QUANTUM
FIELD THEORY
by
H. UMEZAWA
Professor of Physics
University of Tokyo
NORTH-HOLLANU PUBLISHING COMPANY
Amsterdam, 1956

X. Умэдзава
КВАНТОВАЯ
ТЕОРИЯ
ПОЛЯ
Перевод с английского
А. Н. МАТВЕЕВА
Под редакцией
А. А. СОКОЛОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
a, 1958

Темплан 1958 г., № 24
АННОТАЦИЯ
Книга японского физика-теоретика Умздзава посвящена
квантовой теории поля и написана с учетом исследова-
исследований, проведенных японскими теоретиками.
После краткого исторического очерка рассматривают-
рассматриваются уравнение Дирака, обобщенное релятивистское вол-
волновое уравнение, квантование волновых уравнений для
свободных полей и с учетом взаимодействия, теория воз-
возмущений, теория перенормировок и некоторые другие
вопросы.
Книга рассчитана на физиков и математиков, интере-
интересующихся современными проблемами теоретической фи-
физики, и является хорошим дополнением к вышедшим на
русском языке другим монографиям по квантовой тео-
теории поля.
Редакция литературы по физике
Ч&ведукщий редакцией проф. А. А. СОКОЛОВ

ПРЕДИСЛОВИЕ
РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая вниманию читателя книга написана японским
физиком-теоретиком Умэдзава — профессором университета в То-
кио. Она посвящена изложению современной квантовой теории поля.
Как известно, вклад японских физиков-теоретиков в развитие
современной квантовой теории поля весьма значителен. Известный
японский физик Юкава — лауреат Нобелевской премии — первым
предложил мезонную теорию ядерных сил. Он ввел поле новых
частиц (названных им {/-частицами) с массой покоя, превышающей
массу покоя электрона более чем в 200 раз, и объяснил коротко-
короткодействующий характер ядерных сил. Впоследствии эти частицы
были открыты экспериментально. В настоящее время имеются все
основания считать, что ядерные силы между нуклонами в основном
обусловлены тт-мезонами (заряженными и нейтральными). Затем
Юкава и его ученики объяснили распад мезона как его превра-
превращение в электрон и нейтрино. (В настоящее время установлено,
что тт-мезон распадается на jx-мезон и нейтрино, а jx-мезон распа-
распадается на электрон и два нейтрино.) Таким образом, наряду с
развитием квантовой электродинамики (теория электронов, пози-
позитронов и фотонов) начали развиваться новые главы квантовой теории
поля — мезонная теория ядерных сил (взаимодействие нуклонов с
нолем п-мезонов) и теория распада мезонов на другие частицы
(более легкие мезоны, электроны, позитроны и нейтрино).
Постоянная тонкой структуры, соответствующая взаимодействию
нуклонов с тт-мезонами, больше единицы. Это взаимодействие по-
получило название сильного, так как благодаря большому значению
постоянной тонкой структуры на малых (т. е. ядерных) расстоя-
расстояниях оно во много раз превышает электромагнитное взаимодействие.
Наоборот, взаимодействие, связанное с распадом мезонов, является
слабым (соответствующее значение постоянной тонкой структуры
имеет порядок 102).
Нужно заметить, что если в первых приближениях результаты
квантовой электродинамики давали поразительное совпадение с экс-
экспериментом (несмотря на то, что в целом теория далеко не за-
завершена и в ней имеется ряд трудностей, связанных главным
образом с расходимостями, обусловленными членами самодействия),

Предисловие редактора перевода
то в теориях сильной и слабой связи наряду с общими трудно-
трудностями квантовой теории поля мы еще далеки от такого хорошего
совпадения количественных результатов теории с опытом, которое
имеется в квантовой электродинамике. Таким образом, развитие
теории сильной и слабой связи следует считать еще далеко не
завершенным.
В разрешении же общих трудностей квантовой теории ноля
(исключение расходимостей) большую роль сыграли работы дру-
другого японского теоретика—Томона га. Предложенный им метод
многовременного формализма (развитый далее Швингером) обла-
обладает большой теоретической общностью, хотя при проведении
конкретных расчетов для исключения расходимостей теоретики
чаще используют метод регуляризации Фейнмана— Дайсона.
Автор в своей книге не ограничился рассмотрением квантовой
электродинамики, являющейся более или менее законченным раз-
разделом теории поля, а развивает теорию поля в ее наиболее общем
виде. При современном состоянии теории элементарных частиц,
когда основные интересы физиков переместились на изучение
новых частиц, такой подход к изложению теории поля является
вполне своевременным, хотя нельзя еще сказать, в каком из на-
направлений развития теории будет найдено решение неясных в на-
настоящее время вопросов.
Книга начинается с предисловия редактора английского издания
проф. Розенфельда, который в увлекательной форме описывает про-
процесс создания этой книги.
Весьма интересна гл. 1, в которой автор дает исторический
обзор квантовой теории поля. В этом обзоре читатель может оз-
ознакомиться с кратким содержанием многих работ японских теоре-
теоретиков, напечатанных главным образом в японских физических
журналах и, возможно, далеко не всем читателям хорошо известных.
Последующие главы B — 5) посвящены исследованию общих
релятивистских волновых уравнений. Изложение этих глав носит
далеко не стандартный характер. В частности, автор при изложе-
изложении волновых уравнений, относящихся к частицам различного
спина ('/,, 0,1), умело использовал теорию спиноров и-го ранга.
В гл. 6 читатель может познакомиться с многовременным форма-
формализмом Томонага — Швингера и его применением в теории воз-
возмущений.
Довольно подробно автор излагает теорию частиц со спином
8/, (уравнение Рарита — Швингера), а также теорию изотопиче-
изотопического спина и изотопической инвариантности (гл. 7).
В остальных главах (8—18) автор излагает общую теорию
вторичного квантования. Весьма оригинально он сочетает изложе-
изложение теории и ее применений для рассмотрения конкретных приме-
примеров. По этой книге читатель может познакомиться с гейзенбер-
гейзенберговским представлением и диаграммами Фейнмана. Рассмотрены

Предисловие редактора перевода
осы, (-вязанные с „инфракрасной катастрофой", а также теорией
ренормировок. Теория перенормировок в квантовой электродина-
П ке иллюстрируется примером вычисления лэмбовского сдвига
уповней в атоме водорода и аномального магнитного момента элек-
электрона. Весьма подробно автор излагает „теорию затухания", кото-
которая позволяет производить своеобразное сворачивание рядов теории
возмущений.
Заканчивается книга подробным изложением теории S-матрицы
Гейзенберга и общих вопросов, относящихся к свойствам функций
Грина. Рассматривается уравнение Швингера; уравнение Бете —
Сальпетера для функции Грина двух частиц и, наконец, изложена
теория модели Ли, в которой функция Грина может быть найдена
точно.
В книге приведена довольно подробная библиография по всем
основным вопросам квантовой теории поля и, в частности, под-
подробно освещены работы японских авторов.
Квантовая теория поля развивается настолько быстро, что от-
отдельные места книги Умэдзава, посвященные р-распаду (см. гл. 7,
пример 8), успели несколько устареть. Это связано с тем обсто-
обстоятельством, что в конце 1956 г. известные китайские теоретики
Ли и Янг сделали фундаментальное открытие —несохранение
четности при слабом взаимодействии. Не прошло и года с момента
опубликования этого открытия, как его авторам (октябрь 1957 г.)
была присуждена Нобелевская премия.
Мы думаем, что несохранение четности связано с асимметрией
нашего мира относительно положительных и отрицательных заря-
зарядов1), хотя на этот вопрос имеется и другая точка зрения, согласно
которой несохранение четности связано с асимметрией пространства,
проявляющейся в микромире. Поскольку несохранение четности
приобретает в теории fi-распада первостепенное значение, мы
') В самом деле, атомы нашего мира состоят из протонов, нейтронов и
электронов. Симметричные по отношению к ним антиатомы должны состоять из
антипротонов, антинейтронов и позитронов. Хотя совместное существование
атомов и антиатомов в течение более или менее длительного времени является
недопустимым и поэтому античастицы в нашем мире встречаются весьма редко,
считалось, что физические законы изолированных друг от друга атомов и анти-
антиатомов должны быть тождественными. Однако, согласно теории Ли и Янга, это
оказывается не так.
Они предсказали полярную асимметрию и продольную (круговую) поляри-
поляризацию при спонтанном распаде частиц. Так, например, при р-распаде число элек-
электронов, вылетающих по направлению спина нейтрона, должно быть меньше
соответствующего числа электронов, вылетающих в противоположном направ-
направлении, что находится в блестящем согласии с опытами, которые были постав-
поставлены по прямому предложению Ли и Янга (более подробно см. примечание на
стр. 133). По-видимому, при распаде антинейтрона мы должны иметь обратную
картину для числа вылетающих позитронов, т. е. асимметрии, которые мы долж-
должны наблюдать при споитаином распаде частиц и античастиц, должны взаимно
компенсировать друг друга.

Предисловие редактора перевода
считали необходимым хотя бы кратко коснуться этих вопросов в
редакционных примечаниях.
Следует также отметить, что в этой сравнительно небольшой
по объему книге изложен довольно обширный материал по кван-
квантовой теории поля. Однако не всегда место и внимание, отведен-
отведенное тому или иному вопросу, соответствует его важности с точки
зрения теории в целом. На характер изложения книги в целом
наложен определенный отпечаток научных интересов автора.
К сожалению, в книге имеется довольно много опечаток; в
переводе по мере возможности они были исправлены. Автор от-
отступил также от некоторых общепринятых обозначений. Например,
скорость света он обозначил прописной буквой С. При переводе
книги мы, естественно, заменили ее строчной буквой с. Автор на-
называет электроны и позитроны соответственно негатонами и по-
зитонами, подразумевая под термином «электроны» лишь их совокуп-
совокупность. Поскольку эта терминология не привилась у нас, мы при
переводе восстановили общепринятую терминологию. В конце книги
автор добавил ряд примечаний, сделанных при корректуре. Мы
сочли целесообразным перенести эти примечания в соответствующие
главы книги.
Мы надеемся, что книга Умэдзава — первая книга японского
физика, переведенная на русский язык, — будет служить хорошим
дополнением к вышедшим у нас в Советском Союзе монографиям
по квантовой теории поля.
А. Соколов.

ПРЕДИСЛОВИЕ
К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая книга вызывает в памяти приятные воспоминания
о группе физиков, работавших в Манчестере в период с 1953 по
1955 г. Когда доктор Умэдзава приехал в Манчестер, он привез
с собой небольшую книгу, написанную им на японском языке;
многочисленные формулы и имена современных европейских физи-
физиков, напечатанные латинским шрифтом, позволили угадать содер-
содержание книги: было ясно, что это учебник по квантовой электро-
электродинамике. Сам Умэдзава был полностью захвачен этим предметом,
однако в течение некоторого времени его речь была для нас так
же мало понятна, как и книга, с тем дополнительным осложнением,
что имена европейских физиков здесь надо было воспринимать на
слух. Эта мучительная ситуация вскоре несколько изменилась, так
как Умэдзава быстро совершенствовал свои знания английского
языка и предложил перевести книгу на английский язык. Все
сразу выразили желание помочь ему осуществить это намере-
намерение. Эта работа составила лишь небольшую часть кипучей дея-
деятельности автора. Он организовал вокруг себя группу сотруд-
сотрудников, поддерживал научную переписку со своими японскими
коллегами и вел интенсивную научную работу, в результате кото-
которой в книгу добавлялись новые страницы почти в том же темпе,
в каком делался перевод.
По мере появления переведенные главы, надо сказать весьма
измаранные правкой, оживленно обсуждались нашей группой. Для
нас это обсуждение оказалось чрезвычайно полезным, но и книга
получила ряд существенных конструктивных улучшений. Во
всяком случае, в настоящем виде эта книга довольно сильно
отличается от своего японского оригинала, и можно сказать, что
она выдержала серьезную проверку на пригодность в качестве

10 Предисловие к английскому изданию
введения в различные вопросы квантовой теории поля, начиная с
истории вопроса и кончая последними достижениями в этой обла-
области. Среди них мне хотелось бы отметить включенное в послед-
последний момент в настоящую книгу весьма изящное изложение теории
функций распространения, которую развили в нашем институте
Умэдзава и Висконти. Я не сомневаюсь, что книга будет полезна
для всех читателей в той же мере, в какой она была полезна
для нас, хотя они лишены очарования личного общения с авто-
автором, которое так обогащало книгу по мере того, как она рож-
рождалась на наших глазах.
Л. Розенфельд.

ОБОЗНАЧЕНИЯ
(А, В]
[А, В\_ или [А, В]
[А, В\+
А^ В
с
Дельта-функции
Операторы диф-
ференцирования
Оператор (g-число), эрмитово-сопряженный к оператору А,
или число (с-число), комплексно-сопряженное к числу А.
Вектор, эрмитово-сопряженный к четырехмерному вектору,
л* , л* л* «> л* ¦ Л*\
т. е. \ = (At, A2, At, At=-iAJ.
Четырехмерный вектор, компонентами которого являются
величины А*, А*, А* и iA*.
1 « 3 О
Матрица, транспонированная к А.
Трехмерный вектор, компонентами которого являются вели-
величины Ak,
Векторное произведение А и В.
Коммутатор АВ — ВА.
Антикоммутатор АВ-\-ВА.
А пропорционально В.
Скорость света.
о (х) = 8 (х,) Ь (хг) Ь (х3), о1 (х) = о (хх) I (х2) Цх^ S (х0).
д _
¦г»>0-
Волновые функции Q(x) — \QJ,x)\ для общего вида полей;
<Их) для полей, волновыми уравнениями которых является
система дифференциальных уравнений первого порядка;
?/а,... (х) для бозе-полей в тензорном представлении.
Ф Скалярный потенциал (с-число).
fP Гамильтониан взаимодействия.
h Постоянная Планка.
t А/2ж.
Обозначения
интегрирования
Г" „ С ... с
\ d"x = \ rfx,
\ dlx = \ rfxt
/ = x0 = — /xj.

12
Обозначения
{k, I, m) Цикл. обозначает, что (k, I, m) — одна из комбинаций A,2,3),
A,2,3) B,3, 1) или C,1,2).
К^ Величина энергии-импульса свободной, частицы, т. е.
^ = (*г> К К il<o) С Ко = /(к,к) + *Г-
х Масса частицы общего вида.
L Полный лагранжиан.
I? Лагранжиан свободных полей.
JJ Лагранжиан взаимодействия.
Массы т — масса электрона, х — масса частицы общего вида.
m Оператор магнитного момента.
п (х) Вектор нормали к пространственно-подобной поверхности а
* в точке х.
Р v Оператор полного момента количества движения полей.
Вектор состояния Ч5 faj — для состояний на поверхности а; Фо — для состояния
вакуума
Индексы (I пробегает значения от 1 до 4, т. е. а^ = (av a2, a3, a4 = /a0)
k пробегает значения от 1 до 3, т. е. ak = (av a^, aj.
Sp(A) След (шпур) матрицы А.
а Пространственно-подобная поверхность.
а{х) Пространственно-подобная поверхность, проходящая через
точку х.
оА F=1, 2, 3) Матрицы спина.
Т Оператор энергии-импульса полей.
* ( x \i
Масса электрона
ВЕЛИЧИНЫ ПОСТОЯННЫХ
}c
= 0,26-10" см-1 (-г
Классический радиус электрона
Комптоновская длина волны электрона
Хо = — =3,85.10-" см
тс
Радиус атома водорода
а = — =0,528-10-" mi.
та

ГЛАВА 1
Историческое введение
§ 1. Исследования по теории элементарных частиц
Различные формы вещества принято классифицировать в соот-
соответствии с теми физическими законами, которыми они описываются.
Таким способом, например, мы различаем между собой твердое,
жидкое и газообразное состояние какого-либо вещества. С точки
зрения рассматриваемых нами вопросов удобнее произвести класси-
классификацию, которая определяется масштабами явлений; так, мы раз-
различаем между собой туманности, небесные тела, вещество в лабо-
лабораторных масштабах, атомы, ядра и элементарные частицы. Од-
Однако все они зависят друг от друга — атомы состоят из ядер,
ядра — из элементарных частиц.
Законы, управляющие движением вещества в различных мас-
масштабах, не одинаковы; в лабораторных масштабах применимы
законы ньютоновой механики, а движение в атомных системах
описывается законами квантовой механики. Мы можем сказать,
что задачей теории элементарных частиц является открытие но-
новых законов этой пока еще неизученной формы вещества.
Единственным способом построения теории элементарных частиц
являются попытки основывать ее на соответствующим образом
модифицированных законах близкой формы вещества. Хотя на
этом- пути возникают серьезные противоречия с известными зако-
законами, но именно эти противоречия и являются ключом к новой
теории. Классическим примером является противоречие между
квантовым условием Бора и ньютоновой механикой, которое при-
привело к построению новой квантовой механики.
Пределы применимости теории определяют границы соответ-
соответствующей формы вещества. Однако существует плавный переход
из одной формы в другую в том смысле, что определенные резуль-
результаты одной теории соответствуют определенным результатам дру-
другой— так называемый принцип соответствия. Например, квантовая
механика и теория относительности характеризуются соответ-
соответственно постоянными А и с, и когда величины h и'A/'с) стремятся
к нулю, результаты этих теорий должны быть аналогичны резуль-
результатам ньютоновой механики.

14 Гл. 1. Историческое введение
Историю теории элементарных частиц мы рассмотрим с
указанной точки зрения. Хотя существующая теория эле-
элементарных частиц и не описывает всех особенностей поведения
элементарных частиц, все же в этом отношении сделаны зна-
значительные успехи. Например, недавние открытия ряда новых
элементарных частиц сделали возможным обсуждение основных
проблем в более общей форме. Большое значение имеют успехи
в развитии мезонной теории.
Многие из основных трудностей, связанных со структурой
элементарных частиц, содержались уже в классической теории
электрона Лоренца. Однако открытие квантовой механики отодви-
отодвинуло эти трудности в нерешенном виде на задний план, и сов-
современная формулировка теории элементарных частиц основывается
на обобщении квантовой механики (см. гл. 6). Ряд приближенных
результатов квантовой теории находится в блестящем согласии с
результатами экспериментов, проведенных над электронами и
электромагнитным полем; тем не менее давно было известно, что
теория не может дать точных предсказаний ввиду наличия эффек-
эффектов так называемого собственного поля, по-видимому, тесно
связанных с трудностями классической теории электрона. Необхо-
Необходимо подчеркнуть, что эти трудности являются основной пробле-
проблемой, которую должна решить точная теория элементарных частиц.
Естественно спросить, как можно приложить настоящую теорию
к электронам и электромагнитному полю и насколько это будет
разумно, учитывая указанные основные трудности? Этот вопрос
связан с пределами применимости существующей теории элемен-
элементарных частиц.
Первоначально проблемы, связанные с собственными полями,
рассматривались с чисто академической точки зрения, несмотря на
то, что удовлетворительное решение общей проблемы зависит от
исследования связанных с ними физических явлений. Первым
значительным шагом в решении этой проблемы явились работы
Томонага и Швингера по перенормировке в квантовой электроди-
электродинамике. Эти работы привели к объяснению ряда реальных физичес-
физических особенностей собственных полей в электродинамике.
В следующем параграфе будет кратко изложена история этих
проблем — открытие элементарных частиц и доказательство того,
что физические эффекты, связанные с собственными полями,
наблюдаемы. Мы обсудим также проблемы применимости сущест-
существующей теории.
§ 2. Теория элементарных частиц
Элементарными частицами мы будем называть частицы, кото-
которые, насколько нам известно, не имеют внутренней структуры.
Наиболее известными из элементарных частиц являются электрон

§ 2. Теория элементарных частиц 15
и фотон, сыгравшие важную роль в открытии квантовой механики.
Благодаря этому существующая теория элементарных частиц раз-
развивалась как обобщение квантовой механики (см. гл. 6).
Первые указания о существовании электронов были получены
из экспериментальных данных электрохимии, из которых следовало,
что заряды ионов всегда в целое число раз больше элементарного
заряда е. С помощью своих опытов с катодными лучами Томсон
доказал существование частицы с отрицательным элементарным
электрическим зарядом—электрона. Элементарность электрического
заряда является характерной особенностью элементарных частиц.
Электрон имеет собственный момент количества движения, или
спин. Спин не равен нулю даже в том случае, когда электрон
покоится. Чтобы объяснить тонкую структуру атомных спектров
и аномальный эффект Зеемана щелочных атомов, необходимо для
величины спина электрона принять значение К\1, которое выводится
из релятивистской квантовой теории электрона Дирака.
Ввиду того что масса любого атома примерно равна массе
атома водорода, умноженной на некоторое целое число, можно
предположить, что протон является той частицей, из которой
построены ядра (ср. гипотезу Проута, 1815 г.). Однако отсюда
нельзя еще заключить, что ядра состоят только из одних протонов,
потому что дейтрон, например, масса которого равна удвоенной
массе атома водорода, имеет лишь единичный заряд е (а не 2 е).
Но даже с учетом того, что масса электрона пренебрежимо
мала по сравнению с массой протона, нельзя допустить, что дейт-
дейтрон состоит из двух протонов и одного электрона (т. е. из трех
частиц со спином %/2), так как это допущение приводит к заклю-
заключению о полуцелой величине спина дейтрона, что противоречит
экспериментальной величине его спина, равной %.
Эта трудность разрешена открытием нейтрона в 1932 г. Жо-
лио-Кюри [23, 24] открыл, что при искусственной радиоактивности
ядер Be наблюдается нейтральное излучение, которое при столкно-
столкновении с ядрами водорода сообщает последним весьма значительную
энергию. Чэдвик [18] показал, что это излучение состоит из нейт-
нейтральных частиц, масса которых примерно равна массе протона.
Значительно раньше, еще в 1920 г., Резерфорд предположил
существование нейтральной частицы с массой, примерно равной
массе протона; причем он указал, что эта частица состоит из од-
одного протона и одного электрона и благодаря отсутствию заряда
обладает большой проникающей способностью. Тем не менее Глэс-
сону [49] и Робертсу [104] не удалось открыть такой частицы в
элементарных разрядах в водороде и доказать правильность гипо-
гипотезы Резерфорда. Однако эта гипотеза не была отвергнута. И не
удивительно, что Чэдвик, работавший с Резерфордом в лаборатории
Кавендиша, открыл нейтрон. Во второй статье Чэдвика имеется
ссылка на предсказание Резерфорда.

16 Гл. I. Историческое введение
На основе этого открытия Иваненко [65] видвинул гипотезу,
что все ядра состоят из протонов и нейтронов. Независимо Гей-
зенберг [52] с целью выявления общих закономерностей провел
детальный анализ различных свойств ядер. С этого времени про-
протон и нейтрон стали рассматриваться как два различных состо-
состояния одной и той же частицы — нуклона (см. гл. 7, пример 10).
Это представление легло в основу теории ядер, но, с другой сто-
стороны, привело к некоторым трудностям, которые стимулировали
создание мезонной теории.
Созданные Кокрофтом и Уолтоном ускорители высоких энергий
в лаборатории Кавендиша A932 г.) позволили получить экспери-
экспериментальные данные о структуре ядер. С помощью ускорителей
стало возможным вызвать расщепление многих ядер. Успехи в раз-
развитии ускорителей высоких энергий связаны с созданием Лоурен-
сом циклотрона A930 г.), Ван де Граафом высоковольтного электро-
электростатического генератора, Макмилланом A945 г.) и Векслером A945 г.)
синхротрона и Керстом A941 г.) бетатрона. В последнее время
созданы различные ускорители, с помощью которых получают час-
частицы с энергиями, достаточно высокими, чтобы вызвать искусст-
искусственное рождение некоторых элементарных частиц.
Ввиду того что протонно-нейтронная теория строения ядра не
допускает существования электронов в ядре, необходимо интерпре-
интерпретировать C-распад ядер как порождение электронов ядром. Тот
факт, что энергии порождаемых электронов имеют непрерывный
спектр, тогда как разница между энергиями материнских и дочерних
ядер равна вполне определенной величине, на первый взгляд кажется
несовместимым с законом сохранения энергии. Паули в лекции, прочи-
прочитанной в Пасадене в 1931 г., указал, что для удовлетворения
закона сохранения энергии необходимо допустить испускание од-
одновременно с электроном еще нейтральной частицы очень малой
массы (названной нейтрино)'). Эта идея, обсуждавшаяся на седьмом
Сольвеевском конгрессе в 1933 г., подкреплялась тем обстоятель-
обстоятельством, что максимальная энергия, с которой электрон мог быть
испущен при ^-распаде, примерно равна разнице между энергиями
материнских и дочерних ядер [37]. В 1934 г. была развита теория
C-распада, основанная на гипотезе о нейтрино [39], и это обстоя-
обстоятельство, как это будет показано позднее, подготовило почву
для создания мезонной теории.
Теперь на сцену появляется позитрон. Релятивистская кванто-
квантовая теория [26, 27] при интерпретации состояний с отрицательной
энергией [74] столкнулась с весьма серьезными трудностями. Для
преодоления этих трудностей Дирак выдвинул так называемую
теорию дырок, которая ввела частицу с массой, равной массе элек-
') Экспериментально существование нейтрино было окончательно доказано
на большом ядерном реакторе сравнительно недавно [145].— Прим. ред.

§ 3. Мезоны 17
трона, но с положительным зарядом [28, 29]. Эта частица была
названа позитроном и могла быть отождествлена с частицей,
открытой Андерсоном [I]1) при изучении космических лучей с
помошью камеры Вильсона. Электроны и позитроны входят в те-
теорию Дирака симметрично2). Таким образом, эта теория является
прототипом позднейших квантовых теорий полей заряженных частиц,
которые всегда имеют дело одновременно и с положительным и
с отрицательным зарядом (см. гл. 9). На этом основании мы при-
примем существование частицы с массой, равной массе протона, и с
зарядом, противоположным по знаку, но равным по абсолютной
величине. Хотя в настоящий момент существуют некоторые
экспериментальные данные, подтверждающие существование такой
частицы, однако этого пока нельзя ни утверждать, ни отрицать. Раз-
Разрешение этого вопроса укажет, подчиняется ли протон существую-
существующей теории элементарных частиц8).
§ 3. Мезоны
Существование электромагнитных и гравитационных сил меж-
между различными телами было установлено уже давно. Электромаг-
Электромагнитные силы могут быть выведены из квантовой электродинамики.
В самом деле, существующая квантовая теория поля всегда дает
силу, действующую между элементарными частицами (например,
электронами), которая обусловливается другими элементарными
частицами (например, фотонами), когда оба типа частиц (напри-
(например, электроны и фотоны) взаимодействуют друг с другом. Мы
не будем рассматривать силу тяготения*), потому что пока еще
не ясно, может ли она быть правильно описана с помощью меха-
механизма взаимодействия элементарных частиц; во всяком случае,
известно, что константа связи гравитационного поля с другими
полями очень мала в сравнении с другими известными константа-
константами связи. Силы, действующие между нуклонами, не могут быть
чисто электромагнитного происхождения, так как нейтрон не име-
имеет электрического заряда и известно из эксперимента, что ядерные
') См. также Щ.
') Автор называет электроны иегатонами (negaton), а позитроны — пози-
тонами (positon), с тем чтобы под термином электроны понимать и негатоны
и позитоны. Однако эта терминология не привилась в нашей литературе, хотя
под термином электроны часто понимают электроны и позитроны. При переводе
мы придерживались этого правила, в конкретных же случаях использовались
соответственно термины электрон и позитрон.— Прим. ред.
') Недавно существование антипротона (т. е. протона с отрицательным
зарядом) было доказано экспериментально на беватроне группой Сегре [146].
Точно так же на беватроне был открыт антинейтрон [147] (нейтрон, у которого
магнитный момент параллелен спину).— Прим. ред.
*) Поэтому везде в этой книге специальная теория относительности будет
именоваться просто теорией относительности.
* X. Умэдзава

18 Гл. 1. Историческое введение
силы превышают более чем в 100 раз электромагнитные силы
(см. гл. 7, пример 11).
С тех пор, как Гейзенберг опубликовал свою теорию строения
ядра, делались попытки развить ее в двух направлениях: по ли-
линии создания феноменологической теории ядерных сил и по ли-
линии приложения теории элементарных частиц к ядрам. Многие
авторы развивали феноменологические теории ядерных сил, беря
различные потенциалы и сравнивая полученные таким путем тео-
теоретические результаты с экспериментальными данными. Они изу-
изучали стационарные состояния легких ядер, особенно дейтрона, и
рассеяние нуклонов на нуклонах, а затем применяли полученные
из экспериментов сведения о ядерных силах к изучению свойств
более тяжелых ядер.
Тяжелые ядра имеют весьма характерную особенность, так
называемое насыщение. Если бы все нуклоны в ядре (с массовым
числом п) взаимодействовали друг с другом обычно, т. е. по прин-
принципу взаимодействия двух тел, то энергия связи была бы про-
пропорциональна п*, а не п, как известно *из эксперимента. Это
напоминает валентности в теории химической связи. Каждая ча-
частица, по-видимому, выбирает небольшое число других частиц, с
которыми она взаимодействует. Исходя из этой аналогии, Гейзен-
Гейзенберг в своей феноменологической теории ядерных сил ввел пред-
представление об обменных силах. Размеры области действия ядерных
сил между двумя нуклонами равны на основе феноменологических
оценок примерно 2-10~13 см, что намного меньше области дейст-
действия электромагнитных сил.
Как сказано выше, ядерные силы нельзя свести к электро-
электромагнитному взаимодействию. Уже два десятилетия известны эле-
элементарные частицы, взаимодействующие с нуклонами, — электроны
и нейтрино. Иваненко [65] и Тамм [117] ввели в теорию ядерные
силы, которые обусловлены взаимодействием электронов и нейтри-
нейтрино с нуклонами (т. е. ^-взаимодействие). Позднее мы покажем, что в
существующей квантовой теории поля магнитный момент каждой
элементарной частицы должен включать также и вклад от взаимодей-
взаимодействия с другими элементарными частицами. Поэтому, если считать,
что ядерные силы обусловлены р-взаимодействием, то следует
принять, что магнитные моменты нуклонов должны быть связаны с
этим взаимодействием. Вик [135] и Вейцзекер [132] исследовали
вопрос о том, может ли указанный механизм дать правильную
величину магнитных моментов протона и нейтрона B,8 ehj2Mc,
—l,9eh/2Mc, где Ж —масса нуклона). Однако оказалось, что вели-
величина ядерной силы и аномальной части магнитного момента,
даваемые теорией р-взаимодействия, слишком малы по сравнению
с экспериментальными данными. К тому времени не было извест-
известно других элементарных частиц, и поэтому возник вопрос, мож-
можно ли вообще вывести ядерные силы из квантовой теории поля.

§ 4. Краткий обзор известных элементарных частиц 19
Однако эта трудность была разрешена с помощью весьма
простой идеи, правомерность которой может быть проверена со-
соответствующим экспериментом. В существующей квантовой тео-
теории можно показать [136], исходя лишь "из принципа неопреде-
неопределенности (см. гл. 12), что величина массы частицы, обусловли-
обусловливающей силу с радиусом действия г, равна x = (hjrc). Подставляя
в эту формулу значение г, полученное при феноменологических
исследованиях ядерных сил, мы видим, что ядерные силы долж-
должны быть обусловлены элементарными частицами с массой покоя
х = 200 т (т — масса электрона). Эту частицу, мезон, ввел в теорию
Юкава [140]. Далее мезонная теория давала возможность получить
обменные силы различной величины. Однако обменные силы еще
не дают полного решения проблемы насыщения ядерных сил. Как
отмечено выше, проблемы ядерных сил и аномального магнитно-
магнитного момента нуклона связаны между собой самым тесным обра-
образом. Позднее мы обсудим вопрос об аномальном магнитном момен-
моменте нуклона на основе мезонной теории. В 1936 г. Андерсон и Нед-
дермейер с помощью камеры Вильсона открыли в космических
лучах частицу с массой около 200 т, а Оппенгеймер, Штюкельберг
[113] и Юкава [141] указали, что эта новая частица может быть
мезоном Юкавы 1). Это открытие вызвало новый интерес к теории
элементарных частиц и возродило надежды на то, что формализм
квантовой теории поля, являющейся обобщением квантовой электро-
электродинамики, оправдает себя.
§ 4. Краткий обзор известных элементарных частиц
Вслед за открытием мезона появились сообщения о существо-
существовании многих элементарных частиц.
Космические лучи состоят из двух компонент — жесткой ком-
компоненты (проникающей сквозь слой свинца толщиной 10 см) и
мягкой компоненты (поглощаемой в слое свинца толщиной 10 см).
Жесткая компонента состоит главным образом из мезонов. Как
показывают наблюдения, мезоны, содержащиеся в космических
лучах, распадаются в течение очень короткого промежутка вре-
времени (=& 10~6 сек.) на электроны и нейтральные частицы. Этот
распад впервые наблюдали Вильяме и Роберте [137] с помощью
камеры Вильсона. Указанное выше значение времени жизни уста-
установлено на основе наблюдения различных явлений в космических
•лучах. Разетти [100] и Мейзе [87] измерили непосредственно
время жизни мезона относительно каждого процесса распада. На
основе закона сохранения энергии можно ожидать, что вместе с
электроном образуется нейтральная частица.
') Андерсон и Неддермейер открыли р.-мезоны. Ядерные мезоны Юкавы
следует отождествить с я-мезонами, открытыми несколько позднее (см. ниже).—
Прим. ред.

20 Гл. 1. Историческое введение
Процесс распада мезона был принят во внимание также в
теории Юкавы, в которой предполагается, что ^-распад не яв-
является прямым следствием превращения нуклонов, сопровождае-
сопровождаемого излучением электрона и нейтрино, но что сначала в виде
промежуточного состояния образуется мезон, который в дальней-
дальнейшем распадается на электрон и нейтрино. Поскольку величину
взаимодействия нуклон — мезон и нуклон — электрон можно оце-
оценить исходя из экспериментальных данных о ядерных силах и
^-распаде, то на основании этого можно получить величину взаимо-
взаимодействия мезон — электрон и тем самым определить время
жизни мезонов. Однако подобного рода оценки в качестве време-
времени жизни дают величину 10~8 сек., что примерно на 10~* меньше
экспериментально полученной величины (см. работы Бете и Норд-
гейм [4], Юкава, Саката, Кобаяси и Такетани [144]).
Так как мезоны естественным образом распадаются на элект-
электроны, то следует предположить, что все наблюдаемые в косми-
космических лучах мезоны образуются вблизи поверхности Земли. Более
того, тот факт, что большая часть первичной компоненты косми-
космических лучей, падающих на Землю, состоит из протонов [111],
заставляет предположить, что мезоны должны образовываться в
результате столкновений этих протонов с атомами атмосферы.
Следовательно, для объяснения наблюдаемого количества мезонов
необходимо было предположить, что взаимодействие мезонов с
нуклонами должно быть достаточно сильным. И действительно,
в теории Юкавы для получения правильной величины ядерных сил
это взаимодействие предполагается достаточно большим. Однако
это обстоятельство несовместимо с тем фактом, что мезоны, со-
содержащиеся в космических лучах, имеют малое эффективное сече-
сечение взаимодействия с веществом [138].
Эти трудности были выявлены римской группой физиков [22]
в результате наблюдений космических лучей. Однако еще раньше
Томонага и Араки [124] указывали, что в теории Юкавы почти
все отрицательно заряженные мезоны должны быть захвачены
нуклонами благодаря кулоновскому притяжению и взаимодействию
мезона с нуклонами. Однако эксперименты римской группы пока-
показали, что значительная часть отрицательно заряженных мезонов
не поглощается углеродом, а распадается на электроны. Подроб-
Подробные вычисления Ферми, Теллера и Вайскопфа [41] привели к за-
заключению, что теоретическая и экспериментальная величины эффек-
эффективного сечения захвата различаются между собой множите-
множителем =s 10".
Поскольку трудности оказались слишком серьезными, чтобы
можно было надеяться разрешить их какими-либо усовершенство-
усовершенствованиями вычислений, то была создана „двухмезонная теория",
согласно которой мезоны в космических лучах вблизи уровня моря
не являются теми мезонами, которые, по теории Юкавы, обуслов-

§ 4. Краткий обзор известных элементарных частиц 21
ливают ядерные силы, а представляют собой вторичные продукты
распада мезонов, связанных с ядерными силами, лишь слабо взаимо-
взаимодействующие с веществом. Были сделаны многочисленные по-
попытки разрешить эту трудность. Например, Вайскопф [131] рас-
рассмотрел интересную возможность, основанную на введении понятия
о „содержащем мезон состоянии нуклона". Эти две попытки име-
имели между собой ту общую черту, что они отделяли процесс по-
поглощения мезона от процесса его порождения. В 1942 г. двухмезон-
ную теорию развили Саката, Таникава и др. Независимо двух-
мезонная теория была разработана также Маршаком и Бете [86].
Двухмезонная теория была экспериментально подтверждена
бристольской группой физиков (Латтес, Оккиалини и Пауэлл [80]).
С помошью метода фотопластинок они показали, что более тяже-
тяжелые мезоны, получающиеся в результате ядерных взаимодействий,
распадаются на более легкие мезоны. С этого времени техника
фотоэмульсий дала замечательный вклад в наши знания о свойст-
свойствах новых элементарных частиц.
В двухмезонной теории имеется следующая схема взаимодей-
взаимодействий: ядерный мезон (который со времени экспериментов бри-
бристольской группы называется тг-мезоном) сильно взаимодействует
с нуклонами и приводит к возникновению ядерных сил. Поскольку
роль этого мезона эквивалентна роли частицы, которую ввел
Юкава, можно сказать, что окончательная идентификация мезона
Юкавы была дана экспериментами бристольской группы. Как было
сказано выше, мезоны, содержащиеся в космических лучах на
уровне моря, слабо взаимодействуют с нуклонами и самопроиз-
самопроизвольно распадаются на электроны с временем жизни -v. 10~6 сек.
Эти мезоны сейчас называются ц-мезонами. Многими авторами [82]
экспериментально показано, что число нейтральных частиц, обра-
образующихся при распаде ц.-мезона,—больше двух; тг-мезоны распа-
распадаются с образованием ц.-мезонов с временем жизни -v. 10~8 сек.
Точные измерения времени жизни тт-мезонов были проведены Ри-
Ричардсоном [103], исследовавшим искусственно полученные мезоны.
Закон сохранения энергии требует, чтобы при распаде тт-мезона
наряду с ц-мезоном образовывалась нейтральная частица очень
малой массы. Таким образом, протоны первичных космических
лучей в результате столкновений с атомами атмосферы приводят
к рождению тт-мезонов; эти тт-мезоны распадаются на ц.-мезоны,
которые в свою очередь распадаются с образованием электронов.
При этом для детальной картины взаимодействия нуклонов, тт- и
Д-мезонов и электронов имеются различные возможности; например,
к ^-распаду ядер могут привести как прямое взаимодействие меж-
между нуклоном и электроном, так и одновременно осуществляющие-
осуществляющиеся взаимодействия тг-мезон — нуклон и тг-мезон — электрон.
Много усилий было затрачено на создание теории (например, Ти-
омно и Уиллер [121], Такетани, Накамура и Сасаки [116J,

22 Гл. 1. Историческое введение
Юкава [142]), которая давала бы близкие к эксперименту результаты
(см. гл. 7, пример 11). Отсюда можно сделать вывод, что jS-pac-
пад не является процессом, обусловленным исключительно только
тт-мезонами.
В 1948 г. с помощью бомбардировки мишени а-частицами,
ускоренными на Берклеевском циклотроне, удалось искусственно
получить тг-мезоны. С помощью искусственно полученных мезо-
мезонов были достигнуты значительные .успехи в мезонной физике.
В частности, было показано (Маршак [85], Честон [19], Дурбин,
Лоар и Штейнбергер [35], Кларк, Роберте и Вильсон [21]), что спин
тг-мезона равен нулю и что тг-мезон по всем данным является
псевдоскалярной частицей (см. гл. 10, пример 6).
Треки нейтральных мезонов нельзя непосредственно наблюдать
в камере Вильсона или на фотопластинке. Однако экспериментальные
данные о ядерных силах заставляют предполагать существование
нейтральных ядерных мезонов (которые сейчас называются тг°-ме-
зонами). Тот факт [16], что эффективное сечение рассеяния нук-
нуклонов на нуклонах при низких энергиях не зависит от зарядо-
зарядового состояния нуклона (за исключением случая /7/7-рассеяния,
когда действует кулоновская сила), показывает, что в общую
величину ядерной силы имеется вклад от нейтральных ядерных
мезонов (Фрелих, Гайтлер и Кеммер [47], Юкава, Саката, Ко-
баяси и Такетани [144]). В 1940 г. Саката и Таникава показали
на основании квантовой теории, что нейтральный ядерный мезон
должен очень быстро распадаться на фотоны (см. гл. 13, при-
пример 3); он должен испытать распад либо на два, либо на три
фотона, в зависимости от того, равен ли его спин нулю или еди-
единице. Этот вывод заставил предполагать, что фотоны, получа-
получающиеся в результате распада нейтральных мезонов, дают значи-
значительный вклад в мягкую компоненту космических лучей. Так
называемые атмосферные ливни, наблюдаемые в космических лучах,
также приводят к предположению о существовании фотонов, обра-
образовавшихся в результате распада нейтральных мезонов. Более того,
опыты с фотопластинками, облученными на высоте около 33 кл,
[70], дали фотографии, по-видимому, продемонстрировавшие распад
нейтральных мезонов на фотоны. В 1950 г. с помощью бомбарди-
бомбардировки бериллиевой мишени ускоренными" протонами [7] берклеев-
ской группе удалось искусственно получить нейтральные мезоны,
которые распадались на два фотона. Согласно современной кван-
квантовой теории, из этого факта следует, что спин нейтрального ме-
мезона равен нулю (см. гл. 13, пример 2).
В 1947 г. Рочестер и Батлер обнаружили новые положительно
заряженные и нейтральные частицы с массами около 1000 т. С тех
пор сообщалось о многих наблюдениях над новыми элементарными
частицами. Эти частицы названы А-, 0-, х-, %- и «-частицами и т. д.
(см. гл. 4, § 5). В современной квантовой теории поля прини-

§ 5. Квантовая теория поля и ее трудности 23
мается, что эти частицы имеют определенные спины, массы и
заряды').
Предположение о том, что все эти частицы являются квантами
действительно различных полей, вероятно, носит предварительный
характер и справедливо только при определенных ограничениях
(например, в области не слишком больших энергий, не очень
больших величин константы связи и т. д.), когда можно пренеб-
пренебречь внутренним строением частиц. Однако можно надеяться, что
на этом пути удастся понять взаимосвязь между частицами и в
конце концов построить их общую теорию.
Проблема структуры частиц много раз обсуждалась в связи с
основными трудностями, свойственными современной квантовой
теории поля. Этой проблемы мы коснемся в последующих пара-
параграфах.
§ 5. Квантовая теория поля и ее трудности
Как было указано выше, характерной чертой элементарных
частиц является их взаимопревращаемость. Современная квантовая
теория поля была сформулирована Гейзенбергом и Паули [60] как
.обобщение квантовой механики, которое должно было удовлетво-
удовлетворить требованиям теории относительности и позволить трактовать
разнообразные взаимопревращения частиц.
В своей первоначальной формулировке квантовая механика
была ограничена рассмотрением явлений, в которых число частиц
оставалось постоянным, а их скорости были достаточно малы,
чтобы можно было удовлетвориться нерелятивистским приближени-
приближением. Первым обобщением теории явилась релятивистская квантовая
механика частиц, построенная Дираком [26, 27], которая для ре-
решения трудностей с состояниями с отрицательной энергией приве-
привела к построению теории позитронов [28, 29]. В этой последней
теории описываются взаимопревращения электронов и фотонов, и
сейчас мы знаем, что эта теория эквивалентна теории электронно-
электронного поля8) (см. работы Крамерса [76], Иваненко и Соколова [67]).
Электромагнитное поле требует более непосредственного при-
применения квантовой теории поля. В этом случае имеется теория
Максвелла, которая является ковариантной теорией, и явления из-
излучения электромагнитных волн могут рассматриваться как клас-
классическая форма превращений элементарных частиц (электронов
и фотонов): в квантовой теории поля излучение и поглощение
электромагнитных волн рассматриваются соответственно как порож-
порождение и уничтожение фотонов.
') Более подробно об открытых элементарных частицах и их основных
свойствах см. работу [148|. — Прим. ред.
*) Напомним, что под электронами автор понимает как электроны, так а
позитроны. — Прим. ред.

24 Гл. 1. Историческое введение
Сущность квантовой теории поля можно грубо сформулировать
следующим образом: состояние полей в некоторый момент времени
может быть определено с помощью наблюдений во всех точках
поля в этот момент времени. Для того чтобы такое состояние
могло быть определено однозначно, необходимо, чтобы два наблю-
наблюдения в различных точках в одно и то же время не возмущали
друг друга. Это требование автоматически удовлетворяется, если
оказываются удовлетворенными требования теории относительности,
потому что скорость распространения возмущений должна быть
меньше скорости распространения света. Фотон достаточно боль-
большой энергии (^>2тсг, где т — масса электрона) может вызвать из-
изменение состояния электронного поля в веществе (образование
пары электрона и позитрона). Вектор состояния можно рассматри-
рассматривать таким же способом, как и в квантовой механике (т. е. имеет
место принцип суперпозиции, изменение вектора состояния со вре-
временем в соответствии с уравнением Шредингера и т. д.).
Квантовая электродинамика в своем развитии основывалась на
некоторых экспериментальных фактах о квантовых особенностях
систем, состоящих из электрона и электромагнитного поля (см.
гл. 6), и достигла блестящих успехов, например, в теории каскад-
каскадных ливней. В 1932 г. стало ясно, что проникающая способность
космических лучей через свинец больше вычисленной при учете
потерь на излучение и ионизацию. В 1933 г. Блэккетт и Оккиа-
лини открыли явление, в котором происходит одновременное обра-
образование многих заряженных частиц, т. е. открыли ливни. Это
явление было объяснено каскадной теорией (Карлсон и Оппенгеймер
[17], Баба и Гайтлер [6]) как процесс повторного образования пар
фотонами и излучения фотонов электронами высокой энергии *). Это
показывает, что квантовая электродинамика может быть успешно
применена в области даже очень высоких энергий. Однако сильно
проникающая часть космических лучей, т. е. жесткая компонента,
о которой говорилось в § 3 и 4, оставалась необъясненной.
В 1936 г. Дирак обобщил свою релятивистскую теорию элект-
электрона на случай произвольного спина. В деталях эту теорию иссле-
исследовали Фирц и Паули [45] (см. гл. 4). Для нулевого спина теория
уже раньше (в 1934 г.) была разработана Паули и Вайскопфом.
В 1940 г. Паули выяснил соотношение между спином и статисти-
статистикой; элементарные частицы с полуцелым спином (электроны, нук-
нуклоны и т. д.) должны подчиняться статистике Ферми, а с целым
спином (например, фотоны) — статистике Бозе (см. гл. 8). Общие
типы релятивистских волновых уравнений рассмотрены в гл. 5.
Работы по общей теории элементарных частиц нашли свое при-
применение в мезонной теории. Юкава, Саката, Такетани и Кобаяси
[144], а также Кеммер [73] и Баба [5]1) исследовали мезонную
') См. также [149, 150]. — Прим. ред.

§ 5. Квантовая теория поля и ее трудности 25
теорию для различных типов мезонов. Теоретически говоря, следует
ожидать наличия в природе всех типов элементарных частиц, кг
которым приводит общая теория релятивистских волновых уравне-
уравнений. Поэтому очень интересным является вопрос о том, какие же
из всех мыслимых типов элементарных частиц реализуются в
природе.
По-видимому, для ответа на этот вопрос необходимо углубить
знания структуры элементарных частиц. Эта проблема исследова-
исследовалась многими авторами в связи с серьезными затруднениями
современной теории элементарных частиц. Однако ввиду того, что
эта проблема имеет несколько академический характер, более пло-
плодотворные результаты были получены при изучении более кон-
конкретного вопроса о взаимодействиях элементарных частиц, осущест-
осуществляющихся в природе. Следует подчеркнуть, что последняя проб-
проблема наполняет указанную выше более академическую проблему
конкретным содержанием.
В числе трудностей, возникающих в связи с вопросами о струк-
структуре элементарных частиц, можно назвать классическую теорию-
электрона Лоренца. В классической электромагнитной теории со-
сосредоточение конечного заряда определенного знака в точке при-
приводит к появлению бесконечной энергии, связанной с кулоновским
полем. В соответствии с хорошо известным соотношением Эйн-
Эйнштейна, связывающим энергию и массу, такой электрон имеет
бесконечную массу и быстро распадется. В теории Лоренца на
электрон (кроме силы от внешнего поля) действует следующая
сила:
Первый член соответствует упомянутому выше возрастанию
энергии, обязанному собственному полю, т. е. электромагнитному
полю, возбуждаемому самим электроном. Действительно, поскольку
этот член пропорционален ускорению, он связан с изменением Ьт
в величине массы электрона. Второй член проистекает от эффекта
затухания, т. е. уменьшения энергии, вызванного излучением. Члены,
обозначенные многоточием (...), зависят от распределения заряда
внутри электрона1).
Эффекты, связанные с силой (F), называются эффектами само-
самодействия. Так как Ьт ~- 1/й (с — радиус электрона), то при стяги-
стягивании электрона в точку его масса становится бесконечной.
Чтобы обойти эту трудность, были сделаны многочисленные
попытки построить модель подходящим образом протяженного
электрона. Однако эта проблема была слишком умозрительной,.
]) Классическая теория электрона Дирака [33] сформулирована в ковариант-
ном виде, и члены высшего порядка (^3) в выражении для (F) в этой теории
равны нулю. Его „новая классическая теория электрона" опубликована в 1952 г.

26 Гл. 1. Историческое введение
чтобы привести к определенному заключению. По-видимому, более
подходящим путем являются поиски эффектов, связанных с собст-
собственным полем, которые дают ключ к разгадке этой трудности.
Попытки разрешить проблему бесконечной собственной массы
электрона были сделаны многими авторами (Борн и Инфельд [14],
Бопп [12], Дирак [33] и т. д.). Боппу удалось получить устой-
устойчивый электрон путем добавления энергии, знак которой противо-
противоположен знаку бесконечной электромагнитной энергии электрона.
Этот метод может быть приведен в качестве примера метода ком-
компенсирующего поля, в котором для получения устойчивого элект-
электрона для компенсации кулоновского отталкивания вводится сила
притяжения между зарядами одинаковых знаков. Представление о
компенсирующем поле впервые ввел Пуанкаре [99]. Подробное ис-
исследование вопроса о компенсирующем поле в классической теории
было проведено Штюкельбергом [114], который показал, что вве-
введением компенсирующего поля нейтрального скалярного типа можно
построить непротиворечивую теорию электрона (см. также [151]).
В квантовой теории поля этот вопрос исследовали независимо
Саката [107] и Пайс [91], показавшие, что трудности бесконечной
массы можно преодолеть с помощью компенсирующего нейтраль-
нейтрального скалярного поля. Это компенсирующее поле названо С-мезон-
ным, или /-полем, а теория — смешанной теорией, или теорией
компенсирующего поля.
Ввиду того, что компенсирующее поле может быть введено
тем же самым методом, как и в квантовой электродинамике, при-
применение этого метода к различным проблемам не должно представлять
трудности. При этом можно получить выводы, справедливость ко-
которых не зависит от конкретного вида компенсирующего поля [107].
Поэтому можно построить непротиворечивую теорию, не пользуясь
каким-либо компенсирующим полем, но используя характерные мо-
моменты из теории с компенсирующим полем. Саката назвал этот
метод методом „конкретного и абстрактного".
В любой теории структуры элементарных частиц необходимо
учесть их внутренние степени свободы. В теории смешанных полей
этим степеням свободы соответствуют различные спины и массы
компенсирующих полей. Делались неоднократные попытки связать
внутренние степени свободы с внутренними движениями (модель
Уленбека и Гаудсмита [126], Весселя [134], Хенля [61], Хенля и
Папапетроу [62]). В этих теориях вместо энергии, обусловленной
взаимодействием с компенсирующим полем, выступает энергия внут-
внутреннего движения. Если момент количества движения mav элект-
электрона, вращающегося с угловой скоростью vja (v — скорость точек
на поверхности электрона, а — радиус электрона), приравнять ве-
величине спина A/2)А, то получится равенство a = (l/2)(A//wy). Ввиду
того, что v^c (с — скорость света), получается, что радиус элект-
электрона ненамного меньше комптоновской длины волны (kjmc). С дру-

§ 5. Квантовая теория поля и ее трудности 27
гой стороны, приравнивая энергию покоя электрона тсг к величине
й Ц*/!) A/137)(й/)
р
электромагнитной энергии, получаем Ц) (/)(/)
что при v^c не согласуется с найденным выше результатом. Этот
б
р у ру
аргумент, по-видимому, указывает на необходимость введения энер-
энергии неэлектромагнитного происхождения (Борн и Шредингер [15j).
Как с каждым электроном связано электромагнитное поле, так
и каждое электромагнитное поле связано с бесконечным числом
электронов, что приводит к явлению, называемому поляризацией
вакуума. Согласно квантовой теории поля, эффекты поляризации
вакуума в различных явлениях выступают как бесконечности. К этим
проблемам была применена идея компенсирующего поля (Райский
[101], Умэдзава, Юкава и Ямада [129]). В качестве абстрактной
теории, соответствующей теории компенсирующего поля, можно
назвать теорию регуляризации1), которую развили Паули и Вил-
ларс [97] и в которой в явном виде не используется какое-либо
компенсирующее поле.
В том случае, когда используется модель протяженного элект-
электрона, взаимодействие электрона с электромагнитным полем не со-
сосредоточивается в точке, а происходит в некоторой протяженной обла-
области. Такое взаимодействие называется нелокальным. Различные ха-
характеристики нелокального взаимодействия исследовали многие
авторы (например, Ватагин [130], Бопп [13], Блох [10], Кристенсен
и Меллер [77], Паули [95], Шретьен и Пайерлс [20], Умэдзава и
Такахачи [128], Катаяма [71], Хайяши [51] и т. д.). Юкава [143] раз-
развил нелокальную теорию, в которой поля имеют нелокальный ха-
характер даже тогда, когда никакого взаимодействия нет. Эта теория
исследовалась также многими авторами (например, Иенни [139],
Райский [102], Хара и Шимазу [50], Токуока и Катаяма [122] и
т. д.). Эти теории автоматически дают значения различных масс
и спинов [144, 102]. Юкава исследовал спектр масс в теории нело-
нелокального поля с нелокальным взаимодействием.
В теории протяженного электрона возникает трудность с со-
соблюдением принципа причинности; обычная формулировка принципа
причинности для области внутри электрона не может иметь места.
В самом деле, Штюкельберг [115] показал, что требование причин-
причинности приводит к теории 5-матрицы Дайсона современной квантовой
теории поля бесструктурных элементарных частиц (см. гл. 13).
Гейзенберг [57] построил теорию8), в которой все частицы конст-
конструируются из некоторого основного поля со спином '/,. Гей-
Гейзенберг и Фирц исследовали эту теорию в 1950 г. с точки зрения
принципа причинности и показали, что хотя эта теория и
') Правила регуляризации, используемые в этой теории, могут быть полу-
получены из формальной теории компенсирующего поля [92]. В этой теории Пайс
и Уленбек подчеркнули важность свойства .распространения*.
2) Невозможно сконструировать частицу с полуцелым спином с помощью
частиц с целым спином.

28 Гл. 1. Историческое введение
устраняет некоторые трудности с бесконечностями, однако обычный
принцип причинности не может в ней иметь места в области вблизи
элементарных частиц. Например, пользуясь обычным способом
выражения, можно говорить о довольно странных процессах (про-
(происходящих „в короткий промежуток времени"), в которых частицы
сначала аннигилируют (из состояния, в котором их нет) и лишь
затем порождаются (а не порождение и затем аннигиляция!). По-
Поэтому необходимо прежде всего дать подходящую интерпретацию
этих математических результатов.
Почти во всех теориях, обсужденных в настоящем параграфе,
можно отметить определенные соотношения между массами эле-
элементарных частиц. Установление этих со.ггношений является одной
из важных проблем теории элементарных частиц.
§ 6. Наблюдаемые эффекты собственных полей
Получить какие-либо определенные заключения из изложенных
выше теорий невозможно ввиду их умозрительного характера. Так
как трудности возникают в связи с эффектами собственных полей,
то можно ожидать, что реальной базой для изучения проблемы
внутреннего строения элементарных частиц могут явиться наблю-
наблюдаемые эффекты, обусловленные собственными полями известных
элементарных частиц.
Наблюдаемые эффекты собственных полей могут дать важные
указания о пределах применимости современной квантовой теории
поля. Другими словами, можно ожидать, что эти эффекты прольют
некоторый свет на вопрос о том, почему ряд приближенных резуль-
результатов квантовой электродинамики (в которых эффекты собственного
поля не принимались во внимание) находится в блестящем согласии
с экспериментами.
Современная квантовая теория поля дает нам возможность
вычислить вероятность наблюдения всех частиц, которые, подобно
облаку, расположены в окрестности частицы, являющейся их источ-
источником, причем эта частица — источник и облако (т. е. собственное
поле)—наблюдаются вместе как частица (см. гл. 12). Например,
каждый электрон окружен облаком электромагнитного поля. Больше
того, существует взаимодействие между облаком и частицей —
источником, порождающим это облако, что приводит к так назы-
называемой реакции со стороны собственного поля. Плотности частиц
высоких энергий собственного поля увеличиваются в точках вблизи
источника и приводят к различным трудностям с бесконечностями,
например к бесконечной массе.
Облако заряженных частиц, связанных с электромагнитным
полем, приводит к эффектам так называемой поляризации вакуума,
благодаря которым, например, наблюдаемая величина заряда е
включает вклад Ье от заряженных частиц облака. Однако суще-

§ 6. Наблюдаемые эффекты собственных полей 29
ствующие вычисления для величины Ье дают бесконечное значение
(см. гл. 13, пример 6).
Соприкосновение облака элементарной частицы с другой части-
частицей приводит к возникновению взаимодействия между ними. Это
взаимодействие известно в квантовой теории как контактное вза-
взаимодействие (см. гл. 12). Облако собственного поля (массы х)
сосредоточено в основном в области радиуса r-(kjxc) вокруг
частицы, являющейся источником [136]. Главная часть ядерной
силы возникает за счет мезонного поля вблизи нуклона.
Движение частицы вместе с ее собственным полем отличается
от движения голой частицы, следовательно, в обоих этих случаях
мы имеем дело с различными моментами количества движения.
Более того, сами собственные поля обладают моментом коли-
количества движения. Поэтому частицы с собственным полем имеют
другие магнитные моменты, чем голые частицы. Например, на
основании теоретических соображений можно ожидать наличия у
электрона небольшого аномального магнитного момента (т. е. от-
отклонения от собственного магнитного момента —Ке\2тс), обязан-
обязанного наличию собственного электромагнитного поля. В силу того,
что взаимодействие между нуклонами и мезонами сильнее электро-
электромагнитного взаимодействия, можно ожидать легко наблюдаемых
эффектов собственного мезонного поля: например, главная часть на-
наблюдаемого аномального магнитного момента нуклонов связана
с собственным мезонным полем. Однако теоретические расчеты
снова приводят к бесконечностям.
Начиная с 1936 г., Гейзенберг анализировал вопросы примени-
применимости квантовой теории поля в связи с наблюдаемыми эффектами
собственного поля и удивительными успехами квантовой электро-
электродинамики [53—55].
Ввиду того, что эффекты собственного поля тесно связаны со
структурой элементарных частиц, естественно ожидать, что при-
применимость квантовой теории поля зависит от того, существенны ли
эффекты собственного поля или нет, и поэтому, когда эти эффекты
становятся достаточно большими с точки зрения применяемой тео-
теории, явление начинает зависеть от структуры элементарных частиц.
В квантовой электродинамике эффекты собственного поля ввиду
слабого взаимодействия собственных полей могут рассматриваться
как слабые возмущения. Свой анализ Гейзенберг [55] начал с клас-
классификации взаимодействий, разбив их на два класса — взаимодействия
1-го и 2-го рода. В первом случае квантовая теория поля при-
приводит к заключению, что плотность частиц собственного поля не
зависит существенно от их энергии, тогда как во втором случае
плотность сильно возрастает с ростом энергии частиц собственного
поля.
Математическим выражением этой классификации является раз-
размерность констант взаимодействия. В общем случае константа

30 Гл. 1. Историческое введение
взаимодействия имеет размерность [D] с различными значениями 7}
([/.]—размерность длины). Взаимодействия 1-го и 2-го рода харак-
характеризуются значениями т]^0 и т]>0 (см. гл. 15). Гейзенберг
ожидал, что взаимодействия 1-го и 2-го рода различаются приме-
применимостью (для 1-го рода) и неприменимостью (для 2-го рода) кван-
квантовой теории поля. Условие применимости называется условием
Гейзенберга — Оппенгеймера, поскольку оно было подробно иссле-
исследовано Оппенгеймером и др. [90].
Кроме того, Гейзенберг предложил теорию, справедливую вне
области применимости квантовой теории поля и основанную на
введении в теорию фундаментальной длины га, существование
которой можно было ожидать на основании следующих соображе-
соображений: в современной квантовой теории поля собственные поля харак-
характеризуют области вблизи элементарной частицы. Так как трудности
с бесконечностями проистекают за счет вклада от частиц высоких
энергий собственных полей, особенности этих полей, предсказываемые
современной теорией, должны быть модифицированы в будущей
теории. Поэтому представляется необходимым ввести величину
го:=(Дс/?'о), разделяющую области низких и высоких энергий таким
образом, чтобы упомянутые выше высокие энергии соответствовали
энергиям, превышающим Ео. Тбчно таким же образом, как излу-
излучения высоких энергий, которые приводили к трудностям, указан-
указанным Рэлеем, были устранены в теории Планка с помощью посто-
постоянной Планка h, величина /•„ может играть роль параметра обрезания
области высоких энергий собственного поля. Трудности появляются
только тогда, когда современная квантовая теория поля применяется
недостаточно осмотрительно без учета эффектов, зависящих от га.
В случае частиц с длинами волн, много большими г0, следует счи-
считать, что эффекты собственного поля окажутся полностью вклю-
включенными в постоянные, т. е. в заряды и массы. С другой стороны,
в явлениях, связанных с частицами с малыми длинами волн (<^г0),
следует ожидать значительных динамических эффектов собственных
полей.
Обрезание области высокой энергии собственного поля пред-
представляется особенно необходимым для взаимодействий 2-го рода,
потому что распределение вероятностей частиц высоких энергий в
этом случае значительно больше, чем при взаимодействиях 1-го
рода.
Другой причиной введения константы длины г„ в теорию яв-
является необходимость иметь в теории спектра масс такую посто-
постоянную, потому что, пользуясь только постоянными hue, невоз-
невозможно получить некоторую константу размерности массы. Однако
характерные особенности, связанные с введением константы длины
га в теорию, еще недостаточно выяснены, поскольку неизвестно
какое-либо конкретное значение для гй и неясно, каким образом
Эту величину можно измерить. Взаимодействия 2-го рода могут

§ б. Наблюдаемые эффекты собственных полей 31
привести к явлениям, сильно зависящим от свойств собственных,
полей. В качестве примера подобного рода явлений Гейзенберг
указал на множественное рождение частиц. Если в мезонном соб-
собственном поле нуклона имеется много мезонов высокой энергии, то
под влиянием внешнего поля они могут оторваться от нуклона.
Такую теорию множественного рождения мезонов разработал»
Льюис, Оппенгеймер и Воутхаузен [84] (см. гл. 12). Гейзенберг
[56, 59] рассмотрел множественное рождение по аналогии с теорией
турбулентности. Существовала еще одна теория множественного-
рождения, основанная на аналогии с излучением черного тела.
Эта теория была предложена Гейзенбергом [55] и развита Ферми
[40]. В этой теории явление множественного рождения не связано'
со свойствами собственного поля мезона, потому что энергия
столкновения быстро распределяется по всему облаку мезона,
благодаря чему образуются новые состояния равновесия и порож-
порождаются мезоны. Недавно явление множественного рождения на-
наблюдалось на фотопластинках (бристольская группа). Хотя до сих.
пор не выяснено, принадлежит ли взаимодействие мезона с нуклоном
к взаимодействию 2-го рода или не принадлежит, однако можно
ожидать, что явление множественного рождения добавит новые
черты к теории элементарных частиц.
В свете анализа, проведенного Гейзенбергом, экспериментальные
успехи квантовой электродинамики объясняются тем, что взаимо-
взаимодействие между электронами и электромагнитными полями при-
принадлежит к взаимодействиям 1-го рода. Однако это объяснение
представляется неполным, потому что, несмотря на предполагаемый
характер взаимодействия 1-го рода, в теории все же присутствуют
бесконечности. С другой стороны, Ватагин [130] выдвинул так
называемое условие применимости Гейзенберга — Ватагина, согласно-
которому все явления, связанные с высокими энергиями (> Еа),
находятся вне области применимости квантовой теории поля не-
независимо от рода взаимодействия. Однако это условие не в состо-
состоянии объяснить успеха квантовой электродинамики. Как обсуждается
позднее, причина этого противоречия отчасти выяснена „теорией
перенормировок" в связи с наблюдаемыми эффектами электро-
электромагнитных собственных полей.
Уже давно имелись определенные указания на реальность эф-
эффектов, связанных с электромагнитным собственным полем. На-
Например, вычисление без учета эффекта собственных полей дает
бесконечную вероятность для рассеяния электрона внешним полем
(«инфракрасная катастрофа"). В 1937 г. Блох и Нордсик указали,,
что эта бесконечность исключается, если принять во внимание
вклад фотонов малых энергий собственного поля (см. гл. 13, при-
пример 4-I). Однако непоследовательно учитывать эффекты от фотонов
1) Упоминавшаяся выше теория множественного рождения Льюиса, Оппен-
i еймера и Воутхаузена основывается также на методе Блоха — Нордсика.

32 Гл. 1. Историческое введение
малых энергий и пренебрегать эффектами от фотонов высоких
энергий. Фотоны высоких энергий приводят также к бесконечности
(„ультрафиолетовая катастрофа"). Эта трудность, разобранная де-
детально Паули и Фирцом [96], мешает получить в проблеме рассе-
рассеяния определенный ответ относительно эффектов собственного
поля. Более определенное указание на эффекты собственного поля
было пЬлучено при анализе атомных спектров. Хорошо известно,
что одним из успехов релятивистской теории электрона Дирака
было объяснение тонкой структуры уровней энергии атомных
электронов. Однако в этих вычислениях не принимались во внима-
внимание эффекты собственного поля. Препятствием к более детальному
исследованию результатов теории Дирака был эффект Допплера
и столкновения атомов, которые приводят к уширению спектраль-
спектральных линий (см. гл. 16). Однако многие исследователи замечали
различие в несколько процентов между теоретическими предска-
предсказаниями и результатами экспериментов. В частности, Пастернак [93]
указал, что 25-уровень атома водорода лежит выше на ~~ 0,03 см'1,
чем это дает теория.
Используя микроволновую радиотехнику, Лэмб и Ризерфорд
[79] смогли измерить точную величину энергии 22Si,,-уровня атома
водорода с помощью следующего метода. Бомбардировкой элек-
электронами водород возбуждался из своего основного состояния в
состояние 225i/a. Состояние 2*S>-,, являющееся метастабильным
(время жизни 0,15 сек.), может быть с помощью ультракоротких
радиоволн (длина волны около 3 см) быстро превращено в состоя-
состояние 2гР,, а из состояния 2!Р,, происходит быстрое превращение
(время жизни 1,6-10~9 сек.) в состояние 15. Точная величина длины
волны, соответствующей разнице энергий между 22Pi <2- и 2!5i,-состоя-
2!5i,-состояниями, может быть измерена с помощью резонансного эффекта.
Результаты показывают, что в противоречии с теорией Дирака
и в хорошем согласии с предсказанием Пастернака 22&.,- уровень
лежит выше 22Р./2-уровня на -^1000 мггц (т. е. примерно 0,033 си*).
Этот сдвиг уровней назван лэмбовским сдвигом.
Таким образом, вычисления, в которых не учитываются эффекты
собственного поля, приводят к неправильным результатам даже в
квантовой электродинамике. Еще раньше многие авторы (Кэмбл
и Презент [72], Пастернак [93], Фрелих, Гайтлер и Кан [46]) пы-
пытались объяснить отклонение энергии уровней атомных электронов
от результатов теории Дирака соответствующим изменением куло-
новского поля вблизи протона. С другой стороны, Юлинг [125]
вычислил добавок к энергии уровня электрона в атоме водорода
только от собственного поля электрона (т. е. эффект поляризации
вакуума), индуцированный электромагнитным полем протона. Однако
эта идея не имела успеха ввиду того, что получился неправильный
знак результата.

§ 7. Развитие теории перенормировок 33
§ 7. Развитие теории перенормировок
В 1947 г. Бете объяснил лэмбовский сдвиг уровней как эффект
электромагнитного собственного поля. Вклад собственного поля
электрона в массу, хотя он бесконечен, должен быть включен в
наблюдаемую массу электрона. Поэтому можно ожидать, что лэм-
лэмбовский сдвиг уровней может быть вычислен как разность вкладов
собственного поля в энергию электрона в свободном состоянии
и в кулоновском поле протона. Хотя эти вклады собственного
поля бесконечны, их разность может быть конечной величиной.
В соответствии с этой идеей Бете удалось вычислить сдвиг уровней
и получить результат, согласующийся с экспериментом. Ввиду
того, что достаточно последовательной формулировки этой идеи
не существовало, он провел лишь нерелятивистский расчет и
искусственно устранил бесконечность.
Таким образом, возникает вопрос, можно ли бесконечный вклад
от собственного электромагнитного поля электрона включить в
массу электрона независимо от его состояния.
Роль реакции излучения в различных явлениях исследовалась
многими авторами. В 1939 г. Данков, приняв во внимание резуль-
результаты Блоха — Нордсика и Паули — Фирца (о которых говорилось
в предыдущем параграфе), вычислил эффективное сечение рассеяния
электрона внешним полем с учетом эффектов собственного поля.
Однако в его вычисления вкрались некоторые ошибки, которые
впоследствии исправили Ито, Коба и Томонага [63, 64]. После соз-
создания теории Бете проблема рассеяния рассматривалась многими
авторами (Ито, Коба и Томонага [64], Льюис [83], Энштейн [38], Умэд-
зава, Юкава и Ямада[129]). Эти исследования показали, что бесконеч-
бесконечность, обусловленная собственным электромагнитным полем, всегда
независимо от состояния электрона может быть полностью вклю-
включена в наблюдаемое значение массы электрона. Более того, было
показано, что бесконечность, связанная с эффектами поляризации
вакуума, может быть, по крайней мере в 4-м приближении теории
возмущений, включена в наблюдаемую величину заряда. Таким
образом, получается квантовая электродинамика, в которой собст-
собственные поля с помощью „перенормировки" приводят к конечным
эффектам. Скоро в работе Томонага [123] такого рода теории пере-
перенормировок была придана ковариантная форма с помощью сверх-
многовременного формализма. Эта ковариантная теория перенорми-
перенормировок дала величину лэмбовского сдвига в великолепном согласии
с результатами эксперимента [112, 48] (см. гл. 14, пример 2).
Томонага, Коба и Ито рассмотрели эту проблему с точки зрения
применимости к ней теории С-мезона.
В предыдущем параграфе мы говорили об аномальном магнитном
моменте электрона, обусловленном электромагнитным собственным
полем. В 1947 г. колумбийская группа (Нафе, Нельсон и Раби[88])
" X. J мэдзава

34 Гл. 1. Историческое введение
исследовала тонкую структуру основных состояний электронов в
атомах водорода, дейтерия, натрия и калия, чтобы обнаружить
аномальный магнитный момент электрона, который равен -^0,1%
величины собственного магнитного момента. Экспериментальные
результаты согласуются с данными теории (см. гл. 14, пример 2).
Эти успехи теории перенормировок, по-видимому, показывают,
что собственное электромагнитное поле приводит к реальным эф-
эффектам, которыми нельзя пренебрегать. На основе теории Блоха —
Нордсика, о которой говорилось в предыдущем параграфе, легко
видеть, что в перенормированной квантовой электродинамике „ин-
„инфракрасная катастрофа" не возникает, если только принять во
внимание эффекты, связанные с фотонами малых энергий собст-
собственного поля. Томонага подчеркнул, что теорию перенормировок
можно рассматривать как продолжение исследований Блоха —
Нордсика и Паули — Фирца.
Сверхмноговременной формализм есть полностью ковариантная
переформулировка квантовой теории поля. Этот формализм есть
обобщение ковариантной теории свободных полей Иордана и Паули
[69] и многовременной теории Дирака [30,31]. Его физическое
содержание эквивалентно квантовой теории поля Гейзенберга и
Паули. Однако ковариантный характер теории не виден непосред-
непосредственно, хотя теория и ковариантна по существу. Очевидно, с
самого начала важно потребовать совместности теории с такими
фундаментальными принципами, как принцип относительности.
В самом деле, можно напомнить о той важной роли, которую
сыграла каноническая формулировка классической механики при от-
открытии квантовой механики.
Аналогичная формулировка квантовой теории поля была дана
Швингером [112] и Фейнманом [42], которые исходили из несколько
различных точек зрения. Эта ковариантная теория поля в связи
с методом перенормировок была применена не только к проблемам
квантовой электродинамики, но и ко многим проблемам элементар-
элементарных частиц. Это обстоятельство привело к замечательным резуль-
результатам в теории элементарных частиц.
В 1949 г. Дайсон показал, что теория перенормировок в кван-
квантовой электродинамике не приводит к бесконечностям в любом
приближении.
В 1948 г. Вельтон указал, что лэмбовский сдвиг, вычисленный
по теории перенормировок, может быть получен с помощью на-
наглядного образа электрона, движущегося в своем собственном
поле (см. гл. 14, пример 1). Улучшив метод Вельтона, Коба [75]
провел соответствующее вычисление аномального магнитного мо-
момента электрона. Таким образом, проблема применимости квантовой
теории поля свелась к проблеме применимости теории перенорми-
перенормировок. Более того, можно теоретически показать, что соответ-
соответствующая процедура перенормировок приводит к замкнутой теории

§ 7. Развитие теории перенормировок 35
?—. —
только в случае взаимодействий 1-го рода, но не для взаимодей-
взаимодействий 2-го рода (см. гл. 15). Таким образом, мы видим, что условие
применимости Гейзенберга — Оппенгеймера является условием при-
применимости теории перенормировок [ПО].
Далее возникает следующий важный вопрос: все ли взаимодей-
взаимодействия, встречающиеся в природе, принадлежат к 1-му роду? Если бы
в природе существовали взаимодействия 2-го рода, то было бы
трудно понять успех квантовой электродинамики, потому что элек-
электрон и электромагнитное поле взаимодействуют также и с другими
полями, которые, согласно современной квантовой теории, имеют
взаимодействие 2-го рода в высших приближениях теории взаимо-
взаимодействий. Например, ^-взаимодействия, по-видимому, принадлежат
к взаимодействиям 2-го рода').
Было сделано много попыток исследовать особенности собст-
собственного мезонного поля. В этих работах было показано, что
взаимодействие мезона с нуклоном значительно сильнее, чем элек-
электромагнитное взаимодействие, и иногда высказывалось предполо-
предположение о существовании возбужденного состояния нуклона. Таким
образом, ввиду невозможности применить в этом случае метод
возмущений с 1951 г. было предпринято много попыток обойтись
без использования каких-либо приближений. Одним из наиболее
важных результатов этих работ является определение спина п-ме-
зона (см. гл. 10, пример 6). Наблюдения рассеяния нуклонов на
нуклонах при высоких энергиях также позволили выяснить ряд
характерных особенностей мезонного поля. В частности, они на-
наводят на предположение о существовании сильной отталкивающей
силы с коротким радиусом действия (*/, величины радиуса действия
ядерных сил). Хотя еще не ясно, связана ли эта отталкивающая
сила с тяжелыми частицами, недавно открытыми, или она проис-
проистекает от радиационных поправок высших порядков мезонного
поля, эта сила должна быть тесно связана со структурой нуклона.
Теория перенормировок, о которой говорилось выше, была
сформулирована в терминах теории возмущений. Поэтому даже в
случае взаимодействия 1-го рода остаются невыясненными многие
проблемы; например, необходимо исследовать вопрос о сходимо-
сходимости ряда теории возмущений и найти формулировку теории пере-
перенормировок, которая не основывалась бы на разложении решения
в ряды (см. гл. 14). Простой пример взаимодействующих полей,
который допускает перенормировку и имеет полное решение, при-
привел Ли [81]. Применение метода перенормировок к этому при-
примеру приводит к новой трудности, которая будет обсуждена
в гл. 18.
*) См. работы Таникава [120], Умэдзава [127], Танака и Ито [118], в кото-
которых сделана попытка объяснить р-взаимодействия, используя только взаимодей-
взаимодействия 1-го рода.
3*

Гл. 1. Историческое введение
Примечание при корректуре
Хотя теория перенормировок и достигла в области квантовой электроди-
электродинамики больших успехов, все же ряд вопросов остается открытым. Эти во-
вопросы связаны с выяснением внутренней непротиворечивости теории, анализа
ее предсказаний, а также явлений при высоких энергиях. В теории пере-
перенормировок принимается, что перенормированная константа связи g, равна
наблюдаемой величине gH^_ константы связи. Предположим, что при изме-
изменении неперенормированной константы связи g во всей области значений,
при которых гамильтониан взаимодействия является эрмитовым, перенорми-
перенормированная константа связи gv являющаяся функцией от g, пробегает значения,
лежащие в некоторой области N{gi). Эта последняя область называется нор-
нормальной зоной. Если ?нав. не лежит в нормальной зоне, то рассматривать g,
как ?наб. значит принять, что гамильтониан взаимодействия неэрмитов. Та-
Такую ситуацию мы имеем в примере Ли. В этом примере область N (g\) со-
содержит только значение ?,=0, и ?наб.> не принадлежа к N(g,), приводит
к появлению состояния с отрицательной вероятностью (см. работу Чел-
лена и Паули, 1955). В общем случае перенормировочный множитель Z яв-
является функцией Z(g^ от gv Однако в теории перенормировок g, в Z(gt)
заменяется на gHae. Теперь ясно, что если условие 0<Z^l не удовлетво-
удовлетворяется функцией Z{gHa6.)> т. е. если .?Eнаб.)^0, то ?наб. лежит вне области
N (gt). В этой связи сразу возникает вопрос о том, лежат ли константы связи,
реализуемые в природе, в своих нормальных зонах? В области квантовой
электродинамики было различными путями показано (Ландау и др. |79а], Умэд-
зава и Камефучи [127а), Тэнлор [ 120а]), что наблюдаемая величина электриче-
электрического заряда ена6= 1 уТ37 лежит вне своей нормальной зоны N(e,). В при-
примере Ли было показано, что существует некоторая критическая энергия обре-
обрезания I; величина gHae. может лежать в yV(gi) и перенормировочный множитель
может быть положительным только тогда, когда мы пренебрегаем эффектами,
связанными с энергиями, превышающими L Аналогичные критические кон-
константы \ появляются также и в квантовой электродинамике. Чу и Лоу |19а]
сделали надежную оценку константы связи для взаимодействия мезон — нуклон
по рассеянию мезонов на нуклонах при низких энергиях и по явлениям порож-
порождения фотон — мезон и нашли величину g^a6 =0,08. В их анализе использован
метод обрезания; энергия обрезания равна приблизительно 5т (я) |через т (я)
обозначена масса я-мезона). В этой теории критическая константа обрезания I
равна, по-видимому, приблизительно массе нуклона. Это значение л, к
счастью, не меньше того, которое было использовано для обрезания в вы-
вычислениях.
В частном случае, для которого значение ?на6. лежит вне N{gv), характерно
появление состояний с отрицательными вероятностями. Однако очевидно, что эти
последние состояния в наблюдениях никогда не проявляются. Поэтому пред-
представляется желательным для случаев, когда ?наб. не лежит в нормальной зоне,
найти какие-либо наблюдаемые особенности. Чтобы это сделать, полезно вспом-
вспомнить, что во все матричные элементы переходов входят перенормированные
константы &, перенормированные функции распространения ?i(g,) и вершины
Г (g,). В теории перенормировок g, заменяется на gHa6.- Поэтому представ-
представляется важным найти некоторые существенные различия между Ci(gHa6.) при
вначениях ?наб.> лежащих в A/(g,), и при значениях gHa6.> лежащих вне N(g,).
Такие различия' действительно проявляются в области высоких энергий. Когда
ёпаб. лежит вне N(g,) и перенормировочный множитель отрицателен, функция
ZR(—k*, ?„аб.). определенная с помощью соотношения

§ 7. Развитие теории перенормировок 37
в области высоких энергий — k2 > \2 (где \ — критическая константа обреза-
обрезания) оказывается отрицательной. Это легко установить на основе того обстоя-
обстоятельства, что ZR (Л2, gHagJ есть перенормировочный множитель, полученный
с помощью метода обрезания при энергии обрезания Л. Знак величины 7.R
играет важную роль в явлениях, протекающих при высокой энергии. Действи-
тз.1ьно, можно показать, что знак сдвига фаз в примере Ли существенно за-
зависит от знака величины ZR. Более того, в квантовой электродинамике в тео-
теории перенормировок кулоновский потенциал оказывается притягивающим в про-
процессах рассеяния заряженных частиц, когда передача энергии больше h
Когда gHa6. лежит вне нормальной зоны, можно ожидать, что некоторые
физические эффекты при этом выпадают из поля зрения и что учет такого
рода эффектов может в области высоких энергий (—k2 > X2) существенно из-
изменить перенормированную функцию распространения. Так как важное влия-
влияние на функцию распространения G (k) при — й2 > X2 оказывают частицы
с массами, ббльшими \, может оказаться важным исследовать влияние тяжелых
частиц на нормальную зону TV(g'i). Критическая константа \ в квантовой элект-
электродинамике равна приблизительно /и-ехрCп:-137)=й: 1023/и (т — масса элект-
электрона). Это значительно больше величины массы любой из известных частиц.
Поэтому представляется ошибочным утверждение, что трудности в квантовой
электродинамике удастся устранить с помощью учета эффектов других полей,
если только они связаны с взаимодействием 1-го рода. Поэтому окончательное
решение вопроса может быть получено путем исследования структуры самого
пространства — времени или путем введения новой фундаментальной длины.
Можно ожидать, что фундаментальную длину в квантовую электродинамику
удастся ввести как промежуточную величину между взаимодействиями 2-го
рода (см. гл. 15), в которых принимает участие электрон, т. е. между ферми-
взаимодействием [(ц — е)-распад, Р-распад и т. д.] и гравитационным взаимодей-
взаимодействием. Из оценок порядка величины можно предположить, что эти взаимодей-
взаимодействия существенны соответственно в областях ^5-\0sm и ^зЮ-1022/и. Так
как эти величины много больше любых масс известных частиц и малы по
сравнению с критической величиной обрезания Х^102'/я, то при рассмотрении
вопроса о нормальной зоне электрического заряда вклад от них может играть
существенную роль.
В мезонной теории можно ожидать, что величина i равна приблизительно
массе нуклона и что поэтому теория перенормировок для систем, состоящих
только из мезона и нуклона, немедленно приведет к противоречиям в области
наблюдаемых явлений. Перенормированные функции распространения it-мезона
и нуклона для области больших энергий зависят от эффектов, обусловленных
тяжелыми мезонами и гиперонами, и поэтому для получения нормальной зоны
для взаимодействия мезон — нуклон нам надо тщательно учитывать эти эф-
эффекты.
В гл. 1 было указано, что фундаментальные проблемы квантовой теории
поля, т. е. проблемы расходимостей, значения масс частиц и констант связи
пределы применимости теории и структура частиц и т. д. нашли реальную
основу своего дальнейшего развития в наблюдаемых эффектах собственного
поля, которое учитывается теорией перенормировок. Сейчас мы видим, что
наблюдаемые значения констант связи ограничены величинами, заключенными
в их нормальных зонах, и что для дальнейшего изучения фундаментальных
проблем существенно знание поведения перенормированных полей при высо-
высоких энергиях.
Как было указано выше, исследование явлений взаимодействия мезон —
нуклон при низких энергиях привело к заключению о малой величине взаимо-
взаимодействия мезон — нуклон при низких энергиях. Исследования ядерного потен-
потенциала также увенчались значительными успехами; было установлено, что су-
существующая мезонная теория во втором и четвертом порядке теории возму-
возмущений может правильно предсказать ту часть ядерного потенциала, которая
описывает взаимодействие на далеких расстояниях (^ 0,6/m (it)) (см. работу

38 Гл. 1. Историческое введение
Такетани и др.
(см. Валкер и др.
116а]). В экспериментах на космотроне в Брукхэйвене
129а], Фаулер и др. [45а]) удалось воспроизвести множест-
множественное рождение мезонов и исследовать особенности углового распределения
порожденных мезонов. Очевидно, что важной задачей является построение та-
такой теории, которая была бы в состоянии объяснить как явления при низких
энергиях, так и при высоких энергиях. Существование антипротона было экс-
экспериментально подтверждено на ускорителе в Беркли. Это открытие находится
в согласии с существующей теорией, в которой предполагается, что заряжен-
заряженные частицы всегда существуют с положительным и отрицательным зарядами.
В экспериментах на ускорителе в Беркли (работы Чэппа, Гольдхабера и др. [20а])
удалось получить пучок /С-частиц. Это обстоятельство будет способствовать
изучению тяжелых мезонов и выяснению их особенностей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Anderson CD., Phys. Rev., 41, 405 A932).
2. Anderson С. D., Neddermeyer, S. H., Phys. Rev., 50, 273 A936).
3. Bet he H. A., Phys. Rev., 72, 339 A947) (см. перевод в сборнике «Сдвиг
уровней атомных электронов", ИЛ, 1950).
4. Bet he H. A., Nordh e i m L. W., Phys. Rev., 57, 998 A940).
5. Bhabha H. J., Proc. Roy. Soc, A166, 501 A938).
6. Bhabha H. J., Heitler W., Proc. Roy. Soc, A159, 432 A936).
7. В j о r k 1 u n d R., С г а п d a 11 W. E, Moyer B. J., York H. F., Phys.
Rev., 77, 213 A950).
8. В1 а с k e 11 P. M., О с с h i a 1 i n i G. P., Proc. Roy. Soc, А13Э, 699 A933).
9. В 1 а с k e 11 P. M. S., С h a d w i с k J., О с с h i a 1 i n i Q. P. S., Proc,
Roy. Soc, A144, 235 A934).
10. В loch C, Det. Kgl. Dausk. Vid. Selsk., 26 A950).
11. В loch F., Nordsieck A., Phys. Rev., 52, 54 A937).
12. Bopp F., Aim. d. Phys., 38, 345 A940).
13. Bop p F., Zs. f. Naturforsch., 1, 237 A946).
14. Born M., Infeld L., Proc. Roy. Soc, A144, 425 A934).
15. Born M., Schrodinger E., Nature, 135, 342 A935).
16. Breit C\, Hoisington L., Share S., Thaxton H., Phys. Rev., 55,
1103 A939).
17. Carlson J. F., О p p e n h e i m e r J. R., Phys. Rev., 51, 220 A936).
18. Chad wick J., Nature, 129, 312 A932), Proc. Roy. Soc, A136.692 A932).
19. Cheston W. В., Phys. Rev, 83, 1118 A951).
19a. Chew G. F., Low F. E., Proc. of the 5-th Rochester Conference on
High Energy Nuclear Physics, 1955.
20. Chretien M., Peierls R. E., Nuovo Cimento, 10, 669 A953).
20a. С h u p p W. W., G о I d h a b e r G . et al., Phys. Rev, 99, 335 A955).
21. Clark D. L., Roberts A., Wilson R., Phys. Rev., 83, 646 A951).
22. С о n v e r s i M., P a n с i n i E., P i с с i о n i O., Phys. Rev. 71, 209
A947).
23. Curie I., Compt. Rend., 193, 1412 A931).
24. Curie I., Joi iot F., Compt. Rend., 194, 273 A932).

Литература 39
25. Dancoff S. M., Phys. Rev., 55, 959 A939).
26. Dirac P. A. M., Proc Roy. Soc, A117, 610 A928).
27. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc, A118, 351 A928).
28. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc, A126, 360 A931).
29. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc, A133, 60 A931).
30. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc, A136, 453 A932).
31. Dirac P. A. M., Foe к V. A., Podolsky В., Phys. Zs. d. Sowjetunlon,
2, 468 A932).
32. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc, A155, 447 A936).
33. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc, A167, 148 A938).
34. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc, A209, 291 A951).
35. D u r b i n R., L о a r H., S t e i n b e r g e r J., Phys. Rev., 83, 646 A951).
36. Dyson F. J., Phys. Rev., 75, 486, 1736 A949).
37. Ellis С D., Mott N. F., Proc. Roy. Soc, A141, 502 A933).
38. Epstein S. Т., Phys. Rev., 73, 177 A948).
39. Fermi E., Zs. f. Phys., 88, 161 A934).
40. Fermi E., Prog. Theor. Phys., 5, 570, A950).
41. F e r m i E.( T e 11 e r E., W e 1 s s к о p f V. F., Phys. Rev., 71, 209 A947).
42. Fey n man R. P., Phys. Rev., 76, 749, 769 A949) (см. перевод в сбор-
сборнике: Новейшее развитие квантовой электродинамики, ИЛ, 1954).
43. Flerz M., Helv. Phys. Acta, 12, 3 A939).
44. Fierz M., Helv. Phys. Acta, 23, 731 A950) (см. перевод в сборнике: Но-
Новейшее развитие квантовой электродинамики, ИЛ, 1954).
45. Fierz M., Paull W., Proc. Roy. Soc, A173, 211 A939).
45a. Fowler W. В., S h u 11 R. P., T h о r n d i k e A. M., W h i 11 e m o-
r e W. L., Phys. Rev., 95, 1026 A954).
46. F r 6 h 1 i с h H., H e i 11 e r W., К a h n В., Phys. Rev., 56, 961 A939).
47. Fr6hlich H., Heitler W., К em me r N.. Proc Roy. Soc, A166,
154 A938).
48. Fukiida H., Miyamoto Y., Tomonaga^S., Prog. Theor. Phys., 4»
47, 4, 121 A949). ~
48a. Fukuda N., Sawada K., Taketani M., Prog. Theor. Phys., 12, 156
A954).
49. Ql ass on J. L, Phil. Mag., 42, 596 A921).
50. Hara O., Shimazu H., Prog. Theor, Phys., 5, 1055 A950).
51. Hay as hi C, Prog. Theor. Phys., 11, 226, A954).
52. Hei sen berg W., Zs. f. Phys., 77, 1; 78, 156; 80, 587 A932).
53. H e i s e n b e r g W., Zs. f. Phys., 101, 533 A936).
54. Heisenberg W., Zs. f. Phys., 110, 251, A938).
55. Heisenberg W., Zs. f. Phys., 113, 61 A939), Sol vay Berichte, Кар. Ill, IV.
56. Heisenberg W., Zs. f. Phys., 126, 569 A949).
57. Heisenberg W., Zs. f. Naturforsch., 5a, 251, 367 A950).
58. Heisenberg W., Zs. L Naturforsch., 6a, 281 A95i).
59. Heisenberg W., Zs. f. Phys., 133, 65 A952).
60. Heisenberg W., Paul! W., Zs. f. Phys., 56, 1; 59, 168 A929).
61. Huul H., Ann. d. Phys., 33, 565 A938).

40 Гл. 1. Историческое введение
62. Honl H., Papapetrou Z., Zs. f. Phys., 112, 512 A939).
63. Ho D., К ob a Z., Tomonaga S., Prog. Theor. Phys., 2, 216 A947).
64. Ito D., Koba Z., Tomonaga S., Prog. Theor. Phys., 3, 276 A948).
65. Иваненко Д., Nature, 129, 798 A932).
66. Иваненко Д., Nature, 133, 981 A934).
67. Иваненко Д., Соколов A., Phys. Zs. d. Sowjetunion, 11, 590 A937).
68. Jol iot F., Compt. Rend., 193, 1415 A931).
69. Jordan P., Paul i W., Zs. f Phys., 47, 151 A928).
69a. Kail en G., Helv. Phys. Ada, 25, 417 A952).
70. Kaplon M. F., Peter В., Bradt H. L, Phys. Rev., 76, 1736 A949).
71. Katayama Y., Prog. Theor. Phys., 10, 31 A953).
72. Kemble E. C, Present R. D., Phys. Rev., 44, 1031 A933).
73. Kemmer N.. Proc Roy. Soc, A166, 127 A938).
74. Klein O., Zs. f. Phys., 53, 157 A929).
75. Koba Z., Prog. Theor. Phys., 4, 98 A949). '
76. Kramers H. A., Proc. Amst. Acad. ScL, 40, 814 A937).
77. Kristensen P., M0ller C, Dan. Mat. Fys. Medd., 27, № 7 A952).
7a Kunze P., Zs. {. Phys., 79, 203 A932).
79. Lamb W. E., Retherford R. C, Phys. Rev., 72, 241 A947).
79a. Ландау Л. Д. и др., ДАН СССР, 95, 497, 733, 1177; 96, 261 A954).
80. Lattes С. М. G., Occhialini G. P. S., Powell С. P., Nature, 160,
453 A947).
81. Lee T. D., Phys. Rev., 95, 1329 A954).
82. Leigh ton R. В., Anderson С D., Serif f A. J., Phys. Rev., 75,
1432 A949).
83. Lewis H. W., Phys. Rev., 73, 173 A948).
84. L e w i s H. W., Oppenheimer J. R., Wouthuysen S. A., Phys.
Rev., 73, 127 A948).
85. Marshak R. E., Rev. Mod. Phys., 23, 137 A951).
86. M arshak R. E., Be the H. A. Phys. Rev., 72, 506 A947).
87. Maze, Thesis, Parl#1941.
88. Nafe E., Nelson E. В., Rabi I. I., Phys. Rev., 71, 914 A947).
89. Oppenheimer J. R., Serber R., Phys. Rev., 51, 1113 A937).
90. Oppenheimer J. R., Snyder H., Serber R., Phys. Rev., 57, 75
A949).
91. Pa is A., Verh. Коп. Ac. Wetenschappen, Amsterdam, 19, 1 A947).
92. Pa is A., Uh lehbeck G. E., Phys. Rev., 79, 145 A950).
93. Paste mack S., Phys. Rev., 54, 1113 A938).
94. Paul i W., Phys. Rev., 58, 716 A940).
95. Pauli W., Nuovo Cimento, 10, 648 A953).
96. Paul i W., Fierz M., Nuovo Cimento, 15, 1 A938).
97. Paull W., Villars F., Rev. Mod. Phys., 21, 434 A949).
9a Pauli W., W e i s s k о p f V. F., Helv. Phys. Acta, 7, 709 A934).
99. Poincare H., Compt. Rend., 140, 1504 A905).
100. Rasetti F., Phys. Rev., 57, 613, 706 A940).
101. Ray ski J., Acta Phys. Polonica, 9, 2A948).

Литература 41
102. Ray ski J., Proc. Phys. Soc, A64, 957 A951).
103. Richardson J. R., Phys. Rev., 74, 1720 A948).
104. Robert J. K., Proc. Roy. Soc, A102, 72 A922).
105. Rochester G. D., Butler С С, Nature, 160, 855 A947).
106. Rutherford E., Proc. Roy. Soc, A97, 374 A920).
107. Sakata S., Prog. Theor. Phys., 2,30 A947).
108. Sakata S., Inoue Т., Subutsu Kaishi, 16, 232 A942).
109. S а к a t a S., T a n i к a w a Y., Phys. Rev., 57, 548 A940).
110. Sakata S., Umezawa H., Kamef uchi S., Prog. Theor. Phys., 7, 377
A952).
111. Schein M., Jesse W. P., W oil an E. O., Phys. Rev., 57, 849 A940).
112. Sch winger J., Phys. Rev., 74, 1439 A948).
113. Stueckelberg E. С G., Phys. Rev., 52, 41 A937).
114. Stueckelberg E. С. й, Nature, 144, 118 A939).
115. Stueckelberg E. С G., Rivier D., Helv. Phys. Acta., 23, 215, 23&
A950).
116. Taketani M., Nakamura S., Ono K-, Sasaki M., Phys. Rev., 76,
60 A949).
116a. Taketani M., Machida S., Onuina S., Prog. Theor. Phys., 7, 45
A952).
H7. Тамм И., Nature, 133, 981 A934).
118. Tanaka S., [to M., Prog. Theor. Phys., 9, 169 A953).
119. Tanikawa Y., Prog. Theor. Phys., 1, 200 A947).
120. Tanikawa Y., Prog. Theor. Phys., 10, 361 A953).
120a. T а у 1 о r J. C, Preprint A956).
121. Tiomno J., Wheeler J. A., Rev. Mod. Phys., 21, 144 A949).
122. Tokioka Z., Katayama Y., Prog. Theor. Phys., 6, 132 A951).
123. Tomonaga S., Rikken-Iho, 22, 711, 78-1 A943).
124. Tomonag a S., Araki G., Phys. Rev., 58, 90 A940).
125. Uehling E. A., Phys. Rev., 48, 55 A935).
126. Uhlenbeck G. E., Goudsmidt S., Naturwiss., 13, 953 A925).
127. Umezawa H., Prog. Тпгог. Phys., 7, 551 A952).
127a. Umezawa H., Kamefuchi S., Prog. Theor. Phys., 6, 543 A951).
128. Umezawa H.,Takahashi Y., Prog. Theor. Phys., 9, 501 A953).
129. Umezawa H., Yukawa J., Yamada E., Prog. Theor. Phys., 3, 317.
A948).
129a. Walker W. D., Crussard J., Koshiba M., Phys. Rev., 95, 852 A954).
130. Watagin G., Zs. {. Phys., 88, 92 A934).
131. Weisskopf V. F., Phys. Rev., 72, 510 A947).
132. Weizs acker С v., Zs. f. Phys., 102, 572 A936).
133. Wei ton T. A., Phys. Rev., 74, 1157 A948).
134. Wessel W., Zs. f. Naturforsch., 1, 622 A938).
135. Wick G. C, Atti. Ace Lincei. XXI, 170 A935).
136. Wick G. C, Nature, 142, 993 A938).
137. Williams, Roberts, Nature, 145, 102A940).
138. Wilson J. G., Proc Roy. Soc, A172, 517 A939).

42 Гл. 1. Историческое введение
139. Yennie D. R., Phys. Rev., 80, 1053 A950).
140. Yukawa H., Proc. Phys. Math. Soc Japan, 17, 48 A935).
141. Yukawa H. Proc. Phys. Math. Soc. Japan, 19, 712 A937).
142. Yukawa H., Rev. Mod. Phys., 21, 474 A949).
143. Yukawa H., Phys. Rev., 77, 219; 80, 1047 A950).
144. Yukawa H., Sakata S., Kobayashi M., Taketani M., Proc
Phys. Math. Soc Japan, 20, 720 A938).
145*. Cowan C. L, Jr., Reines, F., Harrison F. В., Kruse H. W.,
McGueire A. D., Science, 124, 103 A956) [см. перевод: Проблемы
современной физики, ИЛ, № 11 A956)].
146*. Chamberlain О., Segre E., Wiegand С., Y p s i I a nt i s Т.,
Phys. Rev., 100, 947 A955) [см. перевод: Проблемы современной физики,
ИЛ, № 4 A956) (статья 10)].
147*. Cork В., Lambertson G., Picconi О., Wenzel W., Phys. Rev.
104, 1193A956).
148*. Проблемы современной физики, ИЛ, № 11 A956).
149*. Ландау Л., Румер Ю., Proc Roy. Soc. (A), 16, 213 A938).
150*. Иваненко Д., Соколов А., ЖЭТФ, 8, 639 A938).
151*. Иваненко Д., Соколов А., Классическая теория поля, М.-Л., 1951.
Литература, отмеченная звездочкой (*), здесь и в последующих главах
добавлена редактором перевода.

ГЛАВА 2
Релятивистское волновое
уравнение
§ 1. Релятивистское волновое уравнение
В предыдущей главе были перечислены различные частицы,
существование которых доказано экспериментально и которые
предварительно мы будем считать элементарными. Поскольку вза-
взаимодействия приводят к взаимопревращению частиц, то число
частиц определенного сорта с течением времени меняется. Поэтому
состояние системы частиц в определенный момент времени необ-
необходимо определять заданием значений наблюдаемых величин во
всем пространстве, например энергии, импульса, числа частиц.
Это определение можно сравнить со способом задания электро-
электромагнитного поля в определенный момент времени, когда во всем
пространстве задаются напряженности электромагнитного поля.
Эти соображения приводят к представлению о состоянии
поля, которое, по определению, в данный момент времени зависит
от значения некоторых переменных во всех точках пространства.
Мы будем считать, что состояние элементарных частиц есть
состояние поля, и будем обозначать различные компоненты поля
через Qr (х), где а = 1, 2 и т. д. Например, электромагнитное поле
будет описываться четырьмя компонентами ААх) потенциала
<ц=1, 2, 3, 4).
Квантовая теория поля получается из классической теории поля
с помощью обычной процедуры квантования. Так с-числа, кото-
которые представляют компоненты классического поля в классических
уравнениях поля (например, в уравнениях Максвелла электродина-
электродинамики), заменяются на «/-числах). Эта замена может быть, по-види-
по-видимому, оправдана с помощью принципа соответствия. Тем не
менее таким способом нельзя получить уравнения квантовой тео-
теории поля для частиц (например, электронов), для которых не
существует классической теории поля.
В последнем случае можно поступить следующим образом.
Когда число частиц постоянно, квантовое состояние частицы опи-
описывается волновой функцией, которая удовлетворяет некоторому
волновому уравнению. В квантовой теории поля, которая допу-
допускает рождение и аннигиляцию частиц, постулируется, что
*) То есть операторы.— Прим. ред.

'4 Гл. 2. Релятивистское волновое уравнение
юлновые функции являются некоторыми «/-числами компонент поля
Qa(;c) и что волновыми уравнениями поля являются волновые
уравнения, которым удовлетворяют (?,(•*)•
Короче говоря, введение такого постулата обусловливается
требованием, чтобы результаты квантовой теории поля при пре-
пренебрежении эффектами рождения и аннигиляции частиц согласо-
согласовывались с результатами квантовой механики частиц.
Кроме того, уравнения поля должны удовлетворять требова-
требованиям принципа относительности, который следует рассматривать
как общий принцип природы. Волновые уравнения, удовлетворяю-
удовлетворяющие этому принципу, называются релятивистскими волновыми
уравнениями.
§ 2. Свободное поле
Ввиду того, что в обычной нерелятивистской квантовой меха-
механике производные по пространственным координатам и по времени
входят несимметрично, она не имеет лоренц-инвариантной формы.
В самом деле, уравнения, описывающие свободные частицы, могут
быть получены из нерелятивистского уравнения K0 = (ii'2x)kik!,
которое связывает энергию Ка и импульс &,-(/ = 1, 2, 3). Эти вели-
величины необходимо интерпретировать как операторы
Ki = iKa= — idi, ' B.1 >
kl = — idi.
Хорошо известно, что с помощью фундаментальных соотноше-
соотношений B.1), которые ставят энергию и импульс частицы в соответ-
соответствие с частотой и волновым числом, осуществляется связь между
корпускулярным и волновым аспектами теории. Поэтому кажется
оправданным использование соотношений B.1) также при выводе
релятивистских уравнений. Учтем, что релятивистское соотноше-
соотношение между энергией Ко и импульсом kt частицы имеет вид
Kl = k,k, + x?. B.2)
Отсюда, используя соотношения B.1), получаем волновое уравнение
(?-*s)QaW = 0. B.3а)
Это уравнение известно как уравнение Клейна — Гордона.
В связи с вышеизложенным примем, что компоненты поля кван-
квантовой теории поля должны подчиняться условию Клейна — Гордона,
т. е. компоненты поля Q^(x), соответствующие свободным эле-
элементарным частицам, должны удовлетворять уравнению B.3а).
НапрИхМер, это условие выполняется для компонент А^ (х) элек-
электромагнитного поля. Следует заметить, что если компоненты
поля Qn{x) соответствуют семейству частиц с различными массами

§ 2. Свободное поле 45
(х , ... » *п)> то уравнение B.3а) надо заменить уравнением
П
Однако это обобщение понадобится нам лишь в редких случаях
Различие между уравнением B.3а) и нерелятивистским волно-
волновым уравнением состоит в том, что B.3а) содержит вторую
производную по времени. Хорошо известно, что любое диффе-
дифференциальное уравнение второго порядка с помощью увеличения
числа переменных может быть преобразовано в систему уравнений
первого порядка. Это обстоятельство имеет важное физическое
значение. В самом деле, линейность нерелятивистского волнового
уравнения относительно оператора дифференцирования по времени
существенна для квантовой механики в канонической формули-
формулировке, ибо сохранение заряда в ней обеспечивается канонической
инвариантностью теории. Для обеспечения сохранения вероятности
примем канонический формализм также и в квантовой теории
поля. В этом случае волновые уравнения должны преобразовы-
преобразовываться к системе канонических уравнений [см. G.27)], которая
должна быть системой дифференциальных уравнений первого
порядка. Таким образом, каноническая теория квантованных полей
базируется на компонентах поля, удовлетворяющих дифференци-
дифференциальным уравнениям первого порядка. Как показано в гл. 9, всегда,
когда поля удовлетворяют условию Клейна — Гордона, для их кван-
квантования можно применить каноническую теорию.
Хорошо известным примером дифференциальных уравнений
поля первого порядка являются уравнения электромагнитного поля.
Уравнения Максвелла являются системой дифференциальных урав-
уравнений первого порядка для четырех компонент четырехмерного
потенциала А^ и шести компонент напряженностей поля
^р = ^вД — дчАр, которые удовлетворяют уравнению B.3а).
Можно привести другой пример для случая скалярного поля U,
удовлетворяющего уравнению B.3а). Уравнение
* = 0 B.4)
можно представить в виде системы дифференциальных уравнений
первого порядка
U)
ЙДМ = ЛD B.5)
если ввести пять компонент (U, U^).
В общем случае релятивистское волновое уравнение для вол-
волновых функций Qa (а = 1, ... , п) имеет вид
A«,(d)QB(*) = O. B.6)
Условие Клейна — Гордона накладывает на это волновое уравнение

46 Гл. 2. Релятивистское волновое уравнение
некоторое ограничение, потому что оно требует существования
такого оператора d^(d), который удовлетворял бы соотношению
d^(d)\?(d) = (a-^)b4 B.7)
и зависел от операторов д^
d(d)=[^(d)] = a + o|td|l+...+alll...wd|ll...d|lI+... B-8)
Коэффициенты а, а^, ... являются матрицами «-го порядка. Обо-
Обозначим максимальный порядок производных в B.8) через Ь. Тогда
B|ll...w = 0 для />&. B.9)
Релятивистское волновое уравнение как система дифференци-
дифференциальных уравнений первого порядка может быть представлено
в виде
= 0, B.10)
где р^ и C — некоторые матрицы «-го порядка, а Q — матрица
с одним столбцом [Q, (я)]. Подставляя B.8) с
в B.7), получаем
*ар = — хЧ. B.11)
В этом равенстве через / обозначена единичная матрица «-го
порядка. Равенство B.11) показывает, что матрица р не может
быть сингулярной и, следовательно, должна существовать обрат-
обратная матрица fT1. Умножение B.10) на В приводит к уравнению
в котором
P, = rV B-13>
Из того факта, что из B.12) можно получить B.10), мы заклю-
заключаем, что B.10) и B.12) приводят к эквивалентным теориям. По-
Поэтому, не ограничивая общности, релятивистское волновое урав-
уравнение всегда можно представить в форме B.12).
Если d(d) есть дифференциальный оператор первого порядка
a-f аД. B.14)
[т. е. Ь—\ в B.9)], соотношение B.7) с Л = — (Р^-(-ж) приво-
приводит к равенству
Отсюда получаем
%Р, + «-iV = - 23^. B.15)

§ 2. Свободное поле 47
Последние равенства приводят к формулам
d(d)=-(^-x), B.16а)
P,A + P& = 2V B.166)
Как показано в гл. 5, число Ь, введенное в равенство B.9),
равно 2/, где /— максимальная величина спина полей, описывае-
описываемых величинами Q,. В случае B.14) Ь= 1,и поэтому спин поля Q,
равен '/г- Таким образом, уравнение B.12) является уравнением
поля со спином '/г> если только величины р^ удовлетворяют соот-
соотношениям B.166). С помощью аналогичных соображений мы выве-
выведем в гл. 5 уравнения поля для произвольного спина.

ГЛАВА 3
Уравнение Дирака
§ 1. Уравнение
В этой главе будут рассмотрены свойства волнового уравнения
для описания частиц со спином '/,. Это уравнение может быть
записано в форме1)
где х — масса частицы, а величины у^ удовлетворяют, согласно
B.16а) и B.166), следующим соотношениям коммутации:
Из C.1) и C.2) следует, что
(?— *г)ф = 0. C.3)
Это показывает, что условие Клейна — Гордона, о котором гово-
говорилось в предыдущей главе, для теории, базирующейся на урав-
уравнении Дирака, выполнено.
Из C.2) следует, что любая алгебраическая функция X вели-
величин у^ может быть представлена в виде линейной формы
X=c-Y, C.4)
в которой через у* обозначены следующие выражения:
Hitv *Y»Y«. C-5)
*YiYiYi» «YiYiY*. 'Y.YiYt. ^YiYsY*»
Yi = Y»YiY.Y*-
Последовательность шестнадцати величин в этих рядах и колонках
выбрана так, что значок А в уА пробегает все значения от 1 до 16.
Множитель — мнимая единица i — введен для того, чтобы все уА
удовлетворяли соотношению
(Yi*)i=1- C.6)
1; См. работы Дирака [5,6]. Первоначально уравнение имело форму C.45а).

§ 1. Уравнение 49
Величины уЛ, которые пока не конкретизированы, могут быть
представлены в виде матриц. Следы, или шпуры, этих матриц
играют важную роль и могут быть вычислены с помощью общего
соотношения, известного из теории матриц,
. C.7)
Например, шпур матрицы у, равен нулю, потому что
Sp (L) = Sp (ЬЬЬ) = - Sp (Y.Y. Ь) = - Sp (y, J = 0-
В общем случае имеет место соотношение
Sp(yA) = O, если чАф1
и C.8)
Sp(y<y) = 0, если АфВ.
Можно также доказать полезное в практических вычислениях пра-
правило, что шпур произведения любого нечетного числа матриц у
равен нулю.
Сейчас мы покажем, что матрицы, представляющие величины уА,
линейно независимы между собой в том смысле, что не суще-
существует нетривиального соотношения вида
с<у = 0. C.9)
В
самом деле, из этого соотношения следует, что имеет место
Равенство
2 cAff + cB = Q для всех А
АВ
Беря шпуры этих матриц и используя C.8), получаем
св = 0 E=1, ... , 16). C.10)
Это означает, что уА линейно независимы между собой. Эти вели-
величины составляют полный набор величин, с помощью которых
любая алгебраическая функция от уЛ может быть представлена
в виде C.4).
Все приводимые представления величин уА матрицами эквива-
эквивалентны между собой. Действительно, если матрица X коммути-
коммутирует со всеми матрицами уА, то с помощью C.4) можно показать,
что X является единичной матрицей /, умноженной на с-число,
т. е. имеет вид
Х=с1. C.11)
Ввиду того что число независимых величин уА равно шестнадцати,
матричное представление должно состоять из четырехмерных мат-
матриц. В этом представлении ф должно иметь вид четырехмерной
матрицы с одним столбцом.
Величины, комплексно-сопряженные к с-числам и эрмитово-сопря-
женные к ^-числам, будут обозначаться звездочкой. Например,
X. Умэдзава

50 Гл. 3. Уравнение Дирака
матрица, эрмитово-сопряженная к Л = [а,р], обозначается через
Л* = [fl? J, где а*п — величина, комплексно-сопряженная к а,,.
Различные представления у^, например yj, и Y^> связаны между
собой преобразованием, описываемым несингулярными матрицами.
Таким образом,
tl = S-%S, C.12)
где S—некоторая несингулярная матрица. По крайней мере одно
из этих представлений состоит из эрмитовых матриц, потому что
величины Yn и — Уц образуют группу из 32 элементов, которая
может быть представлена унитарными матрицами. Но такое пред-
представление, скажем у^, одновременно является эрмитовым. В самом
деле,
Yji'= 1 и y^y'J == * (суммирования нет)
и поэтому
' '*
Различные эрмитовы представления связаны между собой с по-
помощью преобразований, описываемых унитарными матрицами.
Если набор матриц ^ удовлетворяет соотношениям C.2), тогда
и наборы матриц у* и Y^ (где У^ означает матрицу, транспониро-
транспонированную к у ) также удовлетворяют соотношению C.2). Поэтому
должны существовать такие матрицы А и В, чтобы имели место
равенства
у; = ЛуиЛ", C.13)
ti = B^B~\ C.14)
В последующем изложении везде, где не оговорено противное,
мы будем предполагать, что величины у^ представлены определен-
определенным набором эрмитовых матриц, так что в равенстве C.13) А = 1.
Более того, В может быть выбрана в виде унитарной матрицы
В* = В~\ C.15)
Сейчас мы докажем важное свойство [12]:
Вг= — В. C.16)
Равенстю C.14) может быть преобразовано к виду
Подставляя C.14) и используя C.11), получаем
Подставляя значение В, даваемое уравнением, транспонированным
к выражению 1), заключаем, что с'=1 и поэтому
2) с = ±1.

§ 2. Поведение матриц f при преобразованиях Лоренца 51
Сейчас мы покажем, что значение с = \ можно отбросить, так
как оно приводит к существованию не менее десяти независимых
матриц, которые при транспонировании меняют знак [именно, про-
произведения матрицы В на элементы третьей и четвертой строчек
в C.5): iSyj3, ... , *Яу3у4; ifiyjsY-, • • • , *Яугу,у4]- Другими сло-
словами, в этом случае должны были бы существовать десять неза-
независимых элементов, которые антисимметричны относительно глав-
главных диагоналей. Но этого не может быть, так как известно, что
число антисимметричных линейно независимых элементов в четы-
четырехмерном пространстве равно шести (антисимметричный тензор
в четырехмерном пространстве имеет шесть компонент).
С другой стороны^ значение с = — 1 приемлемо, так как оно
приводит к существованию только шести антисимметричных мат-
матриц— В, flyx, Ву2, Sys, Sy4 и Bfb. Поскольку в предыдущих рас-
рассмотрениях не делалось никаких специальных предположений об
эрмитовом характере величин у^, то можно заключить, что равен-
равенство C.16) имеет общее значение.
§ 2. Поведение матриц у при преобразованиях Лоренца
Сейчас мы вернемся к рассмотрению лоренцовой инвариант-
инвариантности уравнения C.1).
Предположим, что два ряда значений координат х и 'х^ свя-
связаны между собой преобразованием Лоренца
Ч = а>Л, C.17а)
причем
. «,v«b = V C-176)
Далее будем предполагать, что ф преобразуется при этом линейно
по уравнению
'ф=И, C.18)
в котором А — четырехмерная матрица. Подставляя C.18) в C.1),
получаем следующее необходимое и достаточное условие лоренцо-
лоренцовой инвариантности уравнения C.1):
(Более подробное обсуждение этого вопроса проведено в гл. 4.)
Ничто не мешает считать, что величина А нормирована условием
|detA| = l. C.20)
Бесконечно малое преобразование Лоренца может быть пред-
представлено в виде
, \ 4
где
8да,„ = —ftv C.216)

52 Гл. 3. Уравнение Дирака
(Последнее равенство является следствием условия ортогональ-
ортогональности C.176) и бесконечной малости величины bw .] Теперь, пре-
пренебрегая высшими степенями %w^, можно представить матрицу Л
в виде
А=1+^Д„ C.22а)
причем
^ = -V C-226)
Дальнейшие свойства матриц S^ могут быть выяснены с помощью
подстановки C.22а) и C.21а) в C.19), что приводит к соотношению
[Y,. 5ь]=ахД,-ачЛх. C.23)
Принимая во внимание C.2), можно представить S^ в виде
^={(ТД,-иД C-24)
Из того обстоятельства, что величины bwit — мнимы, a bwik—ве-
bwik—вещественны (k, 1^4), следует, что
Л* = Т4А-1Т«- C-25)
Эти результаты показывают, что, не нарушая справедли-
справедливости C.23), можно к S^ прибавить любую величину, коммути-
коммутирующую со всеми Y(x- Согласно C.11), эта величина имеет вид Д /
и приводит к добавлению дополнительного члена Д = ('/,)b^bw J
в выражение C.22а) для Л. Вследствие того что (а4(-, а,4) явля-
являются мнимыми величинами, a (aik, аы) — вещественными, соотно-
соотношения C.19) и эрмитово-сопряженные к ним соотношения
Л*у4Л* "' = — atflt + а44у4
требуют выполнения равенства А* = чгу4Ау4. Но отрицательный
знак противоречит C.25) и поэтому должен быть исключен. Отсюда
следует, что Д является мнимой величиной, и соотношение C.18)
показывает, что бесконечно малая мнимая величина в А не приво-
приводит ни к чему иному, кроме изменения фазы у ф. Но вследствие
произвольности выбора фазы всегда можно считать, что Д = 0
(и следовательно, Д^ = 0). Поэтому величина 5^, может быть взята
в виде C.24).
Рассмотренный выше класс бесконечно малых преобразований
не включает отражения пространственных и временных координат.
Рассмотрение такого рода преобразований дано в § 9, здесь же
можно лишь проверить, что C.19) удовлетворяется следующими
выражениями:
A = iy4 для '*,= — xt, 'xt = xt, C.26)
Л=у1у2у3 для 'xi = xl, 'xi — ~xi, C.27)
A = iys для '\ = — -V C.28)

§ 3. Поведение волновой функции при преобразовании Лоренца 53
Замена в C.26) матрицы гу4 на у4 и в выражении C.27) матрицы
ТЛгТз на *TiY«Yj также совместимо с C.19).
Удобно подытожить некоторые свойства матрицы Л:
( 4-Y Для бесконечно малого преобразования Лоренца,
\-!у \= I ' " to од)
|5' j —Ys 1Ц[Я пространственных отражений или отражений v ' '
{ времени [C.26), C.27)].
В гл. 4 будет показано, что любое преобразование Лоренца
может быть рассмотрено как произведение бесконечно малых пре-
преобразований вида C.21а) и отражений C.26)—C.28). Если имеются
два преобразования Лоренца х -- 'х и 'х-+ "х, определенных фор-
формулами
Х^ Ct1AVAv, Х^_ t/|AV л^,
и если Л° и Л6 соответствуют а^ и Ь^у, то (Л*Л°) соответствует
сложному преобразованию Ь^аЛ, ибо имеет место равенство
которое показывает, что C.19) удовлетворяется этими величинами.
•Далее, C.20) удовлетворяется в силу правила умножения детерми-
детерминантов. Таким образом, повторное преобразование приводит
к формуле
ф-.'ф = Лф, C.30)
в которой
А = А*А". C.31)
§ 3. Поведение волновой функции
при преобразовании Лоренца. Зарядовое сопряжение
Вводя в рассмотрение матрицу (J) с одной строчкой, согласно
определению
C.32)
можно показать, что ф удовлетворяет уравнению
«VK—*ф=о. C-33)
Нетрудно выяснить особенвости поведения ф при преобразо-
преобразованиях Лоренца вида C.17а). Прежде всего имеет место соот-
соотношение _
'ф = фу4.1*у4. C.34)
Далее, из C.25) —C.27) следует
'ф = фА~ для бесконечно малого преобразования C.22а)
_ __ или пространственного отражения, C.351
'ф= — фЛ для отражения времени.

54 Гл. 3. Уравнение Дирака
Поэтому фф изменяет знак при отражении времени. Однако в гл. 8
будет показано, что в ^рамках квантовой теории поля при отраже-
отражении времени величину фф можно рассматривать как скаляр, если
одновременно произвести соответствующее преобразование вектора
состояния поля.
Аналогичные соображения мы применим к величинам фЛф
и фу.Лф, в которых А является некоторой матрицей. Согласно
C.29), при отражении времени эти величины превращаются
соответственно в —фА~'ЛЛф и Фу^^ЛАф, а ПРИ пространственных
отражениях они принимают вид фЛ"'ЛЛф и —фу4ЛЛЛф. В част-
частности, при отражении времени фф меняет знак, в то время как
фу,ф остается без изменения; при пространственных отражениях
фф и фу6ф являются соответственно скаляром и псевдоскаляром*).
С другой стороны, в квантовой теории поля фу,ф меняет знак при
отражении времени, в то время как фф остается без изменения.
Теперь введем в рассмотрение матрицу С, которая с матри-
матрицей В, определенной в C.14), связана соотношением
С=ЧьВ-\ C.36!
Можно показать, что
t=-C-\C C.37)
и
Ст= — С. C.38)
Так как В унитарна (когда у^ — эрмитовы), то
С*С=1. C.39)
Матрица С имеет важное физическое значение, которое может
быть выяснено с помощью C.37). Пусть ф' (х) и ф' (х) определены
с помощью соотношений
<Ь'(х) = ОУ(х), ф'(*) = (С-1Ф(*)O- C.40)
Очевидно, что ф' удовлетворяет волновому уравнению C.1), а ф'—
волновому уравнению C.33). Однако в дальнейшем будет показано,
') Величина, скажем, а, которая инвариантна относительно бесконечно
малого преобразования Лоренца, является либо скаляром, либо псевдоскаляром,
эги две категории величин отличаются друг от друга по своему поведению
при пространственных отражениях. Так,
если а ~~ а' то а ~ скаляР>
а ->¦ — а, а — нсевдоскаляр.
Аналогично, если величины а при бесконечно малом преобразовании Лоренца
преобразуются как вектор, они являются либо вектором, либо псевдовектором,
в зависимости от поведения" при пространственных отражениях:
если а* •* ~ а*' а* " а*> то а* ~ векто'}'
ak -I- ал, а4 -^ — а4, аа — псевдоиекюр.

§ 4. Волновая функция свободного электрона 55
что в присутствии электромагнитного поля фиф' удовле-
удовлетворяют волновым уравнениям частиц с зарядами е и — е соответ-
соответственно. Например, когда ф представляет электрон с массой х
и зарядом —е, тогда ф' представляет позитрон с массой х и за-
зарядом -f- е. По этой причине C.40) называются преобразованиями
зарядового сопряжения.
Если фиф' обладают одинаковыми свойствами при преобра-
преобразовании Лоренца, то с помощью C.34) можно найти условие
инвариантности C.40), которое имеет вид
СК™С~ 1 = т4Ау4. C.41)
Но раньше было указано, что в равенствах C.26) и C.27) можно
было бы взять в качестве Л соответственно значения А = у4
и 1у,у2у3|' теперь становится очевидным, что такой выбор был бы
несовместимым с C.41). Другими словами, если ф и ф' должны
вести себя при преобразованиях Лоренца одинаковым образом,
то А должна быть выбрана в виде, указанном в равенствах C.26)
и C.27) [14].
Теперь можно доказать важное свойство величин уд [13]. Если X
является произвольной четырехмерной матрицей, то [см. C.4)]
Х = сАчА, C.42)
где сА (А== 1, ..., 16) — обычные с-числа. Из C.6) и C.8) следует
Sp(A:YB) = 4ca E=1 16). C.43)
Поэтому имеет место соотношение
у — — X v4 v4
Если матричные элементы X таковы, что Хпф0, а остальные
исчезают, то
*«&,=т$й- C-44а)
Далее, если F и О — две произвольные четырехмерные матрицы,
то
FA = ^«'М*' Ом = | tf (/УО)«,. C.446)
Пример применения равенств C.446) дан в гл. 7, пример 8.
§ 4. Волновая функция свободного электрона
Здесь будет удобно записать волновое уравнение C.1) в виде
(Й. + аЛ + «?)Ф = 0, C.45а)
где
ар = ^Л> C.456)
Если у^ — эрмитовы, то эрмитовыми будут также и ss и р.

56 Гл. 3. Уравнение Дирака
Пусть '!» имеет вид плоской волны, т. е.
ik х
ф = н<? " а, C.46)
причем к». — компоненты четырехвектора. Подстановка этого выра-
выражения в C.45а) приводит к равенству
kou = (at.iki-\-x))u, C.456)
которое показывает, что энергия k0 является собственным значе-
значением эрмитова оператора// = (l/i)a(.d(--f-*P, где//—гамильтониан
свободной частицы. Из C.3) следует, что k% = kikt -\-x\ и поэтому
К
={-*:• (з-47>
где _____
K% = Vkikr\-x\ C.48)
Теперь введем в рассмотрение спиновые матрицы ak с помощью
равенств
5* == — Щ,Ь = — »„«,, C.49)
°з = — hib = — ixA-
Бели е — единичный вектор, параллельный вектору к, то легко
показать, что (ff-ej коммутирует с Н, т. е. что имеет место ра-
равенство
[Я, (а.еI = 0. C.50)
Кроме того,
«j.e)s = (e-e)=l, C.51)
и поэтому собственными значениями (а-е) являются значения+ 1.
Собственные векторы оператора Н (каждая компонента собст-
собственного вектора является функцией) могут быть классифициро-
классифицированы по значениям k. и (a-е). Таким образом, имеем четыре
собственных вектора й и т. д., таких, что
и4: ko— — Ko, (а-е)и4=— и\
Компоненты и1 и т. д. будут обозначаться греческими индек-
индексами, например и\. Нсли собственные векторы и" нормированы
и ортогональны друг к другу, то имеют место соотношения

§ 4. Волновая функция свободного электрона 57
Второе из этих соотношений является следствием того обстоятель-
обстоятельства, что матрица [й?] (аир нумеруют соответственно строчки
и столбцы) является унитарной. Следует заметить, что возможны
и отрицательные значения энергии, причем абсолютная разница
между положительными и отрицательными значениями энергии —
не меньше 2х.
Физический смысл оА может быть понят на основании соотно-
соотношения
н
\ = 0, C.54)
в котором через д обозначен трехмерный вектор д,, д2, д3. Так
как Н является гамильтонианом частицы, то получается, что пол-
полный момент количества движения A/г)[г, д]-[-('/,) в является
константой движения. Спиновый момент количества движения
является внутренним свойством частицы в том смысле, что он не
равен нулю даже тогда, когда частица покоится. Более того, ра-
равенство C.54) имеет место и в том случае, когда частица не
свободна, а подвергается действию центральных сил (более общее
рассмотрение вопроса о моменте количества движения в квантовой
теории поля будет дано в гл. 7, пример 1 и в гл. 9, пример 5).
Из C.52) очевидно, что для частицы, описываемой уравнением
Дирака C.1), энергия может принимать значения ±К0, и сла-
слагающие спинового момента в направлении вектора е могут быть
равны + '/2-
То обстоятельство, что величина G2)ff обладает свойствами
момента количества движения, может быть показано и другим
способом. Из C.49) и C.2) следует
G (* A mib(I,2f 3)). C.55)
Но это соотношение характерно для момента количества движения
[37]. Из C.55) следует, что С/гH* имеет собственные значения
гЬ'/г B зависимости от ориентации спина. Особенно ясно это
в выражении C.51), когда компонента а берется в направлении
вектора е.
Из C.52) видно, что функция н? относится к электрону с по-
положительной энергией при значениях р, равных 1 или 2, и отно-
относится к электрону с отрицательной энергией, когда р равно 3
или 4. Для многих практических целей необходимо найти опера-
оператор проектирования на векторное многообразие, связанное с элект-
электронами, энергия которых имеет определенный знак. Это может
быть выполнено с помощью оператора
A(k) {tf±(

58 Гл. 3. Уравнение Дирака
ибо из C.45в) и C.47) следует
? для P=I'2
для р = 3,4
Р = 1'2 C.58)
для р = 3,4.
Другими словами, Л+ и Л_ являются операторами проектирования,
которые действуют на вектор состояния и и выделяют компоненты,
относящиеся соответственно к положительной или отрицательной
энергии.
Дальнейшим полезным применением этих операторов является
возможность вычислить средние значения матриц, скажем А,
в состояниях с положительной или отрицательной энергией. Это
можно сделать в общем виде, не используя явного выражения для
и1 и и2 (или и3 и и4), так как
2 и?*Лн? = н?*ЛЛ+н? = 5р(ЛЛ+). C.59)
Последнее выражение может быть легко вычислено, так как на
основании C.4) матрица ЛЛ+ может быть представлена в виде
линейной комбинации ул-
Скорость свободной частицы можно вычислить по формуле
^х = г[х, Н] = а. C.60)
Так как собственные значения a.k равны ±1, то можно заклю-
заключить, что скорость частицы всегда равна скорости света. Однако
этот результат не имеет непосредственного значения, так как
в действительности мы всегда имеем дело со средним значением
скорости частицы с положительной энергией но короткому про-
промежутку времени. Это среднее значение не равно скорости света,
потому что
Jn»ix/ = Sp(«)A+(l')) = i5- C-61)
Это равенство показывает соблюдение классического соотношения
между скоростью и импульсом частицы.
§ 5. Преобразование Фолди — Воутхаузена — Тани
Применим результаты предыдущего параграфа к конкретным
вычислениям. С этой целью мы опишем преобразование Фолди —
Воутхаузена — Таии [9, 16], которое дает удобный метод вычис-
вычисления дираковских операторов в состояниях с определенной энер-
энергией.

§ 5. Преобразование Фолди — Воутхаузена — Тани 59
Преобразование определяется равенством
в котором
Гамильтониан свободной частицы преобразуется согласно следую-
следующему правилу:
Я' С/-/С~ 1 С // ft \г\ I -*О\ С~! If ft
О/7О О ЦЛ • lij —j—XpJ о *^ог"
Удобно выбрать такое представление, в котором матрица р диа-
гональна и имеет вид
1 0 0 01
0 10 0
0 0—1 0
0 0 0 — 1^
В .этом случае очевидно, что одна пара функций (^lt <p2) относится
к положительным значениям энергии, а другая пара (<p:i, tpj —
к отрицательным значениям.
Некоторая матрица А преобразуется при этом согласно правилу
Если матрица А' имеет элементы, связывающие между собой
лишь состояния с энергией одинакового (различного) знака, то
она называется четной (нечетной). Легко показать, что р и ок —
четные матрицы, а аА — нечетные.
Ниже приводятся выражения различных операторов после пре-
преобразования к (^-представлению
k —k =к,
"о
Это преобразование мы используем для вычисления значения
оператора ра, относящегося к состоянию нуклона только с поло-

60 Гл. 3. Уравнение Дирака
жительной энергией. Этот оператор иногда представляет ту часть
гамильтониана, которая описывает взаимодействие при ^-распаде,
и выражает эффект перехода между состояниями нуклона. Пре-
Преобразование приводит к выражению
)[k, ff]].
Так как состояния отрицательной энергии можно не учитывать'
то нечетные матрицы в этом выражении следует опустить. Опу
екая далее члены второго порядка и выше относительно (к/х)
[ж — масса нуклона), получаем следующее результирующее выра-
выражение:
pa-H.spaS-^-f[k, a].
При использовании этого выражения в теории ^-распада к
интерпретируется как средний импульс нуклона [1].
Интересно отметить, что если ф—функция со свойствами,
близкими к J-функции, то if выражается в виде интеграла по
области, размеры которой имеют порядок комптоновской длины
волны A/х). Это является следствием наличия оператора прост-
пространственного дифференцирования к в выражении для S.
Этот метод был успешно обобщен на частицы, находящиеся
во внешнем поле [8].
§ 6. Заряженные частицы в электромагнитном поле.
Теория дырок
Вид волнового уравнения заряженной частицы, находящейся
в электромагнитном поле (с потенциалом А^), определяется тре-
требованием калибровочной инвариантности. Более подробные рас-
рассмотрения, данные в гл. 7, приводят к уравнению
{(Y,- ^-*а4в(л)) + *Ж-*) = 0. C-62а)
С помощью преобразования зарядового сопряжения C.40) получаем
другое уравнение
}fW = 0. C.626)
Теперь становится очевидным, что ф' и ф, связанные друг с дру-
другом преобразованием зарядового сопряжения, относятся к частицам
с противоположными знаками зарядов. Далее, если ф описывает
состояние с положительной энергией, то ф' описывает состояние
с отрицательной энергией. В самом деле, если ф описывает со-
состояние с положительной энергией, то ф = А+(к)ф; преобразуя

§ 6. Заряженные частицы в электромагнитном поле
61
это равенство с помощью преобразования зарядового сопряжения
и используя C.36) и C.14), получаем
= A+(-k)A.(-k)YiY4B-1<|>*=0.
Другими словами, преобразование зарядового сопряжения устанав-
устанавливает соответствие между состояниями отрицательной энергии
частиц с зарядом — е и состояниями положительной энергии ча-
частиц с зарядом -\-е (и той же массой).
etp
-?¦
Фиг. 1.
Существование состояний с отрицательной энергией приводит
к физической трудности, которая может быть проиллюстрирована
с помощью так называемого парадокса Клейна [10].
В реальном мире электроны всегда имеют положительную
энергию, и эти состояния должны быть стабильными. Однако
простое соображение может привести к противоположному резуль-
результату. Электростатический потенциал Ф(х), поведение которого
изображено на фиг. 1, имеет такой вид, что связанная с ним
потенциальная энергия еФ(х) ведет себя следующим образом:
Е-\-еФ(х)^>т для
т^>Е-\-еФ(.*)>— т для
т>Е-\-еФ{х) для
C.63)
Предположим, что электрон с полной энергией Е движется в по-
положительном направлении оси х. Согласно классической механике,
электрон не может оказаться в области а<С.х<^Ь, потому что
в этой области его импульс р(х) = [(Е-\-еФ(х))г— /и2]1'» стано-
становится мнимым. Таким образом, согласно классической теории,
электрон, первоначально находившийся в области х<^а, никогда
не сможет попасть в область х^>Ь. Однако в квантовой теории
такой переход не запрещен, он может произойти с помощью про-
процесса, аналогичного туннельному эффекту. Таким образом полу-

62 Гл. 3. Уравнение Дирака
чается, что электрон не обязательно будет бесконечно долгое
время находиться в состоянии с положительной энергией.
Выход из этого затруднения был указан теорией дырок Ди-
Дирака [6]. Принимается, что вакуум не есть состояние, в котором
отсутствуют электроны, что в вакууме все состояния с положи-
положительной энергией свободны, а все состояния с отрицательной
энергией заняты. (Согласно принципу Паули, состояние с заданным
значением энергии-импульса занято двумя электронами с противо-
противоположно направленными спинами.) Теория Дирака предполагает,
что фон электронов с отрицательной энергией не может быть
наблюдаем; далее, эта теория считает, что наличие этого фона
электронов проявляется лишь тогда, когда внешний источник
сообщает ему извне энергию, превышающую 2т, в результате
чего один из электронов совершает переход из состояния с отри-
отрицательной энергией в состояние с положительной энергией. Когда
это произойдет, фон электронов характеризуется отсутствием
электрона в одном из состояний с отрицательной энергией, т. е.
„дыркой". Благодаря этому парадокс Клейна находит следующее
разрешение: электрону с положительной энергией невозможно
перейти в состояние с отрицательной энергией, потому что все
эти состояния в нормальных условиях целиком заполнены. Переход
в состояние с отрицательной энергией оказывается возможным
только тогда, когда имеется в наличии дырка.
Дырка на фоне отрицательно заряженных частиц будет обла-
обладать свойствами положительно заряженной частицы с массой
электрона. В общем случае такого рода частица называется „анти-
„античастицей". Таким образом, переход электрона (с отрицательным
зарядом) из состояния с отрицательной энергией в состояние с по-
положительной энергией может быть интерпретирован как рождение
пары частиц — электрона и позитрона. Именно предсказание воз-
возможности рождения пар было наиболее поразительным успехом
теории дырок.
Наряду с теорией Дирака предсказание возможности порожде-
порождения и поглощения электронов дается также общей квантовой
теорией поля. Однако в общей теории рождение пары электрон-
позитрон интерпретируется не как переход электрона из состояния
с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией,
а как рождение отрицательно заряженной и положительно заря-
заряженной частицы. Античастицы при этом могут описываться вол-
волновой функцией ф', связанной с функцией ф преобразования зарядо-
зарядового сопряжения. Стабильность электронов обеспечивается, при со-
соответствующим образом определенном вакууме, тем, что они
подчиняются статистике Ферми, что является следствием применяе-
применяемых для них соотношений коммутации (см. гл. 9).
Хотя теория дырок и разрешает парадокс Клейна, сама она не
свободна от аналогичных трудностей. Например, внешнее электро-

§ 7. Теория Майорана частиц со спином '/г 63
магнитное поле может так поляризовать бесконечное множество
электронов, находящихся в вакууме, что некоторые электроны
окажутся в состояниях с положительной энергией. Индуцирован-
Индуцированный таким способом ток оказывается бесконечной величины (см.
гл. 13, пример 6).
§ 7. Теория Майорана частиц со спином 1jt
Соотношение между частицами и античастицами наиболее про-
простым способом представляется теорией Майорана [II]. Эта теория
является теорией частиц со спином '/ц но не наиболее общей
теорией этих частиц.
Прежде всего в рассмотрение вводятся четырехвекторы фМ и
<Ы2\ связанные с зарядово-сопряженной между собой парой векто-
векторов ф и ф' следующими равенствами:
C.64)
Это приводит к соотношениям
(ф() + гф()),
Y C.65)
^4
Используя C.32) можно ввести векторы фО и ф(^ с помощью
равенств
4=
, C.66)
Тогда из C.40) следуют соотношения
= СфОг=ф(]>
которые показывают, что ф('> и фB) инвариантны относительно
зарядового сопряжения. Следует заметить, что если ф(г) = 0, то
на основании C.64) ф —ф'. Это надо интерпретировать в том
смысле, что частицы, описываемые такими волновыми функциями,
являются нейтральными частицами. Теория Майорана описывает
именно такие частицы; вектор фB) предполагается равным нулю.

64 Гл. 3. Уравнение Дирака
Таким образом, в схеме, которую предложил Майорана, не
только рассматриваемые частицы являются нейтральными, но и
нет никакого логического различия между частицами и антича-
античастицами. Это приводит к важному следствию, которое может
быть проиллюстрировано на примере спонтанного распада нейт-
нейтрона. Если нейтрино v и антинейтрино можно отличить друг от
друга и если нейтрон N порождает не антинейтрино, а нейтрино
N—>-P-\-e-\-v, V-\-N—>Р-\-е (v'—антинейтрино),
то получается, что в двойном р-распаде должны образовываться
два нейтрино
+ v —P + P +?? + ?? +v + v.
С другой стороны, теория Майорана, в которой нет различия
между нейтрино и антинейтрино, приводит к следующей схеме
процесса [8]:
N-\-N—.jV + P-f-e-fv — p + p-^e-^e.
Можно считать, что нейтрино, испущенное одним из нейтронов
в качестве антинейтрино, поглощается вторым распадающимся
нейтроном. Таким образом, изучение двойного р-распада дает спо-
способ проверки применимости теории Майорана к нейтрино. К со-
сожалению, имеющихся экспериментальных материалов [12, 7] не-
недостаточно для определенного решения этого вопроса1).
') Как известно, Майорана A937 г.) выдвинул гипотезу, согласно которой
нейтрино и антинейтрино должны быть тождественными между собой, и
потому для их описания можно воспользоваться уравнением Дирака с вещест-
вещественными волновыми функциями. Эта гипотеза может быть проверена на
двойном р-распаде, которым обладают, например, ядра Са48, Zr", Nd150 и т. д.
Если предположить, что нейтрино и антинейтрино тождественны между со-
собой, то следовало бы ожидать сравнительно большого значения для вероят-
вероятности двойного р-распада (время жизни порядка 10" лет) с испусканием
двух электронов без нейтрино (один нейтрон ядра испускает электрон и
нейтрино, другой нейтрон поглощает нейтрино и испускает второй электрон).
Если же двойной р-распад представляет собой два последовательных р-ра-
р-распада с испусканием двух электронов и двух нейтрино, то вероятность
испускания резко уменьшается (соответствующее время жизни будет иметь
порядок КJ* лет). Экспериментальные исследования показали [18, 19], что вре-
время жизни при двойном р-распаде не может быть меньше 1018 лет, и поэтому
двойной р-распад без испускания нейтрино невозможен. В настоящее время
появилась благодаря развитию идей Ли и Янга о несохраиении четности теория
двухкомпонентного нейтрино (см. примечание на стр. 133). Нейтрино и
антинейтрино по этой теории отличаются друг от друга не зарядом (как
электрон от позитрона), а проекцией спина на направление движения.
Двойной р-распад по этому варианту теории без испускания нейтрино при соот-
соответствующем выборе энергии взаимодействия становится уже невозможным.
— Прим. ред.

§ 8. Спиноры 65
§ 8. Спиноры
При преобразованиях Лоренца функция ф ведет себя особым
образом, и, чтобы объективно описать это поведение, мы введем
некоторые величины, которые называются спинорами.
Если ak являются спиновыми матрицами C.49), то эрмитово
представление величин ур. задается следующими формулами:
Легко показать, что матрицы у в равенствах C.68) удовлетво-
удовлетворяют соотношениям коммутации C.2). (В практике иногда бывает
удобнее выбирать представление, в котором у* = — 2*Р« и
у4 = р,.) Подстановка C.68) в C.24) дает равенства
))
а* °1
0 —о„] •
Последние равенства показывают, что при бесконечно малых
преобразованиях Лоренца вида C.18) и C.22 а) пары компонент
ф, и ф,, ф3 и ф4 преобразуются по следующему закону:
C-72)
В этих формулах использованы обозначения
X &»„», = tow^e, -j- 5tclsa8 + to31a8.
цикл
Очевидно, что преобразования C.72) и C.73) являются унимоду-
лярными (детерминант из коэффициентов преобразования равен
единице); это справедливо для всех преобразований непрерывной
группы Лоренца (т. е. преобразований, являющихся произведе-
произведениями бесконечно малых преобразований).
Матрицы с двумя строками или столбцами, бесконечно малые
преобразования Лоренца которых унимодулярны, называются

66 Гл. 3. Уравнение Дирака
спинорами. Если преобразование имеет вид C.73), то соответствую-
соответствующие спиноры называются контравариантными и будут обозна-
обозначаться верхними индексами. Так, элементы ф3 и ф4 в C.73) будут
обозначаться через ф3 и ф\ а в общем случае контравариантного
спинора — через Ьг. Ковариантный спинор есть строка из двух
элементов ап так что аТЬг является инвариантом относительно
преобразований Лоренца. При бесконечно малом преобразовании
этот спинор преобразуется согласно следующему правилу:
'(о,, at) = (ai, a^Z-^to^ + JH,»»). C.74)
Столбец, образованный из величин, комплексно-сопряженных
к элементам ковариантного спинора (расположенных в строчку),
есть тоже спинор, называемый комплексно-сопряженным спи-
спинором. Поведение такого столбца при преобразовании такое же, как
и в равенстве C.72), потому что в этом равенстве величины
bwki и &wki соответственно мнимы и вещественны. В общем слу-
случае компоненты спинора, обладающего такими свойствами, будут
обозначаться через b-r; по этой причине компоненты <J>t и фг вели-
величины ф будут записываться как ф; и ф^. Очевидно, что существуют
также такие спиноры а/ , что величина a. b- является инвариан-
инвариантом.
Легко видеть, что из ковариантного спинора аг можно полу-
получить контравариантный спинор аг, если положить
а^а,, аг = —а,. C.75а)
Аналогично, спинор (строчка) с элементами аг задается равен-
равенствами
а{ = а;, а* =-&> C.75 6)
причем ата-т — инвариант.
При пространственных вращениях фг и ф^ преобразуются оди-
одинаково, что можно видеть, если в C.72) и C.73) положить
bwki=0. Те же самые равенства показывают, что при непрерыв-
непрерывном преобразовании Лоренца величины фг и <J>j, преобразуются не-
независимо.
Последнее утверждение не имеет места в случае пространст-
пространственных отражений. В самом деле, в смысле равенства C.26) про-
пространственные отражения характеризуются матрицей
Л= Л у J . C.76)
Это приводит к перемене мест фг и ф^ (отвлекаясь от множите-
множителя i). С другой стороны, отражения времени характеризуются

§ в. Спиноры
67
матрицей
которая осуществляет преобразование
г|»г.
C-77)
C.78)
ф1'
ф8
.ф,
= X
Ф-,
Ф1
'ф1'
ф!
В общем случае,- когда мы имеем дело с преобразованиями, содер-
содержащими также пространственные отражения, нельзя рассматри-
рассматривать <Ь как величину, состоящую из двух спиноров; полный вектор
(<|/, <b-r) называется ундором [2].
Если пользоваться спинорами rb-r и фг, то волновое уравнение
может быть записано в виде
C.79)
Эти выражения могут быть упрощены, если ввести обозначения
(
в которых [зА]„ и [/]„ обозначают (rs)-bie компоненты матриц aft
и /. Положив
можно записать волновое уравнение в виде
ds'r'br = ixbs,
C.82)
Ввиду того, что волновое уравнение инвариантно относительно
преобразований Лоренца и is и ф- являются спинорами, ясно, что
d;s и д" преобразуются относительно своих индексов как спи-
спиноры соответствующего типа и являются спинорами 2-го ранга.
Аналогично, C.81) показывает, что величины a ,-rs и asr преобра-
преобразуются как четырехвекторы относительно индекса ji и как спиноры
относительно индексов г и s. Рассмотрение величин ar;rs и других

68 Гл. 3. Уравнение Дирака
связанных с ними элементов показывает
?Г* — <3r.ST,
V- V- '
В этих равенствах величины а .^ и aTS являются величинами, по-
полученными из а?г и а^.-гг по формулам C.75 а) и C.75 6). Из C.81)
видно, что величины a^.sr и а?г путем свертывания по индексу |i
преобразуют четырехвекторы в спиноры 2-го ранга.
§ 9. Псевдоспиноры
Как было показано в § 1, при пространственных отражениях
функции Дирака преобразуются четырьмя различными способами:
(А),
(В
(С
C.84)
(С,
(D.
Преобразование (А) в деталях описывается с помощью выражения
C.26). В § 3 было показано, что при пространственных отраже-
отражениях величины фиф' ведут себя по-разному, что находит свое
выражение в преобразованиях (С) или (D). Другими словами, ф'
подчиняется правилу (С) или (D), когда ф подчиняется (D) или
(С) соответственно, и ф' подчиняется правилу (А) или (В), когда
& подчиняется (А) или (В) соответственно. Так как в теории
Майорана используется линейная комбинация из ф и ф', то лорен-
цова инвариантность теории требует, чтобы фиф' преобразовы-
преобразовывались при преобразованиях Лоренца одинаково. Поэтому в теории
Майорана ф должно подчиняться (А) или (В). Как будет видно из
дальнейшего, физические величины содержат пары ф и ф в виде
выражений (ф°Оф*), в которых через О обозначены произведения
матриц Yii- Равенства C.84) показывают, что, когда фа и ф* опи-
описывают частицы одного и того же рода (а=Ь), не существует
различия между правилами (А), (В), (С) и (D). С другой стороны,
когда фа и ф* описывают частицы различных типов {аФЬ), че-
четыре правила C.84) приводят к разным результатам, потому что
фа и ф* могут различным образом преобразовываться при про-
пространственных отражениях. Волновые функции полей типов (А),
(В), (С) и (D) мы будем обозначать через фл, фв, фс и фо. Вол-
Волновые функции фв, фс, фо называются псевдоспинорами, в то
время как фл является спинором 117]1). Таким образом, преобра-
преобразование величин ф,|Офв и фс0фо при пространственных отражениях
') Некоторые авторы называют фс спинором, а ф^, фв> tj-д — псевдоспи-
иорами.

§ 9. Псевдоспиноры 69
отличается от преобразования величины $>АО$А, Нетрудно видеть,
что отражения времени приводят к аналогичным результатам.
Теперь мы продемонстрируем на примере ^-распада физическую
важность введения псевдоспиноров.
Взаимодействия, имеющие место при р-распаде, подробно ра-
разобраны в гл. 7, пример 8. Сейчас мы рассмотрим только ска-
скалярную связь
(Щ») (уу), C.85а)
где фр, tyN, if и фч — волновые функции соответственно протона,
нейтрона, электрона и нейтрино.
Если функции фя, <bN, if и фу принадлежат к одному и тому же
типу в смысле C.84), то выражение C.85 а) инвариантно относи-
относительно пространственных отражений. С другой стороны, если
if, <J>'V и 'У принадлежат к типу (А), а ф" принадлежит к типу (В),
то нельзя выражение C.85 а) принять в качестве лоренц-инвариант-
ного взаимодействия. В этом случае вместо C.85 а) можно взять
следующее лоренц-инвариантное взаимодействие
(?Г) (?1,П C.856)
Это показывает, что взаимодействия псевдоспинорных полей от-
отличаются от обычных взаимодействий.
Ьсли бы схема р-распада имела вид
N-+ P-fe + v, C.86)
то для обратного процесса мы имели бы схему
P — W-fe'-fv'. C.87)
В этой схеме ё и v' означают соответственно позитрон и анти-
антинейтрино. Так как масса нейтрона больше массы протона, то про-
процесс C.87) запрещен законом сохранения энергии. Однако процесс
C.87) может быть индуцирован внешним полем. Примером такого
процесса является испускание позитронов ядрами.
Теперь рассмотрим следующий процесс:
Р — ЛГ + e' + v' (Л/'— антинейтрон). C.88)
Этот процесс индуцирует процесс Р -j- N —* ё -f- v' и должен был
бы привести к нестабильности ядер. С другой стороны, процесс
C.87) индуцирует процесс P-\-N'—>-e-\-v\ который совместим
со стабильным состоянием ядер, потому что в ядрах мы имеем N,
а не Л/'. В связи с этим процесс C.88) необходимо отбросить.
Если мы хотим иметь процесс C.87), а не C.88), то можно
поступить следующим образом. Выберем ф^ типа (С) или типа
(D), тогда фЛ и ф^'при пространственных отражениях будут под-
подчиняться различным законам преобразования и поэтому можно

70 1л. 3. Уравнение Дирака
выбрать взаимодействие, которое разрешает процесс C.87) и за-
запрещает процесс C.88)'). Отсюда видно, что свойства преобразо-
преобразования спиноров при пространственных отражениях и отражениях
времени дают широкий простор для объяснения различных взаимо-
взаимопревращений частиц.
ЛИТЕРАТУРА
J. Ahrons Т., Fein berg E., Phys. Rev., 86, 64 A952).
2. В е 1 i n I a n t e R. J., Theory of Heavy Quanta, 1939.
3. Dirac P. A. M., Principles of Quantum Mechanics (см. перевод второго
издания: [1. А. М. Дирак, Основы квантовой механики, №.—Л., 1937).
4. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc, A117, 610 A928).
5. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc., A118, 351 A928).
6. Dirac P. A. M., Proc Phys. Soc, A126, 130; A133, 60 A931).
7. Fireman E. L., Schwarzer D., Phys. Rev., 86, 451 A952).
8. Furry, Phys. Rev., 56, 1184 A939).
9. Foldy L. L., Wouthuysen S. A., Phys. Rev., 78, 29 A950).
10. Klein O., Zs. I. Phys., 52, 157 A929).
11. Major ana E., Nuovo Cimento, 14, 171 A937).
12. McCarthy, Phys. Rev., 90, 853 A953).
13. Pauli W., lnst. H. Poincare Ann., 6, 109 A936).
14. Racah 0., Nuovo Cimento, 14, 322 A937).
15. Sakata S., Soryushironkenkyu A955).
16. Tani S., Prog. Theor. Phys., 6, 267 A951).
17. Yang С N.. Tiomno J., Phys. Rev., 79,495 A950).
18*. С о w a n С L., Harrison F. В., L a n g e г L M., R e I n e s F., Nuovo
Cimento, 3, 649 A956).
19*. К e i n e s F., С о w a n C, Nature, 178, 446 A956) [см. перевод: Успехи физ.
наук, 62, вы». 4, 391 A957)).
') Однако это не единственная возможность запрещения процесса C.88).

ГЛАВА 4
Общий вид релятивистского
волнового уравнения (I)
§ 1. Спиноры
В предыдущей главе нами были введены спиноры ar, a', br ,b'.
Теперь мы обсудим их общие свойства [7, 18]. Формулы C.75 а)
и C.756) могут быть записаны следующим образом:
где использованы обозначения
[е"]=[е"] = —[е„] = —[e;i ]=[__! 0J • D-2)
Отсюда следует, что
е" = — е", е„= — s,r, в"=—е", e; i = — е;,-, D.3 а)
е"е<* = -&tr> »* *„ = — S- . D.3б)
erV* = srve,, = Srr, г- е- = е^ euj ==§•;, D.3в)
ег'е"' = srssa t = 8r.^ - brtbsu. D.3 г)
Как было показано в гл. 3, величины ага'г и b- b'r инвариантны
относительно непрерывных преобразований Лоренца.
Из D.1) следуют равенства
asbs — — asbs, as b± = — a-s bs , D.4)
которые приводят к соотношению
оЧ = 0. D.5)
Из D.3 г) следует
rfbft + aj3tcs -f- atbscs = avbrc" (Sj,re<o + 6eos<r -f- slvzra) = 0. D.6)
Соотношения D.5) и D.6) остаются справедливыми в том случае,
когда нижние и верхние индексы без точек заменяются соответ-
соответствующими индексами с точками. Как было показано в гл. 3,
иереход к комплексно-сопряженному спинору осуществляется пе-
переходом от индексов без точек к индексам с точками и одновре-
одновременным снятием точек у тех индексов, у которых они были.

72 Гл. 4. Общий вид релятивистского волнового уравнения (I)
Величины а™'? , которые при непрерывном лоренцовом пре-
преобразовании ведут себя так же, как произведения (aras,..., Ьи bw,...\
называются спинорами ранга п, причем п —число верхних и
нижних индексов. Индексы можно поднимать и опускать по пра-
правилу D.1), например,
Ввиду того что a"'Q ведет себя при преобразовании так же, как
{aras,..., Ъ-а -w,...), и величина asa? является инвариантом, можно
понижать порядок спинора путем свертывания по индексам. На-
Например, произведение ajfr может быть сведено к спинору 2-го
ранга путем свертывания по одному из индексов
astbtr = Cs. D.6)
Как показано в гл. 3, величины а™ относительно верхних ин-
индексов (rs) обладают спинорными свойствами, поэтому верхние
индексы в них могут быть опущены по правилу D.1), в резуль-
результате чего получаются величины a rs, а ¦ ш ^.
Из спинора 2-го ранга а* с помощью аг а можно получить
вектор ац по следующему правилу:
DJa)
так как a rs обладает по индексу ji векторными свойствами.
Если D.7а) расписать подробнее, то получаются равенства
D-76)
В общем случае из спинора ранга 2я можно получить тензор
ранга п по следующей формуле:
Й

1. Спиноры 73
Из C.80) можно вывести соотношения
<V;»,¦ = - V«°f = SP (<VO = 2^. D.9а)
ej4. A.
ehijr+V?=- 2d%§--, D.9в)
3,, rs°», aw = °?° f = 2 №» ~ W«), D.9Г)
в которых введено обозначение
> . /1 для r=s,
"~10 для г фи.
Соотношение D.9г) приводит к равенствам
а"аГ + ^С = 0, D.10а)
a = 2Sr> §oi - 2 Cr> §„• - bra 8^)=
= 2«„«^, D.10т)
где учтены соотношения D.3в) и D.3г).
Используя D.8) и D.10г), можно из тензора ранга я получить
спинор ранга 2л по следующей формуле:
*r:.::?=,H(ek«)eM *•• DЛ1)
Из D.9в) и D.11) получаются равенства
= -aAS^ D.12a)
и
д'Ч«=-аи.дЛ- DЛ26)
В частности,
d-j™ = -nb-^ D.12b)
d^d;/ = -n«rf. D.12r)
Кососимметричный спинор a" (ars = — asr) имеет только одну
независимую компоненту
а" = -с11 = 1а;, D.13а)

74 Гл. 4. Общий вид релятивистского волнового уравнения (I)
которая с учетом D.1) может быть записана в виде
a"=ys D.136)
Равенство D.136) показывает что величина а" инвариантна отно-
относительно непрерывного преобразования Лоренца.
Из двух симметричных спиноров 2-го ранга а-^ и art можно
получить кососимметричный тензор с помощью формулы
"*» = - TKVAi-3,><<a4- D.14а)
С помощью D.4) можно обнаружить, что этот тензор а^— косо-
симметричный. Формула D.14а) приводит к равенствам
I
D.146)
ибо использование D.9а) и D.96) дает
У °*. Л.'А» = Т 1а"-"а'Да?а?ам - а*, h \'и а,, i>v <&i «=
Преобразование D.146) можно проиллюстрировать на примере
кососимметричного тензора
а^ = диач — д^а11. D.15а)
Равенства D.146) дают выражения
Т
... . D.156)
в которых а\ —спинор, полученный из вектора а^ по формуле
D.11). Если d-a удовлетворяет соотношениям
д. а[ =д.а\ ,
rt и at r
то D.156) приводит к равенствам
а. =д. а[,
т па

§ 2. Преобразование -Лоренца 75
Из D.1) и D.16) можно получить соотношения
. дка* = дИ г"а>и = дк Г*а*. = - д.( в-'Д: = - дка*>
которые приводят к равенству
= 0, D.18а)
эквивалентному уравнению
<ЭА = 0, D.186)
что показывается с помощью D.9а) и D.11). Из D.12в), D.12г)
и D.17) получается
^ = -°*S' D.19)
davt Uav
§ 2. Преобразование Лоренца
Преобразование Лоренца есть линейное преобразование, при
котором остается инвариантным выражение
Преобразования Лоренца составляют группу [20]. Это следует из
того обстоятельства, что линейные преобразования
\ = а^, D.20)
чтобы быть преобразованиями Лоренца, должны обладать сле-
следующими свойствами:
KJ = ±1. D.21а)
<V*a, = C D.216)
В частности, при v = a = 4
<WV = 1. D.21b)
Ввиду того, что akt и ait соответственно мнимое и вещественное,
равенство D.21 в) показывает, что
и, таким образом, либо
я»4>1. D.22а)
либо
а44< —1. D.226)
Из D.21а) видно, что существуют преобразования двух родов.
Невозможно найти преобразования, характеризующиеся положи-
положительным знаком, которые были бы произвольно близки к преобра-
преобразованиям, характеризующимся отрицательным знаком. То же самое

76 Гл. 4. Общий вид релятивистского волнового уравнения (I)
справедливо и в отношении двух случаев D.22а) и D.226). Поэтому
можно сказать, что группа преобразований Лоренца состоит из
четырех частей:
ГЦ ам>1. |в|И| = 1,
L I L± я44<-1, kJ = U
Преобразования Лоренца
1——1
Первая часть состоит из элементов, непрерывно связанных
с единственным элементом и образующих группу; эта часть обычно
называется непрерывной группой Лоренца, или LJ-группой. Про-
Произведение каждого элемента L+ на любой элемент Li, |_+ или L=
приводит соответственно к Li, L+ или L=. Пространственные отра-
отражения и отражения времени принадлежат соответственно к L+
и LI- Полная инверсия, являющаяся произведением пространствен-
пространственного отражения и отражения времени, принадлежит к Li. Отсюда,
например, следует, что элемент из L+ эквивалентен произведе-
произведению пространственного отражения на некоторый элемент из Li-
Комбинация L+ с любой из других частей также является группой.
Теория элементарных частиц будет тогда лоренц-инвариантной
теорией, когда каждый вид элементарных частиц описывается
неприводимыми величинами в группе Лоренца. Приводимые величины
рассматриваются как совокупность нескольких сортов элементарных
частиц. Например, векторы и скаляры при преобразованиях Лоренца
являются неприводимыми величинами. С другой стороны, попе-
поперечные волны и продольные волны векторного поля перемешиваются
при преобразовании Лоренца и поэтому не могут описывать две
элементарные частицы.
Теперь рассмотрим следующие произведения спиноров (k-\-l — 2)
порядка
p{k, I) __ J
т"
k-m-\
1_„_, „
1 2
У m\{k- т)\ Уп\ (I - п)\'
Эти произведения имеют (kl) компонент. Теория групп [20] пока-
показывает, что линейные комбинации этих компонент дают неприво-
неприводимое представление непрерывной группы Лоренца. Если принять
правило, что в случае пространственных отражений индексы с точ-
точками и без точек в Р1-^ должны заменяться соответственно индек-
индексами без точек и с точками, то можно сюда включить также
группу Лоренца L+. Аналогично могут быть включены также
преобразования Лоренца Li и L-, если в случае отражения .вре-
.времени воспользоваться правилами C.78) для каждого спинорного
индекса, так как полное отражение эквивалентно произведению

§ 2. Преобразование Лоренца 77
пространственного отражения на отражение времени. Таким
образом, можно принять, что состояния элементарных частиц опи-
описываются линейными комбинациями величин Ртп, которые обозна-
обозначаются через U (k, Г) (^ ^^тгР)' Например, волновая функция
скалярного поля обозначается через U A,1}, спинорного поля 1-го
ранга — через U B,1) и ?/A,2), а векторного поля —через U B,2).
Если q — число линейно независимых компонент U (k, l) для
покоящейся частицы с не равной нулю массой покоя х, то спин S
этой частицы можно определить равенством
D.23)
Равенство D.23) показывает, что покоящаяся элементарная частица
может находиться в B5+1 )-состояниях. В гл. 7 будет показано,
что эти состояния соответствуют различным собственным значениям
(S, S — 1, ... , —S) проекции оператора спина на некоторое выде-
выделенное направление и что сумма орбитального и спинового момента
количества движения сохраняется. Это было показано в гл. 3, § 4
для элементарной частицы со спином 1/t.
Пример. Волновое уравнение для частицы
со спином 1
Рассмотрим уравнение
F^d^-dJJ^
*Л.-«¦?/. = О, D>24а)
в котором U^—вектор, а х— некоторая постоянная. Это есть
уравнение Прока [13]. Уравнение D.24а) эквивалентно уравнениям
(?-*')?/„ = О,
Отсюда видно, что х обозначает массу частицы. Второе из урав-
уравнений D.246) показывает, что в системе покоя имеет место равен-
равенство ?/4 = 0. Поэтому число независимых компонент равно трем
и спин 5=1. Сравнивая D.24а) и D.246) с D.15а), D.186) и D.19),
мы видим, что
где и^, F^, <р- и iVa соответствуют а„, а^, а[ и (Ijix) аУа. Эти
уравнения являются уравнениями частицы со спином 1 в спинорном
представлении. Уравнения D.24а) при х = 0 принимают вид
Совместно с условием Лоренца
<ЭА = ° - D.256J

78 Гл. 4. Общий вид релятивистского волнового уравнения (I)
эти уравнения являются уравнениями Максвелла. Существенным
различием между теориями с х=^0 и х = 0 является то, что
в последнем случае D.256) нельзя вывести из D.25а). Уравнения
D.25а) и D.256) эквивалентны уравнениям
Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразования
А^А'^А^ + д^, D.26)
в котором Л — скалярная функция, удовлетворяющая уравнению
Это преобразование называется калибровочным преобразованием.
Мы видели, что частица со спином 1 может быть описана спи-
спинором 2-го ранга. В следующем параграфе будет показано, что
частица со спином S может быть описана спинором ранга 2S.
§ 3. Общий вид релятивистских волновых уравнений
. Уравнения для элементарных частиц в общем случае мы выведем
путем обобщения спинорного уравнения C.82), относящегося
к частицам со спином 72> Для произвольного спина.
Уравнения C.82) для спиноров ранга п могут быть обобщены
следующим образом [1,4,5]:
«Xv-**", D27)
Из D.27), D.12в) и D.12г) получаются уравнения
(?—**) У*- =0,
<п-*¦)&;. =о. <4-28>
Отсюда видно, что для релятивистских волновых уравнений условие
Клейна — Гордона (см. гл. 2) выполнено.
Теперь покажем, что если <pf " и fa" —симметричные спи-
спиноры ранга я, то с их помощью могут описываться частицы со
спином (л/2). Для частиц с не равной нулю массой покоя (х=?0)
всегда можно выбрать такую лоренцову систему координат, в ко-
которой частица покоится, и переписать уравнение C.81) в виде

§ 3. Общий вид релятивистских волновых уравнений 79
где учтено, что дк—>-0, di—*(\ji)x. Таким образом, в системе
покоя имеет место равенство
Ти... Кп...
которое приводит к соотношению
та... ''sa... '•as... rs...
Другими словами, величины ysj••¦ симметричны относительно индек-
индексов с точками и индексов без точек.
В системе покоя непрерывные преобразования Лоренца сводятся
к пространственным вращениям. Поэтому в этом случае нет необ-
необходимости делать различия между индексами с точками и индексами
без точек; с величиной <р?'--- можно обращаться как с величиной
Тя... "
В силу того, что каждый из верхних и нижних индексов может
принимать два значения A и 2), число независимых компонент равно
lT'H (*)+>•
Равенства D.23) и D.29) показывают, что D.24а) и D.246) отно-
относятся к частицам со спином 5=я/2.
Если число индексов с точками и число индексов без точек
в выражении для у?••• равно соответственно k — 1 и /— 1 (где
k-\-l — 2 = я), то число аналогичных индексов в выражении для
x'fl" равно соответственно k и 1 — 1. Принимая k =1,2, ... , га,
получаем га ( = 25) различных теорий элементарных частиц
со спином 5. Обозначим fy -т и <р? -т _ (k = n, 1=2)
A) A) " *' (?)'(?)
соответственно через х и у и введем величины (у, %), (q= 1 п),
определенные следующим образом:
• 'li • ¦ • , rn _ q X • rv ¦¦• , Гп-q + i'
yU-q+2, ¦¦¦ ,tn__ fn-q+г 'n D.30)
Лгх- ¦• •/¦„-<? + i T г,-••••гя-<; + 1 *
Отсюда видно, что все (у, х) удовлетворяют уравнениям D.24),
A) A)
если этим уравнениям удовлетворяют (<р, х). Другими словами,
все я теорий (q= 1,2,..., я) эквивалентны между собой. Однако,
как показано в § 2, при пространственном отражении величины
(?) (?) (п— q-\-l) (п— ? + 1)
(tf>, х) заменяются величинами ( х , <р ). Таким образом, в

80
Гл. 4. Общий вид релятивистского волнового уравнения (I)
общем преобразовании Лоренца надо принять во внимание величины
(?) (в-9 + 1) (?) <в-?+О
(»), х. Z > <Р )• Для полуцелого спина 5, если ^=(«-(- 1)/2,
() () < + 0 (? + 1)
(?) (?) <? + 0 (? + )
величины (<р> Z) и ( Z > ? ) эквивалентны между собой.
Отсюда видно, что для частиц со спином 5 существует 5 (для
5 = целому числу) или E-j-Vs) (Для 5=полуцелому числу) теорий.
В случае целого значения 5 можно пользоваться величинами
(S) <S)(S + 1) (S + 1)
(«р. ь ь х )••
E)_ h ts (S+l)_ h *s_uvt
(S) U t (S + l) E) S"'
* D.31)
и
'гна2, .
E)
Z'"
¦•¦«s
(¦
И (f
E
S + l)
•¦¦;!?
+1)
1 '-
(S)
СИМ
Так как величины у^' и <р".У.' симметричны соответственно
относительно нижних индексов (ги) и верхних индексов (vt), то
на основании D.14а) и D.8а) они могут быть преобразованы в тензор
/V.vin, A , который антисимметричен по индексам (p., v). При-
о
нимая во внимание, что уравнения D.17) имеют такой же вид, как
уравнения D.27) относительно нижних индексов (ги) и верхних
индексов [vt), мы видим, что D.27) может быть переписано в виде
тензорных уравнений, аналогичных D.15а) и D.186):
dPw *s — d*U*v- 1^ = ^14 и- iv D.32а)
dJJw ,5 = 0. D.33)
Так как на основании D.28) имеет место равенство
(D-*№„...,,5 = 0, D.34)
то мы получаем
d/u, rt p. *5 — *?и^г f.s. D.326)
Величины UH у. составляют симметричный тензор, потому
'I t ' • • S
чт0 fi а —симметричный спинор. Более того, используя D.10в),
можно показать
U^,t ^5 = 0. D.32b)
С другой стороны, нетрудно видеть, что с помощью D.9) из D.32а),
D.326) и D.32в) можно получить D.27). Это показывает, что урав-
уравнения D.32а), D.326) и D.32в) дают теорию, эквивалентную D.27),
т. е. они дают теорию элементарных частиц со спином S. Это
обстоятельство может быть также доказано путем подсчета числа
независимых компонент U^,...,^ в системе покоя.
о

§ 3. Общий вид релятивистских волновых уравнений 81
Уравнения D.32а) — D.32в) эквивалентны следующим уравне-
уравнениям:
s
' D.35)
В частности, в случае спина 5=1 уравнение D.32в) теряет
смысл, а уравнения D.32а) и D.326) принимают вид
где Fin.vj обозначено через Z^. Следовательно, при 5=1 уравне-
уравнения D.35) записываются в форме
(S) E)
Мы видели, что волновые уравнения D.27) для (tp,z) могут
быть записаны в виде уравнений для тензоров (L^,,...,^ ,
/V'lw f ) и принимают форму D.32а) — D.32в). С другой сто-
S E-1) (S-П
роны, D.15), D.17) и D.30) показывают, что спиноры (tp » X )
соответствуют тензорам
('К ii] |it M-s> ' Ivi, И], [v«, |ij] M ?¦$)'
Последние тензоры определяются равенствами
* [v;, Pllf1'», Pslliji •••.«•? ==^'v2 Г[чи I».»] У-sf-Si ••¦'V-g "V-г'Ьх, V-\]~<z?-3,...
5
в которых .
d^.-ii'^^V, —dvVii- D-38)
Таким путем можно показать, что соответственно S возможным
формулировкам теории целого спина S, основывающимся на вели-
() () (+!) ( + 1)
(?) (?) (?+) (? )
чинах (tp, I, tp , yv ), имеется точно такое же число воз-
возможных тензорных теорий, вытекающих одна из другой путем
соответствующего использования оператора д^-^.
Величины tp|fl '? и 1'гк'"'*\ мы ^УДем использовать для по-
полуцелого спина S = k-\-ljt и не равной нулю массы покоя (х^=0).
Введем величины
4* _nfi0 "Л ш?» .'»,
'f;, / D-39)
¦г:;-, si* ДАД 2 v-btijt-ni в»'
^ X. У-лэдзаЕа

82
Гл. 4. Общий вид релятивистского волнового уравнения (I)
в которых ф^ ^ и ф;:[^ ?k — тензоры ранга А относительно
индексов )*, и спиноры 1-го ранга относительно индексов
(s, г). Будем обозначать их через ф,^ v.k с помощью определения
11*1,
Kb-.
С/.
D.40)
В случае k = 0 эти величины превращаются в ф для спина г/2-
В общем случае представление с помощью ф^„ ...)(Л. является так
называемым формализмом Рарита —Швингера [14]. Тензор ф^, ...,|ifc
симметричен относительно индексов jxx, ..., jift.
Волновое уравнение D.27) может быть записано в виде
Величины Yn есть матрицы с четырьмя строчками и четырьмя
столбцами, удовлетворяющие соотношениям C.2). Так как tp^f1 ""
является симметричным спинором, равенство D.5) приводит к соот-
соотношению
На основании этого соотношения, а также C.68) и C.80) можно
показать, что
Y^Jw, ^=0. D.43)
С другой стороны, можно показать, что D.27) может быть полу-
получено из D.41) и D.43). Поэтому D.41) и D.43) дают теорию
частиц со спином 5"= й —j—1/2.
Из D.41) и D.43) можно получить уравнения
IW».
, = 0.
D.44)
D.45)
D.46)
Теперь рассмотрим элементарную частицу с нулевой массой
покоя (х = 0). Волновое уравнение D.35) в случае х = 0 принимает
вид
П Ач ps = °»
дА^ - =0, D.47)
Атг ^ =0,
где Ап |л —симметричный тензор ранга 5. Уравнения D.47)

§ .?. Общий вид релятивистских волновых уравнений 83
эквивалентны уравнениям
р, =d^AWt ц — д^Л,,^ ,, ,
<VW, ,, =0. D-48^
•^ttaue у.- L vJ»
Существенное отличие теории при х=?0 от теории при х = 0
заключается в том, что в последнем случае третье из уравнений
D.48) не может быть выведено из других уравнений.
Полагая в D.48) 5=1, получаем уравнения Максвелла, причем
третье из уравнений D.48) дает условие Лоренца:
<у> = 0, D.49)
д\>А\/.:=^ (условие Лоренца).
Определение спина, данное в § 2, нельзя использовать ввиду
того, что при х = 0 не существует покоящейся системы коорди-
координат. Поэтому в случае * = 0 мы определим спин как величину
максимального собственного значения оператора спина, который
будет введен в гл. 7, пример 1. Можно показать, что определен-
определенный таким образом спин равен рангу S тензора.
Теперь введем в рассмотрение симметричный тензор ранга S
^Vi v-s
(-'p-i v-s i "v-t 4*ii*3 чТ1
здесь величины С^,...,^ образуют симметричный тензор ранга
(S—1), удовлетворяющий уравнению D.47). Таким образом, мы
видим, что уравнения D.47) инвариантны относительно преобразо-
преобразования
\, ,s — К 15 = 4ч.....^ + Л^ ,5- D.51)
Это преобразование называется калибровочным. Таким образом,
теория элементарных частиц с нулевой массой инвариантна отно-
относительно калибровочных преобразований. Для частиц с хфО это
утверждение не имеет места. Ввиду того, что различные пред-
представления, связанные калибровочным преобразованием, физически
эквивалентны между собой, число независимых компонент волновых
функций уменьшается на число независимых компонент величин
"" -V
Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в направле-
направлении оси х3 {А^ = @, 0, k, ik)). Второе из уравнений D.47) дает
равенство

84 Гл. 4. Общий вид релятивистского волнового уравнения (I)
Ввиду того, что Арх ,. является симметричным тензором, число
независимых соотношении, даваемых равенствами D.52), равно
5-1+4-П
5—1 /"
С другой стороны, легко видеть, что в третьем уравнении D.47)
число соотношений, которые независимы от D.52), равно
5—2 + 3—
S — 1
Таким образом, учитывая, что А^ ^ является симметричным
тензором, получаем для числа независимых компонент следующее
значение:
Поэтому число независимых компонент Сц, ,..i(l равно
2(S—1) —J— 1, так как С^,,...,^ также удовлетворяет уравнениям
D.47). Ввиду того, что представления, связанные калибровочным
преобразованием D.51), физически эквивалентны между собой, то,
вычитая из D.53) число независимых компонент С^ „_ , полу-
получаем число независимых состояний
B5+1) —B5—1) = 2. D.54)
Это утверждение справедливо также для полуцелого спина.
Примером теории с х = 0 является теория электромагнитного
поля. В этом случае уравнения Максвелла инвариантны относи-
относительно калибровочных преобразований
Легко видеть, что D.55) является частным случаем D.51). Более
того, хорошо известно, что электромагнитные волны являются
поперечными волнами с двумя независимыми компонентами. Этот
факт согласуется с D.54).
Таким образом, мы видели, что уравнения D.27) являются
возможными общими волновыми уравнениями, которые включают
в качестве частных случаев уравнения Дирака и Максвелла. Однако
ввиду того, что эти уравнения получены формальным обобшением
уравнения Дирака, необходимо еще обсудить теоретическое обос-
обоснование такого обобщения. Более подробное обсуждение реляти_
вистских волновых уравнений будет дано в гл. 5.

§ 4. Полуцелый спин и отрицательная энергия 85
Пример. Формализм Рарита — Швингера для спина 3/»
Волновые уравнения для ']>„, даваемые соотношениями D.41)
и D.43), имеют вид
Отсюда следует, что
(? -*2Lv=o, ал=о.
Можно показать, что уравнения D.56а) эквивалентны уравнению
Ы*) = 0. D.566)
В самом деле, умножая левую часть D.566) на уи или cf , полу-
получаем соответственно
|-<ЭД, — -g-«YA = O D.56в)
и
«A) О- D-56D
Уравнения D.56а) могут быть получены из D.566), D.56в) и
D.56г). Подставляя
К, (д) = - [(YА + *) iv - у (тД + ТА) + j Та (Т.д. - *) ь
и выражение B.8) в равенство B.7), получаем [17]
*„ (д) = - (уА - *) [8av -1 TJv +1 (ТД - ТА
^ -«) y.tJ-
§ 4. Полуцелый спин и отрицательная энергия
Как показано в § 2 и 3, волновые функции для целого и полу-
полуцелого спинов есть U(k,l), где сумма {k-\-l) — соответственно
четное и нечетное числа. Сначала рассмотрим случай четной ве-
величины суммы {k-\-l) и введем следующие обозначения:
и,и i\ fU~ Для четных k, I
U(k, l)=< + D.57)
\U для нечетных к, I
С помошью теоремы Клебша — Гордона легко показать, что
произведение U[k, l)X^U(k', V) может быть представлено в виде
линейной комбинации величин U(k", Г), в которых
— 3 |Л; — А!'| _|_ 1,
' — 3 |/_Г (*°й)

86 Гл. 4. Общий, вид релятивистского волнового уравнения (I)
Отсюда следует
и+и-+.и-, ( -щ
где символ == означает тот же тип относительно (+). Соотноше-
Соотношение D.59) показывает, что тензоры четного ранга являются вели-
величинами типа U+, потому что они преобразуются подобно четному
числу векторов U B,2) = U~. Аналогично тензоры с нечетным
рангом принадлежат к величинам типа U~. В частности, вектор ди
принадлежит к типу U~.
Дифференциальные релятивистские волновые уравнения первого
порядка (см. гл. 2) имеют вид
dU+=U~, dU~=U+, D.60)
причем здесь мы приняли во внимание соотношения D.59). В урав-
уравнениях D.60) символ д означает оператор производной д^. Легко
видеть, что уравнения D.60) инвариантны относительно преобра-
преобразования
U+-+U+, D.61)
и--* —и-.
Следует отметить, что первое из преобразований D.61) эквива-
эквивалентно изменению направления всех осей координат. При этом
преобразовании тензоры нечетного ранга меняют знак, а тензоры
четного ранга остаются без изменения. Таким образом, мы видим,
что тензоры нечетного ранга, образованные из волновых функций
с целым спином, не могут иметь определенного знака. Плотность
тока, которая будет введена в гл. 7, является примером тензора
нечетного ранга.
В случае полуцелого спина введем обозначения
гпь /\ №+' ^—нечетно. ' — четно ,< »„.
U[я, /)={.._, , . D.62)
У U Я — четно, / — нечетно.
Используя D.58), получаем
где количества ?/* определены в D.57). Равенства D.63) приводят
к волновым уравнениям
ди*' = и"' D 64)
dU-' — U+'. ¦ [ >
Легко видеть, что D.64) инвариантны относительно преобразований
U+'-+W, D.65)
U-—- — HJ-'.

§ 5. Свойства известных элементарных частиц
87
В преобразованиях D.65) введен мнимый множитель i, потому что,
как показывает D.62), величиной, комплексно-сопряженной к W,
является U~', так что нельзя принять преобразования U+'—*U+',
и-'-* —и-1.
Из D.63) можно видеть, что тензор четного ранга U* и тен-
тензор нечетного ранга U~ имеют соответственно структуры
A1+'&+', U~'U~') и (U+'U~'). Ввиду того, что первый из указан-
указанных тензоров изменяет знак при преобразованиях D.65), а второй
знака не меняет, можно заключить, что тензоры четного ранга,
сконструированные из волновых функций полуцелого спина, не
имеют определенного знака. Ввиду того, что энергия, которую мы
введем в гл. 7, определяется как пространственный интеграл от
Г44, можно высказать следующую теорему.
Энергия элементарных частиц с полуцелым спином яв-
является индефинитной, т. е. может принимать и положи-
положительные и отрицательные значения [9]. Состояния с отрица-
отрицательной энергией в случае спина х\г могут служить иллюст-
иллюстрацией этой теоремы.
Поэтому, чтобы избежать парадокса Клейна, необходимо в лю-
любом случае полуцелого спина пользоваться теорией дырок. Это
обстоятельство требует, чтобы частицы полуцелого спина под-
подчинялись статистике Ферми —Дирака. В дальнейшем в рамках кван-
квантовой теории поля эта теорема будет рассматриваться в гл. 6.
§ 5. Свойства известных элементарных частиц
В табл. 1 даны сведения о частицах, свойства которых хорошо
иззестны.
Таблица 1
Заряд
Спин
Масса
Фотон
0
1
0
Элек-
Электрон е
±е
1
2
m
Протон
Р
+ е
1
~г
1836 т
Нейт-
Нейтрон N
0
1
2
1838/л
Ней-
Нейтрино
0
Полу-
Полуцелый
<^ m
я-м зон
:?: е
0
276 т
|А-мезон
±е
1
2
215 т
1!°-мезон
0
0
266 т
Определение спинов тг- и тс°-мезонов обсуждается, в гл. 10
и 13. Точно не известно, подчиняется ли протон уравнению
Дирака C.1). В пользу применимости уравнения Дирака к про-
протону говорит распад тг°-мезона *), хотя и не вполне определенно.
Взаимодействия между указанными выше элементарными части-
частицами обсуждаются в гл. 7.
1) Недавнее открытие антипротона, существование которого следовало из
теории Дирака, также говорит в пользу применимости уравнения Дирака для
описания движения свободного протона [21]. — Прим. ред.

83
Гл. 4. Общий вид релятивистского волнового уравнения (I)
Схема распада нейтронов, тг-, ji- и тг°-мезонов и их времена
жизни гласят:
jV — P-{-e-\-y -ч. 12 мин.
тг—> )Л -j- (легкая нейтральная частица), "ч- Ш сек.
]1 —> в -\- (легкие нейтральные частицы, число кото"
рых ss2), -ч- 10 сек.
тг°—>y + Y <10""n сек.
Существует большая вероятность поглощения отрицательных
тг-мезонов ядрами (см. гл. 7, пример 1). Это обстоятельство дает
удобный метод определения знака заряда тт-мезона. Следует отме-
отметить интересный факт, что между массой протона и массой ней-
нейтрона имеется небольшая разница — 2,47 т, как это указано в при-
приведенной выше табл. 1. Протон и нейтрон рассматриваются как
различные состояния одной и той же частицы — нуклона (см. гл. 7,
пример 10). С этой точки зрения интересной проблемой является
объяснение разницы в массах протона и нейтрона. В силу того,
что электромагнитное поле, которым окружен протон, дает вклад
в его массу, как это показано в гл. 13, разницу в массах протона
и нейтрона естественно приписать этому электромагнитному
эффекту. Однако ввиду того, что современная квантовая теория
поля для этой разницы масс дает бесконечный результат, в на-
настоящее время точного решения этой проблемы не существует ').
Недавно было открыто много новых частиц, которые названы
Л-, 9-, k-, т-частицами и т. д. Их массы и схемы распада при-
приведены в табл. 2 [11, 12, 15].
Таблица 2
**•
К,
Л"
&ь
И!
Масса
•4.960 т
¦V.960 от
-ч. 960 т
¦ч. 960 т
-4.960 т
-4-960 т
2190 it 10 т
¦ч. 2325 т
2570 т
Схема распада
7t+ -\-П~
li -f ?
7T±4-7I°
(i —|— ? —|— ?
<? + ? + ?
P+n~
.V-f n~
Время жизни, сек.
•ч, 1,5-Ю-10
¦v.5-10-9
•ч. 10~8
-ч. 10"8
•ч. 10"8
¦ч. 10-»
-ч-З-Ю0
¦V-5-10-10
•ч, 100
') Теория С-мезона дает нужную величину разницы в массах, но ее за
ключение еше недостаточно определенное [16, 6, 2, 8]. Недавно новые попытки
разрешить эту проблему были предприняты Вайскопфом [19], Фейнманом
и Шпайзманом [3] и Петерманом [10].

Литература 89
Знаки „О", „ + " и »—" означают, что частица нейтральна,
положительно или отрицательно заряжена, а знак „?" означает,
что свойства нейтральных частиц пока еще недостаточно выяс-
выяснены. Кроме того, возможно, что в природе существуют
многие, еще не открытые частицы (например, некоторые частицы
не удалось пока наблюдать ввиду их малого времени жизни). Во
всяком случае, очевидно, что взаимоотношения элементарных ча-
частиц, встречающихся в природе, не просты. Так, перед нами воз-
возникают многие вопросы. Сколько видов элементарных частиц су-
существует в природе? Почему существуют именно эти частицы из
бесконечного множества других, возможных в рамках современной
квантовой теории поля? Каким образом можно выяснить взаимо-
взаимоотношения и связи элементарных частиц?
На эти вопросы должна ответить теория элементарных частиц;
во всяком случае, исследование этих вопросов может привести
нас к теории элементарных частиц, так же как исследование внут-
внутренних соотношений между атомами привело- к выяснению их
структуры и открытию квантовой механики.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc, A155, 447 A936).
2. Enatsu H., Prog. Theor. Phys., 6, 643 A951).
3. Feynman R. P., Speisman Q., Phy5. Rev., 94, 500 A954).
4. Fierz M., Helv. Phys. Acta, 12, 3 A939).
5. Fierz M., Pauli W., Proc. Roy. Soc, A173, 211 A939).
6. Kawabe R., U meza w a H., Prog. Theor. Phys., 4, 461 A949).
7. Laporte O., Uhlenbeck Q. E., Phys. Rev., 32, 1380 A931).
8. P a i s A., Verh. Kon. Ak. Amsterdam, 19 A947).
9. Pauli W., Report for the Solvay Congress, 1939.
10. Petermann A., Helv. Phys. Acta, 27, 441 A954).
11. Powell С F., Report of the Internat. Phys. Conf. Copenhagen, 1952.
12. Powell С F., Report of the Third Annual Rochester Conference on High
Energy Physics, 1952.
13. Proc a A., Compt. Rend., 202, 1420 A936).
14. R a r i t a W., S с h w i n g e r J., Phys. Rev., 60, 61 A941).
15. Report of the Fifth Rochester Conference, 1955.
16. Sakata S., Umezawa H., Prog. Theor. Phys., 5, 682 A950).
17. Takahashi Y., Umezawa H., Prog. Theor. Phys., 9, 1 A953).
18. Van der Waerden, Gott. Nadir., 100 A929).
19. Weisskopf V. F., Phys. Rev. A954).
20. Wigner E. P., Ann. of Math., 40, 149 A939).
-::.* Chamberl ain Q., Segre E., Wiegand C, Ypsilanti Т., Phys,
Rev., 100, 947 A955); [см. перевод: Проблемы современной физики, ИЛ,
вып. 4, 157 A956)].

ГЛАВА 5
Общая теория релятивистских
волновых уравнений (II)
§ 1. Общий вид релятивистского волнового уравнения
В предыдущей главе релятивистские волновые уравнения D.27)
были получены путем обобщения уравнений Дирака в спинорной
форме C.82). Сейчас мы проведем более подробное обсуждение
релятивистских волновых уравнений с помощью методов, изложен-
изложенных в гл. 2. Именно эти методы подвели теоретическую базу под
уравнение Дирака. Как будет видно, теория Дуффина — Кеммера1)
для частиц со спином 0 или 1 также является частным примером
общих уравнений; эта теория будет изложена в § 2.
Как показано в гл. 2, релятивистское уравнение поля может
быть записано в форме
(РА+*)Ф=°- EЛ)
Предположим, что при преобразовании Лоренца
'у п у 1С С)\
волновая функция с|> преобразуется по линейному закону
'ф==Аф. E.3)
С помощью соображений, аналогичных использованным в гл. 3,
можно показать, что лоренцова инвариантность уравнения E.1)
требует для величин ^ выполнения соотношений
A~1pttA = a(tv(Jv. E.4)
В частности, для бесконечно малых преобразований Лоренца
&*Vv = — 8«v E-5а)
матрица А имеет вид
А= 1+7^4" E-5б)
где
S^ = —S^. E.5в)
') У автора теория Дуффина — Кеммера — Пэтью Puffin — Kemmer —
Petiau). — Прим. ред.

§ 1. Общий вид релятивистского волнового уравнения 91
Подставляя E.56) и E.5а) в E.4), получаем
[К- ?ъ]=°\Д-г,Д. • E-6)
В общем случае любой тензор в ^-алгебре может быть пред-
представлен в виде произведения fJ^ и 8^, [6]. Так как равенство E.6)
показывает, что S^ — тензор 2-го ранга, то из E.4) получается
соотношение
A'^A^V^V E.7)
Подставляя E.5а) и E.56) в E.7), имеем
[5,,, SpJ = - «„S,. + KpS^ + ^Д? - Sv А?. E.8)
Можко показать [7], что существует только одна величина S^,
которая удовлетворяет соотношениям E.6) и E.8). В самом деле,
соотношение E.6) показывает, что величина t^ = S^ — S$, в
которой S$ и S$ удовлетворяют E.6) и E.8), коммутирует с
каждой ^ и тем самым со всеми величинами в р^-алгебре. Таким
образом имеем
оB) оB)-| _ гоA) f -| , и рBI_о
С другой стороны, соотношение E.8) приводит к равенству
гоA) оAI [сB) сBI О/
[о [iv> '-VsJ L0!*1" ° |jloJ ^1ч^
которое показывает, что t.,, — 0, так что silJ = S^- Прямым вы-
вычислением не трудно показать, что S^ для спина х/г [уравнение
C.24)] удовлетворяет уравнению E.8).
Так как шпур (f^, . . . , ^,) обладает теми же свойствами,
что и тензор с индексами (jx,, ... , ]if), то он может быть со-
составлен из величин 8Ц1). Ввиду того, что с помощью величин §
невозможно сконструировать тензор нечетного ранга, получается,
что шпур нечетного числа величин ^ равен нулю, т. е. (см. [6]):
SpdJ», .... ^л+1) = 0. E.9а)
В частности,
= O. E.96)
Мы привели пример этой общей теоремы для спина '/2 в гл< 3.
Введем в рассмотрение спиновые матрицы ak (k = l, 2, 3)
с помощью формулы
ak=—iSlm (it, I, т = и.тл. A, 2, 3)). E.10)
Тогда из E.8) следует
[a», a^_=iam (k, I, /я = щ«л.A, 2, 3)). E.11)

92 Гл. 5. Общая теория релятивистских волновых уравнений (II)
Примером1) применения E.11) является соотношение C.65), кото-
которое справедливо для частиц со спином '/,.
Соотношение E.11) является соотношением коммутации для
матриц момента количества движения. Поэтому ak обладает свой-
свойствами матриц момента количества движения и имеет собственные
значения (/, /—1, . . . , —/), где / равно либо целому, либо
полуцелому [3]. Таким образом, характеристическое уравнение для
ak имеет вид
(«*-/)(«*-/+!) • • • К+/) = 0. E.12)
В общем случае представления матриц момента количества
движения ak, удовлетворяющих E.12), могут быть разложены на
неприводимые представления D\t\, D\r-\\ трехмерной
группы вращения [13]; эти неприводимые представления соответ-
соответствуют значениям |/|, |/—1 |, . . . момента количества движения.
Ввиду того, что в неприводимом представлении Dt волновая функ-
функция ф имеет 11 -\- 1 независимых компонент, соответствующих раз-
различным направлениям момента количества движения, равенство
D.23) показывает, что ф описывает состояние частицы со спином
S = l. Таким образом, можно сказать, что волновая функция ф в
E.1) описывает состояния частиц со спином |/|, |/—11, . .'. .
Этот момент количества движения является врожденным, внутрен-
внутренним свойством частиц, потому что он не пропадает даже тогда,
когда частица покоится. Однако соотношений E.6) и E.8) недо-
недостаточно, чтобы полностью определить р-алгебру. Сейчас мы при-
приведем два важных случая релятивистских волновых уравнений.
Случай I
Волновая функция ф удовлетворяет уравнению Клейна — Гор-
Гордона B.3а)
(?— *2)ф = 0 E.13)
и поэтому описывает состояния частицы с собственной массой х.
Далее, как показано в гл. 2, должен существовать матричный
оператор производных d(d) = [d^(d)], который удовлетворяет соот-
соотношениям
(D— *V. E.14)
здесь через / обозначена единичная матрица. Величина d(d) имеет
форму, данную в B.8) и B.9). Подставляя B.8) в E.14), получаем
') Следует отметить, что определение ak в C.49) и E.11) отличается на
множитель 7г-

$ /. Общий вид релятивистского волнового уравнения 93
следующие рекуррентные соотношения:
= 0 для />2, E.16)
в которых 5](р' — суммирование по всем членам, получающимся
в результате всевозможных перестановок индексов.
Уравнения E.16) могут быть разрешены, в результате чего
получаются равенства
а — х/,
%=— ^.
|>т№+Ш] - E-17)
1ГИ Pfi hl-ЛК-гН — ?|Ч_,Р|Х,1. ДЛЯ
Таким образом, имеем [12]
1[П-(РДП(РД)'-1+ ... E.18а)
Равенство B.9) с учетом E.17) приводит к соотношению1) [12]
2(Р)^, ^»-Л^№.+, —MM+J = 0- E.186)
Это — соотношение, которому должны удовлетворять матрицы ^
при конечном целом значении Ь, чтобы B.3а) могло быть получе-
получено из волнового уравнения E.1).
Теперь мы докажем важную теорему, касающуюся свойств
did) [10].
Порядок дифференциального оператора d(d), обозначаемый че-
через Ь, дается соотношением
Ь = 2/, если х^О, E.19)
в котором через / обозначена максимальная величина спина раз-
различных полей, описываемых посредством волновой функции ф
[см. E.12)].
При непрерывном преобразовании Лоренца оператор йЦ(д) пре-
преобразуется таким же самым способом, как и фа X фя- Ввиду того*
что величины ф„ описывают поля с максимальным спином /, они
') Это соотношение в другой форме получил Хариш-Чандра [6]. См. также
работу Баба [2).

94 Гл. 5. Общая теория релятивистских волновых уравнений (II)
образуют инвариантное пространство для представления трехмер-
трехмерной группы вращения, которое распадается на неприводимые пред-
представления Dp Df_x, . . . [см. E.12)]. Поэтому представление, база
которого дается прямым произведением фа'|>», может быть разло-
разложено на Dif, Dif-1, . . . (теорема Клебша — Гордона). Аналогично
д^ . . . дм соответствуют семейству представлений Du Dl_1, . . .
до тех пор, пока некоторые из д^ не образуют скалярного опера-
оператора D • Так, о^ т ш _ ^д^ . . . д^ в B.9) может появиться
лишь в виде
причем / больше 2/. Это соотношение 'показывает, что а^ ,. t ^,.
равно нулю, если величина / — 2/(>0) нечетна. Далее рекуррент-
рекуррентная формула E.16) показывает, что величина а ><# ^ равна
нулю для четных положительных значений / — 2/
«^...„ = G для />2/,
что эквивалентно E.19).
Из равенства E.186) при fc = 2/ для ^ получаем следующее
характеристическое уравнение:
Р?-1(Р'-1) = О, E.20)
в котором не надо суммировать по индексу ja.
Можно показать, что [* не могут быть эрмитовыми, если 2/> 2
(т. е. наибольший спин /> 1). В самом деле, если бы ^ были
эрмитовыми, то существовало бы представление, в котором ^
были бы диагональными и поэтому на основании E.20) имели бы
собственные значения, равные +1,0. Такая матрица р должна
была бы удовлетворять соотношению
Это показывает, что уравнение E.20) не может быть характери-
характеристическим уравнением, когда Ь^>2.
Хариш-Чандра [б] указал, что при Ь>1 (т. е./2* 1) равенство
E.186) не приводит к конечной алгебре. Чтобы сделать алгебру
конечной, необходимо наложить на величины ^ дополнительные,
более строгие условия, совместные с E.186).
Для спина S=1ji (т. е. f—l\t) равенства E.186) приводят
к соотношениям
которые как раз и являются соотношениями C.2) теории Дирака.
При этом оператор d(d) имеет вид
-(RA-*)- E-22)

§ 1. Общий вид релятивистского волнового уравнения 95
Для спина 5=1 или 0 (т. е. /= 1) соотношение E.18) дает
2(Р1РЛР1,-»„) = О. E.23а)
Это равенство может быть переписано в форме
2(Я) (Р АР.+У Л - РА. - РЛЛ=о- E-236)
а оператор d(d) на основании E.18а) записывается в виде [11]
d(d)=- [j(Q-*2)+PA-i(?A + ЮдА]- E-24>
Случай II
Если требовать, чтобы можно было вывести B.36) из волно-
волнового уравнения E.1) и поэтому чтобы ф описывало состояния ча-
частиц с различными массами (xlt xt, . . .), надо, чтобы матрицы 31Ж
удовлетворяли соотношениям, отличным от E.186). Примером этого
является случай, когда S не содержит членов, являющихся про-
произведением более чем двух матриц. В этом случае, в силу того,
что 5 —антисимметричный тензор, сконструированный из р , он
должен иметь вид
S^=g(№-W, E.25)
причем g — некоторое постоянное с-число [1,2].
Подставляя E.25) в E.6), получаем
PA fc - Р АЬ - Р*Р А+MA=j М' - j **&• E>26а)
В частности,
4 E-266)
где суммирования по индексу jjl не надо производить.
С другой стороны, из E.6) и E.25) получаются соотношения
«ЧР*. PJ = w». [о*. PJ = 'P». [Р*. eJ = 'P»
для (k, I, т) = Цикл. A, 2, 3), E.27)
я2[р4, М = йА, [8„ pj = ip», [р„ ij = /p4 (для * = 1,2,3), E.28)
в которых
a* = g, E.29)
bk=-iSik (k=\, 2, 3). E.30)
Эти соотношения коммутации показывают, что операторы аф^ и Ьк
имеют те же собственные значения (/, /—1, ... , —/), что и
операторы ak [7]. Следовательно1),
') Это соотношение можно также вывести путем некоторого обобщения
E.14). В общем случае соотношение для матриц {I для заданного спектра
масс может быть выведено путем определения выражения для d(d) из ра-
равенства
^)/ B.3в>
и последующего использования E.19) аналогично случаю I [12].

96 Гл. 5. Общая теория релятивистских волновых уравнений (II)
E.31)
Таким путем из E.31) для различных спинов можно вывести фун-
фундаментальные соотношения для f^.
Теперь покажем, что волновая функция ф удовлетворяет урав-
уравнениям
:2х2\ /,_, аЧг \ !П| .
Hid—?7=Туг) - (П-а*)ф = 0
для целого /, E.32а)
)
для полуцелого /. E.326)
В самом деле, при целом значении / из E.31) получаем урав-
уравнение
(ИАГ -fdl) ((аШ ~ (/- 1Щ - ((«РАJ - dl)(a$Ait = 0.
В системе покоя имеют место равенства
Л
и поэтому
(/• п -ИЛГ)... (п -(арлП(орЛ)Ф=о.
Однако в силу лоренцовой инвариантности теории это уравнение
должно иметь место в любой системе координат. Уравнение
E.32а) может быть получено путем замены рД^ на (—*) на осно-
основании волнового уравнения E.1). Аналогичное доказательство
может быть дано и для полуцелого /.
Уравнения E.32а) и E.326) показывают, что в случае спина
5>1 (т. е. />1) волновая функция &> удовлетворяет не уравне-
уравнению Клейна — Гордона, а уравнению типа B.36). Другими словами,
в теории, основывающейся на E.1) и E.25), масса покоя частицы
со спином /> 1 может принимать различные значения, т. е.
(axjf), ... , ах для целого спина / и (axjf), ... , Чах для полуце-
полуцелого спина /.
Однако в этой книге мы ограничимся рассмотрением случая I.
Следует заметить, что для более низких значений спина 5=1, 1ji, 0
теория, основывающаяся на E.1) и E.25), включается в случай I,
потому что в этих случаях уравнения E.32а) и E.326) являются
как раз уравнениями Клейна — Гордона. Действительно, полагая
в E.31) /=112 (т. е. 5 = 1/2), будем иметь равенство
откуда находим соотношение
в котором суммирования по ^ нет.

§ I. Общий вид релятивистского волнового уравнения 97
Величину $*, Не ограничивая общности, можно нормировать
условиями
р»=1, а = 1, g=i. E.33)
Тогда E.266) и E.33) приводят к
Таким образом, мы вновь получили соотношение теории Дирака.
Можно видеть, что правая сторона E.25) является S^, в тео-
теории Дирака [см. C.24)].
Далее рассмотрим спины 1 и 0. Подставляя вE.31)/=1,
получаем
aX = h- E-34)
Умножение E.266) слева и справа на ^ показывает, что
Повторное умножение обеих частей на р^ приводит к равенству
из которого следует
РД=0 для v^fcji. E.35)
С другой стороны, E.26а) дает соотношение
Wv + Ш^Шх + Ш, Для Ji
Поэтому, умножая справа на fJJ, получаем
= О Для
где учтено E.266). Поэтому выражение РцРА + Рх^Рц. которое
симметрично относительно индексов ц, \, должно иметь форму
Соотношения E.35) и E.34) показывают, что
Поэтому, полагая а=1, получаем
Шх+Ш,- ?Л+РЛ- E-36)
Уравнение E.36) согласуется с E.236) в случае I. Матрица d(d)
Дается соотношением E.24). Уравнения E.1) и E.36) приводят
к теории, предложенной Дуффином и Кеммером, которая будет
Детально рассмотрена в § 2.
п
4 X. Умэдзава

98 Гл. 5. Общая теория релятивистских волновых уравнений (II)
§ 2. Теория Дуффина — Кеммера
Основными уравнениями теории Дуффина — Кеммера для ча-
частиц со спином 1 и 0 являются следующие:
(PA+*)t=°- E-37>
РДОх + Ш, = Мь + ?Л, E-38)
[4, о, 9J.
На основании E.25) и E.29) имеем
Соотношение E.38) дает равенства
2_/ О" P?)P|i A*14
р^ для ji=v
Р2Р?=Е& E-40>
где суммирования по индексу ja не подразумевается.
Таким образом, для матриц ij^, определяемых равенством
? = 2^-1, E.41)
можно получить соотношения
Mv = -4v^ (Для ja^v), E.42)
В этих соотношениях по-прежнему суммирования по ji нет.
В конце этой главы будет указано представление, в котором
каждая величина р^ является эрмитовой. Мы будем иметь в виду
это представление при дальнейшем изложении. В этом случае г^
является также эрмитовой.
Определим ф с помощью равенства
Ф = ФЧ- E-43)
Легко видеть, что ф удовлетворяет уравнению
дцфрц —«ф = 0. E.44)
Соотношения E.56) и E.39) показывают, что при бесконечно ма-
малом преобразовании Лоренца ф преобразуется следующим образом:
ф—'ф='ф\ = ф*ЛМ4 = фЛ-\ E.45)
так как bwik и iwlt в E.5а) соответственно вещественны и мнимы.
При пространственном отражении соотношение E.4) удовлетво-

§ 2. Теория Дуффина — Кеммера 99
ряется, если взять
Вопрос о знаках (+) более подробно будет обсужден позднее.
Умножение E.37) на d{d), взятого из E.24), приводит к урав-
уравнению Клейна — Гордона
(П-**)ф=:0. E.47)
Как было показано в § 1, эта теория соответствует случаям
спина, равного 1 и 0. Поэтому волновые функции, соответствую-
соответствующие случаям спина, равного 1 и 0, можно разделить следующим
способом [5].
Чтобы выбрать волновую функцию для спина 0, введем опе-
оператор
Р^^ЩЬ E.48а)
Р^ = Р^. E.486)
Тогда с учетом E.40) получаем равенство
Р& = РК„ E.49)
которое приводит к соотношению
показывающему, что при бесконечно малом преобразовании Ло-
ренца имеет место следующий результат:
РЦ = Р>Ь. E.50)
Аналогично для пространственного отражения E.46), используя
соотношения
/4 = Pipipl Bpl - р5) = $Щ1$=Р, E.51)
получаем следующие равенства:
для , + ' в E.46)' У°-°*>
Равенства E.52) показывают, что А]> является либо скаляром,
либо псевдоскаляром, в зависимости от того, выбирается ли
в E.46) знак , -f-" или , — ". С другой стороны, используя E.42),
можно показать, что при преобразованиях Лоренца E.5а) и E.46)
имеют место соотношения
D . / псевдовектор для , — " в E.46)
• 'VP—{ вектор для . + ' в E.46). (°-м>
Если ввести обозначения P$ = U и Р^ = и^, то из E.37)
с учетом E.486) и E.49) можно вывести следующие волновые
7*

100 Гл. 5. Общая теория релятивистских волновых уравнений (II)
уравнения:
Отсюда видно, что E.54) являются уравнениями для спина 0 и
что (U, Uу) описывает скалярное или псевдоскалярное поле в за-
зависимости от того, выбирается ли в E.46) знак „-(-" или „ —".
Аналогичным способом можно выделить волновую функцию для
спина, равного 1, если ввести операторы
-№^А. ji=i. 2, з, E>55)
R^ = R^. E.56)
Эти уравнения показывают *)
/?*, = -/?,*, E.57)
/Ш, = *„Я»-и?,-. E-58)
Используя E.58), можно показать, что S^ удовлетворяет сле-
следующим соотношениям:
#Л* = Яа (PpPv - W = К Д - »аЛ. E-59)
которые приводят для бесконечно малого преобразования Лоренца
E.5а) и E.56) к равенству
С другой стороны, с учетом E.42), имеем
Отсюда следует, что
яа для и= и 2, з
_^ для ц= 4
/? (Ь= 1 В6КТОр Для , - ' в E.46)
^"•' I псевдовектор для . + " в E.46)'
Если величины Ua и Z^, ввести с помощью равенств
то из E.37), E.57) и E.58) можно вывести следующие волновые
уравнения:
E.62)
Это—волновые уравнения D.24) для спина 1.
х) Например, с учетом E.38), имеем
R» + и„ ^= - fif2f3 (MA + РЛР»)=и.

§ 2. Теория Дуффина — Кеммера 101
Таким образом, мы показали, что теория Дуффина — Кеммера
эквивалентна теории для спина 1 и 0. Общий случай волновых
функций в этой теории получается в виде следующих суперпо-
суперпозиций:
(Псевдоскалярная частица -)- Векторная частица) для . — " в E.46) .,. _„.
(Скалярная частица 4- Псевдоввкторная частица) для . 4- " в E.46) ¦ \р.Ь6)
Сейчас мы введем для ^ специальное представление, в кото-
котором используются два семейства индексов а и а'(а, а'= 1, 2, 3, 4).
Величины, связанные с этими двумя пространствами, обозначим
соответственно без штрихов и со штрихами. Используя величины
у[Л и у', каждая из которых в отдельности удовлетворяет соотно-
соотношению C.2), и единичные матрицы / и /', можно показать, что
основное соотношение E.38) удовлетворяется матрицами [8]
P,=4(y/ + y;/)- E-64)
Поскольку E.64) имеет четыре строки и четыре столбца как
для штрихованных, так и для нештрихованных величин, то вол-
волновая функция ф имеет 16 компонент. В частности, в спинорном
представлении величин у^, данном в C.68), функция ф может быть
разложена на спиноры 2-го ранга ф^,, ф;', ф^-, ф'*' (г=1, 2;
s=l, 2), причем мы использовали обозначение A, 2) для
а = A, 2) и обозначение A,2) для а = C, 4). В этом представ-
представлении волновое уравнение E.37) может быть записано в виде
уравнений для спиноров 2-го ранга.
Как было показано в гл. 4, выражения E.54) и E.62) дают не-
неприводимые представления для спинов, равных 0 и 1. Поскольку
они имеют соответственно 5 и 10 компонент, то для того, чтобы
найти 16 компонент, надо найти еще одну недостающую компо-
компоненту ф. Эта компонента составляет неприводимое представление,
так что она должна быть скалярной величиной, удовлетворяющей
дифференциальному уравнению первого порядка. Однако найти такое
уравнение для одной скалярной компоненты, которая должна одно-
одновременно удовлетворять уравнению второго порядка Клейна — Гор-
Гордона, невозможно, если только эта скалярная компонента не равна
нулю. Обычно она называется тривиальной компонентой. Если
через Pt обозначить оператор, выделяющий эту тривиальную ком-
компоненту из ф, то
Я,ф = О. E.65)
Более конкретное выражение всего сказанного выше может быть
дано с помощью спинорного представления.
Так как всего имеется три неприводимых представления, из
которых одно первого, одно пятого и одно — десятого порядка,
то число линейно независимых матриц равно A J -\- EJ + A0J= 126.

102 Гл. 5. Общая теория релятивистских волновых уравнений (II)
Используя E.38), можно доказать, что все произведения величин
р могут быть выражены в виде линейных комбинаций следующих
126 матриц:
Число независимых матриц
I 1,
р pvp'p б,
rf ? ' 4,
ЧаР» 12'
Ч^Д 24' E-66)
VP'PpP» 12>
4u.4v ^>
4a4vPp 1<4I
-, ^ Q ft 10
4li4vPpr« ^""»
4u.4v4oPl '»
^ 1
Не равными нулю шпурами матриц E.66) являются следующие:
Тривиальный
Sp/
SP 4|i4»
Sp \W?
Спин 1
10
2
—2
—2
2
Спин 0
5
—1
1
3
з
случай
1
— 1
1
—1
1.
E.67)
Шпуры матриц E.66), которые не указаны в E.67), равны нулю.
Теперь дадим матричное представление«для р .
Тривиальный случай
0
i
0
0 1
X)
0 0
0
0
0
0
1
0
0
\
)
1
i
0
0
0
0

ан 1
о
о __
0
0
0
— 10 0
0
0
0
0—10
0
0
0'
0 0—1
0 |
0
T~"o"T
0 i 0
0 0 i '•
0
1 о
10 0 0
io oi
10—10
! о
0
0
I 0 0 —1
! 0 0 0
I 1 0 0
0
0
0
= 010
— I 0 0
0 0 0
0
0
о ! о |
i i
0
; 0 0 0
io о —i
i 0 1 0
0
j о
0
— о о
о о о
о о —
0
0
0
о о о
—. о О
о — о
0
¦
—г 0 0
0—i 0
0 0—i
0
0
1 — 1
i 0
1 о
0
0
= 0
i 0
1—1
i о
0
0
•— о о о
0
0
0
0
0
0

104 Гл. б. Общая теория релятивистских волновых уравнений (II)
ЛИТЕРАТУРА
1. Bhabha H. J., Rev. Mod. Phys., 17, 300 A945).
2. Bhabha H. J., Rev. Mod. Phys., 21, 451 A949).
3. Dirac P. A. M., The PrincipJes of Quantum Mechanics, 3-d ed., 1947
(см. перевод второго издания: П. А. М. Дирак, Основы квантовой
механики, М.— Л., 1937).
4. Duffin R. J., Phys. Rev., 54, 1114 A938).
5. Fujiwara I., Prog. Theor. Phys., 10, 6 A953).
6. Harish-Chandra, Phys. Rev., 71, 793 A947).
7. Hepner W. A., Phys. Rev., 84, 744 A951).
8. Kemmer N., Proc. Roy. Soc, A173, 91 A939).
9. Petiau G., Thesis, Paris, 1936.
10. Umezawa H., Prog. Theor. Phys., 7, 551 A952).
11. Takahashi Y., Umezawa H., Prog. Theor. Phys., 9, 1 A953).
12. Umezawa H., Visconti А. (в печати) 1955.
13. Van derWaerden, Die Qruppentheoretische Methode in der Quantum
mechanik, 1932 (см. перевод: Ван дер Верден, Метол теории групп
квантовой механики, Харьков — Киев, 1938).

ГЛАВА
Предварительные замечания
о квантовании
§ 1. Квантовая электродинамика
Обычная квантовая теория поля была построена путем обоб-
обобщения квантовой теории электрона и электромагнитного поля,
т. е. путем обобщения квантовой электродинамики. Поэтому важ-
важной задачей является проверка правильности существующей кван-
квантовой теории поля при ее применении к системам, отличным от
электрона и электромагнитного поля, ибо в настоящее время из-
известно много других элементарных частиц (см. гл. 1).
С другой стороны, хотя существующая квантовая теория поля
и-дает весьма последовательный формализм для свободных полей,
в случае взаимодействующих полей имеется много серьезных труд-
трудностей. Такого рода трудности проявляются даже в квантовой
электродинамике. Поэтому кажется странным, что квантовая
электродинамика так успешно объясняла экспериментальные факты.
В гл. 14, 15, и 18 мы обсудим, каким путем современная теория
подошла к разрешению этих трудностей и их разъяснению.
В настоящей главе мы создадим основу для общей квантовой
теории поля путем определения основных характеристик квантовой
электродинамики.
Хотя квантовые свойства фотонов, отмеченные в теории излу-
излучения черного тела Планка и в теории световых квантов Эйнштейна,
и играли важную роль в открытии квантовой механики, все же
нерелятивистская квантовая механика „частиц" была развита прежде
установления релятивистской, квантовой теории электромагнитного
„поля". Однако, как показано в гл. 3, релятивистское волновое
уравнение Дирака, полученное как обобщение нерелятивистской
квантовой механики, приводит к теории дырок. Последняя пред-
предполагает существование бесчисленного множества частиц. В гл. 8
и 9 мы увидим, что эта последняя теория эквивалентна квантовой
теории полей со спином '/t (см. работы Иваненко и Соколова [2]
и Крамерса [3]).
Электромагнитное поле может быть описано с помощью потен-
потенциалов Ар, зависящих от непрерывных параметров (например,
от пространственно-временных координат х^ или от амплитуд
Фурье Ар). Таким образом, электромагнитное поле является системой

106 Гл. 6. Предварительные замечания о квантовании
с бесконечно большим числом степеней свободы. Теория све-
световых квантов Эйнштейна показывает, что свободное электромаг-
электромагнитное поле может быть охарактеризовано числом световых квантов
{фотонов) в различных состояниях. Испускание и поглощение элек-
электромагнитных волн может быть интерпретировано как изменение
числа квантов.
Согласно тгории излучения черного тела Планка, свободное
электромагнитное поле может быть описано как ансамбль гармо-
гармонических осцилляторов. Энергия простого гармонического осцил-
осциллятора с частотой v имеет собственные значения 2n(« + '/2)Av.
В этом выражении п является положительным целым числом
@, 1, 2, ...), которое может быть интерпретировано как число
световых квантов с энергией 2rrAv. Поэтому испускание одного
кванта соответствует переходу из состояния (п) в состояние (л —(- 1).
Хорошо известно, что квантовая теория простого гармонического
осциллятора может быть развита на основе канонического форма-
формализма (см., например, работу Дирака [1]): В этой теории энергия
простого гармонического осциллятора в его наинизшем энергети-
энергетическом состоянии (я = 0) равна не нулю, a 1\гBък\) (нулевая
энергия). Поэтому свободное электромагнитное поле в его наи-
«изшем энергетическом состоянии (т. е. в состоянии, в котором
отсутствуют кванты) имеет энергию')
Это выражение показывает, что вакуум нельзя определить как
состояние с нулевой энергией; мы будем определять его как со-
состояние с наименьшей энергией. Конечно, такое определение озна-
означает, что вакуум обладает бесконечной энергией. Связанные с этим
трудности могут быть преодолены с помощью так называемого
правила „вычитания вакуума", которое предполагает, что наблю-
наблюдаемые эффекты определяются лишь как разница между полными
эффектами, предсказываемыми теорией, и ненаблюдаемыми вакуум-
вакуумными эффектами. Это вычитание применяется не только при вы-
вычислении энергии, но и при всех других вычислениях. Тем не
менее иногда случается, что получаемые при такого рода вычи-
вычислениях результаты остаются все же бесконечными.
§ 2. Квантовая теория для любых полей
Уравнения Максвелла и Дирака можно получить из соответ-
соответствующим образом выбранных лагранжианов с помощью вариа-
') Из теории теплового излучения хорошо известно, что число осцилляторов
в интервале (v, у -\- Ф) равно (8itv2/ca) a\. Множитель 2 учитывает два незави-
независимых состояния поляризации поперечной волны.

§ 2. Квантовая теория для любых полей 107
ционного метода. Мы будем предполагать, что аналогичное поло-
положение имеет место и для любых полей Q^(x)(a.= 1,2,...); иначе
говоря, мы будем предполагать, что релятивистское волновое урав-
уравнение для Qz{x) может быть получено из соответствующего лаг-
лагранжиана. Этот лагранжиан должен быть скаляром, а величины Qa
ввиду лоренцовой инвариантности теории должны быть неприво-
неприводимым представлением группы Лоренца. По этим причинам Qa
подчиняется релятивистскому волновому уравнению, рассмотрен-
рассмотренному в предыдущих главах.
Как было показано в гл. 4, в случае полей с полуцелым спином
вследствие существования состояний с отрицательной энергией
возникает парадокс Клейна, который для устранения абсурдных
следствий заставляет в этом случае применять статистику Ферми.
Соотношение между спином и статистикой для произвольных
частиц будет рассмотрено в гл. 8.
Чтобы обобщить методы рассмотрения электромагнитного поля,
приведенные в § 1, мы будем квантовать свободные поля, рас-
рассматривая их как систему простых гармонических осцилляторов.
Если Qx(x) удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона B.3), то
это квантование может быть произведено. В самом деле, каждая
компонента Фурье, определенная равенством
удовлетворяет уравнению, аналогичному уравнению простого гар-
гармонического осциллятора
В гл. 8 будет показано, что энергия свободного поля есть
сумма энергий частиц массы х. Это определение устанавливает
связь между полями и их квантами.
Состояние lV[at] поля в заданный момент времени определяется
наблюдениями в трехмерном мире, т. е. на пространственно-подоб-
пространственно-подобной плоскости поверхности а/1). Однако это описание не является
релятивистски инвариантным, потому что понятие „одинакового
времени" не является релятивистски инвариантным. Поэтому мы
будем рассматривать состояние поля на пространственно-подобной
поверхности а, потому что понятие „пространственно-подобной
поверхности" является уже релятивистски инвариантным. Это со-
состояние может быть определено с помощью независимых наблю-
наблюдений во всех точках а, потому что возмущения, связанные
с наблюдениями, не могут распространяться быстрее скорости
света. Таким образом, lF[a] является функционалом поверхности а.
') Поверхность называется пространственно-подобной, когда любые ее две
точки разделены пространственно-подобным интервалом.

108 Гл. б. Предварительные замечания о квантовании
Мы будем считать, что обычные свойства вектора состояния
квантовой механики (т. е. принцип суперпозиции и т. д.) имеются
также и у 4х [а].
В обычной квантовой механике уравнение Шредингера опи-
описывает поведение вектора состояния во времени. Обобщая это
положение на квантовую теорию поля, примем, что изменение
состояния при переходе от одной поверхности к другой во временно-
подобном направлении описывается с помощью уравнения Шредин-
Шредингера для *Р[а].
Теперь введем вектор dav [5, 4], нормальный к поверхности а
и равный по длине площади элемента поверхности а; этот вектор
дается выражением
da^ = {dx^x,dt, dx.dx.dt, dx.dx.dt^dx.dx^xA . F.2)
Отсюда следует, что при переходе от at к а надо от интеграла
по объему J d"x перейти к интегралу i J da^'). В дальнейшем мы
будем также пользоваться единичным вектором \(г^ = —1),
нормальным к поверхности а.
Функциональная производная от функционала F[a] опреде-
определяется с помощью равенства
*1М HMlJMl F.3)
() () dw '
где dw=\dix — „объем" четырехмерной области, заключенной
между поверхностью а и поверхностью а(х), которая отличается
от а только в бесконечно малой
окрестности вблизи точки х (фиг. 2).
Так как F.3) является ло-
ренц-инвариантным определением,
то оно может быть использовано
ф и г- 2- при написании ковариантного урав-
уравнения Шредингера.
Теперь приведем некоторые важные теоремы, касающиеся
функциональных производных.
Когда функционал F[a] может быть представлен в виде поверх-
поверхностного интеграла
MS^W F-4)
') d$x и d"x означают
d*x
d*x

Литература 109
от некоторой дифференцируемой в точках а функции F(x), из
теоремы Грина можно получить соотношение
M№ (в.4.
<У(Х)
Поэтому для функционала F[a] ~ J da'^F^ (x') с дифференци-
с
руемой функцией F^(x') имеет место равенство
^[a] = d^(x). F.56)
Таким образом, имеет место следующая теорема.
Функционал F[a] не зависит cm поверхности о, если F^(x)
удовлетворяет уравнению непрерывности dllFv_(x) = 01).
Если F[x, о] явно зависит от поверхности а, соотношение
F.5а) может быть обобщено следующим образом:
F^[a]=lda',F[x', а], F.6а)
причем д/да означает дифференцирование по аргументам, явно
зависящим от a, a b/Sa(x) — полное изменение, проистекающее от
деформации поверхности о.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dirac P. A. M., The Principles of Quantum Mechanics, 3-d ed., 1947
(см. перевод второго издания: П. А. М. Дирак, Основы квантовой ме-
механики, М.—Л., 1937).
2. Иваненко Д., Соколов A., Phys. Zs. d. Sowjetunion, 11, 590 A937).
3. Kramers H. A., Proc Amst. Akad. Sci., 40, 814 A937).
4. Schwinger J., Phys. Rev., 75, 651 A949) (см. перевод в сборнике:
Новейшее развитие квантовой электродинамики, ИЛ, 1954).
5. Tom on a ga S., Prog. Theor. Phys., 1, 27 A946) (см. перевод в сборнике:
Новейшее развитие квантовой электродинамики, ИЛ, 1954).
') Когда а является плоской поверхностью atl выражение F.4) принимает
вид F \<st\ = — / \ d*xFt (х). Хорошо известно, что F [at\ ие зависит от времени,
если /у(х) удовлетворяет уравнению непрерывности д|1/у(х) = 0. Указанная
выше теорема является ковариантным обобщением этого факта.

ГЛАВА 7
Релятивистская квантовая
теория поля
§ 1. Релятивистская квантовая теория поля
Мы будем рассматривать поля, описываемые величинами Q%(x)
(а = 1, 2, ...). Предположим, что лагранжиан, являющийся эрми-
эрмитовым и инвариантным относительно преобразований Лоренца, не
содержит явно х^ и не содержит производных выше первого
порядка. Первое предположение обеспечивает соблюдение усло-
условия, чтобы поле было консервативной системой; второе предпо-
предположение делается только в этой главе. При этих условиях плот-
плотность лагранжиана может быть записана в виде L (Qx, Qa-.y), где
Q.i|l(Jc) = a,lQ.(jc).
Волновое уравнение для Qx(x) получается на основании вариа-
вариационного принципа
bldtxL{Q..Q^) = 0. G.1)
Варьируя Qx—+Qx-\-UQx при условии 8Qa=0 на границах области
интегрирования, получаем на основании G.1) следующее волновое
уравнение:
i
Условие Клейна — Гордона для уравнения свободного поля, введен-
введенное в гл. 2, ограничивает вид члена I? в плотности лагранжиана.
Из G.2) получается следующее уравнение непрерывности:
а,^ = 0, G.3а)
в котором
^ G-зб>
Тензор 7^, называется каноническим тензором энергии-импульса;
он связан с вектором энергии-импульса Tv соотношением
<7;л.*'). G.4)
В этом соотношении величины W= 74 и Gft = i7"ft(?=l, 2, 3)
являются соответственно полной энергией и полным импульсом

§ I. Релятивистская квантовая теория поля 11 \
поля на поверхности а. Из F.56) и G.3а) следует
' = о: G.5)
Это равенство является ковариантным выражением закона сохране-
сохранения энергии-импульса.
Различные величины поля, например момент количества движе-
движения и заряд, естественным образом вводятся в теорию путем рас-
рассмотрения ее преобразований, относительно которых теория инва-
инвариантна [22, 23].
Прежде всего рассмотрим лоренцову инвариантность теории»
При бесконечно малом преобразовании
в котором
bx^ = bw^xH, bw^ = — bw^, G.6a)
• «R=4v+4-; G-6б>
Qnix) преобразуется (см. гл. 5) согласно следующему правилу:
Q.W—'Q.('*) = Q.W + *Q.(*) = A.j.QpW, G.7а)
В этих равенствах матрица 5^, имеет (оф)-элементы 5^,:^ и удов-
удовлетворяет соотношению
^V=-V G.8)
Из E.8) следует, что1)
+ 8^^ - »,^р. G.9)
Если через Щ^(х) обозначить изменение величины Qx(x) при
пренебрежении изменением Ьх^, т. е. если
«Q. (jc) ='Q. (jc) — Q. (х), G.10а)
то, используя разложение Тэйлора для 'Qx('x), получаем
SQ. (х) = 'Q. (х) - д& (х) Ьх^ - Qa (х) =
= bQJx)-dfix(x)^. G.106)
Тогда уравнения G.6а), G.76) и G.106) дают равенство
*<№)= 2 &w^(*u.Q':4x) — х&*{х) + V-«?Qe)W)- G.11)
<
') Нужно заметить, что в E.8) было использовано только предположение
о лоренцовой инвариантности теории.

112 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
Из G.11) и G.36) можно получить соотношения
*^ Й =^ ? AV..4,, GЛ2)
в которых
(^) G.13)
Надо заметить, что величина М^^ антисимметрична по индексам
р. и v.
Обозначим преобразованную плотность лагранжиана через L (х).
Так как лагранжиан инвариантен относительно преобразований
G.6а) и G.66), то
iLzsL'('x) — L(x) = 0.
Воспользовавшись разложением L'(x) в ряд Тэйлора
получим равенство
SL + ^(«^) = O, G.14)
в котором Ы определено соотношением
^^y G.15)
Это соотношение следует из G.2). Из G.14) и G.15) получается
О. G.16)
Таким образом, используя G.12), приходим к уравнению
^,,. = 0. G.17)
Величина M^>z называется тензором момента количества движения.
С помощью этого тензора можно выразить полный момент коли-
количества движения Р поля на о соотношением вида'
SVW G.18)
Уравнения G.17) и F.56) дают
Это есть ковариантная форма записи закона сохранения момента
количества движения.
Величину М^а можно записать также в следующем виде:
Мп. = хЛ. — х»Т*-Л,т.+/,,г*. G-20)
где через /^^ обозначена величина
Л," — Т [~'dQ^S^:"^9~~ aQ^^H-.-.pQ^ + ^^^w^Qj. G.21)

§ 1. Релятивистская квантовая теория поля 113
Из G.21) и G.8) можно получить равенства
j SQ G.22)
Теперь с помощью f^4z можно ввести симметричный тензор энер-
энергии-импульса QF,, который определяется как симметричный тензор,
удовлетворяющий следующему уравнению:
a\4(x)=Tv,. G.23)
з
Пользуясь G.23), G.5) и F.56), можно показать, что
д\, = 0. G.24)
Теперь мы покажем, что симметричный тензор, удовлетворяющий
G.23), дается выражением [1, 26J
K, = T^-dJ^3. G.25)
Правая часть этого равенстьа симметрична по индексам ц, v,
так как подстановка G.20) в G.17) с учетом G.3а) дает равенство
Поскольку величина /ь„ антисимметрична по индексам v и з, то
Таким образом, выражение F.56) показывает, что значение инте-
интеграла [ da,(^., — 7^) не зависит от выбора поверхности а. Более
того, поскольку /^14 = 0, то с помощью интегрирования по частям
можно показать, что
если только пространственно-подсбная поверхность а является
плоской. Отсюда можно заключить, что интеграл
а
равен нулю при любой пространственно-подобной поверхности j,
и поэтому условие G.23) будет удовлетворено.
Тем же самым способом можно показать, что
S <bf (х\ - х\ + M^J = 0.
О
" X. Умэдзява

114 Гл.- 7. Релятивистская квантовая теория поля
Отсюда с учетом G.18) следует соотношение
^{xX-^\p). G.26)
Это есть известное соотношение между тензорами энергии-импульса
и момента количества движения.
Главными задачами при квантовании полей являются вывод
соотношений коммутации для операторов Q,(jc) и формулировка
волновых уравнений G.2) в канонической форме
-df(x) = [F(x), 7-J. G.27)
В этом уравнении F(x) — произвольный функционал от Qa(x).
Эта каноническая формулировка подробно будет обсуждена в
последующих главах. Уравнение G.27) показывает, что Т является
оператором смешения в направлении х .
Примером такого метода квантования является метод, предло-
предложенный Гейзенбергом и Паули [13, 14]. Величины Pt(x), сопряжен-
сопряженные к Qa(x), вводятся с помощью равенства Р„(;с) = (—i)dLjdQ*:4.
Принимается, что имеют место следующие канонические переста-
перестановочные соотношения'):
[Q.ix. t), P9(x\ t)]=ib^(x-x').
Величины Qa:4 могут быть исключены с помощью Ра, в результате
чего гамильтониан Н = f ti3x(iP,QaM — L) станет идентичным с ве-
величиной Tt, определяемой равенством G.27). В дальнейшем мы
используем метод квантования, отличающийся от только что ука-
указанного.
В этой главе мы будем считать, что выражение G.27) получено
в результате какого-то пригодного процесса квантования. Тогда
G.3а), G.24) и G.17) дают равенства
[КЛх), Тч] = [Т^(х), 7"J = 0 G.28)
[М^.(х), 7J = 0. G.29)
Эти уравнения являются квантовомеханическими выражениями за-
законов сохранения энер! ии-импульса и момента количества движения.
Теперь рассмотрим уравнение Шредингера, описывающее изме-
изменение состояния. Каждая точка на а имеет различную координату
времени t = t(xl!)(k=\, 2, 3). Это есть уравнение, определяющее
трехмерноизогнутую поверхность о. Поэтому поверхность а{х),
которая бесконечно мало отличается от а лишь непосредственно
вблизи точки х, определяется уравнением t = t (xk) -J- U (xk), где
') i (x - x') =»«(*,- x[) & (x, - xi) 8 (x, - x't).

§ 2. Комплексные поля и поля заряженных частиц 115
It (xk) — бесконечно малая величина вблизи точки х. Принимая во
внимание, что наблюдения в различных точках на а не возмущают
друг друга, можно функциональную производную F.3) для Ч;[з]
записать в виде
Так как в гейзенберговском представлении вектор состояния не
зависит от времени, можно на основании G.30) написать ковариант-
ное уравнение Шредингера
Основой квантовой теории поля являются волновое уравнение G.2)
или G.27) для Qa, соотношения коммутации для Qa и уравнение
Шредингера.
§ 2. Комплексные поля и поля заряженных частиц
"В общем случае компоненты поля Qa(x), входящие в лагран-
лагранжиан, являются компонентами различных полей, из коих некоторые
могут быть комплексными. Мы называем поле вещественным или
комплексным в зависимости от того, будут ли компоненты этого
поля вещественными или комплексными.
Предположим, что имеется некоторое семейство п комплексных
полей, описываемых с помощью п наборов компонент (Q(J\ Q^;)i;
j—\,...,n), и лагранжиан инвариантен относительно преобразо-
преобразований фазы всех полей, принадлежащих к этому семейстну, т. е.
О)
е~'
п-
G.32а)
здесь /=1, 2 до п; у — постоянная. Такое семейство полей мы
называем инвариантным относительно фазы. Если у бесконечно
мала, то инвариантность лагранжиана приводит к соотношению 1)
iL s * [w>Q"'+s% * " Q"r W - Q% ik] ~ "¦ G-33)
в котором подразумевается суммирование по у. Это соотношение
дает уравнение непрерывности
^ 0, G.34а)
означает не (d^^)*, а д^ «#>*).

116 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
в котором через Л^ обозначен „оператор тока у-поля", опреде-
определяемый выражением
В этом выражении суммировать по j не надо.
Из G.34а), учитывая F.56), получаем
G.36a)
где
G.37)
Уравнение G.36а) показывает, что сумма 2 N^ постоянна во вре-
времени. В гл. 8 мы покажем, что собственными значениями /V'y' яв-
являются разности чисел частиц и античастиц, принадлежащих к
/-полю.
В качестве примера рассмотрим лагранжиан, который описы-
описывает взаимодействие вида
ФрФлДг G-38)
В этом выражении фриф^— комплексные величины, описывающие
поля протонов и нейтронов, af/, — поле заряженных тт-мезонов.
Так как это взаимодействие инвариантно относительно преобразо-
преобразования фазы нуклонных полей (фр, ф^), то G.36) приводит к сохра-
сохранению разности между числами нуклонов и их античастиц в любом
процессе превращений, обусловленных этим взаимодействием. Это
принято называть сохранением нуклонов.
Одно из наиболее важных следствий, связанных с инвариант-
инвариантностью фазы, получается при рассмотрении любых заряженных
нолей Qlc) (с == 1, 2, ...). Мы постулируем, что для всех заряжен-
заряженных полей лагранжиан инвариантен относительно преобразования
фазы. Это означает, что
%)*~~^\QZ** \n G.326)
здесь е — элементарный электрический заряд. Электрический ток
JAx) поля Qaf) определяется следующим образом:
7 = — ieNT = — ie{ —~, Qi> — QV -^ , G.356)
причем здесь суммирования по (с) производить не следует.

§ 3. Примеры 117
В рассматриваемом случае G.34а) и G.36а) нриводнт_к уравнениям
2^ = 0 G.346)
и
5^* = 0. G-366)
н которых „оператор полного заряда" et дается выражением
Собственные значения et интерпретируются как величины полного
электрического заряда на поверхности а. Уравнение G.366) выра-
выражает закон сохранения заряда.
При взаимодействии, задаваемом выражением G.38), имеются
два заряженных поля i|if и (/, и выражение G.38) инвариантно
относительно преобразования фазы. Таким образом видно, что
полный электрический заряд полей протонов и п-мезонов в про-
процессах взаимодействий, обусловливаемых взаимодействием G.38),
сохраняется.
В теории электрона (см. гл. 3) мы видели, что заряды частицы
и ее античастицы имеют противоположный знак. В гл. 8 будет
показано, что это правило имеет общее значение. Поэтому можно
заключить, что сохранение разности между числом заряженных
частиц и их античастиц эквивалентно сохранению полного заряда.
Когда величина Q, вещественна, то величина У^, определяемая
r G.346), обращается в нуль. Другими словами, вещественные
'.юлновые функции описывают нейтральные поля. Примером теории
вещественного нейтрального поля может служить теория Майорана.
Корошо известными нейтральными частицами, описываемыми ве-
вещественными величинами, являются фотон и нейтральный п-мезон.
Однако необходимо заметить, что волновые функции нейтральных
полей не всегда вещественны; примером этого могут служить
нейтроны.
§ 3. Примеры
Эту главу мы закончим приложением полученных выше поло-
положений к некоторым конкретным примерам.
Приме 1. S^u спиновый момент количества движения
Как показано гл 3 и 5, величины S^, определяемые в G.7в),
даются выражениями

118 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
(ТЛ* —Y.yJ спин
av |Opv:» I
теория Дуффина — Кеммера G.39)
вектор или псевдовектор1),
О скаляр или псевдоскаляр.
Из G.9) имеем
[-iSlt, -iStt] = i(-iStl) и т. д.
Эти соотношения коммутации показывают, что (— iSjk)
(i, k= Цикл. A,2, 3)) удовлетворяют правилам коммутации момента
количества движения и поэтому имеют собственные значения
(S, S — 1, ..., — S), где 5 принимает целые или полуцелые зна-
значения. Ввиду того что каждая частица имеет B5 -\-1) внутренних
степеней свободы, мы из D.23) видим, что 5 является спином,
а B5 -+-1) внутренних состояний частицы соответствуют различным
направлениям спинового момента количества движения.
Полный момент количества движения Рг, слагается из двух
частей:
l l G.40)
J^), G.41)
,^Qr G.42)
Величина P°v имеет известный вид орбитального момента ко-
количества движения, в то время как Pfv интерпретируется как
спиновый момент количества движения. В гл. 9, пример 5, мы по-
покажем, что P°v и PJL представляют сумму собственно орбиталь-
орбитальных моментов количества движения' частиц и их спиновых момен-
моментов количества движения.
Пример 2. Свободные скалярные или псевдоскалярные
поля О (х)
Волновое уравнение для U(x) дано в гл. 4 в виде
(П—*f)?/U) = 0. G.43)
Это уравнение может быть выведено из лагранжиана
1= — д^и*-д„и—х-и*и. G.44)
') Для векторного или псевдовекторного поля U^ выражение G.7а) записы-
записывается следующим образом:
'U, = a,fU? = U3 + &wa?U? = Ua +1 (^ Д? - ^,«„) Ьш^иг
Таким образом, получаем третью строчку в G.39).

§ 5V Примеры 119
Отсюда следует, что канонический тензор энергии-импульса и
электрический ток даются выражениями
Т„ = длСГ-д,и + д,СГ-д^и+1А„. G.45)
J^ = ie(dJLr-U—U*'dJJ). G.46)
В этом случае в качестве симметричного тензора энергии-
импульса может быть взят сам тензор Tvs. Эта теория может
быть сформулирована с помощью вещественных величин (?/('), f/(S)),
определяемых равенствами
y=(U<-1Hx)-\-iU^Hx)). G.47)
В этом случае G.44) — G.46) принимают вид
\\8 + и<*>% G.48)
G.49а)
G.496)
Теория вещественного (а потому нейтрального) поля со спином О
может быть получена из выписанных выше выражений, если в них
положить ?/<*> = 0.
Пример 3. Свободное электромагнитное поле А^(х)
Волновое уравнение свободного электромагнитного поля имеет
вид (см. гл. 4)
аА^(х) = 0. G.50)
Это уравнение может быть получено из плотности лагранжиана
^•=-т^Л,—?(дЛЛ G-51)
^, = ЙД-ЙЛ; G.52)
здесь F v — напряженность электромагнитного ноля. Как показано
в гл. 4, рассматриваемая теория инвариантна относительно калиб-
калибровочных преобразований
AJx)-^A,(x) + dfl\(x), ¦ G.53)
DA|jc) = O, G.54)
где К(х)—с-число. Следовательно, электромагнитная волна яв-
является поперечной волной с двумя независимыми компонентами
(т. е. двумя состояниями поляризации).
Уравнение G.50) может быть записано в виде

120 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
Как показано в гл. 4, потенциалы Л„ также должны удовлетво-
удовлетворять условию Лоренца д^А^ — О, благодаря чему теория оказы-
оказывается основывающейся на'неприводимом представлении спина 1 1).
Однако в гл. 8 мы покажем, что это условие несовместимо с со-
соотношениями коммутации для А^. Поэтому вместо условия д Ла = 0
мы будем пользоваться другим условием, накладываемым на век-
вектор состояния, которое имеет вид
(d^AJ Ч1 = 0 (условие Лоренца). G.56)
Это условие мы будем также называть условием Лоренца [7].
Последнее условие означает, что в природе осуществляются
только такие состояния, для которых собственные значения д А^
равны нулю. Теперь докажем, что условие G.56) совместимо
с волновым уравнением. Если на плоской поверхности at, соответ-
соответствующей моменту времени t, имеют место условия
ЭД 0, G-57)
то путем повторного использования G.50) можно доказать, что
(dtr{d^(x,t))V = 0. G.58,
В самом деле, G.57) приводит к равенствам
(<Э4Г д,А (х, t) 1Р = (- 1)т (дАГ дЛ (х, t) Ч» = 0
(д<)ш+* д,Л (х, t) Ч' = (- 1Г (dkdk)m dt д^А, (х, t) Ч< = 0.
С другой стороны, величина ^Л,(х, ?) на поверхности з'„ соот-
ветстиуюшей моменту времени г, может быть представлена в виде
следующего разложения в ряд:
Л Л (-v i~' \ - \ 3. (т — 7 1 /?" (fj /X Iv т\\
п=0 ''"
Таким образом, имеем
Приведенные выше вычисления показывают, что условие Лоренца
оказывается выполненным всегда, когда выполнено начальное ус-
условие G.57). Поэтому условие Лоренца эквивалентно требованию,
чтобы функция состояния удовлетворяла начальному условию G.57).
Из G.56) имеем
д,да ЛаЧ; = 0, G.60)
'; Когда это условно опущено, поле с отрицательной энергией со спином 0
оказывается перемешанным с полем с положительной энергией со спином 1.

§ 3. Примеры 121
что дает уравнение
Это уравнение своим видом напоминает классические уравнения
Максвелла и показывает, что теория Максвелла применима к со-
состояниям, которые реализуются в природе.
Канонический тензор энергии-импульса Tuv выводится из ла-
лагранжиана G.51) и имеет вид
т;,=\ (/у\,+/\,/>) - т F*FA'+дЛ <А-
- j (fyfy1 д^ + у (F,,• <? А + ^Л • f7»)- G-62)
Симметричный тензор энергии-импульса может быть получен
с помощью G.25) и G.62). Пользуясь G.62), G.56) и G.4), мы
для полной величины энергии свободного электромагнитного поля
нз плоской поверхности at получим выражение
4TJV = \ lP j d'x [E2 + Н2] Ф, G.63)
в- котором Е и Н — напряженности электрического и магнитного
поля, задаваемые выражениями
E = t(Fu,/•'„,/=¦„), H = (Ft,FiltFlt). G.64)
Таким образом, выражение G.63) имеет вид, аналогичный выра-
выражению для энергии классического максвелловского поля.
Пример 4. Взаимодействие между электромагнитным
полем и заряженными полями
Лагранжиан взаимодействующих .между собой электромагнит-
электромагнитного и некоторого другого заряженного полей состоит из трех
частей — лагранжиана V [см. G.51)] свободного электромагнит-
электромагнитного поля, лагранжиана Lc другого заряженного поля и члена L',
представляющего взаимодействие. Таким образом,
L = Le + Lc + L'. G.65)
Член L', представляющий взаимодействие, должен быть построен
таким образом, чтобы лагранжиан L был инвариантен относительно
калибровочного преобразования
I
>
j
калибровочное преобразование 1-го рода,
()
А (х)—> A. [X)-\-dji(x) калибровочное преобразование 2-го рода;
здесь Л (х) — вещественное с-число, удовлетворяющее уравнению
O. G.67)

122 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
Калибровочное преобразование 1-го рода является обобщением
преобразования фазы G.326) на случай, когда Л(х) не является
постоянной. Калибровочное преобразование 2-го рода совпадает
с преобразованием G.53). Поэтому лагранжиан L" инвариантен
относительно преобразований G.66). При преобразованиях G.66)
члены, входящие в лагранжиан U, изменяются следующим об-
образом:
д Q*—> {duQ* — ie(d^)Ql}e~ieA. G.68)
Те изменения, которые возникают в величине Lc -\-L' благодаря
заменам G.68), должны быть скомпенсированы вкладом от кали-
калибровочного преобразования 2-го рода величин, входящих в L'.
Так как L инвариантен относительно преобразования фазы G.326),
то величина Lc-\-L' должна получаться из U с помощью следую-
следующих операций:
¦ а) д Q, и d^Ql в U заменяются на новые величины согласно
следующему правилу:
б) К лагранжиану могут быть добавлены члены, пропорцио-
пропорциональные F^.
Члены взаимодействия, полученные в результате применения
правил „а" и „б", мы будем называть соответственно членами
взаи ...действия Л^-типа и /^„-типа, а сами взаимодействия — взаи-
взаимодействиями Л^-типа и F^-типа1).
Из G.69) легко видеть, что для Л^-типа взаимодействий U
выражение для электрического тока G.356) может быть записано
в виде
К = Ш' G-7°)
В том случае, когда U содержит взаимодействие /^,-типа, опре-
определение электрического тока можно обобщить следующим образом:
G.71)
dF
') Например, заряд е, движущийся со скоростью v, взаимодействует
с электромагнитным полем по Л^-типу:
f
¦ покоящийся магнитный момент ц — по F^-типу: V=.-~ (ji-H). — Прим. ред.

§ 3. Примеры 123
Так как F ,, является антисимметричным тензором, то /fJ удов-
удовлетворяет уравнению непрерывности
dJ^ = 0. G.73)
Из G.346) и G.73) для полного тока получается следующее урав-
уравнение непрерывности:
^ = 0. G.74)
Выражение G.71) можно переписать в виде
причем bL'jbA^ определяется равенством
= ??д ( dL>
А
Принимая во внимание волновое уравнение G.2) и то обстоятель-
обстоятельство, что L" и J^ определяются соответственно равенствами G.51)
и G.75), можно без труда доказать, что
? Л=-Ч- <7-76)
Это показывает, что G.75) является разумным определением элек-
электрического тока.
Ввиду того что волновое уравнение G.76) отличается от вол-
волнового уравнения свободного поля, необходимо заново доказать
совместимость условия Лоренца G.56) и волнового уравнения.
Доказательство проводится аналогично случаю свободного поля
[см. G.57) — G.59)], так как из G.57) можно снова получить G.58),
используя равенство
? дд1 = -<и=0- G-77>
Из G.56) и G.76) имеем
(d^L! = -JJP. G.78)
Последнее уравнение по своему виду напоминает классическое
уравнение Максвелла.
Теперь рассмотрим заряженное поле, взаимодействующее с по-
постоянным по времени однородным магнитным полем Н. В том при-
приближении, когда можно пренебречь членами со второй и выше
степенями относительно Н, магнитный момент определяется как
трехмерный вектор m соотношением
(Н-ш)=5 d'xL'. G.79)
о
В этом соотношении через V обозначен лагранжиан взаимодействия')
') Как показано в гл. 10, в принятом приближении L' =& — //', где
Н' — энергия взаимодействия.

124 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
Поэтому на основании G.70), когда взаимодействие F -типа
разно нулю'), получаем
Jd'-K/Hu^fll-m). G.80!
а
С другой стороны, хорошо известно, что в случае постоянного
магнитного поля можно взять такую калибровку потенциалов,
чтобы было
A = -i-[H, x], Л4 = 0. G.81)
Подставляя G.81) в G.80), получаем
'x[x, J]. G.82)
В случае заряженного поля со спином 0 (т. е. скалярного или
псевдоскалярного поля) лагранжиан, полученный с помощью пра-
правила „а" (стр. 122), имеет вид
L = -(dtk + teAJU*-(dlk-ieAv)U — x4J*U + Lt. G.83)
Отсюда, с учетом G.356), получается следующее выражение для
электрического тока:
J^ = — ie{dJU*'U — U*-dJJ) — 2e*AuU*U. G.84)
Это выражение можно также получить непосредственно из G.70).
Пример 5. Векторные или псевдовекторные поля U^(x)
Как показано в гл. 4, волновые уравнения для 17ц (я) имеют
вид
d,t/^+ *•?/„ = 0, G.85а)
U» = dJJ, — dJUr G.856)
Уравнения G.85а) и G.856) приводят к соотношению
^ = 0. G.86)
Далее отметим, что уравнение G.85а) может быть получено из
лагранжиана
Здесь 17+ и i/+v определены следующим образом:
?/+ = (?/*, U\ U*, iU*) = (U\ U*, U\ —Lf\uU+=d ?/+
Соображения § 2 остаются в силе даже тогда, когда мы заменим
значок »*" значком ,-f".
') В этом выражении символ =& означает, что мы пренебрегаем второй
и более высокими степенями величины еН.

3. Примеры 125
Лагранжиан G.87) приводит к слгдующему выражению для
канонического тензора энергии-импульса:
^ = (/t.^p + ^J.[/vp + iV G-88)
Тензор G.88) несимметричен; симметричный тензор энергии
импульса может быть получен с помощью G.21), G.25) и G.39)
в виде
G.89)
U
Ток для взаимодействия Л„-типа, полученный по правилу „а*
в примере 4, равен
* В согласии с правилом „б" в примере 4 в лагранжиан можно
еще добавить взаимодействие /^-типа в виде выражения
в котором у — вещественная постоянная. Этот добавок приводит
к следующему выражению для электрического тока:
Jf=itd,(UlU4-U\U^ G.92)
Поскольку для постоянного магнитного поля G.91) имеет вид
G.79), то вклад в магнитный момент от выражения G.91) равен
Um-UltUl) (А, /, от = ц„кл. A, 2, 3)).
С другой стороны, магнитный момент т<'>, обусловленный то-
током J(l\ согласно G.90), равен
(к, I, т = и.нкл. A, 2, 3)),
причем символ =^ означает пренебрежение второй и высшими сте-
степенями е. Это выражение для т^ на основании G.856) и G.86)

126 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
может быть переписано в виде
?ВД) - ie J ctx U^J
U\Um) - xj, (UjU, -
(А, Л /П = Цикл. A, 2, 3)).
В этом выражении через Llm обозначен оператор орбитального
момента количества движения частицы
Ltm se xtdm — xjt.
Для частиц малой энергии второй член, связанный с оператором
орбитального момента количества движения Llm, пренебрежимо
мал (dU^ ss 0).
Третьим членом также можно пренебречь, так как G.85а) при-
приводит к равенству
Таким образом, имеем
т<?> ^-ie\ <fx (U}Um — ЦЩ), (А, I, т = Цикл. A,2, 3))
и поэтому для частиц с малой энергией полный магнитный момент
равен
Чч + Ч2) ^ ~ie A - V S d'x (U\Um - ЩЩ.
Другими словами, ток У'2) к магнитному моменту частиц малой
энергии добавляет множитель A — у).
В случае вещественной волновой функции ?/„ [х) (т. е. в случае
нейтрального поля) имеем')
L = -\UWU^-^UJJ^, G.93)
G.94)
иЛ> + у *ЧЧ) • G-95>
Пример 6. Формализм Штюкельберга
для векторного поля
В этом формализме Штюкельберга [27] теория векторного поля
принимает форму, весьма напоминающую форму теории электро-
электромагнитного поля.
') Следует заметить, что для вещественного векторного поля веществен-
вещественными компонентами поля являются величины (?/,, Цг, ?/,, ?/„), а поэтому вели-
величина Ut = iU0 является мнимой.

3. Примеры 127
В этой теории векторное поле описывается четырьмя компонен-
компонентами вектора А^х~> и скаляром В(х). Поэтому для исключения
лишней компоненты необходимо ввести новое дополнительное
условие. Это условие можно записать в виде, аналогичном усло-
условию Лоренца.
Лагранжиан в этой теории имеет вид1)
^l G.96)
и приводит к волновым уравнениям
G.97)
Начальные условия на плоской поверхности at в момент вре-
времени t задаются равенствами
=о, (<uj+*&) v=о,
Если эти равенства удовлетворены, то, используя G.97), легко
показать, что в тот же самый момент времени t имеют место
соотношения
[см. G.58)]. По тем же самым соображениям, которые мы исполь-
использовали в квантовой электродинамике [см. G.59)], можно доказать,
что волновые уравнения G.97) согласуются с дополнительными
условиями
(дл+
При начальных условиях G.98) дополнительные условия G.99)
могут быть записаны в виде
«yyj4' = 0, (dut/t)V = O, G.99a)
и^К + ^-дЛ Ul = Al + \d^. G.100)
Это показывает, что соотношение д U^ = 0, имеющее место в обыч-
обычной теории векторных полей [см. D.246)], справедливо для состоя-
состояний, которые действительно реализуются в природе.
Легко видеть, что рассматриваемая теория инвариантна отно-
относительно преобразований
ввх,
(П-*1)А = 0. ( '

123 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
Благодаря этому нзлишняя компонента не имеет физического зна-
значения. Так как преобразование для А^ в G.101) имеет тот же вид,
что и калибровочное преобразование для электромагнитного поля,
то это преобразование будем называть калибровочным.
Для вещественного поля {А^,В) (т. е. нейтрального поля) лаг-
лагранжиан и дополнительное условие записываются следующим обра-
образом:
(а^+д)ч»=о. G.103)
Соотношение между этим нейтральным векторным полем и электро-
электромагнитным полем мы обсудим подробно в гл. И.
Пример 7. Теория Дуффина — Кеммера для $(х)
В теории Дуффина — Кеммера для частиц со спином @, ^вол-
^волновое уравнение имеет вид (см. гл. 5)
(РА+*)ф=о. GЛ04)
Это уравнение может быть получено из лагранжиана
Отсюда для канонического тензора энергии-импульса и электри-
электрического тока получаются выражения
^ = 4РДф, GЛ06)
J^ie^. G.107)
Из G.21), G.39) и E.38) следуют равенства
ЛФ{
GЛ08а)
} + #АФ- G- Ю8б)
Таким образом, симметричный тензор энергии-импульса имеет вид
V ^— ^фф}- G.109а)
В частности, энергия поля равна [см. E.43)]:
G.1096)
Электромагнитное взаимодействие может быть получено с по-
помощью правил „а" и „б" в примере 4.

§ 3. Примеры 129
Пример 8. CnuHOfHoe поле
Волновые уравнения для ф
ЭДЧ»-*Ф = ° G.110)
в этом случае могут быть получены из лагранжиана
L= -т(ФтАФ-^Ф%Ф)-«ФФ- G.111)
Отсюда получаем
Л, ,» = ^ '$ {у, I v Y»l + Yv lY* YJ — 4* [Y-. Y.I +
YJYv — LYv yJ Y^> Ф
v — Yv8q» + yA.) Ф-
т %ЛФ - 47АФ) - т
Электромагнитное взаимодействие может быть получено по
(.равилам „а* и ,б" примера 4 и дается выражением
Г = %^Л + -Н P^YJv-Y^t^v. GЛ14)
а котором р — постоянная величина. Первый и второй члены
являются соответственно взаимодействиями А^- и /^„-типа. По-
Поскольку последний член имеет тот же вид, что и G.79) для по-
постоянного магнитного поля Н, то он приводит к появлению собст-
собственного магнитного момента. Получаемое из G.114) выражение
для электрического тока записывается в виде
G.115а)
Используя C.2) и уравнения поля G.110), можно выражение для
тока /'', связанного с взаимодействием Л^-типа, переписать сле-
следующим образом:
9 х.
мэдзава

130 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
Последний член обычно называется конвекционным током. Маг-
Магнитный момент, обусловливаемый током УA>, равен
- - GЛ15Г)
-1J d'x {Xldt (АЫ4ф) - хтд, (ЬШЬ)}
(k, I, /?2 = Цикл. A, 2, 3)),
где
Llm = x^m~xmdl.
С другой стороны, магнитный момент, обусловленный током /2>>
дается выражением
1, 2, 3))
[см. G.79)]. Второй член в G.115г) пренебрежимо мал, так как
он зависит от оператора орбитального момента количества дви-
движения Llm частиц малых энергий (д'Ь =& 0). Далее, третий член
вG.П5г) дает пренебрежимо малый вклад в средние значения
магнитного момента частицы малой энергии (к = 0). Действительно,
с учетом C.61) имеем
Таким образом, полный магнитный момент частицы малой энергии
записывается в виде
(к =ь 01 mk | к ^ 0) = (к % 01 т^ -\- mf / к = 0) =s=
(k, I, от = Цикл. A, 2, 3)).
Другими словами, ток JW приводит к появлению множителя A—р)
в выражении для магнитного момента частицы ма^й энергии.
Скалярное взаимодействие (константа связи /) и векторное
взаимодействие (константа связи g) между вещественным (и, сле-
следовательно, нейтральным) скалярным полем U и спинорным полем ф>
представляется лагранжианом взаимодействия
L'^fWU+igfajtdJU. G.116)
Псевдоскалярное взаимодействие (константа связи /) и псевдовек-

3. Примеры 131
торное взаимодействие (константа связи g) между вещественным
(и, следовательно, нейтральным) псевдоскалярным полем U и спи-
норным полем ф представляется в виде
L = iffytW+igh*yKu- G-117)
Векторное взаимодействие между вещественным (и, таким образом,
нейтральным) векторным полем 1/л и спинорным полем ф дается
лагранжианом взаимодействия
L' = if^W^. G.118)
Псевдовекторное взаимодействие между вещественным (и поэтому
нейтральным) псевдовекторным полем 1}л и спинорным полем ф
записывается с помощью выражения
На примере случая G.118) мы объясним, каким образом можно
прийти к указанным выше взаимодействиям.
а) Форма фу^фЦ^ диктуется требованием соблюдения лоренцовой
инвариантности.'
б) Так как оператор, эрмитово-сопряженный к фуиф?/ , есть
—фТцФ^м.» т0 требование эрмитовости лагранжиана приводит к не-
необходимости добавления мнимой единицы i в выражение G.118).
Таким образом, получаем G.118). Другие взаимодействия получа-
получаются с помощью аналогичных соображений.
Теперь рассмотрим взаимодействия между четырьмя спинор-
ными полями ф", ф*, фс, ф*. Линейно независимые взаимодействия,
которые не содержат производных, с учетом C.5) даются сле-
следующими выражениями:
Z.O)(fl, b, с, ?*) = ?(ФУФ*)(ФУФ*) + Эрм. С0ПР- =
= ^(фаф*)((РФ'') + Эрм. сотр. (скалярный тип, S),
№(а, Ь. с, <*)= 2 g(i"Yt*)(fYY) + 3pM. conp.=
Л2
^%Рм- С0ПР- (векторный тип, V),
, b, c,d)= 2 ^(?ТлФ*)(ФсУлФ") + ЭРм. сопР.=
-jg(fib> bWWih' rJf ) + Эрм.сопр.
(тензорный тип, Т), G.120)
15 _ _
(a, b, c,d)= 2 ^(Ф°УЛФ*)(ФСТЛФ") + ЭРМ- сопр.=
*' сопр. (псевдовекторный тип, А),
ры. сопр.=
Y м> СОПР- (псевдоскалярный тип, Р)>
о*

132
Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
причем „эрм. сопр." означает „эрмитово-сопряженное выражение".
Очевидно, что эти взаимодействия инвариантны относительно пре-
преобразований Лоренца.
Любое лоренц-инвариантное взаимодействие, не содержащее
производных, может быть представлено в виде линейной комби-
комбинации пяти взаимодействий, указанных в G.120). В частности,
если О — некоторое произведение величин у№, то взаимодействие
(fo\d)(?0^),
в котором порядок индексов (а, Ь, с, d) не является в общем
случае строго определенным, может быть записано в виде такого
рода линейной комбинации. Например, можно показать, что ска-
скалярное взаимодействие La)(a, d, с, b) может быть записано в виде
5
{а, й, с, fc)=^Y)(<Pf) = l]l L*(a, Ъ, с, d). G.121;
А = 1
В самом деле, используя C.44а), получаем
что
где
согласуется с G.121). В общем случае [10] имеем
Z"V. d, с, b) = aklUh(a, b, с, d), G.122)
4
JL
T
4
1
4
-i о i-
G.123)
В
4 4 4 4 4
качестве примера вычислим а2'. Из C.446) получаем
— |/.|2'(а, й, с, rf) +1/.|4)(а, b,c,d) — D"\atb,c,d),
где учтены следующие соотношения: ¦
4 для Л = 1
— 2 дли Л = 2, ..., 5
Л = ] 0 для А —6 11.
I 2 для Л = 12, .... 15
( — 4 для Л =16.

§ 3. Примеры 133
Когда одна из волновых функций <Ь°, 6й, 'Iе, фЛ является псев-
псевдоспинором, инвариантность относительно преобразований Лоренца
требует вида взаимодействия, отличного от G.120) (см. гл. 3, § 9).
Как видно из G.122), классификация по типам S, V, Т, А, Р
определяется порядком индексов а, Ь, с, d. В теории C-распада
обычно принимается такой порядок а, Ь, с, d, при котором ф° оз-
означает протон, ф* — нейтрон, ф* — электрон, а <!/*— нейтрино.
Экспериментальные данные по ^-взаимодействиям получаются
из анализа энергетического спектра электронов, времени жизни
при ^-распаде, спинов и энергетических уровней материнских и
дочерних ядер и т. д. Полученные в последние годы эксперимен-
экспериментальные данные по энергетическому распределению ^-спектров
либо от разрешенных, либо от запрещенных переходов и класси-
классификация сравнительных периодов полураспада различных 3-актив-
ных веществ находятся в довольно хорошем согласии с взаимо-
взаимодействиями G.120) [6]. Более того, эти экспериментальные данные
указывают на взаимодействие типа Т и на линейную комбинацию
взаимодействий типов (S, Т, Р), как наиболее вероятные [31]. Од-
Однако в настоящее время неизвестно, обусловливаются ли |5-рас-
пады прямыми взаимодействиями четырех спинорных полей или
же промежуточными полями целого спина (см. гл. 15I).
') Недавно Ли и Янг [32] выдвинули гипотезу о несохранении четности
при слабых взаимодействиях. К этому выводу они пришли, анализируя распад
заряженных /С+-мезонов. Всего известно пять типов распада К+ -мезонов, два
из которых мы здесь выпишем:
К* —* 2тс+ + *~ (нли 7с+ + 27С»)
г'аспад /Се+ -мезона описывается скалярным взаимодействием, а распад
К* -мезона на три частицы будет описываться псевдоскалярной функцией.
Если К* - и К^ -мезоны представляют собой отличные частицы, то эти два
различных распада были бы друг от друга совершенно не зависимыми.
На основе же анализа экспериментальных фактов Ли и Янг выдвинули
гипотезу, что К* - и Кь+-мезоны тождественны друг с другом. Тогда одной
и той же частице присуще и скалярное и псевдоскалярное взаимодействие,
обладающее различной четностью (при зеркальных преобразованиях скаляр
остается без изменений, а псевдоскаляр изменяет свой знак).
Особенно сильное теоретическое развитие фундаментальные идеи Ли и
Янга о несохранении четности получили в случаях слабого взаимодействия с
участием нейтрино (ji-распад, распад я- и |i- мезонов). Ли и Янг [33], а также
Ландау [34] и Салам [35] построили теорию двухкомпонентного нейтрино с
массой покоя, равной нулю. Согласно этой теории, нейтрино отличается От
антинейтрино проекцией спина на направление движения.
Основным следствием теории Ли и Янга является тот факт, что заряженные
частицы, которые образуются одновременно с нейтрино или антинейтрино,
гакже будут обладать некоторой преимущественной ориентацией спина на на-
направленна движения. Это, с одной стороны, должно приводить к асим-
асимметрии углового распределения электронов при ji-распаде ориентирован-
ориентированных ядер (экспериментально это было подтверждено опытами By и др. при

134 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
Пример 9. Теория Рарита-Швингера для поля bv со спином 3/,
Волновое уравнение для '!>
(lA + *) % - Т (Т-А + Y А) % + Ьу tt A - *) ЪЬ = °
может быть получено из лагранжиана
*- = - fy<Yp^p + *)t,~j% (yA + Y А)'К +
исследовании ji-распада ориентированных ядер Со [36]), а с другой стороны,
к поляризации получившихся в результате распада заряженных частиц, как было
показано экспериментально [37, 38] при распаде тс-мезона на fi-мезон и нейт-
нейтрино (спин ц-мезона, в полном согласии с предсказаниями Ли и Янга, всегда
ориентирован в одном направлении).
Точно так же при р-распаде от неориентированных ядер должна по этой
теории наблюдаться частичная круговая поляризация (со степенью поляриза-
поляризации it vie). Этот результат также был подтвержден экспериментально [39]. В
связи с этим особый интерес ¦ представляет изучение поляризации тормозных
фотонов от электронов ji-распада. В самом деле, электроны со спином, ориенти-
ориентированным по (или против) направлению своего движения, излучают фотоны
только с круговой поляризацией (правой или левой). Этот вывод также нахо-
находится в хорошем согласии с экспериментальными данными D0].
Указанные авторы теории двухкомпонентього нейтрино брали для элект-
электрона уравнение Дирака, не разделенное я«но на спиновые состоянии, и поэ-
поэтому для исследования поляризационных свойств им пришлось энергию взаимо-
взаимодействия брать в виде суммы линейной комбинации скалярных и псевдоска-
псевдоскалярных величин и т. д.
Однако при рассмотрении этого вопроса можно воспользоваться уравне-
уравнением Дирака, явно разделенным по спиновым состояниям D1). Тогда для иссле-
исследования поляризационных свойств вновь образовавшихся заряженных дираков-
ских частиц мы можем воспользоваться при вычислении шпура формулой B0.21)
монографии [41], обобщив ее на случай дираковских частиц, обладающих раз-
различной массой, например электронно-нейтринное поле [42].
В частности, если одной из частиц является нейтрино ( энергия E=z c%k,
импульс р = hk, масса покоя т0 = —- = 0 J, а другой частицей является
электрон или [i-мезон (К' = V k'1 -f- k'', k', k0), то тогда при вычислении шпура
мы должны воспользоваться не формулой Казимира, в которой учитывается
лишь явное разделение состоянии по знаку энергии, а формулой, в которой
явно произведено разделение состояний по знаку спина.

§ 3. Примеры 135
Пример 10. Изотопический спин
Так как превращение протона в нейтрон сопровождается либо
порождением тг+-мезона, либо аннигиляцией тг~-мезона, то оно
должно обусловливаться взаимодействием вида
* = 'Юх_Ш*, G.125)
-[ЭД. ,_-[»»]; G.1».,
где
здесь фA> и фA)— волновые функции соответственно протона и
нейтрона, а О — некоторое произведение величин у^. Спин гс-ме-
зона в G:125) предполагается равным нулю (см. гл. '10, пример 6),
т_ является матрицей с двумя строками и двумя столбцами, при-
причем в этой матрице все элементы равны нулю, за исключением
одного (х_J, (соответствующего переходу P—*N), который равен
единице. Поэтому матрица х+, эрмитово-сопряженная к х_, связана
с превращением N—*Р. Полное взаимодействие может быть по-
получено в виде суммы члена G.125) с членом, эрмитово-сопряжен-
ным к G.125)').
<bU, G.127)
где матрица х+ определяется выражением
здесь f> Т'—матрицы Дирака, определяющие энергию взаимодействия, е'—знак
энергии у электрона или ц-мезона, a s' = ±l проекция спина на направление
движения. Для получения результатов Ли и Янга мы должны положить для
нейтрино s=l, а для антинейтрино * = —1. Тогда, полагая s'=l и f' = l,
мы найдем вероятность образования электронов, спин которых направлен по
движению, а при *' = — 1, е'=1—против движения. Для позитронов мы
должны положить е' = —1 и изменить знак у импульса к'.
Таким образом, выводы теории двухкомпонентного нейтрино о поляриза-
поляризационных свойствах заряженных частиц, образовавшихся в результате слабого
взаимодействия, находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными.
Однако полного количественного совпадения теории слабого взаимодействия
с экспериментом (которое, например, достигнуто в квантовой электродинамике)
мы еще не имеем. Возможно, что наблюдающиеся неувязки связаны с не сов-
совсем точным выбором закона взаимодействия между частицами, возможно, что
здесь имеются еще какие-то другие принципиально не разрешенные вопросы.
Во всяком случае, число теоретических и экспериментальных работ, посвящен-
посвященных частицам с ориентированным спином, с неослабевающей быстротой воз-
возрастает с каждым днем.— Прим. ред.
') Всегда можно выбрать величину О и фазовый множитель / так, чтобы
имело место равенство /О=/*т4О*т4.

136 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
Воспользовавшись матрицами тА (k— 1, 2, 3), задаваемыми вы-
выражениями
можно т+ и х_ записать следующим образом:
\ G.129)
Матрицы tk удовлетворяют соотношениям коммутации
[тт*'Т'] =='ТТ«" (*>''m = Цикл. A,2,3). G.130)
Это показывает, что ('/sh* имеют те же свойства, что и момент
количества движения С1г)ак [см. C.55)]. Из G.128) видно, что два
собственных значения -Н'/г) и ~('/i) матрицы Gг)тз относятся
соответственно к состояниям протона и нейтрона. При этой фор-
формулировке протон и нейтрон рассматриваются как различные со-
состояния одной и той же частицы—нуклона. Матрицы тА обычно
называются матрицами изотопического спина нуклона.
Из G.47) имеем
2
G.131)
Таким образом, на основе G.127) взаимодействие между заряжен-
заряженным полем U{k) (?= 1, 2) и нуклоном может быть записано в виде
Lc = V 2/Ф2- ФСЧ Ф и" • G.132)
С другой стороны, общий вид взаимодействия между веществен-
вещественными (и поэтому нейтральными) скалярными полями Ul"\ Uii] и
нуклоном записывается следующим образом:
- G-133)
Теперь введем в рассмотрение операторы мезонного поля
Ц5(-0^Д G.134)
G.135)
где U — трехмерный вектор с компонентами U(k) (k= 1,2,3), а
квадратными скобками обозначено векторное произведение. Из
G.496) видно, что оператор eL3[a) эквивалентен оператору пол-
полного заряда мезонного поля
ebm) = eLt[o]. G.136а)

§ 3. Примеры 137
Из G.37) и G.1156) получается следующее выражение для опера-
оператора полного заряда нуклонного поля efh
. G-1366)
Здесь посредством x3[j] обозначена третья компонента трехмер-
трехмерного вектора т[з], определяемого равенством
а величина /[а] равна
/[а] = / $ do&fi.
з
Сравнивая это выражение с G.35а), видим, что собственными зна-
значениями /[а] являются как раз числа нуклонов. Вводя оператор У
с помощью равенства
J[o]=1t[<j] + L[<j], . G.137а>
заключаем, что оператор
{ |} G.1376)
является оператором полного заряда системы, состоящей из мезо-
мезонов и нуклонов. В силу закона сохранения заряда этот оператор
не зависит от времени. Операторы J[<j], ('/^^[ffi и L[j] называ-
называются соответственно операторами полного изотопического спина,
изотопического спина нуклона и изотопического спина мезона.
Теперь рассмотрим вращение на угол я вокруг единичного век-
вектора е в трехмерном изотопическом пространстве. Потребуем,
чтобы при этом вращении ?/'*' и фОт^ф преобразовывались как два
трехмерных вектора, согласно правилу
akjJ{l\ G.138а)
aJjOtfi, G.1386)
причем [аы] является хорошо известной матрицей преобразования
трехмерного вектопя при этом вращении. Что касается оператора
ф, то он преобразуется также линейно
'ф = #ф. G.138b)
Из G.1386) и G.138в) имеем
/?-'V?=aww. G.139)
Решение этого уравнения имеет вид
cos-J-f/(x.e)sin-|. G.140a>

138 Гл. 7. Релятивистская квантовая теории поля
В частности, для бесконечно малого вращения
°Ы = 5« + &»№ ^'Ы = - Ь®1к
решение уравнения G.139) записывается в виде
i^wkp G.1406)
причем
*« = jfVi — V*) = -JT,i. (k, I, т = Цнкл. A,2,3)).
С другой стороны, пользуясь соотношениями коммутации, приве-
приведенными в гл. 8, пример 1, можно получить следующие соотно-
соотношения коммутации'):
WJ.(*). G.141а)
Г Ua> для т = /г
), Lkl[o(x)]] = \ -U{k' для m = l . G.1416)
0 для m=^=k, тф1
В этих соотношениях величины тй[а] и Lkl[a] определяются ра-
равенствами
*«[»И i^W; /:*«[a] = i^fa] (А, /, т^Цикл. A 2, 3.) ),
а через a(jc) обозначена пространственно-подобная поверхность,
проходящая через точку х. Ввиду того что операторы поля
$(х) и U{k>(x'), зависящие от координат л: и х\ лежащих на од-
одной и той же пространственно-подобной поверхности, коммути-
коммутируют друг с другом, мы имеем
Таким образом, G.138а) и G.138в) могут быть переписаны в виде
\|>(x) = R-V[>(jc)R, G.142а)
'«/«*> U) = R~1t/'*) (л) R; G.1426)
адесь через R обозначен оператор
K = I+±Jkl[G]8wkl, G.143а)
причем
') Например,
а (ж)
л - x')-Uw(х1) = ^ d'x'b (х' - х) i/B» (x') =

3. Примеры . 139
Соотношение G.142а) может быть доказано следующим образом:
R-ф (л) R = ф (х) +1 [Уы [а], ф (*)] &»и =
= ф (х) + i тигг»„ф (л) = /?ф (*) = 'ф (х).
Соотношение G.1436) доказывается тем же способом. Из G.143а)
и G.1436) видно, что некоторая величина F(x), характеризующая
поле, при бесконечно малом вращении преобразуется в величину
'F(x) по следующему правилу:
'F(x) = R-lF(x)R. G.144)
Это правило с учетом G.143а) показывает, что оператор полного
изотопического спина J[j] является производящим оператором вра-
вращения и коммутирует с любой величиной, которая инвариантна
относительно вращения в трехмерном т-пространстве. Теорию на-
называют зарядово-независимой, если ее лагранжиан взаимодействия
инвариантен относительно вращений в изотопическом пространстве.
В зарядово-независимой теории оператор J[a] коммутирует с ла-
лагранжианом взаимодействия и поэтому является константой дви-
движения; собственные значения полной величины и третьей компо-
компоненты оператора J[j] являются удобными квантовыми числами.
Так как J[a] является производящим оператором вращения, то
его компоненты удовлетворяют соотношениям коммутации момента
количества движения, т. е.
[Л М- ./iM ] = */*[«] (kl, т = ц„кл. A, 2, 3)). G.145а)
Это приводит к следующим соотношениям:
ЦУ»] (А, /, m = Цикл. A,2,3)), G.1456)
[Lk[a], Lt[o]] = lLm[o] (k, I, т = цикл. A, 2, 3)). G.145в)
Эти соотношения могут быть также выведены из G.130), G.141а)
и G.1416). Поэтому собственными значениями операторов A/,)<сП1 [и]
и Lm[a] являются величины (S, 5—1, ..., —5), причем 5 при-
принимает целые или полуцелые значения.
Так как один нуклон или один мезон могут находиться соот-
соответственно в двух ) и трех зарядовых состояниях, то мы имеем
') Под двумя зарядовыми состояниями автор понимает возможность на*
хождения нуклона в состоянии протона и нейтрона. В связи с открытием ан-
антипротона и антинейтрона (см. примечание к гл. 1), которые могут появляться
при ультрарелятивистских энергиях относительно нуклонов, такое подразделе-
подразделение может носить лишь ограниченный характер и будет относиться к нереля-
.ивистским энергиям нуклонов. — Прим. ред.

140 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
соответственно 5=^1/2 для ('|,)t[ii] и 5=1 для L[j]. Другими
словами, величина изотонического спина нуклона равна '/,, а
тт-мезона— 1. Так как ei, [а] и (ej2)(/[а]-|-т3 [а]) являются соответ-
соответственно операторами заряда для тг-мезона и нуклона, то
, G.146а)
G.1466)
G.146в)
здесь через ш(-|-), со( —) и со@) обозначены векторы состояния
соответственно тт+-, тг~- и тг°-мезонов, а через ю(Р) и e>(/V)— век-
векторы состояния протонов и нейтронов соответственно. Далее, так
как /[а] равно оператору числа нуклонов /V [см. G.37)], то его
собственные значения равны разности чисел нуклонов и антину-
антинуклонов. Таким образом, получаем
1[а]ы(Р) = ш(Р), G.147а)
/[<j]e>(jV) = <o(jV). G.1476)
Из G.1466), G.146в), а также G.147а) и G.1476) могут быть
получены следующие соотношения:
у (/[а] — tJcj])g>(P) = O, G.148a)
j(I[u] — t3[<j])co(/V) = <o(W). G.1486)
В качестве операторов проектирования состояния тг-мезона на три
возможных зарядовых состояния можно принять операторы я+,
п~, п", определяемые следующим образом [30]1):
G.149а)
G.1496)
') В равенстве G.149 в) собственное значение оператора (L[a]-L[o]) для изо-
изотопического момента количества движения S равно 5(S-f-l).

§ 3. Примеры
141
ИЛИ
n°=I-(I3[a]I, G.149 b)
rtV>(?) = &„„ (a,p = +, —,0). G.149 г)
С другой стороны, операторы проектирования на протонное и нейт-
тронное состояния соответственно имеют вид
G.150 6)
где мы воспользовались выражениями G.146 6), G.146 в), G.148 а)
и G.148 6).
Перемена местами протона и нейтрона (так называемое 7-пре-
образование) представляется в виде
ф' = 7"ф, G.151а)
где
т ГО 11
Ввиду того что
взаимодействия G.132) и G.133) инвариантны относительно 7-пре-
образоьания, коль скоро ?/<*> преобразуется по следующему правилу:
G.151 б)
['*.] =
Г1
О
о
.0
о
— 1
о
о
о
о
-1
о
о-
0
о
и
Это преобразование мы называем /"-преобразованием {/-поля. Тео-
Теория, которая инвариантна относительно 7-преобразования, называ-
называется зарядово-симметричной.
В частности, если в G.132) и G.133) /=/* и ?¦==(), то теория
является зарядово-симметричной и вследствие G.138aj и G.1386)—
зарядово-независимой. Однако ввиду того, что электромагнитное
взаимодействие не инвариантно относительно 7-преобразовачия или
вращения в -с-пространстве, можно говорить лишь о приблизительно
зарядово-симметричных или зарядово-независимых теориях, пренеб-
пренебрегая высшими степенями величины (elf), что возможно лишь при
/ е. Разница в массах протона и нейтрона также нарушает

142 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
зарядовую симметрию и независимость (см. гл. 4, § 5). Однако воз-
возможно, что эта разница в массах возникает как раз за счет элек-
электромагнитных взаимодействий.
В качестве примера применения закона сохранения изотопиче-
изотопического спина рассмотрим процесс рождения тт-мезонов при столк-
столкновениях двух нуклонов. Рассматриваемые процессы имеют вид
п+-[-?>. G.152а)
tt° + D. G.152б>
Изотопический спин системы (P-j-P) равен единице. Так как сос-
состояние дейтрона есть 3S (орбитальный момент количества движения
1=1, спин 5=1), то его изотопический спин должен быть равен
нулю (вследствие принципа Паули). Поэтому изотопический спин
системы (n-\-D) равен единице. С другой стороны, изотопический
спин системы (Af-j-P) имеет два значения 1 и 0, которые соответ-
соответствуют симметричной A/1/г2)(<о1(Р)<о2(Л^)-(-оI (N)<oz(P)) и антисим-
антисимметричной A/|/г2)(©1 (Р)<»г(Л0—ш^ЛОш^Р)) частям волновой функ-
функции. В силу закона сохранения изотопического спина в зарядово-
независимой теории состояние (N-\-P) с изотопическим спином,
равным нулю, не дает вклада в указанный выше процесс G.1526).
Так как матричные элементы переходов двух процессов G.152а)
и G.1526) эквивалентны в силу зарядовой независимости, то эф-
эффективные сечения этих двух процессов связаны следующим обра-
образом [16J:
о(Р + Р-> тг++ D) = 2o{N + P-+ тт° + ?>). G.153)
Экспериментальные данные [24] по угловым распределениям про-
процессов N'-J-Р'—> тт°-\-D и 1т+-{-?>—*Р-\-Р [процесс, обратный
G.152а)] в системе центра инерции показывает хорошее согласие
с G.153). Этот факт говорит в пользу зарядово-независимой тео-
теории системы тт-мезон — нуклон.
В самом общем случае вектор изотопического момента некото-
некоторого поля определяется как оператор, производящий преобразование
компонент поля Q'() при вращениях в изотопическом трехмерном
пространстве.
В зарядово-независимой теории хорошим квантовым числом яв-
является третья компонента полного изотопического спина. Рассмотрим
состояние, в котором число частиц1) характеризуется числами
и, (j=l, •...). Индексы обозначают вдд частиц. Из G.1376) сле-
следует, что полный заряд et дается следующим равенством:
±eN, G.137в)
*) Число античастиц учитывается с отрицательным знаком.

§ 3. Примеры 143
в котором
лл=2«А- GЛ37г>
В равенстве G.137в) через Js[s] обозначена третья компонента
полного изотопического спина, определяемая всеми частицами в рас-
рассматриваемом состоянии. Величина С, определяется таким образом,
что (еС;12) является средней величиной (или „центром") зарядов
частиц i-ro сорта, находящихся во всевозможных зарядовых сос-
состояниях. Сохранение полного электрического заряда совместно с
сохранением третьей компоненты полного изотопического спина
приводит к закону сохранения числа N, введенного в G.137в).
Для системы нуклон — мезон N является числом нуклонов; это
1 исло сохраняется при всех известных процессах взаимопревраще-
взаимопревращений, происходящих в этой системе.
В качестве примера правила отбора, к которому приводит
сохранение величины N, рассмотрим процесс
здесь через А и В обозначены соответственно зарядовые состояния
е, о, — е (изотопический спин равен 1) и — е, о (изотопический спин
равен '/,)• Этот процесс не может обусловливаться зарядово-независи-
мыми взаимодействиями, потому что величина N для левой и правой
частей указанного выше процесса равна 1 и — 1 соответственно.
Принимая, что Ь° и К+ являются двумя состояниями 0-частицы и
что К~ является античастицей к А"\ то для средней величины
заряда 0-частицы получим значение (ej2). Для Ь-частицы С,= 1.
Надо заметить, что на закон сохранения для N могут оказать
слабое воздействие электромагнитное и другие слабые взаимодей-
взаимодействия, которые не являются зарядово-независимыми1).
Пример 11. Взаимодействия между известными частицами
Величина констант связи между полями различных известных
частиц может быть оценена по экспериментальным данным, каса-
касающимся взаимопревращений этих частиц (см. гл. 4, § 5).
Поскольку для изучения рассматриваемого примера нам нужна
только грубая оценка констант связи, мы будем писать лагранжиан
взаимодействия L в виде произведения волновых функций, не учи-
учитывая более детальную структуру взаимодействий [8]. Как показано
в гл. 13, вероятность некоторого процесса, отнесенная к единице
времени, в низшем порядке разложения в ряд по константе связи
определяется выражением [см. A3.6)]
') Закон сохранения для N был применен в теории Гелл-Манна, Накано и
Нишнджима в 1953 г. для нуклона, *-, в-, Л-частиц{см. гл. 4, § 5).

144 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
в котором
S=\dsxL'(x). G.1546)
Здесь через р обозначена плотность конечных состояний, отнесен-
отнесенная к единице энергии. В рассматриваемом случае выражениеG.154а)
можно рассматривать как естественное обобщение вычислений по
теории возмущений, проводимых в квантовой электродинамике. Мат-
Матричный элемент волновой функции Q, соответствующий рождению
или аннигиляции частицы (массы х) с малой величиной энергии-им*
пульса (k, k0) в выражении для Q, может быть грубо представлен
в приближенном виде
' (k>x"*of) Для спина V, п , с-. .
-'e*'*-'~v> для спина О' G-155а)
В этом выражении знаки „ -f-" или „ — "в экспонентах относятся
соответственно к процессам аннигиляции или рождения. Через V
обозначен объем, области интегрирования в G.1546). Вывод выра-
выражений G.155а) будет дан в гл. 9 [см. (9.43) и (9.78)]. Откладывая
доказательство равенств G.154а) и G.155а) до следующих глав,
мы воспользуемся этими выражениями для получения грубых оценок
констант связи. Так как нас интересуют только процессы с сохра-
сохранением величины полной энергии и полного импульса, можно в вы-
выражении для L величины Q(x) заменить на
Q(x)=J V ^'мя спина \ G.1556)
iBxV) ''для спина О
не заботясь об экспоненциальных множителях в G.155аI).
В этой главе волновые функции полей мы будем обозначать
теми же символами, которые употребляются для самих частиц.
Масса частиц „Л" будет обозначаться через х(А), за исключением
случая электрона, масса которого будет обозначаться через т.
Электромагнитная константа связи, т. е. элементарный электри-
электрический заряд е, точно измерена и равна ejV^ = 1/^137. Как
хорошо известно, все открытые до сих пор заряженные частицы
имеют ту же величину электрического заряда е. Это обстоятельство
в теории полей заряженных частиц при наличии электромагнитного
поля находит свое выражение в калибровочной инвариантности
') Примечание при корректуре. Грубые вычисления, основанные на G.154/
и G.1556), показывают, что константы связи взаимодействий дли процессов рас-
распада Н-, S- и Л-частиц, а также для процессов распада /<и,-, /Се,-частиц при-
принадлежат к третьему и четвертому классу соответственно. Далее, взаимодействии
между бозе-частицами, т. е. взаимодействия для процессов распада в, /Ск,-,
•с-частиц, также, по-видимому, принадлежат к третьему классу, аричем их кон-
константы связи примерно те же, что и g\

§ 3. Примеры 145
теории1). В самом деле, как будет показано в гл. 9 [см. (9.81)],
сохранение заряда, выводимое из требования калибровочной инва-
инвариантности, эквивалентно сохранению разности между числом по-
положительно и отрицательно заряженных частиц. Это означает, что
каждая заряженная частица (античастица) несет на себе тот же
заряд е (—е).
Константа связи g^ t характеризующая взаимодействие тт-мезо-
нов и нуклонов, может быть оценена на основе данных о ядерных
силах. Однако ввиду различных трудностей теоретического анализа
вопросов, связанных с тг-мезонами, точная величина этой константы
пока еще неизвестна. Значения, полученные различными способами,
заключены в пределах от 0,1 до -^-20.
Величина константы связи g*t описывающей взаимодействие по-
полей тг- и ji-мезонов, может быть оценена по времени жизни тг-ме-
зона т11 = 2-10~8 сек. относительно тг — ji-распада. При взаимодей-
взаимодействии гс-мезона с ^-мезоном величина S записывается в виде
S = g* С d'xTxmi", где через jx° обозначена легкая нейтральная
частица, образующаяся при тг — jjt-распаде (см. гл. 4, § 5). Так как
спин тг-мезона равен 0, величину тг в выражении для S можно за-
заменить через Bх(тг) V) —'••». Аналогично, если считать, что спины
полей [л и ji° равны '/г, величины jx и jx° в выражении для S на
основании G.1556) надо заменить на V~'2. Таким образом, вели-
величина S равна приблизительно gH К^х(тг) V. В системе центра
инерции, где к -f- к' = 0 (к и к' являются импульсами jx и ji°), число
состояний в интервале энергий (Е, E~\-dE) равно2)
Vk% ,c
dE
Здесь к = | к | , а г»№ и v^ — скорости jjl и jjl0 соответственно. Так
как из экспериментальных данных следует, что величина массы ji°
очень мала, то можно положить величину г>? равной скорости света
с (= 1). Если считать, что х(тг) = 276/и и х(}л) = 210т, то величина
к может быть вычислена с помощью закона сохранения энергии
276w =
') Если бы существовало поле {(п) с зарядом пе (и не обязательно целое),
то из закона сохранения заряда следовало бы, что при калибровочном преобра-
преобразовании волновая функция должна была бы изменяться следующим образом:
ф (я) __> ф (я) exp(m.\(x)).
Ю X. Умэдзава

146 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
Отсюда для k получаем значение k — ЬЪ т1), и поэтому
va = k = 0,22.
Пользуясь этим значением, получаем следующий результат:
— — 1,1- 10 (gy.) .
Поскольку время жизни \ равно (dwjdt)'1, то
й?=&0,2.10"в= 2,4 -lO-y/j/4^). G.157)
Величина константы связи g9 между полями нуклонов и элек-
электронов может быть оценена, исходя из времени жизни нейтрона
Тр= 12-60 сек. Если член, представляющий взаимодействие, запи-
записать в виде gSdzxNPe\, то на основании G.1556) величина S
может быть представлена как g9V~\ Соотношение G.1546) пока-
показывает, что размерность S есть размерность энергии, т. е.2)
Поэтому gs имеет размерность
[] [
Оценивая g$ тем же способом, что и gl, получаем
эрг-см\ G.158а)
где го = ег1т — классический радиус электрона. Поэтому величину
Dтт/3) Го можно назвать классическим объемом электрона. Те еди-
единицы, в которых классический объем электрона равен единице,
называются релятивистскими единицами. Таким образом,
g9=2-\O-lz эрг-рел. ед.= \,3 эв рел. ед. G.1586)
Равенство G.1586) показывает, что ?р-взаимодействие, грубо гово-
говоря, эквивалентно прямоугольной потенциальной яме глубиной 1,3 эв
и шириной г0. Отсюда можно заключить, что gp-взаимодействие
много слабее ядерных сил, так как последние могут быть грубо
представлены с помощью прямоугольной потенциальной ямы глуби-
глубиной 20- Ю'зв и шириной =г0.
Аналогичным способом по времени жизни jjt-мезона
z =2,15- 10~в сек. оценивается величина константы связи gl между
полями электронов и ц-мезонов. Используя взаимодействие
') В системе единиц, в которой Л- == с = 1, щ = 0,26-10" см~1 —
— 0,78-1081 сек-1.
2) [Ln] означает /;-ую степень длины.

3. Примеры 147
в котором предполагается, что двумя легкими части-
частицами в конечном состоянии являются нейтрино (v), получаем
^=3-10-'2 9pz-peA.ed.=sg9. G.159)
Хотя g^gp, нейтрон все же имеет большее время жизни, чем
ji-мезон, что связано с малостью разницы масс протона и нейтрона.
Константа связи между полями протонов и ji-мезонов оцени-
оценивается по процессу захвата отрицательно заряженных ц-мезонов
ядрами: P~\-]l~—*-jV-|-v. Экспериментальные данные говорят о том,
что вероятность этого процесса захвата ядрами атомного номера
Z=ll приблизительно равна вероятности процесса распада jjl — е
[29], т. е. равна 1/х^( = 0,5-10е сек.). Так как полное время за-
замедления ц~-мезонов с энергией в несколько Мэв и захвата их на
наинизшую боровскую орбиту (т. е. /С-орбиту) много меньше
времени их жизни относительно распада [9], мы можем считать,
что все [л-мезоны сначала захватываются на /С-орбиты и лишь
затем поглощаются ядрами. Радиус /С-орбиты равен
т 1 2,5-10~" ,
a=a=^CM (
причем а — боровский радиус первой электронной орбиты в атоме
водорода. Это равенство показывает, что чем больше значения Z,
тем меньше должен быть радиус и благодаря этому оказывается,
что волновые функции ;л~-мезонов и нуклонов сильно перекрывают-
перекрываются. Таким образом, вероятность захвата возрастает с увеличением
Z и равна вероятности распада при Z—11.
Вероятность захвата [л'-мезона протоном ядра может быть
оценена с помощью простого лагранжиана взаимодействия
L'=g^ PNpv. В этом случае получаем
?=И400(вО'?. G-161)
При этом вычислении волновая функция протона должна быть
представлена в виде (V)~'/j внутри /("-орбиты и положена равной
нулю вне /С-орбиты. Таким образом, для величины объема области
взаимодействия мы имеем выражение К^4тта'3/3. Вероятность
захвата jjT-мезона ядром равна величине, указанной в G.161), умно-
умноженной на Z, так как захват может быть осуществлен любым из
протонов ядра. Таким образом, мы видим, что вероятность захвата
ядром растет приблизительно пропорционально Z4. Это заключе-
заключение согласуется с экспериментальными результатами. По принципу
Паули протон не может совершить переход в занятое нейтронное
состояние. Это обстоятельство несколько уменьшает величину
вероятности захвата, так как главная часть энергии >х~-мезона
10*

148
Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
уносится нейтральными частицами v. Оценивая грубым способом
этот эффект Ферми [8], для вероятности захвата jx~ -мезона ядром
можно получить следующее выражение:
1)' G.162)
(P,N)
(e.v)
Фиг. 3.
Сравнивая G.162) для Z=ll с величиной 1/х , имеем
Указанная выше схема взаимодействий представлена на фиг. 3.
Если бы мы предположили, что электронные и нуклонные поля
взаимодействуют между собой по-
посредством п-мезонного поля, то вели-
величину константы связи электронных
и тт-мезонных полей мы смогли бы
оценить на основе величин g" и g~.
Такая оценка приводит к заключению,
что большинство п-мезонов должно
было бы распадаться не на jt-мезоны,
а на электроны. Это заключение не
согласуется с экспериментальными
данными, которые показывают, что на
позитроны распадается не больше од-
одного тт+ -мезона из 1400 f 11]. Таким об-
образом, можно заключить, что п-мезон-
ное поле не является промежуточным звеном для ^-взаимодействий.
С другой стороны, некоторые преимущества имеет предположение,
что ^"-взаимодействие происходит посредством п-мезонного поля.
Действительно, если бы п- и ц-мезонные поля взаимодействовали
между собой не непосредственно, а через нуклонное поле, тогда
в силу того, что масса электрона меньше массы ji-мезона, проис-
происходил бы тг—е-распад. Этого положения можно избежать с помощью
выбора подходящего вида g"- и gf-взаимодействий. Это изображено
на фиг. 3, где {Р, Л^) и jjl соединены пунктирной кривой.
На этой фигуре можно проследить интересную симметрию.
Частицы (Р, N), (e, v) и ji, расположенные в вершинах треуголь-
треугольника, обладают одинаковым спином '/,. и величины констант связи
?з» S* и &" полей этих частиц поразительно близки друг к дру-
другу. Эта симметрия впервые была отмечена О. Клейном [15J (см.
также [28]). Хотя значение этой симметрии пока 'еще непонято,
она, вероятно, означает больше, чем простое совпадение. С целью
обобщения этой симметрии было предпринято много попыток в
направлении исследования возможности того, чтобы взаимодей-
взаимодействия между всеми дираковскими частицами считать взаимо-

§ 3. Примеры 149
действиями одного и того же типа. Такого рода взаимодей-
взаимодействие называется универсальным взаимодействием Ферми. Первая
работа по симметричным взаимодействиям между Р, N, е
и v была выполнена Хричфильдом и Вигнером [4], которые
показали (см. также [3]), что полностью симметричного взаимо-
взаимодействия между дираковскими нолями нет и существует только
одно полностью антисимметричное взаимодействие1). Последнее
взаимодействие эквивалентно линейной комбинации (скалярное) -\-
(псевдовекторное) — (псевдоскалярное). Однако такое взаимодей-
взаимодействие не согласуется с экспериментальными данными, которые
свидетельствуют в пользу существования р-взаимодействия тензор-
тензорного типа (см. пример 8). Предположение о симметрии зарядовых
состояний нуклонного поля и зарядовых состояний электронного
поля приводит к двум линейным комбинациям [5] — (SAP) или (TV),
которые также не согласуются с экспериментальными результата-
результатами, которые исключают существование V. Для улучшения теории
универсального взаимодействия Ферми было сделано много попыток
учесть (Р, Ar, e, v, jjl) и псевдоспиноры [18, 2]. Однако при этом
имеется еще одна неопределенность, возникающая вследствие не-
необходимости решить, какие частицы играют соответствующие роли
в их процессах. Электронный спектр в ц — ^-распаде дает важные
данные о виде линейной комбинации в ^-взаимодействии [17, 18].
Константы связи, соответствующие известным взаимодействиям,
могут быть разбиты на четыре класса. Первый класс составляют
сильные взаимодействия, константы связи которых имеют тот же
порядок, что и g".
Экспериментальные данные о порождении Л-частиц говорят о
том, что взаимодействие Л-частиц с нуклонами принадлежит к это-
этому классу взаимодействий2). Многие эксперименты, связанные с
исследованием взаимодействий тг-мезонов с ядрами, показывают,
что эти взаимодействия являются зарядово-независимыми. Если бы
сильное взаимодействие Л-частиц с нуклонами не было зарядово-
независимым, оно бы нарушило зарядовую независимость взаимо-
взаимодействий тт-мезонов с нуклонами. Отсюда следует, что взаимодей-
взаимодействие Л-частицы с нуклонами, по-видимому, является зарядово-не-
зависимьш. Взаимодействием второго класса является электромаг-
электромагнитное взаимодействие. К третьему классу отнесены слабые
взаимодействия между бозе- и ферми-частицами; константы связи,
соответствующие этим взаимодействиям, — приблизительно той же
1) Прайс [25] исследовал с более общей точки зрения неприводимые пред-
представления группы перестановок четырех спиноров.
г) Полное время жизни при Л-распаде кажется противоречащим суще-
существованию сильного взаимодействия между Л-частицами и нуклонами. Чтобы
сделать вероятность Л-распада малой, были предприняты попытки найти пра-
правила отбора, основывающиеся на зарядовой независимости сильных взаимоде'
ствий 121, 19, 12].

150 Гл. 7. Релятивистская квантовая теория поля
величины, что и g? [20]. Четвертый класс составляют слабые взаимо-
взаимодействия между ферми-частицами с константами связи 5=^.
Можно надеяться, что экспериментальные данные о взаимодействиях,
осуществляемых в природе, позволят найти естественный закон,
с помощью которого можно будет из всех возможных мыслимых
взаимодействий, к которым приводит современная квантовая теория
поля, выделить фактически осуществляющиеся.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bel infante F. J., Physica, 6, 887 A939).
2. Caia niello E. R., Nuovo Cimento, 8, 10 A951).
3. С h r i t с h f i e 1 d C, Phys. Rev., 63, 417 A943).
4. С h r i t с h f i e 1 d C, WignerE., Phys. Rev., 60, 412 A941).
5. DeQrootS. R., TolhoekH. A., Physica, 16, 456 A950).
6. Feingold A., Rev. Mod. Phys., 23, 10A951).
7. Fermi E., Rev. Mod. Phys., 4, 87 A932).
8. F e i m i E., Elementary Particles, London, 1951 (см. перевод: Э. Ферми,
Элементарные частицы, ИЛ, 1952).
9. Fermi E., Teller E., Phys. Rev., 72, 339 A947).
10. Fierz M., Zs. f. Phys., 102, 572 A936).
11. Friedman H., Rainwater J., Phys. Rev., 81, 644 A951).
12. Gel 1-Mann M., Phys. Rev., 92, 833 A953).
13. Heisenberg W., Pauli W., Zs. f. Phys., 56, 1 A929).
14. Heisenberg W., Pauli W., Zs. f. Phys., 59, 168 A929).
15. Klein O., Nature, 161, 897 A948).
16. Messiah A. M.L., Phys. Rev., 86, 430 A952).
17. Michel U Nature, 163, 959 A949).
18. Michel L, Proc. Roy. Soc, A63, 514 A950).
19. Nakano Т., Nishijima K., Prog. Theor. Phys., 10, 581 A953).
20. Ogawa S., Okonogi H., Oneda S., Prog. Theor. Phys., 11, 330 A954).
21. Pais A., Physica, 19, 869 A953).
22. Pauli W., Solvay Report, 1939.
23. Pauli W., Rev/Mod. Phys., 13, 203 A941) (см. перевод: В. Паули, Ре-
Релятивистская теория элементарных частиц, ИЛ, 1947).
24. Proceeding of the 3-d Annual Rochester Conf. on High Energy Physics, 1952.
25. Pryce M. H.L., Zs. f. Phys., 133, 309 A952).
26. Rosenf eld L, Memoires de I'Academie Roy. Belgique, 6, 30 A940).
27. Stueckelberg E.C. G., Helv. Phys. Acta, 11, 225 A938).
28. Tiomno J., Wheeler J. A., Rev. Mod. Phys., 21, 144 A949).
29. Valley G. E., Phys. Rev., 72, 772 A947).
30. Watson К. М., Phys. Rev., 85, 852 A952).
31. Wu С S., Physica, 18, 989 A952).
32*.Lee T. D., Yang C. N.. Phys. Rev., 104, 254 A956) (см. перевод в сбор-
сборнике: Новые свойства симметрии элементарных частиц, ИЛ, 1957, стр. 13).

Литература 151
33*. Lee Т. D., Yang С. N., Phys. Rev., 105, 1671 A957) (см. перевод в сбор-
сборнике: Новые свойства симметрии элементарных частиц, ИЛ, 1957, стр. 46).
34*. Ландау Л. Д., ЖЭТФ, 32, 405 A957).
35*. Salam A., Nuovo Cimento, 5, 299 A957) (см. перевод в сборнике: Новые
свойства симметрии элементарных частиц, ИЛ, 1957, стр. 27).
36*. Wu С S., Ambler Е., На у ward R. W., Hoppes D. D., Hud-
Hudson R. P., Phys. Rev., 105, 1413 A957) (см. перевод в сборнике: Новые
свойства симметрии элементарных частиц, ИЛ, 1957, стр. 69).
37*. G а г w i n R., L e d e r m а п L, W е 1 n r i с h M., Phys. Rev., 105, 1415 A957)
(см. перевод в сборнике: Новые свойства симметрии элементарных час-
частиц, ИЛ, 1957, стр. 75).
38*. Friedman I., Telegdi V., Phys. Rev., 105, 1618 A957).
39*. Frauenfelder H., Bobone R., von Gоe 1 er E, Levine N., Le-
Lewis H. R., P e а с о с k R. N., R о s s i A., de P a s q u a 1 i G., Phys R.ev.,
106, 386 A957) (см. перевод в сборнике: Новые свойства симметрии эле-
элементарных частиц, ИЛ, 1957, стр. 91).
40*. Goldha ber M., G rod r ins L, S u ny а г, Rhys. Rev., 106, 826 A957),
41*. Соколова., Иваненко Д., Квантовая теория поля, М.— Л., 1952.
42*. Соколов А., ЖЭТФ, 33, 794 A957).

ГЛАВА 8
Квантовая теория свободных
полей (I)
Соотношения коммутации
§ 1. Квантовая теория свободных полей
Правила коммутации для волновых функций, относящихся к
разным моментам времени, не имеют простого вида для взаимо-
взаимодействующих полей ввиду нелинейности их волновых уравнений.
С другой стороны, когда волновые функции свободных полей под-
подчиняются уравнению Клейна — Гордона, ковариантные соотношения
коммутации для этих волновых функций можно построить с по-
помощью квантовой механики простого гармонического осциллятора.
Прежде всего рассмотрим поле, описываемое комплексными
величинами Q,{x) и эрмитово-сопряженными к ним величинами
Q*(jc). Волновое уравнение и уравнение Шредингера для свобод-
свободного поля в гейзенберговском представлении имеют вид
-°' (8Ла)
=0: (8лб)
здесь V — лагранжиан свободного поля.
Линейное дифференциальное уравнение (8.1а) можно записать
в форме
^(d)Q() = 0, (8.2а)
причем Ла?(д) — оператор. Это уравнение может быть получено
из лагранжиана
(8.3а)
В этом выражении символ = означает равенство с точностью до
поверхностного интеграла по границе объема интегрирования, при-
причем этот поверхностный интеграл появляется за счет интегриро-
интегрирования по частям; величина Qx(x) связана с Ql(x) с помощью
матрицы г/ равенством

§ 1. Квантовая теория свободных полей 153
Матрица г( должна быть не сингулярной. В самом деле, вариация
Q*—>Q*-j-3Q* в лагранжиане приводит к уравнению
Ар„(д) (?;,(*] = О, (8.26)
в котором
A(d) = i).Y(d), (8.4)
причем
Это уравнение не могло бы привести к (8.2), если бы матрица 7j
была сингулярной. Пример равенства (8.36) был дан в теории
Дирака равенством C.32), в котором г( = у4.
Согласно условию Клейна — Гордона (гл. 2), компоненты поля
должны удовлетворять уравнению Клейна — Гордона
(a—«i)Q.U)=o.
Так как соотношения коммутации между Qa(x) и Q^(x') не
должны зависеть от конкретного выбора лоренцовой системы от-
отсчета, то они должны зависеть от (х, х') только посредством раз-
разности (х — х'). Поэтому они имеют вид1)
[Q. (х), Q9 (*')]* = К} (х - х'). (8.5)
Действительно, некоторая функция от х, х' может быть запи-
записана как функция от (х — х', х-\-х), но лишь разность (л; — х')
инвариантна относительно преобразования х —* х-\-а, х'—*х' -\- а.
При преобразованиях Лоренца, обозначенных через L %, I_IjI
(см. гл. 4, § 2), функция Д^ (л;) преобразуется так же, как Q^XQ?-
Эта функция удовлетворяет уравнению
(П-*гLя3(л) = О. (8.6)
Свойства соотношений коммутации при отражении времени требуют
специального рассмотрения. Мы вернемся к этому в примере 5.
Как будет показано ниже, знаки , —" и , -f-" относятся
к полям с целым и полуцелым спином.
С другой стороны, имеется еще одно требование, накладывае-
накладываемое на Дар. Так как скорость распространения сигнала не может
быть больше скорости света, то полевые величины, относящиеся
к двум точкам, разделенным пространственным интервалом, могут
быть независимо определены из наблюдений. Это означает, что
функция &tf(x — л;') в соотношениях коммутации (8.5) равна нулю,
если х и х' разделены пространственным интервалом, т. е.
^(х) = 0 для пространственно-подобного вектора хг (8-7)
') Значки (;?) внизу у скобок означают:
[А, В\ += АВ + ВА, |Л, В\ _ = [А, В] = АВ- ВА.

154 Гл. 8. Квантовая теория свободных полей (I)
Из (8.6) следует, что разложение функции 4я1(х) в ряд Фурье
может быть представлено в виде')
A# (x) = ) d*keIKw (АД 4- x8) Да? (k). (8.8)
Инвариантность относительно преобразований Лоренца, обозна-
обозначенных через Uf, L+, требует, чтобы величина Дя3(^) имела вид8)
^(k)= F^(ik)(a-\-bs(k)), (8.9)
причем F^(ik) — величина, которая при преобразованиях Лоренца
преобразуется таким же образом, как и QX\Q?, а а а Ь — две
константы. Значение символа е(г) (причем z есть вектор г^) опре-
определяется следующим образом:
I -4- 1 z ^>0
t(z) = {^\ ?/п- (8Л0)
I — 1 го<и
Таким образом, к$(х) может быть записана в виде линейной ком-
комбинации двух „инвариантных Д-функций" Д и ДA), к которым
применен оператор F^(d), причем Д и Д(" определяются равен-
равенствами
4 w=- (^JWA+)().
\[^)e-^), ¦ (8.116)
B^ J K (8Л2)
В этих равенствах
Ко = Vikfa + x*).
Однако ввиду того, что, как это будет показано ниже, Л не
равно нулю для пространственно-подобного вектора х, в (8.9) не-
необходимо положить а=0и поэтому (8.5) имеет вид
[QJx). Q?(x')]* = iFa,(d)b(x — x'), . (8.13a)
причем F^(d) — дифференциальный оператор, который преобра-
преобразуется при преобразованиях Лоренца аналогично величине
) ^Kkidkv d*k a rfk = d
') Легко видеть, что величина о (kjiiu -\- хг) е (k) инвариантна относительно
преобразований Лоренца, обозначенных через l_? L^, потому что ее значения
на верхней и нижней частях светового конуса равны соответственно

§ 1. Квантовая теория свободных полей 155
Как показано в гл. 2, существует зависящий от производных
оператор d (д) = [d^ (д)], который удовлетворяет соотношению B.7)
d(d)A(d) = (a— x*)I- (8.136)
В следующей главе мы покажем, что оператор F^ (д) совпадает
с оператором d4(d) в (8.136) и что Q«(x)(QJx))h Q?(x')(Q^(x'))
коммутируют друг с другом [15, 9]. Таким образом, имеем1)
В том случае, когда Q^(x) являются вещественными операторами
поля, соотношения коммутации записываются в виде
LQ.(x), Q?(x')^ = id^(d)&(x-x'). (8.146)
Следует заметить, что соотношение
A(d)d(d) = (D— *¦)/ (8.13в)
может быть получено из (8.136). В самом деле, (8.136) приводит
к соотношению
Е(д)\(д) = (П— *§)Л . (8.13г)
в котором
d(d)~d(d)ri-1. (8.13д)
Так как лагранжиан является вещественной величиной, то опера-
оператор А.(д) с учетом (8.3а) является эрмитовым. Поэтому и d(d) яв-
является также эрмитовым оператором, и, следовательно,
Это соотношение приводит к (8.13в).
Следует заметить, что оператор Л(д) в (8.136) определен пол-
полностью, даже включая знак и постоянный множитель, получаемый
из лагранжиана L". Таким образом, исходя из данного лагран-
лагранжиана L", используя (8.1а) и (8.136), можно получить \.(д) и d(d).
Выражения оператора d(o) для различных полей приводились
в гл. 3 — 5.
') Соотношения коммутации для полей, которые связаны с состояниями с раз-
различными массами, также могут быть записаны в виде (8.14а) и (8.146) и поэтому
удовлетворяют B.36). В этом случае d(d) и Д могут быть получены из соотно-
соотношений
а (д) л 0) = Ц (? -«?), Ц о - х?) д (х) = о.
Например, для случая поля Баба (см. гл. 5, § 1) величина d(d) была вычислена
в работе Умэдзава и Висконти [18]. Общие свойства полей со многими массами
детально проанализировали Пайс и Уленбек [6].

156 Гл. 8. Квантовая теория свободных полей (I)
Волновое уравнение (8.2а), уравнение Шредингера (8.16) и со-
соотношения коммутации (8.14а) и (8.146)') являются основой кова-
риантной теории свободных полей в гейзенберговском представле-
представлении. Как будет показано в следующей главе, выражение (8.2а)
может быть записано с помощью вектора энергии-импулься 7°
свободного поля
ТЦ (8.15)
где F(x) — некоторый функционал от Q,(x).
§ 2. Инвариантные Д-функции, функции Грина
и условие причинности
Теперь можно систематизировать в одном месте важные свой-
свойства инвариантных Д-функций.
Из (8.116) имеем
Д(*) = —Д( — *),
Д(х, л:4)=: —Д(х,—;с4), (8.16)
Д(х, л;4) = Д(—х, л4).
Эти равенства показывают, что Д(л;) не меняет знака при про-
пространственном отражении, но изменяет знак при отражении вре-
времени. Кроме того, (8.11а) и (8.116) дают2)
(8.17
(^)^ (8.18)
Из (8.16) имеем
Д(х, 0) = 0, (8.19а)
(д*Д(х, *.))«., = О для k=\, 2, 3, (8.196)
(дкА(х, ^4))*=о = О для k=\, 2, 3. (8.19b)
Из (8.18), (8.19а) и (8.196) получаются следующие соотношения'):
(^c(jc))A(jc) = O, (8.20а)
(dvs (х)) (дуЬ (х)) = 2*^8* (х), (8.206)
') Недавно интересный способ получения ковариантных соотношений ком-
коммутации дал Пайерлс [9]. См. также работу М. Чини [1]. Их результаты согла-
согласуются с (8.14а) и (8.146) для свободных полей.

§ 2. Инвариантные \-функщш, функции Грина и условие причинности 157
при выводе которых было использовано равенство1)
дг.в[х) = -2йЦ)ЬгЛ. (8.20b)
Из (8.20а) и (8.206) получаются соотношения
(<ЭДе (*)) • Д U) = - (<Э,е (х)) C^ Д (х)), (8.20г)
(П— xi)E(x)b(x))='%l(x). (8.20д)
Функция А (л) может быть выражена через функции Бесселя
Уо с помощью равенств [2]
i^. r = (x.x)'-. (8.21а)
, 70(х(f — г1)'.) для *>г.
F(r, f)= 0 для —r<t<r (8.216)
В частном случае нулевой массы х = 0 имеем [4]
(8.22)
Равенства (8.216) показывают, что Д(х) обращается в нуль
вне светового конуса с вершиной в х = 0(т. е. в пространственно-
подобной области). Поскольку F(r, t) на световом конусе терпит
разрыв, функция Ь(х) на световом конусе имеет §-образную осо-
особенность.
Функция Д(')(л;) является скаляром, удовлетворяющим следую-
следующим соотношениям:
0, (8.23)
— х). (8.24)
или ^<-
xir. t)-\_iHv(b(ri_tyi) для r>^>_r. (8-256)
Здесь через No и М1( обозначены соответственно функция Ней-
Неймана и функция Ханкеля 1-го рода. В частном случае х — 0
') Из (8.10) для любого положительного значения а имеем
а
dki(x) = Q (k=\, 2, 3), Crf* J-b(x> = 2.
— а
Эти соотношения приводят к (8.20в).

158 Гл. 8. Квантовая теория свободных полей A)
Соотношение (8.256) показывает, что функция \W(x) не равна
нулю даже вне светового конуса.
Теперь мы введем некоторые функции, которые нам часто бу-
будут нужны в последующем изложении [12]. Эти функции опреде-
определяются следующим образом:
I(x)= — js(x)b(x), (8.27а)
п (8.276)
±b(x), (8.27b)
jb(x). (8.27r)
Функция Д(х) выражается в виде интеграла Фурье
1 (8'28)
причем Р означает, что интеграл в окрестности полюса следует
брать в смысле главного значения [12].
Из (8.27а) и (8.28) следует
Д (х) = - 2е (x)-j±prP§ rfVK'V^V»'' (8'29)
С другой стороны, имеем1)
со
причем е' — бесконечно малое положительное число.
Величина $_ (а), являющаяся комплексно-сопряженной к ё+ (а),
дается равенством
О
-^1 J dpe= Hm
(8.306)
Отсюда
(8.Ла)
') «+(a) = lim^V
—'?= lim '

$ 2. Инвариантные ^-функции, функции Грина и условие причинности 159
Поэтому (8.12) и (8.28) могут быть переписаны следующим об-
образом:
ж') -ь- <А А
00
= 27^4 j d$ f dV» (p) е«? (V^+*2>+'<
—00
00
дсм (
(8.32)
(8.33)
С помощью (8.12), (8.276) и (8.28) AF можно записать в виде
Л+х8) ~2iP Ki^+s}' (8*34)
wr=^'- ' (8'35)
Как это видно из (8.28) и (8.35), коэффициенты разложений
Фурье функции Д и AF{x) имеют полюса в точках k0 = + V{kfir\-xt)
(фиг. 4). Два полюса в (8.35) в ko = -\-Ko и —AT,, отклонены от
действительной оси на величины —(is/2) и -\-(ie/2) соответст-
соответственно, причем предельный переход
е'—^0 совершается после выполнения f
интегрирований по cfk. K=~^o+2?
Из (8.27а) —(8.27 г) и (8.20д) х
имеем ^———
(П—х1) 4(л)=
(D-xlL"'W=-«lD
(8.36)
(8.37)
(8.38)
(8.39)
>—К0—-^
Теперь из (8.136) следует, что функции Грина, определяемые урав-
уравнениями (8.2), зависят от d(d) и даются выражениями
(8.40а)
x), (8.406)
Orel{x)= — d(d)&ret(x),
Р последнем равенстве через
(8.40в)
(8.40r)
(8.41)
обозначена любая из функций

160
Гл. 8. Квантовая теория свободных полей (I)
Грина, определяемых в (8.40а) — (8.40г). Вообще, если Дс (л;) удов-
удовлетворяет уравнению
(?-*г)д0(л)=г4(х),
то d(d)&G(x)—функция Грина, удовлетворяющая (8.41).
Физический смысл функций Грина в (8.40в) и (8.40г) может
быть понят из рассмотрения выражений (8.27в) и (8.27 г). Из
этих выражений следует, что •
Gret(x — x') = 0 для а(х)<а(х'), (8.42)
Gadv(x — х') = 0 для <з(х)>о{х'), (8.43)
где о (х) — пространственно-подобная поверхность, проходящая
через точку х, а а(х)><з (х') означает, что новерхность о (х) сле-
следует за поверхностью а(х'). Последние равенства показывают,
что Gret и Gadv в точке х содержат соответственно точки х', пред-
предшествующие х, и точки х, следующие за х (т. е. учитывают
запаздывающие и опережающие эффекты). Таким образом, Gret и
G°dv являются соответственно функциями Грина, когда заданными
являются начальные и конечные состояния.
-+о©
с+
С-
Ф и г. 5.
Физический смысл функции GF можно понять с помощью раз-
разделения Д(-х) на две части, соответствующие „положительным" и
„отрицательным" частотам [12]. Таким образом,
Д(л:) = Л+ (х)-\-\~ (х), (8.44)
где
Контур интегрирования С+(С_) идет от —оо до -j-oo (от -\-.<s.
до —оо) и точку сингулярности т = 0 обходит и комплексной
плоскости снизу (сверху) (фиг. 5). Аргумент х — е\ есть сокра-
сокращенное обозначение для вектора хЛ—e'ttx, причем e'tt является

$ 2. Инвариантные ^-функции, функции Грина и условие причинности 161
временно-подобным единичным вектором, удовлетворяющим соотно-
соотношению
е'.( = -м'4)>0. (8.45)
Пользуясь формулами
мы из (8.44) и (8.11а) получаем равенства
W0
(8.47)
В этих равенствах интегрирования проводятся rio области
(— AFs'> 0). Следует заметить, что условие — k^e'^ > 0 не зависит
от конкретного вектора е' и инвариантно относительно преобразова-
преобразований Лоренца, обозначаемых через L-(-, L+. В самом деле, мы имеем
откуда следует
kt( = — i?J>0 для — ?,Х>0, (8-48)
так как k^ и е^ — временно-подобные векторы, удовлетворяющие,
следовательно, соотношению
l(k.e')
"^
Неравенство (8.48) не зависит от вектора е^ и инвариантно при
преобразованиях Лоренца Ll}l, L+. Равенства (8.47) показывают
в явном виде, что Д+ и Д~ являются частями с положительными
и отрицательными частотами. Далее, к^ удовлетворяют уравнению
(?— х§)Д*(дс) = О (8.49а)
и соотношению
Д-(дс) = — Д+( — х). (8.496,
11 X. Умэлзава

162 Гл. 8. Квантовая теория свободных полей A)
Равенства (8.47) показывают, что Д+ (х) является комплексно-сопря-
комплексно-сопряженной к Д~ (х) величиной. На основе (8.47) и (8.12) можно на-
написать
= г{Д+(л) — Д-ре)}. (8.50)
С помощью (8.276), (8.44) и (8.50) получается
л (у ^_/2'д+(* —х>) для »W>
Теперь введем в рассмотрение функцию
М{х Г'ч_/ аА+{х^-х') для а(х)>а(х')
М(х, х)—^ bb-(x-x') для о(х)<о(х')'
где а и & не содержат в себе х и л'. Так как Д*(х — л') яв-
являются суперпозицией плоских волн с положительными и отрица-
отрицательными частотами вида
expi?{(v, х — x') + (t-f)}, (v = k//Q,
то связь точки х' (в настоящем) с точкой х в будущем или про-
прошедшем содержится в М(х, х') с помощью сходящейся
f((t — *')-)-(v, x — х')) или расходящейся f((t — f) — (v," x — х'))
волны. Это находится в согласии с принципом причинности, который
требует, чтобы состояние в настоящем зависело только от прошед-
прошедшего и влияло только на будущее. Когда теория формулируется
таким образом, что начальное и конечное состояния входят в нее
симметрично, должно соблюдаться равенство
М(х, х') = М(х', х),
которое, с учетом (8.496), приводит к соотношению
Это как раз то соотношение, которому удовлетворяет kF(x — х').
Таким образом, причинная связь между событиями в различных
точках в теории, в которой конечное и начальное состояния рас-
рассматриваются симметрично, описывается с помощью функции
ОР(х — х') [14]. Это будет продемонстрировано в явном виде
в гл. 13.
§ 3. Соотношения коммутации и спин
Соотношения коммутации компонент поля тесно связаны со
спином частиц, которые описываются соответствующим полем.
Настоящий параграф посвяшен выяснению этой связи.
Прежде всего рассмотрим поле с целочисленным спином. Как
показано в гл. 4, в этом случае волновые функции могут быть
выбраны в тензорном виде. Предположим, что соотношения

§ 3. Соотношения коммутации и спин 163
коммутации являются соотношениями коммутации со знаком ,-f-".
Тогда для Qa и Q* (с тем же индексом а) имеем
где суммирования по а не подразумевается. Так как Qa и Q* явля-
являются тензорами одинакового ранга, то dM(d) является тензором
четного ранга, сконструированным из 8^, и д^. Таким образом,
имеем
Принимая во внимание (8.16) и меняя местами х и х' в указан-
указанном выше соотношении коммутации, получаем
)> Q« (¦*)]+=Й„ (- д) д (х'—х)=— Шт (д) д (л - л').
Складывая оба соотношения коммутации, имеем
откуда следует1)
Поэтому
Чтобы избежать этого бессодержательного результата, мы вы-
вынуждены в случае целого спина в соотношениях (8.14а) и (8.146)
пользоваться правилами коммутации со знаком „—" [7].
С другой стороны, мы уже указывали, что для устранения
парадокса Клейна необходимо считать, что частицы полуцелого
спина должны подчиняться статистике Ферми. В следующей главе
будет показано, что это требование равносильно требованию,
чтобы частицы полуцелого спина описывались соотношениями
коммутации со знаком „-J-".
В гл. 5 нами была высказана важная теорема, касающаяся
свойств d(d) [16J:
Порядок дифференциального оператора d(d), обозначаемый
через blS), дается формулой
fcw = 2S, если хфО, (8.52)
в которой S — максимальное значение спина различных полей,
описываемых компонентами поля Qa. (Следует напомнить, что
в общем случае величины Qa принадлежат к приводимому пред-
представлению и описывают несколько полей.)
') В общем случае матричное соотношение [А, Л*]+=0 приводит к
А = А* = 0.
11*

164 Гл. 8. Квантотя теория свободных полей (I)
Когда речь идет о поле с нулевой массой, эти выводы могут
уже не иметь места. Общие соображения, связанные с размер-
размерностью, показывают, что высшие производные в выражении для
d(d) могут появиться лишь в виде произведения (o^jx). Если х
равно нулю, то производные высшего порядка в выражении для
d(d) не будут присутствовать. Следствием этого обстоятельства
может явиться то, что соотношения коммутации могут оказаться
несовместными с уравнениями поля. Именно этот случай имеет
место для электромагнитного поля ('7.50). Когда Л (<?)=?, d(d) — I,
то уравнение поля
не включает условия Лоренца
Это положение полностью противоположно тому, которое имеет
место в случае векторного поля 11^ с не равной нулю массой покоя
(х 7^0). В последнем случае уравнение d^U^ = 0 не является неза-
независимым от уравнения поля G.85а). Именно по этим причинам мы
в гл. 7, пример 3, сочли целесообразным заменить условие Ло-
Лоренца, т. е. ограничение, накладываемое на компоненты поля А^(х),
условием [см. G.56I
являющимся ограничением, накладываемым на вектор состояния Ф.
Вообще в случае полей с равной нулю массой покоя (х = 0)
и спином ?>'/, уравнения поля состоят из двух совокупностей
уравнений
A(d)Q() = 0, (8.53)
= O. (8.54)
Как показано в гл. 4, § 3, хотя поле и имеет спин S, число не-
независимых компонент этого поля, ввиду калибровочной инвариант-
инвариантности теории, сводится к 2. Подобно условию Лоренца, дополни-
дополнительное условие (8.54) приводит к уменьшению числа независимых
состояний. Примером такого дополнительного условия является
третье из уравнений D.48). Мы будем рассматривать уравнение
(8.53) как полную систему уравнений поля и соотношения комму-
коммутации будем выводить из (8.53), (8.14а), (8.146) и (8.136), не при-
принимая во внимание уравнения (8.54). Однако эти соотношения
коммутации не будут согласовываться с дополнительным условием
(8.54). Поэтому его можно заменить условием
A5.(d)Qp(jc)V=0. (8.55)
Последнее уравнение накладывает ограничение не на компоненты
поля Qa, а на вектор состояния Ч; и обеспечивает исключение из-
излишних компонент, которые не могут появиться в состояниях,

4. Примеры 165
реализуемых в природе. Таким образом, при х = 0 лишь две ком-
компоненты доступны наблюдению. Например, в квантовой электроди-
электродинамике условие Лоренца G.56) приводит к тому, что плоская
электромагнитная волна характеризуется лишь двумя наблюдае-
наблюдаемыми состояниями (т. е. двумя состояниями поляризации). Более
подробное обсуждение этих вопросов будет дано в гл. 9, пример 2.
В случае поля А». ,,, с целым спином, уравнение (8.53) да-
ется первой строчкой в D.47). Таким образом,
откуда следует
d(d)=I.
Уравнение (8.53) в случае поля ф^ ^k{S=k-\-'/,)с полу-
полуцелым спином дается уравнением D.41) с х = 0. Поэтому
Таким образом, получаем
I О ДЛЯ ПОЛЯ Аа, ... ц._ г нрлым гпинпм у О
b(iS) __ / ™ ' *д *• 4е1"™™ спином, *"— v ,q ^)9(л)
\ 1 для поля фц, н с полуцелым спином, х = 0
§ 4. Примеры
Пример 1. Соотношения коммутации раз личных полей
Мы перечислим соотношения коммутации для различных полей
[см. (8.13а), (8.14а) и (8.146)]. Вид операторов \(д) устанавлива-
устанавливается путем сравнения (8.3а) с лагранжианами 1°, приведенными
в гл. 7.
Мы имеем')
(? —ж2)/ для заряженных скалярных
или псевдоскалярных полей
(U, U*),
[(? —хг) 8flj b) (a, b=\, 2) для заряженных скалярных
илн псевдоскалярных нолей
(?/A), Um),
? / для электромагнитного по-
поля Ла,
[д^д^ — (? — ж2) §лУ] для заряженных векторных
или псевдовекторных полей
(U , U*),
— (Y А ~\~ х) аля спинорных полей (<|>, <j>).

166 Гл. 8. Квантовая теория свободных полей (I)
Теперь с помошью (8.13) можно найти d(d) и затем получить
следующие соотношения коммутации:
Для скалярных или псевдоскалярных полей
[?/(*), U*(x')]_=ib{x-x\
[Uw{x), Ull)(x')]=^[U{i){x), U«){x')]_ = ib(x — x'), (8.56)
[Uil){x), ?/<2) (•*')]-= 0.
Для электромагнитного поля
[\(x), Ay(x')]_=ib^(x-x') (* = 0). (8.57
Для векторных или псевдовекторных полей
[UJx), U*(x')]. = i(^-^d^)\(x-x'). (8.58)
Для спинорных полей
[ф(л), ф (х')]+ =ls(x-x'), (8.59а)
— *). (8.596)
Соотношения коммутации для вещественных (и поэтому ней-
нейтральных) полей получаются из (8.56) и (8.58), если в них соот-
соответствующие величины записывать без звездочек- и положить
(/B) = о. Легко видеть, что (8.57) не согласуется с уравнением
ди.А^ — 0. Поэтому в гл. 7, пример 3, условие Лоренца взято в
виде G.56).
Соотношения коммутации для векторного поля в формализме
Штюкельберга имеют вид
[\ (х), At (У)]- = *М {х — х'),
[Яре), Я+(;с')]_=гД(;с — х1), (8.60)
[4D Bf(x')]. = [At(x), Я(*')]_ = 0.
Для получения соотношений коммутации вещественных (и поэтому
нейтральных) полей надо соотношения коммутации (8.60) записать
без значков „f".
Пример 2. Теория Дуффина — Кеммера
Из лагранжиана G.105) получаем
Так как спин поля, описываемого этой теорией, равен 0 или 1, то
из (8.52а) можно видеть, что blS) = 2. Вид оператора d(d) был
уже указан в E.24):

4. Примеры 167
Отсюда следует, что [15]
(^-^'). (8.62)
Надо заметить, что член (?—ж!) не дает вклада в соотношения
коммутации (8.62), но существенен для функций Грина О(х).
Пример 3. Теория Рарата — Швангера (спин. */г)
Из лагранжиана G.124) получаем
Уравнение (8.25а) дает значение bKS) = 3. Оператор д^ (д) был уже
дан в D.5бд) и имеет вид [15]
^0) = -(тА - *> {«и, -тьь+s W-тА)-^дД} +
+ 5?(D-*1){(T^-7vdJ + (Yp^-*)YJv}. (8.64)
Соотношения коммутации записываются следующим образом:
MV (•*). ^v (^')] = id^ (д) Ь(х- х'). (8.65)
Пример 4. Общие случаи
Теперь рассмотрим общее уравнение поля E.15)
Мд) = —(Р.А + *). (8.66)
На основании E.18а) оператор d(d) имеет вид
"' [п - (Ш* (МрJ5-
В этом выражении через 5 обозначен спин поля. Поэтому соотно-
соотношение коммутации гласит [18]
[ф (х), Ъ (л;')]± = Ш id) \{x- x'). (8.68)

168 Гл. 8. Квантовая теория свободных полей (I)
Пример 5. Отражение времени и принцип детального
равновесия')
Как показано в гл. 3, § 3, лагранжиан дираковского поля G.111),
который можно рассматривать как с-число, при отражении време-
времени изменяется2). С другой стороны, лагранжиан скалярного поля
G.44) инвариантен относительно такого отражения. В общем слу-
случае можно доказать, что при отражении времени
нечетный скаляр для полей с полуцелым
а> ( нечетнь
J d*xL° (х) = { спин°м
—оо I скаляр i
—оо V скаляр для полей с целым спином,
Из G.3) и G.4) следует, что при отражении времени
_о ( четный вектор для полей с полуцелым спином /о &д\
* v-— \ нечетный вектор для полей с целым спином. ' '
что является следствием того, что йа^ ведет себя как нечетный
вектор [см. F.2)]. Другими словами, при отражении времени
X—*Х,
Q(x)~+'Q('x) = !iQ(x) (8.70)
вектор энергии-импульса преобразуется следующим образом:
I] (k = l, 2, 3), ^
(8.71а)
причем константа s определяется равенствами
__ f — 1 для полей с полуцелым спином /g 71 б I
1 —|— 1 для полей с целым спииом.
Так как да при отражении времени преобразуется всегда как
четный вектор, то преобразование (8.71а) кажется несовместным
с каноническим уравнением [см. (8.15)]
-du.QAx)=[QA*), Kl- (8-72)
Однако такое заключение преждевременно, так как мы не приняли
во внимание закона преобразования вектора состояния:
4s—*'lV = У*. (8.73)
Действительно, ввиду изменения знака времени должно произойти
изменение фазы вектора состояния У. Преобразование (8.73) мож-
можно интерпретировать как преобразование, связывающее два раз-
различных мира. Если в одном мире мы имеем переход из состояния
с л частицами в состояние с т частицами, то в другом это
') См. работы 18, 19, 20, 13, 5,17].
2) Например, мы видим, что хЭД меняет свой знак при отражении времени.

4. Примеры 169
будет выглядеть как переход из состояния с т частицами в состоя-
состояние с п частицами. К этому следует добавить еще, например,
возможные изменения заряда и спина частиц. Отсюда следует, что
операторы поля Q, и Q^ должны преобразовываться в линейные
комбинации транспонированных операторов Ql и ($Г- Таким обра-
образом, обозначая компоненты поля после отражения времени через
Q,('x) и 'Ql(x), будем иметь
Q. (х) = а«з'ОГ ('х) + b^'QT Сх), (8.74)
где [аа?] и [Ь^\ — пока неизвестные матрицы. Последнее равенства
может быть переписано в виде
Q, (x) = \4\'(g('x) + XZ\'(g{'x); (8.75)
здесь [гв3] и [t^\ — унитарные матрицы, определяемые требованием
инвариантности теории относительно отражений времени.
Из (8.72) и (8.71) имеем1)
Инвариантность теории относительно отражения времени требует»
чтобы (8.76) было эквивалентно уравнению
(8.76)
бует»
W . K[Q('xj\]. (8.77)
Это означает, что должно быть
К [r'QT Cx) + t'Q*r ('x)Y = vf&Q ('х)] + с-чнсло. (8.78)
Как показано в гл. 7, T^.[Q(x)] имеет вид
К [Q (х)] = №xQ: (x) Й^ (д) Qp (х), (8.79)
где й^,.з(^) — дифференциальный оператор.
Используя (8.79), условие (8.78) можно записать в виде
'Q('x)(r~lQ('д) rrQ*(x) + 'Q* Сх)(ГЧ (д) tf'Q(x) +
Q('d)r)T'Q('x) + 'Q*(>x)(r-lQJ'd)tr'Q*{lx) =
= or'Q* Сх) \ (д) 'Q ('х) + с-число. (8.80)
(8.81а)
(8.816)
Существуют два решения этого уравнения:
Случай I. Если г удовлетворяет уравнению
J) При выводе (8.76) нами использовано соотношение
[А, В\Т — —[АТ, ВТ].

170 Гл. 8. Квантовая теория, свободных полей (I)
и соотношения коммутации являются соотношениями коммутации
со знаком „-(-„ для поля с полуцелым спином, /о оп\
со знаком .—" для поля с целым спином, (о.Ы)
то (8.80) решено [см. (8.716)].
В этом случае существует тесная связь между спинами и со-
соотношениями коммутации. Решение уравнения (8.81а) имеет вид
г=1'). Далее из G.111) легко видеть, что в случае поля со
спином '/, и нулевой массой (х = 0) другим решением (8.81а) яв-
является г = у5.
Случай II: Уравнение (8.80) имеет решение также и в том
случае, когда
г = 0, (8.83)
(8.84)
В этом случае никакого ограничения на тип соотношения ком-
коммутации не накладывается.
Можно доказать, что матрица t в (8.84) равна произведению
матрицы г в (8.81а) на матрицу зарядового сопряжения. В качест-
качестве примера рассмотрим ноле ф со спином '/i и не равной нулю
массой (хф8); в этом случае (8.81а) дает г=1, а величина &Л(д)
равна у4(уА + *)-
Из (8.84) и (8.716) *) имеем
Эти соотношения приводят к равенствам
которые показывают, что
где матрица C=tft. Сравнивая это соотношение с C.37), мы
видим, что t — матрица, связывающая ф и ф'* при преобразовании
зарядового сопряжения [см. C.40)],
ф = О?'Т = Су 4ф'*г=tb'*T.
Таким- образом, можно заключить, что преобразование, указанное
в случае /, может быть представлено в виде произведения пре-
') Можно взять г в виде комплексного с-числа с абсолютным значением
1 и ±1 соответственно для комплексных н вещественных полей. Однако этот
произвол в выборе фазового множителя может быть включен в Л.
•) Учитывая пространственную интеграцию в (8.79), можно взять
<? = -<>*.
Это соответствует выполнению интегрирований по частям.

§ 4. Примеры
171
образования, указанного в случае //, и зарядового сопряжения-
Теперь сравним некоторую физическую величину F[Q(xj] с пре-
преобразованной величиной F['Q('x)]. Так как оператор F[Q(x)] дол-
должен быть эрмитовым, то каждое собственное значение этого опе-
оператора будет вещественным, так что
=fV; (8.85)
заесь Ч* — собственный вектор с собственным значением /. Про-
Производя преобразование (8.73), получаем
Таким образом, вводя знаковую переменную е = 4; 1, определяе-
определяемую равенством
F['Q(')] F[Q()Y (8.86)
мы видим, что F['Q ('x)] имеет собственное значение е/, потому что
F['Q{'x)l[V = sfV. (8.87)
Используя (8.75), равенство (8.86) можно записать еще в виде
^[r-'AQ^Jc)] =bF[Q(x)]t в случае /,
F[Q*T(x)\-lt\ = eF[Q(x)Y в случае //.
Урачнение (8.87) показывает, что е определяет четности физиче-
физических величин относительно отражения времени. Эти четности для
различных величин дираковских полей указаны в табл. 3.
Таблица 3
Тип
44
k
''М 4
'*
11 " 4*
k
5 ц. 4
/А
с в случае /
+ 1
+ 1
- 1
+ 1
— 1
-1
— 1
- 1
+ 1
е в случае //
+ ,
-1
+ 1
-1
+ 1
J
— 1
+ 1
+ 1
— 1

172
Гл. 8. Квантовая теория свободных полей (I)
В качестве примера рассмотрим компоненту тока фу,ф. Уравне-
Уравнение (8.87) требует, чтобы в случае / удовлетворялось соотно-
соотношение
Используя соотношение коммутации для ф и ф* и беря г= 1 и
Л = у,у2у3 [см. C.27)], имеем
= ф7'у^у^ф*7+ Постоянное с-число
= (фу]ф)г 4- Постоянное е-число.
Это приводит к значению s = 1, потому что постоянное с-число
может быть включено в нулевой ток. С другой стороны, в слу-
случае // уравнение (8.87) требует, чтобы
Полагая t = Cft и А = у,у2уа и используя C.37), получаем
Это приводит к значению s = — 1.
В табл. 3 показано, что при отражениях времени многие
физические величины меняют свой знак. В табл. 4, которую легко
можно получить из табл. 3, дано соотношение между состояниями
частиц в двух различных мирах, о которых говорилось выше.
Знаки „—" и „-{-" указывают, что физическая величина либо меняет,
либо не меняет свой знак').
Таблица 4
Случай /
Случай II
Заряд Jt
Ток Jk
Импульс Tk
Спиновый |
Л , „ > момент количества движения. . .
Орбитальный /
Энергия Тц
Вектор-потенциал Ak электромагнитного поля. . .
Скалярный потенциал Д, электромагнитного поля
') Четности электромагнитного поля /ttt могут быть определены из требо-
требования инвариантности лагранжиана взаимодействия ФТиФА* относительно пре-
преобразования времени.

§ 4. Примеры 173
Например, электрон с импульсом к и спином а во взаимном
мире может быть представлен в случаях / и // соответственно
позитроном и электроном с импульсом — к и спином — а.
Символ s имеет важное значение при анализе принципа деталь-
детального равновесия, согласно которому вероятность перехода А -»¦ В
равна вероятности перехода В -* А. Проведенные выше рассмотре-
рассмотрения показывают, что принцип детального равновесия должен быть
несколько модифицирован в том смысле, что вероятность перехода
А —¦ В равна вероятности перехода В' -*¦ А', причем А' и В' —
состояния во взаимном мире, соответствующие Л и В и опреде-
определяемые с помощью табл. 4.
В гл. 10 мы покажем, что требования, связанные с отражением
времени, иногда ограничивают виды взаимодействий, причем эти
ограничения носят различный характер в зависимости от выбора
случаев / и //.
Пример 6. Истинный порядок дифференциальных операторов
Теорема (8.52) ограничивает величину biS), определяющую поря-
порядок дифференциального оператора d(d). Сейчас мы обсудим
наибольший порядок дифференциальных операторов, которые
появляются в соотношениях коммутации для D(d)Qa(x):
[D(d)QJx), D{d')Qi(x')-\ = iD(d)D(d')d^(d)b(x-x); (8.88)
Здесь D {д) является дифференциальным оператором, а величины Qa
описывают поле с массой х1), отличной от нуля. Когда наиболь-
наибольший порядок дифференциальных операторов в D(d)D(d)d(d) равен
(b{S)-\-2t), мы называем t истинным порядком оператора D(d) [11].
Имеется несколько случаев, когда t не равно максимальной вели-
величине порядка дифференциальных операторов в D (д). Последующее
обсуждение покажет, что эти исключения возникают вследствие
требования, чтобы элементарные частицы описывались волновыми
функциями, составляющими неприводимое представление группы
Лоренца.
Как показано в гл. 4, в силу того, что величины (UH ^ ,
F\jh, *,] in v-s) и C^foi. vii 1ч iv ^>i. -•] fn. '•] i*3 i*s)> даваемые
с помощью D.37), могут описывать состояние одного и того же
поля с целым спином, выражение (8.52) приводит к заключению,
что величины biS\ которые появляются в соотношениях коммута-
коммутации, одни и те же. Другими словами, истинный порядок опера-
оператора duv:^' [см. D.38)], действующего на и^Гш ^, равен нулю.
Аналогичная ситуация возникает в случае полей с полуцелым
Для простоты спинорныз или тензорные индексы у D(d) опущены.

174 Литература
(а) (а)
спином. Так как каждая из величин (<р, х)(а—1, ...) [см. D.29)]
может описывать одно и то же поле, то истинный порядок опера-
оператора drs, действующего на <pi ;;;, равен нулю. Таким образом,
a(S) является суммой порядков всех дифференциальных операторов
в D(d), за исключением порядков операторов d^-.^i и drs.
Приведем пример того, что истинный порядок оператора д^-.^
равен нулю. Как показано в примере 1, соотношения коммутации
для векторных полей включают множители R(n, v), определяемые
равенствами
у) = ^-^<Э,Д. (8.89)
Отсюда следует, что
<W'<W'№. fO = <Wd?,v. (8.90)
Уравнение (8.90) показывает, что истинный порядок д„.ч:р.' равен
нулю.
Понятие об истинном порядке будет использовано в гл. 15.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cini M., Nuovo Cimento, 9, 10 A952).
2. Dirac P. A. M., Proc. Cambr. Phil. Soc, 30, 100 A934).
3. Fierz M., Helv. Phys. Ada, 12, 3 A939).
4. Jordan P., Pauli W., Zs. f. Phys., 47, 151 A928).
5. LudersG., Zs. f. Phys., 133, 325 A952).
6. P a i s A., U h 1 e n b e с к О. Е., Phys. Rev., 79, 145 A950).
7. Pauli W., Phys. Rev., 58, 716 A940).
8. Pauli W., В e 1 i n f a n t e, Physica, 7, 177 A940).
9. Peierls R., Proc. Roy. Soc, A214, 143 A952).
10. Rivier D., Prog. Theor. Phys., 6, 633 A953).
11. Sakata S., Umezawa H., Kamefuchi S., Prog. Theor. Phys., 7,
377 A952).
12. Sch winger J., Phys. Rev., 75, 651 A949).
13. Sch winger J., Phys. Rev., 82, 927 A951).
14. S t u e с k e 1 b e г g E. С Q., Green T. A., Helv. Phys. Acta, 24, 153 A951).
15. T a k a h a s h i Y., Umezawa H., Prog. Theor. Phys., 9, 1 A953).
16. U m e z aw a H., Prog. Theor. Phys., 7, 551 A952).
17. Umezawa H., Kamefuchi S., Tanaka S., Prog. Theor. Phys., 12,
383 A954).
18. Umezawa H., Visconti А. (в печати) 1955.
19. Watanabe S., Phys. Rev., 84, 1012 A951).
20. Watanabe S., Rev. Mod. Phys., 27, № 1 A955).

ГЛАВА 9
Квантовая теория свободных
полей (II)
Поля и частицы
§ 1. Квантование
Сейчас мы покажем, что соотношения коммутации (8.14а) и
(8.146) приводят к ковариантной квантовой теории поля, в кото-
которой состояния полей представляют ансамбли полей Клейна — Гор-
Гордона, проквантованных в согласии с канонической теорией [7,8]-
Мы начнем со случая заряженного поля, описываемого компо-
компонентами поля Q, (х) (а = 1, ... , п), и сопряженных к ним вели-
величин Ql(x). Так как дифференциальные операторы1)
и d(d) = d(d)ri-1 [см. (8.4) и (8.13д)]
являются эрмитовыми, то должна существовать унитарная мат-
матрица s = [ser(d)], которая приводит А(д) и d(d) к диагональному
виду с помощью формул
(9.1а)
(9.16)
(9-1 в)
^ ? (9.1 г)
\(r:d)d(r:d)=n—x\ (9.2)
В (9.2) индекс г пробегает значения от 1 до я, но суммирова-
суммирования по нему нет. Операторы 1(г:д) и d(r:d) являются веществен-
вещественными, так что
d*(r:d) = d(r: — d), (9.3)
') Дифференциальный оператор f(d) может быть определен функцией / (k)
с помощью разложения в ряд Фурье
=$ d*kf (ik) F {k) eikv-
кция, разложение кс
F (x) = [ d'kF (k) eihv-xv-.
здесь F(x) — произвольная функция, разложение которой в ряд Фурье пред-
представляется следующим образом:

176 Гл. 9. Квантовая теория свободных полей (II)
где учтено, что д^ соответствует в импульсном представлении
величине ik^.
Матрица s преобразует уравнения поля (8.26) в п независимых
уравнений
Цг:д)дг{х) = 0. (9.4)
Здесь суммирования по г нет, a qr{x) равно
qr(x) = s~Hd)Qa(x). (9.5)
Лагранжиан (8.3а) может быть переписан в виде
Ze=J d\*?(*)X(г:д)?,(*), (9.6)
где мы учли (9.5) и (9.1а). Действительно, (9.6) является как раз
лагранжианом, который приводит к уравнениям (9.4).
Представив дг(х) в виде
)Pur(x), (9.7)
мы из (9.2) и (9.6) получаем
Z°== J d*xHr(x){n—*')ar(x), (9.8а)
Ч(-*К(*)]- (9-86)
Величина иг определяется равенством q*(x) = (d(r: — д))ч*иг(х).
С другой стороны, вследствие (9.3) соотношения коммута-
коммутации (8.14а) с помощью (9.16) преобразуются к виду
[qr (х), q* (x')L = id (r: д) Д (х - х') 8Г„
= 0. (9.9)
Соотношения (9.9) будут удовлетворены, если
[и, (х), us (х')]=ь = /Д (х — х') \s,
Последние соотношения для момента времени t приводят к сле-
следующим соотношениям коммутации:
[Pr(x, t), и,(х', «)}* = й(х —х')вда
[и,(х, 0» и,(х', 0]* = 01 _ (9.П)
[яг(х, 0, и,(х', ^)]± = [иг(х, *), и,(х', 01*= = О,
в которых
Pr(x) = — idjir{x). (9.12)
Так как уравнение Клейна — Гордона является дифференциаль-
дифференциальным уравнением второго порядка, то соотношения коммутации (9.11),

§ 1. Квантование 177
относящиеся к моменту времени t, однозначным образом опреде-
определяют соотношения коммутации между иг{х) и и*(х') для любого
промежутка времени t — f, а именно (9.10).
Теперь заметим, что РТ(х) является оператором, канонически
сопряженным к иг(х) и могущим быть выведенным из лагранжи-
лагранжиана (9.86) (см. гл. 7, § 1). Таким образом, можно заключить, что
из канонической теории Клейна — Гордона соотношения коммута-
коммутаций (9.11) вытекают автоматически.
Так как для спина S каждое из решений волновых уравнений
в виде плоских волн является линейной комбинацией BS—j— 1) линейно
независимых компонент [см. D.22)], лишь BS-\-\) величин qr(k)
не равны нулю [qr(k) являются компонентами qr(x) при разложении
в интеграл Фурье, причем k дается соотношением k^k^-j-x2 = 0].
Поэтому (9.7) показывает, что только B5 -\- 1)из d(r:ik)(r= 1,... , я)
не равны нулю, если k удовлетворяет соотношению k k 4-x8 = 0.
Другими словами, порядок матрицы d(ik) в случае йцД1-|-а:8 = 0
равен 2S+1.
Так как иг (х) удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона
(D— х*)иг(х) = 0, (9:13)
то иг, пг могут быть представлены в виде1)
(9.14а)
-\-и*-{К)е~«*-*-кМ}. (9.146)
Здесь величина е равна 1(— 1) в случае перестановочных соотно-
соотношений в (9.10) со знаком ,—" (-}-). Величина V равна
V~\\m (Лс<?'<р-х> (9.15)
р-*о J
и может быть интерпретирована как рассматриваемый объем. Если
этот объем V взят в виде куба V=LS, то волновые числа стоя-
стоячих волн имеют дискретные значения 2nnjL, где п — целое число.
Если к непрерывному спектру энергии частиц переходить с по-
помощью предельного перехода L-+ оо [т. е. Bя/1K —¦ d3k], то
знаки суммирования надо заменять интегрированиями по правилу
12 X. Умэдзава
(9.16)
¦2, *„ /АГ0), К„ =

178 Гл. 9. Квантовая теория свободных полей (II) .
Подстановка (8.116) и (9.14) в соотношения коммутации (9.10)
дает1}
(9 17)
Как будет показано примерами § 3, величина ы*+(и*~) не является
величиной и+*(и7*), эрмитово сопряженной к и+(и7).
Соотношения (9.17) являются хорошо известными соотноше-
соотношениями квантовой механики [2]. В представлении, в котором мат-
матрицы и*~(К)и+ (К) и и~ (К) и* (К) являются диагональными, имеют
место равенства
остальные матричные элементы в случае коммутаций равны нулю,
а в случае антикоммутации (т. е. когда в перестановочных соот-
соотношениях используется знак „-f-") равны нулю все матричные
элементы, за исключением
лГ=1), {п7=\\и7
В (9.18) и (9.19) через п+ и пг обозначены собственные значения
операторов „числа" частиц
Ы+(К) = и*г(К)и7 (К),
N7(K) = u- (K)u*+(K). {У-М)
Эти величины в случае перестановочных соотношений с коммута-
коммутаторами могут принимать любые положительные целые значения
@, I, 2, ...), а в случае перестановочных соотношений с антиком-
антикоммутаторами— лишь значения @, 1).
Величины п7 и п7 мы будем интерпретировать соответственно
как число частиц в состояниях частицы со значениями (г, К^) и
античастицы со значениями (г, KJ- Отсюда следует, что (9.18)
и (9.19) относятся соответственно к случаям статистики Бозе и
статистики Ферми. Принимая во внимание связь между соотноше-
0 Д|Я

§ I. Квантование 179
ниями коммутации и спинами (см. гл. 8, § 3), можно заключить,
что частицы целого и полуцелого спина подчиняются соответ-
соответственно статистикам Бозе и Ферми. Это заключение согласуется
с тем, что электроны и нуклоны подчиняются статистике Ферми,
а фотоны — статистике Бозе.
Согласно (9.5), (9.7) и (9.14), Q0(x) и Q^x) могут быть запи-
записаны в виде
X {иг+(Л')е'(кх-ад + н7(Ю^-'(к'х-'Го')}, (9.21)
-«к-*-*°'-> -f-еиГ (/0в/(к>ж~ДГо0}. (9-22)
Эти выражения показывают, что величины и+(АГ) и и~(К)
[и*+(К) и и*~ (К)] связаны соответственно с положительно частот-
частотными и отрицательно частотными амплитудами Фурье разложения
величины QJx)(Qa(л)).
Положительно частотные и отрицательно частотные части ве-
величины Q*(x)(Qa(x)) мы будем обозначать через QZ[x) и Qt(x)
[Qt{x) и Q~(x)], так что
Q.W = Qt (x) + Q7(x), (9.23a)
Qjx) = Qt(x)-{-Qr(x), (9.236)
(?— *1)Qf(x) = (D— *2)Qf (x) = Q. (9.24)
Такое разделение можно произвести с помощью метода, использо-
использованного при выводе (8.44), когда
Qa(x-^)di, (g25)
c_
Из соотношений коммутации (8.14а) следует
lQT(x), Q9(x')\± = idl#{
12*

180
Гл. 9. Квантовая теория свободных полей (II)
Используя (8.46а) и (8.466), можно доказать равенство
с помощью которого получаются соотношения
[Q7(x), Qf(x')] =и/.?(д)Д-(л-я'),
[Qt (x), Qi (л')]* = id^ (д) Д+ (х - л').
В случае вещественных компонент поля Qa соотношения (9.21)
имеют место по-прежнему, но соотношения (9.17) должны быть
заменены соотношениями
[at (К), u
[at (К), ut(K')h = lu7(K),u7(K')h = 0. (9.26)
Из этих соотношений можно получить соотношение коммутации
(8.146).
§ 2. Четырехмерный вектор энергии-импульса
и определение вакуума
Так как канонический четырехмерный вектор энергии-импульса
7 G.4) является билинейным функционалом от Q* и Qa и не за-
зависит от времени'), то он может быть представлен в виде супер-
суперпозиции плоских волн Qa (k, x) = Qa (k) exp (ik^), являющихся ре-
решением волнового уравнения (8.2а). Таким образом, используя
G.36), можно написать *)
где L" (k, x) — плотность лагранжиана, полученная из (8.3а) под-
подстановкой Q« (х) — Qa (k, х).
') Такой функционал имеет вид
где Qa (К) — амплитуда Фурье (?а (х).
!) При вычислениях лагранжиана не следует ограничивать значения вектора
анергии-импульса k значениями &0(ft°ft«- 4-x*= 0).

§ 2. Четырехмерный вектор энергии-импульса и определение вакуума 181
Используя преобразование (9.5) и уравнение (9.4), имеем
, х)\
2'
где символ 2' означает, что суммирование по величине г распро-
распространяется только на B5 -f-1) не равных нулю компонент qr (k°, x).
Проводя преобразование (9.7) и используя (9.86), найдем
=« r? W ??!-
{ , ;ii (А, х) и™ (&, Л)}й=4о .
к
Учитывая, что иг (^, х) связано с разложением Фурье величины
аТ (х), получаем равенство
Ту. = - i 2' J <^v {«*:7 (л) и^ (л) + &- (х) art (л;) + •
+ Ct (х) иг.» (х) + ен*:+(л) н^-, (л)}, (9.27)
которое с учетом (9.20) приводит к выражению
7; = — * 2' 2 *a (W+ (К)-\-М7(Ю) + Постоянное е-число. (9.28)
Выражение (9.28) показывает, что полная энергия и импульс
поля представляются в виде суммы энергий и импульсов отдель-
отдельных частиц. Тем самым устанавливается тесная связь между ча-
частицами и полями.
Вакуум определяется как состояние, в котором отсутствуют
частицы (nf =0). Отсюда на основании (9.28) можно заключить,
что вакуум является состоянием с наименьшей энергией, которая
равна нулевой энергии в (9.28) (ср. гл. 6, § 1).

182 Гл. 9. Квантовая теория свободных полей (II)
Из (9.28), (9.17) и (9.20) имеем
[иГ (К), 7У= ±(- ИУ«Г(К), (9.29)
[иГ (К). 7J=± (- Иу «Г (/0- (9.30)
Отсюда следует
[Q.W. yj=-^Q.W. (9-31)
[Q.(x),TJ\ = -d&(x), (9-32)
где учтены выражения (9.21) и (9.22). Канонические уравнения
8.15) могут быть выведены из (9.31) и (9.32).
Из (9.29) получаем
(9.33)
War+ (K)Vf=(W — w) u + (K) lF, (9.34)
где
Г=Г4, w=K0, (9.35)
а Ч1 — собственная функция оператора энергии W с собственным
значением W. Уравнения (9.33) и (9.34) показывают, что и*+(/С) Ч;
и nt(K)^ являются также собственными функциями оператора W
с собственным значением {W — w). Другими словами, ut(K) и
и^ (К) являются операторами, которые уменьшают энергию на ве-
величину w. Аналогичным способом можно показать, что и7(К) и
и*~ (К) являются операторами, увеличивающими энергию поля на
величину w. Эти свойства операторов uf (К) и л** (К) согласуются
со сказанным в § 1, т. е. с интерпретацией операторов
К (К) (и*+ (К)) и «7 (К) (и*' (К)) как операторов аннигиляции и
рождения частиц (античастиц) поля.
Так как вакуум Фо является состоянием с наименьшей энер-
энергией, то [6]
«,+ (/ОФо = «?+(*0Фо = 0. (9-36)
ФХ (К) = ФонГ (К) = 0. (9.37)
Отсюда следует
Это есть матричное выражение определения вакуума.
В указанной интерпретации нулевая энергия электронного поля
соответствует энергии вакуумных электронов старой теории „ды-
„дырок". Так как вакуум в квантовой теории поля оказывает влияние
на многие реальные эффекты, необходимо это влияние при вычи-

§ 3. Примеры 183
слениях учитывать (вычитание вакуумных эффектов). В связи
с этим теоретические предсказания зависят от определения ваку-
вакуума ').
Сейчас мы приведем некоторые формулы, зависящие от опре-
определения вакуума. Вводя Q^(x) с помощью равенства
00
Q?>(x) = i{Q+ (х) - Q7(*)} =4 Р J Q,(х-еЧ)?, (9.39)
— 00
получаем
[Q. (х), Q? (х')Ъ = - i [Qil) (*), Q} (*')]* + (9.40)
+ 2 (QT (*) Q? (JC) + Q3 (Jf) Q+ (л) ).
Отсюда следует, что
([Q. W. QP (¦«')]-)• = -' (IQ™ (x), Q3 (-«')>),. (9.41)
причем через ( H обозначено среднее значение по состоянию ва-
вакуума. Из (8.50) и (9.39) получаем
([Q. (х), Qp (x')Uu = cfa3 (d) ДО (л - У), (9.42)
причем знак „—" или .-J-" в левой части ставят в зависимости
от того, берутся ли соотношения коммутации (8.14а) и (8.146) со
знаком » + " или со знаком „—".
§ 3. Примеры
Пример 1. Скалярные и псевдоскалярные поля U(х)
Для таких полей (9.21) и (9.22) могут быть записаны в виде
)-ll'(tt* (/Oe'Vc + H- (К) <r<V>),
так как в этом случае (см. гл. 8, пример 1)
d(d)=l.
Соотношения коммутации (9.17) приводят к соотношениям комму-
коммутации
х) Однако определение (9.38) для вакуума страдает тем недостатком, что Фо,
собственный вектор оператора энергии свободного поля, не стационарен в слу-
случае взаимодействующих ночей. Поэтому в настоящее время не существует
последовательной теории вакуума взаимодействующих нолей. Этой проблемы
мы коснемся в гл. 18.

184 Гл. 9. Квантовая теория свободных полей (II)
Из (9.28) мы имеем
*+ (К)и- {К)}, (9.45)
причем это равенство также можно вывести с помощью G.4) из
лагранжиана G.44).
Полный электрический заряд дается выражением G.46) в виде
е1 = е У (и*~ (К) U+ (AT) — И" (/О И*" (/0 ) + Постоянное с-число =
{K) — N- (К))+ Постоянное с-число, (9.46)
N^(K) = u*-(K)u+(K), N-{K) = a-(K)u*+(K); (9.47)
здесь постоянное с-число является вакуумным математическим
ожиданием величины е\ т. е. нулевым зарядом. Используя UA) и
U{*\ приведенные в гл. 7, пример 2, можно выражение для пол-
полного заряда е* представить в виде
ex = ie У, {нA)+ (АГ)Н|2)- (К) — НB)+ (K)uW~ (K)}+ Постоянное с-число.
4 (9.48)
Из (9.42) имеем
([U (х), U* (х')]+H = Д«> (х - х'). (9.49)
Пример 2. Электромагнитное поле Л,
Из (9.21) имеем
\ (¦*) = ? B/С0V)'»(at (К) Л*. + а^ (Ю е~'к^), (9.50)
так как d(d) = \.
Соотношения коммутации (9.17) записываются следующим об-
образом:
[at (К), а7 (К)\ = ЪКК,Ь^ (9.51)
Однако условие Лоренца требует, чтобы величины afxY(l= 1, 2, 3)
и af V не были независимыми, а были связаны соотношениями
здесь а+ (К) и а" (/О — соответственно два трехмерных вектора
С+(/0 и аГ(Ю A=1,2,3).
Принято выбирать величину Ао эрмитовой, так что Л4 = гЛ0
является антиэрмитовой величиной. Далее заметим, что af и а_
означают не то же самое, что и матрицы (9.18), так как они

5. Примеры 185
величины, эрмитово не сопряженные друг к другу. С другой сто-
стороны, из (9.51) получается
[ао (К), a:(K')] = SKh, (9.53)
Так как а~ и а+ эрмитово сопряжены друг к другу, то (9.53)
показывает, что а~ и а+ (а не а* и ао"~) — операторы уничтоже-
уничтожения и операторы порождения. Поэтому Л/о (К) = at (Ю ао (К) имеет
целочисленные собственные значения @, 1, 2, ...). Так как опе-
оператор Ni(K)==at(fC)a^(f0 числа (К, 4)-фотонов имеет вид
то Nt (К) имеет отрицательные целочисленные собственные значе-
значения (—1, —2, ...) и приводит к энергии (—i/C4) >V4 (AT) =
= — К0(М0(К)-{-1). Другими словами, (А", 0)-фотоны имеют от-
отрицательную энергию —Ка- Равенства (9.38) показывают, что
в состоянии вакуума невозможно создать (но не уничтожить!) ка-
какой-либо (К, 0)-фотон. Другими словами, этот вакуум является
состоянием с максимальным числом (К, 0)-фотонов. Обычно {К, 0)-
фотоны называются скалярными фотонами. Поскольку (А\ 0)-фото-
ны обладают отрицательными энергиями, то это состояние яв-
является состоянием с наименьшей энергией. Это определение ваку-
вакуума имеет другие трудности, заключающиеся в том, что оно не
согласуется со вторым соотношением (9.52), выражающим условие
Лоренца. Действительно, в дальнейшем будет показано, что вели-
величина а+ Ф, в которой lF удовлетворяет второму из соотношений
(9.52), не может быть равна нулю. Это противоречие можно также
обнаружить с помощью соотношения, получаемого из (9.42),
([<VU-*)- A,(x')]+H = dA^{x-x'). (9.54)
С учетом условия Лоренца, правая часть этого соотношения должна
быть равна нулю, а левая часть — не равна нулю.
Теперь рассмотрим физическое содержание этой трудности.
В системе координат, в которой К^ = @, 0, К3, Ша), вектор состоя-
состояния ф можно представить в виде
V = 2 С(п, т) Ф (п, т), (9.55)
я. т
где Ф{п,т) — векторы состояний, в которых числа (К, 3)-фотонов
(продольные фотоны) и (К, 0)-фотонов равны соответственно пат.
Подстановка (9.55) в (9.52) приводит к следующей рекуррентной
формуле [см. (9.18)]:
VnC(n, m) = VmC{n—\, «2—1),

186 Гл. 8. Квантовая теория свободных полей (II)
из которой следует, что
С(п,т) = с*аа. (9.56)
Постоянная с должна быть определена из условий нормироьки1)
вектора состояния. Из (9.55) и (9.56) мы имеем равенство
Т=с|ф(я,4 (9.57)
л = 0
которое показывает, что вакуумное состояние включает бесконечно
много продольных и скалярных фотонов; но их энергии взаимно
компенсируются и не приводят (в случае свободных полей) к ка-
каким-либо наблюдаемым эффектам.
Поэтому мы видим, что величина а+ ? не может быть равна
нулю для состояния, удовлетворяющего условию Лоренца. Для
взаимодействующих полей действия продольных и скалярных фо-
фотонов не компенсируют друг друга, что приводит к появлению
кулоновского потенциала.
Таким образом, для электромагнитного поля мы должны изме-
изменить определение вакуума и использовать соотношения
[(Ка(/0)К.аГ(Я)]Фв=0, (9'58)
в которых е(Г)(г=1, 2) — трехмерные единичные векторы, удов-
удовлетворяющие уравнениям
Зторое из соотношений (9.58) представляет собой условие Лоренца.
Ввиду того что в соотношения (9.58) входит специальный еди-
единичный вектор е(Г\ эти соотношения по форме не являются кова-
риантными.
Теперь мы покажем, что при вычислении вероятностей пере-
перехода между состояниями в бесконечно отдаленном прошлом
(а = — оо) и в бесконечно отдаленном будущем (a = -j-°°) (т. е.
в теории 5-матрицы, см. гл. 13), вместо (9.58) можно использо-
использовать (9.38). Из (9.38) имеем
о = 0, (9.59)
([Л, (л), Л,(^')]+). = МA>(^-^)- (9-60)
С другой стороны, из (9.58) получается
') Формулы (9.55) и (9.56) показывают, что если с — конечна, то Ф*^ —
бесконечно, поэтому Ф не может быть вектором гильбертова пространства.

5. Примеры 187
С учетом лоренцовой инвариантности это может быть обобщено
на четырехмерный случай
([а- (К), й^(^)]+)о = ^ + АГ^Ф(/О; (9-61)
здесь Ф(К) — амплитуда Фурье скалярной функции. Соотношение
(9.61) приводит к соотношению
^Ф(х-х'). (9.62)
С другой стороны, из соображений лоренцовой инвариантности
величина [^(я), Ач(х')]+ входит в вычисление матрицы перехода
в виде
]dfx] d'x'K^ (х, х') [Л, (х), Л, (х')]+. (9.63)
— ОО —00
На основании калибровочной инвариантности имеем
д„ К„ (х, х') = d'j(^ (х, х')=0. (9.64)
В самом деле, калибровочная инвариантность [см. G.66)] требует,
чтобы имели место следующие равенства:
ffx [
—со —с
00 00
—ее
00
(* J4
—00
00 00
-2$ dfx J
— 00 —О
СО ОО
— 2 \ dfx \
— 00 —00
00 ОО
-f-2 ^ d*x I d*x'dlld[Kv.Ax, x')k(x)k{x').
— CO —00
Это приводит к уравнению (9.64); оно показывает, что второй член
в (9.62) не дает вклада в матричный элемент, в котором величина
[АА1+ в (9-63) заменена величиной ([Д,, Л,]+)о. Таким образом,
вместо (9.62) можно использовать (9.60) [3].
Однако, чтобы иметь возможность проводить вычисления в более
общих случаях, чем в теории Л'-матрицы, необходимо сформули-
сформулировать ковариантное определение вакуума. С этой целью мы

188 Гл. 9. Квантовая теория свободных полей (II)
возвратимся к (9.59). В этом случае для того, чтобы в вакууме,
определенном с помощью (9.59), не существовало частиц, надо,
чтобы А+ были операторами уничтожения. Это требует, чтобы
оператор Л4 был эрмитовым, а Ао — антиэрмитовым. Теперь (9.51)
показывает, что Nt (К) имеет целочисленные собственные значения
(О, 1, 2, ...) и что в вакууме, определенном с помощью (9.59),
нет частиц и вакуум является состоянием с наименьшей энергией.
Поскольку мы показали, что (9.59) не согласуется с условием
Лоренца (9.52), мы сейчас несколько видоизменим условие Ло-
Лоренца, записав его
д^А?{х)У = 0. (9.65а)
Поскольку (9.65а) дает только первое из соотношений (9.52), то
оно согласуется с определением вакуума (9.59). Это условие сов-
совместно также и с (9.54). В самом деле, правая часть соотношения
(9.54) с помощью (9.59) может быть переписана в виде
(д^А+ (x).AT (х') + At (х1) ¦ д^ (*'))„•
Это не равно нулю, но на основании (9.65а) равно д,ДA)(.х — х')
Когда мы имеем дело со взаимодействующими полями, величину
Av нельзя разбить на две части, соответствующие положительным
и отрицательным частотам, потому что в этом случае А^ не удо-
удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона. Однако можно доказать,
что в этом случае д^А^ все еще удовлетворяет уравнению Клейна —
Гордона
D^W = -UW=°- (9-66)
Так как благодаря этому всегда оказывается возможным величину
д^А^ разбить на положительную и отрицательную части, то (9.65а)
можно принять в качестве модифицированного условия Лоренца
[4,1]. Методом, аналогичным использованному в гл. 7, примеры 3
и 4, можно доказать, что (9.65а) совместно с волновыми уравне-
уравнениями G.50). Сейчас мы покажем, что если в некоторый момент
времени t продольные или скалярные фотоны отсутствовали, то
они будут отсутствовать и в любой другой момент времени.
Действительно, если в некоторый момент времени t продольные
н скалярные фотоны отсутствуют, то
Поэтому (9.65а) приводит к равенству
из которого с учетом G.50) следует, что

$ 3. Примеры 189
Поэтому для произвольного момента времени ? мы имеем
00
лих, trv= Щр-'У {Ш"А*(Х' '>! lI'=°
и, следовательно,
Теперь из (9.65а) следует, что
dkAt(x, ОЧ» = 0.
Таким образом, мы видим, что следствием выполнения условия
Лоренца (9.65а) является отсутствие продольных и скалярных фо-
фотонов в любой момент времени, если только они отсутствовали
в некоторый другой заданный момент времени. Поэтому можно
принять, что в состояниях, которые осуществляются в природе,
продольные и скалярные фотоны отсутствуют.
В этой теории можно установить условие (9.60).
Теперь введем в рассмотрение оператор щ и вектор состояния
Ц^ с помощью соотношений
i]t = if\ rlAk=A/trl, ч-44 = —djj, Ч' = 1, (9.67а)
4» =ip*ij. (9.676)
Принимая во внимание эрмитовость Л4 и мнимость величины xt,
из (9.66а) получаем
Ч"д^(х) = О. (9.656)
На основании (9.65а) и (9.656) можно написать
4^de,A^(x)V = 0. (9.65b)
Это равенство показывает, что для среднего значения опера-
оператора д^А^ можно установить обычн е условие Лоренца, если опре-
определить среднее значение оператора f не с помощью формулы
4?*F i!, а с помощью 1И+ FW. Это обстоятельство иллюстрирует соот-
соответствие между классической теорией Максвелла и современной
квантовой теорией поля, в которой величины классической теории
заменены средними значениями операторов.
В том представлении, в котором оператор Nt диагоналей1),
rj дается формулой ij = (—1)л*. Поэтому величина Ч/+ '1' не всегда
положительна. По этой причине рассматриваемая теория называется
теорией с неопределенной метрикой. Однако для состояний, кото-
которые реализуются в природе, rj=l, а поэтому цм-«i» —q;*»]* для
М, = Л/4 = 0. В связи с этим оказывается, что если воспользо-
') Так как Л4 — оператор, изменяющий число скалярных фотонов на еди-
единицу, мы имеем (— 1)*VM4 = —Л4(— l)Ni.

190
Гл. 9. Квантовая теория свободных полей (II)
ваться условиями (9.59), (9.60) и (9.65) и начальными условиями
N. = Л/4 = 0, то все вычисления можно представить в ковариант-
ном виде.
Пример 3. Векторные и псевдовекторные поля
Из (8.58) мы имеем
где
Легко видеть, что d имеет два собственных значения
Х=1 и \==\-\-ava^
так как
det \\l~d{ik)\=(\-\f (l-Л -<yv).
(9.68)
Поскольку1) при Л01 = /С(Л имеем 1 -\~а^ = 0, то ранг матрицы
d (для k^ = Ky) равен 3, что согласуется с числом 25-f-1=3 не-
независимых компонент и^.
Переходя в систему координат, в которой ^ = @, 0, k, ik0)
эрмитову матрицу d(ik) можно преобразовать к диагональному
виду с помощью матрицы
¦10 0 0
0 10 0
0 0 — а4 а.,
0 а, аА
(9.69)
Тогда с учетом G.86) для f/^ =
будем иметь
(9.70)
Это показывает, что тремя независимыми компонентами являются
величины UiiK) (/=1, '2, 3). Используя (9.21), получаем
(х) =
г = 1, 2
г =1,2
¦»v'--
(9.71а)
[,(9.716)

# . Примеры 191
где е(г)(г=1, 2) — единичные векторы, которые ортогональны
друг к другу и к направлению вектора К, а е1 — единичный век-
вектор в направлении К. Другими словами, е(г) описывают попе-
поперечные направления, а е3 имеет продольное направление.
Из (9.17) имеем
[и: (К), ttl-(/C)] = iJw (г, s=l,2,3). (9.72)
Операторы числа положительно и отрицательно заряженных частиц
имеют вид
N+ (K) = th~ (Ю и+ (К), N7 (К)=иТ (К) и+ {К).
Вектор полной величины энергии-импульса 7^ и полный заряд
е* поля даются выражениями
rJ23
е< = е 2 " 2 " 'I V (Ю - N7 (К) }. (9>?3)
К Г = 1, 2, 3
Пример 4. Спанорное поле <Ь(х)
В этом случае (9.5) и (9.7) могут быть записаны в виде')
ф+(/0 = 2Л01Л.<р+(К)а„(/а m
где аГЛ и Ьп удовлетворяют соотношениям
агЛ? = щ (АГ0 + «,-А,- + «р).р, (9.75)
bjr} = щ (Ко - а А - 4)«3 • (9.76)
Следует заметить, что соотношения (9.75) и (9.76) согласуются
с оператором проектирования A=t [см. C.56)], который выделяет
состояния с положительной и отрицательной энергией.
Из (9.17) получается
Из (9.21) и (9.22) следует
*) = К"2 { 9+ (/0 агя (/0 е'Л^ + ^7 (К) Ьп (К) е-'к^ },
х)=у-1" s {?;+ (/о л (/с) а*+?;- «/о ае-"^}(9-78)
') 1 относится к четырем компонентам <|>, а /¦ принимает два значения A, 2),
относящиеся к двум направлениям спинового момента количества движения.

192 Гл. 9. Квантовая теория свободных полей (II)
Из (9.42) имеем
а) Ъ\х>1-'°— °"м-* л>' (9.79)
Вектор энергии-импульса получается из G.112) в виде
* К Г-—\,2 V'
[см. (9.28)]. Нулевая энергия в (9.80) имеет отрицательную вели-
величину, которая равна полной величине энергии вакуумных электро-
электронов в теории „дырок".
Последнее равенство показывает, что трудности, связанные с
состояниями с отрицательной энергией дираковских частиц, можно
преодолеть, если пользоваться антикоммутаторами вместо комму-
коммутаторов [т. е. перестановочными соотношениями со знаком »-f-"]i т. е.
если в квантовой теории пользоваться принципом Паули, так как
разность { 7^ — (нулевая энергия)} на основании (9.80) является
положительной величиной.
Полный заряд дираковского поля дается выражением
е( = е2 2 {Nt(K)-N7(K)\, (9.81)
в котором
"'{К). (9.82)
Пример 5. Момент, количества движения
и магнитный момент
Прежде всего мы покажем, что среднее значение орбиталь-
орбитального момента количества движения Р^ G.41) и спинового мо-
момента количества движения Р\,ч G.42) может быть записано в виде
суммы соответствующих моментов отдельных частиц.
Пространственная компонента орбитального момента коли-
количества движения векторного поля может быть записана на осно-
основании G.41) и G.88) в виде
Р%= J d*x { lftMh—хф^ иг + [х/дк-хф,) Ut-Uip}. (9.83)
Подставляя (9.71а) и (9.716) в (9.83), получаем среднее значение
Pujk в состоянии, в котором импульс частиц равен К,
1 ' /-=1,2,3
Это — сумма орбитальных моментов количества движения частиц.

3. Примеры 193
Пространственная компонэнта спинового момента количества
движения записывается в виде
Р% = J (Гх { U\jUk + UtUt/ - UWj - U)Uik }, (9.85)
где учтены G.39) и G.42). Подставляя (9.71а) и (9.716) в (9.85),
получаем следующее выражение для среднего значения величины
Pjk для покоящейся частицы (К = 0):
{9Щ
+ (uf (К) ul+ (К) - иТ(К) и*+(К)) }к = о,
причем в качестве координатной системы использованы векторы
еМ(г= 1,2,3).
Последнее равенство может быть записано в виде
i (Р%)к = o = (Nt + Nj. — N± — NZ), (9.87)
где
N7 = u7us+, Nt = us-uf{s = +, -), (9.88)
а величины и+ определяются соотношениями [9]
1 ^ (9-89)
t{\it)
Используя (9.72), будем иметь
[н*+, u^\ = bss,, [u+, и$г\ = Ъ«.. (9.90)
Так как соотношения (9.90) показывают, что возможные собст-
собственные значения Nrs равны @, 1, 2, ...), то их можно рассмат-
рассматривать как числа частиц в состояниях, характеризуемых величи-
величинами (г, s). Соотношения (9.89) говорят о том, что индекс г
характеризует зарядовое состояние, аналогично знаку (+) в выра-
выражении N^ (9.20). Принимая во внимание обозначения для спино-
спиновых состояний, мы видим, что (9.87) дает сумму спиновых момен-
моментов количества движения (±1,0) частиц.
Из (9.85) имеем
('Г №4)^0 = 2, (9.91)
причем знаком „-{-• обозначено положительное зарядовое состояние,
для которого вычисляется среднее значение. Это показывает, что
величина спинового момента количества движения равна 5 (S-j-l)=2.
13 Х.Уыэдзава

194 Гл. 9. Квантовая теория свободных полей (II)
Теперь рассмотрим магнитный момент частиц малых энергий
(К^х). Поскольку для частиц малых энергий ?/4=&0 (см. гл. 4,
пример в § 2), то величина bki, определяемая с помощью G.89),
записывается в виде
Отсюда с учетом G.90) получается
Таким образом, имеем
икГ^±*(КГ'. (9-92)
Здесь, следуя гл. 7, пример 4, при вычислении магнитного мо-
момента мы опустили член, пропорциональный е%. Пространственная
компонента магнитного момента может быть получена из G.82) и
с учетом G.26) записывается в виде
{mjkr^±^{Pjkr. (9.93.
Это соотношение отражает тесную связь между магнитным момен-
моментом и моментом количества движения, которая существует у
частиц с малой энергией. Поскольку у частиц малой энергии ор-
орбитальным моментом количества движения можно пренебречь, из
(9.87) и (9.93) следует
(|я/йГ**±?(Л/?-Л?). (9.94)
Это показывает, что частицы малой энергии с положительным
(отрицательным) зарядом обладают магнитным моментом величины
ej'lx, который имеет то же направление (или противоположное при
отрицательном заряде), что и спиновый момент количества движе-
движения. Величина е/2х называется магнетоном. Как показано в гл. 7,
пример 5, при взаимодействии /^,-типа, определенном в G.91),
этот магнитный момент заменяется величиной (е/2х)A—у).
В случае электромагнитного поля покоящейся системы коорди-
координат, связанной с фотоном, не существует. Вводя величины а.% свя-
связанные с af (r= 1, 2) с помощью соотношений, аналогичных (9.89),
получаем ')
(Pf2)K = -*(W+-W_). (9.95)
Здесь мы воспользовались координатной системой, третья ось ко-
которой совпадает с направлением вектора К. Последнее равенство
') Поскольку Л^Ф = А^Ч1 для состояний, реализуемых в природе в случае
свободного электромагнитного поля, то мы имеем />„ = />„ = ().

Литература 195
показывает, что проекции спинового момента количества движения
на направление вектора К равны Hhl. Числа N+ или N_ могут быть
интерпретированы как числа фотонов, спиновые моменты количе-
количества движения которых направлены соответственно параллельно и
антипараллельно направлению вектора К-
ЛИТЕРАТУРА
1. Bieuier К., Helv. Phys. Acta, 23, 567 A950).
2. Dirac P. A. M., The Principles of Quantum Mechanics, 3-d ed., 1947 (см.
перевод второго издания: П. А. М. Дирак, Основы квантовой механики,
М.— Л., 1937).
3. Dyson F. J., Phys. Rev., 77, 420 A950).
4. Gupta S. N.. Proc. Roy. Soc, 63, 681 A950).
5. Ma S. Т., Phys. Rev., 75, 535 A949).
6. Schwinger J., Phys. Rev., 75, 651 A949) (см. перевод в сборнике: Но-
Новейшее развитие квантовой электродинамики, ИЛ, 1954).
7. Takahashi Y., Umezawa H., Prog. Theor. Phys., 9, 1 A953).
8. Umezawa H., Visconti А. (в печати) 1955.
9. Wentzel Q., Einfahrung in die Quantentheorie der Wellenfelder, 1943 (см.
перевод: Г. Вентцель, Введение в квантовую теорию волновых полей,
М.—Л., 1947).
13*

ГЛАВА 10
Квантовая теория
взаимодействующих полей
§ 1. Представление взаимодействия
В этой главе мы дадим каноническую формулировку квантовой
теории взаимодействующих полей. Мы используем представление,
в котором компоненты поля удовлетворяют волновым уравнениям
свободных полей и соотношениям коммутации (8.14а) и (8.146),
т. е. используем представление взаимодействия (см. работы Томо-
нага [14], Швингера [12]). При этом состояния взаимодействующих
полей описываются как состояния ансамбля простых гармониче-
ческих осцилляторов, изменяющиеся с течением времени.
Унитарное преобразование, связывающее состояние Ч1 [о] в пред-
представлении взаимодействия с состоянием ф в гейзенберговском
представлении, может быть записано в виде
ф[а] = 5[а]Ф. A0.1
В этой главе жирными буквами обозначены величины, относящиеся
к гейзенберговскому представлению, а светлыми буквами — отно-
относящиеся к представлению взаимодействия.
В гл. 4 показано, что величины Qa{x) в обшем случае содер-
содержат не только независимые компоненты поля, но и зависимые
между собой компоненты. Поэтому S [а] нельзя определить как
преобразование, связывающее между собой Qa(x) и QJjc).
Величины qr(x), полученные с помощью преобразования (9.5),
являются совокупностью независимых компонент. Поэтому с неза-
независимыми компонентами qr(x) в гейзенберговском представлении
эти величины должны быть связаны с помощью унитарного пре-
преобразования S[a]
qr(x)=(S-1[a]qr(x)S[a%le; A0.2)
здесь л/о означает, что точка х лежит на поверхности о. Однако
поскольку желательно иметь лоренц-инвариантную формулировку,
надо равенство A0.2) переписать так, чтобы оно содержало только
ковариантные величины.
С этой целью воспользуемся вспомогательными величинами
Q,[x, o] = S-4a]sra(d)qr(x)S[i3], A0.3)

# /. Представление взаимодействия 197
где srx(d) — матрица дифференциального оператора в (9.5) [13].
Следует заметить, что величины QJjc, а] являются функциями
точки х и функционалами поверхности а и что х и о независимы
друг от друга. Из A0.3) и (9.5) имеем
Q.[*o]s5-[a]Q.(x)S[a]. A0.4а)
Теперь величины qr(x) можно получить из Qa[x, о] с помощью
равенства
ao]),.. (Ю.46)
В этом равенстве надо сначала подействовать оператором s~' (д)
на Qa[x, в], а затем точку х считать находящейся на поверхно-
поверхности а. Очевидно, величины Qx[x, а] дают полное описание вели-
величин qr(x), и поэтому A0.4а) можно рассматривать как ковариантное
соотношение, соответствующее соотношению A0.2). В следующем
параграфе мы воспользуемся соотношением A0.4а) для определе-
определения S[o\. С помощью A0.4а), (8.2а) и (8.14а) можно показать,
что дифференциальные уравнения и соотношения коммутации для
QAX> a3 имеют тот же ВИД> что и для Qtix), т. е.
A0.5)
xy, A0.6)
здесь Qa[x> в] [см. (8.36)] определяется равенством
Q.[x. o] = $[x. »]^=S-1[e|Q.W5[4 A0.7)
Следует заметить, что аргументы а величин Qa и Q3 в A0.6)
одинаковы.
Поскольку мы хотим, чтобы величины О„(дс) были функциями
независимых компонент qr(x) (взятых в той же точке х), то вели-
величины Qa[x, о] можно подчинить следующим условиям1):
а) они должны удовлетворять A0.5) и A0.6);
б) они должны давать Q,(x) как функцию от qr(x), которые
связаны с Q^x, a| с помощью равенства A0.46).
Унитарное преобразование S[a, о'], связывающее Q^x, a] и
Qa[x, a'] соотношением
Q.[x, a] = S[a, a']Qa[x, a']6>, a'], A0.8)
дается формулой
S[o, o']==S[o]S-'[a']. A0.9)
') Если имеются две величины Qa [x, o\, удовлетворяюшие этим условиям,
ю они приводят к двум каноническим теориям. Однако ввиду гого, что эти
две теории имеют одинаковое число независимых компонент q^ они связаны
между собой унитарным преобразованием, т. е. являются различными пред-
представлениями одной и той же теории.

198 Гл. 10. Квантовая теория взаимодействующих полей
Гамильтониан взаимодействия Н'[х:п] определяется [см. F.3)]
с помощью функционального дифференциального уравнения
Ниже будет показано, что Н'[х:п], вообще говоря, зависит от
вектора п^(х), являющегося единичным вектором, нормальным
к поверхности а в точке х (см. гл. 6, § 2). Гамильтониан взаимо-
взаимодействия должен также удовлетворять условию интегрируемости,
которое предполагает, что оператор S[a] должен однозначно опре-
определяться уравнением A0.10) и заданными начальными условиями.
Это означает, что
Щх) Их7) ^== Щ) ЩS LaJ
где х, х' — две точки на поверхности a [14].
Уравнение A0.10) может быть переписано в виде
-1[Н'[х:п],Н'[х':п]\ = ^Н'[х1:п]-^Н'[х:п1 A0.11)
где <9/<9з — дифференцирование по аргументам, явно зависящим
от а (см. гл. 6, § 2). Введенные выше величины имеют большое
значение для последующего изложения.
Условие интегрируемости A0.11) содержит член ( , , ,. ] Н[х: л].
Конкретное вычисление этого члена облегчается одной важной
формулой для нормального вектора п^(х). Эти вычисления будут
приведены ниже.
Прежде всего докажем, что
\a'fdMx — x'), A0.12)
R (х) л, (х)\ = - вд J da;<?v Д (х-х1) = д^дМх-х1). (Ю. 13)
Если в качестве поверхности о взята плоскость, то левая часть
A0.12) с учетом (8.18) становится равной —&„А4- Учитывая, что
о, является ковариантной записью величины —К^4> получаем
(Го. 12). После этого, если воспользоваться F.56), из A0.12I)
') Можно показать, что правая часть A0.12) симметрична по индексам |i
и v. В самом деле она симметрична, когда а является плоскостью или
a'ydji (х -*')-$ Л'ДА (х - х') = 0.
Это соотношение должно оставаться справедливым для любой простран-
пространственно-подобной поверхности, поскольку левая часть не зависит от формы

§ 1. Представление взаимодействия 199
можно вывести A0.13).
Из A0.12) можно получить
ар (л, (*) л, (*)) = - $ do; д?дЛ {х - х').
В
С другой стороны,
J ЛДОД (х -х') - J (Ь'&дМх —JC) = O. A0.14)
Это соотношение справедливо для поверхности а, являющейся
плоской поверхностью, потому что в этом случае на основании
(8.17) и (8.18) каждый член оказывается равным нулю. Мы можем
показать, что A0.14) справедливо для любой пространственно-
подобной поверхности, поскольку левая часть A0.14) не зависит
от поверхности
= - д^дЛ (х - х") + д Д дуД (х - х!) = 0.
Пользуясь A0.14), A0.12) и A0.13), получаем
др (п^ (х) «v (х)) = - J д^ Д (л
Равенство A0.15) можно обобщить следующим образом:
д, (л„ (х) ... пНа (х)) = - J *; ^ («к, W • • • я*, (л))- (Ю-16)
Это равенство зависит от хорошо известного дистрибутивного за-
закона для операторов.
Теперь приведем полезную лемму, заключающуюся в том, что
поверхности ст. В самом деле,
y { J Чб« Д (х - х') - J rfa^., Д (х - х') }
= - ^d, Д (х - х") + д^ Д (х - х") = 0.

200 Гл. 10. Квантовая теория взаимодействующих полей.
Эта лемма легко может быть доказана с помощью F.66) и A0.16).
В частном случае (п=\) выражение A0.17) приводит к равенству
л) - Fuv (л) J da;gi- {/^ (*) л, (*)} +
о
Другое важное равенство имеет вид
A0.19)
Это равенство может быть доказано путем ковариантной записи соот-
соответствующего равенства для плоской поверхности (п =@, 0, 0, i))
[см. (8.206)].
§ 2. Вывод гамильтониана взаимодействия
Волновые уравнения в гейзенберговском представлении и пред-
представлении взаимодействия имеют вид1)
-*) = J.(*), A0.20а)
x)=0, A0.206)
где
a Z.' — лагранжиан взаимодействия.
Из A0.20а) и A0.206) получаем
Здесь через Do и \г:а обозначены величины, компоненты которых
даются равенствами
Da=(l,dJ, A0.22а)
(Ю.226)
') В настоящем изложении мы ограничимся тем случаем, когда Z.' содер-
содержит дифференциальные операторы более низкого порядка, чем порядок диф-
дифференциальных операторов, входящих в лагранжиан свободного ноля ZA Иссле-
Исследования теории квантования в более общем случае проводились в работах
A0, 18, 5, 4, 11|.

# 2. Вывод гамильтониана взаимодействия 201
Символом Da' обозначена величина Da, в которую входят произ-
производные д'^.
D'a = (\yd',).
Функция G(x-x') является функцией Грина, удовлетворяющей
(8.41). Различные функции Грина приводят к разным представле-
представлениям взаимодействия. Однако в силу того, что все эти представ-
представления взаимодействия должны быть связаны между собой унитар-
унитарными преобразованиями, можно выбрать конкретную функцию
Грина Gret(x — х') [см. (8.40в)]. Таким образом, имеем
ix{D'aGrS(x-x')}-k:a(x'). A0.23)
Далее можно показать, что величины
Qa[x, a] = Qa(*)+ J d*x'{D'ad^(d)^(x — j(f)}-h:.(^) (Ю.24)
—со
удовлетворяют соотношениям A0.5). В выражении A0.24) точка х
не обязательно лежит на поверхности а. Позднее, используя для
получения qr{x) A0.46), покажем, что компоненты поля Qx(x)
могут быть представлены как функции от qr(x). Поэтому можно
принять, что Qz[x, о] дается выражением A0.24). Это допущение
может быть оправдано, если существует унитарное преобразова-
преобразование S [о], связывающее Qa(-*) с О0.24), потому что в этом случае
A0.24) удовлетворяет A0.6). В дальнейшем изложении мы получим
условие1) существования унитарного преобразования, связываю-
связывающего Qj{x) с A0.24). Из A0.10) очевидно, что это условие экви-
эквивалентно условию существования гамильтониана взаимодействия
[т. е. A0.29)].
Из A0.23) и A0.24) следует [см. (8.10), (8.27в)]
Q. (X) = Q. [^} + ^ 1*хЪ:а (Л') X
X [D'ad.3(d), s(x — x')]&(x — x'). A0.25)
Здесь величина Q*[xh] является величиной Qe[x, и], взятой в
точке х, лежащей на поверхности а.
Выражение A0.24) показывает также
Qa[x, -oo] = Q.(jc)
') Когда лагранжиан взаимодействия содержит поля более высоких спинов
(^3/2) или производные более высокого порядка (^2), может случиться, что
это условие |и поэтому A0.29)) не может быть удовлетворено. Обобщение
формулировки, приведенной в настоящей главе на общий случай, см. в рабо-
работах [18, 5, 4].

202 Гл. 10. Квантовая теория взаимодействующих полей
и поэтому с учетом A0.8)
S[al = S[o, — оо]. A0.26)
Из A0.10) имеем
e%^ . (Ю.27)
С другой стороны, A0.24) приводит к уравнению
^^ 'x')}. A0.28)
Сравнивая это уравнение с A0.27), получаем
[Q.(x), Ht[xl:n]]=iS[a]i9:a(x'){D'ad^(d)^(x — x')}S-l[a]. A0.29)
Это— фундаментальное уравнение, которым определяется
гамильтониан взаимодействия //'[л:я][13]. Унитарное преобра-
преобразование S[p], связывающее гейзенберговское представление с пред-
представлением взаимодействия, может быть получено с помощью
A0.10).
Выражая }?:а(х') через Qa[x, а], можно на основании A0.29)
представить Н'[х:п] в виде ряда по степеням константы связи.
Это можно сделать с помощью формулы
[x, а])х1я +
х')]\(Х - х'), A0.30)
которая получается из A0.23) и A0.24). Здесь М(д) — некоторый
заданный дифференциальный оператор.
Из A0.46) получается
"*) = Qr (¦*) + 4 j <?ХЧ 3:а (X') X
X [S-1 (д) D'ad^ {д), S (X — X')] Д (X - A"'),
которое приводит к соотношению
'h-.a(x1)[s*1 (d)D'ad^(9)e(x-x')]t^(x-x').
На основании (8.20а) и (8.206) видно, что второй член в выписан-
выписанном соотношении зависит только от х. Поэтому этот второй член
является функцией компонент поля Qa(x) (взятых в точке х).
Следовательно, величину Q, (х) с помощью итераций можно пред-
представить в виде ряда, каждый член которого является функцией
цг(х). Таким образом, можно заключить, что величина Qa[*, а]
удовлетворяет условию „б" (см. § 1).
Теперь мы докажем, что гамильтониан взаимодействия И'[х:п],
полученный из A0.29), удовлетворяет условию интегрируемости
A0.11).

§ 2. Вывод гамильтониана взаимодействия 203
Поскольку правая часть A0.28) не является функционалом от
поверхности, то
г г
Это равенство в комбинации с A0.27) приводит к соотношению
[Qx(x), ^)Я'[л':л]] =0,
которое может быть переписано в форме
Q. (х) Н' [х~: л] И' [х": л] + Н' [х": я] Н' [х': п] Qa (x
-{H'[x':n]Qa(x)H'[x":n]-{-H'[x'':n]Qa(x)H'[x':n]}=0. A0.31)
Вычитая из A0.31) соотношение, которое получается при перемене
в нем местами х' и х", получаем
Ш. [И'[х':п1 И' [х", „]]_^Я'[л-:л]+^Я'[х':й]] =0.
Правый член в скобках должен быть с-числом, которое должно
быть равно нулю, потому что Н'[х:п] выражается в виде суммы
членов, каждый из которых является произведением по меньшей
мере двух компонент поля. Теперь можно получить условие ин-
интегрируемости A0.11).
Канонический вектор энергии-импульса Т^ задается выражением
A0.32)
в котором через 7^„ и 7? обозначены тензор и вектор энергии-
импульса свободных полей. Последнее выражение показывает, что
полная энергия является суммой энергии взаимодействия и энер-
энергии свободных полей. Полный четырехмерный вектор энергии-им-
энергии-импульса Т в представлении взаимодействия мы будем определять
следующим образом:
Ту. = 5[a] T;S-l [а] = 7? +1 S d^H' [x: л]. A0.33)
а
Хотя, как показывается ниже, четырехмерный вектор Т^ и
постоянен по времени, величина 7^ не является постоянной. Од-
Однако в силу того, что 7^ и Т^ связаны между собой унитарным
преобразованием, они имеют одинаковые собственные значения

'А>4 Гл. 10. Квантовая теория взаимодействующих полей
Собственные значения Е^, принадлежащие собственным векторам
V(?") оператора Т.
Т^(Е) = Е^(Е), A0.34)
дают полную энергию и импульс взаимодействующих полей. Больше
того, Ч?(Е), так же как Т^, не зависит от <з. Далее, 5[и]Ч'(?') яв-
является собственным состоянием оператора 7^ с тем же самым
собственным значением Е^
A0.35)
Теперь мы докажем, что Т удовлетворяет уравнениям G.5)
727
,TJ. A0.37)
Поскольку И'[х:п] является скалярной величиной, то она мо-
может быть представлена в виде
Н' [х: п] = 2 Кх у.„п (х) п^ (х) ... Пу.,п (х),
m
где К, ргт—функционалы от компонент поля Qx(x). Из (8.15)
имеем
L
Поэтому A0.32), A0.17) и A0.10) приводят к уравнению
Это уравнение, ввиду условия интегрируемости A0.11), эквива-
эквивалентно уравнению A0.36). Следует заметить, что проведенное
доказательство сохранения Т^ основывается только на условии
интегрируемости. Поскольку можно сконструировать различные
гамильтонианы Н'[х:п], удовлетворяющие условию интегрируе-
интегрируемости, постольку для однозначного определения Т^ оказывается
недостаточно закона сохранения вектора энергии-импульса. Од-
Однако A0.32) совместно с A0.29) определяют Ти однозначно.
Теперь покажем справедливость A0.37). Как показывает A0.36),
Т не зависит от конкретного выбора поверхности и. Поэтому вы-
выберем поверхность а в виде плоской поверхности a{x) = a(t)
в некоторый конкретный момент времени t (т. е. ла = 0, 0, 0, i).
Тогда выражение A0.32) может быть записано в виде
- (')]• (Ю.38,

§ 2. Вывод гамильтониана взаимодействия 205
С другой стороны, ввиду того, что е(л—х') изменяет свою ве-
величину только при переходе точки х' через поверхность <з{х),
мы заключаем, что вклад от второго члена в A0.25) возникает
только за счет точек х = х' в подынтегральном выражении
{см. (8.206)]. Таким образом, величина Qa может быть записана в виде
Q. (х) = 5 [а (х)] { Qa (х) + ga [x:п]} S[а (х)], A0.39)
откуда следует, что
], (Ш.4О)
где величина gs[x:n] имеет вид
и было использовано соотношение
$
«(*)
Соотношение A0.41) можно вывести из A0.10). Далее, A0.40)
может быть с учетом (8.15) переписано в виде
Это равенство в комбинации с A0.38) приводит к A0.37).
Равенства A0.226) и уравнение A0.29) показывают, что га-
гамильтониан взаимодействия Н'[х:п] имеет вид
.., A0.42)
где V (х) получается из лагранжиана взаимодействия L' (л) путем
замены Qa на Qa.
Из того обстоятельства, что g^[x:n] содержит лишь члены
порядка 5=1 по константе связи g, следует, что в A0.40) все
члены, за исключением —L'(х), имеют по константе связи g по-
порядок ^=2. Следует заметить, что, когда W^(x) содержит член ви-
вида w(x)i^, второй член в A0.42) дает член —w{x), который не
зависит от поверхности а.

206 Гл. 10. Квантовая теория взаимодействующих полей
§ 3. Связи с обычной канонической теорией
В предыдущем параграфе мы развили каноническую квантовую
теорию поля, используя канонические переменные qr в неявном
виде. Теперь мы проследим соотношение между этим формализ-
формализмом и формализмом Гейзенберга и Паули, в котором канонические
свойства проявляются в явном виде.
В общем случае величины Qa разбиваются на две группы ком-
компонент; для компонент Qa, (а'= 1, ...,/) одной группы каноничес- ¦
ки сопряженные величины
не равны нулю, а для компонент другой группы Q«»(a"=/-|-1,...)
имеют место равенства
° $Н- <10-43>
Другими словами, Qa», Р„» являются независимыми каноническими
компонентами, а Qa« — зависимыми компонентами. Поэтому вели-
величины Q,< и Ра' связаны - с помощью унитарного преобразования
S[a] с независимыми каноническими переменными С},» и Р«»
(Ръ1=(—i)dL/dQ«»:4) в гейзенберговском представлении соотноше-
соотношениями
Pa, (X) = E- [a]P.. (x) S [а])ж/в. A0.44)
Другими словами, разности между Qa» и (^"'[ojQ^^fo]),/. не
равны нулю, а дают в A0.39) член S~l[a]ga«[x:n]S[a]. Это об-
обстоятельство мы проиллюстрируем в примере 3.
§ 4. Основные уравнения
На основании A0.1) и A0.10) можно показать, что уравнение
Шредингера в представлении взаимодействия имеет вид
'г4I1;М=я'[-*:лМ4 (Ю.45)
Это уравнение, а также соотношения коммутации (8.14а) и (8.146)
и уравнения поля A0.206) являются основными уравнениями кван-
квантовой теории поля в представлении взаимодействия.
Решения уравнения A0.45) могут быть записаны в виде
V[o] = S[a,a1]4'[al]=.S[j]4'[-oc], A0.46)
где 5 [а, а,] удовлетворяет уравнениям
для
S[av a,]=l (начальное условие). A0.47>

§ 5. Шредннгеровское представление 207
Если начальное состояние Ч1 [— ос] задано, то среднее значе-
значение некоторой величины F(x) может быть найдено с помощью
формулы
4!*[a]F{x) V[<j] = 4>*[—oo]S-l[o]F{x)S[a]V[—oo].
Мы записываем это в виде
(F(x))J = (S-1[a]F(x)S[a])^t A0.48)
где ( )„ — среднее значение в состоянии, характеризуемом с по-
помощью ^[а].
Амплитуда вероятности найти на а состояние а, когда VfuJ
описывает состояние Ь, определяется формулой
4C«F[a] = 4»'e5[a,a1]4»4 = (fllS[a,a1]|ft). A0.49)
Уравнение A0.47) может быть записано в виде интегрального
уравнения
a
S[a,a,]=l— i J Лс'Я'[*':«№(*')>*,]> (Ю.50)
в котором интегрирование подразумевается по области, заключен-
заключенной между поверхностями а и а,. Условие интегрируемости A0.11)
обеспечивает, чтобы S [а, о,] не зависело от порядка интегриро-
интегрирования в A0.50).
Матрица перехода 5[оо] между состояниями при t = — оо и
?=-J-oo называется матрицей рассеяния, или 5-матрицей.
§ 5. Шредингеровское представление
Сейчас мы установим связь между представлением взаимодей-
взаимодействия и шредингеровским представлением, относящимся к плоским
поверхностям a = a(t), связанным с моментами времени t. Урав-
Уравнение Шредингера A0.45) может быть записано в виде
^ {10>52)
о (О
где учтено соотношение A0.41).
Из (8.15) имеем
|71 = 0. A0.53)
Вводя F(x) с помощью равенства
rt A0.54)

2Uo Гл. 10. Квантовая теория взаимодействующей полей
в котором F{x) — оператор в представлении взаимодействия, мы
с помощью (8.15) и A0.53) получаем соотношение
Тем самым показано, что F(x) является оператором в шредин-
геровском представлении и что ехр(?7°?) — унитарное преобразо-
преобразование, связывающее представление взаимодействия со шрединге-
ровским представлением. Из A0.54) видно, что операторы энергии
в обоих представлениях совпадают друг с другом или что
74 = 7^. A0.55)
Волновые функции y(t) в шредингеровском представлении, имею-
имеющие вид
?(*) = ехр( —ff:*L»[o(f)], A0.56)
удовлетворяют уравнению Шредингера
i^4it)={H* + H'L(t). A0.57)
В этом уравнении Н' и Н° являются соответственно гамильтониа-
гамильтонианом взаимодействия и оператором свободной энергии 7° в шредин-
шредингеровском представлении, т. е.
Я' = ехр( — »7ЭД//'[о(*)]ехр07ЭД, A0.58)
H9 = rt. A0.59)
Хотя в настоящем параграфе мы пользовались плоскими по-
поверхностями а(?), изложенная теория в шредингеровском пред-
представлении лоренц-инвариантна, потому что она получена на
основе ковариантного формализма представления взаимодействия.
§ 6. Примеры.
Пример 1. Различные гамильтонианы взаимодействия
Прежде всего рассмотрим векторное взаимодействие между
вещественным (нейтральным) скалярным полем и дираковским
полем. Лагранжиан взаимодействия дан в G.116) в виде
*4U. A0.60)
Уравнение A0.29) показывает, что гамильтониан взаимодействия
может быть получен с помощью соотношений
И'[х':п]]=
A0.61).

§ 6. Примеры 20а
Из A0.30) получаем1)
U (х) = U [f ] - i g j Фх" у (л') Ь ф (x') ft, в (л - л')] Д (х-х')=
= */[¦?], A0.62а)
- A0-626)
. а])х.а -4? Jrf4^(ЛГ') Yvip(у)[а^,, г(х - jO]X
[^] [] »,D (Ю.63)
где использованы A0.19), (8.20а), (8.206) и (8.20в).
Подставляя A0.62а), A0.626) и A0.63) в A0.61), будем иметь
, H'[x':n]\=gdl 0Нл')уМ-*'))д (*-¦*'). A0.64а)
$ (-«О -(ф (V) Yvd) (л')) 5 (х - л') л, (jO л, (У). A0.646)
Отсюда следует, что
Теперь выпишем гамильтонианы взаимодействия, которые ана-
аналогичным способом могут быть получены из лагранжианов взаимо-
взаимодействия, приведенных в гл. 7, пример 8. Скалярное и векторное
взаимодействия между вещественным (нейтральным) скалярным по-
полем и дираковским полем описываются гамильтонианом
Н'[х:п] = -/Щи-1ё^^и-\ё*(Ъ^)\ A0.66)
Псевдоскалярное и псевдовекторное взаимодействия между веще-
вещественным (нейтральным) псевдоскалярным полем и дираковским
полем описываются гамильтонианом
\ A0.67)
Векторное взаимодействие между вещественным (нейтральным)
векторным полем и дираковским полем задается в виде
ff[x--n] = -ifMU*- г?/2 (ФТ/КJ- A0-68)
Псевдовекторное взаимодействие между вещественным (ней-
(нейтральным) псевдовекторным полем и дираковским полем записы-
') 1<Э„ ? (х - х')] Д (х - х') = <Э,(е (х - х') Д (х - х')) -г (х- х')дЛ (*—*') =
= Д (х — х') д„в (х — х') — 0 [см. (8.20а).
14 X. Умэдзава

210 Гл. 10. Квантовая теория взаимодействующих полей
вается в виде
Пример 2. Электромагнитные взаимодействия
в произвольных заряженных полях
Рассмотрим взаимодействия у4№-типа произвольных заряженных
волей Qa (x) в общем виде.
Лагранжиан взаимодействия не содержит каких-либо диффе-
дифференциальных операторов, действующих на А^ (см. гл. 7, пример 4),
и оператор d' ч(д) для случая электромагнитного поля А сводится
к 8^ [см. (8.57)]. Поэтому A0.30) дает1)
Au. (x) = (S-1 [а] Л, (х) S[a])x:,, A0.70)
АЛ (х) = (S [а] д,А (х) S [a]W
Фундаментальное уравнение A0.29) приводит к уравнению
[Л,(л), Я'[У:л]] = -гЛр(^-^'MМ-^5-1М =
= -ibp(x-x')S[c])/x')S-1[s]. A0.71)
Через Ар обозначены Д-функции для фотонного поля. Величина
J^ в A0.71) является вектором электрического тока, определенным
в G.70). Электрический ток J^[x:n) в представлении взаимодей-
взаимодействия связан с }^ унитарным преобразованием
yj^:/z] = EHJwW5-M)^. A0.72)
Таким образом, из A0.71) получаем
[AJx), И'[х':п]] = -1Ар(х-х')^[х':п]. A0.73)
Приняв во внимание соотношения коммутации (8.57) для А^, из
A0.73) будем иметь следующее важное соотношение:
УДл':1|] = -5^)/Г[х:я]. (Ю.74)
Для простоты примем, что Н'[х:п] имеет вид
x)e%[x:n]Ali
[x:n]Avlix)AAx). A0.75)
Здесь величины д и /^ не содержат А^. Это предположение оправ-
оправдывается практическими вычислениями в случаях заряженных по-
полей с' малым спином (S «S 1). Последнее равенство показывает
ЛЛ-*:л]=ЛД-*--«1- A0.76)

§ 6. Примеры 211
Поэтому A0.74) приводит к выражению для тока
%[х:п]АЛх). A0.77)
Далее, A0.42) показывает, что / имеет вид электрического тока
для случая свободных заряженных полей и поэтому удовлетво-
удовлетворяет уравнению дД1(л;) = 0.
Теперь мы докажем теорему [15], согласно которой
j^[x:n]nJx) = 0. A0.78a)
Из G.356) следует равенство
Vv = —ie (щ^; Q« — Q« щ^
которое с учетом A0.43) и A0.44) приводит к соотношению
Ввиду того что лагранжиан L в представлении взаимодействия
(т. е. лагранжиан для свободных заряженных полей) не содержит
компонент поля А^{х), имеем
Сравнивая это равенство с A0.77) и учитывая A0.76), получаем
A0.78а). Из A0.78а) следует соотношение
S[a (х)] J, (х) S-1 [a (x)] nv (x) =j\ (x) nv (x). A0.786)
Теперь введем уравнение непрерывности в представлении вза-
взаимодействия, являющееся аналогом уравнения непрерывности
G.346):
Из A0.72) имеем
al[^[X':n],H'[x:n]]\ S[a]. A0.79)
Учитывая F.66) и A0.17), из A0.79) получаем

212 Гл. 10. Квантовая теория взаимодействующих полей
С другой стороны, условие интегрируемости A0.11) приводит1)
к соотношениям
в которых л; и л' — две различные точки на пространственно-
подобной поверхности а. Складывая эти два соотношения и при-
принимая во внимание A0.76), найдем
i[ff[x:ft], УД*: л]].
Очевидно, это равенство остается справедливым и в том случае
когда л совпадает с х'. Подставляя это равенство в A0.80), по
лучаем соотношение
которое приводит к уравнению
<У,[х:п] = * J dal [^[х:п], Н'[х':я]]. A0.81)
В этом уравнении оператор д^ действует не на нормальный
вектор пл, а на компоненты поля, содержащиеся в J^[x:n\.
Подставляя A0.75) и A0.76) в A0.81) и сравнивая между со-
собой члены одинаковой степени по Д, в обеих частях уравнения
') Применяя оператор д/дАа{х) к A0.11), получаем
Н'\х'-п\
(Эо(х)Л4и(х) '" "' дои')дА^Ш ¦' l~"'J-
С другой стороны, ввиду того что х и х' — две различные точки, имеет
место равенство
дАл (х) 1 '

§ 6. Примеры 213
A0.81), получаем [15]
д^ = 0, A0.82а)
x') = idJJ^[x:n]A4(x)), A0.826)
S К
= 0. A0.82b)
В этих уравнениях х к х' предполагаются лежащими на одной и
той же поверхности, а оператор дифференцирования д^ не дейст-
действует на вектор нормали п^, содержащийся в j^[x:n]. Уравнения
A0.82) и A0.78а) приводят к следующим общим свойствам элек-
электрического тока, выражаемым с помощью соотношений *):
^[х:п]-д^(х-х')), A0.83а)
*•)] = 0, A0.836)
рт:я]] = 0. A0.83b)
В этих соотношениях точки лил;' считаются разделенными про-
пространственно-подобным интервалом, а оператор дифференцирования
д^ не действует на вектор' нормали п^, содержащейся в у^„. Эти
соотношения будут использованы нами в следующей главе.
Теперь запишем в представлении взаимодействия условие Ло-
ренца. Из A0.30), A0.72), A0.78а), A0.19) и (8.20г) следует
дДЛ, (х) = (S [а] д„ д^ (х) S-1 [а]),,. +
= E [а] d^dvA, (х) 5-1 [о])я/. - ?Л (¦«)«, (JC) я, W =
= (S[a]d^AWS^MU +^ J Л^(дс') а^(л'-л). A0.84)
') Так как при выводе уравнения непрерывности мы ие пользовались ни-
никакими специальными свойствами А , то вместо ^^(х) в A0.826) и A0.82в)
можно подставить любую функцию f(x):
J Ч [/„. (*). Л(*'I / (*') = »„ [/^ [х: и] / (*)].
a
Беря в качестве f(x) величину д4Д (х — х") (= /о (х — х) в заданной
точке х" на о, получаем
* W. Л W1 ^д (^' " Л") = Ю» Uf* [*••«] 54Д (х' -
Это приводит к равенству
[Л (*).Л (^"I = Юу. (/;, [х: я] д.А (х' - х")).
Из этого равенства можно получить A0.83а). Полагая в A0.83а) v = 4, можно
вывести A0.836).

214 Гл. 10. Квантовая теория взаимодействующих, полей.
Здесь точка х расположена на а. С другой стороны, мы имеем
формулу
UA (х) = \ dz., {Ар (х — х') дХА^ (х1) —
— д'^(х)-д^р(х — х')}, A0.85)
в которой не предполагается, что х обязательно должна лежать
на а. Мы докажем формулу A0.85), показав, что функциональная
производная 3/5о от правой части равна нулю; тем самым будет
доказана независимость A0.85) от о. С другой стороны, формула
A0.85) легко может быть обоснована для плоской поверхности,
проходящей через точку х.
Условия G.59) и G.60)
dv^Aa(*)$ = ° A0.86а)
с учетом A0.85) и A0.70) приводят к уравнению
. A0.866)
В уравнении A0.866) х не обязательно лежит на а. Подставляя
A0.84) в A0.866) и учитывая A0.86а), получаем уравнение
которое приводит к
$;J»[o] = 0. (Ю.87)
Здесь х не обязательно лежит на а. При выводе A0.87) нами ис-
использовано следующее соотношение [см. (8.18), (8.196)]:
' Уравнение A0.87) является условием Лоренца в представлении
ззаимодействия. Рассматривая (9.65а) как условие Лоренца в гей-
гейзенберговском представлении, можно условие Лоренца в представ-
представлении взаимодействия записать в виде
1»[о] = 0. A0.88)
Пример 3. Электромагнитное взаимодействие в формализме
Пуффина — Кеммера
Рассмотрим электромагнитное взаимодействие поля со спином 1
или 0 в теории Дуффина — Кеммера.

§ 6. Примеры 215
На основе G.105) н G.69) лагранжиан взаимодействия записы-
записывается в виде
I/= teipp^ipA . A0.89)
Из (8.61) и A0.25) имеем
A0.90)
=4> [т] +теП +(Р*)')РА [т] Ф [f] • A0-91)
где надо воспользоваться формулой
A +(РлI)РЛ1 +ФЛП=О. A0.92)
Поэтому A0.29) может быть записано в виде
РА (*
Это приводит к следующему гамильтониану взаимодействия [13]:
ЛГ[х:я] = -йШЛ + -гФРЛ1 +(РлПРв«КЛ. (Ю.93)
Следует заметить, что A0.93) содержит член, пропорциональ-
пропорциональный ег, который не зависит от п,х (см. § 2).
Пример 4. Ограничения соотношений коммутации,
возникающие от взаимодействия
Сейчас мы покажем, что условие A0.29), которое удовлетво-
удовлетворяется гамильтонианами взаимодействий, ограничивает возможный
вид соотношений коммутации.
Легко видеть, что A0.29) можно записать в виде
A0.94)
На основании A0.94) можно высказать следующую теорему
(9, 17, 6]:
Теорема 1: Каждый член гамильтониана взаимодейст-
взаимодействия И'[х:п\ должен содержать четное число операторов поля
Qt1)Q<M>, для которых
[фЦх, t), X(x', *}]+ = 0.

216 Гл. 10. Квантовая теория взаимодействующих полей
Здесь X— произвольно выбранное поле, ахи х' — две различные
точки.
Чтобы доказать эту теорему, разделим компоненты поля, вхо-
входящие в выражение данного члена гамильтониана И'[х:п\, на
две группы членов (Qt1), ... , Q-m)) и (Q(m+1), ...), удовлетворя-
удовлетворяющих соотношениям
[Q(')(x, t), Х(х\ t)]+ = 0 для
[Q(')(x, t), X(x', *)]_=0 мя
(x и х' — две различные точки). Если т — нечетное число
т = 2л -\- 1, то
[X, Q*1) ... Q('n+1)Q<>n+2> ...]_ =
+... — {Q*1)... Q*8"-1) [X, Q<2")]+ Q<2n+1)...} -f-
4 , QBn+1)]_QBn+2) ...}
Появление в A0.95) выражения [X, QBn+1)]_ показывает, что
взаимодействие этого вида не может удовлетворять условию A0.94).
Так как все процессы взаимопревращения связаны с взаимо-
взаимодействиями, удовлетворяющими теореме 1, то мы имеем следующую
теорему.
Теорема 2. В любом процессе взаимодействия должно
существовать четное число полей (QA>, ... , Q(>"*)> для кото-
которых [Qi')(x, t), X(x', t)]+ = 0.
Здесь X—произвольно выбранное поле, ахи х' — две различ-
различные точки.
Ввиду того что всегда существует процесс тормозного излу-
излучения
из теоремы 2 следует, что Д, должны коммутировать с любым
другим полем.
Теперь предположим, что протонное поле фр и нейтронное
поле фЛ являются ферми-полями и что поле (р„ заряженных тт-ме-
зонов является бозе-полем. Другими словами, предположим, что
[Фр(х, t), фя(х', *)]+ = [фл(х, t),
(для двух различных точек х и х').
Тогда по теореме 2, ввиду существования процесса взаимо-
взаимопревращения P-j-P—>P-\-N-{-n+, мы заключаем, что должны
иметь место соотношения

§ 6. Примеры 217
ИЛИ
к МЛ, л=о.
Следует заметить, что не все коммутаторы
[Фр« <Ы-> [Фр. V,]-. [фда ?.]-
могут одновременно быть равными нулю. Процесс
Р-\-Р—*Р-\-Р-\-п° указывает на то, что поле нейтральных
тт-мезонов (тг°) должно коммутировать со всеми другими полями
(скажем, полем X):
[<рх0, Х] = 0, A0.98а)
например,
[<Ьр, <Р*„]_=[фЛ'» ?«<>]_ =0.
Поэтому если предположить, что заряженные тт-мезоны и ней-
нейтральные тг-мезоны подчиняются перестановочным соотношениям
одинакового типа, то для них надо исключить перестановочные
соотношения A0.97) и принять соотношения A0.96). По-видимому,
этот результат говорит в пользу того воззрения, что протон и
нейтрон являются двумя различными состояниями одной частицы
(т. е. нуклона).
Таким образом, мы видим, что существование различных про-
процессов накладывает ограничения на возможные типы соотношений
коммутации.
Пример 5. Взаимодействие и отражение времени
Подробное обсуждение вопросов, связанных с отражением .вре-
.времени в квантовой теории поля, было проведено в гл. 8, пример 5.
Сейчас мы приведем несколько примеров взаимодействий, которые
исключаются требованием инвариантности теории относительно
отражений времени.
Из A0.45) с учетом (8.73) получаем
« I"' / f-f'\ v nW^V Гя1 МП QQ\
1ЁГР7\—\п \.х-п\) TLaJ- (Ш.УУ)
Поэтому инвариантность уравнения Шредингера A0.45) наклады-
накладывает на гамильтониан взаимодействия следующее условие:
H'['QaCx)} = (H'[Qa(xW. A0.100)
Здесь обозначение H'[Qa] показывает, что гамильтониан Н'[х: п]
построен из операторов поля Qa. Условие A0.100) требует, чтобы
гамильтониан взаимодействия относительно отражений времени
имел положительную четность [см. (8.86)].

218 Гл. 10. Квантовая теория взаимодействующих полей
Теперь можно доказать, что в случае //, приведенном в гл. 8,
пример 5, линейные комбинации скалярных взаимодействий и век-
векторного взаимодействия не могут дать правильных взаимодействий
между дираковским полем ф и вещественным (и поэтому ней-
нейтральным) скалярным полем U. Действительно, как это видно из
табл. 3 (стр. 171), инвариантность величин Щи и ф^фд^С/ при-
приводит к неправильному и невозможному заключению, что при
этом взаимодействии величины U и dJU должны вести себя соот-
соответственно как четный скаляр и нечетный вектор.
С помощью тех же предпосылок можно доказать, что невоз-
невозможна также линейная комбинация псевдотензорного и псевдовек-
псевдовекторного взаимодействий между дираковским и вещественным
псевдоскалярными полями [7].
В случае взаимодействий между комплексными бозе-полями и
дираковскими полями, или при ^-взаимодействиях, константы связи
являются комплексными величинами, и поэтому можно заключить,
что требование инвариантности относительно отражений времени
накладывает ограничение на фазы этих констант [16]. Детерми-
Детерминант матрицы А для а-поля при отражении времени мы будем
обозначать через р,; абсолютная величина этого детерминанта | р„|
должна быть равна единице [см. C.20)]. Далее, для веществен-
вещественного поля величина р„ должна быть вещественной. Однако для
комплексных полей эта величина может быть комплексной.
Для случаев взаимодействий между комплексными бозе-полями
и нейтральным спинорным полем фа или заряженным спинорным
полем ф& имеем
/ф'фР?/+/*ф3ф°'?У* (скалярное взаимодействие), A0.101а)
/Ф*Т«Ф^—f*?^^fU* (псевдоскалярное взаимодействие), A0.1016)
/tj>*Y Ф?Ц^—/"Ф^ТиФ*^* (векторное взаимодействие), A0.101в)
,1ф'^/* (псевдовекторное взаимодействие). A0.101г)
Из требования инвариантности относительно отражения времени
(в случае //) получаются следующие условия:
f?l?rt=f*- A0.102)
В том же случае пять ^-взаимодействий вида G.121) при от-
отражении времени дают следующее простое условие:
ё?Ж?а=?*- (Ю.103)
Если предположить, что все фазовые множители ра, ... , ра
равны единице, то это условие требует, чтобы константа связи g
для ^-взаимодействия была вещественной.

,$ 6. Примеры 219
Пример 6. Спин заряженного ъ-мезона
Когда взаимодействие инвариантно относительно отражения
времени, рассуждения, приведенные в гл. 8, пример 5, и рассуж-
рассуждения, изложенные в предыдущем примере 5, показывают, что
матричный элемент 5-матрицы для процесса @-*/) эквивалентен
матричному элементу обратного процесса (/-*-0), если эти матрич-
матричные элементы усреднить по величинам, которые относительно
отражений времени обладают отрицательной четностью. Поэтому
отношение вероятности перехода dWf+-o к вероятности перехода
dwo *- /, отнесенных к единице времени и единице энергии конеч-
конечных состояний, имеет вид
dw,. п рр,
¦fzHt (I0-l04)
где ря„ и pEf — плотности конечных состояний соответствующих
процессов, отнесенные к единице энергии.
Рассмотрим случай, когда 0- и /-состояния являются состоя-
состояниями системы из тг+-мезона и дейтрона и системы из двух про-
протонов (P-j-P) соответственно. Тогда dw/*-o и dwj<_f описывают
соответственно поглощение тг+-мезона дейтроном и рождение тг-ме-
зона и дейтрона при столкновении двух протонов. Обозначая им-
импульс и энергию протона и тг-мезона соответственно через (р, Е )
и (к, еА), будем иметь в системе центра инерции
здесь S—спин тг+-мезона, а B5-j- 1) — число возможных спиновых
состояний тг+-мезонов. Множитель 3 появляется за счет того, что
дейтрон находится в '^-состоянии; величины dilf и d9.a являются
малыми пространственными углами, в которые рассеиваются про-
протоны и тг+-мезоны в конечных состояниях. Поэтому вероятность пе-
перехода, отнесенная к единице времени, единице пространственного
угла и единице энергии дается выражением [8, 1]
dw,^nldw,^_f 2 1 рЕ„
Сравнение A0.106) с данными эксперимента позволило заклю-
заключить, что спин тг+-мезона равен нулю [3, 2]. Следовательно, если
считать тг~-мезоны и тт+-мезоны различными зарядовыми состоя-
состояниями поля, то надо считать, что спин тг~-мезона равен также
нулю. Далее, экспериментальные данные по поглощению тг~-мезонон

220 Гл. 10. Квантовая теория езаимоОействующпх полей.
дейтерием, по-видимому, указывают на то, что заряженные тг~-ме-
зоны описываются псевдоскалярным полем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cheston W. В., Phys. Rev., 83, 1118 A951).
2. Clark D. L., Roberts A., Wilson R., Phys. Rev., 83, 649 A951).
:i Durbin R., Loar H., Stein b e rger J., Phys. Rev., 83, 656 A951).
4. Hay a shi C, Prog. Theor. Phys., 10, 533 A953).
5. Katayama Y., Prog. Theor. Phys., 10, 31 A953).
6. Kinoshita Т., Phys. Rev., 96, 199A954).
7. Liiders G., Zs. f. Phys., 133, 325 A952).
H. Marshak R. E., Phys. Rev., 82, 313 A951).
9. О n e d a S., U m e z a w a H., Prog. Theor. Phys., 9, 685 A953).
10. Paul i W., Nuovo Cimento, 10, 648 A953).
11. Ray ski J., Acta Phys. Polonica, 11, 109 A952).
12. Sch winger J., Phys. Rev., 74, 1439 A948) (см. перевод в сборнике
Новейшее развитие квантовой электродинамики, ИЛ, 1954).
13. Та ka ha shi Y., Umezawa H., Prog. Theor. Phys., 9, 1 A953).
14. Tomonaga S., Prog. Theor. Phys., 1, 27 A946) (см. перевод в сборнике:
Новейшее развитие квантовой электродинамики, ИЛ, 1954).
15. Umezawa H., Prog. Theor. Phys., 7, 551 A952).
16. Umezawa H., Kamefuchi S., Tanaka S., Prog. Theor. Phys., 12,
383 A954).
17. Umezawa H., Podol an ski J., One da S., Proc. Phys. Soc, 195'
18. Umezawa H., Takahashi Y.v Prog. Theor. Phys., 9, 501 A953).

ГЛАВА 11
Различные теоремы
§ 1. Калибровочная инвариантность
Квантовая теория поля в гейзенберговском представлении имеет
рму, инвариантную относительно калибровочного преобразования
G.66). Однако если это калибровочное преобразование применить
к величинам в представлении взаимодействия, то в соотношениях
коммутации (8.14а) для заряженных полей появится множитель
exp(ie\(x)— ie\{x')). Поэтому калибровочное преобразование в
представлении взаимодействия можно записать в виде [5,7]
Теперь можно доказать, что квантовая теория поля инвариантна
относительно преобразования A1.1) [8]. Используя A0.78а),
х 10.82а), A0.83а) и A0.836), имеем
+ 7 <?* fa [у; (х1), /,(х)] Л (х') д,Л(л;)
a
1 е' J da» J do'r[/t (x"), fy; (x% j\ (х)]] Л (л;') Л (х')д^ {
X dl{j9ix': л] • d^ (x' - х)} + i e' J rfa^ J rfa^ Л (л") Л (л;') • д,Л (л) X
.== A1.2)

222 Гл. 11. Различные теоремы
где принята во внимание следующая общая формула:
в которой G s bF\ba.
С другой стороны, используя A0.75), A0.78а), A0.83а) и
A0.836), получаем
- & S К U (*')> Л W] Л (х1) А, (х) -
а
^UAx'), /„[*:я]]Л(х')^И^
= - ^ (х)\ (х) - j е%ч [х: я] А^ ИЛ(-«) - <?%, [^: «J а*Л (¦«) X
Мх). A1.3)
Так как уравнение Шредингера может быть записано в виде
то имеет место уравнение
Это уравнение и A0.75) демонстрируют инвариантность уравнения
Шредингера относительно калибровочного преобразования A1.1).
Далее, используя A0.836), имеем
U-1 [a]
= д^ (х) - е J dew; (л') Д„ (л - х') =
о
=<VC (¦«) — е S ^,'у; (л') др (х—х').
Из этих соотношений видно, что условие Лоренца A0.87) инвари-
инвариантно относительно преобразования A1.1).

$ 2. Соотношение между веществ, векторным и электромагн. полями 223
§ 2. Соотношение между вещественным
векторным полем U^ и электромагнитным полем
В этом параграфе будет доказано, что квантовая теория элек-
электромагнитного взаимодействия может быть получена в качестве
предельного случая (х —>- 0) теории векторного взаимодействия
вещественного (нейтрального) векторного поля U^ (с массой х) [4,8].
Взаимодействие, полученное из лагранжиана свободного заряжен-
заряженного поля Qa, мы будем называть векторным взаимодействием,
если оно может быть введено в теорию с помощью следующей
замены*):
здесь /—константа связи.
В отличие от равенства A (jc) = ЛД.х/а], приведенного
в гл. 10, пример 2 [см. A0.70)], сейчас имеем равенство
где точка х расположена на о. Действительно, A0.25) приводит к
равенству
U,(*) = ?/„ [|]-i-
A1.66)
в котором ток J^ определен соотношением
и поэтому может быть получен с помощью G.35а) [см.' A1.5)].
Другими словами, величина J^ определяется формулой G.356) для
электрического тока, но без заряда е. Поэтому J^ удовлетворяет
уравнению непрерывности
Второй член в A1.66) может быть вычислен с помощью соотно-
соотношения
= <ЭД (е (х — х') • Д (х — х')) — в(х — х') д^ Д(х — х') =
= dj, е (х — х') • Д (х — х') -f d,e (х—х') ¦ д„Д (х — х')
причем величина в правой части на основании (8.20г) равна
") В этой главе мы для обозначения величин в гейзенберговском представ-
представлении и представлении взаимодействия пользуемся соответственно жирным и
светлым шрифтом.

224 Гл. 11. Различные теоремы
Используя A0.19), получаем
U, (х) = U [Ц + I/Jv (х)п^ (х) щ (х).
С другой стороны, тем же методом, который был использован при
получении A0.786), можно показать, что
S [a (x)]J, (x)S~1[a (x)] и, (х) =/, (х) пч (х).
Тем самым мы доказали равенство A1.6а).
В согласии с A0.75) примем, что гамильтониан взаимодействия
имеет вид
Н'[х:п]= - fj^xp,. {x)-j
Действительно, гамильтониан A1.8а) может быть обоснован для
заряженных полей с малой величиной спина E < I). Последний
член в A1.8) появляется за счет последнего члена в A1.6а).
В формализме Штюкельберга (см. гл. 7, пример 6), в котором
гамильтониан A1.8а) может быть представлен в виде
Кроме того, мы имеем следующие условия:
{дЛ(*) + *В(л)}«Р = 0 A1.9)
[см. G.103)].
Уравнения поля для А^ и В получаются из G.102) и A1.5) и
имеют вид
(D-*1)^ (¦*) = -/¦!,, (л),
(а - х2) в, (х)=-/дд, (л)=о.
С помощью A0.30) получаем
M(d)B(x) = (S [а] Щд) В {х) S-\a])xle.
В частности,
( 5[]1[] (П.бв)
(П.бг)

§ 2. Соотношение между веществ, векторным и электромагн. полями 225
Из A0.30) и соотношений коммутации (8.60) следует [см.A0.84)]
Al,{x) = (S[a]\(x)S-1[a]xe,
д,Д (х) = (S [а] д„\ (х) S-\a])xl, +
Jv(^')S-1[cr][dv, e(x-x')]\(x-x') =
+ 2-L/J dV5 [а] .\ (У) 5"' [а] [дД, е (х - л')] Д (х - х') =
= (S[a]avdlli4ll(jcM-1[a]),/.+/\ do'j^x1)д'. Д(л' —л). (И.бе)
Эти соотношения будут нами использоваться при выводе условия
/Ъренца.
С помощью унитарного преобразования
уравнение Шредингера можно переписать следуюишм образом;
откуда следует
(ii.li)
Вместо того чтобы пользоваться A1.2) и A1.3), это можно полу-
получить с помощью соотношений
()) }+ (П.Юа)
f J rfc4i (у) ^ (л) № W' д*в W1=
a
[x:n]dtB{x) д,В(х)\ -
X. Умэдзава

226 Гл. 11. Различные теоремы
(х) + Т
-^fuAx-n] дчВ(х)'[\(х)+±длЩх) +
- Lf U, (х) п0 (х))* +~р\ daj, (x')j\ (x) [В (х1), д,В (X)] =
[см. (8.60)].
Члены в первых скобках в соотношениях A1.10а). и A1.106)
можно получить из A1.2) и A1.3), заменив в них величины еХ(х)
и A^ix) соответственно величинами
—f)ад и ^
Последние члены в A1.10а) и A1.106) являются вкладом, связан-
связанным с операторными свойствами величин В(х) и с последним
членом в A1.86).
С другой стороны, можно показать, что
для чего можно воспользоваться тем же методом, который был
использован при выводе A0.85). Тогда условия A1.9) с учетом
(П.бв) — A1.бе) приводят к условию
-f[da>" Sd

§ 4. Теорема эквивалентности 227
Таким образом, получаем
[д^х) + хВ(х) -/ J Л;У;(х') И(х-х')]Ч»[а] = 0; A1.12)
а
здесь л не должно обязательно лежать на поверхности и.
Мы видим, что в предельном случае х—>-0 A1.12) и A1.11)
уквивалентны условию Лоренца A0.87) и уравнению Шредингера
квантовой электродинамики. Более того, A1.11) показывает, что
компонента В в представлении взаимодействия не дает никакого
вклада в изменение вектора состояния.
§ 3. Векторное взаимодействие вещественного
скалярного поля
Уравнение A1.11) показывает, что при ^ = 0 вектор состояния
lV [а] постоянен. В этом случае векторное взаимодействие, рассмот-
рассмотренное в последнем параграфе, совпадает с взаимодействием между
вещественным скалярным полем U( = B) и заряженными полями
Qa, а замена A1.5) может быть записана в виде
Таким образом, векторное взаимодействие вещественного скаляр-
скалярного поля не приводит ни к каким физическим эффектам.
§ 4. Теорема эквивалентности
Относительно зарядово-независимых взаимодействий между по-
полями U(i){i— 1, 2, 3), спин и изотопический спин которых равен
соответственно 0 и 1, и дираковскими полями Ф с изотопическим
спином '/г (см- гл- 7» пример 10) можно высказать приближенную
теорему'), аналогичную теореме, установленной в § 3.
Обозначим массы полей U® и <1> соответственно через х и jx.
Для векторного взаимодействия скалярного поля ?/w имеем
[см. A0.66)]
Н [х-п\ — — i ( — jtyt^ffd и® — #i (Фум.т,4ла)(ФТрх14ло)- (Л-14)
Теперь можно установить следующую теорему, доказательство
которой мы не приводим.
') Приближенный характер этой теоремы связан с тем обстоятельством
что некоторые заряды бозе-поля могут превращаться в заряды дираковского
поля и поэтому электрический ток дираковского поля не может удовлетворять
уравнению непрерывности, которым мы пользовались в § 1, 2 и 3.
15*

228 Гл. 11. Различные теоремы
В том приближении, в котором можно пренебречь членами
со степенями g" (при п^З), векторное взаимодействие A1.14)
приводит к тем же самым физическим эффектам, к которым
приводит взаимодействие
A, 2, 3) У *'
где У] означает суммирование по значкам (i, k, I), пробегаю-
A , 2, 3)
щим значения A,2,3) в циклическом порядке.
В случае псевдоскалярного поля ?/"> мы рассматриваем псевдо-
ч-алярное (PS) и псевдовекторное (PV) взаимодействия [см. A0.69)]:
для
(PS),
Теперь можно высказать следующую теорему.
В том приближении, в котором можно пренебречь членами
со степенями f (при п Ss= 3), псевдоскалярное взаимодействие
приводит к тем же самым физическим эффектам, к которым
приводит взаимодействие
A,2, 3) 1 "
Доказательства этих теорем эквивалентности аналогичны дока-
доказательствам, проведенным в § 1, 2 и 3, т. е. с помощью унитар-
унитарного преобразования, зависящего только от поверхности и [2].
Теорема A1.15) показывает, что если бы тт-мезоны описывались
заряженным скалярным полем, то их векторное взаимодействие не
имело бы никакого эффекта на ядерные силы в приближении, учи-
учитывающем члены g-2. С другой стороны, как это видно из A1.17)
и A1.18), если тг-мезоны описываются заряженным псевдоскаляр-
псевдоскалярным полем, то их псевдовекторное взаимодействие оказывает на
ядерные силы тот же эффект, что и псевдоскалярное взаимодей-
взаимодействие, константа связи которого равна /= — 2jxg-/x [6, 3, 1]. В этих
теоремах массы двух спинорных частиц (протонов и нейтронов)
предполагались одинаковыми. Поэтому точность теорем эквивалент-

Литература °29
ности в случае взаимодействия я-мезонов и нуклонных полей ввиду
разницы масс протона и нейтрона несколько ухудшается. Вклады
в вероятность рассеяния тг-мезона и нуклона дают третий и чет-
четвертый члены в выражении для гамильтониана A1.17).
ЛИТЕРАТУРА
1. Case К. М., Phys. Rev., 76, 14 A949).
2. D r e 11 S. R., H e n 1 е у Е. F., Phys. Rev., 88, 1053 A952).
3. Dyson F. J., Phys. Rev., 73, 929 A948).
4. G1 a u b e r R. J., Prog. Theor. Phys., 9, 295 A953).
5. Koba Z., Tati Т., Tomonaga S., Prog. Theor. Phys., 2, 101, 108A947).
6. Nelson E. C, Phys. Rev., 60, 830 A941).
7. Sch winger J., Phys. Rev., 74, 1439A948) (см. перевод в сборнике: Новей-
Новейшее развитие квантовой электродинамики, ИЛ, 1954).
8. Umeza wa H., Prog. Theor. Phys., 7, 551 A952).

Г Л Л В Л 12
Квантовая теория поля
в гейзенберговском представлении
§ 1. Собственное поле источника
В представлении взаимодействия состояния полей представляют-
представляются совокупностью свободных частиц, причем эти состояния со вре-
временем изменяются в соответствии с видом гамильтониана взаимо-
взаимодействия, входящего в уравнение Шредингера. В гейзенберговском
представлении эффекты взаимодействия включены в величины,
описывающие поля; эта особенность описания имеет место также
в классической теории поля. Пользуясь этим, Гейзенберг [2] раз-
разработал теорию излучения в гейзенберговском представлении, в ко-
котором интенсивность излучения вычислялась как математическое
ожидание от оператора числа фотонов. С движением электрона
связано изменение электромагнитного поля вокруг электрона с тече-
течением времени. Фотоны высокой энергии излучаются и приводят к
явлениям тормозного излучения, а фотоны малой энергии, которые
не могут излучаться, приводят к явлениям собственного поля (т. е.
поля связанных с электронами фотонов).
В данной главе мы изложим квантовую теорию поля в гейзен-
гейзенберговском представлении в ковариантной форме для случая произ-
произвольного поля Qa{x). Все операторы, которыми мы будем пользо-
пользоваться в этой главе, берутся в гейзенберговском представлении.
Волновые уравнения в гейзенберговском представлении имеют
вид [см. A0.20а)]
x) = J.(x). A2.1)
Мы будем считать, что сходящаяся волна С}УпЦх) вступает во
взаимодействие в момент времени, бесконечно отдаленный в прош-
прошлое так, что
Q.(x) = Q?x). *(*) = -оо. A2.2)
Поэтому величина О?"ЧХ) удовлетворяет волновым уравнениям
свободных полей
(*) = 0. A2.3)
Отсюда легко видеть, что в формулах гл. 10 операторы поля в
представлении взаимодействия можно заменить операторами Q?'"> (х)
в гейзенберговском представлении.

§ 1. Собственное поле источника 231
Мы будем пользоваться старыми обозначениями, но с добавле-
добавлением индекса (in) у тех величин, в которых операторы поля в пред-
представлении взаимодействия заменены операторами Q?'">(jc).
Соотношения коммутации для О-'"Цх) имеют вид
-x'). A2.4)
Далее, величина Qa(x) может быть переписана следующим образом
[см. A0.23)]:
l х')Ма(х'). A2.5)
Пользуясь унитарным оператором S[a], удовлетворяющим уравне-
уравнению
^ . A2.6)
мы вводим величину Qa[x, и] с помощью равенства [см. A0.4а)] [7]
Q.[x,o] = S-1[a]^{x)S[a]. A2.7)
Поэтому мы имеем
x,a] = 0. A2.8)
Соотношения коммутации для Qa [x, о\ даются соотношениями
A0.6). Поэтому Qz(x) можно записать в виде [см. A0.25)]
A2.9)
Второй член в A2.9), зависящий только от операторов поля на
поверхности и, равен нулю, когда Qa(x) являются независимыми
каноническими переменными [см. A0.44)]. Поэтому A2.9) можно
интерпретировать следующим образом: если можно было бы сделать
взаимодействие исчезающим на поверхности а, то частицы, которые
были связаны с источником взаимодействием, стали бы свободными
частицами и их состояния описывались бы с помощью свободного
поля Qa[x,a].
Ввиду того что величины Qa[x, а] удовлетворяют уравнениям
свободного поля, их можно разделить на части, связанные с поло-
положительными и отрицательными частотами; таким образом, можно
положить
Qa[х, а] = Q+[x, a] + Q7[x, aj, A2.10а)
Q(<«>U) = Q("»+ (x) + Qf >- (x), A2.1 Об)
A2.11)

232 Гл. 12. Квантовая теория поля в гейзенберговском представлении
Используя разложение Фурье для Q^[x, а] и Q4n)-(x), данные ра-
равенством (9.21), имеем
Hf[fe,a] = 5-Ib]«?"n)=fc(feM[a]. A2.12
Величины и(/п)± (k^) можно рассматривать как операторы уничтоже-
уничтожения и порождения частиц с энергией и импульсом ktJ_.
Так как вакуум Фо является состоянием с наименьшей энергией,
то можно получить следующее равенство [см. (9.36)]:
<№°]Ф.1>] = 0, A2-13)
в котором
Ф0[а] = 5[а]Ф0. •
На основе (9.20) можно ввести операторы числа частиц Nr[k,a]
свободных полей Qf [л, а]. Таким образом, Nr[k, a] дает число
(k, г)-частиц на поверхности a [5].
Если через Л^'п) (k) обозначать оператор числа частиц свободных
падей 0?"Цх), то можно написать
Nr[k,a] = S-l[o]N«HHk)S[a], A2.14а)
Л^('«) (k) = uV")* ~ (k) H«f">+ (A). A2.146)
Математическое ожидание числа (k, г)-частиц на поверхности о равно
(ArrL^a]H = 4J*Arr[*.o]* = llf'*M^n)(A)ll;'[4 A2.15)
где 11г[а] [см. A0.1)J определяется соотношением
V'[a]sS[o]'F. A2.16)
§ 2. Примеры
Прежде всего рассмотрим скалярное взаимодействие L'=fbbU
между скалярным полем U (х) и дираковским полем Ф (х). Мы имеем
— / J йАх'Ь{х — х')Ъ{х')-Ь(х'). A2.17а)
— 00
Отсюда следует
a
U+[x,c] = Utin)+(x)—f J d*x'Ь+(х—х') ¦ Ъ{х')-Ь{х'). A2.176)
Оператор числа скалярных частиц на поверхности а имеет вид
U+ix^jrd^lx,^.. A2.18)

2. Примеры 233
Используя (9.43), легко убедиться, что коэффициенты Фурье вели-
величины A2.18) совпадают с A2.14а).
Теперь A2.17а) можно записать в виде
taM A2.19)
(л0 — ft0)
причем О (k) — коэффициенты Фурье в разложении
, A2.20a)
a tz — время, характеризующее поверхность а, которую мы будем
считать плоской. В A2.19) величина Ко имеет значение
а четырехмерный вектор К^ определяется как А^ = (к, Ко)- Из
A2.19) и A2.20а) очевидно, что k0 и к описывают изменение энер-
энергии и импульса спинорной частицы, вызванное реакцией скалярного
поля.
Если считать, что скорость v спинорной частицы, являющейся
источником, заметно не меняется и О (k) можно рассматривать как
с-число
Щ . A2.206)
то можно написать равенство
U+ [|] -U^(x)={^\d^k^ = y^e-^ A2.21)
в котором г=Уxtxt. При выводе этого равенства была исполь-
использована формула
Из A2.20а) следует, что Ф (х) ф (х) ^- Ь (х), и поэтому начало
координатной системы расположено в точке нахождения частицы,
являющейся источником, а г — расстояние от этого начала.
Равенство A2.21) описывает собственное поле частицы, являю-
являющейся источником, т. е. описывает скалярное поле, индуцирован-
индуцированное его взаимодействием с источником. Поэтому величина N[a]
дает число скалярных частиц этого собственного поля. Это соб-
собственное поле в пространстве изменяется как e~yLrjr, и поэтому
эффективный радиус его действия равен a ^=(ljx).

234 Гл. 12. Квантовая теория поля в гейзенберговском представлении
Это обстоятельство физически может быть истолковано следую-
следующим образом [6].
В силу закона сохранения энергии-импульса свободная частица
не может излучать скалярные частицы. Однако в силу соотноше-
соотношения неопределенностей имеет место некоторая неопределенность
энергии, и поэтому может иметь место излучение частиц малых
энергий. Мы рассмотрим эксперимент, в котором скалярные частицы,
излученные источником, поглощаются в точке г. Так как это явле-
явление происходит в течение промежутка времени = riv (v — скорость
скалярной частицы), то неопределенность энергии дается выраже-
выражением ')
^Е^<у. A2.23)
Поэтому условие возможности излучения п скалярных частиц можно
записать в виде
nxhc < &.E < у,
или
i. A2.24)
Таким образом, вероятность наблюдения п скалярных частиц в об-
области r>(l//zx) весьма мала. Область, в которой мы можем обна-
обнаружить по крайней мере одну скалярную частицу, определяется
неравенством г<A/х). Другими словами, область, занимаемая
собственным полем, равна a = (\jx).
Из предшествующего изложения видно, что если не пользо-
пользоваться приближением A2.206), то п скалярных частиц дают члены
вида е~тг. Далее, рождение пар приводит к появлению собствен-
собственного дираковского поля частицы, являющейся источником, причем
в этом поле т пар дают члены вида е~2т*г (ц — масса дираковской
частицы). Условие A2.24) показывает, что в бесконечной близости
к источнику имеется бесконечное число частиц высоких энергий,
которые приводят к появлению бесконечных значений для различ-
различных физических величин (например, полной энергии, полного заряда
полей и т. д.). Бесконечная энергия поля приводит к так называе-
называемой собственно энергетической расходимости. Эта проблема будет
обсуждена нами в последующих главах.
Когда две дираковские частицы ф(х) и ф(х') приближаются
друг к другу, одна из частиц 6 (х') взаимодействует со скалярным
полем U[x'ja], окружающим также другую частицу Ь(х), причем это
взаимодействие описывается членом —fty(x')ty(x')U[x'JG]. Каквид-
*) с — скорость свега.

§ 2. Примеры 235
но из A2.21), это приводит к тому, что потенциал взаимодействия
между двумя частицами имеет вид
К(х,х') = 1/*1в—; A2.25)
здесь г — расстояние между х и х'. Если считать, что эти две
частицы и скалярное поле являются соответственно нуклонами и
полем тт-мезонов, то V(x,x') является ядерным потенциалом.
Если аналогичные рассуждения применить к системе из двух
электронов и электромагнитного поля, то формула A2.25) дает
электромагнитный потенциал между двумя электронами. В послед-
последнем случае V(x, x') зависит от г, как 1/г, и имеет бесконечный
радиус действия, так как х = 0. Это хорошо известное свойство
кулоновского поля. Таким образом, собственные поля являются
промежуточными для взаимодействия полями, приводящими одно-
одновременно и к трудностям с расходимостями.
Эта картина собственных полей недавно была подтверждена
успешными предсказаниями квантовой электродинамики. Поэтому
можно ожидать, что дальнейшие поиски наблюдаемых эффектов
собственного поля будут весьма ценными в формулировке правиль-
правильной теории элементарных частиц.
Подставляя A2.19) в A2.18), получаем число частиц в собствен-
собственном поле в виде
A2'26)
Если считать, что скорость источника остается приблизительно
постоянной, то величина изменения энергии источника равна
fcoMk-vI).
Полученные выше результаты можно применить к квантовой
электродинамике, если заменить O(k) величиной О^ (к), определяе-
определяемой с помощью соотношения
= S d*k °* W е'к^- A2-27)
Теперь применим эти результаты к проблеме тормозного излуче-
излучения фотонов малой энергии электронами, обладающими также малой
энергией. Мы будем пользоваться упрощенными методами, однако
более строгие методы приводят к тем же результатам [1, 5, 4].
') Если р — импульс падающей частицы, то

236 Гл. 12. Квантовая теория поля в гейзенберговском представлении
Как показано с помощью A2.27), величина О^ в нерелятивистском
приближении может рассматриваться как
O^v^ (vt = i). A2.28)
С другой стороны, выражение A0.24) дает
А+[л, а] = Л([">+ (х) + у J d*k щ?^!гц- <? <**'и.+(К,-*д U). A2.29)
Электромагнитное поле АА+[х, а], излученное электроном, пред-
представляется разностью электромагнитных полей до и после рассея-
рассеяния электрона. Поэтому
здесь через ДО^ обозначено изменение величины Оа, обусловлен-
обусловленное рассеянием электрона.
Число фотонов электрсмагнитного поля определяется формулой
A2.26) и равно
Мы можем получить эффективное сечение рождения фотонов,
рассматривая рождение протонов как последовательное повторение
актов рождения отдельных фотонов в короткие промежутки вре-
времени, связанных с последовательными изменениями состояний элек-
электрона. Ввиду того что рождаемые фотоны имеют малую энергию,
изменение состояния электрона в результате каждого отдельного
акта рождения фотона является малым и может рассматриваться
как процесс, независимый от изменений, связанных с другими актами
излучения. Другими словами, вероятность рождения я фотонов опи-
описывается приблизительно распределением Пуассона. Поэтому, рас-
рассматривая выражение A2.30) как вероятность рождения фотона (kj,
мы для вероятности рождения па фотонов с энергией и импуль-
импульсом (ka, ka -\- dka) (a = 1,2,...) получаем выражение
dw = е~" IVl'Jl \-\(AN(ka))»«d3ka] ; A2.31)
здесь | V|* — вероятность рассеяния электрона внешним потенциа-
потенциалом, а п определяется выражением
A2.32)
Область интегрирования в A2.32) определяется законом сохранения
энергии-импульса.
Выполняя в A2.31) интегрирование, получаем разумный резуль-
результат, что вероятность w рассеяния электрона, сопровождаемого

Литература 23?
рождением некоторого фотона, равна вероятности рассеяния элек-
электрона Г I )
\V\*\ ?^я J |l/|2 A2.33)
В гл. 13, пример 4, мы применим эти результаты при рассмо-
рассмотрении вопроса об „инфракрасной катастрофе". Аналогичный метод
применяется для изучения множественного рождения мезонов [3].
ЛИТЕРАТУРА
1. В loch F., Nordsieck A., Phys. Rev., 52, 54 A937).
2. Heisenberg W., Ann. d. Phys., 5, 339 A931).
3. Lewis H. W., Oppenheimer J. R., Wouthuysen S. A., Phys. Rev.,
73, 127 A948).
4. Thirring W., Touschek В., Phil. Mag., 42, 244 A951).
5. U m e z a w a H., T a k a h a s h i Y., К a m e f u с h i S., Phys. Rev., 85,505A952).
6. Wick G. C, Nature, 142, 993 A938).
7. Yang С N., Feldman D., Phys. Rev., 79, 972 A950).

ГЛАВА 13
Теория возмущений
§ 1. Теория возмущений
Под теорией возмущений понимают такие приближенные мето-
методы, в которых изменение состояния системы выражается в виде
комбинации малых изменений состояний, каждое из которых
обусловлено малым эффектом возмущения, причем для сравнения
с экспериментом учитываются лишь члены низшего порядка. Та-
Такими методами в физике пользуются очень широко.
Для решения уравнения Шредингера в квантовой теории поля
использовались различные приближенные методы. Точное решение
этого уравнения является трудной задачей, поскольку благодаря
операторному характеру взаимодействия гамильтониан становится
^-числом. Наиболее распространенным приближенным методом ре-
решения является теория возмущений „слабой связи", когда система
свободных полей (т. е. невозмущенная система) возмущается гамиль-
гамильтонианом взаимодействия Н'[х:я]. Настоящая глава посвящена рас-
рассмотрению теории возмущений слабой связи в представлении взаимо-
взаимодействия. Эту теорию можно применять только в том случае, когда
вклад от первых членов степенного ряда гамильтониана взаимодейст-
взаимодействия быстро стремится к определенному пределу. Однако могут су-
существовать и такие взаимодействия, для которых указанное предпо-
предположение и не соблюдается. Например, как показано в гл. 7, при-
пример 11, константа связи для взаимодействия между тт-мезонами
и нуклонами, по-видимому, не достаточно мала, чтобы было
выполнено указанное условие. Более того, даже в квантовой элек-
электродинамике представляется весьма странным, что результаты
первых приближений теории возмущений хорошо согласуются с
результатами экспериментов, потому что, как указано в примере
предыдущей главы, собственные поля обусловливают появление бес-
бесконечных членов в высших приближениях теории возмущений.
Причина этого странного обстоятельства будет выявлена в после-
последующих главах.
Вектор состояния Ч;[а] и математическое ожидание оператора
F(x) на поверхности а определяются с помощью S[a], как это
показано в A0.46) и A0.48). Применяя к A0.50) метод последова-

§ 1. Теория возмущений
239
тельных приближений, можно S[a, а'] представить в виде
A3.1)
A3.2)
fa, а']=(-;Г S Л*, J dX ... J
.H'[xm:n],
где am — пространственно-подобная поверхность о (хт) (проходящая
через хт). Соотношения A3.1) и A3.2) приводят к формуле
S-i[a(x),er\F(x)S[e(x),<f] =
s r
Х[//'К:«], [//'К_1:«], [... [H'{Xl:n\,
Полагая в A3.1) и A3.3) о'== — оо, получаем соответственно 5[а] и
Вероятность перехода w{f, i) между двумя состояниями Ф. и
•Р,- дается с помощью A0.49) и имеет вид
w(f,i) = (f\S*[a]\i)(f\S[a]\i).
Если о — плоская поверхность, характеризуемая моментом време-
времени /, то вероятность перехода, отнесенная к единице времени,
может быть вычислена по формуле
.0= /
-^-5*[a] i)(f S[a]
d
A3.4)
Считая, что в A3.2) а является плоской поверхностью, характе-
характеризуемой временем t, мы видим, что матричный элемент опера-
оператора S[a] равен
{f\S[a{t)]\i) =
здесь / и i — собственные состояния оператора свободной энергии
7^ с собственными значениями Е1 и Et. Используя (8.306), получаем
(/\S[a(t)]\i) = 2nS[Ef, Е;)е<<*'-*•><«_(?, — ?,). A3.5а)
Переходя к пределу t —<¦ оо, будем иметь 5-матрицу
i/\S[oo]\i)=2ttS(Ef,Et)i(Ef — Ei). A3.56)

240 Гл. 13. Теории возмущений
Формулы A3.5а) и A3.4) дают вероятность перехода из со-
состояния i в состояние /, отнесенную к единице времени [с энергией
Ер заключенной в интервале (Ef, Ef-\-\E)]. В самом деле
= 2л j \S(E,
HE
A3.6)
b.E
где pFdE—число состояний в интервале энергий (Ef, Ef-\-dE).
Энергия возмущения 8 W системы может быть вычислена
согласно соотношению
iW=(i\S-*[<j]TJS[<j]-rA\i), A3.7)
в котором через / обозначено невозмущенное состояние Ф;, явля-
являющееся собственным состоянием оператора Т\
Тф.
В следующем параграфе мы представим соотношение A3.7) в виде
m, 1 = 0
A3.8)
Теперь энергию возмущения можно вычислить по A3.8), ис-
используя выражение для S[a].
§ 2. Нековариантные формулы
В этом параграфе мы предположим'), что ат является плоской
поверхностью a(trn), характеризуемой определенным временем tm,
•л что взаимодействие было включено адиабатически в момент
бесконечно прошедшего времени. В соответствии с последним
предположением гамильтониан взаимодействия Н'[х:п] вA3.2) заме-
заменим на Н'[х:п] ехр(— е'\t\), причем переход к пределу г'—>-0 со-
совершим в конце вычислений.
Совершая интегрирование по времени в равенстве A3.2), можно
•н-й член в выражении для S(Ef, Е{) записать следующим обра-
юм [см. A0.52)] [16]:
^)=я2 ... 2(/|//'H*)]|w-i)X
i — 1 [ Н' [о {t)\ \tn — 2) (I [ М' [о (^)] | /) j ^ '
Тр рл * • " (р р.\ I •
') Таким образом, п — постоянный вектор (О, О, О, I).

§ 2. Нековариантные формулы 241
Выведем теперь соотношение A3.8). Из A3.3), (8.15) и A0.50)
имеем
= 2 im ] <rxlg(tx) $ -d*xtg(t,)... J
'm—I
™—* -00
X[H\xm:n],[..
t
— 00
г
— 00 »0l)
где
= e—'»*i, e'>0. A3.10)
Ввиду условия интегрируемости A0.11) последний член равен
нулю1).
Таким образом, с учетом A0.32) имеем
Г45[о]-Г2= S <*V(<
— oo
Так как величина S<m)[a] пропорциональна (g-(^))m, т. е.
t'-»0
16 X. Умэдзава

242 Гл. 13. Теория возмущений.
то получаем
= • 2 \ d'x'idvgtf)) (g(t'))m+l\im (SV)*[c(x'[
(
X m + I + 1
X а*» Г Hm (S«>* [о (л-д я' [х':n] 5«-> [о (л')]) 1 -
L »'-»o J
Однако последний член не дает вклада в величину bW, потому
что при любом регулярном операторе F имеет место равенство
Таким образом, переходя к пределу е'—>0, получаем
Это соотношение приводит к A3.8).
Подстановка A3.9) в A3.8) приводит к
Единственными матричными элементами оператора Я'[о], не
равными нулю, являются матричные элементы, соответствующие
состояниям с одинаковым импульсом; это обеспечивается прост-
пространственными интегрированиями. Другими словами, закон сохра-
сохранения импульса имеет место даже и для виртуальных состояний.
Однако закон сохранения энергии Et для виртуальных состояний
не соблюдается. Это обстоятельство является следствием принципа

§ 4. Метод Р-символа 243
неопределенности, примененного к энергии и времени. Дей-
Действительно, в соотношении A3.2) величина 5 [а (г1)] представлена
в виде суммы вкладов от состояний в различные моменты времени
t'(t'<^t), и поэтому энергия состояния 1Р[а(?')] имеет неопреде-
неопределенность порядка BтгА/Д7*), где Д7~—разность между временем t
и временем включения возмущения. По той же самой причине
необходимо учесть влияние собственных полей, как это указано
в гл. 12, § 2. В самом деле, эффекты собственных полей пред-
представляются вкладами от виртуальных состояний в члены высшего
порядка в разложении 5-матрицы. Трудности с бесконечностями
обусловлены собственными полями от этих виртуальных состояний
высокой энергии. Однако, как это видно из A3.56), неопределен-
неопределенность в энергии исчезает при t—> оо.
§ 3. Ковариантная теория возмущений
В предыдущем параграфе мы рассмотрели нековариантную
форму теории возмущений, чтобы выяснить некоторые детали
физической картины, на которой основывается эта теория. Однако
при практических вычислениях более выгодно на каждой стадии
вычислений вести запись в явно ковариантной' форме.
Матричный элемент оператора 5 fa, — оо], связывающего со-
состояние Ч* \а] на некоторой пространственно-подобной поверхности а
с состоянием 4х [— оо], должен иметь вид
Фо.
Здесь величины (а, ... аш>) и (fi, ... рт) характеризуют ча-
частицы (их спин, заряд и т. д.) с импульсами {k'A> ... kr(-mr>) и
(kw ... km)) соответственно в состояниях ^[о] и Ф[—оо], а Фо
обозначает состояние вакуума.
Разделяя Qa на части с положительными и отрицательными
частотами и используя соотношения коммутации (8.14а) и (8.146)
и вакуумные математические ожидания (9.42), можно величину
/(...) записать в виде ковариантных интегралов от произведений
величин Д (х), ДA) (х) и их производных.
§ 4. Метод Я-символа
В соотношении A3.2) поверхности о и о' выступают несиммет-
несимметричным образом. С помощью Р-символа, введенного Дайсоном [7],
это соотношение можно записать в симметричном виде (относи-
(относительно а и а').
Прежде всего введем между о и о' семейство {о,} пространст-
пространственно-подобных поверхностей так, что для любой точки xt между j
16*

244 Гл. 13. Теория возмущений
и а' существует только одна поверхность о,, проходящая через xt\
далее построим функционал от величин ri[xt:n], записываемый
в виде
PiFd^-.n], .... Fm[xm:n]], A3.13)
в котором Р-символ означает, что величины р{[х('п\ в скобках
расставлены по порядку времени справа налево (от прошедшего
к будущему). Ввиду того что величинаР[//'[х,:л], ..., Н'[хт:п]]
симметрична относительно точек (jc,, .... хт), то интеграл
а о
J dXl... \dxmP[H'[xl:n\,...,H'[xm:n\l
о' а'
отвлекаясь от множителя ml, равен интегралу от величины
[//'1-х, -п] ...//' 1^ст:л]] по области между а и а', взятом при
услозии а^>аг> ... > ат.
Таким образом, выражение A3.1) может быть записано в виде
S [а, а'] =
00 о а
= S (- 'Г У dxx ... J dxmP[H\x,: л],.... Я'[ли: л]], A3.14)
т. е. в виде, симметричном относительно о и а'. Тогда оператор
5 [о] может быть получен при о' = — оо.
В задачах рассеяния собственные состояния свободных полей
обычно описываются с помощью 'Pfoo] и Ч1 [—оо], причем при-
принимается, что взаимодействие адиабатически включается и выклю-
выключается в прошедшем и будущем. В § 2 было указано, что это
предположение может быть математически записано с помощью,
замены константы связи g величиной g(t), зависящей от времени.
В § 2 зависимость от времени мы выбрали в виде g(t) = g exp( —s' 111).
Здесь для облегчения вычислений мы будем считать, что g(t)
имеет вид
б'
= \mf, \dae-m, A3.15a)
A3.156)
Г-»оо\
причем предельный переход е' —> 0 будет выполняться после всех
вычислений.
Ввиду того что эта процедура обычно приводит к тому же
результату, что и расчет при постоянной величине g, мы обычно
будем считать g постоянной. Однако в примере 5 будет показано,
что не во всех случаях величину g можно считать постоянной,
а в некоторых случаях ее необходимо взять в виде A3.15а).

§ 4. Метод Р-симеола 245
Но A3.15а) не является наиболее общим видом g(t). В более об-
общем виде можно написать
\ata*m {m^% A3.15в)
A3Л5г
При некоторых обстоятельствах вместо A3.15а) оказывается не-
необходимым пользоваться A3.15в) (с т^>0).
В том случае, когда гамильтониан взаимодействия состоит из
двух членов, т. е. Н'[х:п]-\- V[x:n], выражение A3.14) можно
записать следующим образом:
S[o, о']= ? (_/)'-1-J^ ... §dxm+l ...X
XP[V[xl:nl...,V[xm:n], 'н1[хя+1:п],'..., H'[xm+,:n]. A3.16)
Теперь каждой величине FM[x:n] поставим в соответствие вели-
величину F[x:n] с помощью соотношения
= S[cw, о (л )]/=¦ [л: п] S [а (х), —ос]. A3.17)
Используя A3.16), получаем
FM[x:n] =
« « ,
о (Л) О (Л) —00
XP[F[x:n], H'ix^.n], ...,ff[xm+t:n]]= A3.18)
Соотношение
4!*[a]F[x:n]4![a] = 4>*[oo]FM[x:n}lV\— oo] A3.19)
показывает, что математическое ожидание величины F при задан-
заданном начальном и конечном состояниях легче вычислять как мате-
математическое ожидание величины FM. Поскольку векторы состояния
с обеих сторон величины FM[x:n] в A3.19) принадлежат к раз-
различным представлениям, величина FM[x:n] называется величиной
в „смешанном представлении" [7]. Отличительной чертой величин
в смешанном представлении является то, что они имеют симмет-
симметричный вид относительно направления времени.
Теперь приступим к вычислению A3.14). Величину A3.18)
можно вычислить тем же методом. Для простоты будем считать,

246 Гл. 13. Теория возмущений
что взаимодействие между полем U^(x) с целым спином и спи-
норным полем фа(-*0 с полуцелым спином дается гамильтонианом
взаимодействия
Н' [х :п\ = С (сфу) ф„ (х) % (х) Ц (х),
в котором С (эфу) — константы. Матрица 5 [о] содержит член
//'[*.:«]... Н'[хт:п]. а,>аг> ...>ат, A3.20)
в котором часть операторов фа,?/а (внешние операторы) играет роль
операторов порождения для частиц в конечных состояниях и опе-
операторов уничтожения для частиц в начальных состояниях, а осталь-
остальные операторы (внутренние операторы) дают вклад в величину
/(...) в A3.12). Поскольку внутренние операторы играют роль
операторов порождения и уничтожения частиц в виртуальных со-
состояниях, то их можно сгруппировать парами, состоящими из опе-
операторов уничтожения и порождения одной и той же частицы
Эти два оператора каждой пары можно поставить рядом только
в результате перестановок операторов частиц в различных состоя-
состояниях. Так как эти перестановки приводят только к появлению
множителя ?(=±1) [без множителей С(офу)], то член A3.20)
может быть записан в виде
^(^)])о ••• X
X (в (s/jPi^ (xSl), f^*,;)]), ... X (Внешние операторы), A3.21)
где г {а, Ь) дается равенством
4- 1 для о (
Операторы с Р-символом в каждой скобке в A3.21) являются па-
парами операторов.
Как видно из A3.20), для любого внешнего оператора c{>(jcj
существует оператор ф(л„). Если &(хЛ) является внутренним опе-
оператором, то существует некоторый другой оператор ф(х,'), кото-
который в A3.21) расположен в тех же скобках с Р-символом. Затем
всегда можно найти <Ь(ха') и т. д. Продолжая этот процесс пере-
переходов хх —* хЛ> —> ... —> х?, придем к внешнему оператору ф (х^).
После этого внешние операторы й>(х^) и ф(ла) в A3.21) можно
расставить в порядке <Ь(Хр)<Ь(хЛ), учитывая при этом знак посто-
постоянной s. С другой стороны, ввиду того, что внешние операторы ?/,
удовлетворяют соотношениям со знаком „ —", их порядок не имеет
значения.

§ 4. Метод Р-символа
247
Знаковая постоянная е может быть представлена в виде')
? = (-iy, _ A3.23)
где а — число перестановок операторов поля ф, ф, которые необ-
необходимо произвести, чтобы перейти от порядка операторов в A3.20)
к порядку операторов [см. A3.21), A3.22)]2):
{Л, (хГ1) U^ (хг>г) ... фз, (-4) Ь[ (¦**;)• • • X (Внешние операторы).
Здесь порядок расположения внешних операторов тот же, что и
в A3.21).
Указанные выше вычисления могут быть произведены более на-
наглядным способом с помощью диаграмм Фейнмана [11]. Как показано
на фиг. 6, мы фиксируем т точек
jc,, ..., хт между двумя линиями,
соответствующими начальной и ко-
конечной поверхностям о' и о, и каждой
линии,связывающей две точки, сопо-
сопоставляем пару внутренних операто-
операторов (U{xt), U(Xj)) или (ф (*,.), ф (*,));
эти линии называются внутрен-
внутренними линиями. Далее, с каждой ли-
линией, связывающей точку с а' или о,
мы сопоставляем внешний опера-
оператор уничтожения или порождения
частиц; эти линии называются
внешними линиями. Для разных по-
полей употребляются различные ли-
линии (например, прямые линии, жир-
жирные линии, волнистые линии и т. д.).
Стрелки на линиях, соответствую-
соответствующих полям с полуцелым спином,
направлены от ф к ф. С помощью диаграмм Фейнмана вычисление
A3.14) может быть выполнено с помощью следующих правил:
I. Выписываются все возможные диаграммы Фейнмана, соот-
соответствующие данному процессу, за исключением диаграмм, содер-
содержащих замкнутые графики без внешних линий. Последние диа-
диаграммы должны быть отброшены, потому что нам необходимо
вычислить вероятность перехода без учета вероятности перехода
между вакуумными состояниями, а последняя вероятность перехода
дается всеми диаграммами без внешних линий.
1) Постоянная е связана со знаковой постоянной е„ введенной Дайсоном [7],
соотношением ? = (— 1)*е,, где b — число внутренних линий.
2) Надо учесть соотношение
I № (> fy fa) Для о (xs) < о (Xs,).
U
Фиг. 6.

248
Гл. 13. Теория возмущений
II. Строятся произведения, соответствующие внутренним линиям,
связывающим точки (х/у Xj); эти произведения состоят из членов
(P[U<t(xi)> U*' (х/)]\ для линий поля U ,j
(е(W)^[<!>«(¦*/)¦ Ф«'(*Ж для линий поля ф '
Когда гамильтониан взаимодействия содержит операторы произ-
производных D°J, действующие на операторы поля ?/.(.*,¦), $а(х() или
$), правило A3.24а) должно быть изменено следующим образом:
{P[pftUx(xt), Ef?U*(xJ)\ для волнистых линий поля U
(е (i, J) Р [?>1?фа (х(), ?>^ф„» (Xj)])B для линий со стрелками поля ф ' ^ ' '
III. Строятся произведения внешних операторов LJ%, ф„, ф„ (в бо-
более общем случае DJJa, Д,фа, Дф»), соответствующие внешним
линиям.
IV. Указанные выше множители располагаются в порядке распо-
расположения точек на линиях.
\х,
о 6 в г
Фиг. 7.
V. Производится умножение на знаковую постоянную s и на
множитель {—i)mjm\ [см. A3.14)].
VI. Берется сумма по всем диаграммам, получающимся в резуль-
результате всех возможных перестановок точек {xv ..., хт) на диаграмме.
Диаграммы, которые эквивалентны между собой топологически,
называются эквивалентными. Например, диаграммы на фиг. 7, а и б
эквивалентны между собой, а в и г не эквивалентны друг другу.
Это правило VI может быть сформулировано следующим образом:
если имеется g диаграмм, эквивалентных данной (например, на
фиг. 7,6 g-=2), то вклад от этой диаграммы1) следует умножить
на множитель mljg.
') Относительно определения g см. работу [5].

§ 5. Метод Р*-символа 24&
VII. Берется сумма всех возможных диаграмм Фейнмана, получен-
полученных без учета перестановок точек (хг, ..., хт), и проводятся интег-
интегрирования по (dx,, ..., dxm). Совокупность связанных ф-линий (с дву-
двумя внешними линиями) называется открытым многоугольником,
а диаграмма без внешних ф-линий — замкнутой петлей. Точки
хи ...,хт называются вершинами.
Можно доказать, что
в = (-1)в, A3.25)
где а — число замкнутых петель рассматриваемых полей [см. A3.23)].
В соответствии с определением смысла Р-симвэла мы имеем
^W(/,D. A3.26a)
Тогда (8.14) и (9.42) дают
l). и9(хг)}H =
где
Д'1' (х,- х,) + к A,2) da} (d111) Д (*,-*,)} =
^-Хг), A3.266)
ми— д
U —~"? •
Аналогично имеем
В A3.266) и A3.27) оператор da9(d) является оператором darj(d)t
действующим на Д(" и Д, но не на величину еA,2),содержащуюся
в АГ Величины Дг в A3.266) и A3.27) являются Д^-функциями
LJ- и ф-полей соответственно.
§ 5. Метод Р*-символа
Вычисление S[a] может быть упрощено, если воспользоваться"
фундаментальным условием A0.29), которому должен удовлетв^ять
гамильтониан взаимодействия.
Для простоты рассмотрим приближение второго порядка по-
константе связи g. Равенство в этом приближении мы будем обо-

250 Гл. 13. Теория возмущений.
значать через ^. Из A0.42), A3.14) и A3.246) следует
S[о,а>-Ijd4x, fex,P[L' (х,), U (хг)]-i
с' а1
о о
S[a, j'J = -If d% \dlx2P[D(?Qa(x,), D(f>Q?(х,)У.-ЛХх)Л*(х,)-
o'
о
fr, A3.29)
где D(o и D^b—операторы производных соответственно по х1 и хг,
определяемые с помощью A0.22а). В этом равенстве рассматрива-
рассматривается матричный элемент оператора 5 [о], соответствующий процес-
процессу, в котором jva и j$-.b играют роль внешних операторов. Далее
необходимо в первом члене, содержащем в скобках Р-символ, про-
произвести усреднение по вакуумному состоянию. Из (8.406) и A3.26)
получаем
(Р [DiljQa (xj, D(fQ? (хг)]H = iD^D^Gr^x, - х.) +
+ 1[е A,2), d^ (дМ) DAi ?42)]Д(х, — xt). A3.30)
С другой стороны, выбирая в обеих частях равенства A0.29) чле-
члены, пропорциональные g2, и принимая во внимание A0.30), найдем
d* (д) В'аЬ (х - х') д ^'^ у #х- [D'jXd^ (д'), A3.31)
Р
Это следует из того соображения, что член, пропорциональный g*,
возникает за счет разности между DbQ? (в }з:а) aS~ [a]DbQ9(x)S[o].
Из A3.31) можно получить соотношение
DaDbdx}(d')]\(x' — x"), П3.32)
если учесть равенства [см. A0.226)]
dfra _ <fL> _ djf:b {13Щ

§ 5. Метод Р*-символа 251
Подставляя A3.30) и A3.32) в A3.29), получаем соотношение,
установленное Умэдзава и Такахачи,
GF^(jc, - *,). A3.34)
Отсюда мы найдем оператор S[oo], если подставим в A3.34) а = оо
и о' = — оо. Сопоставляя A3.34) с A3.29), найдем
, A3.35)
=0 —со —со
где Р*-символ приводит к тем же правилам вычисления I—VII (см.
стр. 247), за исключением следующего изменения правила II:
И'. Образуются произведения функции Грина
соответствующие внутренним линиям (jc/t xj).
В более общем случае, как показано выражением A3.34),
когда взаимодействие содержит дифференциальные операторы [см.
A3.246)], величины PfD^QJjc,-), D]PQa> (xf)], с которыми мы име-
имели дело в методе Р-символа, заменяются в методе Р*-символа
величиной iDVD^Of^ (л,— xf).
Существенным преимуществом A3.35) является возможность
вычисления S[a] непосредственно из лагранжиана взаимодействия.
Это дает возможность обобщения A3.35) на случаи, когда не су-
существует канонической теории и поэтому не имеется гамильтониана
взаимодействия. Следует заметить, что A3.34) не зависит явно от
вида какой-либо поверхности а,- между о и о' (а^>а^>а'). Это и
понятно, ибо гамильтониан взаимодействия удовлетворяет условию
интегрируемости [21].
Правило II' в методе Р*-символа является как раз тем прави-
правилом, которое мы использовали в гл. 8, § 2. Распространение вза-
взаимодействия между двумя точками описывается с помощью
GF(x — х') в той формулировке каузальной („причинной") теории,
в которой начальное и конечное состояния рассматриваются сим-
симметрично. В самом деле Штюкельберг [36] получил теорию 5-матри-
цы, эквивалентную теории Дайсона, используя каузальность.
В 5-матрице, определенной с помощью каузальных представлений,
остается некоторая неопределенность, потому что условие каузаль-
каузальности определяет только порядок распространения взаимодействия
между двумя точками, но не определяет его величину как функцию
этих точек. Поэтому можно ожидать, что окажется возможным
ввести в теорию произвольные локальные взаимодействия таким

252 Гл. 13. Теория возмущений
образом, чтобы уничтожить бесконечности, связанные с собствен-
собственным полем. Штюкельберг показал, что этот метод соответствует
теории перенормировок, которая будет рассмотрена в следующей
главе.
§6. Примеры
Пример 1. Смещенный полюс и интерференционный эффект
Соотношение (8.34) показывает, что величина k^, удовлетворя-
удовлетворяющая соотношению АAА|1-(-х2 = 0, приводит к появлению величи-
величины &(ku_K-{-x2) в разложении Фурье для Д^(л). Соотношение
k.^k -\-'жг = 0 предполагает, что k^ является вектором энергии-
импульса свободной частицы. Например, в процессе рассеяния ней-
нейтрона (N) и фотона (у) через промежуточные виртуальные состоя-
состояния с протоном (Р), электроном (е) и нейтрино (v) (диаграмма
Фейнмана этого процесса дана на фиг. 8) в
виртуальных состояниях с учетом естест-
естественного распада нейтрона (см. гл. 6, § 5)
могут появиться свободные протон, элек-
электрон и нейтрино. Вкладом в выражение
S-матрицы от этих свободных частиц бу-
будут члены вида 5 (k^ -\- х2), входящие в
А^-функции, соответствующие линиям Р, v и
-- е. Однако эти полюса Д/гфункции не при-
приводят к трудностям с бесконечностями, по-
потому что они смещены от действитель-
действительной оси на величину is', как это видно в
(8.35) (см. фиг. 4).
Для ясности рассмотрим простой при-
пример процесса рассеяния (I) двух частиц A)
и B) (с одинаковой массой х, спином, рав-
равным О, энергией rfJP^Pf и импульсами рA>=:_р(*' в системе
центра инерции), в котором в промежуточном состоянии появляются
две другие частицы C) и D) с массой х' и спином, равным 0. Если
р<?> + Pf = 2/(k2 + x'r)s*2*\ A3.36)
то становится юзможным также и процесс (II): A) -|-B)—*C)-{-D)
(конечное состояние) и течение процесса (I) оказывается нарушен-
нарушенным процессом (II). В A3.36) величина к является импульсом (в
системе центра инерции) частицы C) в конечном состоянии. Вели-
Величина (Ро!) -f- Po2)), при которой имеет место равенство правой и ле-
левой частей в A3.36), называется порогом интерференции двух
конкурирующих процессов [8J.
В матрице перехода для процесса (I) .^-функции частиц C) и
D) з виртуальных состояниях приводят к следующему интегралу:

§ 6. Примеры 253
lim F(P,e.')=B A3.37)
s'-»0 v '
s'-»0
1
V /f - ^2) - V + '-'2 - '«'I
ибо векторы энергии-импульса частиц C) и D) равны соответст-
соответственно К и Pf+Fp — K-
Подынтегральное выражение в A3.37) имеет четыре полюса
В то время как полюсы k"[±) расположены симметрично от-
:ите
ловия
«осительно начала координат, полюсы &*(±) при выполнении ус-
X
4-*'2) A3.39)
появляются с одной и той же стороны от мнимой оси. В этом
случае полюсы ?0(±) мы будем называть смещенными (фиг. 9).
Далее заметим, что если к удовлетворяет A3.36), то kU~) и
*о(-Н расположены симметрично относительно вещественной оси.
Поэтому невозможно произ-
произвести деформирование кон-
контура без пересечения этих к%(-) | к%Н
сингулярностей. Это харак- х
терно для порога интерфе-
интерференции. _——___
Значение величины
F(P, е')при г'=0мы найдем,
пользуясь аналитическим
продолжением величины
F(P, е'), определенной при
s'>0. Тогда можно ожи- Фиг. 9.
дать, что интерференцион-
интерференционный эффект, связанный с процессом (II), будет непрерывно уве-
увеличиваться от нуля, так как он равен нулю при энергиях, мень-
меньших, чем порог интерференции.
Действительно, интегрирование по d4k в A3.37) дает величину [8]
А(Р) + В(Р) {(№ + Р?У- **"-Ш\1"Х
( + )( +
где А(Р) и В(Р) — аналитические функции от Р. Второй член
соответствует эффекту интерференции, обусловленному процессом
(II), так как этот член связан с эффектом от полюсов &о(±). Мы

254
Гл. 13. Теория возмущений.
видим, что на пороге интерференции этот член равен нулю.
Второй член показывает, что на пороге интерференции интегра-
интегралы, выражающие S-матрицу, имеют точки ветвления.
Пример 2. Теорема Фарри
Рассмотрим матричный элемент
перехода, соответствующий диа-
диаграмме Фейнмана, состоящей из
замкнутой петли дираковского по-
поля ф, взаимодействующего с полем
U, имеющим целый спин (фиг. 10).
Будем считать, что гамильто-
гамильтонианы взаимодействий в точках
xi(i=l, ..., п) описываются соот-
соответственно выражениями 'Ю^и1),
в которых с помощью О,- обоз-
обозначены произведения матриц у^.
Тогда матричный элемент перехода содержит множитель2)
ЛЛ ^ I Г) <ч ( V у \ Л Р (у у 1 Г) Г) С / v V \\ /14 А(\\
(VI Ор y\Si<JF\^l ^^ J/ t F \ % 3/ 8 " • " ^*п F \ п "^ 1//' \ U.^KJJf
U
F() (() [фИ, ф()]H
= -(YA-*)M*-¦*')• A3.41)
Так как шпур произведения нечетного числа матриц у^ равен
нулю, то множитель М инвариантен относительно замены уи—>¦ —у .
При этой замене матрица Ot преобразуется в матрицу
О, = (—1)Ч?„ A3.42)
где а,- — число матриц у^ в выражении для О,-. Поскольку A3.41)
показывает, что при замене у^ —<• — у^ происходит замена
SF(Xj — xj)—~SF(Xj — Х(), мы имеем
л)О
ГДе
Используя формулу 5я(у,уу, . . . yft) = «S'p(yA
здесь В определяется с помощью равенства
A3.43а)
A3.436)
уд,-), найдем
A3.45а)
') Последующие результаты справедливы даже тогда, когда гамильтонианы
взаимодействий содержат производные от U.
2) Используемая здесь величина SF(x) эквивалентна величине —SF(~x),
использованной Дайсоном.

6. Примеры . 255-
в котором bt определяются соотношением
О', = ( —1L.0,., A3.456)
причем О] является произведением матриц у^ в порядке, противо-
противоположном тому, в каком эти матрицы следуют в выражении для О,-.
Равенство A3.44) показывает, что величина (— \)ВМ равна
матрице перехода М, соответствующей диаграмме Фейнмана, по-
полученной из фиг. 10 с помощью перестановки точек хи . . . , хп
в обратном порядке. Таким образом,
М + ЛГ = М'((— 1)в+1)=0 для нечетных В'. A3.46
Поскольку позитронная линия получается из электронной линии
простым изменением направления стрелки, то последнее равенство
показывает, что при нечетных В вклады в матричный элемент or
электронов и позитронов взаимно уничтожают друг друга.
Например, любая замкнутая петля, построенная из нечетного-
числа вершин с электромагнитным взаимодействием фу^ф (а,-= 1,
bt = Q), не дает вклада в 5-матрицу. Этот факт был установлен
Фарри [14].
Используя A3.46), теорему Фарри можно обобщить следующим
образом: любая замкнутая петля, для которой В нечетно, не
дает вклада в S-матрицу.
Когда О,- являются членами A, у^, ув, yj,— у^, . . .), для
каждого О,- имеем [(см. C.5)]
а Л-Ъ =1 четно для lf ^6' №
'^ ' I нечетаодая V TJ, —T*V Л Д
Поэтому В равно числу вершин при О,- = у!Л, (yj, — у^) и
Y6(Y,Yv — Ы,)-
В качестве примера применения этой теоремы рассмотрим оп-
определение спина тт°-мезона [31]. Если бы тт°-мезон описывался век-
векторным полем, взаимодействующим с протоном посредством век-
векторной связи, то на основании вышеприведенной теоремы он рас-
распадался бы не на два фотона, а на три, так как диаграмма Фейн-
Фейнмана процесса тт°—*2у дается фиг. 10 с О, = у)л, Ог = уц, О3 = у|1.
Однако эксперименты показывают, что тт°-мезон распадается с очень
коротким временем жизни на два фотона. Далее, с помощью более
общих рассуждений можно доказать [45], что если бы тт°-мезон
имел спин, равный 1, то он не мог бы распадаться на два фотона.
С другой стороны, такого правила отбора для распада 7т°-мезона
со спином, равным 0, на два фотона не существует.
Пример 3. Относительные правила отбора
Для взаимодействий между нуклоном ф и полями U с целым
спином имеют место теоремы, аналогичные теореме Фарри [13,
23, 25]. Справедливость теоремы Фарри обусловливается зарядовой

256 Гл. 13. Теория возмущений
симметрией1) теории (см. гл. 7, пример 10). Однако зарядовая
симметрия не может иметь места, если принять во внимание элек-
электромагнитное взаимодействие, потому что электромагнитное поле
взаимодействует с протоном, но не взаимодействует с нейтроном.
Поэтому приводимые в этом примере правила отбора справедливы
только при пренебрежении электромагнитным взаимодействием и
различием в массах протона и нейтрона. Эти правила называются
относительными правилами отбора.
Здесь мы будем предполагать, что лагранжиан инвариантен
относительно Т-преобразования (см. гл. 7, пример 10), т. е. является
зарядово-симметричным. С другой стороны, при преобразовании
зарядового сопряжения дираковского поля ф—>ф' = Сф7 [см. C.40),
C.38)] мы имеем
ф'2ф':=(С~1фO2Сф7"=: —ф7"СЙСф7" = гфйф, A3.48а)
где
е—/ — 1 для ^ = Yu.> (YJv — YX)> Ye(Y«Y* —YvYm)> t*
4-1 ш2=11. V VY XX
Преобразование зарядового сопряжения U—-U' бозе-поля опреде-
определяется соотношениями2)
U' — U*, U'* = U A3.486)
или
U'W = U0\ U'w=—U(*\ A3.48в)
ибо при этом преобразовании электрический ток меняет свой знак
[см. G.46)].
Тогда лагранжиан взаимодействия g$&z$D{d)Uu)(i= 1, 2, 3, 4;
D (д) — операторы дифференцирования) будет инвариантным от-
относительно зарядового сопряжения, если знаки констант связи,
относящихся к взаимодействиям с И = у^, урyv — у„у^, у6 (уау7 — у^),
изменяются. Такие константы связи мы называем „нечетными кон-
константами связи", а преобразование зарядового сопряжения с из-
изменением знака констант связи называется С-преобразованием.
Далее, при СГ-преобразовании (произведение С- и 7-преобра-
зований) величины U^k) должны преобразовываться согласно пра-
правилу
U(k)-^4U^, A3.49а)
*к={т] ДЛЯ k=:S A3.496)
* [ -\- 1 в остальных случаях v '
[СМ. G.1516)].
') Здесь мы опускаем тензорные индексы для бозе-полей. Не следует пу-
путать зарядовую симметрию с зарядовой независимостью.
2) tA1) и U& определяются теми же соотношениями, как и G.47).

6. Примеры 257
Рассмотрим член 5-матрицы перехода, соответствующий диаг-
диаграмме Фейнмана заданного процесса, в котором в начальном и ко-
конечном состояниях присутствуют только частицы полей Uik) с це-
целым спином. Тогда S представляется в виде произведения констант
связи и внешних операторов, состоящих из компонент поля U{k) и
Gf-функций1), соответствующих внутренним операторам. Отсюда
следует, что при СТ-преобразовании происходит изменение 5—*S',
причем
С' / 1 \n{is) + rnv> + n{t) + rnpt)c.
здесь и(т3), n(v), n(t) и n(pt) являются полным числом вершин
(в диаграммах Фейнмана) с т„ ^, (уд> —YvT,) и Т.(ТцТ» — ЬЬ)
соответственно. Величины п (v), и (г) и п (pt) появляются вследствие
изменения знака нечетных констант связи, в то время как /z(t8)
появляется за счет преобразования A3.49а).
Величины S и S' соответствуют одному и тому же процессу
перехода, потому что, как это следует из A3.49а), U°> и С/'2' ин-
инвариантны, и поэтому зарядовые состояния бозе-полей не меняются
при СГ-преобразовании.
Ввиду того что в зарядово-симметричной теории лагранжиан
инвариантен относительно СТ-преобразования, 5-матрица также
должна быть инвариантной.
Таким образом, получаем следующее правило отбора:
S — 0 для п (т8)-|- п (v)-\- n (t)-\-n(pt) = Нечетное число. A3.50)
В качестве примера рассмотрим процесс В+ —* гг+ -\- тт°, в котором
В+ — положительно заряженная скалярная частица со скалярным
взаимодействием, а тт+ и тт° — псевдоскалярные гс-мезоны с псевдо-
псевдоскалярным взаимодействием; когда тги описывается с помощью U{3)
[не с помощью ?/'*' в G.1516)J, то, согласно A3.50), этот процесс
запрещен.
Если все частицы в начальном и конечном состояниях описы-
описываются вещественными волновыми функциями Uw и U{i) с целым
спином, то элемент 5° в 5-матрице после 7-преобразования соот-
соответствует тому же самому процессу. Когда лагранжиан инвариан-
инвариантен относительно Г-преобразования, то инвариантным должен
также быть элемент 5-матрицы, и мы заключаем [см, G.1516)],
что
•S"= 0 для нечетного п(т3). A3.51)
В этом случае, используя A3.50), найдем также
n (т8) = Четное число /1 о с п\
^ 0 tM^>
для j л(г,) + и(^ + л(р0 = Нечетное число.
'; Частицы и античастицы имеют одинаковые t/p-функции, потому что они
удовлетворяют в представлении взаимодействия одним и тем же волновым
уравнениям. Протон и нейтрон также имеют одну и ту же Gp-фуакцию, т. е.
функцию Sp в приближении, когда можно пренебречь разностью их масс.
Л, .'

258
Гл. 13. Теория возмущений
Пример 4. Тормозное излучение и „инфракрасная
катастрофа"
Сейчас мы рассмотрим тормозное излучение фотона электро-
электроном, рассеянным с помощью гамильтониана взаимодействия
— ^ФТи.Ф^> гДе А1 — векторный потенциал внешнего электромаг-
электромагнитного поля. Векторы энергии-импульса электрона в начальном
и конечном состояниях будем обозначать соответственно через р^
и q^, а фотон — с помощью k^ (фиг. 11).
Фиг. 11.
Член S{2) S-матрицы, пропорциональный ег, имеет вид
— ао
оо оо
так как е= 1 и g= 1.
В этом и последующем примерах функции SF и &F относятся
соответственно к электрону и фотону. Если, как в A3.56), по-
положить
(д,, КIs{2) Iр,)=
то из (9.50) и (9.78) получается

§ 6. Примеры 259
Здесь Alii) — амплитуда Фурье функции А\. (х), определенная соот-
соотношением
а е — единичный вектор в направлении поляризации фотона. Сим-
Символом у обозначен трехмерный вектор (у,, у4, у3). Вероятность пе-
перехода dwjdt, отнесенная к единице времени, дается формулой
A3.6) и равна
d d9f, A3.55)
причем плотность конечных состояний dpf есть
здесь f?( = (q2-f-'e*I/2) — энергия электрона в конечном состоянии
a dUg и dQA — пространственные углы, в которые рассеиваются
электрон и фотон в конечных состояниях. „Эффективное сечение"
<М> мы определим с помощью формулы
в которой v — скорость падающего электрона
Последнее равенство показывает, что величина */Ф не зависит
от объема V большого куба периодичности и ее размерность ха-
характеризуется второй степенью длины. Говоря более образно, d<P
есть вероятность перехода, когда один электрон в единицу вре-
времени проходит через единицу площади поверхности, потому что
множитель йФ/^т/М) может быть интерпретирован как изменение
нормировки волновой функции падающего электрона, заключаю-
заключающееся в том, что один электрон должен находиться не в объеме V,
а в объеме v, так что один электрон должен пересекать поверх-
поверхность единичной площади в единицу времени.
Интегрируя A3.57) по dQk, получаем эффективное сечение $>kdk
излучения фотона с энергией &. Потеря энергии (— dEp\dx) элек-
электроном на тормозное излучение, отнесенная к единице длины, про-
происходящая в кулоновском поле ядер вещества, через которое про-
проходит электрон, дается выражением
N J №kdk.
Здесь мы предполагаем, что электрон движется в направлении
17»

260 Гл. 13. Теория возмущений.
оси х. Верхний предел интегрирования Ер — х определяется мак-
максимальной энергией излученного фотона, определяемой из закона
сохранения энергии; N — число атомов, приходящихся на единицу
объема. Для электронов очень больших энергий, проходящих че-
через вещество с атомным номером Z, мы имеем [16]
dx — ™cp\in х зу 137
Этот теоретический расчет тормозного излучения успешно
предвосхитил результаты экспериментального изучения этого вопро-
вопроса для электронов высоких энергий. В частности, явление каскад-
каскадных ливней в космических лучах, которое первоначально, казалось,
указывало на неудачу квантовой электродинамики при применении
к электронам высоких энергий, было теоретически объяснено
с помощью представления о повторном рождении тормозных фо-
фотонов с последующим образованием фотонами пар (т. е. с помощью
каскадной теории) [4,2]. Тем не менее в предыдущих главах мы
видели, что квантовая электродинамика обладает серьезными де-
дефектами, связанными с появлением бесконечностей. Анализ этих
трудностей мы проведем при рассмотрении „инфракрасной ката-
катастрофы".
Когда энергия k фотона бесконечно мала, выражение A3.54)
может быть представлено в виде
М=*= , е* (a*(q)w,Ae{q-\-k— р)а.(р)){-\ ~ , е).
К21к|V3v гУЧ> иь "w ' у> *^"WA. рД /
A3.58а)
Это равенство получено с помощью формул [см. C.33), C.1)]
Для у-матриц были использованы соотношения коммутации
C.2). Подставляя A3.58а) в A3.55) и интегрируя по dk, мы по-
получаем в выражении для вероятности перехода множитель [ dk\k.
Этот множитель показывает, что вероятность перехода при беско-
бесконечно малых k имеет логарифмическую расходимость. Это явление
называется „инфракрасной катастрофой".
Однако было бы преждевременным заключить отсюда, что
„инфракрасная катастрофа" представляет собой трудность, свой-
свойственную квантовой теории поля, потому что упругое рассеяние

§ 6. Примеры
261
электрона может конкурировать с тормозным излучением фотона
нулеврй энергии.
Диаграммы Фейнмана упругого рассеяния в ^-приближении
изображены в виде диаграмм (а) — (d) на фиг. 12. Виртуальное
состояние, обозначенное на фиг. \2,Ь с помощью штрих-пунктир-
штрих-пунктирной линии, имеет ту же энергию, что и начальное состояние,
х
а
-р ч-
Фиг. 12.
к
когда & = 0. Поэтому это упругое рассеяние конкурирует г. тор-
тормозным излучением фотонов нулевой энергии, которое наблюдается
так же, как упругое рассеяние. Обозначая матричные элементы
5-матрицы, соответствующие диаграммам Фейнмана [(а) — (d)
фиг. 12], через Ма, Мь, Мс и Мй, можно вероятность перехода
dwjdt при упругом рассеянии представить в виде
^ — 2ъ {\Ма4г Мь-\- Мс-\- Md\* -\-\Мг-\- Мг\*}; A3.59)
здесь М1 и М2 — вклады, обусловленные соответственно первой и
второй диаграммами на фиг. 11:
]ипМ = М1 -\-Мг.
Другими словами,
М, = — lirn
A3.58в)
Как показывается с помощью фиг. 14, члены ЛйМь, М*аМе
и т. д. в A3.59) могут быть записаны путем соединения графиков
(Ь) и (а*), (с) и (а*) и т. д. Символы (а*), (Ь*), ... означают, что

262 Гл. 13. Теория возмущений.
эти диаграммы являются зеркальными отражениями соответственно
диаграмм (а), (Ь), ..., при которых направления вправо меняются
на направление влево, и наоборот. В качестве примера на фиг. 13
приведена диаграмма (а*). Каждая штрих-пунктирная линия на
фиг. 14 указывает соединение точек связи двух диаграмм по спо-
способу, приведенному под каждой соответствующей диаграммой.
Можно показать, что все диаграммы
Ае фиг. 14 (с фотонной линией нулевой
j энергии) дают конечные добавки в dw/dt,
' так что „инфракрасная катастрофа" исче-
исчезает. Этот факт следует отнести за счет
простого соотношения [17, 19, 1].
В качестве примера рассмотрим член
(М*аМь), соответствующий первой диа-
диаграмме на фиг. 14. Последовательность
Р '—# " 7 членов {М\М2) в части диаграммы, обо-
(а значенной через Мь, показывает, что в
Фиг. 13- Мь содержатся виртуальные состояния
той же самой энергии, что и начальное со-
состояние. Сингулярный член в АГаМь (при k = 0), обусловленный
вышеуказанными виртуальными состояниями, мы обозначим через
wM*M (М$Мг). Аналогично показывается, что на той же диаграмме
член M\Mt является сингулярным (при k = 0) ввиду виртуальных
состояний, содержащихся в последовательности М*аМь. Этот син-
сингулярный член мы будем обозначать через w^M (ЛГаМь). Непо-
Непосредственным прямым подсчетом можно показать, что
«ЧЧ WM,)=wM*Mj (м*ам„)=о. A з.бо>
В самом деле элемент S-матрицы, соответствующий диаграмме (Ь)
на фиг. 12, имеет вид
1
—00
XSF(xt-xt)ч,<Ь(.р
Вклад в величину (Р[Лр(;Сз), ^^(-^i)]H 0T фотонов нулевой энергии
вычисляется с помощью равенства
[см. A3.26а)]. Поэтому сингулярный член в Мь, обусловленный
фотоном нулевой энергии, записывается в виде

§ б. Примеры
263
= — Hm 2T?T
= — lim
We
(q-e) (р-е)
/Iе
/Iе Ae
(м*амс)(м*м,)
Фиг. 14.
С другой стороны, из фиг. 12 очевидно, что
Ма = — ear (q) yjHv (q — р) о, (я).
Таким образом, вклад в М"аМь от фотонов нулевой энергии дается
величиной
wM*мн(М'МЛ = \\т ; —- (дг('7)Yii-.Ae,(q — р)а (р))*М..
тато ft->.0 Wn«[i)y 2 | kf V
Эта величина равна —М[Мг, и поэтому имеет место равенство
A3.60). Аналогичное положение имеет место для каждой из
диаграмм фиг. 13.
Таким образом, мы видим, что „инфракрасная катастрофа" оказы-
оказывается устраненной, если учесть вклады от диаграмм, показанных
на фиг. 12.
Эта ситуация интуитивно вытекает из A2.31) (стр. 236).
Поскольку, как это видно из A2.30) и A2.32), при k—>-0 число я
(т. е. число фотонов с бесконечно малой энергией) логарифмически

264
Гл. 13. Теория возмущений.
расходится, из A2.31) следует, что вероятность конечного числа
фотонов нулевой энергии равна нулю и, следовательно, „инфра-
„инфракрасная катастрофа" исчезает. Ввиду того что, согласно A2.33),
вероятность рассеяния излучающего электрона не равна нулю,
рассеиваемый электрон должен испускать бесконечное число фото-
фотонов бесконечно малой энергии. Это доказательство исчезновения
„инфракрасной катастрофы" было дано Блохом и Нордсиком [3].
Следовательно, мы видим, что учет эффектов собственного
поля приводит к устранению „инфракрасной катастрофы". Однако
собственное поле содержит в себе много фотонов высоких энергий,
которые приводят часто к трудностям с бесконечностями, о кото-
которых говорилось в предыдущей главе. Эти последние бесконечности
называются „ультрафиолетовой катастрофой". Если бы мы устра-
устранили эти бесконечности простым игнорированием эффектов соб-
собственного поля, то мы бы столкнулись с „инфракрасной катастро-
катастрофой". Поэтому очевидно, что надо искать какой-то другой выход.
Пример 5. „Ультрафиолетовая катастрофа"
В последнем примере мы рассмотрели только эффекты от
фотонов малых энергий собственного поля. Теперь мы рассмотрим
вклад в упругое рассеяние электрона внешним электромагнитным
Ае Ае полем А^{х) в е3-прибли-
жении от всех фотонов соб-
собственного поля. Диаграммы
Фейнмана этого процесса
показаны на фиг. 15.
Прежде всего рассмот-
рассмотрим диаграмму Фейнмана,
изображенную на фиг. 16,
причем будем считать, что
X,
X,
X,
Фиг. 16.
операторы г1>(х2) и А(х,), соответствующие внешним линиям, не
всегда удовлетворяют волновым уравнениям свободного электрона
[C.1) и C.33)].
Диаграмма, изображенная на фиг. 16, приводит к следующему
члену в 5-матрице:
i\jdixb(x)l('<b(x) =
^SF(xt — xl)^(xl)/iF(xt-x1). A3.61a)

§ 6. Примеры 265
Выполняя фактически вычисление и пользуясь двумя бесконеч-
бесконечными постоянными Л° и В", можно представить 2° в виде
20=-г{Л° + й°(уЛ + *}+ •••}. A3.62)
где (...) означает конечные члены, содержащие множитель
(тА -т" *)*• Это равенство можно рассматривать как разложение
в ряд по степеням Щ^р„.-\-х) (ра— вектор энергии-импульса элек-
электрона) в импульсном представлении. Мы сейчас покажем, что
бесконечности, привносимые каждой из диаграмм, могут появляться
только в виде коэффициентов при низших степенях (%^ + *)•
Это имеет место потому, что увеличение степени (ty^ -f- x) на
единицу означает, что степень п размерности [L]" коэффициента
возрастает на единицу, и поэтому порядок бесконечности коэффи-
коэффициента уменьшается на единицу. Это положение можно отчетливо
проследить следующим образом: подставляя A3.41) и (8.35)
в A3.61а), получаем
; A3.616)
здесь ф (/?) и i (р) — амплитуды Фурье функций ф (л;) и
определяемые соотношениями
Интеграция по J rf4A в A3.616) приводит к бесконечным коэффи"
циентам в A3.62). Подынтегральное выражение в A3.616) является
функцией от р^ — &а и k^. Легко видеть, что каждое дифферен-
дифференцирование djdp, применяемое к A3.616), снижает максимальный
порядок бесконечности на единицу. Так как наивысшие степени
величины k в числителе и знаменателе подынтегрального выра-
выражения в A3.616) равны 1 и 4 соответственно, то порядок беско-
бесконечности в Л° не может быть больше 1. Таким образом, беско-
бесконечность в 5° имеет самое большее логарифмический характер,
а оставшиеся члены в A3.62), обозначенные (...), конечны.
Теперь перепишем A3.616) в форме A3.62). Пользуясь формулой
а-1&-'= \du{au -\-Ь{\— и))~\

266 Гл. 13. Теория возмущений
будем иметь
4k
\———jm
-0 {гЛ. + иA-«)/уу
где
Таким образом, имеем
= \ d« \ o4p \ d*l'b(—
BЛ)О J 'J Л
A3.61b)
Теперь запишем равенства
1
(«Л
4х ; (iy a -4- х) 4- ... .
Так как
то можно написать
j -/(I -K)fT^)-xj 2A+и)х
-2A-я)
Подставляя это равенство в A3.61 в), получаем A3.62), в котором

6. Примеры 267
Для вычисления этого интеграла удобно воспользоваться формулами
[dH ! = [d3l[dl 1 =
Эти формулы получаются с помощью подсчета вычетов подынтег-
подынтегрального выражения в полюсах /0 = ±{(/* -\-игхг) — is'}. Теперь
после интегрирования по da получаем
J
da
xW-Л'}
где новая переменная интегрирования да определяется выражением
Можно показать, что физический смысл этой переменной интегри-
интегрирования w состоит в том, что она является четырехмерным ска-
скалярным произведением векторов энергии-импульса электрона и
фотона (— 1, Et; 1, /) в виртуальных состояниях (в системе центра
инерции), и поэтому эта переменная является лоренц-инвариантной
переменной
Иногда случается, что выбор лоренц-инвариантных переменных
упрощает вычисления [27, 39]. Из A3.61г) следует [43]
Когда внешние операторы ф, ф удовлетворяют волновому уравне-
уравнению свободного электрона, мы получаем
'x$ (х) 2° ф (л) = — ь4° J Лсф (х) ф (х). • A3.64)
Но это есть как раз вклад от лагранжиана взаимодействия

263 Гл. 13. Теория возмущений.
— А"Ь (х) '!> (х) в 5-матрицу в ^-приближении [см. G.111)]. Таким
образом, мы видим, что диаграмма на фиг. 15 в качестве добавки
к массе, обусловленной собственным полем, дает величину ,4°
(т. е. х—+х-\-А°). Величину А" принято называть собственной
массой. Лагранжиан взаимодействия — АйЬЬ соответствует гамиль-
гамильтониану взаимодействия Aa"b-b. Пользуясь этим гамильтонианом
взаимодействия, можно вычислить энергию возмущения A3.10),
обусловленную членом с собственной массой. Для свободного
электрона с энергией-импульсом (р, Ев) [см. (9.75), (9.78)]
в ^-приближении') мы имеем
АЕ=^АЦа;{р)^аг(р)) = ^ = АЛ(<§^Ер. A3.65)
Это изменение энергии ДЯ, обусловленное эффектами собственного
пбля, называется собственной энергией. Как это видно из A3.65),
IE соответствует изменению массы электрона (в ^'-приближении),
полученному подстановкой х—>-х-\-А°.
Однако здесь возникает трудность, потому что, с одной сто-
стороны, электрон должен иметь конечную массу, но, с другой сто-
стороны, собственная энергия является не малой поправкой, а беско-
бесконечной величиной. Равенства A0.1) и A0.10) показывают, что
взаимодействие A3.64) приводит к появлению в выражении для
(Ч'[о] = 5'[о]1Р[—<»])„_,.«, фазового множителя exp(ikEt)(t —юо).
Так как Д?"— изменение энергии, то этот результат легко понять
с точки зрения обычной квантовой механики. Фиг. 16 называется
графиком собственной энергии электрона.
В случае элементарных частиц, которые естественным образом
распадаются на другие элементарные частицы (например, тг-мезоны)
с малым временем жизни, мы находим комплексные собственные
энергии Д? = Д?, -f- i (Г/2). При этом вещественная и комплекс-
комплексная части в Д?" дают соответственно множители ехр(гД?",^) и
ехр(—Г/2)?. Первый множитель показывает, что Д?\ является
изменением энергии, а последний множитель указывает на то, что
амплитуда вероятности состояния, в котором находится частица,
убывает экспоненциально со временем. Уменьшение амплитуды
вероятности описывает естественный распад элементарной частицы
со временем жизни A/Г).
Теперь рассмотрим диаграммы Фейнмана, показанные на фиг. 15.
Матричный элемент 5-матрицы, изображаемый диаграммой справа
на фиг. 15, а, с использованием A3.61а) может быть записан
в виде
-| С d*Xl J d4xl (x,) 1° SF (jci - x) Ytt4 (x) At (x). A3.66)
l) Множитель '/« в A3.65) появляется за счет усреднения по двум направ-
направлениям спина.

6. Примеры 269
Подставляя A3.62) в A3.66), найдем
ixl(x1)SF{x1-x)^h{x) Ae,(x) -
Второй член в A3.67) получается из члена
***WЬЛ + *MЛ*. -*)yH»(*И* И-
A3.68)
Надо заметить, что A3.68) можно было бы записать в виде
М = - г<?Б° J с?4^ф (л) у/|> (л) Л^ (х),
если бы мы воспользовались формулой
Однако если бы мы провели интегрирование по частям для dl и
воспользовались волновым уравнением C.33), то мы бы нашли
М — 0. Второй член в A3.67) равен среднему значению из этих
двух результатов для М. В самом деле этот результат для М
можно получить корректно следующим образом.
Подставляя величину e(t) [определенную с помощью A3.15а)]
в е (входящую в #°), мы имеем
da
Ввиду того что членами более высоких порядков (^ 2) относи-
относительно а а а' можно пренебречь, мы получаем
_
причем ф удовлетворяет уравнениям свободного электрона
Теперь для М можно получить выражение
е' е"
= — ie Hm fl°f 1 f da f rfa'4-
X j rf^| U) у, ф (Л) Лв, (jc) = - -J

270 Гл. 13. Теория возмущений.
Таким образом получен второй член в A3.67). В следующей
главе мы покажем, что этот результат можно также получить,
исходя из требования унитарности ^-матрицы. Третий член в A3.62),
обозначенный (...), в силу уравнения поля C.33) не дает добавки
в A3.67).
Вклад от диаграммы фиг. 15, б в матричный элемент 5-матрицы
может быть представлен в виде
ieB J Л*ф(х) у, ф (х) Al (x) + Л, A3.69а)
где Л дается выражением [34]
Здесь В— бесконечная константа, а многоточием обозначены ко-
конечные члены, содержащие операторы производных высокого по-
порядка (ЭзЗ), действующие на Ае. Выражение A3.696) можно по-
получить с помощью разложения в ряд внешнего поля Ае по изме-
изменению импульса. В A3.696) предполагается, что энергии k фотонов
в виртуальных состояниях имеют некоторую минимальную величину
fto(&3sft?)- В пределе ka—<-0 A3.696) приводит к „инфракрасной
катастрофе". Однако, как это показано в предшествующем примере,
это обстоятельство не составляет существенной, трудности, и по-
поэтому можно продолжать обсуждение рассматриваемого вопроса, не
касаясь этого обстоятельства.
Прямым вычислением можно показать
Ва = В. A3.70)
Поэтому элемент 5-матрицы, графическое изображение которого
дано на фиг. 15, имеет вид
) А;(х) +
* (¦*)} +Л- A3.71)
Теперь рассмотрим график, изображенный на фиг. 17 (т. е.
график собственной энергии фотона). Элемент S-матрицы, соответ-
соответствующий этой диаграмме, может быть записан в виде
= - 4 J" d**i j d*xtSp (SF (x, - л,) y,^ (хш - xt) Y(J \ (xj Av (xt),
AJ.72)

§ 6. Примеры 271
где учтено, что е = —1 и g—2 [см. A3.25)]. Проводя разложение
в ряд по степеням импульса фотона, имеем
D4,+ ••• }• A3-73)
где многоточием обозначен конечный член, содержащий множитель
? *i a D и С0 — квадратично и логарифмически расходящиеся кон-
константы [6, 15, 28].
По соображениям, аналогичным соображениям, связанным с
собственной энергией электрона, мы заключаем, что D — собствен-
собственная энергия фотона, обусловлен-
обусловленная собственным электронным
полем, окружающим фотон. Од- Ае • х>1
нако не равное нулю значение D i .
не согласуется с тем фактом,
что масса фотона равна нулю. Фиг. 17.
Более того, поскольку первый
член в A3.73) приводит к неинвариантному относительно кали-
калибровочных преобразований члену в A3.72), оказывается, что не-
неравенство величины D нулю противоречит требованию калибро-
калибровочной инвариантности. Используя различные методы вычисле-
вычисления, можно для величины D получить различные результаты
(от нуля до бесконечности). Далее, даже если мы будем поль-
пользоваться тем методом вычислений, который приводит к ра-
равенству D = 0, все же оказывается, что при применении к другим
случаям этот метод дает противоречивые результаты [18, 12, 36].
В связи со сказанным, проблемой собственной энергии фотона
занимались очень многие авторы. Мы рассмотрим эту проблему в
следующем примере.
Ввиду того что масса фотона должна быть равной нулю (D = 0)
и результаты должны быть калибровочно-инвариантными, наиболее
подходящим методом рассмотрения проблем, которые могут быть
отделены от вопроса о собственной энергии фотона, представляется
метод, основывающийся на предположении, что можно предвари-
предварительно считать, что D—0.
Трудности, связанные с бесконечными значениями величин D
и С0, являются трудностями, обусловленными так называемой
поляризацией вакуума. Прямым вычислением можно показать (см.
следующий пример)
{}оо +Конечная константа. A3.74)
Вклад от поляризации вакуума в ^-матрицу графически изоб-
изображен на фиг. 18 и может быть записан следующим образом:

272 Гл. 13. Теория возмущений
ie j d'x, j d*xф (x) ^ (x)Af (x - xj II»/; (xj =
= -eC« j d*x ф (x) ь А; (л) ф (x) +
., A3.75)
где учтено, что е = —1 и #=1. В A3.75) многоточием обозначен
член, содержащий оператор ?*, действующий на Ае. Последнее
соотношение показывает, что электрон во внешнем поле представ-
представляется заряженной частицей с зарядом еA-|-С0). Величину еС°
называют собственным зарядом. Трудность, связанная с представ-
представлением о собственном заряде, обусловлена тем обстоятельством,
что величина С0 равна бесконечности. Как это видно из A3.74),
действие электрического заряда ослабляется действием со стороны
собственного заряда С0. Это обстоятельство можно интуитивно
понять на основании теории дырок. В тео-
теории дырок электрон необходимо рассматри-
рассматривать пребывающим в поляризуемой среде,
т. е. в океане электронно-позитронного
Фиг. 18. вакуума, и поэтому действие электриче-
электрического заряда электрона должно ослаблять-
ослабляться в соответствии с законом Ленца. Поскольку это объяснение
не зависит от спина заряженной частицы, можно ожидать, что соб-
собственный заряд ее любой заряженной частицы, обусловленный эф-
эффектом поляризации вакуума, является отрицательным. И действи-
действительно, это утверждение можно доказать без использования расчетов
по теории возмущений [38]1).
Таким образом, мы видели, что бесконечности, обусловленные
эффектами собственного поля электрона, проявляются в собствен-
собственной массе и собственном заряде.
Когда импульсы электрона в конечном и начальном состояниях
невелики
|РК*. |Ч|>*. A3.76)
нерелятивистское выражение для величины Л можно получить
[см. A3.696)], пренебрегая высшими степенями (>3) членов с|Р|
и |q|. Таким образом, имеем
') Однако, когда порядок бесконечности величины ie велик, значения этой
величины зависят от способа вычислений и иногда дают результаты, противо-
противоречащие общему доказательству. Действительно, можно получить положительное
значение ie для заряженной векторной частицы, если воспользоваться специ-
специальным методом вычисления (см. [22], а также частное сообщение Катаяма).

§ 6. Примеры 273
Здесь мы вместо полного потенциала А^(х) воспользовались
лишь его скалярной частью Ф(х) [т. е. в A3.696) потенциал Л* мы
взяли в виде (О, О, 0,1Ф)].
Пример 6. Поляризация вакуума
Рассмотрим в ^-приближении ток bJ' , индуцированный внешним
электромагнитным полем Ае. Из A0.77) и A3.3) имеем
й% (х) = ie2 J d*x' Щх), Л(л')])о К (х')+е* (/„, [х: п\)а АЦх), A3.78)
— 00
где символом ( H обозначено усреднение по вакууму.
Прямое вычисление дает
^-х-). A3.79)
Теперь на основе A0.74) можно заключить, что первый член в
A3.79) можно рассматривать как ток, полученный из лагранжиана
взаимодействия L'= — (*/,) DA^A^. Так как лагранжиан L-\-L', где
L — лагранжиан G.51) свободного поля, приводит к уравнению
то величину О1-» можно рассматривать как собственную массу фо-
фотона. Калибровочная инвариантность требует, чтобы величина 6J
была инвариантна относительно преобразования А—*А,-\-д Л,
т. е. чтобы
D=0. A3.80)
Это требование калибровочной инвариантности можно выразить
и другим способом. Равенство A3.78) с учетом лоренцовой инва-
инвариантности может быть записано в виде
гуа (х) = — 4ег J йхх'К^ (х — х1) Л, {х'). A3.81)
Калибровочная инвариантность требует, чтобы величина /С удо-
удовлетворяла уравнению
д^Лх) = 0. A3.82а)
Сопоставляя равенство A3.79) с A3.81), заключаем, что
<*Л,» (¦*) = Ddji (x). A3.826)
Вычисления приводят к следующим выражениям К для различ-
различных заряженных полей:
13 X. Умэдзава

274 Гл. 13. Теория возмущений
Для заряженного поля с нулевым спином
-d
' — 2х2ДA)Д)}. A3.83)
Для спина '/2
К'Л = бЛ А .^ДО + а,Д-^ДС'—йа,((?Д -^ДО + х2ДД(')). A3.83а)
Для спина 1
B> e , A3.836)
причем ДA>- и Д-функции являются функциями для заряженных
полей [10]. Из этих соотношений можно получить равенство [26,32j
^ A3.84 а)
в котором
I 1 для спина О
л= —1 — 2 для спина 1/» A3.846)
\ 3 для спина 1.
Как это видно из (8.25а), функция Д<"> имеет очень сильную син-
сингулярность на световом конусе. Действительно,
где Д^.—регулярная функция от (x^xj. Отсюда имеем
—
Это приводит к соотношению
J^i^^ 03.85)
которое является совершенно неопределенным. В самом деле, прак-
практические вычисления величины D ) показывают, что эта величина
не всегда равна нулю, а зависит от метода вычислений [42]. Эту
трудность называют проблемой собственной энергии фотона. Соот-
*) Пропорциональной п. — Ирам. ред.

§ 6. Примеры 275
ношения A3.82 6) и A3.85) показывают, что собственная масса
фотона состоит из двух членов1) — один пропорционален п, а вто-
второй— пх2.
Предположим, что существует k заряженных полей U\...,Uk
со спином 0, / заряженных полей d»1,..., (J/ со спином '/, и т
заряженных полей U^ U™ со спином 1 с массами (x<f>,..., х?>),
/>х>р), И">,.... *<и>) и "что
к — 2
2 W -2 2 W+3 2 Но)J=°-
1=1 i=i i^j
Тогда A3.85) показывает, что собственная энергия становится
равной нулю и какая-либо неопределенность, обусловленная мето-
методом вычислений, отсутствует [29,41J.
В самом деле, соотношение A3.85) приводит к равенству
Однако полного согласия относительно сделанных предположений
не существует. Паули и Вилларс [26] с более общей точки зрения
развили формалистическую смешанную теорию, теорию регуляри-
регуляризации. В этой теории временно вводится ряд вспомогательных по-
полей U', ф', U', массы которых в конце вычислений устремляются
к бесконечности, чтобы результаты вычислений не зависели от
этих вспомогательных масс.
Для величин С0 и /(О) в A3.79) мы получаем следующие
выражения [10,40]:
( e2 i 1 , 2v . 11
I — < — rn- Ш-Т + ти- > для скалярного типа
4jc I 12л у.г < 18jiJ i)_>oo
J —i —я- In -j- -4- „- i для спинорного типа A3.86)
I e' i 1 f , 1 i 2u I
S I — iw vP + Tnln 3" > для ве!<тоР"ог« ™na
') Это обстоятельство наглядно можно показать следующим образом: энер-
энергии вакуумных частиц во внешнем поле А"^ (х) грубо можно представить следую-
следующим образом:
^ j daPl\(P - еА'^ + х1}1'» - еА% }.
Разлагая это выражение в ряд по степеням е, мы в качестве первого члена
получаем нулевую энергию вакуума, а вторым членом будет величина (?> 2) [ Ае |2.
Последний "член можно рассматривать как член собственной энергии фотона.
Действительно, коэффициент D в этом члене, который пропорционален я, как
раз совпадает с D в A3.79). Следует заметить, что множитель п в D происте-
проистекает за счет весов различных заряженных частиц в нулевой энергии.
1Я»

276
Гл. 13. Теория возмущений
/ t{ ! ?_+ .1
I 4ic \ 120 тех2 ШЗОтас* ~ /
fll ! ? I I
__ I 4n \ 151га* HUnx* i^ " 'J
где
ILn+ 1
1 CUH „4 I—J I • • • I
4я6яA -и"
1-^
для скалярного типа
для спннорного тина, A3.87)
для векторного типа
для скалярного типа
для спинорного типа A3.88)
' 4i \2TC(l-t,2) + Z«(l-v*f\ ДЛЯ вектоР«0[0
типа.
Эти формулы могут быть получены в результате подстановки
(8.32) и (8.33) в A3.83), A3.83 а), A3.836) и замены переменных
интегрирования ') (а, р —> v, w) по формулам [34J
Величины G (v) в A3.88) получаются как результаты интегриро-
интегрирования ПО W.
Вторые строчки в A3.86) и A3.87) дают второй и третий члены
эффектов поляризации вакуума A3.73) электронного поля. В слу-
случае заряженного векторного поля расходится не только С, но и
/(?)• Как показано в гл. 15, последняя расходимость составляет
серьезную трудность для теории ренормализации.
Пример 7. Собственное натяжение элементарной частицы
Рассмотрим среднее значение тензора энергии-импульса 7№,
элементарной частицы в состоянии с энергией-импульсом р^ и мас-
массой д (pj?u -\- х2 = 0). В релятивистской теории поля тензор энер-
энергии-импульса 7tt> должен подчиняться закону преобразования
') С другой стороны, в нековариантной теории возмущения (см. § 2) нере-
неременная v связана со скалярным произведением (р^р^) векторов энергии-им-
энергии-импульса р, р' (р^/ju ¦+¦ к2 = р^р^ ¦+¦ х2 = 0) заряженных частиц и на ашичастиц в
виртуальном состоянии следующим образом [40|:

§ 6. Примеры 277
тензора 2-го ранга *
Здесь 7^ и 7"и — тензоры энергии-импульса в системе координат
(х„), покоящейся относительно частицы, и в системе координат
(л:,!), движущейся в направлении оси х1 со скоростью v = $ = p1\pu.
В A3.89) символами (р^\н | pj обозначены состояния частицы
с энергией-импульсом р^. С другой стороны, величина Е должна
обладать свойствами преобразования энергии частицы
Преобразования A3.89) и A3.90) показывают, что величина, назы-
называемая собственным натяжением частицы.
должна быть равна нулю.
Доказательство равенства нулю этого собственного натяжения
можно провести следующим формальным путем [37]. Прежде всего
рассмотрим спинорное поле ф, взаимодействующее с некоторыми
бесспиновыми полями Um (а = 1, 2, ...). Лагранжиан имеет вид
= - f(у Д. + я) ф -1 ? (d,Um ¦ dVm+{*mY UmUmH-L, A3.91a)
и=2/5> §a%)'Wm+2 ffo1;'* d^um, A3.91 б)
где О(>) и О^ — произведения матриц у, a gm — константы связи,
имеющие размерность длины [gm] = [L]. Из G.36) с помощью
уравнений поля для Um и ф получаем
Т, A3.92)
Um Um). A3.93)
Тензор энергии-импульса в представлении взаимодействия можно
получить из тензора 7^, с помощью унитарного оператора S[e\.
Такой тензор энергии-импульса в представлении взаимодействия
по сравнению с A3.92) имеет некоторые дополнительные члены.
Однако, как показано в § 5, на эти члены можно не обращать
внимания, если пользоваться в вычислениях методом Я*-символа.
') Здесь мы пользуемся хорошо известным соотношзиием Лоренца

278
Гл. 13. Теория возмущений
Тогда величину (р = 0, (i | Tuv | р = 0, jx) можно вычислить, подстав-
подставляя A3.92) в выражение для F[x:n] в A3.18) и рассматривая фи
Um как операторы в представлении взаимодействия. Хотя в A3.89)
предусмотрена только трехмерная, пространственная интеграция по
d3x, все же можно провести интегрирование по всему четырехмер-
четырехмерному пространству и в конце интеграл по времени не учиты-
учитывать, потому что нам необходимо выделить матричный элемент
(от J d?x 7^), для которого имеет место закон сохранения энергии
00
(р' | J d'x Т^ (х) \р) = 2тг (р' | J d'x Т^ (х) | р) Ь (р'о -рв) 5Р-р.
— 00
Математическое ожидание
00
(р = О,л| J
—on
можно получить с помощью подстановки члена')
ос
2
х") в гра-
гра+ (*<4J 6ф (х1 - х) ¦ А)?) (х - х")}
в произвольно выбранную линию а-бозона (lft) № (х'-
фике собстгенной энергии фермиона ф (см. фиг. 19, о).
Г
— Ч>
Фиг. 19.
fta)Q(a)
6
-Линия бозона
Из (8.37) имеем
0
2 J
— 00
(xl — х"). A3.94)
1) Величина Д?' является А^.-функцией поля (/"К

§ 6. Примеры
277'
Гаким образом, мы видим, что одно включение в график опе-
оператора Т приводит к появлению члена — 25;л, где 5jx — собствен-
собственная энергия фермиона.
Ввиду того что при вычислении собственной энергии фермио-
фермиона существует л/2 способов включения оператора Т в график, мы
заключаем, что
A3.95a)
= 0, ц)=— 2
п=:()
Здесь i\s.m — член и-го порядка в выражении для собственной
энергии 5A, вычисляемой по теории возмущений. Этот член имеет
вид
fc"" = 2 Ш (ГТ*
. и....;/,
A3.956)
(а)
2
где 2 — сумма по всем возможным значениям /па и 1Х, удовлетво-
удовлетворяющим условию
Функции F(...;...) не зависят от констант связи. Далее, из
A3.95а) и A3.956) получается равенство
Член
можно также вычислить с помощью графика собственной энергии
фермиона, в котором каждая вершина со взаимодействием
^/1"' рассматривается как вершина, связанная с
в выражении для Т^ (см. фиг. 19, б). Так как каждый член
в A3.95 б) в вычислении по теории возмущений состоит из шх та-
таких вершин, мы имеем
(Р = О,
d3x
р = 0, я) =
^ ¦ •; • • •)=-
A3-97)

281
Гл. 13. Теория возмущений
С другой стороны, из (8.37) и A3.41) получаются соотношения
li~SF(x — x') = — ^ii.jdtx''SF(x — x")SF(x" — x'), A3.97а)
х™ ~ Д(; (х — х') = - Ы1 j Лс'Д^ (х — х") ^ (х" — х'). A3.976)
Эти соотношения показывают, что применения операции рд/дц
к внутренней линии фермиона или операции x^djdx™ к линии
а-бозона эквивалентны включению в эти линии соответственно ве-
величин— щЫ и —ЦхтJитит. Таким образом, имеем
(хA))" f d3xUmUi7> р = 0, р.) = х'
A3.98)
Из A3.92) следует, что
A3.99)
Так как оператор энергии \ d?xTti должен дать собственную энер-
энергию b]i. в соответствии с формулой
(р = 0, jjl
то мы имеем
= 0, ji =
Ввиду того что в системе покоя фермиевской частицы
(р = 0, ра = pl) должно иметь место равенство
= (р = 0, ц| J
= 0, ц) ,
') При вычислении величины {Ту) появляется ряд диаграмм, в которых
оператор Т действует на замкнутые петли, связанные с остальной частью
диаграммы единственной линией с нулевым импульсом (фиг. 20). Вклад от этих
диаграмм называется поляризацией вакуума. При обычных вычислениях собст-
собственной энергии 8A этой величиной вообще пренебрегают. Однако ?ц в равен-
равенствах A3.100) и A3.101) должна включать этот вклад. В квантовой электроди-
электродинамике на основании теоремы Фарри этот вклад равен нулю [33, 9, 37].

§ 6. Примеры 231
из A3.100) следует
(р = 0, n|J<fxr| )
Ч^^^I- {13Л01)
Аналогичные результаты получаются в более общем случае.
Допустим, что имеются некоторые поля QD(a= 1,2,...), взаимо-
взаимодействующие друг с другом посредством гамильтонианов /УA>
(а=1,2, ...), константы связи в которых имеют размерности
Wa)] = [Lnm}. Тогда имеем [37]
(р = 0, *(I)| J d'xTn |p = 0, *A>) =
~TF [2-1 дх№ 2-1 ^ <#"> J
где х14— масса покоя частиц поля Qm; 8х"' — собственная энер-
энергия частицы (а —1); „(р = 0, х11) |"—усреднение по состоянию
частицы (а = 1), находящейся в со-
состоянии покоя. Это соотношение
впервые было получено Пайсом и Эп-
штейном [24] на простом примере элек-
электрона и электромагнитного поля, для
которых g(a) = 0, а х(а> = 0 и т — соот-
соответственно массы фотона и электрона. Фиг. 20
В силу того что величина §хA>
имеет размерность [8^A|] = [Z.~1], она должна иметь вид
§*<¦>= 2 а (от., 1а) П (*'Т*(?'а>)Ч A3.103)
я»,, /а а, а
причем
Здесь безразмерные коэффициенты a (mr, /J могут зависеть от
In (хт/**')). Подставляя A3.103) в A3.102), получаем
р = 0, хA»| J d'xTu (х) |р = 0, хA)) =0. A3.104)
Однако практические вычисления иногда приводят к ненулевому
значению собственного натяжения. Эго обстоятельство можно
усмотреть из A3.102). Когда собственная энергия $х°' бесконечна,
она вместо A3.103) должна выражаться формулой
lim 5хA)(Я). A3.105)
Р
Другими словами, появляется новая константа Р(—<-<х) с размер-
размерностью [L~l]. Здесь Р — верхний предел интегрирования при вы-
вычислении собственной энергии. Таким образом, проведенное выше

282 Гл. 13. Теория возмущений
рассмотрение размерностей без учета Р не остается справедливым
и мы находим ненулевое значение собственного натяжения. Эту
трудность называют проблемой собственного натяжения.
Например, собственное натяжение электрона, нзаимодействую-
щего с электромагнитным полем, может быть получено из выра-
выражения для его собственной энергии A3.63)
: = lira lax In bx\ .
Здесь а и Ъ — безразмерные конечные величины (о = 3е2'8тта,
Ь = Зе*/48тт2). Ввиду того что заряд е безразмерен, A3.102) дает
A3.Ю6)
Это согласуется с результатами практических вычислений. Однако,
если бы величина Ьх была конечной, ее единственным видом был
бы вид
Ьх = сх ¦ A3.107)
с безразмерной константой с, потому что 'х — единственная раз-
размерная константа квантовой электродинамики. Если подставить это
выражение в A3.102), то получим
Равенство A3.104) показывает, почему в методе регуляризации
Паули — Вилларса (см. работу [32]) или смешанной теории [46]
удалось получить нулевое значение собственного натяжения. Это
связано с тем, что эти теории приводят к конечной величине соб-
собственной энергии электрона. С другой стороны, в рамках теории
ренормализации трудность с собственным натяжением не может
быть разрешена, потому что в этой теории, как это будет пока-
показано в следующей главе, сама собственная энергия не является
конечной величиной.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bethe H. A., Oppenheimer J. R., Phys. Rev., 70, 451 A946).
2. Bhabha H. J., Heitler W., Proc. Phys. Soc. 159, 432 A936).
3. В loch F., Nordsieck A., Phys. Rev., 52, 54 A937).
4. Carlson J. F., Oppenheimer J. R.. Phys. Rev., 51, 220 A936).
5. Coester E., Phys. Rev., 83. 1066 A951).
6. Dirac P. A. M.. Proc. Cambr. Phil. Soc, 30, 150 A934).
7. Dyson F. J., Phys. Rev., 75, 486 A949).

Литература ' " 283
8. Eden R. J., Proc. Roy. Soc, A210, 388 A952).
9. Epstein S. Т., Prog. Theor. Phys., 6, 441 A951).
10. Feldman D., Phys. Rev., 76, 1367 A949).
11. Fey nman R. P., Phys. Rev., 76, 749 A949) (см. перевод в сборнике: Но-
Новейшее развитие квантовой электродинамики, ИЛ, 1954).
12. Fukuda H., Kinoshita Т., Prog. Theor. Phys., 5, 1024 A950).
13. Fukuda H., M i у a m о t о Y., Prog. Theor. Phys., 4, 389 A950).
14. Furry W. H., Phys. Rev., 51, 135 A937).
15. Heisenberg W., Zs. f. Phys., 90, 209 A934).
16. He itler W., The Quantum Theory of Radiation, First Edition, Oxford, 1935
(см. перевод третьего издания: В. Гай т л ер, Квантовая теория излучения
ИЛ, 1956).
17. I to D., Prog. Theor. Phys., 6, 1023 A951).
18. Katayama Y., Prog. Theor. Phys., 5, 272 A950).
19. Kinoshita Т., Prog. Theor. Phys., 5, 1045 A950).
20. Koba Z., Prog. Theor. Phys., 5, 696 A950).
21. LQders G., Zs. Naturforsch., 7a, 206 A952).
22. McConnell J., Phys. Rev., 81, 275 A951).
23. Nishijima K., Prog. Theor. Phys., 6, 814 A951).
24. Pa is A., Epstein S. Т., Rev. Mod. Phys., 21, 445 A949).
25. Pais A., Jost R., Phys. Rev., 87, 871 A952).
26. P a u 11 W., V i 11 a r s F., Rev. Mod. Phys., 21, 434 A949).
27. Paul! W., RoseM. E., Phys. Rev., 49, 462 A936).
28. Peierls R. E., Proc Roy. Soc, 146, 420 A934).
29. Ray ski J., Acta Phys. Polonica, 9, 142 A948).
30. Rohrlich F., Phys. Rev., 77, 357 A950).
31. Sakata S., Tanikawa Y., Phys. Rev., 57, 548A940).
32. Sakata S., Umezawa H., Prog. Theor. Phys., 5, 682 A950).
33. Sawada K., Prog. Theor. Phys., 6, 117 A950).
34. Sch winger J., Phys. Rev., 76, 790 A849) (см. перевод в сборнике: Но-
Новейшее развитие квантовой электродинамики, ИЛ, 1954).
35. Stueckelberg Е. С. G., Green Т. A., Helv. Phys. Acta, 24, 153A951).
36. Takahashi Y., Prog. Theor. Phys., 11, 251 A954).
37. Takahashi S., Umezawa H., Prog. Theor. Phys., 8, 193 A952).
38. Umezawa H., Kamefuchi S., Prog. Theor. Phys., 6,543 A951).
39. Umezawa H., К a w a b e R., Prog. Theor. Phys., 4, 420 A949).
40. Umezawa H., К a w a b e R., Prog. Theor. Phys., 4, 423, 443 A949).
41. Umezawa H., Yukawa J., Y a m a d a E., Prog. Theor. Phys., 4, 25, 113
A949).
42. Wentze! G., Phys. Rev., 74, 1070 A948).
43. Weiss kopf V., Phys. Rev., 56, 72 A939).
44. Wick G. C, Phys. Rev., 80, 268 A950) (см. перевод в сборнике. Новей-
Новейшее развитие квантовой электродинамики, ИЛ, 1954).
45. Y a ng С. N.. Phys. Rev., 77, 242 A950).
46. Yukawa J., Umezawa Н„ Prog. Theor. Phys., 4, 468 A949).

ГЛАВА 14
Теория перенормировок
в квантовой электродинамике
§ 1. Теория перенормировок
В современной квантовой электродинамике серьезные трудно-
трудности происходят от существования собственного поля. Однако, ввиду
того что „инфракрасная катастрофа" может быть устранена только
при учете собственного поля, пренебрегать собственным полем
нельзя. В этом случае было бы трудно понять экспериментальный
успех квантовой электродинамики. Разрешение этой трудности
можно найти путем исследования наблюдаемых эффектов собст-
собственных полей.
Прежде всего еще раз рассмотрим „ультрафиолетовую ката-
катастрофу", о которой говорилось в предыдущей главе. В проблеме
упругого рассеяния электрона в е'-приближении эффекты собст-
собственного электромагнитного поля (т. е. так называемые радиацион-
радиационные поправки) приводят к бесконечным значениям изменений 8х и
Ье массы и заряда электрона. Так .как мы наблюдаем не голый
электрон, а электрон с собственным полем, наблюдаемые вели-
величины массы и заряда электрона должны быть равны x's*-f&
и е, = е-\-Ье.
Член, связанный с массой в лагранжиане, может быть записан
в виде
— хЪ^=—хг^Ь-\-ёхЪ±. A4.1)
Если воспользоваться представлением взаимодействия, в котором rb
удовлетворяет волновому уравнению свободного электрона с мас-
массой х'[х—>х в G.110)], то второй член в A4.1) приводит к сле-
следующему гамильтониану взаимодействия:
Нт(х)=-8хЪ(х)Ь(х). A4.2)
Беря Ьх = А°, можно устранить эффект, связанный с A3.64).
Аналогично, записывая электромагнитное взаимодействие в виде
с ефуК = «.Ф^И - 8<%<К (*4-3)
<?,= е-\-Ье A4.4)
и рассматривая е*/4п как наблюдаемое значение 1/137 величины

§ 2. Примитивно расходящиеся диаграммы 285
элементарного заряда, можно с помощью второго члена в A4.3)
(с Ье = еСй) уничтожить первый член в A3.75). Такого рода про-
процедуры называются перенормировками массы и заряда [8, 22, 15, 5].
Так как с помощью указанной процедуры можно в ^-приближе-
^-приближении получить определенные конечные результаты, то можно про-
провести сравнение этих результатов с экспериментом.
Например, эта теория предсказывает существование в стати-
статическом магнитном поле дополнительного аномального магнитного
момента электрона величиной 0,00117( — е\1т), обусловленного собст-
собственным полем [22]. Здесь — е\2т — магнетон Бора для электрона.
Аналогичным путем можно прийти к заключению, что собствен-
собственное поле влияет на энергетические уровни электрона в кулонов-
ском поле водородоподобного атома: энергетический уровень 22S>,
(который в случае пренебрежения радиационными поправками дол-
должен совпадать с энергетическим уровнем 22Pi/2) сдвигается вверх
на величину около 1000 мггц относительно уровня 2гРЧг. На это
обстоятельство уже давно указывалось на основании результатов
некоторых экспериментов [19].
Окончательные экспериментальные данные, касающиеся энер-
энергетических уровней атома водорода и аномального магнитного
момента электрона, были получены Лэмбом и Ризерфордом [12] и
группой Раби [18]; эти результаты впоследствии были успешно
объяснены теорией перенормировок.
Это показывает, что представление о собственном поле имеет
реальный смысл и что теория перенормировок справедлива по
крайней мере при некоторых условиях. Однако чтобы доказать
непротиворечивость рассматриваемой теории, необходимо доказать
справедливость двух следующих положений: 1) положение о том,
что теория перенормировок квантовой электродинамики не приво-
приводит к бесконечностям аи в каком приближении теории возмуще-
возмущений; 2) перенормированный ряд теории возмущений сходится к
определенному конечному результату.
Первая проблема, детально исследованная Дайсоном [2], будет
рассмотрена в последующих параграфах.
§ 2. Примитивно расходящиеся диаграммы
Рассмотрим теперь, какие виды бесконечности встречаются в
квантовой электродинамике. Диаграмма называется примитивно
расходящейся [2], когда матричный элемент, соответствующий
этой диаграмме, бесконечен, но эта бесконечность появляется лишь
за счет последнего интегрирования по четырехмерному импульсу,
т. е. результат п—1 (и—число внутренних линий), интегриро-
интегрированный по четырехмерным импульсам, которые мы проводим пер-
первыми, является конечным. Другими словами, диаграмма, полу-
получаемая в результате разрыва любой внутренней линии примитивно

286 Гл. 14. Теория перенормировок в. квантовой электродинамике
расходящейся диаграммы, приводит к диаграмме, которой соответ-
соответствует конечный элемент 5-матрицы.
Теперь выясним, какие примитивно расходящиеся диаграммы
встречаются в квантовой электродинамике.
Легко видеть, что для примитивно расходящихся диаграмм
должно иметь место следующее соотношение:
(Наибольший, порядок незави- (Наибольший порядок незави-
yV= симых переменных в числите- — симых переменных в знаме- ё*0.
ле) нателе) A4.5)
Независимые переменные выбираются здесь следующим обра-
образом: часть переменных интегрирования исключается с помощью
8-функций'), сопоставленных каждой вершине за счет закона со-
сохранения энергии-импульса, а остающиеся переменные рассматри-
рассматриваются как независимые.
Неравенство A4.5) можно рассматривать как условие расходи-
расходимости только тогда, когда знаменатели подынтегральных выражений
не приводят к сингулярностям. В самом деле, знаменатели можно
переписать в положительно определенном виде, если контур ин-
интегрирования по переменной k0 сместить с вещественной оси на
мнимую ось2). Как это видно на фиг. 9, это может быть сделано
без пересечения несмещенных полюсов. Более того, вклад за счет
смешенных полюсов оказывается конечным, так как область ин-
интегрирования по импульсам ограничена неравенством A3.39).
Рассмотрим примитивно расходящуюся диаграмму, в которой
числа внешних и внутренних электронных линий равны соответ-
соответственно Ее и 1е, числа внешних и внутренних фотонных линий
равны соответственно Ер и /р, а число вершин равно л [из этого числа
ns соответствует взаимодействию A4.2) j. Выражения (8.35) и
A3.24 а) показывают, что каждая электронная или фотонная внут-
внутренняя линия добавляет во второй член в A4.5) 1 или 2. В чис-
числителе мы имеем 4/ переменных интегрирования (d4^ ... (fkp
I^.Ie-\-Ip). Однако 4(я — \) из этих переменных исключаются
вследствие наличия о-функций, сопоставленных каждой вершине.
С другой стороны, принимая во внимание, что в случае взаимо-
взаимодействия A4.3) в каждой вершине сходится три линии, легко
можно доказать следующие соотношения'):
=п-п„ A46
00
') Эти о-функции возникают за счет интегрирований [ dlx, сопоставлен-
сопоставленных каждой вершине. _^,
2) Тогда *^ = /г*-(-/г*4-** —** принимает вид *| -f ?* + /И + |А0|2.
") Каждой вершине соответствует одна внешняя фотонная линия или по-
половина внутренней фотонной линии.

§ 3. Выделение бесконечностей
287
Таким образом, имеем
—и,. A4.7)
Поэтому условие A4.5) того, что диаграмма является примитивно
расходящейся, может быть записано в виде [2J
4—§¦?,-?„-я, 3*0. A4.8)
Чиеето N является наибольшей степенью бесконечностей при-
примитивно расходящихся диаграмм, причем число N = 0 понимается
как логарифмическая расходимость.
/ \
6
Фнг. 21.
Существует шесть случаев, в которых удовлетворяется нера-
неравенство A4.8):
а) Ер = 0,
г) ?j=4,
б) ?,=
д) ?j =
г = 2; в)
= 0; е)
Однако в случаях (д) или (е) по теореме Фарри (см. гл. 13,
пример 2) матричные элементы равны нулю; случай (г) приводит
к логарифмически расходящемуся элементу 5-матрицы вида
АаАчА?Ас. Этот элемент, в силу калибровочной инвариантности
теории, мы будем принимать равным нулю точно так же, как
принимается равной нулю собственная энергия фотона.
Диаграммы, представленные на фиг. 21, а — в, называются
соответственно диаграммами собственной энергии фотона, вершин-
вершинной части и собственной энергии электрона. Поэтому указанные
выше результаты могут быть сформулированы следующим обра-
образом: любая примитивно расходящаяся диаграмма должна быть
диаграммой вида (а), (б) или (вI).
§ 3. Выделение бесконечностей
Рассмотрим примитивно расходящуюся диаграмму G(E, Ee
с Ее электронными и Ер фотонными внешними линиями. Если эта
примитивно расходящаяся диаграмма содержится в некоторой
') Однако расходимости диаграмм [а), (б) или (в) не всегда являются ири-
митнышми.

288 Гл. 14. Теория перенормировок в квантовой электродинамике
диаграмме Фейнмана более общего вида, то импульсы ?tm)
(т — 1, ... , п) ее внешних линий могут и не удовлетворять вол-
волновым уравнениям свободного поля. Обозначая все внешние им-
импульсы символом t, можно матричный элемент S, соответствую-
соответствующий О(Ер, Ее), записать следующим образом:
\d*kR{k, t). A4.9)
Так как рассматриваемая диаграмма является примитивно расхо-
расходящейся, то R(k, t) не содержит бесконечностей. Интегрирование
в A4.9) называется окончательным интегрированием.
Введем в рассмотрение импульсы fi) (соответствующие t<m))
свободных электронов и фотонов с помощью следующих опре-
определений:
*Y^0>m' ~\~х' ;=0> когда tvn) описывает нмпульс элект-
электронной ЛИНИИ, ,1д . «.
tl(m) t^m) = О, когда i(m> описывает импульс фотонной ' " '
линии.
Обозначая (f'1' ... f0(")) посредством ta, выражение A4.9)
можно записать в виде [2]
-ti») Jd*k \-^-nR{k. t)
L
^(Некоторая ограниченная i\a 11ч
(-(o Функция переменной 0- l '
Легко видеть, что наибольшие степени бесконечностей первого,
второго,... членов в A4.11) равны соответственно N, N—1, ...
[число N определяется посредством A4.5)]. Таким образом, с по-
помощью A4.11) [см. A3.62)] можно бесконечные члены отделить
от конечных членов. Для больших t (т. е. когда fi1 >... &¦"> ве-
велики по сравнению с массами частиц) последний член в A4.11)
может быть приближенно записан в виде суммы членов, являю-
шихся произведениями (^ш>) ... ^"V ),умноженными на постоян-
постоянные множители.
Член, порядковый номер которого (/ -|- 1), мы будем обозна-
обозначать как G(Ep, Ee, /)-член. Наивысший порядок бесконечности в

§ 5. Константы перенормировки 289
G(Ep, Ее, /)-члене равен (N—/), причем N — / = 0 приводит к
логарифмической расходимости.
Ясно, что каждая диаграмма, которая приводит к расходяще-
расходящемуся матричному элементу 5-матрицы, содержит некоторые при-
примитивно расходящиеся диаграммы.
§ 4. Неприводимые диаграммы
Диаграмма, которая получается из данной диаграммы путем
замены в ней всех частей собственной энергии и вершинных ча-
частей линиями и вершинами, не содержащими радиационных по-
поправок, называется скелетной л/-/>/ч'ч~\,
диаграммой. Диаграмма назы- f \^ Нт
вается неприводимой, если а ^ *
она совпадет со своей ске-
скелетной диаграммой. Других
неприводимых диаграмм соб- ? ]ь
ственной энергии электрона и ч^ J>
фотона, кроме указанных на
фиг. 22, не существует. Фиг- 22-
Диаграмма называется собственной диаграммой, если она не
может быть разделена на две части разрывом лишь одной внут-
внутренней линии.
§ 5. Константы перенормировки
Обозначим все вклады от диаграмм собственной энергии элек-
электрона и фотона и вершинных частей соответственно через S'p (t),
A'F{t) и l\(t\ f); t — энергия-импульс внешней линии диаграмм
собственной энергии, a (tl, t*) — энергии-импульсы внешних линий
электрона у вершинных частей. Все вклады от собственных диа-
диаграмм собственных энергий электрона и фотона обозначим через
ф2*ф и А П^Л, соответственно. Они получаются с помощью сум-
суммирования по всем вкладам от всех возможных диаграмм, полу-
полученных с помощью включения внутренних линий в соответствую-
соответствующие неприводимые диаграммы (см. фиг. 22). Другими словами,
они получаются из элементов 5-матрицы соответствующих непри-
неприводимых диаграмм с помощью замены в них функций SF, kp и
у^ в точках а на фиг. 22 через функции S'p MP и Г^. Следует
заметить, что в точках b на фиг. 22 у^ не надо заменять на Г^.
Действительно, диаграмма, получаемая включением внутренней
линии „вблизи* точки Ь, т. е. вершина в точке Ь, эквивалентна
диаграмме, получаемой включением внутренней линии „вблизи*
точки а, т. е. вершина в точке а (фиг. 23).
19 X. Умэдзава

290 Гл. 14. Теория перенормировок в квантовой электродинамике
Таким образом, мы видим, что 2* и II* v могут быть запи-
записаны в виде
— k)
— k, t)).
A4.12a)
A4.126)
Ввиду того что любая диаграмма собственной энергии может
быть представлена путем соединения диаграммы собственной
Ф и г. 23.
энергии и собственной диаграммы собственной энергии, можно на-
написать [2]
S'F=*SP+SF1*S'P A4.13а)
'Р A4.136)
где следует понимать, что все величины в обеих частях равен-
равенства относятся к одним и тем же импульсам. Функции SF(k) и
bP(k) являются амплитудами Фурье функций SP(x) и ЬР(х) соот-
соответственно
A4.13b)
Величины S'F и Д'А могут быть вычислены с помощью A4.13а) и
A4.13 6).
Теперь примем, что величины S'^, A'F и Г' имеют вид
Ь'р = гг^(е,), A4.14)
ra = ZrT.,(e,).
Здесь Zj, Zt и Z3 — постоянные, которые должны быть опреде-
определены таким образом, чтобы S'F, Д^ и Г не содержали бесконеч-
бесконечностей. Наблюдаемый заряд ег является конечным и таким, что
е,=/е A4.15)

§ 5. Константы перенормировка 291
(величина /—постоянная). Это равенство можно рассматривать
как обобщение выражения для перенормировки заряда A4.4).
Подставляя A4.14) в A4.12а) и A4.126), получаем
1*=гг1гггае* Jd**^, (О Д* (<?,) г„ (<д- 2****, (н.ш а)
П;, =Z; ZfV J d*kSp (S'Fl (<?,) ^S'f, К) Г„ (*,)• A4.166)
Равенства A4.13), пользуясь правилами операционного исчисле-
исчисления, можно записать следующим образом:
' ' <14Л7а>
С другой стороны, в следующем параграфе мы покажем
---\> A4Л8)
|-... }, A4.19)
где Л(е,), 5(^j), C(e,) и /.(е^ — некоторые постоянные. Члены,
обозначенные многоточием в A4.18) — A4.20), являются конечными
и содержат соответственно множители (у d№ -f- x'), Q2 и д..
Из A4.16а) и A4.166) получаем
A4.21)
{ A4.22)
Подставляя эти соотношения в A4.17 а) и A4.176) и принимая
во внимание, что при е1—+0 [см. A4.13 в)] должно быть 5^—> 5^
Д^ _> Д^ Г^ —»у^, мы видим, что 5^, Д^ и Ги не содержат бес-
бесконечностей только тогда, когда постоянные выбраны таким об-
образом, что соблюдаются равенства
04.23)
Это и есть „константы перенормировки".
19*

292 Гл. 14. Теория перенормировок в квантовой электродинамике
§ 6. Окончательное интегрирование
Сейчас мы установим равенства A4.18) — A4.20). Некоторая
собственная диаграмма [равенство A4.5) определяет число N для
этой диаграммы] собственной энергии электрона может содержать
примитивно расходящиеся диаграммы G,, G,,... [равенство A4.5)
дает числа Nv N2,... для этих диаграмм]. Бесконечности в диа-
диаграммах G могут быть отделены с помощью A4.11). Опуская эти
бесконечные члены, можно получить конечный член, который при-
приблизительно пропорционален Л/^-ой степени внешнего импульса t^
примитивно расходящейся диаграммы Go если только эти послед-
последние импульсы велики. Эти импульсы становятся внутренними
импульсами для примитивно расходящейся диаграммы, в которой
вышеупомянутые конечные члены для всех G,- подставляются во
внутреннюю линию или вершину, соответствующую прежним при-
примитивно расходящимся диаграммам [т. е. Gt, (i—\, 2,...)]. От-
Отделяя бесконечные члены этого интегрирования с помощью A4.11),
опуская их и повторяя эту операцию, мы, с учетом A4.12а), по-
получаем „окончательное интегрирование" в диаграмме собственной
энергии электрона в виде
*АТЛ(*)АЯ(*)Г,ч(е)- A4.24)
Это последовательное отделение бесконечностей подробно об-
обсуждено в § 9. Здесь можно сказать, что оно определяет вели-
величины [S'p, Ь.'Р, Ги) и (А, В, С, L); последние величины с помощью
A4.23) позволяют определить константы перенормировки (Ъх, Z,,
Zt, Z8, /).
Следует заметить, что A4.24) записано в виде функции от е,
а не от ех. Из приведенных выше рассуждений мы видим, что
наибольший порядок бесконечностей в A4.24) равен величине Л/,
определяемой с помощью A4.5) [и поэтому также с помощью
A4.7)]. Беря ?р=0 и Ее = 2, мы видим, что A4.24) содержит
линейную и логарифмическую бесконечности. Поэтому, используя
A4.И), можно A4.24) представить в виде
A4.25)
Здесь А(е) и В(е) — постоянные, расходящиеся самое большое
соответственно1) линейно и логарифмически.
Множитель Zj~x в A4.25) появляется по следующей причине.
Хотя величина Г^ заменяет величину у^ только в вершине а, а
не в вершине Ь, мы должны ожидать, что окончательный
1) Можно доказать, что собственная энергия электрона расходится лога-
логарифмически [27].

§ 7. Перенормировка внешних линий 293
результат должен быть симметричным относительно двух вершин
а и Ь. Поэтому выражения A4.14) показывают, что множитель
ZT1 должен присутствовать также и в вершине Ь. Доказательство
этого положения, которое мы дадим в § 9, было дано Саламом [21].
Бесконечность Z~l в вершине b называется ^-бесконечностью.
Заменяя величину е в A4.25) на ех, мы получаем A4.18). Ра-
Равенства A4.19) и A4.20) могут быть установлены аналогичным
способом.
С помощью указанного процесса последовательного отделения
бесконечностей можно получить конечные результаты при вычис-
вычислении матричных элементов 5-матрицы.
§ 7. Перенормировка внешних линий
Суммы всех возможных внешних линий, сопоставленных ф, ф
и Л№ вместе с соответствующими внутренними линиями, мы будем
обозначать соответственно через ф' ф' и А^_. Когда ф, ф и А яв-
являются операторами свободных полей, мы имеем
В самом деле, в диаграмме 5—1[оо] 5[оо] (которая с учетом уни-
унитарности S[oo] равна единице) некоторые внешние линии опера-
операторов 5[оо] и 6"-1[оо] соединены друг с другом, что приводит к
появлению внутренних линий. Эти единицы встречаются с бес-
бесконечными коэффициентами, даваемыми выражениями A4.14).
Другими словами, формулы A4.26) дают такую перенормировку
величин ф', ф' и Д,., при которой оператор 5[оо] является уни-
унитарным.
Действительно, используя соотношения, аналогичные A4.13 а)
и A4.13 6), с ф', ф' и X
можно вычислить эти бесконечные коэффициенты. Однако эти
результаты не могут быть однозначными. Для однозначного опре-
определения этих коэффициентов необходимо воспользоваться унитар-
унитарностью 5[оо]. Это положение уже проиллюстрировано на примере
вычисления величины В" в A3.67) [см. рассуждения, следующие
за выражением A3.67)]. Как было там показано, однозначность
определения коэффициентов в A4.26) может быть также достиг-
достигнута за счет предположения об адиабатическом включении и вы-
выключении константы взаимодействия [3.16J.

294 Гл. 14. Теория перенормировок в квантовой электродинамике
§ 8. Перенормировка
В § 4 мы видели, что матричный элемент 5-матрицы можно
получить, если величины SF, ^F и у^.. соответствующие электрон-
электронным и фотонным внутренним линиям и вершинам всевозможных
неприводимых диаграмм, заменить соответственно величинами Sf,
Д/г и Г^. Тогда все бесконечности могут быть записаны в виде
множителя Zr'ZjZs2 при каждой вершине (фиг. 24), где Z2 hZ'
даются соответственно двумя электронными
линиями и одной фотонной линией, сходящи-
сходящимися к вершине [см. A4.14)], a Zf' появляет-
ся за счет замены у^ —> Г,,,. Однако этот беско-
нечный множитель можно включить в наблю-
наблюдаемую величину заряда ^ =/(? [см. A4.23)].
Таким образом, мы видим, что в теории 5- мат-
матрицы квантовой электродинамики, основанной
Ф „4 на те(>Рии возмущений, никаких бесконечно-
бесконечностей не возникает. Так как можно дока-
доказать соотношение [26]
Zx=-Z2, A4.27а)
то имеем
e1 = Z^e, f=Z'J\ A4.28)
Соотношение A4.27а) соответствует соотношению A3.70) в ^-при-
^-приближении.
Доказательство соотношения A4.27а) выглядит следующим
образом. Равенство
F(k) A4.276)
показывает, что дифференцированию по k^ соответствует прибав-
прибавление к диаграмме фотонной линии с нулевым вектором энергии-
импульса. Поэтому мы имеем
r*=v-2^:2*(*) для /==0> A4-27в)
где / — вектор энергии-импульса фотона, представленного внешней
линией вершинной части. Подставляя A4.16а) и A4.20) в A4.27в),
получаем
откуда с учетом A4.23) следует
ZT1(l-Z1) = Zr1(l-Z1).
Это приводит к A4.27а). Использованное нами в доказательстве

§ 9. Выделение бесконечностей 2ЭЗ
свойство величины SF, выражаемое равенством A4.276), является
следствием калибровочной инвариантности теории, которая требует,
чтобы электромагнитное взаимодействие, т. е. — ie fy^AJi, входило
в теорию только в комбинации ф(уи, д^ — ieAjif.
Равенство A4.28) показывает, что перенормировка заряда за-
зависит только от множителя Z3, входящего в Д^ (внутренняя фо-
фотонная линия). Этот результат справедлив не только для системы
электронов с электромагнитным взаимодействием, но для системы
любых заряженных полей, потому что A4.27) является следствием
только калибровочной инвариантности [26,10]. С другой стороны,
как это показано в гл. 13, пример б, изменение Ье величины заряда
индуцируется поляризацией вакуумных частиц всех заряженных
полей, обусловленной падающим фотоном. Таким образом, вели-
величина Z3 должна включать вклады от всех заряженных полей и по-
поэтому не должна зависеть от свойств определенного заряженного
поля. Это обстоятельство согласуется с тем фактом, что каждая
заряженная частица имеет один и тот же элементарный заряд
^1
§ 9. Выделение бесконечностей
Существуют различные методы последовательного выделения
бесконечностей, к которым приводит некоторая заданная диаграмма
[26,21]. Здесь мы приведем метод, принадлежащий Саламу. Прежде
всего рассмотрим диаграмму,
изображенную на фиг. 25.
Это — часть диаграмм собст- i УС
венной энергии электрона в f а /\ р-k'
^-приближении. Р p-tf Ч j
Элемент 5-матрицы, зада-
ваемый этой диаграммой, со-
держит интеграл Фиг. 25.
М= J d'k' J d'k'Tip, Ь') О(р, К, k")H(p, ИГ). A4.29)
Интегрирование по d4 k' приводит к логарифмической расходимости
в вершинной части в точке а, а интегрирование по d4k" приводит
к аналогичной бесконечности в точке Ь. Ввиду того что О (р, k', k")
не является произведением функции от k' и функции от ft", мы не
можем записать М в виде произведения двух расходящихся интег-
интегралов; поэтому говорят, что такая диаграмма содержит „перекры-
„перекрывающиеся бесконечности".
В общем случае интегрирование по переменным {k{l\..., №т)),
выбранным из переменных (?A),... , km), называется (?A),..., ?""')-
субинтегрированием (subintegration). При (k°\..., #т))-субинтегри-
ровании интегрирование производится во всех множителях, содер-

296 Гл. 14. Теория перенормировок в квантовой электродинамике
жаишх в подынтегральном выражении переменные (ftA\.. .,k(m>).
Интегрирование указанных выше выражений, в которых все пере-
переменные, отличные от (k>l\... , km)), заменены импульсами свободных
полей, мы будем обозначать посредством D(ka\... , kim)) [импульсы
свободных полей будут обозначаться верхним индексом 0, т. е.
° = 0 в (8.2а)]. Например, из A4.29) имеем
D(k')= \ dik'Flp\ k') G(p\ k', k°"),
K ' j w > w> * '• A4>30)
D(kT)= ) d*k"G(p\ k0>, k")H(p\ k"). v
Отсюда получаем
M = D{k') \ d*k"H(p, k")-\-D{k") \ d4k'F(p, ?') +
+ J d4k' J d*k"R (p, k', k"), A4.31)
где
R(p, k', k") =
=?{F(p, k')G(p, k', k") — F{p\k')G{p\ k', k°")}H(p, k") —
-F(p, k')G{p\ ft0'. k")H(p\ k"). A4.32)
Бесконечные величины в третьем члене в A4.31) отделяются
с помощью A4.11)
J dtk' J dWRip, k', k")=T(p) + Ic{p), A4.33)
где
i= \d*k'\d%k'{Rip\k',kr)
а величина 1е(р) конечна.
Доказательство A4.33) проводится следующим образом. Инте-
Интегрирование по dk' члена в первых скобках в A4.32) не при-
приводит к расходящемуся результату, а его интегрирование по dk"
приводит к линейной расходимости в наиболее сильно расходящихся
членах [см. обсуждение величины Л/, следующее за A4.24)], кото-
которые с помощью A4.11) могут быть выделены в форме A4.33).
Интегрирование последнего члена в A4.32) может быть записано
в виде
— J d'k' J d4k"F(p, к') G (/?", k0', k") H{p°, k") =
, k')-F(p\ k')-{Pv,-pl) (^F(pt *'))„=„} X
X 5 dWGip*, k0', k") H(p\ k") -
- J d'k'Fip0, k') J d*k" G(p°, k0', k")H(p\ k") —

§ 9. Выделение бесконечностей 2:O
Первый член i этом выражении при интегрировании по dk' не
является расходящимся, а при интегрировании по dk" расходится
логарифмически; эта бесконечность может быть выделена в форме
A4.33). Второй и третий члены в рассматриваемом выражении
имеют вид соответственно первого и второго членов в A4.34).
Таким образам, мы видим, что М может быть записано в виде
M=T(k')^k"H(p, k')+T(k*)ld'k'F(p, k')+T(k', /П + 1е{р),
где A4.35)
T{k)~D{k), T(k',k")~T(p). A4.36)
Первый, член в A4.35) является произведением бесконечной
константы T(k') и интеграла, соответствующего диаграмме, полу-
получаемой из фиг. 25, если на ней не учитывать внутреннюю линию К.
Как это видно на фиг 25, величина T(k') равна Z~x\ эта бес-
бесконечность может быть исключена с помощью перенормировки
вершинной части в точке а [вторая строчка в A4.23)]. Аналогично
второй член в A4.35) имеет вид произведения T(k") на соответ-
соответствующую диаграмму, упрощенную аналогичным указанному выше
способом, но уже относительно внутренней линии k". Эта беско-
бесконечность исключается с помощью перенормировки вершинной части
в точке Ь. Мы видим, что T(k") является как раз ^-расходимостью
Zi~\ о которой говорилось в связи с A4.25). Этот факт показы-
показывает, что хотя диаграмма на фиг. 25 построена из диаграммы на
фиг. 22 с помощью добавления линии, обходящей лишь одну точку,
все же окончательное интегрирование содержит две величины Zj
в двух точках и поэтому симметрично относительно правой и ле-
левой стороны Это положение можно установить в любом порядке
теории возмущений1). Третий член в A4.35) может быть исключен
с помощью перенормировки массы Ьх и перенормировки, связанной
с константой Z2, в е4-приближении, в результате чего мы придем
к конечному результату 1С.
Для получения величин Zp Z2, Z3, Ьх этот метод можно рас-
распространить на любое приближение теории возмущений следующим
образом [17]. Элемент 5-матрицы, связанный с диаграммой собст-
собственной энергии или вершинной частью, в котором независимыми
переменными интегрирования являются (ka\..., k{"% обозначим
через М, а диаграмму, получаемую из указанных выше исключе-
исключением внутренних линий с импульсами (k0),... ,?""'), будем назы-
называть (k11',..., А(Ш))-редуцированной диаграммой. Выделим из М
[с помощью A4.11)] все возможные произведения T(ki!)) X ^''-ре-
^''-редуцированные диаграммы, где T(k{") — бесконечные константы,
') В этом доказательстве Салам ввел представление о „категории". Это
предсташюние затем было распространено на другие случаи [23].

298 Гл. 14. Теория перенормировок в квантовой электродинамике
получаемые в результате ?"'-субинтегрирований (i= 1, 2,...,п).
Остающиеся части не расходятся относительно ^'''-интегрирований.
Затем выполняем (ktl)ku>) (i = 1, 2 п, / = 1,... , п, i 4<=/)-субин-
тегрирования указанных частей.
Эти интегрирования приводят к бесконечным членам в виде
произведений T(kll)k0))X. (?("&(/|)-редуцированные диаграммы, где
T{kmk^')—бесконечные константы, получаемые в результате (?"', k^y
субинтегрирований. Повторяя аналогичные методы выделения и
отбрасывания бесконечностей, можно получить конечный результат.
Бесконечная константа T(ka\...,k{m), к которой мы придем
на последней стадии исключения бесконечностей в результате
(k{l\... , ?(/П))-субинтегрирования, называется истинной расходи-
расходимостью (k°\... ,?(/П))-субинтегрирования.
Поскольку расходимости T(k{1\... ,?""'), появляющиеся в ука-
указанном выше методе, входят множителями при (kU), ... , ?'т')-реду-
цированных диаграммах, они включаются в величины Zp Z2, Z3
и Ьх более низких порядков приближения, за исключением случая,
когда T(k{1\... , №щ) является истинной расходимостью, к которой
мы приходим на последней стадии рассматриваемой процедуры.
Эта истинная расходимость должна быть исключена с помощью
величин Z,, Z2, Z3 и Ьх в том же приближении, что и рассмат-
рассматриваемая диаграмма. Тогда мы получим бесконечный результат 1С
е, A4.37)
в котором
Фе= [1 - T(kA\. . . ,?in-'>)- T(k*\. . . ,k™)- . . .] ЕЕ
== [1 — T(kw,..., ?(й-2>) — T(V2\..., A'"-11)— ...]...= A4.38)
= [1 — T{k^) — T{ki2)) — ... ] M.
Обозначение „—T(ka\... , km)" указывает на операцию отбрасыва-
отбрасывания расходимостей T(k{1) km).
§ 10. Примеры
Пример 1. Лэмбовский сдвиг и наглядное
истолкование Вельтона
Обозначим электрическую напряженность собственного поля
вокруг электрона через Е(л:). Уравнение Ньютона для движения
электрона имеет вид
т^-гх = еЕ(х), A4.39)
где х—трехмерный вектор, характеризующий положение электрона.
Используя амплитуду Фурье ЕA) функции Е(л-)
<'•»-«> (Z==|l|), A4.40)

§ 10. Примеры 299
можно решение уравнения A4.39) при условии, что х = 0 при
Е = 0, записать следующим образом:
'(>•«-«). A4.41)
Другими словами, координаты, характеризующие положение
электрона, испытывают флуктуации величиной х, обусловленные
наличием собственного поля электрона. В последующем изложении
вместо х будем писать 8х, так как эта величина описывает флук-
флуктуации положения.
В низшем порядке теории возмущений величину Е можно рас-
рассматривать как электрическую напряженность поля, связанную
с потенциалом А^п)(х) в A2.29). Поэтому, используя G.64) и (9.50),
получаем
((ЕA).Е A'))H = ^{A,1)-3/'}§,,:, = -¦!«,,„. A4.42)
Здесь символом ( H обозначено усреднение по состоянию, в кото-
котором отсутствуют фотоны.
Подставляя A4.41) в A4.42), найдем
Когда электрон вместе со своим собственным полем движется
во внешнем потенциале Ф (х), его движение представляется в виде
суперпозиции медленного перемещения, обусловленного внешним
полем, и быстрых флуктуации 8х, обусловленных реакцией, излу-
излучения. Если пренебречь высшими порядками (> 2) малой величины
5х, то можно написать
Так как три направления 5х (k = 1, 2, 3) между собой с физи-
физической точки зрения равноправны, то имеем
(Ф (х + Що ^ Ф (х) +1 Eху ДФ (х), A4.44)
где
В задаче об электроне в атоме водорода потенциал Ф (х) яв-
является кулоновским потенциалом, образованным протоном, и имеет
вид
*(¦*) = -? (/¦ = | х 1), A4.45)
где предполагается, что начало координат совпадает с местонахож-

300 Гл. 14. Теория перенормировок в квантовой электродинамике
дением протона. Отсюда мы видим, что изменение в энергии, обу-
обусловленное реакцией излучения, равно
Д Е=(ф* {Ф (х + &х) — Ф(х)} фH =1 (Ф* (^Jt •дф) =
A4.46)
где учтено соотношение
Подставляя A4.43) в A4.46), получаем
04.47)
С другой стороны, мы знаем, что
? для 9лектроиа В 5-состоянии, (,4.48а)
0 для электрона в Р-состоянии
где
а п — главное квантовое число. Таким образом, для электрона в
25-состоянии имеем выражение
?1- 04-49)
полученное Вельтоном [28] указанным полуклассическим методом.
Несмотря на то, что в собственном электромагнитном поле
имеется много фотонов высоких энергий, можно ограничиться
нерелятивистским вычислением, ввиду того что главный вклад от
таких фотонов может быть включен в наблюдаемую массу элек-
электрона (т. е. учитывается перенормировкой массы). Поэтому область
интегрирования по импульсам / в A4.49) можно ограничить ус-
условием
/<т. A4.50а)
Легко видеть, что A4.49) содержит в себе „инфракрасную
катастрофу". Однако, как мы видели в гл. 13, пример 4, это не
является существенной трудностью квантовой теории поля и по-
поэтому можно поступить следующим образом.
Как хорошо известно из нерелятивистской квантовой механики
электрона, электрон в 25-состоянии атома водорода имеет энергию
BirRy/4) [Ry — постоянная Ридберга, равная те4/DтгK]. Другими
словами, этот электрон обладает частотой (Ry/4). Поэтому можно
принять предположение о том, что при рассмотрении эффекта
флуктуации, обусловленных фотонами, можно пренебречь фотонами
с импульсами, меньшими чем 2irRy/4. Отсюда импульсы /в A4.49)

§ 10. Примеры • 301
должны удовлетворять неравенству
/Ss2^y^ A4.506)
Тогда получаем
р^}- A4.51)
Это равенство дает АЕ= 1600 мггц. Учитывая, что проведенные
вычисления являются лишь грубой оценкой, основывающейся на
интуитивном представлении о собственном поле, мы можем заклю-
заключить, что этот результат находится в приблизительном согласии
с экспериментальной величиной 1057,77 мггц, установленной Лэм-
бом и Ризерфордом [12].
Пример 2. Лэмбовский сдвиг и аномальный магнитный
момент электрона
Сейчас мы проведем более корректное вычисление величины
лэмбовского сдвига.
Уравнение Шредингера в представлении взаимодействия запи-
записывается в виде
где Н' [х:п] — сумма хорошо известных электромагнитного взаимо-
взаимодействия электронного поля и контрчленов, связанных с мас-
массой и зарядом, а ф*Фф — внешний потенциал.
Вводя преобразование
с помощью операторов 5 [о] и v [а], удовлетворяющих уравнениям
найдем
*ВД*М = {фЧ*)Ф(*)*(*)-?*(*)Ф(*Ж*)}ЧЧ4 A4.52а)
Операторы гр, <р и А^ определяются равенствами
Tf>(x) = v-i[a]S-1[am
A,(x) = v-i[a]S-1[a]A^
(р (л) = v -l [a] 'i> (x) v [о].

302 Гл. 14. Теория перенормировок в квантовой электродинамике
С помощью F.5а) легко доказать, что <р удовлетворяет урав-
уравнениям
Так как A4.52а) имеет вид уравнения Шредингера с гамиль-
гамильтонианом взаимодействия
ф* (х) Ф (л) ф (х) — <р* (Л) Ф (X) ср {X),
то оператор энергии 7t в гейзенберговском представлении может
быть записан в виде
. A4.52b)
Здесь 74 — оператор энергии (определенный как оператор смещения
для ф, Ац) в ^-представлении, а ?/[о]— преобразование, связываю-
связывающее гейзенберговское представление с "Р-представлением. Соотно-
Соотношение A4.52в) может быть получено с помощью соображений,
аналогичных тем, которые были использованы при выводе A0.32).
Вводя в рассмотрение вектор Фс, являющийся собственным век-
вектором оператора 7'4, можно энергию возмущения ДЯ, обусловленную
внешним потенциалом, представить в виде
Д? = (U-' [о] [Tt + S <Гх {ф* (х) Ф (х) ф (х) -
где символ ( ) означает усреднение по невозмущенному состоянию
Фс. Уравнение для U[o] выводится из A4.52а) и имеет вид
Точно тем же способом, каким было доказано равенство A3.8),
можно показать
X {^* (л) Ф (х) ф (х) — <р* (х) Ф (л) ? (х)} Uw [о, — оо]), A4.53а)
где Ua'[a, — оо] — член /-го порядка в разложении внешнего по-
потенциала Ф в U [в], или
Равенство A4.53а) может быть записано в виде [см. A3.11)]:
I Г d3x Vе {х) \v)(v
~Г

§ 10. Примеры 305
где wt и wo — энергии соответственно начального состояния Ф, и
виртуального состояния Фо и
Vе (х) = ф* (х) Ф (х) ip(x) — v* (х) Ф (х) <р (х) =
[o]. A4.54)
Оператор в скобках описывает как раз радиационную поправку
в матрице перехода, описывающей упругое рассеяние электрона
ф. Таким образом, ее член, пропорциональный е2, равен сумме
выражений A3.71), A3.75) (см. гл. 13, пример 5) и вклада от
контрчленов, связанных с массой и зарядом [см. A4.2) и A4.3)].
Последние контрчлены компенсируют соответствующие бесконечные
члены (т. е. члены А" и С0). Оператор преобразования г» [о] может
быть исключен с помощью замены ф —> <р. Таким образом, для
члена Vt2>{x) в выражении для Уе)(х), пропорционального е2, имеем ')
= A + -*? f d*x <p* (x) П Ф (x) <p (x) + .. : Г A4.55)
15icm'4wJ
Когда внешний потенциал Ф (я) постоянен по времени, в нереляти-
нерелятивистском приближении получаем
[см. A3.77I.
Член V{)(x) в A4.54), пропорциональный е, дает в лэмбовский
сдвиг вклад следующей величины:
) _ V (i | f d3xVw (х) | р) (г | f rf3x К"' (х) | v) A4.57)
» и;,- — wv
где
В этом выражении Ev и А — энергии электрона и фотона в вир-
виртуальном состоянии, а Е{ — энергия электрона в начальном со-
состоянии.
') Потенциал Ф (х) соответствует A4.45).

¦304 Гл. 14. Теория перенормировок в квантовой электродинамике
Величина VA>(x) получается с помощью A3.58а) и в нереля-
нерелятивистском приближении имеет вид
A4.59)
Так как каждый фотон может быть поляризован по двум на-
направлениям (г =1, 2), то величину 2(е1О'дФJ в A4.57) можно
г
заменить величиной (*/„) (дФ-<ЗФ). Подставляя A4.59) в A4.57),
находим
— — lilv Г d4 x
— 3 /и2 2- J Bп)« 2й3 (k+Ev- Ei)
Эти вычисления могут быть произведены следующим образом.
Уравнения A4.526) приводят к равенствам
= (v\ [d
+ m
? (m
= {E, — Ev)(v\tPx^d^\i).
Подставляя A4.61) в A4.60), будем иметь
dk (Е,— Е„J
A4.61)
,A4.62)
о /=1,2,3
Выражение A4.63) мы перепишем с помощью равенства [1]
i)\\ A4.64)

10. Примеры
305
Среднее значение \n(Ev — ?",)ср равно 17,8 Ry, если только
состояние, обозначенное индексом i, является 25-состоянием.
Используя равенство [1]
можно выражение A4.63) записать следующим образом:
1 d3xy*f\?
A4.66)
Величина лэмбовского сдвига ДЯ с учетом членов, пропорцио-
пропорциональных ег, равна ЬЕ11)-\-кЕ1г), где
\) A4.67)
Используя A4.56), найдем
A4.68)
Следует заметить, что в A4.68) нет никакой „инфракрасной
катастрофы" при kQ—>0. Это обстоятельство является иллюстра-
иллюстрацией общих соображений, изложенных в гл. 13, пример 5.
Последний член в A4.68) можно вычислить следующим спо-
способом:
—ЧЖ
2m У IJ
±
grad])?|i), A4.69)
где учтены уравнения A4.526), соотношения C.49) и равенство
1 )=0. A4.70)
i) ={Ei-Ei) [i\\
Когда Ф — центрально-симметричный потенциал, мы имеем
= 4з?Ь. A4.71)
20 X. Умэдзава

306 Гл. 14. Теория перенормировок в квантовой электродинамике
где
L = [r, grad] (оператор момента количества движения),
а г = \х\.
Подставляя A4.69) в A4.68), получаем
Далее выражение (a, L) может быть записано в виде
Обозначая полный и орбитальный моменты количества движе-
движения в состоянии, характеризуемом индексом i, соответственно че-
через У и /, можно для величины q = (o, L) получить следующие
значения:
/ для j=l-\--K-
Н / 1 • / » A4-73)
1^—L — 1 для J=i 2~-
В задаче об электроне в атоме водорода Ф (х) является кулонов-
ским потенциалом A4.45) и поэтому
)|2. A4.74)
где ш,- — волновая функция электрона в состоянии, характеризуе-
характеризуемом индексом i.
Когда индексом i характеризуется 5-состояние, то ^ = 0 и по-
поэтому \Е дается первым членом выражения A4.74). С другой
стороны, когда состояние, характеризуемое индексом i, не является
5-состоянием, мы имеем \w- @I = 0 и поэтому ЬЕ дается вторым
членом в выражении A4.74). В последнем случае имеем
,рег е2^/л л пг\
где а определяется с помощью A4.486).
Для S-состояния выражение A4.74) дает
.г, е4 1 (, т г 5

ф //. Различные проблемы в теории перенормировок 307
Разница в сдвигах уровней между 25-состоянием и 2Аа-состоя-
нием равна
\Е{п = 2, 1 = 0) — \Е (п = 2, 1=1, / = / — !) =
4W} <14-77»
или численно 1050 мггц. Этот результат находится в блестящем
согласии с экспериментом.
Теперь рассмотрим аномальный магнитный момент электрона.
Второй член в A3.696) показывает, что в ^-приближении радиа-
радиационная поправка к магнитному моменту равна [см. G.114)]
где
В этом выражении ц — хорошо известный собственный магнит-
магнитный момент электрона. Величина A4.78) находится в хорошем
согласии с экспериментальным результатом Eц/ц) = 0,О0114.
С учетом этих успехов теории перенормировок можно сказать,
что собственные поля приводят к реально наблюдаемым эффек-
эффектам и что теория перенормировок является, по-видимому, шагом
в направлении, которое в один прекрасный день приведет к по-
построению последовательной теории элементарных частиц.
§11. Различные проблемы в теории перенормировок1)
С помощью метода перенормировок можно устранить все бес-
бесконечности, встречающиеся в 5-матрице квантовой электродина-
электродинамики. Тем не менее, чтобы рассматривать успех квантовой электро-
электродинамики в объяснении экспериментальных данных как успех
теории перенормировок, следует построить непротиворечивую
квантовую теорию поля, основывающуюся на теории перенорми-
перенормировок.
Выше мы видели, что метод перенормировок приводит к ка-
либровочно-инвариантной квантовой электродинамике и что наблю-
наблюдаемый заряд имеет определенную величину е1 независимо от
типа заряженных полей, если только мы исходим из одной и той
же величины е истинного (а не наблюдаемого) заряда всех заря-
заряженных полей (см. § 8).
') Примечание при корректуре. Рекомендуется сравнить этот параграф
с примечанием при корректуре, добавленном к гл. 18 (стр. 366), где пересмот-
пересмотрен конец § 11 настоящей главы в соответствии с последними успехами тео-
теории перенормировок.
^o*

308 Гл. 14. Теория перенормировок в квантовой электродинамике
Чтобы теория была полностью последовательной, необходимо
потребовать, чтобы ряд теории возмущений сходился к опреде-
определенному конечному результату. Обозначим через NM{n) число
диаграмм Фейнмана в л-ом порядке теории возмушений, описы-
описывающих некоторый переход М. В общем случае получено '), что
число fM(n) = NM{n-\-2)jNM(n) быстро возрастает с ростом п.
Поэтому маловероятно, что члены более высоких порядков, для
которых /м(п)> 137, дадут лишь малый вклад в 5-матрицу. Сле-
Следовательно, представляется очень сомнительным, что ряд теории
возмущений с перенормированными членами является сходящимся.
Такого рода сомнения высказывались многими авторами [4.11].
Более того, рядом авторов было показано, что перенормированный
ряд теории возмущений расходится даже в простом случае ска-
скалярного поля U с взаимодействием вида Ш3 (и в области энергий,
в которой невозможно рождение свободных частицJ) [6, 7, 24,
25, 20].
Если расходимость перенормированного ряда теории возмуще-
возмущений имеет место также и в квантовой электродинамике, то снова
возникает вопрос о причине блестящего согласия между экспери-
экспериментальными данными и результатами вычислений с учетом лишь
низших порядков теории возмушений. Не доказано, но возможно,
что это согласие проистекает из того факта, что разложение
в ряд 5-матрицы является асимптотическим разложением по кон-
константе связи ev которая достаточно мала и поэтому обусловли-
обусловливает лишь малую величину ошибки в первых членах теории возму-
возмушений. Если это так, то точка е, = 0 должна быть точкой син-
сингулярности 5-матрицы и величина ошибки должна до некоторого
порядка теории возмущений уменьшаться, а затем снова возрастать.
Представляется неразумным ожидать, что теория перенорми-
перенормировок должна основываться обязательно на разложении в ряд
теории возмущений. Было сделано много попыток сформулиро-
сформулировать теорию перенормировок независимо от ряда теории возму-
возмущений [9, 14]. Теория функций распространения в гейзенберговском
-представлении, которую мы обсудим в гл. 18, также представляет
интересные возможности переформулировки вопросов перенорми-
перенормировки в виде, независимом от ряда теории возмущений.
Даже если бы нам удалось сформулировать теорию перенор-
перенормировок без каких-либо приближений, все же было бы необходимо
пользоваться некоторыми приближениями, чтобы такого рода
теорию применить к сложным системам (таким, как системы кван-
квантовой электродинамики, мезоннке и нуклонные поля и т. д.).
Поэтому следовало бы построить такую моде ль, которая была бы
х) См. вычисление NM(n) в работе Хергта [6, 7].
а) Это ограничение введено для того, чтобы избежать вклада от порога
интерференции (см. гл. 13, пример I).

Литература 309
достаточно простой, чтобы к ней можно было применить теорию
перенормировок без каких-либо приближений. Такую простую
модель предложил Ли [13]. Перенормировка, проводимая на при-
примере этой модели, приводит к некоторой трудности, которая под-
подробно будет обсуждена в гл. 18. Там будет показано, что эту
трудность можно устранить, отбросив эффекты, связанные с час-
частицами высоких энергий в собственном поле, и сделав перенор-
перенормированные константы конечными, а также если константы связи
достаточно малы. Таким образом, хотя теория переаормировок
была введена для устранения „ультрафиолетовой катастрофы", мы
для получения непротиворечивой теории должны сделать константы
эвязи конечными. Если бы мы в квантовой электродинамике стал-
сталкивались с трудностью, аналогичной трудности в случае модели
Ли, мы должны были бы снова объяснить хорошо известный
успех теории перенормировок квантовой электродинамики. Одним
из возможных объяснений является следующее. Очевидно, что
в области высоких энергий эффекты, связанные с различными
частицами, тесно переплетены между собой и поэтому систему
электронов и фотонов нельзя реально рассматривать как замкну-
замкнутую систему. Если различные частицы играют роль частиц до-
дополнительных полей, т. е. уменьшают число частиц высоких
энергий в собственном поле, то перенормированные константы
могут быть конечными. Тогда, ввиду малости электрического за-
заряда, трудность, с которой мы встречаемся в модели Ли, может
и не появиться в квантовой электродинамике ').
В данной главе мы рассмотрели только квантовую электроди-
электродинамику. В следующей главе мы рассмотрим теорию перенормиро-
перенормировок других полей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Be the H. A., Phys. Rev., 72, 339 A947) (см. перевод в сборнике: Сдвиг
уровней атомных электронов, ИЛ, 1950).
2. Dyson F. J., Phys. Rev., 75, 485, 1736 A949) (см. перевод в сборниках:
Сдвиг уровней атомных электронов и Новейшее развитие квантовой
электродинамики, ИЛ, 1954).
3. Dyson F. J., Phys. Rev., 83, 608 A951).
4. Dyson F. J., Phys. Rev., 85, 631 A952).
5. Epstein S. Т., Phys. Rev., 73, 177 A948).
6. Hurst С A., Proc. Cambr. Phil. Soc, 48, 625 A952).
7. Hurst С A., Proc. Roy. Soc, A214, 44 A952).
8. I to D., Koba Z., Tomonaga S., Prog. Theor. Phys., 2, 216 A947).
') Вопросы, связанные с трудностями квантовой теории поля и возмож-
возможными путями их устранения, подробно рассмотрены в статьях и монографии
Н. Н. Боголюбова и Д. В. Ширкова [29 — 32].— Прим. ред.

310 Гл. 14. Теория перенормировок в квантовой электродинамике
9. К a lien G., Helv. Phys. Acta, 25, 417 A952).
10. Kamefuchi S., U m e г a w a H., Frog. Theor. Phys., 8, 579 A952).
11. К a t а у a m a Y., Y a m a z а к i K., Prog. Theor. Phys., 7, 601 A952).
12. Lamb W. E., Retherford R. C, Phys. Rev., 72, 241 A947).
13. Lee T. D., Phys. Rev., 95, 1329 A954).
14. Lehmann H., Nuovo Cimento, 11, 342 A954).
15. Lewis H. W., Phys. Rev., 73, 173 A948).
16. Luders G., Zs. Naturforsch., 7a, 206 A952).
17. M a t h e w s P. Т., Sal am A., Rev. Mod. Phys., 23, 311 A951).
18. Nafe E., N e 1 so n E. В., R a b i 1. 1., Phys. Rev., 71, 914 AУ47).
19. Pasternack S., Phys. Rev4 54, 1113 A938).
20. P e t e r m a n n A., Helv. Phys. Acta, 26, 731 A953).
21. S a 1 a m A., Phys. Rev., 82, 216 A951).
22. Sch winger J., Phys. Rev., 74, 1439 A948) (см. перевод в сборнике: Но-
Новейшее развитие квантовой электродинамики, ИЛ, 1954).
23. Takeda G., Prog. Theor. Phys., 7, 359 A952).
24. Thirring W., Helv. Phys. Acta, 26, 33 A953).
25. Utiyama R., I m a m u г а Т., Prog. Theor. Phys., 9, 431 A953).
2b. Ward J. C, Phys. Rev., 84, 497 A951).
27. Weisskopf V., Phys. Rev., 56, 81 A939).
28. Wei ton T. A., Phys. Rev., 74, 1157 A948).
29*. Боголюбов Н. Н., Ш и р к о в Д. В., Успехи физич. наук, 55, 149 A955).
30*. Боголюбов Н. Н., Ш и р к о в Д. В., Успехи физич. наук, 57, 3 A955).
31*. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Nuovo Cimento, 3, 845 A955).
32*. Боголюбов Н. Н., Ш и р к о в Д. В., Введение в теорию квантованных
полей, М.— Л., 1957.

ГЛАВА 15
Общий случай теории
перенормировок
§ 1. Область применимости теории перенормировок
Теория перенормировок, основанная на использовании реляти-
релятивистски ковариантного формализма квантовой теории волновых
полей, имеет своей задачей переформулировку теории в ее не-
несингулярной форме J). Эффекты реакции собственных полей могут
быть разделены на две части: наблюдаемую и ненаблюдаемую 2).
Расходимости, появляющиеся в последней части, устраняются
с помощью процедуры перенормировок с тем, чтобы получить
определенные конечные результаты, которые могут быть сравнимы
с экспериментом. В этой связи великолепное согласие первых при-
приближений теории возмущений с экспериментом можно понять
лишь тогда, когда теория перенормировок приводит к несингуляр-
несингулярной форме квантовой теории поля не только для квантовой электро-
электродинамики, но также и для других теорий, которые описывают
поведение иных элементарных частиц. Отсюда возникает важная
проблема об области применимости теории перенормировок.
В теории перенормировок существует много вопросов, которые
имеют двойственное толкование. Это, по-видимому, связано с пе-
переходящим характером теории перенормировок. В существующей
квантовой теории мы исходим из взаимодействий (т. е. из исход-
исходных первоначальных взаимодействий), которые играют важную
роль в высших приближениях теории возмущений; эти эффекты
наблюдаются так, как будто они обусловливаются непосредствен-
непосредственно некоторыми взаимодействиями (т. е. вторичными взаимодейст-
взаимодействиями), без посредства виртуальных состояний3). В теории пере-
перенормировок эти вторичные взаимодействия частично объединяются
с некоторыми из первичных взаимодействий и приводят к конеч-
конечным результатам. В настоящее время не существует критериев
') Мы будем говорить о „несингулярной теории' или .замкнутой теории",
когда все бесконечности в ней могут быть устранены с помощью конечного
числа контрчленов в гамильтониане взаимодействия.
2) Например, собственная масса оу. включается в наблюдаемую массу
k' = x-|-Sx. Интересной проблемой является выяснение вопроса о том, воз-
возможно ли в принципе экспериментальное наблюдение величины &t.
*) Вспомним член с массой A4.2), обусловленный эффектом собственной
анергии.

312 Гл. 15. Общий случай теории перенормировок
разграничения того, какие взаимодействия являются первичными,
а какие взаимодействия являются лишь следствием этих первич-
первичных взаимодействий. Таким образом, например, аномальный маг-
магнитный момент электрона может быть объяснен с помощью пред-
предположения о существовании первичного взаимодействия /^„-типа,
хотя он не может быть объяснен в рамках теории перенормиро-
перенормировок, исходя из первичного взаимодействия Л^-типа. Эта неодно-
неоднозначность в теории перенормировок проистекает из того обстоя-
обстоятельства, что с современной квантовой теорией совместимы все
релятивистски- и калибровочно-инвариантные взаимодействия. Дру-
Другими словами, эта проблема связана с проблемой ответа на вопрос
„почему в природе существуют именно те или иные конкретные
элементарные частицы, именно с теми или иными конкретными
взаимодействиями". К настоящему времени удовлетворительного
ответа на этот вопрос не существует. Мы теперь исследуем усло-
условия применимости теории перенормировок при различных видах
взаимодействия.
§ 2. Анализ размерностей
Предположим, что лагранжианы взаимодействия gtLt полей q?}
(где с=1, 2, ... обозначает различные поля, а <х=1, 2, ... — про-
пронумеровывает компоненты полей) таковы, что имеет место равенство
A5.1)
Величины Q,a) удовлетворяют соотношениям коммутации (8.14а) и
(8.146). Обозначим операторы производных, входящие в соотно-
соотношения коммутации для a-поля, через dm(d). Наибольший порядок
Ьт оператора производных dta)(d) определяется спином а-поля,
как показано в (8.52а) и (8.526).
Для больших импульсов k~^xm имеет место следующее при-
приближенное равенство:
bm- A5.2)
Лагранжианы взаимодействия gL{ содержат величины Qm(x) в
комбинации1) D{a)(d)Q'a>(x), где Dw(d)—-операторы производных.
Пользуясь истинными порядками ?"' операторов Dm (д) (см. гл. 8,
пример 6), мы приближенно можем записать (для больших k)
Dta>(ik)Dm(ik)dm(ik) ¦>. #*""+«<в1>. A5.3)
Для удобства последующего изложения мы введем в рассмот-
рассмотрение ряд величин, характеризующих различный вид взаимо-
') Суммировать по а не надо.

§ 2., Анализ размерностей 313
действий gtL{.
а
Д,= 2*№', A5.4)
где Х}а —число операторов поля Q!<2>, входящих в Lv Другими
словами,- At — полная сумма величин истинных порядков операто-
операторов производных в Lt; Bt — полная сумма величин Ъ для операто-
операторов поля в /.,; Ct — число операторов поля в Ц.
Используя (8.52а) и (8.526), можно записать В{ в виде членов,
характеризующих спин Sia) поля; эта запись имеет вид
Я, = 2 as""**?'» +2б '• A5.5)
а' а"
Здесь величины (а') означают поля с ненулевыми массами покоя
Х1а>)_?о и спинами 5(<2'>, а а" — поля с нулевыми массами х(а")=О
и полуцелыми спинами. Так как каждое взаимодействие содержит
четное число операторов поля с полуцелым спином, то из A5.5)
можно заключить, что величина В1 всегда четная.
Введем в рассмотрение постоянные
П, = А+§-|-С,-4 A5.6)
(смысл постоянных 7], будет выяснен в следующем параграфе).
Можно считать, что нормировка величин, характеризующих поле,
выполнена таким образом, что операторы d(a) имеют вид
где а0, а,, ...— безразмерные постоянные1). В этом представле-
представлении в задачах с большими импульсами k^>xm оператор dw(ik)
не содержит величин размерности2) [?"] (п^=0), кроме kr Опре-
Определим также константы связи g, таким образом, чтобы коэффици-
коэффициенты операторов производных наивысшего порядка в Dia)(d) в вы-
выражении для
Lt = {Произведение D<a) (д) Q<a'H} A5.8)
были безразмерными. Тогда в выражении для 5-матрицы при
больших импульсах не должно быть других величин с ненулевой
размерностью, кроме величин gt и k%.
') Так, в случае векторного поля 1)^ (для которого d^, = S^ —(I |x'L ij,
используя вместо U^ в качестве оператора поля величину K^^xt/ц, полу-
получаем оператор d^ =*Ч^—д^д^, который имеет вид A5.7).
2) Символ [L") означает размерность я-ой степени длины.

314 Гл. 15. Общий случай теории перенормировок
§ 3. Размерности констант связи
Сейчас мы докажем, что размерности констант связи gt равны [?Ч(].
Так как gt J d3xLt (х) имеет размерность энергии (т. е. [?"']),
то размерность L^x) есть [Z.~4]. С другой стороны, A5.3), (8.14а) и
(8.146) показывают, что размерность величины D<e'(o)Qta) (л) равна
[/.-{'••»+»«"»/ч+1}]. A5.9)
Таким образом, мы видим, что
[ft] = [^4']. A5.10)
Поэтому величины ц, характеризуют размерности констант связи.
§ 4. S-матрица
Поскольку мы исходим из лагранжиана взаимодействия, для наших
целей удобно взять 5-матрицу в виде A3.35) [а не в виде A3.14)].
Надо заметить, что хотя выражение A3.35) было получено из
A3.14), далеко не очевиден тот факт, что гамильтониан взаимо-
взаимодействия Н'\х:п] все же существует, когда лагранжиан взаимо-
взаимодействия содержит производные высоких порядков. Тем не менее
мы примем выражение A3.35) даже тогда, когда лагранжиан взаи-
взаимодействия содержит производные высоких порядков, как это
было сделано многими исследователями.
§ 5. Условие для примитивно расходящихся диаграмм
Рассмотрим некоторую диаграмму Фейнмана. Из A5.3) или
A5.9) легко заключить, что каждая величина D(a) (д) Q(a> (x) дает
вклад величиной l<a)-\-(b(a>j2)-{-l в выражение для N, опреде-
определенное с помощью A4.5).
Величину N можно вычислить с помощью метода, аналогично-
аналогичного тому, который был использован при выводе A4.5). С помощью
интегрирований по внутренним импульсам можно выразить рас-
рассматриваемую диаграмму через члены с вторичным взаимодейст-
взаимодействием Ls, которое напоминает взаимодействие, приводящее в пер-
первом порядке теории возмущений к соответствующему переходу.
Сейчас мы покажем, что с помощью A4.11) величине Ls можно
придать вид
Характерная для Llf константа г^" на оснозании A5.6) дается вы-
выражением
!f^' % -4. A5.11а)

§ 5. Условие для примитивно расходящихся диаграмм 315
В котором
а
Д, = 2>в1Я'в>. A5.116)
а
С, = 2 ?<«¦>;
а
здесь ЕС' — число внешних линий для а-полей, a Nm и УИ,'а) опре-
определяются следующим образом. Каждый внешний оператор Q(a)
содержит операторы производных с истинным порядком t(a>. По-
Поэтому рассматриваемую диаграмму Фейнмана можно обозначить
G (Eia\ yV1<2)), где N{a) — сумма 2 ^"' истинных порядков внешних
операторов а-полей. Далее, в результате интегрирований по внут-
внутренним импульсам G(Em, ЛДа>) распадается на ряд независимых
диаграмм, обозначаемых через G(?<a>, №a)-\-Mf). Эти диаграммы
содержат новые операторы производных, действующие на Q(a), пол-
полное число которых равно М? = О, 1, 2, ... Это разложение
G (?<a>, №a)) на G(Eia\ ЛЛ°>-f/И,(о)) получается с помощью исполь-
использования разложения интеграла A4.11), в котором порядок произ-
произведения величин tim) дает вклад в Л4,'а>. Легко видеть, что беско-
бесконечности наибольшего порядка возникают тогда, когда 7Hja> = 0.
Каждая диаграмма G(E{a>, Nia)-[-М^) соответствует вторичному
взаимодействию Z.^"; его характеристическая константа $ дается
формулой A5.6), приводящей к A5.11а). Расходящийся интеграл
появляется в виде множителя при константе связи gf_ jак как
g, J d*xL,{x) является безразмерной величиной и размерность gt есть
[/>], то каждая величина ^ cPxL, (x) имеет размерность [?-7)']
и поэтому в наивысшую степень импульса в выражении для
S[oo\ дает вклад величиной fy. Таким образом, наибольшая сте-
степень импульсов (включая произведение d^k) в выражении для
5""'[ooj равна 2 niru< где ni — число вершин взаимодействия Lv
Так как размерность gs есть \L^S j, то наибольшая степень
внутренних импульсов в выражении для 51Ш)[оо] равна
/V = 2«^-i;'. A5.12)
Теперь на основании A5.12) можно заключить, что число при-
примитивно расходящихся диаграмм должно удовлетворять следу-
следующему условию [9, 8J:
2И1Г1/>Ч(,°- A5.13)

316 Гл. 15. Общий, случай теории перенормировок
Следует заметить, что это условие выражен) через величины rit
и jj!f. Порядок расходимости такой диаграммы равен числу А',
определенному равенством A5.12) (причем Л/==0 означает лога-
логарифмическую расходимость).
§ 6. Условие применимости перенормировки
Последнее равенство показывает, что условие конечности числа
примитивно расходящихся диаграмм G{E{a\ №)-\-Mlf>) в любом
порядке теории возмущений имеет вид
г;г=??0 (для всех I). A5.14)
Прежде всего рассмотрим тот случай, для которого условие
A5.14) выполнено. Тогда, поскольку Ьт^0, из A5.116) можно
заключить, что все диаграммы, удовлетворяющие условию
4<С„ A5.15)
не содержат бесконечностей. Поэтому можно ввести в рассмотре-
рассмотрение такое определенное число J, зависящее только от числа
полей, принимающих участие в рассматриваемом взаимодействии1),
что число примитивно расходящихся диаграмм не будет превышать у.
Расходимости в G(Em, №а)-\-М$а)) можно устранить, вводя в
лагранжиан в начальной точке величину —g$Lfp- Следует заме-
заметить, что на основании A5.13) и A5.14) 7)^)^0 и поэтому —ЕфЩУ
можно ввести, не нарушая условия A5.14). Таким образом, при
выполнении условия A5.14) все бесконечности могут быть устра-
устранены введением конечного числа (=^у) контрчленов. Теории, в
которых выполнено условие A5.14), называются „перенормируе-
„перенормируемыми ". Характер методов отделения бесконечностей и методов
перенормировок тот же самый, что и в квантовой электродинамике
(в гл. 14).
С другой стороны, если существует по меньшей мере одно
взаимодействие, для которого
rh>0, A5.16)
то некоторая диаграмма G(E'a\ Л""' -f- Ma)) расходится в высших
порядках теории возмущений, если только число щ достаточно
велико. В этом случае невозможно (за исключением некоторых
случаев, которые будут рассмотрены в следующей главе) исклю-
исключить это бесконечное число расходимостей с помощью введения
конечного числа контрчленов, потому что при переходе к более
высоким порядкам теории возмущений у нас один за другим
') Например, в качестве j можно взять число диаграмм, имеющих меньше
5 внешних операторов.

§ 7. Классификация взаимодействий. 317
будут появляться новые расходящиеся члены, которые являются
топологически независимыми. Поэтому невозможно устранить все
бесконечности введением только конечного числа локальных взаи-
взаимодействий. Такая теория называется неперенормируемой [9].
§ 7. Классификация взаимодействий
В предыдущем параграфе мы видели, что условие перенорми-
перенормируемости гласит:
t\i ^ 0 для всех взаимодействий—*¦ теория перенормируема,
^л (lo.I/i
Ч« 7> U хотя бы для одного
взаимодействия —' теоРия неперенормируема.
Взаимодействия, которые удовлетворяют условиям A5.14) или
A5.16), мы будем называть соответственно взаимодействиями 1-го
и 2-го рода.
В том случае, когда все реализующиеся в природе взаимодей-
взаимодействия являются взаимодействиями 1-го рода, теория перенормиро-
перенормировок может в рамках существующей квантовой теории привести к
замкнутой несингулярной теории.
Сейчас мы рассмотрим, какие типы полей могут приводить к
взаимодействиям 1-го рода [14]. Так как Л, 5^0 и С, 3s 0, то мы
видим, что поле, для которого
bia)>4, A5.18)
не может приводить к взаимодействиям 1-го рода. Принимая во
внимание (8.52а), мы заключаем, что поля со спином 5 за 2 и
массой х=?0 никогда не могут иметь взаимодействий 1 -го рода.
Для поля U^ с 5 = 2 и хфЪ взаимодействие с наименьшей
величиной ти есть
4 = ЗД, Dl = 0), A5.19)
где В^ — поле с 5 = 2 и х = 0. Все прочие взаимодействия явля-
являются взаимодействиями 2-го рода.
Для поля х^ с 5 = 8/2 и х^О взаимодействие с наименьшей
величиной rit есть
?|=W (Ъ = °)' A5-20^
где о)^ — поле с 5 = */2 и х = 0. Все остальные взаимодействия
являются взаимодействиями 2-го рода.
Для поля U с 5=1 и х = 0 взаимодействиями 1-го рода явля-
являются взаимодействия
fV,/V« UJJ'^U^U' Dj = 0), A5.21)
и^1.С?... (Ч, = О), A5.22;

318 Гл. 15. Общий случай теорий перенормировок
где L/1 и V — поля соответственно с 5=1 и 5=0. Здесь
C?V... и С'2>... означают поля с х —0. Следует заметить, что каж-
каждое взаимодействие в A5.21) построено только из двух операторов
поля. Для вещественного вектора ?/а векторное взаимодействие со
спинорным полем 1E='/,,) и со скалярным полем U является
также взаимодействиями 1-го рода
(гк = 0), A5.23)
A5-24>
На первый взгляд A5.23) и A5.24) представляются взаимодей-
взаимодействиями 2-го рода, потому что для поля U? величина Ь(<2) = 2.
Однако В-компонента величины U^ = А^ -\- A \х)д^В, как показана
в гл. 11, не имеет физического значения и в качестве величины
Ь{а) в А^ мы должны взять не значение Ьт = 2, а значение Ь{а> = 0.
Поэтому в случае A5.23) или A5.24) получается значение т], = 0.
Как показано в гл. 11, такое положение обусловливается ка-
калибровочной инвариантностью теории [см. G.101)]. Это служит
примером того, что различного рода инвариантности теории при-
приводят к появлению таких соотношений между некоторыми диаг-
диаграммами, в результате которых происходит взаимоуничтожение
вкладов от этих диаграмм. Другой пример такого положения был
приведен при обсуждении вопроса об истинных порядках в гл. 8,
пример 6, где было сказано, что релятивистская инвариантность
теории может уменьшить истинный порядок и поэтому уменьшить
порядок расходимостей.
Поля с 5<М имеют различные взаимодействия 1-го рода.
Взаимодействия А^- или /^„-типа между электромагнитным по-
полем и комплексным полем ф с 5='/« принадлежат соответственно
к 1-му или 2-му роду.
Взаимодействие /„-типа между электромагнитным полем и
комплексным полем U с 5=0 является взаимодействием 1-го
рода. В этом случае появляются примитивно расходящиеся диаг-
диаграммы с четырьмя внешними операторами поля U, которые при-
приводят к вторичному взаимодействию вида l}p = U*UU*U.
Следовательно, для устранения этих бесконечностей необходимо
в полный лагранжиан ввести взаимодействие —g^L** [5, 6, 7, 10].
Скалярное или псевдоскалярное взаимодействия между спинор-
спинорным полем и полем V с 5 = 0 принадлежат к взаимодействиям
1-го рода G], = 0). В этих случаях для получения несингулярной
теории необходимо ввести контрчлены вида gU" (т)г = — 1) и
t>t/4 G]г = 0). Из соображений релятивистской инвариантности тео-
теории и закона сохранения заряда легко заключить, что член gi/3
вводить в теорию необходимо лишь в том случае, когда (J явля-
является вещественным скаляром. Таким образом, для поля U со

§ 7. Классификация взаимодействий
319
сгином 0 взаимодействия 1-го рода строятся из членов вида
Г («. = —1), UU'U'V" (tj, = 0),
и векторного взаимодействия A5.23) с вещественным векторным
полем U (включая электромагнитное поле). Здесь через U',U",U"r
обозначены поля со спином 0, а через ф и ф'— поля со спином '/,.
Векторное или псевдовекторное взаимодействия между спинор-
ным полем и скалярным или псевдоскалярным полями являются
взаимодействиями 2-го рода Gj г = 1 I)- Прямые взаимодействия
(фа0ф6) (ф'О'ф**) (О и О' являются произведениями матриц yj
между спинорными полями принадлежат к взаимодействиям 2-го
рода (т]г = 2).
Для поля ф со спином '/, взаимодействия 1-го рода строятся
из членов вида
ф'Оф
A5.26)
совместно с векторным взаимодействием A5.24) с вещественным,
векторным полем U^ (включая электромагнитное поле).
Особенности важных взаимодействий между различными полями.
указаны в табл. 5.
Таблица 5
* и
Заряженное
К@) 1-ГО
\и*ии*щщ
S@) 1-го
{U*UU*U@)]
V(\) 2-го
Нейтральное
S@) 1-ГО
V(l) 2-го
для р*
и
Заряженное
V{\) 2-го
Т{'1) 2-го
1/A) 2-го
Нейтра.1ьное
V@) Д1Я f
1-го
1/A) Д'Ш pV
2-го
ГA) 2-го
¦-
Заряжен-
ное
1/@) 1-го
Т(\) 2-го
Нейтраль-
Нейтральное
Прямое взаимодей-
взаимодействие B) 2-го
Символами S,V и Г обозначены соответственно скалярное, векторное я тензорное взаимо-
взаимодействия. Числа в скобках показывают значения величин 7^ для соответствующих взаимодей-
взаимодействий. Контрчлены, которые необходимо ввести для осуществления перенормировки, выписаны
в квадратных скобках [ ]. Символы .?, ps, v н pv означают соответственно скалярное, псевдо-
псевдоскалярное, векторное и псевдовекторное поля.
') Однако, как это показано в гл. 11, векторное взаимодействие между
вещественным скалярным и сшшорным полями не приводит к каким-либо фи-
физическим эффектам.

32U Гл. 15. Общий, случай теории перенормировок
§ 8. Физический смысл классификации взаимодействий
Сейчас мы на основе анализа размерностей укажем физический
смысл классификации взаимодействий, проведенный в § 7 [9].
При рассмотрении процессов с высокими энергиями, когда
„высокие энергии" грубо выражаются с помощью членов
A/Х) (а— длина волны), отношение /z-ro и (п-\-\)-го членов (Sl"\
5"'+1)) 5-матрицы может быть записано в виде
-^nr^fr A5.27)
Но размерность g{ есть [Z.T"j. Отсюда мы заключаем, что при
гп ^> О члены S-матрицы более высокого порядка дают при рас-
рассмотрении процессов высоких энергий (Ат'!<^?г) более значительные
вклады даже в том случае, когда константа связи gt очень мала.
Это обстоятельство показывает, что при fy]>0 реакция соб-
собственною г.оля приобретает очень большое значение. В связи с
этим часто говорилось [1 — 4] о том, что должна существовать
некоторая фундаментальная длина г0, введенная Гейзенбергом, и что
соотношение A5.27) в области энергий, при которых л<^г0, должно
быть изменено. С этой точки зрения г0 следует рассматривать как
радиус элементарной частицы, и Х=&г0 является пределом примени-
применимости существующей квантовой теории поля. Такой подход к делу
оправдывается следующими соображениями. Если мы с помощью
метода перенормировок попытаемся построить несингулярную тео-
теорию для взаимодействий 2-го рода, то мы придем к необходимости
одновременного существования бесконечного числа взаимодействий
(т. е. контрвзаимодействий), которые также являются взаимодей-
взаимодействиями 2-го рода. Такая совокупность взаимодействий эквива-
эквивалентна нелокальному взаимодействию, соответствующему протя-
протяженной модели элементарных частиц1). Однако -явлений, которые
бы существенно зависели от величины г0, неизвестно. По всем
данным теория р-распада требует введения взаимодействий 2-го
рода, хотя имеются возможности объяснить р-распад с помощью
взаимодействий 1-го рода [14, 12, 11]. Теория возмущений не мо-
может быть применена для изучения явлений, связанных с мезо-
мезонами (т. е. рождения мезонов при тг-, у- или нуклон-нуклонных
столкновениях, рассеяние мезонов на нуклонах и т. д.), посколь-
поскольку константа связи для мезон-нуклонного взаимодействия не
настолько мала, чтобы было справедливо применение теории воз-
возмущений. Далее, недавние эксперименты, по-видимому, указывают
на наличие изобарных уровней (для системы нуклон — мезон), су-
существование которых можно было ожидать на основе теорий силь-
*) Взаимодействия между операторами поля в различных точках простран-
пространства называются нелокальными взаимодействиями.

Литература 321
ной [15] и промежуточной [13] связи. Это обстоятельство затруд-
затрудняет определение типа взаимодействия мезон — нуклон. Так как
эффекты высишх порядков в случае взаимодействия 2-го рода дают
более значительные вклады в рассматриваемые явления, то можно
ожидать одновременного рождения многих мезонов при нуклон —
нуклонных столкновениях. Недавние эксперименты подтверждают
наличие множественного рождения мезонов. Однако из этих дан-
данных еще нельзя сделать заключения о том, что взаимодействие
мезон — нуклон принадлежит к взаимодействиям 2-го рода.
ЛИТЕРАТУРА
1. Heisenberg W., Zs. f. Phys., 101, 533 A936).
2. Heisenberg W., Zs. f. Phys., 110, 251 A938).
3. Heisenberg W., Solvay Berichte Report, 1939.
4. Heisenberg W., Zs. f. Rhys., 113, 61 A939).
5. R 0 h r 1 i с h F., Phys. Rev., 80, 666 A950).
6. Ma thews P. Т., Phil. Mag., 41, 185 A950).
7. M a t h e w s P. Т., Phys. Rev., 91, 936 A951).
8. Petermann A., StueckelbergE. С G., Phys. Rev., 82, 548A951).
9. Sakata S., Umezawa H., Kamefuchi S., Prog. Theor. Phys., 7,
377 A952).
10. S a 1 a m A., Phys. Rev., 82, 217 A951).
11. Tanaka S., I to M., Prog. Thcor. Phys., 9, 169 A953).
12. Tanikawa Y., Prog. Theor. Phys., 10, 232, 361 A953).
13. Tom on a ga S., Prog. Theor. Phys., 1, 83 A946).
14. Umezawa H., Prog. Theor. Phys., 7, 551 A952).
15. Wentzel G., Helv. Phys. Acta, 13,269 A940).
21 X. Умэдзава

Г Л А В А 16
Теория затухания
§ 1. Уравнения теории затухания
В теории затухания учитываются члены высшего порядка ряда
теории возмущений.
Для простоты возьмем1) плоскую поверхность в момент времени t.
Оператор S(t, г1,), характеризующий движение системы в шредин-
геровском представлении, мы получим из оператора в представле-
представлении взаимодействия с помощью следующего преобразования [см
A0.56)]:
Учитывая A0.57), найдем
^ l) я™ t>t,, A6.1)
где Нв -\- Н'— оператор полной энергии в шредингеровскОм пред-
представлении, выражение которого дается с помощью A0.58) и A0.59).
Оператор 5 (/, ?j) можно получить в качестве решения уравнения
AG. 1) с начальным условием
l)=\ для / = fi. '. A6.2)
Оператор S (t, 71,) можно записать в виде разложения Фурье
,t,1J, A6.3)
причем 5 {Е, t, tj имеет вид
S(E,t, t^^
Поэтому уравнение A6.1) приводит к равенству
lt,tl)=^Q для t>tl. A6.4)
') Относительно ковариантной формулировки теории затухания сд|,
работу |2j.

# /. Уравнения теории затухания 323
Рассмотрим случай, в котором гамильтониан взаимодействия Н'
распадается на Д1.е части и имеет вид
A6.5)
и примем то представление, в котором оператор
A6.6)
диагоналей ').
Легко видеть, что равенство A6.4) удовлетворяется решением
уравнения
ktl)}. A6.7)
Предположим, что S(E, t, tj имеет вид [1]
S(E, t,tl) = {l — 2mi+(E — M)U(E)}l(E,t,tl). A6.8)
Тогда с помощью (8.30а) левую часть уравнения A6.7) можно
записать в виде
{Е—Н — Н"){\ — 2тЬ+ (E—N) U(E)\I(E, t, tx) =
Предполагая, что U(E) является некоторой матрицей, диагональ-
диагональные элементы которой равны нулю, мы из A6.7) получаем уравнения
, A6.10)
y-iE(t~t1)}, A6.11)
Г (Е) ее 2» \Н"— 2тН"д+ (Е — Н) U(E)\U. A6.12)
Здесь матрица { }d получается из матрицы { }, если в последней
все недиагональные матричные элементы положить равными нулю,
а для получения матрицы { }n.d. надо положить равными нулю
все диагональные элементы матрицы.
Таким образом, мы видим, что A6.10) и A6.11) являются теми
уравнениями, на основании которых должен быть найден оператор
S(t,tj). Уравнение A6.10) представляет собой основу теории за-
затухания Гайтлера [3, б]2).
') Например, в задаче об электроне в атоме водорода Ф можно рассматри-
рассматривать как кулоновский потенциал, обусловленный наличием протона.
г) См. также работу [7]. В дальнейшем теория затухания была развита в
работах [8] для исследования упругого рассеяния дираковских и бессииновыл
частиц произвольным короткодействующим силовым центром.— Прим. ред.
91*

324
Гл. 16. Теория затухания
Разложение A6.3) показывает, что
Оо
= — J dEb+{E— tf)exp{— i?(f — *,)}_
A6.13)
—оо
00
При t )> f, в первом члене можно проводить интегрирование
по большой полуокружности ниже вещественной оси в комплексной
?"-шюскости (фиг. 26), в резуль-
результате чего получается равенство
§(*,*,) =
Фиг. 26.
для
A6.14)
Можно показать [1], что если оператор S(t, tj дается выраже-
выражением A6.14), то он удовлетворяет начальному условию A6.2).
При вычислении вероятности перехода w,-/ между двумя собст-
собственными A,/)-состояниями невозмущенного оператора энергии Н
люжно вместо S(t, tt) пользоваться оператором S'(t, ?,), задаваемым
равенством
S'{t, ti) = eiH^-t')S(t,ti). A6.15)
Действительно, если Е( и Ef являются собственными значениями
энергии в i- и /-состояниях оператора И, то
w
f=\(f\S(t,t,)
A6.16)

§ 1. Уравнения теории затухания 325
Подставляя A6.14) в A6.15), получаем
—00
(Е-Н) {(J(E)—Lt(E) \ {я-tf+f Т(Е) у\ A6.17)
Можно доказать [1], что при Ф = Ои, следовательно, при /7 = 7*°
разложение в ряд величины A6.17) совпадает с S-матрицей Дай-
сона A3.14).
Равенство A6.17) дает
}{У\ A6.18)
где учтено соотношение
00
— lim eiatb+(a) = — lim ^-
00
= —i С ipe'°P = a(a). A6.19)
—oo
Следует заметить, что соотношения A6.19) имеют место при ин-
интегрировании
00
— lim С dae'a%{a)f(a)=f(O)
»->—00 «
—00
только тогда, когда /(а) — аналитическая функция.
Из A6.18) имеем
{f\S'{t,-oo)\i)=
для
(/|S'(^.—oo)|i) = 0 («огда Г.^^О), A6.21)
Г.(?) = (*|Г(?)|*). A6.22)
Вероятность того, что/-состояние лежит в области (?"f, Ef-\-dEf),
равна
|(
где fW и Г'1' — вещественная и мнимая части величины Го, так что
). (Ш.24)

32b Гл. 16. Теория затухания
§ 2. Эффекты затухания
Прежде Есего рассмотрим физический смысл величины Т^\ Ра-
Равенство A6.23) показывает, что энергия конечного состояния имеет
максимальную вероятность для Ег=Е!-\-A1г)Т^ЦЕ,). Другими
словами, система, которая первоначально была в г-состоянии, под
влиянием возмущения, обусловленного различными состояниями,
связанными взаимодействием с i-состоянием, изменяет свою энер-
энергию на величину (Ч^ТиЦЕ,). Например, если Ф = 0 и i-состоя-
ние является состоянием свободной частицы, то величина (llt)l^(Ef)
равна собственной энергии. Поэтому в качестве наблюдаемой ве-
величины энергии свободной частицы в теории перенормировок мы
должны взять величину Ef = El-\-Dt)YU'>(Ef), хотя эта величина
и бесконечна. Когда i-состояние является состоянием электрона в
атоме водорода, величина (Ч^Т^ЦЕ,) описывает смещение уров-
уровней энергии, обусловленное радиационными поправками. Разница
между указанными смещениями и собственной энергией электрона
дает лэмбовский сдвиг.
Теперь рассмотрим физический смысл величины fW.
В классической теории электрона ускоренно движущийся элек-
электрон теряет энергию на излучение. Это приводит к появлению
силы реакции величины ^js)et(dijdf)x, действующей на сам элек-
электрон. Поэтому уравнение движения электрона, колеблющегося с
собственной частотой v0, обусловленной внешней силой, имеет вид
где опущены члены с высшими производными C^3) и члены, за-
зависящие от радиуса электрона.
Так как при v0 > 1 /г0 (г0 — классический радиус электрона e'jm)
длина волны меньше радиуса электрона, то мы не можем пользо-
пользоваться уравнением A6.25), поскольку в нем отброшены члены,
зависящие от структуры электрона. Поэтому необходимо, чтобы
удовлетворилось условие
приводящее к условию
\>Ъ A6.26)
в котором
При условии A6.26) решение уравнения A6.25) может быть
приближенно представлено в виде
. A6.27)

,ф 2. Эффекты затухания 327
Это показывает, что напряженность электромагнитного поля Е, ин-
индуцированного электроном, также затухает по закону ехр( — ^tj2):
Е = Е0<г-^2)'<?'Ч A6.28)
Разложение в ряд Фурье выражения A6.28) имеет вид
— со
Таким образом, получаем следующую интенсивность излучения:
где /0— постоянная, не зависящая от v. Член (у!/4) в знаменателе
проистекает за счет радиационной поправки [второй член в A6.25)]
и обусловливает в распределении интенсивности излучения по
частотам ширину линии величиной у/2 около максимума при v = v0.
Величина у/2 называется естественной шириной линии.
Мы видим, что соотношения A6.23) и A6.30) весьма сходны и
что величину О/аЩ"^/) можно рассматривать как ширину линии
в распределении вероятностей A6.23).
Из A6.12) имеем
H)U(E))d. A6.31)
В самом деле, A6.12) и A6.10) дают
= 2тт {Н"Ь+ (f — Н) U(E)-f- U* (Е) Ь. (Е— Н) Н"}й =
= 2* {U* (Е) § + (Е- Н) U (E) +U* (Е)Ь_(Е-Н) U(Е)}й =
= 2тг (?/•(?) 8 (?—//)?/(?))„.
С другой стороны, из A6.17) находим
00
U\S'{tmi)
Равенство A6.23) показывает, что при малых значениях Г$> для
большинства конечных состояний имеем

328 Гл. 16. Теория затухания
Для таких случаев получается
Отсюда, с учетом A6.19), следует
00
3i(f\S'{t,-oc)\i) = i J dE9(E-Ef)(/\U(E)\l) =
= i(f)\U(Ef)\7) для /фи A6.32)
Далее A6.20) приводит к соотношению
Подставляя это соотношение и A6.32) в A3.4), найдем, что веро-
вероятность перехода, отнесенная к единице времени, равна
,) A6-33)
Сравнивая A6.31) и A6.33), получаем
^/- A6-34)
Другими словами, величина Г®> (Ef) приблизительно равна сумме
вероятностей перехода (отнесенных к единице времени) из /-состоя-
/-состояния во все другие состояния. Поэтому величину \\YW*{Ef) можно
рассматривать как время жизни t-состояния. Это заключение со-
согласуется с рассуждениями гл. 13, где было сказано, что мнимые
части величин собственной энергии дают обратную величину вре-
времени жизни относительно естественного распада. Из A6.23) и
A6.34) мы видим, что вероятность перехода в какое-либо /-состо-
/-состояние уменьшается вследствие осуществляющихся переходов (Г(ок)) из
i-состояния в другие /-состояния.
Это обстоятельство, заключающееся в том, что ширина спек-
спектральных линий увеличивается, когда возрастают вероятности пе-
переходов с этих линий, показывает, что уровни невозмущенных
состояний возмущаются со стороны состояний, сильно связанных
с ними посредством возмушаюшей энергии взаимодействия.
В качестве примера рассмотрим два уровня а и Ъ электрона в
атоме. Пусть здесь а будет основным состоянием, так что ширина
этого уровня равна нулю. Таи как электрон с уровня b может с
испусканием у-кванта перейди на уровень а, то уровень b имеет
большую ширину. Более того, если происходят частые столкно-
столкновения атомов между собой (как в газе), то ширина уровня b еще
больше возрастает ввиду увеличения вероятностей перехода за

Литература 329
счет столкновений. Поэтому эксперименты по определению ширины
линий должны выполняться на газах под малым давлением. Ре-
Результаты относительно ширины линий, полученные впервые Вай-
скопфом и Вигнером [5], были впоследствии подтверждены экспе-
экспериментально.
Следует заметить, что хотя в случае взаимодействий 2-го рода
для процессов с высокими энергиями числитель в A6.23) стано-
становится очень большим, тем не менее величина fW в знаменателе
компенсирует этот эффект и можно ожидать, что вероятность
перехода не может стать стишком большой. Ввиду унитарности
S-матрицы этот результат представляется очень разумным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Arnous E., Zienau S., Helv. Phys. Acta, 24, 279 A951).
2. Fukuda H., M i у a z i m а Т., Prog. Theor., Phys., 5, 849 A950).
3. Heitler W., Proc. Cambr. Phil. Soc, 37, 291 A941).
4. W e i s s k о р f V., W i g n e r E., Zs. f. Phys., 63, 54 A930).
5. Weisskopt V, Wigner E., Zs, L Phys., 65, 18 A930).
6. Wilson A. H., Proc. Cambr. Phil. Soc, 37, 301 A941).
7*. Соколов A. A., Journ. of Phys. (СССР), 5,231 A941).
8*. Соколов А., К е р и м о в Б., ДАН СССР, 105, 961 A955); 108, 611 A955;
ЖЭТФ, 31, 1080 A956); Nuovo Cimento, 5, 921 A957).

ГЛАВА
Теория S-матрицы
§ 1. Наблюдаемые величины
Поскольку существующая квантовая теория поля содержит мно-
много трудностей, связанных с бесконечными значениями различных
физических величин, ее следует рассматривать как предваритель-
предварительную теорию. Последовательной же теории элементарных частиц
мы все еще не имеем. Пытаясь сформулировать такого рода тео-
теорию, Гейзенберг [4, 5] рассмотрел феноменологические соотноше-
соотношения между наблюдаемыми величинами в надежде установить неко-
некоторое соответствие между существующей теорией и последователь-
последовательной теорией будущего.
Наблюдаемыми величинами, принятыми Гайзенбергом в качестве
основных величин теории элементарных частиц, были энергия-им-
энергия-импульс свободных частиц и следующие величины: 1) дискретные
собственные значения для связанных состояний, 2) асимптотиче-
асимптотический вид (сдвиг фаз) падающих и рассеянных волн в большом от-
отдалении от рассеивающего центра.
Ввиду того что в задачах рассеяния эффективные сечения могут
быть определены только по асимптотическому виду волновых функ-
функций на больших расстояниях от точек взаимодействия, величины
2) можно рассматривать как наблюдаемые.
Так как связанные состояния можно рассматривать как случай
нулевой расходящейся волны при стационарном рассеянии, то мож-
можно ожидать наличия более тесной связи между величинами 1) и 2).
Асимптотический вид расходящихся волн может быть определен
через продолжительный промежуток времени после взаимодействия,
и поэтому такое определение возможно с помощью 5-матрицы.
Гейзенберг исследовал, могут ли величины 1) и 2) быть опреде-
определены с помощью 5-матрицы [4, 5].
§ 2. 5-матрица
Для простоты рассмотрим плоские поверхности сг (t) в момент
времени t. Из A0.1) и A0.50) имеем
-°°], A7.1)

§ 2. S-матрица 331
S[-oo] = l, A7.2)
t
S[a]=\ -i^dt'H'[a(f)}S[a(t')]. A7.3)
Вероятность обнаружения Ф-состояния в момент времени t = oo,
если в момент времени t= — <x> было Ф0-состояние, равна1)
«V = №S[ooW|! = |Sj*. A7.4)
Введем в рассмотрение /^-матрицу с помощью равенства
5=1+/?; A7.5)
здесь S-матрица является матрицей [Sba]. Так как S — унитарная
матрица, то мы имеем
#*# /? + * A7.6)
Тогда для а=/=Ь равенства A7. 5) и A7. 4) приводят к
С другой стороны, A7.3) дает
Rba = -i[dt (Ф„Н' [q (t)} S [о (t)} Фа) =
— 00
a»
= —i^dt №„/""* H'e~iH*S [о (t)] Фа), A7.8)
—оэ
где Я0 —оператор свободной энергии A0.59), а Н' —" гамильто-
гамильтониан взаимодействия A0.58) в шредингеровском представлении. Счи-
Считая, что взаимодействие включается и выключается соответствен-
соответственно в моменты времени t= — оо и ? = -j-oo, мы в качестве соб-
собственных функций оператора /7° можем взять функции Фо и Фь
Затем в выражение Н' необходимо ввести экспоненциальный
множитель ехр( — г' |t|) [см. A3.10)], в котором s'означает бесконечно
малую положительную постоянную. Теперь можно записать A7.8)
в виде
ЯЬа = -НФьН'??{Еь)), A7.10)
где
00
?t\\(t№e. A7.11)
(Фв

332 Гл. 17. Теория S-матрицы
Используя (8.30а), A7.3) и A7.11), мы видим, что Ч^ (?) удовле-
удовлетворяет уравнению ])
^ Н'?+\Е). A7.12)
Вводя в рассмотрение 4*t с помощью равенства
Ч'<+> (Е) = 2и$ (Е - Еа) ф+, A7.13)
из A7.12) получаем
A7.14а)
Вероятность перехода в Ф^-состояние в момент времени t из
ФЛ-состояния при t = — оо, отнесенная к единице времени, равна
[см. A3.4)]
§ 4||' A7.15)
Для Ьфа, с учетом A7.3), это дает равенство
~wb,a=i(И1 [а(*)]S [a(t)] Фв Ф4)(Ф, 5[а (t)] Фа) + К.С. =
df (Ф4Я'^-"°»'5 [а (Г )]Фа) + К.С,
A7.16)
где К.С. — величина, комплексно-сопряженная к предшествующе-
предшествующему члену.
Используя A7.10), A7.13) и соотношение
е-'"* S [a it)] Фа = е-''Е°* ^+,
которое можно получить из A7.11), запишем A7.16) в виде
-'J +K.C.=
A7.17)
= 27Г | RJ2 Z (Ea-Eb).
Здесь Ria определено как
Rba=-2m5(Ea-Eb)Rba. A7.18a)
Из A7.18) получаем [12]
ЦЬа = (Фь,Н'У+). A7.18б>
') Здесь использовано соотношение
СО Г ОО GO
^ dt j dt'f(t,f) = J df ^ dtf {(,(').
— QO — GO — 00 t'

§ 3. Задачи рассеяния 333
С другой стороны, выражение A7.14а) с помошью (8.30а) можно
записать в виде
A7.146)
Как показывает наличие §+-функции, выражение A7.146) имеет
вид решения задачи рассеяния с соблюдением „условия излучения"').
Так как первый член в A7.146) имеет вид падающей волны,
то второй член можно рассматривать как рассеянную волну.
Введем в рассмотрение матрицу V = \4!ba\
Ч>ЬаЕЕ(Ь\Ч*\а) = (Фь, ЧС).
Тогда A7.146) можно записать в виде
Ч'=1+Ч'« A7.14в)
где
Ч<%=-2шЪ+{Еа-Еь)(Фь,Н'Ч<:) = -ЫЪ+(Еа-Еь)ЪЬа. A7.19)
Величина W является матрицей рассеянной волны [16.17].
Теперь укажем на важную в волновой теории теорему.
Равенство A7.6) посредством зависящих от R членов может
быть записано в виде
а - Eb) Rl Ь (Eb - Ee) Rbc = 2uiS (Ea - Ее) (Rac - R^).
ь
Опуская в обеих частях равенства функцию Ь (Еа — Ес) и полагая
а = с, получаем
S^^a = -2/m(RaJ. A7.20)
ь
Левую часть равенства A7.20) можно рассматривать как полную
вероятность перехода из a-состояния во всевозможные другие Ь-со-
стояния (Ьфа). Поэтому A7.20) показывает, что эта полная ве-
вероятность может быть выражена с Помощью „рассеяния вперед"
(т. е. рассеяния из a-состояния в это же a-состояние). Другими
словами, уменьшение интенсивности волны, распространяющейся в
среде, является результатом интерференции между падающей вол-
волной и рассеянной волной [11].
§ 3. Задачи рассеяния
Применим основное уравнение A7.14в) к изучению процесса
рассеяния, в котором принимают участие две частицы со спином 0
(и массами х1 и xt). Обозначим координаты и энергии-импульсы
') В общем случае, когда Фд описывает состояние многих частиц, про-
пространственное представление, соответствующее &+{Е—Но), может быть асимп-
асимптотически записано в виде произведения расходящихся волн.

334 Гл. 17. Теория S-матрицы
этих частиц соответственно через (гA), кA)) и (гB), кB>). Тогда
полный и относительный импульсы Кик равны
A7.21)
а полная энергия Е представляется в виде
A7.22)
Любое состояние двух частиц можно определить с помощью
набора переменных (К, Е, ?, <р), где переменные С и ^ есть
?; = cos6 = ^, (p = arctg^. A7.23)
Если (К, Е, 7j) — набор „констант рассеяния", то A7.14в) мож-
можно записать в смешанном относительно (К, Е, С. <?) и (К, Е, г() пред-
представлении
(?',?>'№i)=U?-?')(C<p'i .„-г A724av
-\-ё+(Е-Е')(Е',?,и'\-2тЦ\Е,Г1), A7'24а)
где множитель 8, учитывающий сохранение полного импульса,
опушен. Поэтому равенство A7.24а) справедливо лишь для К = К'.
Последнее равенство может быть записано в виде
(Е\ С *'
+ «+(?- Е')(?', С, f' \А | Я, ij),
где
', С, ?' | - 2ir R|?, ч). A7.25а)
Из A7.25а) получаем
(Е, С, Ч'\А\Е, rt)=\dC d <?' { д (С' — С") 8 («Р' — <Р')
+ (?, С *' | - 2it/R | ?, С, '/)} (С, ?" | Я, Ч)=
= 5°С, ?'|Ч) мя Е' = Е, A7.256У
где 5° определяется таким образом, чтобы ?° § (?" — ?) было соб-
собственным значением S, соответствующим (К, Е, С', (р')-состоянию.
Теперь преобразуем A7.246) в координатное представление.
В системе центра инерции (К = 0) в качестве констант rt можно
взять моменты количества движения / и их компоненты т на направ-
направление оси х3. Если падающая волна записывается в виде ехр (i k -г), то

§ 3. Задачи рассеяния 335
имеем
K,°(cosO), A = |k|, r = |r|. A7.26a)
где Ь — угол между г и направлением импульса к.
Последнее равенство может быть получено следующим обра-
образом. Координатное представление для 4х получается, во-первых, в
результате изменения представления в A7.246) от (?", С', <р) к к'
и, во-вторых, в результате последующего интегрирования
но d°k' после умножения соответствующего выражения на
A/2тт)а"ехр (ik'-r)d3k'. Изменение представления от (?", ?, <ь') к
(к') выполняется с помощью умножения Ч; на нормировочный мно-
множитель l/j^A. Этот множитель обеспечивает сохранение нормировки
волновой функции при изменении представления и поэтому опреде-
определяется равенством
Другими словами, k'*A является якобианом1) b = dE'ldk'.
Таким образом, координатное представление Ч5 выглядит сле-
следующим образом:
J^W* \V\E, I, «) =
nJ J
где (<p\ &') — углы между А' и направлением г. Интегрируя по
dy'dft' и пренебрегая членами высших порядков ( э= 2} относитель-
относительно величины (Ijk'r), получаем следующее асимптотическое пред-
представление:
I, m
-e~ik'r(E\ C = — I |V|?, /, m)}. A7.266)
С другой стороны, известно, что для любой регулярной функции
') Например, когда х1 = хг=:х, величина Д дается на основании A7.22)
и A7.23; в виде
•)
Ь — '- ~
к'У я* -f /г'2

33b
Гл. 17. Теория S-матрицы
f(k) имеют место равенства
dE'b_ (E — E')e- ik'rf(k') = e~ikrf(k),
эо
J dE'b+ (Е - Е') eik'rf{k') = eikrf{k),
Jo
СО
J dE'b_ (E-E')eik'rf(k') = O,
—Jo
да
—эо
00
Первое равенство выводится следующим путем:
dE'b_ (E — Е')е~ ik'rf{k')
f
= ^ f dE' Р
2w J E
E — E — к
., e
к
~ ik>r
f(k'),
Фиг. 27.
где контур С состоит из действи-
действительной оси и полуокружности
ниже действительной оси (фиг. 27). Вычет в полюсе Е' — Е — is'
равен (—) е -ikr f(k). Таким образом, имеем
dE'b_ (Е-
Другие равенства доказываются аналогичным способом.
Теперь, подставляя A7.246) и A7.256) в A7.266), получаем
С другой стороны, плоскую падающую колну Ч;.„ можно раз-
разложить по сферическим гармоникам, так что
для больших л A7.27)

§ 3. Задачи рассеяния 337
Ввиду того что liJ (г)-функция при 5° = 1 должна свестись к
падающей волне, мы видим, что
A7.28)
для т = 0, и (!; = 1 | /, т) = (Ц = — 111, т) = О для тфО. Эти
соотношения приводят к A7.26а).
Амплитуда рассеянной волны A|г)/@), полученная как раз-
разность между A7.27) и A7.26а), равна
ftb\— 2_ \ и — 1 1 /*Гл~/ i г QO v о i(^r\<u fii л ^ 'I ' (А 7 OQal
~7у \ч) , ^^ t I/ 2/ —|— 1 t\ ' i (СОЬ \i) с , ^ 1 / .Z&a)
I
где
Я° = 1— 5°. A7.296)
Отсюда следует, что дифференциальное и полное эффективные се-
сечения равны
A7.30а)
)\R°\\ A7.306)
Первое из этих выражений получается следующим способом.
Число падающих частиц в единице объема равно единице, потому что
где область интегрирования ограничивается единичным объемом
[см. A7.27)]. Поэтому число частиц, падающих на единицу поверх-
поверхности в единицу времени, равно v (v — скорость падающих ча-
частиц). С другой стороны, число рассеянных частиц, пересекающих
в единицу времени маленькую площадку величиной ds, положение
которой характеризуется радиус-вектором г, равно vdsr~*\f(b)\*.
Поэтому для эффективного сечения имеем выражение
Так как оператор 5 унитарен, он может быть записан в виде
exp(t7j), причем эрмитова матрица tj называется матрицей фазы.
Сейчас рассмотрим случай, когда единственным возможным
процессом является рассеяние (поглощения нет). Тогда оператор 5°
должен удовлетворять соотношению
5и|" = 1. A7.31)
22 X. Умэдзава

338 Гл. П. Теория S-матрицы
Таким образом, 5° можно записать в виде
S° = e™, A7.32)
где 5 —с-число.
Подставляя A7.32) в A7.26а), мы видим, что 28 является раз-
разностью фаз сходящихся волн. Более того, легко видеть, что па-
падающая волна A7.27) и расходящаяся волна A7.29а) имеют раз-
разность в фазах величиной Ь.
Используя A7.32), можно A7.306) записать в виде
j)sin2S. A7.30b)
§ 4. Связанные состояния
Сейчас мы обсудим соотношения, существующие между тео-
теорией S-матрицы и теорией связанных состояний, взяв в качестве
примера 5-состояние (/ = 0). Величина S(k), собственное значение 5*
для {k, /)-состояния с /=0, может быть определена в комплексной
плоскости переменного k с помощью аналитического продолжения.
Для k= — i\k\ члены в скобках в A7.26а) могут быть за-
записаны в виде
Учш (г)-{-е-'*" + е|Л'\9(-г|*|)}. A7.33)
Первый и второй из этих членов обращаются в нуль и при
г—> оо соответственно становятся бесконечными. Поэтому, когда
Ч*_/1а|(г) описывает связанное состояние, величина 5(— i\k\) долж-
должна быть равна нулю. Таким образом, имеем
S(k) = 0, k = — i\k\ A7.34)
для связанного состояния, энергия которого в нерелятивистском
приближении равна
^=¦5*"—f- 07.35a)
Теперь исследуем вопрос о том, может ли условие A7.34)
всегда обеспечить появление связанных состояний. Уравнение
Шредингера для частицы в центральном поле с потенциалом Ф(г)
имеет вид
AlF(r)-|-2x{?" — Ф(Г)}Ч;(Г)=О. A7.36а)
Если /=0, можно ввести величину <р с помощью равенства
rlV[г)=у[г) и записать A7.36а) в виде
<р" (г)-!- k2 <р (г) = Ф(г) f(r), A7.366)
где
кг = 2хЕ,
. d* A7.356)

§ 4. Связанные состояния 339
Прежде всего возьмем потенциал в виде [2]
Ф (г) = — 2хФое-'а, A7.37)
где Фо и а — положительные величины. Когда k* >• 0, решения
уравнения A7.366) могут быть выражены через бесселевы функ-
функции
здесь
Решение, обращающееся в нуль при г = 0, имеет вид
r\\ \ A7-38а)
-?) ) }•
Асимптотический вид решения A7.38а) при г—*оо представляет-
представляется формулой
г 0 + 1) х
A7.386)
e
Сравнивая A7.386) с A7.26а), получаем 5° в виде
Это равенство показывает, что 5(А:)=0, когда: 1) У(. (а) = 0
или 2) Г(—ip-f-1) — бесконечность. Поскольку все нули функ-
функции Ju(o-) ниже действительной оси находятся на мнимой оси,
условие 1) можно записать в виде
^.pi(«) = 0. A7.40)
В этих нулевых точках k = kn (p = pj волновая функция A7.38а)
обращается в функцию
<Рй(/-) = Сй^Г(|рд!-|-1)D)'Р^|рл1(«ехр(-4))) A7.38b)
причем С„ — нормировочная постоянная [2].
Условие 2) означает равенство
Г( —tp + l) = oo, A7.41а)
22»

340 Гл. 17. Теория S-матрицы
которое имеет место при
ip = |p|=l, 2, 3,... A7.416)
Однако для этих значений величины р волновые функции
равны нулю, так как имеет место соотношение
Л.(«) = ( — !)"./-„(«) для л=1, 2,...
Таким образом, нули, получаемые из равенства A7.41а), не обус-
обусловлены обязательным существованием связанных состояний. Эти
нули называются „лишними нулями" и были впервые обнаружены
Ма [13-15].
Теперь рассмотрим более подробно эти лишние нули. Предполо-
Предположим, что потенциал центрально-симметричного поля удовлетворяет
условию
а>
[ dr | Ф (г) | = Конечная величина. A7.42)
Существуют два независимых решения уравнения A7.366) f(k, r)
и/(-*./¦) L8J
lim elkrf(k,r)=\,
r-t со
, -ikr
lime-'*rf(—k,r)=l. A7.43)
г-*- со
Введем в рассмотрение величины f(k) и /(—k), определяемые
равенствами
f(k)=f(k,O), /(_*) = /(-ft,0). A7.44)
Если выполнено условие A7.42), то можно доказать, что f(k,r)
и/(—k, r) для действительных ненулевых значений k являются
комплексно-сопряженными величинами, непрерывными по А и г;
это означает, что f(k)^=Q и \\mf(k)=\. Кроме того, если по-
тенциал удовлетворяет более сильному [чем A7.42)] условию
00
\ drr\ Ф (г) | ^ Конечная величина, A7.45)
и
то можно доказать, что функция f(k,r) непрерывна даже в точке
& = 0. Решение уравнения A7.366), обращающееся в нуль при
г = 0, можно записать в виде
причем постоянный множитель опущен.
Далее, A7.26а) показывает, что
A7.47)

§ 4. Связанные состояния 341
Ввиду того что для k — — i\k\ функция f(k, г) при г—> оо
обращается экспоненциально в нуль, мы видим, что эта величина
описывает связанное состояние. Поэтому условие того, что A7.46)
описывает связанное состояние, записывается в виде
f(k) = O для k = — i\k\. A7.48)
Следует заметить, что связанные состояния при k = 0 (т. е. ?' = 0)
не могут быть определены равенством /@) = 0, поскольку f(k, r)
и f(—k, г) равны между собой и потому не являются при k = 0
независимыми. Для построения решения <р при й = 0 мы должны
найти другое независимое решение. Однако можно доказать [1],
что при выполнении условия A7.45) связанных состояний с нуле-
нулевой энергией (?=0) не существует.
Резюмируя, можно сказать, что, когда выполнено условие
A7.45), сдвиги фаз Ь(к) и дискретные уровни энергий связанных
состояний определяются величиной f(k). Однако обратное утвер-
утверждение не имеет места, т. е. b(k) не дает возможности опреде-
определить f(k), а позволяет определить только S(k). Далее, S{k) = O
не всегда соответствует связанному состоянию, потому что равен-
равенство /(—&) = оо также дает S(k) = 0.
Конкретную иллюстрацию полученных выше результатов мы
дадим на уже использованном нами примере A7.37). В этом при-
примере f(k, r) и f(k) равны
( ()) A7.49а)
A7.496)
Условие 1) [т. е. A7.40)] эквивалентно условию A7.48), приводя-
приводящему к связанным состояниям. Однако условие 2) [т. е. A7.41)]
дает равенство /(—&)=оо, которое указывает на лишние нули.
Эти результаты указывают на то обстоятельство, что могут
существовать многие потенциалы, которые приводят к одинаковым
сдвигам фаз, но различным уровням энергии связанных состояний.
Действительно, такого рода пример указал Баргманн [1], кото-
который рассмотрел два потенциала
ф (г\ — РД МР° + СР — «)*ch f fp +«)r) —fp + af ch ((p — «^ r
Ф* [Г> jo sh {pr + в) -psh (or + G)f
в которых р > a >0 и 0 > 0.

342 Гл. 17. Теория S-матрицы
Величины f(k), связанные сФ, и Ф2, обозначим через /, (к) и
/г(к) соответственно. Тогда
откуда для связанного состояния получается условие
а энергия связанного состояния равна
С другой стороны, величина f2(k) дается равенством
f /м 2fe-)-/(p —ст)
которое для связанного состояния дает значение k = — (i/2) (p —a).
Поэтому энергия связанного состояния равна
Я2 = -^(р-а)*. A7.54)
Однако A7.47), A7.51) и A7.53) показывают, что Ф, и Ф, приво-
приводят к одной и той же величине S (к), т. е.
+ Ч + )) П7 55)
Далее, поскольку Ф, (г) зависит от Ь, а /, (А) и 5, (А) от 0 не
зависят, то существует много потенциалов, зависящих непрерывно
от 9, которые приводят к одному и тому же сдвигу фаз (т. е. оди-
одинаковой величине S). Это утверждение справедливо также и для Ф4.
Из этих вычислений следует, что с помощью только сдвигов
фаз [или S (к) ] нельзя однозначно найти потенциал. В самом деле,
можно доказать, что разность двух потенциалов, приводящих к
одинаковому сдвигу фаз и одинаковым собственным значениям к,
может быть представлена в виде
ФД')-Ф. (г) = 2 a**,», A7-56)
т
где ат — постоянные, a Zm определены равенством Zm = f^tyj^
Функции <p<J> (или <р^)) являются решениями уравнения A7.36 6)
с km = — i\k\ для потенциала Фг (или Ф8) [6].
Однако можно показать [1], что если два потенциала Ф1 и Ф,
удовлетворяют условию A7.45) и условию
ф (г) -]— "У^О (для некоторых I и произвольных г)

§ 4. Связанные состояния 343
и для „каждого" момента количества движения / приводит к одинако-
одинаковым сдвигам фаз, то эти два потенциала должны быть равны ') (т. е.
Теперь обсудим условия, при которых лишние нули отсутст-
отсутствуют. Поскольку лишние нули появляются за счет равенства
]¦(—&)=:оо, то мы не будем иметь лишних нулей тогда, когда
f(k, r) является регулярной функцией на всей плоскости комплекс-
комплексного переменного к. В этом случае одинаковые функции 5 (k) при-
приводят к одинаковым энергиям связанных состояний.
Можно показать, что достаточное условие того, что потенциал
приводит к регулярной функции f(k, r), имеет вид [1]
00
¦г \ф (Г\\ Иг== Конечная (для всех iyj r.7\
I \ )\и положительных a). [ii.oi)
о
Однако для существующей квантовой теории это условие является
слишком сильным; например, потенциал Юкава A2.25) не может
удовлетворить этому условию.
Указанное выше утверждение мы проиллюстрируем на предыду-
предыдущем примере A7.37). Прежде всего потенциал A7.37) модифици-
модифицируем в точке r = R так, чтобы он удовлетворял условию A7.57),
положив [14—15]
: A7-58>
для Г > R
Решение w(r) уравнения A7.366) соответственно пропорцио-
пропорционально выражению sin(kr-\-b) для r>R и выражению A7.38а)
для r<CR. Коэффициенты должны быть определены из условия
непрерывности <р и ее первой производной при r—R. Далее, для
5 (k) получается выражение
9 ik\ = — р- « J~ 'p (tt) Jh + '(а ехр(—Д/2а))+^р (аO- е> - i (а ехр(—Щ2а))
° К > J- !> (a) Jit - 1 (а ехр(— Ri'2a))+Ji? (a)J- i9 + i (a exp(—Rj2a)) '
A7.39 б)
Условие S(k) = O дает равенство
(о)У_/р_1(оехр(-/?/2а))=0,( 17.59)
которое эквивалентно условию A7.40) при /?-••» оо. Таким образом,
избежать лишних нулей удается при вычислении дискретного
спектра энергий для потенциала, который исчезает при г > R,
причем мы устремляем R—»-оо.
Более подробный анализ соотношения между S(k) и связанными
состояниями провел Ванкамнен [10]. Определим f(k) и S(k) на всей
плоскости комплексного переменного Е с помощью аналитического
') Весьма удобный метод построения потенциалов по фазовым сдвигам был
дан Иостом и Коном [9].

344 Гл. 17. Теория S-матрицы
продолжения. Через Г мы обозначим всю область комплексного пере-
переменного Е, за исключением действительной оси, а через /(Е, г) —
значения величины f{k,r) в Г (асимптотический вид этой величины
есть exp (iE'1' r); корень квадратный ?"'* определен так, что
Im(?''•)>0 [см. A7.35а)], с тем, чтобы было Vimf(E, r)—»Q).
При этих условиях можно доказать, что f(E, г) является в Г одно-
однозначной функцией и что функция f(E) s/(?, 0) аналитична в Г;
следовательно, нули этой функции расположены на „отрицательной"
действительной оси Е [10]. Функция S(E) может быть записана
в виде
f (F )
S(E)=-7~±z для действительных Е, A7.60)
где /(?±) — значения функции /(?), полученные как ее пределы
при стремлении к действительной положительной оси сверху или
снизу. Например, в области ниже действительной оси, \т(Е_)<С0,%
и поэтому ?"а равно не к —J— ге'» а величине —k-\-iz'(k^>0). Таким
образом, /(?_)=/(—к). Аналогичным путем имеем /(?'+)=/ (k).
Из A7.47) получаем A7.60).
Из A7.60) следует
j^D) A7.61)
где Ет — нули функции /(?), а логарифмы определены н'а подхо-
подходящих ветвях.
Доказательство A7.61) выглядит следующим образом. Так как
функция
аналитична в области Г, то теорема Коши дает равенство
elF\— —\dE' 8iE>)
в котором через L обозначен контур, показанный на фиг. 28.
Фиг. 28.

Литература 345
Отсюда следует
Е'-Е
" E'-E>1Lf(E_)~~2
о
а это приводит к A7.61).
Указанное равенство показывает, что функция f(E) не может
быть определена только с помощью функции S(E), заданной на
действительной положительной оси Е, а требует для своего опре-
определения знания величин Ет; оно показывает также, что даже, когда
функция 5 (Е) задана, величины Ет можно сделать произвольными
с помощью модификаций функции f(E), которые не нарушают
A7.61) (см. также работы [18] и [7]).
Резюмируя изложенное выше, можно сказать, что 5-матрица
может определить энергии связанных состояний только в случае
отсутствия лишних нулей и что исключение лишних нулей требует
более детального знания волновой функции, чем только ее асимп-
асимптотический вид.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bargmann V., Rev. Mod. Phys., 21, 488 A949).
2. Be the H. A., Bacher R. F., Rev. Mod. Phys., 8, 83 A936) (см. перевод:
Г. Б е т е, Р Б е ч е р, Физика ядра, т. I, Устойчивые состояния ядер,
Харьков, 1938).
3. Dirac P. A. M., The Principles of Quantum Mechanics, 3-d ed., 1947 (см. пе-
перевод второго издания: П. А. М. Дирак, Основы квантовой механики,
М.—Л., 1937).
4. Helsenberg W., Zs. f. Phys., 120, 513 A943).
5. Heisenberg W., Zs. f. Phys., 120, 673 A943).
6. Hoi mb erg В., Nuovo Cimento, 9, 597 A952).
7. Hu N.. Phys. Rev., 74, 131 A948).
8. Jost R., Helv. Phys. Acta, 20, 256 A947).
9. JostR, Kohn W, Phys. Rev., 87, 977 A952).
10. Van К amp en N. G., Phil. Mag., 42, 851 A951).
11. Lax M., Phys. Rev., 78, 306 A950).
12. Lippman B. A., Schwinger J., Phys. Rev., 79, 769 A950).
13. Ma S. Т., Phys. Rev., 69, 668 A946).
14. M a S. Т., Phys. Rev., 71, 159 A947).
15. Ma S. Т., Phys. Rev., 71, 210 A947).
16. M0ller C, Kgl. Danske Vid. Selsk., 23, No. 1 A945).
17. M0ller C, Kgl. Danske Vid. Selsk., 24, No. 9 A946).
18. W i 1 d e r m u t h K-, Zs. f. Phys., 27, 85 A950).

ГЛАВА 18
Теория функций распространения
§ 1. Введение
В гл. 12 мы рассмотрели теорию гейзенберговского представ-
представления, в которой основными величинами были свободные поля фп)(х),
описывающие падающие частицы. Однако такая теория не описы-
описывает достаточно точно реального положения вещей, при котором
падающие и уходящие частицы окружены собственными полями.
Можно ожидать, что в теории, в которой не будет голых частиц,
перенормировка массы и ? гряда будет осуществляться автомати-
автоматически. В последующих параграфах будет изложено первое прибли-
приближение к такого рода теории. В гл. 14 было показано, что в тео-
теории перенормировок квантовой электродинамики нормировка внеш-
внешних операторов электронного и фотонного полей должна быть
изменена добавлением соответственно множителей Z, н Z8. Это не
противоречит нормировке внутренних операторов, для которых кон-
константы Z2 и Z, могут быть включены в константы связи (см. фиг.
24, стр. 294). Однако между внешними и внутренними оператора-
операторами не может существовать какого-либо существенного различия;
в самом деле, приходящие и уходящие частицы могут наблюдаться
с помощью некоторых электромагнитных взаимодействий и, таким
образом, изменение в нормировке внешних операторов может быть
скомпенсировано перенормировкой констант связи внешних электро-
электромагнитных взаимодействий. Другими словами, записав внешнее
электромагнитное взаимодействие ieby^A^b для падающего элек-
электрона как l-brj ().rj = ie^A^h), можно рассматривать изменение в нор-
нормировке ф как изменение величины константы связи \ внешнего
поля. Продолжая это рассмотрение, мы обсудим вопрос о пере-
перенормировке независимо от ряда теории возмущений. В § 6 будет
показано, что перенормированная теория связана с неперенормиро-
ванной теорией посредством некоторого преобразования — преобра-
преобразования перенормировки.
В § 8 обсуждается более общий случай, чем квантовая
электродинамика, — обсуждаются общие вопросы перенорми-
перенормировки одночастных функций распространения. Метод перенорми-
перенормировок, изложенный в гл. 14 и в § 7 данной главы, распро-

§ 2. Формулировка теории 317
страняется на случаи, в которых частицы каждого поля имеют
одно стабильное массовое состояние 1). Однако иногда случается
так, что наличие собственного поля приводит к более, чем одному
массовому состоянию частицы. Перенормировка в этом последнем
случае обсуждается в § 8.
§ 2. Формулировка теории
Рассмотрим *) электронно-позитронное поле Цх), 'Цх), взаимо-
взаимодействующее с электромагнитным полем А^{х).
Внешние источники этих полей мы будем обозначать через
J], J) и J соответственно3). Мы будем пользоваться представлением
(свободным от источников), в котором уравнения поля имеют вид
0> A8-1а)
°- A8лб)
Если через чр, чр, А^ обозначить те же поля в гейзенберговском
представлении, то уравнения поля для них имеют вид
A8.2а)
<18-26)
\ ЪI'^(х), A8.2в)
где X и X' — константы связи внешних источников. Этому соответ-
соответствует следующий, введенный Швингером [13], лагранжиан взаи-
взаимодействия, обусловленный источниками
1.я(х) = \ф(х)ц(х) + \ч(х)ф{х) + \'^(х)^(х). A8.3)
Как показано в гл. 10, пример 4, каждый член в плотности
гамильтониана взаимодействия должен включать четное число опе-
операторов, которые антикоммутируют с любым заданным оператором
поля. Беря в качестве пробных операторов последовательно опера-
операторы гр, \, т) и У№, мы из A8.3) получаем
[Ч (х), ф (х')]+ = [ч (х), ф (х')]+ = [т] (х), т) (х')]+ = 0, A8.4а)
[ц{х),^(х')}_ =[7i (х), УA(л')].=0, A8.46)
[Jv.(x),p(x')]. = [Jv_(x),p(x')].=0, A8.4b)
[J»(x),Alu(x')]_ = \JJx),JJx')]_=0. A8.4r)
*) То есть состояние с определенным значением массы частицы. — Прим. ред.
*) Здесь мы ограничиваемся квантовой электродинамикой. Относительно
функций распространения мезонной теории см. работу Эдвардса [1].
') Теорию функций распространения в представлении взаимодействия также
сформулировал Нишияма [9].

348 Гл. 18. Теория функций распространения
Эти перестановочные соотношения доказаны лишь для случая, когда
четырехвектор х — х' является пространственно-подобным. Однако,
не входя в противоречие с уравнениями поля, можно считать эти
перестановочные соотношения справедливыми для произвольных
двух точек х, х', так как они коммутируют с гамильтонианом в
произвольной точке.
Унитарное преобразование U, связывающее векторы Ф и Ч; в
представлении, свободном от источников, и в гейзенберговском
представлении, приводит к равенству
Ч»[а] = ?/[а,а1,Ч,У]Ф[а1], A8.5а)
в котором
?/[а,а1>т1,У]=1, A8.56)
а операторы поля в этих двух представлениях связаны соотноше-
соотношениями
ф (х) = U [о (х), а„ ц, У] ф (x) U~' [а (х), о„ ч, У],
[а(л),а1( ч, У].
Можно доказать, что оператор преобразования U удовлетворяет
уравнению
1и[о, alt ij, J] = H,(x)U[o. a1( ч, 7]. A8.6а)
Здесь гамильтониан взаимодействия (в представлении, свободном
от источников) имеет вид
х). A8.66)
Действительно, из F.5а), A8.2а) и A8.6а) следует
=U[a,olfij,y]|Yn-д* Ф(х) — ^ fal [ip(х), гр(х')]+ г,(л)} X
== U[a, olt т), У] {?„ д^(л) - Хт] (х) } U-1 [a, ou ч, J] =
= ie^f. Ap(x)$ (х) — жф (х),
что приводит к A8.1а). Аналогичным путем доказывается, что
оператор U преобразует A8.2в) в A8.1в).
Если оператор энергии в представлении, свободном от источ-
источников, обозначить через 7*4, то собственные состояния Фп этого
оператора определяются уравнением
TtVa = EnVa. A8.7)

§ 2. Формулировка теории 349
Преимущество рассматриваемого представления заключается в том,
что Ч*„-состояния не зависят от источников. Состояние вакуума
Ч;о определяется') как состояние с наименьшей энергией Ео.
Матрица перехода между состояниями Ч[аг], 1Р[а,] на двух
пространственно-подобных поверхностях а, и а, задается с по-
помощью оператора U[at, о,, ij, J]. Этот оператор можно разложить
в функциональный ряд Тэйлора. В частности, вакуумное математи-
математическое ожидание может быть записано следующим образом2):
f
X A8.8)
X(S,... ?я; Si.. -С; С,... У ч?)... ч (^^(С.).. ./„«,).
Символ ( H означает вакуумное математическое ожидание. Так
как каждая приходящая (уходящая) частица должна пройти через
внешние поля на поверхности а, (а,), в результате чего определится
состояние соответствующей частицы, то коэффициенты G*?;m} в
A8.8) должны быть связаны с матричными элементами перехода.
Поэтому функции распространения
i;!l w;,;,.... s (. «• . ' . v, »)
(где л, ... х„, гг ... zt расположены на а„ а х[ ... х'т,
г[... z\> — на о,) пропорциональны матричным элементам пере-
перехода между состояниями с п электронами на а, и с т электро-
электронами на а, с одновременным испусканием / фотонов на а2 и по-
поглощением /' фотонов. Величины Gp"'.m) называются функциями
распространения, и сейчас мы исследуем их свойства.
Величины G^"'T) можно получить из величин')
*) Следует заметить, что вакуум определяется как состояние Ф„ с наимень-
наименьшей энергией взаимодействующих полей, а не свободных полей. Гелл-Манн и
Лоу [3] вывели соотношение между вакуумными состояниями (Фо, Фо) взаимо-
взаимодействующих и свободных полей.
г) Здесь и в последующем мы производим интегрирование по всем нере-
неременным, обозначенным греческими буквами E, ?), и соответствующие дифферен-
дифференциалы писать в этой главе не будем.
*) Функциональные производные определяются соотношением
F [ч + К ц + оЦ, J + U\ = F [п, \ J\ + j rf<E ^щ F [„, щ, J\
+ С <КЦ E) -±- F h, if, J] + Г <f С j^- F [ч, % A Wu @.
в котором приращения считаются бесконечно малыми.

350 Гл. 18. Теория функций распространения
X [ г^ ; U\av о„ г., У]) ,
A8.9)
если перейти к пределу rt —>- 0, rj —>¦ 0, J^ —> 0.
Уравнение A8.6а) может быть заменено интегральным урав-
уравнением
и[о„ о„ т), У]= 1 -/ fiV^(^)^[^'. «г. Ч. 4
где поверхность о' проходит через точку л'. Изменим величину
Hs на бесконечно малую величину дН и найдем соответствующее
изменение W.
В самом общем случае, если два оператора U и Ux удовле-
удовлетворяют операторным уравнениям
то можно доказать, что
Отсюда при пренебрежении высшими степенями ЬН следует
*x'U[av а', г„ yjeW(A:')t/L0'. »,. Ч. 4
A8.11)
Теперь определим §// как изменение, обусловленное изменением
источников,
где 6jj, 8r(, ЙУ^ обладают теми же свойствами коммутации, что и
К], г,, У^. Тогда A8.11) приводит к
Ь ei« Ч. -/])о = М^, ф(л'). в,)„ A8.12а)
Т^> »i. ч. •/])»=Me.. Ф1*). «Л. <18Л2б>
где обозначения могут быть пояснены следующим примером:
taa, Л (л) В (х'), 0^ =
= [U[at, з (х), rh У] Л (х) U[a(x), а(х'), г,, yj i^(x') GLa (л'), а„ г,, У])о,
A8.13)

2. Формулировка теории 351
в котором операторы А(х), В(х)— произвольны. Из A8.4а),
A8. 12а) и A8.13) получим
i
( )B [ф()ф(;')], а,).
Таким способом можно вывести соотношения
Ч";!!, .ih. ¦/: *. • • • *п, К ¦ ¦ ¦ К, г,- • • z,] = X"+m 1" е (*,... *„,
л',... ОХ (о„Я[ф(*,)- Ф(-*»Ж*,')- • • ФЮ Ал («.)• • • Аи («;)]. ».)..
в которых буквой Р обозначен хронологизирующий оператор (вре-
(время возрастает справа налево), а е (jtj... л„, х\... x'j есть про-
произведение всех величин е(л„ лу)(г>у), е(л,', ^)(i>y) и е (л,-, л;}).
В качестве примеров A8.15) можно выписать следующие соотно-
соотношения:
С?в'!|[ч, У; Jc'] = X(aJ( ф (^'), а,),, A8.16а)
), а,),, A8.166)
0i).. A8.16в)
.. .Ф(^)].»,)..
A8.17а)
= X" (о„ Р^^ (zj... Лк (г,)], ад. A8.176)
Предел функционала F[rt, J; х...] для т) = 7) = 0 или Уи = 0
мы будем обозначать в виде
0,J;x...}. A8.18а)
= Q;x...], A8.186)
= /7[ч = 0, J = 0; x...]. A8.18b)
Поскольку лагранжиан с tj = 7j = O инвариантен относительно
преобразования ф—-е'Ъ, то инвариантными относительно этого
преобразования должны быть также и функционалы Gin-m> и
Gl";m\ поэтому величины G{m-n)[J\...\ и G(™'[J;...] с различным
числом содержащихся в них операторов ф и ф, т. е. при т-фп,
должны равняться нулю.
Далее, для ij = ij = ./ = 0 лагранжиан инвариантен относи-
относительно зарядового сопряжения ф-поля с одновременной заменой
Ар—>—А. Поэтому функционал G (...), сконструированный
из нечетного числа величин Д., должен быть равным нулю').
1) Следует заметить, что это положение выражает собой теорему Фарри
(см. гл. 13, пример 2).

352 Гл. 18. Теория функций, распространения
Далее следует заметить, что оператор U [at, ах, 7), У] является
производящим оператором для функций распространения, как это
следует из A8.9) 115].
§ 3. Уравнения для функций распространения.
Нормированные функции распространения
Из A8.12а) — A8.12bI) можно вывести следующие уравне-
уравнения [15, 14]:
^)^.. °р Ч.-/])о=
„а1, ч,У])в, A8.19а)
(т) (J0; A8.196)
здесь
е^. A8.20)
Вывод уравнения A8.19а) выглядит следующим образом: из A8.12а)
и F.5а) получаем
ч. •/])« =
„ а (л), г), У] Y^tW ^!aW- V Ч» -/])о+
[а,, аи), Ч. у] J №^')> ^(X)\+dalU[a(x), 3lt г,, У])ог, (л),
что, с учетом A8.1а), равно
= — ux(U[ot,o(x), ч, У]ф(л) t/[aU),alt 4, -Л)о—
о (л), г„ У] ла(л)фи) f/(aU), alti|, У])о+
') Попытка решения этих уравнений была предпринята Симанчиком [14].

§ 3. Уравнения для функций распространения 353
Это приводит к A8.19а); аналогичным способом доказывается и
A8.196)').
Уравнения A8.19а) и A8.196) являются производящими урав-
уравнениями для многочастичных функций распространения; последо-
последовательным применением к ним операций 8/8i), 8/d/j и bjbj^ можно
вывести уравнения для всех возможных функций распространения.
В последующем изложении это выполнено для одноэлектронной и
однофотонной и двухэлектронной функций распространения.
Беря от A8.19а) функциональную производную по г\(х'), по-
получаем уравнение для G11-1' [ц, J; х, х']:
-«']= A8.21а)
Ll, alt Ч, У])о.
V Примечание при корректуре. Заметим, что решение фундаменталь-
фундаментальных уравнений A8.19а) и A8.196) может быть записано в виде, напоминающем
интеграл Фейнмана по путям частиц. Используя функциональное преобразова-
преобразование Фурье, будем искать решение уравнений A8.19а) и A8.196) в следующем
виде:
[а„ а„ ч, У])о = $ ?a*a8&,... »4 » [л. а, Ь, а„ aj X
{- / J R E) a E)-fa E)ч EL-6 (?) / E)] <Я ] ;
X ехр {- / J R E) a E)-fa E)ч EL-6,,, (?) /, E)] <Я ] ; A)
здесь 6 рассматривается как с-численное поле, а любые из величин я, а, л
и ч айикоммутируют друг с другом. Подстановка A) в A8.19а) и A8.196)
приводит к уравнениям
А 4- * — «?,tA (х) )«М" [«• й- *• СТ2. "И = Л1 j=r-: к [a, a, b, в„ в,],
Т А
/? 6№ (г) в [а, а, 6, о„ о,] = Г2 „у— и [а, а, Ь, о„ о,] —
— ) e,Sp б (г) faa (г)) в [а, а, Ь, о„ о,].
Решение этих уравнений имеет вид
в [а, а, 6, о,, «,1 = 4> «Р ( / С ^45Л [5]), B)
где V I J
i[51 = —^-5@ {тЛ + х-&1ТЛ©|в(9+^д*E)П»(^ C)
Следует заметить, что C) имеет вид плотности лагранжиана для электромаг-
электромагнитного поля А„=1к1Х и спинорного поля ф = а/Х с зарядом е = е,Х\ Так как
U [e2, olt ч = 0, ./= 0]= 1, то для Л/ получается выражение
Ш^М^ и [а, п, Ь, о„ о,]. D)
Подставляя производящий оператор A) со значениями величин из B) и D) в
A8.9), можно получить многочастичные функции распространения.
23 X. Уыэдзава

354 Гл. 18. Теория функций, распространения
Нормированную функцию распространения мы определим как
прежнюю функцию распространения, но разделенную на среднее
значение по вакууму от U
О№/;^^;^'. A8.22)
Следует заметить, что при jj и У, равных нулю, при указанной
выше нормировке функции распространения не меняются, так как
Полагая Г| = 0, в A8.21а) найдем1),2)
A8.216)
Применение операции 8s/8tj (xt) 8r\ (х\) 8ц (x't) к уравнению A8.19а)
приводит к уравнению для двухэлектронной функции распростра-
распространения (С 7j = 0)
А + х - 1егЪ°*> лг[А х] - егъzrw)aitN № хх*>«] =
= 1*д(х - xjiG'V [У; х2> х'г] - 1Ч(х - х[) G^> [У; х2, х[]. A8.23)
Аналогичным способом из A8.196) можно вывести уравнение для
однофотонной функции распространения.
§ 4. Вершинная часть, оператор массы
и свободные „одетые" частицы
Поскольку во всем последующем изложении мы будем поль-
пользоваться только нормированными функциями распространения, то
индекс N у них мы будем опускать. Для производных от слож-
сложного функционала мы имеем следующие формулы [13]:
X Ц^H^' 4 = J ^[У; Сг]ад О"'1)[у; х, *'], A8.24)
где
GJJ; zz'} = От[У; zz'] - О,[У; г] ОДУ; /]. О8.25)
Следует заметить, что при У = 0 функция распространения GV(l сов-
совпадает с однофотонной функцией распространения GVA.
11 '
^ „. (г) (U [a2> a,, t,. У])о - (U [ar a,, ч, •/])„ 8^ (г)Г ^ ^
-/О^[т,,У; г] ¦ F^ fo, JJ.
Интересный метод решения уравнения A8.216) дали Эдварде и Пайерлс [2].

§ 4. Вершинная часть, оператор массы и свободные .одетые" частицы 355
Чтобы выразить величину bOuujb0^ через вершинную часть Г„
предположим, что существует функция распространения, обратная
функции распространения О'1'1'[J; х, х'\, удовлетворяющая соот-
соотношению
У; х, Ц
и определим вершинную часть равенством [13]
Г,[/; z, х, х] =
Равенство A8.276) приводит к соотношению
| 3 ,i 1 r П
7[ Шч \J; z\ L > х<х l
= _ f GC''^./; x, S]rj7; z, ?, S'lGC'1)^; ?', л:'].
Окончательно из A8.24) имеем
J; х,
A8.26)
A8.27а)
A8.276)
A8.28)
A8.29)
Соотношения A8.28) и A8.29) имеют графическую интерпрета-
интерпретацию, данную на фиг. 29, где сплошные и пунктирные линии соот-
соответствуют одноэлектронной и однофотонной функциям распростра-
распространения. Операция djdjj(z) означает создание фотона (в точке г)
источником Уц(г). Этот фотон должен быть поглощен в некоторой
точке на диаграмме, ибо мы всегда рассматриваем средние по ва-
вакууму от операторов. Поэтому из A8.24) очевидно, что операция
23*

356 Гл. 18. Теория функции распространения
[У; z] означает добавление фотонной линии в точке z. Если
z= х, то фиг. 29,6 сводится к фиг. 30. В соответствии с этой
диаграммой введем оператор массы с помощью равенства [13]
[У; х. х']= ie] J y,G «• «[У; х, ?]Г, [У; с, ?, я']~С^[У;я, С]. A8.30)
Соотношение A8.29) принимает вид
-ej.jjV) 0<l11} У>Л- *1=JM [У; л, S]О». о[у; ?, У]. A8.31)
Теперь A8.216) можно записать следующим образом:
). О». «[У; л, х'] +
] = №(x-x'). ( ' '
Для Уа==0 и <>f уравнение A8.32) принимает вид
J М(л. ?)О»-«E, л') = 0. A8.33а)
Поскольку теория инвариантна относительно неоднородного преоб-
преобразования Лоренца, функция распространения GA>1)(x, х') и опера-
оператор массы М (л, х') должны быть функциями от х — х'. Их ампли-
амплитуда Фурье зависит только от импульса р. В частности, амплитуда
Фурье от величины М (являющейся скаляром) должна быть функцией
от faP^i эту трансформанту мы обозначаем через М(—цр).
С учетом сказанного уравнения A8.33а) для ?'=—сю можно
записать в виде
{*ГиА + *+ М (- iW)\ GP-» = O. A8.336)
Здесь через G$ui)(p) обозначена амплитуда Фурье функции
GW(x,x') с f = —оо.
С другой стороны, в соответствии с A8.17а), имеем
, x') = (Vac |*U)f (x') (Vac) для t>f..
Это приводит к равенству [7]
§ для t>f;
(О)
здесь через |/?1а)) обозначено собственное состояние полного гамиль-
гамильтониана, а суммирование производится по всем таким состояниям.
Пользуясь амплитудами Фурье величин фиф
и т. д.

§ 5. Двухчастичные функции распространения 357
(V—основной объем), получаем
G(x, x') = ^(Yac\<b(p(a>)\p<a))(p(ai\^(p(a>)\Vac)X
Хыр{НрЫ1,х — х')\. A8.34
Собственные значения р$а>мы запишем в виде
Сравнивая A8.34) с A8.33а), мы видим, что соотношение
— a-f- х-ЬМ(а) = 0 A8.35а
может иметь место только для а=с'а>. Другими словами, корни
уравнения A8.35а) расположены в точках <х = /иA), /nBj, ..., т(п).
Величина М(«) имеет комплексные значения для а з*е. Здесь пред-
предполагается, что частица имеет наблюдаемые массы т A\ ..., т <п>
и постоянная с определена таким образом, что неравенство а 5з с
соответствует состояниям с числом частиц, большим чем одна.
Величины
от'" — *=М(/и<')) (i=l п) A8.356)
называются собственными энергиями.
Если точку х1 в О^^Цх, х) считать расположенной на началь-
начальной поверхности а' = —с», то из A8.336) и A8.356) следует,
что падающие частицы, описываемые функцией распространения
GAi1>(jc, x'), имеют массы /и, ...,/и"". Эти частицы мы назы-
называем свободными .одетыми" частицами. Аналогичное положение
справедливо и для уходящих частиц (т. е. частиц, прибывающих
на поверхность о,).
§ 5. Двухчастичные функции распространения
Сейчас мы покажем, что уравнение A8.23) для двухэлектронной
функции распространения эквивалентно уравнениям [15]
v x'X]=G^[J; xv x[] G™[J; xv x\-
^V; xlt Z]vp[J; С 5, Z]/f[J; С l'xv x]jQ -
A8.36)
где
vu [У; z, x, jc'1 = ff, [J; С x, k] QW [J; S, x'] G?l_ [J; &] A8.37)
и /tt удовлетворяет уравнению
lu[J;z, х^хХ^^х,-*)—^ G^'[J; xt, K\ + ^
+ ex J V^ [J; z, xit Z, ?,J /, [ji\, S,jc,, ^J

358
Гл. 18. Теория функции распространения
7; г, х, z\ x'}~vo
A8.39)
В A8.36) скобки (х',*-*х[) означают все вписанные перед этим
члены, ио с заменой х' на х\, и наоборот. Эти уравнения мы будем
называть „перенормированными уравнениями", потому что можно
показать (см. § 6 и 7), что они приводят к перенормированным ре-
решениям.
Прежде чем выводить П8.36), выясним физический смысл этого
уравнения. Последовательное итерирование A8.38) приводит к ра-
равенству
/JJ; г, x,xt, x'X}=
г.
'[У;
X v^n_, [J; с, CL -,. К. -,]..• ^p, |У; С 2.. С, *,'] С <м) [у; *
Xrj^C.r.Sia^U;?,^]. A8.40)
Подставляя это равенство в A8.36), получаем двухчастичную функ-
функцию распространения, которая графически изображена на фиг. 31.
н
Фиг. 31.
Член номера п в этом ряду может
быть представлен фиг 32, на которой
показано, что фотон, рожденный н вер-
вершине Гл, может быть поглошен на элек-
электронных линиях, фотонных линиях и
вершинах только в области выше гра-
границы, изображенной пунктирной линией
п— 2. Из рассмотрения фиг.32 можно
заключить, что у нас нет диаграмм соб-
собственной энергии и диаграмм исправлен-
исправленных вершин. Поэтому этн диаграмма
состоит из всех возможных неприводи-
неприводимых диаграмм (т. е. скелетных графи-
графиков). Этот результат согласуется г ре-
результатом, указанным н гл. 14, где мы
отождествили (/<>•' , G,,, и Itt соотнет-
ственно с S'p,, Д'р, и Г,,,. Однако
Фиг. 32.

§ 5. Двухчастичные функции распространения 359
следует заметить, что приведенное здесь доказательство не связано
с применением теории возмущений.
Вывод A8.36) выглядит следующим образом. Уравнение A8.216)
дает уравнение
(у Д + * - ielb0f [У; х] - ecu ц^) ц^ О ™ [Л х. х'] =
= е.тДЛ-Л хг)Ь"Л [У; х, х'], A8.41)
которое, с учетом A8.29), принимает вид
1\\ ГДУ; с, х, ?]0№[У; Сг]ОA>"[У; S, *'] =
<1'"[У; л, 5]^{Га[У; С, S, S']G<'-"[y; ?', л']О:Д
A8.42)
На фиг. 33 дано графическое изображение уравнения A8.42). На
втором графике в правой части показано, что фотон, созданный в
xQ) х' =х » х' + я-^ О х>
Фиг. 33.
точке х, может быть поглощен в любой части диаграммы, за ис-
исключением электронной линии, связываюшей точки х и 5. С по-
помощью A8.38) и A8.42) можно показать, что A8.36) удовлетворяет
A8.23); подставляя A8.36) в A8.23), получаем
X
_5
х {гч г^; с, е„ s;] opV [У; с, с] о"-11 [У; s;, s;i /„ [А с, s>,, >^;j
_!_(*!«->.*;) = О, A8.43)
что, с учетом A8.42), может быть записано в виде
ie^WV; xt. x-Ajjl^ G^'[J; х„
A8.44)

360
Гл. 18. Теория функции распространения
Это соотношение будет удовлетворено, если имеет место A8.38).
Двухэлектронные функции распространения можно вычислить, под-
подставляя решения уравнения A8.38) в A8.36).
Теперь мы видим, что уравнение двухчастичной функции рас-
распространения может быть записано в форме
ОB-2'(лЛ, х\х'2) = Gl'l>(xlt х[) (/"'"(л,, *;) -
A8.45)
Здесь двухчастичный оператор массы M(xv хг, х\, х'2) дается полу-
полусобственными неприводимыми диаграммами для мёллеровского рас-
рассеяния, причем под полусобственными диаграммами мы понимаем
такие, которые не могут быть разделены на две отдельные части
М
М
М
Фиг. 34.
с помощью разрезов по двум электронным линиям. В самом деле,
лестницы, построенные из полусобственных неприводимых диаграмм,
дают все возможные неприводимые диаграммы для мёллеровского
рассеяния (фиг. 34). Уравнение вида A8.45) называется уравнением
Бете —Сальпетера ') [12, 3, 8, 5].
Другие многочастичные функции распространения можно рас-
рассматривать аналогичным способом. Например, функция распростра-
распространения для системы „один электрон — один фотон" (комптоновское
рассеяние) может быть получена из A8.19а)
= ^(x-xf)(GM{J; Z.ZJ+GJ7; z^G^J; z,J). A8-46)
С помощью A8.42) уравнение A8.46) можно переписать в виде
= G*1-1'[У; л, х'} {Guv[У; гЛгх\ + Ga[У; г,] Gw[У; хг]\ +
'"[У; х, 5]г»,[У; С, ?', S]/0,v[y; С, S, л', ^г,], A8.47)
') На примере простого ядра М Вик [17], Садам и Кеммер [11] выяснили
некоторые свойства уравнения Бете — Сальпетера для связанных состояний из
двух фермионов.

# 6. Перенормировочная инвариантность 361
где /3(lv является решением уравнения
/w,[7; z, х, х', z,zJ = S(x -У)
Vap[J; z, x, r, Z]I^[J; С S. я', «,zt]. A8.48)
Применяя к A8.48) последовательные подстановки, можно показать,
что GJV4 (л, лс', ггг2) дается всеми возможными неприводимыми диа-
диаграммами для комптоновского рассеяния.
§ 6. Перенормировочная инвариантность
Преобразование
Х-*СХ, Х'^С'Х', A8.49)
эквивалентное преобразованию
*,—§. A8.50)
приводит к следующему изменению одночастичной функции рас-
распространения:
G™{x,x')-+ C'G^»(x,x'), 'G^z,z')^CiG^{z,z') A8.51)
и к аналогичным изменениям многочастичных функций распростра-
распространения. Преобразование вида A8.49) мы будем называть перенор-
перенормировочным преобразованием, поскольку оно изменяет нормиро-
нормировочные множители функций распространения.
Заметим, что A8.36), A8.38), A8.46) и A8.48) не содержат ни I,
ни X', и поэтому являются инвариантными относительно преобразо-
преобразования A8.49); они инвариантны относительно перенормировочных
преобразований [15]. С физической точки зрения представляется
разумным, что величина заряда зависит от нормировки функций
распространения; действительно, если напряженность электромагнит-
электромагнитного поля умножается на С, то заряд должен быть разделен на ту же
величину. Когда X' = 1 и X = 1, то мы говорим о неперенормиро-
ванной теории. Однако существует одно условие, которому должны
удовлетворять постоянные Х,Х'-. нормировки функций распростране-
распространения для свободных „одетых" электрона и фотона должны быть
аналогичны нормировкам 5^- и Д^ функций соответственно. Пере-
Перенормировкой мы называем определение величин X и X' с помощью
указанного условия.

362 Гл. 18. Теория функции распространения.
§ 7. Нормировочные постоянные
Рассмотрим уравнение A8.32) для одноэлектронной функции рас-
распространения при J=0. Импульсное представление этого уравне-
уравнения записывается следующим образом:
,'(te + *+M(-*Y/?))GA'"(/7) = ^. A8.52)
Принцип каузальности требует, чтобы функция G (х, х') содержала
только положительные (отрицательные) частоты для t^>t'(t?)
(см. гл. 8, § 2):
7A,1)
[G{ tll+ (x, x') для
Такая функция распространения получается из A8.52)
G{l'l'{x, .*') = =-? Гйгр [йрйе'(р'х-х1)-. :—J-En—г-.. A8.54)
v ' BяL J ^ J ro 'ТА + х + М (— tip) v '
L
Путь интегрирования Z. выбирается таким образом, чтобы удовле-
удовлетворить условиям A8.53).
В последующем изложении мы будем считать, что электрон
может обладать только одной величиной массы т. Из A8.35а)
видно, что знаменатель может быть записан в виде
а(—i^p){i^J}u-{-tn), A8.55)
где а(а) — некоторая функция, которая в области а<^с не обра-
обращается в нуль. Связанную с собственным значением массы т
константу Z8 мы определим равенством
^.^^(а_М(а))|а = и, A8.56)
Y = a(tn). A8.57)
Тогда A8.56) можно представить в виде
^Izjim fdtp[dPoe'l**-x'): !—-г-, а<т\, A8.58а)
^J^ZJim f d>p [dpae'^x-^-^^-m ., "lm\. A8.586)
(W V-*oJ J PJ>* + "' —« a, (— tip) '
Для t^>t' интегрирование по р0 в A8.586) выполняется по пути
интегрирования, который замыкается по полуокружности вниз от
действительной оси. Отсюда видно, что вклады в A8.586) (для
t^>f) дают точки сингулярности снизу от действительной оси,

§ 7. Нормировочные постоянные 363
т. е. точки р0 = /?<*>= |/ р • р -(- тг, и интерференционные эффекты
в области р0^ Ур-р-\-с'. Полюс ро = р<т) дает вклад в A8.586)
посредством члена, осциллирующего с частотой р<т\ Этот член
вычисляется путем нахождения вычета в A8.586) при рй=р^ и
оказывается равным
где
р7 = (р,р7).
Здесь мы использовали соотношение
(ОУ"' - т) 0Умр1"' + ™)я= 0 fй - целое),
из которого следует, что
(W7-")_ КрУ-") i_ .
а ( _ (fp(ffl'i a(— qpim)— т-\- т) — aim)('Yu.P"?'— Ш).
Оператор Н в A8.59а) определяется следующим образом:
Поскольку для состояний с положительной энергией
^> -}- НI2р{1' = 1, то выражение A8.58в) показывает, что функция
спространения свободной „одетой" частицы имеет нормировочный
A8.59)
Из A8.55) и A8.57) получаем
Н,Р, + * + М(— iw)= -J-('Т^'+ я»)' 1 + М,(— iyp)), A8.60а)
где, согласно A8.55),
10 -{> A8.606)
так что
М,(т) = 0.
Из A8.54) и A8.60а) находим

364 Гл. 18. Теория функции распространения
Однофотонная функция распространения может быть рассмот-
рассмотрена аналогичным способом. В частности, нормировочная кон-
константа У определяется аналогично I.
Из A8.61) можно получить уравнение
-M1(-tY/>))G(J'»=l, A8.62)
в котором т — экспериментальная масса. Теперь из A8.60а) можно
заключить, что М,(—i^p) и %г соответствуют конечной части
оператора массы 2* и величине Z, в теории Дайсона. Поэтому
мы видим, что GA>1)(p) является перенормированной функцией
распространения.
С помощью формулы A8.27а) можно показать, что Г^ соот-
соответствует перенормированной вершинной части ГИ1, определенной
в гл. 14. Поскольку в § 5 было показано, что функции распро-
распространения могут быть даны только с помощью неприводимых
диаграмм, построенных из ОA>1), G^ и вершин (с наблюдаемым
зарядом в,), мы можем заключить, что получаемая при этом тео-
теория является перенормированной.
§ 8. Перенормировка и спектр масс
В предыдущем параграфе мы занимались рассмотрением слу-
случаев, в которых частицы каждого поля могли находиться в состо-
состояниях лишь с одним значением массы. Сейчас мы рассмотрим
некоторые особенности одночастичных функций распространения
для спинорных частиц, которые могут иметь конечное число раз-
различных стабильных состояний массы
В последующем изложении мы не будем ограничивать себя лишь
областью квантовой электродинамики.
Уравнение для одночастичной функции распространения может
быть записано в виде1)
'('ТА~f~* + М(— Цр)) G(p) = 1. A8.63)
Значения массы частицы даются дискретным набором корней
а = т(", . .., тт уравнения A8.35а), т. е.
а— х — М(<*) = 0 A8.64)
в области
A8.65)
Для простоты мы будем предполагать, что эти значения массы
соответствуют простым корням уравнения A8.64). Таким образом,
') Здесь величина X равна единице.

§ 8. Перенормировка it спектр масс 365
оператор
h (- цр) = (-*ГА- * - М (- цр)) A8-66)
можно записать в виде
h (- цр)=а(- цр) П (- *ГЛ~ т0)У' A8-67>
i
здесь а(а)—функция, не обращающаяся в нуль при а<^с.
Поставим в соответствие каждому значению массы т^] кон-
константы ZU) с помощью определения
^ ^Ща))\ют^ A8.68)
)Kj К> - m<*>). A8.69)
Тогда на основании A8.63) можно показать, что [16]
Равенство A8.70) показывает, что константа Zw> является как
раз нормировочным множителем для функции распространения
частицы, масса которой равна ти). Определение A8.68) можно
рассматривать как обобщение определения A8.56) для Z2 на слу-
случай наличия многих уровней массы.
Для выяснения физического смысла констант Z^' мы найдем
функцию распространения
= Ига V &И Г d*n
~ Г '" д (от (
- Нш У iZU} Г rf4p /т-
для ^ > f. Поскольку рассматривается случай t >> f, то при вы-
выполнении в A8.71) интегрирования по р0 можно в качестве пути
интегрирования выбрать полуокружность снизу от действительной
оси. Это показывает, что в этом случае вклады в интеграл A8.71)
будут проистекать за счет сингулярных точек, расположенных
снизу от действительной оси, т. е. от точекро=р%) = |/^р"-|— т^*
для всех j и за счет интерференционных эффектов в области
po^VP'P-{-ct- Полюс ро=р'{)дает вклад в A8.71) посредством
осциллирующего с частотой р($ члена. Этот член получается в
результате вычисления вычета подынтегрального выражения в

366 Гл. 18. Теория функции распространения
A8.71) в точке р°о и оказывается равным
г о
)
р A872>
/*/>?= (Р. /»ф)
И
С другой стороны, из A8.34) получим
G (х, х') it=^\iPp (Vac | ф (р<Л) | р(Л) (рс/) | ф* (/7(/.) | vac)
для
t>t\ A8.73>
Последний член в A8.73) дает вклад от собственных состояний в
области <х2эс. Сравнивая A8.73) с A8.72) и учитывая, что для
состояний с положительной энергией (pUo + //(/>)/2/?<о) = 1, имеем
') Примечание при корректуре. Соотношение A8.74) указывает на то,
что перенормировочный множитель Z в общем случае является положитель-
положительным, если гамильтониан взаимодействия эрмитов. С другой стороны, в гл. 13,
пример 5, было указано, что для однофотонной функции распространения
Z3==S 1 [18]. В ря'де работ [7, 19] было проведено обобщение указанного по-
положения на более общие случаи. В качестве примера рассмотрим бесспиновое
поле U (х). Одночастичная функция распространения для этого полн может
быть получена способом, аналогичным случаю электромагнитного поля, и
имеет вид
G(x,x')=\*(P\U(x),U*(x')\H. A)
Эта функция распространения при l?=\lZ (см. § 7) является нормированной.
Используя условие каузальности (см. гл. 8, § 2), Леман показал, что эта функ-
функция распространения может быть записана в виде
G (х, х') =-iJ Лгр (a2) bF(x, х', а);
B)
»десь Д/г(х, х', а) является Д/^-функцией для массы а. Далее, из (8.51) и
(8.47) получается соотношение
О (х, х') = ^ j rf^fe (^ i-Цр'J Р (- ft2) е'*»**. C>
Вводя собственные состояния Ф(й) оператора полной энергии-импульса в пред-
представлении, свободном от источников, мы можем состояние и*(х)Ф0 предста-

§ 8. Перенормировка а спектр масс 367
Поскольку функция а(а) не имеет нулей для а<с, она не об-
обращается в нуль для а < т1Щ. Таким образом, считая, что эта
функция не имеет в этой области изменения а сингулярностей, мы
заключаем, что функция а(а) является либо положительно, либо
отрицательно определенной. Предположим на время, что это усло-
условие выполнено. Тогда из A8.69) можно заключить, что знак вели-
величины ZlJ) с ростом j изменяется [16]
Z(/|
1) < ° (т-целое). A8.75)
2 (/+
вить в виде следующего разложения в ряд [см. A8.7)]:
U* (х) Фо =
Сравнение C) с D) при условии t > V приводит к заключению, что Zp (а2}
есть вероятность состояний Ф (k) с ft2 = — а2:
где суммирование производится по всем состояниям с k2 = —а2. Соотноше-
Соотношение E) показывает, что при эрмитовом гамильтониане взаимодействия величи-
величина р (а2) является положительно определенной. В сумме D) одночастлчное со-
состояние появляется с наблюдаемой массой т, а многочастичные состояния — с мас-
массами кг^с2 (см. § 4). Согл сно результатам обсуждения (в § 7) нормировки
функций распространения для свободных .одетых" частиц, одночастичное состоя-
состояние должно появляться с единичной нормировкой
р(о«) = а(а«-тг)-|-о(а1), F)
где
а (а2) = 0 для а2 < с2.
Соотношения E) и G) показывают, что перенормировочный множитель Z яв-
является вероятностью одночастичного состояния (с массой /и), появляющегося r
состоянии D). С другой стороны, канонические перестановочные соотношения
приводят к соотношению
Jim { ^ G (х, x')t>t- ? О (*. *)t<v\=±([±U (ж, t), U*{«
= -/^(х-х'). G)
Подстановка B) в левую часть G) приводит к равенству
Zfda"p(a2) = l. (8)
Это равенство совместно с F) показывает, что Zsgl при эрмитовом гамиль-
гамильтониане взаимодействия. Таким образом, в этом случае имеем
Os?Zs?l. ¦ (9)
Аналогичным способом неравенство (9) можно доказать для спинорных полей
и для фотонного ноля. Существует некоторое исключение; перенормировоч-
перенормировочные постоянные заряженных полей зависят от калибровки электромагнитного
поля и поэтому не обязательно удовлетворяют условию (9).
Теперь мы укажем на одну полезную теорему. Записав перенормирован-
перенормированную функцию распространения G(k) для скалярного поля и G(p) для спинор-

368 Гл. 18. Теория функции распространения
Другими словами, одна половина величин Z^ обладает отрицатель-
отрицательными знаками, а другая половина — положительными. Принимая
во внимание A8.74), приходим к странному выводу, что матрич-
матричный элемент (Уас\'Ь\рф) комплексно сопряжен к матричному эле-
элементу (рш | ф* |Vac) лишь для тех значений у, для которых кон-
константы ZU) положительны. Таким образом, гамильтониан взаимо-
взаимодействия Н(х), содержащий ф, не может быть эрмитов; если
матричный элемент (a \ H(x) \pU)) [(a | — собственное состояние пол-
полного гамильтониана] комплексно сопряжен к
матричному элементу (pU) \ H(x) \ а) для
Z^>0 (Z^^O), то это не имеет места
^'-^O (Z^
(
для Z^'-^O (Z^^>Q). Поэтому можно ожи-
ожидать, что 5-матрица не является унитарным
оператором.
Это положение приводит к возникновению
следующей трудности. Если мы имеем неко-
некоторые процессы, в результате которых в вершине Г (фиг. 35),
в которой, по предположению, для всех состояний массы спи-
норных частиц перенормировочный множитель имеет одинаковое
значение, происходит превращение спинорной частицы в другую
частицу, то наблюдаемые константы связи g^ удовлетворяют
ного поля в виде
, A0)
)
5— , ,' ..t , . . (И)
ZR (~ЛР&) + iZ (—'ТГР.&)
можно доказать, что
(gl)=zZ, A2а)
А-юо
Z' (a',gl) =z 0 ДЛЯ а^ с, A За)
\imZR{A,gl)=Z, A26)
А->ао
Z1 (a,g,) = 0 для а^с. A36)
Константа Z является перенормировочным множителем, Zrh Z1 являются
вещественными функциями и gt есть перенормированная константа связи. Если
многочастичные состояния Ф (k) (—k2^^) обладают положительными вероят-
вероятностями (т. е. o(a2)s=0), то сравнение мнимой части выражения A0) с мни-
мнимой частью выражения B) показывает, что функция Z1 является положитель-
положительно определенной функцией. Можно показать, что Z^(A2,^j) и Z^{\,g,) являют-
являются переиормировочными константами, полученными методом обрезания,
(с энергией обрезания, равной Л). Функция Zf появляется за счет смещенных
полюсов в диаграммах собственной энергии (или за счет интерференционных
эффектов между многочастичными и одночастичными процессами, см. гл. 13'
пример 1 и гл. 14, § 2) и поэтому не содержит бесконечностей. Следует за-
заметить, что теоремы A0), A1), A2а) и A26) имеют место только в случае взаимо-
взаимодействий 1-го рода (см. гл. 15).

§ 9. Простая модель
369
соотношениям (см. фиг. 24)
A8.76)
Здесь константа связи gC> соответствует процессу превращения из
состояния спинорной частицы с массой яг('). Отсюда мы заключа-
заключаем, что некоторые из отношений констант связи являются мни-
мнимыми и поэтому 5-матрица не является унитарной.
Унитарную ^-матрицу можно получить лишь тогда, когда все
) положительны.
777'
(П-З)
т
(П-2)
т(п) с
¦ос
Фиг. 36.
Определение A8.69) показывает, что все величины Z^> могут
оказаться положительными лишь при весьма специальном распре-
распределении сингулярностей функции а (а); функция а (а) должна иметь
по крайней мере одну сингулярную точку в каждой из областей
тО) < а < от<2), т(г) < а </яC\ ..., /иС2) < а< т("\ как это по-
показано на фиг. 36.
§ 9. Простая модель
Так как точно вычислить одночастичную функцию распростра-
распространения и вершинную часть Г^ в квантовой электродинамике весьма
затруднительно, то мы рассмотрим простую модель, к которой
можно без использования каких-либо приближенных методов при-
применить результаты § 7 и 8.
24 X. Умэд-кюа

370 1л. 18. Чеория функции распространения
Мы будем исходить из гамильтониана для двух спинорных по-
полей <{/, <f и одного скалярного поля U [6J
H=[d3xH, A8.77а)
-). A8.776)
В A8.776) через х, М и ji обозначены механические массы соот-
соответственно ф~-, <р~- и {/-частиц, а ?/+ и [/" означают положи-
положительно частотные и отрицательно частотные части оператора U.
Обозначая операторы поля в представлении взаимодействия
жирными буквами, уравнения поля для tp-и уполей можно за-
записать в виде
Отсюда следует, что ф и <р являются как раз положительно час-
частотными операторами, т. е. операторами уничтожения. Поэтому
операторами порождения являются операторы ф и (р.
Из A8.776) видно, что (f-частииы (^/-частицы) не могут поро-
породить f-частицы (пары спинорных частиц). Поэтому операторы
массы <р- и Участии равны нулю; далее отсюда следует, что
одночастичная функция распространения для tp-частицы является
ц как раз ^-функцией, удовлетворяющей
^ ^ч уравнению
/ <р \ (Po — M)SF(p)=l, A8.78)
1L!
• п V—til ' jl
*b га ш а одночастичная функция распростра-
Фиг. 37. нения для (/-частицы есть функция 4F>
определенная в гл. 8.
С другой стороны, оператор массы М(р0) для ф-частицы можно
вычислить из рассмотрения процесса, изображенного на фиг. 37.
Других каких-либо диаграмм, которые давали бы вклад в М (р0),
не существует. Используя A8.78) и (8.35), можно для М{р0) по-
получить выражение
в котором
@ =
В соответствии с A8.63) уравнение для одночастичноь функции
распространения О(р) для i-частицы записывается следующем

§ 9. Простая модель 371
образом:
/¦(-/>.+ *+М (р.)) 0(р)=1.
Функцию (р0 — х — М (/?„)) мы будем обозначать через h (p0).
В соответствии со сказанным в § 8, стабильные уровни масс
могут появляться для р0 <С с = М -\- ji. Поскольку величины масс
mi определяются нулями функции h(p0)
A(ot,.) = 0, A8.80)
to
h (/>,) = Л (/>,) — h («,.)=/>„ — и, — M fjo0) + M (m,) =
_т1 + М). A8.81)
о
На основании A8.68) константы Z, можно определить равенствами
О
Легко показать, что вершинная часть Г дается равенством Г=1.
Таким образом, наблюдаемый заряд gt, соответствующий про-
процессу перехода из состояния ф-частицы с массой mi в состояние
—s- (fz-частица -\- ^/-частица, дается равенством
? = &!• A8.83)
Из A8.82) и A8.83) получаем
Это показывает, что для конечности ? необходимо, чтобы вели-
величина g* была отрицательной.
Если величина g2 отрицательна, то гамильтониан A8.776) не
может быть эрмитовым. Кроме того, можно показать, что, когда
величина g' отрицательна, возникают два значения массы и один
из двух Z-множителей (Z,, z,) является отрицательным. Соот-
Соотношение A8.81) приводит к следующему условию для двух масс
/я, и /я2:
Позднее мы покажем, что соотношение A8.85) может быть удов-
удовлетворено и что, следовательно, существуют два уровня массы.
24*

372 Гл. 18. Теория функции распространения
С помощью A8.81) и A8.85) функция h(p0) может быть пред-
представлена в виде
Л(Ро) = (Рв— тг)(Ро— т*)а{Ро)> A8.86)
где
k со (со - />„+ М) (со -тх+М) (со -т2+ М) ' <18-87)
О
Из A8.87) очевидно, что функция а(рй) не обращается в нуль при
значениях ро<^М-\-р., при которых она отрицательна. Это пока-
показывает, что функция а(р0) не обладает свойствами функции,
изображенной на фиг. 36. Далее, согласно сказанному в § 8, один
из 2,-множителей (/=1,2) должен быть отрицательным. Действи-
Действительно, используя A8.69), мы получаем
Y = a(m1)(m,— mt), A8.88а)
^-—а(тг)(тг—т.). A8.886)
Эти соотношения показывают, что
г
Из A8.83) следует, что одна из двух наблюдаемых констант связи
glt gt должна быть мнимой.
U U' Из A8.87) видно, что обе величины a (tnjlg*
! t и а(тг)^г конечны и что поэтому отношение
(ZJZt) конечно. Таким образом, обе величины
!
GCM+co+ie)
и g^ также можно считать конечными.
i.. „
В качестве примера процесса рассеяния
w м' мы вычислим сдвиг фазы 8 для процесса
- <Р + ^—кр' + СЛ Импульсы полей U и W
Фиг. 38. равны соответственно к и к'(|к | = |к' |).
Существует лишь одна диаграмма (фиг. 38),
описывающая этот процесс. Элемент S-матрицы дается равенством
{у, U'\S \у, U)= \ш ?^ О {М+ «> + *')=
'0
в котором
(о=l/k-k+^= /к'-к'
С другой стороны, A8.88а) и A8.886) приводят к соотношению

§ 9. Простая модель
373
Сдвиг фаз 5 может быть вычислен с помощью равенства
!(ш 4- УИ — от.) A»4-Л1- от,) Р \ dk' ——; —-г-.—tj- r—r-.—xi
IV ' l ' J «> (<в—<в) (<в'4- М — Щ) («> + Л1 — от2)
О
A8.89)
[см. A7.32)]. Не следует удивляться тому, что правая часть ра-
равенства A8.89) не зависит явно от gx или gt, потому что эти посто-
постоянные однозначным образом связаны со значениями масс /га, и /га2.
Для процесса rb-\-U—-<i>' -}-W существует две диаграммы (фиг. 39).
Здесь под ф и ф' можно понимать любое из двух состояний массы.
U U' ' U U'
ч>
?>'
Фиг. 39.
Теперь исследуем соотношение A8.85). Равенство A8.82) при-
приводит к равенству
dk-
' со (ш — от,+ М)г
Соотношение A8.85) с учетом равенств
со (со — га, -j- М)(е> — i
dk
со (ш — т, 4- М) (и> — тг4- •
ос
A8.90)
' - га2 j-M) '

374
Гл. IS. Теория функции распространения
может быть выражено через величину gt следующим образом:
00
—/и2)С dk — г-?~-1 ——-=0. A8.91а)
2'J ( { Щ1 (ш — т,4-М) v '
0
Соотношение A8.85) также можно выразить и через величину g2
> — /и,-(- Afj (w — пг2-\- My
= 0.A8.916)
Интересно заметить, что A8.91а) и A8.916) можно с помощью
A8.88а) и A8.886) получить также из A8.83).
Сейчас мы рассмотрим условия A8.91а) и A8.916) для двух
случаев
а) ^i !> 0 и поэтому #2 <С О
б) g"i <C] 0 и поэтому gi ~^> 0.
В случае „а" условия A8.91а) и A8.916) приводят к неравен-
неравенству тг<^тЛ. Тогда A8.88а) и A8.886) показывают, что Z,<0,
Z,> 1 и поэтому ^2<;0. Заменяя в этих рассуждениях величины
(glt Z,, /га,) величинами (gt, Z2, тг), можно получить результаты
для случая „6". Эти результаты подытожены в табл. 6. В после-
последующем изложении наибольшее и наименьшее значение масс мы
будем обозначать через т1 и тг соответственно.
Таблица б
Наибольшая масса
Множитель Zj
Наименьшая масса
Вещественно
Мнимо
Отрицательно
Сейчас мы ограничим область интегрирования по k условием
? я </С(/С^>Ц). Тогда условия A8.91а) и A8.916) принимают вид
1 ~ BяJ (Ш> Шг' J dk со (со - и,
и
Используя равенства
+ М f (ш — т. + М)
. A8.92)
A(rnt, mt}=B[int —тг)\ dk
Ш A0 '«1+ Mf ((В — ,
М)
7>0.

§ 9. Простая модель
375
V mt)<0,
im A(ml,m2)=[
* — 00 J
lim
dk
можно показать, что для g, существует нижний предел
Цкрвг.
dk
(О (Ш -
¦Mf
удовлетворяющий условию A8.92). Этот результат для случая
т1=М был получен Челленом и Паули [4|. На основании A8.90),
A8.916) и A8.92) можно показать, что при стремлении нижнего
уровня массы к — со и фиксированном верхнем уровне массы,
наблюдаемые константы связи, множители Z и неперенормированные
константы связи ведут себя так., как зто показано в табл. 7.
Таблица /
Множитель
Наибольшая масса
?кр„г. >0
Наименьшая иасса
-» а — убывание к а.
а ч возрастание к а.
Когда величина g, становится меньше gKPeT., то на основании
A8.90) величина Zt оказывается положительной, положительной
также оказывается и g2; в этом случае все трудности с наинизшим
уровнем массы исчезают.
Объединяя полученные выше результаты, можно сказать, что,
обрезая интегрирования в пространстве импульсов и выбирая вели-
величину g* положительной, мы приходим к положительным и конечным
множителям Z и константам связи, которые являются веществен-
вещественными и меньшими ^крит. Другими словами, теория перенормировок
может привести к разумным результатам только тогда, когда в
теории не содержится .ультрафиолетовой катастрофы" до выпол-
выполнения перенормировок.
Интересно erne раз вернуться к схеме перенормировки в кван-
квантовой электродинамике. Хотя и не было проведено полного вычис-
вычисления перенормировочного множителя Z8 для фотонной функции
распространения, все же вычисления низших порядков теории воз-
возмущений всегда приводили к значению Z, = — оо. Вели бы Z,

376 Гл. 18. Теория функции распространения
была действительно отрицательной величиной, то было бы затруд-
затруднительно понять успех процедуры неренормировки в квантовой
электродинамике. Один из возможных ответов на этот вопрос мо-
может быть получен на основе результатов предыдущих параграфов.
В области высоких энергий к рассматриваемым явлениям приме-
примешиваются эффекты различных других заряженных частиц, и поэтому
систему из электрона и электромагнитного пол? нельзя рассматри-
рассматривать как изолированную систему. Если предположить, что такого
рода эффекты могут привести к конечному оператору массы элект-
электрона и фотона, то может выявиться некоторое критическое зна-
значение константы связи, именно такое значение, что для значений
электрического заряда, меньших чем эта критическая величина,
существует только один уровень массы. В этом случае все мно-
множители Z были бы положительными. Поскольку мы не имеем более
точного представления об этих дополнительных взаимодействиях
при высоких энергиях, мы не можем указать путь проверки ука-
указанного предположения. Однако можно было бы применить эти
рассуждения к некоторой упрощенной модели. Например, вместо
использования обрезания в случае модели Ли, можно было бы
ввести некоторое дополнительное поле, которое позволило бы сде-
дать оператор массы ф-поля конечным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Е d w а г d s S. F., Phys. Rev., 90, 284 A953).
2. Е d w a r d s S. F, P e i e r 1 s R. E., Proc. Roy. Soc., A224, 24 A954,-
3. Gell-Mann M., Low F., Phys. Rev., 84, 350 A951).
4. К a 11 e n Q., Pauli W., в печати A955).
5. Kit a H., Prog. Theor. Phys., 7, 217 A952).
6. Lee T. D., Phys. Rev., 95, 1329 A954).
7. Lehmann H., Nuovo Cimento, II, 342 A954).
8. Nambu Y., Prog. Theor. Phys., 5, 614 A950).
9. Nishijima K., Prog. Theor. Phys., 12, 279 A954).
10. Peierls R. K., Proc. Roy. Soc, A214, 143 A952).
11. S a 1 a m А., К e m m e r N., в печати A955).
12. Sal peter E. ?„ Be the H. A., Phys. Rev., 84, 1232 A951) (см. переводе
сборнике. Новейшее развитие квантовой электродинамики, ИЛ, 1954).
13. Sch w inger J., Proc. Nat. Acad. Sci., 37, 452, 455 A951).
14. Symanz k K4 Zs. Naturforsch., 10a, 809 A954).
15. Umezawa.H., Visconti A., Nuovo Cimento, 1, 1079 A955).
16. U тега w a H., Visconti A., Nuclear Phys., 1, No. 1 A955).
17. Wick Q., Phys. Rev., 96, 1124 A954).
18. U m e г а w а М., К а т е f u с h i, Prog. Theor. Phys., 6, 543 A951).
19. Kail en a, Helv. Phys. Acta, 25, 417 A952).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие реда ктора перев ода 5
Предисловие к английскому изданию 9
Обозначения И
Гл'ава 1. Историческое введение 13
§ 1. Исследования по теории элементарных частиц 13
§ 2. Теория элементарных частиц 14
§ 3. Мезоны 17
§ 4. Краткий обзор известных элементарных частиц 19
§ 5. Квантовая теория поля и ее трудности 23
§ 6. Наблюдаемые эффекты собственных полей . . 28
§ 7. Развитие теории перенормировок 33
Литература 38
Глава 2. Релятивистское волновое уравнение 43
§ 1. Релятивистское волновое уравнение 43
§ 2. Свободное поле 44
Глава 3. Уравнение Дирака 48
§ 1. Уравнение 48
§ 2. Поведение матриц f при преобразованиях Лоренца 51
§ 3. Поведение волновой функции при преобразовании Лоренца.
Зарядовое сопряжение 53
§ 4. Волновая функция свободного электрона 55
§ 5. Преобразование Фолди — Воутхаузена — Танн 58
§ 6. Заряженные частицы в электромагнитном поле. Теория дырок 60
§ 7. Теория Майорана частиц со спином '/а 63
§ 8. Спиноры . 65
§ 9. Псевдоспиноры 68
Литература ... 70
Глава 4. Общий вид релятивистского волнового уравнения (I) ... 71
§ 1. Спиноры 71
§ 2. Преобразование Лоренца 75

378 Оглавление
§ 3. Общий вид релятивистских волновых уравнений 78
§ 4. Полуцелый спин и отрицательная энергия 85
§ 5. Свойства известных элементарных частиц 87
Литература 89
Глава 5. Общая теория релятивистских волновых уравнений (И) 90
§ 1. Общий вид релятивистского волнового уравнения 90
§ 2. Теория Дуффина — Кеммера 98
Литература 104
Глава 6. Предварительные замечания о квантовании 105
§ 1. Квантовая электродинамика 105
§ 2. Квантовая теория для любых полей 106
Литература 109
Глава 7. Релятивистская квантовая теория поля ПО
§ 1. Релятивистская квантовая теория поля ПО
§ 2. Комплексные поля и поля заряженных частиц 115
§ 3. Примеры 117
Литература 150
Глава 8. Квантовая теория свободных полей (I). Соотношения комму-
коммутации 152
§ 1. Квантовая теория свободных полей 152
§ 2. Инвариантные д-функции, функции Грина и условие причинно-
причинности 156
§ 3. Соотношения коммутации и спин 162
§ 4. Примеры 165
Литература 17^
Гла(ва 9. Квантовая теория свободных полей (II). Поля и частицы . . 175
§ 1. Квантование 175
§ 2. Четырехмерный вектор энергии-импульса и определение ваку-
вакуума 180
§ 3. Примеры 183
Литература 195
Глава 10. Квантовая теория взаимодействующих полей 196
§ 1. Представление взаимодействия 196
§ 2. Вывод гамильтониана взаимодействия 200
§ 3. Связи с обычной каионическо й теорией 206
§ 4. Основные уравнения 20Ь
§ 5. Шредингеровское представление 207
§ 6. Примеры 208
Литература 220

Оглавление 379
Глава 11. Различные теоремы 221
§ 1. Калибровочная инвариантность 221
§ 2. Соотношение между вещественным векторным полем и электро-
электромагнитным полем 223
§ 3. Векторное взаимодействие вещественного скалярного поля . . 227
§ 4. Теорема эквивалентности 227
Литература 229
Глава 12. Квантовая теория поля в гейзенберговском представлении 230
§ 1. Собственное поле источника 230
§ 2. Примеры 232
Литература 237
Глава 13. Теория возмущений 238
§ 1. Теория возмущений 238
§ 2. Нековариантные формулы 240
§ 3. Ковариантная теория возмущений 243
§ 4. Метод Р-символа 243
§ 5. Метод Я*-символа 249
§ 6. Примеры 252
Литература 282
Глава 14. Теория перенормировок в квантовой электродинамике . . 284
§ 1. Теория перенормировок 284
§ 2. Примитивно расходящиеся диаграммы 285
§ 3. Выделение бесконечностей 287
§ 4. Неприводимые диаграммы 289
§ 5. Константы перенормировки 289
§ 6. Окончательное интегрирование 292
§ 7. Перенормировка внешних линий 293
§ 8. Перенормировка 294
§ 9. Выделение бесконечностей 295
§ 10. Примеры 298
§ 11. Различные проблемы в теории перенормировок 307
Литература 309
Глава 15. Общий случай теории перенормировок 311
§ 1. Область применимости теории перенормировок 311
§ 2. Анализ размерностей 312
§ 3. Размерности констант связи 314
§ 4. S-матрица 314
§ 5. Условие для примитивно расходящихся диаграмм 314
§ 6. Условие применимости перенормировки 316
§ 7. Классификация взаимодействий . 317
§ 8. Физический смысл классификации взаимодействий 320
Литература 321

380 Оглавление
Глава 16. Теория затухания 322
§ 1. Уравнения теории затухания 322
§ 2. Эффекты затухания 326
Литература 329
Глава 17. Теория S-матрицы 330
§ 1. Наблюдаемые величины 330
§ 2. S-матрица 330
§ 3. Задачи рассеяния 333
§ 4. Связанные состояния 338
Литература 345
Глава 18. Теория функций распространения 346
§ 1. Введение 346
§ 2. Формулировка теории 347
§ 3. Уравнения для функций распространения. Нормирование функ-
функции распространения 352
§ 4. Вершинная часть, оператор массы и свободные .одетые* ча-
частицы 354
§ 5. Двухчастичные функции распространения 357
§ 6. Переиормировочная инвариантность 361
§ 7. Нормировочные постоянные 362
§ 8. Перенормировка и спектр масс 364
§ 9. Простая модель 369
Литература 376

X. Умвдзава
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
ПОЛЯ
Редактор Л. В. ГР.ССЕН
Художник Ь. Н. Гладков
Технический редактор М. П. Грибова
Сдано в производство 25-IX 1957 г.
Подписано к печати 26 И 1958 г.
Бумага 60 X М1/,, = 12,0 бум. д.,
24,0 печ. л. Уч.-изд. л. 22,2.
Изд. № 2/3566. Цена 17 р. 55 к.
Зак. 1045.
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, Ново-Алексеевская, 52.
Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова Московского
городского совнархоза
Москва, Ж-54, Валовая, 28.