Работы
ПО КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени А. А. ЖДАНОВА
Академик В. А. ФОК
РАБОТЫ
ПО КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1957

печатается по постановлению
редакцаонно-издательского совета
Ленинградского университета
Сборник содержит работы В. А. Фока по вторичному
квантованию и квантовой электродинамике, выполненные им
в 1928—1937 гг. Значение этих работ В. А. Фока особенно-
возросло в настоящее время в связи с тем, что.теория вол-
нрв ых п^д еД ста л а одним из актуальнейших разделов совре-
современной теоретической физики. Однако изучение работ акад.
В. А. Фока по квантовой электродинамике затруднено тем,,
что они опубликованы на иностранных языках в журналах,
которые трудно достать. Издание упрощает эту задачу.
В предисловии к сборнику кратко освещено развитие
идей и методов В. А. Фока в современной квантовой теории
поля.
Книга рассчитана на специалистов, работающих в области
теоретической физики, аспирантов и студентов старших курсов.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящем сборнике помещены работы акад. В. А. Фока
пр вторичному крдц>ГГ|Ряи1М1Г> и квантовой электродинамике, вы-
выполненные им в 1928—1937 гг. ^ "
Квантовая теория поля является одним из основных разде-
разделов современной теоретической физики. Квантоваяи,_г.т.еорая-
пол я — это теория элементарных частиц. Значение квантовой
Теории поля особГннОТ квантовой элек-
электродинамикой сдвига уровней атомных электронов и дополни-
дополнительного магнитного момента электрона. В ряде работ, опубли-
опубликованных в 1949—1954 гг., квантовой электродинамике была
придана релятивистская форма и были разработаны методы,
позволяющие вычислять средние значения физических величин
и вероятности переходов в любом приближении теории возму-
возмущений. Методы, развитые в квантовой электродинамике, были
перенесены в
О
р д^^^
Однако в современной квантовой теории поля имеются еще
серьезные трудности. Ещ§ до сих пор не выяснен
димости последовательности йМ1^Ш^
В
о щщж^#
методы решения ура-
уравнений без ЩУШёнёния теории ^возмущений, чхо особенно
^(ажно в случае'мезонного поля. Более того, в последнее время
выявилась невоЭГйГбЖнбсть провести последовательно перенор-
перенормировку даже в случае квантовой электродинамики. В мезон-
ной теории еще не удалось добиться количественного согласия
с опытом. Поэтому проблемы квантовой теории поля сейчас
весьма актуальны.
Публикуемые в настоящем сборнике работы акад. В. А. Фока
внесли большой вклад в развитие квантовой теории ноля.
Эти работы входят в число работ, составляющих „основ-
„основной фонд** квантовой теории поля. Любопытно отметить, что
идеи и методы, разработанные акад. В. А. Фоком в этих статьях,
стали особенно широко применяться в последнее время, т. е.
спустя двадцать лет после их создания.
1* з

Между тем многие статьи акад. В. А. Фока по вторичному
квантованию и квантовой электродинамике, которые печатались
в свое время в различных журналах, стали теперь библиогра-
библиографической редкостью.
Поэтому было сочтено целесообразным издать сборник
работ акад. В. А. Фока по вторичному квантованию и теории
поля,1 чтобы сделать их доступными для всех читателей, инте-
интересующихся этими вопросами.
Рассмотрим кратко работы, помещенные в настоящем сбор-
сборнике в плане развития квантовой теории поля за время, истек-
истекшее с момента их опубликования.
В работе „Вторичное квантование и конфигурационное про-
пространство" A932 г.) последовательно выводятся основные со-
соотношения метода вторичного квантования и развивается ме-
метод конфигурационного пространства для систем с переменным
числом частиц. Уравнение Шредингера для функционала со-
состояния взаимодействующих полей в таком методе конфигура-
конфигурационного пространства эквивалентно бесконечной системе „за-
„зацепляющихся" уравнений для функций, описывающих состоя-
состояние поля с определенным числом частиц. При этом времена
всех частиц считаются одинаковыми. В некоторых зарубежных
работах этот метод называется методом рассмотрения системы
в „пространстве Фока" (Fock Spac$).
В этой работе такж^ впервые представлено изменение вол-
волновых функций с течением времени при помощи унитарного
преобразования. Кроме того, в работе впервые установлена
связь между оператором Гамильтона и оператором унитарного
преобразования от одного момента времени к другому.
Следует отметить, что в работе „Вторичное квантование
и конфигурационное пространство" было дано первое ясное
и последовательное изложение метода вторичного квантования
и его связи с квантовой механикой системы частиц в конфи-
конфигурационном пространстве. До появления этой работы связь
вторичного квантования с обычной квантовой механикой не была
ясна, и, например, в некоторых работах предполагалось, что
метод вторичного квантования выходит за рамки квантовой
механики. Статья „Вторичное квантование и конфигурационное
пространство" может служить основным пособием для изучаю-
изучающих вторичное квантование. В течение почти пятнадцати лет
со дня опубликования этой статьи развитый в ней метод рас-
рассмотрения систем с переменным числом частиц в конфигура-
конфигурационном пространстве в теории поля не применялся. В послед-
последнее время в связи с трудностями, вызванными неприменимостью
теории возмущений для мезонного поля, этот метод стал
широко применяться для расчетов в теории мезонного поля.
1 Переводы статей выполнены сотрудниками кафедры теоретической
физики.

Эта работа является также важным этапом в создании В. А. Фо-
Фоком метода функционалов.
Обобщение метода конфигурационного пространства в духе
современной инвариантной теории поля было предложено в ряде
работ [1—3] 1953—1954 г. В этих работах вместо последова-
последовательности волновых функций, каждая из которых описывает
систему из определенного числа частиц с одинаковыми време-
временами, вводятся волновые функции аналогичного типа, но со своим
временем для каждой частицы.
В работе „К теории позитронов" A933 г.) кратко сформу-
сформулирован метод рассмотрения позитронов во вторичном кванто-
квантовании.
Независимо от В. А. Фока в 1934 г. Дираком [4] был опу-
опубликован аналогичный метод. Этот метод, развитый в дальней-
дальнейшем Гейзенбергом [5], известен под названием метода „матрицы
плотности".
В настоящее время результаты работы сохраняют свое зна-
значение, хотя теперь они обычно выводятся иным образом — из
требования зарядовой симметрии теории.
В работах В. А. Фока „К электродинамике Дирака" A932 г.),
„О квантовании электромагнитных волн и взаимодействии за-
зарядов в теории Дирака" A932 г.), „Вывод формулы Меллера
из теории Дирака" A932 г.), написанных совместно с Б. По-
Подольским, для случая трехмерного движения развивается идея
Дирака о том, что кулоновское взаимодействие должно появ-
появляться в результате исключения продольного электромагнит-
электромагнитного поля. (В статье [6] Дирак пояснил эту идею лишь на при-
примере движения в одном измерении.) Работы В. А. Фока и Б. По-
Подольского вводят в цикл работ, который завершился созда-
созданием многовременного формализма Дирака — Фока —Подоль-
—Подольского, изложенного A932 г.) в заключительной статье цикла
„О квантовой электродинамике".
М
представляет собой^^лятщщщ^
SCSSSIlSE Каждой частице ? многовременном
BSCSSSIlSEBSSS^SiS^ д чце ? р
формализме приписывается свое время, отдельное время сопо-
ст^)шётсй"татаге электромагнитному полю. Уравнение Макс-
Максвелла в многовременном формализме обобщается на случай,
когда времена электронов не равны времени поля.
Обобщением многовременного формализма на случай, когда
оба поля — электромагнитное и электронно-позитронное — счи-
считаются квантованными, явился сверхмноговременный формализм,
предложенный в 1946—1948 гг. Томонагой [7] и Швингером [8].
В сверхмноговременном формализме каждой точке простран-
пространства сопоставляется свое время. Следует отметить, что приме-
применение сверхмноговременного формализма предполагает решение
задачи по теории возмущений и связано с громоздкими вычис-
вычислениями.

Три статьи „Обобщение и решение дираковского статисти-
статистического уравнения" A928 г.), „О квантовой электродинамике*
A934 г.) и „Метод функционалов в квантовой электродина-
электродинамике" A937 г.) составляют цикл работ, в которых развит метод
функционалов Фока.
В первой из перечисленных работ В. А. Фок разрабатывает
идею об описании системы с неопределенным числом частиц
с помощью производящей функции вместо бесконечной после-
последовательности волновых функций, каждая из которых отно-
относится к системе определенного числа частиц. В окончательном
виде с приложением к квантовой электродинамике эта идея
получила воплощение во второй, основной статье. (Поправки
к первой статье, напечатанные отдельно, при переводе были
внесены в текст.)
В методе функционалов состояние поля бозе-частиц описы-
описывается в представлении, где диагональны операторы рождения
бозе-частиц, а операторы поглощения выражаются посредством
функциональной производной по собственному значению опе-
оператора рождения. Волновая функция поля (функционал состо-
состояния) разлагается по собственным функциям оператора числа
частиц. Так как такими функциями .являются любые произве-
произведения операторов рождения, действующих на функционал ваку-
вакуума, то это разложение представляет собой функциональный
степенной ряд, а сам функционал в таком представлении является
производящей функцией для амплитуд вероятности состояний
поля с определенным числом частиц. Эти амплитуды могут
быть найдены из системы, аналогичной бесконечной системе
„зацепляющихся" уравнений метода конфигурационного про-
пространства (см. статью „Вторичное квантование и конфигурацион-
конфигурационное пространство").
Метод функционалов Фока представляет собой совершенно
строгую формулировку теории взаимодействия с полем бозе-
частиц. Метод функционалов применялся неоднократно для
решения конкретных задач.
После создания инвариантной теории S-матрицы и метода
устранения бесконечностей с помощью перенормировки массы
и заряда, метод функционалов Фока был приведен к ковари-
антному виду, согласующемуся с теорией позитрона и не со-
содержащему расходящихся выражений.
Подробное изложение современного состояния метода функ-
функционалов имеется в обзоре [9]. Метод функционалов Фока
кратко изложен в 3-м издании „Квантовой механики" Дирака.
Идея о производящем функционале получила значительное
развитие в последние годы. В своем методе функционалов
В. А. Фок развил эту идею, выбрав в качестве основных функ-
функций, описывающих поле, последовательность амплитуд веро-
вероятности в конфигурационном пространстве. Однако, разумеется,
кроме амплитуд вероятности можно построить последователь-

нести функций другого типа,, позволяющих полностью описать/
поле. Такими функциями являются, например,, ^-функции, фейн-
шновские амплитуды и т. д. Вместо бесконечной последова-
последовательности1 этих функции так же, как и, в. методе функционалов
Фока, мы! можем, характеризовать состояние, (или переходы
между состояниями), одной' величиной —производящим функ-
функционалом. Производящие функционалы, для; Г-функций и фейн-
мановеких амплитуд и р-функций являются функционалами от
внешних источников полей-. Трактовка- с внешними источниками
была предложена* Швингером [10]. В отличие от функционалов.
Фока, которые зависят от функций, векторного аргумента,
функционалы внешних источников зависят от функций про-
пространственно-временной точки,.
Идеи метода функционалов Фока использованы- и в про-
пространственно-временной' трактовке квантовой теории поля —
см., например, обзор [10]. Понятие о производящем' функцио-
функционале будет иметь- важное значение и- в; будущей теории, сво-
свободной от недостатков современной квантовой теории поля.
Действительно, и в будущей теории поля: будет, очевидно, со-
хренен корпускулярный аспект. А это значит, что поле при-
придется по-прежнему описывать бесконечной последовательностью
функций,, зависящих от переменных определенного числа
частиц,, и что попрежнему вместо* этой последовательности
можно будет воспользоваться производящим функционалом.
Отдельное место занимает работа „Собственное время в*клас-
в*классической и квантовой механике" A937 г.). В ней излагается
новый метод решения уравнения Дирака с электромагнитным
полем, основывающийся, на введении в уравнение Дирака нового-
параметра, который имеет смысл собственного времени. Зна-
Значение этого метода было понято только в 1950—1952 гг.,
после того, как была: создана ковариантная формулировка
квантовой теории поля.
В методе собственного- времени Фока решение уравнения:
Дирака представляется в. виде контурного интеграла по соб-
собственному времени.. Как известно, собственное время является
инвариантом. Это* обстоятельство важно» для современной кван-
квантовой теории поля, где релятивистская инвариантность является
одним из главных требований. Например,, для однозначного»
выделения расходимостей тока собственной энергии и поляри-
поляризации: вакуума необходимо, чтобы эти расходимости содержа-
содержались в, интегралах, не зависящих от системы координат и ка-
калибровки потенциалов (метод регуляризации). Поэтому приме-
применение метода собственного времени дает автоматически
однозначные результаты,, если только интегрирование по соб-
собственному времени проводится в конце вычислений [11].
Метод собственного' времени был использован также для
рассмотрения проблемы градиентной инвариантности [11] и оп-
определения: „позитронной" функции. Грина для уравнения, Ди-

рама.'[12]. Развитый в работе Швиигера [11] метод собствен*
ито времени был использован для. вычислений некоторых
радаациошшх поправок и функций Грина.
Вшае мы/перечислил» основные, пршяенения. и обобщения»
методов, разработанных акад. В^ А. Фоком* во вторичном кван-
товшши и тшрщ&пшга: Но развитые методы* настолько, общи,,
чта они! ишоисьзошлзюеь ранее и могут: с успехом примеяяпъея
в будущем.и в дргугах о&жаетихтеоретической* физики-—там j
где * рассматривается: сйсзгемышеосгих: частиц или сиетешстпере-
менным числом г чаетищ. например в теория:твердого: тела.
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. Т. Matthews, A. Salarn. Ptoc. Roy. Sbc, A221, 128 A954).
2. Nis*hijinra. Prog. The or. Phys., l«a 5WM993)-'
3. E. Pre«s:e. Zfcv ii N^tttffOrscb^ 8щ № 12 A953).
4. R A. M. Darac. Rroaj Carab. Phil. Soc.,,30,Л50 A934),
5. W. HeisenbeTg. Zs. f. Phys., 90, 209 A934).
6. P. A. M. Dltac. Proc. Roy. Soc, A136, 453 A932).
7. S. Tonronaga. Prog.* Theor: Phys.. 1, 127 A946).
8. J..SchwLn&er. Pftys; Rev.r 74^1439 A94^).
9. Ю/ В. Новожилов,,А, В. Тулуб. УФН, 61; Ш 1 A957),
10. J. Sch winger.. Proc. Nat. Acad. Set, 37,.452r 455 A951).
11. J. Sch winger. Phys. Rev., 82, 664 A951):
12. Y. Nairrbtr. Prog. Tlieor: Phys., 5, 82 A950>.
ОТ АВТОРА
Настоящий сборник моих работ 1928—1937 гг. по кванто-
квантовой теории поля выпущен по инициативе сотрудников кафедры
теоретической физики,Ленинградского университета. Особенно
деятельное участие в выпуске сбЪрника принял Ю*. В.' Ново-
Новожилов, который написал и предисловие к нему. Переводы, ра-
работ,, первоначально опубликованных на иностранных языках,
выполнены- М. Г. Веселовым (работа 2), Ю. Н. Демковым (ра-
(работа 1), Г. Ф. Друкаревым (работы 4 и 5)* и А\ В. Тулубом
(работы 3, 6 и 8). (Номера работ указаны по списку на стр. 158.)
Все переводы просмотрены автором.
Всем сотрудникам кафедры теоретической физики ЛГУ,
принимавшим участие в переводах и проявившим инициативу
в издании книги, а также директору Физического института
ЛГУ С. Э. Фришу, и ректору ЛГУ А. Д: Александрову, под-
поддержавшим эту инициативу, автор приносит свою глубокую
благодарность.
В. Фок

ОБОБЩЕНИЕ И РЕШЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 1
В. А. Фок
Исследованная Дираком статистическая задача о распределении состоя-
состояний в совокупности механических систем обобщается и затем решается &
общем виде с помощью производящей функции, которая удовлетворяет вол-
волновому уравнению в гильбертовом пространстве.
В работе Дирака „Испускание и поглощение света бозе-
эйнштейновская статистика совокупности механических систем
рассмотрена по совершенно новому методу. Дирак принимает^
что имеет место возмущение системы внешней силой и рас-
рассматривает вызванное этим возмущением изменение вероятности
данного распределения систем по энергетическим уровням.
Существенно новое в методе Дирака состоит в том, что
число Ns систем на 5-том энергетическом уровне рассматри-
рассматривается им как каноническая переменная. В пространстве этих
переменных (мы будем называть его пространством Дирака)
Дирак устанавливает волновое уравнение; решения этого ура-
уравнения являются функциями от переменных Ns и от времени.
Квадрат модуля решения определяет вероятность соответствую-
соответствующего распределения уровней энергии в совокупности.
Дирак не указывает, однако, способа решения полученнога
им уравнения.
В предлагаемой работе3 задача обобщается в том отноше-
отношении, что ищется вероятность распределения любой механиче-
1 Впервые опубликовано в 1928 г. V. Foe k. Verallgemeinerung und
Losung der Diracshen statistischen Gleichung. Zs. f. Physik., 49, 339—357
A928).
2 P. A. M. D i г а с The Quantum Theory of Emission and Absorbtion of
Radiation, Proc. Roy. Soc, (A) 144, 243 A926).
3 В оригинальном тексте была сделана попытка применить разработан-
разработанный в этой статье метод также и к случаю статистики Ферми. Эта попытка
оказалась неудачной, вследствие чего относящиеся к случаю статистики
Ферми места (в частности, § 8) здесь опущены. Поправка была дана в ра-
работе: „Zur Quantenelektrodynamik". Sow. Phys., 6, 5, 428 A934) (в печатае-
печатаемом здесь русском переводе этой работы упомянутая сноска опущена). На
трудности, связанные с применением данного метода к статистике Ферми,
указывалось уже в оригинальной работе (В, Ф.).

ской величины (а не только энергии). При этом амплитуды
вероятности любой другой (или той же самой) механической
величины считаются заданными в момент времени t=--0.
Обобщенное уравнение Дирака решается с помощью произ-
производящей функции, для которой можно указать явное выраже-
выражение.
§ 1. Рассмотрим совокупность одинаковых механических
систем. Оператор энергии Н каждой системы может содержать
время. Наряду с энергией рассмотрим две другие механические
величины а и b с операторами А и В.
Оператор А понадобится нам в дальнейшем лишь для опре-
определенного момента времени to^=O, поэтому мы можем принять,
что он не содержит времени явно. Оператор В, напротив, рас-
рассматривается нами в различные моменты времени и сообразно
этому мы примем, что он может явно содержать время.1
Уравнение Шредингера для одной системы имеет вид
Собственные функции операторов А и В удовлетворяют
уравнениям
АЬ(я) = а*Ь(я). B)
f). C)
Произвольные, зависящие от времени, фазовые множители
функций <р5(<7, t) можно для определенности считать выбран-
выбранными по рецепту,2 предложенному автором в работе.3
Мы будем также рассматривать систему решений ф5 (q, t)
уравнения Шредингера
/%(?. 0+-г-Ж" = 0, D)
удовлетворяющих начальным условиям
<Ы<7, 0) = )s(q). E)
Согласно теореме, доказанной в цитированной работе автора,
система функций ф5 (q, t) будет полной, ортогональной и нор-
нормированной для всех значений t. В дальнейшем мы будем на-
называть ее основной системой.
§ 2, Каждое решение / (q, t) уравнения Шредингера A)
однозначно определяется своим начальным значением f(q, 0).
1 У Дирака операторы А и В совпадают и равны оператору энергии
невозмущенной системы.
2 Каждая собственная функция, нормированная таким образом, ортого-
ортогональна к своей производной по времени.
3 V. Foe k. Uber die Beziehung zwischen den Integralen der quantenme-
chanischen Bewegungsgleichungen und der Schrbdingerschen Wellengleichung.
Zs. f. Phys., 49, 323 A928).
10

Если разложить это начальное значение по функциям
^ о), F)
то в момент t решение будет равно
/(?.') = 2 «WM?. 0- G)
S
Это же решение мы можем разложить по собственным функ-
функциям операторов А и В:
f(q, 0 = 2-*VM<7, 0), (8)
где коэффициенты xs и ys являются функциями времени, тогда
как в формуле G) коэффициенты gs были постоянными.1
Бесконечно-мерное пространство всех последовательностей
коэффициейтов разложения
?i* Sn • • • Ss> • • •
хх х (\0)
Уь У-2».. .у5,... ,
называют комплексным гильбертовым пространством. Элементы
каждой последовательности A0) будут „координатами* в этом
пространстве. Переходу от одной последовательности к другой
соответствует линейное ортогональное (унитарное) преобразо-
преобразование координат, которое можно рассматривать как вращение
координатной системы в гильбертовом пространстве.
Физический смысл величин ys следующий. Пусть физиче-
физической величине b соответствует оператор В, имеющий собствен-
собственные значения C5 и собственные функции <р5 (q, t). Если разло-
разложить решение уравнения Шредингера / (<7, t) по функциям
9s (Яу t)9 то квадрат модуля \ys\* коэффициента разложения ys
дает относительную вероятность того, что в момент t величи-
величина b равна р$.
Вместо того чтобы говорить „величина b равна собствен-
собственному значению р5 оператора 5й, можно сказать короче „система
находится в состоянии s\ по крайней мере в том случае, когда
ясно, каким оператором определяются состояния, о которых
идет речь.
Так как сумма квадратов модулей \ys\2 равна соответствую-
соответствующей сумме | gs |2 и, следовательно, постоянна, мы можем поло-
1 Если понимать под функциями tys(q, 0) собственные функции невозму-
невозмущенной системы, то наши xs суть те самые величины, которые Дирак обо-
обозначает через bs.
U

жить ее равной числу М систем в совокупности
Квадрат модуля
' A2)
будет тогда равен вероятному числу NJP систем в состоянии у
(т. е. с собственным значением р5). Аналогичное утверждение
справедливо, конечно, и для оператора А.
§ 3. Установим дифференциальные уравнения, которым
удовлетворяют коэффициенты разложения ys.
Если помножить каждое из разложений G) и (9) на
?г (tf. t) p (q) dq
[9 (Я) — весовая функция в пространстве q], проинтегрировать
по пространству переменных q и приравнять результаты, то
получится выражение для уг через постоянные gs
где для краткости введено обозначение
Yrs = J ?r (Я, t) Ф5 (q, t) pdq. A4)
Величины Yrs удовлетворяют уравнениям
2 YrlYsl = b
brs
/
A5)
и являются, тем самым, элементами унитарной матрицы.
Дифференцируя выражение A4) по времени и учитывая,
что функция ф5 (q, t) удовлетворяет уравнению Шредингера D)^
получим _
Л l^ A6}
Разлагая в этом выражении <J>S (q, t) no cp/ (</, t)
ЫЯ,0 = %У18<?1(Я, t) A7)
и полагая для краткости
*r/ = Jir(?, 0%(?, t)9dq+-±jfr{q, t)-%-pdq, A8)
12

получаем дифференциальные уравнения
Матрица коэффициентов Кги очевидно, эрмитова. Поскольку
величины уг являются линейными функциями от Yrs с постоян-
постоянными коэффициентами gs, то и уг удовлетворяют дифферен-
дифференциальным уравнениям того же вида A9). Этот результат
можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема 1. Если разложить решение уравнения Шредин-
гера по системе ортогональных функций <р5 {q, t), то коэффи-
коэффициенты разложения уг будут удовлетворять дифференциальным
уравнениям
где величины Kri определены формулой A8).
Эта теорема справедлива, очевидно, для любой полной орто-
ортогональной системы функций. В частности, для основной си-
системы, например для фг (#, t), выражение A8) равно нулю
и коэффициенты разложения постоянны.
§ 4. Рассмотрим, наряду с системой уравнений B0), комп-
комплексно сопряженную систему
Н B0*>
i
Обозначая через I* билинейную форму
B1)
мы можем записать уравнения B0) и B0*) в виде
h dyr _____ dF
ТЧГ^ дУг ' (ZZ }
Если рассматривать уг (или уг) как каноническую коорди-
координату, а — уг /или г~Уг) как канонический импульс, т. е.
если положить
Ог=Уг, Рг = \Уг, B3)
или
Qr = yr, Рг = --гУг, B3*)
13

то уравнения B2) и B2*) могут рассматриваться как уравнения
движения в гильбертовом пространстве с функцией Гамиль-
Гамильтона F.
Будем теперь считать, следуя Дираку, что канонические
переменные являются операторами (матрицами, q — числами)
и установим волновое уравнение, соответствующее оператору
Гамильтона F. При этом мы можем использовать либо „про-
„пространство*4 уп либо „пространство" уг.
В пространстве^ оператор уг означает „умножение на у/,
а оператор уг— ^изменение знака и дифференцирование по уги:
В пространстве уг оператор уг означает „умножение науг",
а оператор уг— „дифференцирование по уги:
_ _ д
Уг^Уп Уг^~^~ • B5>
Это следует из известных общих формул
р!l д о A JL
*г— i ЩГ' Чг~"~ i дРг
и притом независимо от того, определим ли мы канонические
переменные Рг и Qr согласно B3) или согласно B3*). Обозначая
волновую функцию в пространстве уг через &, получим
Здесь следует отметить, что последовательность операторов
в диагональных членах B7) не существенна. В самом деле,
если бы мы подействовали операторами уг и -~— какой-либо
иной последовательности, например писали бы
д
или
то в правой части B7) вместо нуля стоял бы член вида c(t) У,
где c(t)~ вещественная функция от времени. Однако легко
убедиться, что решение нового уравнения отличается от рзше-
ния уравнения B7) лишь на множитель, по модулю равный
единице, т. е. на несущественный фазовый множитель.
Уравнение B7) представляет собой волновое уравнение
в пространстве уг. Чтобы получить соответствующее уравне-
уравнение в гильбертовом пространстве с координатами уг, мы долж-
14

ны подставить в гамильтонову функцию B1) в качестве опера-
операторов для уг и для уг выражения B5). Обозначая через & вол-
волновую функцию в пространстве уп находим
В силу соотношения Ksr = Krs это уравнение будет в точ-
точности комплексно сопряженным к уравнению B7).
Таким образом, для установления вида волнового уравне-
уравнения в гильбертовом пространстве несущественно, будем ли мы.
рассматривать в качестве координат и импульсов выражения B3),
или же выражения B3*). Так как последовательность опера-
операторов в функции Гамильтона также безразлична, мы можем
утверждать, что волновое уравнение в гильбертовом простран-
пространстве установлено однозначно.
Вернемся к уравнению B7). Это есть линейное уравнение
в частных производных первого порядка. Если составить свя-
связанную с ним систему обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений, то получится в точности система B0). Эта система*
и уравнение B7) будут, таким образом, сопряженными в смысле
теории уравнений в частных производных первого порядка.
Отсюда следует, что преобразование волнового уравнения B5}
к другой системе координат в гильбертовом пространстве
производится путем простой замены независимых переменных
по обычным правилам дифференциального исчисления; сама же
волновая функция Q остается при таком преобразовании инва-
инвариантной.
Это замечание позволяет найти общее решение волнового
уравнения B7) без всяких вычислений. Действительно, если
в качестве координат в гильбертовом пространстве взять коэф-
коэффициенты разложения gs по основной системе функций, то
в этих координатах волновое уравнение будет иметь простой
вид
(%=0, B9)
где значок^ означает, что производная по времени берется
при постоянных gs. Общим решением этого уравнения, а сле-
следовательно, и уравнения B5) будет произвольная функция от
переменных gs:
^ = ^tel. **-¦¦**...). (зо>
где в случае уравнения B5) под переменными gs надо пони-
понимать их выражения через величины уг
& = 27г*Уг. C1)
IS

Общим решением уравнения B8) будет выражение, комплекс-
комплексно сопряженное к C0).
Результаты этого параграфа можно сформулировать в виде
следующей теоремы.
Теорема 2. Статистическое волновое уравнение Дирака
в пространстве Гильберта с координатами уг является уравне-
уравнением в частных производных, сопряженным к системе обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений B0) теоремы 1. Его
общим решением будет произвольная функция от коэффициен-
коэффициентов разложения по основной системе функций.
§ 5. Как мы уже упоминали в § 2, физический смысл имеют
не сами коэффициенты разложения ys, а их квадраты модуля
|у5|2 = у5у5 (вероятное число систем в состоянии s). Введем
поэтому с помощью канонического преобразования такие новые
переменные ns и 65, чтобы в пространстве ns оператор
* У$ -^~ -» ns C2)
означал бы простое умножение на целое неотрицательное
число ns. Таким каноническим преобразованием будет
v = д_ =
д (у|+1)ф(*> ~Ъ s~J s
где Ф(п) есть произвольная функция целого числа п, относи-
относительно которой мы потребуем, чтобы при л = 0 она равнялась
единице, а для отрицательных п обращалась в бесконечность *
C4)
Величины $s должны рассматриваться здесь как канониче-
канонические координаты, а величины ns — как импульсы. Смысл 6S будет
тогда такой:
h д
и оператор
в
eh s=
1 В оригинальном тексте вид функции Ф (п) связывался с видом стати-
статистики, тогда как на самом деле он связан с условием нормировки; см. ниже
формулу (*). В настоящем издании эта ошибка исправлена (В. Ф.).
1*

будет обозначать „уменьшение числа ns Й1 единицу", тогда
как оператор
"" Л" 85 д
е =з?
обозначает „увеличение числа ns на единицу".
Формулы преобразования можно также записать в виде
о_
Л = ф (^) ^
д
rdns
C3*)
Мы должны потребовать, чтобы оператор ys был сопряженным
с ys. Это дает
|Ф()|2 !
Считая функцию Ф (п) вещественной, мы можем положить
Ф (п) =
C5)
Эта функция, очевидно, удовлетворяет условиям C4). Подстав-
Подставляя C5) в C3), получаем преобразование, использованное Ди-
Дираком, а именно
или
дП —
=е s yns
C6)
C6*)
Мы должны еще показать, что преобразование C3) или C6)
действительно каноническое, т. е. что выполняются перестано-
перестановочные соотношения между операторами ys и —=-, которые
имеют вид
д - ~ д *
дуг dys
17

Первое из этих соотношений следует при г — s из уравнений
-^=У5 = л5 + 1; ys-^= = ns, C7*)
которые выводятся из C3), а при г Ф s, оно очевидно. Осталь-
Остальные соотношения также очевидно выполняются. Таким обра-
образом, преобразование C3) или C6) является каноническим.
§ 6. Мы должны теперь исследовать даваемый формулами
C3) и C6) переход от гильбертова пространства переменных
уг к дираковскому пространству переменных пг. Рассмотрим
сперва случай одной переменной уп которую обозначим через z.
Функции F(z) от переменной z в пространстве Гильберта
соответствует функция с(п) от целого числа п в пространстве
Дирака. Согласно общей теории представлений Дирака, пере-
переход от F(z) к с(п) осуществляется посредством полной систе-
системы функций f(n, z), а именно
F(*) = %c{n)f(n, z). C8)
п
Прежде чем идти дальше, напомним, что вид C5) функции
Ф (п) был определен нами из требования, чтобы оба опера-
оператора C3) были друг к другу сопряженными. Но вид условия
сопряженности операторов зависит от вида весовой функции
в условии нормировки. Следовательно, функция Ф(п) связана
с весовой функцией. А именно, произвольной функции Ф(п)
соответствует условие нормировки
таким образом, требование C5) означает, что условие норми-
нормировки имеет обычный вид
В рассуждениях этого параграфа мы сохраним Ф(п) произволь-
произвольным и положим Ф(/г) = ]/7г! лишь в окончательных форму-
формулах.1
Уравнения C3), которые определяют рассматриваемое пре-
преобразование, мы запишем в виде
z-+S= Ф(п) е~Тп
г^° Ф(п—\)
д_ т (п + \)Ф(п) ж C9)
дг " Ф (п +1) е '
1 Текст между формулами C8) и C9) добавлен в настоящем издании
(В. Ф.).
18

Они означают, что результат действия оператора z Гили -^
на левую часть F(z) формулы C8) можно разложить по функ-
функциям f(n, z), причем коэффициентами разложения будут ре-
результаты Sc(n) (или Тс(п)) действия оператора 5 (или Т) на
функцию с {и). Таким образом,
%z), D0)
d-?&.= \*\Tc(n\]f(n z) D1)
dz ^-J l v /J J v ' ' ч 7
n
где, согласно формулам C9), коэффициенты Sc(ri) и Тс{п)
имеют следующие значения:
D3)
Заменяя в формуле D0) п на я+1, ав формуле D1) п
на п — 1, можно записать эти формулы в виде:
+ h *)> D4)
С другой стороны, мы можем прямо взять разложение C8)
и помножить его на z или продифференцировать по z. Тогда
получим
zF(z)=%c(n)zf(n, z), D6)
-. D7)
dz
Выражения D4) и D6), а также D5) и D7) должны быть
равны между собой и притом тождественно относительно функ-
функции F(z), а следовательно, и относительно с (п), т. е. почленно.
Для этого функция /(я, z) должна удовлетворять следующим
функциональным уравнениям
г 1, z), D8)
- 1, г). D9)
Умножая обе части D9) на г и выражая произведение
2* 19

zf(n—- 1, z) по формуле D8) через f(n, z), получим
zd-^ = nf(n,z) E0)
— дифференциальное уравнение, справедливость которого
можно было бы усмотреть и непосредственно из C7*). Его ре-
решением будет
/(*, z)=f{n)z». E1)
Подставляя выражение E1) в формулу D8), получим
/(п)Ф(п)=/(п+1)Ф{п+\). E2)
Таким образом, величина E2) не зависит от п\ можно поло-
положить ее равной единице.
Итак, мы определили функцию f(n, z) с точностью до мно-
множителя, не зависящего от п и от z
П*.*) = ТЦГу E3)
При обычном условии нормировки (**) будет Ф (п) = Yn\ и,
следовательно,
^ E3*)
Переход ко многим переменным получается без всякого
труда; собственные функции являются произведениями соб-
собственных функций одной переменной. Мы выпишем лишь окон-
окончательную формулу для канонического преобразования функ-
функции Q(yu y2y • •) в гильбертовом пространстве в функцию
Ф (Л1> Л2> • • •) в пространстве Дирака
или, при обычном условии нормировки для
§ 7. Рассмотренная в последних двух параграфах теория
канонического преобразования C3) или C6) позволяет нам не
только установить вид волнового уравнения в пространстве
Дирака, но и сразу получить его решение, если известно ре-
решение волнового уравнения в гильбертовом пространстве. Пре-
Преобразование самого уравнения, в сущности, не нужно; тем не
менее мы его проведем, чтобы облегчить сравнение с форму-
формулами Дирака.
20

В формуле B1) для функции Гамильтона мы должны заме-
заменить операторы ys и уг = —=— их выражениями согласно C3)
или C6). Мы получим
buV^ E5)
и при обычном условии нормировки, когда Ф (я) =
F = %Kssns + 2KrsV^rV^hTl #9r*'\ E5*)
Обозначим волновую функцию в пространстве Дирака через
nt> • • •)• Эта функция удовлетворяет волновому уравнению
Т дГ + (Л1» /х^ • • •) + ^ (Ль % ...) = 0. E6)
В явной форме это уравнение напишется
Если функция ф(л1э /г2,...) нормирована по формуле
2 л.,.-.Iа = const, E8)
то будет Ф(/г)= Уп\ и уравнение E7) принимает вид
Т F * (Л»' Л2» - - 0 4-
S ^rs ^/^Tit^.. • • ¦ «г - 1, ¦ • • ns + 1,.. .)• E7*)
Решение этого уравнения нам уже известно: ty(nv я2,...)
будет_коэффициентом разложения в формуле E4) или E4*),
если &{у19 y2f-) удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению B8). В этом можно убедиться и непосредственно, если
подставить выражение E4) или E4*) в дифференциальное ура-
уравнение и приравнять нулю коэффициенты при всевозможных
произведениях степеней ys; при этом получится в точности
уравнение E7) и соответственно E7*).
21

§ 9.1 Теперь мы в состоянии сформулировать статистическую
задачу в общем виде и указать ее решение.
Рассмотрим две механические величины а и b с операто-
операторами А и В и (дискретными) собственными значениями as и ps.
Пусть в момент t = 0 заданы амплитуды вероятности
^Цп1>Щ>...) E9)
для распределения систем по состояниям оператора А. Тре-
Требуется вычислить амплитуды вероятности
для распределения систем по состояниям оператора В в мо-
момент t.
Задача, рассмотренная Дираком, получится, если принять,
что операторы А и В совпадают и равны оператору энергии
невозмущенной системы. Решение данной задачи можно полу-
получить следующим путем.
Построим, как указано в § 1, основную систему функций,
которые при t = 0 переходят в собственные функции опера-
оператора А. Рассмотрим также собственные функции оператора В.
С помощью этих систем функций составим по формуле A4)
матрицу Yrs.
Используя величины, сопряженные заданным амплитудам
вероятности E9), и вводя произвольные параметры gu g2,...,
образуем производящую функцию
где суммирование распространяется на все неотрицательные
значения пи п2,..., удовлетворяющие условию
п1-\- п2-{-.. , = N (число систем). F2)
Функция Q0 является, таким образом, однородной функ-
функцией ЛЛой степени относительно параметров gs. Заменим
теперь входящие в 2° параметры gs линейными формами
ёз-^УгзУп F3)
г
где уг — новые параметры. Полученную таким путем функцию
от уг мы обозначим через Q, так что
ft,...)- F4)
1 § 8, содержавший попытку применения теории к статистике Ферми,
здесь опущен, а § 9 несколько сокращен. (В. Ф.).
22

Эта функция Q удовлетворяет волновому уравнению B7) в гиль-
гильбертовом пространстве. Разложим 2 по степеням ys и запишем
разложение в виде
^ Ife • F5)
Тогда сопряженные с коэффициентами разложения величины
if(P (tii, п2,...) удовлетворяют волновому уравнению в про-
пространстве Дирака и являются искомыми амплитудами вероят-
вероятности.
§ 10. Рассмотрим теперь частные случаи общей задачи.
Пусть оператор А есть оператор энергии в момент t = 0, а В
есть оператор энергии в момент t
F6)
В этом случае функции tys(q9 t) и у$(д, f) в момент ? = 0
совпадают
ЫЯ> 0) = <r8(q9 0) F7)
и матричный элемент Yrs обращается при t = 0 в Srs, так что
тогда величины ys совпадают с gs
Yrs{O) = brs. F8)
Начальными значениями коэффициентов <$Р)(Л1» Г/г2>---) разло-
разложения F5) будут величины $* (пи /t2,...) из формулы F1);
таким образом, описанный в § 9 метод позволяет построить
решение уравнения Дирака по заданным начальным условиям.
Рассмотрим теперь случай, когда множество систем при-
приводится к одной единственной системе, которая при t = 0 на-
находится в состоянии s. Тогда производящая функция 2° равна
&(gl. g2,-.-) = gS F9)
и функция Q(yu y2,...) имеет вид
^(*,*,...) = 2 >7»Уг- G0)
Сопоставляя эту формулу с F5), получим
0Л 0
7г, G1)
(в левой части единица стоит на r-том месте). Квадрат модуля
этой величины
1<Ы3 = !^12 G2)
23

есть вероятность того, что в момент времени t в состоянии г
находится одна система (в данном случае единственная). Дру-
Другими словами, |<]^|2 есть вероятность перехода из состояния s
в состояние г, что совпадает с определением этой величины
данным Борном.1
В качестве следующего примера рассмотрим совокупность N
систем, находившихся в момент t=\0 в одном и том же со-
состоянии. Тогда функции 2° и 2 будут
20 = .
G3)
Амплитуда вероятности tyt(nv Ли • • •) Для распределения
(пи п2,...) в момент t будет
G4)
Квадрат модуля этой величины, который дает вероятность
данного распределения, равен
G5)
Поскольку величины | Yrs |2 дают нам вероятности для одной
системы (см. формулу 72), данное выражение, соответствующее
бозе-эйнштейновской статистике, совпадает с тем, которое
можно вычислить по обычной теории вероятности.
1 М. Born. Das Adiabatenprinzipin der Quantenmechanik. Zs. f. Phys., 40,
107 A926).

КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО И ВТОРИЧНОЕ
КВАНТОВАНИЕ1
В. Фок
Исследуется связь между методом квантованной волновой функции и ме-
методом волновых функций в конфигурационном пространстве. Операторы
вторичного квантования представлены в последовательности конфигурацион-
конфигурационных пространств одной, двух и т. д. частиц. Полученное представление по-
позволяет дать простой вывод уравнений Хартри с обменом 2
Тот факт, что метод квантованной волновой функции экви-
эквивалентен методу обычных волновых функций в конфигурацион-
конфигурационном пространстве, в принципе известен; однако тесная связь
между обоими методами не была должным образом отмечена.
В предлагаемой работе эта связь прослежена подробно. Ока-
Оказывается, она настолько тесна, что в каждой стадии вычисле-
вычисления с квантованной волновой функцией допускает прямой пере-
переход к конфигурационному пространству.
Настоящая работа содержит две части. Первая часть имеет
вводный характер и содержит вывод и сопоставление извест-
известных результатов. Здесь рассматривается переход от конфигу-
конфигурационного пространства к вторичному квантованию для случая
статистик Бозе и Ферми, причем особенно подчеркивается одно-
однозначность определения порядка некоммутирующих множителей.
Исходным пунктом рассмотрения второй части являются пере-
перестановочные соотношения между квантованными волновыми
функциями (операторами W). Показано, что эти соотношения
удовлетворяются некоторыми операторами, действующими на
последовательность обыкновенных волновых функций 1,2, .../г
частиц. Тем самым получается представление операторов W
в конфигурационном пространстве (точнее в последовательности
конфигурационных пространств). Далее рассматривается зави-
зависимость операторов W от времени и определяется вид оператора
it- № u
= ~дГ' основе полученного представления показано, что
3 Впервые опубликовано в 1932 г. V. Fock. Konfigurationsraum und
zweite Quantelung. Zs. f. Phys., 75, 622—647 A932).
8 Содержание этой работы доложено на теоретическом семинаре Ленин-
Ленинградского Университета в январе 1931 г,
25

содержащее производную по времени уравнение Шредингера
для оператора ? может быть записано в виде совокупности
обыкновенных уравнений Шредингера для 1, 2,... п частиц.
В качестве применения полученного представления дается про-
простой вывод уравнений Хартри с обменом.
I. ПЕРЕХОД ОТ КОНФИГУРАЦИОННОГО ПРОСТРАНСТВА
К ВТОРИЧНОМУ КВАНТОВАНИЮ1
Обозначим через хг совокупность переменных r-той частицы
(например, координаты и спин электрона, xr~ (хп yn zn ar))
и рассмотрим волновую функцию
Ц(х1х2...хп; t), A)
которая описывает совокупность п одинаковых частиц в конфи-
конфигурационном пространстве. Для удобства перейдем посредством
канонического преобразования от первоначальной переменной х
к новой переменной Е, принимающей только дискретные зна-
значения
F — рМ pW F(r) (9\
Под величинами B) можно разуметь собственные значения
оператора с дискретным спектром. Если обозначить соответст-
соответствующие собственные функции через
ФгИ = Ф(?(г), х\ C)
то преобразованная волновая функция
c(El9 ?2,..., En; t) D)
связана с первоначальной волновой функцией A) соотношением
где каждая переменная суммирования Ev Е.1У... Еп пробегает
все значения B).
Уравнение Шредингера в конфигурационном пространстве
напишется2
Щ{х,...хп- 0-^ = 0. F)
Положим, что оператор энергии Н имеет вид
Я=2%)+ 2 G{xk; xt). G)
1 Читатель, знакомый с теорией вторичного квантования, может эту
первую часть пропустить и начать чтение сразу со второй части.
2 Через h здесь обозначена постоянная Планка, деленная на 2тс.
26

Здесь простая сумма дает энергию отдельных частиц, а двой-
двойная сумма — энергию их взаимодействия. В случае Кулонов-
ских сил
G{x,x') = {^v-V (8)
Чтобы получить уравнение Шредингера для преобразованной
волновой функции D), нужно подставить разложение E) в урав-
уравнение F), разложить результат по произведениям
функций C) и приравнять нулю коэффициенты при каждом
произведении. Таким путем получим
+ 22 (EkEi\O\WW')c{El...Ek_1WEk+l... (9)
k<l=l WW
¦¦ -E^ WEl+l...Ea;t)-ih±c{E1Ei...En;t) = 0,
где введены следующие обозначения для матричных элементов
(E\H\W) = ^(E;x)H(x)ty(W;x)dxy A0)
(ЕЕ' | О | WW) =
= \fi(E;x)<HE''>x')G(x;x')b(W;x)'b(W';x')dxdx\ A0*)
Пусть аргументы
F F Fu F
волновой функции с в уравнении (9) равны соответственно
собственным значениям
Если писать для краткости
(r\H\s) вместо (Е{Г)\Н\Е(%
(rt\O\su) вместо (^^l G\&s)&\
c(rvr2...rn;t) вместо с (E(ri)E{ri)... ?<ГЛ; Q,
то волновое уравнение (9) примет вид
G\rs)c(rl... rft_j rrk ... rt_x sr j... rn; t) -
-ih±c(ri...rn;t) = O. (9*)
27

До сих пор мы не принимали во внимание свойств симметрии
волновой функции (следовательно и вида статистики). Но вол-
волновая функция (как ф, так и с) либо симметрична (статистика
Бозе), либо антисимметрична (статистика Ферми). В случае
симметричной волновой функции значение с (г2, г2... rn; t) опре-
определяется заданием чисел
пъ п29...пп A1)
которые указывают, сколько раз соответствующие аргументы
1,2, ...г, или Е{1\ Е{2),... Е{г), встречаются в с. Поэтому мы
можем положить
с (ггг2 ...rn;t) = c* (пгщ ...;*). A2)
Каждому ряду чисел A1) соответствует теперь совокупность
значений гг, г2,...гп (определенная независимо от порядка
расположения этих последних). Мы имеем, например (для я = 3):
гD, 4, 5) = *D, 5, 4) = ?E, 4, 4) = с*@, 0, 0, 2, 1, 0, 0...).
В нормировочном условии
2 к(^г2...гл;0!2= 1 A3)
можно произвести суммирование сначала по всем перестановкам
чисел данного набора значений г2г2... гп, а затем по различным
наборам
2 2 к(г1Г3...гя;0|'=1.
(г,...г„) Perm
Сумма "V^ содержит —^~-}— одинаковых членов; следова-
Perm
тельно, мы имеем
или, введя согласно A2) в качестве переменных величины пп
щп9. . .
В нормировочном условии A4) весовую функцию —^~\— можно
свести к единице подстановкой
*• {щщ... ; 0 = уЩП2/(П1п2 ...;t). . A5)
Для новой волновой функции / нормировочное условие при-
принимает вид
2 |/(*1Л2..;*)!•= 1. A6)

В случае статистики Ферми задания чисел пг еще недоста-
недостаточно для однозначного определения с (гхг2...; t), так как ве-
величина с определяется им лишь с точностью до знака. Однако
мы можем сохранить уравнения A2) и A5) и для статистики
Ферми, если введем добавочное условие, что в этом случае
аргументы в c(rxr2.. ,;t) образуют „натуральную" последова-
последовательность, например:
< < г3... < гп.
Если последовательность аргументов получается из натураль-
натуральной посредством четной перестановки, то уравнение A2) оста-
остается неизмененным; для нечетной перестановки в нем должен
быть изменен знак, например:
сA, 4, 5) = -сD, 1, 5) = е*A, 0, 0, 1, 1, 0, 0...).
В дальнейшем статистика Бозе и статистика Ферми будут рас-
рассматриваться раздельно.
Статистика Бозе
В случае статистики Бозе в волновой функции с(ггг2...'^)
может встретиться несколько одинаковых аргументов, например:
с = с(и9 и, и, v, v, w,...).
В выражении (9*) могут поэтому появиться в первой сумме
функции, которые различаются только порядком аргументов,
а именно может встретиться пи слагаемых, в которых аргумент г
стоит на месте и, nv слагаемых с г на месте v и т. д. Если
собрать одинаковые слагаемые, то для первой суммы в (9*)
мы получим выражение
^(и\Н\г)пис(г, и, и, v, vt w,...) +
г
vc(ay и, и, г, v, w, ...) + .-•
Введя здесь согласно A2) в качестве переменных величины щ,
получим
^(и\Н\г) Пис*(...пи- 1,...лг+1,...) +
+ %(*\Н\г)щ,(*(...п<,— 1,...пг+19...) + ...
г
или проще
где индекс р может теперь пробегать уже все значения (а не
тотько значения р = и, v, w,...), так как лишние члены исче-
исчезают благодаря множителю пр. При этом для г = /? под вели-

чиной ?*(... я»—1,.../гг+1,...) должно понимать просто
с*(...пг...).
Аналогично можно преобразовать и вторую сумму выра-
выражения (9*). Учитывая число одинаковых слагаемых, мы получим:
y^Utiu\G\rs)~nu(nu--\)c(r) 5, и, v, v, w,...) +
r,s
~{-{wv\G\rs)nutivc(ri и, и, s, v, w,...) +
+ {vv\G\rs)~nv{nv—\)c{u, и, и, г, 5, *у, ...) + • ••}•
Вводя величины с* (п^ ...), можем написать
+ (uv\G\rs)nunvc*(....nu—U...nv—l,...nr+l,...ns
X с* (.. .nv — 2,. ../ir
или проще
(w\G\rs)^nv(nv-l)X
X с* (... np— l\... nq - 1,... пг + 1,... ns + 1,...). A8)
Здесь индексы суммирования р и q также могут пробегать
все значения без исключений (а не только/?, q = u, v, w).
Множитель у должен стоять при всех слагаемых, так как
в A8) встречается, например, комбинация р = и, q = v и ком-
комбинация p = v, q = и; смысл членов в A8), в которых два
или несколько чисел р, q, r, s совпадают, ясен сам собой.
С помощью A7) и A8) уравнение (9*) может быть написано
в виде
3№(p\H\r)npc*(...np-l,...nr+l,...) +
РЧ rs
Xc*(...np—1, ...nq
Для дальнейшего целесообразно ввести оператор Un кото-
который превращает функцию f(nu n2,...) в функцию
Urfinfa ...nr...) =f(n1n2... nr + 1,.. .)• B0)

Величина Ur, рассматриваемая как матрица относительно пере-
переменной пп и сопряженная с ней матрица U?, имеют вид
fO 1 0 0.. Д /0 0 0 0.
0 0 1 0...\ /10 0 0...
0 0 0 1...' Ut= 0 1 0 0... )• B1)
0 0 0 0.../ 0010.
Следовательно, сопряженный оператор Ut функцию f(nxn%...
...пг...) превращает в /", где /" {nxti2.. .пг.. ¦)=f(nln2...
... пг — 1...) в случае пгф0 и /" = 0 при пг = 0. Итак,
=f(nxni...nr— 1,...) при пгф0,
= Опри„г = о.
Из определения Ur следует
UrUt=\. B3)
Напротив Ut игф\\ мы имеем:
/оооо..
/0100....
UtUr- 0 0 1 0... I- B3*)
\t) 0 0 1..
Таким образом, оператор Ur не унитарен.
При р Ф г операторы Ur и U\ коммутируют с Up и Up. С по-
помощью операторов Up, входящие в формулу A9) функции с*
можно записать следующим образом:
с* (... пр - 1,... пг + 1 ...) = UrU$ с*(...пр...пг...)
c*(...np—l,...nq—l,...nr+l,...ns+l,...) =
= UrUsU?U}c*(...np,...nq,...nn...ns...).
Порядок множителей (U* справа от U) однозначно следует
из определения с* для р = г в связи с B3) и B3*).1 Эти вы-
выражения справедливы для любых (также и совпадающих) зна-
значений /?, q, r, s. Если ввести их в A9), то получается
Р г
PQ TS г}
th -— г* (ft п \ П /Q*\
1 Впрочем, после умножения на пр и на tip(np — bpq) порядок множи-
множителей U и ?/+ становится здесь несущественным, см. ниже формулы B3**)
и B3***) (В. Ф.).
31

Но если учесть, что
npUrU$ =при;иг B3**)
Щ (nq - Ьм) UrUsU;ut = пр (nq - Ьм) U+ЩUsUn B3***)
то формулу A9*) можно написать в виде
2 ? (РIЩ г) npU$UrC* (пкп2...) +
Р г
РЧ
-lh-jic*(n1n2...) = 0. A9**)
Мы должны здесь еще выразить согласно A5) величину
•с* (пхп2...) через f(nyn.2.. .)• Оператор /г для полного числа
частиц, а следовательно, и /г!, очевидно, коммутирует с про-
произведениями UpUr uUpU?(JrUs; кроме того, имеем:
UrV^lnJi... - V^T+TUr = UrVTir B4)
Умноженное на Л[~—.— слагаемое п„ Up UyC* (пхпг...) пер-
вой суммы в A9**) поэтому равно
Лналогично, с помощью формул B4) и соотношения
(«9-W^+=(/>?
для слагаемых второй суммы в A9**) получаем выражение
Введя эти выражения в A9**), получим для/^Лг • • •) волновое
уравнение в виде
..)-ik%=0, B5)
где Н означает преобразованный оператор энергии
Н= 2
рг
32

pq rs
Операторы Ur и пг входят здесь только в комбинациях
Если выражения B7) ввести в B6), то оператор Н принимает
вид
pr pr qs
Как вытекает из определений B0) и B2) операторов Ur и Ut,
только что введенные операторы ^удовлетворяют соотношениям
и так как, кроме того, для г Ф s операторы br+ и bf комму-
коммутируют с br и bs, то имеют место известные перестановочные
соотношения
br bs — bs br = Srs, C0)
hrbs-bsbr = O. C0*)
Образуя с помощью br квантованную волновую функцию
W (х) = Л br^r (x) C1)
г
и сопряженную к ней волновую функцию
г
Мы можем представить оператор энергии в следующей форме:
1 ее 4- л. C2)
Перестановочные соотношения для квантованных волновых
функций (операторов W) легко получать из соотношений C0)
и C0*), приняв во внимание равенство
Таким путем получается
W(x')W*-(x)-4>x (x)V(x') = в(лг —jc'), C3)
W(x)W(x')- V(x'\W(x) -.0. C3*)
S3

Статистика Ферми
Обратимся снова к волновому уравнению (9*). Мы предпо-
предполагаем, что числа гхг^гъг^. ч. расположены в натуральном
порядке
ri < гг < г3 < . .. < гП1 C4)
так что согласно A2) мы имеем:
c(rir%...rn; t) = (*(n1n2...; t). C5)
В натуральном порядке число гъ стоит на месте номер к, где
k == пх + п2 + . .. + пГк . C6)
В &-том слагаемом первой суммы в (9*) г^ заменено на г, так
что аргументы в с расположены в порядке
который не является натуральным: г стоит здесь на месте к9
в то время как оно должно было бы стоять на месте
W = л/ + п,2' + ... + п/'
(Штрихованные величины суть те новые значения ns, которые
соответствуют аргументам (*) в с). Поэтому
Введем теперь операторы а^" и аг, полагая
«г/(Я1...*г...) = 1/(Я1--Я'' + 1-") пРи*г = О C7)
\ 0 при пг = 1
д. (f(nl • • • ПГ — 1 • • •) ПРИ ^Г = 1
atf(n1...nr...)= fn K Г п C7*)
741 г у [ 0 при пг = 0.
Из этого определения следует, что для г Ф s операторы аг и а^"
коммутируют с а5 и aj" (так как они действуют на разные пере-
переменные), в то время как для г = s справедливы равенства
at ar — яг, ara^" = 1 — nr. C8)
Легко доказать равенство
*r(\-2nr) = -(\-2nr)*r. C9)
Используя операторы ап можно написать
с*(...пГк — 1,...дг+ 1,. ..)=a^arc*(^^2.. .).
Порядок множителей а^ и аг здесь определяется однозначно,
потому что для г = гь и дгл = 1 множитель перед с* в правой
34

части сводится к единице, как и должно быть. Мы имеем:
но так как для п = 0 и я=1 величина (—1)" совпадает с
A — 2я), вместо этого можно написать
(-1)*= П A-2яр) = уГ4,
где
vs= И A—2пр) D0)
/7-1
обозначает знаковую функцию Вигнера. Аналогично ( — \)k' =
= v/, где v/ построено из чисел л/. Таким образом, имеем:
c(rx... rk_Y rrk+1...; t) = v,.fe v/ а+ГЛагс* (йд...).
На основании
можем также написать
с(rtrt. .. rk_x rrk+1...; t) =
Тогда первая сумма в (9*) равна
При суммировании по k индекс rk пробегает здесь значения
гхг%.. .гп.
Вместо этого можно считать, что г^ пробегает все значения,
потому что излишние слагаемые исчезают в силу свойств опе-
оператора а+. Таким образом, для рассматриваемой суммы мы по-
получаем выражение
2 ^
Р г
Преобразуем теперь вторую сумму в (9*). Для этого нужно
прежде всего определить знак в равенстве
±с(гг... rk_x rrk+l... rt_lSrl+l... гя; 0 =
= ?* (. . . ПГк ~ 1, . . . Пп — 1, . . . Пг + 1, . . . П8 + 1, . . .) =
= c*(nl',n2',.. .)•
В функции с аргумент г стоит на &-том месте. Сначала мы
переводим его на первое место; при этом с приобретает мно-
множитель— (— \)k = — vrfe и мы получаем
= - vrkc {rrx... rk_x rk^ ... r^x sr/+1 ...rn; t).
35

В том случае, если г/ > г^, аргумент s остается на месте номер
/, где
В случае же г/ < г# аргумент s смещается на одно место вправо
и становится, таким образом, на место номер /+1. Если мы
теперь переведем s на второе место, то получим
...) для rt>rk
С другой стороны, если мы обозначим места г и s в натураль-
натуральной последовательности через К и /', где
то на основании совершенно аналогичных соображений получим
натур, послед.
с (г г... г ~s~7) = с* (лх'л/ ...) =
= {— *г\'с (rsri • • •) Для ^ > г,
1 v/vs^ (r5ri • • •) Для 5 < г.
Вместе с предыдущими равенствами это дает
c(---rk_lrrk+1...rl_1srl+l...) =
\+ V^r/V/v/c^/zt/...) в случае I,
- Vrk*ri*r\'c{п1п2 • • •) в случае II,
где случаи I и II характеризуются неравенствами:
ri>rk и s>r
или \ случай I,
П<гк и s<r
П>гк и s < г
или
ri<rk и s>r
случай II.
Замена аргументов л^. • • в функции с* на п^пг'... произ-
производится посредством оператора а?а.?а8а.г
к I
В том, что здесь порядок множителей а+ и а (поскольку он
имеет значение) выбран правильно, мы убеждаемся на рассмо-
36

трении частных случаев r = r^t s =/7 и г = г/, s — r^. Если
мы еще примем во внимание равенство
то получим
+ Wr/a+a+a5arvsvrc* (/^л,. ..) в случае I,
"~ v^vrza^a+a5arv5v^* (n^ ...) в случае II.
Но из формулы C9) и из определения D0) величины vs сле-
следует
arvs = — vsar для г < S. D2)
Поэтому в случае I будет либо одновременно
<Vs = W и a^vrr= V,0^ (для г>5 и гк>г{),
либо одновременно
arvs = — vsar и a^vn =— v^a^ (для г < s и ГЛ < Г/).
Следовательно, в случае I оператор, действующий на с* (щщ...),
равен
Но этот оператор тот же самый знак имеет и в случае II, по-
потому что тогда мы имеем либо одновременно
Ws = V5ar и a+vr/ = — vr/a+ (для r>s, rk< Г/),
либо одновременно
arV=— W и а^= Vz«^ (Для г < s и г^ > г/).
Таким образом, всегда
с (• • • rk-irrk+i • • • r*-i5rz+i • • •) = VrkbfyrtfysWrW* («Л- • •)-
Это выражение мы должны теперь ввести во вторую сумм у
в формуле (9*). Эта сумма будет равна
rs k<l
Если отбросить ограничение Jz < /, то сумма удвоится и мы
должны добавить множитель у. Тогда получается
2" 2 2 ^ I GIrs) V°^v^a^arV* (*i ла- • •)• D3)
37

Здесь р и q пробегают по первоначальному определению только
значения rlt г2,... гп (причем р Ф q). Однако можно допустить
для них все значения без исключения, если учесть, что излиш-
излишние слагаемые исчезают.
Подстановка выражений C5), D1) и D3) в формулу (9*)
дает волновое уравнение для волновой функции с*(пхпг...\ t).
Но в случае статистики Ферми эта волновая функция отли-
отличается от волновой функции f {п^щ... ; t) уравнения A5) только
множителем (а именно VnK), который коммутирует с отдель-
отдельными слагаемыми оператора энергии. Поэтому волновое урав-
уравнение для /(пгп2...) имеет тот же вид, что и для ?* {пхщ...),
а именно
где оператор энергии Н согласно D1) и D3) равен
РТ
+ Т 2 № I GI rs> VW~ V^sVVV D4)
pqrs
Операторы ar и vr входят в оператор энергии Н только в ком-
комбинациях
аг = arvr,
at=W- D5)
В самом деле мы имеем
s)aras. D4*)
рт pqrs
Как легко доказать с помощью C8) и D2), для квантованных
амАлитуд аг имеют место равенства
at a r = пп ага? = \—пг D6)
и перестановочные соотношения
araf + atar - 8rs, D7)
+ asar = 0. D7*)
С помощью „амплитуд" аг можно построить квантованные
волновые функции
»W=2«AD D8)
г
V+W = 2a?iD D8*)
38

которые удовлетворяют перестановочным соотношениям
Ф (*') Ф+ (л) + ЧГ (х) W (х') = 8 (х - л:'), D9)
Ч" (*') ЧГ (х) + ЧГ(х) Ф (*') - 0. D9*)
Как н в случае статистики Бозе, оператор энергии может быть
теперь записан в виде
Н = J ЧГ+ (х) Н(х) ЧГ (л:) dx +
+ JL Г Г w+ (x) W+ (x') G (хх') "? (xf) W (x) dxdx'. E0)
Переход от амплитуд аг (или, в случае статистики Бозе,
от br) к квантованным волновым функциям ЧГ (х) представляет
унитарное каноническое преобразование переменных одной
частицы (переход от переменных Е{г) формулы B) к перемен-
переменным х). Амплитуды аг (или Ьг) можно с тем же правом, как
и *F (x), рассматривать в качестве квантованных волновых
функций, а формулы (как, например, перестановочные соотно-
соотношения или выражение для оператора энергии), написанные
с помощью аг (или br) по существу равнозначны с темя, кото-
которые написаны с помощью W (х).
Заметим еще, что все другие операторы в конфигурацион-
конфигурационном пространстве преобразуются по образцу оператора энергии
и могут быть представлены посредством квантованных волно-
волновых функций. Порядок некоммутирующих множителей полу-
получается при этом, как и в операторе энергии, вполне однознач-
однозначным.
II. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ Ф В КОНФИГУРАЦИОННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
В формулы вторичного квантования полное число частиц
явно не входит; формулы эти справедливы для произвольного
и даже для неопределенного п. Числу п можно сопоставить
оператор
^+ A)
который имеет собственные значения п = 0, 1, 2...
По отношению к оператору п все операторы можно разде-
разделить на два класса: к первому классу принадлежат коммути-
коммутирующие с п операторы, ко второму —не коммутирующие.
Мы займемся здесь представлением в конфигурационном
пространстве операторов общего вида, не коммутирующих с п;
прежде всего представлением операторов Ф* (х). Само собой
разумеется, что результаты будут применимы также и к опера-
операторам, коммутирующим с п, поскольку они могут быть выра-
выражены через ЧГ (х) и W+ (x).
39

Для того чтобы объединить оба вида статистики, запишем
перестановочные соотношения для квантованной волновой функ-
функции в виде:
W{х') W+ (х) - eW+ (х) W(х') = 8 (*-*'), B)
W (*') W (х) - eW (x) W (х') = О, B*)
где для статистики Бозе следует положить е=» 1, а для стати-
статистики Ферми 8=—1. Из определения A) оператора п и из
перестановочных соотношений B) для обоих видов статистики
следует
Для *F(x) мы выбираем представление, в котором п имеет
диагональную форму. Если матричные элементы W{x) в этом
представлении обозначить через (п \ W | п!), то из соотношения
C) вытекают „правила отбора"
согласно которым отличны от нуля только матричные элемен-
элементы вида (я | ^F \n+ 1). Следовательно, матрица W (х) имеет вид
ГО @|Т|1) 0
0 0 01142)
0 0 0
0
0
D)
Отдельному матричному элементу (п—^Ч^я) можно придать
смысл оц^ратора, который действует на функцию от п пере-
переменных1 хи х2...хп и эту функцию переводит в функцию
п— 1 переменных хи x2..xn-i и параметра х. Таким образом,
оператор хУ(х) действует на последовательность функций
const
У (*!**)
E)
от 0, 1, 2, 3... переменных и переводит ее в аналогичную
последовательность; функции E) могут быть истолкованы как
обыкновенные шредингеровские волновые функции в конфигу-
конфигурационном пространстве.2 Мы будем говорить, что $(хгх2.. ,хп)
1 Каждая переменная хг есть собственно совокупность переменных, на-
например: хп уп zn an которые описывают r-тую частицу.
2 Такие последовательности функций были впервые рассмотрены Л. Лан-
Ландау и Р. Пайерльсом (Zs. f. Phys., 62, 188A930)).
40

есть волновая функция в „я-том подпространстве". Положим*
что действие оператора {п — 1 |?(х)|/г) определяется равен-
равенством
(п — 11V (х) | л) <1> (*i.*2... хл) = 1/"л фС**!^... xn-i) F)
и покажем, что при надлежащем определении сопряженного
с х? (х) оператора W+ (х) будут выполняться перестановочные
соотношения B). На основании D) матрица Ч?+(х) имеет вид
О ,0 0 ..
= I 01 ^1°) ° ° ••¦ |, D*)
0 B!W+|1) 0 ..
где (п j W+1 п — 1) есть оператор, сопряженный к (п — 1 | W | л).
Этот оператор переводит функцию от п — 1 переменных
хгх2... хп-\ в функцию от я переменных ххх%... хп и от па-
параметра л:. При этом необходимо учесть, что оператор
(n\W+ \п—1) не должен менять свойств симметрии волновой
функции; симметричную функцию он должен переводить в сим-
симметричную же, а антисимметричную — в антисимметричную.
Найдем оператор (п\ W+ \ п — 1), определив его ядро; мы можем
это сделать, если образуем ядро (п — 1 | W \ п)9 а затем перей-
перейдем к сопряженному ядру.
Поскольку волновая функция либо симметрична, либо анти-
антисимметрична, вместо F) можно также написать
-L [ф {ххг... xn-i) + еф (хгхх2... xn-i) + ... + F*>
+ 1ф(
Ядро оператора, определяемого формулой F*), есть
(/г— 1; ххх2... хп-\ \ЧГ{х)\ п\ %?2 •. -?л) =
= 1[Щ1>-.х)ЬA2-х1)...Ц];п-хп-1)+...
У п
-f е*-1» F2 — xt) ... 8 (^_i ~ x*.i) 8 (^ - х) X G)
х8(Ь+1-^)...8Eл-хя-1) +
... + г—iS (& -*!)... 8 (§я-! - хп-г) 8 Eл - х)].
Ядро сопряженного оператора (п J4/+ (х) \ п— 1) получится, если
в формуле G) заменить переменные ?i?2... \п на хгх2... хп
и переменные хгх2... хп^ на Е^г-.-^л-ь Тогда результат при-
применения оператора (я j Wr (x)\n — 1) к волновой функци и
41

W (xxx2 ...хп) будет равен
(n\W+\n~ 1) ф C-^l-^2 - - - -«я—1> =
= -L [8 (хг - х) ф (х2х3. ..хп) + s& (х2 - х) ф (xtx3 ...*„)+...
У п
о \Xfo — х) ф (XiX2 •.. x^__iX^_j-i... Xfi) -j-... (8)
+ en~4 (Xn — X) ф (XjX2 . . . Xn-i)\.
Определенный этим равенством оператор (n\W~\n—1) удо-
удовлетворяет требованию, чтобы он оставлял неизменными свой-
свойства симметрии волновой функции; с этой целью мы и пере-
перешли от соотношения F) к соотношению F*).
После того как определены W (х) и W*~ (x), мы можем при-
приступить к доказательству перестановочных соотношений B)
и B*). Образуем операторы Ч*+ (х) W (х') и ХУ (х') ^+ (х). Эти
операторы коммутируют с п, поэтому относительно п они
имеют диагональную форму. Имеем:
'0 0 0 ..
Аг 0 ... j (9)
0 0 А9 ..
<7?0 0 0 .
0 Вг о j 9 (9*)
о о в9 .
где через Ап и Вп обозначены операторы
An=(n\W+(x)W(x')\n) =
+')\п), A0)
= (n\W (x')\n+ l)(n + l\V+ (x)\n), A0*)
которые действуют в /г-том подпространстве. Применив снача-
сначала F), а затем (8), находим
• • • хп) = 8(Х! - х) ф (х'х2 /..хп) + .,.
— х) ф (х'хх... хЛ_1Х*+1... хп) + ...
+ 8^3 (Хп — X) ф (X'xt . . . Xn-l) A 1)
или, принимая во внимание свойства симметрии волновой функ-
функции,
= 8 (х, - х) ф (xfx2 ...*„)
^) ф (Xj.. . х^х'х*.*.!... хп)
42

Если же применить сначала (8), а затем F), то после замены
п на п + 1 мы найдем
= Цх'-х)^(х1х2...хп)+еЦх1-х)Ц(х'х2...хп)+...
+ ekb (xk — x)$ (xrxx... xk~~iXk+i ...xn) + ...
Сравнение A1) и A2) показывает, что
В силу (9) и (9*) это означает, что имеют место перестано-
перестановочные соотношения
где единичная (относительно п) матрица в правой части под-
подразумевается.
Еще проще доказывается соотношение B*). Согласно фор-
формуле F) оператор W (х) переводит последовательность функ-
функций E) в последовательность
Ф(*)
т. е.
Применив к A4) оператор ЧГ {х'), будем иметь:
const v /У2Л$(хх
Отсюда перестановкой х и х' получаем
const v Л/ИЛ <|> (
/
\
43

Но выражения A5) и A5*) либо равны (е=+1, симметрич-
симметричные функции), либо равны по величине, но противоположны
по знаку (в =—1, антисимметричные функции); тем самым
перестановочное соотношение B*) доказано.
С помощью полученных формул все операторы вторичного
квантования могут быть построены в конфигурационном про-
пространстве. Те из них, которые не коммутируют с п, действуют
на последовательность функций вида E) и не могут быть пред-
представлены в конфигурационном пространстве определенного
числа частиц. Для операторов, коммутирующих с п, достаточ-
достаточно рассматривать диагональный (относительно п) элемент мат-
матрицы, который можно толковать, как оператор в я-том под-
подпространстве, т. е. в конфигурационном пространстве задан-
заданного числа п частиц. Например, коммутирующим с п оператором
является оператор энергии (формула 50, раздел 1) и в резуль-
результате построения его в конфигурационном пространстве мы при-
приходим обратно к обыкновенному шредингеровскому оператору
энергии для п частиц. Рассмотрим еще некоторые примеры
коммутирующих с п операторов.
Оператор W+ (х) W (х) плотности частиц в п-том подпрост-
подпространстве имеет представление
Эта формула есть частный случай формулы A1), который по-
получается, если в A1) положить xr = x и использовать соотно-
соотношение b{Xk~x)f(x) = 8(•*& — •*) f(Xk)9 справедливое для лю-
любой непрерывной функции.
Умножая выражение A6) на элемент объема dx и интегри-
интегрируя по некоторому объему V, мы можем заключить, что опе-
оператор
§+ A7)
имеет в /г-том подпространстве следующее представление:
(л 1 nv\ п) ф (хх... хп) =п'у(х1... хп) ф (xt... хп). A8)
Значение функции nv(x1... хп) в A8) равно числу тех аргу-
аргументов хг... хПУ которые принадлежат объему V. Оператор
(n\nv\n), как это и следовало ожидать, имеет поэтому цело-
целочисленные собственные значения.
В качестве следующего примера рассмотрим оператор куло-
новского потенциала
$gw> а*>. A9)
44

Для построения матричного элемента (n\V(r)\n) в A6) заме-
заменим х на xf, умножим на . _^f, и проинтегрируем по х'.
Мы получим
п
^ th(x . X ). B0)
Таким образом, оператор V (г) в д-том подпространстве озна-
п
чает .умножение на > -г-——г .
ЛкшА I Г — rk I
Зависимость операторов Ч? от времени
и квантованное волновое уравнение
Изменение во времени состояния физической системы
проявляется, как известно, либо в зависимости от времени
волновой функции, либо в зависимости от времени оператора.
То представление операторов, в котором зависимость от времени
переносится на волновую функцию, мы будем, следуя Дираку,1
называть шредингеровским представлением; представление же,
в котором зависимость от времени переносится на операторы
(матрицы), мы будем называть гейзенберговским представле-
представлением.
Пусть ф есть волновая функция системы, a S(t) — унитар-
унитарный оператор, который начальную волновую функцию <Н*>0)
переводит в волновую функцию ф(-, t), соответствующую
времени t (точкой здесь обозначены переменные системы).
Мы имеем:
«К-, *) = S(')«K-. о)- B1)
Дифференцируя это уравнение по времени и заменяя <Ь(«, 0)
через
H-,0) = SM0K-,0, B1*)
получим
% = $(t)H;O) = $(t)S+{t)it(.,t). B2)
Оператор iSS+> который в силу SS+ — 1 будет эрмитовским,
обозначим через
(t) = - iS{t) 5+ (t) = ~H. B3)
Тогда Н есть оператор Гамильтона системы. Обозначив через!
некоторый оператор в шредингеровском представлении, а через
1 Дирак. Основы квантовой механики. ОГИЗ, 1930.
4S

I! (t) тот же оператор в гейзенберговском представлении, мы
будем иметь: •
L'(t) = S+(t)LS(t). B4)
Из B4) и B1) получается
L'(t)*t{.,O) = S+(t)L1?{;t). B5)
Производная по времени от этого выражения равна
^Г-И-, 0) = ±[S+{t)Ln; *)]. B6)
Слева стоит оператор -^ в гейзенберговском представлении.
Обозначив тот же оператор в шредингеровском представлении
через -Т7, аналогично B4) и B5) получим
^^ B7)
И
^ф(., 0) = 5+(')§ФЬ О- B8)
Сравнение B6) и B8) дает
^(¦,0 = S@?[SM^(.f t)\ B9)
или после выполнения дифференцирования
t)]. C0)
Согласно B1) оператор S(t) дает продолжение во времени
волновой функции ш время t в положительном направлении.
Аналогично оператор S+ (t) дает продолжение во времени
волновой функции на время t в отрицательном направлении.
Имея это в виду, можно формулировать смысл уравнения B9)
следующим образом.
Результат применения оператора -тт к волновой функции
<!>(•, t) в шредингеровском представлении получается путем
выполнения следующих операций:
1. Применение оператора L.
2. Продолжение во времени на величину t в отрицательном
направлении.
3. Дифференцирование по L
4. Продолжение во времени на величину t в положительном
направлении.
Эта формулировка имеет то преимущество, что не исполь-
использует оператор Гамильтона, по крайней мере явным обра-
SOM.
46

Применим теперь это правило к определению оператора
-тр, который входит в квантованное волновое уравнение. В этом
случае оператором является квантованная волновая функция
W(х, t), a <!>(•, t) есть последовательность функций E). Мы
ограничимся случаем, когда число частиц со временем не изме-
изменяется, исключая тем самым из рассмотрения фотоны. Для
наглядности рассмотрим квантованное уравнение Шредингера
где //°(jc) означает обычный оператор Шредингера задачи
одного тела
? E ? ?) "(*> v> *)> C2)
a V(a:) = V (r) —определенный в A9) оператор кулоновскога
потенциала.
В нашем случае оператор S(t) производит в конфигура-
конфигурационном пространстве просто продолжение во времени отдельных
волновых функций последовательности E)
C3>
Следовательно, оператор S(t) имеет диагональную форму
/s0 о о ...
эд-[it'l::: '• <з4>
где Sn = Sn{t) есть оператор, который продолжает во времени
волновую функцию в П'том подпространстве
Sn (ОФ {хххъ... хп\ 0) = ф (д:^ ... *л; 0- C5)
Далее согласно B3) имеем:
- ihSn (t) St (t) =H(xl...xn), C6)
где Н(хг...хп) обозначает оператор Гамильтона в /г-том под-
подпространстве. Оператор — ihS (t) S+ (t) будет поэтому тоже
диагональным, и его диагональными элементами будут опера-
операторы C6).
47

Образуем теперь оператор ЧГ (xt) = -gp- Согласно B9) или
{30) имеем:
const
C7)
или, приняв во внимание C6),
const \ / 0
L
C8)
Учитывая B0), для [оператора в левой части квантованного
волнового уравнения; C1) получаем следующее выражение
C9)

Приравнивая C8) и C9), мы получим (после сокращения
на V% У^З и т. д.) цепь уравнений:
> D0,)
T=?T\ + И (Xl)] ¦ t***** = ih ^P1 > <ОД
C^2 • •'Xn)
— m
D0Я+0
Из уравнения D0л) заключаем, что
Уравнение D02) дает тогда
Я (xXl) = Но (х) + Я» (х,) + j-p^]
и т. д. Вообще (п+ 1)-ое уравнение дает рекуррентное соот-
соотношение между операторами Шредингера для п и п + 1 частиц,
а именно
...*„)= Я»(*)
Выражая теперь Н(х1х2... хп) непосредственно через Я0, мы
получим для оператора Гамильтона задачи п тел обычное шре-
дингеровское выражение
Квантованное волновое уравнение, таким образом, распадается
в конфигурационном пространстве на ряд обыкновенных урав-
уравнений Шредш *фа, вида
Н (хгх2... хп) ф (х^2.. .xnt) = ih^. D3)
Из этого примера видно, что рассуждения с квантованной
волновой функцией допускают в любой стадии непосредственный
переход к обыкновенному конфигурационному пространству.
4 Зак. 152 49

Вывод уравнений Хартри по методу вторичного
квантования
В качестве простого применения полученных результатов
выведем дополненные учетом обмена уравнения Хартри.1
Уравнения для собственных функций оператора энергии
(а также и уравнения Хартри), как известно, могут быть
выведены из вариационного начала
*W=0, D4)
где W означает энергию атома в рассматриваемом стационар-
стационарном состоянии. Поэтому достаточно найти выражение для
энергии. Но величина W равна диагональному элементу
W={Wn\H\Wn) D5)
матрицы квантованного оператора энергии Н (формула E0)
первой части)
Н = J()() ()+
+ *^М^Ю*<*)*Ы 0*0*. Dб)
Чтобы определить W, мы должны вычислить матричные
элементы операторов, стоящих под знаком интеграла. Имеем:
(Wn | W+ (х) Н (х) W (х) | Wn) =
= H(x')(Wn\W+(x)W(x')\Wn), x = x\ D7)
Поэтому для вычисления матричного элемента оператора, стоя-
стоящего под знаком первого интеграла, достаточно определить
величину
р (jcjc') - (Wn | W+ (х) W (х') | Wn). D8)
Выражение для оператора W+ (х) W(x') в /г-том подпространстве
нами уже найдено A1*). Пусть ^w{xlx2^.. хп) есть принадле-
принадлежащая собственному значению W собственная функция опера-
оператора энергии в /г-том подпространстве. При учете свойств
симметрии волновой функции формула D8) тогда дает
Р (xxf) = п J ... J ^w (хх2... хп) <Jv (*'*2 .*-xn)dx2... dxn. D9)
Для вывода уравнений Хартри в этом точном выражении мы
должны заменить волновую функцию приближенным выраже-
выражением в виде определителя
J (вд х) \\ - (xk) || (i, k = 1, 2... /г), E0)
где <?i(x) предполагаются ортогональными и нормированными
в/Л. E1)
1 V. Foe k. Zs. f. Phys., 61, 126 A930).

Тогда получим
и формулы D7) и D8) дадут
(х)ъ(х). E2)
Вычислим теперь матричный элемент оператора в двойном
интеграле D6). С помощью соотношений A4), A6) и (8) легко
найти, что в /г-том подпространстве этот оператор имеет сле-
следующий вид:
(п | ЧГ+ (х) ?+ (*') ЧГ (*') W (х) | /г) Ф (ххх2 ...хп) =
E3)
= 2 8(^-^)8(^/-^)'K^i^2...^)-
ft, /=1
Следовательно, его матричный элемент равен
(Wn | W+ (jc) ?+ (л') Ф (jcO ? (х) | Ц7л) -
г с E4)
После подстановки выражения для tyn в виде определителя E0)
из E4) мы получим приближенную формулу
(Wn | W+ (х) Ф+ (xf) W (х*) W (х) \
Введя теперь выражения E2) и E5) в формулу D6), для
матричного элемента Я, т. е. для энергии Wy получаем выра-
выражение W
п
IF-J 2М*)#(*)*; (x)dx +
1 E6)
е2 W
2 JJ
|г-г'|
Это выражение отличается от полученного в нашей цитирован-
цитированной работе только тем, что здесь мы предполагаем спиновую
координату включенной в переменную х и, следовательно,
можем оперировать с чисто антисимметричными волновыми
функциями.

О КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ ДИРАКА1
В. Фок и Б. Подольский
В своей новой работе2 Дирак предложил своеобразное со-
сочетание квантовой электродинамики вакуума с волновым урав-
уравнением для материи и показал на одномерном примере, как
в определенном приближении может появиться кулоновское
взаимодействие.
Так как одномерный случай не может иметь физического
смысла, то естественно попытаться сделать подсчет для трех-
трехмерного случая. Это и будет здесь сделано, хотя совсем
коротко; более подробное изложение будет дано в другой ра-
работе.
Обозначим компоненты четырехмерного потенциала в еди-
единицах Хевисайда через A0=V\ Аи Л2, Аг и напишем в раз-
разложение Фурье для этих величин в виде
Ai{r, t) = -^ J щ (k) e-*l*l»*-' (dk)
где
г = (xv x2, x,); k = (klf k2, k9).
Применяя соответствующим образом известные правила
квантования, получим для амплитуд щ (к) перестановочные
соотношения
at (к') а+т (к) - а+ (к) щ (к') - - Щ\ *« (к ~ к0
(здесь е0 = 1; еЛ = е2 = е3 = — 1; /, т = 0, 1, 2, 3; 2ттА — постоян-
постоянная Планка).
Так как мы будем пренебрегать релятивистскими эффек-
эффектами, то ограничимся рассмотрением скалярного потенциала.
1 Впервые опубликовано в 1932 г. V. Foe k und В. Podolsky. Zur
Diracschen Quantenelektrodynamik, Sow. Phys., 1, 798 — 800A932).
2 P. A. M. Dirac. Proc. Roy. Soc, A136, 453 A932).
52

Согласно Дираку, волновое уравнение имеет вид
W*i-ih^ = - («, V(rv t) + н V(r2, t))ф,
где
Волновую функцию мы будем искать в виде
Ф = % + Ь + Ь + • • •,
где tyn представляет члены /г-го порядка относительно зарядов
8j и е2. Преобразуем уравнение к пространству импульсов
и напишем для соответствующей волновой функции разложе-
разложение
Положим
Тогда будет
Для функции <pi мы получим линейное относительно операто-
операторов ао(к') и ао (к) выражение, содержащее четыре члена.
Правая часть уравнения для <р2 будет уже квадратичной отно-
относительно а0 (к") и ао (к). Члены вида ао(к')ао(к); ао(к')а?(к);
а0 (к') ао (к) мы должны заменить на нуль, а в члене ао а0
сделать замену1
Тогда мы получим
(P. + Рз - Р,°
где /С есть постоянная (правда, бесконечно большая). Если
преобразовать это уравнение обратно в координатное про-
пространство, то получится
1 Мы ищем ту часть волнового функционала <р (или ф), которая соот-
соответствует бесквантовому состоянию (последнее обозначено символически
множителем bjQ, где j—число квантов). Только удерживаемый оператор
#0*00 переводит эту бесквантовую часть в бесквантовую же, тогда как от-
отброшенные операторы аоа?, а§ а? и aoaQ либо обращают ее в нуль, либо
переводят в двухквантовую (В. Ф.).
53

Отсюда видно, что энергия взаимодействия равна
и— 4те I n — r2 i Д'
Но это как раз и есть кулоновская энергия (в единицах Хэви-
сайда) и притом с правильным знаком.
Представляется весьма вероятным, что если не пренебре-
пренебрегать векторным потенциалом, то в соответствующее прибли-
приближение войдет Брейтовская поправка на запаздывание.

О КВАНТОВАНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
И ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЗАРЯДОВ ПО ТЕОРИИ ДИРАКА1
В. А. Фок и Б. Подольский
В предыдущей заметке2 мы сформулировали результат при-
приложения новых идей Дирака к вычислению электростатического
взаимодействия двух зарядов. В этой статье мы даем подроб*
ное изложение вывода этого результата, а также применение
идей Дирака к более точному расчету взаимодействия при
помощи дираковской линейной в импульсах гамильтоновой функ-
функции. Работа состоит из трех частей. В первой части мы рас-
рассматриваем проблему квантования электромагнитного поля
в пустом пространстве; эта проблема приобретает новый инте-
интерес в свете идей Дирака. Во второй части произведен расчет
взаимодействия происходящего от скалярного потенциала
в уравнении Шредингера, причем получено кулоновское
взаимодействие. Этот раздел, в сокращенной форме, был
предметом предыдущей заметки. В третьем разделе произве-
произведен расчет для случая дираковского оператора Гамильтона.
I. КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
§ 1. В применяемой здесь теории Дирака достаточно рас-
рассматривать поля, удовлетворяющие электромагнитным урав-
уравнениям в пустом пространстве. Каждая компонента электри-
электрического и магнитного поля, равно как и каждая компонента
скалярного и векторного потенциалов, должна поэтому удов-
1 Работа „О квантовании электромагнитных волн и взаимодействии за-
зарядов по теории Дирака" — V. Foe k and В. Р о d о 1 s к у. On the quanti-
quantization of electromagnetic waves and the interaction of charges on Dirac's
theory. Sow. Phys., 1, 801—817 A932)—включает в себя поправку, опублико-
опубликованную в виде отдельной статьи под названием „Вывод формулы Мёллера
из теории Дирака" — В. Р о d о 1 s k у and V. Foe к. Derivation of Moilers
formula from Dirac's theory. Sow. Phys., 2,275-277 A932). — Печатаемый
здесь текст до формулы F1) совпадает с текстом первой работы, а после
формулы F1)—с текстом § 2 второй работы (В. Ф.).
2 В. Фок и Б. Подольский. О квантовой электродинамике Дирака.
Нас г. сб., стр. стр. 52—54.

летворять волновому уравнению Даламбера. Прилагая общую
теорию квантования полей, развитую Гейзенбергом и Паули,1
мы рассматриваем уравнения Даламбера как основные, а урав-
уравнения Максвелла как дополнительные. Мы выбираем поэтому
лагранжеву функцию так, чтобы получить уравнение Далам-
Даламбера как уравнение движения. Таким путем можно обойти
затруднение, связанное с обращением в нуль импульса Ро,
и максвелловы уравнения оказываются следствием дополни-
дополнительного условия Р0 = 0.
Мы берем в качестве четырех координат поля Qo, QA, Q2, Q;i
величины Ф, Ах, Ау, Az соответственно, где Ф — скалярный»
а А = (Ах, Ау, Az) векторный потенциал. Как обычно, мы
полагаем
Е = —gradФ — ~А A)
и
H = curlA. B)
Во всей работе используются хевисайдовы единицы.
Лагранжеза функция полагается равной
что представляет собой четырехмерный инвариант. Выражен-
Выраженная через координаты поля и их производные функция Лаг-
ранжа принимает вид
Отсюда следует для / = 1, 2, 3
и для / = О
D)
dQi с \ dxt с /
(C)
1 Heisenberg und P a u 1 i. Zs. f. Phys., 56, 1 A929).
56

Гамильтонова функция строится обычным путем и оказывается
равной
Н - у (Е2 + Н2) — сР. grad Ф — сР0 div Л — ~ д*Р*. G)
Выраженная через импульсы гамильтонова функция равна
где Р есть вектор Р = (ЯЬ Р2, Р3). Следует заметить, что это
выражение для Н не содержит некоммутирующих множите-
множителей и поэтому может быть непосредственно принято в кван-
квантовой механике.
Согласно Гейзенбергу и Паули,1 уравнения движения полу-
получаются из функции Гамильтона по правилу
а дН
дН , VI о дН
Применение этого правила к нашему случаю дает
А = с2Р — с grad Ф,
Ф = — с2Р0 — с div A,
Р = ДА — grad div A — с grad Po,
А = —с div Р.
A0)
Исключая из этих уравнений величины Р и Ро получаем иско-
искомые уравнения
Если мы добавим условие Ро = 0, которое согласно урав-
уравнению F) может быть написано в виде
divA+i-Ф-О, A2)
то уравнения A), B), A1) и A2) приводят к максвелловым
уравнениям для пустоты, как это и должно быть.
1 Heisenberg und P a u 1 i. Zs. f. Physv 56, 1 A929), уравнение A0).
57

§ 2. Каждой переменной поля F = F(x, у, z, t) мы при-
приводим в соответствие амплитуды ^(к) и F+ (к), определяемые
разложением F по плоским монохроматическим волнам. Это
разложение имеет вид
l W A3;
где г = (х, у, г) есть радиус-вектор, а к = (kXi ky, kz) есть
волновой вектор (направление волнового вектора совпадает
с направлением распространения волны, а величина его равна
\k\ гЛе ^ — длина волны). Далее (dk) = dkxdkydkz; инте-
интегрирование происходит по каждой компоненте к от — оо до
+ оо.
Очевидно, что если F есть вектор, то каждой его компо-
компоненте соответствует своя амплитуда, так что F'(к) есть также
вектор.1 Каждому соотношению между величинами поля соот-
соответствует соотношение между амплитудами. Мы будем обо-
обозначать эти соотношения теми же номерами со звездочкой. Так,
соответственно уравнению A0) имеем:
— ic\k\A (k) = с2Р(к) - 1скФ(к),
— ic | k | Ф (к) = - сфо (к) - fck- А (к),
— fc | * | Р (к) - — | k j2 А (к) + к (к • А (к)) - ickPQ (к), ^ш >
— ^|й|Р9(к) = —/ск-Р(к).
Легко видеть, что в формулах A0*) последние два уравнения
являются алгебраическими следствиями первых двух. Эти
уравнения определяют амплитуды импульсов через амплитуды
потенциалов:
Р (к) =4 1кф (к) - I *I А (к)] = — ~Е (к), E*)
Необходимо помнить, что каждому такому уравнению
соответствует сопряженное (в классической теории это есть
обычное комплексно-сопряженное). Выполнение сопряженного
уравнения подразумевается. Уравнение Даламбера, выраженное
в амплитудах, принимает вид алгебраического тождества.
В силу соотношений Eх) и F*) дополнительное условие
Ро = 0 принимает вид
ik-E(k) = di^E(k) = O, A1)
1 Мы подразумеваем трехмерный вектор. В четырехмерном случае мож-
можно показать, что не F (k), a \k\F(k) будет четырехмерным ьекюром, если
им является 1' (х, у, z, t).
58

откуда следует, что когда удовлетворяются уравнения Мак-
Максвелла, то будет Е (k) ± к и div E = 0.
§ 3. Объемный интеграл от произведения двух переменных
поля М и N может быть выражен через амплитуды следую-
следующим образом:
+ (kOV+ (-к) e2iclk]t + M(k)N+ (к) +
+ M+(k)N(k)} (dk). A5)
Здесь использовано соотношение
Применяя формулу A5) к вычислению объемного интеграла
от функции Гамильтона Н, получим
77=J#dx = J {[A(k)-A+(k) + A+(k) -A (k)] -
- [Ф (к) Ф+ (к) + Ф+ (к) Ф (к)]} | к |2 (dk)
или, меняя порядок сомножителей1 и переходя к составляю-
составляющим,
Н = 2 J {At (к) А, (к) + At (k) Л2 (к) +
|2 (dk). A6)
Следует отметить, что выражение для И не содержит членов,
зависящих от времени, тогда как в общей формуле A5) такие
члены содержатся. Это является подтверждением правиль-
правильности выбора лагранжевой функции. Без последнего члена
в формуле C) члены, содержащие время, не сократились бы.
§ 4. Переходя от классических уравнений к квантовым, мы
должны прежде всего установить перестановочные соотноше-
соотношения для амплитуд А (к), Ф (к) и их сопряженных А+ (к)
и Ф+ (к). Это может быть сделано одним из двух способов: или
путем непосредственного применения перестановочных соотно-
соотношений Гейзенберга—Паули2
Q;]=0; [р., Яр]=о;
= [к. о?] - г8* * <r - r')>
1 Изменение порядка множителей произведено здесь несколько иначе,
чем в оригинальной работе, а именно мы пишем здесь ФФ+ вместо Ф+Ф.
Точно так же исправлены формулы A8*) и B1). Эти исправления сделаны
в соответствии с работой 1934 г. Наст, сб., стр. 88—123 (В. Ф.).
2 Heisenberg und Pauli. Zs. f. Phys., 56, 1 A929), уравнение A1).
59

или путем использования уравнений движенияг
F = ±\R, F]. A8)
Мы применим второй способ. Выражая F через амплитуды,
подставляя это выражение в A8) и сравнивая коэффициентыг
получим
J | k И [А+ (к) • А (к) - Ф (к) Ф+ (к)] F{V) -
-.Р(к')[А+(к).А(к)-Ф(к)Ф+(к)]} (<**) = (is*)
ch\
Подставляя последовательно F = Ф и F = Ai и предпола-
предполагая, что для любых F и G все выражения вида
F(k) G(k') — G(k')F(k), F(k) O+ (k') — G+ (k')F(k)
и т. д. пропорциональны 8 (к — к'), мы легко получим
Ф+ (к) Ф (к') — Ф (к') Ф+ (к) = 2i|| 8 (к — к');
A7*)
(к')Л(к')Л+(к) 8(кк');
[Ф (к), Ф (к')] =0; [Ф+ (к), Ф+ (к')] = 0;
[А[(к),Ат{к')]=0; [At(к), Л?(к')] = 0; A7**)
[At (к) Ф (к)] = 0; [At (к), Ф (к)] = 0.
Те же самые результаты получаются путем непосредственного»
применения перестановочных соотношений A7).
Пользуясь уравнениями A) и B), мы сразу получаем
Е(к) = /[|А|А(к)-кФ(к)]; A*>
Н(к) = /кхА(к). B*)
Отсюда вытекают перестановочные соотношения для амплитуд
переменных поля, а именно:
Е{(к) El (к') - ЕХ (к') Е{ (к) = ^щ [k4lm - ktkm\ 8 (к - к')
Ht{k)Htt (к')-/?(к')Я/(к) = sttJt [#«/»,—*/*>»] 8(к - к') I A9)
F (\c\H+(\cf\ H+(lc'\F (U\ i
1 Hei sen berg und Pauli. Zs. f. Phys., 56, 1 A929), уравнение B1).
60

[Ei (к), Ет (к')] = 0; [Et (к), El (к')] = 0 '
[Hi (к), Нт (к')] = 0; [Ht (к), Я + (к')] = 0 , A9*)
[Ei (к), Яот (к')] = 0; [Et (к), Я+ (к')] = 0 .
где в последнем уравнении A9) числа /, т, п означают лю-
любую правовинтовую систему трех взаимно-перпендикулярных
направлений.
§ 5. В заключение мы рассмотрим собственные значения
энергии поля Н. Она состоит из четырех членов, коммутирую-
коммутирующих друг с другом. Поэтому достаточно рассмотреть каждый
член в отдельности, а затем взять сумму. Интегрируя по
объему (Аи) настолько малому, что внутри него можно рас-
рассматривать к как постоянную, мы получим
к+Дк
соб. зн. 2 j А+ (к) А (к) | k |2 (dk) = c\k\h (пг + п% + #3) B0)
к
и
к + Дк
соб.зн.2 \ Ф(к)Ф+ (k)\k\2(dk) = c\k\hn0, B1)
к
где каждое из квантовых чисел я0, пи п2, пг,... пробегает
значения 0, 1, 2, 3... Таким образом,1
соб. зн, Я(к, Ак) = с | k | h (nx + п2 + пъ — nQ). B2)
Этот вывод страдает, однако, тем недостатком, что в нем
не учитывается дополнительное условие A2), вследствие чего
остается неопределенным знак энергии поля. Указанный недо-
недостаток легко исправить, воспользовавшись соотношением
*а (А+А - ФФ+) = [к X А+] • [к X А] +
В силу дополнительного условия A2) и условия, к нему со-
сопряженного, последние два члена в B3) дают нуль, первый же
член положителен. Этот первый член содержит не все три,
а только две поперечные к волновому вектору составляющие
векторного потенциала. Соответствующие ему собственные
значения отличаются от B0) только тем, что имеют множите-
множителем сумму не трех, а двух неотрицательных целых чисел,
которая тоже равна неотрицательному целому числу. Оконча-
Окончательно мы имеем:
соб. зн. Я (к, А к) = с\ k | hn (n = 0, 1, 2,...). B4)
1 Рассуждения конца § 5 (после формулы 21) изменены в соответствии
с работой 1934 г. наст, сб., стр. 88—123 (В. Ф.).
61

II. ПРИМЕНЕНИЕ К УРАВНЕНИЮ ШРЕДИНГЕРА
§ 6. Согласно идеям Дирака,1 задача состоит в решении
системы двух уравнений:
Полагая t—tl = t2 и замечая, что
мы можем заключить, что решение системы B5), в котором
положено tt = t2 = t, должно удовлетворять уравнению
(W-ik^=- (еаФ(Г]) + з2Ф(г,)) ф, B7)
где
kk1- B8)
Следует помнить, что эти уравнения — трехмерные и что, на-
например, оператор рг2, выписанный полностью, есть
/ Л \* / д* , д3 . д2 \ /ОЛЧ
л = (тJ (лг?+5^ + s?rj • B9>
Положим
Ф = Фо + *1 + Ь + ¦ • ¦ ¦
где ф„ есть совокупность членов я-той степени относительно
зарядов е, и ц. Тогда мы будем иметь:
o-O; C0)
ri) + в2Ф(г,)} %; C1)
( W - ih ^ ф2 = - (в1Ф (г,) + е2Ф (г2)) ф, C2)
и т. д. Согласно общей теории части 1 мы имеем также
Ф(Г1) =_!_ Г{ф(к)^1*|'+1кГ1 + Ф+(к)^1*"-/кг'} {dk) C3)
и соответствующее уравнение для Ф(г2).
1 Dirac. Proc. Roy. Soc, A 136, 453 A932).
82

§ 7. Уравнения C0) —C2) удобно решать путем перехода
в импульсное пространство по формуле
. C4>
Здесь р2 и р2 векторы; (dpi) = dplxdplydpl2 и т. д.; величины
Р\х> Р\у> • • •/72<?"~Уже не операторы, а числа. Интегрирование
производится от — оо до + со по всем переменным.
В качестве решения уравнения C0) мы возьмем1
^ C5)
что, совместно с формулой преобразования C4), дает
-p2°)e «/о- C6>
Подстановка выражения C4) в уравнения C1) и C2) дает
C7>
где W по-прежнему имеет вид B8), но р2 и р2 теперь уже
числа, а не операторы.
§ 8. Полагая п = 1 и беря значение C6) для ср0, мы полу-
получаем выражение для (W—ih-jrA<?i. Это уравнение может быть
решено относительно <pi. Повторяя процесс с п = 2, можно
получить 9-2- Результат будет содержать интегралы, в которые
войдут произведения
Ф (к) Ф (к'), Ф (к) Ф^ (к'), Ф+ (к) Ф (к7), Ф+ (к) Ф+ (к')«
Перестановочные соотношения для Ф (к) и Ф+ (к) с точностью
до постоянного множителя аналогичны перестановочным соот-
соотношениям для операторов, выражающих рождение и исчезно-
исчезновение одного кванта в состоянии к. Произведения Ф+(к)Ф(к)
и Ф (к) Ф+ (к) пропорциональны ^ + 1 и ##, где п^ есть число
1 Символ bjo означает, что мы берем бесквантовое состояние (/—число
световых квантов). См. Dirac. Ргос. Roy. Soc, A 136, 453 A932) (В. Ф,).
63*

квантов в состоянии k. Поэтому, если мы исходим из невоз-
невозбужденного поля, т. е. если п^ = 0, мы должны положить
в соответствии с перестановочными соотношениями A7I
Ф(к)Ф+(к')~0,
+^к0. C8)
Мы интересуемся той частью <J>, которая соответствует на-
начальному и конечному состояниям без поля. Эта часть может
быть получена, если отбросить члены Ф (к) Ф (к') и Ф+ (к) Ф+ (к'),
так как они соответствуют рождению и исчезновению двух
квантов.
Принимая это во внимание, мы можем написать
ft+ *k) **'*"(<**) C9)
D0)
Решая уравнение D0) относительно срь получим
— W^o — с | рх —
Sl _L ф
ffi \ h 1 ^-WO_c|p2_p2o|
Подставляя выражение D1) в уравнение C9) и используя C8),
будем иметь:
(Pi - Pl° + Р2 - Р2°)
Здесь мы пренебрегли величиной W— W0 по сравнению
с c|Pi~Pi°l- Величина /С равна К = ^2Кг + ^Кч, где Ki и /С2 —
бесконечные постоянные. Эти члены аналогичны бесконечному
действию электрона самого на себя — трудность, остающаяся
в этой теории.
1 См. напр: Дирак. Основы квантовой механики, I изд., § 41, 67, 68
и особенно уравнения A1) и A2).
Ы

§ 9. Возвращаясь с помощью уравнения C4) к координат-
координатному пространству, получим
Это уравнение дает тот член в ф2, который соответствует
состоянию без квантов. Величина ^ таких членов не содержит.
Таким образом, второе приближение для ф дает первую по-
поправку к ф0 и представляет собой первое приближение для той
части ф, которая нас интересует. Эта часть может быть, оче-
очевидно, получена решением уравнения
Это уравнение соответствует энергии взаимодействия 4те i Г1ЦГ' i>
т. е. кулоновскому взаимодействию.
III. ПРИЛОЖЕНИЕ К УРАВНЕНИЮ ДИРАКА "
§ 10. Здесь мы отступаем от предложения Дирака исполь-
использовать квадратичный оператор Гамильтона и пользуемся дира-
ковским линейным оператором. Вместо уравнения B7) мы имеем
теперь
(A + D2~ih ±) ф = (ех V, + е2 V2) ф, D5)
где
A-^i-Pi + ЛяА, D6)
i-«r (ri)- (ri)> D7.
1/2=а2.А(г2)-Ф(г3).
Величины <h = (alx, a]y, &IZ), ^; а2 = (а2х, а2уу а2г), р2 суть
дираковские матрицы, относящиеся к внутренним переменным
первого и второго заряда.
Рассматривая разложение Vx и 1/2 на плоские волны, соот-
соответственно уравнению A3) мы положим
\ ]
D8)
Как и раньше, мы полагаем ф = ф0 + Ф1 + Ф2 + • • • и полу-
получаем уравнения, вполне аналогичные уравнениям C0) — C2).
Мы можем по-прежнему использовать формулу преобразования
5 Зак. 152 65

C4) в пространство импульсов. Вместо уравнения C7) мы те-
теперь имеем:
^(к)?„_! (Pi- Р2 + Ак)е/с1*" (Л). D9)
§11. Мы берем ф0 в виде
I 4-(pieT1+pi°.iy-W'°/)
Фоо^ E0)
(множитель 5у0, определяющий бесквантовое состояние, для
краткости опущен). Здесь <]>Оо есть функция импульса и внут-
внутренних переменных, удовлетворяющая уравнениям
Woo = Woo." А^оо = ^.Чоо- E1)
Dj0 и 2J° даются уравнением D6), где р2 и р2 заменены на р/
и р20; ^0 и W2° — энергии свободных электронов, соответ-
соответствующие импульсам р20 и р20, и
1^0=^0+ U72o.: E2)
Заданному значению импульса р соответствуют четыре ре-
решения уравнения Дирака; мы их будем различать, когда это
понадобится, индексом 5, пробегающим четыре значения E=1,
2, 3, 4). При таких обозначениях волновая функция в про-
пространстве импульсов равна
-P20)* h , E3)
где
Подстановка выражения E3) в уравнение D9) дает
E4>
66 , • .,

где
Уоо
foo
E5)
Отсюда ясно, что величина <рг должна иметь вид право-!
части уравнения E4) с заменой %8 и t|s на
V = (A + D2—W°-c\ps- ps°I Г% = 6Л E6)
и
V = (A + A - №° + e I p, - pso j)"* ^ - Qs4s.
Величины Sx и т]1 являются собственными функциями опера-
оператора D2 с собственным значением W2°. Так как все другие
члены в операторах Ьг и Qlf определяемых уравнением E6),
коммутируют с IJ2, мы можем заменить в 62 и Й1 оператор Z)j
числом W2°- Пользуясь уравнением E2), мы запишем 6S и Qs
в виде
}
Таким образом,
и Р2) =
(/11
E8)
где 65 и 2S определены уравнением E7).
Подстановка выражений E6) и E8) в формулу D9) для я=2
дает шестнадцать членов, квадратичных в V и V4", из которых
мы исключаем восемь, содержащих VV и 1/+1/+, как соответ-
соответствующих двухквантовым переходам. Остаются восемь членов,
содержащих только произведения VV+ и V+V. Из них два
содержат е22, два е22 и четыре
др 2, д 2 и етыр
Члены, пропорциональные
и в разделе II.
и е22, мы отбрасываем, как
рде II.
Члены в выражении для шх + D2 — ih -щ\ ср2, содержащие
5*
67

имеют вид
V2(b)eh
X
X
E9)
Мы должны положить здесь аналогично C8) и по тем же
причинам
Ф(к)Ф+(к')~0, Л,+ (к)Лт(к')~-
At (к) Ф+ (к') = Ф+ (к') At (к) ~ О
F0)
At (к) А + (к') ~ A 8/mS (к - к')
Выполняя интеграцию, мы получаем выражение, которое
при подстановке в уравнение для <р, дает
F1)
где
— pi° + р2 — Р2°)
2ЛB7СK|р1_р10|
-
в *
F2)
Здесь члены, содержащие 6, происходят от скалярного, а члены,
содержащие Q, — от векторного потенциала.
Найдем матричный элемент U. Мы имеем:
(Pi, p2, suJh
i/. P/; Pi. P-2. slf
X?g(Pi', Р/; р,°, РЛ V. «,«) = <
l, p2, Sl, s2
l, р,;рЛ р,о, Sl°, V), F3)
68

где для <р0 использовано выражение E3). Подставив сюда вы-
выражение F2) для ?/<Ро> найдем
(Pi, Р2, su s2|?/|Pi°. рД sx°, sa°) =
5 (Pi + p2 — Pl° - P-2°) V
A
— 2/iB7iK I P! — Pi® I A
1, P2, *i> 52)Вфоо(РЛ Р^ *Л «2°)^ > F4)
где
В = et + 62 + o^a, + a2Qiai. F5)
Так как величина ^00, стоящая слева от В, есть собственная
функция Ог и D2, мы можем упростить формулу F4), заме-
заменив в ней операторы Dx и D2, которые входят в В, числами
Wt и W2. Это дает
в= w\ — 1^!© _ с | Pl — Plo | +~^2-TCV>-c|p2-p2<>| +
Wt~Wlo + c\p1-Plo\ + W2-Wf + c\p2-p2
Далее, мы имеем:
P, + P-2 = Pie + P2°, F7)
и поскольку нас интересуют только матричные элементы, для
которых выполняется закон сохранения энергии,
Wt+W2= W^> + W2<>. F8)
Используя F7) и F8), выражение F6) можно привести к виду
- «
С этим значением В формула F4) принимает вид
(Pi, P2, slt
4^00 (Pi, P2> S1% S2)(\ - ara2)
что представляет собой формулу Мёллера,1 записанную в не-
несколько иных обозначениях.
1 М oiler. Zs. f. Phys., 70, 786 A931).

О КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ1
П. А. М. Дирак у В. А. Фок и Б. Подольский
В первом разделе этой работы дается новое доказательство того, что
новая форма релятивистской квантовой механики2 эквивалентна теории
Гейзенберга и Паули.3 Доказательство обладает тем преимуществом, что де-
делает наглядной физическую связь обеих теорий, и тем самым намечает путь
к дальнейшему развитию, рассмотренному во втором разделе.
I. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ТЕОРИЙ ДИРАКА И ГЕЙЗЕНБЕРГА—ПАУЛИ
§ 1. Недавно Розенфельд показал,4 что новая форма реля-
релятивистской квантовой механики эквивалентна теории Гейзен-
Гейзенберга и Паули. Однако доказательство Розенфельда трудно
понимаемо и не проливает света на некоторые особенности
связи между обеими теориями. Имея в виду дальнейшее раз-
развитие теории, мы приведем здесь более простое доказательство
эквивалентности.
Рассмотрим систему, состоящую из двух частей А и В.
Ее оператор Гамильтона Н составлен из операторов Гамиль-
Гамильтона На и Нь частей системы и из энергии взаимодействия V.
Мы имеем:
H=Ha + Hb+V, A)
где
На = На(ра, qa, T); Hb = Hb(pb, qb, T),
V= V(pa, qa, pb, qb, Г),
a T есть время для всей системы. Волновая функция всей
системы удовлетворяет уравнению5
-шЦ^Ча, ЯЬ Т) = 0 B)
1 Впервые опубликовано в 1932 г. P. A. M. D i г а с, V. A. F о с k and
Pod ol sky. On Quantum electrodynamics, Sow. Phys., 2, 468—479 A932).
2 Dirac, Proc. Roy. Soc, A 136, 453 A932).
3 H e i s e n b e r g und P a u 1 i, Zs. f. Phys., 56, 1 A929) и 59, 168 A930).
* Rose nf eld. Zs. f. Phys., 76, 729 A932).
5 Величина h есть постоянная Планка, деленная на 2тс.
70

и будет функцией указанных переменных. Произведем теперь
каноническое преобразование1
ф* = /Я*Ч C)
При этом динамические переменные, например F, преобра-
преобразуются следующим образом:
*Г . D)
Уравнение B) принимает вид
?)=0. E)
Поскольку На коммутирует с Н^ то Н*а = На. С другой
стороны, в силу того, что каноническое преобразование C)
не меняет функциональной связи между переменными, вели-
величина I/* будет такой же функцией от преобразованных пере-
переменных /?*, #*, какой была величина V от переменных /;, q.
Но переменные ра и qa коммутируют с Нь. Поэтому
Р*а=Ра\ 4l==z9a'
Следовательно,
v* - У(рш Яа, Р;, д;\ F)
где
1нг —-ит
G)
В § 7 будет показано, что уравнения G) эквивалентны сле-
следующим:
(8)
где t — индивидуальное время части В.
1 Каноническое преобразование C) следует, строго говоря, писать в виде
^* = Sty, где 5 есть унитарный оператор, представляющий решение уравне-
уравнения — ihS^1 _ = Hf,. При этом используемое в тексте соотношение
-ньт
SHb — HbS = Q остается в силе. Оператор 5 имеет вид S = eh только
в том случае, когда Нь не зависит явно от Т {В. Ф.).
71

Последние же уравнения представляют как раз уравнения
движения для части В, взятой в отдельности и не возмущен-
возмущенной присутствием части А.
§ 2. Предположим теперь, что часть В соответствует полю,
а часть А — частицам. Тогда уравнения (8) должны быть экви-
эквивалентны уравнениям Максвелла для пустого пространства.
Уравнение B) будет волновым уравнением теории Гейзенберга
и Паули, тогда как уравнение E), в котором возмущение
выражено через потенциалы, соответствующие пустому прост-
пространству, будет волновым уравнением новой теории.
Таким образом, эта теория соответствует выделению и раз-
раздельному рассмотрению части системы, что бывает в некото-
некоторых вопросах более удобным.1
Оператор На может быть представлен в виде суммы опе-
операторов Гамильтона отдельных частиц. Взаимодействие между
частицами в На не включается, так как оно рассматривается
как результат взаимодействия частиц с полем. Аналогично,
V есть сумма взаимодействий частиц с полем. Таким образом,
можно написать
п п
T)-as.A(rs, t)]=^lVs*, (9)
5-1 5=1
где rs — координаты s-той частицы, а п — число частиц.
Уравнение E) примет вид
89 Л Г), A0)
*s \ v s J "^ dj
5=1
где символ J обозначает переменные, описывающие поле.
Введем наряду с общим временем Т и временем поля t
индивидуальные времена t14 t2i ... tn, свое для каждой частицы»
Уравнению A0) удовлетворяет общее решение системы
уравнений
(^j = O, A1)
где
Rs = c*s • Ps + msc^s + es [Ф (rs, ts) - as. A (rs, ts)]. A1 *>
1 Это имеет некоторую аналогию с принадлежащим Френкелю методом
трактовки неполных систем (J. Frenkel. Sow. Phys., I, 99 A932)).
72

Функция ty* в уравнении A0) получается из
Ф*=Ф*0-1, г2, ... rn;tu t19 ... tn\ J),
если все времена положить равными общему времени Т.
Уравнения A1) являются уравнениями теории Дирака. Ониг
очевидно, релятивистски инвариантны и представляют обобще-
обобщение уравнения A0). Релятивистская инвариантность здесь стала
очевидной благодаря введению индивидуального времени для
каждой из частиц.
§ 3. В дальнейшем нам понадобятся некоторые формулы
квантования электромагнитного поля. Мы будем пользоваться
формулами, полученными Фоком и Подольским.г Если исхо-
исходить из функции Лагранжа
L = у (Е2 - W) - 1 (div А +1ФJ A2>
и брать в качестве координат (Qo, Qu Q2> Q3) потенциалы
(Ф, At Л2, Аа) причем сохранять обычные соотношения
E = -gradO--A; H = curlA,
С
С
то получим
W
Ро = —i(
Гамильтонова функция будет равна
dQl
Уравнения движения имеют вид:2
А = с2 Р — с grad Ф,
Ф = — c2PQ-cdiv
A6)
P = A A — grad div A — с grad Po,
A = — с div P.
1 В. Фок и Б. Подольский, этот сборник, стр. 55—69. Далее будет
обозначаться как цитированная работа. Относительно других методов см.г
Jordan und Pauli, Zs. f. Phys., 47, 151 A928) или Fermi. Rend. Lincei,
9, 881 A929). Функция Лагранжа A2) отличается от рассмотренной функ-
функции Ферми только четырехмерной расходимостью.
2 Точка над функцией, относящейся к полю, означает производную по-
повремени поля t
75

После исключения величин Р и Ро уравнения A6) приводят
к уравнению Даламбера для потенциалов Ф и А. Для того
чтобы получить уравнения Максвелла для пустого пространства,
необходимо положить PQ = 0.
Правила квантования выражаются через амплитуды Фурье.
Для каждой функции поля F=F(x, у, z, t) вводятся ампли-
амплитуды f(k) и F+(k) посредством равенства
тП A7)
где г = (я, у, г) есть радиус-вектор, k = (kx, ky, kz) — волно-
волновой вектор, равный по величине \k\ = -? и, наконец, (dk) =
= dkxdkydkz. Интегрирование производится по каждой ком-
компоненте k в пределах от — со до + оо.
Уравнения движения, выраженные через амплитуды, могут
быть написаны в виде
A8)
Я0(к)=|[|*|Ф(к)-к.А(к)] J
Остальные два уравнения являются алгебраическим следствием
предыдущих. Перестановочные соотношения для потенциалов
имеют вид
rh
Ф+ (к) Ф (к' j - Ф (к7) Ф+ (к) = щ~ о (к - к').
Лт(к')-Д/+(к)= -^8/m8(k-k'), A9)
тогда как все остальные комбинации амплитуд между собой
коммутируют.
II. МАКСВЕЛЛОВО ПОЛЕ
§ 4. В случае максвеллова поля необходимы следующие
дополнительные соображения. Для определения переменных,
наряду с обычными уравнениями движения, нужно использо-
использовать дополнительное условие Ро = 0 или div А -(—ф = 0. Это
условие надо рассматривать he как равенство нулю некото-
некоторого квантово-механического оператора, а как условие, нала-
налагаемое на возможные функции ф.
Это видно, например, из того факта, что операторное ра-
равенство div АН— Ф = 0 противоречило г : перестановочным
с
соотношениям. Таким образом, только те функции б должны
74

рассматриваться как имеющие физический смысл, которые
удовлетворяют условию
— СРЛ = (div А + - ф) ф = 0. B0)
\ с I
Условие B0), выраженное при помощи A8) через амплитуды,
принимает вид
К эгим уравнениям необходимо, конечно, присоединить вол-
волновое уравнение
(Нь -ih !)i> = 0, B1)
где Hf, есть оператор Гамильтона для поля
Нь = 2){ А+ (к) А (к) — Ф (к) Ф+ (к)} | k |2 (dk\ B2)
как и в цитированной работе.
Если несколько уравнений Aty = 0, В^ = 0 и т. д. должны
выполняться одновременно, то должно быть и АВЬ = 0, BAty =
= 0 и т. д., а значит и (АВ — BA)ty = 0 и т. д. Все такие но-
новые уравнения должны быть следствиями старых, т. е. они не
должны налагать новых условий на ф. Это можно рассматри-
рассматривать как критерий совместности исходных уравнений.
Применяя эти рассуждения к нашим уравнениям B0*) и
B1), получим
Я0(к)Я0+(к0~Я0+(ЮР()(к) =
- с9 [ (к-А (к)) (к'- А+ (к')) - (к'- А+ (к')) (к-А (к)) ] +
+ с21 k | ¦ | kr | [Ф (к) Ф+ (к') - Фь (к') Ф (к) ], B3)
так как все Л/ и Л* коммутируют с Ф и Ф+. Используя те-
теперь перестановочные соотношения A9), мы будем иметь:
B4)
Соотношение B4) выполняется как операторное равенство,
вследствие чего
[Яо (к) Ро+ (к') ~Я0+ (к') Р0(к)] ^ = 0
не является условк^м, налагаемым на ф. Таким образом, оба
условия B0*) совместны.

Так как Ро (к) и Р* (к) коммутируют с -^, то для проверки
совместимости условия B0) с волновым уравнением B1) не-
необходимо проверить соотношение
0. B5)
В силу равенства Яо = -j;(HbPQ — Р^Нь) уравнение B5) может
быть написано в виде Р$ = 0 или в компонентах Фурье
а также
Но эти два уравнения представляют как раз условия B0*).
Таким образом, условия B0) и B1) также совместны.
§ 5. Дополнительное условие B0) является не уравнением
движения, а уравнением связи, налагаемым на начальные
координаты и скорости, причем это уравнение связи выпол-
выполняется в последующее время уже в силу уравнений движе-
движения. Тот факт, что в максвелловом случае существует такое
уравнение связи и обусловливает необходимость тех допол-
дополнительных соображений, которые были проведены в начале
§ 4.
Оказывается, что при наличии частиц уравнение связи
должно быть видоизменено, с тем, чтобы новое уравнение
связи выполнялось в силу уравнений движения во все вре-
времена.
Условия для ф в форме B0*) не совместны с уравнениями
A1). Однако нетрудно видеть, что их можно заменить не-
несколько иной совокупностью условий,1 а именно:
О, B6*
где
B7*)
Члены в С (к), которые не содержатся в — сР0(к), являются
функциями от координат и времен частиц. Они коммутируют
с операторами Н^ — ш-^ и Р0(к) и друг с другом. Поэтому
уравнения B6*) совместны друг с другом и с уравнением B1).
Остается показать, что уравнения B6*) совместны также и
1 Мы опускаем здесь, в отличие от § 1 я 2, звездочку и пишем в даль-
дальнейшем ф вместо Ф*«
76

с уравнением A1), т. е. что С (к) и С+ (к) коммутируют
Покажем это для С (к). Обозначим, как обычно, АВ — ВА
через [А, В]. Очевидно, достаточно показать, что
С(k), Vs~tA(rs, *s)] = 0 B8)
Ж1
[С (к), /Лдг —в*Ф(г„ 01 = 0. B9)
Is л
Учитывая вид С (к), можно преобразовать эти два уравнения
соответственно в
[(к-А (к)), A (rS) ts)) - 2K).lt]k] [е-1**, Ps] = 0 C0)
, Ф(гв> «1+^|4S й|;] = 0. C1)
С другой стороны, мы имеем:
[(к-А(к)), A(rS) ts)] =
в силу уравнения A7) и в силу того, что А (к) коммутирует
с А (к'). Используя перестановочные соотношения и выполняя
интегрирование, получаем
[(к • А (к)), А (гА)] = ^|~ еи '*¦'.-*•'.. C2)
Далее
[е-*'\ pj = ih grad ё-*'т* = hke~ikrs. C3)
Вводя эти выражения в уравнение C0), мы видим, что оно
удовлетворяется. Аналогично убеждаемся, что уравнение C1)
также удовлетворяется в силу соотношений
, Ф(гв, ts)) =—j^ ^1*1'.-*-. C4)
C5)
Таким образом, условия B6*) удовлетворяют всем требо-
требованиям совместности. Можно также показать, что эти требо-
требования совместности определяют С (к) однозначно с точностью
до аддитивной постоянной, если только искать С (к) в виде
С (к) = i [(к • А (к)) -1 к | Ф (к)] + 2 f(r8t8).
S
77

§ 6. Покажем теперь, что введение раздельных времен
для поля и для каждой частицы позволяет использовать всю
электродинамику вакуума, изложенную в § 3 и в цитированной
работе, если не считать изменения, рассмотренного в § 5.
Действительно, покажем, что максвелловские уравнения
электродинамики, содержащие плотность заряда и плотность
тока, становятся условиями, налагаемыми на функцию ф.
Для удобства соберем вместе наши основные уравнения.
Уравнения электродинамики вакуума имеют вид
~A; H = curlA, A3)
ДФ-1ф = 0; ДА-^А = 0. C6)
Волновые уравнения имеют вид
(^-й<4)* = 0> (И)
где _ _
Rs = cas • ps + msc% — ssa5 - A (r5, ts) + %ф (г А)- A1*)
Дополнительными условиями для функции ф являются
С(к)ф = О; С+(к)<1> = 0, B6*)
где
Преобразуем последние два уравнения, переходя по форму-
формуле A7) от амплитуд С (к) и С+(к) к функции поля C(r, t).
Мы получим
С (г, 0Ф = 0, B6)
где
л
С (г, 0 = divA + |f -^^b{X-Xs). B7)
Здесь X и А — четырехмерные векторы: Х = (х, у, z, t)y
Xs = (xs-> У5» zs> ts)y а д—так называемая инвариантная
функция дельта 1
± + ct)-i(r-ct)]. C7)
[t{r + ct)(rct)].
Из уравнений A3) непосредственно вытекает
divH = 0; curlE + ~^ = 0, C8)
1 См.: Jordan und P a u I i. Zs. f. Phys., 47, 159 A928).
78

так что эти уравнения сохраняются в качестве квантовомеха-
нических операторных равенств.
Используя уравнения A3) и C6) и условие B6), прямым*
вычислением получаем
) Д(Л--^Н C9)
=~-|(^2? A (*-*,))<•. D0)
Рассмотрим теперь, что произойдет с нашими уравнениями,
если положить в них t = ?, = t2 = ... = tn= T (или короче
ts = Т), как это подразумевается в уравнениях Максвелла.
Для любой величины f[t, tu t2y...tn) мы имеем
df(T, T....T) _ Ш д_1 дП
от ~[ы ^^"Г*--" dtn\t_T>
S
причем для каждой из п частных производных ^т- имеется
ots
уравнение движения
Ij- = 4" №sf—fRs)- D2>
Если положить /=A(r, t) или /=Ф(г, t), то, так как оба эти
оператора коммутируют с Rs, будет / = 0и мы получим
dt "" дГ ~dt~~ ОТ'
Отсюда следует, что
1^ , D4)
так что форма связи между полем и потенциалами сохраняет-
сохраняется. Для t = ts имеет место равенство А (X — Xs) = 0 откуда
gradA(-AT—^5)=0. Используя это равенство, а также урав-
уравнения B6), C9) и D0), подучаем
D5)
D6)
(div EL> = -2fe[4-^ Л<^~ **)L ¦' D7>
79-

Для дальнейшего преобразования уравнения D6) необхо-
необходимо использовать уравнения D1) и D2), из которых следует
,Е1 D8)
Величина [Rs, Е] легко вычисляется, так как единственный
член в Rs, который не коммутирует с Е, есть — esas • A(rs, ts),
причем — — Е является канонически сопряженным импульсом
яо отношению к А. Таким путем получается
[Rs, E] = ich*sasi(r-rs). D9)
Для преобразования уравнения D7) необходимо только
помнить,1 что
(^Ц). E0)
Таким образом, уравнения D6) и D7) принимают вид
п
( н - -i- ^-) ф = 2 e^s§ (Г ~ Гз) * E1)
и
п
28(r-rsI'- E2)
Эти уравнения как раз и являются остальными уравнениями
Максвелла, причем они выступают в качестве условий, нала-
налагаемых на функцию ф. Уравнение E2) является дополнитель-
дополнительным условием теории Гейзенберга—Паули.
§ 7. Мы должны теперь вывести уравнение (8) параграфа 1.
Напомним, что преобразование G) является каноническим
преобразованием, которое сохраняет как алгебраическую связь
между переменными, так и вид уравнений движения.3
iHeisenberg und Pauli. Zs. f. Phys., 56, 34 A929).
2 Символы -L, **Я-, zL и т. д., написанные с круглыми д, означают
дТ dt dts
здесь частные производные в том смысле, что производные эти берутся по
разным переменным 71, t или tst но не в смысле явной зависимости данного
оператора q от соответствующей переменной. Если писать производные
в этом последнем смысле с буквой 8, то выражение, называемое обычно
«полной» производной оператора q по времени, напишется
(Заметим, что в этом выражении обычно пишут d вместо д и д вместо Ь)
(В. Ф.).
80

В только что введенных более точных обозначениях урав-
уравнения движения напишутся
E3)
Как уже было сказано по поводу уравнения E), мы имеем:
л* = /7Л + пь + ^ • E4)
Так как величины ^ и /?& коммутируют с //а, то q*b и р^ бу-
будут коммутировать с //*, а значит и с На. Поэтому уравне-
уравнения E3) принимают вид
E5)
С другой стороны, уравнения D1) и D2) дают
дТ :
+
E6)
Но единственный член в Rs, не коммутирующий с /?* и q*by
есть V*s. Поэтому
Так как 2
S
дующие
E7)
то уравнения E6) переходят в еле-
дТ \ dt
.-г
dt + h
E8)
81

Сравнение уравнений E5) и E8) дает окончательно
дР
E9)
Эти уравнения являются как раз уравнениями (8), написанными
в более точных обозначениях.

К ТЕОРИИ ПОЗИТРОНОВ 2
Я. А. Фок
Настоящая работа представляет попытку дать математическую форму-
формулировку предложенной Дираком теории состояний электронов с отрицатель-
отрицательной энергией и установить общий вид волновых уравнений в конфигура-
конфигурационном пространстве электронов и позитронов.
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ^СОСТОЯНИЙ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ
Для формулировки теории Дирака необходимо прежде всего
дать определение положительных и отрицательных состояний
электрона. Если обозначить через Т оператор кинетической
энергии электрона и через | Т\ оператор для ее абсолютного
значения, то оператор для знака кинетической энергии будет
иметь вид
т
« = утр 0)
Собственная функция ф+ оператора е, соответствующая соб-
собственному значению е = + 1» описывает „положительное"
состояние, а собственная функция ф_, соответствующая е = — 1,
описывает „отрицательное" состояние электрона. Произвольная
волновая функция ф может быть представлена в виде суммы
Ф = Ф+ + ф_. Совокупность матричных элементов какого-либо
оператора, соответствующих переходам от ф+ к ф_ предста-
представляет, по Шредингеру, нечетную часть этого оператора, тогда
как остальные матричные элементы представляют четную его
часть.
При формулировке дираковской теории позитронов прихо-
приходится прибегать к шредингеровскому разложению операторов
на четную и нечетную часть. При этом оказывается весьма
затруднительным удовлетворить требованию инвариантности
по отношению к прибавке градиента к потенциалам (Eichinva-
rianz). В самом деле, во-первых, шредингеровское разделение
1 Впервые опубликовано в 1933 г. ДАН СССР, нов. серия, >& 6Г
стр. 265-267 A933).
83

операторов (по крайней мере в его первоначальной форме) не
обладает этим свойством инвариантности, а во-вторых, и самый
оператор полной энергии электрона не инвариантен. Поэтому
дираковская теория позитронов также не является инвариант-
инвариантной в указанном смысле.
2. КВАНТОВАННАЯ ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ
Предположим, что вид оператора энергии, а также разде-
разделение состояний на четные и нечетные нами установлены.
После этого мы можем, для дальнейшей формулировки дира-
ковской теории, воспользоваться результатами Гейзенберга,
которые были получены им в его работе о „дырках" в элек-
электронных оболочках атомов.1
Мы будем рассматривать такое представление операторов,
в котором оператор еA) приведен к диагональному виду. Осталь-
Остальные независимые переменные (например, спин и импульс) мы
обозначим через q. Квантованная волновая функция удовлетво-
удовлетворяет правилам коммутации
Ф (Я, 0 4>+ W. О + Ф+ (?', в') ф (q, е) = 8 (q - q') \г
Ф (Я, е) Ф (Я', О + ф (<?', в') ф (q, г) = О
Обобщая соответствующую формулу Гейзенберга, введем,
согласно уравнению
+ 1) = ?(<7, 1); Ф+(<7,--1) = ?(<7, 2) " C)
вместо ф, функцию ср. Правила коммутации для <?(qy а) (а=1, 2)
будут тогда иметь тот же вид, как и для ф (q, e)
? (^ а) ?+ W, а0 + ?+ W, ^) ? (^ а) = 8 (У- ?') 8аа' \ /4)
ср (^, а) ? (^, «') + ? (q', а') ? (9, а) = 0. J *
Введенное Дираком предположение о заполнении всех отри-
отрицательных состояний может быть теперь формулировано
следующим образом. В операторах вторичного квантования
нужно выразить ф (qt e) и ф+ (q, e) через ср (^, а) и <р+ (^, а) и
рассматривать ср (q, а) как квантованную волновую функцию
частицы, которая может быть ^либо электроном (а=1), либо
позитроном (а = 2).
3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КВАНТОВАННОГО ОПЕРАТОРА
Мы применим формулированное выше правило к оператору,
который в своей первоначальной форме (т. е. выраженный
через ф и ф+) действует на одну частицу. Для определенности
1 W. Heisenberg. Zum Paulischen Ausschliessungsprinzip. Ann. d.
Physik [5], 10, p. 888 A931).
84

мы будем говорить об операторе энергии Н. Пусть матрица
этого оператора, в принятом нами представлении, будет
(q,e\H\q\e').
Матричные элементы с е = е' образуют четную, а элементы
с е ф е' нечетную часть оператора. Первую мы обозначим
через Hg, а вторую через Ни. Квантованный оператор Н
будет иметь вид
Я= 2 JJ dqdq'^+(q, e) (q, e\H\q', г') ф fa', е'). E)
ее'
Мы рассмотрим сперва члены с е = е', образующие четную
часть Hg, и введем обозначения
(q', -l\H\q,-l) = (q,-l \H\q\ -1) = - (q\H2\q'). F)
В выражении для Hg мы выразим согласно C) ф через <р,
и преобразуем полученное выражение так, чтобы ср+ всегда
стояло слева от ср. На основании правил коммутации D),
пользуясь обозначениями F), мы получаем выражение
Я). G)
Последний член в G) представляет бесконечно большую
отрицательную постоянную (бесконечно большую энергию
электронов в отрицательных состояниях); этот член мы
должны отбросить.
Если под Н мы будем понимать оператор Т для кинетиче-
кинетической энергии частицы, то Нх и Н2 будут представлять кине-
кинетические энергии электрона и позитрона. Оба эти оператора
имеют только положительные собственные значения: в этом
и состояла цель введенной Дираком гипотезы.
Нечетную часть Ни оператора //, введя обозначения
(q,-l\H\q'9+l)=(q\U+\q')
можно переписать без существенных изменений. Тогда для Ни
мы получим выражение
Ни = J J dqdq'v* (q, 1) ср+ (q\ 2) (q |?/+ | ^) +
q\U+\qr)<f{q,2)<f(q', D-
85

Оператор Ни будет коммутировать с оператором L
L = (-e)$dq [9+ (q, 1) <р (q, 1) - 9+ (q, 2) ? (?, 2)] A0)
для полного заряда, но не будет коммутировать с операто-
оператором N
N = $dq[<?+(q, 1Ж?, 1) + ?+ (q, 2)<р(q, 2)] A1)
для полного числа частиц (электронов и позитронов). Поэтому,
если в квантовом волновом уравнении встречается оператор
вида HUJ to он вызывает изменение числа частиц. В теории
Дирака это изменение обусловлено, таким образом, нечетной
частью оператора энергии.
4. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ В КОНФИГУРАЦИОННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Предположим, что между частицами нет взаимодействия,
так что оператор энергии имеет вид Н= Hg-\- Ни. Этот опе-
оператор действует на последовательность функций
?i (Яи ai); ?2 (Яи «ь ?2, а2);... уп (qu а2... qn, ал), A2)
которые все антисимметричны относительно переменных q^ a,.
Для этих функций срл получается система уравнений вида
[Я* (Яд + • • • + Н«п (Яп)\ 4
i \U\ q2) \
(значок ant при первом члене правой части означает, что
соответствующее выражение нужно антисимметризовать отно-
относительно переменных q]f аг;... qno-n). Уравнения A3) связывают
волновые функции, соответствующие либо только четному,
либо только нечетному числу частиц. Физически это понятно,
так как вследствие сохранения заряда новые частицы могут
образовываться лишь парами (один электрон и один позитрон).
Вероятность того, что имеется ровно п частиц, выражается
формулой
Сумма вероятностей B ЧРЛ не зависит от времени, как это
и должно быть.
Если бы мы при составлении волнового уравнения учли
взаимодействие частиц, то в уравнениях A3) к операторам Нл
прибавилась бы „четно-четная часть", а к оператору ^/—„нечет-
^/—„нечетно-четная" часть оператора энергии взаимодействия. Кроме
86

того, прибавились бы новые члены, происходящие от „нечетно-
иечетной" части этого оператора и соответствующие одновре-
одновременному возникновению двух пар частиц.
Из физических соображений следовало бы ожидать, что
в уравнениях A3) члены, содержащие операторы U и ?/+,
могут рассматриваться, как возмущения, создающие некоторую
(вообще говоря, малую) вероятность изменения числа частиц.
К сожалению, такое толкование этих членов встречает, с мате-
математической стороны, препятствие в том, что при решении
уравнений эти члены приводят к бесконечностям (например,
вида Spur UU+).1
1 Заключительные замечания (§ 5) нами опущены (В. Ф.).

О КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ1
В. Л. Фок
Целью работы является упрощение математического аппарата квантовой
электродинамики. Работа состоит из трех разделов. В первом разделе разра-
разрабатывается математический аппарат вторичного квантования для случая ста-
статистики Бозе, причем вводится волновой функционал в виде бесконечного
ряда многократных интегралов. Во втором разделе рассматривается электро-
электродинамика вакуума и находится общий вид функционала, удовлетворяющего»
дополнительным условиям. В третьем разделе рассматривается взаимодействие
поля и вещества, причем исходным пунктом является дираковская формули-
формулировка проблемы многих тел с различными временами; рассмотрение ведете»
для случая фиксированного числа материальных частиц.
С помощью канонического преобразования исключаются дополнительные
условия, налагаемые на волновой функционал, а затем вычисляются преобра-
преобразованные операторы кинетической энергии и импульса и определяются вол-
волновые уравнения. Далее времена частиц полагаются равными друг другу
и вводится уравнение, соответствующее волновому уравнению Гейзенбергз
и Паули, а также выводятся уравнения для отдельных волновых функций
в импульсном пространстве световых квантов.
В заключение на простых примерах (формула Брейта, формула Меллера
для энергии взаимодействия, естественная ширина спектральных линий)
показано, как надо применять развиваемый здесь математический аппарат
к конкретным вопросам.
ВВЕДЕНИЕ
Целью этой работы2 является разработка и упрощение
математического аппарата квантовой электродинамики. Эта
теория, созданная Дираком3 и Гейзенбергом и Паули4 пред-
представляет последовательное обобщение классической электро-
электродинамики, удовлетворяющее принципу соответствия [...]. При-
1 Впервые опубликовано в 1934 г. V. F о с k. Zur Quantenelektrodyna-
mik, Sow. Phys., 6, 425—469 A934).
2 Содержание работы было доложено в ноябре 1932 г. на теоретическом*
семинаре в физико-техническом институте в Ленинграде.
3 P. A. M. Dirac. Relativistic Quantum Mechanics. Proc. Roy.Soc, A 136,
453 A932); P. Dirac, V. Fo ck and В. Р о d о lsk y. On Quantum Electro-
Electrodynamics. Sow. Phys., 2, 468 A932).
4 W. Heisenberg und W. Pauli. Zur Quantendynamik den Wellen-
felder. Zs. f. Phys., 59, 1 A929); Zur Quantentheorie der Wellenfelder. IL
Zs. f. Phys., 59, 168 A929).
88

сущие теории трудности, связанные с бесконечной собственной
энергией электрона, хорошо известны [...]. Не следует, однако,
забывать, что все результаты той квантовой теории излучения,
которая представляет непосредственное применение принципа
соответствия, могут быть получены из квантовой электроди-
электродинамики. Правда при этом часто приходится поступаться мате-
математической строгостью. Физический смысл применяемых при
этом „незаконных" математических операций (обрывание раз-
разложения в ряд на определенной степени постоянной тонкой
структуры а, отбрасывание расходящихся интегралов и т. д.)
заключается в том, что при помощи них пытаются устранить
неувязки, происходящие от несовершенства теории. К числу
результатов, могущих быть полученными из квантовой электро-
электродинамики, относятся также и те, которые (как, например,
формулы Брейта и Мёллера для взаимодействия электронов)
первоначально были выведены совсем другим путем и лишь
затем обоснованы квантовой электродинамикой.
Присущие квантовой электродинамике трудности вызывали
сомнения в правильности этой теории; даже подвергался
обсуждению вопрос, применима ли она вообще в собственно
квантовой области.г Это последнее сомнение оказалось однако
необоснованным. В фундаментальной работе Бора и Розен-
фельда,2 выяснившей область применимости теории, была
показано, что во всех тех случаях, когда можно пренебречь
атомистической структурой измерительного прибора и когда
рассматриваемые расстояния и длины волн значительно пре-
превосходят классический радиус электрона, применение квантовой
электродинамики к вопросу об измеримости электромагнитного*
поля ведет к разумным результатам.
Поскольку граница применимости теории может считаться
установленной, для дальнейшего ее развития необходимо прежде
всего обратить внимание на построение ее математическога
аппарата. Предлагаемая работа и посвящена этому вопросу [...].
L ВВЕДЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ В СЛУЧАЕ СТАТИСТИКИ БОЗЕ
При изложении теории вторичного квантования, а также
в ее применениях обычно вводят дискретный спектр даже
и в тех случаях, когда физическая задача требует рассмотрения
состояний, принадлежащих непрерывному спектру. В этих
случаях прежде всего видоизменяют задачу так, чтобы добиться*
1 Л. Ландау и Р. Пайерльс. Распространение принципа неопреде-
неопределенности на релятивистскую квантовую теорию. L. Landau und R. Р е i е г 1 s,
Zs. f. Phys., 69, 56, 1931. Erweiterung des Unbestimmtheitsprinzips fur die re-
lativistische Quantentheorie.
2 H. Бор и Л. Розенфельд. К вопросу об измеримости электро-
электромагнитных напряженностей. N. Bohr und L. Rosenfeld. Zur Frage
der Messbarkeit der elektromagnetischen Feldgro&en. Kgl. Danske Vid. Sels-
kab, Math-fys. Meddeleser, XII, 8, Копенгаген, 1933.
89

появления точечного спектра (введение „ящиков", условий
периодичности и т. д.) и лишь в конце вычислений возвращаются
путем предельного перехода к первоначальной задаче. Этот
-окольный путь, который часто бывает весьма неудобен
и излишне усложняет вычисления, ни в коем случае не является
необходимым. В дальнейшем для случая статистики Бозе мы
предложим метод, который позволит оперировать одинаковым
образом как с состояниями дискретного, так и состояниями
непрерывного спектра; кроме того, он обладает тем преиму-
преимуществом, что в нем ясна взаимосвязь вторичного квантования
и конфигурационного пространства. Этот метод основан на при-
применении производящих функций (функционалов) и является
обобщением метода, развитого автором в одной из прежних
работ.г
Как известно, квантованная волновая функция W (х) в случае
статистики Бозе удовлетворяет перестановочным соотношениям
A)
b(x - jc'),
W (x') ЧГ (jc) - ЧГ (х) Ш {х') = О,
тде через х обозначена совокупность независимых переменных.
Величину W (х) можно рассматривать как оператор, который
действует на последовательность волновых функций
const
B)
в конфигурационных пространствах 0, 1, 2,... я,... измерений
»я переводит эту последовательность в следующую 2
Ф(х)
const
C)
При этом все функции ф предполагаются симметричными. Сопря-
Сопряженный оператор W+(x) переводит последовательность B)
s аналогичную последовательность <|/ (х^, Y (ххх2)..., причем
преобразованная функция д-того подпространства выражается
через первоначальную функцию (п — 1)-ого подпространства
1 В. Ф о к. Наст, сб., стр. 9—24.
2 Там же, стр. 25—51.

следующим образом:
f (хгх2 ...хп) = -±=[Ъ (хх - х) ф (х2х3 ...
уп
• • • Хп)
С другой стороны, для оператора W (х) можно выбрать
такое представление, в котором сопряженный оператор ЧГ+ (х)
будет соответствовать умножению на некоторую функцию b (x).г
Объектом, на который действуют операторы Ш и W+, будет
тогда функционал & от функции Ь(х). Вид этого функционала
должен вполне определяться заданием последовательности
функций B). Мы покажем, что функционал 2 имеет вид
или "
Q = 1 Qn, F)
где Qn имеет вид «-кратного интеграла
(х1... хп)Ъ (XJ .. .1 (хп) dxt... dxn. G)
Нам нужно прежде всего дать определение функциональной
производной -=— от 2 по b (x). Общим определением
является
^ = lim I {Q [В(х') + riZ(x'-x)]-Q \b{х')]\, (8)
где через х' обозначена текущая координата в Q = \]
Для практических целей удобнее иное определение, которое,
впрочем, эквивалентно (8). Напишем вариацию 5Q от b в форме
однократного интеграла
b& = lAl~b(x)dx. (9)
Тогда ^функциональная производная будет равна коэффициенту
при 8 b (x) в подъинтегральном выражении
4^ = л. («•>
ЪЪ(х)
1 Более последовательно было бы обозначать эту функцию через ty(x),
ио мы предпочитаем обозначение Ь (х), чтобы не употреблять символ if
слишком во многих значениях.
91

Положим, например,
тогда будет
j
ЬЬ(х)
Из определения функциональной производной вытекает для
произвольного функционала соотношение
-J-—Ь(х)О-Ъ(х) -Q =Ъ(х — х')Я. A1)
Отсюда видно, что в рассматриваемом представлении, в_ ко-
котором оператору ЧР" (х) соответствует умножение на b (х)
оператору W (х) действительно _сопоставляется образование
функциональной производной по Ъ (х).
Мы должны еще доказать, что функционал Q действитель-
действительно выражается через волновые функции ф (ххх2.. . хп) отдель-
отдельных подпространств по формуле E). Для этого достаточно
показать, что составлению функциональной производной от 2
по b (x) соответствует для последовательности коэффициентов
B) в ряде E) преобразование C), а умножению Q на b (x)
соответствует для тех же коэффициентов преобразование D).
Рассмотрим выражение G) для 2п и образуем вариацию
Qn no b (x). Имеем:
82Л = L. • п Г ф (ххх... Xn-i) X
х ob (х) Ъ {хх)... b (xn-i) dxdxi ... dxn-i.
Согласно определению (9) и (9*) функциональная производная
равна
x b (Xj) ... b (xn-i) dxx... dxn-i A2)
или
С X 1 j X
X b (xt) ...b (xn-i) dxx... dxn-u
где новая (п — 1)-мерная волновая функция Y(xi • • -^-i)
выражается через первоначальную /г-мерную следующим
образом:
У (хх... хп-\) =у nty (xxl... xn-i).
Но это как раз то преобразование, которое производится
92

оператором W (х) в C). Так как эта формула справедлива для
любого п, то мы действительно имеем:
^ A3)
V ' ЪЬ(х)
С другой стороны, если умножить Qn-i на
Ь (х) == J S (хя — х) 6 (хл) я?;сл,
то получится __
6 (х) 2„-1 =_
= 1 f »(*„ - *Ж*1... Хп-\) Ъ(хх).. .&(*„) dxx... dxn
У (п— 1)! J
или, если симметризовать функцию 8 (хп — х) ty (хг... хп-\) по
отношению jc2 ... хП9
Ь(х) Ол_! = -~= j f (^ ... хл) 6 (хг)... ft (хя) dxt... dxni
где ф' имеет значение D). Так как полученная формула спра-
справедлива для любого п, то мы имеем:
W+(x) Q = 6(jc)Q. A4)
Наше утверждение тем самым доказано. Коэффициенты^, ^(хг)9
ф (^i^2) • • • в РяДе E) действительно могут быть отождествлены
с волновыми функциями в соответствующих подпространствах
конфигурационного пространства.
В теории вторичного квантования большую роль играет
оператор числа частиц
$+ A5)
Мы покажем, что величина 2п G) является собственным функ-
функционалом этого оператора. В самом деле, принимая во вни-
внимание A2), имеем:
nSL = ГЪ (х) У"п dx = п2п. A6)
Таким образом, можно рассматривать ряд F) как разложе-
разложение произвольного функционала 2 по собственным функцио-
функционалам оператора п.
С помощью соотношений A3) и A4) любой оператор теории
вторичного квантования можно представить как оператор
в конфигурационном пространстве. Например, для оператора,
имеющего вид
I Г \гг+ ( Y\ T ( r\W (r\dr (M\
получаем
LQ = f 6 (x) L (x) -13- dx. A7*)
93

Если подставить сюда для 2 ряд F) и использовать A2), та
для L2 получается аналогичный ряд
00
L2 = 2] Qn',
где через Ол' обозначено выражение
X ^(х) & (xj ... & (jcrt_) ^
Если написать здесь хп вместо х и симметризовать подъинте-
гральное выражение относительно xlt..xn, то функционал
2Л' может быть записан в форме G), где функция ^(хх.. .хп}
заменена на
f (^i... хп) = [L (х,) +1 (x2) + ... + L {хп)\ ф (х,... *я). A7**)
Последнее уравнение и дает представление оператора L в кон-
конфигурационном пространстве.
Для оператора, не коммутирующего с п, также может быть
найдено представление в конфигурационном пространстве. Само
собою разумеется, что в этом случае функция ф' (хг... хп)
выражается не через одну только функцию ф (х1.. .л:п), а через»
волновые функции в подпространствах различного числа изме-
измерений.
Скалярное произведение двух функционалов Q и 2' может
быть определено при помощи волновых функций в соответст*
вующих подпространствах, а именно:
, Q') = Mo' + f I
(Q, Q') = Mo' + f I ф (^ ... хп) у(х> ... хп) dxt... dxn. A8)
Условием ортогональности будет поэтому
B, 2')== 0, A9)
а нормировочным условием
B, 2) = 1 или B, 2)= const. A9*>
Чтобы установить связь с формулами нашей прежней ра-
работы, рассмотрим вкратце, как надо писать выражение для
Qn, когда переменная х принимает только дискретный ряд
значений х{1\ х{2).. . Будем писать Ъг вместо Ъ (х{г)) и
с (ri • • • гп) вместо ф (х(Г1\ х^ ... х(г^) и в выражении G) за-
заменим интеграл суммой. Мы получим тогда для Qn выражение
^ с(г1г2---гп)~ЬгЛш...ЪГя. B0)
94

В этой сумме член, содержащий пх раз множитель Ь, затеас
п2 раз множитель Ь2 и т. д., встречается —\—]—раз; поэтому
если мы положим
с(г1г2...гп)==с*(Аг1я2...),
то будет
Если же положить
n\_
то получится
Здесь целые числа пи п2... удовлетворяют условию
пг + п%+ ... = п. B2)
Если же это условие отбросить, то из B1) получится выраже-
выражение для общего функционала ?. Формула B1) с точностью до
обозначений совпадает с соответствующей формулой нашей
цитированной работы.1
П. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ВАКУУМА
В случае вакуума применение правил квантования электро-
электромагнитного поля не встречает особых затруднений. Чтобы
установить уравнения движения для поля,2 выразим электро-
электромагнитное поле Е и Н обычным образом через скалярный и
векторный потенциалы
E = -grad<J>-}^; H = curlA. A)
Будем рассматривать компоненты потенциалов (Ф, Аи Л2, Л3)
как координаты поля (Q, Qlt Q2, Q3) и возьмем в качестве
функции Лагранжа для поля выражение
ig)\ B).
которое отличается лишь на четырехмерную расходимость от
выражения Ферми.3 Импульсы, канонически сопряженные
1 В. Фок. Этот сборник, стр. 9—24, формула E4).
1 В. Фок и Б. Подольский. Этот сборник, стр. 55—69.
* В, Fermi. Rend. Lincei F) 9, 881 A929).
9S

к координатам поля (Qo, Qls Q2, Qs), имеют вид
C)
Ie J
Для функции Гамильтона // получается выражение
Н= у (Р2 - Р02) + -1 (curl АJ — сР0 div А - сР grad Ф. D)
-Уравнения движения Гамильтона имеют вид
А = с2 Р — с grad Ф,
Ф = — с2Ро — с div А, Eч
Р = А А — grad div A — с grad Яо,
где точкой сверху обозначено дифференцирование по времени.
Исключив импульсы для компонент потенциалов, мы полу-
получим уравнение Даламбера. Чтобы получить уравнения Макс-
Максвелла для вакуума, в случае классической теории поля, необ-
необходимо положить Я0 = 0.
Переходя к квантованию поля, мы должны иметь в виду,
^что в качестве волновых функций светового кванта следует
брать не вещественные переменные поля, а некоторые комп-
комплексные величины, которые получаются из первых разложе-
разложением по Фурье. Для некоторой вещественной переменной поля,
удовлетворяющей уравнению Даламбера, мы будем писать
разложение в интеграл Фурье в виде
F)
Здесь через к обозначена абсолютная величина волнового век-
вектора к; (я?к) стоит вместо d^dkjdk^. Так как величины (k, ku
k2, k3) являются компонентами четырехмерного вектора (а имен-
именно нулевого вектора), то выражения ^-— и kb (k — к') являют-
являются инвариантами при преобразованиях Лоренца. Следовательно,
величины kF(k), т. е. умноженные на к амплитуды компонент
поля F{r> t), преобразуются так же, как и сами эти ком-
компоненты.
Компонентой волновой функции светового кванта является
первый интеграл в F), взятый в отдельности. Амплитуду F(k)
можно рассматривать как волновую функцию в импульсном

пространстве световых квантов в Гейзенберговском представ-
представлении. Соответствующая волновая функция в Шредингеровском
представлении будет тогда
Амплитуды компонент поля удовлетворяют следующим
уравнениям движения
G)
Чтобы перейти от обычных амплитуд („малое" поле) к кван-
квантованным амплитудам („большое" поле),1 необходимо устано-
установить для последних перестановочные соотношения. Применяя
обычные правила квантования, получаем
Ф+ (к) Ф (к') - Ф (к') Ф+ (к) = g 8 (к - к')
А1 (к) Ат (к ) Ат (к ) Аг (к) = — ^ "infi (к к )
(8)
тогда как все компоненты, А1(к), А2(к), А3(к), Ф(к) кванто-
квантованной волновой функции между собой коммутируют. Реля-
Релятивистская инвариантность перестановочных соотношений (8)
вытекает из того, что величины ?Ф(к), к А (к) являются ком-
компонентами четырехмерного вектора, а ?8 (к —к') есть инва-
инвариант.
Объемный интеграл от гамильтоновой функции D), пред-
представленный как интеграл в пространстве импульсов, равен
Н = J [A+(k) А (к) + А (к) А+ (к) - Ф (к) Ф+ (к) —
-Ф+(к)Ф(к)]?2(д?к).
Чтобы устранить так называемую нулевую энергию, а также
отрицательные собственные значения, мы должны изменить
здесь порядок сомножителей и писать
(9)
Это выражение и является оператором энергии поля излуче-
излучения. В отношении преобразований Лоренца оператор Н ведет
себя, как временная компонента четырехмерного вектора, про-
пространственные компоненты которого равны
Гк[А+(к)А(к)Ф(к)Ф+(к)]^(б?к) A0)
1 Термины „малое" и „большое4 поле — по Паули. См.: W. P a u I i. Zs. f.
Phys., 80, 373 A933).
7 Зак. 152 97

и представляют собой количество движения (импульс) поля.
Наряду с вектором энергии и количества движения можно
рассматривать инвариант
(И)
который нужно толковать как оператор полного числа кван-
квантов. Если ввести соответствующую выражению A1) плотность
в пространстве импульсов, равную
п(к) = ^[А+(к)А(к)-Ф(к)Ф+(к)]?, A2)
то вектор энергии и количества движения поля может быть
написан в виде
H=hc$kn(k)(dk), (9*)
A0*)
Оператор п(к) сам по себе не является положительно опреде-
определенным; однако в силу дополнительных условий, которые
будут установлены ниже, математическое ожидание величин
N и Н в любом физически возможном состоянии поля будет
положительным (или равным нулю).
Как отмечено выше, Гейзенберговское представление вол-
волновых функций Ф(к), А (к) связано со Шредингеровским пред-
представлением Ф' (k, t) соотношениями
Ф' (к, t)« Ф (к) е~*ы\ А' (к, t) = А (к) е'ш. A3)
В случае Гейзенберговского представления функционал 2,
описывающий состояние поля, содержит в качестве аргумент-
аргументных функций следующие
Ф(к), л; (к), А2 (к), Л3(к). A4)
В этом случае он не зависит явно от времени, так что волно-
волновое уравнение приводится к виду -^ = 0.
В случае Шредингеровского представления аргументными
функциями в функционале 2 будут величины Ф' (k, t) и А? (к, t),
а волновое уравнение принимает вид
= a A5)
Выбор величин A4) в качестве аргументных функций в функ-
функционале й однозначно определяется перестановочными соот-
9S

ношениями (8). Операторы Ф4" (к) и Л/ (к) имеют тогда вид
^^ ^l^-. A6)
к) V 7
В отличие от случая пространственного вращения, преобра-
преобразованию Лоренца соответствует не просто линейная подста-
подстановка между аргументными функциями A4), а каноническое
преобразование между не коммутирующими операторами.
Так как операторы Ф' (k, t) и Ф/+(к, t) и т. д. (в пред-
представлении Шредингера) удовлетворяют тем же перестановоч-
перестановочным соотношениям (8), что и операторы Ф(к), Ф+(к) (в пред-
представлении Гейзенберга), то и для первых справедливы фор-
формулы A6). Если вместо Ф(к, t) и т. д. мы будем снова писать
просто Ф(к) и т. д., то волновое уравнение A5), написан-
написанное в явной форме, будет иметь вид
В дальнейшем мы будем пользоваться, главным образом,
Гейзенберговским представлением.
Мы должны теперь рассмотреть вопрос о тех дополни-
дополнительных условиях для функционала 2, которые соответствуют
классическому соотношению Яо = 0. Будем толковать это урав-
уравнение, по Дираку, в смысле двух условий, которые состоят
в равенстве нулю амплитуды Яо (к) и сопряженной с ней вели-
величины Ро+ (к)
Я0(к^=| [*Ф(к)-к-А(к)]9 = 0; A8)
P+(k)Q= ~j [&Ф^(к)-к.А+(к)]9-0. A8*)
Оба эти условия релятивистски инвариантны. Они совместны
между собой, так как для произвольных значений к и к',
включая совпадающие значения, имеет место операторное ра-
равенство
Ро+ (к) Ро (V) - Ро (к') Ро+ (к) = 0. A9)
Далее, условия A8) и A8*) совместны также и с волновым
уравнением, что особенно легко видеть из того, что в Гейзен-
Гейзенберговском представлении волновое уравнение имеет простую
форму -^ = 0.
Теперь можно легко получить общий вид функционала Q,
удовлетворяющего этой системе уравнений. Для этого выделим
из А (к) компоненту 6 (к) в направлении волнового вектора к
7* 99

и положим
6(к) = Ц?); • B0)
В(к) = А(к)-к-^^}. B1)
В качестве аргументных функций в 2 мы возьмем пять
величин:
Ф(к), в (к), В, (к), В, (к), В3(к),
причем три последние связаны тождественным соотношением
кВ(к)=О.
В новых обозначениях уравнения A8) и A8*) напишутся
[Ф (к)-в (к)] 9 = 0; B2)
[Ф+ (к) - в+ (к) ] 2 = 0. B2*)
Так как величина 0 является одной из компонент век-
векторного потенциала, то и перестановочные соотношения для
6 и 0+ будут те же, как для некоторой его компоненты и для
ее сопряженной. Поэтому оператор 6 (к) имеет значение
•«"-Silw- <23)
Отсюда следует, что уравнения B2 и 22*), написанные в явной
форме, будут иметь вид
—Ф(кJ =
ье (к) v ;
Эти уравнения дают
2 = е*2°[В(к)], B5)
где функционал X имеет следующее значение
B6)
а 2° есть произвольный функционал, который уже не содер-
содержит 6 (к) и Ф(к). Таким образом, дополнительные условия
позволили нам привести общий функционал 2, зависящий от
четырех аргументных функций A4) к функционалу 2°, зави-
зависящему только от двух аргументных функций, а именно от
двух компонент векторного потенциала, перпендикулярных
волновому вектору.
Это приведение соответствует тому факту, что поперечный
световой квант при заданном импульсе характеризуется двумя
100

числами, скажем, двумя возможными состояниями поляризации.
Функционал B5) удовлетворяет также волновому уравнению,
так что он описывает самое общее состояние поля излучения
в вакууме.
С помощью дополнительных условий из оператора A1) для
числа световых квантов, а также и из операторов энергии и
количества движения можно исключить величины 6 и Ф. Рас-
Рассмотрим величину п (к) — уравнение A2) — и напишем ее в виде
л(к) = л'(к) + л"(к), B7)
где мы положили
«'(к) = ^(кХА+(к)).(кХА(к))( B6)
или иначе
я'(к) = ^(кхВ+(к)).(кхВ(к)), B8*)
а также
п" (к) = | [ 6+(к) б (к) - Ф (к) Ф+ (к)]. B9)
Если последнюю величину мы напишем в виде
п"(к) = g { 0+ (к) [0 (к) _ ф (к) ] + Ф (к) [ 6+ (к)- Ф+ (к) ] } B9*)
и учтем уравнения B2) и B2*), то убедимся, что оператор
/г" (к), будучи применен к любому допустимому (т. е. удов-
удовлетворяющему дополнительному условию) функционалу, дает
нуль. Но оператор п! (к) зависит только от величин В и, кроме
того, он является положительно определенным (дефинитным).
Тем самым доказывается наше утверждение о положительном
знаке математического ожидания энергии и числа световых
квантов.
Чтобы установить связь с рассуждениями первой части,
введем применительно к нашей задаче величины Ъ и Ь+. Пусть
и е(к, 1) и е(к, 2) два единичных вектора, перпендикулярных
как между собой, так и к волновому вектору к. Эти единич-
единичные векторы соответствуют двум состояниям поляризации. Так
как согласно B1) вектор В (к) тоже перпендикулярен к вол-
волновому вектору, то можно положить
2
=/12е (к> л ь (к>л-' C0)
На основании формул (8) и B1) легко показать, что опреде-
определенные таким образом операторы b (k, у) удовлетворяют пе-
перестановочным соотношениям
Ь (к', /) Ь+ (к, J) - Ь+ (к, J) Ь (к', /) = iJrt (к - к')! C1)
Ъ (к', /) Ь (к, у) - b (к, у) Ь (к', /) = О I
101

2
J
Эти соотношения совпадают с A,1), если понимать там под
переменной х совокупность трех непрерывных переменных
klf k2, ks и одной дискретной переменной у, принимающей
только два значения j = 1, 2. Следовательно, к нашей задаче
применима вся, развитая в I части, математическая теория
функционалов. В частности, вид функционала й° в B5) дается
формулой E, I), где ф есть волновая функция в импульсном
пространстве световых квантов. В частном случае, когда нет
световых квантов, функционал в B5) приводится к выражению
B5*)
Бесквантовое состояние, само собой разумеется, есть реля-
релятивистски инвариантное понятие, несмотря на то, что выраже-
выражение B5*) не является инвариантом.
Выразим теперь операторы п (k), N, H, G через только что
введенные величины Ъ и Ь+. Если не писать „исчезающую"
в силу дополнительных условий B2) и B2*) часть этих опе-
операторов и обозначить остающуюся часть соответственно через
п', N', //', G', то получится
п'(к) = Ь+(к, \)Ь(к,\) + Ь+(к, 2)fc(k, 2); C2)
C3)
' = ^ J hckb+ (k, J) b (k, J)(dlL); C4)
G' = X |Ш>+ (k, J) b (k, j) (d k). C5)
Из общей теории вторичного квантования следует, что опера-
оператор N' полного числа световых квантов имеет целочисленные
собственные значения 0, 1, 2 ... Те же собственные значения
имеет и оператор
k+А к
N'(k, Дк)=2 j b+(k,/)b(k,j)(dk) C6)
J к
для числа световых квантов с волновым числом к, лежащим
в интервале (к, к+Дк). Чтобы показать это, введем „норми-
„нормированные собственные дифференциалы"
k+Ak
Ь; = 7Щ§ b(k'J)idk)' C7)
k
которые, как это следует из C1), удовлетворяют перестано-
перестановочным соотношениям
ЬГЬ+ ~b+ &/=§,, )
; ; 3 J JJ . C8)
brbj-bjbr=O j
102

Выражение C6) будет равно
N'(k, А к)-]>>/*/ C6*)
и из теории гармонического вибратора следует тогда, что
оператор C6*) имеет собственные значения 0, 1, 2...
Подобным же образом можно исследовать операторы
Нг (к, А к) и G' (к, А к) энергии и количества движения све-
световых квантов с волновым вектором в интервале (к, к + Дк)
и показать, что эти операторы, определенные аналогично C6),
имеют собственные значения nhck и соответственно лЛк, где
я = 0, 1, 2..., как это и должно быть.
Об измеримости компонент Фурье для поля
Мы выведем теперь соотношение, выражающее „дополни-
„дополнительность" (в смысле Бора) между представлением световых
квантов и понятием о классически измеримой амплитуде
электромагнитного поля.
Комплексная амплитуда F(k) компоненты поля, собственно
говоря, не является измеримой физической величиной, потому
что вещественная часть амплитуды не коммутирует с ее мни-
мнимой частью. Однако в области больших квантовых чисел эта
некоммутативность становится несущественной и амплитуды
ведут себя так, как классические величины, а значит они оказы-
оказываются приближенно измеримыми. Рассмотрим подробнее, как
здесь обстоит дело, и докажем следующее предложение: если
взять амплитуды, усредненные по интервалу (к, к + А к), и
подсчитать при помощи них энергию излучения Е, приходя-
приходящуюся на этот интервал, то неопределенность в Е будет
всегда больше одного кванта энергии hck соответствующей
частоты.
Прежде всего заметим, что совершенно безразлично, будем
ли мы пользоваться амплитудами для напряженностей поля
или же какими-нибудь вспомогательными величинами, напри-
например величинами &(k, j) — уравнение C0). Мы воспользуемся
последними величинами и напишем оператор энергии излуче-
излучения в интервале (к, к + А к) в виде
к+Дк
Н' (к, Ак) = J hck [b+ (к, 1) Ь (к, 1) + й+(к, 2) b (к, 2)] (dk). C9)
к
Предположим теперь, что вещественная и мнимая части усред-
усредненных амплитуд
к+Дк
D0)
юз

измерены с точностью, допускаемой соотношением неопреде-
неопределенности, и вычислим отсюда энергию Е по формуле
b?b1 + Ь}Ь2). (89*)
Спрашивается, какова будет неопределенность в энергии.
Эта задача решается элементарно, так как она сводится
к аналогичной задаче для гармонического вибратора. Если
в выражении для энергии вибратора (без нулевой энергии)
яо=^2 + Т^2?2~1ГЛа) D1)
сделать подстановку
то из перестановочных соотношений для ряд будет следо-
следовать соотношение
bb+ — b+b=l D3)
и энергия вибратора будет равна
tfo = Aco&+6. D1*)
Приведенное выше выражение C9*) для энергии Е является
суммой двух членов вида D1*), причем <o = ck.
Если одновременно измерить импульс и координату гармо-
гармонического вибратора с неопределенностью Ар и Ау, то неоп-
неопределенность в энергии, вычисленной по этим р и q, будет
по крайней мере равна
± ± D4)
В наиболее благоприятном случае А/? и Д</ связаны соотноше-
соотношением Д/;Д^ = у ; тогда неопределенность в энергии А?о удовле-
удовлетворяет неравенству
Д?о>~Л<0. D5)
Отсюда для энергии излучения Е C9*) следует сформулиро-
сформулированное нами выше предложение.
В ходе наших рассуждений мы говорили об измерении
поля; но такое измерение невозможно без взаимодействия
с веществом. Однако это обстоятельство ни в какой мере не
обесценивает наших рассуждений, так как здесь мы имеем
дело со свойствами поля, так сказать, чисто кинематическими.
В самом деле, мы основывались только на перестановочных
соотношениях, которые остаются неизменными и при наличии
вещества.
104

Вопрос об измеримости самого поля, усредненного по не-
некоторой области пространства-времени (а не его компонент
Фурье), был исчерпывающе разобран Бором и Розенфельдом
в работе, цитированной нами во введении.
III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВЕЩЕСТВОМ. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Мы будем рассматривать квантовомеханическую систему*
состоящую из неопределенного числа световых квантов и из
фиксированного числа п материальных частиц с массами ms
и зарядами es (s = 1, 2,... п). Случай переменного числа мате-
материальных частиц (дираковская „дырочная" теория позитрона)
нами, таким образом, не рассматривается. Для определенности
мы будем говорить об электронах, хотя вид волнового уравне-
уравнения для материальных частиц остается пока произвольным.
Мы будем описывать рассматриваемую квантовомеханическую
систему с помощью следующих независимых переменных:
поле — его амплитудами (как и в предыдущем параграфе), ча-
частицы — их координатами rs = (xsyszs), временами ts, а также
переменными для их внутренних степеней свободы. Это зна-
значит, что, следуя Дираку, мы вводим для каждой частицы свое
особое время ts\ время для световых квантов мы будем обо-
обозначать через t. Только в конце вычислений мы положим ts = t.
Операторы для количества движения и кинетической энер-
энергии частицы имеют вид
/*»«-<-=
0>
Операторы, относящиеся к различным частицам, коммутируют
между собой. Операторы же, относящиеся к одной и той же*
частице, удовлетворяют перестановочным соотношениям
TPx-i
TPy-l
ТРг — 1
°xT=iheEx;
°yT=ihsEy;
э*г—**«?*;
PyPz
PzPx
PXPy
~Pz
-Px
-py
Py = ihsHx
Pz = iheHy
Px = ihztiz
(значок 5 здесь опущен). Обозначим через о?>, oj^>, № соста-
составляющие спина s-того электрона и построим оператор
- cjv Fv -ь аг К, . D>
10S

Согласно Дираку, для каждого электрона можно написать свое
волновое уравнение. В нерелятивистском случае оно имеет вид1
-L (p^fw = T{S)W (s = 1, 2,... л) E)
2m ^
и в релятивистском случае
IW9)PE) 4- т г2пЩ W — T{S)W f<? — 1 2 п) (в)
где через р(^>, р^>, р<?> обозначены операторы, относящиеся ко
второй внутренней степени свободы 5-того электрона (дира-
ковские Рх, р2, Рз)-
Волновое уравнение E) или F) можно рассматривать как
некое дополнительное условие для волнового функционала W;
это дополнительное условие и дает ту зависимость между
количеством движения и энергией, какая требуется по соот-
соответствующей теории (нерелятивистской или релятивистской).
Кроме волновых уравнений, для волнового функционала
должны существовать еще и другие дополнительные условия,
которые бы соответствовали равенству нулю расходимости
четырехмерного потенциала, т. е. уравнениям A8,11) или B2,11).
Мы напишем эти дополнительные условия в виде2
C(k)W = i
C+(k)F = 0j' (?)
где через С (к) обозначен оператор
п
С (к) = ik [б (к) - Ф (к)] + —-Lj- V 4ekk!s- ikrs. (8)
Если рассматривать С (к) как амплитуду некоторого поля
С (г, t), то это поле будет равно
п
C(r, *) !^
где X = (г, t) и Xs = (rs, ts) суть четырехмерные векторы,
а А (X) так называемая инвариантная функция дельта
Вид членов, пропорциональных зарядам е5, в выражении для
величины С (к) следует из требования коммутативности этой
величины с операторами A) и B) для составляющих четырех-
1 Буква Ф означает здесь волновой функционал, а не квантованную вол-
волновую функцию, как в первой части.
2 П. Дирак, В. Фок и Б. Подольский. Этот сборник, стр. 70—82.
106

мерного вектора энергии — количества движения, Легко про-
проверить, что С (к) коммутирует с С+(к).
Таким образом, волновой функционал ЧГ задачи п тел дол-
должен удовлетворять п волновым уравнениям вида E) или F)
и обоим дополнительным условиям вида G). Так как дополни-
дополнительные условия G) не содержат производных по времени
от ЧГ, то им должно удовлетворять и начальное состояние
квантовомеханической системы. Можно сказать, что физический
смысл имеют только те . состояния, которые удовлетворяют
условию G). Далее из этого следует, что физически измеримы
только те величины, которые (т. е. операторы которых) ком-
коммутируют с С (к) и С+(к). Таковыми являются так называемые
градиентно инвариантные величины, а прежде всего величи-
величины A), B) и C).
Исключение дополнительных условий
При помощи дополнительных условий G) можно получить
в общем виде зависимость волнового функционала Ш от аргу-
аргументных функций Ъ(к) и Ф(к), совершенно так же, как и в
случае отсутствия материи.1
Если для краткости положить
п
-krs, (И)
5=1
то оба уравнения G) напишутся
A2)
Если здесь в качестве Ф"*'(к) и 6(к) взять операторы A6,11)
н B3,11), то формула A2) примет вид
SB (к)
Решением этих уравнений будет
A4)
1 Ср. L. Ro sen f e 1 d. La theorie quantique des champs. Annales de
I'institut H. Poincare. Paris, 1931; а также: Enrico Fermi. Quantum Theory
Ы Radiation. Rev. of Mod. Phys., January, 1932.
107

где через у. обозначен функционал
'. A5,
Добавочный член X' в формуле A5) является функцией коор-
координат и времени п частиц и будет определен в дальнейшем.
Функционал Q в формуле A4) от аргументных функций 6 (к)
и Ф(к) уже не зависит.
Выполненное здесь преобразование может быть записано
и в операторной форме. Его можно рассматривать как неуни-
неунитарное каноническое преобразование, которое переводит опе-
оператор Z,, действующий на функционал W, в оператор V', дей-
действующий на функционал Я, причем оператор U связан с L
соотношением
U = e^Le\ A6}
В этой формуле символ х следует рассматривать как оператор,
иолучаемый из A5) заменой 6 (к) на 8+(к).
Исследуем теперь, как преобразуются наши операторы,
в частности операторы A) и B), для энергии и количества дви-
движения. Величины В (к) и В+(к) остаются инвариантными отно-
относительно преобразования A6), так как х с ними коммутирует.
Величины б+(к) и Ф(к) остаются, разумеется, тоже инвариант-
инвариантными. Для 6 (к) и Ф+(к) мы имеем [формулы преобразования
--V- A7)
е~гФ+(к)ег = Ф+ (к) + §^?y = Ф+ (к) + 6
Из формулы A7) получаем
*ГхА(к)<?х = А(к) + -=-Ф(к)-^/. A0)
Отсюда и из A8) следует для A(rs, ts) и Ф(г5, ts)
е-*-A (rs, ts) e* = A (rs, ts)]+ -Xr Г ± Ф (к) е~1
+ - -Лг f—f e% (dk). B1)
2 Bх)*'» J t«; v y v '
108

Последний интеграл в B1) содержит бесконечно большую кон-
константу, которая происходит от члена с e~l?s в сумме /+. Опе-
Операторы
преобразуются по формулам
e~4h зт- ех = ih -^- + ih % . B3)
ots ots ots v 7
С помощью полученных формул операторы A) и B) для энер-
энергии и количества движения можно преобразовать следующим
образом. Построим согласно A1,6) вектор, соответствующий
амплитуде В (к) (уравнение 11,21)
В (г, t)
°=ш JB (k) e~if m+-&& Jв+(к) ^ т-B4)
Этот вектор можно толковать как вектор-потенциал, норми-
нормированный условием
divB = 0. B5)
Мы получим тогда
_ th К - Ъ. _J_ Г е (к) & е~19*(с1к) +
dxs с BяK'» J v ' k v ;
Ш ± + »| - ^ j Ф* (k) ,"
Так как преобразованные операторы B6) и B7) действуют
только на такие функционалы 2, которые не содержат аргу-
аргументных функций 6i(k) и Ф(к) и, следовательно, удовлетво-
удовлетворяют условиям
s8(k)
2ft 8Ф(к)~
то в формулах B6) и B7) можно опустить интегралы, содер-
содержащие амплитуды 6(к) и Ф+(к) (эти интегралы представляют
109

неэрмитовы операторы). Правда, оба другие интеграла тоже
являются комплексными величинами. Однако можно так подоб-
подобрать оставшуюся до сих пор неопределенной функцию 1', чтобы
мнимая часть этих величин как раз сократилась с членами
— ih~- и ih ¦?- . Для этого положим
OXS Ols
'L' = - We 1"Ж (Л) + const- <29>
Интеграл, который вследствие расходимости при k = О опре-
определен лишь с точностью до аддитивной постоянной, может
быть вычислен. Мы имеем:
*' = - Ш ' ЩГ 2 *uBvF {Ха " Xv) + COnst) (Э0)
UV
где X означает четырехмерный вектор (г, t), a F{X) имеет
следующее значение:
F{X) = F(r, t) = J J^S^z^L (Л) + Const =
[(r + ct)lg\r + ct\ + (rct)l\r-ct\}. C1)
Если в формуле C0) под F понимать последнее выражение
(с логарифмами) и если опустить в ней члены с а = v, а также
и постоянную, то величина х' будет вполне определенной
функцией от координт rs и времен ts, причем производные
от этой функции совпадают с формально взятыми производными
от выражения B9). Для этих производных получаются выра-
выражения
C3)
которые в самом деле совпадают с мнимыми частями инте-
интегралов, входящих в B6) и B7) — последние члены правой
части. Принимая во внимание соотношение B8), мы можем
рассматривать операторы
s" J w
cos (?" - **>(rfk)' C4)
e" J w
cos
110

как преобразованные операторы для количества движения и
кинетической энергии s-той частицы. В сумме, стоящей в C5),
член с и = s является бесконечно большой постоянной.
Эти выражения можно написать проще, если ввести величины
2(*j^ Cб)
и
Тогда будет
P^W-^BATs.ts)-^, C7)
dts 2c dts
Интегралы в формуле C6) легко вычисляются. Напишем вы-
выражение C6) в виде
-Xa), C9)
где через V(X)= V(r, t) обозначен интеграл
ЦЩ D0)
Этот интеграл равен
± D1)
D2)
или если с помощью уравнений
g (jc) = — 1 для х < — 1
g (x) = х для — 1 < л: < 1
§ (*) = 1 для 1 < л:
ввести вспомогательную функцию S (л:), то
У(Г, 0 = ^
Если подставить значение D1) или D3) для 1/(г, ^) в сум-
сумму C9) и вычислить входящие в формулы C7) и C8) произ-
производные от Vs, то для PxS) и Т {s) получатся выражения
р;и _р,я^ВАг,^,) + \У^^ (*'-^%~'¦' , D4)
При этом следует иметь в виду, что функция 1/(г, ^отлична
от постоянной только для пространственно-подобного интер-
Ш

вала (г, t). Поэтому суммы в D4) и D5) берутся только по тем
частицам, интервалы которых по отношению к данной частице
пространственно-подобны. Следовательно, только пары частиц
с пространственно-подобным интервалом вносят вклад в то
взаимодействие, которое соответствует исключенным посред-
посредством нашего преобразования „продольным световым кван-
квантам".
Волновые уравнения для функционала Q имеют такой же
вид, как и приведенные ранее уравнения для функционала Ф,
а именно:
J '{s)J2 = Г'EJ (s= 1,...л) D6)
2ttis
в нерелятивистском случае и
[срфР'М + msc2pf\ ^ = Г <*> 2 (s = 1,... п) D7)
гв релятивистском случае. Здесь P{s) обозначает оператор D),
составленный из операторов C7), тогда как T{s) имеет значе-
значение C8). Дополнительные условия G) при этом выполняются
автоматически, если функционал Q зависит, кроме перемен-
переменных qs материальных частиц, только от аргументных функций
В (к) (или же от связанных с ними согласно A1,30) функ-
функций ft (к, /)).
Вводя функциональные производные от Q по ft (к, у), не-
нетрудно написать волновые уравнения D7) или D6) в явном
виде; однако здесь мы этого делать не будем.
Заметим еще, что если рассматривать одно какое-нибудь
из уравнений D7) или D6) (скажем, s-тое), то вид операто-
операторов Px{s) и Т {s) допускает дальнейшее упрощение. При по-
помощи подходящего канонического преобразования (зависящего
от номера 5 рассматриваемого уравнения) можно в выраже-
выражении C7) для Px[s) избавиться от члена — ~- -ч—; в результате
е dV S
член — Ycl)t~ B выРаженйИ C8) удвоится. Если затем опустить
значок s, то будет
4т, | г — гм! '
и
где сумма распространяется на все те электроны, интервалы
которых относительно рассматриваемого (s-того) электрона
пространственно-подобны. Если положить все времена равными
Друг другу, то сумма сводится к потенциальной энергии рас-
112

сматриваемого электрона в электростатическом поле остальных
частиц.1
Волновое уравнение для случая совпадающих времен
Напишем наши уравнения для того случая, когда все вре-
времена частиц is к время t световых квантов между собой со-
совпадают.2 Общее время мы обозначим пока через Г, в даль-
дальнейшем же будем опять употреблять букву t. Мы имеем:
п
дТ~~ dt~
дп
Чтобы составить выражение для производной ™ от волнового
функционала Q по общему времени Т, нужно, следовательно,
сложить друг с другом правые части отдельных волновых
уравнений D6) или D7). Согласно D5) оператор для суммы
кинетических энергий отдельных частиц равен
п
5 = 1 UV
(здесь мы уже опять написали t вместо Г). Чтобы получить
конечное выражение, нужно отбросить здесь члены с u = v;
эти члены соответствуют собственной энергии электронов.
Остальные члены дают в точности кулоновскую потенциальную
энергию электронов.
Чтобы составить левую часть волнового уравнения, нужно
использовать выражения C7) или D4) для Рх^- В нашем слу-
случае эти выражения упрощаются, так как для совпадающих
времен величины Vs и их пространственные производные об-
обращаются в нуль. Тогда имеем просто
p;<*>=/?>--Jk-?x(r5, *). D9)
1 Как было указано Ф. Блохом (F. В loch. Sow. Phys., 5, 301 A934)),
в случае несовпадающих времен волновые уравнения для разных частиц
совместны только в том случае, если все интервалы между частицами имеют
пространственный характер (В. Ф.).
2 Заметим, что в случае совпадающих времен величина C0) приво-
приводится к
u<v
где через ос обозначена постоянная тонкой структуры (все величины es по-
положены здесь равными заряду электрона). Вследствие A4) отсюда вытекает,
что при Тщ — Ту функционал ч? обращается в нуль даже, если Q конечно.
113

Мы ограничимся преобразованием релятивистских уравнений:
D7). Если обозначим через Ds дираковский оператор энергии
в отсутствии поля, примененный к координатам s-того элект-
электрона щ
Ds = с (««/#> + *?р? + &р?) + msc4f, E0)
то волновое уравнение для функционала й примет вид
S*=>1 UV
Мы должны преобразовать здесь оператор, содержащий
векторный потенциал В, и написать его в более явной форме.
Если подставить в формулу B4) для В (г, t) выражение (II, 30)
для амплитуды В (к), то получится
S е^-В (rs, t) = ? j (Л) {G+ (к, j)\b (к, j) +
s=l 7=1
+ G(Kj)b+(Kj)\, E2>
где для краткости положено J
0 <k> Л=
Далее, если обозначить через И обычный оператор энергии
задачи п тел, действующий в конфигурационном пространстве
п частиц
SiiT^' E4>
5 = 1 Ш?
то волновое уравнение примет вид
HQ - ih -f = 2 \ № (G+ (k. У)й (к. У) +
+ 0(к,уN+(к,у)}2. E5)
Если рассматривать 2 как функционал от b (k, у), то преды-
предыдущее уравнение напишется
^ ) °}'E6>
Это — явная форма волнового уравнения для функционала Q>
который, согласно квантовой электродинамике, должен описы-
описывать систему из п электронов вместе с неопределенным числом
световых квантов. Волновое уравнение E5) или E6) в матема-
114

тическом отношении эквивалентно другим видам волнового
уравнения, употреблявшимся в литературе ранее, но оно зна-
значительно проще и им легче пользоваться.
Коэффициенты G и G+ волнового уравнения зависят явно
от времени; однако с помощью канонического преобразования1
эту зависимость от времени можно исключить. Таким образом,
получается то представление операторов, которое соответст-
соответствует употреблявшемуся Гейзенбергом и Паули.
Если обозначить через L° какой-либо оператор в этом
последнем представлении, а через L тот же оператор в перво-
первоначальном представлении, то упомянутое каноническое пре-
преобразование имеет вид
L° = e-iwtLeiwt, E7)
где w есть оператор
Ii+ E8)
J
для деленной на h энергии световых квантов (ср. (II, 34)).
Из перестановочных соотношений для величин Ъ (к, у) и Ь+ (к, у)
следует
е~шЪеш = ешЬ,
-iwtb+ iw _ -lckt.+ E9)
После преобразования оператор Ъ (к, у) умножается, таким
образом, на множитель eickt. Но тот же множитель дает зави-
зависимость от времени величины О, определяемой формулой E3).
Мы имеем:
G (к, у) = eickt Go (к, у). F0)
Поэтому в произведениях Gb+ и G+b, входящих в волновое
уравнение, множители е±1сЫ сокращаются. Далее мы имеем
соотношение
e~mt\ — ih ~=.т elwt = — /Лзг + hw. F1)
В результате волновое уравнение для преобразованного функ-
функционала, который мы снова обозначим через Q (вместо Q°)9
принимает вид
#9 + he y,f kb+ b(dk)Q - ih^ -
00+& + G0&+} Q. F2)
¦ j
у
Эта форма волнового уравнения отличается от E5), во-первых,
тем, что энергия световых квантов входит в него явно, и, во-
См.: L. Rosen f eld. Zs. f. Phys., 76, 729 A932).
115

вторых, тем, что коэффициенты уравнения не зависят от вре-
времени.
В случае одного электрона с помощью аналогичного пре-
преобразования
L° = e'iwt+iqr Leiwt-iqr, F3)
в котором
q=SJ(tfk)k&+(k,y)&(k, A F4)
J
можно исключить также и координаты электрона.1 Для пре-
преобразованного волнового функционала 2 получается уравнение
{ са- (р — Aq) + тс\ + hw\&-ih<~ =
* ¦е(к> л !б(к'л+ь+(kj y)} п-(б5)
j
Из-за наличия члена с ft4" в этом уравнении, из него вытекает
парадоксальный результат, что стационарное состояние без
световых квантов невозможно, т. е. что излучать должен да-
даже свободный равномерно движущийся электрон. Учитывая
это, может быть было бы физически правильнее отбрасывать
всю правую часть F5). Тогда из получаемого таким путем
уравнения
{ са(р — Aq) + тс*а4 + hw}Q — ih^ = 0 F6)
следует закон сохранения количества движения в его обычной
форме (явление Комптона).
Представление уравнений в пространстве импульсов
световых квантов
Для большинства приложений достаточно рассматривать
конечное число световых квантов. В этом случае выгодно
перейти к волновым функциям в пространстве импульсов све-
световых квантов. Так как мы рассматриваем систему, состоя-
состоящую из световых квантов и из п частиц (электронов), то
упомянутые волновые функции
Фд = Фд(г1С...гяС; kju...kqjq) F7)
будут содержать наряду с переменными (ки/'и) световых кван-
квантов еще и переменные (rs?5) всех п электронов. При этом
волновые функции будут симметричны в переменных (kuju)
и антисимметричны в переменных (rsCs). В дальнейшем для
краткости мы будем опускать переменные электронов (rsCs)
и писать вместо F7) просто
% = % (KJu . • . kqjq). F7*)
1 См.: W. Heisenberg. Zs. f. Phys., 65, 4 A930).
116

Разложение волнового функционала & по собственным функ-
функционалам Qq оператора
$ F8)
j
для числа световых квантов имеет вид
о»
Ъй — ^j 3bqy \W/
где через
х
Л ... Jq __ __
xft(k1y1)...6(k^) G0)
обозначен названный собственный функционал. Если оборвать
ряд F9) на конечном числе членов, то это как раз и значит,
что мы ограничиваемся рассмотрением конечного числа свето-
световых квантов. Если подставить ряд F9) в волновое уравне-
уравнение F2), то для волновых функций F7) получатся уравнения:
Щд + кс(/гг + ...-гkg) <bq — ill -j*- =
= VTT\ 2 j (Л) Gt (k, j) ф,+1 (ky, kj/,,..., VV> +
j
/— |^0 VKi» 71/ t q-\ ЧК2У2» • • • ^qJq) "t~ • • • "t"
G1)
Эти же уравнения можно было бы, разумеется, получить
и более формальным путем, если произвести в F2) рассмо-
рассмотренный в первой части переход от операторов вторичного
квантования к конфигурационному пространству (в данном
случае к пространству импульсов).
Ту систему уравнений, которая вытекает из волнового
уравнения E5) или E6), мы здесь выписывать не будем, так
как она, очевидно, получается из G1) просто вычеркиванием
членов с энергией световых квантов и заменой Go на G.
Некоторые применения1
Если оборвать ряд F9) уже на первом члене, т. е. поло-
положить просто 2 = 20 + 2Ь то для % и фх получаются следую-
1 После того как установлен общий вид функционала в виде бесконеч-
бесконечного ряда F), применяемый ниже метод, основанный на рассмотрении ко-
конечного числа членов этого ряда, представляется совершенно естественным.
В работах И. Е. Тамма A945 г. и последующих) этот метод применялся
к теории мезонов и получил наименование .метода обрезания уравнений
по числу частиц". В литературе его называют также .методом Тамма—
Данкова" (В. Ф.).
117

щие уравнения:
Що -/А -it = 2 J(dk) Go+ (к' J) ^(k' j)i G2)
_ ih *h_ = Go (k, y) фо- G2*)
Формулы Брейта и Мёллера. Покажем, что в этой системе
уравнений содержатся как формула Брейта, так и формула
Мёллера.
Выведем сперва формулу Брейта. Для этого предположим,
что в уравнении G2*) можно пренебречь членами Щ1 — ^"^
по сравнению с hktyv Тогда мы будем иметь:
ЫК]) = ^Оо(КЛ%- G3)
Подставив это значение фх в уравнение G2) и вычислив ин-
интеграл
2 j (dk) ± G+(k, J)O(k, j) = Ео +
мы сразу приходим к известной формуле Брейта. (Бесконечно
большая собственная энергия EOt соответствующая членам,
пропорциональным квадратам зарядов, должна быть при этом
отброшена.)
Напомним здесь, что, как показал Брейт, выражение G4)
должно рассматриваться как возмущающай энергия, причем
ее следует учитывать только в первом приближении; переход
ко второму приближению приводит к неверным результатам.
Основанный на другом принципе метод приближения, в ко-
котором пренебрегают высшими степенями зарядов, приводит
к формуле Мёллера.1
Для вывода этой формулы нужно, как известно, взять
в качестве нулевого приближения для ф0 такое выражение,
которое соответствует свободному движению двух электронов
и вычислить затем матричный элемент энергии взаимодействия.
Мы будем пользоваться представлением волновых функций
в пространстве импульсов. Функцию ф0 полагаем равной
iWt __ iWt_
h
_
= ? h 8(р1-р1о)8(р1-р2о)ф(р1о, РД G5)
где ф(рь р2) есть общее решение уравнений
" 1^ф; Дф = Wjb. G6)
1 С. Мб Пег. Zs. f. Phys., 70, 786 A931).
118

При заданном импульсе каждое из этих уравнений имеет че-
четыре решения. Поэтому следовало бы, собственно говоря,
писать вместо <|>(Рь Рг) подробнее ф(р1? р2, su s2), где пере-
переменная s=l, 2, 3, 4 обозначает номер решения. Для крат-
краткости мы будем, однако, опускать переменную s. В формуле G5)
величина в показателе есть сумма кинетических энергий обеих
частиц
W=Wt+W2. G7)
Величины Wx, W2, Dv D2, W, соответствующие значениям
импульса р!° и р20, мы будем обозначать через Wi°, W2°
и т. д.
В формулу Мёллера входит только тот матричный элемент
энергии взаимодействия, который соответствует закону сохра-
сохранения W = W0. Поэтому мы можем положить в наших фор-
формулах
WWWW* W° W° G8)
Зависимость функции tyx (k, /) от времени, очевидно, будет
та же, как и для ф0. Мы имеем:
*ЛКЛ = е h Ф1°(к,у). 1G9)
Подставляем это выражение в уравнение G2*) и пренебрегаем
там кулоновскими членами. Получаем
(Д +А + hck - W) фхо (k, j) = Go (к, у) V =
+ е2 (а2е (к, у)) 8 (Pl - Plo) 8 (р2 + Ак - р20)} ф (Pl«, p20). (80)
Это уравнение мы решаем относительно фх0 (к, j). Решение
облегчается тем, что функция ф удовлетворяет уравнениям
G6). Мы получаем
X {(D. + hck- ТСУГЧ (a"i
Р20)- (81)
Искомый матричный элемент энергий взаимодействия есть
сумма матричного элемента
Pi P2 J |PlPl|
lit

для кулоновской энергии, которая в формуле G2*) уже вошла
в оператор Н и того члена в выражении
- Ф (Рь Р») S J (<&) Go+ (ky) -V (к, у), (83)
J
который пропорционален произведению егв2. Члены же, про-
пропорциональные е,2 и е22 бесконечны и должны быть отброше-
отброшены. После некоторых выкладок, в которых используются
соотношения G6) и G8), а также формула
2 ft'* (к, Л] fo • е(к, Л] =«1-Ъ--^(«1 • к) («а -к) (84)
У
для члена пропорционального е^ получается выражение
(Pi. Al^lPi0, Р2°) =
_ _ ?1?2 . * (Р! + Р2 — Pl° — Р2°) х
23 ^
X
В силу закона сохранения для импульса (функция о в ка-
качестве сомножителя) и для энергии (равенство G8)) в этой
формуле можно заменить pt — р20 на р20 — р2 и Wx — Wf на
1^2°—W2. Из соотношения G6) следует также
ф (pi, p8) R-(Pi - pi0)] R-(p2 - р2°I ф (Pi°p2°) =
(^ ^°)(^^)ф(Р p)HP°, Pi0)- (86)
Принимая во внимание G8) и G6), получаем для суммы
матричных элементов (82) и (85) выражение
(Pi,
X ИРь Рэ) A — «r«2)<KPi°» Р2°)
Это и есть предложенная Мёллером формула для матричного
элемента энергии взаимодействия двух электронов. Тем самым
мы показали, что эта формула, так же как и формула Брейта,
вытекает из нашей системы уравнений G2). При выводе той
и другой формулы приходилось, правда, вычеркивать некото-
некоторые бесконечные члены.
Естественная ширина спектральных линий. В качестве
последнего примера рассмотрим вывод известной формулы для
естественной ширины спектральных линий. И в этом случае
в основу наших рассуждений можно положить формулы G2).
120

В нашем случае оператор Н есть оператор энергии атома;,
поле ядра включено в Н- Обозначим собственные функции
через ип и собственные значения через Еп
(88)
Входящие в формулы G2) функции ф0 и фх (к, /) мы будем
разлагать по функциям ип
п
МЪ У) = 2'я(к,/)яя. <90)
В дальнейшем мы ограничимся тем, что будем рассматривать
в разложениях (89) и (90) только по одному члену; но сна-
сначала выпишем полные разложения. Нам нужно вычислить
матричный элемент от входящего в G2) оператора Go. При
этом будем считать, что длина волны рассматриваемого света
велика по сравнению с атомными размерами. Мы можем тогда
заменить в выражении для О0 все множители е~1кг* множите-
лем е , где г есть, скажем, радиус-вектор центра тяжести
атома. Мы будем тогда иметь:
(Л | О01 п') = е-** ^г У-±? Dnn> • е (к, у), (91)
где Dnn' означает матричный элемент для производной по вре-
времени от электрического момента атома. Если ввести разложе-
разложения (89) и (90), а также величины (91) в формулы G2), то
получится система уравнений
Епап- ihan =
fe (k> Л" D«i'] с»- (к, у), (92>
(Еп + ксЩсп(к, у) - йсп(к, у) =
Мы ограничимся теперь рассмотрением следующих двух
состояний:
1) возбужденного состояния атома (п = 2) без световых
квантов;
2) основного состояния атома (п=\) с одним световым
квантом.
Следовательно, мы полагаем равными нулю все величины
ап и сП9 за исключением а2 и с2(к, у). Так как диагональные

элементы матрицы Dnnr равны нулю, то уравнения (92) прини-
принимают в нашем случае вид
Е2а2 — iha2 =
УЪ
Ъ* е (^ Л ¦ baCl (k,y),
{Ег + hck) с, (к, у) - ihc\ (к, у) =
Se'*1"е(к,/) • Е>12а,.
В качестве начальных условий мы возьмем
я2 = 1; ?i(k,y) = O при ? = 0 (94)
и положим величину а2 равной
а2 = ^ Л , (95)
тде постоянная т подлежит определению из системы уравне-
уравнений (93). Если подставить выражение (95) в (93*), то для
х1 (к, у) получится дифференциальное уравнение, решение
которого, удовлетворяющее начальным условиям (94), имеет
(96)
- ~ (E0+hck) t ' №-") t-V -
X^ • -^—г , . .
Теперь мы должны подставить выражения (95) и (96) для а%
« для ct(k,j) в уравнение (93). Мы получим
\ ' /
Очевидно, что это равенство не может выполняться строго;
в самом деле, правая часть его зависит от t и при t = 0
обращается в нуль, тогда как левая часть постоянна. Кроме
того, интеграл по волновому вектору светового кванта нельзя
распространить на все пространство импульсов (потому что
он тогда расходится и тогда не выполняется предположение,
сделанное при выводе формулы (91)). Интеграл этот следует
распространить только на область резонанса k = —• Если при-
с
нять это во внимание, то можно показать, что для больших
значений «>t правая часть равенства (97) действительно почти
Й22

постоянна. Интегрирование (точнее, усреднение) по всем на-
направлениям волнового вектора дает
Средн. 3«.2(e(k,y)D21)(e(k,y)D12) =
j . (98)
Ч 1
2/
— /
Поэтому равенство (97) принимает вид
(99)
Если заменить здесь в подъинтегральной функции множитель k
на — и воспользоваться формулой
lira j^ (I - e~llx+w) = «i, A00)
—X
то для величины т получится выражение
Если перейти от используемых здесь хэвисайдовских единиц
для электрического момента к обычным электростатическим
единицам, то полученное для ^ выражение совпадет с обычным.
В только что разобранном простейшем случае вычисления
были произведены с большой подробностью. Мы это сделали
для того, чтобы показать на примере, как следует применять
математический аппарат, предложенный в этой работе. По-
Подобным же образом ведется расчет и в более сложных слу-
случаях, когда вводится в рассмотрение несколько световых
квантов. В этих случаях в разложении F9) волнового функ-
функционала следует удерживать несколько членов, а в уравне-
уравнениях G1) брать несколько волновых функций <]у С другой
стороны, если желательно принять в расчет неопределенное
число световых квантов с заданными частотами, можно ввести
по формулам A1,37) величины bj и заменить функциональные
производные обыкновенными.
Развитый здесь математический аппарат достаточно гибок
для того, чтобы охватить все те задачи, к которым вообще
применима квантовая электродинамика.

МЕТОД ФУНКЦИОНАЛОВ В КВАНТОВОЙ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ х
В. А. Фок
ВВЕДЕНИЕ
Уравнение Шредингера для материальной системы (атома
или молекулы) дает для энергии этой системы ряд уровней,
соответствующих стационарным состояниям. Однако строга
стационарным будет только основной уровень; если же система
находится в возбужденном состоянии, то появится вероятность
перехода в основное состояние — перехода, сопровождаемого
излучением. Таким образом, понятие о чисто механической
системе, независимой от излучения, есть понятие приближен-
приближенное. Мы получим лучшее приближение к действительности,
если будем рассматривать атом или молекулу совместно с из-
излучением, т. е. совместно со световыми квантами, из которых
оно составлено. В то время как энергия собственно механиче-
механической системы может тратиться на излучение или повышаться
вследствие поглощения световых квантов, энергия более
общей системы, состоящей из материи и света, уже будет
оставаться постоянной: эта система будет консервативной.
Таким образом, возникает необходимость в теории, кото-
которая рассматривала бы материю и излучение как одну консер-
консервативную систему. Теория эта — квантовая электродинамика —
создавалась, начиная с 1929 г., совместными усилиями многих
физиков, в первую очередь Гейзенберга, Паули и Дирака.
В разработке этой теории принимали участие и советские
физики, в частности автор этой статьи.
Основная трудность, которую приходится преодолеть при
построении этой теории, состоит в том, что число световых
квантов может меняться в ходе процесса: они могут погло-
поглощаться и испускаться. Следовательно, приходится рассматри-
рассматривать систему с неопределенным числом • частиц. Математиче-
Математическая теория, позволяющая рассматривать такого рода системы,
носит название теории вторичного квантования; основная идея
ее будет изложена ниже.
1 Впервые опубликовано в 1937 г. Уч. зап. ЛГУ, № 17.
124

Дальнейший этап в построении квантовой электродинамики
состоит в объяснении электростатических сил. В самом деле,
электромагнитное поле не сводится целиком к излучению
в собственном смысле; кроме излучения существуют еще и
электростатические силы. Правда, эти последние вводятся
в уравнение Шредингера явным образом, а значит уже учиты-
учитываются. Но, согласно теории относительности, электромагнит-
электромагнитное поле представляет собою нечто цельное, и разделение
его на электростатические силы и силы излучения не является
инвариантным. Поэтому возникает задача вывести и те и дру-
другие силы из одних и тех же квантовых представлений. Эта
задача также решена квантовой электродинамикой.
Квантовая электродинамика представляет собою закончен-
законченную физическую теорию, дающую правильный ответ на ряд
вопросов, относящихся к взаимодействию материи с излуче-
излучением. Теория эта может быть расширена на случай перемен-
переменного числа материальных частиц (рождение и уничтожение
пар электронов и позитронов). Однако современная квантовая
электродинамика имеет ряд существенных недостатков, кото-
которые формально проявляются в том, что строгое решение ее
уравнений оказывается в большинстве случаев невозможным
вследствие расходимости некоторых интегралов и других
затруднений математического характера [...].
!. ОПИСАНИЕ СИСТЕМЫ С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ЧИСЛОМ ЧАСТИЦ
ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИОНАЛОВ
а) Функционалы и квантованные операторы
Рассмотрим систему, состоящую из частиц, удовлетворяю-
удовлетворяющих так называемой статистике Бозе. Такими будут, вообще
говоря, частицы с целочисленным или нулевым спином, на-
например а-частицы и световые кванты.
Обозначим совокупность переменных, относящихся к сте-
степеням свободы одной частицы, буквой к. Для светового кванта
буква k будет, следовательно, означать три составляющие
волнового вектора кх% ky, kz и переменную у, характеризую-
характеризующую состояние поляризации. Как известно из квантовой меха-
механики, состояние системы с определенным числом п таких
частиц описывается волновой функцией
Упомянутое выше условие, что частицы подчиняются ста-
статистике Бозе, означает, что функция фа должна быть симмет-
симметричной относительно своих аргументов kv k^,... kn. Введем
вспомогательную произвольную функцию b (k) и составим
выражение
^ A.2)
125

где сп есть некоторый численный коэффициент, зависящий
только от п. Очевидно, что коль скоро задана волновая функ-
функция фЛ, будет известно и значение выражения Qn для всякого
вида вспомогательной функции b (k). Но и обратно, в силу
симметрии функции tyn эта функция будет определена, если
для всякого b(k) будет известно значение &п.
Выражение Яп мы будем называть функционалом от функ-
функции b(k). Таким образом, для описания состояния системы
из п частиц можно вводить вместо волновой функции фЛ
соответствующий функционал Qn. Этот математический прием
представляет аналогию с рассмотрением квадратичной формы
вместо таблицы ее коэффициентов или с часто применяемым
в анализе рассмотрением «производящих функций». В кван-
квантовой механике этот прием был впервые применен автором
этой статьи (этот сб., стр. 9—24).
Для нашей задачи введение функционалов вида Qn пред-
представляет то преимущество, что их легко обобщить на случай
неопределенного числа частиц. Для этого достаточно рас-
рассмотреть сумму
a = j^/,, A.3)
где Qn имеет вид A.2).
Пусть кроме функционала &п, составленного при помощи
функции фл, дан другой функционал Qn'9 составленный при
помощи функции фл'. Скалярным произведением двух функ-
функционалов мы назовем выражение
Ри, ®п) = fin iku... kn) <|>я' (*i, ...kn)dkx... dkn. A.4)
Физический смысл этого выражения известен из квантовой
механики. Так, например, если ф/ есть результат применения
к фл некоторого оператора L{n\ имеющего смысл для системы
из п частиц
-b' = ^(/4, A.5)
то выражение A.4) дает математическое ожидание величины
с оператором L{n\ При этом предполагается, что волновая
функция фл нормирована на единицу, так что
...dkn=\. A.6)
Если рассматриваются функционалы более общего вида A.3),
то их скалярное произведение определяется, как сумма ска-
скалярных произведений соответствующих членов
±^п'). A.7)

В частном случае, когда Q' — Й и, следовательно, все Yrr
равны соответствующим фЛ, мы получим условие нормировки,,
приравняв единице выражение
5S«) = l. A.8)
5
/1=0
Отдельный член BЛ, &п) этого выражения даст вероятность-
того, что имеется ровно п частиц. Условие нормировки A.8)»
выражает требование, чтобы сумма этих вероятностей равня-
равнялась единице.
Рассмотрим оператор L для некоторой величины, обладаю-
обладающей свойством аддитивности, например для кинетической
энергии, количества движения или электрического момента.-
Мы будем тогда иметь:
№ = L (кг) + L (k2) + ... + L (кп). A.9>
Пусть в функционале 2' функции tyn' равны A,5), где опера-
оператор ?(л) имеет значение A,9). Поставим себе вопрос: путем,
каких операций функционал 2' может быть получен из 2?
Для отдельного члена &п' мы имеем:
Это выражение распадается на сумму п интегралов, которые,
однако, все между собой одинаковы, так как функция
tyn(ki,--'kn) симметрична. Поэтому мы имеем:
^). • .b{kn)dkv ...dkn A.11>
или короче
Qn' = fi{k)L{k)fn{k)dk, A.12)
где функция
fn(k) = ncn J фя(Л, Ла,.. .kjb(kj ... Ъ{кп) dk2... dkn A.13)
не зависит от вида оператора L. Чтобы выразить Qnf через Qnr,
достаточно выразить fn{k) через Qn. Для этого будем варьи-
варьировать в &л вспомогательную функцию b (k). Составляя
вариацию, легко убедимся, что
Таким образом, fn(k) есть не что иное, как коэффициент при
вариации bb(k) под интегралом в выражении для §Qn. Этот
коэффициент мы назовем функциональной производной от Qn
по b(k) и будем обозначать через - п . Для функционала Q
ЬЬ (k)
12Г

общего вида A.3) функциональная производная определится
равенством
82/= Г4^=- • hb(k)dk. A.15)
J bb(k) V J
Таким образом, формула A.12) напишется
k. A.16)
Составляя сумму выражений A.16) по я, получим искомое
выражение для всего функционала 2 в виде
2' = ^b(k)L{k)^2-dk. A.17)
Если мы обозначим операцию составления функциональной
производной символом b (k)
b(k)Q = -?^-, A.18)
а операцию умножения на вспомогательную функцию b(k) —
символом b+ (k) __
b+(k)Q = b(k)Q, A.19)
то согласно A.17) функционал 2" может быть получен из 2
путем применения оператора
L = j b+ (k) L (k) b (k) dk, A.20)
который называется „квантованным" оператором, соответствую-
соответствующим неквантованному оператору L(k). При помощи квантован-
квантованного оператора L формула A.17) может быть написана в виде
2' = L2. A.21)
Математическое ожидание величины, обладающей свойством
аддитивности и соответствующей оператору L, будет равно
скалярному произведению B, 2'), так что
jk.o.L = (Q, L2). A.22)
Зта формула применима независимо от того, будет ли число
частиц определенным или нет. Например, она позволяет вычи-
вычислять энергию светового поля, состоящего из неопределенного
числа световых квантов.
Для величин, не обладающих свойством аддитивности,
можно вывести аналогичные соотношения. Обозначим, напри-
например, через U{n) энергию взаимодействия системы п частиц
ks). A.23)
128

Подобно тому, как оператору L{n) вида A.9) мы привели
в соответствие квантованный оператор L вида A.20), мы можем
оператору С/п) сопоставить квантованный оператор
U = l [b+(k)b+(k')U{k, k')b(k')b(k)dkdk'. A.24)
Математическое ожидание энергии взаимодействия может быть
написано в виде
м. о. U = (Q, UQ), A.25)
причем эта формула также применима и к неопределенному
числу частиц.
б) Сопряженность операторов b{k) и b+ {к) и их свойства
Операторы составления функциональной производной по b
и умножения на b обозначены нами символами b и Ь+. Такое
обозначение предполагает, что эти операторы являются сопря-
сопряженными друг к другу. Покажем, что остававшиеся до сих пор
неопределенными коэффициенты сп в формуле A.2) могут быть
выбраны так, чтобы это условие действительно было выполне-
выполнено. Связанные с этим доказательством вычисления будут при-
приведены довольно подробно, так как они могут служить иллю-
иллюстрацией действий над функционалами.
Условие сопряженности двух операторов b и Ь+ состоит,
как известно, в требовании, чтобы для всяких двух функцио-
функционалов 2и 2' имело место равенство
(Q, b (к) Q') = (Q'f6+(A)Q). A.26)
Пусть функционал 2 составлен по формулам A.2) и A.3) при
помощи функций <]>л, а функционал 2' при помощи tyn'. Найдем
те функции ф* и <|?, при помощи которых составлены функцио-
функционалы 2* = b(k)Q' и 2** = b+ (k)Q. Применяя к нашему случаю
формулы A.13) и A.14), будем иметь:
.27)
0-28)
Здесь 8 (А — k^) обозначает дираковскую функцию дельта, опре-
определяемую условием, чтобы равенство
*! A.29)
было справедливо для всякой функции f(k). Знак sym при
фигурной скобке обозначает, что выражение в этих скобках
нужно симметризировать относительно klt...kn (всякая функ-
9 За* 162 ГП

ция типа фл по условию предполагается у нас симметричной).
Левая часть равенства A.26) равна, следовательно,
B.
00
^ п~)~* 1 .г (U U U \ w
— jjj сп )Чп(*и **,-.-*п)Х
Х^+1 (?, ^i,... kn) dkx - • • ^Ал.
С другой стороны, величина, сопряженная с правой частью
равенства A.26), равна
02', Ь+ {Щ Q) = 2 J фп+1фл+1 ^i... <«Wi =
^-. с С —'
== ^ j Z 1 ТЯ + 1 \Кп+\9 ™i • • • ^AZ/ \^ Rn-hl) X
X <bz(^i • "kn)dkx . ..dkn+\. A-31)
Выполняя интегрирование по Ал+ь получаем
ОО
^ОГ А"*" ^?>^ СЛ ^Чк^ с^ I л,' л (Ь Ъ b \ V
<^™" Л + 1 J
^ Ф (k k \ ctk d k (\ *^21b
Интегралы в формулах A.30) и A.32) — комплексные сопряжен-
сопряженные друг к другу. Все выражение A.30) должно быть сопряжен-
сопряженным с A.32); для этого нужно, чтобы множители перед инте-
интегралами были комплексными сопряженными, что приводит к
равенству
(/г+1)|?л+1|2 = |С/г|2. A.33)
Величины сп можно считать вещественными и положительными,,
так как постоянный фазовый множитель можно отнести к вол-
волновой функции фл. Если, кроме того, положить со=\, то ра-
равенство A.33) дает
Таким образом, общий вид функционала 2 будет
2= IX, A.35)
где
Jкх)... b{kn)dkx... dkv A.36)
2л= —=- J^(Alf... кп)
130

Применение оператора b(k) к функционалу 2, т. е. составле-
составление функциональной производной по b (ft), будет равносиль-
равносильно замене tyn на
V (*ь .¦¦**) = V^HM 4>,+i (Л, кх... ft,,), A.37)
а применение сопряженного оператора b+ (ft), т. е. умножение
8 на 6 (ft), будет означать замену $п на
C(* *) / A.38)
иричем % =0.
Формулы A.37) и A.38) дают представление операторов b (ft)
и b^{k) при помощи волновых функций.
Исследуем свойства этих операторов несколько подробнее.
Пользуясь представлением A.18) и A.19) операторов b (ft)
и b+ (ft), составим выражение
A.39)
Но правило составления функциональных производных от про-
произведения то же, как и для обыкновенных производных. По-
Поэтому _
S b^^ 3 A.40)
S (b(k)) ^Q + b(kK
U{k) V V } } ЪЬ(к) ^ У ' bb{k)
Но мы имеем:
откуда __ _
bb{kf) = j bb{k)b{k - kr) dk. A.42)
Коэффициент при вариации bb(k) под интегралом равен
дираковской функции 8 (ft — ft'), следовательно,
Щ-Щ-V) (,.43)
и правая часть выражения A.40) равна
b (ft) b+ (ft') 2 - S (ft — ft') 2 + 6+ (*')*(*)Q. A-44)
Отсюда следует, что операторы Ь и й+ удовлетворяют соот-
соотношениям
b(k)b+(k') — bJr{kr)b{k) = b{k-kf). A.45)
Кроме того, очевидно, будет
й (ft) b (ft') — ft (ft') b (ft) = 0, A.46)
b+ (ft) &+ (ft') - й+ (ft') 6+ (ft) = 0. A.47)
131

равенство A.47) имеет место потому, что операторы b+ (k)
сводятся выданном представлении к простому умножению на
функцию &(&), а равенство A.48) получается из него путем
перехода к сопряженным операторам.
Операторы b(k) принято называть квантованными волно-
волновыми функциями или квантованными амплитудами, а соотно-
соотношения A.45), A.46) и AЛ7) — перестановочными соотноше-
соотношениями.
2. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
а) Основные идеи
В предыдущем параграфе рассматривался вопрос об описа-
описании системы с неопределенным числом частиц, удовлетворяю-
удовлетворяющих статистике Бозе, но не делалось никаких предположений
о том, какова эта система и по какому закону ее состояние
меняется во времени. Мы занимались как бы кинематикой
такого рода систем. Теперь следует перейти к динамике. Для
этого нам нужно взять определенную физическую систему и
рассмотреть закон изменения ее состояния во времени.
Мы будем рассматривать систему, состоящую из света и
материи. Сделаем предположение о том, что число материаль-
материальных частиц остается постоянным. Как известно, это предполо-
предположение лишь приближенное: на опыте наблюдается появление
и исчезновение пар электронов и позитронов. Но во многих
явлениях эти эффекты несущественны, и там наше предполо-
предположение о постоянстве числа частиц будет хорошим приближе-
приближением к действительности.
Что касается света, то мы будем рассматривать его, как
собрание световых квантов, число которых может меняться.
Но световое поле есть только частный случай электромагнит-
электромагнитного поля: кроме светового поля существуют еще и электро-
электростатические силы. В связи с этим основным уравнением кван-
квантовой электродинамики можно дать две разные формулировки.
В первой формулировке рассматриваются операторы, соот-
соответствующие электромагнитному полю общего вида, а именно
операторы для векторного и скалярного потенциалов
Л*(г, *), Ау(т, t), Az(r, t), Ф(Г| t). B.1)
Электростатические силы между заряженными частицами не
вводятся. Каждая частица предполагается взаимодействую-
взаимодействующей лишь с окружающим ее полем, а уж это поле передает
взаимодействие другим частицам. Эта формулировка представ-
представляет принципиальный интерес в том отношении, что ее можно
рассматривать как последовательное проведение идеи близко-
действия.
Из этой формулировки уже чисто математическим путем
можно получить вторую формулировку, в которой рассматри-
132

ваются вместо четырех операторов B.1) три оператора (состав-
(составляющие векторного потенциала)
Bx(r1 t), By (r, t), Bz{r, t\ B.2)
связанные соотношением
divB = 0, B.3)
т. е. фактически два независимые оператора поля, но зато
электростатические силы входят явно.
Самая эквивалентность обеих формулировок представляет
чрезвычайно интересный факт. В самом деле, здесь впервые
электростатические силы выводятся из представления о кван-
квантовом характере электромагнитного поля. Мы не будем, однако,
приводить здесь доказательства эквивалентности, а будем
исходить с самого начала из второй формулировки.
б) Энергия светового поля
Как известно, все составляющие электромагнитного поля
световых волн удовлетворяют уравнению Даладабера
Такому уравнению будут удовлетворять и составляющие век-
векторного потенциала В (г, t). Поэтому мы можем писать их
в виде интегралов Фурье
B(r, O = -^7J
J+*l*l™ B.5)
В этой формуле к есть волновой вектор с составляющими
kxy ky, kz\ (dk) написано вместо dkxdkydkz. Абсолютная величина
вектора обозначена через |ftl. В силу условия divB = 0 ампли-
амплитуды В (к) связаны соотношением
к-В(к) = 0. B.6)
По известным формулам
Е = -~; H = curlB B.7)
можно выразить через В все составляющие электрического и
магнитного поля. Обозначим через Н энергию поля. В едини-
единицах Хевисайда мы будем иметь:
B.8)
Здесь энергия поля выражена в виде интеграла по объему.
Но мы можем выразить ее также в виде интеграла по волно-
волновому вектору. Составляющие электрического и магнитного
133

поля могут быть написаны в виде интегралов Фурье виде B.5)
с амплитудами Е(к), Н(к), причем
= *[кХВ(к)]. B.9)
Подставляя в B.8) вместо Е и Н их выражения в виде интег-
интегралов Фурье с амплитудами B.9), применяя теорему замкну-
замкнутости и пользуясь соотношением B.6), для энергии поля мы
получим выражение
j+ B.10)
В силу соотношения B.6) три составляющие вектора В (к)
могут быть выражены через две независимые величины. Обо-
Обозначим через е(к, 1) и е(к,2) два единичных вектора, перпен-
перпендикулярных между собою и к волновому вектору к. Мы можем
тогда написать
В (к)-Я (к, 1)е(к, 1)+Я(к, 2)е(к, 2), B.11)
где В (к, 1) и В (к, 2)—две скалярные величины. Выраженная
через эти величины энергия поля примет вид
+(k, l)JB(k, l) + B+(k, 2)fi(k, 2)}#(?*k), B.12)
или короче
H = 2? jV(k, Л В (к, J)k*(dk), B.13)
где значок j принимает значения 1 и 2. Значок этот можно
толковать, как номер состояния поляризации.
в) Квантование поля
В предыдущем параграфе рассматривались уравнения элект-
электромагнитного поля с точки зрения классической теории. Перей-
Перейдем теперь к квантовой механике.
В квантовой электродинамике составляющим поля сопо-
сопоставляются некоторые операторы, собственные значения кото-
которых дают наблюдаемые значения поля. Операторы эти дейст-
действуют на функционал, подобный рассмотренному в I разделе
этой статьи и описывающий собрание неопределенного числа
световых квантов. Нам надлежит вывести основные свойства
этих операторов и найти для них математическое представление.
Поле выражается через амплитуды Фурье, поэтому и опе-
операторы для поля выражаются через операторы для амплитуд.
Мы будем изучать эти последние, так как они обладают более
простыми свойствами.
Мы будем рассматривать поле, как собрание световых кван-
квантов или, иначе говоря, как набор вибраторов. К этим вибра-
вибраторам мы применим обычные правила квантовой механики и
получим, таким образом, квантовые свойства поля.
134

Световой квант характеризуется волновым вектором и со-
состоянием поляризации. Поэтому каждому значению (или каж-
каждому бесконечно малому интервалу значений) волнового век-
вектора к и каждому состоянию поляризации j сопоставим отдель-
отдельный вибратор. В качестве комплексной амплитуды вибратора
возьмем величину, пропорциональную В (k, у).
Если включить в амплитуду зависимость от времени, т. е,
множитель e~ic^k{t9 то вместо В (к, J) необходимо взять произ-
произведение В (к, j)e~w]kU, так как именно это произведение вхо-
входит в интегралы Фурье вида B.5). Эта величина соответствует
той комплексной комбинации 5 = q +-^-q = ае~ш координаты
# = #cosa>? и скорости q = — aa> sin tot вибратора, которая за-
зависит от времени по закону e~mt. Согласно квантовой меха-
механике, координата q и скорость q (или „момент" р = mq) одного
и того же вибратора не коммутируют друг с другом, а удов-
удовлетворяют соотношению
qp-pq = ih, B.14)
где h есть деленная на 2тс постоянная Планка. Для разных же
вибраторов q и р коммутируют. Отсюда для комплексных ве-
величин € = q +^P и ?+ = #— ^Z7» принадлежащих одному
я тому же вибратору, вытекают соотношения
тогда как для разных вибраторов ? и ?+ коммутируют. Так как
у нас роль 5 играют величины В (k, у, t) = В (к, J) e~lcW, то они
должны удовлетворять соотношениям вида
В (к, у, t) В+ (к', у, t) - В+ (к', /, О В (к, у, 0 =
B.16)
где /(к, у) — неизвестная пока функция, 8 (к — к') — определен-
определенная в конце § 1 дираковская 5-функция, а 8уу = 1, приу =
=yv и Вуу = 0 при j Ф]'. В самом деле, если кфк' или у =?/*',
то правая часть соотношений B.16) обращается в нуль, как и
должно быть для разных вибраторов. Если же У==У и & = &',
то правая часть обращается в бесконечность так, что интеграл
от нее по к" будет величиной конечной (более строго можно
вывести соотношения B.16) из соотношений B.15) путем рас-
рассмотрения бесконечно малых интервалов для к). Если в соот-
соотношения B.16) вместо В (к, у, f) подставить выражение
В (к, j)e~lc]k^y то показательный множитель сокращается, так
что и для В (к, у) мы будем иметь соотношения
135

Кроме того,
В (k, j)B{k\ J')-B(k't f) В (ку у) = 0, B.18)
так как при к ф к' или ] Ф f величины В (к, у) и В(к\/)
относятся к разным вибраторам, а при к = к', /=/ равенство
B.18) обращается в тождество.
Чтобы определить вид функции /(k, у) в правых частях
уравнений B.16) и B.17), мы должны обратиться к квантовым
уравнениям движения. Оператор энергии для нашего собрания
вибраторов есть не что иное, как выражение B.13) для энер-
энергии поля через амплитуды
J B.19)
j
Очевидно, можно также написать
> t)B(k, у, t)k*(dk). |2.20)
Но мы знаем заранее, что В (к, у, t) зависит от времени
через посредство множителя e~tcXk^\ так что
дВ(к,/, t) = -ic\k\B(k,J, t). B.21)
С другой стороны, в силу квантовых уравнений движения мы
должны иметь
^ В (к, у, t) = 1Т \НВ (к, у, 0-5 (к, Л t) Н) • B.22)
Приравнивая правые части уравнений B.21) и B.22), полу-
получаем
НВ (к, у, t) - В (к, у, 0 Я = - he | Л | S (к, у, 0. B.23)
Здесь можно заменить 5 (к, у, ^) на В (к, у), так что мы будем
иметь:
НВ (к, у) - Б (к, у) Н = - he | к | S (к, у). B.24)
Вычисляя левую часть на основании определения Н и пере-
перестановочных соотношений B.17) и B.18) для В (к, у), мы по-
получим
НВ (к, у) - В {К у) Я = - 2 ?2/(к, у) В (к, у). B.25)
Сравнивая правые части уравнений B.24) и B.25), мы полу-
получаем для /(к, у) выражение
Следовательно, если мы положим
Ъ (к, у) = ]/ШЖ В (к, у), B.27)
136

то новые амплитуды b (к, j) будут удовлетворять соотноше-
соотношениям:
Ь (к, j) Ъ+ (к', /) - Ь+ (к', /) b (к, j) = 8 (к - к') 4-; B.28>
b (к, J) b (к', /) - b (к', /) 6 (к, j) = 0; B.29)
й+ (к, j) b+ (к', /) - b+ (к', /) 6+ (к, J) = 0. B.30>
Эти соотношения совпадают с формулами A.45), A.46),
A.47) с той лишь разницей, что в прежних формулах буква
k обозначала совокупность всех переменных, а теперь кроме
волнового вектора к у нас явно выписана переменная у. Так
как все операторы поля выражаются через b (k, у), то мате-
матическое представление этих операторов и общий вид функ-
функционалов, на которые они действуют, можно считать изве-
известными на основании результатов раздела I.
Выпишем выражения наших операторов через b (k, у).
Амплитуда векторного потенциала имеет вид:
j
Подставив это выражение в интеграл Фурье B.5), получим
векторный потенциал в функции координат и времени. Энер-
Энергия поля напишется теперь
Я = И [he \k | b+ (k, у) b (k, y) (rfk). B.32>
j
Наконец, мы можем ввести оператор jV для полного числа
световых квантов]
N= S J&+ (k, у) & (к, У) (dk). B.33>
Этот оператор будет иметь собственные значения, равные
целому числу ЛГ = 0, 1, 2... Из формул B.28), B.29), B.30)
для операторов b (k, у) вытекают перестановочные соотноше-
соотношения для составляющих электромагнитного поля, полученные
впервые Гейзенбергом и Паули ([4], стр. 88). Вытекающие из-
них соотношения неопределенности для поля подробно разо-
разобраны в работе Бора и Розенфельда ([2], стр. 89).
г) Основное уравнение квантовой электродинамики
Если пренебрегать излучением и рассматривать систему и&
заряженных материальных частиц во внешнем поле, то опе-
оператор энергии такой системы будет иметь вид
i(q + Uq)+ t Upq. B.34>
137

Здесь Tq — оператор для кинетической энергии частицы номер
д; Uq — оператор потенциальной энергии той же частицы во
внешнем поле; Upq — оператор энергии взаимодействия частиц
р и q. Если для частиц принять уравнение Дирака, то опера-
оператор кинетической энергии частицы будет иметь вид
Tq = mqc^ + Ыя) [ft) _ i? до (l> t) J +
. B.35)
Здесь В°х, В°у, В°2 — составляющие векторного потенциала внеш-
внешнего поля; ед и niq — заряд и масса частицы номер q;
Р{у\ Р{Р "" операторы
д д д
а^}» а(/}> а^} "" дираковские матрицы.
Оператор Ua равен
* (jqS=aqW(rq, t), B.37)
где Ф° — скалярный потенциал внешнего поля. Энергия взаимо*
действия Upq имеет вид
U _ SpBq B.38)
Волновое уравнение для функции ф, описывающей систему из
s частиц, будет иметь вид
H^ = ih-^. B.39)
Примем теперь во внимание излучение самой системы. Для
этого нам нужно расширить нашу систему, включив в нее
световые кванты. Тогда состояние ее будет описываться уже
яе одной волновой функцией
Ф = 1Кги Ср г2, С2, ... rs, C5), B.40)
я последовательностью волновых функций:
Фо = Фо(Гь ^ь ... Г5С5)
Ф1 = ^i (гь ^ь •. • rslCs; kb yx)
12 === Т2 C"l> ^1> ••• ^S^Sf ™^Ь ]\ч К2, /2)
ь ... rsCs; ki, yx... kn, Jn)
B.41)
Функции эти должны быть симметричны относительно пере-
переменных klf j19 ... кп, jn. Если материальные частицы подчи-
подчиняются принципу Паули, то функции должны быть, кроме
того, антисимметричны относительно rlf Сь ... г51 С5. Если
138

функция <J> отлична от нуля, то имеется вероятность того, что,
кроме s материальных частиц, есть п световых квантов.
Вместо последовательности функций B.41) можно ввести
одну величину, а именно функционал Q того типа, какой был
рассмотрен в I разделе этой статьи.
Чтобы получить для этого функционала волновое уравне-
уравнение, достаточно прибавить в операторе Н° к векторному по-
потенциалу В0 внешнего поля векторный потенциал В излучения,
т. е. тот оператор, который был изучен в предыдущем па-
параграфе. От этого оператор #° заменится на
Я = Я°-1, B.42)
где L есть оператор
*> *)). B.43)
Волновое уравнение для функционала 2 будет иметь вид
^ B.44)
Взятый со знаком минус оператор L можно толковать как
энергию взаимодействия материальной системы с излучением.
Рассмотрим оператор L несколько подробнее.
Подставляя в B.43) выражение для В (г, t) в виде интег-
интеграла Фурье и обозначая для краткости буквой Qx сумму (со-
(составляющую вектора Q)
qx B.45)
мы можем написать:
^j (<* к) +
V B.46)
Скалярное произведение векторов Q+ и В (к) можем преоб-
преобразовать, выразив вектор В (к) через величины b (к, у) по
формуле B.31). Тогда мы получим
s
.в (к)=
2ь <к> /J н** (к> л elkTq> <2-47)
где через ч{д)(к, j) обозначена матрица
Т(*> (к, j) = ajf) ех (к, у) + а%)еу (к, j) + *фег (к, у) B.48)
Эта матрица представляет проекцию матричного вектора <хМ
на направление у, перпендикулярное к волновому вектору.
Матрицы ^ обладают свойствами, аналогичными свойствам
дираковских матриц а^);в частности, их квадраты равны единице.
139

Подставляя выражение B.47) в уравнение B.46), получим
окончательное выражение для оператора L в виде
I = S \ \ G+ (К J) Ь (к, у) + G (к, у) b+ (к, у)} (<* к), B.49)
где через G(k, у) обозначен оператор
G(k' Л--
пропорциональный проекции вектора Q на направление у.
Таким образом, волновое уравнение может быть написано
в виде
+ G(k, j)b+(kyj))(dkJ B.51)
или, если мы воспользуемся выражением для операторов b и
6+, выведенным в первой части,
G+(k, у*5
7
+ О (к, у) 6 (к, У)^}(Л). B.52)
Это уравнение представляет собой основное уравнение
квантовой электродинамики» Оно резюмирует все, что нам из-
известно о взаимодействии света с атомными и молекулярными
системами. В частности, оно дает обоснование основанной на
принципе соответствия Шредингеровской теории излучения.
Но кроме результатов, получаемых из Шредингеровской тео-
теории, оно дает ряд новых результатов, например: естественную
ширину спектральных линий, связанную с неполной устойчи-
устойчивостью так называемых стационарных состояний. Оно может
быть также применено к задаче рассеяния света свободными
электронами (формула Клейна—Нишины), к вычислению по-
поправок к закону Кулона взаимодействия между заряженными
частицами и к ряду других вопросов.
Как было упомянуто во введении, решение основного урав-
уравнения квантовой электродинамики может быть только прибли-
приближенным. В нем не учитывается структура материальных частиц
и свойства их при весьма больших энергиях, вследствие чего
точные его решения едва ли имеют физический смысл. Более
точная формулировка свойств материи и излучения должна
быть основана на существенно новых идеях и составляет одну
из основных задач дальнейшего развития теоретической физики.

СОБСТВЕННОЕ ВРЕМЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ И КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКЕ1
В. А. Фок
В I разделе показано, что в гамильтоновом интеграле действия класси-
классической механики теории относительности собственное время т можно рас-
рассматривать как независимую переменную, если в качестве лагранжевой
функции пользоваться выражением A.6).
Во II разделе собственное время введено в уравнение Дирака и развит
основанный на этом метод интеграции уравнения A.6). С помощью этого
метода рассмотрена проблема Коши. II раздел содержит далее обобщение
(и упрощение) данного Паули применения метода Вентцеля — Бриллуэна к
уравнению Дирака.
В III разделе рассматриваемые в теории позитронов смешанные плотно-
плотности выражены через фундаментальное решение (solution elementaire) и рима-
нову функцию уравнения Дирака.
I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
1. Пусть Z,0 есть обыкновенная лагранжева функция, из
которой выводятся в теории относительности уравнения дви-
движения заряженной материальной точки во внешнем поле. Как
известно,
Z.o = _ тс2 yjZTp- ± (х'Ах + у'Ау + г'Аг) + еФ, A)
где
Р2=4(*'2+У'2 + *'2), B)
причем штрихами обозначены производные по времени. Вводя
собственное время
=F^ C)
можно написать интеграл действия
S=[L4t9 D)
1 Доклад, сделанный 14 марта 1937 г. на сессии группы физики АН СССР.
Впервые опубликовано в 1937 г. Изв. АН СССР, ОМЕН, стр. 551 A937).
141

вариация которого дает уравнения движения в виде
О
Но так как значение верхнего предела т зависит от вида траек-
траектории, то верхний предел также должен варьироваться, и соб-
собственное время т нельзя брать в качестве независимой (не под-
подлежащей вариации) переменной в вариационном начале с ла-
гранжевой функцией Z,0 ^.
2. Можно, однако, ввести другую лагранжеву функцию,
а именно положить
d
dz
[dxj
(dL\
[dt
dx
dt
= 0
= 0
где точками обозначены дифференцирования по независимой
переменной т (которая впоследствии окажется совпадающей
с собственным временем).
В самом деле, составляя условия экстремума интеграла
G)
в котором верхний предел уже не варьируется, мы получим
обычные уравнения Лагранжа вида
(8)
Так как L не зависит явно от х, то эти уравнения допускают
интеграл
х2 + f + z2 — c2i2 = const. (9)
Если мы потребуем, чтобы значение постоянной равнялось
х* + у2 + z* ~ c2i2=- с2, A0)
то получим условие, в силу которого независимая переменная х
будет собственным временем. Самые же уравнения Лагранжа
совпадут тогда с уравнениями движения материальной точки
в теории относительности.
Заметим, что если воспользоваться соотношением A0), то
где L0 имеет значение A).
Г42

3. Легко составить для лагранжевой функции F) уравнения
движения Гамильтона, а также уравнение Гамилы она — Якоби.
Это последнее будет иметь вид
В рассматриваемой теории величины х, у, z, t играют роль
координат, а величина х -— роль времени классической нере-
нерелятивистской механики. Поэтому мы можем непосредственно
воспользоваться известными из механики формулами.
Пусть интеграл действия G), выраженный через переменные
х, у, zt t\ х°, у0, z°, t°\ т, имеет вид
S = S(x, y?z, t; х\ у\ z\ t»; x), A3)
причем х рассматривается здесь как одна из независимых пе-
переменных. Тогда производная— в силу уравнений движения
будет постоянной. Полагая
мы получим условие, в силу которого х будет собственным,
временем.
Обобщенные моменты, канонически сопряженные с коорди-
координатами и с временем, а также их начальные значения выразятся,
через частные производные от функции S
dS OS я dS г, dS
Заметим, что, если мы решим уравнение A4) относительное
и подставим найденное значение х в выражение A3) для S,
мы получим обычную функцию действия
S = S*(x, у, г, t\ x\ yo, z9, P), A7)
причем будет очевидно
as* __ds as dz as
в силу условия A4).
Однако такое исключение х практически неудобно^ и в ряде
задач, например в задаче о движении электрона в постоянном
электрическом и магнитном поле, функция A3), содержащая т,
выражается весьма просто, тогда как функция S* в конечном
виде выражена быть не может.
на

II. СОБСТВЕННОЕ ВРЕМЯ В УРАВНЕНИИ ДИРАКА
4. Уравнение Дирака для электрона в электромагнитном
ж>ле имеет вид
|(а.р) + ш:а4 —^}ф = 0, A)
где а —вектор, составленный из матриц аь а2, а3, Р — вектор
количества движения, т. е. оператор
Р==—/Agrad+yA, B)
а Г—оператор для кинетической энергии
Т = 1к^ + еФ. C)
Решение уравнения Дирака можно представить в виде
+ -^Г, . D)
где W удовлетворяет уравнению второго порядка
^(S.E)}.4r = O. E)
Это уравнение можно написать в виде
0, F)
где Л|—|оператор, определяемый равенством
+ i((«.H)-i(a-E)}V. G)
Решение уравнения E) можно искать в виде определен-
определенного интеграла
J*c,; (8)
с
взятого по вспомогательной переменной х в некоторых постоян-
постоянных пределах (или по некоторому контуру в комплексной пло-
плоскости т).
Очевидно, что уравнение E) будет удовлетворено, если мы
подчиним F уравнению
ihd-f (9)
2m eft ^ '
144

и выберем контур т? , чтобы было
-dz = F\ = О НГИ
Как выяснится в дальнейшем, переменная т играет роль
собственного времени. Поэтому уравнение (9) можно называть
уравнением Дирака с собственным временем.
Положим
h
A1)
где S—-классическая функция действия, удовлетворяющая ура-
уравнению A.12). Чтобы получить уравнение для /, заметим, что
где Л' получается из А заменой А на А + - grad S и Ф на
1 /1С*
Ф • jT-. В силу уравнения для S в выражении (9) члены,
не содержащие А, сократятся, и мы получим уравнение, кото-
которое можно написать в виде
A3)
Здесь •— есть знак „полной производной".
причем под х, у, z, t подразумеваются их классические вы-
выражения
/dS ' e лх}
A5)
5- Уравнение A3) весьма удобно для приближенного реше-
решения по способу Бриллуэна-Вентцеля. В некоторых случаях,
например для постоянного электрического и магнитного поля,
таким путем можно получить и точное решение. Постоянная к
входит только в правую часть уравнения. Если мы отбросим
10 Зак. 152 145

правую часть, то получим уравнение
решение которого сводится к решению системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (а не уравнений в частных про-
производных).
В уравнении A6) можно освободиться от члена, содержа-
содержащего П5. В самом деле, обозначим через р абсолютную вели-
величину определителя четвертого порядка, составленного из вто-
вторых производных от 5, взятых один раз по х, у, z, t и второй -
раз по х°, j/°, z°, t° (или по соответствующим постоянным
интегрирования)
Р = Del
A7)
Величина р удовлетворяет „уравнению неразрывности"
% + к <««> + h (р-у) + a {f'z) + ж
где х, у, z, i имеют значения A5). Отсюда следует, что ве-
величина Y? удовлетворяет уравнению
i^)}0. A9)
Поэтому если мы полол^им
f=Vpf°, B0)
то /° будет (в данном приближении) удовлетворять уравнению
В случае постоянного поля можно положить
и считать, что /° зависит только от т. Тогда уравнение B1)
будет иметь постоянные коэффициенты, и егэ легко можно
решить.
Так как в этом случае р тоже будет функцией одного
только т, то ?/=(), и приближенное уравнение A6) совпадет
с точным уравнением A3). Таким образом, в случае постоян-
постоянного поля, которое будет рассмотрено ниже (п. 8), изложен*
ный метод дает строгое решение.
146

В общем случае произвольного поля нужно рассматривать
в уравнении B1) величины Е и Н как функции от т (выразив
в них х, у, z, t через т при помощи уравнений A.16) класси-
классической траектории). Решив систему обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, нужно
подставить в решение выражения A.16) для рх°, ру°, pz°, pt°.
В результате получится искомое решение уравнений в частных
производных.
Если заменить в наших формулах функцию 5 на S*—фор-
S*—формула A.17)—и считать / не зависящим явно от т, то эти фор-
формулы дадут обобщение и развитие результатов Паули [4], впер-
впервые применившего метод Бриллуэна-Вентцеля к решению урав-
уравнения Дирака. Формулы Паули являются, однако, значительно
более сложными, так как он исходил из уравнений Дирака
первого порядка, а не второго.
Заметим, что если мы будем вычислять интеграл A1) по
методу стационарной фазы, то нам нужно будет вынести в по-
казателе за знак интеграла значение 5 в той точке, где тг=0.
Но это будет как раз обыкновенная (не содержащая собствен-
собственного времени) функция действия S*.
6. Полученная нами форма решения уравнения Дирака
(в виде интеграла по собственному времени) особенно пригодна
для решения задачи Коши, т. е. для определения ф по задан-
заданным начальным условиям.
Пусть ф удовлетворяет уравнению Дирака A) и начальным
условиям
ф = ф° (при t = t°). B2)
Чтобы найти ф, достаточно получить решение ЧГ уравнения
второго порядка AW = 0, удовлетворяющее условиям
^ У0 (приг = г°). B3)
Функцию ? можно искать в виде интеграла
где ^ ¦• <24>
dV=dx°dy°dz0, B5)
?° — заданная функция от х°, у0, z°, a Q —функция от х, у,
z, t и от л:0, у0, гв, t°.
Положим
g = ^^_ ^0J — (х-х0J-(у-уъу-{г-z0J B6)
и введем функцию ?(?), определяемую равенствами
у E) = 1 при g > 0
= -о~ при § = 01 ^27)
= 0 при 5< О
1С* 147

Производная <f (?) = 8(?) есть дираковская функция дельта.
Функция Q в интеграле B4) есть несобственная функция
вида
B8)
где R к R* — непрерывные функции. Функция R есть не что
иное, как функция Римана.
Если подставить выражение для Q в интеграл B4), то он
распадется на сумму двух интегралов
B9)
из которых первый есть объемный интеграл, распространенный
по объему
c2(t — t*f — (г — r°J>0
(т. е. по объему V шара радиуса r* = c\t —1°\ с центром
в точке г° = г), а второй есть интеграл по поверхности
c2(t — tQJ — (r-r°J = 0
(т. е. по поверхности S этого шара). В самом деле, освобо-
освободившись от несобственных функций, мы будем иметь:
C0)
Так как при t = t° радиус шара г* стремится к нулю, то оче-
очевидно ?= 0 при t = t°. Кроме того, производная по времени
от объемного интеграла также будет равна нулю при t = t°.
Поверхностный же ийтеграл при малых t —1° > 0 будет
2~? ^R*W°dS = 2кг* (R*W% = 2кс {t - t0) (/?*W°H. C1)
s
Поэтому
(SL C2)
где через R*o обозначено значение R* при г = r°, t == t°. Чтобы
выполнялось начальное условие B3), необходимо
#o=i C3)
независимо от координат и времени.
Но, кроме того, функция W должна удовлетворять урав-
уравнению Дирака второго порядка. Для этого ему должна удов-
удовлетворять функция Q. Таким образом, должно быть
AQ = Д[/?т (|) + R4 (I)) = 0. C4)
148

Если принять во внимание, что
? Т (8)=-48(g); C5)
? »(*)= 0, C6)
то выполнение дифференцирований в C4) даст члены, пропор-
пропорциональные ?(?), s(?)> &'(€)• Если обозначить для краткости
буквой М оператор, определяемый равенством
}, C7)
то выражение C4) напишется так
А [Ят @ + #*8 Ю ] = (ЛЯ) т @ + {А/?* + 4 (А* +1) R) 8 (?) +
+ 4(уИ#*)8'(€). C8)
Это выражение обратится в нуль, если мы потребуем, чтобы
А/? = 0, C9)
АЯ* D0)
MR* = 0. D1)
При этом достаточно, чтобы уравнение D0) выполнялось при
5 = 0. Легко указать решение уравнения D1). В самом деле,
если положить
(г/)
D2)
()
= J
(ГО/О)
где интеграл взят по прямой, соединяющей точки r°t° и rt,
то
(г « г°) • gradX + (t- П д± = (г - г°) А - с (t - t*) Ф. D3)
Поэтому, если положить
то уравнение MR* = 0 будет удовлетворяться. Кроме того,
будет, очевидно, удовлетворяться и условие C3).
С этим значением /?* уравнения C9) и D0) позволят опре-
определить функцию R. Эти уравнения упростятся, если произ-
произвести подстановку
149

Такая подстановка равносильна замене потенциалов А, Ф на
A'=A-gradX; ф' = ф + у.2*. D6)
Заметим, что если А и Ф удовлетворяли уравнениям
+|~-0, D7)
то тем же уравнениям будут удовлетворять и А\ Ф'. Кроме
того, будет выполняться соотношение
(г - r°). А' - с (t - *°)Ф' - 0, D8)
вытекающее из D3).
Новые потенциалы выражаются однозначно через поле.
Если мы обозначим двумя чертами сверху усреднение между
точками (r°, t°) и (г, t), произведенное по формуле
1
f [г° + (г - г°) и, t° + (t- t°) a] udtt, D9)
E0;
то мы будем иметь:
А' = --±-[(г-г°) xff] -±
После подстановки D5), т. е. после введения новых потенциа-
потенциалов, уравнения C9) и D0) примут вид
Л'/?' = 0, E1)
—J--?[(-H)-i(«.E)J, E2)
где через L обозначен оператор
Lf=(r- r°). grad/ +У-П%, E3)
который можно было бы также обозначить буквой М (он полу-
получается из М после введения новых потенциалов).
Из уравнения E2) можно определить не только значение
L + 1)/?', но и значение самой фунции R' при % = 0. В самом
леле, если рассматривать некоторую функцию f{x, у, z, t)
как функцию от отношений (х — х°): (у — у0): (z — zQ): c(t —1°)
и от I и если предположить, что при ?->0 будет и E^|->Q,
то значение (L + 1)/ при § = 0 определяется значением / при
§ = 0 и обратно.
150

Рассмотрим уравнение
где р — целое положительное число. Легко проверить, что ему
удовлетворяет функция
/(г, ?)=jcp[r° + (r — rQ)a, t* + {t-t*)u]up~ldu. E5)
Единственное же решение однородного уравнения (L -\-р) /= О,
регулярное вблизи г = r°, t = ?°, есть нуль. Поэтому при по-
положительном /7 функция / однозначно определяется формулой
E5). Положив ср равным правой части уравнения E2) и при-
применяя формулу E5), получим выражение для функции Римана
на шаре 6 = 0.
7. Как известно из классических исследований Гадамара [2]
по задаче Коши, функция Римана тесно связана с фундамен-
фундаментальным решением (solution elementaire) данного уравнения
(эллиптического или гиперболического типа). Фундаменталь-
Фундаментальное решение, примером которого ярляются функция — для
уравнения Лапласа и функция 1 : Y'c\t—1?y—(х— х0J — (у —у0J
для уравнения
д2 №1 д*
имеет в данной точке или на проходящем через эту точку
характеристическом конусе особенность, зависящую от вида
уравнения. В случае нечетного числа независимых перемен-
переменных фундаментальное решение определяется единственным
образом. В случае же четного числа существует бесчислен-
бесчисленное множество фундаментальных решений; эти решения имеют
тогда логарифмическую особенность, причем коэффициент при
логарифме определяется однозначно и представляет не что
иное, как функцию Римана. Можно построить также фунда-
фундаментальное решение и для уравнений параболического типа;
оно получается предельным переходом из эллиптического или
гиперболического случая. Элементарным примером является
функция
1 4у
У У
представляющая фундаментальное решение для уравнения
д%и __ да
Sis""" ду *
Перейдем теперь к уравнению Дирака. Функцию Римана
для уравнения Дирака второго порядка можно представить
151

в виде интеграла по собственному времени
E6)
причем F есть фундаментальное решение „уравнения Дирака
с собственным временем", т. е. уравнения
В этом уравнении независимыми переменными являются х, у»
z, t, т. Так как число их нечетное, то фундаментальное реше-
решение определяется единственным образом.
Выясним характер фундаментального решения вблизи
существенно особенной точки т = 0. Для этого положим, как
и раньше,
Z7^"/ E8)
и будем искать разложение 5 и / по степеням т. Функция S
удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби с собственным
временем A.12). Подставляя в это уравнение разложение
+ Sax»-|-...l E9)
получим
(gradS-iJ — ^[-gr-j = 2/и5-Ь F0)
так что мы можем положить
5m [(rr
у [(r-r*)*-<*(t-ft)*\=—Y'nZ. F1)
С этим значением 5_i уравнение для So будет
F2>
В правой части это уравнение совпадает с уравнением D3)
для х с точностью до множителя — ~. Поэтому мы можем
положить
50 = —~Х = — т f (Adr — сФсИ). F3)
Наконец, уравнение для Sx будет
A + 1M! = -25
152

где L имеет значение E3). Решение этого уравнения получится
по формуле E5). Дальнейшие коэффициенты определятся
однозначным образом из уравнений вида
(L+p)Sp = <tp (p = 2, 3,...), F5>
где ер- известно, коль скоро известны предыдущие приближе-
приближения. Таким образом, мы будем иметь:
2т
f(A'a — Ф/3)^ + ... F6)
В случае свободной частицы формула F6) дает точное выра-
выражение для 5.
Аналогичным путем можно решать уравнение A6) для /„
Мы получим
V О
Исследуем теперь, какой контур нужно взять в интеграле
h fdx, F8)
чтобы получить функцию Римана. Интеграл F8), очевидно,
удовлетворяет уравнению Дирака второго порядка. Чтобы он
равнялся функции Римана, необходимо еще удовлетворить
условию D0) или E2) на шаре (световом конусе) 6 = 0. Пока-
Покажем, что это условие будет выполнено, если мы возьмем
в качестве контура интегрирования обход вокруг точки т = О
в комплексной плоскости т. Для этого заметим, что при ? = G
функция действия 5 не имеет полюса, так что вся подинте-
гральная функция в F8) не имеет тогда существенно особен-
особенной точки. Для вычисления интеграла достаточно взять вычет
в точке т = 0. Но при ? = 0 мы имеем:
ez
2mc
о
F9)
i5a

Определяемая по формуле D5) функция R' равна
}tt. G0)
Следовательно, если мы положим
то функция R/ будет удовлетворять уравнению E2). Таким
образом, интеграл F8) есть действительно функция Римана.
Если в этом интеграле выбрать надлежащим образом путь
интегрирования, то можно получить из него и фундаменталь-
фундаментальное решение уравнения Дирака второго порядка.
Фундаментальное решение U уравнения А?/ = 0 имеет вид
?/ = -УЯ1ё1$| + 4Ч + ^*. G2)
где R и R* имеют прежние значения, а именно: R есть функ-
функция Римана, a R* определяется формулой D4). Функция U*
будет уже регулярной функцией вблизи ? = 0. Она подчинена
лишь тому условию, чтобы все выражение G2) удовлетворяло
уравнению Д?/=0. Этого условия, очевидно, недостаточно для
полного ее определения. Поэтому различные фундаментальные
решения отличаются друг от друга значениями функции U*.
Они могут быть получены из интеграла F8) путем различного
выбора контура интегрирования. Неоднозначность фундамен-
фундаментального решения соответствует тому, что в уравнении Дирака
без собственного времени число независимых переменных —
четное.
8. В качестве примера рассмотрим движение электрона
в постоянном электрическом и магнитном поле и составим для
этого случая функцию Римана. Для простоты выкладок мы
ограничимся случаем параллельных полей, которые предполо-
предположим направленными по оси z.
Положив потенциалы равными
Ах=-\Ну\ Ау = \Нх; Лг = 0; Ф=-?г, G3)
мы можем легко решить классические уравнения движения,
соответствующие лагранжевой функции A,6). Составляя затем
интеграл действия A,7), мы получим для него выражение
G4)
154

где через So обозначена величина
не зависящая от х.
Обращаясь к уравнению A3) для /, мы видим, что ему
можно удовлетворить функцией, зависящей только от х, и,
следовательно, можно положить ?/=()• В таком случае
оно совпадет с уравнением A6), которое мы уже привели
к виду B1). В нашем случае определитель р будет равен
const /7C-4
Р ^7". G5)
2mc 2mc
а решением уравнения B1) будет
Определяя в функции/постоянный множитель из условия G1),
мы получим
f- m 1еН\(еЕ\ р т)
] ~ 8^/zc \2тс) \2тс j s[n eth_ gh eEz_ ' K }
2mc 2mc
С этим значением / интеграл
TSfd<z, G8)
взятый по достаточно малому кругу вокруг начала координат,
даст нам функцию Римана данной задачи.
В частном случае, при отсутствии поля, будет
f — л± L. С—__^L Х-
и, следовательно,
imH irnc*
'"""""'^ (^) <80)
тогда как величина R* имеет постоянное значение ^. Поэтому
при отсутствии поля функция Q общей теории равна
III. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПОЗИТРОНОВ
Основу предложенной Дираком [1] формулировки теории по-
позитронов составляет рассмотрение „смешанной плотности44, соот-
155

ветствующей распределению электронов в состоянии с отри-
отрицательной и положительной энергией.
Дирак рассматривает смешанную плотность двух видов, а
именно: /?2 и RP, где
(г, t, tltfjr*, Р, С°) =
= S Ф (г, *, С) ф (г°, ^ С0) - 2 ф (г, *, С) ф (Л <о, С«), A)
зан нез
нез.
(г, АС|^|г°, t\ C°) =
*, С)?(г«, t\ С»)+ 2 «j>(r, г1, С)Ф(г», *>, С»). B)
зан. нез.
В этих формулах ф (г, t, С) обозначает волновую функцию
одного электрона, зависящую от координат г, времени t и спи-
спиновой переменной (номера компонента) С. Суммирование про-
производится по значку волновой функции (номеру состояния),
который для краткости опущен. Первая сумма распространена
на все занятые состояния, а вторая — на все незанятые.
Дирак вычисляет, путем непосредственного суммирования,
выражения A) и B) для электронов без поля и изучает их
особенности на световом конусе. Затем он строит аналогичные
выражения для электронов при наличии поля и получает их
особенности из требования, чтобы они удовлетворяли волново-
волновому уравнению и переходили в вычисленные им ранее выраже-
выражения при стремлении поля к нулю.
Но выражения A) и B) тесно связаны с теми функциями,
которые встречаются при изучении задачи Коши для уравне-
уравнения Дирака. Эта связь не была замечена Дираком, и выясне-
выяснением ее мы сейчас займемся.
Рассмотрим сперва выражение B). Если считать Rp матрицей
относительно С и С0, то можно писать эту величину в виде
(г, t\RF\r\ n = RF(rt t). C)
Это выражение удовлетворяет уравнению Дирака и обращается
при t = t° в ядро единичного оператора
?/7=0, D)
/?/7=8(г-г°) при t = t\ E)
Но эти условия однозначно определяют функцию Rp. Поэтому
нет необходимости вычислять эту функцию путем непосредст-
непосредственного суммирования ряда B), а можно получить ее путем
решения задачи Коши.
В самом деле, рассмотренная нами функция Q A1,26) удо-
удовлетворяет уравнению Дирака второго порядка и начальному
условию
Q = 0; -|? = 8(г-г0) при* = *0. F)
156

Отсюда следует, что выражение
+ -г)Q*
где согласно A1,26)
= #r F)+ /?•»(« (8)
удовлетворяет уравнениям D) и E). Таким образом, дираков-
ская функция Rp непосредственно выражается через функцию
Римана /?, подробно изученную нами во II разделе.
Что касается функции Ru то она выражается через фунда-
фундаментальное решение U так же, как RF через Q, а именно:
где согласно A1,72)
Само выражение (9) можно назвать фундаментальным реше-
решением уравнений Дирака первого порядка.
Однозначное определение функции /?3 возможно только на
основании начальных условий. Эти начальные условия должны
быть формулированы на основе физических соображений. На-
Например, можно потребовать, чтобы в начальный момент вре-
времени t =t° все состояния электронов с отрицательной кинети-
кинетической энергией были заняты, а все состояния с положительной
энергией были свободны. Тогда, как это видно из ее первона-
первоначального определения A), функция/?! при t = t° должна обра-
обращаться в ядро оператора для знака кинетической энергии (взя-
(взятое со знаком минус). Решая уравнение Дирака с этими началь-
начальными условиями, мы получим значение смешанной плотности
для произвольного времени Л
В заключение коснемся вопроса о физическом толковании
смешанной плотности. Какие члены в ней имеют физический
смысл и каким нельзя придавать физического смысла? Дирак,
а также Гейзенберг [3] предлагают фиксировать ту часть в выра-
выражении для /?!, которая содержит особенности, и придавать
физический смысл разности между полным выражением для /?3
и выделяемой его частью. Нам кажется, однако, что такой
прием содержит много произвола. Единственным надежным
критерием представляется нам принцип соответствия. Приме-
Применительно к нашей задаче принцип соответствия означает, что
физический смысл могут иметь только те выражения, которые
при А-*»0 остаются конечными везде, в том числе и на свето-
световом конусе (другими словами, равномерно относительно ?).
Остальные члены необходимо отбрасывать как лишенные физи-
физического смысла. Этот критерий подтверждается вычислениями
157

поляризации вакуума, произведенными разными авторами [5].
Согласно этим вычислениям добавочные члены в функции
Лагранжа для электромагнитного поля представляют просто
ряд, расположенный по степеням А. Последнее обстоятельство
указывает также на применимость к дайной задаче способа
Бриллуэна — Вентцеля, который был рассмотрен нами во вто-
второй части нашей статьи.
ЛИТЕРА ТУРА
1. P. A. M. Dirac, Proc. Cambr. Phil. Soc, 30, 150 (\Ш).
2. J. Hadamard. Le probleme de Cauchy et les equations aux derivees
partielles lineaires hyperboliques. Paris 1932.
3. W.Hei sen berg. Zs. f. Phys, 90, 209 A934).
4. W. Pauli. Helvetica Physica Acta, 5, 179 A932).
5. V. Weisskopf. Uber die Elektrodynamik des Vakuums auf Grand
der Quanientheorie des Elektrons. Kopenhagen A9u6).
РАБОТЫ В. А. ФОКА ПО КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ A928—1937)
1. V. Foe k. Verallgemeinerung und Losung der Diracschen statistischen
Gleichung. Zs. f. Physik, 49, 339-357 A928).
2. V. F о с к. Konfigurationsraum und zweite Quantelung. Zs. f. Physik
75, 6i2-647 A932).
3. V. F о с к und В. Р о d о 1 s к у. Zur Diracschen Quantenelektrodyna-
mik. Sow. Phys., 1, 798—800 A932).
4. V. F о с к and В. Р о d о 1 s к у. On the quantization of electromagnetic
waves and the interaction of charges on Dirac's theory. Sow. Phys., 1, 801—817
A932).
5. Boris P о d о 1 s к у and V. A. F о с к. Derivation of Moller's formula
from Dirac's theory. Sow. Phys., 2, 275-277 A932).
6. P. A. M. Dirac, V. A. Foe к and Boris P о d о 1 s к у. On quantum
electrodynamics. Sow. Phys., 2, 468-479 A932).
7. В. Ф о к. К теории позитронов. ДАН, нов. сер., № б, стр. 265—267
A933).
V. F о с к. Zur Theorie de-r Positronen. С. R. acad. sc. URSS (Doklady),
nouv. serie, № 6, p. 267—271 A933).
8. V. Foe k. Zur Quantenelektrodynamik. Sow. Phys., 6, 425—469 A934).
9. В. А. Фок. Метод функционалов в квантовой электродинамике.
Уч. Зап. ЛГУ, сер. физ. наук, т. 3, № 17, стр. 109—124 A937).
10. В. А. Ф о к. Собственное время в классической и квантовой механи-
механике. Изв. АН СССР, ОМЕН, сер. физ., № 4—5, стр. 551—568 A937).
V. F о с k. Die Eigenzeit in der klassischen und in der Quantenmecha-
nik. Sow. Phys., 12, 404—425 A937).

Стр.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Обобщение и решение статистического уравнения Дирака 9
Конфигурационное пространство и вторичное квантование 25
О квантовой электродинамике Дирака 52
О квантовании электромагнитных волн и взаимодействии зарядов по
теории Дирака 55
О квантовой электродинамике 70
К теории позитронов 83
О квантовой электродинамике 88
Метод функционалов в квантовой электродинамике 124
Собственное время в классической и квантовой механике 141

Фок Владимир Александрович
Работы по квантовой теории поля
Редактор Е. В. Щемелева
Техн. ред. С. Д. Водолагина
Корректор Л. //. Черканова
Подписано к печати 21 III1957 г. М-13161.
Тираж 5400 экз. Печ. л. 10. Бум. л. 5.
-Формат бум. 60X^21/l6• Уч.-изд. л. 14,11
Зак. 152.
Типография ЛОЛГУ. Ленинград,
Университетская наб., 7/9.