Text
                    Министерство Российской Федерации
по связи и информатизации
Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики
СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ
ЗАДАНИЙ ПО ФИЗИКЕ
ЧАСТЬ 2
ПОД РЕДАКЦИЕЙ Т. К. СЕРЕБРЯКОВОЙ
Методические указания
к самостоятельной работе студентов
Новосибирск
2001


УДК 539(075.8) Кф-мн, доцент Т.А Лисейкина. (раздел 5.2) Кф-мн,. доцент Т.Ю Пинегина (раздел 1, 2, 4) Кф-мн, доцент В.М Татарников, (раздел 3.2) Ст.преи. Т.К.Серебрякова (раздел 1.2, 5.1, 6) Асс. И.В. Грищенко (раздел 3.1) Сборник индивидуальных заданий по физике (часть 2) Методические указания к самостоятельной работе студентов по курсу физики. Методические указания содержат задачи по разделам физики “Колебания”, “Волны”, “Волновая оптика” в виде индивидуальных заданий. Методические указания по решению задач даны в помощь студентам при их самостоятельной работе над заданиями. Методические указания для специальностей 2305, 2306, 2307,0710. Кафедра физики Рисунков 12, лит.названий - 9 наименований Рецензент: ст. преп. В. И. Агульник Утверждено редакционно-издательском Советом СибГУТИ в качестве учебного пособия. © Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2001
ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 4 2. Общие рекомендации по оформлению индивидуальных заданий 4 3. Колебания 5 3.1 Методические указания к решению задач по теме “Колебания” 5 3.1.1. Основные формулы и определения 5 3.1.2. Механические незатухающие колебания 6 3.1.3. Незатухающие колебания в электрическом контуре 7 3.1.4. Затухающие механические колебания 9 3.1.5. Затухающие колебания в электрическом контуре 10 3 Л. 6. Примеры решения задач 12 3.1.7. Сложение колебаний 16 3.2. Индивидуальное задание по теме “Колебания” 18 4. Волны 33 4.1. Упругие волны (основные понятия и формулы) 33 4.2. Электромагнитные волны (основные понятия и формулы) 39 4.3. Индивидуальное задание по теме “Волны” 42 4.4. Методические указания к решению задач индивидуального задания по теме “Волны” 53 5. Волновая оптика _ ^ 57 5.1. Индивидуальное задание 1 по теме “Волновая оптика” 57 5.2. Индивидуальное задание 2 по теме “Волновая оптика” (задачи повышенной трудности) 76 6. Литература 87 -3-
1. ВВЕДЕНИЕ Настоящие методические указания представляют собой сборник шд«Ч, охватывающий материал по курсу физики 2-го семестра технического ври. м виде индивидуальных заданий. В методические указания включены индивидуальные задания по темам “Колебания”, “Волны” и “Волновая оптики Номер варианта соответствует номеру, под которым студент записан в журнале группы. 2. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОФОРМЛЕНИЮ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 1. Индивидуальные задания должны выполняться в отдельных тетрадях и оформляться согласно требованиям, предъявляемым к оформлению работ в техническом вузе: -титульный лист; -рисунки и графики по ГОСТу. 2. Условие задачи сначала записать полностью. 3. Затем необходимо сделать краткую запись условия, все единицы измерения величин перевести в СИ. 4. Сделать рисунок, иллюстрирующий решение задачи. Рисунок выполнить аккуратно, четко, с помощью чертежных инструментов. 5. Решение задачи сопровождать текстовым пояснением, обосновывая выбор физических законов, упрощений, предельных переходов, если они применяются по ходу решения. Без текстового описания индивидуальные задания не принимаются. 6. Вывести расчетную формулу в общем виде, проверить ее по размерности. Если возможно, избегать промежуточных вычислений. 7. Подставить исходные числовые данные, рассчитать результат, продумать его реальность. 8. Построить графики (если требуется по условию задачи) с помощью чертежных инструментов и обязательным указанием по координатным осям величин, их масштабов и размерностей. Дать заключение о результате полученной на графике зависимости. -4-
3. КОЛЕБАНИЯ 3.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ “КОЛЕБАНИЯ” 3.1.1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Колебания - движения или процессы, в той или иной мере повторяющиеся во времени. Колебательная система - система, совершающая колебания. Свободные колебания - колебания, которые совершаются при отсутствии внешних воздействий на систему. Они возникают за счет однократного выведения системы из положения устойчивого равновесия. Колебания незатухающие, если не происходит превращение энергии колебаний в другие виды энергии. Колебания гармонические, если значение колеблющейся величины изменяется со временем по закону синуса или косинуса: S = A cos(co0t + (р0) или S = As>m(coQt + (р0), где S - значение колеблющейся величины в момент времени t, - А - максимальное значение колеблющейся величины, амплитуда колебаний - аь - круговая частота (циклическая частота) колебаний: число колебаний в 2 тс единиц времени [рад/с]; - (бУоТ+фо) - фаза колебаний в момент времени t\ <р0 - начальная фаза колебаний в момент времени /=0. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. S" + o)20S = 0. Обозначения: S" = S = ~. dt1 Период гармонического колебания - промежуток времени Т, за который фаза колебания увеличивается на 2тс. Это минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяется значение колеблющейся величины: т 1 Г = — [с]. со о Частота колебаний - число полных колебаний, совершаемых в единицу времени: 1 со.
3.1.2. МЕХАНИЧЕСКИЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ В механических системах при отсутствии сил трения и сил сопротивлений возникают свободные незатухающие колебания под действием упругих 1ии Fynp. (пружинный маятник, рисунок l) и квазиупругих сил /'„ (математический маятник, рисунок 2). 4-ШШ Х=0 ->х Рисунок 1 Рисунок 2 Дифференциальное уравнение: х" + (QqX = О, х - смещение груза от положения равновесия, а где циклическая частота колебаний, пружинного маятника: зависящая от соп COq параметров - собственная системы. Для масса груза. где к - коэффициент упругости, жёсткость пружины, т - Для математического маятника: fl I где / - длина маятника (длина нити), g - ускорение свободного падения. Решением дифференциального уравнения является: х - Acos(co0t + (р0). В этом уравнении колебаний А - амплитуда, равная максимальному смещению. Начальная фаза колебаний щ определяется из начальных условий. Примечание: если в начальный момент времени смещение максимально, то удобно для х выбирать функцию косинуса, если в начальный момент времени смещение равно нулю, то удобно для х выбирать функцию синуса. Скорость груза при гармонических колебаниях определяется как первая производная от смещения по времени. Если уравнение смещения задано в виде: x = Acoi(<D0t + <p0), то скорость: U = + <dA .
где \o)qa\ = Umm - амплитуда скорости. Ускорение колеблющейся точки равно первой производной от скорости по времени или второй производной от смещения по времени: a = U' = х" = ~со\А cos(<у0 / + ^0), где = яшах - амплитуда ускорения. Энергия колеблющегося тела. Отклонив маятник от положения равновесия, ему сообщили потенциальную энергию, В случае пружинного маятника потенциальная энергия определяется по формуле: цг _ _ со^тх2 _ кА2 cos(a>0t + <р0) 2 2 " 2 В случае математического маятника: Wp - mgh ~ mg1(l - cos а), где а - малый угол отклонения нити от положения равновесия, h - высота подъёма груза относительно точки равновесия (рис. 1,2). Разложив косинус в ряд, получим: w mga2l пио20(а212) т<я\хг т&\А2 cos2(a>0t + <р0) р ~ 2 ~ 2 ~ 2 ~ 2 При колебаниях маятник будет обладать энергией Е, которая в любой момент времени представляет собой сумму потенциальной и кинетической энергий: E~Wp + Wk. В изолированной системе полная энергия остается постоянной при любых взаимодействиях внутри системы: Е - const. Кинетическая энергия маятника: mUl mcoiA2. 2/ \ Wk = -у- = —~ sin (a><,t + <p0). Полная энергия; mcolA2 2 В положении наибольшего отклонения тело имеет наибольшую потенциальную энергию: а кинетическая энергия в этот момент времени равна нулю. При прохождении телом положения равновесия его потенциальная энергия будет равна нулю, а кинетическая максимальна: W кшх 2 3.1.3. НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ В электрическом контуре, содержащем индуктивность и ёмкость, при отсутствии омического сопротивления возникают незатухающие -7-
электромагнитные колебания. При этом заряд и разность потенциалов пи обкладках конденсатора, ток в катушке, напряженность электрического и магнитного полей изменяются по гармоническому закону. Рисунок 3 Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда н контуре: q" + o)\q = О, где оэо - собственная циклическая частота колебаний, зависящая от параметров контура: а,вШ' Решением дифференциального уравнения является: Ч = Чш1ЮСО<й>0/ + <г>0), где qmax - максимальное значение заряда, амплитуда колебаний заряда. Примечание: если в начальный момент времени заряд конденсатора имеет максимальное значение, то для заряда удобно выбирать функцию косинуса с начальной фазой, равной нулю. Если в начальный момент времени в контуре максимальное значение имеет ток, то для заряда удобнее выбирать функцию синуса с начальной фазой, равной нулю. В остальных случаях обычно для заряда выбирают функцию косинуса, а начальную фазу определяют из начальных условий. Разность потенциалов на обкладках конденсатора U связана с зарядом и ёмкостью С конденсатора: и-*-. С Отсюда уравнение колебаний разности потенциалов на конденсаторе: и ~~с~ и™** C0SK' + n)> где Umgx = ~f- - амплитудное значение разности потенциалов. Сила тока в контуре тоже будет меняться по гармоническому закону: 7 = ~ О sin(cv + <р,) = - /max sin(<v + п\ гДе ^max - kmax^ol ~ амплитуда колебаний силы тока. Энергия контура „Полная энергия колебаний в контуре в любой момент времени складывается из энергии электрического поля конденсатора:
q1 CU} U2 W _ ,х_ _ —— и магнитного поля соленоида: Wmno = —. 2С 2 2 Заряд и ток в контуре меняются по гармоническому закону, соответственно изменениям заряда и тока будут изменяться энергия электрического поля и энергия магнитного поля: ^=”=“cos2(*v + «vb Kog =~у = sil,2K' + <Ро) = sin2 (ш0г + <»„) = ^ sin-(m„t + р„). Полная энергия контура: В случае максимального заряда конденсатора полная энергия контура будет равна максимальной энергии электрического поля: W - £s.a*. e/max ^ > а энергия магнитного поля в этот момент времени равна нулю. В случае максимального тока в контуре полная энергия будет равна максимальной энергии магнитного поля соленоида, а энергия электрического поля конденсатора в этот момент времени будет равна нулю: Ш - щах_ mag max ^ В любой момент времени полная энергия контура равна: a2 L12 w -W 4- W - 1 тах 1Т1ач rr pol ” rrd Т п mag ~ 2 С ~ 2 3.1.4. ЗАТУХАЮЩИЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В любой реальной системе всегда имеются силы сопротивления. Энергия системы уменьшается, т.к. частично расходуется на работу против сил трения, при этом амплитуда колебаний со временем убывает. Дифференциальное уравнение Если на маятник действует сила сопротивления среды F0=-rU, где U - скорость маятника, г - коэффициент сопротивления среды, то дифференциальное уравнение движения маятника имеет вид: х" + 2fix' + о)0х2 - О, где х - смещение маятника от положения равновесия, соо - циклическая IT г незатухающих колебаний со0 =, /?- коэффициент затухания fi = —, V m 2m к - жёсткость пружины, m - масса груза. Решением дифференциального уравнения является: х = х^е'^ соs(cot + ^0), частота -9-
где хт=х0е~^ - амплитуда, равная максимальному смещению, со - частот затухающих колебаний со = yjco] ~ j32. При (3 > о0 колебания в системе отсутствуют. Характеристики затухающих колебаний Логарифмический декремент затухания: 5 = 1 п—bM =р т, Г = —. xm{t + T) ю Критический коэффициент сопротивления среды: rkr = 24km. Время релаксации - время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз ( е~2,72): 1 Добротность системы: т - Р Скорость движения груза (при P«(Oq): U = sin(tftf + р0), где 6Г0 =х0бу0 - значение скорости в момент времени t=09 Um = - амплитуда скорости. Энергия маятника будет складываться из потенциальной и кинетической энергии. Потенциальная энергия: Wpo, = ^r[e"P' cos{at + <р0)]~. 2 Кинетическая энергия: W уукш 2 Полная энергия затухающих колебаний: wpc! = wr°, +wш= —■е'2/* COS2{at + #>„) + —^-е"2^ sin2(а* + <р0). кхг где = -у- - полная энергия системы в момент времени /=0. 3.1.5. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ Любой реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постоянно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания в контуре затухают. Дифференциальное уравнение колебаний заряда Для колебаний заряда в электрическом контуре, содержащем R,L и С дифференциальное уравнение имеет вид: - 10-
q" + 2Pq' + w\q = 0, D где q - заряд на пластинах конденсатора, р = — - коэффициент затухания, со0 = ~Д==г - циклическая частота собственных колебаний. 4Тс Решение дифференциального уравнения. Заряд на пластинах конденсатора изменяется по закону: - это уравнение является решением дифференциального уравнения. Я», - Яое~^ - амплитудное значение заряда, а = ^со] - J32 - циклическая частота затухающих колебаний, Т = — - период затухающих колебаний. а? Разность потенциалов на пластинах конденсатора: = Уое~** соа(<нг + р0>) где Um = • амплитудное значение разности потенциалов. Сила тока в катушке индуктивности (при р«со0у. I = qr = -I0e~^e sin(<xtf + ф0), где /0 = qQco0 - значение тока в момент времени t=0, Im = I0e- амплитудное значение тока. Энергия колебаний в контуре складывается из энергии электрического поля: 2 2С 2 С и энергии магнитного поля: WL=~L = Ife-2» sin V+ ?>»)• Полная энергия в любой момент времени: W =Ы1е-1Г» =We-2f* ~>с 2 где - полная энергия контура в момент времени t-0. Характеристики затухающих колебаний Логарифмический декремент затухания: = In = /Л ~ — ■?('+ т) I 1 R2 V LC 41) Время релаксации г - время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз: _1_ 2L Г~ Р~ R ’ Добротность контура связана с полной энергией: - 11 -
W(t) Q= 2n———Ц W(i) - W(t + T) где W(t) - полная энергия контура в момент времени f, W(t + Т) - полним энергия контура через период. При р«а% добротность можно выразим, формулой: q = E.-JL s рг Критическое сопротивление Rkr - наименьшее сопротивление, при котором прекращаются колебания в контуре: \1 \С 3.1.6. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЗАДАЧА 1. Максимальная скорость груза пружинного маятника 1 м/с, масса груза 100 г, максимальное отклонение от положения равновесия 1 см. Найти наибольшее значение силы, действующей на груз и написать уравнение незатухающих колебаний, если в начальный момент времени смещение равно нулю. Нарисовать график зависимости кинетической энергии груза от времени. Решение. 1) Так как груз совершает гармонические колебания, то сила, действующая на него, может быть выражена соотношением^ =-Ах, где к - жёсткость пружины, х - смещение груза от положения равновесия. Максимальной сила будет при максимальном смещении, равном амплитуде: F =кг * шах Л'Л'тах’ Жёсткость пружины выразим через циклическую частоту колебаний: к~то)20 • Максимальная скорость груза и максимальное отклонение груза от положения равновесия связаны соотношением; ^тах = ^ 0*тах * Отсюда найдем циклическую частоту колебаний: ш0 =100-^. •^тах Произведя подстановки, получим: Fm„=m^ = 0,l -^- = 10[H] . Лшах 1 2) Уравнение незатухающих колебаний: * = *max C0S(CV + <р„). Амплитуда колебаний задана в условии задачи хтах=1 см. Циклическую частоту колебаний определили в n.l) cotr 100 Найдём начальную фазу колебаний. Для момента времени t~0 уравнение колебаний принимает вид: - 12-
0=*та» С0^>„), откуда начальная фаза: ^ п (Ро = 2 ' Отсюда: х = 0,01 cosj^ t -~j, [м] или х = 0,01 sin(lOOr), [м]. 3) Запишем зависимость кинетической энергии от времени. Поскольку уравнение колебаний: х — 0,01 sin(lOOr), м то зависимость скорости от времени U -xf U = lcos(l00r),M/c Следовательно, уравнение для кинетической энергии имеет вид: ш mil2 тгг2 2/ ч г-н= — = yt/Lcos2M После подстановки численных значений входящих величин: Гк „„= 0,05 cos3 (100/),|Дк |; Т = — = 0,0628,[с]. СО о Изобразим график WKm-f(t). (Рисунок 4 ). Рисунок 4 ЗАДАЧА 2. Дифференциальное уравнение для колебаний заряда на пластинах конденсатора имеет вид: <7" + Ю10?=:0. Определить индуктивность катушки, если в начальный момент максимальное напряжение на пластинах конденсатора равно 50 В, а максимальный заряд равен qm-10~6 Кл. Записать уравнение изменения тока в контуре со временем и построить график I(t). Решение. - 13 -
1) Индуктивность катушки определяет циклическую частоту колебаний: ^ = ~LC = 1°]° раД/С Отсюда: Из условия задачи в начальный момент времени q(0j=qm=JO'6 Кл, а U(0)^Um~50 В. Следовательно, ёмкость конденсатора: С= —= 2- 10"8Ф. ия Вычислим индуктивность катушки: X = 5 • 10~31н. 2) Сила тока в контуре связана с изменением заряда / = q'. Уравнение колебаний заряда запишем в виде: «,W = 9»cos(fl> о' + Ро)- Из дифференциального уравнения циклическая частота равна coQ = 105 рад/с Т.к. в начальный момент времени ?(0) = д„,,то определим начальную фазу: яЩ = яп = Ят cos(<р0) =)<р0 = 0. Уравнение изменения заряда на пластинах конденсатора примет вид: q(t) = qM cos(fU0/). Следовательно, уравнение изменения силы тока: 1 = -?„®оsin(<w0/), / = —0,1 sin(l05 /), 2л Построим график / = /(*),(рисунок 5), Г =— = 6,28-1(Г5с. Рисунок 5 ЗАДАЧА 3. Тело массой 0,6 кг, подвешенное к спиральной пружине жёсткостью 30 Н/м, совершает в некоторой среде затухающие колебания. - 14-
Логарифмический декремент затухания равен 0,01. Определить время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в 3 раза. Решение. Амплитуда затухающих колебаний: хт = х0е_/*, где х0 - амплитуда в момент времени / = 0, J3 - коэффициент затухания. Выразим время через отношение амплитуд: Логарифмический декремент затухания связан с коэффициентом затухания S = /7T, где Т - период затухающих колебаний. При 5«1 можно принять, что T.T.-bfe Отсюда коэффициент затухания: Т 2тс V m Произведя расчёты, определим искомое время: t = —— = 97,6с. Р ЗАДАЧА 4. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 25 мГн, конденсатор ёмкостью 10 мкФ, резистор сопротивлением 1 Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества 1 мКл. Определить: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости напряжения на обкладках конденсатора от времени. Решение. 1) Период затухающих колебаний выразим через циклическую частоту затухающих колебаний: 2 к 2л ~ <» ~ ^Т^Р- ’ где <и0 = = 2000^--,P~^J= 20с'1. Вычислив, получим Т-3,14-10'3 с. 2) Логарифмический декремент затухания S- рТ = 0,0628. 3) Уравнение затухающих колебаний напряжения на конденсаторе: U - U'0е~й cos(а* + <р0), где U0 = “ = 100 В циклическая частота колебаний a> = ^w\-p2 , <у0 = 2000£~ Поскольку в начальный момент времени конденсатор заряжен до максимального значения, то: cos((p0)=l =) Фо = о, U = Ю0е~20' cos(2000/), В -15-
3.1.7. СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ Сложение колебаний одинакового направления Допустим, что тело участвует в двух гармонических колебаниях одною направления:х, = Л} cos(co0t + <р}) - смещение в первом из колебаний при отсутствии второго, x2=A2cos(a)0t + <p2) - смещение при втором колебании м отсутствие первого. При одновременно происходящих колебательных процессах результирующее смещение будет равно xp=jc,+x2. Если частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет гармоническим, иметь ту же частоту, что и складываемые колебания, его амплитуда определяется по теореме косинусов: Ар + А2 + 2А{А2 cos(<p2 а начальная фаза равна; А] sin#?, + А2 sin(р2 ’ А{ cos(рх + А7 cos<p2 Результирующее колебание можно записать в виде: *р = Лр со^v + pp). Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами Допустим, что тело участвует одновременно в колебаниях вдоль оси X происходящих по закону: х = Ах cos(co0t + (px) и в колебаниях, происходящих вдоль оси У по закону: Ayco^co0t + (py), В этом случае тело будет двигаться по траектории, уравнение которой имеет вид: <рр = arc tg~ А.) (А. А,А., °i<P>-<Р*)= sin2 Исследуя форму траектории, можно сделать вывод, что при <ру-д>х= О Ау Z колеблющаяся точка перемещается по прямой у = ~х. При <ру-<рх=п точка АУ движется по прямой у- —-х. Ах В остальных случаях траектория представляет собой эллипс. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с частотами, отличающимися вдвое Чтобы определить траекторию точки в этом случае, исключают время из уравнений складываемых колебаний. Для этого используют формулы косинуса или синуса половинного угла: a /1 + cos а . a 1-cos а cos— = ,/ , sin—= , , 2 V 2 2 V 2 - 16-
ЗАДАЧА 5. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, происходящих согласно уравнениям: \х - sin0,5?, см [у = 2cos^, см Найти уравнение траектории, построить её с соблюдением масштаба и указать направление движения. Решение. Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений: sin0,5r = х у cos t- — . 2 Поскольку частота колебаний вдоль оси X вдвое меньше частоты колебаний вдоль оси Y, то применим формулу синуса половинного угла: Полученное уравнение является уравнением параболы, ось которой совпадает с осью Y. По условию, амплитуда колебаний точки по оси X равна 1 см, по оси Y равна 2 см. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от -1 до +1, а ординаты от -2 до +2 см. Начертив координатные оси и выбрав единицу длины - сантиметр, построим траекторию, которая представляет собой часть параболы, заключенную внутри прямоугольника амплитуд ( рисунок 6). В начальный момент времени имеем х = 0,^ = 2 (точка А). Из уравнений находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси Тх =12,6 с, а по вертикальной оси Ту - 6,3 с. Следовательно, когда точка совершит одно полное Используя это соотношение, можно записать: YA А -2 2 X [в Рисунок 6 Откуда уравнение траектории: - 17-
колебание по оси X, она совершит два полных колебания по оси У. В момст времени, соответствующий половине Ту координаты точки будут * = 1,у®~2 (точка В). Следовательно, точка будет двигаться от Л к В, затем от В к А, затем от А к С, от С к А и снова от А к В. 3.2. ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ “КОЛЕБАНИЯ” ВНИМАНИЕ! При построении графиков в некоторых случаях время удобно задавать в долях периода или в долях времени релаксации. ВАРИАНТ 1 ЗАДАНА,,! Груз массой 100 г, подвешенный на пружине жесткостью 20 Н/м, совершает гармонические колебания. В начальный момент времени смещение груза оказалось равным 4,2 см, а его скорость 0,5 м/с. Вычислите амплитуду и начальную фазу колебаний. Постройте график зависимости потенциальной энергии системы от времени. ЗАДАЧА 2 Затухающие колебания происходят в колебательном контуре с емкостью конденсатора 2 мкФ, индуктивностью катушки 350 мГ и сопротивлением 15,2 Ом. В начальный момент напряжение на конденсаторе было 25 В, а ток в контуре отсутствовал. Запишите уравнение затухающих колебаний для заряда и найдите все параметры этого уравнения. Постройте график убывания колебательной энергии в контуре в пределах удвоенного времени релаксации. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одного направления. Частота 9 Гц одинакова для обоих колебаний, начальные фазы имеют значения п/6 рад и 0 рад, а амплитуды соответственно равны 7 см и 4 см. Запишите уравнения исходных колебаний. Найдите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Запишите его уравнение. ВАРИАНТ2 ЗАДАЧА 1 Катушка с индуктивностью 350 мГ и конденсатор емкостью 2 мкФ соединены параллельно и по катушке пропускается постоянный ток силой 400 мА. После отключения источника тока в контуре возникли гармонические колебания. Найдите уравнение колебаний для заряда конденсатора и постройте график для электрической энергии в колебательном контуре.
ЗАДАЧА 2 Частица массой 90 г, подвешенная на пружине, совершает затухающие колебания. Частота собственных колебаний системы 0,5 Гц, начальная амплитуда 1 см, начальная фаза тс/З. Известно, что за 12 с амплитуда колебаний частицы уменьшилась на 30 %. Напишите уравнение колебаний частицы. Найдите все параметры этого уравнения. Постройте график убывания колебательной энергии системы в интервале от нуля до времени релаксации. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, совершающихся по взаимно перпендикулярным направлениям. Заданы частоты колебаний v ]= 2 Гц, v2 = 2 Гц, их амплитуды Aj = 3 см, А2 = 7 см и начальные фазы я/2 рад и 4тт/3 рад. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите уравнение траектории результирующего движения в координатах ХОУ и постройте ее график. Укажите на графике положение частицы в начальный момент времени и направление движения по траектории. Примечание. Уравнение траектории не зависит от начальных колебаний, но зависит от их разности. ВАРИАНТЗ ЗАДАЧА 1 Груз, подвешенный на пружине жесткостью 5 Н/м, совершает гармонические колебания с периодом 2,5 с. В начальный момент времени смещение груза оказалось равным нулю, а его начальная скорость - 0,3 м/с. Вычислите амплитуду и начальную фазу колебаний. Напишите уравнение колебаний груза. Постройте график зависимости кинетической энергии от времени. ЗАДАЧА 2 Колебательный контур содержит катушку с индуктивностью 120 мГ и конденсатор емкостью 3 мкФ. При возбуждении колебаний они затухают так, что колебательная энергия уменьшается вдвое за 25 мс и при этом амплитуда напряжения на конденсаторе оказывается равной 2,5 В. Запишите уравнение затухающих колебаний для напряжения на конденсаторе. Постройте график убывания амплитуды напряжения на конденсаторе в пределах удвоенного времени релаксации. Принять начальную фазу равной нулю. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одного направления. Частота 8 Гц одинакова для обоих колебаний, начальные фазы имеют значения я/2 рад и я рад, а амплитуды соответственно равны 11 см и 11 см. Запишите уравнения исходных колебаний. Найдите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Запишите - 19-
его уравнение. При каких начальных фазах амплитуда результирующем»» колебания будет равна 11 см? ВАРИАНТ4 ЗАДАЧА 1 Конденсатор емкостью 2 мкФ подсоединили к идеальной кату ш ко индуктивности. В образовавшемся колебательном контуре возникли гармонические колебания с частотой 400 Гц. После этого к первому конденсатору подсоединили параллельно второй такой же конденсатор, оба конденсатора зарядили до напряжения 50 В и затем подключили к той же катушке. Найдите уравнение колебаний для напряжения на конденсаторе во втором колебательном контуре. Постройте график для электрической энергии в новом колебательном контуре. ЗАДАЧА 2 Грузик массой 120 г, подвешенный на пружине жесткостью 50 Н/м, совершает затухающие колебания. Через 8 с после начала колебаний колебательная энергия системы уменьшилась на 60%, а амплитуда колебаний оказалась равной 0,7 см. Напишите уравнение колебаний грузика. Найдите все параметры этих колебаний. Постройте график убывания амплитуды колебаний грузика в интервале от нуля до времени релаксации. Принять начальную фазу равной 7г/4 рад. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, совершающихся по взаимно перпендикулярным направлениям. Заданы частоты колебаний v j = 3 Гц, v2 = 3 Гц, их амплитуды Ai = 4 см, А2 = 6 см и начальные фазы я/4 рад и 7л/12 рад. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите уравнение траектории результирующего движения в координатах Х0У и постройте ее график. Укажите на графике положение частицы в начальный момент времени и направление движения по траектории. Примечание. Уравнение траектории не зависит от начальных фаз колебаний, но зависит от их разности. ВАРИАНТ5 ЗАДАЧА 1 На вертикальной пружине закреплена горизонтальная платформа массой 740 г. Платформу вывели из положения равновесия и в системе возникли колебания с частотой 5,5 Гц. Найдите уравнение колебаний, которые возникнут в системе, если на платформу положить груз массой 600 г, отвести платформу из положения равновесия на 6 см и плавно отпустить. Постройте график скорости платформы при этих колебаниях.
ЗАДАЧА 2 К катушке с индуктивностью 0,30 Гн и сопротивлением 6,2 Ом подключили заряженный до напряжения 500 В конденсатор и в образовавшемся контуре возникли электромагнитные колебания. В начальный момент энергия заряженного конденсатора была равна 62,5 мДж, а ток в контуре отсутствовал. Запишите уравнение затухающих колебаний для заряда, Постройте график зависимости заряда одной из пластин конденсатора от времени. ЗАДАЧА 3 Тело массой 120 г участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одного направления. Частота 7 Гц одинакова для обоих колебаний, начальные фазы имеют значения 2я/3 рад и -я/3 рад, а амплитуды соответственно равны 10 см и 5 см. Запишите уравнения исходных колебаний. Найдите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Запишите его уравнение. Найдите колебательную энергию тела. Примечание. Уравнение траектории не зависит от начальных фаз колебаний, но зависит от их разности. ВАРИАНТ6 ЗАДАЧА 1 Конденсатор емкостью 2 мкФ зарядили до напряжения 80 В и подключили к катушке с индуктивностью 350 мГ. После этого в контуре возникли гармонические колебания. Найдите уравнение для силы тока в колебательном контуре и постройте график его зависимости от времени. Найдите максимальную энергию магнитного поля в контуре. ЗАДАЧА 2 По горизонтальному стержню совершает затухающие колебания груз массой 200 г под действием пружины жесткостью 400 НУм. Через 10 с после начала колебаний амплитуда колебаний оказалась равной 0,8 см и составляла 65% от начальной амплитуды. Напишите уравнение затухающих колебаний груза. Найдите все параметры этого уравнения. Постройте график убывания колебательной энергии системы в интервале от нуля до времени релаксации. Начальную фазу принять равной я/3 рад. Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, совершающихся по взаимно перпендикулярным направлениям. Заданы частоты колебаний v i = 4 Гц, v2 = 4 Гц, их амплитуды А\ = 5 см, А2 = 8 см и начальные фазы я/4 рад и я/2 рад. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите уравнение траектории результирующего движения в координатах Х0У и постройте ее график. Укажите на графике положение частицы в начальный момент времени и направление движения по траектории.
ВАРИАНТ7 ЗАДАЧА.! Длина математического маятника равна 0,36м. Его отводят на 10° от вертикали и отпускают. Записать уравнение колебаний груза, построить их график. С' какой скоростью груз на конце маятника проходит нижнюю точку? ЗАДАЧА 2 В колебательном контуре с индуктивностью катушки 150 мГ совершаются электромагнитные колебания с частотой 410 Гц. Колебания описываются уравнением U = Umo ехр(- pt)cos cot, где Umo = 15 В и Р = 0,021 с’1. Постройте график убывания амплитуды напряжения на конденсаторе. Найдите минимальное сопротивление резистора, который нужно включить в контур, чтобы колебания в контуре не возникали. ЗАДАЧА,3, Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одного направления. Частота 6 Гц одинакова для обоих колебаний, начальные фазы имеют значения Зтг/4 рад и 5я/4 рад, а амплитуды соответственно равны 6 см и 6 см. Запишите уравнения исходных колебаний. Найдите амплитуду и начальную фазу результирующих колебаний. Запишите их уравнение. Примечание. Уравнение траектории не зависит от начальных фаз колебаний, но зависит от их разности. ВАРИАНТ8 ЗАДАЧА 1 В колебательном контуре с индуктивностью 350 мГ возникли гармонические колебания с периодом 6 мс. Найдите уравнение колебаний для заряда на конденсаторе, которые возникнут в контуре, если в контур включить последовательно дополнительный конденсатор емкостью 3 мкФ, зарядить оба конденсатора до общего напряжения 45 В и затем подключить конденсаторы к катушке индуктивности. Постройте график зависимости заряда от времени. Вычислите максимальную электрическую энергию этого колебательного контура. ЗАДАЧА2 Шарик массой 200 г, подвешенный на нити длиной 90 см, отвели от положения равновесия на 10 см и отпустили, после чего шарик начал совершать свободные колебания. За один период шарик теряет 1 % энергии. Найдите число колебаний, по истечении которых амплитуда колебаний шарика уменьшится в 15 раз. Постройте график убывания энергии колебаний в интервале от нуля до времени релаксации.
ЗАДАНАЗ Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, совершающихся по взаимно перпендикулярным направлениям. Заданы частоты колебаний v3 = 13 Гц, v2 = 13 Гц, их амплитуды А\ = 14 см, А2 = 18 см и начальные фазы п/3 рад и п/6 рад. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите уравнение траектории результирующего движения в координатах ХОУ и постройте ее график. Укажите на графике положение частицы в начальный момент времени и направление движения по траектории. ВАРИАНТ9 ЗАДАЧА 1 Пружинный маятник состоит из пружины и подвешенного на ней груза массой 300 г. Маятник совершает гармонические колебания с частотой 0,7 Гц и амплитудой 12 см. Через 2 с после начала колебаний смещение груза оказалось равным 6,8 см. Определите скорость груза в этот же момент времени и начальную фазу колебаний. Запишите уравнение колебаний. Постройте график зависимости потенциальной энергии системы от времени. ЗАДАЧА 2 В колебательном контуре совершаются электромагнитные колебания. Заряд одной из обкладок конденсатора изменяется по закону q = qmo ехр(- (3t)cos cot, где qmo-0,5 мкКл, (3=42 1/с и частота колебаний равна 800 Гц. Индуктивность контура 80 мГ. Найдите уравнение для силы тока в контуре. Постройте график зависимости силы тока от времени. Определите через сколько колебаний амплитуда силы тока уменьшится в 5 раз. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одного направления. Частота 5 Гц одинакова для обоих колебаний, начальные фазы имеют значения п/6 рад и -п/6 рад, а амплитуды соответственно равны 8 см и 10 см. Запишите уравнения исходных колебаний. Найдите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Запишите его уравнение. Найдите уравнение скорости результирующего движения. Примечание. Уравнение траектории не зависит от начальных фаз колебаний, но зависит от их разности. В АР И АНТ 10 ЗАДАЧА 1 Катушка с индуктивностью 200 мГ, не имеющая активного сопротивления, и конденсатор емкостью 5 мкФ соединены параллельно и по катушке пропускается постоянный ток 300 мА. После отключения источника тока в контуре возникли гармонические колебания. Найдите уравнение колебаний для силы тока и постройте график зависимости силы тока от времени. Найдите максимальную электрическую энергию в колебательном контуре. -23-
Колебания груза массой 20 г, подвешенного на пружине, описываются уравнением х = xmo exp(~(3t)coscot, где хто=18 мм, Р=0,15 1/с. Колебании происходят с частотой 2 Гц. Найдите жесткость пружины. Через сколько времени колебательная энергия системы уменьшится в 5 раз против начальной? Постройте график убывания колебательной энергии системы в пределах удвоенного времени релаксации. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, совершающихся по взаимно перпендикулярным направлениям. Заданы частоты колебаний v i=14 Гц, v2=14 Гц, их амплитуды Aj=15 см, А2=20 см и начальные* фазы я/2 рад и я/4 рад. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите уравнение траектории результирующего движения в координатах ХОУ и постройте ее график. Укажите на графике положение частицы в начальны й момент времени и направление движения по траектории. В А Р И А Н Т 11 ЗАДАЧА 1 Математический маятник качается с амплитудой 10°. Какую долю своего периода он находится между +5° и -5°. Чему равна частота колебаний маятника, g если точка подвеса маятника движется с ускорением направленным а) вверх, б) вниз, в) горизонтально. Длина нити маятника 1м. ЗАДАЧА 2 Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 4 мкФ и катушки с индуктивностью 0,3 Г и сопротивлением 8 Ом. Какая часть колебательной энергии преобразуется в этом контуре в тепло за один период? Через сколько времени колебательная энергия в контуре уменьшится в 3 раза? Постройте график убывания колебательной энергии в контуре в пределах удвоенного времени релаксации. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одного направления. Частота 4 Гц одинакова для обоих колебаний, начальные фазы имеют значения я/12 рад и 7я/12 рад, а амплитуды соответственно равны 5 см и 5 см. Запишите уравнения исходных колебаний. Найдите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Запишите его уравнение. Найдите амплитуду силы, действующей на частицу при результирующем движении, если масса частицы 25 г. Примечание. Уравнение траектории не зависит от начальных фаз колебаний, но зависит от их разности. -24-
ВАРИАНТ 12 ЗАДАЧА 1 Два соединенных параллельно конденсатора с емкостью 1 мкФ и 5 мкФ зарядили до напряжения 30 В и подключили к идеальной катушке индуктивностью 650 мГ. После этого в контуре возникли гармонические колебания. Найдите уравнение для напряжения на обкладках конденсаторов и постройте график его зависимости от времени. Найдите также максимальную энергию магнитного поля в контуре. ЗАДАЧА 2 Груз, подвешенный на пружине, совершает гармонические колебания с частотой 1,5 Гц и амплитудой 5 см. Пространство, окружающее груз, заполнили жидкостью, после чего колебания стали затухающими и их амплитуда за 8 с уменьшилась на 40%. Через сколько колебаний амплитуда уменьшится в два раза? Постройте график зависимости амплитуды колебаний от времени. ЗАДАЧАЗ Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, совершающихся по взаимно перпендикулярным направлениям. Заданы частоты колебаний V]=5 Гц, v2=10 Гц, их амплитуды Aj=6 см, А2=9 см и начальные фазы я/4 рад и к/2 рад. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите уравнение траектории результирующего движения в координатах ХОУ и постройте ее график. Укажите на графике положение частицы в начальный момент времени и направление движения по траектории. ВАРИАНТ 13 ЗАДАЧА.! На вертикальной пружине жесткостью 600 Н/м закреплена горизонтальная платформа массой 800 г. На платформе установлен груз массой 400 г. Платформу приподняли из положения равновесия на 3 мм и затем подтолкнули вниз со скоростью 0,7 м/с. Напишите уравнение колебаний платформы с грузом. Найдите все коэффициенты. Трением пренебречь. ЗАДАЧА 2 Конденсатор емкостью 0,5 мкФ зарядили до напряжения 20 В и подключили к катушке с индуктивностью 0,65 Г и сопротивлением 46 Ом. Найдите уравнение для силы тока в колебательном контуре. Через сколько времени амплитуда силы тока уменьшится в 4 раза? Постройте график зависимости силы тока от времени. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одного направления. Частота 3 Гц одинакова для обоих колебаний, начальные фазы имеют значения Зя/4 рад и п рад, а амплитуды соответственно равны 7 см и 4 см. Запишите уравнения исходных колебаний. -25-
Найдите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Запишите его уравнение. Найдите энергию частицы, если ее масса 15 г. ВАРИАНТ 14 ЗАДАЧА 1 Два соединенных последовательно конденсатора емкостью 2 мкФ и 3 мкФ зарядили до общего напряжения 30 В и подключили к катушке индуктивностью 250 мГ. После этого в контуре возникли гармонические колебания. Найдите уравнение для силы тока в контуре и постройте график его зависимости от времени. Найдите максимальную энергию магнитного поля в контуре. ЗАДАЧА 2 Математический маятник длиной 0,5м имеет добротность, равную 400. Сколько времени потребуется, чтобы амплитуда малых колебаний уменьшилась на две трети. Если начальная амплитуда колебаний равна 2см, а масса маятника 0,2кг, то чему равна скорость уменьшения начальной энергии (в ваттах). Постройте график убывания энергии колебаний для первых трех периодов. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, совершающихся по взаимно перпендикулярным направлениям. Заданы частоты колебаний V]~6 Гц, v2=12 Гц, их амплитуды А|=7 см, А2= 10 см и начальные фазы я/3 рад и 2тс/3 рад. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите уравнение траектории результирующего движения в координатах Х0У и постройте ее график. Укажите на графике положение частицы в начальный момент времени и направление движения но траектории. ВАРИАНТ 15 ЗАДАЧА 1 С каким ускорением и в каком направлении должна двигаться кабина лифта, чтобы находящийся в ней секундный математический маятник за время, равное 2мин30сек совершил 100 колебаний. Построить для этого маятника график зависимости кинетической энергии колебаний от времени, если в начальный момент времени маятник вывели из положения равновесия на 5см и отпустили. Масса груза 0,1кг. ЗАДАЧА,2 Конденсатор емкостью 0,75 мкФ подключен параллельно катушке с индуктивностью 230 мГ и сопротивлением 42 Ома. Через катушку течет постоянный ток 0,4 А. Найдите уравнение колебаний напряжения на конденсаторе, возникающих в контуре после отключения контура от источника постоянного тока.
ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одного направления. Частота 2 Гц одинакова для обоих колебаний, начальные фазы имеют значения 4я/3 рад и 2я/3 рад, а амплитуды соответственно равны 7 см и 4 см. Запишите уравнения исходных колебаний. Найдите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Запишите его уравнение. Найдите период результирующих колебаний. Примечание. Уравнение траектории не зависит от начальных фаз колебаний, но зависит от их разности. ВАРИАНТ 16 ЗАДАЧА! Колебательный контур содержит идеальную катушку с индуктивностью 150 мГ и и два последовательно соединенных конденсатора с емкостями 2 мкФ и 4 мкФ. По катушке пропускается постоянный ток 250 мА. После отключения источника тока в контуре возникли гармонические колебания. Найдите уравнение колебаний для общего напряжения на конденсаторах. Постройте график зависимости электрической энергии в колебательном контуре от времени. ЗАДАЧА 2 К спиральной пружине подвесили груз. При этом пружина растянулась на 12 см. Груз отклонили от положения равновесия вдоль оси пружины на 7 см и отпустили. Через три секунды амплитуда колебаний уменьшилась на 35%. Найдите уравнение колебаний груза и постройте график для смещения груза от положения равновесия для первых трех периодов. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, совершающихся по взаимно перпендикулярным направлениям. Заданы частоты колебаний \ \~1 Гц, v2=14 Гц, их амплитуды Ai=8 см, А2=12 см и начальные фазы я/6 рад и -2я/3 рад. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите уравнение траектории результирующего движения в координатах ХОУ и постройте ее график. Укажите на графике положение частицы в начальный момент времени и направление движения по траектории. ВАРИАНТ 17 ЗАДАЧА 1 Математический маятник, состоящий из нити длиной 1м и свинцового шарика радиусом 2см, совершает гармонические колебания с амплитудой 6см. Определить скорость шарика при прохождении им положения равновесия. Построить график зависимости возвращающей силы от времени, если в начальный момент времени маятник находился в положении равновесия.
ЗАДАЧА 2 В колебательном контуре, содержащем катушку с индуктивностью 180 мГ и конденсатор емкостью 2 мкФ, были возбуждены затухающие колебания. Амплитуда силы тока этих колебаний уменьшилась в три раза за 2,5 мс. При этом амплитуда силы тока оказалась равной 40 мА. Найдите волновое сопротивление контура и его добротность. Постройте график убывания амплитуды силы тока в контуре в пределах удвоенного времени релаксации. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одного направления. Частота 7 Гц одинакова для обоих колебаний, начальные фазы имеют значения я/4 рад и Зтс/4 рад, а амплитуды соответственно равны 10 см и 15 см. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Запишите его уравнение. Примечание. Уравнение траектории не зависит от начальных фаз колебаний, но зависит от их разности. ВАРИАНТ 18 ЗАДАЧА 1 Когда в идеальном колебательном контуре, содержащем катушку индуктивно¬ сти и два последовательно соединенных конденсатора емкостями 0,2 мкФ и 0,4 мкФ возбудили собственные колебания, то их частота оказалась равной 1,5 кГц. Найдите уравнение для тока в контуре, если конденсатор емкостью 0,4 мкФ отключить, оставшийся конденсатор зарядить до напряжения 50 В и подключить его к прежней катушке индуктивности. Постройте график зависи¬ мости электрической энергии в колебательном контуре от времени. ЗАДАЧА 2 Шар массой 500 г подвешен к пружине жесткостью 20 Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Начальная амплитуда колебаний 8 см. Логарифмический декремент затухания 0,05. Сколько колебаний совершит шар пока амплитуда колебаний уменьшится в два раза? За какое время это произойдет? Постройте график зависимости смещения шара от времени для первых пяти колебаний. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, совершающихся по взаимно перпендикулярным направлениям. Заданы частоты колебаний vj=8 Гц, v2=16 Гц, их амплитуды А 1=9 см, А2=14 см и начальные фазы 2тг/3 рад и -2тг/3 рад. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите уравнение траектории результирующего движения в координатах Х0У и постройте ее график. Укажите на графике положение частицы в начальный момент времени и направление движения по траектории. -28-
ВАРИАНТ 19 ЗАДАЧА 1 Математический маятник массой 0,2кг имеет в любой момент времени одну и ту же полную энергию, равную 1мДж. Найти амплитудное значение импульса маятника. Построить график зависимости кинетической энергии маятника от времени, если длина маятника 1м, в начальный момент времени смещение маятника равно половине амплитуды. ЗАДАЧА 2 Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью 60 мГ и сопротивлением 4 Ом и конденсатора. В начальный момент энергия заряженного конденсатора была 0,35 мДж и он был заряжен до напряжения 25 В. Начальный ток был равен нулю. Напишите уравнение колебаний для заряда на одной из обкладок. Постройте график зависимости заряда от времени. 1АДАЧАЗ Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одного направления. Частота 3 Гц одинакова для обоих колебаний, начальные фазы имеют значения п/3 рад и 5п/6 рад, а амплитуды соответственно равны 14 см и 14 см. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите амплитуду и начал ьную фазу результирующего колебания. Запишите его уравнение. При каких условиях сложение двух колебаний приводит к: а) исчезновению колебательного движения? б) удвоению амплитуды? Примечание. Уравнение траектории не зависит от начальных фаз колебаний, но зависит от их разности. ВАРИАНТ 20 ЗАДАЧА 1 Колебательный контур содержит идеальную катушку индуктивностью 200 мГ и два параллельно соединенных конденсатора емкостями 2 мкФ и 4 мкФ. По катушке пропускается постоянный ток 300 мА. После отключения источника тока в контуре возникли гармонические колебания. Найдите уравнение для силы тока в колебательном контуре. Постройте график зависимости магнитной энергии в колебательном контуре от времени. ЗАДАЧА 2 Тяжелый шарик, подвешенный на нити длиной 0,5 м, отклонили от положения равновесия на 5 см и отпустили. Через один период максимальное отклонение шарика от положения равновесия оказалось равным 4,5 см. Найдите уравнение скорости этого шарика. Постройте график скорости в пределах трех периодов колебаний.
ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, совершающихся по взаимно перпендикулярным направлениям. Заданы частоты колебаний V]=9 Гц, v2=18 Гц, их амплитуды А3=10 см, А2=15 см и начальные фазы я/2 рад и -я/2 рад, Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите уравнение траектории результирующего движения в координатах ХОУ и постройте ее график. Укажите на графике положение частицы в начальный момент времени и направление движения по траектории. ВАРИАНТ 21 ЗАДАЧА 1 По горизонтальному стержню под действием пружины совершает без трения гармонические колебания груз массой 820 г с периодом 0,85 с. Груз остановили и с другой его стороны установили вторую такую же пружину. После этого грузу сообщили из положения равновесия скорость 0,95 м/с. Найдите уравнение потенциальной энергии системы, постройте график зависимости этой энергии от времени. З.АДАЧА2 В колебательном контуре совершаются электромагнитные колебания. Заряд одной из обкладок конденсатора изменяется по закону q = qmoexp(~Pt)cos(at + ^), где qmo~20 мкКл, Р=300 1/с и частота колебаний 6 кГц. Индуктивность катушки в контуре 30 мГ. Постройте график убывания колебательной энергии. Какую колебательную мощность нужно подводить к контуру, чтобы колебания были незатухающими с амплитудой заряда qmo? ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одного направления. Частота 4 Гц одинакова для обоих колебаний, начальные фазы имеют значения 2я/3 рад и 0 рад, а амплитуды соответственно равны 4 см и 10 см. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Запишите его уравнение. Найдите максимальную кинетическую энергию частицы, если ее масса 70 г. Примечание. Уравнение траектории не зависит от начальных фаз колебаний, но зависит от их разности. ВАРИАНТ 22 ЗАДАЧА 1 В идеальном колебательном контуре с конденсатором емкостью 1 мкФ возникли гармонические колебания с частотой 400 Гц. К первому конденсатору подсоединили последовательно второй такой же конденсатор, оба конденсатора зарядили до общего напряжения 70 В и затем подключили их к той же катушке. -30-
Найдите уравнение колебаний для заряда на конденсаторах. Постройте график для электрической энергии в колебательном контуре. ЗАДАЧА 2 К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на 4,9 см. После возбуждения колебаний их амплитуда уменьшается в 10 раз за 3,5 мин. Сколько колебаний совершит груз за это время? Постройте график убывания энергии за это время. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, совершающихся по взаимно перпендикулярным направлениям. Заданы частоты колебаний v г=Ю Гц, v2=20 Гц, их амплитуды Aj=l 1 см, А2=16 см и начальные фазы 0 рад и п/2 рад. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите уравнение траектории результирующего движения в координатах ХОУ и постройте ее график. Укажите на графике положение частицы.в начальный момент времени и направление движения по траектории. ВАРИАНТ 23 задача_1 На чашку пружинных весов положили груз массой 2,3 кг. В результате возникли колебания с периодом 1,8 с. После этого опыт повторили с грузом массой 2,5 кг. При этом период возникших колебаний оказался равным 2,1 с. Найдите уравнение колебаний весов, которые возникнут, если пустую чашку отклонить от положения равновесия на 3 см и плавно отпустить. Постройте график зависимости смещения в этих колебаниях от времени. Считать, что демпфирование в весах отключено. ЗАДАЧА 2 Катушка с индуктивностью 50 мГ и сопротивлением 20 Ом подключена параллельно конденсатору емкостью 0,25 мкф. Через катушку течет постоянный ток 60 мА. После отключения источника постоянного тока в контуре возникают затухающие колебания. Найдите уравнение для силы тока в контуре. Постройте график зависимости силы тока в контуре от времени. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одного направления. Частота 5 Гц одинакова для обоих колебаний, начальные фазы имеют значения п/6 рад и 5п/6 рад, а амплитуды соответственно равны 6,4 см и 4,62 см. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Запишите его уравнение. Найдите отношение максимальных кинетических энергий частицы для исходных колебаний. Примечание. Уравнение траектории не зависит от начальных фаз колебаний, но зависит от их разности. -31 -
В А Р И A H T 24 ЗАДАЧА 1 Колебательный контур образован катушкой с индуктивностью 400 мГ и двумя последовательно соединенными конденсаторами емкостью 2 мкФ и 4 мкФ. По катушке пропускается постоянный ток 400 мА. После отключения источника тока в контуре возникли гармонические колебания. Найдите уравнение колебаний для силы тока в контуре и постройте график для магнитной энергии в колебательном контуре. ЗАДАЧА 2 За 100 с система успевает совершить 45 колебаний. За это же время амплитуда колебаний уменьшается в 5 раз. Найдите добротность колебательной системы и относительную убыль энергии системы за один период. Постройте график относительной убыли энергии за 10 с. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одноврехменно в двух гармонических колебаниях, совершающихся по взаимно перпендикулярным направлениям. Заданы частоты колебаний v i=ll Гц, V2=22 Гц, их амплитуды Ai=12 см, А2~16 см и начальные фазы тт/2 рад и 0 рад. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите уравнение траектории результирующего движения в координатах Х0У и постройте ее график. Укажите на графике положение частицы в начальный момент времени и направление движения по траектории. В А Р И А Н Т 25 ЗАДАЧА 1 К пружине жесткостью 280 Н/м подвешена чашка с грузом. Масса груза оказалась равной 0,54 кг. После нарушения равновесия в системе возникли колебания с частотой 2,4 Гц. Найдите уравнение колебаний, которые будет совершать пустая чашка, если ей сообщить в положении равновесия скорость 0,38 м/с. Постройте график скорости этих колебаний. ЗАДАЧА 2 В колебательном контуре с индуктивностью 300 мГ совершаются электромагнитные колебания с частотой 600 Гц. Напряжение на обкладках конденсатора описывается уравнением U = Umo ехр(- (3t)coscot, где Um0=6 В, 150 1/с. Найдите логарифмический декремент затухания колебаний. Сколько колебаний совершится в контуре за время уменьшения амплитуды колебаний в 10 раз? Постройте график зависимости амплитуды напряжения от времени в пределах удвоенного времени релаксации. ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих, вдоль одного направления. Частота 8 Гц одинакова для обоих
колебаний, начальные фазы имеют значения п/3- рад и 2п/3 рад, а амплитуды соответственно равны 16 см и 27 см. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Запишите его уравнение. В какие моменты времени частица проходит через положения равновесия? , Примечание. Уравнение траектории не зависит от начальных фаз колебаний, но зависит от их разности. ВАРИАНТ 26 ЗАДАЫА1 В колебательном контуре с конденсатором емкостью 0.5 мкФ возникли гармонические колебания с периодом 3 мс. Найдите уравнение колебаний для заряда на конденсаторе, которые возникнут в контуре, если в контур включить последовательно к первому дополнительный конденсатор емкостью 1 мкФ, зарядить оба конденсатора до общего напряжения 40 В и затем подключить конденсаторы к катушке индуктивности. Постройте график зависимости заряда от времени. Вычислите максимальную электрическую энергию этого колебательного контура. ЗАДАЧА 2 К спиральной пружине подвесили груз. При этом пружина растянулась на 8 см. Груз отклонили от положения равновесия на 1 см и отпустили. Логарифмический декремент затухания возникших колебаний оказался равным 0,1. Найдите путь, который пройдет груз за первые 20 колебаний. За какое время это произойдет? ЗАДАЧА 3 Частица участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, совершающихся по взаимно перпендикулярным направлениям. Заданы частоты колебаний v!=12 Гц, v2=24 Гц, и их амплитуды Ai=13 см, А2=17 см. Начальные фазы в обеих случаях равны нулю. Напишите уравнения исходных колебаний. Найдите уравнение траектории результирующего движения в координатах ХОУ и постройте ее график. Укажите на графике положение частицы в начальный момент времени и направление движения по траектории. 4. ВОЛНЫ 4.1. УПРУГИЕ ВОЛНЫ 1. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Упругими или механическими волнами называются механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде. Тела, которые воздействуют на среду, вызывая колебания, называются источниками волн. -33-
Распространение упругих волн не связано с переносом вещества, но волны переносят энергию, которой источник колебаний обеспечивает волновой процесс. 2. Среда называется однородной, если ее физические свойства, рассматриваемые в данной задаче, не изменяются от точки к точке. Среда называется изотропной, если ее физические свойства, рассматриваемые в задаче, одинаковы по всем направлениям. Среда называется линейной, если между величинами, характеризующими внешнее воздействие на среду, которое и вызывает ее изменение, существует прямо пропорциональная связь. Например, выполнение закона Гука означает, что среда линейна по своим механическим свойствам. 3. Бегущими волнами называются волны, которые переносят энергию в пространстве. Уравнением упругой волны называется зависимость смещения для любой точки пространства от времени при прохождении в нем рассматриваемой волны. Все упругие волны делятся на продольные (направления колебаний частиц среды и распространения волны совпадают) и поперечные (направления колебаний точек среды и распространения волны взаимно перпендикулярны). Электромагнитные волны - поперечные волны (см. ниже). Для характеристики продольных волн в жидкости или газе используют понятие избыточного давления (вариант 15, задача \).Избыточное давление равно разности между давлением в данный момент времени, когда по среде проходит волна, и равновесным, когда возмущений в среде нет. Лучом называется линия, касательная в каждой точке к которой совпадает с направлением распространения волны. В однородной среде лучи имеют вид прямых линий. 4. Упругая волна называется синусоидальной или гармонической, если соответствующие колебания среды являются гармоническими. Частота колебаний точек среды и есть частота волны. Она задается источником колебаний и является неизменной для всех точек среды. При определении колебаний точек среды надо записать уравнение волны, используя соответствующие данные о характере колебаний источника и характере волны. Пример 1. Уравнение колебаний источника задано в виде:£0 = 4m cos(cot + а), где 4щ" амплитуда, со - частота, а - начальная фаза. Записать уравнение волны. Колебание любой точки среды на расстоянии г от источника в любой момент времени будет проходить по тому же закону, с той же частотой и амплитудой, что и в источнике, если нет дисперсии среды и отсутствует затухание процесса (говорят, нет диссипации энергии). Если задавалась начальная фаза источника колебаний (в данной задаче а), то она войдет как составляющая в начальную фазу колебаний любой точки среды. Уравнение плоской волны (волновой фронт - плоскость), распространяющейся вдоль к, имеет вид: £ = cos(cot-kr + a), -34-
где £m- амплитуда волны, к - волновой вектор, кг - скалярное произведение векторов. И волновой вектор, и радиус - вектор можно представить через проекции на координатные оси: k = ехкх + еуку + егк7, г = exrx + eyry + ezr2 (вариант 3, задача 3). Для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОУ уравнение волны таково: £ = cos(cot - ky + а), где к - волновое число, ср = (cot - ky + а) - фаза волны. Волна называется сферической, если ее волновой фронт сфера, в центре которой находится источник колебаний. Такие волны возбуждаются точечным источником в изотропной среде. Уравнение расходящейся синусоидальной сферической волны имеет вид: д £ - COs(cot - kr + а) г А — - амплитуда волны, Ао - физическая величина, численно равная амплитуде волны на единичном расстоянии от источника колебаний. 5. Характеристики волн и соотношение между ними. Циклическая частота со = 2%v = —, где v - линейная частота, Т - период, 2ж ср = (cot - kr -f а) - фаза волны, к - волновой вектор, к = — - волновое число, X X - длина волны. Длина волны - расстояние, на которое распространяется волна за время одного периода X = иТ, и - фазовая скорость волны. Другое определение волны связано с понятием фазы колебаний. Длина волны - минимальное расстояние между двумя точками, колеблющимися в фазе. 6. Фазовая скорость поперечных упругих волн в однородной изотропной Fq среде равна и = /—, где G- модуль сдвига среды, р -ее плотность в V р невозбужденном состоянии (т.е. когда в этой среде не распространяется упругая волна). Если волны связаны с растяжением или сжатием, то фазовая скорость равна fig и= — , где Е - модуль Юнга. V Р Скорость распространения поперечных волн вдоль струны (натянутой гибкой (Т тонкой нити) равна и= —, где F - сила натяжения струны, S- площадь V ps поперечного сечения, р- плотность материала струны, линейная плотность струны рлин = р • S (вариант 13 задача 1). -35-
■ К Фазовая скорость волн в жидкости u = /—, где К- модуль объемной V Р упругости среды. Если использовать коэффициент сжимаемости р жидкости, то он равен Р = —, измеряется в Па (вариант 7, задача 1). К Для идеального газа процесс деформации среды можно считать адиабатическим и скорость волны в идеальном газа равна и = — = Л1^—-, \Р т X - показатель адиабаты, ц - молярная масса, Т - абсолютная температура, р - давление газа, R - универсальная газовая постоянная (вариант 15, задача 1) 7. Если в среде распространяется продольная волна, то скорость колебаний точек среды есть производная от смещения по времени о = — dt Относительная упругая деформация 8 = — = —. Здесь и - скорость колебаний ду и точек среды, и - скорость распространения волны. 8. Упругая среда, в которой распространяется волна, обладает как кинетической, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией. Объемная плотность кинетической энергии среды равна * ,dWK_P^2 к dV 2 ’ где dWK - кинетическая энергия всех частиц в малом объеме dV среды, выбранном таким образом, что в его пределах скорость и везде одинакова, р - плотность среды. Объемная плотность потенциальной энергии среды: dWn puV = — п dV 2 dWn - потенциальная энергия однородно деформированного малого участка объемом dV, 8 - относительная деформация , и - фазовая скорость волны в среде. Объемная плотность энергии упругих волн: та = гак +шп =^p(o2 +uV) гг - - * 34 54 и Для продольной плоской бегущей волны и = —, г = — = —, dt ду и тогда tnK=TUnHtn = pu2=p|“| . Объемная плотность энергии волн зависит и \8iJ от координат, и от времени. Для плоской бегущей гармонической волны в среде, где отсутствует поглощение энергии, имеем: а4 2 -36-
2 ш = p4ni^2 sm2 (fl>t ” ку ч- a) = [l + cos(2(cot - ку + a))] Среднее за период значение объемной плотности энергии можно вычислить по формуле: <ш) = — fmdt = —--щС0- , T0J 2 ' т.к. <cos(2(cot - ку + а))) = ~. Для расходящейся сферической волны соотношение для объемной плотности энергии имеет вид: А2 ш = р—^-со2 sin2(cot-кг + a) г Поток энергии сквозь малую площадку dS равен: Вектор плотности потока энергии (вектор Умова) м <1Ф S = тли, |S| — , dS1=dScos9, dSx где ср-угол между нормалью ii и скоростью волны и. Интенсивность волны равна модулю среднего значения вектора Умова: I = |<s)| = Р оЧт ~ • 9. При распространении волны в поглощающей среде (когда есть диссипация энергии) и амплитуда волны, и интенсивность изменяется по экспоненциальному закону: = ъо ехр(- ту). !(у) = 1о ехр(- 27у)> где у - координата точки, в которой определяются амплитуда или интенсивность, у- линейный коэффициент поглощения упругих волн (вар.7, задача 3). 10. Стоячая волна - волна, полученная при наложении двух бегущих гармонических волн, которые распространяются навстречу друг другу: = £ш cos(cot - ку + а), \г = cos(cot + ку + а), ^СТ = + ^2 = 2^ш С0!^КУ + 2 I * cosi Qt + 2 J * Амплитуда стоячей волны является периодической функцией координаты £mcm = 2%m COS^ky + |j (рИСуНОК 7 ). ^ А Ътст 1 f ill1 i • 11-1 ! -- « 1в1 к ‘ 1 , * с Рисунок 7 - Колебания точек среды, в которой установилась стоячая волна -37 -
На рисунке 7 в точках О, D, К амплитуда колебаний максимальна, в точках А, В, С амплитуда равна нулю. Точки, в которых амплитуда стоячей волны равна нулю, называются узлами, а точки, где амплитуда максимальна называются пучностями стоячей волны. Положение узлов и пучностей определяются условими: кУр. + ”J = где п = 1,2,3....-для узлов (точки А, В, С на рисунке 7)у а В стоячей волне все точки между двумя узлами колеблются синфазно, т.к. фаза стоячей волны не зависит от координаты. В стоячей волне скорость колебаний точек среды и относительная деформация среды определяются также, как и для бегущей волны ( вар. 14, задача 3). 11. В случае свободных колебаний струн, стержней, столбов газа в них устанавливаются стоячие волны, частоты которых могут принимать определенные дискретные значения, называемые собственными частотами колебаний. Для струн, стержней и столбов газа (длиной 1), закрепленных с обоих концов, собственные частоты колебаний системы можно определить из условия, что на длине 1 должно укладываться целое число полуволн: 1 m 1 = — ,п = 1,2,3.... 2 _ _ пи Собственные частоты таких систем:v = —, и - скорость волны. Для стержней, струн, столбов газа, закрепленных с одного конца, на их длине должно укладываться нечетное число полуволн стоячей волны, а _Хя (2п + 1)Х “ст 2 ’ 4 и соответственно собственные частоты будут равны (2n + 1)и , , л „ ч v = —, (п=1,2,3...) 41 J 12. Эффектом Доплера называется изменение частоты волн, регистрируемой приемником (наблюдателем), из-за движения источника и приемника. Частота колебаний источника ^0, частота волны, регистрируемая приемником\) . В общем случае, когда и приемник, и источник звуковых волн движутся относительно среды с произвольными скоростями вдоль одной прямой u + v0 и ■ и где u-фазовая скорость волны в среде, v} - скорость источника, v2 -скорость приемника. v2 > 0, если приемник приближается к источнику, -38-
v2 < 0, если приемник удаляется, Vj > 0, если источник приближается к приемнику. Vj < 0, если источник удаляется. 4.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 1 .Электромагнитными волнами называются возмущения электромагнитного поля (т.е. переменное электромагнитное поле), распространяющиеся в пространстве. Утверждение о существовании электромагнитных волн является непосредственным следствием системы уравнений Максвелла. Остановимся только на одном из них - на обобщенном законе полного тока. Максвелл сделал предположение, что источником магнитного поля является не только электрический ток, но и изменяющееся электрическое поле. Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля служит ток смещения. Плотностью тока смещения в СИ называется вектор jC!4 = где D- вектор электрического смещения (вектор электрической индукции) связан с вектором напряженности электрического поля D = es0E, е- диэлектрическая проницаемость среды. Величину тока смещения сквозь произвольную поверхность можно определить так: 1Ш = JjCMdS. (s) Токи смещения в отличие от токов проводимости не сопровождаются выделением теплоты Джоуля-Ленца. Несколько сложнее обстоит дело, когда переменное электрическое поле пронизывает диэлектрик и вызывает его поляризацию. Однако закономерности тепловых эффектов, возникающих при этом, не подчиняются закону Джоуля-Ленца. 2. Из теории Максвелла следует, что переменное электромагнитное поле действительно распространяется в пространстве в виде волн, фазовая скорость которых равна: u = -—L=r, с = —=L===r = 3-108м/с, Veju д/еоИо где 80,,и0-электрическая и магнитная постоянная, в СИ, s0 = 8,85• 10~!2Ф/м, ц0 = 4ж • 10~7Гн/м, с, ц-диэлектрическая и магнитная проницаемость среды. 3. Электромагнитные волны - поперечные волны. Векторы Е и Н поля электромагнитной волны взаимно перпендикулярны, так что вектор скорости волны и и векторы Е и Н образуют правую тройку векторов (рисунок 8.). Z Рисунок 8 X, сД -39-
Для сравнения ориентации тройки векторов u, Е и Н на рисунке приведено расположение осей декартовой системы координат. Такое сопоставление уместно и в дальнейшем будет использовано для определения проекций векторов Е и Н на координатные оси. 4. Взаимно перпендикулярные векторы Е и Н колеблются в одной фазе (их колебания синфазные). Модули их связаны соотношением: которое справедливо для любой бегущей электромагнитной волны независимо от формы ее волновых поверхностей. (По форме поверхности волны делятся на плоские, сферические и т.д.). Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль положительного направления оси ОУ. Из уравнений Максвелла, которые мы здесь не рассматриваем следует, что составляющие векторов Е и Н на ось ОУ равны нулю (Еу=Ну=0). Векторы Е и Н перпендикулярны и (или направлению распространению волны) и могут быть разложены на составляющие по осям координат следующим образом: где ех ,е7~ орты осей координат. 4. Монохроматической волной называется электромагнитная волна одной определенной частоты. Монохроматическая волна не ограничена в пространстве и во времени. В каждой точке электромагнитного поля монохроматической волны проекции векторов Е и Н на оси координат совершают гармонические колебания одинаковой частоты со. Например, для плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОУ, составляющие векторов электрического и магнитного поля, рассмотренные выше будут иметь вид: Ez = E01 cos(cot - ky), ф -разность фаз колебаний Ег иЕх,Е02 и Е01 - их амплитуды. 5. В зависимости от величины угла ф плоская монохроматическая волна может быть различной поляризации: эллиптически поляризованной, циркулярно поляризованной или поляризованной по кругу, линейно или плоско поляризованной волной. На рисунке 9' показаны значения векторов Е и Н поля плоской линейно поляризованной монохроматической волны в различных точках пространства, взятые в один и тот же момент времени. Оси OZ и ОХ проведены в Е = Ехех 4- Ezez Н = Нхех + Hzez, Е х = Е02 cos(cot - ky + ф), -40-
направлениях соответствующих колебаний векторов ЕиН. Уравнение такой волны примет вид: Ez =Е0 cos(cot-ky) Нх = Н0 cos(cot - ky) Рисунок 9 - Мгновенная картина электромагнитного поля в электромагнитной волне 6. Все сказанное о стоячих волнах в упругих средах относится и к электромагнитным волнам. В этом случае, однако, волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаимно перпендикулярными векторами ЕиН. Пусть волна распространяется вдоль оси OY в положительном направлении и представляется уравнениями: Е2 = Е0 cos(cot - ky), Нх = Н0 cos(cot - ky). Волну, распространяющуюся в обратном направлении, можно получить, изменив знаки у волнового вектора к (смена направления волны) и у одного из векторов Е или Н (тройка векторов Е, Н, и должна образовывать правую систему): Ez = Е0 cos(cot + ky), Нх = -Н0 cos(o)t + ky). В результате суперпозиции прямой и обратной волн получим стоячую волну (проделайте самостоятельно): Е^ = 2Е0 cosky coscot, Н = 2Н0 sinky sin cot. Стоячая электромагнитная волна состоит из двух стоячих волн - магнитной и -41 -
7. Объемная плотность энергии электромагнитного поля в линейной изотропной среде ее0Е2 цц0Н2 r2 Il2 д/ёцЕН тз = —+ —-— = ее0Е =цц0Н =—-—, где с-скорость света в вакууме. 8. В случае плоской линейно поляризованной монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления OY, напряженность электрического поля такой волны изменяется согласно уравнению Е = Е 0 cos(oot - ky), а объемная плотность энергии этой волны та = 880Е02 cos2 (cot - ky) 1 т 88 Е2 Среднее за период значение энергии равно: (ш) = — Jradt = —^—-. Т о 2 9. Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны называется вектором Пойтинга S = ш * и = [ЕН]. Для линейно поляризованной монохроматической волны вектор Пойнтинга направлен в сторону распространения волны и численно равен: S = /■—^-Ео cos2 (cot - ky). 10. Интенсивностью электромагнитной волны называется физическая величина, численно равная энергии, переносимая волной за единицу времени через единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно к направлению распространения волны. Интенсивность электромагнитной волны равна модулю среднего значения вектора Пойнтинга за период его полного колебания: I = |(S>|. Интенсивность бегущей монохроматической волны: I = (ш) • и, и - фазовая скорость волны, (то)-среднее значение объемной плотности энергии поля волны. 11. Интенсивность плоской линейно поляризованной монохроматической бегущей волны 2 у цц0 4.3. ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ по теме «ВОЛНЫ» Задание по теме «Волны» может быть оценено в баллах: задача № 1 - 20 баллов, задача № 2-40 баллов, задача № 3 - 40 баллов. Максимально можно набрать 100 баллов за решение задания. Для каждой задачи в скобках даны ответы.
Оценка выполненного задания может быть проведена и не по баллам, но надо помнить, что задачи, оцененные более высокими баллами, являются более трудными. При подборе задач использовались литературные источники [5-7], рекомендованные для вузов. ВАРИАНТ I 1. Скорость распространения упругой волны в среде 300 м/с. Найти разность фаз колебаний точек М и Р, отстоящих от источника колебаний на расстоянии 60 и 45 м. Фаза колебаний точки М в момент времени 0,3 с после начала колебаний равна п. Начальная фаза колебаний источника равна нулю. (Аф = 90°) 2. Плоская электромагнитная волна Е = Em cos ( ю t - ky) распространяющая в вакууме, наводит э.д.с. индукции еин0 в квадратном контуре со стороной 1. Расположение контура показано на рисунке 11 » Найти еин0 =/(t), если Е m = 50 мВ/м. Частота v = 100 МГц и 1 = 50 см. Рисунок 11 |' =25cos^af + 3. За сколько времени звуковые колебания пройдут расстояние 1 между точками А и В, если температура воздуха между ними меняется линейно от Ti
до Т2? Скорость звука в воздухе зависит от температуры и.зв=ал/т, где а постоянная, ВАРИАНТ 2 1.Определить смещение точки М через 0,3 с после начата колебаний. Расстояние точки до источника колебаний 80 м, скорость волны 320 м/с, амплитуда волны ^т~ 2,5 мм. Период колебаний источника 0,2 с, смещение источника колебаний в начальный момент времени равно половине амплитуды. Колебания источника происходят по закону косинуса. Оэд./ (<| = 0,3с) * -2,16 мм). 2. Шар радиуса R = 50 см находится в немагнитной среде с диэлектрической проницаемостью * = 4. В среде распространяется плоская электромагнитная волна, амплитуда напряженности электрической составляющей которой Ет= 200 В/м. Какая энергия падает на шар за время t= 1 мин? у га I 2 V А / 3. Плоская гармоническая волна с частотой со распространяется со скоростью изв в направлении, составляющем углы а,р,у с осями OX,OY,OZ. Найти разность фаз колебаний точек с координатами (хх, , z,) и (*2, jv2, z2). f \ Дф = [(х2 -Xj)*cosa + (y2 ->y1)-cosp + (z2 -zj-cosy] . k U36 J ВАРИАНТ 3 1. Определить скорость распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек М и Р, отстоящих от источника на расстояниях ум=20 м, а ур= 10 м, равна ~ радиан. Фаза колебаний точки М в момент времени ^=0,1 с равна п радиан. Начальная фаза колебаний источника равна нулю (колебания источника происходят по закону синуса). - 44 -
(u36 = 400 м/с ). 2. Плоская электромагнитная волна падает нормально на поверхность плоскопараллельного слоя толщиной 1 из немагнитного вещества, диэлектрическая проницаемость которого экспоненциально падает от значения €] , на передней поверхности до s2 на задней. Найти время распространения данной фазы волны через этот слой. 3. Плоская волна с частотой ш распространения так, что некоторая фаза колебаний перемещается вдоль осей ОХ, ОУ, OZ со скоростями соответственно iix, uy, uz. Найти волновой вектор к, предполагая заданными орты координатных осей ^2’ 1. Колебания в источнике задаются уравнением cos cot. Смещение от положения равновесия точки М, отстоящей от источника колебаний на расстоянии 4 м в момент времени tj=T/3 (где Т- период колебаний источника) равно половине амплитуды. Найти длину волны Л и амплитуду скорости колебаний точек. Скорость волны 300 м/с, амплитуда совмещения (Я= 24 м, от« 0,4 м/с). 2. Плоская электромагнитная волна с частотой v = 10 МГц распространяется в слабо проводящей среде с удельной проводимостью а~ 10 мОм/м и диэлектрической проницаемостью s — 9. Найти отношение амплитуд / \ j ВАРИАНТ 4 плотностей токов проводимости [jnp)max и смещения (jcwtД
3. В К-системе координат распространяется в среде упругая волна £ = tfcos(#/ -ху). положительном направлении оси ОУ с постоянной скоростью о по отношению к К-системе. Исследовать полученное выражение. 1. Разность фаз колебаний двух точек М и Р равны 120 градусов. Длина волны соответствующих колебаний равна 15 см. Найти наименьшее расстояние, на котором находятся эти точки. Как изменится это расстояние, если разность фаз и длину волны увеличить в 2 раза? 2. Электромагнитная волна с частотой v~ 3 МГц переходит из вакуума в немагнитную среду с диэлектрической проницаемостью е~ 4. Найти приращение ее длины волны. 3. Уравнение бегущей плоской звуковой волны имеет вид g = 60cos(l800/ -5Дх) , где задано £ микрометрах, t - в секундах, х - в метрах. Найти а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны, б) отношение амплитуды колебаний скорости частиц среды к скорости распространения волны. 1. Найти разность фаз колебаний точек М и Р, если известно, что расстояние между точками минимально возможное и что в один и тот же момент времени их смещения происходят в одну и ту же сторону от положения Найти уравнение этой волны в К - системе отсчета, движущейся в ВАРИАНТ 5 (Ах, = 5 см, Ах 2 = 20 см) ВАРИАНТ 6 <? £ равновесия и равны соответственно ^ и %т - амплитуда волны. -46-
(Лф « 0,188 радиан) . 2, Ток, текущий по длинному прямому соленоиду, радиус сечения которого R . меняют так, что магнитное поле внутри соленоида возрастает от времени по закону В = at2 , а = const. Найти плоткость тока смещения как функцию расстояния г от оси соленоида, постройте график jCM=/(r) „ euaR2 (Jcm~£оаг ПРИ r < R* Jся, - ПРИ r < R ) r 3. Уравнение бегущей плоской звуковой волны имеет вид: £ = 60cos(1800/ -5,3*), где задано £ в микрометрах, t - в секундах, х- в метрах.Найти а) скорость волны , б) амплитуду колебаний относительной деформации среды и ее связь с амплитудой колебания скорости частиц среды. (и=340 м/с; 1^4 = 0,32 мм = -). VSxJmax U ВАРИАНТ 7 1.При помощи эхолота измерялась глубина моря. Какова была глубина моря, если промежуток времени между возникновением звука и его приемом был равен 2,5 сек ? Коэффициент сжатия воды равен 4,6-10'ц) м2/Н,плотность морской воды 1030 кг/м^. (1=1815 м). 2. В вакууме вдоль оси ОУ установилась стоячая волна E=Emcos ку cos^r Найти .у - проекцию вектора Пойнтинга Sy(x,t) / f2 ^ с _ £o_m£ sjn 2 ку sin 2cot . 4 J 3.В однородной среде распространяется плоская упругая волна вида: 4 = e~Y*.Cos{cot - к^, где А, у, со, к - постоянные. Найти разность фаз колебаний в точках, где амплитуды смещения отличаются друг от друга на т} = 1%, если коэффициент затухания у = 0,42м, а длина волны Я = 50см.
ВАРИАНТ 8 1. Разность фаз колебаний двух точек М и Р, расположенных на расстоянии Дх = 50 м друг от друга, равна ~ радиан. Найти смещение точки М в зависимости от времени, если скорость распространения волны и = 300 м/с, а расстояние от точки М до источника 20 м. Колебания источника в начальный момент времени соответствуют уравнения 40 (t = 0) = 2 cos — мм. = 2 cos[^^~ *+ ’мм j 2. Исходя из уравнений Максвелла, показать, что для плоской электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме — = -с2 —, — = dt дх dt дх 3. Найти радиус вектора, характеризующий положение точечного источника сферических волн, если известно. Что этот источник находится на прямой между точками с радиус - векторами rj и г2 , в которых амплитуды колебаний частиц среды равны Aj и А2. Затуханием волны пренебречь, среда однородная. А ,г, + А,л __ ^ rv2f2 " (а,+а2) ВАРИАНТ 9 1. Колебание источника задано уравнением f = 20cosf^ + ~ |, мм. Найти отношение смещений в момент времени tj= Т/6 ( Т- период колебаний источника) двух точек М и Р , расстояние между которыми Дх = 0,6Л, а расстояние точки М от источника равно 0,1 Л (Л- длина волны). 0,16 2. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна Ё-Ётcos(cot - кг)?где Em = Emez, к = кё1, ёх,ёу)ёя-орты осей ОХ, ОУ, OZ. Найти вектор Н в точке с радиус-вектором 7^уеу в момент времени a) t = 0,
6) t=t0- Рассмотреть случай Em = 160В/м, к = 0,51 м'1, х = 7,7 м, t0 = 33 не ( - /Те t0 = 0 -> Н(0) =ТХ —£=Д cos ку = -0,3ёх, А / м; t = t0, H(t0) = 0,18ёх, А / м л/М-о З.В среде распространяется незатухающая плоская гармоническая волна. Найти среднюю объемную плотность полной энергии колебаний (т) , если в любой точке среды объемная плотность энергии равна пт0 через одну шестую периода после прохождения максимума смещения. jV> = |t*r0j. ВАРИАНТ 10 1. Колебания источника задано уравнением £ = 2cos|^30/ - -j-j, мм. Определить смещение от положения равновесия и скорость точки М, отстоящей от источника колебаний на расстоянии ум для момента времени Т ti=—, где Я и Т соответственно длина волны и период колебаний точки. £ =0,52лш,|^ = 57,9мм/с. 2. Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида, увеличивается. Показать, что скорость возрастания энергии магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность. 3. Точечный изотропный источник звука находится на перпендикуляре к плоскости кольца, проходящего через его центр - точку О. Расстояние между точкой О и источником L- 1 м, радиус кольца R = 0,5 м. Найти средний поток энергии через площадь, ограниченную кольцом, если в точке О интенсивность звука 10 = 30 мкВт/м. Затухание волн пренебрежимо мало. <Ф> = 2nl3l0 1- 1 + R = 20мкВт. -49-
ВАРИАНТ 11 1. Колебания источника задано уравнением £0 =0,lsin(l00/),c*f. Найти отношение скоростей колебаний в момент времени t} = Т/12 ( Т- период колебаний источника) точек М и Р, которые отстоят от источника 2Л ч соответственно на расстояниях у м=—,у р - длина волны). 2. Плоская гармоническая линейно поляризованная электромагнитная волна распространяется в вакууме. Амплитуда напряженности электрической составляющей волны Е = 50 мВ/м, частота v = 100 МГц . Найти действующее значение плотности тока смещения. (/« -4bivEmsb =0>2мА!м1). 3.На струне длиной 120 см образовалась стоячая волна, причем точки струны, для которых амплитуда смещения равна 3,5 мм , отстоят друг от друга на расстоянии 15 см. Найти максимальную амплитуду смещения. Какому обертону соответствуют эти колебания? ((£о)ст*5мм> 3-й обертон) ВАРИАНТ 12 1. Колебания источника задаются уравнением f0 = gm cos 200/, см .Найти значения моментов времени, когда смещение точки М, отстоящей от источника на расстоянии ум = 2 м, равна половине амплитуды. Скорость волны 300 м/с. (tn=0,0119+0,0157п, где п=0,1,2.. .), 2. По прямому проводнику круглого сечения течет ток I. Найти" поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участка данного проводника, имеющего сопротивление R. ( Ф = I2 R) 3. Неподвижный наблюдатель воспринимает звуковые колебания от двух камертонов, один из которых приближается , а другой - с такой же скоростью удаляется. При этом наблюдатель слышит биения с частотой v=2 Гц. Найти
скорость каждого камертона, если их частота колебаний v0 = 680 Гц, а скорость звука в воздухе равна и = 340 м/с. 1. На какую длину волны будет резонировать контур, состоящий из катушки индуктивности L=4 мкГн и конденсатора электроемкостью 01,11 2. На оси х находится приемник и источник звуковых колебаний с частотой Vq = 2000 Гц. Источник совершает гармонические колебания вдоль этой оси с круговой частотой со и амплитудой %т = 50 см. При каком значении со ширина частотного интервала, воспринимаемого неподвижным приемником, будет составлять А и =200 Гц. Скорость звука о„ - 340 м/с. 3. Найти отношение частот основного тона двух одинаковых струн после того, как одну из них растянули на rjl = 2%, а другую на rj2 =_4%. Натяжение считать пропорциональным растяжению. 1. Два поезда идут с одинаковыми скоростями относительно Земли и =54 км/час, удаляясь от станции А по железнодорожным путям, составляющим угол 60°. Найти как изменится воспринимаемая поездом С частота свистка, подаваемого поездом В, когда они находятся друг против друга ( см. рисунок 2 2 ), Скорость звука \лзв = 340 м/с. ВАРИАНТ 13 нФ? (Я «125 м). ВАРИАНТ 14
— = 1,045') v J 2. Плоская гармоническая линейно поляризованная электромагнитная волна распространяется в вакууме. Амплитуда напряженности электрической составляющей волны Ет = 50 мв/м, частота v = 100 МГц. Найти среднюю за период колебаний плотность потока энергии. /■ £ 2 4 (S) = ~—— = 3,3 мВт/м2, с - скорость света V 2 у 3. В однородной среде с плотностью установилась стоячая волна вида g = A cos юг cos cot, Найти выражение для объемной плотности а) потенциальной энергии tanOT(y,t), б) кинетической энергии хпкин(у, t) ^ _ рА2со2 cos2 Kysincot^ кин ” ^ \ ) т рА2о2 sin2 Kycos2 cot пот “ Z 1 ВАРИАНТ 15 1. Уравнение колебаний у ножки звучащего камертона (источник звука имеет вид: Ар = 0,003 • sin(8007it), Па. Звук, издаваемый камертоном, распространяется в воздухе (//=29 кг/кмоль) при нормальном атмосферном давлении и температуре 17° С. Найти а) скорость распространения волны, б) звуковое давление в точке М, находящейся на расстоянии ум= 10 м от -52-
камертона через t=0,03 с после начала колебаний. Газ считать двухатомным (х = 7/5), волну плоской, (l> = 341м/с, Дрм =0,015Па). 2. Плоский конденсатор с круглыми параллельными пластинами медленно заряжают. Показать, что поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность, конденсатора равен приращению энергии конденсатора за единицу времени. Рассеянием поля на краях конденсатора пренебречь. 3. Показать, что любая дифференцируемая функция f(t+ay), где а - постоянная, является решением волнового уравнения. Каков физический смысл постоянной а? 4.4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «ВОЛНЫ» Перед решением задач внимательно изучите учебный материал по разделам «Упругие волны», «Уравнения Максвелла», «Электромагнитные волны». В данном разделе даны разъяснения по задачам, которые могут вызвать затруднения при решении. Вариант 1 Задача 2. Явление электромагнитной индукции возникает в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего площадь контура. Вектор напряженности (и вектор магнитной индукции) магнитного поля изменяется в данной задаче в зависимости от времени и координаты, т.к. в пространстве распространяется электромагнитная волна. Для определения магнитного потока сквозь контур надо разбить его плотцадь на элементы dS=ldy (см рисунок 11), найти магнитный поток через элемент площади, а затем взять определенный интеграл, где пределы изменения у от 0 до 1. Полученное выражение определяет зависимость магнитного потока, пронизывающий данный контур, от времени Фт= Ф(г). Для определения э.д.с. индукции воспользуйтесь законом Фарадея и соотношением, связывающим вектора Е и Н в электромагнитной волне, т.к. по условию задана величина Ет. Задача 3. а) Постройте график зависимости температуры воздуха от координаты, из которого видно, что изменения температуры и координаты (dT, dy) связаны линейной зависимостью. Тангенс угла наклона прямой есть коэффициент пропорциональности между изменениями этих величин, он может быть определен из данных условия задачи. б) С другой стороны dy=u dt, где и- скорость волны, dt - промежуток времени. -53-
в) Соединить соотношения пунктов а) и б), проинтегрировать выражение, правильно расставив пределы. Вариант 2 Задача 3.Сделайте рисунок в координатах XYZ, задайте направление распространения волны вдоль произвольного радиус-вектора г, отметьте заданные углы. Используйте формулу, связывающую разность фаз колебаний в двух точках среды с разностью расстояния Дг между ними: (Дер = (к • Дг)). Затем выразите Дг и к через данные условия задачи. Вариант 3 Задача 2. Скорость волны зависит от диэлектрических свойств среды. Диэлектрическая проницаемость среды меняется по закону е = s0 • ехр(- ау), величины &'0 и а можно определить из данных условия задачи. Путь, пройденный волной за время dt, зависит от ее скорости u: dy ~ и-dt. Используя выражение для скорости электромагнитной волны в среде и зависимость диэлектрической проницаемости от координаты, вычислить время, за которое волна пройдет через плоскопараллельный слой вещества (разделением переменных свести вычисления к определенным интегралам, учесть, что при изменении времени от 0 до t координата меняется от 0 до 1). Вариант 4 Задача 2. Для определения тока проводимости использовать закон Ома в дифференциальной форме. Для определения тока смещения воспользоваться определением вектора плотности тока смещения, уравнением электромагнитной волны (ее электрической составляющей), соотношением между векторами Ё rD . Задача 3. Для перевода уравнения волны, заданного в К - системе в уравнение вК'- системе воспользуйтесь преобразованиями Галилея. Вариант 6 Задача 2. Надо воспользоваться уравнением Максвелла для циркуляции вектора Е (закон Фарадея): Edl = - \—dS. (/,) (s) dt Криволинейный интеграл в левой части уравнения и есть циркуляция вектора Е по любому замкнутому контуру. В правой части интеграл по поверхности контура есть скорость изменения магнитного потока через площадь, охватываемую этим контуром. Если r<R , где R-радиус соленоида, то закон Фарадея примет вид : оВ ^ 2тЕ = яг2 —-, (знак минус опущен при расчете величин), где B=at2 dt -> дВ Если r>R, то 2кгЕ - nR2 —. Далее воспользуйтесь определением тока dt 8D смещения: jCM=—. dt
Вариант 7 Задача 2. Для определения v-проекции величины вектора Пойтинга воспользуйтесь соотношением S = [Е • #]., и связью между составляющими Е и Н электромагнитной волны. Вариант 8 Задача 3. Сделайте рисунок в декартовых координатных осях XYZ, возьмите точки 1 и 2, проведите в них радиус - векторы г} и г2, тогда Аг = г2 - гх .На прямой, соединяющей точки 1 и 2, возьми точку М, в ней находится источник сферических волн, г - ее радиус - вектор. Расстояние точки М до точки 1 равно AFj, а от точки М до точки 2 - Дг2. Установите соотношения между величинами г 9i\,r2'9£a\9&r29Ar. Воспользуйтесь выражением для амплитуды сферической волны в точке 1 и 2, найдем их отношение, из него выразите радиус - вектор источника колебаний. Вариант 9 Задача 2. Воспользуйтесь уравнением электромагнитной волны согласно условию в виде Ё = Emez cos(wt - ky), Н = Hmex cos(cot-ky) и соотношением между векторами Ё и Н. Скорость электромагнитной волны в вакууме есть скорость света. Задача 3. Запишите объемную плотность энергии электромагнитной волны в зависимости от времени и координат. По условию задачи в любой точке среды объемная плотность энергии в момент времени t= Т/6 равна со0, в том числе и в источнике колебаний (у = 0). Воспользуемся этим для определения амплитуды упругих колебаний, которая входит также в выражение для средней объемной плотности энергии. Вариант 10 Задача 2. При возрастании тока увеличивается и магнитное поле в соленоиде, появляется вихревое электрическое поле. Обозначим радиус соленоида г, а его длину 1. Используем закон Фарадея в интегральной форме: дВ jEcosydlK=- j dS (см. методические указания к варианту 6), тогда (/,) (s) dt 2 тiRE = nR28B/dt, из этого уравнения найдем Е. Поток энергии через боковую поверхность соленоида равен: Ф= jS 2nRl9 где S -модуль вектора Пойтинга. - dW д ( В2 1 d2; Вычислите Ф, сравните с величинои — - ■ nR I. dt dty2[i0J Задача 3. Сделайте рисунок, разделите площадь, охватываемую кольцом на малые элементарные кольца радиуса г и толщиной dr (площадь колец dS=2 jtrdr). Найдите энергию, переносимую волной через элементарное кольцо. Учтите, что и г, и dr зависят от угла ос, под которым видно выделенное кольцо из точки, где находится источник. Угол а это угол между лучом, проведенным к элементарному кольцу и перпендикуляром, опущенным из точки нахождения источника в центр кольца. Угол, под которым видно кольцо толщиной dr из -55 -
источника колебаний будет равен da . Выразите величины г и dr через а и da . Для определения энергии, переносимой волной через все кольцо, надо провести интегрирование по углу, считая его изменение от 0 до а0,(а0 - угол, под “о которым виден из точки источника край кольца). Ф = J /0 cos adS. о Вариант 11 Задача 2. Используйте определение плотности тока смещения, уравнение электромагнитной волны (ее электрической составляющей), связь между амплитудным и действующим значением тока (оно верно и для тока смещения). Задача 3. Используйте уравнение стоячей волны, найдите выражение для координат узлов и пучностей, определите номер обертона, (должно быть п=4, третий обертон). Для определения максимальной амплитуды стоячей волны (£0)ст воспользуйтесь выражением для амплитуды стоячей волны для точек с , Я координатами yi и у\-г —. 4 Именно расстояние -- разделяет точки, колеблющиеся в стоячей волне с 4 одинаковой амплитудой (покажите это). Найдите их отношение, оно по условию равно 1. Это позволит определить координату (возьмите ее наименьшее значение), по которой можно найти максимальную амплитуду смещения в стоячей волне. Вариант 12 Задача 2. Наличие тока в проводнике порождает магнитное поле вокруг него. Используем теорему о циркуляции вектора В вблизи поверхности проводника: |В cosydlK = ц0 JI jnp0B0OTM0CT„ + ~ IdS 1К (S) V & J В левой части уравнения - криволинейный интеграл по контуру. Возьмем длину контура обхода 1К=2 яг, где г- радиус проводника. Тогда В-2эт = ^проводимости. В = Ц0 + . Для определения потока энергии через боковую поверхность проводника используем выражение Ф = 82т1г1, где S- модуль вектор Пойтинга, 1-длина проводника. Вариант 13 Задача 2. При колебаниях источника вдоль одной прямой, на которой находится и наблюдатель, он то приближается к нему, то удаляется. Найдите максимальную скорость колебаний источника. Формулу для частоты колебаний, воспринимаемых неподвижным наблюдателем, при движении источника звука (эффект Доплера) запишите для двух случаев: а) источник приближается к наблюдателю с максимальной скоростью, б) источник удаляется от наблюдателя с максимальной скоростью. Изменение частоты звука, воспринимаемого наблюдателем, будет соответственно
Av, = v, - v0 и Av2 = v2 - v0 ,ширина частотного интервала равна Av = AVj +Av2. Задача 3. Воспользуемся соотношением частоты основного тона закрепленных струн в зависимости от их натяжения, считая струны одинаковыми, т.е и их массы, и первоначальные длины одинаковы. После растяжения длины меняются, следовательно, меняются и линейные плотности. Вариант 14 Задача 2. Для вычисления {S) воспользуйтесь определением средней по периоду величины и соотношением между величинами векторов ЕиН электромагнитной волны. Вариант 15 Задача 2. Используйте закон полного тока, определите циркуляцию вектора Н по замкнутому контуру, длина которого равна 1к=2лЯ. , где R- радиус конденсатора. Так как для данной задачи магнитное поле создается током смещения, а токов проводимости нет, то, используя выражение для тока 0ТУ смещения через плотность тока, имеем 2nRH = nR2 • -.Вектор Пойтинга dt направлен внутрь конденсатора. Считайте, что поток вектора S через боковую поверхность конденсатора идет полностью на увеличение его энергии в dW d (ED Л ED единицу времени. - = - — V , где V -объем конденсатора, плотность dt dt\ 2 ) 2 dW энергии в нем, - - изменение энергии конденсатора в единицу времени. 5.ВОЛНОВАЯ ОПТИКА 5 Л. Индивидуальное задание I по теме «Волновая оптика» Индивидуальное задание по теме «Волновая оптика» содержит 5 задач, из них: 2 задачи по интерференции света, 2 задачи по дифракции света, 1 задача по поляризации света. Задание оценивается по 5-ти балльной системе, каждая правильно решенная, с пояснением решения, с рисунком, задача оценивается в один балл. При выполнении задания рекомендуется воспользоваться учебниками (1-3) и лекциями, прочитанными Вам во втором семестре. -57-
ВАРИАНТ 1 1. Определите перемещение зеркала в интерферометре Майкельсона, если интерференционная картина сместилась на ш= 100 полос. Опыт проводился со светом с длиной волны X - 546 нм. 2. Расстояние между 4-ым и 9-ым темными кольцами Ньютона в отраженном свете равно 3 мм. Радиус кривизны линзы 25 м. Найти радиусы колец. 3. Точечный источник монохроматического света с длиной волны 0,55 мкм помещен на расстоянии 5 м от круглой диафрагмы. Но другую сторону от диафрагмы на расстоянии 1 м от нее находится экран. Определите радиус диафрагмы, если освещенность центра экрана наименьшая. 4. Монохроматический свет с длиной волны 500 нм падает нормально на дифракционную решетку. Определить период решетки, если угол между направлениями на максимумы первого и второго порядка равен 10°. 5. При прохождении света через трубу длиной lj = 20 см, содержащую десятипроцентный раствор сахара, плоскость поляризации света повернулась на угол <рх - 13, 3°. В другом растворе сахара, налитом в трубку длиной 12 = 15 см, плоскость поляризации повернулась на угол ср2 = 5,2°. Определить концентрацию С второго раствора. ВАРИАНТ 2 1.При определении длины 1 в интерферометре Майкельсона при перемещении подвижного зеркала интерференционная картина переместилась на ш.= 69 полос. Длина волны Я = 500 нм. Определить длину 1. 2. Какой должна быть минимальная толщина слоя воды между двумя плоскими стеклянными пластинами, чтобы стекло при нормальном падении света с длиной волны 640 нм казалось темным? светлым? Показатель преломления воды 1,33. 3. Плоская световая волна Я = 640 нм падает нормально на круглое отверстие радиуса 16,2 мм. На каком минимальном расстоянии нужно
поместить экран, чтобы центр дифракционной картины имел наибольшую освещенность. 4. Какое наименьшее число штрихов Nmin должна содержать дифракционная решетка, чтобы в спектре второго порядка можно было видеть раздельно две желтые линии натрия с длинами волн Я, = 589, 0 нм и Я2 - 589,6 нм? Какова длина I такой решетки, если постоянная решетки d= 5 мкм? 5, Угол преломления луча в жидкости р = 35 °. Определить показатель п преломления жидкости, если известно, что отраженный луч максимально поляризован. ВАРИАНТ 3 1. В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей помещалась тонкая стеклянная пластинка, вследствие чего центральная светлая полоса смешалась в положение, первоначально занятое пятой светлой полосой (не считая центральной). Луч падает на пластинку перпендикулярно. Показатель преломления пластинки 1,5 . Длина волны 6'10'7м. Какова толщина пластинки. 2. Диаметр светлых колец Ньютона равны 4 и 4,8 мм. Порядковые номера колец не определялись, но известно, что между ними расположено еще три светлых кольца. Наблюдение ведется в отраженном свете, длина волны падающего света 500 нм. Найти радиус кривизны линзы. 3. Точечный источник монохроматического света с длиной волны 600 нм помещен на расстоянии 3 м от круглой диафрагмы. По другую сторону от диафрагмы на расстоянии 1 м от нее находится экран. Определить радиус диафрагмы, если освещенность центра экрана наибольшая. 4. На щель шириной 0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника с длиной волны 0,6 мкм. Определить ширину центрального максимума в дифракционной картине, проектируемой при помощи линзы, находящейся непосредственно за щелью экрана, отстоящем от линзы на расстоянии 1 м. -59-
5. Пучок естественного света, идущий в воде, отражается от грани алмаза, погруженного в воду. При каком угле падения отраженный свет полностью поляризован? Показатель преломления алмаза п=2,56. ВАРИАНТ 4 1. В опыте Юнга расстояние между щелями 0,1 мм, расстояние от щелей до экрана 1,2 м. От удаленного источника на щели падает свет с длиной волны 500 нм. На каком примерно расстоянии друг от друга расположены светлые полосы на экране? 2. Две плоскопараллельные стеклянные пластинки с показателем преломления 1,5 расположены под малым углом друг к другу. Верхняя пластинка в направлении нормали к ее поверхности освещается монохроматическим светом. Как изменится ширина интерференционных полос в отраженном свете, если зазор между пластинками заполнить водой? Показатель преломления воды 1,33. 3. Плоская световая волна падает нормально на круглое отверстие радиуса 1,2 мм. На каком расстоянии нужно поместить экран, чтобы центр дифракционной картины имел наибольшую освещенность? Длина волны света 640 нм. 4. На пластинку с узкой щелью падает нормально монохроматический свет. Угол отклонения лучей, соответствующих второй светлой полосе равен 1°. Центральную полосу считать нулевой. Скольким длинам волн падающего света равна ширина щели? 5. Пластинку кварца толщиной d = 2 мм поместили между параллельными николями, в результате чего плоскость поляризации монохроматического света повернулась на угол <р = 53°. Какой наименьшей толщины dmin следует взять пластинку, чтобы поле зрения поляриметра стало совершенно темным? ВАРИАНТ 5 1. Расстояние от щелей в опыте Юнга до экрана наблюдения 1 м. Определить расстояние между щелями, если на экране укладывается 10 темных -60-
интерференционных полос на 1 см. Длина волны 700 нм. На сколько изменится число темных полос на длине 1 см при изменении длины волны света до 350 нм? 2. Установка для наблюдения колец Ньютона в отраженном свете освещается монохроматическим светом, падающим нормально. После того, как пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнили жидкостью, радиусы темных колец уменьшились в 1,217 раз. Найти показатель преломления жидкости. 3. Монохроматический свет с длиной волны 0,5 мкм падает нормально на круглое отверстие диаметром 2 мм. На каком расстоянии от отверстия должна находиться точка наблюдения, чтобы в отверстии помещалась а) одна зона Френеля, б) две зоны Френеля. 4. Определить постоянную дифракционной решетки шириной 2,5 см, чтобы в первом порядке был разрешен дублет Я, =:589 нм и Л2 = 589,6 нм. 5. Угол Брюстера при падении света из воздуха на кристалл каменной соли равен 57°. Определить скорость света в этом кристалле. ВАРИАНТ 6 1. Определить длину отрезка \\ , на котором укладывается столько же длин волн в вакууме, сколько их укладывается на отрезке 12 = 3 мм в воде. 2. Плосковыпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны 40 см соприкасается выпуклой поверхностью со стеклянной пластинкой. При этом в отраженном свете радиус некоторого кольца 2,5 мм. Наблюдая за данным кольцом, линзу осторожно отодвинули от пластинки на 5 мкм. Каким стал радиус этого кольца? 3. Плоская монохроматическая волна падает нормально на круглое отверстие. На расстоянии 9 м от него находится экран, где наблюдают некую дифракционную решетку. Диаметр отверстия уменьшили в 3 раза. Найти новое расстояние, на которое нужно поместить экран, чтобы получить на нем такую же дифракционную картину, но уменьшенную в 3 раза.
4. На щель шириной 2мкм падает монохроматический свет с длиной волны 0,6 мкм. Каков наибольший порядок максимумов наблюдаемых за щелью и под каким углом наблюдается максимум наибольшего порядка? 5. Два николя Nj и N2 расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет а - 45°. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света: а) при прохождении через один николь Nb б) при прохождении через оба николя. Коэффициент поглощения света в николе К = 0,02. Потери на отраженный свет не учитывать. ВАРИАНТ 7 1. Сколько длин волн монохроматического света с частотой колебаний у =510м Гц уложится на пути длиной 1 = 1,2 мм: а) в вакууме, 2) в стекле? 2. Определить радиус четвертого темного кольца Ньютона в отраженном свете, если между линзой с радиусом кривизны 5м и плоской поверхностью, к которой она прижата, находится вода с показателем преломления 1.33. Длина волны падающего света 590 нм. 3. Между точечным источником света с длиной волны 500 нм и экраном находится диск диаметром 2 мм. Расстояние от диска до экрана в два раза больше, чем от диска до источника. Каково должно быть расстояние от источника до экрана, чтобы диск закрывал три первые зоны Френеля для точки, находящейся в центре дифракционной картины? 4. Желтый свет натрия, которому отвечают длины волн 589,0 нм и 589,5 нм. Падает на дифракционную решетку, имеющую 7500 штрихов на I см. Определить максимальный порядок для желтого света натрия и угловую дисперсию дифракционной решетки. 5. Луч света, идущий в стеклянном сосуде с глицерином. Отражается от дна сосуда. При каком угле падения отраженный луч максимально поляризован? Показатель преломления глицерина равен 1, 4.
ВАРИАНТ 8 1. Расстояние между шелями в опыте Юнга 0,5 мм. Расстояние от щелей до экрана 1,2 м. Длина волны света 650 нм. Определить положение первых двух максимумов на экране наблюдений, а так же расстояние между ними. 2. Плосковыпуклая линза с радиусом кривизны R прижата выпуклой стороной к плоской поверхности стеклянной пластины. Между линзой с пластинкой находится вода (показатель преломления пв= 1,3). Определить радиус кривизны линзы, если в отраженном свете радиус третьего светлого кольца Ньютона равен 2,5 мм. Показатель преломления стекла пст= 1,5. Длина волны падающего света Я =625 нм. 3.На каком расстоянии от круглого отверстия, радиус которого 1 м, нужно поместить экран, чтобы при падении плоской волны на круглое отверстие в центре дифракционной картины наблюдался максимум интенсивности? Длина волны 600 нм. 4. На щель падает нормально монохроматический свет с длиной волны 0,6 мкм. Под углом 1° наблюдается минимум третьего порядка. Под каким углом будет обнаружен максимум пятого порядка? 5. Кварцевую пластинку поместили между смещенными николями. При какой наименьшей толщине dmin кварцевой пластины поле зрения между николями будет максимально просветлено. Постоянная вращения кварца а = 27град/мм. ВАРИАНТ 9 1. На пути световой волны, идущей в воздухе, поставили стеклянную пластину (показатель преломления стекла п = 1,5), толщиной h = 1 мм. На сколько изменится оптическая длина пути, если волна падает на пластинку нормально? 2. Расстояние между первым и вторым светлыми кольцами Ньютона в проходящем свете равно 1,3 мм. Определить расстояние между 9-м и 10-м кольцами.
3. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии А от источника с длиной волны 0,6 мкм. На расстоянии равном 1/ЗА от источника, помещен круглый диск диаметром 1 см. Найти расстояние А. если диск прикрывает две зоны Френеля. 4. Определить длину дифракционной решетки, имеющей 50 щелей на 1 мм. Чтобы в спектре второго порядка разрешить две линии натрия с длинами волн 0,5890 мкм и 0,5896 мкм 5. Угол между плоскостями поляризаторов (поляроидов) равен 50°. Естественный свет проходя через такую систему, ослабляется в 4 раза. Пренебрегая потерей света при отражении, определить коэффициент поглощения К света в поляроидах. ВАРИАНТ 10 1. На экране наблюдается интерференционная картина от двух когерентных источников света с длиной волны Я = 480 нм. Когда на пути одного из пучков поместили тонкую стеклянную пластину (п = 1.4), то интерференционная картина сместилась на m = 60 полос. Определить толщину пластинки, 2. Пучок параллельных лучей с длиной волны 500 нм падает под углом 45° на мыльную пленку с показателем преломления 1,3. При какой наименьшей возможной толщине пленки отраженные лучи будут максимально усилены в результате интерференции ? 3. На непрозрачную преграду с отверстием радиуса 1 мм падает плоская монохроматическая световая волна. Когда расстояние от преграды до экрана равно 0,575 м в центре дифракционной картины наблюдается максимум интенсивности. При увеличении расстояния до экрана до 0,862 м. максимум интенсивности сменяется минимумом. Определить длину волны. 4. На щель нормально падает монохроматический свет с длиной волны 700 нм. При этом дифракционный максимум третьего порядка наблюдается под углом 7°. Затем на этой же установке наблюдается дифракция
монохроматического света с неизвестной длиной волны и под углом 6° находится максимум четвертого порядка. Определить длину волны света. 5. Угол между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора равен 45°. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, выходящего из анализатора, если угол увеличить до 60°. ВАРИАНТ 11 1. Два когерентных источника дают на экране интерференционную картину. Если на пути одного из пучков поместить тонкую пластинку из слюды (n= 1,4), то интерференционная картина сместилась на ш = 100 полос. Определить длину волны источников света, если толщина пластинки h = 75 мкм. 2. При наблюдении колец Ньютона в синем отраженном свете (длина волны 450 нм) с помощью плоско-выпуклой линзы, положенной на плоскую пластину, радиус третьего светлого кольца оказался равным 1,06 мм. После замены синего светофильтра на красный был измерен радиус пятого светлого кольца, оказавшийся равным 1,77 мм. Найти радиус кривизны линзы и длину волны красного света. Показатель преломления пластины п=1,5. 3. Точечный источник света с длиной волны 0,5 мкм расположен на расстоянии 1 м перед диафрагмой с круглым отверстием радиуса 1 мм. Найти расстояние от диафрагмы до точки наблюдения, если число зон Френеля в отверстии равно трем. 4. Монохроматический свет с длиной волны 500 нм падает нормально на щель. Центральный максимум, наблюдаемый за щелью, имеет угловую ширину 8°. Определить ширину щели. 5. Плоскополяризованный монохроматический луч света падает на поляроид и полностью им гасится. Когда на пути луча поместили кварцевую пластинку интенсивность луча света после поляроида стала равна половине интенсивности луча, падающего на поляроид. Определить минимальную толщину кварцевой пластины. Поглощением и отражением света поляроида пренебречь, постоянную вращения кварца а принять равной 48,9 град/мм. -65 -
ВАРИАНТ 12 1. Видимый свет с длиной волны 5*10_/ м падает на две щели, расположенные на расстоянии 3 • 10'2 мм друг от друга. Щели и экран, отстоящий от них на расстоянии 20.5 см, погружены в воду. Определить расстояние между интерференционными полосами на экране. Показатель преломления воды 1,33. 2. Какой должна быть толщина стеклянной пластинки, чтобы при освещении ее пучком параллельных лучей разность между максимальной разностью хода (Мтах ), возникающей между лучами в отраженном свете, и минимальной разностью хода (A/min) были равны 0,4 мкм. Показатель преломления стекла 0=1,4. 3. Монохроматический свет, длина волны которого 450 нм, от точечного источника падает на круглое отверстие радиуса 1,2 мм. Определить расстояние от диафрагмы до точки наблюдения, если расстояние от источника до диафрагмы 1 м, число зон Френеля в отверстии равно 5. 4. На пластину со щелью, ширина которой а = 0,05 мм, падает нормально монохроматический свет с длиной волны X - 0,7 мкм. Определить угол отклонения лучей, соответствующих первому дифракционному максимуму. 5. Пучок естественного света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от пластины пучок света образует угол <р = 97° с падающим пучком. Определить показатель преломления стекла, если отраженный луч максимально поляризован. ВАРИАНТ 13 1. На пути световой волны, идущей в воздухе поставили тонкую пластину из/#лмаза (показатель преломления алмаза п = 2.4), при этом оптическая длина волны изменилась на 0,5 мм. Определить толщину алмазной пластинки, если волна падает под углом 30°. 2. На тонкий клин с показателем преломления п = 1,6 нормально падает монохроматический свет с длиной волны 500 нм. Угол при вершине клина 30”. -66-
Определить расстояние между соседними интерференционными максимумами в отраженном свете, 3. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии X от источника с длиной волны 0,6 мкм. На расстоянии равном 1/5Х от источника помещен круглый диск диаметром 2 см. Найти расстояние X, если диск прикрывает три зоны Френеля. 4. На щель шириной 30 мкм падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны бООнм, Найти ширину центрального дифракционного максимума на экране, удаленного от щели на 1 м. 5. Предельный угол полного внутреннего отражения пучка света на границе жидкости с воздухом равен 43°. Определить угол Брюстера для падения луча из воздуха на поверхность этой жидкости. ВАРИАНТ 14 1. Найти все длины волн видимого света (диапазон от 760 нм до 380 нм), которые будут максимально усилены при оптической разности хода интерферирующих волн, равной 1.8 мм. 2. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует клин вследствие стекания жидкости. Наблюдая интерференционные полосы в отраженном свете с длиной волны 540 нм, находим, что на каждые 2 см клина приходится пять интерференционных полос. Найти угол клина, показатель преломления мыльной воды 1,33. 3. Между точечным источником и экраном поместили диафрагму с круглым отверстием, радиус которой можно менять, отверстие освещается монохроматическим светом с длиной волны 0,6 мкм. Определить расстояние от источника до диафрагмы, если в центре дифракционной картины на экране наблюдается максимум при радиусе отверстия 2 мм, следующий максимум при радиусе 1,29 мм. Расстояние от диафрагмы до экрана 100 см. 4. На дифракционную решетку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки d = 2мм. Какого наибольшего -67-
порядка дифракционный максимум дает эта решетка в случае красного ( Я, = 0,7 мкм) и в случае фиолетового (Я2 = 0,41 мкм) света? 5. Два николя N]H N2 расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет 60°, Определить во сколько раз уменьшиться интенсивность естественного света а) при прохождении через один николь Nj , б) при прохождении через оба николя. Коэффициент поглощения света в николе К = 0,05. Потери на отражение света не учитывать. ВАРИАНТ 15 1. Видимый свет с длиной волны 4* 10'' м падает на две щели, расположенные на расстоянии 2,8 *10’2 мм друг от друга. Щели и экран, отстоящий от них на расстояние 18,5 см, погружены в воду. Определить расстояние между интерференционными полосами на экране. Показатель преломления воды 1,33. 2. Расстояние между 16-ым и 25-ым темными кольцами Ньютона в отраженном свете равно 0,5 мм. Длина волны падающего света 490 нм. Определить радиус кривизны линзы. Найти расстояние между 16-ым и 25-ым кольцами при замене светофильтра на красный Я = 650 нм. 3.На диафрагму с круглым отверстием диаметром 4 мм падает нормально параллельный пучок лучей монохроматического света (Я = 450 нм). Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянии 1 м от него. Сколько зон Френеля укладывается в отверстии? Темное или светлое пятно наблюдается в этой точке? 4. Под каким углом будет обнаружен максимум пятого порядка, свет падает нормально на дифракционную решетку шириной 6,5 см, имеющей 200 штрихов на миллиметр. Исследуемый спектр содержит спектральную линию с длиной волны 670,8 нм, которая состоит из двух компонентов, отличающихся на 0,015 нм. Определить в каком максимуме эти компоненты будут разрешены. 5. Анализатор в 2 раза уменьшает интенсивность света, приходящего к нему от поляризатора. Определить угол между плоскостями пропускания -68-
поляризатора и анализатора. Потерями интенсивности света в анализаторе пренебречь. ВАРИАНТ 16 1. В опыте Юнга одна из двух щелей, освещаемых светом с длиной волны 510 нм, закрыта очень тонким листом пластика с показателем преломления 1,6. В центре экрана вместо максимума света - темная полоса. Чему равна минимальная толщина пластика? 2. Сферическая поверхность плосковыпуклой линзы соприкасается со стеклянной пластиной. Пространство между линзой и пластинкой заполнено глицерином. Радиус кривизны линзы 1 м. Определить радиус пятого темного кольца Ньютона в отраженном свете с Я = 0,5 мкм. Показатель преломления линзы и пластинки 1,55, показатель преломления глицерина 1,48. Как изменится радиус пятого темного кольца Ньютона, если пространство между линзой и пластинкой заполнено сероуглеродом с показателем преломления 1,63? 3. Точечный источник монохроматического света (Я = 500 нм) посылает лучи на диафрагму с круглым отверстием, радиус которого 1 мм. Расстояние от источника до диафрагмы равно 1 м. Определить расстояние от диафрагмы до экрана, если отверстие пропускает три зоны Френеля? Максимум или минимум интенсивности в центре экрана? 4. Период дифракционной решетки 0,01 мм. Какое наименьшее число штрихов должна иметь решетка, чтобы две составляющие желтой линии Я! =589 нм и Я2 =589.6 нм можно было видеть раздельно в спектре первого порядка? Определить наименьшую длину решетки. 5. В частично поляризованном свете амплитуда светового вектора, соответствующая максимальной интенсивности света, в 2 раза больше амплитуды, соответствующей минимальной интенсивности. Определить степень поляризации света. - 69 -
ВАРИАНТ 17 1. Один из лучей интерферометра проходит через небольшой стеклянный контейнер длиной 1.4 см. При заполнении контейнера газом через отсчетную линию прибора проходит 225 темных полос. Длина волны света равна 546 нм. Вычислить показатель преломления газа в предположении, что интерферометр находится в вакууме. 2. На стеклянную плоскопараллельную пластинку с показателем преломления 3,6 падает нормально пучок белого света. При какой наименьшей толщине пластинки красные лучи (Я} = 600 нм) будут максимально усилены, а синие ( Я2=450 нм) будут максимально ослаблены. Наблюдение ведется в отраженном свете. 3. Вычислить радиус пятой зоны Френеля для плоского волнового фронта ( А = 500 нм), если экран наблюдения находится от фронта волны на расстоянии 1 м. 4. На щель шириной а=2 мкм падает монохроматический свет с длиной волны Л = 0,6 мкм. Каков наибольший порядок максимумов, наблюдаемых за щелью, и под каким углом наблюдается максимум наибольшего порядка, 5. Угол падения i луча на поверхность стекла равен 60°. При этом отраженный луч оказался максимально поляризованным. Определить угол р преломления луча. ВАРИАНТ 18 1. Свет с длинами волн 520 нм и 600 нм проходит через две щели, расстояние между которыми 0.5 мм. На какое расстояние смещены относительно друг друга интерференционные полосы второго порядка для этих двух длин волн на экране, расположенном на расстоянии 1.5 м? 2. На стеклянную плоскопараллельную пластинку с показателем преломления 1,5 падает нормально пучок белого света. При какой наименьшей толщине пластины красные лучи (Л,^ 650 нм) будут максимально ослаблены, а синие ( Л2 - 500 нм) максимально усилены. Наблюдение в проходящем свете. -70-
3.На круглое отверстие нормально падает плоская монохроматическая волна. На расстоянии 8 м от него находится экран, где наблюдается дифракционная картина. Определить диаметр круглого отверстия, если в отверстии помещалось три зоны Френеля. Длина волны 600 нм. 4. Белый свет с длинами волн от 400 нм до 750 нм нормально падает на дифракционную решетку, имеющую 4000 штрихов на 1 см. С какого порядка спектры будут частично накладываться друг на друга. 5. Естественный луч света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от пластины луч образует угол (р = 97° с падающим лучом. Определить показатель преломления жидкости, если отраженный свет максимально поляризован. ВАРИАНТ 19 1. Расстояние от щелей в опыте Юнга до экрана наблюдения 1 м. Определить расстояние между щелями. Если на экране укладывается 10 на 1 см светлых интерференционных полос. Длина волны 550 нм. На сколько изменится число темных интерференционных полос на длине в 1 см при изменении длины волны света до 400 нм? 2. На стеклянный клин нормально падает параллельный пучок света монохроматического, длина волны которого Я = 520 нм. Расстояние между соседними интерференционными полосами на поверхности клина равно 0,1 мм. Определить угол клина. Показатель преломления стекла п = 1,5. 3. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии 8 м от источника монохроматического света с длиной волны 0,5 мкм. Диафрагма с круглым отверстием радиуса 1 мм расположена посередине. В центре экрана наблюдается дифракционный максимум. Во сколько раз нужно изменить радиус отверстия, чтобы на экране наблюдался максимум следующего порядка при нормальном падении света на диафрагму? -71 -
4. Определить длину дифракционной решетки, имеющей 50 щелей на 1 мм, чтобы в спектре второго порядка разрешить две линии натрия с длинами волн 0,58 мкм и 0, 5896 мкм. 5. Во сколько раз ослабляется интенсивность света, проходящего через два николя, плоскости пропускания которых образуют угол 30° ,если в каждом из николей в отдельности теряется 10% интенсивности падающего света? ВАРИАНТ 20 1. Расстояние 1 между двумя щелями в опыте Юнга равно 1 мм. Расстояние от щелей до экрана равно L = 3 м. Определить длину волны Л, испускаемого источником монохроматического света, если ширина полос интерференции на экране равна Ау - 1.5 мм. 2. На тонкий стеклянный клин нормально падает монохроматический свет. Угол при вершине клика 20” показатель преломления стекла 1,5. Расстояние между соседними интерференционными максимумами в отраженном свете 3 мм. Определить длину волны падающего света. 3. Точечный источник света, излучающий свет с длиной волны 550 нм, освещает экран, расположенный на расстоянии 11 м от источника. Между источником света и экраном на расстоянии 5 м от экрана помещена ширма с круглым отверстием, диаметр которого равен 4,2 мм. Будет ли освещенность в центре получающейся на экране дифракционной картины большей или меньшей, чем та, которая будет иметь место, если ширму убрать? 4. На щель падает нормально монохроматический свет с длиной волны Л = 700 нм. При этом дифракционный максимум третьего порядка наблюдается под углом <р," = 7°. Затем на этой же установке наблюдается дифракция монохроматического света с неизвестной длиной волны и под углом <р2 = 6° наблюдается максимум четвертого порядка. Определить ширину щели и неизвестную длину волны.
5. Степень поляризации частично поляризованного света равна 0,5. Во сколько раз отличается максимальная интенсивности света, пропускаемого через анализатор, от минимальной? ВАРИАНТ 21 1. Расстояние между щелями в опыте Юнга равно 2 мм, расстояние от щелей до экрана наблюдений 6 м, длина волны источника монохроматического света 500 нм. Определить расстояние между максимумами яркости в интерференционной картине на экране наблюдений. 2. Между двумя плоскопараллельными стеклянными пластинками, положенными одна на другую, поместили тонкую проволочку. Проволочка находится на расстоянии 5 см от линии соприкосновения пластинок и ей параллельна. На верхнюю пластинку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет Я = 0,6 мкм. В отраженном свете на протяжении каждого сантиметра видно 20 интерференционных полос. Найти толщину проволочки. 3. Плоская световая волна Я = 640 нм с интенсивностью 10 падает нормально на круглое отверстие радиуса 1,2 мм. Найти интенсивность в центре дифракционной картины на экране, отстоящем на расстоянии 1,5 м от отверстия. 4. На дифракционную решетку падает нормально параллельный пучок белого света. Спектры третьего и четвертого порядков частично накладываются друг на друга. На какую длину волны в спектре четвертого порядка накладывается волна с длиной 0,78 мкм третьего порядка? 5. На сколько процентов уменьшается интенсивность света после прохождения через призму Николя, если потери света составляют 10 %?
ВАРИАНТ 22 1. Расстояние между щелями в опыте Юнга 0,6 мм. Расстояние от щелей до экрана 1 м. Длина волны света 0.7 мкм. Определить положение первых двух минимумов на экране наблюдения, а также расстояние между ними. 2. Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны Я -520 нм нормально падает на тонкую плоскопараллельную пластинку. Определить минимальную толщину пластинки, чтобы в проходящем свете волны максимально усиливали друг друга. Показатель преломления п =1, 5. 3. Свет от монохроматического источника Я = 600 нм падает нормально на диафрагму с круглым отверстием. Диаметр отверстия 6 мм. За диафрагмой на расстоянии 3 м от нее находится экран. Сколько зон укладывается в отверстии диафрагмы? 4. Будут ли разрешены дифракционной решеткой спектральные линии 589 нм и 602 нм в спектре а) первого порядка, б) в спектре второго порядка. Число щелей 100. 5. Луч света переходит из глицерина в стекло так, что луч отраженный от границы раздела этих сред, оказывается максимально поляризованным. Определить угол между падающим и преломленными лучами. Показатель преломления глицерина равен 1,46. ВАРИАНТ 23 1. Расстояние между двумя щелями в опыте Юнга равно 2 мм, расстояние от щелей до экрана 1 м, расстояние между максимумами яркости в интерференционной картине на экране 1.3 мм. Определить длину волны источника монохроматического света. 2. На тонкий стеклянный клин падает нормально параллельный пучок света Я = 0,52 мкм. Определить угол между поверхностями клина, если расстояние между интерференционными полосами (интерференционными минимумами) в отраженном свете равно 4 мм. Показатель преломления стекла равен 1,4.
3.На диафрагму с круглым отверстием радиуса 4 мм падает нормально монохроматическая волна с длиной 0,5 мкм. Определить расстояние до экрана, если в отверстии укладывается пять зон Френеля. Рассчитать площадь одной •юны Френеля. 4. На щель падает нормально монохроматический свет с длиной волны 460 нм. Под углом 4° наблюдается минимум второго порядка. Под каким углом наблюдается максимум первого порядка, чему равна ширина щели. 5. Под каким углом к горизонту, должно находится Солнце, чтобы солнечный свет, отраженный от поверхности воды, был полностью поляризован. ВАРИАНТ 24 1. В опыте Юнга отверстия освещались монохроматическим светом длиной волны Я = 6*10° см, расстояние между отверстиями 1 мм и расстояние от отверстия до экрана 3 м. Найти положение трех первых светлых полос. 2. Тонкая пленка спирта с показателем преломления 1,36 покрывает плоскую стеклянную пластинку с показателем преломления 1,58. При нормальном падении монохроматического света доля отраженного света минимальна при длине волны 520 нм и максимальна при 640 нм. Чему равна толщина пленки? 3. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии 1 от точечного монохроматического источника (Я = 600 нм). На расстоянии 0,5-1 от источника помещена круглая непрозрачная преграда диаметром 0,1 см. Чему равно расстояние 1, если преграда закрывает только центральную зону Френеля? 4. На щель шириной 0,1 мм падает нормально монохроматический свет ( Я =0,6 мкм). Что видит глаз наблюдателя, расположенного за щелью, если он смотрит в направлении, образующем с нормалью к плоскости угол <р = 43? (max или min)? -75-
5. Пучок света, идущий в воздухе, падает на поверхность жидкости под углом 54°. Определить угол преломления пучка, если отраженный пучок максимально поляризован. ВАРИАНТ 25 1.В опыте Юнга расстояние от щели до экрана равно 1,5 м. на каком расстоянии друг от друга должны находится щели, чтобы на 1 см экрана уместилось 20 интерференционных полос? Длина волны 600 нм. 2.Когда прибор для наблюдения колец Ньютона погрузили в жидкость, диаметр восьмого темного кольца уменьшился от 2,92 до 2,48 см. Чему равен показатель преломления жидкости? 3.Радиус четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта равен 3 мм. Определить радиус шестой зоны Френеля. 4.Дифракционная решетка, освещенная нормально падающим монохроматическим светом, отклоняет спектр третьего порядка на угол <рх = 30°. На какой угол ср2 отклоняет спектр четвертого порядка? 5.Луч света последовательно проходит через два николя, главные плоскости которых образуют между собой угол (р = 40°. Принимая , что коэффициент поглощения К каждого николя равен 0,15, найти, во сколько раз луч, выходящий из второго николя, ослаблен по сравнению с лучом, падающим на первый николь. “ВОЛНОВАЯ ОПТИКА” 5.2. ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 2 (задачи повышенной трудности) Вариант 1 1.Два когерентных источника звуковых волн находятся на расстояниях 2.5 и 2.4 м от микрофона. Определить отношение амплитуды результирующего и исходного колебаний. Длина волны равна 0.3 м. 2.Две одинаковые плоско выпуклые линзы из стекла, показатель преломления которого равен 1.5, соприкасаются выпуклыми поверхностями. Определить оптическую силу такой системы, если в отраженном свете с длиной волны -76-
0.6.мкм диаметр пятого кольца Ньютона равен 1.5 мм. 3.Определить показатель преломления пленки и ее наименьшую толщину, чтобы ею можно было просветлить поверхность стекла для зеленого света (длина волны 0.55 мкм).Показатель преломления пленки больше показателя преломления стекла. Минимальная толщина пленки, при которой наблюдается максимум отраженного света в этом диапазоне длин волн, равна 0.17 мкм. 4.Монохроматический пучок света проходит через ячейку Керра, помещенную между скрещенными поляроидами. Конденсатор заполнен сероуглеродом, длина пластин конденсатора равна 10 мм, расстояние между ними-2.2 мм. Если на конденсатор подать напряжение 7.15 кВ , то яркость света, вышедшего из анализатора, оказывается максимальной. Определить константу Керра для света данной частоты. 5.Солнечный свет интенсивностью 1о не проходит через два поляроида, если их оси скрещены под прямым углом. Чему равна интенсивность света, прошедшего через систему, если между двумя поляроидами поместить третий, ось которого образует с осями двух других угол в 45 градусов. 6.Степень поляризации частично поляризованного света равна 0.25. Найти отношение интенсивности поляризованной составляющей этого света к интенсивности естественной составляющей. Считать, что частично поляризованная волна есть сумма двух волн: поляризованной и естественной. 7.Период дифракционной решетки равен 0.01 мм. Какое наименьшее число штрихов должна иметь решетка, чтобы две составляющие желтой линии с длинами волн Л} = 589 нм и Л2 589.6 нм можно было видеть раздельно в спектре первого порядка? Определить наименьшую длину решетки. 8.Прозрачная дифракционная решетка имеет период, равный 2.5 мкм. Найти угловую дисперсию, соответствующую максимуму наибольшего порядка спектральной линии с длиной волны 615 нм. Свет падает на решетку под прямым углом. 9.Дифракционная картина наблюдается на расстоянии L от точечного источника монохроматического света. Если расстояние от источника до диафрагмы с круглым отверстием радиусом 2 мм равно 0.25 L, то в центре экрана наблюдается интерференционный минимум для волны Л - 600 нм. Если расстояние от источника до диафрагмы равно 0.5 L , то в центре экрана наблюдается интерференционный максимум для волны Л— 400 нм. Определить L. Вариант 2 1.Два динамика расположены на расстоянии 2 м друг от друга и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на частоте 1000 Гц. На расстоянии 4 м от них находится слушатель (приемник). На какое расстояние должен удалиться от центральной линии слушатель, чтобы не слышать звука? Скорость звука 300 м/с. 2.Плоскопараллельная пластинка толщиной 1.2 мкм и показателем преломления 1.5 помещена между средами с показателями преломления 1.4 и 1.6. Свет с длиной волны 0.6 мкм падает нормально на пластинку. Определить -77-
оптическую разность хода волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей пластинки. 3.Плоско выпуклая линза лежит на поверхности стеклянной пластинки, причем вследствие попадания пыли между пластинкой и линзой контакта нет. Диаметры 2-ого и 10-ого темных колец в отраженном свете с длиной волны 0.6 мкм равны 3 мм и 12 мм. Определить размер пылинки и радиус кривизны линзы. 4.Пучок плоско поляризованного света, длина волны которого в вакууме равна 600 нм, падает на пластинку исландского шпата перпендикулярно его оптической оси. Чему равна толщина пластинки, если разность фаз обыкновенного и необыкновенного лучей при выходе из пластинки равна 3,14 рад? Показатель преломления обыкновенного луча равен 1.65, а необыкновенного -1.5. 5.При падении естественного света на некоторый поляризатор через него проходит 30% светового потока, а через два таких поляризатора 13.5%. Найти угол между плоскостями пропускания для этих поляризаторов. б.Частично поляризованный свет распространяется через анализатор. При повороте анализатора на угол 60 градусов от положения, соответствующего максимальной яркости, интенсивность прошедшего света уменьшается в три раза. Определить степень поляризации, а также отношение интенсивностей естественного и линейно-поляризованного света. 7.Период дифракционной решетки равен 0.01 мм, общее число штрихов 990. Будут ли в спектре первого порядка видны раздельно на экране два максимума, соответствующие длинам волн 0.589 и 0.5896 мкм? 8.0пределить ширину спектрачьной линии водорода с длиной волны 0.65 мкм в спектре первого порядка. Длина решетки 3 см. Фокусное расстояние линзы, проектирующей спектр на экран, равно 15 см. 9.Вычислить радиусы зон Френеля, если расстояние от источника до волновой поверхности равно 1 м, расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения равно 2 м, и длина волны монохроматического света источника равна 600 нм. Вариант 3 1.В упругой однородной среде распространяются в одном направлении две синусоидачьные плоские волны со скоростями V] и V2 и длинами волн Я,, Я2. Найти скорость перемещения в пространстве тех точек, в которых колебания, соответствующие каждой волне, имеют одинаковую фазу. Найти расстояние между двумя такими точками. 2.Две стеклянные пластинки расположены так, что образуют воздушный клин с углом 30 секунд. На одну из пластин падает монохроматический свет с длиной волны 0.5 мкм. Определить ширину интерференционной полосы. 3.На установке для наблюдения колец Ньютона был измерен в отраженном свете радиус четвертого светлого кольца. Когда пространство между плоскопараллельной пластинкой и линзой заполнили жидкостью, тот же радиус стато иметь пятое кольцо. Определить показатель преломления жидкости (показатель преломления жидкости меньше показателя преломления стекла). -78-
4.Г1учок плоско-поляризованного света, длина волны которого в вакууме равна 589 нм, падает на пластинку испанского шпата перпендикулярно его оптической оси. Найти длины волн обыкновенного и необыкновенного лучей в пластинке, если показатели преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей равны соответственно 1.66 и 1.49. 5.Кварцевую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси, поместили между двумя скрещенными поляризаторами. Угол между плоскостями пропускания поляризаторов и оптической осью пластинки равен 45 градусов. При каких длинах волн в интервале 0.5-0.6 мкм интенсивность света, прошедшего через систему, не будет зависеть от поворота заднего поляризатора? Разность показателей преломления необыкновенного и обыкновенного лучей в этом интервале длин волн считать равной 0,009. Толщина пластинки равна 0.5 мм. 6.Показатель преломления воды равен 1.33. Под каким углом падения полностью исчезнет отражение от поверхности воды, если использовать поляроид. Как направлена при этом ось поляроида - горизонтально или вертикально? 7.Свет с длиной волны 535 нм падает нормально на дифракционную решетку. Найти период решетки, если одному из фраунгоферовских максимумов соответствует угол дифракции 35°, и наибольший порядок спектра равен пяти. 8.Две звезды, находящиеся на расстоянии 10 световых лет от Земли, едва различимы с помощью 100 дюймового телескопа. Оценить расстояние между этими звездами. Предполагается, что длина волны, при которой происходит измерение,равна 550 нм. 1 дюйм = 2.55 см. 9.Между точечным источником монохроматического света и экраном поместили диафрагму с круглым отверстием. Расстояние от диафрагмы до источника и экрана равны 100 см и 125 см соответственно. Если радиус отверстия равен 1.29 мм, то в центре экрана наблюдается максимум. Следующий максимум наблюдается при радиусе отверстия 1.66 мм. Определить длину волны света. Вариант 4 1 .Плоская монохроматическая волна падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, отстоящими друг от друга на 2.5 мм. На экране, расположенном за диафрагмой на расстоянии 100 см, образуется система интерференционных полос. Если одну из щелей перекрыть стеклянной пластинкой (показатель преломления стекла равен 1.5), то центр интерференционной картины сместится на 1 см. В каком направлении произойдет смещение и какой должна быть толщина пластинки? 2.На струне, длина которой 120 см, образуется стоячая волна. Все точки струны, амплитуда которых 3.5 мм, отстоят друг от друга на расстояние 15 см. Найти максимальную амплитуду колебаний струны. Какому обертону соответствуют эти колебания? 3.Плоско-выпуклую линзу с радиусом кривизны R1 положили выпуклой поверхностью на двояко - вогнутую линзу с радиусом кривизны R2 > R1. На плоскую поверхность собирающей линзы нормально падает пучок -79-
монохроматического света. Определить радиусы светлых колец Ньютона, возникающих вокруг точки соприкосновения линз. Длина волны света известна. 4.Ячейку Керра поместили между двумя скрещенными поляризаторами так, что направление электрического поля в конденсаторе образует угол 45 градусов с плоскостями пропускания поляризаторов. Конденсатор имеет длину 100 мм и заполнен нитробензолом. Постоянная Керра равна 0.22 нсм/В2. Определить минимальную напряженность электрического поля в конденсаторе, при которой интенсивность света, проходящего через такую систему, не зависит от поворота заднего поляризатора. 5.Естественный монохроматический свет падает на систему из двух скрещенных поляризаторов, между которыми находится кварцевая пластинка, вырезанная перпендикулярно оптической оси. Найти минимальную толщину пластинки, при которой эта система будет пропускать 0.3 светового потока, если постоянная вращения кварца равна 17 град/мм. 6.11а поверхность воды под углом Брюстера падает плоско - поляризованная волна. Плоскость поляризации составляет угол 45 градусов с плоскостью падения. Найти коэффициент отражения. 7.Угол между двумя звездами составляет 1 мк радиан. Можно ли разрешить эти две звезды с помощью оптического телескопа, диаметр апертуры которого равен 2.54 м? 8.На непрозрачную преграду с круглым отверстием, радиус которого равен 1 мм, падает плоская монохроматическая волна. Когда расстояние от преграды до экрана равно 0.744 м, в центре экрана наблюдается максимум интенсивности. Если расстояние до экрана сделать равным 0.93 м, то максимум интенсивности сменится минимумом. Определить длину световой волны. 9.Если дифракционная решетка освещается желтым светом длиной волны 589 нм, то максимум первого порядка на экране находится на расстоянии 2.48 см от центрального максимума. Другой источник создает максимум первого порядка на расстоянии 3.84 см от центрального. Определить длину волны этого источника. Фокусное расстояние используемой линзы равно 0.42 см. Вариант 5 1'Два источника излучения одинаковой мощности находятся на расстоянии 1 м друг от друга. Определить длины волн, для которых в точке, находящейся на расстоянии 3 м от одного и 6 м от другого источника волны будут гасить друг друга. Определить длины волн, для которых в этой точке волны будут усиливать друг друга. 2.На поверхности стекла находится пленка воды. Пленка освещается монохроматическим светом с длиной волны 0.6 мкм, свет падает под углом 30° к нормали. С какой скоростью уменьшается толщина пленки (из-за испарения), если интенсивность отраженного света меняется так, что промежуток времени между последовательными максимумами отражения равен 10 мин. 3.Ширина 10-и колец Ньютона, находящихся вдали от их центра равна 2.1 мм, у последующих 10. колец толщина равна 1.2 мм. Определить радиус кривизны линзы, если наблюдение ведется в отраженном свете при длине волны 0.589 нм. - 80 -
4.Естественный свет интенсивности 10 падает на устройство, состоящее из двух скрещенных поляризаторов. Определить интенсивность света, прошедшего через устройство, если между поляризаторами поместить еще один поляризатор, ось которого составляет с осью первого поляризатора угол 30°.Коэффидиент поглощения каждого поляризатора равен 10 %. 5.Двояко преломляющий биологический образец толщиной 16.5 мкм имеет показатель преломления 1.322 и 1.331 для света с длиной волны 580 нм. Какая разность фаз возникнет между обыкновенным и необыкновенным лучами после прохождения через этот образец? 6.Трубка с бензолом длины 26 см находится в продольном магнитном поле соленоида, расположенного между двумя поляризаторами. Угол между плоскостями пропускания поляризаторов равен 45°. Найти минимальную напряженность магнитного поля, при которой свет с длиной волны 589 нм будет проходить через эту систему только в одном направлении (оптический вентиль). Как будет вести себя этот оптический вентиль, если изменить направление магнитного поля на противоположное? 7.Между точечным источником и экраном поместили диафрагму с круглым отверстием, радиус которого можно менять. Отверстие освещается монохроматическим светом с длиной волны 0.6мкм. Определить расстояние от источника до диафрагмы, если в центре дифракционной картины наблюдается максимум при радиусе отверстия 1 мм и следующий максимум - при радиусе 1.29 мм. Расстояние от диафрагмы до экрана равно 100 см. 8.Пучок рентгеновских лучей с длиной волны Я падает под углом скольжения 60° на линейную цепочку рассеивающих центров с периодом а. Найти углы скольжения, соответствующие всем дифракционным максимумам, если Я = 0.4.а. 9.При нормальном падении света на дифракционную решетку ширины 10 мм обнаружено, что компоненты желтой линии натрия с длинами волн 589.0 и 589.6 нм оказываются разрешенными, начиная с пятого порядка спектра. Определить период решетки. Какой ширины должна быть решетка с таким периодом, чтобы можно было разрешить в третьем порядке дуплет спектральной линии с длиной волны 460 нм, компоненты которого отличаются на 0.13 нм? Вариант 6 1.Два когерентных источника звука колеблются в одинаковой фазе. В точке, отстоящей от первого источника на 1 м, а от второго на 1.5 м, звук не слышен. Определить частоту колебаний источников. Скорость звука равна 330 м/с. 2.Плоско-выпуклая стеклянная линза находится на расстоянии 1.5 мкм от стеклянной пластинки. При этом радиус некоторого кольца в отраженном свете равен 0.2 мм. Наблюдая за этим кольцом, линзу осторожно положили на пластинку. Каким стал радиус этого кольца? Радиус кривизны линзы равен 0.5 м. 3.На пленку, толщина которой 0.5 мкм, а показатель преломления равен 1.5, падает под некоторым углом свет. При этом свет с длиной волны 0,59 мкм -81 -
испытывает максимальное отражение, а свет с длиной волны 0.37 мкм не отражается совсем. Определить угол падения света на поверхность пленки. 4.Трубку длиной 30 см, заполненную некоторым веществом, поместили в продольное магнитное поле соленоида, расположенного между двумя скрещенными поляризаторами. Найти постоянную Верде, если при напряженности поля 56.5 кА/м угол поворота плоскости поляризации равен 5 градусов 10 минут для одного направления поля, и -3 градуса 20 минут для противоположного направления поля. 5.Свет падает на систему из двух скрещенных поляризаторов, между которыми находится кварцевая пластинка, вырезанная перпендикулярно оптической оси. Найти минимальную толщину пластинки, при которой свет с длиной волны 436 нм будет полностью задерживаться этой системой, а свет с длиной волны 497 нм - будет пропускаться с интенсивностью 0.51%. Постоянные вращения кварца для этих длин волн равны 41.5 град/мм и 31.1 град/мм. 6.Два поляроида расположены один за другим. Ось первого поляроида вертикальна, а ось второго ориентирована под углом 45 градусов к вертикали. Чему равна интенсивность света, прошедшего через систему, если вертикально поляризованный свет падает на поляроиды слева? Справа? 7.Сколько штрихов на 1 см должна иметь дифракционная решетка, чтобы спектр второго порядка отсутствовал в видимой области? 8.Может ли человеческий глаз видеть раздельно фары грузовика, находящиеся на расстоянии 1.8 м, с расстояния 10 км? На каком наибольшем расстоянии фары могут быть видны раздельно? Диаметр зрачка 5 мм, длина световой волны 500 нм. Учитывать только дифракцию. 9.На диафрагму с круглым отверстием падает плоская монохроматическая волна с длиной волны 580 нм, На экране в центре дифракционной картины наблюдается максимум, если расстояние между диафрагмой и экраном равно 0.575.м. На сколько нужно увеличить расстояние между экраном и диафрагмой, чтобы максимум сменился минимухмом. Радиус отверстия диафрагмы равен 1.5 мм. Вариант 7 1.Два громкоговорителя расположены на расстоянии 8 м друг от друга и излучают синхронно звуковые волны частотой 330 Гц. Найти координаты точек в пространстве между громкоговорителями, в которых амплитуда колебаний будет равна амплитуде колебаний источников. Скорость распространения волн 330 м/с. 2.На вершине сферической поверхности плоско - выпуклой линзы имеется сошлифованный плоский участок радиуса 3.0 мм, которым линза соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы равен 150 см. Найти радиус шестого светлого кольца в отраженном свете с длиной волны 0.65 мкм. 3.Преломляющий угол клина равен 2 минуты. На поверхность клина нормально падает свет с длиной волны 0.55 мкм. Определить на каком расстоянии от грани клина находится 10-ая интерференционная полоса.
4.1 Тараллельный пучок света переходит из глицерина в стекло так, что пучок, отраженный от границы раздела этих сред, оказывается максимально поляризованным. Определить угол между падающим и преломленным пучком. Показатель преломления стекла равен 1.5, глицерина - 1.47. 5.0пределить степень поляризации света, представляющего собой смесь естественного света с плоско поляризованным, если отношение интенсивности поляризованного света к интенсивности естественного равно а) 1, б) 10. 6.Плоско поляризованный свет, длина волны которого в вакууме равна 589 нм, падает на пластинку испанского шпата перпендикулярно его оптической оси. Длина волны обыкновенного луча в пластинке 0.355 мкм. Определить длину волны необыкновенного луча в пластинке, если разность показателей преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей равна 0.17 7.Свет с длиной волны 530 нм падает на прозрачную дифракционную решетку, период которой равен 1.5 мкм. Найти угол, под которым образуется максимум наибольшего порядка, если свет падает на решетку под углом 60 градусов к нормали. 8.Исследуемый свет содержит спектральную линию 670.8 нм, которая состоит из двух компонент, отличающихся на 0.015 нм. Свет падает на дифракционную решетку, имеющую ширину 6.5 см, на 1 мм решетки приходится 200 штрихов. Найти в каком порядке компоненты исследуемого света будут разрешены и какова наименьшая разность длин волн, которую может разрешить данная решетка в области 670 нм. 9.3рительная труба имеет объектив диаметром 5 см. Определить разрешающую способность объектива и минимальное расстояние между двумя точками, расположенными на расстоянии 3 км от трубы, которое она может разрешить. Считать, что падающий на трубу свет имеет длину волны 0.55 мкм. Вариант 8 1.Плоская монохроматическая волна падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, отстоящими друг от друга на 2 мм. На экране, расположенном за диафрагмой на расстоянии 80 см, образуется система интерференционных полос. Какую из щелей нужно перекрыть прозрачной пластинкой толщиной 10 мкм, чтобы интерференционная картина сместилась вверх на 2 мм. Определить показатель преломления пластинки. 2.На поверхности стекла находится пленка воды. С какой скоростью должна уменьшаться толщина пленки (из-за испарения), если интенсивность отраженного света меняется так, что промежуток времени между последовательными минимумами отражения равен 15 мин. Пленка освещается монохроматическим светом с длиной волны 0.4 мкм, свет падает под углом 60 градусов к нормали. 3.Плоско выпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны 0.4 м соприкасается выпуклой поверхностью со стеклянной пластинкой. При этом в отраженном свете радиус некоторого кольца равен 2.5 мм. Наблюдая за кольцом, линзу отодвинули на 5 мкм от пластинки. Каким стал радиус этого кольца? 4.Пластинку кварца толщиной 2 мм поместили между параллельными николями, в результате чего плоскость поляризации монохроматического света -83 -
повернулась на угол 53 градуса. Какой наименьшей толщины следует взять пластинку, чтобы поле зрения поляриметра стало совершенно темным? 5.На пути естественного света поставили два одинаковых несовершенных поляроида. Степень поляризации каждого равна 0.8. Определить, во сколько раз больше световой энергии пропустит эта система при параллельных плоскостях поляроидов, чем при скрещенных. 6.Естественный свет падает под углом Брюстера на поверхность стекла. Определить с помощью формул Френеля коэффициент отражения и степень поляризации преломленного света. 7.Дифракционная решетка имеет ширину 25 мм и содержит 250 штрихов на 1 мм. Фокусное расстояние используемой линзы, в фокальной плоскости которой находится фотопластинка, равно 0,8 м. Свет падает на решетку нормально и содержит спектральные линии с длинами волн 310.154 и 310.184 нм. Определить расстояние на фотопластинке между компонентами этих линий в спектре второго порядка. 8.Луч света лазера диаметром 0,01 м, расходимость которого определяется только дифракцией, направлен на Луну. Длина волны лазерного излучения равна 0.633 мкм. Чему равен диаметр освещаемого на Луне пятна? 9.Дифракционная картина наблюдается на расстоянии 1 м от точечного источника монохроматического света. Если расстояние от источника до диафрагмы с круглым отверстием радиусом 3 мм равно 0.25 м, то в центре экрана наблюдается интерференционный минимум для волны 600 нм. Для какой длины волны будет наблюдаться ближайший максимум, если расстояние от источника до диафрагмы станет равным 0.5 м? Вариант 9 1.Плоско-выпуклую линзу с радиусом кривизны Ri положили выпуклой поверхностью на двояко-вогнутую линзу с радиусом кривизны R2 > R]. На плоскую поверхность собирающей линзы нормально падает пучок монохроматического света. Определить радиусы темных колец Ньютона, возникающих вокруг точки соприкосновения линз. Длина волны света известна. 2.0т двух когерентных источников (длина волны 750 нм) свет попадает на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути света от одного источника поместили мыльную пленку, показатель преломления которой 1.33, интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине пленки такое возможно? Свет на пленку падает нормально. 3.На стеклянный клин перпендикулярно его грани падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны 600 нм. Число интерференционных полос, приходящихся на отрезок клина длиной 1 см равно 10. Определить угол клина. 4.Степень поляризации частично поляризованного света равна 0.3. Найти отношение интенсивности поляризованной составляющей этого света к интенсивности . естественной составляющей. Считать, что частично поляризованная волна есть сумма двух волн: поляризованной и естественной. - 84 -
^.Естественный свет падает на поверхность, предельный угол полного внутреннего отражения которой равен 50°. Определить угол полной поляризации для этой поверхности. 6.Ячейку Керра длиной 10 см поместили между двумя скрещенными поляризаторами так, что направление электрического поля в конденсаторе образует угол 45° с главными плоскостями поляризаторов. Минимальная напряженность электрического поля в конденсаторе, при которой интенсивность света, проходящего через такую систему, не зависит от поворота второго поляризатора равна 21 кВ/см. Определить постоянную Керра. 7.Между источником монохроматического света (длина волны 650 нм) и экраном поместили диафрагму с круглым отверстием. Расстояние от диафрагмы до источника равно 100 см. Если радиус отверстия равен 1.21 мм, то в центре экрана наблюдается максимум. Следующий максимум наблюдается при радиусе отверстия 2.1 мм. Определить расстояние между диафрагмой и экраном. 8.Период дифракционной решетки равен 2.8 мкм. Определить длину волны света, падающего нормально на решетку, если одному из фраунгоферовских максимумов соответствует угол дифракции 30°, и наибольший порядок спектра равен пяти. 9.Свет падает на дифракционную решетку, имеющую ширину 5 см, на 1 мм решетки приходится 250 штрихов. Какова наименьшая разность длин волн, которую может разрешить данная решетка в области длин волн 600 нм? Вариант 10 I .Сферическая поверхность плоско выпуклой линзы, используемой в установке для наблюдения колец Ньютона, имеется сошлифованный плоский участок, которым линза соприкасается со стеклянной пластинкой. На плоскую поверхность линзы нормально падает свет с длиной волны 600 нм. Определить радиус сошлифованной поверхности, если радиус кривизны линзы равен 4 м, а диаметр четвертого светлого кольца Ньютона в отраженном свете равен 8.34 мм. 2.Стеклянная пластинка покрыта тонкой пленкой, показатель преломления которой равен 1.4. Определить минимальную толщину пленки, если свет падающий нормально на ее поверхность, испытывает максимальное отражение при длине волны 0.75 мкм, а свет с длиной волны 0.5 мкм не отражается совсем. Показатель преломления стекла равен 1.5. З.От двух когерентных источников (длина волны 750 нм) свет попадает на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути света от одного источника поместили стеклянную пластинку, толщиной 50 мкм и показателем преломления 1.5, интерференционная картина сместилась на 9 мм. Определить расстояние между источниками. Расстояние от источников до экрана равно 1.2 м. 4.На диафрагму с круглым отверстием падает плоская монохроматическая волна с длиной волны 500 нм. На экране в центре дифракционной картины наблюдается минимум, если расстояние между диафрагмой и экраном равно -85-
0.862 м. На каком расстоянии нужно поместить экран, чтобы в его центре минимум сменился максимумом. Радиус отверстия диафрагмы равен 1.0 мм, 5.На шпиле высотного здания укреплены одна над другой две красные лампы (длина волны 640 нм). Расстояние между лампами равно 20 см. Здание рассматривают ночью в телескоп с расстояния 15 км. Определить наименьший диаметр объектива, при котором в его фокальной плоскости получаются раздельные дифракционные изображения ламп. 6.Какое фокусное расстояние должна иметь линза, проецирующая на экран спектр, полученный при помощи дифракционной решетки, чтобы расстояние между двумя линиями с длинами волн 404,4 нм и 404.7 нм в спектре первого порядка было равно 0.1 мм. Постоянная решетки 2 мкм. 7.Естественный свет падает на систему из двух. поляризаторов, угол между осями которых равен 30°. Какая часть интенсивности естественного света проходит через эту систему, если известно, что через один поляризатор проходит 30 % светового потока? 8.Плоско поляризованный свет падает на пластинку испанского шпата перпендикулярно его оптической оси. Толщина пластинки равна 2 мм. Разность фаз обыкновенной и необыкновенной волн на выходе из пластики равна 3.14 радиан. Длина волны обыкновенного луча в пластинке 0.350 мкм. Определить длину волны необыкновенного луча в пластинке. 9.Трубку длиной 35 см, заполненную некоторым веществом, поместили в продольное магнитное поле соленоида, расположенного между двумя скрещенными поляризаторами. Постоянная Верде для данного вещества равна 0.012 угл.мин./А. Определить напряженность магнитного поля соленоида, если угол поворота плоскости поляризации равен 4 градуса 5 минут для одного направления поля и -2 градуса 40 минут для противоположного направления поля, - 86 -
6. ЛИТЕР АТУ PA При решении задач рекомендуем ИСПОЛИОМТЬ учебники [| - 4] для изучения теоретического материала, а также задачники [5-7]и методические разработки [В-9], в которых есть примеры решения раэиообрй’шых задач по темам индивидуальных заданий. 1. Савельев И.В. Курс физики.-М.: Наука, 1982, т, 1 .с,432. 2. Савельев И.В. Курс физики.-М.: Наука, 1988, т.2, с.465. 3. Яворский Б.М., Детлаф. Физика.-М.: Дрофа, 1998, с.795 4. Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма,-М.: Высшая школа. 1983, с.279. 5. Волькенштейн B.C. Сборник задач по общему курсу физики.- М.: Наука, - 1979, с,463. 6. Чертов А.Г, Воробьев А.А. Задачник по физике,- М.: Высшая школа, 1981, с.495. 7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике.-М.:Наука, 1979, с.367. 8. Физика в задачах, вопросах и ответах.- Новосибирск: из-во НЭИС, 1991, с.112 9. Лисейкина Т.А., Пинегина Т.Ю., Серебрякова Т.К., Хайновская В.В.- Метод.указания по организации самостоятельной работы студентов заочного факультета при изучении курса физики.-Новосибирск, из-во НЭИС, 1994, с.105
Татьяна Александровна Лисейкина Татьяна Юрьевна Пинегина Виктор Михайлович Татарников Татьяна Константиновна Серебрякова Ирина Валентиновна Грищенко СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ФИЗИКЕ ЧАСТЬ 2 Методические указания к самостоятельной работе студентов Редактор: Г. К. Серебрякова Корректор: Д. С, Шкитина Лицензия ЛР-020475, январь 1998 г, подписано в печать 09,11.00, формат бумаги 62x84 1/16, отпечатано на ризографе, шрифт №10, изд. л. 5,2, заказ № 129, тираж 300 .СибГУТИ 630102, Новосибирск, ул. Кирова, 86.