Итак, необходи-
мость условия (*) доказана.
Пусть теперь, обратно, дано, что (*) выполнено. Тогда, оче-
видно, т (х0) = /И (х0) = / (х0) и общее значение функций Бэра
в точке хи конечно.
Возьмем произвольное е>0 и найдем столь малое б>0, что
т (х0) - е < щ6 (х0) т (х0), М (х0) М6 (х0) < М (х0) + е.
Эти неравенства означают, что
/(хо)-е<т6(хо), /Ч6(х0) </'(х0)4-е.
Если теперь хе(х0- б, х0-фб), то /(х) лежит между т&(хй)
и Мб(х0), так что /(х0)-е </(х) </'(х(,) + 8.
Иначе говоря, из того, что |х—х0|<б, вытекает, что
|/(х)-/(Х„)| <8,
т. е. функция /(х) непрерывна в точке х0.
122
Основная лемма. Рассмотрим последовательность дроблений
сегмента [а, 6]
а = х,,11 < х/' < .. < хя’,’ = Ь,
а = х(и‘> < х'1’ <... < х^ = Ь,
причем при 1-+00
Z, = max [х^-х^О.
Пусть т^ есть точная нижняя граница значений функции f (х)
на сегменте [х£'>, х^1)+1]. Введем функцию ср, (х), полагая
<Р« W = при х 6= (х«, x£>H)
<р,(х) = О При Х = Х^\ х{‘\
Если х0 не совпадает ни с одной точкой xj.'1 (z = 1, 2, 3,
k = O, 1, 2, н,), то
lim ср, (х0) = т(х0).
i —*00
Доказательство. Фиксируем какое-нибудь t и обозначим
через [х^>, Л'1',+ 1] тот из сегментов z-ro способа дробления, который
содержит точку х0. Так как х0 не совпадает ни с одной из точек
деления, то х<1) < х(, <С х(Д*+ j и, следовательно, при достаточно
малых б>0 будет (х0 — б, х(,б) с [х^>, х^,], откуда следует,
что nty ^ть(хц) или, что то же самое, что ср, (х0) < ш6(х0).
Устремив б к нулю и перейдя к пределу, находим, что при
любом I
ср, (хо)=ст(хо).
Этим самым лемма уже доказана для случая т (х0) = — оо.
Пусть m(xn)> — оо и пусть /г<т(х0). Тогда найдется такое
б > 0, что тб (хп) > h. Фиксировав это б, найдем столь большое i0,
что при i>i0 будет [х^1, х^>+1]с (х0 — б, х0 + б), где, как и выше,
[х£>, ^-м] есть сегмент, содержащий точку х0. Существование
такого z0 следует из условия ->-0.
Для таких i будет /п^'’(х0) > Л, или, что то же самое,
ср, (х0) > h.
Итак, для всякого /i<m(xu) найдется такое z0, что приг>г0
h < <р, (х0) ==5 т (х0),
а это и значит, что ср, (х0)->-т (х0). Лемма доказана.
Следствие 1. Функции Бэра m (х) и Л1 (х) измеримы.
В самом деле, множество точек деления |х^*} счетно и, стало
быть, имеет меру нуль. Поэтому лемма означает, что ср, (х)-► m (х)
почти везде.
123
Но <р( (х) измерима, ибо это ступенчатая функция, значит изме-
рима и функция т(х). Для верхней функции Бэра М (х) рассу-
ждение аналогично.
Следствие 2. Если в условиях леммы исходная функция j (г)
ограничена, то
ь ь
(L) ,(х) dx -* (L) т (х) dx.
а а
Действительно, если |f(x) К, то, очевидно,
|cpt(x)| |т(х)| +=А,
откуда прежде всего следует, что эти функции интегрируемы (L),
после чего остается сослаться на теорему Лебега о предельном
переходе под знаком интеграла.
Перефразируем теперь следствие 2. Для этого заметим, что
ь ",-14+1
(L) <р( (х) dx = 2 <fi(x)dx = 2 ^-)[x^+i-x^)] = s„
a k~0 м k=0
xk
где s, есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая /-му способу дробле-
ния. Таким образом, следствие 2 означает, что при /->оо
ь
st —(L) m (х) dx.
а
Аналогично можно установить, что верхняя сумма Дарбу S,
при возрастании / стремится к интегралу от верхней функции Бэра
ь
S( (L) $ М (х) dx.
а
Но в таком случае
ь
S( — s, -> (L) j [М (х) — tn (x)J dx.
а
С другой стороны, в курсе Анализа устанавливается, что для
того, чтобы ограниченная функция /(х) была интегрируема (У?),
необходимо и достаточно условие S, —sI->0.
Сопоставляя это со сказанным выше, мы видим, что для инте-
грируемости (R) функции /(х) необходимо и достаточно, чтобы
было
ь
(L) $ [М (х) — т (х)] dx = 0. (1)
а
Условие (1) во всяком случае выполнено, если разность
М(х)~ т(х) эквивалентна нулю, но так как э/а разность неот-
рицательна, то и обратно из (I) следует, что
/п(х)~А!(х). (2)
124
Итак, интегрируемость (7?) ограниченной функции f(x) равно-
сильна соотношению (2).
Сопоставив этот результат с теоремой 1, получаем следующую
теорему.
Теорема 2 (А. Лебег). Для того чтобы ограниченная функ-
ция f (х) была интегрируема (R), необходимо и достаточно, чтобы
она была непрерывна почти везде.
Эта замечательная теорема представляет собой наиболее про-
стой п ясный признак интегрируемости (/?). В частности, она
оправдывает сделанное в § 1 замечание, что интегрируемыми (R)
могут быть только «не очень разрывные» функции.
Допустим теперь, что функция f(x) интегрируема (R). Тогда
она необходимо ограничена и почти везде будет т(х) = М(х). Но
ведь т (х) f (х) «с М (х). Значит, почти везде /(х) = т(х), и/(х),
будучи эквивалентна измеримой функции т (х), измерима сама.
Так как всякая ограниченная измеримая функция интегрируема
(L), то такова же и / (х), т. е. из интегрируемости какой-нифдь
функции в смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле
Лебега.
Наконец, из эквивалентности функций / (х) и т (х) следует, что
ь ь
(L) f (х) dx = (L)\m (х) dx.
а а
Но, как известно из курса Анализа, в условиях основной
леммы для интегрируемой (R) функции /(х) будет
ь
3,->(2?ф(хЖ
а
где я,- есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая z-му способу дроб-
ления. Сопоставляя это с тем, что, как показано нами,
ь
st -> (L) т (х) dx,
а
мы видим, что
ь ь
(R) \f(x)dx = (L)\f(x)dx.
а а
Таким образом, имеет место
Теорема 3. Всякая функция, интегрируемая (R), необходимо
интегрируема и (L), и оба ее интеграла равны между собой.
В заключение отметим, что функция Дирихле ф (х) (равная нулю
в иррациональных и единице в рациональных точках) интегри-
руема (L) (ибо она эквивалентна нулю), но, как мы видели в § 1,
не интегрируема (/?), так что теорема 3 не обратима.
125
§ 5. Восстановление первообразной функции
Пусть на сегменте [а, fc>] задана непрерывная функция f(x),
которая в каждой точке [а, й] имеет определенную производную
[' (х) (в концевых точках а и b имеется в виду односторонняя про-
изводная). Спрашивается, как, зная производную (х), восстано-
вить первообразную функцию ((х)?
В курсе Анализа устанавливается, что если производная f (х)
интегрируема (/?), то
а
но возможны случаи, когда (даже ограниченная) производная не
интегрируема (/?). Чтобы привести подобный пример1), введем по-
нятие нигде не плотного множества. Так называется
множество Е, обладающее тем свойством, что всякий интервал со-
держит точки, не входящие в замыкание Е множества Е.
Пример. Пусть F ограниченное, замкнутое, нигде не плотное
множество положительной меры,2) а = infF, й = зирЕ. Зададим
на [а, й] функцию f(x), положив ее равной 0 на F и равной
на интервалах (ап, Ьп), дополнительных к множеству F до отрезка
[а, й]. Легко показать, что всюду на F существует [' (х) == 0. Дей-
ствительно, пусть xn^F и х есть точка [й, й], лежащая правее хд.
Если x^F, то f(x) = f (х,,) = 0. Если же х е (аГ1, Ьп), то хи^ап<.х.
Поэтому
х - х0 5г х - ап
и
I I < (Х - ап) (Ь - < (х - Хй) (й - й)2.
I Х *0 I
Отсюда вытекает, что /ф (х0) = 0. Аналогично и /1 (х0) = 0. Если
х) Первый пример такого рода принадлежит итальянскому математику
В. Вольтерра (1881). Немного более простой пример, приводимый нами, заим-
ствован из книги П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова
«Введение в теорию функций действительного переменного», изд. 3-е, 1938 г.,
стр. 215.
2) Его можно построить так: расположим все рациональные точки интер-
вала (а, 6) в последовательность гь г,, г3, ... и для каждого k построим ин-
тервал (/'/, — 6*, г^ + 6*) с. (а, Ь), взяв > 0 столь малым, чтобы оказалось
2 (61 + 62 + ^3 + ...)<& —о; множество
/ = [«, b]— rk + &k)
k=l
— требуемое.
126
x<=(an, bn), то
f W = 2 (л- - a„) (х - b„) (2х - ап - bn) sin (йл_йп) (х-а„) (х-Ьп) ~
_ _2x-an-bn CQS---------1--------
1>п—ап Фп-ап) (х-ап) (х-Ьп)
Таким образом, всюду на [а, й] существует конечная (и даже
ограниченная) f (х) и потому f(x) непрерывна на [а, Ь]. Из выра-
жения f (х) видно, что, когда х, оставаясь на (а,,, Ьп), прибли-
жается к ап или к Ьп, то f (х) не имеет предела, а колеблется
между —1 и +1. Отсюда уже легко вывести, что во всех точ-
ках Ё производная f (х) разрывна, атак как mF>0, то f (х) не
интегрируема (/?).
Таким образом, интеграл Римана не в полной мере решает
задачу восстановления первообразной по ее производной. Интеграл
Лебега оказывается более сильным орудием для решения этой
задачи.
Теорема. Пусть функция f(x) в каждой точке [а, й] имеет
производную f (х). Если f (х) ограничена, то она интегри-
руема (L) и
f(x) =/(«)+$ Г (0 dt.
а
Доказательство. Прежде всего заметим, что функция f (х)
необходимо непрерывна, поскольку в каждой точке [а, й] она имеет
конечную производную. Распространим определение функции f (х)
на более широкий сегмент [a, b-\-1], полагая для й<х^< й-)-1
f(x) = f(b) + (x-b)f' (й).
Функция I (х) теперь непрерывна и имеет конечную производ-
ную на [а, й4- 1 ].
Положим для хе [а, й] и п=1, 2, 3, ...:
ср„ (х) = пр{х+ -/(х)].
В каждой точке хе [а, й] будет lim <р„(х)-=/'(х), а так как
каждая из функций (х), будучи непрерывной, измерима, то изме-
рима и f (х), откуда следует и интегрируемость (А) этой, по усло-
вию ограниченной, функции.
Далее, по формуле Лагранжа,
<P»(x) = np(x+~) -/(х)] = /'(%+ ® ) (0 < 0 < Ц
так что все функции (х) ограничены одним числом и , по теореме
Лебега о предельном переходе под знаком интеграла,
ь ь
\/'(x)dx = lim ? (х) dx. (1)
а п~>саа
127
Но
b b b
\ q?„ (x) dx = n \ f [x + 1 j dx — n \ f (v) dx =
J J \ / J
a a a
Z> + l//7 b
= n $ f (x) dx — n (x) dx.
a-\-\/n a
(Замену переменной в интеграле от /(хф- 1/«) произвести можно,
ибо эта функция непрерывная и интеграл можно понимать в смысле
Римана, а для интегралов (7?) теория подстановки хорошо из-
вестна.) Отсюда
Ь Ь-\-\/п а-\-\/п
срп (х) <7х = n f(x)dx — n J f W dx.
a b a
Применяя теорему о среднем к каждому из последних двух
интегралов, получим
\ <fn(x)dx = flb+^}-f [а+^\ (0<8;1<1, 0<9’< 1),
J \ ,L / X /
а
откуда, на основании непрерывности функции /(х),
lim $<pn(x)t/x = f(b) — f (а).
«-<» а
Сопоставляя это с (1), найдем, что
= (x)dx.
а
Заменяя b на произвольное х из [а, д], получаем теорему.
ГЛАВА VI
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Интеграл от неотрицательной измеримой функции
В этой главе мы обобщим определение интеграла Лебега на
неограниченные функции, причем в первом параграфе займемся
функциями неотрицательными.
Лемма 1. Пусть функция f(x) измерима и неотрицательна
на измеримом множестве Е. Пусть, далее, N натуральное число.
Если функция [/(х)Ь1) определена следующим образом:
N I N, если
то эта функция также измерима.
Доказательство. Легко проверить, что
с/гп Ч ( E(f>a), если а<АД
Е 0. КЛ„
откуда и следует лемма.
В условиях леммы функция [/(х)]у, очевидно, ограничена и,
стало быть, интегрируема (Д). Так как, кроме того,
....
то
...
Е Е Е
и существует определенный (конечный или бесконечный) предел
lim $ [/ (x)]jv dx. (*)
Л'^+“£
Определение. Предел (*) называется интегралом Лебега функ-
ции / (х) по множеству Е и обозначается символом
f (х) dx.
Е
г) Эту функцию иногда называют «срезанной функцией», или, короче,
«средой функции / (х) числом N».
б И. П, Натансон 129
Если этот интеграл конечен, то функция f (х) называется
интегрируемой (L) или суммируемой на множестве Е.
Таким образом, мы приписываем интеграл всякой измери-
мой неотрицательной функции, но суммируемой будем называть
только ту функцию, у которой интеграл конечен.
Иногда, желая подчеркнуть, что интеграл понимается в смысле
Лебега, обозначают его символом
(Л) \f(x)dx.
Е
Для случая, когда £' = [«, Ь], употребляют обозначение
ь
$ / (х) dx.
а
Нетрудно видеть, что для ограниченной (измеримой и неотри-
цательной) функции /(х) новое определение интеграла совпадает
с данным ранее, ибо при достаточно больших W будет
f/(x)]№/(x).
Поэтому всякая ограниченная (измеримая и неотрицательная)
функция суммируема.
Теорема 1. Если функция f(x) суммируема на множестве Е,
то она почти везде конечна на этом множестве.
Доказательство. Положим А = Е (/= + оо).
На множестве А функция [/(x)]w равна W, так что
J [/].v dx J [/]л- dx = N • mA,
Е А
и если бы оказалось, что mA > 0, то интеграл j [/]л' dx возра-
> Е
стал бы неограниченно вместе с N, что противоречит суммируе-
мости функции f(x).
Теорема 2. Если тЕ~0, то всякая неотрицательная функ-
ция f(x) суммируема на множестве Е и
§ f (х) dx = 0.
Е
Эта теорема очевидна.
Теорема 3. Если функции f(x) и g(x) эквивалентны на мно-
жестве Е, то
\f(x)dx = \g(x)dx.
Е Е
Действительно, в каждой точке, где функции f(x) и g(x) равны
между собой, будут равны и функции [/(x)].v и [g(x)]iV, так что
эти последние функции также эквивалентны друг другу. Осталь-
ное ясно.
130
Теорема 4. Если функция f(x) неотрицательна и измерима
на множестве Е, а Ео есть измеримое подмножество Е, то
\f(x)dx^\f (х) dx.
Ео Е
Действительно, это неравенство очевидно, если f(x) заменить
на [f (х)].у, после чего остается перейти к пределу при М->оо.
В частности, из суммируемости функции /(х)на множестве £ сле-
дует ее суммируемость на всяком измеримом подмножестве £.
Теорема 5. Пусть функции f(x) и F (х) неотрицательны и
измеримы на множестве Е. Если f (х) s^F (х), то
(х) dx F (х) dx.
Е Е
Это свойство устанавливается интегрированием очевидного не-
равенства [£ (*)]х и последующим предельным пере-
ходом.
В частности, если F (х) суммируема, то суммируема и f(x).
Теорема 6. Если (б обычных предположениях)
<\lf(x)dx = 0,
Е
то функция f(x) эквивалентна нулю.
Доказательство. Так как
О $ [/ (х)]г dx < $ f (х) dx,
Е Е
то функция [Нх)]1 эквивалентна нулю. Но легко видеть, что
всюду, где |7(x)]i = 0’ будет и f(x) = O, ибо [/" (х)]г может при-
нять только одно из двух значений: f(x) и 1. Остальное ясно.
Теорема 7. Пусть f (х) и f" (х) две неотрицательные изме-
римые функции, заданные на множестве Е. Если f(x) = f (х) +
+ f" (х), то
\f(x)dx=\ f (х) dx ф- J f" (x) dx.
E E E
Доказательство. Так как при любом N
[Г (*)]„ +[Г (x)]N^f(x),
то
$ \fdx,
ЕЕ Е
откуда, переходя к пределу при Л/-^о-о,
dx-\- \f" dx \fdx. (1)
EE E
Чтобы доказать обратное неравенство, установим, что при
всяком W будет
[/ Wlv < [Г (х)]у + [Г' (*)]у.
(2)
131
б*
Пусть х0^Е. Если f(x0)-<A', f" (x0)^N, то
[f (*o)b f (*o) = f (x0) + f' (x0) = [f (x0)],v + [f" (x0)]y.
Если же хоть одно из чисел /'(х0) и /" (х0) больше, чем N, то
U (*о)]лг = W [f (х0)]лг + [f' (Х0)]лг,
ибо одно из слагаемых правой части равно Af, а другое неотри-
цательно. Итак, (2) доказано.
Интегрируя неравенство (2), получим
$[Пл^*+
Е Е Е
Отсюда
$ [fljv dx < dx + $ f" dx
E EE
и в пределе при jV->-|-oo
\fdx^ dx+ У" dx. (3)
E E E
Сопоставляя (1) и (3), получаем теорему. В частности, если
каждая из функций f (х) и f" (х) суммируема, то суммируема и
их сумма.
Теорема 8. Если f (х) измеримая неотрицательная функция,
заданная на множестве Е, a k^O конечное число, то
^kf(x)dx = k У (х) dx.
Е Е
Доказательство. Теорема тривиальна, если k = 0. Для
всякого натурального k она есть следствие предыдущей теоремы.
Если k=\/m, где т натуральное число, то, опять-таки в силу
теоремы 7, будет
f(x)dx = m ( ±f(x)dx
Е Е
И
^f(X>dx = ^ f(x)dx-
Ё - Е
Отсюда следует справедливость теоремы при всяком рациональ-
ном значении k. Пусть, наконец, k есть иррациональное положи-
тельное число. Возьмем такие положительные рациональные
числа г и R, что r<zk<R. В силу теоремы 5
г $ f (х) dx \kf (х) dx R У (х) dx
ЕЕ Е
и остается перейти к пределу при г и R, стремящихся к k.
В частности, из суммируемости функции /(х) вытекает сумми-
руемость kf(x).
132
Следующая теорема очень важна. Перед ее формулировкой
докажем одну почти очевидную лемму.
Лемма 2. Пусть в точке х0 будет
lim fn(x0) = F(x0).
п ОО
Тогда при всяком натуральном N
lim [fn (x0)]jv = [Е (х0)]у.
П -> СО
Доказательство. Если F(x0)>N, то для достаточно
больших п будет fn(x0)>N и, стало быть (для этих п),
[fM]N = N = [F (x0)].v.
Точно так же, если F (хп) < /V, то, для достаточно больших п,
будет /n(x0)<N и, стало быть,
[fn № = fn (*о) F (-Vo) = [E (*o)b-
Остается рассмотреть случай, когда F (х0) = N. В этом случае
для любого е>0 можно указать такое п0, что при п>п0 будет
fn(Xy)>N — е и, стало быть (при п>п0),
JV-e<[M-Vo)]№SJV.
т. е.
| [Е (x0)],v - [fn (-ULv I < е (« > »o)-
Итак, лемма верна во всех случаях.
Теорема 9 (П. Фату). Если последовательность измеримых
и неотрицательных функций f\ (х), /2 (х), ... почти везде на мно-
жестве Е сходится к функции F (х), то
F (х) dx sup Н fп (х) dx\.J) (*)
Е U J
Доказательство. В силу леммы, почти везде на множе-
стве Е будет (при n->oo) [f„ (x)]..v -► [Е (x)].v.
Поскольку каждая йз функций [fn (x)],v ограничена числом N,
мы можем применить теорему Лебега о предельном переходе под
знаком интеграла, так что ^[Е]дгб/х= lim $ dx.
£ п —00 Е
!) Нетрудно вид§ть, что (*) верно и тогда, когда последовательность
{/п(х)} сходится к F (х) не почти везде, а лишь по мере. Действительно,
в этом случае из {[п (х)) выделяется подпоследовательность {f»ft(x)}> сходя-
щаяся к F (х)' почти везде, и достаточно отметить, что sup | fnk (х) dx| С
Sr's up (х) dx|. Укажем, что это замечание не есть обобщение теоремы,
ибо в теореме не исключен случай, когда F (х) ^-|-оо, а тогда о сходимости
по мере говорить нельзя.
133
Но при любом п
$ LM,V dx < 5 f* dx SUP {$ /» dx^<
так что и в пределе
\[F]Ndx^ supH^dxl.
Е Ie J
Устремив теперь N к +°° и перейдя к пределу, мы полу-
чаем теорему. В частности, если все /п(х) суммируемы и
$/„ (х) dx-pA <4-оо.
ь
то суммируема и предельная функция F (х).
Следствие. Если в условиях теоремы существует
lim \fn(x)dx, (4)
" 03 Е
то
\F (х) dx < 1 im \ Д (х) dx. (5)
Е п^со Е
Доказательство. Следствие тривиально, если предел (4)
равен 4-Допустим, что
lim jj fn dx — I <4- oo.
Тогда для любого e>0 можно найти такое п0, что при
п п0
yndx<l + ^-
Е
Применив теорему к последовательности функций До (х),
По+1(х), .... мы получим, что
F dx < 14- е,
Е
откуда, в силу произвольности е, и следует (5).
С помощью этого следствия легко получить теорему, относя-
щуюся к вопросу о предельном переходе под знаком интеграла.
Теорема 10 (Б. Леви). Пусть на множестве Е задана воз-
растающая последовательность измеримых неотрицательных функ-
ций
Если
F(x)= lim Д (х),
п -> со
то
\F (х) dx= lim (Д (х) dx.
L 11 - - J E
134
Доказательство. Прежде всего, предел lim \fndx суще-
£
ствует и, по предыдущему следствию,
\Fdx< lim \fndx.
е п- Е
С другой стороны, при всяком п будет fn (х) <<F (х), откуда
^fn(x)dx^ \F(x)dx,
Е Е
а значит, и в пределе
lim \frldx-c: \F dx.
E E
Теорема доказана.
Теорема 11. Пусть на множестве Е задана последователь-
ность измеримых неотрицательных функций п1(х), и2(х), ...
Если
У =F(x),
k=i
то
J F (x) dx= У jj uk (x) dx.
e a = 1 E
n
Для доказательства достаточно положить fn (х) = uti (х) и при-
А = 1
менить предыдущую теорему.
Следствие. Если в условиях теоремы
У $ Uk (х) dx < + оо,
А—1 Ь
то почти везде на множестве Е будет
lim uk (х) = 0. (6)
k -* со
В самом деле, в рассматриваемом случае функция F (х) сум-
мируема и, стало быть, почти везде конечна. Иначе говоря, ряд
У и/г (х) сходится почти везде, а в точках сходимости этого ряда
выполнение (6) очевидно.
Теорема 12 (Полная аддитивность интеграла). Пусть
измеримое множество Е является суммой конечного числа или
счетного множества попарно не пересекающихся Измеримых мно-
жеств Ek
£=УДл (ЕьЕь = 0, k^k').
k
135
Для всякой неотрицательной измеримой функции f (х), задан-
ной на множестве Е, будет
\[(х)йх = УД I (х) dx.
ь k ck
Доказательство. Введем функции «*(х) (£=1, 2, .. ),
полагая
( f(x), если x<=Ek,
W = 1 Л г- г-
( 0, если х е Е — Ek.
Легко видеть, что f (х) = У uk (х), а потому (в силу теоремы 7,
k
если число слагаемых конечно, и теоремы 11 в противном случае)
\f(x)dx = £l Ju., (x)dx. (7)
Ь k Е
Вычислим теперь интеграл J uk (х) dx. Для этого отметим, что
Е
г /М ( [/WU если x^Ek,
( 0, если хе£- Ек,
откуда следует, что
J[u*]vdx = J [fLvrfx.
Е bk
Увеличивая W и переходя к пределу, найдем
J ик dx = J f dx,
Е Ek
что, в связи с (7), и доказывает теорему.
§ 2. Суммируемые функции любого знака
Теперь мы распространим определение интеграла Лебега на
неограниченные функции любого знака. Как мы увидим, это ока-
зывается возможным не для всех измеримых функций.
Пусть f(x) есть измеримая функция, заданная на измеримом
множестве Е. Введем функции /+(х) и /_(х), полагая
+ \ 0, если /(х)<0’ Л (— /(х), если /(х)<0.
Эти функции измеримы и неотрицательны, так что существуют
оба интеграла J f+ (х) dx, J f (х) dx.
Е Е
136
Легко видеть, что / (х) =Д (х) — Д (х). Поэтому естественно усло-
виться называть разность
dx-\f~ (х) dx
Е Ь
интегралом от функции f(x). Однако «разность» Ц-оо — (+ оо)
лишена смысла. Поэтому символ
$Д (x)dx-^-(x) dx
Е Е
имеет смысл тогда и только тогда, когда хоть одна из функций
f+(x) и Д(х) оказывается суммируемой.
Определение 1. Если хоть одна из функций Д(х) или /_(х)
оказывается суммируемой на множестве Е, то (конечная или бес-
конечная) разность
$Д W dx - $Д(х) dx
Е Е
называется интегралом Лебега от функции f (х) по множеству Е
и обозначается символом
\f(x)dx. (1)
Е
Если измеримая функция f (х) ограничена, то обе функции
Д(х) и Д(х) также оказываются ограниченными, а потому новое
определение интеграла для функции f (х) приводится к данному
ранее. Точно так же, если (хотя бы и неограниченная) измери-
мая функция f (х) неотрицательна, то Д(х)=/(х), Д(х) = 0, и мы
снова приходим к старому определению интеграла.
Для того чтобы интеграл (1) существовал и был конечен, оче-
видно необходимо и достаточно, чтобы обе функции Д(х) и Д (х)
были суммируемы.
Определение 2. Функция f (х) называется интегрируемой (Е)
или суммируемой на множестве Е, если интеграл ^f(x)dx суще-
Е
ствует и конечен.
Всякая измеримая ограниченная функция суммируема; для
неотрицательной функции новое определение суммируемости равно-
сильно данному ранее.
Класс всех функций, заданных и суммируемых на множестве Е,
обозначается обычно через L(E). Если смешение исключено, то
вместо L (£) пишут просто L.
Таким образом, факт суммируемости функции f (г) можно
записать так: f (х) <= L.
Теорема 1. Для того чтобы измеримая функция f (х) была
суммируемой, необходимо и достаточно, чтобы суммируемой была
функция |/(х)|. Если это условие выполнено, то
\f(x)dx <
Е Е
137
Доказательство. Легко видеть, что
и, стало быть (теорема 7, § 1),
^71 dx = \ f+dx+ \ f.dx,
Е Е Е
откуда и следует теорема.
Отметим несколько очевидных следствий теоремы.
I. Суммируемая функция почти везде конечна.
II. Если тЕ = 0, то на Е суммируема всякая функция f (х)
и \j(x)dx = 0.
Е
III. Функция, суммируемая на множестве Е, суммируема и
на всяком его измеримом подмножестве.
IV. Пусть функции f (х) и F (х) измеримы на множестве Е и
\f(x)\^F(x). Если суммируема функция F (х), то суммируема
и f (х).
Если функции f (х) и g (х) эквивалентны на множестве Е, то,
очевидно, эквивалентны /+(х) и g+(x), а также и /_ (х) и g_(x).
Отсюда вытекает
Теорема 2. Пусть функции f (х) и g (х) эквивалентны. Из
существования одного из интегралов \ f (х) dx и $ g (х) dx следует
Е Е
существование другого и их равенство.
В частности, функции f (х) и g(x) одновременно суммируемы
или нет. В дальнейшем мы вообще не будем различать между
собой эквивалентные функции. Тгщое соглашение очень удобно:
например, можно без оговорок складывать суммируемые функ-
ции. Дело в том, что при образовании суммы /'(х)+ Д (х) мы
должны исключать из рассмотрения те точки, где слагаемые при-
нимают бесконечные значения разных знаков. Чтобы не делать
такого исключения, мы просто будем в этих точках менять зна-
чение одного из слагаемых, ибо множество таких точек имеет
меру нуль (слагаемые суммируемы!). При этом безразлично, какое
слагаемое изменяется и какое новое значение мы ему припи-
шем, — новая сумма эквивалентна старой.
Теорема 3 (Конечная аддитивность интеграла). Пусть
множество Е есть сумма конечного числа попарно не пересекаю-
щихся измеримых множеств
(EkEk. = Q, k^k').
k = \
Если функция f (х) суммируема на каждом из множеств Ek, то
она суммируема и на их сумме Е и
5 / (х) dx = V 5 f W dx.
Е k = \ Ek
138
Доказательство. В силу теоремы 12, § 1 справедливы
равенства
\f+dx=^ \fidx, \f-dx=jd \ f-dx,
Е k=\ Е, Е k — \E.
k k
причем их правые (а значит и левые) части конечны. Остается
вычесть второе равенство из первого.
В случае счетного множества слагаемых из суммируемости
функции f (х) на каждом слагаемом не вытекает ее суммируемости
на их сумме.
Пример. Пусть функция f (х) задана на (0, 1] следующим
образом
п при
— п при
2n+t
2п (n-|- 1) " п ’
1 2/г+1
п + 1 2п (n-|- 1)
(n= 1, 2, 3, ...).
Тогда f (х) суммируема на каждом из полусегментов '’"ppp — I,
1/м
причем $ f(x)dx=0.
W + 1)
Вместе с тем на сумме их (0, 1] функция f (х) не суммируема,
ибо
I ОО 1/П ОО
L/(x) dx=y |/(х); dx= У -1- = + оо.
o’ п = 11/Л1) п = 1
Однако имеют место такие теоремы о полной аддитивности
интеграла.
Теорема 4. Если функция f (х) суммируема на множестве Е,
представимом в форме суммы счетного множества попарно не
пересекающихся измеримых множеств
E = ^Ek (ЕкЕ^=О, k^k'),
А = 1
то
$/(х)г/х=2 \f(x)dx. (2)
Е k=lEb
Теорема 5. Пусть измеримое множество Е представимо
в форме суммы счетного множества попарно не пересекающихся
измеримых множеств Ek. Если f (х) суммируема на каждом из
множеств Ek и если
ОО
У, $ I/(X) I (/х< + оо,
то f (х) суммируема на множестве Е и справедливо равенство (2).
139
Доказательство. В условиях теоремы 4 имеем (см. тео-
рему 12, § 1)
со со
$ М*. $f-dx==.S \f-dx,
E k = \E& E k—IEk
причем левые (а значит и правые) части этих равенств конечны.
Остается почленно вычесть второе равенство из первого.
Если выполнены условия теоремы 5, то (в силу теоремы 12, § 1)
^\f\dx=^ 5 \f\dx.
Е k = 1 Е.
R
Отсюда следует суммируемость функции \f(x)\, а, стало быть,
и функции f (х) на множестве Е, и дело сводится к теореме 4.
Следует отметить, что, как видно из предшествующего при-
мера, условие теоремы 5 нельзя заменить условием сходимости
ряда
* со
У, u W dx.
* = 1 Е.
k
Теорема 6. Если функция f (х) суммируема на множестве Е,
a k — конечная постоянная, то функция kf (х) также суммируема
на Е и
\kf (х) dx = k / (х) dx.
Е Е
Доказательство. Теорема тривиальна, если» й = 0. Для
k>0, на основании очевидных равенств (kf)^ = kf+, (kf)_ = fcf ,
теорема сводится к теореме 8, § 1 (именно, нужно проинтегриро-
вать7 указанные равенства и почленно вычесть второе из первого).
Чтобы исследовать случай отрицательного k, рассмотрим сна-
чала более частный случай, когда k = —1. Легко видеть, что
(—/)+ = /-, (—/)-=/+, откуда
\-f(x)dx = $/_(x)dx- $/+(x)dx = — \f(x)dx.
E E E E
Итак, множитель (—1) можно выносить из-под знака интеграла.
Пусть, наконец, k есть произвольное отрицательное число.
Тогда
^kf dx = — i I f dx = — ' k\ dx = k'\f dx
EE EE
и теорема доказана.
Следствие. Если функция f (х) суммируема на множестве Е,
а <р (х) измерима и ограничена на этом множестве, то произве-
дение их ср(х)/(х) суммируемо на Е.
Действительно, абсолютная величина этого произведения
(являющегося, очевидно, измеримой функцией) не превосходит
суммируемой функции /<|/(х)|, где K = sup {] <р (х) |}.
140
Теорема 7. Если каждая из функций /' (х) и f’ (х) сумми-
руема на множестве Е, то суммируема и функция /(х)=/'(х) +
+ /’(х), причем
\f(x)dx=\ f (х) dx + Г (x) dx. (3)
E E E '
Доказательство. Суммируемость функции f (x) следует
из того, что | f (х) i | /' (х) I + /’ (х) |, и теоремы 7, § 1. Остается
доказать равенство (3). С этой целью введем множества
£1=£(/'=г0, Г=эО); £2 = £ (/' < 0, f" < 0);
£3 = £(/'^0, f <0, /SsO); £, = £(/'=г0, /’ <0, f <0);
£5 = £(/'<0, /’SsO, fssO); £, = £(/'<0, /"^0, /<0).
6
Очевидно, £ = 2 £*(£*£*' = 0. k=£k')\ достаточно доказать,
А = 1
ЧТО
5 fdx= 5 f'dx + \f“dx ............6).
bk Ek
Это делается одинаково для всех k. Для примера проведем
рассуждение для й = 6. Переписав равенство / (х) =/' (х) Д-/" (х)
так:
-f (х)=Г (х) + 1-/(х)],
мы добиваемся того, что на множестве £6 оба слагаемых правой
части неотрицательны. Поэтому, в силу теоремы 7, § 1, мы имеем
$ (-f)dx= \f"d*+ (~f)dx,
Е, Е, Еа
откуда
J f dx = § /' dx + J f dx.
Ea E& Ea
Теорема доказана. Следующая теорема очень важна.
Теорема 8. Пусть функция f (х) суммируема на множестве Е.
Всякому е > 0 отвечает такое б > 0, что для любого измеримого
множества есЕ с мерой те<б будет
$ / (х) dx < е.
Доказательство. Одновременно с функцией f (х) сумми-
руема и ее абсолютная величина 7(х),- Поэтому, на основании
самого определения интеграла от неотрицательной функции, суще-
ствует такое Л^, что
J 7(х)\dx- С [7WlW*<f-
Е Е
141
Положим 6 = -^. Эю 6 является искомым. Действительно,
2 Л/ о
функция / (х) — [|/(v) ],v„ не отрицательна на множестве Е. Зна-
чит, какое бы измеримое подмножество е множества Е ни взять,
необходимо
$ {7W ,-[
е Е
откуда
§ \f(x)idx — (x)\]Nodx< |,
е е
и, стало быть,
§ \f W' dx < у + [ \[ (х), ]„0 dx.
е е
Но так как [ | / (х) | No, то
\[\f(x)\]Nlldx^N0-me,
и, следовательно,
\f (х) | dx< ^-\-N0-me.
Отсюда ясно, что при те <6 будет
$|/(х)',г/х<е,
и тем более I$ f (х) dx
е
< Е,
что и требовалось доказать.
Доказанное свойство интеграла называется его абсолютной
непрерывностью.
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла
Теорема Лебега, доказанная в § 3, гл. V, допускает следую-
щее обобщение.
Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на множестве Е задана после-
довательность измеримых функций f1(x), f2(x), /3(х), ..., кото-
рая сходится по мере к функции F (х). Если существует такая
суммируемая функция Ф(х), что при всех п и х
\fn (х)|=сФ(х),
то
$ fn W dx= (х) dx.
Доказательство. Прежде всего заметим, что условие (*)
обеспечивает суммируемость каждой из функций /я(х). Далее,
легко видеть, что почти для всех х будет
|/Дх)!^Ф(х). (1)
142
Чтобы обнаружить это, достаточно, пользуясь теоремой Рисса,
выделить из {/Л (х)} подпоследовательность (х)|, сходящуюся
к F (х) почти везде, и перейти к пределу в неравенстве
|^(х)|^Ф(х).
Изменив, в случае надобности, значения функции F(х) на мно-
жестве меры нуль, можно добиться выполнения неравенства (1)
в каждой точке множества Е. Из (I), в частности, вытекает сум-
мируемость функции F (х).
Выберем теперь произвольное о>0 и положим.
Л(о) = Е( fn-F\^o), Bn(o)=E('fn-Fl<o).
Тогда Е = Ап (о) Д-Вп (ст), Л„(а) В„(о)=0, и при «->-&□
тЛл(о)->0.
Заметив все это, проведем такие оценки:
\\fndx-\Fdx ^\\fn-F\dx= \ \fn — F\dx~F 'fn-F\dx.
| £ £ £ Л^а) вп (ф
Но на множестве Вп (а) будет fn — F | < а, откуда
§ — F | dx=C отВп (а) а • тЕ.
Вп (а)
С другой стороны, \fn — F | ==S 2Ф (х), так что
1 fn — F | dx < 2 Ф (х) dx.
Сопоставляя все сказанное, получаем
Ц fn dx — § F dx -С 2 Ф (х) dx + amE. (2)
I £ £ Ап (<I)
Пусть, наконец, e > 0. Фиксируем столь малое а > 0, что
а • тЕ < ® . (3)
Затем, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла от
функции Ф(х), найдем такое 6 > 0, что для всякого измеримого
множества е cz Е с мерой те < 6 будет
J Ф(х) dx<
е
Если п>п0, то (при уже фиксированном о) тАп(о) <6, и,
стало быть,
2 £ <b(x)dx<l. (4)
143
Сопоставляя (2), (3) и (4), мы видим, что при п>п0 оказы-
вается
fn (х) dx - \ F (х) dx
Е Е
< е,
что и доказывает теорему.
Следствие. В условиях теоремы будет
п™сс ф dx = $ф F dx’
где <р (х) любая измеримая ограниченная функция.
В самом деле, если ф (х) : АГ, то | <р (х) [п (х) | КФ (х),
и условие (*) выполнено. Остается обнаружить, что
<р(х)/„ (х) => <р (х) F (х).
Но это вытекает из того, что
Е (14>fn - фА i S& а) с: Е fn - F | > ° ),
так что наше предложение доказано.
Доказанную деорему можно еще более обобщить. Для этого
нам понадобится ввести одно важное понятие. Пусть на измери-
мом множестве Е задано целое семейство М = {/ (х)} суммируемых
функций. Если мы фиксируем какую-нибудь из этих функций
/о(х), то для всякого е>0 можно будет указать такое б > О, что
соотношения е^Е, те<Z& влекут соотношение
$/oW dx|<e.
Но это б зависит от выбора функции f0 (х) и, вообще говоря,
одного общего б для всех функций семейства М не существует.
Это обстоятельство дает повод установить следующее
Определение. Пусть M — {f(x)\ есть семейство суммируемых
функций, заданных на множестве Е. Если всякому е > 0 отвечает
такое б > 0, что соотношения ес£, /ие<б влекут соотношение
(x)dx
< е
для любой из функций семейства М, то говорят, что функции
семейства имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы.
Теорема 2 (Д. Витала). Пусть на измеримом множестве Е
задана последовательность суммируемых функций Д(х), f2(x),
/з(х), ..., сходящаяся по мере к функции F(x). Если функции
последовательности {fn(x)} имеют равностепенно абсолютно не-
прерывные интегралы, то F (х) суммируема и
lim U (x)dx= \F(x)dx.
n —► OO d J
144
Доказательство. Прежде всего нужно убедиться в том,
что и предельная функция F (х) суммируема на множестве Е. Для
этого выберем произвольное е > 0 и найдем такое 6 > О, что при
те < 6 будет
\fn(x)dx < | (п=1, 2, 3, ...).
Пусть е какое-либо измеримое множество (е а Е) с мерой
те <.8. Тогда, полагая e+ = e(fn^Q), е_ = е (fn <0), мы будем
иметь me+<S, и, стало быть,
$ | fn (х) | dx < е.
откуда
(5)
Иначе говоря, функции |/п(х)| также имеют1) равностепенно
абсолютно непрерывные интегралы.
Если построить (по теореме Рисса) подпоследовательность
сводящуюся к F (х) почти везде и написать неравенства
(5) для fn (х), то теорема Фату из § 1 позволяет утверждать, что
$ | F (х) | Дх-С е, (6)
так что F (х) суммируема на множестве е. Здесь е означает любое
подмножество Е с мерой <6. Отсюда ясно, что F (х) суммируема
и на исходном множестве Е, ибо его можно разложить на конеч-
ное число частей с мерой <б.
Теперь можно приступить к доказательству главного утверж-
дения теоремы. Выбрав а>0и положив, как и выше,
An(<F) = E(]fn-F\^(F), Bn(o) = E(\fn-F\<ZG),
мы снова получим оценку
$ fn dx — $ F dx С § | fn — F | dx + omE.
E E An (a)
Отсюда
\\ fndx — \F dx \ \fn\dx+ \F\dx+^tnE. (7)
|E E An(a) An(ay
Пусть e>0 и о фиксировано столь малым, что о/п£<е/3.
!) Читателю рекомендуется обратить внимание на то, что нами попутно
доказано наличие равностепенно абсолютно непрерывных интегралов у семей-
ства модулей | /п (х) । при единственном условии, что сами функции fn (х)
имеют такие интегралы.
145
Как мы видели в начале доказательства, всякому е > 0 отве-
чает такое 6 > 0, что как только е cz Е, те <8, так сейчас же
[см. (5) и (6)]
^\fn\dx<e3, ^F\dx<l.
Но для n>nQ будет тЛл (ст) <6, так что (7) принимает вид
\\fndx-\Fdx
I Е Е
< е,
и теорема доказана.
Следствие. В условиях теоремы будет
lim ср (х) fn (х) dx = $ ф (х) F (х) dx,
где ф (х) есть любая измеримая ограниченная функция.
В самом деле, если 1 ф (х) | -С К, то
$ <Р (*) fn (*)
S К $ I fn W i dx,
так что функции ф(х)/„(х) также имеют равностепенно абсолютно
непрерывные интегралы.
Оказывается, что это следствие обратимо. Чтобы установить это обстоя-
тельство, нам понадобится важная и сама по себе
Теорема 3 (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е задана после-
довательность суммируемых функций {fn (х)}. Если для всякого измеримого
подмножества е множества Е оказывается
lim f (х) с/х — О, (8)
71 —► СО 2?
то функции fn (х) имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы.
Доказательство Допустим, что теорема неверна. Это значит, что
существует число е0 > 0, обладающее следующим свойством: для всякого б > О
можно найти измеримое множество е cz Е с мерой пгг <6 и индекс п такие,
что
j fn W dx | c e0. (9)
Заметив это, фиксируем какое пибудь 6>0 и рассмотрим первые W функций
последовательности: [±(х), f.,(x), .... f^(x). Для каждой из функций fk(x)
найдется такое 8k > 0, что как только те < 6/г (e cz £), так сейчас же
| рА W dx{ < 80. (10)
Обозначим через 6* наименьшее из чисел 6, бг 6„, ..., бЛ,. По сказан-
ному выше, для 6* найдутся множество е cz Е с мерой тс < б* и индекс п,
для которых выполнено неравенство (9). С другой стороны, те <6* (fe=l,
2....Л/), так что для 6=1, 2, , N выполняется (10) и, стало быть, п> N.
Таким образом, число е0 обладает следующим свойством- каковы бы ни
были числа б>0 и X, найдутся тмеримое мно/кество е<£ и индекс п,
для которых
146
Установив -по, фиксируем какое-нибудь множество cz Г и индекс nit
для которых
'i fn, Сч d*\ - to
Опираясь на абсолютную непрерывность интеграла от функции fn (х),
подберем такое > 0, чтобы для всех множеств е cz Е с мерой те < было
fn, (х) dx
to
4 '
Сделав это, найдем такие множество е2 cz Е и индекс и2, что
б с
и2 > «1, те2 < , \ fn, W dx еа,
fn2 W dx
п2 > «1,
после чего подберем такое б2 > 0, чтобы из те <62 (ес Е) вытекало
f,,2 W dx
е0
4 '
Нетрудно понять, что 32 < \/2.
Проделав сказанное, находим множество е3 cz Е и индекс п3, для которых
б2
«з > «•>, те3 < ,
Г*) dx
после чего подбираем такое <53 > 0, чтобы из те < б3 (е cz Е) вытекало
f,h W dx
s0
4 ’
Очевидно, б3 < 62/2.
Продолжая этот процесс, мы построим три последовательности: измери-
мых множеств с: Е, строго возрастающих индексов и чисел 6* > О
такого рода, что
5 fn (х) dx
3) если е cz Е и те < 6А., то
\ fn„ (х) dx
So
4 ’
Из этих свойств следует, что бА+1< б*/2, а потому
т ('-’/i -1 т~2 Н-- а + ) < 2 • <6*.
Стало быть,
fnk W dx
ek (C* + l +ей + 2+ ' •)
Введем в рассмотрение новые множества
(Ek +24" • )•
So
4 ‘
147
Ясно, что
, , . . 3
(х) dx е0.
(И)
3 %
Аь
Вместе с тем (что и является
чает их от множеств ек) множества
что и потому
т (/1а-ц+-4а^2 + ?1а + з + "-) < 5а- (12)
нетрудно закончить доказательство теоремы. Именно,
обозначим через k2 какой-нибудь из индексов т> 1, для
Заметим еще,
целью введения множеств Ak и что отли-
Ah попарно не пересекаются.
Теперь уже
положим Ax=l и
которых
е0
4 '
Существование таких индексов т вытекает из условия (8). Сделав это, обо-
значим через /г3 какой-нибудь из индексов т > k2, для которых
Ak,+ Aki
Продолжая этот процесс, мы получим строго возрастающую последова-
тельность k2 < k2 < ka <z ..., такого рода, что
fn^ W dx
(13)
Ak+-AAk.
i <-i
С этим неравенством следует сопоставить неравенство
е0,
(14)
ЛА(.
являющееся частным случаем (11).
Наконец, в силу (12)
т(Л*г+1 + Л*1-
и, стало быть,
Ak + ль
Й« + 1 *» + 2
Со
4 ’
(15)
4 ’
А
Положим Q = ЛА1 + ДА1 + /1Ла4-... Тогда
рл. (x)dx= j f„ (x)dx +
Q д^+...+лА._1 ki a
ki
4 а "Т Ль 4-. «.
*1 + 1 *1 + 2 ‘
откуда, в связи с (13), (14) и (15), следует, что
fnk (х) dx,
Т 0 = 1. 2,4...),
Г‘‘
а это противоречит условию (8). Теорема доказана.
148
Несколько сложный способ1) доказательства этой теоремы применяется,
однако, весьма часто, читателю следует тщательно разобрать изложенное
рассуждение.
Следствие 1. Пусть на измеримом множестве Е заданы последовательность
суммируемых функций {fn(x)f и суммируемая функция F (х). Если для любого
измеримого множества е cz Е оказывается
lim ( fn (х) dx = f F (x) dx, (16)
л—e
то функции fn (x) имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы.
В самом деле, по теореме 3, разности fn(x) — F(x) имеют равностепенно
абсолютные интегралы, а тогда наше утверждение следует из неравенства
| j fn (х) «S | j {fn (x)~P(x)} dx | +| j F (x) dx | _
Следствие 2. Пусть на измеримом множестве Е заданы последовательность
суммируемых функций fn(x) и суммируемая функция F (х). Если для любой
измеримой ограниченной функции <р (х) будет
lim f (р (х)/„ (х) dx = ( ф (х) F (х) dx,
л-со Е Е
то функции fn (х) имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы.
В самом деле, за функции <р (х) можно, в частности, выбирать характерис-
тические функции различных измеримых подмножеств Е, а тогда дело сво-
дится к следствию 1. Этим и оправдано наше замечание об обратимости след-
ствия теоремы 2
Из всего сказанного мы получаем следующий результат.
Теорема 4 (Д. Витали). Пусть на измеримом множестве Е задана
последовательность суммируемых функций {/„(х)}, сходящаяся по мере к сум-
мируемой функции F(x). Для того чтобы равенство (16) имело место для вся-
кого измеримого множества е с Е, необходимо и достаточно, чтобы функции
fn (х) имели равностепенно абсолютно непрерывные интегралы.
Следует заметить, что условие равностепенной абсолютной непрерывности
интегралов функций fn (х) становится необходимым только при требовании,
чтобы предельный переход можно было осуществить под знаком интеграла,
распространенного на любое измеримое подмножество множества Е. Из одного
же соотношения
lim ( fn (х) dx= ( F (х) dx
л-оо Г Е
равностепенной абсолютной непрерывности упомянутых интегралов не выте-
кает. Пусть, например, функции fn (х) заданы на [0, 1] следующим образом:
/„(0) = 0и 1
п при 0<Х5£-^-,
fn (x) = -j-n
О
при
при
Ясно, что последовательность этих функций стремится к нулю и
1
lim \fn(x)dx = 0.
л-cog
i) Представляется уместным называть его «способом скользящего горба».
149
Вместе с тем
1/2/?
fn(x)dx~= 2
О
и равностепенной абсолютной непрерывности нет.
Интересно, что для функции, сохраняющих знак, дело обстоит проще
Именно, имеет место
Теорема 5. Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность
неотрицательных суммируемых функций (х)}, сходящаяся по мере к функ-
ции F (х). Если допустим предельный переход под знаком интеграла, распро-
страненного на все множество Е, то допустим также и предельный переход
под знаком интеграла, распространенного на любое измеримое подмножество ‘)
е множества Е.
Эта теорема без труда выводится из теоремы Фату* 2) [гл 6, § 1]. В самом
деле, допустим, что теорема неверна. Тогда найдется измеримое множество
А ст Е, для которого равенство
lim ( fn (х) dx — \ F (х) dx
не выполняется. Но тогда найдется такое число о > 0, что бесконечное мно-
жество интегралов \ ftl (х) dx лежит вне интервала
л
\Fdx- 2а, \'/’dx-|-2a
л л
Если бы существовало бесконечное множество интегралов fn (х) dx,
л
меньших, чем \F(x)dx— 2а, то можно было бы, перейдя к частичной после-
л
довательности, считать, что неравенство
f / п (х) dx \ F (х) dx— 2а
А А
имеет место для всех п, а это сразу привело бы к противоречию с упомяну-
той теоремой Фату. Таким образом, для бесконечного множества значении п
будет
f fn (х) dx f F (х) dx + 2а, (17)
и можно считать, что это так для всех п. Но так как под знаком интеграла,
распространенного на все множество Е, предельный переход по условию допу-
стим, то для достаточно больших п окажется
fn (х) dx — j F (х) dx I < a,
откуда, снова переходя
всех п будет
к частичной последовательности, получим, что при
( fn (х) dx < j F (х) dx-[-a.
Е Е
х) Предыдущий пример показывает, что без условия /ге(х)^0 теорема
неверна.
2) Точнее, из подстрочного примечания к этой теореме.
150
Вычитая отсюда неравенство (I7) и вводя множество В = Е — А, находим
) fn (х) d v < \ Г (л) dx - а,
в в
что приводит к противоречию с теоремой Фату.
Из этой теоремы вытекает
Теорема 6 (Г. М. Фихтенгольц). Пусть на измеримом множеств' Е
задана последовате юность суммируемых функций {fn (х)}, сходящаяся по мере
к суммируемой функции F (х). Соотношение
lim fn (х) dx = । F f.ij j dx (18)
n " Ё Ё
необходимо и достаточно для того, чтобы равенство (16) имело место для
всякого измеримого множества е ст Е.
Действительно, если (18) выполнено, то в силу теоремы 5 в этом соотно-
шении можно заменить множество Е любым измеримым множеством е ст Е.
Но тогда функции fn (х) , а значит и функции fn (х), имеют равностепенно
абсолютно непрерывные интегралы, откуда и следует выполнение (16) для вся-
кого измеримого е ст Е.
Обратно, если равенство (16) имеет место для всякого измеримого мно-
жества е с Е, то функции fn (х) имеют равностепенно абсолютно непрерывные
интегралы. Но тогда (см. сноску на стр. 169) и модули fn (х) , имеют такие же
интегралы, и остается применить теорему 2 к этим модулям.
В заключение остановимся на признаке, с помощью которого можно уста-
навливать равностепенную абсолютную непрерывность интегралов.
Теорема 7 (LLI.-Ж. Валле-Пуссен). Пусть на измеримом множестве Е
задано семейство измеримых функций М = -If (х)}. Если существует положитель-
ная возрастающая функция Ф («), заданная для u>^Q и стремящаяся к +оо
вместе с и, для которой
J I f W I Ф (I f W )dx<A,
Е
где f (х) любая функция из М, а А конечная постоянная, от выбора f (х)
не зависящая, то функции f (х) суммируемы на Е, а интегралы их равносте-
пенно абсолютно непрерывны.
В пояснение условий теоремы, заметим, что суперпозиция Ф (] f (х) ]) моно-
тонной функции Ф (и) и измеримой функции I f (х) । есть функция измеримая.1)
Переходя к доказательству, возьмем е>0. Ему отвечает такое К, что
А е
2 •
Закрепив это К, рассмотрим какое-нибудь измеримое множество есЕ. Пусть
/ (х) есть любая функция из М. Положим eY = e (( f (х) | > К), е2 = е (| f (х) | -с'-К).
Тогда 1
j \f(x) ,dx= Jj|f(x) dx-}-
e
+ j ,/(x) dx I f (X) I • Ф (] f (x) I) dx+ I f (x) I dx.
e2 <?i ег
Отсюда
A p
\ |/(x) |rfxs£-^y +К-те2<-^А-Ктв.
e
J) В самом деле, если а>0,то Е (Ф (и) > а) есть интервал вида (6, -J-oo)
или [Ь, + оо). Поэтому Е (Ф (/) > а)=Е (f > 6) или Е (J >^Ь).
151
g
Этим уже доказана суммируемость /(х). Кроме того, положив & —
хК.
чим, что при те < 6 будет
$ | f(x) \dx < е.
е
полу-
Теорема доказана. Из нее, например, вытекает, что, если для функций f (х)
семейства М будет
f2 (х) dx < А,
то эти функции имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВАМ V и VI
1. Если fn (х) 0 и fn (х) dx -> 0, то fn (х) 0, но не обязательно fn (х)
Ё
будет стремиться к 0 почти везде.
2. Соотношение \ Г ® равносильно тому, что fn (х) 0.
.) 1 + I fn I
Е
3. Если an-*Q, то существует последовательность неотрицательных изме-
00
римых функций u,t(x), такая, что У а.п ип (х) dx < + оо, но ни в одной
п= I Е ’
точке Е функции ип (х) не стремятся к 0.
4. Если интеграл \ ср (х) f (х) dx существует при любой суммируемой функ-
Е
ции f (х), то функция <р (х) ограничена почти везде (Лебег).
5. Пусть на множестве Е задана измеримая конечная функция f (х).
Возьмем ряд чисел
У-з, У-2, У-i, Уо, У1, Уг, Уз, (Уь~+ + с°, — ® < Ук+i —У/г <
и положим ek-.= E (yks^f <yk+1). Для суммируемости функции f (х) необхо-
ОО
дима и достаточна абсолютная сходимость ряда У,
k = — оо
6. Если в условиях упражнения 5 ряд У ykmek абсолютно сходится, то
при Х->0 его сумма стремится к f (х) dx.
Е
7. Предел равномерно сходящейся последовательности функций, интегри-
руемых (/?), есть функция, интегрируемая (/?).
8. Характеристическая функция канторова совершенного множества Ро
интегрируема (/?).
9. Если f (х) равна 0 в точках канторова множества Ро и равна п на тех
дополнительных к Ро интервалах, длина которых равна 3_/1, то j/(x)dx = 3
О
(Е. Титчмарш).
10. Чтобы измеримая и неотрицательная f (х) (а-^x-^b'} было суммируе-
мой, необходимо и достаточно, чтобы было У тЕ (f п) < -f-оо (Орбек).
11. Пусть f(x)>:0 измеримая функция, a {f (х))д, функция, равная f (х)
или 0, смотря по тому —будет ли /(xJ^jV, или /(х)>А'. Если [ (х) почти
везде конечна, то
lim \ {f (x)}jVdx= f/ (х) dx.
'-''L с
Условие, что f (х) почти везде конечна, отбросить нельзя.
152
12. Пусть f (х) и g (x) две неотрицательные измеримые функции, заданные
на множестве Е. Если Еу = Е (g __ у), то
$ / (*)£ W ^х = ( Ф (у) dy,
Е О
где Ф (у) = J f (х) dx (Д. К. Фаддеев).
13. Пусть на [0, 1] расположены п измеримых множеств Еъ Е%, ..., Еп.
Если каждая из точек [0, 1] принадлежит по крайней мере q из этих мно-
жеств, то хоть одно из них имеет меру ^q/n (Л. В. Канторович).
14. Пусть на [а, 6] задана суммируемая функция /(х). Пусть, далее,
а есть постоянное число, 0 < а < b — а. Если для каждого множества е меры
а будет j/ (х) dx = 0, то )(х)~0 (М. К. Гавурин).
е
15. Пусть f (х) суммируема на [а, Ь] и равна 0 вне [а, Ь]. Если
х + h. b h
<р (х) = —f (i) di, то | q> (х) J dx sS | f (х) | dx (А. Н. Колмогоров).
х —h а а
16. Пусть на [а, Ь] задана суммируемая функция f (х). Если при любом
С
с(а^с^.Ь) будет f (х) dx = 0, то f (х) — 0.
а
17. Пусть на [а, Ь] задана строго положительная суммируемая функция
)(х). Пусть 0 < q ^Ь — а и S есть множество таких измеримых подмножеств
е сс [а, 5], у которых me^q. Показать, что
inf f (х) dx\ > 0.
eeS j
18. Пусть Л4 = {/(х)} семейство функций, суммируемых на [а, Ь]. Если
функции семейства имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы,
то существует возрастающая положительная функция Ф (и), заданная при
0 - и <_ + со, стремящаяся к + со вместе сии такая, что для всех [ (х) из
ь
М будет 1 f (х) ] • Ф (j f (х) |) dx А <-|-со, где постоянная А не зависит
а
от выбора f (х) (Валле-Пуссен).
19. Если f (х) суммируема на [ц Ь\ то для любого е >0 существует такая
ь
непрерывная на [а, б] функция ф(х), что j | f (х) — <p (х) | dx < е.
а
20. Если f (х) суммируема на [а, £>-|-б] (б > 0), то
ъ
lim ( J(x+A) —f(x) | dx =0.
21. Пусть на [a, b\ задана измеримая функция f (х) > 0. Соотношение
ь ь
\ [/ W hn dx - ( [f (х) ]„ dx 0
а а п^оэ
и п • тЕ (/>п)->0 равносильны (IO. С. Очан).
22. Пусть на [а, Ь] заданы две измеримые функции f (х) > 0 и
ь
g(x)>0. Если существует конечный предел lim I {[) (х)]„ — [g (x)]nJ dx, и
п тЕ (j > л) -> 0, то л • тЕ (g > л) -? О (10. С. Очан).
ГЛАВА VII
ФУНКЦИИ, СУММИРУЕМЫЕ С КВАДРАТОМ
§ 1. Основные определения. Неравенства. Норма
В этой главе мы рассмотрим весьма важный класс функций —
функций с суммируемым квадратом. Для простоты мы будем
предполагать, что все функции, о которых идет речь, заданы
на некотором сегменте Е = [а, Ь].
Случай, когда функции определены на произвольном измери-
мом множестве Ео с: Е = [а, &], может быть сведен к указанному
выше, если каждую рассматриваемую функцию доопределить,
полагая ее равной нулю в точках множества £— Ео.
Определение. Измеримая функция f (х) называется функцией
с суммируемым квадратом, или функцией, суммируемой с квадра-
том, если
ь
J /2 (х) dx <Z + оо.
а
Множество всех функций с суммируемым квадратом обозна-
чается обычно *) символом L2'.
Теорема 1. Всякая функция, суммируемая с квадратом, сум-
мируема, т. е. L2 с: L.
Эта теорема вытекает из очевидного неравенства
Точно так же из неравенства
вытекает
Теорема 2. Произведение двух функций, суммируемых с квад-
ратом, есть функция суммируемая.
Отсюда, в силу тождества (f Azg)2 = f2±2fg-[-g2, следует
Теорема 3. Сумма и разность функций, входящих в L2, вхо-
дят в Ь2.
!) Иногда, чтобы указать, о каком отрезке [a, Z>] идет речь, пишут
U ([а, Д).
154
Наконец, отметим вполне очевидное обстоятельство, что одно-
временно с f(х) в L2 входят и все функции вида kf(x), где k
конечная постоянная.
Теорема 4 (Неравенство Буняковского). Если f (х) <= Л2
и g(x) е L2, то
Г*
$ / W g (х) dx
-а
г&
~b
J f2 (x) dx • \g2 (x) dx .
-a
L-д
(1)
Доказательство. Рассмотрим квадратный трехчлен
ф (и) = Аи2 2Ви 4- С,
коэффициенты которого А, В, С вещественны и А > 0. Если этот
трехчлен неотрицателен при всех вещественных значениях и, то
В2^АС. (2)
Действительно, если бы это было не так, то оказалось бы,
что
ф(- л;=а(<-В2)<о.
Заметив это, положим
b b b ь
ф (и) — (x)4~g(-r)]2 dx =и2 \J2 dx-\-2u'\l fgdx-\~\ g2 dx.
a a a a
Этот трехчлен неотрицателен и потому для него выполняется
условие (2), что равносильно теореме.т)
Следствие. Если f (х) е L,, то
ь ____ ГЬ
\\f(x)\dx^]Pb-a-l/ \f2{x)dx. (3)
а У а
Действительно, полагая в (1) g(x) = l и заменяя /(х) на |/(х) |,
мы получаем (3).
Теорема 5 (Неравенство Коши). Если f(x)eL2 и g(x)<=
Л2, то
\/ $ [f (х) + g (х)]2 dxf2 (х) dx1Z\g2(x)dx.
’ а У а У а
Доказательство. Извлекая корни из обеих частей нера-
венства Буняковского, находим
\fg dx < 1/ $ Р dx • 1/ $ g2 dx.
а У а У a
b b
x) Мы предполагаем, что f1 dx > 0. Если бы было = то функ-
а а
Ния f (х) была бы эквивалентна нулю и неравенство (1) превратилось бы
в тривиальное тождество 0 = 0.
153
Умножая это неравенство на 2 и прибавляя к обеим ча-
стям по
6 ь
[f2 dx-\~[g2 dx,
а а
получим
6 / гь гь \2
\(f + g)2dx^ 1/ \pdx+~\/ ,
а \ г а V a J
откуда и следует теорема.
Неравенство Коли позволяет рассмотреть множество Д с новой
точки зрения. Именно, если мы сопоставим каждой функции
/(x)gL2 число |7||='|/Г \Р(х)дх, то будут иметь место следую-
щие обстоятельства:
I. || f || 0, причем. [| f || = 0 тогда и только тогда, когда f (х) ~ 0.
II. ||^/|| = |^|-[1/|| и, в частности, ||—/|| = ||/[).
in. Iimwi/Hkll-
Число ||/|| называется нормой функции /(х). Аналогия между
||/|| и абсолютной величиной [х| вещественного (или комплексного)
числа х бросается в глаза. Эта аналогия служит источником ряда
важных и красивых построений.
Грубо говоря, основное назначений абсолютной величины в
Анализе заключается в том, что с ее помощью мы производим
измерение расстояний на числовой прямой р(х, у) = \х — у\.
Но в таком случае введение нормы позволяет и на мно-
жество L2 смотреть как на некоторое «пространство», в котором
также можно производить измерения, если принять число
Р(А £) = И“gll
за расстояние между элементами fag класса £2.
Если мы условимся эквивалентные между собой функции
считать за тождественные, то расстояние р (/, g) будет обладать
привычными нам свойствами:
1) р(/, g)^®, причем р (/, g)=Q тогда и только тогда,
когда f = g.
2) р(/, g) = p(g, f).
3) Р(/, g)^P(f, h) + p(h, g).
Если на некотором множестве А элементов любой природы
задана подобная функция пары элементов р(х, у), то множество А
называют метрическим пространством.
Значит L2 есть метрическое пространство. Впервые эту точку
зрения на L3 развил Д. Гильберт, почему L2 часто называют
пространством Гильберта.
156
§ 2. Сходимость в среднем
Понятие нормы позволяет ввести понятие предела в простран-
стве Гильберта при помощи почти тех же выражений, что и
в обычном случае числовой прямой.
Определение 1. Элемент f пространства L2 называется пределом
последовательности flt f2, f3, ... элементов этого же пространства,
если всякому е>0 отвечает такое М, что при всех n>N будет
\\fn4\\<£-
Это же обстоятельство мы будем выражать, говоря, что после-
довательность {/„} сходится к элементу /, или что элемент fn
стремится к /, и записывать обычным образом
Здесь мы должны обратить внимание читателя на глубокое
различие соотношений /п(х)->/(*) и
Первое означает, что при фиксированном х числовая последо-
вательность в обычном смысле сходится к пределу /(х).
Второе же соотношение означает, что последовательность эле-
ментов L2 сходится к элементу /е!,в смысле определения 1.
В обычных терминах теории функций соотношение fn-+f означает,
что
ь
lim [/„ (х) - f (х)]2 dx = 0.
а
Этот новый вид сходимости последовательности функций назы-
вается сходимостью в среднем.
Теорема 1. Если последовательность {fn(x)} сходится в сред-
нем к функции f(x), то она сходится к ней и по мере.
Доказательство. Пусть о>0 и
А„(а) = £(|Д-/>а).
Тогда
ь
$(/»- f)2dx^ tf«4)2fe<r'WI„(o),
а Ап (ст)
и так как о фиксировано, то тАп (о) -> 0, а это и значит, что
fn^f.
Следствие. Если последовательность {/„(%)} сходится в среднем
к f(x), то из нее выделяется подпоследовательность {/Л/г(х)},
сходящаяся к f(x) почти везде.
Это следствие устанавливается простым сопоставлением тео-
ремы 1 и теоремы Ф. Рисса из § 3, гл. IV. Можно его, однако,
доказать без всякого привлечения сходимости по мере. Именно,
157
b
если lim $ (fn — /)2 dx = 0, то можно найти такие n1<«2<n3<-•
п->ооа
ЧТО
ь
а
со b
Тогда ряд \(fnk — f)2dx сходится и, по следствию теоремы
k — 1 а
11, § 1, гл. VI, почти везде на [а, Ь]
fnk (x)-+f(x).
Заметим, что из сходимости в среднем последовательности
{/„(*)} к функции f(x) не следует ее сходимости к f(x) почти везде.
Это иллюстрируется хотя бы примером, приведенным в § 3, гл. IV.
Точно так же, сходимость fn(x)-+f(x) в каждой точке [а, Ь|
не влечет за собой сходимости в среднем.
Пример. Пусть на [0, 1] задана последовательность (х)}:
Д(х) = п при 0<х< 1 и Д(х) = 0 в прочих точках [0, 1].
Тогда ясно, что при любом А'е[0, .1] будет ПтД(х) = 0, но
в то же время
I 1/п
^j'n(x)dx = п2 dx = «->4-оо.
о о
Теорема 2 (Единственность предела). Последовательность
fi, fi> fa, , элементов L2 может иметь только один предел.
Доказательство. Допустим, что fn~^f, fn~*g, тогда
\\f-g'\^\f-fn\\ + \\fn-g\\,
и так как правая часть этого неравенства стремится к нулю, а
левая постоянна и не отрицательна, тоЦ/ — g|| = 0, откуда f — g = О
и f = g, что и требовалось доказать.
Можно дать и другое доказательство теоремы. Если и
fn-+g, т0 последовательность {fn(x)} сходится по мере и к f(x)
и к g(x), так что f (х) g (х), а эквивалентные функции мы
условились считать за один элемент пространства.
Теорема 3 (Непрерывность нормы). Если fn->-f, то
11 Ml-> II/11-
Доказательств о. Из очевидных неравенств
11М<11/11+11Л-Л, Ш1<11МЖ1Л-/11
вытекает, что
Н1МН1/11К11Л-/11.
откуда следует теорема.
158
Следствие. Нормы членов сходящейся последовательности {Д}
ограничены.
Определение 2. Последовательность {[„} точек пространства £>
называется сходящейся в себе, если всякому е>0 отвечает такое
N, что как только n>N и m>N, так сейчас же ||Д —Дг||<е.
Теорема 4. Если последовательность {Д} имеет предел, то
она сходится в себе.
Доказательство. Пусть lim Д = /. Взяв произвольное
в>0, найдем такое N, что при n>N будет
Если теперь п> N и т> N, то
||Д-/т||<11Д-Л1 + 11/-/т||<в,
что и доказывает теорему.
Гораздо более глубокой является обратная
Теорема 5 (Э. Фишер). Если последовательность {fn} схо-
дится в себе, то она имеет предел.
Доказательство. Возьмем сходящийся ряд ~ и для
k = i
каждого k подберем такое что при n^nk и тщ.пк будет
||/л —
Не ограничивая общности, можно считать, что щ < п2 < п3 <z. .
так что |! - fnk || < , и, стало быть,
СО
S ~ fnk\\ < + °О.
k = 1
В силу неравенства (3) § 1
$ I f «ft+l — fnk I dx ~a\\f nk+1 — fnk l|,
a
так что ряд
co b
.S j I f'ik+i — fnk I dx
k—\ a
также сходится. Отсюда, в силу теоремы 11, § 1, гл. VI сходится
почти везде ряд | Д, (х) 1 + У | ДА+1 (х) - fnk (х) |, и тем более почти
k = 1
везде сходится ряд
fn, W + У {/^+1 (х) -fnk(x)}.
k = 1
159
Но сходимость этого последнего ряда, очевидно, равносильна
существованию конечного предела lim fn (х).
II —
Введем функцию f(x), равную этому пределу, всюду, где он
существует и конечен, 'и равную нулю в тех точках, где этот
предел не существует или бесконечен. Функция f(x), очевидно,
измерима, и (х)->-/ (х) почти везде на [а, &].
Нашей задачей является установить, что эта функция есть
элемент пространства Гильберта и что она и является пределом
последовательности элементов {fn}.
С этой целью, взяв произвольное в > 0, найдем такое N, что
при n>N и m>N будет \\fn — /т||<е.
Если k0 таково, что nka~>N, то при любом n>N и любом
ь
k>k0 будет $ (/„ - fnky dx < е2.
а
Отсюда, применяя теорему Фату к последовательности функций
ь
{(fn-fnk)2} (£>£0), находим, что1) $ (/„-/)2 Jx<e2, т. е. при
а
любом п> N будет ||/я —Теорема доказана.
Свойство пространства Гильберта Л2, установленное в этой
теореме, называют полнотой этого пространства. Читатель конечно
заметил, что теоремы 4 и 5 являются аналогом известного признака
сходимости Больцано — Коши. Признак Больцано — Коши есть
одна из многочисленных форм свойства непрерывности числовой
прямой Z. Это свойство можно выразить любым из следующих
предложений:
А. Если точки прямой Z разбиты на два класса X и У так,
что каждая точка класса X расположена левее каждой точки
класса У, то либо в классе X есть самая правая точка, либо
в классе У есть самая левая точка.
В. Ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю
границу. '
С. Монотонно возрастающая и ограниченная сверху переменная
имеет конечный предел.
D. Если {dn} есть последовательность вложенных друг в друга
сегментов, длины которых стремятся к нулю, то существует точка,
входящая во все сегменты dn.
Е. Признак Больцано — Коши: последовательность {х„}, сходя-
щаяся в себе, имеет конечный предел.
Достаточно удалить из прямой Z одну точку, чтобы все
указанные теоремы стали неверны.
Из теорем А, В, С, D, Е только последняя, Е, сформулирована
без помощи понятия о порядке точек на прямой. Естественно
поэтому, что именно она и переносится в качестве характеристики
х) Из этого соотношения следует, что fn(x)— f (х) <= L2, а значит и то,
что f (х) е £2.
160
свойства непрерывности пространства на случай пространств более
сложного типа, чем числовая прямая.
Определение 3. Множество А, содержащееся в L2, называется
всюду плотным в L2, если любая точка *) Д есть предел последо-
вательности точек, принадлежащих А.
На теоретико-функциональном языке это определение звучит
так: класс функций A cz L2 всюду плотен в L2, если всякая
функция, входящая в L2, есть предел (в смысле сходимости в сред-
нем) последовательности функций, выделенных из А.
Легко видеть, что для того, чтобы множество А = {g\ было
всюду плотным в А,, необходимо и достаточно, чтобы для любой
точки f е Ь.2 и любого е >,0 можно было найти такую точку
6= Л, что I'J — gj1 < е.
Теорема 6. Каждый из классов функций:
М—класс измеримых ограниченных функций,
С — класс непрерывных функций,
Р - - класс многочленов,
S — класс ступенчатых функций
всюду плотен в L2. Если основной сегмент [а, б] есть [—л, л],
то всюду плотен и класс
Т — класс тригонометрических многочленов.
Доказательство. 1) Пусть f (х) е L.2. Взяв произвольное
е > 0, найдем (пользуясь свойством абсолютной непрерывности
интеграла) такое б > 0, что соотношения е с [а, Ь], те <6 влекут
соотношение jj /2 (х) dx < £2.
В силу теоремы 1, § 4, гл. IV для этого б>0 можно найти
такую измеримую ограниченную функцию g (х), что тЕ (f =К g) <Z б,
причем можно считать, что g(x) = 0 в точках множества E(f^=g).
Тогда
ь
\\f-g\? = \(f-g)*dx = J (f~gYdx= $ /2б/х<е2,
a E(f^g) Eif^S)
т. е.
Этим теорема доказана для класса М.
2) Пусть /(х)еТи е > 0. Найдем такую функцию g (х) е М,
что |lf —g'|<e/2. Пусть \g(x)\^K.- В силу теоремы Лузина
существует такая непрерывная функция <р (х), что
р2
тЕ(£^ц)<-^,
Для этой функции будет
ь
к-ф||2 = § (g-^fYdx = (g-q)2r/.vzy4/C-m£’(g V=q)<
х) Т. е. элемент L.,
6 И. П. Натансон
161
откуда
||g —Ф||<|, и, стало быть, ||/ —ф|<е.
Этим теорема доказана для класса С.
3) Пусть /(.v)eL и е > 0. Найдем такую <р (х) е С, что
||/-ф||<е/2.
Далее, по теореме Вейерштрасса подберем такой многочлен Р(х),
что для всех х е [а, Ь] будет
|<р(х)- Р(х) < —4=.
2 | b — а
Тогда
ь
С Р2 ₽2
|1ф-Р|,2 = (ф_р)2^<т_2__. (/,_й)= С
а
откуда
||ф- Р||< и, стало быть, (I/ —Р||<е,
Итак, теорема доказана для класса Р.
4) Пусть f (х) L2 и е > 0. Найдем такую ф (х) е С, что
||/ — Ф || < е/2.
Так как ф(х) непрерывна на [а, 6], то [я, 6] можно разбить
точками с0 = а < су < с., <;... < сп = b на такие части, в каждой
из которых колебание ф(х) меньше, чем —L=. Сделав это,
2 V b -а
введем ступенчатую функцию s(x), полагая:
s (х) = ф (ск) (ск:-х <.ск lt k = 0, 1...., п — 2)
s (х) — ф (с„л) (сл_! х -с Ь).
Тогда всюду на [й, Ь] будет s (х) — ф (х) < —и потому
2 | /> —а
И-ф||<|, откуда )|/-s||<e,
и теорема доказана для класса S.
5) Пусть, наконец, [я, £>]-[—л, л] и
Взяв произвольное е>0, мы, как и выше, найдем такую
непрерывную на [—л, л] функцию ф (х), что ||/ — ф]| <е/2.
Пусть | ф (х) I sg К-
Построим на сегменте [—л, л] непрерывную функцию ф(х),
полагая
ф(х) = ф(х) при ,ге[—л Д6, л], ф(—л)=ф(л)
и считая функцию ф (х) линейной на сегменте [— л, — л -ф 6],
при этом 6 > 0 мы выбираем под условием 6 < .
Функция ф(х), так же как и ф(х), непрерывна на [—л, л],
но, что сейчас для нас главное, она периодична, т. е. ф(—л) = ф(л).
162
При этом, очевидно, ! тр (х)К, так что
л — л + 6
II <Р - Н5 II2 = (ф - Ф)2 dx = (q> - 4>)2 dx 4№6 < ~
—л — л
откуда if — ф )| < Зе/4.
В силу теоремы Вейерштрасса (периодичность ф (л*)!), существует
такой тригонометрический многочлен Т(х), что при всех ге[-п, л]
|ф(х)-Т(х);<-^.
4 I 2л
л
Тогда ф — Т\? — (ф — Т)2 dx < ~ , и, следовательно,
— л
I'/— Т\<У, что и завершает доказательство теоремы.
Во многих вопросах важною роль играет понятие слабой
сходимости последовательности функций.
Определение 4. Последовательное! ь функций fr (х), f2(x), ....
входящих в L.,, называется слабо сходящейся к функции f (х) е L2,
если равенство
ь ь
I ini $ £ (х) fn (х) dx = $ g (х) f (х) dx
имеет место при всякой функции gCrjeL,.
Мы не будем подробно изучать этот новый вид сходимости,
а ограничимся только одной теоремой.
Теорема 7. Если последовательность функций {fn (х)} схо-
дится в среднем к функции f(x), то она сходится к ней и слабо.
Доказательство. Пусть g(x)e/L2. Тогда неравенство
Буняковского дает, что
g(x) [f,, (x)-f(x)]dx\
откуда
~b -] p
\g4x)dx \[fn(x)-f(x)]2dx
a J L a
b b
\gfndx-\gf dx
a a
^kll<-n->o,
что и требовалось доказать.
§ 3. Ортогональные системы
Определение 1. Две функции f (х) и g(x), заданные на сегмент
[а, Ь], называются взаимно ортогональными, если
ь
\f(x)g(x)dx = 0.
а
6*
163
Определение 2. Функция /(х), заданная на [а, Ь], называется
нормированной, если
ь
(x)dx=l.
Определение 3. Система функций (х), ®2(х), ®3 (х), .. ,
заданных на cei менте [а, &], называется ортонормальной системой,
если каждая функция системы нормирована, а любые две функции
системы взаимно ортогональны.
Иначе говоря, система функций {ац (х)} ортонормальна, если
г ( 1
ръ (х) (Dk (г) dx =
Ясно, что всякая ортонормальная система содержится в Д2.
Классическим примером ортонормальной системы является
тригонометрическая система
1 cos* sin х cos 2х sin 2х ...
V 2л ’ ф л ’ J/ л ’ К л |/л’ ’
рассматриваемая на сегменте [— л, -ф л].
Пусть какая-нибудь функция / (х) <= L, есть линейный агрегат
функций ортонормальной системы f (х) = qoq (х) -ф... -ф с„ы,, (х).
Умножая это равенство на <щг(х) (А = 1, ..., п) и интегрируя
ь
его, находим ck = f (х) <о/; (х) dx, т. е. коэффициенты q, ..., сп
определяются совершенно однозначно. В частности, если
п
Т(х) = А-\- 2 (a*cos Ах-фб* sin&x),
k = i
. то
л л л
А = L T(x)dx, ак = 1 { Т (х) cos kx dx, bh = ’ ( T(x)sin kxdx.
ZJT i Л * <Tl j
— П — Л — Л
Для тригонометрической системы эти формулы были найдены
Фурье, почему естественно дать и следующее общее определение:
Определение 4. Пусть {w*(x)} есть ортонормальная система и
/(х) некоторая функция из L2. Числа
ь
ck = \f (х) (х) dx
а
называются коэффициентами Фурье функции /(х) в системе {®*(х)ф
Ряд
ОО
У Ck^k (*)
k=\
называется рядом Фурье функции /(х) в системе {®*(х)}.
164
Рассмотрим, насколько близка в пространстве Гильберта част-
ная сумма ряда Фурье функции / (х)
Sa W = У CkUk (х)
k = I
к самой этой функции, т. е. вычислим |l/ — Sjj.
Для этого вычислим сначала интегралы
ь ь
^f(x)Sn(x)dx и \S^(x)dx.
а а
Для первого из них имеем
f (х) Sn (х) dx = У ck (х) ak (х) dx = \ c!k.
a k = 1 a k — 1
Точно так же
^S;,(x)dx = ’£clck\ti)l(x)ak(x)dx= у (2)
а г, k a k = 1
Заметив это, получаем
b bn
Wf-Snd^~ 2fSn + SA) dx = $ P dx - X &
a a k = 1
ИЛИ
n
1И-М2 = Ш2-£ 4. (3)
/г = 1
Равенство (3) называется тождеством Бесселя. Так как его
левая часть не отрицательна, то из него следует неравенство Бесселя
£4<|/||2.
4 = 1
Поскольку п здесь произвольно, то неравенство Бесселя можно
представить в усиленной форме
ОО
2 4^11/ II2. (4)
>=1
Если, в частности, окажется, что
ОО
£4 = 11 Л2. (5)
к=1
то это равенство носит название формулы замкнутости. *) Оно
имеет очень простой смысл. Именно, тождество Бесселя (3)
!) Или равенства Парсеваля.
165
позволяет записать формулу замкнутости в равносильной форме
lim \\f-Srt|| = 0.
«-♦ОО
Иначе говоря, формула замкнутости означает, что частные
суммы Sn(x) ряда Фурье функции f(x) сходятся (в смысле
метрики, установленной в £2, или, проще, в среднем) к этой
функции.
Определение 5. Ортонормальная система {со* (х){ называется
замкнутой, если формула замкнутости имеет место для любой
функции из L,.
Теорема 1. Если система {со*, (х)} замкнута, то для любой
пары функций f (х) и g (х) из L., будет
Ь оо
V (x)g(x)dx = Л a^bi,,
a k = 1
где
ь ь
= (X) со* (х) dx, b„ = 5 g (x) (x) dx.
a a
Доказательство. Для суммы /(x) + g(x) коэффициентами
Фурье служат числа ak-\-bk. Поэтому |f/ + gl|a= .S (а* + М2»
А= 1
откуда
Ь Ь Ь со со со
$ /2 dx + 2 $ fg dx + g2 dx = 2 al + 2 J] + £ bl,
a a a k = l k l k — \
а это равносильно теореме.
Доказанная формула называется обобщенной формулой замкну-
тости.
Следствие. Если система {со* (х){ замкнута и f(x)^L2, то
ряд Фурье f (х) в системе {<о*(х){ можно почленно интегрировать
по любому измеримому множеству Е cz [о, t>], т. е.
00
\f(x)dx = У, с* $ со* (х) с/х.
Е * = 1 £
Действительно, если в качестве g(x) выбрать характеристи-
ческую функцию множества Е, то g(x), очевидно, окажется сум-
мируемой с квадратом, и дело сведется к обобщенной формуле
замкнутости.
Интересно отметить, что сам ряд Фурье Dqco*(x) вовсе не
обязан сходиться к функции /(х).
Теорема 2 (В. А. Стеклов — К. Северина). Пусть А есть
класс функций, всюду плотный в Ь2. Если формула замкнутости
имеет место для любой функции класса А, то система {со* (х)}
замкнута.
166
Доказательство. Пусть f (х) есть функция класса Е,.
п
Составим частные суммы ее ряда Фурье У сущ (х) и, желая под-
k = ।
черкнуть их зависимость от функции / (х), обозначим их через Sn (f).
Тогда легко проверить, что
1) Sn(kf) = kSn(f),
2) 5п(Л + /3) = 5„(А) + 5л(/2),
3) !$Л)Ма
Первые два свойства тривиальны. Что касается третьего, то
н
оно следует из (2) и неравенства Бесселя || S„ = У
4 = 1
Заметив это, выберем какую-нибудь функцию f (х) е L, и возь-
мем е>0. Так как класс А всюду плотен в L2, то найдется
такая функция gix)e,4, что ||/ — gi|<e/3.
Но тогда
Далее
I УД£) - ЯЛ) ы Sn (£ Л) W! Wll<|>
и, стало быть,
О
11МЛ)!< I e + \\g-sn ш
Так как для g(x) формула замкнутости справедлива, то для
п>пл будет i|g —Ял (g) 'l<e/3. и, следовательно, для этих п ока-
жется |/ — S„ (/) || <е, что и доказывает теорему.
Следствие 1. Если формула замкнутости имеет место для
каждой функции 1, х, х3, х3, ..., то система {сщ (х)} замкнута.
Действительно, рассмотрим произвольный многочлен
Р(х) = Л„ + ^1х + ... + Дтхт.
Тогда
S„ (Р) = А„ (1) + А, S„ (х) +... + A mSn (xm)
и, стало быть, Р — S„(P)||< У 1 Ah 1 -1|х* — Sn (хк) ||.
Правая часть этого равенства стремится к 0 вместе с 1/п,
значит формула замкнутости справедлива для всякого многочлена,
а класс многочленов Р всюду плотен в L,.
Однако, существуют ли замкнутые системы? Ответ дает другое
следствие теоремы Стеклова.
Следствие 2. Тригонометрическая система (I) замкнута. ’)
Предполагается, что — л^х~'.л.
167
В самом деле, достаточно проверить, что формула замкнутости
справедлива для любого тригонометрического многочлена
Т (х) = А + У (ак cos kx-\-bk sin kx),
k= i
но это тривиально1) ибо T (х) есть линейный агрегат функций
системы (1).
Теорема 3 (Ф. Рисс — Э. Фишер). Пусть на сегменте [а, Ь]
задана ортонормальная система {ы* *(х)}. Если числа clt с2, с3, ...
таковы, что
У Ck < + оо,
4 1
то существует функция f (х) е Л2 такая, что:
1) числа ск суть ее коэффициенты Фурье\
2) для нее справедлива формула замкнутости,
п
Доказательство. Положим Sn (х) = У ckotk (х) и покажем,
* = i
что последовательность У, S2,... сходится в себе. С этой целью
положим т > п и вычислим || Sm — Sn ||:
6 г т
I1 sm - УI,2
У СкЫк (х)
а | & — п 4- [
2 b т
= cek(x)dx= У Ck.
I. k a k. = п +1
Если е>0, то существует такое Af, что при т^>п^>П будет
т
У ск < е2 или, что то же самое, || Srn — S„ || < е, а это и значит,
k — п • 1
что последовательность {S,,} сходится в себе.
Но тогда, в силу полноты пространства L2, существует такая
функция f(x)<=L2, что
Это искомая функция. Действительно, в силу теоремы 7, § 2,
последовательность {У(х)} слабо сходится к /(х), т. е. для любой
ь ь
g(x) е= Z-2 будет lim $ S„ (х) g (х) dx = J f (x) g (x) dx.
a a
В частности, полагая g(x) = w1(x), получим
b b
f (x) оц (x) dx — lim jj Sn (x) oj; (x) dx.
a n-*<x>a
n
x) Если f(x)=2 ck<£>k (x), то, умножая это равенство на f (х) и интегри-
* = 1
Ь п
руя, мы сразу получаем формулу замкнутости jР (х) dx = У c'k-
a k = 1
168
Но, если п> i, то
(х) dx = cL,
откуда
ь
\ f (х) со, (х) dx = ct
а
и функция f(x) удовлетворяет первому требованию.
Но в таком случае Sn (х) есть частная сумма ряда Фурье
функции f (х) и соотношение || —/[J — 0, послужившее для самого
определения функции /(х), показывает, что формула замкнутости
для /(х) справедлива. Теорема доказана.
Замечание. Существует только одна функция, удовлетворяю-
щая обоим условиям теоремы Рисса — Фишера.
В самом деле, допустим, что таких функций две: /(х) и g(x).
В силу первого условия они имеют общий ряд Фурье, а тогда
второе условие показывает, что Sn—• g, откуда f = g.
Интересно выяснить, сохранит ли силу это замечание, если
откинуть второе условие теоремы. Для ответа на этот вопрос нам
понадобится следующее определение:
Определение 6. Система функций {<р*(х)}, заданных на сег-
менте [а, Ь] и принадлежащих L2, называется полной, если в L.2
не существует отличной от нулях) функции, ортогональной ко
всем функциям ср/, (х).
Отметим, что в этом определении не ставится требования,
чтобы система {ср* (х)} была ортонормальной.
Легко видеть, что для того, чтобы функция, удовлетворяющая
первому условию теоремы Рисса — Фишера, была единственной,
необходимо и достаточно, чтобы исходная ортонормальная система
{coft(x){ была полной.
В самом деле, если эта система полна и две функции {(х) и
g(x) имеют в ней одинаковые коэффициенты Фурье
b ь
\f(x) (x)dx = \g (x)coA (x) dx (k= 1, 2, 3, ...),
a a
то разность их, будучи ортогональной ко всем функциям системы,
должна быть тождественной нулю, откуда f(x) = g(x).
Обратно, если система не полна и /г (х) есть функция, не тож-
дественная нулю и ортогональная ко всем функциям системы, то
достаточно прибавить ее к какой-нибудь функции /(х), удовле-
творяющей первому условию, чтобы получить отличную от / (х)
функцию, также удовлетворяющую этому условию.
!) Напомним, что функцию, эквивалентную нулю, мы считаем тождествен-
ной нулю.
169
Для случая ортонормальных систем понятия замкнутости и
полноты совпадают.
Теорема 4. Для того чтобы ортонормальная система {от* (х)}
была полна, необходимо и достаточно, чтобы она была замкнута.
Доказательство. Пусть система {gj* (x)’f замкнута. Если
какая-нибудь функция ортогональна ко всем функциям
системы, то все ее коэффициенты Фурье суть нули.
Тогда формула замкнутости дает |1/||2 = 2 с4 = 0, и функция
/(х) тождественна нулю, т. е. система полна.
Обратно, пусть система {со* (х)} полна. Допустим, что для
какой-нибудь функции л(.т|еЕ формула замкнутости не выпол-
со b
няется. Тогда необходимо У ck <l|gl|2, где ck = J g (х)(х)dx суть
А = 1 а
коэффициенты Фурье функции g(x). На основании теоремы
Рисса — Фишера найдется такая функция /(х), что
Ь со
5 / W W dx = ck, |l f 1|2 = У, c'k.
a k = \
Но в таком случае разность /(х) — g(x) ортогональна всем
функциям системы и (система полна.1) /(x) = g(x), что противоре-
чит условию ||{|!<llg|l.
Теорема доказана.
Следствие. Если — п х < л, то тригонометрическая система
(1) полна.
В заключение остановимся еще на одном вопросе, связанном с теорией
ортонормачьных систем.
П)С1ь {ы/г(х)} есть орюнормальная система сегмента [а, £>] и ряд
S ck <6)
k- I
сходится, Тогда, по теореме Рисса — Фишера, ряд
2 Ck®k W (7)
/г- I
есть ряд Фурье некоторой функции / (х) е L2i и его частные суммы
п
sn W = 2 w
k — I
сходятся в среднем к f (х). Поэтому из них можно составить такую частич-
ною последовательность {Sni (х)(, которая сходиття (к функции / (х)] почти
везде на [а, 6]. Оказывается, что выбор индексов nt можно произвести, не
зная системы {со* (х)}, а использхя только ряд (6). В настоящее время имеется
цечып ряд исследований, посвященных эюй проблеме. Мы приведем лишь самые
простые из относящихся сюда результатов,
170
Теорема 5 (С. Канмаш). Пусть
ТП— 2 Ck-
k~n
Если числа nv<in2<i... таковы, что
ОО
£гЯ(.< + оо, (К)
i = i
то последовательность {S;1/ (х)| сходится почти везде.
Доказательство. Тождество Бесселя дает, что
п — 1
k= 1
(мы считаем /(х) как раз той функцией, которая удовлетворяет обоим усло-
виям теоремы Рисса —Фишера), Поэтому из условия (К) вытекает, что
оо b
2 \ (^«<-1 ~/)2 < + °° и- в СИЛУ следствия теоремы 11, § 1, гл. VI, почти
i = 1 а
везде на [а, Ь] будет Sn. л (х) — f (х).
оо Ь оо
С другой стороны, У j (х)]2 dx = У с|< + °0 и, в силу той же
k = 1 a k — [
теоремы 11, § 1, гл, VI, почти везде на [а, Л]
ся;ыя; W — 0. откуда Sni (х) — / (х),
что и требовалось доказать.
Теорема 6 (Г. Радемахер). Пусть ф (k) положительная, возрастающая
функция, стремящаяся к -(- =! вместе с k и такая, что
ОО
^ф(А)с^< + со. (8)
й= 1
Если ч тла пг < п2< п3< ... таковы, что
(R)
то последовательность (x)J сходится почти везде.
Доказательство. Мы покажем, что числа удовлетворяющие
условию (R), удовлетворяют также условию (К), откуда и будет следовать
теорема. С этой целью заметим, что условие (8) может быть записано так:
СО П|+1~ 1
1] 2 ф(А)^<+со, (9)
i = l k — п-
откуда, в силу (R), и подавно
оо j-1
S ' X ^<+со. (10)
» = 1 k = n-l
171
Это означает, что двойной ряд
п2 — 1 Л.З — 1 «4 — 1
X с1+ S с*+ S са+"-
k = nt k=n2 k =
Пз— 1 «4—1
+ S ck+ 2 ck+---
k~n2 k = n3
«4 — 1
+ и ^+'"
k — nJ
+...
(11)
сходится, если его суммировать по столбцам. Но тогда он сходится и будучи
суммируем по строкам, что равносильно условию (К), ибо сумма i-й строки
равна rni. Теорема доказана.
Замечание. Условия (К) и (R) равносильны. Действительно, мы уже видели,
что числа /г,, удовлетворяющие условию (R), удовлетворяют условию (К).
Обратно, пусть числа /г, удовлетворяют условию (К). Это значит, что сумми-
руя ряд (11) по строкам, мы приходим к конечной сумме. Суммируя его по
столбцам, мы установим, что выполнено (10). Если положить
ф (k) = i (nt^k <n,+1; 1=1, 2, .. ),
то (10) можно записать в форме (9) или (8). Значит, ф (k) удовлетворяет
условиям теоремы Радемахера, а числа п. удовлетворяют условию (R).
§ 4. Пространство Z2
Точками двумерного эвклидова пространства R2 служат упо-
рядоченные пары (alt а.,) вещественных чисел.
Если каждой точке М (аг, а2) соотнести ее радиус-вектор х,
то координаты а2 и а2 точки М будут служить проекциями век-
тора х на оси координат. Поэтому пару чисел (ан а2) можно
рассматривать не только как точку Л1, но и как вектор х. Такая
трактовка более содержательна. Именно, имея два вектора х =
= (а1, а2) и у = (У2, Ь2), можно образовать их сумму
* + У — (ai + ^i, ^2+^2),
а также можно умножить вектор х = (аи а2) на вещественное число k
kx = (kalt ka2),
в то время как для точек подобные операции не вводятся.
Длиной вектора х = (ах, а2) является число
||x|| = pzai + <22.
(Отметим, кстати, что это не что иное, как теорема Пифагора.)
Напомним далее, что скалярным произведением (х, у) двух
векторов х = (ах, а2) и г/ = (Ьх, ^2) называется произведение их
длин на косинус угла между ними
(х, у) = ||х||-|| у\\ • cos 6,
172
причем оно выражается через проекции векторов по известной
формуле
(х, у) = 4- а2Ь2.
Зная это произведение и длины обоих векторов, легко найти
угол между ними из соотношений
cos 6 = Л"(О<0<л).
ИНЫ
В частности, условие ортогональности векторов имеет вид
(х, у) = а1Ь1 + а2Ь2 = 0.
Буквально то же мы можем повторить о трехмерном простран-
стве R3:
1) Тройка чисел х = (а2, а>, ав), взятых в определенном порядке,
может рассматриваться или как точка пространства, или как
вектор, лежащий в этом пространстве.
2) При второй трактовке можно вектор умножать на число и
складывать два вектора. Длина ||х|| вектора x = (alt а2, а3), как
это следует из теоремы Пифагора, есть
||х|] = ]/ ai4-a.j4-ag.
3) Имея два вектора, x = (alt а2, аэ) и y = (blt b2, Ь3), можно
составить их скалярное произведение
(х, у) = || х || • \\у || cos 6 = ц1&14- а2Ь2 4- а3Ь3.
4) Зная скалярное произведение (х, у) и длины векторов, можно
найти угол 0 между ними
cos 0 = „(*’ ^-| (0:.с6<4.
1ИНЫ1 7
5) Наконец, условие ортогональности векторов имеет вид
(х, у) = Gj&i 4- а2Ь2 4- а3Ь3 = 0.
Обобщая эти соотношения, можно ввести понятие «-мерного
эвклидова пространства R„, точками и векторами которого служат
п-членные упорядоченные комплексы х = (alt а2,..., ап) веществен-
ных чисел.
Здесь мы, по определению, длиной вектора х = (ц1.....ап)
будем называть число
|| х || = ]/ а; 4- ... 4- .
Заметим, далее, что скалярное произведение теперь уже не
может быть определено через угол, а за самое его определение
нужно принять равенство
(*, у) = Е а^к-
* = 1
173
Напротив, угоп 6 может быть определен через скапярное про-
изведение с помощью соотношений
соь 6 = „(х; у}- (0-U^ л),
1И1 \У\\
но для того, чтобы это определение было законным, нужно дока-
зать, что
|(х, IM-
Когда это будет доказано (ниже это делается), то естественно
считать векторы х = (а1г а„) и у = (Ьъ Ья) взаимно орто-
гональными, если
п
(х, //) = У акЪк = 0.
k = ।
Продолжая этот процесс обобщения, мы естественно приходим
к понятию «бесконечномерного» пространства R , которое обозна-
чается также и через /2. При этом мы ограничимся «векторной»
трактовкой вопроса.
Определение. Бесконечная последовательность вещественных
чисел
№(аь а2, а3, ...)
называется вектором пространства /2, если
И = 1/ У, a'k< + oo.
г h=l
Число называется длиной или нормой вектора х.
Легко видеть, что если х <= /2, то при любом k вектор
kx = (kalt ka2, ka3, ...)
также входит в /2, причем
= \k\ И1
и, в частности, —.
Точно также, если наряду с х в I, входит вектор
y = (blt b2, Ь3, ...)
то вектор-сумма
* + У = («1 + •)
тоже входит в ибо (ак-\-Ьк)’ ^2(ак-\-Ьк).
Далее из неравенства । акЬк, ОН Ьк следует, что ряд
(х, у) — У акЬк
4=1
174
сходится абсолютно. Сумма его называется скалярным произведе-
нием векторов х и у.
Между пространствами Л и А, существует тесная связь Возьмем
какую нибудь полную ортонормальную систему {<ofe (х)} и каждой
функции / (x)sL, соотнесем последовательность х = (сп с2, с3, ...)
ее коэффициентов Фурье.
ь
ck = \f(x) ak(x)dx.1)
а
В силу формулы замкнутости
последовательность х есть вектор /2.
Легко проверить, что соответствие, установленное между L2
и 12, взаимно однозначно. Действительно, разным элементам L2
(в силу полноты системы {сщ(х) }) отвечают разные же векторы /2,
а в силу теоремы Рисса — Фишера, каждый вектор из 12 есть
набор коэффициентов Фурье некоторой функции из L,.
Но это соответствие обладает и другими свойствами, кроме
взаимной однозначности. Именно, если ху g, то
x + y^f + g, kx^kf.
Иначе говоря, ни одно линейное соотношение
kif г + • • + knfn — О
между элементами L2 не нарушится, если мы заменим элементы
/j, .... fn соответствующими им элементами'/2 [при этом через О
в /> обозначается вектор (0, 0, 0, ...)]. Если это сопоставить
с тем, что (как уже отмечалось) ||х || = |] ^ |], то станет ясна полная
геометрическая тождественность пространств L2 и /2. В связи
с этим и 12 называется пространством Гильберта.
Пусть х = (а2, а2, а3, .. ), y=(b2, b2, ba, ...) суть два вектора
из a f и g соответствующие им элементы пространства Ь2.
Обобщенная формула замкнутости дает, чго
Ь со
\f[x)g(x)dx = V акЬк = (х, у),
а k — 1
В связи с этим естественно интеграл
$ f W g (х) dx
!) Мы надеемся, что читателя не смутит то обстоятельство, что буквой х
мы обозначаем и аргумент функций / (х), шк (х), .. и векторы пространства 12.
175
назвать скалярным произведением элементовг) / и g и обозначать
его через (/, g), так что (/, g) = (x, у).
Неравенство Буняковского принимает теперь следующий вид:
КА 2)1 Ш-
Отсюда следует возможность определить угол 0 между элемен-
тами / и g пространства А,:
COS6-|7TWT (0........
В частности, данное выше определение взаимной ортогональ-
ности функций f (х) и g (х) (/, g) = 0 оказывается равносильным
условию, что угол между ними, как элементами L2, равен л/2.
Далее, если от (х) есть нормированная функция ||<о||=1, то ее
можно рассматривать как единичный вектор (орт) пространства L,
(или /2, что, как мы видели, безразлично). В таком случае можно
определить проекцию вектора f на направление со обычным спо-
собом
Прш/ = Ш • cos 0,
где 6 угол между векторами f и со. Иначе говоря,
Прш/=^М «) (x)dx.
а
Таким образом, коэффициенты Фурье функции /(х) в ортонор-
мальной системе* 2) {оц, (х)} суть проекции вектора f на напра-
вления, характеризуемые функциями системы.
Если мы имеем n-мерное эвклидово пространство, то длиной
вектора х = (п1, а2, ..., ап) называется число
Это есть обобщение теоремы Пифагора, ибо числа ak суть проек-
ции вектора х на координатные оси. Рассмотрим т(т~,'п) этих
проекций. Чтобы узнать, все ли п проекций на осп приняты
во внимание, можно просто сравнить числа т и п, а можно
вместо этого посмотреть, будет ли при всяком векторе х верно
равенство
П1
И2= al
k = i
') Элементы пространства L2 мы теперь будем называть п векторами этого
пространства.
2) Это не обязательно та систе-ла, с помощью которой устанавливалось
соответствие между /_3 и Л.
176
(ибо если т < п, то обязательно найдутся векторы, для которых
т
ak < Ц х ||). Можно, наконец, выяснить, существуют ли напра-
k= ।
вления, ортогональные ко всем принятым во внимание т осям.
Для бесконечномерного пространства L, всякая ортонормальная
система {<иА (х)} есть система ортогональных координатных осей.
Желая выяснить, все ли возможные направления приняты во
внимание при составлении этой системы, мы лишены возможности
действовать прямым счетом. Обобщая другие два способа, указан-
ные для «-мерного пространства, мы естественно приходим к опре-
делениям замкнутой и полной ортонормальной системы. В част-
ности, становится совершенно ясной причина равносильности этих
определений.
До сих пор связь пространств Д и использовалась нами
для установления некоторых новых точек зрения на Д (что
также, конечно, очень важно). Покажем, что эта связь полезна
и для установления новых фактов.
Прежде всего, неравенство I (х, у) I || х |'| • || у |, равносильное
неравенству Буняковского । (Д g) | хс |1/||, означает, что
( У, akbk\ < 2 4 I У, b-k<,
'A=l / \k=l / k=l
(1)
а неравенство |1 х 4- у\\ —Д| х|1 -)-|| у может быть представлено в форме
(a k+ b ,)2
(2)
Неравенства (1) и (2) имеют чисто алгебраический характер.
Далее, из полноты пространства Lz следует автоматически полнога
пространства 12 (т. е. сходимость последовательности х,, х>, ...,
у которой ||X,t — х,„|| стремится к нулю с возрастанием п и т).
Так как всякое /г-мерное пространство R., есть замкнутое под-
множество пространства 12, то все сказанное (неравенства (1) и
(2), полнота) применимо и к случаю этого пространства.
Рассмотрим в заключение еще один вопрос, где весьма полезной окажется
связь между L2 и Д
Фиксируем какой-либо элемент g е L-> и соотнесем каждому f ex Z.2 число
Ф (/)-(/, g). (3)
Этим задана в L2 некоторая функция, значениями которой являются веще-
ственные числа. Она обладает очевидными свопствами
1) Ф(М-Л)-Ф(Д) + Ф(Л).
2) 1ф([) (A'-Iidb
Всякая функция Ф(/), аргумент которой f есть элемент Д, а значения
которой суть вещественные числа и которая обладает свойствами 1) и 2),—
называется линейным функционалом в пространстве L-, Оказывается, что
никаких других линейных функционалов, кроме (3), в пространстве L2 нет.
177
Теорема (М. Фреше). Есш Ф (/) есть линейный функционаг в про-
странстве Lz то существует один (и только один) элемент g е L,. такой,
что при всяком f е L,_ будет
Ф (/)-(/. g)
Доказательство Допустим, что \ нас с помощью какой либо орто
нормальной системы осуществлено взаимно однозначное соответствие между £2
и /2, которое не нарушает линейных соотношений в этих пространствах и
сохраняет норму элемента Рели мы будем считать, что значению Ф (/) функ
ционала Ф соо1нессно тому элементу у просграш гва который отвечает
в указанном соответствии элементу f е L3, го в конечном счете наш функ-
ционал будет задан в /2 и обладать свойствами
Ф(а1+а2)^Ф(х,)+Ф(а2), Ф(х) -К ||х||
Установим существование такого элемента у s Z2, что при всех х <= /2 будет
Ф(х)-=(х, у). (4)
С этой целью мы убедимся сначала, что функционал Ф однороден, т е.
что при любом вещественном а будет
Ф (ах) - аФ (х) (о)
Соотношение (5), очевидно, выполняется, есш а есть натуральное число
Отсюда легко усмотреть, что оно выполняется и в том случае, когда а имеет
вид 1 т, где т натуральное число, а стало быть, и при всяком положительном
рациональном а Дале», обозначая через 0 вектор (0, 0, ), мы будем иметь,
что Ф (0) — Ф (0-[-0) = 2Ф (0), откуда ясно, чго Ф(0)=0 и (5) имеет место
при а — 0 Наконец из того, что 0 — ф (0) — Ф[х + (—г)] --Ф (х) -фФ (—х)
следует, что Ф (— л) = — Ф(г) и, стало быть, (5) верно для всякого рацио
нального а Остается рассмотреть случаи, кот да а иррационально В этом
случае назовем через г какое нибудь рациональное число и покажем, что
равенство
Ф(гх) = гФ(х) (6)
при г — а в пределе переходит в (5) Для правой части (6) это очевидно.
С дру I ой стороны, Ф(гх) — Ф (ах) =1Ф[(г — а) х] г —а | х| , так что
и левая часть (б) стремится к левой ча ти (") Итак, (л) доказано
Введем в рассмотрение векторы eh — (Q, 0, 1, 0, ) (единица на
k ом месте) и положим Ф (<,.) — Ак (fe-= 1, 2, . )
Покажем, что вектор y=(Alt А3, А3, ) входит в /2 Действительно,
п
если уп = (А^ А>, , Аа, 0, 0, ), го уп= £ 01КУАа ф (Уп) =
* = I
п п
= у АкФ(ч.)- V Ak и неравенство Ф (х) sg К |х|| в применении к уп
k=\ k~\
дает, что У откуда, ввиду произвольности п, будет
Покажем теперь, что элемент у п является искомым, г е чго при любом
х ei> имеет место (4)
Пусть х — (а2, а2, а3, ) есть элемент 1,_ Положим
Xn = (alt а2, , а„, 0, 0, ).
п
Тогда х„= 2 и
*= I
п п
ф(а„)= 2 а’*ф(е*)= S Ака>г-
й = 1 k=\
(7)
178
Если п стремится к + -£>, то правая часть этого равенства стремится
к (х, У) С дру гои стороны,
|ФМ — Ф(х„) -= Ф(х — хп) \'х — хп\ = К 1/ У аь,
Г k = П -L- I
так что Ф (х„) с возрастанием п стремится к Ф (х) и (7) переходит в (4)
Назовем через g тот элемент 12, который отвечает элементу у в устано-
вленном соответствии Пусть f произвольный элемент L, и пусть х соответ
ствующий ему элемент /, Тогда Ф ([) -=-Ф (х) -=Цх , у) —(f, g)
Остается убедиться в том, что в £2 есть только один элемент g, удовлетво
ряющий при любом f соотношению Ф (/)==(/, g)
Но если бы их было два, gx и g2, то при любом I было бы
и gd-tf' ег)-Ф(/)-Ф(/)=0
Положив здесь f=gL—g2, мы нашли бы, что
(gi-gz. gi -gi\2^0,
откуда g1=g.2 Теорема доказана полностью
§ 5. Линейно независимые системы
Определение 1. Система функций <р, (х), <р2(х), ,.,(р„(л), за-
данных на [а, &], называется линейно зависимой, ест можно
указать такую совокупность постоянных Alt А>, .. , Аа, из кото-
рых хоть одна отлична от нуля, что
Афт (т) + Лфз (*) + фЛлфл(х) 0. (1)
Если же такой совокупности постоянных нет, т е если из (1)
следует, что AY = A2 = . . =Л1 = 0, то система {гр* (х)} называется
линейно независимой
Легко видеть, что если хоть одна функция системы {(х)}
эквивалентна нулю, то система линейно зависима, и что всякая
система, являющаяся частью линейно независимой системы, линейно
независима.
Теорема 1. Всякая ортонормальная система линейно неза-
висима
Действительно, если {<щ, (х)} (£=1, 2, ..,п, а^хссЬ) есть
п
ортонормальная система и если (х) ~ 0, то, умножая
k = ।
это равенство на ы, (х/ и интегрируя, мы найдем, что Л(=0
(/ = 1, 2, .... п), откуда и следует теорема.
Теорема 2. Система функций х"1, х''-, . ,х"', где показа-
тели nlt п2, ..., и, целые и неравные между собой числа, линейно
независима на любом сегменте.
Эта теорема следует из того, что целый многочлен может иметь
только конечное число корней.
Определение 2. Счетная система функций фДх), <р2(х), .. назы-
вается линейно независимой, если линейно независима всякая ее
конечная часть.
179
Например, линейно независима всякая счетная ортонормальная
система, или система 1, х, х2, ...
Пусть цд (х), ..., <р„ (.г) есть система функций из L.2, заданных
на сегменте [а, Ь]. Положим, как и выше, для любых двух функ-
ций f (х) и g(x) из Л2
ь
(f, g) = \f(x)g(x)dx
а
и составим определитель
(Ф1> Ф1)(Ф1, ф2) ••• (Ф1, ф«)
(ф2. Ф1) (ф2, ф2) • • • (ф2, фп)
(ф«, Ф1)(фл, ф2) (фЯ, фЯ)
Определение 3. Определитель АЛ называется определителем
Грама системы функций {фА (х)}.
Теорема 3. Для того чтобы система функций
Ф1М, ф2(х), ..., <р,;(х)
(2)
была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы ее опре-
делитель Грама равнялся нулю.
Доказательство. Пусть система (2) линейно зависима.
Тогда существует система констант Alt ..., Ап, из коих хоть одна
отлична от нуля, такая, что
А1Ф1 (х) "Г А2Ф2 (х) 4~ ... 4- А;1ф,г (х) ~ 0. (3)
Умножая это равенство на срДх), ф?(х), •••, ф«(х) и каждый
раз интегрируя, получим
А(Ф1, Ф1) + Л,(ф1г ср2)+ ... +ДДФ1, фя) = 0,
А1 (Фг. Ф1Н ЛДфг- Фг)+ ••• + Л(ф2. ф„) = 0,
(ф,„ Ф1) + А2 (ф„, ф2) 4- ... + Ап (ф,„ фм) = 0.
Если бы в равенствах (4) числа А/, были неизвестными, то эти
равенства образовывали бы линейную систему уравнений с опре-
делителем А„. Но при наших значениях чисел Ak однородная
система (4) удовлетворяется и, так как не все Ак суть нули, то
Ал = 0, (5)
что и доказывает необходимость этого условия.
Допустим теперь, что А„ = 0. Тогда однородная линейная си-
стема уравнений (4) имеет решения, отличные от нуля. Пусть
180
Alt A2, • • , An эти решения, так что равенства (4) суть тождества.
Перепишем эти тождества так:
h
5 Ф1(*) [^4i<Pi (*)+•• + An(fn (х)] dx = О,
а
b
$ Ф„ (х) [Лз-ЧЧ (х) 4- • • + Лпфп (*)] dx = 0.
а
Умножая эти равенства на Аз, Ап и складывая, найдем, что
ь
^[А]фз(х) + ...+ 4„(p„(x)]2cfx —0,
а
откуда и вытекает (3), так что система {tp* (х)} линейно зависима.
Следствие. Если Д„ Ф 0, то ни один из определителей Ab Д2,
А3, ..., Ап.! также не равен нулю.1)
В самом деле, если А„ Ф 0, то система {ф*(х)} линейно неза-
висима, следовательно, линейно независима и всякая ее часть
Фз, .... фт (т < п), а тогда и Ат ф 0.
Лемма. Пусть на сегменте [а, Ь] задана система п функ-
ций фз (х), .... фп (х). Положим
(ф1, Ф1)(ф1. Фа) ••• (Ф1- Фл-1)ф1М
ф» (*) =
(ф>, Ф1)(фа> Фг).--(ф2, ф»-1)фа(х)
(6)
(фл, Ф1)(ф«, Фг) (фл, фл-1)флМ
Тогда
[ о
(Фл, ф*) = { Л
(k < п),
(k = n).
Доказательство. Для того чтобы умножить 4>„ (х) на ф& (х),
достаточно умножить на фА (х) последний столбец определителя (6),
а чтобы найти интеграл от полученного произведения, также нужно
интегрировать лишь его последний столбец. Остальное ясно.
Если мы развернем определитель фл (х) по элементам послед-
него столбца, то, очевидно, получим
Фп (X) = А зфз (X) + ... +4п-1фп-1(х)+Ап-1ф„(х), (7)
Значит, если система {ф;, (х)} линейно независима, то фя (х) не
эквивалентна нулю (ибо Ап-з^О). Умножая равенство (7) на
фл(х), интегрируя и принимая во внимание лемму, находим
ь
§ dx = Дл-зДл, (8)
а
!) Под Д3 разумеется («plf <₽з).
181
так что определители Д„ и A/t_i (не равные нулю) одного знака.
Но по тем же причинам одного знака и определители AZI-i и А,г 2
и т. д. Значит, Д„ имеет тот же знак, что и Ai = (<plt <н)>0.
Таким образом, мы установили теорему.
Теорема 4. Определитель Грама линейно независимой системы
положите /ен
Развитые здесь соображения позволяют легко доказать сле-
дующее предложение.
Теорема 5 (Э. Шмидт). Пусть на сегменте [а, Ь] задана
конечная или счетная линейно независимая система ср( (х),
ср2(х), .. Тогда можно построить такую ортонормальную си-
стему gj! (л), со2 (х), ... что 1) каждая функция со„ (х) есть ли-
нейный агрегат первых п функций системы ДДх){ и обратно,
2) всякая функция (х) есть линейный агрегат первых п функций
системы {со*(х){.
Доказательство. Положим
Мх)=^, соДх) = -4^Д= (л^2),
I Д I Дя-1 Д»
где ф„ (х) определяются равенством (6). Этим построена требуемая
п
система. В самом деле, из (7) ясно, что соп(х) = ^]й*ср*(х), так
А 1
что система {со* (х)} удовлетворяет первому требованию тео-
ремы.
Из леммы следует, что ф„ (х), а значит и со,Дх), ортогональна
ко всем функциям срДх), . ., <р„ Дх). Но тогда ып (х) ортогональна
ко всем линейным агрегатам функций (х), ..., <рл г (х) и, в част-
ности, к функциям соДх), . , сол Дх) Значит, система {со* (х){
состоит из попарно ортогональных функций В силу (8), все функ-
ции сол(х) нормированы, и {со* (х)} есть ортонормальная система.
Остается убедиться, что
<РП (*) = У Ь*со*(х). (9)
k = ।
Это тривиально для л=1, Пусть это доказано для всех
Тогда, в силу (7),
т — 1
ФтД) = д-5—ФОТ(Х) - -А_фй(х),
а/л-1
k ~ I
откуда, заменяя в правой части фт (х) на гДтсо,„ (х), а каж-
дую с[*(х) (й=1, .... т—1) на линейный агрегат функций
соДх), . , со*(х), мы находим, что (9) верно и для n = m, что
и требовалось доказать.
Замечание. Системы {ср* (х)} и {со* (х)} одновременно полны или
нет.
182
Это следует из того, что всякая функция /г(х), ортогональная
ко всем функциям одной системы, ортогональна и ко всем функ-
циям друюй.
Пример. Система функции 1, х, х2, х\ . линейно незави-
сима на сегменте [—1, ф-1 ] Применяя к ней ьроцесс ортогона-
лизации, указанный в теореме, мы получим ортонормальную на
сегменте [—1, ф-1] систему многочленов
Ш Lr(x), Z.2(x), ... (10)
где Ln{x) есть полином степени и.1) Полиномы (10) называются
полиномами Лежандра.
Теорема 6. Система полиномов Лежандра замкнута.
Доказательство. Согласно теореме Шмидта
п
х'1 = 2 akLk(x). (11)
6=0
Но в начале § 3 мы установили, что в подобном случае коэф-
фициенты од суть коэффициенты Фурье функции хч в ортонор-
мальной системе {Lk(x)}l.
Умножая (11) на хп и интегрируя в пределах [—1, ф-1], най-
fl
дем, что 'х".2 = од, т е. формула замкнутости справедлива
fc-0
для каждой из функций г" (л = 0, 1, 2, .,.). В силу следствия 1
теоремы Стеклова, наша теорема доказана
Следствие. Система функций 1, х, х2, ... полна.
§ 6. Пространства Lp и 1Р
В этом параграфе мы вкратце изложим одно обобщение про-
странства L.,.
Определение 1. Измеримая функция / (х) (как и выше, мы огра-
ничиваемся функциями, заданными на некотором сегменте [а, й])
называется суммируемой с р-й степенью, где р 1, если
ь
/ (х) >’ с/х < ф- оо.
а
Множество всех таких функций принято обозначать через Lp (или
через Ер[а, й]) Очевидно, l.v = L
Теорема /. Функция / (х), суммируемая со степенью р > 1,
суммируема, rn. е. LpczL.
Действительно, если положить Е— [а, й], Д=Е( f < 1),
В = Е — А, то суммируемость функции /(х) на множестве А оче-
ф По теореме степень Ln (х) не выше п. Но она и не ниже п, ибо
п
хп = У! akLh (х).
* = о
183
видна, а ее суммируемость на множестве В вытекает из того, что
на этом множестве / (х) j | / (х) ф.
Аналогично доказывается
Теорема 2. Сумма двух функций, входящих в Lp, также
входит в этот класс.
В самом деле, пусть /(х) и g(x) входят в Lp. Полагая
Е = [а, 6], A = £(|/Klgl). В = Е — А,
будем иметь для х е А:
\f(x) + g(x) ,'’<{i/(x)l + '^WI}p-C2^g(x)
откуда
\\f(x) + g(x) Pdx^P \ ' g(x) fdx< + ©о.
A A
Так же мы убедимся в конечности интеграла \\f А~ g\p dx. Отме-
в
тим еще очевидный факт, что вместе с /(х) в Lp входит любая
функция kf (х), где k конечная постоянная.
Пусть р > 1. Число
называется показателем, сопряженным с р. Ввиду того что
показатель, сопряженный с q, есть р, так что р и q это два вза-
имносопряженных показателя. В частности, если р = 2, то и 7 = 2,
т. е. показатель 2 самосопряжен (в этом обстоятельстве коренятся
некоторые важные свойства пространства Е2> не переносящиеся на
другие Lp).
Теорема 3. Если f (х) <= Lp, a g (х) е Lq, где р и q взаимно
сопряжены, то произведение f(x)g(x) суммируемо'и справедливо
неравенство
ь I’ Г~ь ч /~ь
\[(x)g(x)dx -^1/ $|/(х)Т dx-l/ \\g(x)^dx. (1)
а * а а
Доказательство. Пусть 0<а<1. Рассмотрим функцию
ф(х) = х'г — ах (0 < х <-ф оо).
Ее производная ф' (х) = а [ха 1 — 1] положительна при 0 <х< 1
и отрицательна при х> 1. Значит, наибольшее значение функции
ф(х) достигается при х=1. Таким образом, ф(х)-^ф(1) = 1 — а,
откуда следует, что при всех х>0 будет
х'-=;; ах 4- (1 — а).
(2)
184
Пусть А и В два положительных числа. Если в (2) подста-
вить х — А/В и полученное неравенство умножить на В, то мы
получим
А"В1 а^аА + (1 -а) В.
Пусть р и q — те два взаимно сопряженных показателя, о кото-
рых говорится в условии теоремы. Если положить а = l/p, 1 — а =
= \/д, то мы увидим, что
A'lpB'lq^-- + —. (3)
~ р q v ’
Это неравенство доказано для Л>0 и В>0, но оно очевид-
ным образом справедливо и тогда, когда одно (или оба) из этих
чисел обращается в 0.
Установив это, рассмотримте функции f (х) и g(x), о которых
идет речь в теореме. Если хоть одна из них эквивалентна нулю,
то все утверждения теоремы очевидны. Исключив этот тривиаль-
ный случай, мы можем утверждать, что оба интеграла
ь ь
$ I f W \р dx, $ | g (х) \ч dx
а а
строго положительны, и потому можно ввести функции
Ф (*) =-- , у (х) =
' р / ь • Г V / q rb
|/ ]\f(x)\Pdx 1/ j g(x}ddx
V a * a
Если в (3) положить А = | ср (х) |р, В = I у (х)|?, то мы получим,
что
। / \ I \ । 1 ф (х) р । ' у W q /л\
|ф(х)у(х)|<^у + (4)
откуда следует суммируемость произведения ср(х)у(х), а с ним и
произведения f(x)g(x). Кроме того, замечая, что
b ь
$ | ср (х) dx = | у (х) dx = 1
а а
и интегрируя (4), мы находим
*
5 | ф (X) у (X) I dx | = I .
а
откуда следует неравенство
ь р А р р , ь
$/(*)£(*) И* <1/ $1/(Х)Р dx |/ \\g(x)Pdx,
а г а а
даже более сильное, чем (1).
185
Неравенство (1), называемое неравенством Гёльдера, является
обобщением неравенства Буняковского, в которое оно и переходит
при р = 2.
Теорема 4. Если f (х) е Lp и g (х) е Lo (р 1), то
р Еь р Гь р f ь
У \\f(x) + g(x) pdx^]/ $,f(x) Pdx + 1/ $lg(x)'pdx. (5)
а а и
Доказательство. Теорема очевидна при р = 1. Пусть р > 1
и q есть показатель, сопряженный с р.
По теореме 2 сумма f(x)-j-g(x) входит в Lt„ а потому
f (*) + g (х) входит в Ltj.
Заменим в неравенстве Гёльдера f (х) на a g(x) на
|/(x) + g(x) Это дает, что
!/(*) + &(*) Н4
а
Р ГЬ 4 Гь
«£]/ \'f(x)pdx]/ $J(x) + g(x) pdx. (6)
а * а
Аналогично
ь
\\g(x)\-if{x)^g(x)p^ dx^r
а
Р ГЪ Я ГЪ
<1/ $ g(x)lpdxJ/ $ f(x) + g(x)\Pdx. (7)
а а
Но ведь р = 1 +
р . Значит
q
\f + g\p = .f + gr'f + g f -'f + g'^ + 'g'-\f + g'p/4.
Отсюда и из (6) и (7) следует, что
ь {р Г р Гh 1 р Гь
\ f + glpdx^<l/ ^/|pdx + ]/ I g \р dx\ 1/ \\f + gPdx,
а (а а ) Г а
а отсюда и вытекает теорема
/Ь 1/<7
сокращение на Ц I f Д- g\р dx' за-
''а
конно, если этот интеграл отличен от нуля, но в противном слу-
чае теорема очевидна .
Неравенство (5) называется неравенством Минковского. При
р = 2 оно превращается в уже известное нам неравенство
Коши.
186
Теми же рассуждениями устанавливаются и сумматорные
неравенства Гёльдера и ^Минковского:
(8)
Определение 2. Пусть / (х) е Lp. Число
(Р2И). (9)
f (-v) ip dx
называется нормой функции f (х) (как элемента Lp).
Очевидны следующие свойства нормы:
I. | f is 0, причем ,|/1 = 0, тогда и только тогда, когда f (х) 0.
II. | А/1| = 1 k । -1711 и, в частности, || — /'1 = 11/11.
in. \f+g\Hf\\ + \\g\'-
Введение нормы позволяет и для Lp установить ту же геомет-
рическую терминологию, что и выше для L,. Сходимость последо-
вательности элементов {/„(х)} из Lp к пределу f (х) <= Lp по норме
означает, что
ь
lim ? fn(x)-f(x) Pdx = 0.
п
Этот вид сходимости называется также сходимостью в среднем
порядка р.
Так же, как и для Т2, можно показать, что из сходимости
некоторой последовательности в среднем порядка р вытекает ее
сходимость (к тому же пределу) и по мере. Так же, как и для Л2,
устанавливается непрерывность нормы и единственность предела
(если не различать между собой эквивалентных функций). Буквально
так же, как для L2, вводится понятие сходимости в себе и
доказывается, что последовательность элементов Lp имеет предел
тогда и только тогда, когда она сходится в себе (полнота про-
странства Lp).
Ввиду отсутствия здесь новых идейных моментов, мы не оста-
навливаемся на доказательстве всех этих предложений. Точно
так же без доказательства отметим, что каждый из классов М,
С, Р, S и Т (последний при Ь — а = 2л), рассмотренных в тео-
реме 6, § 2, всюду плотен в Lp.
Понятие слабой сходимости при 1 вводится так:
последовательность {/„(х)} cz Lp слабо сходится к f(x)^Lp, если
равенство
ь ь
Vim\f,t(x)g(x)dx = \f(x)g(x)dx (10)
rt~>cc а а
187
имеет место для любой функции g(x) из Lq, где q показатель,
сопряженный с р. При помощи неравенства Гельдера легко пока-
зать, что последовательность, сходящаяся в среднем, сходится
(к тому же пределу) и слабо.
Если р- 1, то сопряженного показателя не существует. В этом
случае юворят, что последовательность {fn(x)} cz L слабо сходится
к /(ijeL, если равенство (10) имеет место для всякой измери-
мой и ограниченной функции g(x). Ясно, что и здесь сходимость
в среднем (первого порядка) влечет слабую сходимость к тому же
пределу.
Упомянем вкратце еще об одном типе «пространств», при-
меняемых в анализе, а именно о пространствах 1Р, где Под
пространством 1Р понимают множество всех последовательностей
х —- (хх, л2, х3, ...) вещественных чисел xk, у которых
И=|Л 2}ыр<+°°-
Число ||х|| называется нормой элемента х^.1р. Так же, как
выше для /2, вводится понятие суммы х + у двух элементов 1Р и
произведения kx элемента х^1р на число k.
Норма обладает уже привычными нам свойствами:
I. |x||2s0, причем ||х|| = 0 тогда и только тогда, когда
х = 0.!)
II. = | k j ||х|| и, в частности, [| — х || = |Ш|.
III. ь+уИИЖМ-
Первые два из этих свойств очевидны, а третье вытекает
из (9).* 2)
При помощи понятия нормы вводятся понятия предела после-
довательности элементов 1Р, сходимости в себе, всюду плотного
в 1Р множества и т. п. Можно доказать, что предел последова-
тельности элементов 1Р единствен, что норма непрерывна, что
пространство 1Р обладает свойством полноты, но мы не будем
останавливаться на этом.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VH
1. Пусть {fn (х)} есть последовательность функций из L.2, сходящаяся по
мере к /'(%). Если ||/„|ls£/<, то последовательность (/„(х)} слабо сходится
к F (х) (Ф. Рисе).
2 Если последовательность lfn(x)} слабо сходится в L, к Fix) то
И/л|| У (А. Лебег).
3. Из слабой сходимости в L2 последовательности {/„ (х)} к F (х) не сле-
дует сходимости по мере.
4. Если последовательность {/„(х)} слабо сходится в Ь.2 к F (х) и, кроме
того, II/п то последовательность {/„ (х)} сходится к F (х) в среднем
(Ф. Рисе).
т) Это означает, что х= (0, 0, 0, ...).
2) В неравенстве (9) мы имеем дело с конечными суммами, но с помощью
предельного перехода это неравенство обобщается и на суммы бесконечных
рядов.
188
b
5. Если интеграл f (х) g (х) dx существует при всякой f (х) то g ixjeL,
(А. Лебег).
6. Всякая ортонормальная система разве лишь счетна.
7. Если {сод (х)} (а х=- Ь) есть замкнутая ортонормальная система, то
СО
почти везде на [я, 6] будет У <о£ (х) = + са (В. Орлич).
k = I
8. При тех же условиях для любого измеримого множества е с мерой
СО
те > 0 будет У, )' dx = + со (В. Орлич).
k ~ I е
9. Конечная система функций не может быть полной в Д2-
10. Пусть {coj, (х)} (/г= 1, 2, ...,п) ортонормальная система и f (х) s L2.
tl
Из всех линейных комбинаций наименьшее значение норме раз-
k = 1
ности
л
f— У Ака>к
k = 1
доставляет та,
у которой Ak = (f,
<jifr) (fe= 1, 2, ..., ri)
(А. Тёплер).
11. Пусть {ид (х)} полная ортонормальная система функции. Если {<р*(х)}
такая система функций из 1.2, что У [со* (х) — ср* (х)]2 е/х < 1, то система
k - - 1 а
{ср* (х)} также полна (Н. К. Бари).
12. Пусть на [—л, л) задана функция f (х) е £2, положим )(х-|-2л) =
= / (х) и пусть
л
gn W=
Un
f(x + t)-f (Х-t) dt
t
Функции gn (x) сходятся в среднем на [—л, л] к функции q (х) е Llt
причем
л
.. ,. .. £.. (* sin t
1ШК11/11- y—^dt
— Л
и множителя при |i/|| снизить нельзя (И. П. Натансон).
13. Пусть / (х) *= £2 на [#, 6] и /(х) = 0 вне [а, 6]. Если
х+ Л
Ф« = 2'/г S /(0^’
х — h
то [| <Р || ^ II f II (А- Н. Колмогоров).
14. В тех же обозначениях, при /i->0 функции ср (х) сходятся в среднем
в La к f (х) (А. Н. Колмогоров).
15. Перенести результаты упражнений 1, 2, 3, 4, 5, 13 и 14 с L2 на Lp
при р > 1.
16. Доказать полноту пространства Lo при р ус I.
17. Доказать полноту пространства 1Р при р>=1.
18. Доказать полноту пространства т всех ограниченных последовательно-
стей х=)хА}, II хIl = sup { I X* I } <+ со.
19. Если во множестве С всех непрерывных на [а, Ь, ] функций ввести
норму |IJ||--max | f (х) I, то полученное пространство будет обладать свойством
полноты.
189
20. Система функций { <pfe (х) } называется полной в классе функ-
ций А, если в последнем нет отличной от нуля функции, ортогональной ко
всем <рд, (х). Из полноты ортонормальной системы в классе (Р) всех интегри-
руемых по Риману функций не следует замкнутости этой системы (Г. М. Фих-
тенгольц)
21. Если 1- г С р, то LpciLr.
22. Если 1 г < р, то lpzjlr.
23. Пусть {fn (a)} cz Lp (р > 1) последовательность функций, сходящаяся
в среднем порядка р к функции F(x)eLp. Показать, что (х)} сходится
к / (х) также и в среднем порядка г, где 1 ~ г < р.
24. Пусть 1- г ср и хп = ^х('Р1 лХ'9, %("), . ) е 1Г. Если хп стремится
к элементу х в пространстве 1Г, то это имеет место также и в пространстве 1р.
Если последовательность {ар) такова, что ряд У ар хр сходится для
k = 1
последова1ельности {x/f} е lp (р > 1), то {ар} е I
25.
всякой
26.
1 1
где ' = 1,
р л ч
Если последовательность {afe} такова, что ряд apxk сходится для
k = 1
всякой последовательности {xfr} е 1 — 1г, то е т, г е sup { ар } <-рсо.
27. Ест р > 1 ив неравенстве Минковского (5) стоит знак равенства, то
g (а) = /</(<), где Д' ^0.
ГЛАВА VIИ
ФУНКЦИИ С КОНЕЧНЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ.
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
§ I. Монотонные функции
Как известно, функция f(x), заданная на сегменте [а, Ь],
называется возрастающей, если из
вытекает
х<у,
f(x)^f(y).
(1)
Если из (1) следует f (х) <.f(y), то говорят, что f (х) есть
строго возрастающая функция. Аналогично, функция f (х) назы-
вается убывающей (строго убывающей), если из (1) следует
f (х) f (у) [/ (х) > f (t/)]. Функции возрастающие и убывающие
называются монотонными (строго монотонными). Если функция
f (х) убывает, то — f (х) возрастает. Это простое замечание позво-
лит нам рассматривать только возрастающие функции. Отметим,
наконец, что, говоря о монотонной функции, мы всегда будем
считать ее конечной.
Пусть f (х) — возрастающая функция, заданная на сегменте
[а, й], и пусть а - Л'„ < Ь.
В курсе Анализа доказывается, что какую бы последователь-
ность точек х2, хя, ... , стремящуюся к ха и расположенную
правее х0, хл->х0, хп>х0 ни взять, существует конечный предел
lim f (хя). Этот предел есть не что иное, как inf {f (х)\ (х0 <x ~h i,
п —» со
и потому он не зависит от выбора последовательности {х„}.
Обозначают его через /(хо4-О).
Аналогично определяется символ f(xa — 0) (а < х() Ь).
Легко видеть, что
/(хо-О)<;/(л'о)=с/(хп + О) (а<х0<Ь),
f(a)^f(a + 0), f(b-Q)^f(b).
Отсюда следует, что для того чтобы функция fix) была непре-
рывна в точке x(), необходимо и достаточно, чтобы было
f(xa-0) = f(xQ) = f(x + 0).
[Если хп совпадает с а или с Ь, то нужно говорить лишь об
одностороннем пределе / (а 4-0) или f (Ь — 0)].
191
Числа f (х0) — f(xn — 0); f (Хо + 0) — / (х0) называются, соответ-
ственно, скачками слева и справа функции f (х) в точке х0, а сумма
их f (хп 4- 0) — f (х0 - - 0) называется просто скачком функции f (х)
в этой точке (для точек а и b рассматриваются только односто-
ронние скачки).
Лемма. Пусть на сегменте [а, 6] задана возрастающая функ-
ция f(x). Если хь х.,, ..., хп произвольные точки, лежащие внутри
[а, Ь], то
п
[/(а + 0) — / (ст)] + 2 [/(л-, + 0)-/(х,-0)] + [/(&)-/(6-0)]<;
k = 1
^f(b) — f(a}. (2)
Доказательство. Можно считать, что
а < х± < х2 <... < хп < Ь.
Положим а = хп, Ь — хпаЛ и введем в рассмотрение точки уа,
У1, , Уп, где xk<zyk<xk^1 (6 = 0, 1, /г).
Тогда
Ж + 0) - f (х,-0)</Ы-f (6=1, 2,.... п),
f(a + O)-f(a)^f(yi)-f(a),
Складывая все эти неравенства, мы и получаем (2).
Следствие. Возрастающая функция f (х), заданная на сегменте
[а, &], может иметь лишь конечное число точек разрыва, в кото-
рых ее скачок больше данного положительного числа ст.
В самом деле, если лежащие внутри [а, Ь] точки xlt ..., хп
суть точки разрыва со скачком большим, чем ст, то из (2) следует,
что nosg/(b)~ /(cz) и, стало быть, п не может быть сколь угодно
большим.
Теорема 1. Множество точек разрыва функции /(х), воз-
растающей на сегменте [а, Ь], разве лишь счетно. Если
х1( х2, х3, ... суть все внутренние точки разрыва, то
[/(а + 0)-/(ст)]+2 [/(х, + 0) -/(хЛ-0)] + [/ (6)-/(Ь-0)]<
*= I
(3)
Доказательство. Обозначим через И множество всех точек
разрыва функции /(х), а через Нк множество тех точек разрыва
этой функции, в которых ее скачок больше, чем Ilk. Очевидно,
Н = + Н2 + Н3 + ... , и счетность Н вытекает из конечности
каждого Нк.
Неравенство (3) следует из (2) с помощью предельного пере-
хода.
192
Пусть /(х) функция возрастающая на сегменте [а, Ь]. Введем
функцию s(x), полагая
s (ч) - О,
8(х) = [/(а + 0)-/(й)]+ Л [/(хА + 0) —f(хА —0)] +
xk<x
+ [/(х) — / (х — 0)] (a<x^b).
Эта функция носит название функции скачков функции /(х).
Ясно, что это тоже возрастающая функция.
Теорема 2. Разность <р(х) = jF(x) — s(x) между возрастающей
функцией и ее функцией скачков есть возрастающая и непрерыв-
ная функция.
Доказательство. Пусть а -ух<(/<; Ь. Если неравен-
ство (3) применить к сегменту [х, у] вместо сегмента [а, 6], то
мы получим неравенство
s(y)-s(x)^f (y)-f(x), (4)
откуда <р (х) <р (у) и функция <р(х) оказывается возрастающей.
Далее, если в неравенстве (4) заставить у стремиться к х, то
в пределе мы получим, что
s(x + 0)-s(x)^f(x + 0)-f(x). (5)
С другой стороны, из самого определения функции s (х) следует,
что при хсу будет f (х Д-0) - - f (х) =<: s (у) — s (х), откуда, в пре-
деле при у->х,
/ (х + 0) - / (х) s (х 4- 0) - s (х).
Отсюда и из (5) ясно, что f (х Д-0) — f (х) = s (хЦ-0) — s (х), и,
стало быть,
<р(х + 0) = <р(х).
Аналогично мы убедимся, что <р (х — 0) = <р (х).
§ 2. Отображение множеств.
Дифференцирование монотонной функции
Пусть на каком-нибудь множестве А задана функция f(x).
Эта функция всякому множеству Е с А соотносит множество
f (£), состоящее из всех точек f (х), где хе£. Иначе говоря, f(E)
состоит из всех таких и только таких точек у, для которых
в множестве Е найдется корень х уравнения f (jc) — у.
Множество f (£) называется образом множества Е, а последнее
называется прообразом множества f(E). Операция перехода от
множества Е к множеству f(E) называется отображением Е на
f(E).
7 И П Натансон
193
Теорема 1. Если
1) Е, о Ес, 2) Е ~ £ Еп,
Ч—i
то, соответственно,
со
1) / (£х) с= / (£,); 2) /(£)= У/(£„).
»=1
Эта теорема очевидна.
Особенно простой оказывается теория отображении в том
случае, когда отображающая функция устанавливает взаимно
однозначное соответствие между множествами А и f (А). Тогда
существует и обратная функция х^= g (у), заданная па множестве
f (Д) и имеющая значения, лежащие в множестве А. Легко понять,
что в указанном случае будет •
;/=1 / /1=1
и, в частности, если множества £х и Е, не пересекаются, то не
пересекаются и их образы f (£х) и f(EA-
В качестве примера такого «хорошего» отображения можно ука-
зать на отображение, даваемое непрерывной, строго возрастающей
функцией fix), заданной на сегменте А=[а,Ь]. В этом случае
/И) =[/(«), Ж].
Понятие отображения очень полезно при изучении дифференци-
рования функций.
Определение. Число X (конечное или бесконечное) называется
производным числом функции fix) в точке х0, если существует
такая стремящаяся к нулю последовательность hlt h,, h3, ...
(Л,>#=0), что
1 j m f(xo + hn)-f jx0) =
hn
To обстоятельство, что X есть производное число функции fix)
в точке л'о, мы будем записывать так: X=Df(x0).
Если в точке х0 существует (конечная или бесконечная) произ-
водная f (х0), то она и будет производным числом Df(x0), причем
в этом случае никаких других производных чисел в точке х0 у функ-
ции f (х) нет.
В качестве другого примера рассмотрим функцию Дирихле ф (х),
которая равна нулю при иррациональных значениях х и равна
единице, когда х рационально.
Предположим, что х0 число рациональное. Тогда отношение
Ф (Хц Г /1) — ф (Хц)
Л
194
равно нулю для рациональных h и равно —1/h, когда h иррацио-
нально. Отсюда следует, что в точке х„ у функции ф(х) есть
3 производных числа: —оо, Он Доо. Легко проверить, что других
производных чисел у ф(х) в точке хи нет. Так же обстоит дело
и тогда, когда х0 иррационально.
Теорема 2. Если функция f (х) задана на сегменте [а, &], то
в каждой его точке существуют производные чи^ла.
Доказательство. Пусть х0 е [«, Ь] и (h„ 0) такая
стремящаяся к нулю последовательность, чю x0 + /t„e[o, й].
Положим ег„ = ~~ —. Если последовательность {о,,} огра-
ничена, то, по теореме Больцано — Вейерштрасса, из нее выде-
ляется подпоследовательность {crrtJfe}, имеющая некоторый предел X,
который и будет производным числом функции f (х) в точке х0,
X Если же последовательность {а„} неограничена, напри-
мер, сверху, то из нее выделяется подпоследовательность {ст„ },
стремящаяся к -фоэ. В этом случае Д оо = Df (х0).
Теорема 3. Для того чтобы функция /(х), заданная на сег-
менте [а, &], имела в точке х„ е [а, 6] обыкновенную производ-
ную f (х0), необходимо и достаточно, чтобы все производные числа в
этой точке были равны друг другу.
Необходимость условия, уже отмеченная выше, совершенно три-
виальна. Допустим, что оно выполнено и пусть X есть общее зна-
чение всех производных чисел в точке х0. Существование обыкно-
венной производной f (х0)будет доказано, если мы установим, что
для всякой стремящейся к нулю последовательности \h,,\ (й„=д0)
будет
i: f До + hn) — f (х0) .
11 m ----т-------= л.
п > оо
Допустим, что это не так. Тогда найдется хотя бы одна такая
последовательность [ЛД 0, НпД=0), что отношение
(х0)
— /1
пп
не стремится к X. Но это означает [мы будем считать, что — оо <
<Х<Доо; если Х=±оо, то рассуждение только упростится]
существование такого е >> 0, что бесконечное множество из чисел
<yIL лежит вне интервала(X —е, ХД-е). Это бесконечное множество
будет содержать в себе последовательность стремящуюся к
некоторому конечному или бесконечному пределу ц, который будет
отличным от X производным числом функции f (х) в точке х0,
а существование такого производного числа противоречит ус-
ловию.
Лемма /. Если функция f (х) возрастает на сегменте[а, Ь],
то все ее производные числа неотрицательны.
Эта лемма очевидна.
7*
195
Лемма 2. Пусть на [а, Ь] задана строго возрастающая функ-
ция f(x). Если в каждой точке множества Е а [а,Ь} существует
хотя бы одно производное число Df (х), такое, что
Df(x)^p (0<р< + оо),
то
т*[(Е)^р-т*Е.
Доказательство. Возьмем какое-нибудь е>0 и построим
такое открытое ограниченное множество G, что
Е cz G, mG<tm*E-Ez-
Пусть, далее, ра>р. Если х0 е Е, то существует стремящаяся
к нулю последовательность [hn\такая, что
lim f(xo + h)-f(Xo) = р
п СО ЛЛ
В таком случае при всех достаточно больших п сегмент1)
|х0, xu + h„] будет целиком содержаться в множестве G. Кроме
того, при всех достаточно больших п будет
f Ga+hn)-f(x0)
h <Ро-
Мы будем считать, что оба эти обстоятельства имеют место
при всех п. Введем в рассмотрение сегменты
= + A„(x0) = [f (х0), f(xa + hn)\.
Так как функция f (х) возрастает, то очевидно, что
f[dn(x0)] cz Ал(х0).
Длинами этих сегментов являются числа
mdn (х0) = | hn I, mkn (x0) = | f (x0 + hn) - f (x0)|.
Поэтому mA„ (x0) (*«)• Но /гл->0, значит среди сегмен-
тов Ал(х0) имеются сколь угодно короткие. Так как образ [(E)
множества Е состоит из точек /(х0), входящих в сегменты Ал(х0),
то f (Е) покрыто всеми сегментами Ал (х) (где х е £) в смысле
Витали.2) Но тогда можно выбрать из множества этих сегментов
счетную последовательность попарно не пересекающихся сег-
ментов {Ал.(х,)} (г = 1, 2, 3, ...) такую, что
т f (Е) - У, АЛ1 (х,) = 0.
!) Мы приспособили запись к случаю hn > 0 Если /г„ < 0, то надо было
бы писать [х0 4- hn, х0] Впрочем, можно условиться обозначать через[а, р] мно
жество чи^ел, лежащих между аир независимо от того, будет ли а - |3 или
а > Р
2) Здесь именно и использовано то, что [ (х) возрастает строго. Действи-
тельно, иначе некоторые сегменты Дл (х) могли бы выродиться в точки и нельзя
было бы применить теорему Витали.
196
Ясно, что m*f (£)=ss2 (*<) <PoS mdni(xt).
1 = 1 1 = 1
Заметим теперь, что не только сегменты Д„ (х,), но и сег-
менты d,tl(xl) также попарно не пересекаются.1) Поэтому
У md,4 (х,) = т у d„t (х,) .
1=1 _1 = 1
А так как У d„L (jc,) czG, to <pomG<po[m*£ + e].
L= 1
Устремляя e к нулю, a p0 к p и переходя к пределу, завер-
шаем доказательство.
Сходным образом, хотя технически и несколько сложнее, до-
казывается
Лемма 3. Пусть на [а, Ь] задана строго возрастающая функ-
ция f(x). Если в каждой точке множества £ с: [а, 6] существует
хотя бы одно производное число Dfix), такое, что
Df(x)^q (0-^qc + co),
то
m*f (E)^s qrn* E.
Лемма тривиальна, если <7 = 0. Пусть же q>0. Обозначим через
<7о какое-нибудь положительное число, меньшее чем q, q№ < <7, и пусть
е>0. Найдем такое открытое ограниченное множество G, что2)
Сдэ/(£), mG <Zm*f (£)4-е.
Обозначим через S множество тех точек х из £, в которых
функция f(x) непрерывна. Множество E — S разве лишь счетно,
ибо у монотонной функции может быть разве лишь счетное мно-
жество точек разрыва.
Если хое£, то найдется последовательность {/г,}, для которой
haо, lim = Df
Мы будем считать, что при всех п
i (хв + hn) -/(х„)
ТГ~ Чо-
ап
Поэтому, вводя, как и выше, сегменты
dn(x„) = [xg, x0 + hlt], (х0) = [/(х0), f(x0 + h„)],
мы будем иметь
mA,, (r„) > qgmdn (х„).
х) Действительно, если бы точка г входила в пересечение dni (х) • dnk (xk),
то/(г) входила в пересечение Д,1;(х,) -lx,ik(xk)-
2) Полезно отметить, что множество f (Е) ограничено, ибо содержится
в сегменте [f (a), f (b)].
19 7
Если x0^S, то при достаточно больших п весь сегмент
[f(x0), f(xu-*-/!„)] будет целиком содержаться в множестве G. Мы
будем считать это выполненным при всех п.
Множество S покрыто сегментами dn(x) (где xsS) в смысле
Витали Значит, из множества этих сегментов можно выбрать счет-
ную последовательность попарно не пересекающихся сегментов
{d„( (х,)’ такого рода, что т S— (*0 = 0- Но тогда
т *S £ mdn (х,) < £ т \п (х,).
Но сегменты A,lz(x,), так же как и гЦ (х,), попарно не пересе-
каются [здесь, именно, и использовано условие строгого возра-
стания f(x)]. Значит,
V т А, (х,) = т
i = 1
^A,lt(x,) <mG</n*f (Е) ф-е.
Таким образом, т* S <ф— [т* f (£) ф- е], откуда, устремляя е
Ча
к нулю, a q0 к q и переходя к пределу, мы находим m*f(E')$s
^zqm*S. Но т*Е m*S ф- т* (Е— S) = m*S, откуда и следует
лемма.
Следствие. Множество точек, в которых хоть одно производ-
ное число возрастающей функции f (х) бесконечно, имеет меру нуль.
Действительно, пусть сначала функция f (х) строго возра-
стает. Если бы было т*Е (Df (х) = ф- со)>0, то образ этого мно-
жества должен был бы иметь бесконечную внешнюю меру, что
нелепо, ибо этот образ лежит в сегменте [/' (а), /(&)]. Итак, для
строго возрастающей функции наше утверждение доказано.
Если f(x) возрастает не строго, то мы положим g(x) = / (х) ф- х.
Это 5же строго возрастающая функция. Но
g (х ф Л) — g (х) _ f(x-f h) — f(x) .
It ~ /г *•
Значит, множество точек, где хоть одно Df(x\ = ф- со, совпа-
дает с таким же множеством для g (х) и потому имеет меру нуль.
Лемма 4. Пусть f (х) возрастающая функция, заданная на сег-
менте [а, й], а р и q два числа, причем p<Zq. Если в каждой
точке множества EFiqcz[a, й] существуют два таких производ-
ных числа DJix) и D2f(x), что
Dlf(x)<p<q<Dif(x),
то mEPtq = 0.
В самом деле, допустим сначала, что /Фх) возрастает строго.
Тогда к ней можно применить обе леммы 2 и 3, согласно которым
m*f (Ep,q) ^pm*Ep,q, m*f (Ep,q)^qm*EPtq, откуда qm*Ep,q^
^pm*Ep,q и m*Ep,q = G.
198
Если же [ (х) возрастает не строго, то, как и выше, полагаем
g (х) = f (х) + х и применяем уже доказанную часть леммы к g(x)
(с заменой р и q на р + 1 и р+1).
Теперь, наконец, мы можем установить основную в этом пара-
графе теорему.
Теорема 4. Если f (х) есть возрастающаяг) функция, задан-
ная на [а, 6], то почти во всех точках [a, 6J существует конеч-
ная^ производная f (х).
Доказательство. Обозначим через Е множество тех точек
[а, 6], где не существует производной [' (х). Если х0 е Е, то най-
дутся два производных числа (х0) и DJ(x„) не равных между
собой, DJ (х0) < D2f (х0). Но тогда можно указать такие рацио-
нальные числа р и q, что D,f (х0) <р < q < D2f (xu).
Значит, Е = У, EPiq, где Ep<q —множество тех х из [а, 6],
(р, ?)
в которых существуют два производных числа Z),/ (х) и D2f(x),
удовлетворяющих неравенствам DJ (х) < р <Zq < D2f (х), а сумми-
рование распространено на все пары (р, q) рациональных чисел,
в которых р <q.
Согласно лемме 4 каждое множество ? имеет меру нуль,
а так как множеств этих счетное множество, то тЕ = 0.
Таким образом, производная f (х) существует почти везде на
[а, &]. Так как обращаться в -|-оо она может лишь на множе-
стве меры 0 (следствие леммы 3), то теорема доказана полностью.
Впредь, говоря о производной f (х) возрастающей функции
[ (х), мы будем считать, что ее ^определение пополнено так, что
символ f' (х) определен для всех х из [а, Ь]. Для этого усло-
вимся раз навсегда полагать /' (х) = 0 в тех точках х, где у [ (х)
нет производной, хотя бы бесконечной.
Теорема 5. Если f (х) возрастающая функция, заданная на
[а, Ь], то ее производная f' (х) измерима и
ь
\f (x)dx^f(b)-f(a), (*)
а
так что f' (х) суммируема.
Доказательство. Распространим определение функции
/(х), полагая f(x)=f(b) при b<xsg&+l.
Тогда всюду, где f (х) есть производная f(x) [кроме, может
быть, точки х = Ь, где f (b) ранее была лишь левосторонней про-
изводной] будет f' (х) = lim nlflx+ 1 i — f(x)| .
Значит, f (x) есть предел почти везде сходящейся последова-
тельности измеримых 2) функций и, стало быть, f (х) — функция
i) Читатель обратит внимание на то, что непрерывности f (х) не предпола-
гается.
2) Функции / (х) и f(x+ возрастают и потому измеримы. Действи-
тельно, £ (/ > с) есть или пустое множество, или промежуток.
199
измеримая. Ввиду того, что она неотрицательна, можно говорить
ft
об ее интеграле Лебега f (х) dx. По теореме Фату [гл. VI, § 1]
Cl
Ь ( *
[' (x)dx<snp jn jj (//+
a V u r
Ho
ft ft 1 1 / n
\f\X+n''/dX = S fWdx
a a 4 1 n
(здесь не потребуется никаких ссылок на теорию замены пере-
менной в лебеговых интегралах, ибо f (х) монотонна и интеграл
можно понимать в римановском смысле). Значит:
ft Ь J I п а \ п
5 f{x)dx —
a ba
а -4 I п
= 'nHb)~ jj f(x)dx<±[f(b)-f(a)],
a
откуда и следует оценка
ь
$/' (x)dx^f (b)—f (a).
a
Мы привыкли, что интегрирование производной восстанавли-
вает первообразною. В связи с этим предыдущее неравенство
несколько «режет глаз». Однако, в общем случае, его нельзя за-
менить равенством, даже предполагая функцию /(х) непрерывной.
Примгр. Пусть Р„ есть канторово совершенное множество.
Его дополнительные интервалы можно распределить на группы,
относя в первую группу интервал 3 1, во вторую —оба ин-
/ 1 2 > / 7 8 \ ' / 1 2 \
тервала I q-, q ), (-у, , в третью — четыре интервала 1 — ,
\ J J J J j I £ { j
/7 8\ /19 20' ,25 26\ о , п„ .
27’ 27/’ \2l' 27,>’ ',27 ’ 27,1 И Т‘ Д‘ В ”'И гРУппе бУдет 2 интер-
валов.
1 / 1 2 \
Введем функцию 0 (х), полагая 0(х)=2 при хе'д-, 3 ,
0 (-V) = 4 при х е I 9-, g ) 0 (х) = т при X е 9 , 9 ).
В четырех интервалах третьей группы функция 0 (х) равна
13^7
последовательно 8 , 8 > 8 ’ 8 вообще на 2Л 1 интервалах п-н
группы полагаем функцию 0 (х) последовательно равной
13 5 2« -1
2« ’ 2я ’ 2Л ’ ’ 2"
200
Функция 0 (х) задана на канторовом открытом множестве Gn. Она
постоянна на каждом составляющем интервале этого множества
и является возрастающей функцией на множестве G(, в целом. J)
Дополним определение функции 0(х), задав ее на точках множе-
ства Р„. Для этого положим 0(0)=-0, 0(1) = 1.
В тех же точках х0 <н Ро, которые лежаг между 0 н 1, положим
0 (х0) = sup {0 (х)} (х GE Gn, х < х(1).
Легко видеть, что это определение сохраняет монотонность
функции 0 (х), которая теперь задана на всем сет менте [0, 1].
Установив монотонность 0 (х), мы легко докажем, что эта функ-
ция непрерывна. Это вытекает из того факта, что множество зна-
чений, принимаемых функцией 0 (х) на множестве Go, всюду
плотно на сегменте [0, 1] [действительно, если возрастающая функ-
ция f (v) имеет точку разрыва х(), то хоть один из интервалов
()(хп —0), [ (х0)) и () (хн), f (хоф- 0)) свободен от значений функции].
Итак, 0 (х) — непрерывная возрастающая функция. Вместе с
тем, почти везде на [0, 1] будет 0'(х) = 0 (это соотношение заве-
домо выполняется в каждой из точек множества Go). Значит,
1
J 0' (x)t/x = 0< 1 ==0(1)-0(0).
о
Ниже мы установим условия того, чтобы в (*) стоял знак равенства.
В заключение докажем полезную во многий вопросах теорему.
Теорема 6. Какое бы множество Е меры нуль в сегменте
[а, й] ни взять, существует такая непрерывная возрастающая
функция о (х), что во всех точках х е Е будет о' (х) = + со.
Доказательство. Построим для каждого натуральною
числа п такое ограниченное открытое множество Gllt что
Gn =э Е, mGn < 2’п .
Положим фя(х) = щ (G„[«, х][. Функция ф(х) возрастает, неот-
рицательна, непрерывна и удовлетворяет неравенству (х) < 1'2'г.
Поэтому функция о (г) =2 Фл (х) также неотрицательная
/1- I
возрастающая и непрерывная.
Если х0 ее Е, то при достаточно малом 1 h весь cei мент [т0, г0 ф- /г]
целиком содержится в множестве G.., [при закрепленном п]. При
таком h (считая для простоты /г>0) мы будем иметь
фп (*о + h)^m{Gn- [а, х„] ф- Gn (х0, хи ф- /г][ = ф„ (х0) + /г,
откуда
ф« — Ф„ Go) .
/I ~ *•
!) В атом проще всего убедиться индуктивно. Представляем читателю
провести подробное доказательство.
201
Но тогда, каково бы ни было натуральное число У, при дос-
таточно малом । h. \ окажется
N
а (хр-НА) — ст (t0) у 1|;я (х0-(-/г) — (х0) =
h X, /г ’
п—\
так что
<т' (х0) = + ОО.
Теорема доказана.
§ 3. Функции с конечным изменением
В этом параграфе мы изложим теорию важного класса функ-
ций-функций с конечным изменением, тесно связанных с моно-
тонными функциями.
Пусть на сегменте [а, Ь\ задана конечная функция /(х). Раз-
ложим [а, Ь] на части точками х0 = а <.хх <... <х„ = Ь и соста-
/1—1
вим сумму |/(х*Т1)-/(х*) I.
/?=0
Определение I. Точная верхняя граница множества всевоз-
можных сумм V называется полным изменением функции fix')
ь
на сегменте [а, Ь] и обозначается через V (/)• Если
а
b
V(/)< + ~,
а
то говорят, что f (х) есть функция с конечным изменением * 2) на
[а, Ь] или, что / (х) имеет на [а, 6] конечное изменение.
Теорема 1. Монотонная функция есть функция с конечным
изменением.
Достаточно доказать эту теорему для возрастающей функции.
Если f(x) возрастает на [а, Ь], то все разности f (xk+1) — f (xk) не
и — 1
отрицательны и V = У {/ (хАт1) — f (хк)\ = f(b) — f(a), откуда и сле-
*---0
дует теорема.
Другим примером функций с конечным изменением являются
функции, удовлетворяющие «условию Липшица»:
Определение 2. Конечная функция f(x), заданная на сегменте
[а, Ь], удовлетворяет условию Липшица, если существует такая
постоянная К, что для любых двух точек х и у из [а, Ь]
1 / Gv) - f (У)1 " К | х - у .
Если функция f (х) в каждой точке [п, Ь] имеет производную
f (х) и последняя ограничена, то, как это видно из формулы
’) Или полной вариацией.
2) Или функция ограниченной вариации.
202
Лагранжа
f(x)-f(y) = f' (z)(x-y) (x<z<y),
функция f(x) удовлетворяет условию Липшица.
Если f(x) удовлетворяет условию Липшица, то
I / (^+i) - f (Xk)1 <= К (x^i - xk),
откуда
V К (b а)
и, стало быть, f(x) есть функция с конечным изменением.
Примером непрерывной функции с бесконечным полным изме-
нением служит функция
/(x) = XCOS (0 <№й 1, /(0) = 0).
Если за точки деления сегмента [0, 1 ] принять точки
2л 2л -1 ^••^3^2 ’
то легко проверить, что
V = 1 + J-+ • • + \ , откуда V (D = + со.
Z Л 0
Теорема 2. Всякая функция с конечным изменением ограничена.
В самом деле, при
а
откуда
h
|/(x)Klf(a): + V(/).
а
Теорема 3. Сумма, разность и произведение двух функций
с конечным изменением суть функции с конечным изменением..
Доказательство. Пусть f (х) и g(x) суть функции с конеч-
ным изменением на сегменте [а, 6] и s(x) их ерша. Тогда
I s (л-4+1) - s (xk)1 -с [ f (xk^) - f (xk) | +1 g (x*^) - g (xk) |,
b b b
откуда следует, что V (s) «£ V (f) + V (g) и s (x) есть функция
с конечным изменением. Для разности доказательство аналогично.
Пусть далее р (х) = f(x)g (х). Положим A =sup\\f(x) |}, В —
= suPl IgW If-
Тогда
\p(x/l+1y)-p(xk) ^f(xk^)g(xk i)-/(^)g(x/,.1)| +
+ I f (xk) g (x*t1) - / (xft) g (xk) (xk^) - f (xk) । +
+ Л g (xftxi) - g (xk) |,
203
откуда
b b b
V(p)<b V (/) +Д V(g),
a a a
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Сели f (х) и g (х) суть функции с конечным изме-
нением и, сверх того, g(x)^so>0, то частное-^- есть функ-
S \х)
ция с конечным изменением.
Доказательство предоставляем читателю.
Теорема 5. Пусть на [cz, й] задана конечная функция f (х)
и a<zc<zb. Тогда
b с b
V(f) = V(f) + V(f). (1)
а а с
Доказательство. Разложим на части каждый из сегмен-
тов [с?, с] и [с, Ь\ точками
уй а < г/! <
< Ут = с-, г0 = с<г1<...<гп = Ь
и составим с^ммы
т — I
k = 0
V2=”s'im+1)-m)i.
k = 0
Точки >yk} и
назвать через V
то V = V1+V2.
Отсюда сразу
неравенство
{гД дробят на части весь сегмент [а, £>]. Если
сумму, отвечающую этому способу дробления,
ь
следует, что УХ V (/), а, стало быть, и
а
ebb
V (/) + V (/)<V (/).
аса
(2)
Теперь разобьем на части сегмент [а, Ь] точками
Xq - а х2 х,1 — Ь,
озаботившись при этом включить точку с в число точек деления.
Если с — хп1, то сумма V, отвечающая нашему способу деления,
т — 1 ,1 — 1
имеет вид V = У, | f (х*+1) - f (хк) | + У | / (хА+1) - f (хД | или, Ko-
i' = 0 k=m
роче, V = Vi V4, где и У2 суть суммы, отвечающие сегментам
[а, с| и [с, 6].
Отсюда
v<V(D+V(f). (3)
а с
204
Это неравенство установлено пока лишь для сумм V, отвечаю-
щих таким способам дробления, при которых точка с включена
в число точек деления. Но так как добавление новых точек деле-
ния, очевидно, не уменьшает сумм V, то (3) верно для всех
вообще сумм V. Отсюда ясно, что
V(/XV(/) + V(/). (4)
а а с
Сопоставляя (2) и (4), получаем (1).
Следствие 1. Если в условиях теоремы функция f (х) имеет
конечное изменение на сегменте [а, Ь], то она имеет конечное
изменение и на каждом из сегментов [а, с\ и [с, 6] и обратно.
Следствие 2. Если сегмент [а, Ь) можно разложить на конеч-
ное число частей, на каждой из которых функция f (х) монотонна,
то f (х) имеет на [a, ft] конечное изменение.
Теорема 6. Для того чтобы функция f(x) была функцией
с конечным изменением, необходимо и достаточно, чтобы она
представлялась в форме разности двух возрастающих функций.
Доказательство. Достаточность условия следует из тео-
рем 1 и 3.
Для доказательства его необходимости положим
л (х) = V (f) (a<Zx^b), л(а) = 0.
а
Функция л (х) возрастает в силу теоремы 5. Если мы положим
v (х) = л (x)-f(x), (5)
то функция v(x) также окажется возрастающей. В самом деле,
если a^x<ys^b, то в силу теоремы 5,
и
v(z/) = n(z/)-f(t/) = n(x) + V (f)-f(y)
X
и, стало быть,
v(y)-v(x)^V(f)-[f(y)-f(x)].
X
Однако из самого определения полного изменения ясно, что
f (у)- f (х) < V (/), так что V (у) - v (х) О,
X
и функция v (х) возрастает. Остается переписать равенство (5)
в форме /(х) = л(х) —v(x), чтобы получить искомое представле-
ние )(х).
Следствие 1. Если функция f (х) имеет конечное изменение
на [а, Ь], то почти в каждой точке [а, Ь] существует конечная
производная (х), являющаяся суммируемой функцией.
205
Следствие 2. Множество точек разрыва функции с конечным
изменением разве лишь счетно. В каждой точке разрыва х„ суще-
ствуют оба предела
/фх(|-|-О) = limf(x) (х>х0), /(хо-О)- lim/(x) (х<х0).
Л -♦ Ло А —♦ Ар
Пусть последовательность
хп х_, х3, ... (а<х„<6) (6)
состоит из всех точек, являющихся точками разрыва хоть одной
из функций л (х) или v (х). Введем в рассмотрение функции скачков
зя (х) = [л (а + 0) - л (а)] + У [л (х* -фО) - л(х* - 0)] ф-
xk<x
-ф [л (х) — л (х — 0)] (а<х<?&),
sv(x) = [v (а-фО) — v (а)|-ф YJ [v (xA -ф 0) - v (xft - 0)] -ф
xk <x
+ [v(x)-v(x-0)],
sn(a) = s. (a) = 0.
(Если точка xk есть точка непрерывности одной из функций
л (х) или v (х), то соответствующее слагаемое исчезает само собой.
Впрочем, можно показать, что точка разрыва функции v (х) не
может быть точкой непрерывности функции л(х); для нас это
мало интересно.)
Пусть s (х) — 8Я (х) — (х). Эту функцию можно записать так:
s(x) = (Н« + 0)-f («)1+ £ [Ж + 0)-Иаа-0)] +
xk"'x
-ф [/(х) — / (х — 0)] (а<х<Ь),
s (а) = 0.
Она также есть функция с конечным изменением и называется
функцией скачков функции / (х). Само собою ясно, что определе-
ние функции s(x) не изменится, если из последовательности (6)
удалить те точки, в которых функция f(г) непрерывна,1) такчто
можно считать, чю (6) состоит только из точек разрыва функ-
ции /(х).
Мы видели (теорема 2, § 1), что функции л(х) —s„(x), v(r)—
— S'(х) непрерывны и возрастают. Отсюда следует, что разность
Ф (х) -= /' (х) — s (х) есть непрерывная функция с конечным измене-
нием. Иначе говоря, доказана.
Теорема 7. Всякую функцию с конечным, изменением можно
представить в форме суммы ее функции скачков и непрерывной
функции с конечным, изменением.
1) Можно показать, что в (6) таких точек не было с самого начала. Чита-
тель усмотрит зТо из 1соремы 1, § 5.
206
§ 4. Принцип выбора Хелли
В этом параграфе мы изложим важную в приложениях тео-
рему, принадлежащую Э. Хелли.
Сначала докажем две леммы.
Лемма 1. Пусть на сегменте fa, b\ задано бесконечное семей-
ство функций H = {f(x)\. Если все функции семейства ограничены
одним и тем оке числом
I/(*)!-< К, (1)
то, какое бы счетное множество Е ст [а, Ь] ни взять, из семей-
ства Н можно извлечь последовательность {/„(х)(, сходящуюся
в каждой точке множества Е.
Доказательство. Пусть E = {xh}. Рассмотрим множество
{[ (*i)' значений, принимаемых функциями семейства И в точ-
ке лу. В силу (1) это множество ограничено и, по теореме Боль-
цано— Вейерштрасса, из него выделяется сходящаяся последова-
тельность
А1’ (ху), f<‘> (хД /<') (х,), ...; lim fy (xj = ЛР (2)
п —»-с
Рассмотрим теперь последовательность
/|* (*;), Л1 (хД (х2), ...
значений, принимаемых функциями множества {/„* (х)} в точке х.,.
Эта последовательность также ограничена и мы можем при-
менить к ней теорему Больцано — Вейерштрасса (в ее второй
форме), что приводит нас к сходящейся последовательности
ft (*2), fi ft (xj, .... lim f,i’(xJ =A2, (3)
n -♦ 00
выделенной из (x,)f. Важно отмениь, что взаимный порядок
двух функций fn и /7, в последовательности (3) такой же, как и
в последовательности (2).
Продолжая этот процесс неограниченно, мы построим счетное
множество сходящихся последовательностей
A’ Ui), Л' (*т)> /7(^1)..... Um f,'t
Il -+ co
ff Co), /7 (*2), /7 (x,), ..., lim (х_)=Л>,
n -> *o
/Г’ (xk), ГУ (хД Crfr)..... lim № (xj = Ak,
n —►co
причем каждая следующая последовательность функций выделена
(без нарушения порядка следования элементов) из предыдущей.
Заметив это, составим последовательное гь диат опальных эле-
ментов построенной матрицы, т. е. последовательность
{/!"’(*)} (п = 1, 2, 3, ...).
207
Это есть требуемая, т. е сходящаяся в каждой точке множе-
ства £, последовательность Действительно, при любом фиксиро-
ванном k последовательность (хД| (п k) есть частичная для
(Л,*1 to)) и сходится к Ак, что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть F = {f(x)\ есть бесконечное семейство воз-
растающих функций, заданных на сегменте [а, ft], Если все функ-
ции семейства ограничены одним и тем же числом \f(x)\ 'К,
то из F можно извлечь последовательность {/„ (х)[, которая в каж-
дой точке [а, Ь\ сходится к некоторой возрастающей функции <р (х).
Доказательство. Применим к ]/(х)} лемму 1, взяв в каче-
стве множества Е множество, состоящее из всех рациональных
точек сегмента [a, ft] и точки а, если она иррациональна. В каж-
дой точке xk е Е существует конечный предел
lim f{n} (хД (4)
/2 —* СО
последовательности функций Fo = (х)}, выделенной из F.
Введем функцию ф(х), положив ее равной пределу (4) в точ-
ках множества Е
Ф(*Д = lim (xk) (xftc=£).
П -» CO
Этим функция ф (х) задана пока только на множестве Е, причем
легко видеть, что она есть функция возрастающая, т. е. если хк
и х, суть две точки множества Е и х/г<хг, то ф (хД ;ф(хг).
Распространим определение функции ф (х) на весь сегмент
[a, ft], положив ее равной ф(х)= sup {ф(хД} (хк е Е) для всех
иррациональных точек промежутка (а, Ь].
Ясно, что функция ф (х) есть возрастающая на всем сегменте
fa, ft], В таком случае множество Q точек разрыва функции ф (х)
разве лишь счетно.
Покажем, что в каждой точке х0, в которой ф(х) непрерывна,
будет
hm/(я)(х0) = ф(х0). (5)
п —> со
Действительно, для произвольного е > 0 можно найти такие
точки хк и х, множества Е, что
xft < х0 < х„ ф (xt) - ф (хД < | .
Фиксировав эти точки, найдем такое п0, что при « > п0 будет
| (хД - ф (хД , < |, । /(и) (х() - ф (х,) | < о -
Легко понять, что при этих п окажется
ф (х0) - в < Фп> (хД _ М (х() < ф (х0) + Б,
208
а так как фп} (xk) (x0) -С /(л’ (хг), то при n > n0 будет
Ф (x0) - e < (x0) < ip (x„) + e,
откуда и следует (5).
Итак равенство
lim f(n} (х) = ip(x) (6)
П —* со
может не выполняться только на счетном множестве Q точек раз-
рыва ip (х).
Заметив это, снова применим лемму 1 к последовательности Fo,
взяв за множество Е множество тех точек Q, где не выпол-
няется (6). Это приведет нас к последовательности {/„(х)}, выделен-
ной из Fo и сходящейся теперь уже во всех точках [а, Ь] (ибо
там, где сходилась последовательность {Д11 (x)J, сходится и ее
подпоследовательность {fn(x)}). Если положить <р (х) = lim/„(x),
' п-+с£>
то функция (р(х), очевидно, окажется возрастающей.
Теорема (Э. Хелли). Пусть на сегменте [а, Ь\ задано бес-
конечное семейство функций F = {f(x)\. Если все функции семей-
ства и полные изменения всех функций семейства ограничены
одним числом
ь
|/(х)КК. V(/)<K,
а
то из семейства F можно выделить такую последовательность
которая в каждой точке [а, Р] сходится к некоторой
функции ср (х), также имеющей конечное изменение.
Доказательство. Положим, для каждой функции /(х)
семейства F
л (х) = V (/), v (х) = л (х) - / (х).
а
Обе эти функции возрастают. При этом I л (х) | К, 1 v (х) । 2/С
Применив к семейству {л (х)} лемму 2, мы выделим из этого
семейства сходящуюся последовательность {лА (х)}
lim nk (х) = а (х).
k —*• со
Каждой функции (х) соответствует функция vk (х), допол-
няющая ее до функции Д(х) семейства F. Применив лемму 2
к семейству {vA(x)}, мы выделим из него сходящуюся последова-
тельность (х)|
lim vhi (x) = P(x).
Но тогда последовательность функций (x) = л^ (x) — (x),
выделенная из F, сходится к функции <р (х) = а (х) —13 (х).
Теорема доказана.
209
§ 5. Непрерывные функции с конечным изменением
Теорема 1. Пусть на сегменте [а, Ь] задана функция с конеч-
ным изменением f(x). Если f (х) непрерывна в некоторой точке хи,
то в этой точке непрерывна и функция
л (л) =V (/).
а
Доказательство. Предположим, что х0<6, и покажем,
что л (х) непрерывна в точке х0 справа. С этой целью, взяв
произвольное е>0, разложим сегмент [х0, (?] точками
х(| < А < • < хп = b
на части так, чтобы оказалось
V= J(xft 1-f(xk)\>V(f)-e. (1)
/г — 0 x,,
Так как сумма V лишь возрастает от добавления новых точек,
то можно считать, что \f (xL) — f (х0) । < е. В таком случае, из (1)
следует, что
V(/)<e+ +
-Vo А = о
п — 1 Ь
+ 5 7Ы-М<28фУ (/).
k= 1 А
X,
Стало быть V (/) <2е, и, следовательно, л (хх) — л (х0) < 2е.
Отсюда и подавно л (х0 + 0) — л (х0) < 2е. Но е произвольно. Значит
л (Хо + 0) = л (х0).
Аналогично доказывается, что л (х() — 0) = л (хи), т. е. что л (х)
в точке х0 непрерывна слева (если х0>а).
Следствие. Непрерывная функция с конечным изменением пред-
ставима в форме разности двух непрерывных же возрастающих
функций.
В самом деле, если f(x) непрерывная функция с конечным
изменением, заданная на сегменте [а, Ь\, то непрерывны обе ее
возрастающие компоненты n(x)=-V(f) и v (х) = л (х) — / (х).
а
Пусть на сегменте [а, Ь] задана непрерывная функция /(х).
Разложим |а, Ь] на части точками
х0 = а < хх < х2 <... < хп = b [max (х*т1 — х*) = ?.]
п — I П — 1
и составим суммы V = У | f (х^т1) — f(xk) I, Q=S мл. где
*=0 k=0
означает колебание функции f (х) на сегменте [х*, хАг1].
.210
Теорема 2. Если Х->0, то каждая из сумм V uQ стре-
ь
мится к полному изменению V (/) функции f(x).1)
а
b
Заметим, чго конечности изменения V (/) мы не предио-
а
лагаем.
Доказательство. Как уже отмечалось, сумма V не убы-
вает от добавления новой точки деления. С другой стороны, если
эта новая точка попадает в интервал между хА и х,,^, то увели-
чение суммы V, проистекающее из появления этой точки, не
превосходит удвоенного колебания ык функции f (х) в сегменте
ь
Заметив это, возьмем какое-либо число А < V (?) и найдем
сумму V* такую, что У*>Л. Пусть эта сумма отвечает следую-
щему способу деления:
х„ = а < xf <... < х*п = Ь.
Выберем столь малое 6 >0, что как только | х" — х' | < 6, так
сейчас же
1/М-/М|<Г_Ц,
и покажем, что для любого способа деления, у которого 1 < 6,
будет
V>A. (2)
В самом деле, имея подобный способ деления (I), составим
новый способ (II), получающийся из (I) добавлением всех точек
{х*}. Если способу (II) отвечает сумма Ко, то
V0>V*. (3)
С другой стороны, способ (II) получается из (I) путем т-крат-
ного добавления по одной точке. Так как каждое добавление
V’* - А
вызывает увеличение суммы V меньшее, чем на —--, то
J J ’ 2/n
Отсюда и из (3) следует, что
i) Здесь существенно, чго речь идет о непрерывной функции. Пусть,
например, f (х) задана на [—1, -ф-1J гак: f (0) = 1, f(x) = O при х 0. Тогда
+1
V (() = 2, но для любого способа дробления [—1, -|-1], при котором х — 0
— I
не является точкой деления, будет Г = 0, й = 1.
211
b
Итак, при Z<6 выполнено (2), но поскольку всегда V«==V(f),
а
b
то lim V = V (/).
>-П а
Теперь уже легко провести доказательство и для сумм Q.
С одной стороны, ясно, что
Q =& V. (4)
Но если мы найдем сумму Q, отвечающую какому-нибудь
способу деления, а затем добавим в качестве новых точек деле-
ния те точки, в которых функция /(х) принимает значения
m* = min {/(х)}, Mk = max >f (х)} (x*<x<xA+i),
то сумма V", отвечающая получившемуся новому способу деле-
ния, очевидно, не будет меньшей, чем Q, откуда
Q=CV(/). (5)
а
Ь
Из (4) и (5) и следует, что limQ = V(f).
а
Доказанная теорема лежит в основе принадлежащего С Банаху весьма
интересного подхода к непрерывным функциям с конечным изменением
Пусть f (х) задана и непрерывна на сегменте [а, и m = rrun {/(л-)},
М - max {/ (х)[
Введем функцию N (у), заданную на сегменте [т, М] следующим образом.
N (у) есть число корней уравнения f (х) — у Если множество этих корней бес-
конечно, то N (у) = +оо. Мы будем называть функцию N (у) индикатрисой
Банаха
Теорема 3. (С. Банах). Индикатриса Банаха измерима и
м ь
j N (у) dy = V (().
т а
Доказательство. Разложим [а, Ь] на 2" равных частей и положим
. Г । Ь — а\
dk = [a + (k-l)^, а + (* = 2,3..2«).
Пусть, далее, функция Lk(y) (*=1, 2, ..., 2") равна 1, если уравнение
f(x) = y (6)
имеет в промежутке dk хотя бы один корень, и Lt(y) = 0, если в dk нет ни
одного корня этого уравнения Если тк и Мк суть, соответственно, точная
нижняя и точная верхняя границы функции f (х) в промежутке dk, то Lk(y)
равна 1 в интервале (тк, Мк) и равна нулю вне сегмента [тк, Мк], так что
эта функция может иметь не больше двух точек разрыва и, очевидно, изме-
рима. Отметим еще, что
м
tn
где шк есть колебание / (х) на сегменте d к,
212
Введем, наконец, функцию Nn (y) = Lt (у) + /, (у)+ +/-2„(у), равную
числу тех промежутков rffr, в которых содержится хоть по одному корню урав-
нения (6) Очевидно, функция Vn (у) измерима При этом
м 2Л
j Nn(y)dy^ ю*.
т k = 1
так что в силу теоремы 2,
м b
hm pV„ (у) dy = V (f).
щ а
Легко понять, что Л\ (у) S- Ni (у) < N3 (у) . и, стало быть, существует
конечный или бесконечный предел N*(y) = lim Nn (у), который является
«-►со
функцией измеримой. Согласно теореме Б. Леви (гл. VI, § 1),
м м ь
j N* (у) dy — hm Nn (у) dy = V (f).
m n “* 00 m a
Если мы покажем, что
N* (И) = N (у), (7)
то теорема будет доказана
Прежде всего совершенно ясно, что Nn (у) sg N (у), откуда и
N*(y)^N(y). (8)
Пусть теперь q натуральное число, не большее чем N (у). Тогда можно
указать q различных корней хг <х„ <. х0 уравнения (6). Если п настолько
Ь — а .
велико, что < min (xfe+1—Xfe), то все q корней попадут в разные
промежутки dh, так что A'fl (у) q, откуда и подавно
N*(y)^.q. (9)
Если N (у) = -f- со, то q можно брать сколь угодно большим, так что и
IV* (у) = +со, если N (у) конечно, то можно взять q = N(y), и тогда (9) при-
мет вид А'* (у) S? N (у) Отсюда и из (8) следует (7).
Следствие 1. Для того чтобы непрерывная функция f (х) имела конечное
изменение, необходимо и достаточно, чтобы ее индикатриса Банаха N (у)
была суммируема
Следствие 2. Если f (х) есть непрерывная функция с конечным изменением,
то множество значений, принимаемых ею бесконечно много раз, имеет (на оси
ординат) меру нуль
Действительно, в этом случае индикатриса Банаха, будучи суммируемой,
почти везде конечна.
§ 6. Интеграл Стилтьеса
Здесь мы изложим весьма важное обобщение понятия об ин-
теграле Римана — интеграл Стилтьеса.
Пусть на сегменте [а, Ь] заданы две конечные функции f(x)
и g(x). Разложим [а, Ь\ на части точками х0 = a<Xi <... < хп =
= Ь, выберем в пределах каждого частичного сегмента [хА, хА+1]
«— 1
по точке и составим сумму а= У f [g (хА+1) - g (xA)].
А = 0
213
Если при X = max (xh+l — xh) ->0 сумма о стремится к конеч-
ному пределу I, не зависящему ни от способа дробления, ни от
выбора точек £,к, то этот предел называется интегралом Стил-
тьеса функции f(x) по функции g(x) и обозначается через
ь ь
\f{x)dg(x) или (S}\f(x)dg(x).
а а
Точный смысл определения таков: число I есть интеграл Стил-
тьеса функции f (х) по функции g(x), если всякому е>0 отвечает
такое 6 > О, что при любом способе дробления, при котором Z-C 6,
будет | о — 11 < е, как бы мы ни выбирали точки Zk-
Ясно, что интеграл Римана есть частный случай интеграла
Стилтьеса, получающийся при g(x) = x.
Отметим некоторые очевидные свойства интеграла Стилтьеса.
1 • $ [/1 (*) + /г (*)] dg (х) = $ fr (х) dg (х) + $ f2 (х) dg (х).
а а а
2- j f W d [gl (x) + g2 (x)] = f (x) dg! (x) + $ f (x) dg. (x).
3. Если k и l постоянные, то
b b
5 kf (x) d Ig (x) = kl 5 f (x) dg (x).
a a
Во всех трех случаях из существования правой части выте-
кает существование левой.
4. Если а<.с<.Ь и существуют все три интеграла, входящие
в равенство
Ь с b
$ / (х) dg (x) = \f (х) dg (х) + у (х) dg (х),
а а с
то это равенство справедливо.
Чтобы доказать это свойство интеграла, нужно лишь озабо-
титься включением точки с в число точек деления сегмента [о, 6]
ь
при составлении суммы о для интеграла § f dg.
а
b
Нетрудно доказать, что из существования интеграла / dg еле-
а
( b
дует существование обоих интегралов У dg и у dg, но мы не
будем на этом останавливаться. Интереснее отметить, что обрат-
ное предложение неверно.
Пример. Пусть функции f (х) и g(x) заданы на сегменте
[—1, +1], причем
f ( 0 при — 1 - -х=<0, н (° при — 1 sCx<0,
| 1 ПрИ 0 < X 1 , Х I I ПрИ OsgXsC 1.
214
Л I
Легко видеть, что интегралы f (х) dg (х), \f(x)dg(x) суще-
-1 6
ствуют (ибо суммы о равны нулю). В то же время интеграл
J-1
f (х) dg (х) не существует. Действительно, раздробим сегмент
~ 1
[—1, +1] на части так, чтобы точка 0 не попадала в число то-
п— 1
чек деления, и составим сумму о = У, / (g*) [g (xfr+i) — g(x*)].
4=0
Легко понять, что если х,<0 <х1т1, то в сумме о останется
только /-ое слагаемое, ибо если точки хк и хк^ лежат по одну
сторону от точки 0, то g(x*) = g(xfr+1).
Значит, ст = / (£,) [g (х,+1) -g (х,)] = f (£,).
В зависимости от того, будет ли grCO или ^>0, будет о — 0
или ст=1, так что о не имеет предела.
ь
5. Из существования одного из интегралов jj/(x)gg(x) и
а
b
\g(.x)df(x) вытекает существование другого и равенство
а ь
j / W dg (х) + $ g (х) df (х) = [/ (х) g «, (1)
а и
где, как обычно, положено
[fWg(x)pa=f(6)g(&)-f(fl)g(a). (2)
Формула (1) называется формулой интегрирования по частям.
Докажем это свойство интеграла. Пусть существует интеграл
ь
\g(x)df(x). Разделим [а, Ь] на части и составим сумму
а
О = S f (gfr) [g (x^i) - g (*fc)].
k = 0
Ее можно представить и так
О = S f (g*) g (х#+1) - 2 f (g.) g (xk),
£=0 k=0
откуда
о = - S g У ^) - f (^-1)] + f (Ul) g (*„) - / (go) g (X’o).
/-1
Прибавляя и вычитая в правой части выражение (2), находим
о = [/ W g (*)]£ -
- (g <«) [f (^о) - f (o)i + у; ё м у (ы-f &,-!)]+gw [f (&)-/ (u A
I I J
215
Выражение, стоящее в фигурных скобках, есть не что иное,
ь
как сумма, составленная для интеграла \gdf, причем точками
а
дробления [о, 6] служат точки а Д - "b,
а точки а, х2, х2, , хп^, b суть точки сегментов [а, Ц [Но, .
Ь].
Если стремится к нулю max (хм — хк), то к нулю же
стремится и max (gAll — £*), так что сумма в фигурных скобках
ь
стремится к интегралу \gdf, откуда и следует доказываемое
а
предложение.
Естественно поставить вопрос об условиях существования
интеграла Стилтьеса. Мы ограничимся лишь одной теоремой в этом
направлении.
Теорема /. Интеграл
ь
$ f (х) dg (х)
а
существует, если функция f(x) непрерывна на сегменте [а, й],
a g (х) имеет на этом сегменте конечное изменение.
Доказательство. Очевидно достаточно считать, что функ-
ция g(x) возрастает, ибо всякая функция с конечным изменением
есть разность двух возрастающих функций.
Разложим [а, Ь] на части точками
х0 = а < X! < ... < хп = b
и обозначим, соответственно, через /ик и Mk наименьшее и наи-
большее значения функции /(х) в сегменте [х;., x^+J.
Пусть
/1 — 1 п— 1
8 = У] тк [g (х*+1) - g (х*)], S = у; Mk[g (xfe+1) - g (xfe)].
A=0 k=0
Ясно, что при любом выборе точек Д, в сегментах [х*, x*+i]
окажется s о - S.
Легко проверить, что при добавлении новой точки деления
сумма s не убывает, a S не возрастает.
Отсюда следует, что ни одна сумма s не превосходит ни одной
суммы 5. Действительно, имея два способа, I и II, дробления
сегмента [а, й], которым отвечают соответственно суммы
и s2, S2, мы можем составить способ III, объединяя точки деле-
ния обоих способов—I и II. Если способу III отвечают суммы
s3 и S3, то 515..| Л’3 - Д2, так что и в самом деле sLcS2.
Заметив это, назовем через 1 точную верхнюю границу мно-
жества {s} всех нижних сумм: /=sup{s)l.
При всяком способе деления будет s'/' S, и, следовательно
(в силу неравенства s-yo-rS), <т ——s.
216
Если взять произвольное е>0и найти такое 6>0, что нера-
венство | х" — х' | < S влечет неравенство , f (х") — / (х') | <е, то при
7. <6 окажется Л4* —(& = 0, 1, .... п — 1) и, стало быть,
S-s<e (я)].
Отсюда и подавно при X <6 будет
I о-Л’ <е [£(&)-£(«)]•
ь •
Иначе говоря, limcr—/, так что I и есть интеграл \j{x]dg(x).
X --II а
Из доказанной теоремы следует, что всякая функция с конеч-
ным изменением интегрируема по всякой непрерывной функции.
Вопрос о вычислении интеграла Стилтьеса будет подробно рас-
смотрен в § 6, гл. IX. Сейчас мы ограничимся двумя элементар-
ными случаями.
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на [а, £>], а функ-
ция g(x) в каждой точке [а, й] имеет производную g' (х), являю-
щуюся функцией интегрируемой (/?), то
ь ь
(S)\f(x)dg(x) = (R)\f(x)g'(x)dx. (3)
а а
Доказательство. Из условия теоремы следует, что g(x)
удовлетворяет условию Липшица, а потому имеет конечное изме-
нение, и интеграл в левой части (3) существует. С другой стороны,
функция g' (х), а с ней и произведение f(x)g'(x) почти везде
непрерывны, так что существует и правая часть (3). Остается
убедиться в их равенстве.
С этой целью разложим [а, Ь] на части точками
х0 = а <%i< .. .<хп — Ь,
и к каждой разности g (xfc+1) — g (хД применим формулу Лагранжа
g (**+i) - g М = g' (Xk) (**+i - xk) (** < < x*+1).
b
Если при составлении суммы ст для интеграла \fdg мы в каче-
а
стве точки возьмем именно точку хк, доставляемую формулой
Лагранжа, то сумма о примет вид
и —1
о = 2 / (хД g' (хД (хА+1 - хД,
/г-0
т. е. окажется римановой суммой функции /(x)g'(x). «Размельчая»
дробления и переходя к пределу, мы и получим равенство (3).
Теорема 3. Пусть f (х) непрерывна на [о, b], a g(x) посто-
янна в каждом из интервалов [а, сД, (сь е2), ..., (ст, Ь), где1)
а<с1<,с2<...<ст<Ь.
!) Иначе говоря, g(x есть ступенчатая функция.
217
Тогда
5 / (х) dg (х) = f (a) [g (а + 0) - g (а)] +
а
+ У f(ck)[g(c, + O)-g(ck~Q)] + f(b)[g(b)-g(b-Q)]. (4)
1
Доказательство. Легко видеть, что
V (g) = | g (а + 0) - g (а) I + 2 {I s (ck) - g (с/; - 0) | +
+1 g (cft + 0) - g (cft) 1} +1 g (b) - g (b - 0) I,
так что функция g (x) имеет конечное изменение на [а, Ь], а зна-
чит, и на всякой части [а, Ь]. Поэтому
\f(x)dg(x)=’yi (5)
° А = 0
где положено сп = а, с„,^ = Ь.
ек и
Остается вычислить интеграл f(x)dg(x). Но разлагая
ек
[cfr, c*+i] на части и составляя сумму о для интересующего нас
интеграла, мы, очевидно, будем иметь
° = f (U [g (с* + 0) -g (cfr)] + f [g (c^i) - g (c* i - 0)],
ибо все прочие слагаемые исчезают. Значит, в пределе
Ck-1
$ /(х) rfg(x) = f(cfr)[g(cft + 0) -g(cft)] + -g(cft+1 - 0)],
откуда, в связи с (5), и следует (4).
§ 7. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
Теорема 1. Если функция f (х) непрерывна на [a, ft], a g(x)
имеет на этом сегменте конечное изменение, то
ь ь
\f(x)dg(x) ^M(f)-V(g), (1)
где М (f) = max f (х) |.
Доказательство. Для любого способа дробления [а, Ь]
и любого выбора точек будет
п-1
У f (Ы [g (^+i) - g (**)]
А = 0
(о ! =
п-1 ь
(D у g (Х^) - g (X.)! /и (/). v (g),
к —О а
откуда и следует (1).
218
Теорема 2. Пусть на [а, Ь] задана функция с конечным изме-
нением g(x) и последовательность непрерывных функций
равномерно сходящаяся к (непрерывной) функции f(x). Тогда
ь ь
1 im 5 fn (х) dg (х)= У (х) dg (х).
а а
Доказательство. Пусть М (fn — f) = max | fn (х) — f (х),.
Ттда, в силу (1),
$ fn (х) dg (x)-\f (х) dg (х) ^M(fn-f)-V (g),
a a a
и остается заметить, что по условию М (f„ — Л -> 0.
Теорема 3 (Э. Хелли). Пусть на сегменте [а, Ь] заданы
непрерывная функция f (х) и последовательность функций {§„(%)',
которая в каждой точке [а, Ь] сходится к конечной функции g(x).
Если при всех п
V(g,M/<< + oo,
а
то
h h
lim $/ (x)dgn(x) = \f(x)dg(x).
л
Доказательство. Прежде всего установим, что
V (g) < к,
(2)
(3)
так что и предельная функция имеет конечное изменение. Дей-
ствительно, если мы произвольным образом разложим сегмент
[а, Ь] на части, то будем иметь
m -1
2 1 (^-.1) — |(n=l, 2, 3, ...),
А = 0
откуда и в пределе (при п->оэ)
Hl— I
У I g - g (xk) I < К.
6 = 0
Ввиду произвольности произведенного дробления, отсюда сле-
дует (3).
Заметив это, возьмем произвольное е>0 и разложим [а, Ь]
точками {хД (k = 0, 1, ..., т) на столь малые части [хк, xfr+1],
что в каждой из них колебание функции f (х) оказывается меньше,
219
b m — \ xk+t
J f (x) dg(x) = j f (x) dg (x) =
a k = Q
tn— 1 xfrri tn— I xk+l
= S 5 [f(x)-f(xk')]dg(x)+ f(^) 5 d№
b-0 xk 4 = 0 xk
Ho
'ft+i
dg W = g Ua+i) - g (xk).
xk
С другой стороны, на сегменте [xft, хА+1] будет
\f(x)-f(xk)\<^,
откуда
Xk,l
lf(x) — f(xk)]dg(x)
xh xk
и, стало быть,
m — 1 *4+1
У 5 U (x) — f (xk)]dg (x)
k = 0
Таким образом,
b m—I
^f(x)dg(x)= f(xk)[g(xk+1)-g(xk)]-\-b^ (|0|==^1).
a k — 0
Аналогично
b m — \
\f(x)dgn(x)= У f(Xk) [g,( (Xat1) - gn (xA)] + 8„
tj о
a k =0
Но для n > n0 будет
tn — 1 tn — 1
2 f (xk) [g,: (xk+1) - gn (X*)] - У f (xk) [g- (xk+1) - g (xA)]
4 = 0 4 = 0
и, следовательно, при этих n окажется, что
b b
J f (x) dgn (x)-\f (x) dg (x)
a a
< e.
а это и доказывает теорему.
220
С помощью доказанной теоремы мы можем свести вопрос
ь
о вычислении интеграла \f(x)dg(x) (где функция f(x) непре-
а
рывна, a g (х) имеет конечное изменение) к тому случаю, когда
g(x) непрерывна.
Действительно, пусть g (х) произвольная функция с конечным
изменением. Введем в рассмотрение функцию скачков s (х) функ-
ции g(x)
s (*) = [£(«+ 0)-g(a)]+ 2 [g (xk + 0) - g (xk - 0)] +
+ [gW-g(x-0)].
Как установлено в теореме 7, § 3, g (x) = s(x) + v (x), гдеу(х)
непрерывная функция О1раниченной вариации. Отсюда
b b ь
5 f (х) dg (х) = $ / (х) ds (х) + 5 f (*) dy W-
а а а
b
Покажем, что интеграл ^f(x)ds(x) легко вычисляется. С этой
а
целью отметим, что ряд
оо
У {|g(^)-g(xA-0)| + |g(xft + 0)-^(xA) |}
А = 1
сходится. х) Заметив это, введем функции s„(x), полагая sn(a) = 0 и
W = [g (« + 0) - g (а)] +
+ 2 [g(*ft + 0)-g(xft-0)] + [g(x)-g(x-0)]
xk<x
для a<zxs^b, причем учитываются только те точки разрыва xk
функции g(x), у которых k^-n.
Ясно, что при каждом х из [а, b] lim s„(x) = s(x).
/Е—>00
С другой стороны,
ь п
V(sJ = 'g(a + 0)-g(a)| + 2 {| g (xfr) -g (xk - 0) | +
a k — 1
+1 g(Xk 4- 0) - g (xft) I) +1 g(b) -g(b - 0) [,
так что изменения всех функций s„(x) ограничены одним числом.
!) Действительно, если g(x) — л(х) — v(x), где л (х) и v (х) возрастающие
функции, то каждый из (положительных) рядов
У, [л(х* + 0)-л(хй-0)], [v (х* + 0) —v (xft —0)]
*=l А—1
очевидно сходится, и остается заметить, что
|£(ха)~g(x*-0) । +,g(xft+0)-g(x/,) <
=£[л (хА + 0) — л(хА — 0)1+ [v (xfc + 0) — v(xk — 0)].
221
Поэтому
ь ь
(f (х) ds (х) = 11 m f (х) clsn (х).
а а
Но функция st(x) постоянна в интервалах между точками
a, xit . , хп, Ь. Значит, в силу теоремы 3, § 6,
ь
S / (*) dsn (x) = f (a) [g (а + 0) - g (а)] -ф
а
+ i /(^)te(xft+o)-g(xfc-o)]+n&) [g(b)-g(6-o)]
k~\
(ясно, что скачки функции sn(x) в точках д, х1( xnt b сов-
падают со скачками функции g(x)). Отсюда
ь
5 f (х) ds (х) = f (a) [g(a + ty-g (а)] +
а
со
+ 1] Ж) fe(**+0)-g(xk-0)] + f(b) [g(b)-g(b-0)],
I
b
и для нахождения интеграла \j(xjdgix} остается вычислить
а
b
\f(x)dy(x), где ?(х) непрерывная компонента функции g(x).
Обратим внимание читателя на то, что само значение g (хк)
функции g(x) во внутренней точке разрыва хк никакого вли-
ь
яния на величину интеграла \fdg не оказывает Это вполне
естественно, ибо точку хк мы можем не включать в число точек
деления при составлении суммы о.
§ 8. Линейные функционалы
Пусть на сегменте [а, й] задана функция с конечным изменением g (х)
Эта функция позволяет каждой непрерывной функции /(%), заданной на
[а, й], соотнести число
Ф(/) = р(х)^(Д (1)
(I
При этом соблюдены условия.
1) Ф(^ + /2) = Ф(/1)3-Ф(/2) ь
2) \Ф ([), где М (0 = max f (х) , a /( V (g).
а
Если каждой непрерывной функции f(x), заданном на [а, 6], соотнесено
число Ф (/), причем соблюдены условия 1) и 2), то говорят, что на множе-
стве С непрерывных на ceiменте [a, 6J функции задан линеиныи функционал ,
222
Оказывается, что никаких других линейных функционалов, кроме (1), на
множестве С не существует
Прежде чем доказать это предложение, отметим, что для всякого линей-
ного функционала Ф (/) на множестве С <удет Ф (7у) = кФ (/), что доказы-
вается так же, как для случая функционалов, заданных на £2 (см гл VII, § 4)
Теорема (Ф. Рисе). Если на множестве С непрерывных в сегменте [л, к]
функций [ (х) задан линейный функционал Ф (/), то существует такая функ-
ция ограниченное/ вариации g (х), что д1я всякой f (х) е: С будет
ь
®(D=p«dg(x) (1)
а
Доказательство Достаточно рассмотреть случай, когда а — 0, /> = 1,
ибо общий с iy чаи сводится к этому с помощью линейного преобразования
аргумента
п
В § 5, гл IV отмечалось, что С^хк (1 — x)n~k — 1.
k -о
Кроме того, при х е. [О, 1] каждое слагаемое этой суммы не отрицательно.
Значит если t.k= । 1 (£-= О, I, , п), то
п
2 е*СУ(1-*)’>-*
* = О
У)
Заметив это, рассмотрим линейный функционал Ф (/) заданный для непре-
рывных на [0, 1] функций [ (х) По определению линейного функционала,
существует такое К, что | Ф (/) К М (/) Отсюда и из (2)
S е*ф[С*х* (1 -х)"-*]
А = 0
Если мы распорядимся числами е* так, чтобы все слагаемые последней
суммы были неотрицательны, то обнаружим, что
S Ф К. (3)
k = Q
Введем теперь ступенчатую функцию gn (х), полагая
§л(0)=0,
gn (х) = Ф[С;(х° (1 — х)"-0] ^0 < х <j ,
/1 9 \
g„(x) = ®[Qx«(l -х)" о] + Ф[С‘х1 (I -x)«-i] [п^х< п)<
II — 1
ёп (х)= 2 ф[Ф* (1-х)«-Ч
А = 0
п
ёп(1)= 5 Ф|фЧ1-х)«-*1.
* -0
п[
п
В силу (3), сами функции gn (г) и их полные изменения ограничены
одним числом Поэтому, на основании принципа выбора Хелли, из последо
вательности {gn(x)j можно выделить подпоследовательность |g,^(x)|, которая
в каждой точке [0, 1] сходится к функции с конечным изменением g (х) .
223
Если f (х) непрерывная функция, заданная на [О, 1], то в силу тео
ремы 3, § 6,
1 п
jj f(x)dgn(x) = J
О А=-0
1 п
откуда /(х) dgt (х) == Ф [Вя(х)], гдеВя(х)=^? f{-\c*x't(\ — х)п~к есть
b k = о
почином Бернштейна для функции f (х)
В силу теоремы С Н Бернштейна из § 5, гл IV М (Вп—/)-^0, а по
определению линейного функционала
|Ф(В„)-Ф(Л = Ф(В„-/) ^КМ(Вп-().
Значит, при п-^оо Ф (В„)Ф (/), откуда
1
lim f/(x)dgn(x)=®(/)
л-со 0
Но если п стремится кф-оо, пробегая значения пг, п2, п3, , то по тео-
1 I
реме Хелли из § 7 будет lim / (х) dgn (х) = \f (х) dg (х)
п^со0 3
1
Значит, Ф (/) = j/ (х) dg (х), что и требовалось доказать
о
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VH1
1. Для того чтобы функция /(г) имела конечное изменение, необходимо
и достаточно, чтобы существовала такая возрастающая функция <р(х), что при
xf <С х
<р(х") —<р(х')
2. Если в каждой точке множества Е существует производная /' (х) конеч
ной функции /(х), причем f (х) --А’, го К т*Е
3. Функция f (х) удовлетворяет условию Липшица порядка а>0, если
/ (х ) — f (х') | К, | х" — х' |“ Показать, что при а > 1 / (х) = const Построить
пример функции с конечным изменением, которая не удовлетворяет никакому
условию Липшица Построить функцию, удовлетворяющую условию Липшица
данного порядка «< 1 и имеющую бесконечное полное изменение
b
4. Интеграл f (х) dg (х) существует, если f (х) удовлетворяет условию
а
Липшица порядка a, a g(x)— условию Липшица порядка 0, причем аф-0> 1
(В Кондурарь)
X
5. Если / (х) непрерывна, a g (х) имеет конечное изменение ,то j / (х) dg (х)
а
есть функция с конечным изменением, непрерывная во всех точках непрерыв-
ности g (х)
6. Пусть дана числовая последовательность ц0, pj, р2, Положим Д°ря =
= Цл, 1р„ = Д*р.я — AfcPn+i Для того чтобы существовала возрастаю-
щая функция g(x), для которой
1
$ х« dg (х) = рл (n = 0, 1, 2, ), (1)
о
необходимо и достаточно, чтобы при всех k и п было Д*фя О (Ф Хаусдорф).
224
7 В тех >ке обозначениях для существования функции с конечным изме
нением g (л), удовлетворяющей условию (I), необходимо и достаточно, чтобы
II
при всех и было V С* Д'г (Ф > ау дорф)
k - о
8 Показать, что теорема Рисса из § 8 есть следствие теоремы Хзусдорфа
сформулированной в предыдущем упражнении
9 Множество Г = {/(х)} состоит из равноап гинных ш npi рывных функций,
если всякому ь > 0 отвечает такое <5 :> О что неравенство х - х <. 6 вте
чет неравенство f (х ) — f(x) <е для всех функции из Г Сети в е функ
ции такого бесконечного множества Г ограничены одним чпелзм то из F
выделяется равномерно сходящая я постедщатедьпость (Ц \рцела —
Дж Хсколи)
ь с ь
10 Докатать равенство V (/)-= V (D + V (/) для непрерывной функции
а а с
опираясь на теорему Ьанаха из § 5.
8 И П Натансон
ГЛАВА IX
АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ (. Абсолютно непрерывные функции
С классом функций ограниченной вариации тесно связан более
узкий класс абсолютно непрерывных функций.
Определение. Пусть на сегменте [а, Ь] задана конечная функ-
ция f(x). Если всякому е>0 отвечает такое б > 0, что дня любой
конечной системы взаимно не пересекающихся интервалов
(аь bj), ... (ап, Ьп), для которой
оказывается
У, (Ьк-ак)<8
k= 1
£ (f (bk) — f (ак)}
k = 1
С е,
(1)
(2)
то говорят, что функция f (х) абсолютно непрерывна.
Очевидно, что всякая абсолютно непрерывная функция непре-
рывна в обычном смысле слова, ибо в частности можно взять
п=1. Ниже мы увидим, что обратное неверно.
Не изменяя смысла определения, мы можем условие (2) заме-
нить более тяжелым условием
£ \f(bk)-f(ak)\<e.
I
(3)
Действительно, пусть число б> 0 таково, что из (1) вытекает
неравенство
п
2 №)-Ж)}
k = 1
8
2
Тогда, взяв любую систему взаимно не пересекающихся интер-
валов {(ак, bk)t (&=1, 2, .... п), для которой выпотнено (1), мы
можем разбить эту систему на две части А и В, отнеся в А те
интервалы (ak, bk), для которых f (bk) — f (ак) 0, а в В все
226
остальные интервалы системы. Ввиду очевидных соотношений
А А
< 2 ‘
У f(bb)~ Ж)! = У{ЦЬк)-}(ак)}
в
е
2 ’
k
ясно, что выполнено (3).
Поскольку все сигаемые суммы (3) неотрицательны, а число
их произвольно, ясно, что всякому е>0 отвечает такое 6 Д> О,
что какую бы конечную или счетную систему взаимно не нале-
гающих интервалов {(ак, Ьк)', для которой 5? (Ьк — ак) < 6, ни взять,
k
окажется, что
£|Ж)-Ж)1<е.
Покажем, что вместо абсолютных приращений функции f (х)
можно говорить о ее колебаниях.
В самом деле, если наибольшее и наименьшее значения f (х)
в сегменте [aft, Ьк] суть тк и Мк, то в |аА, Ьк] можно найти такие
точки ак и что f (ак) = тк, t($k) = Mk.
Поскольку сумма длин интервалов (ак, pfr), очевидно, не пре-
восходит суммы длин интервалов (ак, Ьк), ясно, что
У[ИР/г)-/(М<е-
Итак, если функция f(x) абсолютно непрерывна, то всякому
е > 0 отвечает такое б>0, что какую бы конечную или счетную
систему взаимно не налегающих интервалов {(ак, Ьк)\, для которой
J1, — aft) С б, ни взять, будет У < е, гДе> как обычно, mk
k k
означает колебание f(x) на [а*, Ь*].
Простейшим примером абсолютно непрерывной функции может
служить любая функция f(x), удовлетворяющая условию Липшица
\f(x’)-f(x'}\^K\x'-x'
Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) абсолютно непрерывны,
то абсолютно непрерывны и их сумма, разность и произведение.
Кроме того, если g (х) не обращается в нуль, то абсолютно непре-
рывно и частное .
g(x)
Доказательство. Абсолютная непрерывность суммы и раз-
ности сразу следует из того, что
\{f(bk) ~tg(bk)} - {f (ак) ±g (ак)\ । ) f (Ьк) - f (ак) \ + \g (bk) - g (ak)'.
8* ’ 227
Далее, если А и В суть верхние границы |f(x)| и то
I / (bk) g (bk) - / (ak) g (ак) I < | g (&Д I 1 f (bk) - f (яД I dr
+ \f(ak)\-\g(bll)-g(al!)\ sz В \f (bk) — f (ак)\А-A[g (bk) — g (ак)\,
откуда следует абсолютная непрерывность функции f(x)g(x).
Наконец, если g(x) не обращается в нуль, то g(x)' ^о>0, откуда
|_!_____________________1_| g(’>A-g(aA,
\g(hk) g (flA I ' я2
и функция --у-у абсолютно непрерывна, а потому абсолютно непре-
, f(x) г, . 1
рывна и функция
Суперпозиция двух абсолютно непрерывных функ-
ций F (у) и f(x) может и не быть абсолютно непрерывной функ-
цией. Ниже мы вернемся к этому вопросу, а пока приведем два
простых условия, обеспечивающих абсолютную непрерывность
суперпозиции двух абсолютно непрерывных функций.
Теорема 2. Пусть на сегменте [«, Ь\ задана абсолютно непре-
рывная функция f (х), значения которой попадают в сегмент [А, В].
Если заданная на [А, Я] функция F (у) удовлетворяет условию
Липшица, то сложная функция Е[/(,г)] абсолютно непрерывна.
Доказательство. Если F (//") — F (у') [ К\у" — у'\, то
какую бы систему взаимно не налегающих интервалов (я/;, Ьк)
II н
ни взять, У F [/ (ft*)] - F [f (яД], <- к У, f(bk)-f(ak) , а пра-
k । k - 1
вая часть этого неравенства становится сколь угодно малой
вместе с У (bk - яД.
k = 1
Теорема 3. Пусть абсолютно непрерывная функция f {х), задан-
ная на [я, 6], строго возрастает. Если F (у) абсолютно непрерывна
на [/(а), /(6)], то функция F [/'(x)J абсолютно непрерывна на [я, Ь].
Доказательство. Возьмем t> 0 н найдем такое 6 > О,
что для любой системы взаимно не налегающих интервалов (ЛА, Вк),
у которой У (В* —ЯД < б будет У F (ВД - F (ДД, < е.
k -= [ k - 1
Затем найдем для этого 6 такое что неравенство
in 111
У (&* —яД<ц влечет неравенство У [/(&Д —/ (яД] < б, если
h — I k — I
только интервалы (я,, 6Д попарно не пересекаются.
Сделав это, выберем любую систему попарно не пересекаю-
щихся интервалов (я,,, 6Д, у которой сумма длин меньше р.
Интервалы (/(яД, f(bk)) тоже попарно не пересекаются (в этом
III
суть дела) и их сумма длин меньше б, а потому У ,Р[[(Ьк)]—
k= i
— В[/(яД]|<е, что и доказывает теорему.
228
§ 2. Дифференциальные свойства
абсолютно непрерывных функций
Теорема 1. Абсолютно непрерывная функция имеет конечное
изменение.J)
Доказав л ьство. Пусть на сегменте [а, 6] задана абсо-
лютно непрерывная функция f(x). Найдем такое <5>0, что для
всякой системы взаимно не налегающих интервалов {(ah, Ьк)\,
п п
у которой 2 (ьк -аъХб будет У, I f (bk) - f (olt) < 1.
k -1 1
Разложим [о, ft] точками с(, = а < q <; с2 < ... < с v = 6 на такие
части, что ck j — с* <б (k = 0, 1, ..., N — 1).
Тогда, при всяком разложении сегмента [сА, ск J на част,
сумма абсолютных приращений f(x) на этих частях окажется
с b+1 Л
меньшей, чем 1, откуда V 1, а тогда V (/) < N, что и
а
требовалось доказать.
Следствие. Если f(х) абсолютно непрерывна на [а, &], то
почти в каждой точке [а, Ь] эта функция имеет конечную произ-
водную [' (х), которая оказывается суммируемой функцией.
Теорема 2. Если производная /' (х) абсолютно непрерывной
функции [ (х) почти везде равна нулю, то функция f (х) постоянна.
Доказательство. Назовем через Е множество тех точек
(а, Ь), где Г (х) = 0. Пусть е>0. Если геЕ, то для всех доста-
точно малых h > 0 оказывается
Легко понять, что сегменты [х, г 4- /г] [где /г>0 удовлетво-
ряют условию -(*)] покрывают множество Е в смысле Витали.
Поэтому мы можем выбрать из них конечное число попарно
не пересекающихся сегментов
-И + ЛгЬ <G = [x,, .... dn=[x,t, xn+h„\,
лежащих в интервале (а, Ь) и таких, что внешняя мера не покры-
той ими части множества Е окажется меньшей любого наперед
заданного числа 6>0. Пусть это сделано и x*<xfrl_1.
Если
[a, Xj), (х^Л,, х,), ..., (x^f + Л,^!, х„), (х„ + /г„, 6] (1)
суть промежутки, остающиеся после удаления из сегмента [а, /;]
всех сегментов dk (k = 1, 2, ..., п), то сумма длин этих проме-
!) Отсюда уже вытекает существование непрерывных, но
/ л
непрерывных функций ( например, такова функция х cos см.
не абсолютно
гл. VIII, § 3).
229
жутков необходимо будет меньшей, чем б. Это следует из того,
что
п
Ь — а~тЕ^ X mdk + m*
k = i
n
< У m^k+s»
k = 1
Е — S dk
k = i
откуда
n
У mdk> b — a — 8.
ft= I
Но функция f(x) абсолютно непрерывна. Поэтому число б
можно считать выбранным настолько малым, что сумма прира-
щений f(x) на промежутках (1) меньше е
| {/ (х,) - f (а)} + {f (**+i) Ч(*ь + hk}\ +
k = i
+ 7(6)-/(x„ + /z„)}l<e. (2)
С другой стороны, в силу самого определения сегментов dk,
будет \f(xk-\-hk) — f(xk)\ <ehk, откуда и подавно (поскольку
У hk — V ntdk ^b — a)
S \f(xk + hk)-f(Xk)}
k= i
<e (b — a).
(3)
Из (2) и (3) следует, что I/ (б) — f(a) I < г (1 -ф b— а) и, в силу
произвольности е, f(b) = f (а).
Это рассуждение можно провести для всякого сегмента [а, х],
где а<х«гЛ. Поэтому для любого х из [а, Ь] будет /(х) = /(а),
и функция f (х) оказывается постоянной.7
Следствие. Если производные {' (х) и g' (х) двух абсолютно
непрерывных функций /(х) и g(x) эквивалентны, пю разность
этих функций постоянна.
В самом деле, если удалить из [а, Ь] множество меры ну ш
точек, в которых хоть одна из функций Их) и g(x) не имеет
конечной производной, или их производные не равны между
собой, то в любой оставшейся точке будет [/(х) — g(x)j' =0.
§ 3. Непрерывные отображения
В § 2 гл. VIII мы уже имели случай остановиться на понятии отображе-
ния точечного множества с помощью некоторой функции. Здесь мы продол-
жим эти рассмотрения. Чюбы не повторять каждый раз одного и того же,
условимся раз навсегда, чю t (х) означает непрерывную функцию, заданную
на сегменте [а, 6].
Теорема 1. Образ f (F) замкнутого множества F есть замкнутое мно-
жество.
*) Из доказанной теоремы следует, что непрерывная функция 0 (х),
построенная в § 2 гл. VIII, заведомо не абсолютно непрерывна,
230
Доказательство. Пусть уа есть предельная точка множества f (F)
уд — lim уп [yn^f(F)\. Соотнесем каждой точке уп такую точку xn е F,
п -»со
что f(x„) = i/„.
Так как последовательность {хп} ограничена, то из нее выделяется схо-
дящаяся подпоследовательность |хпД
iimx^ = xfl>
причем, в силу замкнутости множества F, хд s F и, стало быть, ) (х0) е/('В).
С другой стороны, из непрерывности функции f (х) следует, что
lim^-limf(x„J==f(xfl),
так что yn = f(xg) и уд/=[(Г). Таким образом, множество j (F) содержит все
свои предельные точки.
И: сопоставления этой теоремы с теоремой 1, § 2, гл VIII вытекает:
Следствие. Если Е есть множ/ ство типа Fa, то и образ его f (F} есть
множество типа Fo.
Займемся вопросом о том, сохраняется ли свойство измеримости множе-
ства при его непрерывном отображении. Для решения этого вопроса пона-
добится следующее определение, принадлежащее Н. Н Лузину.
Определение. Если образ f (с) любого множества е, имеющего меру, рав-
ную нулю, также есть множество меры нуль, то говорят, что функция f (х)
обладает свойством (У).
Теорема 2. Для того чтобы образ f (В) любого измеримого множества Е
представлял собою измеримое множество, необходимо и достато/но, чт/бы
функция I (х) обладала свойством (Л').
Доказательство. Пусть f (х) обладает свойством (N) и Е есть изме-
римое множество, лежащее на [а, б|. Тогда Е = АА~е, где А есть множество
типа Fa, а е — множество меры О.1)
Значит, f (Е) = /(Л)+ /(е) и, следовательно, множество f (£) измеримо.
Теперь допустим, что функция f (х) свойством N не обладает. Тогда най-
дется лежащее на сегменте (а, й] множество ей, мера которого равна нулю,
но внешняя мера образа которого положительна m*f (eg) > 0.
Но тогда из множества / (с0) можно выделить неизмеримую часть В.2)
Соотнеся каждому у е В такое х е еп, что f (х) — у, мы получим прообраз А
множества В, причем А ~ еа. Ясно, что множество А измеримо, ибо m'A^s,
^тео = 0. В то же время множество f(A) = B неизмеримо, т. е. наша функ-
ция f (х) отображает измеримое множество в множество неизмеримое.
Теорема 3. Абсолютно непрерывные функции обладают свойством (N).
Доказательство. Пусть функция f (х) абсолютно непрерывна и мно-
жество Е имеет меру 0. Установим, что mf(E) = 0. Для этого допустим сна-
чала, что точки а и Ь не принадлежат Е, так что Е с. (а, Ь).
Взяв произвольное е > 0, найдем такое 6 > 0, что для любой конечной
или счетной системы взаимно не налегающих интервалов {(ад., сумма
длин которых меньше б, будет \ (М* — тк) < в, где, как обычно, тк =
k
= min {f (х)}, M* = hiax {[ (х)} (х <= [а*, Ь*]).
!) Чтобы доказать это утверждение, достаточно всякому натуральному п
соотнести замкнутое множество Fn с Е с мерой mFn>mE—- и положить
ОО
Fn.
п = |
2) Если f (е0) неизмеримо, то полагаем B=f(eg), в противном случае при-
меняем предложение, доказанное в конце § 6 гл. III.
231
Поскольку тГ =0, можно найти такое открытое ограниченное множе-
ство G, что Е cz G, mG < 6.
При этом можно считать, что G ~ (а, 1>) (ибо Е содержится в этом интер-
вале). Но G есть сумма своих составляющих интервалов (ак, Ьк), сумма длин
которых, стало быть, меньше 6. Значит
/ (£) cz f (G) = ЦI [(«*, Ml с f (f^, М).
k k
откуда
т*\(Е\^^т*1 ([аА, &J).
k
С другой стороны, ясно, что f (_[ак, 6J) = [тк, и, следовательно,
m*l <?.
к
Отсюда, ввиду произвольности е, и вытекает, что mf (£) = 0.
Переходя к общему случаю, достаточно ошетить, что выбрасывание из
множества Е точек а и b влечет удаление из множества f (£) не больше чем
двух точек /(а) и f (Ь), что, как известно, не отражается на мере множе-
ства f (Е).
Следствие. Абсолютно непрерывная функция отображает измеримое мно-
жество в измеримое множество.
Мы видели, что всякая абсолютно непрерывная функция имеет конечное
изменение и что она обладает свойством (V). Оказывается, что эти два свой-
ства характеризуют абсолютно непрерывные функции.
Теорема 4 (С. Банах—М. А. Зарецкий). Если [ (х) есть непрерывная
функция с конечным изменением, обладающая свойством N, то ята функция
абсолютно непрерывна
Доказательство. Допустим, что / (х) не абсолютна непрерывна
п
Тогда найдется такое е0 > 0, что ни при каком б > 0 неравенство У (Ьк — ак)<
*=1
<6 [при взаимно не налегающих интервалах (ак, Z>^)|, вообще говоря, не
п
обеспечивает неравенства У (Мк — mk) < е0.
k = i
Заметив это, возьмем сходящийся положительный ряд б, и дтя каж-
i= ।
дого б,- найдем такую систему взаимно не налегающих интервалов (а{к '
(k= 1, 2, ... , nt), что
А = 1 *=1
где и т^ суть наибольшее и наименьшее значения [ (v) в
п. о
Положим, Е(= У (а£\ А = Ц У Е,.
k — I п — I I — п
Легко видеть, что т4=0, откуда следует, что
щ/(Л)=0. (1)
Введем в рассмотрение функцию Е^'1 (у), равную 1 или 0, смотря по
тому, есть или нет хоть один корень уравнения
f(x) = y (2)
232
в интервале (ад1, Эта функция равна единице при у, содержащемся в
интервале М**) и равна нулю при у, лежащем вне сегмента |,
так что>)
м
L^(y)dy=^M^-m^. (3)
tn
п
Пусть Л'с(у) = t-k} (У)- Ясно, что Nt(y) есть числр тех интервалов
fe=l
R>, ft!1'), в которых есть хоть один корень уравнения (2). Поэтому
Nt(y)^N(y), (4)
где М ((/) есть индикатриса Банаха функции f (х). В силу (3),
М
\ Az, ((/) dy е0. (5)
tn
Для доказательства теоремы достаточно обнаружить, что почти для всех
у из [тп, Л1] будет
lini Nt(y)=0, (6)
п —*• оо
ибо индикатриса Банаха N (у) с\ммир\ема, и из (4) и (6) будет следовать,
Л(
что lim \ (г/) rfz/0, а это противоречит неравенству (5).
1 ’’’ 00 tn
Обозначим через В множество тех точек у, в которых (6) не выполняется,
а через С множество тех у. в коюрых /V ((/) = +>.'. Поскольку N (у) есть
суммир\емая функция, шС = 0, и для доказательства теоремы достаточно
установить, что
B-Ccf(A). (7)
Пусть уоеВ—С. Тогда найдется такая последовательность {Д}, что
tfIr(yo)SH (г = 1, 2, 3, ...).
Это значит, что существует при каждом г такая точка х1г, что
f(xir) = ya, xir^Eir,
Но, ввиду того что N (уи) <4-оо, среди точек х1г может быть лишь
конечное число различных. Поэтому одна из них —назовем ее через х0 —
встречается в последовательности jx,r} бесконечно много раз.
Итак, нами найдена такая точка х0, которая принадлежит бесконечному
множеству множеств Л/, и в которой /(х0)=у0.
Но тогда, очевидно, чго х0 е /1, а стало быть, yn<=f(A). Этим доказано
включение (7), а с ним и теорема.
Теорема 5 (Г. М. Фихтенгольц). Пусть F (у) и / (х) две абсолютно
непрерывные функции, причем значения f (х) падают а сегмент, на котором
задана F (у). Д тя того чпгобы суперпозиция F \j (х)] была абсолютна непре-
рывна, необходимо и достаточно, чтобы она имела конечное изменение. 2)
Доказательство. Необходимость условия теоремы очевидна. Чтобы
доказать его достаточность, отметим, что суперпозиция двух функций, обла-
дающих свойством (/V), также, очевидно, обладает этим свойством.
]) Как обычно, т = min {f (х)}; М = max {f(х)}.
2) Впервые эта теорема была найдена Г. 54. Фихгенп льцем в 19'22 г.
В 1925 г. желая дать новое ее доказательство, М. А. Зарецкии установил
теорему 4, которую тогда же нашел и С. Банах.
233
§ 4. Неопределенный интеграл Лебега
Пусть на сегменте [а, Ь} задана суммируемая функция f(t).
Функция
Ф(х) = С4-$Ц0Л
называется неопределенным интегралом (Лебега) функции /(/),
так что у последней есть бесконечное множество неопределенных
интегралов, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым.
Теорема 1. Неопределенный интеграл Ф(х) есть абсолютно
непрерывная функция.
Доказательство. Для любого е>0 существует (см. тео-
рему 8, § 2, гл. VI) такое б > 0, что для всякого измеримого
множества е с мерой те < 6 будет | (/) М < е.
В частности, если сумма длин конечной системы взаимно не
налегающих интервалов (а*, 6Д меньше, чем б, то
п bk
A.= ! ak
< е.
и остается заметить, чго
V-
5 f (о dt = Ф (ЬА) - Ф (а*), откуда
ak
п
S )Ф(ЬД-Ф(аД}
4=1
<е.
Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что Ф (х) почти везде имеет конеч-
ную производную, являющуюся суммируемой функцией. Однако,
можно установить гораздо более точное предложение.
Теорема 2. Производная неопределенного интеграла
Ф(Х)=5/(ол
а
почти везде равна подынтегральной функции f(x).
Доказательство. Пусть р <; q два вещественных числа.
Обозначим через Ер. ч множество тех точек [а, б], в которых функ-
ция Ф(х) дифференцируема и ее производная Ф' (х) удовлетво-
ряет неравенству Ф' (х) > q > р > f (х). Легко видеть, что мно-
жество Efpq измеримо. Нашей ближайшей задачей является
доказать, что
mEPi 9 = 0. (1)
С этой целью, взяв произвольное е > 0, найдем такое б > О,
что неравенство те <_ б влечет неравенство
<е.
234
и Построим такое открытое множество* 1) 6с [о, Ь], что
G^Ep.q, mG <ZmEPiq + 6.
Если х е Ер.д, то при всех достаточно малых Л>0 окажется
Ф (х_^л)-ф(х)
/; ’
Ясно, что множество Ep,q покрыто сегментами [х, x-J-/i| [где
А>0 удовлетворяет условию (2)] в смысле Витали,- Можно счи-
тать при этом, что все сегменты [х, х4~/г] лежат в G. Поэтому
можно выделить такое счетное множество этих сегментов
[хь Xi-E/ij], fx2, x., + /?.J, ...,
чтобы они попарно не пересекались и чтобы оказалось
т ч - S хь + = О-
( - *=1 J
В силу (2), окажется, что
4+hk
J- f(t)dt>q.
,lk J
xk
Если мы положим S= У [xfe, х*4-Л*]. т0 из последнего нера-
k ।
венства следует, что jj f (/) dt ~>q mS, или, что то же самое,
\f(t)dt>q[mEp,q + te] (O^S^l). (3)
s
С другой стороны, Sc.G, а потому S — Ер, q cz G — Ep,q и
m [S -Ep. q] <6, так что
f(t)dt<e,
s-tp.4
и следовательно,2)
\f(t)dt< $ f(t)dt + e. (4)
S EP- «
Но на множестве Epq будет и, стало быть,
$ f (t) dt--~ р mEp.q. (5)
i) Можно считать, что точки а и b не входят в Ep,q; пусть, кроме того,
е.
2) Следует обратить внимание на то, что т(Ер, q — S) = 0 и, стало быть,
\ fdt= j tdt.
ЕР.а SEp.O
235
Из (3), (4) и (5) следует, что q \тЕр q Д бе] < ртЕг, ч Д е,
откуда, ввиду произвольности е, вытекает, что qmEPiq^pmEp,qt
а это возможно лишь при mEPi q = 0.
Итак, равенство (1) доказано.
Пусть теперь Е обозначает множество тех точек [а, &], в кото-
рых функция Ф(х) дифференцируема и Ф' (х)>/(х).
Тогда Е = У EPi q, где суммирование распространено на все
(Р. <7)
пары (р, q) рациональных чисел, в которых p<Zq. В силу (1)
будет тЕ = 0.
Иначе говоря, если А есть множество точек, в которых суще-
ствует производная Ф' (х), то почти везде на А будет
Ф'(х)-с/(х). (6)
X
Отметив это, положим g(x) =— /(х), Г (х) = $ dt.
Легко понять, что Г(х) =— Ф(х), так что Г'(х) существует
во всех точках А. Применяя уже доказанную часть теоремы к
функции Г (х), получим, что почти везде на А
Г' (x)=Cg(x),
или, что то же самое,
Ф'(х)эД(х). . (7)
Из (6) и (7) следует, что почти везде на А, а значит, и
почти с езде на [о, 6]
Ф'(х)=/(х),
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Абсолютно непрерывная функция является неоп-
ределенным интегралом своей производной.
Доказательство. Пусть функция F (х) абсолютно непре-
рывна. Ее производная F' (х) существует почти везде и сумми-
руема.
Положим, Ф (х) = F (а) Д (/) dt. Эта функция также абсо-
лютно непрерывна и почти везде Ф' (х) = F' (х).
Значит (следствие теоремы 2, § 2), разность Е(х) — Ф(х)
постоянна, но, так как эта разность обращается в 0 при х = а,
то функции F (х) и Ф(х) тождественны.
Теорему 2 можно значительно усилить. Для этого дадим
Определение. Если в точке х будет /(х)Д ±оо и
lim ' \ f (t) — f (х) \ dt = 0,
то точка х называется точкой Лебега функции /(/).
236
Теорема 4. Если х точка Лебега функции ) (t), то в этой
точке неопределенный интеграл Ф (х) = f (/) dt имеет производной
число f(x).
Доказательство. Легко видеть, что
-f(x)= *- J {/(/)-/(х)}Л,
откуда
$ Д(о-/(х);^,
что и доказывает теорему. Заметим, что обратное предложение,
вообще говоря, неверно.
Теорема 5. Если функция f(x) суммируема на [а, 6], то
почти всякая точка [а, Ь] есть ее точка Лебега.
Доказательство. Пусть г — рациональное число. Функция
|суммируема на [а, й], а потому почти для всех точек
ле[и, 6] будет
x+h
lim ' \ lf(t)-r]dt = \f(x)-r\. (8)
Обозначим через Е (г) множество тех точек [а, Ь], в которых (8)
не выполняется. Ясно, что т£(г) = 0. Перенумеруем все рацио-
нальные числа и положим
£= 2 £(г„)+£( /;= + ^).
п-= 1
Тогда тЕ^О, и достаточно обнаружить, что все точки множе-
ства [о, Ь] — Е суть точки Лебега функции /(/).
Пусть х0е [ц, 6] — £. Возьмем произвольное е> 0 и найдем
такое рациональное число гп, что / (х0) — rH <3-
Тогда, очевидно, ,[/(/) — гп ' — / (/) — /(хп) < и, стало быль,
АоН" А() -ф II
* $ ^-r^dt-dt /3,
А и Ad
Но (поскольку ли<=£) для Л|<8(е) окажется
г» В /I
J $ <3,
Ад
т. е.
л
i $ jw-g dt< i е,
237
и, стало быть, для этих h будет
а о + /г
у,
Ха
Теорема 6. Всякая точка непрерывности суммируемой функ-
ции f (х) есть ее точка Лебега.
Доказательство. Пусть /(/) непрерывна в точке х. То1да
всякому е>0 отвечает такое 6> 0, что при t — x)<S ока-
жется | — f (х) । < е. Но тогда при /г <б будет
л и
J |/(/)-/(х)|С(/<е,
X
откуда и следует теорема.
Из теорем 1 и 3 вытекает, что для того чтобы функция Ф (х) сложила
неопределенным инте! ралам c\MMHpjexioii функции, необходимо и достаточно,
чтобы она была абсолютно непрерывна В связи с этим есгес.венно поставить
вопрос о характеристическом признаке ф)нкции, являющейся неопределенным
интегралом функции, входящей в Lt при р _> 1 Ответом служит
Теорема 7 (Ф. Рисе). Для того, чтобы функция I W (о-е~х '. Ь} пред-
ставлялась в форме
F(x) = C + ]f(t) dt,
• а
(9)
где j (J) ~ L, (р ~> 1), необходимо и достаточно, чтобы при всяком, разложении
[а, 6] на части точками и - >.ll C ti < х2 < <хл = д было
V р
(*/.-• 1 xk^ 1
(Ю)
где К не зависит от способа разложения [а, 6] 1)
Д о к а з a 1 е л ь с т в о. Необходимость условия (10) почти очевидна.
В самом деле, в силу неравенства Гельдера [глава 7, § 6, формула (1)|
\Т<хк^)-Г (xh) =
*А+1
q __________ 4 / *+>
1 xk+J -xk- 1/ f (t) P dt,
xk
где Q= pP__x Откуда
(*ft+l - xk)P 1 ’
k
b
и выполняется (10), причем за число Л' можно приня>ь интеграл \ f <t) р dt.
*) Если р— 1, тс (10) есть условие конечности изменения функции F (х).
Таким образом, это условие остается необходимым, но перестает быть доста-
точным для представимости Г (х) в форме (9) с f(/)eL.
238
Достато шость хстовпя (10) устанавливается сложнее Прежде всего заме-
ны, что неравенств'"' (10) лишь усилится, есш отбросить некоторые слагаемые
из его левон часы Косому д 1я любой конечной системы взаимно не нале
гающнх интервалов (ah, bk) (k — 1, 2, , п), содержащееся в [a, /zj, будет
V ,f (М~На/) >’
— C’fe-a/)'’'1
Но, в силу сумматорного неравенства Гельдера [гл VII, § 6, формула (8)[,
F(bk) — F (ак) = V
!=Г (l’k-ak)^
6=1 6=1
й, стало быть,
п
У ',F (bk) —F(ak) < 1 К
k= I
откуда вытекает абсолютная непрерывность функции F (х) Значит, эта функ-
ция представима в форме (9), где ) (/) s L. Остается обнаружить, что
С. этой целью, разложив [а, Ь] на п равных частей точками хр=а-[-
-ф (b — a) (fe = 0, 1, . ., н), введем функцию fn (/), полагая
В самих же точках деления полагаем /,1(х^'!)) = 0
Легко видеть, что почти везде [исключение могут составить точки деления
И точки, в которых F' (х) ф f (х)| будет *) lim Отсюда, по теореме
/I—>эо
Фату
* (* 1
'’d/<sup \ fn(t) pdt .
a U J
!) Если точка x не является точкой деления и в ней существует опреде
ленная F' (х), то х лежит в каждом из бесконечно!) последовательности интер-
валов /х!'0, х'"> (и — 1, 2, 3, ). Так как х(.п) {—х^ = ——— -> 0, то
\ it / it 1 п Я
Г Г(х)~Г'х^\
каждое из отношении —!—возрастанием п
г г 1 х х ~ xxtl
F^x^y}yF'x^\
стремится к F' (л) Но fn (л) —-1——— лежит между этими отно-
шениями и питому lim fn (х)= F' (х).
П—>СХ>
239
Но
fn d)
. 01)
n — I 4- I
J
k— 0 (11)
x h
и, стало быть, f (/) I’ dt
II
Теорема доказана.
В заключение рассмотрим вопрос о том, каково пхпное изме-
нение неопределенного интеграла.
Теорема 8. Пусть на \а, Ь\ дана суммируемая функция f(t).
Если
х h ь
F (А-) =- \ / (О М, то V (Л) - \ f (/) dt,
а а а
т. е. полное изменение абсолютно непрерывной функции равно
интегралу от модуля ее производной.
Доказательство. Если х., = a <_ xt < х, < ... < хп = b есть
некоторое разложение |а, 6] на части, то
k =0
It I
\ / (0 til
6 = 0
k
k
b
a
откуда вытекает, что
V(F)
Чтобы доказать, что здесь на самом деле имеет место точное
рагепство, положим (а, Ь)—Е и пусть Р=Е(] -0), V ^ £ (/< 0).
1огда
ь
$ f(t) dt =^\f \f(t)dt.
a P N
Возьмем e>0. Благодаря абсолютной непрерывности интег-
рала, существует такое б > 0, что для любою измеримою мно-
жества ес=1«, 6] с мерой те<.& будет Jf (t) । dt <; г.
Пусть F (Р) и F (N) замкнутые множества, содержащиеся соот-
ветственно в Р и N и такие, что
т [Р — F (Р)] < 6, т |W — F (iV)] < б.
Тогда
ь
\\](t} d< I (/) dt - /(/)Л + 2е.
a F (P) f" (N)
240
Согласно теореме отделимости найдется открытые множества
Г (Р) и Г (Л/) такие, что Г (Р) дэ F (Р), Г (Л) о F (N), Г (Р) Г (А) = О,
при этом можно считать указанные множества содержащи-
мися в (а, Ь). Найдем, далее, такие открытые ограниченные
множества А (Р) и A (JV), чтобы они содержали, соответственно,
F (Р) и F (N) и чтобы было т [А (Р) — F (Р)] < 6, /п[А(¥)—
— F (Л/)] <6. Сделав это, полагаем G (Р) = А (Р) Г (Р), G(/V) =
= А (А) • Г (W).
Эго тоже открытые множества, содержащиеся в (а, Ь), не пере-
секающиеся, содержащие соответственно F (Р) и Р(А), и такие,
что т [G (Р) — F (Р)] < 6 , m[G (N) —F (А)] < 6. Поэтому
\\f(t)\dt< /(0Л + 4е.
а 6 (Р) G (N)
Множество G (Р) является суммой своих составляющих интер-
валов. Взяв достаточно большое конечное число этих интервалов,
мы получим множество В(Р), которое по мере отличается от G (Р)
меньше, чем на 6. Тогда окажется J f (t) dt — f(t)dt<i£-
G(P) H‘(P)
Пусть B(P) = V (X*, pfc). Тогда
n n
5 f(tyt = у \ f(t)dt = у [F(m)-F (ML
B(P) /г=1 'f.k k = \
Итак,
У [F(p*)-F(M] + e.
С (Р) k - I
Аналогичным образом • можно найгп конечное число состав-
ляющих интервалов множества б(Л7), пусть эю будут (сть tJ,
(о,, т>), .... (от, т,„), такого рода, что
т
$ / (0 > У [F (т) - F (о,)] - 8.
g\N}
Сопоставляя все сказанное, мы видим, что
Ь и in
.О (0; dt < у [F (Рй) - F )] - У IP (г,) - F (о,)] + 68,
a k —1 i —1
откуда и подавно
Ь п т
Wiitydtc У 'Р(Рй)-Р(М1+ у F(T,)-P(aj|4-6e.
a k =-1 i — l
241
Но интервалы (Fk, [iA) не пересекаются ни между собой, ни
с интервалами (а,, т,), которые также не пересекаются друг
с другом. Поэтому
п т b
2 \F^k)-F(^)\ + S [Fl^-F^^VtF).
k=I 1=1 a
Таким образом
6 ь
\\f(t)\dt<\ (F) + 6e,
a a
откуда, ввиду произвольности e, и вытекает теорема.
§ 5. Замена переменной в интеграле Лебега
Общеизвестно, какое большое значение имеет в интегральном
исчислении вопрос о замене переменной интегрирования. Здесь
мы рассмотрим этот вопрос для интегралов Лебе!а, причем огра-
ничимся случаем1), когда старая переменная интегрирования х
является строго монотонной и абсолютно непрерывной функцией
новой переменной t. Для определенности будем считать эту функ-
цию возрастающей. Итак, пусть
х = ф(/) [рa = q(p), b = q>(q)],
где ф (/) абсолютно непрерывна и строго возрастает на [р, р].
Лемма 1. Если Et есть измеримое множество, содержащееся
в [р, р], a Ex = (f(Ei) его образ при отображении х = ф(/), то-)
тЕх= \ tp'(t) dt. Qj
Et
Доказательство. Измеримость Ех была доказана в § 3.
Для случая, когда Д = [а, 0], формула (1) очевидна, ибо в этом
Р
случае Д. = [ф(а), ф (0)] и тЕх = ф (0) — ф (а) = jj ф' (^) dt.
Аналогично обстоит дело, когда Д = (а, 0). Но тогда ясно,
что (1) имеет место всякий раз, когда Д есть открытое множество
(в этом случае и Ех будет открытым множеством). Переходя
к дополнениям, убеждаемся в справедливости (1) для случая,
когда Et есть замкнутое множество. Рассмотрим, наконец, общин
случай, когда Et есть произвольное измеримое множество. Взяв
е > 0, найдем такое замкнутое множество Fx и открытое множе-
ство Gx, чтобы оказалось J)
Fx с cz Gx cz (a, b), mFx> mEx — e, mGx <тДфЕ.
]) Более обстоятельно вопрос тложен в книге Ш. Валле-Пуссена «Курс
анализа бесконечно малых», т. I, сгр 298 (ГГТИ, 1933).
2) Чтобы символ ф' (/) был всюду определен, мы, как и в гл VIII, усло-
вимся, что ф' (/)=0 на том множестве (меры 0), где у ф (/) нет производной.
3) Не ограничивая общности, можно считать, что р и q не входят в £t.
242
Пусть Ft и G, суть прообразы множеств Fx и Gv. По доказан-
ному (очевидно, что Ft замкнуто, a Gt открыто) будет
5 <р' (/) dt = mFx, $ф' (t)dt = mGx.
F Gt
Так как ф'(/)ДэО, то
ф' (/) dt - - $ ф' (/) dt ф' (0 dt.
F Et °t
Таким образом,
^ф' (t) dt -~ -,mGx
Ft
и, тем более,
тЕх — е < ф' (/) dt < тЕх + е.
Ч
Ввиду произвольности е лемма доказана.
Лемма 2. Пусть есть измеримое множество меры О,
содержащееся в [а, Ь] , а е, его прообраз. Тогда подмножество е'
тех точек е,, где не выполнено соотношение1)
Ф'(0 = 0 (2)
имеет меру 0.
Доказательство. Отметим, что измеримости множества
е. мы не утверждаем.2) Построим [можно считать, что е, cz (а, 6)]
последовательность открытых множеств
(a, b) zz Gx' zz Gx zjGx- zz ..., G*"’ zz ех, mG^ — 0
и пусть
£« = ПаГ'-
П = 1
Если суть прообразы G^, a Et есть прообраз Е^, то О’"*
'открыты и Et = ]Д G<">, откуда следует измеримость Et. Ясно, что
п 1
тЕх = 0. Значит, по лемме 1,
^'(t)dt = Q. (3)
Et
Если через Е* обозначить множество тех точек Е,, где не
выполнено (2), то из (3) вытекает, что mEt =0. Остается заметить,
чго et cz Et, ибо et cz Ex и cz E,.
!) Иными словами, ef есть та часть с/, где существует (может быть беско-
нечная) <р' (<) > 0
2) Хотя у ф (/) есть обратная функция, но последняя не обязана быть
абсолютно непрерывной.
243
Теорема. Пусть f (х) функция, суммируемая на ’) [о, Ь\.
Тогда
Ь q
\f(x)dx = $ / [ср (/)] ср' (t)dt. (4)
a P
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда f (х)
непрерывна* 2) на [а, Ь], так что интеграл, стоящий в (4) слева,
можно понимать в римановском смысле. Разложим [а, 6] точками
а = х0<х1 <... < хп = b и пусть Mk и тк суть наибольшее и
наименьшее значения f (х) на [х;,, хк J. Если <р (//,)--=хъ то для
будет ink ~;/[ср (/)] откуда в связи с неравен-
ством ср' (/) и соотношением
Д 1
<р' (/) dt = х*^ - xk
следует, что интеграл
бг+1
(7-) Jj И<Р(0]ф' (t)dt
содержится между числами тк (xk_ j — х,,) и Mk (хк , — xft). Стало
быть, интеграл, стоящий в (4) справа, содержится между суммами
Дарбу функции /(х), отвечающими произведенному дроблению.
Отсюда и следует (4).
Пусть теперь f (х) измеримая, ограниченная функция 1 f (х) «С М.
Найдется последовательность непрерывных функций {^(x)}, для
которой почти везде на [a, t>] будет
lim gtl(x) = f(x). (5)
п —* со
Можно считать, что gn (х) | М. Тогда (4) будет верно, если /
заменить на gn. Отсюда без труда следует, что
й. «
ijf(x)c/x = lim Jgn [ср (/)] ср'(t)dt. (6)
а п — })
Покажем, что почти везде на [р, q] будет
lim gn [ср (/)] ср' U) -= / [ср (/)] ср' (/). (7)
П -• иС’
Обозначим через множество тех х, для которых нарушено
(5). Это измеримое множество и тс\-=0. Обозначим через е, про-
образ множества щ и пусть е/ есть подмножество тех t из ez,
для которых не выполнено (2).
Если t ^е,, то чДОеО, н (7) выполнено. Точно так же,
если iec.-С/, то ср' (/) --0, и снова выполнено (7). Таким обра-
х) Мы сохраняем введенные выше обозначения.
2) Тогда и / [ц (/)), очевидно, непрерывна на [р, q].
244
зом, единственные точки t, где может нарушаться (7), это точки
множества е[, а по лемме 2 будет met =0.
Из того, что (7) имеет место почти везде на [р, q\, следует
измеримость произведения1) j [<р (/)] ф' (/). Кроме, того
I gn [ф (01 ф' (01 (0
и (7) обеспечивает возможность перейти к пределу в (6) под зна-
ком интеграла, что и приводит к (4).
Пусть, наконец, Дх) произвольная суммируемая функция.
Можно предположить ее неотрицательной, ибо всякая суммируемая
функция есть разность двух неотрицательных суммируемых же
функций. Положим
f = 1 ири
п \ п при
По доказанному (4) будет верно, если заменить f на fn. Отсюда
л «
\f(x)dx= limjj/n [q>(0] ф' (t)dt. (8)
а п->со р
Но всюду на [р, q] будет2) f [ср (/)] ф' (/) = lim fn [ср (/)] ср' (/) и,
п->со
кроме того, произведение fn [ф (/)] ф' (t) возрастает вместе с п.
Поэтому, в силу теоремы 10 (Б. Леви) из § I, гл. VI, будет
и я
5 f [ф (01 ф' (0 dt = l'm 5 1ф (01 ф' (0 ^о
р «-°°р
откуда, в связи с (8), и вытекает (4).
Следствие. Справедливы формулы
\f(x)dx = \lf(t + h)dt, у (х) dx = k $ f (kt) dt (k 0).
a a—h a a/k
§ 6. Точки плотности. Аппроксимативная непрерывность
Пусть дано измеримое множество Е. Взяв произвольную
точку х и число Л>0, положим Е(хп, h) = E-\xH — h, л'(1 + Л].
Это тоже измеримое множество. Рассмотрим отношение
Его естественно считать «средней плотностью» множества Е
в сегменте [х0 —/г, л'() + /;)
Определение 1. Предел отношения (I) при Л—0 называется
плотностью множества Е в точке л'о и обозначается через Di(iE.
1) Этот факт замечателен тем, что множитель / [ср (/)] вовсе не обязан
быть измеримым.
Это обеспечивает измеримость произведения / (ср) <р'.
245
Если DX„E — 1, то х0 есть точка плотности множества Е, а
если DVoE —О, то х0 — точка разрежения Е.
Заметим, что, давая это определение, мы не считаем, что
хпс^Е. Далее, ясно, что измеримое множество вовсе не обязано
иметь определенною плотность в каждой точке прямой.
Однако имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Почти все точки измеримого множества Е суть
его точки плотности.
Доказательство. П>сть множество Е измеримо. Возьмем
какой-либо сегмент [а, 0], содержащий множество Е, и пусть
а = а~ 1, b = р Д 1 Тогда при х е Е и Аь=-1 мы гарантированы,
что сегмент \x — h, хфЛ] не выходит из [о, А]. Впредь не ого-
варивая этою, мы будем считать, что h ~~1.
Введем характеристическую функцию <р(х) множества Е
( 1 при .1’ьЕ,
'I И i п -г
| 0 при х (= Е,
рассматривая ее только на [а, А|. Эта функция измерима и огра-
ничена. Пусть Ф (х) = jj <р (/) Л.Почти везде на [а, Ь] будет Ф' (х) =
= ср (х) и, в частности, почти везде на Е
Ф'(х)-1. (2)
Покажем, что точки, где имеет место (2), суть точки плотно-
сти множества Е. Действительно, в такой точке
1 im = 1 inq = 1.
л-о п л-0 11
откуда
ф(Л- + /,)_ф(х-/,)
й "о 2Й
х h
Но Ф (х + А) — Ф (х — А) = ср (?) dt = тЕ (х, А), так что DXE =
x — h
= lim— 1, что и требовалось доказать.
В тесной связи с понятием о точках плотности находится
одно важное обобщение понятия непрерывности функции .
Определение 2. Пусть функция / (х) задана на сегменте [а, Ь]
и х()е[а, А]. Если существует такое измеримое множество Е,
лежащее на [а, А] и имеющее точку х0 точкой плотности,1) что
х) Если л-,,—-а, то вместо того, чтобы множество Е имело х0 точкой плот-
ности, нужно требовать, чтобы в х0 в единицу обращалась правая плотность
множества Е, т. е. чтобы было lim т\^ ' + _] для точки у опре-
й-0 А
деление аппроксимативной непрерывности также нужно несколько изменить,
введя в рассмотрение левую плотность.
246
f (x) вдоль E непрерывна в точке х„, то говорят, что f (х) аппрок-
симативно непрерывна в точке х0.
Ясно, что всякая точка непрерывности функции и подавно
есть ее точка аппроксимативной непрерывности. Измеримая функ-
ция может вовсе не иметь точек непрерывности. Такова, например,
функция, равная 0 в иррациональных и 1 в рациональных точках.
Напротив, справедлива следующая теорема.
Теорема 2 (А. Данжуа). Если f(x) измеримая и почти
везде конечная функция, заданная на сегменте [а, Ь], то она
аппроксимативно непрерывна почти во всех точках [а, &].
Доказатель ство. Возьмем е>0 и, опираясь на теорему
Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию ср (х), что
тЕ (f yt ф) <; е.
Пусть /1 есть множество тех точек плотности множества Е ([ = ср),
которые принадлежат последнему. В силу предыдущей теоремы
mA = тЕ (/ = ф) > й — а — 8.
Если хоей, то /(х), очевидно, аппроксимативно непрерывна
в этой точке, ибо за множество Е, фигурирующее в определении 2,
можно взять множество Е(/ = ср). Поэтому множество Н всех
точек аппроксимативной непрерывности f (х) имеет внутреннюю
меру mrH mA > b — а — е, откуда (е произвольно!) mJH : b - а.
Но Нс [а, 6], так что b — а тлН ' пГН ~cb — а. Стало
быть, Н измеримо и тН--Ь^а, что и требовалось доказать.
Замечание. Данное выше определение понятия плотности можно
обобщить. Именно, условимся называть плотностью множества Е
тЕ (хп, /ц, /ь) , п
в точке хи предел отношения —у когда Л1>0 и
/г2>0 независимо друг от друга стремятся к нулю, причем
Е (х0, hlt /г2), есть часть множества Е, находящаяся в сегменте
[х0 — 1г1, х04-/ъ]. Однако это обобщение понятия плотности не ме-
няет класса точек разрежения, а стало быть, и класса точек плот-
ности множества Е. Действительно, пусть х„ точка разрежения
множества Е в смысле определения 1. Взяв числа/г1>0 и /г2>0,
назовем через h большее из них. То/да
Е (х0, Л1, /12) сс Е (х0, /г),
а потому
тЕ (x0, hlt й2) „ тЕ (х0, й)
Ф + й2 ’ 2/г •
Так как правая часть этого неравенства стремится к нулю
вместе с h, то 1ип—= О и х0 есть точка разрежения
/И—О Л1 + /!2 ' -
/1,-0
множества Е и в смысле обобщенного определения плотности.
Обратное утверждение очевидно. Именно поэтому мы и дали
выше определение плотности в частной его форме. Ясно, например,
что определение точки аппроксимативной непрерывности не зави-
сит от того, каково положенное в его основу определение плотности.
247
§ 7. Добавления к теории функций с конечным изменением
и интегралов Стилтьеса
Пусть непрерывная функция с конечным изме-
нением. Ее производная f (х) почти везде существует и сумми-
руема. Положим ср (х) = [(a) + (Z) dt, г (х) =f (х) — ср (х). Тогда
а
/ (х) = ср (х)г (х), где ср (х) абсолютно непрерывная функция
[причем ф(а) = /(а)], а г (х) непрерывная функция с конечным
изменением, производная которой, очевидно, почти везде равна
нулю. Ясно, что г (х) исчезает лишь тогда, когда сама f (х) абсо-
лютно непрерывна.
Определение. Отличная от постоянной непрерывная функция
с конечным изменением, производная которой почти везде равна
нулю, называется сингулярной функцией.
Ясно, что сингулярная функция не может быть абсолютно
непрерывной, ибо иначе (теорема 2, § 2) она была бы постоянной.
Примером сингулярной функции служит функция 0(х), построен-
ная в конце § 2, гл. VIII.
Теорема 1. Непрерывная функция сконечным изменением /(х)
единственным образом представляется в форме
f(x) = 4> (х) + г (х),
где ср (х) абсолютно непрерывна и ср (о) = / (а), а г (х) — сингулярная
функция (или нуль).
Доказательство. Возможность такого представления
установлена выше. Обнаружим его единственность. Если
бы таких представлений было два:
/ (х) - ср (х) + г (х) =• cpj (х) + Tj (х),
то мы имели бы
ср(х) — ср1(х) = г1 (х)-г(х).
Отсюда — производная разности q> (х) — <рг (х) почти везде равна О,
а так как эта разность абсолютно непрерывна, то она постоянна.
Но ср (а) = ср! (a) = f(a). Зпачиг, ср (х) = cpj (х), откуда и г (х) = гх (х).
Теорема 2. Если функция f (x) возрастает, то обе ее компо-
ненты ср (х) и г (х) также возрастают.
Доказательство. Очевидно, что /'(х) Д'О всюду, где эта
производная существует. Отсюда вытекает, что функция ср (х) =
= ф (а) f (t) dt, возрастает. Далее, теорема 5, § 2, гл. VIII
а
У
дает нам, что jjf (t) dt ^f(y) — f (x) (t/>x), откуда
X
4>(y)-4(x)-^f(y)-f(x), или r(x)<r(y).
248
Следствие. Для того чтобы возрастающая непрерывная функ-
ция f (х) была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно,
чтобы было
\f'(x)dx^f(b)-f(a). (1)
а
Необходимость условия (1) очевидна. Обратно, пусть f (х) не
абсолютно непрерывна и ср (х) и г (х) суть абсолютно непрерывная
и сингулярная компоненты /(х). Тогда
/(b) -/(п) = <р(Ь) -ср (а) + г (Ь) — г (а),
ИЛИ
ь
/(b) —/(п) = ^/'(х) г/хф-г (Ь) — г (п). (2)
а
Но г (х) возрастает и отлично от постоянной. Значит, г(Ь)>
> г (а) и (1) не выполняется, откуда и следует достаточность
условия теоремы.
В § 3, гл. VIII мы видели, что всякая функция с конечным
изменением представима в форме суммы своей функции скачков
и непрерывной функции с конечным изменением.
Сопоставив это с теоремой 1, мы получаем возможность пред-
ставления всякой функции с конечным изменением в форме
/ (х) = ср (х) + г (х)+ s (х), где ср (х) абсолютно непрерывная функ-
ция, г(х) сингулярная функция, a s (х) функция скачков (причем
некоторые слагаемые могут здесь отсутствовать).
В § 7, гл. VIII мы свели вопрос о вычислении интеграла
ь
Стилтьеса § / (х) dg (х) к случаю, когда g-(x) непрерывна. Оказы-
С1
вается, что случай, когда g(x) абсолютно непрерывна, сводится
к интегрированию в смысле Лебега.
Теорема 3. Если f(x) непрерывна, a g(x) абсолютно непре-
рывна на [а, Ь], то
b ь
(S)\f(x)dg(x) = (L)\f(x)g'(x)dx. (3)
а а
Доказательство. Существование обоих интегралов оче-
видно. Докажем их равенство.
Для этого оценим разность между суммой
п — 1
а= £ f(s*)[g(W-£(•**)]
*=о
и интегралом
ь
/ (X) g' (X) dx.
249
то
Так как
C-i
g(xk+l)-g(xk) = 5 g'(x)dx,
xk
О - V (*) g W dx = £ J [/ (Ik) - f (x)] g' (x) dx. (4)
a k =0 xk
Если колебание функции f(x) на [x*,, x*+1] есть wA, то из (4)
следует, что
ь
а - V W ё' W dx
а
n — l Afr+i b
^^Mk 5 ' g W' dx--a\ g'ix^dx,
/г = 0 xk °
где а = max {co*}. Если длины сегментов [х*, стремятся к 0,
то и а—>-0, откуда следует, что а стремится к интегралу
/>
5 f (х) g' W dx. Но так как по определению limo есть интеграл
а
b
f (х) dg (х), то теорема доказана.
а
Таким образом, вопрос о вычислении интеграла Стилтьеса не
сводится к лебегову интегрированию и суммированию ряда лишь
тогда, когда в составе g(x) есть сингулярная функция.
Аналогично теореме 3 доказывается и
Теорема 4. Формула (3) справедлива и тогда, когда f (х)
имеет на [а, Ь] конечное изменение, a g(x) абсолютно непрерывна.
Действительно, существование обоих интегралов и в этом слу-
чае очевидно. Точно также не требует новых разъяснений и соот-
ношение (4). Если vk есть полное изменение функции / (х) на
[х*, х*+1], то (4) приводит к оценке
ь
o-^(x)g' (х) dx
а
п — I xk+i b
< J \g'(x)\dx^$ N (f),
k = 0 x^ a
xk±i
где P означает наибольший из интегралов । g' (х) । dx. Остается
xk
заметить, что 0 стремится к нулю вместе с наибольшей из раз-
ностей хА,+1 — xk.
С помощью теоремы 3 (или 4) можно установить некоторые
свойства интегралов Лебега. Например:
Теорема 5 (Интегрирование по частям). Если f (х) и
g(x) абсолютно непрерывны, то
ft л
J / (х) g (х) dx + ^g (х) f (х) dx = [/ (x) g (x)]£. (5)
250
Для доказательства достаточно записать левую часть в форме
ь ь
/ W dg (х) + \g (х) df (х)
а а
и применить формулу (1) § 6, гл. VIII.
Впрочем, соотношение (5) легко доказать и непосредственно,
исходя из того, что абсолютно непрерывная функция f (х) g (х)
почти везде имеет конечную производную, равную сумме
/(*) ё' W + f (*)£(*)•
§ 8. Восстановление первообразной функции
В § 5, гл. V мы уже решили вопрос о восстановлении непре-
рывной функции f(x) по ее производной f(x), если последняя
существует всюду и ограничена. Здесь мы рассмотрим вопрос
о том, следует ли равенство
f(x) = f(a)+]f'(t)dt (1)
а
из того, что f (х) существует всюду, но не обязательно ограни-
чена. Совершенно ясно, что это так, если /(х) абсолютно непре-
рывна. В этом случае достаточно было бы предположить, что [' (х)
существует лишь почти везде, что, вообще говоря,1) недостаточно
для выполнения (1) даже тогда, когда f(x) возрастающая непре-
рывная функция, производная f (х) которой почти везде равна
нулю. Мы, однако, ставим целью формулировать условия равен-
ства (1) в терминах, относящихся не к самой функции f(x), а к ее
производной f (х).
Теорема I. Если производная f (х) существует всюду, конечна
и суммируема, то справедливо (1).
Доказательство этой теоремы будет построено на двух леммах.
Лемма /. Пусть на [а, задана конечная функция Ф (х).
Если в каждой точке [а, Ь] все производные числа Ф(х) не отри-
цательны, то Ф (х) возрастает.
Доказательство. Возьмем е>0 и положим
ф (х) — ф (х) -|- ех.
Допустим, что Фх (Ь) < Фх (а).
Тогда, если с = то хоть одна из разностей
ФД^-ФДс), ФДД-ФДа)
отрицательна. Обозначим через [flj, тот из сегментов [а, с] и
[с, Ь], для которого (6Д < Ф! (оД, и ПОЛОЖИМ cl = —T1-L_
!) Как видно, хотя бы, из примера функции в (х), § 2, гл. VIII.
251
Хоть одна из разностей Фх (Ьх) -- Фх (q), Фх (q) — Фх (а,) отрица-
тельна. Обозначим через [щ, Ь,] тот из сегментов fq, q] и [q, йх],
для которого Фх (й2) < Фх (а2).
Продолжая этот процесс, мы построим последовательность вло-
женных сетментов {[«„, й„]|, для которых Фх (йя) < Фх (а„).
Пуст х„ есть точка, общая всем сегментам [ая, Ьп]. Тогда
(при каждом п) одна из разностей Фх (Ьп) — Фх (х0), Фх(г(|)—
— Фх(а,) отрицательна. Положим hn-=bn — x0, если Фх(йя)<
<Ф1(х„), и /in = an — q, если Фх(й„) -аФх(х0). Ясно, что
д ®i (q~H!O — Фх (л0) л
Выбрав подпоследовательность {А имеющую (конечный или
бесконечный) предел, мы приходим к производному числу
ОФХ (Л',|) - 0, что невозможно, поскольку ясно, что во всех точ-
ках х е [а, й]
ОФХ (х) 5s е.
Итак, неравенство Фх(й)<Фх(а) невозможно. Значит, ФДй);?-
5»Фх(а), или, что то же самое, Ф (Ь) + еЬ Ф (а) ео.
Отсюда (t произвольно') Ф(й)-_Ф(о), что и доказывает
лемму, ибо вместо [а, 6] можно было бы взять любой частичный
сегмент [х, у].
Лемма 2. Пусть на [а, й] задана конечная функция ф (х).
Если почти везде на [а, й] все производные числа ф (х) не отри-
цательны, и ни в одной точке [«, й] ни одно из производных
чисел ср (х) не обращается в — oq то ф (л) возрастает.
Доказательство Обозначим через Е множество тех точек
[«, й], где хоть одно производное число ф(г) отрицательно.
По условию тЕ =0.
В силу теоремы 6, § 2, гп. VIII существует такая непрерыв-
ная возрастающая функция сг(х), что во всех точках множества Е
будет о' (х)=
Положим, Ф (х) = ф (х) + to (х), где t > О, и покажем, что ни
в одной точке [а, Ь] ни одно производное число Ф (х) не может
оказаться отрицательным. Действительно, прежде всего из возра-
стания о (х) следует, что
Ф (у ~Н Л) — Ф (х) <р (х + h) — ф (х)
Л Л ’
так что при х е Е
ОФ (х) _ - 0.
Но если .гей, то Ф'(х) существует и равна фоо, ибо при
/г„—<-0 отношение фгограничено снизу (иначе суще-
ствовало бы производное число Dtp (х) = —^-э), а о' (х) = -j- сю,
I Дак, всегда ОФ (х)_0.
252
Отсюда, по предыдущей лемме, Ф(х) возрастает, т. е. при
-*<//
Ф (х) Ф (у)
или, что то же самое,
Ф (х) Н- to (х) ф (у) + ео (у)
Устремив е к нулю и перейдя к пределу, получим
ф(г)'-ф(</),
что и требовалось доказать
Доказательство теоремы 1. Введем в рассмотрение
ФУНКЦИЮ ф„(х), ПОЛЭЮЯ
(/'(х), если /'(х) п,
ф/1 (Х) - 1 „ , .
[ п, если f (х) > п.
Легко видеть, что
W. (2)
так что фп(г) суммируема Положим,
R.dx) = f^)~\<Pn
а
и покажем, что R,, (х) возрастающая функция.
Для этою прежде всего отметим, что почти везде
У?,', (х) = f (х) - ф„ (х) О,
так что множество точек, в которых хоть одно производное число
функции /?„(\) отрицательно, имеет меру путь.
С другой стороны, фя(х)-=он, гак что и
/г Ф„ (0 dt С П
и, стало быть,
#«(* + /') — W ?(х + /1)~ [ (х)
h h п’
откуда ясно, что ни одно производное число функции /?„ (х) не
обращается в —оо. Поэтому, в силу предыдущей леммы, RH(x)
возрастает. Значит, Rn (b) Rn(a) или, что то же самое, [(b)—
ь
—/(п)о>^фя (х)йх.
а
b
Но lim ф,г (х) — (г), откуда, в связи с (2), 1шт $ср„(х)йх =
/1 —> со *
h b
= f' (х) dx и, следоватльно, f (b) — / (а) f (х) dx.
а а
253
Но те же соображения, примененные к функции — j (х), дают,
что — f (а) < jj f (х) dx.
а
Значит,
ь
f(b) = f (а) + $ f (х) dx,
' а
что п доказывает теорему, ибо роль Ь может играть любое х,
где а < х Ь.
В заключение приведем два примера.
1. Пусть на [0, 1] задана функция
f(x) = x^lx (х>0), /(0) = 0.
Эта функция всюду имеет конечную производную
f (х) = g х2 sin * - х 2 cos (х>0), f(0)=0.
Эта производная суммируема, ибо
“ | X
Поэтому функция f (х) удовлетворяет всем условиям теоремы 1.
Однако, легко видеть, чго f (х) не ограничена, так что теорема
§ 5, гл. V к ней неприменима.
II. Пу сть на [0,1] задана функция
Их) = х2 cos(х>0), Д0) = 0.
Она также всюду имеет конечную производную /'•('), но послед-
няя не суммируема. Действительно, если 0 < а < р 1, то в сег-
менте [а, Р] производная f (х) ограничена и, стало быть,
В
J f (х) dx = Р2 cos -J - a2 cos £2-.
а
в
частности, при а„ =
я 1 <
Р« = -77^ будет
|/ 2м
'V
$Г(х)Л=2\.
254
Но сегменты [ап, р„] (п = 1, 2, ...) попарно не пересекаются;
значит, если£-= ' [</.„, p,J, то
J = 1
J' f (%)1 dx 2 2„ = +оо
С »=1
и f (х) не суммируема. Таким образом, операция интегрирования
по Лебегу не может считаться полностью решающей задачу вос-
становления первообразной функции по ее производной. Полное
решение задачи дает процесс интегрирования Перрона — Данжуа,
обобщающий процесс Лебега. Этот процесс мы излагаем в гл. XVI.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ /А
1. Суммируемая функция аппроксимативно непрерывна в каждой своей
точке Лебега. Обратное неверно.
2. Для ограниченной измеримой функции понятия точки Лебега и точки
аппроксимативной непрерывности совпадают.
3. Из того, что в точке х0 функция f (х) есть производная своего неоп-
ределенного интеграла, не следует, что она аппроксимативно непрерывна
в этой точке.
4. Если все производные числа функции / (х) удовлетворяют неравенству
\ Df (х) <К, то / (х) удовлетворяет условию Липшица.
5. Если, функция F [ f (х)] абсолютно непрерывна при всякой абсолютно
непрерывной /(х), то F (х) удовлетворяет условию Липшица (Г. М. Фихтен-
гольц).
6. Пусть на [a, 5] задана f (х). Если всякому е>0 отвечает такое 6 > О,
что для всякой конечной системы интервалов {(щ, Ь^)} с суммой длин, мень-
шей 6, будет
У <6,
k=\
то f (х) удовлетворяет условию Липшица *) (Г. М. Фихтенгольц).
7. Прямым способом доказать следующий частный случай теоремы Бана-
ха— Зарецкого: если непрерывная и строго возрастающая функция обладает
свойством (<V), то она абсолютно непрерывна.
8. Пусть f (х) непрерывна на [а, 6] н Е есть множество точек, где хоть
одно производное число [ (х) не положительно. Если образ f (Е) множества Е
не содержит никакого сегмента, то / (х) возрастающая функция (А. Зигмунд).
9. Пользуясь предыдущим результатом, следующим образом обобщить
лемму 2, § 8: если / (х) непрерывна на [a, ft], почти в каждой точке [а, Ь]
все производные числа f (х) неотрицательны и множество точек, в которых
существует хоть одно производное число, равное —_о, разве лишь счетно, то
/ (х) возрастающая функция.
10. Пусть f (х) непрерывна, а /'(х) существует всюду и суммируема. Если
множество Е ( = разве лишь счетно, то f (х) абсолютно непрерывна.
(Применить результат предыдущего упражнения.)
L) Этот результат показывает, что в определении понятия абсолютной
непрерывности нельзя отбросить требование, чтобы интервалы (щ, Ь^) попарно
не пересекались.
255
11. Ф‘, нация, всюду имеющая конечную производную, обладает свойст-
вом (IV)
12. Для того чтобы непрерывная строго возрастающая функция/(г) была
абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы образ f (£) множества С
точек, в которых f' (х) = -‘-ии, имет лгеру О (Л1 Л Зарецкий )
13. Дтя того чтобы функция, обратная непрерывной и строго возрастаю-
|цен функции f(x), была абсотютно непрерывна, необходимо и достаточно,
чтобы бы зо тС (f =0) ---О (М А Зарецкий)
14. Пусть на [а, Ь] заданы суммируемые функции fn (х) (п = 1, 2, )
Гели для каждого измеримого множества Г cz |<7, />] существует конечный
предел lim \ /?1(t)c/x, то сущетвует такая суммируемая функция /(х), что
п —* oj у
для любой измеримой и ограниченной функции # (х) 5)дет1)
ь ь
1 >т fn (x) g (х) dv=\f (х) g (х) dx.
п -» _с .
’) Эг\ -щдачу модно решить методами гл IX Несколько проще было бы
применить материал ri XIII
ГЛАВА X
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ.
ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
В этой главе мы намерены показать применения методов тео-
рии функций вещественной переменной к отдельным вопросам
анализа. Попутно сообщаются некоторые новые сведения из
области самой теории функций.
§ I. Понятие сингулярного интеграла
Чтобы ознакомить читателя с идеей, лежащей в основе важного понятия
сингулярного интеграла, начнем с примера.
Рассмотрим функцию
0)
Еоли пах фиксированы, a t меняется от 0 до 1, то эта функция есть
непрерывная функция от t. Значит, для всякой суммируемой / (/) (0 sS 1)
можно образовать величину
f { f^dt (2)
л ' l+n2(Z-x)2 * ’
о
Докажем, что во всякой точке х(0<х<1), в которой функция /(/)
непрерывна, будет
lim/„ (х) =/(х). (3)
п —> со
Для этого прежде всего отметим, что при п->со
1 1 п (1 — X) 4-00
С д. , At П С dt if 1 f «12 .
j л (• *) л J i _|_ ns у _ x)2 л j 1 z2 л j 1 + г2
0 0 —nx —co
Поэтому, чтобы установить (3), достаточно показать, что при п-э-со стре-
мится к нулю разность
1 1
=fn W -f W фл (/, х) dt = д ( dt.
о 0
С этой целью взяв произвольное е>0, найдем такое fi > 0, что при
|/—xj<6 будет | f (t)—/(л) ( < е. Считая, что 0 < х —<5 < x-|-Z> < 1, пред-
ставим гп в форме
х—d x-f-d
г = Л С /(0-/(х) . п е /(б-/(х) ,
п Л J 1+п2(/-х)2 л J 14-п2(/-х)2 +
о х-а
1
I п С / (О f (х) dt_____А I В А-С
+ ) г+^-^ л+ п+
х-ра
9 И, П, Натансон
257
Интеграл Вп оценивается следующий образом:
х 4 6 х - 6
15 .,<А \ 1Н0-Ш'^е. п С dt__________
1 п'^л J 1+п2(/-х)2 л J 1 <-хр "
X — 6 х —6
-L ОО
е С dz
< л J 1 +г2 — 8‘
Что касается интеграла Ап, то в этом интеграле будет [/ — х\ 2-6, так
что
х — б
О
где А (6) не зависит от п. Аналогично
, „ , с (6) , . Д(б)+с(б)
С„ < —— и, стало быть, г„ < е4-----,
1,11 п ' п' п ’
так что при достаточно больших п будет I rn | < 2s, т. е. гп стремится к О
с возрастанием п, что и требовалось доказать.
Нетрудно разобраться в том, какие именно свойства функции Фп (t, х)
обеспечивают соотношение (3). Дело в том, что при весьма больших значе-
ниях п те значения Ф„ (/, х), которые отвечают сколько-нибудь заметно уда-
ленным от х значениям t, весьма малы, так что величина интеграла (2) опре-
деляется в основном значениями подынтегральной функции в непосредственной
близости точки х. Но около точки х функция f (/) почти равна fix) (ибо она
непрерывна при t = x). Значит, если п велико, то интеграл (2) мало изме-
няется при замене fit) на f (х), т. е. он почти равен интегралу
1
1 W Л 3 1+п2(/-х)«
о
и, в силу (4), почти равен f (х).
Функция Фп (t, х), обладающая подобными свойствами, носит название
ядра. Точное определение ядра таково:
Определение. Ядром называется функция Фп(/, х) (п — 1, 2, ...), задан-
ная в квадрате a<x<b) и такая, что
Р
lim V Фп (/, x)dt = \,
п-»со^
если только а<а<х<Р<6. Само собою разумеется, что Фп (I, х) пред-
полагается суммируемой по t при каждом фиксированном х.
Интеграл вида
/п(х) = \Фп(/, X)f(t)dt,
а
где Ф„ (/, х) есть ядро, называется сингулярным интегралом.
Теория таких интегралов имеет многочисленные приложения. Основной
вопрос этой теории состоит в установлении связи предельных значений инте-
грала fn (х) при и — со со значением функции f в точке х. Так как
изменение значения функции f (t) в одной точке никак не отражается на вели-
чине (х), то необходимо потребовать, чтобы значение f (х) функции f (f)
в точке х было как-то связано с ее значениями в близких точках. Простей-
258
шая форма такой связи есть непрерывность функции f (/) в точке t — x. Дру-
гими формами связи могут служить аппроксимативная непрерывность, требо-
вание, чтобы х была точкой Лебега функции f (/), и т. п.
Приведем одну теорему Лебега, которая будет нам полезна в дальнейшем.
Теорема 1 (Д. Лебег). Пусть на [а, 6] задана последовательность изме-
римых функций <Pi (0, Фз (0> Фа(0> Если существует такая постоянная К,
что при всех nut будет
। Ф« (о: < к,
(5)
и если при всяком с (а-сс с tgcb) будет
lim ( Фге (0 dt = O,
(6)
п -»со
/по, какова бы ни была суммируемая на [а, Ь] функция f (t)t справедливо равен-
ство
lim |/(Офп(0^=0>
п 00 а
(7)
Доказательство. Если [а, 0] есть сегмент, содержащийся в [а, Ь],
то из (6) следует, что
Р
lim ( ф„ (0 dt = 0.
п^со^
(8)
Заметив это, рассмотрим какую-нибудь непрерывную функцию f (/) и для
наперед заданного а > 0 разложим [а, 6] точками х0 = а < лу < ... < хт= b
на столь малые части, чтобы в каждой из них колебание / (t) было меньше,
чем е. Тогда
т — 1 xk + l
р(0Ф„и^= 5 i [т-ж)1Ф«(о<«+.S Ж) j <fn(t)dt. (9)
А = 0 xk
т—1 xk^i
Но
J’ lf(‘)-f(xk)]<(>n(t)dt ^K£(xk+l-xk),
xk
так что первая сумма из (9) не больше, чем —а). Вторая же сумма (9),
в силу (8), стремится к пулю с возрастанием п и, стало быть, для п > па
окажется меньшей, чем е. Для этих п будет
\f(f)<fn(f)dt <t[K(b-a) + l],
так что (7) доказано для непрерывной функции f(t).
Пусть, далее, /(/) измеримая ограниченная функция \f(t)'^M.
Возьмем е>0 и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую непре-
рывную функцию g (/), что тЕ (/ g) < g, | g (/) | М.
Тогда
$ f (0 Фп (0 dt = If (0 - 8 (О1 Фп (0 dt 4- j g (t) Фп (/) dt.
Нэ
J[/(0-g(01 Фп (0 dl =
1/(0-8 W] Фп (0 dt
2KMe,
9*
259
b
интеграл же j g<prt dt, по уже доказанному, стремится к нулю и для доста-
а
точно больших п становится меньше е. Значит, для этих п будет
Ь
р(0Фл(0Л
а
(2КМ+1) е.
что доказывает (7) для случая ограниченной измеримой функции.
Пусть, наконец, f (0 произвольная суммируемая функция.
Возьмем е>0и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла, най-
дем такое 6> 0, чтобы для любого измеримого множества ес[а, &] с мерой
те < 6 было j \f (0 ] dt < s.
ё
Сделав это, найдем такую измеримую ограниченную функцию (гл. IV, § 4,
теорема 1) g(0, чтобы было тЕ (/¥=§) <6.
Можно считать, что на множестве Е (f #= g) функция g (0 равна нулю.
Тогда
b ь ь
$ / (0 ф„ (0 dt = j [/ (0 - g (0 ] <Р„ (0 dt + j g (0 ф„ (0 dt.
a a a
Ho
b
J If (0-g(0]<Pn(0^
a
( /(0ф„(0Л
E (f*g)
5g Ke,
b
интеграл же j gqi„ dt при достаточно больших n будет меньше е, и при этих п
а
окажется
ь
jf(t)<fn(t)dt
а
<(/< + 1)6,
что и доказывает теорему.
Пример. Пусть (0 = cos nt. Тогда
с
f /Л .1 sin пс — sin па Л
<-фп(ол=-------------------------------------о
а
и, очевидно, выполнены оба условия теоремы Лебега. Аналогично рассматри-
вается случай ф„ (0 = sin nt. Таким образом доказана
Теорема 2 (Риман —Лебег). Для любой суммируемой на [а, 6] функ-
ции f (0 будет
Ь 6
lim {f (0 соз nt dt = lim ( f (0 sin nt dt =0.
n->oo“ П-.СОД
В частности, коэффициенты Фурье
,, л л
ап = —- \ / (0 cos nt dt, bn = — \ f (t) sin nt dt
Jl J Jt J
Л Jt
произвольной суммируемой функции стремятся к нулю 0 при п—>аз.
0 Для функции, суммируемой с квадратом, это предложение есть оче-
видное следствие сходимости ряда ^(а„ + й^).
260
Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [а, 6]
функции f(t), то мы будем говорить, что последовательность {<рп (/)} слабо
сходится к нулю.*)
§ 2. Представление функции сингулярным интегралом
в заданной точке
Во всем дальнейшем, не оговаривая этого специально, мы будем считать,
что ядро Фп (t, х) при фиксированных п и х ограничено. Тогда сингулярный
ь
интеграл fn (х) = j ФЛ (/, х) f (f) dt имеет смысл при любой суммируемой функ-
ции f(t).
Теорема 1 (А. Лебег). Если при фиксированном x(a<x<zb) и любом
6 > 0 ядро Фя (t, х) слабо сходится к нулюв каждом из промежутков [а, х — б],
(х + 6, Ь] и сверх того
ь'
$|Ф„(/, х),1 сК<Я(х),
а
где Н (х) не зависит от п, то, какова бы ни была суммируемая функция f (t),
непрерывная в точке х, справедливо равенство
lim f„(x) = f(x).
п—*со
Доказательство. Так как Фп (t, х) есть ядро, то
• ь
lim f Фга(/, x)dt=\,
n-*cot
и достаточно обнаружить, что
ь
lim « [f (0-f «1 Фга (С x)di = 0.
« — оо а
С этой целью, взяв е>0, найдем такое 6 > 0, что при \t — x[<8 будет
Тогда при любом п
е
*) dt
Но каждый из интегралов
х — д ь
5 И(0 —f(Х)]Ф„«, X)dl, ( [/(0-Их)]Ф„(«, x)di
а хЦ- д
при я-»оо стремится к нулю, так что для п>пй каждый из них будет по
абсолютной величине меньше в/3, и для этих п, очевидно, окажется
Ь
$1НО-Н*)]ФЛ(С х) dt
а
< S.
что и требовалось доказать.
*) Здесь имеется некоторое отклонение от терминологии функционального
анализа.
261
Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках
непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной
точки непрерывности, что, конечно, понижает интерес этой теоремы.
Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функ-
ции в тех точках, где эта функция служит производной своего неопределен-
ного интеграла, или в точках Лебега, ибо, как мы уже знаем, и те и другие
точки заполняют почти весь сегмент задания функции.1) К этому вопросу мы
и переходим.
Лемма (И. П. Натансон). Пусть на сегменте [а, Ь] дана суммируемая
функция i (/), обладающая тем свойством, что
М = sup
0 —а
О)
Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция g (t), заданная
и суммируемая на (п, Ь] интеграл
ь
^(t)g(t)dt
а
(2)
существует (может быть как несобственный при t—a) и справедливо нера-
венство
Ь
\f(t)g(t) dt
а
Ъ
<M\g(t) dt.
а
(3)
В пояснение условий леммы заметим, что мы не исключаем случая, когда
g (а) = -Г со. Если же g (а) < +со, то функция g (t) ограничена и интеграл (2)
существует как обычный интеграл Лебега.
Переходя к доказательству леммы, заметим, что не ограничивая общно-
сти, можно принять, что g(b) = O. Действительно, если бы это не было так,
то мы просто ввели бы вместо g (t) функцию g* (/), определив ее равенствами
g* W = {
g (I), если a si t < b,
О, если t = b.
Доказав теорему для g* (t), мы затем смогли бы всюду заменить g* (I) на
g (t), ибо такая замена не отражается на величине интересующих нас инте-
гралов. Итак, мы считаем, что g(b) = O.
Пусть а<а.<Ь. На сегменте [а, Ь] функция g (t) ограничена и инте-
грал
(4)
а
t
заведомо существует. Если положить F (7) = j [ (и) du, то интеграл (4) можно
а
J) Другим типом «регулярной» точки для суммируемой (и вообще изме-
римой) функции является точка аппроксимативной непрерывности. Однако,
для теории сингулярных интегралов эти точки не представляют большого
интереса, ибо, как показано мною [I. N a t а п s о n, Sur la representation des
fonctions aux points de continuite approximative par des integrates singulieres,
Fund. Math., 18, 1931, стр. 99—109] не существует таких сингулярных инте-
гралов, которые представляли бы любую суммируемую функцию во всех ее
точках аппроксимативной непрерывности.
262
записать в форме интеграла Стилтьеса
ь ь
\f(t)git)dt=\g(t) dF (t),
а а
откуда, после интегрирования по частям, находим
ь ь
(О dt = — F (a) g (а) + р (/) d[-g (i)].
а а
Но, в силу (1), мы имеем, что
|F (t)^M(t-d),
а так как g(t) убывает, то
g(a)(a—a)sS$g(0 dt.
а
(I
Значит | F (a) g (a) | sg M j g (/) dt. С другой стороны,
a
возрастает. Отсюда и из (5) следует, что
(5)
(6)
функция — g (/)
ь
F«)d[-g(t)] <2M\(t-a)d[-g(t)].
а
Преобразуем стоящий справо интеграл по формуле интегрирования по
частям:
ь - ъ
J it - a) d [— g (01 = g (a) (a - a) + j g (/) dt.
a a
Отсюда, в связи с (6), следует, что
j (/ — a)/[— g(0)
a
Сопоставляя все сказанное, получаем:
ь
^g(t)dt.
а
Ъ
\f(t)g(t)dt
а
|jg(0 dt+\g(t) dt
la a
Хотя это неравенство установлено при предположении, что g(6) = 0, нс,
как уже объяснено, оно останется верным и без этого предположения. Зна-
чит, мы можем заменить здесь предел b на (3, где a < р < Ь. Но тогда, уст-
ремляя а и р к а, мы убедимся, что
13
lim \ fit) git} dt = O,
a
чем доказывается существование интеграла (2). Наконец, если в (7) перейти
к пределу при а-*ц то мы получим (3) Лемма доказана х)
Теорема 2 (П. И. Романовский). Пусть ядро Фп (t, х) положительно
и об лад ает слв) ующим свойством: при ф иксированных п и х td ро Ф n(t, х),
*) В оценке (3) множителя М уменьшить нельзя, так как при /(/)=!
в (3) достигается равенство.
263
как функция одного лишь t, возрастает в сегменте [а, х] и убывает в сег-
менте [х, Ь].
Тогда для любой суммируемой функции f (t), которая в точке х является
производной своего неопределенного интеграла, будет
ь
lim р(/)Фл(/, x)df=f(x). (8)
Доказательство. Так как Фл (/, х) есть ядро, то достаточно про-
верить, что
ь
\im \[f(t)-f(x)]®n(t, x)dt = 0. (9)
n —* со й
Разбивая последний интеграл на два, распространенные на сегменте [а, х]
и [г, 6] займемся вторым из них, так как первый изучается аналогично.
Возьмем 8 > 0 и найдем такое 6 > 0, что при 0 < h sg 6 будет
х + к
у то-/Wl^ <8,
что возможно, так как f (/) в точке / = х есть производная своего неопреде-
ленного интеграла.
Тогда по предыдущей лемме
х "Ь б х -Ь б ь
i I/ (0~f W1 Фп If. x)dt j Ф„ (/, х) dt е j Фл (t, х) dt.
х ха
b
Так как Фп (/, х) есть ядро, то lim \ Фл (/, x)dt~\.
Величина, имеющая конечный предел, ограничена. Значит, существует
б \
постоянная К (х), такая, что Фл (/, x)dt<K(x).
а
Таким образом,
л 4-6
X
[/W-/W] Фл& W
<еК(х).
(Ю)
С другой стороны, если x-}-6s£/:gb, то
*4-6
Фп(1, х)^Фп(х + б, x)sgl j Фл(/, x)d/<^.
X
Значит функции <рл (/) = ФЛ(С х) на сегменте [х + б, ft] равномерно огра-
ничены и выполнено условие (5) теоремы Лебега из § 1. Но второе ее усло-
вие, т. е. условие (6), также выполнено для этих функций, ибо Фл (/, х)
есть ядро. Стало быть, Ф„ (/, х) на сегменте {x-рб, Ь] слабо сходится к нулю,
и для достаточно больших п будет
ь
У 1/(0-/(*)]Фя('. x)dt
х + 6
< е.
2S4
При этих п окажется [см. (10)]
ь
р/(о—/wi фл(о x)dt
X
<е [/<(*)+1],
так что
й
lim < [/ (t)-f (х)]Фп((, x)dt=O.
n-сод.
(И)
Теорема доказана.
В качестве примера ее приложения укажем на интеграл Вейерштрасса
Ь
|/л J
а
Функция (/» = rt3(Z есть ядро, ибо при а < х < R
У л
е п(А-х)
(&п(/,х)д/ = Л= ( e-22de->l
J V
~~2г • 1
е 4 az = L
Эта функция положительна, и она возрастает при а-'Л-Г-х и убывает
при xs^t^b. Значит, для всякой f (t) s L будет lim lt’\ (x) = / (x) в каж-
п ->со
дой точке х, где f (/) есть производная своего неопределенного инте(рала.
Условимся говорить, что функция 4f (I, х) является горбатой мажоран-
той функции Ф (/, х), если | Ф (/, х) । •< Т (/, х) и если У (/, х) при фикси-
рованном х возрастает на сегменте [а, х] и убывает н-а сегменте [х, б].
Теорема 3 (Д. К. Фаддеев). Если ядро Фп (/, х) при каждом п имеет
такую горбатую мажоранту '¥п (/, х), что
ь
J (t, х) dt <z К (х) < + оо,
а
где К (х) зависит лишь от х, то для любой f (t) <= L, имеющей точку t = x
точкой Лебега, будет справедливо (8).
Доказательство. И здесь достаточно доказать равенство (11). Взяв
$>0, находим такое 6 > 0, что при 0</1<б будет
х + К
$ |/(0—/(X) I <е.
X
По лемме будем иметь
х+о
$ \f(t)-f(,x)\-Vn(t, x)dt
х-4-6
i {/(о—/(*)}Ф«е.
X
х уа
е \ (t, х) dt < s /V (х).
265
С другой стороны, в сегменте [« + 6, 5] последовательность <ря(0 = Фл(^, х)
слабо сходится к нулю, ибо при [хф-5, 6] будет
х-р 6
I Ф„ (t, X) | (/, X) Vn (x-f-S, X) j %, (t, X) dt <^.
X
Заметив это, мы заканчиваем доказательство теоремы Фаддеева так же,
как и выше.*)
§ 3. Приложения в теории рядов Фурье
В § 3, гл. VII мы уже определили понятие ряда Фурье функции f (х) по
любой ортонормальной системе {ojfc (х)}. В частности, если речь идет о триго-
нометрической системе
1 cos х sin х cos 2х sin 2х
j/2n ’ Ул ' У л ’ У л - ’ Ул ’ *
то рядом Фурье функции / (х) служит ряд
СО
-% 4- (ak cos kx-\-bk sin fex),
4=1
где
п
/ (х) cos kx dx,
—л
л
f (х) sin kx dx.
—л
(2)
(3)
В гл. VII мы предполагали, что [ (х) е Ь2. Это предположение обеспечило
h
нам существование коэффициентов Фурье Q= \ f (х) (х) dx функции f (х)
а
в любой ортонормальной системе. Но функции системы (1) ограничены.
Поэтому коэффициенты (3), а с ними и ряд (2), можно образовать для любой
суммируемой функции.
Вопрос о сходимости ряда (2) приводится к исследованию некоторого
сингулярного интеграла. Действительно, если
п
Sn (х) (ak cos kx~ybk sin kx),
4=1
то, в силу (3),
л
$n (-v) = я j
—л
n
-9 + 2 cosk(t — x)
4 = 1
/ (/) dt.
г) Д. К- Фаддеевым («О представлении суммируемых функций сингуляр-
ными интегралами в точках Lebesgue’a», Матем. сборник, т. 1 (43), № 3,
1936, стр. 351—368) доказано, что условия теоремы и необходимы для
того, чтобы (8) имело место для всякой f(t)eL, имеющей при t = x точку
Лебега.
266
Пользуясь известной формулой х)
cos ka. =
. 2n + t
sm —®
2 sin -2
придадим сумме Sn (x) вид
1 P sin^f^-(z — -v)
Sn W = 2л J Г~Г^с f ® dt‘
—л sin —
Этот интеграл есть сингулярный интеграл Дирихле.
Мы не будем останавливаться на вопросах сходимости ряда (2), отсылая
интересующегося читателя к исчерпывающей монографии Зигмунда.l 2) Напро-
тив, мы рассмотрим вопрос о суммировании ряда (2) по способу
Ч е з а р о. Этот способ состоит в отыскании предела среднего арифметического
первых п сумм (х):
ап (х) = SoW + SiW + .-. + Stt-x (х) . (6)
Известно, что в случае сходимости ряда (2) в точке х последовательность
ся (х) сходится к сумме ряда, но эта последовательность может сходиться и
тогда, когда ряд (2) расходится. 3)
Для исследования ая (х) преобразуем ее с помощью формулы (5)
Л гП — 1
,. 1 С V • 2& + 1 /4 ч / (0
C«W = 2^ J 2 Sin^-(Z-X) ~^dt.
—л La = о J sm —-—
Но
n — 1
V , v. sin2 na
2 sm(2fe+l)a = -^. (7)
A = Q
Действительно, складывая равенства
cos 2йа —cos 2 (fe+1) a = 2 sin a sin (2&+1) a (k = 0, 1, ..., n—-1),
l) Впрочем, ее легко вывести. Для этого сложим равенства
sin (fe + a - sin 2 j a = 2 sin cos fea (k = 1, 2, ..., n),
a . a
sin 2 = sm у.
Это дает
n
cos ka ,
A=1
• / 1 \ r, a
sm ! 2 ) a = 2 Sln 2
откуда и следует (4).
2) А. Зигмунд. Тригонометрические ряды. ГОНТИ, 1939.
3) См., например: И. И. Привалов, Ряды Фурье (ОНТИ, 1934) или
Л- В. Канторович, Определенные интегралы и ряды Ojpbe (изд. ЛГУ,
1940) или Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интеграль-
ного исчисления, т. 3 (ГТТИ, 1949).
267
находим
п— I
2 sin а У sin (2&+1) а= 1 — cos 2па = 2 sin2 па,
k = o
откуда и следует (7).
С помощью (7) получаем
t—x
sm n-y
t — х
sm —
f(t)di.
(8)
2
Интеграл (8) есть сингулярный интеграл Фейера. Покажем, что для него
выполнены условия теоремы Фаддеева.
Для этого рассмотрим функцию /(/) = !. Вычисляя ее коэффициенты
Фурье по формулам (3), получим an = 2, ak = bk = Q (Л= 1, 2,
Значит, для этой функции S„(x) = l (n = 0, 1, 2, а следовательно и
ал (х)-1.
Но выражая оп (х) интегралом Фейера, получим, что
(9)
Заметив это, рассмотрим точку х е (— л, л). Пусть — л -С а < х<р^л,
Если t е [— л, а], то
„ t—x
sin2 -у
и, следовательно,
t — x
sin п —g—
t — x
sm —
2
а).
п
где А (х, а) не зависит от п. Отсюда следует, что
t — x
smn-y-
. t — x
sm -2—
2
dt = O.
Аналогично мы убедимся, что стремится к нулю интеграл по промежутку
[р, л]. Сопоставляя это с (9), находим, что
lim —
Л_,о/2пл
t— х
sin n —g—
t — x
Sln —
2
dt=\.
так что функция
1
2ил
г . t — X I2
sin n —у
есть ядро.
268
Для этого ядра легко построить горбатую мажоранту. Для этого
тим, что I sin г I I г I. Отсюда —-—> . Но —-— 1. Стало быть,
111 sin2 г г2 sin2 г
заме-
_1_>171 + П = г2+±
sin2 z " ' 2 , г2 / 2г2
cin2"(Z-x)-< 2п2((~х'>2
2 п2 (/-х)2 + 4 •
л 2
С другой стороны, когда | z | eg % , то | sin z | — | z так что *)
t—x 1
(10)
(11)
Из (10) и (11) следует, что
Г • —х I2
, Sin П —х—
| ЫН Г4 2 2пл t — x Lsin— J 1 2п2 (/ — х)2 л2 _ пл 2пл п2 (1 — х)2 + 4 (t — х)2 п2 (t — х)2 + 4 ‘
пл Функция -п2 (/_х)2 + -4- л есть горбатая мажоранта ядра Фейера. Но + со пл dt С л dz л2
J n2(Z — х)2 + 4 J г2 + 4 2 ’
— Л —со
т. е. интегралы от мажоранты ограничены числом, не зависящим от п.
Итак, интеграл Фейера удовлетворяет условиям теоремы Д. К. Фаддеева.
Отсюда следует
Теорема 1 (Л. Фейер—А. Лебег). Почти везде на [—л, + л] будет
lim a„(x)=f(x). (12)
П -*со
Это соотношение выполняется во всех точках Лебега и тем более во всех
точках непрерывности функции f (f), лежащих внутри [— л, + л].
В гл. VII мы установили, что тригонометрическая система (1) полна. Эго
означало, что всякая функция f (х) е £2, у которой все коэффициенты Фурье
i) Так как —л<х<л, —л ^/sg л, то 1 может оказаться и
Л
больше, чем • Однако, это несущественно. В самом деле, положим а =
— max {—л, х —л), & = min {л, х + л}. Нетрудно видеть, что разность между
интегралом Фейера (8) и интегралом
t—х
smn —
t — x
Sin-fj—
г
fit) At.
при возрастании п стремится к нулю (ибо, например, при
— Л — X "
sm —
— л * -g а будет
sm
поэтому все рассуждения
можно вести для
интеграла а*.
269
(3) равны нулю, эквивалентна нулю Теперь мы можем избавиться от огра-
ничения, что f (х) суммируема с квадратом Справедлива следующая
Теорема 2. Если вес коэффициенты Фурье (3) суммируемой функции
f (х) равны ну ио, то f (х) эквивалентна нулю
В самом деле, в этом случае о„(х) = 0 и, следовательно, /(х)=0 во всех
точках, где имеет место (12), т е почти везде
Теорема 1 позволяет делать некоторые высказывания и о поведении сумм
S„(x). Для этого заметим, что
п — 1
. . а0 , n—k , , . , , ч
(х) = 2 + 2, cos kx+S]n
A-=i
ТЭК ЧТО
п
- (а^ cos kx-[-bk sin kx). (13)
Отсюда
л n
~ J [S„ (x)]2 dx= 2 (да + Ьа). ('4)
— n A — 1
Рассмотрим последовательность ri1( л2> я3, •• натуральных чисел, для
которой
^->Л>1. (15)
Такая последовательность называется лакунарной. Справедлива сле-
дующая
Теорема 3 (А. Н. Колмогоров). Пусть f (х) суммируема с квадратом
Если {п,} лакунарная последовательность, то почти везде на |—л, л]
будет
hm Sn (x)=f(x).
1--СО Z
Доказательство В силу теоремы Фейера— Лебега достаточно пока-
зать, что почти везде будет 1пп [3„ (х) — ап (х)| = 0.
Для этого (теорема 11, § 1, гл VI, следствие) достаточно показать, что
со л
j (Sn — о,, )2(k<4-oo, или, что то же самое, что
1 = 1 —л 1 1
г п(
<2=2 fe2(4+^)
( = i L 1 k=i
<Н-ОО.
Сумму Q можно записать так:
п1
Q=^i 2
k=\
nl
2 2 u*+
k=l k = nl + i
«i n2 n,
+п]Ъик+^а 2 Uk+ij 2 u*+
k = 1
+.....................................
270
где = fe2 (а£ + . Суммируя этот ряд по столбцам, получим
1=1 \s = l 1 '* = и,_1+| •
Но так как
н, 1
ns As~l>
то
/ 05 \ / ni X ОО П1
2 У 2 “* <2?"J- 2
\S=1 / \й = п(14-1 / S=( '[-1+*
СО ni nt
<2^- 2 (^+^)=д^т 2 <а*+^-
Отсюда
СО ПI со
q<-^t2 2 ^+^)=д^гт2(^+^)<+о°’
1 = 1 = 1 Й = 1
ибо ряд + сходится Теорема доказана
Полезно отметить близость этой теоремы А Н Колмогорова и теорем
Качмаша и Радемахера из § 3, гл VII. Именно, в обоих случаях ищутся
такие индексы nt, чтобы частные суммы Sn (х) ряда Фурье V ck(ok (х)
1 А=1
функции f (х) сходились к / (х) почти везде Однако у Качмаша и Радемахера
предполагаются заданными коэффициенты ck и индексы nt характеризуются
через них независимо от системы {со* (х)}. Напротив, А Н Колмогоров рас-
сматривает определенную— тригонометрическую — ортонормальную систему и
дает характеристику индексов nt, не зависящую от коэффициентов с*.
Определение. Тригонометрический ряд
У (ап cos ntxA-bn sin/i,x)
называется лакунарным, если {П;} есть лакунарная последовательность
Теорема 4 (А. И. Колмогоров). Если ряд Фурье суммируемой функции
f (х) оказывается лакунарным, то он сходится к f (х) почти везде
Доказательство. Если -< ц <; п1т1, то
S„(x) = S„Jx), ибо =^ + 1 = аЛ(+2= =Ь„=0.
Поэтому достаточно показать, что почти везде оказывается
w = / W,
(*)
а это утверждение, в свою очередь, будет доказано, если мы установим, что
почти везде
^[Sn/x)~<4 W] = 0-
Отметим, кстати, что для частного случая, когда f (х) е L2, равенство (*),
а с ним и теорема сразу следуют из предыдущей теоремы Колмогорова.
271
Переходя к доказательству соотношения (**), заметим, что в силу (13)
V k
|\ 2. 7Tl^ak\ + \bk\)-
k=i
Если k не совпадает с одним из чисел пг, п2, п3, .... то о* = 6*=0.
Стало быть,
i
m = l
В силу теоремы Римана —Лебега (§ 1) lim ап = lim bn —0.
т-+<уэ т т-*со т
Заметив это, возьмем е > 0 и найдем такое mQt что при т > tn0 будет
/«о
I апт I +1 6«т| < Е- Тогда- обозначая V, пт (| аПт | +1 ЬПт [) через М, будем
т = 1
иметь, при i > т0
i
2 ,,e>
m = m0+ 1
Но так как
то V V I'1 < у 1 _ л
nt А1~т ^пАЬ Л —1
‘ m=mo + l m = mo + l ^=0
Отсюда и из (16) следует, что
, „ , , ... М , А
|3„;(х)-оП£(х)|< —+ jzzre.
М
Если i достаточно велико, то — < е, и при этих г будет
«£
/ А \
;зП/ W-o„t(x)| <(1+^) в.
что и доказывает теорему.
Замечание. Хорошо известен также способ Абеля —Пуассона для сумми-
рования рядов Фурье.х) Он состоит в образовании вспомогательного ряда
ОО
s,(x)=4+ 2 («fe cos kx-\-bk sin kx), который сходится при 0<г<1.
/г=-1
Если существует конечный предел lim Sr (х), то этот предел и считается
г-+ 1 —0
обобщенной суммой ряда
ОО
у+ 2 (ak cos kx + bk sin kx). (17)
k= i
!) И И. П p и в а л о в, Ряды Фурье, стр. 108, Л. В. Канторович,
Определенные интегралы и ряды Фурье, стр 217, Г. М. Фихтенгольц,
Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3, стр. 723.
272
Нетрудно показать, что в каждой точке х, в которой ряд (17) сумми-
руется процессом Чезаро—Фейера, он суммируется и процессом Абеля —
Пуассона к той же сумме х) Значит ряд Фурье суммируемой функции f (х)
суммируется к ней способом Абеля — Пуассона почти везде Этот факт можно
доказать и не пользуясь теоремой Фейера —Лебега, а привлекая теорему
П. И. Романовского* 2 * *) к исследованию того сингулярного интеграла, которым
выражается Sr (х):
л
11" 1 — г2
Sr(x'> = 2л J f ® Т^277оГ(^х)+^ dt
— л
(интеграл Пуассона). Мы не будем останавливаться на этом.
§ 4. Дальнейшие свойства тригонометрических рядов
и рядов Фурье
Не всякий тригонометрический ряд
СО
у + (ak cos kx + bk sin kx)
* = 1
является рядом Фурье какой-нибудь суммируемой функции, даже если его
коэффициенты стремятся к нулю Чтобы в этом убедиться, установим некото-
рые предложения, имеющие и самостоятельный интерес.
Лемма 1 (Н. Абель). Пусть даны числа ах, а2.......ап. Положим
k
Sk= У
( = 1
и пусть
| в/, | s?; A (fe= 1, 2, .. , п).
Если ft > q2> ... > > 0, то
п
2 акЯк
*=1
«S -491-
Доказательство. Если k > 1, то ak = Sk — Sk-i- Значит
п п п п
2 a*<M==si<7i+2 —s*-i) 9й= 2 skQk — 2 s*-i9*
Й = 1 k=2 k=l k = 2
И, стало быть,
n n — 1
2 акЯк = 2 Sk(4k — <lk + l)+sn(ln-
k=l fe=l
i) И. И Привалов, Ряды Фурье, стр НО, Л В. Канторович,
Определенные интегралы и ряды Фурье, стр. 218, Г. М. Фихтенгольц,
Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3, стр. 731.
2) Путь, основанный на теореме Романовского, дает более сильный ре-
зультат, чем теорема Фейера —Лебега. Именно, он показывает, что ряд
Фурье функции f (х) суммируется процессом Абеля — Пуассона в каждой
точке, где / (х) есть производная своего неопределенного интеграла (а не
только в точках Лебега, как это следует из теоремы Фейера—Лебега).
273
Отсюда
п
У акЯь
k=\
~п— t
Л У (<7fe~ <7* + i) + <7n = A4t>
_ft = l
что и требовалось доказать.
Определение. Будем говорить, что ряд а1 + п34-аз + ---, удовлетворяет
условию Абеля, если
п
(п=1, 2, 3, ...).
А = 1
Лемма 2. Каждый из рядов
cos *4-cos 2х + соз Зх + ... (х =#= 2/гл),
sin х 4- sin 2х + sin Зх 4-... (х — любой)
при фиксированном х удовлетворяет условию Абеля,
п п
Доказательство. Положим, Ап = У cos kx, Вп= у sin kx. Чтобы
А=1
не повторяться, оценим эти суммы способом, отличным от применявшегося
нами в аналогичных случаях выше.
Эти суммы представляют собой вещественную и мнимую части суммы
п
4 = 1
Значит, достаточно оценить модуль последней суммы. Очевидно
2 1
I Сп ;
Отсюда
। ==-. х ,, ।
| 5,П 2 |
и лемма доказана при х =/= 2kn. Если же
тривиальна.
Теорема 1 (Н. Абель). Пусть ряд
HI
х = 2£л, то для ряда синусов лемма
У ак удовлетворяет условию Абеля.
k = i
Если
<71
.... Itm qn = 0,
то ряд У] akqk сходится.
k=i
п
Доказательство. Положим, Sn= J] akqk. Тогда, по лемме Абеля,
А= I
при т > п
\Sm-Sn\ =
tn
У, akqk <2Aq,^t
ks=nA-1
и при достаточно большом п эта величина сколь угодно мала, откуда и сле-
дует теорема.
274
Следствие. Если
qt> q2> ... > qn> , lim qn = 0,
n—*oo
то каждый из рядов
CO co
2 qn cos nx (x 2йл), У qn sin nx
n = t n=l
(x — любой)
сходится.
Например, ряд
sin nx
In n
(1)
сходится при всяком x. Мы покажем ниже, что (1) не является рядом Фурье
никакой суммируемой функции. Для этого нужна
Лемма 3. Пусть
п
. у . V sin kx
2 —•
k=i
Каковы бы ни были х и п, справедлива оценка I фл (х) | < 2 1^л.
Доказательство. Пусть сначала 0<х<л. Пусть q целое число,
V л
такое, что q^_ < q-{- 1, Тогда
I I*) I -ss! 'ty (х) | +
п
VI sin kx
L ~~г
* = <? + !
(Если </ = 0, то исчезает первое, а если q>nt то —второе слагаемое
части). Так как [ sin а | । а ।, то
правой
ч
I % W 1
4= 1
| sin kx |
k
qx S Гл.
С другой стороны, в силу леммы Абеля,
п
2 sin kx А
k ^94-1’
А=?-Н
где А = max
I
2
sin kx
1
(</+ 1 'йг i sg: п). Но, буквально повторяя рассуж-
дения, проведенные
при доказательстве леммы 2, мы увидим, что
sin kx
значит А -sg --------
. х
Sin у
и, следовательно,
п
2
к = ч +
sin kx
k
(9+ 1) sin -*
275
Принимая во внимание,
X X
что sin -s- , а а 4-1
2 л ’ 41
VI sin kx
L ~т~
* = <7-Н
откуда, в связи с (2), и следует требуемая оценка. Ввиду того что I фл (х) I
четная функция, эта оценка верна и для — л<х<0. Для х = 0 и л эта
оценка тривиальна, т. е. она верна для —л<х<;л, а тогда, в силу перио-
дичности ф„ (х), она верна всегда, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Пусть f (х) суммируемая функция. Если
Л СО
Ьп = — / (х) sin пх dx, то ряд у
—л п = 1
сходится.!)
оэ
_ V sin пх
Д о к а з а те л ь с тв о. Ряд У —-— сходится по следствию теоремы 1.
п = 1
Если его сумма есть ф (х), то при всех х
lim фл (х)/(х)=ф(х)/(х).
п—»со
В силу леммы 3,
1Фп(х)/(х)[е=2/л7(х)|.
Значит, по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла
л л
lim ( фп(х)/(х)4х = ( ф(х)/(х)Дс.
-л
Но
л п
у § Фп (x)/(x)dx= 2 у,
—л А=1
откуда и следует теорема.
03
Обращаясь к ряду (1), мы видим, что ряд Л —=— расходится. * 2) Зна-
Л I п л
чит (1) дает пример всюду сходящегося тригонометрического ряда, не являю-
щегося рядом Фурье никакой суммируемой функции.
В том же порядке идей доказывается следующая теорема.
рядов
также
Если / (х) gL2, то 7еорема есть очевидное следствие сходимости обоих
V V 1 I ЬП I . 1 П
2 Q'n и 2 ~п2 и неравенства < о- -|- -2. В этом случае сходится
—, который для произвольной суммируемой функции может
расходиться.
2) Так как функция
п + 1
1 _ 1 С dx
—: убывает, то —= > \ ——.
xlnx л In л J xlnx
п
Отсюда
N
(* Их
, \ =1п1пЛГ-1п1п2.
n J xlnx
п = 2 2
276
Теорема 3. Пусть в промежутке [— л, л] задана суммируемая функция
f(x), имеющая ряд
ОО
-° + (ап cos пх + bn sin пх)
своим рядом Фурье. Если [Л, В] сз [—л, л], то
в В оо в
jj °^dx + 2 (ал cos пх + bn sin пх) dx.
A A n= 1 А
Иначе говоря, ряд Фурье суммируемой функции можно почленно
интегрировать. Этот факт весьма замечателен, поскольку сам этот ряд
может и не сходиться.
Для того случая, когда функция f (х) суммируема с квадратом, наша
теорема немедленно вытекает из замкнутости тригонометрической системы
и следствия теоремы 1, § 3, гл. VII.
Чтобы доказать теорему в общем случае, положим
( 1 при х е [Л, В],
Ф (х) = J -
I 0 при х е [Л, В].
Эта функция, как известно из элементов Анализа, разлагается в ряд
Фурье
СО
Ф W = а£ + (a* cos Pi sin kx)
i=l
во чвсех точках сегмента [—л, л], кроме разве лишь точек —л, А, В, л.
п
GC
Пусть Sn(x)=2°+ (а^ cos kx 4- pt sin kx).
i = l
Эту сумму можно представить иначе, если фактически вычислить коэф-
фициенты аА и р*:
л
1 С , В—А
ао = - J ф(х)4х = —
— Л
л
1 С , х sin kB — sin kA
= J <p(x)cos£xdx = —------,
— Л
Л
n If у x . s j cos kA — cos kB
Pi = - J Ф (x) sin kx dx =--.
— Л
Подставляя эти величины в выражение Sn (х), найдем:
п
„ , , В —Л , 1 V FsinMB— х) sin & (Л — х) I
Sn W-----аГ+ я Z L k k ]•
i = 1
Отсюда, в силу леммы 3, при всех х и п
\Sn(x)\^^ + ^,
2л у л
277
Т. е. суммы $п (х) равномерно органичены. Пользуясь теоремой Лебега о пре-
дельном переходе под знаком интеграла, мы находим
л л
( f(x)q(x)dx = lim f f (х) Sn(x) dxt
— Л /2-» CO —д
что можно записать и так:
в л со г л л
/(x)dx=~^ f(x)dx4- afe W cos + Р* / (х) sin Ах dx
А —л k=\ L —л —л
или так:
В со
с r, , J аа , V Г Sin kB — sin kA . , cos АД —cos AB 1
/(x)dx = -2° (В-Д)+ 2 [a*--------k-----+ bk-------ъ-----]•
A k= I
а это равенство и представляет доказываемую теорему.
Теорема 4 (Г. Кантор —Д. Лебег). Если во всех точках множества Е
положительной меры будет
hm (a„ cos nx-\~bn sin nx) = 0, mo lim an— lim bn = 0.
n—* co n —► co n—* co
Доказательство. Положим rn = j/a2 4~ b~n. Тогда для любого п.
существует угол 6„, для которого
ап cos nx-\-bn sin nx = rn cos (пх4-6га).
Допуская, что гп не стремится к 0, мы сможем выделить последователь-
ность п± < п2 < пз < для которой rn >а>0. Но при х е Е будет
nk
Гп СОЗ (пя + бп) ->0,
значит при этих х
cos(nftx-|-e„J->0.
Отсюда, в силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком
интеграла,
lim fcos2p.x+Sn \dx = 0. (3)
n-^j. k)
С другой стороны,
cos2 (их-Нл) dx-= у [I + cos (2/1ХД-26,J] dx =
E E
— mE 4- cos 20,, cos 2nx dx — sin 20n sin 2/гх dx.
E E
Интегралы { cosnxdx, sin nx dx, будучи коэффициентами Фурье харак-
Е Е
теристичевкой функции множества Е, стремятся к 0 (следствие теоремы
Римана —Лебега). Отсюда
l'm f cos2 (их4-6л) dx = -' тЕ,
П-.СО \ ' I Л/ 2 >
Е
что противоречит (3), Теорема доказана.
278
Следствие. Если, тригонометрический ряд сходится на множестве положи-
тельной меры, то его коэффициенты стремятся к нулю.
Весьма близко по идее доказательство следующеи теоремы.
Теорема 5 (Н. Н. Лузин — А. Данжуа). Если тригонометрический ряд
2° ^а'1 C0S ПХ SI'n ПХ^
п — I
абсолютно сходится на множестве Е положительной меры, то
S (I ап i-H bn I) <+оо.
/1 = 1
Доказательство. Сохраняя обозначения предыдущей теоремы, будем
иметь для хе L'
У, rn cos2 (пл + 6„) £ V гя cos (лх + 0„) | < + оэ.
п~ I п — 1
Пусть У rn cos2 Gix-f-6,,) = А (х). Эта функция измерима и конечна на
п~- 1
множестве Е. Значит, из Е выделяется подмножество Ео (тЕа > 0), на кото-
ром А (х) ограничена и, стало быть, суммируема.
Тогда У rn \ cos2 (их+ 6п) А = А (х) dx < + со. Но прн Доказатель-
n = l Eq Ёа
стве теоремы 4 мы видели, что
cos2 (их + 0„) dx ->- т^а-.
Ео
Значит, для этот интеграл будет больше, чем ш£0/3 и, стало быть,
гп< У, rn § cos2 (nx + 0„) dx < + оо,
гг = па п = па Ео
откуда следует сходимость ряда У гп.
п = 1
Теорема доказана.
§ 5. Производные Шварца и выпуклые функции
Мы имеем в виду изложить некоторые факты, связанные с вопросами
единственности разложения функции в тригонометрический ряд. Для этого
нам понадобятся некоторые новые сведения, представляющие и самостоятель-
ный интерес. Настоящий параграф мы и посвятим изложению этих сведений.
Определение 1. Пусть функция F (х) определена в некоторой окрестности
точки х. Если существует определенный предел
£(х + /г)-£(х-/1)
Л™ 2Л
то он называется производной Шварца функции F (х) в точке х и обозначается
через £<'< (х).
279
Если в точке х существует обыкновенная производная F' (х), то суще-
ствует и производная Шварца, причем F ' (х) = F' (х)
Это утверждение непосредственно следует из того, что правая часть
равенства
А (х-j-/г) — F (х - Л) 1 Г F (x + /i)-/7(x) F (x — h) — F (х) 1
2/1 ~ 2 L Л + —Л J
при h -> 0 стремится к F' (х)
Но возможны случаи, когда F' (х) не существует, a F1' (х) существует.
Так, например, обстоит дело в точке х = 0 у функции
Л(х) = х51п~ [Е(0) = 0].
Таким образом, понятие производной Шварца есть обобщение понятия про-
изводной Аналогичным способом можно обобщить понятие второй производной.
Определение 2. Пусть функция F (х) определена в некоторой окрестности
точки х. Если существует определенный предел
hm F(x + h)~2F (x) + F(x-h)
h-,o Л3
то он называется второй производной Шварца и обозначается через /'"’(х).
Если в точке х существует обыкновенная вторая производная F" fa), то
существует и Л"1 (х), причем Е<"’ (х) = Е" (х).
В самом деле, наличие в точке х второй производной предполагает,
что в окрестности этой точки существует первая производная F' (х).
Положив
F (х + Л)+/7(х-/1) = <р (Л),
мы сможем к правой части равенства
F (x-j-/t) — IF (x) + F (х-/1) _ф(Л)~tp(O)
/г2 Л3
применить известную формулу Коши, что дает
ф(/1) —ф(0) ф'(В/г)
откуда
F (x + h)-2F (х)4-Е(х-й) Е'(x-|-6/i)-f'(х —й0)
/г3 ~ 20Л
а правая часть этого равенства, как мы видели, стремится (при й-*-0)
к F" (х)
Пример функции
X
F (х) = / S!n J dt (1)
6
показывает, что F1"’(х) может существовать и тогда, когда F" (х) не суще-
ствует [у функции (1) так обстоит дело в точке х = 0]
Теорема 1 (Г. А. Шварц). Пусть функция F (х) задана и непрерывна
на отрезке [а, й]. Если всюду в интервале (а, Ь) будет
Р"> (х)=0,
то F (х) есть линейная функция.
Доказательство. Возьмем е > 0 и положим
Ф (х) = F (х) — р (а) + f (х - а) J -h е (х - а) (х — 6).
280
Очевидно <р(лг) непрерывна на [а, й] и <р (а) = <р (&) = 0 Кроме того, всюду
в (а, Ь) будет
ф'"'(х) = 2е. (2)
Покажем, что всюду в [а, й] будет
<р (х) 0. (3)
Действительно, если бы это было не так, то функция ф (х) в какой-то внут-
ренней точке х0 принимала бы свое наибольшее значение ср (х0) и тогда
V (хл + h) — 2<р (хп) + Ф (хп — h)
неравенство 3-.L —L---- Y -------------- <0 дало бы в пределе ф (х„) s=0,
что противоречит (2)
Аналогично мы убедимся, что функция
4 (х) = — (х) - р (а) + (х - flfj} + е (х - а) (х - Ь)
всюду удовлетворяет неравенству
4 (х) 0 (4)
Объединяя (3) и (4), получим
[ f (х) - (а) + F ~ а)} | е I ~ а) (* ~ *>) |>
откуда, ввиду произвольности в , следует, что
г , . F(b) — F(d)
F W = F (а) Н—- - (х~ а)
Теорема доказана
Теперь мы займемся вопросом о том, можно ли, зная вторую производ-
ную Шварца восстановить исходную функцию F (х) Ход идей здесь
весьма напоминает те рассуждения, которые мы проводили в § 8 гл IX, когда
занимались вопросом восстановления первообразной функции по ее производ-
ной. Рекомендуем читателю освежить в памяти указанный параграф
Определение 3. Число X (конечное или бесконечное) мы будем называть
вторым производным числом Шварца функции F (х) в точке х, если существует
такая стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел hx, h2,
ha, ..., что ,
Х= hm + W + f (х-йя)
n -> CO hn
Легко проверить, что во всякой точке х любая функция F (х) имеет вторые
.производные числа Шварца и что для того, чтобы в точке х существовала
вторая производная Шварца, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке
все вторые производные числа Шварца были равны между собой
Определение 4. Функция F(x), заданная на отрезке [а, й], называется
выпуклой вниз, если для любых двух точек хх и х2 отрезка [а, Ь] будет
р/Х1 + х2\ f (ti) + -T (х2)
-------2----• (5)
Простейшим примером такой функции служит линейная функция, у кото-
рой в (5) стоит знак равенства Менее тривиальные примеры доставляет
Лемма 1. Если функция f (/) возрастает на отрезке [а, й], то ее неопре
деленный интеграл
F(x) = ]f (t)dt
а
есть функция, выпуклая вниз.
281
Доказательство. Пусть а с;: Xt < х.у -эо b. Тогда
Xi -f~ Х2
х2 2
Х1 ~l~ Х2 Xi
2
Так как f (/) возрастает, то
Г1 4- Х2
х£ 2
jj jj Ht)dt,
Х1+*я xt
2
откуда и следует, что F (xt) — 2F (X1 I -|-F (x2) ;> 0.
\ d /
Легко видеть, далее, что
1) сумма конечного числа функций, выпуклых вниз, есть функция, выпук-
лая вниз;
2) предел сходящейся последовательности функций, выпуклых вниз, есть
функция, выпуклая вниз;
3) сумма сходящегося ряда функций, выпуклых вниз, есть функция, вы-
пуклая вниз.
Переходя к дифференциальным свойствам таких функций, прежде всего
отметим, что все вторые производные числа Шварца функции, выпуклой вниз,
неотрицательны. Это свойство характеризует такие функции. Именно,
имеет место
Лемма 2. Если все вторые производные числа Шварца непрерывной функ-
ции F (х) неотрицательны, то эта функция выпукла вниз.
Доказательство. Возьмем е>0 и, так же как при доказательстве
теоремы Шварца, введем функцию
<р (х) = F (х) -|f (а) + (х—а) ] Н- е (х — а) (х — &).
Она непрерывна; <р (а) = <р (Ь) = 0 и все вторые производные числа Шварца
Л этой функции удовлетворяют неравенству X 2= 2s. Отсюда, так же как и
в теореме Шварца, следует, что <р (х) .< 0.
Из этого неравенства, переходом к пределу при е -> 0, получаем
г., . г, . F (b) — F (а)
Р W Р (а)Ч----ь_а (х — а)
и, в частности,
+ (*)
\ 2 2
Это и доказывает лемму потому, что вместо чисел а и b мы могли бы
взять любые другие числа х1 и х2.
Лемма 3. Пусть функция F (х) задана и непрерывна на отрезке [а, Ь].
Если почти везде на (а, 6) все вторые производные числа Шварца неотрица-
тельны и ни в одной точке [а, Ь) ни одно второе производное число Шварца
не равно — со, то функция F (х) выпукла вниз.
Доказательство. Обозначим через Е множество тех точек (а, Ь),
в которых хоть одно второе производное число Шварца функции F (х) отрица-
тельно. По условию т£ = 0.
Поэтому, в силу теоремы 6 § 2 гл. VIII, существует непрерывная возра-
стающая функция а (х), такая, что во всех точках множества Е будет
o'W = +oo, (6)
2S2
X
Положим т (х) = j о (t) dt. В силу (6) во всех точках множества Е будет
т"(х) = 4-оо. (7)
Заметив это, возьмем произвольное е>0 и рассмотрим функцию Ф (х) =
= Г(х)4-ет (х).
Все вторые производные числа Шварца функции Ф (х) неотрицательны.
Действительно, по лемме 1, функция т (х) выпукла вниз, а потому
Ф (х + /1)-2Ф (х) + Ф(х-Я) £(x+A)-2F (х)4-А(х-/г)
h2 h2
Значит, если бы у функции Ф (х) при хе£ существовало бы отрицательное
второе производное число Шварца, то при этом же х должно было бы суще-
ствовать отрицательное второе производное число Шварца и у F (х), что не-
возможно по самому определению множества Е. Если же ie£, то отношение
f (х _1_ —1— р (% /i)
—i—!— -------------------- должно оказаться ограниченным снизу (иначе
в точке х существовало бы второе производное число Шварца, равное — оо)
и потому [в силу (7)] Ф‘"‘(х) = +оо.
Итак, Ф (х) удовлетворяет условиям предыдущей леммы и потому выпукла
вниз. Но тогда и A(x)=lim Ф (х) выпукла вниз. Лемма доказана.
е-.о
Теперь мы можем доказать интересующий нас результат о восстановлении
функции по ее второй производной Шварца.
Теорема 2 (Ш. Ж. Валле-Пуссен). Пусть на [а, &] задана непрерывная
функция F (х), имеющая всюду в интервале (а, Ь) вторую производную Шварца
F<"’(x) = f(x).
Если f (х) всюду конечна и суммируема, то справедливо равенство
(8)
F (х) = j dt j f (и) du-[-Ax-)-B.
a a
Доказательство. Введем в рассмотрение функцию <рл (х), полагая
(f (х), если f (х) < п,
(х) = <
I п, если f (х) > п.
Так как
(9)
то срп (х) суммируема.
х t
Пусть Ф„ (х) = j dt (' ф„ (и) du и Rn (х) = Е(х) — Ф„ (х). Ввиду непрерыв-
а а
t
' ности интеграла <ря (и) du, мы имеем для всех х е [а, 6]
а
Фп (х) = j фп (и) du.
А так как правая часть этого равенства почти везде имеет производную,
равную фп (х), то почти для всех х оказывается
Фп(х) = фп(х). (10)
Но всюду, где имеет .место (10), разность Rn (х) имеет вторую производную
Шварца Rn ' (х) = / (х) — фд (х) > 0.
Итак, множество точек, где хоть одно второе производное число Шварца
Функции Rn (х) отрицательно, имеет меру 0.
283
С другой стороны, по формуле Коши
Фп (хД-Л) — 2ФЯ (х) + Фя (х — К) Фп (х -|- 6/т) — Фп (x — 6h) _
Л2 20/1 —
x+6h
= i <P'‘(u)du^n
x-eh
и, стало быть,
7?„(х + /1)-2₽я(1) + 7?п(х-/г) f(x + A)-2F(x) + f (x-/t)
№ Лг
Отсюда ясно, что ни одно второе производное число Шварца функции Rn (х)
не равно —со. Поэтому, в силу леммы 3, функция Rn(x) выпукла вниз
Если п->оо, то фя(х)->/(х). Отсюда и из (9) вытекает, что при любом t
будет
/ (
j (u) du -> р (и) du.
а а
Но
i ь
j ф„ (и) du £= j I / (“) I du
a a
и потому, при каждом х будет
' х t х i
Фл (*) = dt <р„ (и) du -> j dt j f (и) du.
a a a a
Значит, функция
x i
R (x) = F (x) — dt p (u) du,
a a
будучи предельной для выпуклой функции Rn (х), и сама выпукла вниз.
Это означает, что при любых xt и х2 окажется
(*i) + R (х2)
2
(П)
Но, если бы вместо F (х) мы стали бы говорить о функции — F (х), то вместо
f (х) появилась бы функция —/(х). Вместе с ней изменила бы знак н R(x),
так что неравенство (11) приняло бы вид
R
/Х] + х2\ R (xj) + R (х2)
\ 2 2
(12)
Из (И) и (12) следует, что при любых хг и х2
/xL + х2\^ _ R (xj) + 7? (х2)
Отсюда при любом х е (а, Ь) и достаточно малом h > 0 будет
R (х + Л) — 2R (х)4-7? (х — /1) = 0 и, следовательно, R* 1"1 (х) = 0.
По теореме Шварца отсюда следует, что 7?(х) = Дх+В, а это равносильно
доказываемой теореме
Для теории тригонометрических рядов нам достаточно изложенных сведе-
ний. Однако мы хотим установить еще некоторые предложения о выпуклых
функциях, ввиду их самостоятельного интереса, хотя ссылаться на них нам
и не придется.
284
^f(x0) + f(yn)
2
f (*л)=И
Теорема 3. Если f (х) задана, ограничена и выпукла вниз на отрезке [а, &],
то во всех точках интервала (а, Ь) она непрерывна
Доказательство. Пусть а < ха < b и М (х) и т(х) суть верхняя
и нижняя функции Бэра функции f (х), введенные нами в § 4 гл. V. Покажем,
что можно найти такую последовательность {хп}, чтобы хп -► х0 и f (хп) -►
-> М (х0) В самом деле, если п -* оо, то М^п (х0) -> М (х0), а по самому опре-
делению Л41/П(хо) в интервале ^х0—+ найдется такая точка хп,
что Ml!rl !/„ (*о). Очевидно {хп\ и есть требуемая после-
довательность ')
Взяв такую последовательность, положим уп = 2хп — х0. Тогда и t/n->x0 и
ха + Уп
2
Возьмем произвольное в>0. Если 6 достаточно мало, тог) Мд (х0) <
< Л-1 (х0) J-F, а так как при достаточно больших п окажется упе(х0 — 6,
х0 + 6), то для этих п будет
f < f (*<>) +М (х0) + в
Переходя к пределу, сначала при п->-со, а потом при е->0, получим
М откуда Л4(хо)^(*о)
и, стало быть,
M(x0) = f(x0). (13)
Это справедливо и тогда, когда х0 = а, или хй = Ь, потому что точка уп лежит
с той же стороны точки х0, что и хп.
Теперь найдем такую последовательность {хп}, чтобы оказалось хп-► х0,
f (хп) —> т (х0), и положим уп = 2х0 — хп.
Если а < х0 < Ь, то для достаточно больших п точка уп попадет в [а, Ь]
(ибо уп -> х0) и тогда окажется
f / г Ч _ f (Хп + Уп V / (хп) + f (Уп)
' {х°> -f 2 ) 2 •
Для достаточно больших п, как и выше, мы будем иметь
f (х„) + М (х0) + е
— 2
откуда, переходя к пределу сначала при п->со, а потом при е->0, получаем
f (Жо) «g тМ + м М
В силу (13) и очевидного соотношения m(x)sgAf(x), отсюда следует, что
Л4 (Хо) = т (х„)
По теореме Бэра (§ 4, гл. V) f (х) непрерывна в точке хп.
Замечания. 1) Условие ограниченности функции f (х) существенно. Сущест-
вуют конечные, всюду разрывные, выпуклые функции, но они не ограничены
ни в одном интервале.
*) Аналогично, конечно, можно найти и такую последовательность {хя},
что (bi было хп —* Xq, f ^;rt) —* т (fp)
s) Ввиду ограниченности f (х) обе функции Бэра М (х) и т (х) всюду
конечны.
285
2) Функция
( 0, если — 1 < х < +1,
fW = l 1, если х=± 1
показывает, что на концах отрезка своего задания выпуклая функция может
быть разрывна.
Теорема 4. Если f (х) выпукла вниз, то при всяком натуральном п
f ! х1 *2 + • + \ f (*1) + f (Хд) +•• + / (хп) (14>
Доказательство. Если п=2, то (14) равносильно соотношению (5),
определяющему понятие функции, выпуклой вниз. Пусть для п = 2т неравен-
ство (14) доказано и пусть n = 2m'11. Положим
хф-... + x™ х т , +--- + х т+1
Y f *_______у / f ~ ~r t______________л___
* 2т * * 2т *
Тогда
f /Х1 + ...4-Хп \ , [ х'-фх" \ f (x')+f (X") f (xt) + ..•+/ (х„)
f {----п----; = f Г~2~ I ---------2----------------п------•
Таким образом, (14) доказано для всех п вида 2т.
Пусть теперь п не есть число вида 2т. Подберем столь большое т, чтобы
оказалось 2т > п, и положим
л - *1 ~1~ *2+
п
Тогда
Л _ Оа + • • •+хп) + (2”! — п) А
Л 2т
и по уже доказанному
f (Л) H^i) + ... + ffa) + (2m-n)fH) . иди f (Л) (fa) + ... + f(xn)
что и доказывает теорему. Этот остроумный способ рассуждения принадлежит
Коши.
Следствие. Если pt, р2, ... , рп не отрицательные числа, причем
Pi + Pi + • • • + Рп > 0,
a f (х) непрерывная выпуклая вниз функция, то')
/Р1Х1 + ... + р„Хп \ Plf(.Xl) + ---+Pnf(Xn) пк.
Ц Р1 + - + Рп ) Pl + ... + Рп--------• (15)
В самом деле, если все р, рациональны, то (15) приводится к (14). Общий
случай получается предельным переходом [для чего и нужна непрерывность f (х)],
исходя из рациональных р(-. В частности,
f(ax + Py) sS af (х) + ₽((</) (а Ss 0, р Ss 0, а + р=1). (16)
Из неравенства (16) вытекает
Теорема 5. Если Ф (и) непрерывная, выпуклая вниз функция, заданная
на всей оси, то существует такая линейная функция Аи-\-В, что при всех
вещественных и оказывается
Ф(й)> Аи + В. (17)
') Соотношение (15) называется сумматорыым неравенством
Йенсена.
286
Доказательство. Пусть
/(ц)=Ф(1)-Ф(-1)и+Ф(1) + Ф(-1)
Очевидно I (1) = Ф (1), I (— 1) = ф (— 1).
Покажем, что при > 1 будет
ф(п)^/(и).
(18)
ГТ , „ «— 1 п 2
Пусть, например, и> 1. Положим а = -^-ру, fi=
Если в неравенстве (16) положить х = — 1, у = и, то оно примет вид
и__1 О
Ф(1)$2!_Д.ф(_ i)_|—£_ф(„),
откуда и следует (18). Для u<—1 рассуждение аналогично.
На отрезке [—1, + 1] функция Ф (и), будучи непрерывной, ограничена
и потому найдется столь большая постоянная К, что при всех ие[—1,ф1]
будет
/<>Ф(1)-Ф(-1)и_ф(и) (19)
Из (18) и (19) следует (17), если взять
А _Ф(1)-Ф(~1) в<_к< в< Ф(1) + Ф(~ О
Следствие. Пусть Ф (и) удовлетворяет условиям теоремы 5. Если f (х) и
р (х) 0 заданы на [а, 6], f (х) измерима и почти везде конечна, а р (х) и
р (х) f (х) суммируемы, то интеграл
ь
J ф If W1 Р W dx
а
(20)
имеет числовое значение, конечное или равное 4-со.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать f (х)
конечной. Сложная функция <р (х) = Ф [f (х)] измерима потому, что она явля-
ется почти при всех х пределом последовательности непрерывных функций
Ф [fn (А)1, гДе fn(x) непрерывные функции, почти везде удовлетворяющие
сротношению (х). Пусть
,)=( ФМ пРи ФМ Э=°> О при <р(х) >;0,
Х ( 0 при <р (х) < 0, t — <р (х) при <р (х) < 0.
Интеграл (20) имеет числовое значение, если его имеет разность
6 ь
J <р+ (х) р (х) dx — j <р_ (х) р (х) dx.
а а
Но по теореме 5 будет <р (х) > Af (х)-|-В. В частности, это выполнено на
множестве N тех х, при которых <р (х) < 0. Значит, для этих х будет
0 <р_ (х) - — Af (х) — В.
Умножая это неравенство на р(х), убеждаемся в суммируемости функции
<р_(х)р(х) на N. Но вне N это произведение равно нулю. Стало быть,
ь
<р_ (х) р (х) ах ф со.
а
Остальное ясно.
287
Теорема 6. Если в условиях предыдущего следствия будет
ь
j р (х) dx > О,
то справедливо неравенство
(21)
называемое интегральным неравенством Йенсена.
Доказательство. Пусть сначала обе функции f (х) и р (х) непре-
рывны. Положим
** = “ + —~k (* = 0, 1, ..., п).
В силу (15) имеем1)
ф ГL (хо) Р (*о) + +/ (*л-1) Р (*n-i) 1 <
L Р (хо) + • + Р (xn-i) J "
Ф И (*о)] Р (*о) + • • • + Ф И (Хя-1)] Р (*Л-1)
Р (хо) + • • + Р (хл_1)
Отсюда
£ f (**) Р (**) Ах*
£ Р (**) А*4
Ф
£ Ф И (**)] Р (xk) Axfe
£ Р (**) &xk
и (21) получается предельным переходом при п —со.
Откажемся теперь от предположения непрерывности р (х), продолжая пока
считать, что f (х) непрерывна.
Легко убедиться в существовании такой последовательности непрерывных
функций рп(х)>0, для которой
Ь
lim f | рп (х) — р (х) | dx = 0.
Л-’°° д
По доказанному, неравенство (21) будет справедливо, если в нем вместо р (х)
написать рп (х). Остается перейти к пределу при п-^-со.
Рассмотрим теперь случай, когда f (х) измерима и ограничена, | f (х) | =6 К.
Тогда Ф [[ (х)] также будет измеримой и ограниченной функцией
| Ф [/(x)J | si Л1, М = max "1ф(“)!-
— K^sur-K.
Пусть последовательность непрерывных функций fn (х) такова, что почти
везде на [а, ft] будет lim fn (x) = f (х). Можно считать при этом, что | fn (х) | ci
п-*со
si К. Тогда
I Ф [fn (*)] Р (*) \^Мр (х), | fn (х) р (х) | =£ Кр (х),
и (21) получается предельным переходом при п->оо из такого же неравенства
Для )п(х).
Перейдем, наконец, к общему случаю. Как мы видели выше, правая часть
неравенства (21) имеет определенное числовое значение. Можно считать его
конечным, ибо иначе нечего доказывать.
!) Легко проверить, что при больших п будет р (х0)+-.- + Р (*л-ь) > О-
288
Но тогда, взяв произвольное е > 0, мы можем найти такое 6 > 0, чтобы
из те < 6 вытекали неравенс1ва
j Ф К (х)| р (х) dx <8, р (х) dx < 8.
с1 е
Построим измеримую ограниченную функцию fe (х), для которой
тЕ (f& jt:f)<&.
Можно считать, что там, где (х) zfz f (х), будет fe(x) = O. Если е->0, то
fe (х) по мере сходится к / (х). Кроме того, | f& (х) f (х) f. Поэтому1)
b ь
lim I fe (х) р (х) dx-— (f (х) р (х) dx.
е~* ° а а
Значит, если написать (21) с заменой f (х) на /е(х), то левая часть полу-
ченного неравенства при к->0 будет стремиться к левой части (21).
С другой стороны,
b ь
j Ф (/) р dx — ( Ф (fe) pdx= Ф (f) р dx — Ф (0) j р dx.
a a E(f^f) E(f^f)
Отсюда
ь
j Ф (/) р dx —j Ф (/е) р dx « 8 {1 +| Ф (0)
Поэтому при 8 —> 0 и в правой части
предельный переход, приводящий к правой
упомянутого неравенства допустим
части (21).
§ 6. Единственность разложения функции
в тригонометрический ряд
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о том, сколькими способами
можно разложить (если это вообще возможно) данную функцию в тригономет-
рический ряд.
Мы начнем с рассмотрения функций, заданных на всей оси и имеющих пе-
риод 2л. По отношению к таким функциям справедлива следующая элементарная
Теорема 1. Если функция, заданная на всей оси, разлагается в равномерно
сходящийся тригонометрический ряд, то это есть ее ряд Фурье.
Эту теорему можно высказать и в такой форме:
Теорема 1. Если тригонометрический ряд равномерно сходится на всей
оси, то он есть ряд Фурье своей (очевидно непрерывной) суммы.
Справедливость теоремы вытекает из того, что равенство
f (х) = ~ 4- (°* cos kx + b/i sin kx>
k= 1
можно почленно проинтегрировать, умножив его предварительно на cos пх или
sin пх (что, очевидно, не нарушает равномерной сходимости ряда). В резуль-
тате получаются равенства
л
а„=я f (х) cos пх dx, bn= ~ f (х) sin пх dx (n = 0, 1, 2, ...),
— л — л
доказывающие теорему.
х) Так как р (х) почти везде конечна, то /£р=>/р.
10 И. П. Натансон
289
Для дальнейшего нужна
Лемма 1 (Б. Риман). Рассмотрим сходящийся ряд
ao + al + «2+ (1)
Исходя из (1), построим ряд
t sin h \2 / sin 2Л \2 ,
ао + а1\-Л~) +Л2'_2Г_/' + "
(2)
Тогда ряд (2) сходится при любом h^£0 и его сумма S (к) удовлетворяет
соотношению
limS(A)=S. (3)
h-.o
Доказательство Из сходимости ряда (1) вытекает, что все его
члены ограничены одним числом, jaA) <Л1, а потому ряд (2) мажорируется
2М *
и, стало быть, сходится.
Положим
ОО
гл= 2 °*-
h = п
к = п
Взяв е > 0, можно найти такое п, чтобы при k п было
I г* | < е.
(4)
Закрепим это п и не будем менять его до конца рассуждения.
Так как ак = гк — г^г, то
... V i х! Sln kh \2
гп(М= 2 (г*-г*+1Ц—feft-J ’
k = n
откуда
co
... / sin nh \2 . V
+ 2
k = n
! sin (k—\)h \21
\ (k — 1) h J J
Ho
kh
sin kh\- /sin (k— 1) h \31 (* d /sinx2
~kh~) Г J dx[~r;dx
(*- 1) h
Поэтому
co kh
2. . (* I d / sin x \2 I .
i'*1 5 л
* = n+l (Лг—1)Л
н, в силу (4),
( +<»
I гп (А)1 < е U +
I nh
(5)
290
Если мы положим *)
<б>
о
то неравенство (5) примет вид
I rn (А) I <я(1+£).
Заметив это, мы можем, исходя из равенства
п — 1
S(A) —5 = 2 ak{^^^-l} + rnW-rn,
k= 1
утверждать, что
п — I
|S(ft)-S|<2 ak |(Jiyiy-l| + (L + 2)e.
А = I
При фиксированном k будет lim = 1. Поэтому нашему е отве-
л->о \ kh ]
чает такое б > О, что при \h < б оказывается
п — 1
2 1 /sin АА\2 , I
а* Кт; "Т8-
А=>
При этих h будет | 5(A) —5 <(А4-3)е, что и доказывает лемму.
Рассмотрим тригонометрический ряд
СО
2 (“n cos пх + btl sin М. (7)
n = l
подчиненный условию
|а„ <М, \Ьп\<М, (8)
где М не зависит от п
Если мы формально дважды проинтегрируем почленно ряд (7), то полу-
чим ряд
СО
аох2 VI ап cos пх -}- bn sin nx ,Q
“Г ” al л2 ' }
п — I
2) Этот интеграл конечен Действительно,
d ( sm х \2 _ g sm х х cos х — sm х
dx \ х I х х2
Вблизи точки х = 0 эта функция ограничена, и интеграл (6) не является
несобственным, а неравенство
1 d / sin х \21 х-f- 1
| dx \ х ; I " х3 * * * *
устанавливает его сходимость и на бесконечности.
10* 291
V 2Л1
В силу (8) ряд (9) мажорируется рядом и потому сходится равно-
fl — 1
мерно на всей оси к некоторой непрерывной функции F (х), которую мы будем
называть функцией Римана ряда (7)
Таким образом, всякий ряд (7), удовлетворяющий условию (8), имеет
функцию Римана. В частности, по теореме Кантора—Лебега из § 4, ряд,
сходящийся на множестве положительной меры, удовлетворяет условию (8).
Заметим, что из сходимости ряда (7) в одной точке не вытекает, что он
имеет функцию Римана. Например, ряд л* 2 sin пх, сходящийся в точке х = О,
П = 1
СО
после двукратного интегрирования превращается в ряд — sin пх, расхо-
Л = 1
ДЯЩИЙСЯ !) при х =# kn.
Определение. Если в некоторой точке х0 функция Римана F (х) имеет
конечную вторую производную Шварца, то эта производная F " (х0) назы-
вается суммой ряда (7) в томе х0 в смысле Римана.
Теорема 2 (Б. Раман). Если ряд (7) удовлетворяет. условию (8) и схо-
дится в некоторой точке х0, то в этой точке он имеет сумму в смысле Римана,
совпадающую с его обычной суммой.
Доказательство. Исходя из равенства
г < ч Оо’с3 VI, , , ч
F (х) = ---?п2 а'1 C0S Пх + °" Slri ПХ' ’
п = 1
после простых вычислений мы придем к равенству
F (х0 + 2А) — 2F (x0)-\-F (х0 — Hi) aQ 7sinn/b2
----—-------= 2 + 2, (a»cosnxo + fe„smnx0)^-^-’ .(10)
fl =-1
Ряд (10) получен из ряда
03
2 + 2d cos rtx° + bn sm nx°) ('1)
n - - 1
таким же образом, каким ряд (2) получался из (1). Отсюда, в силу леммы 1,
lim f fa + 2/Q-2E(x0) + F(x0-2/Q ?
n -0 W
где S есть сумма ряда (11). Это и доказывает теорему.
Из этой теоремы вытекает
Теорема 3 (Г. Кантор). Если тригонометрический ряд сходится на
всей оси и его сумма везде равна нулю, то и все его коэффициенты равны нулю.
*) Действительно, если х =/= /гл, то
х 2«+1
COS — COS ----
sin kx = ----------------
2 sm *
а эта величина не имеет предела при w — со,
292
Доказательство. По теореме Кантора—Лебега ряд удовлетворяет
условию (8) и, стало быть, имеет функцию Римана F (х). По предыдущей
теореме вторая производная Шварца F(х) всюду равна нулю F1 (х) = 0,
откуда, в силу теоремы Шварца из § 5, функция Римана Г (с) должна ока-
заться линейной F (х) = Ах-)-В.
Таким образом, при всех вещественных х будет
со
у cos пхsin пх
п ~ 1
Лх + В = ^-
Полагая здесь х = л, а затем х=—л и вычитая полученные равенства
друг из друга, убедимся, что Л=0. Точно так же, полагая сначала х=0,
а потом х = 2л и вычитая, получаем ао = О. Поэтому равенство (12) прини-
мает вид
ОО
□ V ап Cos nx-j-bfi sin пх
~в= 2-----------------------•
П= I
Ряд направо сходится равномерно. Значит, по теореме 1, он есть ряд
л
Фурье левой части, откуда °" = \ ( — В) cos nxdx = 0 и, стало быть, ал=0.
— л
Аналогично и Ьп = 0. Теорема доказана
Теорема 4 (Г. Кантор). Если, два всюду сходящихся тригонометрических
ряда имеют одинаковые суммы, то эти ряды тождественны, т. е. их соответ-
ствующие коэффициенты попарно равны друг другу.
Действительно, вычитая почленно один ряд из другого, получим всюду
сходящееся разложение нуля.
Все коэффициенты этого разложения по доказанному должны равняться
нулю, а эго п означает справедливость теоремы 4 Ее можно формулировать
и так: функция может разлагаться только в один тригонометрический ряд.
В связи с доказанной теоремой естественно встает вопрос о том, каким
образом определяются коэффициенты тригонометрического ряда по его сумме.
Теорема 1 отвечает на него в случае равномерной сходимости. Гораздо более
общей является замечательная
\ Теорема 5 (П. Дюбуа-Реймонд — Ш. Ж. де ля Валле-Пуссен). Если
сумма всюду сходящегося тригонометрического ряда интегрируема (L), то этот
ряд есть ее ряд Фурье.
Доказательство. Пусть f (х) есть конечная суммируемая функция,
для которой при всех х будет
/М = ^ + (a,; cos их + b,t sin пх). (13)
П = 1
Так как ряд (13) удовлетворяет условию (8), то он имеет непрерывную
функцию Римана F (х).
Согласно теореме Римана, всюду F(x) = f (х), откуда по теореме
Валле-Пуссена из § 5 F (х) = Ф(х) + Дх-|-В, где положено для краткости
X t
Ф (х) = j dt f f (и) du.
о о
Таким образом,
ОО
ф (X) = — Ах — В — 2 anC03nx+bn sin пх
Л = 1
293
Отсюда после небольшого вычисления вытекает, что
Ф (х+2/t) —2Ф (х)-}-Ф (х—2/г) а0 , V , , , ./sinn/t\2
- >----4^- ------------ = *2! + 2 (<гл C°S "* + Ьп Sm ПХ) '
п = 1
Ряд направо сходится равномерно и, следовательно, является рядом Фурье
левой части. Значит
2л
/sinn/i\2_ 1 СФ(х+2Л)-2Ф(х)4-Ф(х-/г) ,
йп \~HfF) ~ п J W cos пх ах‘
о
Отсюда
2л
4nansin2rtA С ....
----------= \ <р (х) cos пх dx, (14)
о
где для краткости положено
ф (х) = Ф (х+2/г) - 2Ф (х)+Ф (х - 2/г).
Но, интегрируя по частям, получим
2л 2л
a(h) = Ф (х + 2/г)cosпхdx = |ф (х + 2ft) ф' (х-|-2/г)^^ dx,
6 о
откуда
2л ,x-\-2h 1
а(/г) =—/Г f(u)du j sin nxdx.
о \ о /
Снова интегрируя по частям, находим
2Л4-2Л 2 л
a(ft)=-^ f(u)du — ^ f (х + 2/г) cos пх dx.
2h О
Пользуясь периодичностью /(х), это равенство можно записать так:
2л
“ ^~п2 § И*) П —«в л (*—2/г)] dx.
о
Отсюда '
2Л 2л
Ф (х)cosпхс/х —а (Л) — 2a (0)+a (--h) f (x)cosnxdx.
о о
2Л
Сопоставляя это с (14), получаем ~ f (х) cos nxdx.
о
Аналогично убеждаемся, что аа и Ьп также суть коэффициенты Фурье /(х),
что и требовалось доказать.
Замечания. 1) Дюбуа-Реймонд доказал эту теорему для функций, инте-
грируемых (/?), а Валле-Пуссен придал ей полную общность.
2) Теорема 3 является частным случаем теоремы Дюбуа-Рей мои да —
Валле-Пуссена. Действительно, так как функция, тождественно равная нулю,
294
суммируема, то ее тригонометрическое разложение, будучи рядом Фурье нуля,
имеет и все коэффициенты равными нулю.
3) В § 4 мы встретили всюду сходящийся тригонометрический ряд, не
являющийся рядом Фурье никакой суммируемой функции. Ясно, что сумма
подобного ряда не интегрируема (L). В связи с этим возникает задача такого
обобщения интеграла Лебега, чтобы всякий всюду сходящийся тригонометри-
ческий ряд оказывался «рядом Фурье» своей суммы. Этой задачей занимался
А. Данжуа.>)
До сих пор мы рассматривали всюду сходящиеся тригонометри-
ческие ряды. Для них проблема единственности разрешается теоремами Кан-
тора и Дюбуа-Реймонда —Валле-Пуссена. Теперь мы остановимся на случае
не всюду сходящихся рядов. Для них проблема единственности ставится так:
Известно, что тригонометрический ряд
оо
V (ап cos nx-\-bn sin пх) (15)
и =1
сходится к нулю'* 2) во всех точках отрезка [ — л, л], кроме, может быть, точек
некоторого множества Е с [ — л, л].
Если из этого предложения вытекает, что все коэффициенты ряда (15)
равны нулю
ая=5„ = 0 (16)
(так что ряд сходится к нулю и на множестве Е), то множество Е называется
множеством типа U (от французского слова unicite — единственность). Если же
существуют ряды (15), сходящиеся вне Е к нулю, но не удовлетворяющие
условию (16), то Е называется множеством типа М (от французского слова
multiplicite — множественность). Требуется установить условия принадлежности
множества Е к одному из этих типов.
Указанной проблемой занимались Г. Кантор, В. Юнг, Д. Е. Меньшов,
Н. К. Бари, А. Райхман и др. Мы приведем лишь самые элементарные резуль-
таты из этой области. Значительно глубже эта тема изложена в неоднократно
цитированной книге Зигмунда. Современное состояние вопроса читатель най-
дет в обзорной статье Н. К. Бари.3)
Теорема 6. Если множество А есть множество типа М, то и всякое
содержащее его множество В, В о А, есть множество типа М.
Действительно, существует ряд с коэффициентами, отличными от нуля,
сходящийся к нулю всюду вне А. Но тогда он и подавно сходится к нулю
всюду вне В.
Следствие. Если множество В есть множество типа U, то и всякая его
часть А есть множество типа U.
Грубо говоря, чем обширнее множество Е, тем вероятнее, что оно
типа М; чем беднее оно, тем больше оснований, что оно типа U. Хорошей
иллюстрацией сказанного служит
Теорема 7. Всякое множество Е положительной внутренней меры т*Е > О
есть множество типа М.
Доказательство. По определению внутренней меры можно найти
замкнутое множество F положительной меры, содержащееся в Е. Можно счи-
тать, что точки л и — л не входят в F. Тогда F получается из [— л. л]
удалением конечного числа или счетного множества попарно не пересекаю-
щихся интервалов и двух промежутков [— л, а), (0, л] (где аир суть край-
ние точки F). Пусть f(x) есть характеристическая функция множества F.
*) A. D е п j о у, Lemons sur le calcul des coefficients d’une serie trigono-
metrique. Pans, Gauthier — Villars, I, II, III (1941); IV1( IV2 (1949).
2I Мы будем говорить, что ряд сходится к нулю, если он сходится и его
сумма равна нулю.
s) Н. К. Бари, Проблема единственности разложения функции в три-
гонометрический ряд. Усп. матем. наук, 4, вып. 3 (31), 1949, 3—68.
295
Тогда ряд Фурье этой функции всюду на множестве [—л, л] — F сходится
л
Ц‘ Г / . , "iF л /|ЙЧ
к нулю, но в то же время а0 = —- \ f(x)dx=-> 0, и условие (16) не выпол-
— л
нено. J) Значит F и тем более Е со F суть множества типа М.
Желая привести хоть один пример (7-множества, докажем следующую
теорему:
Теорема 8 (Г. Кантор). Всякое конечное множество есть множество
типа U.
Для доказательства этого утверждения нам понадобятся некоторые леммы.
Лемма 2 (А. Г. Шварц). Пусть функция F (х) непрерывна на отрезке
[а, Ь]. Если всюду в (а, Ь), кроме, может быть, конечного числа точек
х1<х2<...<хт, (17)
будет
f<"’(x) = 0, (18)
а в точках (17) оказывается
lim F(,xk + h)-2F (xk) + F(xk-h) _Q
д-о h ’ 1 ;
mo F (x) есть линейная функция.
Доказательство. По теореме Шварца из § 5 функция F (х) должна
быть линейной на каждом из отрезков
[a, xj, [хп х2].[хт, й].
Пусть
( Ах-)-В при ае-х-Лх^
F(x)= < _
( Cx-)-D при хг-< х-<х2.
Условие (19) в точке xt дает, что
lim Ff f (Xi)--F(xi —л) 1_0
ft-»oL ft ft J ’
откуда C=A.
С другой стороны, F (xj = Дх; + В —Cxi + D и потому D = B.
Таким образом, F (x) оказывается линейной на отрезке [а, х2]. Аналогично
мы установим ее линейность на всем [а, &].
Лемма 3. Если h > 0, то
СО
У < зл. (20)
к2
k = i
Доказательство. Найдем такое натуральное п, что
, 1
П — 1 <~Г п.
h
Тогда в силу неравенства ] sin а 1 =< ' а ' окажется
п — 1 п — 1
£si^2
* = ! А = 1
1) Нарушение (16) видно и из равенства Парсеваля
СО Л
П = 1 —л
296
С другой стороны ')
откуда и вытекает (20).
Лемма 4. Если lim ап = 0, то
п—><х>
lim
h -О
ft = l
sinWi
~№h~
Доказательство.
k 5= п было ак । < е.
Тогда, в силу (20),
Возьмем s > 0 и найдем такое п, чтобы при
со
k = п
sinWi
~¥h
f V sin2fe/z
<|— 2 -fer-<38'
Al
С другой стороны, при фиксированном k будет
и для доста-
точно малых [ h | окажется
При этих Л, очевидно,
п-1
k = 1
будет
sin2 kh
СО
1
sm2kh
k4i
4е,
Иш “
д->о h
= 0
что и доказывает лемму.
Лемма 5. Если тригонометрический ряд
lim ая= lim bn = 0,
II-+-X) п-* *сх>
удовлетворяет условию
то в любой точке х функция Римана F (*) нашего ряда удовлетворяет соот-
ношению
|im F(x + h)-2F(x) + F(x-h)_ Q
л-»0 h
Доказательство. Исходя из равенства
ОО
Р . _ о0х2 yi ап cos пх + bn sin пх
п = I
определяющего функцию Римана, легко найти, что
F (х + 2/i) — 2F (x) + f (х — 2Л) aoh VI . sinWi
—-----------4^-----*------- = 2^+2 C°S ПХ+Ьп ®1П ПХ) ~^h ’
H--1
и дело сводится к предыдущей лемме.
оо
1 + у (А________И=2_
* (/г — 1) п r Zj \й-1 k /г '
А = п4-1
297
Теперь можно дать
Доказательство теоремы 8. Пусть тригонометрический ряд схо-
дится к нулю всюду в [—л, л], кроме, может быть, точек хх<х2< <хт.
Тогда его коэффициенты стремятся к нулю, и, в силу лемм 5 и 2 и теоремы 2,
функция Римана этого ряда линейна в любом конечном промежутке, а значит,
и на всей оси После этого замечания доказательство уже буквально ничем
не отличается от доказательства теоремы 3.
Теорема 8 была обобщена В. Юнгом, показавшим (1909), что всякое счет-
ное множество есть множество типа U. В связи с этими результатами среди
специалистов было распространено мнение, что всякое множество меры 0 есть
{/-множество. Однако в 1916 году Д. Е. Меньшов опроверг это, построив
пример /И-множества меры 0. Разумеется, множество, построенное Д. Е. Мень-
шовым, было несчетным. Тогда стали подозревать, что вообще все несчетные
множества имеют тип М. Но и это мнение оказалось неправильным: в 1921 году,
независимо друг от друга, Н К. Бари и А. Райхман построили некоторые
классы совершенных {/-множеств. В частности, канторово совершенное мно-
жество Ро оказалось {/-множеством Вопрос об (не тавтологических) условиях,
необходимых и достаточных для того, чтобы данное множество меры 0 имело
тип U, до сих пор не решен.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ X
Условимся говорить, что точка х есть точка d суммируемой функции f (t),
если в этой точке производная неопределенного интеграла функции f (t) равна
f (х) (причем / (х) #= + со). ।
1. Интеграл Лп(х) = '|/А-^ (1 — (t—х)2]"/ (/) dt есть сингулярный интег-
о
рал Ландау. Если х(0<х<1) есть точка d суммируемой функции f ({), то
Ln(x)-f(x) (Ф. Рисе).
2. Интеграл
п
1 С 1—г2
Рг^=-г\ i—л-- --7г—гп/(И (0<г<1)
' 2л J 1— 2r cos (t — х)4-г2' ' v ’
—л
есть сингулярный интеграл Пуассона. Если х( —л<х<л) есть точка d
суммируемой функции f (/), то
lim Рг(х)=/(х)
г~>1 -0
(П. Фату).
__ л
3. Интеграл Vn (х) = Г cos2n* Х f(t)dt есть сингулярный интеграл
2 К л J 2
—л
Валле-Пуссена. Если х( —л<х<л) есть точка d суммируемой функцииf(t\,
то (*) —* f 00 (Ш. Ж. Валле-Пуссен).
4. Полином
»-Н
n п + 1
K«W = («+1)2 С*хЧ1-*)я-А ( f(t)dt
а=° j
n-}- 1
есть сингулярный интеграл Л. В. Канторовича. Если х (0 < х < 1) есть точка d
суммируемой функции /(/), то Кп (х) -»f (х) (Л В. Канторович).
5. Пусть Sn (х) сумма первых п членов ряда Фурье суммируемой
функции/({) и
B»W=2-[s„(x) + S„(x+2^r)].
298
Вп(х) есть сингулярный интеграл С Н. Бернштейна Если х (— л<х<л)
очка Лебега f (/), то Вп (х)—. f (х) (И. П. Натансон).
ь
6. Для того чтобы равенство lim f (1) f (t) dt = O имело место для вся-
кой суммируемой функции f(t), необходимо, чтобы все функции <ря(/) были
ограничены одним числом, | <р„ (/) | < К (А. Лебег).
7. Нельзя построить такого ядра Фп (/, х), чтобы равенство
ь
hm f Фл (/, х) / (/) d/= / (х)
а
имело место для любой суммируемой функции f (г), аппроксимативно непре-
рывной в точке х (И. П Натансон).
8. Построить ядро, удовлетворяющее условиям теоремы Лебега из § 2 и
не удовлетворяющее условиям теоремы Ф аддеева.
9. Пусть ядро Ф„ (/, х) удовлетворяет условиям теоремы П. И. Романов-
ского. Пусть F (t) ограничена и при некотором xs(a, Ь) имеет сьысл интег-
ь
рал Стилтьеса /П = ^ФЛ(^, x)dF(t). Если при этом х существует конечная
а
F' (х), то 1п —* F' (х) (И. П. Натансон)
10. Вывести теорему П. И. Романовского из результата упражнения 9.
11. Пусть М (и) ( — со < и < + оэ) четная, выпуклая вниз функция;
М (0) = 0, hm + оо. Чтобы f (х)(аСх< Ь) могла быть представлена
и-»4~00 и.
х Ь
в виде F (х) =С + j f (/) dt, где j М [/ (/)] dt <4-00, необходимо и достаточно,
/Af“(x,)
а
чтобы множество сумм отвечающих любым дроблениям [о, Ь],
было ограничено (Ю. Т. Медведев).
12. Выпуклая вниз функция удовлетворяет условию Липшица в каждом
отрезке, лежащем внутри интервала ее задания.
ГЛАВА XI
ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА
В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Замкнутые множества
До сих пор мы занимались изучением функций одной перемен-
ной. Для теории функций нескольких переменных следует озна-
комиться с точечными множествами в многомерных пространст-
вах. Этому и посвящена настоящая глава. Надо заметить, что
все наиболее существенные факты теории многомерных точечных
множеств можно наблюдать уже в двумерном случае, каковым
мы и ограничимся для простоты формулировок и записей; пере-
ход на пространства более высокого числа измерений представ-
ляет лишь технические трудности.
Как и в линейном случае, наиболее простыми множествами
являются замкнутые и открытые. С них мы и начнем.
Определение 1. Точка Мо называется предельной точкой пло-
ского множества Е, если всякий открытый круг, содержащий Мо,
содержит хотя бы одну точку множества Е, отличную от Мо.
При этом открытым кругом называется]) множество точек
(х, у), координаты которых удовлетворяют неравенству
(х — а)2 + (у — Ь)2 < г2,
где а, b и г2>0 постоянные числа. Точка (а, Ь) называется цен-
тром круга, а число г его радиусом. Если присоединить к откры-
тому кругу его контур, т. е. те точки, для которых (х —а)2 +
-ф- (у — Ь)2 = г2, то получится замкнутый круг.
Как и в линейном случае, легко показать, что точка Л40 бу-
дет предельной точкой множества Е тогда и только тогда, когда
из Е выделяется последовательность различных точек Mlt М2,
М3, такого рода, что =
Это последнее соотношение означает, что расстояние р (Мо, Мп)
стремится к нулю с возрастанием п. Под расстоянием р(Л, В)
между точками X(fli, а2) и В (blt b.j разумеется число
р(А, B) = 1/(b1-~a1)2 + (b2-a2)2.
i) Само собою разумеется, что для плоского случая термины «круг»,
«центр», «радиус» хорошо известны читателю. Мы, однако, останавливаемся
на чисто арифметическом определении этих понятий, ибо хотим дать образец,
которому надлежит следовать и при переходе на n-мерный случай.
300
Легко показать, что если М() предельная точка множества Е,
то всякий круг, содержащий Мп, содержит бесконечное множество
точек Е.
Совокупность всех предельных точек множества Е обознача-
ется через Е' и называется производным множеством. Точки мно-
жества Е — Е' суть изолированные точки множества Е.
Важную роль и здесь играет
Теорема 1 (Б. Больцано — К. Вейерштрасс). Всякое беско-
нечное ограниченное множество Е имеет хотя бы одну предельную
точку.
Доказательство в основном такое же, как в линейном случае.
Именно, множество Е заключают в прямоугольник R(a^x^
, _ ; а Ь с -4- d
О, c^Py^d а) и разлагают его прямыми х = —~, У = ~2~ на
четыре прямоугольника, из которых выбирают тот, в котором
содержится бесконечное множество точек множества Е. Продол-
жая подобный процесс, получают последовательность вложенных
прямоугольников, стягивающуюся в некоторую точку (х0, г/0).
Легко проверить, что она и будет предельной точкой множества Е.
Нетрудно перенести эту теорему и на последовательности то-
чек и получить такой результат:
Теорема 2. Из всякой ограниченной последовательности М2,
М3, ..., точек плоскости выделяется подпоследовательность Мп„
Мп2, МП1, ...(«J </г2 < /г., <...), сходящаяся к некоторой точке Мо
limAL, — М(,.
rlk и
Определение 2. Точечное множество F называется замкнутым,
если оно содержит все свои предельные точки, т. е. если Е' Е.
Если Е'=Е, то множество Е называется совершенным.
В качестве примеров замкнутого множества можно привести
замкнутый круг (х — а)2 + (у — Ь)2 г2, замкнутый прямоугольник
a-'-'x-'-b, cgzy^zd, а также множество точек М, координаты
(х, у) которых удовлетворяют неравенству F (х, y)d:-0, где F(x, у)
любая непрерывная функция, заданная на всей плоскости.
Мы не будем так подробно изучать замкнутые множества, как
в линейном случае, а ограничимся рассмотрением лишь тех из
их свойств, которые непосредственно используются ниже.
Теорема 3. Пересечение произвольного множества замкнутых
множеств есть множество замкнутое. Сумма конечного числа
замкнутых множеств есть множество замкнутое.
Доказательство этой теоремы ничем не отчичается от линей-
ного случая.
Определение 3 . Пусть Е —точечное множество , а ЭЛ —некого -
рая система открытых кругов. Если для каждой точки М е£
существует круг /< еЭЛ, такой что М ^К, то говорят, что мно-
жество Е покрыто системой ЭЛ.
Теорема 4 (Э. Борель). Если замкнутое ограниченное мно-
жество F покрыто бесконечной системой открытых кугов ЭЛ, то
301
из последней можно извлечь конечную систему ЭЛ*, также покры-
вающую множество F.
Доказательство, как и в линейном случае, ведется от против-
ного. Именно, предполагая, что F нельзя покрыть конечным чис-
лом кругов системы ЭЛ, заключим F в прямоугольник
СхСб, c-'':y-^d) и разобьем его прямыми х = ^-^, у = с-^-
на четыре прямоугольника. Хоть один из них будет содержать
часть F, не могущую быть покрытой конечным числом кругов из
системы ЭЛ. Разбивая его на четыре части и продолжая этот про-
цесс, придем к последовательности вложенных прямоугольников,
каждый из которых содержит часть F, не покрывающуюся конеч-
ной частью ЭЛ.
Эти прямоугольники будут стягиваться к некоторой точке Л4а,
относительно которой легко показать, что она будет принадле-
жать F. После этого так же, как и в линейном случае, без труда
получается противоречие.
§ 2. Открытые множества
Определение 1. Точка Л40 называется внутренней точкой мно-
жества Е, если существует открытый круг К, содержащий точку
Мо и сам содержащийся в множестве Е:
Мй<= К а Е.
Определение 2. Если все точки множества Е суть его внут-
ренние точки, то Е называется открытым множеством. Примером
открытого множества может служить открытый круг.
Теорема 1. Сумма любого множества открытых множеств
есть открытое множество.
Доказательство такое же, как для линейного случая.
Теорема 2. Пересечение конечного числа открытых множеств
открыто.
Достаточно показать, что пересечение двух открытых множеств
Gi и G2 есть открытое множество. Пусть Мо (х0, у0) — точка этого
пересечения. Тогда найдутся открытые круги
К,: (х - а,)2 + (у - btf < г? (г = 1, 2)
такие, что
Мо е К, с Gi (Z = 1, 2).
Если мы покажем, что существует круг К, содержащий точку Мо
и сам содержащийся в пересечении кругов Ki и К2, то теорема будет
доказана. Нетрудно видеть, что таким кругом К является хотя бы
круг
К: (х-хоУ + (у-у0У<р\
где
р = min {г; - ]/ (а,—х0)2 + (^-у0)2}.
1=1.2
302
Будем обозначать через СЕ дополнение плоского множества Е
до всей плоскости. Тогда совершенно так же, как и в линейном
случае, мы докажем, что справедлива
Теорема 3. Дополнение CG открытого множества G есть
множество замкнутое. Дополнение CF замкнутого множества F
есть множество открытое.
Далее, с помощью тех же рассуждений, что и в§ 4 гл. II, мы
установим «теорему отделимости»:
Теорема 4. Если Fr и F2 два ограниченных, не пересекаю-
щихся замкнутых множества, то существуют два открытых мно-
жества Gr и G2 таких, что
G1z^F1, G2^>F2, G1G2 = 0.
Что касается до структуры открытых множеств, то это
первый вопрос, в котором обнаруживается существенная разница
между одномерными и двумерными открытыми множествами. Именно,
в двумерном случае нет понятия составляющего интервала откры-
того множества. Поэтому основная теорема о структуре открытого
множества для плоского случая имеет менее четкий характер, чем
для случая линейного.
Теорема 5. Всякое не пустое открытое множество есть сумма
счетного множества замкнутых квадратов, стороны которых парал-
лельны осям координат и которые попарно не имеют общих
внутренних точек.
Доказательство. Рассмотрим две системы прямых
х = 0, ±1, ±2, ±3,...; у = 0, ±1, ±2, ±3,...
Эти прямые разбивают всю плоскость на счетное множество квад-
ратов (к каждому из которых мы причисляем его контур) со сто-
роной, равной 1. Эти квадраты попарно не имеют общих внут-
ренних точек. Назовем их квадратами 1-го ранга. Далее, прове-
дем прямые вида
х = 0, ± у, ± 1, ± у, ... ; у = 0, ±у, zt 1, iy, ...
Те замкнутые квадраты, на которые разбивается плоскость
этими прямыми, назовем квадратами 2-го ранга. Ясно, что каж-
дый квадрат 1-го ранга состоит из четырех квадратов 2-го ранга.
Проводя, далее, системы прямых вида
= ~ (и, m = 0, ± 1, ±2,...),
х = , у = ~ (п, т = 0, ± 1, ± 2, ...)
и продолжая этот процесс неограниченно, мы получим квадраты
рангов 3, 4, 5,...
Все эти квадраты замкнуты, стороны их параллельны осям, два
квадрата одного и того же ранга не имеют общих внутренних точек,
303
всякий квадрат ранга k состоит из четырех квадратов ранга k-\~ 1,
сторона квадрата ранга k имеет длину 21-fr; наконец, множество
всех таких квадратов счетно.
Проделав это предварительное построение, рассмотрим какое-
нибудь не пусгое открытое множество G. Если Л1о произвольная
точка этого множества, то можно указать (может быть не единст-
венным способом) последовательность вложенных друг в друга
квадратов 1-го, 2-го, 3-го, ... рангов, содержащих точку Л1о. Пусть
это будут квадраты Qu) zd Q'2'о Qti1’о ...
Так как точка Л1о есть внутренняя точка множества G, а сто-
рона квадратов Q(n) с возрастанием п стремится к нулю, то все
квадраты Q(n), начиная с некоторого из них, содержатся в G.
Таким образом существуют квадраты построенной выше сети,
содержащиеся в G. Заметив это, назовем через 7\ множество всех
квадратов l-ro ранга, содержащихся в G, через Т2 множество всех
тех квадратов 2-го ранга, которые содержатся в G, но не содержатся
ни в одном квадрате системы 7\, через Т3 множество всех квад-
ратов 3-го ранга, которые содержатся в G, но не содержатся ни
в одном квадрате систем 7\ и Т2 и т. д.
Каждая из систем Т3, Т2, Т3, ..., а значит и сумма их Т, разве
лишь счетна. Перенумеруем все квадраты системы Т и пусть это
будут квадраты Qlt Q2, Q3, ... Покажем, что
00
G^^Qk. (*)
s=i
То обстоятельство, что G содержит сумму всех Qk, тривиально.
Обратно, если Л4() точка G, то, как мы видели выше, существуют
квадраты исходной сети, содержащиеся в G и содержащие Мо.
Пусть Р есть множество номеров рангов таких квадратов.
Р есть не пустое множество натуральных чисел, значит в нем есть
наименьшее число. Пусть это будет ш. Тогда существует квадрат
ранга т, содержащий Мо и содержащийся в G. Этот квадрат не
содержится ни в каком квадрате сети, который содержал бы Мо,
содержался в G и имел ранг, меньший пг, ибо иначе т не было
бы наименьшим числом из Р. Но тогда упомянутый квадрат вхо-
ОО
дит в систему Тт, чем показано, что G с У, Qk.
k=i
Таким образом, равенство (*) доказано. Остается показать, что
в правой части действительно счетное, а не конечное, множество
слагаемых. Но если бы их было конечное число, то G, будучи
суммой конечного числа замкнутых квадратов, было бы множест-
вом замкнутым.
Единственное не пустое плоское множество, которое одновре-
менно является открытым и замкнутым, есть вся плоскость, !) но
если бы G совпадало со всей плоскостью, то уж конечно не пред-
2) Теорема 2, § 4, гл. II переносится на двумерный случай!.
304
ставлялось бы суммой конечного числа квадратов, так что эта
последняя возможность исключается.
Следует отметить, что представление открытого множества
в форме, указываемой этой теоремой, возможно не единственным
образом; можно, например, разбить один из рассматриваемых квад-
ратов на части, или с самого начала строить сеть, деля квадраты
не на 4, а на 9 частей и т. п. Это мы и имели в виду выше,
говоря, что в плоском случае основная теорема о структуре откры-
того множества имеет менее четкий характер, чем в линейном.
В заключение докажем следующее обобщение теоремы Бореля.
Теорема 6. Пусть Э?1 некоторая система открытых множеств,
a F замкнутое ограниченное множество. Если каждая точка F при-
надлежит хотя бы одному множеству G е ЭК, то из ЭИ выделяет-
ся конечное число открытых множеств, сумма которых содержит F.
Действительно, каждое открытое множество есть сумма всех
содержащихся в нем открытых кругов. Поэтому F покрыто систе-
мой всех открытых кругов, содержащихся в множествах системы Э.П.
Применяя к этим кругам теорему Бореля, получим конечное число
их, покрывающее F. Каждый из них содержится в каком-то мно-
жестве системы ЭЭ1. Отбирая эти множества , мы и получим тре-
буемую конечную подсистему Э.П.
Отсюда, в частности, видно, что в теореме Бореля можно было
бы говорить не о кругах, а, например, о квадратах.
§ 3. Теория измерения плоских множеств
Теория измерения плоских множеств строится совершенно так
же, как и для линейного случая. Различие имеется только в исход-
ных пунктах этих теорий, ибо плоское открытое множество не
допускает однозначного разложения на составляющие интервалы,
а дополнение замкнутого ограниченного множества до содержащего
его наименьшего прямоугольника не обязательно открыто.
Определение 1. Мерой открытого прямоугольника 7?(а<х<;6,
c<Zy<.d) называется его площадь, т. е. число
mR = (b — a)(d — с).
То же число называется мерой замкнутого прямоугольника
R{a^x^b, c-^y^d). (В обоих случаях заранее предполагается
а гС b, с d. В случае равенства а = b, открытый прямоугольник 7?
есть пустое множество.)
Лемма 1. Пусть на плоскости дано конечное число прямо-
угольников /?!, Т?2, ..., /?„, стороны которых параллельны осям.
Эти прямоугольники могут пересекаться или не пересекаться
между собой . Некоторые из них открыты, а некоторые замкнуты .
Тогда существует такая конечная система открытых прямо-
угольников Vi, у2> • • • > , со сторонами, параллельными осям, кото-
рая обладает следующими свойствами:
1. Прямоугольники -у* не пересекаются между собой.
305
2. Если # 0, то Rt yk.
3. Площадь каждого Ri равна сумме площадей тех fk, кото-
рые имеют с Rt общие точки.
Доказательство. Пусть (смотря по тому, замкнут или
открыт Ri)
Rt = Ri (ui^x^ bi, Ci<y< dt), Ri = Ri (a, < x < bh c,<y< dj).
Рассмотрим множество точек {аг} + {М и перенумеруем их так,
чтобы они образовали возрастающую конечную последовательность
х0<х1<С...<хр.
Аналогично, пусть y0<.yi<- - <УЧ есть расположенное в по-
рядке возрастания множество {cj + {d/}. Требуемое множество пря-
моугольников fh мы получим, рассматривая прямоугольники
(хк<х<хк+1, «/ц<г/<</ц+1)
(Х = 0, 1,..., р— 1; ц = 0, 1. q — 1).
Доказательство этого простого факта представляется читателю.
Лемма 2. Пусть {а,} и {р,} две конечные системы прямо-
угольников, -1) причем прямоугольники а-, попарно не имеют общих
внутренних точек. Если ру, то У та,-< у тру.
Для доказательства объединяем обе системы {а,} и {РД в одну
общую систему {7?s}, к которой применяем предыдущую лемму.
Так как прямоугольники cq не имеют общих внутренних точек, то
один и тот же прямоугольник не может содержаться в двух
разных а,-. Поэтому те yk, которые содержатся в можно рас-
пределить по группам, относя в группу Т, те yk, которые содер-
жатся в а;. Важно заметить, что эти'группы не пересекаются.
Поэтому У mat = У /у myk = У myk, где Т — множество всех уА,
i \ T / т
содержащихся в £аг.
Произведем перераспределение прямоугольников е Т на
другие группы. Именно, пусть множество тех у* s Т, которые
содержатся в 01( S2 множество тех уА е Т, которые содержатся в р2,
но не входят в Slt S3 множество тех уА е Т, которые содержатся
в 0з, но не входят в + S2, и т. д.
Тогда ибо rnfij равна сумме площадей всех
s
j
содержащихся в ру. Значит
У mai = у туА = у /у myk\ < У mfy.
Г z \ S, /
Лемма доказана.
х) Имеются в виду прямоугольники, стороны которых параллельны осям,
но мы больше не будем делать этой оговорки, ибо других случаев вообще
не рассматриваем.
306
Следствие. Если прямоугольники конечной или счетной си-
стемы {а;}, попарно не имеют общих внутренних точек и все
содержатся в одном прямоугольнике R, то
'^ma.i^mR.
Действительно, случай конечного числа прямоугольников а,-
является частным случаем леммы, а случай их счетного множе-
ства получается отсюда предельным переходом.
Лемма 3. Пусть А и В — два плоских ограниченных мно-
жества, каждое из которых представимо в форме суммы счетного
множества замкнутых прямоугольников
ОЗ оо
i = t i = i
причем прямоугольники аг попарно не имеют общих внутренних
точек. Если A cz В, то
ОО со
i=i ,=i
Заметим, что ряд, стоящий здесь направо, может расходиться,
ибо прямоугольники Р7- могут налегать. Но в этом случае лемма
тривиальна, ибо сумма расходящегося положительного ряда равна
4- оо. Чтобы доказать лемму при условии сходимости ряда
допустим, что она неверна. Тогда можно найти столь большое
натуральное п, что
п со
Smai> (*)
‘=1 7=1
Заключим каждый прямоугольник р; в открытый прямоуголь-
ник Р*, выбрав его так, чтобы оказалось т$* <тР7 + |-» где
е — положительная разность между левой и правой частями нера-
венства (*). Тогда система открытых множеств {Р*} покрывает
п
ограниченное, замкнутое множество F = 2а«.
i= 1
По обобщенной теореме Бореля можно указать конечное
т
число прямоугольников р*. р*, .... Pm таких, что Fez ^р*.
/ = 1
В силу леммы 2 мы получим
п т т
J] та;< 2 < SmP> + e-
i=i /=i /=1
п со
откуда и подавно У, та, < 2тР/ + е> что противоречит опре-
i = I / а [
делению числа е.
307
В частности множества А и В могут совпадать. Поэтому спра-
ведлива
Лемма 4. Ес ш плоское ограниченное множество Е двумя
способами представимо в форме суммы счетного множества замк-
нутых прямоугольников
£ = У а,= У Р7,
4 = 1 ! = \
причем прямоугольники каждого из этих представлений попарно
не имеют общих внутренних точек, то
та,= У, т$}.
1=1 / — I
Каждое открытое множество есть сумма счетного множества
замкнутых квадратов. Естественно меру такого множества опре-
делить как сумму площадей этих квадратов. Этот путь аналоги-
чен принятому нами в линейном случае, где вместо квадратов
фигурировали составляющие интервалы. Но здесь, в отличие от
линейного случая, нет однозначности указанного разложения
и потому можно было бы сомневаться, будет ли при разных
разложениях получаться одна и та же сумма площадей. Лемма 4
устраняет такие сомнения, и мы вправе дать
Определение 2. Мерой mG плоского ограниченного открытого
множества G называется сумма площадей замкнутых квадратов,
попарно без общих внутренних точек, суммой которых является G.
Из леммы 3 вытекает
Теорема 1. Если и Сг ограниченные открытые множества
и Glcz G2, то
mG-L - mG2.
Далее справедлива
Теорема 2. Если открытое ограниченное множество G явля-
ется суммой конечного числа или счетного множества взаимно
не пересекающихся открытых множеств Gk, то
mG = У mGk.
k
Если же отбросить условие отсутствия у слагаемых общих точек,
то
mG -cc_Y\mGlt.
k
со
Действительно, пусть равенство Gk = дает представле-
i = ।
ние Gk в форме суммы замкнутых квадратов без общих внутрен-
них точек. Тогда
0 = !><*>. (*)
I, k
308
Если множества GK попарно не пересекаются, то в представ-
лении (*) отдельные квадраты atk} попарно не имеют общих
внутренних точек и по самому определению 2 окажется
C'j \
mG = V та® = У ( У та№ | = У mGk.
i, k k '1 = 1 ' k
Если же условия G^G^' = 0 не ставить, то G нужно разложить
на квадраты каким-то другим способом G= У<5; и, по лемме 3,
mG = У т67 ‘ У та® = У У та<‘>' = у mGk.
1=1 I k k ч = 1 k
Таким образом, мы видим, что, хотя определение меры откры-
того множества несколько осложнилось по сравнению с линей-
ным случаем, но основные свойства ее, выражаемые тремя теоре-
мами § 1, гл. III, сохраняются.
Переходя к определению меры замкнутого ограниченного
множества F, заключим его внутрь открытого прямоугольника R.
Легко понять, что множество CrF—R—F будет открытым, ибо
оно представимо в форме пересечения R-CF двух открытых мно-
жеств. Покажем, что число
mR-mC^F
не зависит от выбора прямоугольника R. В самом деле, если 7?х
и R2 — два таких прямоугольника, то можно указать третий пря-
моугольник Ra, содержащий их внутри себя.
Если мы покажем, что
mRt — mC^F = mRa — mC^F, mR2 — mCR,F — mRa — mC^F,
то этим будет установлена требуемая независимость разности (*)
от R. Итак, достаточно рассмотреть случай, когда Rx сд /?2.
Можно считать, что
7?1 = Ra (а1 <х<Ь1, сх<у< da), R2 = R2(a2<x <b2, с2<у < d2),
где
a2<alt
b2 b2, с2 <с сх, d2 d2.
Значит, чтобы перейти от 2?х к R2 надо у отодвинуть левую
сторону налево, правую направо, верхнюю наверх и нижнюю вниз.
Эти преобразования можно произвести последовательно, а так как
они совершенно однотипны, то достаточно сравнить числа
mR — mCnF и mR' —mCR’F,
где
R = R(a<Zx<zb, c<Zy<d), R' = R' (a<x <_b-\-h, c<Zy<Zd)
(/2>0).
309
Но ясно, что mR' = mR + h(d — с). С другой стороны, CR'F =
= (/?' — R) ±CRF.
Отсюда без труда1) устанавливается, что
mCRF ~h(d — c)-}- mCRF,
чем и доказывается наше утверждение.
Это позволяет ввести
Определение 3. Мерой mF ограниченного замкнутого множе-
ства F называется разность
mR — mCRF,
где R произвольный открытый прямоугольник, содержащий мно-
жество F.
Легко показать, что если множество F есть сумма конечного
числа замкнутых квадратов, попарно не имеющих общих внут-
п
ренних точек F = У, ак, то согласно данному определению будет
А=1
mF= У так.
k= i
В самом деле, множество CRF, будучи открытым, представимо
в форме CrF = У р;, где 0,- замкнутые квадраты, попарно не
<= 1
имеющие общих внутренних точек друг с другом. Тем более, нет
п оо
никаких общих точек у ak и 0г. Значит R= У ак + У 02 и
k= 1 i = i
п оо
потому mR= У та,к-\- У /пр„ откуда
k=\ 1=1
У так = mR — У /п0, = mR — mCRF = mF.
*=i t=i
J) Это было бы совсем просто, если бы множество R' — R было открытым,
но это не так. Поэтому надо рассуждать несколько сложнее. Именно, возьмем
е > 0 и рассмотрим открытые прямоугольники
U = U (Ь — е < х < b+h, c<y<d), V = V (b-f-e < x <b-\-h, c<y<d).
Очевидно, U 22 R' — R то V. Значит
U + CRF zj Cr,F =2 V + CrF
и
m [I/ + C^F] mCR,F m [ V + CRF].
Множества V и CRF не пересекаются. Поэтому
mU + mCRF mCR,F m V + m V + mCRF,
откуда
(Л + e) (d — c) + mCRF mCR, F (h — e) (d — c) + mC^F,
и остается перейти к пределу при е->0.
310
Если мы вернемся к § 2, гл. III и просмотрим все теоремы
о мере линейного замкнутого ограниченного множества, но заме-
тим, что все они основаны не столько на определении меры mF,
сколько на лемме, гласящей, что mF = mA — tnC&F, где А произ-
вольный интервал, содержащий F, и на том, что мера суммы
конечного числа сегментов без общих точек равна сумме их длин. 1)
Но мы видели, что оба эти свойства оказались переносимыми
в теорию плоских множеств. Поэтому мы, не входя в дальнейшие
подробности, можем утверждать, что и вся теория измерения
замкнутых множеств переносится с линейного случая на плоский.
Так, например, если то тРг^тР2, если G —открытое
ограниченное множество, то его мера есть точная верхняя гра-
ница мер содержащихся в нем замкнутых множеств и т. п.
Но тогда, уже дословно, как в § 3, гл. III, можно определить
понятия внешней и внутренней меры произвольного ограниченного
множества Е. Все 7 теорем § 3, гл. III переносятся на двумер-
ный случай без изменения, лишь вместо интервалов А, упоми-
наемых в гл. III, придется говорить об открытых прямоуголь-
никах.
Наконец, можно ввести основное определение измеримого мно-
жества, как такого ограниченного множества, у которого внутрен-
няя мера равна внешней. После этого на плоский случай без
труда переносится содержание §§ 4 и 6, гл. III. Мы не будем
входить здесь в подробности и лишь пополним уже известный
материал одним предложением, полезным для дальнейшего изло-
жения.
Теорема 3. Для всякого ограниченного множества Е суще-
ствуют множества А и В, обладающие следующими свойствами:
1 ) А множество типа Fa, а В множество типа Ge;
2 ) А с= Е cz В :
3 ) mA = т*Е, тВ = т*Е.
Для доказательства поставим каждому натуральному п в соот-
ветствие замкнутое множество Fn и открытое множество G„, для
которых
Fn cz Е cz Gn, mFn > т*Е - , mGn < т*Е + ±-r
после чего полагаем
Л = /?14-Е2-|-/?3-|-..., B = G1G2G3....
Что касается теоремы Витали, составляющей предмет § 8,
гл. III, то она переносится на плоский случай без изменений.
Именно, условимся говорить, что множество Е покрыто системой
9)1 замкнутых квадратов2) в смысле Витали, если для каждой
*) Это свойство использовано в теореме 4, § 2, гл. III.
2) Напомним, что мы всегда предполагаем, что стороны рассматриваемых
квадратов параллельны осям.
311
точки из Е в системе ЭД найдутся содержащие ее квадраты
сколь угодно малой площади. С помощью этого определения,
почти буквально повторяя рассуждения § 8, гл. III, можно уста-
новить две формы теоремы Витали.
Теорема 4. Если плоское ограниченное множество Е покрыто
в смысле Витали системой замкнутых квадратов ЭД = {<2}, то
из ЭД выделяется счетное множество попарно не пересекающихся
квадратов Qlt Q>, Q3, . ., сумма которых покрывает множество Е
с точностью до множества меры нуль, т. е.
QkQk' = O(k # k"), т E-^Qk =0.
Теорема 5. В условиях предыдущей теоремы всякому е > 0
отвечает такое конечное множество Qn Q2, ... Qn попарно не
пересекающихся квадратов из ЭД, что
т* Е — Qk
k — I
В особом положении оказывается § 5, гл. III, трактующий
вопросы инвариантности меры относительно движения. Перенос
соответствующих результатов на многомерный случай представ-
ляет существенные трудности, и мы посвятим этому следующий
параграф.
§ 4. Измеримость и мера как инварианты движения
Определение I. Однозначное отображение М* = q (М) плоско-
сти Р., в себя называется движением, если расстояние между
образами любых двух точек плоскости равно расстоянию между
самими этими точками.
р[ф(М), ф(У)] = р(М, N).
Ясно, что разным точкам М отвечают разные же образы М*,
так что движение есть преобразование обратно однозначное
Пусть образами точек Р(1 (0, 0), ^(l, 0) и Р, (0, 1) будут
точки Pq (а0, ₽0), Р{ (о^, 0J и Р$ (а,, 0,).
Так как р (Ро, Pr)= 1, р (Ро, Р2) = 1, Р (Pi, Р2) = ]/2, то таковы
же расстояния и между их образами. Значит
(ах - а0)2 + (0! - 0О)2 = 1, (а2 - а0)2 + (0а - 0О)2 = 1,
(a2-ai)* + (0a-0i)2 = 2.
Представив разности а2 — и 03 — 0х в форме
(а2 - а0) - (аг - ап), (02 - 0О) - (0г - 0П),
мы из предыдущих равенств без труда получим, что
(а2 - а0) («! - а0) + (02 - 0П) (02 - 0О) = 0.
312
Заметив это, рассмотрим определитель
О —
“1 - «О ₽1 - ₽0
«0 р2 Ро
его квадрат, составленный по правилу перемножения «строка на
Пусть, далее, М (х, у) — произвольная точка плоскости, а
Л1*(х*, у*) —ее образ. Приравнивая друг другу расстояния
р(М, Р,) и р(.А4*, Pi) (z = 0, 1, 2), мы получим три равенства;
х2 + ^ = (х*-а„)2 + (г/*-ро)2,
(X_l)2+//2_(x*_ai)2+G/*_pi)2;
Х2 + (у _ J )2 = (х* _ К2)2 + (у* _ р2)2.
Вычитая второе и третье равенства из первого, находим:
х = (aj. - а0) х* + (Рх - р0) у * + Vj,
У = («2 - ао) х* + (Р3 - Ро) У* + ?2,
(1)
где и у2 — постоянные, точные выражения которых нам не
нужны.
Покажем, что каждая точка плоскости Q(X, р) есть образ
какой-то точки М. (х, у). Действительно, пусть
x = (a1-a0)Z + (P1-p0)p + y1,
У = («2 - ао) + (Ра - Ро) И + ?2-
(2)
Образ точки М (х, у) надо находить по-х и у из уравнений
(1). Но определитель системы (1) есть D Ф 0 Значит есть только
одна пара чисел (х*, у*), удовлетворяющая уравнениям (1),
а тогда из (2) видно, что х1 = X, у+ = ц.
Таким образом, движение есть обратно-однозначное отображе-
ние всей плоскости /?2 в себя. Ясно, что обратное отображение
также есть движение. Но тогда, меняя ролями точки —образы и
прообразы, — мы увидим, что координаты образа выражаются
через координаты прообраза равенствами типа (1) Итак, доказана
Теорема 1. Координаты (х*, у*) точки М*, являющейся обра-
зом точки М. (х, у) при некотором движении, выражаются фор-
мулами
х* =а1х + М + ^1, у* = п2х + М + сз-
(3)
Если
то | АI = 1.
Определение 2. Всякое преобразование Л4* = <р(Л4) плоскости
R2 в себя, при котором координаты образа Л4*(х*, у”) выра-
жаются через координаты прообраза М (х, у) формулами (3),
313
называется аффинным преобразованием. Если при этом опреде-
литель (4) (называемый определителем преобразования) отличен
от нуля, то говорят, что преобразование невыродившееся.
Таким образом, справедлива
Теорема 2. Всякое движение есть аффинное преобразование,
модуль определителя которого равен единицет) | А | = 1.
Далее, имеет место
Теорема 3. Два последовательно произведенных аффинных
преобразования равносильны одному аффинному преобразованию,
определитель которого равен произведению определителей исход-
ных преобразований.
Простое доказательство этого факта предоставляется читателю.
Теорема 4. Пусть уСуСб) есть замкнутый
прямоугольник. В результате каждого из четырех аффинных пре-
образований
О х** У’ П)
У*=Х,
^ = Х+У.
У * — У>
х*=х-\-а, x*=kx,
y*=y + b, у*=1у,
(kl^O)
прямоугольник R переходит в измеримое множество R*, мера
которого есть
mR* = | А | mR,
где А есть определитель преобразования.
В самом деле, в случаях I, III и IV наш прямоугольник R
переходит в прямоугольник же R*, определяемый, соответственно,
неравенствами:
ka ^х*
ly^y*
(последние неравенства написаны для случая Л>0, />0. Если,
например, Л<0, то первое из них надо заменить неравенством
А’Р 'Сх*
Отсюда видна справедливость теоремы для преобразований I,
III, IV. Изучение преобразования II значительно сложнее. Заме-
тим, прежде всего, что R* в случае II определяется неравенст-
вами
а — у* й.; р,
Возьмем, далее, натуральное число п и разложим R* на части
^* = S1 + S2 + ... + S„,
!) Полезно заметить, что обратная теорема неверна Например, преобра-
зование х*=2х, У* = ~2 У не есть Движение. Аффинное преобразование (3)
будет движением тогда и только тогда, когда
а1 + а2 — 1 -|- bj = 1, а1Ь1 + = 0.
314
где Sk при k= 1, 2..n—1 определяется неравенствами
V+^Z±(6-V)<r/* <V4-A(6-V),
a Sn определяется неравенствами
a<x* -у* -cP, v + -!~-(6-y)^t/*^6.
Очевидно, множества Sk попарно не пересекаются.
Легко видеть, что Uk с Sk cz Vk, где Uk и Vk прямоуголь-
ники, определяемые неравенствами
uk = t/A[a + v + 4<fi~V) =^x*=^₽ + v‘ + ^-!-(S-V),
V + (6 ~ V) У* < Y + 4(S ” Y)]’
V* = V*[a4-p + -^-(5-y)-Cx*=cP + Y-|-^ (S-y),
У+--^(й-у)с//*-Су + ~(6-Y)]-
Поэтому
mUk C m^Sk -c m*Sk C mVk
или
la 6 —v\6 —V о la > 6 —v\S —у
p — a------- ---- Cffl±Sb< m*Sk C p - a -4--- ---L.
V П J П * K-~;r i П ] П
Складывая такие неравенства и замечая, что
т*/?* 2г У m*Sk, m*R* < У m*Sh,
k=i ь=1
находим:
(₽-a) (б-у)--^-^-Ст*/?* <m*/?* =с(Р-а)(б-у) + -^~.
Так как n произвольно, то отсюда вытекает, что
m*R* = m*R* = (Р — a) (б — у) = mR.
Теорема доказана полностью.
Теорема 5. Пусть G есть открытое ограниченное множе-
ство. В результате каждого из рассмотренных аффинных преоб-
разований I, II, III, IV, множество G переходит в измеримое
множество G*, мера которого есть
mG* = | Д | • mG,
где Д определитель преобразования.
Действительно, условие Д#=0 показывает, что всякое невыро-
дившееся аффинное преобразование /И*=ф(/И), будучи одно-
значно обратимо, сохраняет инцидентность, т. е. из соотношений
М еЕ, AczB, АВ = Ъ, E=^Ek
fc=i
315
вытекают соотношения
Л1*е=£*, Л czB\ А*В* =0, Е* = 2 Е*к,
k = \
где употребляемые обозначения понятны сами собой.
Кроме того, нетрудно видеть, что в результате аффинного пре-
образования ограниченное множество переходит опять в ограни-
ченное множество.
Заметив это, возьмем какое-нибудь открытое ограниченное
со
множество G и представим его в форме G= У, Rk, где Bk замк-
k = 1
нутые квадраты без общих внутренних точек Если G* = ср (G) и
Rk = <f(Rk) суть образы множеств G и Rk при одном из преоб-
разований I — IV, то G* = У Rk.
k = 1
Отсюда видна измеримость G* и справедливость4 равенства
тб"' = У mRk = У | А | • tnRk = А | mG.
k = i k= i
Теорема доказана.
Теорема 6. Всякое невыродившееся аффинное преобразование
(3) является результатом последовательности простейших преоб-
разований I — IV.
Действительно, если в преобразовании
х* = а±х 4- Ьгу + q, у^ =а2х + Ь2у + с2
ни один из коэффициентов а,, by не нуль, то это преобразо-
вание есть результирующее для следующих восьми преобразова-
ний типа I — IV:
Ху = ОуХ Xi^Xy+Уу *3 = У у А X., = 7— Ху 1 афу 3
Л = ЬуУ = У1 Уз = Ху Уз
Хь = Ху + уу х6 = х5 Ху = хЛ X — Х^ —
= Уб = “а Уз а2 У 7 = ХЬ у* = у, + сг
В случае, если некоторые из указанных коэффициентов равны
нулю, рассуждение лишь упрощается.
Следует заметить, что множества R*{ могут пересекаться, ибо у квад-
ратов Rf! могут быть общие стороны Но каждая такая сторона есть прямо-
линейный отрезок, параллельный одной из осей, и, стало быть, мера такой
стороны равна нулю На каждый отрезок, параллельный оси, можно смотреть
как на прямоугольник Значит по предыдущей теореме мера образа такого
отрезка есть 0 Поэтому множество т :чек, обших нескольким имеет меру
нуль, и этим множеством при подсчете mG* можно пренебречь.
316
Теорема 7. В результате невыродившегося аффинного пре-
образования ограниченное плоское множество Е переходит в огра-
ниченное плоское множество Е*, внешняя мера которого есть
т*Е* = | A I т*Е,
где А — определитель преобразования.
В самом деле, пусть сначала нами производится одно из про-
стейших преобразований типа I, II, III, IV. Взяв произвольное
ограниченное множество Е, найдем такое открытое ограниченное
множество G, что G го Е, mG <zm*E4-е, где е>0 взято наперед
Рели Е* и G* суть образы множеств Е и G в результате пре-
образования, то
m*E* < mG’= ' A mGc'A (т*Е Ц-е),
откуда, ввиду произвольности в, вытекает, что т*Е* < ' А | т*Е.
Так как любое невыродившееся преобразование можно заме-
нить последовательностью простейших, причем определитель
результирующего преобразования равен произведению определи-
телей составляющих преобразований, то для всякого невыродив-
шегося преобразования будет т*Е* [ А I т*Е.
Но преобразование, обратное невыродившемуся аффинному
преобразованию, также есть невыродившееся аффинное преобразо-
вание с определителем 1/А, причем при переходе к этому преоб-
разованию множества Е и Е" меняются ролями. Значит, по дока-
занному
т'Е:Д—'г- т*Е*,
|Д
откуда и следует теорема
Отметим далее совершенно очевидный факт, что в результате
аффинного преобразования замкнутое множество переходит опять
в замкнутое множество Отсюда без труда получается
Теорема 8. При невыродившемся аффинном преобразовании
внутренняя мера образа Ег ограниченного множества Е удовлет-
воряет соотношению
т^Е* = | А | -т^Е.
Возвращаясь теперь к случаю движения, получаем основной
результат:
Теорема 9. В результате движения ни внешняя, ни внут-
ренняя меры ограниченного множества не меняются. В частности
измеримое множество переходит в измеримое и притом той же
меры.
Хотя изложение проведено нами для двумерного случая, но
мы надеемся, что читатель уже не затруднится при переходе
к прошранствам большею числа измерений,
317
§ 5. Связь меры плоского множества
с мерами его сечений
Определение. Пусть Е плоское множество, состоящее из точек
(х, у). Одномерное множество Е (х0), состоящее из таких чисел у,
что (х0, у)^Е, называется сечением множества Е прямой х = х0.
Легко видеть, что соотношения
ОО 00
ДсВ, £=££*, Р= П R = A-B
k=। k=i
влекут соотношения
05 СО
А (х) cz В (х), S (х) = У Ек (х), Р (х) = J7 Ek (х),
Л = 1 А= 1
Р (х) = А (х) — В (х).
ч
Далее, если F замкнутое множество, то таково же и F (х),
а если G открыто, то и G (х) открыто. *) Наконец, сечение огра-
ниченного множества есть ограниченное (или пустое) множество.
Теорема 1. Пусть Е измеримое плоское множество, содержа-
щееся в открытом прямоугольнике /?(а<х<6, c<y<_d). Тогда
1. Почти для всех х е (а, Ь) множество Е (х) измеримо.
2. Если Д есть множество тех х е (а, Ь), для которых Е (х)
измеримо (шД = b — а), то функция тЕ (х) измерима на множе-
стве Д.
3. Справедлива формула
тЕ = тЕ (х) dx.
л
Мы докажем эту теорему, последовательно рассматривая все
более и более сложные множества.
1. Пусть Е есть замкнутый прямоугольник Q(a<x<:p,
-^у^8), где с <у<6 <d. Если хе(а, а) или
хе(Р, Ь), то множество Q(x) пусто и, стало быть, измеримо,
причем mQ(x) = O. Если же а=а-х=<₽, то Q (х) = [у, б], так что
и в этом случае Q (х) измеримо и mQ (х) = б — у. Отсюда видно,
что то множество Д, о котором шла речь в формулировке тео-
ремы, есть просто весь интервал (а, Ь), причем функция mQ(x)
на нем оказывается ступенчатой и потому измеримой. Наконец,
ь р р
§ mQ (х) dx = ^niQ (х) dx = $ (б — у) dx = ф — а) (б — у) = mQ,
а а а
чем и доказана теорема для нашего простейшего случая.
2. Пусть теперь Е = G, где G открытое множество. Тогда и
G (х) открытое множество и потому G(x) измеримо при каждом
*) G (х) надо рассматривать как линейное множество.
318
x e (a, b) [t. e. A = (a, d)]. Далее, множество G представимо
ОО
в форме G = У, Qk, где Qk = Qk (aft^ x<pft, yk у fi*) - замк-
k= i
нутые квадраты, без общих внутренних точек. Тогда G (х) =
СО
= У Q.k{x). Если х отлично от всех точек а* и то
А= 1
СО
mG (х) = Л mQk (х). (*)
А = 1
оо
В самом деле, неравенство mG (х) =с У mQk (х) очевидно.
k= ।
С другой стороны, Qk (х) есть или пустое множество, или сегмент,
причем сегменты Qk (х) попарно не имеют общих внутренних точек.
Обозначим через Uk(x) множество всех внутренних точек мно-
жества Qk (х). Если Qk (х) пусто, то таково же и Uk (х), если же
Qk (х) есть сегмент, то Е'к(х) есть интервал, получающийся из
Qk(x) удалением его концов. Значит всегда tnUk(x) = mQk(x). Но
G (х) о У Uk (х). Поэтому
Ь = 1
£ Uk(x) =XmUk(x),
=1 J 4 = 1
mG (х) т
откуда и следует (*).
Если из (а, Ь) удалить счетное множество S точек {afc} + {fJfe}>
то на оставшемся множестве mG(x) будет суммой сходящегося
ряда измеримых функций. Отсюда следует измеримость mG(x) на
(a, b) — S, а значит и на (а, Ь). Положительные ряды измеримых
функций можно почленно интегрировать. И так как интегралы
по интервалу (а, Ь) совпадают с интегралами по множеству
(a, b) — S, то
b со b со
mG (х) dx = У $ mQk (х) dx = У mQk = mG,
a k = 1 a k=I
что и доказывает теорему для открытого множества.
3. Пусть Е —F, где F з а м к н у т о е множество. Тогда F = R — G,
где G —открытое дополнение F до прямоугольника R. В таком
случае Е(х) = /?(х) —G(x), причем все написанные здесь множе-
ства измеримы. Но тогда
mF (х) = (d — с) — mG (х),
и функция mF (х) измерима на (а, Ь). Интегрируя последнее равен-
ство, находим
ь Ъ
5 mF (х) dx = (b — a) (d — с) - $ mG (х) dx = mR- mG = mF,
а а
и теорема доказана для замкнутого множества.
319
4. Пусть Е есть множество типа Fa. Тогда и Е (х) —
множество типа Fa, так что Е (х) измеримо при всех х (Z (а, Ь).
Пусть £ = ф1ф-ф24-ф3ф-..., где Ф, —замкнутые множества.
Полагая
Ф^Ф. + .-. + Ф,^^,
мы сможем представить £ в форме
£ = £i4-£?-(-F3-T...,
причем Fx cz F, cz F3... В этом случае тЕ= lim mFn. По тем же
основаниям m£(x) = lim mFn(x), откуда вытекает измеримость
п —* со
функции тЕ (х). Так как функции mFn(x) все ограничены одним
числом [ведь Fn(x) лежит в (с, d) и потому mFn (х) =z d—с], то
допустим предельный переход под знаком интеграла, т. е.
ь ь
^mE(x)dx = lim ^mFn(x)dx = lim mFn = mE.
a П-*<Х) a П—> CO
Теорема доказана для множеств Fa.
5. Пусть £ —множество типа G6. Тогда B = R — E мно-
жество типа') Fa. Измеримость £ (х) для каждого х е (а, Ь) три-
виальна, ибо £ (х) есть (jg. Кроме того тЕ (х) = d — с — тВ (х),
откуда следует, что тЕ (х) измеримая функция и что
ь ь
тЕ (х) dx = (b — a) (d — c) — $ тВ (х) dx = mR — тВ = тЕ,
а а
чем снова доказаны все утверждения теоремы.
Отметим, что во всех рассмотренных случаях было А = (а, Ь).
6. Пусть, наконец, £ есть произвольное измеримое мно-
жество. Построим множества А типа Fa и В типа Gs, для которых
A cz Е с. В, mA =тЕ = тВ.
Можно считать при этом, что В cz 7?.. По доказанному функ-
ции mA (х) и тВ (х) измеримы на (а, Ь) и
ь ь
тЕ = mA (х) dx = тВ (х) dx.
а а
Но А (х) cz Е (х) cz В (х). Значит, mA (х) sZ тВ (х), а тогда из
равенства интегралов от этих функций вытекает их совпадение
почти везде.
1) В самом деле, если £ = [J Gn, то R—E = (R — Gn). Ho R —
n - 1 /1=1
— Gn — R-CGn. Множество CGn замкнуто, a R —открытый прямоугольник и
потому R —множество типа £ст, ибо всякое открытое множество, будучи сум-
мой замкнутых квадратов, есть Fa Значит R — Gn есть Fa, а тогда и R —£
есть Fa.
320
Пусть s = (л, b) и An = g [mA (х) = тВ (л-)] (т\п = Ь — а).
Так как mA {х) - т t.E {х) т*Е (х) тВ (х), то при ,геЛ(|
множество Е (х) измеримо. Далее, функция mA (х), будучи изме-
рима на (п, Ь), измерима и на До, а на Ао мера тЕ (х) совпадает
с mA (х), так что тЕ(х) есть функция, измеримая на Дл. Если
теперь ввести множество А, состоящее из всех xeg, для кото-
рых Е (х) измеримо, то окажется AocAcg, откуда т\ = Ь — а
и функция тЕ (х) (будучи измеримой на Ао) оказывается измери-
мой на А. Наконец,
л
тЕ (х) dx = mA (х) dx = jj mA (х) dx = mA = тЕ.
A Ao cl
Теорема доказана в полном виде.
Следствие 1. Если Е — плоское множество меры нуль, то почти
все его сечения также суть множества меры нуль.
Следствие 2. Если почти все сечения плоского измеримого мно-
жества Е суть множества меры нуль, то и тЕ=д.
Как и все результаты этой главы, теорема 1 переносится на
многомерный случай. Дадим ее формулировку для трехмерного
случая.
Определение. Если Е множество точек (х, у, г) трехмерного
пространства, то его сечением плоскостью х = х0 называется мно-
жество таких точек (у, z), что (х,„ у, z) <= Е.
Теорема 2. Пусть Е — измеримое пространственное множе-
ство, содержащееся в параллелепипеде R(a<.x<zb, c<.y<z.d,
e<.z<_f). Тогда
1) почти для всех хе (а, Ь) плоское множество Е (х) измеримо;
2) если А есть множество тех х s (а, Ь), для которых Е (х)
измеримо (mk = b — а), то функция тЕ (х) измерима на А;
3) справедлива формула
тЕ ~ Jj тЕ (х) dx.
Л
11 И П Натансон
ГЛАВА ХП
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. Измеримые функции.
Распространение непрерывных функций
Перенеся понятие измеримого множества на многомерный слу-
чай, мы уже без всякого труда можем построить теорию измери-
мых функций нескольких переменных. Именно, в основу теории
кладется уже известное
Определение. Функция / (Л1), где М (хь х2, . , хп) — точка
n-мерного пространства Rn, заданная на некотором множестве Е,
называется измеримой на множестве Е, если измеримо само это
множество и измеримы множества E(f>a) при любом веществен-
ном а.
Имея это определение, мы без каких бы то ни было измене-
ний переносим на многомерный случай содержание §§ 1, 2, 3,
гл. IV. Лишь теорема 8, § 1 примет такую формулировку
Теорема. Функция f(M), заданная и непрерывная на замкну-
том параллелепипеде, измерима.
Вообще при переходе от одномерного случая к многомерному
роль сегментов будут играть замкнутые параллелепипеды. Доказа-
тельство формулированной теоремы не отличается от приведенного
в гл. IV. Заметим, между прочим, что то же рассуждение, что и
приведенное в гл. IV по поводу теоремы 8, § 1, устанавливает
справедливость такой леммы:
Лемма 1. Если функция f(M) задана и непрерывна на замк-
нутом множестве Г, то при любом вещественном а оказываются
замкнутыми множества F (/2? а) и F (f а).
Сложнее обстоит дело с переносом на многомерный случай
содержания § 4, гл. IV. Доказательства теорем Э Бореля и
Н. Н. Лузина, данные в этом параграфе, опирались на лемму 2
этого же параграфа, при доказательстве которой уже существенно
использовалось то, что мы имели дело с одномерным случаем.
Поэтому сейчас нам придется несколько изменить изложение.
Лемма 2. Пусть Е произвольное, не пустое множество, содер-
жащееся в п-мерном пространстве Rn. Если мы обозначим через
г(М) расстояние любой точки М е RH от множества Е, г (М) =
= р(Л1, £), то функция г (Л1) будет непрерывна во всем прост-
ранстве.
322
Для доказательства выберем две точки пространства М и N.
По самому определению понятия расстояния точки от множества,
взяв произвольное е>0, мы сможем в множестве Е найти такую
точку А, что р(М, Л)<г(Л1) + е. Но тогда окажется
г (V) ,о (.V, Л)=Ср(М, М) + р (М, Л)<р(Л\ M) + r (Af)4-e.
Благодаря произвольности е, отсюда вытекает, что
r(N)-r(M)^p(N, Л1),
а так как точки М и N совершенно равноправны, то
\r(N)-r(M)\^p(N, Л1),
чем и доказана теорема.
Лемма 3 Пусть замкнутые множества Flt F2, ..., Fm по-
парно не имеют общих точек. Если функция ср (Л4), заданная
на множестве
^ = Л + ^ + ... + Бт,
на каждом из множеств Fk постоянна, то существует функ-
ция ф (Л1), заданная и непрерывная уже во всем пространстве Rn,
совпадающая с <р (Л1) в точках множества F и такая, что при
всех М е Rn будет
mm {ф (Л4)} «с ф (Л4) max {ср (М)}.
F F
Доказательство. Обозначим через rk (М) расстояние точки
М Rn от множества Fk(k=\, 2, . , т) Ввиду того, что мно-
жество Fk замкнуто, функция rk(M) обращается в нуль только
в точках множества Fk.
Заметив это, обозначим через ak то значение, которое функция
ср (М) принимает на множестве Fk, и введем функцию ф(/И), поло-
жив ее равной ф(М) при .VI eF и положив
а1 । . ат
ф (М) =
7ЙМ) + 7ГРЙ)+ +77(М)
при MH=F. Опираясь на предыдущую лемму, читатель легко
убедится, что функция ф(Л4) требуемая.
Теперь мы докажем теорему, которая заменит нам лемму 2,
§ 4, гл. IV, но которая имеет также и большой самостоятельный
интерес.
Теорема. Пусть Ф — замкнутое множество, лежащее в Rn,
и (f (М) — функция, заданная, ограниченная и непрерывная1) на
множестве Ф. Тогда существует функция ф(Л4), заданная и
х) Для большей общности множество Ф мы не предполагаем ограниченным
В противном случае, как известно из элементов Анализа, ограниченность
функции <р (/И) следовала бы из ее непрерывности и функция <р (Л1) имела бы
наибольшее и наименьшее значения
11*
323
непрерывная уже во всем пространстве Rn, совпадающая с Ф (М)
в точках множества Ф и такая, что при всех М е Rn будет
|4? (М) । < sup {|ф(М)|}.
ф
Доказательство.1) Положим Фо(М) = Ф(Л1) и пусть
Xa = sup{ фо(М)|}.
ф
Введем множества
Г=ф[<Ро<-|Ч Л= Ф<Фо>4>).
По лемме 1 оба эти множества замкнуты (причем одно из них
может быть и пустым). По лемме 2 можно построить функцию
ф0(Л4), заданную и непрерывную во всем пространстве R,,, рав-
ную — Ло/3 на множестве F_, равную Ло/3 на множестве и
такую, что при всех М е Rn будет
- з" ' ФДМ)< з°. -
Рассмотрим разность <pj (Л4) = Фо(М) — ф0 (М), которая опреде-
лена только на множестве Ф и является на этом множестве функ-
цией О1раниченной и непрерывной. Нетрудно видеть, что2 *)
2
|Ф1(М) - ‘ Ло.
Положим At = sup {i Ф1 (Л1) ' и построим функцию фх (М), кото-
ф
рая по отношению к Ф1(Л1) играла бы такую же роль, чтоф(|(М)
по отношению к Фо(Л1). Иными словами, функция фДМ) будет
обладать следующими свойствами: она задана во всем простран-
стве, всюду непрерывна, удовлетворяет при всех М неравенству
- 'зЧ5Ф1
и при Л1 е Ф оказывается
|Ф1(М) -фх(М)1^ “ Аг.
2
Подчеркнем, что Лх-С „ Ло. Построив такую ф] (М), полагаем
и
ф2(М)-Фх(Л1)-ф1(М) (МеФ)
и продолжаем этот процесс. В результате, мы построим две после-
довательности непрерывных функций {Ф*(Л1)} и -|ф;. (М)[, причем
!) Это доказательство заимствовано из книги П С. Александрова
«Введение в общую теорию множеств и функции». Гостехиздат, 1948.
2) В самом деле, если М е F , то ф„ (М) — д°~ <р0 (М) ==, ,10 Гак же
обстоит дело и при М <= f _ Если же Л-1 ен (D —(Г ф-А ), то
фо СЮ 3° И г1п(ЛП -
324
<pfe (Л4) заданы только на Ф, а фДМ) —на всем Эти последо-
вательности будут обладать следующими свойствами
фл(Л1) = ДМ) (МеФ, £>1),
(Ме/?я),
Ь(М)-ЫМ) < 3 Л (МеФ).
При этом, через Л* мы обозначаем величину sup •{ фА (Л1) } так,
ф
. 2 , / 2 * ,
что Л4^злм, откуда ЛЛ.'3/ Ло.
Проделав все сказанное, образуем бесконечный ряд
Фо(М) + ф1(Л4) + фДМ) + .. . (*)
Члены этою ряда непрерывны. Кроме гою, в силу неравенства
(Л1) | з этот ряд сходится равномерно. Поэтому ею
сумма ф(Л4) есть функция непрерывная. Это требуемая функция.
Действительно, она допускает оценку
/ о k д
1ф(М)1< ; -3° =л0.
А — о
Поэтому остается лишь ..ровершь, что при М Ф будет ф(Ч) =
= Ф(Л4). С этой целью заметим, что при М <= Ф будет
Ф* (Л4)--фДЛ1)-ф/<п1(М).
Стало быть, частную сумму 5р(Л4)=^ф|)(Д1) + ф1 (Л1)+...-ф-
+ Фр-1(Л4) ряда (*) при Л1 <= Ф мо?кно записать так.
8Р(М) = [ф0 (М)- фДМ)] р
4-[ф1(М)-ф, (М)Ц-.. +1фр ! (Л1) — ф;) (М)| = ф (Л1) — фр(М).
Но так как I ф,,(М) io lim Sp (М) = ф (М) (Л1 е Ф),
а это и значит, что ф (Л4) -- ф (М) при Л4 <= Ф Теорема доказана.
Опираясь на эту теорему, мы можем без дальнейших поясне-
ний считать все содержание § 4, гл. IV перенесенным на много-
мерный случай1).
i) Если бы теорему Н Н. Лузина формулировать в несколько ослаблен-
ном форме, а именно так. «если f (М) задана, измерима и почти везде конечна
на измеримом множестве Е, то всякому е > 0 отвечает таков множество
ЕЁаЕ, что шЕе> тЕ — t и на Еь функция / (М) непрерывна», то для дока-
зательства ее не потребовалась бы теорема настоящею параграфа, а мощно
было бы ограничиться ссылкой па лемму 3.
325
§ 2. Интеграл Лебега и его геометрический смысл
При определении интеграла Лебега в гл. V и VI мы нигде,
за исключением §§ 4 и 5 гл. V, не опирались на то, что речь
идет о функциях одной переменной. Поэтому все содержание этих
глав переносится на многомерный случай. Мы не будем вдаваться
здесь в подробности. Заметим лишь, что для обозначения инте-
грала по множеству Е, лежащему в пространстве п измерений,
мы б>дем применять одно из обозначений
р (М) dw, (-4, х2, .... хп) dxt dx2 ... dxn.
Остановимся на вопросе о геометрическом смысле интеграла.
Определение. Пусть f(M) = f(,x1, х2, ..., хл) есть неотрицатель-
ная функция, заданная на множестве Е. Будем называть подгра-
фиком1) функции f(M) множество S = S(E, f) тех .точек
(xlt х2...хп, z) пространства Rnvi, Для которых
(х1( х2, .... xn)^Et 0^z^f(xv х2.......хп).
Нетрудно видеть, что для сличая непрерывной положительной
функции f (х), заданной на сегменте [а, Ь], подграфик есть не что
иное, как криволинейная трапеция, ограниченная снизу осью Ох,
сверху кривой y = f{x) и с боков прямыми х — а и х = Ь. В этом
ь
частном случае, как известно, интеграл jj / (х) dx представляет со-
а
бой площадь указанной трапеции. Мы покажем, что и в общем
случае имеется нечто аналогичное.
Лемма. Если Е измеримое множество пространства Rn,
а функция f(M) во всех точках этого множества равна положи-
тельному числу h, то подграфик S (Е, h) есть измеримое мно-
жество пространства /?„+1 и
mS(E, h) = hmE.
Эта лемма обобщает элементарную теорему о том, что объем
цилиндра равен площади его основания, умноженной на его
высоту. Мы докажем эту лемму, ограничиваясь для простоты слу-
чаем п = 2.
Если множество Е есть прямоугольник R (a «с х <=; Ь, с у «С d),
то лемма тривиальна, ибо S {Е, h) оказывается прямоугольным
параллелепипедом Т {а х b, c^y^d, Qs^z^h). То же будет
и в том случае, когда Е есть открытый прямоугольник. Если Е
есть ограниченное открытое множество, то его можно представить
в форме Е = У Qft, где Qk — замкнутые квадраты попарно без
1) Этот термин вводится здесь впервые.
326
оо
общих внутренних точек. Тогда S (£, /г) = У 3 (Qk, Л). Значит
k= 1
m*S(E, Л) sg 2 (Qfe, h) = h m.Qk = h mE.
4=1 4=1
С другой стороны, если Uk есть множество внутренних точек
квадрата Qk, то S (£, h) zz> У, S (Uk, Л), откуда
4=1
/иф3 (£, А) У mS (Uk, h) = У h tnUk = h тЕ,
4=1 4=1
что и доказывает лемму для открытого ограниченного множества.
Но в таком случае она верна и для замкнутого ограниченного
множества, ибо его можно представить в форме R — G, где R—
открытый прямоугольник, а 0 —открытое ограниченное множество.
Пусть, наконец, £ — произвольное измеримое множество. Взяв
е>0, найдем такое замкнутое множество F и такое ограниченное
открытое множество G, что £ с £ с G, mF > тЕ — е, mG < тЕ + е.
В таком случае S (£, /г) cS (£, h) cz S (G, h), откуда, по дока-
занному,
h-mF -cm^S (E, h)^m*S(E, h)^h mG,
и тем более
h(mE — e)m*S(E, h')--cm*S(E, E)^h{mE -фе).
Ввиду произвольности e, это и доказывает лемму.
Теорема. Если ограниченная, измеримая, неотрицатель-
ная функция, заданная на множестве Е, то ее подграфик S(E, [)
измерим и
mS(E, f)=
ь
В самом деле, пусть Oscf (М) <_ А. Разделим промежуток
[О, А] точками гп = 0 < z3 < z2 < ... < гл = А и составим множе-
ства Лебега е, =Е (г, < z1 + 1). Нетрудно видеть, что 3 (£, /) =
п — 1
= У S (et, f), причем множества S (et, f) попарно не пересе-
1 = 0
каются. Отсюда
У m*S{e„ f)^tn*S(E, f')-czm*S(E, У
1 = 0 i = 0
С другой стороны, S(e,, z,) cz S (en f) cz S (en z,t1), откуда,
применяя предыдущую лемму, находим, что
2,/ие/ sc^m^S (elt f), m*S (elt f)^zi+1met.
327
Таким образом,
,1—1 п — I
У г,me, <m,S(E, f)<m*S(E, f) < У z, ^те,.
I — fl l—o
Измельчая дробление и переходя к пределу, завершаем дока-
зательство.
§ 3. Теорема Фубини
Остановимся на вопросе о сведении кратного интеграла к про-
стым.
Лемма. Если / (х, у) есть измеримая функция, заданная
в прямоугольнике R(a<^x^b, c^ys^d), то почти для всех
х е [о, й] эта функция, как функция одного у, измерима на [с, е/].
Доказательство. Пусть сначала f (х, у) ограничена в R.
Существует такая последовательность непрерывных функций
gn (-С У), что почти везде в R будет
lim gn(x, y) = f(x, у). - (1)
П -+ э
Обозначим через Е множество тех точек (г, у) е R, в которых (1)
не выполнено. Так как тЕ = 0, то [см. следствие 1 из § 5, гл. XI]
почти для всех х из [а, 6] будет
тЕ (х) = 0, (2)
где Е (л',,) есть сечение множества Е прямой х = хп.
Пусть л- такая точка [п, Ь], в которой (2) имеет место. Если
у^[с, <Д —£(х), то (х, y)<=R — E и справедливо (I). Иными
словами, при указанном х соотношение (1) выполняется почти везде
на [с, </], а тогда f(x, у) (при том же х) есть измеримая функция у.
Если / (х, у) не ограничена, то найдется такая последователь-
ность ограниченных измеримых функций fn (х, у), что везде на R
будет lim (х, у)=/(х, у). По доказанному для каждого п мно-
жество еп тех хс[й, й], для которых /л(х, у) не есть функция,
измеримая па [с, г/], имеет меру нуль. Пусть е = ег + ^ + «’з + - •• -
Если х е[п, й] - е, то все функции f„ (х, у) измеримы на [с, г/].
Но тогда и / (х, у) такова же.
Теорема 1 (Г. Фубини). Пусть в прямоугольнике R(a :--х-^ь,
с <.у-с.(1) задана суммируемая функция f(x, у).
t огда
I) почти для всех хе [о, й] функция f(x, у), рассматриваемая
как функция одного лишь у, будет суммируема на [г, г/];
2) если А есть множество тех хе[й, й], для которых / (х, у)
суммируема на [с, г/] (mA - й - а), то функция
<)
\НХ, cly
с
суммируема на А;
328
3) справедлива формула
d
И / <*> У'!llx (1У = 5 dx 5 f (-v- с1У-
й Л t
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда / (х, у)
есть функция неотрицательная и ограниченная
О _ f(x, у)- И.
Ее подграфик Л=-5(/?, /) будет множеством измеримым и
mA = ф (х, у) dx dy.
d
Обозначим через А' множество всех тех х е= [а, 6], при кото-
рых f(x, у) есть измеримая на [с, d] функция у. По лемме /нА'-
= Ь — а. Так как при любом х() е [cz, У] сечение А (х„) множества А
плоскостью х = х() есть не что иное как подграфик функции / (х(!, с/),
то (по теореме из § 2) для х с= А' множество А (х) будет изме-
римым и
d
tnA(x) = \f(x, y)dy. (3)
С другой стороны, в силу результатов § 5 гл. XI, функция
mA (х) измерима на множестве А" тех х <= [и, Ь], для которых
А (х) измеримо, и
mA = \ mA(x)dx.
а ’
Так как1) А'с А" и /нА'=/нА", то mA (х) будет измерима
и на А'. Значит интеграл (3), совпадающий с mA (х) на А',
будет измеримой и (в силу своей ограниченности) суммируемой
на А' функцией х. Кроме того,
d
mA $ mA (х) dx = \ dx ) (x, tj) dy.
A’ A’
Остается отметить, что ограниченная функция [ (х, //), рассматри-
ваемая как функция одного у, будет суммируемой тогда и только
тогда, котда она измерима. Поэтому введенное нами множество А'
совпадает с множеством А, упомянутым в формулировке теоремы.
Итак, для случая ограниченной и неотрицательной функции тео-
рема доказана.
Теперь откажемся от предположения, чго/(х, у) ограничена, про-
должая считать ее неотрицательной. Введем «срезанную» функцию
, . . (Ж У), если /(х, у) п,
fn(X, у) = {
[ п, если /(х, у)
n.
г) Можно было бы доказать, чго на самом деле Д'—Л .
329
Тогда
$$ / (х, у) dx dy = 11 m 5 5 <*’ У> dx dlJ-
К функции fn(x, у) уже применима доказанная часть теоремы.
Если \п есть множество тех х, для которых fn(x, у) (как функ-
d
ция у) измерима на [с, d], то т&п = b — а, интеграл ^fn(x, у) dy
С
измерим на Дя и
д
5 $ fn (*. У) dxdy= dx\ fn (х, у) dy.
« &п с
Пусть Д* = Л^Лз... . Ясно, что mS.'t = b — a и при /еД*
измеримы1) все [п (х, у), а значит и f(x, у). Кроме того,
d
$ fn (X, у) dxdy = dx $ fn (х, у) dy.
R Д* с
Ввиду того, что
fi\x, y)^f2(x, y)^f3(x, у)^ ..., lim fn(x, y) = f(x, у),
n-*<x>
мы можем применить теорему Б Леви (для закрепленного х <= Д*).
Поэтому
d d
lim $ fn (x, y)dy = \f (x, y) dy (x e Д*),
H->CO c c
причем попутно установлена измеримость интеграла
У) dy
как функции хеД*.
Ввиду того, что
d d d
\fi(.x, y)dy^\f2(x, y)dy^\f3(x, y}dy<
C C c
мы можем еще раз применить теорему Б. Леви, что дает равенство
d d
lim $ dx fn (x, y) dy= $ dx \f (x, y) dy.
д* c Д* c
x) Как функции от yt
330
Таким образом, мы нашли множество Д* с мерой тД* — Ь — а,
для всех точек х которого функция f(x, у) измерима, причем инте-
d
грал \f(x, y)dy представляет собой функцию, измеримую на Д* и
С
d
И Ж y)dxdy = $ dx$/(х< у)dy-
R А* с
Так как интеграл, стоящий слева, есть величина конеч-
d
ная, то интеграл \f(x, y)dy представляет собой функцию не только
С
измеримую, но и суммируемую на множестве Д*. А так как сум-
d
мируемая функция почти везде конечна, то интеграл \f(x,y)dy
конечен почти для всех х из Д*. Это показывает, что функция
/ (х, у), как функция одного лишь у, суммируема на [с, d} для
почти всех х из Д*. Обозначим через А** множество тех х из Д*,
для которых / (х, у) суммируема на [с, d]. Так как щД** =/пД*, то
d
\\f(x,y)dxdy = $ dx\f (х, у) dy.
R Д‘* с
Заметив это, обозначим через Д множество всех х из [a, bj,
для которых f(x, у) есть суммируемая функция аргумента у. Ясно,
d
что Д*‘сДс[а, 6]; поэтому интеграл \f(x, у) dy суммируем и
С
на множестве Д, ибо т(Д —Д**) = 0. Тогда
d d
$ dx\f (х, y)dy=\dx\f (х, у) dy,
А** с Ac
и теорема доказана для нашего случая.
Перейдем, наконец, к общему случаю, считая /(х, у) произ-
вольной суммируемой функцией. Положим, как обычно,
f- (х. У) = । °’ .
I — Ж У),
если
если
если
если
f (х, у) О,
f(x, У)<0,
f(x, Z/)SsO,
f(x, У)<0.
Эти функции суммируемы и неотрицательны, поэтому к ним можно
применить уже доказанную часть теоремы. Обозначим через Д.
и Д_ множества тех х из [а, Ь], при которых суммируемы соот-
ветственно функции (х, у) и (х, у) на [с, d]. По доказанному
331
a d
—-b — а, причем интегралы \f.(x, у) dx, \f-(x, y) dy
c c
суммируемы, соответственно, на А. и A_ и
d
5 5 f- (x, y) dx dy = $ dx 5 (x, y) dy,
R <-
d
\\f (x, y) dx dy = 5 dx 5 /_ (x, y) dy,
R a c
Положим Д —Д Д . Тогда m&-=b — а, и интегралы, стоящие
в правых частях предыдущих равенств, можно распространить не
па Д_ и Д , а на Д. Тогда почленное вычитание этих .равенств
дает
d
$ $ f (а-, у) dx dy -= dx f (x, у) dy.
r Л с
Остается заметить, что множество Д = Д+Д_ состоит только из
таких д-е [о, Ь], для которых f(x, у), как функция у, суммируема
на [с, г/] и’что все такие х входят в Д.
Теорема Фу бини доказана полностью.
Замечания. 1. Если функция f(x, у) задана не в прямоуголь-
нике, а па произвольном измеримом множестве Е, то следует это
множество заключить в прямоугольник R и пополнить определе-
ние f (х, у), положив ее равной нулю на множестве /? — Е. Это
сведет дело к уже рассмотренному случаю.
2. Если f(x, у) есть измеримая1) и неотрицательная функция,
заданная в прямоугольнике c^y^d), то интеграл (3),
рассматриваемый2) на множестве Д тех .ге [<7, 6], для которых
I (х, у) есть измеримая функция у (т\ = b — а), будет измеримой
функцией х.
В самом деле, если f(x, у) ограничена, то она суммируема, и
наше утверждение уже содержится в теореме 1. Если же f(x, у)
не ограничена, то надо лишь совершить предельный переход от
срезанных функций и сослаться на теорему Б. Леви.
Теорема 1 допускает следующее обобщение, которое может
быть доказано теми же рассуждениями, что и сама эта теорема.
Теорема 2. Пусть f (ху, х2, , хп~, ylt у2, .... ут) — сумми-
руемая функция, заданная в (пт)-мерном параллелепипеде
Rn -/а (^1 • • • > вп Хп Ьп,
С1~~ У1 , <-т Ут 'С ^т)-
’) Суммируемости / (х, у) не предполагается.
d
2) Интеграл f (х, у) dy может при /том равняться на множестве
положительной меры.
'32
Пусть R’n = Rn(ai^x1^-b1, .... an < xn < bn) и R*m = R’m (qsgyx <
dj, ..., cm y,n «с дт). Tогда:
1. Почти для всех точек (хь .... х„) е Rh функция
f(xlt .... x„; у1( .... Уп.) суммируема на R"„.
2. Если Д„ есть множество -.тих точек (тАп~= mR'rl), то
интеграл
$$ • р(a'i, • , хп\ уъ ..., ут)с!уг ... dym
суммируема на Д„.
3. Справедлива формула
Rn + m
= $ • • $ dxt ...dxn\...\f (xlt ..., xn\ ук ..., ут) дуг ... dym.
\ R"m
§ 4. Перемена порядка интегрирований
Введем следующее обобщение символа интеграла. Пусть /(М) - -
функция, заданная и суммируемая на некотором измеримом мно-
жестве 1. Если Е есть любое измеримое множество, содержащее
множество А, Е=>А, и такое, что т(Е — Л) = 0, то мы положим
по определению ^f(M) dw= J f(M) dw.
£ A
Таким образом, мы допускаем теперь и такие случаи, когда
подынтегральная функция задана не во всех, а лишь почти во всех
точках области интегрирования. При таком расширении смысла
символа интеграла формула, доказанная в теореме Фубини, допу-
скает более простую запись:
Ь d
\\f(x, y)dxdy = \dx\f (х, у) dy.
R с с
Ввиду равноправности аргументов х и у, мы получаем такой
результат:
Теорема 1. Если f(x, у) есть функция, суммируемая на прямо-
угольнике c ^y ^;d), то существуют1) оба повтор-
ных интеграла
b d d b
\dx\f(x, y)dy, \dy\f(x, y)dx, (*)
a c c a
причем
b d d b
\dx^f(x, y)dy = \dy\f(x, y)dx. (%)
a c c a
’) В только что указанном расширенном смысле, внутренние интегралы
существуют почти везде в области внешнего интегрирования.
333
Интересно заметить, что интегралы (*) могут существовать без
того, чтобы f(x, у) была суммируема на прямоугольнике R.
Пример Пусть функция f(x, у) задана в квадрате Q(— I <;
х : 1, — 1 у - 1) формулой
' v (х2 + у2)2’
если х2 + у2>0. В точке же (0, 0) положим /(0, 0) = 0. Если
закрепить один из аргументов х или у, то f(x, у) окажется непре-
рывной функцией другого, так что
+ i
ху dy
' (х2 + №)2
— i
заведомо существует при всех х из [— 1, +1]. Будучи интегра-
лом от нечетной функции, этот интеграл равен нулю.
Таким образом,
+1 +i +1 +i
dx dy={ dy \ dx — 0.
J J (х2 + У22 y J J (х2+У2)2
-1-1 -1-1
Вместе с тем, функция f(x, у) не суммируема на Q. Действи-
тельно, если бы она была суммируема на Q, то она была бы
суммируемой и на частичном квадрате Q*(0sg№gl, О'-'//-'!).
Тогда, по теореме 1, должен существовать конечный интеграл
i 1
\ dx \ . , dy.
J .) {X2 + у2)2 а
о о
Но это не имеет места, ибо при х 0
1
(____= ~________________-___
J (х2 + у2)2 2х 2(х2+1) ’
о
а эта функция не суммируема на (0, 1].
В приведенном примере, несмотря на несуммируемость функ-
ции f(x, у), формула (%) все же была справедлива.1) Вообще же
говоря, это может быть и не так.
2) Г М Фихтенгольцем был построен [«Sui une fonction de deux variab-
les sans integrale double», Fund Math, 6, 1924, стр 30—36] пример такой
несуммируемой в Ria^x^b, c^ y^ d) функции f (х, у), что равенство
\dx ( / (х, у) dy = \ay\f (х, у) dy
Р Q Й Р
имеет место, каковы бы ни были измеримые множества Р и Q, содержащиеся,
соответственно, в [а, Ь] и [с, d],
334
Пример. Если задать / (х, у) в (0 < х -С 1, О < у <: 1) так:
/(О, 0) = О, а не в начале координат f (х, у) = то
г У )
11 11
\dx f(x, y)dy = ~, \dy \ f(x, y)dx = ---* .
оо о b
В самом деле, ведь при х ф 0 будет
и потому для Х^=О
1
f (Х, у) dy = Г -7^ ,1 = „ 1 . ,
J ' ' J L-к +У Jo jr2 4-1
о
откуда вытекает указанное значение для первого повторного инте-
грала.
Второй повторный интеграл вычисляется так же.
Важно заметить, что для измеримых функций, сохраняющих
знак, таких неприятностей быть не может. Именно, справедлива
Теорема 2. Пусть f (х, у) — измеримая неотрицательная функ-
ция, заданная в прямоугольнике R(a^x^b, c-^y-s^d) Если
конечен1) один из повторных интегралов {*), то f(x, у) сумми-
руема на R, так что существует и второй из интегралов (*)
и справедлива формула (**).
В самом деле, пусть конечен первый из интегралов (*), а двой-
ной интеграл функции /(х, у) по прямоугольнику R равен + оо.
Положим
Л(х, у) =
/(х, у), если f (х, у) СП
п , если f (х, у) < п.
Тогда
lim И fn (х, у) dx dy = ф- оо,
’-°0
и для достаточно большого п окажется
b d
$ $ fn (х., y)dxdy>\dx\f (х, у) dy.
R ас
^Существование (но не конечность’) обоих интегралов (*) выте
кает из замечания 2, сделанного к теореме 1 предыдущего параграфа Таким
образом, формула (**) верна и без оговорки о конечности одного из инте-
гралов (*) (но тогда она может принять вид ф- со — + со)
335
Но это нелепо, ибо fn(x, у) с^ммир^ема и, стало быть,
b d
$ $ /я (х, У) dx dy =\dx\ fn (л, у) dy,
R ас
a fn (x, y) < f(x, y).
Теорема доказана.
Следствие. Если / (х, у) измерима на R(a<x-:b, c^y^d) и
b d
\dx\' )(х, У) dyC + o^,
a i
то существуют интегралы () и верна формула
ГЛАВА XIII
ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
В ТЕОРИИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 1. Абсолютно непрерывные функции множества
В зтои главе мы займемся переносом свойств неопределенного интеграла
Лебега на многомерный случай Как и выше, мы oi рапичнмся случаем пго
скости, но все сказанное дальше без iруда обобщается на любое мнмомерное
пространство.
Пусть а—некоторое семейство множеав, а— Естн каждому мно-
жеству ее а отвечает некоторое чисто Фй), го говорят, что на семействе а
задана функция мноviaтва В дальиспшем мы считаем, что a uocrom ip всех
измеримых множеств, содержащихся в одном и юм же открыым прямоу i о ть-
нике R. R (а(| г х < X, у„ а все рассмат ривас мыс функции мно-
жества предполагаются конечными.
Функция множеспва Ф(<) натываегся аддитивной, если дм любых двух
не пересекающихся измеримых множеств су и е._ будет
Ф(с1+<2)=-Ф(<1)±Ф(с2).
Нетрудно видеть, что такая функция обладает следующим свопа вом- для
любого конечного числа попарно не пересекающихся измеримых множеств q,
е2, .... еп справедливо равенство
И ( п
ф V ek - V ф(ел).
k =-1 k = I
Если же и для счетного множества попарно не пересекающихся измеримых
множеств t’L, е2, е3, будет J)
*- I , 1
то функция Ф (е) называйся впоте аддитивной
Функция множества Ф (е) называется абсолютно непрерывной, если ее значе-
ние стремится к нулю вместе с мерой множества е, i е если всякому г>0
отвечает такое 6 > 0, что для любого измеримого множества e(eczR) с мерой
те < 6 будет Ф (е) <
Ясно, что значение такой функции на всяком множестве меры пуль равно
нулю -)
>) Напомним, чго в< е множества е/: иредиола, аюгея лежащими в R, значит
сумма их ограничена и потому измерима
-’) Если е0— пустое множество, то для всякой аддитивной функции мно-
жества Ф (EI будет Ф (е0) — 0.
337
Теорема 1. Всякая аддитивная и абсолютно непрерывная функция мно-
жества будет и вполне аддитивной.
В самом деле, если мно/кества е3, е.г, е3, ... попарно не пересекаются, то
при п —> со будет
I СО \ / СО \
т [ У ek } 0, откуда н ФI ek 0.
\k = /I -J-1 / \k = п -J” 1 !
Но
Остальное ясно.
Пусть А - произвольное точечное множество (содержащееся в R). Назовем
его измеримой оболочкой всякое измеримое множество Е, удовлетворяющее
соотношениям1) Е со А, тЕ = т*А.
Впредь, не оговаривая этого специально, мы будем рассматривать только
такие измеримые оболочки, которые также содержатся в R
Лемма 1. Если А — произвольное точечное множество (Л cz/?), а Ф (е) -
аддитивная и абсолютно непрерывная функция множества, то для любых двух
измеримых оболочек Ех и Е, множества А будет
Ф(£1) = Ф(£3).
Действительно, если £3 = £1£а, то Cjz/'jZA, откуда ясно, что tnEl —
= тЕ3. Значит, т (Е, — £3) = 0 и Ф(£1—£3)=0. Но £3 = £3 + (Е1 — £3), так
что Ф(£]) = Ф(£3). Аналогично и Ф(£2) = Ф(£3).
Впредь, имея дело с аддитивной и абсолютно непрерывной функцией мно-
жества Ф (<?), мы будем обозначать через Ф (А) значение этой функции на
измеримых оболочках множества А. Таким образом, символ Ф (А) получает
смысл и тогда, когда множество А и неизмеримо (но, как всегда, A cz/?).
Условимся, далее, в следующем обозначении: если Af — произвольная точка
плоскости, a h — какое-нибудь положительное число, то через Q (М, Л) мы
будем обозначать замкнутый квадрат с центром в точке М, стороны которого
параллельны осям и равны h.
Определение. Пусть Ф (с) — некоторая функция множества, а /И — какая-
нибудь точка прямоугольника R. Если число X (могущее равняться и беско-
нечности определенного знака) таково, что существует стремящаяся к нулю
последовательность положительных чисел {/itl}, для которой2)
.. ф^м, м = .
то мы будем говорить, что X есть симметричное производное число функции
Ф (е) в точке М п писать Х=£>41Ф(?).
С помощью теоремы Больцано—Вейерштрасса легко показать, что у вся-
кой функции множества в каждой точке Л1 е /? существуют симметричные
производные числа.
Если все симметричные производные числа функции Ф (е) в какой-нибудь
точке М равны друг другу, то мы скажем, что в этой точке у Ф (е) сущест-
вует симметричная производная равная общему значению всех про-
изводных чисел. Заметим, что симметричную производную можно было бы
!) В гл. XI было доказано, что у каждого ограниченного множества есть
измеримые оболочки (даже типа G$).
2) Напомним, что R прямоугольник открытый. Значит, для всех доста-
точно малых h будет Q(M, It) cz R, и символ Ф [Q(AI, А)] имеет смысл.
338
Ф|<2(Л4, h)]
определить и иначе, а именно как предел lim — ------— но оба определе-
нно Л
ния равносильны. z
Докажем теперь основную во всей этой главе лемму.
Лемма 2. Пусть Ф (с) есть аддитивная и абсолютно непрерывная функ-
ция множества. Если в каждой точке М некоторого множества А (А сс R)
существует хотя бы одно симметричное производное число ОмФ(е), удовлетво-
ряющее неравенству
D МФ (с) q, то Ф (AYc-q т*А.
Доказательство. Пусть qn < q и е > 0. Найдем такое 6 > 0, что
неравенство те < 26 влечет неравенство Ф (с) < г. При этом можно счи-
тать, что 6 < р. Пусть, далее, G —такое открытое множество, что А с: G с: R,
mG < т*А 4-6.
Если М е,4, то существует такая последовательность {/г;Д, что
hn>0, Q(M, hn)t=:G, hn —0 и I nn =D МФ (e) > q0.
n-ea rtf,
He ограничивая общности, можно считать (что мы и делаем), что при
всех п будет Q (М, hn) cz G, Ф [Q (М, hn)] > qt)h-n_
Ясно, что квадраты Q(M, hn) покрывают множество А в смысле Витали.
Поэтому из них можно выделить такое счетное множество квадратов QL,
Qa....что
Q;QA = O
A - S =0.
*=1
co co co
Если положить S = Qh, то окажется Ф (S)= Ф №) > ~
k^i k-i
= qa-mS. Ввиду того, что Лс5-|-(Л-5), будет т*А sc mS^-m (.4 — Е) —
= mS.
С другой стороны, S с G. Поэтому mS < mG. Значит
т*А < //;S< mG < m*A 4-6
и (*)
m(G —S) =mG — mS < 6.
Кроме того, из (*) вытекает, что mS = m*.4 4-fle, где 0<С < 1.
Заметив это, возьмем какую-нибудь измеримую оболочку Е множества А.
Можно считать, что Е cz G. Но тогда Е — SE cz G — S и потому т (Е — SE) <
<6, откуда и подавно | Ф (Е — SE) > < е, или, что то же самое,
|Ф(Е) -Ф($Е) । <е.
Но неравенство т (Е — SE) < 6 означает также, что
mSE > тЕ — 6 = т* А — 6 > mG — 26> mS — 26.
Стало быть, т (S — SE) <26 и | Ф (S) — Ф (SE) ' < е.
Таким образом, | Ф (Е) — Ф (S) i < 2е и Ф (Е) > qamS — 2е.
Иначе говоря, справедливо неравенство
Ф (Е) > qa [т*А 4-8е] — 2е.
Устремляя е к нулю и переходя к пределу, а затем устремляя qn к q и
снова переходя к пределу, завершаем доказательство, ибо Ф(Е) = Ф(Л).
Следствие 1. Если Ф (е) — аддитивная и абсолютно непрерывная
Функция множества и в каждой точке М множества А существует хотя
бы одно симметричное производное число О (е), удовлетворяющее
неравенству Е)МФ (е) < р, то Ф (.4) < рт* А.
339
Действительно, если (Dt (г) = — Ф то в каждой точке МеА сущест-
вует такое симметричное производное число ОиФ(е), что D ()Ф| (с) — р.
Отсюда, по лемме 2, будет Ф, (/1) - рт*А, а это равносильно доказы-
ваемому неравенству.
Следствие 2. Пусть Ф (е) аддитивна и абсолютно непрерывна. Если р ' q
и в каждой точке Л1 множества Л существуют такие два симметричных произ-
водных числа О'иФ(с) и D'м Ф (<)- что
В’мф(е) <Р <<7<О^Ф(е),
(’)
то тЛ = 0.
В самом деле, по лемме 2 и следствию 1 выполняются два неравенства
Ф(4) qtiEA, Ф (Л) ргн'Л. Поэтому qm* А рт* А, а это во (можно
лишь при т *А = 0.
Теорема 2. Если функция множества Ф (е) аддитивная и абсолютно не-
прерывна, то почти во всех точках прямоугольника R существует конечная
симметричная производная Е>МФ (<).
В самом деле, в каждой точке М, где нет симметричной прои (водной,
найдутся дна неравных симметричных производных числа О^Ф(<) н 1)уф(е).
Значит, множество А таких точек R, где не существует симметричной произ-
водной, представимо в форме А =У А р, ч, причем А р, q <С означает множество
таких точек М е R, в которых выполнено (*), а суммирование распростра-
нено на все пары рациональных чисел (р, q), р < q По следствию 2 каждое
слагаемое Л;, есть множество меры нуль, а потому и шЗ =0
Остается показать, что производная ОиФ(с) не может обращаться в бес-
конечность на множестве положительной внешней меры. Но если обозначить
через В множество тех точек R, в которых D МФ (<) = , то по лемме 2 при
любом q будет Ф(В)" ат*В, откуда tn*B = Q, Так же обстоит дело и с мно-
жеством точек, в которых DМФ =— со.
Теорема 3. Пусть Ф (г) — аддитивная и абсолютно непрерывная функция
множества. Если R„ есть множество тех точек прямоугольника R, в ко-
торых существует симметричная производная DМФ (е), то -та производная
есть функция, измеримая на множестве Ro
Док аза гельство. Введем прямоугольник Rlt более широкий, чем R,
и определяемый неравенствами
Кг (А'о — 1 < х < X -j- 1, у0 — 1 < у < Г 4-1).
Если М е R и 0 < h < 1, то Q (Л1, '.) с Кг- Расширим определение функ-
ции Ф(<’), положив Ф(е)=Ф(е/?) для всякого измеримого множества е,
содер/кащегося в Rr. Ясно, что и после этого расширения функция Ф (е) оста-
ется аддитивной и абсолютно непрерывной.
В каждой точке М е Ко будет £)Л1Ф(е)= hm п2ф|р М, ' I.
и-»со I \ п I
Поэтому достаточно показать, что при закрепленном Л (0 </? < 1) функ-
ция Ф [Q (,М, /г)] измерима на множестве Ro. Мы же вместо этого покажем, что
эта функция непрерывна во всем прямоугольнике R, откуда и будет следовать
ее измеримость на R, а значит и на Rn.
Рассмотрим две течки М (а, А) и \ (о ф- а , b ф- р) прямоугольника R , счи-
тая для простоты ct :-О и (1 ус 0, Ясно, что
Q(A1, h)=Q а - >l - х^а+!‘ h - h 'y^h^11
\ Л
Q{N, /i)=Q ^J-a - j t x sca + a+ g , ft + fl — у у b + j .
340
Если a<h к p</i, то квадраты <2(4-1, Л) и Q(<\', /;) будут иметь общую
часть1) Т, определяемую неравенствами
~ , h _ /1 ,, а h h \
Т ,^а + а 2"Хлй 2 ’ 'т-f1'- 2 + 2 ) •
Значит,
mT=(/i-a) (Л-0)
и
m[Q(44, Л) — 7] = m [Q (N, h) — T\ — ah-}- fVz — оф < h (a + p).
Возьмем f > 0 и найдем такое 6 > О, чтобы из неравенства те < б выте-
кало неравенство Ф (е) <г.
Если аир столь малы, что Л(а + 0)<6, то
|Ф[(?(Л/, Л)]-Ф(Т) <щ Ф [Q(M, Л)] -Ф(Т) <е,
откуда
, Ф[<2(Л1, /г)] -Ф[<2(Л1, Л)] <2е.
Теорема доказана
То обстоятельство, что симметричная производная D ПФ (с) определена не
во всех, а лишь почти во всех точках /?, представляет известные неудобства.
Чтобы избежать этих неудсбств, введем функцию <р (.-И), определенную на
всем R следующим образом-
1 D ,,Ф (<), если М е /?0,
<Р(Ы
I. Q если .-Me R—Rn.
Здесь, как и выше, Ro обозначает множество тех точек R, в которых
существует симметричная производная функции Ф (с).
Теорема 4. Функция <[ (Л1) суммируема на прямоугольнике R. Кроме того,
для всякого измеримого множества Е a R справедлива формула
j <р (М) дш = Ф (Е).
Доказательство. Пусть Е— измеримое множество, содержащееся
в R. Удалим из L те точки, в которых симметричная производная /)Д|Ф(е)
не существует, или, хотя бы и существует, но бесконечна, и пусть А есть
оставшееся множество. Ввиду того, что т (Е— 71) = 0, ясно, что
Ф(£) = Ф(4).
Обозначим через А + множество тех точек М из 71, в которых ОД1Ф(е)>
=>0, и пусть 71._=/1 —71.. Тогда Ф(Л)-=Ф(/1 ) Ф(/1_)
Рассмотрим последовательность чисел
1 2 3 4 т
' п ’ п ’ п ’ п ’ ’ п ’
и положим
Множества еА, измеримы, попарно не пересекаются и = А+. По-
1= 1
этому
Ф(Л)= 2 Ф(еЛ).
k= 1
1) Читателю рекомендуется сделать чертеж.
341
С другой стороны, функция ПЛ)Ф (е) на множестве Д+ измерима и неот-
рицательна. Значит!)
$ ОЛ1Ф (е) dw = 2 j О ИФ (е) dw. (*)
Л+ k = lek
По теореме о среднем
тек sg ОМФ (е) dw =g ~ mek.
‘k
С другой стороны, по лемме 2 и ее следствию I
k—! ... k
mek ==£ Ф (ек) < -- тек.
Поэтому
Ф (ek)~ DM Ф(с) dw
ek
1
Отсюда вытекает сходимость ряда, стоящего справа в равенстве (*), и
оценка
Ф (Л+)— Г)ЛФ (е) dw
1 V 1 .
— > теъ—- тА±,
п к п +
л = 1
Так как и можно взять сколь угодно большим, то
Ф(Л J= $ DM<D(e)dw.
Л-т
Сходным образом устанавливается такое же равенство, в котором лишь
заменено на А_. Поэтому функция О(]Ф (е) суммируема на множестве Д и
Ф (Д) = \ Р^Ф (с) dw, откуда Ф (£) = f ОМФ (е) dw.
А Е
Так как, в частности, можно взять E — R, то теорема доказана полностью.
§ 2. Неопределенный интеграл и его дифференцирование
Пусть в открытом прямоугольнике R задана суммируемая функция /(Л1).
Полагая для каждого измеримого множества е cz R
Ф (е)= f (М) dw,
е
мы получим функцию множества, заданную на всех измеримых подмножест-
вах прямоугольника R. Эта функция множества называется неопределенным
интегралом функции f (М). По. известным свойствам интеграла Лебега она
аддитивна и абсолютно непрерывна. Обратно, в теореме 4 предыдущего параг-
рафа мы показали, что всякая аддитивная и абсолютно непрерывная функ-
ция множества есть неопределенный интеграл функции ф (Л4). Поэтому спра-
ведлива
Теорема 1. Класс аддитивных и абсолютно непрерывных функций мно-
жества совпадает с классом неопределенных интегралов суммируемых функций.
!) Подчеркнем, что в этот момент рассуждения мы еще не можем гаран-
тировать конечности ни левой, ни правой частей равенства (*).
342
Замечание. Все содержание предыдущего параграфа сохранилось бы, если
бы семейство а множеств е, на которых определена функция Ф (с), состояло
из всех измеримых множеств плоскости (а не только содержащихся в закреп-
ленном прямоугольнике) В результате мы установили бы, что у аддитивной
и абсолютно непрерывной функции множества Ф (е) почти во всех точках
плоскости1) существует симметричная производная ПЛ1Ф(е), измеримая на
всяком измеримом множестве Е и такая, что
O(£) = j ОлФ (е) dw.
Е
В связи с этим естественно было бы определить и понятие неопределен-
ного интеграла для всякой функции f(M), заданной на всей плоскости и
суммируемой на каждом измеримом множестве. Сделав это, мы установили
бы, что всякая абсолютно непрерывная и аддитивная функция множества
является неопределенным интегралом своей симметричной производной. Однако,
мы не могли бы утверждать, что всякий неопределенный интеграл есть абсо-
лютно непрерывная функция множества, т. е. теорема 1 не имела бы места.
В самом деле, если (ограничиваясь для простоты линейным случаем)
положить f (х) =0 при х < 1 и f (х) = п при п x<n + 1, то / (х) будет суммиру-
ема на всяком измеримом множестве е, но ее неопределенный интеграл не
будет абсолютно непрерывным. Чтобы избежать подобных неудобств, мы и
потребовали, чтобы все рассматриваемые функции были заданы в закреплен-
ном прямоугольнике.
Суммируемая функция / (М) однозначно определяет свой неопределенный
интеграл. Справедливо предложение, в некотором смысле обратное этому .
Теорема 2. Если функции / (Л1) и g(M) имеют один и тот же неопре-
деленный интеграл, то они эквивалентны.
В самом деле, по условию для всякого измеримого множества е (содер-
жащегося в основном прямоугольнике R) будет
р (М) dw = j g (М) dw.
е е
В частности, для множества е = £ (/ > g) будет
j [/ (М) - g (Л/)] dw = 0,
е
откуда (гл. VI, § 1, теорема 6) следует, что тЕ (/>g) = 0.
Аналогично устанавливается, что множество E(g>f) также имеет меру
нуль. Теорема доказана.
Пусть / (Л4) — какая-нибудь суммируемая (на 7?) функция и Ф (е) ее неоп-
ределенный интеграл. Введем функцию <р(Л4), равную симметричной произ-
водной £,ИФ (е) функции Ф (е) там, где эта производная существует (т. е.
почти везде на R) и нулю в остальных точках R. В теореме 4 предыдущего
параграфа мы установили, что Ф (е) будет неопределенным интегралом функ-
ции <р (Л4). Таким образом, одна и та же функция Ф (е) служит неопределен-
ным интегралом и для / (Л1) и для <р (М). Значит, / (Л1) и <р (Л1) эквивалентны.
Этим доказана
Теорема 3. Неопределенный интеграл суммируемой функции поэта везде
имеет эту функцию своей симметричной производной.
Условимся говорить, что точка Л1а есть точка Лебега суммируемой функ-
ции /(Л1), если
lim 1 \f(M)-f(Mo)tdw=O.
<Л1 о. Л)
1) Это значит, что пересечение множества точек, где симметричной произ-
водной нет, со всяким измеримым множеством имеет меру нуль.
343
Теорема 4. Почти нее точки прямоуго гьника R суть точки Иебега функ-
ции f(M), заданные и суммируемой в атом прямоугольнике.
Доказательство згой теоремы вполне аналотично одномерному сл\чаю.
Именно, взяв любое рациональное число г, применим предыдущую теорему
к функции /(41) —а . Почт для всех точек Д10 - R будет
lim ' \ dw — —
h->0
У(ЛГО, /I)
Обозначим через Л (г) множество (меры нуль) тех точек, в которых не
выполнено ло соотношение и пусть
.4 - V>1 (r) -[-/? ( f =+=с),
где суммирование распространено на все рациональные чиста. Ясно, что
тп,4—б.
Покажем, что всякая точка Л40, не входящая в Л, будет точкой Дебета
функции /(41), чем и будет доказана теорема
Взяв е>0, подбираем такое г, чтобы было
(1)
Тогда почти везде!) будет
| /(41) -г - / (At) — / (Л/о)
и потому
dw
У Л)
для всякого квадрата Q (44О, /т), сотержащегося в R. Так как Л1„ е: Л, то
для взятого в > 0 найдется такое 6>0, что, как только 0 < h < 6, так сеп-
час же
ЩМ)-т dw- )(«„)-
<2 (.Vo. Й)
Из (1), (2), (5) следует, что при 0</г<6 будет
/{у 1(М)-ЦМ0) ilw<e,
чем и доказано, что 410 —точка Лебега функции /(41).
§ 3. Обобщение полученных результатов
В этом параграфе мы покажем, что вместо симметричной производной
в приведенных выше теоремах можно было говорить о производных солее
общего вида.
Пусть М — какая-нибудь точка плоскости, а 'Г; _некоторая система изме-
римых множеств, содержащих точку М. Условимся говорить, что система !Vi
сжимаема* 2) в точку М, если среди множеств системы имеются множества
сколь угодно малого диаметра. При этом диаметром dE множества Е иазы-
]) Точнее, это соотношение верно во всех точцах Л-1, где ) (М) а со.
2) Это выражение вводится здесь впервые.
344
вается точная верхняя граница расстоянии точек Г. 'друг от друга dE —
= sup{p(M, Л')} (Л4 g Е, N е Г.).
Если система ЭД сжимаема в точку М и для каждого множества е этой
системы найдется такой содержащий его квадрат Q (М , й), что
/12 - а те,
где <7. число, не зависящее от выбора множества с, го говорят, что система
ЭД регулярно сжимаем,, в точку М. Грубо говоря, регулярная сжимаемость
системы означает, что в ней нет слишком «сплющенных» множеств.
Пусть ’.У! есть система измеримых множеств положительной меры, сжи-
маемая в некоторую точку М, а Ф (с) какая-нибудь функция множества. Если
существует (конечный или бесконечный) предел”
Д ф(е)= hщ 5^1 (ее ЭД),
то этот предел называется производной функции Ф (а) в точке М, относи-
тельно системы ЭД.
Теорема 1. Путпь Ф (е) — аддитивная и абсо потно непрерывная функ-
ция множества. Почти в каждой точке Л1 основного прямоугольника R сущест-
вует производная ЛД)Ф (с) этой функции относительно любой системы мно-
жеств, регулярно сжимаемой в эту точку, причем значение указанной произ-
водной не зависит от выбора системы. Для любого измеримого множества Е,
содержащегося в R, будет *)
$ ЛЛ]Ф(е)^ = Ф (£). (*)
£
Доказательство. Функция Ф(е), будучи аддитивной и абсолютно
непрерывной, является неопределенным интегралом некоторой суммируемой
функции /(Д'). Почти все точки R суть точки Лебега этой функции. Пусть
Л40—точка Лебега /(А4). Покажем, что в этой точке производная Дм <Ф(е)
относительно любой системы, регулярно сжимаемой в Л40, будет равна /(Л40)-.
Лдц,® =/ •
Этим п будет доказана теорема.
Пусть ЭД = {е}— какая нибудь система множеств, регулярно сжимаемая
в точку Л1„. Тогда для каждого множества е системы найдется с ^держащий
его квадрат Q (Мо, /1), У которого Id-s^ame.
Так как
^(Л1)^-/(ЛЦ,
е
ТО
| - f (Л1о) | i $ I М - i dw-
Но Q (Л40, fi) g е. Значит:
V 1 f(M)-f(MQ) dw^ dw.
e Q(M0, hl
*) Прон'водная Д vp (e) будет определена не во всех , а только по'гт и во
всех точках Е. Поэтому под написанным в последней формуле интегралом
надо понимать J ДЛ1Ф (е) dw, где Еа есть та часть Е, на которой опреде-
лена ДЛ)Ф(е).
345
Отсюда следует, чго
|£^)_ f(/W„)|^ “ Jj |/(Л4)-/(Л10) dw.
Q(Ma, h)
Когда <Уе->0,- то и й-гО, а так как Л10 —точка Лебега функции /(Л1),
то последний интеграл стремится к нулю вместе с Л. Таким образом,
llm =
</г->0 те
Теорема доказана. Полезно указать, чго опа перестает быть верной, если
отбросить условие регулярной сжимаемости рассматриваемых систем множеств.
В заключение остановимся на вопросе о том, как из результатов этой
главы получить уже известные результаты гл. IX о функциях одной пере-
менной.
Пусть /(^—суммируемая на некотором интервале (а, Ь) функция. Пола-
гая Ф (е) = j f (/) dt [a c (a, b)], получаем ее неопределенный интеграл Его
производная относительно любой регулярно сжимаемой в точку х системы
равна / (х) почти в каждой точке х. В частности, это так, если за рассмат-
риваемую систему множеств принять систему сегментов [х, х-|-Дх], имеющих
точку х одним из своих концов. ') Производная ДАФ (е) относительно этой
системы совпадает с обычной производной в точке х функции
, . й Ф([х, х+Дх]) <р (х + Дх) — ф (х)
Ф (х) = \ / (/) dt, ибо —Y/ = З-Д—I—r-t—.
Y ' J т | х, х + Дх] Дх
а
Отсюда снова получается теорема 2 из §4, гл. IX. Чтобы доказать тео-
рему 3 того же параграфа, нам понадобится
Теорема 2 Если, ф (х) — абсолютно непрерывная функция, заданная на
сегменте [а, 6], то существует такая аддитивная абсолютно непрерывная
функция Ф (е), заданная на измеримых множествах сегмента (а, Ь], что
Ф([а, х]) = ф(х)-ф(а).
Мы дадим лишь набросок доказательства этой теоремы, предоставляя
детали рассуждения читателю.
Так как всякая абсолютно непрерывная функция точки есть разность
двух абсолютно непрерывных же возрастающих функций, то, не ограничивая
общности, мы можем считать (что мы и делаем), что функция ф (х) возрастает.
Пусть Обозначим через Д любой из четырех промежутков
[a, Р], (а, Р), [а, Р) и (а, р] и положим по определению Ф (Д) = ф (р) — <р (а).
Этим функция Ф (с) будет определена для всех промежутков, лежа-
щих в [а, 6], а нам требуется определить ее для всякого измеримого
множества ес(я, 6]. Бросается в глаза аналогия этой задачи с задачей
введения меры измеримого множества, которой мы занимались в гл. III.
Аналогия эта подсказывает и путь решения. Именно, если G есть открытое
множество, содержащееся в [а, Ь], то мы полагаем Ф (G) = У Ф (ДА), где
k= i
Д/; составляющие интервалы G. Нетрудно проверить, что из G\ с. G2 вытекает
Ф (GJ- : Ф (G2), что из 0^2 = 0 следует Ф (Gt -|- G2) = Ф (Gj + Ф (G2) и что
вообще Ф (Gl-i-G2) s== Ф (GJ -|-Ф (G2). Все это устанавливается так же, как
в § 1, гл. III.
Опираясь на абсолютную непрерывность функции ф (х), мы без труда
устанавливаем, что
lim ®(G)=0. (*)
mG ->о
J) У этой системы a = 2.
346
Если Е есть произвольное измеримое множество, содержащееся в [о, fe],
то мы выбрасываем из него точки а и Ь и рассматриваем всевозможные откры-
тые множества G, содержащиеся в (a, fe) п содержащие Е. Положив по опре-
делению ®(£) = inf {Ф(б)}, мы и получим требуемую функцию. Действительно,
ее абсолютная непрерывность вполне очевидна, благодаря соотношению (*).
Значит, дело сводится к проверке аддитивности этой функции. Но так как
функция Ф (е) подобна внешней мере множества е, то, так же, как в тео-
реме 5, § 3, гл. III, мы установим, что Ф (ly-|-i’2) <D (с,)Ф (г2).
С другой стороны, если F\ и F2 — два замкнутых множества без
общих точек, то, опираясь на теорему отделимости, мы покажем, что
Ф (£] + £г) =Ф (Л)+ Ф (F.j.)-
Это делается так же, как в теореме 6, § 2, гл. III. Теперь нам надо
установить аналогию функции Ф(£) с внутренней мерой множества £.
Если £—произвольное измеримое множество, а £ —его замкнутое под-
множество, то Ф (F) '<Т) (£).
С другой стороны, всякому е>0 отвечает такое <5 > О, что неравенство
те < 6 влечет неравенство Ф(е)<е. Заметив это, возьмем какое-нибудь изме-
римое множество £ и е > 0. Найдя соответствующее этому е (в только что
указанном смысле) 6, построим замкнутое множество Fat., у которого
mF > тЕ-b.
Так как £^-£+(£-F) , то Ф (£)-етФ (£) + Ф (£ -F) . Но т (£ -F) < д
и потому Ф (£ — £) < е Стало быть Ф (£) < Ф (F)-|-e. Это показывает, что
ф (£) = sup {Ф (F)}, где F суть всевозможные замкнутые множества, содержа-
щиеся в £. Этим доказано, что действительно, функция Ф(£) сходна с внут-
ренней мерой. Опираясь на это сходство и повторяя рассуждения, подробно
проведенные при доказательстве теоремы 6, § 3, гл. III, мы получим, что
при ехе2 = 0 будет Ф (е, 4- л.) yg Ф (ej + Ф (е2).
В сочетании с ранее доказанным противоположным неравенством, это
соотношение устанавливает аддитивность функции Ф (г). Теорема доказана.
Теперь уже легко вывести теорему 3, § 4, гл. IX. Для этого надо лишь
построить, как только что указано, функцию Ф (г). Эта функция будет неоп-
ределенным интегралом своей производной, т. е. Ф (г)=^/ (/) dt.
, е
х.
В частности для е — р, х] получаем ср (х) = ср (rz)'j/(/) dt, что равно-
fl
сильно упомянутой теореме.
ГЛАВА XIV
ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Упорядоченные множества. Порядковые типы
Начиная с гл. III, мы занимались почти исключительно метрической
теорией функций, в которой основным является понятие меры точечного
множества. Для этой теории нам оказались достаточными те скромные сведения
из теории множеств, которые изложены в первых двух главах книги. Желая
останови>ься на некоторых вопросах дескриптивной теории функций, мы
должны расширить наши сведения по теории множеств; этому и посвящена
настоящая глава.
В гл. I, говоря о множестве, мы отвлекались от того, в каком порядке
расположены его элементы. Здесь, напротив, вопрос о порядке элементов
данного множества будет для нас основным.
Определение 1. Множество А называется упорядоченным, если указано
правило <(, согласно которому из всяких двух различных элементов а и b
множества А один оказывается предшествующим другому. При этом должны
быть соблюдены два требования:
1) Если а предшествует b то b не предшествует а.
2) Ес.ш а предшествует b, а b предшествует с, то а предшествует <
Если а предшествует Ь, то говорят, что b следует за а. Символически эю
записывается гак:
а —3 b, а.
Самое правило <р, о котором шла речь в определении, называется способом
упорядочивания. Говоря, что дано упорядоченное множество А, мы всегда
будем считать, что оно рассматривается вместе с его способом упорядочивания.
Если множества А — {а, Ь, с] и В = \b, i, а | упорядочены в порядке написания
букв, то это суть разные упорядоченные множества.
В связи с этим находится и несколько своеобразное употребление термина
«часть упорядоченного мно/кества». Именно, если А есть упорядоченное мно-
жество, а В есть подмножество А, то всякие два элемента В входят и в Л и
там (в Л) имеют определенный порядок следования. Так вот, мы раз навсегда
условимся считать, что и в множестве В эти элементы имеют гот же порядок
следования, что и в Я. Легко понять, что это соглашение есть способ упоря-
дочивания множества В.
Таким образом, частью упорядоченного множества А мы будем называть
упорядоченное множество В, все элементы которого входят в Л и взаимный
порядок которых одинаков в А и в В.
Если, например, А = {а, Ь, г}, В—{a, b), С={Ь, а}, то частью А
является В, но не С.
Приведем некоторые примеры упорядоченных множеств.
1. Прежде всего всякое множество А вещественных чисел можно упоря-
дочить, считая из двух чисел, входящих в А, предшествующим то, которое
меньше. Этот порядок мы будем называть естественным.
2. Можно было бы упорядочить всякое множество вещественных чисел
и в обратном порядке, считая предшествующим большее число . Например ,
348
множество всех натуральных чисел упорядоченное по указанному способу,
расположится так: {... , 5, 4, 3, 2, 1}.
3. Конечное множество из п элементов можно упорядочить п\ различными
способами.
4. Каждое натуральное число п единственным образом представляется
в форме п = 2* (2/п т 1) (/е — 0, 1, 2, . : in == 0, 1,2. . ).
Условимся число n — 2fc (2от4-1) считать предшествующим числу /г' —
= 2к'(2ш'+1), если/г </г' пли если к = к', ио in < in'. При этом способе у пор я-
дочивания натуральные числа расположатся так:
1, 3, 5, 7, 9, ...
2, 6, 10, 14, 18, ...
4, 12, 20, 28, 36, ...
причем из двух чисел разных строк предшествует то, которое написано выше,
а в каждой строке числа расположены в естественном порядке. Например,
7^2, 18^12, 28-^36.
5 Каждое комплексное число единственным образом представимо в форме
2—г (cos <р + ( sin ср) (0 ср,-2л), где г модуль, а ср аргумент числа *) ^ло-
вившись считать, что из двух комплексных чисел предшествует то, у которого
модуль меньше, а в случае равенства модулей—то, у которого аргумент
меньше, мы упорядочим множество всех комплексных чисел.
Пусть ,4 упорядоченное множество и ае,4. Если в множестве A nei
элементов, предшествующих а, то а называется первым элементом А. Анало-
гично вводится понятие последнего элемента. Датее, если а , Ь, с суть эле-
менты А п и—3е, го говорят, что I) лежит между a т 1 с
Определение 2. Пусть А и В два упоря точенных мп ожестна и ф взаимно
однозначное соответствие между ними. Если всякое соотношение
а —3 и',
имеющее место между элементами А, остается верным при замене лих эте-
менгов соответствующими им элементами В, то соответс!вие ф называется
наложен нем множеств А и В друг на дру а.
Иначе говоря, наложение двух упорядоченных множеств есть соответствие,
сохраняющее порядок следования элементов
Определение 3. Если два упорядоченных множества А н В можти начо-
жп1ь друг на друга, го говоря!, что эти множества подобны между собой и
пишу!
А- В.
Теорема 1 Если упорядоченные множества подобны между собой, то они
эквивалентны.
Действительно, наложение есть вид взаимнооднозначного соогве1С1вня.
Легко видеть, чго для конечных множеств эта теорема обратима, г. е.
справедлива
Теорема 2. Вели А и В упорядои’нные конечные множеству состоящие
из одинакового количества элементов, то .ти множества подобны друг другу
Для доказательства эпло факта нам понадобится следующая лемма.
Лемма. Если А конечное упорядоченное множество, то в нем есть первый
элемент.
Депствигельнр возьмем каков нибудь элемент из А Если он первый го
лемма доказана. В противном случае в .4 имеются элементы, предшествующие
выбранному. Возьмем какой нибудь из них . Если он первый в А ,то лемма
доказана. В противном случае открывается возможность дальнейшего т ыде-
ления новых элементов из А. Продолжая этот процесс, мы необходимо
2) Для z = 0 условимся считать тр = 0.
349
встретим первый элемент А, ибо иначе из конечного множества удалось бы
выделить бесконечную последовательность различных элементов, что невоз-
можно.
Следствие. Если А конечное упорядоченное множество из п элементов, то
его можно перенумеровать так, чтобы оказалось
ai аг “а аз Н • —э ап-
Действительно, для этого нужно обозначить через а1 первый элемент А,
через а2 — первый элемент (конечного) множества A — {nJ и т. д.
Теперь теорема 2 очевидна. Действительно, если А и В упорядоченные
множества, в каждом из которых есть по п элементов, то нумеруем их выше-
указанным способом и соотносим друг другу элементы с одинаковыми номерами.
Для бесконечных множеств теорема 1 не обратима. Например, если
4={1, 2, 3, ...}, В = {... , 3, 2, 1},
то множества А и В эквивалентны друг другу (они состоят из одних и тех
же элементов) Однако они не подобны, что видно хотя бы из того, что в А
есть первый элемент, а в В его нет, в то время как при наложении упорядо-
ченных множеств первому элементу одного из них необходимо должен отвечать
первый элемент другого.
Теорема 3. Пусть А, В, С упорядоченные множества. Тогда
1) А А. 2) Если А ~ В, то В^ А. 3) Если А^В, а В с^С, то А С.
Доказательство предоставляем читателю.
Точно так же как понятие эквивалентности двух множеств привело нас
к общему определению мощности, так и понятие подобия приводит к опреде-
лению порядковою типа.
Определение 4. Пусть все упорядоченные множества разбиты по классам,
так что два множества попадают в один класс тогда и только тогда, когда
они подобны. Соотнесем каждому такому классу упорядоченных множеств
какой-либо символ и назовем его порядковым типом любого множества дан-
ного класса.
Порядковый гип упорядоченного множества А обозначают через А. Отно-
сительно подобных множеств А и В говорят, что они имеют один и тот же
порядковый тип и пишут А = В.
Все множества, имеющие данный порядковый тип а, имеют одинаковую
мощность. Ее называют мощностью типа а и обозначают через а. Если
А — а, то А = а.
Если а = р, то й = р, но, как мы видели, обратное предложение, вообще
говоря, неверно.
Некоторые, часто встречающиеся, порядковые типы имеют общепринятое
обозначение.
Например, порядковый гип множества Д = {1, 2, 3.....п} (а стало быть
и всякого упорядоченного множества, состоящего из п элементов) обозначают
буквой п. Таким образом символ п одновременно служит обозначением и
мощности и порядкового типа множества Д. Это несовершенство обозначений
не приводит к сколько-нибудь заметным неудобствам.
В дальнейшем мы условимся пусгое множество и множества из одною
элемента считать упорядоченными и их типы обозначать соответственно
через Он 1.
Порядковый тип множества всех натуральных чисел, расположенных
в естественном порядке N = {1, 2, 3, 4, ...} обозначают символом со, N = u>.
Порядковый тип множества всех натуральных чисел, расположенных
в порядке, обратном естественному, Л’* = {..., 4, 3, 2, 1} обозначают симво-
лом со*.
Очевидно, со* -—со, но со*#=со.
Вообще, имея упорядоченное множество Д со способом упорядочивания ср,
можно получить другое упорядоченное множество А*, состоящее из тех же
элементов, но с «обратным» способом упорядочивания <р*. Именно, если аеД,
350
се.4 и согласно (р будет a-ijb, то согласно гр* должно быть а^-b. Если
тип А есть а, то тип А* обозначают через а*.
Легко понять, что (а*)* = а. Для порядкового типа п конечного мно-
жества будет /г*=/г.
Порядковый тип множества всех целых чисел в естественном порядке
{..., —3, —2, — 1, 0, 1,2. 3, ...}
обозначают через л. Очевидно л*=л.
Порядковый тип множества R всех рациональных чисел, расположенных
в естественном порядке, обозначают через г]. Очевидно г]* = т].
Наконец, порядковый тип множества Z всех вещественных чисел, в их
естественном порядке, обозначают через X. Ясно, что к* =к Легко видеть,
что порядковый тип любого интервала 1) (но не сегмента!) числовой прямой
есть К. Наложение интервала (а, &) = {х} на множество Z={y} можно
, , (2х — а — Ь)л
осуществить, например, по формуле у — tg ,
Теорема 4. Каково бы ни было счетное упорядоченное множество А, из
множества R всех рациональных чисел в их естественном порядке можно
выделить часть 2) 7?0, подобную множеству А.
Доказательство. Перенумеруем оба счетные множества А и R:
А = {аъ а2, а3, ...}; Я = {н, г2, гз, }•
Само собою разумеется, что эта нумерация никак не связана с порядком
элементов в А и R (в R вообще невозможно установить нумерацию, при
которой г3 —) г2 —3 г3 ибо R не содержит первого элемента).
Положим «! = !. Сделав это, назовем через гп тот из элементов R,
который: 1) расположен относительно гп так же, как элемент я2 расположен
относительно а3 (т. е. если а2а{, то гп > гп , а если а^^а^ то гп <гп^
и 2) из всех таких элементов R имеет наименьший номер .Существование
такого, элемента гп следует из того, что в R нет ни первого, ни последнего
элемента.
Далее, пользуясь тем, что между двумя элементами R всегда имеются
промежуточные, а также тем, что в R нет ни первого, ни последнего элемента,
легко убедиться, что в R есть элементы, расположенные относительно гп и гп
так же, как а3 расположено относительно а1 и а2. Тот из них, который имеет
наименьший номер, назовем через г . Продолжая этот процесс неограниченно,
мы построим последовательность гп , гп , гп , ... элементов R, которая и
представит собой требуемое множество Ru (еще раз отметим, что взаимный
порядок чисел в определяется их величиной, а не величиной их
номеров).
Доказанную теорему можно формулировать так: множество типа г] содер-
жит части любого типа а мощности а.
Определение 5. Пусть А упорядоченное множество и аеЯ. Множество
всех элементов А , предшествующих элементу а , называется от р зноя, отсекае-
мым элементом а от множества А, и обозначается через А,,.
Отметим, что сам элемент а в отрезок Аа не входит. Если а первый
элемент А, то Аа есть пустое множество. Отрезок упорядоченного множества
есть часть последнего и, как таковая, сам есть упорядоченное множество.
Пусть а е А и Аа есть отрезок, отсекаемый элементом а от множества А.
Если а' есть элемент А, предшествующий элементу а, то отрезки А... и (Аа)а,
отсекаемые им от А и от Аа, тождественны (Аа)а, = Аа,, так что из двух
отрезков упорядоченного множества один есть отрезок другого. Это дает
возможность упорядочить множество Н, состоящее из всех отрезков упорядо-
*) Мы считаем, что числа интервала расположены в естественном порядке.
2) При этом числа множества R3 расположены в Ra в том же (естественном)
порядке, что ив/?.
351
чснного множества А. Именно, мы ус.човрмся из лвух отрезков Л„ и А ,
считать предшествующим Л ,, если А , cz А„, или, что го же самое, если
а' —Очевидно, зправедтива следующая теорема.
Теорема 5. Множество И всех отрезков упорядоченного множества А
подобно множеству /1.
Действительно, соотнеся дрх г друге элемент а п отсекаемый им отрезок
4,,, мы получим наложение множеств А и // др\г на друга.
Например, если Д—{а, />, с}, то Н — {0, {а,1, {а, ЬЦ. Оба множества
имеют порядковый тип 3.
В заключение остаиогпмся на операции сложения порядковых типов
Пусть / — {>.| есть упорядоченное множество и пусть каждому /.=/.
соотнесено упорядоченное множество А, , причем множества А, попарно не
пересекаются. В таком случае легко упорядочить сумму S= У А).
) el.
Именно, пусть а и «' суть элементы S. Тогда а<=А), а'егАу. Усло-
вимся считать, что а —$аг (в множестве S) если (в множестве L) пли
если Л = л', но в множестве А,. В дальнейшем, говоря о сумме упоря-
доченного множества упорядоченных множеств, мы всегда будем предполагать,
что эта сумма упорядочена по указанному способу.
В силу сказанного, множества Л-уВ и В + Л суть различные упорядочен-
ные множества
Пусть, теперь, 1. — {к] есть упорядоченное множество п каждому Л
соотнесен порядковый тип а,. Возьмем для каждого Л множество Лщ упоря-
доченное по типу а, и, предполагая эти множестЕШ попарно не пересекающи-
мися, образуем сумму S= А,.
i.zL
Согласно сказанному' выше, эта сумма есть упорядоченное множество.
Ее порядковый тип, по определению, называется суммой упорядоченного
множества порядковых типов {az} S= а>.
l.zi.
Легко понять, ' что это определение не зависит от выбора множеств Л;,
а только от чипов а,.
В простых случаях порядок слагаемых будет указан самим способом их
написания.
Пример ы. _____
1) 2 + 3 = 5, ибо при /1=2, 5 = 3 окажется А-\-13=б. Нетрудно убе-
диться, что и вообще для конечного числа слагаемых, являющихся типами
конечных множеств, новое определение суммы совпадает с обычным пониманием
этого термина.
2) 1 -(-« = «• Действительно, l-J-co есть тип множества
{а, /?,, Ь2, />3, •••},
которое имеет тип от.
3) Напротив, to +1 + со, ибо со 1 есть тип множества
{/?,, Ь2, Ь3, ... ; а),
в котором есть последний элемент. Таким образом, 1 + со #= со + 1 и сложение
порядковых типов не коммутативно.
4) со*-|-со = л. Здесь также щ-рсо*-?' оН'+со.
5) 1-J-A.+ 1 есть порядковып run сегмента [и, Ь].
§ 2. Вполне упорядоченные множества
Определение. Если всякая непустая часть упорядоченного множества А
имеет первый элемент, то А называется enow упорядоченным множеством.
Кроме того, мы условимся пустое множество также считать вполне упо-
рядоченным.
352
Теорема 1. Всякое конечное упорядоченное множество вполне упорядочено.
Действительно, всякая непустая часть такого множества сама есть конеч-
ное упорядоченное множество и, по лемме § 1, имеет первый элемент.
Другими примерами вполне упорядоченных множеств могут служить мно-
жества
Л/ = {1, U 4 ... }
М = {1, 3, 5, 7, ... ; 2, 4, б, 8, .. .} (M = w-|-w).
Докажем для примера, что Л' вполне упорядочено. Пусть И* есть непустая
часть /V. Возьмем в Л * ирон звольный элемент п. Если п есть первый эле-
мент N*, то наше предложен не доказано. В противном случае множество1)
!\!*Nn есть непустое и (вместе с Л',г) конечное множество, — в нем, следова-
тельно, есть первый элемент п0 , который , очевидно , является первым и в N* .
Напротив, упорядоченное множество /. = (..., 4, 3, 2, 1} не будет вполне
упорядоченным.
Из определения непосредственно следует
Теорема 2. 1) Всякая часть вполне упорядоченного множества вполне
упорядочена.
2) Непустое вполне упорядоченное множество имеет первый элемент.
3) Если из двух подобных упорядоченных множеств одно вполне упорядочено,
то и второе также вполне упорядочено.
4) За каждым, кроме последнего, элементом вполне упорядоченного множе-
ства есть непосредственно следующий.
5) Из вполне упорядоченного множества нельзя выделить бесконечной убы-
вающей последовательности, т. е. последовательности вида
5- ••• (1)
Остановимся только на доказательстве 5). Если бы последовательность (1)
существовала, то, будучи (непустой) частью вполне упорядоченного множества,
она содержала бы первый элемент. Но ни один ее элемент ап не первый , ибо
Я/1+1 S ап-
. Фундаментальную роль играет следующая теорема.
Теорема 3. Пусть А есть вполне упорядоченное множество, а А* его
часть (могущая, совпадать с Л). Не может существовать такого наложения-)
множества А на А*, в котором элементу а е А отвечает в А* предшествую-
щий ему (в множестве Л) элемент а*.
Доказательство. Допустим, напротив, что такие наложения А на
Л* существуют, и пусть ср есть одно из них. Обозначим через Л4 множество
'тех элементов Л, которым при наложении ср в множестве Л* отвечают эле-
менты , предшествующие им (в Л) . По условию М не пусто и в нем, стало
быть, есть первый элемент а0. Пусть элементу а0 при наложении ср в мно-
жестве А* отвечает элемент а';. Очевидно, в множестве Л будет aj—Зо0.
Но при наложении ср элементу оу, как элементу множества Л, в множе-
стве Л* также отвечает какой-то элемент а1. Так как <р есть наложение,
т. е. соответствие, сохраняющее порядок следования элементов, то в множе-
стве А*, а значит и в множестве Л, элемент аг предшествует элементу а*
Qi а*.
Таким образом, элемент а* также должен входить в М, что, очевидно,
невозможно , потому , что ау-^а 0, а а п первый элемент М . Т еорема доказана.
Следствие 1. Вполне упорядоченное множество не может быть подобно сво-
ему отрезку или части своего отрезка.
Действительно, если Л впоане упорядоченное мюжество иАа его отре-
зок, отсекаемый элементом а, то при всяком наложении Л на Л„ или на часть
Аа элементу а должен был бы отвечать элемент, предшествующий ему, что,
как мы видели, невозможно.
J) А;я есть отрезок, отсекаемый от N числом п.
2) Как всегда, мы считаем, что Л* упорядочено так же, как и Л, так
что и Л* вполне упорядочено.
12 И. П. Натансон 353
Следствие 2. Два различна* отрезка вполне упорядоченное) множества не
могут оказаться подобными друг другу
Следствие 3. Вполне упорядоченное множество не может быть подобным
отрезку своей части
Теорема 4. Д.а подобных между собой впоте упорядоченных множества
можно на южить друг на друга единств) иным способом
Доказательство [Деть q и ф два различных наложения вполне
упорядоче! ных множеств /1 и В друг па друIа Обозначим, соответственно
через <р (а) и 4(a) образы элемента а е А в множестве В при этих наложе
пиях, и пусть а0 такой элемент А, что q (а0) ф (а0) (такой элемент суще
ствует, поскольку q и з| различные наложения) Если ft = q.(o0) и b —
— ф (дД, то отрезок Аа подобен двум различным отрезкам В(, и В/. множе
ства В Но тогда эти отрезки должны быть подобны между собой, что, как
мы видели, невозможно
Следующая теорема является основной в теории вполне у горядоченных
множеств
Теорема 5. Из двух вполне упорядоченных множеств одно подобно другому
или отрезку другого
Доказательство Пусть А и В два вполне упорядоченных множе
ства Условимся говорить, что элемент а множества А есть «нормальный)
элемент, если отсекаемый им отрезок Д, подобен какому нийдь отрезку /ф
множества В Примером нормального элемента может служить первый эле
мент А
Легко видеть, что элемент а', предшествующий нормальному элементу а,
сам является норма льпыуз В самом деле, налагая отрезок Atl на подобный
ему отрезок B/j мы очевидно наложим отрезок Ао — (An)tl па некоторый
отрезок отрезка Вь, т е на отрезок множества В
Обозначим через М множество всех нормальных элементов множества А
Оказывается, что М пли совпадает с множеством А пли является его отрез
ком Действительно, если Л! А, то множество (Л —Л1) не пусто и в нем
есть первый элемен т Покажем, что
М=Ат. (2)
Если а е М, то ег:'т Но невозможно также, чтобы оказалось а^т,
ибо в этом случае элемент т, предшествуя нормальному элементу a, cayi бил
бы нормальным и входил в М, в то время как т е Л1 Таким образом, необ
ходимо а^т и, стало быть, ое Ат Эти уз доказано что М с Ат
Обратно, если а е Ат, то а-^т и, следовательно, а не может входить
в А М, так что а е М Итак, А,„ с М, и (2) доказано
Теперь назовем be В нормальным элементоу[ если отрезок В/, подобен
какому нибудь отрезку мнонесгва А, и пусть Л множество всех нормальных
элементов В Аналогично предыдущему , N=B или В --В,,
Покажем теперь, что множества М и N подобны друг другу Пусть
а е М Тогда отрезок .4,, подобен отрезку Вь множества В, причем, очевщно,
b е А Будем считать элементы а и b взаимно соответствующими Легко
видеть, что каждому элементу а е М в множестве Л может соответствовать
только один элемент b и обратно (если бы элементу а отвечали два элемента
b и Л', то отрезки Вь и Вь , подобные отрезку А , были бы подобны между
собой что невозможно)
Таким образом, у нас установлено взаимно однозначное соответствие
между множествами М и \ Остается обнаружить, чго эго соответствие сохра
няет порядок элементов, т е есть наложение
Пусть а и а два элеукнта М, b и Ь' соответствующие иуг элементы Л и
а-\а' Налагая отре ок А на подобный ему отрезок Вь мы наложим отре
зок —0а )(( на некоторый отрезок (Bb отрезка Вь Но (Ай )6 =ВЬ^ и
стало быть, отрезок А|( подобен отрезку ВЬо множества В С другой стороны,
в множестве В есть только один отрезок, подобный Аа, и это есть Зна
354
чнт, b = bQ, а так как bQ <= Вь , то b^^b', т е b Ь', что и доказывает
подобие множеств М и ,V
Теперь уже легко завершить доказательство Действительно, из четырех
логически мыслимых случаев
1) М = А N = B 3) М = А, N = Blt
2) М = А,„, М=В 4) M = Am, N=Bn
четвертый невозможен, ибо он означат бы, что tn нормальный элемент а тогда
было бы т е М — Ат, что противоречит определению отрезка
Итак, остаются первые три стучая В случае 1) множества А и В подобны
а в случаях 2) и 3) одно из них подобно отрезку другого Теорема доказана
Если вполне упорядоченное множество А подобно отрезку вполне упорядо
ченного множества В, то мы будем говорить, что множество А короче мно
жества В
Теорема 6, Во всяком множестве S попарно неподобных впоте упорядо
ченных множеств есть самое короткое
Доказательство Пу сть А е S Если А есть самое короткое из
множеств, входящих в S то теорема доказана В противном случае в S имеются
множества более короткие, чем А, и они подобны некоторым отрезкам А
Пусть R— {а} есть множество таких элементов а множества А что отсекаемые
ими отрезки Аа подобны множествам, входящим в 5 Если а* есть первый
элемент R и А‘еЗ есть множество, подобное отрезку А ,, то А* и будет
самым коротким из множеств, входящих в S Денствительно, А* короче вся-
кого множества В, если А пороче В Если же В короче А , то В А „ где
del? Но а* первый элемент /?, так что а* а и 4а, есть отрезок А ,
откуда ясно, что А* короче В
Теорема 7, Сумма вполне упорядоченного множества вполне упорядоченных
множеств есть вполне упорядоченное множество
Доказательство Пусть S = У] 4;, причем множеезва L и А/
Хе/
впотне упорядочены Множество S упорядочено (см § 1) Пусть есть не
пу-'тая часть S Назовем через Ln множество таких /е L, что Д. .S,'- Он
пусть Х„ первый элемент L,, Множество А-, есть непустая часть А-. Если
п 1 (I ' о U г о
а0 первый элемент этого множества, то он является первым и в множестве .Sn
Теорема доказана
§ 3. Порядковые числа
Определение 1. Порядковый тип вполне упорядоченного множества назы-
вается порядковым числом
Если порядковое число имеет бесконечную мощность, то оно называется
трансфинитным числом
Число 0 и все натуральные числа суть конечные пер ядковые числа Ч исла
<о, то -г I и <а-|-2 суть трансфинитные числа
Порядковые типы ч>’, л, i], л не являются порядковыми числами, ибо
это суть типы упорядоченных, но не вполне упорядоченных множеств
Определение 2. Пусть аир два порядковых числа Возьмем два вполне
упорядоченных множества 4 и В, имеющих соответственно типы аир Если
А короче В, то говорят, что а меньше Р или что р больше а, и пишут
а < р, р > а
Это определение зависит только от чисел а и р, но не от множеств /1
и В В применении к конечныут числам данное определение равносильно обыч
ному, так что
0<1<2<3< ,
а трансфинитные чиста оказываются ботьшими всех конечных
Весьма важно, что для порядковых чисел ихеет место трихотомия, т е
справед шва следующая теорема
12* ЗЗо
Теорема 1. Если а и р порядковые числа, то каждое из соотношений
et = fi, а < Р, а > р исключает остальные и одно из них обязательно выпол-
няется. __ ' _
В самом деле, пусть А и В множества типов Л = а, В — р.
Если эти множества подобны, то а = р. Вместе с тем соотношения а < р,
а > р невозможны, ибо если Л -- Н, то ни одно из этих множеств не короче
другого. Если же множества А и В не подобны, то одно (и только одно) из
них обязательно короче другого.
Замечание. Если В есть часть вполне упорядоченного множества А, то
В-.сЛ.
Действительно, в силу следствия 3, теоремы 3, § 2, соотношение В > А
невозможно.
Теорема 2. Во всяком множестве S попарно неравных порядковых чисел
есть наименьшее число.
Доказательство. Каждому а е 5 можно соотнести вполне упоря-
доченное множество А типа А = а. Если Аа есть самое короткое из этих мно-
жеств (теорема 6, § 2), то а0 = Л0 есть наименьшее из чисел множе-
ства S.
Следствие. Всякое множество порядковых чисел, если его упорядочить по их
величине, вполне упорядоченно.
Условимся обозначать через множество всех порядковых чисел, мень-
ших порядкового числа а. По следствию Ц7а есть вполне упорядоченное мно-
жество.
Теорема 3. Тип множества есть а:
Wa=ct.
Доказательство. Пусть А множество типа а. Обозначим через Н
множество всех отрезков множества А. Тогда, по теореме 5, § 1, тип Н есть а,
и достаточно показать, что Н и Wa подобны.
Пусть Аа есть элемент Н. Его порядковый тип есть число меньшее а,
т. е. элемент Ц7а. Итак, всякому элементу И отвечает определенный эле-
мент Wa. Разным элементам Н при этом отвечают разные элементы W а, ибо
разные элементы И суть разные отрезки множества А, которые не могут ска-
заться подобными. Наконец, всякий элемент W а есть порядковое число мень-
шее а, т. е. являющееся типом некоторого отрезка множества А. Таким
образом, соотнося элементам И их порядковые типы, мы устанавливаем взаимно
однозначное соответствие между Н и 117а.
Но это соответствие есть наложение. Действительно, ведь Н упорядочено
так, что из двух входящих в него отрезков множества А предшествующим
считается тот, который является отрезком другого, т. е. тип которого меньше,
а это и означает, что взаимный порядок двух элементов Н такой же, как
соответствующих им чисел V7a. Теорема доказана.
Следствий. Если А вполне упорядоченное множество типа а, то его эле-
менты можно перенумеровать порядковыми числами, меньшими а.
Действительно, осуществив наложение множества А на множество Ц/а,
мы соотнесем каждому элементу А порядковое число, меньше а —его номер.
Тогда А расположится в форме последовательности:
Л = {а0, «1, «2, (?<«)
Отметим, что число 0 входит в 117а, так что первый элемент А именно
его и получает в качестве номера. Наконец, нелишним будет напомнить, что
наложение А на возможно единственным способом.
С теоремой 3 находится в связи антиномия Бурали-Форти:
Антиномия Бурали-Форти. Пусть VT есть множество всех порядковых чисел.
По следствию теоремы 2 оно вполне упорядочено. Пусть его порядковый тип
есть у. Тогда тот же тип имеет и U?v. Но Wy есть отрезок множества IV’,
отсекаемый элементом у. Значит, множество VT и его отрезок подобны
друг другу, что противоречит следствию 1, теоремы 3, § 2.
356
Эта антиномия показывает, что самое понятие множества всех порядковых
чисел внутренне противоречиво.
Подобного рода внутренне противоречивые понятия появляются в теории
множеств при некритическом употреблении слова «все». Попробуем, например,
образовать множество S всех множеств. Тогда S должно и само себя содер-
жать в качестве своего элемента, а это противоречит принятому соглашению1),
что всегда А е А.
Причина появления подобных противоречий заключается в незакономер-
ности попыток рассматривать вещи, находящиеся лишь в процессе своего
становления, как нечто уже законченное.
Некоторыми учеными были предложены способы построения теории мно-
жеств, позволяющие избежать появления антиномий. При той «наивной» трак-
товке понятия множества, которая принята в настоящей книге, невозможно
войти в подробности по этому поводу. По мнению автора, можно в общих
чертах охарактеризовать упомянутые способы как различные виды формализа-
ции идеи, заключающейся в том, что элементы всякого множества как бы
«предшествуют» понятию самого этого множества, образование же множества
означает создание нового математического объекта. Нам представляется,
что при последовательном проведении этой идеи антиномии не должны возни-
кать. . Например, если проводить указанную идею, то при образовании мно-
жества 5 всех множеств А мы можем говорить лишь о тех множествах А,
которые отличны от S, ибо, пока мы не ввели этого S, его просто не
было. А тогда на вопрос о том, содержит ли S само себя в качестве своего
элемента, надо дать отрицательный ответ, и никаких нарушений правил теории
множеств не происходит. 2)
Опыт теории множеств показывает, что в тех случаях, когда все рас-
сматриваемые множества являются подмножествами некоторой заранее данной,
вполне определенной, внутренне непротиворечивой3) совокупности, никаких
абсурдных понятий не возникает. Это наблюдение также представляется нам
некоторым подтверждением высказанной точки зрения.
В заключение отметим, что вопрос о допустимости рассмотрения какого-
либо множества связан с тем, насколько корректно оно определено, а не с тем,
конечно оно или бесконечно: существуют примеры антиномий, возникающих
в обстановке, где ни о каких бесконечных множествах нет и речи. Таким
образом, проблема антиномий есть в большей степени проблема логическая ,
чем математическая.
Теорема 4. Сумма вполне упорядоченного множества S порядковых чисел
сеть порядковое число.
Эта теорема следует из определения суммы порядковых типов и тео-
ремы 7, § 2. Само собой разумеется, что S считается «законным» множеством4),
в частности S yb W.
Теорема 5. Если 5= {а} есть множество порядковых чисел, то существуют,
порядковые числа, большие всех а е 5.
>) Отказ от этого соглашения ничего не спасает, ибо в этом случае анти-
номия появится при попытке образовать «множество Явсех несамосо-
держащих множеств». Действительно, любое из предположений R е R,
R <= R немедленно приводит к своему отрицанию.
2) Соглашение о том, что всегда А е А, мы также счйтаем проявлением
указанной идеи.
3) К сожалению, нет критерия, позволяющего относительно всякого мно-
жества решить, является ли оно непротиворечивым понятием. Практика всей
совокупности наших математических знаний, по-видимому, дает основания
считать, что такие «простые» множества, как множество натуральных чисел,
множество вещественных чисел и т. п., представляют собой достаточно «надеж-
ные» образования.
4) Т. е. таким, рассмотрение которого не приводит ни к каким противо-
речиям.
357
Доказательство. Прежде всего отметим, что для всякого поряд-
кового числа а существует большее, например, се Д- 1. Полому теорема оче-
видна для такого случая, когда в S есть наибольшее число.
Допустим теперь, что в S нет наибольшего числа Тогда порядковое число
о= , а больше всех чисел из S. При этом мы считаем, чго множество
слагаемых S упорядочено по их величине, так что оно вполне упорядочено.
Чтобы доказать неравенсгво о > а (а е S), соотнесем каждому а е .S' вполне
упорядоченное множество Ла типа .4,=-а. Пусть Д = У] (В = а).
ue.s
Тогда каждое множество ,4а есть часть отрезка В/}, отсекаемого от мно-
жества В первым элементом b множества А(1,, где a* s S и а* > а. Значит,
по следствиям 1 и 3, теоремы 3, § 2, множество В не подобно ни Afz, ни
отрезку Да, т. е. а не ==а и а не <а, откуда а > а
Теорема 6. Чисм а ф-1 есть первое следующее за числом а.
Доказательство. Пусть первое следующее за числом а есть р.
Тогда lV/p= Ц/а+{а}, откуда по определению суммы порядковых типов р =
= W/p = «/a + l^ = a + l.
В то время, как всякое число имеет первое следующее, существуют числа,
например ы, у которых нет последнего предшествующего. Это дает повод для
определения:
Определение 3. Порядковое число называется числом первого или второго
рода, смотря по тому, есть или нет у него непосредственно предшествующее
число.
Все конечные числа (кроме 0) суть числа первого рода, таковы же все
числа вида аД-1, например и-г1. Напротив w есть число второго рода.
§ 4. Трансфинитная индукция
Известно, какую важную роль играет в математике метод полной индук-
ции Напомним его.
Теорема 1. Пусть Т (и) предложение, в формулировку которого входит
натуральное число п. Если
1) Т (//„) истинно,
2) из истинности Т (л) следует истинность 7'413-1),
то Т (п) истинно при всяком п - пи.
Доказательство. Допустим, что существуют такие натуральные
числа п~ и0, что Т (п) ложно. Пусть п* наименьшее из них. В силу 1), не-
обходимо /Г > п„. Тогда п* — п,< Из определения п* следует , что t (п* —1)
истинно, но тогда, в силу 2), Т (п*) гоже истинно. Полученное противоречие
доказывает теорему.
Читателю ясно, что существование числа «* гарантируется нам полной
упорядоченностью множества всех натуральных чисел1) Та же идея лежит
в доказательстве следующей теоремы о грансфинитной индук-
ц н и.
Теорема 2. Пусть 7'(а) предложение, з формулировку которого входит
порядковое число а, Если
1) Т (а0) истинно,
2) из истинности Т (а) при всес а таких, что а0 --' а < [>, вытекает ис-
тинность Т (р),
то Г (а) истинно для всякого порядкового числа а0.
’) При строго формальном изложении теории натуральных чисел теорема 1
(или какое-нибудь равносильное ей предложение) обычно принимается за акси-
ому. По вопросу о том, насколько это обязательно, нет единомыслия [см.,
напр , Л. А. Марков, Теория алгорифмов. Труды Магем. ин-та АН СССР,
42, 1954, стр. 18J.
358
Доказательство. Пусть существуют такие а > а0, при которых
Т (а) ложно Обозначим через а1- наименьшее из них. Тогда > а0 [ибо,
в силу I), Т (а„) истинно] и при всех а, где се < предложение Т (а)
истинно Отсюда, в силу 2), и Т (а*) должно быть истинным. Полученное про-
тиворечие доказывает теорему.
§ 5. Второй числовой класс
Определение. Вторым чиповым кмссом'1) Ка называется множество всех
порядковых чисел, являющихся типами счетных вполне упорядоченных мно-
жеств. 2)
Ясно, что все числа второго класса трансфинитны.
Теорема I. Чигю <о явметсч наименьшим числом второго класса и
вообще наименьшим тринсфинитным чипом
Доказательство. По определению, ы есть тип множества
АГ-ДО, 1, 2, 3, 4, .. }.
Всякий отрезок этого множества N„ есть конечное множество. Значит,
порядковое число, меньшее числа о>, есть конечное число, и потому о> н а и-
меиьшее трансфинитное число Поскольку w = /<», теорема доказана.
Теорема 2. 1) Если а. число второго класса, то и сс-j. | ,1исм второго
класса.
2) Если S счетное множество чисе 1 второго класса и у есть наименьшее
число, большее всех чисел из S, то у число второго класса.
Доказательство. Первая часть теоремы почти очевидна. Действи-
тельно, а-ф1 = 1^а -р (а), а множество -ф- {а} счетно вместе с №а.
Переходя ко второй части теоремы, мы можем считать, что в .8’ нет наи-
большего числа, ибо иначе дело свелось бы к 1J. Но легко показать, что
в этом предположении будет
(о
аеЗ
В самом деле, если какое-нибудь число входит в правую часть (1), то
оно, очевидно, входи г и в лев^ю. Обратно, если ст е Wzv то о не может
быть больше всех а из S и, следовательно , в S есть число а0 ~_ст . Но а() не
наибольшее из чисел S Значит, в S найдется число а > сс0, и тогда п е= Й'ф,.
Правая часть (1) есть счетное множество, значит И'ф счетно, и у, как
тип IV'y, входит в 1\„.
Следствие . К юс • К u несчетен .
Действительно, иначе первое следующее за Кп число входило бы в А'о.
Мощность множества Кп обозначается символом (читается: алеф3) —
один), а первое следующее за Кл число символом Q.
Теорема 3. Не существует мощности, промежуточной между мощностью
а счетного множества и Xi-
Доказательство. Множество 1Ф'(; есть сумма счетного множества
АГ = {0, 1, 2, ...} и Ка. Значит 1l’za — Дь
*) Первый числовой класс есть множество А/ - [0, 1, 2, 3, .. }.
2) Вот некоторые соображения, имеющие целью показать, что Ка есть
„законное" множество. Множество R всех рациональных чисел в их естествен-
ном порядке, по-видимому, есть законное множество. Но тогда есть основа-
ние думать, что законно и множество всех его частей, которые являются упо-
рядоченными множествами и, в частности, законно и множество всех вполне
упорядоченных частей R, порядковые типы которых (теорема 4, § 1) и со-
ставляют К,,.
3) Алеф (К)—первая буква еврейского алфавита.
359
Заметив это, допустим, что существует такая мощность т, что а <_т < Xi-
Тогда из lVfl выделяется часть Q мощности т Множество Q не подобно1) lVfl,
Значит, Q подобно отрезку IV' й Но каждый отрезок IV £J отсекается числом
из N или из Ко, т е является конечным или счетным множеством Поэтому
и Q конечно или счетно, а это противоречит допущению, что Q > а
Теорема 4. Если, се К., ecnij число второго рода, то существует такая
возрастающая пос гедовате 1ьносто порядковых чисел Pi < < Рз < , чт0 а
есть наименьшее из чисет, богьших всех чисел последовательности
Доказательство Перенумеруем (очевидно счетное) множество IVа
всех чисел, меньших a cq, а2, а3,
Среди чисел а!г нет наибольшего (ибо иначе а было бы числом первого
рода) Заметив это, положим «1 = 1 и обозначим через п2 наименьшее нату-
ральное число п, при котором а.п > ап , после чего обозначим через п3 нал
меньшее натуральное число п, при котором ал > ап^ и т. д В результате
мы получаем возрастающую последовательность аП1 < <z ап> < , причем
«1 < «2 < «з <
Покажем, что это требуемая последовательность Ясно, что а больше
всех чисел последовательности, и, следовательно, остается показать, что ни
одно число, меньшее а, не может быть больше всех чисел ап
k *
Пусть у<а Тогда у е IV а и, стало быть, у = а/п Если т совпадает
с одним из п^, то у входит в и потому не может быть большим всех
чисел из Если же n^<m<n(S,+i, то поскольку nft+1 есть наименьшее
из тех п, для которых ап > ап^, ясно, что у < ап^ Теорема доказана
Укажем в заключение обозначения для некоторых чисел из
вым из них мы уже знакомы—это ш За ним следуют по порядку
+о С пер-
числа
со +1, со + 2, , со-)-п,
(2)
Первое число, следующее за числами (2), будет, очевидно, со + со, это
число обозначается обычно через со 2 За ним следуют числа
со 2 + 1, со 24-2, , со 2 +п, ... (3)
Первое число, следующее за числами (3), есть со 3
Продолжая этот процесс, мы определим все числа вида со п-\-т
Таких чисел есть счетное множество Первое следующее за ними
число (все еще принадлежащее +0) обозначается через со2 За ним следуют
числа
со2+1, со2+ 2, , со2 + н . ,
за ними идет число со2 + со, а затем числа
со2 + со + 1, со2 + со+ 2, , со2+со + п, . .
За этими числами идет число со2 + со 2, а потом числа со2 + со 2 +и.
Первое следующее за числами этого вида есть число со2 + со 3 Подобным
образом строятся числа вида со2 + со п-]-т
Первое следующее за ними число есть со2 2, после чего вводятся после-
довательно числа
со2 • 2 + со • «+т.
За этими числами идет со2 3 Этот процесс приводит нас к числам
со2 n + co-rn + Z.
!) Ибо Q даже не эквивалентно IV Q
360
Первое следующее за ними число обозначается через со3 За ним пойдут
числа
со3 + <о2 « + <» т-\-1,
а за ними ш3 • 2
Продолжая этот процесс, мы определим числа о4, со5, и все «много-
члены» вида
+ со nk (4)
За этими числами идет число ш®, все еще входящее в Ка [ибо чисел (4)
счетное множество]
За ш® пойдет ш“ + 1, и весь процесс повторится сначала, что приведет
нас к числу со01 2 Потом новое повторение процесса, и мы приходим к ш® 3
Таким образом, мы построим все числа вида ш® п За ними следует число
ш®+1 Потом проделывается повторение всего процесса сначала и повторяется
число ш®+1 2 Так будут введены числа ш“т1 п, а за ними пойдет ы®+ 2
Этим способом будут введены числа co“ + rt, а за ними появится число
ш“ 2 За этим числом следуют ш“ 2+1, ш“ 2 + 2, , и все появляется сна
чала, что приводит к числу ш®2 2
Определив числа ш“ 2 п, первое следующее за ними мы назовем через
ш“ 2 + *. Подобным образом строятся дальше и дальше числа
ш“ 2+”, ш“ 3, ш“ 3 + п, ш“ 4, , ш“ ", .
и за ними пойдет число ш“2.
Так же вводятся числа ы®’, й“‘, , oj®®,
со
Число первое, следующее за числами вида со® , обозначается через е
За ними следуют е + 1, е +2, и так далее Заметим, однако, что для всех
чисел из Ко мы все же не получаем обозначений, ибо этими обозначениями
охватывается только счетное множество чисел.
§ 6. Алефы
Определение. Мощность вполне упорядоченного множества называется
алефом
Все натуральные числа (рассматриваемые как мощности) суть алефы
Алефы бесконечных множеств называются трансфинитными алефами
Теорема 1. Всякие два алефа сравнимы
Доказательство Пусть а и b два алефа Возьмем вполне упоря-
доченные множества А и В, для которых А = а, В = Ь
Если эти множества эквивалентны, то а=Ь В противном случае они и
не подобны Но тогда одно из них короче другого Легко видеть, что если А
короче В, то а < b
Теорема доказана Ее можно формулировать и так если а и b алефы,
то из трех (попарно несовместных) соотношений а = Ь, а<Ь, а~>Ь одно обя
зательно выполняется, т е для алефов имеет место трихотомия
Теорема 2. Пусть а и р порядковые числа, а а. и $ их алефы Тогда
1) если а < Р, то а < Р,
2) если а < Р, то as<p.
Доказательство Вторая часть теоремы есть следствие первой
Чтобы доказать первую часть, возьмем вполне упорядоченные множества А
и В типов аир Они не подобны, ибо их алефы не равны и они даже не
эквивалентны Если бы В оказалось короче А , то это означало бы ,что ,
вопреки условию, p = Bs7A=a.
Значит, А короче В но это и значит, что a < Р
Легко видеть, что во второй части теоремы знак равенства откинуть
нельзя, например ш<ш + 1, ною —ш + 1.
361
Теорема 3. Во всяком множестве Q попарно неравных алефов если
наименыиии.
В самом деле, приведя в соответствие каждому алефу из Q вполне упо-
рядоченное множество, имеющее лот алеф своей мощностью, мы можем
тарантировать наличие среди этих множеств самого короткого. Его алеф
и будет наименьшим в Q.
Следствие. Всякое множество алефов, будуш упорядочено по их величине,
окажется вполне упорядоченным.
Само собою разумеется, чго речь идет о „законном" множестве алефов.
Множество всех алефов рассматривать нетыя. Это видно иг следующей
теоремы:
Теорема 4. I) Hein наибольшего алефа.
2) Какое бы множество Q алефов ни взять, существуют ал >фы, большие
всех алефов ив Q.
Доказательство. Пусть а есть алеф. Эго значит, что существует
вполне упорядоченное множество А, мощностью которого является а. Рас-
смотрим наряду с А все впопне упорядоченные множества, состоящие из тех
же элементов, но отвечающие другим способам упорядочивания. Порядковые
типы этих множеств образуют некоторое множество Т порядковых чисел.
Пусть р есть число, большее всех чисел из Г, и Ь— р. Тогда b есть
алеф, и можно показать, что
b > а. (I)
В самом деле, если а = ю 'а е Т и а < р. Но тогда а ;< Ь, и остается
опровергнуть возможность равенства
Ь=а. (2)
Допустим, что это равенство справедливо. Тогда можно установить взаим-
нооднозначное соответствие <[ между А и 1Гр,. Пусть Д() есть множество,
состоящее из тех же элементов, что и А, но упорядоченное так, что из двух
его элементов предшествует тот, которому в соответствии тр отвечает мень-
шее число. Множество A,t подобно IV'p, значит его гип есть р и р е Т, чго
противоречит определению р. Итак, (2) невозможно, и справедливо (1).
Переходя к доказательству' второй части теоремы, очевидно можно допу-
стить, чго в Q нет наибольшего алефа, и что алефы Q попарно не равны.
Соотнесем каждому алефу из Q вполне упорядоченное множество А, имею-
щее ею своей мощностью, и составим сумму S этих множеств, считая мно-
жество слагаемых упорядоченным так же, как упорядочено Q. Но Q вполне
упорядочено. Поэтому' Д Лдучи суммой вполне упорядоченного множества
вполне упорядоченных множеств, само вполне упорядочено, и его мощность
есть алеф. Ясно, что этот алеф больше всех алефов из Q. Действительно,
всякий алеф из Q есть мощность части S и, значит, не больше, чем S, но
если бы какой-нибудь пз алефов Q совпал с S, го он оказался бы наиболь-
шим в Q.
Замечание. Для всякого авефа есть непосредственно следующий акф. Дей-
ствительно, если а есть некоторый алеф, го существует больший алеф Ь.
Если b непосредственно следует за а, наше утверждение доказано. В против-
ном случае мы рассмотрим все1) алефы т, для которых a<in.<b, среди
них есть наименьший, который и является искомым.
Эю замечание позволяет установить для алефов рациональную систему
обозначений. Именно, обозначим через Ко мощность счетного множества
*) Упо,-|>ебтение здесь слова „все" представляется допустимым по следую-
щим основаниям: если b существует, то существует (законное) множество В
мощности Л. Его части образуют законное множество, и, в частности, закон-
ным окажется множество тех частей В, мощность т которых удовлетворяет
неравенству а < т < Ь.
362
(ясно, что эта мощность есть алеф). Первый стедующий алеф обозначается
через1) Ki, первый следующий за ним через X? 11 1- Д- Алеф первый, следую-
щий за всеми алефами К„, обозначается через и т. д
Теорема 5. Всякий алеф получает обозначение Ка> еде а порядковое
число.
Доказательство. Пусть Н есть алеф и Т множество, состоящее из
всех алефов, меньших Н. Множество Т вполне упорядочено. Пусть его тип
есть а. Налагая Т на Ц7а, мы соотнесем каждому алефу 'из Т порядковый
номер, меньшии а, после чего остается обозначить Н через ^а.
Нетрудно убедиться, что установленная система обозначении та-
кова , что-.
') г есть первый, следующий за Кеб
2) если число р есть первое следующее за числами множества S = {а}, то
Кр есть первый алеф, следующий за всеми алефами множества {Kaf •51-
Множество всех порядковых чисел, имеющих данную мощность Ка.
называется числовым классом. Наименьшее из чисел класса К,_ обосначается
обычно через Qa. В частности, = со, Qj = Q. Класс Ki есть третий число-
вой класс.
§ 7- Аксиома и теорема Цермело
Во многих математических рассуждениях используется следующее пред-
ложение:
Аксиома Цермело. Пусть S= ;ЛЦ есть множество непустых и попарно
не пересекающихся множеств. Тогда существует множество L, обладающее
свойствами:
. ')
М е s
2) множество L имеет с каждым из множеств М <= S один и только один
общин элемент.
Можно сказать, что L состоит из „представителей" всех множеств
М s S.
Вопрос о том, допустима ли эта аксиома, вызвал среди математиков оже-
сточенные споры и до сих пор по этому вопросу единомыслия нет. Автор
этой книги стоит на позиции безоговорочного признания аксиомы Цермело.
В частности, мы много раз ею уже пользовались в предыдущих главах. Так,
например, вполне очевидным было ее использование в гл. III при построении
примера неизмеримого множества .Но и раньше мы также пользовались
аксиомой Цермело. Существование в каждом бесконечном множестве счетной
части или измеримость (ограниченной) суммы счетного множества измеримых
множеств—эти результаты были установлены нами с помощью аксиомы
Цермело.2)
Например, доказывая теорему 5 из § 3 гт . Ill , мы рассуждали так-, дзя
каждого множества /.у есть целое семейство накрывающих открытых мно-
жеств G,.. Чтобы образовать их сумму' У использованную в обсуждаемой
теореме, мы, очевидно, должны бы. ти из этого семейства выбрать какое-то
одно множество G). для каждого k, причем этот выбор надо произвести
для всех k сразу Возможность такого выбора можно обосновать только
ссылкой па аксиому Цермело. Так же обстоит дело и в первом из упомянутых
случаев. * В.
!) Выше мы определили Ц, как мощность второго числового класса Ко.
Тождественность обоих определений вытекает m теоремы 3, § 5.
-’) По поводу аксиомы Цермело рекомендуем прочесть:
В. К. Серп инскии, Аксиома Цермело, Журн. „Математ. сборник",
т. 31, в. 1, 1921; В. Молодший, Эффектнвизм в математике, Соцэкгнз,
1938; А. Лебе;, Интегрирование и отыскание примитивных функций (При-
бавление III, § 2). ПТИ , 1934 .
363
Конечно, аксиому Цермело не нужно понимать так, что мы фактиче-
ски1) сможем построить множество L. Речь идет лишь о возможности рас-
суждать об этом множестве, не рискуя впасть в противоречие.
С аксиомой Цермело тесно связана следующая теорема.
Теорема 1 (Общий принцип выбора). Пусть Т ={П} есть множе-
ство непустых множеств. Тогда существует функция f(N), заданная на Т
и ставящая в соответствие каждому множеству N из Т определенный эле-
мент этого множества: / (<V) е Л/.
Прежде чем доказывать эту теорему, отметим, что в том случае, когда
множества N попарно не пересекаются, теорема равносильна аксиоме Цер-
мело. Действительно, приняв аксиому Цермело, мы сразу получаем требуе-
мую функцию, полагая f(N) = NL.
Обратно, принимая теорему 1, мы получаем множество L, полагая
Перейдем к доказательству теоремы. Обозначая элементы множеств N,
входящих в Т, через п, рассмотрим все пары вида
(n, N), где иеЛ', а Л'еТ',
При этом пары («', N') и (re", N") мы будем считать тождественными
тогда и только тогда, когда
п' = п", N'=N".
Обозначим через М (Na) множество всех пар (n, Na), в которых п е No;
такое множество М (N) можно построить для каждого N еТ. Пусть
S = {M(JV)} (Nf=T).
Различные множества М (N) попарно не пересекаются (в этом идея рас-
суждения). Действительно, то обстоятельство, что множества М (//') и М (П")
различны, означает, что различны множества Л/' и N". Но тогда ни одна
пара (л, Л/') не совпадает ни с одной парой (n, N") и, стало быть,
(Л"') = 0.
Применяя аксиому Цермело, мы можем констатировать существование
множества L, состоящего из пар (n, N), где пеА;, и имеющего с каждым
М (Л') е S по одному общему элементу. Это множество позволяет определить
требуемую функцию. Именно, если Л/о е Т, то множество М (No) L состоит
из единственного элемента (n0, NQ), где n0 Е Na.
Положив / (.Vn) = п0, мы удовлетворим условиям теоремы.
Следствие. Пусть Т={ЛГ} есть множество всех непустых частей дан-
ного непустого множества М. Тогда существует такая функция f (АТ),
которая каждому М’ Т ставит в соответствие определенный элемент,
т е АТ.
Если элемент /п = /,(Л1') мы будем называть „отмеченным" в АТ, то след-
ствие утверждает, что в каждом М'сЛ! можно отметить по одному эле-
менту. 2)
Теорема 2 (Э. Цермело). Всякое множество можно вполне упорядочить.
Доказательство. Пусть А1 некоторое непустое3) множество. Обо-
значим через 7’={М'} множество всех непустых частей М. и «отметим»
в каждом ЛГ по элементу.
*) С этим и связаны упомянутые выше споры: если множество L не по-
строено, то ни про одну вещь нельзя решить, входит ли она в L как элемент
или нет. Поэтому некоторые ученые вообще не соглашаются считать L за
математический объект.
2) Сама теорема 1 также означает, что в каждом множестве N sT можно
„отметить" по элементу [каковым ц является / (Л/)].
3) Для пустого множества теорема тривиальна.
364
Некоторые части М можно вполне упорядочить. Таковы, например, все
конечные части М. Пусть А непустая часть М, вполне упорядоченная каким-
тибудь способом. Если:
для каждого а е А в части М — Аа множе-
.... ства М (где А„_ отрезок, отсекаемый от
” ' А элементом а) отмеченным элементом
служит а
го мы будем говорить, что А правильно упорядоченная часть М.
Условившись обозначать элемент, отмеченный в М.', через/(ЛГ), усло-
вие (Н) можно записать так:
/(Л1 —Ла) = а (при всех -а е Л).
Убедимся, что правильно упорядоченные части М существуют. Действ i
тельно, если есть элемент, отмеченный в самом множестве Л1, и АД ест:
часть, состоящая только из этого элемента, то Мг есть правильно упорядо
ченная часть, ибо ее единственный отрезок есть пустое множество и
Далее, если в множестве Л1 — АД отмеченным является элемент т2, т
упорядоченная пара (т}, mA- есть правильно упорядоченная часть Л4.
В каждой правильно упорядоченной части А первым элементом обязг
тельно является элемент mlt отмеченный в самом множестве Л1. В само
деле, если а первый элемент А, то a — f(M — /Д) = f(M)=mt.
Нетрудно показать, что часть А множества М может допускать тольк
один способ правильного упорядочивания. Действительно, допустим, чт
существуют два способа <р и ip упорядочивания части А, в результате кая
дого из которых она становится правильно упорядоченной. Обозначим чер«
Р и Q те правильно упорядоченные части, в которые превращается А пр
упорядочиваниях <р и ip.
Одно из этих множеств (пусть это будет Р) подобно другому или ei
отрежу. Наложим Р на Q (или на его отрезок). Элемент т^е^Р налагаете
при этом сам на себя. Если бы в Р были элементы, которые не налагала
бы сами на себя , то один из них был бы первым. Пусть таким оказываете
элемент р, налагающийся на элемент q^=p. Все элементы, предшествующие,
налагаются сами на себя. Эю значит, что Pn = Q9.
Однако отсюда следует, что p—f (Al — P0)=f (M — Qq) = q, а это про г
воречит определению р. Итак, все элементы налагаются сами на себя, ч
означает полную тождественность Р и Q.
Таким образом, если непустая часть А множества М вообще допуска
правильное упорядочивание, то только одно. Будем считать, что кажд:
часть, которая может быть правильно упорядочена, уже сделана тако
и будем называть ее в этом предположении нормальной.
Из двух различных нормальных частей одна есть отрезок другой. Де)
ствительно, если А и В нормальные части, то одна (пусть эго будет
подобна друюй или ее отрезку. Налагая А па В (или на О1резок В), м
как и выше, убедимся, что каждый элемент А налагается сам на себ
Если бы А п В были подобны, то они совпадали бы. Значит, А ес
отрезок В.
Из этого предложения непосредственно следует, что если два элемен
множества М входят в несколько нормальных частей, то их взаимн
порядок во всех этих частях одинаков.
Заметив это, обозначим через L множество тех элементов АД котор
входят хоть в одну нормальную часть. Множество L можно сделать упо[
доченным. Действительно, пусть а и b два элемента из L. Тогда существу
нормальные части А и В, такие, что а е А, Ь е В. Но одна из этих част
наверное содержится в другой. Значит, оба элемента а и b входят в од
и ту же нормальную часть. Б этой части один из них предшествует другое
причем, если а—'Ь, то этот же взаимный порядок они имеют и во всякой
нормальной части, содержащей их обоих Мы хсловим^я считать, чго и в L
взаимный порядок этих элементов ют же, что и в содержащих их нормаль-
ных частях.
Итак, множество L упорядочено Но легко убедиться, что оно и вполне
упорядочено. В самом деле, щ сть L* непустая часть L. Возьмем в Т* произ-
вольный элемент а Если он не является первым в L1', то все предшествх то-
щие ему элементы L* входят во всякую нормальную часть, в которую вхо
дит и а. Пусть А такая часть Она вполне упорядочена, и пересечение А1А
имеет первый элемент. Этот элемент является первым в L*.
Мы установили, что L есть вполне упорядоченная часть М Покажем,
что она правильно упорядочена. Пусть а I. Тогда найдется нормальная
часть А, содержащая этот элемент. Вполне очевидно, что
La = Aa, откуда / (М — La) = f (М — Д,) — а,
и L правильно упорядочено.
Доказательство почти закончено. Именно, нетрудно установить, что
/ -М.
Действительно, пусть это не так, и пусть а есть отмеченный в множе
стве M — L элемент Составим множество <4 = L-\- {«}, считая а следующим
та всеми элементами L Ясно, что тто множество есть нормальная часть ЛК
Но тогда а должен входить в I, в то время как а е М — L
Значит, действительно, L—M и М вполне упорядочено Теорема
доказана
Следствия. 1. Всякая мощность есть алеф.
2. Всякие две мощности сравнимы, т. е. для мощностей имеет место
трихотомия
Из первого следствия вытекает, что мощность континуума с есть алеф
е = Ха-
Нахождение этого а составляет еще нерешенную пробгему континуума
Гипотеза континуума, о которой шла речь в главе I, состоит в том, что
<z=H. Немецким ученым Кенигом доказано1) только, что а э= w Заметим,
что сравнимость с с и неравенство с Кт вытекают ит теоремы 4, § 1 бет
теоремы Цермело.2)
') См И. И Жегалкин, Трансфинитные числа Москва, 1907, стр 337
2) В самом деле, в \помяну топ теореме мы установили, что из множества
всех рациональных чисел R можно выбрать Хт различных упорядоченных
подмножеств. Но так как всех вообще подмножеств R имеется с, то г& с.
ГЛАВА XV
КЛАССИФИКАЦИЯ БЭРА
§ 1. Классы Бэра
Рассмотрим множество всех непрерывных функций, заданных на
некотором фиксированном сегменте [а, й], и на_,овем это множество нуювыч
классом функции. Если функция f (х), заданная на сегменте [и, 1>\, не вхо-
дит в нулевой класс, но представима в форме
/(х)= hm /„(с), (1)
11 * Л
где все функции f„ (х\ непрерывны, то / (х) называется фу нкцпей пер/ого
класса
Точно гак же функция / (v), не входящая ни в нулевой, ни в первый
классы, но пр'дтавнмая в форме (1), где все функции /„ (х) входят в пер-
вый класс, на ываегся функцией второго класса
Вообще функцией класса т называется функция, не входящая нн в один
из предыдущих классов, но являющаяся пределом последовательности функ-
ций класса in - 1
Таким образом определяются все классы функций с конечными номерами
Обозначим их через
W,„ Hlt Н„.......... (2)
Однако эту классификацию можно продолжать и дальше Именно, пусть
f(x), не входя нн в ' тин hi классов (2), представима в форме (I), где каж-
дая из функций fn(x) входи! в какой нибудь ит классов Н: п . Тогда говорят,
что эта функция есть фу ткния класса Ны.
Ф ункцня, не входящая ни в один из классов И т, нн в классН о, но
являющаяся пределом пос ледова гельностп функций класса Н о, называется
функцией класса Нм !
Пусть а порядковое число второго числового класса. Допустим, чго нами
уже определены все классы Н^, где f)<«
Тогда класс Иа опре теляется, как множество функции, не входящих ни
в одни из классов Др ф а), но представимых в форме (1), |де каждая из
дь классу < а).
Эта классификация называется к шиифнкацией bipa, а функции всех
классов На (<z < Q) называются функциями bipa
Легко понять, чго номерами классов Иг/ могуг слу/кить только числа
первого или второго числовою класса и, в частности, нельзя этим способом
определить класс //,> Действительно, какую бы счетную последовательность
{/„(с)} функции Бэра ни взять, каждая из них попадет в какой то класс
Н„ при а„ < Q
П (х) ед (fl-n < *-)•
Но тогда существует число у, большее всех чисел (п=1, 2, 3, )
и все еще входящее во второй класс. Значит, если последовательность
1п(х) принадлежи г какому ниоу
367
сходится к какой-нибудь функции f (ре), то последняя входит в класс с номе-
ром, никак не большим числа у.
Далее, нетрудно показать, что если а есть число первого рода, т е.
а = Р-т-1, то всякая функция f (х) е представима в форме (1), где все
fn (х) входят в класс /7р. В самом деле, если бы среди функций fn (х) было
бесконечное множество функций, входящих в классы /7у при у < |3, то и
сама f (v) входила бы в или в класс с еще меньшим номером. Поэтому
все функции /п(х), начиная с некоторой, войдут в /7 р.
Если же f (х) е На, где а число второго рода, то f (х) допускает пред-
ставление (1), в котором
(Pi < Р-2 Рз' а)- (3)
Деиствителыто, пусть (х) s Среди функции /2(х), f3(x), ... обяза-
тельно найдется такая, которая принадлежит классу с р2 > Pi (иначе
f (х) <= Wpi + )). Продолжая этот процесс, мы выделим из /'/ч(х)| подпоследо-
вательность, удовлетворяющую (3).
Теорема 1. Все функции Бэра измеримы. ’)
Это предложение вытекает из того, что измеримы непрерывные функции ,
а предельные переходы не выводят из класса измеримых функций.
Обратное утверждение не верно, как показывает
Теорема 2, Множество всех функции Бэра имеет мощность с.
Доказательство. Мощность множества всех непрерывных функции
есть с. Значит, в классе Но есть с функций. Докажем, что при всяком а
будет __
77а с. (4)
Для а = 0 это верно. Допустим, что (4) доказано для всех а<р, где р
некоторое число 1-гс или 2-го класса, и покажем, что и для а =р спра-
ведливо (4).
С этой целью положим Тр = У /7 с.
Каждое из Не имеет мощность, не превосходящую с, а слагаемых в рас-
сматриваемой сумме конечное или счетное множество. Значит, Тр^с. С дру
гой стороны, /70 с Др, откуда Т-.~с и, стало быть,
Тр=с. (5)
Заметив это, рассмотрим множество
Af={(/i«, W, - )}
всевозможных последовательностей функций, взятых из множества Гр. Эле-
менты множества М определяются счетным множеством параметров .каждый
из которых принимает, согласно (5), с значений. Поэтому (гл. I, § 4, тео-
рема 7) мощность М равна с.
Но всякой функции f (х) из /7р можно соотнести определенный эле-
мент М, а именно тот, для которого Jim fn (x)=-f(x).
Значит, /7р эквивалентно части М и (4) для а = р доказано. По теореме
о трансфпнитной индукции (4) доказано для всех а с О..
Теперь уже легко докончить доказательство Именно, если Т есть мно-
жество всех функции Бэра, то Т = У На.
а. < £2
1) Более того, можно показать, что для того, чтобы f(x), заданная на
[а, Ь], была функцией Бэра, необходимо и достаючно, чтобы она была изме-
римой (В).
368
Каждое слагаемое имеет мощность, не большую, чем с, а множество
слагаемых имеет мощность Ki, также не большую с, откуда и с. Но так
как Т АкН^=с, то Т=с, и теорема доказана.
Пусть А и В суть два вещественных числа, причем А<.В. Условимся
символом обозначать следующую функцию от х:
(В если х ~>В,
х если A х В,
А если х < А.
Лемма 1. Если.
lim xn = l, mo lim [xn]® = [Z]®.
n-t-co ll-+cc>
Доказательство. Пусть сначала I ф А и I Ф В, например А < I < В.
Тогда для достаточно больших п окажется, что А <_хп<_ В, так что
=*/.-« = [Ид.
Аналогично исчерпываются случаи I < А и I > В.
Допустим теперь ,что I =В .Взяв произвольное е > 0 , мы найдем такое/V ,
что при /г > N будет хп > В — е, хп> А.
Пусть п > N. Справедливо одно из двух: или х,,-:-В, и тогда 1х/1]^=хп,
или же хп>В, и тогда [хп]д = Д. В обоих случаях будет
В — е < [хп]д < В, откуда lim [хп]д=В.
Для 1 = А рассуждение аналогично.
Следствия. 1. Если f (х) непрерывная функция, то н[/(х)]^ есть непре-
рывная функция.
2. Если f (х) есть функция класса с номером '<а, то и [; (х)]д есть функ-
ция класса с номером а.
3. Если f (х) е На и A -се f (х) :сс В, то f (х) представима в форме предела
последовательности функций fп (х), каждая из которых входит в класс Нап
(а„ < а) и удовлетворяет неравенству А frL (х) с В.
Первое и третье следствия очевидны второе доказывается методом транс-
финитной индукции.
Лемма 2. Если
lim хп = 1, то и lim 1хп]^_п = 1.
п -* оо п —юо
Доказательство предоставляем читателю .
Следствие. Всякая функция / (х) класса На представима в форме
/W = lim fn(x),
n~fCO
где fn (х) суть ограниченные функции классов при 0 < а.
Тем более функции fn (х) можно считать конечными.
Теорема 3. Сумма, разност ь и произведение двух конечных функций
классов sga есть функция класса =£ а. То же верно и для частносо, если функ-
ция-делитель не обращается в 0.
Доказательство. Пусть f (х) и g (х) конечные функции, каждая
•из которых входит в некоторый класс с номером =<«, и пусть
s(x) = f (x)+g(x).
Покажем, что и s (х) есть функция класса а. Если а —0, то это утверж-
дение тривиально. Допустим, что оно уже доказано для всех a < Z, и пока-
жем, что оно верно и при a —X.
369
С этой целью построим две последовательности конечных функций {Д(х)}
и {gnW}> Для которых
lim Д (х)=/(х), lim gn (xj=-g W
п и-* го
И
Д (х) е Н$п, gn (х) т= Нуп ([)„ < X, у„ < Л).
Положим sn (x)=f„ (x)+gn (х).
Тогда, по допущению, sn (т) е Н;п, где кп не превосходит оолыпего
из чисел Д, и уп и, стало быть, Д, < л Но lim s„ (г) = s (л), откуда ясно,
чю s(v) входит в класс с номером Л.
Для разности и произведения рассуждение вполне аналогично, а для
частного нужно привлечь функцию
fn (*) gn (х)
SA W+ п
Лемма 3. Пусть дан числовой сходящийся по юткительный ряд
+ -4з+ ^э + - • •
Если каждая из функций {Д(х)} есть функция класса =. а (а > 0) и удовлет-
воряет неравенству
'fk(x) <Ak (£ = 1,2,3,..),
то су чма ряда fk(x) еспгь функция класса
к = 1
Доказательство Каждую из функций Д (г) можно предгтавить
в форме Д(л) = lim <(!*’ (х), где ф(*’ (х) входит в класс с номером, н< нь-
шич а, и ] ф^ (х) । Ак (п = 1, 2, 3, .. ).
Положим Фя (х) = (р{11’(х) + фл2> (*) + •• +<Pn'> W- Эта функция входит
в класс с номером < а, и для доказательства леммы достаточно обнару/кигс,
что, обозначив сумму ряда Ц Д. (х) через f (г), мы будем иметь ) (х) -= lim Ф„ (х).
п —♦-го
С этой целью возьмем г. > 0 и найдем такое in, что
оо
У Ak<e.
k = т^- \
Тогда
У 4>п} (х) < е
- т г I
(п > т),
а поэтому
т
|/(х)-Ф„ (х) < у (X) +2е.
I
Но при каждом фиксированном х разность Д (г) — ф^1 (х) с возраста-
нием п стремится к нулю. Поэтому для п> N (\) будет
Д(х)-Ф„(х) <3с,
что и докатывает лемму.
Теорема I. flpidei ривношрно сходящейся последовательности функций
к шсс ив fe; а есть функция к шеса а.
370
Дока 1атг1ьство. Для а = 0 теорема тривиальна. Рассмотрим слу-
чай, когда <z. > 0 Пусть
/(х) = hm /п(х),
п -* О-
где класс каждой ш функций [п (х) не выше а, а предепьный переход осу-
ществляется равномерно относительно х.
Выберем последовательность индексов < л, < . так, чтобы оказа-
лось
'|Ц*(*)-НО (а^х-сцЬ).
Тогда члены ряда
[f,,2 U) ~/Л1 (А)] + [/,,, (X) -/Я2 (X)] + [f„4 (X) - /„., (X)] + . .. (6)
не превосходят членов сходящегося положительного ряда
а потому, в сипу леммы, сумма ряда (6), очевидно равная
f(x)-/ni(x), (7)
есть функция класса не выше а. Вместе с разностью (7) и функция f (х) вхо
дит в класс с номером а.
Вообще говоря, операция предельного перехода приводит к функции более
высокого класса, чем классы, к которым принадлежат фу нкцин последователь-
ности. Мы видели, что условие равномерности стремления достаточно,
(чтобы повышения класса не происходило. Б М. Гатаев1) нашел необхо-
димые и достаточные условия, которые надлежит наложить на функ-
ции последовательности, чтобы класс предельной функции был не выше
класса, содержащего функции последовательности.
Теорема 5. Пусть f (х) функция не выше р го класса, а <р(/) функция
не выше а го класса, значения которой падают в сегмент [о, ft], где опреде
лена f(x). Тогда сложная функция f [тр (/)] есть функция класса ь a + fl.
Доказательство. Пусть р —0, т е f (х) непрерывна. Покажем, что
функция f [ср (/)] будет класса а, е-ли тр (/) класса < а.
Для а- 0 -тто предложение тривиально Если оно уже доказано для всех
a < у и ср (/) е WY, то ср (/) = hm ср„ (/), где (р„ (/) входит в класс (уп < у)
П
и можно считать, что а < <р„ (/) Д
Но тогда, в силу непрерывности /(х),
Цср(/)1= hm /[<₽„(/)]
Ц .£>
и, поскольку класс f |ср„ (/)| не выше уп, то класс f [ср (/)] не выше у.
Итак, если тр (/) некоторая функция класса а, то при всякой функ-
ции [ (л) класса f}, при f} = 0, сложная функция /[тр(/)| класса - «ДР
Пусть это предложение уже доказано для всех [1 < у и пусть
Тогда /(х) = hm )„(х), где класс fn (х) есть ДУп при у„ < у. Значит,
П<р(/)]= hm /я[ср(О],
п —* JO
и класс [тр (/)] не выше а-1-уя, т е. ниже2) a + у. Отсюда класс /[тр (/)]
не выше a + у. В силу принципа трансфинитной индукции, теорема докатана.
’) «Stir les suites convergpntes de lonctions mesuiables В» (Fund, Math,
t. 18, 1931, ci p 182 - 188).
2) Мы пользуемся очевидным фактом, что при ст < у будет а-)-о<а-|-у
(порядок слагаемых существен!).
371
В заключение отметим, что все приведенные определения и теоремы
дословно переносятся на случай функций многих переменных, заданных в ка-
ком-нибудь параллелепипеде.
Например, теорема 5 примет вид:
Теорема 5*. Пусть f(xlt х2, ..., хл) функция класса < f>, определенная
в параллелепипеде ati sg xk-c'_ bk (k= 1, 2, ... , п), а «Гл (^.^m), ,1т),
• -m) система п функций классов Haj, Но_2, ..., Нап такая, что
ake<[hHit Тогда сложная функция /(<рь ф.2, <рп) входит
в класс с номером sga-j-p, где а наибольшее из чисел ait ап.
§ 2. Непустота классов Бэра
Возникает естественный вопрос о том, для всякого ли a<Q существуют
функции, входящие в класс На. Мы покажем, следуя А. Лебегу, что это дей-
ствительно так. Для этого нам понадобятся важные и сами по себе понятия
наибольшего и наименьшего пределов последовательности чисел.
Пусть
*1, х2, Хз, ... (1)
числовая последовательность. Положим1)
Хд — Slip { Хд, Хд J , Хд , .. . }.
Легко видеть, что xL 5; х2 х3 >.... , а потому существует определенный
(конечный или бесконечный) предел
lim хд.
п -> со
Этот предел называется наибольшим пределом последовательности (1)
и обозначается через
lim х„.
п -> оо
Аналогично, предел
lim х„,
п -» оо ~
где x„ = inf{x„, x,1+i, х„.2, .. } называется наименьшим пределом последова-
тельности (1) и обозначается через
lim х„.
п -* со
Из очевидного неравенства хп sg следует, что
lim х„ sg lim xn.
Теорема 1. Ectu 6 = limx,;, то из последовательности {х„) можно выде-
лить подпоследовательность, сходящуюся к Ь.
Доказательство. Если Ь = —со, то теорема тривиальна, ибо, как
это следует из неравенства Хд-Схд, в этом случае сама последовательность
{х„} стремится к — со. Пусть, далее, — со<й<4-со. Тогда найдется та-
кое k0, что при всех k > числа хк также .будут конечны. Соотнесем каж-
дому k > k0 такое тк, что
xk £ < xmk Xk \mk к).
') Возможно, что
ние означало бы, что
Хд = -|-оо, а также что х„ = —оо (последнее соотноше-
Хд = х„т1=... = —со, чего мы не исключаем).
372
Очевидно, lim xmk = b.
П —* co
Желая получить последовательность {x„J, сходящуюся к b и такую, что
п1<п2<и3<... , положим nl = mL, а затем обозначим через п2 наименьшее
из чисел тк, большее, чем пх; через п3 — наименьшее из тк, большее, чем п2
и т. д. Поскольку последовательность |х„;| будет частичной для (хт/!], она
также сходится к Ь.
Остается рассмотреть случай, когда Ь = -\-со. В этом случае при всех k
будет хк =-|-оз, т. е. все множества {х);, хк+1, хк+2, } не ограничены сверху.
Положим «2 = 1 и пусть п,-+1 выбирается под условием
хщ+1 '> x,li + 1 ’ и/+1 > п'"
Это сразу приводит к требуемой подпоследовательности. Теорема доказана.
Если Ь* >Ь, то найдется такое х;!б, что хп <Ь*. При п^п0 окажется
хп^хПа<Ь*, и число Ь* не может служить пределом никакой частичной
последовательности, выделенной из {х„}. Таким образом, наибольший предел
числовой последовательности можно определить, как наибольшее из чисел,
являющихся пределами частичных последовательностей, выделенных из данной.
Аналогичное замечание можно сделать относительно наименьшего предела.
Теорема 2. Если последовательность (1) имеет (конечный или бесконечный)
предел I, то
lim xn = lim xn = l.
Обратно, если наибольший и наименьший пределы последовательности (1)
равны между собой, то их общее значение является пределом последователь-
ности.
Доказательство. Если последовательность (1) имеет предел I, то
и все ее подпоследовательности сходятся к этому же пределу, откуда следует
первая часть теоремы.
Вторая часть есть непосредственное следствие очевидного неравенства
^П хп Хп-
Введем следующее обозначение. Пусть а, Ь, ... , I есть конечная система
чисел. Наибольшее из них будем обозначать через max {а, Ь, ... , /}.
Лемма 1. Если
хп-+а, Уп~>Ь, ...,
то
max {хп, уп, ... , гп] ->тах {а, Ь, ... , /}.
Доказательство предоставляем читателю.
Следствия. 1. Если функции (х), f2(x), ... , fn(x) непрерывны, то
и функция
<р(х) =max {fi (х), /2 (х), ... , f„ (х)} (2)
непрерывна.
2. Если функции fi(x), ... , f п (х) входят в классы с номерами --~а, то
и функция (2) есть функция класса а.
Первое следствие очевидно, а второе доказывается методом грансфинитной
индукции.
Лемма 2. Пусть {х„} числовая последовательность Если
Z = sup {х„}, г/„ = тах {xt, х2, ... , х„},
то
/= lim уп.
п -+ оэ
Доказательство предоставляем читателю.
Теорема 3. Пусть
/ (х) = hm 1п (х).
« со
373
Если каждая из fn (а) есть функция класса q а то f (х) есть фуне ция класса
rj -| 2
Доказательство Пу сть
,, (л)=тах (f„ (х), f„ i(x), , f„+p(x)}
Эта функция входит в класс с номером а Но тогда ф\нкция
In (x) = sup {f„ (a), f„ ! (л), fn .(а), ) = lim /„ ,, (х)
р -*<х
входит в к пасс с номером -^а + 1 и, наконец, j (х) — lim fn (х) входиг в класс
п -< со
с номером < а -2
Отметим одно следствие этой теоремы, стоящее несколько в стороне от
излагаемой теории, но не лишенное интереса
Теорема (Дж. Витали). Всякие измеримая, киши везде конечная,
функция f(x), заданная на [а, /а], эквивалентна некоторой функции g (\)
не выше 2 го к гае а Б эра.
Действительно, согласно теореме Фреше, схще^гвует последовательность
непрерывных функций {<р„ (л)} тжая, чго пот и везде на [а будет
>im ср„ (х)=/(а).
п —
Полагая g (х) — 1 im ср„ (х), мы и получаем требуемую функцию
Вернемся к теме
Лемма 3 Есш i (х) непрерывна на [«, &|, то сущутвует д ея всякого
е>0 такой много елен Р (х) с рациона еьными коэффициентами, что д ея всех
х из [а, Л]
1 / (х) — Р (х) <е
Действительно, в силу теоремы Вейерштрасса, можно аппроксимировать
f (л) с точностью до е 2 некоторым многочленом Q (х) Заменяя его коэффп
циенты достаточно близкими рациональными числами, полечим нужный мно
гочлен Р (л)
Следствие. Всякая функция 1 го класса t (х) представима в форме
/(x) = limP„ (л),
оде Рп (а) — многочлен с рациона гьными коэффициентами
Лемма 4. Если функция т| (х), заданная и конечная на сегменте [a, ft],
и мест юнечное число точек разрыва, то -чпо функция 1 го к гасса Бэра
Доказательство Пусть точками разрыва ф (х) сложат
< с2 < < ст (a<ck<_ b).
Окружим каждою из точек ск интервалом fe^—^ , q-|-^ ', считая п
настолько большим, что эти интервалы не пересекаются и содержатся в [я, ft]
Функция fn(x), равная ф (х) вне всех интервалов (q - , ct + М ив точ
Г 1 I I 1 I
ках ск и линейная на сегментах q — - , ck I q, ck Д- очевидно, не
прерывна Вместе с тем, при п -> оо будет /„ (х) ->• ф (л)
Несущественные изменения доказательства, когда а или b также сложат
точками разрыва, предоставляем читателю
Следствие. Функция 6(a), равная единице в одной точке [а, ft] и ну ио
в остальных есть функция 1 го кикса
Лемма 5. I сш каждог чис v х из (0, ]| разюжено в десятичную дробь
(без девятки е, периода д гя чисел < 1),
х —0,
то ak = ak(x) есть функция 1-го класса.
2.11
Действительно, ак{х), будучи постоянной
п п 1'
10*’ |0* ’ нмеет лишь конечное чисто точек
в каждом
разрыва.
из
интервалов
После изложения этого, несколько разнородного, материала, мы можем
•перейти к основном теореме о существовании функции в каждом классе
На (а < Q) Для этого мы незначительно изменим классификацию Бэра,
а именно будем считать нулевым классом /Д, множество всех многочленов
с рациональными коэффициентами Тогда 1 и класс Hf будет содержать все
прочие непрерывные функции и функции, входившие в 1 и класс Hlt а все
остальные классы Бэра останутся неизмененными В сущности говоря, мы
просто переносим часть множества непрерывных функции из нулевого класса
в первын Для этой измененнон классификации справедлива
Теорема 4 (А. Лебег). Дш всякого а > 0 из первого иш второго число-
вого класса существу!/п функция двус переменных
Fa(x, /) (О х -1, 0</^1)
такая, что 1) F,,(x, I) есть функция Бэра 2) всякая функция Бэра f (х)
класса а по/учааися из 1 а(х t) фиксированием некоторого f, т е.
f(x) = Fa(x, 1а) (0 Х-.1)
Такая функция /а(е, 4 называет: я универ альнои для множества функ
ций Бэра классов < а
Доказательство Пусть фу нкция 6 , (/) равна 1 при 1 = I п и
равна 0 при всех прочих ! из [0, 1| Перенумеруем все многочлены с рацио-
нальными коэффициентами Р^Дх), РДх), /%('), и положим
М*. 0= .£ Рп(х)0п(1)
и I
Это есть функция Бэра В самом деле, каждый из множителей Рп(е)
и в п(Д) можно рассматривать как функцию твух переменных и эта функция
есть функция Бэра Но тогда и /\(у)0„(/) есть (конечная) функция Бэра,
а с ней функциями Бэра бу ту г и все частные у уммы ряда Так как все члены
ряда, кроме, может быть, одного, суть нули го ряд сходшся во всякон точке
(х, I) квадрата О '" х, / -д. 1 и су мма его есть фу нкция Бэра
Какую бы функцию / (v) из нулевою класса Н' ни взять, она предста
вима в форме f(x) = F1 (х, /„) Действительно, если / (х) есть многочлен (х), то
Г1{Х' \}=Р1г^
Таким образом, наша теорема установила для а— 1 Допустим теперь,
что функции Гр (х, /) построены для всех р <_ а, и построим Га (х, *)
Для этого различим два случая
1) а—число первого рода Тогда а = р-{-1 и функция Iр (х, Д суше
ствуег Определим следующую пот ледовательность функции от t (0 =4 <1)
разложим t в десятичную дробь (без 9 в периоде для t < 1)
/ = 0, OjUiUj
и положим
Aj (0=0, Ojayr,
й2(0 = 0, я2«6а10
Рз (0 —0, ••• ,
Так как hn (0 есть сумма равномерно сходящегося ряда
/, „У-V ‘W-D10
п ( ) -----10*-----
/г-1
члены которого суть функции 1 го класса, то hn (I) есть функция 1-го класса
373
Пусть Fa(x, t)= lim Fp [x, hk(t)].
k -+ co
Ясно, что Fa (x, t) есть функция Бэра; покажем, что это универсальная
функция для множества функций классов < а.
Действительно, если / (х) есть функция класса <а, то
/(х)= lim (х),
k -* со
где каждая из функций flt (х) входит в класс < 0 и, стало быть, представима
в форме (х) = Fp (х, (0 -< tk ==S 1).
Легко найти такое t* из [0, 1], чтобы при всяком k было
hk(t*) = th (fe=l, 2, 3, ...).
Но тогда
Fa(x, t*) = fimfyfx, tk) = lim fft(x) = /(x),
k -> co k -> co
и, сле’довательно, Fa (x, t) удовлетворяет всем условиям теоремы.
2) Пусть теперь а —число второго рода. Тогда существует такая после-
довательность (Л < Рз < ₽з < । что а есть наименьшее число, следующее
за всеми числами последовательности.
Положим Fa(x, i)= lim Fpfe [x, ft* (/)], где ft*(Z) суть те же функции, что
/г —♦ со
и выше. Функция Fa (х, I) есть функция Бэра.
Пусть f (х) функция класса < а. Тогда f (х) входит в класс Яу, где у<а.
Для k > k0 окажется р*>у и, стало быть, / (х) представима в форме
f (*)=^*(*- (k>k0).
Взяв в [0, 1] такое t*, что hk(t*) = tk (k > /г0) (это, очевидно, легко
сделать, причем ..., ftA (/*) можно взять произвольно), мы будем
иметь
t*) = limF^k(x, ik) = \imf(x) = f(x),
откуда ясно, что Fa (х, t) есть требуемая функция. Теорема доказана.
Теорема 5. Ни один класс На не пуст.
Доказательство. Пусть некоторый класс На пуст. Тогда все сле-
дующие классы и подавно пусты, и все функции Бэра принадлежат классам
с номерами < а.
Построим функцию Fa(x, i), о которой шла речь в предыдущей теореме.
Если мы положим Ф (х, 0 = [Fa(x, /)]J, то всякая функция Бэра f (х),
значения которой лежат между 0 и 1, будет представляться в форме f (х) —
= Ф (х, /0) при некотором фиксированном tu. Заметив это, положим
Эта функция принимает лишь два значения: 0 и 1. Она есть функция
Бэра и всякая функция Бэра, принимающая лишь значения 0 и 1, предста-
вима в форме ф (х, /о).
В частности, в такой форме представима функция 1—ф (х, х) Но это
сразу ведет к нелепости, ибо равенство 1—ф(х, х) = ф(х, tg) при х — ia дает,
что ф (/0, Ат) =1/2. Теорема доказана.
Возвращаясь к теореме 4, упомянем об интересной работе Л. В. Канто-
ровича, !) в которой между прочим установлен следующий результат: для
множества функций Бэра классов < а существует универсальная функция
Fa (х, /), которая сама, как функция Бэра, входит в класс На, но для мно-
жества функций классов Дл такой универсальной функции не существует.
’) Л. В. К а н т о р о в и ч, Об универсальных функциях. Журн. Ленингр.
ФМО, т. II, в. 2, 1929, стр. 13—21.
376
§ 3. Функции 1-го класса
В этом параграфе мы специально остановимся на некоторых свойствах
функций 1-го класса.
Лемма 1. 1) Замкнутое множество есть множество типа G^\ 2) откры-
тое множество есть множество типа Fa-, 3) разность двух замкнутых мно-
жеств есть множество типа Fa.
Доказательство. Пусть F замкнутое множество. Обозначая рас-
стояние точки х от F через р (х, F), положим Gn = 2(p(x, F) < 1//г).
Мы видели (гл. II, § 4, лемма 1), что G„ есть открытое множество. Но
легко видеть, что F = Gn, и F есть множество типа G^.
п = 1
Переходя к доказательству 2), рассмотрим какое-нибудь открытое мно-
жество G. Если его дополнение есть CG, то CG замкнуто, и по доказанному
СО со
CG — Gn, где G„ открыты. Отсюда G= CGn, где CGn есть замкнутее
/2 — 1 /1=1
дополнение множества Gn. Значит, G типа Fa.
Пусть, наконец, Fr и F2 суть замкнутые множества. Тогда множество
Fl — F2 представимо в форме Fl~F2 = F1-CF2 и, будучи пересечением замк-
нутого множества и множества типа Fa само есть Fa.
Лемма 2. Если некоторое множество М допускает представление
Л4 = Л1-|-Л24-.. +Л„,
где Ak суть множества типа Fa, то существует другое представление
м = в1+в2 + ... + вп,
в котором Вь также суть множества типа Fa, В^сгА^ (fe = l, ... , п) и,
кроме того, множества В^ попарно не пересекаются.
Доказательство. Ясно, что М = F^, где F^ суть замкнутые
*= 1
множества, причем каждое из множеств Fk целиком содержится в каком-ни-
будь из множеств Д,-. Положим
Si = T'i, Sb = Fk — (/•! + • • + ^A-i)-
Множества Sk суть множества Fa, они попарно не пересекаются и
М= £ sk.
k = 1
Разобьем множество Т={3^} на п частей 7\, Т2, ... , Тп, относя в 7\
те множества Sk, которые содержатся в А1Г в Т2 — те Tj, которые
содержатся в А2, и т. д. Положив В,= У Sk, мы и получим требуемое
skeJ'i
разложение множества М.
Лемма 3. Пусть на сегменте Е = [а, Ь] задана функция f (х), принимаю-
щая конечное число конечных значений щ < с2 < ... < с„ .
Если каждое из множеств E(f=Ck) есть множество типа FtI, то f (х)
есть функция не выше 1-го класса.
СО
Доказательство. Пусть Е (j = ck) ~ F^k\ где F^ суть замкну-
4-1
$ые множества. Положим
. т а
ф„.= 2 <е
L I -= 1 А — 1
ЙИ введем функцию <рт (л), полагая
& (PmW = cA (*£ф* Л = 1,2...........п).
377
Функция <[,,, (х) задана на замкнутом множестве Ф,„ и, согласно лемме 1,
§ 4, гл IV, есть непрерывная функция Пользуясь леммой 2 того же пара
графа, можно построить на [а, Ь| непрерывною функцию фт (х), которая на
множестве Ф,„ совпадает с ср„, (х) Нетрудно убедиться, что в каждой точке
[а, /?] будет Imy ф,„ (x) = f(x), откуда и слезет лемма
т —
Теорема 1 (А. Лебег). Для того чтобы функция f (х), заданная на сег
центе 1 -[а, />], быт функции! не выш. i го класса, необходимо и доста
точно, чтоды множеипва Е (f > Л), Г (f < А) при любом Л бы ш мночситоими
типа Fa
Доказательство Если / (л) есть фу нкцня не выше I го к ласса, го
/ (х) = hm f„ (х), где fH(x) непрерывны Положим
II — -X
W = F А- ' J, $<?> = [] F™.
п = т
При доказательстве теоремы 8, § 1, гл IV было установлено, что е^и
функция f (г) непрерывна, то множество F (f =< Л) замкнуто Значит, множе
ства Г^, а с ними и множества замкнуты Замечая, что
L(f<A)=£ £ S«>,
k = 1 т — I
мы убеждаемся, что Е (I < А) есть множество типа Fa Для Е ([ > Л) рас-
суждение аналогично
Перелодя к доказательству достаточности условия теоремы, предположим
сначала, что / (х) ограниченная функция I < ) (х) < L
Разложим сегмент [/, L] на п равных ча-теи точками
с(, = / < Ci < с2 < < с„ = L I ck~i ck — ~ j
и полол им
Ak = F (Cfr-i <f <rh i) (Л = 1, 2, , л-1)
Ао = 1 (I < <Т). сп 1)-
Все эти множества суть множества F„ и F=A,~ Лхф- -ф Ап.
На основании леммы 2 существует другое разложение
Е = в,-)-
в котором множества Bk, также будучи множествами 7О, попарно не Пересе-
каюте i и ВА cz Л;,
Введем функцию /„ (х), полагая
1п(х)^=ск при хеВ* (k = 0, 1, , п)
Согласно лемме 3, функция tn(x) не выше 1 го класса Выберем произ-
вольную точку х,<=Е Тогда *() е Вк cz Ак
Значит, (п(хи)=ск, ск_} < / (хД < q t Отсюда ясно, что
1 fn (хо) — / (А'о) < —
Таким образом, при п -► о а функции /„ (х) равномерно стремятся
к функции /(л) и, стало быть, последняя есть функция не выше 1 го класса.
Переходя к общему случаю, положиут g (х) = aic tg / (х)
,, т , л
Эта функция уже ограничена Но при — Л <
Е <Я > А) = Е V > tg Л),
378
если же Д _ я 2, то множество E(g>A) пусто Наконец, если А < — л 2,
то Е (g > А) = [а, Д Таким образом, множество Е (g > Д) при всех Д есть
множество /(1 То же верно и для Е (g <. А) Стало быть, g (х) есть функция
не выше 1 го класса, а потому и / (х) = tg [g (х)] есть функция не выше 1 го
класса ’)
Р Бэр нашел дру1ую, очень интерсснмо, характеристику функций 1 го
класса Для изложения его теоремы нам понадобятся некоторые новые пеня
тия и факты
Определения. Пусть А и В два точечных множества, причем Ас В
1) Если всякий интервал, содержащий хоть одну точку В, содержит точки В,
не входящие в замыкание А множества А, то говорят что А нигде не пютно
на множестве В 2) Если Д поедставимо в форме суммы счетного множества
множеств, каждое и т которых нигде не плотно на множестве В, то говоря г,
что Д есть множество первой категории на множестве В
Теорема 2. Непустое замкнутое множество F нс есть множество первой
категории на самом себе
Доказательство Допустим, напротив, что Г можно представить
в форме Г-Д, | Да + Дз+ , где каждое из множеств Д; нигде не плотно
на множестве F Тогда существует точка х, с F, не являющаяся точкой за-
мыкания Д, множества Д, Поэтому найдется сегмент [х± Xj + SJ, песо
держащий ни од ои точки Дх, причем можно считать что i), < 1
В интервале (Xj-fij, существует точка х2 <= F, не входящая
в множество А2 Значит, найдется сегмент [х2 -б2, xs-f-Sil, не содержащий
ни одной точки А, Можно считать, что 62 < 1 2 и что [х2 — 62, х2~|-62] с:
С [х,—&, Xi 4-6J
Продолжая этот процесс, мы построим последовательность точек
Х1, х2, , х„, .. ,
входящих в F, и последовательность вложенных сегментов
[хх— Sx, Xj+6 J [х2 — б2, о zj[x„ б„, хя-рЗ„] с .
такую, что сегмент [х,; —6П, хп + б„] не содержит ни одной точки множества
Дл и бп < 1 п
Пусть х(| есть общая точка всех сегментов [х„ ~ бя, хя + б„|
Очевидно Х(| = 1ппхя и потому х„ е Г Вместе с тем х0 не может входить
ни в одно из множеств А„ Это противоречие доказывает теорему
Следствие. Есш непустое юмкнупое множество F есть сумма счетного
множества замкнутых множеств / -/, /2 , то существует интер
вал (X, р), содержащий пихки множества Г, и такое п, что (А, р) f cln
Действительно, хоть одно из слагаемых множеств, пусть это будет /• п,
не будет ни,де неплотным на множестве F Но эго и значит, что среди
интервалов, содержащих точки F, найдется такой интервал (X, р), что все,
входящие в него точки F, входят в Fn, ибо это последнее множество, будучи
замкнутым, совпадает со своим замыканием
I) Функцию g (х) можно представить в форме
g (х) — lltllg„(x),
tl — -<
где g„ (х) непрерывные функции, подчиненные условию
я. 1 , . я 1
- 2 г 2 ~ ,г-
Тогда
/(х)= lim tg [gn (х)],
/? —
причем tg [g7 (х)] есть непрерывная функция
379
Пусть на некотором множестве Л задана функция f (х) и пусть В есть
подмножество А. Рассмотрим функцию f(x<B), определенную только
в точках множества В и совпадающую в этих точках с функцией f(x). Мы
будем говорить, что функция f (х । В) индуцируется функцией f (х) в мно-
жество В. Легко понять, что если исходная функция f (х) непрерывна на
множестве А, то индуцированная функция f (х [ В) непрерывна на мно-
жестве В.
Теорема 3 (Р. Бэр). Пусть на сегменте [а, Ь] задана конечная 9 функ-
ция 1-го класса j (х). Каково бы ни было замкнутое множество F #=0, содер-
жащееся в [а, 6], в нем имеются точки непрерывности индуцированной функ-
ции f (х | Г).
Доказательство. Если множество F имеет хоть одну изолированна ю
точку, то последняя и будет искомой точкой непрерывности. Оставляя в сто-
роне этот тривиальный случай, мы будем считать, что F есть совершенное
множество.
Пусть D есть некоторый сегмент, содержащийся в [а, Ь] и внутри
которого имеется хотя бы одна (а значит, и бесконечное множество) точка
множества F.
Мы покажем, что существует сегмент d, лежащий внутри* 2 *) D, содср
жащий внутри себя точки множества F и такой, что колебание функции
f (х) на множестве Fd меньше любого наперед заданного числа.
Для этого мы прежде всего убедимся в существовании такого сегмента
EczD, что множество EF есть совершенное (непустое) множество. Пусть
концы D суть А и В, так что D=[A, В]. Бесконечное множество DF зам-
кнуто и ни одна его точка, кроме А и В, не может оказаться изолирован-
ной. Допустим, что А есть изолированная точка множества DF, Тогда мно-
жество DF — {Л}, получающееся из DF удалением точки Л, замкнуто. Пусть
самая левая точка этого множества есть Л1( положим О1=[Л1, S] В зам-
кнутом множестве D^F изолированной может быть только точка В. Если
она в самом деле такова, то мы удалим ее из множества D^F и обозначим
через В± самую правую точку оставшегося (замкнутого) множества. Сегмент
Е = [Л1( и будет таким, что EF совершенное множество
По условию функция f (х) представима в форме /(х) = hm fn (х), где
п — <х>
fn (х) суть непрерывные функции. Возьмем е>0 и положим
An,m = E(\fn (n=l, 2, .. , 01 = 1, 2, ...).
Очевидно множество Ап,т замкнуто. Пусть далее
Вп= П А™>-
т = 1
<»
Это также замкнутое множество Легко видеть, что Е = У Вп.
п = 1
Действительно, если х0 е Е, то последовательность {fn (х0)} -сходится,
а потому для достаточно большого п и любого т будет
I fn (•’о) In. ,т (’о) I < 8>
так что х0 е Вп и, стало быть, Е с Вп. Обратное включение тривиально.
Но из установленного равенства следует, что EF= ВВп.
п~ 1
!) Условие конечности [ (х) существенно, ибо функция, всюду равная-|-от,
будучи функцией -1-го класса, вовсе не имеет точек непрерывности.
2) Мы будем говорить, чго сегмент [X, ц] лежит внутри сегмента [о, т],
если о < X < |х <.т.
380
В силу предыдущего следствия существует интервал (к, р), содержащий
точки множества EF и натуральное число п такие, что (X, ц) EF cz FBn.
Если х е (X, р) EF, то при любом m оказывается
I fп (х) fп,т W I e-
Увеличивая m и переходя в последнем неравенстве к пределу, мы нахо-
дим, что
(х) I <е.
Множество EF есть совершенное множество, интервал (X, и) содержит
хоть одну точку этого множества. Значит, множество (Л, ц) EF бесконечно.
Пусть х0 есть точка множества (X, ц) EF, отличная от концов сегмента F.
Возьмем сегмент d, содержащий точку х0 внутри себя и настолько малый,
что 1) он содержится в интервале (X, р), 2) лежит внутри сегмента Е
(и, тем более, внутри сегмента D) и 3) колебание (непрерывной) функции /л (х)
на сегменте d меньше в
Пусть х2 и х2 суть две точки множества Fd. Тогда
lfn (*1)~ /(*1) 1=^6, I fn (Xj)~ fn (x,) I < 8, |frt(x2)— f(x2) I <8,
откуда
(x2) | < 3e,
t. e колебание функции f (x) на множестве Fd меньше 3f.
Итак, нами установлено, что для всякого сегмента D с [я, 6], содержа-
щего внутри себя точки £, существует другой сегмент d, лежащий внутри D,
также содержащий внутри себя точки F и такой, что колебание f (х) на Fd
мало по желанию.
Доказав это, возьмем сегмент d2 cz [а, 6], содержащий внутри себя точки
F, с длиной md1 < 1 и такой, что колебание f (х) на множестве Fdt меньше 1.
Затем найдем сегмент d_, лежащий внутри d2, содержащий внутри себя
точки F, с длиной md, < */г и такой, что колебание f (х) на множестве Fd2
меньше 1 2. '
Продолжая этот процесс, мы построим последовательность сегментов
d2 zd d2 zd d3 zd .. (mdn < 1/n),
каждый из которых лежит внутри предыдущего, содержит точки множества F
внутри себя и таков, что колебание функции f (х) на множестве Fdn меньше 1'и.
Пусть £ точка, общая всем сегментам d п. Она очеви дао принадлежит
множеству F. Легко видеть, что индуцированная функция f (х F) непрерывна
в точке Теорема доказана.
Оказывается, что эта теорема допускает обращение. Чтобы это доказать,
нам понадобится
Принцип стационарности Кантора — Бэра. Пусть всякому порядковому числу а
из первого или второго числового класса отвечает замкнутое множество Fa,
причем из а < 0 следует Fa сэ Ер
Fo => Fxo ... zz FQzz> ... zd Faz> ... (a < Q).
Тогда все множества цепочки {Fa}, начиная с некоторого, совпадают
друг с другом, т. е. найдется такое число р, < Q, что
Е|л = Ец+1 = Ец+2 = ... (*)
Доказательство.1) Расположим (счетное1) множество всех интерва-
лов с рациональными концами в последовательность б2, 62, 63, Это позво-
ляет всякому множеству Е точек числовой прямой соотнести множество S (Е),
состоящее из всех натуральных чисел k, удовлетворяющих соотношению
Ф 0.
]) Это доказательство сообщено автору акад. П. С. Александровым.
381
Легко видеть, что из А <= В следует S (Л) с S (В) Далее если множества
F nF4 замкнуты и F F*, то i) S (F) #= S (F*) В самом деле, пусть х„ <= F — Г*
Тогда все достаточно короткие интервалы, содержащие х0, не будут Пересе
каться с F' Если 6, один из таких интервалов, го i е S(F)~ S (F*)
Заметив это, положим S(Fa) = Sa Эго приводит нас к цепочке множеств
So zr S, Z2 S2 => з SaD (а < Q)
Пусть К пересечение всех множеств этой цепочки Если К состоит из всех
натуральных чисел, то и все множества цепочки таковы же Эго означает
что все множества 1а начиная с F„, совпадают друг с другом (каждое п>
них будет совпадать со всей числовой прямой) Оставляя в сюроне эгог три
виальныи случаи рассмотрим множество М. всех натуральных чисел, не вхо
дящих в К Если in е М то найдутся такие числа а < Q, чго т е 3.
Обозначим через ат наименьшее из них Это приводит нас к конечному или
счетному множе тву чисел {ат} Так как все они меньше О, то найдется
порядковое число ц, все еще входящее в первый или второй числовой класс
и большее всех а1П Если т е К, то in е. Srj_m и тем более nieSp Отсюда
следует что = Таким образом, S(I = SM 1 = S|1 2= , а это равносильно
соотношению (*)
Теорема 4. (Р. Бэр). Пусть на сегменте F=(a, б] задана функция I (х)
Если на всяком непустом замкнутом множестве F имеются точки непрерьн
ности индуцированной функции f (х F), то f (х) непрерывна иги 1 ео к икса
Доказательство В силу теоремы Лебега, достаточно показать,
что множества Е (f > А), Е (t < 4) при любом А суть множества типа F^
Пусть р и q два числа, причем p<q Положим
Р = £()>р), Q = £(/<?)
Очевидно E = P-\-Q
Пусть F непустое замкнутое множество, содержащееся в Е Обозначим
через х0 какую ннбудь точку непрерывности индуцированной функции f (х F)
Ясно, что выполняется хоть одно из неравен тв
I (*о) > Р, f (*о) <
пусть, например, f (ха) > р Тогда существует столь малый интервал 6, содер
жащий точку х0, что для всех точек множества F6 окажется f (х) > р Поло
жим F* = F — F6, это замкнутое множество, потому что F*=F С6 При этом
F —F* = F6cF Если бы было ) (х0) < <?, то мы аналогично нашли бы
замкнутое множество F* czF такого рода что F — F* с Q Итак, какое бы
непустое замкнутое множество F ни втять, напдется такое его замкнутое же
подмножество F*, что множество F — F* не пусто и содержится целиком в Р
итп Q
Заметив это, положим F0 = |a, b] и найдем замкнутое множество Ff cz Fп
такого рода, что Ft!-I{ не пусто и целиком содержится в Р или Q Если Fx
также не пусто, то мы найдем его замкнутое подмножество F, такое, что
Fr- Г, не пусто и содержится в Р или Q Продолжая эгог прсцесс, мы итп
натолкнемся на пустое мнод<ес|во F п или для всех натуральных п построим
множества i п такого рода, что F n—F п ! не пусто и содержится вР или(?
В последнем случае мы положим Ful - |[ Fn
и = о
Если эго множество все еще не пусто, го перед нами открывается во,
можность дальнейшего построения множеств / и L, F0J , flycib а есть
число 2 го класса и нами \же определены все множества Fa при р-.сг,
причем все они оказались непустыми
!) Без условия замкнутости обоих множеств F и F* сказанное неверно
Например, если R и Z суть соответственно мно/щетва всех рациональных
и всех вещественных чисел, то 5 (/?) —S (Z) —{1, 2, 3, }
382
Ес иг а число первого рола, то мы обозначим через Fa такое замкнутое
подмножество множества Fa , (где а 1 непосредственно предшествует а),
что Fa Fr, -^ О и целиком содержится в Р или <2 Если же а число вто
рого рода, то мы полагаем Frjl — | |
Р о
Допустим что все множества Fa при a<Q оказались непустыми Метко
видеть, что это допущение противоречит принципу стационарности Кантора —
Бэра В еаУЮУ! дезе согласно этому принципу , должно наигись такое и , что
Fp —Fp у, в то время как из непустоты Г|( вытекает непустота разности Ги—
Ц< 1
Таким образом, процесс определения множеств Fr/ не может быть прове
ден для все* чисел первых двух классов и необходимо существует такое
Л-. И, что Г 0 (ezc/О
В такое! случае исходный сегмент F(l = [a, ft] представляется в форме
(«, Ь]-2 11
ti </.
Действительно, если х s [я /с], то найдутся такие <z ' /, что л е= Fc,
(например, a- /.) Пусть р первое из них Ясно, что fj число первого рода
(ибо если бы р было числоуу второго рода, то х, входя во все Fa при о <_ р,
входил бы и в их пересечение Гр) Значил, х s Г|( ,—Гр и
[u, fe] с >7 1Л-х-Л^1Ь
а л
Обратное включение тривиально Каждое из мно кеств Fa — Га 1 входит
в одно из множеств Р или Q Обозначим через Т множество тех а. < к, для
которых Pj-h^iCP, и пусть U -W,—T Ясно, что UT = 0 и
[c.fe]=S[fa-^<zJ + 2[^e/ -F хч]
Т lj
Каждое из множеств Fri — Fr/ j есть множество типа Га таковы же и их
суммы А — У [Fz — Fa J, B = ^[Fa-Fa ибо каждое иэ мнеж ств Т и U
т и
конечно или счетно Отметим, что А с: Р, В~ Q и чло множества А и В
попарно ие пересекаются (ибо не пересекаются множества Fa—F ],—
— fy+i при a P)
Итак всякой паре чисел p<q отвечает разложение сегмента [а, /э] на
два непересекающпхея множества типа Г„
[а, Ь] = А 4 В, причем А с Г (f р), В cz Е (J < q)
Установив это, фиксируем р и придадим q по<_ ледовательносль значений
9л " । m q„ - р
Для всякого п мы имеем jn ,/>] = Ап f-Bn (А $ п-~0) ,iде А „и В „суть
множества типа Гп и А„ с £ (/ > р) В„ с. Г (J < qn)
Положим R — У А„, S = J ] В„ Очевидно RS 0 и [ц b R + S
/11 fl I
Множество R есть F„ Покажем, что £ ((> р) R
Действшельно, если / (х„) р то для достаючно большого /1 окажется
и х0 е Вп Значит, i,,eS и х() g R Отсюда с1едует, что
Е (f > р) a R
Обратное /ке включение очевидно Итак, £ (/ > р) есть Г„ То же спра
ведливо и длч мноа^еств Е (I <. q) Теорема доказана
Иллюстрируем теоремы Лебе,а и Бэра некоторыми примерами
383
I. Характеристическая функция замкнутого ограниченного множества F
есть функция 1 го класса
Пусть Fez [а, Ь\ = Е и / (х) равна 1 в точках множества F и равна О
в точках множества Е — Г То1да
£(/>Л)=-
Т, если А < О,
F, если 0 А •< 1,
О, если А 1,
IE, если А > 1,
Е (f <А) = >Г-F, если 0<Лг£1,
(о, если А О
Во всех случаях множества Е (f > Л) и Е (f < Л) суть Га Чтобы это
пояснить, достаточно сослатося на лемму 1
Отметим, что наше предложение легко может быть доказано без помощи
предыдущей теории Если мы обозначим через г (х) расстояние точки х от мио
жества Г, то функция г (х) окажется непрерывной Вместе с тем / (х) =
1
= ига ;-----т--
,1^00 1 +пг (х)
II Функция, имеющая счетное множество точек разрыва есть функция
1 го класса
В самом деле, если F есть замкну тое множество, в котором есть изоли
рованные точки, то они и будут точками непрерывности индуцированной
функции f (х Г) Если же F есть совершенное множество, то оно несчетно и
потому содержит точки непрерывности исходном функции, которые и подавно
являются точками непрерывности функции индуцированной
В частности
111. Монотонная функция и функция е конечным изменением суть функции
не выше 1 го класса
Следующий пример весьма поучителен
IV. Пусть Ро есть канторово совершенное множество Определим в сег
менте [О, 1] две функции / (х) и g(x), полагая / (х) равной 1 в точках мно
жества Ро и 0 в точках его открытого дополнения Go = [O, 1] —Ро функ
цию же g (х) мы положим равной 1 в тех и только тех точках множества Р„,
которые не являотся концами дополнительных интервалов, а в остальных
точках [О, 1] полагаем g(x)=O
Легко понять, что обе функции f (х) и g (х) непрерывны в точках мно
жества 0(1 и разрывны в точках множества Иначе говоря, эти функции
имеют одну и ту же совокупность точек разрыва И в то же время [<р)есть
функция 1 го класса (как характеристическая функция замкнутого множества
Ро), а g (*) таковой не является, ибо индуцированная функция g (х | Ро) раз
рывна в каждой точке множества Ро
V. Функция Дирихле есть функция 2-го класса
Функция Дирихле равна 1 в рациональных точках сегмента [О, 1] п О
в иррациональных точках этого сегмента Она вовсе лишена точек непрерыв
ностн и потому не может быть функцией 1 го класса В то же время, еези
мы перенумеруем рациональные точки сегмента [0, 1] rL г2 , гя, и положим
(1 при x = rk
rn,, (*) — , (fe=l, 2, , п),
т (0 в остальных точках [О, 1]
го функция (х), имея конечное число точек разрыва, будет функцией 1 го
класса Так как функция Дирихле есть предел ф„ (х) при то наше
утверждение доказано *)
Заутетим, что функция Дирихле есть характеристическая функция мио
жества рациональных чисел, которое (будучи счетным) очевидно есть Fa Зна
чит, характеристическая функция множества типа Fa не всегда есть функ
ция l-ro класса
1) Нетрудно проверить также, что функция Дирихле ф (х) представима
в форме ф(х) = lim { Inn [cos (minx)]2'1}, откуда снова видно, что ф (х) есть
т -»оо ri->ао
функция 2 го класса.
384
§ 4. Полунепрерывные функции
Остановимся на одном специальном виде функций 1 го класса — почунепре
равных функциях Для этого нам придется перенести на функции понятия
наибольшего и наименьшего пределов, установленные нами в § 2 для посте
доватетьностеи Для простоты мы ограничимся функциями одной переменной
Пусть функция f (х) задана на множесизс Л, имеющем предельною точку
ха Возьмем число б>0 и положим
Л4в (х0) = sup {/(х)Н тй (x„) = mf {/(*)} [х s (х„ — 3, х„ф-б) £]
С уменьшением б величина Мд (х0) не возрастает а тд (хс) не убывает,
а потому существуют (конечные или бесконечные) пределы
М (х„) = Inn /Ид (х0), т (х0) = lim тд (л(|),
д-о д .о
которые и называются1) соответственно наибольшим и наименьшим пределами
функции / (у) в точке х0 Обозначаются эти пределы так
Л1 (х0) = Inn / (х), m(x0) = Inn ; (х)
Заметим, что в самой точке хп функция / (х) может и не быть определена
Но, если л(! = £', то очевидно т (хи) f (х(1) М (х„)
Теорема 1. Наибольший предо i М (хп) функции f (х) в пинке х0 есть наи-
бочьшее из чисец явчяющихся предаами посчедовапи гьноспии вида
f (<>) f(*a),
где х,, = Е, х„ -> х0
Доказательство Если Л4(ха) =— оо, то легко проверить, что для
веякон последовательности (х„}с:Г, которая сводится к х„, будет f (х„) ->
М (х0) Пусть — ои-<Л1 (х0) < ф-со Тогда найдется такое \, что при
п > N будет Муп (х<|) < ф-оо Для каждого натурального п > Н в интервале
|х0— п , х°ф- — 1 можно наити такую точку х„<=с , что
М1/п (*<))-„ <1Ы<М1/п (Хо)-
Ясно, что / (х„) -»• М (ха) С другой стороны, если В>Л1(х0), то найдется
такое б > 0, что Л4д (х0) < В Для всех х е (х„ — 3, лоф-б) будет f (г) Л4д (х0)
и потому не может найтись такой последовательности {хп} с Е, что
х„ х0, I (х„) -> В
Если, наконец, М (х0) = ф-со, то при всех натуральных п будет -Mj п (хп) =
/ 1 1 ’
= ф-си и, стало быть, можно в интервале 'х0— , хоф- найти точку
хп е Е, для которой / (х„) > п Тогда f (xrl) -ж- М (х0), а больших чисел вообще
не существует Теорема доказана Нет надобности говорить, что аналогичная
теорема справедлива и для т (хи)
Определение 1. Функция / (х), заданная в сегменте [а, 6], называется
полунепрерывной снизу в точке х0 этого сегмента, если
lim / (л) /(х0)
Если же
lim (х) ,
Л \ о
то функция f (л) называется по чунепрерывной сверху в точке х0
*) Читатель узнает здесь верхнюю и нижнюю функции Бэра, о которых
речь шла в § 4, гл V
13 И П Натансон 385
В этом определении не предполагается конечности функции / (х) ни в самой
точке х0, ни в прочих точках сегмента [а, й| В частности, функция [ (х)
полунепрерывна снизу в каждой точке ха, где f (х0) ——со
Если функция f (х) непрерывна в точке х0, то она будет в этой точке
полунепрерывной одновременно сверху и снизу Обратно, из полунепрерыв-
ности f (х) в точке х0 и сверху и снизу вытекает [при условии конечности f (v0)]
непрерывность f (х[ в точке ха Эти утверждения представляют лишь другую
формулировку теоремы 1 из § 4 гл V
В дальнейшем мы останавливаемся, главным образом, на функциях,
полунепрерывных снизу Все сказанное легко перенести и па функции полу-
непрерывные сверху, если заметить, что полунепрерывность снизу функ-
ции f (х) в точке х0 равносильна полунепрерывное™ сверху в той же точке х0
функции — f (х)
Понятие полунепрерывности функции можно определить и в несколько
иной форме
Теорема 2. Пусть функция f (х) задана на [а, Ь] и х0 е [а, д] Для
того чтобы f (х) была в х0 полунепрерывной снизу, необходимо и достаточно,
чтобы для любой последовательности точек хпе. [а, й], сходящейся к х0, быю
f W
lim
М —> ОО
(1)
В самом деле, пусть / (х) полунепрерывна в х0 снизу и хп -> х0 (хл е [а, Ь])
Тогда из {хл[ выделяется такая частичная последовательность [х„Л|, что f (xnkj'
стремится к lim f (х„). Отсюда, по теореме 1, следует, что
П -> со
f(x0)= lim f(x)s£ lim f(xtlk)= lim f(xn).
X—*Xq k—»<X) n—»co
Обратно, пусть (1) выполнено для всякой последовательности {x,J с: [а, 6],
сходящейся к х0 Взяв, в частности, ту последовательность, для которой
f (хп) -> hm f (х), получим, чго/(х0) hm /(х), а так как заведомо lunf(x)-.s.
X—х->х0 х-»х0
<1/(х0), то f W полунепоерывна снизу в х0
Теорема 3. Пусть f (х) задана на [а, 6], х0 е [а, й] и /(х0)>—со Для
того чтобы f (х) быю в х0 полунепрерывна снизу, необходимо и достаточно,
чтобы всякому А < f (х0) отвечало такое 6 > 0, что как только | х — х0 | < б
(«хе [а, Ь]), так сейчас же f (х) > А
В самом деле, пусть / (х) полунепрерывна снизу в х0 и А < / (х0) Так
как /(х,) = lim /(x)=m(x0) = lim /»£ (х0), то наидется такое 6 > 0, что
X -> Хо 6 -» О
Щ (*<)) > -4 Так как при | х —х0 < 6 (и х е [а, 6]) будет / (х) S: (х0), то
найденное 6 — требуемое Обратно, пусть / (х) обладает свойством, указанным
в теореме Взяв любое А < f (х„) и найдя соответствующее ему 6, мы, оче-
видно, будем иметь (хфЛ-Л, откуда и подавно т (х0) 2-А
Увеличивая А и переходя к пределу при Л->/(х0), находим
т W es f (х0),
откуда, в связи с тем, что т (х0) sg / (х0), и вытекает полунепрерывность /(х)
СНИЗу В Xj
Если предположить / (х0) числом конечны м, то доказанную теорему
можно высказать и в такой форме
Теорема 4. Д гя того чтобы f (х) была в точке х0 полунепрерывна снизу,
необходи «о и достаточно, чтобы всякому е > 0 отееча ю такое ё > 0, что,
как только \х — х0 <6 (и х е [л, i]), так сейчас же
/W—е < / (х)
Здесь особенно наглядно выступает связь понятий полу непрерывности
и непрерывности.
386
Теорема 5. Пусть f (х) и g (х) заданы в сегменте [<?, fe| и полунепрерывны
снизу в точке х0 Беги сумма f(x)-\-g(x) определена1 2 3) при всех хе [a, fe], то
и она по чунепрерывна снизу в х9
Доказательство Можно считать, что f (x,)-|-g (х0) >—со, ибо
иначе доказывать нечего Но тогда н каждое из чисел f (у,) и g (v0) в отдель
пости также отлично от— Возьмем какое ниб'дь чисто A<f(v(l) |-g(x0)
Тогда существуют такие В и С, что
B<f(v0), C^g(r„), В + С>Л
По теореме 3 существсет такое 6О, что при v— хп <Р 6 (и хе [а, 6])
будет f (х) ~~~ В g (х) > С Но тогда и подавно при этих х будет f (х) -f-g (х) > А,
откуда, опять таки по теореме 3, и следует полу непрерывность суммы f (х) -|-
+ g (х) в точке х() снизу
Теорема 6. Пусть на [<т, fe] задана возрастающая последовать гьность
функции
11 (х) 3g fs (Х) - fl (X) ,
полунепрерывных снизу в одной и той Ж’ точке х0 _ [cz, fe] Тогда функция
f(x)= hm f,t(x)
п —» оо
также полунепрерывна снизу в х0
Доказательство М ожно считать, чго Дх,) > — со Если Л</(х0),
то при достаточно большом п окажнея fn (х0) > А Закрепив такое п,
найдем 6 ~> 0 такое, что при х— хп <6 (х е [о, I ]) будет t„ (х) > А Так
как /(х) ' ^(х), то при этих х и подавно окажется f (х) > Л, откуда и
вытекает теорема
Следствие Есш все чгены ряда
ui (х) + »2 (-') 4~ из (х) 4- •
неотрицатс гьньг и полунепрерывны снизу в точке х0, то и сумма'1) этого ряда
погунепрерывна снизу t, х0
До сих пор мы рассматривали функции, полунепрерывные в точке.
Теперь мы певеходпм к функциям полунепрерывным иа сегменте
Определение 2. Функция f (х) называется полунепрерывной снизу на
сегм Hine [u, fe], если она задана на этом сегменте и полунепрерывна снизу
в каждой его точке Аналогично определяется полунепрерывность на
сегменте сверху.
Теорема 7. Д гя того, чтобы функция f (х) заданная на сегменте Е — [а, 6],
бы га на нем погунепрерывна снизу, необходимо и достаточно, чтобы при
любом вещественном с множество Г (с) = Е (J ~с) быю замкнутым $)
Доказательство Пусть f (х) полунепрерывна на [a, fe] снизу
Если хп е F (с) и хп —> х0, то по теореме 2 f (х0) lim f (xn), откуда х0 е F (ф
п -» оо
и F (с) — замкнутое множество
Допустим теперь, что все множества Г (с) замкнуты и убедимся, что
функция f (х) полунепрерывна снизу в произвольно взятой точке ха сег-
мента (а, 6] Для этого положим Л= lim f (х)
г0
!) Это значит, что f (х) и g (х) в одной и той же точке не принимают
бесконечных значений разных знаков Если же, например, при иж-х-дуЛ
( — со, при х = 0,
будет f(x) =—со, a g(x)=< то обе эти функции полу-
U оо, при 0 < х < 1,
непрерывны снизу при х = 0, но о сумме их нельзя говорить для х>0
2) Сходимости ряда не предполагается В точках расходимости его сумма
равна 4-со
3) Отсюда, между прочим, вытекает измеримость такой функции
13* 387
По теореме 1 существует последовательность таких точек xtl е [а, Ь], что
хп-+ха, f(xn)->~A.
Допустим, что
f(x0)>A. (2)
Если обозначить через с какое-нибудь число, лежащее между А и f (х„),
A<c<f(x„), io для всех достаточно больших п окажется / (х„) < с, т. е.
x„'s F (с). Но тогда будет и х„ & F (с), г. е. f (х„) - с, что противоречит самому
выбору числа с. Значит, (2) невозможно и f (x0) - lim f (х).
Теорема доказана.
Пример. Пусть множество S есть пересечение сегмента [а, 6] и неко-
торого открытого множества G. Если <р (т) характеристическая фу нкция ‘)
множества S, го это функция полунепрерывная на [я, &] снизу.
В самом деле, здесь
г [а, Ь] если е ст- 1,
Д (с) = [и, /'] — G если 0 — с< 1,
V 0 если с < 0.
Во всех этих случаях F (с) замкнуто.
Теорема 8. Функция, по ^непрерывная на сегменте снизу, достигает
своего наименьшего значения. '-)
Доказательство. Пусть f (х) полунепрерывна снизу на сегменте
[а, Ь] и /n = inf {f(x)}. Тогда из [a, fe] можно извлечь последовательность {х,Д,
для которой lim f{x„) = m.
п -► со
Переходя в случае надобности к частичной последовательности, можно
добиться, чтобы последовательность {х„} сходилась к некоторой точке х„.
Но тогда f(xn) = fim f(x)-^ lim )(хп) = т, а так как неравенство ) (xu) < m
t-»T0 n^co
невозможно, то f (хЙ) — т.
Следствие. Если полунепрерывная на сегменте снизу функция не обраща-
ется в —о?, то она ограничена снизу.
Заметим, что наибольшего значения функция, полунепрерывная
снизу, может и не иметь. Такова, например, функция
( х при 0 -с х < 1,
= ] п 1
( 0 при х= 1.
Из теорем 5 и 6 вытекает, что сумма двух функций, полунепрерывных
снизу на сегменте,J) а также предел монотонно возрастающей последователь-
ности таких функций, есть также функция, полунепрерывная снизу. Ввиду
того, что функция, непрерывная на сегменте, будет на нем одновременно и
полунепрерывной как сверху, так и снизу, мы получаем такой результат:
Теорема 9. Предел возоастающеи (убывающей) последователености непре-
рывных функций есть функция, полунепрерывная снизу (сверху).
Само собою разумеется, что теорема эта не обратима. Действительно,
если функция f (х) в какой-нибудь точке обращается в — г, то она не может
быть предельной для возрастающей последовательности непрерывных
функций, ибо последние всюду конечны. Однако, если ограничиться функци-
ями, не обращающимися в —со, то теорема 9 оказывается обратимой.
!) Заданная на [а, &], т. е. гр (х) = 1 при х е S и <р(х) = О при
х е= [а, 6] — S.
2) Которое может равняться —со (а также и +оо, если f (х) ^-|-оо).
3) В предположении существования этой суммы.
388
Теорема 10. Пусть на [а, Ь] задана, полунепрерывная снизу функция /(v).
Если f (х) не обращается в — оо, то существует такая возрастающая после-
довательность непрерывных функций
ft W “S f2 (х) < f3 W < , что f (х) = lim fn (х).
п ♦ оо
Доказательство. Закрепим точку х <= [я, Ь] и рассмотрим функцию
аргумента г
f(z) + n z — xf, (3)
где п~ натуральное число. Функция г — х непрерывна, а потому и почуне-
прерывна снизу. Значит, сумма (3) полунепрерывна снту. Не обращаясь
в —сю, она имеет наименьшее значение, которое можно предполагать
конечным. *)
Обозначая это наименьшее значение ч?рез fn (х),
(x) = min {/(л) + и । z-x }, (4)
мы и получаем требуемые непрерывные функции.
Действительно, пусть = г„(х) есть одна из тех точек [я, 6], где (3)
достигает значения fn (х). Тогда
fn (х) = f [zn (х)] + п zn (х) --- х ।. (5)
Так как fn (х) есть наименьшее из значении функции (3), ю для любой
точки у е= [я, &] будет fn (х) -s- f [гп (у)] + п гп(у) — х,. Отсюда и подавно fn (х) у
[*п (</)]+« I (у) —у +п у-х\.
В силу (5) последнее неравенство оз качает, что fn (х) ^?п(у) + п у — х\,
откуда ввиду равноправности точек х и у вытекает, что
[fn (x)-fn (.у) , sg/l х — у\,
и потому fn (г) непрерывная функция .
Далее, если т > п, то
fn (x)^f [гт (х)1 + «, гт (х)-х ^f[zm(x)]+m гт (х)—х t =fm (х),
так что (х) /2 (•*") fa W 'С • • . С другой стороны, полагая в справедливом
для всех z <= [я, b] неравенстве
fn(x)^f(z) + n г — х\
z = xt получим
fn(x)^f(x). (6)
Поэтому, положив g (х) = lim fn(x), мы будем иметь
п —> со
g(x)<5/(x). (7)
До сих пор мы не использовали условия полунепрерывности f (х); все
сказанное верно для любой функции )(х), не тождественной -фоо и ограни-
ченной снизу.* 2)
Теперь мы временно допустим, что f (х) нигде не обращается в -фоэ' (что,
конечно, вовсе не означает ограниченности f (х) сверху). Тогда из (5) и (Ь)
!) Если бы это наименьшее значение было равно -фею, то это означало
бы, что f(x)=+oo, а тогда теорема тривиальна — можно было бы просто
положить fn (х) = п.
2) Наличие наименьшего значения у функции (3) мало существенно; если бы
его не было, то можно было вместо (4) положить
fn W = mf {/(г)фп|г-х }.
Это только немного усложнило бы рассуждение.
389
(с учетом ограниченности f (z) снизу) следует, что гп (х)-+х при п -> со.
Возьмем е > О, ему отвечает такое 6 > 0, что при \г— Х|<6 будет / (г) >
> p(v)_е-. Для достаточно больших п будет гя(х) — xi<6 и потому
f[zn (х)| >/ (х) —t, а значит, и подавно (х) > / (х) —в. Отсюда g (х) > f (х) —
— г, а так как е произвольно, то g (г) •_/(v), откудт, в связи с (7), и выте-
кав! теорема
Теперь откажемся от предположения конечности f (х) и положим
f /(х), ести /(х) -п,
| п, если / (х) > п.
Очевидно gi (х) g2 (х) щ. (х). и hm g„ (х) = /(х) Покажем, что функции
gn (х) полунепрерывны снизу. В самом деле, если х0 s [о, Ь] и е > 0, го суще-
ствует такое б > 0, что при х — х0 । < 6 будет /(х)>/(х0) — е и, тем более
[n6og„(xn) / (х0)],
/ (х) >gn (х0) — е.
С другой стороны:
n>gn (vo)-e-
Поэтому, взяв хе(г0 — 6, Ло + б), мы будем иметь gn (х) > gn (хп) — ?•
независимо от того, совпадает ли g„ (х) с /(х) или с п Итак, действительно
g„(v) поле непрерывны снизу Но g„ (х) конечны. Значит, по уже доказанному,
для каждого п существует последовательность непрерывных функций ср^''1 (х)
такая, что
(x)s£cp''° (х) <ф^и) , lim cp^n) (x)=g„ (х).
Л —»co
Положим
fn (r) = max {сг<гн (г), <р<t2> (х), ... , (f(х)}.
Нетрудно видеть, что!)
Л(х)-/,(х) /з(х)<...
Кроме того, все fn (х) непрерывны, как это было установлено в следствии
1 леммы 1 § 2. Наконец, легко проверить, что
hm /n(x) = f(x),
n—>03
что и завершает доказательство.
В заключение докажем интересную теорему об «отделении полунепрерыв
вых функций с помощью непрерывных».
Теорема 11. Пусть на [а, Ь] даны две функции и (х) и v (х), причем и (х)
полунепрерывна сверху, a v (х) полунепрерывна снизу, и zr(x) - с (х). Если и (х)
не обращается в -)-оэ, a v (х) в —со, то существует такая непрерывная
функция f (х), что
и (x)- cf (х) v (х).
Доказательство. По предыдущей теореме существуют две последо-
вательности {<рп(х)} и {фп(х)} таких непрерывных функций, что
<р 1 (х) Л- ipa (х) Дг фз (х) go ... , lim <pn(x) = u(x),
д -> сс
Ф1 (х) < ф2 (X) фз (х) S-..., hm ф„ (x)=t> (х).
2) Действительно, пусть fn (х) = ср^п^ (х). Тогда
/«+1(х)=тах{<р(Д f (х), .... (х)}=гфЗД (х) > <р^ (х) = /„ (х).
390
Введем, как обычно, функции f+(x), полагая
f / (х)’ если ?'-20,
+ (О, если f (х) < 0.
Очевидно, если / (х) F (х), то (х) F+ (х). Заметив это, образуем
функции
< Ф1 ~ Ф1)+ (ф1 ~ ф2)+ (ф2 ~ Ф2) г is (ф2 ~ Фз) + is • • •
• • • is (фп Фп)-ь + ' (фп Фп 1)+ S (фп + 1 Фп 1) + +' . . .
Так как разность фп (х) — ф„ (х) стремится к и (х) — и (х) <0, то1) (фп — фл)_ ^0.
Поэтому знакопеременный ряд
/ W = Фт W + [фх W ~ Ф1 WJ+- [фт W — Ф2 W1++ [ф-2 W - ф2 W1 - ~ • • (s)
сходится всюду на [а, Ь].
Если в какой-нибудь точке х оказывается и(х) = о(х), то в ней будет
Ф; (х) Т'-’ф/,, (х) при всех 1 и k. Стало быть:
[фп W-Фп WI , = фп W-Фп W,
[фп W - Фп т1 (*)]+ = Фп W - Фп +1 W >
и поэтому
/ W=Ф1W + {Ф1W - Ф1W} — {Ф1 (V) - Ф2 W} + {Ф2 W - Ф2 W}— • •
Частные суммы этого ряда суть ф£ (х), фх (х), ф2 (х), ф2 (х), ... Стало быть
f (х) = lim ф„ (х) = lim фя (х) = и (х) = v (х).
Если же в точке х будет и (х) < v (х), то для достаточно больших п ока-
жется фп(х)<ф„(х) [тогда и подавно фя (х) <фя+г (х)]. Поэтому члены
ряда (8), начиная с некоторого из них, равны нулю. Если первая из равных
нулю скобок [.. ],. есть [фя (х) —фя (х)]+, то
/ (х) = Ф1 (х) +{Ф1 (X) - ф! (х) }—... — { ф„ _ ! (х) — ф„ (X) } = Ф „ (х).
Значит, f (х) •- v (х). Кроме того,2) ф„ (х) +-<р„ (х). Значит, f (х) У и (х).
Таким образом, и (х) -у; f (х) и (х). Аналогично устанавливается это неравен-
ство, если первая из обращающихся в нуль скобок в ряду (8) имеет вид
[фп (*)—Фп+1 WJ+- Итак, всегда и (х) +S f (х) sg v (х). Остается обнаружить
непрерывность f (х). Но все члены ряда (8), а значит и его частные суммы
непрерывны. С другой стороны, ряд (8) знакопеременный, а модуль его общего
члена убывает. В таком ряде частные суммы ведут себя так:
‘ +1 S-4 '+ Sfl ' С ..., Si ‘ Sg -+ S5 •-+...
Поэтому сумма f (х) ряда (8) будет одновременно и пределом возрастаю-
щей последовательности непрерывных функций и пределом убывающей после-
довательности таких же функций. Иначе говоря, f (х) одновременно полуне-
прерывна снизу и сверху, а тогда она непрерывна. Теорема доказана.
х) Мы пользуемся здесь тем, что из соотношения fn (х) —»F (х) вытекает
соотношение [fn (х)]+ —- L',. (х).
2) Именно потому, что [ф„ (х) — ф„ (х)] + =0.
ГЛАВА XVI
НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
§ 1. Введение
В конце гл IX был приведен пример функции
/(x) = x*cosj |/(0) = 0],
которая всюду на [О, I] имеет конечную производную /' (х), но последняя
окауывается не интегрируемой по Лебегу Таким образом, операция интегри
рования по Лебе1у не попностью решает задачу восстановления первообраз-
ной функции по ее конечной производной В 1912 г французский математик
А Данжуа ввел более общий процесс итерирования,1) чем лебеговский, и
показал, что этот процесс полностью решав! указанную выше задачу
С друюй стороны, в 1914 г немецкий ученый О Перрон также ввел
некоторое определение инти рала, основанное на других принципах, чем
определение Данжуа, и также полностью решающее задачу восстановления
первообразной функции по ее конечной производной.
Последующими работами Г. Хаке (1921), П С Александрова (1924)
и Г. Лоущна (1925) была установлена, однако, полная тождественность инте
гралов Данжуа и Перрона Таким образом, оказалось, что Перроном была
предложена лишь новая форма определения интеграла Данжуа, почему этот
интеграл в настоящее время принято нашшать инти ралом Данжуа- Пер
рока
В 1916 г, независимо друг от друга, А Данжуа и русский математик
А Я Хинчин тали еще более общее определение интеграла, позволяющее
восстанавливать первообразную функцию не только по ее обыкновенной
производной, но и по ее так называемой аппроксимативной (или асимп
тотическои) протводнои2) Этот более общий интеграл принято называть
интс, ралом Данжуа — Хннчина, или «широким» инте!ралом Данжуа, вот
пичие от него интеграл Данжуа —Перрона называют «узким» интегралом
Данжу а
Мы подробно изучим теорию интегралов Данжуа —Перрона По поводу
же интегралов Данжу а — Хннчина ограничимся лишь их определением, отсы
лая за подробностями к монографии С. Сакса 3)
1) Сам Данжуа назвал свой процесс интегрирования «тотализацией»,
а построенный им интеграл «тоталом», но мы не будем придерживаться этой
терминоло! ии
2) Число /1 называется аппроксимативной производной функции /(л)
в точке \(), если существует такое множество Е, имеющее ха точкой плот
ности, что при х е Е и х — х0 оказывается
11т/М-Ж_) = л
X -'о
J) С Сакс, Теория интеграла, 41Л, 1949,
392
§ 2. Определение интеграла Перрона
Для дальнейшего нам погребается следующее
Определение 1. Пуоь / (л) конечная функция, заданная на отрезке [и, X]
И to точка этого отрезка Числа
DF (хф = lim FSX)~^F^ DF (х„) = ТПГ F^~F^
л'-* го х л -» л и х л о
называются соответственно нижней и верхней производной функции /(у)
в точке х0
Легко понять, что эти числа (они могут равняться и бесконечности опре-
деленного знака) суть наименьшее и наибольшее из производных чисел F (а)
в точке ха
Лемма 1. Пусть на [я, Л] заданы конечные функции U (х) и I (х) Не ш
при некотором е [a, Ь] будни
01/(а0) > — оо, DV (л0) <ф-оо (|)
и R (у) -= U (а ) — V (х), то
DR (x0)~^DU (xo)-OV(Ao)
Доказательство Рассмотрим такую последовательность {А*}, что
hk О, /< — 0 и
hm R<xo + h^-^M = DR .
Переходя в сл\чае надооностп от самой поспедоват&тьности {hh } к над
лежащей ее подпоследовательности, можно добиться cj> щесгвованпя опреде
ленных пределов
Л=11 m---------—--------, р — 11 п 1-------------------.
hk hk
Согласно (1) будет Х> —оо и р <-|-со, так что разность X — р будет
иметь смысл В силу этого окажется DR(x0)— X—-р Остается заметь, чю
X=sDl/(v0), p<Dl/(x„)
Сл едавие . Сели U j(a) и U 2(х) —конечные функции и
DUt (х) > — оо, DU (а) >— со,
то
D [t/j (r)H-t/,.(A)| (а) фРЛЧДу)
Действительно, положив —I (у) и заметив, что
DU. (х)= —OV(v),
можем применить лемму.
Определение 2. Пусть /(а)—функция (не обязательно конечная), заданная
на [а, 4]. Непрерывная на [«, 6] функция Г (х) называется1)
подфункцией для
1) / («) =0,
2) DF (х)>—со для
,3) Бг(а)^/(х) для
/ (а), если
всех х е [а, Л],
всех a s [а, &].
подфункцией для / (а) если
1) I (п)-О,
2) DF (а) <-фоо для всех с<= [ст, Ь],
3) DF (\.) / (л) для всех у е [а, 6]
!) Таким образом мы переводим немецкие Oberfunktion и Lnlerfunktion
393
Понятия надфункции и подфункции являются обобщениями понятия
первообра шой Именно, вполне очевидна следующая
Лемма 2. Если конечная функция [ (х) является производной функции F (х)
(причем. Г (а) = 0), то Г (х) служит для f (х) одновременно и надфункцией и
подфункцией
Для всего дальнейшего большое значение имеет
Лемма 3. Если U (х) есть подфункция, а V (х) — подфункция дгя одной
и той же функции f (х), то разность R (x) = U (х)—V (х) не убывает.
Доказательство. В силу леммы 1 всюду на [а, Ь\ будет
DR (х) DU (х) — D V (х) аг О,
и дело сводится к лемме 1 из § 7 гл IX.
Следствие 1. В условиях леммы 3 будет U (b)^ V (6).
Из сопоставления этого предложения с леммой 2 вытекает
Следствие 2. В условиях леммы 2 число F (Ь) одновременно является наи-
меньшим из чисес 11(b) и наибоимшм из чисел V (Ь), где U (х) и V (х) произ-
вольные надфункция и подфункция функции f (х)
F (b) ^min {U (6)} = max { V (&)}.
Теперь мы можем дать основное
Определение 3. Функция f (х), заданная на отрезке [а, Ь], называется
интегрируемой в смысле Перрона [или интегрируемой (Р)] на этом отрезке,
если
1) она имеет хоть одну надфункцию U (х) и хоть одну подфункцию V (с),
2) точная нижняя граница множества {U (6)} значений всех надфункции
в точке с —6 совпадает с точной верхней границей множества {Е(&)[ значе-
нии всех подфункций в той же точке
mf {U (fe)}=sup {V (&)}. - (2)
Если f (х) на отрезке [а, 6] интегрируема (Р), то общее значение чисеп (2)
называется интегралом Перрона функции I (х) по отрезку [я, t>] и обозна-
чается через
Ь
(Р) j f (х) dx.
а
Приведенное выше следствие 2 лемм 2 и 3 можно теперь формулировать
в виде теоремы ')
Теорема. Если функция F (х) всюду на [а, Ь] имеет конечную2) произ-
водную [(х), то последняя интегрируема (Р) и
ь
P(6)-P(a) = (P) p(x) dx.
а
Таким образом, интеграл Перрона действительно до конца решает задачу
восстановления первообразной по ее конечной производной. Нельзя, однако,
не отметить, что приведенное определение интеграла Перрона не дает ника-
кого процесса построения этого интеграла. Указанный дефект будет
снят в теории интеграла Данжуа, который, как мы увидим ниже, опреде-
ляется при помощи совершенно определенной конструкции.
J) Из этой теоремы срату вытекает существование функций, интегрируе-
мых (Р) и не интегрируемых (L). Гакова, например, производная функция
f (х) = № cos ” [0 < х 1, f (0) = 0].
Условие конечности f (х) отбросить нельзя. См. В. Я. Козлов, При-
мер Гольдовского, Мат. сб., 1951, 28, № 1, 197 — 204.
394
В заключение этого параграфа отметим простое и важное условие (/^-инте-
грируемости функции, непосредственно вытекающее из самого определения
интеграла Перрона.
•Лемма 4. Для того чтобы функция f (х), заданная на. отрезке |ц Д
была на нем интегрируема (Р), необходимо и достаточно, чтобы всякому е>0
отвечали такие надфункция U (х) и подфункция V (х), что U (Ь) —V (/>) < е.
§ 3. Основные свойства интеграла Перрона
Теорема 1. Если функция интегрируема (Р), то она почти везде конечна
Доказательство Пусть U (х) и V (х) суть надфункция и подфунк-
ция функции /(г), интегрируемой (Р) па отрезке [а, Д Положим R (х)
= U (х) — V (х) В силу леммы 1 § 2 всюду на [а, £>] будет
DR (х) --ОД (х)-О1/ (х).
По, если в какой-нибудь точке х0 окажется f (х0) — -ф- со, то тем более
будет и DU (х0) со, а так как T)V (xj < 'гоо, то
DP (х0) = -г оо.
Последнее равенство имеет место и в каждой точке х0, где f (х0) =—со.
Таким образом , множество точек , в которых j (х) обращается в 'оесконечиость,
есть часть множества точек, в которых R'(x) — -[-co, и наша теорема выте-
кает из того факта, что производная непрерывной возрастающей функции R (х)
может равняться -фсо лишь на множестве меры 0.
Теорема 2. Если ) (х) интегрируема (Р) на отрезке [а, Ь] и а < с < Ь,
то j (х) будет интегрируема (Р) и на каждом из отрезков [а, с] и [с, Ь],
причем I)
Ь с b
(P)j/(x) dx = (P) j/(x)dx+ (P)j/(x)dx. (1)
а а с
Доказательство. Пу сть £ > 0 , a U (х) и V (х) —такие надфункцпя
и подфункция функции /(х), что U (b) — V (t>) < е
Ясно, что и на отрезке [а, с] они также являются надфункцией и под-
функцией для /(х). С другой стороны, разность U (х)— V (х) возрастает
и потому U (с) — V (с) < е.
В силу произвольности £ отсюда вытекает (Р)-интегрируемость / (х) на
отрезке [а, с]. Отметим, что
(2)
а
Для отрезка [с, fe] надфункцией и подфункцией для f (х) будут служить
U* (х) = Д (x)-U (с), V* (х) = I/(х) - U (с).
Так как U* (b) — V* (b) U (b) — V (6) < е, то и на [с, />] функция f (х)
интегрируема (Р), причем
ь
V(b)-V(c)^(P)^(X)dx^U(b)-U(c). (3)
С
Складывая (2) и (3), находим, что
с b
v (6) (Р) V (X) dx + (Р) j f (X) dx-epU (b),
a c
откуда следует (1).
!) Равенство (1) означает, что интеграл Перрона есть аддитивная функ-
ция промежутка интегрирования.
395
Теорема 3. I с си a<c<b и f (г) ишп грируема (Р) на каждом из отрез-
ков [я, с| и (с, 6|, то и на вам [а, Л] она инте'рирщ на (Р)
Дока зате пьство Пусть ь>0 и (7t (х) и (л) су ть надфу нкция
и подфункция f (х) „а [я с], a U, (л) и 1Л (х) ее надфункция и подфункция
на [с />] при зем Uv (с) - I । (г) • f (7, (й) — I •> (b)е
Введем в расиютртне функции
при а^х-С,
и (л) — {
7 I U\ (‘)-\-U.2 (х) при C :-_X..h,
t / lzi (х) при iiox- . с,
I 1 1 (с) + I 2 (х) при С^Х^Ь.
Легко видеть, ') что это иадфункция и подфункция / (х) на всем [я, й]
Поскольку же (7(й) —V (й) < 2г а ь произвольно, то теорема доказана
Теорема -Т Few f(x) интегрируема (Р) на [я, й[, я /г конечная постоян-
ная, то функция А. / (л) также интегрируема (Р) ня [я, й[ и
Ь Ь
(Р) \ W (х) dx = k (Р) \f (х) dx (4)
а а
Доказательство Для к—0 теорема тривиальна * 2) Пусть й > О
Если U (л) и I (х) суть надфункция и подфункция для / (л), то J) kU (i ) и
k\ (х) оказывают я надфункциси и подфункцией для й/(х) Ввиду того, что
разность kU(b) — Н (й) вместе с b (й) — V (й) может быть сделана сколь
угодно малой функция kf (х) будет (Р) интегрируемой Равенство (4) вытекает
из неравенств
ь
k\ (b)^P\ kf (v) dx kU ф)
а
Пусть, наконец, k < 0 Тогда надфункцией и подфункцией для kf (х)
будут А1 (х) и kU (л), и доказательство заканчивается как и выше
Теорема 5. Пусть каждая из функции ф (у) и Д (х) интегрируема (Р) на
отрезке [я, й] Геш их сумма опрсде ина на всем [я, й] то и она инте’ри
руема (Р) на ином отрезке, причем
ь ь ь
(Р) 1/1 (х) + /2 (х) I dx = (Р) А (х) dx [- (Р) J /2 (х) dx
и а а
Доказательство Пусть СД (х) и (72 (х) суть надфункции для Д (х)
и /2(х) Если (7 (х) — (7, (л)+ (72 (х), то [см следствие леммы 1 § 2] эта
Функция будет надфункцией суммы Д(х)+/2(х) Аналогичным образом сумма
подфункции функции /1 (х) и д(л) будет подфункцией их су ммы Остальное ясно
Теорема 6. Есш функция f (х) интсгрирус на (Р) на отрезке [а й|, а
функция g(x), заданная на том же отрезке, си зквива интна, то и g(x) инпи,
грируеиа (Р) на [а, Ь\, причем
b ь
(P')^g(x')dx = (P)jf(x)dx. (5)
а а
*) В самом деле, DU (с) = min {DU1 (с), DU2(c)}, откуда следуют оба
неравенства DU (с) > — DU (с)______f (с)
2) Функция (х) = 0 есть производная функции Г (х)^ с Значит, по
ь
теореме § 2 <р (х) интегрируема (Р) и (P)^0dx = 0.
J) При £>0 будет D [kF (х)] = kDF (х) и D [kF (х)] = kDF (х).
396
До i азате пьство Обозначим через Е множество точек в которых
р(<) .- П-у)
Так как ml =0, то (см теореме 6 § 2 гл \ III) существует такая
непрерывная возрастающая функция о (с) что во всех точках / оказывается
О' (у) | а.
Мокко считать, ’) чт > о(;)—0, о (b) I
Возьмем ь'~~0 и рассмотрим такие надфу нкцпю U (л) и подфу нкцню I (х)
функции /(у), что U (b) 1 (Ь) t
Пусть L/* (л) —4/(x)J-to (х), 1*(г)=1 (л) —fccr(x) Четко показать, * 2) что
это суть надфункция и подфункция уже и дпя g (у) Но так как
U* (1>) - I * (Л) < it
то g (л) интегрируема (Р) Наконец, из неравенств
ь
V (6) - е (Р) g (х) dx . JJ (Ь) ре
а
вытекает (5)
Замечание. Последняя теорема позвопяет в формулировке теоремы 5 отбро
сить оговорку о том, что сумма /1 (у) J-f2 (х) должна быть определена во всех
точках [л й| В самом деле, так как слагаемые (по теореме 1) почти везде
конечны то уумма /j (v)+/ I') во генной случае определена почти везде
на [о /?], а на остающихся множестве мтры 0 ее моя,но доопределить по
произ! о ту
§ 4. Неопределенный интеграл Перрона
Если / (х) задана и интегрируема (Р) на отрезке [а, й] то функция
х
P(x)=C+(P)\/(/)dZ (п<х^Л)
и
называется ее ньопреде инныи интеграюм Перрона Положив
(I
(Р) ^/(/) dt = Q,
а
мы сможем рассматривать F (г) для всех х из [a, fe]
Теорема 1. Hionpide ннныи инпнгра! Перрона непрерывен
Доказателт ство Пусть U (х) и I (л) суть надфу нкция и подфунк-
ция, удовлетворяющие неравенству U (b) -I (1>) С ь
Так как разность U (х) — Е (л) возрастает, то при всяком ли из [и, й]
будет I (л„) — I (у0) < t
’) В противном случае вместо о (х) надо рассмотреть
ot(x)
о (х) - а («)
а (б) а (а)
2) Действительно, из факта возрастания а (с), следует, что DU* (х)
DU (х) Поэтому всюду на [а, Ь] будет DU1 (х) >— _ Отсюда же выте
кает, что при хе Е будет DU* (л) g (х) Однако при х е Г последнее нера
венство очевидно, так как для такого х будет DU* (х) DU (х) - Па(л) = —со
Таким образом, U* (х) есть надфункция для g (х) Для I * (х) рассуждение
аналот ично
397
С другой стороны и на всяком отрезке [<? х0] функции U (х) и V (х)
будут являться надфункциеи и подфункцией для j (х) Стало быть
V(x^(P) f/W dt-—U(Xo)
а
Таким образом, при всех х из [а, Ь] будет
О и (х)-(Р) \ f (/) dt<e.
а
Возможность сколь угодно хорошего равномерного приближения к инте
гралу (Р) j f (/) dt при помощи непрерывных функщ и U (х) и доказы
а
ваег теорему
Теорема 2. Если f (х) интегрируема (Р) на [а ft],
F(x) = (P)\t(t)dt, (1)
а
a U (х) и V (х) суть надфункция и подфункция, дчя /(г) то каждая из раз-
ностей
U(x)-F(x) F(X)-\(X) (2)
есть возрастающая функция
Доказательство Пусть а с ху < х2- '/> Функция U(x) — U(x1)
будет надфункциеи для f (х) на отрезке [хь х2] Отсюда
(Р) \ f(t) dt^U(x2)-U(X1),
Vi
или, что то же самое, Г (х2) — F (ху) •' U (х2) — U (ху) и, стало быть,
U(X1)-F(X1)^U(x2)-F (х2)
Для второй из разностей (2) все аналогично
Теорема 3 Функция uumeepupyi мая (Р), почти везде явтяется производ-
ной своего неопреде генного инте^ра га Перрона
Доказательство Сохраняя обозначение (1) найдем такую надфх нк
цию U (х), что U (ft)— F (ft) < ь2 где ь > 0 заранее взятое число Пусть
Р (х) = U (х) — F (х) Это возрастающая и непрерывная функция Как известно,
у нее почти везде существует конечная производная R (х) причем
ь
(L) j Р' (х) dx < Р (ft) — Р (а) < е2
а
Обозначим через А (в) множество тех точек в которых оказывается
DF (x)<f(x)-e
В каждой из этих точек и подавно будет
DF (х) < DU (х) — е, откуда1) DU (х) — DF (х) > е
г) Неравенство DP (х)</(х) —е гарантирует, что DF (х) <4-со, а так как
DU (х) > — со, то разность DU (х) — DF (х) имеет смысл
398
Обозначим да нее, через М множество тех точек [а 6], где существует
конечная R (х) (таким образом тМ = Ь — а) Если х е М, то* 1)
DU (х) — DF (x) = R' (х)
Значит пересечение /ИА (ь) есть часть множества В (е) тех точек [а, &],
в которых R (х) > е Но
ь
етВ (е) ==£ (А) \ R’ (л) dx sg (L) R' (л) dx < е2,
В (е) а
откуда следует что тВ (е) < ь и стало быть, т*А (е) < е.
„ ь
Заменяя здесь ь на , находим
* . / е \ е
т А \2п ) < 2п '
Но очевидно что Е (DF < f) = А ( j Отсюда видно, что т*Е х
п- I
X (DP </) < е
В силу произвольности е ясно что почти везде на [<з, 6] будет
DF(x)S>/(x) (3)
Аналогично, привлекая подфункции, можно доказать, что почти везде
на [а Ь] 6} дет
Df(x)</(x), (4)
а всюду, где выполнены оба неравенства (3) и (4), существует производная
F (с) равная f (х)
Следствие 1 Всякая (Р) интегрируемая функция измерима
В самом деле, сохраняя введенные обозначения и полагая
F(x) = F(b) для х > Ь,
мы видим, чго f (х) почти дтя всех х из [я Л] представляется в форме пре
дела последовательности непрерывных функции
/ (х) — lim /гр (х А- —^(х)]
Следствие 2 Надфункция U (х) и подфункция V (х) любой (Р) интегри-
руй мои функции почти везде дифференцируемы
В самом деле в тех же обозначениях, что и выше, будет
U(x)=[U (х)-Р(х)]+Г(х),
а каждая из функции U (х)—Г (х) и F (х) почти везде дифференцируема Дтя
V (х) — все аналогично
§ 5. Сравнение интегралов Перрона и Лебега
Как мы уже отметили в § 2 (см сноску на стр 454), существуют функ-
ции, интегрируемые по Перроне но не по Лебегу
В этом параграфе мы покажем что обратного быть не мо?кет Для этой
цели нам потребуются две леммы
n п U (x-\-h) — U (х) Р(х+//)-Г(х) , R(x + h)-R(x)
1) Действительно —1—I—1------ = —1—!—L----\_L л--12—!—>.--12_2_
h h h
Отсюда ясно, что DU (x) = DF (х)-\- R' (е)
399
Лемма 1. Пусть функция и (х) суммируема на [a, Ь] и
U (x)=(L) и (/) dt.
а
Если и (х) в точке х0 полунепрерывна снизу, то
DU (х„) 5г и (х0).
Доказательство. Можно считать, что и (х0) > — со, ибо иначе
нечего доказывать. Взяв какое-либо А, удовлетворяющее неравенству
А < и (х,,), мы сможем гарантировать существование такого 6 > 0, что при
всех t <= [а, &], для коюрых t — xu <6, будет и (t) > А.
В таком случае при х — х0 <6 будет Ч
х
(L) и (t) dt > А (х — х„), откуда —— 2s А
Хо
и, стало быть, все производные числа DU (х0) не меньше А. В частности,
и DU (гп) , Л. Остальное ясно.
Лемма 2. Пусть f (х) суммируема на [а, &]. Тогда для всякого е>0
существует функция и (л) со следующими свойствами-.
1) она задана на [а, Ь] и всюду полунепрерывна снизу;
2) всюду и (х) > — со ;
3) всюду и (х) f (х);
4) функция и (с) суммируема и
ь ь
(£) j и (х) dx < е + (Z.) j f (х) dx.
а а
Доказательство. I. Допустим сначала, что f (х) неотрицательна
и ограничена O^f (х) <.. А1.
Положим
где е —число, упомянутое в условии леммы, и подберем столь большое нату-
ральное п, чтобы оказалось па М.
Введем в рассмотрение множества
<(^+1)о) (й = 0, 1, .. , п-1).
Для каждого из них существует такое ограниченное открытое мно-
жество Gk, что
1
Glt =>Ek, mGk <mEk + '
Пусть S* = [а, £] G/, и <р* (х)—характеристическая функция множества Sk
(мы задаем ср* (т) на исходном отрезке [<г, 6]). Все функции ср* (v) полуне-
прерывны сии ту. * 2)
п — 1
Положим и(х)=а У) (k -|- 1) ср/, (х) и покажем, что это требуемая функ-
1г =-U
ция В самом деле, она неот рицагельна, поле непрерывна сниту и ограничена
сверху. Пусть х е [а, Ь]. Тогда при некотором t окажется xeEtcS| и
ср/ (х) = 1 В гаком случае
/T(v)^(; + l)a>) (х).
!) Мы приспособили запись к случаю х > х0. Читатель сам проведет рас-
суждение ДЛЯ X <_ х„
2) См. пример, приведенный в § 4 гл. XV.
400
ь <0
У (6+1) тЕ/Я-
Наконец,
b /1 — 1 // — I
(L)
Отсюда
b n — 1
(Л) j и (x) dx < 2 аЫ£* + а [(& —a)4-l],
a k = 0
Учитывая (1) и неравенство
akm.Eh^i.L) ^f(x)dx,
Ё,
k
находим, что
ft ft
(E) и (x) dx < e (L) ]j f (x) dx.
a a
Таким образом, для рассматриваемого случая лемма доказана.
II. Откажемся от предположения ограниченности функции /(х), про-
должая, однако, пока еще считать ее неотрицательной.
Положим
„ . f f(x), если )(х)«?п,
” i п, если f (х) > п,
и пусть
/1(x) = S1Ix), fn(x) = Sn(x)-Sn t(x) (п = 2, 3, ..).
Функции fn (х) измеримы, неотрицательны и ограничены, причем
/(*)=.£ fnrt-
п= t
По доказанному, для каждого натурального п существует полунепре-
рывная снизу функция ип (х), удовлетворяющая неравенствам
6 Ь
ип (*) fn (х), (L) ип (х) dx < 2\ + (£) fn (х) dx.
а а
СО
Легко видеть1), что функция и(х} = ип(.х) удовтетворяет всем требо-
п = 1
ваниям леммы.
III. Рассмотрим, наконец, общий случай, когда f (х) есть произвольная
суммируемая функция.
Положим
, (f(x), есл» f(x)5^-n,
п [ — п, если f (х) < — п
Очевидно
I fn W : f W • lim fn (x)=f(x).
Стало быть
ь ь
hm (L) j frl (x) dx = (L) j f (x) dx.
a a
!) См. следствие теоремы 6 , § 4 , гл. XV.
401
Выберем и закрепим такое п, при котором
b Ь
(* р с
(£) fn{x)dx< 2 +(Л) J f(x)dx.
а а
Функция « + /п(х) будет неотрицательной и суммируемой Подсказан-
ному существует полунепрерывная снизу функция н*(х), такая что
Ь ь
и* (х) 2? n + fn (х), (L) н* (х) dx < 2 -ф (L) [« + /„ (x)J dx.
а а
В таком случае функция и (x) = u'f (х) — п обладает всеми требуемыми
свойствами
Теорема 1. Если функция f (1) на отрезке [а, &] интегрируема в смысле
Лебега, то она интегрируема на этом отрезке и в смысле Перрона и
Ь ь
(Р) р (x)dx=(L) р (х) dx.
а а
Доказательство Возьмем е > 0 и рассмотрим tv полунепрерывную
снизу функцию и (х), о которой шла речь в предыдущей лемме. Если
(У(х) = (А) \u(t)dt,
а
io U (л) будет надфункцией для f (х) В самом деле, ее непрерывность и
равенство U (а) = 0 очевидцы Далее, согласно лемме 1, при любом х из
[й, А] будет DU (х) 2г и (х), откуда вытекают оба неравенства DU (х)>—со,
DU (x)2=f (х), характеризующие надфункцию
В силу произвольности числа е из неравенства
ь ь
U (b) = (L) и (0 dt <е + (Е) р (х) dx
а а
вытекает, что
Ь
inf {U (b)} ^(L) Р (х) dx,
а
где {U (Л)} означает множество значении всевозмо;кных надфункции при х — Ь.
Аналогичным образом устанавливается, что
ъ
sup (I' (/?)} ;_ (А) р(х)Л,
а
где введенные обозначения понятны сами собой Но так как всегда
sup {1/(6)}=. inf {(/(ft)},
ь
то оба эти числа равны интегралу (A)p(x)dx, что н завершает доказательство.
а
Интересным дополнением этой теоремы служит
Теорема 2. Всякая неотрицательная и интегрирус мая (Р) функция обя-
зате 1ьно интегрируема (£)
Доказательство Пу сть f (х) фу нкция, о которой идет речь, н U (х)
ее надфункция Тогда из неравенств DU (х) 2" f (х) >. О вытекает, что U (х) —
возрастающая функция и потому ее производная U’ (х) (существующая почти
402
везде) суммируема1) Но в таком случае теорема следует из неравенства
О/(л) (х), имеющего место во всех точках существования U’ (х)
Следствие. Если / (л) измеримая функция и существует интеграл Перрона
Ь
W 1 dx,
а
то f (х) суммируема
Таким образом, интеграл Перрона является абсолютно сходящимся тогда
и только тогда, когда он приводится к интегралу Лебега
§ 6. Абстрактно заданный интеграл и его обобщение
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые общие понятия, которые
будут в дальнейшем использованы при изложении теории интегралов Данжуа
Мы уже знакомы с целым рядом интегралов. 7? (Римана), L (Лебега),
Р (Перрона) Все эти интегралы обладают некоторыми общими свойствами,
и мы хотим охватить эти свойства некоей единой схемой
Пусть каждому отрезку [a, ft], где а !>, соотнесен некоторый непустой
класс Г ([о, £>]), состоящий из каких-то функции, заданных на [a, ft]
Систему подобных классов мы условимся называть правильной, если
при любом с е [а, 6] будет Т ([а, Ь]) = Т ([я, с]) Т ([с, 6])2 3)
Пусть 'Щ ={7([а, 6])} -некоторая правильная система классов и пусть
на каждом классе Т ([а, Ь]) задан функционал
Ь
Тот,
а
сопоставляющий каждой функции f из Т ([а, 6]) определенное вещественное
число Этот функционал мы будем называть интегралом, если для любой
f ^.Т ([а, 6]) и любого с е [а, Ь] будет а)
Ь с b
T(f)=T(/)+T(D (1)
а а с
и (при х е [а, £])
1ип Т(П=Т(0. (2)
х—’С а а
Иными словами, интеграл есть аддитивная и непрерывная функция отрезка.
Все функции, входящие в класс Т ([a, ft]), мы будем называть Г инте-
грируемыми на [a, ft] Из условия правильности системы классов Т ([a, ft])
вытекает, что всякая функция, Т интегрируемая на отрезке [а, ft], будет
Т-интегрируема и на каждом отрезке4) [р, </], содержащемся в [a, ft]
Рассмотрим некоторые свойства введенного понятия интеграла Пусть
[ (х) функция, заданная на [a, ft] и с е [а, ft] Если при любом б > 0 функ-
ция f(x) не будет Г-интегрируемо и на отрезке [с— 6, с-|- 6] [а, ft],
') См теорему 5, § 2, гл. VIII.
2) Точный смысл этого соотношения таков функция f(x), заданная на
[a, ft], входит в Т (]а, ft]), тогда и только тогда, когда обе функции, полу-
чающиеся из /(х) при рассмотрении ее лишь на [а, с] или на [с, ft], входят
в соответствующие классы Т ([а, с]) и Т ](с, ft)].
а а а а
3) В частности, если f е Т ([а, а]), то Т (f) = T (f)+T (f), т. е.Т (f) = 0:
а а а а
интеграл «по точке» равен нулю.
4) И, в частности, на каждой точке с <= [а, 6].
403
то точку с условимся называть Т-особой для функции f (х), а множество всех
таких точек 6}дем обозначать через ST (f, [a, ft]) Иногда вместо ST (f, [a ,b])
мы 65 дем писать ([а, 6]), или Sr (f) и даже просто S7 .
Ясно, что v функции Т-интегрируемон на [a, bj, будет ST ([а,Ь]) =* О
Справедтиво и обратное, как показывает следующая лемма1
Лемма 1. Lciu /(х) задана на [о, ft] и нс входит в Т ([а, ft]), то
ST (f; [а, 61) + о.
Доказательство. Положим d =——. Хоть один из отрезков
[о, rf] и [г/, ft] обладает тем свойством, что па нем f (л) не будет Т интегри-
руемой. Обозначим ею через [alt ft,] и, положив di = —, обозначим че-
рез [я2, 62] тот из отрезков [a,, г/,| и [dj, й,]. иа котором f (х) не Д-интегри-
руема Продолжая этот процесс, мы построим бесконечную последовательность
вложенных отрезков [а, 6] гз [«,, 6;] зз [а2, ft2] 73 , на каждом из которых
/ (х) не будет Д-интегрируемой.
Пусть с точка, общая всем [аи, Ьп\ Если 6 > 0, то при достаточно
большом п окаячется [ал, 6П] с: [с —6, с + 6] [п, ft]
Отсюда следует, что 6, c-f-б] [а, ft]), и точка с оказывается
Т особой
Лемма 2. Множество Sr—Sr(f, [о, ft]) замкнуто
Доказательство. Пусть сп ST и сп -»с. Возьмем 6 >0. Если п
6
достаточно велико, то сп — с % и потому
> сп + 2] с Iе-6- f + 6l (°. ь1-
Так как / (л) не Д-интегрируема на отрезке, представляющем левую часть
этого включения, то она и подавно не Т-интегрируема на [с —fi, с + 6] [а, /г].
В силу' произвольности 6 отсюда следует, что ceSr, что и требовалось
доказать
В дальнейшем нас будут интересовать случаи, когда не заполняет
всего отрезка [а, ft], В таких случаях дополнительное множество [«, ft]- .S’(
будет состоять из конечного или счетного множества попарно не пересекаю
щихся промежутков. Действительно, если ST=0, то [a, //] — Sr — [a, ft]
Если же S Т 0 и [р, <?]—наименьший отрезок, содержащий Sг , то1)
[a, b]—ST = [а, р) + {[р, <?] — ST|+(p, ft]
и остается напомнить, что множество [р, р] — ST или пусто, пли состоит из
попарно не пересекающихся интервалов То обстоятельство, что некоторые га
промежутков, дополнительных к Sг, не являются открытыми интервалами,
строго говоря, требует соответствующих усложнений в обозначениях, но мы
все же будем в дальнейшем все эти промежутки обозначать просто черг
(а„, &„), хотя и не исключено, что один из промежутков (а„, ft„) на самом
деле есть [ап, ft„) или (ап, Ьп] и даже [ап, ft„] (если S7 --=0)
* Допустим, что нами рассматриваются два интеграла Т, и Т2 Если вся
кая 7,-интегриру емая функция обязательно и Т2 интег рнруема, причем
значения обоих интегралов для нее совпадают, то говорят, что интеграл Г,
более общий, чем 7\
Покажем, как, исходя из некоторого интеграла Т (в самое определение
которого должно входить указание на соответствующую правильную систему
•) При р = а будет [а, р) = 0.
404
® к пассов Т-ннтегрируечых функции Т ([a, Ь])), можно построить другой
более общий инти рал Г*
Для этой цепи мы прежде всего должны определить соответствующую
новому интегралу правильную систему классов интегрируемых функций.
Условимся включать функцию f (1), заданную на отрезке [а, 6], в класс
Т t ([а, Ь]) тоща и только Т01да, ко, да выполнены следующие три усчовпя
1) Множество S; — Sr (f, [a, ZjJ) нигде не плотно па [а, 6] и функция
/(х) на этом множестве интегрируема в смысле Лебега ’)
2) Если {(сгд, />„))- совокупность доподнительных интервалов S 2 , то для
каждого п существует конечный предел
0
/n = limT(f) (an<a<p<bn, а--ап, ₽ — Ь„).
а
3) Если * 2 3)
(ап < а < р < Ь„),
ТО
£1Гя< + оо.
Убедимся в правильности системы классов Tt ([<?, b]). Допустим пре кде
всего, что [(х)еТ([а, 6]) Тогда S7 (;, [а, b]) = 0 и вся сумма (ап, Ьп)
сводится к одному слагаемому отрезку [а, 6] Уже было отмечено (см первую
сноску на этой странице), что условию I) наша функция удовлетворяет.
Условие 2) для нее также выполняется, ибо в силу (2) будет
/ ь
lim Т 0 = Т (/),
а а
если а < а < (5 < 6, а — a, ft — Ь Наконец, и условие 3) для f (х) также
будет выполняться, так как имеется всего лишь одно (конечное!) число 117.
Таким образом, Т([а, Ь|) cz T.t ([</, b]) и все кчассы Т*([а, Ь]) не пусты
Пусть, далее, f (х) е 7\ ([о, I)]) и *) Рассмотрим множество
ST(f, [а, с]). Легко видеть, что оно является частью множества Sr (/, fa, bj)
и потому нигде не плотно на [а, с], а функция f (х) на нем интегрируема
в смысле Лебега. Таким образом, функция {{к) на отрезке [а , с] удовлетво-
ряет условию 1). Пусть [а, с]— S.f (/; [а, с])=^(а„, Ьп).
п
Есин с <= ST (f, [а, с]), то каждый фигурирующий здесь промежуток
(а„, Ьп) будет являться дополнительным и ко всему множеству S 7 (j, [а, b])
до отрезка [а, Ь] Если жесе5; (/, [а, с]), то это так для всех (ал, Ьл),
кроме, может быть, одною промежутка вида4) (а„„, с] Из этого обстоятель-
ства непосредственно вытекает выполнение условии 2) и 3), необходимых для
включения f W в класс Т* (fa, с]) Аналогично доказывается ,что/ s ?t([c ,b]).
4) Это условие выполнено всегда, когда mSr=0, и тем более тогда,
когда S7 =0.
2) Условие 2) обеспечивает конечность чисел Wn.
3) Случаи с = а и с ~Ь тривиальны. В самом дече, если f (л) задана
в точке х0, "то независимо от того, будет или нет она Т -интегрируема на
этой точке, f (х) обяза1ельно войдет в класс Т* ([х0, х0])
4) Впрочем, возможно, что Sr Q, [а, <"]) = 0. Тогда упомянутым исключе-
нием будет сам отрезок [a, с].
405
Таким образом,
Т, ([«, fa]) с Т, ([щ с]) Л (к, 6]).
Обратное включение устанавливается при помощи сходных рассуждений.
Итак, система классов T.t ([а, 6]) правильна. Определим теперь для каж
ь
дой / е Т* ([a, fa]) значение функционала Т (/) при помощи формулы
а
b
т, (/r)=S^+w j (з)
а и $т(В
Это определение корректно, так как 1 /п I sg Wn и потому ряд £ 1п абсо-
лютно сходится.
Полезно заметить, что для всякой Т’-интегрируемой функции / (х) [мы уже
отметили выше, что она входи г и в 7’* ([г/, fa])] будет
ь Ь
т* (f)^T()),
а а
ибо в правой части '3) интеграл Лебега исчезает, а сумма сводится
ь
к одному слагаемому Т (f).
а
Другой простейший случай мы имеем тогда, когда Т-особымп точками на
[a, fa] будут только а и fa. В этом случае
Ь 3
Тф (f) = 1 im Т ()) (а < а < р < fa, а — а, В - - fa).
а а
В силу этого простого замечания из (3) вытекает, что
ь ь„
ТЛ=£ТЛ)+^ j
а п ап Sr(f)
Ь
Убедимся в том, что определенный нами функционал Т (/) является
а
интегралом в смысле определения, данного в начале параграфа, т. е.
в том, что он аддитивен и непрерывен как функция отрезка [a, fa].
Пу сть f е Т* ([а, fa]) и а < с < fa. Ясно, что
Sy (Л [а, fa]) = Sr (]; [а, c])-]-Sy (/; [с, fa}),
причем множества, записанные справа, либо вовсе не пересекаются, либо
имеют только одну общую точку. Отсюда следует, что
(L) f(x)dx — (L) j f^dx+lL) J f(x)dx, (4)
St ([a, fa]) Sy ([<7, c]) Sj(P.bl)
причем оба интеграла, стоящие справа, существуют и конечны.
Пусть, далее,
[a, b] — Sr (f- [a, Ь])=%(ап, fa„).
п
Относительно точки с можно сделать три предположения- она входит
в оба множества Sy ([а, с]) и Sy (]с, 6]), она не входит ив в одно из них,
она входит в одно из этих множеств и не входит в другое. Во всех этих
406
случаях рассуждения очень похожи друг на друга, и мы для примера рас-
смотрим только первый из них. В этом случае все множество промежутков
(ап, Ь„) распадается на два неиересекающихся подмножества, состоящих из
проме/кутков, лежащих соответственно левее и правее точки с. При само собой
понятных обозначениях б)дет
S 'n = S + 2 1П.
6] [a, cj [С, t>J
откуда, в связи с (4), вытекает, что ’)
b с Ь
T,(/) = TjO + Tj/). (5)
а а с
Итак, функционал Т* есть аддитивная функция отрезка. Докажем теперь,
что при f <=Т* ([а, й]), х ед [а, й], се[а, 6] и х —>с будет
limTj/) = T J/). (6)
а а
Пусть для определенности х < с. Тогда мы можем считать, что с = Ь.
Относительно точки b можно сделать три предположения; она не входит
в множество ST (f; [с, й]), она является его изолированной точкой ,она явля-
ется предельной точкой этого множества.
В первых двух случаях рассуждения почти самоочевидны .Действительно ,
если b zeSt (f, [я, й[), то функция f (х) будет Т-интегрируемой па отрезке
[р, й], если только р достаточно близко к Ь. Стало быть, для таких р будет
ь Ь
Tj/) = T(f).
р р
В таком случае
b х
Tj/) = limT(/), (7)
р р
X X
гдер<х</?, х->Ь. Но так как Т(/) = ТЛ(/), то вместо (7) можно напи-
р р
Ь х
сать Т (0 — lim Т * (/), и остается заметить, что
р р
Ь х Ь х
ТЛ)-ТЛ) = ТЛ)-Ь (/).
а а р i>
Если Ь — изолированная точка Sr(f; [а, й]), то при р, достаточно близ-
ком к й, она будет единственной Т-особой точкой отрезка [р, б]. По опреде-
лению Т* (/) снова будет выполняться (7), и доказательство заканчивается,
как и в предыдущем случае.
Рассмотрим, наконец, основной случай, кот да й есть предельная точка
множества Sr(f', [о, й|). В этом случае точка й не может служить правым
концом ни одною интервала (п;|, дополнительного к S ^(/', [ а, 6]) ,
’) Мы предположили, что а<с<й, но для а —с и с — Ъ равенство (5)
очевидно, ибо из самого определения Г ,(/) ясно ,что Т (f) -Д) .
407
а число этих интервалов будет заведомо бесконечным. Заметив это, возьмем
е>0и подберем такое N, чтобы было
N
(8)
Существование подобного N следует из условия
удовлетворять [(х).
Отметим также такое 6 > О, чтобы неравенство
3), которому должна
Ь — б<х<6 влекло
неравенство
(£) $
S Г <[*. *])
в.
(9)
Обозначим через р самую правую из точек Ь — 6, 61, Л.2, ... , bN и пусть
х > р.
Если хе S, ([х, 6]), то по самому определению Г* (/) будет
ь
Т*(/) = S /«+(0 S ИОЛ. (10)
х пеМ St-([a-, h])
где М есть множество тех п, для которых (а„, 6„) с [х, 6]. Ясно, что для
всех лих п будет п > Л' и потому
| S '«Н S wn<^. on
I п е ,м I п с. М
Если же хе5у([х, 6]), то найдется такое т, что ат х < Ьт. Очевидно,
при этом т > /V. Тогда вместо (10) окажется
1 * (/) = Т,. (/) + у /,t+(t)
х х не М sr ([х, Ь])
Но
У
Т* (/) = lirn Т (/)
Л X
Ьт, у -> Ьт)
и потому
Отсюда, с учетом (9) и (11), ясно, что при х> Р будет
b х
Тл)-Ти/)
ь
Тл)
<3в.
Таким образом, и в этом случае верно (6) и, следовательно, Г* (f) дей-
ствительно является интегралом. ])
§ 7. Узкий интеграл Данжуа
Теперь, наконец, мы можем дать определение «узкого» unreipaaa Дан-
жуа. С этой целью сначала построим грансфинитную последовательность
(типа Q + 1) все более и более общих интегралов, которые мы будем назы-
!) И притом более общим, чем Т (f).
408
вать Di-интегралами и для функции / (л), заданной на отрезке \а, Л], обо-
значать через
ь
(D.) (1)
(1
Интегралы (1) определяются инд\ктинио. Именно, под
h
(Ц,) \ / W dx
а
мы будем понимать просто интеграл Лебега
ь
(Ц j / W dx.
а
Допустим теперь, что нами уже определены интегралы (1) для всех | < q,
где1) 1]Q, причем из < |2 < q следует, что интеграл общее чем О,
Если I] — число первого рода и q — 1 ему непосредственно предшествует, то,
полагая
ь ь
Т Ш-Рц-ДрМ dx,
а и
мы определяем интеграл Dn формулой
ъ ь
(Dn)j/W dx=l\ (f).
а и
Если же q —число второго рода, то мы включим в класс функций,
Д^-интегрируемых на отрезке [а, й], все функции f(x), которые оказываются
на этом отрезке £)^ ингегрируемыми хоть при одном S,<q, и положим по
определению
ь ь
(Оп) р(х) dx = (D6 J p(x) dx,
а а
где Со есть наименьшее2) из упомянутых Таким образом, если q —число
второго рода, то класс Е^-интегрируемых функций есть теоретико-множест-
венная сумма (по всем * < q) классов Dt-ннтегриру емых функций Поэтому
данное нами определение интегралов (I) можно записать при помощи симво-
лических соотношений
Do — L, Dii"= (D||_i) *, ^i|= У £*!;>
5 - и
причем второе соотношение надо применять тогда, когда q есть число пер-
вого рода, а третье тогда, koi да q второго рода.
В частности, беря £ = Q, мы приходим к «узкому» интегралу Данжуа.
Определение. Интегра,юн Данжуа в узком смысле слова функции / (х),
заданной на отрезке [а, Ё>], называется интеграл
b
(Da)\f(x)dx (2)
а
х) Ниже будет объяснено, почему интегралы (I) не рассматриваются для
£>й.
2) Легко видеть, что это g0 есть обяштельно число первого рода. Ясно,
ь
что ф ункционал р t|)j f(x)dx является интегралом в смысле § 6.
а
409
Как мы уже упоминали, этот интеграл называют часто и интегралом
Данжуа —Перрона Вместо (2) его обозначают обычно через1)
1>
(£>) / (х) dx
Cl
Пользуясь той же символикой, что и выше, мы можем написать формулу
У ЕЕ, так что всякая функция, интегрируемая по Данжуа будет и
з а
D интегрируема при некотором g<f и если наименьшее из этих g есть с0, то
h 1>
(D) p(x)dx = (DEJ^/(x) dx
и и
Остановимся на некоторых свойствах введенного интеграла
Теорема 1. Если, функция f (х) на отрезке [а Ь] оказыва тся Df инте
грируемои при каком. нибудь g<61, то она там. и интегрируема при всех т],
удовлетворяющих неравенству g-У ртИ1, причем
ь ь
(Dn) / W dx = {D0 р(х) dx
а а
Доказательство Докажем теорему сначала для g = 0 При т) = 0
наше утверждение тривиально Допустим, что оно уже доказано для всех
р < g, где 0< с П Если g —число первого рода, то утверждение спра
ведливо для р —g потому, что интеграл Т * более общий чем Т Если же
'Q — число второго рода, то дело сводится непосредственно к определению
интеграла (1), когда индекс есть число второго рода Итак для g = 0 теорема
доказана Пусть она доказана для всех g < а, где 0<а<П Убедимся, что
тогда она будет верна и для g = a
Справедливость утверждения теоремы для 1] = а очевидна Допустим,
что оно верно для всех р < g, где а < g Q Если g— число первого рода,
то справедливость утверждения для t) = g устанавливается, как и выше Пусть
же g— второго рода Тстда Dr интегрируемость функции очевидна При этом
Ь Ь
(Dq) j f (х) dx = (Djy)^ f (x) dx, где p есть наименьшее из у, обладающих 1ем
а а
свойством, что функция f (х) будет £>у интегрируема Ясно, что р sc а Если
Р = а, то утверждение доказано, если же р •< а, то оно вытекает из индук-
тивного предположения, что теорема верна для всех что и требовалось
доказать
Кратко доказанную теорему можно формулировать так чем больше g
тем общее интеграл О;
Условимся обозначать множество Di особых точек функции /(х), задан
ней на [а, &], через (/, [а, £>]) Иногда мы будем употреблять и одно из
более простых обозначений ([а, /?]), S- (/), Д.
Из теоремы 1 непосредственно следует, что при g < т] будет St zo Sn
Теорема 2. Для того чтобы функция / (х), заданная на [г/, А], бы га таи
D интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы было
П [а, &]) = о (3)
Доказательство Пусть / (х) будет D пнтегрирт ема на [а, S) Тогда
она Dj интегрируема на [a, fe] при каком нибудь g<Q и при этом g будет
Ь
х) А иногда через (D*) f (х) dx.
а
410
S^(f [а, Ь]) —0 Этим доказана необходимость условия (3) Достаточность
его вытекает из принципа стационарности Кантора — Бэра, т) ибо при выпол
нении (3) паптется такое £ что S» (/, [а, !>]) — 0, а это означает Dt интегри
русмость /(х) на [с/, 6]
Остановимся в заключение этого параграфа на том, почему не рассматри-
вают иптшралов (1) при g > Й Дело в гом, чго если бы мы захотели ввести
иитшрач ! по формуле DQ_|_ । =(0,;) , то это уже не привело бы к рас-
ширению класса inrrei рпрхемых функции Действительно, допустим, чтофунк
ция f (л) заданная ин [а 1?], оказалась бы на этом отрезке интегрируемой
в смьн тс О,, не будучи интегрируемой в смысле D f) В таком случае мно-
жество Sp(/) было бы нигде не плотным на [а, 6] и f (л) была бы на нем
суммнрхема Ооозначим через {(аа Ь„)} множество всех интервалов, дополни-
тельных к множеств1, S ,2 (/) Для каждою из них должен существовать конеч
нын предел интеграла
(Ds)^(x)dx
(4)
при а, < а < р </>„, р/>г, Закрепим число п и пусть а2 < рх,
«1 > а2 > с/, > , Pi < ₽2 < Рз < , «д -> ап, pfr -> bn
Тогда на каждом отрезке [сц, Рд.] наша / (х) должна быть интегрируе-
мой, а это означает существование для каждого натуральною k такого числа
что fix) на [a/,, pz] бтдет ^интегрируема Поскольку чисел
имеется всего лишь счетное множество то должно найтись число г\п <£2 ,
большее всех gz По топ же причине найдется такое £<П, которое будет
больше всех ау, Ясно что fix) Судет /> иг та рируемон на каждом отрезке
(а, р], не пересекающемся с Sa (f) и лежащем в [п , £>]
Отсюда вытекает совпадение множеств S- (/) и S,, (/) и возможность
замены в интегралах (4) знака Da на Все это, вместе взятое, означает
не что иное как интегрируемость f (х) в смысле D- z Последнее, однако,
противоречит предположенной неннтегрируемости fix) в смысле D й.
§ 8. Теорема Г. Хаке
В 1021 г* немецкий математик Г Хаке доказал, что интеграл Перрона
общее 2) чем узкий интеграл Данжуа Здесь мы излагаем этот результат
Лемма 1. Пусть функция f (л), заданн сн на отрезке [ а, Ь] , оказывается
интегрируемой (Р) на каждом отрезке [a, Р), где а < р < Ь. Если суще-
ствует ко няныи пре А i
Р
J = 1 im (Р)\ f (х) dx,
Р-* а
то f (х) будет интегрируемой (Р) и на всем [а, Ь], причем
b
(Р) \flx)dx=J. (1)
а
1) Гл XV, § 3
2) Мы употребляем этот термин в точном соответствии со смыслом, при-
данным ему в § б Таким образом, каждый интеграл Т, «более общий», чем
он сам В частности, в рассматриваемом случае мы как раз сталкиваемся
с этим обстоятельством, ибо, как будет показано ниже, на самом деле интег
ралы Р и D тождественны
411
Доказательство. Положим bn — a и
Ь^Ь--^~ (п=1- 2, 3, ...).
Очевидно bn < bt < b2 < .. и Ь„-+Ь. На каждом отрезке [Ь„ъ bn\
функция /(л) будет интегрируема (Р). Выберем некоторое ь>0 При каж-
дом натуральном п на отрезке [bn_t, b„j будет существовать >акая надфунк-
ция Un (х) функции f (х), что
6п
Г р
U,M<(P) /(x)dx + 2-.
bn-l
С помощью этих надфункиий зададим для asx<b функцию Л! (х),
положив
M(x) = U1(x) при а-'х-'Ь^
\1 (х)---Lri (1^) 4-IJj (х) при bI'<x-=cb3>
Л4 (г) — Uy (bt) + U2 (b2) -ф-.. -\-Un у (bn i) + 6/n(x)
при x < bn
Так как U„ = то Л1 (x) будет непрерывна, и при любом х из [а, Ь)
будет
DM (х) > - со, DM (х) -й f (х). (2)
Убедимся в существовании конечного предела
hm ;W (х).
А —» Ь
(3)
По самому определению Un (х) будет
0^</Л(М-(Р) jj f{x)dx<~ («=1,2,3,...)
bn -1
И ПОТОМ} ряд
UMM) f(x)dx
V1
сходится, причем сумма его меньше е. С другой стороны, ряд
- \
S (р) f(x)dx
"=i ь,;_1
сходится и сумма его равна
J. Отсюда вытекает сходимость ряда
2 им,
(4)
причем его сумма меньше чем 7 + е.
Пусть теперь bn _t х Ь„. Тогда
(Р) f(t)dt^Un(x)<(P) J +
hn~l bn-l
(5)
412
Если х->й, то п -> оо и крайние члены неравенства (5) стремятся
к нулю. Стало быть, и lim Un (х) — 0. Отсюда и вытекает существование пре-
дела (3), причем он оказывается равным сумме ряда (4). Обозначая этот пре-
дел через М (Ь), мы приходим к функции М (х), заданной и непрерывной уже
на всем [a, Ь]. Однако мы все же не можем назвать ее надфункцией для / (х),
ибо неравенства (2) не обязаны выполняться1) при х = Ь.
Покажем, что исходя из М (х), можно построить функцию U (х), кото-
рая будет для / (х) служить надфункцией уже на всем [а, &]. Для этого обо-
значим через S (х) колебание функции М (х) на отрезке [х, Ь]. Ясно, что
S (х) будет убывающей и неотрицательной функцией, заданной на всем [а, й],
причем 5(й) = 0. Нетрудно также убедиться в том, что S (х) непрерывна на
[и, й|.
Выберем точку с (а<с<Ь) настолько близкой к Ь, чтобы оказалось
S (с) < е, и введем функцию U (х), положив
М (х) при a х с,
М (х) 4- S (<?) — S (х) + е ~ —- при с- 'х '-ft.
У b — c
Ясно, что и (х) непрерывна на [a, b], U(a)=0, и при а<х < с будет
Dt/(x)>—со, DU (x)>f (х). (6)
При х = с эти неравенства тоже очевидно будут выполнены, если под
DU (х) понимать левостороннюю нижнюю производную. Покажем, чго
тГ для х е [с, Л] будут выполнены соотношения (6). Пусть х и х-|-Дх —две
различные точки из [с, й]. Тогда
U (у + &х) — U (х) _ М (х4- Дх) — М (х) _ S (х4-Дх) —S (х)
Дх Дх Дх
е У Ь — х—Лх—УЬ — х
J Ь — с Дх
Так как обе функции S (х) и УЬ — х убывают, то
U (х 4- Дх) — И (х) _ Л1 (х Дх) — М (х)
Дх Дх
и для х b соотношения (6) справедливы в силу (2).
С другой стороны, если с^Ь— h < b, то
U (b—h)—U (b) _ M(b- h) - М (b) -S(b- h) е 1
— h — h У b — с I 7г
По определению S (х) будет М — M (й) < S (b — h) и потому
U (й-/т)-Щй) в _ 1
— h У b —с | h
Отсюда вытекает, что U' (Ь) = 4- со, г. е. при х = й выполнены неравен-
ства (6). Таким образом U (х) есть надфункния для / (х). При этом
U(b) = M (Ь) 4- S (с) 4- е
и потому U (й) < J 4-Зе.
1) Существенно, разумеется, лишь то, что не исключена возможность
равенства DM (Ь) —— оо, ибо функцию f (х) можно изменить в точке х = Ь,
что не отражается на ^-интегрируемости ее,
413
Аналогичным образом можно построить такую подфункцию V функции
f(x), что 7(6) >7 —Зе Ввиду произвольности е из сказанного вытекает
^-интегрируемость f (х) на всем [а, 6] Что касается равенства (1), то оно
является следствием непрерывности неопределенного интеграла Перрона
Лемма 2. Если 1) / (х) задана на [а, 6] и. интегрируема (Р) на каждом
[а, 6], где а-<а<Ь, 2) существует конечный предег
ь
lim (Р) \ f (х) dx,
а^а
то /' (х) интегрируема (Р) на. веем, [а, 6].
Доказательство Рассмотрим вместо f (х) функцию f* (х), заданную
на [—Ь,—я] qopMj.ioii /*(х) = /(—х). Если а < а < b н U (х) есть над-
функция для fix') на отрезке [а, Ь], то функция
П1 (х)-П (b)-U (—х)
будет надфункциеи для * (х) на [—Ь, —а], ибо
L * (xd-h.) — U* (х) (7 (—х —А) —(7 (—х)
/г ~ — Л
и потому
DU* (x) — DU (— х).
Так как U* (—а) = (7(6), то inf {U* (—a)} = inf {С/(6)}. Опираясь на
этот факт, легко убедиться, что (х) на отрезке [—Ь, —а] удовлетворяет
всем условиям леммы 1. Значит, /* (х) будет (Р)-интегрируемой на [—Ь, —а],
а это равносильно Р-интегрпруемости / (х) на [а, Ь].
Из сопоставления обеих лемм следует
Теорема 1. Если [ (х) задана на [a, 6], интегрируема (Р) на каждом
[а, р] cz (а, Ь) и существует конечный предел
Р
hm (Р) \ f (х) dx (а->а + 0, р—>-6 — 0),
а
то f (х) интегрируема (Р) на всем [a, ft].
Для дальнейшего нужна
Лемма 3. Пусть на [а, 6] расположено счетное множество отрезков
[ащ Ьь], попарно без общих внутренних точек Пусть функция f(x), задан-
ная на [а, 6], равна нулю вне интервалов (ak, bit) и интегрируема (Р) на
каждом [а^, £>&]. Если
Р
(Р) p(x)dx
l7A. = sup
(ak • a с р • Ьц)
и
оо
2 l^=ZZ<+oo,
/г=-1
то для любого 8 > 0 у / (х) существует такая надфункция U (х), что
U (b)-~z3H+e.
(7)
Доказательство Пусть M/t (х) — такая надфункция / (х) на
отрезке \ak, bk], что
bi
ТИИ^Х(Р) /(x)dx + -X.
414
Так как для всех х из [ак, bk] будет
X X
(P)^f(t)dt^Mk(x)^(P) +
ak ak
то
Обозначим через Rk, Рк (х) и Qk (х) колебания М (?) соответственно на
отрезках [ак, Ьк], [«/,, х] и [х, Ьк]. Тогда
0 - Рк (x)^Rk, 0^Qh(x)^Rk,
^ft(afr)=0. Q*(ftfr) = 0, Pk(x) и Qk (x) непрерывны на [aj,, причем первая
из этих функций возрастает, а вторая убывает.
Покажем, что . -ф Действительно, если х и у — две точки
из [ак, 6А], причем х у, то
X X
(P)^f(i) dt+^-^Mk(x)^(P) jj f(t)dt,
ak ak
£ и
(Р) \ f (t) dt^Mk (у) ^(P)\f (0 dt ,
»J * x,
ak ak
откуда
д и
[ р (• fi
и, стало быть,
\Mh(y)-Mk(x)\^Wk + ^,
чем и доказана требуемая оценка Rk.
Определим на всем [а, Ь] последовательность функций полагая
(О при а С х sg ак,
Mk(x) + Rk + Pk(x')—Qk(x) при ak^xs^bk ,
Mk(bk) + 2Rk при bkssXi^b.
Все эти функции непрерывны, причем
р
0<<рА(х)^з^ + Д •
Покажем, что функция
U (*) = X <₽ft W
k = 1
требуемая Равенство U (й) = 0, неравенство (7) и непрерывность U (х) оче-
видны. Остается проверить, что DU (х) >—со, DU (х) f (х).
Докажем эти неравенства только для правосторонних производных
чисел D+U (х), ибо для левосторонних производных D_U (х) рассуждения
почти аналиичны (хотя и немного сложнее).
’) Правостороннее производное число есть предел последовательности
t/ — U (х ,) „ , , п .
—рв которой Лд->0 и пк>0. Аналогично, с заменой лишь
bk
на hk < 0, определяется левостороннее производное число.
415
Пусть а х(| < b Если найдется такое i, что о, г£х0<й,, то при доста-
точно малых й > 0 будет at < х0 \-h<bt и потому при й #= г окажется
ip* (л-о4-Л) = Фй (До), так что
U (х„ + Л) — U (х0) = ср, (хй й) — <р, (х„) Л/, (хи + Л) — М, (х0)
Отсюда сразу вытекают оба неравенства
D+t/(х0) > — _о, DJJ(x0)^f(xu)
(8)
Допустим теперь, что такого i не существует Тогда х0 лежит вне всех
промежутков [о*., Ьк) и потому /(хо) = О Выберем какое либо нат\ разьное k
Если Ьк х0, то при любом й>0 будет ср* (*о+й) = ф* (*о) Если же Ьк>
> ха, то и оА. > Хд (ибо иначе было бы ah «- х0 < й/,) Стадо быть, (х0) =
= 0-<[ к {х0 + й) Итак, при й> 0 и любом й оказывается <р(, (л0) <pft (х0 + й).
Но тогда D U (х0) ~~ 0 и снова выполнено (8) Лемма доказана
Докажем теперь основное для дальнейшего утверждение
ь
Теорема 2. Если интеграл Т (/) менее общий, ) чем интеграл Перрона,
С!
ь
то и его расширение ТЛ (/) также менее общее, чем интеграл Перрона
а *
Доказательство Пусть / (х) — функция 7\ интегрируемая на [а, й],
но не Г интегрируемая на этом отрезке. Обозначим через S мнокество ее
Т-особых точек, а через (ак, Ьк) — интервалы, дополнительные к множеству S.
Согласно теореме 1, функция / (х) будет Р интегриру емой на каждом отрезке
[«*, Ьк]
Возьмем ь>0 и найдем такое т, что У W'* < е, где, как и раньше,
, k = т + 1
W k = sup
Р
Т(/)
— sup
0
(Р) f (х) dx
а
(ak < а < р < Ьк)
Введем в рассмотрение три функции р (х), <?(<), г (х), заданные следую-
щим образом
Р (*) =
/п
fM при хе (ak, bh)>
k = i
т
О при х s [а, 6]— У (ак, bk)
А = 1
СО
/(х) при хе У (ак, Ьк),
k = т 1
со
О при X е {а, й] - У, (ак, Ьк);
k = т +1
(х)={
Г
f (х) при х е S,
О при х е [а, й) — S.
Ь
]) Это значит, что интеграл (P)^f(x)dx более общий (в смысле § 6),
а
ь
чем Т (/).
а
416
Ясно, что
Фхнкцгя г (х) бхдет с\ммир\емои на [я, /?], а значш к Р интегрируемой
на этом отрезке, причем
i ь
(Р) \ г (?) dx =- (£) ( г (л) dx = (Z.) f (л) dx
(I l! S
Фхнкппя р (л) также Р интегрируема на [а, Ь] Действительно, как уже
было отмечено, функция /(?) интегрируема на каждом из отрезков [ик,
Гели изменить ее значения в двух течках ак и Ьк, сделав их равными нулю,
то это не нлэушит ее Р интегрируемости и не изменит величины ее интеграла
Поэтому функция р (?) на отрезках [о, Ьк\ (А=1, 2, , т) будет Р Инте-
ла
грирусма Но на множестве [о, Л] — У, (ак,Ь$, являющемся суммой конеч-
k = 1
кого числа отрезков, эта функция есть 0 и, очевидно, Р интегрируема Таким
образом, о (?) лшегрируета (Р) на всем [а, 6], причем
h in Ьк in.
(Р) J р (х) dx = У (Р) (?) dx = £ 1к,
а к — I k = 1
где положено
Р
/А = 11тТ (/) (а -> ак + о, p->fe/,-0).
а
Благодаря Р интегрируемости р (х) и г (г) (и указанным значениям их
Р интегралов) найдутся такие их надфункцпи Uo (л) и £7 л (?), что
4 + е. U, (b)<(L)\f(x)dx + e.
т = 1 s
Наконец, в силу леммы 3 для q (х) существует такая надфупкция U0(x),
что ') U„ (L) < 4ь.
Положим <7 (х) = {/, (х) Uq (х)ф-Ur (х)
Тогда (см следовие леммы I § 2) U (х) будет надфункцией для f (х) ,
причем
U(b)< 5 lk+ (П ^f(x)dx+Qs
А = 1 s
С другой стороны,
k ~ m 1 fe =* 1
Стало быть,
<d(b) < 5 (*)dx + 7e,
1 6
или, что то же самое,
ь
U(b)<'\\(f) + 7e.
а
Остальное ясно
Теперь уже легко доказать интересующую нас теорему.
а) Здесь И < е.
14 И П Натансон
417
Теорема 3 (Г. Хаке). Интеграл Перрона более общий, чем узкий инте-
грал Данжуа.
Доказательство Всякая функция, D-интегрируемая, б\дет Д--ин-
тегрируемои при каком-нибудь g < Q Поэтому достаточно доказать следую-
щее предложение: если функция Dt-инте'рир^ема при g<Q, то она и Р-инте-
грир^ема, и оба ее интеграла (Р) и (Dt) совпадают Для g = 0 jto предложе-
ние верно. П^сть оно верно для всех g < Г) и пусть / (х) — ф\ нкция О^-инте-
грируемая. Если q -число второго рода, то справедливость предложения для
этого I] очевидна Если же q — первого рода и q —1 ему непосредственно
предшествует, то по предположению наше предложение верно для интегралов
D^ и достаточно, сославшись на то, что D1)=(D,1 ,)*, применить теорему 2.
Теорема доказана.
§ 9. Теорема П. С. Александрова — Г. Ломана
В этом параграфе мы докажем полную тождественность интегралов Пер-
рона и Данжуа В силу теоремы Хаке для этого достаточно обнаружить, что
интеграл Данжуа общее ') интеграла Перрона. Этот факт был установлен неза-
висимо друг от др\га русским математиком П. С Александровым (1924) и
голландским ученым Г. Ломаном (1925)
Лемма 1. Пусть функция f (х) интегрируема (Р) на отрезке [щ />] и
U (х)—какая-нибудь ее надфункция. Обозначим через Et(i=\, 2, 3, ) мно-
жество всех таких х из [а, Ь], что при любом и tefa, Ь] оказывается
и^-Ц(х)
t — x 1
Тогда: а) каждое множество Е, замкнуто,
Ь) справедлива формула
[а,Ь}=^1Е1. (2)
i = ।
с) На каждом множестве Е, функция f (х) суммируема.
Доказательство Пусть последовательность {х^,} точек Е( имеет
пределом точку х*. Выберем какое-нибудь [а, 6], отличное от х*. Тогда
для достаточно больших k окажется х*. =й= Z и
П (/) - И (хд.)
/-xft "
Остается, опираясь на непрерывность U (х), перейти к пределу при k-t-co.
Итак, а) доказано. Чтобы доказать Ь), выберем какое-либо х0 е [о, б]. По
определению надфункции будет
hm У..^~ U = DU (х0) > -оз.
f Xq —
Возьмем какое-нибудь число Л, удовлетворяющее неравенству
А < I'm
t -х0
По самому определению наименьшего предела существует такое 6 > 0, что
при t <= [a, fe] (х0 —б, х0 + 6) (и t-^xa) б\дет
U(t)~U(x0) д
Z Xq
!) См. сноску 2) на стр. 411.
418
С другой стороны, если t <= [я, ft] и ^<=(х0 —6, х0-|-6), то
I U(f)-U(x0) I 2М
I t — х0 Г 6 ’
где положено Л1 = гпах U (х) . Тем самым для этих t окажется
U(t)-U(x0) 2М
t — xn 6
Если i настолько велико, что — KtninM,------g—j-, то х° е
Остается доказать1) с) Для этого выберем какое-нибудь i и положим
UL (x) = U (x)-f-ix. Если / х, то
Ut(f)-U,(x) _ U(f)-U(x)
~х ~ t-x-----------------+ ‘
и потому для х е £, и t у= х оказывается
<7,(0- и, (*) .п
t — х
Отсюда следует, что на множестве £, функция Ut (х) возрастает. По тео-
реме Кантора—Бендиксона £, представляется в форме суммы Р,-!ГО,, где
Р, —совершенное, a Dt — не более чем счетное множество. Обозначим через
а и ft самую левую и самую правую точки Pj и пусть {(«„, ft„)} — совокуп-
ность интервалов, дополнительных к Р, до [о, ft]. Зададим на [a, ft] функцию
(7, (х), положив ее равной U, (х) на множестве Р, и линейной на каждом из
отрезков Эта функция будет возрастающей на [я, ft]. Поэтому почти
везде на [а, ft] она имеет конечную производную (х), причем последняя сум-
мируема на [a, ft] и тем более на Р(.
С другой стороны, надфункция IJ (х) почти везде на [<z, ft] имеет конечную
производную U’ (х) (см. § 4). Так как Ut ($ = U (x)-f-tx, то и Ul (х) почти
везде дифференцируема на [я, ft], а значит и на [a, ft]. Если х0 —такая точка
Р(, в которой существуют обе производные £/ (х0) и U((х0), то последние обя-
зательно равны друг другу, ибо х0 есть предельная точка множества Р(, на
котором Ul (х) и Ut (х) совпадают. Значит на Р; производная О((х) эквива-
лентна суммируемой функции U(х), а потому и сама суммируема. Но тогда
и U' (х) = £. (х) — I суммируема на Pt.
Положим F (х) = (Р) f (0 dt.
а
Разность U (х) — Р (х) возрастает на [а, &], а потому она имеет почти везде
конечную производную, суммируемую на [а, Ь] и, тем более, на Р,. Но
F(x) = U (х)-[£ (х)-Р(х)].
Отсюда следует, что F’ (х) суммируема на Р,, а так как почти везде на
[a, ft] будет £'(х) = /(х), то f (х) оказывается суммируемой на Р(. Поскольку
суммируемость / (х) на счетном множестве D, тривиальна, доказано и с).
Лемма 2. Если f (х) интегрируема (Р) на [a, ft], то существует такой
отрезок [с, ,/] cz [a, ft], на котором f (х) суммируема.
Доказательство. Применим к отрезку [a, ft] теорему о том, что
замкнутое множество не есть множество первой категории на самом себе.
х) Разумеется, с) содержательно лишь при и£( > 0. Будем считать это
выполненным.
14* 419
Согласно следствию этой теоремы (гл. XV, § 3, стр. 374) и соотношению (2),
найдется отрезок [с, d] с [а, й] и натуральное i такие, что [с, d] cz £/. Так
как f (х) суммируема на £,, то тем более она су.ммируема на /с, dj, что и
требовалось доказать.
Так как доказанную лемму можно применить к любому отрезку [«j, 6J cz
cz fez, ft], то из нее вытекает
Лемма 3. Если функция f (х) Р-интегрируеча на [и, />], irto множество
So ее точен несуммируемости (т. е. L-особых точек) нигде не плотно
В обозначениях § 7 будет So zd Sj zd S2 zz .. zd zd
Поэтому каждое из множеств S-. и подавно нигде'не плотно.
Лемма 4. Если функция f (х) Р-интегрируема на [а, Ь) и
St = (f, [а, 6]) =£ 0, то и St S, , 0.
Доказательство. Пусть сначала в S-r имеется изолированная точка с.
Будем считать, что а <. с < b (если с = а, или с = 1>, го рассуждение почти не?
изменится). Тогда найдутся такие р и q (а ~р <; с < q b), что на (р, q|
с будет единственной £);-особой точкой. Пусть г и s таковы, что р < г <
<с <s <q. На каждом из отрезков [р, г] и [s, q] функция / (х) будет
D^-интегрируема и ’)
(Dg) j f (х) dx = F (г) — F (p), (D J ] f (x) dx^F(q)~F (s).
p <•
Благодаря непрерывности F (x), написанные здесь интегралы стремятся
к конечным пределам при г-> с, с. Отсюда вытекает, что на [р, с] и на
[с, q], а значит и на (р, q], функция f (х) D- х интегрируема. Иными словами,
с е S^-i, и теорема доказана
Рассмотрим теперь случаи, когда в 3? изолированных точтк нет, т. е.
когда есть множество совершенное. Введем у/ке рассмотренные в лемме 1
функцию U (х) и множества Е,.
Кроме того, обозначим через V (х) какую-либо подфункцию / (х) и по-
строим для каждого натурального / множество F; тех х, для которых при / х
оказывается
V (/) - V (х) .
t — х '
Аналогично множествам Е, множества F, замкнуты и сумма их составляет
весь отрезок [а, Ь]. В таном случае
Sb=2Sb£;F;.
I, !
Поэтому (на основании уже упоминавшегося выше следствия теоремы 2, § 3,
гл, XV) найдутся такие i0 и /„ и такой интервал (/?, ^),-что
0^(/i, g)S,cz£(/,o.
Пусть х0 —какая-нибудь точка (4, g) Sg. Так как S-. нигде не плотно, то
найдутся такие точки р и q, что h <.о <x0<q <g и psS^, q eSc. Ясно, что
°* IP’ <7)SHc£,/,o.
Из того, что р и q не входят в Sj, вытекает,* 2 *) что
[Р> 7) Ss = St ([Р> 91)-
у) Через F (х) обозначен (Р) ) f (t) dt. Мы пользуемся здесь той частью
и
теоремы Хаке, в которой утверждается, что значение D-интеграла равно зна-
чению Р-интеграла.
2) Если бы было р е S;, то р могло бы оказаться левым концом интер-
вала, дополнительного к Sj, и тогда было бы р е [р, q] S- —S-g([p, q]).
420
Итак, S^([p, р]) <= F F- . Покажем, что на отрезке [р, р] функция / (х) будет
D^i-интегрируема. Из этого будет следовать справедливость леммы, так как
внутрь отрезка [р, р] не сможет попасть ни одна точка S;_b в то время
как точки S\ там заведомо имеются (например, точка г0).
Условие суммируемости / (х) на (нигде не плотном!) множестве 5= ([р, р])
выполнено в силу включения этого множества в Е, и леммы 1. Обозначим
'О
через {(а„, &„)} совокупность всех интервалов, дополнительных к множеству
Sj(|p, р]) до отрезка [р, р]. Если п закреплено и ап <а < р < Ьп, то f (х)
будет Og-интегрируема на [а, р], и по теореме Хаке окажется
Р
(D^) р(х) Jx = F(P) —F(a).
а
Отсюда, благодаря непрерывности неопределенного интеграла Перрона,
сразу вытекает, что при а. > д,г + 0, Р~>ЬП —0 существует конечный предел
написанного здесь Д^-интеграта.
Поэтому для завершения доказательства остается лишь убедиться в том, что
^Wn<-}-co, где, как и до сих пор,
п
^„ = sup
О
(D^f(x)dx
(art<a<p<&„),
С этой целью заметим, что при всех’) п будет
а„ е St ([р, р]) с Е F
Значит, при всех t из [а, Ь], отличных от ап, будет
U(t)-U(an) V(i)~V(an)
t-an " °’ t~a~ ^1й-
В частности, если ап < t < Ъп, то
U (0 - U (ап) - i0 (i - а,,), У (0 - У («„) < ja (t - ап)
и, тем более, для этих t будет
U (/) — U (ап) > — i0(bn — аа), V (/) - У (ап) j0 (bn — ап).
С другой стороны, обе функции
L(0=i/(0-F(0, м (О=£(0-У(0
возрастают. Стало быть,
F (t) — F (an) — [U (t)— Е (atl)l [Е (f) Е(ап)]^ >о(Еп ап) [Е (bn) Е (ап)],
F(t)-F (пп) = [У (0- V (а„)] + [М (0- М (ап)] ==£ j0 (bn - ап) + [М (Ьп) ~М (а„)].
Отсюда следует, что при ап < а < (J < Ьп будет
| F (Р) — F (а.) । Oo'h/o) С’п — °л) Н- [Е (b„) L (ал)1 -)~[М Фп) М (ап)],
W п ’SS (<о4* /о) V’n-ап) *Ь [£• (^л) Е (fln)H' (Ья)
Но тогда ясно, что 2®7«< + со> что и требовалось доказать.
Теорема (П. С. Александров — Г. Ломан). Функция, интегрируемая
по Перрону, интегрируема и по Данжуа в узком смысле слова.
’) Кроме того единственного п, при котором ап = р (такое п существует,
поскольку р е St).
421
В самам деле, по принципу стационарности Кантора —Бэра существует
такое a<Q, что 5^ = 5а = 5ат1.
Если бы множество [ J S-. оказалось не пустым, то получилось бы про-
тиворечие с леммой 4. Остается сослаться на теорему 2 из § 7.
§ 10. Понятие о широком интеграле Данжуа
Чтобы дать понятие о широком интеграле Данжуа, ити интеграле Дан-
жуа—Хинчина, нам придется вернуться к общим рассмотрениям § 6
• b ь
Пусть дан каком-нибудь интеграл Т (/). Построим его обобщение Т" (/),
а и
b
отличное от того обобщения Т (Д, с которыми мы ознакомились в § 6.
а
Именно, условимся включать в класс 7'+ (ft?, &]) всякую функцию f (х\
заданную на [с?, 6] и удовлетворяющую следующим четырем условиям-
1) множество ST=ST(j-, [</, /?]) нигде не плотно и f (х) на нем суммируема
по Лебегу;
2) если | • есть совокупность дополнительных интегралов ’) 5Г)
то для каждого п существует конечный предел
С>
/П=11пт Т (Д (ап < а < fl < а — ап,
а
3) справедливо неравенство
^21/л! (1)
<>
4) если промежутков (ап, Ьп} бесконечно много и
1Гя = «ир
0
Т (Д
(ап < а < Р < Ь„),
то
11П11Г„ = 0.
(2)
Мы видим, что отличие определения класса Т* ([я, &]) от определения
класса Т* ([о, Ь]) состоит в замене одного требования
(3)
совокупностью двух требований (1) и (2). Так как \[а оу го из (3) выте-
кает и (1) и (2), откуда
Тг ([а, 6]) с 7Т ([а, *]),
В частности, отсюда следует, что классы Г* ([а, &]) не пусты. Ничего не
меняя в рассуждениях § 6, можно показать, что система этих классов пра-
вильна.
•) С теми оговорками, которые были сделаны в § 6 относительно самого
левого и самого правого из промежутков (ап, Ь„).
422
Введя классы Т1' ([а, Ь]), мы можем на каждом из них задать функ-
ь
ционалТ , сопоставляющий каждой / <= Т* (|дг, &]) число
а
Ъ
Т* (/) = £/„ + (/-) J f(x)dx.
а п ST
b b
Таким образом, Т (Л затается той же формулой, что и Т* (Л, но на более
а а
широком классе функций. Теми же рассуждениями, что и в § 6, можно пока-
ь
зать, что Т (Л есть интеграл в смысле § 6. Из сказанного ясно, что интеграл
а
b
этот более общий, чем Tt (/).
и
Широкий интеграл Данжуа строится при помощи интеграла Т* совер-
шенно так же, как узкий интеграл был построен при помощи Tf.
Именно, вводится трансфинитная (типа Q-Н) последовательность инте-
гралов
ь
(Dl)\f(x)dx, (4)
определяемая по индукции. При £ = 0 интеграл (4) есть просто интеграл
Лебега. Если для всех ;<)], где г] < Q, интегралы (4) уже определены, то
для 1] первого рода полагаем D4=(D1-i)*, а для т] второго рода D'1= у] Di,
Jen
Интеграл
2 D'
К а
и есть широкий интеграл Данжуа.
Можно доказать, что широкий интеграл Данжуа общее узкого . Боаее того ,
оказывается, >) что вообще при любом интеграл D= общее чем Di.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XVI
1. Понятие интеграла Перрона не расширится, если в определении над-
функцни U (\) и подфункции V (х) функции /(г) требовать выполнения
неравенств DU (х) fix) и D Г (х) f (х) лишь почти везде.
2. Пусть на [а, Ь] расположено замкнутое нигде не плотное множество S,
{ (ап, Ьп) ) —совокупность его дополнительных промежутков, Т —некоторый
интеграл и / (х) — функция, заданная на [а, &] и Т-интегрируемая на каждом
[a, PJ с(а„, b„) (n= 1, 2, 3, ...). Пусть
Г„=зир
0
Т(/)
(а„ < а < Р < &„).
Если: а) при каждом п существует конечный предел
0
/л = 1ппТ (/) (a-»art + o, — 0)
а
) См. Н.П Натансон и Г. И. Натансон, «К взаимоотношению
между узким и широким интегралами Данжуа». Успехи матем. наук, 19 58,
т. 13, № 1.
423
и b) 2 №„< + 00, то с) всякому ? > 0 отвечает такое 6 > О, что для любой
конечной или счетной системы отрезков [a,, р(], у которой [а,, р(] с йИ()
(n17tnfe при i^fe) и 2(р;-а()>2(6п-Оя)-6> будет
2/«-ST (л
п I а.
е.
3. Пусть (в тех же обозначениях) число Н обладает свойством: всякому
е > 0 отвечает такое 6 > О, что для любой конечной системы отрезков [aZ)
у которой [а;, р;] <=(аЛ1, ft„.) (л^п* при i^k) и ^(Р>~°О >S С6»- а^~6>
оказывается
//-5Т(л
i а
< е.
Тогда имеют место а) и Ь).
4. Если Sg. —множество D^-особых точек функции /(ij, то
И 5 =sp.
1<р- 4
5. Чтобы функция f (х) была Д-ннтегрируемой, необходимо и достаточно,
чтобы соотношение 5\:.г0 влекло соотношение S^^S^+1.
6. Показать, что функция U (х), построенная в лемме 3 § 8, удовлетворяет
соотношениям — та 7^ D_U (х) : .: f (х}.
л ь
7. Доказать, что если Т (/) есть интеграл, то и Т (/) есть интеграл.
а а
8. Если f (х) е О^([а, ft]) ОТ ([a, ft]), то ее D~z- и ОТ-интегралы равны.
9. Интеграл ОТ более общий, чем ОТ.
10. При любом | < Й существует /(х), входящая в Д^+1 ([«, ft]) — ОТ ([a, ft]).
И. При любом £<Й будет ОТ+1([а, ft]) Д^+1 ([а, ft]) + OT ([а, й])-
ГЛАВА XVII
ФУНКЦИИ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ
ОБЛАСТЯМИ ЗАДАНИЯ
До сих пор мы рассматривали функции, заданные на ограни-
ченных множествах. Теперь мы намерены распространить неко-
торые из изложенных выше результатов на функции с неограни-
ченными областями задания. Для простоты мы будем говорить
лишь о функциях одной переменной, так как переход к случаю
нескольких переменных не представляет новых трудностей.
§ 1. Мера неограниченного множества
Множество Е, содержащееся в (— со, -ф ос),- называется и з м е-
римым, если при любом натуральном п измеримо множество
£ (п) = [— п, п] • Е.
Мерой такого множества называется предел
тЕ = lim тЕ (п).
п —► оо
Этот предел всегда существует, так как тЕ (п.) возрастает вместе
с п. Однако не исключено, что тЕ = А-°°-
Вместо множеств на прямой можно было бы рассматривать
множества на плоскости или, вообще, в произвольном многомер-
ном пространстве. Естественно, что в определении при этом надо
промежутки [—п, п] заменить квадратами [—п, п\ —п, ц] или,
в общем случае, соответствующими кубами.
Можно показать, что множество Е будет измеримым тогда и
только тогда, когда измеримо пересечение Е е данного множества
с любым измеримым ограниченным множеством е. Далее,
тЕ — sup те,
где точная верхняя граница берется по всем измеримым ограни-
ченным множествам есЕ.
Класс измеримых множеств и после указанного расширения
остается инвариантным относительно операций сложения, пересе-
чения и вычитания, если они производятся конечное или счетное
множество раз.
425
Остановимся на доказательстве полной аддитивности
меры. Пусть множества Ег, Е2, Еа, ... измеримы, попарно не пере-
секаются и Е = У Ек. Тогда
л = 1
£(«) = 2 Ек(п), (1)
откуда
тЕ(п)~ У тЕк(п)-А У тЕк
* = i k=1
и
тЕ < У] тЕк. (2)
k = i
С друюй стороны, из (1) вытекает, что при всяком конечном Л/
будет rnE^s У, тЕ1г(п\ Переходя здесь к пределу сначала при
k = \
п-+оз, а затем при Л/->оо, находим, что тЕ^ У тЕк, откуда
k ~ 1
в связи с (2) следует, что1)
тЕ = У, тЕк. (3)
k = 1
В частности, если Л эВ и оба эти множества измеримы, то
mA = тВ А~т (А — В).
Если дополнительно потребовать конечности тВ, то
т (Л — В) = mA — тВ.
Легко перенести на неограниченные множества теорему 11 из
§ 4 1л. III. Именно, пусть Е} cz Е2 cz EjCZ ...измеримые множе-
ства и Е их сумма. Если хоть при одном п будет тЕп= ос,
то и тЕ = + оо, откуда
тЕ = lim тЕп. (4)
II -» со
Если же все Еп имеют конечную меру, то (4) доказывается букваль-
ным повторением рассуждений гл. III.
Теорема 12 переносится на неот ранмченные множества в сле-
дующем виде:
Теорема. Пусть Е2тз Е2^> Еа^э ... —измеримые множества
и Е их пересечение. Если тЕ1 < /по справедливо (4).
т) Каждая из частей равенства (3) может равняться +со.
426
Для доказательства надо лишь применить предшествующий
результат к множествам — Ел(п = 1, 2, 3, ...).
Без оговорки m£\<4-cc теорема неверна. Это видно из при-
мера Е,г = [п, +
§ 2. Измеримые функции
Функцию f(x), заданную на множестве Е, по-прежнему назы-
вают измеримой, если измеримо как Е, так и все множества
вида £(/>с).
Если потребовать, чтобы было /и£<-|-сс>, то перенос резуль-
татов гл. IV на функции, заданные на множестве!?, не потребует
почти никаких новых соображений. Впрочем, теорема о том, что
предел сходящейся последовательности функций fk(x), измеримых
на множестве Е, есть функция, также измеримая на Е, сохра-
няется и без ограничения тЕ<-|-а,. Это легко показать с по-
мощью предельного перехода от множеств Е (п). Для обобщения
теоремы Лузина оговорка /пЕ<4-с/. также не нужна. Докажем
это хотя бы для случая полупрямой.
Теорема (Н. Н. Лузин). Пусть f (х) измерима и почти везде
конечна на множестве Е = [0, -J-с/-). Для любого е>0 суще-
ствует такая непрерывная на Е функция ф(х), что
mE(q^f)<_e. (1)
Доказательство. Положим Ek = [k, k +1] (k — 0, 1,...).
При каждом k найдется функция ф*(х), заданная и непрерывная
на Ек, для которой тЕк((рк f) Можно считать при этом,
что1) ф*. (Л) = ср* (Лг4- 1) = 0. Тогда требуемая функция ф (х) может
быть определена так:
Ф (х) = ф& (х) при k.: х-е k \ (7г = О, !,...).
§ 3. Интегралы по неограниченным множествам
Пусть f (х) — измеримая и неотрицательная функция, заданная
на неограниченном множестве Е. По определению полагаем
\f(x)dx = lim J /(х)г/х, (1)
где, как и выше, £(«) = [— п, n] Е. Предел (1) заведомо суще-
ствует (хотя может и равняться ф- со) ввиду того, что интегралы
§ / (х) dx возрастают вместе с п.
Е('>) ,
!) Пусть / (х) измерима и почти везде конечна на S = [a, b]. Взяв любое
₽ > 0, можем (по теореме Лузина из гл. IV) найти такую непрерывную
на S функцию ф (х), для которон mS (ф z±. f) < в. Сделав это, возьмем такое
6 > 0, что 26 < min (/> — а, в), и построим непрерывную на S функцию ф(х),
положив для <7 у<5 с.х-~р — 6 ее равной ф (х), ср (а)==ф (Ь) = 0 и сделав ср (х)
линейной на отрезках [а ,«4-6] и [Ь — 6 , Ь\ .Легко проверить что тЕ (ср /) < 2г.
427
Если интеграл (1) конечен, то f(x) называют суммируемой
функцией. Остановимся на вопросе о том, как на интегралы (1)
распространяются теоремы § 1 гл. VI. Здесь проще всего начать
с теоремы Фату.
Теорема 1. Если последовательность измеримых и неотрица-
тельных функций {fk(x}}, заданных на множестве Е, почти везде
на Е сходится к функции F (х), то,
F(x)dx^c sup Н fk(x) dx\ (2)
Е Ifi J
В самом деле, при любом натуральном п будет
$ F dx <. sup | $ fk dx\ sup H fk dx\,
E(n) I E(n) ) Ifi )’
откуда предельным переходом при п-+оо получается (2).
Опираясь на это предложение и буквально повторяя* 1) рас-
суждения § 1 гл. VI, переносим на случай неограниченного мно-
жества Е теоремы 10, 11 и 12 указанного параграфа.
В качестве следствия теоремы Б. Леви получается
Теорема 2. Если f(x) измерима и неотрицательна на множе-
стве Е, a fn(x) есть срезанная функция, fn (х) = min {/ (х), п}, то
^f(x)dx = lim ^fn(x)dx.
Е Е
Заметим еще, что в том случае, когда /(х) есть измеримая и
ограниченная функция, заданная на множестве Е конечной
меры, 0-с/'(х)^Л, то/(х) суммируема и [[(xjdxoc АтЕ. Это
Е
также устанавливается предельным переходом от множеств Е (п).
Перенос на рассматриваемый случай других результатов § 1, гл. VI
не представляет труда.
Если /(х) —измеримая на множестве Е функция, которая может
принимать и отрицательные значения, то мы, как и в гл. VI, вво-
дим функции /+(х) и (х):
f+(x) = max{f(x), 0}, /_(х) = тах {—/(х), 0},
и полагаем по определению2)
\f(x)dx= \f^(x)dx- \f_(x)dx, (3)
ЕЕ Е
i) По ходу дела потребуется опереться на то, что из неравенства / (х)
s£g(x) следует, что j /Щх&с) gdx. Это предложение легко устанавливается
Е Е
предельным переходом от множеств Е (п).
2) В тех случаях, когда Е = (— со, Ц- со), Е = (— со, Л] или £ = [a, -f- со),
интеграл (3) обозначается соответственно через
+ сс b + оо
j f(x)dx, $ j (х) dx, J f(x)dx.
— оо —oo a
428
если только эта разность имеет смысл. Если интеграл (3) суще-
ствует и конечен, то / (х) называется суммируемой на множестве
Е функцией. Класс таких /(л) обозначается через L(E).
На рассматриваемый случай легко переносятся результаты § 2
гл. VI. В частности, из суммируемости f (х) вытекает суммируе-
мость и /(г) . Если f(x)e^L(E), a g(x) ограниченная и изме-
римая на Е функция, то f (x) g (х) е L (Е) Сохраняется и теорема 8,
§ 2, гл. VI (об абсолютной непрерывности интеграла), но только
при доказательстве ее нам придется теперь сослаться не на
определение интеграла, а на теорему 2 настоящего параграфа.
§ 4. Функции, суммируемые с квадратом
Как и в случае ограниченного множества, определяется поня-
тие функции, суммируемой с квадратом на множестве Е. Именно,
это есть функция f (х), измеримая на Е, для которой (* 2е£(£).
Класс таких функции обозначается через L2(E). Если тЕ < + со,
то всякая ограниченная измеримая функция входит в L (Е).
В частности, 1 е£(£), откуда, в связи с неравенством 2 а . л- а2,
следует включение L2 (Е) ст L (Е). Если тЕ=^сс, то это вклю-
чение не имеет места1). Например, если Е = [1, + ос), то
\ ^L2(E)-L(E).
На неограниченные множества распространяются неравенства
Бу няковского 2) и Коши, а также вся основанная на них геометри-
ческая трактовка L2(E) как пространства. Это пространство полно:
всякая сходящаяся в себе последовательность его элементов имеет
предел. Если тЕ = о:, то существуют измеримые ограниченные
функции g(x) (хотя бы g-(x) = l), не входящие в L, (Е) Однако
имеет место
Теорема 1. Класс тех непрерывных и ограниченных функций,
которые входят в L2(E), всюду плотен в L2(E).
Докажем теорему хотя бы для случая3 *) Е = [О, Н-оо). Пусть
/е£2(£) и е>0. Закрепляем столь большое А, чтобы оказалось
J f2(x)dx<s*, (1)
И
и вводим непрерывною на [О, Л] функцию ф0(х), удовлетворяю-
щую неравенству
А
(2)
о
]) Предоставляем читателю доказать это в общем виде
2) В частности, из / s L2(L), ;;g/.2(E) следует, чго fg^L(E).
’) Тея самым она б;>дст доказана для всех измеримых множеств
£ с [0, о_), ибо все функции, заданные на Е, можно доопределить, поло-
жив пх равными 0 на [0, -|-со) — Е.
429
Пусть М = max фп (х) и б > О столь мало, что б < А и 32ЛГ* 26 < е2.
Зададим на [О, Л] функцию ф(х), полагая ф(х) = ф0(х) для
0<х.^Л- б, ф(Л) = 0 и делая ф(х) линейной на [Л — б, Д].
Ясно, что ф(х) непрерывна и
А
$ [ф (х) - Фо « dx < 4Л42б < . (3)
О
Так как (д4-£>)2^2 (а2 + 62), то из (2) и (3) следует, что
л
(Ф - /)2 dx < .
о
Если положить ф(х) = ф(х) для 0<Х<4 И ф(х) = 0 для
х^А, то <р(х) будет непрерывной и ограниченной функцией, вхо-
дящей в L,(E), Для которой1) |1/ —ф!|<е.
Теория ортогональных систем для бесконечного промежутка
интегрирования почти2) не отличается от случая конечного про-
межутка: сохраняются теоремы Рисса — Фишера, В. А. Стеклова,
теорема о равносильности замкнутости и полноты системы и т.п.
§ 5. Функции с конечным изменением.
Интегралы Стилтьеса
Пусть функция f(x) задана и конечна на всей оси (—сю, 4-сю).
Ее полным изменением называется предел
Н СО /I
V f= lim v (/)•
-СО _Z1
Аналогичным образом определяем3)
а а + со п
V (/)= lim v (f), V (/)= lim V (f). (1)
— CG П—CO —/t a a
При любых конечных а и b (a<b) будет
“H CO Ct + со 4- co b 4~ co
V (/)= V (/)+ V (/), V (/) = V(D+ V (D-
— oo — co a a a b
Аналогично, для любой f е L (£) и любого е > 0 существует непрерыв-
ная и ограниченная <р е L (Е), для которой
\ I tp — f i dx < в.
ь
2) Так как функции хп не входят в L2(E), то не будет иметь места, напри-
мер, следствие 1 теоремы Стеклова
3) Разумеется, для введения величин (1) нет надобности, чтобы f (х) была
задана на всей оси.
430
'Л
Если V (/)< + °°i то
lim V (П = 0,
lim V (f) = 0.
Доказательство этих (и аналогичных) простых утверждений опу-
скаем.
Теорема 1. Чтобы полное изменение f (х) было конечным, необ-
ходимо и достаточно, чтобы f (х) была разностью двух возрастаю-
щих и ограниченных функций.
Доказательство. Для определенности рассмотрим случай,
когда /(х) задана на (—ос, -фос)- Если V (/)< + оо, то /(х)
ограничена* 1). Полагая
л W = V (f), v (х) = л (х) - f (х),
получаем требуемое представление
f(x) = n(x)-v(x). (2)
Обратно, если имеет место (2), где л (х) и v (х) возрастают и
ограничены, то
V (Л< V (л)+ V (v),
и остается заметить, что для всякой возрастающей функции ср (х)
будет
V (ф) = ф(+со)-ф(—оо),
где ср (4-ос) и ср (—оо) суть пределы ср (х) соответственно при
x->-j-oo и х—>— оо.
Ц- со
Следствие. Если V (/)<4-оо, то существуют конечные
Н+оо) и
Теорема 2 (Э. Хелли). Пусть на (—со, Д- со) задано беско-
нечное семейство функций F—{f(x)\. Если существует такое
Л’< + со., что при всех f е.Е оказывается
\f(x)\ocK, +N(f)^K,
4-n + co
i) Действительно, если —то |f (х) — f (0) | sc V V (f) -
— n —co
431
то из F выделяется последовательность которая при вся-
ком х сходится к некоторой д (х) с конечным изменением
Доказательство Рассмотрим расширяющуюся последова-
тельность отрезков [-1, -| 1] с= [—2, -F2] с [-3, f3]c= . Из/7
выделяется последовательность {Д' (х){, сходящаяся на [—1, Д-IJ.
Из этой последовательности выделяется последовательность1 1)
{Д (х){, сходящаяся на более широком отрезке [—2, +2], ит. д.
Построив последовательность последовательностей
{Д}^{Д-}щ>{ДД...
и рассмотрев „диагональную'1 последовательность Д (х) = Д"’(х),
получаем требуемое, ибо ясно, что полное изменение предельной
функции не больше К.
Инте! ралы Стилтьеса
5 /(х)л^(х), $ f(x)dg(x), МО 44*) (3)
— z/> — ж а
мы определим только для случая, когда f (v) непрерывна и огра-
ничена, a g(x) имеет конечное изменение. Остановимся хотя бы
на последнем из интегралов (3)
Легко показать2), что существует конечный предел
л
lim (
Л—-гео з
f (х) dg (х),
и мы, по определению полагаем последний из интегралов (3) рав-
ным этому пределу. Другие интегралы (3) определяются ана-
логично.
Не останавливаясь на элементарных свойствах интегралов (3),
отметим, что теорема Хелли из § 7 гл. VIII на них не распро-
страняется. Например, если /’(х)=-1 и
О при 0 < Xs£п,
gn (л) =
Х—П при П-"Х«Дя+1,
1 при п + 1 X <+ оо,
то
V (gn} = 1 g(х) = hm gfl (х) =- О,
о
$ fdgn=\,
О
-J-co
$ fdg = O.
о
Ч
как и
2)
Важно заметить, что порядок
в Ш4
Действительно, если а -< В
следован, я элементов в {Д-‘ }
С, то
с
\ f dg
В
4
-'М V (g)
В
такоп же,
где Л1 —
+ °
= max j (х) |. Если В->-|-со, то V (g) ->-0. Остальное ясно.
в
432
Однако при условии обращения /(г) в 0 на бесконечности
тссрема сохранится'
Теорема 3. Пусть функции g,t (\) (0 ' . л , п = 1, 2, 3, ...)
удовлетворяют соотношениям
V К < + сж, lim g,t (x) = g (x).
о «
Ecu f(x) (0 .v< ; непрерывна, ограничена и такова, что
/(+ оо) = 0, то
hm f (х) dgn (х) = / (x)dg(x).
п^' о о
Доказательство. Взяв ь > 0, закрепляем столь большое А,
чтобы для х2оЛ оказалось /(\.)|<ь. Тогда
$ Ngn
А
Для достаточно больших п окажется
$ fdgn~ \l^g
0 0
е
и, тем самым,
п 4 со
о о
(2Х+1)е,
чем и доказана теорема.
§ 6. Неопределенные интегралы
и абсолютно непрерывные функции множества
Распространим некоторые результаты гл Х111 на функции с неограни
псиными областями задания. Дтя простоты мы рассмотрим лишь функции
одной переменной, заданные на (—с< , 4 л-).1)
Теорема 1. Чтобы измеримая функция f (х) быи суммируема на каждом,
множестве, конечной меры, н обходимо и дсстатото, чтобы /-(с) представ пе-
лась в виде
) (а) = с/(л)Ч-/1(л), (1)
где g (л) сум чирус ча и i (—оо, 4" °), а (1) и миримо и ограничена
* Д о к а з а т е л ь с г в о Дос1 аточнос1ь ьло^пя гсооемы трнвпа 1ьна Дока-
жем его необходимость Итак, пусть [ (\) суммируема па каждом множестве
конечно» меры Предположим сначала, что f(y) 0 н введем множеств i Lk =
= £(/> 2') (£ = 1, 2, 3, ) Покажем, чго том. одно i и лих множеств имеет
конечную меру Денсгвптельно, если бы при всех k ок азалось тЕк— ]- го
4 Все сказанное ниже легко перено^игся и на функции, катанные на
множестве /1, отличном от (— , 1 ) Для этого надо лишь доопределить
Такне функции, положив их равными пулю вне А.
433
мы ввели бы такие измеримые и ограниченные множества t\, е2, г3, , что
г 1
ei с £i> mi 1 — 2 •
г 1
е2 с Е2 — et, те2 = 22 ,
«*=£*-<61+ meh = ^-kt
Если 5 = с1 + (2“)-^з4- , то nis — \, и потому f <= L (s) В то же время
множества et попарно не пересекаются, откуда
\ / (X) dx =2 Р W Jx > У 2kmek = + со,
s k = l k — i
что противоречит соотношению [ е L (s)
Таким образом, найдется такое N, что
тЕ (/>2Л')< + оо,
Полагая
р(х) при /(x)>2v, ( 0 при /(х)>2\
g (х) — < п (х) = <
( 0 при f (х) —-2V, '/(*) при / (х) 2V,
получаем (1) с требуемыми (х) и h(x) Если f (х) может принимать п отри-
цательные значения, то надо применить доказанною часть теоремы к / (л)
и f W
Обозначим через Г класс измеримых функций, суммируемых на каждом
множестве конечной меры Если /еГ, то каждому множеству е, где ше<-}-со,
соответствует число
Ф(е) = р (х) dx»
е
(2)
Иными словами, каждая санкция /еГ порождает функцию множества
(2), заданную на всех множествах е конечной меры Эта функция вполне адди-
тивна1) и (в силу теоремы 1) абсолютно непрерывна Функция Ф (. ) назы-
вается неопределенным интегралом функции f (х)
Теорема 2. Всякая абсопотно непрерывная и впочне аддитивная функ-
ция Ф (с), определенная на множествах конечной меры, явчяется неопределен-
ным интегралом некоторой функции из Г
Доказательство Так как функция Ф (<) будет определена, в част-
ности, для всех измеримых и ограниченных множеств е, ю к ней при-
менимы результаты гл VIII. Поэтому почти везде будет существовать сим-
метричная производная
I, , г, г / ч 1 ® ([* — * + ^|) т
f W = Dxf(e) = Iim —I --------'d. (3)
/1 -» 0 dll
!) В том смысле, что при E — ^ek, где eket = 0 (k i), и при усло-
вии тЕ <-)-со будет ф (£) = ^ ф (еп)-
434
являющаяся функцией, суммпруемок на всяком измеримом и ограниченном
множестве £, причем для всякого такого множества будет1)
Ф (£) = ( / (л) dx. (4)
L
Возьмем произвольное множество £ конечной меры Оно представимо
в виде
Е = А-\-В, где Я = £(/=0), S = £(/<0)
Каждое из множеств Я и fl измеримо и имеет конечную меру Множе-
ство А можно представить в виде суммы А = где слагаемые множе-
k = 1
ства Ак измеримы и ограничены Для каждого из них можно написать
равенство (4), откуда
ф(Л)=£
4 = 1 Ак
Этим доказано включение f е L (Я) и равенство
Ф(Я) = \
А
Аналогично доказывается такое же равенство с заменой лишь Я на В
Но тогда /=£(£) и справедливо (4) Ввиду произво шности множества £
теорема доказана
Следствие. К шсс абсолютно непре рывных и вполне аддитивных функции
множеств конечной меры совпадает с классом неопределенных интегралов функ
ции in Г.
В связи с этим следствием в теореме 3, § 2, гл XIII можно говорить не
о суммируемой функции, а о функции из Г
Теорема 3. Длч того, чтобы абсолютно непре рывнач и вполне пддитив
ная функции ФА’), определенная на множествах конеенои лиры, бы ш ограни
чена, необходимо и достаточно, чтобы она была неопределенным интегралом
функции, суммируемой на всей оси
Доказательство По предыдущей теореме справедливо (2), где f <нГ
Если / е£[(—сс, со)], то для любого множества е конечной меры ока-
зывается
I Ф (е) J \f (х) dx,
чем доказана достаточность условия теоремы Обратно, если для всякого
такого множества е будет Ф (е) 1\, то и для множеств е (/ 0) и е (у < 0)
можно написать подобное неравенство, откуда
j ‘lx 2А. (5)
С
Полагая, в частности, е = [— п, + л] и переходя в (5) к пределу при и-> + со,
-3 J3
получим f (л) dx.‘2h, что и завершает доказательство.
1) Определение f (л) мы пополняем, положив /(а) = 0 в тех точках, где
предел (3) не существует (эти точки образуют множество меры 0).
ГЛАВА XVIII
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ФУНКНИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
§ 1. Метрические и, в частности, линейные
нормированные пространства
В гл. VII мы уже говорили о понятии метрического простран-
ства. Напомним, чю множество Е элементов х, у, z, ... назы-
вается метрическим пространством, если любой паре х и у этих
элементов соотнесено вещественное число р (х, у), обладающее
свойствами:
1) Р (-П у)дл 0, причем р (х, z/) = 0 тогда и только тогда,
когда х — у,
2) р(*, У) = 9 (У, х);
3) р (х, г) р(х, у) д-р (у, г).
Это число р (х, у) называется расстоянием между элементами
хну, а неравенство 3) называется неравенством треугольника,
ибо в случае двумерного эвклидова пространства оно означает,
что одна сторона треугольника не больше суммы двух других.
В метрическом пространстве можно ввести понятие предела
последовательности элементов ху, х,, х3, ..., понимая под этим
такой элемент х пространства, для которого Inn р(х„, х) — 0.
* п —-
То обстоятельство, что элемент х является пределом после-
довательности {хл}, записывают обычным образом:
1 im хп — х, или хл ->- х.
Нетрудно показать, что последовательность элементов про-
странства может иметь разве лишь один предел.
В самом деле, если х;1—>-х и хп-+у, то
0<р(х, у) _ р(х, х,г) + р(х„, у),
откуда, переходя к пределу при мы находим, что
р (х, у) = 0 и, стало быть, х = у.
Определение. Последовательность {хл} элементов метрического
пространства называется сходящейся в себе, если всякому еД>0
отвечает такое Л\ что при /г>Л' п m>N оказывается
р(х„, хт)<е.
436
Легко видеть, что последовательность, имеющая предел, схо-
дится в себе. Действительно, пусть х„-^х. Тогда, взяв произ-
вольное е > О, можно найти такое М, что при п> N будет
р(хп, х)<е/2. Ясно, что когда оба значка п и т станут больше N,
то окажется справедливым неравенство р(хя, х„,)<е.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Если, напри-
мер, в качестве метрического пространства взять множество всех
отличных от нуля вещественных чисел, причем расстояние опре-
делено обычным образом, т. е. формулой р (х, у) = , х — у , то
последовательность {!/«[ будет сходящейся в себе, но не имею-
щей предела. Ясно, что это обстоятельство вызвано своеобразной
«неполнотой» рассмотренного пространства в что «дополнив» про-
странство элементом 0, мы устраним этот его дефект. В связи
с этим введем точное определение.
Определение. Метрическое пространство называется полным,
если всякая сходящаяся в себе последовательность его элементов
имеет предел.
Хорошо известно, что /г-мернсе эвклидово пространство обла-
дает свойством полноты. Рассмотренные в 1л. VII пространства
Lp и 1р так же, как было показано, обладают этим свойством.
Важным частным сличаем метрического пространства является
так называемое линейное нормированное пространство.
Определение. Множество Е элементов х, у, z, ... называется
линейным пространством, если
I. Каждой паре элементов х и у из Е соотнесен некоторый
третий элемент, их сумма, 2 = х-\-у. >
II. Каждому элементу х^Е и каждому вещественному числу
а соотнесено их п р о и з вед е н и е — элемент ах.
III . Введенные операции обладают следующими свойствами'.
1) х-\-у = у + х, т. е. сложение коммутативно.
2) (x-lt/) + z = x-|-(z/-|-z), т. е. сложение ассоциативно.
3) Из соотношения х-]-у = х-\-г следует, что у = г.
4) /х = х.
5) a (bx) = (ab) х.
6) (а 4- b) х = ах-\- Ьх.
7) п(х4-г/) = ах4-дг/.
П\сть £ —линейное пространство. Соотнесем каждому его эле-
менту х произведение = 0 х.
Покажем, что это произведение на самом деле от выбора х не
зависит. Действительно, прежде всего,
х 4~ ©л- = 1 • х 4- 0 • х = (1 4- 0) х = 1 • х = х.
Но тогда для любой пары элементов хну б\дет
(х + у) + &х = х + (у + ®х) = х + (0Л 4- У) = (х 4-0Л) + У = х 4- у,
(x + y) + Qu = x + (у + <ду) = х + у.
Таким образом, (х 4-«/) + ©* = (* + */) +©у, откуда следует, что
©л = ©^
437
Впредь элемент 0, мы будем обозначать просто через 0. Ясно,
что он играет роль нуля при сложении элементов Е. В связи
с этим мы будем иногда обозначать его и через 0 (причем,
конечно, опасность смешения с числом 0 должна бьпь исклю-
чена). Нетрудно видеть, что, кроме элемента 0, ни одни эле-
мент г пространства не может удовлетворить соотношению х +
Дг = х при каком-нибудь х. Действительно, из этого соотноше-
ния вытекало бы, что х + z = х<г) и г = 0.
Таким образом, линейное пространство Е обладает и таким
свойством:
8) В Е существует такой элемент 0, что при всех х из Е
будет х-|-0 = х. Если хотя бы длч одного л е Е оказывается
х^2 = х, то z = <B.
Отметим далее, что
9) Если йх = 0, то либо п = 0, либо х = 0. Наоборот, каждое
из соотношений а = 0, х — 0 влечет равенство ах = <~).
В самом деле, если « — О, то «д- = 0 по самому определению
элемента 0. Далее, 00 = 0 и потому й0 = а (00) = (а • 0) 0 =
= 0 0 = 0. Итак, каждое из соотношений « = 0, х = 0 влечет
равенство ах = 0. Пусть теперь дано, что ах = &. Если а # 0,
то х = 1 • х = f— • uV= 1 (йх) = 1 0 = 0.
\ а ) a v ' а
Из 9) без труда выводится, что
10) Если х — 0, то из ax = bx ciedyem а — Ь;
11) Если а уС 0, то из ах = ау следует х = у.
Действительно, соотношение ах = Ьх показывает, что (п — Ь) х =
= йх + (—Ь) х= /?х + (—Ь)х =[(> + (—Ь)]х = 0 х = 0, откуда при
х 0 и следует, что а = Ь.
Точно так же из ах = ау последовательно выводим
а [х + (— 1) у] = ах + (—а) у = ау + (— а) у = [й + (—а)] у = 0 • у = 0.
Значит, при йД 0 будет х-)-(— l)z/ = 0. Но, с другой стороны,
у + (—l)z/ = 0, а потому х = у.
Впредь условимся в обозначениях
(— 1)-х = — х, х + (— у) = х — у.
Легко показать, что
12) х —х = 0 и если x — y=Q, то х — у.
13) Из х — у = х-z, следует y = z.
14) Если хД1/ = г, то x = z — y, и обратно.
Мы не будем останавливайся на простой проверке этих ут-
верждений.
Определение. Линейное пространство Е называется нормиро-
ванным, если каждому его элементу х соотнесено вещественное
число |Хц, называемое нормой этого элемента и обладающее сле-
дующими свойствами:
1) (х|[2&0, причем j|xj = O тогда и только тогда, когда х = 0.
2) |’йх|| = )й 1 • [|х|| и, в частности, |i~-X[| = |iX[[.
3) h+'/SMMHUM
438
Ясно, что имея такое пространство, достаточно положить
Р (*,*/) = ,*-*/1, (1)
чтобы превратить его в метрическое пространство. Впредь, юворя
о линейном нормированном пространстве, мы все!Да будем счи-
тать его метрическим, причем расстояние будем считать задан-
ным формулой (1).
Полные линейные нормированные пространства были предме-
том изучения польского математика С. С. Банаха, почему их и
называют пространствами Банаха.
Рассмотренные в гл. VII пространства Бр и 1р дают нам при-
меры пространств Банаха. Приведем еще два примера таких
пространств.
Пространство С. Рассмотрим множество всех функций f(x),
заданных и непрерывных в одном и том же сегменте [о, Ь].
Определим в этом множестве сложение элементов fi—f^x) и
l’ — f2(x) и умножение элемента f — f(x) на число с обычными
формулами
fi+ b = /i W + /-.W. cf = cf(x).
Легко видеть, что тем самым наше множество превращено
в линейное пространство. Полатая для каждою элемента f~f(x)
| /|! = max /(х) ,
мы превращаем наше тинейное пространство в нормированное.
Действительно, без труда проверяется выполнение всех трех
свойств нормы. Построенное таким образом линейное нормиро-
ванное пространство обозначается обычно через С или С ([а, й]).
Пусть {/„] [где Д = Д(х)] есть последовательность элементов С.
Ясно, что соотношение fn-+j [где [ = /(т)еС[, означает равно-
мерную сходимость последовательности функций /,г (х) к функ-
ции I (х).
Теорема 1. Пространство С полно.
Действительно, пусть последовательность [[„[ [fn = Mx)] эле-
ментов С сходится в себе. Закрепим какую-либо точку хе [а, Ь].
Так как fn (х) — fm (х) [ \fn — fm I], то числовая последователь-
ность |Д(х)[ сходится в себе и (в силу известного признака
Больцано — Коши) существует конечный предел
Iimfn(x) = /(x). (2)
м -»'J2
Ввиду произвольности х, функция /Дх) определена на всем [о, Ь].
Далее, взяв е>0 и найдя такое N, чго при n>N, т> N будет
будем для всех х иметь (при /г > АД m>N)
I fn W - fm (x) । < e.
439
Закрепим здесь’ х и п> N и перейдем к пределу при воз-
растающем т. Это приводит нас к неравенству
I fn (*) - f (х) I е,
справедливому при п> N п любом х. Так как число N от вы-
бора х не зависит, то стремление (2) происходит равномерно,
откуда вытекает, что предельная функция f (х) непрерывна и, стало
быть, является элементом пространства С. Кроме того, равно-
мерность стремления (2) и означает, что f = f(x) есть предел
последовательности в смысле метрики пространства С.
Пространство т. Рассмотрим множество всевозможных ограни-
ченных последовательностей *)
х = (хг, х>, х3, ...)
вещественных чисел. Определим в этом множестве сложение,
умножение на число и норму следующим образом: пусть х =
-= (лу, х,, хя, ...) н у = (У1, уг, у., ...) две ограниченные после-
довательности, а а некоторое число. Положим по определению
х У = (xi~f- Уъ х2-\-У11 Хч + Уз, ...),
ах = (ахг, ах.2. ах3, ...),
ilх'\ = sup {\xk }•
Нетрудно убедиться, что тем самым наше множество превра-
щается в линейное нормированное пространство. Это простран-
ство принято обозначать буквой т.
Теорема 2. Пространство т полно.
Пусть где
х<"> = (£<">, ...) (н- 1, 2, 3, ...)
— сходящаяся в себе последовательность элементов т.
Так как при любом закрепленном k будет
то числовая последовательность {£*", у, Ц, ...} сходится в себе
и, стало быть, имеет конечный предел gA=- liin^">.
fl со
Взяв е>0, найдем такое N, что при п > N и т> N будет
— х1"111, <е. Тогда при любом k окажется <£•
Закрепив здесь k и «>>.¥, устремим т к бесконечности. В пре-
деле получится неравенство
t!'°—L <е. (3)
I ТО ' !
*) Напомним, что числовая последовательность (xt, х2, х3, ..) называется
ограниченной, если существует такая постоянная Д, что при всех k б)дет
хк 1 - А. Таким образом, ограниченность последовательности вовсе не озна-
чает, что в пси конечное число членов Напротив, их имеется счетное мно-
жество (хотя некоторые из них могу г быть равны друг другу).
440
Отсюда, в частности, вытекает, что g;, -*-е 'iz'"1 ||+е,
так что последовательность х~ ('jj, £2, S3, ...) ограничена и при-
надлежит т. Кроме того, ввиду произвольности значка k, из (3)
следует, что +1"1 — х' а так как для достижения этого нера-
венства потребовалось лишь, чтобы было п > N, то нами дока-
зано соотношение lim л-1"1 — х.
и ->
Теорема доказана.
Не следует думать, что не существует других метрических
пространств, кроме нормированных. Легко привести примеры
линейных метрических пространств, которые не являются нор-
мированными.
Пространство S. Рассмотрим множество всевозможных
числовых последовательностей х — (х1; х.>, х3, ...), в котором сло-
жение элементов и умножение элемента на число определим
так же, как и в случае пространства т.
Расстояние р(х,г/) между элементами
х = (лу, х3, ...) и y-^(ylt у,, у3, ...)
определим формулой
р(+
2;
к —1
Хк~Ук
Ь- — Уь'
Выполнение первых двух условий, которым должно удовлет-
ворять расстояние, вполне очевидно. Чтобы установить неравен-
ство трех гольиика
р(х, г)=Ср(х, z/) + p(//, z), (4)
заметим, что функция ф(0 = тг7 в области OcJ <4-со возра-
1 Т‘
стает Gi6o ср (t) = 1 — уруу • Значит, если г = (гъ z2, zs, ...) есть
третья числовая последовательность, то
I xk — 2к ' I хк — У к + Ук~ гк
1 + , хк ~ 2к I 1 + х к~ У к\ + Ук~2к<
Но
I хк~Ук I' x)c — yk\
1 +1 Хк — Ук 1 + 1 Ук~2к | И- х/; -yk I '
1 У к — 2 к' У к — 2k
* + , хк~ У к 1 + 1 Ук~2к I । + | У к ~ 2к
Поэтому
\xk~2k] \хк~Ук'! . 1У к - 2к '
1 +| xk~zh I ~~~ 1 + хк~Ук, 1+ Ук~гк
Умножая это неравенство на 2^ и суммируя по всем k, прихо-
дим к (4). Таким образом, построенное линейное пространство ока-
зывается метрическим. И в то же время оно не является нормиро-
441
ванным.1) Это пространство обозначается буквой s. Нетрудно пока-
зать, что если = £("), £.<"), ...), х = (£(, |2, £з, ••)> то для
соотношения lim х(л) = х необходимо и достаточно, чтобы при всех k
п -♦ сс
было lim = Опираясь на это предложение, легко убедиться
л-»о.
в полноте пространства s.
Пространство 5. Пространством S называется пространство,
элементами которого являются всевозможные измеримые функции,
заданные на одном и том же измеримом множестве Е с мерой
тЕ > 0. При этом эквивалентные функции не считаются различ-
ными. Сложение элементов /1 = /J(x) и fi = fi(x) этого простран-
ства и умножение элемента / = /(х).на число а определяется, как
и в случае пространства С, формулами
fi + h = h W + Л (*), af = af(x).
Тем самым S есть пространство линейное. Оно становится метри-
ческим (но не нормированным!), если положить
f h М ,
И- ЙИ-МФ
£
Сходимость Пт/„ = / [где /л = /„(х), / = /(.г)] в этом простран-
стве есть сходимость последовательности {/„ (х)} к функции f(x)
по мере. Предоставляем читателю доказать это предложение,
а также убедиться в том, что пространство S полно.
§ 2. Компактность
Установив понятие предела последовательности элементов мет-
рического пространства, мы уже без всякого труда переносим
в теорию этих пространств важнейшие понятия теории точечных
множеств. Так, например, если из множества А элементов метри-
ческого пространства можно выделить последовательность раз-
личных элементов {x,J, имеющую пределом элемент хе£, то
говорят, что х есть предельный элемент, или предельная точка
множества А. Множество, содержащеевсе свои предельные точки,
называется замкнутым. Множество А, получающееся из множе-
ства А присоединением к нему всех его предельных точек, назы-
вается замыканием множества А. Множество, дополнительное
к замкнутому, называется открытым и т. д.
Если х0 — закрепленный элемент метрического пространства,
а г > 0 — некоторое положительное число, то открытой сферой
с центром х0 и радиусом г называется множество Sr (х0), состоя-
щее из всех точек х пространства, для которых р(х, х0)<г. Ана-
') Если положить ||ХР = р(х, 0), то не будет выполняться условие ах|| =
= 'а Например, если е0=Ц1, 1, 1,...), то ||e0|) = 1,2, |. 2г0||=2/3.
442
логично этому, множество Sr(x„) тех точек х, для которых
р (х,х„) < г, называется замкнутой сферой с центром х„ и радиусом г.
Легко показать, что замкнутая сфера есть множество замкнутое,1)
а открытая— открытое и что сфера Sr(xJ) есть замыкание сферы
Sr1x№). При помощи понятия сферы вводится обычным образом
понятие внутренней точки множества, а пользуясь этим послед-
ним понятием, легко показать, что открытые множества это такие,
все точки которых суть внутренние. На всех этих вещах мы не
будем останавливаться ввиду отсутствия новых принципиальных
моментов.
Множество А элементов метрического пространства Е назы-
вается ограни' енным, если оно целиком содержится в некоторой
сфере. В гл. II была доказана теорема Больцано — Вейерштрасса,
гласящая, что у всякого ограниченного бесконечного множества
точек прямой имеется хотя бы одна предельная точка. В самом
начале гл. XI этот результат был перенесен со случая прямой на
случай любого эвклидова пространства. Однако он не переносится
на всякое метрическое пространство. Действительно, рассмотрим
хотя бы пространство L3. В качестве множества А возьмем какую-
либо ортонормальную систему {со*} [со* = <а* (х)]. Так как при
любом k будет |]ci)*||= 1, то это множество ограниченное. Но при
i k будет
ь
I! ®г - и* I? = $ [«/ (*) - 2со, (х) со* (х) + (х)] dx = 2
а
и потому из А нельзя выделить никакой сходящейся последова-
тельности. Поэтому в общей теории метрических пространств по-
нятие ограниченного множества уже не имеет того фундаменталь-
ного значения, как в случае пространств евклидовых. Его место
занимает понятие компактного множества.
Определение 1. Непустое множество А элементов метрического
пространства Е называется компактным, если оно конечно, или
же если всякая бесконечная часть <4Ц этого множества
имеет хотя бы одну предельную точку.
Впрочем, надо заметить, что справедлива
Теорема I. Всякое компактное множество ограничено.
Допустим, что множество А не ограничено. Закрепив какую-
либо точку х„ е Е, мы можем найти такую точку хг^А, чго
Р (А. х») > 1 • После этого можно найти такую точку х, е А, что
х0)>р(х1, х0)4-1.
1) Для это1 о достаточно показать, что метрическая функция р (х, у) непре-
рывна, т. е. что из соотношении х„->х, уп -* у вытекает соотношение
p(x«, у). Действительно, р(х„, у„) == р (х„, х) -|- р (х, у) +р (у, уп)
и при достаточно больших и окажется р(хл, у»)<р(х, y)~r^- С другой
стороны р(х, у) р (х, хя) + р(хя, уп) + р(Уп< У) и ПРИ достаточно больших
п будет р (х, у)<р(хл, Уп) + е.
443
Продолжая этот процесс, мы получим такую последователь-
ность xt, х2, х3, ... точек множсшва А, что
р(хп, х0)>р(х1, х0) + р(х2, х(,) + . . + p(-Tt-i, х0)+1.
Тогда при п~> т будет р(хд, х0)Д>р(х„,, х0)+Ь а так как
р(х,„ х0)<р(хл, г,,,) + р (х,„, х0), го р(х,„ х,„) > 1 и потому из
последовательности {х„} не выделяется никакой сходящейся под-
последовательности, т. е. {х,,} не имеет предельных точек. Но
тогда множество А не компактно.
Доказанная теорема допускает значительное усиление. Для
его изложения нужно следующее
Определение 2. Пусть А — некоторое множество точек метри-
ческого пространства Е, Вс Л - его подмножество, а е>0 —
некоторое положительное число. Говорят, что В есть и-сеть в мно-
жестве А, если для всякою элемента найдется такой эле-
мент у^В, что р(х, у) < е .
Теорема 2. Если А есть компактное множество, то для
любого е>0 в А имеется конечная е-сеть.
Нетрудно видеть, что всякое множество, в котором есть ко-
нечная е-сеть, необходимо oi раничено.J) Поэтому настоящая тео-
рема есть действительно усиление теоремы 1. Переходя к доказа-
тельству, допустим, что теорема неверна. Тогда для некоторого
е>0 в множестве А нет конечной е-сети. Выберем в А какоь-
либо элемент хх. Так как он не образует е-сетп, то в А найдется
такой элемент х2, что р(ц, х>) ~~ е Но система двух элементов
и х2 также не образует с-сети. Поэтому в А найдется такой эле-
мент х3, что р(х1( х3) д: е, р(х2, х3),,г.
Продолжая это рассуждение, мы убеждаемся в существовании
такой последовательности {хп\ элементов А, что при п т будет
Р (х„, Х,„) Е.
Но тогда у этой последовательности нет предельных элемен-
тов, что противоречит компактности Л. Теорема доказана.
Таким образом, существование в множестве А при любом е> О
конечной е-сети есть условие, необходимое для компактности А.
Естественно спросить, не будет ли оно также и достаточным.
Оказывается, что для произвольного метрического пространства
это не так. Пусть, например, нашим метрическим пространством
является множество рациональных чисел, содержащихся в се: -
менте [0, 1] с обычным определением расстояния р(х, у) = \х — у'.
Будем рассматривать само это пространство как некоторое
содержащееся в нем множество. Ясно, что в этом множестве
имеется конечная е-сеть при любом е>-0 (такой сетью служит
хотя бы множество точек 0, \1п, 2/п, 1, где пеД>1). Тем не
т) Действительно, пусть ь сеть состоит из элементов у2, у2, . ys. Выберем
какой-либо элемент пространства ,е0 и пусть max {р (ylt x0)}=d. Ясно,
(1 = 1,2..............................................s)
что А cz Sr (х„), где r = d-1-t.
444
менее, наше множество не компактно, ибо из него можно выде-
лить последовательность
имеющую иррациональный предел е/3, т. е. лишенную предель-
ных точек в нашем пространстве. Читатель, вероятно,
догадывается, что полученный неприятный результат имеет источ-
ником неполно! у рассмотренного пространства. И действи-
тельно, справедлива
Теорема 3. Пусть Е — полное метрическое пространство и А
есть бесконечное подмножество Е. Есш для всякого t>0 в А
имеется конечная г-ссть, то А —компактное множество.
Обозначим через Р какую-нибудь бесконечную часть множе-
ства А и пусть е>0. Рассмотрим конечную -сеть, отвечающую
числу 2 Пусть эта -сеть состоит из точек ylt у,, ..., ys. Тогда
множество А, а значит, и его часть Р, содержится в сумме ко-
S
нечного числа открытых сфер Р cz Но тогда хоть
I. ।
одна из этих сфер, пусть это будет 3, 2 (у содержит бесконечно
мною точек, содержащихся в множестве Р (ибо иначе н все Р
было бы конечным) Если х’ и х — две точки, входящие в (бес-
конечное.’) пересечение Q = Sez(//„)P, то р(г', х")<с. Иначе
говоря, нами доказан сзедующий факт: всякое бесконечное под-
множество Р множества А содержит бесконечную часть Q диа-
метра1) не большего любого наперед заданною числа е,
d (Q) < е.
Заметив это, возьмем какую-нибудь бесконечную часть Ап мно-
жества А. По доказанному из Ао выделяется бесконечное множе-
ство Ai диаметра d (Л2) < 1. Далее, из At выделяется бесконеч-
ное множество А, диаметра г/(Л2)< 1/2. Продолжая этот процесс,
мы получим последовательность вложенных друг в друла бесконеч-
ных множеств
Ло => => Л2дэ ...
таких, что d (Д„) < 1 т. Выделим из каждою А„ по гочке хп,
причем так, чтобы точка хп была отлична от ду, х2, .... хп 2.
Если т~>п, то и потому р(хп, х„,)<1/П. Отсюда
видно, что последоватеиьносгь {x,)f сходится в себе. Ню тогда
(благодаря полноте пространства Е) существует предел r=
Этот предел есть точка, предельная для Atl. Итак, веялое беско-
т) Как всегда, диаметром d (Q) множества Q называется точная верхняя
граница множества чисел р (л/, л."), где л' и х" олементы Q.
445
нечное подмножество Ав множества А имеет предельные точки, но
это ведь и означает, что А компактно.
Сходным образом доказывается
Теорема 4. Пусть А бесконечное множество элементов метри-
ческого пространства Е. Для его компактности необходимо,
а в случае полноты пространства Е и достаточно, чтобы при
любом е > 0 в Е существовало компактное множество В£, обла-
дающее следующим свойством:1) для любого х е А найдется такое
у^.В£, что р(х, у)-<е.
Необходимость условия тривиальна, ибо в случае компактности
множества его само и можно принять за Ве. Переходя к доказа-
тельству достаточности этого условия, покажем, что при его вы-
полнении из всякой бесконечной части Р множества А можно выде-
лить бесконечное же множество Q диаметра меньшего любого
наперед заданного е > 0. Сделав это, мы сможем закончить доказа-
тельство уже дословно так же, как и в теореме 3.
Итак, пусть Р — бесконечная часть А и е>0 — некоторое
положительное число. Построим множество Bt-j, отвечающее числу
е/3 и для каждого х е Р выделим из В£/з такой элемент у(х), чго
р (х, у (х)) < ® .
Пусть D есть множество всех у(х), где хрР,
Допустим сначала, что D содержит лишь конечное число раз-
личных элементов. Тогда хоть один из них, пусть это будет у<„
допускает представление уп — у(х) для бесконечного множества
элементов х^Р. Это множество и можно принять за искомое
2
множество Q, ибо его диаметр меньше е. Если же множе-
ство D бесконечно, то (оно есть часть компактного мно-
жества Bt;J) из него выделяется сходящаяся последовательность
г/(%1), у(х2), у(х3), ...,
причем все элементы xlt х,_, х3... отличны друг от друга.
В силу сходимости последовательности {у (х„)} найдется такое N,
что при п> N и m > N будет
р(у(Хп), т/(х„,))<-|.
Но тогда за искомое множество Q можно принять множество
{хЛ тЬ Хд-г2, Хд^з, •••}. В самом деле, если п> N и in>N, то
и (г„, Х„>) =£= Р (х„, у(хп)) + р(у(хп), у (х,,,)) + р (у (хт), х,„)<6
и
^(Q)===e.
Теорема доказана.
х) Мы не можем назвать В6 е-сетью в А, ибо не предполагаем, что Ве с: А.
446
Теоремы 3 и 4 дают общие критерии компактности в полных
пространствах. Однако, для многих часто встречающихся про-
странств найдены более простые признаки компактности. Остано-
вимся на некоторых из них.
§ 3. Условия компактности в некоторых пространствах
В этом параграфе мы устанавливаем условия компактности
множества, лежащего в одном из четырех пространств s, lp, С и Lp.
Пространство s. Элементами этого пространства являются чис-
ловые последовательности х = (^, |3, ...). Так как число
стоящее в этой последовательности на А-м месте, т. е. k-я «коор-
дината» точки х меняется при переходе от одной последователь-
ности к другой, то оно является функцией от последовательности.
Поэтому уместно обозначить это число через (х).
При помощи этого обозначения можно сформулировать следую-
щую теорему:
Теорема 1. Пусть А = {х}, где х = (^(х)Д.,(х), ^а(х), ...),
бесконечное множество точек пространства s. Для того, чтобы А
было компактно, необходимо и достаточно существование таких
чисел Л4|( М.>, М3, что при любом х^А оказывается
\lk(x) (£=1,2,3,...).
В самом деле, допустим, что такие числа Л4Л существуют.
Выберем из А последовательность различных точек хь х,, х3, ...
и составим числовую последовательность из первых координат
выбранных точек
IM........ (1)
Так как | (хл) A41; то по теореме Больцано — Вейерштрасса
из (1) выделяется сходящаяся последовательность
(Xi1), fei W ), (х3‘),..., lim (х,,1) = аз.
/I —»оо
Отметим, что здесь х?’, х21!, х/, ... есть последовательность,
частичная для последовательности х1; х2, х3, ..., причем взаимное
расположение членов ее таково же, как и в последовательности
хъ х2, х.„ ....
Последовательность вторых координат
g2W'), LW), B2W), ...
выделенных точек х/’, х)11, х.)1’, ... ограничена (ибо | (хл ) | Л12)
и поэтому из нее выделяется сходящаяся последовательность
Ь (х/), (хг ), (х/)...... lim (х,/') = а,.
/I —> оо
При этом последовательность хг, х/ , х'р, ... есть частичная
для последовательности х/, х.2‘, х3 .... и взаимный порядок двух
447
членов, входящих в обе последовательности, одинаков в обеих
после дователыюстях.
Продолжая этот процесс, мы приходим к бесконечной матрице
различных точек множества А:
х/ , \ , х,' , ...
А| , А . , A j , ...
Х| , л, , х, , . .
причем каждая следующая ее строка получается из предыдущей
удалением части членов без нарушения взм того порядка остав-
шихся членов. Строки матрицы таковы, что существуют конечные
пределы lim £ --а;), (р--1, 2, 3, .. ).
Получив указанную матрицу, рассмотрим последовательность
элементов -х/, //, -х,-, i/3 = xt' ..., стоящих на ее диагонали.
Это последовательность различных точек множества А.
Если закрепить какое нибудь натуральное /», то элементы ур,
Ур , 1, У," :> • будут элементами р-й строки пашей матрицы
Ул ~ Х,ц (Л, П) (а Р),
причем, очевидно, т(п, р) ^п. Но тогда
In {уп) =1р(х,л\ ,.!>)) («'-р)
н, стало быть,
lim (//„)-=а;;.
п —* п
Последнее соотношение показывает, что последовательность
У1> Уа> Уз- • выделенная из последовательности хъ г,, х3, ...
точек А, имеет пределом точку <г —(ctj, а2, а3, . ).
Значит всякая счетная часть ^х,,} множества А имеет пре-
дельную точку, а потому А компактно. Таким образом, нами
доказана достаточность условия теоремы.
Переходя к установлению его необходимости, допустим, что
это условие не выполнено. Тогда хоть для одного k не наидекя
такого числа Мк, чтобы при всех хе/1 было £z, (х) > М,г.
Закрепив это k, мы можем гарантировать, что множество чисел
{Ь (х)} не ограничено. Поэтому можно выбрать из А такую после-
довательность хх, х,, х3, .... чтобы оказалось 1нп £/г (х„) = со.
п -> С-Щ
Ясно, что последовательность {х„} не имеет предельных точек.Я
Теорема доказана.
Пространство /Р(р-щ1). Это пространство состоит из последо-
вательностей х = (£х(х), (х), \3(хк), ...), у которых
1И1= 2
l-Ж- I
i) Если бы из (v„} выделялась подпоследовательность |хя.|, имеющая
предел а, то окатывалось бы, что —> Z,lt (а), в то время как (хЯ1) - со.
448
Условие компактности в этом пространстве дается следующей
теоремой:
Теорема 2. Пусть А — бесконечное множество точек про-
странства 1Р. Для того, чтобы А было компактно, необходимо и
достаточно выполнение совокупности двух условий'.
1) существуют, такие числа Мг, М2, М3, ..., что при всех
х е А оказывается
| Ь (х) I Mk (^=1,2,3,...);
2) ряд
СО
И них) у
k=i
сходится равномерно на множестве А.
Докажем сначала достаточность условий теоремы. Пред-
полагая их выполненными, прежде всего находим такое т, чтобы
при всех х е А было У | + (х) |р < 1.
k — т 4-1
Закрепив это т, мы будем иметь для всех хеД, что
т т
т
Стало быть, положив У .44”+1= Я, мы для всех хе А
k-~ <
будем иметь У | + (х) |р < И.
k = i
Установив это, рассмотрим какое-либо бесконечное подмно-
жество До множества А. Совершенно так же, как в теореме 1,
мы покажем, что из До выделяется такая последовательность
У1> Уз> Уз> что существуют конечные пределы
lim (уа) = ak (£= 1, 2, 3, ...).
П -* СО
N
При любом N будет У | (уп) |р < Н.
k = 1 ‘
Переходя здесь к пределу при возрастающем п и закреплен-
N
ном N, находим У \ ak\p^H, откуда, в силу произвольности У,
k= 1
вытекает, что последовательность а = (а1, а2, а3, ...) входит
в пространство 1Р.
Покажем, что
lim уп. (2)
п -* со
15 И П Натансон
449
С этой целью возьмем е>0 и найдем такое h, чтобы при
всех х е А было
/ N
Тогда, как и выше (т. е. рассмотрев сначала сумму
А=Л-Н
мы убедимся, что
А = Л + 1
Но
Стало быть:
Так как для достаточно больших п будет
л
2 I (Уп) - «А |Р < 1у)₽,
k = 1
то для этих п оказывается
\\уп~а\\<е,
чем и доказано (2), а значит и компактность множества А.
Необходимость условия 1) доказывается дословно так же,
как необходимость условия теоремы 1. Предположим теперь, что
не выполнено условие 2). Тогда существует такое е>0, что для
всякого натурального п в А найдется элемент хп, для которого
СО
Е
А = п 4- 1
|£а Un) !p2se.
(3)
Нетрудно видеть, что среди элементов хп должно быть беско-
нечное множество различных. И в то же время из {хл} не выде-
ляется никакой сходящейся последовательности.
450
В самом деле, если бы последовательность хП1, хПг, хПз, ... ,
где rtj < п2 < п3 <..., имела предел а = (а1, а2, а3, ...), то мы
прежде всего могли бы найти такое h, что
ОО
2 1^|'Р<28р-
k = h+ 1
Затем для достаточно больших z(z>z0) мы имели бы
Р>/Р
II Xni — а II < ’
откуда и подавно при этих i
оо
2 Ь (л"п;) — а* 'Р< 2V‘
k = nt+ 1
Значит, считая i>i0 настолько большим, что мы
имели бы:
(со \ 1/р
S МОЛ
fe = nt+l ]
(со \1/р / ОО \1/Р
s 'Мч)-а*;₽ + s |а*п <е'/₽>
У = nt + 1 J
а это противоречит неравенству (3). Теорема доказана.
В качестве примера рассмотрим множество А, состоящее из
«единичных ортов» пространства 1Р, т. е. из элемента вида
еп = (0, ..., О, 1, 0, 0, ...) (1 на n-м месте).
Здесь выполнение первого условия теоремы очевидно. Далее,
00
ряд У | g* (еп) |р сходится при всяком п, ибо (еп) = 0 при k ф п.
k = 1
Но сходимость этого ряда не равномерна относительно п, и мно-
жество А не компактно. Это видно и непосредственно. Действи-
тельно, ведь lim (еп) = 0 и потому единственной предельной
п —» со
точкой А могла бы быть только точка 0 = (О, 0, 0, ...). Но при
любом ц
К-0|1=1
и потому у А нет предельных точек. *) Полезно отметить еще,
что при всех п оказывается ||е„||=1 и потому А ограниченное
множество. Таким образом, мы получаем еще один пример мно-
жества ограниченного, но не компактного.
5) Еще проще установить это, заметив, что при т^п б) дет
\\еп-ет\\ = Р^.
15* > 451
Пространство С. Переходя к рассмотрению условий компакт-
ности в пространстве С, дадим следующее
Определение. Пусть на сегменте [а, 8] задано семейство А — {/ (х)}
непрерывных функций. Если всякому е>0 отвечает такое 6 > О,
что при |х"-х'|<8 (где х' и х" взяты из [а, Ь]) для любой
функции /(х) из А оказывается
|НХ")-/(Х')1<8,
то говорят, что функции семейства А равностепенно непрерывны.
В пояснение сказанного заметим, что наличие такого 8 для
каждой отдельной функции-/(х) из А непосредственно выте-
кает из непрерывности этих функций. Суть же дела заключается
в возможности подбора одного 8 для всех функций се-
мейства сразу.
Теорема 3 (Ц. Арцела— Дж. Асколи). Пусть A — {f(x)}
бесконечное семейство непрерывных функций, заданных на сегменте
[а, &]. Если
1) все функции семейства ограничены одним числом, \f(x)\^M,
2) эти функции равностепенно непрерывны,
то из А выделяется равномерно сходящаяся последовательность.
Доказательство. Обозначим через Е множество всех
рациональных чисел сегмента [и, 6]. Это множество счетное и
поэтому, на основании леммы 1, § 4, гл. VIII, из А выделяется
последовательность различных функций Д (х), /Дх), /э(х), ...,
сходящаяся на всех точках множества Е. Покажем, что эта после-
довательность сходится не только на Е, но и на всем сегменте
[а, Ь]. Действительно, пусть х —иррациональная точка из этого
сегмента. Взяв е> О, находим такую рациональную точку ге[а, 8],
чтобы для всех функций семейства А было | / (х) — f(r) | <
Существование такого г вытекает из условия равностепенной
непрерывности функций семейства. Так как числовая последова-
тельность {/„ (г)} сходится, то нашему е отвечает такое N, что
как только п > N и т> N, так сейчас же I fn (г) — /т (г) | < | .
Но тогда для этих же п и т окажется
/я (X) - fm (X) ) < I fn (X) - /и (г) НI fn (г) - fm (г) I +
+ I /т (Г) - fm (х) I < е.
Таким образом, последовательность {/„(х)} сходится в себе и,
стало быть, имеет конечный предел.
Итак, нами доказано существование предела
lim /„ (х) = ср (х)
для всех хе[аД]. Легко видеть, что предельная функция <р(х)
непрерывна. В самом деле, взяв е>0и найдя такое 6>0, что
неравенство | х" — х' | <; 8 влечет для всех функций семейства
452
неравенство | f (х”) — / (х') j < 8, мы закрепим такие точки х' и х",
что |х" — х')<б и перейдем к пределу в неравенстве
!<е,
что приведет нас к аналогичному неравенству
! Ф (*") - Ф (х')! е
уже для предельной функции.
Остается убедиться в том, что стремление fn (х) к <р (х) про-
исходит равномерно относительно х.
Для этого прежде всего заметим, что разности • /л (х) — (х)
так же, как и функции /л(х), равностепенно непрерывны. Поэтому,
взяв е > 0, мы сможем найти такое 6 >• 0, что при | х" — х' | < б
и при любом п будет
I {fn (X") - ф (X")} - {fn (X') - ф (X')} I < 4. (4)
Найдя такое б, возьмем настолько большое натуральное число s,
b — а _ с
ЧТО ----<0, и положим
5
„ . Ь—а , пЬ—а ,
го~а, гг = а-\ —, z2 = a + 2-^—........zs = b.
В каждой точке zt будет lim fn (zf) = ср (г.) и потому найдется
п —* 00
такое N,, что при n>Nt будет
(5)
Пусть А = тах{А0, ..., ЛГ5}. Если п>А, то при любом
х е [а, 6] будет
|/л(х) -ф(х)| <8. (6)
Действительно, взяв какое угодно х е [а, 6], сможем найти
такое i, что j г, — х | — <6, а тогда (6) будет следовать из
(4) и (5). Так как число N от выбора х не зависит, то теорема
доказана полностью.
Теорема 4. Для того чтобы бесконечное множество А элемен-
тов пространства С было компактно, необходимо и достаточно,
чтобы функции, входящие в А, были ограничены одним числом и
равностепенно непрерывны.
Достаточность условий теоремы доказана в теореме
Арцела— Асколи. Необходимость условия ограниченности
функций /(х) из А одним числом вытекает из теоремы 1 преды-
дущего параграфа, ибо ограниченность множества А, вытекающая
согласно этой теореме из его компактности, и означает, что функ-
ции, входящие в А, ограничены одним числом. Остается устано-
вить необходимость условия равностепенной непрерывности.
453
Допустим, что это условие не выполнено. Тогда для некоторого
ео>0 найдутся последовательность функций {/„(х)} из А и две
последовательности {хп} и {уп\ точек из [а, 6], обладающие
свойствами:
lim (z/n — х„) = О, ) fa (х„) - (z/re) | e0. (7)
Последовательность {fn (x)} должна содержать бесконечно много
различных элементов А. В то же время из нее не выделя-
ется никакой равномерно сходящейся подпоследовательности.
Действительно, предположим, что такая подпоследовательность
из \fn (х)} выделилась. Не ограничивая общности, можно считать,
что это и есть сама последовательность {/„ (х)}, ибо к этому сво-
дится дело при помощи перемены обозначений. Итак, кроме соот-
ношений (7), о последовательности {/л(х)} известно, что она равно-
мерно сходится к некоторой (очевидно непрерывной) функции <р (х).
Для упомянутого выше ео>0 существует такое S > 0, что
при |х" — х'|<6 будет | <р (х") — ср (х') | <;-у. С другой стороны,
можно найти такое Л/, что при п> N и любом х из [а, 6] будет
IЛ W ~ <Р (х) | < -у •
Возьмем п~> N, подчинив его еще условию, чтобы было
\уп — хп|<6. При этом п окажется
I fn (хл) - fn (Уп) \^\fn (Хп) - ф (хл) | 4- | ф (Х„) - ф (уп) | +
+ I ф (Уп) - fn (Уп) | < Е0.
Но это противоречит соотношению (7). Таким образом, при невы-
полнении условия равностепенной непрерывности функций, вхо-
дящих в множество А, это множество не компактно. Теорема
доказана.
Приведем пример х) применения теоремы 3 в вопросах классического ана-
лиза. Рассмотрим дифференциальное уравнение
у>. (8)
правая часть которого задана и непрерывна в некотором замкнутом прямо-
угольнике R.
Теорема 5. Если (х0, у0) внутренняя точка R, то через зту точку про-
ходит по крайней мере одна интегральная кривая уравнения (8).
Доказательство. Так как f (х, у) непрерывна в R, то она там огра-
ничена. Пусть |((х, у)\<М.
Проведем через (х0, у(1) прямые I и II с угловыми коэффициентами М
и — М. Построим, далее, две прямые х = а и х = Ь, где а<х0<й, выбрав
числа а и Ь настолько близкими к ха, чтобы треугольники АВС и ADE,
ограниченные прямыми х = а и х = 6 и проведенными ранее прямыми и //,
лежали целиком в прямоугольнике R (см. рис. 9).
Проделав это построение, разложим сегмент [а, Ь] точками z0 = a<z1<
< z2 <. . <zs = 6 на s частей, причем так, чтобы точка х0 совпадала
!) Я следую изложению И. Г. Петровского (см его «Лекции по
теории обыкновенных дифференциальных уравнений», ГОНТИ 1939, § 12).
454
с одной из точек деления, пусть, например, х0 = гт. Проведем через (х0, уа)
прямую с угловым коэффициентом f(xQ, уа). Эта прямая будет лежать в вер-
тикальных углах ВАС и DAE. Двигаясь из точки (х0, у0) вдоль проведенной
прямой направо, мы встретим на ней точку (zm l, um+1). Предполагая
zn+l<s, проведем через эту точку прямую с угловым коэффициентом
/(zm+i> um+t) и рассмотрим ее отрезок, лежащий над сегментом [гт+1, zm+aL
Этот отрезок целиком лежит в треугольнике АВС. Если m-|-2<;s, то через
правый конец (гт+2, ит+2) полученного отрезка проводим новую прямую
с угловым коэффициентом /(zmi2, ит+2) и продолжаем этот процесс до тех
пор, пока в качестве правого конца одного из построенных отрезков не полу-
чим точки, лежащей на прямой х =Ь. Аналогичное построение проделаем,
двигаясь из точки (х0, у0) влево.
В результате мы получим ломаную, имеющую вершины в точках
(z0) U0), (Zi, и,), (zs, us),
где zm = x0, um — yQ, и такую, что угловой коэффициент звена, соединяющего
вершины (гк, ик) и (zA+1, uft+1), есть f (zk, ик) при и f (гкп, uft+1) при
k < т. Эта ломаная называется ломаной Эйлера. Важно заметить, что она
не выходит из треугольников АВС и ADE (это проще всего доказать индук-
тивно при самом построении ломаной, переходя последовательно от одного
звена ломаной к другому). Рассмотрим ту функцию <р (х), графиком которой
является ломаная Эйлера. Эта функция ограничена, ибо ее график не выхо-
дит за пределы прямоугольника R. Нетрудно видеть также, что <р (х) удов-
летворяет условию Липшица
| ф (х”) — <р (х') | sS М j х" — х'
Будем называть <р (х) функцией Эйлера и говорить, что она соответствует
произведенному разложению [a, fe] на части. Вообразим себе всевозможные
функции Эйлера, которые можно получить, меняя способ разложения [a; 6J,
Согласно сказанному, эти функции ограничены одним числом и равносте-
пенно непрерывны. Значит, множество этих функций компактно в С.
Рассмотрим теперь последовательность таких способов разложения [я, fe]
на части точками z0, zt, .... zs, чго max [zk+l — zk] -* 0. Этим способам отве-
чают некоторые функции Эйлера. Выберем из их последовательности равно-
мерно сходящуюся подпоследовательность фт (х), ф2 (*), фз W........ Пусть
lim фя(х)=ф(х).
п — 00
Очевидно, ф(х0)=уи, так что кривая у = ф(х) проходит через точку
(х0, у0). Мы докажем, что это есть интегральная кривая уравнения (8).
455
Для этого обозначим через z('l\ , z:'1' точки деления того способа
° ' ri
дробления, которому отвечает функция <рп (х). Напомним, что
hm (max (zW1—z^4 1=0. (9)
II -> со L k 1 ' 1J
Возьмем какую-нибудь точку х, лежащую в полуоткрытом промежутке
(«о. &]. Пусть г1^ <Х£Сг^1 [р = р(п)].
Тогда, сохраняя по-прежнему обозначение гт 1т = т^п)] для точки деле-
ния, совпадающей с х0, мы будем иметь:
Фр (гжн-1) = Ф„ (2Й*) + f (*„• Фп (*«)) (2,р + 1 ~ *0),
Фп(2«+2) = Фп(2т+1) + ^(гт + 1’ Фр (2т+1)) (2« + 2~ 2^+1).
Фр (гр}) = Фр (2₽11) + / (2Р - I - Фр (2р - О) С2?’ “2 Р - 1)’
Ф« М=ФЛ (грП))+1 (г<рп>- Фп (4'”)) (x~zp})-
Складывая эти равенства, находим
р —1
Ф„(х)=</о+ 2 Фп(гП)(2П1-4п))+^(4п)> Ф„(2П)(—гП
k — т
Функция f(x, у) равномерно непрерывна. Значит, взяв произвольное
е > 0, можно найти такое 6 > 0, что при у" — у'\с8 будет
\f(x, У”)—fix. у') | <е
при любом хе [а, 6]. Не ограничивая 'общности, можно считать, что 6 si е.
Будем считать п настолько большим, чтобы при всех х е [а, Л] оказалось
|фр(*)—Ф W 1<6-
Тогда сумма
р — 1
2 фл(2Г))(2Гй-2Г)4^я,> 4<))W)
k = т
будет „отличаться от аналогичной суммы
р— 1
«„= 2 Н4Л). Шл,))(<1-гП+/(4'г)- ОМН"’)
k = т
меньше чем на е(х —х0). Отсюда следует, что при указанном достаточно боль-
шом п будет
— Уч—ап|<е(1 + х — х0). (10)
Замечая, что сумма оп есть сумма Римана для интеграла
j f [г. Ф (г)] dz,
*0
учитывая (9) и переходя в (10) к пределу при возрастающем nt находим
х
ФМ — Уо— j / [г, ф (Z)] dz
ха
=^е(1+х —хо).
456
Отсюда, ввиду произвольности е, вытекает, что
Ф(х) = </о+ Ф(г)! (П)
Xo
Дифференцируя это равенство по аргументу х, получаем J) для любого
X <= [Хо, Ь]
ф' (х) = / fx, ф(х)]. (12)
Аналогично устанавливается (12) для а^х^х0. Теорема доказана пол-
ностью.
Замечание 1. Читатель обратит внимание на то, что если прямоуголь-
ник R определяется как R (х0 — A й- х х(1 +Л, уа — В у <: уа ф- В), то
проведенное доказательство обеспечивает существование решения в сегменте
|х0 — б, л'в-}-6], где
6 = min {А, S/М}.
Замечание 2. В условиях теоремы 5 интегральная кривая, проходящая
через (х0, у0), не обязательно единственна. Например, через (0, 0) проходят
две интегральные кривые у — 0 и у = х3 уравнения ^ = 3 j у1 2.
Пространство Lp. Рассмотрим, в заключение, условия ком-
пактности в пространстве Lp. Эти условия для р > 1 были най-
дены А. Н. Колмогоровым в 1931 году. Через два года А. Н. Ту-
лайков2) доказал, что условия А. Н. Колмогорова оказываются
также необходимыми и достаточными и для случая р~ 1.
Чтобы установить интересующие нас результаты, потребуются
некоторые вспомогательные соображения.
Лемма 1. Пусть на [а, Ь] задана суммируемая функция <р(().
Распространим ее определение на сегмент [a~h, положив
<р (/) = 0 при t е [й, й] и построим новую функцию <рЛ (х), задав
ее на [а, Ь] формулой
x-'rh
<?п(х) = ~ f
X— Il
Функция <рЛ(х) (называемая функцией Стеклова) непрерывна
на [a, ft].
Действительно, ведь
X
<pH(x) = ~[F(x + h)-F(x-h)], где F(x) =
а—Л
a F (х), как известно, есть функция непрерывная.
1) Хотя (11) доказано лишь для х > х0, но (12) вытекает из (11) и при
х = х0; само собой разумеется, что при х = х0 и Х — Ь речь может идти только
об односторонних производных.
2) «2иг Kompaktheit im Raum Lp fur р=1», Gottinger Nachricliten, 1933,
стр. 167—170.
457
Лемма 2. В тех же обозначениях
b ь
$ | <рА (х) I dx < J| ф (х) I dx.
а а
(13)
Доказательство. Пусть сначала ф(х)^0. Рассмотрим
в прямоугольнике — h-^z^h) функцию ф(г-Н)-
Согласно теореме 2, § 4, гл. XII будет1)
ь +h фЛ ь
\dt J ф (z +1) dz = J dz\q>(z-\-t)dt. (14)
a —h —h a
Так как
+ /i i + h
J ф(г + /)Л= J ф (x) dx = 2ЛфА (t),
~h i—h
то интеграл, стоящий в (14) слева, есть не ^то иное как
ь
2h J фЛ (/) dt.
а
Интеграл же, стоящий в (14) справа, преобразуется к виду
+ h Ь + г
J dz J ф (х) dx,
—h a-\-z
и остается заметить, что2)
i + z Ь
j Ф (х) dx sC J ф (х) dx, (15)
а 4-2 а
чтобы получить (13).
х) Измеримость <p (z + 0> как функции одного из аргументов t или г при
любом закрепленном значении другого, очевидна. Установим, что и как
функция двух аргументов она измерима в R. При любом с множество тех
хе [а—/г, 6 +Л], для которых <р (х) > с, измеримо. Но тогда (см.
лемму I, § 2, гл. XII) измеримо множество А точек (х, у) прямоугольника
(a—h Сл -С Ьц-Л, — h у +h'), для которых ф (х) > с. Пусть Е есть мно-
жество точек (if, z), в которое переходит А при аффинном преобразовании
плоскости по формулам t — x— у, г = у. Оно измеримо и остается учесть, что
, R [ф (z + 0 > с] = /?Е.
2) При z = 0 интегралы (15) равны. Если же, например, z > 0, то (по-
скольку ф 0)
b + z b Ь
J Ф (х) dx = f ф (х) dx J ф (х) dx.
a-j-z а + г а
458
Откажемся теперь от предположения, что <р (х) 2г 0, и обозна-
чим через фЛ(х) функцию Стеклова для модуля | ср (х) |. Тогда
л 4- h
4г § ty(t)dt
x-h
I Фл W I =
х +Л
$ Iф(ОI=фЛ<х)
x — h
$|фл (х) | dxs=S фл (x)dx.
а а
(16)
Но по уже доказанному
Ь _ ь
J Фл (х) dx 51 Ф WI dx,
а а
откуда в связи с (16) и вытекает (13).
Лемма 3. Если <p (0 е Lp при р 1, то
(17)
При этом, как обычно,
| ф (х) )р dx.
Полезно заметить, что, в силу непрерывности функции Стек-
лова фЛ (х), она входит в Lp.
Для случая р = 1 наша лемма совпадает с леммой 2. Поэтому
можно считать р>1. Но тогда, в силу неравенства Гёльдера,
будет
x + h [x + h \l/p/x + h \I/?
J ф(о^ \ 1ф(оЫ Н dt] , (i + i = i)
x — h 'x — h ‘ 'x — h '
или, что то же самое,
* + h
IФЛ (х) !р=С 4г S Ы01₽Л. (18)
x — h
Правая часть этого неравенства есть не что иное, как функ-
ция Стеклова для функции | ф (х) |С Обозначая ее через фд(х),
можем переписать неравенство (18) так: | фЛ (х) |₽ sC фд (х).
Отсюда
ь ь
$ |Ых)1₽^х^Ф/.(х) dx,
d а
а в силу леммы 2 будет
ь _ ь
^ФЛ(х)б(х^5|ф(х)|рб/х.
а а
Из этих неравенств и вытекает (17).
459
Лемма 4. Если р Ss 1 и ср (х) е Ьр, то
ь
lim ) | <рл (х) — ср (х) |р dx = 0. (19)
л-о j
Действительно, пусть сначала функция ср(х) непрерывна. Если
a<x<lb uh настолько мало, что [x — h, х4-А]с:[а, &], то по
теореме о среднем
x + h
4>hU) = -2^- Ср (£) = Ср (£,), '
x — h
где £е[х — h, х-(-А]. Отсюда ясно, что для хе (а, Ь) будет
lim срА (х) = ср(х)
и потому подынтегральная функция в (19) почти везде в [а, А]
[точнее, везде в и н т е р в 'а л е (сг, 6)] стремится к нулю. С дру-
гой стороны, ср (х), будучи непрерывной, ограничена. Но если
|ср(х)|=^М, то и | <рЛ (х) | М. Значит подынтегральная функция
в (19) ограничена числом, не зависящим от параметра. Отсюда
следует возможность предельного перехода под знаком интеграла,
чем и доказана формула (19).
Пусть теперь ср (х) есть любая функция из Ьр. Взяв е > 0,
находим такую непрерывную ф(х), чтобы оказалось
||ф —ср||<е. (20)
Если через ф„(х) обозначить функцию Стеклова для функции
ф(х) и заметить, что функция Стеклова для разности ср(х) —ф(х)
есть разность фА(х) —фА(х), то из (20) по лемме 3 будет вытекать,
что
II Фл - фл II < 8.
Но
|| Фл - ф II < ||фл - Фл II + || фл - ФII + IIФ - ф II-
Значит
||фл-ф||<2е-Нфл-ф||,
а по уже доказанному для достаточно малых h будет ||фЛ —ф[|<е,
так что для этих h окажется )|срА — ср||<3е. Лемма доказана.
Теорема 6 (А. Н. Колмогоров). Пусть Л = {/(х)} есть мно-
жество функций из Lp(p>l). Для того, чтобы это множество
было компактным, необходимо и достаточно выполнение совокуп-
ности условий:
1) множество А ограничено в Lp;
2) стремление к нулю разности ||/д—/|| при /г->0 происходит
равномерно относительно выбора функции f(x)eA.
Необходимость условия 1) ясна, ибо всякое компактное мно-
жество ограничено. Чтобы доказать необходимость условия 2),
460
предположим его не выполненным. Тогда существует такое е0 > О
и такие две последовательности {hn\ и (х)}, где /гя>0 суть
числа, a /(п) (х)— функции из А, что
Ит/г„ = 0, |j|| э=е0.
Покажем, что из {/(я) (х)} не выделяется сходящейся подпосле-
довательности. Допустим, напротив, что она выделяется. Не огра-
ничивая общности, можем принять, что это есть сама последова-
тельность ибо к этому можно свести дело при помощи
перемены обозначений. Итак, пусть последовательность {fM (х)}
стремится (в смысле метрики Lp) к функции g(x). Тогда при
само собой понятных обозначениях мы будем иметь
ii+U/г -d+k-MI-
(I п п п
Отсюда по лемме 3 80 < 21| g - || +1| - g ||.
Но (по лемме 4) для достаточно больших п будет ||g/> — S'|] <
и, стало быть, для таких п окажется ||g — что
противоречит предположению о стремлении /(л) (х) к g (х). Необ-
ходимость условий теоремы доказана.')
Предположим теперь, что выполнены условия 1) и 2). Тогда
для любой f (х) е А будет
/ь \1/р
11/11= Ш/(Х)|^Х <М,
'а !
где постоянная Л4 от выбора /(х) не зависит. Закрепим некото-
рое Л>0 и рассмотрим множество функций Стеклова ЛЛ = |/Л(х)},
построенных при этом h для всех функций В силу
неравенства Гёльдера для любой из /А(х) будет
,х4-Л \1/р /x-f-Л \1/<7
( |/(<)Ы Н л (; + у = ф
'х — Л ' 'х — Il ' 'г 4 '
Значит, все функции из Ah ограничены одним числом. Пока-
жем, что они равностепенно непрерывны. В самом деле, для
любой из них при а х < х' b будет
fx'-i-fi x' — h
/Л(х')-/Л(х)=2^ Jj J f(t)dt'.
lx -f- h x — h
(21)
Но
х'4-Л /х’ + h ' 1/p [x'+h \\fq
5 f(t)dt sd $ \f(t)\pdtj I 5 dtj <M(x'-x)'^.
x 4- h lx> lx 4- h I
/) При этом проведенное рассуждение не опиралось на то, что р> 1, а
годится и для р = 1.
461
Аналогичная оценка верна и для второго интеграла, стоящего
в скобках в (21). Стало быть
м
\fh(x,)-fh(x)\<^-(x
откуда и видна равностепенная непрерывность функций {/*(*)}.
Таким образом, при любом /г>0 множество АЛ компактно
в С. Тем более оно компактно в Lp. Но тогда компактность мно-
жества А непосредственно следует из условия 2) и теоремы 4 из § 2.
Замечание. Как показал В. Н. Судаков,г) первое из условий
теоремы 6 является следствием второго ее условия.
§ 4. Банаховский «принцип неподвижной точки»
и некоторые его приложения
Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными.
Ее всегда можно записать в форме
*1 = «1. 1*1 + 01, 2*2 + • • • + 01, пХп + bi
*2 = я2, i*i + a2,2*2 + -•- + а2, п*л + b2 ...
хп — ап, 1*1 + ап, 2*2 + • • • + ап, пХл + Ьп
Покажем, что на задачу решения системы (1) можно взгля-
нуть с совсем новой точки зрения. С этой целью рассмотрим
систему п равенств
У1 = 01, i*i + й], 2*2 + • • + 01, пхп 4- bi
У2 = о2, 1*1 4~ 02, 2*2+ • • . + о2, л*„Т~ Ь2
Уп = ап, 1*1 + ап, 2*2 + • • + Ол, пХп + Ьп
Какую бы систему чисел (хх, х2.......х„) ни вставить в правые
части равенств (2), в левых частях получатся некоторые числа
(1/1. 1/2. •••. Уп}- Таким образом, равенства (2) задают некоторую
операцию, или, как чаще говорят, оператор, преобразующую
числовой комплекс (хх, х2, .... хп) в комплекс (ух, у2, , уп).
Иначе можно сказать, что равенства (2) задают нам оператор,
переводящий точки n-мерного эвклидова пространства /?„ в точки
этого же пространства. При таком подходе к вещам вопрос о реше-
нии системы (1) есть вопрос о нахождении такой точки прост-
ранства /?л, которая оператором (2) переводится в себя же, т. е.
является «неподвижной» точкой преобразования.
Оказывается, что подобная же трактовка вопроса возможна
не только в отношении линейных алгебраических уравнений, но
L) «К вопросу о критериях компактности в функциональных пространст-
вах», Успехи мат. наук, 1957, 12, № 3.
462
и в отношении дифференциальных уравнений, интегральных урав-
нений, систем таких уравнений и многих других задач анализа.
В связи с этим возник очень плодотворный метод1) изучения
всех таких задач, называемый «методом неподвижной точки».
Теория его состоит в исследовании различных типов операторов
и установлении условий, при которых эти операторы оставляют
неподвижными определенные точки. Мы ограничимся рассмотре-
нием лишь весьма частных условий этого рода, отсылая читателя
за более подробными сведениями к уже упомянутой статье
В. В. Немыцкого.
Определение 1. Пусть Е и Ех суть метрические пространства
и пусть U есть правило, соотносящее каждой точке х е Е неко-
торую точку у е ЕР Такое правило называется оператором, задан-
ным в пространстве Е и переводящим его в пространство Ev
Если у е Ех есть точка, соотнесенная оператором U точке х <= Е,
то пишут у = Е{х) и называют у значением оператора U в точке х.
Определение 2. Пусть оператор U переводит метрическое про-
странство Е в это же пространство Е. Если существует такое
число q, что 0 q < 1 и что для любых точек х и х простран-
ства Е оказывается
p(U(x), U(x’))^q-p(x, х'), (3)
то мы будем называть U сближающим оператором.
Теорема (С. С. Банах). Если сближающий оператор U
задан в полном метрическом пространстве Е, то в этом прост-
ранстве существует одна и только одна точка х*, для которой
U(x*) = x*. (4)
Эта точка называется неподвижной точкой оператора U.
Для доказательства возьмем произвольную точку пространства
х0 и построим последовательность
x1=U(x0), x2 = U(xx), х3=и(х2), ...
Покажем, что эта последовательность сходится в себе. В самом
деле, при п 1 будет
Р (хп+1, xn) = p(U (хп), U < q • р (хп,
Отсюда следует, что р(х„+1, xn)^aqn, где положено для крат-
кости а = р(х1, х0). Заметив это, выберем какое-нибудь натураль-
ное W и пусть п>М и m>N. Положим для определенности,
что т>п. Тогда
Р (Хп, Xm)^3p(xn, -ф р (Хц+1, Хга+2) -ф. . 4* Р хт].
1) Весьма обстоятельное изложение его дано в статье В. В. Немыц-
кого «Метод неподвижных точек в анализе», Успехи мат. наук, вып. 1,
1936.
463
Отсюда
р(х«, хт) -£aq* + aq^ + ... + aqm 1 < yzy
и тем более
, . aqN
Р (-^ш Хт) :=== । •
Так как <?iV стремится с возрастанием N к нулю, то сходимость
последовательности {хп\ в себе доказана. Но пространство Е
полное. Значит существует
lim хл = х*.
' м -+ со
В силу (3) имеем
р(хл+1, U (x* )) = p(U (хп), U (x*))~^q p(xn, х*).
Поэтому limp(xn+1, [/(х*)) = 0, т. е. U (х*) = lim х„, а отсюда,
п —> со
ввиду единственности предела, и следует (4). Итак, неподвижная
точка существует. Остается убедиться в ее единствен-
ности, но это весьма просто. Действительно, если бы у опера-
тора U, кроме х*, была другая неподвижная точка х, то оказа-
лось бы, что
р(х*, х) = р((7(х*), U (х)) sg q • р (х*, х),
что при р(х*, х)>0 противоречит условию <?<1. Теорема дока-
зана полностью.
Замечание 1. Из самого доказательства теоремы Банаха видно,
что точка х' получается методом последовательных приближений,
исходя из любой течки пространства х0. Это замечание дает прак-
тический прием приближенного нахождения этой точки. При этом,
z . aqn
переходя в неравенстве р (хл, хЯ1) к пределу при закреп-
ленном п и возрастающем т, получаем оценку точности прибли-
жения
Р (хп,
aqn
1
Отсюда видно, что чем меньше q, тем быстрее сходимость про-
цесса приближения.
Замечание 2. Интересно, что условие
р(Д(х'), Д(х))<р(х, х) (х’^х)
недостаточно для существования неподвижной точки. Пусть,
например, Е есть множество вещественных чисел с обычным опре-
делением расстояния. Положим
U (х) = х Ц- — arctg х.
464
Так как при всяком х будет arctg х<л/2, то неподвижной
точки у нашего оператора нет. В то же время, если x<Zy, то
U (у) - U (х) = у - х - (arctg у - arctg х),
и по формуле Лагранжа
U (y)-U {х) = у-х--^^ (х<г<у).
Если бы оказалось, что [ U (у) — U (х) 13s | у — х', то это озна-
чало бы, что | 1 —| г2 | 1, а это неравенство не выполнено ни
при каком г. Поэтому всегда
\U(y)-U(x)\<]y-x\.
Замечание 3. Ничего не меняя в рассуждении *), теорему
Банаха можно доказать в более общей форме. Именно, достаточно
предполагать сближающий оператор U с самого начала заданным
лишь на некотором замкнутом множестве F полного метрического
пространства Е и таким, что все его значения попадают в F.
Надо только начальную точку процесса последовательных при-
ближений х() также выбрать из F. Само собою разумеется, что и
неподвижная точка х* будет принадлежать F.
Приведем некоторые примеры применения теоремы Банаха.
Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение
y’ = f(x, у), (5)
правая часть которого есть функция, заданная и непрерывная
на всей плоскости и удовлетворяющая относительно аргумента у
условию Липшица
l/U- у1)\--£=К\у-у1\. (6)
Теорема. Какую бы точку (х0, у0) ни взять, через нее про-
ходит одна и только одна интегральная кривая у = <р(х) уравне-
ния (5), причем функция ср (х) удовлетворяет уравнению (5) при
всех вещественных х.
В самом деле, уравнение (5) вместе с начальным условием
у(х^ = у0 вполне равносильно интегральному уравнению
= + <р(01^- (7)
Возьмем какое-нибудь 6>0, подчинив это число единствен-
ному условию Кб < 1, и пусть С есть пространство непрерывных
функций, заданных и непрерывных на [х0 — 6, х0 + 6]. Определим
в С оператор U, положив для всякой <р (х) е.С
[7(ф)=ф(х), где ф (х) = уп + /[/, ср (/)] dt.
!) Вместо того чтобы снова проводить рассуждение, можно просто сослаться
на то, что замкнутое множество, лежащее в полном метрическом простран-
стве, само является полным метрическим пространством.
465
Это сближающий оператор. Действительно, если (х) = U ((pj), то
Но
11Ф1-фи= max
[X — *0| < 6
$ {fU, <₽!(/)]-/[/, <Р(/)]}
Хо
I f [Л Ф1 (01 - f [Л Ф (01 I < К | ф! (0 - ф (01 < К || Ф1 - ф [|.
Поэтому
11Ф1-ФИ max
I X — х„ I < 6
j /С^-фИ =Л'б'1|ф1-ф||.
Хо
По принципу Банаха имеется единственная неподвижная точка
оператора U. Пусть это будет ф(х). Тогда у = ф(х) есть интеграль-
ная кривая, проходящая через (х0, у0). При этом функция ф(х)
пока определена только на сегменте [х0 — б, х()-|-б]. Но, положив
Xi = x0 + 6, г/1 = ф(х1) и приняв за исходную точку (хъ мы
проведем и через нее интегральную кривую г/ = Ф1(х), причем
функция фх(х) будет определена на сегменте [Xj —б, Xj-4-б]
(важно, что 6 то же, что и выше!). Сегменты [х0 — 6, х04-б] и
[х1 — 6, хг + б] пересекаются по сегменту [х0, xj. На этом по-
следнем сегменте обе функции ф (х) и фх (х) удовлетворяют диф-
ференциальному уравнению (5) и условию у(х1) = у1. Значит, по
уже доказанному они должны совпадать. Таким образом, введя
функцию ф! (х), мы распространяем определение ф (х) с сегмента
[х0 — б, х0-)-б] на более длинный сегмент [хп — 6, х0 + 2б].
Продолжая этот процесс, мы убедимся в возможности распро-
странить определение ф(х) на весь интервал ( — оо, -фоо).
Заметим, что принцип Банаха дает возможность фактического
построения функции ф (х) на сегменте [х0 — 6, х0 + б]. Именно,
взяв произвольную функцию ф0(х), заданную и непрерывную на
этом сегменте, и положив
X
фпц (-*) = !/о + $ fit, Ф« (01 dt,
Xq
мы будем иметь оценку
тах|ф„(х)-ф(х)|<т—(х0-б<х^х0 + б).
Эта оценка показывает, что скорость сходимости процесса
последовательных приближений будет тем выше, чем меньше б
мы возьмем.
Нам удалось доказать существование функции ф(х), удовлет-
воряющей уравнению (5) и определенной на всей оси. Столь зна-
чительный результат получился потому, что на правую часть
уравнения (5) были наложены очень тяжелые условия. Они не
выполнены даже для такого простого уравнения, как, например,
у' = 2ху, хотя оно имеет всюду заданные решения у = Сех\ Есте-
ственно попытаться ослабить эти условия. -
466
Пусть правая часть уравнения (5) задана и непрерывна только
в прямоугольнике /?(х0 —Л ^gx=gx() +Л, уй — В sg у у0Ц-В) и
удовлетворяет условию Липшица (6). Выберем б>0, подчинив
его условию
6 < min |Л, , 4 У,
I М ’ л J ’
где Л4 = тах|/(х, у)\. Тогда существует одна и только одна
функция ф(х), определенная на сегменте [х0 — б, х0 + б], удовлет-
воряющая уравнению (5) и начальному условию ф (х0) = у0.
В самом деле, пусть С есть пространство всех непрерывных
функций, заданных на [х0 —б, х0-|-б] и F — множество тех из
них, которые удовлетворяют неравенству ф (х) — у01 sg В.
Множество F замкнуто в пространстве С. Определим на F
оператор U, положив
К(ф)=ф(х) = г/0 + $ f[t, ф(01 dt (|х-х0|<6).
Хо
Этот оператор не выводит нас из множества F. Действительно,
при хе[х0-б, х0 + б] будет
|ф W-Z/ol
М dx
Ха
^МЬ^В.
Кроме того, как и выше, оператор U есть сближающий опе-
ратор и можно сослаться на замечание 3 к теореме Банаха.
Заметим, что если не пользоваться принципом Банаха, а непо-
средственно применить к уравнению (7) метод последовательных
приближений, начав процесс с ф0 (х) = z/0, то можно не ставить
условия Кб < 1.
Пример 2. Рассмотрим линейное интегральное
уравнение
ь
Ф (х) = f (х) + X J К (х, /) ф (/) dt. (8)
а
Здесь f(х) и К(х, t) — заданные функции, определенные и
непрерывные в областях asgx=gb и (a=gx=g6, asg/sgft) соот-
ветственно. Эти функции называются свободным членом и ядром
уравнения (8). Мцржитель X, стоящий перед интегралом, есть
числовой параметр, а ф(х) есть искомая неизвестная функция.
Имея уравнение (8), можно ввести оператор U, переводящий
пространство С функций, непрерывных на [а, 6], само в себя по
формуле U (ф) = ф (х), где
ь
ф(х) = Дх) + ЦК(х, t)y(t)dt.
а
467
Вводя обозначение М = шах ] К (х, /) I, мы получим при U (ср) =
= Ф(*), Щф1)=1|>1(х), что
ь
I Ф1 (*) - Н’ (*)I I ! • М. • $ I ф! (/) - Ф (0 I dt =5 |Х| • м (Ь - а) • ||ф! - ф||.
а
Стало быть, при условии
оператор U есть сближающий оператор. Таким образом, доказана
Теорема. При условии (9) уравнение (8) имеет одно и только
одно непрерывное решение ф(х). Это решение можно получить
по методу последовательных приближений, взяв произвольную
функцию ф0 (х) е С и положив
ь
<Pn+i(x) = f(x) + K\K(x, t) yn(t) dt.
a
Отметим еще, что шах | фп (х) — ф (х) | С | X (ф — а)п, где
С — постоянная, зависящая от начальной функции ф0(х).
Пример 3. Рассмотрим, в заключение, вопрос о решении
бесконечной системы линейных уравнений. Так называется счетная
система равенств
^1,1*1 + «1,2*2 + 01,3*3 + • •= ^1
«2,1*1 +«2,2*2 + «2,3*3+ • = + , ‘ 0 Q)
«3,1*1 + «3,2*2 + «3,3*3 + • • • = Ь3
в которой коэффициенты а;, k и свободные члены bt заданы, а числа
хк являются искомыми неизвестными. Решением системы (10) назы-
вается такая последовательность значений неизвестных, которая
при подстановке в левые части уравнений превращает их в схо-
дящиеся ряды с суммами, равными правам частям.
Если перенести левую часть каждого уравнения направо,
к обеим частям гго уравнения прибавить по х; и положить
- at.k = Ci,k (k # z), 1 - aiti = ci:i,
то система (10) окажется записанной в форме
СО
Xi = 2 Ci<kxk + bl (i = 1, 2, 3, ...). (11)
k= i
В этой форме мы и будем рассматривать систему. Если
СО
\bi\^B (z=l, 2, 3, ...),
k= i
где постоянные q и В не зависят от выбора i, то система (II)
называется вполне регулярной. Ее решение {х„} называется огра-
ниченным, если при всех k будет \xk\^M.
468
Теорема. Вполне регулярная система имеет одно и только
одно ограниченное решение. Это решение может быть найдено
методом последовательных приближений, причем за исходные
значения неизвестных можно принять члены любой ограниченной
числовой последовательности.
Для доказательства рассмотрим пространство т всех ограничен-
ных числовых последовательностей и определим в этом простран-
стве оператор U, положив для последовательности х= {xk} т по
определению U(x) = y, где у={у,} есть последовательность чисел
yt=- У, clikxk-\-bl (г=1, 2, 3, ...)•
k - ।
Убедимся, прежде всего, в том, что нами действительно опреде-
лен некоторый оператор. В самом деле, если ||х|| = sup {) xk l}, то
ОО
\yi\^yi\ci,k\.\\x\\ + \bl\^q\\x\\ + B. (12)
a=i
Это показывает, что наш оператор каждой точке х е m соотносит
последовательность некоторых чисел yt. Кроме того, эти числа
ограничены. Значит, оператор переводит пространство т в себя.
При этом полезно заметить, что в силу (12) оказывается
\\U(x)\\^B + q\\x\\. (13)
Покажем далее, что U есть сближающий оператор. Если {хД = х,
{4} = х', U (х) = {у,}, U (х') = {yi}, то y't-yt= У cit k (x'k - xk),
k= i
откуда \y'i-yt\^q\\x'-x\ и || U (x') - U (x) \\^q • ||x'-x||, а это
ведь и значит, что U сближающий оператор. Теперь наша тео-
рема непосредственно вытекает из принципа Банаха. х)
Замечание 1. Нетрудно дать оценку решения системы. Для
этого примем за исходную точку в процессе последовательных
приближений точку х(0) = 0 = (0, 0, 0, ...) и положим х(гг+1) =
— U (х^'й). Согласно (13) будет Цх^’Ц^В, ||х<2> ||sg В + qB,
|| х(3) || eg В + qB Ц- q2B и вообще || х(,1+1; || -С В + Bq Bq2 + Bqn,
что легко подтвердить индукцией. Но тогда || х || sg t . Кроме
того, как всегда ||x(n> — х || II . д». Значит, при ука-
занном выборе начальной точки будет || x(n) — х || gg \ — q' Ч"'
Замечание 2. В теореме уже было указано, что вполне регуляр-
ная система имеет единственное ограниченное решение. Но она
может иметь, кроме того, и неограниченные решения. Например,
1 1 1
вполне регулярная система хх х2, х2 = 2 х3, х3 — ~^xit ...
!) И полноты пространства т.
469
имеет бесчисленное множество решений (с, 2с, 4с, 8с, . ), где
с —произвольная постоянная (причем это есть общий вид реше-
ния указанной системы). Все эти решения, кроме решения
(О, 0, 0, ...), не ограничены.
Замечание 3. Иногда приходится рассматривать вопрос о
нахождении такого решения (хь х2, х3, .. ) бесконечной системы,
которое входит в Остановимся на этом вопросе для
р = 2. Пусть система (11) удовлетворяет условиям
оо оо оо
= Stf< + co. (14)
Х=1Л=1 i=l
co
Если x = есть точка Z2, то ряд £ cLikxk будет сходиться
k= i
и, в силу неравенства Буняковского, окажется, что сумма его
I оо \
г, удовлетворяет неравенству z; У cl,k /|'А'|2-
Но тогда последовательность (zlt z2, z3, ...), а с ней и после-
ОО
довательность (уь у2, у3, ...), где у, = У с^цХь + Ь, = Zi + b„
4 = 1
входит в /2. Значит, оператор U, переводящий в {у,}, опре-
делен на Z2 и не выводит из Z2. Кроме того, если х = {хк\ и
х' = {хХ} две точки Z2, а у = {у,} = U (х), у' = {у,'} = U (/), то
СО
y't — y, = s (**-**)»
4=1
откуда
\4 = 1 /
Значит, U — сближающий оператор. Отсюда вытекает, что при
условиях (14) система (11) имеет единственное решение в /2.
Аналогично, при любом р > 1 условия
ОО I СО Р у р — 1 оо
У £К4Г~ <1, +
I = 1 \4 = 1 / 1=1
обеспечивают существование и единственность решения системы (11)
в lq. Дляр = 1 условия существования и единственности таковы:
оо оо
У ®i<l, У |М< + оо.
i=i <=1
Здесь положено для краткости а, = sup {| clt к |} (k — 1, 2, 3, ...).
Доказательство предоставляем читателю.
ДОБАВЛЕНИЯ
I. Длина дуги кривой
Чтобы выяснить геометрический смысл понятия функции с конеч-
ным изменением, рассмотрим вопрос о спрямлении дуги кривой
линии. Для простоты ограничимся линией вида
у = /(х) (а<х<&), (1)
где f(x) непрерывна на [а, Ь]. Как известно, длиной кривой (1) на-
зывается предел s длины вписанной ломаной, когда длина наиболь-
шего из ее звеньев стремится к нулю. Если абсциссы вершин лома-
ной суть а = х0 < %!... < хп = Ь, то
$ = 1 im "S /(xA+1-x.)* 24-[/(W-f(xA)]2, (2)
А.-0 k=Q
где % = max (хАт1 —х^)1). Если s< + oo, то кривая называется
спрямляемой.
Лемма. Пусть дроблению а = х0 < xt <.. ,<_xn = b отвечает
сумма
п — 1 _________________________
о = S К(^+1 - **)2+- f (3)
Если добавить новую точку деления х ^(х„ х/+1) и обозначить
через о вновь полученную сумму, то окажется
а «£ о о 4- 2 [х,+1 - Xt + wj,
где есть колебание f (х) на [хь х(+1].
Доказательство. Неравенство очевидно. С другой
стороны, разность о —о не превосходит суммы двух новых слага-
емых, каждое из которых не больше2) (х,+1 — х,) 4-
9 Строго говоря, надо было бы характеризовать малость звеньев не вели-
чиной к, а величиной
p, = max V(xk+l—xk)24-[ f(xk +l) — f (х*)]а,
но легко показать, что соотношения X->-0 и ц->0 равносильны.
2) Поскольку Vа2 -|- b2 | а 14-1 6 |.
471
Теорема 1. У всякой кривой (1) есть конечная или бесконеч-
ная длина s. Она равна точной верхней границе множества сумм
(3), отвечающих всевозможным дроб гениям [а, 6].
Доказательство. Пусть L есть упомянутая точная верхняя
граница. Обозначим через Ln какое-либо число, меньшее L, и пусть
L0<zM<iL. По определению точной верхней границы найдется
такое дробление
= a <x’i <... <х„ = Ь, (4)
что соответствующая ему сумма о* удовлетворяет соотношению
о* > М.
Ввиду непрерывности f(x) найдется такое т]>0, что при
| х” — х' I < Г] будет \f (х") — f (х') I < .
Обозначим через d наименьшее из расстояний между точками
(4) и пусть
6 = min{< п}.
Рассмотрим какое-нибудь дробление
х0 = а < Xj <... < хп = Ь, (5)
подчиненное условию Z = max (хА+1 — хА) < б, и обозначим через
о соответствующую ему сумму (3).
Чтобы оценить а, введем еще один способ — «составной» — дро-
бления [а, 6], наложив дробления (4) и (5), и пусть соответ-
ствующая этому «составному» дроблению сумма (3) есть о. Так
как составное дробление получено из (4) добавлением новых
точек, то по лемме
а2го*>Л4. (6)
С другой стороны, составное дробление получено путем (т — 1)-
кратного добавления по одной точке деления к точкам (5). Все
точки х* попадают в разные отрезки [х,, х,+1] и появление
каждой из них увеличивает сумму (3) не больше чем на М п1^й- •
Отсюда вытекает, что
o<o + (/n-l)-^2<o + (M-L0).
Отсюда и из (6) следует, что
o>L0-
Итак, любому L0<zL отвечает такое б, что из Х<б следует
a>L0. Так как всегда то доказано, что L и является пре-
делом (2).
Теорема 2 (К. )Кордан). Чтобы кривая (1) была спрямляема,
необходимо и достаточно, чтобы f (х) имела конечное изменение.
472
Доказательство. Так как при любом дроблении сумма
k = 0
не превосходит суммы (3), отвечающей тому же дроблению, то
необходимость условия очевидна.
С другой стороны,
о = U V(Х*+1 - Xky + [/ (Х*+1) - f (Xt)]2 <
п-1
< S {Oa+i - О + I / (x*+i) - f (**) |}>
& = 0
откуда
ь
а<Ь — а 4- V (/),
и условие теоремы оказывается достаточным.
Теорема 3. Если функция f(x) абсолютно непрерывна на [a,Z>],
то длину s можно вычислять по формуле
Ь г_____________
s=J V 1 4*/'2 (х) dx.
а
(7)
Доказательство. Так
интеграл (7) конечен. Покажем
как 1 4-/'2 (х) 1 4-1/' (х) j, то
сначала, что
/(& - а)* + [f (b) - f (я)]2 < $ /1 № (х) dx.
а
(8)
Для этого заметим, что левая часть (8) есть
(6-а)24- \f'(x)dx
Положим
ь
& — а=г cos 0, У’ (x)dx=r sin 6.
а
Тогда
~b [2
(Ь-а)2+ $ Л (x)dx
-а
= Г
ь
J [cos б 4-/' (х) sin 0] dx.
а
Остается заметить, что1)
|cos 0 4-/' (x)sin0| - г-14-/'2 (х).
1) В силу неравенства Буняковского.
473
Если разбить [а, Ь} на части точками xk и к каждому отрезку
[хк, xft+1] применить (8), то мы без труда приходим к оценке
ь __________
\+f'\x)dx.
а
(9)
Теперь докажем неравенство противоположного смысла. Для
этого разложим [а, Ь] на п равных частей точками xW=a-|-
k
+ -(& —а)(Л=0, 1, , п) и введем функцию ft(x), полагая
/(ДД i)-/Wn))
fn (х) = >>" ’ если < х < **+1 •
xk 4- 1 ” xk
В самих же точках полагаем fn(xW)=0. Почти везде будет1)
lim fn(x)=f (х).
Значит, по теореме Фату
* г------- (ь _______________ 1
5/ 1 +f'2 (х) dxsgsupK /l-(-ft (x)dx
a I a I
Но
b n — 1___________________
$/t+7a«<ix= 2 /(xS.-xrr+l/WW-fWOFes,
a k = Q
откуда2) в связи с (9) и следует (7).
Замечание. Можно доказать, что наличие равенства (7) (при
условии з< + со) и достаточно, чтобы /(х) была абсолютно
непрерывна.
II. Пример Штейнгауза
В § 4 гл. X мы видели, что у тригонометрического ряда, схо-
дящегося на множестве положительной меры, коэффициенты стре-
мятся к нулю. Интересно, что это предложение необратимо.
') См. примечание к доказательству теоремы 7, § 4, гл. IX.
2) Мы видим, что неравенство
ь ___________
j V1+/'2 (x)dxs=s
а
верно и без предположения абсолютной непрерывности f (х). Достаточно, чтобы
это была функция с конечным изменением.
474
Например * 2), ряд
2 cos k (х — In In k) ...
infe ’
A = 3
коэффициенты которого стремятся к нулю, расходится всюду.
Для доказательства этого утверждения введем обозначения2)
ма = [1пА], у* = In In А, Л„ = [с/я, г/я+|),
п + ип п + “я
С _____ V1 COS k(x _ VI 1
infe • uTfe'
kr--n+ I k = Пi
В сумме Gn наименьшим слагаемым является последнее
и потому
G > ______Ч*_
In (п + ип) •
Но правая часть этого неравенства с ростом п стремится к 1 и,
стало быть, для п>п0 будет
Gn> 0,9. (2)
С другой стороны,
п + 1‘п
Gn — G„(x)<^ 2 t1 — cos Л (х —и*)]
*= «+1
, о • , а а2
и так как 1 — cos а = 2 sm2 ’ то
п + ип
G„-G4(x)<2±- &(x-vrf. (3)
k~ n+ 1
Заметим, что по формуле Лагранжа для In In х будет
7. __,, _______ип______ ип £
п^ип п (n-pe«„) In (n4-0un) п 1п п п ’
Если то3) Vn^XCVn+„n. Стало быть, при n<k^
^п-\-ип будет I х- vk I < vn+Ufi - vn < | и
n + un
2 fe2(x-^)2<^+y^.
k = n +1
!) Этот пример принадлежит польскому математику Г. Штейнгаузу.
А. Н. Колмогоров построил всюду расходящийся ряд Фурье суммируемой
функции.
2) [х] есть целая часть х
3) Здесь учтено, что nS:3, откуда и„^1.
475
Отсюда и из (3) вытекает, что при х е А„ будет
G —G (х\ <
ип и„(Х)< 2п21пп
Правая часть этого неравенства с ростом п стремится к 0,5. Значит,
для п>п1 она становится меньшей 0,6, откуда в связи с (2) мы
видим, что для n> max (n0, nJ и для всех х из будет Gn (х)>0,3.
Теперь уже легко закончить доказательство. Именно, закре-
пив произвольное х0, положим хг = х0 + 2л/ (г = 1, 2, 3,...).
Каждая из точек xL (по крайней мере, начиная с некоторой)
попадет в какой-то промежуток ДП/, причем числа п; будут не-
ограниченно расти вместе с i. В силу 2л-периодичности сумм (х)
будет Gn. (х0) = Gn. (xt) >0,3.
Этим и доказана расходимость ряда (1) в точке х0, так как .
Gn(x) есть разность частных сумм *Sn+„ra и Sn этого ряда.
III. Некоторые дополнительные сведения
о выпуклых функциях
Здесь мы хотим дополнить § 5 гл. X.
Лемма. Если f (х) выпуклая вниз на (а, Ь) функция и с е (а, Ь),
то при х^=с отношение
(1)
есть возрастающая функция х.
Доказательство. Пусть с <_х <у <z.b. Тогда1)
№>=сd >^(<:)+' <’>
Отсюда
ку)-[(c) '
х—с ~~~ у—с ’ ' '
Аналогично доказывается (2) в случаях а<х <_у <с и
a<_x<c<Zy<b.
Теорема 1. В условиях леммы функция f (х) удовлетворяет усло-
вию Липшица на каждом отрезке [р, q] сс (а, Ь).
Доказательство. Пусть х и у две точки из [р, р] и пусть
т — . По лемме
){y}—f(x) . /(от)—/(х) | / (т) | + I / (х) |
у—х ~~~ т — х ~~~~ m — q ‘
Так как наша функция ограничена на [р, q], то правая часть (3)
ограничена сверху, что приводит к неравенству
((</)-f(x)^_- ул
у—х •
!) На основании неравенства (16) из § 5 гл. X. Так как на {а, Ь) функция
/(х) непрерывна, то применить (16) можно.
476
Аналогично доказывается, что
У — х '
Остальное ясно.
Следствие. В условиях леммы будет
+ (4)
С
где с любая точка из (а, Ь), а <р (/) измеримая функция, ограничен-
ная на каждом [р, <?] ед (а, Ь).
Теорема 2. Класс функций, выпуклых вниз на интервале (а, Ь),
совпадает с классом неопределенных интегралов от возрастающих
на (а, Ь) и ограниченных на каждом [р, q\ cz (а, &) функций.
Доказательство. То, что каждый такой неопределенный
интеграл будет выпуклой вниз функцией, доказано в гл. X, Для
доказательства обратного покажем, что функцию ср (/), входящую
в (4), можно считать возрастающей. Пусть xcjj две точки из
(а, Ь) и h>0 столь мало, что x-\-h<fy и y--h<b.
, f(x-\-h) — fix) . ,
По лемме дробь —————— не уменьшится при замене х-\-п
на у, откуда
/(хф/t)-/(х) f(y)—f(x) = f(x)-f (у)
h ::: у — х х — у
Заменяя х на y-\-h, мы лишь усилим неравенство. Значит,
f(x+h)-f(x) f(y+h)-f(y)
h ~~~ h '
Предполагая, что в точках х и у существуют производные /' (х)
и находим f (x)--Cf'(y).
Обозначив через Е множество точек существования f (х) и
положив для всех t е (а, Ь)
ср (/) = sup {/' (х)} (х ==s t, хе £),
завершаем доказательство.
Пусть выпуклая функция М (х), заданная на [0, ф- оо), пред-
X
ставима в виде М (х) = J т (t) dt, где т (t) с т р о г о возрастает
о
и непрерывна, причем т (0) = 0, т (ф- со) = ф- оо. Тогда у функ-
ции z = m(t) есть обратная функция t = n(z), заданная на про-
межутке 0Сг<-[-оо, также непрерывная и строго возрастаю-
X
щая, причем п (0) = 0, п (ф- оо) = ф- со. Положим N (х) = $ п (г) dz.
о
Как и М. (х), эта функция будет возрастающей и выпуклой
вниз на [0, ф- со).
Теорема 3. При введенных обозначениях для любых а > 0 и Ь^0
справедливо так называемое неравенство Юнга
ab sS, М.(а) + N (Ь). (5)
477
Доказательство.1) Легко видеть, что интеграл
6
N (Ь) = \п (2) dz
о
можно представить2 * 4) в форме интеграла Стилтьеса
п(6)
2V(b) = J tdm(f).
, о
Интегрируя по частям и учитывая, что т[п(Ь)] = Ь, находим
JV (Ь) = Ьп (&) -М[п (Ь)].
Отсюда
ab = Ьп (Ь) — [п (Ь) — а]Ь = М[п (&)] 4- N (6) — [п (Ь) — а] Ь,
или
(п <&> Г
)' tn (t) dt — [n (b) — a] M.
a J
Остается показать, что |
п (6t
J т (t) dt [n (b) — a] b. (6)
a
Предположим, что a-nlb) [случай a>n(b) аналогичен]. Так
как т (t) возрастает, то для t -^п(Ь) будет т (/) -с т [п (6)] == Ь,
откуда и следует (6).
Определение. Функции М (х) и N (х), заданные на [0,4-оо),
называются взаимно дополнительными в смысле Юнга, если при
любых a 2s 0 и b 2^ 0 справедливо (5).
Теорема 4 (3. Бирнбаум — В. Орлич). Если М (х) непре-
рывна на [0,-)-оо), М (0) = 0, М(х)2г0 при х>0 и
.. VI (Y) .
lim —=+со, (7)
то существует неотрицательная функция N (х), дополнительная
к М (х) в смысле Юнга, непрерывная на [0, 4-со), возрастающая
и выпуклая вниз.
Доказательство. Сопоставим каждому х>»0 функцию
Фх (У) = ху — М (у).
1) Геометрически (5) почти очевидно
2) Если m(t) непрерывна и строго возрастает на [р, <;], а/(г) непрерывна
на [т(р), m(q)], то
4 т(<7)
(S)i7[m(0]rfm (/)=-(/?) j f(Z)dz.
Р in (Р)
Эго непосредственно следует из рассмотрения соответствующих интегральных
сумм.
478
Очевидно, <рх(0) = 0. В силу (7) при достаточно больших у
будет <рЛ (у) < 0 Пусть это так для у ^у». На отрезке [0, у0]
непрерывная функция <рх (г/) имеет наибольшее значение, которое,
очевидно, будет наибольшим и на всей полуоси [0, -фоо). Обозна-
чим это значение через N (х):
N (х) = max [ху - М (//)]. (8)
Ч Э о
Легко видеть, что N (0) = 0. Покажем, что ЛДх) удовлетворяет
всем требованиям теоремы.
Так как N (х) 5s ф.< (0) = 0, то N (х) неотрицательна. Если х
закреплен, то при любом у будет ху — М (у) (х), откуда и
видно, что N (х) дополнительна к М (х) в смысле Юнга. Далее,
для любых Xj> 0 и x25s0 будет
N = max [iLpy-Af (у)].
Но
Д+Д2 у _ Д4 = Х\У~М (У} | х2у — м (у) < N (х,) + N (х2)
Этим доказана выпуклость N (х), а значит и непрерывность этой
функции всюду, кроме х = 0. Докажем, что и при х = 0 функция
N (х) непрерывна.
В силу (7) множество (очевидно замкнутое и непустое) значе-
ний у, для которых М(у)^у, ограничено сверху. Пусть р его
самая правая точка. Если 0<х-<1, то для всех у>р будет
фх (У) = ху — М (у) < ху - у 0.
Стало быть, наибольшее значение фл(у) принимается в такой
точке уй, что Ув^р. Таким образом,
N (х) = ху0 - М (у0) < ху0 < рх.
Отсюда и вытекает непрерывность N (х) при х = 0.
Остается обнаружить, что N (х) возрастает. Возьмем точки
0<х1<х2. Тогда
N (хх) = N Г• 0 + X1 х21 М N (0) + J1 N (х2),
L л2 л2 J л2 л2
и так как ЛДО) = 0, то W (xj N (х2).
Теорема доказана полностью.
Замечания. 1) Построенная при помощи формулы (8) функция
М (х) такова, что
lim —— = -4-оо.
В самом деле, взяв любые п и е, найдем такое х0, что из
х > х0 следует М (п -|- е) < ех. Для этих х из (5) имеем
(п + е) х < М (п + е) + N (х) < ех + ЛДх),
откуда (х) > пх.
479
2) Теорема 4 обобщает теорему 3, ибо в условиях последней
выполняется и (7). Действительно, взяв любое .4 > 0, можно
найти такое а, что при t^a будет ni(t)2^A. Если х^>а, то
м (X) Л4 (а) + Л (х-а)
X X ' '
С ростом х правая часть (9) стремится к А. Значит
,. М (х) .
lim —— ^А,
------ X ’
Л-1-+ОО
чем и доказано (7).
3) В теореме 4 не предполагается, что М (х) выпукла и не
требуется* 1), чтобы было
lim—^=0. (10)
х^ 0 х
Напротив, в условиях теоремы 3 будет М (х) хт (х), и (10)
выполняется. Если условие Л4(х)5г0 теоремы 4 усилить, потре-
бовав, чтобы при х>0 было Л4(х)>0, то можно было бы дока-
зать, что функция N (х), определенная формулой (8), удовлетво-
ряет условию2)
Ит^ = 0. (11)
х->0 х
Таким образом, N (х) «лучше», чем Л1 (х).
4) Если М (х) удовлетворяет условиям теоремы 3, то формула
(8) доставляет ту же N (х), что и теорема 3. Действительно,
в этом случае
М = х-т(г/).
Корень этого уравнения есть у — п(х). Стало быть,
П (X)
N (х) = хп (х) — J т (/) dt.
о
Полагая в интеграле т (/) = г и интегрируя вновь получен-
ный интеграл по частям, получаем требуемое.
5) Применяя теорему 3 к т (I) = tp~x (р> 1), получаем нера-
венство Гёльдера
!) Например, теорема 4 применима к функции
ЛЦх) = / ПРИ
I X2 при 1 '£ X < + со.
2) Без указанного усиления (11) может не иметь места.