Л. И. ВОЛКОВЫСКИИ, Г. Л. ЛУНЦ, И. Г. АРАМАНОВИЧ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1975

517.
В 68
УДК 517.53
Сборник задач по теории функций комплексного переменного.
Л. И. Волк овыский, Г. Л. Лунц, И. Г. А р а м а но в и ч.
Главная редакция физико-математической литературы изда¬
тельства «Наука», 1975 г., стр. 320.
Сборник содержит 1425 задач. Наряду с чисто учебным
материалом сборник охватывает также вопросы, связанные с
приложениями теории функций комплексного переменного. К не¬
которым задачам даны указания, а .наиболее трудные задачи
снабжены решениями.
Илл. 137.
20203—004
053(02)-75
В

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие		.	 7
Глава I
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
И ФУНКЦИИ комплексного
ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Комплексные числа (комплексные числа; геометрическая интерпре¬
тация; стереографическая проекция)	  9
§ 2. Элементарные трансцендентные функции 		 14
§ 3. Последовательности и числовые ряды	  17
§ 4. Функции комплексного переменного (комплексные функции дейст¬
вительного переменного; функции комплексного переменного; непре¬
рывность)	   19
§ 5. Аналитические и гармонические функции (условия Коши — Римана;
формальные производные по Коши; гармонические функции; гео¬
метрический смысл модуля и аргумента производной)	 21
Т лава II
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ
С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ
ФУНКЦИЯМИ
§ 1. Линёйные функции (целые линейные функции; дробно-линейные
функции)	   28
§ 2. Дополнительные вопросы теории линейных преобразований (кано¬
нические формы линейных преобразований; некоторые приближен¬
ные формулы при линейных преобразованиях; отображения простей¬
ших двусвязных областей; групповые свойства дробно-линейных
преобразований; линейные преобразования и геометрия Лобачев¬
ского) 	 33
1*	3

§ 3. Рациональные и алгебраические функции (отображения круговых
луночек и областей с разрезами; функция Жуковского; при¬
менение принципа симметрии; простейшие многолистные ото¬
бражения) 	 39
■§ 4. Элементарные трансцендентные функции (основные трансцендент¬
ные функции; отображения, приводящиеся к отображениям полос
и полуполос; применение принципа симметрии; простейшие много¬
листные отображения)	 47
§ 5. Границы однолистности, выпуклости и звездности	 53
Глава III
ИНТЕГРАЛЫ и степенные
ряды
§ 1. Интегрирование функций комплексного переменного	 55
§ 2. Интегральная теорема Коши	 58
§ 3. Интегральная формула Коши	 60
*§ 4. Степенные ряды (отыскание радиуса сходимости; поведение на гра¬
нице круга сходимости; 2-я теорема Абеля)	  62
§ 5. Ряд Тейлора (разложение функций в ряд Тейлора; производящие
функции систем многочленов; решение дифференциальных уравне¬
ний) 	 65
§ 6. Некоторые приложения интегральной формулы Коши и степенных
рядов (нули аналитических функций; теорема единственности; вы¬
ражение аналитической функции через ее действительную или мни¬
мую части; неравенства Коши; теорема площадей для однолистных
функций; принцип максимума модуля)	 69
Глава IV
РЯД ЛОРАНА. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНЫХ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 1. Ряд Лорана	 74
§ 2. Особые точки однозначных функций	 76
§ 3. Вычисление вычетов	 79
§ 4. Вычисление интегралов (непосредственное применение теоремы о вы¬
четах; определенные интегралы; интегралы, связанные с формулой
обращения преобразования Лапласа; асимптотическое поведение ин¬
тегралов) 	  81
§ 5. Распределение нулей. Обращение рядов (теорема Руше; принцип
аргумента; обращение рядов) 		100
4

Глава V
РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1.	Функциональные	ряды	  108
§ 2.	Ряды Дирихле	109
.§ 3. Интегралы, зависящие от параметра (сходимость интегралов; ин¬
теграл Лапласа)	111
Глава VI
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1.	Бесконечные произведения	115
§ 2. Разложение в ряды простых дробей и в бесконечные произведения.
Суммирование рядов	118
§ 3.	Характеристики роста целых	функций	122
Глава VII
ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ПУАССОНА И ШВАРЦА
§ 1. Интегралы типа Коши	126
§ 2. Интеграл Дирихле, гармонические функции, логарифмический потен¬
циал и функция Грина	132
,§ 3. Интеграл Пуассона, формула Шварца, гармоническая мера .... 135
Глава VIII
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ.
ОСОБЕННОСТИ МНОГОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА.
РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. Аналитическое продолжение	141
§ 2. Особые точки многозначного характера. Римановы поверхности . . . 147
Глава IX
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 1. Формула Кристоффеля — Шварца	154
§ 2. Конформные отображения, осуществляемые с помощью эллиптичес¬
ких функций	  168
5

Глава X
ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
§ 1. Приложения к гидромеханике	   .	177
§2. Приложения к электростатике		 ;	187
§ 3. Приложения к плоской задаче о распространении тепла	19Я
I
Глава XI
ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Квазиконформные отображения	  200*
§ 2. Обобщенные аналитические (функции	  206
§ 3. Некоторые интегральные соотношения и двойные интегралы .... 208»
Ответы и решения	219

ПРЕДИСЛОВИЕ
«Сборник задач по теории функций комплексного перемен¬
ного» (ТФКП) предназначается в основном для студентов ме-
ханйко-математических и физико-математических факультетов
университетов, соответствующих отделений пединститутов и
технических вузов с повышенной программой по математике.
В «Сборнике» имеются также циклы задач, выходящих за
рамки программы. Некоторые из них могут служить основой
для курсовых студенческих работ и материалом для занятий
на семинарах по ТФКП.
Авторы полагают также, что «Сборник» окажется полезным
для лиц, специализирующихся по механике непрерывных сред
(гидродинамика, теория упругости) и электротехнике, так как
в нем содержится большое число задач либо по непосредствен¬
ному применению ТФКП к указанным дисциплинам, либо по
вопросам, представляющим их математическую основу (кон¬
формные отображения, гармонические функции, потенциалы,
интегралы типа Коши и т. д.).
Нам кажется, что «Сборник» достаточно полно отражает
основные разделы ТФКП, более или менее близкие к учебным
планам.
Для удобства пользования «Сборником» в оглавлении, по¬
мимо названия глав и параграфов, иногда перечислены содер¬
жащиеся в них основные циклы задач (это касается главным
образом основного учебного материала).
Предполагается, что пользующийся «Сборником» знаком
с соответствующими разделами курса ТФКП (например, в объ¬
еме книги А. И. Маркушевича «Краткий курс теории анали¬
тических функций»). Если привлекается дополнительный мате¬
риал, то даются необходимые справочные сведения, а также
ссылки на литературу. Для наиболее часто цитируемых книг
введены обозначения:
[1]	—А. И. Мар куше вич, Краткий курс теории аналити¬
ческих функций, изд. 3-е, «Наука», 1966.
[2]	— А. И. М а р к у ш е в и ч, Теория аналитических функций,
изд. 2-е, т. I, 1967, т. II, 1968, «Наука».
7

[3]	— М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Методы теории
функций комплексного переменного, изд. 4, «Наука», 1973.
[4]	— И. И. Привалов, Введение в теорию функций ком¬
плексного переменного, изд\ 10-е, «Физматгиз», 1960.
Все указания к решению задач приведены в основном тексте.
Наиболее трудные задачи, номера которых отмечены звездоч¬
ками, снабжены решениями, помещенными в ответах.
При составлении «Сборника» были использованы имевшиеся
в распоряжении авторов как русские, так и иностранные учеб¬
ники, пособия, монографии.
В третье издание «Сборника» внесены по сравнению со вто¬
рым небольшие изменения. В частности, исправлены замеченные
опечатки. Нумерация задач по сравнению со вторым изданием
не изменена.
Авторы

ГЛАВА I
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
В этой главе и вообще везде в этой книге, где не оговорено противное,
приняты обозначения: z = х + іу rei(\ w — и + іѵ = pezô (х, у, и, п, г, р, ф и
0 — действительные числа, г 0, р 0); Re z = х, Im z = у, Arg z = ф, | z | — г,
z = x — iy. Если не сделано дополнительных указаний, то главное значение
аргумента arg г выделяется неравенствами — л < arg г л; комплексную
плоскость, точки которой изображают комплексные числа г, будем называть
2-плоскостью; обычно термины «комплексное число г» и «точка г» упо¬
требляются как синонимы.
§ 1. Комплексные числа
Комплексные числа, геометрическая
интерпретация
1.	Выполнить указанные действия:
1)-!-; 2)1^; 3)^; 4) (і+і/З)’.
2.	Найти модули и аргументы комплексных чисел (а и b — дей¬
ствительные числа):
1)	Зг, 2) —2; 3) 1 + і\ 4) -1-г, 5) 2 + 5Z; 6) 2 — 5Z;
7)	— 2 + 5r, 8) — 2 —5Z; 9) bi(b =/= 0); 10) a + bi (a Ф 0).
3.	Решить уравнение z = (n #= 2 — натуральное число).
4.	Найти все значения следующих корней и построить их:
з	3	4 	 6 	 8	•
1)	]/Т; ' 2) /7; 3)/—1; 4) /-8; 5) /1;
			 3 	 5

7)/3+4Z; 8)./-2 + 2/; 9) У -4 + 3/.
5.	Доказать, что оба значения /z2 — 1 лежат на прямой,
проходящей через начало координат и параллельной биссект¬
рисе внутреннего угла треугольника с вершинами в точках — 1,
1 и г, проведенной из вершины z.
9

6.	Пусть т и п — целые числа. Показать, что (]Лг) имеет
п/(п, т) различных значений, где (п,т) — общий наибольший
делитель чисел т и п. Убедиться, что множества значений
/п \т п

и У zm совпадают тогда и только тогда, когда (п, т) = 1,
т. е. п и т взаимно просты.
7.	Исходя из геометрических рассмотрений, доказать нера¬
венства:
1)	I + z2 к I 211 +1 z21; 2) I zx - z21 > 11 Zj I -1 z211. Доказать
эти же неравенства алгебраическим путем. Выяснить в каждом
случае, когда имеет место знак равенства.
8.	Исходя из геометрических рассмотрений, доказать нера¬
венства
1)	Ijj]--1 |<|argz|; 2) | z - î |<| | z I - 11 +1 z 11 argz |.
9.	Доказать тождество
I	Zj + Z2 I2 + I Z! - Z2 f2 = 2 ( I Z] I2 +1 z2 F)
и выяснить его геометрический смысл.
10.	Доказать тождество
I 1 - z1z2p-|z1-z2|2 = (l -|z1 f)(l — |z2P).
11.	Доказать неравенство
1^1 +22О I + I Z2 I ) J	I .
12.	Пусть zx и z2 —произвольные комплексные числа, a ax
и ^ — действительные числа +	=#=()). Доказать неравенства
I21 I2 + I *2 I2 - I 2Î + I < 2 ‘У У |2 I 21 I2 + I *2 I2 + I 2Î + 4 |.
Uj г С*2
Указание. Ввести вспомогательный угол а такой, что tgа == Лі/а2>
представить оцениваемое выражение в виде А + В sin 2а + С cos 2а и найти
его наибольшее и наименьшее значения.
13.	Доказать тождества
, п
1) (п-2) s I ak |2 +
k=\
п
ak
2
=	2 I ak + as Pj
1 < k < s < n
n
2) n S I I2 -
fe=l
n
2 ak
fe=i
2
=	2 I - as I2.
1 < k < s < n
14.	Доказать:
1)	Если ?i + z2 + 23 = 0 и I zx I = I z21 = I z31 = 1, то точки zx, z2,
z3 являются вершинами правильного треугольника, вписанного
в единичную окружность.
10

2)	Если Zj + Z2 + Z3 + Z4 = О И | Zj | = | Z2 | = | Z3 | = | Z4 |, ТО ТОЧКИ Zb
z2, z3, z4 либо являются вершинами прямоугольника, либо
попарно совпадают.
15.	Найти вершины правильного n-угольника, если его центр
находится в точке z = 0, а одна из вершин zx известна.
16.	Точки Zi и z2 —смежные вершины правильного n-уголь¬
ника. Найти вершину z3, смежную с z2 (z3#= zj.
17.	Даны три вершины параллелограмма zb z2, z3. Найти
четвертую вершину z4, противоположную вершине z2.
18.	При каком условии три попарно не совпадающие
точки zb z2, z3 лежат на одной прямой?	ч
19.	При каком условии четыре попарно не совпадающие
точки zb z2, z3, z4 лежат на одной окружности или прямой?
20*. Точки zb z2, ..., zn лежат по одну сторону от некото¬
рой прямой, проходящей через начало координат. Доказать,
что аналогичным свойством обладают точки l/zb l/z2, ..., l/za
(указать, относительно какой прямой) и что
Zi + г2+ ... +zn =/= 0;	—Н-^-+...+-J-¥= 0.
Zj Z2	Zn
21.	Доказать, что если Zj+z2+ ... +zrt = 0, то любая пря¬
мая, проходящая через начало координат, разделяет точки zb
z2, • • •,	если только эти точки не лежат на этой прямрй.
22.	Доказать, что любая прямая, проходящая через центр
тяжести системы материальных точек zb z2, ..., zn с мас¬
сами mb т2, ..., тп, разделяет эти точки, если только они не
лежат на этой прямой.
В задачах 23 — 34 требуется выяснить геометрический смысл
указанных соотношений.
23.	|z-z0|</?; |z-z0|>R; |z-z0| = R.
24.	|z-2| + |z + 2| = 5. 25.J z — 2 | — | z + 2 | > 3.
26. |z — Zi | = | z — z2|. 27. 1) Rez^Ç; 2) Im z<C.
28.	0 < Re (Zz) < 1.
29.	a<argz<p; a<arg(z —z0)<p (— л<а<р^л).
30.	|z|=Rez+1. 31. Rez + Imz< 1.
32. Im-^^- = 0; Re-^—^- = 0. 33. | 2z |>| 1 4-z21.
z — z2	z — z2
34.	1) |z|<argz, если 0^argz<2n;
2)	|z|<argz, если 0<argz^2n.
В задачах 35—38 требуется определить семейства линий
в z-плоскости, заданных соответствующими уравнениями.
35.	1) Reÿ = C; 2) Imÿ = C (— о© <С<оо).
36.	1) Rez2 = C;'2) Imz2 = C (— оо <С<оо).	-
11

37.	ІТ~гМ	38- arg-Hr- = a
I <	<2 I	&	<2
39.	1) Семейство линий в z-плоскости задано уравнением
|z2—1| = А (А>0).
Для каких значений А линии семейства будут состоять из одной
простой кривой и для каких —распадаться?
2)	Выяснить те же вопросы для семейства
I z2 + az + b I = A (A > 0).
40.	Найти наибольшее и наименьшее расстояния от начала
координат до точек заданной линии {й>0):	‘
i)	|z + 4| = a; 2) |г + 4| = а.
41.	Функция argz определена однозначно во всякой точке
z =/= 0, если положить | z | — 2л < arg z I z |. Каково геометриче¬
ское место точек, в которых нарушается непрерывность опре¬
деленной таким образом функции argz?
42.	Каково геометрическое место точек, в которых нару¬
шается непрерывность функции argz, однозначно определенной
при любом z =7^ 0 неравенствами 1п| z | — 2л < argz^lnl z |?
43.	Первоначальное значение Argf(z) при z = 2 принята
равным 0. Точка z делает один полный оборот против часовой
стрелки по окружности с центром в начале координат и воз¬
вращается в точку z = 2. Считая, что Arg f (z) изменяется непре¬
рывно при движении точки z, указать значение Arg f (2)' после
указанного оборота, если:
1)	f(z)=VT=H; 2) f(z) = l^~l; 3) f(z)=
4)	f(z)=/z2 + 2z-3; 5) Н2) = ]/ЦГ.
Стереографическая проекция
44.	Вывести формулы стереографической проекции, выра¬
жающие координаты (£, т], Ç) точки Р сферы с диаметром 1,.
касающейся ^-плоскости в начале координат, через коорди¬
наты (х, у) соответствующей точки z. Выразить также х и у
через g, т|, (оси | и ц предполагаются совпадающими соот¬
ветственно с осями х и у).
12

Примечание. В задаче 44 осуществляется соответствие между точ¬
ками комплексной плоскости и сферы радиуса 1/2, касающейся этой плоскости.
Встречается и иной способ соответствия, при котором сфера имеет радиус,,
равный 1, а z-плоскость проходит через ее центр. См., например, [1; гл. I, п. 4].
45.	Каковы на сфере образы точек 1, —1, /, (1 —/)//2?
46.	Каков на плоскости образ параллели с широтой
р(— ■£ < Р < т)? Чему соответствуют «южный» и «северный»
полюсы?
47.	Найти на сфере образы:	.
1)	лучей argz = a; 2) окружностей |г| = г.
48.	Каково на сфере взаимное расположение образов пары
точек, взаимно симметричных:
1)	относительно точки z = 0, 2) относительно действительной
оси, 3) относительно единичной окружности?
49.	При каком условии точки Zi и z2 являются стереографи¬
ческими проекциями двух диаметрально противоположных точек
сферы?
50.	При каком преобразовании сферы образ точки z перехо¬
дит в образ точки 1/z?
51.	Найти на сфере образы областей, определенных неравен*
ствами:
1)	Imz>0; 2) Imz<0; 3) Rez>0;
4) Rez<0; 5) |z| < 1; 6) |z| >1.
52.	Что соответствует на сфере семейству параллельных пря*
мых на плоскости?
53.	Доказать, что при стереографической проекции окруж¬
ности, расположенные на сфере, проектируются в окружности
или в прямые на плоскости. Какие окружности на сфере соответ¬
ствуют прямым?
54.	Пусть К — окружность на плоскости, соответствующая ок¬
ружности К' на сфере, А/— северный полюс сферы, 3 — вершина
конуса, касающегося сферы вдоль К' (предполагается, что К! не
является большим кругом). Доказать, что центр окружности К
лежит на луче NS. Рассмотреть случай, когда К/— большой
круг.
55.	Доказать, что при стереографической проекции углы
между кривыми на сфере равны углам между их образами на
плоскости.
56.	Найти длину k(z,a) хорды, соединяющей точки сферы,
соответствующие точкам z и а. Рассмотреть также случай, когда
а — бесконечно удаленная точка.
57.	Даны две точки Zi и z2 (одна из них может быть беско¬
нечно удаленной). Найти геометрическое место точек z-пло¬
скости, которому на сфере соответствует окружность, равноуда*
ленная от образов данных точек.
13

§ 2. Элементарные трансцендентные функции
По определению
efz + e iz
cos Z ==	-

exp z = ez = ex (cos y + i sin y);
ei2 — e~iz . sin z
sin z =	—	; tg z

2z	cos z
cig г
cos z л
sin z *
, ez + e z . e—ez .. shz ,,
chz =			• shz =			; thz = —-—; cthz
2	2	9	ch z9
58.	Пользуясь определением ег, доказать, что:
1)	e*t.	= e*i+z2; 2) ez+M = ez.
3)	Если ez+(ù = ez при всяком z, то
© = 2л&/ (& = О, ± 1, ±2, ...).
Соотношение exp zip «	« cos ф + i sin ф (формула Эйлера) позволяет
вместо тригонометрической формы записи комплексного числа z = г (cos ф 4¬
+ i sin ф) пользоваться показательной формой z = reZ(₽. В дальнейшем под ф
обычно понимается главное значение аргумента, т. е. — п < ф л.
59.	Представить в показательной, форме числа 1, —1, Z, — Z,
1 + Z, 1 — Z, — 1 + Z, — 1 — Z.
60.	Найти е±л//2; ekni (fc = 0, ±1, ±2, ...).
61.	Найти модули и главные значения аргументов комплексных
чисел е2+/; е2“3/; е3+4і; е-3“4/; — ае'Ч (а > 0, | <р | <^л);	( | <р |	л);
е/а —(0^р<а^2л).
62.	Найти суммы:
1)	1 + cos X + cos 2х + ... + cos пх\
2)	sinx + sin2x + ... + sinnx;
3)	cos х + cos Зх-f- ... +cos(2n—l)x;
4)	sinx + sin3x+ ... +sin(2n—l)x;
5)	sinx —sin2x + ... + (—I)"”1 sinnx.
63.	Найти суммы:
1)	cos a + cos (a + p) + ... + cos(a + np);
2)	sin a + sin (a + p) ... + sin (a + np).
64.	Исходя из определения соответствующих функций, до¬
казать:
1)	sin2z +cos2z= 1; 2) sinz = cos (у-z);
3)	sin (Zi + zg) = sin Zi cos z2 + cos Zi sin z2;.
4)	cos (z{ + z2) = cos Zi cos z2 — sin zx sin z2;
5)	tg2z=	6) ch(zj + z2) = chz1chz2 + shz1shz2.
65.	Доказать, что если cos (z + œ) = cosz при всяком z,
то © = 2л& (^ = 0, ±1, ±2, ...).
14

66.	Доказать, что:
1)	sinfz = Zshz; 2) cos iz = ch г; 3) tg iz = I thz\
4)	ctg iz = — i cth z. '
67.	Выразить через тригонометрические и гиперболические
функции действительного аргумента действительные и~мнимые
части, а также модули следующих функций:
1)	sinz; 2) cosz; 3) tgz; 4) shz; 5) chz; 6) thz.
68.	Найти действительные и мнимые части следующих зна¬
чений функций:	.
1)	cos (2 + /); 2) sin 2Z; 3) tg (2 — Z);
4) ctg(q--iln2); 5) cth(2 + t); 6) th (in 3 +
69.	Для каждой из функций ez, cosz, sinz^ tgz, chz, cthz
найти множество точек z, где она принимает:
1)	действительные значения,
2)	чисто мнимые значения.
70.	Найти все значения z, длн которых
1)	I tgz|= 1; 2) I thz| = 1.
По определению Ln z =» In г + Z<p + 2jtik (k « 0, ±1, ±2, ...), lnz = lnr +
+ ftp (—л<ф < n) (In z называется главным значением величины Ln z).
71.	Вычислить:
1)	Ln 4, Ln(—1), In (— 1); 2) LnZ, InZ;
3)	Ln-i-ДД; 4) Ln (2-30, Ln (-2+ 30.
V .
72.	Найти ошибку в рассуждениях, приводящих к пара¬
доксу И. Бернулли: (— z)2 = z2, поэтому 2Ln(— z)= 2Lnz, сле¬
довательно, Ln (—z) = Lnz(!).
73.	Первоначальное значение Imf(z) при"г = 2 принято рав¬
ным нулю. Точка z делает один полный обо’рот против часовой
стрелки по окружности с центром в точке z = 0 и возвращается
в точку z = 2. Считая, что f(z) изменяется непрерывно при дви¬
жении точки z, указать значение Imf(z) после указанного обо¬
рота, если:
1)	f(z) = 2Lnz; 2)f(z) = Lnj;
3)	f (z) = Ln z — Ln (z + 1); 4) f (z) = Ln z + Ln (z + 1).
По определению для любых комплексных чисел о#=0 и а
aa = exp{aLna)	(1)
или, если под ег по-прежнему1) понимать expz, то аа = eaLna.
. !) Согласно (1) ez = exp (z Ln e} = exp {z (1 4- 2лі/г)}. Однако, если не ого¬
ворено противное, мы будем считать k = 0. т. е. по-прежнему ez = exp z.
15

f 74. Найти все значения следующих степеней:
1)	1ГГ; 2) (-2)/Г; 3) 2{; 4) 1-/; 5) і1;
6)	(у=-)'+/; 7) (3-4і)1+і; 8) (—3 + 4/)І+/.
75.	Показать, что в случае рационального показателя сте¬
пени (a = m/n) общее определенйе степени za совпадает с обыч¬
ным определением:
21
zn ЦѵМ
(см. также задачу 6).
76.	Совпадают ли множества значений а2<х, (аа)2, (а2)а?
По определению, равенство w = Arccos z эквивалентно равенству z = cos of.
Аналогично определяются функции Arcsin z, Arctgz, Arcctgzn обратные
гиперболические функции Arch z, Arshz, Arth z, Arcthz.
77.	Доказать следующие равенства (для корней берутся все
их значения):
1)	Arccos z = — i Ln (z + Vz2 — 1);
2)	Arcsin z = — i Ln i(z + Vz2 — 1);
n\ A I	l T І + z 1 T 1 -F iz
3)	Arctgz = yLn7^7 = ^Ln,—;
4)	Arcctgz = y Ln-j^y; 5) Archz = Ln(z + }/z2 — 1);
6)	Arsh z = Ln (z + /F+T); 7) Arth z = Ln ;
8)	Arcthz = yLn *** .
78.	Доказать, что для любого значения Arccos г можно по¬
добрать такое значение Arcsinz, чтобы сумма этих значений
была равна л/2. Доказать аналогичное утверждение для Arctgz
и Arcctgz.
Примечание. Равенствам Arcsin z + Arccos z = л/2 и Arctgz +
+ Arcctg z = л/2 всегда придается смысл, указанный в настоящей задаче.
79.	Показать, что все значения Arccos z содержатся в фор¬
муле

Arccos z = ± i Ln (z + Ÿz2 — 1 ),
где под Vz2— 1 понимается какое-нибудь одно его значение.
80.	1) Для каких z все значения функций Arccos z, Arcsin z
и Arctgz действительны?
2)	для каких z функция Arshz принимает чисто мнимые
значения?
16

81.	Найти все значения следующих функций:
1)	Arcsm1^; 2) Arccosl/2; 3) Arccos2; 4) ArcsinZ;
5)	Arctg(1 + 2Z); 6) Arch2Z; 7) Arth(l— i).
82.	Найти все корни следующих уравнений:
1)	sinz + cosz = 2; 2) sinz —cosz = 3;
3)	sinz — cosz = Z; 4) chz — shz=l;
5)	sh z — ch z = 2Z; 6) 2 ch z -f- sh z = Z.
83.	Найти все корни следующих уравнений:
1)	cosz = chz; 2) sinz = Zshz; 3) cosz = Zsh2z.
§ 3. Последовательности и числовые ряды
оо
84.	Доказать, что если ряд 2 сп сходится и | arg сп | а < ,
п=1	2
то ряд сходится абсолютно,
оо	оо
85.	Пусть сходятся ряды 2 сп и 5 с2п. Доказать, что если
п-l	Д=І
оо
Rec^^O, то ряд S I сп Р будет также сходящимся.
п=1
оо
86.	Ряд 2 сп обладает тем свойством, что четыре его части,
Д=1
состоящие каждая из членов, содержащихся в одном и том же
замкнутом квадранте плоскости, сходятся. Доказать, что дан¬
ный ряд сходится абсолютно.
87.	Доказать формулу (преобразование Абеля)
п	п—b
S akbk — 2 (bk — bk+l) — sm^lbm + snbn,
k=*m	k—m
где	Sfe = at + a2 + ... +a* (&>1), So = O.
.	OO
88.	Доказать, что для сходимости ряда 2 где Ьп > О,
оо
достаточно, чтобы частичные суммы ряда 2 были ограни-
п~\
чены и последовательность чисел {Ьп} монотонно стремилась
к нулю (признак Дирихле).
Указание. Воспользоваться преобразованием Абеля.
оо
89.	Доказать, что для сходимости ряда 2 апЬп, где &„ — дей-
п-1
оо
отвительные числа, достаточно, чтобы ряд 2 ап сходился, а
д-1
17

последовательность {bn} была монотонной и ограниченной (признак
Абеля).
оо
90.	Доказать, что для сходимости ряда 2 а^Ьп достаточно
п=1
выполнения следующих условий:
1)	lim ўгГЬп^О; 2) ряд З/Ті bn — bn+l I сходится;
П->оо
П
3)	последовательность —Д-, где£Л = \,ak ограничена.
п	00
91.	Пусть lim И|сп| = q. Доказать, что ряд 2 сп сходится
П-»оо	П=>1
(абсолютно), если q<l, и расходится, если q>l.
92.	Убедиться на примерах рядов
1+^ + ^г+тг+--- (!<«<!».
а + р2 + а3 + р4+ ...	(0<а<р<1),
что ряд 5 сп может сходиться и тогда, когда lim >1.
93.	Доказать, что если lim р2^ = 1, то для абсолютной
П->оо I СП I
ОО	■
сходимости ряда 2 сп достаточно, чтобы lim п\ —— 1 ) <
П=1	П->оо \ I СП I /
< — 1 (признак Раабе).
94.	Доказать признак Гаусса: если |	1 = 1 + ~- + о »
где а не зависит от п и а< — 1, то ряд сходится абсолютно,
t	оо
В задачах 95 — 104 исследовать сходимость рядов 2 сп-
95.	сп — (2і)п * 96* = (іп)п * 97*	= еіп*
pin	Іпч	,	In
ы.сп = ^. 99. сп = ^-.	=	101.
1П9 г _ « (а+ 1) ... (а + п- 1) ft (fl+ 1) ... (р + п- 1)
1U * Сп	п\у (Y + 1) ••• (Y + п - 1)
метрический ряд), Re (а + р — у) < 0.
1ЛО	COS in <Л/1	nsin/n
103. сп = —^г-.	104. cn = —.
105.	Найти предельные точки множеств:
1)	г=1+(-1Г^у (п=1, 2, ...);
2)	г =	+	« — произвольные целые числа);
П=1
Л 1 Пі/п
Сп~ пе -
(гипергео-
18

3)	z = -^+ і ^(т, п, р, (/ — произвольные целые числа);
4)	I z |< 1.
106.	Доказать, что из бесконечной ограниченной последова¬
тельности точек {zn} можно выбрать сходящуюся подпоследо¬
вательность.	.
107.	Доказать следующие предложения:
1)	Сходимость последовательности {zn = хп + іуп} эквиват
лентна одновременной сходимости последовательностей {хп} и {уп}.
2)	Для того чтобы существовал предел limzrt=#0, необхо-
П-»оо	'
димо и достаточно, чтобы существовали пределы lim|zn|=#=0 и
х	П->оо
(при подходящем определении argz„) lim argz„. Если lim zn
П-^оо	П-><х>
не является отрицательным числом, то можно, например,
считать, что — n<argzrt^n.
В каких случаях сходимость последовательности {zn} эквива¬
лентна сходимости только последовательности {|zj}?
108.	На основе утверждений задачи 107 доказать:
1)	lim ( 1 + 4Г = (cos у + i sin у)\
2)	lim [n (]fz — 1)] = Inf + «р + 2nik (fe = 0, 1,2,...).
n->oo
§ 4. Функции комплексного переменного
Комплексные функции действительного
переменного
В задачах 109—115 требуется определить линии, заданные
указанными уравнениями.
109.	z = 1 — it1, 0<+ С2. H0. z = / + it1', — оо</<оо.
111.	z = t2 + it\ —OO<t<OO.
112.	z = a(cos/+ isin/);	a>Q.
113.	z = / + y;	-oo</<0.
114.	1) z = t + i\/\-t2;	2) z = -1 + i
—1^/<0 (берется арифметическое значение корня).
115.	1) z = a(i + t —	— oo </<oo, a>0;
2)	z = ia + at —	0^/^2n, a>0, b>Q.
19

Функции комплексного переменного
116.	Для отображения w = z2 требуется:
1)	найти образы линий х = С, у = С, х = у, |z| = 7?, argz = ct
и выяснить, какие из них преобразуются взаимно однозначно;
2)	найти прообразы (на z-плоскости) линий и = С, ѵ = С
(w = u + iv).	.
• 117. Для отображения w=\/z найти:
1)	образы линий X — С, у = С, |z| = /?, argz = a, |z — 1 | = 1;
2)	прообразы линий и = С, ѵ = С.
118.	Для отображений w = z + ^- и w =.z — ÿ найти образы
окружностей I z | = R.
119.	Для преобразования w = z + — найти на z-плоскости
прообраз прямоугольной сетки (и = С, ѵ = С) плоскости w.
120.	Во что преобразуется окружность |z|—1 при отоб¬
ражении w = z/(l—z)2? t
121.	Для отображения w = ez найти;
1)	образы линий х = С, у = С, х — у,
2)	прообразы линии р = Ѳ (0 Ѳ < оо).
122.	Найти преобразование прямоугольной сети (х = С, у = С)
плоскости z с помощью функции:
1)	w = z2 + z\ 2) œ» = cthz; 3) w — e*2.
123.	Во что преобразуются с помощью функции w = ez + s
отрезки прямых х = С и прямые у = С, лежащие в полосе 0^
124.	Что соответствует в z-плоскости полярной сетке |и>| =
— R, arg да = а при преобразованиях: 1) w = ellz‘, 2) w = ez2?
Непрерывность
125.	Функция f(z), определенная в окрестности точки z0,
называется непрерывной по Гейне в точке z0, если для любой
последовательности {zn}, сходящейся к z0, выполняется условие
lim f (zn) = f (z0); эта же функция называется непрерывной по
Коши, если для любого е>0 существует такое 6(е)>0, что из
неравенства |z-z0|<ô следует, что |f (z)-f (z0)|<e. Доказать
эквивалентность обоих определений (см., например, [1, гл. I,
п. 3.6]).
-	Re z z Re (z2) z Re z
126.	Функции , -jjj, ■ [212 ■, ■■ |Z| определены для
2=/=0. Какие из них могут быть доопределены в точке z = 0
так, чтобы они стали непрерывными в этой точке?
20

127.	Будут ли функции 1) 1/(1—г), 2) 1/(1 + z2) непрерывны
внутри единичного круга (Jz |< 1)? Будут ли они равномерно*
непрерывны?
128.	1) Доказать, что функция е;'1/|г| равномерно непрерывна
в круге I z|</? с выколотой точкой z = 0.
2)	Будет ли равномерно непрерывна в этой же области
функция
3)	Будет ли функция е~|/г2 равномерно непрерывна в сек¬
торе 0 < I z I	R, I arg z I л/6?
129.	Функция œ = e-1'2 определена всюду, кроме точки z =
= 0. Доказать, что:
1)	в полукруге 0<|z|^ 1, |argz|^n/2 эта функция огра¬
ничена, но не непрерывна; 2) внутри этого же полукруга функ¬
ция непрерывна, но не равномерно; 3) в секторе 0<|z|	1,
I argz|=C<ï<n/2 функция равномерно непрерывна.
130.	Функция f (z) равномерно непрерывна в круге | z |< 1. До¬
казать, что для любой точки £ на окружности |z|=l и любой
последовательности zn->£, |z„|<l существует предел lim f (zn).
П->оо
Доказать также, что этот предел не зависит от выбора после¬
довательности {zn} и что функция, доопределенная на границе
круга при помощи предельного перехода, будет непрерывна во
всем замкнутом круге |z|<l.	,
§ 5. Аналитические и гармонические функции
Условия Коши — Римана
131.	Проверить выполнение условий Коши —Римана для.
функций z", ег, cos z, Lnz и доказать, что
(zrt)' = nzn“!, (ег)' = е*, (cos z)' = — sin z, (Ln z}' = ~.
132.	Найти постоянные a, &, с, при которых функция f(z)
будет аналитической:
1)	f(z) = x + ay + i (bx + су);
2)	f (z) = cos X (ch y + a sh y) 4- i sin x (ch y 4- b sh y).
133.	Найти области, в которых функция
f(z) = \x2 — y2\ + 2i\xy[
будет аналитической.
134.	/(z) = и 4- іѵ = peze — аналитическая функция. Доказать,,
что если одна из функций ut ѵ, р, Ѳ тождественно равна по¬
стоянной, то и функция f(z) постоянна.
135.	nycTbz = re/(₽ и f (z) = и (г, ф) 4- іѵ (г, ф) Записать уравне¬
ния Коши —Римана в полярных координатах.
2L

136.	Доказать, что если f (z) = и + іѵ — аналитич еская функ¬
ция и s и п — перпендикулярные векторы, причем поворот от
вектора s к вектору п на прямой угол совершается против
часовой стрелки, то
ди _ дѵ ди _ дѵ
ds ~ дп дп — ds
{ д д	ж -	и
и ’дп “ производные от функции двух действительных пере¬
менных по соответствующему направлению
137.	Доказать, что функция î(z) = z нигде не дифференцируема.
138.	Доказать, что функция w=z Re z дифференцируема толь¬
ко в точке z = 0; найти w' (0).
139.	Доказать, что для функции f (z) = Vl *У I в точке z = 0
выполняются условия Коши —Римана, но производная не су¬
ществует.
140.	Доказать следующие утверждения:
1)	Если у функции w = f (z) в точке z существует предел
lim [Re -^-1,
Дг-XjL
то частные производные их и ѵу существуют и равны между
собой.
2)	Если существует предел lim Im -т— , то существуют
'	Дг-»0 *• ÛZ J
частные производные иу и ѵх, причем иу— — ѵх.
3)	Если заранее предположить, что функции и пѵ дифферен¬
цируемы, то существование любого из пределов, указанных
в пп. 1) и 2), обеспечивает существование-другого и, следова¬
тельно, дифференцируемость функции f(z).
141.	Функция w = f(z) обладает в точке z следующими
свойствами: 1) и, о дифференцируемы; 2) существует предел
lim Іпг-І. Доказать, что либо f(z), либо f(z) дифференци-
Дг->0 ’ “ I
руема в точке z.
142.	Функция w — f(z) обладает в точке z следующими
свойствами: 1) функции и, ѵ дифференцируемы; 2) существует
lim arg-7^-. Доказать, что f(z) дифференцируема в точке z.
Дг->0 дг	.
143.	Пусть w = f (z) = и + іѵ и и(х, у) и ѵ (х, у) дифферен¬
цируемы в точке z. Доказать, что множество всевозможных
предельных значений отношения при Дг-*0 — есть либо
точка, либо окружность.
22

Формальные производные по Коши
Если в соотношении
w = W (г) = f (х, у) = f	, -^p-j=<p(z, z)
рассматривать z и z как независимые переменные, то производные по этим
переменным будут равны
1 f а Z â < Ч д \ ' д \
dz в 2 \ дх ду / ’ dz в 2 \ дх 1 ду / ’
В дальнейшем приняты обозначения:
dw	dw
dz z' dz г'
И т. д.
144.	Доказать следующие соотношения:
1)	dw = wzdz + w-dz; 2) wz = y [(и* + vg) + i:( - uy + vjj;
• 3) w- = ± [(и, - vy) + i (uy + V,)];
145.	Доказать, что уравнения Коши —Римана эквивалентны
уравнению w- = 0.
146.	Доказать, что уравнение Лапласа Ди = 0 можно за¬
писать в виде = 0.	.
147.	Доказать, что dw = dw, $z = w-, w-=wz (большая
черточка означает, что переход к сопряженному значению со¬
вершается после дифференцирования).
148.	Доказать, что для функции z(w), обратной по отно¬
шению к w (г),
'	— W-
dz = ■	jS-n	FF dw + -i iô—r—FF dw.
149.	Доказать, что якобиан преобразования w (z) равен
lw!z = д(х,у) = I “’г I2 “ I “’І I2¬
150.	Доказать следующие равенства:
1)	= wz + ау-е-2/а, где a = arg dz‘,
2)	max|#| = l“’zl + l“’7b
23г-

151.	Доказать, что если a = argdz, a' = argcte, то:
|\	=	wtz		I dz I2 I .
(ux cos а + uy sin a)2 + (o* cos a + vy sin a)2	| dw | J 2lw ’
0A da’ .da' 1 max №l І“’2| + |“’г|
2)	max -7— = p, min = —, где p =	г-т—p	—V-.
da da p min|-sr| ■ KI "I'M
Гармонические функции
Функция и (х, у), обладающая в некоторой области непрерывными част¬
ными производными до второго порядка включительно и удовлетворяющая
уравнению Лапласа
. д2и , д2и л
Ам = -, -у + _ 2 *= О,
дх2 ду2
называется гармонической функцией. Две гармонические функции и (х, у)
и V (х, у), связанные уравнениями Коши — Римана
ди	ди ди ди
дх	ду 9 ду в дх ’
называются сопряженными.
152.	Доказать следующие предложения:
1)	Линейная комбинация гармонических функций —
п
’2 сіиі (*, У) ""есть функция гармоническая.
і-\
2)	Если аргументы гармонической функции и(х, у) подвер¬
гнуть преобразованию инверсии х = £/(г + т]2), У = л/(Ё2 + П2), то
преобразованная функция будет гармонической.
3)	Если аргументы гармонической функции и (х, у) подвер¬
гнуть преобразованию х = ф(£, т]),	=	л), где ф и ф —со¬
пряженные гармонические функции, то преобразованная функция
будет гармонической. (Отсюда, в частности, следует предыдущее
утверждение.)
4)	Пусть и(х, у) и V (х, у) — сопряженные гармонические
функции и якобиан ~Дх~~г/') в некоторой области отличен от
нуля. Тогда обратные функции х(и,ѵ) и у (и, ѵ) также будут
гармоническими и сопряженными.
153.	1) Доказать, что всякая гармоническая в односвязной
области G функция и(х, у) имеет семейство сопряженных гар¬
монических функций, отличающихся друг от друга на постоян¬
ное слагаемое
(X, у)
V(x,y)= J -^-dx + ^dy + C.
(Хо, у а)
24

2)	Доказать, что если область G многосвязна и ограничена
внешним контуром Го и внутренними контурами Гь І2,
(рис. 1) (каждый из которых может вырождаться в точку), то^
функция ѵ(х,у) может оказаться многозначной и общая фор¬
мула для ее значений будет иметь вид
(X, у)	П
ѵ(х,у) = J dx + -j^dy + '^imknk + C.
Uo, Уо)	Лв1
Интеграл берется по пути, лежащему в области G, — целые
числа и	—
/“Tj dx+^dÿ’ /G \
’*	( ZZ О'
где Yfe— простые замкнутые контуры, I	/
каждый из которых содержит внутри \	(.	)	0^ Ло
себя одну связную часть границы (Гй) \ 		/
(числа Лк называются периодами инте-	Рис j
г рала’пли циклическими постоянными).	‘ ’
Для однозначности функции ѵ (х, у) необходимо и доста¬
точно, чтобы все числа л* были равны нулю.
Примечание. Контур Го может и отсутствовать, если только функ¬
ция и (х, у) гармонична в бесконечно удаленной точке. По определению это
означает, что функция U (£, тр, полученная из функции и (х, у) преобразова¬
нием инверсии (см. задачу 152, 2), будет гармонической в начале координат,
п
Можно доказать, что в этом случае 2 nkв
•	/г-1
154.	Предполагая известным, что аналитическая функция
бесконечно дифференцируема, доказать следующие теоремы:
1)	Действительная и мнимая части аналитической функции
f(z) = u + iv являются сопряженными гармоническими функ¬
циями.
2)	Производные (любого порядка) гармонической функции
также являются функциями гармоническими.
155.	1) Будет ли гармонической функция и2, если и — гармо¬
ническая функция?
2)	Пусть и — гармоническая функция. Для каких функций f
функция f(u) будет тоже гармонической?
156.	Будут ли гармоническими функции |f(z)|, argf(z),
In I f (z) I, если f (z) — аналитическая функция? ♦
д2и д2и
157.	Преобразовать оператор Лапласа Az/ = ~d^Jfr~dÿ2 к по"
лярной системе координат (г, ф) и найти решение уравнения
Лапласа Д// = 0, зависящее только от г.
25

518.	Выписать для и=1, 2, 3, 4 гармонические многочлены
:рп(х, у) и qn(x, у), определяемые равенством zn = рп 4- iqn. Запи¬
сать в общем виде рп и qn в полярной системе координат.
Пользуясь формулами задачи 153, в задачах 159—163, найти
функции, сопряженные с данными гармоническими функциями
указанных областях.
159.	и(х, у) = х2 — у2 + х, 0^|z|<oo.
160.	u(x, у)=	0<|z|<oo.
161.	и(х, r/) = yln(x2 + у2) а) в области, полученной из пло¬
скости удалением полуоси: г/ = 0, — оо<х^0; б) в плоскости
с выколотым началом координат (0<|z|<oo).
162.	и (х, у) = -^ {In (х2 + у2) — In [(х — I)2 + г/2]} а) в плоскости
с выколотыми точками г = 0иг=1; б) в плоскости с удален¬
ным отрезком действительной оси: # = 0, О^х^І; в) в пло¬
скости с удаленным лучом: у = 0, 1^х<оо.
п
163.	а(х, у) = ~2 а* In [(х - х*)2 + (г/- г/*)2] а) в плоскости
Л=1
с выкинутыми точками zb г2, ...., zn (zk = xk + iyk\ zt =/= Zj)\
б)	в плоскости с удаленной простой (т. е. без самопересечений)
ломаной линией, соединяющей данные точки.
164.	Существует ли аналитическая функция f(z) = u + iv, для
которой 1) u =	2) V = In (х2 + у2) - х2 + у2\ 3) и = еУ/х?
В задачах 165—168 найти аналитические функции f (z) = и + іи
по заданной действительной или мнимой части. '
165.	и = х2-у2 + 5х + у- Х2^у2 .
166.	и = ех (х cos у — у sin у) + 2 sin х sh у + х3 — Зху2 + у.
167.	+	•
1Й8. V = In (х2 + у2) + X — 2у.
В задачах 169 — 176 выяснить, существуют ли гармонические
функции указанного вида (отличные от постоянной), и в случае
существования найти их.
169. м = <р(х). 170. u = q(ax + by) (а и b — действительные
числа).
171. « = <р(-=0. 172. и = ф(ху). 173. и = <р(х2 + у2).
174. и = ф ( х ). 175. и = ф (х + У X2 + у2).
176.	и = ф(х2 + у).
В задачах 177—180 доказать существование и найти аналити¬
ческие функции f(z) по заданному модулю'или аргументу.
26

177.	р = (%2 + y2) ex. 178. p = er’cos4
179. Q = xy. 180. 0 = (p + rsinq).
181.	Доказать: чтобы семейство линий <р (х, у) = С9 где
ф —дважды непрерывно дифференцируемая функция, было
семейством линий уровня некоторой гармонической функции,
необходимо и достаточно, чтобы отношение Aqp/(gradф)2 зави¬
село только от qp.
Указание. Предварительно установить, что искомая гармоническая
функция имеет вид и = Иф(*» #)]•
В задачах 182 — 186 найти аналитические функции, у которых
вдоль любой линии соответствующего семейства сохраняет
постоянное значение либо действительная часть, либо мнимая
часть, либо модуль, либо аргумент.
182.	х = С. 183. у = С. 184. у = Сх.
185. X2 + у2 = С. 186. X2 + у2 = Сх.
Геометрический смысл модуля и аргумента
производной
187; Отображение совершается с помощью функций w = z*
и æ> = z3. Найти угол поворота (û) направления, выходящего
из точки z0, и коэффициент растяжения (k) в следующих точках:
1)	z0 = 1; 2) z0	3) 2o“ 1 +С 4) Zo= - 3 + 4Л
188.	Какая часть плоскости сжимается, а какая растяги¬
вается, если отображение осуществляется функцией:
1)	ш =г2? 2) w = z2 + 2z? 3) w =у ? 4) w = ег? 5) w = In (2— 1)?
189.	Область G отображается с помощью функции f (z) кон¬
формно и взаимно однозначно на область G'. Указать формулы
для вычисления площади 5 области G' и длины L дуги, на.
которую отображается некоторая дуга /, принадлежащая
области G.
190.	Найти длину L спирали, на которую с помощью функ¬
ции ег отображается отрезок у = х, 0^х^2л.
191.	Найти площадь области, на которую с помощью функ¬
ции ez отображается прямоугольник 1^х^2,
192.	Найти область £>, на которую функция ег отображает
прямоугольник 1^х^2, 0 у 8. Вычислить площадь об¬
ласти D с помощью формулы, полученной при решении за¬
дачи 189, и объяснить, почему эта формула дает неправильный
результат.

ГЛАВА И
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ
С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
§ 1. Линейные функции
Целые линейные функции
193.	Найти целую линейную функцию, отображающую тре¬
угольник с вершинами в точках 0, 1, і на подобный ему тре¬
угольник с вершинами 0, 2, 1 + і.
194.	Найти целое линейное преобразование с неподвижной
точкой 1 + 2/, переводящее точку і в точку — Z.
195.	Для указанных преобразований найти конечную непо¬
движную точку zQ (если она существует), угол поворота вокруг
нее 'О' и коэффициент растяжения k. Привести эти преобразова¬
ния к каноническому виду w — zQ = X(z — z0).
1)	üy=2z+l — 3i; 2) w = iz + 4; 3) w=z+l— 2i;
4)	w —	= a(z — Z\) (a =/= 0); 5) w^az+b (a =/= 0).
196.	Найти общую форму целого линейного преобразования,
переводящего:
1)	верхнюю полуплоскость на себя;
2)	верхнюю полуплоскость на нижнюю полуплоскость;
3)	верхнюю полуплоскость на правую полуплоскость;
4)	правую полуплоскость на себя.
Показать, что во всех случаях преобразование однозначно
определяется заданием одной пары соответственных внутренних
точек или двух пар граничных.
197.	Найти общую форму целого линейного преобразования
переводящего:
1)	полосу 0<х<1 на себя;
2)	полосу — 2 < у < 1 на себя;
3)	полосу, ограниченную прямыми у = х и = х — 1, на себя.
Выяснить, какие пары точек могут при этих отображениях
соответствовать друг другу и в каком случае это соответствие
будет однозначно определять отображение.
28

198.	Найти целую линейную функцию w(z), отображающую
полосу, заключенную между данными прямыми, на полосу
О < и < 1 при указанной нормировке:
1 ) X — а, X = а + Л; w (а) = 0;
2)	х — а, х = а + Л; w {а + у) =4 + Іпідо (я+ 4	< 1*
3)	у = kx, у = kx + b\ w (0) = 0;
4)	у = kx + bi, у = kx + b2^w(ibi) = 0.
199.	Найти целую линейную функцию, отображающую круг
|z| < 1 на круг Iоу — до01 </? так, чтобы центры кругов соот¬
ветствовали друг другу и горизонтальный диаметр переходил
в диаметр, образующий с направлением действительной оси
угол а.
Дробно-линейные функции
200.	Для функции ДО = 4 найти образы следующих линий:
1)	семейства окружностей х2 + у2 = ах\
2)	семейства окружностей х2 + у2 = Ьу\
3)	пучка параллельных прямых у = х-^Ь\
4)	пучка прямых у = kx\
5)	пучка прямых, проходящих через заданную точку z0 =/= 0;
6)	параболы у = х2.	.
201.	Выяснить, во что функция до = g J — ■ + Л переводите
1)	прямоугольную сетку х = С, у = С;
2)	полярную сетку |z — z0| = R, arg (г — zQ) = a.
202.	Дана функция w —	‘
1)	Доказать, что прообразом семейства |до| = X (0 < X < оо)
является семейство окружностей (окружности Аполлония). Для
данного Л найти радиус и положение центра соответствующей
окружности в z-плоскости.
2)	Найти прообразы лучей arg до = Ѳ.
3)	Построить сетку в z-плоскости, соответствующую полярной
сетке в до-плоскости.
4)	Найти область z-плоскости, соответствующую полукругу
|до| < 1, Ітдо > 0.	-
В задачах 203—207 выяснить, во что преобразуются указан¬
ные области при заданных отображающих функциях.
203.	Квадрант х > 0, у > 0; до =
204.	Полукруг I z I < 1, Imz>0; до =	.
205.	Угол0<ф<ѵ’.	= —Ц-.
206.	Полоса 0 < х < 1 ; 1) до = ——- ; 2) до = -^—4-.
7	z ’	1 z — 2
29

207.	Кольцо 1 <I z I<2; w = г * p
208.	Отобразить на вертикальную полосу 0 < Re w < 1 :	,
1)	полуплоскость Rez>0 с выкинутым кругом |z —
2)	двуугольник, заключенный между окружностями
3)	внешность кругов |г + -^-| —	[ г —-у-1 =-у-так, чтобы
w (d2) = 0.
209.	Найти, дробно-линейные функции, переводящие точки
—	1, і, 1 + і соответственно в точки: 1) 0, 2і, 1 г- і; 2) і, оо, 1.
210.	Найти дробно-линейные функции, переводящие точки
—	1, оо, і соответственно в точки:
1)	і, 1, 1 +Z;	2) оо, і, 1;	3) 0, оо, 1.
211.	Найти дробно-линейные функции по следующим условиям;
1)	точки 1 и і неподвижны, а точка 0 переходит в точку — 1;
1	5	3
2)	точки g- и 2 неподвижны, а точка + переходит в оо;.
3)	точка і является двойной неподвижной точкой, а точка 1
переходит в оо.
: 212. Найти дробно-линейную функцию, переводящую точки
—	1, 0, 1 соответственно в точки 1, z, —1, и выяснить, во что-
при этом отображении переходит верхняя полуплоскость.
213.	Найти общий вид дробно-линейного преобразования,
переводящего:
1)	верхнюю полуплоскость на себя;
2)	верхнюю полуплоскость на нижнюю полуплоскость;
3)	верхнюю полуплоскость на правую полуплоскость.
214.	Найти отображение верхней полуплоскости на себя при
указанной нормировке:
1)	до(0)=1, иу(1) = 2, и?(2) = оо; 2) иу(0)=1, w(i) = 2i.
Примечание. Об отображении верхней полуплоскости на себя при
другой нормировке см. задачу 226.	.
215.	Найти функцию w (z), отображающую круг | z | < /? на
правую полуплоскость Resy>0 так, что до(/?) = 0, w( — /?)=оо,
w (0) = 1. Каков при этом отображении образ верхнего’полукруга?
Две точки Рь Р2 называются симметричными относительно окружности К
с центром О и радиусом R. если дни лежат на одном и том же луче, выхо¬
дящем из О, и
ОРГОР2 = Р2.
216.	Найти точки, симметричные с точкой 2+і относительно
окружностей: l)|z|=l; 2) |z — /| = 3.	>
30

217.	Найти симметричный образ относительно единичной
окружности следующих линий:
1)	|z|=4; 2) |z—1|=1; 3) i/ = 2;
4)	I z - z01 = I z01 (z0 = x0 + iy0);
5)	|z —z0|= У|г0|2—1 (|zol>l); 6) гиперболы x2 — y2=l;
7)	границы прямолинейного треугольника с вершинами zl9
z2, Z3 (Zj =/= 0).
218.	Доказать, что для симметрии точек Рх и Р2 относи¬
тельно À необходимо и достаточно выполнения одного из двух
условий:	.
1)	всякая окружность Klt проходящая через точки РІ( Р2,
ортогональна к А;
2)	-^7-= const для всех точек М окружности К (т. е. К
является окружностью Аполлония относительно точек Рх и Р2).
Z ““ fi	~
219.	Функция w = eia—=• (0 = a + ibtb >0) отображает верх-
*-0
нюю полуплоскость на единичный круг.
1)	Найти arg w (х) = Ѳ (х); 2) найти ш'(0); 3) выяснить, какая
часть верхней полуплоскости при этом отображении сжимается
и какая растягивается.	_
220.	Отобразить верхнюю полуплоскость Imz>0 на единич¬
ный круг |ш|<1 так, чтобы:
1)	w(i) = 0, arg —-тр, 2) ш(2/) = 0, arg w' (2i) = 0;
3)	ш(а + &/) = 0, arg w' (a + bi) = Ѳ (&>0).
221.	Отобразить верхнюю полуплоскость Imz>0 на круг
|ш — ШО|</? так, чтобы точка і перешла в центр круга, а про¬
изводная в этой точке была положительной.
222.	Отобразить круг J z | < 2 на полуплоскость Re w > 0 так,
чтобы ш(0)=1, argo/ (0) = л/2.
223.	Отобразить круг | z — 4i |< 2 на полуплоскость ѵ>и так,
чтобы центр круга перешел в точку —4, а точка окружности
2/— в начало координат.
224.	Найти общий вид дробно-линейной функции w (г), ото¬
бражающей круг |z|< 1 на правую полуплоскость Reay>0 так,
чтобы sy(zj) = O, w (z2)=oo, где zh z2 — заданные точки на
окружности |z|=l такие, что argz{< argz2.
Построить семейство линий в круге | z | < 1, соответствующих
полярной сетке в полуплоскости Rew>0. ,
Указание. Воспользоваться общей формой дробно-линейного преобра-
-	г,
зования для трех пар соответственных точек и найти arg —

—	z2
31

225.	Найти центр ш0 и радиус /? окружности, на которую
функция w = отображает действительную ось (Imz2¥=0).
226.	Найти функцию, отображающую верхнюю полуплоскость
на себя так, что w(a)=b, argæ/(a) = a (Ima>0, Imfe>0).
Указание. Отобразить предварительно оба экземпляра полуплоскости
на единичный круг с соответствующей нормировкой.
227.	Отобразить верхнюю полуплоскость на нижнюю так,
чтобы w(a) — a и arg w' (а) = — у (Ima>0).
228.	Для функции w = ela-y^~ (|а|<1), отображающей
единичный круг на себя:
1)	найти arg w = Ѳ (q>); 2) найти w' (0) и w' (а); 3) выяснить,
какая часть единичного круга при этом отображении сжимается
>\	■>	1 dw I ■ I dw I
и какая растягивается; 4) наити max -у- и min -у- для
I С* «О I	I UZ I
|Z К 1.
229.	Отобразить круг |z|< 1 на круг |да|<1 так, чтобы:
1)	а'(’0==о> arg да'(0 = 0; 2) да (-0 = 0, arg«»'(-0 = y;
3)	да(0) = 0, argu>'(0)= — у; 4) да(а) = а, arg да'(а) = а.
230.	Отобразить круг 1 z I<Ri на круг |да|<7?2 так, чтобы
да (а) = Ь, arg да'(а) = а (| а | b | < /?2).
231.	Отобразить круг | z |< 1 на круг | да 1 |< 1 так, чтобы
да (0) = 1/2 и да (1) = 0.
232.	Отобразить круг |z — 2 |< 1 на круг |да — 2Z |<2 так,
чтобы да(2) = і и arg да'(2) = 0.
233.	Найти общий вид дробно-линейной функции да (z), ото¬
бражающей круг I z |< R на себя при следующих условиях:
1)	да(а) = 0 (|а|</?); 2) w(a) = b (\a\<R, \b\<R);
3)	да (+/?) = ± R. .	■
234.	Отобразить круг |z|< 1 на себя так, чтобы заданные
точки zb z2 внутри круга перешли в точки ±а (0<а<1);
найти а.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 233, 2) и тождеством
задачи 10.
235.	Отобразить круг | z | < 1 на себя так, чтобы отрезок
действительной оси: ÿ = 0,	(а<1) перешел в отрезок
действительной оси, симметричный относительно начала коор¬
динат. Найти длину преобразованного отрезка.
236.	Доказать, что при отображении круга на круг линейное
преобразование однозначно определяется заданием образов
одной внутренней и одной граничной точек.	‘
237.	Единичный круг отображается на себя так, что точка
z()	0 переходит в центр круга. Доказать, что при этом еди¬
32

ничная полубкружность отображается на полуокружность тогда
и только тогда, когда ее концы лежат на диаметре, проходящем
через точку zQ.
238.	Построить отображение единичного круга на себя, при
котором прообраз центра находится на действительной оси,
а дуга	единичной окружности отображается в сле¬
дующие дуги:
1)	2)0<Ѳ<у; 3)-^<Ѳ<-^.
§ 2. Дополнительные вопросы теории линейных
преобразований
Канонические формы линейных преобразований
Дробно-линейное преобразование с одной неподвижной точкой zQ назы¬
вается параболическим. Параболическое преобразование можно записать
в канонической форме
—5— = —!—+h,
w-z0 Z — z0
если Zq #= oo, или
w = z + h,
если z0 = oo.
Дробно-линейное преобразование с двумя различными неподвижными
точками и z2 в канонической форме имеет вид
W-Zl	Z-Zt
w — z2	z — z2’
если Zi =/= °o, z2 =/= oo, или w — zx = k (z — Zi), если z2 » oo; преобразование
с двумя различными неподвижными точками называется гиперболическим,
если &>0, эллиптическим, если k = еіа и а =# 0, и локсодромическим, если
k^aeia, причем о#=1иа#=0(аи а — действительные числа, а>0).
239.	Доказать следующие утверждения:
1)	Общее дробно-линейное преобразование w = можно
az + р I a р I .	x
привести к виду w =	+ > где £|=1.
2)	Если a + ô — действительное число, то преобразование
является эллиптическим, когда | a + ô | < 2, гиперболическим,
когда I a + ô | > 2, и параболическим, когда | a + ô |2.
3)	Если Im(a + ô)#=0, то преобразование локсодромическое.
240.	Доказать, что если линейное преобразование имеет две
неподвижные точки, то произведение производных в этих точках
равно единице.
241.	Найти окружности, которые при параболическом пре¬
образовании "2.^ =z-z переходят сами в себя.
242.	Найти общий вид параболического преобразования круга
I z I < /? на себя, если точка R является неподвижной.
2 Л. И. Волковыский и др.'	33

243.	Доказать следующие свойства гиперболического пре¬
образования:
1)	Любая окружность, проходящая через две неподвижные
точки, переходит сама в себя, причем направление обхода
сохраняется.	ч
2)	Любая окружность, ортогональная к окружностям, про¬
ходящим через неподвижные точки, переходит в окружность,
обладающую тем же свойством. (Это свойство непосредственно
следует из свойства 1).)
Указание. Предварительно рассмотреть случай, когда неподвижные
точки 0 и со.	.
" 244. Доказать, что при эллиптическом преобразовании:
1)	Любая окружность, ортогональная к окружностям, про¬
ходящим через две неподвижные точки, переходит сама в себя
с сохранением направления обхода.
2)	Дуга окружности, соединяющая неподвижные точки,
переходит в дугу окружности, соединяющую неподвижные
точки и образующую угол а с первой дугой (a = arg£).
245.	1) Доказать, что при локсодромическом преобразовании
сохраняются ’свойства 2) гиперболического (см. задачу 243) и
эллиптического (см. задачу 244) преобразований.
2)	Доказать, что при локсодромическом преобразовании не
существует неподвижных окружностей, если только а =/= л
(а = arg k). Доказать, что если а = л, то окружности, проходя¬
щие через неподвижные точки, переходят сами в себя с изме¬
нением направления обхода.
246.	Доказать, что при локсодромическом преобразовании
. Іп ° ф
w = aeiaz логарифмические спирали г = Ае а (Д > 0) переходят
сами в себя.
247.	Доказать, что линейное преобразование w = eiK■
(а==|а|е*а, |a|< 1), переводящее единичный круг на себя, мо¬
жет быть только либо эллиптическим, либо параболическим,
либо гиперболическим. Выяснить, при каких значениях а имеет
место каждый из указанных случаев. Найти неподвижные точки
преобразования и привести его к каноническому виду.
Некоторые приближенные формулы
при линейных преобразованиях
248.	Верхняя полуплоскость отображается на единичный
круг так, что точка z = hi (Л>0) переходит в центр круга.
Найти длину Г образа отрезка [0, а\ действительной оси (а>0)
и получить линейные приближенные формулы для Г при малом
a/h и при малом h/a.
34

249.	Единичный круг отображается на себя так, что про¬
образ центра круга —точка х0 — находится на действительной
оси. Найти длину Г образа дуги 0<ф<у единичной окруж¬
ности (у^л). Как изменяется величина Г/у в зависимости от
знака х0?
250.	В условиях задачи 249 получить формулы:
1)	Г = -LLïl у + о (у3) при малом у;
2)	Г = л—в ctg-|- — -|-ctg2 у + О (в3) при малом в, где е = 1 — х0.
251.	Единичный, круг отображается на себя так, что точка
2о = гое*ф<- переходит в центр. Точки г[=еіѵ' и z2 = eZq>’ лежат
по одну сторону от диаметра, проходящего через г0(ф0<фІ<
<Ф2^Фо + л). Считая, что точка z0 расположена близко к еди¬
ничной окружности, доказать, что для длины Г образа дуги
Ф]^Ф^Ф2 единичной окружности справедлива формула
r = e[ctg-5^-ctg-^^]+	.
+^. [ctg2 _ ctg2 Ф^Фі] _|_ о (в3),
где е = 1 — г0-
Отображения простейших двусвязных областей
252.	Доказать, что если линейное отображение круга | z | < 1
на себя не сводится к повороту, то никакое концентрическое
кольцо с центром в начале координат не переходит в концен¬
трическое.
Примечание. Это предложение есть частный случай следующей
теоремы:
Для того чтобы существовало конформное отображение кольца rj <
<|z|<r2 на кольцо /?і < | w | < /?2. необходимо и достаточно выполнения
условия /?2//?і = г2/гі. При этом отображающая функция может быть только
двух видов: w = az или w = a/z. Отображение однозначно определяется за¬
данием одной пары соответствующих друг другу граничных точек (см., на¬
пример. [3, гл. II, § 3] ).
253.	1) Отобразить кольцо 2<| z |<5 на кольцо 4<| w |< 10
так, чтобы w(5) =— 4.
2)	Отобразить кольцо l<|z — 2Z|<2 на кольцо 2<|ш —3 +
+ 2і |< 4 так, чтобы ш(0)= — 1 — 2і.
Имеет место следующая теорема:.
Каждая двусвязная область, границы "которой не вырождаются в точки,
может быть конформно отображена на концентрическое кольцо с вполне
определенным отношением ц радиусов внешней и внутренней окружностей
(р — модуль двусвязной области).
2*	35

254.	Полуплоскость Rez>0 с выкинутым кругом \z—h\<R
(h>R) отобразить на кольцо р<| w |< 1 так, чтобы мнимая
ось перешла в окружность | w | = 1. Найти р.
Указание Построить окружность с центром в начале координат и
ортогональную к окружности |z — А | = 7?; затем найти линейное преобразо¬
вание, переводящее действительную ось и построенную окружность в две
пересекающиеся (ортогонально) прямые, и убедиться, что при этом рассма¬
триваемая область отобразится в концентрическое кольцо. Доказать, что
центр этого кольца совпадает с началом координат, если точки пересечения
построенной окружности и действительной оси переводятся в 0 и оо.
255.	Полуплоскость Rez>0 с выкинутым кругом | z — h\< 1,
Л>1, отобразить на кольцо 1<| w |<2. Найти h,
256.	Эксцентрическое кольцо, ограниченное окружностями
|г —3| = 9, |z — 8 |=16, отобразить на кольцо р < | w | < 1.
Йайти р.
257.	Двусвязную область, ограниченную окружностями
\Z~-ZX |=rb \Z~^Z2\ = r2 (\z2-zx\>rx+r2 ИЛИ I ^2 — ^! I < I Г2 — Гі I),
отобразить на концентрическое круговое кольцо с центром
в начале координат. Найти модуль (р) области.
Указание. Найти пару точек, взаимно симметричных относительно
обеих окружностей, и отобразить одну из них в 0, а другую в оо.
Примечание. Нетрудно убедиться, что метод решения, рекомендо¬
ванный в указаниях к задачам 254 и 257, один и тот же.
258.	Пользуясь решением предыдущей задачи, найти модули
двусвязных областей, ограниченных данными окружностями:
1)	|z-/| = 2, |z + /| = 5; 2) I z — 3/|= 1/ |z-4| = 2.>
Групповые свойства дробно-линейных
преобразований
Преобразование T (z) = Т2 [Гі (z)] называется произведением преобразо¬
ваний Т\ и Т2 и записывается в виде Т=Т2ТХ (порядок записи важен, так
как, вообще говоря, Т2Т\ Т\Т2). Множество G преобразований Т образует
группу, если оно содержит произведение всяких двух принадлежащих ему
преобразований и вместе с преобразованием Т содержит обратное ему пре¬
образование Î"1, Группа, состоящая из степеней Тп и Т~п одного преобра¬
зования Г, называется циклической. Если группа G образована из преобра¬
зований'Т2, ..., Тп путем построения всех обратных преобразований и
всевозможных произведений данных и обратных им преобразований, то эти
преобразования называются порождающими группу G. Точки, получаемые
из фиксированной точки z с помощью всех преобразований группы G, назы¬
ваются эквивалентными или конгруэнтными относительно группы G.
Фундаментальной областью группы G называется область (связная или
несвязная), которая не содержит ни одной пары точек, эквивалентных друг
другу относительно данной группы, и в окрестности каждой граничной точки
которой имеются точки, эквивалентные точкам области.
259.	Пусть Ті — линейные преобразования:
Ti(z)=	Ai = |ai М=#0 (i=l, 2, ...).
' cft + di 9	\Ci di\ '	'	’	’	7
36

Доказать следующие утверждения:
1)	Т = ТХТ2 линейное преобразование с определителем
.А = Д|А2*	.
2)	Произведение преобразований ассоциативно, т. е.
(ВД Л = Гз(7Ѵі).
3)	Каждое преобразование Tt имеет обратное 7Т1, р. е.
Г1ТГ1 = ГГІ71/ = Л
где У (г) = z— тождественное преобразование. .
4)	Произведение преобразований, вообще говоря, некомму¬
тативно (привести примеры).
, 260. Доказать, что преобразования
Т\ = г, Г2 = |, Г3=1—Z, =	Т3=^~,
образуют группу (группа ангармонических отношений). .
261.	Доказать, что множество линейных преобразований,
заключающихся в повороте плоскости вокруг начала координат
на углы, кратные а, образует циклическую группу. В каком
■случае эта группа будет состоять из конечного числа преобра¬
зований?	-
262.	1) Доказать, что множество , преобразований вида
w =	, где а, &, с и d —целые действительные числа и
ad — образует группу (эта группа называется модуляр¬
ной).
2)	Доказать, что если а, &, с и d считать целыми комплек¬
сными числами (т. е. числами вида /n + ш, где m и п —целые
действительные числа), удовлетворяющими условию ad — bc=\,
то множество преобразований из п. 1) также образует группу
(группа 'Пикара).	,
ч 263. Найти фундаментальные области для групп, порождае¬
мых преобразованиями:
1)	T (z) = e2nilnz (п —натуральное число): 2) Тх (г) = е2лі/п2,
Т'2 = |; 3) T(z) = z + ®; 4) Г,(г) = г + ш, Т2(г) = -г; 5) 7\ (zj -=
=z + ©f, T2(z)=z+©2 (im	0j (двоякопериодическая груйиа);
6)	,7’i(z) = z + ©i, 7’2(z) = z + ©2, . T3(z)= - z; 7) 71(z)=z + ©;
î2(z) = fe; 8) 7](z) = z + ©, T2(z) =a e2ltZ/3z; 9) 7,(z) = z + ©,
î2 (z) = e2lU/9z.
264.	Найти группы линейных преобразований, соответствую¬
щих при стереографической проекции вращению сферы:
1)	вокруг вертикального диаметра; ’
2)	вокруг диаметра, параллельного действительной оси;
3)	вокруг диаметра, параллельного мнимой оси;
37

4)	вокруг диаметра, стереографическая проекция одного из
концов которого есть точка а.
Указание. Если zb z2 — образы диаметрально противоположных точек
на сфере, то ZiZ2 — —1 (см. задачу 49).
265.	1) Доказать, что группа линейных преобразований,
соответствующих вращению сферы и переводящих точки со>
стереографическими проекциями а и Ь друг в друга, опреде¬
ляется соотношением
’ w — b fn z —а
1 4- bw — е 1 + âz' *
2)	Доказать, что дифференциал ds = 1 ^Jj2" инвариантен
относительно преобразований этой группы и представляет сфе¬
рическую длину элемента^ дуги dz (т. е. длину образа этого
элемента на сфере).
Линейные преобразования и геометрия
Лобачевского
При интерпретации геометрии Лобачевского в единичном круге | z | < Г
роль прямых играют лежащие в этом круге дуги окружностей, ортогональ¬
ных к единичной окружности; роль движения — линейные преобразования»
единичного круга на самого себя, роль расстояния между точками Zj и z2 —
величина р (zlt z2\— у In (a, p, z2, zj, где a и p —точки пересечения «пря¬
мой», проходящей через точки Z\ й z2, с единичной окружностью (порядок
точек таков: a, zb z2i р), а (a, p, z2, ?i) — ангармоническое отношение указан¬
ных точек. Углы измеряются так же, как в евклидовой геометрии (см., на¬
пример, [2, гл II, § 4).
266.	Доказать, что p(zb z2)>0, если Zj =/= z2 и Pfe z) = 0.
267.	Доказать, Что z3)^p(zx, z2) + p(z2, z3), причем
знак равенства надо брать тогда и только тогда, когда точка z5
лежит на «отрезке», соединяющем точки zx и z2.	'
268.	Доказать, что если одна из точек z1 и z2 стремится
к точке единичной окружности (или обе они к различным точ¬
кам единичной окружности), то неевклидова длина p(z-b z2}
стремится к бесконечности (т. е. точки единичной окружности
соответствуют бесконечно удаленным точкам неевклидовой
плоскости).
269.	Доказать, что дифференциал ds =	(|z|<l) ин¬
вариантен относительно группы линейных преобразований, пе¬
реводящих круг I z |< 1 на себя, и представляет неевклидову
длину элемента дуги dz.
Указание. Написать общую форму преобразования круга |z| < 1,на
себя, переводящего точку а в точку b ( | а | < 1, |â|<l).
38

270.	Указать способы построения следующих линий:
1)	пучка «прямых», проходящих через точку г0;
2)	«прямой», проходящей через точки zx и г2;
3)	эквидистанты «прямой» (геометрического места точек,
«равноудаленных» от данной «прямой»);
4)	предельных линий (линий, ортогональных к пучку «парал¬
лельных прямых»).	-
271.	1) Доказать, что ддя «прямолинейного» треугольника
с углами фь ф2, Фз имеет место неравенство
Фі 4" Фг 4- Фз < л.
2)	Доказать, что «прямолинейный» треугольник с точностью
до «движения» определяется своими углами фь ф2, ф3. По¬
строить «прямолинейный» треугольник по его углам.
§ 3. Рациональные и алгебраические функции
Общее отображение круга или полуплоскости на односвязную область
w-плоскости имеет вид w = <р [Z (z)], ‘ где <p (z)—частное отображение,
а / —произвольное дробно-линейное отображение круга или полуплоскости
на себя (обратное отображение имеет вид z = / [ф (до)] ). Это замечание
необходимо иметь ввиду при нахождении нормированного отображения,
т. е. отображения, удовлетворяющего определенным дополнительным усло¬
виям. Если условия нормировки не даны, то в ответе обычно указывается
одна из отображающих функций.
При фактическом построении конформных отображений важную роль
играют некоторые общие принципы (см., например, [1 гл. IX, п. 5 и гл. X,
п, 7] или [3,. гл. И, § 1 и 3] ).	•
Принцип симметрии Римана —Шварца
Пусть граница области Dx содержит дугу окружности С (в частности,
прямолинейный отрезок), и пусть функция w = fx (z) реализует конформное
отображение этой области на область Dx такое, что дуга С переходит опять
в дугу окружности или прямолинейный отрезок С*. Тогда функция f2 (z),
принимающая в точках, симметричных относительно С, значения, симметрич¬
ные значениям A (z) относительно С*!), будет аналитической в области D2t
симметричной с областью Dx относительно С и будет отображать ее на
область Z)2, симметричную с Dx относительно С*.
Функция
А (z) в
fi (z) = f2 (z) на С,
A (z) в £>2
реализует конформное отображение области Dx + С 4- D2 на область
z>;+c*+d;* 2).
W =
9 Если С и С* —отрезки действительных осей (к этому всегда можно
прийти, совершив дополнительные дробно-линейные преобразования), то
2) Отображение будет взаимно однозначным,, если области Dx и D2,
л также Dx и D2 не пересекаются.
39

Принцип соответствия границ
Пусть D и D* — односвязные области • с границами С и С*, причем
область D* расположена целиком в .конечной части плоскости. Если функ¬
ция w = f (z) аналитична в D, непрерывна в D и осуществляет взаимно
однозначное отображение С на С* с сохранением направления обхода, то
она осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение области
D на D*'.
При решении задач этого и следующего параграфов в случаях, когда
отображение осуществляется ветвью многозначной функции, рекомендуется
проследить за соответствием точек на границах отображаемой области и ее
образа (это особенно относится к задачам на отображение областей с раз¬
резами).
272.	При помощи функции w = z2 и ей обратной найти кон*
формное отображение следующих областей:
1)	внутренности правой ветви равнобочной гиперболы
х2 — у2 = а2 на верхнюю полуплоскость;
2)	внешности параболы у2 = 2рх, р>0 (т. е. области, огра¬
ниченной этой параболой и не содержащей ее фокуса) "на верх*
нюю полуплоскость.
Примечание. Об отображении областей, ограниченных кривыми вто¬
рого порядка, см. также задачи 302, 303, 330—332, 367.
273.	При помощи функций, указанных в предыдущей задаче,,
отобразить:
1)	внутренность окружности r = acos(p (а>0) на внутрен¬
ность кардиоиды р = -£- (1 + cos Ѳ);
2)	внутренность той же окружности на внутренность правой
ветви лемнискаты p='/cos20;
3)	круг I z I < 1 на внутренность кардиоиды р = Д (1 + cos Ѳ),.
Д>0 так, чтобы ш(0) = Д/8, w' (0)>Ô. .
274.	Найти область, на которую отображается круг | z | < 1
при помощи функции w =R(z + mz2), /?>0, 0 </п<1/2. Найти
образы полярной сетки z-плоскости.
275.	Найти область, на которую полукруг |z |< 1, Res>0
отображается при помощи функции ш = г + г2.
276.	1) Найти область, на которую круг | z |< 1 отображается
при помощи функции w = R^z+^-^t /?>0, п —целое число,.
п> 1.
2)	Найти область, на которую отображается внешность еди¬
ничного круга |z|> 1 при помощи функции w=R^z+-~^n}>.
R>0, п — целое число, п>1.
Примечание. Об отображениях, совершаемых функцией
w = R (z + -у )
(функция Жуковского), см. задачу 298 и дальнейшие. .
40

277.	1) Выяснить, для каких значений т функция w =
= R (z 4- mzn), где п — натуральное число, осуществляет конформ¬
ное отображение круга | z | < 1 на некоторую область, и найти
эту область.
2)	Выяснить эти же вопросы для отображения внешности
круга | z |< 1 при помощи функции w = #\z +-рг) и внутрен¬
ности того же круга при помощи функции w = R fy + mz").
Отображения круговых луночек и областей
с разрезами
278.	1) Отобразить угол 0< argг< ла (0<а^2) на верх¬
нюю полуплоскость.
2)	Отобразить угол — ~-<argz<-y- на верхнюю полу¬
плоскость так, чтобы w(l—z) = 2, w(i)=— 1, w(0) = 0.
279.	Найти функцию w (z), отображающую полукруг |z |< 1,
Imz>0 на верхнюю полуплоскость при условиях:
1)	и>(—1) = 0, иу(О)=1, йу(1) = оо;
2)	w (± 1) = T 1, и>(0) = оо;
3)	w (I) = і, arg w' (I) = -	'
280.	Найти функцию w(z), отображающую полукруг | z | < 1,
Imz>0 на круг |te>|<l при условиях:
1)	иу(±1)=±1, ш(0)=— t; 2) w(-0=O, arg w' (y) = -y.
281.	Найти функцию w (z), отображающую область |z |> 1,
Imz>0 на верхнюю полуплоскость.
282.	Отобразить на верхнюю полуплоскость:
1)	сектор I z I< /?, 0<argz<na (0<а^2);
2)	область I z I > R, 0 < arg z < ла (0 < а 2).
283.	Отобразить на верхнюю полуплоскость следующие кру¬
говые луночки (двуугольники):
1)	|z|< 1, |z-i|<l; 2) \z |< 1, \z —/|> 1; '
3)	|z|> 1, |z —і|<1; 4) |z|> 1, |z —i|>l;
5)	|z|>2, |z- /2 |< ]/2.	'
’ 284. Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность еди¬
ничного верхнего полукруга.
В задачах 285—297 отобразить указанные области на верх¬
нюю полуплоскость.
285.	Плоскость с разрезом по отрезку [—1, 1].
41

286.	Плоскость с разрезом по отрезку [— і, /].
287.	Плоскость с разрезом по отрезку [zlt г2].
288.	Плоскость с разрезами по лучам (— оо, — /?] Г# оо)
(Я>0).	J ’
289.	Плоскость с разрезом по расположенному в первом
квадранте лучу, выходящему из точки і параллельно прямой
у = X.	■
290.	Плоскость с разрезом по дуге окружности, соединяющей
точки —1 и 1 и проходящей через точку ih, где 0< h< 1.
291.	Полуплоскость Im.z>0 с разрезом по отрезку-[0, ih],
h>0.	.
292.	Полуплоскость Imz>0 с разрезом от ih до оо вдоль
положительной мнимой полуоси (Л>0).
293.	Полуплоскость Ітг>0 с разрезом по дуге окружности
|z|=l от точки z=l до точки z = ela, где 0<а<л.
294.	Угол 0 < arg z < л0, где О<0<2, с разрезом по дуге
окружности | z | = 1 от точки z = 1 до точки z = еіа, где 0 < а < 0.
295.	Внешность единичного верхнего полукруга с разрезом
по отрезку [0, — Z] (внешность «лопатки»).
Указание. Линейным преобразованием сводится к предыдущей задаче.
296.	1) Круг \z[< 1 с разрезом по радиусу [0, 1]. 2) Внеш¬
ность единичного круга с разрезом по лучу [1, оо).
297.	Найти отображение круга \z |< 1 на ау-плоскость с раз¬
резом по лучу оо, — -1} при условии, что w (0) = 0, а/(0)>0.
Функция Жуковского
298.	Найти преобразование полярной сетки |z| = R, argz = a
с помощью функции Жуковского w = ■— (z + -—).
299.	Найти области, на которые функция Жуковского ото¬
бражает:	-
1)	круг |z|</?< 1; 2) область |z|>/?> 1; 3) круг |z|< 1;
4)	область |z|> 1; 5) полуплоскость Imz>0; 6) полуплоскость
ImzCO; 7) полукруг |z|<l; Imz>0; 8) полукруг |z|<l,
Imz<0; 9) область | z |> 1, Imz>0;, 10) область ! <|z|</?,
Imz>0; 11) область R <|z|< 1, Imz>0; 12) область
-g- < I z I < /?, Imz>0, Rez>0; 13) угол -y — a<argz<
<y+“ (<>«•<#
300.	Найти преобразование полярной сетки с помощью
функций:
1)	^ = 1(2-7); 2) ю = ў(г+4) («>0);
3)	=	+ с = \с\е(ч (0<у<л).
42

301.	Пользуясь функцией Жуковского, отобразить:
1)	внешность отрезка [—с, с], (с>0) на внешность единич¬
ного круга при условии, что о»(оо) = оо,' argo/(oo) = a;
2)	внешность эллипса	~ 1 на внешность единичного
круга так, чтобы ау(оо) = оо, arg w' (°°) = 0.
302.	Отобразить верхнюю полуплоскость с выкинутым полу¬
эллипсом +	у>0, на верхнюю полуплоскость.
303.	Отобразить двусвязную область, ограниченную, со¬
.	X2 , у2 . X2 . у2 . , . ,,
фокусными эллипсами +	= К & + р + b2 +~р~ = 1 Щ>0), на
концентрическое круговое кольцо с центром в начале координат
и найти модуль (см, стр. 35) данной двусвязной области.
304.	Найти область, на которую функция Жуковского ото¬
бражает круг I z |< 1 с разрезом по отрезку [а, 1] (—1<а<1).
Рассмотреть случаи а>0 и а<0.
В задачах 305—309 отобразить указанные области на верх¬
нюю полуплоскость.
305.	Круг I zI< 1 с разрезом по отрезку [1/2, 1].
306.	Круг I г 1 < 1 с разрезами по радиусу [—1, 0] и отрезку
(а, 1] (0<а< 1).
307.	Внешность единичного круга с разрезами по отрезку
.[—а, —1] и лучу [1, оо), где а>1.
308.	Верхнюю половину круга | z | < 1 с разрезом по отрезку
£0, at] (0<a< 1). J	•
. 309. Верхнюю половину круга |г|<1 с разрезом по отрезку
(at, t] (0<a< 1).
310.	Отобразить круг | z | < 1 с выкинутым отрезком
((1 —на единичный круг плоскости w.
311.	Круг |z |< 1 с разрезом по отрезку [a, 1], 0<a<lt
отобразить на круг | w | < 1 так, чтобы да(0) = 0, ау'(0)>0.
Найти йу'(О) и длину дуги, соответствующей разрезу. При каком
значении а разрез перейдет в полуокружность?
Указание. Целесообразно сначала отобразить как заданную область,
так и круг I w I < 1 на внешность отрезка.
312.	Круг Iz|< 1 с разрезами по отрезкам [а, 1], [—1, — Ь]
{0<а< 1, 0<b< 1) отобразить, на круг |ау|<Гтак, чтобы
щ)(0) = 0, w' (0)>0. Определить &у'(0) и длины дуг, соответ¬
ствующих разрезам.	•
313.	Представив функцию Жуковского в виде
W — 1 =в / Z— 1 \2
w + 1 = \ Z+1 ) 9
найти:
1)	образ окружности С, проходящей через точки z = ± 1 под
углом a (—л<а<л) к действительной оси в точке 1, и область,
на которую отображается внешность такой окружности;
43

2)	образ окружности С', проходящей через точку 2=1 под
углом а к действительной оси и содержащей внутри точку — 1,
а также область, на которую отображается внешность такой
окружности.
314.	1) Найти образы окружностей и областей z-плоскости,
о которых идет речь в задаче 313, если отображёющая функ¬
ция w(z) задана уравнением
^Г=(ттт)2в (0<ô<2, ау>0 при г>1).
2)	Каков при этом отображении образ внутренности окруж¬
ности С?
315.	Отобразить внешность единичного круга | z |> 1 на ^-пло¬
скость с разрезом по дуге arg-^-^Y = p (0 < 101 < л) так, чтобы
^(оо) = оо, argw'(oo) = a.
В задачах 316 — 319 найти области, получаемые при отобра¬
жении заданных областей указанными функциями.
316.	Круг |z|<l; ш =
317.	Полукруг |z |< 1, Imz>0; w = } ..
z т 1
318.	Угол 0<argz <w = -^(zn + -Ц.
319.	Сектор - — < argz <—, |z|<l; w = ~—
n	n'	(l+z")2/
(ay(z)>0 при z>0).
Указание. Представить отображающую функцию в виде
w = F {{ [ф (г)]}, где Ф (/) = /", / (0 ~ (ІЧ fl2 ’ f(0 = V7.
Применение принципа симметрии
320.	1) Пользуясь решением задачи 319 и принципом сим¬
метрии, найти образ единичного круга при отображении w =
		2
~ (1 + г”)2/Г‘
2)	Найти функцию, отображающую внутренность (и внеш¬
ность) единичного круга на внешность «звезды»:
I w |<И, arg w = 2nkln (& = 0, 1, 2, ..., n—1).
321.	Отобразить на внешность единичного круга:
1)	всю плоскость с разрезами по отрезкам [—1, 1] и [—/, /)
(внешность креста); ,
2)	всю плоскость с разрезами по лучам (—со, —1], [1, Ч-оо)*
(- /оо, - Z] и [/, +/оо).
44

322.	1)* Пользуясь функцией из задачи 318, отобразить
сектор |z|<l, 0<argz<-^- (п —целое число) на себя так,
чтобы отрезки радиусов | z | а, argz = 0 и | z |^а, argz = Tt/n
(0<а<1) перешли в соответствующие радиусы.	'
2)	Отобразить внешность единичного круга с разрезами по
отрезкам 1	| z | a, argz = 2bt/n (£ = 0, 1, 2, ..., п— 1) на
внешность единичного круга.
323.	Отобразить на верхнюю полуплоскость и на внешность
единичного круга внешность креста, состоящего из отрезка
[—а, 6] действительной оси и отрезка [— ci, ci] мнимой оси
(а^О, 6^0, а2 4- Ь2 4- с2 Ф 0).
Указание. Найти функцию, отображающую верхнюю полуплоскость
с разрезом по отрезку [0, сі\ на верхнюю полуплоскость, и воспользоваться
принципом симметрии, в силу которого внешность креста отобразится на
всю плоскость с разрезом по отрезку действительной оси.
324.	Плоскость с разрезами по лучу [— а, 4- оо) {а 0)
и по отрезку [— ci, cï] (с>0) отобразить на верхнюю полу¬
плоскость.
Ука з аЙие. См. указание к задаче 323.
325.	Отобразить на внешность единичного круга плоскость
с разрезами по отрицательной части мнимой оси и по нижней
половине единичной окружно¬
му	сти.
Указание. Линейным преобра¬
зованием сводится к задаче 321, 1).
326.	Плоскость с разрезами
по отрезку [—а/, 0] (а>1) и
по нижней половине единичной
окружности (рис. 2) отобразить
на верхнюю полуплоскость.
Рис 2.	Рис. 3.
Указание. Линейным преобразованием сводится к задаче 323.
327.	Отобразить на верхнюю полуплоскость плоскость с раз¬
резами по отрезку [-1,6] (6 > -1) и по дуге окружности
с концами в точках е±іа, проходящей через точку z=—1
(рис. 3).
45

328.	Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность еди¬
ничного круга с разрезами по отрезкам: [Z, W], [— Ы, — і],
[1, а], [-а, -1] (а>1, 6>1).
Указание. Функция Жуковского отображает рассматриваемую область
на область задачи 323.
329*. Отобразить на внешность единичного круга внешность
«звезды», изображенной на рис. 4.
330*. Отобразить на верхнюю
полуплоскость внутренность пра¬
вой ветви гиперболы
*2	у2 = j	-
cos2 a sin2 а ’
332.
ченную
331. Отобразить на верхнюю
полуплоскость внешность правой
ветви гиперболы—$	А—« 1.
r- cos2 a sin2 а
Отобразить на верхнюю полуплоскость область, заклю-
X2 t/2
между ветвями гиперболы 	1.
Простейшие много листные отображения
В задачах 333—334 рассматриваются отображения, приво¬
дящие к многолистным областям (римановым поверхностям)1).
.333. Найти области, получаемые при отображении с по¬
мощью функции w = z2:	'
1)	части кольца rl<\z\<r2, 0<argz<n + a (0<а^л);
2)	области (z2— 1 |<a (0<a<oo).
334.	Найти области, получаемые при отображении с по¬
мощью функции Жуковбкого w = у (z + -у) :
1)	круга IzI<R (R> 1);
Указание. Целесообразно рассмотреть сначала отображение круга
|г|<1 и кольца l<|z|</? (см. задачу 299).
2)	круга	(0</?<оо).
В задачах 335—337 построить римановы поверхности ука¬
занных функций.

335.	1) w =	2) w = V z2 — 1 .
336.	1) и) = /z(z2 + 1); 2)	= У-^-.337.
J) Здесь приведены лишь некоторые простейшие задачи такого рода.
Специально римановым поверхностям посвящен § 2 гл. VIII.	'
46

§ 4. Элементарные трансцендентные функции
Основные трансцендентные функции
338.	Выяснить, во что преобразуются при отображении
w — ег\	'
1)	прямоугольная сетка х = С, у = С\
2)	прямые у = kx + b\
3)	полоса а < у < 0 (0 а < р 2л);
4)	полоса между прямыми у = х, у = х + 2л;
5)	полуполоса х<0, 0<у<а^2л;
6)	полуполоса х> 0, 0<у<а^2л;
7)	прямоугольник а<х<р, у<У<0 (Ô — у^2л).
339.	Каков прообраз верхней полуплоскости при отображе¬
нии w =	. Каков предельный прообраз верхней полу¬
плоскости при п-> Од?
340.	Выяснить, во что преобразуются при отображении
w = Inz:
1)	полярная сетка |z| = Æ, argz = û;
2)	логарифмические спирали r = Aeklf (А>0);
3)	угол 0<argz<a^2n;	'
4)	сектор |z|< 1, 0<argz<a^2n;	.
5)	кольцо r(<|z|<r2 с разрезом по отрезку [гь г2].
Биполярными координатами точки z°*x + iy относительно полюсов ±а
(а >0) называются действительная и мнимая части функции
-	* . •	1 а+2
w = g + m = In	.
а — г
341.	1) Доказать, что функция w однолистно отображает
всю z-плоскость с разрезами '	’ г *
плоскости он — лл, при¬
чем верхним берегам разреза
соответствует прямая г| = л, а
НИЖНИМ Т)= — л (рис. 5).
2)	Установить справедли¬
вость соотношений:
= ash g = aslnn
. ch £ + cos т) ’	ch g + cos î) ’
* V	V ch g + cos T)
3)	Доказать, что прообразами отрезков g = g0, — л^ц^л
служат окружности Аполлония относительно точек ± а:	'
(x-acthg0)2 + ^ = (-^-)2
(прообразом отрезка £ = 0, — я^т]^л служит ось ординат)
(рис. 6).
47

4)	Доказать, что прообразами линий г) = т1о служат дуги
окружностей, проходящих через точки ± а, '
x2 + (ÿ + actgno)2=(-^)2,
лежащие в верхней полуплоскости при г|0 > 0 и в нижней при
тіо<0. Линии т) = 0 соответствует отрезок [—а, а]. Дуги,
Рис. 6.
соответствующие значениям rj = r]0 и г| = г|0--л (Ло>О), допол¬
няют друг друга до полной окружности (рис. 7).
5)	Найти величины отрезков b (см. рис. 6) и I (см. рис. 7).
Рис. 7.
Примечание. Построенная таким образом координатная сетка в z-ітло-
скости называется биполярной сеткой.
342.	Выяснить, во что преобразуются при отображении
w = cos z:
1)	прямоугольная сетка х — С9 у = С*9
2)	полуполоса 0<х<л, у<0',
3)	полуполоса 0<х<у, у>0;
4)	полуполоса —у>0;
48

5)	полоса 0<х<л;	з
6)	прямоугольник 0<х<л, — h<y<h (h>0).
343.	Выяснить, во что преобразуются при отображении
w = arcsinz:
1)	верхняя полуплоскость;
2)	плоскость с разрезами по действительной оси вдоль лучей
( — оо, — 1], [1,оо);	"
3)	1-й квадрант;
4)	полуплоскость х<0 с разрезом по действительной оси
вдоль луча ( — оо, —1].
344.	Выяснить, во что преобразуются при отображении
w=chz:	.
1)	прямоугольная сетка х = С, у = С;
2)	полоса 0< у< л;
3)	полуполоса x>0, 0<z/<n.
345.	Выяснить, во что преобразуются при отображении
w=Arshz:
1)	плоскость с разрезами по мнимой оси вдоль лучей
l^z/<°° и — оо<у^— 1;
2)	первый квадрант.
346.	Выяснить, во что преобразуются при отображении
w = tgz:
1)	прямоугольная сетка х = С, у = С;
2)	полуполоса 0<x<nf ÿ>0;
3)	полоса 0<х<л; 4) полоса 0<х<^»
5)	полоса — у<х<у.
347.	Выяснить, во что преобразуются при отображении
w = et h z\	.
1) полоса 0<z/<n; 2) полуполоса 0 < у < л, х>0.
Отображения, приводящиеся к отображениям
полос.и полуполос
В задачах 348—355 отобразить указанные области на верх¬
нюю полуплоскость.
348.	Полосу, ограниченную прямыми у = х, у = х + /г.
349.	Полуполосу х<1, 0<y<h.
350.	Круговую луночку, ограниченную окружностями | z | = 2,
Г?-11=1.
351.	Область, ограниченную окружностями |z| = 2, |z — 3|=1
(плоскость с выкинутыми кругами).
352.	Область, определенную неравенствами:
\z — 1 |>1, |z + 1 |>1, Imz>0
(верхняя полуплоскость с выкинутыми полукругами).
49

353.	Область, заключенную между софокусными параболами
у2 = 4 (х + 1), у2 = 8 (х + 2).	'
Указание. См. задачу 272, 2).
354.	Найти функцию w (z), отображающую область, ограни¬
ченную окружностью I z I = 1 и прямой Im z = 1 (полуплоскость
Im z < 1 с выкинутым кругом):
1)	на круг I w |< 1 с нормировкой w (—3i)=0, arg w'( —3z)=y;
2)	на круг I w I < 1 с нормировкой w (—3z) = —,
arg w' (—Зі) = у;
3)	на верхнюю полуплоскость с.нормировкой цу( —Зі) = 1+z,
arg w' (—3z) = л.
Применение принципа симметрии
355.	Отобразить на верхнюю полуплоскость:
1)	полосу 0<х<1 с разрезом вдоль луча х = |, й<#<оо;
2)	полосу 0 <х< 1 с разрезами вдоль лучей х=у, hi^y<oo
и х = ~, -oo<y^h2 (h2<hl).
Указание. Сначала отобразить полосу 0<х<-|- на верхнюю полу¬
плоскость. Отображающая функция будет» в соответствии с принципом сим¬
метрии, отображать заданную область на всю плоскость с некоторым раз¬
резом.
В задачах 356—366 отобразить на верхнюю полуплоскость
указанные области.
356.	Полосу 0<х<1 с разрезом вдоль отрезка 0^.x^h9
у = 0 (й<1).
357.	Полосу 0<х< 1 с разрезами вдоль отрезков 0 х
у = 0 и 1—Л2^х^1, z/ = 0 (А14-А2<1).
358.	Полуполосу 0<х<л, ÿ>0 с разрезом вдоль отрезка
х-%, 0<у<й.
359.	Полуполосу 0<х<л, у>0 с разрезом вдоль луча
х = у,	(й>0).
360.	Полуполосу 0<х<л, у>0 с разрезами вдоль отрезка
х = у, 0 < у < А( и вдоль луча х = ^, h2^.y<co (h2>ht).
361.	Область,	ограниченную	окружностями |z — 1|=1,
|z + 11= 1, с. разрезом по лучу 2^х<оо, z/ = 0.
362.	Область, ограниченную	окружностями |z—1|=1,
\z — 21 = 2, с разрезом вдоль отрезка у = 0, 2^.х^а (а<4).
50

363.	Область, ограниченную окружностями |z—1|=1,
г — 2 I = 2, с разрезами вдоль отрезков ÿ = 0,2^x^a и г/ = О,
b <4 (a< b).
364.	Область, ограниченную мнимой осью и окружностью
<|z — 1 Iя» 1, с разрезами вдоль отрезка ÿ = 0, 2^х^а и вдоль
луча # = 0, &^х<оо (а<&).
365.	Область, ограниченную окружностями |z — 1|=І,
Jz+l|=l, с разрезом по отрезку х = 0, —	(а>0,
Р>0).	-	'
366., Область |z — 1 |> 1, \z+ 1 |> 1, Imz>0 (верхняя полу¬
плоскость с выкинутыми полукругами) с разрезом по отрезку
х = 0,
367. Отобразить внутренность параболы у2 = 4а2 (х + а2) на
верхнюю полуплоскость и на единичный круг.
Указание. Провести разрез по оси симметрии параболы, отобразить
верхнюю половину параболы (с помощью функции К?) на полуполосу,
а затем на полуплоскость и воспользоваться принципом симметрии.
368*. Отобразить верхнюю полуплоскость с разрезами по от¬
резкам	х = +	(&м=0, ±1, ±2, ±...) на верх¬
нюю полуплоскость (рис. 8).
Рис. 8.
369.	Плоскость с параллельными разрезами —
у = + kn (k = 0, ± 1, ±2, ...) отобразить на плоскость с раз¬
резами по отрезкам действительной оси — b9 kn 4- ô] [k = 0,
± 1, ±2, ...; 0< b <у).
Указание. Провести дополнительный ; разрез по мнимой оси, одну
из образовавшихся областей отобразить на верхнюю полуплоскость и вос¬
пользоваться принципом симметрии.
51

370.	Отобразить плоскость с разрезами по лучам оо, — yj,
+ оо) и по отрезкам —	x = ^-\-kn (k = 0, ± 1,
±2, ...) на внешность единичного круга (рис. 9).
Рис. 9.
Указание. Функция, дающая решение задачи 368, отображает задан¬
ную область на плоскость с разрезами по лучам / — оо,			j— ,
I	arcsin —г—
\	ch а
—J“i~- +o°Y
arcsin —г—	/
_ ch а /
371.	Плоскость с разрезами по лучам (—оо, р], [q, +оо)
(—-£-<р	и по отрезкам —	x = ^ + kn
(& = 0, ±1, ±2,...) отобразить на верхнюю полуплоскость
(рис. 10).	'
Рис. 10.
372*. Плоскость с разрезами по лучам 0^р<оо, х = —
(fe = 0, ±1, ±2, ...) отобразить на верхнюю полуплоскость.
Простейшие многолистные отображения
В задачах 373—376 отображения ^приводят к многолистным
областям (см. сноску на стр. 46).
62

373.	Найти области, на которые отображаются с помощью
функции w = ez:
1)	прямоугольник 0<х<а, 0<г/<6;	,
2)	полуполоса 0<х<а, z/>0; 3) полоса 0<х<а.
374.	Найти области, на которые отображаются с помощью
функции oy = cosz:
1)	полоса —л/2<х<л/2;
2)	полоса 0 <х< 2л.
. 375. Найти область, на которую с помощью функции w = tgz
отображается полоса 0<х<2л.
376.	Построить риманову поверхность, на которую функция
w = e}fz отображает г-плоскость.	'
§ 5. Границы однолистности, выпуклости и звездности
Пусть w = f (z) — функция, аналитическая в начале координат, и f (0) = 0¬
В задачах 377—385 через и обозначен максимальный радиус круга
с центром в начале координат, в котором функция w = f (z) однолистна;
через г2 — максимальный радиус круга с центром в начале координат, кото¬
рый функцией w = f (z) отображается однолистно на выпуклую область, и
через г3 — максимальный радиус круга с центром в начале координат, ото¬
бражаемого функцией w = f (г) однолистно на область, звездную относительно -
точки w = 0. (Область называется звездной относительно данной точки, если
любую точку области можно соединить с данной прямолинейным отрезком,.,
целиком лежащим в области.) Очевидно, что г2Оз П*
377.	Для функции w = найти rb r2, г3 и построить-
образы кругов I z |<гь |г|<г2> |г|<г3.
378.	Найти г{ для каждой из следующих функций;
1) w = z + z2\ 2) w = z + az2 (а —действительное число);
3)	w = z/(l — г)2.
379.	Доказать, что при отображении w^=f(z) кривизна образа
,і	<	...	1+ Re [zf" (z)/f' (г)]
окружности |z| = r выражается формулой я =(^)І	*
380.	Доказать, что аналитическая функция f(z) отображает
окружность I z I = г на выпуклую кривую .тогда и только тогда,
когда	[j + Ф + arg f (z) ] = 1 + Re	> 0 для всех
Ф (z = ге/ф) ').
381.	Доказать, что круг | z | < г отображается аналитической
функцией / (z) (/(0) = 0) на область, звездную относительно
точки w = 0, тогда и только тогда, когда arg f (z) = Re [	J 0
для всех ср (z = rei({>).
382.	Доказать: 1) Ес!пи функция w = f (z) (f (0) = 0) отобра¬
жает круг I z I < 1 на область, звездную относительно точки
2) См., например, [4, гл. XIII, § 2].
53

-w = 0, то функция W[ = ^p-dt будет отображать этот же
.	о	,
круг на выпуклую область.	/
2)	Если w = f(z) отображает круг | z|< 1 на выпуклую об¬
ласть, то w{ = zf' (z) совершает отображение этого круга на
область, звездную относительно точки w = 0.
383.	Найти г2 Для каждой из следующих функций:
1) oy = z + z2; 2) w=z + az2 (а — действительное число);
3)	w = z/(l-z)2.	.
384.	Найти гх и г2 для.функции w = ez — 1.
385.	Найти г3 для каждой из следующих функций:
1) oy = z + z2; 2) w = z + az2 (а — действительное число);
3)	w = z/(l-z)2.
Указание. При решении задачи 385, 3) удобнее исходить непосред¬
ственно из неравенства [<р + arg f' (z)]	0.

ГЛАВА III
ИНТЕГРАЛЫ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
В задачах этой главы, а также и в следующих главах, если не огово¬
рено противное, обход простых (т. е. без точек самопересечения) замкнутых
контуров происходит в положительном направлении.
§ 1. Интегрирование функций комплексного переменного
386.	Непосредственным суммированием доказать равенства:
Z\	Zx
1) J dz = zl—zü\ 2) J z dz = ± (z? — zfy.
Zo	Zo
387.	Пусть С — простой замкнутый контур, ограничивающий
площадь S. Доказать следующие равенства:
1) Jxdz = ZS; 2) jydz = — S; 3) j zdz = 2iS.
ce	c
388.	Вычислить интегралы f xdz, I2= Jydz по сле¬
дующим путям:
1)	по радиусу-вектору точки z = 2-H’;
2)	по полуокружности |z|= 1, 0< argz<n (начало пути
в точке z = 1-);
3)	по окружности I z — а | =
389.	Вычислить интеграл ||z|dz по следующим путям:
1)	по радиусу-вектору точки z = 2 —і;
2)	по полуокружности |z|=l, O^argz^n (начало пути
в точке z = 1);
3)	по полуокружности I z I = 1, —у arg z < (начало пути
в точке z = — 0;
4)	по окружности I z I = R.	.
55

граница полукольца,
Рис. 11.
390.	Вычислить интеграл J \z\zdz, где С —замкнутый кон-
с	.
тур, состоящий из верхней полуокружности |z|=l и отрезка
— 1<х<1, г/ = 0.
391.	Вычислить интеграл j
с
изображенного на рис. 11.
392.	Вычислить интеграл J (z — а)п dz (п — целое число):
1) по полуокружности I z — а | =7?, 0 arg (z — а) л (начало
пути в точке z = a + R)'t
2)	по окружности [z — а| = /?;
3)	по периметру квадрата
с центром в точке а и сторо¬
нами, параллельными осям ко¬
ординат.
В задачах 393—396 стоящая под
знаком интеграла ветвь многозначной
функции выделяется заданием ее зна¬
чения в некоторой точке контура ин¬
тегрирования. Если контур замкнут,
то начальной точкой пути интегриро¬
вания всегда считается та точка,
в которой задано значение подынтегральной функции (следует иметь в виду,
■что величина интеграла может зависеть от выбора этой начальной точки)*
'	f dz
393.	Вычислить интеграл —7=“ по следующим контурам:
J У z
полуокружности |z|=l,	]/£=!;
полуокружности |z|=l, у 0, ‘|/j=—l;
полуокружности |z|=L	= Ь
окружности |z|=l,- ]/1 = 1;
окружности |z|=l, У—1 =/.
1)
2)
3)
4)
5)
по
по
по
по
по
394.	Вычислить интеграл J Lnzdz, где:
с
С —единичная окружность и Ln 1 = 0;
С —единичная окружность и Lnz = -y-;
С —окружность |г| = 7? и Ln/? = ln/?;
С —окружность | z | =/? и Ln /? = In R + 2пі.
395.	Вычислить интеграл J zn Ln zdz, где n — целое число и
1)
2)
3)
4)
1) Ln 1 = 0; 2)Ln(—1) = лі.
-56

396.	Вычислить интеграл J z*dz, где а — произвольное-
І2| = 1	'
1 а ,	1	■
комплексное число и 1 =±= 1.
397.	Доказать, что j azdz = 0 при любом выборе началь-
І*І“І
ного значения функции а .
398.	Для каких а (0^а<2л) существуют интегралы:
1) Л = / е”7 dz\ 2) Ір = J е zP dz
(р — натуральное число), взятые по радиусу-вектору точку z = eia>
399.	Доказать, что если | а | R, то
Г I dz I	 .	2л/?
J \г-а 11 z + a| | У?2 - | а |2.| '
lz|=«
400.	Доказать следующие утверждения:
1) Если f (z) непрерывна в окрестности начала координат, то
2л
lim [ f (ге&) dq — 2nf (0).
'->°o
2)	Если f(z) непрерывна в окрестности точки z = a, то
lim
г-»0
Г f (г) dz
J z — а
|z-a|=r
= 2nif (à).
401.	Доказать следующие утверждения:
1)	Если f(z) непрерывна в полуполосе	и
существует предел lim f(x + iÿ) = А, не зависящий от у и равно-
Х-»оо
мерный по у, то lim f f(z)dz = iA'h, где рх—отрезок верти-
Х-»°о eJ
кальной прямой О^у^/г, пробегаемый снизу вверх.
2)	Если f(z) непрерывна в секторе 0<|z —а|^г0, 0^
^arg(z —а)^а (0<а^2л) и существует предел
lim [(z — a) f (г)] = А,
z->a
ТО
lim f f (z) dz = iAa,
где yr — находящаяся в данном секторе дуга окружности
|z — а\<г, пробегаемая в положительном направлении.
57

3)	Если f(z) непрерывна в области |z|>R0, O^argz^a
f0<as^2n) и существует предел lim zf (z) = А, то .
2->оо
lim Г f (z) dz = iAa,
где Гр —дуга окружности |z| = R, лежащая в данной области,
пробегаемая в положительном направлении относительно начала
координат.
402.	Доказать следующие теоремы:	■
1)	Если f(г) непрерывна в области |z|Ro, Imz^a
{а — фиксированное действительное число) и в этой области
/(z)->0 при z-х», то для любого положительного числа т
Ііт [ eimzf (z) dz = 0,
гя
где Г₽ —дуга окружности |z| = R, лежащая в рассматриваемой
области (лемма Жордана)»
Указание. При оценке модуля интеграла по полуокружности | z | « /?,
Im z > 0 воспользоваться неравенством sin Ѳ >= 29/я для 0 С Ѳ л/2, а при
оценке по дугам, лежащим в нижней полуплоскости (в случае a <0), — тем,
«іто длина каждой из них стремится к | а | при -> оо.
2)	Если f(z) непрерывна в полуплоскости Rez^CT (ст—фикси¬
рованное действительное число) и в этой полуплоскости
/(z)—>0 при z->oo, то для любого ртрицательного числа t
lim f e*‘f (z) dz = 0,
TR
где Гл — дуга окружности |z| = R, Rez^o. Если f(z) непре¬
рывна в полуплоскости Rez^CT, то утверждение справедливо,
если t положительно, а Гл —дуга окружности |z| = R, Rez^or.
Примечание. Доказательство обеих теорем приведено, например,
s [3, гл. V, § 2, п. 73].
§ 2. Интегральная теорема Коши *)
403.	Показать, что если путь не проходит через начало
координат, то
Z
J -у- = In г + z<p + 2aik,
1 ,
*) Задачи на вычисление интегралов, приведенные в этом и следующем
параграфах, носят в основном иллюстративный характер. Большинство задач
такого, рода помещено в § 4 главы IV, посвященном применению теории
вычетов.
58

где k — целое число, указывающее, сколько раз путь интегри¬
рования обходит начало координат (z = re/(p).
404.	Показать, что если путь не проходит через точки ±/, то
Г dl	л
J 1 + £2	4
о
где k — целое число.
405.	Показать, что если С —произвольный простой замкну¬
тый контур, не проходящий через точку а, и п — целое число, то
.	' 0, если п — 1,
{z — d)ndz = если п=—1, а —внутри С,
. 0, если и=—1, а —вне С.
406.	Интегральная теорема Коши справедлива в следующем
усилё^іом виде: если f(z) непрерывна в замкнутой об¬
ласти G, ограниченной простым спрямляемым контуром С, и
аналитична внутри G, то J f(z)dz = 0. Доказать это для случая
звездного контура *)•
Указание. Считая С звездным относительно начала координат, рас¬
смотреть контуры С>,: Ç =	(0<Л< 1, геС)-и совершить предельный?
переход-при Х->1 (см., например, [1, гл. V, п. 8] или [3, гл. I, § 4, п. 12] )„
407.	Доказать следующие утверждения:
1) Если f(z) аналитична в полосе	lim f(x + iy) = О
х->±оо
и интеграл	существует, то интеграл \f(x + ih)dx
— оо
также существует и эти интегралы равны’между собой.
2)	Если f(z) аналитична в угле 0<argz<a (0<а<2л)^
lim zf (z) = 0 и
2->оо
интеграл J f(x)dx существует, то интеграл
о
J f(z)dz вдоль луча z = reia, 0^г<оо, также существует и.
эти интегралы равны между собой.
Указание. Воспользоваться результатами задачи 401.
!) Контур называется звездным относительно некоторой точки, если*
каждый луч, выходящий из этой точки, встречает контур в одной точке.
_	5£

Указание. Интегрировать функцию f (z) = е z* по границе прямо¬
угольника I X I 7?/ О < У b и воспользоваться интегралом Пуассона
оо
J е~*2 dt =
— оо
409.	Доказать равенства
j cosx2dx=j sin х2 dx = (интегралы Френеля).
О	О	'
Указание. Интегрировать функцию f (z) = eiz2 по границе сектора
тс
'0 I z I 0 < arg г — и воспользоваться результатом задачи 402, 1)
(положить z2 = £).
410.	Доказать, что J ^^-dx=^ (интеграл Дирихле).
, 0 elz
Указание. Интегрировать функцию f (z) =	по границе области
0 arg z л и воспользоваться результатами задач 401 и 402.
411.	Доказать, что при 0<s< 1 справедливы равенства:
оо	оо>
1) f xs“1cosxdx = r(s)cos-y-, 2) Jxs“1sinxdx = r(s)sin-^a
о	О
Указание. Интегрировать функцию f (z) = zs~xe~iz по границе
области г < I z I < R, — у < arg z < 0; воспользоваться результатами задач
•401, 2) и 402, 1) и интегральным представлением Г-функции:
оо
Г (/) ™ Г xl~xe~* dx.
§ 3. Интегральная формула Коши
Всюду В' задачах этого параграфа С означает простой
замкнутый спрямляемый контур.
.	f dz
412.	Вычислить интеграл I , если:
*	с
1)	точка 3/ лежит внутри контура С, а точка — 3/ вне его;
2)	точка — 3/ лежит внутри контура С, а точка 3Z вне его;
3)	точки ± 3/ лежат внутри контура С.
413.	Вычислить все возможные значения интеграла
I dz
J z (z2 — 1)
С
ври различных положениях контура С. Предполагается, чТо
контур С не проходит ни через одну из точек 0, 1 и —1.
€0

414.	Какое число различных значений может принимать инте-
трал /	где а>п (z) = (z -zj (г -z2) ... (z -zn) (zt=£zj)
c
и контур С не проходит ни через одну из точек zz?
«	С zdz 1	•
415.	Вычислить интеграл	, а>\.
I z-a | = а
л < л п	- Л Ç ez dz .	~
416.	Вычислить интеграл -5-7- тглгтг, если контур С со-
J Z I* и
с
держит внутри себя круг |z|^a.	х
417.	Вычислить интеграл -?е, если точка а лежит
с
внутри контура С.
Указание. Воспользоваться формулами для производных интеграла
Коши. •'	'	’
418.	Вычислить интеграл J* - * _^*)з , если:
с
1)	точка 0 лежит внутри, а точка 1 вне контура С;
2)	точка 1 лежит внутри, а точка 0 вне контура С;
3)	точки 0 и 1 обе лежат внутри контура С.
419.	Функция f (z) — аналитическая в области, ограниченной
простым замкнутом контуром С, содержащим внутри себя
начало координат. Доказать, что при любом выборе ветви Lnz
|*f (z)Lnzdz = f(zo)-f(O),
С
где z0 —начальная точка интегрирования.
Указание. Интегрировать по частям.
420.	Вычислить интеграл z2 Ln г + 1. dz, если Ln a = In a
ZJXil J	z 1
c
для a>Q, и контур С:
1)	окружность [z| = 2;
2)	окружность |z—1|=1 и начальная точка интегриро¬
вания z = 1 + і.
421. Согласно теореме Лиувилля, функция f(z), аналитиче¬
ская и ограниченная во всей плоскости, является постоянной.
Доказать эту теорему, вычислив интеграл J*
|г| = Л
(\a\<R, |Z>|</?) и произведя его оценку при 7?->оо.
422. Пусть f(z) аналитична в замкнутой области, ограни¬
ченной контуром С; zh z2, zn — различные произвольные
61

точки внутри С и to„ (z) = (z — zj (z —z2) ... (z —zn). Показать,
что интеграл	•
p _ 1 f MC) <On(g)-<ûn (Z)
©„(g) i-z
c
есть многочлен (n—1)-й степени, совпадающий с f(z) в точках
Z], z2	zn (многочлен P(z) называется интерполяционным
многочленом Лагранжа.)
423. Доказать следующую теорему (формула Коши для
бесконечной области).	,
Пусть С — простой замкнутый контур, ограничивающий ко*
нечную область D. Функция f(z) аналитична во внешности
области D и lim f(z) = A. Тогда
2~>оо
— f (z) + A, если точка z принадлежит внеш¬
ности области D,
А, если точка z принадлежит об¬
ласти D.
Контур С обходится в положительном направлении отно¬
сительно области D.
Указание. Сначала рассмотреть случай А = 0.
424. Пусть функция f(z) и контур С удовлетворяют усло¬
виям предыдущей задачи.
Доказать, что если начало координат, принадлежит об¬
ласти D, то
1 f f (g)	= (	0, если z е D,
2яі J gz-g2 f f(z)/z, если zêP.
§ 4. Степенные ряды
Отыскание радиуса сходимости
В задачах 425 — 436 определить радиусы сходимости рядов.
«5-	426- Î4- 427 2 nV. 428. Ё-і-г».
n-1	n-0	n=l
429.	430. 2znl. .431. 2 2nznl, 432. 2 z2".
n	n-0	n-0	n=0
n=l
433. 2 [3 + (- l)n]nzn. 434. 2 cos in-zn. 435. 2(n + art)zn.
n-0	n-0	n-0 •
62

ЛЧЙ f X V «(а+О ... (a-l-n-l)P(P-H) ... (g + n-1) п
ЯдО.	nly(Y+l) ... (Y + n-1)	'г *
n-l
со
437.	Радиус сходимости ряда У сп^ равен /? (О < /? < оо).
п-0
Определить радиусы сходимости рядов:
1)	2) 2 (2Л- 1)сЛг"; 3) У>г'1; 4) 2 nncnzn-
п=0	п-0	п=1
■	п—и
5)2ф"; 6) S(1+zJ)c„z"	'
п—О	п—О
со	оо
438.	Радиусы сходимости рядов У anzn и У bnzn равны
соответственно rt и г2. Что можно сказать о радиусах сходи¬
мости рядов:
1) І	Ьп) гп; 2) 2 anbnzn-, 3) У г"?
n-о	«-о	Ьп
439.	Просуммировать при | г | < 1 следующие ряды:
.) >,«•; 2)^4; 3)î^., 4) Ê(- D-i.
п 1	п-1	n—О	z	n-l
Поведение на границе круга сходимости
Л
п= 1
В задачах 440 — 446 исследовать поведение степенного ряда
на границе круга сходимости,
оо	*	„
—	-	МП 9П
і
п-І
. оо
Sgptl	'
— (р - натуральное число).
п-1
■ 446.
440. 2 г", t 441.	442.
п-0	ІгТі	п -
443.
П-1
«5-
п—2
zn.
П=1
2-я теорема Абеля
оо
Согласно 2-й теореме Абеля, если ряд сп	то
n=Q
Um 2 спГп “ 2 с« (0<r< 1).
п-0	п-0
63

447.	Показать, что теорема, обратная 2-й теореме Абеля, не
'	оо
имеет места, т. ё. привести пример расходящегося ряда 2 сп>
п—0
оо
для которого существует предел lim T спгп.
u	r-> 1 n=0
448.	Пользуясь 2-й теоремой Абеля и решением задачи 439,
доказать следующие равенства:	■
оо
П=1
2)	=	(0<<р<2л);
п = 1
3)	(О<ІФІ<„);
n=0	4
.ч V^sin(2n+l)œ	л	zn .	_ X
4)	1 - 2Л+1	"Z	(0<Ф<п);
n=0
oo
5)	2^(- l)n+l^ = ln(2cosf) (—л<ф<п);
n=l	.
oo
6)	~nï	(~л<ф<л).
(_ 1)[^п1г«
449*. Доказать, что ряд 2j	„	 сходится неабсо-
П=1
лютно во всех точках границы круга сходимости.
Указание. Если z=l, то разбить ряд на группы слагаемых одного
знака и показать, что эти группы удовлетворяют условиям признака Лейб¬
ница для знакочередующихся рядов. Если | г |_= 1 и z=H=L то воспользоваться
теоремой из задачи 90, положив ап=( —	bn = \/п.
450.	Доказать, что если последовательность действительных
положительных чисел {а„} монотонно стремится к нулю и
ОО '
радиус сходимости ряда 2 anZn равен 1, то этот ряд сходится
всюду на окружности |z|=l, исключая, быть может, точку
z = 1.
Указание. Воспользоваться признаком сходимости Дирихле (см.
задачу 88). '
64

451.	Доказать, что если ряд' У c„zn сходится в точке £ = Re19
п=0
на окружности круга сходимости, то он сходится равномерно
во всякой замкнутой области G, принадлежащей кругу сходи¬
мости, лежащей в угле между какими-нибудь двумя хордами
окружности I z I = R, выходящими из точки £, и не содержащей
никаких точек окружности | z | = R, кроме точки Ç.
Примечание. Это утверждение является более общей формой
2-й теоремы Абеля (см., например, [2, гл. III, § 7]).	'
§ 5. Ряд Тейлора
Разложение функций в ряд Тейлора
В задачах 452—466 указанные функции разложить в сте-
со
пенной ряд У спгп и найти радиус сходимости.
п-0	'
452.	chz. 453. shz. 454. sin2z. 455. ch2z.
456. (a + z)a (a° = ealne). 457.
458-459- г--.:+із-
461. In]** . 462. Arctgz (ArctgO = O).
463. Arshz (ArshO = O). 464. ln(z2 —3z + 2).
2	2	_
465. J ez‘dz. 466. j*-^dz.
о	о
В задачах 467—472 указанные функции разложить в ряд
по степеням (z—1) и найти радиус сходимости.
467.^. 468.^^. 469.-^.
470.	~ 1 +2Z^) • 471. Inz. 472. sin(2z — z2).
В задачах 473 — 477 найти первые 5 членов разложения
в ряд по степеням z указанных функций.
473. ezslnz. 474. ]/cosz (]/cosz= 1 при z = 0).
475. (1+z)2 = ezIn(1+z). 476. e< 477. ег1п(1+z).
478.	1) Разложить в ряд по степеням z функцию In (1 + е*)
(найти рекуррентное соотношение между коэффициентами ряда).
Указание. Предварительно найти разложение производной данной
функции.
2)	Доказать, что единственным членом разложения, содер¬
жащим нечетную степень z, будет z/2.
Указание. Воспользоваться тождеством In (1 + ег) — In (1 + ô“2) — z.
3 Л. И. Волковыский и др.	65

В задачах 479 — 483, пользуясь умножением рядов и подста¬
новкой ряда в ряд, разложить в ряды по степеням z указанные
функции.
479.	[In (1 - z)]2. 480. [Ln (1 - z)]2 (Ln 1 = 2ш).
481. (Arctgz)2 (ArctgO = 0). 482. Arctgzln(l+z2) (ArctgO = 0).
483.	e^.	.
484.	Доказать, что если разложение функции 1/cosz записать
оо
в виде =	( ~ О" г2п> то числа Е2п (числа Эйлера)
п-0
удовлетворяют соотношениям
/ 2пД	/ 2п \
Во=1,	+ 2	+ ••• + 2п/^2п =
485.	Доказать, что если разложение функции г/(ег — 1) в ряд
оо
Z	Bfi fi	п
по степеням z записать в виде	z , то числа Вп
п-0 .
числа Бернулли) удовлетворяют соотношениям
Во=1,
п + 1
1
\	/ п + 1 \
) Вх + ... +( ІВЛ = 0.
/	\ п / п
486.	Доказать, что все числа Бернулли с нечетными индек¬
сами, кроме Въ равны нулю.
,,	г»	z ( —z)
Указание. Воспользоваться тождеством —			—» — z.
.	е—\ е г — 1
487.	Разложить в ряд по степеням z функцию zctgz и
найти радиус сходимости полученного ряда.
Указание. Воспользоваться вытекающим из формул Эйлера равен¬
ством z ctg z = iz + 2izl(e2iz — 1).
488.	Разложить данные функции в ряды по степеням z и
найти радиусы сходимости полученных рядов:
1) Іп-^; 2) tgz; 3) In cos z; 4)
489.	Доказать, что коэффициенты сп разложения
l-Z-Z2	СпгП
n—0
удовлетворяют соотношению cn = cn-.t + in_2 (n^2). Найти on
и радиус сходимости ряда.
Примечание. Числа сп называются числами Фибоначчи,
66

.лл	А + Bz 4- Cz2 V1 n / / л\ «
490.	В разложении -а + + vgr+-^3 = Zj с«2 (« =/= °) наити с0,
п=0	-
cif с2, а также рекуррентное соотношение между сп, сп_ь сп_2і
Сп-3 (п> 3).	:
Производящие функции систем многочленов
Если в некотором круге | /1 < R имеет место разложение
F а, г) = 2
Z-	п=0
то функция F (f, z) называется производящей функцией для последователь¬
ности {fn (г)}. Часто некоторые свойства последовательности функций {fn (г)}
удается доказать, опираясь на свойства ее производящей функции.
491.	Полиномы Бернулли ф„(г) определяются разложением
/ е<г —1 _ V Ф»<г)
?-1 Д «I ’’
П=1
Доказать следующие их свойства:
1)	ф„ (z + 1) - ф„ (г) = nzra-1;	,
2)	если т — натуральное число, то
= 1 +2" + зп+ ... +(/п-1)л;
П-1 / \
3)	Фп (z) = У] I I Bkzn~k, гйе Вк — числа Бернулли (см. за-
4=0 'К'
дачу 485).
492. Функция
1
/і-2/z+Z2
является производящей для поли¬
номов Лежандра Pn(z):
1
/і-2/z+Z2
СО
=S p*wn-
n=0
Доказать соотношения:
1)	(п + 1) Рп+1 (z) - (2п + 1) zPn (z) + пРп-і (z).= 0;
2)	Pn (z) - Pn+i (z) - 2zP„ (z) + Pn^i (z);
3)	(2n + 1) Pn (z) = Pn+i (z) - Pn-t (z).
Указание. Дифференцировать производящую функцию соответственна
по t и по 2.
8*
67

493.	Пользуясь интегральной формулой для коэффициентов
ряда Тейлора, доказать, что если — 1 <s< 1, то
P (S) = _L	•
где С —окружность радиуса Я>1 с центром в точке Ç = 0.
4 _ /2
494.	Доказать, что функция 4 _ 4<г + является производя¬
щей для полиномов Чебышева:
Tri (z) = cos (n arccos z).
Пользуясь интегральными формулами для коэффициентов ряда
Тейлора, установить, что 4Т„+І (z) — 4zTa(z) + Tn_x (z) = 0 при
n^2.	.
495.	Полиномы Эрмита — Чебышева Нп (z) определяются раз¬
ложением
e2tz-t> — 2 ЛлЮ. f\
n=0
Доказать следующие соотношения:
1)	Я„+І(г)г-2гЯ„(г) + 2пЯп_І(г) = 0 (n> 1);
2)	H'n(z) = 2nHn-i(z) (п>1);
3)	Hn (z) - 2zHn (z) + 2nHn (z) = 0 (n > 0);
4)	=
496. Полиномы Чебышева — Лагерра можно
равенством
определить
Тп (г) = ег
<іп(гпе~г)
dzn
Найти производящую функцию для последовательностная С2)}
и с ее помощью получить рекуррентную формулу, связывающую
^я-і (2), Ln (г) и Lrt+i (г).
Примечание. В задачах 492—496 рассмотрены лишь некоторые част¬
ные свойства указанных систем полиномов. О других важнейших их свой¬
ствах, играющих большую роль при решении различных задач математиче¬
ской физики, см., например, [3, гл. VII, § 2] или Р. Курант и Д. Гиль¬
берт. Методы математической физики, Гостехиздат, 1951, т. 1, гл. II и VII.
Решение дифференциальных уравнений
В задачах 497—499 найти решения данных дифференциаль¬
ных уравнений, удовлетворяющие условиям ^(0) = 0, и/(0)=1.
497.	w" — z*w = Зя2 - ж4,
68

498.	(1 — z2)w" — 2zw' + n(n + 1)w =0.
499.	(1 — z2) w" — 4zw' — 2w = 0.
oo
500.	Разложить в ряд вида У cnzn функцию cos (tn arcsin z)
n^O	’	-
(arcsin 0 = 0), составив дифференциальное уравнение, одним из
решений которого является эта функция.
501.	Дифференциальное уравнение
z(l ~ z)^+ [е - (а + Ъ + l)z]	- abw =0
называется гипергеометрическим.
Найти аналитическое в точке z = 0 решение w (z) гипергео¬
метрического уравнения, удовлетворяющее условию а>(0)=1,
предполагая, что с не равно нулю или целому отрицательному
числу.
502.	Доказать, что общее решение гипергеометрического
уравнения имеет вид (с не равно целому числу)
w = CiF (а, Ь, с, z) + C2z'~cF (а + 1 — с, b + 1 — с, 2 — с, z),
где F (a, b, с,-г) — функция, определенная в предыдущей задаче
(гипергеометрический ряд).	ѵ
503*. Доказать, что если с не равно нулю или целому отрица¬
тельному числу, то
4F (а	=	+ і 6 + t	}
az	с	'
§ 6. Некоторые приложения интегральной формулы Коши
и степенных рядов
Нули аналитических функций
504.	Доказать, что точка z0 тогда и только тогда является
нулем порядка k аналитической функции f (z), когда в некоторой
окрестности точки z0 имеет место равенство f (z) — (z — z0)* <p (z),
где функция ф (z) аналитична в точке z0 и ф(г0)=/=0.
505.	Найти порядок нуля z = 0 для функций:
1) z2 (е2’ - 1); 2) 6 sin z3 + z3 (z6 - 6); 3) esln 2 - e*
506.	Точка z0 является нулем порядка k для функции f(z) и
нулем порядка I для функции ф(г). Чем является точка z0 для
следующих функций:
l)f(z)ç(z); 2) f (z) + ф (z); 3)
В задачах 507—521 найти порядки всех нулей данных
функций.	’
507.	z2 + 9. 508.	509. z sin г. '
z*
69

510. (1-e*) (z2-4)3. 511. 1 - cos z. 512. -(г2 sin z .
513. 1 ~ctgz . 514. е‘ег. 515. sin3z.
Z
516.	51T. sinz3. 518. cos3 z.
519.	cos z3. 520. (/z-2)3. 521. .(1 - ]/ 2 -2 cos z)2.
Теорема éдинственности
522.	Может ли последовательность нулей (или вообще Я-точек)
функции, отличной от тождественной постоянной и аналитиче¬
ской во всей конечной плоскости, иметь предельную точку?
523.	Существует ли функция, аналитическая в точке г = 0
и принимающая в точках £ =	(п=1, 2, ...) значения:
1)	0, 1, 0, 1, 0, 1, ..., 0, 1,
2)	0, 1 0, 1, 0, А	0, Jf,...;
o'	1	1	1	1	1	1	1	1	.
2	’	2 ’	4 ’	4 ’	6 ’	6 ’	•	' • ’	2k ’	2k	’	’ • '	’
.,	1	2	3	4	5	^	п
4‘	~2	’	з"’	"4 ’	Т’	"6 ’	7 ’	•••’	7+7’	••••
524.	Существуют ли функции, аналитические в точке z = 0
и удовлетворяющие условиям (п натуральное число):
■нйННЫ;
ап (4Н(Ч)=^'
525.	Функция sin 1 имеет бесконечную последователь¬
ность нулей, сходящуюся к точке 2=1, но тем не менее эта
функция отлична от постоянной. Не противоречит ли это тео¬
реме единственности?
Выражение аналитической функции через
ее действительную или мнимую части
526*. Функция f (г) = и (х, у) + іѵ (х, у) аналитична в точке
zo = *o + z’#o и f(zo) = Co- Доказать, что
527.	Доказать, что в условиях предыдущей задачи
70

В задачах 528—531 найти аналитическую функцию f(z) —
= и (х, у) + Іѵ (х, у) по данной ее действительной или мнимой
части.
528.	и (х, у) = х2 — у2 + 2.
529.	и (х, у) = ех (х cos у - у sin у) —	•
530.	ѵ(х, у) = х + у — 3. 531. о(х, y) = cosxshÿ —sh xsiny.
Неравенства Коши
532. Пусть разложение функции f (z) в круге | z |< R имеет вид
f(z)=2 cnzn. -
л-0
2Л	оо
1)	Доказать, что j | f (re1^) j2 dtp = JJ |c„p.r2n (r</?).
0	n=0
2)	Доказать, что если max|f(z) |= Af(r), то коэффициенты cn
|z |=r
удовлетворяют неравенствам (неравенства Коши)
(r<R).
3)	Доказать, что если хотя бы одно из неравенств Коши
обращается £в равенство, т. е. | с* | = М (r)/rk, то функция f (z)
имеет вид f (z) = cftzfe.
Указание. Воспользоваться следующим из п. 1) неравенством
2 I СПI2 г2л < [ЛЬ(г)Р.
п-0
533; С помощью неравенств Коши доказать теорему Лиу-
вилля: если функция f(z) аналитична во всей плоскости и огра¬
ничена, то она постоянна.
Примечание. Другой способ доказательства теоремы Лиувилля
указан в задаче 421.
534.	Доказать, что расстояние ближайшего к точке z = 0
со
нуля функции f (z) = 2 cnzn не меньше чем ., где р—любое
п-0
число, не превышающее радиуса сходимости ряда, а М=А1(р) =
«=max|f(z)|.
І2І-Р .
Указание. Установить, что функция f(z) не имеет нулей в области,
где If (*)■*• £оІ <І^о I» и оценить |f(z) — с01, воспользовавшись неравенствами
Коши.
71

оо
535.	Функция f(z)=2 cnz" — аналитическая при | z | г.
п-0
ОО	_
Доказать, что ряд ф (z) =	сходится во всей плоскости и
n»0	z
' -Ш.
для его суммы справедливы оценки | <p(z) |<ЛГе г , | <р(Л) (г) | <
|г|
< — е г (М — постоянная).
Теоремы площадей для однолистных функций
оо
536.	Пусть функция f(z) — 2 cnza аналитична в круге | z
n=0
и отображает этот круг однолистно на область G площади S.
оо
Доказать, что 3 = л 2 «I сп |2.
п—1
Указание. Записать формулу для вычисления площади S в полярных
координатах.
Примечание. Если опустить условие однолистности, то отдельные
части области G нужно считать столько раз, сколько раз принимаются
в круге |z|<l соответствующие значения функции f (z).
537.	Доказать, что если в условии предыдущей задачи
функция f(z) аналитична только в открытом круге \z |< 1 и
если при этом существует конечный предел lim Sr = S, где
г->1
оо
3, —площадь образа круга |z|^r< 1, то ряд 2 п!спР схо¬
дится и его сумма равна S/л. Доказать также, что если
оо
lim Sf = оо, то ряд 2 »1 сп F расходится.
г->1	п-1
Примечание. См., например, [4, гл. XIII, § 1].
538.	1) Пользуясь решением задачи 536, доказать, что если
f (0)= 1 и функция f (z) отображает конформно и взаимно одно¬
значно круг I z I 1 на некоторую область G, то площадь
области G не меньше площади отображаемого круга (экстре¬
мальное свойство отображения на круг).
2)	Доказать, что из всех функций f(z), аналитичных в круге
2п
I z 1 и удовлетворяющих условию J | f pd<p = М, ли-
0
нейная функция реализует отображение круга на область наи¬
меньшей площади. Найти эту площадь, если f(0) = 0.
72

Принцип максимума модуля
В задачах 539 — 542 следует воспользоваться принципом
максимума модуля.
539.	Доказать, что если функция f (z), отличная от константы,
аналитична в области G и не обращается в нуль, то минимум
I f (z) I не может достигаться внутри области G.
540.	1) Доказать, что внутри области; ограниченной про¬
стой замкнутой линией уровня модуля функции f(z) (т. е. ли¬
нией, во всех точках которой | f (z) | = const) и содержащейся
вместе с границей в области аналитичности функции f(z), най¬
дется по крайней мере один нуль этой функции (f (z) й С).
2)	Доказать, что если P (г) — многочлен степени п, то линии
уровня его модуля |P(z)| = C (лемнискаты) могут распадаться
не более чем на п связных компонент.
541.	Доказать лемму Шварца: если функция f(z) анали¬
тична в круге |z |< 1, f(0) = 0 и |f(z)|^l, то во всем круге
lf(z)K|z|.	.	.
Доказать также, что если хотя бы в одной внутренней точке
круга I f (z) I = I z I, то f (z) = eiaz (a — действительное число).
Указание. Рассмотреть функцию f (z)/z и применить к ней принцип
максимума модуля.
542.	Доказать, что если в предыдущей задаче условие
/(0) = 0 заменить условием f(a) = 0 (|a|< 1), то при |zl^l
справедливо неравенство | f (z) |	| I •
Указание. Рассмотреть функцию
1 — az
t (z).
z —a

ГЛАВА IV
РЯД ЛОРАНА, ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНЫХ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 1. Ряд Лорана
В задачах 543 — 560 данную функцию разложить в ряд Ло¬
рана либо в указанном кольце, либо в окрестности указанной
точки. В последнем случае надлежит определить область,
в которой разложение имеет место.
543.	в окрестности точек z = 0 и z = оо.
544.		!—— (а #= 0, k — натуральное число) в окрестности
(z — ау*
точек z = 0 и z = oo.
545.	в окрестности точек z = 0, z=l, z = oo.
546.	(0<|яІ<Ш) в окрестности точек z = 0,
z = a, 2 = ооив кольце | а | < | z | < | b |.
547.	(г_2) (Z2 + в окрестности точки z = 2 и в кольце
K|z|<2.	2
548.	в окрестности точек z = l и z=oo.
549.	]/\z — a) (z — b) (| b \~^\ a |) в окрестности точки z=oo
(рассмотреть обе ветви функции).
550.	f (z) = ]/”2~ (im f (y) > О) в кольце 1 < | z | < 2i
551.	z2ei/z в окрестности точек z = 0 иг = оо.
552.	e'~z в окрестности точек z = 1 и z = сю.
Z?“ 	 Az
553.	cos-y—stj- в окрестности точки z = 2.
\z “
74

554.	z2 sin—Ц- в окрестности точки z=l.
555.	е+1 в области 0<lz|<oo.
556.	sinzsin— в области 0<|z|<oo.
Z
557.	sin в окрестности точек z=l и z=oo (в послед¬
нем случае ограничиться четырьмя первыми членами ряда).
558.	ctg z в окрестности точки z = 0 и в кольце л < | z | < 2л.
559.	in	в окрестности точки z=oo.
550.	' in в окрестности точки z = оо ив кольце
1<|г|<2.	21	ж
561.	Выяснить, допускают ли указанные функции разложе¬
ние в ряд Лорана в окрестности данной точки:
1) cos-р z = 0; 2) cos-р z=oo; 3) secpp-, z=l;
4)	ctgz, z=oo; 5) th-p z = 0; 6) —p-,	z = 0;
sin —
z
7)	sin2-3•> г==оо; 8) ln2’ z = 0; 9) lnT^T> 2=oo;
10)	Іп-Ц^, z=oo; 11) za(=ealnz), z = 0.
'	Z +1
562.	Выяснить, имеют ли указанные многозначные функции
однозначные ветви, допускающие разложение в ряд Лорана
(в частности, в ряд Тейлора) в окрестности данной точки:
1) ]/z, z = 0;
3>/ u-nu-g’ г-“;
5)	I)2, z = оо;
7)	V1 + /z, z = 0;
9)	VzT/z^T, z=l;
11)	Ln[(z— l)(z —2)], z = °o;
13) Arcsinz, z = 0;
15) Arsh (i + z), z = 0;
17)	- Arcsinz, z = p^.
2) ]Zz(z— 1), z= oo;
4)	V(z— l)(z—2)(z—3),z=oo
6)	16 + /z, z= 1;
8)	Vz+I^z2—1, z=oo;
10)	jZl+]/~рру , z = oo
l2)Ln-S^4Mr. *=oo;
’ (z —y)(z —ô) ’	’
14) Arctg(l+z), z = 0;
16)	— Arcsinz , z=l;
75

563.	Функция f(z) = S cnzn, аналитическая в кольце
П= — <х>
I z I	R, однолистно отображает это кольцо на некоторую
область D. 1) Доказать, что площадь S этой области равна
S = л з п\ сп F (#2rt — г2").
П=~ оо
2) Доказать, что формула для площади S сохраняет свою*
силу и тогда, когда f(z) аналитична лишь в области r< |z| <
< R; при этом обе части равенства могут одновременно обра¬
щаться в ОО.
Указание. См. задачи 536 и 537.
564.	Функция f(z) однолистна в области | z | > 1 и разла¬
гается в этой области в ряд Лорана вида f (z) = z +	-f-
Доказать, что
2	п\с_п |2 < 1,
П=1
и выяснить геометрический смысл полученного неравенства
(внешняя теорема площадей).
Указание. Воспользоваться тем, что для площади Sr, ограниченной
образом окружности | z | = г > 1, имеем (/(г) = и + іѵ)
2л _	_
f z/ f f + f	df \ <
0<Sr = и du = \ —z	—  	— dqp.
- J	J 2 2Z \ dæ dtp /
I z |=r	0
§ 2. Особые точки однозначных аналитических
функций
В задачах 565—600 найти особые точки функций, выяснить
их характер и исследовать поведение функций на бесконеч¬
ности !).
1	^4	^5	1
565.	^-. 566.^. 667.	568.
569.	570.	571.se-*.	572.
573. eZ 574.	575.	-	.	576. th z.
z(l-e~2)	2 + ег	z3(2-cosz)
	1_	1	z		1_
577. e z\ 578. se2. 579. e1"2.	580. e z. 581. —z—r.
e — 1
9 В ответах не делается различия между устранимой особой точкой и
правильной.
п '

Б82. -J—.	583.	584. tgz. 585. tg2z. 586.
sin z	z*	&	to	z2
1	2	1	1
687.	ctgz--. 588. ctgz--. 589. Ц	. 590. 		.
& z	° z	sin z — sin a	cosz-f-cosa
591. sin-r——.	592.			:—.	593. ctg-.
(z2 —4)2 cos ■ z _ 2
594. ctg-!	L. 595, sjn-1--J--L. 596, e~zcos —. 597. ects 2 .
° z z	z z	z
tg —	/	1	\	/	1	\
598. e 2. 599. sin/	j-j. 600. sin /	j-|.
I sin— I	I cos— I
\ z J	\ z J
В задачах 601 — 610 исследовать поведение каждой из одно¬
значных ветвей заданной многозначной функции в указанных
точках (определить, является ли точка правильной для соот¬
ветствующей ветви или особой; в последнем случае указать
характер особенности).	-
601.
603.
605.
z
1+/^3 ’
2z + 3
1+z-2/z
1
z = 4.
z=l.
602. ■ iVz: ,
Уг +Vz
604. cos——7=-
l + fz
z= 1.
. 2= 1.
(2 + V z ) sin (2 — У z )
1	I	1 \2
606. ctg	/=-, z = /l-i	1 , где£=±1, ±2,
1 + V z	\	kn /
И Z = CO.
608. sin
2(1 4- kn)
(1 + kn)2- 1
где k = ± 1,
, и z= 1.
±2, ...,
1
		 , z=oo.
z
z-2
««9- Ч-GF’	ЙУ *->■
Sin —77т-	sin ■■
2i	4t
610. sin
, z=l.
, z = 4.
611.	Пусть Pn(z) и Qm (z) — многочлены, соответственно
n-й и m-й степеней. Охарактеризовать поведение на бесконеч¬
ности следующих функций:
1) Pn(z) + Qm(z);	3) ^n(z)Qm(z).
77

612.	Доказать равносильность следующих двух определений :
1)	Точка z0 называется полюсом порядка п функции f(z),
если в лорановском разложении f(z) в окрестности г0
оо
3	cn,(z-z0)n, с_п=/=0, c_(rt+1) = c_(n+2>= ... =0.
П=—оо
2)	Точка z0 называется полюсом поряка п функции f(z),
если в некоторой окрестности этой точки f (z) = <р (z)/(z — z0)n,
где функция ф (z) аналитична и ф(го)=#О.
613.	Построить примеры функций, имеющих в расширен¬
ной плоскости только следующие особенности:
1)	полюс второго порядка на бесконечности;
2)	полюс второго порядка в точке z = 0 с главной частью
разложения с-г/z2 и простой полюс на бесконечности;
3)	простые полюсы в точках гк = <лк, где & = е2пі/п (& = 0, 1,
2, .... п — 1).
614.	Найти общий вид функции, имеющей в расширенной
плоскости только следующие особенности:
1)	один простой полюс;
2)	один полюс порядка п;
3)	полюс второго порядка в точке z = 0 с главной частью
разложения 1/z2;
4)	полюс порядка п в точке z = 0 и полюс порядка т на
бесконечности;
5)	п полюсов первого порядка.
615.	Пусть f(z) — однозначная функция, не имеющая в об¬
ласти G других особенностей, кроме полюсов. Доказать, что
функция f л (логарифмическая производная функции f (z)—
— А) имеет простые полюсы во всех полюсах функции f(z) и
во всех Л-точках этой функции и не имеет никаких других
особых точек.
616.	Какую особенность имеет в точке z = z0 (допускается
случай z0=oo) функция F(z) = f [<p(z)], если функция ф (z) в этой
точке аналитична или имеет полюс, а точка £0 = ф (z0) является
для функции f(£) особенностью следующего вида:
1) устранимой особой точкой,, 2) полюсом порядка п, 3) су¬
щественно особой точкой?
617.	Точка z0 (допускается случай Zt) = oo) является изоли¬
рованной особой точкой функции f (z), отображающей дугу
окружности (или прямолинейный отрезок) у на некоторую дугу
окружности (или прямолинейный отрезок) у'. Каков характер
особенности функции f(z) в точке z*, симметричной с z0 отно¬
сительно у (функция f(zj продолжена через у по принципу сим¬
метрии), если точка z0 является для f(z):
1) полюсом порядка п, 2) существенно особой точкой?
78

618.	Теорема Сохоцкого утверждает, что если точка
является существенно особой для функции f (г), то, каково бы
ни было комплексное число А (включая А = оо), существует
такая последовательность точек {zn}, сходящаяся к точке г0»
что limf(zn) = Æ Доказать, что теорема Сохоцкого остается
п-»оо
справедливой для неизолированной особой точки, являющейся
предельной для полюсов1). (Иногда такўю точку просто при¬
числяют к существенно особым.)
619.	Найти пределы:
1) lim ctg2z; 2) lim 3) lira 4) lim—
ÿ->±oo	t/->±oo ьш*	х->±оо z	X“0çin_L
у->о Z
Не противоречит ли существование этих пределов теореме
Сохоцкого?
Теорема Пикара утверждает, что в окрестности существенно особой
точки аналитическая функция принимает бесконечно много раз всякое ко¬
нечное значение, за исключением, быть может, одного, которое называется
пикаровским исключительным значением. Если рассматривать мероморфные
функции, то возможное число исключительных значений (включая оо) не
превосходит двух (см., например, [2, гл. VIII, § 8]).	'
620.	Проверить теорему Пикара для функций:
1) ег; 2)еІ/г; 3) cos у*, 4) tgz; 5) tg2z.
Найти исключительные значения для каждой из этих функ¬
ций и показать, что эти значения (если они существуют) явля¬
ются асимптотическими, т. е. что можно указать хотя бы одну
линию, оканчивающуюся в существенно особой точке, вдоль
которой функция стремится к исключительному значению.
§ 3. Вычисление вычетов <
В задачах 621 — 641 требуется найти вычеты указанных
функций относительно всех изолированных особых точек и
относительно бесконечно удаленной точки (если она не является
предельной для особых точек).
621.	622- (г*+1)г’ 623, (1 +г)” (« — натуральное
число). 624. -гд(11.г2) . 625.	626. 7777^.
OZ	1
627-	6М-	629- -BÏ7- 63°- с‘г!г-
!) Предполагается, что в окрестности рассматриваемой точки полюсы
являются единственными особенностями.
79

631. ctg3z, 632. 1) cos z 2 2 ’ 2) COS г 2 2 • 633. *г>
634. sinzsin4"• 635. sin z i ♦ 636. cos г + jz ~1 .
637. —,—1 jft'A"638. zn sin— (n — целое число).
z(l — e пг)	z	’
639.
_' .640. -+£=-. 641.
sin — smyz . г
Z
(n — натуральное число).
В задачах 642 — 649 требуется найти вычеты каждой из
однозначных ветвей соответствующих многозначных функций
относительно указанных точек.
642.	Уz - относительно точки z=l.
1 — z
643.	Г . -L	 относительно точки г=1.
/2-2+1
~а
644.		(za = eaLnz) относительно точки z= 1.
1 — у z
645.	]Л(г — a)(z — b) относительно точки z=oo.
646.	1) Ln z~p- относительно точки z=oo;
Z — р
2) e2Ln-—£ относительно точки z=oo.
’	z- P
647.	1) Lnzsin—Ц- относительно точки z=l
'	z — 1
2) Lnzcos—Ц- относительно точки z = 1.
7	Z — 1
648.	A1 ctg-- относительно точек z = 0 и z=oo.
z
649.	znLn ——£ (n —целое число) относительно точекг = 0и
Z — р
2=00 (при вычислении вычета относительно точки z = 0 пред¬
полагается, что а=/=0, Р=/=0).
650.	Разложение функции в окрестности бесконечно удален¬
ной точки имеет вид f (z) = с0 + -j-+ ... Найти res [{f (z)}2] _м .
651.	Найти res [<p(z) f (г)]г_о, если ф(г) аналитична в точке а,
a f(z) имеет в этой точке:
1)	простой полюс с вычетом А;
2)	полюс порядка k с главной частью —- -f-	-|—°~к- .
.	г — а	(г — а)*
652.	Найти resl+rrl » если:
L f \z) Jz-a
1)	а —нуль порядка п функции f(z);
2)	а — полюс порядка п функции f (г).
80

653.	Найти res ^ф (г)	]г=а » если Ф (2) аналитична в точке а и:
1)	а —нуль порядка п функции f(z);
2)	а — полюс порядка п функции f (z).
654.	Найти res {f [ф (z)]}z=a, если функция ф(г) аналитична
вточке'а и ф'(а)=/=0, а /(£) имеет полюс 1-го порядка в точке
£ = ф(а) с вычетом А.
655.	Функция ф(г) имеет в точке а полюс 1-го порядка
с вычетом А, а /(£) имеет в бесконечности полюс 1-го порядка
с главной частью Bt,. Найти res {f [ф (z)] }г=а.
656.	Функция f (z), принимающая на дуге I окружности
|z — a\ = R действительные значения, аналитически продолжена
через эту дугу по принципу симметрии. Пусть точка z=0 (Р=#=а)
является для f (z) полюсом порядка k с главной частью
k
V С-П
П = 1
Найти res [f (г)]г-.з*, где 0’ — точка, симметричная с точкой
а = 0 относительно I.	-
§ 4. Вычисление интегралов
Непосредственное применение
теоремы о вычетах
В задачах 657 — 666 вычислить интегралы, считая, что обход
замкнутых контуров происходит в положительном направлении.
657»	1 «где С —окружность х2 + уг = 2х.
J ~ I А	s'
658.	f (2 -1)^-2)»' ’ где С ~ окружность I Z - 2 I = у.
с
659.	I (2-3)%-1) где С~ окружность |z| = 2.
с
Указание. Воспользоваться тем, что сумма вычетов относительно
всех особых точек (включая бесконечно удаленную) равна нулю.
I* z& dz
660.	J 2F+T’ где С— окружность |z|=l.
с
Г ег
661.	J г29) dz, где С —окружность |z|=l.
с
662.	-Дг sin —dz, где С— окружность | z | = г.
" ZTtl J z
с
663.	-Ду sin2 Дйг, где С —окружность |z| = r.
zni J z
c v
81

664.
|z| = r.
665.
—U f znez dz, где n — целое число, a
2ш J
С
j (1 +z + z!){e1+ ег~1+ ег~2)dz.
|z|=3
C — окружность
Г zdz
666.	-	7Т~~	г-
J sin z (1- cos z)
12 Is*5	1 f f (z)
667.	Вычислить интеграл J dz, если С-простой
С
замкнутый контур, ограничивающий область G, содержащую
точку z = 0. Функции f(z) и g (г) аналитичны в замкнутой об¬
ласти G, причем функция g(z) не обращается в нуль на кон¬
туре С и имеет в области G лишь простые нули а,, а2, ..., ап,
ни один из которых не совпадает с началом координат.
668. Пусть f (z) = а0 + a{z + ... + anzn. Доказать, что
J г'’-І7(г)Мг = аоа„/?2'г.
|zl=-R
В задачах 669—672 вычислить указанные интегралы.
669ф 2л/ J уг2 + г + і »
где С — окружность | z | = г =/= 1.
670.
1	(*	dz

2лГ J (2« + 1)Уа2 + 1
У»
О
а+іф.
7
Hot
ot-ifi
X
(Vl =1)» где С —парабола yl = x,
обходимая в сторону возрастания у.
671	1		dz (аг = ргіаа\
o'1• 2л/ J az sin ла 1“ e 1»
c
где a>0, а С — проходимая снизу
вверх прямая х = а, 0<а<1.
Рис. 13.
где контур у указан на
Рис, 12.
Указание. Рассмотреть -X J
Y
рис. 12, и перейти к пределу при 0 -> оо.
1 Г в2 dz
672. -л—г 	, где контур интегрирования С указан на рис. 13.
&Л1 J cos z	*—
с
82

Определенные интегралы
Если функция f(x) обращается в бесконечность при х= с (а<с<Ь)
Ь	’
то главным значением интеграла J f (х) dx по Коши называется
а
-с—е	b	-
lim f f(x)dx+ f f(x)dx .
e->o J	J
_a	c+e	_
Это определение естественным образом обобщается на случай криволи¬
нейного интеграла.
Если функция f (х) непрерывна на всей числовой оси, то главным зна-
оо	N	.
чением интеграла f(x)dx называется lim f(x)dx.
J	ДГ->оо J
— оо	— N
В задачах 673—680 найти определенные интегралы. В слу¬
чае, если интеграл несобственный и расходится, найти его глав¬
ное значение (если оно существует).
2Л
673.	f ,rf<p (а>1).
J а 4- cos ф х '
о
Указание. Положить еі(р = г.
2Л
674.	f . й (а > b > 0).
J (а + бсоБф)2 х	1
о
2Л
675.	f 7 ^/ф2 ,г (а>0, ô>0).
J (а 4- b cos2 ф)2 х *	1
о
2Л
676.	, „2 (а - комплексное число и а=/= ± 1).
о
2Л
п__ Г cos2 Зф d® ,	,
677.	J 1 —2асозф + а2 (а “ комплексное число и а=/= ± 1).
о
2Л
678.	J ecos ф cos (nq> — sin qp) dtp (п — целое число),
о
Л
679.	J tg (х + іа) dx (а — действительное число),
о
2Л
680.	J ctg(x + a)dx (а — комплексное число и Іша=/=0).
' о
83

681. Доказать, что при b>a>— 1
п
2
cos" ф cos bœ dq) =		—т

. J *	*	2»+>г(.а + 6
лГ (а + 1)

à-'Ñà \^2±+1)
) гь~1 dzt где С —контур,
Указание. Рассмотреть J
с
и устремить радиусы дуг маленьких окружностей
При вычислении интеграла по вертикальному _
разбить его на два и соответствующими подстановками
свести их к эйлеровым интегралам первого рода; вос¬
пользоваться также известным соотношением между
эйлеровыми интегралами В (р, q) = ~	4-^ и Ф°РМУ*
ЛОЙ Г (р) Г (1 ^p) = -2L_.
sin яр
женный на рис. 14
Рис. 14.
X dx
(x2 + 4x + 13)2
684.
Г dx
J (x2+l)n
о
изобра¬
к нулю,
отрезку
В задачах 682 — 688 вычислить интегралы
бесконечными пределами.
Г	х% dx
coo I	л 'л'л'
683,J (х2 + а2)2
о
(п —натуральное число).
685
dx
(х2 + а2) (х2 + Ь2)
^rdx.
dx
. n (n 2 — натуральное число).
_	1 “г X
О
п	Г àz
Указание. Рассмотреть интеграл ■■ п , где
</ I т z
с
ший из лучей argz = 0, argz = 2n/n и соединяющей их
687.
С — контур, состоя-
дуги окружности.
о
из задач 687 и 688
688.	I l+x2» d* («>2).
1 I А
О
Примечание. Метод вычисления интегралов .	...	___
переносится на интегралы от рациональных функций вида R (хп).
689.	Доказать, что
1 Г dx	(п +/? — 2)!	,	.	ч
Si J W “ (2Л)П+*~І (ft — 1)1 (ч — 1)1 {nKk~ ^ральные числа),
где С—прямая, параллельная действительной оси и отсекаю¬
щая на мнимой оси отрезок, равный h (Л>0).
84

690.	Вычислить интеграл
*2лГ / г) ~ натуральное число),
где С —контур предыдущей задачи.
В задачах 691 — 694, пользуясь леммой Жордана (см. за¬
дачу 402), вычислить указанные интегралы.
оо	оо
п Г xcosxJx .	Г xsinxdx
ЬУІ. 1) J х2_2х+10» V J x2_2x+io*
— oo	— oo
oo
Г X sin X dx
Da * J xz + 4x + 20*
— oo
oo
693.	J dx (a a b — положительные числа),
о
oo
ЛЛ. Г X sin ах <	/	\	\
694.	I х2 + Ь2~ dx (а и b — положительные числа),
о
695.	Пусть f (z) = еітг F (z)t где tn> Qf a функция F(z) обла¬
дает следующими свойствами:
1)	в верхней полуплоскости она имеет конечное число осо¬
бых точек Д, a2t ..., ап\
2)	аналитична во всех точках действительной, оси, кроме
точек xh х2і ...» хт, являющихся простыми полюсами;
3)	F(z)->0, если г->оо и Imz>0.
Доказать, что
г	f т	т	1
J f (х) dx = 2л/1 У res [f (z)]2=a* + ± JJ res [f (z)]	,
—oo	' k=\	Л<=1	'
где интеграл понимается в смысле главного значения (отно¬
сительно всех точек хк и оо).
В задачах 696—700 найти главные значения указанных
интегралов (/ — действительное число).
696.	697.
698.
ОО
Г sin X dx
J (х2 + 4)(х—1) *
— ОО
699.
cos tx
1 + X3
dx.
cos tx ,
T^dx'
85

В задачах 701 — 706 вычислить указанные интегралы (а и b —
положительные числа).
оо	оо
f x2 — b2 sin ах <	Г sinaxdx
701.	- 2-, ,2	ах. 702.	—, ,2ч .
J х2 + b2 X	J х(х2 + Ь2)
о	о
оо	оо
Г sinaxdx	Г cos2ах — cos 2ÔX ,
703. J x(xï + i^.	704. J 	р	dx.
0	0
oo
-Л- Г sin2X 1
705. J —j-dx.
0
Г e2iz - 1
Указание. Воспользоваться интегралом J 	— dz, где контур С
Рис. 15.	контур С указан на рис. 15.
В задачах 707 — 710 вычислить интегралы,
при х>0 (это условие сохраняется во всех
,дачах).
оо
707. 1) J хр~1 cos ах dx (а>0, 0<р<1);
о
оо
2) J хр-1 sinaxdx (а>0, — 1<р<1).
о
считая, что хр>0
последующих за-
Указание. Воспользоваться интегралом
j*	dz, где контур С указан на рис. 16.
-Ci
0 р	fi
Рис. 16.
708. j cos хр dx
о
(р> 1). 709. j sinxpdx (|р|> 1).
о
оо
_. Л Г sin хр .
710. I -^p-dx
0'
=86

711. Пусть рациональная функция f(z) имеет полюсы
в], 		ап, ни один из которых не лежит на положитель¬
ной части действительной оси и не равен нулю, и р — такое дей¬
ствительное число, что
lim[zp+lf(z)l= lim [zp+7(z)] = 0.
Z->0	Z->oo
Доказать, что:
1) Если р — не целое число, то
J xpf (х) dx = - e~npl JJ res [zpf (z)]^.
О	й=1
2) Если р —целое число, то
j° xpf (х) dx = — 2 res Ln z • f (z)]z=aft!
0	fe=l
где
Lnz = ln|z| + z argz и 0<argz<2jt.
Указание. Рассмотреть соответственно интегралы j zpf (z) dz и?
С
J zp Ln z • f (z) dz, где С — контур, изобра-
С
женный на рис. 17.
712. Вычислить ]*
о
713. Доказать, что
Г(а)Г(1-а) = -^-	(0<а<1).
' ' '	' sin ла '	7
Указание. Воспользоваться извест¬
ным соотношением между эйлеровыми ин¬
тегралами Г(а) Г (Ь) = Г (а 4- b) В (а, Ь) и произвести в интеграле, опредѳ*
1
ляющем функцию бэта В (а, b) = J ха~' (1 — х)0”1 dx, замену переменной^
о
положив X — уІ(\ + у).
Примечание. Соотношение, доказываемое в задаче лишь для дей¬
ствительных чисел а, заключенных в интервале (0,1), справедливо для всех,
комплексных чисел. При z=-n, где « — натуральное число, обе части ра¬
венства обращаются в оо.
87'

В задачах 714—716 вычислить указанные интегралы,
оо	оо
714-	715- J (I+W (- 1<P<3).
0	0	-
oo
/*	y P fl y
™- J	(-1<р<1. -«<».<«).
о	,
717. Пусть рациональная функция f(z) имеет на положи¬
тельной части действительной оси полюсы лишь первого по¬
рядка Р], Рг, .... Pm, а среди других ее полюсов аь а2, .... ая
(если они есть) нет равного нулю. Пусть далее р —такое дей¬
ствительное число, что
lim [zp+'f (z)] = lim [zp+If (z)] = 0.
Z->0	Z->oo
Доказать, понимая под интегралом его главное значение, что
1)	Если р — не целое число, то
оо	п
f xPf U)dx = - іібѴ е~Прі 2 res bPf -
O	fe-1
m
— я ctg np 2 P£res[f(z)]z_pé,
fc=i
где xp>0 при x>0.
2)	Если p — целое число, то
J xpf (x) dx = - J res [zp Ln z • f (z)]2_0ft -
Q	M
-	m
_ S P£ (ln 0*+я/)res [f (2)L-₽J
л-1
ветвь Lnz выбирается так же, как в задаче 711.
В задачах 718—721 вычислить главные значения инте¬
гралов.
718‘ f -£=Т’ 719- /йт-
о	о
720.	(-1<р<0).
о
721.	Г
J 1 Cf
£8

В задачах 722—728 вычислить указанные интегралы.
722.
1
Г х'-р (1 -х)р
J (1+х)3
о
dx
(—1<р<2).
Указание.
рис. 18 контур,
ную область, и
Рассмотреть J —
С
ограничивающий двусвяз-
перейти к пределу при
72э- J
о
Указание. Доказать, что
Jim [ ——i~~L' 2~'~ dz = 2ше“ря/,
£->оо J 1+z2	’
CR
dz,
где С —указанный на
Рис. 18.
где CD-обходимая в положительном направлении окружность
лх
724. J Х' P(l+xÿdX- (- 1 <Р<2).
О
Лт^Гттг
О
1
™-	(тйрг ( — 1 <р< 1, а>0).
О
727. J	" dx ( - 1 < Р < 2).
-1
1
729.	Вычислить интеграл 		5	, где V1 — х2 > О
J (х-а)У 1-хг ’
при — 1<х<1, а — комплексное число и а=/=±1. Найти,,
в частности, значения интеграла при а= ± еіа (0<а<л), а = іу
и — 1<а<1 (главное значение).
8»

1
Г хр"1 (1 — х)~р
730.	Вычислить интеграл 	ь-- - ■—dx, где 0<р< 1,
•	о
<Ь — комплексное число и b 0, b 1.
1
Г dx
731.	Вычислить интеграл	(п = 2, 3, ...).
о
Указание. Рассмотреть интеграл J п --—, где С — контур,
с
•состоящий из разрезов по радиусам-векторам точек 1, <о, о2,..., ©Л“и1, где
2ЛІ
<ù='e п , и окружности |г|«/?>1. (Этот интеграл может быть вычислен и
•с помощью бэта-функции Эйлера.)
В задачах 732 — 737 вычислить интегралы (а>0).
со
In X dx
х2 + а2 *
Указание. Воспользоваться интегралом
указан на рис. 19.
f In z dz	„
J	К0НТУР0
c
Указание. Вычислить действительную часть
интеграла
тде С —контур, указанный на рис. 20.
1
Г . 1 — х dx
737- J 1п —Т+7-
о
$0

738. Пусть f(z) — рациональная функция, не имеющая полюсов
на положительной части действительной оси и в точке z = 0,.
причем = при г->оо.
Доказать, что
Г f(x)dx _ у Г f(z) Т
J 1п2х + л2 -^res L Lnz-ndz ’
О	Й=1	*
где Û! = — 1, а а2, а3, ..., ап — полюсы функции f(z), отличные
от — 1, и Lnz = ln|z| + rargz, 0<argz<2n.
Указание. Рассмотреть интеграл
указан на рис. 21.
В задачах 739—741 вычислить
интегралы, считая, что а>0 и
п — натуральное число.
;	оо
739. 1) [ 1—L
’ J (х + а) (In2 х + л2)
о
оо
9) Г 	—

' J (х2 + a2) (In2 X + л2) ’
о
оо
740 f	—	:

’ J (х2 + a2) [In2 X + (2n + I)2 л2] ’
о
Рис. 21.
Указание. Воспользоваться интегралом
Г 1 г 1	+-	1	«
J z2 + a2 L Lnz - (2n+ 1) ni Ln z — (2n— 1) л/
с
” ’ + Ln z + (2n — 1) ni ]
где контур С указан на рис. 21, а ветвьLnz выбрана так же, как в задаче 738.
741. J
о
	dx

(х2 + a2) (In2 X + 4п2л2) ’
Указание. Воспользоваться интегралом
_1_Г—2 +	!	+. +	!

z2 + а2 [Lnz — 2пл/ Ln z — (2n — 2) ni	Ln z + (2n — 2) ni
где контур С указан на рис. 22, а ветвь Ln z выбрана так же, как в задаче 738.
742. Пусть f (z) — рациональная функция, не имеющая полюсов
на незамкнутом контуре С, начальная точка которого а и
конечная Ь.
91

Доказать, что
J f (z) dz = 2 res [f (z) Ln + res [f (z) Ln ,
тде суммирование производится по всем полюсам функции f(z),
отличным от оо (выбор однозначной вне С ветви логарифма
произволен).	'	.
Рис. 22.
Рис. 23.
Указание. Рассмотреть
г —6 .
	dzt где
z — а
контур Г, ограничи-
«ающий двусвязную область, указан на рис. 23.
В задачах 743—747 найти указанные интегралы, считая
число а действительным,
оо	\
/*	pdX J у
J (.-ч-іхі'+а (о<»<2)-
— ОО
f eaz
Указание. Воспользоваться интегралом ■, ±	; у ,-л-тdz9 где
> J (е + 1 ) (е 4- 2)
с
•С — прямоугольник с вершинами — Rt R, R + 2л/, — R + 2лЛ
оо
744 f SÎn аХ dX
J shx ?
*92

I* //э*
Указание. Воспользоваться интегралом —		, где контур С
J sh z
с
указан на рис. 24.
оо
-Г cosaxdx
745.		г	.
J ch X
о	х
оо	оо
Г X cosaxdx _л_ f ch ах < z	\
746’ J —shx • 747- J -^dx (-«<«<«)•
Û	О
.	Рис. 24.
f еаг dz
Указание. Воспользоваться интегралом I —г	, где С — граница
J СП TCZ
с
прямоугольника — а Re z С а, 0 < Im z < 1.
л
748. [ ,		 (а>0).
J 1 + а2 — 2а cos х '	7
о
..	т>	f zdz „
Указание. Воспользоваться интегралом 	, где С — граница
J а — е Іг
с
прямоугольника — n^Rez^jr, O^Imz^A, и перейти к пределу при А->оо.
Интегралы, связанные с формулой обращения
преобразования Лапласа
Отсюда и до конца параграфа предполагается, что />0,
Cj —прямая Rez = a>0, проходимая снизу вверх, причем а
выбрано так, что все особые точки подынтегральной функции
расположены влево от С{.
749. Доказать, что если f (z)->0 при Imz-> ± оо, сц ^Rez^a2
и функция f(z) аналитична в полосе aI^Rez^a2, то интеграл
j î(z)dz, где С —прямая Rez = a, не зависит от выбора а, если
с
«1	^а2.
В задачах 750 — 755 найти интегралы (п — натуральное число).
7еП п 1 f eZt dz •	1 f tZdz
750- 1) J 5^’	2) 2лГ J V ~e ).
Cl	Cl
93

1 С dz
751. — ,
2ni J (z — a)n+I
752.
1 f ' ezt dz
2лі J z2 + 1
Ci
*7 к о i \	1 f dz
753‘ ~2лі J ~z4T-
c.
ezt
z2 (z2+ 1)
-dz.
754.
1 Г	ezt dz

2ш J (z — a) (z — b) (z — c) *
Ci
755	* f	tz dz

' 2ni J z(z+ 1)... (z + n) ’
c,
756. Пользуясь тождеством Г (г) Г(1 — z) = -г^— (см. при-
sin ТС Z
іУ мечание к задаче 713) доказать, что при
-—	Rev<0
		""X У/—"5	1 f е* —	1
2л/ J zv+1	Г (v + 1 ) ’
Y
Рис. 25.	где контур у указан на рис. 25.
Примечание.
Так как интеграл
Rev^O, то он продолжает аналитически функцию
скость.
ег dz
^Ѵ+Т сходится и при
1
Т'(ѵ+1) на всю ПЛ0*
757. Доказать, что при Rev> —1
1 Г ег< dz _ Zv
"2лГ J 2Ѵ+І = Г (v+ 1) ’
Ci
В задачах 758 — 769 найти указанные интегралы.
758-2)
76°-^/<г + 1)Лт7-
Ci
762.
2пІ J z
Сі
1 Г ezt dz узд 1 f ezt dz
2ni J *	• 2ni J z/r+7*
Ci	Ci
76, _l
2л/ J z2 + 1
Ci
<“>°>-7“- i <“>»)•
Указание. Воспользоваться разложением
	!_==1+е-аг + е-2аг+
1 — е az
©4

1 f Az-xV z
™- -à- J —i—dz (*>°>- -
Cl
Указание. Заменить С, контуром, указанным на рис. 26.
Ук азание. Переменить порядок инте¬
грирования.
765.	dz
2л/ J rz sh а у z
' i^dz.
766.
767.
768. J dt
О
Рис. 26.
1 f еЬг Г h
769.	-к-г — dz e~azzhxdx (а>0,ô — действительное число).
Ztci J z J	.
с» о
Г е~иг
Указание. Воспользоваться тем, что I —-— dz«=• 0 при и>0.
с,
770.	Исходя из разложения в ряд функции Бесселя
7 Ы = Ѵ	(-D* pv+2fe
/vW й!Г(Л + ѵ+1) \2j	’
доказать интегральные представления (у —контур, указанный
в задаче 756):
£	2І.
О 2л7 I в£ѵ+1	= (т)
2Л/ V fe	\ Z !
1 Г Ч /9\ѵ
21 і Р?^'г’" 4Р’и
2лх G	\z/
1	z2
Указание. Разложить в ряд функцию е и воспользоваться ре¬
шением задач 756 и 757.
771.	Доказать, что при Rez>0
95

где Г —контур, указанный на рис. 27, гі получить отсюда, что
если п — целое число или нуль, то^
Я
Jn -7 / COS (z sin Ç - nÇ) dg.
0
В задачах 772—774
Рис. 27.
найти интегралы, содержащие функции
Бесселя.
оо
772.	J e~ztJn(t)dt (Rez>0, п —це-
о
лое число).
Указание. Воспользоваться интеграль¬
ным представлением предыдущей задачи и из¬
менить порядок интегрирования.
773.	1) J J$(at)c,Qsbt dt\
о
2) J JQ (at) sin bt dt
о
(a и b — положительные числа).
оо ,
Г t Sin//x2-aa .	/,. « . « 4
774.	cos bx —/	, — dx (t > b | ).
J	У x2 — a2
о
Указание. Воспользоваться тем, что
sin ut
и
nt j , .. Ynt 1 f e 42 ,
J. («0	— 2^ J ——dz
c' z2
(см. задачу 770), и изменить порядок интегрирования.
Асимптотическое поведение интегралов')
775.	Пусть аналитическая функция <p(z) имеет слева от С(
лишь конечное число особых точек, причем все они —полюсы,
и <p(z)->0 при z-*oo и Rez^a. Обозначим
‘ ИО =/ ег/ф (z) dz.	'
G
!) По поводу задач этого цикла, а также по вопросу применения асим¬
птотических оценок и других методов их получения см., например, [3, гл. V,
§ 3]; Б. А. Фукс и В. И. Л е в и н, Функции комплексного переменного
и некоторые их приложения, Гостехиздат, 1951, гл. IV; М. А. Евграфов,
Асимптотические оценки и целые функции, Физматгиз, 1962.
96

Найти lim f (/)• Рассмотреть различные случаи расположе-
/->ОО	.
ния полюсов относительно мнимой оси.
У к а з а н и е. Воспользоваться леммой Жордана (см. задачу 402).
776.	Пусть аналитическая функция <p(z) имеет слева от
конечное число особых точек и <p(z)->0 при z-*bo и Rez^a.
Доказать, что при больших значениях t имеет место асим¬
птотическое равенство
J ег/ф (z) dz ~ 2 res <г)1»
. с'
где сумма берется по всем особым точкам <p(z) с неотрица¬
тельной действительной частью.
Примечание. Функции fit) и F (t) асимптотически равны при
t -* <» (/ (0 ~ F (t) ), если lim= 1.
t->co Г \Ч
777.	Исследовать асимптотическое поведение при t -> оо
функции
=	i/(z + a}<	(Rea>0).
с,
778.	Найти асимптотическое выражение при /~>оо функции
t f _.г(-/г’+2аг
f(A=J_ I

2лі cJ (г — fi»’) ]Аг2 + 2az
dz
(a> > 0, a > 0),
где j/z2 + 2az > 0 при z>0.
Указание. Заменить контур Cj контуром, изображённым на рис. 26,
и доказать, что интегралы по дугам окружности и по отрицательной части
действительной оси стремятся к нулю при t -> оо.
оо	■
Ряд называется асимптотическим разложением функции f (z) при
z->oo, если lim zk
Z-^oo
0
(£«0, 1, 2,...). (Отсюда не сле¬
дует сходимость ряда!)
Рассматривают часто также асимптотические разложения более общего
вида. Пусть {qn (2)} — произвольная последовательность функций такая, что
lim —-	д 0, -a {p,rt (г)} — последовательность, удовлетворяющая усло-
2->оо	Яп\2)
виям:
lim
2-»оо
Рп+1 (2) ц п
<Zn(2) Ц
4 Л. И. Волковыский и др.
97

оо
Ряд 2 спѴп (г) называется асимптотическим разложением функции f (z):
«“О
оо
І (2) ~ 2 С^П (2).
п=0
k	~|
И2)-^СпМ2) =0
n=0	J
Часто в качестве последовательности {цп (г)} выбирают последователь¬
ность {l/z^}, где ап — положительные действительные числа, монотонно
г 1
если h m —7-г
г->оо Qk \Z)
(ЬО, 1, 2,
стремящиеся к оо.
779. Доказать, что при х>0
п (2/г) !
1	Х2Л+1
f° e~xt М 1 -ILj-lL-* 4.
J Т+Т^ ° Х X3 X3
о
Указание. Воспользоваться равенством
1	„	.	'	n / i\n+lz2n+2
1 - = I _ /2 + /4 _	■ /_ [}nt2n ,	І
1+/2	1 t + '	... 1М +	1+/2
и оценить остаточный член.
780. Доказать, что при х>0
Г — dt~-—у + 4“ ••• +(-!)"4т+ •••
J t	X X2 X3	хп+1
X
Указание. Интегрировать по частям и оценить остаток.
781*. Доказать, что при х>0
I	... +±Lÿll+ ...\
—X
где под интегралом понимается его главное значение.
782. Доказать, что при действительных значениях х
(2п)і	1
22пп! x2n+1 ’
где под интегралом понимается его главное значение.
783. Доказать, что при действительных значениях х
F tae~‘p ..	1 V г / « + « \ 1	/	1 о
J ~t^Tdt~ р1Г( р ) хп (а>	₽>°)»
0	п=1
где при х>0 под интегралом понимается его главное значение
98

784*. Доказать, что
f ег*~1> dt~ + ^e*-U-	î- + -Li - -Lili + 1,
je at _	2 e y2z 2223 T 2эг5 24Z7 t • • • ) •
I)
причем знаки + или — берутся соответственно тому, будет ли
Rez>0 или Rez<0. Если Rez = 0, то слагаемое перед скоб¬
кой можно опустить.
785.	Найти асимптотическое разложение функции
<»>“>■
с.
Найти также разложение /(/) при малом і.
Рис. 28.
Рис. 29.
Указание. Заменить Ct контуром, указанным на рис. 28. Для полу*
f е^У’х dx
чения асимптотического разложения интеграла J ——2	— воспользо-
о
ваться указанием к задаче 779. При малом t следует Cj выбрать так, чтобы
а было больше ©, и разложить ю2 в Ряд*
786.	Доказать, что
— f ^—dz-ün(t - "L ’ У(--іГЖ ' Г.
2пі J /z(z2+l)	■	4/ /л	’ (2п)1\2ўі/
787.	Найти асимптотическое разложение функции
= Ъй 1 "Т~±\	> 0 при г > 0).
С1 zb + z2)
Получить также приближенную формулу для f(t) при малом t.
Указание. Для получения асимптотического разложения заменить
on	1 , 'УЗ 1 «уТ
контуром, указанным на рис. 29, где z^ — —Ч—у— , z2 — у	.
При малом t абсциссу прямой Cj следует взять больше единицы.
4*	99

§ 5. Распределение нулей. Обращение рядов
Теорема Руше
В задачах 788—790, пользуясь теоремой Руше, найти колит
чество лежащих внутри круга | z |< 1 корней данных уравнений.
788.	z9— 2z6 + z2— 8z —2 = 0.
789.	2z5-z34-3z2-z4-8 = 0. 790. z7-5z44-z2-2 = 0.
791.	Доказать, что если во всех точках контура С спра¬
ведливо неравенство
\akzk\>\aa + alz + ... + ak_lzk~i + afc4.1zft+1 4- ... + anz"l,
то многочлен а0 + щг + ... 4- anzn имеет k нулей внутри кон¬
тура С, если точка z = 0 лежит внутри этого контура, и не имеет
нулей, если она лежит вне контура С.
792.	Сколько корней уравнения z4 — 5z 4-1 = 0 находится
в круге |z|< 1? в кольце 1 < | z | < 2?
793.	Сколько корней уравнения z4 — 8z .4-10 = 0 находится
в круге |z|< 1? в кольце 1 <| z |<3?
794.	Сколько корней имеет в круге |z | <1 уравнение
zn 4- OoZ2 4- cqz 4- а2 = 0,
если I а01 > I а! 14-1 а214-1 (п — натуральное число)?
795.	Сколько корней имеет в круге | z | < 1 уравнение z = <p (z),
если при I zJ 1 функция <р (z) аналитична и удовлетворяет
неравенству | <р (z) |< 1?
796.	Сколько корней имеет•в круге |z|<1 уравнение
ег — 4z" 4-1 = 0 (п — натуральное число)?
797.	Сколько корней имеет в круге | z | < R уравнение ez = azn
(п — натуральное число), если \а\>ек/#п?
798.	Доказать, что уравнение z = X — е~г (Х> 1) имеет в пра¬
вой полуплоскости единственный (и притом действительный)
корень.
799*. Доказать, что, как бы мало ни было р>0, при достаточно
большом п все нули функции
Mz)=14-|+^4-
находятся в круге | z | < р.
800.	Доказать, что если р< 1, то многочлен
Prt(z)= 1 4-2z4-3z24- ... +nzn~l
при достаточно большом п не имеет корней в круге | z | < р.
Указание. Воспользоваться методом решения задачи 799.
100

Принцип аргумента
801.	Функция <p(z) мероморфна в области G и аналитична
на ее границе С. Доказать следующие утверждения:
1)	Если I ф(г) |< 1 на С, то число находящихся в области G
корней уравнения ф(г)=1 равно числу полюсов функции <р(г)
в области G.
2)	Если | ф (z) | > 1 на С, то число находящихся в области G
корней уравнения ф(г) = 1 равно числу нулей функции ф(г)
в области G.	.
3)	Утверждения 1) и 2) остаются справедливыми, если урав¬
нение ф(г)=1 заменить уравнением ф(г) = а, причем |а|^1
в случае 1) и | а |	1 в случае 2).
802.	Пусть ни один из нулей многочлена
Рп (z) = z" + t^z"-1 + ... + ап
не лежит на мнимой оси.
Доказать, что когда точка z пробегает сверху вниз мнимую
ось, то приращение аргумента Pre(z) равно kn, где k — целое
число той же четности, что и п, причем | k | п.
Доказать, что при этом многочлен Pn(z) имеет в правой
полуплоскости (п + /г)/2 нулей.
Указание. Представить Рп (z) в виде
Р„(2) = гя(1 + -^-+	+ -^-)
и применить принцип аргумента к полукругу | z | <R, Re г >0 при доста¬
точно большом R.
803.	Найти количество корней многочлена
z6 + z5 + 6z4 + 5z3 + 8z2 + 4z+ 1
в правой полуплоскости.
804.	Найти количество корней уравнения
г4 + 2г3 + 3z2 + z + 2 = 0
в правой полуплоскости и в первом квадранте.
805.	Сколько корней в каждом квадранте имеет уравнение
2z4-3z3 + 3z2-z+1 = 0?
806.	В каких квадрантах лежат корни уравнения
z4 + z3 + 4z2 + 2z + 3 = 0?
807.	Доказать, что число корней уравнения
z2" + az2"-1 + р2 = 0
(а и 0 —действительные числа, а=/=0, 0 Ф 0; «—натуральное
101

число), имеющих положительную действительную часть, равном,,
если п — четное. Если же м —нечетное, то число их равно п— 1,
если а>0, и п +1, если а<0.
Указание. Рассмотреть приращение arg (z2n + аг2л“1 +02), когда
точка z описывает границу правого полукруга большого радиуса.
Если коэффициенты многочлена
Рп (z) = zn 4- ûiZn~l 4* ... 4-0/1—12 + an
зависят непрерывно от действительных параметров а, 0, то для того, чтобы
найти зависимость числа нулей Рп (г), расположенных в правой полупло¬
скости, от параметров, можно поступать следующим образом (исходя иэ
того, что каждый нуль непрерывно зависит от коэффициентов многочлена):
Построить в плоскости а, 0 линии Рл(гт) = О (т — действительный пара¬
метр), т. е. линии, для точек которых среди корней многочлена имеются’
чисто мнимые корни (или нуль). Эти линии делят плоскость а, 0 на области,
в каждой из которых число нулей Pn(z) с положительной действительной:
частью постоянно. Это число можно найти, взяв произвольную точку соот¬
ветствующей области и применив к ней, например, метод из задачи 802.
В задачах 808—810 определить области плоскости а, 0, в ко*
торых число корней соответствующего многочлена P(z), имеющих
положительную действительную часть, постоянно; найти для
каждой области это число т.
808.	Р (z) = z3 + az2 + az + 0.	809. P (z) = z3 + az2 + 0z + 1.
810.	P (z) = z3 + (a + 0) z2 + (a — 0) z + a.
811.	Пусть f (z) = Pn (z) + Qm (z)	, где т > 0; Pn (z) и Qm (z) —
взаимно простые многочлены, причем п>т и f(z) не цмеег
нулей на мнимой оси. JV —число нулей многочлена Pn(z) в пра*
вой полуплоскости. Доказать, что для того, чтобы функция f (z)<
не имела нулей в правой полуплоскости, необходимо и доста*
точно, чтобы точка w= —	£~Т2 обходила W раз в положи*
тельном направлении точку w = 1 в то время, как точка z об*
ходит снизу вверх всю мнимую ось (если Pn(z) имеет нули на
мнимой оси, то при движении точки z по этой оси следует
нули Рп (z) обходить справа по полуокружностям достаточно*
малых радиусов).
В задачах 812 — 814, пользуясь теоремой задачи 811, найти
области в пространстве коэффициентов a, b (т. е. в плос*
кости а, 6), для которых все нули соответствующих функций,
лежат в левой полуплоскости, полагая, что т>0, а и ô—дей*
ствительные числа.
812.	z + a + be~xz. 813. z2 + az + be~'z.
814.	z2 + (az + b)e~Xz.
102

815.	С помощью теоремы Руше доказать, что если функция
w=f(z) в окрестности точки г0 имеет разложение
f(z) = w0 + ck(z-z0)k + ...	(cft¥=0, £>1),
-то при достаточно малом г >0 существует такое р>0, что любое
значение w wQ из кружка | w — w0 |<р принимается в точности
Л раз в кружке |z —z0|<r, и притом в различных точках.
816.	Пользуясь результатом предыдущей задачи, доказать,
что аналитическая функция обладает свойством сохранения
•области.
817.	Пользуясь результатом предыдущей задачи, доказать
для аналитической функции принцип максимума модуля. Дока¬
зать,' что этот принцип справедлив для произвольных непре¬
рывных отображений w = f(z)t сохраняющих область.
818.	Доказать, что если в условиях задачи 815 k= 1, т. е.
J'(zo):/=O, то функция f(z) устанавливает взаимно однозначное
и конформное соответствие между некоторой односвязной
окрестностью точки zQ и кружком |ш — до0|<р.
Указание. Рассмотреть в кружке | w — w0 | < р функцию z — f1 (w).
819.	Доказать, что если в условиях задачи 815 &>1, то
функция w = f(z) отображает взаимно однозначно некоторую
юдносвязную окрестность точки zQ на fe-листный круг с центром
в точке Wq.
820.	Распространить теоремы, доказанные в задачах 818 — 819
на случай, когда точка zQ является простым или кратным полю¬
сом функции f(z).
821.	Доказать, что если разложение функции f (z) в окрест¬
ности бесконечно удаленной точки имеет вид
f(Z)= л0+А+4+ ••• + 4--->
z z2	ZR
то некоторая окрестность бесконечно удаленной точки может
быть взаимно однозначно и конформно отображена на одно¬
листный круг, если Л| =# 0, и на fe-листный, если Д1 = Д2в ... •
... =ЛА_, = 0 и Ak Ф 0.
Обращение рядов
822.	Пусть F(z) = z — a — wf (г), причем функция f(z) анали¬
тична в точке z = a. Пользуясь теоремой Руше, доказать, что
при достаточно малом | w | существует круг К с центром в точке
z = a, в котором функция F(z) имеет только один нуль (простой).
Показать также, что если f (а)	0, то при соответствующем
выборе значения w любая точка из некоторой окрестности точки
2 = а может стать нулем функции F(z).
103

823.	Пусть z = z(w) — однозначная функция, определенная
при достаточно малом | w | уравнением z — a — wf (z) = 0, функ¬
ция f(z) аналитична в точке z = a и /(а)=/=0. Доказать, что для
всякой функции Ф(г), аналитической в точке г = а, при доста¬
точно малом I w I имеет место- разложение
- ф + î -É <ф <“> 0 <“>!">■
Указание. Если обозначить через С окружность круга /С, в котором
уравнение z — a — wf(z)=0 имеет только один корень (см. задачу 822), то
-	Ф(г)	1 f Ф(С)
1 - wf (г) 2ni J £ - а - wf (£)
с
Разложить далее подынтегральную функцию в ряд по степеням w и
оценить остаточный член.
824.	Пользуясь обозначениями предыдущей задачи, доказать
оо
70)П
формулу Лагранжа Ф (z) = Ф (а) + ТГ	<а)
Па1
Получить отсюда, в частности, разложение самой функции
z = z(w) в ряд Тейлора.
Указание. Применить к функции Ф (z) [1 — wf' (г)] решение пре¬
дыдущей задачи.
825.	Разложить в ряд по степеням w каждую из ветвей
функции z(w), определенной уравнением w = 2z + z2 (для одной
ветви z (0) = 0, для другой z (0) = — 2).
826.	Разложить в ряд по степеням w ветвь функции z = z(w)9
Z “’ CL	'
определенной уравнением w = 2 ■ rzTf > для которой z(0) = a.
827.	Исходя из определения полиномов
« ж	1
с помощью производящей функции	=
доказать, что Pn(z) =	[(z2 - 1)п].
Лежандра Рп (z),
- (см. задачу 492)
Указание. В условиях задачи 826 применить формулу Лагранжа
1	1 — z2
К функции Ф (г) =	.
— 2aw + w2 z2 — 2az + l
828.	Функция z = z (w) определена в окрестности точки w = О
равенством w = ze~az. Разложить в ряд по степеням w:
1) z(w); 2) ebz{w}.	r
829.	Разложить по степеням w функцию z = z(w\ определен¬
ную в окрестности точки w = 0 уравнением Кеплера
г — a = w sin z (а=/=0, ±л, ±2л, ...).
104

830*. Определить радиус сходимости полученного в предыду
щей задаче разложения z (w) в случае, когда а = л/2. ,
831. Доказать следующее обобщение теоремы Лагранжа.
Пусть f(z) и <p(z)—функции, аналитические в окрестности точки а,
С —окружность с центром в точке а радиуса г такая, что во всех
ее точках
|ctf (z)+ 0<p(z) |<г.
Если Ф(£) — аналитическая функция единственного корня
уравнения z — а — af (z) — Р<р (z) = 0, то
Ф (S) = Ф (а) + S	(«) lf («)Г [ф («)]"}.
ГГІ I П 1 Cl CL
где суммирование распространено на все /пип, кроме tn = п = 0.

ГЛАВА V
РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Функциональные ряды
В задачах 832—841 найти области сходимости данных рядов.
835. 2ег1пп. 836. УЛІЕЛі.
839.	84«-
п=0
837.	838.
n=0	n=0 z 1
со
олі V	гП
841‘ 2j(4 + z) (4 + г2) ... (4 4-гпГ
п=1
оо	оо
842*. Доказать, что если ряд ап сходится, то ряд
П«1	П«“1
оо
сходится всюду, где |z|=/=l; если же ряд 5 ап расходится, то
оо	оо
ряд	сходится в круге сходимости ряда У anzn и рас*
П=1
ходится вне этого круга.
оо
843. 1) Разложить в ряд по степеням г сумму ряда \ -гп
п-1
найти радиус сходимости полученного ряда.
106

оо
2) Доказать, что при |z|<l J](p (п) -^п = -ц *г)г , где
n=l
<р (n) — количество тех натуральных чисел, меньших п, которые
взаимно просты с п.
Указание. Воспользоваться известным в теории чисел соотноше¬
нием 2 Ф (Л)= т» где п пробегает значения всех делителей числа /п,
включая 1 и tn,
оо	оо
844. Разложить функцию Ç (z) =	— ^е-2Іпл (дзета —
л=1
«функция Римана) в ряд Тейлора в окрестности точки г = 2 и
найти радиус его сходимости.
В задачах 845 — 848 найти суммы данных рядов (|z| =/= 1).
845‘ S (т77 ~ 1+г"-1 )
П=1
оо
XI	zn
«46- 24 0-2л)(1-гп+1)
П = 1
Указание. Умножить числитель и знаменатель на (Г— г).
00	л	00
«47.		•	848- S
n=0 ÏJ (1 + *2*)	П-*
Г=о
849. Доказать предложения:
2п-1
Z2
~~Тп Г
Z2 — 1
1) Для равномерной сходимости ряда на множестве Е
■	п-1
необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовало
такое число W W (е), что для всех n>N, всех ге£и любого
п+р
натурального числа р выполнялось неравенство S fk(z) <е.
£«=л+1
2) Из равномерной сходимости ряда S I fп (z) I на множе-
п-1
«стве Е следует равномерная сходимость на этом же множестве
оо
ряда 2^п(г).
850. Найти множества, на которых равномерно сходятся
данные последовательности:
2){^Ь
107

851.	Доказать:
Для того чтобы последовательность непрерывных функций
{fn (z)} равномерно сходилась на ограниченном замкнутом мно¬
жестве Е, необходимо и достаточно, чтобы эта последователь¬
ность сходилась во всех точках этого множества и-чтобы она
сходилась непрерывно во всех предельных точках множества Е,
т. е. чтобы для всякой последовательности точек zn, принад¬
лежащих множеству Е и сходящихся к точке z0,
lim fn (zn) = f (z0).
rt->OO
В задачах 852—856 найти множества, на которых равно¬
мерно сходятся данные ряды.
852.	É І (2" + І) * 853- Д е~Пг'
П«1
854. 2е~г1пл. 855.	856. VJ ,
оо ‘
ѴЛ Zn
857.	Доказать, что ряд 2j равномерно сходится в зам-
Я-1	,
кнутом круге |z К 1. Будет ли сходиться равномерно в круге
|z|< 1 ряд, полученный почленным дифференцированием?
оо	1
уч (—1)п—
858.	Доказать, что ряд 2d ' г + п— СХ°ДИТСЯ равномерно
■	п-1
в любой конечной части плоскости, из которой удалены круги
сколь угодно малого радиуса р с центрами в точках z = 0,
-1, -2, ...
Доказать также, что этот ряд ни в одной точке не сходится
абсолютно.
- оо
VI Zn
859.	Доказать, что ряд 2j~ сходится равномерно в интер-
оо
вале (—1, 0), а ряд 2|‘л"| в этом же интеРвале сходится, но
П—1
•	оо
VI zn
не равномерно. (Таким образом, ряд 24 ~ в интервале (—1,0)
.	п-1
нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом.)
Примечание. Настоящий пример показывает, что достаточный
признак равномерной сходимости Вейерштрасса не является необхо¬
димым.
108

_ ее
860.	1) Ряд У -/Т-, г~2^ сходится абсолютно при | г | > 0,
п=0
I arg z I л/4 (эти значения z не исчерпывают всей области
абсолютной сходимости, которая, как легко видеть, состоит
из точки 2 = 0 и внешности лемнискаты | l+z2|= 1). Доказать,
что ряд в указанной области сходится неравномерно.
Примечание. Это показывает, что даже из абсолютной сходимости
ряда в замкнутой области не следует равномерная сходимость.
оо
S(-_	2
~(1'+ ггуі сходится
п=0	'
равномерно и абсолютно, но не абсолютно равномерно (т. е.
ряд из модулей не сходится равномерно).
оо
861.	Доказать, что если ряд S I fп (z) I сходится равномерно
П=1	.
во всякой замкнутой области, внутренней по отношению к об-
оо •
ласти G, то этим же свойством обладает и ряд
§ 2. Ряды Дирихле1)
w	Pt Z
Ряд вида 2 апе п » гДе ап — комплексные коэффициенты и —поло-
П-1
жительные числа, удовлетворяющие условиям
Лі<%2< • •• и Нт %л=о°,
п->оо
называется рядом Дирихле с положительными показателями.
862.	Доказать, что если ряд Дирихле сходится в точке
2o = xo + /z/o, то он сходится во всех точках полуплоскости
Rez>Rez0, причем сходимость равномерна в каждом угле
I arg (z - z0) К Ѳ < я/2.
Указание. Применить преобразование Абеля к сумме
у „ е~кпг = у а -кпгое-кп(г-го)
7і апе — апе е
п=р	п=>р
и воспользоваться неравенством (а < bt z = х + іу)
863.	Доказать, что если ряд Дирихле сходится абсолютно
в точке z = z0, то он сходится абсолютно и равномерно в полу¬
плоскости Rez^>Rez0.
J) По поводу приводимого цикла задач см., например, [2, гл. IV, § 2].
109

Из теорем, сформулированных в задачах 862 и 863 следует, что об¬
ластью сходимости ряда Дирихле (если таковая существует) является полу¬
плоскость Rez>jQ, (хс^ — °°), а областью абсолютной сходимости (если
таковая существует) — полуплоскость Rez>xa (*а> —<»), причем ряд
либо сходится абсолютно на всей прямой Rez=xfl, либо не сходится абсо¬
лютно ни в одной точке этой прямой. Числа хс и ха называют соответ¬
ственно абсциссой сходимости и абсциссой абсолютной сходимости ряда
Дирихле.
В задачах 864—870 найти абсциссы сходимости (хс) и абсциссы
абсолютной сходимости (ха) данных рядов,
оо	00
864.	^е~п‘е~гп\	865. У —1)П е~г Іп |п ".
00	оо
866. У (~т=-е~г1п 1П".	867. 2 (—1)яе-г1пІпп.
V п	п=2
П~2 г
оо	00
868. 5 (—1)яе~г1пп. 869. 2-^-е-гІпп.
п-1
870.	Se®"*-2"2.
п-0
871.	Доказать, что если lim = то
п->оо
= ха = lim
П->оо
1П| ап\
Кп
	 Іп я
872.	Доказать, что если lim -г— = /, то ха — хс^Л. ,
п-too
В задачах 873—877 исследовать сходимость ряда Дирихле
на границе полуплоскости сходимости.
оо	~
873.	2 (—1)яе~2Іпя. 874. У-Ѵг21"'1.
n-l	Л
875‘
n—1
876. 2‘Чг"е"гП- 877- S -
П-1	п-1
Указание. См. задачу 449.
В задачах 878, 879 рассматриваются ряды Дирихле с ком¬
плексными показателями.
878.	Пусть числа ЛЛ удовлетворяют условиям
.. In п к	г.— In ап . .
lim-л— = 0	и lim .J Г1 = fe<oo.
П->0О ЛП	П->оо I Лп I
Доказать, что если a arg Kn 0, то ряд Дирихле сходится
абсолютно во всякой точке г = х + іу, для которой при всех ф
110

из [а, р] имеет место неравенство xcosqp — #sin<p — é>0, и рас¬
ходится в точке, для которой при всех ф из [а, 0]
X COS ф — у sin ф — k < 0.
оо
879.	Дан произвольный ряд Дирихле 2 ane~KnZ. Пусть
П=1
k(<p, а) = lim I И k (ф) = lim k (<p, a), где {nft}—последова-
é->oo I I	a->0
тельность всех индексов, для которых ф —a^argX„é ^ф + а
(если не существует такой подпоследовательности {nm}, что
lim arg Xn = Ф. то следует положить k (ф) = — оо).
m->oo	m
тт	1- ІН Л П	-
Доказать, что если lim -5— = 0, то ряд сходится абсолютно
П-»оо
внутри области G, точки z=*x + iy которой при любом ф удо¬
влетворяют условию X cos ф — z/sin ф — й (ф) > 0, и расходится
во всякой точке, лежащей вне G.
§ 3. Интегралы, зависящие от параметра
Сходимость интегралов
880.	Доказать теорему:	*
Пусть С —простой контур (замкнутый или незамкнутый),
имеющий конечную длину, и f (т, z) — функция, аналитическая
по переменной z и непрерывная по т для всех z из некоторой
области D и для всех точек т, принадлежащих контуру С.
Тогда функция, представленная интегралом F(z)= J f(x, z)dx,
с
есть аналитическая функция по переменной z и
Г'(*) = / z) dr.
С
Если интеграл J f(r, z)dx несобственный, т. е. если подынтегральная
с
функция имеет разрывы при каких-либо изолированных значениях х œ С
или контур интегрирования содержит бесконечно удаленную точку, то
определение сходимости и равномерной сходимости такого интеграла совер¬
шенно аналогично соответствующим определениям, известным из курса
математического анализа.
881.	Доказать, что для равномерной сходимости интеграла
J f (т, z)dx на множестве Е по отношению к какой-либо точке
с
111

т0 =/= оо контура С необходимо и достаточно, чтобы для любого
е>0 существовало число ô(e) такое, что
J f (т, z)dx
Са
<8
для всех точек z из множества Е и для всякой дуги кон¬
тура С, лежащей в ô-окрестности точки т0 и не содержащей
эту точку ни внутри себя, ни на концах.
882.	Сформулировать и доказать аналогичный критерий
равномерной сходимости интеграла, если т0 = оо. Рассмотреть
случаи, когда контур С неограничен в одну сторону, в обе
стороны.
883.	Доказать, что если Щт, z) |	| ф (т) | для всех точек z
из множества Е и если J | ф (т) | dx сходится, то интеграл
с
J f (т, z) dx сходится равномерно на множестве Е.
с
884.	Пусть /(т, г)— функция, аналитическая по z и непре¬
рывная по X для точек z, принадлежащих некоторой области D,
и точек т, принадлежащих контуру С, за исключением некото¬
рых изолированных его точек, где условия, наложенные на
функцию f(x, z), нарушаются или для всех точек z, или только
для некоторых.
Доказать, что если несобственный интеграл
F (z) = J f (т, z) dx
c
равномерно сходится внутри области D (т. е. во всякой
замкнутой подобласти области Р), то функция F (z) — аналити¬
ческая и
с
причем последний интеграл сходится равномерно внутри D.
В задачах 885—892 найти множества, на которых равно¬
мерно сходятся указанные интегралы.
Л (/г-1 = е(г-1) Inf). 886< I e-^dt.
о	о
оо	оо	оо
887. f ^¥-dt. 888. f ^-dt. 889. f ~^-dt.
J I	J I	J	l
0	0-0
885. Г (z) = J
112

C+Zoo
Г fizt
890. J -7- dt
С—І00
C+Zoo
(с ф 0). 891. I -Ç dt (c Ф 0).
892.
C+Zoo
C—Zoo
(c#=0, z' = e<ln*).
Интеграл вида
Интеграл Лапласа
оо
J e~tz f (0 dt,
0
(1)
где функция f (t) интегрируема на отрезке [0, а] при любом положительном
а<оо, называется интегралом Лапласа,	ч
893.	Доказать следующие предложения:
1)	Если интеграл (1) сходится в точке z = z^ то он сходится
в полуплоскости Rez>Rez0, причем сходимость равномерна
в угле I arg(z — z0) |<Ѳ< л/2.
2)	Если интеграл (1) сходится абсолютно при z = z0,
то он сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости
Rez>Rez0.
3)	Если lîm 1п = то интеграл (1) сходится абсолютно
в полуплоскости Rez>p и равномерно во всякой полуплоскости
Rez^>P + e(e>0) (построить пример интеграла Лапласа,
сходящегося абсолютно во всей плоскости, для которого
р= оо).
4)	Если lim —-y---=ct, то интеграл (1) не сходится абсо-
Z->OO	.
лютно ни в одной точке полуплоскости Rez<a.
Из теорем, сформулированных в задаче 893 следует, что областями
сходимости и абсолютной сходимости интеграла Лапласа (если такие области
существуют) являются полуплоскости Rez>xf и Rez>xa; число хс назы¬
вают абсциссой сходимости, а ха ~ абсциссой абсолютной сходимости инте¬
грала Лапласа.	♦
оо
В задачах 894—900 найти хс и ха для интеграла J e~ztf(t)dt,
о
где f(t) — заданная функция.
894.	/(0= 1. 895. f(t) = e~‘\ 896. f(t) = et\
е~р при 0	< In ІпЗ и In In 2k t < In In (2Z> + 1)
(k = 2, 3, ...)
—e_<’ при In In (2Z> + 1)< t < In In (2k + 2)
(k = 1, 2, ...).
897. f(t) =
113

898. f(t) =
e2 e при 0^/<lnln3 и lnln26^/<lnln(26 + 1}
(k = 2, 3, ...)
-L *
— e2* при ln ln(26+1) ^/<lnln(26 + 2)
■	(k = 1, 2, ...).
ee‘ при 0	< In In 3 и In In 2k < t < In In (2k + 1)
(6 = 2, 3, ...}
—egt при Inin (2k + 1) t <ln In (2k + 2)
(k= 1, 2, ...).
е‘ при In (26 — 1) t < In 26	(6 = 1, 2, ...)
— е‘ при In 26	<ln(26+ 1)	(6 = 1, 2, ...).
В задачах 901—904 исследовать сходимость интегралов Ла-
оо
пласа J e~zt f (t)dt на границе полуплоскости сходимости.
901. /(/)=!. 902. f (t) = 0 при 0 < / < 1, f (/) = I/O при t > 1.
903.	f (t) = 0 при 0</<1, f(t) — 1/t при t > 1.
904.	f (/) = 0 при / = 0, f(f) = l при 0</<1, а при />1
f(t) определяется следующим образом:
. f f(t) + 1, если (26-1)2</ + К(26)2
f(t + 1) = [	1( если (26)2</ +1 ^(26+I)2 (6 = 1, 2, ...).

ГЛАВА VI
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Бесконечные произведения
В задачах 905—911 доказать указанные равенства.
оо	оо
MS-IIO-iH- 9»6-П(1+М7+2))"2-
п-2	п=1
п-3	п=2
•оо-П^Ч- .іо-ПІ’+ЧА-1-
п=2	п=1
оо	/ п	\
Пе1/л	I у! 1	I
	г- = ес, где С = lim У -г — In п I — постоянная
1 4- —	П—>оо	Л	/
П-1 1 + “	Ч£=1	'
Эйлера.
912. Доказать, что JJcos-^- = ^^-.
п-1
k
Указание.
Сначала доказать тождество sîn qp = 2ft sin
ІП
n=l
ф
cos#
913. Пользуясь решением задачи 912 доказать, что
2	Е2	2	 _
/2	Ѵ2+ѵГ+тт	" 2
оо
914*. Доказать формулу Валлиса у = JJ t 2^77
П=1
115

915.	Доказать, что если, как обычно, считать —jt<argpn^n,
оо
то бесконечное произведение Ц рп сходится и расходится одно-
П=1
оо
временно с рядом 2 1п Рп-
916.	Выяснить, сохранится ли утверждение из предыдущей
задачи, если условиться, что:
1) 0^argp„<2n; 2) a<argp„^a + 2n ( — 2n<a<0).
917.	Доказать, что для абсолютной сходимости бесконеч-
оо	’
ного произведения Ц (1 + <*«) (т. е- Для абсолютной сходимости
П—1
оо	оо
ряда 2іп(1+Яп)) необходимо и достаточно, чтобы ряд 2 ап
П—1	И=1
сходился абсолютно,
оо	оо
918.	Произведения ГІ Рп и П <7п сходятся. Исследовать схо-
п-1	п«1
димость произведений:
оо
1) П^+^’ 2)	3) Пм»; 4)
п-1	п-1	п—1	„Л Чп
В задачах 919 — 923 исследовать на сходимость и абсолют¬
ную сходимость данные произведения.
_ 1	1	00 п
-11— . 920.
J	п—1
919. Ц[1 + “
п—1
92!. П[1+( У"] (Р>°)- 922. П(1 + ^)
п-1	П-1
оо	оо
923.	П cos zn» если известно, что ряд 2 I zn |2 сходится,
n—1	п=1
924.	Доказать, что внутри единичного круга
п-0
причем произведение сходится абсолютно.
В задачах 925—934 найти области сходимости произведений.
925.	Д(1 -г'1). 926. П(1+-^). 927. Д(1 --g-).
п-1	п-1	п-1
116

п=2	п=1
2
ОО	СО /.««л	со
'л/	Sin 11 **	z
930. fleosi. 931. И 932. П(1+^е“-
n«l	71 = 1 n	n=l
oo	oo
933.	П(1+cnz), если известно, что ряд 2 I сп I сходится.
n«l	n=l
934.	Доказать, что произведение
III'
n-1
(-1)п+1
пг
(Пг_ег1пп)
сходится в полуплоскости Rez>l/2 и сходится абсолютное по¬
луплоскости Rez>l.
935.	{fn(z)} — последовательность функций, аналитических
в области G, причем все эти функции, за исключением конеч¬
ного их числа, не обращаются в нуль в области G. Доказать,
что если I fn(z) |^а„ для всех zeG, причем ап не зависит от з,
ОО	ОО
и ряд 2«п сходится, то функция f(z) = П [l+/n(z)] является.
п-1	п-1
аналитической в области G.
В задачах 936—939 выясняются некоторые свойства гамма’
функции, вытекающие
нечного произведения
[3, гл. VII, § 1]).
936. Доказать, что
из ее определения как предела беско-
(см., например, [2, гл. VII, § 4] или
произведение
Г(г+1) =
п
г + п
сходится абсолютно во всей плоскости, кроме значений г, рав¬
ных целым отрицательным числам, и представляет функции^
аналитическую во всей плоскости, кроме точек z = — 1, —
937.	Доказать формулу Эйлера
Г=П’Ц^О z(z+1) (z + 2)... (г + в) = eZ 1П
и показать, что:
1)	Г (z + 1) = гГ (z);
2)	Г(т+1) = щ|, если т — натуральное число.
117

938.	Доказать, что
П“ и(а + р + п) _ Г(а+ 1) Г(р-Ц) ,
(а + п)(Р + п) Г(а + р+1)	1,-2,...).
п=1
939.	Доказать формулу Вейерштрасса
°°	Z
п=1
где С —постоянная Эйлера.
‘ Указание. Воспользоваться решением задачи 911
940*. Пусть рь р2, ..., рп, ...—последовательность всех
оо
простых чисел (р[ = 2, р2 = 3, р3 = 5, ...), a ?(s) = S«-s
п= 1
(n~s = e~slan) — дзета-функция Римана, аналитическая в полу¬
плоскости Res>l (см. задачу 844). Доказать, что:
1) U»)=^—!	;
ПО
И=1
2) функция £(s) не имеет нулей в полуплоскости Res>l.
Примечание. Исследованию дзета-функции посвящена обширная
литература. См., например, монографию: Е. К. Тит ч марш, Теория дзета-
функции Римана, ИЛ, М., 1953.
оо
941*. Доказать, что ряд Ѵ-^-, где (рп) — последователь-
Рп
П=1
ность простых чисел, расходится.
§ 2. Разложение в ряды простых дробей
и в бесконечные произведения. Суммирование рядов
942. Пусть f(z) — мероморфная функция с простыми полю¬
сами в точках ah а2, ...» ап, ...» причем 0 <|	| а21	...,
liman=oo. Обозначим через Ап вычет функции f (z) относи-
Л->оо
тельно полюса ап (п=1, 2, ...). Допустим, что существует по¬
следовательность замкнутых контуров Ст, удовлетворяющих
следующим условиям:
1)	Ст не проходят ни через одну из точек ап‘,
2)	каждый контур Ст содержится внутри контура Ст+І;
3)	минимальное расстояние от контура Ст до начала коор¬
динат (обозначим его через Rm) неограниченно возрастает при
/п—► оо;
4)	отношение длины Lm контура Ст к Rm остается ограни¬
ченным, т. е. Lm = О (Rm);
118

5)	max I f (z) |=o (/?m) (условие 5, очевидно, выполняется, если
функция f(z) ограничена на всех контурах Ст).
Доказать, что при этих условиях имеет место разложение
функции f(z) на простейшие дроби	,
оо
Нг) = /(О) + 2Л„(Т=^ + ^),
\ z — ап	ап /
п=1
причем сходимость ряда будет равномерной во всякой замкну¬
той области, не содержащей точек ап, если под знаком суммы
сгруппировать слагаемые, относящиеся к полюсам, заключен¬
ным между Ст и Cm+l(m= 1, 2, ...).
Указание. Применить теорему о вычетах к интегралу
1 Г /ю
2лі J £(£-z)
Ст
и перейти к пределу при т->оо.
Примечание. Относительно различных обобщений сформулирован¬
ной теоремы см., например, [1, гл. VIII, п. 4].
В задачах 943 — 951 доказать справедливость разложений,
943. ctgZ = T + 2j г2-п2п2 - 944- -^=t + 2j-г2-га2лг ♦
n=l
945. tgz = г (2n- !) л 12	“•
n=1 L 2 J 2
946	1 =ЯЎ (-l)n(2»-D
cosz 11 A4 2 Г (2n — 1) л "|2 *
n=1 2 “L 2 J
oo
947- 1Ьг-Е -ПЙ-Ц7Т'
n=i Z + |_	2 J
948	- 1 kV ( —l)n2z
shz ~ z Âà z2 + n2n2 *
n=l
049 	£	- I _ £ ’ Y

ег - 1	1	2	+ 4п2л2 *
n=l
oo
950, SÎÎPT=	(z-пл)2 •
fl=-oo

951.	Пусть f(z) —целая функция с простыми нулями в точ¬
ках ai, а2, ..ап, ..причем 0<| а2 І*С • • •» Нт ап = 00•
П->оо
Допустим, что существует система контуров {(?„}, удовлетво¬
ряющая условиям 1—4 задачи 942 и на которых
“ас’І тег I
Доказать, что во всей плоскости имеет место разложение
Г(0) - «>	г
n=l ,
В задачах 952—958 доказать справедливость разложений,
оо	•
952.	sinz = zJJ(l-^-).
ОО	'
953.	соз2 = П{1-[(24г1)я]2}.
п-0
оо
954.	shz = zП(1 + І)-
n=l
955.	Лг=Й{1+[І5г£Іу_]!}.
n=0
Z оо
956.	«■-1.ге’Ц(1 + 1^).
n=l
957.	е«-^.(а_!,)гЛ“+ИгП[1 + <^].
n-1
оо
958.	chz — cos z= z2 JJ (1 +W"’)-
n-1
959.	Пусть f (г) — мероморфная функция, имеющая конечное
число полюсов: аь а2, ...» ат, не совпадающих ни с одной из
точек г = 0, ±1, ±2, ... Доказать, что если существует по¬
следовательность контуров {CJ, стягивающихся к бесконечно
удаленной точке, причем	•
lim f f (z) ctg nz dz = 0,	(1)
П->оо J
oo	m
то 2 î (n)	л 2 res [f (z) ctg nz] .
П~-ОО	/г-1	*
120

960.	Доказать, что если в условиях предыдущей задачи
требование (1) заменено условием lim ^-^5 = 0, то
п->оо J sin яг
сп
со	т
2 (- іУНп)- - «£res [4^]	.
П»-оо	'	Ы	Ь
В задачах 961 — 968 найти суммы рядов, предполагая чи¬
сло а таким, что ни один из знаменателей не обращается
в нуль.
961 • (а + п)2 ’ 962, S (а + п)2 * 963, jÈ (2п+1)2 ’
П —— СО	П-—оо	п=о
И6.
п=0	п—0	п—0
со
967. 2 “к ~ натураль-
П«1 П
ное число).
Указание. Сначала доказать,
что если z «= 0 — полюс функции f (z),
то формула для суммы ряда из за¬
дачи 969 остается справедливой, если
в ее левой части суммирование
распространено на все значения п
от — со до + оо, кроме значения п = 0.
[ctg nz I
— 2k— I
Z
удобно воспользоваться разложением
из задачи 487.
оо
/ і\п п sin bn
а2-п2
п-1
Рис. 30.
968. JJ
(— л < b < л).
Г	dz
Указание. Воспользоваться интегралом -г-ъ

к J (а2 — z2) sin nz
тур из задачи 960)^
969.	Доказать, что
/У
(Сп—кон-
2	.
VI	п

(п2 - 3) /4л2 - 3
г»	f z ctg nz dz
Указание. Воспользоваться интегралом J ——^p====-, где
cn
Cn — контур, ограничивающий указанную на рис. 30 двусвязную область.
121

§ 3. Характеристики роста целых функций ')
Пусть f (г) — целая функция и М (г) = max | f (z) |. Число р =• lim taJüÆW
Iz|=r	r-»oo In Г
называется порядком целой функции. Если 0 < р < оо, то число а — lim —
‘	г->оо
называется типом функции. Если 0 = 0, функция f (z) называется функцией
минимального типа; если а=оо, функция f (z) называется функцией макси¬
мального типа; если 0<а<оо, функция f (z) называется функцией нор¬
мального типа.
970.	Доказать следующие утверждения:
-1) Если р#=оо и о#:оо — соответственно порядок и тип
функции f(z), то для любого 8>0 можно указать такое число
£(в), что при r>R справедливы неравенства	'
ЛЦгХе^, М(г)<е^+^гР.
Можно также указать такие последовательности чисел {г„}
и [г'}, сходящиеся к бесконечности, для .которых
,р-е	,Р
М (гп) >еГп и М (гп) >е(а~е)г".
♦
2)	Если для некоторого натурального числа k
л . T- М (г)
0< lim —У- < оо,
Г->оо Гк	’
то /(г) —полином степени k (и, следовательно, существует
Пт
Г->оо	і !
Указание. Воспользоваться неравенствами Коши для коэффициентов
оо
степенного ряда f (г) = 2 сп2”-
п=0
3)	Если f(z) — целая трансцендентная функция, то
,. InAf(r)
lim 	:	— = оо.
ГЧ.ОО tar
В задачах 971 — 983 определить порядки и типы указанных
функций (п — натуральное число).
971.	cozn + c,zn-1 + ... + cn. 972. еаг” (а>0). 973. zne3z.
974. г2е2г — е3г. 975. е5г-3е2г’. 976. е<2-«г’. 977. sinz.
978. ch z. 979. ez cos Z. 980. cos ]/z?
') По поводу задач этого параграфа см. Б. Я. Левин, Распределение
корней целых функций, Гостехиздат, 1956, а также [2, гл. VII, § 1].
\
122

njj- (m — натуральное число).
n=0
i
982. e‘. 983*. j е*г dt.
о
984.	Целая функция f(z) имеет порядок p и тип <т (О^
а оо). Доказать, что функция P (z) f(z) + Q (z), где Р (г) и
Q(г) — любые многочлены, имеет также порядок р и тип а.
985.	Целые функции f, (z) и f2 (z) имеют порядки, соответ¬
ственно равные Рі и р2, причем р2=/=р2. Что можно сказать
о порядке р* функций A(z)f2(z) и À(z) + f2(z)?
986.	Целые функции fi (z) и f2(z) одного и того же порядка р
имеют типы, соответственно равные о, и <г2, причем Что
можно сказать о порядке р* и типа а* функций:
1) ШШ, . 2) Л(г) + ;2(г)?
987.	Целые функции fi (z) и f2 (г) имеют один и тот же по¬
рядок р и один и тот же тип а. Что можно сказать о по¬
рядке р* и типе о* функций:
і)ШШ, 2) A(z) + Mz)?
оо
988*. f(z) = TT(l-4Y хп>° («=1> 2. •••). 1іт-Д-=а>0,
1іт-Д = Р<оо. Доказать, что f(z) — целая функция первого
П->оо
порядка, причем тип а этой функции таков, что ла^сг^лр.
тт /	z2k\
989. f (г) = J JJ 1 — —2"), Xn>0 (n= 1, 2, ...), 2/г — натураль-
п=>1 ' п '
ное число. Доказать утверждения:
1)	если 1іт-^- = 0, то /(г) — целая функция, растущая не
быстрее, чем функция порядка k и минимального типа;
оо
2)	если Игл— = оо и V — <оо, то f(z) — функция, расту-
п->°° Ч	„_і Ч
щая не медленнее, чем функция порядка k и максимального
типа.
Указание. Воспользоваться методом решения предыдущей задачи.
990*. Доказать, что порядок и тип целой функции не изме¬
няются при дифференцировании функции.
123

Решить задачи 991 — 998, основываясь на следующей тео¬
реме.
Если разложение целой функции в степенной ряд имеет
оо
вид f (z) = 3 сп2"» т0 порядок р и тип а этой функции опреде¬
ляются равенствами	.
J_ 	 / _1_ п 	\
(сгер)р = lim \пр ]/| сп |).
П-»оо
991.	Доказать, что целая функция
И>о, «>0)
п-0
имеет порядок р=1/а и тип <т = Л1/а.
Указание. Воспользоваться формулой Стирлинга
Г (ап + 1) =	У 2яап £14-0 0^ •
В задачах 992 — 998 найти порядки и типы данных функций,
оо	ОО	П
992.	=	993. f(z) = ^(^)azn	(а>0).
tl=>]
994.	=	2" (а>0)- "5* ^)=2/’"2г'1-
996.	=	(«>0). 997. f (z) = £г\
п=*\ п	*	гг=О
ОО
998.	z-v Jv (z) = JJ wl(r~n1)+v +~î)' (v > - 1 ; /ѵ (г) - функция
n=0
Бесселя ѵ-го порядка).
Если р — порядок целой функции f (z) (0 < р < оо), то функция h (<р) =«
< I I
Пт ■ ■■	—— называется индикатрисой podfa функции f(z).
Г ->09 ГР '
124

В задачах 999—1005 найти порядок р и индикатрису /г(<р)
соответствующей функции.
999.	ег. 1000. ez + z2. 1001. sinz. 1002. cos z.
1003. chz. 1004. e-< 1005.	.
/г
1006.	Целая функция f(z) имеет индикатрису Л(<р), a P(z) —
многочлен. Какова индикатриса Æ* (<р) функции:
l)f(z) + P(z), 2)f(z)P(z).
1007.	Р (г/— произвольный многочлен. Привести пример це¬
лой функции f(z) (конечного и не равного нулю пррядка), инди¬
катриса которой Л(ф) в некотором интервале равна нулю, тогда
как индикатриса функции f(z) + P(z) в этом же интервале отри¬
цательна.	■

ГЛАВА VII
ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
ПУАССОНА И ШВАРЦА
§ 1. Интегралы типа Коши
Интеграл вида
1 f <p(g)rf£
2ш J £ — z ’
с
где ■ С — гладкий' контур *) (замкнутый или незамкнутый) и <₽(£) —функция,
непрерывная на контуре С, за исключением, быть может, конечного числа
точек, где она имеет интегрируемый разрыв, называется интегралом типа
Коши. Функция <р (Ç) называется его плотностью, а -т	ядром. Интеграл
типа Коши представляет функцию F (z), аналитическую в каждой области,
не содержащей точек контура С. При этом
= f Ф (О
1 ’ 2ni J (Ç-z)«+* •
(О
Пусть ф (£) на контуре С удовлетворяет условию Липшица порядка
а(0<а<1) (коротко ç (£) е Lip а), т. е.
’ I Ф (£1)-Ф (?2)\<k U, - g2 |а,
где точки Çj и £2 принадлежат контуру С, а k — постоянная. Тогда, если
точка контура £0 не является его концом, существует сингулярный интеграл
ф(£)
с
определяемый как главное значение интеграла типа Коши.
9 Под гладким контуром мы подразумеваем простую (т. е. без точек
самопересечения) линию с непрерывно меняющейся касательной и не имею¬
щую точек возврата. Впрочем, условия, наложенные на контур С, могут быть
значительно расширены. См. И. И. Привалов, Граничные свойства ана¬
литических функций, изд. 2-е, 1950, гл. III. 'Можно также рассматривать
сложные контуры, состоящие из конечного числа контуров указанного типа.
126

Это главное значение можно выразить через обычный несобственный
интеграл по формуле
f y(St~?('9~d£+T<p(£°) + ~^Ln|2LF>	<2>
ÀTtt J g Qq	Z	ÀTtl Cl ~~ gg
c
где точки a и b — концы контура С, если он незамкнут. Однозначная
ветвь Ln выбирается так, что в случае замкнутого контура (а = Ь) член
с логарифмом исчезает и формула принимает вид
р (г \ 		1 f Ф (£) Ф (£o) I 1	/«• \	zoZv
F(So) = âïrJ ——^ + уф($о).	(2')
с
Если обозначить через
Коши F (г) при z->g0
формулам Сохоцкого
F+ (go) и F" (go) предельные значения интеграла типа
соответственно слева от С и справа от С, то по
г+ (So) = F(So) + ÿq>(Ço).
F- (£о) = Л£о)-уФ(£о),
(3)
ИЛИ
F(Co) = y[f+(So) + ^~(Ço)], F+(Ço) - F" (Ço) = <₽(£„).	(4)
Если контур С замкнутый и порядок его обхода обычный, то F+ (g) —
предельные значения функции F+ (z), определенной внутри контура (об¬
ласть D+), a F" (g) — функции F” (z), определенной вне контура (об¬
ласть £>“) 1). (См., например, [2, гл. III, § 3] или [3, гл. III, § 3].)
1008.	Доказать, что если С —замкнутый контур и плотность
интеграла типа Коши Ф (г) = J	может быть пред-
С
ставлена в виде ф (С) = ф+(С) + Ф" (£), где ф+(£) и ф~(£)-гра-
ничные значений функций, аналитических соответственно внутри
и вне контура С, то
Ф+(з) = ф+(з), ф-(з)=-ф-(2) + ф-(оо).
Примечание. Если в условии задачи одна из функций или <р+
тождественно равна нулю, то интеграл типа Коши обращается в интеграл
Коши соответственно для внутренней или внешней областей.
1009.	Пусть С —замкнутый контур. Найти F+ (г) и F" (z),
если плотность интеграла типа Коши — указанная функция
(«—натуральное число):
1) Ф(£) = (£“о)"; 2) ф(О=^2а)« (а-внутри С);
3)	ф(С) = (g Ja)» (а —вне С).
*) К этому же случаю относится и тот, когда контур — бесконечная ли¬
ния, делящая плоскость на две области.
127

1010.	Найти F+ (z) и F (z), если:
1)	функция ф (£) —граничное значение функции, аналитиче¬
ской в D+ всюду, за исключением конечного числа точек ak,
где она имеет полюсы;
2)	функция ф(?) — граничное значение функции, аналитиче¬
ской в D~ всюду, за исключением конечного числа точек
где она имеет полюсы (среди ak может быть и точка z = оо).
1011.	Найти F* (z) и F“(z), если
1г~£~2
Ф£4 _ 3£2 _ 4	+	£2 _ 4
и С — окружность I £ 1 = 3/2.
1012.	Найти F+(z) и F~ (z), если ç(£) = ctg£ и С —окруж¬
ность I £ I = 5.
1013.	Найти F+(z) и F" (г), если. ф(£) = -р^-р и С —действи¬
тельная ось, пробегаемая слева направо.
Примечание. Под интегралом типа Коши, взятым по действительной
_, ч 1 f ср (т) .
оси	I 	dxt следует понимать его главное значение, если он
— оо
в обычном смысле расходится.
1014.	Найти F+(г) и F~ (г), а также предельные значе¬
ния F± (?) на контуре интегрирования С, если С — окружность
оо
|?| = 7?, а ф (£) = -у-+ 2 (а« cos пѲ + bn sin пѲ) — равномерно exo¬
n— 1
дящийся ряд Фурье действительной функции ф (Ѳ) = ф
1015.	1) Пусть С — окружность | £ I = п/2 и / (?) — функция, ана¬
литическая в круге I £ I л/2. Найти функции, определяемые
интегралами	■
I' = 2лГ J f ®	—	12 ~ Ъй J sin (£- z) ’
с	с
в областях, точки z которых обладают тем свойством, что ни
одна из точек z + kn (k — целое число) не лежит на С.
2) Решить задачи, сформулированные в п. 1), в предполо¬
жении, что С — окружность I?I = л.
1016.	Пусть С —отрезок [—1, 1], пробегаемый слева направо,
и ф®^1. Найти F (г) вне С, предельные значения F* (?) и
главное значение Г(?) на С. Вычислить, в частности, F(±t),
F±(0) и F(0).
1017.	Пусть С — полуокружность | ? | = R, 0< arg£< л (начало
в точке /?) и q>(J)sl. Найти F (г) вне С, предельные значе-
128

ния F± (g) и главное значение F (g) на С. Вычислить, в част¬
ности, F(0), F± (IR) и F (iR). Найти также F' (0).
1018.	Пусть С — полуокружность | g | = R, - n<argg<0 (на¬
чало в точке R) и 1. Найти F(z) вне С, предельные зна¬
чения F* (g) на С, F (0) и F' (0).
1019.	Пусть плотность интеграла типа Коши ф(?) = -^г.
Найти F (г) вне С, если контур С —указанная линия:
1)	граница кольца г <| z |<F;
2)	прямая Img = n, пробегаемая слева направо;
3)	граница полосы |Ішг|<л;
4)	полуокружность |g| = 7?, 0<argg<n (начало в точке 7?);
5)	полуокружность I g | = 7?, —л<argg<0 (начало в точке F).
В пп. 4) и 5) найти предельные значения F± (g) на С и вы¬
числить F(0).
В задачах 1020—1025 найти F(z) вне С, предполагая, что
контур С —дуга, соединяющая точки а и Ь, а ф(?) —указанная
функция.
1020.	ф(0=1. 1021. Ф(£) = £. 1022. 1) ф(?)=Г; 2)Ç(g) =
= 2 сп£п — целая функция. 1023. ф (g) = -х—j- (z0 ® С).
п-0	Ь »0 ■
1024.	ф (С) =	_ г^п (zo С). Вычислить, в частности, F(z0).
Указание. Воспользоваться равенством
ф (?) ,, Ф (€) — ф (г) . ф (z)
?-* C-Z
1025.	Найти F+(z), F~ (z) и предельные значения F* (g), если
С — окружность I £ I = 7?, ф (g) — логарифмическая функция, опре¬
деленная условиями:
1)	Ф (?) = In ѣ = In R + і'ф, — л < ф sC л;
2)	ф (?) = Ln g = In R + 7ф, 0 < ф < 2л.
Указание. Рассмотреть контур, состоящий из окружности | z ] = /?
с разрезом по радиусу [— R, 0] в первом случае и [0, /?] — во втором.
Примечание. Если не фиксировать заранее ветви логарифма, а тре¬
бовать ее непрерывного продолжения вдоль контура интегрирования, то инте¬
грал будет зависеть от выбора начальной точки интегрирования. См. также
указание и примеры на стр* 56.	’
1026.	Найти F'+ (z), F" (z) предельные значения F* (g) на С,
Г
если ф(£) = In-ç-^-j-, а контур С:
1)	окружность |g| = 7? (R > 1);
2)	прямая Img=l, пробегаемая слева направо.
1027.	Найти F(z) и предельные значения F* (g) на С, если
Ф (g) = ln g 21 ’ > а контур С — полуокружность I g I «= R (7?>1),
0 arg g л (начало в точке R).
5 Л. И. Волковыский и др.	129

1028.	Найти F+ (z) и F (г), если <р(£) = Vi (0<arg < л)
и С — окружность I £ I = 1.
В задачах 1029—1031 найти Æ* (г), если С —замкнутый кон¬
тур, точки а и b лежат внутри него, а (р(£) —однозначная ветвь
многозначной функции, определенная вне разреза, соединяющего
точки а и b и лежащего внутри контура С.
1029..Ф (Ç) = Ln	(Ln 1 = 0).
1030.	Ф(?) = )/(Ф(оо)=+ 1).
Указание. Для отыскания интеграла по контуру, окружающему раз¬
рез.
разложить
Ф (g)
2-г
I
в ряд по степеняхМ
1031.	Ф(С) = (?-а)Л(£-6)'-Л (-^1^ = 1).
1032.	Найти F* (z), если контур С замкнутый, точка а при¬
надлежит области D+, точка b — области D~ и ф(g) = Ln
(Ln 1 = 0) — однозначная ветвь, определенная вне разреза, соеди¬
няющего точки а и & и пересекающего контур С в одной точке
Указание. Присоединить к С разрез вдоль дуги £оа, если z лежит
в области D+ и вдоль £0Ь — если z лежит в области D“.
1033.	Доказать справедливость равенств (Q<X< 1):
(zë|0, 1]);
о
2)	»>■
о
Указание. Для получения первой формулы рассмотреть интеграл
1 Г I 2 \À dt / т \К
Коши J J Т-г’ ГДе \ 2 —Т/ — ФУНКЦИЯ> оДнозначная в плоско-
С
сти с прямолинейным разрезом [0, 1] и равная 1 на оо, а С —граница двусвя »-
ной области: круга |£|</?(/?>1) с разрезом по отрезку [0, 1]. Вторая фор¬
мула получается из первой при помощи формул Сохоцкого.
1034.	Вычислить сингулярный интеграл
t2 + 3
T=Tdt
(- 1<х<1).
130

1035.	Найти интегралы:
1 1
1) j In	(zê=[0, 1]); 2) J In(те=(о, і)),
о	о
1036.	Рассмотрим сингулярный интеграл
—J (т-,„)Ѵ(т_г)	(v-« + 4S.0<«ci).
где С —дуга, соединяющая точки а и Ь, /0 —точка этой дуги и
(т — f0)Y —однозначная ветвь в плоскости с разрезом, содиняю-
щим точки f0 и оо. Если точка /0 совпадает с одним из концов
дуги С, то будем считать, что разрез проходит по всему кон¬
туру С; если же точка /0 внутренняя, то разрез проводим по
Дуге (*о, контура С. Доказать следующие утверждения:
1)	В окрестности точки а
ІуЛ
Р^,а) =	+
F(t,a) = ^P-(t-a)-'l + Fl(t) (te=C),
где Fi (z) — функция, аналитическая в окрестности точки а.
Указание. Рассмотреть разность
1 Г	(ІТ	РІУП
Fx (z) = -5—7 			(г — а) ѵ
J (т _ аў (т _ г) 2і sin ул
и, пользуясь формулами Сохоцкого, доказать, что F\ (z) будет аналитической
функцией в окрестности точки а.
2)	В окрестности точки b х
+F^F
^р-Ѵ-Ь)-у + Р,Ѵ) (IsC),
где F2 (z) — функция, аналитическая в окрестности точки Ь.
3)	В окрестности внутренней точки tQ контура С
F (z, t0) = (z — /0)~ѵ + F3 (z) слева от С,
F (z, tQ) = F4(z) справа от С,
F (t, to) = j(t~ t0)~y + Fs (t), если t (= C,
где F3(z), F4(z) и F5(z) аналитичны в окрестности точки tQ.
1037.	Выяснить поведение интеграла типа Коши
_L fin 3-.AL
2л/ J 111 £-1 £-z
с
5*
131

вблизи точек z = — Raz = R, если С — полуокружность |Ç| = 7?
(/?> 1), лежащая в верхней полуплоскости (начало в точке R).
Указание. См. задачу 1027.
Примечание. О поведении интегралов типа Коши вблизи особой
линии см. Н. И. Мусхелишвили, Сингулярные интегральные уравнения,
Физматгиз, 1962, гл. I или Ф. Д. Г а х о в,' Краевые задачи, Физматгиз,
1963, гл. I.
§ 2. Интеграл Дирихле, гармонические функции,
логарифмический потенциал и функция Грина
Интеграл
_	D (и) = J J (4 + и2у) dx dy	'
Q
называется интегралом Дирихле, а интеграл
D (и, ѵ) « J J (ихѵх + UyVy) dxdy
G
— соответствующей ему билинейной формой.
1038.	Доказать следующие свойства интеграла Дирихле и
соответствующей ему билинейной формы:
1)	D (и) = J J («2.+ у «2 ) dx dy (z = x + iy = ге^);
о
2)	D(u) и D(u, ѵ) инвариантны относительно конформных
отображений области G;
3)	D2 (и, v) D (и) D (о) (знак равенства имеет место только
в случае и/ѵ = const); -
4)	если функция f (z) = и + Іѵ аналитична в области G, то
D(M) = D(o) = D(f)= j$\f'(z)\2dxdy.
G
Каково в этом случае геометрическое значение 0(f)?
1039,	Пользуясь формулой Грина
J j v bu dx dy + D (и, v) = J v ds
G	C	'
(« — внешняя нормаль; A —оператор Лапласа), доказать следую¬
щие свойства гармонических функций и, щ, и2 (ѵ —функция,
сопряженная к и):
1) D (и) = [и ds = f udv, 2) f -jp-ds = f.dv = 0;
j un	j	j un J
с	à	с	c
132

3)	если u1 = «г на С, то и, = и2 в G;	-
диі ди2 г,	.	~
4)	если = на с, ТО «! — «2 = const в G.
1040.	Доказать, что если и гармонична в круге | z | < R и
непрерывна в замкнутом круге | z | R, то
2Л
Ы (°) = 2л J U dQ== nF J / и r dr dV'
0	|г|<Я
"	I* du	'
Указание. Из равенства . J - ds = 0 следует, что интеграл
с
J и dcp не зависит от г; найти это значение с помощью предельного пере-
\z\~r
хода при г->0 а затем совершить предельный переход при r->R.
1041.	Интегралы вида
11р^1п ie-zi ^dt1, f p(s)in I£2Z| HU
c	c
c
(£ = ѣ + м\, n — нормаль к С) называются соответственно лога¬
рифмическим потенциалом,, логарифмическим потенциалом про¬
стого слоя и логарифмическим потенциалом двойного слоя.
Проверить следующие равенства:
2Л
І / 1пТ^7Г',Ѳ “
О
Injjp если I z |>Я
Іп-^-, если I z I R;
&=«егѳ),
ля2 JJln Iе-z| d£dri-
ІСКЛ .
1п-|2р если |z|>7?,
In
если |z|^7?;
3)	I g-z| HSI= / v(g) Jarg(Ç-z)
c	c
(нормаль n берется слева по отношению к обходу С);
4)
Г д <- 1	( ф’
J an 1п |g-z|	\ _ф,
•а
если Imz>0,
если Imz<0,
133

где ф (0<ф< л) — угол, под которым виден отрезок (—а, а) из
точки z (а>0).
Функцией Грина области G для задачи Дирихле g (х, у, g, тр (коротко,.
g (г, £), z = X + іу9 £ = H Zî]) называется гармоническая функция обеих пар
переменных х, у и g, -q, равная нулю на границе области О, имеющая осо¬
бенность при z = £, причем
g (г, Ç) = In
+ гармоническая функция.
Функция Грина симметрична относительно своих аргументов, т. е.;
g(z, ï)=g(t»z) (см., например, [2, гл. VI, § 1]).
1042.	Сформулировать задачу Дирихле для гармонической
функции, эквивалентную отысканию функции Грина g(z, £).
1043.	Пусть функция w = f(z, £) конформно отображает одно¬
связную жорданову область G на круг | w | < 1 так, что f (£, £) = О
(£ œ G). Доказать соотношения
.	g (г, 0= - In | f (z, 01.	(1>
f(z,Ç) = e-te+w,	(2>
где h (z, £) — гармоническая функция, сопряженная с g (z, Ç).
1044.	Пользуясь соотношением (1) задачи 1043, найти функ¬
цию Грина g(z, Ç) для следующих областей:
1) для круга I z |</?; 2) для полуплоскости Imz>0;
3)	для полосы 0<Imz<l.
1045.	Доказать следующие утверждения (п — внутренняя нор¬
маль, уг — окружность | z — £ | = г):	,
1)	Если m(z) непрерывна вблизи z = £, то
lim f и (г) — д2’ ds = 2ли (z).
2)	Если u(z) непрерывно дифференцируема вблизи z = Ç, то
lim f g(z, ^)-^^ds = 0.
3)	Если u (z) гармонична в G и непрерывно дифференцируема
на С, то
«(С) = І J “~ (zeG).
с
Указание. В формуле
J \ дп s дп ) J \ дп 6 дп )
с	' уг
совершить предельный переход при г->0.
134

§ 3. Интеграл Пуассона, формула Шварца,
гармоническая мера
Если действительная функция и (g) = и (R, Ѳ) определена и кусочно не¬
прерывна на окружности £ = /?еіѲ (0^Ѳ<2л), то интеграл Пуассона
2Л
1 Г	R2 — г2
и (г) = и (г, ф) = J и (R, Ѳ)	(1)
О
определяет в круге | z | < R (z — re^) гармоническую функцию, имеющую
в точках непрерывности и (£) граничные значения, равные и (£):
Нт и (г) = и (?)	'
по любым некасательным путям). Соответствующая функция f (z) =
= и + іѵ, аналитическая в круге | z | < /?, определяется по формуле Шварца:
2л
О
(0) — произвольное действительное число).
1046.	Доказать следующие утверждения:
2л	*
1 Г	R2 — г2
2л J R2 — 2Rr cos (Ѳ — qp) + r2
о
2Л
2)	и (г, <р) - и (R, Ѳо) = 2^ J [и (R, Ѳ) - и (R, Ѳо)] X
о
R2 — г2
Х /?2 — 2/?г cos (Ѳ — ф) + r2
3)	если I и (R, Ѳ) — и (R, Ѳо) | < е для | Ѳ — Ѳо | <J а, то
1 Г	— г2
2л J I U (R, Ѳ) - U (R, Ѳо) I R2_2Rr соз(Ѳ-ф)+г2 < е:
|Ѳ—Ѳ0І <а
4)	если I Ѳ — Ѳо I > а и | ф — Ѳо | < -^-, то
R? — 2Rr cos (Ѳ — ф) + r2 > 4Rr sin2 y ;
5)	если |ф —Ѳ0|<у и выполнены условия и. 3), то
.	/ ч /г> а \ I « М (R2 — г2)
\u(r, q>) — u(R, ѳо)|<е+ ѵ2яЛ
2Л
где А = 4л/?г sin2-^-, М = | | и (/?, Ѳ) — Ѳо) \dQ.
о
135

1047.	Доказать, что если £ = /?егѳ, z = rez<p, то
g + z _ (R2 — г2) + i2Rr sin (<p — Ѳ)
£ — z R2 — 2Rr cos (Ѳ — qp) + r2 *
Пользуясь доказанным равенством, получить следующие
разложения:	4	'
4	оо
U (z) = и (0) + 2	(ап cos ПФ + ^п sin иф)>
п=1
ü(z) = v(0) + S(y)"i
n-1
f(z) = f(O)+ 2 Cnzn,
где
2л
an = -7 I « (R> Ѳ) cos nO dQ,
JT J
0
r 	 an~ ibn		1
Cn ” Rn ~ nRn
— bn cos n<p + an sin n<p),
f(O) = u(O) + /v(O),
2n
bn = J и (R, Ѳ) sin nO dQ,
о
2Л
j и (R, Q)e-lnede.
0
1048.	Доказать, что для гармонической функции и(г) интеграл
Дирихле
оо
D(m)= (u2x + u^)dxdy = n^n(a^ + b^
IzKtf '	п-1
(коэффициенты ап rf bn определены предыдущей задаче).
При этом обе части равенства одновременно могут обра¬
щаться в бесконечность.
Указание. Перейти к полярным координатам (г, <р) и доказать, что
оо
если г < R, то Dr (и) — J J (и2х + и2') dx dy = л У] га	(а£ + 6^).
|z|<r	п-і
1049.	Доказать, что для непрерывной функции
u(R. Ѳ) = 2-^°
n=l
интеграл Дирихле определяет гармоническую в круге |z |<7?
функцию и (z) с граничными значениями и (R, 0) и бесконечным
интегралом Дирихле D(ü)=oo.
1050.	С помощью интеграла Пуассона решить внешнюю
задачу Дирихле для круга | z | < R: найти функцию и (z), гармо¬
ническую в области |г|>І?, регулярную на бесконечности и
136

имеющую заданные граничные значения и(£) на окружности
I £ I = /?. Определить значение и (оо).
Указание. Сделать замену zx = R2/z.
1051.	Доказать, что для | z | > 7? формула Шварца (см. введе¬
ние к § 3) определяет аналитическую функцию (z) = u{ (z) + iv{ (z),
регулярную на бесконечности, и имеют место разложения:
f, (z) = - f (Ç) = - f (0) - 2 -ÿ-, С-П = П,
Г 00	)
Ui (z) = - { и (0) + У] (у-) (ап cos пф + bn sin пф) I,
I	п = 1	J
оо
«I (z) = - V (0)+	(- Ъп cos Пф + ап sin Пф),
П = 1
где ап, bn, сп определяются так же, как в задаче 1047. При
этом Refifê)=-Reffê)	«(£), ImA(0 = Imf (Ç).
Указание. В формуле Шварца для | z | > R сделать замену z = R2/zi
и воспользоваться тем, что £ = /?2/£ на окружности | g | « R.
В задачах 1052 — 1057 найти функции f(z) (| z |< R) и f, (z)
(Iz|>R), определяемые формулой Шварца, если «(^ — задан¬
ная функция.
1052.	1) «(Ç) = Refofê) + i|>të)].
2) ы(£)=Іт [ф(Ё) + ф(£)],
где ф (z) — функция, аналитическая при | z | R, а ф(г) —при
|z|>R.
1053.	u(Ç) = ReÇn. 1054. «(Ç) = Rep-.
1055.	«(ÇHRelnj^î (Л>Ц
1056.	w(£) = Re]/(если £>1, то ]/>0; R>1).
1057.	u(Ç) = Reln£.	’
1058.	Доказать, что формулу Шварца можно записать в виде
ІСІ-Я
Указание. Воспользоваться равенством
? + z 2	1
£(£-г) = С-z Г
1059.	Получить формулы, аналогичные интегралу Пуассона
к формуле Шварца для верхней полуплоскости Imz>0, т. е.
137

выразить гармоническую функцию и (г) и аналитическую функ¬
цию f (г) = и (г) + іѵ (г) через и (t) ( — оо < / < оо).
Указание. Воспользоваться конформным отображением полуплоскости
на круг.
1060.	Вывести формулу Шварца для полосы 0<Ітг<Н
Указание. Воспользоваться конформным отображением полосы на
полуплоскость.
Гармонической мерой о (г, а, G) граничной дуги а в точке z относи¬
тельно области G называется ограниченная, гармоническая в G функция,
равная 1 во внутренних точках дуги а и 0 —во внутренних точках осталь¬
ной части границы. Гармоническая мера ©(г, a G) инвариантна относительно
конформных отображений. ,
В задачах 1061 —1064 область G — круг | z | < 1 и со (г, Ѳь Ѳ2) —
гармоническая мера дуги а = (Ѳь Ѳ2): ш = е/ѳ, Ѳ, < Ѳ < Ѳ2.
1061.	Пользуясь интегралом Пуассона, доказать, что
ѳ3
1 Г	1 — г2
®(z, Ѳ|, 02)=27 J 1 _ 2г cos (Ѳ - ч>) + г2
ѳ,
в частности, о(0, Ѳь Ѳ2) = (Ѳ2 — Ѳ0/2Л;.
1062.	Найти линии уровня функции	при фиксиро¬
ванном значении Ѳ (z = геіч> — переменная точка).
Указание. Доказать, что
d(û _ 1 \w' — z\
dû ~~ 2л I w — z I ’
где to' —конец хорды, выходящей из w и проходящей через г.
1063.	Обозначим через w' конец хорды, выходящей из точки ал
и проходящей через точку z. Пусть а —дуга (Ѳь Ѳ2), а а'(z)—
дуга, описываемая точкой w', когда w пробегает дугу а. До¬
казать, что длина дуги a' (z) равна 2лсо (г, Ѳь Ѳ2).
1064.	Найти линии уровня гармонической меры со (г, Ѳн Ѳ2)
дуги (Ѳь Ѳ2). Пользуясь этим, доказать, что интеграл, опреде¬
ляющий гармоническую меру (см. задачу 1061), действительно*
имеет предельные значения 1 на (Ѳь Ѳ2) и 0 —на дополнении
(рассматриваются внутренние точки дуг).
1065.	Для полуплоскости Imz>0 определить гармоническую-
меру œ(z, а, Ь) отрезка (а, &), луча (— оо, Ь) и луча (а, оо)..
Каково геометрическое значение этих гармонических мер?
1066.	Найти гармоническую меру сторон угла 0<argz<y.
1067.	Для полукруга |z|</?, Imz>0 найти гармонические
меры диаметра Д и полуокружности Г, а также линии уровня
этих гармонических мер.
138

1068.	Найти гармоническую меру граничной полуокружности Г
^области I z I > /?, Imz>0.
1069.	Найти гармоническую меру граничной окружности Г
области |z|>/?, 0<argz<2n.
1070.	Найти гармоническую меру граничных окружностей
кольца г <| z |<
В задачах 1071 — 1078 область G ограничена сложным конту¬
ром Г, состоящим из п простых, гладких контуров Гѵ (ѵ=1,
2,	п). Обход контуров происходит в положительном напра¬
влении по отношению к области G; нормаль п — внутренняя по
отношению к области G. Периодом аналитической в G функции
по Гѵ называется интеграл
/ df{z).
. гѵ ■
1071 ‘). Доказать, что если гармоническая функция и (г) одно¬
значна в G, то период аналитической функции f (г) = и (г) + iv (z)
п	• ди .
вдоль 1 ѵ равен — і J as.
■	ГѴ	.
1072.	Доказать, что для комплексной функции Грина g + ih
области G (g (г, £) —функция Грина области G, h (2, ^ — сопря¬
женная к g гармоническая функция) период вдоль Гѵ равен
— 2л/оѵ (z), где соѵ (z) — гармоническая мера Гѵ относительно
п
области G. Доказать, что
Ѵ=1
Указание. Гармоническая в G функция и (£) допускает представление
® виде u(£)=J~ f и (z) --I?’- ds (см. задачу 1045).
2Л J	utl
Г
1073.	Выразить через œv(z) ограниченную, гармоническую
в G функцию u(z), имеющую постоянные значения сѵ на Гѵ
<ѵ = 1, 2, ...» n).
1074.	Доказать, что для функции ѵ (z),_conряженной с функ¬
цией u(z), однозначной и гармонической в G, периоды рѵ вдоль Гѵ
Г / \ dû>v (г) ,
допускают представление рѵ= — u(z)—
г
!) К задачам 1071 — 1078 см. дополнение Шиффера к книге: Р/ К у-
р а н т, Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверх¬
ности, Гостехиздат, 1953.
139

1075.	Пусть ôv(z) — сопряженная к ®v(z) гармоническая функ¬
ция и руд, —период функции wv(z) = ®v(z)4-iôv(z) вдоль Ги.
1)	Доказать, что _РцѴ = рѴц (н, ѵ= 1, 2	п).	■'
Указание. Воспользоваться представлением
1 f .
P“v““ 2^ J ^~dTds'
Г
п
2)	Доказать, что S рЦѵ=0 (l*= L 2	п).
ѵ-1
1076.	Пусть сѵ (ѵ= 1, 2, ..., n) — произвольные действитель¬
ные числа.
1)	Доказать, что если рѴ|і—числа, определенные в задаче 1075,
п	.
то квадратичная форма 2 РѵіААі^О» причем равенство имеет
V, Ц=1
место лишь тогда, когда все сѵ равны между собой.
п
Указание. К гармонической функции. © (г) « 2	(2) применить
ѵ-1
Г d(ù
формулу £)(œ)=— I (ù-^ds (см. задачу 1039; знак изменен на обратный
г
потому, что теперь п — внутренняя нормаль).
п—1
2)	Доказать, что квадратичная форма 2 PviAÀi является
V, Ц=1
положительно определенной, т. е. она положительна для всех си¬
стем значений {сѵ}, исключая сл = с2 = ... = сп_х = 0.
1077.	Доказать, что система уравнений
п-1
2рѵИц = ^ц (ц= 1, 2, ..., п-1)
(Дц — неизвестные) имеет единственное решение для любых Вц.
Пользуясь этим, доказать, что для любой гармонической в Q
функции и (z), вообще говоря неоднозначной, можно подобрать
постоянные Дь А2, .An_t так, чтобы гармоническая функция
П —1
ы1 (z) = и (z) + 2	(г)
■ѵ-1
была однозначна в G.

ГЛАВА VIII
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ.
ОСОБЕННОСТИ МНОГОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА.
РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. Аналитическое продолжение
со
1078.	Функция f (z) = S z" разложена в ряд Тейлора в окрест¬
,,	п=0
ности точки z = a (|а|<1). При каких значениях а это разло¬
жение позволяет аналитически продолжить функцию f(z)?
со
Zn	■
1079.	Сумма степенного ряда f (z) = 2j ~ разложена в ряд
Тейлора в окрестности точки z = — 1/2. Какова область, в кото¬
рую будет таким образом Продолжена функция f(z)?
■	оо
1080.	Доказать, что функция f (z) =	(— может быть
продолжена на большую область посредством ряда.
іп9 1-г	(1-z)2	(l-z)3
inz 2	2 • 22	3-23	’ ”
1081.	Степенные ряды
= и h(z) = fa +	( -1 )n ~ 2)"
n=l	n-1
не имеют никакой общей области сходимости. Доказать, тем
не менее, что функции fi (z) и f2 (z) являются аналитическим
продолжением друг друга.
1082.	Доказать, что функции, определенные рядами
« ,	.221	1	(1— а) г . (1— a)2z2
l+az + az+... и х_г (i-z)2 + (i_z)3	•••>
являются аналитическим продолжением друг друга.
141

1083.	Пусть степенной ряд
f (2) = а0 + atz + ... + anzn + ...
имеет радиус сходимости /?=1. Произвёдя замену переменной
г = , f ÿ-, приведем его к виду
f(2) = f(T^-) = F(Z) = c0 + cIZ+ ... +cnZn+ ...
Обозначив радиус сходимости полученного ряда через р, дока¬
зать следующие утверждения:
1)	р 1/2, причем если точка 2 = — 1 является особой для
функции f (z), то р= 1/2.
2)	Если ў<р< 1, то равенство f (z) = F (Z) = F (7^7) по¬
зволяет аналитически продолжить функцию /(2) в область,
внешнюю для круга |21< 1 и внутреннюю для окружности
Аполлония I 7-371 = Р¬
3)	Если р= 1, то указанное в п. 2) равенство аналитически
продолжает функцию /(г) в полуплоскость Re2<l/2.
4)	Если р> 1, то функция /(2) аналитически продолжима
в область, внешнюю для окружности Аполлония І7^7І = р.
оо
1084.	Доказать, что степенной ряд f(z) = У z2” представляет
функцию, аналитическую в круге | z | < 1 и имеющую окруж¬
ность |z|=l своей естественной границей (т. е. f(z) является
функцией, не продолжимой за пределы единичного круга).
Указание. Пользуясь тождеством f (z) = z2 4- z4 4- ... 4- z2k 4- f (z2*5)
2*_
доказать, что для любой точки вида £ = Y1 (k — натуральное число) f (/£) -> оо
при t -> 1 (0< t < 1).
В задачах 1085 — 1086 доказать что функции, представленные
указанными степенными рядами, не продолжимы за пределы
единичного круга.
1085.	f(z)= S znl.
п=0
Указание. Если р и ç —взаимно простые целые числа и	то
/ 2рШ \ д1
U ’ ) =гпѵ
оо
n=0
Примечание. В задачах 1084—1086 рассмотрены частные случаи
общей теоремы Адамара о пропусках.
142

Если номера отличных от нуля коэффициентов степенного ряда
оо
f(2)=2a«zn образуют последовательность п2, •••, в которой >
n=0 X
> (1 +a)nk, где а>0, то граница круга сходимости ряда есть естественная
граница функции /(г).
оо
1087.	Доказать, что ряд ( | _ [„+і	] 2гЯ ) в областях
п= 1
|z |< 1 и \z |> 1 представляет две аналитические функции, не
являющиеся аналитическим продолжением друг друга (см.
также задачи 845 — 848).
1088.	Пусть f(z) и <p(z) — произвольные целые функции,
a S (z) = 2 (tTz« — ! +гп~~) ’ Доказать, что выражение
п=|
Ф (z) = у & + Ф + у 5 И (z) “ Ф (z)l
представляет в области |z|< 1 функцию f(z), а в области
I z 1 > 1 — функцию ф (г).
1089.	1) Доказать, что если а — действительное иррациональ-
оо
ное число, то ряд	представляет в областях
I z I < 1 и I z |> 1 аналитические функции, для каждой из которых
окружность |г|=1 является естественной, границей.
Указание. Доказать, что сумма ряда неограниченно возрастает при
z->e2iman вдоль радиуса-вектора.
Примечание. Приведенная задача является частным случаем сле¬
дующей общей теоремы:
Пусть L — кривая, замкнутая или разомкнутая, имеющая в каждой точке
оо
определенный радиус кривизны. Если ряд 2 сп абсолютно сходится,
!
а точки аь а2, ..., ап, ... все лежат на кривой L и распределены на ней
так, что на любой конечной дуге кривой L всегда содержится их бесконечное
оо
V Сп
множество, то ряд F (г) = V	 представляет функцию, аналитическую
сіп — z
л-1
в любой области, не содержащей точек кривой L, и для которой эта кривая
является особой линией (см. Г у р с а, Курс математического анализа, т. 2,
гл. XVI).
2) Доказать, что если « — действительное рациональное число,
то ряд п. 1) представляет рациональную функцию.
1090.	Доказать, что ряд
оо
2 râr <«г=^іпл)
л-1
143

сходится при Rez> 1 и его сумма имеет прямую Rez=l
своей естественной границей.
' оо
1091.	Доказать, что функция f(z)= S аналитична при
т=0
Rez>0 и имеет прямую Rez = 0 своей естественной границей.
1092.	Доказать, что функцию f(z), определенную в полупло-
оо
скости Rez > 0 рядом Дирихле f (z) = 2 апе~к'п*, где ап = (— 1)П+І,
П=1
k2k-i — 2k, Z2j’=2fe + e-2* (fe=l, 2, ...), можно аналитически
продолжить в полуплоскость Rez> — 1.
<?° .	—2k\
Указание. Записать f (г) в виде f (z) « 2 (1 — e"ze J и доказать,
fc-1
что в любой конечной области |1 — e~ze 2^|<Me~2\ где М — постоянная
для. рассматриваемой области.
Примечание, Приведенная задача показывает, что на прямой, огра¬
ничивающей полуплоскость сходимости, сумма ряда Дирихле может не иметь
особых точек.
1093*. Функцию /($), определенную в полуплоскости Res>0
оо
с помощью интеграла Лапласа f(s) = J e~stel sÀne1 dt, продол¬
’	о
жить аналитически в полуплоскость Re s > — 1.
1094.	ГамМа-функция Эйлера определяется в полуплоскости
оо
Re г > 0 посредством интеграла Г(г)= J e^t^dt = е(г”1)1п*),
4	о
Применяя к правой части этого равенства интегрирование по
частям, показать, что функция Г (г) аналитически продолжается
на всю плоскость, как мероморфная функция с простыми по¬
люсами 0, —I, — 2, ..., — п, ..., причем вычет относительно
полюса —п равен (—І)п/пІ.	'
1095.	Показать, что Г-функцию можно аналитически про-
ОО -	00
( I \п Г _,	,
должить при помощи формулы Г (г) = 2	+ J г ? dt.
n=0	1
1
Указание. Заменить в интеграле Jdt функцию e-t ее разло-
о
жением в степенной ряд.
1096.	В задаче 411 было доказано, что при 0<х<1
ОО	ОО
J cos t dt = Г (x) cos -y-, J f*"1 sin t dt = Г (%) sin^y-,
о	о
144

В каких областях плоскости z будут справедливы указан¬
ные формулы?
1097.	Доказать, что Г (z) можно продолжить на всю область
ее существования при помощи формулы	'
Г W =	(- w^~l dw к-= е(г-,)1п(-°’)).
c	•
где контур С состоит из разреза по положительной части дей¬
ствительной оси, причем обход начала координат совершается
против часовой стрелки.
1098.	Пусть £ (г) — дзета-функция Римана (см. задачу 844)
оо
.	=	(Rez>l).
п=1
оо
1 f wz~[
Доказать, что при Rez>l g(z) = yJ -gW_ 1 dw и получить
отсюда аналитическое продолжение функции £(г) на всю пло¬
скость, исключая точку z— 1; выяснить характер особенности
функции £(z) в точке z=1.
Указание. Для аналитического продолжения рассмотреть интеграл
(	—dw, где С —контур задачи 1097.
е — 1
с "
1099*. Пусть функция f(z) разложена в степенной . ряд
ОО	'
f (2) = anZn, имеющий радиус сходимости /? =1. Обозначим
ОО
через ф (z) сумму ряда =	(функция (р (z) — функция,
п=0
сопряженная по Борелю с функцией f (z), — является целой,
см. задачу 535).
Доказать, что при |z|< 1 имеет место равенство
ОО
j е~‘<р (zt) dt = f (z).
о
oo
Доказать также, что функция J е~'ср (zi) dt осуществляет ана-
o
литическое продолжение функции f(z) в область G, опреде¬
ляемую следующим образом: через каждую особую точку
функции f(z) проводится прямая, перпендикулярная к отрезку,
соединяющему эту точку с началом координат; G — выпуклая
область, содержащая круг |z|< 1, граница которой состоит из
145

точек описанных прямых; если количество этих прямых конечно,
то G — многоугольник (метод продолжения Бореля).
1100.	Проверить метод продолжения Бореля для следующих
рядов:
оо	оо	оо
1) 2 г"; 2) S z2n; 3) 2 24п.
п—0	п=0	п°0
1101.	Пусть в интеграле типа Коши F(z) = -^-r- -Уd^-
ZjïL J Q Z
c
С — простой замкнутый контур и <p(£) — функция, непрерывная
вдоль С. Доказать: чтобы одна из функций F+ (z) и F~ (z) (см.
стр. 127) была аналитическим продолжением другой через дугу
уеС, необходимо и достаточно, чтобы f(z)s=0 на дуге у.
1102.	Доказать, что если функция <р(£) не является анали¬
тической ■) ни в одной точке простой незамкнутой дуги С,
то все точки дуги С — особые для интеграла типа Коши
1 f <р(О rfg
2ш J £ — z *
с
Указание. Исходить из формул Сохоцкого для предельных значений
интеграла типа Коши.
1103.	Пусть у —обходимый в положительном направлении
простой замкнутый контур, состоящий из дуг уь Y2 с общими
конечными точками zx и г2
(рис.31), G+—область внутри у,
G- —область вне у.
Пусть, далее,
F(z)= J gffiy ,
V
где <р(£) = а, если Çeyb и
ф(С) = Ь, если Ç е у2(а и b — ком¬
плексные постоянные).
Найти функции F+ (z) и F (z) и продолжить аналитически
функцию F~ (z) в область G+:
а) через дугу у,; б) через дугу у2.
1104.	Пусть G—двусвязная область, ограниченная внутрен¬
ним контуром у и внешним Г, и <р (z) — функция, аналитическая
в замкнутой области G+y + Г.
Доказать, что функция
<Р (z) — f dt,
v ’ 2лі J t — z ъ
г
9 То есть не существует аналитической функции, совпадающей с <р (Ç)
на какой-либо дуге, принадлежащей С.
146

аналитически продолжима во всю внешность контура у,
а функция
Y
— во всю внутренность контура Г. Обход контуров у и Г со¬
вершается против часовой стрелки.
§ 2. Особые точки многозначного характера.
Римановы поверхности 9
Изолированная точка ветвления z = а порядка k — 1 функции w (z)
{k — натуральное число, k^2) характеризуется тем. что имеется ветвь w («),
допускающая в окрестности точки г = я представление
оо	2L
w = 2 СП (г ~ а) к (а =/= оо)
—	оо
ИЛИ
оо __1
w = 2 с«г к <а=°°)-
—	оо
Если лишь конечное число коэффициентов сп с отрицательными индек¬
сами отлично от нуля, то точка z = a (или г=оо) называется алгебраи¬
ческой точкой ветвления (а. т. в.). В противном случае соответствующая
точка называется трансцендентной точкой ветвления (существенно особая
точка многозначного характера).
Над одной и той же точкой «-плоскости функция w (z) может иметь
не более счетного множества различных алгебраических и трансцендентных
точек ветвления, правильных точек и особых точек однозначного характера.
На римановой поверхности функции w (z) над «-плоскостью такие точки
имеют взаимно не пересекающиеся окрестности.
В каждой такой окрестности w является однозначной функцией локаль¬
ного параметра /:
= 2 cntnf
n=*-N
где
/== (z — a)k	(а =/=<»),
z k	(а = оо).
К логарифмическим точкам ветвления (л. т. в.) относятся точки z = а
или z = оо, для которых какая-либо ветвь w (z) допускает неограниченное
аналитическое продолжение в области 0<|« — а |<г (соответственно
R < I z I < оо) и там бесконечнозначна. Такая ветвь w (z) в окрестности л. т. в.
становится однозначной аналитической функцией при переходе к параметру
/ = Ln (г — a), Re/<p (соответственно t = Ln «, Re/>p). Следует иметь
9 К этому параграфу см. [2; гл. VIII]; В. В. Голубев, Лекции по
аналитической теории дифференциальных уравнений, ' Гостехиздат, 1951;
Р. Неванлинна, Униформизация, ИЛ, 1955.
147

в виду, что на римановой поверхности над одной и той же точкой г, наряду
с различными л. т. в., могут находиться и другие точки однозначного и
многозначного характера.
1105.	Выяснить, при каких значениях z значения w(z) на
всех листах ее римановой поверхности над 2-плоскостью оди¬
наковы, если:
1) до = (z2 — 9) "/г; 2) w = sinz + (z2 + 4) Ln г; •
3)	w = sin z + (z2 + 4)2 Ln z.
Одинаковы ли в тех же точках значения w' (z)?
1106.	Убедиться в том, что для каждой из функций:
1) üy = z]/z, 2) w = z2Lnz, до(0) = 0,	1
в точке z = 0 существует первая производная, притом одинако¬
вая для всех ветвей, а конечная вторая производная не суще*
ствует.
В задачах 1107—1115 каждую из указанных функций w(z}
разложить в ряд по степеням локального параметра t в окрест¬
ности всех -точек ее римановой поверхности, расположенных
над данными z-точками; указать области сходимости получен¬
ных рядов.
1">7- “'-TTyW *“'■ г-2¬
1108.	W = УУz — 1 — 2, 2=1, 2 = 5, 2 = 00.
1109.	w = У 1 + Уг— 1, 2=1, 2 = 2, 2= оо.
1110.	w =У1 + Уг— 1, 2=1, 2 = 2, г = оо.
1111.	w = У(Уг — а)(Уг — b), z = oo (а=£Ь).
1112.	w = e~^, 2 = 0. 1113. w = ^^-, 2 = 0.
1114. w = ctgl/z, 2 = 0. 1115. w = y$inz, 2 = 0.
В задачах 1116 — 1122 требуется найти точки 2-плоскости,
над которыми имеется хотя бы одна особая точка заданной
многозначной функции, и указать характер всех точек рима¬
новой поверхности, лежащих над каждой из таких точек 2-пло¬
скости.
Ш6. sin -7^==-. П17 sin , ‘	. 1118. 	Ц	.
У2-1	l+y* . sin—L=r
. ,.z

1119. gta^._ . 1120. V Уг + 1/2-Жо
4121. tg(iLn2). 1122. tg(^-Ln2j.
148

Если функция w = f (г) однозначна, а обратная ей функция z (w) много¬
значна, то для определения алгебраических точек ветвления функции z (zoü
нужно’найти нули f(z)t кратные полюсы f (z) и исследовать поведение f(z}
на бесконечности. При. этом точке г0 °° соответствует а. т. в. k — 1 по¬
рядка функции z (о>), если в окрестности z0 разложение Лорана функции f(z$
имеет вид
оо
f (z) = WQ + 2 сп (z - Zo)n (Ck 0)
ИЛИ
Hz)= 2 cn(z-zo)«	(c^O);
n^ — k ,
Если zQ = оо, то указанные разложения должны иметь вид
f(z)=2cn2"	(СА*°)
- fl=*k
или
f(z)=^0+ 2 ѵ" (с-л*0)-
Пая — k
В задачах 1123—1129 определить особенности z(w), если
w — данная функция.
1123. w = z(l — z). 1124. да = г3 — 3z. 1125. w = -п * u .
V "T Z)
1126. a>=(-i4?)2. 1127. ^=-ўЕт (0<а<1).
1128.	w — Pn(z) (многочлен п-й степени).
1129.	w = R(z) (рациональная функция).
В задачах 1130 — 1138 исследовать отображение, осуществляе¬
мое функцией w (z), построить риманову поверхность R над
w-плоскостью и разбить z-плоскость на области, соответствую¬
щие листам или полулистам R.
ИЗО. w = (l +~) • Рассмотреть предельный случай
1131.	1132- »-4(z+4). 1133.
1134. w =y(zn + -prj. Найти также группу линейных пре¬
образований, относительно которых функция w инвариантна,
и выяснить, какие преобразования римановой поверхности соот*
ветствуют преобразованиям группы.
2. Z^l	1
П35.	/1136. w = z — —-—. 1137. w = 1+4-•
1138. w = Тп (z) = cos arccos z), п > 1 (Тп (z) - полиномы
Чебышева).
В задачах 1139—1142 найти особенности функций, обрат¬
ных к данным.
№

1139. w = ez.	1140. w = e- г' (/ — комплексное число).
1141. w = cosz + sinz. 1142. w = ^^-.
Z
В задачах 1143—1151 построить римановы поверхности над
-w-плоскостью.
1143. до = cosz. 1144. до = sinz. 1145. sy = tgz.
1146. oy = ctgz. 1147. w = chz. 1148. o; = shz.
1149. sy = thz. 1150. sy = cthz. 1151. w=z + ez.
1152.	Считая известной риманову поверхность над ^-пло¬
скостью рациональной функции w = R(z), построить римановы
поверхности функций z(w), если:
1) w = R(ez)\ 2) до = 7? (sinz).
В задачах 1153—1158 построить римановы поверхности ука¬
занных функций (над z-плоскостью).
1153.	1) w = У(г — a)(z — &);	2) w = ]/(z — a)(z — b)(z — c);
3)	w = p/"JI(z — dk) (отдельно рассмотреть случаи четного и
нечетного п). з.		з

1154.	1) w = Vz — a\ 2) w = /(z - a) (z - &);
з 		 3	~~п
3)	w = Ў(г - a) (z - b)(z- с); 4) w = |/ П U - ak), n > 3.
1155.	w = ]/(z — a) (z — b) (z — c), n>3.
1156.	w =l/~	.^2 + Vz — c. 1157. w = V Vz — 1.
Г [Z O)
1158.	w = Vsinz.
В задачах 1159 — 1164 исследовать отображения и построить
римановы поверхности для алгебраических функций w (z) и z(w).
1159.	a? + z2= 1. 1160. ^2 = -zï
kl Z)
Указание. Воспользоваться решением задачи 1133.
1161.	u>34-z3 —Зшг = 0.
Указание. Воспользоваться параметрическим представлением
3t	3t2
з Z 1+/3’ W l+/3‘
1162.	йУ2 = -^-.
Указание. Воспользоваться параметрическим представлением
/2	Z3
г - 1 + /2 ’ w ~ 1 + іг •
150

1163.	®2 = z2-^4f-
/2—1	t2 — 1
Указание. Положить z = -,■■■ , , w = t -.2 , ■.
+ 1	r + 1
zn
1164.	w — ц +гп^ •
Указание. Рассмотреть отдельно случаи четного и нечетного п.
Если z = а — особая точка для одной из ветвей f (z) функции w (z), то-
областью неопределенности f (z) в точке z = a называется множество пре¬
дельных значений f (z), получаемых из ее значений в окрестности z — a над
\z — а I <г при г->0. Для а. т. в. и полюсов область неопределенности со¬
стоит из одной точки. Если функция однозначна и точка а — изолированная
существенно особая точка, то, по теореме Сохоцкого, область неопределен¬
ности покрывает всю плоскость (См. также задачу 618). Для трансцендент¬
ных и логарифмических точек ветвления, а также для неизолированных осо¬
бых точек область неопределенности может иметь более сложную структуру
(см. книгу: В. В. Голубев, Лекции по аналитической теории дифферен¬
циальных уравнений, Гостехиздат, 1951, гл. I, § 7).
В задачах 1156—1176 определить особенности функций,
а также найти области неопределенности в трансцендентных
и логарифмических точках ветвления.
/ .6 _\4	/ m \п
1165.	W = \ Yz / . 1166. w = \ÿz ) (п, tn — натуральные числа).
1167. w =	1168.01 = ^2^-. 1169. а, = tg 1 ~.
У z	1 + у z
1170. w = e<Ln г)П (п —целое число). 1171. w = zz = eZLn2.
1172. w = sin Lnz. 1173. w = — Ln-т—!—. 1174. iiy = z + Lnz.
Z 1 — z
1175. w = у Arcsinz. 1176. w =	+ Arctgz.
В задачах 1177—1180 построить римановы поверхности за¬
данных функций.
1177.	w = za (а — комплексное число).
1178.	w = Ln [(z —a)(z —&)].
1179.	w = Ln [(z — a) (z — b) (z — c)]. 1180. ay = Lnsinz.
1181.	Пусть £ = qp(z) — однозначная или многозначная ана¬
литическая функция, —ее риманова поверхность над z-пло¬
скостью и w = f(£) — однозначная аналитическая функция с об¬
ластью определения Gç. В каких областях на каждое из
указанных выражений:
1) w (z) = /'[<Р (z)],	2) w (z) = f (z) + <p (z), 3) w (z) = f (z) <p (z)
определяет единую аналитическую функцию?
151

Рассмотреть, в» частности, случай, когда <р —алгебраическая
или обратная к мероморфной, а f — рациональная или транс¬
цендентная мероморфная функция.
В задачах 1182—1221 выяснить, какие из указанных функ¬
ций w(z) распадаются на различные аналитические функции,
а какие нет; определить также их особенности и там, где ука¬
зано, построить римановы поверхности (п и /« — натуральные
числа).	_
1182.	w = y^ (сравнить с (^z)2).
1183.	w = У z* (сравнить с (уТ) ).
1184.	w = Угт.(сравнить с (j/z) ).
1185.	а/=]/ё5. 1186. sy=]/rsinz. 1187. w = Lnz‘.
1'188. w = Ln e\ 1189. и/= Ln (z - y).
1190.	w — Ln (e* — 1). Построить риманову поверхность.
1191.	w — Ln sinz. Построить риманову поверхность.
1192.	w = Lntgz. Построить риманову поверхность.
1193.	w == Arccos (cos z) (сравнить c cos (Arccos z) ).
1194.	w = Arctg (tg z) (сравнить c tg (Arctg z)).
1195.	1) w = (zr,)r2 (rb r2“ рациональные числа). Сравнить
c (zf2)ri. Рассмотреть, в частности,	г2 = -^-; 2) w — zr'zr*'t
3)	w = zri + zr*.
п т			.	пГт _
1196.	w = VzY\-z. 1197. w = V /z-І.
i/" z
1198.	w=-y ■.
/z+І
n

1199.	w — У Lnz. Построить риманову поверхность.
1200.	w = Ln Ln z. Построить риманову поверхность.
1201.	w = [Ln(z — 1)]г.
п

1202.	w = У Arcs in z. Построить риманову поверхность.
1203.	w = Arcsin Ln z. Построить риманову поверхность.
1204.	w = Ln (y"z — 1) . Построить риманову поверхность.
1205.	w = Ln 1	. 1206. w = Arcsin .
l+/z	1+2
1207.	w = Ln za (a — действительное число).
1208.	w = y~z + Ln z. Построить риманову поверхность.
1209.	a/ = Lnz + Lnz. 1210. w = Arcsinz -І- Arccosz.
1211. w = Arctg z + Arcctg z. 1212. w = Arth z — Arcth z.
152

1213.	Построить риманову поверхность функции 'w = (Ln z/
и исследовать множества предельных значений w для одной
л. т. в. над точкой z = 0, получаемые при: 1) г->0, qp = const;
2) r->0, a<qp<P; 3) г = const, ф-> ±оо; 4) г->0, ф-> ± оо.
1214.	Пусть % (z) — однозначная аналитическая функция
в круге |z|< 1, нигде не продолжимая за окружность |z|=l.
Выяснить, при каких значениях а указанные функции рас¬
падаются на различные аналитические функции, а при каких —
не распадаются.
п

1) w = X (z) + Vz —а;	2) w = % (z) Ln (z — a);
3)	o) = x(a + zn);	4) да = х(а + ег).
1215.	Выяснить вопрос о распадении функций:
1) да=]/£ — а, 2) w = Ln(£-a), где £ = x-1(z), а х~ функ¬
ция из задачи 1214.
1216.	Исследовать поведение отдельных аналитических функ¬
ций, определяемых равенствами:
. 1) w = t (z) (Ln z)z; 2) w = X (z) [Ln (z — 1)]', где x (z) — функция
из задачи 1214.
Найти, в частности, области неопределенности в окрестности
л. т. в.	'
У к а з а н и е. Воспользоваться решением задачи 1213.
1217.	Пусть f (z) — целая функция.
Построить римановы поверхности функций:
1) w = Ÿf (z);	2) да = Ln f (z);
3)	a> = [f(z)]“ (a —иррациональное число).
1218.	Построить риманову поверхность функции
да = S z4
оо
1219.	Пусть f (z) = z +	(2п	+ 2) * Построить римановы
поверхности функций:
1) ОУ = VTÎz); 2) ® = Lnf(z); 3) ny = Lnf(yj + Lnf
Указание. Предварительно доказать, что функция f (z) однолистна
в круге I z I < 1 й имеет окружность ] z | = 1 своей естественной границей.

ГЛАВА IX
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 1. Формула Кристоффеля — Шварца1)
Обозначим через Р ограниченный многоугольник в ^-плоскости,
Аь (&я1, 2, п) — его вершины, расположенные в порядке положитель¬
ного обхода Р относительно его внутренности, и — его внутренние углы
(п	\
S e п ~ 2 I. Функция w = I (г), отображающая верхнюю полуплоскость
Ы	/
Imz>0 на внутренность многоугольника Р, определяется по формуле Кри¬
стоффеля — Шварца	2 п
W = f (z) = С J JJ (z-ak)ak 1 dz + cb	(1)
о ft=l
где — oo<flj<a2< ••• <an<00 — точки на оси x, соответствующие вер¬
шинам 4i, А2, Ап многоугольника P; С и Ci — комплексные постоянные.
В формулу (1) входят подлежащие определению точки —образы за¬
данных вершин. Аь многоугольника и постоянные С и Сь Из п точек ak
три можно выбрать произвольно, так как дробно-линейным преобразованием
верхней полуплоскости на себя их можно перевести в три заданные точки.
Определение остальных п — 3 точек и комплексных постоянных С и Сі (всего
п+1 действительных параметров) представляет главную трудность
при практическом использовании формулы (1). В принципе неизвестные
параметры могут быть найдены из следующих соображений. Длина // сто¬
роны 4/4/ + 1	= 1, 2, n— 1) равна
аі+і	а1+\ п
J ІГ(х)І J	' dx'
al	ai
Длина ln стороны 4n4j равна
- oo n	a\ n
/ IT x~ak\ak~'dx+ f Ці*-вёГ*~'dx
_an /г—1	— oo
’) К этому параграфу см. [2, гл. ѴШ, § 7], [3, гл. И, § 3], В. Коп-
пенфельс и Ф. Штальман, Практика конформных отображений, ИЛ,
1963 (в этой книге содержится также каталог отображений различного рода
многоугольников).
154

Составляя отношения длин п — 3 сторон к одной из трех оставшихся,
получаем п — 3 независимых уравнения для определения п — 3 точек ak. Тогда
Z п
функция t « J (г —	1 dz определит отображение верхней полупло-
о	.
скости на многоугольник Р' в /-плоскости, подобный данному. После этого
строим линейное преобразование w = Ct + Сь переводящее Р' в Р.
. Отображение верхней полуплоскости на внешность того же многоуголь¬
ника реализуется функцией
/• п
F(z) = C I TT(z	+ Сь	(2)
0*4=!	(z-b)4z-l»>	■
где b — точка верхней полуплоскости, соответствующая бесконечно удаленной
точке ^-плоскости; ak — точки, соответствующие вершинам Ak многоуголь¬
ника (теперь оо>,а|>Д2> • •• >a'k>—°°); Pferc — внешние углы многоуголь¬
ника |Pfc = 2 - afe, S^ = zî + 2
\	.	/г=1
1220.	Доказёть, что если одна из вершин многоугольника —
образ бесконечно удаленной точки, например ап=оо, то отобра-
Z п-1
жающая функция имеет вид f (z) = С J (z — ак)а>г dz + C^.
о л=і
Указание. Совершить преобразование £ =	, если все а. =/=0, и
z	«
£ = —2~а 1 где а еСЛИ 0ДНа И3 точек ak = 0	= 1»	..., п — 1).
Рис. 32.
1221.	Доказать, что если одна или несколько вершин Ak
лежат в оо, то формула (1) остается в силе, если под а^л
понимать угол между соответствующими лучами в конечной
точке их пересечения, взятый со знаком минус.
Указание. Пусть Ak = ро. Если ал<1, то рассмотреть многоуголь¬
ник Р', отсекаемый от Р отрезком ArkAf^, где A'k и А^ лежат достаточно
далеко на сторонах Ak-\Ak и Ak+\Ak (рис. 32,/), и в формуле (1) для Pf
165

совершить предельный переход ЛЛ-> оо, А^ -> оо. Если же ак 1, то А'кА'£
соединить в Р ломаной (см. рис. 32,2) и, подобно ее расширяя, удалить в оо.
1222.	Определить величины ак, входящие в формулу (1), для
образованных параллельными лучами бесконечно удаленных
вершин «многоугольников», изображенных на рис. 33.
г)
Указание. Совершить предельный переход, аналогичный рекомендо¬
ванному в указании к задаче 1221.
1223.	1) Доказать, что при отображении единичного круга
I z I < 1 на многоугольник Р, расположенный в конечной части
плоскости, отображающая функция имеет вид	г
Z п
f (z) = С J JJ (z - ak)a,t~' dz +Cb
О /г-1
где ak — e^k (Фі<Фг< ••• <ФП) —точки на окружности |z|=l,
соответствующие вершинам Ak, обходимым в положительном
направлении, a akn — внутренние углы многоугольника Р.
2) Доказать, что функция, отображающая единичный круг
|z|<l на внешность того же многоугольника Р, при условии,
156	z

что точка z = 0 переходит в точку w = оо, имеет вид’
г п
1 fe=l
где а'к=е^к (<р[><р'> ... ><р£), а рлл — внешние углы Р.
1224.	Найти все случаи однозначного обращения формулы
Кристоффеля — Шварца (1), т. е. выяснить, для каких много¬
угольников Р обратная функция z = z(w) определена и одно¬
значна во всей w-плоскости.
Указание. Многоугольники, получаемые из Р любым четным числом
зеркальных отражений относительно сторон, должны без пропусков и пере¬
крытий замостить всю ^-плоскость.
В задачах 1225—1227 отобразить верхнюю полуплоскость
Imz>0 на указанные области Р, расположенные в да-плоскости,
при заданном соответствии вершин Р и точек действительной
оси. Определить также период или периоды обратной функции
г(да), группу G ее инвариантных линейных преобразований
w-плоскости и фундаментальную область В этой группы (см.
стр. 36).
1225.	1) Р — полоса 0<о<А; да(—оо, оо)->2(0, оо) ’).
2) Р —полоса 0<о</г; да(—оо, оо)->г(—1, 1).
- 1226. Р —полуполоса 0<«<л, і><0; да(0, л, —іоо)->
->z(l, —1, оо).	.
1227.	1) Р — прямоугольный треугольник с острыми углами
да^О, cù, o + ^-j->z(0, 1, оо).
2)	Р — прямоугольный равнобедренный треугольник;
да (0, о, © + /<й) -> z (0, 1, оо).
3)	Р — равносторонний треугольник;
да (о, ©, о	z (0, 1, оо).
1228.	Найти области плоскости да, на которые функция
да(2)= J (1-/)₽_1 dt
о
(arg да' (х) = 0, если 0 < х < 1)
отображает верхнюю полуплоскость Imz>0, если:
1) 0<а^2, 0<р^2; рассмотреть случаи: а) а + р<1,
б)а + р=1, в) а + р>1, в частности а+р=2 и а = р = у.
!) Здесь и в дальнейшем символом w (А, В,	6, ...) обозна¬
чено соответствие точек и z-плоскостей: А -> а, В <- Ь, •..
157

2) Г^а^2, —а + р^1; рассмотреть случаи:
а) а = 1, р = 0, б) а + р = 1, в) а = 2, г) а = 2, р = — у, д) а = 2,
Р=-1.
1229.	1) Найти области плоскости w, на которые функция
Z
w (z) = f ■	. dt = У Z (z — 1) +
+ ( 1 — 2Â) £ 1 n ( y~z + Уz — 1 ) —
отображает верхнюю полуплоскость. Рассмотреть случаи: Х<0,
0<Â<y, Л = у, y<À<l и À>1*
2) Найти области плоскости ш, на которые функция
w(z) = -L [	=	+
2ш J //(/-1) t	z _] u
отображает верхнюю полуплоскость. Рассмотреть случаи: Â<0,
0<Л< 1 и Л> 1.	•
Рис. 34.
1230.	Отобразить верхнюю полуплоскость Imz>0 на об¬
ласти в ^-плоскости, указанные на рис. 34, при заданном со¬
ответствии точек.
1)	^(4 = 0, В = 1, С = оо)—>z(0, 1, оо);
2)	w (Д = 0, В = 1, С = оо) -> z (0, 1, оо);
3)	w(4 = o, В== ОО, с= oo)->z(0, 1, оо);
4)	до(Д = 0, В=ОО, C=oo)->z(0, 1, оо);
5)	до(Л = 0, B = ia, C=oo)->z(0, 1, оо).
158

1231; Отобразить верхнюю полуплоскость Ітг>0 на области
в ay-плоскости, указанные на рис. 35 (0<Ѳ< 1).
1)	w (А, В = 0, C=oo)->z(0, 1, оо);
2)	а»(Д, В = 0, С=оо)->2(0, 1, оо).
В случае, когда Ѳ — рациональное число (Ѳ = p/q), выразить
получающиеся интегралы через элементарные функции.
Рис. 35.
Рис. 36.
1232.	Отобразить верхнюю полуплоскость на область, ука¬
занную на рис. 36 (дуга АС — полуокружность)
w(A = ai, В = оо, С = 0)->z(0, 1, оо).
Указание. При помощи отображения £ s ~ сводится к частному слу¬
чаю задачи 1231, 2).
Рис. 37.
Рис. 38.
1233.	Отобразить верхнюю полуплоскость Ітг>0 на область
w-плоскости, указанную на рис. 37, при условии
w (Л = — й, В = оо, С = h, D = оо) —> z (— 1, 0, 1, оо).
(Возможность такого отображения следует из принципа сим¬
метрии.)	,
1234.	Отобразить верхнюю полуплоскость Imz>0 на ромб
в w-плоскости с углом ла при вершине А и стороной d (рис. 38).
159

Соответствие точек задано схемой
w (Л = 0, B = d, C = d(l +е/шх), D = dei3ïa) -> z (0, 1, оо, -1).
Обосновать возможность такого отображения.
1235.	Отобразить верхнюю полуплоскость Imz>0 на области
в ^-плоскости, указанные на рис. 39. Параметры а, Ь (а>0,
Рис. 39.
b > 0) — прообразы соответствующих вершин— не могут быть
заданы произвольно, и их следует найти.
1)	гіу(Л = О, В = оо, C=H + ih, D = oo)->z(0, 1, а, оо).
2)	w(B = oo, C=H + ih, D = oo, С' = — H + ih, В' = оо)—>
—> z (1 » а, оо, — а, — 1).
Указание. Провести дополнительный разрез по мнимой оси и вос¬
пользоваться принципом симметрии.
3)	ш(Л = 0, В = оо, С=оо, D= — Л3 — i(h2 — hi), E=oq)-+
->z(0, 1, a, oo, — b).
1236.	1) Найти функцию w (z), отображающую круг | z |< 1
на внутренность правильного n-угольника с центром в начале
координат и одной из вершин в точке w= 1, при условии, что
w (0) = 0, w' (0) > 0.
2) Отобразить круг | z |< 1 на внешность того же п-уголь-
ніка при условии, что о;(0) = оо, ау(х)>0 (0<х<1). Опреде¬
лить c-х в разложении w(z) = ^~+ ...
1237.	1) Найти функцию w(z), отобаражющую круг |z|< 1
на внутренность правильной пятиконечной звезды с центром
160	„
в начале координат и одной из вершин в точке w= 1; условия
нормировки: w (0) = 0, w' (0)>0.
2) Отобразить круг |г|<1 на внешность той же звезды;
иу(0) = оо, w(x)>0 (0<х< 1); определить в разложении
^(2) = ^-+...
1238.	Найти область, на которую функция
, ч Г (l + tn)Kdt	2
w (z) = —	, w (0) > 0, — I < À < 1	,
/	—+л	п
0 (1-/п)п
отображает единичный круг | х | < 1.
1239.	Отобразить верхнюю полуплоскость Imz>0 на пра*
вильный n-угольник в пу-плоскости с центром в начале коорди¬
нат и одной из вершин в точке w=l; нормировка: w(f) = 0»
w (0) = 1.
1£40. Пусть область Рв w-плоскости есть внешность «звезды»»
состоящей из п отрезков, выходящих из точки w = 0 (рис. 40).
Пусть Ak — вершины Р в начале координат и о^л — соответ-
(п	\
2	= 2 , Bk — вершины Р в концах отрезков
/г=1	/	■
звезды (Д, Вь А2і В2і ... расположены в порядке положитель¬
ного обхода P), lk = AkBk — длины
отрезков звезды. Доказать, что
функция w = f(z), f(0) = oo, отобра¬
жающая единичный круг |г|<1 на	^у47	? *
Р, имеет вид	у
п	у
в>
kài	Рис. 40.
где С —комплексная постоянная, a ak = ei($k — точки на окруж¬
ности |z|=l, соответствующие Ak. Точки bk = et'\ соответ¬
ствующие вершинам Bk, являются корнями уравнения
У-“_—І-о.	(3)
z — ak z	4 r
k=i	.
Как определить параметры C, ak, bk7
Указание. При продолжении по принципу симметрии функция f (z)
умножается на постоянные множители, поэтому функция
ф f(z)
является однозначной в г-плоскости.
6 Л. И. Волковыский и ДР-	161

Примечание. Полученная формула сразу дает решения ряда задач
из главы II. например задач 320, 2); 321, 1); 323, 329.
Рекомендуется заново решить указанные задачи и определить постоян¬
ные, входящие в общую формулу.
1241. Отобразить внешность двузвенной ломаной (рис. 41) на
. внешность круга | z | > 1 при условии: w (оо) = оо,
w' (оо)>0.
1242. Доказать, что функция w = f(z), ото¬
бражающая верхнюю полуплоскость Imz>0 на
z	внешность звезды задачи 1240, имеет вид
X	П ('-»»)■*
№)-С(ГЛ.)(г-г.)'
•Рис. 41.
где Zq — точка верхней полуплоскости, переходя¬
щая в оо.
1243. Пусть область Р в до-плоскости ограничена лучом
’	' отрезками, идущими из до = 0	~
п — 1), и т— 1 луча-
из точек Ds (s=l,
в оо, такими, что их
в противоположную
-—у встречают начало коор¬
динат (рис. 42). Пусть Ak (£=1,
2, ..., п) — вершины Р в начале,
а*л — соответствующие углы, Ct
(/ = 1, 2, .... tri) — вершины Р в оо,
Уул—соответствующие углы, А^А?.,
... AnCiDi ... Ст — положительный
обход границы Р. Доказать, что
функция 'w = f (z), отображающая
Imz>0 на Р, имеет вид
[0, оо), п— 1
(і= 1, 2, ....
ми, идущими
2, . ... m — 1)
продолжения
сторону
В ТОЧКИ В[
Рис. 42.
&
С,
в,
верхнюю полуплоскость
П (2 -
Дг) = С^
(4)
/=і
где ak, С/ —точки на оси х, соответствующие вершинам Ак, Cj,
Точки Ь(, ds на оси х, соответствующие вершинам Bh Ds,
являются корнями уравнения
п	т
(5>
Л-1	*	/=1	'
Как определить параметры С, ak, bh ch ds? Что изменится, если
один из параметров ak, bh ds будет равен оо?
162

Указание. Доказать, что
Г(*) = у аІг , _ у V/
f (z) À4 z-ak ÀJ z-c,
ft-1	/=1	1
n-1	m-1
II (Z - bi) П (z - ds)
t = l s=l
n	m
ІІ(г-^)П(г-с/)
Ы	pi
1244. Доказать, что формула (4) из задачи 1243 справедлива
и для областей Р с границей, содержащей два луча [0, оо) (рис. 43).
При этом вершина вначале координат учитывается и тогда, когда
из нее выходят только два луча, образующих одну прямую.
Рис. 43.	Рис. 44.	Рис. 45.
В задачах 1245 — 1249 отобразить на верхнюю полуплоскость
Imz>0 области ^-плоскости, указанные на соответствующих
рисунках при заданных условиях,
а и b (а>0, b >0).
1245.	Область, указанную
на рис. 44,
w (Д = О, В = heina\ Л2,
c=oo)->z(— 1, 6, 1, оо).
и определить параметры
Рис. 47.
Рис. 46.
1246.	Область, указанную на рис. 45,
w (Д1 = 0, В = ih, А2, С = оо, D = іН, С2 = оо) ->
— а, 0, а,
1247.	Область, указанную на рис. 46,
w (Лі = 0, Вх = — he~ina, А2, В2 = heina, Л3, С = оо) —>
—>z(—1, — &, 0, b, 1, оо).
1248.	Область, указанную на рис. 47,
w (Лі = 0, B^=heinaa9 А2, Ci = оо, D = Hei:u\ С2=оо)—>
—— а, 0, Ь, оо, — —V
\	b ’	’ а )
6*
163

1249.	1) Область, указанную на рис. 48,/,
^(oo) = oo, w(±l)=±l.
2) Область, указанную на рис. 48,2 (углы между разре¬
зами — ; крайние отрезки образуют с соответствующими лучами
Рис. 48.
действительной оси углы ,
w(oo) = оо,	Лп)->г(— 1, 1).
1250.	Пусть область Р в ^-плоскости есть горизонтальная по¬
лоса шириной Н с разрезами, идущими налево в оо из точек Ві
(і = 1,2, ..., п— 1) и направо из точек Ds (s = 1, 2, ..., т —1)
Рис. 49.
г(рис. 49). Доказать, что функция w = f(z), отображающая верх¬
нюю полуплоскость Imz > 0 на область Р, имеет вид
п h	т I
f(z) = 2-^ln(z-aft)—2-£ln(z-cz)+С,	(6)
fe=l	/=1
где ak, cj—точки на оси х, соответствующие вершинам Ak и С/ об¬
ласти P, hk~расстояния между разрезами, идущими влево, a Z/ —
вправо. Точки (Z= 1, 2, .. ., п — 1) и ds (s = 1, 2, ..., т — 1)
164

на оси X, соответствующие вершинам Bt и Ds, вяляются корнями
уравнения
о
11
?
N
’ 1
♦Ci
1
N
F
Как определить параметры С, aki bh Cj, ds? Что изменится, если
один из параметров ak, bh ch ds будет равен оо?
Указание. Задача сводится к задаче 1244. Можно также находить
функцию f (г), которая однозначна, или непосредственно исходить из фор¬
мулы Кристоффеля — Шварца.
1251.	Пусть область Р есть верхняя полуплоскость Imw>0
с горизонтальными разрезами, идущими налево в оо из точек Ві
Рис. 50.
(Z = 1, 2, ..., п) и направо в оо из точек Ds (s=l, 2, ..., tn)
(рис. 50). Доказать, что функция w=f(z), отображающая верх¬
нюю полуплоскость Imz>0 на область Р, имеет вид
п h	т I
Кг) = 2-^1п(г-^)~2]-^-1п(г-с/) + Лг + В, (8)
£=1	/=1
где ak, С/ —точки на оси х, соответствующие вершинам Ak и Cf
области Р, и hki lj — расстояния между разрезами, идущими
в одну сторону. При этом точка Ло переходит в оо, Л>0 и
т
ІшВ = S h- Точки bi (I = 1, 2, ..., п) и ds (s = 1, 2, ..., m) на
м
оси X, соответствующие вершинам Bt и DSi являются корнями
уравнения
А а А /
= œ	О)
k^l *	/«1	1
165

Как определить параметры А, В, bh ch ds? Показать, что
если Ло переходит в точку а0=И=оо, то
П h	т I
f(z) = 2 "Г1п О - ~ S "Г1п (2 “ с/>+
ы	/=1	.
+ -Ц^-1п(г-аѳ) + 7^—+ В, (Ю>
где	„	п	т
H=^hk, L=^lh
k=\	/=1
Л<0 и ImB = L.
Если параметр или Cj равен оо, то в формуле (10) соответ¬
ствующее слагаемое выпадает.
Указание. Воспользоваться формулой Кристоффеля — Шварца. Для
определения коэффициентов при логарифмических членах сравнить прираще¬
ния w при обходе (по полуокружностям) точек а0, ak, с„ вычисленные гео¬
метрически и по формуле для f (г).	7
1252.	Пусть область Р есть г^-плоскость с горизонтальными
разрезами/ идущими налево в оо из точек (/=1, 2, ..., п)
(рис. 51). Доказать, что функция
w =f (z), отображающая верхнюю
полуплоскость Im z > 0 на область Рг
имеет вид
= — Az2 + Bz + С +	~ In (z — ak)„
где afe —точки на оси х, соответ¬
ствующие вершинам Ak области Р,
и hk — расстояния между разреза¬
ми. При этом точка Ло перехо¬
дит воо, Л > 0 и В — действительное
число. Точки Ь; (і = 1, 2, ..., п),
соответствующие вершинам Bh являются нулями производной
f' (z). Как определить параметры Л, В, С, ak, bj
Указание. См. указание к задаче 1251.
1253.	Пусть область Р есть, w-плоскость с горизонтальными
разрезами, идущими в оо налево и направо (рис. 52). Доказать,
что функция oy = f(z), отображающая верхнюю полуплоскость.
Imz>0 на область Р, имеет вид
п-1	т-1 I
П2)=2т'1п(г-а*)- 2 ѵ1п(2~с/) +
*=0	'“°	+^г + 7^г + В«	00
IV IX Q	«Q UQ
166

Рис. 52.
Рис. 53.
167

где Л>0, С> О, Ао = Im (Dm — Bt), I0 = Re(D1 —В„), а остальные
параметры (включая bt и ds для вершин Вг и Ds) имеют те же
значения, что в задаче 1251. Как определить параметры А, В,
С, ak, bit Cj, ds? Показать, что если а0 = оо, то
п~~і h	I
Кг) = 2т1п(г-й*)-	-^-Іп(г-с/)-^-4-Л2 + В, (12)
лшЛ «IL	Jaaa Jl	J <c Cq
k=l	j=0
где Л>0 и C>0. Если параметр ak (й =/= 0) или Cj (/=#0)
равен oo, то в формуле (12) соответствующее слагаемое вы¬
падает.
Указание. См. указание к задаче 1251.
1254.	Отобразить верхнюю полуплоскость Ітг>0 на области
в ^-плоскости, указанные на рис. 53 (все размеры указаны на
соответствующих рисунках) при заданных условиях; найти а и Ь>
(а>0, 6>0).
1)	(Л, В, Л2, С)->(-1, 6, 1, оо);
2)	(Ль Вь Л2, В2, Л3, С)->(—1, - b, 0, b, 1, оо);
3)	(Е, О, £>)->(-1, 1, оо); 4) (Е, О, £>)->(-1, 1, оо);
5)	(Е, О, С)->(-1, 1, оо); 6) (Ло, В, Лі)->(оо, 0, 1);
7)	(Л„ О, С)->(-1, 0, 1);
8)	(Ло, Вь Ль В2)->(оо, — (1+а), — 1, 0); d = Re(B2 — Bl);
9)	(Л, В, С, D)^(oo, -1, а, 1); cZ = Re(D —В); A = Im(B-D).
§ 2. Конформные отображения, осуществляемые
с помощью эллиптических функций1)
Интеграл
dt
U (Z, k)=* I ■	. —г,
J K(i-/2)(i-m
(1>
где подынтегральная функция равна 1 при t = 0, Называется нормальным
эллиптическим интегралом 1-го рода в форме Лежандра. Параметр k назы¬
вается модулем; в дальнейшем предполагается, что 0<&<1.
!) Свойства и преобразования эллиптических функций и интегралов,
используемые в задачах этого параграфа, приведены, например, в книгах:
Н. И. А X и е з е р, Элементы теории эллиптических функций, «Наука»,
1970; Э. Т. Уиттекер и Дж. Н. Ватсон, Курс современного анализа,
т. 2, Физматгиз, 1963; Г. Бейтмен и А. Эрдейи, Высшие транс¬
цендентные функции, т. 3, Эллиптические и автоморфные функции,
функции Ламе и Матье, серия «Справочная математическая библиотека»,
«Наука», 1967.
Краткая сводка соответствующих преобразований приведена в первом
издании настоящего задачника и в книгах: Г. Корн и Т. Корн, Справоч¬
ник по математике, «Наука», 1968; Е. Янке, Ф. Эм де, Ф. Л е ш, Спе¬
циальные функции, «Наука», 1964.
168

Замена независимой переменной z == sin ф и подстановка t = sin ф при¬
водят этот интеграл к виду
Ф
и (sin <р, k) = F (ф, k) = f —-р :.^	♦	(2)
J У 1 — k2 sin2 ф
. Обратная функция
z = sn(u, £)	(3)
Тили, в других обозначениях, ф = ат и) является одной из основных эллип¬
тических функций Якоби и называется «эс-эн»-функцией Якоби. Из ее
определения следует, что sn (0, k) = 0. С функцией sn (w, k) связаны две
.другие функции
сп (и, k) = Ў~ 1 — sn2 (и, k), dn (и, k) — I — k2 sn2 (u, k),	(4)
называемые соответственно «це-эн»- и «де-эн»-функциями Якоби. Ветви
корней определяются условиями en (0, k) = dn (0, Л)=1. Если нет необходи¬
мости в указании модуля k, то пишут просто sn w, en w, dnw.
x Из (1) —(4) следует, что	-
d sn и ,
—j	« en и dn ц,
du
d спи	Л
—-	= — sn и dn ut
du <
d dn ц
du
= — k2snucn u.
(5)
Значение функции и (г, k) при г=1 ^ф = — т. е. интеграл
1
f r dt ==- = К ( *)
J /(1 - /2) (1 - «2)
называется полным эллиптическим интегралом l-го рода. Величина k' =*
= У^ 1 — k2 называется дополнительным модулем.
К (k) = К и К (k') « К' называются связанными эллиптическими инте¬
гралами.
В задачах часто используются следующие легко доказываемые соотно¬
шения (преобразования полных эллиптических интегралов первого рода):
K(4')”fe(K + zK')’	K[-p-)-*'(K'+zK),
к(А)-«,	* (£)-«<■•
Заметим также, что
I -7========- = К' (подстановка k2t2 + k'2x2 = 1),
J /(/2-1) (1-^2)
00
■		dt - =» К' (подстановка t = tg ф).
J /(1 + /2) (1 + k2t2)
(6)
1Ѳ9

1255.	Доказать,'что образом верхней полуплоскости Imz>0
при отображении с помощью нормального эллиптического инте¬
грала первого рода
2
Г dt
J /(1-/2) (1-^)
является прямоугольник с вершинами ± К, ± К + /К', соответ*
ствующими точкам ±1,
Продолжая это отображение по принципу симметрии, дока¬
зать, что обратная функция z = sn и двоякопериодическая с пе¬
риодами 4К и 2/К'.
Рассмотреть соответствие между плоскостями и и ф, где
(ф, k).	'
Указание. Применить принцип соответствия границ. Особое внимание
.	du	. о
обратить на изменение аргумента когда z пробегает действительную ось.
1256.	Отобразить верхнюю полуплоскость Imz>0 на прямо¬
угольник в иу-плоскости с вершинами ± а, ± a + ib (а>0, 6>0)*
1257.	Найти образ четвертого квадранта z-плоскости при ото*
бражении с помощью эллиптического интеграла
1.
Г	dt
и = —7 •--•••	-о--—-■ ■ .
/ V(i-/W2 + *2/2)
Продолжая это отображение по принципу симметрии, найти
образ всей z-плоскости с разрезами по лучам (— оо, — 1],
[1, оо), ( — і оо, — -j-j, р£-,/оо). Проверить, что обратной
функцией будет z = cn(n, k), и доказать, что она двоякоперио¬
дическая с периодами 4К, 2К + 2/К'.
1258.	Найти образ четвертого квадранта z-плоскости при
отображении с помощью эллиптического интеграла
1
Г dt
и= г .	~'п '.
Продолжая это отображение по принципу симметрии, найти
образ всей z-плоскости с разрезами по лучам (— оо, — k'\,
[k't оо). Проверить, что обратной функцией будет z=dn(u, k),
и доказать, что она двоякопериодическая с периодами 2К и 4/К'.
170

1259.	Найти образ первого квадранта z-плоскости при ото¬
бражении с помощью эллиптического интеграла 1-го рода
и (z, kt) = [ —dt ..	. ,
у y /(I-/2)(1-0
,	1 1	if 1	ik	ik'
где kx принимает значения p я, ѵ» v
гѵ	К	К	К
Указание. Воспользоваться формулами (6).
Интеграл
Z 	 ф
V (г, k) = J j/"-рруг “	~ J — /г2 sin2 ф б/ф = Е (<р, k) (7)
о	о
= sin ф) называется нормальным эллиптическим интегралом 2-го рода
е форме Лежандра. •
При z 1 (ф — л/2) получается полный эллиптический интеграл 2-го рода
E(ft) = E=	(8)
О
Введя обозначение Е (&') = Е', легко получить соотношения
Е (|) ={[(Е “	(Е' - *2К')]-
'	(9)
еШ=іг[(е'_*2к')“/(е-*'2к)і’	,
е(т)-4е' е(тНе-
Полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода, отвечающие допол-
«ительным модулям k и k't связаны соотношением Лежандра
ЕК' + Е'К - КК' =	(10)
Замена независимой переменной z = sn и в интеграле, определяющем
о (г, /г), приводит к функции Якоби
и
Е (и, k) = Е (u) = v (sn и, k) = J dn2 т dt,	(11)
о
выражающей эллиптический интеграл 2-го рода как функцию эллиптического
интеграла 1-го рода. С функцией Е (и) связана функция Z (и), определяемая
-формулой
Z (и) = Е (и) - и.	(12)
171

1260.	Найти образ первого квадранта г-плоскости при ото¬
бражении с помощью нормЬльного эллиптического интеграла
2-го рода
Ü (z, kt) = J \ dt,
< / 1 // 1
где k{ принимает значения k, , k , у, -у
k *
Указание. Воспользоваться формулами (9) и тем, что
Mk

' j ^ = ‘(К'-Е,)
1
(эта формула получается с помощью подстановки k2t2 + kf2x2 « 1).
1261*. Отобразить верхнюю полуплоскость Imz>0 на верх*
нюю полуплоскость Ітдо>0 с двумя вертикальными разрезами
вдоль отрезков Re до = ± а, 0<Лгп до^й с нормировкой: до (0) = 0„
до (оо) = 0, до'(оо)>0.
Указание. Воспользоваться формулой Кристоффеля — Шварца в виде
г
Г h2 — ?2
w{z) = C	.	dz = Ct [(k2b2 - 1) и (z, k) + V (z, k)],
J y (1 - z2) (1 - k2z2)
c
где 6?! = -^2", w (± 1) = ± a, w (± b) = ± a + ih, и составить уравнения для
определения параметров Cb k и Ь.
1262. Доказать, что функция
производит отображение прямоугольника
О < £ < К, 0 < п < К', расположенного в плос¬
кости и = g + /т), на четвертый квадрант
[Ш f JtZ 1
—	~ 2К" *
где h — есть образ точки и = | + /К', для
которой= 0. Продолжая это отобра¬
жение по принципу симметрии, показать, что образом прямо¬
угольника |£|<К, |п К К' будет являться вся плоскость с раз¬
резом, изображенным на рис. 54.
Примечание. Об отображении прямоугольника на внешность креста
или на внешность прямоугольника с четырьмя отростками — продолжениями
сторон см. первое издание этой книги или Darwin, Some conformal trans¬
formations involving elliptic functions, The Philosophical Magazine ser. 7 4U
№ 312 (1950).

172

Интеграл
г
W (z, V, k) =		r. ■■■-..	..
J (i+o/(i-/2)(i-m
Ф
dt
f	d<fr ■ 		 ■ -П (<p, V, k) ( 13)
J ( 1 4- V sin2 <p) ўï — k2 sin2 ф
называется нормальным эллиптическим интегралом 3-го рода в форме Лв*
жандра.	.
Замена независимой переменной z = sn и приводит к формуле
и
/ .ч Г dx
W (sn U, V, k) =	-7—	5-7-
v	J l+vsn2T
0
(14)
Величина Щ (v, k) = w (1, v, /г) = П (y, v, kj называется полным эллип¬
тическим интегралом 3-го рода.
1263. Найти образ первого квадранта z-плоскости при ото¬
бражении с помощью нормального эллиптического интеграла
3-го рода (13) для 0<£<1. Рассмотреть отдельно случаи»
когда V принадлежит интервалам:
1) (_ оо, -1); 2Г (— 1» -62); 3) (- k2, 0); 4) (0, оо).
Рассмотреть также случаи ѵ = — 1 и ѵ = — k2.
Указать области в ^-плоскости, которые получаются при
продолжении по ^принципу симметрии через различные интер¬
валы действительной юси плоскости z. В каждом случае пока¬
зать соответствующие области в u-плоскости, где z = sn и.
Интеграл
	dz
V 4z3 - g2z - g3
	dz

VA (z-ei)(z-e2) (z-e3)
(15)
с дискриминантом A = g% — 27g2 =И= 0 (при этом условии e[f е2, г3 попарнр
различны) называется нормальным эллиптическим интегралом 1-го рода
в форме Вейеріитрасса, а функция
z = f?(w)	(16}
называется „пэ“-функцией Вейеріитрасса. Это одна из основных эллиптиче¬
ских функций с периодами 2<о, 2<о'	=/= oj. Она удовлетворяет диф*
ференциальному уравнению
F2 = 4F - g2P - g, = 4 (P - еі) (P - e2) (P - e9).	( 17>
17a

(18)
Функция P (w) — четная, двулистная в параллелограмме периодов (рис. 55),
имеющая там полюс второго порядка в нуле и двукратные точки (р' = 0) о,
со + со', со':
= Р (со), е2 = Р (со + со'),
е3.= Р((о').
Из (17) следует, что
= О,
+ ^зеі = —4" &2>
1
еів2е3 = — g3.
Z(û'
Рис. 55.
(19)
ОТО-
1264*. Исследов ать
бражение z-плоскости с по-
мощьюнормального эллипти¬
ческого интеграла 1-го рода
в форме Вейерштрасса (15)
для вещественных g2, g3 и
Д>0. Рассмотреть случаи
£з<0, £з = °- Найти
периоды р(до).
Указание. Рассмотреть отображение верхней полуплоскости Imz>О
с помощью принципа соответствия границ.
1265*. Исследовать отображение z-плоскости с помощью
нормального эллиптического интеграла 1-го рода (15) для веще¬
ственных g2, ёз и Д<0. Рассмотреть, в частности, случай £2 = 0.
Найти периоды р(гіу).	'
Указание. Так как А<0, то две из величин еь е2, е3 комплексно
сопряженные, а одна действительная. Пусть е2 — действительная величина,
2і=аЧ-ф, е3 = а-ф (р>0). Рассмотреть отображение полукруга |z — е21 =
«= I — е21, Imz>0 с помощью принципа соответствия границ и продол¬
жить это отображение по принципу симметрии.
1266.	Найти отображения на верхнюю полуплоскость Imui>0
треугольников АВС при указанных условиях:
1)	(Л = 0, В = ©>0, С = œ(1 + /))->(оо, -1, 0);
2)	(л = 0, В = а>0, С = ^-е т)->(оо, -1, 1);
3)	(л = 0, В = а>0, с = £^е'т)->(оо, -1, 0).
Указание. Воспользоваться решениями задач 1264 (случай £з = 0)
и 1265 (случай £2= 0).
174

1267.	Двусвязные области 1 — 15, расположенные в г-пло-
скости и указанные на рис. 56, отобразить на круговое кольцо
р^І^Крг и определить модуль ц = — (см. стр. 35).
/5>
Рис. 56.
В задачах 1268—1270 отобразить на единичный круг 111 < I
указанные области.
1268.	Прямоугольник | Re и |<К, | Im и | < К' (0 < k < 1). Найти
положение вершин при отображении.
173

1269.	Внутренность эллипса | z— 1 | + | z + 11 = 2а (а > 1) с раз¬
резами [—а, — 1]. [1, а].
1270.	Внутренность эллипса | z— 1 | +1 z + 1 | = 2а (а>1).
Найти положение фокусов при отображении.
Рис. 57
1271.	Внешность единичного круга |/|>1 отобразить на об¬
ласти 1 — 3, расположенные в г-плоскости и указанные на рис. 57.
О применении эллиптических функций к задачам об отображении верх¬
ней полуплоскости на внешность дуг эллипса, гиперболы и параболы,
à также к Отображению внешности двух произвольно расположенных прямо¬
линейных отрезков или двух концентрических дуг на круговое кольцо см.,
например, книгу Л. И. Седов, Плоские задачи гидродинамики и аэро¬
динамики, «Наука», 1966.

ГЛАВА X
ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ1)
§ 1. Приложения к гидромеханике
Установившееся плоское безвихревое течение несжимаемой жидкости
характеризуется аналитической функцией
W (z) = <р (х, у) + І1І> (х, у),	(1)
называемой комплексным потенциалом или характеристической функцией
течения; <р называется потенциальной функцией, —функцией тока. Линии
<р = const — эквипотенциальные линии, ф = const — линии тока. Скорость тече¬
ния V связана с w (z) соотношениями:
Ѵ = Ѵеіа= Vx + iVy=w'(z),
V	— I w' (z) I, a = — arg w' (z),
V	= grad <p.
(2)
Пусть C — замкнутый контур, обход которого совершается в положи¬
тельном направлении (контур С может состоять и из двух сторон дуги,
пробегаемых в противоположных направлениях). Величина
Г = J Vsds = [ Vxdx+Vydy= J dV	(3)
С	с	с
называется циркуляцией вектора V по контуру С.
Величина
Q= J Vnds= J (- Vydx + Vxdy)= J dip	(4)
•	c c	c
(n — внешняя нормаль к замкнутому контуру С, пробегаемому в положи¬
тельном направлении) называется потоком вектора V через контур С.
Аналогично поток вектора V через дугу АВ определяется как интеграл
J Ѵп ds (направление нормали п должно быть указано).
ЛВ
Объединяя формулы (3) и (4), получим
F + /Q® J w'(z)dz,	(5)
с
!) К этой главе см. [3, гл. III] и указанную там литературу.
177

Если w' (z) определена внутри С и имеет там конечное число особых точек, то
Г + /Q = 2л/ 2 res w' (z)-
Если а — полюс функции wf (z), то w (z) имеет вблизи а разложение вида
w (2) = +г • • + 1п {г~а)+с°+С1 (г -“)+•• •
Говорят, что член	(z ~ а) (Г» Q — действительные числа) опреде¬
ляет в точке a eux реисточник обильности Q и интенсивности Г, обозначае¬
мый (a; Q, Г)1), член	- ““ диполь с моментом р, обозначаемый (а; р)
(р — комплексное число; радиус-вектор — р определяет направление оси ди¬
поля, проходящей через точку а в направлении линии тока), остальные
c-k
члены 	г- определяют в точке а мультиполи порядка 2k.
{z-аГ
Соответственно, если на оо
W(z) = cnzn+ ... + Z +	In Z + C0 +	+ ....
то член
Г + ZQ
2л/
Inz определяет на oo eux реисточник обильности — Q и интен¬
сивности — Г, член -~—z — диполь с моментом р (направление линий тока
на оо совпадает с направлением радиуса-вектора р), остальные члены
ckzk — мультиполи порядка 2k.
Точки, в которых V = 0, следовательно wf (z) = 0, называются крити¬
ческими точками течения; из этих точек линии тока и эквипотенциальные
линии выходят попеременно. ’ Если критическая точка является нуле^м про¬
изводной порядка (п — 1), то эти линии образуют между собой углы л/2п.
Такое разветвление линий возможно и на оо.
В задачах 1272—1285 по заданному комплексному потен¬
циалу течения требуется построить эквипотенциальные линии
и линии тока, определить V, особые и критические точки,
обильность и интенсивность вихреисточников, моменты диполей
и исследовать поведение течения на оо.
1272.	w — cz(c = a + /0).
1273.	w = zn (в частности, п = 2, 3).
1274.	ш =	Рассмотреть, в частности, случаи Г = 0
и Q = 0.
« «.wr	Г iQ 1 z — а
1275.	w= -к- . In	г.
2ш z — Ь
1276.	= Определить также скорость в точках 2 ± і.
1277.	1) = z +	2) w = z-^-. 1278. w = 2_.
!) Если Q = 0, то имеем вихрь (а\ Г). Если Г = 0, то имеем источник (а; Q).
Если обильность источника Q < 0, то чаще говорят, что имеет место сток,
178

1279.	w = ln(z2 — a2) (a>0). Определить также скорость
в точках ±іа.
1280.	u> = ln-ÿ^ÿ (а>0). 1281. ш = -^1п(г-ў).
1282. ш = 1п(1+р-). 1283. w = In(z2 +	.
1284.	w = az+ —In z (a>0, Q>0).
1285.	w = az + -J-тInz (a>0, Г>0).
1286.	Исследовать характер течения в области | z | R, если
а’ = а(2 + 4") + Чг1п2 (а>°, Г>0).
Рассмотреть случаи: Г<4ла/?, Г = 4тш/?, Г>4тш/?.
1287.	Найти комплексный потенциал w (г) течения во всей
плоскости, образованного вихреисточниками {(аЛ; Qki I\)} (k= 1,
2, ..., п) и имеющего на бесконечности заданную скорость
Уоо==1/еіа.
1288.	Может ли выходить линия тока из точки, являющейся:
1) вихрем, 2) диполем, 3) вихрем и диполем вместе?
1289.	Найти закон изменения вихреисточника, диполя и муль¬
типоля, находящихся в точке а или на оо, при следующих
однолистных конформных отображениях окрестности этих точек
Où #= 0, с-j =/= 0):
1) t, = a. + c{(z-a)+	2) £ = а + -^+ ...;
3)	Ç, = z-a + с°4) £ =	+ с0+ .. .
1290.	Найти закон изменения вихреисточника при /г-листных
отображениях:
Z = a + cn(z-a)n + ..., сп=Н=0;
= сс Ч ^7Г““Н •••> С~п=^=0.
1291.	Доказать, что течение можно продолжить по принципу
симметрии через прямолинейный или круговой участок линии
тока или эквипотенциальной линии, причем вихреисточник пере¬
ходит в вихреисточник, диполь — в диполь, мультиполь, — вообще
говоря, в набор мультиполей до того же порядка включительно.
Найти закон изменения обильности и интенсивности вихреисточ¬
ника и момента диполя.
179

Примечание. В задаче 1291 устанавливается принцип симметрии,
который, наряду с конформными отображениями, широко используется для
построения течений (см. задачи 1293 — 1301).
Из принципа симметрии следует, что при наличии прямолинейного или
кругового участка на линии тока или эквипотенциальной линии течение
должно быть симметричным относительно этой линии. Это накладывает
известные ограничения не только на особенности течения вне указанных
линий, но и на этих линиях или на их концах (если они имеются).
1292.	Течение в z-плоскости образовано конечным числом
источников, вихрей и диполей.
1)	Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы
окружность |z| = /? являлась линией тока, если источники,
вихри, диполи: а) не расположены на этой окружности; б) все
расположены на ней; в) частично расположены на ней, ча¬
стично нет.
2)	В этих же предположениях найти условия того, чтобы
окружность |z| = /? являлась эквипотенциальной линией.
1293.	Найти комплексные потенциалы течений в верхней
полуплоскости Imz>0 по заданным особенностям и скорости Ѵто:
1) Скорость ѴЖ = Ѵ. 2) Вихрь (а; Г) и скорость ¥^ = 0.
3)	Источник (а; Q) и скорость = 0. 4) Диполь (а; р) и ско¬
рость Ѵоо = 0- 5) Вихреисточники {(ak\ Qk, I\)} (k = 1, 2, . .., n),
диполь (а; p) и скорость ¥^ = 1/. Что можно сказать о поведе¬
нии течения на оо? 6) Вихреисточник (0; Q; Г) и диполь (0; р);
Ѵто = 0. Какие значения может принимать момент диполя р?
Всегда ли возможно течение, если Г=^0?
1294.	В круге |z|</? построить течения, имеющие соответ¬
ственно:	•.
1) вихрь (а; Г); 2) диполь (а; р).
1295.	Найти условия возможности построения течений в круге
I z |</?, если:
1)	имеются только источники {(ak\ Q&)} (&= 1, 2, ..., п), рас¬
положенные внутри круга;
2)	в дополнение к источникам п. 1) имеются источники
{(а'; Q')} (k = 1, 2, ..., m), расположенные на окружности | z | = /?.
В обоих случаях найти комплексные потенциалы течений.
1296.	В области | z | > /? построить течения, имеющие соот¬
ветственно:
1)	вихрь (а; Г), скорость Ѵто = 0 и циркуляцию на бесконеч¬
ности Гто = 0;
2)	диполь (а; р), скорость = 0 и циркуляцию = 0;
3)	скорость Ѵоо = Ѵеіа и циркуляцию Гто = 0;
4)	скорость Ѵоо = Ѵеіа и циркуляцию Г вокруг окружности
Примечание. Последние два примера задачи 1296 дают обтекание
круга с заданной скоростью на бесконечности, без циркуляции и с цирку¬
ляцией (см., например, [3, гл. III, п. 49] ).
180

В задачах 1297—1300 пользуясь принципом симметрии, по¬
строить течения по заданным особенностям (на бесконечности'
и в угловых точках скорость равна нулю).
1297.	В области |г |> 1, Imz>0, с вихрем (іа\ Г), а>0.
1298.	В угле 0<argz<y, с источником (ае* 6; q), а>0.
1299.	В первом квадранте Rez>0, Imz>0, с источни¬
ком (1; Q).
1300.	1) В первом квадранте Rez>0, Imz>0, с источни¬
ком (1; Q) и стоком (Z; — Q).
2) В первом квадранте Rez>0, Imz>0, с источником
(1 4- Z; Q) и стоком (0; — Q).
1301.	Построить течение во всей z-плоскости, если известно,
что в верхней полуплоскости Imz>0 оно имеет вихреисточники
{(aft; Q*, І\)} (k = 1, 2, ..., п) и диполь (а\ р), ось х является
эквипотенциальной линией и скорость Ѵоо = Ѵеіа. Всегда ли такое
течение возможно?
1302.	Построить течение во всей z-плоскости, если известно,
что в круге I z I < R оно имеет вихреисточники {(ak; Qk, I\)}-
(k = 1, 2, ..., n) и диполь (a; p), окружность |z| = R является
эквипотенциальной линией и скорость ¥00 = Ѵеіа. Всегда ли такое
течение возможно?
1303.	В односвязной области £), ограниченной контуром С,,
построить течение с линией тока С, имеющее вихреисточники
f(aft; Q*, І\)} (& = 1, 2, ..n). Всегда ли такое течение возможно?
1304.	В области D, ограниченной контуром С и содержащей
бесконечно удаленную точку, построить течение с линией тока С,
имеющее вихреисточники {(ak\ Qkt І\)} (k = 1, 2, ..., п) и задан¬
ную скорость Ѵоо = Ѵеі0‘. Всегда ли такое течение возможно?
В задачах 1305—1312 рассматривается обтекание ограничен¬
ных и неограниченных контуров (они должны являться линиями
тока). Задачи решаются с помощью конформного отображения
на внешность круга, верхнюю полуплоскость и прямолинейную
полосу.
1305.	Построить обтекание ограниченного контура С с задан¬
ной циркуляцией Г и скоростью Ѵоо = Ѵеіа. Какое отображение
осуществляет комплексный потенциал w(z) в случае Г = 0?
1306.	Построить обтекание эллипса -^2+~2'=1:
1)	с заданной скоростью без циркуляции;
2)	с заданной скоростью и циркуляцией Г.
1307.	Построить обтекание пластинки | х | С, у = 0:
1) с заданной скоростью Ѵто, без циркуляции;
181.

2) с заданной скоростью и циркуляцией Г, определяемой
из условия, чтобы один из концов пластинки являлся точкой
схода потока (постулат Ду ко в с ко го — Чаплыгина).
1308.	Построить обтекание профиля Жуковского1) с за¬
данной скоростью и циркуляцией Г, определяемой с помощью
постулата Жуковского — Чаплыгина (острый конец профиля
должен являться точкой схода).'
В задачах 1309—1312 построить обтекание заданных контуров.
1309.	Параболы р2 = 2рх (извне и изнутри).
1310.	Правой ветви гиперболы —-|г = 1 (извне и изнутри,
со скоростью ^00 = 0).
1311.	Полупрямых: — оо<х<—1, г/=±л.
1312.	Полупрямых: 1 <| х |< оо, у = 0.
В задачах 1313 — 1317 рассматриваются периодические течения
(V (г 4-со) = V (z) ) и течения в криволинейных полосах (каналах).
Для построения этих течений криволинейные полосы следует
конформно отобразить на прямолинейные полосы, затем про¬
должить течения по принципу симметрии и использовать разло¬
жения мероморфных функций в ряды простых дробей.
В задачах 1313, 1314 исследовать особенности, построить
схематически линии тока и эквипотенциальные линии и опре¬
делить скорость на оо в полосе периодов для периодических
течений с заданными комплексными потенциалами.
О	г
1313.	w = In sinz; 2) w = -z-^lnsinz.
1314.	w = ^ctgz (о <argp.C у).
1315.	В прямолинейной полосе S: О<х<со z-плоскости по¬
строить течение, образованное вихреисточником (a; Q, Г),
имеющее заданные скорости V (х + і оо) = IV, V (х — іоо) = іѴ{.
Всегда ли такое течение возможно?
Построить схематически линии тока и эквипотенциальные
линии, если Г = 0 или Q = 0. ѵ
Указание. Продолжить течение по принципу симметрии и восполь¬
зоваться результатом задачи 1313.
1316.	В прямолинейной полосе z-плоскости S: О<х<со по¬
строить течение, образованное диполем (а; р), а g= S, имеющее
заданную скорость V (х ± і оо) = /у. Построить схематически
линии тока и эквипотенциальные линии.
1317.	В криволинейной полосе z-плоскости S, ограниченной
контурами Сь С2, построить течение, обтекающее Сь С2, имею¬
щее заданные вихреисточники, диполи в S и заданные ско-
!) См. задачу 313 и ответ к ней.
182

рости Vh Ѵ2 в бесконечно удаленных точках Qb Q2 полосы S.
Указать достаточные условия для существования такого течения
Течение называется двоякопериодическим, если его скорость w' (z)
является эллиптической функцией.
Эллиптической функцией называется двоякопериодическая мероморфная
©' (
функция, с периодами 2© и 2©', причем Im— =/= О I в дальнейшем принято,
что Im	Из этого определения следует, что f (z + 2/n© + 2/г©') = f (z),
где m и /г —любые целые числа или нули.
Параллелограмм с вершинами z0, z0 + 2©, z0H-2©', z0 + 2© + 2©'
(z0 — произвольная точка) называется параллелограммом периодов.
Если f (z) — отличная от постоянной эллиптическая функция, то она
обладает следующими свойствами (теоремы Лиувилля):
1)	f(z) имеет по крайней мере один полюс в параллелограмме периодов;
2)	сумма вычетов функции f(z) относительно всех полюсов, располо¬
женных в параллелограмме периодов, равна нулю;
3)	уравнение f(z) = а имеет в параллелограмме периодов одинаковое
число корней для любого комплексного числа а, конечного или бесконечного
(это число корней называется порядком эллиптической функции);
4)	разность между суммой всех нулей и суммой всех полюсов функ¬
ции f (z), расположенных в параллелограмме периодов, равна некоторому
ее периоду, т. е.
2 а* — 2 0* = 2И® + (ц и V — целые числа).
Сигма-функцией Вейеріитрасса называется целая функция
z .	Z	Z2
o(z) = zjj[ (1	еа 2й2,	(6)
где.-.Q = 2/г© + 2/n©' и произведение распространено на все Q, отличные от
нуля. Функция <г (z) — нечетная.
Дзет а-функцией Вейеріитрасса называется мероморфная функция
О \*с )	С ЯЯЯЛ \ — йй йй иы ]
где суммирование распространено на все Q, отличные от нуля. Функция
Ç(z)— нечетная.
Функция Вейерштрасса P (z) с периодами 2© и 2©' (см. стр. 173) свя¬
зана с £ (z) соотношением р (z) = — £' (z).
Так как
[g (z + 2©)-U^)r = P(^)-P(^ + 2©) = 0,
то
g (z + 2©) - £ (z) == 2г)
и аналогично
g (г + 2©') - Ç (z) s 2т|',
где т) и rf — постоянные. Пользуясь нечетностью функции £ (z), легко пока¬
зать, что Т) = Ç (©) и Т]' = J (©').	.
Величины if, © и ©' связаны соотношением Лежандра
,	, яі
П© -п©=—.
183

Обозначим
î| = ni,	*1' = Пз и n + =
Û) = CÙb	Cù' = (ù3 И (ù + <ù'=©2.
Функции cfk (^) определяются соотношениями
°k (z) = - Лг q(J~y (k = 1, 2, 3).	(8)
Соответственно
al (z)
^(2)=^)-	V
Функции Ok (z) связаны с функцией Вейерштрасса Р (г) и функциями Якоби
snz, en z, dnz следующими формулами:
(Ю)
	 a(z)	ai (г) j a2(z)
snn = ]/e1— e3—7-r-, en » = 1 dn u = 2 ;	(11)
		a3(z)’	a3(z)’	a3 (z)	v ’
где u = zyrel-e3 и (œ^) (см. стр. 174).
При помощи a(z) и £(z) можно выразить любую эллиптическую функцию.
Если f (z) имеет в параллелограмме периодов только простые полю¬
сы bk с вычетами Ak (6=1, 2,..., я), то
f(Z)=2^(z-6ft) + C.	(12)
Л-Г
Если f (z) имеет в параллелограмме периодов нули ak и полюсы Ьь
(k= 1, 2, ..., п), каждый из которых пишется столько раз, какова его
кратность, то
f(z) = co(^-^<r(Z_a2)...a(z-an)	(13)
а(г-&,)<т(г-&2)...а(г-6„)
п	п
где b\ = 2 аь “ S bk*
k=\	Ь2
Т ет а-функциями Якоби называются функции
у (-1)"/" 2)е(2п-І)п/0 = 2 2 (-!)ге/"+2) sln(2rt+l)«ü,
00	п=0
Ог(о)-Фі + Û3 (") = <74enZo<h (о + у + у)’
û4(o)= - iq 4ея,оді ( o + yj.
тде q = eni\ т = о'/®.
Тета-функции связаны с сигма-функциями соотношениями вида
1112:2 л. / \
ОГ (г) = 2üM 2“‘
\	^(0)
(14)
(15)
(16)
(17)
тде z = 2<ù!V<
184

Преимущества тета-функций заключаются в быстрой сходимости рядов,,
их определяющих. Пользуясь формулой (16), представление (13) можно за¬
писать в виде
f(z) = C
(18)
Пользуясь формулами (11), (16) и (17), можно записать выражения для
функций Якоби snz, cnz, dnz через тета-функции.
В дальнейшем предполагается, что œ — действительное число, — чисто
мнимое, т. е. параллелограммы периодов являются прямоугольниками.
1318.	Показать, что функция f (и) =	£ (и — а) + Си является
комплексным потенциалом двоякопериодического течения с одним
диполем (а; М) (М — момент диполя) в параллелограмме пе¬
риодов.
Рассмотреть, в частности, случаи:
1)	а = 0 и линии Ішц= ± Im со-являются линиями тока; по¬
строить схематически линии тока и эквипотенциальные линии;
исследовать конформное отображение, осуществляемое функ¬
цией t = f (u).
2)	f (и + 2co) = f (u)\ построить схематически линии тока и экви¬
потенциальные линии, исследовать конформное отображение
/ = W	4
1319.	Показать, что течения, определяемые комплексными
потенциалами ^(u) (k = 1, 2, 3), сводятся к течениям задачи 1318
(при С = 0) с помощью сдвигов в плоскостях и и £.
Указание. Воспользоваться формулами (8) и (9).
1320.	Показать, что течения, определяемые комплексными
потенциалами —-,—(k= 1, 2, 3, 4) и Z(u) (см. стр. 171), сво-
ш
дятся к течениям задачи 1318, 2) с помощью линейных пре¬
образований.
1321.	Показать, что течение, определяемое комплексным по¬
тенциалом Е(и) (см. стр. 171), с помощью линейных преобра¬
зований сводится к течению задачи 1318, 1).	"
Указание. Доказать предварительно соотношения
К-.и	+
1322.	Найти' комплексный потенциал f(ü) двоякопериодиче¬
ского течения с двумя диполями (а; Л4), (0; N) в параллело¬
грамме периодов.
185

Выяснить, в каком случае функция f (и) будет эллиптической
и линии Imu=±Imcd', Reu=±o будут являться линиями
тока и эквипотенциальными линиями (или наобЪрот); построить
схематически линии тока и эквипотенциальные линии.
В задачах 1323—1325-и сел ед овать двоякопериодические тече¬
ния, определяемые заданными комплексными потенциалами f (и).
1323.	snu. 1324. спи. 1325. dn и.
1326.	Найти комплексный потенциал f(u) двоякопериодиче¬
ского течения с двумя вихреисточниками (а; Q, Г), (0; — Q, — Г)
в параллелограмме периодов. Рассмотреть, в частности, случаи
а = 0, а = ©, а = œ + o' и 0 = o'.
Найти вид функции f(u), удовлетворяющей условию
f (u .rjr 2cù) = f (u).
В задачах 1327—1329 исследовать течения, определяемые
указанными комплексными потенциалами f (и).
1327.	1) Insnrr, 2) In en и; 3) In dn и. 1328. Р(и).
1329.	lnûft(ü) (и = k = 1, 2, 3, 4).
Для построения комплексного потенциала f(z) в двусвязной области D
ее обычно сначала конформно отображают на круговое кольцо /?: р<| і | < 1
(ц = 1/р — модуль D); кольцо R с радиальным разрезом [р. 1] при помощи
функции t = enui^ отображается, в свою очередь, на прямоугольник с вер¬
шинами 0, 2©, 2© + ©', ©' в н-плоскости так, что края разреза переходят
в боковые стороны и т = -^==^-1п—. Характеристики течения в прямо¬
угольнике определятся по методу решения задачи 1289. Так как основания
прямоугольника являются линиями тока, то течение продолжается через
них по принципу симметрии (см. задачу 1291), после чего определяется ком¬
плексный потенциал Ф (и) получающегося двоякопериодического течения
с периодами 2©, 2©'; тогда f (z) = Ф [и (г)] (см. книгу Л. И. Седова, ука¬
занную на стр. 176).
1330.	Найти комплексный потенциал течения:
1)	в круговом кольце R: rx<\z\<r2 с циркуляциями Г вдоль
граничных окружностей;
2)	в произвольной ограниченной двусвязной области D *)
с циркуляциями Г вдоль граничных контуров;
3)	во внешности двух кругов, лежащих вне друг друга, с цир¬
куляциями ± Г на граничных окружностях при условии = 0;
4)	в двусвязной области D, содержащей бесконечно удален¬
ную точку, с циркуляциями ±Г вдоль граничных контуров при
условии ¥^ = 0.
1331.	Построить течение в круговом кольце R: p<|z |< 1,
образованное диполем (а; р) (р<а<1) и обтекающее без цир-
9 Здесь и в дальнейшехМ предполагается, что функция, отображающая
область D на кольцо, известна.
186

куляции граничные контуры. Исследовать отображение t = f(z)
и построить схему расположения линий тока.	-
Указание. Воспользоваться решениями задач 1289, 1) и 1322.
1332.	Построить течение в двусвязной области D, содержа¬
щей бесконечно удаленную точку, обтекающее без циркуляции
граничные контуры и имеющее на оо скорость Voo = I/efa.<
1333.	Построить течение в круговом кольце /?: p<|z|< 1,
образованное диполем и квадруполем/ находящимися в точке
2=1, и обтекающее граничные окружности без циркуляции.
Построить линии тока и исследовать отображение t = f (z). Рас¬
смотреть, в частности, случай одного диполя.
' Указание. Записать комплексный потенциал f (z) в виде
f =	+ ci (z - 1) + ...
и выяснить, какие значения с_2 и с-і 'возможны.
1334.1) В круговом кольце R: p<|z|< 1 построить течение,
образованное вихрем (а; Г) (р<а<1) и обтекающее граничные
окружности с циркуляциями Tj (по окружности |z|=l) и Г2
(по окружности I z I = р). Можно ли произвольно задавать Г, Гь Г2?
Рассмотреть, в частности, случаи Г2 = 0 и Г2= —ГР
Исследовать отображения, осуществляемые функциями
/ = f(z), 3 = е2л^/г в первом случае и функциями / = f(z),
3 = е"4я///г и $= УЗ — Во (Во = — е4яфо/г, где ф0 —значение функ¬
ции тока в критической точке) во втором случае. Построить
в плоскости и линии тока и эквипотенциальные линии.
2) В двусвязной области £>, содержащей бесконечно уда¬
ленную точку, построить течение, обтекающее граничные кон¬
туры с циркуляциями Гь Г2 и имеющее скорость Ѵоо = Ѵеіа.
§ 2. Приложения к электростатике
Плоское электростатическое поле с напряженностью Е = Ех + іЕу = Ееіа
характеризуется аналитической функцией w (z) = и + іѵ, называемой ком¬
плексным потенциалом; ѵ называется потенциальной функцией (она всегда
однозначна!), а и — силовой функцией. Линии ѵ = const — эквипотенциальные
линии, a и = const — силовые линии поля. При этом
Е = — grad V = — iw' (z), Е = | w' (z) |, a = — -y — arg w' (z),
F —	= P —	dn
x dx dy ' y dy dx ‘
Во всех задачах этого параграфа, где речь идет об электростатических
полях в областях, ограниченных одним или несколькими граничными кон¬
турами, предполагается, что вдоль каждого простого контура потенциальная
функция постоянна (т. е. каждый такой контур является проводником).
Если а — полюс w' (z) -и w вблизи а имеет фазложение
W (г)-	+ ••• +тТ7 + 29Ип-^- + с0 + с1(г-а)+ ....
187

то член 2qi In 	 определяет в точке а плоский точечный заряд вели¬
чины р = 2qf обозначаемый (a; 2q) (в пространстве на единицу длины прямо¬
линейного проводника, перпендикулярного к z-плоскости в точке а, прихо¬
дится заряд (?);-член pil(z — a) определяет в точке а диполь с моментом р,
обозначаемый (а; р) (р — комплексное число; аргумент р определяет на¬
правление оси диполя); остальные члены c-k!(z — a)k (6 = 2,..., п) опреде¬
ляют в точке а мультиполи порядка 2k,
Соответственно, если на оо
w (z) = CnZn + ... + piz + 2qi In z + Cq d——I- ...,
то член 2qi In z определяет на оо плоский точечный заряд величины р = 2р,
член piz — диполь с моментом р.
Если функцию w — и + іѵ рассматривать как комплексный потенциал
электростатического поля Е= — iw' (z) и одновременно — течения жидкости
со скоростью V=w'(z), то это приводит к следующей электрогидродинами¬
ческой аналогии:	'
Течение жидкости
Электростатическое поле
и
Потенциальная функция
Силовая функция
и = const
Эквипотенциальные линии
Силовые линии
V
Функция тока (может быть
многозначной)
Потенциальная функция
(всегда однозначна)
V = const
Линии тока
Эквипотенциальные линии
Ü2-
Расход жидкости
Разность потенциалов
(j) du
Циркуляция Г = (j) ds
Поток N = (j) Еп ds
—
Вихрь (а; Г)
Точечный заряд (a; 2q)
q = Г/4л
—
Источник
—
—
Диполь с моментом р
Диполь с моментом р/2ш*
Обтекание с заданными вих¬
рями и диполями
Поле с заданными зарядами,
диполями и эквипотен¬
циальными граничными ли¬
ниями
В задачах 1335 — 1342 по заданным комплексным потен¬
циалам w (г) требуется определить силовую и потенциальную
функции, напряженность поля, характер особенностей (в том
числе и на оо), а также построить схематически семейства си¬
ловых и эквипотенциальных линий (g — действительное число).
Сравнить с решениями задач 1272—1285.
1335. w = cz (с = а + /р).	1336. w = 2<?/ln-p	1337. w «
= 2<//ln^-^.	1338. w = 2qi In (г2 — a2) (а>0).	1339. w = ~
188

(p = |p|efa). 1340. w = z± 1341. w = piz + 2<?г1п-|- (p>0,
n
q>ty. 1342. w = piz + 2i У In 1	(p>0, qii>®,
k=l
a{<a2< ... <an).	.
1343.	Найти закон изменения точечного заряда (а; 2q) и ди¬
поля (а; р):
1)	при однолистном конформном отображении;
2)	при продолжении по принципу симметрии через прямо¬
линейный или круговой участок эквипотенциальной линии.
1344.	Показать, что комплексный потенциал электростатиче¬
ского поля, образованного точечным зарядом (a; 2q) в произ¬
вольной односвязной области £), определяется формулой
w = 2qiIn+ с,
4	f (г, а) ’
где f(z, а) —функция, конформно отображающая область D на
единичный круг так, что f(a, а) = 0, и с — действительная по¬
стоянная.
Установить связь между потенциальной функцией ѵ (z) и
функцией Грина области D (см. ‘задачу 1043).
В задачах 1345 — 1351 пользуясь результатами задачи 1344
или принципом симметрии, найти комплексные потенциалы
электростатических полей, образованных заданными точечными
зарядами в указанных областях.
1345.	В верхней полуплоскости Imz>0, зарядом (z0; 2q).
1346.	1) В круге |z|</?, зарядом (z0; 2q)\
2) во внешности круга \z\>R, зарядом (z0; 2q).
1347.	Во внешности эллипса ~2~ + "fr=h зарядом (оо, 2q).
1348.	Во внешности отрезка \x\<R, # = 0, зарядом (оо, 2q).
1349.	Во внешности квадрата |x|<d, \y\<d, зарядом
(оо; 2q).
1350.	В прямоугольнике | х |<а, ІуІ<Ь, зарядом (0, 2q).
1351.	В прямоугольнике 0<х<2а, 0<у<2Ь, зарядом
<Zq, 2q).
В задачах 1352—1356 построить электростатические поля,
образованные заданными диполями.
1352.	В круге | z | < /?, диполем (а; р).
1353.	Во	внешности	круга | z | > 2?, диполем	(а; р).
1354.	Во	внешности	отрезка | х | < R, у=*0,	диполем	(оо;	р).
U2
1355.	Во	внешности	эллипса -^2 + ^=1,	диполем	(оо;	р),
1356.	В	прямоугольнике | х | <а, |#|<£>,	диполем	(0;	р)
(рі = ре1а).
189

1357.	Доказать, что электростатическое'поле, образованное
диполем (а; р) в произвольной односвязной области £), опре¬
деляется комплексным потенциалом w = f(z\ где функция f(z}
отображает область D на внешность горизонтального отрезка
так, что f(a) = oo, и главная часть f(z) в точке а равна ,
если а=#=°о, и р/г, если а = оо.
Найти /(г), если известна функция /(г), отображающая об¬
ласть D:
1)	на внутренность единичного круга, если а Ф оо, причем
t (а) = 0, /' (а) > 0;
2)	на внешность круга |/1>/?, если а=оо, причем /(оо) = оо
и f (оо) = 1.
1358.	В односвязной области D построить электростатическое
поле, образованное точечными зарядами {(аЛ; 2qk)} (k= 1, 2,..., п)
и диполем (а; р).	.
Пусть g (£, г) — функция Грина области D (см. стр. 134), граница ко¬
торой Г состоит из кусочно-гладких простых контуров Гь Г2, ..., Гп; пусть,
далее, п — внутренняя нормаль к Г и обход Г совершается в положительном
направлении по отношению к D. Если и (z) — функция, гармоническая в об¬
ласти D и непрерывная на Г, то из формулы Грина следует
у	с//С'
г
или
/ ч I f Г д 1	1	1	1	<М£) Ъ
W (z) = —- И (£) Т" Іп Т?	Г “ 1п Т?	і	ds'
ѵ 2л J |_ dn I £ - z | I 5 - 21	dn J
г
Если область D содержит бесконечно удаленную точку и функция и (z)
в ней гармонична, то к правым частям приведенных формул надо доба¬
вить w(oo). При этом в окрестности бесконечно удаленной точки функция
Грина g (z, оо) может быть представлена в виде
g (г, оо) = In I г I + Y + O
Величина
у= lim [g (г, оо) - In I г |]
Z->oo
называется постоянной Робэна замкнутого множества, представляющего
дополнение D на z-плоскости; величина называется емкостью этого
множества.
1359.	Доказать следующие утверждения (« — внутренняя
нормаль):
D g (z, а) = In	J In ds,
Г
если а =/= оо;
190

2)	g(z, °°) = V~~ 2k J* oo) ІП -£ 1 гу ds, если z<=D и об-
г
«пасть D содержит бесконечно удаленную точку;
3)	J — In I ds = yf если z^D и область D со-
г
держит бесконечно удаленную точку;	’
4)	Д- ds = 1, если а =/= оо или если а = оо œ D.
7 2л J дп	1
Г
Указание. В п. 1) воспользоваться свойством симметрии функции
Грина g (£, г) = g (z, £) и интегральным представлением гармонической
функции по ее граничным значениям. В п. 2) воспользоваться интегральным
представлением гармонической в D функции In | Ç — z | + g (£, z) — g (g, 00),
предельным переходом и свойством симметрии g (00, z) = g(z, 00). В п. 3)—
то же, но исходя из функции In | Ç — z | — g (Ç, 00)9.
Функция
ѵ0 (г) = 2q In ,
I 2 а I
называется логарифмическим потенциалом точечного заряда (a; 2q). В рас¬
ширенной z-плоскости ü0 (z) представляет логарифмический потенциал двух
точечных зарядов: (a; 2q) и (оо; — 2^).
Пусть контур Г удовлетворяет условиям, указанным на стр. 190, а р (£)
и ѵ(£) действительны и непрерывны на Г.
Интеграл
О («) = У Р (£) In ds
называется логарифмическим потенциалом простого слоя с плотностью об¬
ложения р (£) (в пространстве ему соответствует потенциал заряженной
цилиндрической поверхности с основанием Г и поверхностной плотностью
зарядов т. е. несущей заряд ds2 на квадратной площадке над dsj.
Функция V (z) — непрерывная в конечной г-плоскости и гармоническая
всюду вне Г, кроме точки z = 00, где она имеет логарифмическую особен¬
ность
V (z) = - 2q In I z 14 О	^“{рЮ^
Г
(это означает, что потенциалу v (z) соответствует заряд (оо; —2^)).
Интеграл
Ѵ1 (г)= Jv(S)^InK^7Tds
Г
называется логарифмическим потенциалом двойного слоя с плотностью
обложения v (Ç) (на Г распределены диполи с осями, направленными вдоль
заданного направления нормали л к Г, внутренней, если Г ограничивает
9 См. Р. Неванлинна, Однозначные аналитические функции, Гос-
техиздат, 1941, гл. V, § 2.
191

область; v (£) — плотность распределения моментов диполей). Если Ѳ (Ç, z) —
угол между п и вектором, идущим из £ в z, a d(p (g, z) — угол, под которым
виден элемент дуги ds из z, то
V! (z) - J. V (Ç) C°|S.e5g[Z) ds = J V (£) d<f (Ç. z).
г	г
В частности, для замкнутого контура Г и v (£) s 1
Г д ,	1
J дп 1П I 2-z I
ds =
2л,
л,
О,
если z внутри Г,
если z на Г,
если z вне Г
(см. также задачу 1041).
Функцию Грина g (z, а) области D можно рассматривать как потенциал
электростатического поля, образованного точечным зарядом (а; 1) при за¬
землении границы Г области D Задача 1359, 1) показывает, что в случае
а оо заземление Г эквивалентно размещению на Г заряда с плотностью
обложения р (£) = — -^-	~ • При этом, согласно п. 4) задачи 1359
суммарная величина заряда равна —1. В случае а = оо точечный заряд (оо; 1)
и заземление Г вместе эквивалентны размещению на Г заряда с плотностью
обложения р (О = ~' суммарной величины —1 и добавочному
полю с постоянным потенциалом у (см. 1359, 2) ). В этих случаях указанные
обложения Г называются индуцированными зарядом (а; 1).
, В задачах 1360 — 1363 найти индуцированную зарядом (а; 1)
плотность обложения р(£, а) контура Г и соответствующий по¬
тенциал простого слоя V (z, а) для областей, ограниченных кон¬
туром Г.	•
1360.	Г — действительная ось, Іша>0.
1361.	1) Г —окружность | z | =/?, I а I < 2?;	.
2) Г — окружность I z I = /?, I а | > R (рассмотреть, в частности,
случай а = оо).
1362.	Г —отрезок действительной оси	ÿ = 0, а = оо.
1363.	Г —эллипс —2-+т55-=1, а — оо.
а р
1364.	Считая известной функцию Грина для области £>, со¬
держащей точку z=oo, решить проблему Робэна'. найти плот¬
ность распределения р(£) на границе Г области D единичного
заряда, создающего вне D и на Г постоянный потенциал1).
Указание. См. задачу 1359 3) и 4).
В задачах 1365 — 1367 решить проблему Робэна для задан¬
ных областей D.
!) О решении общей проблемы Робэна, требующей отыскания такого
неотрицательного распределения единичного заряда на заданном мно¬
жестве £, чтобы соответствующий логарифмический потенциал в каждой
точке множества Е принимал одно и то же постоянное значение, см. ука¬
занную на стр. 191 книгу Р. Неванлинна.
192

1365.	D — внешность круга \z |>/?.
1366.	D —внешность отрезка | х | R, у = 0-
■ х2 у2
1367.	D — внешность эллипса -^ + ^2=1-
В задачах 1368—1371 найти емкости (см. стр. 190) замкнутых
множеств.	'
1368.	\z |</?.	1369. |х|<Я, У = 0-	1370. -^- + -^-<1.
1371.	\z2-a2\^a2(a>0).
1372.	Пусть на простом замкнутом контуре Г задана непре¬
рывная и дифференцируемая вдоль контура действительная
функция ф©.
Доказать, что действительная часть интеграла типа Коши
1_ ф (О.является логарифмическим потенциалом двойного
2ш J Ç — 2
г
слоя с плотностью <р(£), а его мнимая часть — логарифмическим
1 dtp
потенциалом простого слоя с плотностью —
1373.	Доказать, что функцию v(z), ограниченную и гармо¬
ническую в верхней полуплоскости Imz>0, можно представить
в виде" логарифмического потенциала двойного слоя:
оо
— оо
Если же viz) регулярна на оо, то ее можно представить и
в виде логарифмического потенциала простого слоя:
ѵ(г) = ѵ(оо)-1 J In dt.
— oo
1374.	В верхней полуплоскости Imz>0 найти комплексный
потенциал электростатического поля, если его потенциал ѵ (z)
принимает на действительной оси заданные кусочно-постоянные
значения. Записать потенциальную функцию с помощью гармо¬
нических мер соответствующих отрезков действительной оси
(см. стр. 138):
1)	ср на интервале (— оо, а), 0 на интервале (а, оо);
2)	ф на интервале (а, Ь), 0 на интервалах (— оо, а), (&, оо);
3)	фі, ф2, ..., фп соответственно на интервалах (— оо, ^),
(аь а2), .(яЛ-ь ап) и 0 на интервале (апі оо) (здесь
ai < а2 < ... < zzn);
4)	фо на интервале (апі оо); фь ф2, фл соответственно на
интервалах (— оо, aj, (аь а2) И т. д.
7 Л. И. Волковыский и др,	193

Указание. В п. 1) воспользоваться конформным отображением на
полосу; в остальных — воспользоваться методом суперпозиции (можно также
воспользоваться интегральной формулой Шварца для полуплоскости, см.
стр. 137, 138).
1375.	Найти комплексные потенциалы и потенциалы v(z)
в двусвязных областях с заданной разностью d = v2 —Ѵі по¬
тенциалов üb ѵ2 на граничных контурах:
1)	в круговом кольце rx<\z\<r2\
2)	в произвольной двусвязной области D.	.
1376.	Доказать, что если D — произвольная двубвязная об¬
ласть и на каждом из контуров, ограничивающих эту об¬
ласть, потенциальная функция принимает постоянные значения
(t), и ѵ2), то
w (z) = --(-[n"-0-1- In / (z) + с + Zob v(z) = -2^jp-ln|/(z)|+V|,
где t(z) конформно отображает D на кольцо 1 <| t |<ц. (ц —мо¬
дуль D) и граничный контур с потенциалом о, переходит
в окружность |/|=1; с — действительное число.
1377.	Найти комплексные потенциалы в указанных двусвяз¬
ных областях (потенциалы и о2 на граничных контурах по¬
стоянны).
1)	Во внешности окружностей |z±a| = /? (а>/?) (^ — по¬
тенциал на окружности слева).
2)	Во внешности окружностей | z | =	(потенциал Uj) и
I z - а 1 = г2 (а > г, + г2).	.
3)	В неконцентрическом круговом кольце, ограниченном
окружностями I z I = R (потенциал и | z — а | = г (0 < а < R — г).
4)	В эллипсе	1 с разрезом вдоль отрезка, соеди¬
няющего фокусы (потенциал на эллипсе vj.
5)	Во внешности отрезков 1 <|х |<^-, У = ® (0<£<1).
На левом отрезке потенциал о,.
6)	Во внешности отрезков |х|<1, у=±п. На верхнем от¬
резке потенциал
1378.	Пусть D — многосвязная, область с границей Г, состоя¬
щей из п кусочно-гладких контуров Гй(&=1, 2	га), и
со* (z) — гармоническая мера Г*(см. стр. 138). Если область D
ограничена, то внешним ее контуром будем считать Гп. Дока¬
зать следующие утверждения:
1) Если область D ограничена, то
/х	1 f	1	1	.	/«.ІО	IX
âïj -^-lnTT^Tds (*=1’2	""D’
«■■W-'-if is-
Г
194

Если область D содержит бесконечно удаленную точку, то
1 С дв>. (£)	1
®*(z) = ©ft(oo)—âj —ân~lnTT^TdS (*=1. 2, .... n).
2) Правые части равенств, указанных в п. 1), для точек г,
не принадлежащих области D, принимают значение 1
в дополнительной к D области, ограниченной ГЛ (соответ¬
ственно Гп), и 0 в дополнительной к D области, ограниченной
Гь і =/= k.
Примечание. Согласно п. 1) функции ©^ (z) представляют в обла*
сти D потенциалы, создаваемые индуцированными зарядами обложения, рас-
„	1 да. (£)
пред еденными на Г, с плотностями обложения р. (£) ==« — -г	.
л 2л on
В случае ограниченной области D величины ©і (z), ..., ©n-i (z) в точности
совпадают с логарифмическими потенциалами указанных индуцированных
обложений Г.
Величины зарядов обложения p{k, индуцированных потенциалом ©^ (г)
на контуре Г/(/, fe=l, 2, ..., л), т. е.
1 f ,	1 f
р,ь~ — "п~ I  л	ds = — -z— I e>, 5	ds,
4* 2n J	dn	2n J 1 dn
гі	r
называются взаимными _ емкостными постоянными граничных контуров (не*
которые свойства чисел pik рассмотрены в задачах 1075—1078).
1379.	Найти гармонические меры (г), а также величины
Р* (С) и pik, определенные в примечании к предыдущей задаче, для:
1)	кругового-кольца 1 <|z|<ц;
2)	произвольной двусвязной /области D, считая известной
функцию, отображающую эту область на кольцо.
1380.	Пусть D — область задачи 1378 и ѵ (г) — ограниченный
потенциал электростатического поля, принимающий постоянные
значения ak (£=1,2	п) на граничных контурах (провод¬
никах) Гй. Доказать следующие утверждения:
п
1)	»(г) = .2ал(г).
2)	Если
Л-1
область D ограничена и Гп — внешний контур, то
/ ч 1 f <W) t 1	,
v(z) = a„-^J -^-In-îç—Tds;
если же D
Доказать,
(£=1,2, .
7*
содержит точку оо, ТО
Г	ІП I
что правые ча^сти указанных формул равны
,, гі) в дополнительных к D областях, ограниченных І\.
195

3)	Величины индуцированных на Гг зарядов обложения равны
=-і У -тds=2
rz	k=\
n
причем =
Указание. См. задачу 1075,1).
4)	І У I (gradtû2dx Л/= 2 P/êW
D	I, k=\
Указание. См. задачу 1076.
5)	Еслй w (г) — комплексный потенциал поля, то плотность индуцирован¬
ного обложения Р (?) =	= ± I w' !•
Пусть D — произвольная многосвязная область с границей Г, состоящей
из жордановых контуров Гь ..., Гп. Существуют конформные отображения
области D на каждую из следующих канонических областей с указанными
условиями единственности (a, b — произвольные точки области D, А — про¬
извольное комплексное число):
1)	На плоскость с параллельными разрезами. Отображающая функ¬
ция f (z) однозначно определяется заданием ее полюса b и коэффициента А
разложений
+с| (2-z,)+
Az 4- -^-4- ...	(&=оо).
z
Н*) =
2)	На плоскость с радиальными разрезами (так будем называть пло¬
скость с разрезами по отрезкам, расположенным по лучам, выходящих из
начала координат), или с разрезами по концентрическим круговым дугам
с центром в начале координат. Функция f (z) определяется нулем а, полю¬
сом b и коэффициентом А разложения
f(z) =
z __ b 4- ci (z b) 4- ... (6 #= oo),
4z4--—-4- ... (6= oo).
z
3)	На круг с радиальными разрезами или с разрезами по концентриче¬
ским круговым дугам (центр в начале координат). Функция f (z) определяется
условиями f(a) = O, f (а) = 1 и заданием контура Г*, переходящего в окруж¬
ность.
4)	На кольцо с радиальными разрезами или с разрезами по концентри¬
ческим круговым дугам (центр в начале координат). Заданием контуров,
переходящих во 'внутреннюю и во внешнюю граничную окружности, отобра¬
жение определяется с точностью до преобразований подобия и поворота.
См., например, Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций ком¬
плексного переменного, «Наука», 1966, гл. V»
196

1381.	Считая известными функцию, конформно отображающую
область D на плоскость с параллельными разрезами, и гармони¬
ческие меры ©fe(z) граничных контуров	2, ..., п) !),
найти потенциал электростатического поля, создаваемого в обла¬
сти D диполем (а; р), когда граница Г области заземлена.
1382.	Считая известной функцию Грина области D, найти
потенциал электростатического поля в этой области, образован¬
ного точечным зарядом (а; 2q) (а œ D) и имеющего заданные
потенциалы ak на граничных контурах Г* (Л=1, 2, ..., п),
В случае, когда область D односвязна, получить формулу за¬
дачи 1344.
1383.	Определить характер электростатического поля, опре¬
деленного в многосвязной области D комплексным потенциалом
w = f (z), где f (z) — функция, отображающая эту область на
плоскость с разрезами, параллельными действительной оси.
1384.	Определить характер электростатического поля, опре¬
деленного в области D комплексным потенциалом w = 2^/In ,
если функция f(z) отображает область D на:
1) плоскость с разрезами по концентрическим круговым
дугам с центром в начале координат;
2)	круг с разрезами по концентрическим круговым дугам
•с центром в начале координат;
3)	круговое кольцо с разрезами по концентрическим круго¬
вым дугам с центром в начале координат.
Во всех случаях найти потоки вектора напряженности поля
через граничные контуры.
1385.	Построить схему расположения эквипотенциальных и
•силовых линий электростатических полей:
1)	образованного в бесконечной двусвязной области дипо¬
лем на оо;
2)	образованного в ограниченной двусвязной области D то¬
чечным зарядом.
В обоих случаях потенциалы на граничных контурах
постоянны.	'
1386.	1) Выразить потенциал v(z) электростатического поля,
образованного в многосвязной области D зарядами обложе-
(п \
S	= 0 ) через гармонические меры (g)
его граничных контуров. (На каждом контуре Гй потенциал
постоянен.)
Указание. Воспользоваться результатами задачи 1380.
!) То и другое определяется с помощью функции Грина; см., например,
§ 1 приложения М. Шиффера к книге: Р. Курант, Принцип ДйрйХЛе,
конформные отображения и минимальные поверхности, ИЛ, 1953.
197

п
2) Выразить потенциал v (z), если 5	= <7 =5^ 0 и имеется
fe=i
точечный заряд (а; —2'q).
Указание. Определение потенциала v (z) + 2qg (z, a) приводится
кп. 1).
1387.	Найти потенциал v(z) в круговом кольце ri<|z|<r2:;
если на его контурах заданы заряды обложения 2qt и 2</2» причем
в случае 7, + </2 = <? =# О имеется еще точечный заряд (а; —2q).
Указание. Функцию Грина кругового кольца можно определить
с помощью решения задачи 1334 подбирая подходящие циркуляции. По ним
определяются и индуцированные заряды обложения на граничных контурах,
связанные с функцией Грина.
§ 3. Приложения к плоской задаче о распределении тепла
Плоская задача о стационарном распределении температуры внутри
тела характеризуется аналитической функцией w(z) = u + iv (и — темпера¬
тура), называемой комплексным потенциалом теплового поля. Вектор-
Q = — k grad и = — kw' (г) (k — коэффициент теплопроводности, в дальней¬
шем постоянный) называется вектором потока тепла. Поток тепла черезъ
контур С равен
Qn ds = — k ds = — k dv
J	J dn	J
c	c	c
(n — внешняя нормаль к контуру С, пробегаемому в положительном на*
правлении). Так как функция и однозначна, то для замкнутого контура С
поток тепла равен также ik J w' (z)d'z. Если вблизи точки а
с
w (z) « Г... 4-	(г “ û) 4- .. .1 4-	In —-—,
то член In —— определяет в точке а источник (a; q) обильности
2пк z — а
а член !	дублет в точке а.
z — а
Имеет место следующая аналогия с течением жидкости и электростати¬
ческим полем:	**
Тепловое поле
Течение жидкости
Электростатическое ,
поле	.
Комплексный по¬
тенциал
Вектор поля
и
и « const
w (z) = и 4- іѵ ,
Q = — k grad и =
= — kw' (z)
Температура
Изотермы
w (z) я и 4- іѵ
V = grad и =
= w' (z)
Потенциальная
функция
Эквипотенциаль¬
ные линии
iw (z) => — v 4- іи
Е= — grad и =
= w' (z)
Потенциальная
функция
Эквипотенциаль¬
ные линии
198

Продолжение
Тепловое поле
Течение жидкости
Электростатическое
поле
V
V = const
Функция тока
Линии тока
Источник (a; q)
Дублет
Тепловое поле
с заданными
источниками,
дублетами и
изотермиче¬
скими гранич¬
ными контура¬
ми
Функция тока
Линии тока
Источник
(a; — q/k)
Диполь
Течение, опреде¬
ляемое ком¬
плексным по¬
тенциалом
iw (г), с задан¬
ными вихрями
и диполями,
; обтекающее
граничные кон¬
туры
— V — силовая
функция
Силовые линии
Точечный заряд
(a; q!2nk)
Диполь
Поле с заданны¬
ми зарядами,
диполями и эк¬
випотенциаль¬
ными гранич¬
ными конту¬
рами
1388.	Сформулировать принцип симметрии для продолжения
источника тепла через прямолинейный или круговой участок
границы области. Найти распределение температуры в произ¬
вольной односвязной области D, если известно, что внутри этой
области находится источник (а; q) и температура на границе
имеет постоянное значение С.
В задачах 1389—1392 найти распределение температуры
в указанных областях по заданным источникам, считая, что на
границе области температура постоянна.
1389.	В верхней полуплоскости Imz>0; источник (a; q).
1390.	В круге I и |</?; источник (а; q).
1391.	В полуполосе | х |<а, у>0 с источником (ih; q) (Л>0).
1392.	В прямоугольнике |х|<а, \у\<Ь с источником (0; q).
1393.	1) Дать интерпретацию функции Грина g(z, а) плоской
области D в терминах теории распространения тепла.
2) Считая известной функцию Грина области D, найти рас¬
пределение температуры в этой области, если известно, что в D
имеется источник (a; q) и на граничных контурах ГЛ (k = 1, 2,..., п)
температура имеет постоянные значения uk. Записать ответ
с помощью гармонических мер граничных контуров.
1394.	Найти распределение температуры внутри кругового
кольца rx<\z\<r2i если известно, что внутри кольца имеется
источник (a; q) и на граничных окружностях температура имеет
постоянные значения: Uj — на окружности |z| = r! и w2 —на
окружности |z| = r2.
Указание. См. аналогичные задачи 1334 и 1387.
199

ГЛАВА XI
ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В этой главе используются обозначения, введенные в § 5 главы I для
формальных производных по Коши. Соответствующие обозначения приме¬
няются и к дифференциалам: dz= dx — i dy = dz, dq •= dz 4- dz.
§ 1. Квазиконформные отображения
Характеристиками эллипса называют отношение р его полуосей (р 1),.
и если р 1 угол Ѳ (0^Ѳ<л), образуемый большой осью эллипса с осью Ох,
1395.	Показать, что уравнение эллипса с центром в начале
координат, малой полуосью h и характеристиками р и Ѳ можно
записать в виде
ух2 — 2$ху + ау2 = ph2,
где a = pcos204~sin20, р = (р — cos Ѳ sin Ѳ, Y = psin26 +
+ cos2 Ѳ, или в виде	!
I z + pz 1 = X,
где
И p+1 e ’	p + 1 ’
Величины a, p, у из задачи 1395 также называются характеристиками
эллипса. Они связаны соотношением ау —р2 = 1. Величина ц называется
комплексной характеристикой эллипса. Заметим, что |ц|<1. В случае круга
р, = О, р=1, а = у=1, р = 0.
1396.	Доказать следующие соотношения между различными
характеристиками эллипса:
2) 20 = arg|j. + n (—л arg ц. < л);
. й _ у - a + /(у - а)2 + 4P2 .
Ѳ 		9ft	’
200

' (1 — I ц I2) а = 1 + 21 р, I cos 2Ѳ +1 p, I2,
(1 — I p I2) p = 21 p I sin 2Ѳ,
• (1 — I p I2) у = 1 — 21 p I cos 2Ѳ +1 p I2;
7<a>	I₽l<4(p -y).
4)
б)
Доказать следующие соотношения между характеристиками
двух эллипсов:
6)	I р2 -pl KI a2 -«I I +1 ₽2 - Pl I +1 у2 - Y11;
|а2-«і КІрг-Рі l + |/" (p2-ÿ-) (pi -ÿ-)sinl02-0i I,
Ір2-РіКІр2-Рі l(l + уу-) +
+ 2 ]Л(р2 -	(p, - у-) sin | Ѳ2 - Ѳ1 I,
I Y2-Y1KIP2-P1 l + l-/" (p2 -	(pl - y-) sin| 02 - 0! I;
8)	lp2~Pi KI I P21-1 Pi 11 + 2 |/| p2pi I sin I 02-0, I;
I P2-P1 I IP2 - Pi I
I 1 - Й1Р2 К. p2 + Pi
+/(P2-l)(pi - l)sin|02-0il.
Указание. Для доказательства неравенств 6), 7), 8) полезны нера¬
венства вида
I г2 cos Л2 — гі cos Лі КI г2еіКг — rxeiKl I < | г2 - П 1+ 2 /sin | Л2 - Лі [,
j I a2 + ib21 “ I ni + ib\ I I I a2 — ax | + | b2 — bx |.
= и
ai
и2
IV
V = а2х + Ь2у + с2.
Ьі
ô2
называется
(1)
. Если Л = 0, то отображение
W =
Отображение (преобразование)
аффинным, если
и = ахх + Ьху + с\,
Якобиан этого отображения А =
является вырожденным.
1397.	Доказать следующие свойства аффинных отображений:
1)	Аффинное отображение можно представить в виде
"	w = Az + Bz 4- С.
Выразить коэффициенты А, В и С через коэффициенты пре¬
образования (1) и показать, что Д = [А|2 — | В |2.
2)	Если Д =# О, то существует обратное отображение
z = Axw 4- B{w 4-Ср
Выразить его коэффициенты через коэффициенты преобразова¬
ния (1) и показать, что Ді = | Ах |2 — | Вх |2= 1/Д.
201

3)	Если Л =# 0, то отображение сохраняет параллельность
прямых и преобразует эллипсы в эллипсы. Эллипсы ~с ком¬
плексной характеристикой ц = В/Л, если А>0 и ц = Д/В, если
Д<0 преобразуются в окружности.
Окружности преобразуются в окружности только при ортого¬
нальных преобразованиях w = Az + C или w = Bz + C.
4)	Если Д>0, то отображение сохраняет направление обхода;
если Д<0, то отображение меняет направление обхода на
обратное.
5)	Если Д = 0, но не все коэффициенты аъ Ьъ а2, Ь2 равны
нулю, то отображение можно представить в виде
w = 2lA]e* 2 I z I cos	- J + С,
Где ф == arg г, а = arg Л, р = arg В., Указать геометрический смысл
этого отображения.
Характеристиками аффинного отображения называются характеристики
(р, Ѳ), (а, р, y) и комплексная характеристика ц эллипсов, преобразуемых
в круги (см. задачу 1397, 3) ).
Характеристиками непрерывно дифференцируемого отображения
W = и (х, у) + іѵ (х, у)
с якобианом 7>0 называются характеристики р (г), Ѳ (г); а (г), р (г), у (г)
и комплексная характеристика ц (г) аффинного отображения
du = их dx + иу dy, dv = vxdx + vydy или dw « wz dz + dz.
При таком преобразовании бесконечно малому кругу
du2 + dv2 = dp2
соответствует бесконечно малый эллипс
у dx2 — 2fidxdy + a dy2 = р dh2	,
(dh — малая полуось) или, в другой записи,
I dz + ц dz I = —-- dh.
1	р+1
1398.	Доказать, что для невырожденного аффинного ото¬
бражения имеют место соотношения
у _	— р	_ а 		1
Û1 + O2	ûjÔj+^Ôg bj+ô|	|Д| *
1399.	Доказать, что для характеристик непрерывно диф¬
ференцируемого отображения с положительным якобианом спра¬
ведливы соотношения
i\ Y _	— P _ а __ Р _ 1 .
1 / о 9 ~~	”” "— 9	9	. 9	» >
ux + °x uxuy + vxvy uy + uy	dV	I
2) ^ + ы« + с^ + ^ = /(р + 7);
202

I dw I / . I dw I I wz I +1	I
3)	p = max|-^-|/min |^-| = ((	|| ?
4)	н = ^К=--^п-е2‘ѳ;
6)
Однолистное непрерывно дифференцируемое отображение w = u + iv
с положительным якобианом называется квазиконформным отображением
с характеристиками р (z), Ѳ (г) или а (г), 0 (z), у (г) или ц (г), если оно пере¬
водит бесконечно малые эллипсы . с этими характеристиками в бесконечно
малые круги.	•
1400.	Доказать, что квазиконформное отображение удо¬
влетворяет системе уравнений
сшх + $иу = ѵу, $их + уиу= — vx
или, в комплексной форме записи, уравнению
W- = [IWZ.
Указание. Уравнению | dz + ц dz | = const соответствует уравнение
I dw I « const.
Примечание. Указанные в задаче уравнения называются уравне¬
ниями Бельтрами. Характеристика ц называется коэффициентом Бельтрами.
1401.	Показать, что однолистное непрерывно дифференци¬
руемое отображение w = и + іѵ с положительным якобианом,
которое переводит бесконечно малые круги в бесконечно малые
эллипсы с характеристиками p(z), 0(z) или a(z), p(z), y(z) или
ц(г), удовлетворяет системе уравнений
+ $Uy =	$UX + Uy = '“ CLVх
или, в комплексной форме записи, уравнению
w- = VW-, ѵ= — ц =	1-е2*ѳ.
Z	2’	г р + 1
Пр и м е ч а н и е. Если указанную систему записать в виде
рн, + quy ѵу, - qux + риу=- ѵх
(здесь р = 1/а, q = p/а), то приходим к (р, ^-аналитическим функциям по
терминологии Г. Н. Положего (см. его книгу «Обобщение теории аналити¬
ческих функций комплексного переменного», 1965).
1402.	Доказать, что уравнение Бельтрами w~ = \k[z)wz инва¬
риантно относительно аналитических преобразований функции w,
а уравнение иу- = v(z)wè инвариантно относительно конформных
преобразований переменной z.
1403.	Пусть однолистное непрерывно дифференцируемое ото¬
бражение w = и + іѵ с положительным якобианом переводит
203

бесконечно малые эллипсы с характеристиками р, Ѳ в беско¬
нечно малые эллипсы с характеристиками plt 0! (такое ото¬
бражение называют квазиконформным с двумя парами характе¬
ристик р, Ѳ; р1г 0t или с двумя тройками характеристик а, р, у;
ctb Pi> Yi)- Доказать, что отображение w = u + iv удовлетворяет’
системе уравнений
аых + (р + РО иу = avy, (P - P!) ux + yuy=- а^х,
которую можно также записать в виде
где
. _ _	.. е«ѳ =	ddzO	^е,
4' (ppi +1) (р + рі) ’ (ppi +1) (p + pi) e '
У к a 3 a h и e. 'Уравнение | dz + p dz\ = const соответствует уравнениіо
I dw + |ii dw I = const с известными ц, рь
1404.	Пусть £=f(z) —квазиконформное отображение с харак¬
теристикой
fz = ^z
и ш = g(Q — квазиконформное отображение с характеристикой
Доказать, что их суперпозиции 77(z) = g[f(z)] = gof есть квази¬
конформное отображение с характеристикой
И/?	1 + Wfh/fz '
Доказать также соотношения
_ fz
h і-й/Нг ’
I Z
fz Hg-Pf-1
fz ‘-Pf-Pg’
Примечание. Если считать известным то величину
. 1 +1 Hgr I
sup In 	j	r
1 -1 p.g I
можно принять в качестве расстояния между и Аналогично через
определяется расстояние между, и р
204

1405.	Пусть pw/z, Qw/z — характеристики p, Ѳ квазиконформ¬
ного отображения w = f(z). Показать, что
. Pz[w	P wlzf
^z/w ~ ®w/z — ~2 Ь arg fz
и что для сложного квазиконформного отображения иу[г(0]
Pw/t Pw/zPzjt*
1406.	Показать, что для квазиконформных отображений
и = f (х), V = у (продольное растяжение-сжатие),
и = х, V = f (у) (поперечное растяжение-сжатие),
р=г, Ѳ = /(ср) (угловое растяжение-сжатие)
характеристика
р = шах^', у-),
а для отображения р = /(г)»Ѳ = Ф (радиальное растяжение —
сжатие) характеристика
р = тах(^~,
1407.	Построить квазиконформное отображение круга |z|<7?
на себя, переводящее точку z = a (|а|</?) в начало и остав¬
ляющее неподвижными точки окружности I z I = Оценить
характеристику р.
1408.	Построить квазиконформное отображение косой полупо¬
лосы x>0,xtga<#<xtga + h
на прямоугольную полуполосу
u>0, 0<ü</z без растяже¬
ния на основании и с постоян¬
ным растяжением на боковой
стороне. Оценить характери¬
стику р.
1409*. Построить квази¬
Рис. 58.
конформное отображение дву¬
угольника, состоящего из по-
луплоскости и кругового сег¬
мента с центральным углом 2р0 (рис. 58), на полуплоскость
с сохранением длин на границе. Оценить характеристику р.
1410.	Квазилинейное уравнение
А
дх2 ‘ дх ду
п д2и
С ду2
'	ди
X, у,
205

эллиптического типа' (АС — В2>0) посредством однолистного
отображения £ = Ç (z) = | + Zrç требуется привести к каноническому
виду
д2и . д2и р (	ди ди \
Доказать, что отображение £(z) удовлетворяет системе урав¬
нений Бельтрами
4,4 b-F + cÆ а
дх °у дт] дх ду дг|
У АС —В2 ду ’	У АС-В2 ~ ~дх
и является квазиконформным отображением с характеристи¬
ками а, р, у» определяемыми из соотношений
у _ р _ а _	1
~с ~ ~в ~ а ~ /ле - в2
предположено, что А > 0).
§ 2. Обобщенные аналитические функции
Функция w = и + іѵ, удовлетворяющая уравнению
w^ + Aw + Bw^F, '	(1)
где Л, В и F —функции от г, называется обобщенной аналитической
функцией.
В задачах этого параграфа рассмотрены уравнения и системы уравне¬
ний, приводящиеся к виду (1), а также некоторые свойства их решений О»
1411.	Показать, что система уравнений Карлемана
их — vy + au + Ьѵ = f, 1
иу+vx +си +dv = g, J
где a, b, c, d, f и g—функции переменных x и t/, может быть
записана в виде (1) w.4- Aw + Bw = F,
Выразить Л, В и F через коэффициенты данной системы.
1412.	Показать, что уравнение w. — q2(z) w. + Aw + Bw = F
с помощью «аффинного» преобразования
w = a (z) © 4- b (z) ©	(2)
можно привести к виду (1). Найти общую форму преобразова¬
ния (2) и выяснить, когда оно невырожденное.
1413.	Показать, что уравнение
W-	Wz ” ?2 (Z) ^z +	= ?
*) По поводу приведенного цикла задач см. монографию: И. Н. Веку а,
Обобщенные аналитические функции, Физматгиз, М., 1959, гл. III.
206

с помощью преобразования предыдущей задачи может быть
приведено к виду ©- — ç,©2 + А'<л + B'w = F'. Найти общую фор¬
му преобразования и выяснить, когда оно невырожденное.
Указание. Применить рассматриваемое преобразование к данному
уравнению и к уравнению wz — qi (г) й>г — q2 (г) wz + Aw + Bw = F, исклю¬
чить <a2, а затем подобрать коэффициенты а (г) и b (z).
1414.	Показать, что уравнение
и». — q{ (z) wz — q2 (z) w. + Aw + Bw = F
| ç, (z) | + | q2(z) I < 1) с помощью замены независимой переменной z
на переменную Ç, связанную с z соотношением = q*£z, может
быть приведено к виду
— q2wz + Aw + Bw = F.
Найти q\ и q2 и выяснить геометрический смысл преобразо¬
вания £(г).
1415.	Доказать, что эллиптическая система дифференциаль¬
ных уравнений вида
<i|V^ = а.их + (P + Pi) Uy + au + bv + f, 1
— atüx = (p — &t)ux + yUy +cu + dv + g J
(условие эллиптичности здесь ау — р2>0; кроме того, а>0) может
быть	приведена- к виду w2 — ql (г) wz — q2(z) w. + Aw	+ Bw	= F,
причем	I	<?! (z) I +1 <72 (z) I < 1, если а! > 0, и 11 q{ (z) | -1 q2 (z) 11	> 1,
если а, <0.
Указание. См. задачу 1403. Случай ві<0 сводится к случаю <Хі>0
заменой w=u + iv на w = u — іѵ.
1416.	Доказать, что если w(z) — непрерывно дифференцируе¬
мое решение’ уравнения wi — q2 (z) wg = 0, где q2 (z) — аналитиче¬
ская функция от z и I q2 (z) |	1, то
(~,\ _ Ф (z) + <7г (z) Ф (z)
W(Z,~	1-|<?2(г)Р	’
где <p(z) —произвольная аналитическая функция.
1417.	Доказать, что если w (г) — дважды непрерывно диффе¬
ренцируемое решение уравнения — q2 (z) wg = 0, где ç2(z) - ана¬
литическая функция от z и I <?2(z)l =/= 1, то
na(z) = <p(z) + J q2(z)q>gdz,
где <p(z) — произвольная аналитическая функция от z.
Указание. Сначала нужно доказать, что w(z) есть сумма аналити¬
ческой функции от z и аналитической функции от 2.
207

§ 3. Некоторые интегральные соотношения
и двойные интегралы
В задачах этого параграфа G — область, ограниченная контуром С.
1418 *). Пользуясь формулой Грина, доказать следующие со¬
отношения (f(x, у) и g(x, у) непрерывно дифференцируемы в G):
»
G	С
2) J f di + g dî = 2i J J* (-Ц- - -ÿ} dx dy;
C	G
2ш J t>-z л	t>-z
Указание. Воспользоваться тем, что 	!— = —tL (_LSQ_]
dZ \Ç~zJ
и применить формулу п. 1) к области G без кружка | £ — z | < р (р->0).
1419.	Предполагая, что функции f и g непрерывно дифферен¬
цируемы в замкнутой области G, доказать, что выражение
fdz + gdz тогда и только тогда является полным дифферен-
«д.	df dg
циалом некоторой функции, когда =
1420.	Доказать, что если f и g— функции, аналитические
в области G и непрерывно дифференцируемые на С, то
|| f'g dxdy = -^ I fgdl,
G	C
в частности
11 f g' dx dy = y I f dg.
G	C
1421.	Доказать, что если функция f(z) конформно отобра¬
жает область G на область G', ограниченную контуром Cz = f (С),
іо интеграл
с
равен площади S области G'; если же f(z) конформно отобра¬
жает область G на внешность контура С', то I = — S.
9 К задачам 1418—1421 см. дополнение М. Шиффера в книге:
Р. К у р а н т, Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные
поверхности, Гостехйздат, 1953.	'
208

1422*. Пусть G —круг | z | < 7? < 1 и
„2іѲ
ф (?) =	j-	(С = ре,ѳ = ? + Й1, z = re**).
In —
р
Найти функцию
(2œ0)
G
dF dF dF dF	, A гт
и ее частные производные	для z =# 0. Показать,
dF
что из указанных производных только существует и непре¬
рывна в начале координат.
1423.	Доказать, что если функция f(z) непрерывно диффе¬
ренцируема, то
G
когда область G стягивается в точку z.
Указание. Воспользоваться соотношением п. 1) задачи 1418.
1424.	Пусть функция <р(£) непрерывна в замкнутой области G.
Доказать, что функция
G
s,	„	dF	, х
в области G удовлетворяет уравнению -^-=<p(z), если произ-
dF
водную определять по формуле задачи 1423.
1425.	Доказать, что в условиях задачи 1424 общее решение
уравнения
< = Ф(г)
может быть в области G представлено в виде
f(z) = j ~ T J* J Ф z (формула Помпею).
с	с
Указание. Воспользоваться соотношением п. 3) задачи 1418.
9 К задачам 1422 — 1425 см. И. Н. В е к у а, Обобщенные аналитические
функций, Физматгиз, 1959.	'
209

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава I
1	л
1. 1) —2) — і; 3) -=-(1 +3Z); 4) —8. 2. 1) 3, — (здесь и дальше ука-
О	£
заны только значения arg г); 2) 2, л; 3) }^2~,	4) ^2, —	5) 1^29»
к		 5		 к		 ' к
arctg—; 6) И 29, — arctg — ; 7) у 29, л —arctg—; 8) 1^29, arctg— —л;
2	2	&	£
9) I	s£n !); æ) /û2+b2, arctgA при а>0, arctg — + л
2> и £•	-Л	CL
при а<0 и 6>0, arctg	я при а<0 и ô<0.
2/гл
3.	z = cos + i sin <pfe, где <pfe = —, £ = 0, 1, ..., n - 1; z = 0.
4.	1) 1.	2) ±Æ + i.,	3) ±Ç(1+O, ±!^.(1_Z);.
4)	± (Vï + i), ±	(Ѵз-і). ± У2І; 5) ± 1 ± i, ±	(1 +1),
6) ±	+ 1 -1 У yT- 1); 7) ± (2 + /);
л
8) у 2
%+4 "
cos—	ô			Hsin
O
(2£ + 1) л-arctg-|-
cos
(k = 0, l,f2);
3 •
3
(2k + 1) л — arctg -j
(é = 0, 1, 2, 3, 4).
-=	h і sin	=—
о	о
15. zk=^z{ Icos—— -Нsin——j	(/г = 0( 1, 2,
\ ( 2л , . . 2л\
-z.^cos— ±«sm — ).	17.
18. Отношение ——— должно быть действительным числом (условие
^2 *
необходимо и достаточно). 19 Ангармоническое отношение (zb z2, z3, z4) «
, п-1).
16. z3
5
4
?) sgn b означает символ Кронекера:
sgn b « 1. при b > 0,
sgn b = — 1 при ô<0.
210

*= £1—£1 ; Z2—должно быть действительным числом (условие необхо-
zi-z4 z2-z4	w
димо и достаточно).
20. Решение. При доказательстве можно считать (не нарушая общности),
•что прямой, о которой идет речь, является мнимая ось и что все рассмат¬
риваемые точки находятся справа от нее (в противном случае следует
cos а 4- і sin а). Тогда оче-
k. 23.' Внутренность круга
риваемые точки находятся справа от нее (в
умножить все zk на некоторое число вида
видно, что ReZfc>0 и Re — >0 при любом
радиуса R с центром в точке 2 = z0; внешность
радиуса К с центром в точке z = z0; внешность этого же круга; окружность
того же круга. 24. Эллипс с фокусами в точках г = ± 2 и большой полу-
5
осью -у.	25. Внутренность левой ветви гиперболы с фокусами в точ-
3
ках г=±2и действительной полуосью —. 26. Прямая, перпендикулярная
к отрезку, соединяющему точки Zi и z2, и проходящая через середину этого
отрезка. 27. 1) Прямая х<=С и полуплоскость, расположенная справа
от нее; 2) полуплоскость, расположенная снизу от прямой у = С. 28. По¬
лоса — 1 < у < 0. 29. Внутренность угла (содержащая положительную часть
действительной оси) с вершиной в начале координат и сторонами, обра¬
зующими с действительной осью углы, равные соответственно а и 0; вну¬
тренность такого же угла с вершиной в точке z0. 30. Парабола у2 = 2x4-1.
31. Полуплоскость, ограниченная прямой х4-#=1 и содержащая начало
координат. 32. Прямая, проходящая через точки Z\ и z2 (из которой исклю¬
чена точка z2); окружность, диаметром которой служит отрезок, соединяю¬
щий точки zt и z2 (из которой удалена точка z2). 33. Внутренность окруж¬
ностей |г-/| = /2 и |z4-Z| = V<2", за исключением их общей части.
34.	1) Внутренность области, ограниченной отрезком 0 < х < 2л действитель¬
ной оси и одним витком спирали Архимеда г = ср; 2) множество точек, опре¬
деленное в п. 1) и дополненное интервалом (0, 2л) действительной оси.
35.	1) Семейство окружностей, касающихся в начале координат мнимой оси,
и сама мнимая ось (уравнение семейства: С (х2 4- у2) = х); 2) семейство окруж¬
ностей, касающихся в начале координат действительной оси, и сама действи¬
тельная ось. 36. 1) Семейство гипербол x2 — w2 = C; 2) семейство гипербол
С
ху =	37. каждая линия — окружность, являющаяся геометрическим местом
точек, отношение расстояний которых от точек z^ и z2 постоянно (окружность
Аполлония относительно точек zx и z2). 38. Семейство дуг окружностей
с концами в точках z{ и z2 (в это семейство входят также два прямолиней¬
ных отрезка с концами в точках zx и z2\ один из этих отрезков содержит
бесконечно удаленную точку). 39. 1) Каждая линия — геометрическое мес^о
точек, произведение расстояний которых от точек z= — 1 и z=l постоянно
(лемниската с фокусами z=±l). При À> 1 линии семейства — простые
замкнутые кривые, при À < 1 они распадаются на две простые замкнутые
кривые, которые при À->0 стягиваются к точкам ± 1. При Â=1 имеем
лемнискату Бернулли; уравнение ее в полярных координатах г2 = 2 cos 2<р.
2)	Лемнискаты с фокусами в точках zx и z2t где zlt z2 — корни уравнения
z2 4- az 4- b = 0. Лемнискаты состоят из одной линии, если À >
z2 — I
2
/і % 	g I
———. При Л
ТЛ	о о	'о Zj 4“ Z2
Бернулли с двойной точкой —	•
/I Z2 — I
	2	 имеем лемнискату
40. 1 ) I z |тах = ~ а2 4- 4 4- а),
211

1

”2
ф
спираль г =
У
42. Логарифмическая
|z|min = y (/а2+ 4-а);	2) | z |max = у (/а2 + 4 | b | + а), |z|mIn =
= ±(/а2 + 4|/>|-а). 41. Спираль Архимеда г = qp.
■ 2л
1)	л; 2)	3) 2л; 4) л; 5) 0.
х2 + у2	В + и)
-V-—z = x + ty-~ L
X2 + y2 + 1	y
43.
n- x2 + y2+l> £ = x2 + y2+l_>	вдЦ2’и'2Г
/ I 1 \ (	1	1 \ / Ў2 V2 1 \
I"’ °’ т)’ \0, T’ 2J’ (“Г’ —'2)’ Bce четыРе точки лежат
_ Л
на экваторе, долготы их соответственно равны 0, л,
тывается от начального меридиана, лежащего в плоскости £, £). 46. Окруж¬
ность радиуса tg + с Центром в точке z = 0. «Южному» полюсу соот¬
ветствует начало координат, «северному» — бесконечно удаленная точка.
47.	1) Полумеридианы с долготой а; 2) параллели с широтой 0 = 2acrtgr —-у,
48.	1) Диаметрально противоположные точки на одной параллели; 2) точки,
взаимно симметричные относительно начального меридиана (т. е. с отличаю¬
щимися по знаку долготами); 3) точки, взаимно симметричные относительно
плоскости экватора (т. е. с одинаковой долготой и с широтами, отличаю¬
щимися знаком). 49. z^ z2 — — 1. 50. При повороте сферы на 180° вокруг
диаметра, параллельного действительной оси z-плоскости. 51. 1) Восточ¬
ное полушарие; 2) западное полушарие; 3) полушарие — — <а<І
(а - долгота); 4) полушарие у
ное полушарие. 52. Семейство окружностей, касающихся друг друга
координат, соответствует большая окружность, а прямой, * ей
— ~ (долгота отсчи-
Ki + i
z~?i
z-z2
= I z - z21, если I Zi I = I z2
— i
, e2
ность Аполлония
_л
2
I a I < л; 5) южное полушарие; 6) север¬
		,	г	д ,	i в «се¬
верном полюсе» (полюс проекций); прямой, проходящей через начало
		г_,	.	_	-----	-	«	парал.
лельной и отстоящей от начала координат на расстояние d, — окружность,
лежащая в плоскости, наклоненной под углом arctgd к меридиональной пло¬
скости. 53. Прямым соответствуют окружности, проходящие через «северный»
полюс. 56. k (z, а) = -■■■■■	^=====-; k (z, оо) = ■■	*	=. 57. Окруж-
Ѵ ' Kl+|z|2Kl + HI2	/l + |z|2
У1 + 1 z, I2	,	,
= — T—	■ -, в частности прямая z — zt =
/1 + |Z2|2

и окружность I z — Zx I = УI + I Zi I2, если z2 = oo.
'	л . л	_ я z — i — 3n
59. 1, enit e2 , e 2 ,pr2e4 >У2е 4 , У2е 4 ,У2е 4
(—I)? 61. e2, 1; e2, —3; e3, 4 — 2л; e-3, 2л —4; a, qp — л, если qp^
	 	 о
если qp < 0; 1, — qp, если ^|<л, и л, если | qp | = л; 2 sin—
. (п+ 1) X
a + 6 — Зл	Sin	2 —
если a + Р < л и			, если a + 0 > л. 62. 1 )

Z	. X
smy
. (п+1)х
sin 		—
; 5) —
. 60. ± i;
0, и qp + л,
a + P +л
2	’
nx
cos~2~
		;
. (п + 1) X . пх
Sin 2 Sin 2 sin 2пх .	. sin2 пх
)	v	’	2 sin X ’ sin X
іп2
2
. X
sinT
пх
2—C0S^~
X
C°Sy
212

если п — нечетное число;
(п + 1) X . пх
cos_. sm—
X
cos-
если п — четное число*.
. п +1	. п+1
с, .. sin 2 Р	. Sm 2 Р . (	«₽•)
63. 1) 	—g— cos	+ -f ; 2) 	sm + -f-
sin 2	Sin 2
= sin (x + iy) = sin X ch у + i cos X sh y, | sin z | = Ksh2 у + sin2 x;
2)	cos z = cos x ch у — i sin x sh y, | cos z | = j^sh2 у 4- cos2 x;
,	_ sin 2x + i sh 2y . I	Уsin2 2x + sh2 2y .
' £ Z cos 2x + ch 2y 9 ' £ Z cos 2x + ch 2y ’
67.
1) sin z=
4)	sh z = sh x cos y + i ch x sin y,	| sh z |	= p^sh2 x +	sin2	y\
5)	ch z = ch x cos y + i sh x sin y,	| ch z |	= Уsh2 x +	cos2	y\
th — sh 2* + * sin i ft, i V sh2 + sin2 2y
'	Z~~ ch 2x + cos 2y ’ Z	~ ch 2x + cos 2y	’
68. 1) cos 2 ch 1— /sin 2 sh 1; 2)	Z sh 2; 3) $ІП	4) J5* Г
'	'	*	1 2 (cos2 2 + sh2 1)	17	9
_ sh4 —Zsin2 40 + 9/	__ T z « т c n z n
5) —r—;	x-;	6) 	. 69. Imez = 0, если Imz = 6n; Rer = 0. если
ch 4 —cos 2	41
л
Im z = (2k + l)y; lmcosz = 0, если Re z = 6л или Imz = 0; Re cos z = 0, если
JT	JT
Re z = (2£ + 1) — ; Im sin z = 0, если Re z=(2k +1) — или Im z = 0; Re sin z = 0,
если Rez = £jt; Imtgz = 0, если Imz = 0; Retgz = 0, если Rez = -^-^
Imchz = 0, если Im z = kn или Re z = 0; Re ch z = 0, если Im z = (2k + 1)
Imcthz = 0, если Imz = —Recthz = 0, если Rez = 0. Везде k — целое
число (k = 0, ±1, ±2, ...).	70. 1) Rez = y + -^;	2) Imz=-j- + -y-t
71. 1) 1п4 + 2£л/, (26+1) л/, л/;
2) (2* + у)л«,	3) (2fe±l)«Z;
4) у In 13 + (гйл —arctg^ I,
1 Г	31
— In 13 + I (2k + 1) л — arctg у \i.
72. Мно¬
жество значений 2 Ln z составляет лишь часть множества значений Ln (z2)
(см. [1, гл. III, п. 19]). 73. 1) 4л; 2) -2л; 3) 0; 4) 4л. 74. 1) cos {2k У2 л) +
+/sm(2& уІГл); 2) 2^ 2 [cos (2k + 1) л У2 + i sin (2k + 1) л УТ];
3)
7)
( 2k-—.) Л	1 _ ; ( 2k + — ) Л
e2ksl (cos In 2 + i sin In 2);	4) e2kn*t 5) e" \	6) —=- e" ' X
4
arctgrr+2/гл г /	/	4 \ -1
5e	I cos (In 5 — arctg yj + /sin I In 5 — arctg у 1 ;
4
arctg —+ (2/г+1) л г /	n	/	.	44-1
8) — 5e	I cos (In5 — arctg у I + Z sin I In 5 — arctg -yj . Везде
k — целое число (k — 0, ± 1, ±2, ...).	"
213

76. Множества значений а2(Х и (аа)2 совпадают между собой, но не совпа¬
дают, вообще говоря, с множеством значений (л2)а; общий случай, когда
показатель степени 2 заменен произвольным комплексным показателем 0,
■рассмотрен в [1. гл. III, п. 20]. 80. 1) Im Arccos z = Im Arcsin z = 0, если
z — действительное число и |z | < 1; ImArctgz = O, если z — действительное
число: 2) Re Arsh z = 0, если z — чисто мнимое число и | z |	1. 81. 1) ~ 4- 2£л,
’	о
—+ 2é«; 2)2fen±vî 3) 2£л±ііп(2 + /3);	4) 2kn-iln(/T- 1),
6	о
\2k + 1) n-iln (У2 + 1); 5) ÿ^arctg y+ (2è+l) nj + y ln5; 6) In (/ІГ±2)+
+ (2k ± y) ni; 7) y In 5 + arctg 2 + ( k + y) n] i. Всюду k — целое число
(fe = 0, ±1, ±2, ...).
82. 1) z = y + 2fen-Zln(/2'± 1);	2) z «= -y + 2kn - i In	;
3)	z = — + 2kn — i In —. . - и z = —— + 2йл' — i In	; 4) z = 2kni;
’ ,	4	/2	4	/2
g) z= — 1п2 + (2й+1)«Z;	6) Z“^2ft + yjnZ и z = — ln3 + ^2é — y) ni.
-	(2k + 1 ) л
Всюду k — целое число. 83. l)z = ^(l ± /); 2) z = bc(l+Z) и z — —j-j-~—;
(46+1) л (4k — 1)л	D	,	~
3)	Z “ ' 2(1T2/)'’ И 2 = 2 (1 -2/) ’* ВСЮДУ k “ ЦеЛОе число- 95- Сходится
абсолютно. 96. Сходится абсолютно. 97. Расходится. 98. Сходится неабсо¬
лютно. 99. Сходится неабсодютно при <р Ф 2&л (& = 0, ±1, ±2,...), расхо¬
дится при ф = 2£л. 100. Сходится абсолютно. 101. Расходится. 102. Сходится
абсолютно. 103. Расходится. 104. Сходится абсолютно. 105. 1) z = 0 и z = 2;
2) z = 0, z «—, z = — (т и n — любые целые числа); 3) все точки плоскости;
т п
4)	все точки круга | z| 1. 107. 2) Когда lim zn равен 0 или оо. 109. Отре-
П->оо
зок прямой: х=1, — 2^^^0. ПО. Парабола у = х2. 111. Дважды пробе¬
гаемая правая половина параболы у = х2. 112. Левая полуокружность ра¬
диуса а с центром в точке z = 0. 113. Ветвь гиперболы	лежащая
в третьем квадранте. 114. 1) Верхняя полуокружность радиуса 1 с центром
в точке z = 0; 2) четверть окружности радиуса 1 с центром в точке z = 0,
-лежащая в первом квадранте. 115. 1) Циклоида: х = a (t—sin /), у = а (1 — cos t)\
2) первая (считая от начала кбординат) дуга удлиненной (а < ô), укорочен¬
ной (а> Ь) или обыкновенной (а = Ъ) циклоиды: х = at — b sin t, y = a — b cost.
V2
116. 1) Образами прямых х = С являются при С=/=0 параболы и = С2—
4С* 9
при С = 0 полуось ü = 0, u<0; образами прямых у = С являются при С=/=0
V2
параболы и «	~ ^2, ПРИ С = 0 полуось и = 0, и 0; образом прямой у = х
является полуось и = 0, ѵ 0; образами окружностей | z | == R являются
окружности I w I = R2; образами лучей arg z = а — лучи arg w = 2а; взаимно
однозначно отображаются прямые х = С, у = С при С Ф 0 и лучи arg z = а;
.2) прообразами прямых и = С являются гиперболы х2 — у2 = С (при С = 0 —
лара прямых), прообразами прямых о = С — гиперболы ху*= — (при С = 0 —
.лара прямых). 117. 1) Образами прямых х = С являются окружности
.214

и2 4- ü2 — в 0> ПРИ С = 0 — ось и = 0; образами прямых у— С являются
окружности и2 + V2 4-	= 0, при С = 0 — ось о = 0; образами окружностей
I z I = R являются окружности I w I = -5-; образами лучей arg z = а являются
л
лучи argw^ — а; образом окружности |z—1|=1 является прямая
Рис. 59.
2) прообразами прямых и —С являются окружности х2 + у2 —	= 0, при
С « 0 — ось х = 0; прообразами прямых ѵ => С являются окружности
X2 + у2 +	= 0, при С = 0-ось у = 0. 118. Функция w = z + отображает
I I n , 1	И2	ü2	1
окружности |z |	1 на эллипсы -	р-у 4- -,	r-rj- - 1, а окруж-
(s+4) (s4)
ность Iz I = 1 на отрезок ü ч= 0, — 2 < и <2; функция w = z — — отображает
'	и2
окружности |г| = я^1 на эллипсы -,	ГТГ4’"/	ГТГв1’ а окруж*
(*-І) (* + і)
ность I z I = 1 на отрезок и = 0, - 2 < ѵ < 2. 119. Прообразом семейства
и = С является семейство х (х2 + у2 4- 1 ) = С (х2 4- у2); прообразом семейства
о — С -семейство у (х2 4- у2 - 1) = С (х2 4- у2) (рис. 59). 120. В луч, идущий'
215

тіо отрицательной части действительной оси из точки w = —в точку
w = оо. 121. 1) Окружности р = ес, лучи Ѳ = С, спираль р = еѳ; 2) линии
у *= ех + 26л. 122. 1) Семейство прямых х = С преобразуется в семейство
ѵ2 == — 4а2	— а2 + ^параболы с фокусом в точке w = —
« 1 „
в которое входит также луч, идущии из точки w = —— по отрицательной
а
части действительной оси (а = 0); семейство у = С преобразуется в се¬
мейство софокусных парабол ѵ2 = 4С2 ^ + С2 + -^, в которое входит
О	1	о	„
также луч, идущий из точки w => —— по действительной оси в поло¬
жительную сторону; 2) семейство х = С преобразуется в семейство
окружностей Аполлония относительно точек w = — 1 и w = 1 (вклю¬
чающее и мнимую ось); уравнение семейства окружностей Аполлония:
{и — а)2 + V2 = а2 — 1 ; | а | > 1 (а = cth 2С); семейство у = С преобразуется
в пучок дуг окружностей с концами в точках w = — 1 и w = 1, включающий
и соответствующие части действительной оси; уравнение пучка окружностей:
и2 + (ü + b)2 = 1 + b2 (6 = ctg2C); 3) семейство x = C преобразуется в семей-
п ѳ2
с2 — ——

ство спиралей р = е 4С\ причем оси х = 0 соответствует отрезок Ѳ = 0,
—^-—С2
0<р	1; семейство у = С преобразуется в семейство спиралей р — е4С*
причем оси # = 0 соответствует луч Ѳ = 0, 1 р < оо. 123. Прямым у = С
соответствуют линии и =* х + ех cos С, ѵ = С + ех sin С, отрезкам прямых
х = С — дуги линий u = C + eCcosy, ѵ = у + ес sin у. 124. 1) Семейству
cos ф . п , ,.
соответствуют окружности Г в —:—^-(/< =/= 1) и
ІП [\
1 w I =
мнимая ось (/? « 1);
„	« sin ф
каждому лучу arg до = а соответствует семейство окружностей	—— ;
Z/ѵЛ ~~ Ct
при а = 0 в это семейство входит действительная ось (при 6 = 0); 2) гипер¬
болы х2 — t/2 = ln/? и 2ху = а + 26л. 126. Только f (z) = .? z (f (О) = о).
I % I
127. 1) и 2) Непрерывны, но не равномерно. 128. 2) Нет; 3) да. 132. 1) с = 1#
b = — a; f (z) = (1 — ai) z; 2) a = b= — 1; f(z)=*eiz. 133. Функция аналитиче-
~ л	5 л / £ / \ о \	л	3 л
ская при 0<argz< —, n<argz<— (f (z) = z2) и при -^-<аг£2<“»
Зл	7л х 2ч	ди дѵ ди дѵ	л
— <argz< — (f (z) = - z2).	135. г — = —, — = -r—.	138.0.
2 ь 4	dr дф дф dr
155. I) Нет, если и const; 2) j(u) = au + b. 156. | f (z) | — функ¬
ция не гармоническая, arg f (z) и In | f (z) | — гармонические.
^2 J $14,	1
157. An = ^2 “b ~ H ^2” дф2 ’	« = C1lnr + C2.	158. p\=xt q\™y\
p2 = x2- y2>	= 2xt/; Рз e X3 - 3x//2, q3 = 3x2y - z/3; p4 » x4 - Qx2y2 + y\
q4 = 4xy3 — 4x//3; pn = rn cos Пф, qn = rn sin Пф. 159. v (x, y) = 2xy + y + C,
160. v(x, y)		 2 ,-2- 4- c. 161. a) v (x, y) = arg z + C;
X ~v y
6) v (x, y) =« arg z + 2/ПЛ + C. 162. a) v (x, y) = arg z — arg (z — 1 ) + 2/пл + C;
6) v (x, y) = argz —arg (z- 1) + C; в) v (x, y) = arg z - arg (z - 1) + 2/пл + C.
n -	n
163. a) v (x, y) = 2 ak arS ” zk) + 2jl S тЛ + C;
k=l	fe=l
216

п	п	/	п
б)	V (х, y)='^lak arg (г - zk) + 2лт 2 “л + с есЛИ 2 ак = 01 то Функ-
ь=і	k=t	\	л=і
ция ѵ (х, у) в рассматриваемой области однозначна!). 164. 1) Существует;
2) существует; 3)	не	существует.	165.	f (z) = z2 + (5 — z) z — у + Ci..
166. f (z) = zez + 2/ cos z + z3 — iz + CL 167. f (z) = -—• + iz2 + 3/ + C.
168. f (г) = 2/ In z — (2 — z) z + С. Всюду С —произвольная действительная
постоянная.	169.	w = C1x + C2.	170. и = Cj (ах + by) + C2.
171. и = Ci arctg-^- +	C2.	172. w = C1xz/ +	C2.	173. и = Cj In (x2 + y2) + C2.
174. и = 2C'X 2- + C2.	175. u = Ct Vx + ^Ty2 +C2.	176. Несуще-
X T У
z2
ствует. 177. / fz) = e/az2e2. 178. f (z) = efae22. 179. f (z) *= Ae 2 .
180. f (z) = Azez (a — произвольная действительная постоянная, A — произ¬
вольная положительная постоянная). 182. az + X, iaz + K, Кеаг2 hetaz.
183. /az + Х, az + X, Xe*a2, Xea2. 184. a/lnz + X, alnz + X, Xeai lnz, Xealn2.
. a al
185. a In z + X, ai In z + X, Xea 2, Xea^ 2. 186. —h X, —- + X, Xe 2 Xe 2
Z Z
(a — произвольная действительная постоянная, X’—произвольная комплексная
постоянная). 187. Для w = z2: 1) О = 0, k = 2; 2) О = л, /г = ~; 3) Ф = -^-,
г—	4
/г = 2 К 2; 4) û = n- arctg —, k =10. Для w = z3: 1) û = 0, /г = 3; 2) '0 = 0
O
6 = -^-; 3) ô =	6	= 6; 4) O=-2arctgy, 6 = 75. 188. 1) Сжатие при
|z|<-j, растяжение при |z|>-+ 2) сжатие при |z + 1 | < y, растяже¬
ние при I z + 1 I > y; 3) сжатие при | z | > 1, растяжение при |z | < 1;
4)	сжатие при Re z < 0, растяжение при Re z > 0; 5) сжатие при | z — 1 | > 1г
растяжение при |z— 1 | < 1. 189. S = J J If (z) |2 dx dyt L = J | f (z) | ds.
G	I
190. Кг (e2n — 1). 191. 2e2 (e2— 1). 192. Областью D является кольцо
e<| w |<е2. Формулу из задачи 189 применять нельзя, так как отображение
не является взаимно однозначным.
Глава II
193. w = (1 + /)'(1 — z). 194. w = (2 + f)z+ 1 — 3/. 195. l)z0=— 1+3/,.
û = 0,	6 = 2,	U>+ 1 — 3Z = 2(z+1 -3/);	2) z0 = 2 + 2i,	û=-^, 6=1,
w — 2 — 2/ = i (z — 2 — 2i)\ 3) конечной неподвижной точки нет; 4) если a=l,
то конечной неподвижной точки нет;
а	діі	Wi — aZi (
и = arg a, k = I a |, w	*	— = a I z — -
конечной неподвижной точки нет; если
6 = |а|, w-- b -=a(z-	&	196.
1 — a \	1 — a )
если а=/=1, то z0 = -^-—
1 — a f
W\—aZi\	,
—-1	—I; о) если а=1, то
а =/= 1, то z0 =	, Ф = arg аг
1) w = az+b\. 2) oy=-az + ô;
217

3J) w = — і (az + 6); 4) w = az+bi. Везде а и b — действительные числа
и а > 0.	197. 1) to = z + 6/ или w = — z + 1 + bi\ 2) 10 = 2 + 6 или
w=— 2 — i+b\ 3) t0 = 2 + 6(1+/) или t0 = — z+1 + 6(1 + /). Всюду
Z> — действительное число. Друг другу соответствовать могут точки, лежа¬
щие или на прямой, параллельной границам полосы, или на параллельных
прямых, симметричных относительно средней линии полосы. Отображение
не определяется однозначно, если соответственные точки лежат на средней
<ЛО 1Ч z — a '	—z + a + h , .
-Линии полосы. 198.	1) w =	—;	2) w =	г	F G
н	ri
V\+W -<T+arctgft),	/TTF -z(T+arcteft). ...
-3)	=	1	g	z\ 4) w =	' (z-ibi).
199. w = eiaRz + Wq. 200.	1) Семейство прямых u=^» параллельных
лшимой оси (не включающее самое мнимую ось): 2) семейство прямых
Л</
А=/
Л>/
Рис. 60.
1	« „ , ѵ
с = —-, параллельных действительной оси (не включающее самое дейст-
b
вительную ось); 3) семейство окружностей b (и2 + и2) + и + ѵ = 0, касаю¬
щихся в начале координат прямой о = — и (включающее и самое эту пря¬
мую); 4) пучок прямых ü=— kir, 5) пучок окружностей, проходящих через
начало координат и через точку ш0 =— (в этот пучок входит также
20	О’
прямая, проходящая через точки w = 0 и w — о/0); 6) циссоида
201. 1) В семейства окружностей, касающихся в точке w = h прямых,
соответственно параллельных мнимой и действительной осям (включая и
сами эти прямые); уравнения этих семейств:
(С - х0) [(и - hi)2 + (о - h2)2] -(и- hi) = 0;
(С - Уо) К" - hi)2 + (ü - h2)2\ + (v - h2) = 0,
где Zq = xQ + iyQr h = hi + ih2\ 2) в семейство окружностей с центром
в точке w**h 110 — 6| = ~-j и семейство лучей, выходящих из точки
w = h (arg (w — h) = — a). 202. 1) Уравнение семействаокружностейАпол-
12 —• Zi I
	=À. Концы А и В диаметра,
2 Z2 I
лежащего на прямой, проходящей через точки 2j и z2 (рис. 60), делят
21Ô

отрезок ZiZ2 внутренним и внешним образом в отношении Л. Если восполь¬
зоваться обозначениями, указанными на рисунке (С —центр
с диаметром АВ), и обозначить | Z\ — z21 = d, то при À < 1
Г1 R _ kd	k2d
соотношения: À = cosa = -^- = —, л = j Г1 = j — v'*
2) дуги окружностей, проходящих через точки и z2: arg g = tu
Дуги, соответствующие значениям Ѳ = <х и Ѳ = п- с, дополняют друг друга
до полной окружности; 3) полярной сетке соответствует (рис. 61) сетка>
окружности
имеют место-
d
Г2~ 1-Л2'
Z — Z\ Л
Рис. 61.
Z — Z\ I n
		 		 « R и ортогональных к ним
z ~~ z2 I	.
Ѳ (если Ѳ > 0, то дуга расположена справа от направлен
части круга |
мой Re w » 1
состоящая из окружностей Аполлония
Z — Zi
ДУГ arg——
z — z2
ния ZiZ2; если Ѳ < 0, — то слева); 4) верхнему полукругу соответствует
указанный на рисунке прямой угол. 203. В полукруг | w | < 1, Im w < 0.
204. В область, содержащую точку w = 0 и ограниченную дугами окруж-
1*5/ I 3
ш + — - j. 205. В область, полученную из нижней1
полуплоскости (Im w < 0) удалением находящейся в этой полуплоскости
1	i I	Ÿ2
w — — 4- -у < —5—. 206. 1) В область, ограниченную пря¬
Л	X I	Z
и касающейся ее окружностью | w | —	2) в область,.
I 1 I 1
касающимися друг друга окружностями Ідо——1«= — и
207. В двусвязную область, граница которой состоит из
ограниченную
І-ІІ-Т
219

прямой
или
п 1	I 4 I 2
Re до = -z- и окружности Ьу ——	(
2	I о J о
до =	4-	2)
208. 1) w
209.
210.
211.
3)
C?2
— С?2
1)
О
w —
4-14“
2Z(z4-l)
w — —	—ft;
4z — 1 —5i
	 ( 1 Z) z 4~ 1 4~ 3Z e
( 1 4- Z) z 4- 3 4- Z ’
( — 14- 3Z) z 4- 1 — Z
w (l+i)z-l + i ’■
z(3 —o~ (1 + 0
(l+i)(l-z) •
ходит в единичный круг.
d\
w =	i—
rf2 — d\
3)
“T+1 + Az
-1
или
W =
212.
2)
2)
di (z - d2)
W — " ,	1	.
z {d\ 4- d2)
(14- 2Z) z 4- 6 — 3/
W —	; -	■.
5 (z - Z)
Zz 4- 2 4- Z .
3) w—2
z(l -40-2(1-0 .
2z(l-0-(4-0 ’
2) w =
213.
верхняя
где а,
1 7 (г +1).
полуплоскость пере-
ô, ct d — действитель-
z — i
w »  	— ;
iz - 1 ’
..	az4- b
1)		r-7-,
cz + d
пч az+b
2)		пгт,
cz + d
числа и ad — bc<O't 3) w = Z -fl-ZJ . где a, b,
■	cz + d
и ad — bc<Q. 214. 1) w =	—; 2) w « — 2 | A- |. 215. w » ~ -—
2 —z 7	\ z-2 }	R + z
2 + Z
образом верхнего полукруга является угол «>0, о<0. 216. 1)

9	1
2) у +	217. 1) |z| = 2;	2) прямая х=~2»	3
4) хх0 +	=	5) I z - z01 = /I z012 - 1 (т. е.
симметрична сама себе относительно единичной . д

6) (х2 4- у2)2 — (х2 — у2) = 0 (лемниската); 7) криволинейный треугольник
1	1	1
с вершинами в точках	-т—, сторонами которого являются дуги
Zi	z2	z3	.
окружностей, проходящих через пару вершин и точку z = 0 (одна из дуг
может оказаться отрезком прямой). 219. 1) Ѳ (х) — a 4- 2 arg (х — в);
2) до'(Р) =		» 3) если b^2f то вся полуплоскость сжимается; если
Ь<2У то растягивается область, лежащая внутри круга |z —
(Окружность |z —р| = ]/л2& называется изометрической.) 220. 1) w^——г;
ные числа и ad — bc>Q;
где
a, bt
Cf d — действительные
d — действительные числа
' 2z+l \ Oie 	R-z .
5
=-L
4
эта окружность
окружности);
2) ffi’ = z7+§; 3) w = e
z — 21
222-w=~T+2i-
( 2 +ѳ) z - (а 4- bi)
	,	—.	221. w = Ri -5—4 + w0.
z — (a — bi)	z + l °
___	л zZ 4- 2
223. w = — 4		—— .
z — 2 — 4f
1 (я+arg f z_z.
224. w = ke		где£>0. Лучам, выходящим из точки о>=0
z — z2
в полуплоскости Re w > 0, соответствуют в z-плоскости дуги окружностей,
Лежащие внутри круга | z | < 1 и проходящие через точки zx и z2; лежащим
è полуплоскости Re до > 0 полуокружностям с центром в точке до = 0
соответствуют находящиеся внутри круга | z | < 1 дуги окружностей
220

Аполлония относительно точек Zi и z2. 225. w0 = ——— , R =
z2 — z2 2 I Im z2|
226.	227.	1^4.
w—b z—a	w — a z — a
228. 1) Ѳ (<p) = a — ф + 2 arg (e/(p -a) = a—qp + 2 arctg —S-n-?—sin , где
7	b cos ф — Л cos *0
•	t	pia
a = hel\ 2) wf (6) = (1 — I a |2) eia, w' (a) = -j—j—3) Если a#=0, то pa¬
.	1 I I	.
стягивается область, лежащая внутри
а сжимается область, лежащая вне
1
.	. І«І2
.. I I 1 Н
4> тах|"ЗГ|=Т
2iz + 1
ДО es —;— ;
2 + jz
а. -г>
2 R2-6w
1) w = R2eia Z~a
— 1 — изометрическая.)
. I dw I
т,пЫ=
2)
230.
233.
круга
этого
Если
круга.
а = 0, то
229. 1)
3) W — — І2\
4)
w — а
1 — âw
= eiaRt a
Rl-аг
R*-âz’ 2)
231. w = -—
z+ 2
= е1а z~a
w — b
R2-bw
-1,
(Окружность
I w' (z) 1=1.
2z — 1
W~ 2 — z ;
= z-a
1 - âz *
232. w = 2 ■ -Z~ —1 .
iz + 2 - 21
——; 3) w = R2-£—a. ,
R2 — az ’ R2 — az *
где . a — действительное число
Z2-Z1
<p = л — arg		—
1 - ZiZ2
az-l+/l-a2
235. w-- (i_ri—2)г_а
2) w = —2 7-—; 3) w = i
a =
пол ш —а /ф Z-Zi
234. -т	= elw 		т2—, где
1 — aw 1 -ziz
I Z2 - Z1 I
= e
I 1 - Z1Z2 I +/(1 -Jzj I2) (1 - /z212)
■	1 — т/1 — a2
, p = 2—	238. 1) w = z-t
a
• z— 2 + |^3	.. n
	-,	7=?	î oi w = t	-,	. 241. Окружности, npoxo-
l+(2-/3)z	l-(2-/T)z
дящие через точку z0 и имеющие в этой точке касательную, определяемую
вектором
1-yT^2
h.
(при k—
oo
242. .. ,
z- (R + ki) ’
следует положить w = z).
зоваиие
эллиптическое.
’ , X л\
“+7~2)	p
Zi=e	tg-c-,
z2 = e
где k — действительное число, &У=0
Л
247. Если I а | < sin — , то преобра-
Л
обозначить I а | = sin — sin P,
л \
Если
. Р	. Ло . Л а
ctgy,	fg ~у = tg у cos P, то
w — Zi п z — Zi „
записать в виде	Если
преобразование можно 	 _	w 2
|a| = sin-^-, то преобразование параболическое и имеет
1	f(a+T-‘т)
r- + /Az0, где z0 = e 4	,
'Ô
то
z —z2
вид
1

w - z0 z -
|û| > sin-g-,
. À 1 I . о
sin у = I а I sin p, Zj = e
преобразование гиперболическое.
а+“2—fl)	*(а+"у“я+іЛ
‘	7 9 z2 = е	'(
=	Если
Если обозначить:
221

X I П / I 12	. о X
cos — 4- у I а I2 — sin2 -g-
К=	 	 L-т-	, то преобразование запишется в виде
cos-y- |а|2 —sin2-y
.w~Zt =кг~г' . 248. r = 2arctg-r-; Г=-^- + ОІ7
w-z2	z-z2	h	h L\
П 2A , ~ 17 h \3-|	h}
Г = л	1-0— ) причалом—i.
249. Г = y + 2 arctg	- 2 arctg tg -j);
20
и Г>у, если x0>0.	253. 1) w =

оел Z-/ft2-/?2 ia h	.
254. cy«=	r "g > Pe— + 1/ — —1.
z + /A2-/?2	R r \R/
іа 4z — 3	fa 4z 4* 3 ОСЛ	2z
wc=2e 4?+3 ИЛИ W = e 4ТГЗ- 25e- W~^+24
2)
еіа
а
при малом
Г < у, если xQ < О,
w «=> — (2iz 4- 1 4- 2/).
255. Л = —;
4
z 4- 24 іа
или w ——z—е
3z
2	Z — Zj	Z — Z2
p «—. 257. w « X—:—- или w=*X	-, где X — произвольное комплекс-
3	z — z2	z — Zj
Г . Wi(z2.~ Zi) z , U2(Z2 — Z{)	.	,	,
ное число, Zj — Zj 4- - -	, z2 — z{ 4		-, d « | z2 — z{ |,
“i-
-'М
(d + r2-Ui)(rt —u2) I
(d + r2 — u2) (п — U|) Г
258. 1) Ц «=» 2; 2) ц « 5 4- 2 р^б. 223. Группа будет конечной, если а соизме¬
римо с л. 263. Фундаментальные области (один из возможных их видов)
показаны штриховкой на рис. 62. Эквивалентные граничные стороны соеди¬
нены стрелками. Точки с цифрами — неподвижные точки вращений, входя¬
щих в группы (цифра указывает число поворотов). Для последних пяти
примеров указан параллелограмм двоякопериодической подгруппы; в при¬
мере 7) это квадрат, в примерах 8) и 9) это ромб с углами 120° и 60°. При¬
мечание. Можно показать, что с точностью до линейного преобразова¬
ния группами 3) —9) исчерпываются группы линейных преобразований
с одной предельной точкой (так называется предельная точка множества
эквивалентных между собой точек). 264. 1) w=»e/az; 2) ю eia -Z , ? ;
J	’ w 4- 1	z4- 1
3) W \ ^eia *7 ; ; 3 4) д g/a Yï^' "• 270, П и %) Построение
f w + t z + i ' 1+aw 14- az	'
очевидно; 3) эквидистантами «прямой» a|3 (a и 0 — «бесконечно удаленные»
точки этой прямой) являются дуги окружностей с концами а, 0 (они назы¬
ваются гиперциклами); 4) предельными линиями для пучка «параллельных
прямых» с общей «бесконечно удаленной» точкой a являются окружности,
касающиеся (изнутри) единично# окружности в точке a (они называются
орициклами), 271. 2) Для построения «прямолинейного» треугольника
с углами фі, ф2, Фз строим круговой сектор ОАВ с центральным углом
д « л — (ф1 4- ф2 + ф3), проводим «прямую» АВ, а через точки А и В —«пря¬
мые» под углами ф2 и фз к АВ, пересекающиеся в точке С, &АВС — иско-
222

%- 273. 1) № = -J;
мый. 272. 1) w = i (z2 — a2); 2) w = y
/2	/ 2 + 1 \2
—; 3) w =	1 g_2 ) * Область ограничена улиткой Па¬
скаля: u = R (cos ф 4- tn cos 2ф), V » R (sin ф + m sin 2ф). Если перенести начало
координат в до-плоскости в точку до = — Rm, то получим уравнение улитки
в обычном виде (в полярной системе координат): р =« R (1 + 2m sin Ѳ). При
Рис. 62.
т = 0 улитка Паскаля обращается в окружность, при т«= —— в кардиоиду
R
с точкой возврата до=—Образами окружностей |г| — г<1 являются
также улитки Паскаля, полярные уравнения которых легко,, получаются при
переносе начала координат в точку до = — Rtnr2-. jj о Rr ( 1 4- 2mr cos Ѳ).
Образы радиусов окружности arg z = a — параболы, проходящие через на¬
чало координат: m (и sin 2a — v cos 2a)2 + R sin a (u sin a — v cos a) <= 0. Радиу¬
сам a « 0 и a = л соответствуют отрезки действительной оси 0 и R (1 4- т)
и R(m—1)^н^0. 275. Область ограничена параболой я=- —а2 и кривой
p«2cos~, |Ѳ|<--р (рис. 63). 276. 1) Область ограничена эпициклоидой:
.	, cos яф \	, sin яф \	в	.	..
и —	Ricosф 4	jpM,	ü —Rlsinф4	-—I,	имеющей	(я—1)	точек
п—1

возврата, которые являются образами точек z» 1; 2) внешность
223

гипоциклоиды: и = R [cos <р +	, v = R ^sin q> — j, имеющей (n + 1)
( n+i 1
точек возврата уобразы точек z =	/. 277. 1) | tn |	—. Область огра¬
ничена удлиненной эпициклоидой (эпитрохоидой), т. е. траекторией точки,
находящейся на расстоянии mR от
к"	R
н	центра круга радиуса—, катящегося
извне по кругу радиуса —.
2) I tn I В первом случае внеш¬
ность единичного круга, а во втором
случае его внутренность отобра¬
жаются на внешность «укорочен¬
ной» гипоциклоиды (гипотрохоиды).
j_
278. 1) w = za;
ni 4
'	„.	2(1^4+1)е32з
2) 			 л£4	•
(^4-2) е 3 23 +31^4
-г2+--- ;	3) W ■= — У + Зг - 2
2z	’	2z2 + 3z + 2 •
281. ® = (т+т)2- 282- О w'
2z2 - 3<z + 2 ’
283.
1) w = —
2г + /3- /
Эг-ўЗ-і
г2г + /3 ~/\2
,2г-Кз"-/7 ’
3) w
І2г + Ѵз-І У
\ 2z - ^3- i )
5) w =
z-/2(l-i)
286.
. z-/2(l +tj
пЛ Z_+_L
~ y І — Z ’
ni
289.
4	I I 1 \ T	/-  '
.	284. w=e3	.	285. w =
\^- 1 /	Г 1 -z
287. w = ~\f—288. w = iZ
V z2 — z	y z-R
L t 2h r

290. w = e2 аГ 6 '~h2 y	291. w = /z2 + h\
w = e
292.
294.
224

■ 2.-12
295 w =
' А _
(1-Z)3 —(1+z)19
_2	_2
- (1 -z)3 +(1 +z)3
!	/Vz+lV
-I- — . 296. w — —=		 • При одном
•э	\у z — 1 /
выборе ветви Yz эта функция дает решение задачи 1), а при другом—2)..
298. Окружностям | z | = (рис. 64) соответствуют
Рис. 64.
софокусные эллипсы —,	j—у + -,	г-ту = 1 (окружности I Z I = 1 — от*
(s+i) (’Ч)
резок 2 = 0, — І^и^І); лучам argz = a соответствуют ветви софокусных
гипербол со^2" — s.^2"= I ^лучу arg 2 = 0 —луч 0 = 0, и^\, лучу
л	\
arg 2 = л —луч 0 = 0, w — 1; лучам arg г = ± — — ось « = 0|.
299. 1) и 2) Внешность эллипса -,	ГТг+ /	= 1 (Рис- 65,4 2);
(«+у) (я~т)
3) и 4) вся плоскость с разрезом по отрезку [—1, 1] (рис. 65,5, 4); 5) и 6) вся
плоскость с разрезами вдоль лучей ( — оо, —1] и [1, оо), лежащих на дей*
ствительной оси; 7) нижняя полуплоскость; 8) верхняя полуплоскость;
9) верхняя полуплоскость; 10) верхняя половина внутренности эллипса
4и^	4ѵ2
7		Г\2“ в 1; И) нижняя половина внутренности эллипса
(’-т)
4и^	4ѵ2
7	Г"\2“ + 7	ГѴГ = 1>	12) правая половина внутренности эллипса
(s+l) (’-«)
с
8 Л. И. Волковыский и др.
разрезом вдоль отрезка,
225

и2 V2
13) область между ветвями гиперболы sjn2 д — со$2 а ■= 1.
4и2
ностям I z I = /? соответствуют эллипсы
300. 1) Окруж-
4ѵ2	,
/	1	\ 9	=
(окружности I z I = 1 — отрезок « = 0, — І^и^І), лучам argz = a соответ-
и2
ствуют ветви гипербол —ѵ2	= 1 (лучам ф = 0 и ф = л соответствует
—	— луч и = О, и<— 1);
иг
cos2 а
JV	л
— луч и «= О, V
	V2
С ~J г а
л	л
ось V = 0, лучу Ф = -^	„
Рис. 65.
2) окружностям I z I = R соответствуют эллипсы 7	тту- 4- -,	s-rr « 1
■	М) (*-<)
(окружности I z I «=» а — отрезок и = О, — а и а), лучам arg г = а соот-
U2 •	V2	'
ветствуют ветви гипербол ~2~CQS2 ц ~ai sjn2 а = 1 (лУЧУ ar& z = 0 — луч ѵ = 0,
и а, лучу arg z — л — луч ѵ = 0, и — а, лучам arg z = ± — — ось и — 0 j ;
3) семейства софокусных эллипсов и гипербол, получаемые из соответствую¬
щих семейств для функции Жуковского (см. задачу 298) поворотом на
угол у и подобным преобразованием с коэффициентом подобия | с |
еіа z	z	ч
(центр подобия — в начале координат). 301. 1) w =	(z+p2- с2),
с
1
а + b
кордія
2) w =
ветви
а при
(z 4- У z2 — (а2 — Ь2)); в обоих случаях при одном выборе
получаем отображение на внешность единичного круга,
оло az — & / г2 — (а2 — Ь2)
другом — на его внутренность. 302. w =

а2-Ь2
303. w = A (z 4- Уz2 — (а2 — Ь2)), где А — произвольное комплексное число;
р с»	а—	. 304. Вся плоскость с разрезом по отрезку
у а2 4- k2 — У Ь2 4- k2
226

вся плоскость с разрезами по лучам
Рис. 66.
„	п 6а — 1 — а2
соответствующей разрезу, равна	2 arccos—ц + а)2—î *
она
равна тс
при а = 3 — 1^8.	312.
1
W
w' (0)
a b
				—		; длины
4
дуг, соответствующих разрезам, равны
4
2 arccos —
—4
2л — 2 arccos	?
313. 1) Образом окружности С является дуга окружности с концами в точ¬
ках ±1, наклоненная в точке 1 под углом 2а к действительной оси; внеш¬
ность данной окружности отображается на всю плоскость с разрезом по
указанной дуге; 2) образом окружности С является (рис. 66) замкнутая
' 8*	22?

Кривая (профиль Жуковского) с точкой возврата ш=1, причем касательная
в этой точке образует с действительной осью угол 2а; дуга окружности
с концами ±1, о которой идет речь в п. 1), содержится в области, огранй-
ченной профилем Жуковского; внешность окружности С отображается на
внешность* профиля Жуковского. 314. 1) Образом окружности С является
-замкнутая кривая, состоящая из двух дуг окружностей с общими концами
в точках ±1, причем в точке 1 каса¬
тельные к этим дугам образуют с дей-
1	ствительной осью углы, соответствен¬
но равные 2а — aô и 2а + (л — а) Ô;
						внешность окружности отображается
S'*	\	на внешность области, ограниченной
пЯ	указанными дугами; образом 'окруж-
/	ности С' является (рис. 67) замкнутая
—Z—(г '	и кривая с угловой точкой w = 1, причем
0	касательные в этой точке наклонены
соответственно под углами 2а — aô и
2а + (л — a) Ô к действительной оси;
образ окружности С содержится в об-
рис. 67.	ласти, ограниченной образом окруж¬
ности С'; внешность окружности С'
отображается на внешность образа
этой окружности. 2) Внутренность окружности С отображается
на внешность области, ограниченной дугами окружностей, проходящих
через точки —1, 1, причем в точке 1 касательные к этим окружно¬
стям образуют с действительной осью углы, соответственно равные:
а) 2а + (л — a) Ô, 2а + (2л — a) ô, если функция w (z) определена в z-пло¬
скости с . разрезом по дуге окружности С, лежащей в нижней полу¬
плоскости, б) 2а — aô, 2а — (л + a) Ô, если разрез, определяющий функцию
w (z), проведен по дуге окружности С, лежащей в верхней полуплоскости.
/	.	t £	\2
w — 1 I zelY + іе 2	1
315-	I ’ где Y = a’ если
\ zeiy + іе 2 /
Р<0. 316. Вся плоскость с разрезами по лучам
P > О, и у = a + л, если
У = 0,	и //= О,
—. 317. Полуплоскость х> — с разрезом по отрезку у = 0, — ^х^І*
318. Вся плоскость с разрезами вдоль лучей у*=0, 1^х<оо и у = 0,
— оо<х^—1. 319. Угол	<argz<— с разрезом по лучу у = 0,
320.	1) Вся плоскость с разрезами по лучам | w |	,
/4
2
"	2£л	,, л	(ï+zn)n
arg w = ——- (k = 0, 1, ..., n — 1); 2) w = —		.
	 ÿlz
321.	1) w « V z2 * + J^z4 - 1 = —Lr(/z2 + 1 +)Az2- 1);
	*	 У 2
2) w= V1 + Z1 ~ z4	1	(уТ+72 +УT^).
z	z y 2
	1__ n
322.	1) w = (a" + a~n) /zn + z"" + /(z« 4- z-")2 - (a" + а~я)Г.
228

Решение. Функция S=у + —J отображает сектор на нижнюю
т
полуплоскость, причем точки а и ае п переходят в точки ±-—+
Далее, следует сжать полуплоскость (р=-\			\ и отобразить ее на
7 (аЛ + ^п) у
п
единичный полукруг (т « р + Ÿр2 - 1). Функция w = будет искомой.
323.
и
где
324.
325.
326.
327.
при
/У z2 + с2 + Va2 + с2
+ С2 — Ÿ Z2 + с2

w = 4" (1^z2 + °2 + а +	+ с2 + а)2 — Р2),
Р
а	Р = 4-(/а2 + с2+/5Ч^).
2	z»
329. w	. 1	_ (]/'/z4 + 4 + 2+ //z4 + 4-/5).
V2 + /5
Решение. Функция Z—z2 отображает верхнюю полуплоскость с разре¬
зами по отрезкам [0, 1 + /], [0, —1 +/] на область задачи 324, которую и ото¬
бражаем на верхнюю полуплоскость. Найденная функция, в силу принципа
симметрии, отображает данную в условии область на плоскость с разрезом
по некоторому отрезку. Остается отобразить внешность этого отрезка на
внешность единичного круга.	"
229

1
. г	л	л ~
330.	w = -^|(z + /z5^î)~+(z + /z5^T)~'“ +2І’ =
Y 2 L	J
= —7=- Г (z + ^z2 — 1) 2a 4-(z + }^z2 — 1) 2al. Решение. С помощью
V 2 L	J
я	*
функции r = £ a, где Ç = z + /г2 - 1 - функция, обратная по отношению
к функции Жуковского, верхняя половина заданной области отображается
на область |т|>1, Ітт>0, которая функцией Жуковского отображается
на верхнюю полуплоскость. Применяя принцип симметрии, получаем отобра¬
жение внутренности правой ветви гиперболы на всю плоскость с разрезом
по лучу (— оо, —1]; эта последняя область легко отображается на верхнюю
полуплоскость. Примечание. Множитель не играет роли, -так"как
преобразование w' — kw (k > 0) отображает полуплоскость на себя.
я		л_
331.	до = [е"/а (г + ]Лг2 — 1)]2^ — [е"/а (г + }Лг2 — 1)] 2&, где р = л — а.
332.	w = Ig~/a 2 +		— I , где c = J^a2+62, a = arctg—,
L	c J	a
л	■
p 		. 333. 1) Область строится следующим образом: кольцо
2 arctg у
Г1<|да|<г| разрезается вдоль отрезка	действительной оси и
к нижнему краю разреза приклеивается часть такого же кольца:
т\ < I w ] < г|, 0 arg w < 2а; если а = л, то второе кольцо — полное и его
свободный край следует склеить со свободным краем первого кольца
(в	этом случае	получаем двулистное	кольцо г2 < |	w | <г2); 2) если а^І,
то	неравенство	| z2 —	1 | < а определяет	две области	(см. задачу 39), каждая
из которых отображается на однолистный круг |до — 1|<а; если же а> 1,
то	неравенство	| z2 —	1 | < а определяет	одну область, которая отображается
на	двулистный	круг	|до —1|<а (для	того, чтобы	построить этот двулист¬
ный круг, достаточно два одинаковых экземпляра круга | w — 1 | < а раз¬
резать вдоль какого-либо радиуса и склеить нижний край разреза 1-го экзем¬
пляра с верхним краем разреза 2-го экземпляра, а верхний край разреза
1-го экземпляра —с нижним краем разреза 2-го экземпляра). 334. 1) Область
строится следующим образом: к плоскости до, разрезанной вдоль отрезка
'	4и2	4ѵ2
[ —1, 1], приклеивается внутренность эллипса —,	т—у + —,	7-р7=1,
(Л4”я) (я-#-)
также разрезанного вдоль отрезка [—1, 1], причем к нижнему краю разреза
плоскости 'Приклеивается верхний край разреза эллипса, а к верхнему краю
разреза плоскости — нижний край разреза эллипса; 2) двулистная область
I	f J < (неравенство |	у | < Л2 определяет внутренность круга,
если 7?<1; полуплоскость при R « 1 и внешность круга в случае, когда
R>ï). Разрез и соответствующие склейки идут вдоль линии, соединяющей
точку до = 1 с какой-либо граничной точкой области | ~	| < R2.
335. 1) и 2) Поверхность состоит из двух листов плоскости z, разрезанных по
отрезку [—1, 1], причем нижний край разреза первого листа склеен с верх¬
ним краем второго, а верхний край разреза первого листа —с нижним краем
230

второго. 336. 1) и 2) Поверхность "состоит из двух листов, разрезанных по
лучам, идущим соответственно из точек — /, 0, і в бесконечность, например,
параллельно действительной оси в положительном направлении. Нижние
края разрезов первого листа склеены с верхними краями соответствующих
разрезов второго листа, и наоборот. 337. Поверхность состоит из трех ли¬
стов плоскости 2, разрезанных по лучам (— оо, -1] и [1, оо). Вдоль луча
(— оо, 1] склеивание производится следующим образом: верхний край раз¬
реза первого листа склеивается с нижним краем разреза второго листа,
верхний край разреза второго листа — с нижним краем разреза третьего
листа и верхний край разреза третьего листа — с нижним краем разреза
первого листа. Вдоль луча [1, оо) следует склеить: нижний край разреза
первого листа с верхним краем разреза второго листа, нижний край раз¬
реза второго листа — с верхним краем разреза третьего листа и нижний
край разреза третьего листа — с верхним краем разреза первого листа.
*
338. 1) В полярную сетку р = const, Ѳ = const; 2) . в спирали р = е k (при
k = 0 в лучи Ѳ = 6); р) в угол а<Ѳ<0 (при а = 0 и 0 = 2л —в плоскость
с разрезом по положительной части действительной оси); 4) во всю плоскость
с разрезом по спирали р = 5) в сектор р < 1, 0 < Ѳ < а (при а = 2л — в еди¬
ничный круг с разрезом по радиусу о = 0, О^м^І); 6) в область р>1,
0<Ѳ<а (при а = 2л — во внешность единичного круга с разрезом по лучу
ѵ = 0, l<w<oo); 7) в область аа<р<е^, у<Ѳ<0 (при Ô —у = 2л эта
область является концентрическим кольцом с разрезом по отрезку Ѳ = у,
339. Угол 0<arg (z +п) полоса 0 < у < л. 340. 1) В прямо¬
угольную декартову сетку и = С, и = С; 2) в прямые; 3) в полосу 0 < и < а;
4) в полуполосу м<0, 0<и<а; 5) в прямоугольник 1пг1<м<1пг2,
0<р<2л. 341. 5) b = а | th 1, Z =	342. 1) Семейство x = C
преобразуется в семейство софокусных гипербол с фокусами в точках ± 1
(и^ V2 \
с os2'С ~~ "sin2 С в / ’ семе^ств0 У = ~ в семейство софокусных эллипсов
(и2 у? \
с теми же фокусами I + SV С = / * ^) в верхнюю полуплоскость;
3) в четвертый квадрант; 4) в правую полуплоскость с разрезом по отрезку
[0, 1]; 5) во всю плоскость с разрезами по действительной оси вдоль лучей
и2	V2
( — оо,—1] и [1, оо); 6) во внутренность эллипса 4- ~ 2	= 1 с раз¬
резами по отрезкам [—ch Л, —1] и [1, ch Л]. 343. 1) В полуполосу
		2”<И<“2Г» ѵ>0; 2) в полосу—£-<w<—;	В полУполосУ
6<u<-£-, V>0; 4) в полосу—£-<н<0. 344. 1) Семейство х = С пре¬
образуется в семейство софокусных эллипсов с фокусами в точках ± 1
(U2	U2 \	о
"ch^C”	s h2 С = / ’ семейство y = С — в семейство софокусных гипер-
I и2 V2 \	‘
бол с теми же фокусами I cos2	= 4 5 2) во всю плоскость с раз¬
резами по действительной оси вдоль лучей (— оо, —1] и [1, оо); 3) в верх¬
О.-,	Л	Л —
В полосу —в
нюю полуплоскость. 345.
полуполосу
0<и< —, м>0. 346. 1) Семейство х = С преобразуется в пучок дуг
окружностей с концами в точках w = ± і, включающий и соответствующие
части мнимой оси; уравнение пучка окружностей: (и — а)2 + и2 = 1 + а2
231

(a = ctg2C); семейство y=C преобразуется в семейство окружностей Апол¬
лония относительно точек w = ± і (включающее и действительную ось);
уравнение семейства окружностей Аполлония: и2 + (и — Ь)2 = Ь2 — ],
I b I > 1 (b = cth 2С); 2) в верхнюю полуплоскость с разрезом по мнимой оси
вдоль отрезка ѵ 1; 3) во всю плоскость с разрезом по мнимой оси
вдоль отрезка — 1 < ѵ 1; 4) в полукруг |ш|<1, Re w > 0; 5) в единич¬
ный круг. 347. 1) Во всю плоскость с разрезами по действительной оси
вдоль лучей (— оо,—1] и [1, оо); 2) в правую полуплоскость с разрезом н
л (1-Z) г
действительной оси вдоль луча [1, оо).
2л Zz
, (г— 1)л
349. w = — ch ——-г1—.	350. w = e z .
348. w = e h .
л/ (2+2)
351. w = е 3
352.
354.
3) w
356.
л (г + 2)
w = C0S	2z	‘
1+1/3 ..
1) w =	2	th
353. w = eV 2-1	,
ni (z + 3Z)	e z 1 + 2 — 1
2)		;
e z~l +2 + t
a, = уе2яіг + в-2лЛ. 2)
е2л/г + е-2лЛ,
e'^iz е-2л/і2
1Л cos nz — cos nhy
/ 	Л.
z cos nz + cos nh2
358.
360.
362.
364.
w = jAcos 2z + ch 2Л.	359.
cos 2z + ch 2/?i
cos 2z + ch 2h2 ’
367.
,,9 nÿz
w = th2 —\

4a
(см. примечание к ответу задачи 330).
оло	• sin z _
368. w = arcsin —r— . Решение,
ch a
Функция sinz отображает полуполосу z/>0,	на веРХНЮІ°'
л	■
полуплоскость; при этом точки ± — + аі переходят в точки ± ch a. Отсюда.
232

,	• sin 2
нетрудно получить, что функция w — arcsin будет отображать указан¬
ную полуполосу на себя так, что лучам х = ± —, а <5 # < оо будут соот-
тс
ветствовать лучи w=±—, 0^ü<oo. Применяя неограниченное число раз
принцип симметрии, убеждаемся в том, что найденная функция — искомая.
,	. i sh z
b arcsin —г—
ch a
w 		j

arcsin —г—
ch a
. 1
arcsin —:—
ch a
w

369.
370.
arcsin
l2 /	. sin z \2
- arcsin —г—
1	\ ch a )
. sin Z
arcsin —:—
ch a
/	. sinz . sin p
arcsin —г— — arcsin •
i	ch a	ch a o__	.	2/z ™
371. w = ■/		;	:	.	372. w = arcsine. Peine-
I/ . sin q . sin z
Г	arcsin —r-1— arcsin —-—
r	ch a	ch a
h и e. Функция £ = e2îZ отображает полосу 0<x<— на верхнюю полу¬
плоскость, а функция w — arcsin £ верхнюю полуплоскость — на полуполосу
—^-<н<-~, Ц>0. Функция w = arcsin e2iz, отображающая полосу на
л
полуполосу, переводит лучи х = 0,	— оо < # < 0; х =	, — оо <#<0
соответственно в лучи х = у, 0<і/<оо; х = —, 0<г/<оо. Применяя
неограниченное число раз принцип симметрии, убеждаемся, что найденная
функция осуществляет требуемое отображение. 373. 1) Если b < 2л — криво¬
линейный прямоугольник: 1 < р < е , 0 < Ѳ < b; если b = 2л — кольцо
l<p<efl с разрезом по отрезку [1, еа]\ если b = 2&л (& = 2, 3, ...) —много¬
листная область, составленная из k колец 1 < р < еа, разрезанных по от¬
резку [1, еа] и склеенных так, что нижний край разреза первого кольца
склеен с верхним краем разреза второго кольца, нижний край разреза вто¬
рого кольца —с верхним краем разреза третьего кольца и т. д.; если
ô = 2/гл + р (& = 2. 3,..., 0 < Р < 2л), то к свободному нижнему краю
последнего кольца построенной поверхности нужно приклеить вдоль от¬
резка [1, еа] криволинейный прямоугольник 1 < р < е°\ 0 < Ѳ < Р; 2) беско¬
нечнолистная область, состоящая из колец 1 < р < еа, разрезанных вдоль
отрезка [1, еа] и склеенных указанным выше способом; 3) бесконечнолистная
область, составленная из колец 1<р<еа, разрезанных вдоль отрезка [1, еа],
занумерованных с помощью целых чисел (..., —2, —1, 0, 1, 2, ...) и склеен¬
ных так, что нижний край разреза каждого кольца склеен с верхним краем
разреза кольца с номером на единицу большим. Эта область является частью
римановой поверхности функции Ln w, лежащей над кольцом 1<р<еа.
374. 1) Двулистная область, полученная склеиванием двух правых полупло¬
скостей, каждая из которых разрезана по лучу ѵ = 0, l^u<oo; края
разрезов склеиваются крест-накрест, т. е. так, что нижний край разреза первого
листа склеен с верхним краем разреза второго листа, и наоборот; 2) дву¬
листная область, состоящая из двух плоскостей с разрезами по действи¬
тельной оси вдоль лучей — оо < ц — 1 и 1 м < оо и склеенных крест-
накрест вдоль разрезов — oo<u^—'1. Края разрезов 1^м<оо остаются
свободными. 375. Двулистная область, состоящая из двух плоскостей,
233

разрезанных по мнимой оси вдоль отрезка — 1 ѵ < 1 и склеенных так, что
левый край разреза первого листа склеен с правым краем разреза второго
листа. Остальные края свободны. 376. Риманова поверхность бесконечно-
листна и имеет две логарифмические точки над точками w = 0 и w = оо.
Области однолистности в z-плоскости, соответствующие листам оу-плоскости
с разрезами по положительной действительной оси, ограничены окружно¬
стями	2kn (х2 + у2) + у = 0 (k = 0, ±1, ± 2, ... ).	377. Г\ = оо, г2 = г3 = 1.
Образ	круга |z|<ri —вся плоскость с	выключенной точкой	ш = — 1;
образ круга | z | < г2 (и круга | z | < г3) — полуплоскость Re w > — -g-,
378. 1)	п=у; 2) г, “-щу; 3) г, = 1.	383. 1)	г2-1; 2) '2	= ^1
3) ^ =	2-/3". 384. п=п, г2 = 1. 385. 1)	Гз=у!	2) г3 = -щу;	3) г3 = 1.
Глава III
388. 1) Іі = 2 + І, /2=1+±; 2)Л=-^-, /2 =-
/2=-лЯ2.	389. 1) /5"(1 - 0; 2)2; 3) 2і; 4)0.
892. 1)	— j-[( — l)n+1 — 1], если	1; л/, если п =
-2-;	3) Л=іл₽2,
4
390. ni. 391.-1.
О
— 1; 2) и 3) 0, если
п=/=-1;2ш, если я=-1. 393. 1) -2(1 -/); 2)2(1-/); 3) -2(1+/);
4) -4; 5)l 4/. 394. 1) 2л/; 2) -2л; 3) 2л/?/; 4) 2л/?/. 395. 1)	если
п + 1
n=^ —1; -2л2, если п= —1; 2) ( —1)п+1—если п — 1; —2л2,
,	п + 1	’
е2сш/ _ J
если п— —1. 396. —г-	, если а=/= — 1; 2л/, если а= —1. 398. 1) |а|^—:
7	1 + а	' 1 1	2
2) sin 0. 412. 1)	2) — у ; 3) 0. 413. Если контур С содержит внутри
себя точку 0 и не содержит 1 и — 1, то I = —2лі; если содержит только одну
из точек — 1 или 1 и не содержит точку 0, то I = л/. Отсюда ясно, что
интеграл может принимать пять различных значений (—2л/; — л/; 0; л/; 2л/).
414. 2п — 1, если л> 1; 2, если л= 1. 415.	416.	417. e«fi+^\
’	2	а	\	2
е	р	о	27
418. 1) 1; 2) —1; 3) 1—1. 420. 1) 4; 2) 1 -	425. Я=1. 426 оо.
z	z	о	о
427. 0. 428. 2. 429. е. 430. 1. 431. 1. 432. 1. 433. 4. 434. —, 435. 1, если
4	е
|а|<1; если |а|> 1. 436. 1. 437. 1) R', 2) -0 3) оо; 4) 0; 5) Я*;
D
6) R, если I z0 К 1, и -,	г, если | z01 > 1. 438. 1) R>min (rb r2); 2) R>rv2;
I zo I
Э)Ж-^-. 439. 1)	2) — ln(l—z); 3) ± In 4) ln(l+z).
440. Расходится во всех точках. 441. Сходится (неабсолютно) во всех точках,
кроме z=l. 442. Сходится абсолютно. 443. Сходится (неабсолютно) во всех
точках, кроме г=—1. 444. Сходится (неабсолютно) во всех точках, кроме
2ÆJlt
точек z = e р (k = 0, 1, ..., р — 1). 445. Сходится (неабсолютно) во всех
234

Г± іѴЗ
точках, кроме точек z =

И 2= -1.
446. Сходится абсолютно.
447. Например, сп = (— 1)п. 449. Решение. Сначала исследуем сходимость
в точке z=l. Члены ряда 	 со знаменателями k2, k2 + 1, ...
n=i
...» (&+1)2—1 имеют знак ( —1) , обозначим сумму этих членов через
(k + I)2 — k2
( — 1 )к Gk и докажем, что -> 0 монотонно. Имеем 0 <		=■
2k + 1
= —^2	> О ПРИ	Далее, разность
ak ~ ak+i ~ [і2" “ (fe+ I)2] + [fe2+ 1 “ (£+ 1)2+ 1 ] + • • •
1 1 ] 1 1
(й+1)2-1 (й + 2)2~з] (fe + 2)2 —2	(& + 2)2—1
> (2*+1)[ (й+J)2-! (й + 2)2 —3J (fe + 2)2 —2	(£-Ь2)2—1 >0,
Этим доказано, что данный ряд сходится при 2=1. Если |z|= 1, но z =/= 1,
то, согласно указанию, пользуемся признаком сходимости из задачи 90, по¬
ложив ап в (—= Первые два условия, очевидно, справед¬
ливы; для доказательства третьего оцениваем Sn- Sn = — z — z2 — z3 + z4 + ...
T (Z(P+1) + t +zn), где P = [l,rn]- 1. Отсюда |Sn| <п~—; + 2р + 3, еле¬
.	I А 21

довательно, для каждого z существует такое k, что \Sn\<kp <kY п, и этим
с»	оо
доказательство завершено.
454.
оо
2}(-1)я+1
п-0
Sz2n
(2п)Т
п=0
R = оо.
22Л+1
(2п+ 1)! ’
7? = оо.
22П-122П
(2п)!
455.
486- ааЁ(п)йУ’где
п~0
1	у 22n~1z2n
2	+ Zi (2п)|
п«»0
/? = оо.
S-H. «7. Ау-Гі+і-и^-')-. -Ц;4\(2,!,;3> уі. «...
L	n=2
4Й.
n-0	п=1	Пші
где cn- 2 (-1)'”(2/иП+1)2',-2'п-‘32'я, J? = /13. 460.
m=°0	n™2
«’• 2ÎSr-- «-1- «■	«-1.
n«0	n-0
235

«	«■ 1" 2 - Î (1 + i) .
n—0	n=l
oo	oo
S	^2/1+1	VI	^2/1	+	1
ЖЛР /г-оо. 466. ^(-i)»_/.-_ï)!.2n + i)>
n-0	n=0
/г = оо. 467.1+г^н)”1^, *=з.
n-0
oo
468. 42-Ц^Кг-1)М+<г-1)2Я+11> Л“2.
n—0
«.	«-2. 47». Ê(T)
n—1	n—0'n /
S(z_ nn	\ "T /
(-d^i 1 Z2-, /?»i. 472. 2j—4l
n—1	n—0
fl=oo.	473.	1+г2 + -^- + ...	474.	I--.	^-+ ....
о	4 У0
475. 1+гЦг’ + |?-р+... 47e- 1+2+22 + 423~424 + >25+-
477. г + ^+^+^+...	4И. ,„2 + |+^-4+...
oo
...=ln2+V—£2—2n+1;	Co + nct + n(n— l)c2+ . ..
n + 1
n-0
... 4* fil Cn^j + 2nl Cn e 1, n 1.
m.2[4+(l+4)4+(l+4+-)4+...
[2j2	/ J	\ Z^
— 2ліг+ (1 - 2ra) -y + ^1 + -y - 2лі j y + ...
... +(l+ÿ+ ••• +yT-lto)^+ ...].
481.2Ï_(1+1^ + (1+1 + 1)4_„.
482. 2[(1 + l)-y-(1+4 + 4 + l')'T+ •••
... +(-!)»+> (i+4 + 4 + 7+ ••• +І)ІТТ+ •••]•
487. l +	Л“Л.
/г—1
236

488. 1)	R = n; 2)Î(-
k=ï
y fe22ft(22ft-l)B2ft 2ft л_.
AT ’	2k(2k}l	' K 2 ’
fe=i
. , V ( nft-l (22ft - 2) B2k 2k
1 + 2j(~1) 	(2Â)I	 ’* = л-
k=i
л=т; 3)
4)
fe=i
489. Cfi —	,—
/5
22fe(22ft- l) B2fe 2fe_,
' (2fe)l z
_ /5 - 1
n *
іЛ„ A	аВ-рЛ	а2С — арв + (P2 — ау) A
490. co=—. d	c2		Ï2_.
zt
~ х~*
асп + pc„—j + yen—2 + ôcn—3 = O (n=3, 4, ...).	496. —1 _/—I
Ln+1 (z) - (2n + 1 - z) Ln (z) + n2Ln-i (z) = 0 (n > 1 ).
^5	£»9	1
497. z + z3+ 4-75-+ 4.5.8.9 + ••• + 4.5.8-9 ... 4n(4/i + l) +
|z|<«, 498. z-^-4-1;-1'2 гз+["(»+1)-Ь215І»(«+1)-3-4]г5+ _
[n (n+1) - 1 -2] [ra (n + 1) — 3 • 4] ... [zt (n + 1) —(2fe — 1) 2fe] 2é+1
... +	(2Jfe+l)l '	z +...;
|z|<l.	499.	500. 1 -4^ + ^^z^ ...
, m m2(m2 —22) ... [m2 — (2n — 2)2]
••• U	(2n)!	Z + ••
₽л. pz ,	4	1 , ab a (a + 1) b (b + 1) 2
501. w = F (a, b, c,z)=l + — z+ 2,-'-(<;+1)	z2 + ...
а(а+ 1) ... (а + п- 1) 6 (1>+ 1) ... (& + n- 1)
n\ c(c + 1) ... (c + n — 1)	> I
БОЗ. Решение. Продифференцировав гипергеометрическое уравнение,
получаем уравнение, которому удовлетворяет функция £ = F (a, b, с, z)t
z(l-z)-g-+[(C+l)-(a+5+3)z]-g-(a+l)(5+l); = 0.	(1)
Так как функция — F (а, Ь, с, г), будучи производной функции F (at b, с, г),
аналитической в точке 2 = 0, тоже является функцией, аналитической
в точке 2 = 0, а всякое решение уравнения (1), аналитическое в точке 2 = 0^
должно иметь вид kF(a+lt 6+1, с+1, 2) (см. задачу 501), где k — по¬
стоянная, то — F (a, b, ct 2) = kF (а + 1, 6+1, с + 1, 2). Положив 2 = 0,
найдем, что	505. 1) 4; 2) 15; 3) 3.	506. 1) Нулем по¬
рядка k + l; 2) нулем, порядок которого не ниже, чем min (&, /); 3) нулем
порядка k — Z, если k > /; правильной точкой, не являющейся нулем,,
если À =7, и особой точкой, если &</. 507. Точки 2= ±3/ —нули 1-го по¬
рядка. 508. Точки 2= ±3/ —нули 1-го порядка; бесконечно удаленная
точка — нуль 2-го порядка. 509. 2 = 0 — нуль 2-го порядка; 2 = /гя
23Z

(k = ± 1, ± 2, ...) — нули 1-го порядка. 510. z = ± 2 — нули 3-го порядка;
z = (k = 0, ± 1, ± 2 ...) —нули 1-го порядка.	511. г = 2кл
(& = 0, ± 1, ±2, ...) —нули 2-го порядка. 512. z=±jt —нули 3-го порядка;
все остальные точки вида z = &rt (& = 0, ±2, ±3, ...) —нули 1-го порядка.
513 г «-4-/гл (& = 0, ±1, ±2, ...) —нули 1-го порядка. 514. Нулей нет.
. ‘	4
515. z^kn (6 = 0, ±1, ±2, ...)-нули 3-го порядка. 516. г = 0-нуль
2-го порядка; 2 = 6л (6=±1, ±2,...) —нули 3-го порядка. 517. z = О —
нуль 3-го порядка; г*=Ў^л и z •= у (1 ± і уТГ) (k = ± 1, ± 2, ... ) —
нули 1-го порядка. 518. z=(2k+l)-^- (6 = 0, ±1, ±2, ...) — нули 3-го по¬
рядка. 519. z-jX (2*+1)| и 2 = ±	1)	(1 ±//з)
(^ = 0, ±1, ±2, ...) —нули 1-го порядка. 520. 2 = 4 —нуль 3-го по¬
рядка для одной из ветвей. 521. Здесь заданы две функции: одна
из них имеет нули 2-го порядка в точках z = 2kл ± другая —нули
2-го порядка в точках z = (2k 4- 1) л ± у (k = 0, ± 1, ± 2, ...).	522. Пре¬
дельной точкой может быть только бесконечно удаленная точка. 523. 1), 2)
и 3) Не существует; 4) существует (z) —	524. 1) Существует
(f(z)c=z2); 2) не существует. 525. Не противоречит, так как точка г=1
не принадлежит области аналитичности функции. 526. Решение. Из раз¬
ложения f (z) = 2 cn(z-zQ)n следует
n—0
со
и (х, у) - С°2~ + 2 (Сп К* “ *о) + Ну - Уо)]п + Сп [(х - х0) -1 (у - у0)] "}.
п-1
Положив здесь х = х04	2~У^Уо^—~~9 где достаточно близко
к z, получим (обосновать это!)
н(х0 + -Ц^-, УоН-Цр2-)-4 [*» + /(£)]
и, заменив £ через z, придем к доказываемому равенству. 528. z2 4-2 4-Ct-
529. zez—- + CL 530. (l-H’)z — 3/4-C. 531. sinz —chz4-C (С — произволь¬
ная действительная постоянная). 538. 2) 2л2М.
Глава IV
238

оо	оо
-VI 1	1 VI М + 1—д^+І
при 0 < | z — 1 | < 1 j ~2j^- пРи і2і>*- 546- Zj ~n-цун-і **
при |z|<|a|;
1 уі /?Д-1 ~g”-l
b-а	zn
n~2
|a|<|z|<|H
n=2
1 4. У <2 - Д)П
z-a (b — a)n+1
-	n=0	■
при |z|>|6|;	—J
n=0
при 0<|z — a|<|6— a|;
V ( &	. an \
ZiU^r + ^+r) п₽и
n=0
oo	oo
при 0<|z-2|</5";	2	(-l)"-^ -	-^+г ПРИ K|z|<2.
n=l	n=0
648- - W=7)-
n-1
при I z I > I b I,
при | z | > 1.
(n + 3) in (z — іУ1	n .
		2П+1	— ПРИ 0<|г —f|<2;
549. ±
z ~~ y (a + £) +
.	П=з1
сю
при 0 < I z I < oo.	552.	( — 1 )n ~Г77 L" i ~j n ПРИ 0<|z—ll<°°;
n=0	*
°°	£>4-1
1-T+Sc-'i2"n прй |2|>1’ где c-'i=-1+SI(iw"(rtr1)
/1=2	fe=l
(n = 2, 3,... ).
0<|z-2|<oo.
S°° Г( —l)ft-1 42é-1 sin 1	( —l)ft42ftcosl
1(26-1)1 (z-2)4*-2	(26)1 (z - 2)4fe I
fe=l
oo Г/_п*-іГ—!	!—1
554. (z-D + 24-У	,<2*+.D!.l
239

(26 + l)!(z —l)2ft
При 0< | Z — 1 I < oo.
CJO	oo
555. 2 Спгя+2 с-пг~п,
п=0	n=l
где сп = с-п = У ѵтт- (п = О, 1, 2, ...). 556. J W2n + 2 ^2nz~2n,
’	"п~0	rt=0
oo
где r2n= c_2„= (- 1)»(2. + t _l.^2fe	(«-0, 1,2,...).
k=Q
sin
557.
n!(z-4)n p	’
. t cos 1 , sin 1 — 2 cos 1 , 6 sin 1 — 5 cos 1
— Sin 1		7ГГ-T
z	2! z2
3| z3
при
И>1.
558.
при
при
oo
1	22л Во
— + 7j ( — 1 )п /0~ТП z2n~l> где В2п —числа Бернулли (см. задачу 485),
Z jÉHB	yZTïjl
п = 1
оо	оо
0<іг|<2яі	| + 2S_^ + I>l)Æ + ^]2..-.
п=1	п=1
oo	oo
Shn аП	с
——П— при Iz I>max ( |а |, |6|). 560. У —
п=1	п=2
где
/	q2£—3	n2fe—5
Л 		. I n2k — 1		.

с—2fe —	12	3	+	5
C_(2ft+1) = 2с-2й (6=1,2,...), при |z|>2;
Л+1	2	!
2& —1/’
оо
1 VI
n=0 n=l
(k-\	4
arc‘g4~ JjT2m+~l))^+- I’
m=0	;
€-(2fe + i) = 2c-2k (k = 1, 2, ...), при 1 < I z I <2.	561. 1) Да; 2) да; 3) нет
(точка z«= 1 не является изолированной особой точкой); 4) нет; 5) нет; 6) нет;
7) нет; 8) нет (в любом кольце, окружающем точку z = 0, функция не является
Непрерывной); 9) нет; 10) да; 11) да, если а — целое число или нуль; нет
во всех остальных случаях. 562. 1) Нет; 2) да, разложение допускают обе
ветви; 3) нет; 4) да, все три ветви допускают разложение; 5) нет; 6) разло¬
жение допускают две ветви (из четырех), определяемые условиями
У1+К1 = ±	7) нет; 8) нет; 9) нет; 10) да, разложение допускают
Bçe шесть ветвей; 11) нет; 12), 13) и 14) да, любая из ветвей допускает
разложение; 15) нет; 16) нет; 17) разложение допускают все ветви, кроме
і/~ 2	jT
двух, определяемых значением Arcsin - — =	565. z = 0, z = ± 1 — полюсы
1-го порядка, z = оо—правильная точка (нуль 3-го порядка). 566. z = —
.	У2
— 1 -+- I
z — —	полюсы 1-го порядка; z = оо — правильная точка. 567. z=l —
У2
полюс 2-го порядка; z = оо — полюс 3-го порядка. 568. z = 0 — полюс
1-го порядка; z=±2/ —полюсы 2-го порядка; z = оо — правильная точка
z" ’
240

(нуль 5-го порядка). 569. z = ± і — полюсы 1-го порядка; z = оо — суще¬
ственно особая точка. 570. 2=оо — существенно особая точка. 571. z = оо —
существенно особая точка. 572. z = 2kni (k = ±1, ±2, ...)— полюсы 1-го по¬
рядка; z = оо — точка, предельная для полюсов. 573. z = 0 —полюс
2-го порядка; z — 2km (£ = ±1, ±2, ...) —полюсы 1-го порядка; z = oo —
точка, предельная для полюсов. 574. 2 = (2&4-1)л/ (k = 0, ±1, ±2, ...) —
полюсы 1-го порядка; z=oo—точка, предельная для полюсов. 575. z = 0 —
полюс 3-го порядка; z = 2kn ± і In (2 4- Y З) (/г = 0, ±1, ± 2, ...) —полюсы
1-го порядка; z=oo —точка, предельная для полюсов. 576. z = kni
(k = 0, ±1, ±2, ...) —полюсы 1-го порядка; z = oo—точка, предельная для
полюсов. 577. z = 0 — существенно особая точка; z = оо — правильная точка.
578.	z = 0 — существенно особая точка; г=оо — полюс 1-го порядка.
579.	2=1— существенно особая точка; z = оо — правильная точка. 580. z = О—
существенно особая точка; z = оо — существенно особая точка. 581. z=l —
существенно особая точка; z = 2kni (k = 0, ±1, ±2, ...) —полюсы 1-го по¬
рядка; 2=оо—точка, предельная для полюсов. 582. 2=/гл (£=0, ±1, ±2, ...) —
полюсы 1-го порядка; z = oo— точка, предельная для полюсов. 583. 2 = 0 —
полюс 2-го порядка; 2 = оо — существенно особая точка. 584. z = (2k 4- 1) -у
(k = 0, ±1, ±2, ...) —полюсы 1-го порядка; z = oo — точка, предельная
для полюсов. 585. z = (2k 4- 1 ) -77 (k = 0. ±1, ±2, ...) —полюсы 2-го по¬
рядка; 2 = оо — точка, предельная для полюсов. 586. 2 = 0 — полюс 3-го по¬
рядка; 2 = kn (k=±\, ±2, ...) —полюсы 1-го порядка; 2= оо—точка,
предельная для полюсов. 587. г = /гл (/г=±1, ±2, ...) —полюсы 1-го по¬
рядка; 2 = оо — точка, предельная для полюсов. 588. z = kn (/г = О, ±1, ±2, ...) —
йолюсы 1-го порядка; z=oo—точка; предельная для полюсов. 589. Если
а =£■ тл 4- -у (т = 0, ±1. ±2,...), то г = 2/гл4-а и z = (2k 4- 1) л — а
(/г = О, ±1, ±2, ...) —простые полюсы; если п = /пл4--^-> то ПРИ т четном
2 = 2/гл4--^- и при т нечетном z = (2k 4- 1) л 4- -у являются полюсами
2-го порядка; z = оо во всех случаях точка, предельная для полюсов.
590. Если а^тп (tn = 0, ±1, ±2, ...), то z = (2k 4- 1) л±а (k = 0, ±1, ±2, ...) —
полюсы 1-го порядка; если а = /пл. то при т нечетном г = 2/гл, а при tn
четном 2 = (2k 4- 1) л — полюсы 2-го порядка, z = oo во всех случаях точка,
предельная для полюсов. 591. 2 = 1 — существенно особая точка, z = оо —
правильная точка (нуль 1-го порядка). 592. 2= — 2 —полюс 2-го по¬
рядка; 2 = 2 — существенно особая точка; 2 = оо — полюс 3-го порядка.
593 и 594.2=-^- (£=±'1, ±2, ...) —полюсы 1-го порядка; 2 = 0—точка, пре¬
дельная для полюсов; 2 = оо — полюс 1-го порядка. 595. 2 = 0 — существенно
особая точка; 2 = оо — правильная точка (нуль 1-го порядка). 596. 2 = 0 —су¬
щественно особая точка; z = оо — существенно особая точка. 597. z =
(&=±1, ±2, ...) —существенно особые точки; 2 = 0 —точка, предельная для
существенно особых точек; 2 = оо — существенно особая точка. 598. z =
2
=	+ I)(k = 0, ±1, ±2, ...) — существенно особые точки; 2 = 0 — точка,
предельная для существенно особых точек; 2 = оо — правильная точка.
599.2=-^- (/г=±1, ±2, ...) —существенно особые точки; 2 = 0 —точка,
предельная для существенно особых точек; 2 = оо — существенно особая точка.
2
600. г = ■ ■	J )— (k = 0, ±1, ±2, ...) —существенно особые точки; 2 = 0 —
241

точка, предельная для существенно особых точек; z = оо — правильная точка.
601.	Для одной ветви правильная точка, для другой — полюс 1-го порядка.
602.	Для одной ветви полюс 1-го порядка, для остальных пяти ветвей пра¬
вильная точка. 603. Для одной ветви правильная точка, для другой —полюс
2-го порядка. 604. Для одной ветви правильная точка, для другой —существенно
особая точка. 605. Для обеих ветвей полюс 1-го порядка. 606. z = ^l-4--^-j ~
правильная точка для одной ветви и полюс 1-го порядка для другой;
z = 1 — правильная точка для одной ветви и неизолированная особая точка,
предельная для полюсов, для другой ветви. 607. Каждая из заданных точек —
правильная для одной ветви и полюс 1-го порядка для другой. 608. Пра¬
вильная точка для одной ветви и существенно особая точка для другой.
609. 1) Для всех ветвей полюс 1-го порядка; 2) Для одного бесконечного
множества ветвей правильная точка, для остального бесконечного множества
ветвей полюс 1-го порядка. 610. Для одного бесконечного множества ветвей
правильная точка, для остального бесконечного множества ветвей существенно
особая точка. 611. 1) Точка z = оо — полюс порядка k = max (n, m), если n^=/n;
если же п = т, то г = оо- либо полюс порядка k^n, либо, правильная
точка; 2) полюс порядка п — т, если п>т, и правильная точка, если п^пѵ,
если п<т, то z = oo—нуль порядка т — п; 3) полюс порядка п + /п.
613. Примеры: 1) г2;	2)	+ z; 3) —. 614. 1) —— (а =/= 0) или
.	Z	Z 1	Z — Ct
az + b (а =£0); 2)	(а =/= 0) или а0 4- axz 4- ... 4- anzn (ап =/= 0);
1 I р. д\ ü,q ciiZ... 4- ап+гпг +	?	, л	/ /ч\,
г2	4)	pj	\а0 у= о, an+rn=7^\))f
5) -у—а° +	+	— (а.^=а. при £ =Н= Z и по крайней мере одно
' (z-cti) (г-а2) ... (2-ад) ' *	* F	F	F
.	а0 4- axz 4- ... + anzn . Л
из чисел ат отлично от нуля) или (z_g|) (г _аг) ...	°-
ak ¥= а1 при k =/= I). 616. 1) ?0 — устранимая особая точка; 2) zQ —полюс по¬
рядка /г, если ф (z) однолистна в окрестности точки z0, и полюс порядка п/и,
если ф (г) /п-листна в окрестности этой точки; 3) z0 — существенно особая
точка. 617. 1) Точка z0 — полюс порядка /г, если у —прямолинейный отре¬
зок, и правильная точка кратности /г, если у' — дуга окружности, т. е.
fU)-f6Ô) = 6-zJ)"q>(z), где <р (z) аналитична в окрестности точки z*
и ф (zj) =/= 0. Если z0 = оо, то это условие записывается в виде f (z) — f (оо) =
= z~ny(z), где ф(г) аналитична па оо и ф(оо) =/=(); 2) z0 — существенно особая
точка. 619. 1) —1; 2) 0; 3) 0; 4) 0. 620. 1) Существенно особая точка z « оо;
исключительное значение 0 (и ooj); ez -> 0, если х->—оо (ez -> оо, если
X -> 4- оо); 2) существенно особая точка z = 0; исключительное значение О
например, вдоль пути у = 0, х<0 (е2-> оо
х>0; 3) существенно особая точка z = 0;
(не считая оо); cos — -> оо при х = 0, г/->0;
z = оо; исключительные значения і и — Z;
res [f (z)]ZxsQ = 1;	res [f (z)]2eOO = 0.
reslf(z)]2._,-b	res [f (z)]2=00 = 0.
(2n)!	.
1)! (П4- 1)! ;
(и oo); e ->0, если z-»0,
при z-> 0 вдоль пуги у — 0,
исключительных значений нет
4) существенно особая точка
621.	res [/ (z)]2=±1 = -4;
622.	res [f (z)]2=z

623.	res [f(z)j2=_1 =	T
242

res [f (z)]z=00-( 1)”	(n+ i)| •	624, res iï(2)]z-0 = 1;
res[f(z)]z=±1=-y;	res [/(z)]z=00 = 0.	625. res [f (z)]z=0 = 0;
res [f (z)]z„i = 1; res [f (z)]z=0O	 1.	626. res [f (z)]z	! = 2sin2;
res I/ (z)]zeoo =.— 2 sin 2.	627. res [f (z)]z=0 “ -gS
res [f(z)]z-3i= - (sin 3 - i cos 3); res [f(z)]z—3i = - (sin 3 + i cos 3);
res [f (z)]z=oo = -J=-(sin3 — 3).	628. res [f (z)]	2ft+,	=-l
z'	г=—-—я
(fc = 0, ±1, ±2,...).	629. res [/(z)]z=ftn = (-1)* (fe = 0, ±1, ±2,...).
630. res [f (z)]z=fcJl = 0 (k = 0. ±1, ±2,...).	63І. res [/ (z)]z=A„ = -1
(k = 0, ±1, ±2,...).	632. 1) res [/(z)]z=2 = res [f (z)]2=0Q = 0;
2) res [f (z)]z=2 = - res [f (z)]z_0O

633.	res [f (z)]2=0 = res	ni (n + 1)! *
n-o
634.	res [f (z)]2c0 = res [f (z)]z=oo = 0.
635.	res [f (z)]z	!	res [f (z)]z=oo = - cos 1.
636.	res [f (z)]z	3= - res [f (z)]z=oo =
637.	res [f (z)]z=0 = ÿ;
638.	res [f(z)]z=o = O,
n
= _sin2 y 42Я I y 4M+1
(2n — 1)! (2n)l Zj (2n)l (2n+ 1)! •
s Ln=l	rM	-
res(f(z)J wu-=2^T	(* = ±1. ±2, ...).
z“ h
если n<0, a также если и >0 — нечетное;
(-1)2
res [f (z)]2=0 — (n.pijP '
res l/(z)]2_œ=- res [f (z)]z=û.
n = О или n > 0 — четное;
639. res[f(z)] -(-!)*+>’
~	1	/г* л
2 кя
(fe=±l. ±2,...);	res[f(2)1^» = 7S4^’=_T
/г=1
640. res [f (z)]2=,ft2jt2 = (—l)ft	(fe=l, 2,...).	641. res l/(z)]z=ü = 0,
ь 4-1 22Л (22^ — 1 )
если n-нечетное, res [f (z)]2=0 == (-1)		—- B2k, если n = 2k
(fe«=0, 1, 2, ...), 'где B2fe —числа Бернулли (см. задачу 485);
res[/(z)l ,		^ттг- (* = 0. ±1, ±2....).	642. 1; -1.
(Л + І)
643. 0; 2. 644. - 2е2йяа/, если
деляемых значением 1 = — 1.
Y1 = 1 и Ln 1 =2/гш; 0 для ветвей, опре-
645. ± —	646. 1) а —р (для всех
о
243

ветвей); 2) еа — (для
если Ln 1 = 2/гш;	2)
всех ветвей). 647. 1) 2kni + ■- —!— + ...»
2*3!	4*5!	’
1	Г	1_
2! + 3*4!	5-6! +
(для всех ветвей).
648. res [f (?)]г=0 = &л. если Arctg 0 = kn\ res [/(г)]г=оо =—		—9
если Arctg оо =	я ,	649. res [f (z)]2=0 = О, если п^О;
res [Hz)]2=o = Ln р если «=-1, и res [f(z)]2=0 = —(a"*1 -p"*1),
если /і<- 2; res [f (z)]2=oo =	| (ал+1 — Рл+1), если n>0;
res [f (z)]2eOo = “ 2&л/, если n = — 1 и Ln 1 = 2£л/, и
res [/(г)]г=оо = О, если —2.	650. — 2c0Ci. 651. 1) Aq> (a);
2)	+ ... +	.	652. 1> »;	2) -5.
k	_
653. 1) rap (a); 2) -rap (a). 654.-^r. 655. AB. 656. У
ф \U)	t\
n=l
657. —-y=r. 658. —2ra. 659.-—. 660. ni. 661.--^-. 662.1. 663. 0.
/2	121	9
ОЛ+1
664. 7——гтг,	если	1, и 0, если п< — 1.	665. 32ш.	666. 0.
(п+ 1)!
667. —77гг+ У	п—г*	669. О, если r< 1; ±1, если г>1 (знак зависит
g(0) ^akg'(ak)
от выбора ветви подынтегральной функции). 670.	/1 +/2. 671.
Л
672.	673.	674. —675. (2q + Z,)" ■ 676.
1+ел Ка2-1	4	I 1~а‘
(а2 — Ь2)2 [а (а + &)] 2
если |a|<l;	» если ІаІ>Ь* 0 (главное значение), если |a| = l. а=/=±1
/	1	V л (а6 + 1)	. ,	,
(при fl=±l главное значение не существует). 677. —_ д2 -, если |а|<1;
л (а6 + 1)	« «. « л 1 — a12	z	ііі
аб (g2 __ fy * если ІаІ>1; у а6 (а^-~1У (главное значение), если |а| = 1,
2л
а^=±1 (при а=±1 главное значение не существует). 678. —, если п^О;
О, если п<0. 679. л/ sign а (при а = 0 главное значение интеграла равно 0).
680. — 2га sign Im а. 682.--^. 683.684. ^4 • 6. (2n-2) T’ еСЛИ
п>1; если п= 1.	685.	686.	687.

2	ab (а + Ь)	2	.л
nsin —
п
688. —
п
. ЗТ
Sin -Z—
2п
. л
sin —
п
690.  		—г
(2ih-z)k
691. 1) ^-(cos 1-3sin 1)1
244

2)(3 cos 1 + sin 1). 692. -^-(2 cos 2 +sin 2). 693.	. 694.
696. л/, если />0; 0. если / = 0; — л/, если /<0.	697. л (2 sin 2 — 3 sin 3).
Г	Kl ^з~	-1’
698. у (cos 1--^-).	699. y(sin|l| + e 2 (sin j у | +/З cos у) .
700. -J[e->/l-slnH].	701. Я(е-а6—І-).	702. ^-(1-e-^).
703.	[2- (2 + ab) е~аЬ]. 704. л (b-a).	705. %■.	706.
QO	2	о
Г и COS	Г И sin
I)	?	: 2> ——^р	; для того чтобы убедиться в справед¬
ливости ответа для — 1 < р < 0, достаточно заметить, что интеграл при этих
значениях р сходится, а функция, стоящая в
л
cos-^—.
2р
равен
707.
708.
(при
-г(
р \
р-1
интеграл
709. -г(-Цзіп-£-.
Р \Р} 2р
44- 712. . П . 714.
2 / sin рл
если
Р = 1
Л = 0.
интеграл
718. 0.
ответе, — аналитическая.
710. —1—гШ cos-i
Р - 1	\ Р ) 2р
п . 7і5ф Д (1 — р)
2cos^- 4cos^£-
2
1	\	». л л sin р*Ь	ж	ол
равен — L 716. —,	г-Цг-, если Л=£0, и ,
2	/	sin рл sin Л ’	’ sin рл
719.—. 720. л cig лр. 721. л ctg рл. 722.	~Р)
4	^~Р sin рл
' _р
22
рл 1
cos 	1 .
4	/
/ а \РЛ
724. -г5—
sin рл
726. —	-ту.
sinpn (1 + а)р+1
л ^4
. 729. Если а не принадлежит
где Кя2-1>0 при а>1 (в пло-
величина Ўа2 — 1 однозначна); при
. іа г	л ‘ V 4 ~2)	.	, л/ .
а=±е I = ± ■ г		 . е	; при а = іу 1 =	_^=- sign р; при
У 2 sin а	у 1 4- у2
а < 1 / = 0 (главное значение). 730. Если b не принадлежит интервалу
“ 1)~р, где (Ь — 1)-р>0, Ьр~{ >0 при b> 1; если
1 = — л^-1 (1 — &)“а ctg рл (главное значение). 731. 		—.
. л
п sin —
п
733. — (л2 + 4 In2 а). 734.	(— in а - 1 - —). 735. _ я.
8а	2а3/2а \2	4 /
737. 4" In2тт—- 739. 1)-7-Η+	(при а=1 2 = 44;
2	1+а	7 1-а Іпа \ 1	2/’
	1_
л2 \	1 + а2 *
723.
725.
ар~1
л
sin рл
л
sin рл
л / . рл . рл Л
—-— ( sin — F cos — IL
эіпрл \ 2	2	/
интервалу ( — 1, 1), то / 		7===-,
У а2 — 1
скости с разрезом по отрезку [ — 1, 1]
727.
728.
-1
(0, 1), то /
0<b< 1, то
732. — in а.
2а
736. 4 In 2.
4
2) —-,	—
—а
245

740.
741.
	1_
2ft 4~ 1
1
2ft
я V(-n‘- 2fe + 1	!_
2a 4 1 2 лк-ь 1 V 2	! + a2
й-0 ln a4V + 2j n
2л—1
1 I n У (_n*+l
l+a2 + 2a Zl( l)
Л«0
2А» 4-1
ln2a + (fc + y) n2
Л	-	1 r 1 n\	R Л 1 Л 21 ЛП	пл*	Л
(при a=l 7 = In 2).	744.—th—т-.	745. 	.
&	£	r» i
2ch —
747. 	.	748. — In (1 4-a), если 0<a<l; —In
o a	a	a
743.."(1-2I1~'>
sin an
2 ла
74в’ (e"a+l)2'
1 4- ci
		, если a>l.
tn	lnnt
750. 1) —r; 2) —г"» если t> 1; 0, если t < 1; если t = 1, то / = 0 при n> 1
ft!	ft!	r
1 \
и / = -g- (главное значение) при n=l. 751.	-.	752. sin/.
ва^	вс^
753. 1) cos /; 2) t — sin /. 754. 77—-77-		 4- -	—	77 4- -	777	7.
1	'	(b —a) (c —a) (a —b) (c —b) (a —c) (b —с)
1 /	1 \n	p~*	p~lt
755. —(1	, если /^І; 0, если t < 1.	758. 1)	■ - ; 2) • ■

ni V	t]	/ІІГ	■ Упі
и
759.
erf "К/ , где erf и «= Д=- е х* dx. 760. е t erf Ÿt . 761. sin /, если t < л;
. Ул J
О, если />л. 762. 1, если 0</<а; 0, если / = а; —1, если а</<2а; — —,
если /«2а; 0, если />2а. 763. ft 4-1, если па <t < (п 4- 1) а; п 4---7»
если / = ла (ft = 0, 1, 2, ...). 764. 1 — erf (см. ответ к задаче 759).
оо	nWt sin njlr	t
I	„	—	Т— 5 11	~	Г „
765. ~ + 22^(-1)пе
~ пяг • 7в«--^(-0, где £»(/)-
— du.
и
—оо
2л/
а *
769. 0, если 6<0; arch—, если
а
b>Q.
1
772.	г о	.	(У 2*4-1 >0 при z>OJ.	773. 1) ■	>,
/z24-1 (z4-/z24-1)	/ а2 - Ь2 .
если	а>Ь;	0,	если а<Ь; 2) 0, если а>Ь* ■■■■ -, если	а<Ь,
У/>2 — а2
774. I /о G h I //2 - Ь2),	775. Если действительная часть хотя бы одного
полюса положительна, то lim f (/) « 00; если действительйые части всех
t ->оо
полюсов отрицательны, то lim f (t) = 0; если некоторые полюсы располо-
--	/->оо
жены на мнимой оси, а все остальные имеют отрицательную действительную
часть, то f (t) при /->оо колеблется, причем амплитуда колебаний неогра¬
ниченно возрастает, если хотя бы один полюс на мнимой оси имеет порядок
выше первого, и остается ограниченной, если все полюсы, располо¬
женные на мнимой оси, —простые. Если на мнимой оси только один
246

полюс — в начале координат, то f (/) -> оо, если полюс — кратный, и
f (/) -> res [eztq (z)]2=0 если полюс — простой.	777. f (t)~—"~^ „
с их	l(û	2ai(ù~(ù-	-,o.	„	t-т
778. f (i) ~ y====r e	.	781. Решение. Представим инте-
X	ОО
1 Г	Г
грал в виде I —j	dt 4- I   — dt. Так как при асимптотическом
—X	X
разложении по отрицательным степеням х е~х~0, то из решения задачи 780
следует, что второй интеграл асимптотически равен нулю. Согласно опре¬
делению главного значения интеграла
dt = е х lim
е->0
dt
(в последнем интеграле подынтегральная функция непрерывна). Далее,
Интегрируя по частям, получим
Jl_dZ = C + ^(| + -l-+ ... + (п~пХ)^+п^ dt,
1 1
где С = С (п) — постоянная величина. Осталось установить, что
X
С е*
lim хпе~х .d/ = 0,
Х-»оо J ІП+І
а это легко доказать при помощи правила Лопиталя. 784.
смотрим J ez* t2 dt, где контур С изображен
с
на рис. 68 (при Rez>0). Этот интеграл равен
нулю и поэтому (z = x + iy)
z
J......
о
Первый интеграл в правой части равен —
2 J t + iy
X
Решение. Рас- -
Рис. 68.
Z2	»
е ; второй запишем в
виде
1	1	f
‘2.Z	2 J	(/ + zz/)2
X
dt.
0	x
z
С
24Г

Повторяя интегрирование по частям, получим требуемое разложение. Для
остатка имеем оценку
1-3... (2/1-1) f
2п J (/ + іу)2П
X
1-3 ... (2л-1) f ех2-р
2п J 1t + іу І2П
X
Снова интегрируя по частям, получаем
ехг-‘2
\І + ІУ\2П
dt< 2\z\2nx ’
откуда
и следует, что разложение является асимптотическим. Случай Rez<0 рас¬
сматривается аналогично. Если же Rez = 0, то
іѴ г(зге+4)
787.	14— У (— 1)”	ПРИ малом t
п	Зп+4
о	t 2
_з	2	2
t2	t3 • t2	4/2
f(t) =	■/•ЕТ--г-77Г+ -7,—■=. 788. 1. 789. 0. 790. 4.
Г(4)	()	r(4)	3f”
792. 1; 3. 793. 0; 4. 794. 2. 795. 1. 796. n. 797. n. 799. Решение. Так как
2
последовательность функций fn (z) сходится к функции ez всюду, кроме
точки 2 = 0, то для любого кружка Æ, с центром в точке z #= 0 и не содер¬
жащего начала координат ни внутри себя, ни на границе, при заданном е>0
можно указать такое N, что неравенство |/п(г)""£2 1<е будет выполняться
для всех точек круга Æ при n>N. Остается выбрать e<min|ez|, где
z^C
С — окружность круга К, и применить теорему Руше. Примечание.
Утверждение задачи непосредственно следует из теоремы Гурвица (см., на¬
пример, [1, гл. VIII, п. 2] ). 803. 0. 804. 2; 1. 805. В каждом квадранте по
одному корню. 806. Во втором и третьем квадрантах по два корня.
808. В области 0>О, а> +У 0 (область / на рис. 69) /п = 0; в области Р>0,
а<4-|ПР (область //) т = 2; в области 0<О (область III) т = 1. 809. В об-
.248

ласти а>0, (область I на рис. 70) т = 0; в области, где или а<0,.
или а>0, Р<~ (область //), /п = 2. 810. В области а>-^-+
Рис. 69.
(область I на рис. 71) т = 0; в области 0<а<у + ‘|/"Р2 4-(область II)
т = 2; в области, где или а < — ~\/ В2+4-, или ~ — Р2 + 4-<а<0,
2 у 4	2 г 4
Рис. 70<
Рис. 71.
р > 0 (область III), т = 1; в области у - ~у P2 +	< а < 0, Р < 0 (область IV)
т = 3. 812. Область, содержащая положительную полуось а и ограниченная
t cos %t
линиями а + b = 0 и
sin %t 9
0^/^—. 813. Область, лежащая
sin %t 9
249

(a=tgTZ> n
в пеовом квадранте и ограниченная линиями 6 = 0 и {	/2	0^/^ —.
ІР	ж
COST/
824.
814. Конечная область, ограниченная отрезком 6 = 0, 0 С я С и дугой
a = t sin т/,	тг	'
b = t2 cos т/,	2т
2=а + ^На)+^^Ш(а)Р)+ ... +^^±{[/(а)П+ ...
оо
•825. а = -і-ш + ^(-1)п-
п=2
n(n+ 1) ... (2п-2)
п«=2
n=l	n=0
p wn dn~l	'	2
829. z = a + /j ^an-\ (s^n” a)- 830. Решение. Функция w =	■
n=l
I Л I	Л '
аналитична в круге lz — — <г, если r<~2 * и не имеет в этом круге дру¬
гих нулей, кроме z = — . На
поэтому круг I w I < р радиуса
. .. 2г
окружности этого круга | w |	-7	37-,
. 2г .
р<	+ g_r отображается на соответствую¬
щую окрестность точки z = взаимно однозначно и разложение
2г
в этом круге сходится. Функция -37- имеет максимум при
Z (ш)
г = г*,
где е2Г* = j (г* =1,19... <"£■), и этот максимум равен
—	— = /г*2 — 1 = 0,6627 ... Таким образом, искомый радиус сходи-
ег +е~г
ллг,—	г-»	dw
мости не меньше чем 0,6627 ... В то же время точки wt в которых = 0,
.	л
т. е. tgz = z- —
не могут находиться внутри круга сходимости разложе¬
ния z(w). Обозначив z—преобразуем уравнение “^" = 0 к виду
ctg t = — t или e2lt = j . Следовательно, it = г* — корень уравнения
dw л	t	2іг*
		 0. Соответствующее значение w =	=		3-7-, откуда
dz	cos/ er +е r
250

I w I = —г"~т = Vr*2 — 1 = 0,6627 ... Эта точка находится, таким
er + в r
образом, на окружности круга сходимости, и радиус сходимости равен,
следовательно, ]/г*2- 1 =0,6627 ...
Глава V
832. Кольцо -i-< I z I < 1. 833. Внешность единичного круга ( | z | > 1).
834. |z |<1. 835. Полуплоскость Rez<—1. 836. Действительная ось.
837. Вся плоскость, кроме точек z = 0, ±1, ±2,... 838. |z|> 1.839. | z | < L
840. Вся плоскость, кроме единичной окружности ( | z |	1). 841. Вся
J_ (2fe+l) яі
плоскость, кроме точек z = 4rte п (fc, п=1, 2, ...). 842. Реше*
оо
н и е. Если ряд 2 ап сходится, то при | z | < 1 сходимость ряда
оо
ряда
п=1
V ап2п
^4 1 zn следУет из того> чт0 в противном случае
Un
-—, а следовательно, и ряд
1 — 2 *
ап
l-zn
следует, что ряд сходится и при |z |> 1. Если ряд 2 ап расходится^
П=1
оо
то ряд 2 ап^п имеет радиус сходимости R < 1. При | z | > 1 расходимость
глея бы ряд.
ап. Если же
п=і	п—1	'	П=1
оо	оо
I z I < 1, то модуль отношения q общих членов рядов anzn и
п=1	п=1
заключен в прёделах 1 — |z|^(/^2 и, следовательно, оба ряда схо-
ОО	-
дятся или расходятся одновременно. 843. 1) 2 где 6п=2ар>
п=1
причем суммирование распространено на те индексы р, которые являются
делителями числа /г, включая 1 и п. Радиус сходимости R = min {г, 1),
оо	оо
где г —радиус сходимости ряда 2 ап^п* 844. 2 ап (z - 2)п. где
п = 1	. п«0
оо	\
VI 1 Л2 I	1
а° = 2иІ2~=-б/; Я= 1' 845‘ Т’ если
.. .	й=1	/
1	Z	1
и — -у, если І*І>Ь 846. q если М<і, и	если 1*1>ь
847. z, если |z|<l, и 1, если [z | > 1. 848. -, если | z | < 1, и
_ (-1)" VI (In k)n I
ап ni À4 kl I
Ь = 1	\
251

если | z | > 1. 850. 1) и 2) сходятся равномерно во всяком круге |z | г< 1
и во всякой области |z|^R>l; 3) сходится равномерно на всей действи¬
тельной оси; в остальных точках расходится. 852. Сходится равномерно на
окружности |z| = l; во всех остальных точках расходится. 853. Сходится
равномерно в любой полуплоскости RezJ^Ô, где 0>0. 854. Сходится равно¬
мерно в любой полуплоскости Rezï>14-Ô, где 0>0. 855. Сходится равно¬
мерно на действительной оси; во всех остальных точках расходится.
856. Сходится равномерно на всяком отрезке [2Ьі + е, 2(fc +1) л —е] дей¬
ствительной оси (é = 0, 1, 2, ...). 857. Нет. 864. хс = ха —— оо. 865. хс =—оо,
ха=\. 866. хс =— оо, хЛ=+оо. 867. хс = 0, х& = + оо. 868. xc = 0,xa=ï.
869. хс = ха=— 1. 870. хс = ха = +оо. 873. х^ = 0; расходится во всех точках
границы. 874. хс = ха = —2; расходится во всех точках границы. 875. хс = ха=0;
сходится (неабсолютно) в точках z = (2k + 1) ni (fc = 0, ±1, ±2,...),
a в остальных точках границы расходится. 876. хс = ха = 0; сходится абсо¬
лютно во всех точках границы. 877. хс = ха = 0; сходится неабсолютно во
всех точках границы. 885. Интеграл сходится равномерно во всякой полосе
0<a^Rez^ï4<oo. 886. Интеграл сходится равномерно во всякой полу¬
плоскости Rezï>a>0. 887. Интеграл сходится равномерно во всякой полосе
ût^Rez^2 — а, где а>0. 888. Интеграл сходится равномерно во всякой
полосе a^Rez^ 1 — а, где а>0. 889 и 890. Интеграл сходится равномерно
в любом замкнутом интервале действительной оси, не содержащем начала
координат. 891. Интеграл сходится равномерно в полуплоскости Imz^O
с удаленным полукругом | z [ < г, где г —сколь угодно малое положительное
число.
892. Интеграл сходится равномерно в интервалах 0<a^z^p<l и
l<Y<z<oo. 893. Пример: f(t) = e* при n<t<n + e~n3 (п = 1, 2, ...) и
f(t) = O для всех остальных /.	894. хс = ха = 0.	895. хс = ха= — оо.
896. хс = ха= + <х>, 897.	— оо; xfl=l. 898. Хс= — оо; ха = + оо.
899. хс = — 1; Хд= + оо. 900. хс = 0; ха = 1. 901. Расходится во всех точках
границы. 902. Сходится абсолютно. 903. В точке z = 0 расходится, в осталь¬
ных точках границы сходится неабсолютно. 904. Во всех точках границы
сходится неабсолютно.
Глава VI
914. Решение. Вычисляя интегралы, входящие в очевидные нера¬
венства
л/2	Л/2	л/2
J sin2n+1x dx< J sin2nxdx<| sin^-'xdx,
0	0	0
получаем
Г (2n)l! ]2	1	(2n)I! I2 1
L(2n- 1)!! J 2n + 1 < 2 <L(2n- 1)!! J * 2n '
Для доказательства формулы Валлиса остается установить, что разность
между крайними членами в этой системе неравенств стремится к нулю при
/г —> оо. 916. 1) Не сохранится; 2) сохранится. 918. 1) Расходится; 2) рас¬
ходится (к нулю); 3) сходится; 4) сходится. 919. Сходится неабсолютно.
620. Расходится. 921. Сходится, если р>—, причем сходится абсолютно,
если р> 1; расходится, если	922. Сходится абсолютно, если р> 1;
расходится, если р5^ 1. 923. Сходится абсолютно. 925. |z|< 1. 926. |z | <2.
927. |z|<oo. 928. |г|> 1. 929. |z|<-|-. 930. |z|<oo. 931. [z|<oo.
932. |z|<oo.	933. |z|<oo.	940. Решение. 1) Вычитая из ряда
S(s) = 1+-^-+ ^-+ ... ряд для 2~s£(s), получим (1-2“s) £($) =
2s 3s
252

в правой части этого равенства отсутствуют те
члены \/ns, для которых п делится на 2. Аналогично (1—2-s)(l—3" s) £ (5) =
= 1 4- -р- 4- -уў- + причем в правой части отсутствуют члены для
которых п делится на 2 или на 3. Вообще
(1 - PÎ"S) С1 ~ P2S) ■ ■ • 0 “	= 1 + S 77’	(1)
причем суммирование в правой части (1) распространено на те индексы п
(большие единицы), которые не делятся ни на одно из чисел р2, ..., Рт-
Легко доказать, что при Res^l+ô (ô>0) сумма ряда в правой части (1)
оо
стремится к нулю при т -> оо и, следовательно, £ (5)	(1 — p”s) = 1.
m=l
2) Так как из признака абсолютной сходимости (см. задачу 917) следует,
оо
что произведение	р^5)при Res^l+Ô сходится, то функция £ (s)
т=\
не имеет нулей при Res>l. 941. Решение. Из доказанного в предыду-
оо
щей задаче следует,
что при любом 0>0 ТТ(1-р (I+Ôhe_—1—
±1.4	' Ç(l+o)
п=1
Отсюда легко заключить, что lim	0. Так как
ô->o „=1
оо
то ясно, что произведение (1 — рп расходится
п=1
оо
(к нулю), а следовательно, и ряд 2 Рп 1 также расходится.
п=1
961. -4^—.	962. ”2.с ■g-?t- .	963.	964. -Â-(l + nacthna).
sin2 ла	sin ла	8	2а2 v	7
1 / ла \	л3	(—l)fe+1 22й"!л2Л
«б5-	966- я - я9^:па; •• w—Ë2k'
Бернулли; см. задачу 485). 968. —— 	. 971. р = 0. 972. р = п, а = а.
£ sin ла
973. р=1, а = 3. 974. р = 1, <т = 3. 975. р = 3, <т = 2. 976. р = 2, а = /5 .
977. р=1, 0=1. 978. р = 1, <1= 1. 979. р = 1, а = /2. 980. р =-j, О = 1.
оо
«81. р=2ЙГ, 0 = 1. Решение.	= у (cos/Г+cos i/z ),
n=0
откуда
V z2n 1
Àà (23 - и)! ~~ 4
л=0
V* zn 1 Г 4 —	4 _ А
2j72^)F =	+ cos/Кг А
п=0
4 _	4 _	4 __
cos а /г + cosct2.}/^ 4" cos а3 4-cos ci4
Аналогично
а =
H
где
4	00	п	J 4	8
откуда (2з^ Д), ° 7 cosaft /7, и т. д.
п=0	Л=1
982. р = оо.
253

983. Решение. Достаточно, как нетрудно видеть, рассмотреть значения
z>0. Тогда -—	<1; с другой стороны, если 0<а<1, то
J ezt* dt 1	1
		 f dt^ f ег^2~^ dt -> oo при z->oo.
eaz J	J
0	Va
Следовательно, p=l, 0=1. 985. p* = max(p1, p2). 986. 1) p* » p, 0*^0! + o2;
2) p* = p. o* = max(oi, o2). 987. 1) p* p, o*^2o; 2) p*^p, o*<o.
988. Решение. Если z = rei(f, то при любом заданном г величина
z2	л	1 г2
1	— достигает наибольшего значения при ф=±— ; оно равно 14	.
Кг	2	К
С другой стороны, при любом е>0 (е<а) и п>п0(е) имеем
п Л п
-z	<	<	и. следовательно,
Р + е	а-е
(а-е)2г2 г2 (Р + е)2г2
		<1+І2"<1+	’	(,)
,	*^гг
, У2г2 \ sin /луг еп^г — е ПУ{Г .	леп Лги
	Wr	W	 (СМ’ 3аДЯЧУ ИЛИ 957)’
П=1
то из неравенств (•), ввиду произвольности е и решения задачи 984, следует,
что порядок р функции f(z) равен 1, а тип о не меньше типа функции епаг
и не больше типа функции en$z, то есть ла а л0.
990. Решение. Пусть М(г) р, а —максимум |f(z)[ на окружности
I z I = г, порядок и тип функции f (z), a Mi (г), pj и Оі — соответствующие ха-
рактеристики для функции f (z). Из равенства f (z) = J f (/) dt 4- f (0)
о
следует M (r) < rMi (r) 4-1 f (0) | и, следовательно, p pb Так
f (г) = —Д-	, где в качестве Г можно
1	J (£-z)2
взять окружность с
как
Цен-
тром в точке z	ô (ô> 0 —любое), то
Р!^р, и, таким образом, рі = р. Отсюда и из х .	. ___
равенств заключаем, что Оі = о. Другой возможный способ доказательства
основан на теореме, приведенной на стр. 124. 992. р = 1, а =	993. р = а,
T. е.
приведенных выше
Пе¬
О=оо. 994. р = а, 0 = 0. 995. р=0. 996. р = 0. 997. р=1, 0= 1. 998. р = 1,
о = 2. 999. р=1; /г (ф) = cos ф. 1000. р=1; А(ф) = соэф, если соэф^О;
/г((р) = О, если cosqp<0. 1001. р=1; h (ф)і = | sin ф |.	1002. р=1;
/г (ф) = | sin ф |.	1003. р=1; h (ф) = I cosф 1.	1004. р = п; /г(ф) = соэпф.
1005. р =~ ; h (ф) = J sin у|. 1006. 1) Л* (ф) = Л(ф), если h (ф) >0; Л*(ф) = О,
если Л (ф) <0, /г* (ф) <0, если Л(ф)=О; 2) всегда Л* (ф) =/г (ф). 1007. При¬
мер f (г) = ег - P {z), у<<р <-у.
'254

Глава VII
1009. 1) F+(z) = (z — а)”, Г(:)=0; '2) F+(z)^0, F~ (z) = - — 1	.
! (Z~
3) P + (z) s	, f (z) = 0. Во всех трех случаях интеграл типа Коши
\Z a)
обращается в интеграл Коши. 1010. 1) F+ (z) = ф (z) - У gk
р-(г)=_£^_^);	2) r+H = ^gk(~) + g(z),
F~ (z)	<P (z) + gft ( z Jfl* ) + g (г)- gk (z-gjJ - главная часть разло¬
жения функции ф (г) в окрестности полюса ak; g (z) — главная часть
разложения ф (г) в окрестности бесконечно удаленной точки, в которую
, 1 z —2
z+ In

~*-4	> F~^=~^~v
в частности, F* (0) = 0, F+ (л) 		—
2z	.	?
- —2—Zj •	JO 13. F+ (z) = --	■
Z2 - Л2	' '	2 (z + i) >
z2 — л2 ’
F-(z)=-l
включается свободный член. 1011. F (z)
„+ / ч .	1 2г
1012. F (z) = CtgZ-y
^(-л) = А.
_	Z
F	2(z — i) ’
юн. и-4
n=0
Zn
- / X IV Rn(an + ibn)
p (z) = —2	~ » предельные значения:
n=l
F^Reie)^^(an-ibn)e{n^
n=0
- 00
c + 4~	+ 4~ ^cos ^4-artsio П0);
’	n=l
oo
F~ (Rei6) = - j У (an + ibn) ein<> =
n=-l
oo
= "Y	^-ф(^еіѲ) + “ 2 (— bncos nQ + an sin /гѲ).
n=l
1015. 1) Если точка г лежит в круге Q*: |г — £л|<~, то (г) = f (г — &л),
Л(г) = (г-/гл). В частности, если 1*1<у, то Ц (г) = І2 (г) = f (z).
Если точка z лежит вне всех замкнутых Qk, то Ц (г) = 12 (z) = 0. 2) Пусть
Qfc-круг I z - kn I < л. Тогда Ц (г) = f (z - /гл) + f [z - (k - 1) л], I2 (z) ==
= (-1)л[/(г-^л)-/(z-(^-1)л)], если 2eQblQ^; /і(г) = /(г-^л) +
+ И^-(/г + 1) л], І2 (z) = (-l)* [f (г-/гл) - f (z-(k+ 1) л)], если z^QkQk+ij
Л = /(2~&л), І2 (г) = (— 1)* f (z — /гл), если z лежит внутри области
Qk — Qfe-iQft — QftQz?+iî Л(г) = 0, /2(г) = 0, если z лежит внутри дополнения
255

F± ,n 1 ln 1—e _ 1
F <S)=iïûlni—
4. ^<«>-±4.
F (0) = 0.
1 z — 1 П
ко всем Qk. 1016. F(z)=-^ln4-4- >•,
г + 1
f(Ç) = -±-in4^|(-i<Ç<i); F{±i)=±
znt 1 T G
1	*2? I
1017. F (z) = -7—r Ln	— — однозначная ветвь в г-плоскости с
2ш	z — К
I
вдоль С, определяемая значением Ln 1=0. Ln	5= In
г — t\
где Дс arg (£ — z) — приращение arg (Ç — z) вдоль С.
I I I • Л
I z—R | + гЛС
разрезом
arg (g-г),
F «-is?* 1"
F*
e+z?
l + R
l-R
2
4 ’
_1_.
4 ’
+ R
-R I 4’
F(0)=y,
1	z I R
1018. F (г) = —— Ln	(однозначная ветвь в
2лі	z — R
г-плоскости с разрезом
вдоль С, определяемая значением Ln 1=0; для |г|>/? она совпадает
с аналогичной ветвью из задачи 1017); F+ (g) =-xU- In I £ + I + 4-,
.	ZTtl I Q — /< I 4
1019. 1)0, если I z I < г или | z | > R, и если r < | z | < R; 2)
если
если
Im г> л,
и 0, если Ітг<л; 3) 0, если |Ітг|<л, и
I Im z I > л;
4) ——
2л/гп
F + z VI z2ft~'
R-z
если т
_1_
zn ’
■а
Т R + z , I R + z I , .. .	„ ч
Ln = In r_z I + l^c (аг£ (ь “— arg g} — однозначная ветвь в г-пло¬
скости с разрезом вдоль С, определяемая значением Ln 1 = 0. Предель-
ное значение этой ветви на С слева имеет мнимую часть — , а справа —
Этим определяются предельные
1 л. (_ пи-1
				; 5) функция F (г) та
Пі\
т R + г
пункте, только Ln ~ однозначная ветвь
значения F~ (J) на С;
же, что и в предыдущем
в г-плоскости с разрезом
9 На первой взгляд решение очевидно:
1
-nL [	-J_[ln(l_z)-ln(- l-z)] = -^-rln-^-.
2лі J g — z 2лі	1	J 2лі г+1
-I
Необходимо, однако, проверить, что заключительное преобразование
действительно приводит к указанной ветви логарифма, так как равенство
In г2 — In гі = ln-|L, вообще говоря, несправедливо. Это замечание следует
иметь в виду и в дальнейшем.
256

по другой полуокружности С, с тем же значением Ln 1 = 0. Предельное
и	Зл	/ л \
значение этой ветви на С слева имеет мнимую частьа справа — I — yj.
ц.	J J	-і
Этим определяются предельные значения (g) на С; F (0) =		.
2л z
Примечание. В пунктах 4) и б) ветви Ln -5	совпадают в круге
А — Z
|z|<7?, вообще же они различны; так, например, на оо в первом
случае ветвь имеет значение — л/, во втором + л/. Однако F (00) = 0.
1020. Ln ~~~ ~ I11 I	аг^ однозначная ветвь в z-пло¬
скости с разрезом вдоль С, определяемая .значением Ln 1 = 0 (так же опре¬
деляются ветви в задачах 1021 — 1024).	1021. 6 — а + z Ln г »
а — z
оо п
п
1022. 1) Ankzk~l + zn Ln 4^7;
2) 2	1 + <р (г) Ln |
п=1 Ы
fait— fe+l	дЛІ —fe+1
где Апк—-	—

1023.
z-z0.
b~Z T
Ln	Ln
\ a — z
6-z0 \
a — zQ )'
1024.
7	n	~
Г	Ln b~Z° + Ak(z — z0)k~l ,
u — z	a — Zq
L	Ь2	J
1025. 1) F+(2) = In (2 +Я), F-(z) = ln(l+-£j; F+ (Ç) = In 2R cos-J + i
F-(£) = ln2cos£-j-J; 2) f+(г) = In (Я - г) + ш >), F~ (z) = In (1 - 4V.
F+(£) = ln 2fl|sin-|| + i-^i£
угла qp = arg g (^ответствует условиям задачи).
2) f+w-h-i-,
F" (z) = 0;
1027. F(z)=-Ly-L
2л/ nz
n-1
» R + z
a Ln -=	 имеет то же значение, что в
R~z	’
F (Ç) = In 2 J sin-2-J , .
1026. 1)
r*-(O = 0, F~(£) = ln^l-.
F+ (S) = ln_L_;
m z^ '
(2k-\)R2k~l
■	Л=1
-Л-Ф
(отсует
F+ (z) = 0>
(S)=0.
[n
—
2
задаче 1019, 4). Этим опреде-
оо
ляются и предельные значения F* (?) на С. Если | z | < R, то F (z) = 2 £/ггП>
Æo
ІИ8'^1г>-~І[2+/г~"77Я
!) Если Ln г и In z —ветви, указанные в условии задачи, то
Ln z= In (— z) + ni.
9 Л. И. Волковыский и др.	257

а-(2)=_2_Г2 + /71п1^4^ -/7. 1029. F+(2)sa F"(z) = Ln —-
ш [	1 + V2	* z —a
(ветвь логарифма определяется условием задачи). 1030. F (z)sl,
f-(z)=l_-|/r	•	1031. p+ (z) = z-Xa-(l -Л) b,
F~ (z) = z-Xa-(l-X)Z>-(z-a/(z-&)I-\	1032. F+(z) = Ln
F-(2) = Ln-^X 1034. - x2 + x- 3,5.	1035. 1) у(1пт4т)2;
2) _L(ln——	1037. Если |z|>l и z G= С, то F (z) =*
2 \	1 T /	2
= . L in —— Ln R — + Fi (z), где Fi (z) —аналитическая функция при | z | > 1,
2ш z — 1 R — z
а ветвь Ln -у выбрана так же, как в задаче 1019. 4). Отсюда видно пове¬
дение F (z) в точках ±.R — концах дуги С. 1038. П(/)-плэщадь области G',
на которую f(z) отображает область G, 1044. 1) 1п |	|; 2) In | —— | ;
2л ’
1 Г	г2	 D2
1050. и(х)		 «(Ç)—		—		-de,
2л J R2 — 2Rr cos (0 — <p) + г2
еП2-е*
еЛг - елі
3) In
2Л

« (°°) = -^ J “ (?)dQ- 1052- D f («) = Ф (z) + ф (у-), ft (z)	Ф [ у) - Ф (z),
о

причем V (0) = Im f (0) = Im [ф (0) + ф (°°)];	2) f (z) = — іф (z) + »ф
f! (z) = iff (4^) + «ф (z), V (0) = Im f (0) = Im [- /ф (0) + /ф (оо)].
' Z '	R2tl
1053. 1) f(z) = zn, fi(z) =	гГ (здесь и в ответах к задачам 1054-1057
2	z”	)
значение о (0) взято равным нулю). 1054. f (z) = fi (z) = -
1055.	f(z)=-ln(l--j^ (In 1=0), Mz) = ln(l-y).
1056.	f (z) =	(f (°} °	,057- Hz) = lnfl,
OO	OO
fi (z) = — In	1059. w (?) = — f и (t) , __	2, H2)=-^- f J +
(для существования первого интеграла достаточна кусочная непрерывность
и ограниченность и (t) во всем интервале ( —оо, оо), для второго — допол¬
нительно, например, функция и (/) должна иметь на бесконечности порядок 1060
1060. f (z) = и (z) + iv (z) - -i- f и (t) cth Я^9-— dt - ў f u, (/) th dt,
^4 J	£	£1 J	&
— OO	—OO
где Ui(/) = w(/ + 0 (для существования интегралов достаточно, например,
258

а> 0j.
|z| = l
внутри
чтобы u(t) убывала на бесконечности, как
1062. Окружности в круге | z | < 1, касательные к окружности
в точке	1064. Дуги окружностей, соединяющие
круга ]г|<1 точки е*Ѳі,	1065. со (г; a, b) = у arg >
œ ©о, b) = у arg (z — b)-t со (г; а, оо) = 1 — ~ arg (г — а). Геометрическое
значение этих гармонических мер —деленный на л угол, под которым виден
отрезок или луч из точки z. 1066. 1 	arg г для луча argz = 0 и —arg г
' ..	2 z — R , f 2	. 2Ry
для луча arg z = у. 1067. со (г, А) = — arg ууу -1 = 1- — arctg-^2-_ |2 ,
о (г, Г) = 1 — со (г, А). Линии уровня — дуги окружностей, соединяющие
точки ± R, из точек которых диаметр А виден под углом -^-(14-со) в слу¬
чае со (г, А) и л ^1 - -у 1 - в случае со (г, Г).
1068. <ù(z, Г)= —arg г ,
' л sz + R
2
1069. œ (z, Г) •= — arg
л
In I z| — In R ,
И —:	;—ДЛЯ
In r - In R
у Z -VR	In I z I - In r . .	_
—7= 7=-.	1070. —’—!	 для z = R
/z+/R	InR-lnr
n
z\ = r. 1073. и (z) = 2 cv®v (z).
Глава VIII
oo
yi (z — d)n	„ z
1078. f (z) =	этим разложением f (z) аналитически про-
п=о V1 ”а)
должается внутрь круга | z — а ] < | 1 — а |, который не лежит целиком
внутри круга I z | < 1, если а не принадлежит интервалу [0, 1)
- ’
2	! 2 \п \	2 )
1079. f (z) = In у +	I y I 			» КРУГ сходимости этого ряда
п=1
|г + у|<у. 1093. Решение. Подстановка е( = х приводит интеграл
оо
. / . С sin х dx	/ ç с in у\	тт
к виду /($)=	—-^s—	(х =еЪ1ПХ). Интегрируя по частям, получим
1
оо
„ z .	, Г COS X ,	•	„
f (s) = cos 1 — J —dx. Последний интеграл сходится в полуплоскости
Res> — 1. 1096. 0<Re г< 1, — l<Rez<l. 1098. Точка г=1 — простой
полюс с вычетом равным единице. 1099. Решение. Обозначим через
оо
(z) = J e~f(p (zt) dt. Аналитичность функции (г) в круге | z | < 1 следует
о	.
из результата задачи 535 и общих свойств интеграла Лапласа (см. стр. 113).
.9»*	259

Интегрируя по частям (л+1) раз и пользуясь неравенствами задачи 535,
получим при I z I< 1
/1 (г) = - У zk (e-'<p(ft) (гф]~ + 2n+I J е-'ф(п+1> (zt) dt =
k=Q	0
= anzn + zn+' J”e_/<p(rt+ ” (zt) dt.
fc=0	0
Из оценки для | qp(rt+^ | следует, что второе слагаемое в правой части послед¬
него равенства стремится к нулю при n-> po ( | z | < г). Для доказательства
второго утверждения возьмем любую точку z œ G. Тогда внутри и на гра¬
нице -круга, для которого Oz является диаметром, не будет, как это нетрудно
доказать, ни одной особой точки функции f (z). Поэтому при достаточно
I 2 I
малом Ô > 0 внутри и на границе С круга радиуса -L^-L 4- Ô, концентрического
ç уже построенным, функция f (z) также будет аналитической. Таким обра-
оо
зом, для коэффициентов сп разложения f (z) = cnzn справедливы равен-
п=о
ства сп = J "pf dt> и, следовательно,
Ш С	-
ряд
Так как
Щ) dz
Г+1
Szntnf (g)
ni Г+1
сходится равномерно на С, то qp (zt) =
Максимум величины Re
на С равен
и
И +Ô
с
= (/< 1 (при доказательстве этого утверждения достаточно рассмотреть слу¬
чай, когда z действительно и положительно, так как поворот вокруг начала
координат не изменяет величины Re (z/t>), и, следовательно, | qp (zt) | < Aeqt
oo
(4— постоянная). Отсюда и следует, что интеграл J e^t^(zt)dt сходится,
о
1103. Если Lnu>	ветвь функции Ln	, аналитическая в г-пло-
Z — Z\	Z — Z\
скости с разрезом по дуге уі и обращающаяся в 0 при г = оо, то F"“ (z) =
= (а —6)Ln(1)	(г) = (g — ^) Ln(р -*■	+ 2л 6/; внутри G+: F (z) =
= (a-b) Ln(0
z — z2
Z-Zi
— 2л/ (a — b) при аналитическом продолжении через уі
и F (z) = (a — b) Ln^	ПРИ аналитическом продолжении через уг*
260

1105. 1) z = ± 3; 2) z = ± 2i\ 3) z = ± 2Z. Во всех трех случаях значения w' (z)
различные. 1107. Над z=l два элемента: z=l+t,
l-(l-0Vî I . 1,.
Wt	г.	y + y < + ••••
w2 =
;над г=2 один алгебраический элемент: z = 2 + t2,	= 1 — — f2 + ...»
111 < 1.	1108. Над z=l два алгебраических элемента: z=l+/2,
w = ±i “4")/2 = ±Z^2 (i ...)’ И<2; наД 2 = 5 °ДИН
t [	t2	\
алгебраический элемент: z = 5 + /2, w =	11 — — + . . . )	111 < 2,
Z y	oZ	]9
i+ •■■)’ |/|<4:
над z = oo —один алгебраический элемент: z = /“4, &у=у —/4- ...»
и два правильных элемента: z = 5 + /, w =
4/ 1
■0<НІ<]/ у.
1109. Над z = 1 — два алгебраических элемента: z = 1 -Н2,
ііу = ± (1 +t)'/2 = ±	4- у t — ...j, I /1 < 1. 1110. Над z = 1 — три алгебраи¬
ческих элемента: z=14-/2; w = &k 4-у + ... j, |Z|<1; где ©i = 1,
± 2пі
<d9 3 = е 3 . Над z = 2	один алгебраический	элемент: z =-2 4- /3,
1 — -j-g 4- ...j, I £ I < 1 и три правильных элемента: z = 2 4- /,
w = œfe]X2 (1 +-|у+	|f|<l.
Над z = oo - один
алгебраический элемент: z = Z 6,
1 , /2
a’=7 + T
1
w = ±7
1111. Над z=oo два алгебраических элемента: z = t 2,
(l-а/)2 (1-W)2 = ±4(1-A|^<+ •••),
0<UI<min(-îip jb).
1112. z = 0 — существенно особая точка, дву¬
х¬
значная: г = /2, w = et = 1 +у + “2772“+ •••> 0<|/|<оо.
1113. Над
л	-	.2 Sin t 1	1	1 л
z = 0 — алгебраический элемент: z = /2, w = в73-— уу + у t — ...»
0<|/|<оо.	1114. Над z = 0 — алгебраический элемент: z = t3
w = ctgf = -;	L4.	0<|/|<л.	1115. Над z = 0 — алгебраический
t о
элемент: z = t2, w = t 1—~+ ...j, |/|<Кл. 1116. Над z=l одна транс¬
цендентная точка ветвления 1-го порядка; над z = 00 одна а. т. в. 1-го порядка.
1117.	Над z = 0 и z = oo по одной а. т. в. 1-го порядка; над г=1 одна
261

правильная точка и одна существенно особая точка однозначного характера,
1118.	Над 2 = 0 и z = oo по одной а. т. в. 1-го порядка; над каждой из точек
2=0"^"&л")	“ ± 1» ±2,...) по одной правильной точке и по одному
полюсу 1-го порядка; над 2 = 1 одна правильная точка и одна неизолирован¬
ная особая точка однозначного характера (предельная для полюсов).
1119.	Над 2 = 0 одна а. т. в. 1-го порядка; над каждой из точек 2 = k2n2
(k=± 1, ±2,...) по два полюса 1-го порядка; над 2=оо одна неизолиро¬
ванная точка ветвления (предельная для полюсов). 1120. Над каждой из точек
2 = 0, 2 = 2 по шесть а. т. в. 1-го порядка; над 2= 1 две а. т. в. 2-го порядка
и шесть правильных точек; над 2=оо две а. т. в. 5-го порядка. 1121. Над
каждой из точек 2 = Z, 2 = — і бесконечное множество полюсов 1-го порядка;
над 2 = 0 и 2=оо по одной л. т. в. 1122. Над 2 = 1 бесконечное множество-
Рис. 72.
правильных точек и бесконечное множество полюсов 1-го порядка; над 2 = 0
и 2=оо по одной л. т. в. 1123. и/ = -^-, w = оо — а. т. в. 1-го порядка,
1124. w = ± 2 — а. т. в. 1-порядка; w = оо — а. т. в. 2-го порядка. 1125.
w -■ оо — а. т. в. 1-го порядка. 1126. w = 0, w = оо — а. т. в. 1-го порядка.
1127. w = -^-e±ia (а = cos а) — а. т. в. 1-го порядка. 1128. w = оо — а. т. в,
(п—1)-го порядка. Каждому нулю производной w'(z) порядка k соответ¬
ствует а. т. в. функции z(w) того же порядка. 1129. Нулям производ¬
ной w' (2) соответствуют а. т. в. такие же, как в предыдущем случае. Полю¬
сам функции w (2), порядок которых больше единицы, соответствуют а. т. в.
порядка на единицу меньше порядка полюса. Если на оо функция w (2) =
= w0 + —— 4- ... (&>1), то 2=оо соответствует а. т. в. (k — 1)-го порядка
zk
262

п _
над w — wQ. ИЗО. Поверхность для z (w) та же, что для ее точки вет¬
вления лежат над w = 0, w — оо ц соответствуют z = — я, z — оо. Листам
п	п	2л
^-плоскости с разрезами 0<я<оо, и = 0 соответствуют углы с верши¬
ной в точке z= — я. При я-»оо эти углы превращаются в горизонтальные
полосы шириной 2л, функция w (z) — в еЛ поверхность для z (до) — в поверх-
п _
ность для Ln до. 1131. Поверхность для z (до) та же, что для }^до. Листам
^-плоскости с разрезами — оо<ц<0, ѵ = 0 соответствуют круговые дву¬
угольники с углами 2л/я в точках z = a, z=b (рис. 72, где я = 3)1)*
1132. Поверхность для z(w) получается склеиванием двух листов до-пло¬
скости с разрезами \и |< 1, ѵ = 0, соответствующих областям |z|<l и
Рис. 73.
|z|>l. Точки ветвления лежат над до
лярной сетке 1 1	"
с фокусами
± 1 и соответствуют z — ± 1. По-
argz = (p соответствуют эллипсы и гиперболы
. У2 _i. а2 У2
J_\l2 ГЛ	L\"|2	* cos2(P sin2 ф
1133.
до (z) =
2
= z + 2z2 + 3z3 + ... — известная
(1 - г)2
экстремальная функ¬
ция в теории однолистных конформных отображений (см. [4, гл. XIII, § 1] ).
Она отображает единичный круг | z | < 1 на до-плоскость с разрезом
— оо < я <—-, ü = 0. Поверхность z (до) получается склеиванием двух таких
листов. 1134. Поверхность для z(w) получается последовательным склеива¬
нием 2я листов ^-плоскости с разрезами 1 < ] и | < оо, и = 0. Она имеет
2я точек ветвления 1-го порядка над до = ± 1 и 2 точки ветвления (я — 1)-го
порядка над w = оо. Основное отображение показано на рис. 73. Функция до (z)
автоморфна (инвариантна) относительно группы линейных преобразований,
( 1
порождаемой преобразованиями 7 = œz у©=е у, S=—. Этим преобра-
9 На рисунках к задачам этой главы соответствующие друг другу
точки обозначены одинаковыми буквами. Для бесконечно удаленных точек
использованы, как правило, обозначения Q и Q'.
Т-у— «1.
263

зованиям соответствуют преобразования поверхности для г (гр) в себя, при
которых листы циклически переходят друг в друга с сохранением проекций
точек на гр-плоскость. 1135. Поверхность для г(гр) 2п-листна, с точкой вет¬
вления (2л— 1)-го порядка над w = 0, соответствующей 2 = оо, и с 2п точками
ветвления 1-го порядка, из которых п расположены над w = оо и соответ-
ЛІ /	2ЛІ	X
ствуют точкам zk = е п ю* = е п , k = О, 1, 2, ..., п — 1 у, а п — над точ-
'	, / 2п— 1 V /	/ V Ï
ками	= (—-	J zk и соответствуют точкам zk = 1/		р
Рис. 74.
Основное отображение показано на рис. 74. Остальное получается продол¬
жением по принципу симметрии. 1136. Поверхность .для z(w) п-лшлпа,.
с точкой ветвления (Л—1)-го порядка над гр = оо, соответствующей z = oor
и n—1 точками ветвления 1-го порядка, расположенными над
/ 2пі
wk ~zk ( 1 ""“д’) и соответствующими zk~tùk = е, k = 0, 1, ..., n — 2
Рис. 75.
Для построения поверхности нужно к ее нулевому листу (w-плоскость
с n—1 лучевыми разрезами, выходящими из гр^) приклеить вдоль каждого*
разреза, крест-накрест, по одному листу (гр-плоскость с одним лучевым
разрезом). Основное отображение показано на рис. 75. Кругу | z | < 1 соот¬
ветствует внутренность эпициклоиды (для п = 2 — кардиоиды). 1137. Поверх¬
ность для г (гр) (п + 1)-листна, с точкой ветвления (п—1)-го порядка над
гр = оо, соответствующей z=oo, и п +1 точками ветвления 1-го порядка,
расположенными над	и соответствующими z^
264

2пі	\
G> = k = 0, 1, ...» я/. Основное отображение показано на рис. 76.
Области I г I < 1 соответствует внешность гипоциклоиды (для п = 1 — отрезка).
1138. Поверхность для z(w) я-листна, с точкой ветвления (я-І)-го по¬
рядка над w = pot соответствующей z = oo, и я — 1 точками ветвления 1-го по-
(	1 )^	k тс
рядка, расположенными над ®k =—n~_j - и соответствующими z^ = cos —
Рис. 76.
(k = 1, 2,
я—1). Для построения поверхности нужно к нулевому ее
2«-! ’ ѵ
w — плоскость
с разрезом
приклеить
последовательно п — 2
листа с
двумя разрезами
оо, и = О,
затем к последнему цз них
— оо < и 	V 3 0, если
приклеить еще
я — четное число,
лист, имеющий разрез
и разрез ■ =< я < оо,
V = 0, если я — нечетное число. При отображении w (z) эллипсы и гипер¬
болы с фокусами ± 1 переходят в эллипсы и гиперболы с фокусами ± -—г-*
Изменение полуосей получается из соотношений z = const, w = const.
На рис. 77 показано разбиение z-плоскости jia области, соответствующие
полуплоскости 0>О и 0<О (первые заштрихованы) для я = 5. 1139. ш = 0,
w = оо — л. т. в., w = 1 — полюс 1-го порядка для одной из ветвей функ¬
ции z(w).	1140. Функция z(w) имеет по одной а. т. в. 1-го порядка над
w — е± и по две л. т. в. над w — 0 и w = оо. Ее риманова поверхность
получается путем склеивания двух экземпляров римановой поверхности
•функции Ln w вдоль разреза, проведенного на них над дугой, соединяющей
на иу-плоскости точки до = е±2^. 1141. Функция z(w) имеет над w = ± У~2
бесконечное множество а. т. в. 1-го порядка и над w =* оо две л. т. в.
1142.	Функция z(w) имеет по одной а. т. в. 1-го порядка над точками
sin z.
wk = —-— (z^ —корни уравнения tgz = z; они все действительные), две
л. г. в. над w = оо и косвенно критическую особенность над w = О,
265

предельную для указанных а. т, в. (см. Р. Неванлинна, Однозначные
аналитические функции, Гостехиздат, 1941, п. 238).
1143.	z = Arccos w = -у Ln (w — 1). Поверхность для z (w) беско-
нечнолистна, с двумя л. т. в. над w = оо и а. т. в. 1-го порядка над w = ± 1Г
Рис. 77.
соответствующими z*=kn № = 0, ±1, ±2,...); получается
бесконечного числа w-плоскостей с разрезами 1	| и | < оо,
рым соответствуют вертикальные полосы &л <х <(& Ч-1) л
склеиванием
ѵ = 0, кото-
(рис. 78)*
Рис. 78.
1144.	z = Arcsin w = — — Arccos w, Поверхность	для z(w) та же,	что	для
Arccos w. 1145. z = Arctg w = Ln	Поверхность для z	(w)
бесконечнолистна, с двумя л. т. в. над	w = ± получается	склеива¬
нием бесконечного числа о»-плоскостей	с	разрезом и = 0,	[ ѵ |	1,
266

соответствующих вертикальным полосам kn <х < (k + 1) л (рис. 79).
1146. z = Arcctg w = ~ — Arctg w. Поверхность для z(w) та же. что для
А г cig пу. 1147. z = Arch w = Ln(w + У w2 — 1); chz = :os/z. Поверхность
для z (w) та же, что для Arccos w.
Рис. 79.
1148.	z= Arsh o> = Ln (w + Уш2+1); shz= —zsin/z. Поверхность для z (w)
„	л
получается из предыдущей поворотом на — вокруг начала координат.
1149.	z = Arth w = у Ln ■ j	; th z= — i tg iz. Поверхность для z (оу) полу
чается из поверхности для Arctg w поворотом на у вокруг начала координат.
1 w -Ь 1
1150.	z = Arcth w = у Ln — —у; cth z = i ctg iz. Поверхность для z (w)
та же, что для Arth w. 1151. Поверхность для z (w) строится так:
на w-плоскости проводим горизонтальные разрезы — оо<н^1,
V = (2&-Ь1) л (k = 0, ±1, ±2,...) и вдоль каждого из них приклеиваем
по экземпляру î^-плоскости с таким же (одним) разрезом. Построение по¬
верхности для z (ш) основано на том, что w (z) отображает каждую
полосу 2&л < у< (2 k + 1) л на полосу 2kn < v< (2k + 2) л, несущую ^-пло¬
скость, приклеенную по разрезу — 1^и<оо, ѵ = (2&+1) л (см. рис. 80;
знак + означает, что области нужно склеить). 1152. 1) Пусть F —риманова
поверхность, на которую функция w = 7? (g) отображает ^-плоскость. Для
построения римановой поверхности функции z (w) нужно склеить бесконечно
много экземпляров поверхности F с разрезом по дуге, соединяющей на F
дочки w (0) и w (оо) (подобно построению римановой поверхности функ¬
ции Ln w). Полученная риманова поверхность имеет две л. т. в. в концах
дуги склеивания и бесконечно много а. т. в., принадлежащих поверхностям F.
2) Для построения римановой поверхности функции z (w) склеиваем бес¬
конечно много экземпляров поверхности F попеременно вдоль разрезов,
идущих из точек иу(±1) к точке w (<х>) (подобно построению римановой
267

поверхности функции Arcsin w). Полученная риманова поверхность имеет
две л. т. в. над w (оо) и дополнительно к а. т. в. п. 1) имеет еще бесконечно
много а. т. в. 1-го порядка в точках w (± 1) (если w (+1) или w ( —1>
является а. т. в. порядка k поверхности F, то для z(w) она будет а. т. в*
Рис. 80.
порядка 2k + 1). Исследование функции z (w) можно свести и к предыду¬
щему случаю заменой Z] = iz. 1153. Все римановы поверхности для w (z)
двулистны и имеют а. т. в. 1-го порядка над точками: 1) z = a, z — b;
2)	z = a, z=b, z = c, z = oo; 3) z = a^ и г=оо/если n —нечетное. Для
построения поверхностей берем два листа z-плоскости с разрезами, иду¬
щими из указанных выше точек в оо, и склеиваем их по одинаковым раз¬
резам. 1154. Все римановы поверхности для w (z) трехлистны и имеют
а. т. в. 2-го порядка над точками: l)z = a, z=œ; 2) z = a, z = b, z = оо;
3)	z = a, z = b, z = c*t 4) z = ak и z=oo, если п не кратно 3. Для построения
ОКУ
ü)2U)
Рис. 81.
поверхностей берем три листа z-плоскости с разрезами, идущими из ука¬
занных точек в оо, на которых определяем три однозначные ветви ш, оо/,
/	2л/ \
\(ù = е 3 ) . При обходе точек ветвления w (z) приобретает множитель о
за счет одного из подкоренных множителей, поэтому порядок склеивания
листов по всем разрезам одинаковый, циклический (см. схему на рис. 81).
1155.	Риманова поверхность для w (z) n-листна, с а. т. в. (п-І)-го порядка
над z = a, z = b, z = c, z=oo. Поверхность получается склеиванием
п листов z-плоскости с разрезами, идущими из точек z «= a, z = 6, г » а
в оо. Склеивание циклическое, одновременное по всем разрезам. Листы соот¬
ветствуют однозначным ветвям функции агщ \ш = в п , k = 0, 1, ..., п —1J»
268

1156.	Риманова поверхность для w (2) шестилистна, с а. т. в. 5-го порядка
над z = oo, двумя а. т. б. 2-го порядка над каждой из точек 2 = a, z = b и тремя
а. т. в. 1-го порядка над z = c. Поверхность получается склеиванием шести
листов 2-плоскости с . разрезом по кривой, идущей из а в Ь, из b в с и
І) с
а
Wï+U)2
ID^LÜg
Ь Сі)2Ш/+и)2 G (jù2U)i-U)2
CùU)i+U)2 _ G)U)f+U)2	~ .(Ùlüi+U)2
C 	-O~
a <ô2u)i+u)2 b u)i+u)2	u)/-w2
Ct)2U)f +U)2 b)2U)i +U)2	(ô2U)i + W2
3) C	J=Q==
a üJ]+lu2 b q)U)]±iv2 c <ûUJ]-u>2
U)f - U)2	£_
«) c	=0		 -*^7	9 - —
a ьщ-щ b cù2lüj-lü2 6
CûU)l~-U)2	(ÛLÜJ-LÜZ
Д (ô2U)j-U)2 b U)f-U)2	U)f+U)2
ОЎйіі-Шг	G)2 U)j~~U)2	Q)2U)t-U)2
C	—
a wt-u)2 b G)iDrU)2 c G)u)]+u)t
Рис. 82.
из c в 00. Эти листы соответствуют однозначным ветвям: wx 4- w2, cù^i +^2»
■	2л f	-
(ù2o>i 4- w2i w\ — w2, œwi — w2, <ù2Wi — w2, где <ù = e 3 , a ^1, w2 — одно¬
значные ветви j/	и —'c. Обход вокруг a циклически соеди¬
няет листы 1, 2, 3 и 4, 5, 6, вокруг Ь — листы 1, 3, 2 и 4, 6, 5 (соединение
дважды по полулистам), вокруг с —полулисты 1, 2, 4, 5 (показано на рис. 82);
2, 3, 5, 6; 3, 1, 6, 4, вокруг оо — циклически листы 1, 6, 2; 4, 3, 5 (см. схему
на рис. 82). 1157. Риманова поверхность для w (z) шестилистна, с двумя
а. т. в. 2-го порядка над 2 = 0, одной а. т. в. 1-го порядка над 2=1 и
'	269

а. т. в. 5-го порядка над z = оо. Для ее построения нужно склеить два
экземпляра поверхности функции j/z, каждый из которых имеет на одном
из листов разрез по лучу # = 0, 1<х<оо. 1158. Риманова поверхность
для w (г) двулистна, с а. т. в. 1-го порядка над точками z = k?t
Рис. 83.
Рис. 84.
(k = (), ±1, ±2, ...); над z=oo поверхность имеет трансцендентную особен¬
ность-предел а. т. в. Для построения поверхности берем два листа z-плоскости
с разрезами, идущими из а. т. в. в оо (например, по лучам параллельным
мнимой оси), и склеиваем листы по одинаковым разрезам. 1159 J). F2 и F&
Рис. 85.
получаются каждая склеиванием , двух плоскостей с разрезами [—1, 1]
(рис. 83). 1160. Fz получается склеиванием двух z-плоскостей с разрезами
( — оо<х <0, #=0), Fw—двух ay-плоскостей с разрезами у] (рис. 84).
9 В ответах к задачам 1159 — 1164 через Fw обозначены поверхности
дляг(г<у), т. е. поверхности над ^-плоскостью, а через Fz — поверхности
функции w (z) над z-плоскостью.
270

1161. Fz и Fw получаются каждая склеиванием трех плоскостей, имеющих
в циклическом порядке разрезы по двум из отрезков [о, ѵп [о, 0 ]/*4 ],
2 л г
[О, ©2/4], где œ = e 3 (рис. 85). 1162. Fz получается склеиванием
двух z-плоскостей с разрезами J"o, yj, ^ — приклеиванием к ^-плоскости
Рис. 86.
Г.з/з , . 1 Г .3/3	. 1
с разрезами уь н——> +100 » №'• — * ~2—» ""іо° ДВУХ ДРУГИХ -пло¬
ское гей с разрезом уь соответственно у2 (рис. 86). 1163. Fz получается
склеиванием двух z-плоскостей с разрезами [—1, 1], Fw — склеиванием трех
Рис. 87.
^-плоскостей, имеющих соответственно один разрез [— ib, ib], два разреза
[—а, а], [0, ib] и два разреза [— а, а], [0, — ib\, где а =	" У К 5 — 2,
b = У У 3 +2. Отображение и три ^-плоскости с разрезами пока¬
заны на рис. 87 (рис. не в масштабе). 1164. а) п —нечетное. Fz п-листна,
/ ni	\
имеет п а. т. в. (п—1)-го порядка над точками z=œ* \о=е п , /г=«1, 2, .. .,п)
271

п
Fw 2п-листна, имеет п2 а. т. в. 1-го порядка, по п над точками w = г]ѵ 1/
( \ . ѵ 4
\т) = е ,ѵ = 0, 1,2	п-1/,	соответствующих точкам Fz над z = î]v,
и п а. т. в. 1-го порядка над w = оо, соответствующих а. т. в. Fz над z =
Отображение показано на рис. 88 (для исследования использована замена £=/
W =* ып). Функция w (г) отобра¬
жает круг I z I < 1 на до-плоско'сть
с п лучевыми разрезами, выхо¬
ду г
дящими из точек Г]ѵ 1/	б)п —
г 4	7
четное; Если п = 2т, то w (z)
распадается на две функции.*
WL2 = ± “1 4-г2т • Для построе-
О
ВО)
А(е^)
О
Рис. 88.
ния Fz берем п «полулистов»
I Z I < 1 и п «полулистов» I Z I > 1.
Обозначим их соответственно че¬
рез HQk и н£, а граничные дуги, определяемые точками через yk.
Приклеиваем к	вдоль yk полулисты HQ[t вдоль ул+1 — полу¬
листы Н2» вдоль Yfe+2 —полулисты #з и т. д. циклически. Этим определяется
и порядок склеивания Fw из 2п листов, представляющих до-плоскости
с п лучевыми разрезами, указанными выше. 1165. w = z3, z = 0 и z=oo —
— Z n
a. T. в. 2-го порядка. 1166. ay = zw‘ —несократимая дробь, равная —j,
z = 0 и z = oo-a. T. в. (mi —1)-го порядка. 1167. z=»0 и z = oo — a. t. b.
1-го порядка; z = 1 — существенно особая точка для одной из двух ветвей
z zè
функции. 1168. w = 1 — -JI +	— ... — целая функция; z = оо — существенно
особая точка. 1169. z = 0 и z = oo- а. т. в. 1-го порядка; z= 1 — существенно
особая точка для одной из двух ветвей функции, предельная для её полюсов
(1 — а<\2 л
-г—— I , ak = — + nk (k = 0, ± 1, ..Co-
1 + ak /
гласно задаче 618, область неопределенности в точке z=l совпадает
со всей плоскостью. 1170. Если п =» О, то z = 0 и z = оо — устранимые
особые точки и до^І; если п<0, То z = 0 и z = oo —л. т. в., причем
lim w = Пт w — 1 и z = 1 — существенно особая точка для одной из
2->0	2~>оо
ветвей функции; если п=1, то к/ = г; если n> 1, то z = 0 и z*=oo —
л. т. в., причем область неопределенности w (z) в этих точках совпа¬
дает со всей расширенной до-плоскостью. 1171 и 1172. z=^0 и г = оо —
л. т. в. с областью неопределенности для w (z), совпадающей с рас¬
ширенной w-плоскостью.	1173. z=l и z=oo—л. т. в., причем
lim w = Ііт w = оо и z = 0 —полюс 1-го порядка для всех ветвей w (z)
z->i z->oo	v >'
кроме одной. 1174. z = 0 и z=oo —л. т. в. и Ііт до = Ііт до = оо
г->0 г->оо
1175. Точки ветвления те же, что для Arcsin z (т. е. бесконечное множество
в. т. в. 1-го порядка над z=± 1 и две л. т. в. над z = oo, Пт до = О;
2->00
2 = 0 —полюс 1-го порядка для всех ветвей функций, кроме одной).
1176. z=±i — л. т. в. Ііт до = оо; z = 0 — полюс 2-го порядка для всех
z->± і
272

ветвей функции. 1177. Поверхности w (z) и z(.w) те же, что для логариф¬
мической функции (л. т. в. над 0 и оо). Отображение легко получается
с помощью параметрического представления z = e^, w = ea^. 1178. Риманова
поверхность для w (z) бесконечнолистна, с одной л. т. в. над каждой из точек
z~a, z = b и двумя л. т. в. над z = oo. Поверхность получается склеива¬
нием бесконечного числа листов z-плоскости с разрезами, идущими из точек
z = a, z = b в оо. Эти листы соответствуют однозначным ветвям функции
до + 2шп (п = 0, ±1, ±2,...). При обходе вокруг z = a и z = b эти ветви
переходят последовательно друг в друга, чем определяется характер склеи¬
вания листов. 1179. Риманова поверхность для w (z) бесконечнолистна,
о одной л. т. в. над каждой из точек z = а, z = b, z = c и тремя л. т. в.
над z = оо. Построение, подобное предыдущему. 1180. Риманова поверх¬
ность для w (z) бесконечнолистна, с одной л. т. в. над каждой из точек
z^kn (6 = 0, ±1, ±2, ...). В качестве листов можно взять z-плоскости
с разрезами, идущими из точек z — kn в оо (например, по вертикальным
полупрямым). Два листа склеиваются сразу по всем разрезам, по одной
стороне, как при построении поверхности логарифмической функции.
В оо — трансцендентная особенность, предельная для л. т. в. 1181. 1) В каждой
связной части римановой поверхности функции £ = <р (z) над z-плоскостью,
которой соответствует связная часть римановой поверхности обратной
функции z = qp-1(£) над Gç, w (z) представляет единую аналитическую
функцию; 2) в каждой связной части римановой поверхности функции
£ = Ф (z), расположенной над Gz (эта область перенесенная в z-пло¬
скость), w (z) представляет единую .аналитическую функцию. 3) То же, что
в п. 2). В указанном в условии задачи частном случае w (z) всегда
представляет одну аналитическую функцию. 1182. w (z) состоит из двух
аналитических функций ± z. 1183. w (z) состоит из двух аналитических
2	тх
функций ± z3. 1184. w (z) состоит из р аналитических функций (ùkz Пі
( 2пі ' \
(cù = e п , р = н. о. д. (m, n); k = 0, 1, ..., р —1; Щі= —, Пі= — I.
z I W	\
1185.	w (z) состоит из n целых функций (ùken \œ = e n ,6 = 0,1, ..., n—1/.
1186.	w (z) — одна n-значная функция с а. т. в. (п—1)-го порядка над
z = 6n (6 = 0, ±1, ...). На оо она имеет неизолированную особую точку,
предельную для а. т. в. 1187. w = n Ln z + 2л/6 (6«0, 1, ..., n—1) —n раз¬
личных аналитических функций. 1188. w (z) . состоит из функций z + 2n/6
{6 = 0, ±1, ...). 1189. Одна бесконечнозначная функция с л. т. в. над z = 0,
±1, оо. 1190. w (z) — одна бесконечнозначная аналитическая функция с одной
л. т. в. над z^ = 2n/6 (6 = 0, ±1, ...). На оо она имеет неизолированную
особую точку, предельную для л. т. в. Риманова поверхность функции
w (z) — односвязная и получается склеиванием бесконечного числа
листов ^-плоскостей с разрезами (попарно без общих точек), идущими
из z^ в оо (два листа склеиваются одновременно по всем разрезам,
но только по определенной их стороне). 1191. Риманова поверхность та же,
что в задаче 1190, только	с л. т. в	над z = 6n (6 = 0,	±1,	...). 1192. Рима¬
нова поверхность та же,	что в задаче 1190, только	с л.	т. в. над z«-y
(6 = 0, ±1, ...). 1193. w (z) состоит	из функций ±z + 26n	(6 = 0, ±1, ...).
1194. w (z) состоит из	функций	z + бл (6 = 0, ±1,	...).	1195. 1) Пусть
тг т2	т	.	.	.
Гі 		, г2°	, г = гіг2 =	несократимые дроби и р = н. о. д. (щь п2)»
П\ ' п2	л
q = н. о. д. (т2, «і)- Тогда (zrtf* состоит из р различных n-значных аналитиче¬
ски
ских функций, равных «Лгг, со=е пр , 6 = 0, 1, ., », р — 1, a (zr-2)n состоит из q
273

2ПІ
функций ©f’zr, =	, ^ = 0, 1, ...» <7 — 1. Одна из них, a именно zrt
з	2
t 2\7	/ з\у з _
всегда принадлежит к обоим случаям. В частности, \z3 ) = ±z, \z 2 / = 1^1 z.
n4 r-r	mi	m2	. tn	„
2)	Пусть Г\ =	, r2 =	>г = Г\ + г2=	несократимые дроби и р = н.о.д,
П\ п2	п
(пі, п2). Тогда zr‘zr2 состоит из р различных n-значных аналитических функ-
2л/
р р /
Тогда w (z) — единая ЛГ-значпая аналитическая функция,
N
(п — 1)-го порядка над г = 0, — а. т. в. (т — 1)-го
дг
— а. т. в. (ѵ—1)-го порядка над г = оо. Ц97. Одна
ций, равных ©V, © = е пр' , р1 => н. о. д. (т^ 4- т^іÇ, р),	“у, п2 я ~~ »
k — 0, 1, ..., Pi — 1. 3) Пусть р = н. о. д. (ni, п2) и N = н. к. (пь п2) ^=—--П2 .
Тогда w (z) состоит из р различных N — значных аналитических функций.
1196. Пусть ЛГ = н. к. (tn, n)t р = н. о. д. (m, n), q = н. о. д. ' т + п тп\
и ±+±_і -
т п V
N
имеющая — а. т
п
порядка над z « 1
п/и-значная аналитическая функция, имеющая одну а. т. в. (п — 1)-го порядка
над z= 1, п а. т. в. (tn — 1)-го порядка над z = 0 и одну а. т. в. (тп — 1)-го
В.
и
Рис. 89.
порядка над г=оо, 1198. Две различные четырехзначные функции, отличаю-
4
щиеся знаком, с такой же римановой поверхностью, как у функции Уz . Каждая
из этих функций имеет по одной ветви, для которой точка z = 1 является
полюсом первого порядка. 1199. Бесконечнозначная функция с одной а. т. в.
(п — 1)-го порядка над z=l и п л. т. в. над каждой из точек z = 0, z = oo.
Для построения поверхности нужно склеить п поверхностей для Ln z
с разрезом [1, оо) на одном из листов у каждой. Линии р" sin пѲ = kit
(k = 0, ± 1, ±2, ... ) разбивают ^-плоскость на области, соответствующие полу¬
плоскостям (рис. 89, для п = 2, £ = w2 — вспомогательная плоскость).
1200. Бесконечнозначная функция с одной л. т. в. над z = 1 и бесконечным
числом только л. т. в. над z = 0 и z = оо. Риманова поверхность получается
склеиванием бесконечного числа поверхностей для Lnz с разрезом [1, оо)
на одном из листов. Поверхность имеет над z = 0, z = оо только л. т. в.,
притом бесконечно много, и над z = 1 - обыкновенные точки и одну л. т. в.
Линии еи sin V = (2k 4- 1) л и v = 2kn (6 = 0, ±1, ±2,...) разбивают ш-пло-
274

скость на области, соответствующие каждая г-плоскости с разрезом
— оо<х^0, # = 0 и дополнительным разрезом 1 О < оо, у —О для
областей, в границу которых входят прямые ѵ = 2kn (рис. 90, Ç =	—вспо¬
могательная плоскость). 1201. Бесконечнозначная функция с той же рима-
новой поверхностью, что у Ln Ln z, 1202. Риманова поверхность бесконечно-
листна, имеет а. т. в. (л—1)-го порядка над z = 0, только а. т. в. 1-го по¬
рядка над z = ± 1 и 2л л. т. в. над г = оо. Для построения поверхности
нужно склеить л поверхностей для Arcsin z с разрезом [0, 1] на одном
Рис. 90.
Рис. 91.
из листов у каждой. Линии лѲ =	 и рпсо8лѲ = &л (6 = 0, ±1, ...) раз¬
бивают ^-плоскость на области, соответствующие полуплоскостям у 0
<рис. 91), где л = 2, Ç = ш2 — вспомогательная плоскость). 1203. Риманова
поверхность получается склеиванием бесконечного числа поверхностей
для Ln z с разрезами £о,	[е, оо) на одном из листов (поверхности для
Ln z по две склеиваются попарно, то по одному, то по другому из этих
разрезов). Поверхность имеет над z = 0, z=oo бесконечное множество
л. т. в. и над z = —, z = е — обыкновенные точки и бесконечно много а. т. в.
е
1-го порядка. Линии Im sin w = cos и sh v = (2k + 1) л и л = -^- + £л (k — 0t
±1, ±2, ...) разбивают w-плоскость на области, соответствующие каждая
^-плоскости с разрезоім — оо<х<0, у = 0 и дополнительными двумя
разрезами: О С* С— » # = 0 и e^x<oot у = 0 —для областей, в границу
275

которых входят прямые и = — + kn (рис. 92; £ = sin w — вспомогательная1
плоскость). 1204. Бесконечнозначная функция. Ее риманова поверхность
получается склеиванием бесконечного чйсла экземпляров римановой поверх-
п
ности функции — 1, снабженных на одном из листов разрезом вдоль
луча	у = Склеивание производится как при построении рима¬
новой поверхности логарифмической функции. 1205. Бесконечнозначная
функция с одними лишь а. т. в. 1-го порядка над z = 0 и z = oo и двумя
л. т. в. над z=l. 1206. Бесконечнозначная функция с двумя л. т. в. над
Рис. 92.
2= — 1 и бесконечным числом только а. т. в. 1-го порядка над z = 0 и
2 = оо. 1207. Если а = —, то w = — Ln z + —k (k = 0, 1,	m-1) —
m различных аналитических функций; если а иррационально, то
tp = a Ln z + 2ш£ (6 = 0, ±1, ...) —бесконечно много различных функций.
1208. Две различные бесконечнозначные аналитические функции с той же
римановой поверхностью, что у Ln г. 1209. Две различные аналитические
функции, равные соответственно 2Ln,z и 2Ln(—z). 1210.	+
k = 0, ±1, ...» w = ^- + 2 Arccos z; w = •—	+ 2 Arccosz. 1211. w = -y + nk
2	2	.	z
(6 = 0, ±1, ...).'1212. ay = f(-y+nüj (6 = 0, ±1, ...). 1213. w - бесконечно¬
значная функция с той же римановой поверхностью, что Ln Ln z (см. за¬
дачу 1200). Если £= peïô = Lriz= Іпг+ /ф (qp = Argz), то w = е* Ln =
= ei (In р+ів+2лік)' для = e~0+i In P (0^Ѳ^2л) указанные в задаче
множества предельных значений представляют соответственно: 1) и 2) окруж-
	л	Зл
ность I w I = е~п\ 3) окружности | w | = е 2 при ф -> + оо и | w | = е 2
Зл		л
при ф.-> — оо; 4) кольцо е 2	2. Для других групп ветвей
добавляется множитель e~2nk (k = ±1, ±2, ...). 1214. Во всех пунктах w (z)
представляет одну аналитическую функцию, если |а|< 1; если
то в п. 1) и 3) функция распадается на п, а в п. 2) и 4) — на бесконечное
число различных аналитических функций. 1215. Если | а | < 1, то в обоих
случаях w (z) представляет собой одну аналитическую функцию; если
|а|> 1, то в п. 1) будет п, а в п. 2) бесконечно много различных аналити¬
ческих функций. 1216. 1) Пусть z = ret(p и g = peiQ = Ln z. Тогда w (z}
состоит из многозначных аналитических функций, равных соответственно
7 (z) еНпр~ѳ+2дй (|z|<l; р = іЛп2 г + ф2 » Ѳ = arg (Іц.г + др), причем
276

— оо<ф<оо и "2"Ѳ< “g-; (£ = 0, ±1, ...). Все они имеют по одной
л. т. в. над z = 0, в окрестности которой область неопределенности — кольцо
(	Зл	л \
в частности, для k = 0 кольцо % (0) е 2 < | w |< % (0) е 2 /. 2) Пусть
2—l=rei(f) и £ = рб*ѳ= Ln (z — 1). Тогда w (z) состоит из однозначных
аналитических функций, равных соответственно	к
% (г) е11п Р~ѳ+2лЛ ( I z I < 1; р = }Лп2 г + (ф + 2шг)2, Ѳ = arg [In г + і (ф + 2лп)],
причем —-<ф<-^-, 0<Ѳ<2л; k, n = 0, ±1, ...j. Для различных kt п
это различные аналитические функции. Если существует х U) = Ипі X (z),
‘	'	z-> 1
то область неопределенности при z -> 1 — окружность (в частности, при
£ = п = 0 окружность I w | = х (1) е“я). 1217. 1) Если f(z) не имеет нулей
нечетного порядка, то Уf (z) распадается на две целые функции. Если
ab a2t ...—нули нечетного порядка функции f (z), то риманова поверх¬
ность для У f (z) двулистна с а. т. в. над ait а2і... и над оо, если f (z>
имеет там полюс нечетного порядка. Если f (z) — трансцендентная функция,
то над z « оо — д в е существенно особые точки однозначного характера,
если f(z) имеет четное число нулей нечетного порядка, и одн& суще¬
ственно особая точка двузначного характера, если число таких нулей
нечетно или бесконечно велико. 2) Если f(z) имеет нули аь а2і ..., то
риманова поверхность для Ln f (z) имеет над alt a2t ... по одной л. т. в. и
никаких других точек. Если f(z) нулей не имеет, то Ln f (z) распадается
на бесконечное число целых функций, отличающихся одна от другой сла¬
гаемыми вида 2nki (k = 0, ±1, ±2, ...). 3) Если f (z) имеет нули, то рима-
нова поверхность для [/ (z)]a та же, что для Lnf(z) (см. п. 2)). Если f (z)
не имеет нулей, то [f (z)]a распадается на бесконечное число целых
функций, отличающихся одна от другой множителями вида e2nkai
(£ = 0, ±1, ±2, ...). 1218. Двулистный круг jz|< 1 с а. т. в. в нулях
оо
функции 2 гПІ» в частности в точке z = 0.	1219. 1) Двулистный круг
I z I < 1 с единственной ^точкой ветвления при z = 0 (часть римановой
поверхности функции Уz, расположенная над кругом |z |< 1); 2) часть
римановой поверхности функции Lnz, расположенная над кругом | z |< 1;
3)	часть римановой поверхности функции Lnz, расположенная над кольцом,.
y<|z|<2.
Глава IX
1222. 1)	В	вершине	А2 а2 = 0;	2) в вершинах Aj и А2 а1 = а2 = 0;
3) в вершине	А3	а3 = 0; 4)	в вершинах	А2 и А4 а2 = а4 = —1; 5) в вершине А2
а2=—2, в вершине А4 а4	= 0; 6) в вершинах Л2, Л3 и А4 ' а2 = а3 = а4 = 0;
7) в вершине	А2	а2 = — 2,	в вершинах	А4 и Л6 а4 = аб = 0; 8) в вершине Л2
а2=—2, в вершине А4 а4 = а —2. 1224. Необходимо и достаточно, чтобы
п
1	V1 /	1 \
а.=— (пѣ — натуральные числа или оо) и 7. [ 1	=2, что возможно
* пк ѵ	пкІ
277

только для п = 4 с пх = п2 = п3 = п4 = 2 (т. е. для прямоугольника) и для
п == 3:
Пі
п2
Пі
Р
1
оо
оо
Полоса
2
2
Полуполоса
2
3
6
Прямоугольный треугольник
2
4
4
Равнобедренный прямоугольный треугольник
3
3
3
Равносторонний треугольник
л (иу—а)
h	h	*
1225. 1) w=—-lnz + a, z = e	(a — действительный параметр), z (до)—
периодическая функция с гериодом © = 2/н; группа G порождается пре¬
образованием Т (до) = до + со; ее фундаментальная область В состоит из
»	«	»	h ,	1 + z ,
удвоенной полосы и одной ее граничной стороны; 2) до — — In • + а»
л (до — a) t	ч .
z = th—	 (а — действительный параметр); г (до) — периодическая
функция с периодом © = 2Л/; группа G и ее фундаментальная область В
те же, что в п. 1.	1226. до = arcsin z, г = sin до; z (до) — периодическая
функция с периодом © = 2л; группа G порождается преобразованиями:
Т (до) = до + ©, S (до) = — до; ее фундаментальная область В состоит из
полосы 0 < и < л и граничных полупрямых и = 0, и = л, о <0.
z	5_		1_
1227 !).	1) до = С f z 6 (1 — г) 2 dz, где С =  —гт~
_	«	<4)
(В (р, q) = J (1 — х)^“1 dx — интеграл Эйлера 1-го рода); 2 (до) — двояко-
о
2лг
периодическая функция с периодами 2© и 2©е 6 ; группа G порождается
2лг
преобразованиями: Г(до) = до + 2©, S(w) = we 6 ; ее фундаментальная область В
состоит из удвоенного треугольника и двух разноименных граничных сторон;
2 -А -1
2)w = C^z 4 (1—2) 2 dzt где С = ——— ; z (до) — двоякопериоди-
0	ВН’ т)
ческая функция с периодами 2© и 2©/; группа G порождается преобразо¬
ваниями: Т (до) = до + 2©, £(до) = /до; ее фундаментальная область В состоит
из квадрата со стороной © и двух граничных сторон одного из составляю-
z		2
щих квадрат треугольников; 3) до = С | z 3 (1—2) 3 dz, где С = —
О	ВІ ±
!) Схемы фундаментальных областей даны на рис. 62, стр. 223.
27Ь

ni
z (w) — двоякопериодическая функция с периодами 2hi и 2he 6 , где-
h = °	; группа G порождается преобразованиями: T (w) = w + 2hb
2лі
S (w) = we 3 ; ее фундаментальная область В состоит из удвоенного тре¬
угольника и двух разноименных граничных сторон. 1228. «Треугольник»
с двумя вершинами в точках о> = 0, w = d = B(at Р) и углами ла, л.р
в этих вершинах. Если а + р<1, то третья вершина конечная; если а + Р^1,.
Рис. 93.
то третья вершина лежит в бесконечности; если а + В=1, то d = —:
sin ал
a «треугольник» имеет форму полуполосы косой, если а =/= Р; в случае
а + Р = 2 стороны «треугольника», выходящие из вершин основания, парал-
. л (а — 1)
лельны, направлены в противоположные стороны и д =	——jy; если
а = Р = —, то «треугольник» представляет собой внешность прямой полу¬
полосы (рис. 93). 2) «Треугольник» с одной конечной вершиной в точке
w = 0, с углом ла и двумя вершинами в оо. Две стороны «треугольника»
представляют лучи, выходящие из начала, третья сторона — прямая, отстоя¬
, sin лР Г(а)Г(р+1)	,
щая от начала на расстоянии д =—х-2-	—-—г—-, (О вычислении
р 1 (а + р) „
величины h см. книгу В. Коппенфельса и Ф. Штальмана, указанную на
стр. 154, п. 13.2.) В случае а=1 получается полоса шириной л; в случае
а + Р=І две стороны параллельны и Л = л; в случае а = 2 получается полу¬
плоскость с разрезом вдоль действительной положительной полуоси и
279

, sin л6	1	'л 1
h = i) , в частности, /z = 4, если 0 =	— , и h = n, если (3 =— I
{см. рис. 93). 1229. I) См. рис. 94, /;	in
2)
2)
= w (Л).
см. рис. 94, 2. w. = w (Л). 1230. 1 ) w = — [arcsin Vz — ( 1 — 2z) Yz — z2] ;
л	jt
w = — [arcsin Y z — Y z — z2];
л
Рис. 94.
3)	w = —(\n 1+ТС*--2/z)- — (arth/z -Yz);
n \ I — y z / n
4)	w = (arctg Y z + arth Y z — 2 Y z); 5) w = ia — Y z "—y— — I j.
I23l. I) 'w 		—	"T-^	o'- Если Ѳ= —, то ^ =— VJ In f I ——Y
l	-2ѴЛ(	*
где t=	и /ѵ = е ’ (v = 0, I	q - l). 2) w = f ( Z~ 1 ) dz.
\	/	3W J \ z /
-280

_	Л P
Если Ѳ = —, то
q
те же значения,
а	ір
Ю = 7Г - Ѳ^-1) +
что и в п. 1). 1232. w
, где t и tv имеют
2/
1 -/2
4- In
1233. w =	(Кz2 — 1 + arcsin .
—К
i+d’
1234.			™
*(£.

1235.	1) w = — ( H arctg 1/ ■ *— 4- h arth
•ЛС \	F Р Z	ЛІ
где а=1 + ^Г»
2) w ■=— (fi arctg
. л \ y a2 — z2
+ h arth —
H
Ya2 — z2
2	1i'4
где a2=14	;
2	_
3) W = C J (/-l)(/-a) (/ + />)’ ГДе С’
О	_
	Сл	 h	Сл Кд
(а - 1)(а + 6) e ь (а-1)(а + 6)
а, b определяются из уравнений:
1236. 1) w =
Сл/& =£і
(6 + 1) (а + Ь) Лз*
1 JL
2>» = CJ^
dt + 1,
z
о п . л	_L Z	л	о
2 nsin—	к 5 р _±	2
с-*"с=~п—гит* 1237-	w—1 \ і\ J(1-/5) 5(1+/S)5 dti
ВѴл + ~2’ т)	В\'Ю’ 'б)0
1
2)	=
2
i —
1238. На многоугольную звезду с углами л	Хл и л 4- Хл попеременно,
с центром в начале координат и одной из вершин первого вида углов
в точке
.	2_
9 п
W (1)=

р,/!—X	• л (1 + X)
ГН	п)Г(—)Sin—-2—
. л
sin —
п
если п = 2/и, и
п = 2т 4- 1, где
281

\ __ 	1
С= 	çy, C0=-2Z(2n) ne " и C, = -2i-2 n. 1240. Пара¬
метры определяются с помощью уравнения (3) для bkt из равенств
ў(#Л)|==/й (k = 1, 2, ..., п) и направления одной из сторон звезды. Одно
С (г — 1 )2<х (z + 1)2<х“2
значение ak выбирается произвольно. 1241. до =		—				,
С = -^-а“"2а(1 — а)2а-2. 1243. Параметры определяются из значений |/(£>/) |,
|f(ds)|, известных из задания Р и' направления одной из сторон Р. Три
параметра (afe, by Ср ds) выбираются произвольно. Если один из парамет¬
ров ak или Су равен оо, то (4) и (5) остаются в силе, если отбросить множи¬
тель и слагаемое с этим параметром. Если один из параметров Ьі или ds ра¬
вен оо, то (4) и (5) остаются в силе без изменения. 1245. w = C(z4- 1)а‘ (г— І)®9,
C = h(b+ 1)-а’(1 -b)~\ 6 = ^1—^.
а1 + а2
1246. w = С|/"	C = VhH,
1247. tt> = Czl-2a (г2-1)а, С ~hb2a~l (1 - b2)~a, b = /1 - 2а.
F Н
1248. до
где а и b определяются из системы
уравнений аа'6а? = *|/ , cq (у- — aj = а2 (-у — Ь^. 1249. 1) w = [Tn(z)]n9
где Гп(2) = у[(г+ У z2 — l)rt + (z — У z2 — l)n] — полиномы Чебышева;
1
2) до =
Х(г) /г2 - 1
п
п
1250. Параметры определяются из значений
Re f (bi) и Re f (ds), известных из задания Р и положения одной из сторон Р.
Три параметра (а^, b., Ср ds) выбираются произвольно. Если один из пара¬
метров ak или Су равен оо, то (6) и (7) остаются в силе, если отбросить
соответствующие слагаемые. Если один из параметров Ьі или ds равен оо,
то (6) и (7) остаются в силе без изменения (см. ответ к задаче 1243).
1251. Параметры определяются из значений Re f (bi), Re f (ds). Три пара¬
метра afe, by Cj, ds выбираются произвольно. В формуле (10) два параметра
by Ср ds выбираются произвольно. 1252. Параметры определяются из
значений Re f (Ьі) и положения одной из сторон Р. Два параметра выби¬
раются произвольно. 1253. Параметры определяются из значений Re f (bi) и
Ref (ds) и положения одной из сторон Р. Три параметра выбираются
произвольно. В формуле (11) два параметра, соответствующие вершинам,
выбираются произвольно. 1254. 1) до = — In (z + 1) 4- — In (z — 1) + С,
С = — — In (64-1)—— In (1 — 6), 6 =■	Л*; 2) до = — In (z2—1) 4-— In г 4-С,
л 'л	hx + h2	л 7 л ’
С=-	b2)-— ІпЬ, Ь = У■■ ;
л	'л	г 2hi 4- h2
hi ,	z + ai , h2 . z — a2	n
3) до = -у- In ■	--у + — In | —у.	Параметры аь a2 определяются
282

из
4)
5)
системы уравнений: а^’а^2 = е~Л»		aj = ^2		а2)>
w = f (z 4- ~j]» где f (2) “ отображение из п. 3;.
w = — In Tn (z), где Tn (z) — полиномы Чебышева (см. ответ к задаче 1249);
6) w =— [In (z — 1) 4- z]; 7) w = In -77—- 4- Az, Л = - -2	, где b опреде-
■ л	1 Z	0	1
,64-1	26
ляется из уравнения In _ - 4-	_ |
л 1
где А = — и а определяется из
= d; 8) w = In (z 4- 1) — Az2 — z 4-const,,
уравнения In a 4- (a —4- d = 0.
В частности, если d = 0, тоо=1; 9) w = — In (z — a) 4	—	F Az 4-const,
л	z — a
где A = -^—,	C = —(1—a2) и a
2na	2na
. 1 — a , 2 red	n
In -j—	1	= —:—. В частности, если
14- a a h
определяется из уравнения
6 = 0, то a = 0, Л = С =
4
Рис. 95.
1255. Соответствие между плоскостями и, z и ф показано на рис. 95»
л 1 4~ 6'
Аффиксы точек С и С' в плоскости ф равны ± — 4- i In —. Пунктирному
отрезку в плоскости и соответствует пунктирная полуокружность радиуса
\jÿk в плоскости z (см., например, книгу Г. Бейтмена и А. Эрдейи, ука¬
занную на стр. 168, п. 13.25).
z
1256 до = Х ■■ г ~-——-7=rt z = sn/—, k\9 где К и k опре-
J /(1-22)(1-Л222)	U /	р
К'
деляются из соотношений -Ï7- — —, a = ÀK. 1257. См. рис. 96.
К сі
1258. См. рис. 97. 1259. Отображение z —плоскости на плоскость и пока¬
зано на рис. 98 (имеющаяся на этом же рисунке ѵ — плоскость относится
к ответу задачи 1260).
1260.	Соответствие между плоскостями z и и показано на рис. 98»
Выражения для I и h указаны в табл. I на стр. 284.
1261.	Решение. Для определения параметров Cb k и b имеем три
уравнения.
1)	w (1) = а или Cj [(6262 — 1) К 4- Е] = а,
283

2)	w (1) = w (у) или (k2b2 - 1) К + Е = (k2b2 - 1) (К + іК') + Е + <(К' - Е')
(см. указание к задаче 1260).
3)	w (b) — w (1) = ih.
Из уравнения (2) имеем
Подставляя в уравнение (1), получим
г Г Е'К - КК' + EK' 1	■ 2аК' ж ,|ЛЧ ^1Ч
Ci 	{у;	 =а, т. е. Сі =	 (см. формулу (10), стр. 171).
L	К	J	л
/К'
-/К'
J)" D'
Рис. 96.
Тогда для определения k получаем из 3)
трансцендентное уравнение
<Е'-К'’“(т/	*) + к’° (т/кМ-т
Подробности решения и графики для определения параметров см. в книге
А. Betz, Konforme Abbi Idling, Berlin, 1948.
Таблица I
ftl
.	1
h
k
E
K'-E'
1
k
|(e-*'2k).
l(E'-W)
k'
E'
K-E
1
k'
4-(E-fe'2K)'
R,
■ ik
KE
ik'
k
TE'
T<K-E>
284

Рис. 98.
285

1263.	Случай 1), 2), 3) и 4) изображены соответственно на рис. 99, 100.
Во всех случаях для сравнения приведено отображение на и — плоскость-
с помощью нормального эллиптического интеграла 1-го рода. Продолже¬
ние отображения первого квадранта / 2-плоскости по принципу симметрии
приводит в до-плоскости к полосе с прямоугольной выемкой (см. области
J + II на рис. 99, /, 2), к полосе с прямоугольным выступом (см. области
Рис. 99.
14- II на рис. 100, /, 2), а также к другим
_ . ж ....	..	1 областям (некоторые из них
показаны на рисунках). Основные возникающие при этом размеры H, I, h
см. в табл. II. Заметим, что второй случай приводится к первому, а четвер¬
тый — к третьему заменой z на /: k2z2 + kf t2 = 1. При этом вместо v, k
V 2
в случаях 2) и 4) возникают значения ѵ' ———k' , k' и соответ-
ствующие до-фигуры получаются из до-фигур для случаев 1) и 3) посред¬
ством целых линейных преобразований с коэффициентами растяжения
(дл.)2 k2 + v (дл.)4 k2 + v ,	гт
в	——		-2. — ——— (индекс указывает случаи). Для случаев
(дл.)і k2 (дл.)з k2	J
v=— 1 и v= — k2 на рис. 101 приведено соответствие между и- и до-пло¬
скостями. Воспользовавшись табл. II, получим для ѵ=-1:
1 Г/./2	snudnul і
до = —â- \k и — E (и) H			E ItkUy — ,
k'2 L	en U J k' \	k']
/»р-(Е-Л'2К). Л = -^-(Е'-Л2К')	'
286

Таблица II
v<- 1
— 1 <л?< — k2
— £2 < V < О
ѵ>0
ѵ= — 1
ѵ= — k2
-иг™*1
П1 (v, k)
k2
П, (v, k)
-П, (ѵ, k)
H*-H
k2
fe2 + vn1(v', Л')
H*-H
п, (v, k)
H-H*
k2
тгг— ITj (v', k')
k2 + -v v
H —H*
k
—V(E' —é2K')
k'
A-(K'-E')
k'
—
Примечание. В столбце «Z» интегралы понимаются в смысле главного значения. Величина
_У . k>2
Л2 + ѵ * '

288

и для V = — k2:
1 Гп / \ L.2 sn и сп и
w = —ô- \Е (и) — k2

k'2 L	dnw
Я = -±-Е.
«	к
1264.	Решение. Из условия Л>0 следует, что eit е2, е3 вещественны и
различны и g2 > 0. Будем считать е1>е2>е3. Верхняя полуплоскость
Imz>0 отображается на прямоугольник с вершинами 0, о, œ — сУ, —o'
(принято	, соответствующими точкам оо, elt е2, е3. Средним линиям
прямоугольника соответствуют две полуокружности (рис. 102): первая с цент¬
ром в точке е3, относительно которой е2 и симметричны (следовательно,
Рис. 102.
ее радиус У (ej — е3) (е2 — е3)), и вторая с центром в точке eit относительно
которой симметричны е2, е3 (ее радиус ~ е2) (еі - е3)). Продолжая
отображение Р(ку) по принципу симметрии, находим полупериоды (£>. о' этой
функции:
оо
Г	dx
(£> = ■■ Л	 =^,
J у (х - еі) (х - е2) (х - е3)
	dx

/(et - х) (е2 - х) (е3 - х) ’
Из рассмотрения рис. 102 находим соотношения
Р (ан) = е3 +
еі - е3 *
10 Л. И. Волковыский и др.
289

Если g3>0, то 63<62<0<6j и со < | со' ] (ибо k<k't следовательно, К<К');
если g3<0, то ^з<0<е2<еі, следовательно, со> | со' |. Если ^3» 0, тоб2 = 0,
е3 п — е, и © и I ©' |. В этом случае отображение симметрично еще относи¬
тельно вертикальной оси. Всей 2-плоскости с разрезами (— оо, g3], [еь со),
[О, і оо) соответствует треугольник (0, 2©, 2со'), составляющий половину парал¬
лелограмма периодов (теперь это квадрат) (рис. 103). Заметим еще, что
to1
Рис. 103.
в случае произвольных бі, е2і е3 (еі + е2 + е3 = 0) половине параллелограмма
периодов соответствует 2-плоскость с разрезами, вообще криволинейными,
выходящими из е2, е3 и идущими в оо (см. схематический рис. 104).
Рис. 104.
1265.	Решение. Основное отображение показано на рис. 105. Оно полу¬
чается с помощью принципа симметрии из отображения полукруга II.
Замечая, что dw «	-г dZ ■■ и беря Arg (-1) « ± л, имеем
У (2-6^(2-62) (2 — 63)
з
Argt/ny= + Argd2-y Arg(2-6A), откуда следует, что Argdw на
Л-1
290

столонах «четырехугольника» РВМС имеет
Л я	’
0, —, — л, что приводит к указанному на рис.
л
соответственно значения ——,
105 отображению. Так, например(
Рис. 105.
на дуге PB имеем (рис. 106) arg dw « — л 4- (а2 4- J - у ( — си 4- а2 4- а3) =*
л , сц 4- а2 — а3 л	_
= —— 4	2	= —2* И Т‘ Д‘ ДЛЯ 0ПРеделения комплексно сопряжен¬
ных полупериодов со, ©' функции P (w) имеем:
оо
. , I	dx
œ + œ = I ■--■■■-	■	■	■,
J V (x-ei) (x — e2) (x —e3)
ej
e2
, і Г	dx
(ù —(ù=— I 		 ■■	—		 —.
2 *1 /<«1 - *) (e2 - X) (e3 - X)
Если g2 = 0, to elt e2, e3 являются вершинами правильного треугольника и
параллелограмм периодов имеет форму ромба с углом 60° в нуле, если g3<0
(тогда е2<0), и углом 120° в нуле, если g3>0 (тогда е2>0). В обоих
случаях половина параллелограмма периодов соответствует г-плоскости
Ю*	291

с симметричными лучевыми разрезами, выходящими из точек еі, е2, е3
Г P (z} I* 2	F (z}
(см. рис. 107, 108). 1266. 1) w= - [•"g"2'] > полупериоды ©, /©; 2) w = -- z3,
2|е2|7
-|Д I -
полупериоды © = he 6 , ©' = he 6.
где h= 3) w——, полу-
2	4e%	3 * *
периоды те же, что в п. 2.
ли
1267. 1) z = sn(u,k), w = eK',
1пц = 2лЛ. |Re«|<K, I Im«|<K';
2) отображающая функция та же,
что и в п. 1), только 0<Reu<K,
К
I Im и I < К', In ц —	; 3) сводится
кп. 1) с помощью линейного пре¬
образования; при этом k =	—~zv 1. , где X = (а, b, с, d) — ангармониче-
У К + У X — 1
ское отношение указанных точек; 4) сводится к п. 3) с помошыо отображения
Рис. 107.
іли
1 = Ух2-\-Н2\ 5) z = sn(w, k), w = ie2K, 1пц = -^--£-; — 3K<Reu<K,
2 К
0<Imu<K'; 6) сводится к п. 5) с помощью отображения / = /1+г2; при
этом k = cos а; 7) отображающая функция та же, что в п. 5), только один
раз 0 < Im и <	К', а другой у К' < Im и < К'; In ц = у ; 8) z = k sn2 (и, k).
-і “ТГ	К'
су = е , In ц = л ; | Re и | < К, 0 < Im и < К'; 9) отображающая функ-
IV
ция та же, что в п. 8), только один раз 0<Imu<yK', другой раз
292

-і- К'< Im и <К'; Іпц=-^--^-; 10) сводится к п. 8) с помощью отображения
г + 1 1
t = г	= ; при этом k «= -	— ; 11) сводится к п. 7) с помощью ото-
/1 + р	Уі+р
1 — Z	(X	*
бражения t =	*	ПРИ этом ^ = sin*2"î 12) сводится к п. 2) с помощью
„	j.	• .	f. sh#i
отображения t = — і sin z\ при этом k =	#	1 *
отображения t = sin z\ при этом k = cos th H\
13) сводится к п. 7) с помощью
14) сводится к п. 5) с помощью
Рис. 108.
отображения t = sin z и последующего линейного преобразования; при этом
Л=	где X = (1.t.si"PHl-sina); 15) z = сУ (ц) + dn«çn«l
yh+Ул—І	2 (sin р —sin а)	sn и J
—	К'	л
w = е к, In ц = 2л , где k определяется из уравнений Z (P) tg а = 777-,
tv	2К
бп2Р = -^-. 1268. / = -—£2Ае Вершины К ±/К', — К ±/К' переходят
К	sn и
в точки е~ ta, — е±іа, где cos а = k, 1269. Сводится к задаче 1268 с помощью
2К
отображения и =	arcsinz. При этом k определяется из уравнения
К'
“л“к“	1	и лГ~і—г	4. 1-dnu	2К .
q = е	= -7—,	, где b = У а2 — 1. 1270. t = —7	, где и = — arcsin z,
4	(а + Ьу	ksnu	л
I Re и I < К, |Imu|<K'. Параметр k имеет то же значение, что и в ответе
к задаче 1269. Фокусы z—± 1 переходят в точки ± - &,. .
1 + k
м Х>Г т I \ . dnucnul .	1+сп«	Г>\ч . ли ]
1271. 1) z = CZ(u) + ——— ,1=——— ; 2) z=C Z(u) + и1(, ,
L	sn и J	sn u	L 2KK J
.	1 + en и оч a Г_,, ч ./r-,	, cnudnwl
i = —777— ; 3) z—zr £(«)-<(£ -*2K')-k' U + ——-— . Об опреде-
SU U	ГъК I	SU U 1
лении постоянных см. книгу, указанную в ответе к задаче 1261.
293

Глава X
1272. Поступательное движение со скоростью V = а — Z0. На оо — диполь
с моментом р = 2лс. Линии тока Рх4-сн/ = С; эквипотенциальные линии
ах — р(/ = С. 1273. В точке z = 0 — критическая точка (точка разветвления),
на оо — мультиполь порядка 2п (также точка разветвления); rn cos nqp = С —
эквипотенциальные линии, rn sin шр = С — линии тока (z = ref(p); V—nzn~~x^
1274. В точках z = 0 и z = оо — вихреисточники: (0; Q, Г), (оо; - Q, —Г);
Г	Q
Іпг =—q- ф 4- С — эквипотенциальные линии; In г = -р- ф 4- С — линии тока.
Оба семейства линий — логарифмические спирали; в случаях
Г = 0 или Q = О
Рис. 109.
одно из этих семейств — окружности г = С, другое — лучи
г ІГ + ZQI ^(<P-arctgf-+f)
Ф = С. Скорость
ге*ф). 1275. В точках
а, b — вихреис¬
точники: (а; Q, Г), (ô; — Q, Г); линии поля — логарифмические спирали
вокруг точек
2лг
г
а и b (рис. 109); 1пр=	— Ѳ 4- С — эквипотенциаль-
In р = Ѳ 4- С — линии тока	в ) • Скорость
&
——ET* 1276. В точке z = 0 —диполь с моментом р = 2лі
-2ш (z-a)(z — 5)	г
е2/ф
г = С cos ф — эквипотенциальные линии; г = С sin ф — линии тока. Ѵ=	9.
Ѵоо = 0. в точках 2 ±і скорость равна — -	. 1277. 1) и 2) В точках 0
и оо —диполи с моментами ± 2л/?2 и 2л (верхний знак относится к п. 1),
нижний —к п. 2)). Линии поля —кривые 3-го порядка: х±—у—у = С—
% Т У
JO *j	[^2
эквипотенциальные линии, у Т *2 _^2 « С — линии тока. V = 1	e2f(p,.
Кюя’1* Точки z=±/? для п. 1) и z=±/?Z для п. 2) — критические
(см. рис. НО и 111). 1278. В точке z = 0 — квадруполь; г2 = С cos 2ф — экви¬
потенциальные линии; г2 = С sin 2ф — линии тока. V « —у ô3/<₽, Ѵм = Q
ные линии;
r-ZQ
294

(рис. 112) !). 1279. В точках ± а — источники обильности 2л, на оо — источ¬
ник обильности — 4л. Эквипотенциальные линии — лемнискаты | г2 — а21 = С,
2
линии тока — гиперболы х2 — — ху — у2 = а2 с центром в начале координат
Рис. 110.
Рис. 111.
и проходящие через точки ± а. V ^2І_'а2 » ^±іа^ — начало коорди¬
нат — критическая точка (рис. 113). 1280. В точках . ± а, ± ai — источники:
(± а; 2л), (±аі; —2л); г4 4-Са2г2соз2ф 4- а4 = 0 (| С | >2) — эквипотенциальные
линии (к ним принадлежат также пря¬
мые у = ± х); г4 4- Ca2r2 sin 2ф — а4 = 0 —
линии тока (к ним принадлежат также
4д<22
оси координат). V — ’^4 ^оо = 0,
точка г = 0 — критическая (рис. 114).
1281. В точках ±1, 0 и на оо —источ¬
ники: (± 1; Q), (0; — Q), (оо; — Q);
г2 4- -^2 в С + 2 cos 2qp (О 0)— эквипо¬
тенциальные линии (при больших зна¬
чениях С линии близки к окружностям
г = /С и г—1=Ь = 1/ С + ^Ф -
ѴС]’Г V c-tg<p
линии тока (к ним принадлежат так¬
же оси координат и окружность г=1).
Рис. 112.
ѵ=_0_Г z2+l 1
2л [z(z2-l)J’
Ѵоо — 0. Точки
± і - критические (рис. 115). 1282. В точках ±Z, 0 — источники: ( ± Z; 2л),
(0; — 4л); Сг4 — 2г2 cos 2ф — 1 = 0 (С> — 1) — эквипотенциальные линии (при
Ч Здесь и в дальнейшем, где течение симметрично относительно осей
координат, оно показано только в первом квадранте.
295

С = 0 — гипербола у2 — х2 = у j ; г = sin 2qp — cos 2qp — линии тока (при
С = 0 — лемниската Бернулли), к которым принадлежат также оси координат.
2	1 + і
V		 , ¥«, = 0 (рис. 116). 1283. В точках ± 	7=	источники
z(z2+l)	°°	'	/2
Рис. 113.
Рис. 114.
обильности 2л, в точке z = 0 — источник обильности — 4л, на оо - источник
обильности — 4л; г4 +	«= С — 2 cos 4<р (С > 0) — эквипотенциальные линии
О
Рис. 115.
(при С < 4 линии распадаются
на четыре компоненты, при 04 —на две;
при больших значениях С это
4

«почти» окружности г = /С и г «
г4 - 1
tg2<P=C-pr:^Y
— линии тока (к ним принадлежат также оси координат,
биссектрисы координатных углов и окружность г=1).
г4 — 1 1
,г(г4 + 1) ]’
Ѵ =
296

= 0. Точки ± 1, ± Z — критические (рис. 117). 1284. В точке z — 0—источник
(с—ах)
(0; Q), в z = оо — диполь и источник (оо; — Q); ï/2 = е Q — х2
полярных координатах: ar cosqp + In r—C^ — эквипотенциальные линии;
r__Q	;
2л	'
г=—‘	линии тока; линии тока имеют горизонтальные асимптоты:
a sin op
С Q
“2	Qei(f>
, V = а + ■	, У°° = а> критическая точка
С_
а
а
Нис. 117.
2 =	(рис. 118). 1285. В точке г = 0 —вихрь (0; Г), на оо — диполь и
2 ла г
С Гф	4л
С ~2л
вихрь (оо; — Г); г=	эквипотенциальные линии; х2 = е L —у2
r '	a cos qp
/	. Г In г Д	„	, Г
( ar sin ф		—=С —линии тока; Ѵ=а + —— е
\ ѵ 2л /	2лг
екая точка z = (рис. 119). 1286. Жидкость обтекает окружность радиуса R\
2ла
, К» == л; критиче-
= а, циркуляция Г; критические точки определяются равенством
гкр =	(Г/ ± Y 16л2а2/?2 — Г2). Если Г < 4ла/?, то | zKp | = R, т. е. обе кри¬
тические точки лежат на окружности | z | = R\ если Г = 4ла#, то критические
точки сливаются в одну; если Г > ArcaR, то | zKP | > R (вторая критическая
точка лежит в этом случае внутри окружности | z | = R\ См., например
,	Г L i Q ь
(3, гл. III, п. 49]. 1287. w (z) = Ve~iaz + JJ — 2я/ (z - ak). На оо - ди-
k=\
яоль с моментом 2лѴ> іа и вихреисточник с обильностью Qoo= 2 Qk и
k=\
297

п	/
интенсивностью Гоо= —	Г*. 1288. 1) Нет; 2) да; 3) да (например, течение
ьі	\
1 . Г	\
w =	Ь г In z имеет линии тока, выходящие из начала координат).
Z	2711	/
1289. При однолистном конформном отображении вихреисточник переходит
в вихреисточник той же обильности и интенсивности. Мультиполь переходит
в набор мультиполей до того же порядка включительно. Диполь переходит
в диполь со следующим законом изменения момента: 1) (а; р) —> (ос; р^),
2) (оо; р) -> (а; рс-і), 3) (а; р) -> (оо; » 4) (оо; р) -> (оо; . 1290. При
n-листном конформном отображении вихреисточник переходит в вихре¬
источник с обильностью и интенсивностью, уменьшенными в п раз.
Рис. 118.	Рис. 119.
1291. Закон изменения вихреисточника (а* —точка, симметричная точке а):
(а; Q, Г) -> (а*; Q, — Г) — в случае линии тока, (а; Q, Г) -> (а*; — Q, Г) —
в случае эквипотенциальной линии. Закон изменения диполя более сложный.
В случае прямолинейной линии тока: (а; р)->(а*; р'), где векторы р, р',
проведенные соответственно через а и а*, симметричны относительно линии
тока. В случае круговой линии тока |z| = /?: (а;	если
а=/=0, и (а; р)->(оо;	если а = 0. В случае прямолинейной и круговой
эквипотенциальных линий при тех же обозначениях соответственно:
(а; р) -> (а*; -р'); (а;	(0; р)->(°о-,	1292. 1) Во всех
случаях особенности течения должны быть расположены симметрично
относительно окружности |z|=7? (см. задачу 1291). В частности, оси
диполей, расположенных на этой окружности, должны быть касатель¬
ными к ней. Сумма обильностей должна равняться нулю, для чего
Qk + Q\ = 0, где Qk — обильности источников внутри | z | = R и
Q'l — обильности источников на I z | = /?. Вихрей на | z | = К не должно быть;
2) Особенности течения должны быть расположены симм’етрично относительно
окружности I z I = Д. В частности, оси диполей, расположенных на | z | = R,
298

должны быть к ней ортогональны. Сумма интенсивностей должна равняться
нулю, для чего 4- — Г* = 0, где — интенсивности вихрей внутри
I z I = R и Г, - интенсивности вихрей на | z | источников на | z | — R не
должно быть.
Г	z — а
1293. 1) w = Vz + с (с — постоянная); 2) w « In	г- 4- с\
ZTtl	Z CL
3)	[(z а) — â)l + с (на 00 источник обильности — 2Q);
п
4)	а> = -у-	1 ■ + -Д ~ * с;	5) w “	[~ 2л^&' 1п (г ~ ak} +
2л z — а 2л z — а	L
/г=1
4- ~	+ In (z — â/g)] 4-	!		î-r-4-V>4-c (на оо источник
2лі	J 2л z — a 2л z — а ;	\
П \	'	’
обильности — 2 Q& h 6) Течение возможно только при Г = 0, Ітр = 0;
fe=i /
тогда «-=2^+-^lnZ + c.	1294. 1) w = In	+ с;
2) w = -£		—+ 	^т + с. если а=/=0 (а’=-?-, р*=--^-р),
’ 2л z — а 2л г — а	\ а г а2 /
« и’=1Ь+’&2 + С’ еслиа = о(р* = -^-).
п	п
1295.	1) w -§-1п[(2-аА)(/?2-аА2)]+С> если	Qk — 0;
/г=1	fe=l
2) w - S	ln K2 - ak) (R2 - v)l + S ln (г - “9+
Л=1	i»I
n	fn
^0,+4-2<г;-0.	1296. 1)	+
ft=l	i-1
31	+ *죆 + C! 4)	r
z	z 2ni
1297. г !n;2-to;.(a2+f;+ c.	w=-9-ïn^+a^+c.
2лі (z 4- ta) (az — t)	2л v '
O	O ?2 — 1
1299. w = -^- In (z2 - 1) 4- c.	1300. 1) w = In ---2--	4- c;
2л	' 2л z2 4- 1
n
2) w.JLln(l+-l-)+C.	1301. ffi, = ^[Jϱ^.ln(2-aft) +
+ ТГ^1п(2-М + ^Т^--^-Т^Т + Ѵе"Іаг + с- Течение В03-
л
можно, если а = ± -g- I если
п
2 то на оо — вихрь с интенсивностью
/г-1
- 2 2 Г,). ,302. . - £ [	Іо (о - о,) +	1п (Р - 0,г)] +
Лв1 /	Л-1
29Э

f^yeia	n
4- Ve~iaz	Иг. Течение возможно, если = 0, a=0, и p—
z	Л=і
== — 2nR2Veia. 1303. Пусть t = f(z) конформно отображает D на единичный
круг 111 < 1. Тогда w = Ф [f (г)], где
ф (/)=É [г*Хг~in « - ы + Tk^tiQk 1п (1 ■	+с>
I	Jhh |_ 2Ш	Z311	J
Л-1
іі
tk = f(ak)> ПРИ непременном условии =	1304. Пусть t = f(z)
, Л=і
конформно отображает D на область |/|>1 с нормировкой f(oo) = oo>
п
f'(oo)>0. Тогда при условии Фл = 0 пу = Ф [/(z)], где
Л-1
Л,.. Ѵе~1а /4. Ѵе‘а -L V Г Г* + In Ч
ф (/)=т^гz+7“(іоТ-7+L—"2лі ~ ln(z-Zft)+
Л=1
+	Г2лі 1П (1 ”îke>] + с’ (ak)‘
1305. В обозначениях задачи 1304. ^ = Ф[/(г)], где
Ѵе~іа Ѵеіа Г	*
Ф (0 = “ЁГТ	+ "777	\—7“ "о—“ ІН
' f' (оо)	f'(oo)./	2лі
При Г = 0 w (z) отображает внешность С на внешность отрезка
[2V 2Ѵ 1
	——г, -777—г действительной оси ^-плоскости с нормировкой
f'(oo)	н н
w (оо) = оо, w' (оо) « Ѵе“*а. 1306. 1) w (z) = у—у [(az — b ]Лг2 — c2) cos а 4¬
4- i (bz — а Yz2 — c2) sin а] 4- const (V^ = Veiaf c = Ya2 — Л2);
2) w (z) = —[(az _ b Y z2 — c2) cos a + i(bz — aYz2 — c2) sin al 4-
a — о
+ -gyr- In (z + YZ2 — c2) + const.
1307. 1 ) w (z) = V (z cos a — i Yz2 — c2 sin a) 4- const (Ѵто = Veia);
2) w (z) = V (z cos a — i Yz2 — c2 sin a) 4- In (z + Yz2 — c2) 4- const,
где Г = - 2лсV sin a (с — точка схода). 1308. Пусть профиль Жуковского полу¬
чается при отображении z = (g 4- окружности I £ — £01 = 11 — £01 = /? > 1,
£0= 1Тогда при циркуляции Г и
2 \ R	z— £04-И z2— 1 ) 2ш
причем Г = — sin (a 4- Р) (Г определяется из условия wf (1)=0 в соответ¬
ствии с постулатом Жуковского—Чаплыгина). 1309. w (z)= j/'z —	4-с —
Y 2z — D
обтекание параболы извне; w (z) » i ch -—:y=r-— обтекание параболы
2 y p
300

л I ла
л глеи
изнутри. 1310. W (z)
/2
— обтекание правой ветви гиперболы извне
с2)2&е 2|і — (z—У z2—с2)2^е	-hconst
Ь а
а = —, В=л—а, с
а
и
л
л
}/z2-c2)2a
ay(z) = TpLr (z + У z2 — с2 )2a + (z —
— обтекание правой ветви гиперболы изнутри. 1311. w (z) определяется из
TCW	.
7)	, JtW ,	.
уравнения z — e	Ч—— (значения функции тока на обтекаемых полупря¬
мых взяты равными ± ѵ). 1312. w = Arch z — Ln (z + )/ z2 — 1) (значения функ¬
ции тока на обтекаемых полупрямых взяты
равными 0 и л). 1313. 1) Течение с перио¬
дом л; в точках /гл (k — целое) — источники
л
обильности Q; точки — + /гл — критические.
Скорость на оо в полосе периодов Ѵоо =
= Ѵ(х + /оо)=-± -О- і. Линии тока и эквипо-
’ 2л
тенциальные линии см. Hq рис. 120. 2) То же,
только вместо источников в точках /гл — вихри
Г
интенсивности Г и V (х±і<х>) = + —. Для по¬
строения поля следует линии тока и эквипотен¬
циальные линии на рис. 120 поменять ролями.
1314. Течение с периодом л; в точках £л — ди¬
поли с моментом р; скорость V (х ± /оо) = 0.
Линии тока см. на рис. 121. 1315. Решение возможно при Ѵ\ = V —
© »
Г + zQ . . л(г — а) , — Г + iQ . . л(гЧ-
w = -^г-ln sin AA + '■ '2яГч ln s,n Ar
1316. w — ctg п (г2~ a) - X ctg Aa ?) + iVz + c- 1317- ПУСТЬ t=f (г)
конформно отображает S на прямолинейную полосу причем І22
переходят в бесконечно удаленные точки Если существуют не равные
нулю производные f' (Qi), Г (Q2)> скорости Ѵь Ѵ2 касаются границы S на оо
и произвольно задана одна из них, то для задача приводится к задачам
1315—1316; решение существует и единственно. 1318. 1) Необходимо и
достаточно, чтобы числа М и С были действительными. В этом же случае
линии Re и	~
зано (	\	.	.		 	 _.
Рис. 122 соответствует случаю © > | ©' |. Согласно решению задачи 1264 при
+ const
Рис. 120.
z + с.
± © являются эквипотенциальными линиями. На рис. 122 пока-
отображение t « f (и) = £ (и) + Си при различных действительных С.
«1 и	2)	=	—/» 2<°п- + С- Для а = 0 и
2	4л© а (и — а4
1 Аг.
n 1
М = 2л отображение t=f	(и)—± и =

этом
показано на рис. 123
301

(заметим, что е3< — — <е2]. 1322. f (w)=— £ (и — а)+— £ (u — fl) + Cu + c.
\	(ù }	2Л	2Л
Чтобы функция f (и) была эллиптической, она должна иметь г. ид
М
f (ц\ = —. [g (и — а) — £ (и — Р)] + с. Если Im и = ± Im ©' — линии тоха,
ч 2 л
wPhc. 121.
то М должно быть действительным, а если эквипотенциальные линии, то —
чисто мнимым. Для аир возможны только значения 0, ©^ (k = 1, 2, 3).
Для а — 0, р = ©fe, М = 2л
'	1 F (ц)	аf (и)	(и)
f(u) = z (и) - g (Ц - (0.) =	е^=Пк + Ѵ(и} (ц)
©£
(/, j, k — перестановку из 1, 2, 3). Точки	(mod ©,©') —критические, т. е.
в них f' (и) = 0. Основные отображения см. на рис. 124. Указанные там прямо¬
угольники отображаются на полуплоскость; ограниченную горизонтальной
прямой (6=1), полуплоскость ограниченную вертикальной прямой (6 = 2),
и на двулистный квадрант с линией склеивания, представляющей горизонталь¬
ную полупрямую, соответствующую пунктирной линии на прямоугольнике
(6 = 3). Эти отображения продолжаются по принципу симметрии. 1323. Пе¬
риоды течения 4К и 2/К', диполи 2/лК + (2п + 1) /К' с моментами 2л (—
критические точки (2/п + 1) К + n/К' (/и, п — целые числа). Отображение см.
на рис. 125. 1324. Периоды течения 4К и 2К + 2/К', диполи те же, что и
в задаче 1323 с моментами 2л -—	, критические точки 2/лК + 2п/К'
302

зи<>
Рис. 123.

и (2m + 1) К + (2n + 1)/К' (рис. 126). 1325. Периоды течения 2К и 4/К',
диполи те же, что в задаче 1323 с моментами 2л (—\)п+т і, крити¬
ческие точки тК + 2шК'. Основные отображения см. на рис. 127.
ф I _____ I
ІПѴЙГ + С“- Если Н" + 2«>) = Г(«). то =	—^-2-+с.
1 \ 2<о )
1327.	1), 2), 3) Двоякопериодические течения с источниками обильности
304

2л и —2л в нулях и полюсах функций sn и, спи, dn и (рис. 128).
1328.	Двоякопериодическое течение с квадруполями в нулях р (и) (рис. 129).
1329.	Периодические течения с периодом 2(0 (период скорости !), с источни¬
ками обильности 2л в нулях (и) (рис. 130, 1 для ^4 и для при сдвиге
вправо на 1/2; рис. 139, 2 для и для û2 при сдвиге вправо на 1/2).
1330.	1 ) f (z) = In z + с; 2) f (z) = In t (z) + с, где t (z) отображает
область D на круговое кольцо так, что сохраняются направления обхода
Рис. 126.
граничных контуров; 3) f (z) = In
z — zx
Z-Z2
+ с, где zb z2 взаимно симмет¬
ричны относительно каждой из окружностей (т. е. являются точками пере¬
сечения окружности, ортогональной к двум данным, с прямой, соединяющей
их центры), причем точка zx лежит внутри окружности с циркуляцией Г;
4) f (z) = In t (z) + с, где функция t (z) отображает область D на
305

Рис. 127.
Рис, 128,

кольцо с сохранением направления обхода контура с циркуляцией Г.
1331.	/(г) = Ф (Д- Inz), где
Функция f (z) отображает R на внешность
двух параллельных отрезков,
©
Рисг 129.
отстоящих друг от друга на расстоянии ‘ (рис. 131). Концы отрезков,
определяются из условия Ф' (и) = 0. 1332. f (z) — Ф [и (г)], где
k
a u(z) = a + ~ + ... — функция, отображающая
ник. 1333. f (z) — Ф In zj, где
область D на прямоуголь-
В
Ф(и) = ЛР(«) + -^—
ûi
л С-2®2 в J® /	X о	»
Л =	5—, В = —	Задача возможна, если с_2 — действи¬
ям	л
тельное число, а разность с_2 — с-і — чисто мнимая. Если А =£ 0, то функ¬
ция f (z) отображает R на внешность горизонтального луча и параллельного
ему отрезка, отстоящего от него на расстоянии	Концы
-отрезка и начало луча определяются из условия Ф' (и) = 0 (рис. 132, /),
{на рис. 132,2 изображен случай В = 0) Если же Л = 0, т. е. имеется только
307

диполь, то отображается на полуплоскость, ограниченную горизонтальной
прямой и имеющую разрез вдоль горизонтального отрезка, отстоящего от
Рис. 13>.
прямой на расстоянии — (рис. 132,3). 1334. 1) Решение возможно, если
Г1-Г2 = Г; при этом условии f (z) = Ф In. z L где
Г
Г2	,	Û)
+ и + с, а = — In а
2©	л/
при изменении и
Ûi
(необходимо иметь в виду, что приращение In —-
от 0 до 2ю равно 2ш, а при изменении и от 2œ-Н©' до ко' равно 0).
308

Критические точки течения определяются из уравнения
П / Ч _ ПI \ _і_ 1 	F (g)
Р (и) Р(а)+"о‘ г „ 1 Г
2 +
a> .
р
где Х = -уг, и располагаются на сторонах прямоугольника с вершинами
(О, со, © + ©', ©') и прямоугольников, симметричных с ним. В случае Г2 = 0
Рис. 132.
функция ВС?) отображает R на круг с разрезом по дуге окружнос-rtï
р
(рис. 133; Г>0). В случае Г2 = —Г^—— функция ВС?) отображает R
на двулистную область, образованную склеиванием внешностей кругов | ВI > 1
4лфр
и I В І> вдоль разрезов от — оо до Во = “е г > где ф0 — значение ф
в критической точке. Функция 5(B) отображает эту двулистную область
зоа

•	J'
на внешность двух лемнискат, и f (z) = —— In [(s (z) — sQ) (s (z) + s0)]
(рис. 134, Г>0, a2<p; полуполосы в /-плоскости нужно склеить вдоль об¬
щего разреза). В общеіи случае ф = 0 на нижнем основании прямоугольника
Рис. 133.
в zz-плоскости и ф изменяется от — у до — 4- Г2, а на верхнем осно-
Г 1 Г 1
вании *фв-х— In—Fy^-ln— и ф изменяется от 0 до Г2(Г>0).
Q ^Л р	'
2) f (z) = Ф [и (з)], где
а и (z) = а 4- у + ... отображает область D на круговое кольцо.
1335. и = ах — Ру, и = р*4-ау, Е- — іс\ диполь (оо; — zc). 1336. н = 2уф,
1 2а •
с> = 2у1пу-; Е —	точечные заряды (а; 2q) и (оо; — 2р).
_	« z —6 n , I z — а I ю 2q (5 — а)
1337. zz = 2yarg	, V = 2q In 	г- ; Е =	; точечные за-
& z —а	I z — ô I (z — a) (z — 5) 9
ряды (ô; 2q) и (a; — 2q).	1338. и « — 2q arg (z2 — a2), v = 2q In | z2 — a21;
£ = —точечные заряды (a; — 2q), (— a\ — 2q) и (oo; 4q) (см. рис. 113)
1339. w==l-£j-sin (ф—a), ü® -yJ-cos (ф-a); E —-ІАІ-(2ф“а); диполь (0; p)
(рис. 135). 1340. u= (r ± -у-j cos ф, v =	± -y-^ зіпф; E = —/(1 T y--	;
диполи (0; T IR2) и (oo; - z) (см. рис. 110/111).	1341. u~ — py 4- 2уф,
и = px 4- 2q In y-; E = — p 4- yr ei(f ; точечные заряды (0; 2q) и (oo; — 2ç);
310

п	п
диполь (оо: р) (ср. с рис. 118). 1342. и п — P# +	2<7лФЛ, ü = px+^2^1n —,
Л-1	1 Tft
ri
£ = — p -Ь У j *“■ ei($kt где z — a^ = r^*; точечные источники (аЛ; %qk)-t
л-i Г*	'
Рис. 134.
диполь (оо; р) (рис. 136). 1343. 1) Величина точечного заряда сохраняется;
закон изменения момента диполя тот же, что в задаче 1289, 2) знак
заряда меняется на противоположный; закон изменения момента диполя
тот же, что в задаче 1291 при продолжении через линию тока.
1344. v=2qg (z, а). 1345. w = 2qi In -——+ с. 1346. 1) и 2) w*=2qi In	+с.
	 А (2 — Zq)
1	• 2 — ТЛ1 2 — С2
1347. w = 2qi In у + const, где /(г)-	,	с2«а2-Я
311

1	г — 1Лг2 - R2
1348. w = 2qi In -7-7-т- 4- c, где f(z) =	5	-
/ (z)	K
1349.
“’ = 2<7t'lnT(W
1
где t = f (z)
определяется из уравнения z =
/1-<4 ЛХ d
? dt + ~2
1350.
(см. задачу 1236 для п — 4 и 1271).
Щ,=2<7/1ПЖ
Рис. 135.
1	(К /Л
1 — СП — Z, к]
е / \	\ &	/ т, К
где f (z) 			Г~ и «
snl-г, k\
определяется
JC = b
к 7
(см. задачу 1268). 1351. w = 2qi In
из
уравнения
у^-4-с. где
z2 = (4a - x0) + i (4b - z/o),
po.
и © = 2а,	©' = 2іЬ,
х*з = Xg + i (4b — Уо). 1352.
Zi = (4а - х0) 4- Іу0,
pi
z — a
w —
00, a
w = Д	z+c (a=0), c — действительное число. Сравнить с задачей 1294, 2).
z R
pi Р*і .	( ,	* R2 * R2 -\ pi pi ,
»353. w = ^ + -^+c (a^^a =—,p ^—pyw^—-T2z + c
(a = 00). См. задачу 1296, 2).	1354. w « p (z cos a + l sin a Уz2 — R2 ) 4- const.
1355. w = —£-7- I (az — b Уz2 — c2 ) cos a — i (bz — a Уz2 — c2 ) sin a] 4- const,
a — b
2K	K K' b
где c2 = a2 — b2. 1356. ^4 = & (cos a 4- i sin a en к)» гДе u=>~^z и TC = ~a

(см. задачу 1350). 1357. 1) Если рі = реіа, то
f (z) = pt' (a) j [yyjy +1 (z) j cos a + i [ -щу “'(*)] sin a } + c;
2) f(z) = pz7(z)-y^y + c = p|p(z) + cosa+z p (z) -yy—] sin a| + c,
где pl = pexa. Функции в квадратных скобках осуществляют нормированные
конформные отображения D на внешность горизонтального, соответственно
вертикального, отрезков !).
1358.
п
w = 21п -ц^л + іГ {а’ а) [тет - Pf (г> û)]+ с'
где
f (г, аЛ) и f(z, й) конформно отображают D на единичный круг с нормиров¬
кой f (ak, ak) = f (a, a) = 0, f (a, a) > 0 и с — действительное число.
— In 1——т-r, если Im z 0,
1360. и (z, а) —
ill I	_ 1 • Ctwn 1111	V.
|z-a| ’	’
— In 	г, если Im z < 0;
\z-a\ 9	*
1 В
P (А а) = - — ^_a)2 + p2~ (a = a + '₽)• 1361. 1) Внутри круга


Гі	1
In
-+lnl£l]
,	. . 1 R2 - âz1
t»(z, a) = ln-	—!--■
L
In R,
R
если а У= 0..
если а = 0.
9 Ср. приложение П. Шиффера в книге: Р. Курант, Принцип
Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, 1953, § 1,
п. 2, особенно стр. 242—243.
313

Вне круга v (z, a) = — In 2 Q p Плотность
p (Re19, a) = ~	/?2 — 2/? I a I cos (Ѳ — a) +1 a I2 “ Ia I e<“)-
В частности, для a = 0 она имеет постоянное значение —и создает
потенциал обложения, имеющий постоянное значение ч In R внутри круга и
значение In | z 1 вне круга.
2)
v(z, a)
in
1П	R

. 1
— In -j	7
I Z - al
°{г’ °°) = ( In Я,
|а|2-Я2
р(/?е*ѳ, а) =	2^ fl2-2R | a | cos (Ѳ - а) + | а |2
Если а = оо, то индуцируется тот же потенциал, что в предыдущем случае для
I z -I. V•г2 — /?2 I	1
а « 0. 1362. V (г, оо) « In			, р (х, оо)
(а — I а I еіа
2
2л/Я2-х2
вне эллипса, v (z, оо) = — In 2 (a — p)
„	/ X	I
Плотность p (г, оо)  	-
P	2л/|£2-c2|
1364. рШ =	1365.
2л дп ,
	Г . ( IX I < R). 1367. p (J)	г ...
2л/Я2-х2	2л/|£2-с2|
1368. R. 1369.	1370. 2	'• !371. а,- 1374. Если <в (г; Д) — гармони¬
ческая мера интервала А действительной оси в точке z относительно верх¬
ней полуплоскости: œ (г; Д) = ± I
д
то (опускается действительная аддитивная постоянная): 1) a> = ~-ln(z — а),
о=зф©(г;Д), Д = (—оо, а); 2) w = In	овф®(г;А), Д—(а, ô);
® = ^[ф11п(г-аІ)+ф21п-|£^+ ... +фп1п^-~^[ ],
1363. V (z, oo) = In
внутри эллипса.
с2-а2-р2).
1366 p(x)
2
1
(£ — на эллипсе,
(с2 = а2 —ft2).
—7-dt (см. задачи 1065 и 1373),
I Г Z I
3)
п
ѵ = 2 Ф/г° дл)’ (ak-v ak)> а-і =• “ °°; 4) ад и ü получаются из
Л-1
выражений, указанных в ответе к п. 3), заменой qk на <рЛ — <р0, добавле¬
нием /фо к w и ф0 к V. Потенциал можно также представить в виде
2	(г; дй). Ао = (Я„. “)•	1375.	1) w (г) = In z + const,
314

t>(z)e--^—In г + const,	где ц = —;	2) w (z) — In t (z) + const
Ш pi	Г|	in pi
v (z) = -у—— In 11 (z) I + const, где pi — модуль области D (см. стр. 35) и t (z)
In pi
конформно отображает D на круговое кольцо.
1377. w (z) определяется формулой, указанной в тексте задачи 1376, где:
О Ч лГ~ z-Vaï-R* а ' ГТТ'
ЛЧ ■ J , ч лГ— 2 —Х1	ZR — X] \2
2) и 3) /(z) = Fpi 	-, pi= -g	L , xb x2 определяются
Z — X2	\ A —‘ x2 /
r2 _ R2 _ a2
из уравнения x2 H	x + R2 = 0 (xi < x2);
2	j
4)	t (*) e -y U + Vz2 — с2 ), piд a c = Ya2 — b2\
K+u	K
n —І77—	2x1T77
5)	t == e K , z = sn (и, k), g = e K ( | Re и | < K, | Im и | < К' (см. за¬
дачу 1267, 1);
я ,Ki{7“ 2КЛ Г dn и en и ! 2Jl^ .
6)	t=*e 14 , z= - ft--- I Z (и) -I	— , pi = e 14 , где k опреде¬
ляется из уравнений: KZ(pi) = -7--, dn2!^-^ (см. задачу 1267, 15)»
2a	к
1379. 1)
Pl (?) - “ P2 (0 =
1	fi.
—	:	 на Z = 1,	,
2лрі In pi	1	1
!	Pu = P22 = — P12= “ P21 =
- t»	ï	 на I z I = u;	*
2лрі In pi	1
2) ©i (z) = 1 - œ2 (z), ©2 (z) = —^-4
Й8-ІТ2- >■ r..
<(£) I 1п ц 1	1
f(Ç) I 1 r Р11-Рг2--Р12--Р21-І^»
/;-Д” -j	 на Г2;
/(£) I In и
где / (z) конформно отображает D на кольцо 1 < 111 < рі, причем контур Гг
п
переходит в окружность	1381. ü (z) = Im / (г) -	а Д (z), где f (z>
ы
конформно отображает D на плоскость с горизонтальными разрезами, причем
Р1	.	/
— 	К ..., если а=/=оо,
z —а
piz 4- ..если а « оо.
п
1382.	V (2) = 2qg (z, а) + J} (z).	(z) = • - J -^ILîL ds,
ré
1383.	Если / (а) — оо, то поле образовано диполем (a; p)t где р определяется
315

из разложения f (z) вблизи точки а:
рі	I	,
— 	F ..., если а5^00,
z — а
piz + ..если а = оо.
/(*) =
1384.	1) Если f (а) = 0, f(b) = оо, то поле образовано точечными заря¬
дами (a; 2q), (b; — 2q), причем поток вектора напряженности через каждый
граничный контур равен нулю; 2) если f(a) = O, то поле образовано точеч¬
ным зарядом (a; 2q), причем поток вектора напряженности через граничный
кбнтур, соответствующий окружности, в направлении нормали, внешней
к области D, равен 4л^, а через каждый другой контур равен нулю; 3) поле
всюду регулярное. Поток вектора напряженности через граничные контуры,
переходящие в окружности, в направлении нормали, внешней к D, равен ±4rcq
(+ для контура, переходящего во внешнюю окружность), а через
каждый другой контур равен нулю.
1385.	См. задачи 1332 и 1334.
п-1
1386.	1) ü (^) = ^	(z) + g, гДе ak °Днозначно определяются из
fc=i
системы
п—1
=	2,..., n-1)
fc=i
(см. задачу 1077) и с — произвольное действительное число. Задача эквива¬
лентна построению течения в ZX обтекающего граничные контуры
с циркуляциями (k = 1, 2, ..., п), если оо е D, и циркуляциями
4л<7£ (&=1, 2	л — 1), — 4л7^ если оо œ D (Гл —внешний контур).
2) V (z) = ѵ0 (z) —27g (г, а), причем о0 (z) определяется, как в п. 1), по за¬
рядам обложения 2qk + 2q'k, где q'k = —ds.
ZjI J ОТЪ
1387.	V (z) = 2qx In дур + с, если q = 0, и
V (г) = 2 (7і - Kq) In дур - 2qg (z, а) + с, где '
In z + In a
2лі
In z — In a
2лі
при т= причем р < a < 1, если q=/=0 (в обозначениях задачи 1334
лі
функция Грина g (z, a) = Im Ф In zj при Г = 2л и Г2 = — 2л; последнее —
из условия ф = 0 на границе кольца).
1388.	Источник (a; q) переходит в источник (а*; — q), rqe а*—точка, сим¬
метричная а. Функция
и = -У- In	7 *—гт +
2л \f(zta)\ *
316

где f (z, a) конформно отображает область D на
в дальнейшем коэффициент теплопроводности
единичный круг (здесь и
k принят равным I).
1391.
1390. и = 4" ln I of UZ\ I + с‘
2л I R(z-a) I
и = In
2л
. яг , , . nh
sin -7— + I sh -7;—
2a	2a
. яг . , л/г
sin   i sh -7—
2a	2a
_ÇL+c,
‘ ЎТ
где k определяется из
1393. 1) Функцию Грина g (z, а) области D можно рассматривать как
пературу, создаваемую в D источником тепла (а; 2л), когда на
п
нипе температура равна нулю; 2) и (z) = g (z, а) 4- uk^k (z)»
1392.
i = sn
1393. 1) Функцию
K' 2b
соотношения — —.
К а
тем-
гра-
где
и
(z) — гармоническая мера Гд.
1394. и = -X g (g, а) + “2- in 111 + ult
2Л	Г2	Г1
'	Г\
где g (z, a) — функция Грина (см. ответ к задаче 1387).
Глава XI
1397. 1) и 2)	[(а, + Ь2) + і (а2 - h)], В = -^ [(a,-ft2) + i (a2 + ft,)],
C — Ci+ ic2; Ai = -^[(лі + ^2) + i(bi — a2)].
Bl = 27 [(*2 - a,) - / (a2 + ft,)],
Ci =	[(C2&i - Cib2) + i (c,a2 - c2a,)].
4) тображение (2) сводится к проектированию z-точек на прямую
р — a
w = це 2	(— оо<ц<оо), повороту вокруг начала на угол р и преобразо¬
ванию подобия с коэффициентом | А |. Вся z-плоскость преобразуется при
Z_a+P
этом в прямую w = Xe 2 ( — оо<Л<оо).
317

1407. Можно построить искомое квазиконформное преобразование с ха-
„	/?+|а|
рактеристикои р | fl | •
V = у - х tg а,
1 4- sin а
р =	.
cos а
2 — а
функции £ =* In "■ (значения 2 «■ а
В) конформно отображаем заданный
1408. и- ——,
cos а ’
1409. Решение. При помощи
и г “ b соответствуют точкам А и
двуугольник на полосу ширины л + р0. Эту полосу сжимаем до полосы ши¬
риной л (квазиконформное отображение с характеристикой р « 1 + и,
пользуясь обратной функцией г (£), отображаем последнюю полосу на по¬
лосу шириной л. При этом дуга AM (рис. 137) длины s займет положение
Рис. 137.
отрезка AM' длины х; точка М перемещается по окружности Аполлония
относительно точек А и В (показано пунктиром) причем
dx
ds
2 Ро
cos2 V
2 Р
cos 2
> cos2 -у
(доказать!). В полученной полуплоскости расширяем вертикальную полу¬
полосу, опирающуюся на отрезок АВ до длины дуги АВ, и притом так,
чтобы в результате сохранить длины всюду на дуге АВ, Результирующее
квазиконформное отображение имеет характеристику
1411.	Л-у[(а-гі) + Нс + &)], В -1 [(а + d) + i(c-b) ], F-±(f + lg).
1412.	b — q2 (-г) à или b « à В частности, можно взять w = œ 4-
Я2 (г)	_
+ (г) w. Преобразование w°»a<ù + b(ù невырожденное, если k2(z)l =/= 1.
1413.	b = kâ, где Л определяется из уравнения <ў2Л2 —X(l + I l2“l <7i l2)4-
4-72 е 0 или (Л — q2) (у — e I <7і I2- Преобразование невырожденное, если
ki I + 1^21 < 1 или lki|-k2l|> 1.
1414.	Старшие члены уравнения задачи определяют квазиконформное
отображение с двумя парами характеристик (р, Ѳ), (рх, 0j), зависящими от
318

(z) и q2 (г). Преобразование Ç (z) есть квазиконформное отображение
с одной парой характеристик р, Ѳ; pî= — — . * ■ е2/ѳ, qt = e2iQl (см.
Р т 1	p2 + I
задачи 1401 и 1403).
1422. F(z) = —2zln In — + 2z In ln-i-;
r	K
-21n ln— - 2 —^Cos ф + 2 In In 4- ?
дх	г In г 1 а
dF о. і і 1 л sin ф , п. 1 ,	1
—— =□ — 2i In In	2 —j-	'+2г In In -TT.
dy	r Inr	R 9
» —2 In In — — In —+ 21n In -4",
dz	r r	R 9
dF t .	e2^

Лев Израилевич. Волковыский,
Григорий Львович Лунц,
Исаак Генрихович Араманович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
М., 1975 г., 320 стр. с илл.
Редактор М. М. Горячая
Техн, редактор А. П. Колесникова
Корректор Т. А. Панькова
Печать с матриц. Подписано к печати 14/ХІ 1974 г.
Бумага 60Х90‘/ів. тип. № 3. Физ. печ. л. 20. Условн.
печ. л. 20. Уч.-изд. л. 24,43. Тираж 30 000 экз.
Цена книги 96 коп. Заказ № 421.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрс
при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29

96коп.