Text
ЗАДАНИЙ
Н ПРАКТИЧЕСКИМ
злчятиям
ФИЗИКА
ЗАДАНИЯ
К ПРАКТИЧЕСКИМ
ЗАНЯТИЯМ
Под общей редакцией Ж.П. Лагутиной
Допущено
Министерством народного образования БССР
в качестве учебного Пособия
для студентов радиотехнических
специальностей вузов
Минск "Вышэйшая школа" 1989
ББК 22.3я73
Ф48
УДК 53 (076.5)
Рецензенты: кафедра физики Рижского политехнического институ-
та; д-р физ.-мат. наук, проф.Я.Е*. Иродов
Физика: Задания к практ. занятиям: Учеб, пособие для вузов / И.И.Ру-
Ф48 бан, С.М. Жаврид, Н.Е. Великевич, Ж.П. Лагутина; Под общ. ред. Ж.П. Ла-
гутиной.— Мн.: Выш.шк., 1989. -236с.: ил.
ISBN 5-339-00143-1.
Приводятся задания по всем разделам и основным темам курса физики. Каж-
дый раздел включает контрольные теоретические вопросы и задачи для самостоя-
тельного решения. Пособие содержит также примеры решения задач, варианты
контрольных работ, ответы.
Для студентов радиотехнических специальностей вузов.
^^1604010000 --105
МЗО44ОЗ>-89
ББК 22.3я73
Учебное издание
•’Руйш» Иняг’-Нисйфовйч, Жаврид Светлана Михайловна, Великевич Надежда Ефимовна,
0&Z
Лагутина Жанна Петровна
ФИЗИКА. ЗАДАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ
Заведующий редакцией ЛД. Духвалов. Редактор Л.Н. Базулъко. Младшие редакторы
В.М. Кушилевич, И.В. Моховикова, Художник переплета и художественный редактор
Ю.С. Сергачев. Технический редактор Л.И. Счисленок, Корректоры Г.В.Вагабова,
Н.Б. Лазарева. Оператор И,В. Скубий
ИБ № 2754
Подписано в печать с оригинала-макета 28.09.89г. Формат 60x90 /16. Бумага офсет. Оф-
сет, печать. У сл. печл. 14,75. У сл.-кр.-отт. 15. Уч.-издл, 17,29. Тираж 8500 экз.Зак.
5886. Цена 1р.
Издательство ’’Вышэйшая школа** Государственного комитета БССР по печати. 220048,
г. Минск, проспект Машерова, 11.
Типография ’’Победа”, 222310, г. Молодечно, ул. Тавлая, 11.
ISBN 5-339-00143-1 ©Издательство ”Вышэйшая школа**, 1989
ОТ АВТОРОВ
Задача коренного улучшения профессиональной подготовки специалистов
выдвигает требование развития у студентов творческой активности. Для ус-
пешного решения этой задачи необходимо совершенствовать организацию са-
мостоятельной работы студентов, обеспечивая при этом методическую по-
мощь и контроль со стороны преподавателей.
Настоящее пособие написано в соответствии с программой курса общей
физики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведе-
ний. Оно представляет собой систему заданий, включающих вопросы и упраж-
нения по 26 темам практических занятий и задачи для индивидуального реше-
ния. Пособие содержит также контрольные работы, примеры решения задач и
справочный материал. Задачи подобраны из различных учебных йособий
(И.Е. Иродов. Задачи по общей физике; А.Г. Чертов, А.А. Воробьев. Задач-
ник по физике; В.С. Волькенштейн. Сборник задач по общему курсу физики;,
сборники задач по общему курсу физики под ред. И.А. Яковлева и Д.В. Сиву-
хина и др.), классифицированы в соответствии с темами практических занятий
и дополнены оригинальными задачами.
Предлагаемые задания апробированы на кафедре физики Минского радио-
технического института и, по мнению авторов, способствуют рациональной ор-
ганизации самостоятельной работы студентов и активизации их индивидуаль-
ной учебной деятельности при изучении курса физики.
Задания 5,7-10, 16—19 составил И.И. Рубан;1—4,6,23—26 — С.М.Жаврид;
11—15, 20, 21 — Н.Е. Великевич; задание 22, примеры решения задач, прило-
жения — Ж.П. Лагутина.
Авторы признательны своим коллегам, советы и замечания которых уч-
тены при подготовке пособия. Особую благодарность авторы выражают про-
фессору И.Е. Иродову и преподавателям кафедры физики Рижского политех-
нического института, оказавшим большую помощь при подготовке данной
книги.
Замечания и пожелания просим направлять по адресу: 220048, Минск, про-
спект Машерова, 11, издательство ’’Вышэйшая школа”.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Подготовку к практическим занятиям необходимо начинать с изучения
теоретического материала по данной теме. В каждом задании указывается ли-
тература, которую должны проработать студенты по рассматриваемой теме, а
также приводятся вопросы и упражнения, сформулированные авторами на ос-
нове тщательного анализа теоретического материала. Здесь представлены как
вопросы, необходимые для понимания и осмысления теории в целом, так и
конкретные вопросы, знание ответов на которые необходимо для решения за-
дач. Кроме реализации направляющей и организующей функций обучения, эти
вопросы и упражнения дают возможность осуществить контроль и, что очень
важно, самоконтроль усвоения теоретического материала. Ответив на вопросы
и разобрав упражнения, студент не должен испытывать значительных затруд-
нений при решении задач.
К каждому заданию подобрано 50 задач, причем в пределах одного десят-
ка они являются однотипными. Комбинации этих задач образуют 30 вариантов
для индивидуального решения (по пять задач в каждом варианте). Любой ва-
риант задания имеет по одной задаче из каждого десятка. Студент решает тот
вариант, номер которого соответствует, например, его порядковому номеру в
списке учебной группы или по указанию преподавателя ( х — порядковый но-
мер задания):
Вари- ант Номер задачи Вари- ант Номер задачи
I х.9 х.20 х23 х34 х.45 XVI х.8 х.18 х.24 х,34 х.44
II х.10 х.13 х.29 х.35 х.46 XVII х.1 х.18 х.27 х.36 х.45
Ш х.8 х14 х.25 х.36 х.47 XVHI х.2 х.11 х.28 х.37 х.46
IV х,4 х.15 х26 х.37 х48 XIX х.З х. 12 х.21 х.38 х.47
х.5 х.16 х.27 х.38 х.41 XX х.4 х.20 х.22 х.ЗЗ х.48
VI х.6 х.17 х.28 х.31 х.42 XXI х.5 х.14 х.30 х.40 х.41
VII х.7 х18 х.30 х.32 х.43 XXII х.9 х.16 х.24 х.ЗЗ х.50
VIII х8 Х.11 Х.22 х.39 х.44 XXIII х.7 х.19 х.25 х.34 х,43
IX х.1 Х11 х.28 х.38 х.49 XXIV х.8 х.17 х.29 х.35 х.44
X х.2 х.12 х.22 х.37 х.47 XXV х.2 х.13 х.22 х,39 х.49
XI х.З Х13 х26 х.4О х.50 XXVI х.10 х.20 х.23 х.ЗЗ х.43
XII х9 Х19 х24 х.35 х.45 XXVII х.4 х.14 х.30 х.34 х.50
хш х5 х.15 х.29 х.39 х.41 XXVIII х.9 х.15 х.25 х.40 х.45
XIV хЮ Х16 х.26 х.32 х.49 XXIX х.6 х.19 х.29 х.36 х.46
XV х.7 Х17 х23 х.33 х.43 XXX х.З х.13 х.27 х.32 х.44
Приводится также таблица из 15 вариантов в расчете на уменьшение числа
студентов в учебной группе:
4
Вари- Номер задачи Вари- Номер задачи
ант ант
I Х.1 х.13 х.25 х.37 х.49 IX х.9 х,12 х.23 х.35 х.47
и X.? х.14 х.26 х.38 х.50 X х.10 х.11 х.24 х.36 х.48
ш х.З х.15 х.27. х. 39 х.41 XI х.9 х.13 х.25 х.37 х.41
IV х.4 х.16 х.28 х.40 х.42 XII х.8 х.14 х.26 х.38 х.42
у х.5 х.17 х.29 х.31 х.43 XIII х.7 х.15 х.2 7 х.31 х.43
VI х.6 х.18 х.30 х.32 х.44 XIV х.6 х.16 х,28 х.39 х.44
VII х.1 х.19 х.21 х.ЗЗ х.45 XV х.5 х.17 х.29 х.32 х.45
VHI х.8 х.20 х.22 х.34 х.46
Большинство ответов к задачам представлено сначала в общем виде (для
облегчения самоконтроля), а затем в числовом.
Каждое занятие рекомендуется начинать с проверки выполнения задания
на основе индивидуальной самооценки студентов. Данные самооценки каждо-
го студента преподаватель записывает в виде простой дроби, числитель кото-
рой равен числу решенных задач, знаменатель — количеству подготовленных
ответов на вопросы и упражнения. Эта процедура занимает не более двух ми-
нут, но вызывает оживление и заинтересованность среди студентов. В течение
первого часа занятия желательно рассмотреть несколько вопросов и задач, вы-
звавших наибольшие затруднения. В течение второго часа рассматриваются
вопросы и задачи установочного характера по новой теме. Для этой цели можно
предложить задачи из данного пособия или специально подобранные. Завер-
шить занятие необходимо уточнением очередного задания, объем которого мо-
жет быть конкретизирован преподавателем в соответствии с его собственной
методикой и уровнем подготовленности студентов. Вопросы, возникшие в
процессе самостоятельной работы и не рассмотренные на занятиях, выясняют-
ся с преподавателем на консультации.
Наиболее трудоемким процессом является проверка решенных задач. Ра-
зумеется, одному преподавателю тяжело проверить такое большое количество
задач. Для этого на кафедре физики МРТИ была опробована методика созда-
ния в учебной группе актива наиболее подготовленных студентов, которые
проверяют выполнение заданий. Задачи, решенные в полном объеме, должны
быть представлены студентами к зачету.
Данное пособие может быть использовано при работе со студентами лю-
бых форм обучения с применением различных методик. Кроме того, в даль-
нейшем данное пособие можно использовать в качестве банка за-
дач для ЭВМ.
ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ И СПЕЦИАЛЬНОЙ
ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Задание!. КИНЕМАТИКА
Литература: 1. И.В. Савельев. Курс общей физики (т. 1, § 1-5); 2. И.Е. Иродов.
Основные законы механики (§ 1.1-1.3).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Что изучает механика как один из разделов физики? Каково содержат
ние: а) ньютоновской; б) релятивистской; в) квантовой механики?
2. Почему при изучении реальных физических явлений и объектов прихо-
дится использовать модельные представления и абстрагированные понятия?
Дайте определение: а) материальной точки (частицы); б) системы материаль-
ных точек; в) абсолютно твердого тела,
3. Каково содержание понятий пространства и времени в классической ме-
ханике? Что означают понятия ’’однородность и изотропность пространства”,
’’однородность времени”?
4. Какие существуют способы описания движения материальной точки?
Что представляет собой система отсчета, система координат? Что называется
радиусом-вектором г ?
5. Покажите, что задание кинематического закона движения в координат-
ной форме х = х (Г), у — у (Г), z = z (г) эквивалентно заданию его в векторной
форме г = г (О э где х, у, z — декартовы координаты материальной точки, г —
ее радиус-вектор. Каковы преимущества векторного описания движения?
6. Дайте определение кинематических величин: а) перемещения Аг ;
б) скорости v ; в) ускорения а . В каких единицах измеряются эти величины?
Как ориентированы векторы скорости и ускорения относительно траекто-
рии и друг друга?
7. Частица движется по закону
r = < V------)k>
где vQ и g - известные постоянные; к — орт координатной оси z. Найдите ско-
рость v частицы и ее ускорение а , а также их проекции v? = 1 и а2 — z как
функции времени.
8. Ускорение движущейся частицы а = Ai ,где А — известная постоянная;
i — орт координатной оси х. В момент времени f = 0 х = xQ и vx — где
*0 и % ~ известные постоянные (начальные условия). Найдите проекцию ско-
рости v — х и координату х как функции времени.
6
9. Какое движение абсолютно твердого тела называется: а) поступатель-
ным; б) вращательным? Приведите примеры таких движений.
10. Что называется тангенциальным ат и нормальным ап ускорениями?
Чему они равны? От чего зависит угол между векторами скорости v и полно-
го ускорения а движущейся материальной точки?
11. Какие векторы называют аксиальными? Дайте определение:
а) угла поворота d ^твердого тела; б) угловой скорости со; в) углово-
го ускорения (3 относительно неподвижной оси вращения. В каких единицах
измеряются эти величины?
12. Колесо вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его
центр масс. Обладает ли любая точка на ободе тангенциальным и нормальным
ускорениями, если вращение происходит: а) с постоянной угловой ско-
ростью; б) с постоянным угловым ускорением? Изменяются ли при этом мо-
дули этих ускорений?
ЗАДАЧИ
1.1. При движении велосипедиста и пешехода в одну сторону за каждые
2Ц = 1 мин пешеход отстает от велосипедиста на - 210 м, а если, не изме-
няя по модулю скорости, они движутся навстречу друг другу, то за каждые
Д/2 ~ 2 мин расстояние между ними уменьшается на 12 = 780 м. Найти ско-
рость и велосипедиста и v пешехода.
А в 4 -
1.2. Моторная лодка, двигаясь против течения реки, поравнялась с плотом
в пункте Л. Через г — 30 мин после встречи лодка повернула обратно и нагнала
плот в пункте В. Чему равно расстояние между пунктами А и В, если скорость
течения реки и — 3,5 км/ч, а скорость лодки относительно воды постоянна?
(1 .ЗуДва самолета одновременно вылетают из одного пункта по направле-
ниям, составляющим угол а — 60°; один со скоростью и1 = 600 км/ч, дру-
гой — со скоростью и2 == 900 км/ч. Как возрастает со временем расстояние
между самолетами? Чему равно это расстояние в тот момент, когда первый
самолет пролетел путь s = 950 км? Найти скорость, с которой самолеты уда-
ляются друг от друга.
1.4. Расстояние между двумя пунктами катер проходит по течению за вре-
мя Г = 5 ч, а против течения — за t2 — 12 ч. Найти расстояние между этими
пунктами и скорость течения реки, если скорость катера относительно воды
v' = 19 км/ч.
1.5. Лодка движется перпендикулярно к берегу реки со скоростью vf =
= 7,2 км/ч. Течение относит ее на расстояние L = 160 м вниз по реке. Ширина
реки Н = 400 м. Найти скорость течения реки и время, затраченное на переезд
через реку.
1.6. Корабль идет на запад со скоростью и = 6,5 м/с. Известно, что ветер
дует с юго-запада. Скорость ветра, зарегистрирсванная приборами относи-
тельно палубы корабля, v ~ 9,3 м/с. Найти скорость ветра относительно зем-
ли. Какое направление ветра показывали приборы относительно курса кораб-
ля?
1.7. Лодочник, переправляясь из пункта Я (рис. 1.1) через реку шириной
7
Н, направляет лодку под углом а к берегу. Найти скорость лодки относитель-
но воды, если скорость течения реки и, а лодку отнесло ниже пункта Б на рас-
стояние L.
1.8. Из пункта А (рис. 1.2) одновременно вышли два катера, развивая от-
носительно воды одинаковую скорость и! Один пересек реку из пункта А в
пункт В и обратно строго перпендикулярно к берегам, а второй проделал путь
из пункта А в пункт С и обратно вдоль берега. Расстояния \АВ | = |ЛС| = /,
скорость течения реки и. Какое время затратил каждый из катеров на свой
путь?
1.9. Две частицы движутся с постоянными скоростями и и и2 по двум
взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения 0. В момент t =
= 0 частицы находились на расстояниях и ?2 от точки 0. Через какое время
после этого расстояние между частицами станет наименьшим? Чему оно равно?
<1.10. Из точек Л и В (рис. 1.3), расстояние между которыми — 10 м,
начинают одновременно двигаться две материальные точки со скоростями
= 1,5 м/с и v = 4 м/с по направлениям, составляющим с линией АВ углы
а = 90° и р = 30* соответственно. Каким будет наименьшее расстояние между
этими точками?
1.11. Уравнение движения материальной точки по прямой имеет вид х =
= Л + Bt + Ct2, где Л = 2 м, В = 2 м/с, С — —0,5 м/с2. Найти момент времени,
в который скорость точки и = 0. Чему равны координатах и ускорение точки
в этот момент? Построить графики координаты, пути, скорости и ускорения
этого движения в зависимости от времени.
1.12. Частица движется вдоль прямой по закону х ~ А + Bt + Ct3, где Л =
= 3 м; В - 2,5 м/с, С = 0,25 м/с3. Найти средние значения скорости и ускоре-
ния за интервал времени от — 1 с до г2 = 6 с. Построить графики зависи-
мостей скорости и ускорения от времени.
1.13. Материальная точка движется в плоскости ху по закону х = At,
у ~ В/1, где Л и В — положительные постоянные. Найти скорость и и ускорение
а в зависимости от времени. Как направлен вектор ускорения?Записать урав-
нение траектории у (х), начертить ее график.
1.14. Прямолинейное движение материальной точки описывается законом
х = 0,5 г3 — 8 г2. Найти экстремальное значение скорости v точки. Какому мо-
менту времени Г от начала движения оно соответствует? В какой момент вре-
мени t2 скорость ТОЧКИ L>2 = 0?
8
времени, если в момент t = 0 xQ = 0. ,
{(Л8)Частица движется прямолинейно
времени и по закону а = At2, где Л = 0,3
Рис, 1.3
1.15, Движение материальной точки в плоскости ху описывается уравне-
ниями х = Л coscof,y = Bsincof, где Л, В, о? — постоянные. Определить урав-
нение траектории .у (х) движущейся точки; построить ее график.
1.16. Частица движется прямолинейно с ускорением а = 2В, где В =
=8—0,5 м/с2. В момент t - 0 координата частицы xQ — 0, скорость ио = Л, где
Л = 2 м/с. Найти: а) скорость частицы в конце третьей секунды; б) модуль
средней скорости за первые 3 с движения; в) путь, пройденный частицей за
это время.
1.17. Скорость прямолинейно движущейся частицы изменяется по закону
v = Л t - Bt2, где Л и В — положительные постоянные. Найти: а) экстремальное
значение скорости частицы; б) координату х частицы для этого же момента
с ускорением, изменяющимся во
м/с4.Найти приращение скорости
частицы за первые 4 с движения. Какой путь прошла частица за это время?
1.19. Компоненты ускорения частицы, движущейся в плоскости ху, равны:
ах = 2Л, а? = 25, где Л иВ — положительные постоянные. В момент t = 0 ко-
ординаты частицы х0 =у0 = 0, скорость ь>о = 0. Найти: а) модули скорости и
ускорения частицы в зависимости от времени; б) уравнение траектории у ( х)
частицы; построить ее график. «
1.20. Материальная точка движется в плоскости ху так, что компоненты
ее скорости равны: vx ~ A, V? = Л (1 — 2Bt), где Л и В — положительные по-
стоянные. Найти: а) модули скорости и ускорения точки в зависимости от вре-
мени; б) экстремальное значение координаты yt и значение координаты xt,
соответствующей этому же моменту времени, если в момент t = 0 координа-
ты точки х0 = — 0.
* 1.21. Радиус-вектор движущейся частицы определяется выражением г =
= 3f2i + 4r2 j + 7k. Найти перемещение частицы Дг за первые 10 с движения
и модуль этого перемещения | Дт |.
1.22. Начальная скорость частицы vx =11 +3j + 5 k, конечная v2=2i +
+ 4j + 6k. Найти приращение скорости Ду, модуль приращения скорости | Ду |
и приращение модуля скорости Ди .
1.23. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по зако-
ну г = ЗГ2 i + 2 rj + 1 k . Найти зависимости от времени векторов скорости и
ускорения точки и модулей этих величин.
1.24. Две частицы в момент t= 0 одновременно начинают двигаться вдоль
2 Зак.5886
9
оси х таким образом, что их радиусы-векторы изменяются со временем по за-
конам: гt — 2Z2i ,r2 = (20— 3r)i .Найти: а) радиус-вектор г0 точки встре-
чи частиц; б) скорости Vj и v2 частиц в момент встречи.
1.25. Две частицы движутся с постоянными скоростями и v2. Ихра-
диусы-векторы в начальный момент времени равны г и г2. При каком соот-
ношении между этими четырьмя векторами частицы столкнутся друг с дру-
гом?
1.26. Скорость материальной точки, движущейся в плоскости ху, изменя-
ется со временем по закону v -2В/),где А и В — положительные по-
стоянные. Найти: а) зависимость от времени модуля скорости точки; б) ус-
корение а точки и его модуль; в) зависимость радиуса-вектора г точки от
времени, если в момент t = 0 он был равен нулю.
1.27. Скорости двух частиц, движущихся вдоль оси х, изменяются со вре-
менем по законам: v = 4i , v2 = — 0,8/i . В момент t= 0 их координаты
Xj = 0, х2 = 15 м соответственно. Найти: а) радиус-вектор точки встречи час-
тиц; б) модули скоростей и v2 частиц в момент встречи т.
1.28. Скорость частицы, движущейся вдоль осих, изменяется со временем
по закону v = (1 — 2Bt)i, где В — положительная постоянная. В момент t =
= 0 координата частицы х0 = 0. Найти промежуток времени, по истечении ко-
торого частица вернется в исходную точку, а также путь, который она пройдет
за это время.
1.29. Скорость частицы, движущейся в плоскости ху, изменяется со време-
нем по закону v = (1 — 0,51) i + 4j. В момент t = 0 координаты частицы х0 —
= у о " 0- Найти экстремальное значение координаты xt частицы и координату
у , соответствующую этому же моменту времени. Записать зависимость ра-
диуса-вектора г частицы от времени.
1.30. Частица движется в плоскости ху со скоростью v — Ai + Bxj, где
А и В — постоянные. В начальный момент времени координаты частицы х0 =
— у0 =0. Найти зависимость от времени радиуса-вектора г частицы и уравне-
ние траектории у (х).
1.31. По ледяной горке пустили скользить снизу вверх шайбу. На расстоя-
нии I - 3 м от начальной точки шайба побывала дважды: через f = 2 с и т 2 =
= 10 с после начала движения. Считая ускорение постоянным, найти его мо-
дуль иначальную скорость шайбы.
вышки одновременно брошены Два тела с одинаковой по модулю
начальной скоростью и0; одно — вертикально вверх, другое — вертикально
вниз. Как с течением времени будет изменяться расстояние между этими тела-
ми? Чему будет оно равно в момент т, когда первое тело достигнет наивысшей
точки своего движения?
1.33. Частице А сообщили начальную скорость и0, направленную верти
кально вверх. В toti же момент времени с высоты h начала падать без началь-
ной скорости частица В. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависи-
мость от времени расстояния между частицами. Чему равно это расстояние в
момент т, когда частица В упала на землю?
1.34. Ракета, запущенная вертикально вверх, в течение г = 10 с работы
двигателя движется с ускорением а = 2g. Затем двигатель отключается. Найти
максимальную высоту подъема ракеты и скорость падения ее на землю. Ha-
lo
чертить график зависимости скорости от времени для всего полета. Торможе-
нием после отключения двигателя и сопротивлением воздуха пренебречь.
1.35. С высоты Н бросили камень в горизонтальном направлении со ско-
ростью uQ. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) уравнение траекто-
рии у (х) движения камня; б) скорость падения камня на землю и угол, ко-
торый она составит с горизонтом; в) расстояние, которое пролетит камень от
места бросания по горизонтали.
1.36. Тело брошено горизонтально с начальной скоростью ио = 10 м/с.
Через т — 2 с после начала движения, пренебрегая сопротивлением воздуха,
найти: а) угол между вектором скорости и вертикалью; б) модули танген-
циального и нормального ускорений; в) радиус кривизны траектории в точ-
ке, соответствующей этому моменту времени.
1.37. Из одной точки одновременно бросили два тела: одно — вертикально
вверх, другое - горизонтально. Начальная скорость каждого тела i>0 = 15 м/с.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через
г = 1,5 с.
1.38. Из трех труб, расположенных на земле, с одинаковой начальной ско-
ростью бьют струи воды под углами — 60°, а2 = 45°,«3 = 30° к горизонту.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) отношение : Н2 Н3 мак-
симальных высот подъема этих струй; б) отношение L t : L 2 : L3 дальностей
падения воды на землю.
1.39. Снаряд вылетает из орудия под углом а = 45° к горизонту с началь-
ной скоростью и0 = 500 м/с. Через т = 20 с после начала движения, пренебре-
гая сопротивлением воздуха, найти; а) модуль скорости снаряда; б) угол, ко-
торый составляет вектор скорости v с осью х; в) модули нормального и тан-
генциального ускорений снаряда; г) радиус кривизны траектории в точке,
соответствующей этому моменту времени.
1.40. С палубы корабля, идущего со скоростью щ выпущен вертикально
вверх снаряд с начальной скоростью vQ относительно корабля. Пренебрегая
сопротивлением воздуха, найти в неподвижной системе отсчета, связанной с
водой: а) зависимость от времени модуля и; б) угол между вектором ско-
рости снаряда и осью у в зависимости от времени; в) уравнение траектории
снаряда ^(х).
1.41. , Небольшое тело начинает движение по окружности радиусом R =
= 30 м с постоянным по модулю тангенциальным ускорением — 5 м/с2.
Найти полное ускорение тела через т = 3 с после начала движения.
1.42. Материальная точка движется по окружности радиусом R = 5 м. Ког-
да нормальное ускорение точки становится я* = 3,2 м/с2, угол между вектора-
ми полного и нормального ускорений V = 60°. Найти модули скорости и тан-
генциального ускорения точки для этого момента времени.
1.43. Нормальное ускорение частицы, движущейся по окружности радиу-
сом R = 3,2 м, изменяется по закону ап = At2, где А = 2,5 м/с4. Найти: а) путь,
пройденный частицей за т — 5 с после начала движения; б) тангенциальное и
полное ускорения в конце этого участка пути.
1.44. Автомобиль, движущийся со скоростью v — 54 км/ч, проходит за-
кругление шоссе радиусом кривизны R = 375 м. На повороте шофер тормозит
мятрину, сообщая ей ускорение ат = 0,5 м/с2. Найти модули нормального и
Рис. 1.4
полного ускорений автомобиля на повороте и угол между их направлениями.
1.45. Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени
описывается уравнением s = Bt + Ct2, где В = —2 м/с, С = 2 м/с2. Через t =
= 1 с после начала движения нормальное ускорение точки ап = 0,5 м/с2. Наити
время т, при котором модули нормального и тангенциального ускорения бу-
дут равны.
1.46. На вал радиусом Я = 10 см намотана нить, к концу которой привя-
зана гиря. Двигаясь равноускоренно, гиря за т =20 с от начала движения опус-
тилась на h = 2 м. Найти угловую скорость и угловое ускорение вала для это-
го момента времени.
1.47. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается с постоянным угловым ускоре-
нием. К концу пятого оборота после начала движения линейная скорость то-
чек обода и = 0,1 м/с. Найти: а) угловое ускорение колеса; б) тангенциаль-
ное ускорение точек обода; в) нормальное и полное ускорения точек обода
через т = 20 с движения колеса.
1.48. Твердое тело вращается с угловой скоростью <5 = Ati + Bt2j, где А =
= 0,5 рад/с2, В = 0,06 рад/с3. Найти для момента т - 10 с: а) модули угловой
скорости и углового ускорения; б) угол между этими векторами.
1.49. Кинооператор, снимая поднимающийся самолет, вращает камеру в
данный момент времени вокруг вертикальной оси с угловой скоростью о? t и
вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью — со] /5. Вокруг какой од-
ной оси и с какой угловой скоростью вращение камеры эквивалентно этим
двум ее движениям?
1.50. Круглый конус с углом полу раствора а = 30 и радиусом основания
R = 5 см катится равномерно без скольжения по горизонтальной плоскости
(рис. 1.4). Вершина конуса закреплена шарнирно в точке О, которая находит-
ся на одном уровне с точкой С — центром основания конуса. Скорость и точ-
ки С равна 0,1 м/с. Найти: а) модули векторов угловой скорости и углового
ускорения конуса; б) угол, который составляет вектор угловой скорости с
вертикалью.
Задание 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Литература. 1. И.В. Савельев. Курс общей физики (т. 1, § 6-17) * 2. И.Е. Иро-
дов. Основные законы механики ( § 2.1- 25).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. В чем заключается основная задача ньютоновской механики; динами-
ки?
12
2. Как в динамике определяются сила F и масса ги? Каковы характерные
свойства этих физических величин? В каких единицах они измеряются?
3. Как строятся системы единиц в механике? Какова роль формул размер-
ностей?
4. Что называется импульсом р материальной точки?
5. Сформулируйте законы Ньютона. Какие утверждения содержат эти за-
i коны? Какова их взаимосвязь? Дайте определение понятий ’’инерция” и
’’инертность”.
6. Какие системы отсчета называются инерциальными и неинерциальными?
С какой степенью точности является инерциальной система отсчета: а) связан-
ная с Солнцем и звездами (гелиоцентрическая); б) жестко связанная с Зем-
лей (лабораторная)?
7. Получите из общей формулировки второго закона Ньютона dpjdt =
I п п
= S F. основное уравнение динамики материальной точки та = S F. .
/==1 1 / = 1 1
8. Спроектировав уравнение динамики на оси х, у и z декартовой сис-
темы координат, получите три эквивалентных ему дифференциальных уравне-
k НИЯ.
9. Каково содержание закона независимости действия сил? Сформули-
руйте принцип суперпозиции сил. Объясните задачу о лебеде, раке и щуке.
10. Введите понятие импульса силы. Объясните, почему пуля, вылетев из
ружья, пробивает отверстие в стекле, не разбивая его, а надавливанием стерж-
ня на стекло этого сделать нельзя.
11. Назовите четыре типа фундаментальных взаимодействий. Какие силы
рассматриваются в рамках ньютоновской механики?
12. Каковы границы применимости законов ньютоновской механики?
ЗАДАЧИ
> ’ 2.1. Тело массой т = 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость
, координаты х тела от времени описывается уравнением х = At2 - Bt3, где А =
= 5 м/с2, В = 1 м/с3. Найти силу, действующую на тело в конце первой секун-
ды движения.
2.2. Под действием постоянной силы F = 10 Н тело движется прямолиней-
но так, что зависимость координаты х от времени описывается уравнением х —
= At2. Найти массу тела, если постоянная Л = 1 м/с2.
2.3. Тело массой т = 0,5 кг движется так, что зависимость координаты х
1 тела от времени описывается уравнением* = Asincor, где А = 5 см, со = тгс"*1.
Найти силу, действующую на тело в момент t = 1/6 с.
2.4. Под действием одинаковых и постоянных сил два тела движутся пря-
молинейно так, что зависимости их координат от времени описываются урав-
, нениями: = At2, х2 = 3At2. Найти отношение масс этих тел.
2.5. Скорость частицы массой т, движущейся в плоскости ху9 изменяется
по закону v = Ari + Br2j, где А и В — постоянные. Найти модуль результирую-
щей силы, действующей на частицу, в зависимости от времени.
2.6. Материальная точка массой т == 20 г движется без трения прямолиней-
13
но под действием силы, изменяющейся со временем по закону F = At, где А —
постоянный вектор, модуль которого А = 0,03 Н/с. В момент t = 0 координа-
та тела = 0, скорость vQ = 5 м/с. Записать зависимость координаты х дви-
жущейся точки от времени и найти путь, пройденный ею за первые 4 с.
2.7. В момент t — 0 частица массой тп = 0,2 кг находилась в точке, коорди-
наты которой х0 = — 0, и имела скорость v 0 = Bi, где В — 2 м/с. В этот мо-
мент на нее начала действовать сила F = Aj, где А = 3 Н. Найти координаты*
и у частицы в момент t = 3 с.
2.8. Частица массой т двигалась в плоскости ху со скоростью v = Ai +
+ Bj, где А и В — постоянные. В момент t = 0 на частицу начала действовать
сила F = Cfj. Найти: а) зависимость вектора скорости частицы от времени пос-
ле начала действия силы; б) зависимость от времени угла, который составляет
вектор скорости с осью х .
2.9. На покоившуюся частицу массой т в момент t = 0 начала действовать
сила, изменяющаяся со временем по закону F = At(т — г), где А — постоян-
ный вектор, т — время, в течение которого действует данная сила. Найти им-
пульс частицы после окончания действия силы и путь, пройденный частицей за
время действия силы.
2.10. Частица массой m в момент t = 0 начинает двигаться под действием
силы F = Fq coso> t, где Fo и со — постоянные. Найти: а) промежуток времени,
в течение которого частица будет двигаться до первой остановки; б) макси-
мальную скорость этого движения.
2.11. Масса автомобиля m = 103 кг. Во время движения на него действует
сила трения, равная 0,1 его силы тяжести. Найти силу тяги, развиваемую мото-
ром автомобиля, в случаях: а) равномерного движения; б) движения с уско-
рением а = 2,4 м/с2.
2.12. На гладкой горизонтальной поверхности лежит 6 однородных куби-
ков одинаковой массы. На первый кубик в направлении, указанном на рис.
2.1 стрелкой, действует постоянная сила F. Найти модули результирующей си-
лы /, действующей на каждый кубик, и силы /5 4, с которой четвертый кубик
действует на пятый.
2.13. Тело массой m = 2,4 кг находится на пружинных весах, установлен-
ных в лифте. Лифт движется вверх с ускорением а = 4,9 м/с2, направленным:
а) вверх; б) вниз. Что покажут весы в обоих случаях?
2.14. Груз массой m = 2,1 кг, подвешенный к динамометру, один раз под-
нимают вверх, другой — опускают вниз с одним и тем же по модулю ускоре-
нием а = 3,2 м/с2. Найти разность между показаниями динамометра в первом
и во втором случаях.
2.15. Воздушный шар массой m = 1,6’103 кг начал опускаться с постоян-
ным ускорением. Если сбросить балласт массой Ат = 520 кг, то шар получит
такое же ускорение, но направленное вверх. Найти: а) модуль подъемной си-
лы, считая ее постоянной; б) модуль ускорения шара.
2.16. В вагоне, движущемся горизонтально и прямолинейно с ускорением
а — 2 м/с2, висит на шнуре груз массой m = 0,2 кг. Найти силу натяжения шну-
ра и угол отклонения шнура от вертикали.
2.17. Два тела массами и т2, связанные между собой нитью, движутся
по горизонтальной плоскости под действием силы F, которая приложена к
14
Рис, 2,1 Рис. 2,2
Рис. 2.3 Рис, 2.4
первому телу (рис. 2.2) и все время составляет угол а с поверхностью. Коэф-
фициент трения между телами и поверхностью одинаков и равен д. Найти ус-
корение движения тел и силу натяжения нити между ними. Массой нити и рас-
тяжением пренебречь.
2.18. Грузы 1 и 2 скреплены невесомой нерастяжимой нитью, переброшен-
ной через невесомый блок (рис. 2.3). Коэффициент трения между грузом 1 и
горизонтальной поверхностью равен д. Найти отношение масс mjm2 грузов,
если движение грузов: а) равномерное; б) с ускорением а,
2.19. В установке, представленной на рис. 2.3, грузы 7 и 2 массами и
т2, скрепленные невесомой и нерастяжимой нитью, движутся с постоянной
скоростью. Найти ускорение, которое получат грузы, если на груз 2 положить
перегрузок массой Aw. Коэффициент трения между грузом 7 и горизонталь-
ной поверхностью остается одним и тем же. С какой силой перегрузок давит
на груз 2? Массой блока и трением в блоке пренебречь.
2.20. Два груза соединены нерастяжимой однородной нитью длиной I так,
как показано на рис. 2.3. Массы грузов т2 = w, = (2/3)w, нити wH =
= (1/3)w. При какой длине вертикального отрезка нити силы, действующие на
грузы со стороны нити, окажутся равными? Чему равны эти силы? Каково ус-
корение системы в этом случае? Массой блока и трением в блоке пренебречь.
2.21. На гладкую наклонную поверхность, составляющую угол а с гори-
зонтом, поместили три соприкасающихся кубика, массы которых одинаковы
(рис. 2.4). Найти: а) результирующую силу /, действующую на каждый ку-
бик; б) силу f 2, с которой второй кубик действует на первый.
2.22. Тело скользит вниз по наклонной плоскости, угол наклона которой
а = 30°. В точке В скорость тела и =0,14 м/с, а в точке С, которая находится
ниже точки В, скорость тела v2 = 2,57 м/с. Коэффициент трения тела о плос-
кость д =7 0,1. Найти промежуток времени движения тела из точки В в точку С.
2.23/ Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, сос-
тавляющей угол а = 30° с горизонтом, с начальной скоростью vQ = 10 м/с.
15
Рис. 2.5 Рис. 2.6
Рис. 2.7 Рис- 2-8 Рис‘ 2'9
Коэффициент трения скольжения д = 0,1. Найти: а) скорость тела при его воз-
вращении в исходную точку; б) высоту поднятия тела; в) промежуток вре-
мени, включающий время подъема и возвращения тела в исходную точку.
2.24. Два тела массами т, = 0,8 кг и zn = 1,5 кг связаны невесомой не-
растяжимой нитью, переброшенной через невесомый олок, и находятся на
наклонных плоскостях, Образующих с горизонтом углы п==15°и|3=: 30°
(рис. 2.5). Коэффициент трения тел о плоскости одинаков и равен д — 0,1.
Найти ускорение, с которым движутся тела, и силу натяжения нити.
2.25. В установке, представленной на рис. 2.6, известны угол а наклонной
плоскости с горизонтом и коэффициент трения д между телом и наклон-
ной плоскостью. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет.
Считая, что в начальный момент оба тела неподвижны, найти отношение масс
т при котором тело т2: а) начнет опускаться; б) начнет подниматься;
в) будет оставаться1' в покое.
2.26. Через невесомый блок, подвешенный к пружинным весам, переки-
нута легкая нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы массам
ми ~ 0,5 кг и т2 = 0,6 кг. Что покажут весы во время движения грузов,
если пренебречь трением в оси блока?
2.27. Масса шарика 1 (рис. 2.7) в 1,5 раза меньше массы стержня 2, дли-
на которого /-1м. Массы блока и нити, а также трение в оси пренебрежимо
16
малы. Шарик установили на одном уровне с нижним концом стержня и от-
пустили. Найти промежуток времени, по прошествии которого шарик порав-
няется с верхним концом стержня.
2.28. Через невесомый блок перекинута легкая нерастяжимая нить, к од-
ному концу которой подвешен груз 1 массой = 0,5 кг (рис. 2.8). На дру-
гой конец нити действуют постоянной силой F — 7,5 Н. Пренебрегая трением
в оси блока, найти, как изменится ускорение груза 7, если к другому концу
нити подвесить груз 2, сила тяжести которого w?2g = 7,5 Н. Трения в блоке
нет.
2.29. К легкой нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый блок,
подвешены два груза 7 и 2, отношение масс которых mjm2 =3. Найти, ка-
кую часть составляет путь, пройденный грузом 7 за время т от начала движе-
ния, от того расстояния, которое этот груз прошел бы при свободном паде-
нии за это же время.
2.30. На рис. 2.9 массы грузов т и т2 известны. Массы блоков и нитей,
а также трение пренебрежимо малы. Найти ускорения и а2 грузов и силу
натяжения нити, к которой подвешен груз . Рассмотреть частные случаи:
а) тп^ = и*2; б) 2/Wj = т2.
2.31. Самолет делает ’’мертвую петлю” радиусом R = 500 м с постоянной
скоростью v = 360 км/ч. Найти вес летчика, масса которого т = 70 кг, в ниж-
ней, верхней и средней точках петли.
2.32. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в верти-
кальной плоскости. Разность между максимальным и минимальным натяже-
ниями веревки AFH = 9,8 Н. Найти массу камня.
233; Груз, привязанный к веревке длиной / = 0,5 м, равномерно вра-
щается в вертикальной плоскости. Найти, при какой частоте вращения ве-
ревка разорвется, если известно, что она разрывается при натяжении, равном
десятикратной силе тяжести груза.
234. Мотоциклист делает поворот на горизонтальной поверхности по
дуге радиусом кривизны R = 80 м. Коэффициент трения колес о почву д =
— 0,4. Найти: а) максимальную скорость, которую может развить мотоцик-
лист на повороте; б) угол, на который он должен накрениться, чтобы не
упасть.
235. По закруглению радиусом
R — 480 м идет поезд с постоянной
скоростью v = 75 км/ч. Под каким
углом к горизонту надо расположить по-
лотно железной дороги, чтобы избе-
жать бокового давления колес на на-
ружный рельс?
2.36. Центробежный регулятор со-
вершает оборотов в секунду.
При этом между стержнями, несущи-
ми шары регулятора, образуется угол
а - 30°. Во сколько раз надо увели-
чить число оборотов, чтобы стержни
разошлись на угол а2 = 90° (рис.2.10) ? Рис. 2.10
2.37. Мотоциклист с постоянной скоростью и = 20 м/с едет по окружнос-
ти внутренней поверхности цилиндра, ось которого расположена вертикаль-
но. Радиус цилиндра R — 4 м. Найти коэффициент трения шин мотоцикла о
стенки цилиндра. Размерами мотоцикла и человека пренебречь.
2.38. Тяжелый шарик, подвешенный на легкой нерастяжимой нити дли- -
ной I = 0,5 м, вращается в горизонтальной плоскости. Нить образует с вер-
тикалью угол а = 30°. Найти период вращения шарика.
239. На внутренней поверхности конической воронки с углом раствора
2а при вершине (рис. 2.11) находится малое тело на высоте h от вершины.
Коэффициент трения между телом и поверхностью воронки равен д. Найти
минимальную угловую скорость вращения конуса вокруг вертикальной оси,
при которой тело будет неподвижно в воронке.
2.40. К вращающемуся горизонтальному диску на расстоянии R - 10 см
от оси вращения привязана легкая нерастяжимая нить длиной / = 0,о мс гру-
зиком на конце (рис. 2.12). При вращении нить образует угол а = 45° с вер-
тикалью. На каком расстоянии R2 от оси вращения диска может удержаться
небольшое тело, положенное на диск, если коэффициент трения тела о по-
верхность диска д - 0,25?
2.41. Молот массой 1,5 т падает с высоты h = 1,77 м на наковальню.
Длительность удара Lt = 0s015 с. Найти среднее значение силы удара.
2.42. Комок мягкого снега массой 100 г брошен со скоростью и =
= 6 м/с под углом а = 45° к поверхности стены. При ударе снег прилипает к
стене. Найти импульс силы, полученный стеной.
2.43. Струя воды сечением S = 5,6 см2 ударяет о стенку под углом а —
= 60 ’ к нормали и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Скорость
воды в струе и = 14 м/с. Найти среднее значение силы, действующей на стен-
ку.
2.44. Молекула массой 4,65*10“26 кг, летящая нормально к стенке /
сосуда со скоростью v = 600 м/с, ударяется о стенку и упруго отскакивает
от нее. Найти'импульс силы, полученный стенкой за время удара.
2.45. Молекула массой 4,65» 10“26 кг, летящая со скоростью и —
= 600 м/с, ударяется о стенку сосуда под утлом а = 60° к нормали и под та-
ким же утлом упруго отскакивает от нее. Найти импульс силы, полученный
стенкой за время удара.
18
2.46. Шарик массой т ударяется со скоростью vy о вертикальную стену
нормально к ней и отскакивает от стены в противоположном направлении со
скоростью v2 (у2 < Uj). Время соударения Л*. Найти среднее значение силы
удара о стену.
2.47. Упругий шарик массой т ударяется о вертикальную стену в точке,
находящейся на высоте h над землей, и отскакивает от нее в противополож-
ном направлении без потери скорости. Найти, на каком расстоянии от стены
упадет шарик на землю, если импульс силы, полученный стеной за время уда-
ра, равен F Lt.
2.48. Шарик массой га = 70 г ударяется о вертикальную стену нормально
к ней и отскакивает в противоположном направлении с меньшей скоростью.
За время соударения со стеной импульс шарика изменился на Lp = 2,1 Н*с.
За промежуток времени г = 1,5 с после удара о стену шарик упал на землю
на расстоянии L == 2 м от нее. Найти скорость, с которой шарик подлетел к
стене.
2.49. Шарик массой га = 0,1 кг, падая вертикально с некоторой высоты,
ударяется о наклонную плоскость и упруго отскакивает от нее. Угол накло-
на плоскости к горизонту а = 30°. Импульс силы, полученный плоскостью
за время удара, LF = 1,73 Н-с. Найти время, прошедшее от момента удара
шарика о плоскость до момента, когда он будет находиться в наивысшей точ-
ке траектории.
2.50. Теннисный мячик массой га падает на стол под углом а к поверх-
ности стола и упруго отскакивает под таким же углом. Через время г он
ударяется о стол на расстоянии L от точки первого удара. Найти импульс си-
лы, полученный столом за один удар.
Задание 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Литература. 1. И,В. Савельев, Курс общей физики (т. 1, § 18- 28); 2. И.Е,Иро-
дов, Основные законы механики (§ 3.1-4.6).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Какими фундаментальными свойствами пространства и времени обус-
ловлены законы сохранения?
2. Какие силы называются: внешними; внутренними? Какие системы ма-
териальных точек называются: замкнутыми; незамкнутыми? Может ли сис-
тема вести себя как замкнутая в одном определенном направлении?
3. Покажите, что для системы материальных точек dpi dt = F, где р=
п п
— S га .v. — импульс системы; F = X F. — результирующая всех внешних
Z- 1 1 1 1
сил. Что называется центром масс системы материальных точек и каковы его
свойства?
4. Сформулируйте закон сохранения импульса для системы материаль-
ных точек, указав на его связь с однородностью пространства.Приведите при-
меры проявления закона сохранения импульса,сохранения проекции импульса.
19
5. Запишите уравнение динамики тела с переменной массой (уравнение
Мещерского) и поясните смысл входящих в него величин.
z 6. Дайте определение: а) механической работы Л; б) мощности N. Каковы
' свойства этих физических величин? В каких единицах они измеряются?
7. Какие силы называются: консервативными; неконсервативными? Ка-
кие поля являются: потенциальными; непотенциальными?
8. Получите выражение для кинетической энергии движущейся мате-
риальной точки. Выведите формулу для потенциальной энергии: а) тела, под-
нятого над землей; б) упругодеформированной пружины.
9. Для каких систем тел справедлив закон сохранения механической энер-
гии и как он формулируется? Укажите на его связь с однородностью времени.
10. Какое взаимодействие называется ударом? Приведите примеры абсо-
лютно упругого и неупругого ударов.
П. Какими законами сохранения определяется соотношение между на-
чальным и конечным состоянием тел, участвующих в соударении? В какие
виды энергии может переходить кинетическая энергия соударяющихся тел?
Позволяют ли законы сохранения определить, что происходит в процессе со-
ударения?
12. Используя законы динамики и закон сохранения энергии, получите
уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости.
ЗАДАЧИ
3.1. Льдина площадью поперечного сечения 5 и высотой Я плавает в воде.
Найти работу, которую надо совершить, чтобы льдину полностью погрузить
в воду. Плотность льда рл и плотность воды рв известны.
3.2. Шар радиусом R = 6 см удерживается внешней силой под водой так,
что его верхняя точка касается поверхности воды. Плотность материала шара
р = 500 кг/м3. Какую работу совершит выталкивающая сила, если отпустить
шар и предоставить ему свободно всплывать?
33. Из залитого подвала, площадь пола которого S ~ 50 м2, требуется вы-
качать воду на мостовую. Глубина воды в подвале h = 1,5 м, а расстояние от
уровня воды в подвале до мостовой Н = 5 м. Найти работу, которую надо со-
вершить при откачке вода.
3.4. Однородная цепочка длиной I = 1,2 м и массой т = 2,8 кг лежит на
столе. Когда часть цепочки длиной I * = 0,14 м спускают со стола, она начинает
скользить. Коэффициент трения между столом и цепочкой д = 0,1. Найти рабо-
ту по преодолению силы трения, совершаемую при соскальзывании всей це-
почки.
3.5. Однородная цепочка длиной I лежит на горизонтальной плоскости
так, что 1/3 ее длины находится на гладкой поверхности, а остальная — на ше-
роховатой. Под действием постоянной горизонтальной силы F цепочку перетя-
гивают с шероховатой поверхности на гладкую. Сила F равна минимальной си-
ле, при которой цепочка начинает скользить; сила трения не зависит от ско-
рости. Какую работу совершит сила трения, действующая на цепочку, при ее
полном перемещении на гладкую поверхность?
3.6. Тело массой т бросили под углом а к горизонту с начальной ско-
20
Рис. 3.1
Рис. 3.2
ростью и0. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время
движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.
3.7. Тело массой т под действием постоянной силы движется прямоли-
нейно, причем зависимость координаты х тела от времени определяется ра-
венством х - В + Ct + Dt2, где В, С, D— постоянные. Найти работу силы за ин-
тервал времени от 0 до t .
3.8. Материальная точка массой т = 2 кг под действием постоянной силы
тяги движется прямолинейно согласно уравнению х = Bt + Ct2 + Dt3, где В =
- -2 м/с, С = 1 м/с2, D = —0,2 м/с3. Найти мощность, развиваемую при движе-
нии точки в моменты t{ = 2 с и г2 — 5 с.
3.9. Частица совершила перемещение по некоторой траектории в плоскос-
ти ху из точки 1 с радиусом-вектором = li + 2j в точку 2 с радиусом-век-
тором r2 = 2i — 3j под действием силы F = 3i + 4j. Найти работу,
совершенную силой F на этом перемещении.
3.10. Тело массой т начинают поднимать с поверхности земли, приложив
к нему силу, которую изменяют с высотой подъема у по закону F = 2 (ау —
— l)n?g, где а — положительная постоянная. Найти работу этой силы на первой
половине пути подъема.
3.11. Шарику, подвешенному на легкой нерастяжимой нити длиной / =
= 1 м, толчком сообщили скорость v = 6 м/с. Найти высоту, на которой нить
ослабнет и шарик перестанет двигаться по окружности. Чему будет равна ско-
рость шарика в этот момент?
V3.12. Груз массой т = 300 г подвешен на нити длиной I — 1 м, закреплен-
ной в точке О (рис. 3.1). Нить отвели в сторону так, что она заняла горизон-
тальное положение, и отпустили. Найти силу натяжения нити в моменты про-
хождения грузом точек В и Л, если угол а ~ 45 °.
3.13. Небольшое тело массой т = 2 г соскальзывает без трения по ис-
кривленной поверхности из точки А (рис. 3.2). Точка А находится на высоте
= 50 см , а точка С — на высоте h2 = 30 см от горизонтальной плоскости
MN. Радиусы кривизны поверхности в точках В и С одинаковы: R = 40 см.
Найти модули сил давления на поверхность в точках В и С.
3.14. Тело массой т пустили вверх по наклонной плоскости, составляю-
щей угол а с горизонтом. Начальная скорость тела v , коэффициент трения д.
Найти: а) путь, пройденный телом до остановки; б) работу силы трения на
этом пути.
21
Рис. 3.3 ?ис- 3-4
3.15. Небольшое тело начинает скользить с высоты h по наклонному жело-
бу, переходящему в полуокружность радиусом R — й/2 (рис. 3.3). Пренебре-
гая трением, найти скорость тела в наивысшей точке его траектории (после
отрыва от желоба).
3.16. Небольшая шайба соскальзывает без начальной скорости с вершины
гладкой горки высотой Н, имеющей горизонтальный трамплин (рис. 3.4). При
какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние L1 Чему
оно равно?
3.17. Гирька массой т = 0,5 кг, привязанная к резиновому шнуру длиной
/0, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Скорость движения
гирьки соответствует частоте вращения п = 2 об/с. Угол отклонения резиново-
го шнура от вертикали а = 30°. Найти длину нерастянутого резинового шнура.
Для растяжения шнура нал^ = 1 см требуется сила F — 6 Н.
3.18. Тело массой т — 500 г, прикрепленное к резиновому шнуру длиной
/0 = 9,5 см, отклоняют на угол а — 90 и отпускают. Коэффициент жесткости
резинового шнура k = 9,8 Н/см. Найти длину I резинового шнура в момент
прохождения телом положения равновесия.
v 3.19. Груз, положенный на чашку весов, сжимает пружину на = 5 см.
Найти величину сжатия пружины для случая, когда этот же груз падает на чаш-
ку весов с высоты h = 10 см.
3.20. Система состоит из двух последовательно соединенных пружинок с
коэффициентами жесткости и k2. Найти минимальную работу, которую не-
обходимо совершить, чтобы растянуть эту систему на Д/.
V 3.21. Снаряд, летевший горизонтально со скоростью v — 100 м/с, разры-
вается на две равные части на высоте h = 40 м. Одна часть через т = 1 с падает
на землю точно под местом взрыва. Найти модуль и направление скорости вто-
рой части снаряда сразу после взрыва.
3.22. Определить, во сколько раз уменьшилась масса ракеты, если через
некоторое время после запуска ее скорость составляла 57,5 м/с, а относи-
тельная скорость выхода продуктов сгорания из сопла и = 25 м/с, Сопротив-
лением воздуха и ускорением свободного падения пренебречь.
3.23. Начальная масса ракеты mQ = 200 г, масса заряда т = 180 г, началь-
ная скорость ракеты равна нулю, относительная скорость выхода продуктов
сгорания из сопла и — 30 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха и ускоре-
нием свободного падения, найти скорость ракеты в момент полного выгора-
ния заряда.
22
3.24. В баллистический маятник массой М — 4 кг попадает пуля массой
т— 10 г, летящая с горизонтальной скоростью v = 400 м/с, и застревает в нем.
Найти высоту, на которую поднимется, отклонившись, маятник, и долю ки-
нетической энергии е ~ (W* — Wfi/W* пули, израсходованной на пробива-
ние маятника.
3.25. Навстречу друг другу летят два шара массами пт2. Кинетическая
энергия второго шара в 20 раз больше кинетической энергии первого . Между
шарами происходит абсолютно неупругий удар. Найти, при каком соотноше-
нии mjm2 шары после удара будут двигаться в сторону движения первого
шара, г/
3.26. Частица массой = 1 г, двигавшаяся со скоростью v 1 = 3i — 2j,
испытала абсолютно неупругое столкновение с другой частицей, масса которой
т2 ~ 2 г и скорость v 2 = 4i — 6j. Найти скорость и образовавшейся частицы.
3.27. Частица 1, двигавшаяся со скоростью v = 3i + 4j, испытала абсо-
лютно неупругое соударение с частицей 2, скорость которой v2 — i + 2j.
Скорость образовавшейся частицы оказалась равной u = 2i + 3j . Найти отно-
шение масс in Im частиц до соударения.
д 2*
3.28. Частицы 1 и 2, отношение масс которых т1/т2 = 1/2, двигаясь в
плоскости ху, испытали абсолютно неупругое столкновение. Радиусы-векторы
частиц до соударения изменялись с течением времени по законам: г t = 3ti +
+ 4rj; r2 = Zi + 2 Zj. Найти скорость u образовавшейся частицы.
3.29. Частица 1 массой т, летящая со скоростью v, столкнувшись с непод-
вижной частицей 2 массой М, отскакивает от нее и летит в противоположном
направлении со скоростью ut — и/2. Найти: а) скорость частицы 2 после
столкновения; б) энергию, которая пошла на нагревание и деформацию.
330. Частица 1 массой т, летящая со скоростью и, сталкивается с непод-
вижной частицей 2 массой 4т. После соударения частица 1 движется в проти-
воположном направлении, а 1/4 часть ее первоначальной энергии уходит на
нагревание и деформацию. Найти скорости и и2 частиц после соударения.
3.31. Атом гелия массой т и атом пара ртути массой 50w движутся в ваг
кууме по прямой навстречу друг другу. Скорость атома гелия 1*103 м/с,
скорость атома ртути 2Ч02 м/с. Найти скорости и и2 атомов после их со-
ударения, считая удар упругим.
332. Нейтрон массой т ударяется о неподвижное ядро: а)ат©ма углеро-
да (гис = 12 т); б) атома урана = 235 т). Считая удар центральным и
упругим, найти, какую часть своей скорости е = Ди/и потеряет нейтрон при
ударе в каждом случае.
333. Во сколько раз уменьшится скорость атома гелия после упругого
столкновения с неподвижным атомом водорода, масса которого в 4 раза мень-
ше массы атома гелия?
334. Движущееся тело массой тх ударяется о неподвижное тело массой
т2. Считая удар упругим и центральным, найти, какую часть первоначальной
кинетической энергии первое тело передает второму при ударе. Задачу решить
в общем виде, а затем рассмотреть случаи: а) т = w , б) т — 9т .
1 х JI X
335. Какую максимальную часть е = ( W* — W*)/ своей кинетичес-
кой энергии может передать шарик массой = 20 г, сталкиваясь упруго с
23
Рис. 3.5
Рис. 3.6
неподвижным шариком массой т2 = 80 г?
336. Частица 1 испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся
частицей 2. Найти отношение их масс /т2, если: а) столкновение лобовое и
частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми ско-
ростями; б) частицы разлетелись симметрично по отношению к первоначаль-
ному направлению движения частицы 1 и угол между их направлениями разле-
та в — 60 .
337. На покоящийся шар налетает другой шар такой же массой, скорость
которого v — 6 м/с. В результате упругого столкновения шар изменил направ-
ление своего движения на угол а — 30°. Найти скорости шаров после удара и
угол 3 между вектором скорости второго шара и первоначальным направле-
нием движения первого шара.
338. Частица 1 массой пг^ с импульсом Pt налетает на покоящуюся части-
цу 2 массой т2 и испытывает с ней упругое столкновение. Найти импульсы
р' и р2' частиц после столкновения, в результате которого частица 2 отлетает
под углом 0 к первоначальному направлению налетающей частицы 1.
339. Маятник представляет собой легкий тонкий стержень длиной I =
— 1,5 м, на конце которого находится стальной шар массой М = 1 кг. В шар
попадает летящий горизонтально со скоростью v — 50 м/с стальной шарик мас-
сой т — 20 г. Определить угол максимального отклонения маятника, считая
удар упругим и центральным.
3.40. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так,
что они соприкасаются. Масса первого шара —0,2 кг, второго — т2 =
= 0,1 кг. Первый шар отклоняют так, что его центр масс поднимается на высо-
ту h — 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимется каждый из шаров
после соударения, если удар абсолютно упругий?
3.41. Две манометрические трубки установлены на горизонтальной трубе
переменного сечения в местах, где сечения трубы равны и S2 (рис. 35).
По трубе течет вода. Найти объем воды, протекающей в единицу времени че-
рез сечение трубы, если разность уровней воды в манометрических трубках
равна Д h .
3.42. Трубка Пито (рис. 3.6) установлена по оси газопровода, площадь
внутреннего сечения которого равна S. Пренебрегая вязкостью, найти объем
газа, проходящего через сечение трубы в единицу времени, если разность уров-
ней в жидкостном манометре равна ДА, а плотности жидкости и газа — соот-
ветственно р0 и р.
24
Рис. 3.8
Рис. 3.9
Рис. 3.10
3.43. Схема устройства пульверизатора изображена на рис. 3.7. Определить
максимальную высоту ^тах> на которую он может засасывать жидкость плот-
ностью р из резервуара, если давление перед входом в трубку Л, где скорость
очень мала, равно р0. Вязкостью пренебречь.
3.44. Найти зависимость от времени силы F, действующей на дно цилинд-
рического стакана площадью S, в который наливают воду из чайника (рис.
3.8). Известно, что за секунду в стакан наливается постоянное количество Q
воды.
3.45. Шприц, применяемый для смазывания шарнирных соединений авто-
мобиля, заполнили для промывки керосином. Радиус поршня шприца R =
— 2 см, ход поршня Z = 25 см. Радиус выходного отверстия шприца г == 2 мм.
Пренебрегая вязкостью керосина и трением поршня о стенки, определить вре-
мя т, за которое будет вытеснен керосин из шприца, если давить на поршень с
постоянной силой F = 5 Н.
3.46. Какое давление р создает компрессор в краскопульте, если струя
жидкой краски вытекает из него со скоростью v = 25 м/с? Плотность краски
равна0,8*103 кг/м3.
25
Рис. 3.11
3.47. Устройство, называемое трубкой Пито— Прандтля, состоит из двух
узких коаксиальных трубок (рис. 3.9). Внутренняя трубка открыта на ниж-
нем конце, внешняя имеет боковые отверстия. Верхние концы трубок под-
ключены к дифференциальному манометру, измеряющему разность давле-
ний Др. С помощью этого устройства можно измерять скорость жидкости
(или газа). Для этого его погружают в жидкость, обратив открытым концом
навстречу потоку, и отсчитывают Д р. При погружении трубки Пито—Прандт-
ля в поток жидкости с плотностью р ~ 1,10-102 кг/м3 была обнаружена раз-
ность давлений Др = 4,95«103 Па. Найти скорость и течения жидкости.
3.48. Сопло фонтана, дающего вертикальную струю высотой Я, имеет фор-
му усеченного конуса, сужающегося вверх (рис. 3.10). Диаметр нижнего сече-
ния D, верхнего d, высота сопла h. Определить секундный расход V воды,
подаваемой фонтаном, и избыточное давление Др в нижнем сечении. Сопротив-
лением воздуха в струе и сопротивлением в сопле пренебречь.
3.49. Струя воды площадью поперечного сечения вытекает в горизон-
тальном направлении из брандспойта, расположенного на высоте h над поверх-
ностью земли, и падает на эту поверхность на расстоянии I (рис. 3.11). Пре-
небрегая сопротивлением воздуха движению воды, определить избыточное
давление Др воды в рукаве, если площадь его поперечного сечения S2.
3.50. В боковой стенке широкого открытого бака вмонтирована суживаю-
щаяся трубка (рис. 3.12),через которую вытекает вода. Площадь сечения труб-
ки уменьшается от 5 = 3,6 см2 до S2 = 1,2 см2. Уровень воды в баке на 4,9 м
выше уровня в трубке. Пренебрегая вязкостью воды, найти горизонтальную
составляющую силы F, действующую на трубку.
Задание 4. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Литература: 1. И,В. Савельев. Курс общей физики ( т. 1, § 29, 36-44 ) ;
2. И.Е. Иродов. Основные законы механики ( § 5.1-5.4).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Исходя из основного закона динамики в форме dp/ dt — F, получите
уравнение моментов для материальной точки dL /dt = М. Дайте определение
26
момента силы М и момента импульса L относительно: а) точки; б) оси враще-
ния. Каковы свойства этих физических величин?
2. Покажите, что для системы материальных точек dtf dt — М, где L —
п п
= S [г. —момент импульса системы, М = S М. — результирую-
/= 1 1 1 1 i~i 1
щий момент внешних сил.
3. Сформулируйте закон сохранения момента импульса для системы маг
термальных точек, указав на его связь с изотропностью пространства. Приве-
дите примеры сохранения момента импульса.
4. Что называется центром масс абсолютно твердого тела? Запишите закон
движения центра масс абсолютно твердого тела.
5. Получите уравнение моментов для материальной точки, движущейся по
окружности, относительно оси вращения: I0Z = Mz. Чему равен момент инер-
ции I материальной точки относительно оси вращения?
6. Запишите уравнение вращательного движения твердого тела вокруг
неподвижной оси. Чему равен момент инерции I твердого тела относитель-
но оси вращения? Является ли эта величина аддитивной?
7. Какие оси вращения твердого тела называются: свободными; главны-
ми? Каковы особенности вращения твердых тел вокруг свободных осей вра-
щения?
8. Как вычисляются моменты инерции твердых тел относительно заданных
осей вращения? Запишите и сформулируйте теорему Штейнера.
9. Дайте определение плоского движения твердого тела. Какими уравне-
ниями описывается такое движение?
10. Запишите выражение для кинетической энергии твердого тела, вращаю-
щегося вокруг неподвижной оси. Чему равна кинетическая энергия твердого
тела при плоском движении?
11. Как определить работу внешних сил при вращении твердого тела вок-
руг неподвижной оси?
12. Каковы специфические свойства гироскопов? Приведите примеры ис-
пользования гироскопов. Какое движение гироскопа называется прецессией?
ЗАДАЧИ
4.1. Найти главные моменты инерции 12, /3 плоского тонкого одно-
родного кольца радиусом R и массой т.
4.2. Найти главные моменты инерции тонкого однородного диска радиу-
сом R и массой т.
43. Вычислить момент инерции полого цилиндра массой m с внутренним и
внешним радиусами и R2 соответственно относительно оси, совпадающей с
осью симметрии цилиндра.
4.4. Медный диск радиусом R — 12 см и толщиной b = 0,1 см имеет шесть
вырезов радиусом rQ = 3 см (рис. 4.1). Центры вырезов находятся на окруж-
ности, проведенной из центра диска радиусом г— 7 см, на равных расстояниях
друг от друга. Найти момент инерции диска относительно оси, проходящей че-
рез центр диска перпендикулярно к его плоскости.
27
Рис. 4.1
Рис. 4.2
4.5, Найти момент инерции тонкого однородного стержня длиной I и мас-
сой т относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей: а) через
центр масс стержня; б) через конец стержня.
4.6. Найти момент инерции тонкого однородного стержня длиной I и
массой т относительно оси, проходящей через конец стержня и составляющей
со стержнем угол а.
4.7. Найти момент инерции 1 проволочного равностороннего треугольни-
ка со стороной а — 0,3 м: а) относительно оси, лежащей в плоскости треуголь-
ника и проходящей через его вершину параллельно стороне, противоположной
этой вершине; б) относительно оси, совпадающей с одной из сторон треуголь-
ника (рис. 4.2). Масса треугольника т = 54 г равномерно распределена по дли-
не проволоки.
4.8. Найти момент инерции стальной прямоугольной пластины толщиной
d = 0,1 см со сторонами а = 10 см и Ь — 20 см относительно оси, проходящей
черетщентр масс пластины параллельно меньшей стороне.
<(49/Найти момент инерции прямого сплошного однородного конуса мас-
сой т и радиусом основания R относительно его оси симметрии.
4.10. Найти момент4 инерции сплошного однородного шара массой т и
радиусом R относительно: а) оси симметрии; б) оси, проходящей через ко-
нец диаметра перпендикулярно к нему.
4.11. К точке, радиус-вектор которой относительно начала координат О
P-Эвен г = ai + b] , приложена сила F = Ai + Bj, где а, Ь,А,В — постоянные.
Найти момент М и плечо / силы F относительно точки О.
4.12. Сила F — 3i + 4j + 5k приложена к точке, радиус-вектор которой
г = 4i +2j + 3k. Найти: а) момент силы М относительно начала координат;
б) модуль вектора М; в) момент силыЛГ2 относительно оси z.
4.13. К точке с радиусом-вектором =ai приложена сила Ft = Aj, а к
точке с r2 == bj — сила F2 = Bi. Здесь оба радиуса-вектора определены относи-
тельно начала координат О; a, Ь, А и В — постоянные. Найти плечо равно-
действующей силы относительно точки О,
4.14. Тело массой га = 1 кг брошено из точки, радиус-вектор которой г =
= 2j, вверх по вертикали с начальной скоростью и0 = 10 м/с. Найти прираще-
28
ние момента импульса ЛЬ относительно начала координат за все время полета
тела (до возвращения его в исходную точку). Ось z направлена вверх. Сопро-
тивлением воздуха пренебречь.
4.15. Тело массой т — 0,1 кг бросили с некоторой высоты в горизонталь-
ном направлении со скоростью и0 = 20 м/с. Найти модуль приращения момен-
та импульса тела относительно точки бросания за первые т = 5 с. Сопротивле-
нием воздуха пренебречь.
4.16. Тело массой пг брошено с начальной скоростью vQ, образующей угол
а с горизонтом. Найти момент импульса L тела относительно точки бросания
для момента времени, когда тело находится в верхней точке траектории.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
4.17. Частице массой ш сообщена начальная скорость vQ под углом а к
горизонту. Траектория полета частицы лежит в плоскости ху (рис. 4.3). Пре-
небрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времени относитель-
но точки бросания: а) момента Мейлы, действующей на частицу; б) момента
импульса L частицы.
4.18. Две частицы движутся равномерно в противоположных направле-
ниях вдоль параллельных прямых (рис. 4.4). Расстояние между прямыми I.
Нормаль п к плоскости, в которой лежат траектории частиц, направлена за
чертеж. Найти суммарные моменты импульса иЦ частиц относительно
точек Ох и О2, если импульсы частиц различны по модулю.
4.19. Решить задачу 4.18 для случая, когда модули импульсов частиц оди-
наковы: рг = р2 = р3.
4.20. Материальная точка массой ш начинает скользить без трения с вер-
шины наклонной плоскости (рис. 45). Буквой п обозначена нормаль, направ-
ленная за чертеж. Найти относительно точки О: а) момент М результирующей
силы, действующей на тело; б) момент импульса L тела.
4.21. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена постоян-
ная касательная сила F — 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил
трения = 4,9 Н*м. Найти массу диска, если он вращается с постоянным
угловым ускорением 0 = 100 рад/с2.
4.22. К ободу колеса массой гп = 50 кг, имеющего форму диска радиусом
К = 0,5 м, приложена касательная сила F = 98,1 Н. Найти угловое ускорение
29
Рис. 4.5 Рис. 4.6
Рис. 4.7 Рис. 4.8 Рис. 4.9
колеса. Через какое время после начала действия силы колесо будет иметь
скорость, соответствующую частоте вращения, п = 100 об/с?
4.23. Цилиндрический однородный вал массой т = 80 кг и радиусом R =
= 4 см вращается с частотой п = 9 об/с. В момент t = 0 к поверхности вала
прижали тормозную колодку с силой F = 30 Н. Коэффициент трения колодки
о вал д = 0,31. Найти время, за которое вал остановится.
4.24. В системе, представленной на рис. 4.6, тх = 1 кг, т2 = 1,2 ki , =
= 0,6 кг. Коэффициент трения между телом т1 и горизонтальной поверх-
ностью д = 0,1. Блок считать однородным диском, скольжения нити по
блоку нет, трением в оси блока пренебречь. В момент t =0 тело т2 начинает
опускаться. Найти работу силы трений, действующей на тело т t за первые
т — Зс движения.
4.25. На рис. 4.7 = 600 г, т2 = 450 г, = 600 г. Блок считать одно-
родным диском, трением в оси пренебречь. Учитывая, что нить не скользит по
блоку, найти: а) ускорения грузов и т2; б) силы натяжения нитей; в) уси-
лие Кд в подвеске.
4.26. Однородный цилиндр массой М и радиусом R (рис. 4.8) вращается
без трения вокруг горизонтальной оси под действием груза, прикрепленного
30
Рис. 4.13
Рис. 4.12
к легкой нити, намотанной на цилиндр. Масса груза т. Найти угол V поворота
цилиндра в зависимости от времени, если при t — 0 угол V>0 = 0.
4.27. Однородный цилиндр массой М и радиусом R вращается без трения
вокруг горизонтальной оси под действием двух грузов, подвешенных к лег-
кой нити 7, намотанной на цилиндр, и связанных между собой легкой нитью 2
(рис. 4.9). Масса каждого груза т. Определить натяжение нити 2.
4.28. На ступенчатый вал (рис. 4.10), радиусы которого К = 0,2 ми г =
— 0,1 м намотаны в противоположных направлениях нити, нагруженные оди-
наковыми массами т — 1,0 кг. Момент инерции вала относительно его оси
симметрии I - 2'10“2 кгм2. Массой нитей и трением в оси блока пренебречь.
Найти ускорения грузов 1 и 2.
4.29. Найти ускорение, с которым будет опускаться диск Л (рис. 4.11),
если к стержню В, без трения проходящему через отверстие внутри валика С,
на нитях подвешено тело массой m. Масса диска и валика М, их момент инер-
ции относительно оси стержня I, радиус валика г . Массой нитей и стержня
пренебречь.
430. На рис. 4.12 масса груза т = 0,4 кг, масса катушки = 0,8 кг, мо-
мент инерции катушки относительно ее оси симметрии 1 — 4,25*10 3 кг»м2.
31
Найти ускорение, с которым опускается ось катушки, если ее радиус R =
= 0,1 м. Массой нитей и трением в оси блока пренебречь.
431. Пуля массой т летит со скоростью и, вращаясь около продольной
оси с частотой п . Принимая пулю за цилиндрик диаметром d, найти ее пол-
ную кинетическую энергию.
432. Кинетическая энергия вала, вращающегося вокруг неподвижной оси
с постоянной скоростью, соответствующей частоте п = 5 об/с, равна Г/к —
= 60 Дж. Найти момент импульса вала.
433. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу т == 2,6 кг,
катятся без скольжения с одинаковой скоростью v — 6 м/с. Найти кинетичес-
кие энергии этих тел.
434. Обруч и диск, имеющие одинаковую массу, катятся без скольжения
с одинаковой линейной скоростью. Кинетическая энергия обруча W=
= 39,2 Дж. Найти кинетическую энергию диска.
435. Шар катится по горизонтальной плоскости. Какую часть составляет
энергия поступательного движения шара от его общей кинетической энергии?
436. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают ска-
тываться сплошные цилиндр и шар одинаковых радиусов. Какое тело будет
иметь большую скорость на данном уровне и во сколько раз? Во сколько раз
скорость одного тела будет больше скорости другого в данный момент време-
ни?
437. Однородные сплошные шар и цилиндр, имеющие одинаковый радиус,
двигаясь с одинаковой скоростью по горизонтальной плоскости, вкатываются
вверх по наклонной плоскости. Найти отношение высот подъема этих тел.
438. Однородный диск радиусом R раскрутили до угловой скорости w
и осторожно положили на горизонтальную поверхность. Сколько времени
диск будет вращаться на поверхности, если коэффициент трения равен д?
Давление диска на поверхность считать равномерным.
439. Сплошной однородный цилиндр массой свободно вращается вок-
руг горизонтальной оси, укрепленной на подставке массой т2, которая нахо-
дится на гладкой горизонтальной поверхности. На цилиндр плотно намотана
невесомая нить, к концу которой приложили постоянную горизонтальную си-
лу F. Найти кинетическую энергию системы через А г секунд после начала дви-
жения (рис. 4.13).
4.40. Сплошной однородный цилиндр радиусом R — 15 см катится без
скольжения по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную,
составляющую угол а = 30° с горизонтом (рис. 4.14). Найти максимальную
скорость и0, при которой цилиндр перейдет на наклонную плоскость еще без
скачка.
4.41. Карандаш, поставленный вертикально, падает на стол. Длина каран-
даша I = 15 см. Найти угловую и линейную скорости середины карандаша в
конце падения.
4.42. На какой угол а надо отклонить тонкий однородный стержень дли-
\ ной I = 1,2 м, подвешенный на горизонтальной оси, проходящей через верх-
I ний конец стержня, чтобы его нижний конец при прохождении положения рав-
f новесия имел скорость и = 4,9 м/с?
4.43. Тонкий однородный стержень длиной I висит на горизонтальной оси,
проходящей через один из его концов. Найти начальную угловую скорость
32
Рис. 4.15
соо, которую надо сообщить стержню, чтобы он отклонился от вертикали на
угол а = 90°.
4.44. Однородный стержень массой т и длиной I падает без начальной ско-
рости из положения /, вращаясь без трения вокруг неподвижной горизонталь-
ной оси О, Найти горизонтальную Fr и вертикальную FB составляющие силы,
с которой ось О действует на стержень в горизонтальном положении 2 (рис.
4.15).
4.45. Горизонтальная платформа в виде круглого однородного диска мас-
сой т = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой п =20 об/мин. В
центре платформы стоит человек и держит в раскинутых руках гири. С какой
частотой будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит
свой момент инерции от 1 { = 2,94 кг*м2 до I = 0,98 кг*м2?
4.46. Платформа массой М в виде однородного диска может вращаться
около вертикальной оси, проходящей через центр масс. По краю платформы
начинает идти человек массой т и, обойдя ее, возвращается в исходную точку.
Найти, на какой угол при этом повернется платформа. Человека можно при-
нять за материальную точку.
4.47. Горизонтальная платформа в виде однородного диска радиусом R =
= Цм вращается с частотой =4,5 об/мин. На краю платформы стоит че-
ловек массой т = 60 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если
человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы I = 144 кьм2;
человека можно принять за материальную точку.
4.48. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке вертикальную
ось вращающегося в горизонтальной плоскости велосипедного колеса. Ось ко-
леса совпадает с осью скамьи. Угловая скорость вращения колеса =
= 12 рад/с, его момент инерции относительно этой же оси I = 0,4 кг#м2.
Момент инерции человека и скамьи IQ = 3,2 кг*м2. Найти, с какой угловой
скоростью начнет вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизон-
тальной оси на угол а = 180°.
4.49. На неподвижной скамье Жуковского стоит человек и ловит мяч мас-
сой т = 250 г, летящий со скоростью и = 36 м/с в горизонтальном направле-
ний на расстоянии г = 70 см от вертикальной оси вращения скамьи. После
этого скамья стала поворачиваться с угловой скоростью со = 0,9 рад/с. Найти
момент инерции человека и скамьи.
3 Зак. 5886
33
4.50. Однородный стержень длиной / = 1,5 м и массой М — 10 кг может
вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня.
В середину стержня попадает пуля массой т — 10 г, летящая в горизонтальном
направлении перпендикулярно к оси вращения со скоростью v = 500 м/с.
Считая удар абсолютно неупругим, найти угол, на который отклонится стер-
жень после удара.
Задание 5. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
ОТСЧЕТА
Литература: 1. И.В. Савельев. Курс общей физики (т. 1, § 32—35; § 45—48) ;
2. АЛ. Детлаф и др. Курс физики (т. 1, § 6.1-6.5; § 7.1-7.2).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Сформулируйте и напишите математическое выражение закона всемир-
ного тяготения. Каков физический смысл и числовое значение гравитационной
постоянной в СИ, в каких единицах она измеряется?
2. Как рассчитывается сила гравитационного взаимодействия двух протя-
женных тел?
3. Напишите выражение для потенциальной энергии материальной точки
массой тп9 находящейся на расстоянии г от точечного источника гравитацион-
ного поля массой М. Изобразите графически зависимость этой энергии от рас-
стояния г между этими точками.
4. Что называется: а) напряженностью; б) потенциалом гравитационного
поля? Какова их взаимосвязь? В каких единицах измеряются напряженность и
потенциал поля?
5. Как зависит ускорение свободного падения тел относительно поверх-
ности Земли от: а) географической широты местности; б) высоты над уров-
нем моря?
6. Какая скорость тел относительно планеты или звезды называется:
а) первой; б) второй космической? Как рассчитываются эти скорости?
7. Какие системы отсчета называются неинерциальными?Приведите приме-
ры движений тел, для объяснения которых в системах отсчета, жестко связан-
ных с Землей, необходимо учитывать неинерциальность этой системы отсчета.
8. Как описываются движения тел относительно прямолинейно и ускорен-
но движущейся системы отсчета? Напишите и объясните выражение для силы
инерции в этом случае.
9. Рассмотрите поведение тел во вращающейся с постоянной угловой ско-
ростью системе отсчета. Чему равна центробежная сила инерции?
10. В каком случае во вращающейся системе отсчета на тело действует сила
Кориолиса? Каково направление и чему равен модуль этой силы?
11. Напишите и объясните основное уравнение динамики для материальной
точки массой ш в неинерциальной системе отсчета, вращающейся с постоянной
угловой скоростью gd вокруг оси, которая ^перемещается поступательно с
ускорением а0 относительно какой-нибудь инерциальной системы отсчета.
12. Каковы особенности сил инерции, отличающие их от сил взаимодейст-
вия тел? Как Вы понимаете принцип эквивалентности сил инерции и сил поля
тяготения?
34
ЗАДАЧИ
5.1. Определить массу М и среднюю плотность р Земли по следующим дан-
ным: средний радиус Земли R = 6,37*106 м, ускорение свободного падения на
поверхности Земли g — 9*81 м/с2, гравитационная постоянная у =
= 6,67 «10*“11 м3/(кг-с2).
5.2. Определить массу М Земли по следующим данным: гравитационная
постоянная 6,6710’11 м^/(кг-с2), период обращения Луны вокруг Земли
Т == 2 36*106 с, среднее расстояние между центрами Земли и Луны г =
= 3,844О8 м.
5.3. Ближайший спутник Марса находится на расстоянии г = 9,4* 106 м
от центра планеты и движется вокруг нее со скоростью v — 2,1*103 м/с. Зная,
что гравитационная постоянная у = 6,67 • 10“11 м3/(кг«с2), определить массу
М Марса.
5.4. Вычислить массу М Солнца по следующим данным: гравитационная
постоянная У = 6,67* 10"п м3/(кг>с2), расстояние от Земли до центра Солнца
г = 13-1рн м, период обращения Земли вокруг Солнца Т = 3,16» 107 с.
5.5. Определить силу F гравитационного взаимодействия материальной
точки массой m и тонкого однородного стержня массой 7И, дпийа которого
I, если они расположены на одной прямой на расстоянии а друг от друга.
5.6. Тонкое однородное полукольцо массой М и радиусом R взаимо-
действует с однородным шариком массой w, помещенным в центре кривизны.
Найти силу F гравитационного взаимодействия этих тел.
5.7. Найти силу F, с которой кольцо из однородной тонкой проволоки ра-
диусом г, притягивает однородный шарик массой w, находящийся на оси коль-
ца на расстоянии h от его центра. Плотность материала проволоки р. Радиус
кольца R.
5.8. Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу М. Найти силу гра-
витационного взаимодействия этого диска и частицы массой ш, находящейся
на оси диска на расстоянии h от его центра.
5.9. Определить модуль F гравитационной силы, с которой очень тонкий
однородный слой в виде полусферы радиусом R и массой М действует на час-
тицу массы w, находящуюся в ее центре.
5.10. Определить гравитационную силу F, действующую на материальную
точку, находящуюся внутри однородного сферического слоя вещества.
5.11. Найти зависимость периода Т обращения искусственного спутника,
вращающегося по круговой .орбите вблизи поверхности сферического тела, от
средней плотности Р его вещества.
5.12. Луна движется вокруг Земли со скоростью v = 1,02»103 м/с. Сред-
нее расстояние до Луны от центра Земли 60,3 радиуса Земли. Найти скорость
w, с которой должен обращаться искусственный спутник Земли на небольшой
высоте над ее поверхностью. .
5.13. Некоторая планета движется по окружности вокруг Солнца со ско-
ростью v. Определить: а) период Т обращения’этой планеты; б) радиус г ее
орбиты. Массу Солнца М и гравитационную постоянную считать известными.
5.14. Период обращения Урана вокруг Солнца в 84 раза больше периода
обращения Земли. Считая орбиты планет круговыми, найти: а) во сколько
раз п расстояние от Урана до Солнца превышает расстояние от Земли до
35
Солнца; б) скорость v и ускорение а Урана в гелиоцентрической системе
отсчета. Расстояние от Земли до Солнца г = 1,5 4 О11 м, период обращения
Земли вокруг Солнца Т = 3,16*107 с.
5Л5. Планета Нептун находится в 30 раз дальше от центра Солнца, чем
Земля. Определить период Т обращения Нептуна вокруг Солнца.
5.16. Некоторая планета движется вокруг Солнца по эллипсу так, что ми-
нимальное расстояние между ней и Солнцем равно г , а максимальное — R.
Найти с помощью законов Кеплера период Т обращения ее вокруг Солнца.
Массу Солнца М и гравитационную постоянную у считать известными.
5.17. Планета массой m движется по эллипсу вокруг Солнца так, что наи-
большее и наименьшее расстояния ее от Солнца равны соответственно г и
г . Найти момент импульса L планеты относительно центра Солнца. Массу М
Солнца и гравитационную постоянную у считать известными.
5.18. Небольшое тело начинает падать на Солнце с расстояния, равного
радиусу земной орбиты. Начальная скорость тела в гелиоцентрической системе
отсчета равна нулю. Найти с помощью законов Кеплера, сколько будет про-
должаться падение. Период обращения Земли вокруг Солнца Т — 365,25 сут.
5.19. В однородном шаре плотностью р и радиусом R проделано вдоль оси
узкое цилиндрическое отверстие. Определить работу А, совершаемую против
гравитационной силы при перемещении частицы массой m из центра шара на
его поверхность.
5.20. Найти работу Л, совершаемую против гравитационной силы при пере-
мещении частицы массой m от поверхности шара В бесконечность. Радиус шара
R и его плотность р.
5.21. На каком расстоянии г от центра Луны Находится точка, в которой
напряженность результирующего поля тяготения Земли и Луны равна нулю?
Считать, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны, а расстояние между
центрами Луны и Земли в 60 раз больше радиуса Земли. Радиус Земли R3 =
= 6,37>106 м.
5.22. Однородный шар имеет массу Ми радиус R. Найти давление рвнутри
шара, обусловленное гравитационным сжатием, в зависимости от расстояния
г до его центра.
г 5.23. Частица, масса которой т, находится внутри однородного шара мас-
сой М и радиусом R на расстоянии г от его центра. Найти гравитационную си-
лу F, действующую на частицу.
5.24. Телу сообщили на полюсе Земли скорость t>0, направленную верти-
кально вверх. Зная радиус Земли R и ускорение свободного падения g на
ее поверхности, найти высоту h, на которую поднимается тело. Сопротивление
воздуха не учитывать.
5.25. Искусственный спутник выведен на круговую орбиту вокруг Земли
со скоростью v относительно поступательно движущейся системы отсчета, свя-
занной с осью вращения Земли. Найти расстояние h от поверхности Земли до
спутника. Радиус Земли R и ускорение свободного падения на поверхности
Земли# считать известными.
5.26. Искусственный спутник Земли движется по эллиптической орбите,
эксцентриситет которой е — 0,50. Во сколько раз п линейная скорость спутни-
ка в перигее больше, чем в апогее?
36
5.27. Для осуществления всемирной телевизионной связи достаточно
иметь три спутника Земли, вращающихся по круговой орбите в плоскости
экватора с запада на восток и расположенных друг относительно друга под уг-
лом V = 120°. Периоды обращения этих спутников должны быть равны перио-
ду обращения Земли вокруг собственной оси. Зная, что гравитационная по-
стоянная 7 = 6,67’Ю"11 м3/(кг»с2) и масса Земли М = 5,96-Ю24 кг, опреде-
лить радиус орбиты г и линейную скорость и таких спутников.
5.28. Спутник должен двигаться в экваториальной плоскости Земли вбли-
зи ее поверхности. Во сколько раз п энергия, необходимая для запуска
спутника в направлении вращения Земли, меньше энергии, необходимой для
запуска в противоположном направлении? Сопротивление воздуха не учиты-
вать. Радиус Земли R = 6,37*106 м, период обращения Земли вокруг собствен-
ной оси Т ~ 8,64*104 с.
5.29. Определить минимальную работу Л, которую необходимо совер-
шить, чтобы тело массой m удалить с поверхности Земли в бесконечность, если
работа сил сопротивления составляет »-ю часть искомой работы. Массу Земли
Л/, ее радиус R и гравитационную достоянную у считать известными.
5.30. Найти наименьшую скорость и, которую необходимо сообщить телу
относительно поверхности Земли на экваторе, чтобы оно смогла покинуть
Солнечную систему. Сопротивление воздуха не учитывать. Считать известны-
ми: гравитационную постоянную у = 6,674О*11 м3/(кг»с2), массу Солнца
Мс = 1,97* 1Оэо кг, массу Земли ~ 5,96 4024 кг, расстояние от центра
Солнца до Земли г = 1,5*10п м, радаус Земли R^ = 6,3740е м, период обра-
щения Земли вокруг собственной оси Т — 8,64 -104 с.
5.31. Кабина корабля движется поступательно относительно инерциальной
системы отсчета с постоянным ускорением а0. Определить силу инерции
F , действующую на тело массой т. Зависит ли эта сила от: а) положения;
б) скорости тела относительно кабины?
5.32. Вагон, к потолку которого на нерастяжимой нити подвешен шарик
массой ш, начинает двигаться по прямолинейному горизонтальному пути с
ускорением а0. Найти: а) силу инерции F^, действующую на шарик, в вагоне ;
б) в каком направлении и на какой угол от вертикали отклонится нить?
5.33. Кабина лифта движется по вертикали вниз с ускорением а . Опреде-
лить силу инерции F^, действующую в кабине на тело массой w. При каком
ускорении а кабины лифта все тела в ней будут Находиться в состоянии не-
весомости?
5.34. Брусок массой w, находящийся на наклонной плоскости, удержи-
вается на ней силой трения. Определить время г, за которое брусок спустится
по наклонной плоскости на расстояние I ~ 0,98 м, если она станет двигаться
с ускорением а0 == 0,98 м/с2 в горизонтальном направлении (рис. 5.1). Угол
наклона плоскости к горизонту а = 30°. Коэффициент трения между бруском
и плоскостью д = 0,6. При решении задачи воспользоваться системой отсчета,
связанной с наклонной плоскостью.
5.35. На горизонтальном прямолинейном участке пути железнодорожный
вагон тормозится и его скорость равномерно изменяется от и{ =54 км/ч до
v2 = 36 км/ч за время t = 2,5 с. Определить силу инерции действующую
37
на чемодан массой т = 18 кг, лежащий на горизонтальной полке вагона. При
каком минимальном значении коэффициен!а трения pmin между чемоданом
Vi полкой чемодан начнет скользить по полке?
5.36. Горизонтально расположенная платформа вращается с угловой ско-
ростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Найти центро-
бежную силу инерции ₽цб, действующую на тело массой w, находящееся на
расстоянии г от оси вращения.
5.37. Платформа (см. условие задачи 5.36) вращается с угловой ско-
ростью со = 7,33 рад/с. На каком максимальном удалении rm от оси вра-
щения нужно поместить тело, чтобы оно не соскальзывало? Коэффициент тре-
ния тела о платформу д = 0,44.
5.38. На внутренней поверхности конуса с углом при вершине 2а ( рис.
5.2) на высоте h от вершины находится небольшое тело. Коэффициент трения
между телом и поверхностью конуса равен д. Найти минимальную угловую
скорость а>тй1 вращения конуса вокруг вертикальной оси, при которой тело
будет неподвижно относительно конуса.
5.39. В аттракционе ’’мотоциклетные гонки на вертикальной стене” трек
представляет собой вертикальную цилиндрическую поверхность диаметром
d - 18 м. С какой скоростью v должен двигаться мотоциклист, чтобы не со-
скальзывать с трека? Коэффициент трения д = 0,80.
5.40. При какой угловой скорости со вращения звезды с ее экватора нач-
нет истекать вещество? Для решения использовать систему отсчета, связанную
с вращающейся звездой. Масса звезды равна М, а ее радиус А.
5.41. Тело массой т находится на экваторе. Определить, на сколько LF
изменится сила, действующая на поверхность Земли, если тело, движущееся с
востока на запад с постоянной скоростью и, изменит направление на противо-
положное.
5.42. Горизонтальный диск вращают с постоянной угловой скоростью
<о = 9,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Вдоль
одного из диаметров диска движется небольшое тело массой т ® 0,6 кг с по-
стоянной относительно диска скоростью 1/ = 0,9 м/с. Найти силу Г, с которой
диск действует на это тело в момент, когда оно находится на расстоянии р —
— 0,50 м от оси вращения.
5.43. Горизонтально расположенный диск вращается с постоянной угло-
^й скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. По
38
диску движется равномерно на неизменном расстоянии от оси вращения части-
ца. Определить мгновенные значения скорости v ' относительно диска, при ко-
торых сила Кориолиса будет уравновешиваться центробежной силой инерции.
Выразить v * через г — мгновенные значения радиуса-вектора, проведенного
к частице от центра диска.
5.44. Горизонтально расположенный стержень вращается вокруг верти-
кальной оси, проходящей через его конец, с постоянной угловой скоростью
со — 2 рад/с. Расстояние от оси до другого конца стержня I - 1,2 м, На стер-
жень надета небольшая муфта массой т = 0,2 кг. Муфта закреплена с по-
мощью нити на расстоянии Zo = 0,2 м от оси вращения. В момент t = 0 нить
пережигают, и муфта начинает скользить по стержню практически без трения.
Найти: а) время t — т, спустя которое муфта соскользнет со стержня; б) силу
F, с которой стержень действует на муфту в момент т = t; в) работу А по
перемещению муфты за время т .
5.45. С вершины гладкой сферы радиусом R — 1 м начинает соскальзы-
вать небольшое тело массой тп = 0,30 кг. Сфера вращается с постоянной угло-
вой скоростью со = 6,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через ее
центр. Найти в системе отсчета, связанной со сферой, центробежную F. и ко-
риолисову ^КОр силы инерции в момент отрыва тела от поверхности сферы.
5.46. Определить поперечное смещение х пули, выпущенной в плоскости
меридиана по горизонтальному направлению, за первую секунду ее полета.
Выстрел произведен в северном полушарии Земли на широте = 60°, началь-
ная скорость пули v = 103 м/с. В какую сторону отклонится пуля, если в мо-
мент выстрела ствол ружья был направлен на север. Силу сопротивления воз-
духа не учитывать. Скорость v пули считать постоянной.
5.47. Поезд массой m =; 2,5 406 кг идет с юга на север со скоростью v =
== 72 км/ч по железнодорожному пути, проложенному по меридиану. Опреде-
лить горизонтальную составляющую F силы давления поезда на рельсы на ши-
роте = 60° в северном полушарии.
5.48. Поезд массой m = 2,5Ч06 кг движется со скоростью v = 54 км/ч в
северном полушарии на широте = 60° по железнодорожному пути, проло-
женному по параллели. Определить горизонтальную составляющую F силы
давления поезда на рельсы.
5.49. Небольшое тело падает без начальной скорости с высоты h = 37,1 м.
В какую сторону и на какое расстояние х от вертикали отклонится тело за
время падения. Сопротивление воздуха не учитывать. Найденное значение х
сравнить с разностью As путей, которые за время падения тела проходит точ-
ка, находящаяся на высоте h , и точка, находящаяся на земной поверхности,
вследствие вращения Земли.
550. Для создания искусственной силы тяжести на космическом корабле,
вращающемся вокруг Земли по круговой орбите, было предложено ускорять
корабль до скорости и, превышающей первую космическую скорость. Чтобы
удержать корабль на круговой орбите при такой скорости, включается двига-
тель, сообщающий кораблю ускорение, нормальное к траектории корабля.
При какой скорости v космонавт на корабле будет испытывать такую же ’’тя-
жесть”, как и на Земле. Считать, что орбита проходит вблизи поверхности Зем-
ли. Изменением ускорения свободного падения g с высотой пренебречь.
39
Контрольная работа № 1
1. Повторить программный материал заданий 1—5.
2. Решить задачи своего варианта. Номера задач вариантов приведены в
табл. 1.
Таблица 1
Вариант Номер задачи Вариант Номе р задачи
I 1.27 2.26 3.44 4.29 5.31 XYI 1.36 2.34 3.36 4.39 5.45
II 1.29 2.25 3.42 4.21 5.37 XYII 1.32 2.39 3.31 4.34 5.41
JH 1.22 2.28 3.49 4.24 5.38 XYIII 1.40 2.35 3.37 4.32 5.48
IY 1.30 2.24 3.48 4.22 5.33 XIX 1.38 2.33 3.35 4.40 5.42
Y 1.21 2.23 3.50 4.28 5.34 XX 1.37 2.21 3.33 4.38 5.50
YI 1.23 2.22 3.43 4.27 5.40 XXI 1.48 2.42 3.23 4.50 5.37
YII 1.24 2.30 3.41 4.23 5.32 XXII 1.44 2.47 3.27 4.49 5.34
YIII 1.28 2.21 3.47 4.30 5.36 ХХШ 1.45 2.50 3.28 4.46 5.32
IX 1.26 2.29 3.46 4.25 5.35 XXIY 1.41 2.46 3.30 4.47 5.36
х 1.25 2.27 3.45 4.26 5.39 XX Y 1.49 2.43 3.25 4.43 5.38
XI 1.31 2.37 3.39 4.33 5.46 XX YI 1.43 2.48 3.26 4.41 5.33
XII 1.33 2.32 3.40 4.35 5.44 XXY1I 1.46 2.41 3.22 4.44 5.40
XIII 1.35 2.36 3.32 4.37 5.49 XXYIII 1,50 2.44 3.24 4.45 5.35
XIY 1.39 2.38 3.34 4.31 5.47 XXIX 1.47 2.45 3.21 4.48 5.39
XY 1.34 2.40 3.38 4.36 5.43 XXX 1.42 2.48 3.29 4.42 5.31
Задание 6. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Литература: 1. И.В. Савельев. Курс общей физики (т. 1, § 62-71) ; 2. И.Е. Ира
дов. Основные законы механики (§ 6.1- 7.5).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
• . .О г :
. • • • '. .? ...
1. В чем заключается механический принцип относительности? В чем сос-
тоит ограниченность этого принципа?
» 2. Как записываются преобразования Галилея? Каким образом вводятся
понятия движущейся к' (штрихованной) и неподвижной К (лабораторной)
систем отсчета?
3. На основе преобразований Галилея: а) укажите относительные и инва-
риантные свойства пространства и времени; б) сравните показания движу-
щихся и неподвижных часов; длины движущейся и неподвижной линейки. По-
лучите правило сложения скоростей в классической механике.
4. Покажите связь закона инерции с принципом относительности Галилея.
Какие величины ньютоновской динамики инвариантны?
5. Сформулируйте постулаты специальной теории относительности (СТО)
Эйнштейна. В чем отличие первого постулата СТО от принципа относительности
в механике? Отличаются ли постулаты об общих свойствах пространства и вре-
мени в СТО от соответствующих классических?
40
6. В чем заключается проблема одновременности в релятивистской физи-
ке? Как в СТО вводится понятие ’’синхронизированные часы”?
7. Как в СТО определяется ’’длина движущегося тела”? Что называется:
собственной длиной; лоренцевым сокращением?
8. Запишите преобразования Лоренца. Покажите, что преобразования Га-
лилея являются частным случаем преобразований Лоренца.
9. Рассмотрите следствия из преобразований Лоренца: относительность
одновременности, сокращение масштаба, замедление времени. Что называется
пространственноподобным, времениподобным и светоподобным интервала-
ми?
10. Получите на основе преобразований Лоренца релятивистский закон сло-
жения скоростей.
11. Запишите релятивистское выражение: а) для массы; б) для импульса;
в) для кинетической энергии. Каковы особенности основного уравнения реля-
тивистской динамики?
12. Каково содержание закона Е = тс2 (с — скорость света в вакууме) ?
ЗАДАЧИ
6.1. При какой скорости движения релятивистское сокращение длины
движущегося тела составляет 25 %?
6.2. Отношение сторон прямоугольника а/b = 2/1. С какой скоростью
(в долях скорости света) и в каком направлении должен двигаться прямо-
угольник, чтобы ”Неподвижному” наблюдателю он казался квадратом?
63. Суммарная поверхность неподвижного тела, имеющего форму куба,
равна 50. Чему равна поверхность S того же тела, если оно движется в направ-
лении одного из своих ребер со скоростью и = 0,968с ?
6.4. Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе от-
счета его скорость v == с/2, длина I = 1,00 м и угол между ним и направле-
нием движения 0 — 45 °.
65. Стержень, собственная длина которого lQ — 1,00 м, движется в сис-
теме К со скоростью v = 0,75 с. Угол между стержнем и направлением дви-
жения 6 — 30°. Найти длину стержня в системе К'.
6.6. Скорость мезонов космических лучей, достигающих поверхности Зем-
ли, различна. Найти релятивистское сокращение размеров мезона, имеющего
• скорость v — 0,95 с.
6.7. С какой скоростью двигались в К-системе отсчета часы, если за время
т — 5,0 с (в К-системе) они отстали от часов этой системы на Д? = 0,1 с?
6.8. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизирован-
ные до полета с земными. Скорость спутника vQ = 7,9 км/с. Насколько от-
станут часы на спутнике по сравнению с часами земного наблюдателя за время
Дто = 0,5 года?
6.9. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью и = 0,6 с.
Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наб-
людателя?
6.10. На концах двух стержней собственной длиной lQ = 10,0 м укрепле-
ны одинаковые синхронизированные друг с другом часы (рис. 6.1). Стержни
4 Зак. 5886
41
1 2
Рис. 6.1
приведены в движение с относительной скоростью v = с/2. В момент, когда
часы 1 и Г находятся друг против друга, стрелки обоих часов показывают ну-
левой отсчет. Определить: а) показания часов 1 и 2' в момент, когда они по-
равняются друг с другом; б) показания часов 2 и I9 в момент, когда они по-
равняются друг с другом; в) показания часов 2 и 2' в момент, когда они по-
равняются друг с другом.
6.11. Пусть в К-системе отсчета два события совершаются на расстоянии
Дх = 6Л05 км друг от друга с промежутком времени Дг — 1 с. С какой ско-
ростью должен лететь космический корабль, чтобы в его системе отсчета эти
события стали одновременными?
6.12. Два события в К-системе отсчета совершаются на расстоянии Дх =
= 3*10* км с промежутком времени Дг = 15 с. Определить скорость косми-
ческого корабля, при которой в его системе отсчета события будут одномест-
ными.
6.13. С точки зрения наблюдателя, находящегося в движущемся поезде,
удары молнии в точке А (впереди поезда) и в точке В (позади поезда) про-
изошли одновременно. Какая молния с позиций СТО ударила в землю раньше
для наблюдателя, находящегося на Земле?
6.14. По одной прямой движутся две частицы с одинаковыми скоростями
v = 0,75с. Промежуток времени между ударами частиц в мишень оказался
Дг — 1 нс. Каково расстояние между частицами в полете относительно К и
К9 систем отсчета?
6.15. Ракета движется относительно неподвижного наблюдателя, находя-
щегося на Земле, со скоростью v - 0,99 с. Найти, как изменятся линейные раз-
меры тел в ракете по линии движения для неподвижного наблюдателя. Какое
время пройдет по часам неподвижного наблюдателя, если по часам, движу-
щимся вместе с ракетой, прошел один год?
6.16. Космический корабль с постоянной скоростью v =* 0,96с движется
по направлению к центру Земли. Какое расстояние в системе отсчета, связан-
ной с Землей, пройдет корабль за промежуток времени Д t9 7 с, отсчитанный
по корабельным часам? Вращение Земли и ее орбитальное движение не учитьь
вать.
6.17. В К-системе отсчета пи-мезон с момента рождения до момента распа-
да пролетел расстояние I = 75 м. Скорость пи-мезона и = 0,995с. Определить
собственное время жизни частицы.
6.18. Собственное время жизни некоторой частицы т — 1,0 Ю"6 с. Чему
равен интервал As между рождением и распадом этой частицы?
6.19. С какой скоростью должна лететь частица относительно К-системы
42
отсчета, чтобы промежуток собственного времени Ат был в 10 раз меньше
промежутка Af, отсчитанного по часам К-системы?
6.20. За промежуток времени А? = 1,0 с, измеренный по часам некоторой
К-системы отсчета, частица, двигаясь прямолинейно и равномерно, перемести-
лась из начала координат К-системы в точку с координатами х — у == z =
= 1,5 ЧО8 м. Найти промежуток собственного времени частицы, за который
произошло это перемещение.
6.21. Две ракеты движутся навстречу друг другу со скоростями и — v =
= 0,75 с по отношению к неподвижному наблюдателю. Найти скорость сбли-
жении ракет согласно релятивистскому закону сложения скоростей.
6.22. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями v =
= 0,5 с и v2 = 0,75с по отношению к К-системе отсчета. Найти относительную
скорость частиц.
6.23. Две релятивистские частицы движутся в К-системе отсчета со скорос-
тями v j = 0,6 с и v2 = 0,9с вдоль одной прямой. Определить относительную
скорость частиц в двух случаях: а) частицы движутся в одном направлении;
б) частицы движутся в противоположных направлениях.
6.24. Две релятивистские частицы движутся под прямым углом друг к
другу в К-системе отсчета, причем одна — со скоростью и , другая*— со ско-
ростью v 2. Найти их относительную скорость.
6.25. Ион, вылетев из ускорителя, испустил фотон в направлении своего
движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя, если ско-
рость иона относительно ускорителя v .= 0,8с .
626. На ракете, летящей со скоростью v — 0,9с, установлен ускоритель,
сообщающий частицам скорость и' = 0,8с относительно ракеты (по направле-
нию ее движения). Найти скорость частиц в системе отсчета, связанной с ’’не-
подвижными” звездами. Решить также задачу для случая, когда частицы дви-
жутся в противоположную движению ракеты сторону.
627. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость и = 0,4с.
В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движе-
ния 0-частицу со скоростью t>2 — 0,75с относительно ускорителя. Найти ско-
рость частицы относительно ядра.
628. Два ускорителя выбрасывают навстречу друг другу частицы с оди-
наковыми по модулю скоростями v = 0,9с относительно ускорителя. Опреде-
лить относительную скорость частиц.
629. В плоскости ху К-системы отсчета движется частица, проекции ско-
рости которой равны vx и и Найти скорость v этой частицы в К'-системе,
которая перемещается со скоростью и относительно К-системы в положитель-
ном ншравлении ее оси х.
630. к'-система отсчета движется относительно К-системы со скоростью
и0 = 0,50с . Скорость некоторой частицы в К'-системе и' = 0,1732 ( i' +
+ j' + k'). Найти скорость v частицы в К-системе, модуль и этой скорости и
угол а, образуемый v с осью х .
631. Какова скорость электрона, масса которого превышает его массу
покоя в 4-104 раз?
632. При какой скорости масса движущегося электрона вдвое больше
его массы покоя?
43
633. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное
из опыта, qlm- 0,88-Ю11 Кл/кг. Определить релятивистскую массу электрона
и его скорость.
634. С какой скоростью должен лететь протон ( т = 1 а.е.м.), чтобы его
масса равнялась массе покоя а-частицы (та = 4 а.е.м.) ?
635. Насколько увеличивается масса а-частицы при ускорении ее от на-
чальной скорости — 0 до скорости v == 0,9с?
636. Найти скорость релятивистской частицы массой т — 0,911'10" 30 кг
(масса электрона), импульс которойр = 1,58-10"22 кг-м/с.
637. Сравнить модули релятивистского и ньютоновского импульсов
электрона при скорости v = 0,96 с.
638. Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в два
раза превышает ее ньютоновский импульс.
639. Протон движется с импульсом р = 10,0 ГэВ/c, где с — скорость света.
Какой процент составляет отличие скорости протона от скорости света?
6.40. Плотность покоящегося тела pQ. Найти скорость системы отсчета от-
носительно данного тела, в которой его плотность будет на 25 % больше pQ.
6.41. До какой энергии можно ускорить частицы в циклотроне, если отно-
сительное увеличение массы частиц не должно превышать 5 % 1 Задачу решить
для электронов и протонов.
6.42. Выразить в мегаэлектронвольтах энергию покоя: а) электрона;
б) протона.
6.43. Определить уменьшение массы Солнца за один год, если известно,
что общая мощность излучения Солнца составляет около Р = 3,8 *1026 Вт.
6.44. Выразить релятивистский импульс частицы, масса которой равна т ,
через ее релятивистскую кинетическую энергию.
6.45. Какая относительная ошибка будет допущена при вычислении кине-
тической энергии релятивистской частицы, если вместо релятивистского, вы-
ражения VV = (т — тп t)c2 воспользоваться классическим И/ = i?/2?
* Р х 1х кл и
Вычисления выполнить для двух случаев: а) и = 0,2с; б) v ~ 0,8с.
6.46. Импульс релятивистской частицы р = Под действием внешней
силы импульс частицы увеличился в два раза. Во сколько раз возрастет при
этом энергия частицы: а) кинетическая; б) полная?
6.47. На покоящуюся частицу массой т 1 налетает частица массой т ,
кинетическая энергия которой WK. После столкновения частицы слипаются и
движутся как целое. Найти массу образовавшейся частицы. Чему равна ее
скорость?
6.48. Какова должна быть кинетическая энергия прбтона, налетающего
на другой, покоящийся протон, чтобы их суммарная кинетическая энергия в
системе центра инерции была такая же, как у двух протонов, движущихся
навстречу друг другу с кинетическими энергиями WK = 25 ГэВ?
6.49. Найти длину пробега релятивистской заряженной частицы с зарядом
е и массой т при начальной полной энергии Е в тормозящем однородном
электрическом поле, параллельном начальной скорости частицы.
6.50. Получить основное уравнение релятивистской динамики для слу-
чаев: a) F It v ; б) F 1 v .
44
t
Задание 7. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Литература: 1. И.В. Савельев. Курс общей физики (т. 1, § 61-76; Т, 2, § 93-
103); 2.А.А, Детлаф и др. Курс физики (т.1, § 8,1—8.6).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Какие колебательные процессы называются: периодическими; гармо-
ническими?
Дайте определения величин, характеризующих гармонические колебания:
периода и частоты; циклической частоты; амплитуды; фазы и начальной фа-
зы. В каких единицах измеряются эти величины?
2. Материальная точка движется вдоль оси х по закону х = Л cos (coot +
+ а). Постройте графики: а) смещения х, скорости v и ускорения а в зависи-
мости от времени t; б) v и а в зависимости от х.
3. Получите и обсудите результаты сложения двух гармонических колеба-
ний одинакового направления: а) с равными частотами; б) с равными ампли-
тудами и мало различающимися частотами. Что такое биения?
4. Каковы результаты сложения двух взаимно перпендикулярных гармо-
нических колебаний одной и той же частоты;кратных частот? Опишите фигу-
ры Лиссажу при соотношении частот: а) 1 : 2; б) 1 : 3.
5. Получите выражения для кинетической, потенциальной и полной энер-
гий гармонического колебания. Изобразите графически их зависимости от
времени.
6. При каких условиях простая колебательная система совершает: а) не-
затухающие; б) затухающие свободные колебания? Составьте и объясните
дифференциальные уравнения этих колебаний. Какие параметры системы
определяют циклическую частоту свободных колебаний?
7. Какие колебания называются вынужденными? В чем заключается яв-
ление резонанса? Считая амплитудное значение вынуждающей гармонической
силы постоянным, изобразите резонансные кривые: а) зависимости ампли-
туды скорости от циклической частоты вынуждающей силы; б) зависимости
разности фаз между скоростью и вынуждающей силой от циклической частоты
вынуждающей силы.
8. Рассмотрите механизм распространения продольных и поперечных волн
в упругих средах. Как связаны между собой фазовая скорость волны, частота
колебаний и длина волны?
9. Получите и объясните уравнение плоской волны при условии, что части-
цы среды совершают гармонические колебания одной и той частоты и ампли-
туды.
10. Покажите, что уравнение плоской волны, распространяющейся в поло-
жительном направлении оси х:
f = А cos (cdt — kx +а )
является решением волнового уравнения, которое в данном случае может
_ д2$ 1 д2$ ,
быть записано в виде --— = — —— , где и — фазовая скорость волны.
дх2 v2 dt2
45
11. Покажите, что в случае распространения гармонической упругой волны
средние по времени значения объемной плотности энергии и плотности потока
энергии в любой точке среды соответственно равны:
--- о А 2 со 2 :
2'
1~ - pA2co2v,
о
Л*
гдер — плотность среды; А — амплитуда; со — циклическая частота.
12. Что называется интерференцией? Получите уравнение стоячей волны и
проведите его анализ.
ЗАДАЧИ
7.1. Материальная точка совершает колебания вдоль оси по закону х =
= 6,0 cos я (t + 0,20) > где t в секундах. Определить амплитуду смещения Л и
период колебаний Т. Найти смещение х, скорость v и ускорение а материаль-
ной точки в момент времени t — 4,0 с.
7.2. Частица совершает прямолинейные гармонические колебания. Ампли-
туда скорости частицы Ау = 22 см/с, амплитуда ее ускорения Аа = 77 см/с2.
Найти амплитуду смещения А и циклическую частоту со колебаний частицы.
7.3. Частица совершает прямолинейные гармонические колебания с перио-
дом Т- 0,75 с. Определить минимальный промежуток времени т, в течение
которого смещение частицы изменяется от +4/2 до — 4/2, где А — амплитуда
колебаний частицы.
7.4. Материальная точка совершает колебания вдоль оси по закону х =
= 4sincot, где со = 1,57 с"1. Амплитуда скорости точки Ау = 9,42-10“2 м/с.
Найти для моментов времени = 0, t2 = Т/8 и t3 — Т/4 значения координа-
ты х, скорости v и ускорения а точки. Определить средние значения скорости
и ускорения за промежутки времени т. = t -1 и т = t — t ,
7.5. Частица совершает колебания вдоль оси х по закону х =
== 6,OOcosO,5 тт( г +1) (см). Найти путь I, пройденный частицей за период, а
также средние значения скорости < v > и ускорения < а > за первую чет-
верть периода. .
7.6. Точка совершает прямолинейные гармонические колебания. Период
колебаний Т = 2 с, амплитуда А — 4 см. Найти скорость точки и в момент
времени, когда смещение точки от положения равновесия х = 2 см,
7.7. Точка совершает прямолинейные гармонические колебания. Цикли-
ческая частота со = 4 с”1, амплитуда ускорения Аа ~ 72 см/с2. Найти ско-
рость точки v в момент времени, когда смещение точки от положения равно-
весия х = 2,2 см.
7.8. Частица совершает прямолинейные гармонические колебания. При
смещении частиц от положения равновесия на х1 = 2,6 см ее скорость —
= 2,9 см/с, а при смещении нах2 = 3,4 см скорость частицы и2 = 1,9 см/с.
Найти амплитуду смещения А и циклическую частоту колебаний частицы.
7.9. Найти период Т и амплитуду А прямолинейных гармонических коле-
баний частицы, если при смещениях Xj и х2 от положения равновесия скорость
частицы соответственно v и v2.
7.10. Частица совершает колебания вдоль осих около положения равнове-
46
сия х = 0. Скорость частицы изменяется по закону v — 18 cos(4? + 1,57) (см/с).
Найти путь $, пройденный частицей за первые t = 10 с.
7.11. Частица совершает прямолинейные гармонические колебания с пе-
риодом Т = 6 с. Определить промежутки времени т и т2 между последовав
тельными моментами времени, в которые смещения частицы одинаковы по
знаку и равны по модулю половине амплитуды.
7.12. Частица совершает колебания вдоль оси х по закону х = 5sin0,5Trt.
Найти промежуток времени, за который частица проходит путь от положения
равновесия до максимального смещения. Чему равны промежутки т и
Т2, за которые частица проходит первую и вторую половины этого пути?
7.13. Частица одновременно участвует в двух колебаниях одного направ-
ления: = 4cos4t (см) и х2 = 3cos(4f + я/2) (см). Найти циклическую час-
тоту со, амплитуду А и начальную фазу а результирующего колебания частицы.
7.14. Написать уравнение движения х (г) частицы, одновременно участвую-
щей в двух колебаниях одного направления: хх = 30cosnt/3 и х2 =
= 30COS ( TTt /3 + тг/6).
7.15. Найти уравнение результирующего колебания, полученного при сло-
жении двух колебательных движений одного направления: хх = 40cosl87rr и
х2 =40cos207U.
7.16. Складываются два гармонических колебания одного направления с
частотами vy = 460 Гц и v2 =461 Гц. Найти период т биений.
7.17. Найти амплитуду А и начальную фазу а колебаний, получающихся в
результате сложения следующих колебаний одного направления: хх =
= 20cosсог (мм), х2 = 20cos (c^t + тг/З) (мм), х3 = 20cos ( ая + 2тт/З) (мм).
Написать уравнение результирующих колебаний х (t).
7.18. Результирующее колебание точки, участвующей в двух колебаниях
одного направления, описывается выражением х = Л cos 2,11 cos80f. Найти
период биений т и циклические частоты с^ и со2 складываемых колебаний.
7.19. Точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных
колебаниях, выражаемых уравнениями: х = sinnf (мм) и у = 2cos?r(f +
+ 0,5) (мм). Найти уравнение траектории точки у (х).
7.20. Частица одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных
колебаниях, выражаемых уравнениями: х = 0,50 sin со? и у = 1,5 cos u>f. Най-
ти уравнение движения частицы у (х). Изобразить траекторию и указать на ней
направление движения частицы.
7.21. Груз, подвешенный на пружине, совершает вертикальные незатухаю-
щие колебания с амплитудой смещения А = 0,06 м. Максимальная кинетичес-
кая энергия груза W = 1,2 Дж. Найти коэффициент жесткости к пружины.
Массой пружины пренебречь.
7.22. Определить полную механическую энергию W колебаний груза, под-
вешенного на пружине, если он в начальный момент времени оттянут вниз на
xQ = 8’ 10“2 м от положения равновесия и предоставлен самому себе. Известно,
что пружина растягивается под влиянием силы 20 Н на 10 мм. Массой пружи-
ны пренебречь.
7.23. Ареометр плавает в жидкости. Масса ариометра m = 98 г, диаметр
его трубки d = 8 мм. После небольшого толчка ареометр совершает вертикаль-
47
ные колебания с периодом 7=2,8 с. Считая колебания ареометра незатухаю-
щими, определить плотность р жидкости.
7.24. В открытую с обоих концов ^образную трубку вливают 0,24 кг рту-
ти. Радиус канала трубки г = 5 мм. Определить циклическую частоту со колеба-
ний ртути в трубке. Вязкостью ртути пренебречь.
7.25. Определить коэффициент затухания /3 математического маятника, ес-
ли за промежуток времени г = 4,8*102 с маятник теряет 99 % своей полной ме-
ханической энергии.
7.26. Найти коэффициент затухания р и логарифмический декремент зату-
хания X математического маятника, если известно, что за t = 100 с колебаний
полная механическая энергия маятника уменьшилась в десять раз. Длина маят-
ника / = 0,98 м.
7.27. Тело массой т = 360 г подвешено к пружине с коэффициентом жест-
кости k — 16 Н/м и совершает вертикальные колебания в некоторой среде. Ло-
гарифмический декремент затухания X = 0,01. Сколько колебаний N должно со-
вершить тело, чтобы амплитуда смещения уменьшилась в е раз? За какой про-
межуток времени т произойдет это уменьшение ампчитуды?
7.28. Частица совершает прямолинейные затухающие колебания с периодом
Т = 4,5 с. Начальная амплитуда колебаний AQ — 0,16 м, а амплитуда после
20 полных колебаний А = 0,01 м. Определить коэффициент затухания р и лога-
рифмический декремент затухания X. Написать уравнение колебаний частицы,
приняв начальную фазу колебаний а = 0.
7.29. Тело массой т = 12 г совершает затухающие колебания с частотой
со = 3,14 с"1. При этом за время т = 60 с тело теряет 0,9 своей полной механи-
ческой энергии. Найти: а) коэффициент затухания Р; б) коэффициент сопро-
тивления среды г ; в) добротность колебательной системы Q.
7.30. Математический маятник совершает затухающие колебания в среде,
логарифмический декремент затухания которой X == 1,26. Определить логариф-
мический декремент затухания X маятника, если сопротивление среды возрас-
тает в 2 раза. Во сколько раз надо увеличить сопротивление среды, чтобы
движение маятника стало апериодическим?
7.31. Определить амплитуду А вынужденных колебаний груза массы m =
~ 0,1 кг на пружине с коэффициентом жесткости k = 10 Н/м, если на груз
действует вертикальная вынуждающая гармоническая сила с амплитудой Fq =
= 1,5 Н и частотой, в два раза большими собственной частоты груза на пружине.
Коэффициент затухания р = 0,4 с"1.
7.32. Амплитуды смещений вынужденных колебаний при частотах вынуж-
дающей силы v = 100 Гц и р2 = 150 Гц равны между собой. Найти частоту v,
соответствующую резонансу смещений. Вынуждающая сила изменяется по гар-
моническому закону.
7.33. Амплитуды скорости вынужденных колебаний при частотах вынуж-
дающей гармонической силы, равных = 150 Гц и v2 = 200 Гц, равны между
собой. Найти частоту р, соответствующую резонансу скорости.
7.34. Тело массой m = 0,1 кг совершает вынужденные прямолинейные ко-
лебания. Амплитудное значение вынуждающей силы FQ = 1,5 Н. Коэффициент
затухания р = 0,5 с“1. Определить максимальное значение амплитуды скорости
Av тела.
max
48
7.35. Тело массой т = 0,2 кг подвешено на невесомой пружине с коэффи-
циентом жесткости k = 50 Н/м. Под действием вынуждающей вертикальной си-
лы с циклической частотой со = 20 с"1 тело совершает установившиеся вынуж-
денные колебания с амплитудой Ах = 20 мм. При этом смещение тела отстает по
фазе от вынуждающей силы на Зя/4. Найти: а) логарифмический декремент
затухания X; б) работу А вынуждающей силы за период колебаний.
7.36. Механическая колебательная система характеризуется логарифмичес-
ким декрементом затухания X = 1,57. Под действием внешней гармонической
силы, амплитудное значение которой не изменяется с изменением ее частоты,
система совершает установившиеся вынужденные колебания. Найти отношение
максимальной амплитуды смещения к амплитуде смещения при очень малых
частотах вынуждающей силы.
7.37. Найти скорость v распространения упругой волны в воздухе, если дли-
на волны X — 0,17 м, а частота колебаний v - 2 кГц.
7.38. Вдоль оси х распространяется плоская гармоническая волна длиной
X. Определить расстояние Дх между точками, в которых колебания частиц от-
личаются по фазе на я/2.
7.39. Плоская упругая волна распространяется вдоль линии, соединяющей
две точки, расстояние между которыми Дг = 0,15 м. Определить разность фаз
Д'/’ колебаний частиц среды в этих точках, если частота источника v = 103 Гц,
а скорость волны v = 340 м/с.
7.40. Звуковые колебания, имеющие частоту v = 0,5 кГц и амплитуду Л =
= 0,25 мм, распространяются в упругой среде. Длина волны X — 0,7 м. Найти:
а) скорость v распространения волн; б) максимальную скорость £ частиц
среды.
7.41. Определить скорость и распространения упругих поперечных волн в
алюминии, если его модуль сдвига G = 24 ГПа.
7.42. Определить скорость и распространения упругих продольных волн в
алюминии, если модуль Юнга алюминия Е = 69 ГПа.
7.43. Определить длину волны X, если расстояние между первой и пятой
пучностями стоячей волны Дг — 0,32 м.
7.44. Медный стержень длиной I — 1 м закреплен в середине. Считая мо-
дуль Юнга Е = 100 ГПа, найти частоты vn собственных продольных колебаний
стержня.
7.45. Определить три наименьшие частоты , v3, при которых в закреп-
ленном в середине медном стержне получатся стоячие продольные волны. Дли-
на стержня I = 1 м. Для меди модуль Юнга£ = 1*10п Па.
7.46. Определить частоту основного тона столба воздуха в трубе, если
она открыта с одного конца и ее длина I = 0,85 м. Скорость распространения
упругих волн в воздухе и — 340 м/с.
7.47. Найти частоту v х основного тона столба воздуха в трубе, открытой
с обоих концов. Длина трубы / = 0,85 м. Скорость распространения упругих
волн в воздухе v — 340 м/с.
7.48. В среде распространяется незатухающая плоская гармоническая вол-
на. Известно, что через t = после прохождения максимума смещения в
6
любой точке среды объемная плотность энергии равна Найти среднюю
объемную плотность < tv> полной энергии колебаний.
49
7.49. В упругой среде плотностью р вдоль оси х распространяется волна
£ = A cos (cor — kx). Получить выражение для вектора плотности потока энер-
гии/ .
7.50. Фазовую скорость волны длиной Л, распространяющейся по водной
поверхности, если пренебречь явлением поверхностного натяжения и конечной
глубиной водоема, можно найти из выражения v = vgX/(2ir)9 где g — ускоре-
ние свободного падения. Показать, что в рассматриваемом случае групповая
скорость и волны равна половине ее фазовой скорости и. Определить фазовую
и групповую скорости волны, если X = 800 м.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Задание». МОЛЕКУЛЯРНО КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ
ГАЗОВ
Литература: 1. И.В. Савельев. Курс общей физики (т. 1, § 79-82,85-87,92-
100,128-133); 2. А.А. Детлаф и др. Курс физики (т. 1, § 9.1-9.2,11.1-11.9).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Каковы основные положения термодинамического и молекулярно-ки-
нетического (статистического) методов изучения макроскопических систем?
Назовите основные параметры термодинамической системы. Дайте определе-
ние единицы термодинамической температуры.
2. Запишите уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделее-
ва-Клапейрона) . Каковы физический смысл, размерность и численное значе-
ние универсальной газовой постоянной К? Сформулируйте газовые законы.
3. Дайте определение единицы вещества 1 моль. Сколько молекул содер-
жится в моле любого вещества? Как можно рассчитать линейные размеры од-
ной молекулы?
4. На чем основан вывод уравнения молекулярно-кинетической теории
идеальных газов для давления? Сравните это уравнение с уравнением Менде-
леева-Клапейрона.
5. Получите соотношения р = nkT и <W > = — kT. Каковы физический
смысл, численное значение и единицы измерения постоянной Больцмана k?
6. Каково содержание одного из основных положений статистической
физики о равнораспределении энергии по степеням свободы? Считая, что сред-
няя энергия молекулы идеального газа < W> = ikT/2, где i — сумма
поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней
свободы молекулы, получите выражение для внутренней энергии произволь-
тп i
нои массы идеального газа: U— — —RT.
М 2.
7. При каких условиях выполняется закон распределения молекул газа
по скоростям? Напишите аналитическое выражение этого закона и изобразите
его графически.
8. Получите соотношения для следующих скоростей молекул: а) наибо-
лее вероятной ив; б) средней арифметической < v >; в) средней квадратич-
ной <V v2 >.
9. Проанализируйте выражение зависимости атмосферного давления от
-m gh/(kT)
высоты (барометрическая формула): р-р^е , где mQgh — по-
51
тенциальная энергия молекулы газа на высоте h, считая температуру постоян-
ной.
10. Исходя из барометрической формулы, получите выражение п =
mghfikT) .
= п е 0 . Сформулируйте закон распределения Больцмана.
11. Что называется эффективным диаметром молекулы d? Объясните вы-
ражения: а) среднее число соударений молекул газа в единице объема за еди-
ницу времени: z = х/2/nd2 п < и > ; б) средняя длина пробега молекулы га-
за: X = 1/ (2ird2n ), где и — концентрация молекулы.
12. Каковы закономерности явлений переноса в газах? Получите: а) выра-
жение для динамической вязкости т? = — р<и>Х(р — плотность газа); б)
1 3 / /
выражение для теплопроводности к = — p<v><b>c.,(cf, — удельная теп-
3
лоемкость газа при постоянном объеме); выражение для коэффициента диф-
фузии D = — < и > X .
ЗАДАЧИ
8.1. Плотность некоторого газа при температуре t — 14 °C и давлении
р = 4 405 Па равна 0,68 кг/м3. Определить молярную массу М этого газа.
8.2. В баллоне объемом V — 20 л находится газ под массой т = 6 г
при температуре Т = 300 К. Найти плотность р и давление р водорода.
83. Определить наименьший объем Vmin баллона, вмещающего ш — 6 кг
кислорода, если его стенки при температуре t = 27 °C выдерживают давление
р = 15 МПа.
8.4. В сосуде А объемом I/ = 2л находится газ под давлением р^ =
= 3405 Па, а в сосуде В объемом V — 4 л находится тот же газ под давлением
р2 == 1* 105 Па. Температура обоих сосудов одинакова и постоянна. Под каким
давлением р будет находиться газ после соединения сосудов А и В трубкой.
Объемом соединительной трубки пренебречь.
8.5. В баллоне находится = 8 г водорода и ш2 = 12 г азота при темпе-
ратуре t = 17 Си под давлением р = 1,840s Па. Определить молярную мас-
су М смеси и объем V баллона.
8.6. Определить удельный объем Уо смеси углекислого газа массой m =
= 10 г и азота массой тп = 15 г при давлении р = 0,15 МПа и температуре Т =
= 300 к.
8.7. Определить концентрацию п молекул кислорода и его плотность р
при давлении р = 5 нПа и температуре t = 20 °C.
8.8. Определить плотность р водорода и концентрацию п его молекул при
температуре t = 17 °C и давлении р = 0,29 МПа.
8.9. Молекулярный пучок падает перпендикулярно на стенку, от которой
молекулы отражаются по закону абсолютно упругого удара. Концентрация
52
молекул в пучке п , масса молекулы , скорость каждой молекулы и. Найти
давление р, испытываемое стенкой, если: а) стенка неподвижна; б) стенка
движется в направлении своей нормали со скоростью и,
8.10. Молекулярный пучок падает на стенку под углом а к ее нормали.
Концентрация молекул в пучке и, масса каждой молекулы w?0, скорость моле-
кулы и. Молекулы отражаются от стенки по закону абсолютно упругого удара.
Найти давление р, испытываемое стенкой, если: а) стенка неподвижна; б)
стенка движется в направлении своей нормали со скоростью w.
8.11. В сосуде находится = 3,240 "12 кг кислорода и т 2 =
= 2,8 *10“10 кг азота. Температура смеси Т — 300 К. Давление в сосуде р =
= 0,15 Па. Определить объем V сосуда и концентрацию п молекул смеси в
нем.
8.12. Найти давление р смеси газа в сосуде объемом V - 5 л, если в нем
находится N = 24015 молекул кислорода, N2 = 84015 молекул азота и тп =
= 1,0 нкг аргона. Температура смеси t = 17 °C.
8.13. В сосуде находится т1 = 2 г водорода и т 2 = 12 г азота при темпе-
ратуре t = 17 °C и давлении р = 0,18 МПа. Найти концентрацию п t молекул
водорода в смеси.
8.14. Определить концентрации и1 и п 2 неона и аргона, если "при давле-
нии р — 0,16 МПа и температуре t = 47 °C плотность их смеси р - 2,0 кг/м3.
8.15. В сосуде объемом V = 1 л находится т — 2 г парообразного йода
при температуре Т = 1200 К. Давление в сосуде р = 90 кПа. Найти степень
диссоциации а молекул йода.
8.16. Вычислить среднюю квадратичной скорость <>/молекул воз-
духа при температуре t = 17 °C. Воздух считать идеальным газом.
8.17. Плотность некоторого газа р = 340“2 кг/м3. Найти давление р газа,
которое он оказывает на стенки сосуда, если средняя квадратичная скорость
молекул газа равна 500 м/с.
8.18. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа равна
450 м/с. Давление газа р = 25 кПа. Найти удельный объем VQ газа при этих
условиях.
8.19. Найти отношение ту средних квадратичных скоростей молекул водо-
рода и кислорода при одинаковых температурах.
8.20. Вычислить среднюю квадратичную скорость < > и среднюю
энергию атома гелия < при температуре Т = 300 К.
8.21. Вычислить среднюю кинетическую энергию поступательного движе-
ния < ^>1ЮСТ и полную среднюю кинетическую энергию < И/> молекулы азо-
та при температуре Т - 300 К. Молекулу азота считать жесткой.
8.22. Вычислить энергию теплового движения U молекул двухатомного
газа, занимающего объем V = 2,5 л при давлении р = 20 Па. Молекулы газа
считать жесткими.
8.23. При какой температуре Т средняя кинетическая энергия теплового
движения атомов гелия окажется достаточной для того, чтобы атомы гелия
навсегда покинули атмосферу Земли?
8.24. Вычислить среднюю энергию поступательного < вращатель-
ного < W вр> и колебательного < ^кол > движений двухатомной молекулы
газа при температуре Т — 3*103 К.
53
8.25. Определить отношение т? средней квадратичной скорости молекулы
газа к скорости распространения звука в нем при одной и той же температуре.
Газ взять двухатомный, молекулы газа считать жесткими.
8.26. Найти относительное число молекул Ди /и , скорости которых отли-
чаются от наиболее вероятной не более чем на 10 м/с, при температурах газа:
а) 1\ = 300 К; б) Т2 = 600 К.
8.27. Найти относительное число молекул Ди / и гелия, скорости которых
лежат в интервале от v = 990 м/с до v = 1010 м/с при температурах: а) Т =
= 300 К; б) Г = 600 К.
8.28. Найти относительное число молекул Ди/и гелия, скорости которых
лежат в интервале от v ~ 1990 м/с до v = 2010 м/с при температурах:
а) Т\ = 300 К; б) Г = 600 К.
8.29. Найти отношение г? числа молекул гелия, движущихся со скоростями
в интервале от = 2000 м/с до v2 = 2010 м/с, к числу молекул, скорости
которых лежат в интервале от v = 1000 м/с до и = 1010 м/с. Температура
гелия Т= 600 К.
8.30. Какая часть Ди /и молекул азота при температуре t = 230 С обла-
дает скоростями в интервале: а) от = 290 м/с до v2 =310 м/с; б) от и3 =
= 690 м/с до и4 = 710 м/с.
8.31. При какой температуре Т наиболее вероятная скорость молекул азо-
та меньше их средней квадратичной скорости на 50 м/с?
8.32. Найти относительное число молекул Ди In газа, скорости которых
отличаются не более чем на одну сотую от: а) наиболее вероятной скорости;
б) средней арифметической скорости; в) средней квадратичной скорости.
8.33. На какой высоте h давление воздуха составляет 80 % давления на
уровне моря? Температуру считать постоянной по высоте и равной t = 7 °C.
8.34. Давление воздуха у поверхности Земли р = 100 кПа. Считая темпе-
ратуру воздуха постоянной и равной Т - 270 К, определить концентрацию мо-
лекул и воздуха: а) у поверхности Земли; б) на высоте h = 8 км.
8.35. На какой высоте h концентрация молекул водорода составляет 50 %
концентрации на уровне моря? Температуру считать постоянной и равной
273 К. Ускорение свободного падения постоянно и равно 9,8 м/с2.
8.36. В кабине вертолета барометр показывает давление рх =86 кПа.
На какой высоте h летит вертолет, если у поверхности Земли давление равно
р2 = 0,10 МПа. Считать, что температура воздуха постоянна и равна 280 К.
837. На какой высоте h содержание водорода в воздухе по сравнению
с содержанием углекислого газа увеличится вдвое? Среднюю по высоте
температуру воздуха считать Т — 300 К.
8.38. Определить число молекул в единице объема п воздуха на высоте
h = 2 км над уровнем моря. Температуру считать постоянной и равной 10 °C.
Давление на уровне моря = 101 кПа.
8.39. Для вычисления числа Авогадро N. Перрен определял с помощью
микроскопа распределение по высоте шарообразных частиц гуммигута, взве-
шенных в воде. Он нашел, что отношение числа частиц в слоях, отстоящих
друг от друга на расстояние I = 38 мкм, равно а — 2,08. Плотность гуммигута
р = 1,2*103 кг/м3, радиусы его частиц R = 0,212 мкм. Температура воды t =
54
= 18 °C. Используя эти данные, найти число Авогадро.
8.40. Найти, на какой высоте hc находится центр тяжести вертикального
цилиндрического столба воздуха. Температуру Г, молярную массу М и ускоре-
ние свободного падения g считать известными и не зависящими от h .
8.41. Найти среднюю длину свободного пробега Хср молекул воздуха при
температуре Т = 300 К и давлении р = 0,15 МПа. Эффективный диаметр мо-
лекулы воздуха = 0,30 нм.
8.42. Найти среднюю продолжительность т свободного пробега молекул
кислорода при температуре Т = 300 К и давлении р = 150 Па. Эффективный
диаметр молекулы кислорода = 0,27 нм.
8.43. Определить концентрацию п молекул водорода, при которой сред-
нее расстояние между молекулами в сто раз меньше длины свободного про-
бега молекул. Эффективный диаметр молекулы водорода d^ = 0,23 нм.
8.44. Средняя длина свободного пробега электрона в газе приблизительно
в 5,7 раз больше, чем средняя длина свободного пробега молекул газа. Найти
среднюю длину пробега <Л > электронов в разрядной трубке, содержащей
водород при температуре t = 127 °C и давлении р — 1,2 Па. Эффективный диа-
метр молекулы водорода d^ = 0,23 нм.
8.45. Расстояние между стенками дыоаровского сосуда I = 10 мм. Оце-
нить, при каком давлении р теплопроводность воздуха, находящегося между
стенками сосуда, начнет уменьшаться при его откачке? Температура воздуха
t = 20 °C. Эффективный диаметр молекулы воздуха d^ = 0,30 нм.
8.46. Динамическая вязкость аргона при нормальных условиях т? —
— 22 мкПа*с. Вычислить длину свободного пробега X молекулы аргона и коэф-
фициент диффузии D аргона при нормальных условиях.
8.47. Между двумя пластинами, расположенными на расстоянии I =
- 2 мм друг от друга, находится воздух при нормальных условиях. Между
пластинами поддерживается разность температур ДТ — 20 К. Площадь каж-
дой пластины S - 150 см2. Найти количество теплоты Q, передаваемое от од-
ной пластины к другой за т = 0,5 ч. Эффективный диаметр молекулы воздуха
d = 0,30 нм.
8.48. Кислород и углекислый газ находятся при одинаковых температуре
и давлении. Эффективные диаметры молекул этих газов соответственно рав-
ны 0,35 нм и 0,40 нм. Найти для этих газов отношения: а) коэффициентов
диффузии Dj lD2; б) коэффициентов внутреннего трения т?1 /т?2.
8.49. Относительное число молекул газа, длина свободного пробега кото-
рых лежит в пределах от I до I + dl, определяется по формуле dn) п =
— Ае dl , где А — постоянный коэффициент (нормирующий множитель).
Найти относительное число Ди/и молекул газа, длина свободного пробега ко-
торых больше, чем 5Х.
8.50. Два однородных диска каждый радиусом R = 0,3 м расположены
друг над другом так, что их оси совпадают. Верхний диск неподвижен, а ниж-
ний вращается с угловой скоростью — 126 рад/с. Расстояние между плос-
костями дисков 1=5 мм. Динамическая вязкость воздуха 17 = 17 мкПа*с.
Найти момент сил трения М, действующий на верхний диск. Краевыми эффек-
тами пренебречь.
55
Задание 9. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Литература: 1. И,В, Савельев, Курс общей физики ( т. 1, § 83—84,88-90,102-
109); 2. АЛ. Детлаф и др. Курс физики ( т. 1, § 10.1-10.5,12.1-12.7).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Какие состояния термодинамической системы и какие термодинамичес-
кие процессы называются: а) равновесными; б) неравновесными? Дайте оп-
ределение внутренней энергии U термодинамической системы как функции
ее состояния.
2. В чем сходство и различие между понятиями работы А и количества
теплоты Q? Сформулируйте первое начало термодинамики.
3. Чем определяется внутренняя энергия идеального газа и от чего зависит
ее изменение.
4. Покажите, что при изобарическом процессе работа идеального газа
Л17 “ (m I M)R(T - Т ), а сообщенное ему количество теплоты Q 7 =
= (m/M)Cp(T2 - Тх), где = с у + R — молярная теплоемкость газа при
постоянном давлении.
5. Объясните, почему при изотермическом процессе внутренняя энергия
идеального газа не изменяется.
6. Какой процесс называется адиабатическим? Запишите уравнение адиаба-
тического процесса. Чему равен показатель адиабаты?
7. Изобразите графически изотермический и адиабатический процессы на
диаграмме р—V и сравните эти зависимости. Как по графику можно опреде-
лить работу газа?
8. Какие процессы называются круговыми (циклами)? Каков принцип
действия: теплового двигателя; холодильной машины?
9. Из каких процессов состоит цикл Карно? Изобразите на диаграмме
р- ^равновесный прямой цикл Карно и получите выражение для его коэффи-
циента полезного действия. Зависит ли КПД идеального обратимого теплового
двигателя от свойств рабочего тела?
10. Может ли КПД любого теплового двигателя быть больше КПД идеаль-
ного теплового обратимого двигателя, работающих с одним и тем же нагрева-
телем и холодильником? Сформулируйте второе начало термодинамики,
И. Введите понятие энтропии S. Каковы свойства этой функции состояния
термодинамической системы? В каких единицах измеряется энтропия?
12. Каково статистическое толкование второго начала термодинамики? На-
пишите и объясните связь между энтропией S системы и термодинамической
вероятностью П ее состояния. Каковы границы применимости второго начала
термодинамики?
ЗАДАЧИ
9.1. При нагревании двухатомного газа, объем которого остается неиз-
менным ( V = 40 л), его давление изменилось на Др = 0,3 МПа. Найти: а) ко-
личество теплоты Q, сообщенное газу; б) приращение внутренней энергии
ДUгаза; в) совершенную газом работу Л. Молекулы газа считать жесткими.
56
9.2. Одноатомный газ был нагрет при постоянном давлении р = 90 кПа.
В результате его объем увеличился на А V = 2 м3. Найти: а) совершенную га-
зом работу; б) приращение внутренней энергии А СУ газа; в) количество тепло-
ты Q, сообщенное газу.
93. Аргон нагревался при постоянном давлении, причем ему было сооб-
щено количество теплоты Q = 50 кДж. Определить приращение внутренней
энергии А Жаргона и работу Л, совершенную аргоном.
9.4. Какая доля т)1 количества теплоты, подводимого к многоатомному
идеальному газу при изобарическом процессе, расходуется на увеличение его
внутренней энергии и какая доля т?2 — на работу расширения. Молекулы газа
считать жесткими. ,
9.5. Три литра кислорода находятся под давлением р = 0,15 МПа. Какое
количество теплоты Q надо сообщить кислороду, чтобы: а) при постоянном
объеме вдвое увеличить давление; б) при постоянном давлении вдвое увели-
чить объем?
9.6. Двухатомный газ массой 6,5 молей при температуре Т — 300 К расши-
ряется за счет притока теплоты извне вдвое (р ~ const). Найти: а) количество
теплоты Q, полученное газом; б) приращение внутренней энергии At/газа;
в) работу Л, совершенную газом прй расширении.
9.7. Азот массой m - 5 г нагревается от температуры t — 20 С при по-
стоянном давлении р — 150 кПа. После нагревания объем газа оказался рав-
ным V2 = 12 л. Найти: а) количество теплоты Q, полученное азотом; б) рабо-
ту Л, совершенную газом; в) приращение внутренней энергии A U,
9.8. При изобарическом расширении двухатомного газа была совершена
работал = 16,2 кДж. Найти количество теплоты Q, Сообщенное газу.
9.9. В закрытом сосуде находится водород массой in = 12 г и азот массой
т2 — 2 г. Найти приращение внутренней энергии A Uэтой смеси при изменении
ее температуры на АТ — 56 К.
9.10. Сто молей газа нагреваются изобарически от температуры Т до тем-
пературы Т . При этом газ получает количество тегшдты Q = 0,28 мЬж и со-
вершает работу Л = 80 кДж. Найти: а) приращение внутренней энергии At/
газа; б) 7 = CJC?, в) АТ= Т2 - 7\.
9.11. Один моль газа расширяется изотермически при температуре Т =
= 300 К, причем его объем увеличивается в три раза. Найти: а) приращение
внутренней энергии A U газа; б) совершенную газом работу Л; в) количество
теплоты Q, сообщенное газу.
, 9.12. Кислород массой тп — 0,32 кг нагрели на АТ = 100 К, сообщив ему
количество теплоты Q = 30 кДж. Найти приращение внутренней энергии A U
кислорода и совершенную им работу Л.
9.13. Один моль газа изотермически расширяется при температуре Т =
= 300 К. При этом газом совершается работа Л = 2 кДж. Определить, во
сколько раз изменяется объем газа при его расширении.
9.14. Определить, во сколько раз изменилось давление 1 моля газа при
его изотермическом расширении при температуре t = 17 °C, если работа, со-
вершенная газом, Л = 2,4 кДж.
9.15. Некоторое количество воздуха, находящегося при температуре t =
= 0 °C, адиабатически расширяется до объема,в два раза больше начального.
57
Найти, до какой температуры Т охлаждается этот воздух.
9.16. Один моль двухатомного газа адиабатически расширяется от объема
V = 22 л до объема V2 = 0,11 м3. Начальная температура газа Т = 290 К.
Найти: а) приращение внутренней энергии A U газа; б) совершенную газом
работу Л.
9.17. Один моль двухатомного газа, находящегося при нормальных усло-
виях, сжимается до объема V = 5,6 л. Найти температуру газа Т2 после сжа-
тия и работу сжатия А', если: а) газ сжимается изотермически; б) газ сжи-
мается адиабатически.
9.18. В результате адиабатического расширения некоторого количества
двухатомного газа его давление падает вдвое. Определить, во сколько раз N
возрастает средняя длина свободного пробега молекул этого газа.
9.19. Найти, во сколько раз изменяется число ударов, испытываемых од-
ним квадратным метром стенки сосуда за t — 1 с при четырехкратном увели-
чении объема двухатомного газа, если: а) газ расширяется изотермически;
б) газ расширяется адиабатически.
9,20. В вертикально расположенном цилиндре под легким поршнем пло-
щадью S находится 1 моль некоторого газа. Первоначально давление газа на
поршень уравновешивается атмосферным давлением р0. Действуя на поршень
извне, медленно выдвигают его из цилиндра так, что температура газа все вре-
мя остается постоянной и равной Т. Какую работу А надо произвести, чтобы
поднять поршень на высоту h 1
9.21. Газ расширяется адиабатически так, что его давление падает от рг =
= 600 кПа до р2 = 300 кПа. Потом газ нагревается при постоянном объеме до
первоначальной температуры. При этом его давление возрастает до р3 -
= 360 кПа. Найти для этого газа 7 = Ср /Су.
9.22. Некоторое количество воздуха адиабатически сжимается. При этом
его давление изменяется от = 100 кПа до р2 = 1,2 МПа. Затем сжатый воз-
дух охлаждается при неизменном объеме до температуры исходного состоя-
ния. Определить давление р3 сжатого воздуха в конечном состоянии.
9.23. Двухатомный газ из некоторого начального состояния сжимается
до объема в пять раз меньше начального. В одном случае сжатие производится
изотермически, в другой — адиабатически. Определить: а) при каком из про-
цессов и во сколько раз W работа, затраченная на сжатие, будет больше;
б) при каком из процессов и во сколько раз N2 внутренняя энергия газа воз-
растает?
9.24. Сто молей газа, находящегося при температуре Т == 300 К, охлаж-
даются изохорически, вследствие чего давление уменьшается в 1,5 раза. После
этого газ расширяется изобарически так, что в конечном состоянии его темпе-
ратура равна первоначальной. Найти: а) совершенную газом работу; б) коли-
чество теплоты Q, поглощенной газом.
9.25. Один моль двухатомного газа адиабатически расширяется так, что
давление уменьшается в четыре раза, и затем изотермически сжимается до
первоначального давления. Температура в исходном состоянии Т == 450 К. Най-
ти: а) приращение внутренней энергии А l/газа; б) количество теплоты Q\ от-
данное газом.
926. Выражение для молярной теплоемкости идеального газа при поли-
58
тропическом процессе имеет вид С~ (и— y)R/(y — 1) (и — 1), где п — показа-
тель политропы; у = С JCy — показатель адиабаты. При каких значениях п мо-
лярная теплоемкость С газа будет отрицательной?
9.27. В результате политропического сжатия азота объемом V ~ 20 м3 от
давления = 100 кПа до давления р2 — 1,0 МПа его объем уменьшился в
пять раз. Определить показатель политропы п и работу Az сжатия азота.
9.28. При некотором политропическом процессе гелий был сжат от на-
чального объема = 12 л до объема V2 = 3 л. При этом давление гелия воз-
росло от рх = 100 кПа до р2 = 800 кПа. Найти показатель политропы п и мо-
лярную теплоемкость С.
9.29. Нагревается или охлаждается 1 моль идеального газа, если он расши-
ряется по закону pV2 = const? Определить молярную теплоемкость С газа
при этом процессе.
9.30. Воздух объемом 0,6 м3 (у = 1,4) сжимают так, что его объем
уменьшается в пять раз, а давление увеличивается в десять раз. Исходное дав-
ление воздуха рх = 100 кПа. Считая процесс сжатия политропическим, найти:
а) показатель политропы п ; б) приращение внутренней энергии Д U воздуха;
в) количество теплоты 0, полученное воздухом.
931. Идеальный тепловой двигатель, работающий по циклу Карно, полу-
чает за каждый цикл от нагревателя количество теплоты 0Х = 3 кДж. Темпе-
ратура нагревателя — 100 °C, температура холодильника ?2 = 0 °C. Опре-
делить работу Л, совершаемую машиной за цикл.
932. Идеальный тепловой двигатель работает по циклу Карно. Определить
ее КПД, если за один цикл двигатель совершает работу А = 0,75 кДж, а холо-
дильнику передается количество теплоты 0/ = 2,25 кДж.
933. Идеальный тепловой двигатель работает по циклу Карно. При этом за
цикл двигатель совершает работу Л = 1,2 кДж, а 82 % получаемого от нагре-
вателя количества теплоты отдает холодильнику. Найти: а) КПД (т?); б) ко-
личество теплоты Q , получаемой двигателем за один цикл от нагревателя.
934. Паровая турбина вырабатывает пар при температуре Т = 510 К и от-
дает его конденсатору при температуре Г2 =310 К. Определить теоретически
возможную работу Л, которую можно совершить при затрате Q = 10,0 кДж
теплоты.
935. Тепловой двигатель работает по циклу Карно. Температура нагрева-
теля 11 = 200 °C. Определить КПД (т?) цикла и температуру Т2 холодильника,
если за счет 0t — 1,0 кДж теплоты, получаемой ot нагревателя, двигатель со-
вершает работу Л = 0,32 кДж.
936. Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура нагревателя в
три раза выше температуры холодильника. Какую работу Л выполняет газ,
если он от нагревателя получает количество теплоты 0Г =9,0 МДж?
937. Найти КПД (т?) цикла, состоящего из двух изотерм с температура-
ми 1\ и Т2 (Тг > Т2) и двух изохор с объемами Vt и V2 (l^ > V2).
938. Найти КПД (т?) цикла, состоящего из двух изотерм с температура-
ми и Т2 > Т2) и двух изобар с давлениями/^ ир2 >р2).
939. Найти КПД (т?) цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат.
В пределах цикла объем газа изменяется в семь раз. Газ считать двухатомным,
идеальным.
59
9.40. Найти КПД (rf) цикла, состоящего из двух изохор и двух изобар.
Известно, что в пределах цикла максимальные значения объема и давления га-
за в два раза больше минимальных значений. Газ считать двухатомным,
идеальным.
9.41. Идеальная холодильная машина, работающая по обратному цик-
лу Карно, совершает за один цикл работу Л = 20 кДж. Машина получает коли-
чество теплоты Q2 от тела с температурой Т =? 260 К и отдает количество теп-
лоты (? телу с температурой Т = 295 К. Найти: а) КПД (??); б) количество
теплоты Q2, отнятого от охлаждаемого тела за цикл; в) количество теплоты
Q j, переданное горячему телу за цикл.
9.42. Азот массой тп « 0,28 кг нагревается от температуры = 7 °C до
температуры t2 = 100 °C при постоянном давлении. Найти приращение энтро-
пии азота.
9.43. Вычислить приращение энтропии LS при переходе одного моля кис-
лорода от объема V = 50 л при температуре = 300 К к объему V* = 200 л
при температуре Т2 “ 500 К.
9.44. Вычислить приращение энтропии AS при переходе 12 г гелия от
объема V= 40 л при давлении рх = 100 кПа к объему V2 — 160 л при давле-
нии » “ 80 кПа.
9.45. Один моль двухатомного газа расширяется изобарически до удвое-
ния его объема. Вычислить приращение энтропии AS газа.
9.46. Вычислить приращение энтропии AS при изотермическом расшире-
нии 3 молей идеального газа от давления р = 100 кПа до давления р —
= 25 кПа.
9.47. Кислород массой 12 г изотермически расширяется от объема F =
= 20 л до объема У2 — 50 л. Вычислить приращение энтропии AS кислорода.
9.48. Один моль одноатомного идеального газа переходит из начального
состояния, характеризуемого давлением р и объемом К, к конечному состоя^
нию при давлении 2р и объеме 2 V. Определить приращение энтропии AS газа.
Рассмотреть следующие способы перехода газа из начального в конечное сос-
тояние: а) газ расширяется изотермически до объема 2V и потом изохоричес-
ки переходит в конечное состояние; б) газ сжимается изотермически до дав-
ления 2р и потом изобарически переводится в конечное состояние.
9.49. Идеальный двухатомный газ массой 1 моль совершает политропичес-
кий процесс. Показатель политропы п = 3. В результате процесса температура
газа увеличивается в два раза. Вычислить приращение энтропии AS газа. Мо-
лекулы газа считать жесткими.
9.50. В двух одинаковых по объему баллонах находятся различные идеаль-
ные газы с Молярными массами и М . Соответственно массы газов в бал-
лонах и ш2. Давления газов и их температуры одинаковы. Сосуды соеди-
нили друг с другом. Определить приращение энтропии AS, которое произойдет
вследствие диффузии газов.
60
Задание 10. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ. ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПЕРЕХОДЫ
Литература: 1. И.В. Савельев. Курс общей физики (т. 1, § 91, 120-127);
2.А.А. Детлаф и др. Курс физики (т. 1, § 13.1—13 Л, 14,8,15 Л).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Чем отличаются реальные газы от идеальных? Изобразите графически и
обсудите характер взаимодействия двух молекул в зависимости от расстояния
между их центрами.
2. Объясните смысл поправок а и Ь в уравнении Ван-дер-Ваальса: ( р +
+ —о) ( К ~ b ) — RT. В каких единицах измеряются постоянные Ван-дер-Ва-
Уо 0
альса?
3. Изобразите на диаграмме р-V изотермы Ван-дер-Ваальса. Сравните их с
экспериментальными изотермами. Какая температура и какое состояние на-
зываются критическими? ,
4. Получите соотношения, связывающие критические параметры и по-
стоянные Ван-дер-Ваальса реального газа: г? = -- —г" ; К „ — — ЗЬ\
ь КР 27 b2 КР М
j1 — о
КР 27 bR '
5. Изобразите графически: а) температурный ход плотности жидкости и
насыщенного пара; б) зависимость давления насыщенного пара от температу-
ры. Имеет ли смысл понятие насыщенного пара при температурах, выше кри-
тической?
6. При каких условиях могут существовать пересыщенный пар и перегре-
тая жидкость?
7. Получите выражение для внутренней энергии реального газа. Какие ме-
тоды получения низких температур и сжижения реальных газов вы знаете?
8. Что называется: испарением; сублимацией; удельной теплотой испаре-
ния; удельной теплотой сублимации?
9. Что называется: плавлением; удельной теплотой плавления? Изобрази-
те кривую плавления вещества на диаграмме р—V.
10. При каких условиях возможно существование переохлажденной жид-
кости? Каковы особенности жидкого и твердого состояний вещества?
11. Что называется фазовым переходом? Чем различаются фазовые перехо-
ды I и II рода? Запишите уравнение Клапейрона-Клаузиуса. Дайте определе-
ние удельной теплоты фазового перехода.
12. Изобразите на диаграмме состояния вещества р—Т кривые испарения,
сублимации и плавления. Какая точка на этой диаграмме называется тройной?
Что эта точка означает?
ЗАДАЧИ
10.1. В баллоне объемом V = 30 л находится азот массой тп = 0,6 кг. Найти:
а) собственный объем молекул азота V. ; б) внутреннее давление азота р. . ’
10.2. В баллоне объемом V = 3 л находится кислород массой m = 0,48 кг
61
при температуре Т — 300 К. Определить давление р кислорода: а) по уравне-
нию Ван-дер-Ваальса; б) по уравнению Менделеева—Клапейрона.
103. Найти давление р, при котором должен находиться 1 кмоль азота, что-
бы при температуре Т — 300 К он занимал объем V = 1,2 м3.
10.4. Критические параметры для воды имеют следующие значения Гкр =
= 647 К, р = 22 МПа. Используя эти данные, вычислить для воды постоян-
ные Ван-дер-Баальса а и Ь.
10.5. Определить критическую плотность р воды, если постоянная
Ван-дер-Ваальса для воды b = 0,03 м3/кмоль.
10.6. Определить критические параметра Гкр, ркр, Ккр для 1 кмоля угле-
кислого газа.
10.7. Найти критическую плотность р гелия, если Т — 5,2 К, р —
= 0,227 МПа. Р Р Р
10.8. При какой температуре Т 1 кмоль кислорода будет занимать объем
V = 0,80 м3, если его давление р = 3 МПа. Критические параметры для кисло-
рода: Т _ — 154 К, р_= 5 МПа.
TZ — л on -----
рода: Т — 154 К, р =5 МПа.
r КП *Кр
10.9. Определить давление р, при котором должен находиться 1 кмоль азо-
та, чтобы при температуре Т — 300 К он занимал объем V ~ 1,2 м3. Критичес-
кие параметры для азота: Т
10.10. Определить, во сколько раз N давление газа больше его критическо-
= 127 К, р-3,3 МПа.
кр
го давления, если известно, что его объем и температура вдвое больше крити-
ческих значений этих параметров.
10.11. Определить работу А внутренних сил взаимодействия молекул азота
массой ш =0,14 кг при его расширении от объема V = 1,5 м3 до объема
V2 = 15 м3.
10.12. Найти работу А, совершаемую 1 молем реального газа при изотер-
мическом расширении. Известны: температура Т, начальный V и конечный
V2 объемы газа, а также постоянные Ван-дер-Ваальса а и Ь.
10.13. Один киломоль некоторого газа занимает объем V = 2 м3. При
расширении газа до объема У2 = 12 м3 была совершена работа против внут-
ренних сил взаимодействия молекул А = 10,2 кДж. Найти для этого газа по-
стоянную Ван-дер-Ваальса а.
10.14. Один киломоль азота изометрически расширяется от объема V =
- 0,90 м3 до объема V2 = 4,5 м3 при температуре Т = 300 К. Найти: а) прира-
щение внутренней энергии Д1/газа; б) работу Л, совершенную газом; в) ко-
личество теплоты 0, поглощенное газом.
10.15. Два теплоизолированных баллона соединены краном. В баллоне
объемом У находится 1 моль газа, для которого молярная теплоемкость
Су и постоянная Ван-дер-Ваальса а известны. Баллон объемом V2 откачан до
высокого вакуума. Кран открывают, и газ адиабатически расширяется. Найти:
а) приращение внутренней энергии Д1/газа; б) работу Лр совершенную га-
зом против внутренних сил взаимодействия молекул; в) приращение темпера-
туры ДТ газа.
10.16. Азот массой 14 г адиабатически расширяется в вакуум от объема
• Fj = 1,2 м3 до объема V2 = 2,4 м3. Найти понижение температуры Дг азота
при этом расширении.
62
10.17. Один киломоль трехатомного газа адиабатически расширяется в
вакуум от объема К — 1,2 м3 до объема V2 = 2,4 м3. При этом температура
газа понижается на АТ — 6,1 К. На основании этих данных найти постоянную
Ван-дер-Ваальса а газа. Молекулы газа считать жесткими.
10.18. Один киломоль азота адиабатически расширяется в вакуум от объе-
ма Vj == 1,2 м3 до объема V2 — 2,4 м3. При этом температура азота пони-
жается на А7 ~ 2,8 К. Считая молекулы азота жесткими, определить постоян-
ную Ван-дер-Ваальса а для азота.
10.19. Уптекислый газ массой 22 г адиабатически расширяется в вакуум.
При этом температура углекислого газа уменьшается на АТ = 1,4 К. Опреде-
лить работу Л, совершенную газом против внутренних сил взаимодействия
молекул.
10.20. Найти приращение энтропии AS 1 моля газа при его изотермическом
расширении от объема V до объема V2. Постоянная Ван-дер-Ваальса b для
данного газа известна.
10.21. Давление насыщенных паров воды при температуре t = 100 С
составляет р — 101 кПа. Найти плотность р насыщенных паров воды при той
же температуре.
10.22. Во сколько раз N плотность воды больше плотности насыщенных
водяных паров при температуре t — 20 °C. Давление насыщенных водяных па-
ров при этой температуре р = 2,33 кПа.
10.23. Давление насыщенных паров воды при температуре tj = 100 °C
составляет pv — 101 кПа, а при t = 200 С р2 — 1,55 МПа. Во сколько
раз N плотность насыщенных водяных паров при температуре t2 больше их
плотности при t ?
о
10.24. Давление насыщенных паров воды при температуре t = 20 С
рх = 2,33 кПа, а при температуре t2 = 100 С р2 = 101 кПа. Во сколько раз
N плотность насыщенных водяных паров при температуре t2 больше их плот-
ности при^?
10.25. Найти число п молекул насыщенного водяного пара, содержащих-
ся в 1 м3 при температуре t = 0 °C. Давление насыщенных паров воды при этой
температуре р = 0,61 кПа.
10.26. Найти удельный объем Уо насыщенного водяного пара при темпера-
туре t = 20 °C. Давление насыщенного водяного пара при этой температуре
р = 2,33 кПа.
10.27. Насыщенный водяной пар при температуре t = 20 С подвергается:
а) адиабатическому сжатию: б) адиабатическому расширению. В каком из
этих процессов пар становится ненасыщенным, а в каком — пересыщенным?
10.28. Большая часть поверхности Земли покрыта водой. Почему, несмотря
на это, атмосфера не насыщена водяным паром?
10.29. Найти выражение для молярной теплоты испарения qM жидкости
при постоянной температуре под давлением ее насыщенного пара в предполо-
жении, что уравнением состояния жидкости и ее пара является уравнение
Ван-дер-Ваальса. Постоянные Ван-дер-Ваальса а и Ь, а также молярные объемы
К w и V жидкости и ее насыщенного пара при температуре Т считать из-
вестными.
63
1030. Найти выражение для разности молярных теплоемкостей С^~Су га-
за Ван-дер-Ваальса. Чему равна эта разность в критическом состоянии?
10.31. Рассмотрев цикл Карно для системы, состоящей из жидкости и ее
насыщенного пара, и использовав теорему Карно, выразить производную дав-
ления насыщенного пара по температуре dpjdT через удельные объемы пара
Гоп» жидкости 1/ож и удельную теплоту парообразования q .
10.32. Вблизи t = 100 °C температура кипения воды повышается на ДГ =
= 0,11 К при возрастании давления на Др = 400 Па. Определить удельную теп-
лоту парообразования Q воды. Удельный объем насыщенного пара считать
равным 1,7 м3/кг. Удельным объемом воды пренебречь.
10.33. Найти удельный объем водяного пара Уоп при г = 100 °C и нор-
мальном давлении, если известно, что при давлении ниже нормального на
Др = 3,3 кПа температура кипения воды t2 = 99,1 °C. Удельная теплота па-
рообразования Q при 100 °C равна 2,3 МДж/кг.
10.34. При t = 100 °C удельный объем насыщенного пара воды VQ =
= 1,7 м3/кг. Определить понижение температуры ДТ кипения воды при умень-
шении давления ее насыщенных паров на Др = 3 кПа. Удельная теплота паро-
образования воды q — 2,3 МДж/кг.
1035. Найти изменение температуры ДТ плавления льда при повышении
давления на Др = 101 кПа. При 273 К удельный объем воды V nw =
= 1,040" 3 м3/кг, удельный объем льда Кол = 1,0940" 3 м3/кг. Удельная теп-
лота плавления льда Q — 0,33 МДж/кг.
1036. Определить температуру Т плавления льда при давлении р = 1,01 МПа.
Считать, что при изменении давления от рх = 101 кПа до р2 = 1,01 МПа удель-
ные объемы воды и льда и удельная теплота плавления льда постоянны и рав-
ны: кож = Ь10‘3 *?1КГ’ vnl = 1,09-iO"3 м3/кг,Х = 0,33 МДж/кг.
1037. Исходя из термодинамических соображений, показать, что если ве-
щество при затвердевании расширяется, то его температура плавления с уве-
личением давления уменьшается.
10.38. Ромбическая сера превращается в моноклинную при Т = 369,5 К.
Найти смещение ДТ точки фазового перехода серы при изменении давления
на Др = 101 кПа. Скачок удельного объема серы при фазовом превращении
равен 1,440“5 м3/кг. Удельная теплота превращения q = 9,2 кДж/кг.
1039. При 0 °C давление водяного пара над льдом р = 610 Па. Найти дав-
ление р водяного пара над льдом при температуре t = — 1 С. Удельная теплота
сублимации Q = 2,58 МДж/кг. Водяной пар над льдом считать идеальным га-
зом.
10.40. При понижении температуры от 273 К на Д Т = 1 К давление водяно-
го пара над льдом уменьшилось на Др = 50 Па. Пренебрегая удельным объе-
мом льда, найти удельный объем водяного пара Ко п над льдом. Удельная
теплота сублимации льда при 273 К равна 2,58 МДж/кг.
10.41. Приращение энтропии воды массой m = 4,5 кг в результате ее перехо-
да в насыщенный пар при температуре t = 100. С равно 27,2 кДж/K. Исполь-
зуя эти данные, определить удельную теплоту парообразования Q воды.
64
10.42. Определить приращение энтропии AS при нагревании 2,5 кг воды от
t =20°Сдо^2 = 100 °C и последующем превращении воды в пар при темпе-
ратуре 100 °C. Удельная теплота преобразования воды г = 2,25 МДж/кг.
10.43. Кусок льда массой т = 0,5 кг, взятый при температуре т = 0 °C,
был расплавлен, после чего образовавшаяся вода была нагрета до температу-
ры t = 20 °C. Определить приращение энтропии AS.
10.44. Кусок льда массой 2,5 кг, взятый при температуре г =0 С, был
расплавлен при той же температуре с помощью водяного пара, имеющего тем-
пературу t2 - 100 °C. Определить массу т2 израсходованного пара и прира-
щение энтропии AS системы лед—пар при таянии льда. Удельная теплота
парообразования воды Q = 2,25 МДж/кг.
10.45. В калориметр, содержащий воду массой = 0,25 кг при температу-
ре — 27 °C, бросают лед т2 = 28 г при температуре t2 = 0 °C. Определить
приращение энтропии AS к моменту установления температуры системы.
Теплоемкостью калориметра пренебречь.
10.46. В калориметр, содержащий т t = 0,25 кг воды при температуре
г — 17 °C, опускают т2 = 0,20 кг меди при температуре t2 — 100 С. Опре-
делить изменение энтропии AS при выравнивании температур. Теплоемкостью
калориметра пренебречь.
10.47. Приращение энтропии при плавлении 1 моля льда AS = 22 Дж/К.
Найти приращение температуры АТ плавления льда при повышении внешнего
давления на Ар = 100 кПа. Удельные объемы воды и льда соответственно рав-
ны VQ ж = ЫО"3 м3/кг и Уол = 1,09*10"3 м3/кг.
10.48. Вода массой т = 0,98 кг нагревается от t = 0 °C до ?2 = 100 °C и
при температуре t полностью превращается в пар. Найти приращение энтро-
пии AS системы, считая пар идеальным газом.
10.49. Лед массой т — 4,5 кг с начальной температурой t ~ 0 Св резуль-
тате нагревания превращается сначала в воду, а затем в пар при температуре
t — 100 °C. Найти приращение энтропии AS системы считая пар идеальным
газом.
10.50. Один моль воды, находящийся в равновесии с пренебрежимо малым
количеством своего насыщенного пара при температуре Тх полностью превраг
щается в насыщенный пар при температуре Т2. Найти приращение энтропии
LS системы. Зависимостью удельной теплоты парообразования Q воды от
температуры и удельным объемом жидкости по сравнению с удельным объе-
мом пара пренебречь. Пар рассматривать как идеальный газ.
Контрольная работа № 2
1. Повторить программный материал заданий 7—10.
2. Решить задачи своего варианта. Номера задач приведены в табл. 2.
5 Зак. 5886
65
Таблица 2
Вариант Номер задачи Вариант Номер задачи
I 8.28 8.31 9.6 9.31 10.19 XVI 8.11 8.49 9.2 10.6 10.16
II 8.25 8.32 9.7 9.32 10.9 XVII 8.14 8.46 9.1 10.17 10.30
III 8.26 8.35 9.8 9.34 10.29 XVIII 8.13 8.47 9.4 10.18 10.40
IV 8.30 8.34 9.11 9.33 10.21 XIX 8.12 8.48 9.5 10.32 10.49
V 8.24 8.36 9.30 9.35 10.22 XX 8.15 8.41 9.3 10.33 10.50
VI 8.27 8.40 9.24 9.36 10.23 XXI 8.8 8.22 9.50 10.7 10.36
VII 8.21 8.39 9.12 9.37 10.24 XXII 8.7 8.23 9.49 10.8 10.35
VIII 8.23 8.38 9.13 9.40 10.25 ххш 8.5 8.29 9.48 10.34 10.37
IX 8.22 8.33 9.14 9.39 10.26 XXIV 8.10 8.25 9.47 10.11 10.38
X 8.29 8.37 9.15 9.38 10.31 XXV 8.9 8.27 9.46 10.12 10.43
XI 8.18 8.42 9.16 9.41 10.39 XXIV 8.6 8.20 9.1 10.13 10.44
XII 8.17 8.50 9.17 9.42 10.41 XXVII 8.4 8.28 9.2 10.10 10.45
XIII 8.20 8.45 9.18 9.43 10.27 xxvin 8.3 8.26 9.3 10.20 10.46
XIV 8.19 8.43 9.21 9.44 10.28 XXIX 8.2 8.9 9.4 10.14 10.47
XV 8.16 8.44 9.19 9.45 10.42 XXX 8.1 8.10 9.5 10.15 10.48
ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПОСТОЯННЫЙ ТОК
Задание 11. ЗАКОН КУЛОНА. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
ПОЛЯ
*
Литература: 1. И.В. Савельев. Курс общей физики (т, 2, § 1-5); 2. НЕ. Иро-
дов. Основные законы электромагнетизма (§ 1.1) .
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Какие фундаментальные свойства присущи электрическому заряду?
Сформулируйте закон сохранения заряда.
2. В каких единицах измеряется электрический заряд? Чему равен эле-
ментарный заряд?
3. Какому закону подчиняется сила взаимодействия точечных зарядов?
Какие утверждения содержит закон Кулона?
4. Получите численное значение и единицу электрической постоянной .
5. Как рассчитывается сила взаимодействия зарядов, распределенных на
телах конечных размеров?
6. Можно ли воспользоваться законом Кулона при расчете силы взаимо-
действия двух заряженных тел сферической формы?
7. Что является источником электрического поля? Как обнаруживается и
исследуется электрическое поле?
8. Дайте определение напряженности электрического поля. В каких едини-
цах измеряется напряженность?
9. Напишите формулу для напряженности Е точечного заряда 7. Изобрази-
те график зависимости Е(г ), где г — расстояние от точечного заряда до дан-
ной точки поля.
10. Каково содержание принципа суперпозиции электрических полей?
И. Как рассчитать напряженность поля заданного распределения электри-
ческих зарядов?
12. Почему при движении небесных тел принимают во внимание их гравита-
ционное взаимодействие и не учитывают кулоновское?
ЗАДАЧИ
11.1. Найти суммарный заряд q атомных ядер молекул воды (Н2 О), содер-
жащихся в 1 см3.
11.2. С какой силой F притягивается электрон атома водорода к ядру, если
диаметр атома водорода d — 240"8 см?3аряд ядра q = 1,6*10“19 Кл.
11.3. Вычислить ускорение а, сообщаемое одним электроном другому,
находящемуся от первого на расстоянии г ~ 1 мм.
11.4. Найти суммарный заряд q атомных ядер, содержащихся в 200 г меди?
67
115. В вершинах правильного шестиугольника со стороной а помещаются
точечные заряды одинаковой величины. Найти напряженность поля Е в центре
шестиугольника при условии; а) знак всех зарядов одинаков; б) знаки со-
седних зарядов противоположны.
11.6. Найти суммарный заряд q атомных ядер, содержащихся в 10 г азота.
11.7. Чтобы представить себе величину электрического заряда 1 Кл, под-
считайте, с какой силой F отталкивались бы два одноименных заряда каждый
величиной q — 1 Кл, находясь на расстоянии г = 1 км друг от друга.
115. На поверхности заряженного шарика радиусом г = 1 см напряжен-
ность электрического поля Е = 300 кВ/м. Сколько электронов п надо отнять
от шарика для такой электризации? Насколько при этом уменьшится масса
шарика Aw ?
11.9. На каждый атом меди приходится один электрон проводимости. Най-
ти: а) среднее число электронов проводимости п в единице объема; б) отно-
шение среднего числа электронов проводимости в единице объема к суммар-
ному числу электронов в единице объема и /»е .
11.10. Найти силу F притяжения двух одинаковых свинцовых шариков диа-
метром d — 1 см, расположенных на расстоянии г = 1 м друг от друга, если у
каждого атома первого шарика отнять по одному электрону и все эти электро-
ны перенести на другой шарик.
11.11. Во сколько раз сила электрического отталкивания двух электронов,
расположенных на расстоянии г друг от друга, больше силы их гравитацион-
ного притяжения? Чему должна быть равна масса электрона w, чтобы уравно-
весить эти силы?
11.12. Во сколько раз п сила гравитационного притяжения между двумя
протонами меньше силы их кулоновского отталкивания?
11.13. Какова должна быть масса тп протона, чтобы сила гравитационного'
притяжения между двумя покоящимися протонами по величине совпадала бы
с силой их электростатического отталкивания?
11.14. Какие заряды q^ и q^,пропорциональные массам wc и w3, нужно
было бы сообщить Солнцу и Земле для того, чтобы сила кулоновского взаи-
модействия между ними оказалась равной силе гравитационного взаимодейст-
вия?
11.15. При каком одинаковом для Солнца и Земли удельном заряде q/m
сила кулоновского взаимодействия между ними оказалась бы равной силе
гравитационного взаимодействия? Сравните полученное значение q/m с удель-
ным зарядом е/ше электрона.
. 11.16. Два одинаковых металлических шарика имеют заряды qt =
= 5,6 мкКл и q2 = — 7,2 мкКл. Найти силу F их кулоновского взаимодейст-
вия после того, как их привели в соприкосновение и затем удалили друг от дру-
га на расстояние г = 14 см. Диаметр шаров считать много меньшим расстоя-
ния между ними.
Л. 17» Сила притяжения двух одинаковых металлических шаров, находя-
щихся на расстоянии 14 см, равна 36 мкН. После того как шары были приве-
дены в соприкосновение и удалены на прежнее расстояние, они стали отталки-
ваться с силой 95 мкН. Определить заряды q и q шаров до соприкосновения.
68
Рис. 11.1
Рис. 11.2
Диаметр шаров считать много меньшим расстояния между ними.
11.18. Два одинаковых иона на расстоянии г = 10"8 м в вакууме взаимо-
действуют с силой F = 9,2е 10“12 Н. Сколько ’’лишних” электронов у каждого
иона?
11.19. Какова была бы сила F электростатического взаимодействия двух
монет по 1 копейке, находящихся на расстоянии г = 10 м, если бы заряды •
ядер и электронов этих монет компенсировали себя лишь с точностью до 1 % ?
Можете ли вы себе представить тело, вес которого по величине совпадал бы с
этой силой?
11.20. Два маленьких проводящих шарика подвешены на длинных непро-
водящих нитях к одному крючку. Шарики заряжены одинаковыми зарядами и
находятся на расстоянии г = 5 см друг от друга. Что произойдет после того,
как один из шариков разрядить?
11.21. Два одинаковых наполненных гелием шара, к которым привязан
груз массой тп — 15 г, парят в равновесии, как показано на рис. 11.1. Каждый
шар несет заряд q. Найти величину заряда.
11.22. Два одинаковых шарика радиусом г — 1,5 см и массой га = 16 г
каждый, подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины I = 19 см. Ша-
рикам сообщены одинаковые заряды. Найти заряд каждого из шариков,
если они разошлись так, что нити образуют угол а = 60 .
11.23. В вершинах равностороннего треугольника со стороной а расположе-
ны одинаковые отрицательные заряды — q. Какой положительный заряд qQ
нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила, действующая на любой
из отрицательных зарядов, была равна нулю?
11.24. В вершинах квадрата со стороной а = 9,8 см находятся точечные за-
ряды qx = 7,5 нКл, q2 = 4,7 нКл, q3 = —7,5 нКл и q* - 3,9 нКл. Найти силу F,
действующую на заряд q* (рис. 11.2).
1125. Два точечных заряда 240"? и 440" 7 Кл находятся на расстоянии г —
= 6,5 см друг от друга. Найти положение точки, в которой напряженность
электростатического поля Е равна нулю. Рассмотреть случаи: а) одноименных
зарядов; б) разноименных зарядов.
11.26. Два точечных заряда qx =4,5 мкКл, q2 = —4,5 мкКл находятся на
расстоянии I = 10 см друг от друга. Найти напряженность поля Е в точке,
удаленной на г = 7 см как от первого, так и от второго заряда.
69
11.27. В вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 2 см на-
ходятся одинаковые положительные заряды по q = 0,46 мкКл каждый. Найти
силу F, действующую на каждый из этих зарядов.
11.28. Два одинаковых металлических шарика имеют заряды 3,6 и 8 нКл.
Найти силу F их взаимодействия после соприкосновения и удаления друг от
друга на расстояние 12 см.
11.29. Два неподвижных одноименных заряда q — 1,6 *10"19 Кл каждый
находятся на расстоянии I .= 3,9 *10"11 м. Вдоль перпендикуляра, проходя-
щего через середину отрезка, соединяющего эти заряды, движется электрон.
Найти максимальную силу взаимодействия Fmax электрона и этих зарядов.
11.30. Два положительных заряда qx и q2 находятся в точках с радиусами-
векторами г j и г2. Найти отрицательный заряд q3 и радиус-вектор г 3 точки,
в которую его надо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из этих
трех зарядов, была равна нулю.
1131. Между пластинами плоского конденсатора находится точечный за-
ряд q — 30 нКл. Поле конденсатора действует на заряд с силой F = 10 мН.
Найти силу F взаимного притяжения пластин, если площадь каждой пластины
5=50 см2.
1132. Капелька воды диаметром d — 0,1 мм несет такой отрицательный за-
ряд, что электрическое поле на ее поверхности Е = 6 • 105 В/м. Найти напря-
женность Е вертикального поля, удерживающего каплю от падения.
1133. С какой силой F притягиваются пластины плоского конденсатрра,
если площадь каждой пластины S = 50 см2 и заряд q — 3,240“9 Кл?
1134. Капля массой т — 5,6»10"9 г поднимается вертикально вверх между
пластинами горизонтально расположенного конденсатора с ускорением а —
= 1,2 м/с2. Найти поверхностную плотность заряда о на пластинах конденса-
тора, если заряд капли равен 10 зарядам электрона.
11.35. Найти силу F, действующую на заряд q = 8,3»10"9 Кл, находящийся
на расстоянии г = 5,2 см от бесконечной нити, линейная плотность заряда ко-
торой т = 30 мкКл/м.
1136. Точечный заряд q = 9 нКл находится на расстоянии / = 4,5 см от
бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда а = 58 мкКл/м2.
Найти силу F, действующую на этот заряд.
1137. С какой силой на единицу длины F отталкиваются две бесконечные
одноименно заряженные параллельные нити с линейной плотностью зарядов
соответственно т = 78 мкКл/м и т2 = 86 мкКл/м, если расстояние между
ними г = 25 см?
1138. Бесконечная равномерно заряженная плоскость имеет поверхност-
ную плотность электрических зарядов а = 91 мкКл/м2. Над ней находится
медный шарик с зарядом 4 мкКл. Какой радиус г должен иметь шарик, чтобы
он парил над плоскостью?
11.39. Тонкое кольцо радиусом R = 5 см равномерно заряжено с линейной
плотностью зарядов т = 75 мкКл/м. Найти силу F, действующую на точечный
заряд q = 4 нКл, находящийся в точке, равноудаленной от всех точек кольца
на расстояние г = 7 см.
11.40. Расстояние между двумя длинными тонкими проводами, располо-
женными параллельно друг другу, 7=16 см. Провода равномерно заряжены
70
Рис. 11.3
разноименными зарядами с одинаковой по величине линейной плотностью
т — 150 мкКл/м. Найти силу F, действующую на заряд q — 4,5 нКл, располо-
женный в точке, удаленной на расстояние г — 10 см как от первого, так и от
второго провода.
11.41. Тонкая бесконечная нить равномерно заряжена с линейной плот-
ностью г. Пользуясь принципом суперпозиции полей, найти напряженность
поля Е в точке, находящейся на расстоянии г от нити.
11.42. По четверти кольца радиусом г — 6,1 см равномерно распределен по-
ложительный заряд с линейной плотностью т = 64 нКл/ м. Найти силу F,
действующую на заряд q = 12 нКл, расположенный в центре.
11.43. По окружности радиусом R распределен заряд с линейной плот-
ностью т = 70cosa, где 70 — константа. Найти напряженность Е электрического
поля в центре этой окружности (рис. 11.3).
11.44. Тонкий стержень длиной lQ = 15 см несет равномерно распределен-
ный заряд с линейной плотностью 7 = 6 мкКл/м. Заряд q 0= 12нКл равноудален
от концов стержня на расстояние R = 10 см. Найти силу F взаимодействия
заряда и заряженного стержня.
11.45. Тонкий стержень длиной lQ = 10 см равномерно заряжен. Линейная
плотность заряда 7 = 17 мкКл/м. На продолжении стержня,на расстоянии / =
= 20 см от ближайшего его конца,находится точечный заряд q = 78 нКл. Найти
силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.
11.46. Найти напряженность Е электростатического поля в центре окруж-
ности радиусом г , по которой распределен заряд с линейной плотностью т —
— 70 sina, где 70 — константа (рис. 11.3).
11.47. Полусфера равномерно заряжена с поверхностной плотностью о =
= 67 нКл/м2. Найти напряженность поля Е в центре полусферы.
11.48. Напряженность электрического поля на оси заряженного кольца
имеет максимальное значение на расстоянии /тах от центра кольца. Во сколь-
ко раз п напряженность электрического поля в точке, расположенной на рас-
стоянии I = 0,5 / от центра кольца, будет меньше максимальной напряжен-
ности?
V 11.49. По тонкому диску радиусом R равномерно распределен заряд с по-
верхностной плотностью о. Найти напряженность поля Е на оси диска как
функцию расстояния х от плоскости диска. Показать, что электрическое поле,
71
образованное заряженным диском, в предельных случаях переходит в
электрическое поле: а) бесконечно протяженной плоскости (x«R); б) то-
чечного заряда (х » R).
11.50. По тонкой нити длиной I равномерно распределен положительный
заряд с линейной плотностью т. Наити напряженность поля Е в точке, распо-
ложенной против одного из ее концов на расстоянии rQ от нее (рис. 11.4).
Задание 12. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО
ПОЛЯ
Литература: Х.И.В. Савельев. Курс общей физики (т. 2, 1982, § 6-14 );
2. И.Е. Иродов. Основные законы электромагнетизма (§ 1.2—1.6).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Дайте определение потенциала. Напишите выражение для потенциала:
а) точечного заряда; б) системы точечных зарядов.
2. Как выражается работа по перемещению заряда в электростатическом
поле: а) через напряженность поля; б) через разность потенциалов?
3. Покажите, что в общем случае потенциал и напряженность электроста-
тического поля связаны соотношением Е = — grad<A
4. Что называется линией напряженности электростатического поля?
5. Что называется эквипотенциальной поверхностью? Покажите, что ли*
нии напряженности ортогональны эквипотенциальным поверхностям.
6. Докажите, что в заряженном проводнике некомпенсированные заряды
располагаются только на его поверхности.
7. Докажите, что в электростатическом поле циркуляция вектора напря-
женности по произвольному замкнутому контуру равна нулю.
8. Напишите условие потенциальности электростатического поля в диф-
ференциальной форме.
9. Как вычисляется поток вектора напряженности электрического поля
через любую поверхность?
10. Сформулируйте и запишите теорему Остроградского—Гаусса.
И. Получите выражение для напряженности Е равномерно заряженной с
поверхностной плотностью о бесконечной плоскости.
12. Напишите теорему Остроградского—Гаусса в дифференциальной форме.
ЗАДАЧИ
12.1. По тонкому кольцу радиусом R = 8 см равномерно распределен заряд
с линейной плотностью т = 6 нКл/м. Найти потенциал: а) в центре кольца V?o;
б) в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии 6 см от плоскости кольца
12.2. По тонкому диску радиусом R = 10 см равномерно распределен заряд
с поверхностной плотностью о = 10 нКл/м2. Найти потенциал: а) в центре дис-
ка <£0; б) в точке, лежащей на оси диска на расстоянии h — 8 см от плоскости
диска
12.3. Найти потенциал в центре сферы радиусом R, заряженной с постоян-
ной поверхностной плотностью а.
72
Рис. 12.1
Рис. 12.2
12.4. Найти потенциал в точке Л, удаленной на расстояние rQ от заряжен-
ной нити длиной (I + 12). Линейная плотность зарядов т (рис. 12.1).
12.5. Металлический шарик диаметром d — 2 см заряжен отрицательно до
потенциала = 150 В. Сколько электронов п находится на поверхности шари-
ка?
12.6. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно распределен за-
ряд с линейной плотностью т = 2,5 нКл/м. Найти разность потенциалов точек
А и В (рис. 12.2).
12.7. Заряд q = 2* 10“6 Кл равномерно распределен по объему шара радиу-
сом R = 40 мм. Найти потенциал в центре шара.
12.8. Расстояние между плоскостями А, В, С, а также напряженности полей
между ними указаны на рис. 12.3. Потенциал плоскости А равен нулю. Найти
потенциалы плоскостей В и С.
12.9. Два бесконечно длинных коаксиальных цилиндра с радиусами г х =
= 10 и г 2 — 20 мм заряжены одноименными зарядами, причем поверхностная
плотность зарядов на внешнем цилиндре о2 = 6,66 нКл/м2, а на внутреннем
а( = 3,33 нКл/м2. Найти разность потенциалов между цилиндрами.
12.10. Две концентрические проводящие сферы радиусами г = 12 и
г2 = 18 см заряжены одноименно:, заряд внутренней qy = 1 мкКл, внешней —
<?2 = 2 мкКл. Найти разность потенциалов Д</> между сферами.
12.11. Найти вектор напряженности Е электрического поля, потенциал ко-
торого имеет вид = аг, где а — постоянный вектор.
12.12. Потенциал некоторого поля имеет вид = axz. Найти вектор напря-
женности поля Е и его модуль Е.
12.13. Потенциал некоторого поля имеет вид = 1/V х2 + у2 + z2 , где
х, у, z — координаты точки. Найти вектор напряженности Е и его модуль Е.
12.14. Потенциал некоторого поля имеет вид = д(х2 +у2) — bz2, где а и
b — положительные константы. Найти вектор напряженности поля Е и его
модуль Е.
12.15. Потенциал поля на продолжении стержня длиной I, равномерно за-
ряженного с линейной плотностью т, имеет вид = ------In----- , где х — рао
4тгео х
стояние от ближайшего конца стержня. Найти вектор напряженности поля Е.
6 Зак.5886
Е-ЗОВ/м
В
Рис. 12.3
Рис. 12.4
12.16. Потенциал поля на оси кольца радиусом R, равномерно заряженного
TR
с линейной плотностью т, имеет вид = ----------— ,где х — расстояние
2еЛ\/ К2 +х*
О v /
от плоскости кольца до точки. Найти вектор напряженности Е на оси кольца.
12.17. Потенциал некоторого поля имеет вид = -у(2х + 3z ), где х, z -
координаты точки. Найти вектор напряженности поля Е и его модуль Е.
12.18. Потенциал некоторого поля имеет вид = ау(у2/3 — х2 ),где а —
константа. Найти вектор напряженности поля Е и его модуль Е.
12.19. Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстоя-
ния до его центра г по закону = ат2 + Ь9 где а и b - константы. Найти объем-
ную плотность заряда р внутри шара.
12.20. Потенциал поля в некоторой области пространства зависит только от
координаты х : = -ах3 + Ь, где а и b — константы. Найти объемную плот-
ность заряда р(х).
12.21. Объемный заряд с плотностью р = 2 нКл/м3 равномерно распределен
между двумя концентрическими сферическими поверхностями, причем ра-
диус внутренней поверхности = 10 см, наружной R2 = 50 см. Найти напря-
женность поля Е в точках, отстоящих от центра сфер на расстояние а) г =
= 3 см; б) г2 = 12 см; в) г3 = 56 см.
12.22. Объемный заряд с плотностью р равномерно распределен между дву-
мя бесконечно длинными коаксиальными и цилиндрическими поверхностями.
Радиус внутренней поверхности , внешней — К2. Найти напряженность поля
Е для областей: а) внутри цилиндра меньшего радиуса; б) между цилиндри-
ческими поверхностями; в) вне их.
12.23. . Шар радиусом R имеет положительный заряд, объемная плотность
которого зависит только от расстояния г от его центра по закону р = аг9 где
а — константа. Диэлектрическая проницаемость е — 1 внутри и вне шара. Най-
ти напряженность электрического поля Е внутри и вне шара как функцию рас-
стояния г.
12.24. Напряженность электрического поля зависит только от координат х
и у по закону Е = a(xi + yj )/(х2 + у2), где а — константа, i и j — орты осей
хи у. Найти величину заряда, находящегося внутри сферы радиусом R с цент-
ром в начале координат.
12.25. Шар радиусом R имеет положительный заряд, объемная плотность
которого зависит только от расстояния г от центра шара по закону р =
= pQ (1 — г /R), где р0 — константа. Диэлектрическая проницаемость е = 1
74
внутри и вне шара. Найти напряженность Е электрического поля внутри и вне
шара как функцию расстояния г .
12.26. Шар радиусом R равномерно заряжен с объемной плотностью р.
Найти поток вектора напряженности N электрического поля через сечение ша-
ра, которое образовано плоскостью, отстоящей от центра шара на расстояние
го<К'
12.27. Бесконечно длинный цилиндр радиусом R имеет положительный за-
ряд, объемная плотность которого зависит только от расстояния от его оси по
закону р = р0(1 — г2/R2), где р0 - константа. Найти напряженность поля Е
внутри и вне цилиндра как функцию расстояния г от его оси. Диэлектричес-
кая проницаемость е = 1 внутри и вне цилиндра.
12.28. Внутри шара, заряженного с постоянной объемной плотностью за-
ряда р, имеется сферическая полость, в которой заряды отсутствуют. Центр
полости смещен относительно центра шара на расстояние а. Найти напряжен-
ность поля Е внутри полости. Диэлектрическая проницаемость е = 1.
12.29. Внутри бесконечно длинного цилиндра, заряженного равномерно с
объемной плотностью р, имеется цилиндрическая полость. Расстояние между
осями цилиндра и полости равно а. Найти напряженность электрического поля
Е в полости. Диэлектрическая проницаемость 6=1.
12.30. Найти напряженность электрического поля Е в полости, образован-
ной пересечением двух шаров (рис. 12,4). Шары несут равномерно распреде-
ленные по объему заряды с плотностями р и — р. Расстояние между центрами
шаров характеризуется вектором а . ,
12.31. Шар радиусом R заряжен однородно с объемной плотностью р. Найти
потенциал у? для точек внутри шара как функцию расстояния г от центра ша-
ра.
12.32. Положительные заряды q = 3,7» 10“5 Кл и q = 6,2*10~5 Кл нахо-
дятся в вакууме на расстоянии г = 2,7 м друг от друга. Найти работу Л, кото-
рую нужно совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния г2 =45 см.
12.33. Под действием поля бесконечной заряженной плоскости точечный за-
ряд q = 7,4 *10“10 Кл переместился по силовой линии на расстояние I =
= 3,2 см. При этом совершена работа А = 6,1 мкДж. Найти поверхностную
плотность заряда о на плоскости.
12.34. Найти силу отталкивания (на единицу длины) F двух одноименно
заряженных бесконечно длинных параллельных нитей с одинаковой линейной
плотностью заряда X = 3 мкКл/м , находящихся в вакууме на расстоянии Ь =
= 2 см друг от друга. Найти также работу (на единицу длины) А , которую
нужно совершить, чтобы сблизить эти нити до расстояния а = 1 см.
12.35, Найти работу, которую нужно совершить, чтобы перенести точечный
заряд q = 42 нКл из точки, находящейся на расстоянии а = 1 м, в точку, нахо-
дящуюся на расстоянии b = 1,5 см от поверхности шара радиусом К = 2,3 см
с поверхностной плотностью заряда о = 4,340“11 Кл/м2.
1236. Плоскости двух тонких коаксиальных равномерно заряженных ко-
лец одинакового радиуса R находятся на расстоянии а друг от друга. Работа,
которую необходимо совершить, чтобы перенести точечный заряд q из беско-
нечности в центр каждого из колец, равна соответственно A t и А 2. Найти ве-
личину зарядов qt и q2 на кольцах.
75
Рис. 12,5
1231 . Бесконечно длинная нить заряжена равномерно с линейной плот-
ностью заряда т = 6,3 *10’7 Кл/м. Найти работу сил поля А по перемещению
точечного заряда q = 2,1 нКл с расстояния а — 2,4 см до расстояния b = 4,8 см
от нити.
12.38. Имеется электрическое поле Е = <zxi . Выяснить, является ли это поле
потенциальным. Если да, то найти выражение для потенциала у.
1239. Электрическое поле имеет вид E^Fp + + Е3к,гце Е^Е^Е^—
константы. Является ли это поле однородным?
12.40. Напряженность электрического поля внутри и на поверхности шара,
заряженного с постоянной объемной плотностью р, выражается формулой
Е = рг/Зео, где г — расстояние от центра шара. Найти выражение для потен-
циала <р(г) точек внутри шара. Вычислить разность потенциалов между цен-
тром шара и поверхностью шара, если радиус шара К = 10 см, р = 50 нКл/м3.
12.41. Имеется электрическое поле Е = ax2i + 6y2j . Рассчитайте циркуля-
цию вектора Е вдоль контура, указанного на рис. 12.5, и решите вопрос, яв-
ляется ли это поле потенциальным.
12.42. Непосредственным расчетом показать, что циркуляция вектора нап-
ряженности Е вдоль контура, отмеченного на рис. 12.6, равна нулю. Поле соз-
дано бесконечной прямой равномерно заряженной линией (на рисунке эта ли-
ния перпендикулярна к плоскости чертежа).
12.43. Может ли существовать в вакууме электростатическое поле, вектор
напряженности которого Е во всем объеме поля одинаково направлен, но* по
модулю изменяется, например, по линейному закону, если переходить от точ-
ки к точке по нормальному к полю направлению.
12.44. Вычислить циркуляцию вектора напряженности вдоль контура, изоб-
раженного пунктиром на рис. 12.7, в случае однородного электрического поля.
12.45. Заряды распределены равномерно по поверхности двух концентри-
ческих сфер радиусами = 10 и R2 = 15 см, поверхностная плотность заря-
дов на обеих сферах одинакова: о — 2,5 нКл/м2. Найти: а) разность потенциа-
лов сфер б) потенциал наружной сферы <Р2.
V 12.46. Две удаленные от остальных тел одинаковые металлические пласти-
ны площадью S = 50 см2 каждая, находящиеся на расстоянии d = 1 мм друг от
друга, заряжены: одна зарядом qx = 20 мкКл, вторая q2 = —40 мкКл. Найти
разность потенциалов &Р между ними.
76
Рис. 12.7
12.47. Разность потенциалов между обкладками воздушного сферического
конденсатора 17= 3000 В. Радиус внутренней обкладки 7?1 = 1 см, наружной
R2 = 4 см. Найти напряженность электрического поля Е на расстоянии г =
= 3 см от центра сферических поверхностей.
I 12.48. Электроды двухэлектродной лампы (диода) имеют форму нити
радиусом =0,1 мм (катод) и коаксиального с ней цилиндра радиусом
R^ = 2,72 мм (анод). На электроды подано напряжение 17 = 100 В. Найти си-
лу F, которую будет испытывать электрон, находясь в точке, отстоящей от
оси катода на расстояние 1 мм.
12.49. Пользуясь теоремой Остроградского—Гаусса в дифференциальной
форме, найти напряженность Е электрического поля внутри и вне бесконеч-
ной пластинки толщиной 2а, равномерно заряженной с объемной плот-
ностью р.
12.50. Пользуясь теоремой Остроградского—Гаусса в дифференциальной
форме, найти вектор напряженности Е электрического поля внутри и вне шара
радиусом К, равномерно заряженного с объемной плотностью р.
Задание 13. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
Литература: 1. И.В. Савельев. Курс общей физики (т. 2, § 15-25); 2. HJS. Лро-
дов. Основные законы электромагнетизма (§ 2.1- 2.6; 1.7; 3.1-3.6).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Какова напряженность поля внутри проводника,находящегося в электро-
статическом поле напряженностью Е?
2. Почему при внесении незаряженного проводника в электрическое поле
последнее искажается?
3. В чем суть электростатической защиты?
4. На расстоянии I от бесконечной металлической плоскости находится
точечный заряд q. Найдите силу F, действующую на заряд q со стороны плос-
кости.
5. Докажите, что напряженность электростатического поля вблизи провод-
ника перпендикулярна к его поверхности и равна Е = a/eQ.
77
1
I
6. Что называется электрическим диполем, его плечом I, его моментом
р? Напишите формулу для напряжениюсти поля диполя. '
7. Что называется электрическим моментом системы диполей?
8. Как ведет себя жесткий диполь (полярная молекула) во внешнем
электрическом поле? Напишите выражение: а) для момента пары сил, дейст-
вующих на диполь в однородном поле; б) для энергии диполя в поле; в) для
результирующей силы, действующей на диполь в неоднородном поле.
9. Рассмотрите поведение упругого диполя (неполярной молекулы) во
внешнем электрическом поле. Что называется поляризуемостью молекулы?
В каких единицах измеряется поляризуемость?
10. Опишите процесс поляризации диэлектриков. Что называется а) поля-
ризованностью диэлектрика; б) диэлектрической восприимчивостью диэлект-
рика? Каковы единицы измерения этих величин?
11. Зачем вводится вектор электрического смещения D? Каков физический
смысл диэлектрической проницаемости?
12. Напишите соотношения между нормальными и тангенциальными состав-
ляющими (по отношению к поверхности раздела двух диэлектриков) векто-
ров D и Е. Получите закон преломления линий электрического смещения
tga /tgcr = ех/е2,где ^и^- углы между нормалью и поверхностью раз-
дела диэлектриков и линиями электрического смещения.
ЗАДАЧИ
13.1. Найти силу F взаимодействия между точечным электрическим заря-
дом q — 5*10“8 Кл и бесконечной проводящей плоскостью, отстоящей от за-
ряда на расстояние I = 20 см.
13.2. Показать, что работа при удалении точечного заряда от равного раз-
ноименного заряда в бесконечность в четыре раза больше работы удаления то-
го же заряда в бесконечность от бесконечной проводящей плоскости, располо-
женной на таком же расстоянии.
13.3. Точечный заряд q = 3,1* 10“ 8 Кл находится на расстоянии I =3,8 см
от металлической заземленной стенки. Найти поверхностную плотность заря-
да, индуцированного на стенке: а) в точке, ближайшей к заряду ; б) в точ-
ке, находящейся на расстоянии I = 5 см от заряда о2; в) суммарный заряд
Q, индуцированный на стенке.
13.4. Тонкое кольцо радиусом Я = 10 см, равномерно заряженное зарядом
q = 3,2 нКл, и проводящая сфера расположены так, что центр сферы находится
на оси кольца на растоянии I — 7,5 см от плоскости кольца. Найти потенциал
Ч> сферы.
13.5. Тонкая бесконечно длинная нить имеет заряд т на единицу длины и
расположена параллельно безграничной проводящей плоскости. Расстояние
между нитью и плоскостью равно г . Найти модуль силы, действующей на еди-
ницу длины нити Fj.
13.6. На расстоянии I от проводящей бесконечной плоскости находится то-
чечный заряд q. Найти напряженность поляЕ в точке Л (рис. 13.1), отстоящей
от плоскости и от заряда на расстояние /.
13.7. Металлический шар радиусом Кх, несущий заряд q> окружен располо-
женным концентрически полым металлическим шаром с внутренним радиу-
78
Рис, 13.1
Рис. 13.2
сом R2 и внешним R3, Заряд внешнего шара равен нулю. Построить график
напряженности поля как функции г . Найти потенциалы шаров и<^0 если
в бесконечности потенциал равен нулю. Изменятся ли потенциалы шаров, если
внешний шар заземлить?
13.8. Найти потенциал незаряженной проводящей сферы, вне которой на
расстоянии г от ее центра находится точечный заряд q.
13.9. Две металлические пластины, заряженные зарядами — 5,4 нКл и
4, = 1,7 нКл, расположены параллельно друг другу на расстоянии d = 1,5 мм.
Площадь каждой пластины S — 1900 см2. Считая, что линейные размеры плас-
тин несоизмеримо велики по сравнению с расстоянием между пластинами и
толщиной пластин, найти: а) поверхностные плотности зарядов на пластинах
ais °2> °з’ °4> ^) разность потенциалов I/между пластинами (рис. 13.2).
13.10. Большая металлическая пластина расположена в вертикальной плос-
кости и заземлена (рис. 13.3). На расстоянии а = 10 см от пластины находится
неподвижная точка, к которой на нити длиной 7 = 12 см подвешен шарик
массой т — 0,1 г. При сообщении шарику заряда q он притянется к пластине, в
результате чего нить отклонится от вертикали на угол а = 30°. Найти величину
заряда q шарика.
13.11. Найти напряженность поля Е, созданного диполем, электрический
момент которого р = 6,2*10" 30 Кл*м, на расстоянии г = 3-10“ 7 см от середи-
ны диполя в точке, лежащей: а) на продолжении диполя; б) на перпендику-
ляре к диполю.
13.12. Найти силу взаимодействия F двух молекул воды, электрические
моменты которых расположены вдоль одной прямой. Молекулы находятся
друг от друга на расстоянии г — 2,5* 10" 7 см. Электрический момент молеку-
лы воды р - 6,2* 10"30 Кл-м.
13.13. Частица с электрическим моментом р = 5,1«10“29 Кл-м находится на
расстоянии г = 10 см от длинного провода равномерно заряженного с линей-
ной плотностью зарядов т = 72 нКп/м. Найти модуль силы F, действующей на
частицу, если вектор р направлен нормально к проводу.
13.14. Найти напряженность Е и потенциал поля диполя с электрическим
моментом р — 5,5-10"28 Кл*м на расстоянии г = 2,3*10“* мот центра диполя,
в направлении, составляющем с вектором электрического момента угол
а =32 .
13.15. Найти разность потенциалов между точками А и В, лежащими на
79
Рис. 13.3
Рис. 13.4
i
оси диполя симметрично относительно его на расстоянии г = 10 см от центра.
Электрический момент диполя р == 1,3* 10"11 Кл*м. Плечо диполя мало по
сравнению с расстоянием г .
13.16. Диполь, электрический момент которого р = 3*10”10 Кл-м, свобод-
но устанавливается в однородном электрическом поле напряженностью Е =
= 1500 В/см. Какую нужно совершить работу Л, чтобы повернуть диполь на
угол а =180°?
13.17. Найти работу Л, которую нужно совершить, чтобы два диполя с
электрическими моментами р = 6,2 40"30 Кл-м каждый, расположенные на
одной прямой на расстоянии г = 440”10 м, отдалить друг от друга до рас-
стояния, на котором силы взаимодействия диполей практически исчезают.
13.18. В электрическом поле точечного заряда q = 6,240“8 Кл на расстоя-
нии г — 3,6 см от него находится свободно поворачивающийся электрический
диполь с электрическим моментом р = 2,6 40“24 Кл*м. Найти работу Л, кото-
рую нужно совершить, чтобы удалить диполь в бесконечность. Считать плечо
даполя очень малым по сравнению с расстоянием до заряда.
13.19. Найти силу взаимодействия F и вращающий момент М, действую-
щий на каждый из двух одинаковых диполей с электрическим моментом р,
находящихся на расстоянии г, которое намного больше плеча диполя (рис.
13.4).
13.20. Найти потенциал создаваемый большой пластиной, на единицу
площади которой приходится N диполей, как функцию расстояния от этой
пластины. Считать, что все диполи обладают одинаковым электрическим мо-
ментом р, который направлен перпендикулярно к поверхности пластины.
13.21. Диэлектрическая проницаемость гелия при нормальных условиях
е = 1,000074. Найти: а) поляризуемость атома гелия 0; б) дипольный момент
р атома гелия в однородном электрическом поле напряженностью Е =
= 100 В/см.
13.22. Диэлектрическая проницаемость аргона при нормальных условиях
1,000536. Найти поляризуемость атома аргона /3.
13.23. Найти диэлектрическую восприимчивость X1 кристалла йодистого
водорода HJ, электрический момент молекул которого р = 1,26 40”30 Кл-м,
температура t — —50 °C, плотностьр = 5,7403 кг/м3.
80
/.
Рис. 13.5
Рис. 13.6
13.24. Вычислить диэлектрическую восприимчивость х твердого гелия, если
поляризуемость его атомов /3 = 2,5* Ю-30м3 а плотность гелия р = 210 кг/м3.
13.25. Найти поляризованность Р кристаллической пластинки, диэлектри-
ческая проницаемость которой е = 3, если напряженность нормального к плас-
тинке внешнего электрического поля£0 = 1 МВ/м.
13.26. В некоторой точке изотропного диэлектрика с проницаемостью е
смещение равно D. Чему равна поляризованное™ Р в этой точке. -
13.27. Показать, что на границе диэлектрика с проводником поверхностная
, е-1
плотность связанного заряда диэлектрика о = —а----, где е — диэлектри-
е
ческая проницаемость среды; а — поверхностная плотность заряда на провод-
нике.
13.28. На границе диэлектрика и проводника о '/о = 1/2, где а — поверх-
ностная плотность связанного заряда на диэлектрике; а — поверхностная
плотность заряда на проводнике. Найти диэлектрическую проницаемость диэ-
лектрика е.
13.29. Первоначально пространство между обкладками плоского конден-
сатора заполнено воздухом и напряженность поля в зазоре EQ. Затем полови-
ну зазора, как показано на рис. 13.5, заполнили однородным изотропным
диэлектриком с проницаемостью е. Найти модули вектора Е и D в обеих час-
тях зазора (7 и 2), если при введении диэлектрика: а) напряжение между
обкладками не изменялось; б) заряды на обкладках оставались неизменны-
ми.
13,30. Решить задачу 13.29 с тем отличием, что диэлектриком заполнили
половину зазора, как показано на рис. 13.6.
13.31. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора,
находящимися на расстоянии d — 5 мм друг от друга, 17= 150 В. К одной из
пластин прилегает плоскопараллельная фарфоровая пластина толщиной =
= 3 мм. Найти: а) напряженность электрического поля в фарфоре Е^ и возду-
хе Е; б) поверхностную плотность связанных зарядов а на пластинке фар-
фора.
13.32. Фарфоровая пластинка помещена в однородное электростатическое
поле напряженностью Е = 100 В/см. Направление поля образует угол «1 = 35°
с нормалью к пластинке. Найти: а) напряженность поля Е в фарфоре; б)
угол а между направлением поля и нормалью в фарфоре; в) плотность а
Л/
81
связанных зарядов на границе фарфор-воздух. Проницаемость вне пластинки
принять равной единице. '
13.33. Между пластинами плоского конденсатора находится диэлектрик
(е = 6). Площадь пластин конденсатора S = 200 см2. Пластины притягиваются
друг к другу с силой F — 2,5*10"3 Н. Найти поверхностную плотность о
связанных зарядов на поверхности диэлектрика.
1334. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено
парафином. Расстояние между пластинами d — 0,5 см. На пластины конденса-
тора подана разность потенциалов U = 4 кВ. Найти: а) поверхностную плот-
ность зарядов на пластинах а; б) поверхностную плотность связанных зарядов
на диэлектрике и.
1335. Поверхностная плотность связанных зарядов на поверхности слюдя-
ной пластинки, служащей изолятором в плоском конденсаторе, а = 2,88 х
х 10’5 Кл/м2. Толщина пластинки d = 0,2 мм. Найти разность потенциалов
Uмежду обкладками конденсатора.
1336. Между пластинами плоского конденсатора находится диэлектрик.
На пластины подана разность потенциалов Ц = 200 В. Расстояние между плас-
тинами с? = 1 мм. Если, отключив источник напряжения, вынуть диэлектрик из
конденсатора, то разность потенциалов между пластинами возрастет до U2 —
= 800 В. Найти: а) диэлектрическую проницаемость е диэлектрика; б) поверх-
ностную плотность а связанных зарядов.
1337. Металлический шар радиусом К = 2,0 см с зарядом q = 8,Ы0“9 Кл
окружен вплотную прилегающим к нему слоем диэлектрика (е = 3), внешний
радиус которого R2 = 5 см. Найти поверхностную плотность связанных заря-
дов о* и о2 на обеих сторонах диэлектрика.
1338. Металлический шар радиусом R — 2 см с зарядом q — 340’8 Кл
окружен концентрической заземленной сферой радиусом R3 — 6 см. Между
шаром и сферой расположен слой фарфора сферической формы, примыкаю-
щей вплотную к внутреннему шару и имеющий наружный радиус R2 == 4 см.
Найти потенциал внутреннего шара и поверхностную плотность связанных
зарядов на обеих сторонах фарфорового слоя о' , с/ .
1339. Точечный заряд q находится в вакууме на расстоянии I от плоской
поверхности однородного изотропного диэлектрика, заполняющего все полу-
пространство. Проницаемость диэлектрика равна е. Найти: а) поверхностную
плотность связанных зарядов и как функцию расстояния г от точечного за-
ряда, исследовать полученный результат при I -> 0; б) суммарный связанный
заряд q' на поверхности диэлектрика.
13.40. В жидком диэлектрике проницаемостью е на расстоянии I от свобод-
ной поверхности находится заряд q. Найти: а) плотность связанных зарядов
на поверхности диэлектрика над зарядом а' и на расстоянии г > I от заряда
о’2 ; б) общую величину связанного заряда qf на поверхности диэлектрика.
13.41. Внутри шара из однородного изотропного диэлектрика (е = 5) соз-
дано однородное электрическое поле напряженностью Е = 100 В/м. Найти мак-
симальную поверхностную плотность ст связанных зарядов и среднее зна-
чение плотности зарядов < а > одного знака.
13.42. В диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью е
имеется однородное поле Е. Внутри среды имеется сферическая полость. Най-
82
Рис. 13.7
Рис. 13.8
ти напряженность поля Е' в центре сферы, созданного связанными зарядами
на поверхности сферы, считая, что поляризованность всюду (за исключением
полости) имеет постоянное значение.
13.43. Найти напряженность электрического поля Е между обкладками
длинного цилиндрического конденсатора, пространство между которыми за-
полнено однородными диэлектриками, диэлектрические проницаемости кото-
рых и е2 (рис. 13.7). Диэлектрики граничат между собой вдоль плоскостей,
пересекающихся на оси цилиндра О. Двугранные углы, образующиеся при
этом, равны соответственно и (^ + ^2 = 2я). Длина конденсатора Z, а за-
ряд на внутренней обкладке q. Найти также емкость С конденсатора, если ра-
диусы цилиндрических обкладок R^ и /?2 (R1 < К2),
13.44. Найти напряженность электрического поля между обкладками сфе-
рического конденсатора, пространство между которыми заполнено однород-
ными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями е и е2 (рис.
13.8). Диэлектрики граничат между собой вдоль поверхности конуса с верши-
ной в точке О, Телесный угол конуса, заполненного первым диэлектриком,£2 ,
а заполненного другим диэлектриком, £22 ( + £22 — 4я). Заряд на внутрен-
ней обкладке равен q. Найти также емкость конденсатора, если радиусы ша-
ровых обкладок равны и R2.
13.45. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен изотроп-
ным диэлектриком, проницаемость е которого изменяется в перпендикуляр-
ном к обкладкам направлении по линейному закону от е до е2, причем e2>EJ.
Площадь каждой пластины 5, расстояние между ними d. Найти: а) емкость С
конденсатора; б) объемную плотность связанных зарядов р как функцию е ,
если заряд на конденсаторе q и поле в нем направлено в сторону возрастания е.
13.46. Сферический конденсатор с радиусами обкладок иК2 (Rt<R2)
заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону е =
= а/г, где а — константа, г — расстояние от центра сфер. Найти: а) емкость
конденсатора С; б) объемную плотность связанных зарядов р как функцию
г, если заряд на конденсаторе q и поле в нем направлено в сторону убывания е.
13.47. Цилиндрический конденсатор с радиусами обкладок Rx и R2 (К1 <
< R ) и длиной / заполнен диэлектриком, диэлектрическая проницаемость
2
83
которого изменяется по закону е = af г, где а — константа; г — расстояние от
оси цилиндров. Найти: а) емкость конденсатора С; б) объемную плотность
связанных зарядов как функцию г , если заряд на конденсаторе q и поле в нем
направлено в сторону убывания е.
13.48. Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плот-
ностью р > 0 по шару радиусом R из однородного изотропного диэлектрика,
проницаемость которого е. Найти: а) модуль вектора напряженности электри-
ческого поля в вакууме Е2 и в диэлектрике £’1 как функцию расстояния г от
центра шара; б) объемную р' и поверхностную о* плотности связанных заря-
дов.
13.49. Бесконечная пластина из диэлектрика проницаемостью е заряжена
однородно сторонними зарядами с объемной плотностью р. Толщина пластины
2а. Вне пластины е = 1. Направим ось х перпендикулярно к пластине; начало
координат поместим в середине пластины. Найти потенциал и напряженность
внутри , Ех) и вне (<^2, Е2) пластины как функцию х (потенциал в середи-
не пластины положить равным нулю).
13.50. Для пластины из задачи 13.49 найти: а) поляризованность Р диэлект-
рика как функцию х; б) поверхностную плотность связанных зарядов а на
левой (х — -а) и правой (х = +а) границах пластины; в) объемную плотность
связанных зарядов р'.
Задание 14. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Литература: 1. И.В, Савельев, Курс общей физики (т. 2, § 26- 30); 2. И,Е. Иро-
дов. Основные законы электромагнетизма (§ 2.6,4.1-4.5).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Что называется электроемкостью уединенного проводника? От чего она
зависит?
2. В каких единицах (СИ) измеряется электроемкость?
3 Что представляет собой конденсатор?
4. Напишите выражения для электроемкости плоского, цилиндрического
и сферического конденсаторов.
5. Как изменится емкость плоского конденсатора, если между его пласти-
нами поместить: а) слой металла, заполняющего половину пространства меж-
ду пластинами; б) той же толщины слой диэлектрика?
6. Для чего применяются соединения конденсаторов в батареи? Чему рав-
няется электроемкость параллельно, последовательно соединенных конденса-
торов?
7. Напишите выражения для энергии уединенного заряженного проводни-
ка, заряженного конденсатора.
8. Получите выражения для энергии взаимодействия системы точечных за-
рядов.
9. Что является носителем энергии — заряды или поле? Напишите выраже-
ние для объемной плотности энергии электрического поля.
10. Напишите выражение для полной энергии взаимодействия зарядов.
84
ЗАДАЧИ
14.1. Требуется изготовить конденсатор емкостью С = 25Q пФ. Для этого
на парафинированную бумагу толщиной d = 0,05 мм наклеивают с обеих сто-
рон кружки станиоля. Каков должен быть диаметр D этих кружков?
14.2. Конденсатор емкостью Сх = 1 мкФ выдерживает напряжение не более
Ц — 6 кВ, а конденсатор емкостью С2 — 2 мкФ — не более I/ = 4 кВ. Какое
напряжение U может выдержать система из этих двух конденсаторов при их
последовательном соединении?
14.3. Пробивное напряжение для прессшпана толщиной d = 1 мм рав-
но 1,8 4 О4 В. Два конденсатора с изолирующим слоем из такого прессшпана
один емкостью Сг = 1100 пФ, другой емкостью С2 = 400 пФ соединены после-
довательно. Будет ли эта система пробита, если подать на нее напряжение 17=
= з-ю4 В.
14.4. Коаксиальный электрический кабель состоит из центральной жилы и
концентрической по отношению к ней цилиндрической оболочки, между кото-
рыми находится изоляция. Найти емкость единицы длины такого кабеля,
если радиус жилы Rt = 1,3 см, радиус оболочки R2 = 3 см, диэлектрическая
проницаемость изоляции е = 3,2.
14.5. В каких пределах может изменяться емкость системы, состоящей из
двух конденсаторов переменной емкости, если емкость каждого из них может
изменяться от 10 до 450 пФ?
14.6. Получить выражение для емкости С плоского конденсатора. Площадь
каждой пластины S, расстояние между пластинами d, диэлектрическая про-
ницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами, е.
14.7. Получить выражение для емкости С уединенного металлического ша-
ра радиусом R, помещенного в однородный диэлектрик с диэлектрической
проницаемостью е.
14.8. Получить выражение для емкости С сферического конденсатора. Ра-
диусы концентрических обкладок и К2, причем R2 < R2, диэлектрическая
проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между обкладка-
ми, е.
14.9. Получить выражение для емкости С цилиндрического конденсатора.
Радиусы коаксиальных цилиндров и /?2, причем < R2, длина равна I.
Диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство
между обкладками, е.
14.10. Найти емкость системы из двух одинаковых металлических шариков
радиусом а, расстояние между центрами которых Ь, причем b » а. Система
находится в однородном диэлектрике проницаемостью е. При b » а можно
считать, что заряды распределены по поверхности равномерно.
14.11. Найти объемную плотность энергии w электрического поля в точке,
находящейся вблизи бесконечной плоскости, заряженной с поверхностной
плотностью заряда о — 3,6 40” 5 Кл/м2.
14.12. Найти объемную плотность энергии w электрического поля на рас-
стоянии г = 2 см от бесконечно длинной нити, заряженной с линейной плот-
ностью т = 4,240“7 Кл/м.
14.13. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины
85
к другой, приобретает скорость и = 108 см/с. Расстояние между пластинами
d — 5,3 мм. Найти: а) разность потенциалов между пластинами 17; б) напря-
женность электрического поля внутри конденсатора Е; в) объемную плот-
ность энергии поля w в конденсаторе.
14.14. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора, на-
ходящимися на расстоянии d = 1 см друг от друга, U— 300 В. В пространстве
между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка парафина тол-
щиной d{ = 0,5 см. Найти в каждом слое: а) напряженность электрического
поля Е., Е ; б) падение потенциала U, U ; в) объемную плотность энергии
1 л 2
1’2
14.15. Найти объемную плотность энергии w электрического поля в точке,
находящейся на расстоянии I = 2 см от поверхности заряженного шара радиу-
сом К — 1 см, если поверхностная плотность заряда на шаре о — 1,7 х
х 10“5 Кл/м2.
14.16. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов UQ = 300 В,
при прохождении через незаряженный горизонтальный плоский конденсатор
параллельно его пластинам дает светящееся пятно на флюоресцирующем экра-
не, расположенном на расстоянии I — 12 см от конца конденсатора. При за-
рядке конденсатора пятно на экране смещается на S = 3 см. Длина конденса-
тора lQ = 6 см. Расстояние между его пластинами d = 1,4 см. Найти: а) раз-
ность потенциалов l/между пластинами конденсатора; б) напряженность поля
Е в конденсаторе; в) объемную плотность энергии w поля конденсатора.
14.17. Имеется заряженный плоский конденсатор. Зазор между обкладка-
ми конденсатора заполняется диэлектриком, проницаемость которого е. Что
происходит при этом с плотностью энергии w поля в зазоре, если конденсатор:
а) соединен с источником напряжения, б) отключен от источника напряжения.
14.18. Заряд воздушного сферического конденсатора равен q. Радиусы сфе-
рических поверхностей конденсатора JR1 и R2 (Z?1 < К2). Найти плотность
энергии электрического поля в конденсаторе как функцию расстояния г
от центра сфер.
14.19. На плоский воздушный конденсатор, площадь пластин которого 5 =
= 4800 см2 и расстояние между ними dr ~ 1 см, подана разность потенциалов
U — 6 кВ. Затем, не отключая конденсатор от источника, расстояние между
пластинами увеличили до d2 = 2 см. Определить совершенную при этом работу
и объемную плотность энергии электрического поля до (ту ) и после )
раздвижения пластин.
14.20. Пластину из эбонита поместили в однородное электрическое поле
напряженностью Е = 1 кВ/м. Найти: а) плотность связанных зарядов на по-
верхности пластины; б) объемную плотность энергии w в пластине. Силовые
линии поля перпендикулярны к плоской поверхности пластины.
14.21. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обклад-
ки которого равна S. Какую работу А необходимо совершить, чтобы медлен-
но увеличить расстояние между обкладками от до х2, если при этом под-
держивать неизменным: а) заряд конденсатора, равный q; б) напряжение на
конденсаторе, равное U?
14.22. Внутри плоского конденсатора находится параллельная обкладкам
86
пластинка, толщина которой равна 0,6 зазора между обкладками. Емкость
конденсатора без пластинки С = 20 нФ. Конденсатор сначала подключили к
источнику постоянного напряжения и — 200 В, затем отключили и после этого
медленно извлекли пластинку из зазора. Найти работу А, затраченную на из-
влечение пластинки, если пластинка: а) металлическая; б) стеклянная.
14.23. Два конденсатора емкостью 600 и 1000 пФ соединены последова-
тельно. Батарею заряжают до разности потенциалов U = 20 кВ. Затем конден-
саторы не разряжая соединяют параллельно. Определить работу А разряда,
происходящего при этом переключении.
14.24. Плоский конденсатор имеет в качестве изолирующего слоя стеклян-
ную пластинку толщиной d = 2 мм и площадью $ = 300 см2. Конденсатор за-
ряжается до разности потенциалов U— 300 В, после чего отключается от источ-
ника напряжения. Определить механическую работу Л, которую нужно произ-
вести, чтобы вынуть стеклянную пластинку из конденсатора. (Трение в расчет
не принимать.)
14.25. Площадь каждой пластины плоского воздушного конденсатора 5 —
= 100 см2, расстояние между ними d = 5 мм. Какая разность потенциалов
U была приложена к пластинам конденсатора, если известно, что при разряде
конденсатора выделилось Q = 4,19*10" 3 Дж теплоты?
14.26. Конденсатор емкостью = 100 пФ заряжен до разности потенциа-
лов U = 100 В. После отключения батареи конденсатор параллельно соединяют
с другим. Найти емкость второго конденсатора С2, если конечное напряжение
17 = 30 В. Какое количество энергии И7 при этом потеряно и что с ней про-
изошло?
14.27. Заряженный шар А радиусом = 2 см приводится в соприкоснове-
ние с незаряженным шаром В, радиус которого = 3 см. После того как ша-
ры разъединили, энергия шара В оказалась равной W2 — 0,4 Дж. Какой заряд
q был на шаре А до их соприкосновения?
14.28. Шар, погруженный в керосин, имеет потенциал U= 4500 В и поверх-
ностную плотность заряда а = 1,13 нКл/cm2. Найти: а) радиус К; б) заряд
q; в) емкость С; г) энергию шара Ж
14.29. Первоначально заряд qx = 140"10 Кл распределяется равномерно по
объему шара радиусом R = 1 см. Затем вследствие взаимного отталкивания
заряды переходят на поверхность шара. Какую работу А совершают при этом
электрические силы над зарядом?
14.30. Заряды на обкладках двух конденсаторов емкостью и С2 равны
qx к q2- Показать, что за исключением особых случаев запасенная электроста-
тическая энергия конденсаторов уменьшится, если их соединить параллельно.
Куда при этом девается энергия? Найти условие, при котором соединение кон-
денсаторов не приводит к потере энергии.
1431. Металлический шарик радиусом г, имеющий заряд q> находится в
однородном диэлектрике, заполняющем все пространство, диэлектрическая
проницаемость которого е. Показать, что энергия электрического поля этого
шарика И7 = q$l2, тпе — потенциал шарика, если известно выражение для
плотности энергии поля.
14.32, Разность потенциалов между обкладками сферического воздушного
конденсатора U. Радиусы обкладок 2^, К2, причем < R2. Найти энергию
87
1 2
поля этого конденсатора и доказать, что она равна ~^-CU 9 где С — емкость
конденсатора, если известно выражение для плотности энергии поля.
14.33. Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конден-
сатора I/. Радиусы обкладок и /?2, причем R{ < R^ длина равна I. Найти
энергию поля этого конденсатора W и показать, что она равна CU2, где
С — емкость конденсатора, если известно выражение для плотности энергии
поля.
14.34. Шаровое облако ионизированных частиц расширяется, сохраняя рав-
номерное распределение заряда. Изменится ли отношение энергии электричес-
кого поля внутри шара и за его пределами W /W 1 Диэлектрическая прони-
цаемость всюду равна единице.
14.35. Заряд q равномерно распределен по объему шара радиусом R. Опре-
делить энергию W, заключенную внутри шара, и энергию W2, заключенную в
окружающем шар пространстве.
14.36. Точечный заряд q = 3 мкКл помещается в центре шарового слоя из
однородного, изотропного диэлектрика (е = 3). Внутренний радиус слоя =
= 25 см, внешний R2 = 50 см. Найти энергию W, заключенную в диэлектрике.
14.37. Найти энергию W электрического поля конденсатора, описанного в
задаче 13.43, если его заряд q .
1438. Найти энергию W электрического поля конденсатора, описанного в
задаче 13.44, если его заряд q.
14.39. Цилиндрический конденсатор заполнен двумя цилиндрическими
слоями диэлектриков, проницаемости которых б1 и е2. Внутренние радиусы
слоев равны соответственно R{ и a>R. Радиусы обкладок конденсатора
и R2, причем R2 > R^, высота конденсатора /. Найти: а) емкость конден-
сатора С; б) энергию поля каждого из слоев W; в) полную энергию W
поля конденсатора, если конденсатору сообщен заряд q.
14.40. Сферический конденсатор заполнен двумя сферическими слоями
диэлектриков с проницаемостями и е2. Диэлектрики разграничивает сфера
радиусом а. Радиусы обкладок конденсатора и R2, причем R2 > R1. Найти:
а) емкость этого конденсатора С; б) энергию поля каждого из слоев W ,
и полную энергию поля конденсатора W, если ему сообщен заряд q.
14.41. Разность потенциалов между обкладками сферического воздушного
конденсатора U= 3*103 В. Какую кинетическую энергию И7 приобретет элект-
рон, приблизившись к центру сферических поверхностей с расстояния г t —
= 3 см до расстояния г 2 = 2 см, если радиусы обкладок соответственно
= 1 см и R2 — 4 см?
14.42. Потенциалы катода UK, сетки С7, анода триода равны соответст-
венно 0, —2 и 90 В. Энергия электрона, вылетающего с катода, W — 3 эВ. Найти
кинетическую энергию электрона, когда он достигнет сетки (WQ, анода
(W2 ) .Какое напряжение Uнужно приложить к сетке, чтобы электрон с энергией
3 эВ не достиг анода?
14.43. Электрическое строение ядра тяжелого атома приближенно можно
изобразить в виде сферы из вещества с однородной, объемной плотностью за-
ряда р — 1,33* 102S Кл/м3. Найти изменение электростатической энергии APV
88
при расщеплении ядра урана с полным зарядом, равным 90е, на два ядра с
одинаковыми зарядами и радиусами, разведенными на большое расстояние
друг от друга.
14.44. Бесконечно длинный цилиндр радиусом К равномерно заряжен с
объемной плотностью‘р. Найти энергию И7 на единицу длины, запасенную
внутри цилиндра.
14.45. Найти потенциальную энергию В7 точечного заряда q> находящегося
на расстоянии г от диполя, момент которого р.
14.46. Два электрических диполя с моментами р^ = 140"12 Кл*м и р =
= 4Ч0"12 Кл*м находятся на расстоянии г0 = 2 см друг от друга. Наити
взаимную потенциальную энергию И7 диполей, соответствующую их устойчи-
вому равновесию, и определить силу F их взаимодействия.
14.47. Найти взаимную потенциальную энергию И7 системы, состоящей из
четырех одинаковых положительных точечных зарядов q, расположенных в
вершинах квадрата со стороной а,
14.48. Найти взаимную потенциальную энергию И7 системы, состоящей из
трех одинаковых положительных точечных зарядов, расположенных в верши-
нах равностороннего треугольника со стороной а.
14.49. Точечный заряд q находится на расстоянии R от безграничной плос-
кости. Найти энергию взаимодействия И7 этого заряда с зарядами, индуциро-
ванными на плоскости.
14.50. Система состоит из двух концентрических металлических оболочек
радиусами и R2 с соответствующими зарядами qt, q2> Найти собственную
энергию И7 и W2 каждой оболочки, энергию взаимодействия оболочек И7^ и
полную электрическую энергию Жданной системы,если R > R .
Задание 15. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Литература: 1.И.В. Савельев. Курс общей физики (т. 2, § 31-38); 2. И,Е, Иро-
дов. Основные законы электромагнетизма ( § 5.1-5.6).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Что называется электрическим током? Сформулируйте условия сущест-
вования постоянного тока.
2. Что называется силой тока? В каких единицах (СИ) измеряется сила то-
ка?
3. Сформулируйте закон Ома для однородного участка цепи.
4. Что такое сопротивление? В каких единицах измеряется сопротивле-
ние?
5. От чего зависит сопротивление проводника?
6. Что такое электродвижущая сила? В каких единицах (СИ) измеряется
ЭДС?
7. Запишите закон Ома для полной цепи.
8. Чему равно эквивалентное сопротивление в случае: а) параллельного;
б) последовательного соединения разных сопротивлений?
9. При каком сопротивлении нагрузки мощность, выделяемая на ней,
максимальна? Чему равен КПД источника в этом случае?
89
10, Запишите закон Ома для сплошной среды.
11. Запишите закон Джоуля—Ленца: а) в интегральной; б) в дифферен-
циальной форме.
ЗАДАЧИ
15.1. Из никелиновой ленты толщиной а = 0,2 мм и шириной b = 3 мм
нужно изготовить реостат сопротивлением R = 2,5 Ом. Какой длины / нужно
взять ленту и какое максимальное напряжение ^тах можно подать на этот
реостат, если допустимая плотность тока для никелина / = 0,2 А/мм2 ?
15.2. Через вольтметр со шкалой на V = 100 В проходит ток силой I —
= 0,1 мА>и стрелка отклоняется на 1 В шкалы. Какую наибольшую разность
потенциалов l/max можно будет измерить этим прибором, если подсоединить
к нему добавочное сопротивление R = 90 кОм?
15.3. Каким сопротивлением нужно шунтировать стрелочный гальва-
нометр со шкалой п = 100 делений (цена деления С — 1 мкА, внутреннее со-
противление г = 100 Ом), чтобы его можно было использовать для измере-
ния тока силой до I = 0,5 мА?
15.4. Имеется прибор с ценой деления С = 5 мкА. Шкала прибора имеет п =
= 150 делений, внутреннее сопротивление прибора г = 100 Ом. Как из этого
прибора сделать вольтметр для измерения напряжения до U— 75 В?
15.5. Как из прибора, описанного в задаче 15.4,сделать амперметр для из-
мерения тока силой до I =150 мА?
15.6. Обмотка катушки из медной проволоки при температуре t = 14 С
имеет сопротивление R = 10 Ом. После пропускания тока сопротивление об-
мотки стало Ry = 12,2 Ом. До какой температуры г нагрелась обмотка?
15.7. На цоколе лампочки накаливания с вольфрамовой нитью накала напи-
сано: 120 В, 60 Вт. При измерении сопротивления этой лампочки в холодном
состоянии на мостике Уитсона оказалось, что оно равно всего 20 Ом. Найти
нормальную температуру t накала нити, если температурный коэффициент
сопротивления вольфрама а = 5,0*10’3 1/ °C.
15.8. Сопротивление электролампочки (120 В, 100 Вт) в накаленном сос-
тоянии больше, чем в холодном, в 10 раз. Найти ее сопротивление R в холод-
ном состоянии и температурный коэффициент сопротивления а, если темпера-
тура накала нити t = 2000 °C.
15.9. Имеется лампочка напряжением U= 120В, мощностью Р = 40 Вт.
Какое добавочное сопротивление R надо включить последовательно с лампоч-
кой, чтобы она давала нормальный накал при напряжении в сети UQ = 220 В?
Сколько метров I нихромовой проволоки диаметром d — 0,3 мм надо взять,
чтобы получить такое сопротивление?
15.10. На рис. 15.1 показана схема потенциометра, с помощью которого мож-
но изменять напряжение Ц подаваемое на некоторый прибор с сопротивле-
нием К. Потенциометр имеет длину 1, сопротивление RQ и находится под нап-
ряжением UQ. Найти напряжение I/, снимаемое на прибор, как функцию рас-
стояния х. Исследовать отдельно случай R » Ко.
15.11. Батарея, включенная на сопротивление = 10 Ом, дает ток I t =
= 3 А. Если ту же батарею включить на сопротивление R = 20 Ом, то сила то-
90
I
1 = 1,6 А. Найти ЭДС£ и внутреннее сопротивление.батареи г .
Элемент, ЭДС которого Е = 1,1 В и внутреннее сопротивление г ~
= 4 А вольтметр показал напряжение 17 = 3,9 В.
ка будет
15.12.
= 1 Ом, замкнут на внешнее сопротивление R — 9 Ом. Найти": а) силу тока в
цепи I; б) падение потенциала во внешней цепи U ; в) падение потенциала
внутри элемента U2; г) с каким КПД т? работает ЭДС?
15.13. В конце зарядки батареи аккумуляторов током 1—3 А присоеди-
ненный к ней вольтметр показывал напряжение = 4,25 В. В начале разрядки
той же батареи током I = 4 А вольтметр показал напряжение 17 = 3,9 В.
Сопротивление вольтметра очень велико. Найти ЭДС (Е) и внутреннее сопро-
тивление г батареи.
15.14. При силе тока I - 5 А внешняя цепь источника потребляет мощ-
ность Р = 9,5 Вт. Если же сопротивление внешней цепи R2 = 0,225 Ом, то по-
требляемая мощность Р2 - 14,4 Вт. Какую наибольшую мощность Ртах мо-
жет потреблять внешняя цепь от этого источника? Чему равен при этом КПД
(т?) источника?
15.15. При каком сопротивлении R внешней цепи источник с ЭДС Е = 10 В
и внутренним сопротивлением г = 20 Ом будет отдавать максимальную мощ-
ность? Каково значение Ртах этой мощности?
15.16, К источнику постоянного тока с внутренним сопротивлением г под-
ключили три одинаковых сопротивления К, соединенных,как показано на рис.
15.2. При каком значении R тепловая мощность, выделяемая на этом участке,
будет максимальной?
15.17. При подключении к источнику тока двух вольтметров, соединенных
последовательно, показания их Ц = 6 В и 17 = 3 В. При подключении к источ-
нику только первого вольтметра его показание Ц = 8 В. Найти ЭДС (Е) ис-
точника.
15.18. Аккумулятор замкнут на некоторое сопротивление. Если в цепь
включить два амперметра, соединенных между собой параллельно, они пока-
жут токи I = 2 А и Z = 3 А. Если амперметры включить в цепь последова-
тельно, они покажут ток 13 =4А. Какой ток 1 проходит в цепи при отсутст-
вии приборов?
. 15.19. В плоский конденсатор, расстояние между обкладками которого
d, вдвигается с постоянной скоростью и пластина диэлектрика шириной Ь и
диэлектрической проницаемостью е. Определить силу тока I в цепи батареи с
известной ЭДС (Е), подключенной к конденсатору.
91
15.20. Проводка от магистрали в здание осуществлена проводом сопротив-
лением г = 0,5 Ом. Напряжение в магистрали постоянно и равно UQ = 127 В.
Найти максимально возможную потребляемую в здании мощность Р, если нап-
ряжение на включаемых в' сеть приборах не должно падать ниже 17= 120 В.
15.21. Какое количество ламп п мощностьюР — 300 Вт каждая, рассчитан-
ных на напряжение 17 = 110 В,можно установить в здании, если проводка от
магистрали сделана медным проводом общей длиной I — 100 м и сечением
5=9 мм2 и если напряжение в магистрали UQ = 122 В?
15.22. Имеются три электрические лампочки, рассчитанные на напряжение
17= ПО В каждая, мощности которых соответственно Р = 40, Р2 = 40, Р3 =
= 80 Вт. Как надо включить эти лампочки, чтобы они давали нормальный на-
кал при напряжении в сети UQ = 220 В? Найти силы токов / t, Z , / 3, проходя-
щих через лампочки, при нормальном накале. Начертить схему.
15.23. Найти сечение S медных проводов, которые используются для пере-
дачи мощности Р = 8 кВт на расстояние I = 90 м при напряжении на нагрузке
U = 110 В. Потери мощности в двухпроводной линии не превышают 5 %.
15.24. Во сколько раз N следует повысить напряжение источника, чтобы
снизить потери мощности в линии в 100 раз при передаче той же мощности при
условии, что в первом случае потери напряжения в линии Л17 = nU9 где L7—
напряжение на нагрузке?
15.25. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен стеклом
с удельным сопротивлением р = 100 ГОм-м. Емкость конденсатора С = 4 нФ.
Найти силу тока утечки I через конденсатор при подаче на него напряжения *
17= 2 кВ.
15.26. Металлический шар радиусом а окружен концентрической тонкой
металлической оболочкой радиусом Ь. Пространство между этими электрода-
ми заполнено однородной слабо проводящей средой, удельное сопротивление
которой р. Найти сопротивление R межэлектродного промежутка. Исследо-
вать полученное выражение при b -> ©о.
15.27. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением
р заполняет пространство между двумя коаксиальными идеально проводящи-
ми тонкими цилиндрами. Радиусы цилиндров a n b, причем a<bt длина каждо-
го цилиндра Z. Пренебрегая краевыми эффектами, найти сопротивление R
среды между цилиндрами.
15.28. Найти сопротивление изоляции на один метр длины провода Kj
диаметром d = 2 мм, если диаметр наружной проводящей оболочки равен
= 4 мм, а удельное сопротивление фарфоровой изоляции р = 14013 Ом*м.
15.29. Зазор между пластинами плоского конденсатора заполнен неодно-
родной слабо проводящей средой, удельная проводимости которой изменяется
в направлении, перпендикулярном к пластинам, по линейному закону от =
= 1-10"12 Ом“1«м“1 до = 240"12 Ом“1-м~1. Площадь каждой пластины
5 = 230 см2, ширина зазора d = 2 мм. Найти ток I , проходящий через кон-
денсатор при напряжении 17= 300 В.
15.30. Длинный проводник круглого сечения радиусом а сделан из материа-
ла, удельное сопротивление которого зависит только от расстояния г до оси
проводника: р = с/г, где с — константа. По проводнику проходит ток I . Най-
ти напряженность поля Е в проводнике и сопротивление единицы длины про-
водника R}.
о?
15.31. Найти суммарный импульс Р электронов в прямом проводе длиной
I = 1000 м, по которому проходит ток 1 = 60 А.
15.32. По прямому медному проводу длиной I = 1000 м и сечением S =
= 1 мм2 проходит ток I = 4,5 А. Считая, что на каждый атом меда прихо-
дится один свободньТй электрон, найти: а) время 4, за которое электрон пере-
местится от одного конца провода к другому; б) сумму электрических сил
F, действующих на все свободные электроны в данном проводе.
15.33. По медному проводу сечением S = 0,17 мм2 проходит ток I =
= 0,15 А. Определить силу F, действующую на отдельные свободные электро-
ны со стороны электрического поля.
15.34. Лампа накаливания потребляет ток I = 0,5 А. Температура накали-
вания вольфрамовой нити лампы диаметром d_ =0,1 мм t = 2200 °C; ток
подводится медным проводом сечением 51 == 5 мм2. Найти напряженность
электрического поля в меда Е^ и вольфраме Е2.
15.35. Определить удельное сопротивление р проводника длиной I — 2 м,
если при плотности тока j = 106 А/м2 на его концах поддерживается разность
потенциалов U— 2 В.
15.36. Какая мощность Р выделяется в единице объема проводника длиной
/ = 0,2 м, если на его концах поддерживается разность потенциалов U = 4 В?
Удельное сопротивление проводника р = 10“6 Ом-м.
15.37. Диэлектрик плоского конденсатора состоит из двух слоев с удель-
ным сопротивлением р и р2. Толщина слоев dt и d2. Найти потери мощности
в каждом из слоев Р , г2, если на конденсатор подано напряжение U. Площадь
обкладок S.
15.38. Найти количество энергии Р, поглощаемой в единицу времени ве-
ществом с удельным сопротивлением р = 109 Ом м, которое заполняет все
пространство между двумя сферическими оболочками. Радиусы оболочек
г t = 1 и г 2 = 2 см, между ними поддерживается разность потенциалов U =
= 1000 В.
15.39. Пространство между двумя проводящими цилиндрическими обо-
лочками, радиусы которых г иг 3 ( г 1 <т )9 заполнено двумя цилиндри-
ческими слоями диэлектрика с удельными сопротивлениями рг и р2 и радиу-
сами Гр т 2 и г 2, г 3 соответственно. Найти потери мощности в каждом из
слоев Рх, Р2, если между проводящими оболочками поддерживается разность
потенциалов и.
15.40. Между двумя проводящими сферическими оболочками, радиусы
которых г1 и г 3 (г < г 3), находятся два сферических слоя диэлектрика с
удельными сопротивлениями и р^ и радиусами r р r 2 >r 2 >г 3 соответствен-
но. Найти потери мощности в каждом из слоев Р, Р2, если между проводящи-
ми оболочками поддерживается разность потенциалов U
15.41. Найти сопротивление R трубки длиной / = 84 см и площадью попе-
речного сечения 5 = 5 мм2, если она наполнена воздухом, ионизованным так,
что в 1 см3 его находятся при равновесии 107 пар ионов. Ионы одновалентны.
Подвижность ионов Ь+ = 1,3*10“4 м2/(В«с) и = 1,8* 10”4 м2/( В-с).
15.42. В ионизационной камере, расстояние между плоскими электродами
которой d = 0,05 м, проходит ток насыщения плотностью j = 1,6*10“5 А/м2.
93
Найти число пар п одновалентных ионов, образующихся в каждом кубичес-
ком сантиметре пространства камеры за 1 с.
15.43. В атмосфере вблизи поверхности Земли из-за радиоактивности почв
и космического излучения за 1 с в 1 см3 образуется в среднем 5 пар ионов.
Найти силу тока насыщения /нас между плоскими электродами площадью
S = 100 см2, расположенными на расстоянии d = 10 см. Ионы считать одно-
валентными.
15.44. На пластины плоского воздушного конденсатора подано напряжение
U = 300 В. При облучении воздушного промежутка ультрафиолетовым све-
том, гальванометр, включенный в сеть конденсатора, показывает силу тока
I — 10”8 А, причем насыщения тока нет. Площадь пластин конденсатора 5 =
= 200 см2, расстояние между ними d = 4 см. Найти концентрацию п ионов
внутри этого конденсатора, если подвижность ионов воздуха составляет =
= 1,240”4 м2/(В*с) и Ь_= 1,840"4 м2/( В-с).
15.45. К электродам разрядной трубки приложена разность потенциалов
U= 5 В, расстояние между ними б?=10см.Газ, который находился в трубке,
ионизирован, число пар ионов п — 108 м“3, причем Ь+ = 10“2 м2 /(В*с),Z?j=
— 3 402 м2 / ( В*с ). Найти: а) плотность тока j в трубке; б) какая часть пол-
ного тока переносится положительными ионами I+ l I • '
15.46. К источнику высокого напряжения через сопротивление К=106 Ом
подключен плоский конденсатор емкостью С — 9 пФ, расстояние между плас-
тинами d = 3 см. Воздух в пространстве между пластинами) ионизуется рент-
геновскими лучами так, что в 1 см3 за 1 с образуется 104 пар ионов. Заряд
иона равен заряду электрона. Найти падение напряжения Uна сопротивлении К,
считая, что между пластинами конденсатора установился ток насыщения.
15.47. Объем ионизационной камеры V — 620 см3. Найти ток насыщения
Iнас в такой камере, если известно, что ионизатор образует в 1 см3 ежесекунд-
но 109 пар ионов. Ионы считать одновалентными.
15.48. Средняя напряженность электрического поля Земли 130 В/м. Найти
плотность тока / проводимости в атмосфере, если в 1 м3 воздуха находится
7-108 пар одновалентных ионов, обусловливающих проводимость.
15.49. Воздух, заключенный между пластинами площадью S — 300 см2, на-
ходящимися на расстоянии'd—2 см друг от друга, ионизуется рентгеновскими
лучами. При напряжении 17 = 150 В, значительно меньшем, чем напряжение,
дающее ток насыщения, между пластинами идет ток 1 = 4 мкА. Найти кон-
центрацию п ионов между пластинами.
15.50. Воздух между двумя параллельными пластинами, отстоящими друг
от друга на расстояние d — 2 см, ионизуют рентгеновскими лучами. Площадь
каждой пластины S = 500 см2. Найти концентрацию п ионов, если при напря-
жении U =100 В между пластинами идет ток I = 3 мкА, значительно мень-
ший тока насыщения. Подвижность ионов воздуха: b, = 1,37 см2 / ( В-с), Ь_ =
= 1,91 см2/( В*с).
Контрольная работа № 3
1. Повторить программный материал заданий 11—15.
2. Решить задачи.
94
Таблица 3
Вариант Номер задачи Вариант Номер задачи
I 11.21 12.50 13.22 14.25 15.31 XVI 11.36 12.35 13.38 14.40 15.43
II 11.22 12.49 13.21 14.26 15.32 XVII 11.37 13.34 13.39 14.41 15.26
III 11.23 12.48 13.26 14.27 15.50 XVIII 11.38 12.33 13,40 14.42 15.45
IV 11.24 12.47 13.25 14.28 15.49 XIX 11.39 12.32 13.41 14.43 15.46
\z 11.25 12.46 13.28 14.29 15.33 XX 11.40 12.31 13.42 14.44 15.47
VI 11.26 12.45 13.27 14.30 15.34 XXI 11.42 12.29 13.43 14.46 15.48
VII 11.27 12.44 13.29 14.31 15.35 XXII 11.41 12.30 13.44 14.47 15.22
XIII 11.28 12.43 13.30 14.32 15.36 XXIII 11.44 12.28 13.45 14.48 15.29
IX 11.29 12.42 13.31 14.33 15.37 XXIV 11.43 12.27 13.46 14.45 15.30
X 11.30 12.41 13.32 14.34 15.38 XXV 11.45 12.26 13.47 14.50 15.21
XI 11.31 12.39 13.33 14.35 15.42 XXVI 11.46 12.25 13.48 14.49 15.24
XII 11.32 12.40 13.34 14.36 15.41 XXVII 11.47 12.24 13.49 14.21 15.23
XIII 11.33 12.38 13.35 14.37 15.40 XXVIII 11.48 12.23 13.50 14.22 15.27
XIV 11.34 12.37 13.36 14.38 15.39 XXIX 11.49 12.22 13.23 14.23 15.25
XV 11.35 12.36 13.37 14.39 15.44 XXX 11.50 12.21 13.24 14.24 15.28
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ х
Задание 16. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
Литература: 1.И.В. Савельев. Курс общей физики (т. 2, § 39—50); 2. И.Е Иро-
дов. Основные законы электромагнетизма (§ 6.1—6.8),
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Назовите свойства магнитной составляющей полной электромагнитной
силы — силы Лоренца, действующей на движущийся со скоростью v точечный
заряд q. Дайте определение силовой характеристики магнитного поля — маг-
нитной индукции В.
2. Каково содержание принципа суперпозиции магнитных полей? Считая
D «Iw ]
выражение В = —- ------— для индукции магнитного поля точечного заря-
4тг г
да q, движущегося с нерелятивистской скоростью и, известным, получите вы-
д I [dlr]
ражение элементарного закона Био — Савара — Лапласа dB = — —-— .
4п г
3. Используя элементарный закон Био — Савара — Лапласа и принципы
суперпозиции, получите выражение для магнитной индукции в центре круго-
вого тока.
4. Считая известным выражение F = q [vB] для магнитной силы, дейст-
вующей на движущийся со скоростью v точечный заряд q, получите закон
Ампера dE = I [ dlr] , где /dl — линейный элемент тока.
5. Рассмотрите магнитное взаимодействие параллельных прямых токов.
Дайте определение единицы силы тока 1 А. Определите числовое значение маг-
нитной постоянной д0. В каких единицах она измеряется?
6. Как построена гауссова система единиц — абсолютная система единиц
Гаусса? Каково соотношение между единицами индукции магнитного поля в
СИ и гауссовой системе?
7. Как связана в СИ электродинамическая постоянная с (скорость света) с
электрической и магнитной до постоянными?
8. Сформулируйте теорему Гаусса для вектора магнитной индукции и
напишите ее математические выражения в интегральной и дифференциальной
формах. Существуют ли в природе магнитные заряды?
9. Сформулируйте теорему о циркуляции вектора магнитной индукции
для постоянных токов проводимости. Напишите и объясните ее математичес-
кие выражения в интегральной и дифференциальной формах. Является ли маг-
нитное поле потенциальным?
10. Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции для то-
ков проводимости, рассмотрите магнитное поле В постоянного тока I , про-
96
ходящего вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круговое
сечение радиусбм К.
11. Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции для по-
стоянных токов проводимости, рассчитайте магнитные поля: а) бесконечно
длинного соленоида; б) тороида.
12. Получите выражение для работы, совершаемой при произвольном пере-
мещении контура с током в магнитном поле, А = /АФ, где АФ — изменение
магнитного потока через поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
В каких единицах измеряется магнитный поток?
ЗАДАЧИ
16.1. Точечный заряд q движется прямолинейно с постоянной нерелятивист-
ской скоростью v. Определить максимальную магнитную индукцию #тах поля
этого заряда в точке, находящейся на расстоянии rQ от его траектории.
16.2. Найти максимальную индукцию ^тах поля, создаваемого электроном,
движущимся прямолинейно со скоростью v = 1,0 Мм/с, в точке, отстоящей на
расстояние г 0 = 10 нм от траектории электрона.
163. В точке на расстоянии г0 = 10 нм от траектории прямолинейно и рав-
номерно движущегося электрона максимальная магнитная индукция его поля
2?тах ~ 0’4 мТл. Найти скорость v электрона.
16.4. Протон движется прямолинейно и равномерно со скоростью v =
= 0,4 Мм/с. Найти магнитную индукцию В поля, создаваемого протоном в
точке, отстоящей на rQ = 1,0 нм от мгновенного положения протона и лежа-
щей на перпендикуляре к его траектории.
165. Электрон в невозбужденном атоме водорода движется вокруг ядра по
окружности радиусом rQ = 53 пм. Вычислить магнитную индукцию В поля в
центре орбиты электрона.
16.6. Непроводящий тонкий диск радиусом R, равномерно заряженный с
одной стороны с поверхностной плотностью заряда а, вращается вокруг своей
оси с угловой скоростью со. Определить магнитную индукцию В поля в центре
диска.
16.7. Тонкий диск из диэлектрика, радиус которого R = 50 см, равномер-
но заряжен зарядом q — 5,0 Кл. Диск вращается вокруг своей оси с угловой
скоростью со = 10 рад/с. Найти магнитную индукцию В поля в центре диска.
16.8. Плоское диэлектрическое кольцо, внешний и внутренний радиусы ко-
торого Rx и Я2, равномерно заряжено зарядом q и вращается вокруг своей
оси с угловой скоростью со. Определить магнитную индукцию В поля в центре
кольца.
Д6.9. Длинный цилиндр из диэлектрика, по поверхности которого равно-
мерно распределен электрический заряд с линейной плотностью т, вращается
вокруг своей оси с угловой скоростью со. Определить магнитную индукцию
В поля в центре цилиндра.
16.10. Непроводящая сфера радиусом ^.заряженная равномерно с поверх-
ностной плотностью а, вращается с угловой скоростью со вокруг оси, прохо-
дящей через ее центр. Определить магнитную индукцию В поля в центре сфе-
ры.
7 Зак. 5886
97
Рис. 16.2
16.11. По прямому бесконечно длинному проводу проходит ток I = 5 А.
Найти магнитную индукцию В поля в точке, удаленной на расстояние г =
— 25 мм от провода.
16.12. Найти магнитную индукцию В поля в центре тонкого кольца радиу-
сом R = 50 мм, по которому проходит ток I = 5 А.
16.13. Найти силу тока I , проходящего по тонкому кольцу радиусом R =
= 50 мм, если магнитная индукция в центре кольца В = 6,34О’9 Тл.
16.14. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 100 мм проходит
ток 1 = 8 А. Найти магнитную индукцию В поля в точке, равноудаленной от
всех точек кольца на расстояние т = 200 мм.
16.15. Определить магнитную индукцию В поля в центре квадратной рамки
со стороной а == 100 мм, если по рамке проходит ток I = 2 А.
16.16. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника, проходит
ток 1 = 30 А. Стороны прямоугольника а = 30 см, Ь = 40 см. Найти магнит-
ную индукцию В поля в точке пересечения диагоналей.
16.17. По тонкому проводу, изогнутому в виде правильного шестиугольни-
ка,проходит ток 1 = 50 А. Сторона шестиугольника а = 10 см. Найти магнит-
ную индукцию В поля в центре шестиугольника.
16.18. По тонкому проволочному кольцу проходит ток. Не изменяя величи-
ны тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз т? изме-
нилась магнитная индукция поля в центре контура?
16.19. Определить индукцию магнитного поля В, создаваемого отрезком
бесконечно длинного прямого провода, по которому проходит ток I , в точ-
ке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии rQ от
центра. Длина отрезка I.
16.20. По тонкому проводу, согнутому в виде квадратной рамки со сторо-
ной а проходит ток I . Определить магнитную индукцию В поля в точке, рав-
ноудаленной от вершин квадрата на расстояние, равное его стороне.
16.21. Длинный провод с током 1 согнут под прямым углом. Определить
магнитную индукцию в точке А ( рис. 16.1), находящейся на расстоянии / от
вершины прямого угла на продолжении одной из его сторон.
16.22. Прямой бесконечно длинный провод согнут под прямым углом. По
проводу проходит ток I = 20 А. Найти магнитную индукцию В поля в точке
А ( рис. 16.1), если I = 2,5 см.
16.23. По бесконечно длинному изогнутому проводнику (рис. 16.2) про-
ходит ток I = 100 А. Найти магнитную индукцию В Поля в точке А, если г =
= 100 мм.
98
Рис. 16.3
Рис. 16.4
16.24. Бесконечно длинный прямой провод согнут под прямым углом. По
проводу проходит ток I — 50 А. Вычислить магнитную индукцию В поля в
точках, лежащих на биссектрисе угла и удаленных от вершины угла на рас-
стояние г = 100 мм.
16.25. Прямой длинный провод на одном из участков переходит в полу-
окружность радиусом R. По проводу проходит ток I . Определить магнит-
ную индукцию В поля в центре полуокружности (рис. 16.3).
16.26. Ток I — 10 А проходит по тонкому проводу, изогнутому так, как
показано на рис. 16.4. Радиус изогнутой части провода R = 120 мм, угол 2а =
— 90°. Найти магнитную индукцию В поля в точке О.
16.27. По бесконечно длинному прямому проводу, согнутому под углом
а = 120°, проходит ток I = 50 А. Найти магнитную индукцию В поля в
точках, лежащих на биссектрисе утла и удаленных от его вершины на рас-
стояние г = 50 мм.
16.28. По койтуру в виде равностороннего треугольника проходит ток I —
= 40 А. Сторона треугольника а = 30 см. Найти магнитную индукцию В поля в
точке пересечения высот.
16.29. Катушка длиной I = 200 мм содержит N = 200 витков. По обмотке
катушки течет ток I — 5 А. Диаметр катушки d — 200 мм. Найти магнитную
индукцию В поля в центре катушки.
1630. О(яиотка катушки, диаметр которой d = 10 см, состоит из плотно
прилегающих друг к другу витков тонкого провода. Определить минималь-
ную длину Imin катушки, при которой магнитная индукция в ее центре отли-
чается от магнитной индукции поля бесконечно длинного соленоида,содержа-
щего такое же число витков на единицу длины, не более чем на 0,5 %. Ток,
проходящий по обмоткам, в обоих случаях одинаков.
1631. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым в од-
ном направлении проходят токи по I == 6 А каждый, расположены на расстоя-
нии а = 100 мм друг от друга. Найти магнитную индукцию В поля в точке,
отстоящей от одного провода на расстояний = 50 мм, а от другого — на рас-
стояние г = 120 мм.
1632. По двум параллельным бесконечно длинным проводам, находящим-
ся на расстоянии а — 50 мм друг от друга, проходят токи I = 5 А каждый.
Найти магнитную индукцию В поля в точке, лежащей посередине между про-
водами, для случаев, когда: а) токи проходят в одном направлении; б) токи
проходят в противоположных направлениях.
1633. По двум бесконечно длинным параллельным прямым проводам про-
99
ходят токи I = 20 А и Z2 = 30 А в одном направлении. Расстояние между
проводами а = 10 см. Найти магнитную индукцию В поля в точке» удаленной
от обоих проводов на од инаковое расстояние т = 10 см.
16.34. По двум бесконечно длинным параллельным проводам проходят то-
ки / = 50 А и I = 100 А в противоположных направлениях. Расстояние
между проводами а = 20 см. Найти магнитную индукцию В поля в точке, уда-
ленной от первого провода на г t =25 см, а от второго на г— 40 см.
16.35. По двум бесконечно длинным параллельным проводам проходят то-
ки в одном направлении, причем I х = 2Z2. Расстояние между ними равно а.
Определить положение точек» в которых индукция магнитного поля равна ну-
лю.
1636. По двум бесконечно длинным параллельным проводам проходят то-
ки в противоположных направлениях,причем 1^ = 2Z2.Расстояние между ни-
ми равно а. Определить положение точек, в которых магнитная индукция поля
равна нулю.
1637. Два прямых бесконечно длинных провода скрещены под прямым
углом (рис. 16.5). По проводам проходят токи I f = 8 А и Z2 = 6 А. Расстоя-
ние между проводами а = 10 см. Найти магнитную индукцию В поля в точке
О, одинаково удаленной от обоих проводов.
1638. По двум прямым бесконечно длинным проводам» скрещенным под
прямым углом, текут токй /1=30Аи/2=40А. Расстояние между ними а =
= 20 см. Найти магнитную индукцию В поля в точке С (рис. 16.6)»одинаково
удаленной от обоих проводов на расстояние, равное а.
1639. Ток I проходит по тонкому проводу, имеющему вид правильного
и-угольника, вписанного в окружность радиусом R. Определить магнитную ин-
дукцию В поля в центре данного контура. Исследовать полученное выражение
при п ©°.
16.40. По прямому бесконечно длинному проводу проходит ток Zt =
= 3.14 А. Круговой виток радиусом Я = 30 см расположен так, что его плос-
кость параллельна прямому проводу» а перпендикуляр, проведенный к нему
из центра витка, является нормалью и к плоскости витка. По витку проходит
ток I = 3 А. Расстояние от центра витка до прямого провода г = 20 см. Най-
ти магнитную индукцию В поля в центре витка.
16.41. На проволочный виток радиусом R, помещенный между полюсами
100
Рис, 16,8
магнита, действует максимальный механический момент М . Сила тока в
витке I . Определить магнитную индукцию В поля между полюсами магнита.
16.42. По двум одинаковым квадратным плоским контурам со стороной
а ~ 20 см проходят токи по Z = 10 А. Найти силу F взаимодействия токов,
если расстояние между соответственными сторонами контуров а = 1 мм.
16.43. На рис. 16.7 изображены бесконечно длинный провод с током 1^ =
= 30 А и прямоугольная рамка, по которой проходит ток I = 20 А. Вычис-
лить результирующую силу F, действующую на рамку, если а - 8, b - 30 и
I — 1 см.
16.44. Тонкий бесконечно длинный провод изогнут так, как показано на
рис. 16.8. Расстояние между параллельными участками провода а = 40 см.
По проводу проходит ток Z = 8 А. Найти модуль и направление силы F,
действующей на единицу длины провода в точке О.
16.45. Вычислить циркуляцию вектора магнитной индукции B-dl вдоль
контура, охватывающего прямые бесконечные токи Z1=10A,Z =15 А, про-
ходящие в одном направлении, и тока Z3 = 20 А, проходящего в противопо-
ложном направлении.
16.46. По бесконечному прямому полому круговому цилиндру параллель-
но оси цилиндра проходит постоянный ток I = 30 А, который равномерно
распределен по его поверхности. Найти магнитную индукцию В : а) в произ-
вольной точке внутри цилиндра; б) в точке вне цилиндра, находящейся на
расстоянии г = 20 см от его оси.
16.47. Коаксиальный кабель представляет собой длинную металлическую
тонкостенную трубку радиусом R = 8 мм, вдоль оси которой расположен тон-
кий провод. Токи в трубке и проводе равны и направлены противоположно.
Наити магнитную индукцию в точках, удаленных от оси кабеля на расстояние*,
а) г = 4,0 мм, б) г — 12 мм, если ток Z = 1 А.
16.48. Определить магнитную индукцию В поля безграничной плоскости,
по которой проходит ток с линейной плотностью г» одинаковой во всех точках
плоскости.
16.49. Радиус средней линии тороида без сердечника R, Сечение тороида
круговое и его радиус г . Обмотка равномерная и содержит Nвитков. Опреде-
лить ^шах и ^rnin значения магнитной индукции поля в тороиде, если по об-
мотке тороида проходит ток I .
16.50. Круговой контур радиусом R = 20 мм помещен в однородное маг-
нитное поле, индукция которого В = 50 мТл, так, что плоскость контура пер-
пендикулярна к силовым линиям поля. В контуре поддерживается постоян-
ный ток силой Z = 2 А. Какую работу А надо совершить, чтобы повернуть
контур на = 90° вокруг оси, совпадающей с диаметром контура?
101
Задание 17. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
Литература: 1. И.В. Савельев. Курс общей физики ( т. 2, § 51—59) ; 2. И.Е. Иро-
дов. Основные законы электромагнетизма (§ 7.1—7.6).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Что называется магнитным моментом? Напишите и объясните выраже-
ние для магнитного момента элементарного контура с током. Рассмотрите
поведение магнитного момента во внешнем: а) однородном, б) неоднородном
магнитном поле.
2. Что называется: макротоками; микротоками? Введите понятие вектора
намагниченности. Какая существует связь между намагниченностью и линей-
ной плотностью микротоков?
3. Опишите процесс намагничивания вещества (магнетика). Покажите,
что, как и в случае магнитного поля в вакууме, теорема Гаусса для индукции
результирующего магнитного поля при наличии магнетиков остается справед-
ливой: $s B*JS =0.
4. Как вводится вспомогательная векторная характеристика магнитного
поля — напряженность магнитного поля Н. Объясните выражение Н
в/ д0 •
5. Запишите закон полного тока для магнитного поля в веществе.
6. В каких единицах СИ и гауссовой системе измеряются намагниченность
и напряженность магнитного поля? Каково соотношение между этими едини-
цами?
7. Что называется: магнитной восприимчивостью; магнитной прони-
цаемостью? Как связаны между собой эти характеристики вещества?
8, Найдите соотношения между нормальными и тангенциальными по от-
ношению к поверхности раздела двух однородных магнетиков составляющи-
ми векторов В и Н. Получите закон преломления линий магнитного поля:
tg / tg = р х /д2 , где и а2 - углы между нормалью к границе раздела
магнетиков и линиями магнитной индукции.
9. Каковы гиромагнитные отношения для орбитальных и собственных мо
ментов электрона? Чему равен магнетон Бора? Что называется спином
электрона?
10. Какие вещества называются диамагнетиками? Как ведут себя диамаг-
нетики во внешнем магнитном поле? Рассмотрите элементарную теорию диа-
магнетизма.
11. Какие вещества называются парамагнетиками? Как ведут себя пара-
магнетики во внешнем магнитном поле? Получите для магнитной восприимчи-
вости парамагнетиков выражение % = доиРД/(ЗИ),гден — • концентрация
атомов парамагнетика; Рт — магнитный момент атома; k — постоянная
Больцмана; Т — абсолютная температура.
12. Какие вещества называются ферромагнетиками? Перечислите харак-
терные особенности ферромагнетиков. Каковы современные представления о
ферромагнетизме?
102
ЗАДАЧИ
17.1. Зная, что напряженность однородного магнитного поля в вольфраме
Н = 100 А/м, найти индукцию 15 поля, обусловленную намагничиванием
вольфрама.
17.2. Вычислить намагниченность J марганца в однородном магнитном
поле, напряженность которого Н = 100 кА/м.
173. Вычислить удельную намагниченность марганца в однородном магнит-
ном поле, напряженность которого Н = 100 кА/м.
17.4. По круговому контуру проходит ток I = 10 А. Радиус контура
Я = 10 см. Контур погружен в жидкий кислород. Найти намагниченность
J в центре контура.
17.5. Вычислить удельную магнитную восприимчивость Худ платины, если
ее магнитная восприимчивость х ~ 3,60 40“4.
17.6. Вычислить намагниченность J одного килоатома марганца в поле,
напряженность которого Н = 100 кА/м.
17.7. Напряженность магнитного поля в меди /1= 1,0 Ма/м. Найти намаг-
ниченность J меди, если известно, что удельная магнитная восприимчивость
меди Худ = 1,1*Ю"9 м3/кг.
17.8. В однородное магнитное поле внесен параллельно полю длинный
круглый стержень из алюминия. Найти, сколько процентов ч суммарного
магнитного поля в стержне приходится на долю его внутреннего магнитного
поля.
17.9. Киломольная восприимчивость оксида хрома ( С2О3 ) равна
5,8*10"*5 м3/кмоль. Определить магнитный момент Рт молекулы оксида хро-
ма, если температура Т = 300 К,
17.10. Определить намагниченность тела при насыщении J если магнит-
ный момент каждого атома равен одному магнетону Бора, а концентрация
атомов и= 6,0*1028 м“3.
17.11. Определить частоту ларморовой процессии электронной орбиты
в атоме магнетика, если индукция магнитного поля В = 1,0 Тл.
17.12. Палочка из неизвестного вещества,, помещенная между полюсами
магнита в вакууме, расположилась вдоль магнитного поля. Когда* пространст-
во между полюсами магнита заполнили некоторой жидкостью, палочка распо-
ложилась поперек поля. Каковы магнитные свойства вещества палочки и жид-
кости?
17.13. Палочка из неизвестного вещества, помещенная между полюсами
магнита в вакууме, расположилась вдоль магнитного поля. После заполнения
пространства между полюсами магнита некоторой жидкостью ориентация па-
лочки не изменилась. Каковы магнитные свойства вещества палочки и жид-
кости?
17.14. Если магнитная восприимчивость какого-нибудь парамагнитного
вещества определена при 0 °C, то как должна измениться температура ве-
щества, чтобы его магнитная восприимчивость возросла на 10 %?
17.15. Магнитная индукция поля в вакууме вблизи плоской поверхности
однородного изотропного магнетика равна В, причем вектор В составляет
угол а с нормалью к поверхности. Определить модуль вектора магнитной
ЮЗ
индукции В поля в магнетике вблизи его поверхности. Магнитная проницае-
мость магнетика известна и равна д.
17.16. Круговой контур с током лежит ца плоской границе раздела ва-
куума и магнетика, проницаемость которого равна д. Определить индукцию
В магнитного поля в произвольной точке на оси контура, если магнитная ин-
дукция поля в этой точке при отсутствии магнетика равна BQ.
17.17. Алюминиевый шарик радиусом R = 1,0 мм находится в неоднород-
ном магнитном поле, изменяющемся в направлении оси х, в той точке, где
магнитная индукция и градиент поля соответственно равны 5,0 Тл и 3,0 Тл/м.
Найти силу F, действующую на шарик со стороны магнитного поля. Намагни-
чивание шарика считать одинаковым во всех его точках.
17.18. Длинный тонкий цилиндрический стержень из парамагнетика магнит-
ной восприимчивостью х и площадью поперечного сечения S расположен вдоль
оси катушки с током. Один конец стержня находится в центре катушки, где
индукция магнитного поля равна В, а другой конец — в области, где магнитное
поле практически отсутствует. Определить силу F, с которой катушка дейст-
вует на стержень.
17.19. Какая сила F будет действовать на каждую единицу объема куска
диамагнетика ( х = 8тг»10~5), помещенного в магнитное поле, где магнитная
индукция В — 0,1 Тл, а градиент магнитной индукции равен 0,50 Тл/м?
17.20. Магнитное поле, направленное вдоль осих, равномерно изменяется
в этом направлении на 8 Тл на каждом метре расстояния. Препендикулярно к
оси х, в направлении оси z, движутся атомы натрия со скоростью v = 800 м/с.
Определить траекторию движения атомов натрия. Масса атома натрия
3,84*10”26 кг, его магнитный момент 9,27-Ю"2^ Ам2.
17.21. На рис. 17.1 изображена полученная экспериментально основная кри-
вая намагничивания технически чистого железа. Пользуясь этой кривой, по-
строить график зависимости магнитной проницаемости д от напряженности по-
ля Н, Определить максимальное значение проницаемости Дтах железа и напря-
женность поля Н, при которой оно достигается.
17.22. Используя кривую, представленную на рис. 17.1, определить намаг-
ниченность J и магнитную восприимчивость X железа при напряженности маг-
нитного поля в нем Н = 1700 А/м.
17.23. Решить задачу 17.22, если напряженность магнитного поля в железе
77= 1400 А/м.
17.24. Решить задачу 17.22, если напряженность магнитного поля в железе
Н= 900 А/м.
17.25. Решить задачу 17.22, если напряженность магнитного поля в железе
77 = 500 А/м.
17.26. Используя кривую, представленную на рис. 17.1, определить магнит-
ную проницаемость д и намагниченность J железа, если напряженность маг-
нитного поля в нем Н = 100 А/м.
17.27. Решить задачу 17.26, если напряженность магнитного поля в железе
77= 70 А/м.
17.28. Во сколько раз т? возрастет намагниченность J железа при увеличе-
нии напряженности магнитного поля Н в нем от 100 до 900 А/м? При решении
задачи использовать кривую, изображенную на рис. 17.1.
104
Рис, 17.1
Y129. Железный сердечник находится в однородном магнитном поле, нап-
ряженность которого в сердечнике Н — 1,3 кА/м. Используя кривую, пред-
ставленную на рис. 17.1, найти магнитную проницаемость железа в этих усло-
виях.
17.30. В соленоид длиной 100 мм, имеющий 300 витков провода, введен
железный сердечник. По виткам течет ток 7 = 1,0 А. Используя кривую,
изображенную на рис. 17.1, найти намагниченность J и магнитную проницае-
мость ц железа внутри соленоида.
17.31. Экспериментальными исследованиями было установлено, что намаг-
ниченность железа при насыщении 7 нас “ 134 МА/м. Вычислить среднее число
< п > магнитонов Бора, приходящихся на один атом железа.
17.32. На один атом железа в незаполненной 37-оболочке приходится четы-
ре неспаренных электрона. Найти теоретическое значение намагниченности
7 тах железа при насыщении.
17.33. Определить коэрцитивную напряженность Нс в материале постоянно-
го магнита длиной 20 см, если магнитное поле вне магнита исчезает при силе
тока 1 = 1,0 А в обмотке из 200 витков, равномерно навитых на магнит.
17.34. На постоянный магнит цилиндрической формы длиной 150 мм рав-
номерно намотали 600 витков тонкого провода. При пропускании по виткам
намотки тока 1 = 3,0 А поле вне магнита исчезло. Найти коэрцитивную нап-
ряженность Н материала, из которого изготовлен магнит.
£
8 Зак. 5886
17.35. Постоянный магнит имеет форму достаточно тонкого диска, намаг-
ниченного вдоль его оси. Радиус диска 10 мм. Найти значение молекулярного
тока Iх, проходящего по ободу диска, если магнитная индукция поля на оси
диска в точке, отстоящей на 10 см от его центра, составляет ЗОмкТл.
17.36. В стальном стержне при напряженности магнитного поля Н ~
= 1,6 кА/м магнитная индукция В — 1,26 Тл. Найти намагниченность J и маг-
нитную восприимчивость х материала стержня.
17.37. В соленоид длиной 40 см, имеющий 200 витков,ввели ферромагнит-
ный сердечник. При прохождении по виткам тока I = 1,2 А магнитная индук-
ция В в сердечнике оказалась равной 1,4 Тл. Найти магнитную проницаемость
ферромагнетика.
1738. Ферромагнитный сердечник введен в соленоид длиной 500 мм, имею-
щий 200 витков. При токе I = 0,25 А в витках магнитная индукция В в сер-
дечнике оказалась равной 1,00 Тл. Найти магнитную проницаемость д ферро-
магнетика.
1739. В соленоид длиной 500 мм, имеющий 100 витков, введен ферромаг-
нитный сердечник. Площадь поперечного сечения соленоида 8 см2. При про-
хождении по виткам соленоида тока I = 0,25 А магнитная проницаемость
ферромагнетика д = 8000. Определить магнитный поток Ф через сечение соле-
ноида.
17.40. Ферромагнитный сердечник введен в соленоид длиной 500 мм и пло-
щадью поперечного сечения 10,0 см2. Обмотка соленоида имеет 100 витков.
При прохождении по виткам тока I = 0,25 А магнитный поток Ф через попе-
речное сечение соленоида оказался равным 0,50 мВб. Определить магнитную
проницаемость д материала сердечника.
17.41. На железное кольцо небольшого кругового сечения намотано в один
слой 500 витков тонкого провода. Средний диаметр кольца 250 мм. Найти
магнитную проницаемость д железа при токе в обмотке I — 500 мА. При ре-
шении задачи воспользоваться кривой, изображенной на рис. 17.1.
17.42. На железное кольцо небольшого кругового сечения равномерно на-
мотано 500 витков тонкого провода. Средний диаметр кольца 25 см. Найти
магнитную индукцию В в кольце и магнитную проницаемость д железа при то-
ке в обмотке I = 2,5 А. При решении задачи использовать кривую, представ-
ленную на рис. 17.1.
17.43. На железное кольцо небольшого кругового сечения намотано в один
слой 500 витков тонкого провода. Средний диаметр кольца 200 мм. При ка-
кой силе тока I в обмотке магнитная индукция В в сердечнике будет равна
1,00 Тл? При решении задачииспользоватькривую,изображеннуюнарис. 17.1.
17.44. На железное кольцо, средний диаметр которого 20 см, равномерно
намотано в один слой 400 витков тонкого провода. При какой силе тока I в
обмотке магнитная индукция В в сердечнике будет равна 1,4 Тл? При реше-
нии задачи использовать кривую, представленную на рис. 17.1.
17.45. На железное кольцо равномерно намотано в одан слой 600 витков
тонкого провода. Средний диаметр кольца 300 мм, площадь его кругового
сечения 6,00 см2. При какой силе тока I в обмотке магнитный поток Ф через
сечение кольца будет равен 840 мкВб. При решении задачи использовать кри-
вую, изображенную на рис. 17.1.
106
17.46. По данным условия задачи 17.45 определить магнитную проницае-
мость д железа.
17.47. Стальной тороид, площадь поперечного сечения которого S = 4,0 см2»
имеет 10 витков на каждый сантиметр длины. По виткам проходит ток I =
= 2,0 А. В этих условиях магнитная проницаемость стали д = 520. Найти маг-
нитный поток Ф через сечение тороида. Магнитное поле в поперечном сечении
тороида считать однородным.
17.48. На железном тороидальном сердечнике со средним радиусом R
имеется обмотка с общим числом витков М В сердечнике сделана поперечная
прорезь малой ширины b(b « 2л R). При токе силой I в обмотке магнитная
индукция в зазоре В, Пренебрегая рассеиванием магнитного потока на краях
зазора, определить магнитную проницаемость д железа в этих условиях.
17.49. Постоянный магнит изготовлен в виде кольца с узким зазором меж-
ду полюсами. Средник диаметр кольца D, ширина зазора b(b « irD), индук-
ция магнитного поля в зазоре В. Пренебрегая рассеянием магнитного потока
на краях зазора, определить напряженность магнитного поля Н внутри магнита.
17.50. Ферромагнитное кольцо небольшого кругового сечения имеет попе-
речную прорезь малой ширины. Длина средней линии кольца 1,0 мл ширина
воздушной прорези 5,0 мм. Найти, сколько витков N содержит обмотка на
кольце, если известно, что при токе I = 4,0 А магнитная индукция В = 0,5 Тл,
а напряженность магнитного поля в ферромагнетике Н = 1,2 кА/м.
Задание 18. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ.
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Литература: 1. И.В. Савельев. Курс общей физики (т. 2, § 60-71); 2. И.Е. Иро-
дов. Основные законы электромагнетизма (§ 9.1-9.7; § 10.1—10.3).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. В чем заключается явление электромагнитной индукции? Сформулируй-
те закон электромагнитной индукции и напишите его математическое выраже-
ние. Каково содержание правила Ленца?
2. Каковы физические причины, приводящие к возникновению ЭДС ин-
дукции? Можно ли получить выражение для ЭДС индукции на основе закона
сохранения энергии? Рассмотрите принцип действия индукционных генерато-
ров тока.
3. В чем состоит баллистический метод определения индукции магнитного
поля? Какие другие методы определения магнитной индукции поля вы знаете?
4. Что называется явлением самоиндукции? Напишите выражение для
ЭДС самоиндукции. Дайте определение индуктивности и ее единицы измере-
ния.
5. Рассмотрите электрические токи при замыкании и размыкании цепи.
6. В чем состоит явление взаимной индукции? Что называется взаимной
индуктивностью контуров?
7. Покажите, что магнитное поле токов обладает энергией. Запишите вы-
ражение для плотности энергии магнитного поля.
8. Каким образом по петле гистерезиса можно вычислить работу, затра-
чиваемую при совершении одного цикла перемагничивания единицы объема
ферромагнетика. На что идет эта работа?
9. В чем состоит обобщение явления электромагнитной индукции, сде-
> и
dt
л, г -г лВ ’
данное Максвеллом? Объясните уравнения Максвелла: г Е d\ = —| dS
I s dt
f WS - J pdV .
V
10. Рассмотрите принцип действия индукционного ускорителя электро-
нов — бетатрона.
11. Что называется: током смещения; плотностью тока смещения; плот-
ностью полного тока? В чем состоит обобщение теоремы и циркуляции векто-
ра Н для стационарных токов проводимости, сделанное Максвеллом? Объяс-
ните уравнения Максвелла: Ф И — J (j + — ) ; Ф В • JS = 0.
12. Напишите (в интегральной и дифференциальной формах) полную сис-
тему фундаментальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля.
Объясните физический смысл этих уравнений.
ЗАДАЧИ
18.1. Квадратная рамка со стороной а расположена в магнитном поле так,
что нормаль к рамке образует с направлением поля угол а. Магнитное поле
изменяется со временем по закону В = BQ cos tot. Определить ЭДС индукции
Е. в рамке как функцию времени.
18.2. В однородном магнитном поле, индукция которого В = 0,8 Тл, равно-
мерно вращается рамка с угловой скоростью со = 15 рад/с. Площадь рамки
S = 150 см2. Ось вращения расположена в плоскости рамки и составляет с
направлением поля угол а — 30°. Найти максимальную ЭДС индукцииЕтзх во
вращающейся рамке.
18.3. В однородном магнитном поле, индукция которого В. перпендикуляр-
но к его линиям вращается с угловой скоростью со проводящий стержень дли-
ной /. Определить напряжение U, индуцируемое между концами стержня.
18.4. Горизонтальный стержень длиной I вращается вокруг вертикальной
оси, проходящей через один из его концов. Ось вращения параллельна линиям
тюля, индукция которого В — 50 мкТл. При каком числе оборотов в секунду
разность потенциалов на концах стержня будет равна 1,0 мВ?
18.5. Скорость самолета и = 950 км/ч. Найти ЭДС Е. , индуцируемую меж-
ду концами крыльев самолета, если размах крыльев I — 12,5 м, а вертикаль-
ная составляющая напряженности магнитного поля Земли Н = 40 А/м.
18.6. Металлический диск радиусом R вращают с постоянной угловой ско-
ростью со вокруг его оси. Определить разность потенциалов Uмежду центром
и ободом диска в двух случаях: а) внешнее магнитное поле отсутствует;
б) имеется перпендикулярное к диску внешнее магнитное поле с индукцией
В. Магнитное поле Земли не учитывать.
18.7. В однородном магнитном поле, индукция которого В = 20 мТл, рас-
положена прямоугольная рамка abed, подвижная сторона которой длиной
108
Рис. 18.3
Рис. 18.4
I = 20 см перемещается со скоростью и = 20 м/с перпендикулярно к направ-
лению поля (рис. 18.1). Найти ЭДС , индуцируемую в контуре.
18.8. Длинный прямой проводник с током 1 и П-образный провод с под-
вижной перемычкой расположены в одной плоскости (рис. 18.2). Перемычку,
длина которой I и сопротивление R, перемещают с постоянной скоростью и.
Определить силу тока I. , индуцируемую в контуре как функцию расстояния
г между перемычкой и прямым проводником. Сопротивление П-образного
проводника и самоиндукция контура пренебрежимо малы.
18.9. Квадратная рамка со стороной а и длинный прямой провод с током I
находятся в одной плоскости (рис. 183). Рамку поступательно перемещают
вправо с постоянной скоростью и. Определить ЭДС индукции в рамке как
функцию расстояния г.
18.10. Квадратная рамка со стороной а == 100 см движется с некоторой ско-
ростью v в направлении, перпендикулярном к бесконечно длинному проводу с
током 1 = 10 А, лежащему в плоскости рамки параллельно одной из ее сто-
рон (рис. 18.3). В некоторый момент времени расстояние от провода до бли-
жайшей стороны рамки г = 100 см. Какова должна быть скорость рамки и,
чтобы в этот момент в ней индуцировалась ЭДС, равная 100 мкВ?
18.11. Прямоугольный контур со скользящей перемычкой длиной I нахо-
дится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости конту-
ра (рис. 18.4). Магнитная индукция поля В- Перемычка имеет сопротивление
К, стороны АВ и CD — сопротивления и К2. Пренебрегая самоиндукцией
контура, найти силу тока I в перемычке при ее поступательном перемещении
с постоянной скоростью и. о
18.12. Нормаль к круглому витку провода образует угол а — 30 с направ-
лением однородного магнитного поля, индукция которого В = 0,1 Тл. Виток
движется так, что его нормаль вращается вокруг направления магнитного по-
109
Рис. 18.5
Рис. 18.6
ля с постоянной скоростью, соответствующей 100 об/мин, причем угол а ос-
тается неизменным. Чему равна ЭДС индукции Е. в витке?
18.13. В однородном магнитном поле с индукцией7? = 0,1 Тл равном^эно с
частотой п = 10 об/с вращается рамка, содержащая 7V = 1000 витков провода.
Ось рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля. Площадь рамки
S = 150 см2. Найти мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее
углу поворота рамки а = 30°.
18.14. В однородном магнитном поле, индукция которого В = 50 мТл, по-
мещена катушка, состоящая из N = 200 витков провода, причем ее ось сос-
тавляет с направлением поля угол а = 60°. Сопротивление катушки R =
- 40 Ом, площадь ее поперечного сечения S = 12 см2. Какой электрический
заряд пройдет по катушке при исчезновении магнитного поля?
18.15. Катушка состоит из N = 200 витков провода площадью S = 12 см2
каждый и помещена в однородное магнитное поле так, что ее ось совпадает с
направлением поля. Катушка включена в цепь баллистического гальванометра.
Сопротивление катушки и гальванометра R = 5,0 кОм. Определить магнит-
ную индукцию В поля, если при быстром повороте катушки на угол а =
= 180° вокруг ее диаметра через гальванометр проходит электрический за-
ряд q = 2,0 мкКл.
18.16. Между полюсами магнита находится небольшая катушка, ось кото-
рой совпадает с направлением магнитного поля. Площадь поперечного сечения
катушки S = 6,0 мм2, число ее витков N — 60. При повороте катушки на угол
а — 180° вокруг ее диаметра через подключенный к ней баллистический галь-
ванометр проходит электрический заряд q = 9,0 мкКл, Найти магнитную ин-
дукцию В поля между полюсами, если полное сопротивление электрической
цепи R — 60 Ом.
18.17. Проволочное кольцо радиусом R — 10 см лежит на столе. Какой
электрический заряд q проходит через кольцо, если его повернуть с одной сто-
роны на другую? Сопротивление кольца R = 1 Ом. Вертикальную составляю-
щую магнитного поля Земли считать равной 50 мкТл.
18.18. Магнитное поле увеличивается пропорционально времени по закону
В = kt, где k = 10 Тл/с. Какое количество теплоты выделится в рамке, имею-
щей форму квадрата со стороной а = 1 м за время т — 2 с? Рамка сделана из
провода, поперечное сечение которого S = 1,0 мм2, а удельное сопротивление
р - 2,9 -10“ 8 Ом-м. Плоскость рамки расположена перпендикулярно к направ-
лению поля. Самоиндукцией рамки пренебречь.
110
18.19. Квадратная проволочная рамка со стороной а и длинный прямой
провод с током IQ лежат в одной плоскости, как показано на рис. 18.5. Рас-
стояние от провода до ближайшей к нему стороны рамки Ь. Сопротивление
рамки R. Определить ток 70, если известно, что при его выключении в рамке
проходит электрический заряд q. Самоиндукцией контура пренебречь.
18.20. Квадратная проволочная рамка со стороной а и длинный прямой про-
вод с постоянным током I лежат в одной плоскости (рис. 18.6). Сопротив-
ление рамки равно R. Рамку повернули на 180° вокруг оси ОО'9 отстоящей
от провода с током на расстоянии Ь. Определить электрический заряд q9 воз-
никший в рамке. Явление самоиндукции в контуре не рассматривать.
18.21. При помощи реостата сипу тока в катушке, индуктивность которой
L — 0,1 мГн, равномерно увеличивают на 0,1 А в секунду. Найти ЭДС <£*с >
самоиндукции, возникающей в катушке.
18.22. Катушка имеет N — 400 витков. Ее длина I — 20 см, диаметр d =
= 30 мм. По катушке течет ток I = 2 А. Найти: а) индуктивность L катуш-
ки; б) магнитный поток Ф, пронизывающий площадь ее поперечного сечения.
18.23. Длинный соленоид сечением S == 2,5 см2 содержит N = 2400 витков.
По виткам проходит ток I = 2 А. Индукция магнитного поля в центре соле-
новда В = 20 мТл. Найти индуктивность L соленоида.
18.24. Если ток, проходящий в некотором соленоиде, изменяется на 50 А в
секунду, то на концах соленоида возникает ЭДС самоиндукции Е = 80 мВ.
Определить индуктивность L такого соленоида.
18.25. Соленоид с железным сердечником имеет площадь поперечного
сечения S = 20 см2 и число витков W — 500. Индуктивность соленоида с сер-
дечником при токе в обмотке I = 5 А равна 0,28 Гн. Найти магнитную прони-
цаемость д железного сердечника в этих условиях.
18.26. На катушку сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L =
= 58 мГн подается постоянное напряжение. Через какое время ток I в ка-
тушке достигнет величины, равной половине установившегося значения?
18.27. Катушка имеет сопротивление R — 10 Ом и индуктивность L =
= 144 мГн. Через какое время т после включения постоянного напряжения в
катушке будет проходить ток, равный половине его установившегося значе-
ния?
18.28. Имеется катушка индуктивностью L = 0,2 Гн и сопротивлением
R — 1,64 Ом. Найти, во сколько раз ту уменьшится ток в катушке через т =
— 50 мс после того, как источник постоянной ЭДС будет выключен, а катушка
замкнута накоротко.
18.29. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих
друг к другу витков провода. Удельное сопротивление провода р, его диаметр
d. Диаметр соленовда D. По соленовду проходит ток IQ. Определить электри-
ческий заряд q9 который пройдет по обмотке, если его концы замкнуть наг
коротко.
18.30. Катушку, индуктивность и сопротивление которой L - 300 МГн и
R = 140 мОм, подключили к источнику постоянного напряжения. Через ка-
кое время т ток через катушку достигнет 50 % установившегося значения?
18.31. Определить энергию W магнитного поля соленовда, имеющего N =
= 500 витков, которые равномерно намотаны на картонный каркас радиусом
R — 20 мм и длиной I = 50 см, если по нему проходит ток I — 5 А.
111
1832. На стержень из немагнитного материала длиной I и сечением S
намотан в один слой провод так, что на 1 м длины стержня приходится т
витков, Определить энергию W магнитного поля внутри соленоида, если по об-
мотке проходит ток I .
1833. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет 10 витков на
каждый сантиметр длины. При каком токе I в обмотке плотность энергии
магнитного поля равна и — 1,00 Дж/м3 ?
1834. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет 10 витков
на каждый сантиметр длины. Чему равна плотность энергии w магнитного по-
ля при токе обмотки I = 16 А?
1835. Какова должна быть напряженность Е однородного электрического
поля, чтобы оно обладало той же плотностью энергии, что и магнитное поле
индукцией В = 0,5 Тл?
1836. Тороид с железным сердечником длиной / = 20 см имеет воздушный
зазор b = 10 мм. По обмотке тороида, содержащей N= 500 витков, проходит
ток I = ЗА. Найти плотность энергии w магнитного поля в сердечнике и воз-
душном зазоре, если при этих условиях магнитная проницаемость сердечника
р = 580. Рассеянием магнитного потока пренебречь.
1837. На общий каркас намотаны две катушки. Определить их взаимную
индуктивность ЛГ12> если постоянный ток первой обмотки катушки I = 5 А
создает во второй обмотке магнитный поток сцепления 0 = 40 мВб.
18.38. Определить взаимную индуктивность М12 длинного прямого прово-
да и прямоугольной рамки со сторонами аиЬ, Рамка и прямой провод лежат в
одной плоскости, причем ближайшая к проводу сторона рамки длиной b па-
раллельна проводу и отстоит от него на расстояние г .
18.39. Длинный неферромагнитный цилиндр радиусом R, заряженный рав-
номерно по поверхности с линейной плотностью г, вращается вокруг своей
оси с угловой скоростью со . Определить энергию W магнитного поля, прихо-
дящуюся на единицу длины цилиндра.
18.40. Тонкое равномерно заряженное кольцо радиусом К = 10 см вра-
щается вокруг своей оси с угловой скоростью со = 100 рад/с. Найти отношение
объемных плотностей энергии магнитного и электрического полей на
оси кольца в точке, отстоящей от его центра на расстояние г = 10 см.
18.41. В бетатроне скорость изменения средней по площади орбиты уско-
ряемых электронов магнитной индукции поля равна 50 Тл/с. Радиус орбиты
R — 40 см. Определить силу F, действующую на ускоряемый электрон.
18.42. Электрон в бетатроне движется по орбите радиусом К = 40 см и при-
обретает за один оборот кинетическую энергию W* = 20 эВ. Вычислить ско-
рость изменения среднего по площади орбиты значения магнитной индукции
dB
— , считая ее постоянной.
dt
18.43. Радиус орбиты электронов, ускоряемых бетатроном, R — 300 мм.
Среднее по площади орбиты значение магнитной индукции поля, изменяясь со
временем практически по линейному закону, возрастает от нуля до 200 мТл.
Найти скорость и, приобретенную за это время электронами.
18.44. В бетатроне магнитный поток внутри равновесной орбиты радиусом
R = 25 см возрастает за время ускорения практически с постоянной ско-
112
росрью 5,0Вб/с. За время ускорения электрон приобретает кинетическую
энергию WK = 25 МэВ. Найти число оборотов N, совершенных электроном за
время ускорения.
18.45. В бетатроне магнитная индукция поля на равновесной орбите радиу-
сом R = 20 см изменяется за время т = 1 мс практически с постоянной ско-
ростью от нуля до 0,40 Тл. Найти энергию , приобретенную электроном
за каждый оборот.
18.46. Длинный прямой соленоид имеет п витков на единицу длины. По
нему проходит переменный ток I — si пая. Радиус соленоида R, Найти плот-
ность тока смещения / как функцию расстояния г от оси соленоида.
18.47. Точечный заряд q движется с нерелятивистской скоростью v = const.
Найти плотность тока смещения jCM в точке, находящейся на расстоянии г
от заряда на прямой: а) совпадающей с траекторией заряда; б) пёрпендику-
лярной к траектории и проходящей через заряд.
18.48. Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых металлических
дисков, пространство между которыми заполнено однородной слабо прово-
дящей средой с диэлектрической проницаемостью е и удельной проводи-
мостью о. Расстояние между внутренними поверхностями дисков равно I,
Между обкладками конденсатора поддерживается напряжение 17= coscot.
Пренебрегая краевыми эффектами, найти модуль напряженности магнитного
поля Н между обкладками конденсатора на расстоянии г от их оси.
18.49. Найти плотность тока смещения в плоском конденсаторе, пластины
которого раздвигаются со скоростью и, оставаясь параллельными друг другу,
если разность потенциалов U между пластинами постоянна. Расстояние I
между пластинами конденсатора остается все время малым по сравнению с
линейными размерами пластин.
18.50. Точечный заряд q движется с постоянной нерелятивистской ско-
ростью v . Найти с помощью формул преобразования полей индукцию магнит-
ного поля этого заряда в точке, положение которой относительно заряда оп-
ределяется радиусом-вектором г.
Задание 19. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Литература: 1. И,В, Савельев, Курс общей физики (т. 2, § 88—92; 104-109);
1.И.Е. Иродов, Основные законы электромагнетизма (§ 10.3—10.5; § 11.1—114).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Какие электрические токи называются квазистационарными? Рассмот-
рите процесс разрядки конденсатора через активное сопротивление. Какие па-
раметры контура RC определяют быстроту убывания в нем электрического
тока?
2. Рассмотрите свободные электрические колебания в идеализированном
контуре LC. Почему в таком контуре электрические колебания не прекра-
щаются в тот момент, когда конденсатор полностью разряжается?
3. Рассмотрите свободные затухающие электрические колебания в конту-
ре RLC. Что называется логарифмическим декрементом затухания; доброт-
ностью контура?
ИЗ
4. Рассмотрите вынужденные электрические колебания в контуре RLC, От
каких параметров контура зависит его резонансная частота? Изобразите и об-
судите резонансные кривые для силы тока в контуре.
5. Запишите волновое уравнение. Объясните, почему существование
электромагнитных волн непосредственно вытекает из фундаментальных вы-
ражении Максвелла для электромагнитного поля.
6, Дайте определение плоской электромагнитной волны и запишите ее
уравнения, Какому правилу удовлетворяет взаимная ориентация тройки век-
торов Е, Н, v электромагнитной волны?
7. Изобразите графически плоскую электромагнитную волну.
8. Покажите, что в электромагнитной волне колебания электрического и
магнитного векторов происходят в одинаковых фазах, причем в любой точ-
ке между их мгновенными значениями имеет место связь, которую можно вы-
разить соотношением Veoe Е “ V Д0Д#*
9. Покажите, как скорость распространения электромагнитных волн в
вакууме связана с электрической и магнитной постоянными соотношением
с=1/><^Г0.
10. Чему равна фазовая скорость v электромагнитной волны в однородной
нейтральной непроводящей среде с постоянными проницаемостями е и д?
11. Напишите и объясните выражения: а) для плотности энергии электро-
магнитного поля; б) для вектора плотности потока электромагнитной энер-
гии (вектора Пойнтинга). Оказывают ли электромагнитные волны давление
на тело?
12. Рассмотрите излучение колеблющегося по гармоническому закону
электрического диполя. Изобразите и объясните диаграмму направленнос-
ти его излучения. Чем определяется средняя мощность излучения диполя?
ЗАДАЧИ
19.1. Определить период TQ собственных колебаний в контуре, если его
емкость С = 16 пФ и индуктивность L = 1,6 мГн. Активным сопротивлением
контура пренебречь.
19.2. Собственная частота колебательного контура с пренебрежимо малым
активным сопротивлением vQ = 1,0 МГц. Определить индуктивность L конту-
ра, если его емкость С = 8,0 пФ.
19.3. Период собственных колебаний контура TQ — 1,0 мкс. Определить ем-
кость С контура, если его индуктивность L — 6,4 мГн. Активным сопротивле-
нием контура пренебречь.
19.4. Какую индуктивность L надо включить в колебательный контур, что-
бы при емкости С = 2 мкФ получить собственную частоту v = 1 кГц? Сопро-
тивлением контура пренебречь.
195. Конденсатор емкостью С = 16 пФ заряжается до напряжения U =
= 320 В и замыкается на катушку индуктивностью 1-1 мГн. Определить
максимальную силу тока Imax в образовавшемся контуре. Активным сопро-
тивлением контура пренебречь.
19.6. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С — 8 пФ и
114
катушку индуктивностью L = 0,5 мГн. Сопротивлением контура пренебречь.
Каково максимальное напряжение l^iax на обкладках конденсатора, если
максимальная сила тока в конденсаторе /тах = 40 мА?
19.7. Катушка (без сердечника) длиной I = 50 см и сечением 5=3 см2
имеет N = 1000 витков и соединена параллельно с конденсатором. Площадь
каждой пластины конденсатора 5 = 75 см2, расстояние между пластинами d =
= 5 мм, диэлектрик — воздух. Пренебрегая активным сопротивлением конту-
ра, найти период TQ его колебаний.
19.8. Колебательный контур состоит из параллельно соединенных конденса-
тора емкостью С = 1,0 мкФ и катушки индуктивностью L = 1,0 мГн. Сопро-
тивление контура ничтожно мало. Найти частоту vQ колебаний контура.
19.9. Определить частоту vQ колебаний контура, если максимальное напря-
жение на обкладках конденсатора ^тах = 100 В, а максимальный ток в ка-
тушке Zmax = 50 мА. Емкость конденсатора С = 0,5 мкФ, Активным сопро-
тивлением контура пренебречь.
19.10. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С =
= 5 мкФ и катушки индуктивностью L — 200 мГн. Определить максимальную
/ силу тока /тах в контуре, если максимальная разность потенциалов на
обкладках конденсатора 17тах = 90 В. Активным сопротивлением контура
пренебречь.
19.11. В колебательном контуре, состоящем из плоского конденсатора и
катушки индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением,
происходят колебания с энергией Пластины конденсатора медленно раздви-
нули так, что частота колебаний увеличилась в «раз. Какую работу Л соверши-
ли при этом?
19.12. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L —
= 100 мГн и конденсатора емкостью С— 100нФ. Сколько времени г проходит
от момента, когда ковденсатор полностью разряжен, до момента, когда его
энергия вдвое превышает энергию катушки? Активным сопротивлением ка-
тушки пренебречь.
19.13. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 2 мкФ
и катушки индуктивностью L = 100 мГн. Активное сопротивление катушки
R = 10 Ом. Определить логарифмический декремент затухания К контура.
19.14. Найти промежуток времени т, за который амплитуда колебаний си-
лы тока в контуре с добротностью Q = 5000 уменьшается в 2 раза, если часто-
та свободных колебаний в контуре v = 2,2 МГц,
19.15. Емкость колебательного контура С = 10 мкФ, индуктивность L =
= 25 мГн и активное сопротивление R = 1 Ом. Через сколько колебаний N
амплитуда силы тока в контуре уменьшится в е раз?
19.16. В контуре, добротность которого Q — 50 и собственная частота v =
= 5,5 кГц, возбуждаются затухающие колебания. Через какое время т энер-
i гия, запасенная в контуре, уменьшится в 2 раза?
19,17. Цепь из последовательно соединенных конденсатора емкостью С,
сопротивления R, катушки индуктивностью L подключена к генератору си-
нусоидального напряжения, частоту которого можно изменять при постоянной
амплитуде. Определить частоту со, при которой максимальна амплитуда нап-
115
ряжения: а) на конденсаторе; б) на катушке индуктивности. Активным
сопротивлением подводящих проводов пренебречь.
19.18. Найти добротность колебательного контура Q, в который последо-
вательно включен источник переменной ЭДС, если при резонансе напряжение
на конденсаторе в п раз превышает напряжение на источнике.
19.19. Конденсатор емкостью С = 1 мкФ и катушку с активным сопротив-
лением R = ОД Ом и индуктивностью L = 1 мГн подключили параллельно к
источнику синусоидального напряжения. Найти резонансную частоту ^рез-
19.20. Цепь, содержащая последовательно соединенные конденсатор и ка-
тушку с активным сопротивлением, подключена к источнику гармонического
напряжения, частоту которого можно изменять, не изменяя амплитуды напря-
жения. При частотах со1 и сс2 амплитуды тока оказались в п раз меньше ре-
зонансной амплитуды. Найти: а) резонансную частоту; б) добротность цепи Q.
19.21. Колебательный контур имеет емкость С = 1,1 нФ и индуктивность
L = 5 мГн. Логарифмический декремент затухания контура X = 0,005. За ка-
кое время т потеряется вследствие затухания 99 % энергии контура?
19.22. В резонансно настроенном контуре под действием внешнего сину-
соидального напряжения с амплитудой 200 В установился переменный ток,
амплитуда которого 16 А. Определить активное сопротивление R контура.
19.23. В резонансно настроенном колебательном контуре индуктивностью
£ = 0,75 Гн, под действием внешнего синусоидального напряжения с амплиту-
дой 200 В установился переменный ток, амплитуда которого 20 А. Найти вре-
мя т, за которое в режиме затухающих колебаний амплитуда колебаний в кон-
туре уменьшится в е раз.
19.24. В контуре, активное сопротивление которого R — 0,56 Ом, поддер-
живаются гармонические незатухающие колебания с амплитудой силы тока
1=50 мА. Определить потребляемую контуром мощность Р.
19.25. Какую мощность Р должен потреблять колебательный контур с ак-
тивным сопротивлением R = 1,8 Ом, чтобы в нем поддерживались незатухаю-
щие гармонические колебания с амплитудой силы тока 20 мА?
19.26. Параметры колебательного контура имеют значения: С ~ 3,2 нФ,
L = 9,6 мкГн, R = 0,66 Ом. Какую мощность Р должен потреблять контур,
чтобы в нем поддерживались незатухающие гармонические колебания с ампли-
тудой напряжения на конденсаторе 12 В?
19.27. Какой должна быть добротность контура Q, чтобы частота, при ко-
торой наступает резонанс токов, отличалась от частоты, при которой наступает
резонанс напряжений, более чем на 1 % ?
19.28. В сеть переменного тока напряжением U = 220 В и частотой г =
- 50 Гц включены последовательно емкость С= 18 мкФ, индуктивность L =
= 0,75 Гн и активное сопротивление R = 60 Ом. Найти силу тока I в цепи и
напряжения на емкости ис, на индуктивности UL и на активном сопротив-
лении I/ .
t\
19.29. Катушка индуктивности, активное сопротивление которой R —
- 12 Ом, включена в сеть переменного тока частотой v — 50 Гц. Определить
индуктивность катушки £, если известно, что сдвиг фаз между напряжением
и силой тока = 60 °.
116
1930 . К источнику гармонического напряжения с круговой частотой со
подключили параллельно конденсатор емкостью С и катушку с активным
сопротивлением К и индуктивностью L. Определить разность фаз tg<£ между
напряжением на источнике и силой тока, подводимого к контуру.
1931 . Катушка, индуктивность которой L = 30 мкГн, присоединена к
плоскому конденсатору. Площадь каждой пластины S = 100 см2, расстояние
между ними d = 0,1 мм. Определить диэлектрическую проницаемость е среды,
заполняющей пространство между пластинами, если контур резонирует на
монохроматическую электромагнитную волну, длина которой X — 750 м.
1932 . Индуктивность колебательного контура L — 50 мкГн. Какова
должна быть емкость С контура, чтобы он резонировал на электромагнитную
волну, длина которой X = 300 м?
1933 . Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 1 нФ
и катушки индуктивностью L = 1 мГн. Активным сопротивлением контура
пренебречь. На какую длину монохроматической электромагнитной волны
X настроен контур?
1934 . Контур приемника с конденсатором емкостью С = 20 пФ настроен
на электромагнитную волну длиной X = 5 м. Определить индуктивность ка-
тушки контура. Активным сопротивлением контура пренебречь. -
1935 . Определить длину электромагнитной волны X в трансформаторном
масле ( е = 2,2, д - 1,0), если частота волны v = 50 МГц.
1936 . За какое время Т происходит одно полное колебание в контуре,
излучающем электромагнитную волну длиной X = 240 м в вакууме?
1937 . На какую длину волны X настроен приемный контур радиоприем-
ника, если он обладает индуктивностью L = 1,5 мГн и емкостью С — 0,67 нФ?
Активным сопротивлением контура пренебречь.
1938 . Радиолокатор работает на длине волны X = 20 см и излучает
2000 импульсов в секунду длительностью 0,02 мкс каждый. Определить чис-
ло колебаний N в одном импульсе и глубину I действия радиолокатора.
1939. Как изменяются длина X и скорость и электромагнитной волны при
переходе из вакуума в среду с показателем преломления и Ч Меняется ли при
этом частота v волны?
19.40. Частота электромагнитной волны v = 100 МГц, а ее длина в бензоле
X = 2 м. Чему равна диэлектрическая проницаемость е бензола? Магнитную
проницаемость бензола считать равной единице.
19.41. Электромагнитная волна с частотой v = 100 МГц переходит из ва-
куума в немагнитную среду с показателем преломления п =2,45. Найти при-
ращение длины волны ДХ в среде.
19.42. Электромагнитная волна с частотой v = 59 МГц распространяется в
немагнитной среде с показателем преломления п =5,1. Определить длину вол-
ны X в среде.
19.43. Плоская электромагнитная волна Е = Em cos(c«x — kr) распростра-
няется в вакууме. Найти модуль вектора Пойнтинга| П | этой волны.
19.44. Плоская гармоническая линейно поляризованная электромагнитная
волна распространяется в вакууме. Амплитуда напряженности электрической
составляющей волны Е . Определить среднюю за период колебания плот-
ность потока энергии |П|.
117
19.45. По прямому проводнику круглого сечения течет ток I , Найти по-
ток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участка данного проводни-
ка, имеющего сопротивление R.
19.46. Энергия от источника постоянного напряжения U передается к по-
требителю по длинному прямому коаксиальному кабелю с пренебрежимо ма-
лым активным сопротивлением. Ток равен I . Найти поток энергии Ф через
поперечное сечение кабеля. Внешняя оболочка кабеля тонкостенная.
19.47. Плоский воздушный конденсатор, обкладки которого имеют форму
дисков радиусом R = 9 см, подключен к переменному гармоническому напря-
жению частоты о? = 10“ 3 с“1. Найти отношение амплитудных значений магнит-
ной и электрической энергии ИС /W внутри конденсатора.
мшах лтах
19.48. Ток, проходящий по обмотке длинного прямого соленоида, увели-
чивается. Показать, что скорость возрастания энергии магнитного поля dW/dt
в соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга Ф через его боковую поверх-
ность.
19.49. Найти среднюю мощность <Р> излучения электрона, совершающего
гармонические колебания с амплитудой Л = 0,1 нм и частотой со = 6,5*1014с"1.
19.50. Электромагнитная волна, излучаемая элементарным диполем, рас-
пространяется в вакууме так, что в волновой зоне на луче, перепендикуляр-
ном к оси диполя, на расстоянии г от него средняя плотность потока энергии
равна | П |. Найти среднюю мощность < Р > излучения диполя.
Контрольная работа № 4
1. Повторите программный материал по заданиям 16—19.
2. Решите задачи своего варианта.
Таблица 4
Вари* ант Номер задачи Вари- ант Номер задачи
I 16.30 17.45 18.50 18.18 19.7 XVI 16.34 17.27 18.36 19.11 19.33
И 16.24 17.49 18.41 18.17 19.5 XVII 16.39 17.21 18.35 19.12 19.38
III 16.22 17.43 18.49 18.20 19.6 XVIII 16.35 17.29 18.31 19.15 19.34
IV 16.24 17.50 18.48 18.16 19.8 XIX 16.37 17.22 18.34 19.17 19.40
V 16.26 17.46 18.44 18.19 19.9 XX 16.40 17.23 18.33 19.13 19.35
VI 16.23 17.42 18.42 18.15 19.10 XXI 1644 17.39 18.29 19.14 19.37
VII 16.28 17.41 18.47 18.14 119.30 XXII 16.48 17.38 18.30 19.15 19.36
VIU 16.27 17.47 18.46 18.13 19.31 ХХШ 16.41 17.40 18.32 19.16 19.39
IX 16.21 17.44 18.45 18.12 19.32 XXIV 16.47 17.31 18.28 19.18 19.40
X 16.25 17.48 18.43 18.11 19.20 XXV 16.46 17.33 18.27 19.19 19.45
XI 16.31 17.25 18.10 1840 19.25 XXVI 16.42 17.34 18.26 19.21 19.46
XII 16.32 17.24 18.6 18.39 19.26 XXVII. 16.49 17.32 18.25 19.22 19.47
XIII 16.36 17.30 18.9 18.38 19.27 XXVIH16.50 17.37 18.24 19.23 19.48
XIV 16.33 17.26 18.7 18.37 19.28 XXIX 16.45 17.36 18.23 19.25 19.49
XV 16.38 17.28 18.8 18.32 19.29 XXX 16.43 17.35 18.21 19.24 19.50
118
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЙ
3 а д а н и е 20. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Литература: 1. И.В. Савельев, Курс общей физики (т. 2, § 118—124); Ъ.Д.В.Си?
вухин. Общий курс физики .01ггика( § 26-38).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Введите понятие когерентности: а) волн; б) источников.
2. Какое явление называется интерференцией волн?
3. Почему при сложении некогерентных волн не наблюдается устойчивая
интерференционная картина?
4. Можно ли на экране получить интерференционную картину от двух лам-
почек накаливания? Почему?
5. Что называется: а) оптической длиной пути; б) оптической разностью
хода? Какова связь разности хода и разности фаз?
6, Запишите условия: а) интерференционных максимумов; б) интерфе-
ренционных минимумов.
7. Опишите методы получения интерференционной картины.
8. Как изменится интерференционная картина при: а) увеличении расстоя-
ния между источниками; б) увеличении расстояния от источников до экрана;
в) уменьшении длины волны?
9. При каких условиях можно наблюдать полосы равной толщины? Где
локализована интерференционная картина?
10. Линзу какого радиуса кривизны целесообразно использовать для
наблюдения колец Ньютона? Почему?
11, При каких условиях можно наблюдать полосы равного наклона? Где
локализована интерференционная картина?
12. Приведите примеры практического использования интерференции света.
В чем заключается ’’просветление’* оптики?
ЗАДАЧИ
20.1, Показать, что если разность фаз двух складываемых колебаний беспо-
рядочно изменяется во времени, то средняя по времени энергия результирую-
щего колебания равна сумме энергий исходных колебаний.
Указание. Считягъ, что за время наблюдения все значения разности фаз равновероят-
ны.
20.2. На сколько полос Дж сместится интерференционная картина, если на
пути одного из интерферирующих лучей ввести пластинку толщиной d =
= 3,67 мкм и показателем преломления п = 1,6? Длина волны X = 550 нм.
20.3. Направления распространения двух плоских волн одной и той же дли-
ны волны X составляют друг с другом малый угол Волны падают на экран,
119
плоскость которого приблизительно перпендикулярна к направлению их рас-
пространения. Написать уравнения обеих плоских волн и, сложив поля этих
волн, показать, что расстояние между двумя соседними интерференционными
полосами на экране Ах = Х/<Л
20.4. Световая волна падает нормально на границу раздела двух изотроп-
ных диэлектриков с показателями преломления п х и п2. Показать, что на гра-
нице раздела фазы падающей и проходящей волн всегда совпадают, а фаза от-
раженной волны скачком изменяется на тг, если отражение происходит от бо-
лее плотной среды.
20.5. В опыте Юнга отверстия освещались монохроматическим светом дли-
ной волны X = 6*10"5 см; расстояние между отверстиями d = 1 мм и расстоя-
ние от отверстий до экрана L = 3 м. Найти расстояние х. трех первых макси-
мумов от нулевого максимума.
20.6. Во сколько раз N в опыте Юнга нужно изменить расстояние до экрана,
чтобы пятая светлая полоса новой интерференционной картины оказалась
на том же расстоянии, что и третья в прежней картине? То же для третьей и
седьмой темных полос.
20.7. Найти длину волны X монохроматического излучения, если в опыте
Юнга расстояние первого интерференционного максимума от центрального
максимума х = 0,05 см, расстояние от щелей до экрана L = 5 м, расстояние
между щелями d = 0,5 см.
20.8. В опыте Юнга расстояние между щелями d — 0,5 мм, длина волны
X = 550 нм. Найти расстояние L от щелей до экрана, если расстояние между со-
седними темными полосами Ах — 1 мм.
20.9. Во сколько раз N увеличится расстояние между соседними интерфе-
ренционными полосами на экране в опыте Юнга, если зеленый (Xf = 5 40"5 см)
светофильтр заменить красным (Х2 = 6,5*10’5 см)?
20.10. На рис. 20.1 изображена принципиальная интерференционная схема
с двумя светящимися щелями. Оценить максимальную ширину /?тах щелей,
при которой интерференционные полосы будут еще различимы достаточно от-
четливо, считая свет строго монохроматичным.
20.11. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между мнимыми изобра-
жениями источника света d = 0,5 мм, расстояние до экрана L — 5 м. В зеле-
ном свете получились интерференционные полосы на расстоянии Ах = 5 мм
друг от друга. Найти длину волны X зеленого света.
20.12. Плоская световая волна падает на бизеркала Френеля, угол между
которыми а = 2*. Найти длину волны света X, если ширина интерференцион-
ной полосы на экране Ах — 0,55 мм.
20.13. В изображенной на рис. 20.2 установке с бизеркалами Френеля 5 —
источник света в виде перпендикулярной к плоскости рисунка щели, Э — эк-
ран. Расстояние г — 0,1 м, b = 1 м. Найти: а) значение угла а, при котором
для X = 500 нм ширина Ах интерференционных полос на экране будет равна
1 мм; б) максимальное N число полос, которое можно наблюдать в этом слу-
чае.
20.14. Расстояния от бипризмы Френеля с показателем преломления п =
— 1,5 до узкой щели и экрана равны соответственно а - 25 и 6 — 100 см.
Преломляющий угол призмы Q = 20'. Найти длину волны света X, если ширина
120
Рис. 20.3 Рис. 20.4
интерференционной полосы на экране Ьх — 0,55 мм.
20.15. Выразить расстояние х от центра интерференционной картины до
m-й светлой полосы в опыте с бипризмой (рис. 20.3). Показатель преломления
призмы и, преломляющий угол в, длина волны X. Интерферирующие лучи па-
дают на экран приблизительно перпендикулярно.
20.16. В схеме, предложенной Ллойдом, световая волна, падающая на экран
Э непосредственно от светящейся щели S, интерферирует с волной, отразив-
шейся от зеркала 3 (рис. 20.4). Пусть расстояние от щели до плоскости зерка-
ла h = 1 мм, расстояние от щели до экрана L = 1 м, длина световой волны
X = 500 нм. Найти: а) ширину интерференционных полос Дх; б) при какой
минимальной ширине щели Z?min интерференционная картина на экране пол-
ностью исчезает.
20.17. В опыте Ллойда в качестве отражающей взята поверхность стеклян-
ной пластины, а источником света служит параллельная ей щель, середина ко-
торой находится на расстоянии h = 1 мм от продолжения отражающей по-
верхности. Экран расположен на расстоянии L — 4 м от щели, длина волны X =
= 700 нм. Найти число интерференционных полос п, укладывающихся на от-
резке экрана длиной I = 4,2 мм.
20.18. Рассеянный монохроматический свет с длиной волны X = 0,6 мкм
падает на пленку толщиной d — 15 мкм с показателем преломления п = 1,5.
Определить угловое расстояние между соседними максимумами, наблюдае-
мыми в отраженном свете под углами с нормалью, близкими к 45°.
121
20.19. Установка для получения колец Ньютона освещается монохромати-
ческим светом. Наблюдение ведется в отраженном свете. Радиусы двух сосед-
них темных колец равны соответственно гк - 4,0 мм и rK+j = 4,38 мм. Ра-
диус кривизны линзы равен R = 6,4 м. Найти порядковые номера колец и дли-
ну волны X падающего света.
20.20. На стеклянную пластинку положена выпуклой стороной плосковы- *
пуклая линза. При нормальном падении на плоскую границу линзы красного
света (X =610 нм) радиус пятого светлого кольца Ньютона г5 = 5 мм. Найти:
а) радиус кривизны R выпуклой границы линзы; б) оптическую силу Ф лин-
зы, если показатель преломления линзы?? = 1,50, линзу считать тонкой; в) ра-
диус третьего светлого кольца гэ. Наблюдение ведется в отраженном свете.
20.21. Найти расстояние I между десятым и одиннадцатым кольцами Нью-
тона, наблюдаемыми в отраженном свете, если расстояние между вторым и
третьим 1г = 3 мм. Свет падает нормально.
20.22. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохрома-
тическим светом с длиной волны X = 0,6 мкм, падающим нормально. Найти
толщину воздушного слоя h между линзой и стеклянной пластиной в том
месте, где наблюдается четвертое темное кольцо в отраженном свете.
20.23. Диаметр четвертого темного кольца Ньютона в отраженном свете d =
= 9 мм. Радиус кривизны линзы R = 8,6 м. Монохроматический свет падает
нормально. Найти длину волны X падающего света.
20.24. Расстояние между десятым и пятнадцатым темными кольцами Нью-
тона при наблюдении в отраженном свете I = 2,34 мм. Найти радиус кривиз-
ны линзы R, лежащей на плоской пластинке, если длина волны падающего
света X = 546 нм.
20.25. Плосковыпуклая стеклянная линза, радиус кривизны которой R ~
= 40 см, соприкасается выпуклой поверхностью со стеклянной пластинкой.
При этом в отраженном свете радиус некоторого кольца т — 2,5 мм. Наблюдая
за кольцом, линзу осторожно отодвинули от пластинки на Дй =5,0 мкм. Ка-
ким стал радиус г* этого кольца?
20.26. Найти радиус кривизны R линзы, применяемой для наблюдения ко-
лец Ньютона, если расстояние между вторым и третьим светлыми кольцами
I = 0,50 мм. Освещение производится монохроматическим светом с длиной
волны X = 550 нм. Наблюдение ведется в отраженном свете.
20.27. Плосковыпуклая стеклянная линза выпуклой поверхностью сопри-
касается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности
линзы R, длина волны света X. Найти ширину Дг кольца Ньютона в зависимос-
ти от его радиуса г в области, где Дг « г.
20.28. Для наблюдения колец Ньютона используют плосковыпуклую лин-
зу с радиусом кривизны R = 1,6 м. Определить радиусы четвертого и девятого
темных колец г4, г9. Длина волны X = 625 нм.
20.29. Плосковыпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны сферичес-
кой поверхности R = 12,5 см прижата к стеклянной пластинке. Диаметр неко-
торого темного кольца Ньютона в отраженном свете = 1,0 мм, диаметр же
темного кольца, порядковый номер которого на 5 единиц больше, rf = 1,5 мм.
Определить длину волны света X.
122
20.30. Кольца Ньютона наблюдаются в отраженном свете длиной волны X =
= 589 нм. Расстояние между первым и вторым светлыми кольцами I = 0,5 мм.
Найти радиус кривизны R плосковыпуклой линзы.
20.31. Найти расстояние I между двадцатым и двадцать первым светлыми
кольцами Ньютона, если расстояние между вторым и третьим I = 1 мм, а
кольца наблюдаются в отраженном свете.
20.32. Расстояние между пятым и двадцать пятым светлыми кольцами
Ньютона I = 9 мм. Радиус кривизны линзы R — 15 м. Наблюдение Колец ве-
дется в отраженном свете. Найти длину волны X монохроматического света,
падающего нормально на установку.
20.33. Пучок белого света падает нормально на стеклянную пластинку, тол-
щина которой d — 0,4 мкм. Показатель преломления стекла п =1,5. Какие
длины волн X, лежащие в пределах видимого спектра (от 440“4 до 7-10"4 мм)
усиливаются в отраженном пучке?
20.34. На тонкую пленку (п = 1,33) падает параллельный пучок белого
света. Угол падения а = 52°. При какой толщине пленки отраженный свет наи-
более сильно окрашен в желтый цвет (X = 0,60 мкм) ?
20.35. Плоская световая волна XQ в вакууме падает по нормали на прозрач-
ную пластинку с показателем преломления и. При каких толщинах d пластин-
ки отраженная волна будет иметь: а) максимальную; б) минимальную интен-
сивность?
20.36. Найти преломляющий угол в стеклянного клина, если на него нор-
мально падает монохроматический свет, длина волны которого X = 0,52 мкм
и число интерференционных полос, приходящихся на 1 см, равно 8. Показа-
тель преломления стекла для указанной длины волны п = 1,49.
20.37. Свет с длиной волны X ~ 0,55 мкм от удаленного точечного источни-
ка падает нормально на поверхность стеклянного клина. Систему интерферен-
ционных полос наблюдают в отраженном свете, расстояние между соседними
максимумами на поверхности клина 0,21 мм. Найти угол 0 между гранями
клина.
20.38. Свет с длиной волны X = 600 нм падает на тонкую мыльную пленку
под углом а = 30°. В отраженном свете на пленке наблюдаются интерферен-
ционные полосы. Расстояние между соседними полосами Лх = 4,0 мм. Покат
затель преломления мыльной пленки п =1,33. Найти угол 6 между поверхнос-
тями пленки.
20.39. На стеклянный клин падает нормально пучок света (X = 5,8240"7ь$.
Угол клина О = 20". Какое число темных интерференционных полос приходится
на единицу длины клина? Показатель преломления стекла я = 1,5.
20.40. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует клин вслед-
ствие стекания жидкости. Наблюдая интерференционные полосы в отражен-
ном свете ртутной дуги (X = 546,1 нм),находим,что расстояние между пятью
полосами / = 2 см. Найти угол 6 клина. Свет падает перпендикулярно к по-
верхности пленки. Показатель преломления мыльной воды п = 1,33.
20.41. Найти минимальную толщину пленки с показателем преломле-
ния п = 1,33, при которой свет с длиной волны Х2 = 0,64 мкм испытывает
максимальное отражение, а свет с длиной волны Х2 = 0,40 мкм не отражается
совсем. Угол падения света а = 30°.
123
20.42. Мыльная пленка освещается излучением следующего спектрального
состава: Xf = 410,2 нм, Х2 = 434 нм, Х3 = 486,1 нм, Х4 = 656,3 нм. Наблюде-
ние ведется в отраженном свете. Какие световые волны X будут максимально
усилены и какие максимально ослаблены в результате интерференции при тол-
щине пленки d — 0,615 мкм? Свет падает перпендикулярно к поверхности
пленки. Показатель преломления мыльной жидкости п = 1,33.
20.43. Чему должны быть равны показатель преломления пленки п и ее
наименьшая толщина Jmin, чтобы ею можно было просветлить поверхность
стекла для зеленого света с длиной волны X = 0,55 мкм? Показатель прелом-
ления стекла для этой длины волны п = 1,52.
Указание. Коэффициент отражения естественного света от поверхности диэлектрика
при нормальном падении лучей
Ф (л-л0)2
Р = — 2 ’
Фо (« + %)
где Ф и Фо — отраженный и падающий световые потоки соответственно; п — показатель
преломления диэлектрика; — показатель преломления окружающей среды.
20.44. Для уменьшения потерь света при отражении от поверхности стекла
последнее покрывают тонким слоем вещества, показатель преломления кото-
рого п — \/~п , где п — показатель преломления стекла. При какой мини-
мальной толщине ^min этого слоя отражательная способность стекла в направ-
лении нормали будет минимальной для света с длиной волны X? '
20.45. Для уменьшения потерь света при отражении от стекла на поверх-
ность объектива (их = 1,7) нанесена тонкая прозрачная пленка (п = 1.3).
При какой наименьшей ее толщине Jmin произойдет максимальное ослабле-
ние отраженного света, длина волны которого приходится на среднюю часть
видимого спектра (Хо = 560 нм)? Считать, что лучи падают нормально к по-
верхности объектива.
20.46. Необходимо просветлить поверхность стекла для зеленых лучей
(X = 550 нм. Найти наименьшую толщину ^min просветляющей пленки, если
показатель преломления данного сорта стекла для зеленых лучей п =1,52.
Указание. См. условие задачи 20.44.
20,47. Линза из стекла (и = 1,58) просветлена для желтых лучей (X =
= 600 нм. Найти наименьшую толщину dmin просветляющей пленки.
Указание. См. условие задачи 20.44.
20.48. В интерферометре Рэлея (рис.20 5) плоская волна испытывает ди-
фракцию на двух щелях. Дифракционная картина наблюдается в фокальной
плоскости линзы с фокусным расстоянием F = 100 см. Одну из щелей закры-
вают плоскопараллельной пластинкой диспергирующего вещества с законом
дисперсии и (X) = А - 2?Х, где А и В — некоторые постоянные толщиной d =
= 0,01 мм. При этом белая (ахроматическая) полоса смещается на расстояние
1 = 4 мм. Определить постоянную Л, если известно, что расстояние между ще-
лями d = 1 см.
20.49. Для измерения показателей преломления прозрачных веществ ис-
пользуют интерферометр, схема которого приведена на рис. 20.6. Здесь S —
узкая щель, освещаемая монохроматическим светом (X = 589 нм); 1 и 2 —
124
Рис. 20J
Рис. 20.7
две одинаковые трубки с воздухом, длина каждой I — 10,0 см; D— диафраг-
ма с двумя щелями. Когда воздух в трубке 2 заменили аммиаком интерферен-
ционная картина на экране Э сместилась, вверх на N= 17 полос. Определить
показатель преломления п аммиака, если для воздуха п = 1,00029.
20.50. Два пучка белого света от одного источника приходят в точку наблю-
дения Р (рис. 20.7, а) с разностью хода Д. С помощью спектроскопа высокой
разрешающей силы исследуется распределение энергии в спектре колебания,
возникающего в точке Р при наложении обоих пучков. Оказалось, что наблю-
даются чередующиеся максимумы и минимумы спектральной интенсивности
I (у), причем частотное расстояние между соседними максимумами Др =
= 10 МГц (рис. 20.7, б). Определить разность хода Д.
Задание 21. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Литература: 1. И.В. Савельев. Курс общей физики (т. 2, § 125-133); 2.Д.В.Си~
вухин. Общий курс физики. Оптика ( § 39-61).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Какое явление в оптике называется дифракцией света?
2. В чем заключается принцип Гюйгенса-Френеля? Какое дополнение и с
какой целью ввел Френель в принцип Гюйгенса?
3. Опишите суть метода зон Френеля.
4. Опишите дифракцию Френеля на круглом отверстии и диске. Чем отли-
чаются дифракционные картины в этих случаях?
5. Запишите выражение для амплитуды при дифракции Френеля на круг-
лом отверстии. Какой вид примет эта формула в случае: а) четного числа
открытых зон Френеля; б) нечетного числа открытых зон Френеля?
6. Что представляет собой и где применяется зонная пластинка?
7. Опишите характер дифракционной картины при дифракции Фраунгофе-
ра на одной щели. Как используется принцип Гюйгенса-Френеля при расчете
дифракционной картины в этом случае ?
8. Чем отличается дифракционная картина при дифракции Фраунгофера на
решетке от дифракционной картины на одной щели?
9. Напишите условия: а) главных максимумов; б) главных минимумов
при дифракции на решетке.
10. Сформулируйте критерий Релея. Напишите выражение: а) для угловой
дисперсии; б) разрешающей способности дифракционной решетки.
11. Как изменится дифракционная картина, если закрыть половину решет-
ки?
12. С помощью какого параметра в случае плоского фронта волны можно
определить, имеет место дифракция Фраунгофера или дифракция Френеля,
или можно пользоваться законами геометрической оптики?
ЗАДАЧИ
21.1. Монохроматический свет (К — 550 нм) падает нормально на диафраг-
му с круглым отверстием радиусом R = 1/5 мм. На каком расстоянии от
126
диафрагмы находится точка наблюдения, если отверстие равно; а) двум зонам
Френеля; б) пяти зонам Френеля?
21.2. На диафрагму с круглым отверстием падает плоская монохромати-
ческая волна (X = 450 нм). Расстояние от диафрагмы до точки наблюдения
b = 10 м. Найти радиус первой зоны Френеля г .
21.3. Найти радиус девятой зоны Френеля т9 для плоского волнового
фронта, если радиус четвертой зоны г4 = 3 мм.
21.4. Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны X =
= 600 нм нормально падает на непрозрачный экран с круглым отверстием
диаметром d = 1,2 мм. На расстоянии b = 18 см за экраном на оси отверстия
наблюдается темное пятно. На какое минимальное расстояние Lb нужно смес-
титься от этой точки вдоль оси отверстия, удаляясь от него, чтобы в центре
дифракционной картины вновь наблюдалось темное пятно?
21.5. На диафрагму с отверстием радиусом г = 1,5 мм нормально падает
монохроматическая плоская световая волна. Когда расстояние от диафрагмы
до установленного за ней экрана Ь = 0,58 м, в центре дифракционной карти-
ны наблюдается максимум интенсивности. При увеличении расстояния на Lb =
= 0,11 м максимум интенсивности сменяется минимумом. Определить длину
волны X света.
21.6. Найти радиусы rf. первых пяти зон Френеля для случая плоской вол-
ны. Расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения b = 1 м. Длина
волны X = 500 нм.
21.7. Расстояние от источника до зонной пластинки а = 10 м, расстояние от
пластины до места наблюдения b = 10 м. Длина волны X = 450 нм. Найти ра-
диус четвертой зоны Френеля г4.
21.8. На пути плоской монохроматической световой волны интенсивностью
Zo поставлен экран, а перед экраном — диафрагма с круглым отверстием. Най-
ти интенсивность света 1 в центре экрана напротив отверстия, если отверстие
сделать равным: а) первой зоне Френеля; б) половине первой зоны. Найти ин-
тенсивность, если диафрагму с отверстием заменить круглым диском, кото-
рый закроет только первую зону Френеля.
21.9. Плоская световая волна падает нормально на диафрагму с круглым
отверстием, которое открывает N зон Френеля для точки Р на экране, отстоя-
щем от диафрагмы на расстоянии Ь. Длина волны света равна X. Найти интен-
сивность света IQ перед Диафрагмой, если известно распределение интенсив-
ности на экране I ( г ), где г — расстояние до точки Р.
21.10. Между точечным источником света и экраном поместили диафрагму
с круглым отверстием, радиус которого г можно изменять в процессе опыта.
Расстояние от диафрагмы до источника и экрана равны соответственно а =
= 100 см и Ь = 125 см. Найти длину волны X, если максимум освещенности в
центре дифракционной картины на экране наблюдается при rt = 1,00 мм, а
следующий максимум при г2 = 1,29 мм.
21.11. Вычислить радиусы г. первых трех зон Френеля, если расстояние
от источника света до волновой поверхности а = 1 м, расстояние от волно-
вой поверхности до точки наблюдения b = 1 м, длина волны X = 500 нм.
21.12. Точечный источник света с длиной волны X = 0,5 мкм расположен
на расстоянии а = 100 см перед диафрагмой с круглым отверстием радиусом
127
Рис. 21.1
г = 1 мм. Найти расстояние ъ от диафрагмы до точки наблюдения, для кото-
рой число зон Френеля в отверстии равно трем.
21.13. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии I — 4 м от то-
чечного источника монохроматического света длиной волны.X = 500 нм. По-
средине между экраном и источником света помещена диафрагма с круглым
отверстием. При каком радиусе г отверстия центр дифракционных колец,
наблюдаемых на экране, будет наиболее темным?
21.14. В точке А ( рис. 21.1) находится источник монохроматического
света (X = 500 нм). Диафрагма D с отверстием радиусом г = 1 мм переме-
щается из точки, отстоящей от точки А на — 1 м в точку, отстоящую от А
на а — 1,75 м. Сколько раз N будет наблюдаться затемнение в точке В, если
ЛВ = 2м?
21.15. Плоская монохроматическая (X = 490 нм) световая волна нормаль-
но падает на узкую щель. Дифракционная картина наблюдается на экране с
помощью линзы, фокусное расстояние которой F — 40 см. Найти расстояние
между серединами линий в спектре первого и второго порядков на экране Дх,
если ширина щели а — 0,03 мм.
21.16. Найти угловое положение первых минимумов, которые находятся
по обе стороны от центрального максимума, при дифракции Фраунгофера от
щели шириной а = 0,01 мм, если угол падения а — 30°, длина волны X =
= 500 нм.
21.17. На щель шириной а = 0,01 мм нормально падает пучок монохромати-
ческого света (X = 577 нм). Под какими углами к первоначальному на-
правлению наблюдаются максимумы первого, второго и третьего порядков?
21.18. На дифракционную решетку от разрядной трубки, наполненной ге-
лием, нормально падает пучок света. На какую линию X в спектре третьего по-
рядка накладывается красная линия гелия длиной волны Хг = 706 нм в
спектре второго порядка?
21.19. Найти наибольший порядок спектра т для желтой линии натрия дли-
ной волны X = 589 нм, если постоянная дифракционной решетки d = 0,002 мм.
21.20. На дифракционную решетку нормально падает пучок света. Угол
дифракции для линии, длина волны которой X = 589 нм, в спектре первого
порядка = 17°8\ Угол дифракции некоторой линии в спектре второго по-
рядка = 24°12\ Найти длину волны X этой линии и число штрихов п на
1 мм решетки.
21.21. Ширина прозрачного и непрозрачного участков дифракционной ре-
шетки в пять раз больше длины волны падающего света. Определить углы,
соответствующие первым трем наблюдаемым максимумам.
128
21.22. Свет с длиной волны X — 585 нм нормально падает на дифракцион-
ную решетку с периодом d — 0,002 мм. Найти угловое расстояние между
максимумами второго и третьего порядков.
21.23. В спектрографе установлена дифракционная решетка, имеющая
500 штрихов на 1 мм. Определить, на каком расстоянии / друг от друга по-
лучатся на фотопленке спектральные линии водорода с длинами волн X =
= 434 нм и 410 нм в спектре первого порядка, если фокусное расстояние лин-
зы камеры спектрографа F == 10 см. Решетка установлена перпендикулярно
к пучку лучей, выходящих из коллиматора.
21.24. Какую ширину Дх будет иметь спектральная линия водорода длиной
волны X =65 6,3 нм на негативе спектрографа, если в нем использована решетка
шириной I = 3 см и объектив с фокусным расстоянием F = 15 см?
21.25. Свет с длиной волны X = 535 нм падает нормально на дифракцион-
ную решетку. Найти ее период d, если одному из фраунгоферовых максиму-
мов соответствует угол дифракции = 35° и наибольший порядок спектра
равен пяти.
21.26. Определить длину волны X спектральной линии, изображение кото-
рой, даваемое дифракционной решеткой в спектре третьего порядка, совпа-
дает с изображением линии Xj = 4861 А в спектре четвертого порядка.
21.27. Вывести условия главных максимумов для случая, когда на решетку
с периодом d свет падает под углом а. Длина волны света X.
21.28. Свет от ртутной лампы нормально падает на решетку. Угол дифрак-
ции для линии (Xi =546нм) в спектре первого порядка =5,4°. Найти угол
дифракции для линии (Х2 = 436 нм) в спектре второго порядка.
21.2?- На плоскую отражательную решетку нормально падает свет длиной
волны X = 589 нм, Опредедать число штрихов решетки на 1 мм (и), если
спектр второго порядка наблюдается под углом дифракции — 45° к норма-
ли.
21.30. Плоская монохроматическая (X = 500 нм) световая волна нормаль-
но падает на дифракционную решетку, период которой d = 0,01 мм, а ширина
прозрачной части а = 2,5 40"5 мм. Сколько максимумов п не будет наблю-
даться в спектре по одну сторону от нулевого максимума до угла = 30°
из-за влияния главных минимумов.
21.31. Построить примерный график зависимости интенсивности I от
sin^ для дифракционной решетки с числом штрихов N = 5 и отношением пе-
риода решетки к ширине щели dja = 2.
21.32. С помощью дифракционной решетки и линзы с оптической силой
Ф = 2 дптр получен спектр. Для некоторой линии в спектре третьего порядка
линейная дисперсия установки =0,1 мм-А"1, а угол дифракции = 40°.
Найти разрешающую способность R решетки в спектре первого порядка. Ши-
рина решетки I = 1,5 см.
21.33. Каково должно быть наименьшее число штрихов Nmin дифракцион-
ной решетки, чтобы она могла разрешить в спектре второго порядка дублет
ртути с длинами волн Хг = 577 нм и Х2 = 579,1 нм? Свет падает на решетку
нормально.
21.34. На дифракционную решетку шириной I = 10 мм и общим числом
штрихов N = 5000 нормально падает плоская световая волна. Найти наимень-
9 Зак. 5886
129
шую разность длин волн, которые могут быть разрешены этой решеткой в об-
ласти X 546 нм.
21.35. Свет падает нормально на дифракционную решетку шириной I =
= 20 мм. Под некоторым углом дифракции две спектральные линии Xt =
— 475,2 нм иХ2= 474,8нм оказались на пределе разрешения (по критерию Рэ-
лея) . Найти угол
21.36. Найти угловую дисперсию D ( в угл. мин/нм) дифракционной решет-
ки для длины волны X = 550 нм в спектре третьего порядка. Ширина решетки
I = 2 см, общее число штрихов решетки N = 4000. Свет падает на решетку
нормально.
*> 21.37. Две дифракционные решетки имеют одинаковую ширину 1 = 3 см,
но разные периоды: = 0,003 мм, d = 0,006 мм. Определить их наибольшую
разрешающую способность в области л = 550 нм.
21.38. Найти наименьшую ширину Z дифракционной решетки, которая
при нормальном падении света позволила бы разрешить в спектре второго по-
рядка две линии натрия с длинами волн Хт = 589 нм и Х2 = 589,6 нм. Постоян-
ная решетки d = 0,01 мм.
21.39. Показать, что при нормальном падении света на дифракционную ре-
шетку ее максимальная разрешающая способность не может превышать зна-
чения I /X, где I — ширина решетки, X — длина волны света.
21.40. Какова должна быть наименьшая ширина /min дифракционной ре-
шетки, чтобы спектрометр с такой решеткой мог разрешить линии дублета
натрия с длинами волн Хх = 589 нм и Х2 = 589,6 нм ?
21.41. Свет падает нормально на прозрачную дифракционную решетку ши-
риной 1 = 6,5 см, имеющую 200 штрихов на 1 мм. Исследуемый спектр со-
держит спектральную линию длиной волны X = 670,8 нм, которая состоит из
двух компонент, отличающихся на ДХ = 0,015 нм. Найти: а) в каком порядке
т спектра эти компоненты будут разрешены; б) наименьшую разность длин
волн ДХтЬ , которую может разрешить эта решетка в области X 670 нм.
21.42. В спектрографе установлена дифракционная решетка с периодом
d = 0,001 мм, ширина рабочей части / = 100 мм. Фокусное расстояние объек-
тива спектрографа F = 1 м. Определить длину видимого спектра, получающе-
гося на фотопластинке, установленной в фокальной плоскости объектива.
Оценить: а) линейную дисперсию б) разрешающую силу R прибора.
21.43. Найти минимальное угловое расстояние 5^ ( в секундах) между
двумя звездами, различимыми в телескоп с диаметром объектива D = 10 см.
При малой освещенности глаз человека наиболее чувствителен к свету длиной
волны X = 550 нм.
21.44. Определить минимальное увеличение зрительной трубы ГтЬ диамет-
ром объектива D = 5 см, при котором разрешающая способность ее объектива
будет полностью использована, если диаметр зрачка глаза dQ = 4 мм.
21.45. Вычислить наименьшее расстояние /min между двумя точками на
Луне, которое можно разрешить рефлектором с диаметром зеркала D = 5 м.
Считать, что длина волны света X = 550 нм.
21.46. При аэрофотосъемке местности используется объектив с фокусным
расстоянием F = 10 см и диаметром D = 5 см. Съемка производится на фото-
130
пленку, имеющую разрешающую способность N = 100 линий на 1 мм. Опреде-
лить, какие детали местности могут быть разрешены на фотографиях, если
съемка производилась с высоты h = 10 км.
21.47. Плоская световая волна нормально падает на непрозрачную прегра-
ду, в которой имеется щель шириной b = 0,2 мм. За преградой расположен
экран. Расстояние между преградой и экраном /-1м. Длина волны X =
= 500 нм. Определить: а) какой вид дифракции наблюдается в этом случае;
б) ширину а0 центрального дифракционного максимума; в) расстояние я12
между серединами первого и второго дифракционных максимумов.
21.48. Какой вид дифракции будет наблюдаться в условиях задачи 21.47,
если ширину щели увеличить до 0,7 мм?
21.49. Какова длина волны X монохроматических рентгеновских лучей,
падающих на кристалл кальцита, если дифракционный максимум первого по-
рядка наблюдается, когда угол между направлением падающих лучей и гранью
кристалла У = 3°? Считать, что расстояние между атомными плоскостями
кристалла d = 0,3 нм.
21.50. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок
рентгеновских лучей (X = 0,147 нм). Определить расстояние d между атом*
ными плоскостями кристалла, если дифракционный максимум второго по-
рядка наблюдается, когда лучи падают под углом = 31°30' к поверхности
кристалла.
Задание 22. ПОЛЯРИЗАЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ СВЕТА.
ЭЛЕМЕНТЫ ОПТИКИ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД
Литература: 1. И,В. Савельев. Курс общей физики ( т. 2, § 134—147 );
2.Г.С. Ландсберг. Оптика (§ 101-112; 125; 136; 154-158; 163-169).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. В чем заключается явление поляризации? Какой свет называется:
а) естественным; б) частично поляризованным; в) полностью поляризован-
ным?
2. Что называется плоскостью падения света, плоскостью колебания век-
тора Е, плоскостью поляризации? Изобразите графически линейно поляризо-
ванную световую волну.
3. Укажите способы получения поляризованного света. Запишите и проана-
лизируйте формулы Френеля для интенсивности света, отраженного от грани-
цы раздела двух диэлектриков.
4. Введите понятие степени поляризации Р. Как зависит этот параметр от
угла падения световой волны? Сравните (качественно) степени поляризации
отраженного и преломленного лучей.
5. Сформулируйте закон Брюстера. Как связан угол Брюстера с показате-
лем преломления среды, от которой происходит отражение света?
6. Какова интенсивность отраженного от поверхности диэлектрика луча,
падающего под углом Брюстера, если он поляризован: а) в плоскости паде-
ния; б) в плоскости колебаний вектора Е?
7. В чем заключается двойное лучепреломление? Опишите различия в пове-
131
дении обыкновенного и необыкновенного лучей. В каких средах наблюдается
явление двойного лучепреломления?
8. Сформулируйте закон Малюса и проиллюстрируйте его графически.
Можно ли использовать анализатор в качестве поляризатора и наоборот?
9. Поясните сущность явления вращения плоскости поляризации. От чего
зависит угол вращения плоскости поляризации?
10. Сформулируйте закон поглощения света (закон Бугера). Каков физи-
ческий смысл коэффициента поглощения к ?
11. Что называется дисперсией света? Введите понятие нормальной и ано-
мальной дисперсии.
12. Как зависит показатель преломления п от частоты со внешнего элект-
рического поля? йостройте и проанализируйте график зависимостей п 2 =
= и2 (со ) и п = п ( Хо), где XQ - длина волны в вакууме.
13. Какова связь между фазовой и групповой скоростями света?
_ 14. В чем заключается эффект Доплера (в оптике) ? При каком угле между
направлением движения источника и линией наблюдения эффект Доплера на-
зывают продольным, а при каком — поперечным?
15. От чего зависит угол между направлением распространения излучения и
вектором скорости v частицы в излучении Вавилова—Черенкова?
ЗАДАЧИ
22.1. Вывести закон Брюстера с помощью формул Френеля.
22.2. Определить с помощью формул Френеля коэффициент отражения р
естественного света при нормальном падении на поверхность стекла, показа-
тель преломления которого и = 1,50.
22.3. Естественный свет падает на стекло, показатель преломления которо-
го и = 1,5, под углом i =45°. Определить коэффициент отражения и степень
поляризации Р отраженных и ?2 преломленных лучей.
22.4. Естественный свет падает под углом Брюстера на поверхность стекла,
показатель преломления которого п =1,6. Определить коэффициент отраже-
ния р.
22.5. Узкий пучок естественного света падает под углом Брюстера на по-
верхность толстой плоскопараллельной прозрачной пластины. При этом от
верхней поверхности отражается р = 0,08 светового потока. Найти степень
поляризации пучков 1-4 (рис. 22.1).
22.6. Стопа Столетова состоит из плоскопараллельных стеклянных пласти-
нок с показателем преломления п = 1,5. На нее под углом Брюстера падает
свет, поляризованный в плоскости падения. Начертить график зависимости
коэффициентов отражения и пропускания стопы от числа N пластинок.
22.7. Две стопы стеклянных пластинок, используемые как поляризаторы,
при параллельных плоскостях поляризации пропускают в N = 16 раз больше
света, чем при скрещенных плоскостях. Определить степень поляризации Р,
которую создает каждая стопа в отдельности.
22.8. На пути частично поляризованного пучка света поместили николь.
При повороте николя на угол = 60° из положения, соответствующего макси-
мальному пропусканию света, интенсивность прошедшего через николь света
уменьшилась в N = 3 раза. Найти степень поляризации падающего света Р.
132
22.9. Стеклянная призма, угол при вершине которой 6 = 60°, имеет для
исследуемого излучения показатель преломления п = 1,52. Каким образом
необходимо изменить угол в (рис. 22.2) призмы и поляризацию падающего
света, чтобы при отражении пучка на входе и выходе из стеклянной призмы не
было световых потерь?
22.10. Луч света проходит через жидкость, налитую в стеклянный сосуд
(и = 1,5), и отражается от дна. Отраженный луч полностью поляризован при па-
дении его на дно сосуда под углом i = 42°37'. Найти: а) под каким углом
должен падать на дно сосуда луч света, чтобы наступило полное внутреннее
отражение; б) показатель преломления жидкости п.
22.11. Из кварца нужно вырезать пластину, параллельную оптической оси
кристалла, толщиной d — 0,6 мм так, чтобы плоскополяризованный луч жел-
того света (X = 0,589 мкм), пройдя пластину, стал поляризованным по кругу.
Рассчитать толщину пластины J, если для желтых лучей в кварце показатели
преломления обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно равны:
nQ = 1,544, ие = 1,553.
22.12. Пучок плоскополяризованного света, длина волны которого в пусто-
те X = 5890 А, падает на пластинку исландского шпата перпендикулярно к его
оптической оси. Найти длины волн обыкновенного и необыкновенного лучей
в кристалле, если показатели преломления исландского шпата для обыкновен-
ного и необыкновенного лучей равны соответственно nQ = 1,66 и nQ ~ 1,49.
22.13. Призма Волластона сделана из исландского шпата, угол а — 15°
(рис. 22.3). Показатели обыкновенного и необыкновенного лучей соответст-
венно равны: и0 = 1,658, nQ = 1,486. Рассчитать, на какой угол будут разве-
дены эти лучи.
22.14. Определить разность nQ - nQ и — показатели преломления
обыкновенного и необыкновенного лучей) при наблюдении эффекта Керра в
нитробензоле в поле напряженностью Е = 3403 В/см. Постоянная Керра В =
= 2,2*10~2 с2/кг ( t = 20 °C, XQ = 5890 А).
22.15. Луч монохроматического света падает по направлению нормали на
кварцевую пластину ( п = 1,5) с параллельными гранями и толщиной I —
= 1,0 см. Оптическая ось находится в плоскости рисунка и образует с нор-
малью к пластине угол «р = 45° (рис. 22.4). Найти зависимость расстояния А
между выходящими лучами в зависимости от /, п и wq.Рассчитать это значе-
ние Априие = 1,550и ио = 1,541.
133
Рис. 22,5
22.16. Параллельный пучок монохроматического света проходит через два
николя, главные плоскости которых повернуты друг относительно друга на
угол а — 20 . Между николями ставится пластинка одноосного кристалла,
вырезанная параллельно оптической оси и создающая разность хода Х/2 между
обыкновенным и необыкновенным лучами. Какой угол 0 должна составлять
оптическая ось пластинки с главным направлением первого николя, чтобы
свет через эту систему не прошел?
22.17. Плоско поляризованный свет интенсивностью IQ = 100 Вт/м2 прохо-
дит последовательно через два совершенных поляризатора, плоскости кото-
рых образуют с плоскостью колебаний в исходном луче а — 20° и а2 — 50°
(углы отсчитываются от плоскости колебаний по часовой стрелке, если смот-
реть вдоль луча). Определить интенсивность света I на выходе из второго
поляризатора.
22.18. Чему равен угол а между главными плоскостями поляризатора и ана-
лизатора, если интенсивность естественного света, прошедшего через поляри-
затор и анализатор, уменьшается в четыре раза? Поглощением света пренеб-
речь.
22.19. Пусть поглощение в николе таково, что наибольшая сила поляризо-
ванного света, прошедшего сквозь николь, равна 90 % поляризованного света,
падающего на него. Во сколько раз уменьшается сила естественного света при
прохождении света сквозь два николя, плоскости поляризации которых сос-
тавляют угол а = 63° ?
22.20. Естественный свет падает на систему из трех последовательно распо-
ложенных поляроидов, причем главное направление среднего поляроида сос-
тавляет угол = 60° с главным направлением двух других поляроидов. Каж-
дый поляроид обладает таким поглощением, что при падении на него линейно
поляризованного света максимальный коэффициент пропускания т = 0,81.
Во сколько раз уменьшится интенсивность света после прохождения этой сис-
темы?
22.21. Угол поворота плоскости поляризации желтого света натрия при про-
хождении через трубку с раствором сахара = 40°. Длина трубки I — 15 см.
Удельное вращение сахара [а] = 66,5 град/( дм*г/см3). Определить концен-
трацию С сахара в растворе.
134
22.22. Раствор глюкозы концентрацией = 2,8 *102 кг/м3, налитый в стек-
лянную трубку, поворачивает плоскость поляризации монохроматического
света, проходящего через этот раствор, на угол — 32°. Определить кон-
центрацию С2 раствора в другой трубке такой же длины, если он вращает
плоскость поляризации на угол <Р2 = 24°.
22.23. Определить толщину кварцевой пластинки, для которой угол пово-
рота плоскости поляризации с длиной волны X = 509 нм равен = 180°.
Постоянная вращения в кварце для этой длины волны а — 29° угл. град/мм.
22.24. На ячейку Керра падает свет, поляризованный под углом у? = 45°
к полю. Сдвиг фаз, вносимый ячейкой, равен тт/2. Какова интенсивность све-
та I, проходящего через николь, поставленный за конденсатором Керра, и
пропускающий свет, плоскость поляризации которого перпендикулярна к
плоскости поляризации падающего света?
22.25. Два поляризатора /7Г и П2 установлены так, что направление про-
пускания поляризатора П2 образует угол а — 45° с направлением пропускания
/71 для наблюдателя, находящегося в точке О (рис. 22.5) . Между поляризато-
рами в однородном магнитном поле В помещена трубка С с сероуглеродом
длиной I = 0,5 м. Направление индукции магнитного поля параллельно оси
трубки. Какими должны быть направление и минимальное значение»/? для того,
чтобы максимальный поток, выходящий из точки S, достигал точки б>? По-
стоянная Верде для CS равна а = 4,2-104 мин/ (Тл-м).
22.26. На сколько процентов уменьшается интенсивность света при прохож-
дении им оконного стекла толщинрй а = 4-10“3 м за счет: а) поглощения;
б) отражений. Коэффициент поглощения стекла к = 1/23 м”1, а показатель
преломления п = 1,52. Вторичными отражателями света пренебречь.
22.27. Плоская монохроматическая световая волна интенсивностью 1 =
= 100 Вт/м2 падает нормально на прозрачную пластинку толщиной а =
— 102 мм. Найти интенсивность I света, прошедшего через пластину без уче-
та и с учетом многократных отражений, если коэффициент поглощения к =
= 1,0 м”1, а показатель преломления пластины для данной длины волны п —
= 1,5.
22.28. Пучок света интенсивностью I , содержащий все длины волн в диа-
пазоне от Xj до Х2 одинаковой спектральной интенсивности, падает нормально
на плоскопараллельную прозрачную пластинку толщиной а. Определить ин-
тенсивность прошедшего через пластинку пучка, если в этом диапазоне длин
волн показатель поглощения линейно зависит от X в пределах от до к2.
Коэффициент отражения каждой поверхности равен р. Вторичными отраже-
ниями пренебречь.
22.29. При прохождении плоской монохроматической световой волной рас-
стояния = 10 мм интенсивность ее уменьшилась на 1 %, а при прохождении
расстояния 12 = 4,6 м - на 99 %. Определить коэффициент поглощения среды
для данной длины волны.
22.30. Коэффициент поглощения прозрачной пластины для некоторой дли-
ны волны X изменяется линейно от к1 = 0,8 м”1 у одной поверхности пласти-
ны до к2 — 1,2 м"1 — у другой поверхности. При прохождении через такую
пластину монохроматического света данной длины волны ее интенсивность
уменьшается на 10 %. Найти толщину этой пластины.
135
22.31. Свободный электрон находится в поле распространяющейся в ваку-
уме монохроматической световой волны. Интенсивность волны I ==
= 375 Вт/м2, частота и — 5 *1014 с“1. Найти отношение амплитудных значений
сил F„ j Fe , действующих на электрон со стороны магнитной и элект-
л max лтах
рической составляющих поля световой волны.
22.32. В разреженной плазме, концентрация свободных электронов кото-
рой равна и0, распространяется электромагнитная волна с частотой <и. Найти
зависимость: а) диэлектрической проницаемости плазмы от частоты; б) фазо-
вой скорости электромагнитной волны v от ее длины волны X. Взаимодейст-
вием волны с ионами плазмы пренебречь.
dco
22.33. Выразить групповую скорость и = --- (о — частота, k — волно-
dk
вое число) через фазовую скорость света v и dv/(dX)t а также через и и
dn/ (dX) (п— показатель преломления среды, X — длина волны в среде) . В ка-
ком случае групповая скорость может быть больше скорости света с в ва-
кууме? Как согласовать это с выводом теории относительности о невозмож-
ности сигналов, распространяющихся со скоростью, большей с?
22.34. Показатели преломления п сероуглерода для света различной дли-
ны волны X представлены в таблице:
X, нм п
509 1,647
534 1,640
589 1,630
Вычислить фазовую и групповую скорости света вблизи X = 534 нм.
22.35. При каком законе дисперсии диэлектрической среды е = е(со),
заполняющей бесконечное пространство, связь между фазовой и групповой
скоростями электромагнитных волн принимает вид v и — с2, где с — скорость
света в вакууме,
22.36. Зависимость показателя преломления п от длины волны в вакууме
Хо для некоторой среды определяется формулой п = а + 6/Х2 , где а и b —
константы. Найти выражение (через Хо) для групповой скорости и света в
данной среде.
22.37. Использовав зависимость п (Хо) из условия задачи 22.36 и приняв
а = 1,502, b = 4,56* 103 нм2, вычислить групповую скорость для длин волн
Хо : 759,0; 589,3;397,0 нм. Выразить их через скорость света с и сравнить с
фазовой скоростью и.
22.38. Фазовая скорость v света в некоторой среде: а) изменяется с часто-
той света со по закону v = асо^; б) изменяется с длиной волны X в данной
среде по закону v = |ЗХР (дир — числа, меньшие 1, а и р — константы). Найти
групповую скорость w.
22.39. Плоская световая волна распространяется в среде, характеризующей-
ся законом дисперсии: и = а + где а, b - положительные
постоянные, v — фазовая скорость. Показать, что отношение пути s, пройден-
136
но го волной за промежуток времени г, к продолжительности этого промежут-
ка, равно групповой скорости.
22.40. Допустим, что показатель преломления рентгеновских волн опреде-
ляется выражением и2 = 1 — л2/со , где а — постоянная. Найти групповую
скорость и рентгеновского излучения в среде, если предельный угол полного
внутреннего отражения при падении этих волн из воздуха на среду равен то.
22.41. Радиолокатор работает на частоте со (’’несущая” частота сигнала) и
облучает предмет, движущийся со скоростью v в произвольном направлении
относительно радиолокатора. Учитывая эффект Доплера, найти частоту отра-
женного от предмета излучения со', принимаемого тем же радиолокатором.
22.42. На Земле принимаются радиосигналы с ее искусственного спутника,
находящегося на высоте h = 840s м. Найти полное относительное изменение
частоты радиоволны со спутника, обусловленное эффектом Доплера и грави-
тационным полем Земли, если спутник вращается точно по окружности.
22.43. Источник, испускающий электромагнитные сигналы с собственной
частотой с*>0 = 3,О*1О10 с“1 , движется с постоянной скоростью v — 0,80с по
прямой, отстоящей от неподвижного наблюдателя М на расстояние I (рис.
22.6). Найти частоту сигналов, воспринимаемых наблюдателем в момент,
когда: а) источник окажется в точке О\ б) наблюдатель увидит его в точке О.
22.44. С какой скоростью и должен лететь космический корабль с Земли,
чтобы красный луч лазера, направленный с Земли на корабль, казался космо-
навту зеленым? Длины волн красного и зеленого света принять равными соот-
ветственно 6200 и 5500 Д.
22.45^ Каково доплеровское смещение ДХ для линии водорода Н^(Х =
= 4860 А),излучаемой движущимися со скоростью v = 1,340* м/с атомами во-
дорода при наблюдении: а) вдоль пучка водородных каналовых лучей; б) в
направлении, перпендикулярном к направлению пучка?
. 22.46. Найти приближенное значение катодного падения напряжения U в
разрядной трубке, если доплеровское смещение линии X — 5016 А, принадле-
жащей гелию и наблюдаемой под углом в 145° к каналовому лучу, составляет
о
5 А.
22.47. Определить скорость и ионов гелия в разрядной трубке, если желтая
линия ( X = 5876 А) в спектре гелия смещена на ДХ = 4 А к фиолетовому кон-
цу спектра и если угол между направлением лучей, входящих в спектрометр,
и направлением движения ионов <£ = 60 °.
22.48. Найти наименьшие значения кинетической энергии электрона и про-
10 Зак. 5886
137
тона, при которых возникает черепковское излучение в среде с показателем
преломления п = 1,60.
22.49. Электроны, обладающие кинетической энергией WK = 0,23 МэВ,
двигаются в среде, показатель преломления которой п = 1,50. Под каким
углом 6 к направлению своего движения происходит черенковское излучение?
22.50. Определить показатель преломления среды и, в которой при движе-
нии д-мезонов, обладающих наименьшей кинетической энергией, равной
29,6 МэВ, возникает черенковское излучение.
3 а д а н и е 23. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА
ИЗЛУЧЕНИЯ
Литература:. 1. И.В. Савельев. Курс общей физики (т. 3, § 1-11); 2. Д.В. Сиву-
хин. Общий курс физики (т. V,4.1, § 112-119).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Какова природа теплового излучения и люминесценции? Какое из этих
излучений является равновесным? Объясните.
2. Дайте определение понятий: а) энергетическая светимость тела Я; б)
испускательная способность тела ; в) поглощательная способность тела
аь>,Т*
Какое тело называется: абсолютно черным; серым?
3. Сформулируйте закон Кирхгофа. Чему равна испускательная способ-
ность г (со, Т) идеально отражающей поверхности?
4. Сформулируйте законы Стефана-Больцмана и Вина. Изобразите графи-
чески зависимость испускательной способности абсолютно черного тела от час-
тоты при нескольких постоянных значениях температуры.
5. Какую функцию описывает формула Рэлея—Джинса? При каких длинах
волн она удовлетворительно согласуется с экспериментом?
6. Какую гипотезу выдвинул М. Планк при выводе формулы для испуска-
тельной способности абсолютно черного тела? Каков смысл постоянной План-
ка h и чему она равна?
7. В чем состоит фотоэлектрический эффект? Сформулируйте законы фо-
тоэффекта. Какие противоречия были обнаружены при классическом описа-
нии фотоэффекта?
.8 . Запишите формулу Эйнштейна для фотоэффекта. Что называется рабо-
той; выхода Явых и от чего она зависит? Чем определяется максимальная ки-
нетическая энергия электрона, покинувшего вещество?
9. При каком условии’возникает фотоэффект? Определите красную грани-
цу Л фотоэффекта в случае меди, если для нее работа выхода равна 4,4 эВ?
10. Какие процессы называются: однофотонными; многофотонными? За-
пишите выражения для массы, импульса и энергии фотона через величины И,
X и с, где с — скорость света в вакууме.
11. Какова природа давления света с точки зрения квантовых представле-
ний? Как объясняется возникновение светового давления волновой тео-
рией?
138
12. Покажите, что в эффекте Комптона проявляются корпускулярные
свойства света. Каковы особенности этого эффекта? Что называется компто-
новской длиной волны? Почему эффект Комптона не наблюдается при рас-
сеянии видимого света?
ЗАДАЧИ
23.1. Найти температуру Т печи, если известно, что из отверстия в ней
площадью S = 6,1 см5 излучается в 1 с энергия И/ = 34,7 Дж. Излучение счи-
тать близким к излучению абсолютно черного тела.
23.2. Мощность излучения абсолютно черного тела Р = 34 кВт. Найти темпе-
ратуру этого тела, если известно, что площадь поверхности его 5 = 0,6 м2.
23.3. Какое количество энергии излучает затвердевающий свинец, свобод-
ная поверхность которого 5 = 1 см2, за время t = 1 с? Отношение энергети-
ческих светимостей поверхности свинца и абсолютно черного тела для этой
температуры считать равным 0,6.
23.4. Какова мощность электрической лампочки, температура вольфрамо-
вой нити которой Т — 2650 К? Отношение энергетической светимости нити к
энергетической светимости абсолютно черного тела при данной температуре
к = 0,31. Площадь излучающей поверхности 5 = 47 мм2.
23.5. Раскаленная металлическая поверхность площадью 5 = 10 см2 излу-
чает в 1 мин энергию W = 4*104 Дж. Температура поверхности Т = 2500 К.
Найти отношение энергетических светимостей этой поверхности и абсолютно
черного тела при данной температуре. ,
23.6. На поверхность с поглощательной способностью т = 0,5, находя-
щуюся в равновесии с излучением, падает поток лучистой энергии Какой
поток распространяется от поверхности по всем направлениям в пределах
телесного угла 2тг? За счет чего образуется этот поток?
23.7. Определить длину волны Xw, отвечающую максимуму испускательной
способности абсолютно черного тела при температуре Г, равной: а) 300 К;
б) 5000 К. В какую спектральную область попадают найденные длины волн?
23.8. В черный тонкостенный металлический сосуд, имеющий форму куба,
налита вода массой m = 1 кг, нагретая до Т = 323 К. Определить время осты-
вания сосуда до Т2 = 283 К, если он помещен в черную полость, температура
стенок которой поддерживается около Т = 0 К, а вода заполняет весь объем
сосуда.
23.9. При увеличении термодинамической температуры Т абсолютно черно-
го тела в два раза длина волны \т , на которую приходится максимум
спектральной плотности испускательной способности (гу т) тах, уменьши-
лась на ДА = 400 нм. Определить начальную и конечную температуры.
23.10. При переходе от температуры Т к температуре Т2 площадь, ограни-
ченная графиком функции распределения плотности энергии равновесного из-
лучения по длинам волн, увеличивается в 16 раз. Как изменится при этом
длина волны \т, на которую приходится максимум испускательной способ-
ности абсолютно черного тела?
23.11. Какое количество энергии излучает Солнце за т = 60 с? Излучение
Солнца считать близким к излучению абсолютно черного тела. Температуру
поверхности Солнца принять Т = 5800 К.
139
23.12. Полагая, что Солнце обладает свойствами абсолютно черного тела,
определить интенсивность солнечного излучения вблизи Земли за пределами
ее атмосферы (эта интенсивность называется солнечной постоянной). Темпера-
туру поверхности Солнца принять равной 5800 К.
23.13. Принимая солнечную постоянную для Земли = 1,37 кВт/м2,
найти солнечную постоянную I м для Марса.
23.14. Определить температуру Солнца, принимая его за абсолютно черное
тело, если известно, что максимум интенсивности спектра Солнца лежит в
зеленой области Х = 5-10”7 м.
23.15. Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излуче-
нию абсолютно черного тела, для которого максимум испускательной способ-
ности приходится на длину волны X = 0,48 мкм. Найти массу, теряемую
Солнцем ежесекундно за счет излучения. Оценить время, за которое масса
Солнца уменьшится на 1 %.
23.16. Поверхность Солнца близка по своим свойствам к абсолютно черно-
му телу. Максимум испускательной способности приходится на длину волны
\п = 0’50 мкм (в излучении Солнца, прошедшем через атмосферу и достиг-
шем поверхности Земли, максимум приходится на Хт = 0,55 мкм). Опреде-
лить температуру солнечной поверхности и энергию IV, излучаемую Солнцем за
т = 1 с в виде электромагнитных волн.
23.17. В каких областях спектра лежат длины волн, соответствующие мак-
симуму спектральной плотности энергетической светимости, если источником
света служит: а) спираль электрической лампочки ( Т = 3000 К); б) поверх-
ность Солнца (Т — 6000 К); в) атомная бомба, в которой в момент взрыва
развивается температура около Т = 109 К? Излучение считать близким к излу-
чению абсолютно черного тела.
23.18. Абсолютно черное тело находится при температуре Т = 2900 К. В
результате остывания тела длина волны, на которую приходится максимум
спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на ДХ =
= 9 мкм. До какой температуры Т охладилось тело?
23.19. Получить с помощью формулы Планка приближенные выражения
для объемной спектральной плотности излучения : а) в области, где
Ты « kT (формула Рэлея—Джинса); б) в области, где fcw » кТ (формула
Вина).
23.20. Найти с помощью формулы Планка мощность излучения единицы
поверхности абсолютно черного тела, приходящегося на узкий интервал длин
волн ДХ = 1,0 нм вблизи максимума спектральной плотности излучения, при
температуре тела Т = 3000 К.
23.21. Найти массу фотона: а) красных лучей света (X = 700 нм); б) рент-
геновских лучей (X = 25 пм); в) гамма-лучей (X = 1,24 пм).
23.22. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы: а) его кине-
тическая энергия была равна энергии фотона с длиной волны X == 520 нм;
б) его импульс был равен импульсу фотона этой же длины волны?
23.23. Определить пределы (в эВ), в которых находится энергия фотонов,
соответствующих видимой части спектра.
23.24. При какой температуре кинетическая энергия молекулы двухатом-
ного газа будет равна энергии фотона с длиной волны X = 589 нм?
140
23.25. Найти массу фотона, импульс которого равен импульсу молекулы
водорода при температуре t = 20 °C. Скорость молекулы считать равной сред-
ней квадратичной скорости.
23.26. На поверхность площадью S = 100 см2 ежеминутно падает W ==
= 63 Дж световой энергии. Найти световое давление в случаях, когда поверх-
ность: а) полностью отражает лучи; б) полностью поглощает падающие на нее
лучи.
23.27. Лазер излучил в импульсе длительностью т = 0,13 мс пучок света
энергией IV = 10 Дж. Найти среднее давление такого световрго импульса, если
его сфокусировать в пятнышко диаметром d = 10 мкм на поверхность, пер-
пендикулярную к пучку, с коэффициентом отражения р = 0,5.
23.28. Короткий импульс света энергией IV = 7,5 Дж в виде узкого почти
параллельного пучка падает на зеркальную пластинку с коэффициентом отра-
жения р = 0,6. Угол падения 0 = 30°. Определить с помощью корпускулярных
представлений импульс, переданный пластинке.
23.29. Плоская световая волна интенсивностью I = 0,20 Вт/см2 падает на
плоскую зеркальную поверхность с коэффициентом отражения р — 0,8. Угол
падения 0 = 45°. Определить с помощью корпускулярных представлений
нормальное давление, которое оказывает свет на эту поверхность.
23.30. Небольшое идеально отражающее зеркальце массой m = 10 мг под-
вешено на невесомой нити длиной I = 10 см. Найти угол, на который откло-
нится нить, если по нормали к зеркальцу в горизонтальном направлении про-
извести ’’выстрел” коротким импульсом лазерного излучения с энергией IV=
= 13 Дж. За счет чего зеркальце приобретет кинетическую энергию?
23.31. Найти задерживающий потенциал для фотоэлектронов, испускаемых
при освещении калия светом с длиной волны X = 330 нм.
23.32. При фотоэффекте с платиновой поверхности задерживающий потен-
циал оказался равным U = 0,8 В. Найти длину волны применяемого облуче-
ния.
23.33. При поочередном освещении поверхности некоторого металла све-
том с длинами волн Хг = 0,35 мкм и Х2 = 0,54 мкм обнаружили, что соот-
ветствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от
друга в 2 раза. Найти работу выхода электронов с поверхности этого металла.
23.34. Какая доля энергии фотона израсходована на работу вырывания фо-
тоэлектрона, если красная граница фотоэффекта Хо = 307 нм, максимальная
кинетическая энергия фотоэлектрона IV^ — 1 эВ?
23.35. Для прекращения фотоэффекта, вызванного облучением ультрафио-
летовым светом платиновой пластинки, нужно приложить задерживающую
разность потенциалов U3 = 3,7 В. Если платиновую пластинку заменить дру-
гой пластинкой, то задерживающую разность потенциалов придется увеличить
до 6 В. Определить работу выхода электронов с поверхности этой пластинки.
23.36. Красной границе фотоэффекта для алюминия соответствует длина
волны Хо = 332 нм. Найти: а) работу выхода электрона для этого металла;
б) длину световой волны X, при которой задерживающий потенциал и = 1 В.
23.37. До какого максимального потенциала зарядится удаленный от дру-
гих тел медный шарик при облучении его электромагнитным излучением с
длиной волны X = 140 нм?
141
23.38. До какого потенциала V можно зарядить удаленный от других тел
цинковый шарик, облучая его ультрафиолетовым излучением с длиной волны
X = 200 нм?
23,39. Электромагнитное излучение с длиной волны X — 30 мкм падает на
фотоэлемент, находящийся в режиме насыщения. Соответствующая спектраль-
ная чувствительность фотоэлемента J = 4,8 mA/Вт. Найти выход фото-
электронов, т.е. число фотоэлектронов на каждый падающий фотон.
23.40. Имеется вакуумный фотоэлемент, один из электродов которого це-
зиевый, другой — медный. Определить максимальную скорость фотоэлек-
тронов, подлетающих к медному электроду, при освещении цезиевого элек-
трода электромагнитным излучением с длиной волны X = 0,22 мкм, если
электроды замкнуть снаружи накоротко.
23.41. Фотон с длиной волны X = 700 нм рассеивается под углом 0 = тг/2
на свободном покоящемся электроне. Определить: а) какутр долю первона-
чальной энергии теряет при этом фотон; б) какую скорость приобретает
электрон.
23.42. Определить кинетическую энергию, приобретаемую первоначально
покоившейся свободной частицей массой т при рассеянии на ней под углом
в фотона с энергией Е.
23.43. Рентгеновские лучи с длиной волны Хо = 70,8 пм испытывают
комптоновское рассеяние на парафине. Найти длину волны рентгеновских лу-
чей, рассеянных в направлениях: а) я/2; б) я.
23.44. Рентгеновские лучи с длиной волны X = 20 пм испытывают компто-
новское рассеяние под углом 0 = 90°. Найти изменение длины волны рентге-
новских лучей при рассеянии, а также энергию и импульс электрона отдачи.
23.45. Длина волны X фотона равна комптоновской длине Хс электрона.
Определить энергию W и импульс р фотона.
23.46. Фотон с энергией Йо; = 1 МэВ рассеялся на свободном покоившемся
электроне. Найти кинетическую энергию электрона отдачи, если в результате
рассеяния длина волны фотона изменилась на 25 %.
23.47. Гамма-квант с энергией Е= 1 МэВ рассеивается под углом б = 90
на свободном покоящемся протоне. Определить кинетическую энергию, сооб-
щенную гамма-квантом протону, и скорость, с которой будет двигаться про-
тон после ’’соударения**.
23.48. Пусть EQ — начальная энергия фотонов, испытывающих комптонов-
ское рассеяние. Показать, что кинетическая энергия электрона отдачи опре-
( 1 - cos0) Ео
деляется выражением W —-------------------- .
1 — cosfl + тс2/ Е^
23.49. Найти длину волны рентгеновского излучения, если максималь-
ная кинетическая энергия комптоновских электронов Н^ах = 0,19 МэВ.
23.50. Фотон с энергией Йо; == 0,15 МэВ рассеялся на покоившемся свобод-
ном электроне, в результате чего его длина волны изменилась на ДХ = 3,0 пм.
Найти угол, под которым вылетел комптоновский электрон.
142
1 1. 2. 1 табл. 5 1 f Вари- ! ант Контрольная работа № 5 Повторить программный материал заданий 20—23. Решить задачи своего варианта. Номера задач вариантов приведены в Таблица 5
Номер задачи Вари- ант Номер задачи
I 20.50 21.18 21.41 22-32 23.22 XVI 20.35 21.23 22.20 22.46 23.36
11 20.49 21.17 2142 22.33 23.21 XVII 20.34 21.25 22.15 22.49 23.37
111 2048 21.20 21.43 22.31 23.23 xvnf 20.32 21.26 22.17 22.50 23.38
IV 20.47 21.19 21.44 22.34 23.24 XIX 20.33 21.27 22.16 22.47 23.39
V 20.46 21.16 21.50 22.35 23.25 XX 20.31 21.28 22.18 22.48 23.40
VI 2045 21.14 21.49 22.36 23.26 XXI 20.30 21.37 22.21 23.13 23.41
vn 20.43 21.15 21.45 22.39 23.27 XXII 20.29 21.38 22.22 23.11 23.42
vni 20.44 21.12 21.46 224 0 23.28 XXIII 20.28 21.39 22.23 23.12 23.43
IX 20.42 21.13 21.47 22.37 23.29 XXIV 20.27 21.40 22.24 23.14 23.44
X 2041 21.11 21.48 22.38 23.30 XXV 20.25 21.31 22.30 23.15 23.45
XI 20.40 21.21 22.11 22.41 23.32 XXVI 20.26 21.33 22.29 23.16 23.47
XII 20.39 21.22 22.12 22.42 23.31 XXVII 20.23 21.32 22.25 23.20 23.46
ХП1 20.38 21.30 22.13 22.43 23.33 XXVIII 20.24 21.34 22.26 23.19 23.48
XIV 20.37 21.29 22.14 22.44 23.34 XXIX 20.21 21.36 22.27 23.17 23.49
XV 20.36 21.24 22.19 22.45 23.35 XXX 20.22 21.35 22.28 23.18 23.50
ОСНОВЫ ФИЗИКИ КВАНТОВЫХ ЯВЛЕНИЙ
3 а д а н и е 24. ФИЗИКА АТОМА. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Литература: 1. И,В. Савельев. Курс общей физики (т. 3, § 12—38); 2.Д.В, Си-
вухин. Общий курс физики ( т. V, ч. 1, § 9- 18,21 —48).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. В чем заключается корпускулярно-волновой дуализм? Каково содер-
жание гипотезы де Бройля?
2. Запишите формулу де Бройля и поясните ее смысл. Какими свойства-
ми обладают волны де Бройля? Какие эксперименты подтверждают гипотезу
де Бройля?
3. Запишите соотношение неопределенностей Гейзенберга и поясните его
физическое содержание.
4. Запишите общее уравнение Шредингера. Что характеризует волновая
функция *Ф? Получите уравнение для стационарных состояний, т.е. для случая,
когда функция U = U(xt yf z) не зависит явно от времени и имеет смысл по-
тенциальной энергии.
5. Как квантуются энергия и момент импульса частицы? Каким образом
форма ”потенциальной ямы'’ влияет на квантование энергии частицы? Како-
вы смысл и значение квантовых чисел п,1 к nt?
6. В чем заключается туннельный эффект? От чего зависит его вероят-
ность? Дайте определение коэффициента прозрачности D потенциального
барьера. Не противоречит ли закону сохранения энергии прохождение частицы
сквозь потенциальный барьер при Е< и? 11
7. Что описывает обобщенная формула Бальмера v = R ( — — —- ) ?
пг п2
Получите из этой формулы выражения для видимой, ультрафиолетовой и
инфракрасной областей спектра излучения атома водорода. Что означает поня-
тие ’’сепия линий”?
8. Сформулируйте постулаты Бора. Как осуществляется квантование ато-
ма водорода? Опишите с помощью квантовых чисел nt I и т спектр атома во-
дорода. Сформулируйте правило отбора.
9. Дайте квантово-механическую формулировку принципа Паули. Пока-
жите, что максимальное число электронов, находящихся в состояниях, опре-
деляемых главным квантовым числом и, равно 2»2.
10. Что называется гиромагнитным отношением? Чем спиновое гиромагнит-
ное отношение отличается от орбитального? Чему равен магнетон Бора?
11. В каких случаях обнаруживается тонкая структура спектра? Дайте оп-
ределение спина как квантового числа. Каков его смысл? Запишите закон
квантования спина.
12. Какие принципы квантовой физики положены в основу объяснения Пе-
риодического закона Менделеева? Опишите заполнение электронных оболо-
чек атомов Н, Не, Li, О, Ne, Si, Ar.
144
ЗАДАЧИ
i 24.1. Найти длину волны де Бройля для электронов, прошедших разность
потенциалов: а) 17= 1 В; б) 17= 100 В.
24.2. Найти длину волны де Бройля для электрона, кинетическая энергия
которого равна: a) WK = 1 кэВ; б) WK = 1 МэВ.
24.3. Во сколько раз надо изменить (увеличить или уменьшить) энергию
атома, чтобы его дебройлевская длина волны изменилась от X -0,1 нм до
х2 = 0,6 X?
24.4. Какую кинетическую энергию надо сообщить протону, чтобы его
дебройлевская длина волны стала равной: а)0,1 нм;б) комптоновской длине
волны?
24.5. Определить длину волны де Бройля и кинетическую энергию протона,
; движущегося со скоростью и = 0,99 с.
[ 24.6. Вычислить кинетические энергии электрона и протона, дебройлевские
? длины волн которых равны 0,1 нм.
I 24.7. Сравнить длины волн де Бройля электрона и иона Не* , прошедших
одинаковую разность потенциалов 17= 1 кэВ.
24.8. Вычислить дебройлевские длины волн электрона, протона и атома
урана, имеющих одинаковую кинетическую энергию PVK = 100 эВ.
24.9. Найти длину волны де Бройля: а) электрона, летящего со скоростью
v = 108 см/с; б) шарика массой т = 1 г, движущегося со скоростью v =
— 1 см/с.
24.10. Определить длину дебройлевской волны тела массой т = 1 кг, кото-
рое свободно упало с высоты h = 10 м.
24.11. Положение центра шарика массой т - 1 мг и положение электрона
известно с точностью до Дх = ЫО"3 см. Найти наименьшую ошибку, с кото-
рой при этом можно определить скорость шарика и скорость электрона.
24.12. Какова будет ошибка в измерении скорости электрона атома водо-
рода, если погрешность в определении радиуса орбиты электрона составляет
Дг = 10“1асм?
24.13. Найти неопределенность составляющей скорости электрона, движу-
щегося в атоме, при условии, что положение электрона может быть определе-
но с точностью до размеров атома, т.е. Дх = 10”10 м.
24.14. Оценить неопределенность Дх координаты электрона в электронно-
лучевой трубке, если составляющая импульса электрона определена с точ-
ностью Дрх = 510”28 кг*м/с.
24.15. Оценить наименьшие ошибки, с которыми можно определить скорос-
ти протона и шарика массой т = 1 мг, если координаты частицы и центра ша-
рика установлены с неопределенностью Дх = 1 мкм.
24.16. Оценить неопределенность скорости частицы, неопределенность мес-
тоположения которой Дх = Х/(2я), где X — ее дебройлевская длина волны.
24.17. Свободный электрон первоначально был локализован в области раз-
/. мером I = 0,1 нм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей время,
за которое ширина соответствующего волнового пакета увеличится в п =
=х 10 раз.
24,18. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся части-
цы равна дебройлевской длине волны, определить относительную неточность
145
Рис. 24,1
Ар/р импульса этой частицы.
24.19. При движении частицы вдоль оси х ее скорость оказывается опреде-
ленной с точностью Ди* - 1 см/с. Оценить неопределенность координаты Дх:
а) электрона; б) броуновской частицы массой тц = 10“13 г; в) дробинки
массой == 0,1 г.
24.20. Электрон с кинетической энергией WK = 4 эВ локализован в области
размером I = 1 мкм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей
относительную неопределенность Ди/и его скорости.
24.21. В одномерной потенциальной яме шириной I с бесконечно высоки-
ми стенками находится N электронов. Определить минимальное значение пол-
ной энергии. Взаимодействием электронов пренебречь.
24.22. Электрон находится в одномерной, бесконечно глубокой потен-
циальной яме шириной /. Определить вероятность пребывания электрона в об-
ластях 0 < х < Z /3 и Z/3 <х <21 /3, если он находится в основном состоянии.
24.23. Электрон находится в потенциальной яме шириной I = 0,5 нм. Оп-
ределить наименьшую разность Д2Г энергетических уровней электрона (в элект-
рон-вольтах). Яма с бесконечно высокими'стенками.
24.24. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме
с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна I. Найти нормированные
волновые функции стационарных состояний частицы, взяв начало отсчета ко-
ординаты х в середине ямы.
24.25. Собственная функция, описывающая состояние частицы в бесконеч-
но глубокой потенциальной яме, имеет вид (х) = Csin — х . Используя
условия нормировки, определить постоянную С.
24.26. Поток электронов с энергией Е = 100 эВ падает на низкий прямо-
угольный потенциальный барьер бесконечной ширины. Определить высоту ба-
рьера, если известно, что 10 % всех падающих на барьер электронов отражается.
24.27. Коэффициент прохождения электронов через низкий потенциальный
барьер равен коэффициенту отражения. Найти отношение высоты потенциаль-
ного барьера V к энергии электрона Е.
24.28. Частицы массой т и энергией Е движутся слева на потенциальный
барьер (рис. 24.1). Найти: а) коэффициент отражения р этого барьера при
Е > UQ; б) эффективную глубину проникновения частиц в область х > 0 при
Е < UQi т.е. расстояние от границы барьера до точки, где плотность вероятнос-
146
Рис. 24,2
ти нахождения частицы уменьшается в е раз.
24.29. Определить коэффициент пропускания прямоугольного потенциаль-
ного барьера высотой UQ - 10 эВ и шириной d = 5*10"10 м для электронов с
энергией Е = 9 эВ.
2430. Воспользовавшись формулой для коэффициента прозрачности в слу-
чае потенциального барьера произвольной формы, найти для электрона с энер-
гией Е вероятность прохождения потенциального барьера, ширина которого I
и высота U , если барьер имеет форму, показанную на рис. 24.2.
2431. Найти радиусы первых трех боровских электронных орбит атома во-
дорода и скорости электрона на этих орбитах.
2432. Чему равны кинетическая, потенциальная и полная энергии электро-
на на первой боровской орбите атома водорода?
2433. Найти: а) наименьшую и наибольшую длины волн спектральных ли-
ний водорода в видимой области спектра (серия Бальмера); б) наименьшую и
наибольшую длины волн спектральных линий водорода в ультрафиолетовой
области спектра (серия Лаймана); в) наименьшую и наибольшую длины волн
спектральных линий водорода серии Пашена в инфракрасной области спектра.
2434. Определить длину волны линии спектра испускания атома водорода,
излучаемой при переходе электрона с орбиты 4 на орбиту 2.
2435. Определить: а) потенциал ионизации атома водорода; б) первый
потенциал возбуждения атома водорода.
2436. Какой серии принадлежит спектральная линия атомарного водоро-
да, волновое число которой равно разности волновых чисел следующих двух
линий серии Бальмера: 486,1; 410,2 нм? Какова длина волны этой линии?
2437. Вычислить для атомарного водорода длины волн первых трех линий
серии Бальмера.
2438. Зная, что нормированная собственная волновая функция, описываю-
щая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ( г ) =
= —е~г^а ,найти среднее расстояние <г > электрона от ядра.
* /-./Л
V ял
2439. Найти средний электростатический потенциал, создаваемый электро-
ном в центре атома водорода, если электрон находится в основном состоянии,
для которого волновая функция 0 (г) — Ае~г1г\ , где Л — некоторая по-
стоянная, г 1 — первый боровский радиус.
24.40. Атом водорода находится в основном состоянии. Вычислить: а) ве-
роятность того, что электрон находится внутри области, ограниченной сферой
радиусом, равным боровскому радиусу а; б) вероятность того, что электрон
147
находится вне этой области. Волновую функцию считать известной: ^100 (г ) =
24.41. Выписать спектральные обозначения термов атома водорода,
электрон которого находится в состоянии с главным квантовым числом п = 3.
24.42. Сколько квантовых чисел J может иметь атом в состоянии с
квантовыми числами 5 и L, равными соответственно: а) 2 и 2; б) 3 и 2?
24.43. Перечислить возможные термы для следующих состояний атомов:
a) 2S; б) 2Р; й) 4Р; г) 5D.
24.44. Система состоит из ^-электрона и атома в 2/> 2 -состоянии. Найти
возможные спектральные термы этой системы.
24.45. Найти, какие из переходов: 2$1/2 -► 2Р3/2, 3/* 2$1/2,2£>3/2-* 2Р1/2,
2jDs/2 2^i/2 *2 ^7/2 2D3]2 3anPeuJeHbI правилами отбора.
24.46. Во сколько раз спиновое гиромагнитное отношение Гу для электрона
в атоме больше орбитального гиромагнитного отношения Го?
24147. Определить спиновый механический момент атома в состоянии D2,
если максимальное значение проекции магнитного момента в этом состоянии
равно четырем магнетонам Бора.
24.48. Вычислить магнитный момент атома водорода в основном состоя-
нии, выразив его в магнетонах Бора.
24.49. Найти полный механический момент атома в состоянии cS = 3/2 и
L ~ 2, если известно, что магнитный момент его равен нулю.
24.50. Написать символ терма, соответствующего состоянию, в котором
механический момент атома М = й\/~2, магнитный момент равен нулю, а
спиновое квантовое число 5 — 2.
Задание 25. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ И ФИЗИКИ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Литература: 1.Я.В. Савельев. Курс общей физики (т. 3, § 45-65); 2.Д.В. Си-
вухин. Общий курс физики (т. V, ч. I, § 54—62).
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Каковы исходные положения квантовой статистики в отличие от клас-
сической статистической физики? Сформулируйте основную задачу квантовой
статистики?
2. Запишите распределение Бозе—Эйнштейна. Что называется химическим
потенциалом д?
3. Запишите распределение Ферми—Дирака. Дайте определение понятия
’’уровень Ферми”. Какая система частиц называется вырожденной?
4. Покажите, при каких условиях распределения квантовой статистики пе-
реходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана.
5. Каково значение квантовой статистики в объяснении зависимости теп-
лоемкостей газов и твердых тел от температуры? Как записывается выраже-
148
ние молярной теплоемкости кристалла на основе теории: а) Эйнштейна; б) Де-
бая? Каков смысл характеристической температуры Дебая?
6. В чем заключаются явления сверхтекучести и сверхпроводимости? Ка-
ков вклад советских ученых в объяснение этих явлений?
7. Какие рассуждения привели к зонной теории твердого тела? Рассмотри-
те образование зонного энергетического спектра как квантово-механического
эффекта. Как с точки зрения зонной теории происходит деление твердых тел
на металлы, диэлектрики и полупроводники? Что означает понятие ’’ширина
запрещенной зоны”?
8. Дайте определение электронной (и) и дырочной (р) проводимостей.
Что называется энергией активации?
9. Как зависит проводимость собственных и примесных полупроводников
от температуры? Объясните эти зависимости.
10. Каковы характер и механизм фотоэлектрических явлений в полупро-
водниках?
11. Как объясняются контактные явления с точки зрения зонной теории?
Как появляются внешняя и внутренняя контактные разности потенциалов?
Запишите, чему они равны.
12. Объясните явления, происходящие на контакте электронного и дыроч-
ного полупроводников.
ЗАДАЧИ
25.1. Найти среднюю энергию линейного одномерного квантового осцилля-
тора при температуре Т = 6„9 где характеристическая температура Эйнштейна
вЕ = 200 К.
25.2. Найти энергию системы, состоящей из N — 1025 квантовых трехмер-
ных независимых осцилляторов, при температуре Т = 0Е, где характеристичес-
кая температура Эйнштейна вЕ = 300 К.
25.3. Найти частоту v колебаний атомов серебра по теории теплоемкости
Эйнштейна, если для серебра характеристическая температура 0Е = 165 К.
25.4. Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, определить изменение
молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до Т • =
= 0,1 где характеристическая температура для данного кристалла &Е —
= 300 К.
25.5. Вычислить по теории Эйнштейна молярную нулевую энергию кристал-
ла цинка. Характеристическая температура для цинка <&Е — 230 К,
25.6. Вычислить энергию нулевых колебаний, приходящуюся на один грамм
меди, дебаевская температура которой 0D = 330 К.
25.7. Определить максимальную частоту <^тах собственных колебаний в
кристалле золота, дебаевская температура которого 0D = 180 К.
25.8. Показать, что молярная теплоемкость кристалла при температуре
Т « 0^, где 0р — дебаевская температура, определяется соотношением С =
т
149
25.9. Найти энергию Е фонона, соответствующего максимальной частоте
wmax Дебая, если дебаевская температура = 250 К.
25.10. Длина волны X фонона, соответствующего частоте со = 0,01 сотах,
равна 52 нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, определить дебаевскую
температуру, если усредненная скорость звука в кристалле v = 4,8 км/с.
25.11. Найти связь между давлением и средней плотностью энергии для
квантового бозе-газа в нерелятивистском случае.
25.12. Показать, что для распределения Бозе-Эйнштейна производная хи-
мического потенциала по температуре всегда отрицательна.
25.13. Вычислить энергию и давление бозе-газа ниже точки перехода.
25.14. Показать, что для бозонов энтропия
S = — k S [ w.lnw. — (1 + и.) in (1 + и.)],
* • * €
где ni — среднее число частиц в состоянии с энергией Е. .
25.15. Какова вероятность того, что при комнатной температуре (kT =
= 0,025 эВ) электрон займет состояния, лежащие на 0,1 эВ выше и на 0,1 эВ
ниже уровня Ферми?
25.16. Какова вероятность того, что электрон в металле будет находиться
на уровне Ферми?
25.17. Найти разницу между энергиями (вкТ) электрона, находящегося на
уровне Ферми, и электронов, находящихся на уровнях, вероятности заполне-
ния которых равны 0,2 и 0,8.
25.18. Определить вероятность того, что электрон в металле займет энерге-
тическое состояние, находящееся «в интервале АЕ - 0,05 эВ ниже уровня Фер-
ми и выше уровня Ферми, для двух температур: а) Т = 290 К; б) Т2 = 58 К.
25.19. Во сколько раз изменится вероятность заполнения электроном энер-
гетического уровня в металле, если он расположен на АЕ = 0,1 В выше уровня
Ферми и температура изменяется от 7^ = 1000 К до Т2 = 300 К?
25.20. Определить концентрацию свободных электронов в металле при тем-
пературе Т — 0 К. Энергию Ферми принять Е? = 1 эВ. .
25.21. Вычислить среднюю кинетическую энергию <£> электронов в метал-
ле при температуре Т = 0 К, если уровень Ферми Ер — 7 эВ.
25.22. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один
атом металла при Т = 0, больше в алюминии, чем в меди, если уровни Ферми
соответственно равны: Ер = 11,7 эВ, EF =7,0 эВ?
25.23. Полагая, что на каждый атом меди приходится один свободный
электрон, определить: а) уровень Ферми при абсолютном нуле для меди;
б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов при абсолютном
нуле.
25.24. Какая часть свободных электронов в металле имеет при абсолютном
нуле кинетическую энергию, превышающую половину максимальной?
25.25: Вычислить интервал (в эВ) между соседними уровнями свободных
электронов в металле при Т — 0 вблизи уровня Ферми, если концентрация
свободных электронов п = 2,0*1022 см"3, объем металла V — 1,0 см3.
150
25.26. Определить максимальную скорость итах электронов в металле при
Т - О К, если уровень Ферми EF — 5 эВ.
25.27. Металл находится при температуре Т = О К. Определить, во сколько
раз число электронов со скоростями от umax /2 до итах больше числа
электронов со скоростями от 0 до vmax/2.
25.28. Повышение температуры катода в электронной лампе от Т = 2000 К
на ДТ = 1,0 К увеличивает ток насыщения на 1,4 %. Найти работу выхода
электрона из материала катода.
25.29. При поглощении металлом фотонов с энергией = 7 эВ испускают-
ся фотоэлектроны, энергия которых Е2 = 3 эВ. Плотность электронов прово-
димости такова, что внутри металла они обладают кинетической энергией
вплоть до Eq = 5 эВ. Найти положение уровня Ферми Ер и работу выхода
^вых’
2530. Металл испускает фотоэлектроны с энергией/^ = 3 эВ в результате
поглощения фотонов, энергия которых Е^ = 7 эВ. Плотность электронов про-
водимости такова, что внутри металла они обладают кинетической энергией
вплоть до 5 эВ. Найти кинетическую энергию, которую теряет электрон, выле-
тая с поверхности металла.
25.31. Из скольких подуровней состоит энергетическая зона кристалла,
содержащего N атомов, если в изолированном атоме этой зоне соответствует
р-уровень?
25.32. Сколько электронов способна вместить энергетическая зона кристал-
ла, содержащего N атомов, если в изолированном атоме этой зоне соответст-
вует р-уровень?
25.33. Сколько электронов в нормальном состоянии содержит 2$-зона
кристалла лития, содержащего N атомов?
25.34. Из скольких подуровней состоит энергетическая зона кристалла, со-
держащего N атомов, если соответствующий энергетический уровень в изоли-
рованном атоме имел (2/ +1)-кратное вырождение?
25.35. Как изменится и во сколько раз плотность уровней dvfdE энергети-
ческого спектра свободных электронов при увеличении числа Nатомов, обра-
зующих кристалл, в п раз?
25.36. Как изменится и во сколько раз интервал АЕ между соседними
уровнями энергии свободных электронов в металле при увеличении объема
металла в п — 3 раза?
25.37. Кристаллический образец содержит 0,17 моля некоторого химически
простого вещества. Ширина разрешенной зоны энергий LE = 10 эВ. Чему рав-
но среднее значение интервала между соседними энергетическими уровнями
<Де>?
25.38. Написать выражение для интервала Де между соседними уровнями
энергии свободных электронов в металле.
25.39. Зная распределение dn(e) электронов в металле по энергиям, уста-
новить распределение dn(p) электронов по импульсам. Найти частный случай
распределения при Г = 0 К.
25.40. На основе функции распределения dn (р) электронов в металле по
151
импульсам установить распределение dn (и) по скоростям: а) при любой
температуре; б) при Т = О К.
25.41. Найти минимальную энергию образования пары электрон — дырка
в чистом беспримесном полупроводнике, электропроводность которого
возрастает в п = 5 раз при увеличении температуры от Т = 300 К до Г =
= 400 К.
25.42. Во сколько раз изменится при повышении температуры от =
= 300 К до Г2 = 310 К электропроводность: а) металла; б) собственного по-
лупроводника, ширина запрещенной зоны которого LE = 0,3 эВ?
25.43. Определить уровень Ферми в собственном полупроводнике, если
энергия активации Д£’о = 0,1 эВ. За нулевой уровень отсчета кинетической
энергии электронов принять низший уровень зоны проводимости.
25.44. Собственный полупроводник (германий) имеет при некоторой
температуре удельное сопротивление р = 0,48 Ом«м. Определить концентра-
цию носителей заряда, если подвижности электронов и дырок соответственно
равны: ип — 0,36 м2 / ( В*с) ир = 0,16 м2 / ( В*с).
25.45. Рассчитать частоту красной границы собственной фотопроводимости
для полупроводника, у которого ширина запрещенной зоны = 0,41 эВ.
25.46. Какой должна быть ширина запрещенной зоны полупроводника, из
которого изготовлен светодиод, светящийся зеленым светом (X = 500 нм) ?
25.47. Удельное сопротивление некоторого чистого беспримесного полу-
проводника при комнатной температуре р = 0,50 Ом*м. После включения ис-
точника света оно стало р1 = 0,40 Ом-м, а через т = 8 мс после выключения
источника света удельное сопротивление оказалось р2 =0,45 Ом-м.Найти сред-
нее время жизни электронов проводимости и дырок.
25.48. Удельная проводимость кремния с примесями о = 112 См/м. Опре-
делить подвижность дырок и их концентрацию, если постоянная Холла R =
= 3,66 •10“'4 м3/Кл. Принять, что полупроводник обладает только дырочной
проводимостью.
25.49. Тонкая пластина из кремния шириной d = 2 см помещена перпенди-
кулярно к линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,5 Тл). При
плотности тока ; = 2 мкА/мм2, направленного вдоль.пластины, холловская
разность потенциалов оказалась Ux = 2,8 В. Определить концентрацию носите-
лей тока.
25.50. В полупроводнике, подвижность электронов проводимости которого
в 2 раза больше подвижности дырок, эффект Холла не наблюдался. Найти
отношение концентраций дырок и электронов проводимости в этом полупро-
воднике.
3 а д а н и е 26. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА
И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Литература. 1. И.В. Савельев, Курс общей физики (т. 3, § 66-84); 2, ЕМ, Явор-
ский, А.А. Детлаф. Курс физики (т. Ш, § 16.1-19.8) .
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Каков состав атомного ядра? Чем объясняется его устойчивость? Назо-
вите основные свойства ядерных сил. Чем отличаются ядерные силы от элект-
рических?
2. Каково содержание понятий зарядового и массового чисел? Какие ядра
называются: изотопами; изобарами; изотонами; изомерами? Чему равен спин
ядра? Чем отличается магнетон Бора от ядерного магнетона? Как можно оце-
нить размер ядра?
3. Как вычисляется энергия связи ядра? Что называется дефектом масс?
Рассчитайте дефект масс ядер 4Не, ™ Sr,238 U .
4. В чем заключается явление радиоактивности ? Запишите закон этого яв-
ления. Дайте определения периода полураспада, среднего времени жизни ра-
диоактивного ядра, активности нуклида. Сформулируйте законы сохранения
зарядового и массового чисел.
5. Каковы закономерности а-распада? Запишите реакцию распада изотопа
2 3 8 U, происходящего с испусканием а-частицы.
6. Какие трудности пришлось преодолеть при объяснении 3-распада? Запи-
шите уравнение превращения нейтрона в протон.
7. Какими свойствами характеризуется 7-излучение? Дайте определение
дозы ионизирующего излучения, характеризующей воздействие т-излучения
на вещество. В каких единицах она измеряется?
8. Что называется ядерными реакциями? Как происходят экзотермичес-
кая и эндотермическая реакции? Что такое барионный заряд?
9. Запишите реакцию превращения протона в нейтрон. Возможна ли эта
реакция для свободного протона?
10, Напишите реакцию захвата нейтрона ядром бора ^В с испусканием
а- частицы.
11. При каких условиях происходят реакции: деления тяжелых ядер; син-
теза легких ядер? Какова природа энергии, выделяющейся при этих реакциях?
12. По какому признаку элементарные частицы делятся на фотоны, лепто-
ны и адроны? Как возникла гипотеза о существовании кварков? Какова
современная классификация элементарных частиц?
ЗАДАЧИ
26.1. Определить, сколько ядер в 1 мг радиоактивного изотопа полония
2*о Ро распадается в течение: а) одних суток; б) одного года.
26.2. Определить активность радиоактивного изотопа натрия 24 Na, масса
которого m = 5 мкг, а период полураспада 5,33*104 с.
26.3. Число радиоактивных атомов изотопа Bi уменьшилось на 13 %
в течение одних суток. Определить период полураспада этого изотопа.
153
26.4. Некоторый радиоактивный изотоп имеет постоянную распада X =
= 1,44 *10’3 Бк. Через какое время распадется 75 % первоначальной массы
атомов?
26,5. Какое количество теплоты выделяется при распаде радона актив-
ностью 1 Ки: а) за 1 ч; б) за среднее время жизни? Кинетическая энергия вы-
летающей из радона а-частицы WK = 5,5 МэВ.
26.6. Чему равна активность радона, образовавшегося из 1 г радия за 1 ч?
26.7. Если период полураспада радия 1600 лет, то какая доля образца ра-
дия распадется по прошествии 3200 лет?
26.8. За время t — 8 сут распалось 3/4 начального количества ядер радио-
активного изотопа. Определить период полураспада Т . .
26.9. Найти постоянную распада и среднее время жизни радиоактивного
изотопа 27^0’ если известно> 410 его активность каждый час уменьшается
на 4 %. Продукт распада нерадиоактивен.
26.10. Определить возраст древних деревянных предметов, если известно,
что удельная активность изотопа в них составляет 3/5 удельной актив-
ности этого изотопа в только что срубленных деревьях. Период полураспада
ядер 14С равен 5570 лет.
26.11. Вычислить энергию связи ядра атома тяжелого водорода (дейтерия),
если известна его масса.
26.12. Найти удельную энергию связи для ядра изотопа лития 7 Li .
26.13. Найти энергию связи ядра атома алюминия 27 А1.
26.14. Найти энергию связи ядер: а) 3Н; б) 3Не. Какое из этих ядер наи-
более устойчиво?
26.15. Найти энергию связи, приходящуюся на один нуклон в ядре изотопа
Урана U .
26.16. Найти энергию связи ядра дейтерия 2 Н.
26,17. Найти энергию связи ядра, которое имеет одинаковое число прото-
нов и нейтронов и радиус, в полтора раза меньший радиуса ядра 27 А1.
26.18. Найти с помощью табличных значений масс атомов среднюю энергию
связи на один нуклон в ядре ^О.
26.19. Вычислить (в а.е.м) массу атома 8 Li, энергия связи ядра которого
41,3 МэВ.
26.20. Найти энергию связи, приходящуюся на один нуклон в ядрах:
'*N, "Са. \“Hg.
26.21. Определить граничную кинетическую энергию /3-частиц, испускаемых
ядрами 2*° Bi.
О W
26.22. Энергия излучаемого ядром у-фотона равна 104 эВ, а энергия, иду-
щая на отдачу ядра, составляет 5-10" 2 часть энергии у-фотона. Найти энергию,
освобождаемую (или поглощаемую) ядром.
26.23. Фотон энергией WK = 3,2 МэВ превратился в пару электрон— позит-
рон. Полагая, что кинетические энергии частиц равны, определить кинетичес-
кую энергию каждой частицы.
26.24. Определить кинетическую энергию отдачи ядра, возникающего при
а-распаде ядра 2818 Ро, если кинетическая энергия а-частицы = 5,99-10* эВ.
154
26.25. Кинетическая энергия а-частицы, вылетающей из ядра атома радия
при радиоактивном распаде, И/к= 4,78 МэВ. Найти скорость а-частицы.
26.26. Найти полную энергию, выделяющуюся при вылете а-частицы из ядра
атома радия в случае его радиоактивного распада. Кинетическая энергия а-час-
тицы И/к«= 4,78 МэВ.
26.27. Кинетическая энергия а-частицы, вылетающей из ядра атома полония
2 ** Ро при радиоактивном распаде, WK = 7,68 МэВ. Найти полную энергию, вы-
деляющуюся при вылете а-частицы.
26.28. Определить количество теплоты,которую выделяет 1 мг 210Ро за пе-
риод, равный среднему времени жизни этих ядер, если известно, что испускае-
мые а-частицы имеют кинетическую энергию WK = 5 3 МэВ и практически все
дочерние ядра образуются непосредственно в основном состоянии.
26.29. Определить количество теплоты, выделенной за сутки в калоримет-
ре ^“-активным ™ Na, масса которого т = 1 мг. Считать, что /3-частицы в
среднем обладают кинетической энергией, равной 1/3 максимально возмож-
ной при данном распаде. Период полураспада 24 Na Т^2 = 15 ч.
26.30. В реакции “ N ( а, р ) кинетическая энергия а-частиц =
- 7,7 МэВ. Найти, под каким углом к направлению движения а-частицы выле-
тает протон, если известно, что его кинетическая энергия WK = 5,7 МэВ.
26.31. Насколько длиннее должны быть пролетные трубки линейного уско-
рителя, для того чтобы ускорить протоны от энергии = 1 МэВ до =
= 20 МэВ, при частоте переменного напряжения генератора v = 108 Гц.
26.32. Какую минимальную энергию должна иметь а-частица для осущест-
вления ядерной реакции 8 Li + * Не -> В + ° п 7
26.33. Найти наименьшую энергию У-кванта, необходимую для осуществле-
ния следующей реакции: 2Н + У -> JH+ .
2634. Выделяется или поглощается энергия при следующей термоядерной
реакции: 2Н+^Не-> J Н + 4 Не? Чему она равна?
26.35. Найти количество энергии, которое выделилось бы в реакции слия-
ния всех ядер трития с ядрами водорода в 1 г смеси ( трития по массе втрое
больше, чем водорода): 8 Н+ JH -> 4 Не + Сравнить с количеством энер-
гии, которое выделится при полном делении 1 г 2U.
26.36. Выделяется или поглощается энергия при реакции * Be + 2 Н ->
“ж X
-> В + * п 7 Чему она равна?
26.37. Какая энергия выделится, если при реакции
27 А1 + 4 Не -> Si + J Н
подвергаются превращению все ядра, находящиеся в 1 г алюминия? Какую
энергию надо затратить, чтобы осуществить это превращение, если известно,
что при бомбардировке ядра алюминия а-частицами энергией И7 = 8 МэВ
только одна а-частица из 2 4 О6 частиц вызывает превращение?
155
26.38. При бомбардировке изотопа * Li дейтонами образуются две а-части-
цы. При этом выделяется энергия, равная W— 22,3 МэВ. Зная массы дейтона и
а-частицы, найти массу изотопа лития *Li (ва.е.м).
26.39. Определить энергию реакции 1 Li + р -> 2 *Не, если известно, что
О л»
энергия связи на один нуклон в ядрах Li и * Не равна соответственно 5,6 и
7,06 МэВ.
26.40. Найти число нейтронов, возникающих в единицу времени в урано-
вом реакторе, тепловая мощность которого 100 МВт, если среднее число нейт-
ронов на каждый акт деления п = 2,5. Считать, что при каждом делении осво-
бождается энергия 200 МэВ.
26.41. При упругом центральном столкновении нейтрона с неподвижным
ядром замедляющего вещества кинетическая энергия нейтрона уменьшилась в
1,4 раза. Найти массу ядер замедляющего вещества (в а.е.м).
26.42. Электрон и позитрон, имевшие одинаковую кинетическую энергию
WK = 0,72 МэВ, при столкновении превратились в пару фотонов. Найти энер-
гию и длину волны каждого из получившихся фотонов.
26.43. Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле, индукция
которого В = 0,5 Тл, и движется по окружности радиусом R = 0,1 м. Скорость
частицы v = 2,440* м/с. Найти для этой частицы отношение ее заряда к массе.
26.44. Вычислить время ускорения протонов в линейном ускорителе до
полной энергии 15 МэВ, если ускоряющее частицу поле напряжением 200 кВ
при частоте 108 Гц, а начальная энергия протона 5 МэВ.
26.45. Найти энергию а-частиц, вылетающих из циклотрона, если макси-
мальный радиус кривизны R = 0,50 м. Частота приложенной к дуантам разнос-
ти потенциалов v = 15 МГц. *
26.46. Определить частоту генератора, питающего циклотрон, который ус-
коряет дейтоны до энергии № = 2 МэВ при максимальном радиусе кривизны
траектории частиц R — 0,49 м.
26.47. Найти частоту приложенной к дуантам циклотрона разности потен-
циалов для ускорения протонов, если индукция магнитного поля В = 1,5 Тл.
26.48. Реакции термоядерного цикла, аннигиляции протона и образования
протона из кварков можно представить в следующем виде:
2р + 2п = *He+WM;
р + р -> я0 + 2я+ + 2тГ" + ;
t + t л + ^q->p+Wez .
к обр
Определить выделяющиеся при этих реакциях энергии и Wo6p .
26.49. Найти странность S и гиперзаряд Y нейтральной элементарной части-
цы, у которой проекция изотопического спина ‘Г = +1/2 и барионный заряд
В - +1. Что это за частица?
26.50. Отрицательный тг-мезон с кинетической энергией WK = 50 МэВ рас-
пался на лету на мюон и нейтрино. Найти энергию нейтрино, вылетевшего под
прямым углом к направлению движения тт-мезона.
156
Контрольная работа № 6
1. Повторите программный материал заданий 24—26.
2. Решите задачи своего варианта. Номера задач приведены в табл. 6.
Таблица б
Вари- ант Номер задачи Вари- ант Номер задачи
I 24.1 24.29 25.12 25.43 26.8 XVI 24.16 24.46 25.23 26.40 26.12
II 24.2 24.30 25.11 24.44 26.7 XVII 24.17 24.47 25.25 26.39 26.11
III 24.3 24.32 25.20 25.42 26.6 XVIII 24.18 24.48 25.26 26.41 26.9
IV 24.5 24.33 25.19 25.41 26.5 XIX 24.27 24.50 25.27 26.45 26.22
У 24.4 24.35 25.13 25.50 26.4 XX 24.21 24.49 25.28 26.46 26.27
VI 24.7 24.36 25.14 25.49 26.3 XXI 24.20 25.1 25.38 26.47 26.26
VII 24.6 24.37 25.15 25.46 26.10 ххп 24.21 25.2 25.37 26.48 26.19
VIII 24.9 24.38 25.16 25.45 26.2 XXIII 24.23 25.3 25.40 26.38 26.23
IX 24.10 24.41 25.17 25.47 26.18 XXIV 24.24 25.4 25.39 26.37 26.25
X 24.8 24.39 25.18 25.48 26.1 XXV 24.25 25.5 25.31 26.36 26.20
XI 24.11 24.42 25.30 26.44 26.17 XXVI 24.26 25.6 25,32 26.35 26.29
XII 24.12 24.40 25.21 26.43 26.16 XXVII 24.19 25.7 25.33 26.33 26.28
XIII 24.13 24.43 25.22 26.49 26.14 XXVIII 24.28 25.8 25.35 26.34 26.30
XIV 24.14 24.44 25.29 26.42 26.15 XXIX 24.31 25.9 25.34 26.32 26.24
XV 24.15 24.45 25.24 26.50 26.13 XXX 24.34 25.10 25.36 26.31 26.21
ОТВЕТЫ
КИНЕМАТИКА
2t t
12
= 5 м/с; и = = 1,5 м/с. 1 J. I = 2ит= 3,5км.
2 2t t
12
+ V2 - 2v Vcos a; I. = 1270км; v ~ 794 км/ч.
* I Z 1
14. I = ----*-2 - 134 KM. u= v _2----1_ _ 7>8 KM/4 le5. u= Lv/H _ Oj8 m/c
t +t t + t
1 2 ‘1 *2
/—p------ B
T= L/u - 200 c. 1.6. V b= (V2u - u- U)cos45 = 3,43 м/с; /3 = 165 .
Hu 21
1.7. U=-------------. 1.8. t, =------- ;
Vv2 - «2
Z1U2 - Z2U1
Vv2 + V2
1 w
Lsinci+ Zfcosa
11 2 2 . .
l?+U2 ’ min
1 2
21V
'2
V2
• 110-Zmin=
- 2viU2sin/3
1.11. t = -5/(20 = 2c; x = 4 м; ax~-1м/с2. 1.12. < v > = bxfbt = 13 м/с;
< a >= ди/M = 5,2 м/с2.1.13. V* — х/Л214 + B2 ; a = 2B/t3 ; y = AB/x.
t
1.14= Vj - -42,7 M/c;^ = 5, 3 c; = 10, 7 c. 1.15. x2)A2 + y2/52 = 1.
1.16. a) U = vo + 2Bt = - 1 м/с; б) < V > = 0,5 м/с; в) s = 1,5 m.
1.17. a) V =42/(45); б) x=43/(452). 1.18.Ди = t ’=6,4 м/с; s=^~ ?=б,4м.
______________________ _________ 3 12
1.19. a) U= 2tx/A2+B2 ; a = 2х/д2+ 52 ; S) у = x.
1.20. a) V- A V1+ (1-251)2 ; a =2/15; б) уэ = A/(4B); x= A/(2B).
1.21. ДГ = 3001 + 400j ; MH- 500 m. 1.22. Д v = li + Ij + Ik; | Av | = 1,73 м/с;
Д1 v | = 1,56 м/с. 1.23. v = 6fi+ 2j ; I v|= 2^9^ + 1 ;lal= 6 м/с2.
1.24. a) rQ = 12,5i ; 6) vt - lOi ; v = -3i . 1.25. —-- - —------— .
lri“r2J |V2"VJ
1.26. а) и= х/Л2+45^2 ; 6) a = -25j; a = 25; в) r =4ri-5?j.
1.27. a) r= 11,6i ; 6) Uj = 4 м/с; v2 = 2,3 м/с. 1.28. ДГ = 1/5; s = 4/(25).
1Л9. x~ t (1 - 0,250; • хэ = 1 м при t= 2 c; v= 8 m; r = t (1 - O,25r)i + 2f2j .
AB i В 21
1.3Л r =4ri + — rj; y=— JC2. 1.31. a = ------- = 0,3m/c2;
2 2A tt
vo = -----1--- = 1.8 м/с. 1.32. 1(f) = 2V.1; /_= 2v2/g.
ft и / о
1*2
158
1.33. l(t) = h - Uyr; - t>0 \/2й/g . 1.34. Я = 3gr2 = 2,94 км; V-gt^-
g о r-i------- л r------
= 240 м/с. 1.35. a) y(x) = ---t- x2 ; 6) u= y/v2 + 2gh ; arctg у/2#Л/ил;
2vo
в) L = VQ \/~2h Ig , 1.36. a) <0— arctgVQ/(gT) — 27°; 6) a T = gcos^= 8,73 м/с2;
L?2 + g2T^ )
a — gsin<£= 4,45 м/с2 ; в) R = —------- = 109 km. 1-37. I = VQTу/ 2 = 31,8 м.
n gsin<£
1.38. а) Я : Я • Я = 3: 2:1; 6) L : L L = JT2 : y<3~
X £ О L +» О
1.39. a) V = 384 м/с; 6) <P~ 24°; в) an = 8,95 м/с2; e_ = 3,99 м/с2; r) /?= 12,8км.
____________________________________ и
1.4ft a) и = Ju2 + u2 - 2v.gi + g2t3 ; 6)<p~ arctg----; в) у- — x- £- )?.
, ° 0 V-gt u 2u2
/ fl 7 0
1.41. fl = fl_V 1 + ( -i— )2 = 9,01 м/с2.
T R
1.42. V-\Ta~R = 4 м/с; a_ = —~ \I 1 - cos2^= 5,54 м/с2.
cos</>
1.43. a) s =------T2; 6) ar=sfAR = 2,83 м/с2; a = л/Л(Лг4 + Л)= 62,6 м/с2.
2 T
t i Q/rR о
1,44. a = 0,6м/с2; a = 0,78м/с2; arctg—Ц- = 140 .
" U
-B+-J2CR B + 2Ct
1.45. 7= ------------ = 1,9 c (здесь R= -----— = 8 м).
2C
1.46. co = 2Л/(Л7) = 2 рад/с; (3= 2h/(Rt2) = 0,1 рад/с2.
1.47. a) l,59»10-2 рад/с2; 6) aT = V2/(4ltRN) = 1,59-iO-3 м/с2; •
v412
в) a = -----V4—, = l.Ol'lO-2 м/с2;в = 1,02-Ю-2 м/с2.
n ^1?R3N2 _______________
1.48. a) cd = At JL+ Д г2 = 8рад/с; 0 - A \X + ( — f)2 = 1,3 рад/с2.
Л2 A
A2t + 2B2t3 о a /-----
6) = arccos----------= 17 .1.49.^= arctgCD /CD « 11 ; CD= CD <1,04.
w/3 2
V , о
1.50. a) CD = vMRcosCt) = 2,6 рад/с; /3= -, tga= 2,3 рад/с ; 6) <P= 60 .
R*
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
2.1. F(f) = m (2C - 6Dt); при r= 1 F = 2Я. 2.2. m= F/(2Л) " 5 кг.
2.3. F = - mAco2 sinWf = -0,128 H. 2.4. mjm2 = 3.2.5. F = my/A2+4B2t2.
2.6. St + 0,2513\ s « 36 m. 2.7. Bt = 6 m; y- ------t2 = 67,5 m.
2m
С о . В С 2
2.8. a) v = Л1+ ( В +- 12)j ; 6) </> = arctg (— + - t ).
2m A 2mA
2.9. p= AT3/6; s = Л//(12m).2.10. t = я/CD; = FQ/(mu).
159
2.11. a) F = 0,1 mg = 980 H; 6) F = m(a + 0,l)g = 3,3810* H. 2.12. /= F/6;
/s4= F/3.2.13.a) P~ m(a +g ) = 35,3 H; б) P = m (g - a) - 11,8 H.
2.14. ДР = 2ma = 14,7 H. 2.15. a) F=m(g-a) = 12,6 кН;
6) a = &mg/(2m- im) = 1,9 м/с2. 2.16. 0= arctgo /g = 11,5°; 7= ma/sina — 2 H.
F(cosa - p sina ) F(cosa+psina)
2.17. a ----------------pg; Г =-----------------.
2m 2
2.18. a) mjm^ 6) mjm^ - (pg+a )/(g-a).
m (m + m)m
2.19. a = -------g ; F = —1---?--g .2JO. x = 3Z/5; T= 2mg/5;
m+m+m & m+m + m
1 Z «3 1 3
a = 3g /5. 2.21. a) /= mgsina; 6) /
0. 2.22. ДГ = 0,6 c.
2.23. a) V = 8,35 м/с; б) й == 4,35 m;jl) t = 3,8 c, 2.24. a = 1,43 м/с2; F^ = 3,93 H.
2.25. a) m f m > sintt + pcosfl; 6) mjm < sinfl - pcostt;
Z L Z 1
в) sinfl- pcosa < mJ m^ < sina + pcosa, 2.26. P= 10,7 H, 2.27. t = 0,71 c.
2 m,(m +1)
2.28. Уменьшится в 2,5 раза. 2.29. n = -i------= 1/2.
w /(гк2+1)
2m, - rn m-mJ2 3m m
2.30. a = -----1----2- g; a = —1-------2—~ g; T= -------1—1— g.
1 2m+m2/2 2mf + mj2 4mt+ m2
2.31. P = 2,1 кН; P = 0,7 кН; P = 1,5 кН. 2.32. m = 0,5 кг.
Д Z v
2.33. V = — J — = 2,1 c"’1. 2.34. a) Umav = 17,7 м/с; 6) a= 21°48'.
27Г / max
2.35. a « 5°12'.2.36. n,/n, = 1,17. 2.37. Д = 0,1. 2.38. T= 1,32 c.
Z A
cos я — fcsina
2.39. co2 = —---------------- g .240. R = 13 cm. 2.41. < F > = 588 кН.
h tgn (sina + к cosa)
2.42. Fbt = 0,42 H-c. 2.43. <F > = ПО H. 2.44. FM = 5,6.10-23 H-c.
2.45. F&t — 2mv cos a.
2.46. < F > = m ( V + V )/ (Д/ ). 2.47. L =--------J ------- .
1 2m g L
2.48. U = ГДГ/(2т) - L/т. 2.49. 7 = 0,51c. 2.50. F&t -2m — tga .
7
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
(p - p ) 9
3.1. A = SgH2 ------— . 3.2. A - —IJLgm /=0,17 Дж. 3.3. A = 4,23 МДж.
2pB 32
* 3
3.4. A = Ц — (l-U2= 1,29 Дж. 3.5. 4 = - Fl.
21 ° ,8
160
3.6. < N> = 0; N(t) = mg (gt - и sina). 3.7. A = 2 Dm (C+Dt)t.
3.8. = 0,32 Вт; N2 = 56 Вт. 3.9. A - _17 Дж.
3.10. 4=3 mg/(4a). 3.11. й= 1,56 м; v = 2,34 м/с.
2gh
= 8,82 H; FB = 7,67 H. 3.13. NB = m(g +----------) = 68,6 mH;
ZV„ = 0. 3.14. s =
2g (sina+geo so)
Hmv20
2(g+tga)
3.15. V = - -JghJlT3.16. й = Я/2; L av = H .
О lllaX
mg 1 x
3.17. I = ------ ( -----—— - — ) = 0,063 м. 3.18. Z = 0,11м.
cost* 4tt irm F
3.19. x, = 0,16 m. 3.20. A - = --------l-^~ Д/2.
2 mm 2(*.+*.)
* Лг
3.21. и = 202 м/с; ц. = и cosai , где a= 10°. 3.22. М IM = 10.
* X X 1 X
3.23. U = 69 м/с. 3.24. h = 5 см; е = 0,997. 3.25. rnjm2 > 20.
3.26. u= li + 2j - 4к ; и « 4,6 м/с. 3.27. т /т == 1. 3.28. и= 1,5 i + 2,5j .
3.29. а) и = и ; б) Q = — mV2 (1 - 3 — ). 3.30. и , = 0,44 и; и = 0.36U .
2 2М 8 М 1 2
3.31. и. = 1.4-103 м/с; и = 1,5-Ю2 м/с. 3.32. 6= 2/13.
х X
т/(т+ 1) WK 4т т
3.33. и= —------i------ =5/3. 3.34. — = ---------! -2 - . 3.35.6=0,64.
»»i/(m2-l) wk (тх+т2)2
3.36. а) mjm. » 1/3; б) mJ т^.~ 2. 3.37. и. = vcosa= 1,73 м/с; u. = vtsina= .
к X 1 X д х д
= 1 м/с; /3= - - а = 60°..
, / 4mt А , 2т^
3.38. рх = р1 V1 - --------- cos20 ; р = ------— р cos0.
(т^т2)2 т1+т2
mv о
3.39. a = 2 arc sin —------- <=» 30 .
( т+
т -т . т
3.40. h = h ( —------? )2 « 54О"3 м; h = 4Л (----i--)2 = 0,08 м.
тх + т2 2 tni + т2)
341. Q = SjSjs/ 2^ДЛ/(52- S2) . 342. Q = S xFigbhpJp .
343. hmtr=pJ(pg).3A4. F = Qp[gt +2g (H - — 1 ) ] .
JlldA U
ИЗак.5886
161
3.45. T- (R/r)2lR.f(irp/2F)[ 1-г/Я]4 = 7,9с. 346. р= 2,540s Па.
---------------------------------_ яс?2 d4
3.47. V = 3,0м/с. 3.48. V = \JlgH ---- , Др = pgh + pgH (1------ ), гдер-
1 4 D4
PgZ2 $ 1 2
плотность воды. 3.49. Др = ---- [ 1 — ( - ) ],где р- плотность воды.
4Я S2
ЗЛО. F = pglt(S -S32/S. = 7,8/7 .
д х д
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
4.1. / = I = mR2/2; I,-mR2. 42. I , = I = mR2/4; I = mR2 fl.
4.3. 7 = - m ( R2 + R2 ).4.4. I = - irR4pb -6ltr2bp( 0,5г 2 + r2 ) =
2 1 2 2 1
= 2,09 40~3 kj^m2. 4.5. a) 7C = ml2/12; 6) 7 = ml2/3.
4.6. 7= ——cos a .4.7. a) 7 = 2.0240'3 кг-м2; б) I - 8,bl0-4 кг.м2.
3 3
4.8. I = 5,2’10-4 кг.м2. 4.9. I = — mR2.
10
4.10. a) 7C= 2mR2/5; 6) 7 = ItnR2^^
|ай- M|
4.11, M= ( aB - bA )k, где k - орт оси z; I = - ...- .
•Ja2 +B2
4.12. a) M= -2i - llj + 10k; б) M = 15 H-м; b) Mz = IOH-m.
1 a A - ЬВ |
4.13. I = — . 4.14. &L = -40i.
ч/а2 + В2
3.2
i o _ wu sm acosa
4.15. д£ = - mgVt2 = 245 кг-м /с, 4.16. L = - --------- k ,
2 0 /2g
1 i
4.17. a) M= -mgv cosez/le 6) L =- - mgv cosat k.
° 2 0
4.18. Ц = [ lp2 + bt(p2-p1)]n; Ц = [ + b2(pt - p2))n .
4.19. L = L = Zpn.4.20. a) M=— mghsin2an; 6) L=- mgAsin2arn.
12 2 2
2 ( FR - M m )
4.21. m= ------—l-Л?— = 7,36 кг. 4.22. /3= 7,8 рад/с ; t = 80 c.
0R2
4.23. t = 9,72 c. 4.24. A = 95 Дж. 4.25. a) a = a, « 1,09 м/с2; 6) F„ = 5,23 H;
1 2 H
gt2 Mg
F„ = 4,9 H; в) F. = 16 H. 4.26. </> = ----------- . 4.27. T= -------- .
H2 A - 2Я[ 1+Л0(2т)] 4{ 1+М/ (2zn)]
M+ m
4.28. a = 0,875 м/с2. 4.29. a = ----- g. 4.30. a = 0,605 м/с2.
M + m+l!r
162
4.31. W к = — ( 2u2 + nW). 4.32. L - 3,8 кг.м2/с. 4.33. W* = 94 Дж;
4
IV* = 70 Дж. 4.34. < = 29,4 Дж. 4.35. WIW - 0,714.
Ц ЛА llUVl
4.36. a) u/V = V15/14; б) VJv = 15/14. 4.37. * /А = 14/15.
F2 (ДО 2 3m + 2m
4.38. r = 3wA/(4pg )• 4.39. IVK=-------*----- .
2m ( m + m^)
4.40. IL = \J - ( 7cosfl- 4)gF = 1 м/с. 4.41. CO == 14 рад/с; V = 1,05 м/с.
0 3
4.42. a~ 73°. 4.43. CO = V3g/l. 4.44. F = 3/ng/2; F_ — mg/4, 4.45. n = 21 об/мин.
Г В i
2m + 1
4.46. = 2?r------- . 4.47. n =s 7,2 об/мин. 4.48. co= 3 рад/с. 4.49. I «6,88кпм .
M 2
ZW2 „ о , "IV r
4.50. ‘P— arccos(l - - ) = 9 20 , где co = ——--------—- .
3g Ml2/3 + mr2
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
5.1. М- 5.96.1024 кг; р-5,52-Ю3 кг/м3. 5.2. М - 5.984024 кг.
5.3. М = 6,21«1023 кг. SA.M = 2.0-1030 кг.55.F = 7тМ/{а(а + Z) ].5.6. Я= 27 тМЦгИ2).
5.7. F = 2тГг7трг2Яй/( Я2 + й2) 3/2. 5.8. F = 2?( mM/R2) (1-йД/Я2 + h 2) .
5.9. Я = 1МИ7(2Я2). 5.10. F = 0.5.11. Т= х/Зя/fyp) .5.12. u = 7,9 км/с.
5.13. Т= 27TW/V3; г= W/V2.5.14.a) п= 19,2раза; б) и = 6,8 км/с; а = 1,640“® м/с2.
5.15. Т= 164года.5.16. Г = 7Гх/(г +Я)3/(2УМ).5.17.£ = mjT1Mr,rJ(r. +'•,)•
л Лг 1 А
5.18.7= 65сут.5Л9. А = - ТГУртЯ2. 5.20.4= - Я7ртЯ2.5Л1. г = 3.8-107 м.
3 3
5.22. р= [ 37М2/(8яЯ4)] ( 1 - г2/Я2). 523. F = -7т Mr / Я3.
5.24. h = Я[ (2^Я/У2) - 1 ] .5.25. h = ЯК^Я/и2) - 1].526.п= - — = 3,0.
° 1 -е
5.27. г = 4,23407 м; V = З.ОвДО^м/с. 528. п = 1,27 раза. 529. А = —7тМ- .
(1-1/и)Я
5.30. V = 13,3 км/с. 5.31. F„„= не зависит от: а) положения; б) скорости
ин и ин
тела относительно кабины. 5.32. а) ^ин=~пга0 ; б) в направлении,противоположном aQ,
а
на угол а = arctg — . 5.33. F = - та , а = g, где g - ускорение свободного
U g ИН U и 1
падения. 5.34. t =* V2Z/[g(sina- gcosa) +eQ (cosa+^sina) J = 1,44 c.
5‘35’ Гин=* 36H5 Mmin« 0,20. 5.36. Рцб = mw2r .
163
5-37- 'max “ 80 MM- 5’38- 4nin
h tg СГ (sin О! + pLcosti)
5.39. V > ^gdi(2p.) = 10,5 м/с. 5.40. W= VУМ/№, где у - гравитационная постоял-
най. 5.41. &F= +4 mV со , где СО - угловая скорость вращения Земли.
5.42. F= mJg2 + оЛ2 + (2v'o)2 = 268 Н. 543. v' = -1 ты ].
2
5.44. а) 7 = (l/CO)ln(z//o+V(///o)i - 1}= 2,0с;
б) F = 2тЫ2у/12 -1^ - 0,22 Н; в) А = ты2 (I2 - 12/2) = 1,14 Дж.
545. F,к = тЫ2К >/519 = 8,0 Н; Fn = 2/ЗтЫ2Я ^5 + 8g/(3o>2K ) = 17 Н.
цо кор
5.46. х — ucoz2sm<£ = 5,8 см. Пуля отклоняется на восток; СО - угловая ско-
рость вращения Земли вокруг своей оси. 547. F = 2 дли со sin = 6,3403 Н, где
со - угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси.
5.43. F = ты (CoFcos^ ± 2v) sin^; F+=41kH, F = 31 кН, где плюс
соответствует движению с запада на восток, минус — наоборот, R - радиус Земли.
------ 3
5.49. Тело отклонится к востоку, х «*2/Зсой\/2й/g ; х = 1,4, Ду = —х .
2
5 Л 0. V * у/~2 gRt где R - радиус Земли; у == 11,2 км/с.
ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
6.1. V = 0,66с. 6.2. V “ 86с, вдоль длинной стороны. 6.3. S = 0,5 S .
/ -у- О
'0Т1--£
6.4. I = 1,08 м. 6.5. I = —2----—---- = 0,71 м. 6J6. —2-----< 68,8 % .
71 - X sin20 ‘°
с2
/ Z7 дГ я , 1
6.7. У =cV(2 - --------) ---- = 0,640* м/с = 0,199с. 6.8. ДТ=-------= 0,57 с.
г Т 2 с2 °
6.9.т/т0 = 1,25. 6.10. a) Tt = — VI - = 2,89’Ю-8 с; т'2 = lQ/v = 3,33-Ю"8 с.
6.11. V = c2At/(Ax) = 1,5-10“ м/с. 6.12.а) V=2'108m/cj б) Г2 = 3,33-Ю"8 с;
Г = 2.8940"8 с,» в) Т, = Т, = — ( 1 + V1 - -^ ) = 6Д140"8 с. 6.13. В точкеВ .
, V с2
6.14.1 = 0,225 м; I -= 0,34 м. 6.15. / » 0,14ZQ; t« 7,1 года. 6.16. s = 7,2-Ю9 м.
6.17. Тп = - у/1- v2/c2 - 25 нс. 6.18. bs = 300 м. 6.19. V = 0,995 с.
и V_______________________V
/ , (х2 + у2 + х2) ,
6.20. AT = V (At)2 - ---------—------- = 0,5 с, 6.21. V = 0,96с .
с2
164
V, + V , ,
6.22. l> = —------= 0,91 c. 6.23. a) V = 0,195c ; б) V = 0,974c.
1 +
c2___________________
, Г1 2 UiU2 о
6.24. V = x/u* + V, - ( —I—I)2. 6.25. V=c. 6.26. и, = 0,99c ; V. = 0,36c .
1 c ______________2
, , V(v -“)2+U2 (1-и2/с2)
6.27. V= 0,5c. 6.28. V = 0,994c . 6.29. V =-----.
1 - V u/c2
x
6.30. v = c(0,620i + 0,138j +Д138к); V = 0,650c ; a = 17,5 °.
6.31. V - c «0,1 м/с, 6.32. U = 2,6408 м/с. 6.33. m = 2mQ; V = 0,866c. 6.34. V= 0,97c.
cp
6.35. &m= 8,640~27 kt. 6.36. V = - > = 0,5c= 1,540е м/с.
>/p2 + »?c2
6.37. pjp„ = 25/7. 6.38. V = —Jl2 - 1 = —c .
P H 9 9
c - V / me
6.39. ------ = 1 - VI + )2 = 0,44 % ,
C n
640. V = c ---------- = 0,6c . 641. H'K= 0,05 me2; 25,6 кэВ;
1+ t? о e
W K = 47 МэВ. 642. a) £ = 0,51 МэВ; 6) E = 938,2 МэВ.
p " p
643. im= 1,264сР кг. 6.44. p = - х/и,к(И'к+2mc2). “
c
W - W W- W „
645. a) ---E----= 0,03; 6) —2---------= 0,52.
Wn
P P
6.46. a) W*/W* = 2,98; 6) EJE. = 1,58.
л» Л ,£ X
/ . ^2Wi +2m,
647. M= \J(m +mJ+2 ----; V =---------?---;
1 2 -2 t M -l. >« \ j. w*
C2)
v I 2' 2
K 2WK(»PK + 2moc2) . ,
648. ?— = 1,4340s ГэВ. 6.49. I = (£ - mc2)/eE .
mQc
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
7.1. А — 0,060 м; Т= 2,0 с; х » 0,049 м; V = - 0,11 м/с; а = -0,48 м/с2.
7.2. А == 0,063 м; W= 3,5 с"1,7.3.7= 0,125 с. 7.4.хх = 0; х% » 4,24 см; х3 = 6,00см;
= 9,42 см/с; V2 = 6,65 см/с; V3 = 0; = ^0; а2 = -10,5 см/с2; а3= -14,8см/с2;
< и, > = 8,48 см/с; < и_ >=3,52 см/с; <а >=-5,52 см/с2; < а >= -13,3 см/с2.
1 2 1 2
165
7.5. / = 0,240 м; < V > = 0,060 м/с; < а > = -0,094 м/с2.7.6. и = ± 10,9 см/с.
7.7. и = ± 15,6 см/с. 7.8. А = 3,9 см; О> = 1,0 с-1,
7.9. Г = 2я>/( *2 -*()/( vj - Vj); Л = /( vjx* - X|Vj)/(u] - V2 ) .
7.10. s = 1,16 м. 7.11. = 4,0 с; = 2,0 с или Т = 2,0 с; 7*2 = 4,0 с.
7.12. 7 = 1,0 с; Г = 0,333 с; 7 = 0,667 с. 7.13. w = 4,0с-1; А = 5,0см; а = 37°.
* А
TTt я
7.14. x=58cos( — + —). 7.15. х = (80costff )cosl9tff. 7.16. 7= 1,0 с.
3 12
7.17. А = 40 мм; а = я/3 рад; х = 40cos (Ш + я/3) мм. 7.18.07* = 77,9 с-1;
1 1 х2 V2
= 82,1 с-1; 7= 1,5 с. 7.19. х = - у . 7.20. — + — = 1.
2 0,25 2,25
7.21. fc= 0,67 кН/м. 7.22. W = 6,4 Дж. 7.23.Р = 1,0г/см3. 7.24. W= 9,3 с"1.
7.25. 0 = 0,0048с"1. 7.26. 0 = 0,0115 с"1; Х = 0,023.121. N= 100; 7=94 с.
7.28. 0= 0,031 с-1; Х= 0,14. 7.29. 0= 0,019 с"1; 7= 0,46 мН-с/м; Q = 83.
7.30. Х = 2,69; п. = 5,1 раза. 7.31. А - 5,0 см. 7.32. V= 127 Гц. 7.33. Р= 173 Гц.
= 785 мм/с.
7.34. А = 15 м/с, 7.35. Х = 1,53; А = 37,7 мДж. 7.36.7?= 2,13. 7.37. V- 340м/с.
max
7.38. Дх = Х/4. 7.39. 2,8 рад. 7.40. V = 350 м/с ;
7.41. U= 3,0 км/с. 7.42. V =5,1 км/с. 7.43. Х = 16 см. 7.44. V„ = 1,7 (2л-1)кГц,
где л = 1, 2, 3
7.47. Vt = 200 Гц. 7.48. < W > = и>
п ’ ' ' ’
7.45. = 1,7 кГц; 1>2 = 5,1 кГц; — 8,5 кГц, 7.46. — 100Гц.
7.49. I =[рА2<л?/klsin2 ( cot - kx)i .
7.50. w= v/2 , V = 35,4 м/с; м= 17,7 м/с.
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
8.1. М = 4,0’10"3 кг/моль. 8.2. р = 0,30 кг/м3; р = 374 кПа. 8.3. Fmin =
= 3,1’10"2 м3. 8.4. р = 1,7’10® Па. 8.5. 1И = 45’Ю"3 кг/моль; К=5,940"2 м3.
8.6. VQ = 0,50 м3/кг. 8.7. п = 1.24012 м"3; р = 6,640~14 кг/м3.
8.8. р = 0,24 кг/м3; и= 7.24025 м~3, 8.9. а) р = 2 nm U2; б) p = 2wn0(U±o)2•
8.10. а) р = 2пт U2cos2a; б) р= 2пт (Ucosa ±и)2,8.11. F= 1,7’10"4 м3;
п = 3,64О19 м"3. 8.12. р = 20 мПа. 8.13. = 3,1-1025 м"3 .
8.14. Wj = 1,2’1025 м“3; п2 = 2.44025 м3. 8.15.0= 0,15. 8.16. <-№~> =500 м/с.
8.17. р = 2,5 кПа. 8.18. = 2,7 м3/кг. 8.19.7?= 4.
8.20. < ч/и7" > = 1,4 км/с; < W > = 6.240"21 Дж.
8.21. < > = 6.240"21 Дж; < W> = 10.440"21 Дж. 8.22. и= 0,125 Дж.
поит
8.23. Т= 2.0404 К. 8.24. < И'пост > = 6.240"20 Дж;
<й/ >=<1Г >=4,140"2ОДж. 8.25. »?= 1,46.
8.26. а) Дп/п = 15 %; б) Ьп!п= 1,1 %. 8.27. a) Lnln= 1,4 %; б) Ьп!п= 0,8 %.
8.28. а) Дл/л = 053 %; б) Дл/и= 0,92 %.8.29. 7?= 1,2. 8.30. а) Дл/л = 1,8 %;
166
б) Ди/п = 2,6%. 8.31. Т~ 83 К. 8.32. а) Ап!п = 1,66%; б) Ди/и = 1,82%;
в) Ап)п= 1,85 %. 8.33.Л = 1,83 км.8.34.а) п = 2,7-Ю25 м~3; б) л2=1,0-1025 м"3.
8.35. Л = 80 км. 8.36. Л = 1,2 км. 8.37. Л = 4,2 км. 8.38. п - 2.04025 м-3.
8.39. Na = 6,0«1023 моль-1. 8.40. hc = RT/ (Mg). 841. X = 6,9»10-8 м. 842. Т- 190нс.
8.43. и = 8,7«1024 м-3. 8.44.Хэл=0,11 м. 8.45. р «• 1 Па. 846. X = 97 нм; D = 12.10"*»?/с.
8.47. Q = 3,5 кДж. 8.48. a) = 1,5; б) Т?/7^ = 1,1. 8.49. Дл/п= 0,68 % .
8.50. М = 5,45 мН-м.
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
9.1. a) Q = A U\ б) At/= 30 кДж; в) Л = 0. 9.2. а) Л — 180 кДж;
б) А £7= 270 кДж; в) Q == 450 кДж. 9.3. А £7= 30 кДж; А — 20 кДж.
9.4. = 0,75; « 0,25. 9.5. a) Qx = 1,125 Дж; б) Q2 = 1,575 Дж.
9.6. a) Q = 56,7 кДж; б) А {7= 40,4 кДж; в) Л == 16,2 кДж.
9.7. a) Q - 4,73 кДж; б) Л = 1,36 кДж; в) AU = 3,37 кДж. 9.8. Q = 56,7 кДж.
9.9. At/= ± 7,1 кДж. 9.10. а) А £7= 0,20 МДж; б) 7 = 1,4; в) АТ=96,ЗК.
9.11. а) ДС7= 0; б) Л = 2,74 кДж; в) Q = 2,74 кДж.
9.12. А £7= 20,8 кДж; Л = 9,2 кДж. 9.13. 2,3 раза.9.14. 7V= 0,37 раза.
9.15. Т= 207К.9.16, а) А(/= -Л; б) Л — 2,9 кДж,9.17.а) Т2 = 273 К;
а' = 3,14 кДж; б) Т2 = 478 К; 4* = 4,26 кДж. 9.18. 7V= 1,64 раза.
9.19. а) Д7 = 0,25 раз; б) = 0,19 раза.
9.20. Л == p^Sh ~ Я7Тп[ 1 + pQSh / (RT) ]. 9.21.7 = 1,4. 9.22. Р3 = 515 кПа.
9.23. а) При изотермическом W = 1,4 раза; б) при адиабатическом N2 = 1,9 раза.
9.24. а) 4 = 83 кДж; б) Q » 83 кДж. 9.25. а) Д1/= -3,1 кДж; б) б' = 3,5 кДж.
9.26. Если 1 < п < у. 9.27. и = 1,43; 4' = 4,7 МДж. 9.28. л = 1,5;
С= — 4,16 Дж/(моль-К). 9.29. Охлаждается; С = ( — - 1)R.
9.30. а) и = 1,43; б) ДИ= 150 кДж; в) Q = 10,5 кДж. 9.31. 4 = 0,80 кДж.
9.32. 1? = 25 % . 9.33. а) 1?=18%; 6)^ = 6,7 кДж. 9.34.4 = 3,92 кДж.
9.35. 7?= 32 %; Т= 322 К. 9.36. 4=6 МДж.
9.37. 1} =
(Т-1)(Г1-Т,)1п(Г /V )
--------2--2--------2_ , где
(y-DtaCr./FJ+lT-T )
А л» *
7 - cp!cv •
9.38. т?=
С„ Г. - Т1
1 R Ь^/р*)
9.39. Ч= 1 ( rmin/Fmax )7 1 ; 1?= 54 %. 9.40. Т?= .где TJ= Н %.
9.41. а) 7}= 12 %; б) С2 = 147 кДж; в) Qt = 167 кДж. 942. AS = 83 Дж/К.
9.43. AS = 22 Дж/К . 9.44. AS = 78 Дж/К. 9.45. AS - 20 Дж/К. 946. AS = 35 Дж/К.
9.47. AS = 2,9 Дж/К. 948. AS = (Су + Ota2; AS = 23 Дж/К.
167
П — 7
9.49. AS = --------- Я1п (Г/Т,); AS = 11,5 Дж/К.
(n-l)(7-l) 2 1
930. AS = R ( — + —- )ln2.
M, M2
1 z
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ. ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПЕРЕХОДЫ
10.1. а) V. = 2,1-10-4 м3; б) р{ = 70 кПа. 10.2. а) р = 11,4 МПа;
б) р = 123 МПа. 10.3. р = 2,05 МПа. 10.4. а — 0,55 Па-м*/моль2;
Ъ = 3,1-10“5 м3/моль. 10.5. р - 200 кг/м3.10.6. Г^ = 304 К;
РКр = 7’4 МПа; Ккр ~ °’13 м ’ 10,7- Ркр = 56 ет/ 10-8’ Т~ 295 К'
10.9. р = 2,0 МПа. 10.10. 2,45 раз.
Ш у 1 1
10.11. А « ( — )2 а(---------), А = 2,1 Дж.
м и и
1 2
рг
10.12. А = ЯГ1п—---------й( — - —). 10.13. <7 = 0,244Па-м6/моль2.
УГЬ V2
10.14. a) A U= 0,12 МДж; б) А = 3,8 МДж; в) Q = 3,9 МДж.
10.15. a) At/= 0; б) Л , = а----2--- ; в) ДТ= - — ----------.
Г.(К+Г) CV F1<F1 + F2>
10.16. дг= -1,4 К. 10.17. а = 0,365 Па-мб/моль2. у _ь
10.18. а = 0,140 Па-м6/моль2. 10.19. А = 17 Дж. 10.20. AS = Я In —- .
Vl-b
10.21. р = 0,59 кг/м3. 10.22. #= 5,9-Ю4 раз.10.23. At= 12 раз.
10.24. At= 35 раз. 10.25. п= 1,6 1023 м“3. 10.26. Го = 58м3/кг.
10.27. а) Ненасыщенным; 6) пересыщенным, 10.28. В атмосфере Земли нет те плов о го
и механического равновесия. 10.29. —
R
10.30. С - С = ---------------------
р v 1-2я(К-5)2/(ЯГК3)
В критическом состоянии
кг г
10.31. -- =------------ . 10.32. q = 2,3 МДж/кг. 10.33. • 1,7 м3/кг.
dT T(V - V ) оп
on ож
10.34. ДГ= 0,83 К. 1Д.35. ДГ= -0,0075 К. 10.36. Г= 272,5 К.
10.37. --- = ------------- .если V > V ,то dTfdp < 0.
dT T(V - V ) от ож
' 0ж От7
10.38. ДГ= 0,057 К. 10.39. р = 560Па. 10.40. Коп= 190м3/кг.
10.41. q = 2,25 МДж/кг. 10.42. AS = 17,6 кДж/K. 10.43. AS = 0,76 кДж/K.
168
10.44, т2 = 0,31 кг; ДХ = 0,77 кДж/K. 10.45. ДХ = 1,85 Дж/К.
10.46. ДХ = 3,4 Дж/К. 10.47. ДТ= -0,0074 К. 10.48. ДХ = 17,2 кДж/К.
10.49. ДХ = 38,7 кДж/К. 11.50. ДХ = qM /Т2 + С In ( 7^/7^), где Ср- молярная
теплоемкость пара при р ® const.
ЗАКОН КУЛОНА. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
4 1 4<?2 -в
11.1. q = 5,35-Ю4 Кл. 11.2. F = -- —г ; F - 2,3-10 8 Н.
4 яе0 d2
11.3. а = —1_ _— ; а = 2,5-Ю8 м/с2. 11.4. q = 8,73-Ю6 Кл.
4Я6Л гт
о 2
_ 1 q
ПЛ. а) £= 0; б) £•= 0. 11.6. q = 4,8-10 Кл. 11.7.F =-- —- ; F= 9 кН.
4яео Г
ПЛ. п = 4яе ггЕ/е, п * 24010 ; Дт= пте; Ьт= 2-Ю-20 кг.
11.9. а) п = 7,34-Ю28 м’3; б) п:и_ = 1: 29.
I ltpd3eNA
11,10. Г== ----- ( -----—-)2; F= 6,84016H.
47Т6О 6 Mr
11.11. = --------------- = 4.24042 , т = е J - ;
Ггр 47rV те Frp 47Ге07
дп= 1,940"9 кг. П.12, и = —— —ф ; и= 1,24036 .
4тге0 улг
11.13. т = m = 1,940”9 кг. 11.14. q^ = \/4ireQ7 тс ;
qc = 1,74020 Кл; q3 = , <73 = 5,1 1014 Кл.
11.15. qlm— \fiire 7 \ q!m~ 8,640-11 Кл/кг; qlm~ 4,940"22 е/т .
V с*
11.16. F=-------( - 1 - i- )2; F=0,29H.
4тге„ 4г2 ,
о _____ i
11.17. q. = 2г л/теГ A/?? +VF - FJ; q. = ± 2,5740“8 Кл;
?2 = 2r y/W (sJ~F- JfT^F. ); q = + 3,05-10’’ Кл.
2rjM~F 1 mAT.ez.lO-2
11.18. N = --------— ; N= 2. 11.19. F =--------( —-----------)2;
e 4те0 Л®’
F = l,7*1013 H. 11.20. После соприкосновения разойдутся на 3,1 см.
/ 2ire mgr
11.21. q=±r sj----- ° - ; q= ±8,3-10 7 Kn.
V4Z2-r 2
12 Зак 5886
169
11.22. <7 — ±2л- <7 = ± 6'10~7 Кл.
11.23. <?. = - «cos30° ; <?0 = «/Vi. U-24. F = -- + <Z2,
0 3 0 4тге 2a2 * 2
F — 3,9 мкКл. 11.25. а) На расстоянии 2,69 см от заряда 240"7 Кл;
б) на расстоянии 15,7 см от заряда 2 *10”7 Кл.
11.26. Е^ —
4тге0
F = 8,2 Н. 11.28.
q.l - 1 2<72cos30
-Ц ; Е~ 1,2407 В/м. 11.27. Г= ---------- ------т—
г3 4тге0 л2
F = 2,1 -КГ5 Н. 11.29. Г =
ШОА
Fmax= 4>740'7 н-П-30- «3 =-----------------LJ—
llldA ---- д
(V<?i + x/?2)
11.31. Ft = eos
F2
2?
; Fl = 2‘> мН. 11.32. E1 - dpq/(6eoE); E^ = 31 кВ/м.
11.33. F=«2/(2e0S); F= 1Д-10 4 H.
e m (g+a)
11.34.0 = —---------
q
O= 3,4-ю-4 Кл/м2.11.35. F= qT/(2lteor).; /’=86 mH. 11.36.F = «0/(26);
F= 2.9-10-2 H. 11.37. F. WOVli™. 11.38. r = У --; r= 3,8см.
" 4те0 2pg
TqR Jr2^-R2
11.39. F= ------------ ; F=0,12H. 1140. F=«T//(2we r2) = 0,194 H,
2v3
11.41. E= T/(2irenr). 11.42. F= -J— --------------— =l,6*10-4H.
4тге r
о
T_ . ^qTL
11.43. E = ---5- . 11.44. F= —i— ------ ° - = 0,015 H.
4eo* 4яео Rj4R2 -12
1
11.45. F =---------------—- = 0,02 H. 11.46. E = Tj(4eR ).
4ire0 /(/0+/) 00
11.47. E= O/(4₽0); E= 1,9 кВ/м. 11.48. n= 3 \/3/4 = 1,3.
1149. £ =
11.50. E=
170
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
RT
12.1. а) <Р0= 1«2е0); «,= 340 В; б) «= —--—- ; «= 270 В.
2е Уй2 + й2
124. а) «о=ай/(2ео); «О = 56В; б) «=
— (Уя2 +й2 - й); «= 27В.
2ео
К2 +/2 + j
12.3. «= ая/е . 124. «= —— In | —2—?---------2- I .
р 47гел —
О jr2+l2-l
v О 1 1
12Л. п = 2тге «d/е; п = 1.04409. 12.6. «А - «в = —
° А в 4тге0
«Л-«В=6^В. 12.7. «„ = —1_ -21; «0 = 675 кВ. 124.
О г г
«, = 0,09 В. 12.9. Д« = —— In — ; Д« = 26 В.
In 4/3;
«в = -0,06 В;
12.10. Д« = --- ( —-------------—); Д« = 25 кВ. 12.11. Е = -а .
4тгел г. г
0 12
12.12. Е=-а(И +хк); £= я >/ж2 + х2 .
1
12.13. Е =
xi + /j + zk
(ХГ+/+,2)ЗД
12.14. E=-2e(xi
+ yj)+2ftzk; Е=2 Уо2 (х2+_и2)+*2z2 ,
12.15. Е= ------
4те0
12.16.
TRxi
Е =
Е =
12.17. Е = 2yi +(2 х +3z)j + 3>k; E = J13y2 + (2x + 3z)2.
12.18. E= 2exyi + a(y2 -x2)j; Я = a(x2+y2). 12.19. p = -66 a.
12.20. p=6eax. 1241. a) E = 0;
p R3t pcrS-r3,)
6) E = — (r---------1 ); E= 3,8B/m;b)£’=-------2-_ _1_.; f = 30В/м.
3e0 r2 Зеогз
p R2, P (Я2 -
12.22. a) E = 0; б) E = --- ( r - —1 ); в) E = — -------2----L .
2e0 r 2e0
12.23. £» era/(4e ), если 0< r < R; E=>aR*l(.4e г2),есш r>R.
। i*ii .4. alii
p„r 3r
12.24. q = 4 nenaR . 12.25. E = —- ( 1 - — ) при r<R-,
° 360 4R
E =РоЯ3/(12еог2) при r> R. 1246. |X| = — irprQ(R2 - r2).
3 Co
13. Зак. 5886
171
р г р
12.27* Я» —(1- -------------- ) при г < R\ Е — —------ , если г > R,
2ert 2R2 4елг
о о
12.28. Е= — а. 12.29. Е= — а. 12.30. Е= — а.
Зео 2ео Зео
pR2 г2 ЯХЯ- 1 1
12.31. Я> = (1-------). 12.32. Л = —1-? (----------------); 4 = 38 Дж.
2е R2 4тге гл г,
О 0 2 1
12.33. О = le^AUql) ; 0 = 4,6 мкКл/м2.12.34. Ft = 73//(2ireo&); F = 8,1 Н;
Т2/ b qoR2 i !
А = ------ In — ; А 1 == 112 мДж. 12.35. А —-----(-------------- ).
2тгео а eQ R + b R+a
RsjR2+a2 t—------------
12.36. q = 4TC -------5--- ( A.jR2 +a2-AR);
Rx/fl2 +e2 r~.---—
= 4Weo -----(A^R +в -A'R )-
12.37. A — ---- in — A = 17 мкДж. 12.38. Да; — ax2/2 + const .
2 % a
12.39. Да. 1240.^(r) = -pr2/(6e0)+const; Д^=/>й2/(6ео); Д^=9,4В.
12*41. Да. 12.43. Нет. 12.44. Циркуляция равна нулю.
‘R.O(R-R.) (К2+Д2
12.45. а) Д^»= —1---?---— ; Д^ - 9,4 В; б) </», =-i---2
' D
О 2
о 1
= 61,2 В. 12.46.
2
(Я. +1Я,1)<1
—1------?— ; Д Я>= 680 кВ.
2e0S
и
1247. Е =---------------S-; £ = 44 кВ/м.
(1/R. - 1/£,)г2
Л X
eU
12.48. F = ----------
Hn (RJR.)
F=s 4,8'10“15 Н. 12.49. £= рх/Снесли -а<х< а;
Е=ра/е ,если!х|> д. 12.50. Е=— г,если r<R\
° 3е0
pR3 г
Е=—г -------,еслиг>1?.
б0г2 г
ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
В ДИЭЛЕКТРИКАХ
13J, F - —L- ; F= 1,4‘10-4 Н. 133. а) а, = -<j/(2tr/2);
4яе0 4/2 lit
0, = -3,4 мкКл/м2; а — -qlj(2irZ2); О = -13 мкКл/м2; в) Q = -q.
X X X X X
172
13.4. </>=
4яе0
<?
4яе0
<7
(Г2 +Я2)1/2 ’
л/гб - 2 yjs~
5?
у = 230 В. 133. - I211 (4яеог ).
13.7. V=_S_(2._2l+_L 1 q
4яе0 R1 R2 Лз)> *2- -
О 3
Если внешний шар
заземлить, то его потенциал будет равен нулю, а потенциал внутреннего шара
V» = —— ( — - — ) . 133. <р= —— — .
4яе0 R2 4тге0 г
13.9. a) Ol= а4 = -2- ; а, = а4 = 19 нКл/м2; а2 = -аз = q-qj (2S);
О2 = - аз = 9,7 нКл/м2; б) U= 1,65 В.
13.10. — 2 (а - Zsina) v 4леоwgtga; ^-20нКл.
13.11. a) Е = -1— — : £ = 4,1-Ю6 В/м; б) £'= — JL ;
4яео г3 4яе0 г3
Е = 2-106 В/м. 13.12. F= —1— -2L. ; F= 5.310"14 Н.
4яе г4
13.13. F — -2— —£ ; F = 6.6-10"24 Н .
4яео г
1 Px/l + 3cos2a
13.14. £ =------ ----------т— ; 0,72В/м;
4яел г
о
л 1 pcostl 1 2р
9? = ----- 2L- ; о,79 мкВ. 13.15. № =------------- ; Д</>= 23 В.
4тгел г 4пе г2
о о
13.16. А =2рЕ, А =90 мкДж. 13.17.4= ; А = 1,Ь1О”20 Дж.
4тге0 г3
13.18. А = —---------; А = 1,1'10"18 Дж. 13.19. F= -2- 2? ; м = 0.
4яе0 г 4тге г4
13.20. Потенциалы электрического поля по обеим сторонам от пластины постоянны и
не зависят от расстояния до этой пластины. Однако величина этих потенциалов различ-
на, разность потенциалов Д^= Np/e. 13.21. а) /3 = , где К - объем моля
° na 0
газа при нормальных условиях; (3= 2,75*10’30 м3; б) Р= eflS \ /> = 2,43-10"37Кл-м,
173
л
13.22. Д=---------? , 0 = 2-10-29 м3. 13.23. Х = -, К = 0,53. '
N. ЗекМТ
А 0
(е- 1)е„£
13.24. -Х= 0,079.13.25.Р =------"-° , Р= 5,9 мкКл/м2.
6
13.26. Р = —— D. 13.28. е = 2. 13.29. а) Е, = Еп ,Е = £„ ——
е 1 0 е+1 2 0 е+1
= °2 = Vo -^7 ; б> £1 = £0’ Е2 = Т ! =О3 = Vo'
СТ 1 t
13.30. а) £• = Е2 = Ео-, Dy = е^; D2 = ее^ ; б) Е = Е^Е* -2_ ;
°i = Vo : ° 2 = SD .13.31. Е = ---------------------- ; Е = 10 кВ/м;
° е+1 2 1 1 dj+eld-dp 1
еи
Е2 = ————— ; Е = 60 кВ/м; а = ( е - 1) е Е ;
2 dj+e(d-d ) 2 ________ 0 1
а = 4,4-Ю”7 Кл/м2. 13.32. а) Е2 = Еу >/jn2«1 + -^3 ; Е2 = 5,9 кВ/м;
о f ^cosa, . .
б) а2 = arctg (etgap; а2 = 76,6 ; в) а = ( е -l)eQ —- ; а= 60 нКл/м2.
13.33. о = (е-1) х/—— ; о == 3 мкКл/м2.13.34. а) О» —5------
,€$ d
О— 14 мкКл/м2; t
ad
б) о » (е- 1) еп —; ТД мкКл/м2,
0 d
13.35. ---------
е0(б-!)
100В. 13.36.а) е» U2IUti ея«4;
, ^4 ц , 2 fi (6-i)e
б) а « (— - 1) е ------ ; а « 5,3 кмКл/м2.13.37. о, =------------~—
Ux Q d 1 4яе0 ея2
, о/l (6-1) 6Л £ .
а = -1,1 мкКл/м2; 01 = ----- --------= 0,17 мкКл/м2,
4те0 ек2 2
13.38. <р= -А- I - ( — - — ) + ( - - — ) J ; ^=8 3,4 кВ;
4яе0 е /г, r2 r2 r3
d. = ——(---------!);</ = -5мкКл/м2;
1 4jt/?2 e 1
o’= 1,2 мкКл/м2 13.39. a) d =-----—i-
2 e+1
> e— 1 i о
6) q =---------q. 1340. a) O, = —~
e+1 1 2я/2
ff2
q
4ЛЯ2
2
q[
2Я»3
при I -► 0 величина a'-> 0;
6-1 t ql e- 1
---- ; Q -г .
e+1 2 2яг3 e+1
6) q'= 4 • 1M1’ ff«naxe (e" 1)e0£; amax= З*540”
CT ’ X
174
< а> - (e-l)e—, < о> =1,75-10~*Кл/м2. 1342. £' = A-J-R.
2 3
1343. £ =
ч . C=W/W
ео(ei Л + ~ 1п <л2/д1 >
v * *• л X X Д
13.44. £3------------ , где г — расстояние от центра шара;
е</еЛ + e2$Vr
(е.П + е 11) е R R еде - е, )S
С = ———2-2—2_1_2 , 1345. а) С = -2-2—1— ;
K2-*j dtate^ep
, (e.-e.R е -е,
б) Р ,где е=е + ----- х.
rSd 1 d
13.46.
4Я€0Л
ln(R2/R.)’
X д
Я
4паг2
2лбЛ al
1347. а) С= ---------— ; б) р =---------«— .
R - R 2irlar
X д
1348. а) Е =
1349. <Р, = -
Рг
Зеое
Рх*
2е0е
pR3 , р(£ -1) , е-1
К =-------- ; б) р =----------; а = pR
2 Зе г2 е
ре2
2еое
pe(lxl-e).
ео
Ра х 11
Е. =---- — .1330. а) Р« (1 - - ) рх ; б) а'= (1 - - )ра ;
е0 | х| е е
в) Р в _ (1----) а •
е
ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
/ 4cd
14.1 . D = V------- ; D = 3 см. 14J. U<9 кВ. 14.3. Да.
(weoe)
2iteel
14.4. С « ------2--- ;
ta(R2Rx)
= Ю 4 МКФ* 20 до 900 пФ при параллельном
соединении и от 5 пФ до 225 пФ при последовательном соединении. 14.6. С » C^eS/d.
14.7. С= 4ireeR . 14.8. 4ттелёЯtRJ(R„ - R J.
О О 1 2 2 1
2?reneZ о
143. С= -------------- . 14.Ю. С=7.1К еа. 14.11. и>=—=— ; и».= 18Дж/м3.
1п(Я2/Д,) 0 8е
2 1 О
175
14.12. w = ------- , w= 0,63 Дж/м3. 14.13. a) U= 2,8 В; б) £= 540 В/м;
8тге г2
О
з и
в) w = 1,3 мкДж/м3. 14.14. а) Е =------- ; Е, - 2 кВ/м;
1 (e-l)d+d 1
eU
Ег = ~ 5 Ег~ 4 кВ/м; б) Ui ~ 100 в; и2 ~ 200 в; в) *i = 3<5мДж/м3;
з 1 О**4
w = 7,1 мДж/м3.14.15. w = - --------- ; н>= 0,4 Дж/м3.
2 е0(Л+/)4
14.16. a) U — --------- ; U= 28 В.; б) Е — 2 кВ/м; в) w = 18 мкДж/м3.
/(/+/0/2)
14.17. a) w увеличивается в 6 раз; б) w уменьшится в е раз.
1 Q2 1 2 1 1
14.18. w = —---- -----j- . 14.19. А = - (ITS (-----------); А = 3,8 мДж;
4яе 8 яг4 2 ° dt d3
wi = ~ ео ( ~ j2 , w = 1,6 Дж/м3; w = - е ( — )2, w = 0,4 Дж/м3.
‘31
14.20. <J —----eaE't а> ~ 5,6 нКл/м2; iv = ——; w= 1,6 мкДж/м3,
е ° 2е
<72 (х - х ) 1 ! х
14.21. а) Л = -—?-— ; 6)4= - enSU2 (-----------). 14.22. а) 4=1,5 мДж;
2е$ 2 ° х х,
О 12
С С и2 4СС,
б) А = 0,8 мДж. 14.23. А= —~-- (1 - ----L^-x); А = 4,7 мДж.
2(C,+Q (СрСр2
e.estf2(e-l) __
14.24. 4 = —?-------- ; 4 = 0,18 мДж. 14.25. U= -J'ld^e~eS j , U= 22кВ.
C,U
14.26. С = СAU- U.)/U,; С = 233 пФ; Й>= —1— ( U -U.), W= 3^-10-7Дж.
* * * * х 2 1
14.27. q = (R+R.) у/ЯкЛ/Е ; q = 2,7 мкКл. 14.28. a) R = ее^о;
1 • U 2 2 О
R == 6,9 мм; б) q - 6,9 нКл; в) С= 1,5 пФ; г) W = 15,5 мкДж.
1 q2
14.29. А = ------ ------ ; А = 0,9 нДж,
4тге0 ЮК
(q С -q С )2
14.30. - ----—2-----—-— < 0, Потерь энергии не происходит, если
в q„C . 14.34. Не изменится; WJW^ = 1/5.
12 2 1 12
2
14.35. W. =
1_____ Я2 w 1
-- — — • Цг эВ ------
4тге0 ЮК * 2 4яе0 2К
176
ч2
14.36. W
8ireoe Rt
q2in{R /R )
* д
— ); 27 мДж.
R2
14.37.
. 14.3», =
0
2 2
2 2Z 0 1 2
14.39. a)
2тге е, е„1
0 12
е.taia/R ) +е In (Л /в)
X L л £
б) =я ---------
4?гео
а
In—
R
2
W2
In
2
47ГвО е21
a
W = -
14.40. a) C
6) W = -
Q2
14.41
W
14.42
14.44
14.46
2<е2
a
a
2
Ч*
ч2
2яе 6, el
0 12
4те0
R
a
2
a
2
4яе0 е,
R
a
W2= -
<?2
4яе0 е2
a
,2
R2
4яе
о
W = 1
W
R
a
2
a R2
eURRAr-r )
1 Л 1
Г1Г2(К2-/?1)
2 ' 1
; W= 1,1-10““
эВ; W = 93 эВ; U< -3 В. 14.43. AV= 3,240s Дж.
Л!
^.2Л2
4яе0
4e
. 1445. № --------
4ire0
<Z(Pt)
"3
2
-9 нДж;
F- 1,35 мкН. 14.47. W= (V2+4)
3q2
14.48. W= ---------
. 14.49
W
«2
4яеол
1430. K =
w=------
4ire0
4тгеоя
4ле0
Ч2
2R
2R\
q2
11
2R2
W2
4ire0
££«2)
R2
4яео
fl'2
42 .
2
вз
1 *1*2 .
4яе0 R2
177
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ток
abR
15.1. /= ------- ; / = 3,75 м; U ~ jabR; =0,3 5.
л ШсХЛ ШИЛ
153. Чп» = 1O°0B. 15.3. rm =
шал ILL
r =s 25 Ом.
пт
//(w)-l’
15.4. Последовательно присоединить дополнительное сопротивление 105 Ом.
15 Л.Параллельно присоединить шунт сопротивлением 0,5 Ом. 15Л. t » 23 °C.
15.7. t = 2200 °C. 15.8. R = 14,4 Ом; а= 4.510"3 1/ °C.
(UO-U)U
15.9. R= ----•-----; R = 300 Ом; /=19м.
15.10. 17= UQRx/[ Rl + RQ(.l-x~)x/l]; при R»RQ U- U^x/l.
I.R-LR. I,I.AR~R,)
15.11. r = —— ; r = 1,4 0м; E = -L?—?----------L ; E = 3,4 в.
I. -I. I. -I.
15.12. a) 1= 0,11 A; 6) U. = 0,99 В; в) U = 0,11 В; r) 17= 0,9.
* X
I и +1 и и - и
15.13. E = l——l -2 ; £'=4,1 В; г = 2 ; r= 0,05 Ом.
15.14. P "33Вт; 17= 50%. 15.15. Я = г; Я = 20Ом; P = 1,25 Вт.
шал max
U,U
15.16. R = 3r. 15.17. Е=--2-4. ; Е = 12 В. 15Л8./= 5,4 А.
U3-Ui
Е U(Vn - U)
15.19. 1 = ( е-1) е. — Vb . 15.20. Р = --5-----; Р = 1,68 кВт.
0 d г
(U.-U)US
15.21. п = --2------- ; и = 23. 15.22. Z, = 0,73А; / =/, = 0,365 А.
PiP 3 12
1533. S-
МВт
. 1535.1= CU] (eQep);
I— 1,5 мкА. 15.26. R =р(Ь -в)/(4Яв6); при Ь->- 00 R = p/(4lta).
1$Л7. R = ~ 1п(£/а). 1538. Я = -f. In —Я, = 1Д-10*2 Ом.
2ri 2Ш d 1
178
us (о -a) , t ,
15.29. I = ----2---4— ; I = 5 нА. 15.30. B= 3Zc/(27rZC); Я = Зс//(2яЯ3).
din (OJo} 1
A
15.31. P = Ilm/e ; P = 0,4 mkH*c. 15.32. i = eDN^Slj (IM); t— 3M c. FN^lepl/M;
F ~ 1,0 MH. 15.33. F= epi 1S\ F= 2,440“21 H. 15.34. E - pj /S ;
4p (i+a )i *
E, = 1,740 3 В/м; B, = ; E = 35 В/м. 15.35.p= U/Jl);
1 2 *d2 2
p= 1,040“* Om-m. 15.36. w= U2/(.pl2}; w= 440s Bt/m3.
pd St/2
15.37. P, =-------—---------
P =
2 ^dt + W2
4ttr tr„ U2
15.38. P =-----------;
P = 0,25 мВт. 15.39. P, - U2RJ(R + R.)2;
Л £ A Jfr
Я = U2RJ(R+RJ2,rae
X Лл * 4*
2 it I
----. 15.40.
2irl
R
2
2
2
15.41. R =
2>2
, ______L_2
1 4trr.
; R = 3,440м . 1542
R =p ---------2L_3
2 2 4ЯГ
2
= 2409 c-1-cm“3.
2
i
n
15.43. I = 840“** A. 15.44. n = 1,440*’ м“3.15Л5.а) j= 2,4-10" 7 А/м2;
нас
6) Z^/Z = 0,0001. 15 46. U= 1,4640“* В. 15.47. Z„ = 9,92 10“8 A.
15 .48. j = 4.840"12 А/м2. 15.49. n = 3,440м м“3. 15.50. и= 2,3404 м“3.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
„ = 0,16 мТл, 16.3. и = 2$ Мм/с.
max
16.1.5 = pnQV/(4ltrn). 16.2.5
max /у о'
16.4. 5 = 6,4 мТл. 16.5.5 == 12,4 Тл. 16.6.5 = - .16.7.5 ~ 20 мкТл.
2 2
16.8. 5 = д оа>/[(2я(5, + Я )] . 16.9. 5 = и сот/(27Г). 16.10.5 - - и О>о5. -
0 12 О о V
16.11. В = 40 мкТл. 16.12. В = 63 мкТл. 16.13. Z= 5,0 А. 16.14.В =6,28 мкТл.
16.15. В = 22,6 мкТл. 16.16. В = 0,10 мТл. 16.17. В = 0,35 мТл. 16.18. Г]= 1,14 раз.
16.19. В =jU0Z//(27rr0Vz2 + 4r2). 16.20. В = 2pQI ЦЗт}. 16.21 .В = pQI Ц4Ш ).
16.22. В = 80 мкТл. 16.23.5 = 357 мкТл. 16.24. 5 = 241 мкТл; 5 = 41,4 мкТл.
16.25. 5 = До^/( 4ТТЛ ). 16.26. 5 = 56 мкТл. 16.27. 5 = 346 мкТл; 5 = 116 мкТл,
16.28.5 = 0,12 мТл. 16.29. 5 = 4,43 мТл. 16.30. /min= 1,0 м. 16.31.5 = 28,6 мкТл.
16.32. а) В = 0; 6)5 = -80 мкТл. 16.33.5 = 87 мкТл. 16.34.5 =51 мкТл.
16.35. х= 2/За от первого провода. 16.36. х= а от второго провода.
16.37. 5 = 40 мкТл. 16.38.5 =50мкТл. 16.39.5 = л^/tg (Я/и)/(2л5 ).
16.40. 5 = 7,0 мкТл, 16.41.5 = Л/ l{ltR2I ). 16.42.5= 16 мН. 16.43.5= 3,2 мН.
9 шах
179
16.44. F= 64 мкН/м. 16.45. Ф В dl == 6,3 мкТл-м. 16.46. а) В = 0; в)В =30мкТл.
16.47. а) В = 50мкТл; б) В = 0.16.48. В = - До7. 16.49. £max=M0^v/ [2л (Яг)];
Bmin= [2я(Л +r)] . 16.50.4 = 126 мкДж.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
17.1. В = 22,1 нТл. 17.2. 7= 12,1 А/м. 17.3. J = 1,66 мА-м2/кг. 17.4. 7=0,17 А/м.
17.5. ХуД= 1.68-10"8 м3/кг. 17.6. J = 91,0 мА-м2/кат. 17.7. 7 = -9,8 А/м.
17.8. 7)= 0,0023%. 17.9. Р^ = 3,110-^3 А-м2. 17.10. 7нас = 556 кА/м.
17.11. Ы, = 8,8-1010 рад/с. 17.12. Х > 0; Y к >Х- 17.13. Х> 0; ХКИПК<Х-
Xv АИДК Ж-ИД IS.
17.14. Понизится на 25 К. 17.15. в'—В у/Д2 sin2e + cos2a. 17.16. В= 2Вд/ (1+д).
17.17. F = 1,15 мкН. 17.18. F ~ 0,5 \SB 2/Д0 . 17 19. = 40 Н/м3.17.20. г^= 662х
17.21. Дтах • 9800 при Я = 65 А/м. 1732. 7 = 1,25 МА/м; Х= 735.17.23. 7=1,23МАм;
Х= 880. 17.24. 7 = 1,19 МА/м; Х = 1320. 1735. 7= 1,11 МА/м; Х= 2220.
17.26. Д = 7960; 7 = 796 кА/м. 17.27. Д = 9660; 7 = 676 кА/м. 17.28. ??= 1,5раза.
17.29. Д = 940.17.30. 7 = 1,22 МА/м; Д = 1220. 17.31. п =2,36 (магнетонов Бора).
17.32. 7нас= 3,13 МА/м. 17.33. Я£ = 1 кА/м. 17.34. Нс = 12 кА/м.
17.35. 7 = 0,50 кА. 17.36. 7=1 МА/м; Х= 625. 17.37. Д = 186.18.38.Д= 7960.
17.39. Ф = 0,4 мВб. 17.40. Д= 8000.17.41.Д= 3250.17.42.В = 1,56 Тл; Д = 780.
17.43. I = 125 мА. 17.44.7= 0,78 А. 17.45. I = 785 мА. 17.46. д = 2230.
17.47. Ф=0,52мВб. 17.48.Д * 2лЕВ/(до IN- ЪВ). ПА9.Н *ЬВ/(и1TD ).
17.50. Я= 800 витков.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
18.1. Е. = Ba 2wsinw<cos а. 18.2. £max =90мВ.18.3. 17= 0,5 Вы2/2.
18.4. п = 6,4 об/с. 18.5. Ei = 165 мВ. 18.6. а) £7= 0,5 В.2(^тЦ ; б) Я~0,5Я2Вы.
18.7.^. = 80 мВ. 18.8. 7f= 0Лдо/о7/(ЯВг ). 18.9. Ef - (до/4л)27«2О/[г (х+а )] .
18.10. 0= 100м/с. 18.11. I =Bvl/[R+RiR2HRl + Я )]. 18.12. £ = 0.
18.13. Е. = 47 В. 18.14. q = 150 мкКл. 18.15. В = 25 мТл. 18.16.В = 0,75 Тл.
18.17. q = 3,14 мкКл. 18.18. С = 1,7 кДж. 18.19. 70 = 2яЯ<7/{до<г 1л [(Ь+в )/в ]}.
д I
1830. q = ——e In [ (в + Ь)/а ]. 18.21. < Е > = 1,0 мВ. 1832. a) L =0,71мГн;
21TR
б) Ф = 3,6 мкВб. 1833. L = 6,0 мГн. 1834. L = 1,6 мГн. 1835. Д = 1400.
1836. Т= 4 мс. 18.27. 7= 10 мс. 18.28. 1J = 1,5 раза. 18.29. q = ЯД О dl^/(16р ).
18.30. 7=1,5 с. 18.31. 10 мДж. 18.32. W= 12SI. 18.33. 7= 1,26 А.
18.34. w = 160 Дж/м3.18.35. Е= 150МВ/м. 18.36. ж = 53 мДж/м3;*2= 31мДж/м3.
18.37. Л7 , = 8,0 мГн. 18.38. Ь ( 1 + - ). 18.39. И', = Д.Х2Л 2/(8я).
12 12 2Я '
18.40. и» /и> = 1,1-10~15. 18.41. F= 1,6 Н. 1842. dB _ / dt = 40 Тл/с.
ivi w ср
18.43. и = 0,998 с. 18.44. N= 5-Ю6 оборотов. 18.45. 1^= 0,10 кэВ.
180
18.46. a) f = 0,5 г при г < R ; б)
см dti
18.47. а) /_ = 3^v/4irr3; /' =-«v/4irr3.
vivi vm
= 0,5 -- — vpnr>R.
см dt2 г
-------------- , где I - рас-
> д_ 1 t X \-U
18.48. Н = ----(Ocoscoz - e esinut). 18.49. 7
o j 0 CM
Z '’0
стояние между пластинами в начальный момент времени. 1850. В~ —
4тг
э
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
19.1. Т = 1,0 мкс. 19.2. L = 3,2 мГн. 19.3. С = 4,0 пФ. 19 A. L = 13 мГн.
19.5. I = 40 мА. 19.6. U = 320 В. 19.7. Го = 0,63 мкс. 19.8. VQ=5,1 кГц.
19.9. V = 0,16 кГц. 19.10. Zmay = 0,45 А. 19.11. А = (rf -1)»'. 19.12. т= 31$ мкс.
19.13. Х= 0,14.19.14.7= 0,50 с. 19.15. tf= 16.19.16.1 = 1 мс. 19.17. а) СО =
= 7w2o - 201 ; б) СО= С^/Усо2-2/32,где со2 = 1/(£С),0= Я/(2£ ).
19.18. Q = х/л2 - 1/4 • 19.19. со = З-Ю4 с“‘. 19.20. а) со = \/со<о ;
UvJ 1 А
/ СО СО (л2 —1) 1
б) Q = V ——----------—------. 19.21. Т = 6,8 мес. 19.22. R = 12,5 Ом.
(со—со)2 4
4 А
19.23. 7 = 0,15 с. 19.24. р = 0,70 мВт. 19.25. р= 0,36 мВт. 19.26. р= 16 мВт.
19.27. С > 7,1. 19.28. I = 2,5 А; 17с= 430 В; 1^=590 В; 17^=150 В.
19.29. I = 66 мГн. 19.30. tg</> = [ соС (Я2 + со2!2 ) - со£] /Я . 19.31. е = 6,0.
19.32. С = 51 пФ. 19.33. Х = 1900 м. 19.34. L = 0,35 мкГн. 19.35. Х= 4,0 м.
19.36. Т = 0,80 мкс. 19.37. Х = 1900 м. 19.38. = 30,1= 75 км.
19.39. Хи V уменьшаются в и раз; V не изменяется. 19.40. 2,2.
19.41. ДХ= -1,8 м. 19.42. Х= 1,0м. 1943. П= 0^kenc2E^av/со .
19.44. П= ОЛе^К^ах • I’-45- ф= /2r- 1946. Ф = IU.
19,47. —Мтах = 1/8 со2Я2 = 1140”15 . 1948. <>И7дг==Ф.
. оо
э
max
19.49. <Р> = 5.040"15 Вт. 19.50. <Р>= (8/3)ffr2S0.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
</(и-1)
20.2. Дт = ------- = • 205. xt = 1,8 мм; х = 3,6 мм; х = 5,4 мм.
.X 12
20.6. 1)L IL, =3/5; 2)LJL = 15/7. 20.7. Х= 500нм. 20.8. L = <1Дх/Х=91см.
2 1 2 1
20.9. N = 1,3. 20.10. 6mov * Xi/(4d) = Дх/4. 20.11. X= 500нм.
ТИНА
181
20.12. X = 2<?Дх = 640нм. 20.13. a) a- ~^—LL = 93'; 6) jV= 5.
2rkx
2ав{ n -1) Дх a + b
20.14. X = -------------= 640 нм, 20.15.x = m\ ---------- .
a+b 2a(n-l)0
2lh
20.16. а) Дх = 0,25 мм; 6) ^min= 0,25 мм. 20.17. ЛГ=---- + 1 = 4.
L\
20.18. Д</>= 3°. 20.19. к = 5; к +1 = 6; Х=500нм. 20.20. а) Я = 9,1 м;
б) Ф= +0,055 дпгр; в) г3 = 3,7 мм. 20.21. I = 0,15 мм. 20.22. h = 1,2 мкм.
20.23. Х = 590 нм. 20.24. Я = 20 м. 20.25. / = г2 - 2Rbh = 1,5 мм.
1 R
20.26. R = 3,6 м. 20.27. Дг * - X — . 20.28. г = 2 мм; г = 3 мм.
4 г 4 9
(d2 - d2)
20.29. Х= ---------— =500нм. 20.30. R = 1,6 м. 20.31. AZ = 0,32 мм.
4Л(к2-к1)
20.32. Х= 675 нм. 20.33. Х= 4,8«Ю-4 мм.
Х(1 + 2к)
20.34. d = -----— = 0,14 (1 + 2к ) мкм, где к = 0,1,2 ...
4 \/п2 - sin2a
X (771+1/2) \(W+1)
20.35. a) d = ------------ , где w = 0,1,2, ...; б) d = —---------, где
2п 2п
т — 0,1,2... 20.36. 0 = 25 ". 20.37. 0 = Х/(2лДх) = 3'.
20.38. 0 = ------ — « 12'7 20.39.7V= 5 см'1. 20.40.0 = 8,46."
. /2 -2
2Дху п . - sm а
20.41. dmjn = 0,65 мкм. 20Д2. Усилена волна с Х = 656 нм, ослаблена волна с Х =
Х(1 + 2к )
= 410 нм. 20.43. п = 1,23; ^mjn = 0,112 мкм. 20.44. d =-----------, где
к - 0,1, 2... 20.45. dmin = \(/(4л) = 0,11 мкм. 20.46. </min = 1,11«10-5 см.
20.47. d . = 1,19-Ю-4 мм. 2048. А = 1 + Dl /(Fd) = 5. 20.49. п = п + ЛХ/Z =
- 1,00039. 20.50. Д = с / ДР= 30 м.
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
21.1. а) b = 22,7 м; б) b = 9 м. 21Д. = 0,21 см. 21.3. г = 4,5 мм.
8Ь*Х , ДЬ
21.4. Д6 = ——---- = 18 см. 21.5. Х= г2 ------- = 620нм.
d^-SbjX b(b + Lb)
21.6. г = 0,71 мм; г = 1 мм; г = 1,2 мм; г. = 1,4 мм; г =1,6 мм.
<1 лв J *т О
21.7. г = V аЬгпЩ(а+Ь ) = 3 мм, 21.8. а) I « 47 ; б) I *21Л; 7, «7 .
д JL (j х V <9 V
182
Э °о , 2 2х Z
2 (Г - Г ) (а +Ь)
21-9- 'о = J I(r)dr • 21Л0- х= - - - ------------------ =600 нм.
0 bNX о 2аЬ
21.11. = 0,5 мм; г2 = 0,71 мм; г3 = 0,87 мм. 21.12. b = ar1 j (кХа - г2)= 2 м.
21.13. г - 1 мм. 21.14. N= 3. 21.15. Дх= 6,5 мм. 21.16. ф = 33°; Vj'= 27°.
21.17. ф, - 4°44'; Ф, = 8°Ю'; Ф3 = 11°32'.21.18. Х = 471 нм.21.19.т= 3.
21.20. Х= 423 нм; п= 500 мм-1.21.21. Ф, =5°44'; ф' = 17°28'; ф,= 30°.
о
Четные максимумы наблюдаться не будет. 21.22. д<р= 25,54 .21.23. /== 1,25 мм.
21.24. Дх = FX/Z = 3,3 мкм. 21.25.d- 0,0028 мм.2136.Х= 648,1 нм.
21.27. 0(япф- sina) = тХ.где т- 0, ± 1, ±2 ... 21.28.Ф2 = 8,64°,
21.29. п = 600 мм” . 21.30. п = 2 (четвертый и восьмой). 21.32. R = 7700.
21.33. = X/( тдХ) = 138 . 21.34. дХ = 0,036 нм. 21.35. втф= Х2/(1дХ);
Ф = 1,62 . 21.36. D = — ......... = 2,2 утл. мин/нм.
X >/ [// (/пЛ^Х)12-1
21.37. = R2 = 50000. 21.38.Zmin=Xd/(m дХ)=4,91 мм.
21.40. Zmjn= - Хр = 0,58 мм. 2141. а) т= 4; б) ДХтЫ= 7 пм.
21.42. 1) Дх = 733 мм; 2) a) Олт ~ 1 мм/нм; б) R = 10s. 2143. 8 ф= 1,38".
2144. rmin = 13. 21.45. Zmin>« 50 м. 2146. Zmin » 1м. 2147. а) Дифракция
Фраунгофера; б) aQ = 5 мм; в) flj 2 = 23 мм. 21.48. Дифракция Френеля.
21.49. X = 0,031 нм. 2130. а= 0,28 нм.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ СВЕТА.
ЭЛЕМЕНТЫ ОПТИКИ
п -1
22.2. р = ( ---- )2 = 4-Ю”2. 22.3. р = 5,06%; Р, = 83 %; Р, = 4,42%.
п +1 12
22.4.
р= 0,5 sin226° = 0,1. 223. Р = Р = 1; Р. =
1 v 2
2р(1 - р) 2tf
--------- = 0,17. 22.6. pN=-------- ;
1-2р(1-р) 7 2А + 5,76
Р
----= 0,087;
1-р
5,76
п 2А+5,76
N ПТ2 N~ \
22.7. Р=------+ V— + N- 1 = 0,89. 223.Р =-------------------------= 0,8.
2 4 1+7V(1 - 2cos2 Ф)
22.9. 0' - 0= 6°40'. 22.10. a) Z = 66°56'; б) л = 1,63.
( т + 1/4)Х
22.11. d = ------------== 0,605 мм, где т~ 0,1,2
п а - пл
е о
22.12. Xq = 335-Ю”7 м; Xg = 3,95-Ю”7 м. 22.13. Ф = 5°17'.
2 2
22.14. - п„ =В ХЕ2 = 1,340 7. 22.15. Д = 1.—$------° .
О е 2.2
п а + Пп
е о
22.16. Я = - — + —= -35°; /3 = - + - = +55°.
1 4 2 2 4 2
183
22.17. 1 = ZQcos2«jcos2 ( «j - ap = 66 Bt/m2. 22.18.0= 45°. 22.19.Af= 12 раз.
22.20.
-т-----j- * 60. 22.21. C = 400 кг/м3. 2222. C„ = 210 кг/м3.
7 cos 2
—3 A
22.23. d = 5,0640 m, 22.24. I = - / .где Z_ - интенсивность света, падающего
2 и и
на ячейку. 22.25. В = pl (р^1 ) = 0,1286 Тл. 22.26. а) 0,49 %; б) 8,33 %.
2227. а) 83,4 лм/м2; б) 83,5 лм/м2.22.28. 1= I (1 - р)2
e 1 - e 2
0Ц ~Xj) e
22.29. X = 1,0 м"1.22.30. а = 0,1 м. 22.31. FB / FB = 2,6 10"‘° .
О Я2
max max
22.32. 8=1- «0₽У(%то2); v = C\/l + [wQe2/(4л2е<>тс2) ]Х2.
22.33. и = v - X — ( X - длина волны в среде). 22.34. V - с/п = 1,83Ч08 м/с;
dX
X dn ч с я о
а = (1+ — —) - = 1,740® м/с. 22.35. 8 = 1+4/O2,
п ал. п
22.36. и = с(а - h/X2)/(e + Z>/X2)2. 22.37. ~: 0,655; 0,649; 0,628;
• с
V и
— : 0,662; 0,660; 0,653; — : 0,989; 0,983; 0,962. 22.38.а) u=V/(l-q)-
с V
_ о ' , 1 - 0COS^
б) м= (1-р)и. 22.40. u = csinT’ 22.41.0 = о---------, где
l+0cos^
V - угол между осью х и направлением на предмет в системе К.
ДР у2
22.42. — =----------
V 2<Г
gRh
с2 (Л+А)
«-2.34О-10.
22.43. а) со = coq/ 71 - (З2 = 5.О-1О10 рад/с; б) со = coQ V1 - /З2 = 1.84010 рад/с
(0 = V/c). 22.44. V = 2,12-Ю8 м/с. 22.45. AXj = 21 А; дХ^ = 0,046 А,
22.46. CZ= 3,6 кВ. 2247. V = 440s м/с, 22.48. И'*'. = (л/7»5 1-1)тс2;
= 0,26 ГэВ; И'*' = 0,14 МэВ. 22.49. 9 = 30°. 2230. п = 1,6.
SW* alp
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.
КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
23.1. Т= 103 К. 23.2. Г= 103 К. 23.3. 0,46 Дж. 234. Р= 40 Вт.
233. и = 0,3. 23.6. Ф= Фщщ • 23.7. a) Xwj = 9,7mkm;6)X = 580нм.
23*8. Т* 1,64 ч, 23S. = 3,62 кК; = 7,24 кК. 23.10. Уменьшится в 2 раза*
23.11. W = 23,4Ю27 Дж. 23.12. Z= li37 кВт/м2. 24.13. 7М = 595 Вт/м2.
23.14. Т « 6403 К. 23.15. 1\т[Ы - 5409 кг/с; 7= 10.11 лег. 23.16. Т= 5.8403 К;
W — 3,94026 Дж.23.17. а) Х?я= 1 мкм; б) XWJ= 500нм; в) Xw« 300 пм.
184
23.18. Т2 — Ь TJ (ДХ-Т^ + b ) — 290 К (b - постоянная в законе смещения Вина).
ЙСО
к Т й _ - -----
23.19. a) W,. = -^-5 со2; б) Wa> = сЛ кТ
1ГС 1ГС
Р 4тг2с2йТ5дХ
23.20. — = ----------—------ = 3,1 кВт/м2, где b - постоянная в законе
S 2лйс
bs(e kb .j)
смещения Вина. 23.21. а) т — 3,2-10~36 кг; б) и»= 8,8-Ю”32 кг; в) т= 1,840-зокг.
23.22. a) V = 9,240s м/с; б) V = 1,4403 м/с. 23.23. Wt = 1,6 эВ; = 3,1 эВ.
23.24. Г= 9.8-103 К. 23.25. w = 2.1-10'32 кг. 23.26. а) р = 0,7 мкПа;
4(1+р)И'
б) р = 0,35 мкПа. 23.27. < р > =---5----- «5,07*105 Па.
7TJ сТ
23.28. Др = - х/1+р2 + 2pcos20 = 35 нН-c.
С
т 0 / ф
23.29. р= - (l + p)cos20= 0,6нН/см2. 23.30.sin - а» — gl ,6= 05°.
с 2 тс
(4-\)/Х
23.31. U= 1,75 В. 23.32. X = 204 нм. 23.33. А = 2тгсй —----------= 1,9 эВ.
3 Х,(4 -1)
*
23.34. A l(hV)=- 0,8. 23.35. А = 4 эВ. 23.36. а) А = 3,7 эВ; б) Х= 260 нм,
23.37. Ф „ = 4,4 В. 23.38. Ч>= 2,5 В. 23.39. w= 2lTctU/(eX) = 0,02.
max
23.40. = 6,4-10S м/с. 23.41.а) ДЖ/И'= Х./(Х + Х/.) = 0,35-Ю-5 ,ГДеХ -
max с с с*
комптоновская длина волны электрона; б) О= 1,5 км/с,
„ 2Е Q 2£ 2 0
23.42. FVK = --- sin2 - /(1+ ------х- sin2 —), 23.43. а) Х= 73,22 пм;
тс2 2 тс 2
hc&X
б) X— 75,6 пм. 23.44. ДХ= 2,42 пм; W =----------— 6,6 кэВ;
р = 4.4-10"23 Н-с. 23.45. W= 0,511 МэВ; р= 2,7-10~22 кг-м/с.
С-
23.46. WK= —-- = 0,2 МэВ. 23.47. И'к= —— ( 1 - cos0) = 1,07 кэВ;
1 + и тс
f 2
и = с s/2WKHm„c2) = 4,540s м/с. 23.49. Х= - ( 71 + —тг “ = 3»7
Р тс
/ 47ГЙ
х/--------1
тс дХ о
23.50. tg</> = ----------- ; = 31 .
1 + йсо/(тс2)
185
ФИЗИКА АТОМА. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
24.1. а) Х = 1,23 нм; б) X = 0,123 нм. 242. а) Х= 12,2 пм; б) Х= 0,87 им.
24.3. п = W2IWt = 2,78. 244. а) И'к= 0,082 эВ; б) WK= 382 МэВ. 243. Х = 1,28 пм;
1VK= 37,5 МэВ. 243. Wg = 151 эВ; W’ = 0,082 эВ. 24.7. \ = 39 пм; \ц= 0,64 пм, .
24.8. Х£) = 123 пм; == 2,86 пм; Хд = 0,186 пм. 24.9. а) Х^ = 730 пм; 6) =
= 6.6-10"29 м. 24.10.Х= 0.4740"34 м. 24.11. Диш = 6.6-10"23 м/с; ДЦ, = 73 м/с.
24.12. ди = 7,3-10® м/с. 24.13. Ди = 10* м/с. 24.14. Дх = 2-10"7 м.
24.15. ДР = 0,1м/с. 24.16. ДР «Р. 24.17^ДГ » 10ml2/fl » 10"16 с.
24.18. Др/р = 0,16.24.19. а) Дхе= 5-ю’ м; б) Дх «10"1* м; в) дх
«10~29
м.
24.20. др/р « —-
I
х/ЗюИ^Ю"4.24.21. Е. =
n2H2N (АГ+1) (А+2)
24ml 2
24.22. р, = 0,195; р, = 0,609. 24.23. ДЕ= 4,48 эВ.
А а
I 7. Них * л
f V — cos-------- , если п = 1,3,5,...
24.24. I I I
= 5 /—
I /2 Этих
у/ - sin------ , если п = 2,4, 6,...
24.25. С = у/2/1 . 2426. U- 73 эВ. 24.27. U/E = 0,97.
• €
(fc _ к )2 _ _ *
2426. р = -----1--Ц-,тде й = у/ТтЁ/П ; к = ^2т (Ё~ПГуЬ ;
(Л + к. )2 1 2 °
Й ' , 61у/~2т
=---------- - . 24.29. Т = 5,9-10 . 24.30.D «ехр Г----------(U-Е)3'2] .
2y/2m(U-E) Зъио
и «
24.31. г. = ОЗЭ-1О"10 м; г, = 2,12-Ю"10 м; г, = 4,77-Ю"10 м;
. V = 2,19-10* м/с; Р = 1,09-10* м/с; V, = 0,73-10* м/с.
24.32. = 13,6 эВ; Vp = -27,2 эВ; W= -13,6 эВ. 24.33. а) Х^ = 3,65-Ю"7 м;
\пах = б-5640"7 м5 б> Xmin “О-9140’7 м! \пах ~ 1’2240” м=
в) Xjn-H = 8.21-10"7 м; Хтах = 18,76-Ю"7 м. 24.34. Х= 4,86-Ю’7 м.
24.35. a) U. = 13,6 В; б) Ux = 102 В. 24.36. X 4 = 2,63 40"* м.
24.37. Xj = 657 нм; Хз = 487 нм; Xj = 434 нм. 24.38. < г > = За/2.
24.39. V’ = ! — 4яг2dr = — , где р= еф2 - объемная плотность заряда;
г Г1
$ - нормированная волновая функция, 24.40. Pj = 0,324; р = 0,676.
24.41. 3S1/2 ; ЗР1/2; ЗР3/2; ЗД3/2 ; ЗО5/2.24.42. а) 0,1,2,3,4; б) 1,2,3,4,5.
24.43. a) Stp , б) Рц2 ; Р3^2; в) Р^2 , Р^2 , Р^2 ; г) SDO; *0^ SZ>2; SD3,
SD.. 24.44: *P, ; *Z>2; *F,; 3P . . ; 3D. , 3F. , . .2445. Второй и третий.
2446. Г /Г = 2.24.47. М = 2л/ЗЯ. 2448. \/ЗДк . 24.49. М. = tl у/1/2.
о С/ о хЭ J ’
2430. SF1 .
186
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ И ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
25.1. W- 2.9940"2’ Дж. 25^. W= 134 кДж. 25.3. V= 3,44 ТГц.
254. А 1^= 340 Дж/моль. 25Л. t^= 2,87 МДж/моль.
254. U = 9 R6 / (83/ ) = 48,6 Дж/г, где М — молярная масса меди.
25.7. сотах= 2,364013 с-1. 25.9. W = 3.45 40"21 Дж. 25.10.0= 443 К.
25.11. р= 2Е/(ЗК). 25.15. рх (Е) = 1.7940"12 ; р2(Е) = 0,98.
25.16.р(Е) = 0,5. 25.17. AEj = 1,38 кТ; ДЕ2 = -1,38 кТ.
25.18. а) р^(Е) = 0,893; р"(Е) = -0,119; б) р2 (Е) = 0,999955; р" (Е) = 4,5-10"®.
25.19. Уменьшится в 1,14 раза. 2530. л = 4.57 4027 м"3.
25.21.<Е> = (3/5) Ef = 4,2 эВ. >25.22. Т)= 3.
2533. а) Е^(О) = 7,0 эВ; б) <Е> = 4ДэВ. 2534. п = 0,65.
2535. ДЕ= (гл2»2/^) (Зя2л)1/3= 2-Ю"22 эВ.
_____________________ 0 014 Г
25.26. Vmm = ч/2Ес./т= 1,32 Мм/с. 2537. Т?= 7.2538. А = кТ(—-----2)=4,5 эВ.
Шал Г л т
25.29. EF=-4 3B; 4вых=4эВ. 25.30. a) IV к = 9 эВ; б) WK = 4 эВ.
25.31. п= 3N.25.32. п = 6N. 25.33. и = N. 25.34.Л = N(2l +1).
25.35. Возрастет в п раз. 25.36. Уменьшится в 3 раза. 25.37. <де> = 1,040~22 эВ.
25.38. Д6= (2ЛЙ)3 / [4яГ(2д|)3/2ч/£Г] .
1 P2dp
25.39. dn(p) = ——l ---------------- (при Т * 0К);
1ГЙ3 p^lm-E-
exp (---------- )
1 m v dv
dn(p) = -z-^- p2 dp (при T~ OK). 25.40. a) dn(v) = —— -------------- ;
. «Й3 irti3 mtr -2E„
exp (--------)
2kT
6) dn(V) = —— vdv. 25.41. E . = 0,33 эВ. 2542. а) Уменьшится в 1,03 раза;
It2 ft2 mln
б) Увеличится в 1,21 раза. 2543. Ep = -0,05 эВ. 2544. n— 2.54019 м"3.
25.45. V = Ю"*4 Гц. 2546. ДЕ = 2,48 эВ. 2547. < Т> = 0,01 с.
25.48. и = 35-Ю"2 м2/В*с; л i = 2-1022 м"3.2549.л = 535-Ю14 м"3.
2550. гг/п~ = 4.
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ЧАСТИЦ
26.1. Д^ = 14,440*® ядер; ДА^ = 2.394018 ядер. 263. А = 1,6340*° с"1.
26.3. Т1/2 = 4,96 сут. 26.4. Через 40 сут. 265. a) Q = 120 Дж; б) Q = 16 кДж.
26.6.4 = 2,840° Бк. 26.7. Ди / т- 3/4. 26.8. Т = 4 ди. 265.Х= 1,140"® с-1;
Т = 1 год. 26.10. t = 4.1403 лет. 26.11. Е^ = 2,216 МэВ. 26.12JV =5,61-10°
эВ/нуклон. гбЛЗ.И' = 225 МэВ.26.14. a) W = 8,5 МэВ; б) W = 7,7 МэВ.
26.15. W= 7,6 МэВ. 26.16. W = 23 МэВ. 26.17.R' = 56,5 МэВ.
vD
187
26.18. < W > = 8,0 МэВ. 26.19. tn = 8,0225 а.е.м. 26.20. W = 7,5 МэВ;
И' = 8,55 МэВ; W = 7,9 МэВ. 26.21. WK = 1,17 МэВ. 26.22. W = 10,5 кэВ.
2 3
26.23. W= 1,09 МэВ. 26.24. IV, _ = 0,112 МэВ. 26.25. V = 152407 м/с.
26.26. W = 4,87 МэВ. 26.27. W - 7,83 МэВ. 26.28. Q = 1,6 МДж. 26.29. 2 = 5 МДж.
26.30. V» = 32°. 26.31. От 8,32 до 30,75 см. 26.32. W = 2,8 МэВ. 26.33. И>= 2,2 МэВ.
26.34. W = 18,3 МэВ. 26.35. Ж = 1,85.10й Дж; Й?2 = 0.381011 Дж.
26.36. w= 4,35 МэВ. 26.37. = 5,35-Ю22 МэВ; W2 = 3,640й МэВ.
26.38. т = 6,017 а. е. м. 26.39. Q = 17,3 МэВ. 26.40.7V = 0,840*’ с-1.
26.41. т= 12 а. е. м. 26.42. W = 1,23 МэВ; Х= 0,01 X. 2643. q/m = 4.8-107 Кл/кг.
2644. t = 1 мкс. 26.45. W= 41,4 МэВ. 26.46. Р = 9 МГц. 2647. V- 2,28 МГц.
26.48. = 28,4 МэВ; = 1,28 ГэВ; W = 29,1 ГэВ. 2649. S = -2; У= -1.
2650. Ev = 22 МэВ.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Дано:
а = Ati-Bj ,
А = 4 м/с3 ,
В == 4 м/с2,
ио = 0
г0 = °.
Пример 1. Ускорение материальной точки изменяется по закону а » Ati - ,
где А — 4 м/с3,В = 4 м/с2. Найти, на каком расстоянии от начала координат она будет
находиться в момент времени t — 1 с, если при t = 0 — 0,vq — 0.
Решение. Данная задача представляет со-
бой частный случай основной прямой задачи ки-
нематики. Физическая система состоит из одной
материальной точки. Из имеющегося закона а —
= а (?) находим компоненты ускорения: а х— At,
а = -В , а2 == 0. Следовательно, материальная
точка движется в плоскости ху . Учитывая, что
dv dv
и «,,==—, имеем dvAtdt и
ат У dt х
t = 0.
а
$ - ?
dVy = -В dt .
Компоненты вектора скорости соответственно равны:
At2
(1)
\-Bdt = —Вг +С ,
At
(2)
где С и С' — произвольные постоянные.
1 2
Используя начальные условия (при t — 0 и = 0, и = 0) и подставив их в выра-
V Л VJT
жения (1) и (2), получим: С = 0, С — 0.
ж X
~ dx dy dx
Компоненты скоростей можно представить как и = — , V ,= — , т.е. ------- =
,,2 dv dt У dt dt
= -— и — — “ Bt. Разделяя переменные, имеем: dx — - At dt, dy——Btdt.
2 dt 2
Интегрируя, получаем:
x= f 2лг2«й=-Л?+С. ; (3)
2 6 3
у = f-Btdt = -Bt2 +C. , (4)
2 4
Где C3 и C4 - постоянные интегрирования. Учитывая начальные условия (при t — 0 *0 ==
= 0, “ 0)>из уравнений (3) и (4) находим: — О, С* = 0.
Закон движения материальной точки имеет вид:
1 з. 12.
г = — A?3i-----B?2j . <5)
6 2
Модуль вектора г равен расстоянию s , на котором находится материальная точка в
момент времени ?: _____________ __________________
г----- [а2!* В2^ I2 / л2/2 Г
----+ ------ =- V ------- +в2 . (6)
14 Зак. 5 886
189
Рис. 1
Подставляя числовые значения в выра-
жение (6), получим s = 2 м.
? / A212
Ответ, s — — у------- + В2 — 2 м.
2 9
Пример 2. Система, состоящая из ци-
линдрического катка радиусом R и гири,
связанных невесомой и нерастяжимой нитью,
перекинутой через блок, представлена на рис.
1. Под действием силы тяжести гири система
приходит в движение из состояния покоя.
Определить ускорение а центра масс катка и
силу натяжения Т нити. Какую скорость V
приобретет гиря, если она опускается с высо-
ты h. Масса цилиндра масса гири
массой блока пренебречь. Считать, что ци-
линдр катится по горизонтальной поверхнос-
ти без скольжения.
Д ан о:
wi’
Л,
л,
L =s const,
™бл °-
а-? Т- ?и- ?
Решение. В физическую систему включа-
ем цилиндрический каток и гирю, связанные ни-
тью. Рассмотрим движение катка < относительно
оси Oz, проходящей через его центр масс и совпа-
дающей с осью симметрии цилиндра. Каток вра-
щается относительно оси Oz , а центр масс О кат-
ка движется прямолинейно (рис. 1), На каток
действуют силы: сила тяяести g, сила реакции
опоры N, сила трения и сила упругости , На
основании второго закона Ньютона для прямоли-
нейного движения катка можно записать:
/я1а1 = mis + N+ FTP + Т1 • •
где а1 - ускорение центра масс катка.
В проекциях на оси имеем:
Ох : m а = Т - F ; (2)
Л А Л А AM
Оу : 0 = . (3)
Уравнение динамики вращательного движения катка относительно точки О имеет
вид:
/ ?= I RF 1 * <4>
к тр
Ось Oz проходит через точку О и является главной осью вращения, поэтому уравнение
динамики вращательного движения катка относительно оси Oz можно записать в таком
же виде, как и выражение (4). Только в этом случае € и I - угловое ускорение и мо-
мент инерции катка относительно оси ОО , Причем
190
е = aiX/R;
I = ~ т Я2.
2 1
(5)
(6)
Раскрывая векторное произведение [RF ] и учитывая, что угол между этими век-
торами равен 7Г/2, а также на основании выражений (5) и (6) уравнение (4) можно запи-
сать в виде
Рассмотрим поступательное движение гири. Уравнение движения имеет вид т а —
= m2g + T2.
В проекции на ось Оу имеем:
-т2а2У = ~m2g + Т2 <8)
В связи с тем что нить нерастяжима (/„ = const), л = а = а; а так как нить и не-
Н
весома, то на основании второго и третьего законов Ньютона можно показать, что Т =
— Т2 = Т, где Т - сила натяжения нити. 1
Учитывая приведенные равенства и решая совместно уравнения (2), (5), (7), (8),
получаем:
2m g
а =-----~ 1 (9)
2 m.+ 3 m
X Л
3 m mg
Т= -----——. (10)
2m_ + 3m,
2 1
Движение гири — равноускоренное без начальной скорости. Следовательно, h —
= и2/(2а), откуда
-- ! m gh
V = y/2ah = 2 V —--------. (11)
2m2 + 3m1
2m g 3m mg / m.gh
Ответ, a =--------- ; T ~ -------—=— ; v = 2 V-------- .
2m2 + 3m 2m + 3m 2m + 3m
Пример 3. Однородный тонкий стержень длиной I — 0,5 м и массой m = 1 кг вра-
щается под углом <р = 30° относительно вертикальной оси ОО (рис. 2). Определить мо-
мент инерции стержня I относительно этой оси.(При каком значении <р этот момент
инерции максимален?
Дано: Решение. Физическую систему составляет
/ = 0,5 м, однородный тонкий стержень. Для определения
m —1,0 кг, момента инерции необходимо разбить весь стер-
(р= 30°. жень на элементарные массы dm, найти момент
-------------- инерции этой массы di, а затем, просуммировав
I _ 9 ф _ 9
* гпах * ’ учитывая, что момент инерции есть величина
аддитивная, найти момент инерции всего стержня.
Так как стержень однородный и тонкий, то можно ввести понятие линейной плотности :
Ро = m/l , (1)
где m - масса всего стержня; / - его длина.
191
Масса выделенного элемента стержня длиной dx равна
dm = p<dx = — dx. (2)
Момент инерции элементарной массы
dl = dm-r2, (3)
где г - расстояние от opt* ОО' до выделенной массы (рис. 2);
г —xsin^. (4)
Учитывая выражение (3) и (4), имеем:
т 9 л
dl = — sin $х dx. (5)
Z
Момент инерции всего стержня относительно оси ОО*
т ? 1 о
I = J —sin рх dx = — wZ2sin2^. (6)
-4/2 1 12
Момент инерции стержня, максимален при </>= 7Г/2:
Лтах= f, т{2- '
-В х
Подставляя числовые значения, получаем: I = 0,0052 kfm2,1 = 0,021 кг-м2.
шах
Ответ. I = — ml2sin2</>= 0,0052 кг-м2; / v = — ml2 = 0,021 кг-м2: V? =
ОО 12 max 12
= 7Г/2.
Пример 4. Сплошной однородный цилиндр радиусом R катится по горизонтальной
плоскости, которая переходит в наклонную, составляющую угол а с горизонтом. Найти
максимальную скорость VQt при которой цилиндр перейдет на наклонную плоскость еще
без скачка. Считать, что скольжения нет, трение качения пренебрежимо мало.
Решение. При рассматриваемом плоском
движении цилиндра сохраняется полная механи-
ческая энергия, так как потери ее на работу про-
тив сил трения пренебрежимо малы согласно ус-
ловию задачи. Рассмотрим два положения цилинд-
ра (рис. 3). В положении I цилиндр обладает уг-
ловой скоростью <л?0, а центр масс О — скоростью
движения радиус ОА перпендикулярен к гори-
Д ано:
R,
^Тр.ск ”
F
тр.к-> 0.
v7?
192
зонтальной поверхности. При переходе из положения I в положение ZZ центр масс пере-
мещается по дуге ОО9 окружности с центром в точке А. Движение цилиндра остается
плоским. В положении ZZ угловая скорость цилиндра равна со, а скорость центра масс
О -V, радиус О А перпендикулярен к наклонной плоскости, т.е. угол между О А и о'а
равен а. При этом центр масс опустился относительно первоначального положения на вы-
соту h. Если за нулевой уровень потенциальной энергии цилиндра принять уровень О ,
то в положении I потенциальная энергия цилиндра равна т#й, Таким образом, согласно
закону сохранения механической энергии, можно записать уравнение
ml? Za? mV2 Za?
2- + 2--+ mgh — + , (1)
2--------------------------------------------------------------------2-2-2
где mu2 /2 и ml?/2 - кинетические энергии поступательного движения центра масс в
положениях I и II соответственно: 1<^12 и Zc?/2 - кинетические энергии вращатель-
ного движения цилиндра в этих же положениях, I - момент инерции цилиндра относи-
тельно оси, проходящей через центр масс.
Динамическое уравнение движения (в положении II) имеет вид:
ma = mg + N. (2)
В предельном случае, когда VQ максимальна, но цилиндр уже переходит на наклон-
ную плоскость без скачка, сила давления плоскости на цилиндр обращается в^нуль, т.е.
. 0. (3)
Учитывая равенство (3) f а также выражение для центростремительного ускорения,
проекцию уравнение (2) на ось Ох можно представить в виде
ml?
--- = mgcosfl. (4)
R
Так как проскальзывание отсутствует, то справедливы также соотношения:
% = voiR; (5)
W = V/R . (6)
Кроме того, воспользовавшись известным выражением момента инерции цилиндра
относительно оси, проходящей через центр масс,
1 = - mR2, (7)
2
а также записав (см. рис. 3)
h = J?(l - costt) (8)
и решив совместно систему уравнений (1), (4) - (8), окончательно получим
= J- gR (7cos« - 4). (9)
0 3 _________________
/1 - —
Ответ, Ц = у/ - gR(J cos a - 4),
° 3
Пример 5. Материальная точка массой m в некоторый момент времени находится в
точке А на оси длинного тонкого стержня массой М и длиной I на расстоянии а от одного
из его концов (рис. 4). Определить напряженность и потенциал гравитационного поля
стержня в точке At а также силу, действующую на материальную точку в рассматривае-
мый момент времени. Влияние других тел не учитывать.
193
Рис, 4
Рис, 5
Дано:
w,
М,
/,
а,
Е-!#- 9 р _<>
Р е ш е н и е. Физическую систему составляют
материальная точка А и тонкий стержень. Инер-
циальную систему отсчета свяжем с точкой А.
Стержень в данном случае нельзя рассматривать
как материальную точку. Поэтому для расчета
напряженности Е и потенциала в точке А разо-
бьем стержень на бесконечно малые части длиной
dx так, чтобы каждую из них можно было принять за материальную точку. Выделенный
М
элемент стержня массой dM — — dx (выражение справедливо для тонкого стержня) на-
ходится от точки А на расстоянии х, Напряженность dE и потенциал d<p выделенного эле-
мента соответственно равны:
dM М dx
* dM М dx
d#=-7--- = -7- — ,
х I х
(1)
(2)
где 7 ~ гравитационная постоянная. Для расчета Е и ^воспользуемся принципом суперпо-
зиции. Так как в данном случае все элементарные векторы напряженности dE направлены
в одну сторону (вдоль i - единичного вектора оси Ох), а - величина скалярная, то
после интегрирования выражений (1) и (2) получим характеристики поля, созданного
совокупностью всех элементов стержня:
„ М а*1 dx М , „ I „
$Р=-у— / ----= -?— In(1 + - ).
lx I а
а
Сила, действующая на материальную точку массой w,
7Мт
F — тпЕ ~ --- .
а (а +1)
194
Направление силы F совпадает с направлением Е .
уМ i уМ т
Ответ. Е----------; <Р= ~7 — In (1 + — ); F =----------,
a(a + l) I а а(а+1)
Пример 6. Ракета движется относительно неподвижного наблюдателя со скоростью
V = 2'108 м/с. Во сколько раз при этом увеличится плотность вещества в ракете? (Раз-
меры тела, перпендикулярные к направлению движения, не изменяются.)
Решение. Выберем две системы отсчета:
систему К, связанную с неподвижным наблюдате*
л ем, и К , связанную с движущейся ракетой. Сис-
тема К движется относительно системы К со ско-
ростью V .
Д ан о:
8
V =2-10 м/с.
Р/Ро - ?
Плотность вещества тел, движущихся вместе с ракетой относительно неподвижного
m
наблюдателя, найдем по формуле р = ml Г, где тп —— ° — - масса тела в движущей-
x/l-u’/c2
ся системе отсчета; V - объем тела.
Так как поперечные (по отношению к линии движения) размеры не изменяются, то
площадь сечения 5 = const и объем V = IS, где I — lQ\/1- V2/с? — длина тела в движу-
щейся со скоростью V системе отсчета. Следовательно,
х/1 - V2/с2 - V2/c2
mo
l0S (1 - U2/c2)
(1)
Ho mQl ( lQS) = pQ - есть плотность вещества тела в системе, относительно которой тело
покоится, т.е. относительно системы К*. Тогда выражение (1) можно записать в виде р =
р Р 1
=-----—к , откуда — = ---------—- , р/р^ = 1,8, т.е. для неподвижного наблюдате-
1-и2/с2 р0 1-1?/с2 0
ля плотность вещества в ракете увеличится в 1,8 раз.
Р 1
Ответ, - = --------— й= 1,8.
р0 1 - v2/c2
Пример 7. На горизонтальную мембрану насыпан мелкий песок. Мембрана совершает
колебания с частотой V = 103 Гц в вертикальной плоскости. Какова амплитуда колеба-
ний мембраны, если песчинки подскакивают на высоту h — 8 мм по отношению к поло-
жению равновесия мембраны?
Дано* Решение: Физическую систему в данном
V = 103 Гц, случае составляют мембрана, совершающая гармо-
h = 8 мм. нические колебания, и песчинка, которая в началь-
------------ ный момент находится на мембране, а затем, от-
~ ? рываясь от нее, подскакивает вертикально вверх
на высоту Д h (рис. 5).
На песчинку, находящуюся на мембране, действуют: сила тяжести mg *и сила реак-
ции опоры N. Согласно второму закону Ньютона, можно записать
m а= mg + N.
В проекции на ось Ох имеем;
-ma = -mg + N ,
(1)
195
В момент отрываЛ — 0, следовательно, из выражения (1) получим
аот
С другой стороны, песчинка, находясь на мембране, совершает гармоническое колебание,
уравнение которого представим в виде
х = A coster ,
где А - амплитуда колебаний; соо - собственная циклическая частота колебаний (COQ —
= 27TV).
Обозначим момент времени, при котором происходит отрыв песчинки от мембраны,
Для момента времени t
координаты мембраны х
мемб
и равны, одинако-
вы их скорости и ускорения. Следовательно, в момент отрыва:
х„п~ “ ~ A cosCO t ;
мемб песч.от и от ’
™ — = -А СО sin. СО f ; (2)
мемб песч.от о о от ’ 4 7
C02cosC0f„ .
мемо песч.от о о от
Общая высота подъема песчинки будет складываться из расстояния *песч от и Ра<>
стояния Дй, на которое дополнительно поднимается песчинка после отрыва ее от
мембраны, т.е.
*песч.от +
(3)
Так как после отрыва песчинка массой т движется в поле силы тяжести, то для оп-
ределения Д й можно воспользоваться законом сохранения энергии----60 ,о = mg Дй, от-
V2 2
куда дй = песч:от ,
2g
Учитывая выражение (2), получаем
А 2 . .2 «л 2 у . л
А СО Sin СОЛГ _
О О ОТ
Представляя, что coscoQroT = -g/ (А со2),и используя связь между sin2coo^T и
cos2%ror
выражение (3) можно записать в виде
g ы2а2 g2 3g а2с
h = - -Ц- + —(1 - , ) =-----, + ----
и2 2g А2а>* 2ы2 2g
откуда А - —- х/~2bAgh + 3g2 , А = б.Зб'Ю-5 м.
"о
Ответ. А = — у/2со2'gй + 3g2 = 6,3640"5 м.
со2 и
о
Пример 8. Груз массой m = 0,5 кг, подвешенный к пружине, жесткость которой
К “ 32 Н/м, совершает затухающие колебания. Определить логарифмический декремент
затухания, коэффициент затухания 0, период этих колебаний Т, если за время 100 колеба-
ний амплитуда уменьшилась в п = 16 раз.
Дано:
т = 0,5 кг,
К = 32 Н/м,
Лг= 100 кол,
л — 16 раз,
X- ?0 - ?
Г— ?
Решение. Физическую систему составляют
среда, характеризующаяся некоторым коэффи-
циентом сопротивления, и груз, подвешенный на
пружине, совершающий затухающие колебания.
Амплитуда затухающих колебаний изменяется со
временем t по закону А = AQe^^t где Л0-г- на-
чальная амплитуда колебаний; J3 -коэффициент
затухания.
Обозначим Z — время, в течение которого произошло 100 колебаний. Тогда
Aae~Pt
п == ---5--------= е 1 . (1)
Учитывая, что
0=Х/Т,
где X - логарифмический декремент затухания, Т —период колебаний, t JT — Пролог*
рифмируя выражение (1), получаем
Х= Inn/ZV. (3)
Период затухающих колебаний определяется по формуле
2тг
Т = - , (4)
1деО?0- собственная частота колебаний:
% = s/KTrn. (5)
Решая совместно выражения (2), (4) и (5), получаем
Гт{ 47Г2Л^2+(1пл)2]
Т = V------------5------- * <6>
KN2
Коэффициент затухания 0 определим по формуле (2) с учетом выражений (3) и (6):
1пи 1пл
& = , .. ... — • СП
7и[4тг2№+(1пл)2]/ЛГ
Проведя вычисления по формулам (5), (6), (7), получим: X = 0,027, Т = 0,789 с, /3 =
= 0,035 с-1.
Ответ. Х= Ълп/N = 0,027; Т = V щ 1(4тг2№ + (1пл)2) 1 / (ХЛ'2) = 0,789 с;
1пл ,
/3= . - = 0,035 с-1.
\fm[ 4тг2№ + (1пл)2]/Л?
Пример 9. В бегущей плоской монохроматической волне задана точка Af, отстоящая
от источника колебаний на расстоянии х = Х/8 в направлении распространения волны.
Амплитуда колебаний А = 0,05 м. Считая, что в начальный момент времени смещение точ-
ки Р, находящейся в источнике, максимально, определить смещение от положения равно-
весия $ точки М для момента t = Г/4 и разность фаз колебаний точек Af и Р.
197
Д ано:
х = Х/8,
А = 0,05 м;
Г = Т/4;
Кр = а-
- ?Д<£- ?
GJ i 21Г/Т;
Решение. Смещение точки М находящейся
на расстоянии х от источника гармонических ко-
лебаний, можно найти с помощью уравнения бегу-
щей волны:
5 == Л cos ( ОН - fcx + <pQ ), (1)
где А — амплитуда колебаний; со - циклическая
частота колебаний:
(2)
к — волновое число:
К = 2я/Х; (3)
X - длина волны; Г — период колебаний; Ф — начальная фаза.
Начальную фазу <^0 находим из начальных условий: при t = 0 и х = 0 смещение мак-
симально, т.е, |ор = А. При этих значениях t,x и £0 риз уравнения (1) имеем cos^0 = 1,
а^ - °. Следовательно, уравнение (1) можно записать
= A cos (СОГ - кх ). (4)
Учитывая равенства (2) и (3) в момент времени Г = Г/4 для точки М, отстоящей
от источника колебаний на расстояние х = Х/8, выражение (4) можно представить в виде
. 27Г Г 2тг х я
| =Лсо8( — — - —— )=4sin—. (5)
1 Т 4 X 8 4
В любой момент времени г фаза точки
= сог - кх + . (6)
о
Для точки Р фаза ^р = сог (0, <Р0 = 0), для точки М - <РМ = сог -кх . Следова-
тельно, разность фаз колебаний точек МкР
мр^-кх, (7)
т.е. колебание точки М отстает по фазе от колебаний точки Р, находящейся в источнике,
на кх* .
Подставив числовые значения, получим: = 0,035 м, -я/4.
Ответ, $ = A sin я/4 = 0,035 м; Д^= -Я/4.
Пример 10. Какая часть молекул кислорода при Т = 273 К обладает скоростями, ле-
жащими в интервале от = 100 м/с до — 110 м/с. Найти наиболее вероятную ско-
рость движения молекул.
Дано:
Т== 273 К,
Vj и 100 м/с,
1>2 = 110 м/с.
Решение. Физическую систему состав-
ляют молекулы идеального газа - кислорода.
Число молекул dN, величина скорости кото-
рых заключена в интервале от и до V + dv, опреде-
ляется выражением dN(V) — NF (V) dv, где# —
общее число молекул. F (V) — функция распре-
деления молекул газа по скоростям (функция рас-
пределения Максвелла), которая может быть пред-
bN/N -*> V-?
« ставлена в виде
F(v) = 4я( — )3^* * 2 v2dv,
я
где а = m / (2 fc Т) (m - масса молекулы).
Следовательно,
dN(y) = #4Я( —)3/2 e~ay2v2dv .
я
(1)
(2)
198
Проинтегрировав выражение (2) от V до и2, найдем число молекул ДЛ, величина
скорости которых лежит в заданном интервале:
V
Л7У=ЛЧя( -)3/2 7 e~avv2dv.
Относительное число молекул, скорости которых лежат в указанном интервале,
2
е~т v2dv.
Наиболее вероятная скорость молекул газа ив соответствует максимуму функции
распределения (1) (рис. 6). Исследуем эту функцию на экстремум. Для этого прирав-
няем нулю первую производную по скорости:
—— = 4тг(— )3/2 (-2aiT* + 2и )е-аи = О,
dv я в в
В
или о
2и (1- av2 ) = о.
Отсюда
= х/1/a= ^2кТ!т= -JlRT/M, (3)
В
где R - универсальная газовая постоянная; М- молярная масса.
Подставляя числовые значения в формулы (2) и (3), получаем: Д#/#= 0,43 %; V =
= 375,5 м/с.
/ 2RT
Ответ, &N/N » 0,43 %; = V ----- = 375,5 м/с.
в М
Пример 11. Средняя квадратичная скорость молекулы углекислого газа при давле-
нии р — 10s Па равна 628 м/с. Определить среднюю длину свободного пробега X; диаметр
молекулы принять равным 4*10"10 м.
Дан о:
105 Па,
М == 44 кг/кмоль,
V - 628 м/с,
d s= 4 *10“10 м.
Решение. Согласно молекулярно-кинети-
ческой теории, длина свободного пробега молекул
газа 1
Х== —--------- , (1)
\/Т Trd2 п
где п ~ число молекул в единице объема.
199
Рис, 7
Число молекул в единице объема можно определить из зависимости р = пкТ:
п=р/(кТ),
где к — постоянная Больцмана; Т — температура газа, которая связана со средней квадра-
тичной скоростью соотношением >J<V2 > == \/ 3RT/M, откуда Т ==--------, где
3R
М— молярная масса углекислого газа; R — универсальная газовая постоянная.
Подставляя значения Т и п в формулу (1) и учитывая, что к = — (- число
<и2>М Nk
Авогадро), получаем Х =-------------’ X — 1,23‘Ю-4 м.
А
< V2 > М
Ответ. X =----------------- = 1,35-1О”4 м,
3 х/Т ltd 2pV.
Пример 12. Некоторая масса азота при давлении р^ = 10s Па имела объем F1 =
-10’2 м3, а при давлении р = 3*105 Па - объем V = 4*10’3 м3. Переход от первого
2 2
состояния ко второму был сделан в два этапа: сначала по изобаре, а потом по изохоре
(рис. 7 , кривая 1А2). Определить приращение внутренней5 энергии газа Д ^^2’ совеР"
шейную газом работу А и количество поглощенной газом теплотыQ Произвести
аналогичные расчеты в случае обратного следования процессов: сначала по изохоре, потом
по изобаре (рис. 7, кривая 1В2). Сравнить результаты расчетов в обоих случаях.
Дано:
Pj = 10s Па,
р2 = 3-105 Па,
Г1 = 10‘2 м3,
Г = 4'10-3 м3:
2
Решение. Физическую систему составляет
идеальный газ — азот. Внутренняя энергия яв-
ляется функцией состояния системы. Следов а*
тельно, приращение внутренней энергии при пере*
ходе системы из одного состояния в другое всегда
равно разности значений внутренней энергии в
этих состояниях независимо от совокупности про*
д U1B2 ~'!А1В2 1В2
цессов, приведших к переходу системы из одного
m i п m
состояния в другое, т.е. д ~ =------R ( Т-
1АЛ М 2 2
Разность температур определим из уравнений состояний Т — Т —
2 1.
mR/M
200
Следовательно,
*U1A2= 1
&
Работа, совершаемая газом, в рассматриваемом случае
А1А2~ А1А*АА2’ (2)
Переход системы из состояния 1 в состояние А происходит при постоянном давлении
(pt = const), следовательно
A1A-P^V2~V^- <3>
Так как переход системы из состояния А в состояние 2 происходит при постоянном
объеме ( У2 = const), то
ЛЛ2 = 0. (4)
Подставляя равенства (3) и (4) в выражение (2), получаем
А1А2-А1А-Р^У2~^- <5>
В соответствии с первым началом термодинамики количество теплоты, сообщенное
системе, идет на приращение внутренней энергии газа и на совершение газом работы:
— 5'10 Дж; ^2^2—~6*10 —
Подставив числовые значения, получим: ^1^2
. 1 />2 ТТмл
Во втором случае переход из первого состояния во второе идет через промежуточ-
ное состояние В. Приращение внутренней энергии Д Ра®ота^ц# и погл°ЩенНая теп-
лота(7 могут быть найдены следующим образом:
*U1B2=^ -^R^2-T^=^P2V2-P1V^ <7>
A1B2 = P2^V2- (8>
в1В2~ *-<Р2У2-Р^+Р2<У2-У^ <9>
£
Подставив числовые значения, получим: ^U,g2 — 5-102 Дж, Ац^ ~ -1,8'Ю3 Дж,(?^2 =
= -1,3'103 Дж. Сравнивая результаты в первом и во втором случаях, замечаем, что
&U1A2 ~lU1B2’ Q 1A2*Q 1В2' А1А2 *А1В2 '
Ответ. ^U1A2=^U1B2 = (Р2^-₽1Г?в51°2 Дж; A1A2 = P^V2-Vi}
= -6-Ю2 Дж; Q1A2 = - (P2V2 - Pirt) +₽1 (V2 - Гр = — IO2 Дж; AJB2= p2(V2 -
Xr
- Г,) =-l,8-103 Дж; (?,„,= - ( p.V.-р,И) +p (V - V) =-l,3-103 Дж.
1 2 XX 11 XX 1
Пример 13. Найти приращение энтропии 10 г водорода: а) при переходе от объема
2*10“2 м3 под давлением = 1,5 Па к объему 6‘10-2 м3 под давлением р2 =
= 1,0 Па; б) при изохорическом нагревании от — 50 С до t2 = 150 °C. Газ считать
идеальным.
201
Дано:
10 г,
vt - 2-10-2 м3,
V, = 6-10"2 м3,
р* = 1,5 Па.
р„ = 1,0 Па.
= 50 °C,
t, = 150 °C.
AS, - ? AS, - ?
1 X
Решение. Физическую систему составляет
идеальный газ - водород. Приращение энтропии
Д 5 определяется по формуле
AS = J — ,
где dQ - количество теплоты, сообщенное систе-
ме при температуре Т, Согласно первому началу
термодинамики, &Q ~ dU + 5 Л, где dV- изме-
нение внутренней энергии газа:
dU— — CjrdT; оА - работа, совершаемая
М у
газом: 5 А = pdV.
2
Следовательно, Д5 = J*
1
— CvdT +pdV
М v
Выразим р из уравнения Менделеева-Клапейрона: р = —
TR
. Тогда
2
тп
М
(1)
Учитывая, что —2
- , получаем
(2)
m
М
2
Случай ”а”. Приращение энтропии определяется по формуле (2): Д5 =
= 118,2 Дж/К. 1
Случай ”б”. Так как происходит изохорическое нагревание (К = const), то при-
ращение энтропии Д*^2 можно определить по формуле (1), учитывая, что второе слагае-
мое равно нулю: Д5 = — Cv In —, Д5 = 114,1 Дж/К.
2 М у Tj 2
„ „ m m К m
Ответ. AS = — Сг1п-^ + — С In— = 118,2 Дж/К; Д5 =- С„1п-2 =
1 М у Р1 М Р 2 М V Т
а 114,1 Дж/К.
Пример 14. Найти постоянные а и Ъ уравнения Ван-дер-Ваальса для одного моля хло-
ра, если известно^ что критическая температура хлора Гк = 417 К, а критическое давле-
ние рк = 7,6*10 Па. Определить внутреннюю энергию, если при температуре t = 0°С
газ занимает объем 2 л.
202
Дано:
р„ = 7,610* Па,
К Q
t = о С,
_Q_________
а- ЧЪ- 1 U-
(1)
Решение. Физическую систему составляет
один моль реального газа, уравнение состояния
которого можно записать в виде
а
(Р+ —2
V2
где а и b - постоянные уравнения Ван-дер-Вааль-
са; Ко - объем одного моля.
Из анализа уравнения (1) следует, что критические параметры рк> VK опреде-
ляются через постоянные а и Ъ следующим образом: п = а! (27 b2}; Т — За/ (27Rb)->
vK=3b.
Выражая а и Ъ через критическую температуру Т и критическое давление на-
К к
ХОДИМ;
27R2T2 RT
-------к . й= к
64 рк--8рк
Внутренняя энергия реального газа U=
а =
i а
— RT---
, где z — число степеней сво-
{ 27R2T2
- RT-----------£ .
2 64 р V
Хх
Подставляя числовые значения, получаем: а = 0,667 Н-м4/моль; Ь = 5,69‘10-5м3/моль;
U— 5,34-Ю3 Дж.
Ответ: а = 27К2Т2/(64 pj = 0,667 Нм4/моль; AT /(8р ) =5,6910
К К к к
i 27R2T2
U= - RT--------------
2 64p Г
Лх
Пример 15. Найти напряженность Б и потенциал <£в центре полукольца радиусом
= 5 см, по которому равномерно распределен заряд q = 3-10
Дано:
R = 5 см;
q = 3-10-9 Кл.
5; Т - температура газа: Т = 273 К, или U=
з
”5м3/моль;
“9 Кл.
Решение. Физическую систему составляют:
равномерно заряженное зарядом q полукольцо и
электрическое поле этого заряда. Для определе-
ния напряженности Е и потенциала центре полу-,
кольца воспользуемся принципом суперпозиции.
Разделим полукольцо на малые элементы дуги dl так, чтобы заряд dq = qdl/ (TtR) каж-
дой такой дуги можно было считать точечным. Выберем два произвольных симметрично
расположенных относительно ОО элемента дуги (рис. 8). Напряженности элекгрическо-
п
£-?(/»-?
Рис, 8
203
го поля в точке О, создаваемые выбранными элементами, dE1 и dE^. Согласно принципу
суперпозиции, dE = dE^ + dE^. Из соображений симметрии следует, что алгебраическая
сумма проекций напряженности поля выбранных элементов на ось Оу равна нулю.
Результирующее поле направлено вдоль оси Ох:
dq qcQ$CL
dE = dE = d£\cosfl! =--------— cosfl =---------- dl.
* 1 4 теR2 4irejr
0 0
<7 cost*
Так как dl = Rdat to dE =---------_ da. Положение точечного заряда dq на полуколь-
4 я2е Я2
це определяется углом а. Поэтому угол а и выберем в качестве переменной интегриро-
вания:
„ я/2
Q f , q
—---л J cos ada ~ ----
^\R-m 2Ir\R
Потенциал в центре полукольца определяется алгебраической суммой потенциалов
электрического поля dip элементарных зарядов (согласно принципу суперпозиции). Учи-
тывая, чтоF dip точечного заряда равен dql^Tte^R, определяем У:
TtR q irR q
ip^ fd<p~ ------------- f dl = ---------- .
о 4я2е()Я2 о 4яе0К
Подставив числовые значения величин, получим: Я = 6,88-103 В/м, <р = 5,39'102 В.
Ответ. Е— qt(2-n2enR^) - 6,88103 В/м; ¥>= ql (41№^ ) = 5,39-Ю2 В.
Пример 16. Поле образовано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с по-
верхностной плотностью заряда а = 4*10”8 Кл/м2. Определить напряженность Е и раз-
ность потенциалов двух точек поля, отстоящих от плоскости на г = 10 см и г2 =
= 20 см (рис, 9).
Дано:
0 = 4-10"8 Кл/м2,
г ='10 см,
г2 = 20 см.
Решение. Физическую систему состав-
ляют бесконечная равномерно заряженная плос-
кость с поверхностной плотностью заряда О и
созданное ею электрическое поле.
204
Для определения напряженности поля воспользуемся теоремой Остроградского-
Гаусса, в которой утверждается, что поток вектора Е через любую замкнутую поверх?
ность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной
Г п
на 6 (для вакуума), т.е. ф EdS = — X q. .
и е z=i 1
S о 1
Из соображений симметрии можно заключить, что, начинаясь на зарядах,силовые ли-
нии вектора Е перпендикулярны к плоскости и располагаются слева и справа от нее с оди-
наковой густотой. Поэтому в качестве гауссовой поверхности выберем цилиндрическую
поверхность с основанием <$осн (рис. 9). В этом случае поток вектора напряженности
Ечерез выбранную замкнутую поверхность можно представить следующим образом:.
EdS= J Kcos (tn6oK)dS + 2j Fcos(Ei^cH)d5 .
5бок Sqch
Учитывая, что f £cos (EngOK) dS = 0, a
5 бок
2 J £cos ( En ) dS = 2 J EdS = 2ESnCH,
uvn uvn
5 5
осн осн
получаем J* EdS = 2E,Sqch .
S
Суммарный заряд, охватываемый этой поверхностью, равен OS Следовательно,
ОСН
2ES = - aS (1)
ео
Из формулы (1) получим, что напряженность электрического поля бесконечной равно-
мерно заряженной плоскости
£’=а/2б0. (2)
При нахождении разности потенциалов между точками 7 и 2 учтем, что
dp = - Edr . (3)
Так как направления Ей dr совпадают, то выражение (3) можно записать в виде
dp = -Edr. (4)
<Р2 Г2
Интегрируя выражение (4), получаем J dp = - J Edr . Так как напряженность
р г
Ч 1
поля Е не зависит от расстояния (см. формулу (2)), то Р - Р — -Е (г - г ) t или
а 2 1 2 з
р - р~ = ---- ( - г ). Подставив числовые данные, получим: Е = 2,2540 В/м ;
2е0
- <р2= 225 В.
Ответ. Е = а/(2е.) = 2,25-Ю3 В/м; <£-</>,= — ( г. - г) = 225 В.
2с0
Пример 17. Одной из пластин плоского конденсатора площадыб S = 0,1 м2 сообщи-
ли заряд q — 10“8 Кл (другая, первоначально незаряженная, соединена с Землей) (рис.
15 Зак.5886
205
Рис. 10
10). В пространство между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка стек-
ла (ex = 6) толщиной = 0,1 см и плоскопараллельная пластинка парафина (е2 = 2)
толщиной d2 = 0,1 см. Найти; напряженность электрического поля в каждом слое; паде-
ния напряжений в этих слоях; поверхностные плотности о и О2 связанных зарядов
на пластинах и электроемкость конденсатора.
Дано:
5= 0,1 м2,
q = 1СГ 8 Кл,
< = 6,
= 0,1 см,
d2 = 0,1 см.
Р е ш е н и е. Физическая система состоит из
конденсатора, на пластинах которого распреде-
лены сторонние электрические заряды с плот-
ностью О = q/S, создающие электрическое поле,
и двух диэлектриков, на которых возникают свя-
занные электрические заряды с плотностью о * и
< •' '
Тогда Ф
S
----------- Для определения напряженности поля вос-
~ ’ пользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для
U - ? U - ? вектора электрического смещения Ц, поскольку
? У — ? задано лишь распределение сторонних зарядов. В
1'2 качестве замкнутой гауссовой поверхности выбе-
рем цилиндрическую поверхность ( см. пример 16).
п
Ц <7S = S ^своб* И3 соображений симметрии ясно, что во всех точках век-
тор Ц перпендикулярен к поверхности пластины. Поэтому можно записать; 2D А 5 =
= GAS ;Dl = а/2 =<?/(2S).
При сообщении заряда q первой пластине на второй первоначально незаряженной
пластине в соответствии с явлением электростатической индукции возникает заряд — q.
Электрическое поле создается обеими пластинами. Следовательно, О = 2D = q/S.
Так как диэлектрики однородны, изотропны и заполняют пространство между плас-
тинами таким образом, что поверхность раздела совпадает с эквипотенциальной поверх-
ностью, то направления векторов электрического смещения D и напряженности поля Е
совпадают, поэтому справедливы как векторное равенство D = в^еЕ, так и скалярное
равенство
D = еое£ . (1)
Из выражения (1), записанного для сред с диэлектрической проницаемостью и^,
можно получить:
D q „ D q
Е = ----- = —3— ; Е =----------- = .
Vi W еое2 W
Падения напряжений в стекле и парафине можно определить, используя связь между Uи
206
£. Так как S » d2, то поле между пластинами конденсатора будет однородным и эту
связь можно записать в виде:
Диэлектрики, помещенные между заряженными пластинами конденсатора, поляри-
зуются, причем нормальная составляющая вектора поляризации Р^ равна поверхност-
ной плотности связанных зарядов а, т.е.
С другой стороны,
^2И~“ *
(2)
(3)
где X и X, - диэлектрическая восприимчивость стекла и парафина соответственно; ,
^2п~ ноРмальная составляющая напряженностей поля в этих средах.
Учитывая, чго^С. = 6 - = е - 1 и £ = Я, , = Е , из выражений (2)
ДХ X X X г* X X г» X
и (3) получаем:
Электроемкость конденсатора, пространство между пластинами которого заполнено
двумя слоями диэлектрика, можно представить как электроемкость двух последователь-
но соединенных конденсаторов С и С :
X X
1 1 1
----------- =: ------- + ,
^Общ-----------^2
Откуда
С - С‘ Сг
Собщ с +г ’
2 V1
W С1 = > С2 = W^2
Окончательно из выражений (4) и (5) можно записать
с £о Е1 e2S
(4)
(5)
(5)
Подставляя числовые значения, получаем: К = 1.8-103 В/м; Е = 5,65-Ю3 В/м; U
= 1,9В, U = 5,65В; О = 8.3-10"8 Кл/м2; = 5-10~8 Кл/м2; С= 1.33-10"’ Ф.
XX X
Ответ. Е » eoeiS) « 1,88-iO3 В/м; Е2 —q I (eoe2S) = 5,65-Ю3 В/м ;
£/, = qdJ{e e s) = 13 в; и = K/(e.e S) = 5,65 В; a.’= (e. -1)9/ ( e. S ) =
a * V Л ^xvx X - -,X X •
= 8,310“8 Кл/м2 ; n= (eeS ) « 5'10“8 Кл/м2; C-el<2^. =1,3310’9Ф
e
12 2 1
207
Рис, 11
Пример 18. Определить индукцию В магнитного поля, создаваемого отрезком бес-
конечно длинного прямого провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка и нахо-
дящейся на расстоянии b = 20 см от его середины. Сила тока, проходящего по проводу,
Z = 30 А, длина провода I - 60 см. t
Дано: Решение. Физическую систему состав-
b == 20 см, ляют отрезок проводника с током и магнитное
I = 30 А, поле этого тока. Для определения индукции маг-
/0 = 60 см. нитного поля воспользуемся принципом супер-
---------- позиции.
В - ? Так как точка Л, в которой необходимо оп-
ределить В, расположена симметрично относительно концов провода, то можно опреде-
лить Bj — индукцию от каждой половины провода, и умножить на 2, т.е.
В = 2Br (1)
Индукцию магнитного поля Bt найдем следующим образом: на расстоянии /
(рис. 11) от середины провода выделим элемент с током Л, индукция которого, со-
гласно закону Био-Савара-Лапласа,
М(/[ I
(2)
Элемент с током Л и рассматриваемая точка Л находятся в одной плоскости, следова-
тельно, выражение (2) можно записать в виде
u / sinfl
dH . = -5-z------- dl , (3)
' b
vj&a- угол между Лиг (рис. 11). Учитывая, что I == Z>ctga, dl=^ - —-— da и
sin2a
b
г — ---- t получаем
sin#
dB = - —— sinccda, (4)
1 4яЬ
В связи с тем что векторы индукции магнитного поля, создаваемого элементами с
током Л, совпадают по направлению ( В направлен от нас), то результирующее значе-
ние Bj. можно найти,интегрируя выражение (4):
ак
ДД г До7
В = - — J sin ad а = —— cosa. , (5)
4тгЬ „ _ * 4тгг> *
U " —
0 2
208
Рис. 12
©fl
ще
1
COSCb, « .. .— . (6)
Vl+462/ZJ
Индукция магнитного поля, создаваемого всем проводником, с учетом выражений (1),
(5), (6) будет равна
AU 1
В = —5- ...— - • (7)
2яй х/1 +4&2//2
Подставляя числовые значения, получаем В — 2,5 10 s Тл.
1 -s
Ответ. В = -5— —............ , В = 2,5-10 5 Тл.
2jtb 71+4Z»2//2 4
Пример 19. Проводник длиной I = 1 м, по которому проходит ток /== 2 А, согнут
в форме полукольца и расположен в плоскости, перпендикулярной к направлению ин-
дукции магнитного поля В. Найти силу, действующую на этот проводник в магнитном
поле. Как изменится величина этой силы, если полукольцо полностью разогнуть (осталь-
ные условия остаются теми же). Индукция магнитного поля В = 10”5 Тл.
Решение. Физическую систему состав-
ляет проводник с током и созданное им магниъ
ное поле.
На элемент проводника с током dl, поме-
щенный в магнитное поле индукцией В, дейст-
вует сила, которую определяют по формуле Ам-
пера
dF = Z [ dl В ]. (1)
В данном случае угол между dl и В равен тг/2 (рис. 12) и формулу (1) можно записать
в виде dF~IBdl, Силы, действующие на каждый элемент проводника с током, направ-
лены по радиусам полукольца и лежат в одной плоскости. Выбрав координатную ось
ху, как показано на рис. 12, а, найдем проекции сил:
dF ~dFsma\ dF ==dFcosa .
JC у
Дано:
Z= 1 м,
I = 2 A.
F-? F-?
209
Результирующая сила, действующая на все элементы полукольца, будет определяться
силой F , так как из соображений симметрии следует F — J dF ~0. Значит,
у XX
I
F = F? — J* dFcost* == J IB cosadl. (2)
I I
Элемент дуги dl = /<7а/тг,аугол а изменяется от -тг/2 до тг/2. Тогда
IBI Т I
F- ----- J cos«da= 2 IB — . (3)
Я -7Т/2 Я
Подставляя числовые значения в выражение (2), получаем F = 1,2740“ 5 Н.
Если полукольцо полностью разогнуть, то силы, действующие на каждый элемент
проводника, будут параллельны между собой (рис. 12, б). Поэтому результирующая си-
ла, действующая на весь проводник,
- J dF = J IBdl = IBI. (4)
I I
Подставляя числовые значения в выражение (4), имеем F = 240”5 Н.
Сравнивая значения сил F и F, можно сделать вывод, что они зависят от формы
проводника.
Ответ. F = 2 IB — = 1,27-Ю"5 Н; F= IBI = 2'10"5 Н.
тг
Пример 20. Плоская рамка в виде равностороннего треугольника со стороной а =
= Ю-1 м находится в магнитном поле, индукция которого изменяется по закону В =
= (а + (it2) i, где а— 10“1 Тл^ /3 = Ю“2 Тл/с2; i - единичный вектор оси Ох, Плоскость
рамки составляет угол ^=30 с направлением индукции магнитного поля (рис, 13). Оп-
ределить количество теплоты, которое выделяется в рамке за первые 2 с, если сопротив-
ление рамки R = 0,01 Ом. Индуктивностью и емкостью контура пренебречь.
Дано:
В= (a+0t2)i,
а— 10“1 Тл,
10“2 Тл/с2,
30°,
R = 0,01 Ом,
t s= 2 с,
а = 10“1 м.
е -?
Решение. Физическую систему в дан-
ном случае составляет изменяющееся во вре-
мени магнитное поле, а следовательно, и из-
меняющийся магнитный поток; проводящая
рамка, расположенная в этом поле; возник-
шее вихревое электрическое поле и создан-
ный этим полем индукционный ток. Коли-
чество теплоты, которое выделяется в рамке,
можно найти по формуле
Q - *$12 Rdt, (1)
о
210
Рис. 14
I - индукционный ток, возникший в рамке, который, согласно закону Ома,
< (2)
где Е -ЭДС индукции. *
для нахождения ЭДС индукции воспользуемся законом Фарадея
г . <7Ф , d л d я
Е - ।--------। _ — [B&cs ( пВ )] = —[ (a+$r)$cos (—.-</> )] =
’ Л dt dt 2
= 2&Stsin<p.
— 2
и \] 3 о
Учитывая, что площадь рамки 5=--------— ? sin 30 == 1/2, получаем
VT 4
Е - -------- a2pt . (3)
’ 4
Выражение (2) с учетом (3) можно записать
I = — a20t. (4)
4R
Подставляя (4) в выражение (1), получаем
2
Q = —— e402 S t2dt = — a4/?2; Q - 5-10“7 Дж.
16Я о 2Я -
Ответ, Q - a'p2! (2R ) = 5 -10"7 Дж.
Пример 21. Тороид с железным ненамагниченным сердечником, длина которого по
средней линии = 1 м, имеет воздушный зазор = 3,14 мм (рис. 14). По обмотке
проходит ток, после выключения которого остаточная индукция в зазоре составляет
4,2 мТл. Определить напряженность Я.
ную намагниченность J сердечника.
Дано:
/ S3 1 М,
I » ЗД4 мм,
В = 4,2 мТл.
Нх - ? J - ?
магнитного поля в сердечнике, а также остаточ-
Решение. Физическую систему состав-
ляют тороид с железным сердечником, по ко-
торому проходит ток, и магнитное поле, соз-
данное током проводимости и микротоками
железного сердечника.
211
Ток, проходящий по обмотке, обусловливает существование внутри тороида магнит-
ного поля, силовые линии которого замкнуты (рис. 14). Учитывая, что К » d, можем
считать величину В = const во всех точках сечения тороида, а так как воздушный.зазор в
тороиде узкий (1% « , то рассеянием линий индукции можно пренебречь.
При переходе через границу раздела двух сред нормальная составляющая напряжен-
ности магнитного поля изменяется, в то время как нормальная составляющая векто-
ра магнитной индукции В п остается неизменной, т.е.
В1П^В2П=В=:СОШ'>Н1П*Н2П •
Для определения напряженности воспользуемся теоремой о циркуляции вектора
Н, выбрав в качестве контура интегрирования среднюю линию тороида L = I +1^. При
этом необходимо принять во внимание, что нормальные по отношению к сечению тороида
составляющие напряженности магнитного поля Н являются тангенциальными по отноше-
нию к выбранному контуру обхода. Таким образом,
п
Н^Н212=^1 ’ <Х>
где Н^, - напряженности полей в сердечнике и в зазоре соответственно; I — сила то-
ка, проходящего по обмотке.
После выключения тока для выбранного контура обхода выражение (1) можно запи-
сать в виде + #2*2 = 0, откуда
н. = -Я . (2)
Z1
Напряженность и индукция магнитного поля В в зазоре связаны соотношением
— В/[ до (д — 1) ]. Подставив это выражение в (2), получим, что напряженность маг-
нитного поля в сердечнике
Я = - — -р . (3)
До Z1
Учитывая выражение (3), а также связь между векторами Н , В, J, определяем ос-
таточную намагниченность J сердечника:
J = А + Л А = Д(/1+/2)
До До ~ »oli
Подставляя числовые значения, получаем: Н — -10,49 А/м, J = 3,34'103 А/м.
В Ч В^12> з
Ответ. Н =------*• = -10,49 А/м; J =----1—- = 3,34-103 А/м.
До h М
У А
Рис. 15
212
Пример 22. Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых метацлических дно
ков, пространство между которыми заполнено однородной, изотропной и слабо прово-
дящей средой с диэлектрической проницаемостью е и удельной проводимостью а (рис.
15). Расстояние между внутренними поверхностями диска радио dfd2 « S, где S ~
площадь диска). Между обкладками конденсатора создается переменное напряжение U —
= t/jCoscur. Пренебрегая краевыми эффектами, найти напряженность магнитного поля в
пространстве между обкладками конденсатора на расстоянии г от их осн.
Дано:
£ f
а,
d (d2« S),
U— sin cor.
Решение. Изменяющееся во времени
электрическое поле приводит к возникнове-
нию в пространстве магнитного поля, цирку-
ляция вектора напряженности которого по
замкнутому контуру равна алгебраической
сумме токов, охватываемых этим контуром.
Так как среда проводящая, то
H dl = J ( j
dD
— ws,
dr
(1)
dD
где —.
dr
плотность тока проводимости.
Для решения задачи выберем вспомогательный контур так, как показано на рис. 15,
системы.
см “ ппотность тока смещения; D- вектор электрического смещения; j -
т.е. в виде окружности радиуса г (I = 2яг ), центр которой совпадает с осью
Во всех точках такого контура значение напряженности поля Н постоянное, при этом в
каждой точке контура направление Н совпадает с направлением касательной к окружнос-
ти. Кроме того, площадка S = тгг 2, ограниченная контуром, перпендикулярна к оси сис-
темы и во всех ееточках j CN== const, j
выборе контура может быть представлено в виде
dD
Я(г) 2тГг ~ |j_ + -дт
= const. Поэтому выражение (1) при указанном
I nr2,
(2)
откуда
dD
дГ
Согласно закону Ома, плотность тока проводимости связана с удельной проводи-
мостью о следующим соотношением:
U OU sin COt
= aE - о — =--------------9--------
(4)
Плотность тока смещения
dU 1
— = - ее ил teeascot.
dt d 0 0
dD dE еое
,см = ~dt = е°С dt = d
Подставив формулы (4) и (5) в выражение (3), окончательно для модуля получим
гСЛ
—asincor + e ecocoswr ].
2d 0
Я(г) =
(5)
Направление вектора H указано на рисунке.
Примечание, Для наглядности на рисунке расстояние между дисками велико.
Пример 23. Плоская монохроматическая световая.волна распространяется в непро-
водящей прозрачной среде, показатель преломления которой л. Указать направление, в
|6 5886
213
Рис. 16
котором переносится энергия, и определить среднее по времени значение плотности пото-
ка энергии.
дадо Решение. Физическую систему состав-
п ляют непроводящая прозрачная среда и свето-
_____ вая волна, распространяющаяся в этой среде.
|П1? Так как световые волны - это электромаг-
нитные волны, частоты которых лежат в ин-
тервале 0,39‘1015 - 0,75-1015 Гц, то направление, в котором переносится энергия,
определяется направлением вектора Пойнтинга П — вектора плотности потока электро-
магнитной волны:
П = [ ЕН] ,
где Ей Н- напряженность электрического и магнитного полей соответственно.
Для простоты рассмотрим распространение волны вдоль оси Ох (рис. 16):
Е = Е^ cos (tor - кх); Н = cos ( cot - кх ).
Векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распростране-
ния волны правовинтовую систему (рис. 16).
Направление вектора П = [ ЕН ] также совпадает с направлением распространения
волны. Следовательно, в этом же направлении переносится энергия.
Модуль среднего по времени значения плотности потока энергии, переносимой све-
товой волной (интенсивность света I ), численно равен модулю вектора П, т.е.
| П | = Z= £7/ = ЕН cos2 (cot - кх ) = - E H {1 + cos[ 2 (cot - kx) ]} .
f f • f • • f r 9 f • 9
В непроводящей среде в данной точке пространства модули векторов Е и Н изме
няются в одинаковой фазе, поэтому соотношение между амплитудами этих векторов
можно записать в виде
Е \/е 6 = Н yju и.
пг' о
(1)
где е0> До - диэлектрическая и магнитная постоянные соответственно; 6 , Д - относи-
тельная диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.
Из выражения (1) следует Я = ---------— = V — V — Е , Но среда, в кото-
рой распространяется волна, является прозрачной. Практически для всех таких сред Д «1,
а \/е* = и ( п - показатель преломления).
214
Рис» 17
Таким образом,
т.е. интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды световой волны и пока-
зателю преломления среды.
Ответ. I — ~ п \J Ео/Мо^ + cost 2 (со? - кх ) .
Пример 24. На тонкую пленку с показателем преломления п t = 1,5 падает нормаль-
но параллельный пучок света длиной волны X = 6*1О”7 м. Найти минимальную толщину
пленки, при которой будет наблюдаться интерференция света в отраженных лучах.
Дано: Решение. Физическую систему состав-
= 1,5, ляет тонкая пленка и пучок световых волн
Х= 640"7 м (рис. 1?)’ При падеяии световой волны на
пленку происходит отражение ее от обеих
^min ” ‘ поверхностей пленки. В результате возни-
кают две световые волны и которые интерферируют. Оптическая разность хода,
приобретаемая лучами 1 и 7, ,
Д = 2АВп' -ADn , (1)
1 Jr
ТО — показатель преломления пленки; п2 - показатель преломления среды, окру-
жающей пленку (п2 = 1).
Из рисунка видно, что
АВ —— - ; (2)
cos 7
AD « Л С sin? = 2dtg?smi. (3)
На основании закона преломления света имеем sin// sin? = п / п — и , откуда
sin/ = п j sin?. (4)
215
Рис, 18
Тогда выражение (1) с учетом (2)- (4) можно представить в виде
А = 2d xAj - sin2/ .
(5)
Дополнительно необходимо учесть, что в точке А отражение происходит от оптичес-
ки более плотной среды. Поэтому фаза волны изменяется на я, а к разности хода добав-
ляется Л/2 (X — длина волны в вакууме). Следовательно, окончательно для оптической
разности хода получим_______
А = 2d\/«2 -sin2/ + Х/2.
Условие максимума в интерференционной картине можно записать:
_ / , л, X X
2d у/ п 1 - sin / + — == 2 т — ,
1 2 7
(6)
(7)
где т- порядок интерференционного максимума = 1,2, 3 ...)
Для определения необходимо в выражении (7) положить т = 1, т.е.
2 vWj - sin2/ = Х/2. А так как параллельный пучок света падает нормально на плен-
ку, то sin/ =0и 2</П1^пл1 =Х/2 , откуда dm-n = X/(4пt) = 10~7 м.
м.
Ответ, d • « X/ (4 п J « 10
min ' 1 .
f -
Пример 25. На расстоянии а ~ 1,0 м перед диафрагмой с круглым отверстием радиу-
сом R = 1,0 мм находится точечный источник света длиной волны Х= 540”7 м. Расстоя-
ние от диафрагмы до точки наблюдения b — 2,0 м. Определить: а) число зон Френеля в
отверстии; б) максимум или минимум интенсивности будет в центре дифракционной
картины?
Д ан о:
R = 1,0 мм,
а — 1,0 м,
b 2,0 м,
Х= 5-10" 7 м.
Решение. Физическую систему сос-
тавляют световая волна и диафрагма с круг-
лым отверстием. Так как источник света
находится на достаточно близком расстоянии
от диафрагмы, то световые волны будут
сферическими, а явление, наблюдаемое иа от-
верстии, будет называться дифракцией Фре-
неля.
Разобьем изображенную на рис. 18 волновую поверхность световой волны на зоны
Френеля, которые представляют собой сферические сегменты радиусом гп и высотой
п - ?
216
ft
\ a /
Puc, 19
. Из рисунка видно, что
г2 = Ь2 - ( Ъ + Л у2
'п п ' п'
r2n=a2-(a-hn)2,
где Ьп - расстояние от внешнего края л-й зоны до точки Р Ь + п —).
Приравнивая выражения (1) и (2) и пренебрегая значением h^получаем
(1)
(2)
Учитывая, что b2n - b2 = nbXt из выражения (1) находим радиус внешней границы
/ а Ъ\
л-зоны: r„ = V------- п '
п а + Ь
Так как радиус и-зоны Френеля г п совпадает с радиусом крутого отверстия диа-
(в + Ь)/?2
фрагмы R , то п =----------.
аЪ\
Подставляя значения величин, получаем п = 3. Следовательно, в точке Р будет мак-
симум картины.
Ответ. л = 3; в центре дифракционной картины будет максимум.
Пример 26. Два николя и расположены так, что угол между плоскостями ко-
лебаний составляет 60 . При прохождении света через каждый из : николей потери на от-
ражзкие и поглощение составляют 5 %. Найти, во сколько раз уменьшится интенсивность
света при прохождении через один и через оба николя.
Дано: Р е ш е н и е. Естественный свет, падая на
60 , грань призмы николя (рис. 19), расщепляет-
к = 5 %. ся вследствие двойного лучепреломления на
~~ 9 два луча: обыкновенный (о) и необыкновен-
но'Л-------------------------------ный (е). Оба луча полностью поляризованы,
и интенсивность их одинакова. Плоскости колебаний этих лучей указаны на рисунке. Не-
обыкновенный луч проходит через призму, уменьшая свою интенсивность на величину
потери интенсивности в николе N,, т.е. Z, 1/21Л (1 - к), где к « 0,05 (5 %) — относи-
тельная потеря интенсивности света в призме; —'«интенсивность естественного света,
падающего на первый николь. /
_ о
Относительное уменьшение интенсивности после прохождения николя ------- =
_ 7о _ 2
1/2ZO(1-*) 1-* ‘
217
Подставляя числовые значения, получаем IQ/I = 2,1, т.е. интенсивность уменьшается
в 2,1 раза.
Для определения интенсивности 7, которая будет после прохождения николя ,
воспользуемся законом Малюса (без учета потерь) I = 11 cos2 а, где а — угол между
плоскостью колебаний в поляризованном луче и плоскостью колебаний, пропускаемых
николем N.
Учитывая выражение для интенсивности Iи потери интенсивности во втором ни-
келе, находим I = 1/27(1— к} 2 cos2 а.
Л! U
Относительное уменьшение интенсивности после прохождения света через оба нико-
ля I /12 = 2/1 (1 - k)2cos2a]. *
Подставляя числовые значения, получаем ZQ/Z2 == 8,86, т.е. при прохождении света
через два николя интенсивность его уменьшится в 8,86 раза.
Дано:
О 1 ’ ’ О 2
Пример 27. Определить с помощью формулы Планка энергетическую светимость
ДЯ абсолютно черного тела, приходящуюся на узкий интервал длин волн Д X = 10 А, со-
Э о
ответствующий максимуму энергетической светимости при температуре тела Т = 3*10 К.
Решение. Физическую систему состав-
ляет абсолютно черное тело. Энергетическая
светимость dR^ приходящаяся на интервал
длин волн от X до X + dX, связана с распреде-
лением энергии излучения по длинам
з
волн
(1)
ДЯ - ?
W
ГХ Т соотношением
dR3 = '
Для нахождения воспользуемся формулой Планка для спектральной плотности
энергетической светимости абсолютно черного тела г
_ Лео3 1
(2)
где W - частота излучения; Л = 1,054’10"34 Дж«с— постоянная Планка; к = 1,38 X
X Ю"23 Дж* К - постоянная Больцмана; с — 3 408 м/с - скорость света в вакууме.
Найдем связь между интервалом частот dco и интервалом длин волн </Х. Длина вол-
ны X с частотой со связана соотношением
ч 2тгс
(3)
(4)
Дифференцируя выражение (3), получаем
2тгс X2
dX=^ dco^------------dco .
со2 2тгс
Энергетическая светимость, приходящаяся на интервал длин волн d\ равна с проти-
воположным знаком энергетической светимости, приходящейся на интервал частот dco,
т.е.
dG) =
d\ .
(5)
Подставляя выражение (4) в формулу (5), получаем
27ГС
откуда следует
218
(6)
Хг ~ гш,т
2 Яс
X2"
С учетом формул (1)— (3) и формулы (7) окончательно получаем
_ 4я2Й2с2 1
*'Т ~ Xs 2irhc/kTX
(7)
Поскольку речь идет о конечном и достаточно узком интервале длин волн, то
дяэ = ДХ, (8)
где — максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости
Ло
абсолютно черного тела при данной температуре* '
Для определения длины волны XQ, на которую приходится максимум восполь-
зуемся законом смещения Вина ®
\==Ь/Г, (9)
где 2,9040~3 м*К- постоянная Вина; Т- температура тела.
Подставляя выражения (7) и (9) в формулу (8), получаем, что энергетическая све-
тимость Д/?э абсолютно черного тела, приходящаяся на интервал длин волн, соответст-
вующий максимуму энергетической светимости при данной температуре,
4я2Йс2Г5 ДХ
АЛ = -------------------------. (10)
э bs lithe/(кТ) . X-
I -1
Подставляя в формулу (10) значения величин, получаем Д/?э = 3,2403 Вт/м2,
Ответ, Д/?э= 3,24О3 Вт/м2.
Пример 28. При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом
длиной волны 385 и 540 нм обнаружили, что соответствующие максимальные скорости
фотоэлектронов отличаются друг от друга в два раза. Найти работу выхода электрона с
поверхности, выразив ее в электрон-вольтах.
или
Дано:
Xj = 385 нм,
X = 540 нм,
V IV
1 шах 1 2 max
lithe
2
mv
max .
>
2
mv2
2max
2
Решение. В соответствии с уравне-
нием Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
можно записать:
mv2
2ЯЙ-1 = Л + -------;
X, 2
ZW2
2lth — = А +------Шах ,
\ ; 2
(1)
(2)
А - 7
Разделив выражение (1) на (2), получим
с
2?Тй — -Л
X, 1 т, ,
1 ( max ч 2 —
С . V2
2 ЯЙ — — A max
219
откуда следует, что работа выхода
$
(3)
2 1
Произведя вычисления по формуле (3) и принимая во внимание, что 1 эВ =
== 1,640“19 Дж, окончательно получим А = 2,0 эВ.
Ответ. А — - TTftc ( — - —) » 2,0эВ.
3 \ \
Пример 29. Пользуясь теорией Бора, показать, что энергия электрона в атоме водо-
рода принимает дискретный ряд значений, и определить энергию электрона, находящегося
на первой воровской орбите:
Дано:
т=9,11-10'31 кг,
е = 1,6-10'19 Кл,
е0= 8,85-Ю'12 Ф/м,
fi и 1,05-1 О'34 Дж-с,
п = 1.
Р е ш е н и е. Энергия электрона, находя*
щегося на л-й орбите, складывается из потен-
циальной энергии И'Р и кинетической
п п
I..' J
W -1
\ = w’n - »>
Потенциальная энергия электрона опре-
деляется соотношением » где -
потенциал электрического поля на расстоянии
п , созданный ядром атома водорода: - е+/^1Т€огп* Следовательно,
е2
ц/Р = —t—
4тгеоги 4геоги
Кинетическая энергия электрона
-М.
(2)
(3)
где V - скорость электрона на n-й орбите.
Определим г и
По закону Кулона, ядро атома водорода и вращающийся
модействуют с силой
е2
г2
on
С другой стороны, по второму закону Ньютона, F == та, а ускорение а = v2*Jr
Следовательно,
е2
47ге<Л
вокруг него электрон взаи-
эл
mvn
п1 п'
(4)
п
i
*
$
v
(5)
Для решения уравнения (4) нужно еще одно уравнение с теми же неизвестными.
Его дает один из постулатов Бора (постулат квантования орбит), т.е.
mVnrn = п* >
где п = 1,2...— целое число (номер орбиты).
Решая совместно уравнения (4) и (5),имеем:
220
(6)
(7)
4TT60«2»2
nh
В окончательном виде выражение (1) с учетом (2), (3), (6), (7) для энергии элект-
рона в атоме водорода получаем
• 4
те
W» = ~ 321^ Ы ' (8)
т.е. энергия принимает дискретный ряд значений.
При п = 1 (первая боров ская орбита) выражение (8) примет вид
4
те
1 32 я2 е2й2
Произведя вычисления, получим Wt = 2Д6-10-18 Дж.
4 4
те те
Ответ, = - ---------„ _ „ : W' = - .....
32я2е2п2й2 1 32тт2е2й2
2,16-Ю-18 Дж.
Пример 30. Определить потенциал ионизации и первый потенциал возбуждения атома
водорода.
Дано: Решение. Потенциал ионизации - это
е, Й , - наименьшая разность потенциалов U. , кото-
7" ~ ? рую должен пройти электрон в ускоряющем
*7 ” * ~ * электрическом поле, чтобы его энергия eU.
была достаточна для ионизации невозбужденного атома электронным ударом. Величина
eU. равна работе вырывания электрона из атома, т.е. работе ионизации:
А. « eU. . (1)
Процесс вырывания электрона из атома водорода эквивалентен процессу перехода
электрона с первой боровской орбиты ( = 1) на бесконечно удаленную орбиту
(и^ = сю ). Для осуществления такого перехода необходимо, чтобы атом поглотил,
учитывая квантовый характер поглощения, фотон, энергия которого Йсо. Тогда, исполь-
зуя формулу Бальмера и положив в ней указанные выше значения квантовых чисел и,
получаем
„ 1
А ~ ftco = Rh ( —
п1
—2) = *R,
п"
(2)
где R == 2,0740й рад/с- постоянная Ридберга.
Из выражений (1) и (2) находим потенциал ионизации: СЛ = KR/e = 13,6 В.
Возбуждение происходит при столкновениях атома с частицей, например электроном,
ускоренным электрическим полем, или при взаимодействии его с квантами электромаг-
нитного излучения. В данном случае атом водорода переходит в первое возбужденное сос-
тояние. Следовательно, можно приравнять работу сил ускоряющего электрического поля
eUy энергии йсо фотона, поглощенной атомом при переходе с первого ( л* = 1) на вто-
рой («^=2) энергетический уровень: eU^ = йсо, или eU^ = fiR ( —- 1^) , где —
первый потенциал возбуждения. 12
Отсюда С/ « 3fiR / (4е) = 10,2 В.
221
hR 3tlR
Ответ. U. ~ — = 13,6 В; СЛ =-------- = 10,2 В.
* е 4е
Пример 31. Найти длину волны де Бройля:, а) электрона, летящего со скоростью 0,8 с
(с — скорость света в вакууме); б) шарика массой m = 10-3 кг, летящего с такой же
скоростью.
Дано:
V= 0,8 с,
с= 3*108 м/с,
гап4. = 9>1110"31 кг-
m == Ю’3 кг.
2
Р е ш е н и е. Длина волны де Бройля оп-
ределяется выражением X = 27ttl/(mv ),
где т - масса движущейся частицы.
Рассмотрим движущуюся частицу. Так как
частица релятивистская, то ее масса • изме-
няется в зависимости от скорости: т =
= —Л.”” ~ > где т0 ~ масса покоя чао
Vi-v2/*2
тицы. Следовательно,
27ГЙ х/1” V2/c2
X =-----------------. (1)
Для электрона Хх ~ 1,8Г10"*12-м.
Согласно выражению (1), для шарика массой т длина волны де Бройля Х = 1,65 X
X 10"29 м.
Таким образом, волновые свойства наиболее ярко проявляются у микрочастиц.
Mfhjl-v2/2 _
Ответ. X = ---------------;Х = 1,81-10 12 м; X, = 1,65-10 12 м.
mov
Пример 32. Частица находится в основном состоянии (л = 1) в потенциальном ящи-
ке шириной Z с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < х < I). Найти вероятность на-
хождения частицы в областях: 0 < х < Z/3; 1/3 < х < 2Z/3.
Дано: Решение. Вероятность нахождения
л= 1,
0 < х <1,
0 < х < Z/3,
Z/3 < х < 21 /3.
Л(Х)-?Л(х)-?
Л *
ил
sin —
частицы в интервале dx связана с плотностью
вероятности | ф (х ) |2 соотношением
dP= | ф(х)|2Лс ,
где ф(х) — нормированные волновые функ- * 1
ции, которые для частицы, находящейся в
бесконечно глубоком одномерном потенциа-
льном ящике, можно записать в виде
(1)
где п = 1,2,3...
Учитывая выражение (1) и то, что частица находится в основном состоянии ( п = 1),
окончательно получаем
__ 2.0 ТГХ •»
dP s= - sin2 ---- dx . (2)
Z Z
Интегрируя выражение (2) в пределах от х = 0 до х = Z/3, определяем вероятность
нахождения частицы в этом интервале;
222
Р. = — f sm2--------- dx.
1 1 о '
о
Используя соотношение sin а=(1- cos2а) /2,вычисляем интеграл:
1 1>(3 2я* ч rf 1f I . 21ГХ 1/3
Рл = - J (1 - cos------- ) ах = -(х-------sin----- ) I =
1 I 0 I I 2ТГ I о
1 1 . 27Г 1 х/з
= - - — sin — =- - - V- = 0,195.
3 27Г 3 3 4тг
Аналогично можно найти вероятность Р2 нахождения частицы в интервале
1/3 < х < 21/3. Но можно это сделать проще: в силу симметрии =. Р3, а сумма вероят-
ностей Р +Р2 +Р3 == 1 (это следует из условия нормировки волновой функции), поэто-
му Р_ =з 1 - 2Р = 0,61.
//3
Ответ. Р - — J sin2 — dx = 0,195; Р = 0,61.
1 I Л I 2
i О
Пример 33. Энергия возбуждения атома водорода = 12,09 эВ. Определить воз-
можные значения орбитального момента импульса электрона в возбужденном сос-
тоянии этого атома.
Дано: Решение. Орбитальный момент им-
= 12,09 эВ, пульса электрона определяется азиму-
w= 1. t тальным квантовым числом I, которое при-
-------------- нимает значения от нуля до п - 1, где п —
Lf - ?---------главное квантовое число:
Lt = fl sj'l ~l +1).
Так как ряд возможных значений I ограничен величиной w, то определим главное
квантовое число. Собственные значения энергии электрона в атоме водорода определяют-
ся по формуле (см. пример 30):
=-13,6/гг2 эВ.
Состояние электрона в атоме водорода с п — 1 является основным. В этом состоянии
электрон обладает минимальной из дискретного ряда возможных для электрона энергий
(W == —13,6 эВ). При возбуждении атома электрон переходит на «-уровень, характери-
зуемый энергией Wn . Следовательно, разность между значениями энергий ’ V и
будет численно равна энергии возбуждения, т.е. W — W W , Подставив числовые зна-
л 1 6,6
чения величин, выраженные в электрон-вольтах, получим — —— + 13,6 = 12,09, откуда
гг
п = 3. Следовательно, I = 0,1,2, а орбитальные моменты импульса соответственно рав-
ны 0, Я ч/Т, "Й л/б7
Ответ. При: a) Z = 0 I = 0;5); = ll = »Vf = 1,49-Ю-34 Дж.с; в) I = 2
L = х/б" == 2,60-Ю"34 Дж-с.
Пример 34. Найти вероятность того, что свободный электрон в металле при Т =
= 293 К будет находится в состоянии, характеризуемом: а) энергией, равной энергии
Ферми б) энергией, отличающейся от на ± 0,1 эВ.
223
Дано:
Т= 293 К,
W- WF = ± ОД эВ.
ЛЮ-?
Решение. Вероятность того, что при
температуре Т в состоянии, характеризую-
щемся энергией Wt будет находиться электрон,
определяется функцией распределения Фер-
ми-Дирака:
1
/(Ю = - епт ’ (1)
е +1
где W - кинетическая энергия свободного электрона при температуре Г; WF - энергия
Ферми (уровень Ферми); к — постоянная Больцмана.
Если W— то в формуле (1) показатель степени равен нулю и /(^) = 0,5.
Если состояние электрона характеризуется энергией IV, отличающейся от на в ели-
чину +0,1 эВ, то это значит, что электрон находится на уровне, расположенном выше, чем
уровень Ферми.
Вероятность того, что этот уровень будет занят электроном, определим по формуле
(1), полагая, что W— — 0,1 эВ и кТ = 0,025 эВ:
1 1 .
/(IV) =--------------= -------- = 1,8'10 .
ео,1/0,025 +1 е4+1
При W- Wp = —0,1 эВ
f (Ю = = 0,98.
е 4 +1
Ответ. f(W) =----------------- ; a) F(JK-.) = 0,5; 6) при W - И\,= 0,1 эВ
e(W-WF)l(.kT)+1 F *
f(W) = 0, 018; при W-WF- -0,1 эВ /(Ю = 0,98.
Пример 35. Найти отношение характеристических температур Дебая и Эйнштейна,
зная выражение UQ m в формулах Дебая и Эйнштейна.
Дано: Решение. Нулевая молярная энергия
в теории Дебая определяется по формуле
WQ3~
max*
От g A max ’
где - число Авогадро.
Введя характеристическую температуру Дебая вд = ^тах/^»где
максимальная частота нормальных колебаний решетки, получим
= ~ R°n *
о m g д
В теории Эйнштейна нулевая молярная энергия определяется по формуле
(1)
ип = - N.tiu , (2)
о m 0 А '
Л/
тде со - собственная частота колебаний решетки.
С учетом характеристической температуры Эйнштейна 0$ == Йсо / к формулу (2)
можно привести к виду
U^m=~Re3- <3>
224
Разделив выражение (2) на выражение (3), получим = 4/3.
Ответ. О п/в о = 4/3.
Пример 36. Определить, сколько ядер в 1,0 кг радиоизотопа церия
1
144
саСе Рас-
3 W
падетсяв течение промежутков времени:. Д^ = 1 с; Д t2 = 1 год. Период полураспада
церия Т — 285 сут.
Дано:
т0 - 1,0 кг,
ДГх = 1с,
Д Г = 1 ГОД .
*
Решение. Так как Д t < < Т, то мож-
но считать, что в течение всего промежутка
времени Д^ число нераспавшихся ядер ос-
тается практически постоянным и равным их
начальному числу NQ, Для нахождения числа
распавшихся ядер Д2У используем закон
радиоактивного распада в виде ХЛ^ Д11,
где X = In21Т - постоянная радиоактивного распада. Знак ’’минус” опущен, так как под
ДЛ^ подразумевается положительная величина - N.
Начальное число ядер
m
No = NAV=NA — •
° А л м
где тп 0 - начальная масса препарата; М - молярная масса изотопа 58 Се, численно рав-
ная (приблизительно) его массовому числу (ЛГ= 0,144 кг/моль). Учитывая (1) и (2),
получаем ж_ ж _
7 тЛЛ\ДГ. 1п2
ДАТ= _0-Л-
1 тм
an - ? дл, - ?
1 *
(2)
(3)
Так как д и Т - величины одного порядка, то для решения воспользуемся зако-
ном радиоактивного распада:
ЛГ= JVoe~Xf ,
где N- число ядер, еще не распавшихся к моменту времени t.
Тогда число ядер, распавшихся за время Г, Д7У » N - 7V= TV (1 - , где t
Л V V
= дг = 1 год.
Учитывая выражения (1) и (2) > можно записать:
Л\т„ - —ДС
ДАТ, = Л-° (1-е Т 2 ).
2 М
In 9
Так как е = 2, то уравнение примет более простой вид:
N.m. —At/T
&N = А 0 (1 — 2 2 ). (4)
2 2
Произведя вычисления по формулам (3) и (4), получим: Д7У} = 1,2‘10 ядер; ДЛ^ -
= 2.51018 ядер. „ to2 Л m -At IT
Ответ. AN = А 0—1-------- = 1,17-Ю17 ядер; AN ® -А-® (1-2 Д V7 ) =
1 ТМ 2 2
== 2,454024 ядер.
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Плотность веществ
Вещество р, 10^ кг/м3 Вещество р, 103 кг/м3
Твердое тело Жидкость
Алмаз S5 Бензол 0,88
Алюминий 2,7 Вода 1,00
Вольфрам 19,1 Глицерин 1,26
Графит м Касторовое масло 0,90
Дерево 0,8 Керосин 0,80
Железо (сталь) 7,8 Ртуть 13,6
Золото 19,3 Спирт 0,79
Кобальт 8,9 Тяжелая вода 1,1
Кирпич 1,8 Эфир 0,72
Лед 0,9
Олово 7,8 Газы
Медь 8,9
Никель 8,8
Платина 21,5 Азот 1.25-10-3
Пробка 0,2 Аммиак 0.7740-3
Свинец 11,3 Водород 0,09* 10-3
Серебро 10,5 Воздух 1Д9310-3
Титан 43 Гелий 0.1840-3
Уран 19,0 Кислород 1.4340”3
Фарфор 2,3 Метан 0.7240-3
Цинк 7,0 Углекислый газ 1.9840-3
Хлор 3,2140“’
2. Упругие постоянные» Предел прочности
Материал Модуль Юнга £, ГПа Модуль сдвига G, ГПа Коэффи- циент Пуассона Д Коэффи- циент про ности О , ГПа m Коэф фи- ч-циент сжимае- мости ДГПа-1
Алюминий 70 26 0,34 0,10 0,014
Медь 130 40 0,34 0,30 0,007
Свинец 16 5,6 0,44 0,015 0,022
Сталь (железо) 200 81 0,29 0,60 0,006
Стекло 60 30 0,25 0,05 0,025
Вода — — —> 0,49
Примечание. Коэффициент сжимаемости 0 == _ _1 дУ V др
226
З.Коэффициенты теплового расширения (при комнатной температуре)
Твердое тело Коэффициент линейного расширения а, ю~6 К”1 Жидкость Коэффициент объемного расширения Д кг4 к-1
Алюминий 22,9 Вода 2,1
Латунь 18,9 Глицерин 5,0
Медь 16,7 Керосин 10,0
Сталь (железо) 11 Ртуть 1,8
Стекло обычное 8Л Спирт этиловый 11,0
Свинец 29,0 Серная кислота 5,6
1 dl _ 1 dV
, -------, 0 = — — ,
I дТ V дТ
4. Температура плавления и удельная теплота плавления некоторых газов
Вещество Температура плавления Т, К Удельная теплота плав-
ления q , кДж/кг
Алюминий 933 400,0
Вольфрам 3660 184,6
Железо 1803 277,0
Лед 273 335,0
Медь 1356 213,0
Олово 505 60,7
Свинец 600 25,0
Серебро 1233 105,0
5. Удельная теплота сгорания
Вещество Удельная теплота сгорания q > 10f Дж/кг Вещество Удельная теплота сгорания q, 10** Дж/кг
Бензин 4,61 Керосин 4,61
Дерево 1,26 Нефть 4,61
Каменный уголь 2,39 Спирт 2,93
227
6. Постоянные некоторых жидкостей
Жидкость Поверхностное натяжение а (при комнатной температуре), 10-2 Н/м Вязкость 17, мПа*с Температура парообразо- вания (кипе- ние) Т, К Удельная теплота паро- образования (при тем- пературе кипения) q, 10* Дж/кг
Вода 7,4 1,0 373 22,60
Глицерин 6,6 8.5-102 —
Ртуть 47,1 1,6 630 2,82
Спирт 2,2 5 351 9,05
7. Удельная теплоемкость веществ
Вещество кДж £» кг-К Вещество кДж с» кг-К
Твердое тело Жидкость
Алюминий 0,90 Бензин 2,09 m
Бронза 0,38 Вода 4,18 Ш
Вольфрам 0,13 Глицерин 2,42
Дерево (дуб) 2,40 Масло (трансформа- 2,09
Железо 0,46 торное)
Золото 0,13 Нефть 1,67-2,09
Латунь 0,38 Ртуть 0,14
Лед 2,09 Скипидар 1,76
Медь 0,39 Спирт 2,42
Нихром 0,46 Эфир этиловый ’ 2,34
Олово 0,20 Газы
Парафин 3,20 Азот 1,04
Платина 0,13 Водяной пар 2,13
Пробка 2,05 Водород 14,27
Свинец 0,13 Воздух 1,01
Серебро 0,23 Гелий 5,20
Сталь 0,50 Двуокись углерода 0,88
(СО2)
Стекло 0,67-0,83 Кислород 0,91
Углерод (Графит) 0,46-0,71 Метан 2,48
Фарфор 0,75 Окись углерода 1,04
Цинк 0,38
Чугун 0,54
Эбонит 1,38
228
8. Характеристики некоторых газов
Газ Относи- тельная молеку- Тепло- С провод- 7= —& ность Вяз- кость Диаметр молеку- лы d, Постоянные Ван-дер- Ваальса
п 6
лярная масса CV мВт х» — м-К ц, мкПа*с нм Па*м , „ а, Ь, 10 моль м3 м
Не 4 1,67 141,5 18,9 0,20
Аг 40 1,67 16,2 22,1 0,35 0,132 32
Н2 2 1,41 168,4 8,4 0,27 0,024 27
N2 28 1,40 24,3 16,7 0,37 0,137 39
°2 32 1,40 24,4 19,2 0,35 0,137 32
С02 44 1,30 23,2 14,0 0,40 0,367 43
Н2° 18 1,32 15,8 9,0 0,30 0,554 30
Воздух 29 1,40 24,1 17,2 0,35 — —
Примечание, Значение 7, К и fl - при нормальных условиях.
9. Критические температура и давление
Газ о„ ,'к- с р„, МПа .К
Азот -146 3,3
Водяной пар 374 22
Кислород -119 5,0
Углекислый газ 31 7,4
10. Давление и плотность насыщенных водяных паров
при различных температурах
Г, К Давление р, кПа Плотность р, Ю"3 кг/м3
273 0,61 4,8
278 0,87 6,8
283 1,22 9,4
288 1,70 12,8
293 2,33 17,3
298 3,15 23,0
303 4,23 30,3
308 5,60 39,4
313 7,35 50,9
323 12,3 83,0
333 19,9 129,6
343 31,0 196,0
353 47,3 293,0
363 70,0 418,3
373 101,3 598,0
229
11. Удельное сопротивление проводников и изоляторов
Проводник Удельное со- противление (при 20 °C) р, нОм-м Температурный коэффициент а, Ю“3 к-1 Изолятор Удельное со* противление р, нОм*м
Алюминий 25 4,5 Бумага 10
Вольфрам 55 4,8 Парафин ю‘
Графит 3900 -0,8 Слюда 104
Железо 90 6,5 Фарфор ю4
Золото 20 4,0 Шеллак 10s
Медь 16 4,3 Эбонит 10s
Никелин 400 — Янтарь 108
Нихром 1100 0,4
Свинец 190 4,2
Серебро 15 4,1
12. Диэлектрическая проницаемость (относительная)
Диэлектрик е Диэлектрик 6
Вода 81 Слюда 7,5
Воздух 1,00058 Спирт 26
Керосин 2,0 Стекло 6,0
Парафин 2,0 Фарфор 6,0
Плексиглас 3,5 Эбонит 2,7
Полиэтилен 2,3
13. Магнитные восприимчивости пара- и диамагнетиков
Парамагнетики Х.Ю"6 Диамагнетики х.10-6
Азот 0,013 Водород -0,063
Алюминий 23 Бензол -7,5
Воздух 0,38 Висмут - 176
Вольфрам 176 Вода -9,0
Жидкий кислород 3400 Каменная соль -12,6
Кислород 1,9 Кварц -15,1
Марганец 121 Медь -10,3
Платина 360 Стекло -12,3
Эбонит 14 f
230
14. Интервалы длин волн, соответствующих данному цвету спектра
Цвет спектра Интервал длины волны, нм Цвет спектра Интервал длины волны, нм
Фиолетовый Синий Голубой Зеленый 400-450 Желтый 560-590 450-480 Оранжевый 590-620 480-500 Красный 620-760 500-560
15. Показатель преломления
Вещество п Вещество п
Азот 1,00030 Глицерин 1,47
Кислород 1,00027 Сероуглерод 1,63
Воздух 1,00029 Кварц 1,46
Спирт 1,36 Стекло 1,50
Вода , 133 Алмаз 2,42
Бензол 1,50
Примечание. Как известно» показатели преломления зависят от природы вещества и
длины волны света, поэтому приведенные значения п следует рассматривать как услов-
ные.
16. Работа выхода электронов из металла
Металл ^вых Металл л вых
эВ 10“19 Дж эВ 10"19 Дж
Алюминий 3,74 5,98 Литий 2,3 3,7
Вольфрам 4,5 7,2 Натрий 2,5 4,0
Железо 4,36 6,98 Платина 6,3 10,1
Золото 4,58 7,42 Серебро 4,7 7,5
Цинк 4,0 6,4
17. Основные характеристики некоторых элементарных частиц
Частица Символ Заряд, 10"19 Кл Масса, 10"2 7 кг
Нейтрон п 0 1,6748
Позитрон е* 1,6 0,000911
Протон Р 1,6 1,6724
Электрон е~ -1.6 0,000911
231
18. Масса нейтральных атомов
Элемент Z Изотоп Масса, а. е. м. Элемент Z Изотоп Масса, a. e. м.
Азот 7 N13 13,00574
Водород 1 н1 1,00783 N14 14,00307
н2 2,01410 N15 15,00011
н3 3,01605 Кислород 8 о16 15,99491
Гелий 2 Не3 3,01603 - о17 16,99913
Не4 4,00260 о18 17,99916
Литий 3 Li® 6,01513 Фтор 9 F19 18,99840
Li7 7,01601 Натрий 11 Na22 21,99444
Бериллий 4 Be7 7,01693 Na23 22,98977
Be9 9,01219 Магний 12 Mg23 22,99414
Be10 10,01354 Алюминий 13 Al30 29,99817
Бор 5 В9 9,01333 Кремний 14 Si31 30,97535
В10 10,01294 Фосфор 15 P31 30,97376
в11 11,00931 Калий 19 K41 40,96184
Углерод 6 с10 10,00168 Кальций 20 Ca44 43,95549
с12 12,00000 Свинец 82 Pb2°* 205,9744
с13 с14 13,00335 14,00324 Полоний 84 Po21u 209,9829
/
19. Потенциал ионизации атомов
Z Atom Потенциал ионизации В Z ’ Атом Потенциал ионизации В
1 H 13,59 7 N 14,54
2 He 24,58 8 0 13,62
3 Li 5,39 9 F 17,42
4 Be 9,32 10 Ne 21,56
5 В 8,30 11 Na 5,14
6 C 11,27 80 Hg 10,44
20. Период полураспада радиоактивных изотопов
Изотоп Тип распада Период полураспада
Актиний 2о«Ас 8 9 а 10 сут = 8,64-105 с
Йод I 3 □ Г. 7 8 сут = 6,9-105 с
Иридий 1921г Д“.7 75 сут а 6,5 -106 с
Кобальт *°Со 27 5,3 года= 1,7*108 с
Магний 2? Mg Л Лл 3“ 10 мин = 600 с
Радий 21д Ra о о а 10"3 с Г
Радий 2?.Ra ио а, у 1620 лет = 5,12-Ю10 с
Радон 222 Rn ОО а 3,8 дня 5= 3,28* 10s с
Стронций Sr 3 8 0" 28 лет = 8,85-10® с
Торий 229 Th а, 7 7000 лет = 2.2-1011 с
Уран 23® U а,7 4Л'109лет= 1,4-Ю17 с
Фосфор 82 Р . 0- 14,3 сут = 1,24-10® с
21. Значения тригонометрических функций
Угол, град sin tg ctg cos
0 0,0000 0,0000 со 1,0000 90
1 0,0175 0,0175 57,29 0,9998 89
2 0,0349 0,0349 28,64 0,9994 88
3 0,0523 0,0524 19,08 0,9986 87
4 0,0698 0,0699 14,30 0,9976 86
5 0,0872 0,0875 11,43 0,9962 85
6 0,1045 0,1051 9,514 0,9945 84
7 0,1219 0,1228 8,144 0,9925 83
8 0,1392 0,1405 7,115 0,9903 82
9 0,1564 0,1584 6,314 0,9877 81
10 0,1736 0,1763 5,671 0,9848 80
11 0,1908 0,1944 5,145 0,9816 79
12 0,2079 0,2126 4,705 0,9781 78
13 0,2250 0,2309 4,331 0,9744 77
14 0,2419 0,2493 4,011 0,9703 76
15 0,2588 0,2679 3,732 А9659 75
16 0,2756 0,2867 3,487 0,9613 74
17 0,2924 0,3057 3,271 0,9563 73
18 0,3090 0,3249 3,078 0,9511 72
233
Окончание прил. 21
19 0,3256 0,3443 2,904 0,9455 71
20 0,3420 0,3640 2,747 0,9397 70
21 0,3584 0,3839 2,605 0,9336 69
22 0,3746 0,4040 2,475 0,9272 68
23 0,3907 0,4245 2,356 0,9205 67
24 0,4067 0,4452 2,246 0,9135 66
25 0,4226 0,4663 2,145 0,9063 65
26 0,4384 0,4877 2,05Q 0,8988 64
27 0,4540 0,5095 1,963 0,8910 63
28 0,4695 0,5317 1,881 0,8829 62
29 0,4848 0,5543 1,804 0,8746 61
30 0,5000 - 0,5774 1,732 0,8660 60
31 0,5150 0,6009 1,664 0,8572 59
32 0,5299 0,6249 1,600 0,8480 58
33 0,5446 0,6494 1,540 0,8387 57
34 0,5592 0,6745 1,483 0,8290 56
35 0,5736 0,7002 1,428 0,8192 55
36 0,5878 0,7265 1,376 0,8090 54
37 0,6018 0,7536 1,327 0,7986 , 53
38 0,6157 0,7813 1,280 0,7880 52
39 0,6293 0,8098 1,235 0,7771 51
40 0,6428 0,8391 1,192 0,7660 50
41 0,6561 0,8693 1,150 0,7547 49
42 0,6691 0,9004 1,111 0,7431 48
43 0,6820 0,9325 1,072 0,7314 47
44 0,6947 0,9657 1,036 0,7193 46
45 0,7071 1,0000 1,0000 0,7071 45
cos ctg tg sin Угол,
град
ЛИТЕРАТУРА
Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. - М»: Наука» 1979.
Гинзбург ВЛ. и др. Сборник задач по общему курсу физики / Под ред. И.А. Яковле-
ва» Д.В. Сивухина. - М.: Наука, 1977-1982, - Ч. 1-5.
Детлаф А.А., Яворский Б.М., Милковская Л.Б. Курс физики. - М.: Высш. шк„
1973-1979.-Т. 1-3.
Иродов И.Е. Задачи по общей физике. - М.: Наука, 1979.
Иродов И.Е. Основные законы механики. - М.: Высш, шк., 1985.
Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма. - М.: Высш, шк., 1983.
Ландсберг Г.С. Оптика. - М.: Наука, 1976.
Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1978-1982. - Т. 1-3.
Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по о^щей физике. - М.: Наука, 1982.
Сена А.А, Сборник вопросов и задач по физике. - М.: Высш, шк., 1986.
СивухинД.В. Курс общей физики. - М.: Наука}, 1977-1986. - Т. 1-5.
Стрелков С.П., Эльцин И.А., Яковлев ИА. Сборник задач по общему курсу физики/
Под ред. С.Э. Хайкина. - М.: Физматгиз, 1960. - Ч. 1.
Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высш, шк., 1985.
Фирганг Е,В. Руководство к решению задач по курсу общей физики. - М.: Высш, шк.,
1978.
Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник до физике. - М.: Высш, шк., 1981.
Яворский Б.М., Детлаф А А. Справочник по физике. - М.: Наука, 1980.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От авторов . ...............................................................3
Методические рекомендации...................................................4
Основы классической механики и специальной теории относительности
Задание 1. Кинематика..................................................6
Задание!, Динамика материальной точки................................12
3адание 3. Законы сохранения......................................... 19
Задание 4. Динамика тв ердого тела.....................................26
Задание 5. Гравитационное поле. Неинерциальные системы отсчета........34
Контрольная работа № 1.....................................................40
Задание 6. Элементы специальной теории относительности................40
Задание 7. Механические колебания и волны.............................45
Молекулярная физика и термодинамика
Задание 8. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов............51
Задание 9. Основы термодинамики.......................................56
Задание 10. Реальные газы. Фазовые равновесия и переходы...............61
Контрольная работа № 2.................................................... 65
Электростатика. Постоянный ток
Задание 11, Закон Кулона. Напряженность электрического поля............67
Задание 12. Основные закономерности электростатического поля...........72
Задание 13. Проводники в электрическом поле. Электрическое поле в диэлектри-
ках ...................................................................... 77
Задание 14. Электроемкость. Энергия электрического поля................84
Задание 15. Постоянный электрический ток...............................89
Контрольная работа № 3.....................................................94
Электромагнетизм
Задание 16. Магнитное поле в вакууме...................................96
Задание 17. Магнитное поле в веществе.................................102
Задание 18. Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла............107
Задание 19. Электромагнитные колебания и волны........................113
Контрольная работа № 4....................................................118
Волновая оптика. Квантовая природа излучений
Задание 20, Интерференция света..................................... 119
Задание 21. Дифракция света...........................................121
Задание 22. Поляризация и дисперсия света. Элементы оптики движущихся
сред................................................................ .... 131
Задание 23. Тепловое излучение. Квантовая природа излучения...........138
Контрольная работа № 5 ................................................. 143
Основы физики квантовых явлений
Задание 24. Физика атома. Элементы квантовой механики ................144
Задание 25. Элементы квантовой статистики и физики твердого тела ...... 148
Задание 26. Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц.......153
Контрольная работа № 6....................................................157
Ответы. .*................................................................158
Примеры решения задач.....................................................189
Приложения................................................................226
Литература ............................................................ 235
г
ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
Наименование
Обозначение
Числовое значение
Скорое» света в вакууме
Гравитационная постоянная
Постоянная Авогадро
Молярная газовая постоянная
Постоянная Больцмана
Объем моля идеального
газа при нормальных условиях
Число Лошмидта
7V.
R
k=R/N,
2,99792458 10е м-с"1
6,6720-1О’11 Н>м2-кг" 2
6,02204540” моль"1
8,31441 Дж моль"1 К"1
1380662-КГ23 Дж-К"1
4
22,41383-КГ3 мкмоль”1
2,68740” м"3
Масса покоя электрона
Заряд электрона
(абс. величина)
Удельный заряд электрона
Постоянная Фарадея
Магнитная постоянная
Электрическая постоянная
Постоянная Планка
Постоянная Стефана—Больпмана
Постоянная закона смещения Вина
Постоянная Ридберга
Магнетон Бора
Ядерный магнетон
Атомная единица массы
те
9,109534*10"3* кг
е/лг,
С
F=N*e
*
1,602189240г1’ Кл
1,758804740*1 Кл-кг"*
96484,56 Кл-моль"1
4ir-l€F 7 Гн-м"1 = 1,25663706х
X 10Г« Гн-м"*
О
8,85418782-1(Г12 Ф.М‘
h . 6,626176-10Г3* Дж-с
И -h]2ir 1,054588740г34 Дж>с
а 5,6740"® ВТ‘М"3’К“*
Ъ 2,89840"’ мЖ
а,еьм.
2,0740** с"1
0,9274-Ю"23 Дж-Тл"1
5,05140"” Дж-Тл"*
1,бб05655(86)4(Г” кг
931,5 МэВ
АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Космическое тело Средний радиус, м Масса, кг Средняя плот- ность, КРкпм3 Период вращения вокруг оси, сут
Солнце 6,95-108 1.99-1O30 1,41 25,4
Земля 6,37-10® 5,98-102® 5,52 1,0
Луна 1,74-10® 7.35-1022 3,30 27,3
Расстояние от центра Земли до центра Солнца— 1,49-10’1 м
Расстояние от центра Земли до центра Луны — 3,84-108 м
МНОЖИТЕЛИ И ПРИСТАВКИ ДЛЯ ОБРАЗОВАНИЯ ДЕСЯТИЧНЫХ
КРАТНЫХ И ДОЛЬНЫХ ЕДИНИЦ И ИХ НАИМЕНОВАНИЙ
Множитель
1018
1015
1012
10’
10*
10?
1(Я
101
Приставка
Множитель
Приставка.
найме- обозначь
нование ние
наимено-
вание
обозначе-
ние
экса
лета
тера
гига
мега
кило
гекто
Дека
Э
П
Т
Г
М
К
Г
да
ПТ1
1(Г2
10Г3
1(Г6
КГ’
1(Г12
1(Г15‘
1(Г«
деци
санти
милли
микро
нано
пико-
фемто
атто
Д
с
м
мк
н
и
ф