Проф. А. Ф. БЕРМАНТ
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ЧАСТЬ I
ИЗДАНИЕ ДВЕНАДЦАТОЕ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего образования СССР в качестве
учебного пособия для высших
технических учебных заведений
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1959

11-5-2

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к седьмому изданию 8
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Математический анализ и его значение II
1. «Элементарная» и «высшая» математика II
2. Понятие величины. Переменная величина и функциональная
зависимость 13
3. Математический анализ и действительность 15
§ 2. Некоторые исторические замечания 19
4. Великие отечественные математики: Л. П. Эйлер, Н. И. Лоба-
Лобачевский, П. Л. Чебышев 19
5. Крупнейшие отечественные инженеры-математики: Н. Е. Жу-
Жуковский, С. А. Чаплыгин, А. Н. Крылов 21
§ 3. Действительные числа 22
6. Действительные числа. Числовая ось 22
7. Интервал. Абсолютная величина 25
8. О приближённых вычислениях. . . , 28
глава t
ФУНКЦИЯ
§ 1. Функции и способы их задания 31
9. Понятие функции 31
10. Способы задания функции 32
§ 2. Символика и классификация функций 36
11. Символика 36
12. Понятие сложной функции. Элементарные функции 38
13. Классификация функций * 40
§ 3. Простейшее изучение функций 43
14. Область определения функции. Область определённости ана-
аналитического выражения 43
15. Элементы поведения функции 47
16. Графическое изучение функции. Линейная комбинация функций 50
§ 4. Простейшие функции 52
17. Прямая пропорциональная зависимость и линейная функция.
Понятие прияащения , 52
18. Квадратичная функция 55
19. Обратная пропорциональная зависимость и дробно-линейная
функция -, 58

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Обратная функция. Степенная, показательная и логарифмиче-
логарифмическая функции , 61
20. Понятие обратной функции 61
21. Степенная функция ...» 64
22. Показательная и гиперболические функции 66
23. Логарифмическая функция 69
§ 6. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 71
24. Тригонометрические функции 71
25. Простые и сложные гармонические колебания , , . . , 73
26. Обратные тригонометрические функции , 77
ГЛАВА II
ПРЕДЕЛ
§ 1. Основные определения 80
27. Предел функции целочисленного аргумента 80
28. Примеры 82
29. Предел функции непрерывного аргумента , 85
§ 2. Бесконечные величины. Правила предельного перехода .... 91
30. Бесконечно большие величины. Ограниченные функции .... 91
31. Бесконечно малые величины 95
32. Правила предельного перехода 97
33. Примеры 102
34. Признаки существования предела 104
§ 3. Непрерывные функции 106
35^ Непрерывность функции . . . 106
36. Точки разрыва функции 109
37« Общие свойства непрерывных функций 113
38. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность эле-
элементарный функций , 117
§ 4» Сравнение бесконечно малых. Некоторые замечательные
пределы 120
39. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые 120
40. Примеры отношений бесконечно малых 124
41. Число е. Натуральные логарифмы , , , 126
ГЛАВА III
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Понятие производной. Скорость изменения функции ...... 131
42. Некоторые понятия физики 131
43. Производная функция 136
44. Геометрическая интерпретация производной . . , , , 139
45. Некоторые свойства параболы 142
§ 2. Дифференцирование функций , 143
46. Дифференцирование результатов арифметических действий , . 143
47. Дифференцирование сложной функции 147
48. Производные-основных элементарных функций 150
49. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование
обратных и неявных функций , 155
50. Графическое дифференцирование ¦ ¦ ..¦¦».« 159

ОГЛАВЛЕНИЕ 3
§ 3. Понятие дифференциала. Дифференцируемость функции ... 160
51. Дифференциал и его геометрическая интерпретация 160
52. Свойства дифференциала 164
53. Применение дифференциала к приближённым вычислениям. . . 166
54. Дифференцируемость функции. Гладкость линии 169
§ 4. Производная как скорость изменения (дальнейшие примеры) 172
55. Скорость изменения функции относительно функции. Пара-
Параметрическое задание функций и линий 172
56. Скорость изменения полярного радиуса 177
57. Скорость изменения длины линии 180
58. Процессы органического роста 182
§ 5. Повторное дифференцирование 184
59. Производные высших порядков 184
60. Формула Лейбница 187
61. Дифференциалы высших порядков 189
ГЛАВА IV
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
§ 1. Поведение функции «в точке» , 192
62. Построение графика по «элементам» 192
63. Поведение функции «в точке». Экстремумы 193
64. Признаки поведения функции «в точке» 197
§ 2. Применение первой производной 200
65. Теоремы Ролля и Лагранжа 200
66. Применения формулы Лагранжа к приближённым вычислениям 203
67. Поведение функции в интервале 205
68. Примеры 209
69. Одно свойство первообразной функции 215
§ 3. Применение второй производной 217
70. Второй достаточный признак экстремума 217
71. Выпуклость и вогнутость линии. Точки перегиба 219
72. Примеры 223
§ 4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений 225
73. Теорема Коши и правило Лопиталя 225
74. Асимптотическое изменение функций и асимптоты линий . . . 233
75. Общая схема исследования функций. Примеры 239
76. Решение уравнений. Понятие кратного корня 242
§ 5. Формула Тейлора и её применения 249
77. Формула Тейлора для многочленов 249
78. Формула Тейлора 251
79. Некоторые применения формулы Тейлора. Примеры 254
§ 6. Кривизна . , 261
80. Понятие кривизны 261
81. Радиус, центр и круг кривизны 264
82. Эволюта и эвольвента 267
83. Примеры 270

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА V
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Понятие определённого интеграла 273
84. Площадь криволинейной трапеции 273
85. Примеры из физики 279
86. Определённый интеграл. Теорема существования 282
87. Вычисление определённого интеграла 287
§ 2. Основные свойства определённого интеграла 289
88. Простейшие свойства определённого интеграла 289
89. Изменение направления и разбиение интервала- интегрирования.
Геометрическая интерпретация интеграла 290
90. Оценка определённого интеграла 293
§ 3. Основные свойства определённого интеграла (продолжение).
Формула Ньютона-Лейбница 298
91. Теорема о среднем. Среднее значение функции 298
92. Производная от интеграла по верхнему пределу 301
93. Формула Ньютона-Лейбница 304
ГЛАВА VI
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Понятие неопределённого интеграла и неопределённое инте-
интегрирование 308
94. Неопределённый интеграл. Основная таблица интегралов ... 308
95. Простейшие правила интегрирования 310
96. Примеры 312
§ 2. Основные методы интегрирования 316
97. Интегрирование по частям . 316
98. Замена переменной , 319
§ 3. Основные классы интегрируемых функций 323
99. Дробно-рациональные функции 323
100. Примеры 329
101. Метод Остроградского 333
102. Некоторые иррациональные функции 336
103. Тригонометрические функции 341
104. Рациональные функции от х и \fax2 + bx -+- с 344
105. Общие замечания . , 347
ГЛАВА VII
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Способы вычисления интегралов 349
106. Определённое интегрирование по частям 349
107. Замена переменной в определённом интеграле 351
§ 2. Приближённые методы 356
108. Численное интегрирование 356
109. Графическое интегрирование 361

ОГЛАВЛЕНИИ '
§ 3. Несобственные интегралы 364
110. Интеграл с бесконечными пределами 364
111. Признаки сходимости и расходимости интеграла с бесконеч-
бесконечными пределами 367
112. Интеграл от функции с бесконечными разрывами 371
113. Признаки сходимости и расходимости интеграла от разрывной
функции 374
ГЛАВА VIII
ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
§ 1. Простейшие задачи и методы их решения 378
114. Метод «суммирования элементов» 378
115. Метод «дифференциального уравнения». Схема решения задач 380
116. Примеры 384
§ 2. Некоторые задачи геометрии и статики. Процессы органиче-
органического роста 388
117. Площадь фигуры 388
118. Длина линии 391
119. Объём тела 395
120. Площадь поверхности вращения 400
121. Центр тяжести и теоремы Гюльдена 402
122. Процессы органического роста 408
ГЛАВА IX
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды 411
123. Понятие ряда. Сходимость 411
124. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки
сходимости 415
125. Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость ... 421
126. Действия над рядами 424
§ 2. Функциональные ряды , 426
127. Определения. Равномерная сходимость 426
128. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов 430
§ 3. Степенные ряды 433
129. Ряды Тейлора 433
130. Примеры 435
131. Интервал и радиус сходимости 438
132. Общие свойства степенных рядов 441
§ 4. Степенные ряды (продолжение) 444
133. Другой метод разложения функций в ряд Тейлора 444
134. Некоторые применения рядов Тейлора 449
135. Функции комплексной переменной. Формулы Эйлера 455
Предметный указатель , 461

ПРЕДИСЛОВИЕ К СЕДЬМОМУ ИЗДАНИЮ
Опыт преподавания в течение двух лет по предыдущему изданию
«Курса» (издания 1950, 1951 гг.), а также критика со стороны лиц,
пользующихся «Курсом» как учебником для студентов высших тех-
технических учебных заведений, позволили выявить некоторые его
дефекты. Цель переработки и заключалась в устранении этих де-
дефектов. Прежде всего из книги исключено всё, что более или
менее значительно выходило за пределы программы по высшей
математике для втузов и что нельзя было рассматривать как необхо-
необходимое углубление программного материала.
Во многих местах книга подверглась большому сокращению за
счёт удаления сведений и рассуждений, хотя и уточняющих какие-
нибудь положения с чисто математической точки зрения, но затруд-
затрудняющих усвоение главного предмета.
В ряде пунктов упрощена конструкция изложения, доказа-
доказательства заменены более простыми и чёткими (см. пункты об
асимптотах, о формулах Лагранжа и Коиш, о формуле Тейлора,
о независимости криволинейного интеграла от контура интегриро-
интегрирования и др.).
Особое внимание было обращено на литературный стиль, на
доступность и доходчивость изложения, его краткость и полноту.
Сокращена доля повествовательной формы и в каждом отдельном
пункте, по возможности, произведено расчленение материала, выде-
выделены определения, теоремы и их доказательства. Исключены вводные
замечания к главам.
Для лучшей фиксации внимания читателя формулировки важней-
важнейших определений и теорем даны полужирным шрифтом. С другой
стороны, мелким шрифтом набрано только то, что действительно
может быть пропущено без серьёзного ущерба для понимания суще-
существа дела. В силу этого соображения почти все примеры, изучение

ПРЕДИСЛОВИЕ 9
которых столь важно для овладения математическим анализом, на-
набраны крупным шрифтом.
Исправлены замеченные вкравшиеся отдельные неточности и
опечатки.
Для возможности одновременного пользования настоящим изда-
изданием и предыдущим A950, 1951 гг.) рядом с номером пункта
указан (в скобках) номер соответствующего пункта предыдущего
издания.
Все критические замечания не относились к методологическим
принципам построения курса. Эти принципы и остались в настоящем
издании прежними.
Творческая работа инженера в современной технике — и научная
и производственная — требует квалифицированных математических
знаний, а не только умения производить формальные математические
операции. Более важно для инженера владеть сущностью понятий
анализа, чтобы свободно пользоваться ими при решении задач тех-
техники. Поэтому преодоление формального, поверхностного изучения
анализа является важнейшей и первоочерёдной задачей. Правиль-
Правильному решению этой задачи должно способствовать преподнесение
курса по схеме: практика — основные понятия анализа — их свойства
(теория) — способы вычислений — методы применения — практика.
Эта схема даёт возможность ясно показать связь математики с прак-
практикой, вскрыть материальные источники основных понятий анализа
и сделать отчётливыми принципы применения теории к конкретным
проблемам.
Эта книга — учебник по математике, а не справочник или сбор-
сборник рецептов — как «шагать», производя различные операции ана-
анализа. Она предназначена и для того, чтобы развить у читателя
математическое мышление и требовательность, расширить математи-
математический кругозор. Поэтому все положения высказываются с точным
перечислением условий, при которых они справедливы, доказатель-
доказательства даются полные, но, разумеется, «с точностью до теории дей-
действительных чисел», не развиваемой в этой книге. Исключения
составляют некоторые «теоремы существования»; признавая важ-
важными и полезными содержание и мотивировку этих теорем, я не
нахожу необходимым излагать, при крайней ограниченности учеб-
учебного времени, сами формальные доказательства. В случае, если дока-

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
зательства не приводятся, это оговаривается, и читатель отсылается
к более полным руководствам.
Кафедры математики Московского авиационного института
им. Орджоникидзе, Московского высшего технического училища
им. Баумана, Московского института стали им. Сталина, Всесо-
Всесоюзного заочного энергетического института и др. обстоятельно раз-
разбирали учебник и предложили изменения и усовершенствования,
которые были приняты. Всему преподавательскому составу этих
кафедр я выражаю здесь свою глубокую признательность. Я также
искренно благодарю тех, кто сообщил мне свои критические заме-
замечания и соображения о желательных исправлениях.
Редактор издательства А. 3. Рыбкин внёс ряд предложений об
улучшении текста книги, за что выражаю ему большую благо-
благодарность.
Москва,
март 1953 г.
А. Ф. Бермант

ВВЕДЕНИЕ
§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ЕГО ЗНАЧЕНИЕ
1. «Элементарная» и «высшая» математика. Те отделы мате-
математики, которые обычно объединяются общим названием «элемен-
«элементарная математика» (элементарная алгебра, элементарная гео-
геометрия, тригонометрия), возникли очень давно. За небольшим исклю-
исключением вся система элементарной геометрии в том виде, в каком
она существует и теперь, сложилась в V—III вв. до н. э. Довольно
развитыми навыками в* алгебраических преобразованиях и в решении
уравнений обладали ещё древние вавилоняне, но рождение алгебры
как науки относится лишь к VIII в. н. э., когда знаменитый хорезм-
хорезмский учёный Мухаммед ал-Хорезми изложил её основы в своём
трактате «Альджебр альмукабала»; из первого слова названия и
произошло само слово «алгебра». Что касается тригонометрии, то
её возникновение связано с астрономическими исследованиями, про-
проводившимися ещё в античной древности; однако понятия о тригоно-
тригонометрических функциях и их свойствах были разработаны только
в XVII и XVIII вв.
Те же отделы математики, которые объединяются общим назва-
названием «высшая математика», развились из учений, возникших
в XVII и XVIII вв. в связи с прогрессом естествознания и техники.
Следует отметить, что некоторые идеи и методы «высшей матема-
математики» предвосхитил великий математик, физик и инженер древности
Архимед B87—212 гг. до н. э.). «Высшая математика» — сравни-
сравнительно молодая наука.
Разделение математики на «элементарную» и «высшую»
весьма условно. Нельзя указать решающий признак, на основании
которого можно было бы тот или иной математический факт, ту
или иную теорему приписать «элементарной математике». Вместе
с тем можно выделить две преобладающие черты, присущие тому
исторически и педагогически сложившемуся школьному курсу, кото-
который мы привыкли называть «элементарной математикой».
Первая черта состоит в том, что предметами исследования в этой
математике являются постоянные величины и фигуры. Для эле-
элементарной математики типичны такие проблемы: дано некоторое

12 ВВЕДЕНИЕ [I
алгебраическое уравнение — найти постоянное число, удовлетворяю
щее ему (корень уравнения); преобразовать данное алгебраическое
выражение в другое с помощью правил, изучаемых в элементарной
алгебре; вычислить значение каких-либо постоянных геометрических
величин (например, длины, площади, объёма) или построить опре-
определённые точки, линии, фигуры, обладающие требуемыми свойствами.
В тригонометрии рассматривается изменение тригонометрических
величин в связи с изменением угла или дуги, но делается это чисто
описательно, т. е. не основывается на какой-нибудь общей теории,
и обычно эти рассмотрения не служат базой для вывода свойств
тригонометрических величин. Основные задачи элементарного курса
тригонометрии носят тот же характер, что и задачи геометрии и
алгебры: изучаются простые преобразования тригонометрических
выражений и применения тригонометрических величин к вычислению
элементов геометрических фигур.
Вторая черта относится к методу. Элементарная алгебра и эле-
элементарная геометрия строятся самостоятельными путями, независимо
друг от друга. Алгебраический или, как говорят более общим обра-
образом, аналитический метод в элементарной алгебре по существу не
связан с синтетическим методом в элементарной геометрии. (Разу-
(Разумеется, мы не говорим при этом о простейших применениях алге-
алгебраических формул к вычислениям, встречаемым в геометрии и три-
тригонометрии.) В пределах элементарной математики нет общего метода,
позволяющего единообразно всякий алгебраический вопрос истол-
истолковать геометрически, а геометрический — перевести на язык алгебры,
и решать его с помощью вычислений — аналитически.
Потребности техники и экономики в более углублённом изуче-
изучении природы привели к учениям о процессах, явлениях,
наблюдаемых в окружающем нас мире. Эго прежде всего коснулось
физических явлений. Но для того чтобы изучить их с количествен-
количественной стороны, нужно было создать новую математику, которая была бы
в силах исследовать взаимные изменения различных величин, уча-
участвующих в явлении.
Математический анализ*) — значительный раздел «выс-
«высшей математики» — как раз и занимается в отличие от элементарной
математики переменными величинами в их взаимозависимости.
Что касается метода, то также в противоположность элемен-
элементарной математике математический анализ развивался на основе
глубокого синтеза алгебраических и геометрических методов, впер-
впервые проявившегося в» аналитической геометрии знаменитого
французского математика и философа Р. Декарта A596—1650).
Идея координат явилась тем общим принципом, благодаря
которому оказалось возможным, с одной стороны, посредством алге-
•*) Математический анализ часто называют ещё дифференциальным и
интегральным исчислением.

2) § 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Й ЕГО ЗНАЧЕНИЕ ^
браических выкладок легко доказывать геометрические теоремы и,
с другой, — в силу наглядности геометрических представлений —
устанавливать новые аналитические теоремы.
Заметим ещё раз, что разделение математики на «элементарную» и
«высшую» условно. Постепенно в элементарную математику всё больше
и больше включаются вопросы, проникнутые идеями высшей математики.
2. Понятие величины. Переменная величина и функциональ-
функциональная зависимость» Основное понятие, с которым мы встречаемся на
каждом шагу в любой естественно-научной или технической области
знания, это понятие «величины». Под величиной понимают всё
то, что может бить измерено и выражено числом (или числами).
Иными словами, величиной называется всякий объект, к кото-
которому может быть применён процесс измерения в его простейшей
форме или в математически усовершенствованных формах. Про-
Простейшая форма измерения состоит в том, что некоторый объект той же
природы, что и измеряемый, принимается за «е д и н и ц у измерения»
и затем непосредственно находится, сколько раз «единица» «поме-
«помещается», «укладывается» в измеряемом объекте. Математическое
усовершенствование и дальнейшее развитие этой простейшей формы
измерения приводят к новым важнейшим понятиям, изучаемым в
математическом анализе, — к понятиям производной, интеграла и т. п.
В конкретных вопросах естественных и технических наук при-
приходится встречаться с величинами разнообразной природы.
Примерами величин служат: длина, площадь, объём, вес, темпера-
температура, скорость, сила и т. п. В математике же не участвуют кон-
конкретные величины.
Математические положения и законы формулируют, абстраги-
абстрагируясь от конкретной природы величин, принимая во внимание лишь
их численные значения. В соответствии с этим в математике
рассматривают величину вообще, отвлекаясь от физического смысла,
который она может иметь. Именно поэтому математические тео-
теории с одинаковым успехом могут быть применены к исследованию
любых конкретных величин. В этом, между прочим, выражается та
общность, универсальность математических теорий, которую назы-
называют также абстрактностью, иногда неправильно понимая
под этим оторванность от практики, от действительности. Ф. Энгельс
в таких словах подчёркивает эту особенность математики: «.. .чтобы
быть в состоянии исследовать эти формы (пространственные. — А. Б.)
и отношения (количественные. — А. Б.) в чистом виде, необходимо
совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее
в стороне как нечто безразличное; таким путём мы получаем точки,
лишённые измерений, линии, лишённые толщины и ширины, разные
а и Ь, х и у, постоянные и переменные величины...» *).
*) Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, Госполитиздат, 1952, стр. 37,

14
ВВЕДЕНИЕ B
Среди совместно рассматриваемых величин обычно некоторые
изменяются, другие же остаются постоянными. Изменение,
движение есть первейший признак того, что мы называем явле-
явлением, процессом. Явление, наблюдаемое в природе или технике,
и воспринимается нами как изменение одних величин, уча-
участвующих в этом явлении, обусловленное измене-
изменением других. Например, наблюдая некоторую массу газа при
постоянной температуре, мы отмечаем изменение упруго-
упругости газа при изменении его объёма.
При рассмотрении падения тела (в пустоте) под воздействием
сил» тяжести мы отмечаем изменение скорости движения
при изменении расстояния тела от точки, из которой нача-
началось падение. Точно так же мы отмечаем изменение этого
расстояния и скорости с течением времени, тогда как
ускорение движения остается постоянным в любой мо-
момент времени и на всем пути падения.
Для изучения явлений необходимо было ввести в математику
понятие переменной величины, и это в действительности было сде-
сделано в эпоху, когда завершался первый этап в создании новой ма-
математики, — в эпоху Р. Декарта, а затем И. Ньютона и Г. Лейбница.
Введение в математику переменной величины знаменовало собой
одно из самых значительных событий в истории математики. По
этому поводу Ф. Энгельс пишет: «Поворотным пунктом в мате-
математике была декартова переменная величина. Благодаря этому
в математику вошли движение и диалектика и благодаря это-
этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и ин-
интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое
было в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и
Лейбницем» *).
Переменной называют величину, принимающую различные
численные значения) постоянной называют такую величину,
которая сохраняет одно и то оке численное значение.
Как уже было сказано, всякий процесс мы рассматриваем (с ко-
количественной стороны) как взаымоизменяемость нескольких пере-
переменных величин. Такое представление приводит к важнейшему
в математике понятию функциональной зависимости, т. е. связи
между переменными величинами.
Установление и описание связи между величинами, участвующими
в данном процессе, есть первая и главная задача естественных и
технических наук. Законом процесса именно и называется функ-
функциональная зависимость, проявляющаяся в этом процессе и харак-
характеризующая его\ говорят ещё, что эта зависимость описывает
процесс. Так, функциональная зависимость между упругостью (р)
и объёмом (v) газа, состоящая в том, что при постоянной темпера-
*) Ф. Энгельс, Диалектика природы, Госполитиздат, 1952, стр. 206.

31 § 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ЕГО ЗНАЧЕНИЕ ^
к
туре /? = -— (к — постоянная), выражает закон (закон Бой л я
и Мариотта), которому следуют газы при соответствующих усло-
условиях. Словесное выражение функциональной зависимости: упругость
газа обратно пропорциональна объёму (при постоянной температуре),
есть обычная формулировка указанного закона.
Идея функциональной зависимости возникла на почве всеобщего
принципа причинной зависимости, которым в XVII и
XVIII вв. начали проникаться естествознание и другие науки. Однако
между этим принципом и математической идеей функциональной
зависимости есть существенное различие. Принцип причинной зави-
зависимости предполагает выделение (всех или только наиболее важных)
действительных причин, приводящих к известному следствию,
в то время как функциональная зависимость даёт лишь связь
между величинами, без предположения, что изменение одной из них
есть фактическая причина изменения другой. Например, изме-
изменение температуры воздуха в течение суток является следствием
многочисленных причин — изменения силы ветра, интенсивности сол-
солнечной радиации, степени влажности воздуха и т. п. Функциональная
же зависимость здесь может быть установлена просто между тем-
температурой и временем суток. Хотя течение времени само по себе
не является, конечно, «причиной» изменения температуры, тем не
менее эта функциональная зависимость может оказаться важной для
количественного описания процесса изменения температуры и в ко-
конечном счёте для выяснения интересующих нас его особенностей.
Важнейшей задачей математического анализа является всесторон-
всестороннее изучение функциональных зависимостей.
§ 3. Математический анализ и действительность. С помощью
математики изучаются состояния и процессы, встречающиеся не
только в различных науках о природе, но и в различных науках
об обществе, везде, где есть необходимость рассматривать эти
состояния и процессы с количественной стороны. (Мате-
(Математика" занимается и вопросами не обязательно количественного ха-
характера, но относящимися к пространственным формам и отноше-
отношениям; такие вопросы в этой книге почти не затрагиваются.) Что же
касается естествознания и техники, то математика является для них
чрезвычайно ценным методом теоретического исследова-
исследования и практическим орудием. Без тех средств, которь^
даёт элементарная, а затем и высшая математика, невозможен ни-
никакой технический расчёт, а значит, невозможна без математики и
никакая серьёзная инженерная и научно-техническая работа. Это яв-
является следствием того, что технические науки опираются на фи-
физику, механику, химию и т. д., количественные закономерности ко-
которых выражаются с помощью понятия функции и других понятий
математического анализа. Ещё Галилей говорил, что «законы при-

Ю ВВЕДЕНИЕ J3
роды записаны на языке математики», а Ф. Энгельс замечает, что «... для
диалектического и вместе с тем материалистического понимания при-
природы необходимо знакомство с математикой и естествознанием» *).
Именно благодаря тому, что основные законы физики, механики
и т. д. выражены на математическом языке, получается возможность
с помощью вычислений и логических рассуждений теоретически на-
находить следствия из известных закономерностей, решать новые за-
задачи, которые ставят природа и человеческая практика.
Количественные закономерности и качественная
сущность процессов теснейшим образом связаны друг с другом,
как об этом учит диалектический материализм. Таким образом,
математика существенно необходима для познания любого процесса,
рассматриваемого в естествознании и в технике во всём его много-
многообразии и единстве. Справедливо говорят, что математика —ключ
к овладению техникой.
Идеи и методы математического анализа, как об этом уже го-
говорилось, с неизбежностью возникали в XVI и XVII вв., в силу по-
потребности естественных и технических наук, бурное развитие ко-
которых в свою очередь вызывалось нуждами резко изменяющегося
и расширяющегося производства: «... уже с самого начала возник-
возникновение и развитие наук обусловлено производством» **).
На протяжении всего курса мы будем стараться использовать
каждый подходящий случай для того, чтобы выяснить реальные,
физические источники вводимых основных математических понятий и
операций, указывать на объективные факты и обстоятельства, кото-
которые порождают новые математические теории. Далее эти теории
излагаются нами, по возможности, строго математически, чтобы затем
снова, но уже на повышенном уровне, показать их ещё более обшир-
обширные применения. И в конечном счёте значимость теории выясняется
на этом последнем, практическом этапе.
Развивая математическую теорию (как и вообще теорию любой
другой области науки), никогда не следует забывать происхожде-
происхождения этой теории; нужно помнить, что решающий критерий её вер-
верности и ценности заключается в жизненной практической проверке.
В. И. Ленин писал: «Точка зрения жизни, практики должна
быть первой и основной точкой зрения теории познания» ***)
(Курсив наш. — Л. Б.).
Очень интересны высказывания великого русского математика
Я. Л. Чебышева об отношении математической теории к практике:
«Сближение теории с практикой даёт самые благотворные резуль-
результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки
развиваются под влиянием её: она открывает им новые предметы
*) Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, Госполитиздат, 1952, стр. 10.
**) Ф. Энгельс, Диалектика природы, Госполитиздат, 1952, стр. 145.
***) В. И. Л е н и н, Сочинения, изд. 4-е, т. 14, стр. 130.

3] § 1# МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ЕГО ЗНАЧЕНИЕ 17
для исследования, или новые стороны в предметах давно известных
(курсив наш. — А. Б.). Несмотря на ту высокую степень развития,
до которой доведены науки математические трудами великих гео-
геометров (т. е. математиков. — А. Б,) трёх последних столетий, прак-
практика обнаруживает ясно неполноту их во многих отношениях; она
предлагает вопросы существенно новые для науки и, таким образом,
вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если теория
много выигрывает от новых приложений старой методы или от но-
новых развитии её, то она ещё более приобретает открытием новых
метод и в этом случае наука находит себе верного руководителя
в практике» *). Приведём ещё слова Ф. Энгельса об опытном про-
происхождении математики: «Как понятие числа, так и понятие фигуры
заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в го-
лрве из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имею-
имеющие определённую форму, и эти формы должны были подвергаться
сравнению, прежде чем можно было дойти до понятия фигуры» **).
В соответствии с этим Ф. Энгельс далее высказывает суждение о
предмете математики, которое в силу своей глубины и лаконичности
должно считаться наиболее удачным и точным определением мате-
математической науки:
«Чистая математика имеет своим объектом пространствен-
пространственные формы и количественные отношения действительного мира,
стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот мате-
материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо
затушевать его происхождение из внешнего мира» ***) (курсив
наш. — А. Б.).
В резком противоречии с этим подлинно научным положением
диалектического ^материализма находятся воззрения философов-идеа-
философов-идеалистов, проповедующих, что наука есть продукт «свободного» (т. е.
не зависящего от практики) творчества человеческого духа. Ярким
подтверждением того, что и математическая наука рождается из
объективной реальности, что и ее законы, соотношения правильно
отражают в особой, присущей ей, абстрактной форме действитель-
действительные соотношения материального мира, служит возможность научного
предвидения. Правильность выводов, получаемых теоретическим
путем, (из верных начальных положений) с помощью математики,
полное согласие «предсказанного» с реальностью, с тем, что факти-
фактически происходит в дальнейшем, наглядно демонстрирует справед-
справедливость данного Энгельсом определения математики.
В истории науки известно много замечательных примеров пред-
предвидения. Мы кратко коснёмся здесь только двух примеров; они
очень выразительны по той роли, которую играет в них математика.
*) П. Л. Ч е б ы ш е в, Черчение географических карт, Избранные мате-
математические труды, Гостехиздат, 1946, стр. 100.
**) Ф. Э н г е л A^Il
***) Там же.
2 А. Ф. Бермант

18 ВВЕДЕНИЕ [3
1) Французский учёный И. Леверье A811—1877) занимался
вопросами движения планет солнечной системы. При этом он исхо-
исходил из законов классической механики, выраженных в виде извест-
известных функциональных зависимостей. Леверье заметил, что некоторые
его выводы расходятся с имеющимися наблюдениями; он нашёл так-
также, что эти расхождения могут быть устранены, если допустить
существование ещё одной планеты с определёнными массой и траек-
траекторией. На основе его предположений новая планета, названная
затем Нептуном, действительно была вскоре обнаружена в опре-
определённое время и в определённом месте, которые им были указаны.
Так, за столом, на листе бумаги, при помощи вычислений был от-
открыт новый мир! Нас теперь не удивляет точнейшее знание буду-
будущих астрономических событий. Разумеется, оно возможно именно
потому, что употребляемые математические методы верно отражают
объективные закономерности.
2) Основателем учения об авиации является виднейший механик
конца XIX и начала XX вв. московский профессор Н. Е. Жуковский.
Он нашёл математическим путём такие формулы и предложения,
которые легли в основу современной теории авиации. В частности,
Н. Е. Жуковский теоретически предсказал возможность «фигур выс-
высшего пилотажа». Первая фигура — «мёртвая петля» — в скором вре-
времени была осуществлена капитаном русской армии П. Н. Несте-
Нестеровым A886—1914). Итак, «мёртвая петля», прежде чем она по-
появилась «физически», была открыта «математически»!
Эти примеры являются свидетельством величайшего триумфа
математического познания природы. Но не только в больших про-
проблемах науки и техники, а в любых их задачах, крупных и малых,
на каждом шагу мы неизменно исходим,* в сущности говоря, из
уверенности, что предварительный математический расчёт, «про-
«проект», даёт истинную картину того, что произойдёт на самом деле.
Без такой уверенности не могли бы существовать и прогрессировать
ни наука, ни техника.
Математика есть могучее средство научного и технического
предвидения.
Вместе с тем реальная действительность во всех её проявле-
проявлениях и взаимозависимостях отражается в нашем сознании при по-
помощи различных наук, в том числе при помощи математической
теории, лишь приближённо. Прогресс науки в том и состоит, что
наше познание мира делается всё более точным. «В теории позна-
познания, — говорит Ленин, — как и во всех других областях науки,
следует рассуждать диалектически, т. е. не предполагать готовым
и неизменным наше познание, а разбирать, каким образом из не-
незнания является знание, каким образом неполное, неточное знание
становится более полным и более точным» *).
*) В. И. Ленин, Сочинения, изд. 4-е, т. 14, стр. 91.

41 § 2. некоторые исторические замечания 19
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
4. Великие отечественные математики: Л. П. Эйлер, Н. И. Ло-
Лобачевский, П. Л. Чебышев. Вслед за тем, как дифференциальное и
интегральное исчисления оформились в основоположных трудах
И. Ньютона и Г. Лейбница в качестве научных теорий, после-
последовала продолжительная эпоха блестящего развития математики.
В течение более чем ста лет (с конца XVII до начала XIX в.) про-
происходило особенно быстрое расширение как самой математической
науки, так и связанных с нею областей естествознания. Новые ре-
результаты, целые новые учения появлялись непрерывно, как из рога
изобилия, воодушевляя ученых на дальнейшую разработку матема-
математических теорий и методов решения задач прикладных наук. В этом
плодотворном периоде виднейшую роль играл один из величайших
математиков всех времен, петербургский академик Леонард Пав-
Павлович Эйлер A707—1783), швейцарец по происхождению, более
30 лет проработавший в Петербургской академии наук и навсегда
связавший судьбу свою и своей семьи с Россией.
Об огромной, исключительной продуктивности Л. П. Эйлера
можно составить себе представление по объему (еще не закончен-
законченного изданием) полного собрания его сочинений: в нём будет
содержаться около 70 объёмистых томов, заключающих почти
800 работ; из них более 650 впервые были опубликованы в
изданиях Петербургской академии наук. Что же касается цен-
ценности работ Л. П. Эйлера, то о ней легко судить хотя бы по
тому, что и в настоящее время многочисленные результаты, лежа-
лежащие в основе разных естественно-научных дисциплин, носят имя
Эйлера.
Через 35—40 лет после Л. П. Эйлера начал свою научную дея-
деятельность великий геометр Николай Иванович Лобачев-
Лобачевский A792—1856). Смелый новатор в науке, Н. И. Лобачевский
дерзко нарушил освященную столетиями традицию незыблемости
евклидовой геометрии и создал новую, неевклидову геомет-
геометрию, глубже раскрывающую свойства пространства. Наряду с этим
труды Н. И. Лобачевского по геометрии имели огромное значение
для методологии всей математики; они обозначили поворот
к критическому пересмотру основ науки и большого накопленного
фактического материала и положили начало так называемому
аксиоматическому методу, применяемому при построении мате-
математических дисциплин. Н. И. Лобачевский впервые наглядно пока-
показал физическое происхождение аксиом геометрии, опровергнув
учение немецкого философа-идеалиста Канта об их априорности,
врождённости.
Работ Н. И. Лобачевского, посвященных непосредственно ана-
анализу, немного, но и они отмечены гением мыслителя, предвосхи-
предвосхитившего пути грядущего развития науки.
2*

20 введение [4
Касаясь выдающейся личности Н. И. Лобачевского, нельзя не
упомянуть и о е^о передовой педагогической и вообще просвети-
просветительной и общественной деятельности, оказавшей значительное влия-
влияние на постановку высшего образования в России.
В истории больших математических открытий список русских
имён начинается с имени учёного самого крупного масштаба —
Н. И. Лобачевского. И с этого момента учёные России всё чаще и
чаще занимают передовые позиции фронта математической науки,
причём интересно отметить, что и количественное и общее каче-
качественное расширение и укрепление отечественной математики про-
происходят во всё возрастающем темпе. В настоящее время это
привело к большим достижениям в различных разделах математики,
поставившим советскую математику на одно из первых мест во всём
мире. К другим характерным особенностям в развитии русской, а
затем советской математики следует отнести стремление к получе-
получению эффективных результатов, к тесному контакту с прикладными
науками и убеждённость в возможности, хотя бы и постепенно,
найти решение возникающих проблем любой трудности.
Почти одновременно с Н. И. Лобачевским жил и работал акад.
Михаил Васильевич Остро гр а д ский A801 — 1861) —
весьма крупный и одарённый математик другого направления — ана-
аналитического. М. В. Остроградскому принадлежит большое число
открытий в разнообразных областях, механики, математического ана-
анализа, математической физики, алгебры, теории чисел. Многие из этих
открытий серьёзно продвигали вперёд науку; они явились от-
отправным пунктом для других учёных и довольно скоро стали клас-
классическими, войдя почти во всю соответствующую мировую учебную
литературу.
В Москве начал, а затем в Петербурге продолжал свою науч-
научную и педагогическую деятельность великий математик акад.
Пафнутий Львович Чебышев A821—1894). Он был осно-
основателем большой русской математической школы (так называемой
«петербургской»), явившейся родоначальницей современных совет-
советских школ, с успехом развивающих замечательные идеи П. Л. Чебы-
шева. Исключительные по своей оригинальности исследования
П. Л. Чебыщева представляли решения выдвинутых им самим про-
проблем, а также задач, не поддававшихся усилиям других выдающихся
математиков. Вместе с тем эти исследования отличались простотой
и законченностью замысла. Будучи разносторонним математиком,
П. Л. Чебышев с успехом занимался и вопросами прикладных наук.
Он ясно сознавал прогрессивное и взаимно оплодотворяющее воз-
воздействий математической теории и практики, что и выразил ^в пре-
прекрасных словах, которые мы привели выше (п° 3). Одной из замеча-
замечательных работ П. Л. Чебышева является его работа, посвященная
постановке и исследованию новой проблемы приближения функций
многочленами (см. гл. IV). Эта работа, возникшая в связи с заня-

5] § 2. НЕКОТОРЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 21
тиями П. Л. Чебышева некоторыми чисто инженерными задачами
(из теории механизмов), открыла целое направление в математиче-
математическом анализе. П. Л. Чебышеву принадлежит также конструкция луч-
лучшего по тому времени арифмометра.
Общепризнан авторитет П. Л. Чебышева как одного из тех учё-
учёных, которые своими работами определяют на многие десятилетия
вперёд направления в развитии науки.
Учениками П. Л. Чебышева являются знаменитый механик и ма-
математик акад. А. М. Ляпунов A857—1918), виднейший математик
акад. А. А. Марков A856—1922), а также многие другие крупные
отечественные учёные, о которых мы не имеем здесь возможности
говорить. Упомянем ещё только о блестящей современнице П. Л. Че-
Чебышева, выдающейся учёной СВ. Ковалевской A850—1891),
первой женщине — профессоре математики, заслуги которой в науке
(главным образом в математическом анализе) заставили Петербург-
Петербургскую академию наук нарушить традиции и избрать женщину своим
членом-корреспондентом.
После Великой Октябрьской революции в СССР начался осо-
особенно бурный расцвет математики и её применений к естество-
естествознанию и инженерному делу. Стали совсем иными, несоизмеримыми
с прежними, масштабы научной работы; во много раз увеличилось
число учёных; интересы науки стали рассматриваться как интересы
государства. Всё это сказалось самым благоприятным образом на
положении математики, достигшей замечательных успехов. Крупные
открытия советских учёных относятся к таким областям мате-
математики, которые далеко выходят за границы излагаемой в этой
книге теории.
5. Крупнейшие отечественные инженеры-математики: Н. Е. Жу-
Жуковский, С. А. Чаплыгин, А. Н. Крылов. Учебник предназначен
в основном для будущих инженеров, и поэтому нам хотелось бы
сказать ещё раз читателю об исключительной важности традиции
русской науки не отрывать теорию от практики, а
в практике руководствоваться указаниями теории.
Нужно проникнуться примерами великих математиков Л. П. Эйлера
и П. Л. Чебышева, решавших трудные технические проблемы, и
крупнейших инженеров и механиков Н. Е. Жуковского и А. Н. Кры-
Крылова, решавших трудные математические проблемы. Первые видели
за своими абстрактными математическими построениями конкретную
действияельность и очень часто исходили в этих построениях из
инженерных задач; вторые всегда .имели в своих технических иссле-
исследованиях в качестве верного ориентира математическую теорию,
в которую они также внесли большой вклад.
Об «отце русской авиации» Н. Е. Жуковском A847—1922)
уже упоминалось выше. Необходимо здесь добавить, что он зани-
занимался не только авиацией, но и вопросами из других областей

22 ВВЕДЕНИЕ F
техники и механики. Получаемые им важные результаты он дово-
доводил до формы, удобной для практического использования. Все эти
исследования Н. Е. Жуковского отличаются высокой математи-
математической культурой. Он выполнил и несколько интересных матема-
математических работ.
Ученик Н. Е. Жуковского — академик, Герой Социалистического
труда С. А. Чаплыгин A869 — 1942) — один из крупнейших
механиков последнего времени, блестяще продолжил работы сво-
своего учителя в области авиации и вместе с ним разделяет славу
организации первоклассной советской школы по гидро- и аэромеха-
аэромеханике и ряда ведущих советских научных и технических учреждений.
С. А. Чаплыгин в совершенстве владел искусством изобретения
тонких математических методов для решения сложных технических
задач.
Академик, Герой Социалистического труда А. Н. Крыл ой
A863—1945), высокоталантливый инженер, крупный механик и
математик, являл собой живой пример такого гармонического соче-
сочетания в одном лице практика, виднейшего специалиста по приклад-
прикладным наукам и теоретика, которое должно считаться, образцом для
всемерного подражания.
А. Н. Крылов был передовым кораблестроителем, навигатором,
лучшим знатоком прикладных и приближённых методов в математике,
изобретателем и первым конструктором сложной математической
машины, историком и даровитым педагогом, наконец, блестящим
переводчиком, популяризатором науки и литератором. А. Н. Крылову
принадлежит замечательный перевод классического сочинения
И. Ньютона «Математические начала натуральной философии».
Этот перевод А. Н. Крылов снабдил чрезвычайно ценными приме-
примечаниями.
§ 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
в. Действительные числа. Числовая ось. Числа появляются
в результате счёта («натуральные числа» 1,2, 3, ...) и в результате
измерений величин. В математическом анализе мы интересуемся только
численными значениями величины, в нём мы оперируем только чис-
ламщ поэтому является необходимым начать изучение анализа с рас-
рассмотрения множества так называемых действительных чисел.
Числа разделяются на рациональные и иррациональные. Рацио-
Рациональными называются числа вида —, где р и q — целые числа. При-
Примерами иррациональных чисел (известных уже из курса «эле-
«элементарной математики») могут служить: }/2, |/3, Iog103, те, sin 20°
и т. п. Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел
и образует множество действительных (или вещественных)
чисел.

6] § 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 23
Обратимся теперь к геометрической интерпретации (истолко-
(истолкованию, изображению) чисел. Возьмём прямую линию и на ней неко-
некоторую точку О, которую примем за начало отсчёта длин. Выберем
масштаб (т. е. отрезок, принимаемый за единицу длины) и станем
откладывать от точки О отрезки, длины которых в нашем масштабе
выражаются рациональными числами. При *этом прямую мы будем
представлять себе горизонтальной; отрезки, откладываемые вправо
от точки О, мы будем считать соответствующими положительным
числам, а отрезки, откладываемые влево от неё, — соответствующими
отрицательным числам. Тем самым на прямой будет установлено
положительное направление — слева направо*).
Прямая линия, на которой указаны начало отсчёта длин,
масштаб и положительное направление, называется числовой
осью.
Пусть конец отрезка, длина которого в выбранном масштабе
равна рациональному числу а, попал в точку М прямой. Тогда мы
скажем, что точка А\ изображает число а и что число а есть
координата точки М. Очевидно, точка О изображает число нуль.
Точки числовой оси, изображающие рациональные числа, назы-
называются рациональными точками. Рациональные точки покры-
покрывают всю прямую очень густо, как говорят, всюду плотно. Точно
говоря, это значит, что в каком бы месте числовой оси и каким
бы малым мы ни взяли отрезок, внутри него лежит как угодно
много рациональных точек.
Показать это можно, например, так. Всякий отрезок числовой
оси заключён между какими-нибудь двумя точками А иВ с рацио-
рациональными (например, целыми) координатами а и Д Середина С отрезка
между точками Л и В будет снова рациональной точкой, ибо её
координата равна числу а~^ , являющемуся рациональным. В силу
этого же соображения середина Q отрезка АС и середина С2 от-
отрезка СВ являются точно так же рациональными точками. Продол-
Продолжая делить все получающиеся отрезки всякий раз пополам, мы будем
приходить всё к новым рациональным точкам. Расстояние между
получаемыми таким образом двумя последовательными точками после
п-го дробления отрезка АВ будет равно, как легко сообразить,
длине отрезка АВ, делённой на 2Д. Отсюда следует, что это рас-
расстояние может быть сделано при достаточно большом п как угодно
малым. Значит, каким бы малым ни был первоначальный от-резок,
в него в конце концов попадут по крайней мере две рациональные
точки из числа тех, которые мы получаем путём описанного дроб-
дробления отрезка АВ. На основании того же рассуждения убеждаемся,
*, Положительное направление на прямой может быть выбрано и про-
противоположное — справа налево. Но обычно на горизонтальной оси поло-
положительным направлением считают, как мы и приняли, направление слева
направо.

24 введение 16
что между ними, а поэтому и внутри заданного отрезка заключено
как угодно много рациональных точек.
И всё же рациональные точки не исчерпывают всех точек число-
числовой оси; на ней имеются и другие точки, нерациональные. Чтобы
указать хотя бы одну нерациональную точку, отложим от О вправо
отрезок, равный диагонали квадрата, стороны которого равны еди-
единице. Конец этого отрезка попадёт в точку, не являющуюся рацио*-
нальной, ибо, как это доказывается и в элементарной математике,
длина его не выражается никаким рациональным числом. Каждая
точка, находящаяся на рациональном расстоянии от указанной нера-
нерациональной точки, также есть нерациональная точка.
Таким образом, уже этих нерациональных точек имеется на прямой
«столько» же, «сколько» есть рациональных точек, и, значит, они
расположены на прямой всюду плотно; но мы можем указать сколько
угодно и других нерациональных точек *), причём каждая из них
порождает, так же как и выше, «столько» же новых нерациональ-
нерациональных точек, «сколько» есть рациональных точек.
Отсюда следует, что при помощи только одних рациональных
чисел нельзя осуществить координатный принцип на прямой линии;
именно, все точки этой прямой, будучи геометрически равно-
равноправными, окажутся аналитически неравноправными: некоторые из
них будут иметь свои числовые характеристики — координаты, а
другие — причём их значительно больше первых — координат иметь
не будут.
Естественно, что возникает потребность ввести новые числа, кото-
которые играли бы для нерациональных точек ту же роль, какую играют
рациональные числа для рациональных точек, т. е. были бы их коорди-
координатами. Эти числа и называются иррациональными, как и соот-
соответствующие им точки числовой оси. Мы не будем излагать здесь
теории, в которой показывается, как, исходя из рациональных чисел,
можно определить иррациональные числа и как затем распростра-
распространить на них обычные правила арифметических действий. Эта теория
имеет лишь чисто математический интерес. Важно сейчас только
подчеркнуть, что между совокупностью всех точек числовой оси и
совокупностью всех действительных чисел имеется взаимно одно-
однозначное соответствие: каждая точка числовой оси изо-
изображает какое-нибудь одно число (рациональное или иррацио-
иррациональное), и обратно — каждое число (рациональное или иррацио-
иррациональное) являеЬгся координатой какой-нибудь одной точки чи-
числовой оси.
На нашей числовой оси очень наглядно представляются различ-
различные соотношения между числами. Так, например, очевидно, что
*) Например, если отложить вправо от О отрезки, равные диагоналям
прямоугольников, со сторонами, равными 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4 и т. дм то концы
этих отрезков укажут нерациональные точки.

7) § 3. действительные числа 25
меньшему (в алгебраическом смысле) числу соответствует точка,
лежащая левее точки, изображающей большее число; что вследствие
этого числу, заключённому между двумя данными числами, соответ-
соответствует точка, лежащая между точками, изображающими данные числа;
что разность между двумя числами представляется отрезком между
соответствующими точками, направленным вправо, если эта разность
положительна, и влево, если она отрицательна, и т. п.
В силу описанного соответствия между числами и точками чис-
числовой оси иногда будет удобно не делать различия между поня-
понятиями «точка» и «число» и под точкой понимать «число» или под
«числом» — «точку».
Как уже было сказано, на всяком как угодно малом отрезке
числовой оси, значит, в частности, в любой близости к данной ирра-
иррациональной точке, есть как угодно много рациональных точек. Сле-
Следовательно, иррациональное число можно с любой точностью *) выра-
выразить с помощью рациональных чисел. Об иррациональном числе доы,
собственно, и получаем реальное представление по тем рациональ-
рациональным числам, которые, — мало отличаясь от него, — служат его при-
приближёнными значениями*). Отсюда видно, что для практических
расчётов было бы вполне достаточно и одних рациональных чисел;
но для точных теоретических рассуждений необходимы и иррацио-
иррациональные числа, ибо только тогда система чисел делается полной
в таком же смысле, в каком на числовой оси полной является сово-
совокупность всех её точек без исключения, а не только одних, напри-
например, рациональных точек.
7. Интервал. Абсолютная величина. Введём сейчас некоторые
термины и понятия, которые будут употребляться в дальнейшем.
I.Определение. Интервалом называется совокупность всех
чисел (точек), заключённых между двумя какими-нибудь числами
(точками), называемыми концами интервала.
Интервал с концами х = а и х = Ь, где а<^Ь, можно задать
неравенствами а<^х<^Ь\ он обозначается ещё так: (а, Ь). Если
вместе с совокупностью точек интервала рассматривать и его концы,
то получится замкнутый интервал. Замкнутый интервал с кон-
концами х — а и x = b (a<^b) задаётся неравенствами а^х^Ь; его
обозначают так: [а, Ь]. В противоположность замкнутому интервалу
интервал (а, Ь) называется открытым, или незамкнутым**). Если
один конец присоединяется к интервалу, а другой — нет, то полу-
получается интервал, открытый с одной стороны, или полуоткрытый
интервал. Полуоткрытый интервал задаётся неравенствами
*) Понятия «точность», «приближённое значение» должны быть знакомы
читателю. Ниже мы их также определяем (п° 8).
**) В математической литературе замкнутый интервал часто называют
сегментом, сохраняя термин «интервал» только для открытого интервала,

26 ВВЕДЕНИЕ У?
если присоединен конец х = а, и а<^х^Ь, если присоединён конец
х = Ь\ записывают их соответственно так: [а, Ь), (а, Ь] *).
В случаях, где нет нужды различать, причисляются ли концы
к рассматриваемому интервалу или нет, мы будем говорить просто
об «интервале».
Кроме конечных интервалов, часто встречаются бесконечные интер-
интервалы, т. е. либо совокупность всех чисел, меньших, чем (или не боль-
больших, чем) некоторое число с, либо совокупность всех чисел, больших,
чем (или не меньших, чем) число с, либо, наконец, совокупность всех
действительных чисел. Эти бесконечные интервалы задаются соответ-
соответственно условными неравенствами — оо<^х<^с (или — оо<^х^с),
c<^x<d-\-oo (или с^х<^-\-оо) и — оо<^.*;<^-[-оо. Записывают:
(— со, с) (или (— со, с]), (с, -f~ оо) (или [с, -\- оо)) и (— оо, -|- со).
Определение. Интервал длины 2/ с центром в точке а назы-
называется [-окрестностью точки а.
Понятие окрестности точки часто используется в дальнейшем.
И. Рассмотрим понятие абсолютной величины числа или
выражения.
Определение. Абсолютной величиной (или модулем) \А |
числа (или выражения) А называется число (или выражение), равное
самому А, если А положительно или равно нулю, и равное —А,
если А отрицательно:
А, если л
— Л, если Л<0
Значит, \А\ есть всегда неотрицательное число (положительное или
нуль).
На числовой оси | Л | есть длина отрезка от начала отсчёта до
точки, изображающей Л.
В силу данного определения имеем:
действительно, если А ^> 0, то справа будет знак равенства, л слева —
знак неравенства Хположительное число А больше отрицательного
числа —Л), а если Л<^0, то, наоборот, справа будет знак нера-
неравенства (отрицательное число А меньше положительного числа | Л |),
а слева — знак равенства.
Отметим ещё, что
|Л|=/Ж
Соотношение
?, где ?>0, (*)
*) Таким образом, присоединение конца к интервалу всегда обозна-
обозначается квадратной скобкой, а исключение — круглой.

7] § 3. действительные числа 27
равносильно двум таким соотношениям:
— В^А^В. (**)
В самом деле, соотношение (*) означает, что точка А находится
от точки нуль на расстоянии, не большем В\ а это возможно только
тогда, когда эта точка лежит в интервале [—В, В], т. е. принадле-
принадлежит ^-окрестности точки нуль, и значит, тогда имеют место соот-
соотношения (**); обратное также очевидно.
Докажем следующие два предложения об абсолютных величинах:
1) Абсолютная величина суммы не больше суммы абсолют-
ных величин слагаемых, т. е.
\A + B + C + ... + D\^\A\ + \B\ + \C\ + ... + \D\. (***)
Возьмём сначала случай двух слагаемых. Мы имеем:
— | А | < А *? | А | и — | В |
складывая почленно, получаем:
-(\А\ + \В\)«?
а эти два соотношения равносильны утверждаемому соотношению
Переходя последовательно от двух к трём, от трёх к четырём и т. д.
слагаемых, легко доказать наше предложение в общем виде. Равен-
Равенство в соотношении (***) может иметь место только в случае, когда
все слагаемые имеют один и тот же знак.
2) Абсолютная величина разности не меньше разности абсо-
абсолютных величин уменьшаемого и вычитаемого:
\А — В\^\А\ —|В|.
Для доказательства положим: А — В = С; отсюда А = В -j- С и по
доказанному:
т. е.
\А-В\^\А\-\В\.
Что касается произведения и частного, то в силу определения
этих действий абсолютная величина произведения равна произведе-
произведению абсолютных величин сомножителей:
и абсолютная величина частного равна частному от делении
абсолютных величин делимого и делителя:
в\ \в\-

28 ВВЕДЕНИЕ 18
8. О приближённых вычислениях. В технических науках и
в практике почти всегда имеют дело с числами, выражающими при-
приближённые значения величин.
Известно, что произведённые подряд измерения одной и той же
величины приводят к числам, пусть еле заметно, но всё же отли-
отличающимся друг от друга. И когда говорят, что мера конкретной
величины равна данному числу, то просто имеют в виду, что в резуль-
результате соответствующих измерений получаются числа, настолько мало
отличающиеся от данного, что этой разницей можно пренебречь.
Применения математического анализа в естествознании и инже-
инженерном деле необходимо сопровождаются и заканчиваются вычис-
вычислениями. Поэтому нужно научиться хорошо вычислять! Какой же
смысл придаётся понятию «хорошо вычислять»?
Первый признак хорошо выполненных вычислений состоит в до-
достаточной их «точности». Вторым признаком следует считать в изве-
известном смысле противоположное качество: вычисления должны про-
проводиться в границах целесообразной точности, без избыточной
точности. Наконец, третьим признаком является быстрота произ-
производства действий, экономия в труде и во времени.
Следует всегда производить вычисления в соответствии с этими
тремя требованиями.
Мы будем считать, что читатель знаком с простейшими прави-
правилами и приёмами приближённых вычислений, относящимися к ариф-
арифметическим действиям*). Обычно вычисления, встречающиеся в мате-
математическом анализе, стараются привести к выполнению лишь ариф-
арифметических действий.
Дадим сейчас определения основных понятий, относящихся к при-
приближённым вычислениям.
Будем под А понимать точное значение некоторой величины,
или просто некоторое число.
Определение. Число а называется приближённым зна-
значением А с ошибкой а, если
А — а = а.
Для обозначения приближённого равенства служит
Число а может быть как меньше Л, а<^А, так и больше Л,
а^>А. В первом случае а)>0иа есть приближённое значение А
с недостатком, во втором случае а<[0 и а есть приближённое
значение А с избытком. Чаще всего безразлично, какой именно из
этих случаев имеет место.
*) См. этот «Курс», изд. 6-е A950, 1951 гг.), а также книги: А. Н. Кры-
Крылов, Лекции о приближённых вычислениях, Издательство Академии наук, 1933;
Я. Безикович, Приближённые вычисления, Гостехиздат, 194S»; Г. 3 а н-
ден, Элементы прикладного анализа, ГТТИ, 1932.

&) § 3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 29
Ошибка а, как и точное значение А, обычно не известна, но
бывает известна та граница 8, за которую заведомо не выходит
ошибка (по абсолютной величине): число |а| не превосходит 8, т. е.
||8
Определение. Если абсолютная величина ошибки |а| при-
приближённого значения а не превосходит положительного числа 8,
то это число называется погрешностью ¦) (абсолютной) прибли-
приближённого значения:
\А — а|<8,
или
_8^Л— а^8, 8>0.
Число 8 определяется не однозначно: всякое число, большее, чем
уже известная погрешность, может быхь также принято в качестве
погрешности, т. е. числа 8.
Так, например, 3,24 есть приближённое значение числа 3,2447
с ошибкой 0,0047, или числа 3,2447... с абсолютной погреш-
погрешностью 0,005, ибо 0,0047 ... <^ 0,005. Впрочем, и тогда, когда ошибка
известна, часто вместо неё удобнее указать погрешность; в первом
примере вместо ошибки 0,0047 удобно указать погрешность 0,005.
Приведём употребительные выражения:
а есть приближённое значение А с ошибкой (абсо-
(абсолютной) а или с погрешностью (абсолютной) 8;
а есть приближённое значение А с точностью до 8;
приближённое равенство А^^а имеет "ошибку а или
погрешность 8, или ещё, справедливо с точностью до 8;
точность приближённого значения (или равенства)
тем б о*льше, чем меньше 8.
Под термином «приближение» понимают как процесс нахо-
нахождения всё более точных приближённых значений, так и сами при-
приближённые значения. Говорят: а есть «приближение» А.
Важно заметить, что по одной ошибке {абсолютной) или погреш-
погрешности {абсолютной) ничего нельзя сказать о качестве приближения,
так как для этого необходимо ещё знать, какова сама величина
приближённого значения. Одну и ту же абсолютную ошибку (или
погрешность) могут иметь приближённые значения двух разных
величин, и вполне очевидно, что из этих приближённых значений
то лучше, которое больше (по абсолютной величине). Пусть, напри-
например, абсолютная погрешность в установлении как высоты 25-этажного
дома, так и высоты двухэтажного дома равна 1 м. Ясно, что при
эгом мы получаем лучшее представление о высоте первого дома,
*) Терминология в вопросах приближённых вычислений твёрдо не
установилась. Число а иногда называется также погрешностью,
а, число 5 — предельной, или максимальной, ошибкой, или п о-
грешностью.

30 ВВЕДЕНИЕ [8
чем о высоте второго, ибо допущенная ошибка в первом случае
составляет меньшую долю самой высоты, чем во втором случае.
О качестве приближения судят по той доле, которую состав-
составляет ошибка или погрешность (абсолютные) от приближённого зна-
значения.
Определение. Отношение ск! ошибки (абсолютной) а к при-
приближённому значению а называется относительной ошибкой:
, *_
а ¦
Отношение 5Г погрешности (абсолютной) 8 к приближённому
значению а называется относительной погрешностью: 5' = — .
Вполне очевидно, что сравнивать между собой два приближения
можно только по относительным, а не по абсолютным погрешностям.
Чем меньше относительная ошибка а! (или относительная погреш-
погрешность &'), тем приближение лучше, точнее.
Обычно относительные погрешности (и ошибки) даются в про-
процентах (т. е. в частях от 100) и иногда в промиллях (т. е. в частях
от 1000). Для того чтобы получить погрешность в процентах или
промиллях, нужно относительную погрешность умножить соответ-
соответственно на 100 или на 1000.
Говорят: а есть приближённое значение А с относи-
относительной погрешностью .S'; приближённое равенство
А?*&а, имеет относительную погрешность &'.
В технических расчётах вполне достаточной бывает точность в
единицах процентов и лишь в особых случаях исключительно боль-
большой точности она доводится до десятых долей процента.

2. Расстояние st проходимое телом, свободно падающим в пу-
пустоте, и время t падения тела суть переменные величины. Они за-
зависят друг от друга. Эта зависимость выражается законом свобод-
свободного падения: пройденное расстояние (при отсутствии начальной
скорости) равно квадрату времени, ^умноженному на постоянное
число — половину ускорения силы тяжести:
9 A4). Понятие функции.
OjTo^eju^gjHjtt-ev Q&hjL .величина плзывается^^нкщецLg??L
гой переменной Еелпчу^^^^^Ш^^Ш^1?^^^^^^^^^
знаЧениюПШфОЙ^ве^ одно и^и^^н^сколька
опрбЖёлШШ]^
*"" "При^этом мыТоворим также, что наши Теличины связаны функ-
функциональной зависимостью.
Переменная величина, значения которой мы можем выбирать
по нашему усмотрению, называется независимой переменной; функ-
функция называется ещё зависимой переменной. Когда значения незави-
независимой переменной выбраны, значения функции уже нельзя выбрать
произвольно, они будут строго определёнными, именно теми, кото-
которые соответствуют выбранным значениям независимой переменной.
Значения функции зависят от значений, принимаемых независимой
переменной, и, как правило, изменяются при qe изменении. Этим и
объясняются термины «независимая» и «зависимая» переменные.
В этом «Курсе» всюду, где нет специальной оговорки, рассма-
рассматриваются лишь действительные величины.
Примеры, 1. Радиус г круга и его площадь s могут прини-
принимать различные значения. Однако радиус и площадь зависят друг
от друга; в самом деле, каждому значению радиуса соответствует
определённое значение площади круга. Именно: площадь круга равна
квадрату радиуса, умноженному на постоянное число тг:
ГЛАВА I
ФУНКЦИЯ
§ 1. ФУНКЦИИ И СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ

32 гл. I. функция 110
Обратим внимание на то, что зависимость площади круга от
радиуса и зависимость расстояния от времени при свободном паде-
падении тела одна и та же: и в том, и в. другом примерах функция
пропорциональна квадрату независимой переменной. С математиче-
математической точки зрения только это и важно: в математике интересуются
именно тем, как зависит функция от независимой переменной, и
вовсе не интересуются тем, какие конкретные величины скрываются
за этими переменными. С этой точки зрения указанные функции
являются примерами одной и той же так называемой квадратичной
функции (см. п° 18).
В определении понятия функции не требуется, чтобы при изме-
изменений независимой переменной функция изменялась. Важным яв-
является лишь, чтобы каждому рассматриваемому значению независи-
независимой переменной соответствовали определённые значения функции.
Поэтому можно считать функцией и величину, которая вовсе не
меняется, иными словами, являющуюся постоянной.
К этому приводит ещё и такое соображение: величина, завися-
зависящая от некоторой переменной величины и вообще изменяющаяся
вместе с ней, может оказаться в частных предположениях постоян-
постоянной. Конечно, нецелесообразно выделять из общего случая частный
и считать, что в этом частном случае наша величина не есть уже
функция. Например, значение выражения
—. ,' 9 н с sin* лг,
где а, Ь, с — постоянные, зависит от переменной величины дг, яв-
является её функцией. Вместе с тем в частном случае, когда а =
= Ь = с, это значение тождественно (т. е. при любом х) равно по-
постоянной с.
можно рассцатрпьпти как ф
как такую функцию, значения которой^ для всех значений неза-
висимои переменной равны между собой *).
10 A5). Способы задания функции. Задать функцию — это зна-
значит указать совокупность всех значений, которые принимает неза-
независимая переменная, и способ, при помощи которого по данному значе-
значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения
функции. Задавать функции можно по-разному; важнейшие способы
задания функций — это задания таблицей, формулой и графиком.
I. При табличном задании функции просто выписывается
ряд значений независимой переменной и соответствующих им зна-
значений функции. Этот способ часто употребляется. Хорошо известны
таблицы логарифмов, т. е. логарифмической функции, таблицы три-
тригонометрических функций и их логарифмов и др.
*) В математике и других дисциплинах иногда постоянную назы-
называют константой (const).

Ю]
§ 1. ФУНКЦИИ И СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ
33
Табличный способ задания функций особенно распространён в естество-
естествознании и технике. Числовые результаты последовательных испытаний при
каком-нибудь эксперименте обычно группируются в виде таблиц.
Например, при изучении зависимости электрического сопротивления г
от температуры t некоторого медного стержня была получена следующая
таблица:
t
г
19,1
76,30
25,0
77,80
30,1
79,75
36,0
80,80
40,0
82,35
45,1
83,90
50,0
85,10
Сопротивление является функцией температуры, и приведённая таблица
даёт значения этой функции для указанных значений независимой пере-
переменной.
Недостаток табличного задания функции заключается в том, что
при нём обычно невозможно задать функцию полностью: най-
найдутся такие значения независимой переменной, которые не поме-
помещены в таблице. Например, приведённая выше таблица не позво-
позволяет ответить на вопрос о том, каковы сопротивления при темпе-
температурах, меньших 19,1° или больших 50,0°. Точно так же по
таблице нельзя узнать сопротивления, например, при темпера-
температурах 24,2° и 37,43°, прямо не указанных в числе значений темпе-
температуры *).
Другим недостатком таблицы, особенно ярко проявляющимся при
сколько-нибудь большом её объёме, является отсутствие нагляд-
наглядности. По таблице чаще всего трудно выявить характер измене-
изменения функции при изменении независимой переменной.
Преимущество же табличного задания функций заключается в
том,•что для каждого значения независимой переменной, помещён-
помещённого в таблице, сразу можно, без всяких измерений и вычислений,
найти соответствующее значение ф)ч+кции.
II. Прежде чем перейти ко второму способу задания функции^
заметим, что
Под аналитическим выражением мы понимаем сово-
совокупность известных математических операций **) (действий),
которые производятся в определённой последовательности над
числами и переменными величинами.
Основной способ задания функций — задание формулой, или,
как иногда говорят, аналитическое задание. Оно состоит в
том, что даются формулы в виде равенств аналитических выра-
*) Существуют специальные методы, позволяющие в известных случаях
приближённо находить значения функции, соответствующие значениям неза-
независимой переменной, не помещённым в таблице.
**) Здесь мы к ним причисляем только такие элементарные операции:
сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение
корня, логарифмирование, а также тригонометрические и обратные триюно-
метрические операции.

34 гл. i. функция [10
жений, в которых участвуют две переменные величины; по значе-
значениям одной из них, принимаемой за независимую переменную, опре-
определяются при помощи вычислений соответствующие им значения
другой переменной — функции.
Например, формула
1) tg Bлг + 3)
У log (I -\-x) — sin л;
прямо определяет у как функцию переменной величины х. Подста-
Подставив заданное значение х в правую часть и выполнив указанные дей-
действия, мы получим соответствующее ему значение у.
Если у как функция независимой переменной х задана форму-
формулами, то говорят, что эти формулы устанавливают функ-
функциональную зависимость между величинами х и у, или ещё
иначе, что они связывают между собой эти величины.
Преимущества аналитического способа задания функции за-
заключаются:
а) в сжатости, компактности задания: короткие формулы опре-
определяют значения функции для всех рассматриваемых значений не-
независимой неременной;
б) в возможности вычислить значения функции для любого зна-
значения независимой переменной, при котором указанные в формуле
действия имеют смысл *);
в) наконец, и это самое главное, в возможности при изучении
данной функции пользоваться аппаратом математического ана-
анализа, ибо он наилучшим образом приспособлен как раз к аналити-
аналитической форме задания функций.
Если, например, мы хотим исследовать методами математического
анализа функциональную зависимость между температурой и элек-
электрическим сопротивлением медного стержня, то нам нужна именно
формула, связывающая сопротивление и температуру, а не отдель-
отдельные (пусть даже известные нам в большом числе) соответственные
значения функции и независимой переменной.
Неудобствами аналитического задания функции являются:
а) недостаточная наглядность;
б) необходимость производства вычислений, подчас очень гро-
громоздких.
III. Перейдём, наконец, к заданию функции графиком.
Определение. Графиком функции .(в.„.„системе декартовых
прямоугольных ,.JKS2E.fflES.SifjL,..HI?I?™.^S]!;?? геометрическое место то-
ЗекГ""]^^
мешюи?Га ординаты — соответствующий функции.
*) Например, по приведённой выше формуле нельзя определить значение
функции у при л: = 0, потому что тогда знаменатель дроби в правой части
обращается в нуль, и формула теряет смысл.

10]
§ 1. функции и способы их задания
35
Иными словами, если мы возьмём абсциссу, равную (в опреде-
определённом масштабе) некоторому значению независимой переменной, то
ордината соответствующей точки графика (измеренная также в оп-
определённом, вообще говоря, ином масштабе) должна быть равна зна-
значению функции, соответствующему взятому значению независимой
переменной.
На черт. 1 приведён график зависимости давления 1,293 кг воздуха от
его объёма при 0° С. При этом 1 см по оси абсцисс изображает один куби-
кубический метр воздуха, а 1 еж по оси
ординат — давление в одну атмосферу.
Для того чтобы с помощью этого графика
найти по данному значению независимой
переменной (например, при v = 1,5 см)
соответствующее значение функции, нужно
отложить по оси абсцисс отрезок, пред-
представляющий в выбранном масштабе значе-
значение независимой переменной (ОМ = 1,5 см),
и измерить ординату точки линии, соот-
соответствующей этой абсциссе. В данном
случае р=0,67 ат> так как отрезок MN
равен 0,67 см.
Графиками функций обычно служат
кривые (в частности, и прямые) линии.
Обратно, всякая линия на координат-
координатной плоскости изображает неко-
некоторую функцию — именно ту, значе-
значения которой равны ординатам линии
переменной, равных абсциссам.
Таким образом, понятия линии и функции тесно связаны. Зада-
Заданием функции порождается линия — её график; заданием линии в
координатной плоскости порождается функция — та, для которой
эта линия служит графиком. В последнем случае и говорят, что
функция задана графически.
Если функция задана формулой, связывающей независимую пе-
переменную х с функцией у, то графиком этой функции является
линия, для которой это равенство служит «уравнением» (в том
смысле, в котором понимается термин «уравнение» в аналитической
геометрии). Обратно, данная линия служит графиком функции, оп-
определяемой уравнением этой линии.
Так, графиком квадратичной функции у=х* является парабола,
ось которой совпадает с положительной полуосью ординат, так как
формула у = х* есть уравнение именно этой параболы; графиком
функции у=~ является равнобочная гипербола, для которой оси
координат служат асимптотами, так как равенство ху = \ есть
уравнение этой гиперболы.
Графиком постоянной величины, очевидно, служит прямая, парал-
параллельная оси абсцисс.
при значениях независимой

36 гл. i. функция (И
В физике и в технике функции нередко задаются графически. Например,
это бывает при употреблении самопишущих приборов, автоматически запи-
записывающих изменения некоторой величины в зависимости от изменения другой
величины (чаще всего — времени). В результате на ленте прибора получается
линия, графически задающая регистрируемую прибором функцию. К таким
приборам относятся, например, барограф, вычерчивающий барограмму —
график атмосферного давления, и термограф, вычерчивающий термограм-
термограмму — график температуры как функцию времени.
Иногда график явдяется единственным доступным средством (или
самым простым из возможных средств) задания функции. К графику
функции, как и к ^таблице, не может быть непосредственно и при-
притом точно приложен аппарат математического анализа, но график
функции наряду с этим существенным недостатком обладает весьма
важным преимуществом — наглядностью, что делает его чрез-
чрезвычайно полезным при исследовании функции.
§ 2^ СИМВОЛИКА И КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ
11A6). Символика. Многие обозначения величин являются
установившимися. Так, время (и температуру) чаще всего обо-
обозначают буквой t, массу — буквой т, скорость — буквой v и т. д.
В математике же говорят о переменных величинах независимо
от того, каков их физический смысл; их обозначают обычно буква-
буквами ху у у z, и,.. ¦
Часто говорят, особенно\ в теоретических рассуждениях, о функ-
функциональной зависимости между двумя переменными величинами,
скажем х и уу не указывая точно, какова она. Вместо того чтобы
писать словами: «величина у есть некоторая функция переменной
величины х», пишут сокращённо, символически
y=f(x).
Латинская буква /—начальная буква слова functio («функция»).
В скобках, после обозначения функциональной зависимости ста-
ставится независимая переменная. Эту запись читают следующим обра-
образом: «у есть функция от х»у или, короче, «у есть эф от х».
Мы видим, что здесь буква / обозначает уже не величину,
а зависимость, т. е. закон соответствия между независимой пе-
переменной и функцией. Кроме буквы /, в качестве символа функцио-
функциональной зависимости используют и другие буквы: Fy ср, Ф и т. д.
Запись y=f(x) употребляют не только тогда, когда безразлич-
безразлично, о какой именно функции идёт речь, но и в тех случаях, когда
имеется в виду некоторая определённая, но нам неизвестная функция.
"Но даже если функция известна, её часто обозначают символи-
символически для сокращения записи выкладок, в которых участвует эта
функция.
Подобно тому как знакомые символы log, sin, cos, tg, arcsin
и т. д. обозначают функции, определённые хорошо известными про-

II]
§ 2. СИМВОЛИКА И КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ
37
стейшими операциями, совершаемыми над независимой переменной,
так и общий символ / при аналитическом задании функции указы-
указывает совокупность операций и их последовательность, которую нужно
совершить над х, чтобы получить у. Например, символ / в равен-
равенстве
f(x) = i/ x2 -|- sin x
обозначает, что по значению х находятся его квадрат и его синус,
результаты складываются и из суммы извлекается квадратный корень.
Желая выразить тот факт, что длина окружности / и площадь
круга 5 являются функциями его радиуса г, мы могли бы написать
/ = /(г) и s=f(r). Однако длина окружности зависит от радиуса
иначе, чем площадь круга. Поэтому при одновременном рассмо-
рассмотрении обеих функций их различие
следует отразить и в записи. В этом У >
случае лучше написать
/=/(г) и s = F{r)
или
M[af(aL
f(a)
Черт. 2.
и т. п.
В иных случаях может иметь ~q
место обратное: две пары различ-
различных величин могут быть связаны
одной и той же функциональной
зависимостью. Так, площадь круга $ находится в такой же зависи-
зависимости от радиуса г, в какой поверхность шара Q находится от
диаметра d. Чтобы отразить этот факт в символической записи, мы
пишем:
в=/(г) и Q=f{d),
употребляя в обоих случаях одий и тот же символ функции.
Частное значение функции находится подстановкой в вы-
выражение для функции вместо независимой переменной соответствую-
соответствующего её значения. Пусть частное значение функции j/=/{х) при
х = а равно Ь. Это записывают следующим образом:
b=f(a):
Последнее равенство уже нельзя читать, как прежде: «Ь есть функ-
функция от а», так как здесь и а и Ъ являются постоянными величинами.
Его следовало бы ^ читать так: «Ь равно значению функции / при
значении независимой переменной, равном а», но обычно читают
коротко: «Ь равно / от а», помня, какой смысл вкладывается в эти
слова.
Точка М ^рафика функции y = f{x)y соответствующая абсциссе
х=а, имеет ординату /(а), что записывается так: М [a, f(a)]
(черт. 2).

38 гл. i. функция [12
4 12 A7). Понятие сложной функции. Элементарные функции.
I. Нередко встречаются случаи, когда у выражена как функ-
функция z:
У = <?(*)>
a z есть в свою очередь функция от некоторой переменной х:
Тогда у является функцией х, выраженной посредством перемен-
переменной z, называемой здесь промежуточной переменной. Дей-
Действительно, значению х соответствует одно или несколько опреде-
определённых значений zt а .каждому из этих значений z — одно или не-
несколько определённых значений у\ в итоге значению х соответствует
одно или несколько определённых значений у, т. е. у есть функция
от х. Выражение её можно записать следующим образом:
.у = ?№(¦*)]. ч
Определение. Переменную величину, по значениям кото-
которой могут быть определены все возможные значения функции,
мы вообще называем аргументом функции.
Аргумент функции может быть независимой переменной, а мо-
может быть промежуточной переменной, т. е. также являться функ-
функцией независимой переменной. v K
Задание величины у как функции^ величины х посредством цепи
из двух функций определяет, как говорят, сложную функцию *) или
функцию от функции. Функция у = ср [ty (х)] есть сложная функция
независимой переменной х.
Например, j/ = (sin xf есть сложная функция х, а именно, у есть
квадратичная функция от аргумента, являющегося в свою очередь
известной тригонометрической функцией (синусом) от независимой
переменной х;. обозначая промежуточную переменную буквой z}
можем написать: y = z*t z=s\nx.
В качестве второго примера рассмотрим «живую силу» j (кинетическую
энергию) тела, имеющего массу т и брошенного вертикально вверх с на-
начальной скоростью v0.
Как известно,
У = .-= ?(»),
т. е. живая сила тела есть функция скорости, которой оно обладает. Но эта
скорость является функцией времени. Именно, если пренебречь сопротив-
сопротивлением воздуха, то
где g — ускорение силы тяжести.
*) Термин «сложная функция» заранее не противопоставляет её
«простым», в каком-то смысле, функциям, он только указывает на ха-
характерную особенность в конструкции функции.

12] § 2. символика и классификация функций 39
Таким образом, живую силу тела можно рассматривать как сложную
функцию времени:
Цепь функций, с помощью которых образуется сложная функция,
может состоять не только из двух, но из какого угодно числа
звеньев. Чем их больше, тем, вообще говоря, «сложнее» функция.
Часто оказывается полезным уметь «расщеплять» заданную слож-
сложную функцию на отдельные звенья.
II. Функции, употребляемые в общем курсе математического ана-
анализа и в прикладных науках, представляются обычно в виде слож-
сложных функций, образованных из весьма ограниченного числа про-
простейших функций, называемых основными элементарными
функциями.
Определение. Основными элементарными функциями
являются следующие:
1) степенная функция: у = д;л, где п — действительное число;
2) показательная функциях у = ах, где а — положительное
число, отличное от 1;
3) логарифмическая функция: yz=\o%ax, где основание лога-
логарифмов а — положительное число, отличное от 1;
4) тригонометрические функции: y^smx, j;=:cosAr, j> =
= tgA;, а также реже употребляемые: y=.ctgx, y = secx, _y =
= cosec x\
5) обратные тригонометрические функции: y = arcsinA;>
sjj = arccosA;, y = arctgx, а также y = atcctgx, y= arcsec дг, у =
= arccosec дг.
Мы рассмотрим эти функции в §§ 5 и 6.
Основные элементарные функции служат, так сказать, «кирпи-
«кирпичами», из которых строятся другие функции, в частности так назы-
называемые «элементарные функции».
Определение. Элементарной функцией называется функ-
функция, которую можно задать одним аналитическим выражением,
составленным из основных элементарных функций и постоянных
при помощи конечного числа арифметических операций (сло-
(сложения, вычитания, умножения и деления) и конечного числа опе-
операций взятия функции от функции.
Например, элементарными будут функции, заданные такими фор-
формулами:
И Т. П.
В следующем параграфе будут приведены примеры неэлемен-
неэлементарных функций, В дальнейшем мы будем встречаться почти
исключительно с элементарными функциями.

40 гл. I. функция {13
13 A8). Классификация функций. Установим здесь разделение
функций на явные и неявные, алгебраические и трансцендентные,
однозначные и многозначные.
N/ I. Явные и неявные функции. Разделение функций на
явные и неявные относится лишь к функциям, заданным аналитически.
Определение. Функция у аргумента х называется явной,
если её задание состоит в том, что прямо указывается анали-
аналитическое относительно х выражение, которому равна функциям
Иначе можно сказать, что явная ^щгсция задаётся ^аще^утм
между у (функцией) и ^\^&^^^щ! комороеГ^
ример, о функциях, приведённых в конце п° 12, можно сказать,
что они явные.
Но и уравнение между двумя переменными, не разрешённое отно-
относительно какой-нибудь из них, может определять одну из этих пе-
переменных как функцию другой.
Например, в уравнении эллипса
ординату у можно рассматривать как функцию абсциссы х. Дейст-
Действительно, каждому значению х> заключённому между —а и~-\-а9
соответствуют два значения у, находимые из уравнения эллипса. Эта
функция задана в неявном виде. Чтобы перейти к её явному зада-
заданию, достаточно разрешить уравнение относительно у:
Однако такой переход не всегда лёгок, а иногда и вовсе невозмо-
невозможен (если пользоваться лишь конечным числом основных элементар-
элементарных функций). Так, уравнение
у _ заду/ -]_ хъ = 0
определяет у как функцию х, но выразить эту функцию в явном
виде труднее, чем в первом примере, так как для этого нужно
решить уравнение третьей степени. Функция же у, определяемая
уравнением
х_у„2А' + 2^ = 0,
вообще не может быть задана в явном виде посредством элементар-
элементарной функции, ибо заданное уравнение нельзя решить относительно у
с помощью конечного числа арифметических действий и основных
элементарных функций. Тем не менее это уравнение действительно
определяет у как функцию х. В самом деле, зададим значение
х = х0 и подставим его в левую часть уравнения

13)
§ 2. СИМВОЛИКА. И КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ
41
Решая это численное уравнение относительно _у, мы получаем
значение у=у^ которое и рассматривается как соответствующее
значению х = х0.
Дадим определение неявной функции независимо от того,
можно ли из данного уравнения найти у в виде элементарной функ-
функции х или нельзя.
Определение. Неявной функцией ^аргумента хмы на-
зываем Функцию,, определяемую У^^^тй^1!!* связывающим лги у
б р а и ч е с к ^e^iT^'Tp^TH^'ff? ндентные функции.
Среди функций, задаваемых аналитически, особо выделяются те,
которые определяются при помощи так называемых алгебраи-
алгебраических операций: сложения, вычитания, умножения, деления и воз-
возведения в степень с рациональным показателем.
Определение. Функция, значения которой можно
чить, производя над3^ не^адисйЛой переменной "конечное' число
Если исключить из указанных действий извлечение корней, то
получим определение рациональных функций.
Определение. Функция называется рациональной,
значения можно получит^йроизвс " ""
(Б)
Определение. Алгебраическая
рациональной, называетаГТ?]^^
Так, фунвдиТ'Р^Т^^^^
Определение. Рациональная
если для её о^пределения ^
целой,
^р независимую переменную.
римеры целых рациональных функций:
2K
*) Не следует, однако, думать, что любое уравнение между х и у обяза-
обязательно определит некоторую функцию одной переменной. Например, уравне-
уравнение х2 + У2 + 1 = 0 не может быть удовлетворено никакими действительными
значениями х и у (сумма положительных чисел не может бьпь равна нулю!)
и, значит, не определяет никакой функции.

42 гл. i. функция r[l3
Определение. Целые рациональные функции называют
многочленами или полиномами (при этом одночлен рассматри-
рассматривается как частный случай многочлена).
Многочлен всегда можно расположить по убывающим (или воз-
возрастающим) степеням независимой переменной, т. е. представить в
виде суммы
Р() п + гхп-* + ... + а^х + ап9
где аОУ #!,..., ап__и ап — постоянные коэффициенты.
Определение. Рацион^ьная^^гнкция называется дробно-
iSSS^^ и
"""""Всякую 'рациональную""функцию JR(jc) с помощью тождественных
преобразований можно представить в виде частного двух многочле-
Р (х)
нов: R (х) = qj~{ , т. е. в виде дробно-рациональной функции.
Так, например, представим функцию (Б) в виде дробно-рациональ-
дробно-рациональной функции
*s л^ х
У
У 2,1. х*
л:8 ' л:2
Данное выше определение явной алгебраической функции уже общего
определения алгебраической функции, принятого сейчас в математике. Со-
Согласно этому общему определению алгебраической функцией назы-
называется функция у, являющаяся корнем алгебраического уравнения, имею-
имеющего коэффициентами многочлены независимой переменной х:
Можно доказать, что всякая явная алгебраическая функция является
алгебраической и в смысле общего определения. Так, например, функция (А)
является корнем уравнения
Однако существуют алгебраические уравнения, которые невозможно разре-
разрешить с помощью конечного числа алгебраических действий. Таким образом,
функциями, значения которых можно вычислить с помощью конечного числа
алгебраических действий, не исчерпывается совокупность всех функций,
алгебраических в смысле общего определения.
Определение. Функция, не являющаяся алгебраической,
b\Ba^^jf^aHC^eHUeHmHQU^
Примеры трансцендентных функций:
y=sinx, y = x2x, j/=
III. Однозначные и многозначные функции.
Определение. Функция называется однозначной, если
каждому рассматриваемому значению независимой переменной
соответствует одно определённое значение функции. В против-
противном случае функция называется многозначной.

¦*1
§ 3. ПРОСТЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ
43
Например,
у = хг, y — sinx, y = logx
суть однозначные функции, а функция у = ± Vх — многозначная, а
именно, двузначная.
Однозначность функции y=f(x) геометрически выражается так:
всякая прямая, параллельная оси Оу и пересекающая график функ-
функции, имеет с ним только одну
общую точку (линия АВ на
черт. 3). График же многознач-
многозначной функции пересекается с не-
некоторыми прямыми, параллель-
параллельными оси Оу, в нескольких точ-
точках (линия CD на черт. 3). Так,
в случае функции у = ±^х
прямая, параллельная оси орди- Черт. 3.
нат и лежащая справа от неё, -v
пересекает график функции в двух точках; одна точка, над осью Ох,
определяет одно значение функции (положительное), другая/ под
осью Ох, — другое значение (отрицательное).
Часть графика многозначной функции, пересекающаяся с любой
прямой, параллельной оси Оу, не больше, чем в одной точке, опре-
определяет однозначную функцию. Эта выделенная функция называется
однозначной ветвью многозначной функции *).
Если, например, взять верхнюю половину параболы, то мы полу-
получим график функции у = у/~х, являющейся однозначной ветвью дву-
двузначной функции у — + угх, причём эта ветвь положительна при
всех положительных х.
Всюду, где не сделано особой оговорки, мы имеем в виду только
однозначные функции.
§ 3. ПРОСТЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ
14 A9). Область определения функции. Область определён-
определённости аналитического выражения.
I. В определении понятия функции, данном в п° 1, отнюдь не
предполагалось, что независимая переменная должна принимать все
действительные значения. Напротив, можно взять в качестве обла-
области изменения независимой переменной любое, заранее выбранное
множество чисел; если мы каждому из этих чисел отнесём по какому-
нибудь правилу определённое значение другой величины, то тем
самым последняя станет функцией от первой величины.
Говорят, чтр функция определена при данном значении аргу-
'"^посгтвлё^^'соЪт^
р, р фуц р
ментд (g данной точке), если эщомуf
*) Обычно выделяется такая часть графика, которая является «сплош-
«сплошной», «непрерывной» (см. п° 35) линией.

у
или несколько точек графика, изображающего функцию; каждой
точке оси, где функция не определена, не соответствует никакая
точка графика.
В определении понятия функции, данном раньше (п° 9), значения,
составляющие область определения функции, назывались «рассма-
«рассматриваемыми значениями независимой переменной».
Обычно в анализе рассматривают функции, для которых обла-
областями определения служат области одного из следующих двух типов:
1) совокупность «целых» положительных точек числовой оси,
т. е. точек х=\, х = 2, х = 3, ... (или вообще точек x = Ny
x = N ~\- 1, x = N-\-2,..., где N—какое-нибудь целое положительное
число);
2) один или несколько интервалов числовой оси.
Примером функции с областью определения первого типа может
служить периметр Рп правильного многоугольника,\ вписанного в за-
заданную окружность. Действительно, Рп зависит только от целого
числа п сторон многоугольника. *
Определение, фикция у=/(;x)Lj?Mjm^
першещт^^ ?=1, V3, ... у
называетсяфункщей^^ ^гуменпга.
Значения "* «-~~»^--«-«-«*~.
/A), /B), /C),
принимаемые функцией целочисленного аргумента, образуют п о-
следовательность, т. е. совокупность, перенумерованную с
помощью чисел натурального ряда и расположенную в порядке
возрастания номеров.
Обратно, всякая последовательность является совокупностью
значений некоторой функции целочисленного аргумента.
Действительно, раз дана последовательность иь иъ и3, • • • > то
тем самым каждому целому положительному значению п поставлено
в соответствие значение f(n) = un. Например, члены геометриче-
геометрической прогрессии: -у» х> Т»^ • • являются последовательными зна-
значениями функции /(я) = 2?г, п=\, 2, ...
Графиком функции целочисленного аргумента (или последова-
последовательности) служит совокупность отдельных точек на плоскости
с целыми абсциссами и с соответствующими ординатами. Примером
функции с областью определения второго типа является функция
ветствие по какому-нибудь правилу значение функции (или не-
"сТ61П>к^ТначШий7^еО[Й***она ""многозначна).
Определение. Областью опРеделения^Щи областью
существованш)^^н1щип называется совокупност!Г1ваг>Гточ§к
числовой оси, Е^<ото?ьГХ|~ф^кция опр^дёленЗГ^^4**^^^"^'^^
КШШ1ЯГ~тЬчке обла^та15п^^ соответствует одна
44 гл. I. функция [14

14] § 3. ПРОСТЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ ФЗГНКЦИЙ 45
где х — температура воздуха, измеряемая в течение суток, a t —
время, измеряемое, допустим, в часах. Область определения этой
функции есть интервал [0, 24].
II. Определени е^ Обласпшю^
ческого выражения называется^^^З^Г
Ми 1)сиГГ" KOTopbix^iTO^BbipakeHHe имеет определён
рг~^^ выражения j/l —х2 яв-
является замкнутый интервал [—1, -f-1], ибо при каждом х, удовле-
удовлетворяющем неравенствам —1^л;^-|-1, это выражение имеет
определённое действительное значение, а в точке, лежащей вне
интервала [—1, -f-1], т. е. при |лг|^>1, "оно не имеет действи-
действительного значения.
Областью определённости выражения —- является вся числовая
ось, кроме точки х = 0у в которой это выражение теряет смысл,
ибо делить на нуль нельзя; таким образом,- область определённости
состоит из двух открытых бесконечных интервалов:
Областью определённости всякого многочлена служит вся число-
числовая ось.
Областью определённости выражения j/'х% — 1 служит совокуп-
совокупность двух бесконечныхингервалов — со<^лг^ — 1 и-f-1 ^ лг <^ -f~ °°
(в другой записи: |лг|^1), т. е. вся числовая ось за исключением
интервала (—1, -f-1).
Областью определённости для logx является открытый бесконеч-
бесконечный интервал 0<^лг<^оо (logx при х^О не определён, так как
не существует действительных логарифмов отрицательных чисел и
нуля).
Областью определённости выражения ~-^_г"г ' служит от-
открытый интервал (— 5, 2), так как при х ^ — 5 не определён эле-
элемент выражения log (je-|-5), при лг^>2 не определён ]/8 — лг3, а
при х = 2 не определена вся дробь, ибо знаменатель обращается
в нуль.
v Ш. Если функция у—f(x) элементарная, заданная без всяких
дополнительных условий, то всегда подразумевается, что обла-
областью её определения (существования) является область опреде-
определённости соответствующего задающего аналитического вира-
жения.
Так, областью определения функции у=-/\—лг2 является
замкнутый интервал [—1, -f-1]; областью определения функции
у = -т является вся ось, кроме точки д; = 0, и т. п.

46
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
114
Нельзя смешивать понятие функции с понятием аналити-
аналитического выражения для неё. Аналитически заданная функция
может быть определена так, что в одном интервале значений неза-
независимой переменной она представляется одним аналитическим выра-
выражением, а в другом — совсем другим. Например, зададим функцию
y=f(x) на положительной полуоси Ох так:
f(x) = 2 /лГ, если 0 ^ х ^ 1,
1-|-лг, если х^>1.
Это будет вполне определённая при всех х^О функция, график
которой изображён на черт. 4; однако эта функция в интервалах
[О, 1] и [1, оо] представляется двумя различными, не своди-
сводимыми друг к другу аналитическими выражениями. По принятой
нами терминологии указанная функ-
функция в интервале [0, оо) неэле-
неэлементарная.
Рассмотрим ещё один пример
неэлемб'нтарной функции. Зададим
функцию y=f(x) так: она равна
х sin — при всяком х, отличном от
нуля, и равна нулю при х=0:
f(x)^xsin±(x^0) и /@) = 0.
Черт. 4. Здесь функция представлена
одним выражением для всей оси Ох,
кроме точки лг = О, в которой значение функции определено особо.
При х = 0 выражение х sin — не определено (аргумент синуса те-
теряет смысл), областью же существования функции f(x) является вся
ось Ох.
С другой стороны, во второй части «Курса» (гл. XIV) мы встре-
встретимся и с такими случаями, когда два различных аналитических
выражения (бесконечных) в некотором интервале определяют одну
и ту же функцию, а в некотором другом — разные функции.
Конкретные задачи часто приводят к функциям, записываемым
в виде аналитического выражения, определённого в более широкой
области, чем допускает существо рассматриваемой задачи. Например,
площадь 5 круга как функция его радиуса г
представлена выражением, областью определённости которого
является вся числовая ось, но лишено смысла здесь придавать г
отрицательные значения; областью определения данной функции
служит только положительная полуось аргумента.

— /Го
15] § 3. ПРОСТЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ 47
15 B0). Элементы поведения функции. Изучить заданную функ-
функцию — это значит охарактеризовать ход её изменения (или, как
говорят, её поведение) при изменении независимой переменной.
При этом мы всюду (где специально не оговорено противное) будем
предполагать, что независимая переменная изменяется возрастая,
причём, переходя от меньших значений к ббльшим, она проходит
через все свои промежуточные значения.
Таким образом, если речь идёт о функции целочисленного аргу-
аргумента, то аргумент последовательно принимает целые значения;
если же изучается функция, определённая во всех точках некото-
некоторого интервала, то независимая переменная пробегает этот интер-
интервал слева направо, не пропуская ни одной его точки.
Определение. Независимую переменную, которая, прини-
принимая два различных значения, принимает и любое промежуточное
между ними значение, называют
непрерывной.
Функцию, заданную во всех
точках интервала, называют функ-
цией непрерывного аргумента.
Постепенно, по мере расшире-
расширения средств исследования, мы будем ~#"
в состоянии давать всё более пол-
полное описание поведения функции.
Теперь, оперируя лишь средствами Черт. 5»
элементарной математики и ана-
аналитической геометрии, мы будем характеризовать поведение функ-
функции только по следующим простейшим особенностям функций:
1) знак в данном интервале; II) чётность или не-
нечётность; III) периодичность; IV) рост в данном ин-
интервале.
I. Определение. Интервал, в котором функция y=zf(x)
сохраняет один и тот же знак (-J- или —), называется интер-
интервалом знакопостоянства функции. Значение х, при котором
функция обращается в нуль, /(д;) = 0, называется нулём (или
корнем) функции.
В интервале положительного знака функции график её распо-
расположен над осью Ох, в интервале отрицательного знака — под осью
Ох, а в нуле функции график имеет общую точку с осью Ох (черт.* 5).
II. Определение. Функция y=f(x), определённая в интер-
интервале (—а, а), называется чётной, если при изменении знака
у любого значения аргумента из этого интервала значение функ-
функции не изменяется:
/(— x)=f(x).
Функция у =/ (х), определённая в интервале (—а, а), назы-
называется нечётной, если при изменении знака у любого значения

ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
115
аргумента из этого интервала изменяется только знак (но не
абсолютная величина) значения функции:
f(—X)=z—f(x).
Примерами чётной функции могут служить у =
У
-х О
Чётная
Нечётная
Черт. 6.
y=z cos х, при-
примерами нечётной функ-
функции у = дг3, у = sin лг.
График чётной функ-
функции симметричен отно-
относительно оси Оу\ график
нечётной функции сим-
симметричен относительно
начала координат. (Пре-
(Предоставляем доказать это
читателю; см. черт. 6.)
Разумеется, функция
может быть ни чётной и
ни нечётной; например, таковы функции: у = х -f- 1 > У = 2 sin x -j-
-j- 3 cos л:, j/ = 2* и т. д.
III. Определение. Функция jj=/(a;) называется периоди-
периодической, если существует такое постоянное число а ф 0, что от
прибавления его к любому значению аргумента значение
функции не изменяется:
Если функция — периодическая, то имеют место также ра-
равенства
f(x + 2а) =/(*), f(x + За) =/(*),
f(x — а) =/(jc), /(лг — 2а) =/(jc)
и вообще
/(* + *<»)=/(*)
при любом х и для произвольного целого (положительного или
отрицательного) k.
Определение. Наименьшее положительное число, от приба-
прибавления которого к любому значению аргумента значение функ-
функции не изменяется, называется периодом функции.
Примером периодической функции может служить функция
y=zsinx; её период равен 2те. (Иногда периодом называю!
всякое число (не равное нулю), от прибавления которого к лю-
любому значению аргумента значение функции не изменяется, а
наименьшее положительно из таких чисел — основным периодом.)
Поведение периодической функции достаточно рассмотреть в лю-
любом интервале, длина которого равна периоду функции, например
в интервале О^х^а, где а — период; в остальных точках оси

15]
§ 3. ПРОСТЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ
49
Ох значения функции получаются простым повторением значений,
принимаемых ею в этом интервале. График периодической функции
получается путём повторения части графика, соответствующее
интервалу оси Ох, равному
по длине периоду функции
(черт. 7).
IV. Весьма важной особен-
особенностью в поведении функции
является возрастание и убы-
убывание.
Определение. Функ-
Функция называется возрастаю-
возрастающей в интервале, если большим значениям независимой перемен-
переменной в этом интервале соответствуют ббльшие значения функ-
функции *); она называется убывающей, если бблыпим значениям не-
независимой переменной соответствуют меньшие значения функции.
Таким образом, f(x) возрастает в интервале (а, #), если для
всех значений хи х^ удовлетворяющих условию а<^хх<^х^<^Ь,
имеет место неравенство f{xx)<^f{x^)y и убывает, если для
-2а "" ~
"б а
Черт. 7.
2а За
В
(*) у
всех значений хъ ^^удовле-
^^удовлетворяющих указанному усло-
условию, имеет место неравенство
Если рассматривать график
функции слева направо (чтф
соответствует возрастанию ар-
аргумента х)} то для возрастаю-
возрастающей функции точка графика
поднимается вверх (линия
АВ на черт. 8), а для убы-
вающей функции — опускается
вниз (линия CD на черт. 8).
Интервал независимой переменной, в котором функция возра-
возрастает, называется интервалом возрастания функции, а
интервал, в котором функция убывает, — интервалом убы-
убывания. Как интервал возрастания, так и интервал убивания называют
интервалом монотонности функции, а функцию в этом
интервале — монотонной функцией.
Значение функции, большее или меньшее всех других её значе-
значений в некотором интервале, называется наибольшим или,
соответственно, наименьшим значением функции в этом
интервале.
Черт. 8.
*) Когда говорят об изменении (увеличении, уменьшении) переменной
величины, имеют в виду алгебраическое изменение. Если речь идёт об
изменении абсолютной величины переменной, это особо оговаривается.
3 А. Ф. Бермант

60
ГЛ. I. ФУНКЦИЙ
A6
Исследование указанных здесь четырёх особенностей часто
позволяет составить довольно ясное представление о поведении
функции.
Если функция — элементарная, заданная без всяких дополнитель-
дополнительных условий, то первой задачей при исследовании этой функции
является отыскание области её определения (т. е. области опреде-
определённости задающего её аналитического выражения).
Черт. 9.
16 B1). Графическое изучение функции. Линейная комбина-
комбинация функций. Когда известен график функции, поведение её может
быть выяснено из непосредственного рассмотрения чертежа. По чер-
чертежу мы можем опреде-
определить и интервалы моно-
монотонности функции, и ин-
интервалы её знакопосто-
янства, и нули функции,
а также обнаружить,
является ли функция
чётной или нечётной или
ни той, ни другой и име-
имеет ли она период*).
Так, например, гра-
график функции y==:f(x)f
приведённый на черт. 9,
показывает, что функция f(x) в точках jc0, хъ jc4 обращается в
нуль: /(лго) = О> /(•*«) = 0, /(.*ч) = 0» что в интервалах (а7 jc0) и
(лг2, дг4) она отрицательна, а в интервалах (jc0, jc2) и (jc4, b) —
положительна; что в интервалах (a, xt) и (jc3, хъ) функция воз-
возрастает, а в интервалах (хи лг3) и (дг8, Ь) — убывает; наконец, что
наибольшее значение функции во всём интервале (а, Ь) достигается
в точке х$у а наименьшее — в точке jc3.
Пока мы можем строить график функции или основываясь на
известных нам геометрических свойствах линии, изображающей дан-
данную функцию, или, как говорят, «по точкам». Последний способ
состоит в том, что, выбрав какое-нибудь число п значений незави-
независимой переменной: xt, х%, ... , хп, вычисляют соответствующие им
значения функции /(JCj), /(jc2), ... , f(xn) и таким образом нахо-
находят п точек: Ж, (хи f{xx)\ Л1«(*»/(•*«))> ••• » Mn(xnf f(xn))> при-
принадлежащих графику функции. Проведя через эти точки на глаз
линию, мы получаем приближённое представление о графи-
графике функции, вообще говоря, тем более точное, чем больше
число п, т. е. чем больше точек М нанесено на координатную
плоскость.
*) При этом, однако, точность ответов ограничена точностью чертежа и
тех измерений, которые приходится на нём производить.

16]
§ 3. ПРОСТЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ
61
Умея строить график функции y = f(х) при любом выборе
масштабов на осях координат, легко получить график функции
y = axf(a^x)y где ах и а2 — любые действительные постоянные
(разумеется, отличные от нуля). Для этого нужно ввести новые
масштабы на осях координат, связанные с прежними согласно фор-
формулам хг — а%х и у = — у (в случае отрицательности ах или #2,
меняя ещё направление соответственно оси ординат или оси абсцисс);
тогда график функции y=/(jt'), построенный в новых масштабах,
даст в старых масштабах, как раз график функции y = aif(a%x).
Указанное преобразование координат называется «преобразова-
«преобразованием масштаба». Присоединяя к этому преобразованию ещё
параллельный перенос системы координат, можно построить и график
функции у = а1/(а<1х-]гаг)-{-аь
где а1у а2, аЪУ а4 — любые дей-
действительные постоянные.
Так, зная способ построения
графика функции y=f(x) при
произвольных масштабах на осях
координат, нетрудно построить и
график, например, функции у =
= 2/Bх + 1). Положив у — -~у
(что означает увеличение в два
раза масштаба по оси ординат),
х' = 2х (что означает уменьше-
уменьшение в два раза масштаба по оси абсцисс), а затем х" =
(что даёт сдвиг системы координат влево вдоль оси абсцисс на
1 единицу в новом масштабе), мы получим y=/(jt"). Остаётся
только вычертить график нашей функции в системе осей Огх"уг9
чтобы получить линию, являющуюся искомым графиком в заданной,
первоначальной, системе осей Оху (черт. 10; см. пример в п° 25).
Определение. Функция, заданная равенством
У = ai/i С*) -f
где jily a^t
йацие Г"*"
, — постоянные, называ±
:ци]
"^^Зн1^графшй" функций y=fx(x)y y=zf2(x)y ..., y=fn(x),
можно построить чисто геометрически график линейной комбина-
комбинации этих функций. Такое построение достигается умножением орди-
ординат графиков каждой из функций fx (x)y /2 (х)у ... , /Л (х) на соот-
соответствующие постоянные aiy а2, ... , ап и сложением ординат
полученных линий.
Таким образом, если известны графики некоторых функций, то
можно графически изучить и функции, получающиеся в результате
указанных простых комбинаций данных функций.

52 гл. т. функция A7
Следует, однако, заметить, что особенности функции, заданной
аналитически, обнаруживают в большинстве случаев не по графику,
а наоборот, сам график функции строят на основании её особенно-
особенностей, выявленных аналитическим путём. Для этой цели используются
различные отделы математического анализа, главным образом диф-
дифференциальное исчисление.
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
17 B2). Прямая пропорциональная -зависимость и линейная
функция. Понятие приращения.
Определение. ITjjj^j^iL^^n-^RU и о лдл кл д#_.л.Щ|» с и-
мостью на^ььшешя зависимость, выраженная формулой
где а^^^ос^щяшш9^^^
- '"""Её характерной особенностью является то, что с изменением
одной из переменных другая изменяется в том же отношении;
иными словами, если хх и yv х.г и j/a — две пары соответственных
значений х и у и если x^ = kxv то тогда и y2 = kyv Действи-
Действительно, мы имеем yiz=axu у2 = ах^ но если х^ = кх1у то у^==
Это свойство выражают словами: величина у пропорциональна
величине х. Постоянный коэффициент а называется коэффициентом
пропорциональности.
Прямая пропорциональная зависимость есть частный случай зави-
зависимости, устанавливаемой линейной функцией.
Определение. Линейной^ функцией называется функция
вида ~~~"тыт" "~м"~*~
ПриРТ=0 отсюда получается прямая пропорциональная зависи-
зависимость *).
Линейная функция определена на всей оси Ох. Как известно из
аналитической геометрии, графиком её служит прямая линия. По-
Постоянные коэффициенты а и b равны соответственно угловому коэф-
коэффициенту прямой (т. е. тангенсу угла между прямой и осью Ох)
и её начальной срдинате (т. е. ординате точки прямой при х — 0).
При 6 = 0 график линейной функции есть прямая линия, проходя-
проходящая через начало координат.
Из этой геометрической интерпретации линейной функции ясно,
что при положительном а она является на всей оси Ох возрастаю-
возрастающей функцией, а при отрицательном а — убывающей.
*) Читатель без 1руда покажет, что если &^?0} то у уже не будет про-
пропорционально х.

171
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
53
Эту особенность линейной функции легко выявить также анали-
аналитически.
Введём предварительно одно простое, но важное понятие, а также
обозначение, которые постоянно будут употребляться и в дальнейшем.
Определение. Пусть некоторая величина и переходит от
одного своего (начального) значения их к другому (конечному)
значению я2. Разность этих значений называют приращением
величины и; её обозначают через Л#, т. е.
Лх
Ах
Лх
х,+Дх хг+Ах
Чеот. 11.
Приращение Дм может быть как положительным, так и отрица-
отрицательным; в первом случае переменная величина при переходе от иг
к щ — их-\-ки возрастает,
во втором — убывает. Если
Дгг = О, то щ — щ и вели-
величина и не изменяется.
ПодчеркнёхМ, что Дм обо-
обозначает не произведение
какой-то величины Д на
переменную и, а является
слитным символом, обозна-
обозначающим разность между на-
наращённым значением пере-
переменной и её начальным зна-
значением.
Когда независимая переменная х получает некоторое прира-
приращение Длг, то её функция y=f(x) также получает приращение:
Ду=/(лг-{- Длг)—f(x). На .графике функции приращение её изобра-
изображается отрезком соответствующей ординаты, взятым , со знаком-f*
или — в зависимости от того, увеличивается или уменьшается
ордината при переходе абсциссы из начального положения в конеч-
конечное (черт. 11).
Вообще говоря, приращение функции зависит и от начального
значения аргумента х, и от приращения Длг, которое получает
аргумент х.
Докажем теперь следующее важное свойство линейной функции.
Прямая теорема. Приращение линейной функции пропор-
пропорционально приращению аргумента и не зависит от начального
значения аргумента.
Доказательство. Действительно, пусть аргумент получил
приращение Ддг, перейдя от значения х к значению х -\- Дл:; тогда
функция получит некоторое приращение Ду, перейдя от значения у
к значению у -j- Ду. Мы имеем:
у — ах 4- Ь
и
у -\- Ду = а (х -\- Длг) -f- b.

54
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
[17
Вычитая из второго равенства первое, найдём:
Ду = а кху
что и требовалось доказать.
Это соотношение выводится просто и из геометрических сообра-
соображений. Из черт. 12 видно, что Ду и Длг являются катетами прямо-
прямоугольного треугольника ABC, причём tga = a. Значит,
Ду = tg a • Длг = а Длг.
Установленное свойство вполне характеризует линейную
функцию; другими словами, нет никаких других функций, кроме
линейных, которые обладали бы тем же свойством.
Обратная теорема. Если приращение функции пропор-
пропорционально приращению аргумента и не зависит от его началь-
начального значения, то эта функ-
Ру^ ция — линейная.
Доказательство. Дей-
Действительно, допустим, что для
какой-нибудь функцииy—f(x)
приращение Ду везде (т. е. для
любого х) пропорционально
приращению независимой пере-
переменной Ах:
Ду = а Длг,
Черт. 12. где а — некоторая постоянная.
Докажем, что / (лг) — линейная
функция. Пусть при х = 0 функция f(x) равна Ь, т. е. f(O) = b.
Дадим теперь аргументу какое угодно новое значение х; функция
получит тогда новое значение y=f(x). Приращение аргумента
при этом будет равно: Ах = х — 0 = х, а приращение функции:
ку=у— Ь. Следовательно, по условию, должно быть у — Ь — аху
откуда
у = ах -{- b
при любом х.
Что и требовалось доказать.
Возьмём функцию, отличную от линейной, например у = х2. Пусть сперва
начальное значение аргумента бу^ет х — 4 и пусть Ах = 2; тогда
Ду = (х + Ал:J — л:2 = б2 — 4s = 20.
Далее, в качестве начального значения аргумента возьмём лг = 5 и пусть
по-ирежнему Ах = 2; тогда
Ау = 72 — 52 = 24.
При равных приращениях аргумента мы получили разные прираще-
приращения функции. Таким образом, приращение функции у = х2 зависит не только
от приращения аргумента, но и от его начального значения.

18] § 4. простейшие функций 55
Вообще зависимость приращения функции от приращения аргумента
почти всегда довольно сложная; исследование её является важным вопросом
анализа, который мы будем обсуждать в следующих главах. Линейная функ-
функция в этом отношении составляет исключение: её приращение зависит только
от приращения аргумента и при этом прямо пропорционально ему. Это именно
обстоятельство придаёт линейной функции особую простоту.
Используем теперь соотношение Ду = аДл; для аналитического
исследования линейной функции. Будем предполагать, что А>0
тогда .знак Ау совпадёт со знаком а и, следовательно, при
также Ау]>0, т. е. функция возрастает, и при а<^0 также
т. е. функция убывает. Мы пришли к выводу, который раньше был
получен из геометрических соображений.
Линейной функцией описывается всякий равномерный процесс.
Определение. Равномерным называется процесс (с двумя
величинами х и у)> в котором двум любым равным приращениям
одной величины (х) соответствуют равные же приращения дру-
другой величины (у\
Можно показать, что при равномерном процессе имеет место
равенство Ау = а Длг, где а — постоянный коэффициент *). Отсюда и
следует, что у является линейной функцией х.
Например, движение — равномерное, если в любые равные про-
промежутки времени (t) проходятся равные пути (s); тогда ks = vAt,
где v — постоянная скорость движения. Отсюда в силу свойства
линейной функции имеем: s — vt-\-sQ9 где s0 — путь, пройденный
к моменту ? = 0. Это — так называемое уравнение равномер-
равномерного движения.
Равномерные процессы — самые простые и вместе с тем чрезвы-
чрезвычайно важные.
18B4). Квадратичная функция.
Определение. Квадратичной функцией называют много-
многочлен второй степени
где а, Ь, с — постоянные коэффициенты.
Квадратичная функция определена на всей числовой оси.
В простейшем случае, когда Ь = с = 0> функция имеет вид
у — ах\ её графиком служит парабола с вершиной в начале коор-
координат и осью, направленной по оси ординат. При этом ось параболы
совпадает с положительной полуосью Оу, когда б)>0, и с отрица-
отрицательной полуосью Оу, когда а<^0. В общем случае графиком функ-
функции у = ах1 -\-bx-\-c является, как известно из аналитической гео-
*) Строго говоря, для справедливости нашего утверждения нужно пред-
предположить ещё, что процесс протекает, как говорят, «непрерывно», т. е. что
этим свойством «непрерывности» обладает искомая функциональная зависи-
зависимость. Вопрос о непрерывности функций будет рассматриваться в гл. 11, § 3.

56 гл. i. функция [1в
метрии, парабола, ось которой параллельна оси Оу, вершина лежит
/ Ь Ь2 — Аас\ 1 п *
в точке I — к~, т ), а параметр равен у-. Ветви параболы
направлены вверх или вниз в зависимости от того, будет ли а^>0
или #<^0 (черт. 13).
Поведение квадратичной функции сложнее, чем поведение линей-
линейной функции. В то время как линейная функция монотонна на всей
оси Ох, квадратичная функция один раз меняет характер
своего роста; она или сначала убывает, а затем возрастает, или
наоборот. А именно, если а ]> 0, то функция
сначала, в интервале (— со, —~-), убы-
2а
Q>Ol ' b
вает, достигая при х = — к- своего н а и-
Ь2 — Аас
меньшего значения у = т ,
а затем, в интервале (— ^-, -|-оо), воз-
растает; наибольшего же значения
функция нигде не достигает: какое бы боль-
большое число ни задать, можно указать такую
точку х, для которой у будет ещё больше.
Наоборот, при а<^0 функция сначала, в
'а * интервале (—оо, —^-}, возрастает, дости-
Черт. 13. гая при х = — ^~ своего наибольшего
1 — Аас ( Ь
? Аас I Ь , \
значения у = — —^—, а затем, в интервале (—к~> Н~°°)>
убывает; в этом случае функция нигде не достигает наимень-
наименьшего значения.
Например, для квадратичной функции у = х* — Ьх-\-4 имеем:
а=1]>0; следовательно, эта .функция имеет наименьшее значение.
Для его нахождения не нужно даже строить график функции; при-
приведённые выше формулы показывают, что наименьшее значение по-
лучается при х = — ^- = 2,5 и равно j/ = = — 2,25.
Следует заметить, что наибольшее или наименьшее значение
квадратичной функции можно вычислять не по готовой формуле
/ Ь2 — Аас \
1у= j J, а подставляя в выражение функции значение
Задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функ-
функции возникают довольно часто в самых разнообразных вопросах.
Рассмотрим два примера.
1) Из всех прямоугольников с данным периметром Р найдём пря-
прямоугольник, имеющий наибольшую площадь.

18] § 4. простейшие функции 57
Обозначив одну из сторон прямоугольника через лг, найдём, что
другая сторона равна -к х. Следовательно, площадь прямоуголь-
прямоугольника 5 равна
(\
« х(Р х\ Е-х х*
т. е. является квадратичной функцией от х. Так как а — —
то функция имеет наибольшее значение; оно достигается при х =
' Ь Р
=__=-и равно
Р_ Р
2 ' А
Но прямоугольник, периметр которого равен Р, а одна из сторон
р
имеет длину -j-, есть квадрат. Таким образом, мы показали, что из
прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет
квадрат.
2) Найдём, через сколько секунд после выстрела поднимется на
наибольшую высоту над уровнем моря снаряд, выпущенный верти-
вертикально вверх из зенитного орудия, и какова будет эта наибольшая
высота, если пренебречь сопротивлением воздуха; при этом дано,
что скорость снаряда при вылете из дула орудия ^0 = 500 м/сек,
высота орудия над уровнем моря &0 = 200 м.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, движение снаряда можно
считать равнозамедленным, с ускорением — g. Тогда, как известно,
высота h снаряда над уровнем моря в момент времени t будет равна:
Таким образом, h есть квадратичная функция от t, причём здесь
а = — ^<^0. Наибольшее значение функции h (т. е. наибольшая
высота подъёма снаряда) будет при
Следовательно, через 51 сек. после выстрела снаряд достигает наи-
наибольшей высоты h — H, причём
Я= 200+ 500-51— ^.512==12 955 жя^13 км.
Вследствие наличия сопротивления воздуха практически снаряд до-
достигнет гораздо меньшей высоты.
Исследование многочленов третьей и высших степеней с помощью
тех элементарных средств, которые мы применили при исследований
многочленов первой и второй степеней, становится уже громоздким
и затруднительным. Средства анализа облегчат нам эту задачу.

58
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
[19
19 B6). Обратная пропорциональная зависимость и дробно-
линейная функция.
Определение. ОЛр,а_тfl-Q-й- проп_оДлиональной зави-
зависимость ю называется зависимость, ^определяемая формулой
л
где а — посдгряннажг"*
~ "Её характерной особенностью является то, что с изменением
одной из переменных другая изменяется в обратном отноше-
отношении; иными словами, если х± и уи х% и j/2 — две пары соответ-
соответственных значений х и у и
если Хъ = кх19 то тогда у^=^
= ^ . Действительно, мы имеем
а а
ух = — , уъ = —, но если лг2=
а
О Хл Vi
^_ Jr Это свойство выражают
х^*""~ словами: величина у обратно
пропорциональна величине х.
Ху^а Постоянный коэффициент а на-
а<0 ¦ зывается коэффициентом об-
обратной пропорциональности»
Формулу для обратной
пропорциональной зависимости
можно переписать в виде
формулы ху=ау в которую
аргумент и функция {х и у) входят совершенно симметрично. По-
Поэтому, если у обратно пропорционально х, то и х в свою очередь
обратно пропорционально у, притом с тем же коэффициентом обрат-
обратной пропорциональности а.
Как доказывается в аналитической геометрии, уравнение ху = а
есть уравнение равнобочной гиперболы; асимптотами её являются
сами оси координат, а оси её равны 2 j/21 a \. Таким образом,
графиком обратной пропорциональной зависимости у = — служит ука-
занная равнобочная гипербола; она расположена в первом и третьем
координатных углах, если а^>0, и во втором и четвёртом, — если
а<0 (черт. 14).
Функция j/ = -7 определена на всей оси Ох, кроме точки х = 0.
Из выражения функции видно, что когда \х\ очень мало, то \у\
очень велико, и, обратно, когда \х\ очень велико, то \у\ очень
мало.
I
Черт. 14.

§ 4. простейшие функции 59
Таким образом, если, например, а^>0, то при х отрицательном
и увеличивающемся, т. е. приближающемся к нулю слева, точка
графика будет, оставаясь в третьем координатном угле, опускаться
вниз, а при х положительном и уменьшающемся, т. е. приближаю-
приближающемся к нулю справа, точка графика будет, оставаясь в первом
координатном угле, подниматься вверх.
Обратная пропорциональная зависимость есть частный случай
зависимости, устанавливаемой дробно-линейной функцией.
Определение. Дробно-линейной функцией называется
функция
ах + b , ч
где а, Ь, ^^^
~^^ftpvTa = 0, d = (Г отсюда получается обратная пропорциональная
зависимость.
Дробно-линейная функция (*) определена на всей оси Ох за
исключением точки х = . В этой точке функция не определена,
так как при х = знаменатель обращается в нуль.
При с = 0 дробно-линейная функция обращается в линейную
функцию у = ~ х -\- -г. Поэтому мы будем считать, что с Ф 0.
Кроме того, будем предполагать, что be — ad ф 0, ибо иначе функ-
функция вырождалась бы в постоянную. В самом деле, пусть bc = ad\
а * ad *
обозначая отношение — через т, получаем: a = cw, b = —=dm
и, следовательно,
ах + Ь стх -\-dtn ex -\-d
У — -^Г+d— cx + d ~mtx~T~d —Ш>
если cx-\-d фО. Отсюда видно, что при be — ad = 0 дробно-ли-
дробно-линейная функция на всей оси Ох, кроме точки лг = —, где она не
определена, действительно совпадает с постоянной т.
Легко доказать с помощью параллельного переноса системы ко-
координат, что графиком дробно-линейной функции является равно-
равнобочная гипербола, асимптоты которой параллельны осям координат.
Именно, если параллельно перенести систему координат, взяв
новое начало в точке 04 , — ], то уравнение графика дробно-
линейной функции (*) в системе О'х'у' будет иметь вид
г ах .be — ad

60
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
A9
(заметим, что по условию be — ad^O и, следовательно, d Ф 0).
Это — уравнение равнобочной гиперболы, асимптотами которой
являются новые оси координат, т. е. прямые
х =—
J—7-
Итак, для того чтобы построить график дробно-линейной функции,
/ d а\
нужно через точку ( , —) провести прямые, параллельные осям
координат, и, приняв их за асимптоты, вычертить равнобочную ги-
гиперболу с осями, равными 2 j/2 \а\. В каких из углов, образован-
образованных прямыми, расположена гипер-
гипербола, зависит только от знака
, . , be — ad
коэффициента а = 5— , т. е.
от знака выражения be — ad: если
be — ad ^> 0, то гипербола рас-
расположена в первом и третьем
углах, а если be — ad<^0, то —
so втором и четвёртом.
Пусть, например,
х+\
I/
Далее, аг =
2
Черт. 15.
Здесь а = 1, 6 = 1, с = 1,
d — — 1} следовательно, асим-
асимптотами гиперболы являются пря-
d 1 а л
мые дг = = 1 иу= — =1.
= 2; следовательно, оси гиперболы равны
На черт. 15 показан график этой функции; он расположен в пер-
первом и третьем углах, образованных асимптотами, так как здесь
be — ad = 2 }> 0.
Ход изменения дробно-линейной функции легко усматривается
из графика. Именно:
Дробно-линейная функция (*) или только, возрастает или
только убывает в любом интервале оси Ох, не содержащем
d
точки х = ,
с
Тот или другой характер роста (возрастание или убывание) за-
зависит от знака выражения be — ad. Если оно положительно, то
функция убывает, если отрицательно, — функция возрастает.
Рассмотрим поведение функции у =х "* , график которой изо-
бражён на черт. 15. При значениях х% меньших единицы, эта функ-

§ 5. СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЙ 61
ция остаётся постоянно меньше единицы и убывает при приближении
х к единице; при переходе аргумента х от значений, меньших еди-
единицы, к значениям, большим единицы, функция делает бесконечный
скачок, переходя от как угодно больших по абсолютной величине
отрицательных значений к как угодно большим положительным зна-
значениям; при дальнейшем росте х функция продолжает убывать, оста-
оставаясь больше единицы и неограниченно приближаясь к ней, когда х
неограниченно возрастает.
§ 5. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
20 B7). Понятие обратной функции. Пусть у дана как функ-
функция х:
y=f(x).
В этой функциональной зависимости
в качестве независимой переменной; тогда
(А)
У"**
можно у рассматривать
х будет функцией от у:
(Б)
Заметим, что в одной и той же системе осей Оху и уравнение (А),
и уравнение (Б) выражают одну и ту же линию, но для первой
функции осью аргумента является ось Ох,
а для второй — ось Оу. Зависимость же
х от у, выражаемая функцией ср, будет,
вообще говоря, иной, чем зависимость у
от х, выражаемая функцией /.
Например, если у — хъ, то х = |/j/.
Графиком этих зависимостей будет так
называемая кубическая парабола
(черт. 16). Но тогда как первая функция
определяется по аргументу возведением
его в третью степень, вторая определяется
извлечением из аргумента кубичного
корня. Мы видим, что характер зависи-
зависимости функции от аргумента различный.
Функция <р называется обратной по
отношению к функции /, точно 'так же
и функция / называется обратной по
отношению к функции ср. Например, извлечение кубичного корня
определяет функцию, обратную функции, определяемой возведением
в третью степень (и обратно).
Пусть у как функция х задана уравнением, решённым отно-
относительно у. Обратная функция х как функция у определяется
разрешением (если оно возможно) указанного уравнения относи-
относительно х.
Черт. 16.

62
ГЛ. I. ФУНКЦИЙ
[20
Обозначая в формуле (Б) аргумент, как и в формуле (А), через х,
а функцию — через у, мы получим:
¦У = ?(¦*) (В)
(в примере: у = i/x). Обычно именно так записанную функцию (В)
называют обратной по отношению к заданной (А); и в той, и в дру-
другой формулах одна и та же буква (х) обо-
У\ м. л,* значает аргумент и одна и та же буква (у) —
функцию.
Областью определения обратной функции
служит совокупность значений данной функ-
функции, а совокупностью значений обратной функ-
функции — область определения данной функции.
Существует простой способ построения гра-
N х фика обратной функции на основании следую-
следующего его свойства:
График обратной функции у = у(х) сим-
симметричен с графиком прямой функции
y=f(x) относительно биссектрисы первого и третьего коорди-
координатных углов.
Действительно, пусть при х = а
Черт. 17.
Точка М(а, Ь) принадлежит графику прямой функции. Тогда
точка М с координатами (Ьу а) принадлежит графику обратной
функции, так как а = ср@). Имеем
(черт. 17) A ON' М= Д ONM, вслед-
ствие чего ,/ NfOM = /_ NOM и
ОМ = ОМ. Отсюда следует, во-пер-
во-первых, что биссектриса OR координат-
координатного угла будет и биссектрисой угла
MOM и, во-вторых, что А МОМ —
равнобедренный треугольник. Поэтому
биссектриса OR действительно являет-
является осью симметрии треугольника. МОМ.
Итак, каждой точке на графике пря-
прямой функции соответствует точка на
графике обратной, расположенная сим-
симметрично с первой относительно бис-
Черт. 18.
сектрисы первого и третьего координатных углов. Так как верно
и обратное, то наше предложение полностью доказано.
Имея график некоторой функции, можно, следовательно, полу-
получить график обратной ей функции с помощью простого перегибания
чертежа по биссектрисе первого и третьего координатных углов.

20] § 5. СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЙ 63
На черт. 18 даны графики линейной функции (/); у = ах-\-Ь
и обратной ей (II): у = — х (тоже линейной); на черт. 19 —
графики функции (/): у = хг и обратной ей (//): у = ух.
Важно заметить, что из однозначности функции отнюдь не сле-
следует однозначность функции, ей обратной. В этом легко убедиться
на простых примерах. На черт. 20, а показан график однозначной
функции; обратная ей функ-
функция неоднозначна, ибо, на-
пример, значению аргумента
у=:ОА будут соответство-
соответствовать по меньшей мере три
значения функции, изобра-
изображённых отрезками ABt AC
и AD. Функция у = х* одно-
однозначна; обратная ей функция
у = ± Vх двузначна.
Укажем условие, при ко-
котором функция, обратная к
однозначной функции, также
Э
будет однозначной. Этим
условием является моно-
монотонность.
Теорема. Если одно-
однозначная в некотором ин- Черт. 19.
тервале функция моно-
монотонна (т. е. или только возрастает, или только убывает), то
обратная ей функция однозначна и притом также монотонна.
8
Доказательство. В самом деле, если АВ — график прямой
функции, однозначной и монотонной (например, возрастающей) в ин-
интервале (хи дг2) (черт. 20, б)у то какому-нибудь значению аргумента
обратной функции у = Ь не может соответствовать больше одного

64 гл. i. функция |2I
значения функции jt = a, ибо в противном случае прямая функция
при этих значениях х принимала бы одно и то же значение у = Ь
и, значит, она не была бы, как сказано в условии, монотонновй.
Монотонность обратной функции очевидна.
Что и требовалось доказать.
Заметим, что если f(x)—- однозначная и монотонная функция и
у{х) — обратная к ней функция, то
?[/(*)] = ¦* и f[9(x)]=x.
Это означает, что последовательное применение к любой вели-
величине символов двух взаимно обратных и монотонных функций оста-
оставляет эту величину неизменной (такие символы как бы уничтожают
друг друга). __
Например, Ухъ = х и (frxf — x.
21 B8). Степенная функция. Степенной функцией нази-
ниже, область 'определённости выражения хп
различна для различных п. Но, каково бы ни было л, функция
у = хп во всяком случае определена при всех положительных зна-
значениях х, т. е. в открытом бесконечном интервале ^^
Что же касается отрицательных значений х и значения х = О, то в за-
зависимости от показателя п выражение хп для этих значений х может быть
определено, а может быть и не определено. Так, если п — положительное
рациональное число, то его можно представить в виде дроби — , где р и
q — целые положительные числа, не имеющие общих делителей. Если тогда
q —нечётное, то функция у = хп определена на всей оси Ох; при этом,
"""' ""ч" f 4
если р — чётное (например, для п = 2, ~
3;
график симметричен относительно оси Оу, если же р — нечётное ( например,
для /г = 3, -5-1, то функция нечётная: её график симметричен относительно
начала координат. В случае же, когда^^^зшхще (а значит, р — нечётное),
функция у=±хп уже не определена для отрицательных х. Она является
двузначной, причём её график cmmejup^i^SM^^TMoadj^iibHo^ оси Ох\ наконец,
при п иррациональном и положительном функция определена только для
х ^ 0 и однозначна. Аналогичные обстоятельства имеют место и при п
отрицательном за исключением лишь того, что в этих случаях степенная
функция у =z xtl не определена в точке л: —0. Таким образом, мы видим, что,
каков бы ни был показатель степени /г, для того чтобы получить весь График
степенной функции у = х'\ достаточно иметь его чааь, лежащую в первом
координатном угле,

§ 5. СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 65
Обратной функцией для степенной функции ^^=
б
р фу ^^^
также степенная функция, притом с показателем, обратным по вели-
чине показателю прямой функции: vjt^j^^^
Поведение степенных функций у = хп существенно различно при
п^>0 и при я<^0.
I. я^>0. На черт. 21 представлены в первом координатном угле
графики функций у — хп для различных #^>0. Подвижные точки
на всех этих линиях поднимаются вверх: функции у = хп при я^>0
возрастают в интервале
(О, со). Наши линии про-
проходят через точки @, 0)
и A,1) и разделяются
Ч\
2
f-
0
у-Хп; п>0
Ж
1043 2 %
щ
f 2
7
X
\
Черт. 21.
Черт. 22.
прямой у — х на два класса: обращенные своей выпуклостью^вниз
(д^>1) и обращенные^своей вйпукло^тью вверх:"(^^-fjj"*^*^^г^*^^
*"'^Л|ш«*^=й^^пр^ ^> 0 называются -п'я^'^ПЙГЭТГТШГ соответ-
соответствующих порядков. Так, у = х* — парабола второго порядка,
у = хъ — парабола третьего порядка, или кубическая парабола,
y = xY2 —парабола порядка ]/2. Часто встречающаяся линия
?
yz?=x2 (или у* — х*) называется полукубической парабо-
параболой (черт. 22).
Заметим, что всякий многочлен является линейной комбинацией
степенных функций с целыми положительными показателями.
И. я<]0. Графики функции у — хп при п<^0 являются линиями
существенно другого типа, чем указанные параболы. Пусть /г = — т,
где т^>0. На черт. 23 представлены в первом координатном угле
графики функций у = — для различных т^>0. Подвижные точки
на всех этих линиях опускаются вниз: функция у^=хп при ^
убывает в интервале @, со). Когда х неограниченно возрастает,

66
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
[22
у убывает, неограниченно приближаясь к нулю, и, наоборот, когда
у неограниченно возрастает, х убывает, неограниченно приближаясь
к нулю. Отсюда мы заключаем, что при любом т^>0 положитель-
положительные полуоси Ох и Оу
являются асимптотами ли-
линии у = ~п (в первом
координатном угле). На-
Наши линии проходят че-
через точку A, 1) и разде-
разделяются равнобочной ги-
гиперболой у = — на два
класса: т<^\, яг^>1.
J\mmy — -lhi mj>Qt
называются гипербо-
гиперболами соответствующих
порядков.
В естествознании мно-
многие закономерности выра-
выражаются посредством сте-
степенных функций. Так, на-
например, из физики известно,
что при адиабатическом
(т. е. без теплового обмена
с внешней средой) изменении объёма газа давление газа является степенной
функцией объёма (закон Пуассона): p~cv~4y где с — постоянная, не зави-
зависящая от газа, 7 — постоянная, зависящая от числа атомов в молекуле газа
G>1). При изотермическом (т. е. происходящем при постоянной темпера-
температуре) изменении объёма газа 7 = 1> и мы получаем закон Бойля-Ма-
рио т т а: р = —.
Линии у = хп в физике и технике иногда называют политроп-
ным и.
22B9). Показательная и гиперболические функции.
I. Показательная функция. Показательной функ-
функцией называется
2'
0
УзУг
\\
\ \
\
\
\
*\
¦^
2 3 1
тг
0
У хт>0
1
/
2
3
-Уз
X
Черт. 23.
При а <^ 0 область определённости выражения ах состоит только
из рациональных чисел х = -2Г, у которых знаменатель q — нечёт-
нечётное число. При положительном же^основании показательная функ-
функция определена на всей "осй'^ТХг! ЛТоэтому показательную функ-
ttmo^ расгсш^рй^ШС^"ТолыГСГ^прй усЛовии, что её"^Ш!ШТйГ7Г6

22] § о. СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 67
Заметим, _что ах^>0 при всяком х и^что а° = 1. Поэтому
графики Ьоказательных^фрЩй^ггр^воех"" (положительных) осно-
основаниях а расположены над осью Ох и проходят через точку @, 1).
Поведение показательной функции существенно зависит от того,
будет ли й^>1 или а<^1 (при а=1 показательная функция вы-
вырождается в постоянную: у= 1).
Если #^>1, то с увеличением показателя х увеличивается и у,
причём неограниченное возрастание аргумента вызывает неограни-
неограниченное же возрастание и функции. Если а<^1, то, наоборот, при
неограниченном возрастании аргумента функция убывает и неогра-
неограниченно приближается к нулю.
График показательной функции с основанием а симметричен
относительно оси Оу с графиком показательной функции с осно-
1 /1 \х
ванием —. В самом деле, функцию^ = ( —) можно записать так:
у = а~х, откуда видно, что она
для положительных х прини-
принимает те же значения, что и
функция у = ах для равных
им по абсолютной величине
отрицательных х, и наоборот.
А это и означает, что графики
/1 Vv
функций у = ах и j/ = f —1
симметричны относительно оси
ординат.
Так как—
, если 0<а<1,
и, наоборот, 0< —<Ч, если
а^>1, то мы видим, что каж-
каждому графику показательной
функции с основанием, меньшим единицы, соответствует график
показательной функции с основанием, большим единицы, симметрич-
симметричный с ним относительно оси ординат.
На черт. 24 показаны графики показательной функции при а = 2,
6> ш' 2'Т'ТО-
Отрицательная полуось Ох служит асимптотой для линий у = ах
при а^>1, а положительная полуось Ох — асимптотой для линий
у = ах при1 а <[ 1.
Иногда показательную функцию называют экспоненциаль-
экспоненциальной*).
Показательная функция при а > 1 представляет собой функцию, «б ы-
с т р о» растущую при больших значениях независимой переменной, а её
*) От слова «exponent», на латинско!М языке означающего «показатель».

68 гл. i. функций [2Й
график — линию, по которой подвижная точка «круто» поднимается вверх.
Именно, даже небольшие изменения х (при больших значениях х) вызывают
сравнительно большие изменения у. При этом, какую бы показательную
функцию у = ах (а > 1) мы ни взяли, она в конце концов в своём росте
обгоняет любую степенную функцию у = хп (п > 0) даже при очень боль-
большом п. Говоря геометрическим языком, всякая линия у = ах (а > \)> начи-
начиная с некоторой точки, имеет ординаты, большие чем соответствующие
ординаты параболы у = хп (п > 0). Это будет доказано в гл. IV.
Показательные функции часто встречаются в самых разнообразных
вопросах. Приведём один пример.
Допустим, что сумма в А рублей лежит в банке, принося р сложных
процентов в год. Это значит, что по прошествии года к первоначальной
сумме прибавляются наросшие на не^ проценты и в следующий год проценты
начисляются уже не на первоначальную, а на наросшую сумму. Легко под-
подсчитать, что через х лет капитал будет равен
.У = '
рублей.
В этом примере у есть показательная функция целочисленного аргумента
х (умноженная на постоянный коэффициент А). В дальнейшем (гл. Ш) мы
рассмотрим задачу на «непрерывный» сложный рост величины, приводящую
к показательной функции, аргумент которой изменяется непрерывно.
II. Гиперболические*) функции. Рассмотрим такую
линейную комбинацию показательных функций:
График функции у получается путём сложения соответствующих
ординат графиков слагаемых функций -^а* и ~о~ а~х (черт. 25). Мы
получаем линию, проходящую через точку @, 1) и симметричную
относительно оси Оу. В первом координатном угле эта линия неогра-
неограниченно близка к линии у = ~ах, а во втором — к линии у==-1уа~х.
Поведение нашей функции видно по графику. Отметим только, что
она чётная, как это следует из выражения функции и что отражено
в симметричности графика.
Функция
1 у. 1 _ у. ах — а~х - i
У=2~а 2а 2 ' а>!'
является уже нечётной. Её график (черт. 26) проходит через на-
начало координат и симметричен относительно него. В первом коор-
координатном угле линия неограниченно близка к линии у = -^- а*",
а в третьем — к линии у = — -у а
-X
*) В п° 55 будет разъяснено это название.

ИЗ] § 5. СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 69
Обозначим первую из рассмотренных функций через hx (х):
а вторую — через h^(x):
а*
Между ними можно установить простые алгебраические соотношения.
Так, легко проверить, что
h\ (х) — hi (х) = 1, h\ (х) + hi (x) = Й! B*)
при любом х. Эти соотношения напоминают известные соотношения
между тригонометрическими функциями cos x и sin x. Вообще ht (x)
Н4--
Черт. 25.
Черт. 26.
имеет ряд свойств, сходных с cos x, а А2 (х) — с sin x. Эти функции
при некотором определённом основании а = е, приближённое зна-
значение которого равно 2,72 (см. п° 41), называются: первая — ht(x) —
гиперболическим косинусом и обозначается cos hypx, или
ch х, или cosh х, вторая — /г2 (л:) — гиперболическим синусом
и обозначается sin hypjc, или shjc, или sinhx. Рассматривают и другие
гиперболические функции, определяемые подобно соответствующим
тригонометрическим, например, гиперболический тангенс,
tghypjc, ihxy tghx:
,. sh x
th x =
—г—
ch x
23C0). Логарифмическая
еской
называется,

70
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
123
Естественно, что основание а, как и в случае показательной
функции, берётся положительным.
Принимая во внимание, что логарифмическая и показательная
функции взаимно обратны и монотонны, имеем:
\ogaax==x и al°2ax = x.
Заметим, что в силу последнего соотношения всякую степенную
функцию у = хп при л;^>0 с любым показателем п можно пред-
представить в виде сложной функции, составленной из показательной и
логарифмической функций:
График логарифмической функции (логарифмику) легко по-
построить по общему правилу построения графика обратной функции,
отправляясь от графика соответствующей показательной функции
у = ах. Перегнув черт. 24 по бис-
биссектрисе первого и третьего коор-
координатных углов, получим графики
логарифмических функций при тех
же основаниях а (черт. 27).
Опишем, пользуясь этими гра-
графиками, поведение логарифмической
функции. Прежде всего мы видим,
что логарифмическая функция опре-
определена на всей положительной полу-
^ ;/ оси Ох и не определена для отри-
"""  дательных и нулевого значений не-
1/ зависимой переменной. Все логариф-
/з
72
Черт. 27.
В первом случае
мики проходят через точку A, 0),
т. е. логарифм единицы всегда ра-
равен нулю.
Поведение логарифмической
функции существенно зависит от
того, будет ли а]>1 или а<^1.
логарифм во всём интервале @, оо) —.воз-
—.возрастающая функциягпрйтом от^ицател^^^_штервале @, Ц_& по-
положительная в интервале A, оо). Во втором случае (а<^1) логарифм
во всём интервале @, со) — убывающая функция, притом положи-
положительная в интервале @, 1) и отрицательная в интервале A, оо).
Если а }> 1, то отрицательная полуось Оу является асимптотой лога-
рифмики, а если а<^1, то положительная полуось Оу является
асимптотой логарифмики.
График логарифмической функции с основанием а симметричен
относительно оси Ох с графиком логарифмической функции с осно-
1
ванием —.

24] § 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЯ. ФУНКЦИИ 71
Возьмём логарифмические функции при двух разных основа-
основаниях ах и а2, т. е. y\=logaix и y^ = loga2x. Выражая х из первого
равенства через ух и подставляя во второе, найдём: y2 = \oga2a^ =
=_У1 loga2 ai* Мы видим, что логарифмы чисел при разных осно-
основаниях пропорциональны друг другу. Для того чтобы перейти от
системы логарифмов при одном основании (а{) к системе при другом
основании (а2), достаточно логарифмы чисел в первой системе
умножить на постоянное число (loga2ai)- Следовательно, одна
логарифмика переходит в другую посредством увеличения или
уменьшения всех её ординат в одно и то же число раз.
При а > 1 логарифм представляет собой функцию, «медленно» ра-
растущую при больших значениях независимой переменной, а логарифмика —
линию, по которой подвижная точка «полого» поднимается вверх. Изме-
Изменения х (при больших его значениях) вызывают сравнительно малые изме-
изменения функции. Здесь в противоположность показательной функции любая
степенная функция у = хп(п > 0) в своём росте в конце концов «обгоняет»
всякую логарифмическую функцию у = loga x (а > 1); иными словами, ординаты
линии у = хп, каким бы малым ни было я>0, начиная с некоторой точки,
делаются больше, чем соответствующие ординаты линии у = loga x (а > 1).
Это будет также доказано в гл. IV.
§ 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
24C1). Тригонометрические функции. Тригонометриче-
Тригонометрическими функциями называются функции
у = sin х, у = cos х, y = tg ху
а также функции
y = ctgx, j/ = secxr, у = cosec x.
В математическом анализе в качестве независимой переменной х
тригонометрических функций всегда принимается радианная мера
дуги или угла. Так, например, значение функции у = sin x при
x = xQ равно синусу угла в х0 радианов (или приближённо в
х0 • 57°17'44",8). Иногда удобно представлять себе значение аргу-
аргумента в частях тс:
Между шестью тригонометрическими функциями: _y = sin.*r,
у = cos хУ у = tg xt у = cosec ху у = sec ху у = ctg x, существует
пять независимых друг от друга простых алгебраических соотноше-
соотношений, выводимых на основании самих определений этих функций.
Тригонометрические функции периодичны. Именно, функции
sin х и cos л: (а потому и cosec x и sec x) имеют период 2тс, а функ-
функция tgx (а потому и ctg.*:) — период ic.
Перейдём к известным графическим изображениям тригонометри-
тригонометрических функций. Начнём с функции у = sin x. По её графику видно,
что в интервале 0, у эта функция возрастает от нуля до единицы,

72 гл. I. функция 124
Г тс з I -
а затем в интервале у, у тс убывает до —1, проходя через
I з I
нуль в точке х = п9 и, наконец, в интервале у тс, 2тс снова воз-
возрастает до нуля. Так как функция j; = sin jc имеет период 2тс, то
весь её график (синусоида) получается передвижением вправо
Черт. 28.
и влево интервала [0, 2-л] вместе с соответствующей ему частью
графика на 2те, 4те, бтс, ... (черт. U8). Функция у = sin x — нечётная;
это хорошо видно на графике: он симметричен относительно начала
координат.
График функции у = cos x не представляет по существу ничего
нового, так как
у = cos х = sin f x -f-
Это равенство показывает, что если преобразовать систему коор-
координат по формулам jcf = лг-|-у, y=j/, то в новой системе коор-
динат О'х'у' уравнение нашей линии будет иметь вид у' = sin jer.
Таким образом, графиком функции у= cos x является рассмотренная
выше синусоида, сдвинутая влево по оси Ох на у (черт. 29).
В интервале [0, icj функция j/=cosjc убывает от I до —1,
проходя через 0 в точке х = ~, и затем в интервале [тс, 2тг] воз-
з
растает от —1 до 1, проходя через 0 в точке х = утс. Как влево
от х — 0, так и вправо от х=2тс на протяжении каждою интервала
длиной 2тс, начинающегося в точке 2&тс, где k — любое целое число,
функция у = cos х принимает те же значения и в .той же последо-

25) § 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЯ. ФУНКЦИЙ 73
вательности, как и в основном интервале [0, 2тс]. Функция у = cos x
чётная, её график симметричен относительно оси ординат.
Функция y = tgx определена на всём интервале [0, тс], за исклю-
исключением точки х — ~- Когда х неограниченно приближается к jc = -^-
слева (возрастая), у, будучи положительным, неограниченно возра-
возрастает, а когда х неограниченно
приближается к х = у справа
(убывая), у неограниченно воз-
возрастает по абсолютной вели-
величине, оставаясь отрицательным.
Так как функция j; = tgx
имеет период тс, то аналогич-
ная картина наблюдается в
окрестности каждой точки х =
= Bk-\~l)~f где k — любое
целое число. Прямые дг =
= B&-|-1)~ являются асимп-
асимптотами графика функции у =
= tg х (тангенсоиды). На
черт. 30 в интервале [0, тс|
тангенсоида изображена жир-
жирной сплошной линией. На всей оси
получается из графика в интервале
Черт. 30.
Ох график функции y = tgx
[0, тс] простым повторением на
основании свойства периодичности.
В каждом интервале определённости функция y = tgx есть
функция возрастающая. Так как y — tgx— функция нечётная, то
график симметричен относительно начала координат.
Рекомендуем читателю вычертить графики трёх остальных три-
тригонометрических функций (cosecr, seer, ctgx) и затем описать их
особенности.
25 C2). Простые и сложные гармонические колебания. Триго-
Тригонометрические функции имеют важные применения в математике,
в естествознании и в технике. Они встречаются почти во всех
вопросах, где приходится иметь дело с периодическими явлениями,
т. е. явлениями, повторяющимися в одной и той же последователь-
последовательности и в одном и том же виде через определённые интервалы
аргумента (чаще всего — времени).
Простейшие из таких явлений — гармонические колеба-
колебания, в которых некоторая величина (например, расстояние колеблю-
колеблющейся точки от положения равновесия) зависит от времени t по
закону

74
ГЛ. Т. ФУНКЦИЯ
B5
Эту функцию называют синусоидальной. Постоянное чи-
число Л*) называется амплитудой колебания. Оно представ-
представляет наибольшее значение, которого может достигнуть у (размах
колебания). Аргумент синуса «rf-f"To называется фазой коле-
колебания, а число <Ро> равное значению фазы при t — О, — началь-
начальной фазой. Наконец, ^ (а иногда и само со) называется часто-
частотой колебания.
Происхождение последнего термина делается ясным из связи
между а) и периодом Т нашей функции (периодом колеба-
н и я). Прежде всего функция у = A sin (со/ -{- ср0) — периодическая;
Черт. 31.
Черт. 32.
её период Т=~у так как для увеличения фазы на 2тс нужно
к независимой переменной t прибавить —. Поэтому ^- = ^-, и, зна-
значит, число ^- показывает, сколько периодов укладывается в единице
времени, т. е. сколько раз данное периодическое явление повто-
повторяется в течение единицы времени; это число определяет, следо-
следовательно, именно частоту явления. Число со показывает, сколько
раз явление повторится за 2тс единиц времени.
Для того чтобы построить график синусоидальной функции
ЯУ=Д8Ш(^ + СР()),
достаточно построить синусоиду в новой (вспомогательной) системе
координат, получающейся из данной системы преобразованием мас-
масштабов по осям и параллельныхМ переносом системы вдоль оси Ох
(пс 16).
*) Мы всегда можем считать его положительным, так как если оно
отрицательно, то функцию можно записать в виде
у = —- A sin

25] § 6. тригонометрические и обратные тригонометрич. функции 75
На черт. 31 показан график функции у = 3 sin \2t -I» -^-). Bcno-
могательную систему координат Orf'yf мы в этом примере получили,
уменьшив масштаб по оси Ot в два раза, увеличив масштаб по
оси Оу в три раза и сдвинув влево систему координат на -^ единиц
нового масштаба по оси Ot.
Колебания, описываемые уравнением у = A sin (W -|- ср0), назы-
называются простыми гармоническими колебаниями, а их
графики — простыми гармониками.
В качестве примера простого гармонического колебания рассмотрим
движение проекции точки, равномерно перемещающейся вдоль окружности
радиуса Л, на горизонтальное направление (черт. 32). Допустим, что началь-
начальное положение точки видно из центра под углом а (в радианах) к горизонту
и что точка, двигаясь равномерно вдоль окружности (против движения часо-
часовой стрелки), обегает её п раз в секунду (п — не обязательно целое число).
На черт. 32 Qo—начальное положение точки, Q — положение её через t
секунд после начала движения, Р—проекция точки Q на горизонтальное
направление.
Как будет двигаться точка Р при заданном круговом движении точки Q?
Пусть s — расстояние точки Р от центра круга О, взятое со знаком +
или — в зависимости от того, находится ли Р справа или слева от О. Тогда
s = OP = OQ cos Z QOP.
Но
? QOP = a + 2nnty OQ = Л,
значит,
S = A cos Bnnt + a) = A sin f 2nnt -f a -f ~
или
s = A sin Bnnt + <p0), где <p0 = <* + -у •
Мы видим, что точка Р совершает гармонические колебания вдоль
отрезка СС. Амплитуда этого колебания равна Л, период Т = —, частота
равна л, а начальная фаза равна a-f -^-% Проекция точки Q на какой-нибудь
другой диаметр будет совершать гармоническое колебание с той же ампли-.
тудой и с тем же периодом, но с другой начальной фазой.
Часто встречаются суммы простых гармонических колебаний —
функции вида
8=АХ sin (<V + <Pi) + М sin Ы -f <p,) + ... + Ая sin Ы + <tn)>
где А1У Л2, ..., Ап — постоянные; эти функции являются линейными
комбинациями синусоидальных функций.
Так, пусть на точку, совершающую гармонические колебания по
закону 5= Ах sin ((o^-j-cpi), действует ещё сила, сама вынуждающая не-
неподвижную точку совершать колебания по закону s = A% sin (<оа* -\- ср9).

76
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
[25
Для того чтобы найти зависимость между результирующим откло-
отклонением 5 нашей точки и временем t, как говорят, найти резуль-
результирующее колебание, нужно, очевидно, сложить «наклады-
«накладывающиеся» колебания.
В общем случае функция
5= Aj sin (o)^ -f <^i) -f- A% sin (<*V + (b) (A)
не будет представлять простого гармонического колебания, т. е. не
будет функцией вида A sin (u)t -f- ср). Однако она будет во всяком
случае периодической функцией, если отношение периодов (или
частот) рационально. Именно, пусть
где р и q — целые числа, не имеющие общих множителей. Тогда
число T==T^q = Т2р = ——, • где ш = Wj/; = uJy, будет периодом
для всей функции.
Если же частоты несоизмеримы, т. е. отношение периодов (или
частот) иррационально, то функция (А) не будет и периодической.
Черт. 33.
Колебания, получающиеся в результате сложения нескольких
простых гармонических колебаний, называются сложными гар-
гармоническими колебаниями, а их графики — сложными
гармониками.
На черт. 33 дан график функции
у = 2 sin 2x -f sin hx -f~ -^)
(пунктиром проведены графики слагаемых функций). Это — функция
периодическая с периодом 2тг. График её является сложной гармо-
гармоникой, получившейся в результате «наложения» двух простых гар-
гармонических колебаний:
y — 2sin2x и у—ъх
Если частоты (а значит, и периоды) слагаемых функций одинаковы:
Oj = о>2 = со, то сумма будет снова синусоидальной функцией, и

26] § 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРЙЧ. ФУНКЦИЙ 77
в этом случае нет нужды прибегать к сложению графиков. Докажем
это. Имеем:
у = At sin (at -|- <p,) -f- Л2 sin | ?
= (^! cos <р! -f- А% cos ср2) . sin u)? -|- (^i s*n ?i ~\r ^2 s*n ?2) * cos <o?
= Л| sin u)t -|~ Л2 cos
где Л{ и ^2 обозначают постоянные коэффициенты при sin (at и
cos mt. Умножая и деля правую часть на А = j/Л^2-^ Л2'2, получим:
М' 4'
= Д / -J. Sin 0)^ -|- ^Х
М 4
= Д / -J. Sin 0)^ -|- ^Х C0S
А' Л*
Так как 0 ^ -~ ^ 1, то можно положить —~ = cos cp, откуда
Тогда получаем:
у = A (cos cp sin о)^ 4" sin 9 cos ^О = ^ s
что мы и хотели доказать.
Таким образом, «наложение» двух простых гармонических коле-
колебаний с равными частотами даёт в результате снова простое
гармоническое колебание.
26 C3). Обратные тригонометрические функции. Функции
j/= Arcsin л:, j/= Arccos лг, у= kxoigx и т. д.,
обратные тригонометрическим функциям sin x, cos x, tgx и т. д.,
называются обратными тригонометрическими или
обратными круговыми функциями.
Значения этих функций выражают радианные меры соот-
соответствующих дуг.
Вследствие периодичности тригонометрической функции суще-
существует бесчисленное множество дуг, для которых она имеет одно
и то же значение. Из этого следует, что соответствующая обратная
тригонометрическая функция есть функция бесконечнозначная. Мы
действительно видим, что если прямая, параллельная оси Оху пере-
пересекает график какой-нибудь тригонометрической функции, то она
пересекает его в бесчисленном множестве точек, и, значит, данному
значению функции соответствует бесчисленное множество значений
аргумента.
График обратной тригонометрической функции можно получить
по общему правилу, построив линию, симметричную относительно
биссектрисы первого и третьего координатных углов с графиком
соответствующей тригонометрической функции.

78
ГЛ. Т. ФУНКЦИЯ
[26
Таким образом, графиком функции _у = Arcsin л: служит синусо-
синусоида (черт. 34). Эта функция определена лишь в интервале — 1 ^х^ 1
(не существует дуги, синус которой был бы по абсолютной величине
больше чем 1). В этом интервале функция является бесконечно-
значиой: каждая прямая, параллельная оси Оу и проходящая в
интервале [— 1,1], встречает линию _у = Arcsin л: в бесконечном мно-
множестве точек. Выделим однозначную ветвь этой многозначной функ-
функции, выбрав такую наибольшую (и «непрерывную») часть графика
этой функции, которая с любой прямой, параллельной оси Оу, встре-
встречается не больше чем в одной точке. Это можно сделать по-разному.
Обычно выделяют часть, соединяющую точки (—1, —~) и A, 4г
(на чертеже она проведена жирной линией). Следовательно, из всех
возможных значений Arcsin х, соответ-
соответствующих данному значению х, выде-
выделяют то, которое по абсолютной вели-
величине не больше чем ^-: его обозна-
обозначают arcsin х и называют главным
значением Arcsin x (при данном
значении х)\ таким образом,
тг^ arcsin
т.
2"'
Черт. 34.
Черт. 35.
делена лишь в интервале —
yz=z arcsin x является уже однознач-
однозначной и возрастающей функцией, опреде-
определённой в интервале [—1, 1].
График функции у = Arccos x
получим, если график функции у =
= Arcsin х сдвинем вниз на ~ (черт. 35).
Функция у = Arccos х также опре-
опреи бесконечнозначна. Из всех
значений _у= Arccos x, соответствующих данному х, выделяют то,
которое заключено между 0 и it, его называют главным значе-
значением Arccos х и обозначают arccos x:
О ^ arccos х ^ тт.
Функция у= arccos x является уже однозначной, положительной и
убывающей функцией, определённой в интервале [—1, 1]. Графиком
её служит часть графика _у = Arccos xy проведённая на черт. 35
жирной линией.
Функция y — Arctgx определена на всей оси и бесконечнозначна.
Её график состоит из бесчисленного множества «параллельных»
ветвей, заключённых в полосах
^ -к тс 3

261 § б. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЯ. ФУНКЦИИ 79
(черт. 36). Каждая прямая j/ = B?-f~0y (где k — любое целое
число) является асимптотой соответствующей ветви функции
y^=z Arctg x. Из всех значений этой функции, соответствующих
данному х, выделяют то, кото-
которое заключено между —| и
-^-; его называют главным
значением и обозначают
arctg x:
Функцияу = arctg x являет-
является однозначной, возрастающей
функцией, определённой для
всех значений х, —oo<^je<^co.
Её график на черт. 36 выде-
выделен жирной линией.
Рекомендуем читателю по-
построить графики остальных
трёх обратных тригонометри-
тригонометрических функций и описать Черт. 36.
свойства этих функций.
Всюду в дальнейшем, если не будет оговорено противоположное,
под обратными тригонометрическими функциями мы будем понимать
их однозначные ветви, образованные главными значениями.

ГЛАВА II
ПРЕДЕЛ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
27 C4). Предел функции целочисленного аргумента. Рассмотрим
функцию целочисленного аргумента un—f(n), или последователь-
последовательность иг=/A% и2=/B), ..., un—f(n), ... Может случиться, что
при неограниченном возрастании аргумента п значения ип неогра-
неограниченно приближаются к некоторому постоянному числу Л,
т. е., начиная с достаточно большого пу разность между Л и ип (по
абсолютной величине) становится и остаётся меньше заранее данного
малого числа. В этом случае говорят, что Л есть предел функции
«„=/(*)•
Определение. Число А называется пределом функции
»^=/(л) или последовательности ии щу ... , uat ... , если для
каждого наперёд заданного произвольно малого лщложитедьного
числа е можно указать такое значение п = М что при всех
~n^>N будет
И-/(/*)|<е. (*)
Если Л есть предел /(#)> то говорят ещё, что функция /(л), или
последовательность ил, стремится к Л при п> стремящемся
к бесконечности. Записывают:
Шп/(я) = Л, или f(n) -> Л.
П-+ОО П-+0О
Говорят: лимит эф от п при п, стремящемся к бесконечности,
равен Л.
Символ lim составляется из первых трёх букв латинского слова
limes (французского limite), означающего «предел», а запись п->оо
указывает на тот факт, что п неограниченно возрастает.
Пусть функция f(n) при #->оо имеет предел, равный Л, тогда
её значения можно рассматривать как приближённые значе-
значения числа Л с погрешностью (абсолютной) е (см. п° 8),
которая может быть как угодно малой. Для того чтобы найти такое
приближённое значение, нужно лишь взять достаточно большое п.

27] § 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 81
Возьмём в качестве примера функцию ил=/(я) = ^-у или по-
последовательность
1 2 3
Щ и w
_
ип —
п i |» • • •
Эта последовательность стремится к единице. Действительно, так
как
1
1
то для того, чтобы
1 —-
п
п
было меньше е, где е— любое на-
п + \
перёд заданное положительное число, нужно только выполнение
неравенства
которое, как легко видеть, справедливо при всех п^> 1; итак,
для всех пу больших числа 1, требуемое по определению пре-
предела неравенство (*) имеет место и, значит, lim .= 1. Мы ви-
/г-»соп i l
дим здесь, что если уменьшить е, то номер члена последовательности,
начиная с которого все её члены отличаются от единицы меньше
чем на е, увеличивается.
Так как в неравенство (*) входит лишь абсолютная величина
разности между постоянной Л и переменной ип> то ип может быть
и больше А и меньше Л, т. е. функция может прибли-
приближаться к своему пределу и увеличиваясь, и уменьшаясь,
равно как и становясь то больше, то меньше его. Обра-
Обратимся к геометрической интерпретации; будем изображать
значения функции ип точками числовой оси (черт. 37). Тогда
совокупности всех значений ип будет соответствовать сово-
совокупность точек числовой оси, причём известно, в каком по-
порядке точки этой совокупности пробегаются переменной ип. Черт. 37.
Отметим точку, изображающую число А — предел ип при
п -> со. В силу определения предела расстояние переменной точки ип,
начиная с некоторого её положения от точки Л, должно стать
меньше, чем заранее данное положительное число е; другими словами,
точка иПУ начиная с некоторого её положения, должна перемещаться
лишь внутри интервала длины 2s, в центре которого находится
точка Л, т. е. внутри ^-окрестности точки Л. Таким образом, говоря
геометрическим языком: точка А является пределом переменной
точки ип, если с некоторого » щрикп цп up выходит аз заданной
как угодно малой г-окрестностп точки А.
ЗаДЙДИМ ?==?!, ?; ^>\ если~мл-> Л, то, начиная с номера n = Nu
все точки ип (т. е. точка и^х и все следующие за ней: й^+ь ^+2» • • •)
4 А. Ф. Бермаат

ГЛ. И. ПРЕДЕЛ
B8
О
2
находятся внутри ?Гокрестности точки Д. Уменьшим теперь е, задав
е = е2, где 0<е4<е,; тогда некоторое число первых точек u^v и#х + ь.. -
окажется, быть может, вне новой уменьшенной окрестности точки Л,
но, начиная с какого-то номера n = N2> где N%^>Ni9 все точки ип
(т. е. и#я, илг8 + ь ...) попадут внутрь этой егокрестности точки
А и т. д. € увеличением аргумента л точки «^ как бы сгу-
сгущаются вокруг един-
единственной точки, именно
точки А,
Если наряду с осью для ил
взять и ось для п и геомет-
геометрически представить функцию
un=f(n) графиком в системе
декартовых координат, то на-
_*~ личие предела у этой функции
77 будет означать следующее:
каково бы ни было е, е^>0,
все точки графика, располо-
расположенные правее некоторой прямой n = N, не выходят из полосы,
ограниченной прямыми и = Л — е и # = Л + е (черт, 38); значение N,
начиная с которого это выполняется, зависит, как было уже указано,
от выбора числа е и, вообще говоря, увеличивается с уменьшением е
(см. пример).
Рассматривая постоянную величину А как функцию ял, равную А
для всех номеров л, следует считать, что ояа имеет предел, рав-
равный ей самой: lim A = A. Действительно, разность Л — А равна
нулю и, значит, меньше любого наперёд заданного положительного
числа е.
Определение понятия предела функции f(n) гамо по себе не да?т
ещё способов для отыскания предела заданной нам функций.
В дальнейшем мы ознакомимся с такитш* способами, а пока рассмо-
рассмотрим только примеры, иллюстрирующие понятие предела.
3 N
Черт. 38.
28 C5). Примеры.
137 15 2я—!
I. Последовательность у, -j, у, |g>..*> у"
-» ••• име^т пре-
предел, равный 1. Действительно,
1
и для того чтобы 4j было мейъше заданного положительного числа в,
нужно только выполнение неравенства 2л>-^-> которое сле-
1
дует из п log2> log- или п^>-~^\ таким образом, по задан-
заданному е всегда можйо указать такое n*&N, что при всех
82

28] § 1. основные определения 83
будет иметь место неравенство
а это и означает, что 1 есть предел рассматриваемой последователь-
последовательности.
Переменная точка ип последовательно пробегает следующие точки
интервала [0, 1]: щ — середину всего интервала, щ — середину интер-
интервала от их до 1, иг — середину интервала от щ до 1 и т. д. Точки
сгущаются около единственной точки и = 1, причём сгущаются
только с одной стороны — слева. В этом примере ип стре-
стремится к своему пределу возрастая и, значит, оста-
оставаясь меньше его.
Отсюда также видно, что функция ил = ™ имеет предел, рав-
равный 0, причём стремится к нему, убывая и, значит, оставаясь больше
его. Точки ип в этом случае сгущаются около и = О только
справа.
II. Рассмотрим последовательность
sin-у, Tsin3T, -_sin5-r, -j- sin 7 -25-, ... , — sin I B/t — 1) -g-J f ...
Функция un = — sin \{2n—1)"т стремится к нулю при я->оо, так
как |0 — нл| = —-<Ч для всех п, удовлетворяющих условию я^> —.
Разность 0 — ип = sin Bд — 1) ~ — ^ будет положитель-
положительной или отрицательной в зависимости от того, четно или нечётно п.
Значения иа попеременно то больше нуля, то меньше нуля. Неогра-
Неограниченно приближаясь к н = 0, ип пробегает последовательно точки,
лежащие то справа от нулевой точки, то слева от
неё и сгущающиеся только вокруг этой точки. Пе-
Переменная стремится к своему пределу, колеблясь
вокруг него.
III. Напомним случай использования понятия предела в элемен-
элементарной математике.
Пусть дана бесконечная геометрическая прогрессия ai7 а2, ...
... , ап, ... со знаменателем q% Обозначим через sn сумму п первых
членов этой последовательности
При увеличении п в этих суммах учитывается всё большее число
последовательных членов прогрессии; поэтому естественно «суммой.»
s = а1 | - at -[- ... - {- ап j- ... данной геометрической прогрессии

84 гл. II. предел 128
считать предел, к которому стремится sn при п ->оо, если этот
предел существует.
Убедимся в том, что если |#|<О> то предел sn существуете
равен y^— . Действительно,
\—q
и нетрудный подсчёт показывает, что, каково бы ни было наперёд
заданное положительное число е, неравенство
будет выполняться для всех я, удовлетворяющих неравенству
Заметим, что если 0 <^ q <^ 1, то sn стремится к своему преде-
пределу или возрастая, когда аг^>0у или убывая, когда at<^0; если
же — 1 < q <d 0, то sn стремится к своему пределу, колеблясь
около него.
В п° 30 будет показано, что sn не имеет предела, если |^|^1.
IV. Укажем примеры последовательностей, не имеющих пределов.
1) Рассмотрим последовательность
1 1 3 1 7 1
M и Н " 11 U
общий член которой имеет вид ип=\ ^тгу » если п — нечётное
число, и вид кл=—, если п — чётное число. Покажем, что не су-
2^
ществует числа, которое служило бы пределом для ип. В самом деле,
при достаточно большом нечётном п соответствующее значение ип
будет находиться как угодно близко к единице (см. пример I),
но не все последующие значения ип будут оставаться в таком
положении; именно, уже следующее значение кл+1 окажется в такой же
близости к нулю, как ип к единице. Точки, последовательно про-
пробегаемые переменной ип, сгущаются не около одной точки, а около
двух точек: 0 и 1. С изменением п точка ип перескакивает от
точек, близких к 1, к точкам, близким к 0. В силу этого ип не
стремится к пределу.
2) Последовательность
sin~, sin 2 -^-, sin3~>"-, sin#~,...

29J § 1. основные определения 85
также не имеет предела, так как ип = sin п ~ при п =-1, 2, 3, 4,...
последовательно принимает значения 1, 0, — 1, 0 и затем опять те же
значения в том же порядке и т. д. Нет числа, к которому ип не-
неограниченно приближалось бы.
Если все . члены этой последовательности взять с некоторыми
«глушащими» коэффициентами (как, например, в последователь-
последовательности II), то новая последовательность sin у, у sin 2 у ,-g- sin 3 у, ...
... , — sin n ~, ... уже будет иметь предел, равный нулю. Функция
1 . п
un = — smn-K- неограниченное число раз принимает значение нуль,
т. е. значение своего предела. В иных случаях функция ни при одном
рассматриваемом значении аргумента не принимает значения, равного
своему пределу.
3) Функция urt = 2#-j-l, значения которой при #=1, 2, 3, ¦¦•
составляют последовательность целых нечётных чисел 1, 3, 5,...,
не стремится к пределу, так как точки ип при #->оо нигде не
сгущаются; они неограниченно удаляются.
29 C6). Предел функции непрерывного аргумента. Перейдём
к понятию предела функции y=f(x) непрерывного аргумента х.
I. Предел при х-+х0. Пусть независимая переменная х стре-
стремится (неограниченно приближается) к некоторому чи-
числу лг0, что записывают так: х -> х0. Это означает, что мы придаём х
любые значения, как угодно мало отличающиеся от х0 (но не рав-
равные х0). Рассмотрим при этом соответствующие значения f(x); может
случиться, что они неограниченно приближаются к неко-
некоторому числу Л. Под этим понимается следующее: для всех дг, до-
достаточно близких к xQy разность между А и f(x) (по абсолютной
величине) оказывается меньше любого заранее данного малого
положительного числа. Если это так, то говорят, что А есть предел
функции y = f(x) при x->Xq.
Определение. Число А называется пределом функции
y=f(x) при х-*х^ если для каждого положительного нисла е,
как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное
число S, что для всех х> отличных от х0 и удовлетворяющих
неравенству |л:0—л: | <d S» имеет место неравенство
14-/(*)!<•.
Записывают:
lim f(x) = A или f{x) -+ A,
х-+х0 х-*х0
и говорят ещё, что f(x) стремится к А при х~+х0.

66 ГЛ. И. ПРЕДЕЛ * (й§
Можно также сказать, что
y=f(x) стремится к А при х, стремящемся к xQ, если
для всех точек Х{хф xj, содержащихся в достаточно милой
Ъ-дкрёстности точки х = х^, значения функции y=f(x) содер-
содержатся в как угодно малой г-окрестности точки у = А.
Если x—*xQ, то х{) будем называть «предельной» точкой для х.
Следует обратить внимание На то, что в определении предела
не требуется, чтобы функция f{x) была задана и в «предельной»
точке х0; нужно только, чтобы f(x) была определена для всех х
g какой-нибудь окрестности точки лг0, исключая, быть может,
самую точку xQ. Так, например, функция у= ~_q не определена
При je=3, но она имеет предел, райный -«- при х-*Ъ (см. пример 3
на стр. 88). Точно так же функция j/= — не определена при
х = 0, но, как это будет доказано в
п° 40, она стремится к 1 при х, стремя-
стремящемся к нулю.
Наличие у функции f(x) при х->х0
предела, равного Л, геометрически иллю-
иллюстрируется так (черт. 39): йосставим к оси
Ох в точке лг0 и к оси Оу в точке А
перпендикуляры, продолжив их до пере-
пересечения, и произвольно зададим положи-
положительное число г; тогда найдётся такая
^-окрестность точки х0, что все точки
Черт. 39. графика функции f{x), соответствующие
точкам х (х Ф Х0)у лежащим в этой
окрестности, будут содержаться в полосе, ограниченной прямыми
у:г=Л^-? И у = А-\- &.
Число 8 зависит От выбора числа е, причём, вообще говоря,
уменьшается с уменьшением t.
Иногда приходится рассматривать вопрос о пределе функции f(x),
Когда х может принимать не все значения, достаточно близкие к х{)
(как сказано й нашем определении), а только ббльшие jc0, что вы-
выражают словами: «х стремится к #0 справа». Точно так же иногда
рассматривают значения ху достаточно близкие к jc0 и только мень-
меньшие, чем Хц> чю выражают словами: «X стремится к jc0 слева». На-
Наконец, рассматривают значения х равные только членам некоторой
последовательности, стремящейся к Хо. В этих случаях понятие пре-
предела функции определяется так же, как и выше, однако й формули-
формулировке указываются не все значения х, достаточно близки^ к х0,
а либо ббльшие х0, либо меньшие хп, либо содержащиеся в заданной
последовательности, стремящейся к х0. Для того чтобы отличить от
таких частных способов стремлений х к л общий способ, преду-
Д
0
у
с
\7
1 —
- -\ s
Г7
 i
1
1
1
1
1
1
\t
X

29] § 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 87
смотренный первоначальным определением, иногда говорят, что в
таком случае х произвольно стремится к хг
Если предел функции f(x) существует, когда х стремится к х0
слева, то его называют «левым преде лом» функции f(x) в точке xQ\
аналогично определяется «правый предел». Левый и правый
пределы обозначают соответственно так: f(xQ — 0), /+О)
Значит:
Заметим, что если f(x)-+Ay когда х произвольно стре-
стремится к х0, то это же самое будет и при любом частном спо-
способе приближения х к лг0 (либо только справа, либо только слева
и т. п.). Обратное тоже справедливо: если /(х)->Л при любом
частном способе стремления х->х^ то f(x)-+A и при произ-
произвольном стремлении х к лг0. Мы не будем останавливаться на
доказательстве этого предложения.
Примеры. 1) Докажем, что lim Bх — 1) = 1. Зададим поло-
х-*\
жительиое число г. Для того чтобы было |1—Bх— 1)|<^« или
2|1—jc|<^?, нужно, чтобы было выполнено неравенство
таким обрааом, можно взять Ь = ~. Мы видим, что при любом «,
в -х--окрестности точки х=1 значения функции у = 2х— 1
отличаются от 1 не больше чем на е; значит, по определению,
1 действительно является пределом этой функции при ироиззольвдм
стремлении х к 1. Пусть теперь х-+\, иробегая какую-нибудь по-
1 з 2п 1
следовательность, например -^-, -^ , ... , —^—, ... Тогда ип =
= 2 —^ 1 также стремится к 1 при п -> оо. В самом деле, в ?9-
гласии с п° 27
HUs Л
2п
1
будет меньше s(c]>0) для всех п, больших чем —:—j~-\- l«
2) Убедимся в том, что
2лг + 1
lira

ГЛ. II. ПРЕДЕЛ
[29
Нам нужно показать, что для всякого положительного числа е
можно найти такое положительное число 8, что при \x-\- 11<^8 будет:
1 2х +
О
Это неравенство легко преобразуется к виду
лг+1
-е или
\+х
Так как абсолютная величина суммы не меньше разности абсолют-
абсолютных величин слагаемых: | а -|- * | ^ | л | — | ft |, то последнее неравенство
наверное удовлетворяется, если имеет место следующее неравенство:
5_
s
ИЛИ
1
4s
т. е.
4s
2s •
Таким образом, для всех х> удовлетворяющих этому- неравенству,
4s
справедливо первоначальное неравенство, и значит, число 8=
обладает требуемым свойством.
х — 3 1
3) Докажем", что lim 2_JQ = -g-. Здесь функция не определена
в предельной точке.
Пусть е — произвольное положительное число. Требуется до-
доказать существование такой 8-окрестности точки дг=3, что во всех
её точках х (кроме дг = 3) выполняется неравенство
L л: —3
Это неравенство сводится к следующему:
х — 3
х* — 9
Мы имели право сократить дробь на х — 3, так как х ф 3, и поэтому
х — 3 не обращается в нуль.
Далее мы имеем:
х + 3
х—3
1 » 6
1 "Г TU
6s
а это неравенство будет справедливо для всех х, для которых имеет
место неравенство
6
4-6s
бе
откуда

29] § 1. основные определения 89
Итак, мы доказали существование требуемой 8-окрестности точки
х=%, причём в качестве о можно принять . ^ .
II. Предел при # -> со. Пусть теперь независимая перемен-
переменная х неограниченно возрастает (по абсолютной величине),
или, как ещё говорят, «стремится к бесконечности:
лг->оо». Под этим понимают только следующее: х принимает любые
значения, большие (по абсолютной величине) какого угодно поло-
положительного числа*). Может случиться, что по мере увеличения \х\
значения функции f(x) неограниченно приближаются
к числу Л; при этом число А называется пределом f(x) при
лг->оо, а о функции f(x) говорят, что она стремится к А
при лг-^оо.
Определение.^Зисло ^ называется пределом функции
j;=//^i npH_j^->j5oLесли .для каждого произвольно малого по-
положительного числа е можно указать такое положительное число ЛГ,
что при всех х, удовлетворяющих неравенству (лгОЛГ, спра-
справедливо неравенство
Записывают:
lim / (х) — А или / (х) -> А.
х-*со х —* оо
С геометрической, точки зрения определение означает, что
Для всглг точек х, лежащих вне достаточно большой N-oKvecm-
ности точки х = О, значе-
значения функции y=f(x) со-
содержатся в как угодно
малой г-окрестности точ- А
ки у = А (черт. 40).
Если х действительно
может принимать любые
значения, превосходящие по
абсолютной величине неко-
некоторое положительное число,
то вместо того, чтобы ска-
сказать «л: стремится к беско-
бесконечности», иногда для уточнения говорят: «л: произвольно
стремится к бесконечности». Однако часто встречаются
и другие случаи в характере изменения х, стремящегося к беско-
бесконечности. Так, например, х может неограниченно возрастать по
абсолютной величине, но при этом сохранять свой знак: положи-
положительный, что записывают так: д;->-|-оо (говорят: «л: стремится
к положительной бесконечности»), или отрицательный,
*) Конечно, предполагается, что функция / (х) определена при всех этих
значениях л:,

90 гл. ц. предел [29
что записывают так: х-> — оо (говорят: «х стремится к отри-
отрицательной бесконечности»). Помимо этого, х может стре-
стремиться к оо (или к -]~ оо или к — °°) <<п0 какой-нибудь по-
последовательности», т. е. принимая только значения членов
соответствующей последовательности, стремящейся к оо (или к -)- оо
или к — оо).
Читатель сам сумеет внести изменения в определение предела
функций при таких частных способах стремления аргумента
к бесконечности. Из данного здесь общего определения дословно
получается определение для случая целочисленного аргумента (х при-
принимает только значения 1, 2, Э, ...), с которого мы начали изучение
понятия предела (п° 27). Очевидно, что если f(x)->A при х, про-
произвольно стремящемся к бесконечности, то функция f(x) будет
иметь тот же предел при любом частном способе стремления х
к бесконечности. Обратное также справедливо (доказательство мы
опускаем).
Примеры. 1) Возьмём показательную функцию у = ах. Если
а^> 1, то
X -*¦ — ОО
Действительно, мы имеем:
я* О,
для х <^ v , где г — наперёд заданное, как угодно малое положи-
положительное число. Заметим, что дробь т-^- отрицательна, так как зна-
знаменатель положителен, а числитель в силу естественного предполо-
предположения, что ?<О, отрицателен. Если а<^\, то
X —*~\~ ОО
ибо ах <^ г для х ^> .и^с ¦ *). Заметим, что дробь ~— здесь положи-
положительна, ибо и знаменатель, и числитель отрицательны.
Указанные предельные равенства для показательной функции
можно хорошо наблюдать на графиках показательных функций (см.
черт. 24).
х -4-1
2) Функция у = ' стремится к 1, если х произвольным образом
стремится к бесконечности:
inn Щ = 1.
Х 1
*) Как и в первом случае, для определения тех значений л:, при кото-
которых имеет место неравенство ах ¦< г, мы логарифмированием находим:
Jtlogtf<Iogs; деля все члены этого неравенства на log а — величину поло-
положительную при в>1 и отрицательную при а <С 1, получаем для х неравен-
неравенство того же смысла в первом случае и противоположного смысла во втором
случае.

301 § 2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
В самом деле, для того чтобы выполнялось неравенство
ЛГ—1
у I
2
[ s, т. е. | х — 1 | ]> —, где е — заранее данное, как угодно
2
малое положительное число, достаточно иметь |#|~1^>— или
2
х\^> 1- 1. Итак, при всехх, удовлетворяющих условию |
2
1
2 х 1 1
= 1~1, удовлетворяется и неравенство 1 -^Ц- <Ч. Чтоитре-
S X — 1
бовалось доказать. По графику функции (см. черт. 15) мы также
видим, что, как бы ни удалялась точка х в бесконечность, ордината
графика функции неограниченно приближается к единице.
§ 2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ПРАВИЛА ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА
30 C7). Бесконечно большие величины. Ограниченные функции.
I. Бесконечно большие величины. Рассмотрим такое
«предельное поведение» функции y=f(x), т. е. тдкое её
изменение при х^>х0 (или х->оо), когда она по абсолютной вели-
величине неограниченно возрастает; при этом функцию y==f(x) назы-
называют «бесконечно большой величиной».
Определение. Функция y=f(x) называется бесконечно
большой величиной при х^+л;0^ (или при #->оо), если для каж-
каждого произвольно большого положительного числа М можно ука-
указать такое положительное число § (или Л/)> что Для всех значе-
значений лт, удовлетворяющих условию 0<[|л^0 —»х|<8*) (или условию
| J^AT имеет место неравенство
Бесконечно большая величина у=/(х) геометрически характе-
характеризуется тем, что изображающая её подвижная точка в своих
положениях, соответствующих значениям х, достаточно близким
к Xq, при х ->л;0 (черт. 41) (или значениям х, достаточно большим,
при Х-+ОО (черт. 42)) находится вне произвольно большой М-окре-
стности точки у^ = 0.
Функция y = f(x), являющаяся при x-+xQ (или лг->со) беско-
бесконечно большой величиной, не имеет предела в обычном смысле.
Однако изображающая её точка неограниченно удаляется
по оси Оу от точки у = 0 при х ¦-> лг0 (или х -> со); желая отобра-
отобразить в словах и в записи эту закономерность (правильность) в её
«предельном поведении», говорят, что «f(x) стремится к бес-
*) Левое неравенство укэзызает на то, что не берётся значение

92
ГЛ. II. ПРЕДЕЛ
[30
конечности» и записывают:
lim f(x) = оо или f(x) -> оо.
Согласно принятому нами определению бесконечно большая вели-
величина f(x) может принимать как положительные, так и отрицатель-
отрицательные значения. Например, функция целочисленного аргумента /(#) =
= (— 2)Л, т. е. последова-
последовательность —2, 4, —8, 16,
—32, ..., (—2)Л, ..., при
п ->¦ сю есть бесконечно боль-
большая величина.
Допустим, что бесконечно
большая величина y=f(x) в
некоторой окрестности точки
лг=х0 при х-^х0 (или вне
некоторой окрестности точки
х = О при х -> со) принимает
либо
только положительные,
ц
м
0
у
/
к-
( X
Черт. 41.
Черт. 42.
либо только отрицательные значения. Это значит, что точка y=f(x)
по мере приближения х к дг0 (или по мере удаления х от 0) неогра-
неограниченно удаляется от у = 0 по оси Оу только в одну сторону: либо
вверх, либо вниз. Эту особенность в предельном поведении
функции f(x) выражают так: «f(x) стремится к положительной или
соответственно к отрицательной бесконечности», записывая это
следующим образом:
Нт/(лг) = -\- оо, Нт/(лг) = — оо.
(*-»оо) (*-*со)
Если знак бесконечно большой величины нам безразличен или если
он не сохраняется одним и тем же, то мы оставляем ранее указанное
выражение (просто «бесконечность»; символ: со).
Условность этих выражений и записей необходимо всегда иметь
в виду и помнить, что бесконечность (оо) не есть число, поэтому

30] § 2. бесконечные величины 93
и говорить о каких-нибудь действиях над оо лишено всякого
смысла.
Каждое число, каким бы большим оно ни было, конечно.
Нельзя смешивать очень большое число с бесконечно
большой величиной.
Данное нами определение бесконечно большой величины отно-
относится к случаю, когда х произвольно стремится к jc0 (или к оо).
Очень легко изменить определение так, чтобы оно относилось
к какому-нибудь случаю стремления х к jc0 (или к оо) по частному
способу.
Примеры. 1) Покажем, что сумма п первых членов геометри-
геометрической прогрессии sn (см. пример III п° 28) является бесконечно
большой величиной при /г->оо, если знаменатель прогрессии по
абсолютной величине больше единицы.
Пусть М — наперёд заданное положительное число. Для того
чтобы sn по абсолютной величине превосходило М> нужно, чтобы
где q — знаменатель прогрессии, а ах — первый член. Это неравен-
неравенство наверное будет удовлетворяться, если п выбрано таким, что
ибо | qn — 1 | ^ | q \п — 1. Отсюда
1<7|>1 -±-|?—1|-А .и Д> 1 , ,=ЛА
1 н ' ^ ' ' н ' | я 1 I ^ log |^|
(так как |^|]>1, то log|^|^>0 и неравенство можно делить на
log|?|).
Значит, \sn\^>M при всех n^>N. Что и требовалось доказать.
То же самое имеет место, если q=\, так как при этом sn = ax • п.
Если же q = — 1, то sn=^ai при п нечётном и sn = 0 при п чётном.
Переменная сумма sn поочерёдно принимает значения ах и 0 и, сле-
следовательно, предела не имеет.
Таким образом, мы доказали утверждение, высказанное в п° 28.
2) Функция у=-- при лг-^О стремится к бесконечности. Ха-
рактер неограниченного возрастания функции в данном случае за-
зависит от того, как х стремится к нулю. Так, если х->0 справа, то
положительная бесконечно большая величина: lim — = 4- оо;
X X ' У
если х -> 0 слева, то отрицательная бесконечно большая вели-
величина: lim — = — со; если же х -> 0, принимая и положительные и

94 гл. И. предел C0
отрицательные значения во всякой окрестности точки х = 0, то—¦—
просто бесконечно большая величина: lim—= сю. Все эти об-
обстоятельства наглядно отражены на графике функции (равнобоч-
(равнобочной гиперболе, для которой асимптотами служат оси координат
(см. черт. 14)).
3) Подобно функции у =— при лг->0 ведёт себя функция у =
= -Л , ПРИ •*г~>1 (см. п° 19). Именно: lim х . = ею. При этом
lim—-^Ц-=г-|-со при х, стремящемся к 1 справа, и lim*- = — сю
х 4- 1
при х, стремящемся к 1 слева (см. график функции у =—~f черт. 15).
4) Функция у = —72- при х —> 0 является положительной беско-
бесконечно большой величиной. Действительно, для того чтобы было
-то ^> М, достаточно иметь х*~ <^ -^ , т. е. | х |<^ =z^. Следовательно,
для всех ху для которых | 0 — х |<^ 8 — —г, значения функции
у=2Х2 больше наперёд взятого положительного числа М. Итак,
lim «-r = -f-oo.
лг~^О х
5) lim \gx равен -j0 или —°° в зависимости от того, стре-
мится ли х к -у слева или справа.
6) Показательная функция у = ах, как без труда покажет чита-
читатель, является положительной бесконечно большой величиной при
jt->-]-oo, если а^>1, и при дг-> — со, если #<Ч.
II. Ограниченные функции.
Определение.^ Функция_х=Х(^_называется огранкчеп^
ной в рассвштриваемрй области., лзменения аргумента х% если
^^ЗЗ^Эйу^х„.т„акое _подожихелыш„е^^^ всех зна-
значениях х, принадлежащих этой области, выполняется соотношение
\/(^1\^МХ^шу что то ж~е самое, — M^/(x)=^M). Если же
такого числа М не существует, то функция называется неогра-
неограниченной.
Точка у у изображающая ограниченную функцию y = f(x)> не
выходит из интервала [—Ж, М] на оси Оу.
Определение. Функция _^^
х_->х0 (или jt->oo), icjuTiTieKOTopoH окрестности точки х* (или
" соответственно вне некоторой окрестности точки 0) эта функция
Разумеется, всякая постоянная величина является ограниченной.

31]
§ 2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Для неограниченной функций / (х) имеется по крайней мере одна после-
последовательность хи х2, ... , хПУ... , для которой / (х) до абсолютной вели-
величине неограниченно возрастает, т. е. является бесконечно большой величиной
Всякая бесконечно большая величина является неограниченной функ-
функцией, но обратное заключение неверно: неограниченная функция мо-
может не быть бесконечно большой величиной. Так, функция у = х sin x при
х —> оо (или, что всё равно, у = — sin — при х—*0) есть неограниченная функ-
функция. Действительно, мы не можем указать такого числа М, что при всех х
будет \х smx\^ZM; какое бы число М мы ни взяли, значения | х sin x\ для
тс тс ^ тс
последовательности, например Xi = -у, х2 = 3 ^-, х$ = о -=-, ... , хя =*
= Bл —- 1) -?-,..., равные соответственно у , 3 у , 5 у,...> Bп — !)-?¦ , ... ,
станут в конце концов (т. е. при достаточно большом п) больше этого
числа М. Но, с другой стороны, легко указать и последовательность, также
Черт. 43.
стремящуюся к бесконечности, например: хх = к, х3 = 2^, хг = Зтс,... , хп =
= яте,..., для которой наша функция постоянно равна нулю и, значит, имеет
предел (=0). Стало быть, у = х sin лг, будучи неограниченной функцией, не
является бесконечно большой величиной (при х—*со). На графике функции
у = л: sin х (черт. 43) видно, что при достаточно больших х есть точки этого
графика, которые лежат вне полосы — М^у^М, где М — как угодно
большое положительное чихло; но с дальнейшим ростом | х \ соответствую-
соответствующие точки графика не остаются в таком же положении (что должно иметь
место для бесконечно большой величины), а попадают внутрь полосы и даже
на ось Ох.
31 C8). Бесконечно малые величины. Особое значение пред-
представляют случаи, когда при известном изменении аргумента функция
стремится к пулю. Согласно определению предела функция f(x)
стремится к нулю при x-+-Xq (или х-+оо), если каждому нроиз-

96 ГЛ. И. ПРЕДЕЛ [31
вольно малому положительному числу е соответствует такое
положительное число В (или N), что для всех х, для которых
®<С\хо— •*К* (или \Х\^>Ю> имеет место неравенство |/(.*0|<Л
Определени е._Функцияf(x\. гтремяитаяс^ к нулю при
х-±х0 (шш-а; ~»* оо), называется бесконечна малой велшшной
при х-+х0 или в окрестности точки х0 (или в бесконечности).
1Тримерамй^бёскб1Теч1ю ~ малых вёлй'чТш^НшэТуГ "служить ~~функции
у = х—1 при х-^1; у = а* при je->-f-°°> если а<^1, и при
х-± — оо, если а^>1, и т. п.
Каждое число, каким бы малым оно ни было, конечно. Нельзя
смешивать очень малое число с бесконечно малой вели-
величиной.
Нуль есть единственное число, которое рассматривается
в качестве бесконечно малой величины (в силу того, что предел
постоянной равен ей самой).
Бесконечно малая величина есть величина ограниченная.
Между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами
существует простая связь.
Теорема. Если функция /(XJ — бесконечно большая вели-
величина, то тт-х — бесконечно малая величина; если /(л:) —беско-
—бесконечно малая^в^личина, то «щ — бесконечно большая величина.
Доказательство. Пусть f(x) -* сю при х -> xQ (или х -> оо);
нам нужно убедиться, что при этом ^O
Зададим произвольно е, е>0, и возьмём число Л1 = —; этому
числу соответствует такое 8 (или такое N), что при всех дг, удо-
удовлетворяющих условию 0 <^ | лг0 — х \ <^ 8 (или условию | х \
будет:
откуда
1
а это и означает, что lim ( —0.
х~+х0 J \х>
(х-^ос)
Вторая часть теоремы доказывается аналогично. Однако при этом
существенно предположить, что f(x) не обращается в нуль при
всех значениях х в некоторой окрестности точки х==х0, если
х-+х0 (или вне некоторой окрестности точки х = 0, если х -+• оо),
ибо иначе дробь fl не имела бы смысла в любой окрестности
точки х = Хц (или вне любой окрестности точки х==0) и, следо-

32] § 2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 97
вательно, нельзя было бы рассматривать и вопрос о пределе этой
дроби.
Очень полезными для дальнейшего являются следующие теоремы.
ПрямаяГ трпррмя <Ьуцкнрют имеющую npftjie.nT можно прея-
ставить как с^мму постоянной, ра^виюй^её пределу, и бесконечно
jMajiqfi величины. ~~~~
Д о к аГаТ? л ь~с т в о. Пусть lim f(x) = А. Тогда \f(x) — А |< в
(*->оо)
для всех х, достаточно близких к х0 (или достаточно больших) при
произвольном положительном е, а это означает в согласии с опре-
определением, что f(x) — А есть бесконечно малая величина. Следова-
Следовательно,
f(x) — А — а(х) или /(*)== А-\-а(х),
где а (х) — бесконечно малая величина при х -> х0 (или х -> со).
Обратная теорем 3;,^Ес?иФ)^^
постоянной и бесюонечно^ малой величины, то постоян-
2^
Док азате льство.""Из равенства f(x)= А -\-си(х), где А —
постоянная, а а(х) при дг->дг0 (или jc-^oo) — бесконечно малая
величина, следует, что
|/С*)-Д[ = | «(¦*)!<•
для всех х, достаточно близких к х0 (или достаточно больших),
при произвольном положительном е. Но это означает, что f(x) имеет
своим пределом при соответствующем изменении х число А:
\\mf(x) = A.
х-»х0
(дг-юо)
Что и требовалось доказать.
Все рассуждения в этом пункте велись в предположении, что х
стремится к xQ (или к со) произвольно. Вполне очевидно, как
следует изменить формулировки,-еели стремление х к х0 (или к оо)
происходит по какому-нибудь частному способу.
32 C9). Правила предельного перехода. До сих пор в кон-
конкретных случаях мы имели возможность лишь проверять на осно-
основании самого определения понятия предела, является ли данное
число пределом данной функции при данном изменении её аргу-
аргумента. Однако существуют правила, при помощи которых часто
удаётся прямо находить пределы функций (правила предель-
предельного перехода).
Обратимся к простейшим из этих правил. Сначала мы будем
рассматривать теоремы о бесконечно малых величинах, а затем
в качестве следствий — теоремы о функциях, стремящихся к преде-
пределам, не обязательно равным нулю.

98 гл. II. предел [32
Краткости ради будем иногда говорить- о функции и (или vy
w, a, p и т. п.), стремящейся к пределу, и писать lim и, не ука-
указывая, при каком именно изменении независимой переменной рас-
рассматривается предел. При этом, однако, говоря о нескольких
функциях, мы всегда будем предполагать, что они стремятся к своим
пределам при одном и том же изменении независимой перемен*
ной.
Теорема I. Сушм^^юшшежгя в алгебраическом смысле) двух,
трёх и вообще определённого конечного Чиям^^^
П
"^' Доказательство. Пусть дано определённое число k беско-
бесконечно малых величин а, р, ... , т). Докажем, что и их сумма
есть бесконечно малая величина. Зададим произвольно малое поло-
положительное число е и возьмём число ~. Пусть х — аргумент всех
этих бесконечно малых величин. Тогда в некоторой 8-окрестности
точки х = Хцу если х-^х9 (или вне некоторой ^окрестности точки
jc = O, если х-^оо), мы будем иметь |а|<С"^- Точно так же в со-
соответствующих окрестностях будем иметь: | Р | <[ 4-, ... , I ^ I <С 4" •
Так как | о> | = | а -f Р + • • • + 'Ч I ^ I а I + IР I + • • • + И I» то в н а и-
меньшей из этих ^-окрестностей точки дг0, если x-+Xq (или вне
наибольшей из этих TV-окрестностей точки нуль, если х->со),
будет справедливо неравенство
k слагаемых
Итак, для каждого положительного е существует такая окре-
окрестность точки х = х0 (или такая окрестность точки ле = О), что
в ней (или соответственно вне её) имеет место неравенство
|о)|<[е. Это и доказывает, что со — бесконечно малая величина.
Специально сделанная оговорка об определённости числа сла-
слагаемых имеет существенное значение. Дело в том, что в ана-
анализе приходится рассматривать особые суммы, в которых изме-
изменяются и сами слагаемые, и их число. К таким суммам теорема не
относится.
Если, например, допустить, что число слагаемых неограниченно возра-
возрастает по мере стремления к нулю каждого из них, то утверждение теоремы
может оказаться неверным. Пусть

32] § 2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЙЙ
при п—>со каждая из этих величин стремится к нулю, но вместе с тем растёт
и их число. Сумма
\+2 + + пп(п+1) _ 1 , 1
2~т2п'
03 ~~ л* ~~ 2л2 2~т2п
при /2 —» оо — вовсе не бесконечно малая величина, а величина, стремя-
стремящаяся к -^-.
Из теоремы I непосредственно следует теорема.
Теорема Гi^bP^?j^^w двух, трёх и вообще определён-
определённого конечного числа слагаемых ра^ этих сла-
слагаемых.
Доказательство. Пусть дано определённое число k слагае-
слагаемых и, v, ..., t, стремящихся соответственно к пределам а> Ь, ... , d.
Пусть
w — u-\-v-\-...~{-t.
Докажем, что
ttmw = \\m (и -\- v -\- .
Имеем:
где а, р, ... , т — бесконечно малые величины. Следовательно,
где oo=ra-[-p + ...-j~x как сУмма к бесконечно малых слагаемых,
по теореме I — бесконечно малая величина. Так как w равна сумме
бесконечно малой оз и постоянной a -j- Ь -\- ... -j- d, то последняя
и является пределом для w.
/Теорема И.JJgoi^BefleHH^ограниченной функции на беско-
бесконечно малую есть беск^нечнр_^амз^?ел^ина»
Доказательство. Пусть a — беТконе'чнсГ""Шлая при х -+ xQ
(или при дг->-оо), а и в некоторой окрестности точки х0, если x^~Xq
(или вне некоторой окрестности точки х = 0, если х->оо), огра-
ограничена, | и | ^ М. Докажем, что lim (ма)^ 0.
Зададим произвольно малое положительное число е. Значения а в не-
некоторой окрестности точки х = х^ (или вне некоторой окрестности
точки х — 0) удовлетворяют неравенству |а|<С--ут-; следовательно,
откуда и вытекает справедливость теоремы.
В частности,
lim(ca) = 0,
если В—постоянная, а а->0.

100 ГЛ. It. ПРЕДЕЛ [32
Утверждение теоремы может стать неверным, если и не есть
ограниченная функция (пример: п • — = 1).
Так как бесконечно малая величина — ограниченная, то произве-
произведение двух бесконечно малых есть также величина бесконечно малая.
Из теорем I и II следует теорема.
Теорема IP. Предел произведения двух, трёх и вообще
определённого конечного числа множителей
пределов
Доказательство. Сохраняя обозначения теоремы Г, мы дока-
докажем, что
lim w = lim (uv ... t) = lim и • lim v ... lim t = ab ... d.
Возьмём сначала произведение двух множителей: и и v. Имеем:
и = а-\-а9 v —
и, значит,
w = uv = (а + а) (Ь -\- р) = ab + (аи + Ра + аР)-
Величина, заключённая в скобки, вследствие теорем II и I беско-
бесконечно мала и потому
limw — ab.
Теперь легко последовательно распространить теорему для любого
конечного числа множителей. Пусть дано три множителя: «, v, t.
Тогда
lim w = lim (uvt) — lim [(uv) • t] = lim (uv) • lim t = lim и • lim v • lim ^.
Подобным образом теорема доказывается в случар четырёх мно-
множителей, затем пяти и т. д.
Из этой теоремы, в частности, следует, что:
1) постоянный множителъмоз№
lim си = с lim и
(так как предел постоянной величины равен самой этой величине) и
2) п^дел^ц^ой^ШАЯЖШПельной степени функции равен той _
же степени црпедеда этой &ункцш\^^^
lim ия = lim (нн.. .и) = lim й • lim м ... lim u={\\mu)n.
Теорема III. Частное^отц^еления j6ecjKOHe4HO малой вели_-„
fr р
чина бесконечню малая....
' JTolTaзательство. Пусть а — бесконечно малая величина,
аи — функция, предел которой отличен от нуля: lim ц = а^0.
хх
Теорема утверждает, что — -> 0.

32) § 2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 101
Прежде всего убедимся в том, что ограниченная функция.
В самом деле, зададим, например, е = Ц^. тогда существует такая
S-окрестность точки х = х0, если х -> х0 (или такая АЛокрестность
точки лг = О, если jt->oo), что в ней (или соответственно вне её)
так как \а — и | ]> | а | — | и |, то
или
откуда
что и доказывает ограниченность функции — при лг-> х0 (или х-^оо).
В силу того, что частное — можно рассматривать как произве-
произведение ограниченной функции -— на бесконечно малую а, то по тео-
теореме II
lim~ = 0.
и
Что и требовалось доказать.
Частное же от деления бесконечно малой величины на бесконечно
малую может быть и бесконечно малой величиной и бесконечно
большой, равно как может иметь предел, отличный от нуля, а может
и вовсе не иметь предела — ни конечного, ни бесконечного. При-
Примеры этого мы увидим в последующем.
Теорема 111^ Предел частного jpaBeHjjacjHOMy от деления
пределов, если только знЩшш:е^ к нулщ>
Доказательство. Пусть lim и = а и lim v = b ф О, так что
и — а-\-ъ, v = b-\~$, где а и р — бесконечно малые. Покажем, что
,. ,. и lima a
lim w = lim — = т.— = -г.
v % hmt/ b
Действительно,
и а + а а | ba — flg
причём дробь > ?г | Гч в силу теоремы III — бесконечно малая вели-
величина: числитель её на основании предыдущих теорем бесконечно

102 гл. и. предел C8
мал, а предел знаменателя, равный Ь*у по условию отличен от нуля.
Значит, \\mw = -r. Если 6 = 0, то теорема теряет смысл.
Изложенные здесь теоремы дают простые правила для нахо-
нахождения пределов функций в тех случаях, когда эти функции являются
результатами арифметических действий над функциями, пределы
которых заранее известны.
33 D0). Примеры. Пользуясь изученными правилами, решим
следующие примеры.
2я \
1) Найдем предел г/„ = при #->со (п° 28, I).
Имеем:
/ \ \ \ i
lim un'= lim 1—^ = lim 1—Нт-™=1, так как Mm -™ = 0.
2) Найдём предел $я == а, у=-^ при л->оо (п° 28, III).
Имеем:
\imsn= \imat -.—^- = lim -r-^ г-^— lim gny
П-+СО П-+0О T П-+СО k 4 l Ч П-+0О
но V\mqn при /г->оо равен нулю или бесконечности, смотря по
тому, будет ли |^|<^ 1 или ^> 1. В первом случае получаем lim sn =
= . а^_ , во втором — lim sn = oo.
3) Найдем предел у = 2х — 1 при х->1 (п° 29, 1).
Имеем:
lim Bjc— l) = limBx) — lim 1=2limjc — 1 = 2- 1 — 1 = 1.
4) Найдём предел j/=^±-1 при jc->— 1 (n° 29, 2).
Имеем:
2x+l_ limBл:+1) _
limC + x) "~ 3 + limx ~ 3-1
В примерах З) и 4) оказалось, что для того, чтобы получить
предел функции, достаточно в выражение функции подставить
вместо х его предел. В § 3 мы увидим, что это обстоятельство
имеет место для всякой элементарной функции во всех точках
области её определения. Покажем сейчас это только для дробно-
рациональной функции, для которой предел аргумента не является
нулём знаменателя.
5) Найдём предел у = ^п^п-, + ''^fn ПРИ х~*х»- еслй
^ +
известно, что Ьйх% -f t>iX%-1 -f-... -\- bn # 0.

§ 2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 103
Имеем:
lim (а»хт + aix + ... + ат) __
xZo У^(Ьох^ + д1х^ + ... + Ьп) -
_ До (lim jc)« + fll (lim *)«-i + .
b« (lim *)* + ^ (lim *)«-i + ... + ?„
Например,
Зх3 — 2xa + x-fl 3- 23 — 2
i™2 ^2 —5x + 3 "~ 2s —5-2 + 3 ~~ *b3#
Если же знаменатель дробно-рациональной функции обращается
в нуль при х = Хц, то теорема о пределе частного теряет смысл, и
тогда требуется особое рассмотрение.
6) Найдём lim ^=^ (п° 29, 3)).
При х —> 3 знаменатель стремится к нулю, но к нулю стремится
и числитель. Мы имеем случай частного двух бесконечно малых.
Но так как х1 — 9 = (^ — 3)(х-\-3), то *t~2 9 = ^773 для всех х*
отличных от дг=3. Поэтому в соответствии с определением поня-
понятия предела получаем:
.. х — 3 ,. лг —3 1 1
7) Найдём lim -f^
Здесь пределом является оо, так как знаменатель дроби при
лг->1 есть бесконечно малая величина, а числитель при этом к нулю
не стремится. Действительно, lim (х2 — Ъх -\- 4) = I2 — 5 • 1 -J- 4 = О,
a limBx—3) = 2»1 — 3 = —1; поэтому в силу теоремы III
х-+\
1. х%2 — 5л' + 4 ~
hm —я-—^— = 0;
«^ 1 ZX — о
следовательно,
^Аг-^-00-
8) Найдём lim Ax* 4х'
4л«— i '
Здесь и знаменатель и числитель — бесконечно малые величины.
Но, замечая, что

104 гл. II. предел [34
получаем:
1т 0
9) При х, произвольно стремящемся к со, дробно-рациональная
функция стремится либо к нулю, либо к бесконечности, либо к ко-
конечному числу, отличному от нуля, в зависимости от того, будет
ли степень числителя меньше степени знаменателя, больше её или
равна ей.
В самом деле, в рациональной дроби
разделим все члены числителя и знаменателя на хп:
+ аххт 'х~п + ... + атх~п
;
при х -> со знаменатель стремится к ?0, а числитель — к нулю, если
^Пу к оо, если т^>п, и к а0, если т — п.
34 D1). Признаки существования предела. Приведём два при-
признака существования предела.
Первый призна K^J?s^ML^^dJ^m^^
^между соответствуюшим1ь^зданениями функций F(x) и Ф (д:),
стремяцшхсд.лри..XrrhJC^Xvim при лг-^оо) к одному и тому же
пределу А, то f(x) также имеет предел, равный числу А.
Доказательство. Пусть
Докажем, что
х~*х0
Возьмём произвольную е-окрестность числа А. По условию су-
существует такая 5-окрестность точки лг0, что соответствующие зна-
значения F(x) и Ф (х) принадлежат е-окрестности числа Л. Но тогда
в силу заданных неравенств значения /(.#)> соответствующие точкам
указанной S-окрестности точки лг0, также будут находиться в этой
е-окрестности. Значит, для каждого е можно найти такое Ъ, что при
0<|*0 — х|<& будет |4_/(jc)|<8, т. е.
\imf(x) = A.
X-*Xq
При дг-^оо доказательство аналогично.
Если f(x) — постоянная, то получаем, что эта постоянная равна
общему пределу А функций F(x) и Ф (х).

)j?2?LfJ&) убывает, но остаётся дальше некоторого числа
М, то функция имеет предел А, не меньший числа М:
3) если /(л:) —неограниченная функция, то она стремится
к положительной (при возрастании) или к отрицательной (ngg
"убывании) бесконечности
хх0
(АГ-Н-ОО)
Допустим, что /(#) при заданном изменении х возрастает. Оче-
Очевидно, возможны два случая: 1) f(x) становится больше любого
наперёд указанного положительного числа (перемещающаяся в одном
направлении — вверх по оси Оу — точка y=f(x) выходит из любой
окрестности точки у = 0), тогда f(x)-+ -)-co; 2) f(x), возрастая,
остаётся, однако, меньше некоторого числа М (точка y=f(x\
двигаясь в одном направлении — вверх по оси Оу, — не переходит
границы некоторого интервала); тогда f(x) должна стремиться к не-
некоторому пределу А, не превосходящему числа М Строгое дока-
доказательство этого предложения основывается на теории действитель-
действительных чисел и мы его не даём*).
Аналогично обстоит дело и тогда, когда f(x) постоянно убывает.
Следует себе ясно представлять, что «предельное пове-
поведение» функции вообще может быть трёх типов: 1) либо функция
имеет предел; 2) либо она стремится к бесконечности; 3) либо, на-
наконец, она не стремится ни к бесконечности, ни к пределу, а по-
постоянно колеблется. Второй признак и состоит в утверждении, что
монотонность функции исключает возможность третьего типа
«предельного поведения» функции.
Благодаря этому простому признаку можно иногда убеждаться
в существовании предела (хотя признак сам по себе не даёт воз-
возможности найти, каков именно этот предел).
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, том 1, Гостехиздат, 1947; Р. Курант, Курс
дифференциального и интегрального исчисления, ч. 1, ГТТИ, 1931.
Второй признак. Пусть лг, изменяясь по некдтд^ощ..з^-
кону — например, то л ько возрастая ил^толь^ убывая, — стре-
MHTCaJBLj^jDiffl-JbC С©Х_И.ПУ?ТЬ пРи этом ^^S^^^^^L1131^6"
няется монатанао; тогда: ^^"
1) если f{x) возрастает, но остаётся меньше некоторого
числа М, то функция имеет предел Л, не больший числа М:
S4] § 2. бесконечные величины 105

106 ГЛ. И. ПРЕДЕЛ f35
Рассмотрим один важный пример. Пусть дана последовательность
чисел
J_ JL JL _L
' U > 2! ' 31 ' •'• ' л! ' ••' '
где л! обозначает произведение 1-2-3... п всех последователь-
последовательных натуральных чисел до п включительно (оно называется «/г-ф а к-
ториал»). Обозначим через sn сумму
5 — 1 4-— 4- — -4- 4- —
Докажем, что последовательность slf s2, ... , sn, ... имеет пре-
предел. Прежде всего заметим, что сумма sn возрастает при возра-
возрастании п:
si <С 5з <С • • • <С sn <1 • • •
Затем, так как -т^- = -гу-о"—к <С \ "о" о—о "
и, значит, sn подавно меньше, чем 2 -{- сумма бесконечной убываю-
убывающей геометрической прогрессии -у -f- -^- -f- ... , т. е. при любом п
имеем: sn<2-f 1 =3.
Таким образом, sn как возрастающая и ограниченная футщт
имеет предел s, очевидно, больший 2 и меньший 3. Этот предал 5
и принимается в качестве «суммы» указанной последовательности:
в = !?'-в1+ТГ + !Я-+•" + !*+•••
Приближённо $я«2,72. Ш ато особое число мы укашвали
в гл. I (п° 22). В дальнейшем мы с ним неоднократж) будем встре-
встречаться.
§ 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
35 D2). Непрерывность функции. Одной из важных особен-
особенностей в поведении функций является свойство, которое называют
непрерывностью. Оно математически отображает общую харак-
характерную черту многих наблюдаемых нами явлений природы. Напри-
Например, говорят о непрерывном удлинении стержня лри нагревании,
о непрерывном росте организма, о непрерывном течении жидкости,
о непрерывном изменении температуры воздуха и т. п.
Описательно можно сказать, что функция непрерывна, если она
изменяется «постепенно», т. е. если «небольшие» изменения
аргумента влекут за собой «небольшие» же изменения функции.

35]
§ 3. непрерывные Функции
id?
Термин «небольшие» мы берём в кавычки, так как он не выра-
выражает арифметически ясного понятия.
Пусть через кх обозначено приращение аргумента х{), а через
Aj/— соответствующее приращение функции y=f(x)t т. е.
(см. п° 18).
Основываясь на понятии предела, дадим теперь точное опреде-
определение понятия непрерывности функции.
Определение. Функция y=zf(x) называется непрерывной
в точке xQ (или при х = л;0)* если эта функция определена в ка-
какой-нибудь окрестности точки лг0 и если
lim Ду = О
или, что то же самое,
— f(x0)) = 0,
(*)
т. е. если бесконечно малому приращению аргумента соответ-
соответствует бесконечно малое приращение функции.
Соотношение (*) означает, что для каждого положительного г
существует такое положительное 8, что при всех Дл:, удовлетво-
удовлетворяющих неравенству | Ал: | <^ 8, имеет место неравенство | Ду \ <d s,
т. е. всем значениям х = х0 -\- Ах,
достаточно «близким» к х0, У-
соответствуют значения /(лг) =
=f(xQ-{-Lx)> как угодно «близ-
«близки е» К /(.Го).
Дадим такому свойству функции
наглядную интерпретацию. Пред-
Представим себе график функции изго-
изготовленным из проволоки (черт. 44).
Возьмём полую круговую цилин-
цилиндрическую муфту диаметра 2г, где
е — заранее данное число, и поместим её так, чтобы середина оси
муфты находилась в точке М(х0) /(•#<)))> а самая ось была направ-
направлена параллельно оси Ох. Тогда можно подобрать такую длину
муфты 28 (быть может, и очень малую), что часть проволоки — гра-
графика функции, соответствующая интервалу [х0 — 8, х0 -f- о], не де-
деформируясь, будет целиком заключена внутри муфты. Ясно, что
чем меньше назначенный диаметр муфты, тем, вообще говоря, она
должна быть короче («чем меньше е, тем меньше 8»).
Предельное соотношение (*) можно записать так:
Нт/(лго-|-Длг)=/С*0).

108 гл. П. предел [35
Если обозначить хо-\-кх через xf то при Длг-> 0 л; будет стре-
стремиться к своему значению дг0 и последнее равенство можно пере-
переписать так:
lim/C*)=/C*0).
X —> Xq
Эго приводит к несколько иной формулировке понятия непре-
непрерывности функции в точке.
Определение. Функция называется непрерывной в точке
д?о, если она определена в какой-нибудь окрестности этой точки
и если предел функции при стремлении независимой переменной
х к лг0 существует и равен значению функции при х = х<>.
Итак, для непрерывности функции y=f(x) при х = Хц необхо-
необходимо выполнение трёх требований:
1) f(x) должна быть определена в какой-нибудь окрестности
точки дг0;
2) t?jx} должна иметь предел, когда х произвольно *) стре-
стремится к х0;
3) этот предел должен совпадать со значением функции
в точке х0.
Определение. Функция, непрерывная в каждой точке ин-
интервала, называется непрерывной в этом интервале.
Геометрически непрерывность функции y=f(x) означает, что
ординаты её графика, соответствующие двум точкам оси Ох, как
угодно мало отличаются друг от друга, если расстояние между
этими точками достаточно мало. Поэтому график непрерывной
функции представляет собой сплошную линию без разры-
разрывов; если её можно фактически вычертить, то, двигаясь в одном
направлении, скажем слева направо, это можно сделать, не отрывая
карандаша от графика. (В дальнейшем мы встретим такие примеры
непрерывных функций, что нельзя представить себе, как факти-
фактически можно было бы полностью вычертить их графики (черт. 45
и черт. 62)).
Отметим, что предельное равенство Нт/(лс)=/(лс0), выражаю-
х-+х0
щее, по определению, непрерывность функции при x = xQ) можно
переписать так:
(**)
Значит, если символ предела и символ функции можно пере-
переставить между собой, то функция непрерывна при предельном
значении аргумента.
*) Если х0 совпадает с концом интервала определения функции /(х),
то формулировку первых двух требований нужно несколько изменить: должны
рассматриваться лишь значения ху лежащие справа от х0 (если х0 — левый
конец) или слева от х0 (если х0 — правый конец), и соответственно этому х
должно стремиться к х0 справа (или слева;.

36] § 3. непрерывные функции ' 109
Если заранее известна непрерывность функции в предельной
точке, то равенство (**) выражает следующее важное правило
предельного перехода:
Для того чтобы найти предел непрерывной функции, доста-
достаточно в выражение функции вместо аргумента подставить его
предельное значение.
В п° 33 (пример 5) мы доказали, что Нт/(лг) =/(лг0), если
х-+х0
f(x)— дробно-рациональная функция. Значит, дробно-рациональная
функция непрерывна во всех точках области определения. В част-
частности, любой многочлен непрерывен на всей оси Ох,
36 D3). Точки разрыва функции.
Определение. Точка х = х0 называется тонкой разрыва
фущшии_х=/(#), ??ли /С*) определена в некоторой окрестности
точки х0 за исключением самой этой точки или если f(x) опре-
определена и в самой точке Jt0» но не выполняется 2) или 3) требо-
требование из указанных в п° 35;
другими словами:
либо f(x) не имеет предела, когда х произвольно стремится
к jc0, либо этот предел существует, но не совпадает со значе-
значением функции в точке лг0 *).
Функцию y—f(x), имеющую точку х0 точкой разрыва, назы-
называют разрывной в этой точке; говорят ещё, что функция у =f(x)
в точке х = х0 претерпевает разрыв.
Точку х = х0 называют точкой бесконечного разрыва функ-
функции, если в окрестности точки х = х0 эта функция является не-
неограниченной (и, в частности, бесконечно большой);
говорят, что при переходе аргумента х через х0 функция совер-
совершает при этом бесконечный «скачок». В противном случае разрыв
называется «конечным».
Пусть в точке х0 существуют левый и правый пределы функции
f(x)9 т. е. f(xQ — 0) и /(.*о+ °) (см. п° 29). Если
/С*о —О)^/С*о + О) или f(xQ — 0)=
то х0, очевидно, является точкой разрыва; при этом она называется
точкой разрыва первого рода.
Определение. Тонкой разрыва первого рода функции
f(x) называется такая точка разрыва, в которой функция f(x)
имеет левый и правый пределы.
*) К точкам разрыва функции причисляют также точки (быть может, и
не удовлетворяющие данному определению), являющиеся «предельными» для
совокупности точек разрыва функции. Такова точка х = 0 для функции
у— _ # Эти более сложные случаи мы оставляем в стороне.
sm —

по
ГЛ. II. ПРЕДЕЛ
[36
Всякая точка разрыва не первого рода называется точкой
разрыва второго рода.
В точке разрыва первого рода функция имеет конечный скачок.
Приведём примеры разрывных функций.
1) Функция у = ~ разрывна в точке х = 0> так как при этом
значении х функция не определена (разрыв здесь бесконечен). Если х
стремится к нулю слева, то функция стремится к —оо, а если
справа, то к -|~°°-
Функция у = tgх (черт. 30) разрывна в точках x = Bk -\~ 1)^-,
где k — любое целое число, так как при этих значениях х функ-
функция не определена (разрывы здесь также бесконечны).
Черт. 45.
Если х стремится к Bк-\-\)^ слева, то функция стремится
к -{-оо, а если справа, то к —оо.
Точка х = 0 является точкой разрыва (конечного) функции
y=sin—, но в отличие о г первых двух примеров функция
j/ = sin— не имеет предела, как бы х ни стремилась к нулю —
по произвольному закону, или только справа или только
слева; у постоянно колеблется при этом между — 1 и -J-1
(черт. 45).
Всё это — примеры точек разрыва второго рода.
2) Функция y=f(x) такая, что при всяком х^О она опреде-
определяется формулой
У =/(¦*) = Ц;>
1 -{-2 х
а при х = 0 равна нулю: /@) = 0 имеет разрыв (конечный) в точке

36] § 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИЙ 111
х — 0, ибо не выполняется второе из условий непрерывности: функ-
функция не имеет предела при произвольном стремлении аргумента х
к нулю. Действительно, пусть х стремится к нулю справа, т. е.
оставаясь положительным, тогда * -}- оо, 2 * — оо и
lim Ц-=0, т. е.
1+2*
если же х стремится к нулю слева, т. е. оставаясь отрицательным,
1
то 1—. — со, 2*—-О и
X
Пт Ц- = 1> т.е. /@ — 0)=1.
лг—О —
+ 2Л*
Таким образом, рассматриваемая функция имеет различные пределы,
когда х стремится к нулю только справа или только слева (т. е.
различные левый и правый пределы). Это указывает на отсутствие
предела функции при произвольном
стремление х к нулю, и значит, точка
х = 0 является точкой разрыва пер-
первого рода.
График рассматриваемой функ-
функций имеет вид, изображённый иа
черт. 46. О *
Какое бы ни выбрать вместо у==0 и 46
другое значение функции при х=0, ерт<
вое равно добиться непрерывности этой
функции при х = 0 нельзя, так как функция при х —О не имеет
предела и разрыв в точке х = 0 сохранится при любом значе-
значении /@).
3) Определим функцию у=/(х) следующим образом: f{x) равна
х при всех х за исключением лг=1; при х=1 её значение равно
у. Записывают это так:
Наша функция f(x) разрывна в точке х=\. Действительно, пре-
предел ее при х, стремящемся к 1, существует, но он равен 1, а не
у, как это нужно было йы для непрерывности. График

112
ГЛ. II. ПРЕДЕЛ
[36
У
функции (черт. 47) состоит из всей прямой у = х без точки A, 1),
вместо которой графику функции принадлежит точка (l, у]. Для
этой функции /A—0)=/A -|-0) т^/О) и, значит, точка дг = 1
является точкой разрыва первого рода.
Если при х, произвольно стремящемся к jc0, существует lim/(x),
то в случаях, когда этот предел не равен /(х0), т. е. если
/(jc0 — 0) =/(х0 -(- 0) Ф f(xQ) или функция f(x) не определена
в точке х0, говорят, что точка разрыва х0 есть «точка устра-
устранимого разрыва» (функция f(x) в точке
х0 имеет «устранимый разрыв»), а отыскание
предела иногда называют устранением
разрыва. Находя limf(x)- и принимая это
х-*х0
число в качестве значения /(х0), мы как бы
«устраняем» в точке х0 разрыв, делая функ-
функцию непрерывной в этой точке. (Так, напри-
например, функция в примере 3) имеет в точке
х=1 устранимый разрыв.)
Пусть функция в некоторой точке х0 имеет
устранимый разрыв. Предел функции при стремлении
независимой переменной к этой точке иногда по традиции называют «истин-
«истинным значением» функции в этой точке, а само нахождение предела
«раскрытием неопределённости».
Так, например, говорят, что -~- есть «истинное значение» функции
х — 3
У = Х2 q при х = 3. Если рассматривать новую функцию, совпадаю-
х — 3
щую с у = ^2 при всех значениях л:, отличных от лг = 3, а при лг = 3
1
равную -g-, то она окажется не только определённой, но и непрерывной
всюду, в том числе и при х = 3.
Ещё пример: функция у = х sin — не определена при х = 0, а при
1
л:-—0 стремится к нулю, так как
х sin-
\х\
sin —
X
1*1.1=1*
поэтому другая функция, заданная так: у = х sin —, если х ф 0, и у = 0,
если х = 0, определена и непрерывна для всех х.
Однако мы не будем придерживаться указанной терминологии, потому
что с таким же правом можно приписать функции, не определённой при
х = *0, значение, отличное от её предела при х -^ х0, и, вообще говоря, нет
никаких оснований считать одно из этих значений «истинным», а другое —
«не истинным».
Содержание понятия функции настолько обширно, что можно
мыслить разрывные функции весьма сложной структуры, например,
такие, которые определены и разрывны в каждой точке числовой

37| § 3. "ЙЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ИЗ
оси *). Однако в естествознании и в технике приходится иметь дело
в большинстве случаев лишь с непрерывными функциями.
Точно так же и функции, которые будут чаще всего встречаться
в этой книге, а именно, элементарные функции (см. п° 12), оказы-
оказываются непрерывными всюду, где они определены. Об этом будет
сказано в п° 39.
37 D4). Общие свойства непрерывных функций. Предположе-
Предположение, что функция непрерывна в каждой точке замкнутого ин-
интервала (т. е. непрерывна в замкнутом интервале), само по себе
уже обусловливает наличие у функции
ряда важных свойств общего харак-
характера **). Укажем некоторые из этих
свойств.
Теорема I. Функция, непрерыв-
непрерывная в замкнутом интервале, дости-
достигает на этом интервале по меньшей
мере один раз наибольшего и наи- 0 а ?г ?, ?, b х
меньшего значений. ч 48
Пусть функция y=f(x) непре-
непрерывна в интервале [а, Ь] (черт. 48). *
Теорема утверждает существование в интервале [а, Ь\ по меньшей
мере одной такой точки %ъ а^%х^Ьу и по меньшей мере одной
такой точки ?2, а^?2^?, что значения функции в этих точках
являются соответственно наибольшим и наименьшим её значениями
во всём интервале [а, Ь\:
) )
для ВСех х>
Это утверждение делается, вообще говоря, неверным, если не
предполагать замкнутости интервала. В самом деле, например,
функция у = х непрерывна в любом открытом интервале (а, Ь),
но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений:
она достигает этих значений как раз на концах интервала, хно они
из интервала исключены. Точно так же теорема перестаёт быть
верной для разрывных функций. Читатель подумает над примером
*) Примером может служить функция, равная нулю во всех иррацио-
иррациональных точках и равная единице во всех рациональных точках. Областью
определения этой функции служит вся ось независимой переменной, причём
каждая точка оси есть точка разрыва функции. Любопытно, что для такой,
казалось бы очень «сложной» и «вычурной» функции построено несколько
различных аналитических выражений (с участием операции предельного
перехода), каждое из которых в точности представляет эту функцию.
**) Читателя, желающего ознакомиться с доказательствами приводимых
дальше трёх теорем, мы отсылаем к более полным курсам анализа (см. сноску
на стр. 105).
5 А. Ф. Бермант

114 гл. Н. предел C7
функции (заданной хотя бы графически), определённой и разрывной
в замкнутом интервале, не удовлетворяющей теореме I.
Теорема II. Функция, непрерывная в замкнутом интер-
интервале и принимающая на концах этого интервала значения раз-
разных знаков, по меньшей мере один раз обращается в нуль внутри
интервала.
Допустим, что y=f(x) непрерывная в \а, Ь] и что/(а)<^0,
a/W!!>0 (или /(я)^>0, а /(#)<[ 0)- Теорема утверждает суще-
существование по меньшей мере одной такой точки % внутри интервала
[а, Ь]у а<^%<^Ь, что /(?) = CL Геометрически это означает тот
очевидный факт, что непрерывная линия — график непрерывной
функции, — соединяя точку Л, лежащую под (над) осью Ох, с точ-
точкой В, лежащей над (под) осью Ох, обязательно пересечёт ось Ох
D хотя бы в одной точке (черт. 49). Раз-
Разрывные функции, вообще говоря, не об-
обладают этим свойством.
,., Теорему II можно формулировать в
более общем виде:
Функция, непрерывная в замкну-
¦ том интервале, принимает внутри ин-
* тер вала по меньшей мере один раз любое
значение, заключённое между её значе-
значениями на концах интервала.
Черт. 49. Пусть f{a) = m, f(b) — M и пусть,
например, т<^М (предположение, что
т^>М, не вызовет никаких существенных изменений в рассужде-
рассуждении). Возьмём какое-нибудь число \х, заключённое между т и М:
т<^\*<^М. Предложение утверждает существование в интервале
[а, Ь\ по меньшей мере одной такой точки ?, что /(?) = (а. Это
предложение немедленно сводится к теореме II. В самом деле, возь-
возьмём вспомогательную функцию
на концах интервала она принимает значения разных знаков: ср(а) =
=f(a) — \x = m — [x<0 и <?(b)=f(b) — [x = M — ц>0. Так как
функция <р(лг) непрерывна в [а, Ь] *), то в силу теоремы II она обра-
обращается в нуль при некотором 5, заключённом между а и Ь, т. е.
= 0. Таким образом, /(?) — (j. = 0, т. е. /(?) = ц.
*) Это очевидно само по себе, но легко дать и простое доказательство.
Мы имеем:
Д? (X) = <р (А" + Ддг) - <f (X) = [/<* + -И - I»!
i\ так как, по условию, Д/(л:) —0 при Дл: —0, то и Д-р (х) -* 0, а это и озна-
означает, что <р (*)—непрерывная функция.

37]
§ 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
115
Геометрически это предложение означает, что любая прямая
j/ = (j,, параллельная оси Ох и проходящая между начальной и ко--
нечной точками непрерывной линии, пересечёт её по меньшей мере
один раз. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением .#==<;,
при котором /(?)== A (черт. 50). Это предложение показывает, что
Непрерывная функция, переходя от одного своего значения
к другому, обязательно проходит через все промежуточные зна-
значения; в частности,
Непрерывная в интервале функция принимает в этом интер-
интервале по меньшей мере один раз любое значение, заключённое
между её наименьшим и наибольшим значениями.
Теорема III. Если функция yz=zf(x) непрерывна в замшу-
том интервале [а, А], то для любого положительного г можно
указать такое положительное 8, что
как только
независимо от значения х,
Таким свойством функция f(x) обладает в» каждой точке интер-
интервала [а, Ь] в отдельности, так как оно, по определению, присуще
функции, непрерывной в данной точ-
точке (п° 35). При заданном х каждому е,
г]>0, соответствует такое 8, 8]>0, что
из неравенства 0<[|Ajc|<^8 следует
I Ау1 = 1/С* + д-*0— /(*I<Л Однако д
отсюда ещё нельзя сделать вывод, что
для каждого е можно подобрать 8, при- т
годное для любой точки интервала.
В самом деле, будем рассуждать так.
Если взять две, три, вообще конечное
число п точек интервала х{, хъ ..., хп>
то, очевидно, мы получим п значений
0
Черт. 50.
для 8, соответствующих одному и тому же е Aи 8а, ... , 8Я),
среди которых наименьшее — обозначим его через 8т — будет го-
годиться для любой из взятых точек; именно, значение f(x) в произ-
произвольной точке 8т-окре^тности любой из наших точек xt будет от-
отличаться от значения f(xt) (no абсолютной величине) меньше чем
на* г. Но если рассмотреть бесконечную носледова]ельность точек
интервала Х\> xit ..., хп, ..., то нельзя заранее отрицать возмож-
возможности такого случая, когда при переходе от одной точки хп к сле-
следующей хп,л требуемое значение 8 уменьшается, стремясь к нулю
при я—>оо; тогда общего для всех рассматриваемых точек значе-
значения 8 существовать не будет. Тем более нельзя быгь заранее уве-
уверенным в том, что такое общее о существует при каждом е, е^0?
для всех точек интервала [а, Ь\

116 гл. П. предел 137
И'вот теорема III у1верждает, что таких случаев быть не может
и что, стало быть, всегда можно при одном и том же е указать 8, год-
годное для всех точек замкнутого интервала, в котором функция непре-
непрерывна. Это означает, что для того, чтобы добиться заданной степени
близости между двумя значениями функции, достаточно только обеспе-
обеспечить одну и ту же степень близости между соответствующими значе-
значениями аргумента независимо от того, где именно в замкнутом интервале
находятся эти значения. Такое обстоятельство свидетельствует об
известной «равноправности», «одинаковости» или «равномерности»
всех частей интервала по отношению к выбору 8 по заданному е;
поэтому свойство функций, устанавливаемое теоремой III, называется
равномерной непрерывностью. Следовательно, теорему III
можно формулировать ещё так:
Функция, непрерывная в замкнутом интервале, — равномерно
непрерывна в нём.
С помощью употреблённой уже нами в п° 35 интерпретации
свойства непрерывности можно сделать очень наглядным и свойство
равномерной непрерывности (см. черт. 44). Согласно утверждению тео-
теоремы III по заданному диаметру, равному 2е, цилиндрической муфты,
можно подобрать такую её длину, равную 28 (быть может, и очень
малую), что муфту окажется возможным, нигде не задев проволоки,
передвинуть вдоль проволоки, которой придана форма графика функ-
функции, из одного её конца в другой; при этом середина оси муфты по-
постоянно находится на проволоке, а ось её постоянно остаётся парал-
параллельной оси независимой переменной.
Свойство равномерной непрерывности функций играет большую
роль в различных вопросах математического анализа.
Легко показать, что теорема III, вообще говоря, не верна для
незамкнутого интервала. Например, функция у = — непрерывна в по-
полузамкнутом интервале @,1], но эта непрерывность не является рав-
равномерной. Действительно, для каждого е, е^>0, каким бы ни вы-
выбрать §^>0, можно найти такую точку хо^>О, что для неё условие,
определяющее непрерывность функции, не будет выполняться. Для
такой точки х0 должно быть:
или
а это неравенство (учитывал, что можно считать xQ<^\) заведомо
будет иметь место, если
т. е.

38] § 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 117
откуда
*.<»D-
Таким образом, по заданным е и 8 всегда можно указать требуе-
требуемое значение х—х^.
38 D5). Операции над непрерывными функциями. Непрерыв-
Непрерывность элементарных функций.
I. Допустим, что мы имеем вообще известный запас функций,
из которых другие функции образуются посредством арифмети-
арифметических операций и операций взятия функции от
функции, причём все эти операции берутся в конечном числе.
(Напомним, что именно так элементарные функции образуются из
основных элементарных функций.)
Докажем, что ^
Если исходные функции непрерывны, то получающиеся из них
указанным только что путём функции также будут, вообще
говоря, непрерывны.
Это предложение будет вытекать из нижеследующих четырёх
теорем, утверждающих непрерывность функции, которая получается
в результате применения- к а ж до й из наших операций к непрерыв-
непрерывным функциям.
Теорема I. Сумма (алгебраическая) двух, трёх и вообще
определённого конечного числа функций, непрерывных в некото-
некоторой точке, является функцией, непрерывной в той же точке.
Доказательство. Пусть дано определённое число функций
и, v, ..., ty непрерывных в точке лг = лг0. Требуется доказать, что
их сумма w = u-\-v~{~ ... -\-t будет также функцией, непрерывной
в точке х = х0. Так как функции непрерывны, то
lim u = u0, lim v = vQi ..., lim t = tOi
X-*Xq X-+Xq
где ft0, vQi ..., t0 —соответствующие значения- функций и, v9 ...
..., t в точке х = jc0. В силу теоремы о пределе суммы (п° 32)
имеем:
lim w= lim (u-\-v ~f . • • +0= Hm uJr lim vJr ••• + lim t =
X-+X0 X-*X0 X^>X0 X-+X0 X-+Xo
+ + +
где Wq — значение функции w при x = xQy а это и доказывает
непрерывность функции w в точке х = х0.
Теорема II. Произведение двух, трёх и вообще определён-
определённого конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке.-
является функцией, непрерывной в той же точке.

118 гл. И. предел 138
Доказательство. Сохраняя обозначения теоремы I при усло-
условии, что w = и • v ... tt имеем в силу теоремы о пределе произве-
произведения (п° 32):
lim w = lim (и • v ... t) = lim и • lim и ... Jim t =
= Mo ' Щ • • • *0 = Щ-
Что и требовалось доказать.
Теорема III. Частное двух функций, непрерывных в некото-
некоторой точке, является функцией, непрерывной в той же точке,
если только знаменатель не обращается в ней в нуль.
Доказательство. По-прежнему при условии, что w = —,
в силу теоремы о пределе частного (п° 32) имеем:
lim и
lim да = Urn - = ^- = ^ = wQ.
X-*Xq
Что и требовалось доказать.
Теорема о пределе частного справедлива только, если Шпг> =
Теорема IV. Сложная функция, составленная из определён-
определённого конечного числа непрерывных функций, непрерывна.
Доказательство. Достаточно доказать эту теорему для
случая цепи функций из двух звеньев, потому что тогда последова- ч
тельно можно её распространить на случай цепи из любого конеч-
конечного числа звеньев.
Пусть y=f(z)9 a ^ = cp(jc), так что
причём 9(jc) непрерывна при x = xQ, a f(z) непрерывна при z = zQ,
где zQ = ср (х0). Утверждение теоремы состоит в том, что у как
функция х, т. е. F(x), непрерывна при х=х0.
Действительно, в силу того, что z —> zQ> при х -> х0 и непре-
непрерывности функции / имеем:
lim y= lim /(г)=/(г0),
х-*х0 г-+г0
НО
и, значит,
lim j,= H
л; -» A'o x -»>
Что и требовалось доказать.
Теорема V. Функция, обратная монотонной и непрерывной
функции, непрерывна.
Доказывать это предложение мы не будем,

38] § 3. непрерывные функции 119
II. На основании сказанного в I, непрерывность элементар-
элементарных функций вытекает из непрерывности функций, составляющих
начальный запас, т, е. из непрерывности основных элементар-
элементарных функций. Собственно говоря, во всём предыдущем изло-
изложении, в частности при описании свойств и графиков основных
элементарных функций в гл. I, мы уже неявно предполагали, что
эти функции непрерывны (то же самое предположение делается и
в элементарной математике).
Цель и рамки этой книги также вынуждают нас опустить иссле-
исследование вопроса о непрерывности основных элементарных функций *).
Ознакомим читателя с доказательством непрерывности лишь тригоно-
тригонометрических и обратных тригонометрических функций, которые можно легко
вывести прямо из геометрического определения этих функций.
Теорема. Каждая из тригонометрических функций jy = sin л:,
^ = cosat, y = tgx и т. д. непрерывна в любой точке х, в которой она
определена.
Доказательство. Начнём с функции у = sin х. Докажем, что
lim [ sin (л: + Да:) — sin л:] = О
при любом х. Имеем:
lim [ sin (л* + Ах) — sin х] = 2 lim sin — • cos f x + -х- I •
д*-+о д*-+о1. * V * /J
Если Ал: —> 0, то и -^ 0, и мы сейчас покажем, что при этом и sin-^-
стремится к нулю. Из этого будет следовать требуемое предельное равен-
равенство, ибо второй множитель I cos ( х + -~-) J — функция ограниченная.
Докажем вообще справедливость соотношения
lim * sin a =0,
а-*0
означающего в силу равенства sin 0 = 0, что функция у = sin а непрерывна
приа = 0. Так как а—-0, то можно считать, что |в|<-у. Возьмём круг
радиуса, равного 1, и отложим от какого-нибудь радиуса, например от гори-
горизонтального, по обе стороны от него по углу а. Хорда, соединяющая концы
проведённых радиусов, равна, по определению, 2 sin a, a дуга окружности,
стягиваемая хордой, равна 2а. Ясно, что хорда меньше дуги и поэтому
2 | sin а | < 2 | а \ или | sin о | < | о |;
следовательно, если а —0, той sina—*0. Что и требовалось доказать.
Функция у = cos х непрерывна при любом х, ибо функции _y=sin? и
z = х + -у, образующие сложную функцию у = sin (х + -?Н = cos x, непре-
непрерывны.
*) Как и раньше, для ознакомления с детальным изложением мы отсы-
отсылаем интересующегося читателя к более полным курсам анализа (см. сноску
на стр. 105).

120 ГЛ. II. ПРЕДЕЛ {39
п, ^ х sin л:
Точно так же функция y=zigx~ в силу непрерывности числи-
числителя и знаменателя непрерывна при каждом х, кроме тех, для которых
cos х = 0, т. е. кроме х = B/г + 1) -~- > ГДе п — любое целое число или нуль.
Подобным же образом доказывается непрерывность других тригонометри-
тригонометрических функций.
Теорема. Обратные тригонометрические функции у = arcsin xy
у = arccos ху у = arctg х и т. о, непрерывны в любой точке х, где они
определены.
Доказательство. Каждая из обратных тригонометрических функций
(говоря точно: их главные ветви) является функцией, обратной функции не-
непрерывной и монотонной, и потому (теорема V) есть сама функция, непре-
непрерывная и монотонная. (Так, например, функция у = arcsin x обратна непрерыв-
непрерывной и возрастающей в интервале —~-, -^-1 функции- у = sin л:.)
Точками разрыва элементарной функции могут быть только те
значения независимой переменной, при которых какие-нибудь и$
составляющих функцию элементов делаются неопределёнными
или при которых обращаются в нуль знаменатели участвующих
в выражении функции дробей.
Таким образом, интервал непрерывности элементарной функ-
функции точно совпадает с её интервалом определения.
Отсюда следует простое, практически удобное правило пре*
дельного перехода:
Для того чтобы найти предел элементарной функции, когда
аргумент стремится к значению, принадлежащему области опре-
определения функции, нужно вместо аргумента в выражение функции
подставить предельное значение.
Это правило — очень важное, поскольку в применениях анализа
употребляются преимущественно элементарные функции.
Случаи, когда аргумент стремится к бесконечности или к другому
какому-нибудь значению, являющемуся точкой неопределённости
функции, требуют всегда специального рассмотрения.
§ 4. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ.
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
39 D7). Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные беско-
бесконечно малые.
I. Порядок бесконечно малой. Для того чтобы сравнить
между собой две бесконечно малые величины, берут предел их
отношения.
Пусть аир — бесконечно малые величины и пусть lim -|- = 0.
Это означает, что а стремится к нулю не только по своей «соб-
«собственной» величине, измеренной постоянной единицей, но и по
своей «относительной» величине, измеренной бесконечно малой пе-

\
39J § 4. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 121
ременной «единицей» р. В этом случае а называется бесконечно
малой высшего порядка (или высшей малости), чем р.
Можно сказать, что здесь а «быстрее» стремится к нулю, чем р.
Приведём пример. Пусть ал = -^, а ря = — (п -> оо). Сравнивая
эти бесконечно малые, находим, что ап — бесконечно малая высшего
порядка, чем 8„, так как ап = ф1 и
lira ¦&= lim &-= lim ?„ = 0.
п—>оо P/i д->оо ™ /г—юо
Если а — бесконечно малая высшего порядка, чем р, то говорят
также, что р — бесконечно малая низшего порядка, чем а.
При этом
о
lim — = oo.
а
Определение, а является бесконечно малой величиной
соответственно высшего порядка, чем JJ, низшего порядка, чем {5,
или одного порядка с % в зависимости от того, будет ли Нт-~
равен нулю, бесконечности или конечному чис'лу, отличному от
нуля.
С нулём, рассматриваемым как-бесконечно малая величина, не
сравнивают никакую другую бесконечно малую величину, так как
на нуль делить нельзя *).
Сравнение двух бесконечно малых уточняется следующим обра-
образом: бесконечно малая величина а имеет k-й порядок малости
относительно бесконечно малой р, если -^ стремится к пределу,
отличному от нуля.
Если fc>l, то а — бесконечно малая высшего порядка, чем C, а если
а
1, то низшего порядка. В самом деле, раз-^—>?=?(), т. е.-^х—+ВУ то
а , а \ .
в первом случае -^ должно стремиться к нулю (иначе — • j^rr не могло бы
Р Н Р
стремиться к пределу), а во втором случае -g- должно стремиться к оо (иначе
— • p1-fe не могло бы стремиться к числу, отличному от нуля).
Когда одновременно имеют дело с несколькими бесконечно ма-
малыми, то обычно одна из них выбирается в качестве «единицы из-
измерения», «эталона», с которой сравниваются все другие бесконечно
малые.
*) Мы также не сравниваем две бесконечно малые величины а и р, еслц
их отношение не имеет' предела,

122 гл. II. предел 139
II. Эквивалентность бесконечно малых.
Определение. Если а и р — бесконечно малые величины
одного порядка, причём
то они назы^шбтся эквивалентными, или равносильными. В этом
случае также lim ~ = 1.
Имеет место следующее простое, но важное предложение.
Прямая теорема. Если а и [J — эквивалентные бесконечно
малые, то разность между аир есть бесконечно малая высшего
порядка, чем а и чем f).
Доказательство. Полагая а — C = у, получим:
так как — стремится к единице. Точно так же lim—=0.
Обратная теорема. Если две бесконечно малые а и р
отличаются друг от друга на бесконечно малую высшего порядка,
то они эквивалентны.
Доказательство. Пусть у = а — Р и ~ -> 0 (или -|--> 0).
Нужно доказать, что -—>!. Но — = а ~ ^ =1— —; поэтому из
— ->0 следует — -*> 1. Точно так же из -™->0 следует -^--^Ь
a J ос р "^ р
Эквивалентность бесконечно малых а и р иногда обозначается
так: а~ р.
Пример. При п->оо бесконечно малая ад = Уг"^ эквивалентна
бесконечно малой (Зя = —', так как они отличаются друг от друга
на бесконечно малую высшего порядка: ап — рл = —. Их отношение
стремится к единице:
Во многих вопросах можно без всякой ошибки просто заменять
бесконечно малые им эквивалентными *). Например, справедливо та-
такое предложение:
Предел отношения бесконечно 'малых не изменится, если
заменить их эквивалентными бесконечно малыми.
*) Этим и объясняется термин «эквивалентные» или «равносильные» бес-
бесконечно малые.

§ 4. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ l23
В самом деле, пусть а^аг, Р~рг. Тогда
?'\ а а' Р' а' а'
hm-7r=hm —г • it • V = btti—r • lim ту- • hm-^== 1 • lim-гт-- I = hm-кг.
p \aPp/ a '? P p p
Из этого предложения следует, что, отыскивая предел отноше-
отношения -г- бесконечно малых величин а и В, можно отбрасывать и в чи-
р
слителе, и в знаменателе бесконечно малые высших порядков (ибо,
по доказанному выше, это равносильно замене бесконечно малых
величин а й р эквивалентными величинами).
В связи с понятием эквивалентности бесконечно малых величин
затронем вопрос о приближённом выражении одной функции по-
посредством Другой. "Пусть две функции и и v при х-+х0 (или х-^оо)
стремятся к одному и тому же пределу Л, т. е. lim и = lim v = А. Тогда
Нт(н — v) = 0, т. е. и — v = a есть бесконечно малая величина.
Таким образом^ если в окрестности точки х0 (или при достаточно
больших по абсолютной величине значениях х) заменять значения
функции и значениями функции v, то абсолютная ошибка а будет
бесконечно малой величиной. Однако «качество» приближения, как
известно, оценивается не по абсолютной, а по относительной ошибке.
Говорят, что
При х -> xQ (или х -> оо) значения величины v с «неограничен-
ной точностью» выражают значения величины и, если относитель-
относительная ошибка приближённого равенства u^^v стремился к нулю,
Если А ф 0, это так и будет:.
а —OuJL d M>i А
—> ¦ —~———
и и
— о
A
Но при Л = 0, т. е. когда обе функции и и v — бесконечно малые
величины, относительная ошибка может и не быть бесконечно малой.
Она будет бесконечно малой только в том случае, когда и и v —
эквивалентные бесконечно малые. В самом деле, из того, что
— — ———— r \j
и и
следует, что и и v различаются на бесконечно малую высшего по-
порядка, чем они сами, т. е. что они эквивалентны.
Итак, эквивалентность бесконечно малых величин есть то
условие, при котором значения одной из них являются прибли-
приближёнными значениями с неограниченной точностью для
значений другой.
Это также выражают в следующих словах:
Каждая из двух эквивалентных бесконечно малых' есть глав-
главная часть другой.

124 гл, И. предел [40
Определение. Главной частью бесконечно малой величины
называется бесконечно малая величина, отличающаяся от дан-
данной на бесконечно малую высшего порядка.
Например, при п->оо бесконечно малая величина рп = — является
главной частью/бесконечно малой величины а/г= п~[2-¦¦-.
40 D8). Примеры отношений бесконечно малых. Найдём здесь
в качестве примеров пределы трёх отношений бесконечно малых
величин. Последний из них имеет большое значение в анализе.
I. lim л_= . Функция, стоящая под знаком предела, не
определена при х = 0, так как знаменатель обращается в нуль.
Выполним простые алгебраические преобразования:
lim
+ 3)
" + 2
Теперь уже нужно найти предел функции, непрерывной при х = 0;
согласно известному правилу (п° 38) он равен ¦ . —— = -?г.
J * J V ' V K4+0 +2 2
II. Htn——~ . Поступая аналогично, получим:
2 x
_
Мы видим, что числитель и знаменатель при лг->0 суть эквивалент-
эквивалентные бесконечно малые величины:
достаточно малых х можно считать приближённо
с как угодно малой относительной ошибкой.
Вычислим, например, }Лб27. Имеем:
= V Ь-25 + 2 */625 • "|/l + Jg ~2s(l + -^) = 25,040.

40)
§ 4. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
125
Результат этот — хорошей точности, так как |/"б27 с тремя верными
знаками равен именно 25,040.
Таким же образом можно показать, что вообще V а2 -\- b можно по-
полагать приближённо равным а-\-~-, если Ь мало сравнительно с д2.
III. Рассмотрим теперь очень важный предел — предел отношения
синуса к своему аргументу при произвольном стремлении этого
аргумента к нулю:
,. sin а
Для отыскания этого предела будем исходить из геометриче-
геометрического определения синуса. Возьмём окружность радиуса 1; тогда
|а| будет- измерять длину дуги. Так
как является чётной функцией, то до-
Черт. 51.
статочно рассмотреть случай, когда а ^
Поступим теперь так же, как и в п°38.
Отложим по обе стороны от какой-ни-
какой-нибудь точки А (черт. 51) равные дуги АС
и АС длины <*<Су (по Условию а де-
делается как угодно близкой к нулю, и
поэтому мы вправе считать а меньшим,
чем yj\ соединим точки С и С прямолинейным отрезком и прове-
проведём к окружности в этих точках касательные CD и CD до их
пересечения в точке D. Имеем:
СВ = С В = sin a, CD = CD = tg а.
Но длина ломаной CDC больше длины дуги САС, которая в свою
очередь больше длины прямолинейного отрезка СС. Значит,
2sina<2a<2tga.
Деля все члены неравенства на 2 sin a, получим:
a ^ COS a '
или
sin a
>cosa.
Так как cos а — непрерывная функция, равная единице при а = 0,
то при а-
> 0 функция ^^ оказывается заключённой между

126 гл. II. предел D1
функциями, имеющими один и тот же предел, равный единице. По
признаку 1, п°34 заключаем, что
,. Sin a
hm = 1.
Таким образом, sin а и а — эквивалентные бесконечно малые:
sin a ~ а. При достаточно малых а можно с как угодно малой о т-
носительной ошибкой заменять sin а через а.
Функция у = —— в точке х = 0 имеет устранимый разрыв.
С помощью найденного предела вычисляются пределы многих
других отношений бесконечно малых величин.
Примеры:
1\ 1. tga .. since I t. sin« «. 1 л
1) lim -2— = hm = hm hm = 1;
a_o * «-o a cosa «-*o a «->oCOSa
O4 t. sin fox ,. ksinka , ,. sin ka , . ,
2) hm = hm —г— = k hm —r— = ¦> • 1 = ?;
0 a ka ^a
3) li
2
Последний пример показывает, что 1 — cos a при a -> 0 есть
бесконечно малая более высокого порядка, чем а и sin a.
41 D9). Число е. Натуральные логарифмы.
I. В математическом анализе очень большую роль играет ещё один
предел, именно
Как мы докажем, этот предел существует при неограниченном воз-
возрастании z по любому закону. Но прежде всего приведём следующее
важное определение.
Определение. Числом е *) называется предел функции
7Г ПРИ
Для оправдания этого определения докажем, что указанный пре-
предел действительно существует.
*) Это обозначение, как и обозначение отношения длины окружности
к диаметру через я, введено в науку Л. П. Эйлером.

§ 4. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 127
Имеем по формуле Ньютона:
v — (\ Л- lY— 1 i п l I * (*-0 1 , /г(лг— 1) (/г — 2) 1 .
i n(n—\)...(n — k+\) J , , n(n—l)...(n — n+\) J_
С увеличением п каждое слагаемое (кроме первых двух) в послед-
последнем выражении для ип увеличивается: общий член суммы
Л 2\ (л k-\
JL 1 L A—^ ... 1 —
k\ \ n )\ n l"'\ n
становится больше с ростом п\ кроме того, добавляются новые поло-
положительные слагаемые. Следовательно, ип — возрастающая функция я.
Но она ограничена; в самом деле, заменив во всех членах правиль-
правильные дроби, стоящие в скобках, единицами, получим:
(см. пример в конце п°34). Поэтому ип как ограниченная монотон-
монотонная функция стремится к некоторому пределу, очевидно, заключаю-
заключающемуся между 2 и 3 ¦).
*) Заметим, что s,j = 1 + 1 + ;>г 4~~ оГ ~Ь • • • Н—Г стРемится к Т°№У же
пределу: \imsn~e. Докажем это. Предел sn в п° 34 мы обозначили через s.
Нам нужно доказать, что s = e. Обрывая на (k~\-\)-M члене выражение для
ип (k < /г), получим:
При л—^оо (и постоянном k) приходим к соотношению
Значит, мы имеем в силу неравенств (*) и (**)
Так как теперь при /г—^с» ик -»е, то отсюда следует:
lim $к = s--= ьч
Что и требовалось доказать,.

128 гл. II. предел [41
Число е — иррациональное и поэтому не может быть точно выра-
выражено какой-нибудь конечной дробью. Приведём его значение с пят-
пятнадцатью верными знаками после запятой:
<? = 2,718281828459045...
При практических вычислениях обычно ограничиваются первыми
двумя-тремя знаками.
Теорема. Функция (I + -- Г при г, произвольно стремя-
стремящемся к оо, имеет предел, равный числу е:
Доказательство. Пусть z стремится к -f-оо произвольным
образом. Всякое его значение, очевидно, заключено между двумя
последовательными целыми числами я и я + 1, n^z^n-\-\. При
этом ясно, что
ИЛИ
( 1 \п
где по-прежнему ия = A-)—J . Но если «г-> + оо, то и #->оо, и
тогда функции, между которыми заключена функция A-| ) , обе
Z
стремятся к числу е:
lim (ип+1 Ц—\= lim un+i - Пп
n-+co\ 1 J_ _____ n-+oo n~>
im j— — e • \=e,
л+1
lim |Mn.(l+l)|= lim «„.lim (l +±) = e • 1 = e.
/г-*оо! \ "/J n-»oo л-*оо \ nJ
A \z
1-j j стремится к числу е, каким бы спо-
способом ни удалялась в положительную бесконечность переменная z.
Нам остаётся рассмотреть случай, когда z произвольным образом
стремится к —оо. Положим z = — (Y_|_i); тогда ?-^ + оо при
-оо. Имеем:*
lim 1+~ )= Нш 1—^г-г = Нт (-_-- =
= lim l+~ = Hm 1+7-1 • lim 1+-fj = e • 1 =-*;
тем самым наше утверждение полностью доказано.

41) § 4. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 129
Таким образом, числом е можно было бы назвать предел функ-
A \z
1+y) ПРИ 2-*оо.
II. Если z =—, то при z->oo лг->0. Поэтому
lim (l-\-l)'= lim A
С помощью этого предельного соотношения мы сейчас рас-
рассмотрим ещё одно интересное отношение двух бесконечно малых
величин.
Найдём
Здесь мы действительно имеем отношение бесконечно малых, так
как limloga(
Выполним следующие преобразования:
lim 1оЬ>^ + *)= lim [-jloge(l +*)]== Ит loge(l +x)~=
= logeflim(l+jf)*|;
последнее возможно вследствие непрерывности логарифма. В силу
только что установленного предельного соотношения находим:
lim lOgAlx+x)=logae.
х-*0 х
Это показывает, что loga(l -\-х) и х при д;->0 — бесконечно малые
одного порядка. Вполне очевидно, что если за основание а
логарифмической функции взять - число е, то loge е = 1 и тогда
\oge(\-\-x) и д; при д;->0 будут эквивалентными беско-
бесконечно малыми величинами: \ogeA -\-х)^х. При достаточно
малых х можно заменять с как угодно малой относительной ошиб-
ошибкой loge A-f-дг) через дг. Несомненно, это должно сильно способ-
способствовать упрощению вычислений, и действительно, в анализе ока-
оказывается наиболее удобным принимать за основание логарифмической
функции число е. Логарифмы по основанию е обозначают посред-
посредством символа In и называют натуральными или неперовыми, по
имени одного из первых изобретателей логарифмических таблиц —
Непера A550—1617).
Так как логарифмы чисел при двух разных основаниях пропор-
пропорциональны друг другу (п° 23), то переход от натуральной системы
логарифмов к какой-нибудь другой, скажем к десятичной, и обратно
не представляет никакого труда.

130 ГЛ. II. ПРЕДЕЛ |41
Натуральные и десятичные логарифмы связаны между собой
формулами:
lgA: = М\пх и \nx = j?\gx9
где
М= lg е = j~ = 0,434294 A = 2,30258б).
Число УИ называется модулем перехода от натуральных логариф-
логарифмов к десятичным. В практических расчётах всегда пользуются деся-
десятичными логарифмами, которые, не имея никаких теоретических пре-
преимуществ перед любыми другими, удобнее в вычислениях, ибо сама
наша система счисления — десятичная.
В этой книге мы везде употребляем натуральную систему лога-
логарифмов.
Так как функции j/ = A -j-л;)* и у— \.х' при х->0 имеют
пределы (соответственно е и 1), то точка х = 0 является точкой
устранимого разрыва этих ^функций.
С помощью указанных пределов отыскиваются пределы и многих
других функций.
Примеры. I) Полагая x = kz, имеем:
+i;)*= lim A+тГ= li
2) Полагая ka = z, имеем:
lim '"('+**>= lim
3) Полагая ah — l = z, имеем: ah = 1 -|- z, h == n . ' 2\ и значит,
lim 7" = lim л^, ч = lim In a. nz. x =? In a.
л ln(l + ^) L ln(l + 2)J
In л
Эти примеры в последующем нам понадобятся.

ГЛАВА 111
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ.
СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ
42 F0). Некоторые понятия физики. Рассмотрим следующие
простые физические явления: 1) прямолинейное движение; 2) линей-
линейное распределение массы; 3) нагревание тела. Для характеристики
этих явлений вводят соответственно такие понятия: I) скорость
движения, 2) плотность, 3) теплоёмкость, которые, с математической
точки зрения, представляют собой, как оказывается, частные виды
одного и того же понятия. Для того чтобы это обнаружить, раз-
разберём каждое из перечисленных явлений в отдельности.
I. Скорость прямолинейного движения. Пусть тело
совершает прямолинейное движение и нам известно расстояние st
проходимое телом за каждое данное время t> т. е. нам известно
расстояние s как функция времени t:
Уравнение, s = F(t) называется уравнением движения, а опре-
определяемая им линия в системе осей Ots — графиком движения.
Рассмотрим движение тела в течение интервала времени М от
некоторого момента t до момента t-\-kt. За время t тело прошло
путь s=F(t)y а за время t-\-At — путь 5 -j- As = F(t -|- Д^). Значит,
за Lt единиц времени оно прошло путь
) — F(t).
Если движение равномерное, то *9 есть линейная функция от t
Дп
(п° 17). В этом случае As = z>0A^ и отношение — (=г;0) показывает,
сколько единиц пути s; приходится на единицу времени t\ при этом

132 ГЛ. Ш. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ D2
оно остаётся постоянным, не зависящим ни от того, какой момент
времени t берётся, ни от того, какое взято приращение времени At.
Это постоянное отношение — называют скоростью равномер-
равномерного движения*). Но если движение неравномерное, то отно-
As
шение дт пути к времени зависит и от t, и от At. Оно называется
средней скоростью движения в интервале времени от t до
t-\-At и обозначается через vcp:
As
v
В течение этого интервала времени при одном и том же пройден-
пройденном расстоянии движение может происходить самым различным обра-
образом; графически это иллюстрируется тем, что между двумя точками
на плоскости Ot$ (точки А и В на черт. 52) можно провести самые
различные линии (ЛС^, АСфу АС%В) — графики движений в данном
интервале времени, причём всем этим разнообразным движениям
соответствует одна и та же средняя скорость ~. В частности, между
точками А и В проходит прямолинейный отрезок (АСВ), являю-
являющийся графиком равномерного в интервале
(t, t -f- At) движения. Значит, средняя
As v
скорость дг показывает, с какой скоро-
скоростью нужно двигаться ргавномерно для
того, чтобы пройти за этот же интервал вре-
мени (/, t-\-Lt) то же расстояние As.
Оставляя прежним t, уменьшим At.
Средняя скорость, подсчитанная для изме-
изменённого интервала (t, t -j- A^), A^ <^ А/, лежа-
лежащего внутри данного интервала, будет, вообще говоря, иной, чем
во всём интервале (t> t -|~ A^)- Из этого следует, что понятие средней
скорости нельзя рассматривать как удовлетворительную ^характери-
^характеристику движения — она (средняя скорость) зависит от интервала, для
которого производится расчёт. Исходя из того, что среднюю скорость
в интервале (t, t -f- At) следует считать тем лучше характеризующей
движение, чем меньше At, заставим At стремиться к нулю. Если при
этом существует предел vCp, то его и принимают в качестве ско-
скорости движения в данный момент t. Эта величина уже
не зависит от способа её подсчёта.
Итак, скоростью v прямолинейного движения в данный мо-
момент t (в данной точке t) называется предел (если он существует)
*) Численно скорость равномерного движения равна расстоянию,
проходимому за единицу времени; размерность скорости в системе CGS:
см/сек.

42) § 1. понятие производной, скорость изменения функции 133
средней скорости т>ср, соответствующей интервалу (ty t -\- Lt) при
стремлении Ык к нулю:
= lim v lim * „m
a<-o cp д^о Ь ы*о
Пример. Рассмотрим снова закон свободного падения (п° 9):
Для средней скорости падения в интервале времени (t, t-\-kt) имеем:
l
а для скорости в момент t
v= lim \
Отсюда видно, что скорость полностью определяется по моменту
времени; в данном случае она пропорциональна времени движения (паде-
(падения).
II. Плотность. Обратимся теперь к важному понятию из дру-
другой области физики, определяемому вполне аналогично понятию
скорости движения.
Возьмём материальную линию (например, проволоку) и будем
двигаться от одного из её концов к другому, измеряя длину 5 прой-
пройденного куска, а также его массу т. Каждому значению 5 соответ-
соответствует определённая масса т, и поэтому последняя является функ-
функцией s: * '
т=Ф (s).
Говорят, что материя распределена равномерно по всей
линии и что эта материальная линия однородна, если два любых
равных по длине участка содержат равные же массы. В этом случае
т есть линейная функция $, точнее: т зависит прямо пропорцио-
пропорционально от s:
где \ — постоянный коэффициент пропорциональности, причём Ат =
— 80Д$, и отношение -^ (= 80) показывает, сколько единиц массы т
приходится на единицу длины 5. Это постоянное отношение назы-
называется плотностью (линейной) однородной линии.
Пусть материя распределена неравномерно. Рассмотрим участок
линии в интервале изменения длины от s до 5 -j- As; масса Lm этого
участка выражается так:
km = Ф (s -J- As) — Ф (s).

134 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ Й ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Отношение ^ массы к длине уже не будет постоянным, а будет
зависеть и от 5 и от As; оно называется средней линейной
плотностью 8 линии (проволоки):
При одной и той же массе А/я на данном интервале (s, s-f-As)
материя может быть распределена самым различным образом, в част-
частности, равномерно. Значит, средняя плотность -^ показывает, с ка-
какой плотностью нужно распределить материю равномерно
на том же интервале (s, s-|-As), чтобы общая масса её осталась
той же самой, равной А//г. Таким образом, средняя плотность только,
как говорят, «в общем», «в среднем», характеризует распределение
материи на данном участке. С целью избежать такой неопределён-
неопределённости вводят понятие плотности в данной точке линии (при
данном s). Это понятие устанавливают, исходя из того соображения,
что средние плотности, соответствующие уменьшающимся участкам
длины As, всё лучше характеризуют распределение материи.
Линейной плотностью *) 8 материальной линии в данной её
точке s называется предел (если он существует) средней линей-
линейной плотности 8ср, соответствующей интервалу (s, s-j-As) при
стремлении As к нулю:
8 = Нш 8ср= lim ?? = Hm *(' + *»>-*('>.
Д5_*0 СР A^0As As-0 *S
III. Теплоёмкость. Возьмём ещё пример — понятие тепло-
теплоёмкости — из учения о теплоте.
Если температура некоторого тела массой в 1 г повышается,
например, от 0 до т, то это происходит за счёт того, что телу
сообщается определённое количество тепла q\ значит, q есть функ-
функция температуры т, до которой тело нагревается:
Пусть температура тела повысилась на Ах. Количество тепла Aq,
затраченное для этого нагревания, выражается так:
Ду=Т(х + Ах) — *Р(т).
Если бы количество тепла q было пропорционально темпера-
температуре х (т. е. если бы q изменялось равномерно с изменением т),
то А^ = г0Ах, и постоянное отношение ^(=с0) показывало бы,
*) Плотность равномерно распределённой материи численно равна
массе, заключённой в единице длины линии; размерность линейной плотности
в системе CGS: г[см.

42 j § 1. понятие производной, скорость изменения функции 135
сколько единиц тепла q приходилось бы на единицу температуры х.
Однако опыт обнаруживает, что отношение ~ не является постоян-
постоянным, а зависит и от х и от Дх; оно даёт нам количество тепла,
которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на 1° в рас-
рассматриваемом температурном интервале {х, х -f- At). Это отношение
носит название средней теплоёмкости сср данного тела в
интервале (х, х -|- Дх):
с —*2
*СР — Ах •
Ввиду того что понятию средней теплоёмкости, так же как и
понятиям средней скорости и средней плотности, присуща известная
неопределённость, то, подобно предыдущим случаям, вводят поня-
понятие теплоёмкости при данной температуре х.
Теплоёмкостью *) с при температуре х (в данной точке х) на-
называется предел (если он существует) средней теплоёмкости,
соответствующей интервалу (х, х -|- Дх) при стремлении Дх к нулю:
1- f bq t. W (т + Ах) — ЦТ (г)
¦ с= lim ссо = hm -г^= hm —1 ^ / у—.
Дт^0 СР Дт-0 Ах ДТ-+О Ат
IV. Скорость изменения функции. В каждом из трёх
изложенных примеров определялось специальное понятие, но, не-
несмотря на всё различие физической сущности этих понятий, они,
с математической точкч зрения, являются одной и той же ха-
характеристикой соответствующей функции.
Разберём теперь вопрос в общем виде применительно к функции
у=с/(х), отвлекаясь от физического смысла переменных х и у.
Пусть сначала f(x) — линейная функция: y—f(x) = ax-{-b.
Если независимая переменная х получает приращение Длг, то функ-
функция у получает здесь приращение Ду = а Дх. - Отношение ~ (= а)
показывает, сколько единиц у приходится на единицу л:, причём оно
остаётся постоянным, не зависящим ни от того, при каком х функ-
функция рассматривается, ни от того, какое взято Длг.
Определение. Постоянное отношение -^- = а называется
скоростью изменения линейной функцииу=ах-\-Ь.
Но если функция y=f (x) не линейная, то
Ах Ах
зависит и от х и от Алг. Однако это отношение в известном смысле,
«в среднем», характеризует функцию при изменении независимой
*) Теплоёмкость измеряется в калориях; размерность калории есть раз-
размерность энергии, т. е. в системе CGS: г ' СМ^ ¦ ,
сек

136 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ Й ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1^3
переменной от данного х до х-f-Длг: это — та скорость линейной
функции, которая в том же интервале (ху х-\-кх) имеет то же
приращение Ау.
Определение. Отношение -^- называется средней ско-
скоростью #ср изменения функции в интервале (х, je-f"^:).
Далее, мы исходим из того представления, что средняя скорость
всё лучше и лучше характеризует функцию при уменьшении длины
интервала ] Длг | (т. е. во всё большей близости к точке х). Это
представление основывается на наглядном факте: различные графики
функций у=/(х), проходящие через две точки А(х, у) и
В (х -f- Длг, у -|- Ау) (см. черт. 52), тем меньше отличаются между
этими точками от отрезка прямой АВ, чем, вообще говоря, меньше
этот отрезок. В силу указанного представления мы заставляем Ах
стремиться к нулю и рассматриваем при этом предельное поведение
средней скорости изменения функции. Если существует предел, то
он принимается в качестве меры, измеряющей «быстроту» или «ско-
«скорость» изменения функции при данном х и называется скоростью
изменения функции. ""
Определение. Скоростью v изменения функции у =f(x)
при значении х (в данной точке х) называется предел (если он
существует) средней скорости *cp:=-^ изменения функции на
интервале (jc, jc-j- Длг) при стремлении Ал; к нулю:
Пользуясь новым термином, можно сказать, что:
1) скорость движения есть скорссть изменения расстояния как
функции времени;
2) линейная плотность есть скорость изменения массы как функ-
функции длины;
3) теплоёмкость есть скорость изменения количества тепла как
функции температуры.
. Понятие скорости изменения функции в точке имеет
очень большое значение и в математике и в других науках, где
оно конкретизируется в виде самых основных и важных специаль-
специальных-'понятий.
43 E1). Производная функция. Скорость изменения функции
y=f(x) определяется посредством следующей последовательности
действий:
1) по приращению Ах, придаваемому данному значению х = х0>
находится соответствующее приращение функции

*3J § 1. понятие производной, скорость изменения функции 137
2) составляется отношение -р;
3) находится предел этого отношения (если он существует) при
произвольном стремлении Ajc к нулю.
Этот предел вообще называется производным числом
функции f(x) при х = Хц, обозначается так: fr(xQ). Читается
«эф штрих от jc0» или «эф прим от xQ».
Определение. Производным числом функции называется
предел отношения приращения функции к приращению данного
значения независимой переменной при произвольном стремлении
этого приращения к нулю.
Допустим, что для каждого значения х независимой перемен-
переменной в некотором интервале существует производное число функ-
функции f(x)\ тогда каждой точке интервала ставится в соответствие
число и, значит, определяется новая функция; эта новая функция
называется производной функцией от f(x), или просто производ-
производной от функции f(x) и обозначается через f(x).
Производная функция находится по данной функции при помощи
тех же операций, что и производное число, только значение неза-
независимой переменной следует считать любым из данного интервала.
Определение. Производной данной функции называется
предел отношения приращения функции к приращению незави-
независимой переменной при произвольном стремлении этого прираще-
приращения к нулю:
/(jc)s=lim
Производное число есть частное значение производ-
производной функции при соответствующем значении независимой пе-
переменной.
Таким образом, можно сказать, что скорость изменения
функции y—f(x) выражается производной от у по х и, в частно-
частности: 1) скорость прямолинейного движения — произ-
производной от пути по времени; 2) линейная плотность —
производной от массы по длине; 3) теплоёмкость —
производной от количества тепла по температуре.
Понятие производной принадлежит к числу фундаментальных
понятий математического анализа. Один из основателей анализа
И. Ньютон*) пришёл к понятию производной, а затем и к построе-
построению дифференциального исчисления, исходя из вопроса о скорости
движения.
*) И. Ньютон A642—1727) — великий английский учёный — математик,
физик, астроном. Ньютон заложил основы многих разделов науки нового
времени, завершил создание основ математического анализа. Творения Нью-
Ньютона способствовали преодолению средневековой схоластики и внесли неоце-
неоценимый вклад в дело выработки подлинно научного материалистического' ми-
мировоззрения.

138 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ [43
Найдем производные от некоторых простейших функций. Пусть
у = х. Имеем:
, , ч. ,. (х -4- Ах) — х ,. Ал: 1
т. е. производная (х)г есть постоянная величина, равная I. Это
очевидно, ибо у = х — линейная функция и её скорость изменения
постоянна.
Если y=zx^y то
(ср. пример в п° 42, I).
Пусть у=хъ, тогда
Легко заметить закономерность в выражениях производных от
степенной функции у — хп при п=\, 2, 3. Докажем, что и вообще
производная от у = хп при любом целом положительном показа-
показателе п равна пхп~1.
Имеем:
Дл: Ах
Числитель можно преобразовать по формуле Ньютона для бинома
в целой степени, а можно воспользоваться и другой известной
в алгебре формулой
ап — Ъп = (а — Ь) (ап-х + ап
Применим эту формулу:
Ау [(л: + Ах) — х] [(х + АлО* + (х + Алг)№~2 х +... + (х + Ах) хп~* + ^"Ч
Ах Ах **
Т. е.
Jj = (х + Ajc)^1 + (^ + Д*)*-2* +.. • • + [х + Ajc) xn-*-{-xn-\
В правой части этого равенства стоит сумма п слагаемых,
каждое из которых при Длг->0 стремится к хпл. Значит,
Этот результат следует запомнить; как это мы докажем позже
(п° 48), он остаётся верным не только для целого положительного,
но и для любого действительного показателя /2.

44] § 1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 139
Например:
— —
¦*y=s*'
3 ;
1
При л=1, 2, 3 из найденной общей формулы следуют формулы,
выведенные выше другим путём.
Рассмотрим теперь отдельно производную от постоянной вели-
величины
у = С.
Так как эта функция не изменяется с изменением независимой пе-
ременной, то Ду = 0 и -^-=-г-=; 0. Следовательно,
т. е. производная постоянной равна нулю. Это вполне согласуется
с тем нашим непосредственным представлением о понятии «скорости
изменения», в согласии с которым она для постоянной величины,
вовсе не меняющейся, должна быть равной нулю.
44 E2). Геометрическая интерпретация производной. Произ-
Производная от функции y=f(x) допускает очень простую и наглядную
интерпретацию, связанную с поня-
понятием касательной прямой к линии *).
Определение. Касатель-
Касательной **) МТ к линии в её точке
М (черт. 53) называется прямая
линия, проходящая через точку М
и занимающая «предельное поло-
положение» секущей, проходящей через
точку М и другую точку ЛГ линии,
когда эта точка М! стремится
слиться с данной точкой Ж.
«Предельное положение» пря-
прямой линии определяется тем, что
угол ТММ стремится к нулю вместе с хордой ММ.
Геометрический смысл производной вытекает из следующего
предложения.
Теорема.. Значение производной f(x) (производное число)
равно тангенсу угла, образованного с осью Ох касательной к
графику функции yz=:f(x) в точке с абсциссой х; или короче:
*) Если не сделано специальной оговорки, мы везде имеем в виду, что
функция y=zf(x) геометрически представлена в виде графика в системе де-
декартовых координат Оху. О геометрическом смысле производной, когда гра-
график берётся в системе полярных координат, см. п° 56.
**) Обычно вместо слов «касательная прямая» говорят просто
«касательная»,

140 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ [44
Значение производной f'(x) равно угловому коэффициенту
касательной к графику функции y=zf(x) в точке с абсциссой х.
Доказательство. Возьмём какое-нибудь значение х и при-
придадим приращение Алг. Двум точкам х и х -f- Ах соответствуют две
точки М и М на линии ЛБ — графике функции y=f(x) (черт. 53).
Приращение функции ky=f(x-\-kx)—f(x) изображается отрез-
отрезком RM и, следовательно, отношение -р — ^г есть tg /_ MMR.
В согласии с определением производной будем неограниченно умень-
уменьшать приращение Алг; точка М при этом будет неограниченно при-
приближаться вдоль линии АВ к точке Ж, стремясь с нею слиться,
а секущая ММ будет, вращаясь вокруг точки М> стремиться к ка-
касательной МТ. Следовательно, левая часть равенства
tg LMMR = g
при Дл;->0 будет стремиться к tg /, 77Wi?, а правая — к fF(x), и
мы получаем:
tgZ TMR=f'(x).
Если построить касательную к графику данной функции, то
можно определить и соответствующее значение производной.
Однако фактически не по касательным мы узнаём производную
соответствующей функции, а наоборот, по производной получаем
возможность строить касательные к соответствующей линии.
Заметим здесь, что именно вопрос о точном определении и по-
построении касательных к линиям привёл Г. Лейбница *) к установле-
установлению (одновременно с И. Ньютоном) понятия производной и к со-
созданию дифференциального исчисления.
При помощи производных аналитическим путём решаются раз-
различные геометрические задачи, относящиеся к касательной и к неко-
некоторым другим связанным с ней понятиям, из которых рассмотрим
следующие: направление линии, угол между линиями, нормаль к ли-
линии, а также подкасательную и поднормаль.
Определение 1. Направлением линии в её точке
Мо называется направление касательной, проведённой к линии
в точке Мо (черт. 54); направление же прямой может быть охарак-
охарактеризовано углом наклона а к оси Ох, или, что всё равно, угловым
коэффициентом tga, т. е. в нашем случае производной от соответ-
соответствующей функции в точке xQ — абсциссе точки УИ0:
*) Г. Лейбниц A646—1716) —великий немецкий математик. Он вместе
с И. Ньютоном завершил создание основ математического анализа; ему принад-
принадлежит большое число первоначальных открытий в дифференциальном и ин-
интегральном исчислении, в частности система обозначений, которая оказалась
более удобной, чем у Ньютона.

44] § 1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ 141
Определение 2. Углом между двумя пересекаю-
пересекающимися линиями называется угол между касательными, про-
проведёнными к линиям в точке их пересечения.
Определение 3. Нормалью к линии в её точке Жо
называется прямая MQN (черт. 54), проходящая через точку Мо
и перпендикулярная к касательной в той же точке.
Определение 4. Подкаса тельной линии в её
точке MQ называется проек-
проекция TQPQ на ось Ох направлен-
направленного отрезка TQMQ касатель-
касательной к этой линии в точке Мо
(черт. 54).
Определение 5. Под-
Поднормалью линии в её точ-
точке MQ называется проекция N0P0
на ось Ох направленного отрез-
отрезка NqMq нормали к этой линии 'о/а
в точке Мо (черт. 54).
Составим уравнения касатель- Черт. 54.
ной и нормали к линии- у =
=/(•*) в её точке М0(х0, у0) и найдём выражения для подкасатель-
ной и поднормали.
Уравнение прямой, проходящей через точку Л40(лг0, у^), есть
У —Л = k (х — *о)' г^е Л =/С*о)-
Положив в этом уравнении k =/'(лг0), получим искомое урав-
уравнение касательной:
Так как нормаль перпендикулярна к касательной, то; приняв
k = „.,,. ч , получим искомое уравнение нормали:
О
Найдём теперь абсциссу точки пересечения касательной с осью
Ох. Для этого в уравнении касательной положим у = 0\ получим
—Уо =/f С*о) (* — **)> откуда
у
Подкасательная 70Р0 заключена между этой точкой и точкой
— xQi значит, она равна х0— дг0 —
Уо
т. е.
г р —

1 12 ГЛ. Ш. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Аналогично найдем выражение для поднормали А
|45
45 E3). Некоторые свойства параболы. В качестве примера применения
понятия производной к геометрическим задачам рассмотрим простейшие свой-
свойства параболы, связанные с касательными.
Возьмём параболу у = ах'2 (черт. 55). Как легко проверить, (ял:2)' = 2алг,
поэтому нодкасательная SN, соответствующая точке М (лг0, уо)> равна ^
*
= * °=:?^, т. е. под касательная параболы равна
zax$ 1
но у0 = ах%, поэтому
половине абсциссы точки касания.
Этого факта уже достаточно для того, чтобы легко, чисто геометриче-
геометрическим путём, вывести ряд замеча-
а
у, р
тельных свойств параболы.
Прежде всего отметим, что из
SOT
Черт. 55.
отрезком точку S и фокус параболы F. Так как
равенства треугольников SOT и
SMM (черт. 55) следует, что
ОТ = ММ и ST = SM.
I. Чтобы провести касатель-
касательную к данной параболе в некоторой
её точке М, спроектируем эту
точку на ось параболы и возьмём
точку Т на продолжении оси череч
вершину О на расстоянии ОТ=ОР.
Прямая, соединяющая точку Т и
заданную точку М, и будет иско-
искомой касательной. Можно также
проектировать точку М на каса-
касательную в вершине и брать точку 5,
делящую отрезок ON пополам.
И. Соединим прямолинейным
\F=.ML (DD' — директриса), а
ML = MN+ NL^OT + OF—FT,
то треугольник TFM — равнобедренный и, значит, отрезок FS перпендикуля-
перпендикулярен к касательной МТ.
Отсюда вытекает способ для определения фокуса заданной параболы.
Обратно, зная ось, вершину и фокус параболы, можно на основании этого
свойства построить самую параболу. В самом деле, пусть прямая 00' (черт. 56)
является осью параболы, точка О — вершиной, точка F—фокусом. Восста-
Восставим перпендикуляр OR к прямой 00' в точке О. Если из точки F провести
ирям)ю, пересекающую прямую OR в какой-нибудь точке S, то перпендикуляр
к FS в точке 5 будет служить касательной к искомой параболе. Проведя из
точки /¦•" целый пучок прямых, пересекающих OR, мы найдём такое же число
прямых, являющихся касательными к нашей параболе. Обрисованная
этим семейством прямых кривая линия и будет искомой параболой. Говорят
в таких случаях, что;кривая линия огибает семейство прямых линий.
Чем больше проведено касательных, тем более точно может быть вы-
вычерчена парабола. Этот способ даёт построение параболы не по её точ-
точка м, а по е ё касательным.
III. Вернёмся теперь к черт. 55 и построим нормаль MQ к параболе в её
точке М. Очевидно, в прямо) гольном треугольнике QMT отрезок FS является

46]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
143
средней линией. Поэтому FQ — FT, откуда FQ — FM. Вследствие этого
L FQM = L QMF. Продолжим ординату точки М. Тогда
Отсюда нормаль к параболе в любой её точке делит пополам, угол, обра-
образованный фокальным радиусом и прямой, параллельной оси параболы,
проходящими через ту же точку.
Этим свойством параболы широко пользуются в технике. Так, например,
прожекторам, автомобильным фарам придают обычно форму параболоида
вращения, т. е. поверхности, полученной вращением параболы вокруг её оси.
Эта форма выбирается по следующим соображениям. Если поместить источ-
источник света в фокус параболы, то луч света, падая на гладко отполированную
поверхность рефлектора, после отражения от неё останется в одной плоско-
плоскости с падающим лучом и нормалью к поверхности, как это следует из изве-
известного закона физики. В согласии с тем же законом угол падения луча дол-
О1
жен быть равным углу отражения, что в силу только 'что найденного свой-
свойства параболы влечёт за собой параллельность отражённого луча оси реф-
рефлектора. Таким образом, после отражения все световые лучи идут параллель-
параллельным пучком, что, разумеется, даёт наибольшую силу освещения на больших
расстояниях.
Аналогично этому придают параболическую форму различным приспосо-
приспособлениям для наилучшего распространения или улавливания звука (музыкаль-
(музыкальные эстрады, звукоуловители).
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
46 F4). Дифференцирование результатов арифметических
действий. Действие отыскания производной называется дифферен-
дифференцированием (объяснение этого названия будет дано* немного
дальше, см. п° 51), так что выражение «продифференциро-
«продифференцировать функцию/(х)» означает найти её производную /' (х). Для
этого нужно найти
Дл:
Такое непосредственное дифференцирование в большинстве слу-
случаев представляет собой весьма громоздкое и трудное действие.
Но если знать — раз и навсегда — производные всех основных

144 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ D6
элементарных функций, а также правила, по которым следует диф-
дифференцировать сложные функции и результаты арифметических
действий, то можно Находить производные любых элементарных
функций, не выполняя всякий раз указанного предельного пере-
перехода. Таким образом, по отношению к наиболее важному для нас
классу функций действие дифференцирования может быть автома-
автоматизировано.
Обратимся прежде всего к правилам дифференцирования суммы,
произведения и частного. Из доказательств приводимых ниже теорем
следует в первую очередь существование производной суммы, про-
произведения, частного, если существуют производные компонент (т. е.
слагаемых, сомножителей, делимого и делителя). Конечно, сами
теоремы дают больше: они показывают, как составить по производ-
производным компонент производную суммы, произведения, частного.
Ниже везде предполагается, что функции-компоненты непрерывны
и имеют производные (см. п° 54).
Теорема I. Производная суммы определённого конечного
числа функций равна сумме производных слагаемых.
Доказательство. Пусть функция у задана как сумма других
функций и, v, ..., w той же независимой переменной х:
Докажем, что
Придадим незквисимой переменной х ч приращение Длг; функции
и, v, ... f w получат приращения, которые мы обозначим соответ-
соответственно через Дм, Дт>, ..., Дад, а функция у — приращение Ау.
Ясно, что «наращённое» значение суммы будет равно сумме «нара-
«наращённых» значений слагаемых функций, т. е.
у = (и-{- Дм) -(- (v -|- Дг>) -f-... -j- (w -f- Да/).
Вычитая отсюда «первоначальное» значение функции, получим
Ду = Дм -|- Д*> ~\- • • • + &&>>
откуда, деля обе части на Lx, найдём:
Д3[ ^ 4- — 4- 4- ^w
Переходя к пределу при Дл;->0 и воспользовавшись теоремой
о пределе суммы (п° 32), будем иметь:
lim -r-= 1ш1 -г—кт—г...+i—
= lltn Ix+ 11Ш K+'--+lim
Длг-»Оал: Длг — 0ах Дат — 0

46] § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 145
так как
,. Av , ..Аи . ..At/ , .. Aw ,
hm т^=/, lim т^ = к\ liffljj^ hm tz = &>
bX-+0ax bx-*0*X &x-*0ax bX->o*x
то мы и приходим к доказываемому равенству.
Теорема II. Производная произведения двух функций равна
сумме произведений первой функции на производную второй и
второй функции на производную первой.
Доказательство. Пусть функция у задана как произведение
двух функций:
у — ttv.
Докажем, что
у = (их;)' = их/ -\- vu\
В самом деле, придадим независимой переменной приращение Ах\
при этом функции и, v, у получат соответствующие приращения
Дн, Дх>, Ду. «Наращённое» значение функции у будет:
у -\- Ау = (и -f- Дм) (v -\- Av).
Отсюда
Ду = (у -\- Ду) —у = (и -J- Дгг) (v -f- Av) — uv =
= и Av -j- v Аи -\- Аи Av
и
Av Av , Аи | A Av
-?-= u-—\-v-A—h Аи -г-.
Ад: Да: I Да: ' Да:
Применяя известные правила предельного перехода, найдём:
1- ^У 1- Av , .. Аи 1 .. А ,. Д^
hm -г~ = и hm т—\- v hm ^—н hm Агг • hm т— =
= их/ ~|- x;wf -(- 0 • x;f = wuf -[" vur.
Что и требовалось доказать.
Если один из множителей есть постоянная величина, например
v = с, то получаем:
у = (сн)г = исг -j- сиг = сиг,
ибо производная от постоянной равна нулю. Значит, постоянную
величину можно выносить за символ производной.
Правило дифференцирования произведения двух функций после-
последовательно распространяется на произведение какого угодно числа
функций.
Так, если у = uvw, то
у = (uvw)' = (их;) w' -|- w (uv)f = uvaf -f- uwvf -\- vwu',
т. е. производная произведения трёх функций равна сумме трёх сла-
слагаемых, причём каждое из них является произведением двух из дан-
данных функций на производную третьей.
6 А. Ф. Бермаят

146 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Пример. Найдём производную функции
Зная, что (хпу = пхп~1 (п°43), можно, раскрыв скобки в задан-
заданном произведении, продифференцировать получающийся при этом
многочлен третьей степени. Но проще воспользоваться правилом II.
Будем иметь:
()( + ( + )(
= —6д?«—IOjc+1.
Теорема III. Производная частного двух функций равна
дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числи-
числитель—разности между произведением делителя на производную
делимого и произведением делимого на производную делителя.
Доказательство. Пусть функция у задана как частное двух
функций м и и:
Докажем, что
Действительно,
и Л- Аи и Аи Av
Ay v -\- Av v v Аи — и Av Ал: Ал:
Ал: Ал: Axv(v -\- Av) v (v -j- Av) '
и, переходя к пределу при Адг-^О, получаем:
Аи t. Av
v lim -г и hm г-
v (v + lim At;)
Что и требовалось доказать.
Пример.
2 —Зл:
У—
_ — 3B + *)— B — 3*) _ _
— B + )* —
На основании правила III найдём производную степенной функ-
функции с целым отрицательным показателем у = х~п, п^>0. Имеем:

47] § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 147
Таким образом, общий вид производной от степенной функции
для целых положительных показателей (п° 43) оправдан теперь и для
любых целых показателей.
Обратим внимание на дифференцирование двух часто встречаю-
встречающихся дробей:
1) j/ = —, где с — постоянная, а и — функция от х. Имеем:
_ ас' —си' _ и\
у ~ а* —" ~~ и* '
этот результат желательно запомнить; в частности, при и = х
' с ус
2) у = —, где с — постоянная. Для начинающего бывает соблаз-
соблазнительным дифференцировать эту функцию по правилу дифферен-
дифференцирования дроби. Этого делать не следует. Здесь дело обстоит
гораздо проще: нужно заметить, что эту функцию можно предста-
представить как произведение постоянного множителя — на функцию и:
= -щ
поэтому
Разумеется, правило дифференцирования дроби приведёт к такому
же результату.
47 E5). Дифференцирование сложной функции. Очень важным
является правило дифференцирования сложной функции, указываю-
указывающее выражение для её производной через производные функций, т^в
которых она составлена. Из приводимых доказательств следует, что
если существуют производные компонент, то существует производ-
производная и всей сложной функции.
Т е о р е м а. ]Дрдизводная сложной функции равна производ-
производной заданной функции по промещшшнрму аргументу, jjwto-
ТдТГизвод^ по независимой пере-
Доказательство. Пусть y=f(u), n = y(x). Докажем, что
Придадим х приращение Ajc; оно вызовет приращение Аи проме-
промежуточного аргумента и = ср(х), которое в свою очередь повлечёт
изменение функции у на некоторую величину Aj/.
6*

148 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ [47
Для отыскания производной у нужно найти lim -^ при Ах -> 0.
Допустим, что при всех достаточно малых Ах приращение Аи ф 0;
Ду
тогда отношение ^- можно представить так:
Ду А^ Аи
Ах = Аа ' Ах»
и в силу известного правила предельного перехода в произведении
(п°32) мы получаем:
1. АУ 1. Ду ,. Аи
lim -р- = lim ¦/- • lim -r-
Ал: А« Дл:
(Дм -»• 0 при Ах -> 0, ибо и = ср (х) — функция непрерывная).
Так как
lim §J=/r(«0 и lim ^ = срЧ^г),
Да^0Д" Д*-*0Дл:
то мы приходим к доказываехмой формуле. Она справедлива и для
исключённого выше случая, когда Дм = 0 (см. п°52). При этом
/=о.
Итак, для того чтобы продифференцировать сложную функцию
у=/[<?(х)]у нужно взять производную от («внешней») функции /,
рассматривая её аргумент <р(лг) = м просто как переменную, по
которой совершается дифференцирование, и умножить на производ-
производную от («внутренней») функции ср(лг) по независимой переменной.
Примеры. l)j/ = B.*r2—IK. Эту функцию можно рассматри-
рассматривать как сложную функцию, составленную из кубичной функции
у=иъ и квадратичной и=2х*—1. Имеем по правилу:
у = (м3у . и! = (а8)' B*а — 1У = Ъи2 - Ах == 3 B*2 — 1 f . Ах =
12лг.
Легко проверить правильность этого результата. Раскрывая куб
разности, имеем: у = 8х% — 12х* -\- бх2 — 1; дифференцируя этот
многочлен, получим тот же ответ.
/ 1 \100
2)j/ = lx-\ . Здесь возводится в сотую степень функция
, _1_
Для производной находим выражение
Читатель оценит все преимущества дифференцирования этой
функции с помощью правила дифференцирования сложной функции

47) § 2. дифференцирование функций 149
по сравнению с возможным дифференцированием её как много-
многочлена, полученного от раскрытия бинома в сотой (!) степени по
формуле Ньютона.
Предположим теперь, что у как функцию независимой пере-
переменной х удобно представить посредством цепи, состоящей не из
двух, а из трёх функций:
У =/(«)> и = <? (*0> « = Ф (*)•
Согласно доказанному правилу имеем:
У=/'(и)-к',
где и' — производная от и, рассматриваемая как функция от неза-
независимой переменной х.- На основании того же правила
и! = <рг (г») •-»' = <?' (v) . if (х).
Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получаем:
/=/'(и)-<p'(f) •*'(*)•
Таким же образом выводится формула и при любом числе про-
промежуточных аргументов. Во всех случаях производная у получается
как произведение производной по первому промежуточному аргу-
аргументу на производную от первого по второму, на производную от
второго по третьему и т. д., наконец, на производную последнего
(считая от у и х) промежуточного аргумента по х.
Коротко можно сказать, что
Производная сложной функции равна произведению производ-
производных от функций, её составляющих.
Пример.
Функция получается возведением в третью степень дробно-ли-
дробно-линейной функции от квадрата A—x*f. Выделим промежуточные
аргументы так:
у = к3, и = j-^j, v = w*, w = 1 — х*.
Находим, следуя правилу:
у = (Ц»у u'v'w* = (и3)'
Подставляя вместо w, v, и их выражения через х, получаем:
+A -

150 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ [48
С накоплением опыта в дифференцировании отпадает необходи-
необходимость вводить специальные обозначения для промежуточных аргу-
аргументов. Обычно производят дифференцирование сложных функций,
выделяя лишь в уме простейшие звенья, ведущие от у к х.
48 E6). Производные основных элементарных функций. Най-
Найдём теперь производные всех основных элементарных функций;
начнём с тригонометрических функций.
I. Производные тригонометрических функций.
Пусть
y = sinx.
Придадим х приращение кх; ради краткости записи положим
Ax = h. Тогда
by = sin (x -f h) — sin x = 2 sin 2
Следовательно,
lim cos
2
По доказанному в п°40 первый множитель равен единице, а
im cos (х-\--сг) = cos (x -{- 0) = cos л:,
-¦о \ ^ /
lim
h
так как cos л: — непрерывная функция.
В итоге
у = (sin x)r = cos jc.
Производные остальных тригонометрических функций легко
найти на основании правил дифференцирования.
Возьмём у = cosх. Так как cosx = sin(x-\-?-), то, полагая
xJr^ — Uy находим:
у = (sin и)' и' = cos и • 1 = cos Г* -J- ^ j = — sin xt
т. е,
у = (cos x)f = — sin x,

48] § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 151
Далее:
,, У / sin х У (sin х)' cos х — (cos x)' sin x
V ь " ) I cos х J cos2 х
cos2 x + sin3 x 1
/ i \
xy =
cos- x cos2 x'
(sin x)' cos x
iin x ) sin2 x sin2 x '
/sec xy _ (_L_\— _ (CQS*)' _ sin*
^sec x; — ^ cQs x j — со§2 ^ — c-og2 ^ ,
У / cosx у (cos x)' sin x — (sin x)' cos x
' \ sin x / sin2 x
— sin2x—cos2 x 1
sin2 x sin2 x *
II. Производные обратных тригонометрических
ций. Пусть
у = arcsin х.
Придавая х приращение Алг, запишем «наращённое» значение
функции:
у -f- Ay = arcsin (x -j- Алг).
Из этих равенств имеем:
х = sinyy x-\- hx= sin (j/ -f- Ay).
Отсюда
Ajc == sin (j; -|- Ay) — siny.
Поэтому можно написать:
Ay Ay 1
Ax sin (y -j- Ay) — sin у sin (y + Ay) — sin у'
Ay
При Дх->0 также и Aj/->0 и, следовательно,
Ал» 1
ч:
Но знаменатель есть не что иное, как производная синуса;
поэтому
,_ 1 _ 1
У (sin^y)' cos^y *
Так как
cosj/= |/l —sin2j;= j/l —
то окончательно получаем:
У = (arcsin д-у=_1
\f 1 — xa '

162 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
В силу тождества
arcsin х -\- arccos х = -^-
имеем:
(arccos л;)'= -^=.
Перед корнями берём положительный знак, так как мы услови-
условились всегда рассматривать главные ветви arcsin x и arccos лг. (Реко-
(Рекомендуем читателю выяснить, почему из этого условия вытекает, что
нужно брать знак -f- перед корнем.)
Для у = arctg xt рассуждая как выше для у = arcsin x, можем
написать:
Ду Ау 1
*—'fo + A) ~ tgСу + ^) —
и, значит,
-. Ду
-о
Но cos2 у = 1 , 2 = , поэтому окончательно:
/ = (arctg лО'^у-^.
Из тождества
arctg х + arcctg x=^~
находим:
(arcctg лг)г = — . , 2.
Примеры:
1) [sin {ax -\- b)]r = cos {ах -\- Ь) {ах -\-b)f = a cos (ax -f b).
2) (tga J^)r =
3) (cos x*)' = — sin x2 (x2)' = — 2дг sin (лг2).
" A — л:)8 + A + л:)8 A-хJ

48) § 2. дифференцирование функций 153
Здесь производная выражается точно так же, как и производ-
производная от atctgx. Это и не удивительно, ибо
III. Производная логарифмической функции. Пусть
= \пх. Имеем:
Ay _ \n(x + h) — 1пдг 1п Г + лГ
Л ~ /2 ~"" /г
и так как (п°41)
а-* 0 а ka->0
ТО
, t. Av
Итак,
Если логарифмическая функция берётся по основанию, отлич-
отличному от е, то вид её производной менее прост. Пусть y = \ogax.
Тогда
и, значит,
= (loge * • In x)' = \oga e (In xy = ^ = — •
В частности,
IV. Производная показательной функции. Пусть
у = а*. Имеем:
Lax ax+fl — a* *. аА — 1
h — h —п h '
и так как (п° 41)
lim —г— = 1па,
то

164 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
При а = е получаем:
Функция у = сех (с — постоянная) замечательна, между прочим,
тем, что она является единственной функцией, вовсе
не меняющейся при дифференцировании.
V. Производная степенной функции. Докажем теперь
справедливость формулы
при любом п. До сих пор она была доказана лишь при п целом.
Для этой цели представим у = хп при х^>0 так:
Дифференцируя эту сложную функцию, получим:
_ еп\п х ± — Хп ^ = пХп-\
Пусть теперь х<^0. Положим х= — z, т. е. z = — x, ^
Тогда, по правилу дифференцирования сложной функции, будем
иметь:
у' = ((— 1 )п zn)r = (— 1 f nzn~l z' = (—\)n nzn~l (— 1) =
так как (—l)/l+1 = (—If, то
У = п (— 1 У1-1 О)* = п (— z)n~l = пхп~\
Что и требовалось доказать.
VI. Основная таблица производных.
(ctg х)' = - ^'
(arccos x)f = —
r i
Эту таблицу необходимо твёрдо знать наизусть.

49) § 2. дифференцирование функций 155
Примеры.
1) у = х In х, у = (лг)г In лг -f x (In jc)r = In x -f-1.
2) j/ = (In лгK, у = 3 (In *)* (In x)f = 3 (-^^-.
3) j/ = 2*"-*, У = 2*2~*1п2.(х2 —*У = Bх—lJ*2-*ln2.
4) J/ = * sin B* + ^ у = esin B^+1) [Sin B*.+ 1)]' =
_ esin <2* + 1) Cos BX -f- 1) BДГ -j- 1)' =
6)jr = ln(*+/l+*i). у=——±=—(х+/1+**У =
2x \ 1
6) Найдём производные от гиперболических функций (см. п° 22):
рХ ?"*•* 0% | Р~~Х gX в~Х
shx= § ' chJcr= 2~, thJcr = ^-p^.
Имеем:
jf /sh л: У (sh лгу ch л: — (ch л;)' sh л:
_сп2лг — sh2x_ 1
ch2 л: ch2 x *
Отсюда снова замечаем аналогию между гиперболическими и три-
тригонометрическими функциями.
49E7). Логарифмическое дифференцирование. Дифференциро-
Дифференцирование обратных и неявных функций.
I. С помощью правил дифференцирования и таблицы производ-
производных основных элементарных функций мы теперь можем автомати-
автоматически находить производные от любых элементарных функций за
исключением одного типа этих функций, простейшим представителем
которого является функция у=:хх. Её называют степенно-пока-
степенно-показательной. К этому типу принадлежит вообще всякая функция,
представляющаяся степенью, основание и показатель которой зави-
зависят от независимой переменной.
Для того чтобы найти по общим правилам производную от сте-
степенно-показательной функции у —Xх, прологарифмируем это ра-
равенство:
In у = х In х,

166 ГЛ. Ш. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ [49
Так как это — тождество, то производная от левой части должна
быть равна производной от правой. Дифференцируя по х и не за-
забывая при этом, что в левой части равенства стоит сложная функ-
функция от ху получим:
±/ = lnx+l.
Отсюда
у =у (in х -)- 1) = хх (In х + 1).
Операция, состоящая в последовательном применении к функции
f(x) сначала логарифмирования (по основанию е)у а затем диффе-
дифференцирования, называется логарифмическим дифференци-
дифференцированием, а её результат
— логарифмической производной от функции f(x).
Логарифмическое дифференцирование может быть применено для оты-
отыскания производных не только от функций степенно-показательного типа; и в
других случаях оно позволяет сократить выкладки. Так, например, для оты-
отыскания производной от функции
у = ух*+Ъ sin3 х 2*
можно применить логарифмическое дифференцирование, что
позволит быстрее найти результат.
Имеем:
In у = -1- In (л:2 + 4) + In sin2 x + х In 2,
II. Способ, который был употреблён нами для нахождения про-
производных обратных тригонометрических функций, обобщим на случай
любых двух взаимнр обратных функций.
Теорема. Если у = <? (х) — непрерывная функция, обратная
непрерывной и имеющей производную функции y=f(x), то про-
производная ср' (х) существует и значение её обратно по величине
значению f'(y)npu з/ = ср(лг):
u этом предполагается, что в соответствующей точке у
Доказательство. Из
и

49]
2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
157
следует, что
х =f(y)
=f(y -\- Ду).
Отсюда Ддг=/(_у-|- Ду)—/(у). Значит,
Ду Д.у
^x
Так как Ду->-0 при Длг-*¦(), то
lim
ду-».о
т. е.
а,у)-/О)
1
* f(yv
Что и требовалось доказать.
Выражение для производной функции ут (х) получается из
после того как вместо у будет подставлено его выражение через х,
т. е. у = у(х). Следует твёрдо иметь в виду, что нужно раньше
продифференцировать /(у) по уу а затем заменить у через <р(лг).
Пользуясь этой зависимостью между производными двух взаим-
взаимно обратных функций, легко по одной находить другую. Чита-
Читателю рекомендуется по производным от ех, \пх, sinx, arcsinx, tgx,
atctgx найти производные соответственно от: \пх, ех, arcsin x, sin лг,
arctgx, tgx.
Связь между производными взаимно обратных функций весьма наглядно
иллюстрируется геометрически. В самом деле, у
пусть линия LV является графиком функции
у = ср (л:) (черт. 57). Тогда
ср' (лг0) = tg a.
Уравнение линии LU можно записать так:
x-=f(y). Производная этой функции по перемен-
переменной у при у = у0 = ср (лг0), очевидно, равна угло-
угловому коэффициенту той же касательной, но уже
относительно оси Ьу> т. е.
Но а-(-р = -^-, значит, tgfi = <
куда
—,
от-
'ГЫШ
Черт. 57.
Таким образом, эта формула выражает собственно тот очевидный факт,
что углы, образованные касательной к линии с осями координат, в сумме
дают -у.

158 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
III. Если у есть неявная функция х, т. е. задана уравнением,
не разрешённым относительно у, то для отыскания её производ-
производной нужно продифференцировать по х обе части равенства, учи-
учитывая, что у есть функция от х (определяемая этим равенством).
На примерах читатель уяснит практический смысл этого правила.
Найдём производную функции у> заданной уравнением
±_ I У_ 1
Дифференцируя по х и имея в виду, что у есть функция от ху
получим:
откуда
Ь2 х
В этом примере нетрудно найти явное выражение для у, именно:
Подставляя это в выражение производной, получаем:
f_b х
У ~ а у'а* — х*
— результат, как легко видеть, совпадающий с находимым прямым
путём.
Рассмотрим ещё уравнение (ср. п° 13)
ху — е* -\- е>' = 0.
Дифференцируя, имеем:
откуда
Здесь уже явного выражения для yf мы получить не можем.
Впрочем, так как у удовлетворяет первоначальному уравнению, то
производной можно придать несколько другой вид:
ху
Дифференцирование функции _y = <p(jc), обратной функции у~
=f(x), есть, по сути дела, дифференцирование у как неявной функ-
функции х, заданной уравнением х—f(y) — Q.

50]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
159
50 E8). Графическое дифференцирование. К графическому — необхо-
необходимо приближённому — отысканию производной прибегают главным образом
тогда, когда аналитическое выражение для функции не известно, а она задаётся
графически (например, посредством самопишущих приборов).
Графическое отыскание производной называется графическим диф-
дифференцированием. Обычно графическое дифференцирование употреб-
употребляется в системе декартовых координат.
Черт. 58.
Пусть АВ (черт. 58) есть график некоторой функции y=f(x).
Отложим на оси абсцисс влево от начала координат отрезок ОР, равный
масштабной единице.
Проведём «на-глаз» касательную к линии АВ в точке М, соответствующей
данной абсциссе х, и из точки Р (иногда называемой полюсом гра-
граика) — прямую, параллельную этой касательной до пересечения в точке
Q с осью ординат. Отрезок OQ будет выражать искомое производное число
f (x). В самом деле,
OQ = OP-tga= big a =/'(*).
Операция проведения «на-глаз» касательной является весьма неточ-
неточной. Её можно уточнить, если воспользоваться специальным прибором —
«зеркальным дериватором», служащим для проведения нормали к
линии.
Простейший «зеркальный дериватор» можно осуществить с помощью
обыкновенной линейки, прикрепив к её концу небольшое зеркало. Приложив
линейку ребром (перпендикулярно к плоскости чертежа) к графику в точке М,
нужно поворачивать её вокруг точки М до тех пор, пока изображение линии
в зеркале не будет без излома продолжать самую линию. Тогда положение
линейки будет давать направление нормали в точке М> а перпендикуляр к
ней — касательную.
Проведём из точки Q прямую, параллельную оси Ох, до пересечения с
ординатой ММ, или её продолжением, в точке М'. Ордината этой точки и
даст значение производной функции /' (х) при данном значении независимой
переменной х. Очевидно, что график производной функции y=zf'(x) по за-
заданному графику функции y=f(x) вычерчивается по точкам М'.
Разобьём участок АВ яшин y=f(x) (черт. 59), соответствующий инте-
интересующему нас интервалу изменения независимой переменной, на некоторое
число частей прямыми х = xiy х = лг2, ... Найдём графически значения
производной функции в точках, делящих пополам каждый частичный интер-
интервал. Средние точки интервалов выгодны потому, что при этом в обычных
случаях в качестве касательных можно с большой точностью брать просто
прямые, параллельные хордам, соединяющим конечные точки каждой частич-
частичной дуги графика,

160
ГЛ. ИГ. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
[51
Далее, известным уже приёмом найдём точки графика производной
Ми ML М'3,... Соединив эти точки непрерывной линией, мы и получим при-
приближённый график производной функции /' (х). Он будет, вообще говоря, тем
точнее изображать производную функцию, чем больше найдено точек М,
т. е. чем больше число частей, на которые разбивается весь интервал. Эти
части не обязательно должны быть равны между собой; их размеры нужно
брать с таким расчётом, чтобы соответствующие части линии как можно
меньше уклонялись от отрезков прямой. Интервал, где линия круто и часто
извивается, следует разбивать на большее число частей так, чтобы каждая
такая часть была достаточно малой.
Мы всюду предполагаем, что масштабы по оси абсцисс и по оси ординат
одинаковы. Именно, при этом /' (х) = tg a = tg L TMR (см. черт. 53).
§ 3. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ
51 E9). Дифференциал и его геометрическая интерпретация.
С понятием производной теснейшим образом связано другое фунда-
фундаментальное понятие математического анализа — понятие диффе-
дифференциала функции.
Пусть y=f(x)— функция, непрерывная в некоторой окрестно-
окрестности точки х. Приращение функции Ду, соответствующее произ-
произвольно изменяющемуся приращению независимой перемен-
переменной Длг, в одном и только в одном случае пропорционально Их,
именно в случае, когда функция /(х) —линейная: f(x) = ax-*rb;
тогда ку = акх (п° 17). Мы уже замечали, что простота этой

51] § 3. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА. ДИФФЕРЕНЦИРУКМОСТЬ ФУНКЦИИ 161
связи между Ду и Ах чрезвычайно удобна. И вот, оказывается, что
обычно можно подобрать такой постоянный для данного х коэф-
коэффициент а, что выражение а Ах хотя и не будет в точности равно
Ду, но будет отличаться от Ду на величину бесконечно малую выс-
высшего порядка, чем Ах (считая Ах, а значит, и Ду бесконечно
малыми):
Ау = аАх-\-си, (*)
причём
lim -^- = 0.
Немного ниже будет дана очень простая характеристика указан-
указанного класса функций, допускающих существование такого коэф-
коэффициента а.
Произведение а Ах называется дифференциалом*) функ-
функции y=f(x) в точке х и обозначается через dy или df(x):
dy = a Ax.
К этому обозначению относится то же замечание, что и к обо-
обозначению Ду, а именно, что dy не есть произведение какой-то вели-
величины d на у, а есть слитный, нерасчленяемый символ.
Сравним теперь Ду и dy. Если а = 0, то Ду есть бесконечно
малая величина высшего порядка, чем Длг, и тогда дифференциал dy,
равный нулю, не сравнивается ни с какой другой бесконечно малой,
в том числе и с Ду. При а ф 0 dy и Ду суть эквивалентные бес-
бесконечно малые или, что всё равно, dy есть главная часть Ду.
В самом деле, мы имеем:
А^_ dy + a - , _«_
dy dy ~•"dy'
но ^г — —^— = —— по условию стремится к нулю при Ajc-^O, a
значит, -р -> 1 (см. п° 39). Поэтому мы можем сказать, что
dy есть или главная часть Ду, пропорциональная Ах (считая,
что Дх->0), или нуль.
Впрочем, в определении дифференциала можно не предусматри-
предусматривать того в действительности частного случая, когда а = 0 (но об
этом обстоятельстве следует помнить).
Определение. Дифференциалом функции называется
главная часть приращения функции, пропорциональная прираще-
приращению независимой переменной.
Из следующей теоремы вытекает выражение для дифференциала.
*) Термин «дифференциал» происходит от латинского слова «diffe-
«differentia», означающего «разность». Этим подчёркивается, что дифферен-
дифференциал функции как бы представляет её приращение, т, е. разность двух
её значений,

162 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 151
Теорема. Дифференциал функции при данном значении не-
независимой переменной равен значению производной при этом зна-
значении, умноженному на дифференциал независимой переменной:
dy—f(x)dx. (**)
Доказательство. Допустим, что в точке х функция у =
=/(лг) имеет дифференциал, т. е. что из приращения функ-
функции Ду=/(лг-|-Длг)—f(x) можно выделить «главную часть», про-
пропорциональную Длг, и, значит, написать равенство (*).
Найдём коэффициент пропорциональности а. Для этого раз-
разделим обе части на Длг и перейдём к пределу при Длг-*О:
lim -r^ = a4- lim -т^-.
Так как предел в правой части равен а, ибо по условию второе
слагаемое равно нулю, то это означает, что существует производная
от функции /(лг) в точке лг, причём f (х) = а, т. е. коэффициентом
пропорциональности в выражении дифференциала служит произ-
производная. Такова непосредственная связь имеется между понятиями
производной и дифференциала.
Значит,
</у=/'(лг)Длг.
Дифференциалом независимой переменной dx называют само
приращение Длг:
dx = Длг.
Это согласуется с тем, что дифференциал функции sy = x равен
dy = dx = (х)г Длг, т. е. dx=l»Lx. Таким образом, мы и прихо-
приходим к равенству (**).
Из доказательства мы видели, что если функция имеет диффе-
дифференциал, то она имеет и производную. Докажем теперь, чго спра-
справедливо и обратное утверждение:
Если при данном х функция имеет производную, то она имеет
и дифференциал.
В самом деле, пусть lim т^=/г(лг). Это значит, что т-~ —
=/' (лг) -j- 04, где о^-^О при Длт-*О. Отсюда
Ду —/' (лг) Длг -[- о^Длт.
Так как второе слагаемое в правой части является бесконечно ма-
малой величиной высшего порядка, чем Длг, т. е. -~— = <х1->0 при
Длг->0, то первое слагаемое служит (если тЪлькп Г(лг)^О) глав-
главной частью приращения Ду; во всех сг .алк оно, как видно,

51] § 3. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА. ДИФФКРИНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ 163
отличается от Ду на величину, бесконечно малую высшего порядка,
чем Длг; пропорциональность же его дифференциалу dx очевидна.
Следовательно, по определению, первое слагаемое f{x)Ax и яв-
является дифференциалом функции.
Зная производную, легко найти дифференциал, и обратно. По-
Поэтому действия отыскания производной и дифференциала данной
функции носят общее название «дифференцирование».
В общем виде (при произвольном jc) дифференциал dy=fr(x)dx
является функцией двух независимых друг от друга переменных: х и dx.
Для производной мы имеем выражение
xf / \ dy
Т IX1 ——~~
Представление производной в виде отношения дифференциалов
оказывается весьма полезным в анализе. В этом мы очень скоро
убедимся.
Из предыдущего следует, что
Нельзя понимать эту запись так, что при Да'—*0 by стремится к dy, a
Ьх к dx. Верно здесь то, что отношение приращений ~- стремится к от-
dy
ношению дифференциалов -j-, которое имеет смысл только в силу дан-
данного нами определения дифференциала dy.
Если существует в точке х дифференциал функции dy, то, взяв
его вместо истинного приращения Ду, мы получим приближённое
выражение с «неограниченной точностью»; именно, dy=f'(x)dx
в достаточно малой окрестности
точки х с как угодно малой
относительной ошибкой
приближённо равно Ду. Вместе с
тем мы сохраним ту простоту выра-
выражения для приращения функции
(а именно, пропорциональность Ах),
которая в точности имеет место
только для линейной функции.
Обратимся к геометрической ин-
интерпретации дифференциала функ-
функции y=f(x) (черт. 60).
Так как ff(x) = tga (черт. 53),
то дифференциал dy=f(x)dx из- Черт. 60.
меряет отрезок RT, т. е.
Дифференциал df(x) функции f(x) в точке х изображается
приращением ординаты касательной, проведённой к линии у =
=/(.*) в соответствующей её точке (аг,

164 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ E2
Приращение же функции Af(x) изображается приращением орди-
ординаты линии (отрезок RM на черт. 60). Поэтому разность между
дифференциалом и приращением изображается отрезком МТ, заклю-
заключённым между линией и касательной к ней; этот отрезок является
при dx^>0 бесконечно малой высшего порядка, чем отрезок MR,
Дифференциал функции в данной точке может быть как больше
приращения (как на черт. 60), так и меньше его.
52 F0). Свойства дифференциала. В силу связи между произ-
производной и дифференциалом из таблицы производных основных эле-
элементарных функций сразу получаем аналогичную таблицу диффе-
дифференциалов и из правил для нахождения производных — соответствую-
соответствующие правила для нахождения дифференциалов.
I. Имеем таблицу дифференциалов (см. п° 48):
dxn = nxn'x dx, dtgx = —V- dx,
COS X
da* = a* In a dx,
de* = e*dx, d arcsin x=
x = loga e — dx, d arccos x = dx,
x y\—x2
dsmx = cos x dxy d arcctg x =—t ¦ ^dx.
d cos x = — sin л: dx,
II. Аналогично доказанному в п° 46 имеем:
а) если y=u-{-v-{-...-\-w, то dy = du -f- dv -j- • • • + dw\ x
б) если у = uv, то dy = udv-\-vduf в частности, dcu — cdu,
где с — константа;
ч u j v du — u dv
в) если v=^ —, то dy = 5 .
III. Прежде чем рассмотреть вопрос о свойстве дифференциала,
вытекающем из правила дифференцирования сложной функции, мы
можем теперь дать отличный от данного раньше (см. п° 47), вполне
общий вывод этого правила.
Пусть y=f(u) и и = у(х) — непрерывные функции своих аргу-
аргументов, имеющие производные по этим аргументам: f(ii) и ср'(лг).
Придадим х приращение Ал:; тогда и получит приращение Ам, кото-
которое в свою очередь вызовет приращение Aj; функции у.
Мы можем записать (п° 51):
Aj/ =/' (и) Аи -j- atAm,
где ax -> 0 при Аи -> 0 (мы можем считать, что ах = 0, если Ан = 0).

52) § 3. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА. ДЙФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ 165
Деля все члены этого равенства на Ах, получим:
Переходя к пределу при Ах-^0
lim -A— = Г (и) • lim -^- -4- lim a* • lim -А—
и замечая, что если Ajc -> 0, то Аи -> 0, а значит, иа^О, находим;
Что и требовалось доказать.
IV. Теорема. Дифференциал функции y=f(u) сохраняет
одно и то же выражение независимо от того, является ли её
аргумент и независимой переменной или функцией от независи-
независимой переменной.
Доказательство. Из равенства (*) имеем:
но ср' (х) dx = dy (x) = du> поэтому dy =f (и) du.
Мы получили такое же выражение для дифференциала, ко-
которое он имел бы, если бы аргумент и был независимой пере-
переменной. Что и требовалось доказать.
Свойство, устанавливаемое доказанной теоремой, называется
инвариантностью (т. е. неизменностью) формы диф-
дифференциала. В силу этого свойства всегда можно, не интере-
интересуясь природой аргумента функции, записывать её дифференциал в
одном и том же виде.
Поэтому таблица дифференциалов, приведённая нами выше, спра-
справедлива не только тогда, когда х — независимая переменная, но и
тогда, когда х — функция от независимой переменной.
Из равенства dy—f'(u)du следует:
значит, во всех случаях
Скорость изменения функции относительно своего аргумента
равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ар-
аргумента.
Равенство (*) теперь можно переписать так:
dy _dA da
dx~du dx' {**>

166 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ [53
Правая часть (**) получается из левой просто умножением и
делением на du (конечно, если du ф 0). Таким образом, оказы-
оказывается возможным производить арифметические действия над диффе-
дифференциалами, как над обыкновенными числами. Это и делает очень
часто выгодной запись производной в виде отношения дифферен-
дифференциалов.
Вот, например, как при помощи такой записи выводится правило
дифференцирования обратной функции (ср. п° 49):
У Их <1*Г х' *
dy
Может показаться, что формула (**) получается сразу прямым умноже-
умножением и делением на du выражения в правой части равенства у = -у^--.
Но дело в том, что, в то время как ~^-~ , по о п р е д е л е н и ю, равно у\х)
(как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой
dv
переменной), мы не можем непосредственно заключить, что -рравно/'(и).
То обстоятельство, что это отношение тем не менее равно /' (и), как раз и
является следствием доказанного равенства (*).
/53 F1). Применение дифференциала к приближённым вычис-
вычислениям. Известное свойство дифференциала позволяет заменить точ-
точное выражение для Ду=/(.го-|- Ах)—/(-*)> обычно очень сложное,
чрезвычайно простым выражением f'(xQ)dx, в отыскании которого
и состоит дифференцирование. А это действие, как мы видели, без
труда осуществляется по отношению к любой элементарной функции.
Итак, для малых Ах
Приняв by = dy, мы заменяем данную функцию y=f(x), где
х = лг0-j-Ajc, линейной функцией
определяемой тем, что её значение и значение её производной при
х = х^ равны соответственно /(дг0) и f'(xQ).
Геометрически это равносильно замене линии, являющейся гра-
графиком функции у^=/(х), касательной к ней в точке M(xQ, f(xQ)).
Такая замена, вообще говоря, только в достаточно малой окрестности
точки х0 приводит к таким ошибкам, которыми можно пренебречь
в изучаемом вопросе. Недостаток нашей формулы заключается в
том, что не указывается погрешность, характеризующая её точность.
Мы знаем, что при Дх -> 0 относительная ошибка стремится к нулю,
но мы не умеем её оценить при данном численном значе-
значении кх. Этот недостаток будет скоро устранён (см. п° 79).

53] § 3. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ 167
Приближённое равенство (*) практически используется прежде
всего для решения задач рассматриваемых ниже двух типов.
I. Известны значения /(^0), /Ч-^о)' ^х; вычисляется прибли-
приближённое значение f(xo-\- Ах),
Здесь мы из соотношения (*) имеем:
, о ' С*о)
Для иллюстрации приведём следующие примеры (ради сокраще-
сокращения записей будем обозначать Ах через h):
1) y=z |/1 -(- jc. Имеем:
и, значит,
в частности, при х =
эта приближённая формула для п = 2 уже была нами получена
раньше (п° 40).
2) у = sin лг. Имеем:
dy == cos дг • h
и, значит,
sin (je -f- h) я^ sin jc -f" cos x * A»
в частности, при х = 0 находим известную формулу (п° 40): sin h ^ A,
вытекающую из эквивалентности sin /г и /г при /г->-0.
Положив, например, лг:=-^-(=30°), /г=у^(= 1°), найдём:
sin 31°я« sin 30°+cos 30°-^==0,6 +^-0,01746 ^0,6151;
^==0,6 +
с пятью верными знаками sin 31°^=* 0,51504. Читатель должен объяс-
объяснить, почему мы получили приближённое значение для sin 31° с из-
избытком.
3) у = \пх. Имеем:
и, значит,

168 ГЛ, III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 153
в частности, при х=\ приходим к знакомой формуле (п° 41):
InA -|-/г)я«/г, вытекающей из эквивалентности \n(\-\-h) и А при
Пусть известно, что In 781 ^ 6,66058; вычислим In 782. Формула
даёт:
In 782 ъ 6,66058 H-tJi** 6,66186.
По пятизначным таблицам находим: In 782 = 6,66185. Как видим,
мы сделали незначительную ошибку, причём также в сторону пре-
превышения. И здесь читатель сообразит, почему так и должно быть.
II. Известны значения f(x0), /' (дт0); по погрешности 8 значения
хо(\ Длг К 8) находится погрешность е значения f(xQ) как при-
приближённого значения /(дг0 -\- Алг).
Здесь мы из соотношения (*) имеем:
т. е. погрешность значения f(x^) равна произведению абсолют-
абсолютной величины производной fr(xQ) на погрешность аргумента.
Отсюда также ясно, какова должна быть погрешность 8 в зада-
задании аргумента лг0, чтобы была обеспечена заранее назначенная, до-
допустимая погрешность е значения f(xQ):
Относительная же погрешность значения /(лг0) равна
т. е. относительная погрешность значения f(xQ) равна произведе-
нию абсолютной величины логарифмической производной .) °;
на погрешность аргумента.
Для иллюстрации приведём следующие примеры.
1) В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза с и прибли-
приближённое значение а острого угла, известное с точностью 8, т. е.
| Да | <^ 8. Найдём относительные погрешности при вычислении ка-
катета а, противолежащего углу а, и другого катета Ь, считая Да и 8
величинами малыми.
Имеем:
с = с sin a, b = с cos а,
откуда
= ctga- |Aa|<ctga-8, ~ =tga • | Aa|<tga- 8.
db
Эти оценки показывают, что относительная погреш-
погрешность всегда будет меньше для большего катета

В4) § 3. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА. ДЙФФЁРЕНЦЙРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ 169
2) Таблицы с п знаками дают значения логарифмов с точностью
• Найдём точность, с какой следует брать числа, чтобы,
пользуясь таблицей, сохранить табличную точность их десятичных
логарифмов.
Из зависимости
имеем (п° 48):
• М А 0,4343 А
dy = — Ajc^=j -2 Ах,
XX
т. е. с округлением
1 0,5 А Ал: 1
откуда следует, что относительная погрешность числа х не должна
превышать .^, другими словами, число х должно быть также с п
верными знаками.
54 F2). Дифференцируемость функции. Гладкость линии.
Определение. Функция y=f(x) называется дифференци-
дифференцируемой в точке х, если она имеет в этой точке дифференциал.
При этом, как мы видели в п° 51, в точке х существует и про-
производная fr(x), а также и обратно, если при данном х функция
имеет производную, то она имеет и дифференциал. Таким образом,
существование производной может быть принято в качестве условия
дифференцируемости функции.
Допустим, что функция f(x) дифференцируема при неко-
некотором х\ тогда она обязательно непрерывна в этой точке.
В самом деле, отношение д^ = ^х * ** ^х* при Дх->0 может
иметь предел только в том случае, если вместе с Ах стремится
к нулю и ky=f(x-\- Ах)—fix), а это и является условием непре-
непрерывности функции у=/(х) в точке х.
Итак, в точке разрыва функция не может иметь производной.
. Непрерывность функции есть необходимое условие дифферен-
дифференцируемости функции.
Однако это условие отнюдь не достаточно. Именно, непрерывная
при каком-нибудь значении независимой переменной функция может
не иметь производной.
Современные воззрения на непрерывность функции стали досто-
достоянием науки сравнительно поздно; тонкое различие между непре-
непрерывными и дифференцируемыми функциями впервые было замечено
великим русским математиком Н. И. Лобачевским (см. п° 4).
Рассмотрим некоторые характерные примеры непрерывных функ-
функций, не имеющих производной.

170
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
[54
I. Функция y—f(x)> заданная в интервале [0, 1] "уравнением
f(x) = x, а в интервале [1, 2] — уравнением f(x) = 2— х, очевидно,
непрерывна во всём интервале [0, 2]. Вместе с тем она недиффе-
ренцируема при х=\. В самом деле,
*:у_/A + а*)--/A) ^_
Ал: ~ Дх
v ~ А ; =1, если
Дл:
[2-
•А*)]-1
Дл:
= —1,
если
2 ^
Черт. 61.
Следовательно, предела -?- при произвольном стремлении Длг
к нулю не существует, а потому в точке х=1 непрерывная функ-
функция f(x) не имеет производной. Геометрически это означает, что
непрерывная линия y=f(x) не имеет касательной в своей точке
A, 1). И, действительно, графиком нашей функции служит ломаная
линия (черт. 61), вершина которой находится
в точке A, 1). Ясно, что не существует
касательной к этой линии в угловой точке и
линия не имеет в ней определённого направ-
направления.
В таких случаях иногда условно говорят,
что функция имеет «две производные»
в одной точке (линия — «две каса-
тельные»): одну, соответствующую значениям функции, прини-
принимаемым слева от этой точки, другую — принимаемым справа. Такая
картина наблюдается всегда, когда -г- стремится к двум различным
пределам в зависимости от того, приближается ли Ах к нулю только
слева или только справа. Точки графика, соответствующие значе-
значениям х, при которых это имеет место, называются угловыми точ-
точками. В таких точках непрерывная линия резко, скачком меняет
своё направление. Отсюда видно, что существование производ-
производной обеспечивает не только непрерывность графика функции, но и
известную «гладкость» линии, отсутствие у неё углов»
Определение. Линия называется гладкой, если она непре-
непрерывна и имеет непрерывно вращающуюся касательную. Соответ-
Соответственно этому функция называется гладкой^ если она непрерывна
вместе со своей производной. Линия (функция) называется
кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа глад-
гладких дуг (функций).
II. Трудно, однако, представить себе непрерывную линию без
угловых точек и не имеющую где-нибудь касательной, И всё же
такие линии существуют. Возьмём знакомую нам функцию
f(x) =
' sin — при
и /@) = 0.

54] § 3. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ 171
Она непрерывна всюду, но недифференцируема при х = 0. В са-
самом деле,
1
Ах'
Ах
Ал: sin -j- — О
Дх_
Дх~~
= Sill -A—
Ах
1
a sin д— при Ах -> 0 не стремится ни к какому пределу, даже если Ах
пробегает только положительные или только отрицательные значе-
значения. Неограниченно приближаясь к точке @, 0), точка на графике
функции (черт. 62) совершает бесчисленное множество колебаний,
и хотя нигде нет углов в ука-
указанном выше смысле, тем не
менее эта непрерывная линия
не имеет определённого на-
направления (касательной) в своей
точке @, 0)*).
III. Наконец, возможны
/(х +Ах)—/(х)
случаи, когда ———^——^-L
при Ах, стремящемся к нулю,
стремится к бесконечности.
Геометрически это означает,
что касательная в соответст-
соответствующей точке перпендикулярна
к оси Ох. Поэтому в целях
общности говорят (несмотря на
недифференцируемость функ-
функции), что в этих случаях функ-
функция имеет бесконечную
производную, или произ-
производную, равную оо.
1) Пусть /(х)= {fx. При
х = 0 имеем:
Ах
/(Ах)-/@)
Ах
Ах
1
Черт. 63.
и, значит, д— стремится к -f- оо при произвольном стремлении Ах
к нулю. В точке @, 0) линия у= Y х касается оси Оу и не имеет
угловых точек (черт. 63). Она — гладкая линия.
*) Существуют примеры непрерывных функций, не дифференцируемых
ни в одной точке.

172 гл. III. производная и дифференциал
2) Пусть f(x)= )/x*. При х = 0 имеем:
[55
о
Черт. 64.
значит, — стремится к —оо, если Длг->0 слева, и стремится к
-f-oo, если Длг->0 справа. График функции у= f/л:2 — полукуби-
У ческая парабола — имеет в
точке @, 0) своей касатель-
касательной ось Оу (черт. 64); тот
факт, что -р стремится к
— оо или к -foo в зависи-
зависимости от характера стрем-
стремления Lx к нулю, указывает,
как и в случае конечного
предела, на наличие в точке @, 0) перелома линии, в данном случае
острия. Говорят, что в точке @, 0) полукубическая парабола имеет
«две сливающиеся касательные».
Заметим, однако, что все элементарные функции дифференци-
дифференцируемы всюду, где они определены, за исключением лишь отдельных
точек, так что элементарные функции имеют своими графиками,
вообще говоря, непрерывные и гладкие линии.
§ 4. ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ
(ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ)
55 F3). Скорость изменения функции относительно функции.
Параметрическое задание функций и линий.
I. Скорость изменения. Пусть заданы две функции одной
и той же переменной; обозначим её через t, а функции — через х и у:
* = <р@> у=№-
Понятие «скорости изменения функции» исходит из сравнения
изменения функции с изменением её аргумента; теперь же мы будем
сравнивать изменение одной функции с изменением другой.
Придадим значению переменной t приращение Ь? и рассмотрим
изменения функций <р и / в интервале (t9 t-\-ht):
А* = 9 (t + АО - ? (*), Ау =/(* + АО -ДО-
Определение. Отношение
V*P = fx =
(^ +
(О
называется средней скоростью изменения функцииf(t)
относительно функции <р@ в интервале (t, t-\-ДО-

55] § 4. производная как скорость изменения 173
Эта средняя скорость указывает число единиц /, приходящееся
на единицу <р в интервале (t> t -f- kt).
Определение. Предел v средней скорости vcp при Д/-^0,
если он существует, называется скоростью изменения функции
f(t) относительно функции ср(О в данной точке t*):
Ay
v — \\m vcp=z\\m -?.
Вычислим скорость изменения v. Имеем:
АУ f(t + At)-f(t)
lim ? = lim ?- = lim ^Щ
Итак,
т. е. скорость изменения одной функции относительно другой
равна отношению производных этих функций по их общему аргу-
аргументу, или, другими словами, отношению скоростей изменения
этих функций.
Понятие скорости изменения функции (/) является частным слу-
случаем сейчас определённого понятия относительной скорости
изменения, когда функция (ср), относительно которой скорость бе-
берётся, есть просто независимая переменная: y(t) = t\ тогда
II. Параметрическое задание. Задание равенств
У=№ (*)
означает задание функциональной зависимости между
переменными х и у. В самом деле, для каждого значения t
(в некоторой области) из нашей системы находятся значения х и у,
которые и являются соответствующими друг другу.
Определение. Задание функциональной зависимости между
двумя переменными, состоящее в том, что обе переменные опре-
определяются, каждая в отдельности, как функции одной и той же
вспомогательной переменной, называется параметрическим, а
вспомогательная переменная — параметром.
Операция отыскания по системе (*) непосредственной связи ме-
между переменными х и у без участия переменной / называется ис-
исключением параметра. В результате исключения параметра мы
*) Эту скорость изменения в отличие от «обыкновенной» скорости
изменения относительно аргумента можно назвать ещё «относительной»
скоростью,

174 гл. III. производная и дифференциал [55
получаем уравнение между х и у, определяющее одну из этих
переменных как явную или неявную функцию другой.
Прямой путь для исключения параметра таков: из первого, напри-
например, равенства находим выражение для t через х, т. е. ? = ф(лг), где
ф — функция, обратная функции <р, и, подставляя это выражение во
второе равенство
получаем явное выражение для у как функции от х. В конкретных
случаях употребляются и другие приёмы исключения параметра
(см. III, примеры 1, 2).
Рассматривая зависимость между х я у как уравнение соответ-
соответствующей линии, мы видим, что она может быть задана, как гово-
говорят, параметрически или, точнее, параметрическими
уравнениями. Значит, при этом абсцисса и ордината линии
являются функциями одной и той же переменной — параметра.
Параметрическое задание функций и линий часто имеет преиму-
преимущества по сравнению с другими формами их задания. В то время
как непосредственная связь между х и у может быть сложной,
в частности может представляться многозначным выражением,
функции, определяющие х и у через параметр, могут оказаться
однозначными и простыми. Кроме того, при параметрическом
задании заранее не предусматривается, какая именно из переменных
принимается за независимую и какая — за функцию.
Отметим, что параметрическое представление одной и той же функ-
функции возможно не единственным, а многими способами (см. III, пример 2).
Что касается параметра, то он получает различное истолкование
в соответствии с характером функциональной зависимости и другими
обстоятельствами. Нередко под параметром понимается время, и
тогда соответствующими значениями х и у будут те, которые при-
принимаются в один и тот же момент времени. В иных случаях пара-
параметр является переменной дугой, площадью, температурой и т. д.
Теперь мы можем показать, что относительную скорость
изменения функции y=f(t) по функции x = <?(t) можно рассматри-
рассматривать как обыкновенную скорость изменения у как функции
независимой переменной х.
В самом деле, систему (*) двух функций х и у от общего аргу-
аргумента t можно считать в качестве параметрического представления
одной из них (например, у) как функции от другой (от х). При
этом скорость изменения v этой функции согласно выводу п° 52
dv
будет равна -. , и мы получаем:
dt

55] § 4. производная как скорость изменения 175
т. е. как раз то выражение, которое было выше найдено для отно-
относительной скорости изменения / по ср.
Формула (**) даёт нам правило дифференцирования
функции, заданной параметрически.
Аналогично доказывается, что производная от х по у равна -jtjt:.
III. Примеры. Приведём примеры параметрического задания
линий.
1) Возьмём окружность с центром в начале координат и радиу-
радиусом, равным а. Обозначим через t дугу окружности (в радианах)
от точки (а, 0) до текущей точки (х, у).
Очевидно,
х = a cos t, y = a sin t.
Это и есть параметрические уравнения окружности. Исключая t
возведением х и у в квадрат и сложением их, получим:
Здесь у как функция х (и х как функция у) двузначна, а па-
параметрическое задание той же зависимости устанавливается с по-
помощью однозначных функций.
Когда t пробегает интервал [0, 2тс), точка с координатами лг, у
один раз обегает всю окружность.
Для углового коэффициента касательной к окружности имеем
выражение
dy a cos t _ , ,
dx a sin t ®
Угловой же коэффициент радиуса, проведённого в ту же точку
окружности, равен tgt. Отсюда следует, что касательная к окруж-
окружности перпендикулярна к радиусу, так что элементарное определе-
определение касательной к окружности вытекает из принятого общего опре-
определения касательной к линии.
2) Около эллипса с центром в начале координат и с осями а и Ь9
лежащими на осях координат, опишем окружность с тем же центром
и с радиусом, равным а (если а^>Ь). Тогда, принимая в качестве
параметра t дугу этой окружности от точки (а, 0) до точки с той же
абсциссой, что и текущая точка (х, у) эллипса, получим параметри-
параметрические уравнения эллипса
x = acost, y = bsmt.
Исключая из этих уравнений параметр t, придём к известному ка-
каноническому уравнению эллипса
При изменении t в интервале [0, 2тс) точка (лг, у) движется по
указанному -эллипсу. Между прочим, отсюда видно (рассматривая t

176
ГЛ. ГЛ. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
[55
в качестве времени), что если проекции точки на два взаимно пер-
перпендикулярных направления совершают гармонические колебания
с одинаковыми периодами, но с фазами, отличающимися на у (см.
п° 25), то эта точка движется по эллипсу (в случае неравных ампли-
амплитуд) или по окружности (в случае равных амплитуд).
Параметрическими уравнениями эллипса будут также:.
х2 v2
3) Параметрическими уравнениями гиперболы —2 — ~ = 1 являются:
x = acht, y=z
Если взять равнобочную гиперболу а = Ь=\, то параметру t
можно придать такой геометрический смысл: он равен удвоенной
площади криволинейного треугольника, ограниченного действитель-
действительной полуосью, отрезком прямой, соединяющей центр с данной точ-
П
Черт. 65.
кой гиперболы, и самой гиперболой (см. п° 117). Вполне аналогич-
аналогичный смысл имеет параметр t в уравнениях окружности радиуса 1:
он равен удвоенной площади сектора окружности, ограниченного
радиусами, соединяющими центр окружности с начальной точкой
A, 0) и с данной точкой окружности. В силу этого обстоятельства
функции cht и sht (а также tht и др.) и были названы гипер-
гиперболическими функциями; функции же cos t и sin t (и другие
тригонометрические) называются ещё круговыми.
4) Циклоидой называется линия, описываемая какой-нибудь
точкой окружности, катящейся без скольжения *) по прямой
линии (черт. 65).
Прямая линия, по которой происходит качение, называется «на-
«направляющей прямой», а катящаяся окружность — «произво-
«производящей окружностью».
*) Говорят, что одна линия катится по другой без скольжения, если
длина дуги, на которую поворачивается подвижная линия, точно равна длине
пройденного куска неподвижной линии.

56J § 4. ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ 177
Если за ось Ох принять направляющую прямую, а за начало
координат — точку прямой, с которой совпадает фиксированная
точка Жо производящей окружности, то уравнение циклоиды имеет
вид
a —у) = аarccos
где а — радиус окружности.
Параметрические же уравнения циклоиды очень просты:
x = a(t— sin t), j/ = a(l — cos t).
Действительно, примем в качестве параметра угол t> на который
поворачивается окружность при переходе фиксированной точки
окружности Мо в положение М. Этот угол равен углу между ра-
радиусом катящейся окружности, проведённым к точке М> и радиусом,
проведённым к точке Р её касания с осью Ох. Найдём абсциссу
точки М циклоиды:
x = ON=OP — NP,
но OP— MP=at (окружность катится без скольжения!), а NP =
= ML = a sin t. Значит, x = a(t — sin t). Аналогично находится ор-
ордината точки М:
y = MN=PC — LC=a — acost = a(l — cost).
Одна волна циклоиды получается при изменении t в интервале [0, 2ir].
Найдём угловой коэффициент касательной к циклоиде в её
точке М, соответствующей значению t угла поворота производящей
окружности:
dy ___ asint _. t m
dx ~ a(\ — cost) ё 2 '
значит,
откуда
¦¦Y — i и ?TMC = j-
Таким образом, касательная к циклоиде проходит через «верх-
нюю» точку Т, а нормаль — через «нижнюю» точку Р произво-
производящей окружности в её положении, соответствующем данной
точке касания М.
56 F4). Скорость изменения полярного радиуса. До сих пор
мы геометрически интерпретировали независимую, переменную и
функцию в качестве соответственно абсциссы и ординаты точки на
плоскости; при этом производная функция, измеряющая скорость
изменения ординаты по абсциссе, оказалась равной угловому коэф-
коэффициенту касательной к графику функции.
7 А. Ф, Бермант

178
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
[56
Будем теперь геометрически интерпретировать независимую пе-
переменную и функцию в качестве соответственно полярного угла и
полярного радиуса точки на плоскости. Линия, определяемая в си-
системе полярных координат (р, ср) уравнением, связывающим между
собой независимую переменную ср и функцию р:
Р =/(?)>
называется графиком функции /. При этом возникает вопрос
о геометрическом смысле производной функции-—-=/'(ср), измеряю-
измеряющей скорость изменения полярного радиуса по по-
полярному углу. Этот вопрос раз-
разрешается следующей теоремой.
Теорема. Скорость р' изме-
изменения полярного радиуса р линии
р=/(у) по полярному углу ф
равна полярному радиусу, умно-
умноженному на котангенс угла 6
между полярным радиусом и каса-
касательной, проведёнными к линии в
соответствующей точке:
Черт. 66. Доказательство. Возьмём
линию MXM% (черт. 66), являю-
являющуюся графиком функции р=/(ср). Придадим углу ср приращение Дер.
При этом точка Ж(р, ср) перейдёт в точку М(р-\-Ар, ср-|-Д<р).
Из полюса Р как из центра опишем дугу окружности MN и из
точки М опустим перпендикуляр MNi на полярный радиус РМ.
Тогда (см. черт. 66)
_r NM'
Дер
—— = р .——
Д<Р Ж!
(так как MN=p Дер) или
Ар NiM' — N±N MNi
Дер •
(*)
причём
¦ = ctg Z. NXMM = ctg Z. PMM, •
NjN PN — PNj p — p cos A<p Д^
лл\т. мм. psinA<j) * 2 *
l p sin Acp sin Acp

56]
§ 4. ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ
179
Следовательно, если Дер -> 0, то
¦о,
MN
1, атак как
секущая ММ стремится к касательной МТ, то /. РММ -> /. РМТ=Ь
В силу этого, переходя к пределу в равенстве (*) при Аср -> О,
получаем:
Что и требовалось доказать.
Отсюда видно, каким образом можно при помощи дифференци-
дифференциального исчисления решать задачи, связанные с касательными и нор-
нормалями линий, заданных уравнениями в полярных координатах.
Примеры. 1) Так как полярное уравнение окружности с центром
в начале координат (в полюсе) имеет вид р = я = const, то ctg б = — =0 и,
значит, 8 = -=-, т. е. касательная к окружности перпендикулярна к радиусу,
проведённому к точке касания.
2) Покажем, что так называемая логарифмическая спираль
р = ает<9 пересекается с любой прямой, проходящей через полюс, под по-
постоянным углом (черт. 67).
В самом деле,
рг = атет<? = wp
и, значит,
ctg 6 = -?-== т.
Если спираль не вырож-
вырождается в окружность (тфО),
то угол в всегда отличен от
прямого.
Через любые две точки
Mi и М2 плоскости можно
провести одну логарифми-
логарифмическую спираль (в уравне-
уравнении р = ает<? два параметра!),
при движении по которой из
точки Mi в точку М2 будет
сохраняться постоянным
угол между направлением
движения и направлением на
полюс. Если имеется прибор,
указывающий направление на полюс, то, зная угол 8 (т. е. arcctg m) для
спирали, проходящей через точки Ah и М2, можно быть уверенным, что,
начав движение из точки Mx и передвигаясь по плоскости так, чтобы
оставался неизменным угол 8, мы обязательно попадём в точку М2. При
этом движение автоматически будет происходить по дуге логарифмической
спирали.
7*
Черт. 67.

180
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
[57
Подобным образом в действительности осуществляется полёт по прибору
(без ориентировки по местности). Прибором служит компас, полюсом Р —
полюс земли, а роль логарифмической спирали на плоскости выполняет на
земной сфере аналогичная линия, пересекающая любой меридиан (т. е. напра-
направление на полюс) иод постоянным углом; эта линия — также спираль, про-
проведённая на сфере, с земным полюсом в качестве точки, вокруг которой
неограниченно вращается точка, движущаяся по спирали и приближающаяся
к полюсу.
Вообще, линия, пересекающая направления на фиксированную точку
под постоянным углом, называется локсодромой. Таким образом, ло-
локсодромой на плоскости является логарифмическая спираль, а соответствую-
соответствующую линию на земной сфере обычно называют просто локсодромой.
Поэтому говорят в подходящих случаях, что полёт происходит по «л о к с о-
д р о м е-»; постоянный угол между направлением полёта и меридианом назы-
называется «путевым углом».
57 F5). Скорость изменения длины линии. Для некоторых
дальнейших применений производной мы нуждаемся в понятии ско-
скорости изменения длины линии, установление которого требует
прежде всего определения вообще понятия длины линии. Рас-
Рассмотрение этого вопроса по существу мы откладываем до гл. VIII;
здесь же будем считать понятие длины линии очевидным и будем
полагать, что из нашего представления о длине вытекает такой
естественный принцип: если около выпуклой *) дуги описаны и
в неё вписаны выпуклые ломаные
линии, то длина дуги меньше
длины первой ломаной и больше
длины второй ломаной. Этот
принцип, как читатель вспомнит,
принимается и при вычислении
длины окружности, и мы восполь-
воспользовались им для отыскания пре-
предела при а->0 (п° 40).
Пусть дана непрерывная ли-
линия, имеющая в каждой точке
касательную и заданная в системе
декартовых координат уравне-
уравнением y=f(x).
Возьмём дугу ММ этой ли-
линии, соответствующую интервалу
[ху х-\-&х], и проведём к ней в начальной её точке М касатель-
касательную прямую МТ (черт. 68). Мы предполагаем, что при достаточно
малом Ах эта дуга выпуклая. Обычно это всегда имеет место. Обо-
Обозначим через As длину дуги ММ\ As есть приращение длины s,
отсчитываемой от какой-нибудь точки N.
Черт. 68.
*) Выпуклой называется дуга, пересекающаяся с любой своей хордой
только в двух точках.

57] § 4. ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ 181
По условию
ММ ^ ММ = As ^ МТ + ТМ.
Но
мм =
и поэтому
Й)* А* < А s ^ V^TV^x 4-«.
Разделив на Ал: (предполагаем простоты ради, что
получим:
Таким образом, средняя скорость изменения длины линии заклю-
заключена между двумя функциями, имеющими при Lx -> 0 один и тот же
предел, равный \/\ -|-У2-
Значит,
-г-= Нш т-.= к 1Ч~У2 (=seca, см. черт. 68).
Подобным же путём найдём:
— = Нш дт;— у 1-f-^f'2 (=secp, см. черт. 68).
Скорость изменения длины линии относительно какой-нибудь
координаты измеряется секансом угла между касательной к линии
и соответствующей осью координат.
Для дифференциала ds длины линии имеем:
внеся dx (или dy) под знак радикала, получим простой, легко запо-
запоминаемый, вид формулы для дифференциала дуги, не предполагаю-
предполагающий предварительного выбора независимой переменной:
ds= ]/d
Геометрически: дифференциал длины линии можно пред-
представить длиной соответствующего отрезка касательной к линии
в начальной точке дуги.
Отсюда следует, что бесконечно малая по длине дуга линии от-
отличается от соответствующего отрезка касательной к ней на беско*
нечно малую величину высшего порядка. Объединяя это с известным
свойством дифференциала ординаты линии (п° 59), можно сказать,что
Достаточно малую дугу линии можно со сколь угодно малой
относительной ошибкой заменять ипоположениюиподлине

182 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ {58
соответствующим отрезком касательной к этой линии в началь-
начальной точке дуги.
Отметим полезные формулы
dx
_ = cosa,
показывающие, что dx и dy можно рассматривать как проекции отрезка
касательной, равного ds, соответственно на оси Ох и Оу.
Отношение длины дуги ММ к стягивающей её хорде ММ
стремится к единице при стремлении точки М к точке М. Действи-
Действительно, при Дх->0
As ds
As ** dx
_1
мм1 уьх* + ьу* тЛ ,/Дуу ]/~1+/2
Можно было бы в основу определения дифференциала длины линии вместо
принципа, принятого нами, положить это свойство эквивалентности (по длине)
бесконечно малой дуги и стягивающей её хорды. Нетрудно сообразить, что
это свойство применительно к окружности выражается знакомым нам пре-
,. sin a Л
дельным равенством lim = 1.
«-о a
58 F6). Процессы органического роста. Различные процессы, изучаемые
в естествознании, чаще всего характеризуются особенностями в скорости
изменений величин, участвующих в этих процессах. Остановимся здесь только
для примера на имеющих широкое распространение важных процессах, в кото-
которых скорость изменения одной величины, у, как функции другой, х, про-
пропорциональна самой величине у, т. е.
где k — постоянный коэффициент пропорциональности.
Для наглядности возьмём сначала процесс возрастания денежной суммы
вследствие начисления на неё сложных процентов («проценты на проценты»).
Если начальная сумма в Ао рублей приносит р сложных процентов в год,
то (п° 22) через t лет эта сумма превратится в А = Ао[\ +-тйг) рублей.
\ У
Предположим теперь, что те же р годовых процентов начисляются
не раз в год, а каждый месяц; другими словами, в конце каждого месяца
к капиталу прибавляется его ^ ]аг\ часть» Очевидно, в конце первого ме-
месяца начальная сумма в Ао рублей превратится в Ао A -f- 10 ,пп ) рублей,
/ п \12
в конце года —в Д, A + 12 iqq) РУ^лей, а чере.з t лет —в сумму
л = .

58] § 4. производная как скорость изменения 183
При тех же условиях мы можем р годовых процентов начислять еже-
ежедневно, ежечасно, ежеминутно и т. д. Одним словом, допустим, что год
разделён на п равных частей и в конце каждой из этих частей начисляется —
процентов на весь наличный к моменту подсчёта капитал. Рассуждая, как
раньше, найдём, что по прошествии t лет получится сумма
k \nt
+±) (•)
где * = 4-
Говорят, что р годовых процентов начисляются не-
непрерывно, если капитал через t лет находится по фор-
формуле, получаемой из (*) предельным переходом при я -» оо.
Мы имеем:
л-юо
Следовательно (п° 41),
При любом способе начисления сложных процентов А (сумма) выра-
выражается показательной функцией от t (времени), но при прерывном начисле-
начислении независимая переменная t по смыслу вопроса может принимать только
значения, кратные —, а А меняется скачками, прерывно; в предельном случае,
когда А = AQekt, т. е. при непрерывном начислении, t может принимать любое
значение и А меняется всё время непрерывно *).
Найдём скорость изменения суммы Л = Л0^ относительно времени t
dA * и ы dA ил
_ = Aoke™ или -г- = kA.
at at
*) He следует думать, что при непрерывном начислении сложных про-
процентов капитал растёт значительно быстрее, чем при прерывном (если в обоих
случаях р одно и то же).
В самом деле, например, 10 рублей при р = 8°/о через год превратятся
в 10,8 рубля (годовое начисление) и в \0е0'08 ^ 10,83 рубля (непрерывное
начисление); или, скажем, из 100 рублей при р = 5% через 20 лет образуется
/ | \20
сумма в 100 A + «л-) ^ 266 рублей (годовое начисление) и в ЮОг «=: 272 рубля
(непрерывное начисление). Наглядное объяснение этого явления состоит в том,
что хотя с уменьшением промежутка времени, за который начисляются про-
проценты, увеличивается число моментов, когда это начисление производится,
но одновременно уменьшается доля, какую составляет начисляемое прираще-
приращение от имеющейся суммы. Совместное действие этих двух причин приводит
в конечном счёте к возрастанию дохода: A -| J растёт с ростом я,
однако практически относительно небольшому. Поэтому предпочитают поль-
пользоваться законом непрерывного начисления. Этот закон очень удобен при
вычислениях (существуют простые таблицы значений ekt)} и теоретические
рассуждения проще проводятся для непрерывной функции.

184 гл. III. производная и дифференциал E9
Коэффициент пропорциональности ^(=щ) указывает ту часть величины А
(суммы), какая прибавляется к ней за единицу величины t (за год), при
условии, что на протяжении этой единицы рост величины А (суммы) равно-
равномерен *).
Процессы, вполне подобные рассмотренному, имеют место во многих
явлениях природы. Например, в росте простейшего организма (в. явлении
размножения клеток) можно усмотреть осуществление процесса «непре-
«непрерывного начисления сложных процентов». Каждая клетка
служит источником образования новых клеток, и поэтому количество клеток,
порождаемых в единицу времени, пропорционально наличному количеству
клеток. Считая процесс размножения непрерывным (хотя, строго говоря, он
протекает прерывно), принимают, что скорость роста организма в данный
момент пропорциональна его величине (по весу или по объёму). Опыт
подтверждает — в определённых границах — справедливость этого положения,
а также всех математически вытекающих из него следствий.
Процессы, подобные этому, называют иногда процессами органи-
органического роста, а то условие, что скорость изменения величины пропор-
пропорциональна самой величине, — законом органического роста.
В дальнейшем (гл. VIII) мы встретимся с некоторыми процессами, имею-
имеющими большое значение в науке и происходящими по закону органического
роста. К ним относятся такие явления, как распад радия, нагревание тела
теплопередачей, изменение атмосферного давления, течение химической реак-
реакции и т. п.
§ 5. ПОВТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
59 F7). Производные высших порядков. Допустим, что функ-
функция j/=/(.*;) имеет производную fr(x) в некотором интервале неза-
независимой переменной х. Производная от /' (х) (если она существует)
называется производной второго порядка или второй производной
от первоначальной функции f(x) и обозначается через f"(x):
lim
Таким же образом производной третьего порядка или третьей
производной fm(x) от функции f(x) называется производная от
производной второго порядка. Дадим общее определение.
Определение. Производная п-го порядка (я-я производ-
производная), /(n)(jc), есть производная от производной (п— 1)-го порядка:
/(«) (х) — (/<« ~ 1> (*))' = Иш /("~
*) Последнее означает, что непрерывное начисление процентов отно-
относится лишь к начальной сумме А (не принимаются в расчёт промежуточные
в течение года приращения), а это равносильно простому начислению в конце
года р процентов к сумме в А рублей. Действительно, годовой доход при
непрерывном (но не сложном) начислении процентов будет равен
lim
(-А+-А + ...+ k- a) == lim n • * A = ft A.

59] § 5. повторное дифференцирование 185
В целях единства терминологии производную данной функции
называют производной первого порядка или первой про-
производной, а самую функцию — производной нулевого
порядка, /(л;)=/@) (х). Умение дифференцировать всякую элемен-
элементарную функцию позволяет найти одну вслед за другой последова-
последовательные производные данной элементарной функции до любого порядка.-
Иногда удаётся просто указать общий вид производной &-го порядка
от данной функции для произвольного k.
Примеры. 1) у=дх* — 5лг+1, у' = 6х — 5, /' = 6, /" = 0,
вообще j/(fe) = 0 для всех 6
2) у = хп> у = пК
если п — целое положительное число, то
3) у = sin^r, У = cos х = sin (•* + у)» У =
4) y = ex, yw—ex.
5) y = ax, У = ax In a, /' = ax (In aJ, ... , yik) = ax (In af.
1 „ 1
> ^ — A+Д:J---
(k) _ (—l)(—2)...(—k+\) _ . .*_! (fe—1)! , ^
Если у — неявная функция, то для отыскания её высшей производ-
производной нужно соответствующее число раз дифференцировать опреде-
определяющее уравнение, помня всегда, что у и все её производные суть
функции независимой переменной.
Так, вторую производную от функции уу заданной уравнением
найдём, дважды дифференцируя это уравнение. Получим последова-
последовательно
Отсюда
у

186 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ [59
В этом примере функцию и её производную нетрудно явно выра-
выразить через х. Тогда найдём:
„ аЬ
т. е. то же, что получается при двукратном дифференцировании явного
выражения функции. Вообще же производная какого-нибудь порядка
от неявной функции всегда может быть выражена в конечном счёте
через независимую переменную и самую функцию.
Так, дифференцируя по х два раза подряд уравнение (см. п°п° 13,49)
определяющее неявным образом у как функцию х, получим:
Ху» — ех + tfy* + е*у = 0.
Находя из первого равенства У и подставляя во второе, придём
к уравнению, из которого утг выразится через хну.
Для того чтобы найти производную высшего порядка от пара-
параметрически заданной функции, нужно продифференцировать выраже-
выражение для предыдущей производной как сложную функцию независи-
независимой переменной. Пусть y—f(t), x = y(t). Имеем:
Далее,
v"
и так как
то
<т
dx
dW(t))dt га
dt dx
dt 1
dx 9' (t)'
f'(t)<f'(t)-<("(t)
<PaW
'/' @
')f'(t) dt
dx
Дифференцируя это выражение по х9 найдём третью производ-
производную и т. д.
Производные второго и вообще высших порядков оказываются
существенно необходимыми для определения важных понятий мате-
математики, механики, физики и для более полного и тонкого исследо-
исследования функций, чем то, которое можно выполнить, применяя лишь
первую производную.

во] § 5. повторное дифференцирование 187
Возьмём для примера один фундаментальный вопрос механики, связан-
связанный с основными законами Ньютона. Простоты ради ограничимся случаем
прямолинейного движения под воздействием силы, направленной по той же
прямой. Согласно второму закону Ньютона приращение скорости при по-
постоянстве действующей силы пропорционально этой силе, приращению вре-
времени и обратно пропорционально массе. Если действующая сила не постоянна,
а является функцией времени, то для выражения второго закона Ньютона
необходимо обратиться к понятию второй производной.
Обозначим через s путь, пройденный прямолинейно движущимся телом
к моменту t; тогда s' будет скоростью движения в этот момент. Величина
s", измеряющая скорость изменения s', называется ускорением прямо-
прямолинейного движения в момент t. С помощью s" и записывается
второй закон Ньютона: ms" = F (t), где т — масса тела, F(t) — действующая
в момент t сила.
Значение /"(х) в некоторой точке х определяет скорость изме-
изменения f (x) в этой точке, т. е. скорость изменения скорости
изменения /(jc). Снова заимствуя термин из механики, можно
назвать fn(x) ускорением изменения функции f(x) при
данном х.
Вопрос о геометрическом смысле второй производной будет
затронут в гл. IV (п° 81).
Производные от данной функции в данной точке могут суще-
существовать до некоторого определённого порядка, а производных
высшего порядка функция в этой точке может и не иметь. Однако
всякая элементарная функция, вообще говоря (т. е. за
исключением отдельных точек), имеет в своей области опре-
определения производные любых порядков.
60 F8). Формула Лейбница. Совершенно очевидно, что правила
для отыскания производной от суммы функций и от произведения
постоянной величины на функцию сразу распространяются на произ-
производные высших порядков. Именно:
1) Производная п-го порядка от суммы определённого конеч-
конечного кисла функций равна сумме производных п-го порядка от
слагаемых функций, т. е. если y = u~\-v-\-.. .-\-w, то
у я) _ и(п) _|_ v(n) _|_ ^ _ _|_ w(n)t
2) Производная п-го порядка от произведения этой постоян-
постоянной величины на функцию равна произведению этой постоянной
величины на производную п-го порядка от функции, т. е. если
у = си, где с = const, то
()U)
Из других правил укажем лишь имеющее практическое значение пра-
правило для отыскания производной п-го порядка от произведения функций.
Пусть
y = uv\
выразим ум через производные функций и л v.

188 ГЛ. Ш. ПРОИЗВОДИЛИ Й ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Имеем последовательно:
/ = u'v -f- иг/,
Легко подметить аналогию между выражениями для второй и тре-
третьей производной и разложением биномов соответственно во второй
и в третьей степенях: эти выражения так сконструированы из про-
производных и и v (нулевого, первого, второго и третьего порядков),
как разложения для биномов — из последовательных степеней и и v
(нулевой, первой, второй и третьей). Оказывается, эта аналогия
справедлива в общем случае.
Формула Лейбница. При любом п справедливо равенство:
п~Ъ vr +
Эту формулу можно получить из разложения бинома (u-\-v)n,
если в нём заменить степени и и v соответствующими производ-
производными от и и v.
Доказательство. Докажем формулу (*) переходом от п к п + 1,
т. е. при помощи так называемого метода полной индукции. До-
Допустим, что формула (*) справедлива для некоторого /г, и убедимся в её
справедливости при этом и для п + 1. Продифференцируем один раз равен-
равенство (*): 1
v = um+v v _^ ит) v' „|_ num) v< ^ пит~1) Vй +
(n + 1) am) v' + ^n^t^n u{n-l)v" + ... + uvln+l). (**)
Покажем, что формула (**) имеет тот же вид, что и формула (*).
В самом деле, выпишем только (k+l)-ft и (k + 2)-Pi (k<:n) слагаемые
в правой части формулы (*):
где через С* обозначено число сочетаний из г элементов по 5. При диффе-
дифференцировании этих членов мы получим в правой части формулы (#*):
uv _| C u{n-k) v{k+l) _|_ Ck+1 u(n~k) v{k+\) _|_ Ck+1 u{n-k-l)
сгруппируем второе и третье из выписанных здесь слагаемых:
что как раз и даёт (k + 2)-й член в формуле (**), ибо, как известно,

61] § 5. ПбВТбРНдЁ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 189
Подобным образом соединяя первый и последний из выписанных выше
слагаемых с соответственно предшествующим и с последующим членами, мы
получим (Л-)-1)-й и (k -j- 3)-й члены в формуле (**)» построенные аналогично:
и т. д.
Итак, формула (-г*) получается из формулы (*), если заменить п на п+ 1,
что мы и хотели показать; так как формула (*) действительно справедлива,
как мы видели, для п = 2 (и п = 3), то из этого и доказанного сейчас предло-
предложения вытекает, что она справедлива для всякого п.
Формула Лейбница часто бывает очень полезной, так как даёт
возможность, пользуясь последовательными производными двух со-
сомножителей, сразу составить выражение для соответствующей про-
производной от их произведения.
Точно так же выводится формула для производной п-го порядка
от произведения нескольких сомножителей uv... w\ она оказывается
аналогичной формуле для разложения (и -|- v -j- ...-)- w)n.
Пример. Найдём сотую производную от функции у = х2 sin х.
Имеем:
= (sin x)(l00) х2 + 100 (sin x)(99) (x2)' + 1002 (sin x)98 (*•)";
следующие слагаемые нет нужды выписывать, ибо все они нули:
каждое из них содержит множителем производную выше второго
порядка от х2. Следовательно (см. п° 59),
/юо) _хч sin (х _|_ 100 JL) _j_ 200x sin (x + ^^r
+ 9900 sin (х + 98 ~ \ ==х2 sin х — 200х cos x — 9900sinx.
61 F9). Дифференциалы высших порядков. Дифференциал dy
функции y=f(x) есть функция двух переменных (п° 52): незави-
независимой переменной х и её дифференциала dx. Дифференциал dx
независимой переменной х рассматривается как величина,
не зависящая от х: значения dx могут быть назначены без учёта
того, какое именно значение х берётся.
От df(x) как функции х возьмём дифференциал: d(df(x)), т. е.
главную часть приращения
пропорциональную dx. Если этот дифференциал существует, то он
называется дифференциалом второго порядка или вто-
вторым дифференциалом от функции f(x) и обозначается через dlyi

190 ГЛ. lit. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ I6i
Таким же образом дифференциалом третьего порядка или третьим
дифференциалом d?y от функции f(x) называется дифференциал от
дифференциала второго порядка как функции х. Дадим общее опре-
определение.
Определение. Дифференциал п-го порядка (п-й диффе-
дифференциал), dny, есть дифференциал от дифференциала (п—1)-го
порядка как функции х:
Найдём теперь выражения для дифференциалов высших порядков
от функции /, причём предположим, что её аргумент есть незави-
независимая переменная х. Имеем для дифференциала второго порядка:
d {dy) = (dy)' dx = [/' (x) dx]< dx,
и так как в силу сказанного dx следует считать при дифференци-
дифференцировании по х величиной постоянной, то
(Ру =/" (х) dx . dx =f" (х) dx*.
Точно так же для дифференциала n-го порядка вообще найдём:
dny = (d^y)' dx = [f{n~x> (x) dxn~x\ dx =fn) (x) dxn,
где под dxn понимается п-я степень dx.
Итак, дифференциал п-го порядка равен произведению произ-
производной п-го порядка по независимой переменной на п-ю степень
дифференциала независимой переменной.
Дифференциал df{x) функции f(x) называется для общности
терминологии дифференциалом первого порядка или первым диф-
дифференциалом.
Каждый дифференциал является бесконечно малой величиной
высшего порядка, чем дифференциалы всех низших порядков:
цпу_ /мщахп _/<*>(*) п_т
dmy — /<™ (*) dxm ~~ fm) (x) аЛ ~*
при dx-+0, если п^>т и /(/71) (х) Ф 0. Приняв dx или dy [при
условии, что /' (х) Ф 0] в качестве бесконечно малой, с которой
сравниваются вс,е остальные, мы видим, что #-й дифференциал (если
он не равен нулю) есть бесконечно малая величина п-ю порядка
(п° 39). Последовательные дифференциалы
dy, d*y, d*y, ... , dny, ...
располагаются в порядке повышающейся малости.
Если y=f(x), то dy=f'(x)dx, безразлично, является ли аргу-
аргумент х независимой переменной или какой-нибудь функцией от неё
(свойство инвариантности формы первого дифферен-
дифференциала, см. п° 52).
Дифференциалы высших порядков уже не обладают этим свойством.

Gl] § 5. ПОВТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 191
В самом деле, предположим, что х есть не независимая перемен-
переменная, что мы допускали здесь до сих пор, а функция от неё. Тогда
и dx будет зависеть от независимой переменной, и уже нельзя будет
считать dx постоянным при дифференцировании первого дифферен-
дифференциала по независимой переменной; выражение для d*y получится
иным, чем указанное выше. Именно, взяв дифференциал от dy9 на
основании правила дифференцирования произведения получим:
#у = d [/' (X) dx] = d [/' (X)] dx + d (dx)f (X).
Ho
d[f(x)\=f"(x)dx и d(dx) = d*x;
поэтому
d*y =f" (x) dx* -f f (x) d*x.
Как видим, появился добавочный член f(x)d?x. Он обращается
в нуль, если х — независимая переменная:
d*x = (хУ dx* = 0 . dx* = 0.
Ещё более сложный вид имеет дифференциал третьего порядка:
&у =/'" (х) dx'6 + 3/" (х) dxd*x +/f (x) d*x.
Заметим, что каждое слагаемое в выражении дифференциала
я-го порядка (если оно не равно нулю) должно быть бесконечно
малой величиной я-го порядка относительно дифференциала неза-
независимой переменной.
Итак, при нахождении дифференциалов высших порядков необ-
необходимо строго учитывать характер аргумента дифференцируемой
функции: является ли он зависимой или же независимой переменной.
Из формул для дифференциалов получаем выражения для про-
производных в виде дробей:
/'=/»(*)=g,
У —
Эти формулы за исключением первой, верной всегда, справедливы
лишь при условии, что х — независимая переменная.
__ ^ dnv dn
Для удобства записи часто вместо -—^ условно пишут: -т-^ у.
Так, например, записывают: j--b{2xk — х~\- 1) =

ГЛАВА IV
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
§ 1. ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ «В ТОЧКЕ»
62 G0). Построение графика по «элементам». Построение гра-
графика функции по его точкам, соответствующим произвольно
выбранным точкам на оси независимой переменной, может дать
линию, значительно отклоняющуюся от истинного графика. Однако
знание производных чисел позволяет уточнить построение
графика. Действительно, вычислив при данном значении независимой
переменной значения функции и её производной, мы сможем ука-
указать не только соответствующую точку графика функции, но и то
направление, по которому, начиная от этой точки, нужно про-
продолжить график.
^шсе;к_^начения функции и значения её про-
--в-л-б^^е-'Н-хЗш^ ^функций^ njjjt- да «нам
Значении je за в и с и м о й.__.П-?ф-^ м„е нн °, ^Графически "элемент
функции изображается точкой на
М' плоскости и исходящим из неё век-
АО^ ~Г\ а<\ тором, угловой коэффициент кото-
'\/ рого равен производному числу.
Построив элементы функции,
мы при проведении линии, соеди-
соединяющей найденные точки, сможем
уже придерживаться тех направле-
Черт. 69. ний, которые указываются этими
векторами (черт. 69). Если какое-
нибудь из них заметно отличается от прямолинейного направле-
направления к следующей точке графика, то это показывает, что в соответ-
соответствующем интервале функцию нельзя представить плавной линией,
близкой к прямолинейному отрезку, соединяющему указанные две
точки.
Пользуясь построением по элементам, можно получить более
точный график, чем при построении по точкам, но и это построение
не даёт гарантии от существенных ошибок. Так, например, у точки М
(черт. 69) график функции может действительно начинаться в со-
Х7 X

G3]
§ 1. ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ «В ТОЧКЕ»
193
в
гласии с направлением прямой ММ, но затем сильно изогнуться,
и этот изгиб не будет обнаружен. А он как раз указывает на изме-
гение характера роста функции. Очевидно, что всех таких погреш-
погрешностей мы избежим, если будем^ за"ранее~^н1тТ ~те "зЖч^ния~~нёзави-
"Сймой переменной, при которых функциями з м е ff я ё т " х Ур Г" ~"*^"
в точках хх, х,2, хг, х^
функция y=f(x), пред-
представленная графиком АВУ
меняет характер своего рос-
роста. Интервал между двумя
такими последовательными
точками является интервалом
монотонности функ-
функции, т. е. интервалом, в кото-
котором функция или только
возрастает или только Черт. 70.
убывает (см. п° 15, IV).
Таким образом, если заранее найти течки, в которых функ-
функция меняет характер своего роста, то можно строить её график
не вслепую, наугад выбирая точки на оси независимой пере-
переменной, а прежде всего отмечая эти особенные точки и тем
самым разбивая весь интервал на интервалы монотонности, в ко-
которых не может встретиться слишком больших неожиданностей
в поведении функции.
Чрезвычайно ..важно, что указанные точки и интервалы-межотдн-
щкти функции мог.ут^йтТ"^нЖ^н1Р"на'^основании рассмотрения
знака её производной. Эта тесная связь между характером
'"{ГбТтТ^ф ун JTuUiTHELTrsH'^^ боль-
большую роль в вопросах исследования "функций.
63 G1). Поведение функции «в точке». Экстремумы. Прежде чем
обратиться к изучению поведения функции в интервале, мы рас-
рассмотрим поведение функции в окрестности отдельной точки или,
как выражаются коротко, по в е д е н и е «в точке».
Определение 1. Функция f(x) возрастает «в точке»
лг0, если существует такая е-окрестность точки лг0, что /(а:0)
больше f(x), когда х находится в этой окрестности слева от х09
и меньше /(л:), когда х находится в этой окрестности справа
от jc0.
Определение 2. Функция f(x) убывает «в точке» xOf
если существует такая е-окрестность точки х09 что /(лг0) мень-
меньше f(x), когда х находится в этой окрестности слева от лг0, и
больше f(x), когда х находится в этой окрестности справа
от х§.

194
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
[63
Определение 3. Точка х0 называется точкой максимума
функции f(x), если существует такая е-окрестность точки х09
что f(x0) больше f{x), когда х принадлежит этой окрестности
(f(xQ) есть наибольшее значение f(x) в этой окрестности).
Определение 4. Точка х0 называется точкой минимума
функции f(x), если существует такая е-окрестность точки хОу
что /(*о) меньше f(x\ когда х принадлежит этой окрестности
(f(x0) есть наименьшее значение f(x) в этой окрестности).
Будем представлять себе независимую переменную х точкой,
перемещающейся в интервале (х0 — е, jc0 —[- е) и проходящей через
точку х0У как обычно, слева направо; при этом, если позволить
себе употреблять наглядные (но не совсем точные) выражения,
указанные четыре случая означают, что функция соответственно:
1) «переходит от меньших значений к большим» (функция воз-
возрастает «в точке» х0),
2) «переходит от больших значений к меньшим» (функция убы-
убывает «в точке» хо)у
3) «переходит от меньших значений снова к меньшим» (функция
имеет максимум «в точке» хо)>
4) «переходит от больших значений снова к большим» (функ-
(функция имеет минимум «в точке» х0).
Различие в характере графика функции в окрестности точки х0
в наших четырёх случаях показано на черт. 71. Дуга МХМ^ гра-
Уо
Уо
Черт. 71.
фика, соответствующая интервалу (х0 — е, хо-\-&)у замечательна
тем, что: в случае 1) слева от точки Мо(хО)уо—/(Хц)) она лежит под
прямой у =Уо> а справа — над ней; в случае 2) слева от точки MQ
она лежит над прямой у = j/0, а справа — под ней; в случае 3) она
вся лежит под прямой у =j/0; в случае 4) она вся лежит над пря-
прямой у =_Уо'
Максимум и минимум объединяются названием экстре-
экстремум. Если функция f(x) достигает экстремума в точке xQi то зна-
значение f(x0) называется экстремальным — соответственно
максимальным или минимальным, а точка х0 — точкой
экстремума (или экстремальной точкой). Мы теперь видим,

631 § 1. ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ «В ТОЧКЕ» 1Й5
что те точки, о ^которых уже упоминалось в п° 62 — в них функ-
функция меняет характер своего роста, — являются как раз точками
экстремума функции.
Дадим указанные четыре определения с помощью неравенств:
1)^Функция у=/(х) возрастает «в точке» х0, если суще-
существует такое г, что
А*)
при любом Ах у удовлетворяющем условиям ^
2) Функция y—f(x) у бывает «в точке» х0, если существует
такое е, что
/(*о - A*) >/(*„) >/(*0 + Ах)
при любом Ах, удовлетворяющем условиям 0 <] Ах <[ е.
3) Точка Jt:0 называется точкой максимума функции
y=f(x)> если существует такое е, что
/С*о —
при любом Ах, удовлетворяющем условиям ^^
4) Точка х0 называется точкой минимума функции j/=
если существует такое е, что
/С*в —
при любом Ах, удовлетворяющем условиям
В данных определениях можно было бы предусмотреть возможность того,
что в s-окрестности точки х0 функция f(x) принимает в точках х, лежащих
левее лг0 или правее лг0, значения, равные f(x0). Тогда во всех указанных
выше неравенствах нужно было бы заменить знаки «строгих» неравенств
знаками «нестрогих» неравенств (< на ^ и > на ^) и подходящим образом
исправить словесные формулировки. Если фактически имеет место случай
равенства /(лг)=/(лг0) во всех точках интервала [лг0 — г, лт0] или интервала
[лг0, х0 + е], то этот случай можно было бы отнести по желанию или к одному
из первых двух случаев или к одному из двух последних. Допустим, например,
что f (х) = f (х0) при ^о— е^х^Хо и /(лг)>/(лг0) при *<><.*<лто + е;
функцию /(л*) в условиях «нестрогих» неравенств можно считать или возра-
возрастающей в точке х0 или достигающей в ней минимума.
Мы, однако, не будем изменять определения, оставляя отмеченные
только что случаи равенств /(лг)=/(лг0) (а также, конечно, и случаи такого
равенства во всём интервале [дг0 — е, х0 + г]) вне классификации.
Это тем более уместно, что приведённая нами классификация функций
по их поведению «в точке» (даже при условии «нестрогих» неравенств) всё
равно не охватывает все случаи поведения функции «в точке». Например,
уже известную нам функцию y~xs\n— при х^60 и у = 0 при лг = О
нельзя назвать в точке х = 0 ни возрастающей, ни убывающей, ни дости-
достигающей в ней экстремума. Действительно, в любой окрестности точки
х = 0 функция получает как положительные, так и отрицательные значения,

1Й6
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
т. е. значения как большие, так и меньшие её значения в точке лг = О.
В этой точке функция обладает такой особенностью: какой бы малый ин-
интервал с концом в точке х = 0 или с началом в ней мы ни взяли (т. е.
интервал [— е, 0] или интервал [0, + г] при произвольном положительном е),
он не является интервалом монотонности функции. Вообще функ-
функцию, определённую в окрестности некоторой точки х0 (за исключением, быть
может, самой точки х0) и обладающую той особенностью, что никакой
интервал, кончающийся или начинающийся в точке л'о, не есть интервал
монотонности для этой функции, мы будем называть «бесконечно
колеблющейся в точке л'о». График «бесконечно колеблющейся в точке
Хо» функции представляет собой в окрестности точки х0 волнообразную ли-
линию, состоящую из бесконечного числа «волн», изобразить которую полностью
на чертеже, конечно, нельзя.
Для функции, определённой в данном замкнутом интервале и не
являющейся «бесконечно колеблющейся», каждая точка интервала (вклю-
(включая его граничные точки) есть конец и начало *) интервалов монотон-
монотонности или постоянства функции.
Такая функция в любой точке интервала относится к одному из выше
установленных (при условии «нестрогих»
неравенств) четырех типов (она или
возрастает, или убывает, или имеет ма-
максимум, или имеет минимум).
Следует учитывать, что обратное
предложение несправедливо: функция
может быть одного из упомянутых че-
четырёх типов, но быть при этом «беско-
«бесконечно колеблющейся». Легко вообразить,
хотя бы на основании графических
представлений, функцию возрастаю-
х0 х ЩУЮ (или убывающую, или имеющую
какой-нибудь s экстремум) «в точке»
Черт. 72. Xq и «бесконечно колеблющуюся» при
х = х0 (черт. 72).
Если в данном конечном интервале функция не является «бесконечно
колеблющейся», то в этом интервале она имеет конечное число точек
экстремумов. Обратное также справедливо.
«Бесконечно колеблющаяся в точке л:0» функция имеет в любой окрест-
окрестности этой точки бесконечное число точек экстремумов.
С «бесконечно колеблющимися» функциями практически не приходится
иметь дела. Заметим, что всякая элементарная функция в любом замкну-
замкнутом интервале, где она определена, не может быть «бесконечно колеблю-
колеблющейся».
Понятия максимального и минимального значений функции —
в отличие от понятий наибольшего и наименьшего значений функ-
функции в интервале, как и понятия возрастания и убывания функции
«в точке», — имеют «локальный» (т. е. местный — в окрестности от-
отдельной точки) характер: они основаны на сравнении данного зна-
значения функции только со значениями функции во всех доста-
достаточно близких точках. Поэтому, например, какой-нибудь ма-
максимум функции может оказаться в целом заданном интервале меньше
какого-нибудь минимума. На черт. 70 максимальное значение функ-
*) Левая граничная точка может быть, разумеется, только началом, а
праьая — только концом интервала монотонности или постоянства функции.

64J § 1. поведение функции «в точке* 197
ции f(x)f равное f(xx), меньше минимального значения, равного
/С*4).
Заметим ещё, что в силу самого определения точка экстремума*
обязательно лежит внутри области определения функции.
64 G2). Признаки поведения функции «в точке». Поведение
функции «в точке» теснейшим образом связано с производным чи-
числом функции. Эта связь опирается на теоремы, доказываемые с по-
помощью простых предложений теории пределов. Приведём предва-
предварительно эти предложения.
Теорема. Пусть функция и (а) при а~*а0 стремится к пре-
пределу а:
lim ц(а) = а;
а-»-а0
1) если при всех а в какой-нибудь окрестности точки а0
гг(а)^>0, то а^О;
2) обратно, если известно, что а ^> 0, то в некоторой окрест-
окрестности точки а0 и (а) ^> 0 *).
Доказательство.
1) Функция и (о.) не может стремиться к отрицательному числу,
ибо при этом её значения в достаточно малой окрестности точки а0
как угодно мало отличались бы от этого отрицательного числа и,
следовательно, сами были бы отрицательными. Однако к нулю поло-
положительная функция может стремиться.
2) В достаточно малой окрестности точки а0 и (а) как угодно
мало отличается от своего предела а — положительного числа и,
значит, в этой окрестности является положительной функцией.
Перейдём теперь к теоремам о связи между локальным поведе-
поведением функции и производными числами.
^ jj'ELg-M а я т zjqsl&xjlJ!&ul^
xq и ДиФФ^^^ру^
Если Функция f (х) убывает «в точке» jcfl и
при jc=:jc0, то
Доказательство. Если функция возрастает «в точке» х0, то
^У=/(х0 -\- Ад:)—f(xQ) положительно при достаточно малом поло-
положительном Ajc и отрицательно при достаточно малом отрицатель-
*) К этой теореме сводится следующая более общая теорема: если
lim и (а) = a, lim v (a) = Ъ
и при всех а в какой-нибудь окрестности точки а0 я («) > t/ (а), то а^Ь.
Обратно, если заранее известно, что а > Ьу то в некоторой окрестности
точки а0 и (а) > v (а). Для доказательства достаточно рассмотреть разность
U (а) — V (а).

198 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ F4
ном Длг. Поэтому отношение —¦ в некоторой окрестности точки jc0
положительно и, значит, стремится к неотрицательному числу. От-
Отсюда и следует, что fr(x0)^0.
Точно так же, если функция убывает «в точке» xQy то отноше-
отношение ~- в некоторой окрестности точки х0 отрицательно и, значит,
В том, что знак равенства действительно может иметь место,
нас убеждают примеры. Так, функция у = хг возрастает в каждой
точке, в частности в точке х = 0 (слева от х = 0 функция отри-
отрицательна, справа — положительна), а её производная (jt3)'= Зх2 при
лг = О равна нулю.
Геометрически д^кдаяння^ теорема иллюстрируется тем, что каса-
касательная к линии y=f(x) в^еУ^очке^л^о(х0, Д))
^нулевым углом, а в случа^~уШЖащ^^ или нулевым
углом". ~ ~~ ""*""" ~ """" ~~- •— - - ~ ^ ^
Большее значение имеет обратная теорема.
Обратная теорема. Если f (др0)>0, то функция f(x) воз-
возрастает «в точке» х0. Если f(xo)<^O9 то функция /(л;) убывает
«в точке» х0.
Доказательство. Если /f(jc0)^>0, то отношение
при достаточно малых Дх положительно и, значит, f(xo-\-kx)—-
—/(*.)>О при Дх>0 и f(xQ + bx)—f(x0)<0 при Ах<0,
т. е. f(x0) меньше значений, принимаемых f(x) справа от х0, и
больше значений, принимаемых f(x) слева от х0, значит, она возра-
возрастает.
Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Таким образом, если /' (х0) Ф 0, то при переходе независимой
переменной через точку xQ функция «переходит от меньших зна-
значений к большим» или наоборот.
Если же /'(л;0) = 0, то, как показывают примеры, при переходе
независимой переменной через значение лг0 функция y=f(x) может
изменяться самым различным образом: и возрастать «в точке» х0,
и убывать в ней, и иметь при х — х0 экстремум. Например, «в точке»
х = 0 функция у = х3 возрастает, функция у = — хг убывает;
функция у = х* имеет минимум, функция у = — д:2 имеет максимум,
а производные всех этих функций при х = 0 равны нулю.
При f(xo) = O функция f(x) также может быть «в точке» х~х0 «бес-
«бесконечно колеблющейся». Например, функция, заданная так: у = х2 sin —
при х ф 0, у = 0 при х = 0, — «бесконечно колеблющаяся* в точке х = О
(черт. 73), а её производная при х = 0 равна нулю.

64]
§ 1. ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ «В ТОЧКЕ»
199
Заметим, что для не «бесконечно колеблющихся» функций, т. е. для
всех обычно встречаемых функций, определённость знака производной
в некоторой точке обеспечивает существование окрестности этой точки,
в которой функция монотонна.
Черт. 73.
При любых условиях точку, в которой производная равна нулю,
называют стационарной точкой функции (скорость её изме-
изменения равна нулю).
СН е о б х о д и м ы й п р и jt^*i_liL?X&^^
/(^дифференцируема в^точюГлг0 и достигает в
gsnr————
~~~ До касательства Если бы f (х0) было отлично от нуля, то
функция y=f(x)y по доказанному, была бы «в точке» х0 или возра-
возрастающей или убывающей и, значит, не имела бы в ней экстремума.
/v
Л
Черт. 74.
Эта теорема имеет наглядный геом^хрический^смьшл;, касательная
(если онеГТ^^^в^е?)Г'в точке "линии у=/(х), соотвехсхвующей
точке экстремума-, обязательно- паратгяельна оси Ох (черт. 74).

ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
F5
Функция, однако, может иметь экстремум и в тех отдельных точ-
точках, в которых она недифференцируема (черт. 74).
Итак, точками экстремума функции могут быть лишь точки,
" производная srmou функции обращается в нуль (т. е.
^ пли~в
м
По производному числу мы можем судить о поведении функ-
функции «в точке». Для того же, чтобы иметь суждение об изменении
функции в смысле её роста во всём заданном интервале, необхо-
необходимо обратиться к производной функции.
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
Ьб G3). Теоремы Ролля и Лагранжа.
Теорема Ролля *).^Если фхшщия^(^) непрерывна в замк-
JjL^xoM-ui^j^Bajie^J^^ jc2^ дйффе^енц1фуеМ ^ открытом интер-
интервале (х1г лг2) и имеет на концах интервала' равные значения, то
в этом интервале существует по_
меньшей мере одно значение # = !;,
для" которого Y (?):"— Ъ. _
^^ТГбмнГа зТт е льство. Если на кон-
концах интервала значения функции равны
между собой, /(л:1)=/(лг2), то внутри
этого интервала функция или вовсе
-*- не изменяется и везде /(л*)=/(х1) =
х =/(дг2) или она изменяется; если
функция изменяется, то она достигает
наибольшего (как на черт. 75) или наи-
наименьшего значения, притом, очевидно, внутри интервала [хь лг2],
т. е. функция достигает экстремума внутри интервала. В первом
случае производная равна нулю при всех значениях ху во втором,
по доказанному в п° 64, — в точках экстремума **).
Теорему Ролля можно геометрически интерпретировать так: на дуге
линии у=/(х) найдётся точка, в которой касательная парал-
параллельна оси абсцисс (черт. 75).
Если, в частности, f(xl)=f(x<i) = 0, то теорему Ролля можно
формулировать следующим образом:
Между всякими двумя нулями функции (см. п° 15) лежит по
крайней мере один нуль производной.
Именно так, причём лишь для многочленов, теорема впервые
была указана самим Роллем. Она нашла многочисленные применения
в анализе и в алгебре.
6
Черт. 75.
*) М. Р о л л ь — французский математик A652—1719).
**) Этот экстремум может быть и не в «строюм» смысле — всё равно
производная в соответствующей точке обращается в нуль (ибо в противном
случае функция в этой точке была бы возрастающей или убывающей).
200

65}
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
Теорема Ролля представляет собой частный случай следующей
терремы.
/ Теорема Лагранжа*). ^Если^ функция f(x)
vb замкнутом
Ч1интервале Ijx
"мере одно
J^rujyeji)jH2E^2№ открытомГ
^Гинтеовал^^^^ШП^1^^
го"
Иными словами, средняя скорость изменения функции f(x) в
ЦЩЩЦЩЩ? [xv ^^^asn^^^wtypvtifUU^ изменения её в некоторой
Доказательство. Приведём до-
доказательство теоремы Лагранжа к тео-
теореме Ролля. Для этого из данной функ-
функции y=f(x) вычтем линейную функ-
функцию у = Хл:, графиком которой служит
прямая ONfr параллельная хорде МхМг
графика данной функции у=/(х)
(черт. 76). Значение взятой вспомога-
вспомогательной функции
У=/(х)-\х
будет изображаться отрезком PR, равным сумме постоянного отрезка
PQz=NiMi = N<2M<i и отрезка QR. Значит, хорда, стягивающая
конечные точки дуги соответствующей новой функции, будет парал-
параллельна оси Ох.
Итак, возьмём вспомогательную функцию
> равный угловому коэф-
коэфгде X — угловой коэффициент прямой
фициенту хорды МХМ^:
Функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: в ин-
интервале [xlt jc2] она непрерывна и в интервале (хи х%) дифферен-
дифференцируема, ибо этими свойствами обладают и f(x) и Хх, а на концах
интервала её значения равны между собой **):
*) Лагранж A736—1813) — знаменитый французский математик и механик,
**) Это легко проверить также и непосредственно. В самом деле:
f(X*)—f(Xi) ^ _
201

202 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ №5
По теореме Ролля в интервале (xly jc2) существует такая точка ?,
что F(?) = 0. Но F(x)=f(x) — I; следовательно, /f ($) — X = 0,
откуда
Что и требовалось доказать.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что
дуга линии у =f(x) имеет по меньшей мере одну точку, в кото-
которой касательная параллельна хорде.
Теорема Ролля получается из теоремы Лагранжа в частном слу-
случае, когда /(х1)
Утверждения теорем Лагранжа и Ролля перестают быть верными, если
не требовать дифференцируемости функции в каждой точке интервала
—
х2 на концах интервала
[—1, +1] имеет равные значения (=2), а вместе с тем её производная
2
у = —~ нигде в нуль не обращается. И действительно, в данном
гух
случае условия теоремы не выполнены: в точке х = 0, лежащей внутри интер-
интервала (— 1, + 1), производной не существует.
По теореме Лагранжа имеем:
-/C*l) = С*9 -
Эта формула позволяет теорему Лагранжа высказать так:
Приращение функции равно произведению производной в не-
некоторой «средней» точке на приращение независимой переменной.
Теорема Лагранжа называется ещё «теоремой о среднем
значении в дифференциальном исчислении» или «тео-
ремой о конечном приращении».
Формула (*) называется формулой Лагранжа (или фор-
формулой конечных приращений). Она позволяет дать точное
выражение для приращения функции- через значение производной
в некоторой точке и приращение аргумента без всяких предполо-
предположений о величине этого приращения. Имея большое теоретическое
значение, теорема (и формула) Лагранжа, однако, сама по себе мало
пригодна для расчётов, так как теорема утверждает лишь существо-
существование числа ?, удовлетворяющего равенству (*), но не указывает
никаких средств для его фактического отыскания.
Только в редких случаях заранее известно, каково должно быть 5.
Так, например, для линейной и квадратичной функций точка 6 всегда
является средней между точками хх и х2, т. е. \ =Xl "jlx* (чита-
(читатель без труда это проверит). В других случаях положение точки $
зависит и от функции f(x) и от интервала [хг, Jta].

66]
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
203
Формулу Лагранжа можно представить так:
АД*) =/(*
или, имея в виду, что ? — промежуточная точка между х и х -\- Длг,
так:
где 6 — некоторое положительное число, меньшее единицы:
Это — часто встречаемый вид формулы Лагранжа.
Сравним формулу конечных приращений, записанную в виде
+ ± 6
с формулой
~-——*}
(**}
вытекающей из выражения для дифференциала (п°53); между про-
прочим, формулу (**) можно было бы по аналогии назвать формулой
«бесконечно малых приращений».
Формула (*) при надлежащем выборе I точна при любых Алг, но
непригодна для вычисления значений функции ($ не известно); фор-
формула (**) удобна как раз для вычисления значений функции (доста-
(достаточно знать функцию и её производную в одной точке лг0), но не
точна и имеет вообще смысл только для достаточно малых Адг.
66 G4). Применения формулы Лагранжа к приближённым вы-
вычислениям. Если для всех значений х = х0 -)- Ах в некотором
интервале [х0, xt] принять % = хо-\-В {хх — лг0), где б — вполне
определённое положительное число, меньшее единицы, то формула
Лагранжа (*) превратится в при-
приближённую формулу для вычи-
вычисления значений функции в интер-
интервале [xQi Art]. При 6 = 0 эта при-
приближённая формула есть не что
иное, как дифференциальная фор-
формула (**) в п°65. При 6 = -^-, на-
например, мы получаем такую прибли-
приближённую формулу:
(или в другой записи:
/С*)^/С*в) +
Замена /(л;0-|-Дл;) указанным в правой части линейным выраже-
выражением геометрически означает замену дуги графика МХМ2 (черт. 77)
отрезком MXQ прямой, параллельной касательной к линии в точке Ж,

204 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ 166
с абсциссой x*}~Xl. Прямо из чертежа видно, что такая замена,
исключая точки, очень близкие к лг0, может быть выгоднее замены
дуги МХМ% отрезком касательной М{Г, т. е. что для приближён-
приближённого вычисления значений функции в целом интервале по формуле
Лагранжа выгоднее, вообще говоря, считать в этой формуле
6 = 1, а не 0 = 0.
Вычислим, например, In 782 и In 783, если известно, что In 781=6,66058
(см. п°53). Имеем хо = 781 и возьмём л:1 = 789; тогда, принимая в этом ин-
интервале 9 = -у имеем:
In 782 = In 781 + ~ • 1 ^ 6,66058 + 0,00127 = 6,66185,
loo
In 783 = In 781 + =1 • 2 ^ 6,66058 + 0,00254 = 6,66312.
/оО
По пятизначным таблицам находим соответственно: 6,66185; 6,66313.
Легко понять, почему мы здесь получили приближённое значение с недо-
недостатком.
Формула Лагранжа позволяет оценить ошибку, т. е. найти погрешность е,
допускаемую при вычислении значений функции y—f(x) в интервале
[xQ, Xi\ по какому-нибудь линейному закону. Пусть положено
где k— некоторое число.
Так как
то ошибка с по абсолютной величине равна
а = |*-/E)||*-*в|.
Пусть известно, что для всех ху принадлежащих интервалу [л:0, л^], имеет
место соотношение \k—f (х)\^.АГ; так как \х — *0|^l*i — *о I» то
— лго
Эта погрешность пригодна для всех х в интервале [х0, х^\.
Примеры. 1) Для вычисленного выше значения In 783 (= 6,66312) имеем:
1 1
785 781+0-2
и, значит, справедлива оценка
4 — 0 . 2
4-8-2
785G81 + 0 . 2)
<0,000014 = «.
785G81 + 0 -2) ^785- 781
Если для всех чисел х в интервале [781, 789], как это было сделано для
л: = 782 и л; = 783. мы воспользуемся формулой
In х = In 781 +^g (x — 781),
то будем иметь:
Q =
1
785 781+0 (х — 781)
/ -7О1Ч 4 —0(лг —781) . _О1Ч
{Х ~ Ш) = 7851781+6(^-781)](Х ~ 781):

67] § 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
погрешность е можно считать равной 0,00006, так как
205
2) Ошибка приближённого равенства (п° 53)
0Л2
по абсолютной величине будет равна
1 1
X X -\-ш
т. е. можно считать:
Л|=-
h?
Это является важным дополнением к указанному способу вычисления
логарифмов. Из выражения для г видно, например, что с увеличением х
можно пропорционально увеличить и Л, не выйдя за назначенную погреш-
погрешность.
3) Погрешность найденного в п°53 значения sin 31° = 0,5151 находится
аналогично; сначала записываем ошибку:
а затем, пользуясь неравенством
Sin a < a, 0 < a < ~,
находим погрешность:
67 G5). Поведение функции в интервале. Теперь мы можем за-
заняться исследованием роста функции в заданном интервале (см. п° 15, IV)
с помощью производной функции. Если не сделано оговорки, пред-
предполагается, что изучаемая функция везде имеет производную.
Прямая теорема. Если функция / (х) в интервале возрастает,
то её производная /'(х) неотрицательна;
если функция f(x) в интервале убывает, то её производная
f (х) неположительна;
если функция f(x) в интервале не изменяется (есть константа),
то её производная f (х) тождественно равна нулю.
Доказательство. Если функция возрастает во всём интер-
интервале, то она возрастает «в каждой точке» этого интервала; поэтому
в силу доказанного в п°64 каждое производное число этой функ-
функции неотрицательно; точно так же убеждаемся в неположительности
производной в случае убывания функции; наконец, производная от
постоянной величины равна нулю.
Таким образом, в интервале монотонности функции знак её
производной не может измениться на обратный.

206 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ №*
Это предложение позволяет по характеру роста монотонной
функции в интервале установить знак её производной в этом ин-
интервале. Однако значительно важнее обратное предложение, сводя-
сводящее вопрос о характере роста функции в данном интервале
к более простому вопросу о знаке другой функции —
именно её производной — в этом интервале.
Обратная теорема. Если производная f\x) от функции
f(x) везде в интервале положительна, то функция f(x) в этом
интервале возрастает;
если производная/г (х) от функции/ (х) везде в интервале отри-
отрицательна, то функция f (x) в этом интервале убывает;
если производная f (x) от функции f(x) везде в интервале
равна нулю, то функция f(x) в этом интервале не изменяется
(есть константа).
Доказательство. Возьмём две произвольные точки xt и х%
в интервале, причём пусть xx<^x^ По формуле Лагранжа имеем:
Если производная везде положительна, то и f (?) ^> 0, следо-
следовательно, f(x^)^>f(x1) при любых xt и лс2, хх<^Хъ, т. е. функ-
функция возрастает; если производная везде отрицательна, то и
/'(?)<^0 и, следовательно, f(x^)<^f(xt) при любых хх и х%, хх<^х^у
т. е. функция убывает; наконец, если производная везде равна
нулю, то и /г(?) = 0 и, следовательно, f{x<^=f(Xx) ПРИ любых
хх и хъ т. е. функция постоянна.
Мы видим, что в интервале знакопостоянства производной
функция монотонна.
Это предложение даёт нам простой и удобный аналитический
признак монотонности функции в интервале.
2
Так, например, для того чтобы убедиться, что функция у = -^ х'3 —
о
— 2х* — блг -)— 3 в интервале — 1 <^ х <^ 3 убывает, достаточно удо-
удостовериться, что её производная у = 2л:2 — 4х — 6 при — 1<^х<^3
отрицательна. А это действительно так, ибо уг = 2(х-\-1)(х — 3),
причём множитель х -f-1 при всех указанных значениях х положи-
положителен, а множитель х — 3 отрицателен.
Обратная теорема позволяет сформулировать следующую важную
теорему.
Первый достаточный признак экстремума. Точка
Хо есть точка экстремума функции f(x), если производная f(x)
при переходе х через х0 меняет знак; перемена знака -|- на —
даёт точку максимума; перемена знака — на -{- даёт точку мини-
минимума. В самой же точке хЛ) производная функции или равна
нулю или не существует.
Доказательство. Пусть при переходе х через х0 производ-
производная меняет знак с -f- на —: это значит, что слева от лг0 находится

67) § 2. применение первой производной 207
какой-нибудь интервал возрастания функции, а справа — какой-
нибудь интервал убывания функции. Следовательно, точка лг0 есть
точка максимума функции.
Также убеждаемся, что при перемене знака производной с —
на -|~ точка х0 есть точка минимума функции.
Замечание 1. Перемена знака производной не является, вообще
говоря, необходимым признаком точки экстремума; так, если функция/ (л:) —
«бесконечно колеблющаяся» в точке х0, то нельзя говорить о перемене знака
производной /' (х) при переходе х через лг0, ибо ни в каком интервале с концом
или с началом в точке лг0 функция / (л:) не является монотонной; в каждом
таком интервале f'(x) имеет значения разных знаков, а вместе с тем точка
х0 может быть точкой экстремума функции / (л:).
Замечание 2. Следует также иметь в виду, что, основываясь только
на перемене знака производной, нельзя ещё заключить о наличии экстремума;
необходимо ещё знать, что в самой точке функция непрерывна. Так, например,
1 2
пусть у = —. Производная этой функции у = ^ меняет знак ПРИ пере-
переходе х через точку х = 0: слева от нуля / > 0, и значит, функция возрастает,
справа от нуля / < 0, и зна-
значит, функция убывает; сама / Уп
же точка л; = 0 не является
точкой максимума, какое бы
значение ни приписать функ-
функции при х = 0, ибо функция
при х = 0 имеет бесконеч-
бесконечный разрыв.
На графике функции
(черт. 78) это обстоятель-
обстоятельство очевидно.
Если функция не Черт. 78.
имеет производной в не-
некоторых точках, то нужно рассмотреть поведение функции в интер-
интервалах между этими точками.
Теперь мы можем подвести некоторый итог, указав последо-
последовательность действий для исследования роста и отыскания экстре-
экстремумов заданной непрерывной функции f(x) в заданном интервале
[а, Ь\.
1) Прежде всего нужно найти точки интервала, в которых про-
производной не существует, и стационарные точки функции f(x)
(т. е. действительные корни уравнения /'(х) = 0). Этих
точек в интервале [а, Ь] для рассматриваемых нами функций (т. е.
исключая «бесконечно колеблющиеся») может быть лишь ограничен-
ограниченное число; обозначим их в порядке возрастания через хъ х%у ..., хп.
Это — те точки интервала, где функция f(x) может достигать
экстремумов. Такие точки называют иногда «критическими».
2) Затем следует разбить при помощи точек xt весь интервал
[а, Ь] на частичные интервалы [а, хх\у [хи х2], ..., [хп_и хп],
[хп> Ь], в каждом из которых производная сохраняет
постоянный знак. В самом деле, в противном случае производ-
производная обращалась бы в нуль (или не существовала бы) ещё в точках,

208 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ К»7
отличных от выделенных *). Следовательно, эти интервалы являются
интервалами монотонности функции.
3) Далее, по знаку производной устанавливается характер роста
функции в каждом из интервалов [х(, лг/+1] и, значит, характер
каждой из точек х-г При этом может оказаться, что какая-нибудь
точка xt не служит точкой экстремума функции. Это случится,
если в двух соседних интервалах: [xt_lt xt] и [хь хм\, разделяемых
точкой xif функция монотонна в одинаковом смысле (произ-
(производная в них имеет один и тот же знак). Тогда они объединяются
в один интервал монотонности функции. В этом случае точка х{
(если fr(xi) = 0) остаётся «стационарной» точкой функции, не
будучи точкой экстремума (пример: х = 0 для функции у = хь).
4) Наконец, простой подстановкой в выражение функции f{x)
найденных значений х — «точек экстремумов» — следует вычислить
экстремальные значения функции f(x).
Что касается наибольшего значения фунсщи в интервале [а, Ь],
то очевидно, что оно будет наибольшим из всех максимальных зна-
значений, достигаемых функцией в интервале, и значений, принимаемых
ею на его концах. Поэтому для отыскания наибольшего значе-
значения функции f(x) в интервале [а, Ь] нужно ко всем максималь-
максимальным её значениям внутри интервала присоединить ещё граничные
значения /(а) и f(b) и среди всех этих чисгл выбрать наиболь-
наибольшее. Вместо максимальных значений можно взять просто значения
функции во всех критических точках.
Вполне аналогично находится наименьшее значение функции
в интервале [а, Ь].
Сделаем общие замечания, которые могут облегчить исследование функ-
функций, заданных сложными выражениями.
Точки экстремумов и интервалы монотонности не изменяются, если
функция умножается на постоянную положительную величину, и меняют
только свой смысл, е,сли функция умножается на постоянную отрицательную
величину. Точки экстремумов и интервалы монотонности сложной функции
f[y(x)] совпадают с точками экстремумов и интервалами монотонности
функции ср (а:), если / (и) — монотонная функция, причём характер экстре-
экстремальных точек сохраняется в случае возрастания /(«) и изменяется на
противоположный в случае убывания. Арифметическая сумма одинаково
монотонных функций монотонна; произведение одинаково монотонных
функций, всюду имеющих общий знак, монотонно и т. д.
Эти утверждения непосредственно следуют из изложенных аналитических
признаков.
*) Это утверждение, строго говоря, нуждается в доказательстве. Допу-
Допустим, что в некотором интервале [xh xi+l] производная не сохраняет по-
постоянного знака. Нам нужно доказать, что при этом /' (х) внутри интервала
[х^ Xi+i] или обращается в нуль или не существует. Действительно, раз/' (х)
в интервале [xit xi+1] меняет знак (пусть, например, с -f- на —), то f \х)
изменяет характер своего роста (с возрастания переходит на убывание), что
может быть лишь при наличии внутри интервала [xt, xi+i] точки экстремума;
в точке же экстремума производная f'(x) необходимо равна нулю, если
только она существует.

681 § 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ 209
Например, для того чтобы доказать, что ln(e* + - ] возрастает при
\ ш X /
X
х>е, достаточно убедиться в том, что этим свойством обладает —-; чтобы
исследовать на экстремум функцию еУ , достаточно найти точки
экстремума функции ? = (л: sin л:J, так как и и = Л-у и еи — функции возра-
возрастающие.
68 G6). Примеры.
I. Основные элементарные функции. Хотя поведение
каждой из элементарных функций уже описано нами с помощью их
графических изображений в первой главе, однако применение диф-
дифференциального исчисления позволяет очень .легко аналитически
обнаружить некоторые основные свойства этих функций.
Степенная функция: у = хп. Её производная у = пхп~1 при
лг^>0 положительна, если п^>0у и отрицательна, если #<^0. Сле-
Следовательно, на положительной полуоси Ох функция или везде воз-
возрастает (#^>0) или везде убывает (я<^0).
Показательная функция: у = ах. Знак её производной
у = in а • а* совпадает со знаком In а, так как а* везде положи-
положительно. Поэтому у^>0, если а^>1, и/<^0, если а<^ 1. Показа-
Показательная функция монотонна на всей оси Ох: возрастает в первом
случае, убывает во втором.
Логарифмическая функция: у=.\пх. Её производная
У = — при х ^> 0 (а только для этих значений х функция опреде-
определена) положительная и, значит, In л: везде возрастает.
Подобным образом, обращаясь к производным, нетрудно вос-
восстановить ход изменения й других основных элементарных функций.
II. Элементарные функции. 1) Квадратный трёх-
трёхчлен. Исследуем хорошо известную нам функцию — квадратный
трёхчлен:
х у = ал:2 -\-bx-\-c.
Приравнивая её производную нулю: у' === 2алг-)-ft = 0, находим
дг = — — # Итак, квадратный трёхчлен имеет только одну точку
экстремума: :^= — я-, и два интервала монотонности ( — оо, — у- L
I. 4
Какую именно точку экстремума даёт это значение независимой
Переменной, зависит от знака коэффициента а. В самом деле, про-
фф
изводную можно представить в виде у' ===== 2а [ лг -j- ^-- J, откуда
о, что она будет
8 А. Ф. Вермонт
ясно, что она будет отрицательной при х<^ — ?г и положительной

210 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ [66
при х^>—р-, если а — число положительное, и будет иметь про-
противоположные знаки в указанных интервалах, если а — число отри-
отрицательное.
Таким образом, при а^>0 точка х = — ^~ будет точкой мини-
минимума, а соответствующее значение функции
b
— минимальным её значением, которое вместе с тем является наи-
наименьшим значением функции в любом интервале, содержащем
точку х= — А.
При а<^0 точка х =— к~ будет точкой максимума, а соответ-
№ — Aqc
ствующее значение функции у = максимальным её зна-
значением, которое вместе с тем является наибольшим значением функ-
функции в любом интервале, содержащем точку х =—у-.
И в том и в другом случаях точка с координатами х = — к~,
у — ~~ есть вершина параболы у = ах* -\-bx-\-c.
Всё это, конечно, целиком совпадает с указанным в п° 18.
2) Кубичная функция. Рассмотрим функцию
у = Зхв + 4,5л:2 — 4х + 1.
Приравняем её производную нулю:
9л:2"+ 9* — 4 = (Зл: — 1) (Зх + 4) = 0.
4
Отсюда видно, что производная обращается в нуль при х = —~- и
о
4
Так как при х < ~- оба множителя отрицательны, то производная при
этих значениях х положительна и, следовательно, функция возрастает. При
4 1 1
—^ < х < -^- производная-отрицательна и функция убывает, а при х > -5-
о о о
производная снова положительна и функция возрастает. Таким образом,
4 1
х = —«" есть точка максимума, а х — -~—точка минимума, и мы имеем три
о о
4 4
интервала монотонности: от —со до —^—интервал возрастания, отч—т до
о о
-^-— интервал убывания и от -$• до +оо —интервал возрастания.
Из этого анализа можно вывести, между прочим, что уравнение
3*8 + 4,5*2 — Ах + 1 = 0

68]
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
211
и это значение положительно: у=ТдУ
1о
имеет только один действительный корень (отрицательный), и значит, осталь-
остальные два его корня *) — сопряжённые комплексные числа.
Действительно, при х = —^- наша функция принимает положительное
о
значение у = 7 -^-; так как при х < —~- функция возрастает и при доста-
достаточно больших по абсолютной величине отрицательных значениях х де-
делается отрицательной **), то график нашей функции в интервале от — оо
4
до - пересекает и притом только один раз ось абсцисс; в интервале же
о
4 1
от —5- до -I- оо функция принимает наименьшее значение в точке лг = ~^-,
о > о
поэтому в интервале (—д"> Ч~°°)
\ 6 I
график функции вовсе не пересекает оси Ох.
3) Затухающие колебания. Рассмотрим функцию у == е~х sin х
при
обращается в нуль в точках — те,
5 9 .
~ те, — те, . . ., которые разбивают
положительную полуось Ох на
интервалы чередующихся знаков
производной. Таким образом, ука-
указанные точки поочерёдно дают ма-
максимум и минимум функции.
Так как —l^sinx^l, a
то
) ущ р фу у
х > 0. Её производная у* = е~х (cos л: — sin л:) = |/~ 2 е"*sin i -j- — х j
и график функции целиком заклю-
заключён внутри области, ограниченной
линиями у = е~х и у = — е~х
(черт. 79). При х—*оо множитель
е~х стремится к нулю, а второй
множитель sin x остаётся ограни-
ограниченным, поэтому и е~х sin x стре-
стремится к нулю. С возрастанием х
стремится к нулю и производная; Черт. 79.
следовательно, по мере удаления от
начала координат точка на линии неограниченно приближается к оси Ох по все
более и более пологому пути, вьётся вокруг неё. График функции касается (чи-
(читателю рекомендуется убедиться в этом!) линий у = ±: е~х при тех значе-
т. е. при X = -х- те, — те, — те, . . . J; любопытно,
ниях л:, при которых sin х = ±
*) Всякое алгебраическое уравнение имеет столько корней, какова его
степень.
**) Это вытекает из того, что
при достаточно больших | х \ будет иметь тот же знак, что и л:8, так как
выражение в скобках становится как угодно близким к 3,

212 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ [вв
что эти точки не являются точками экстремума функции (которыми служат
15 9 \
ТОЧКИ -j. «, ^Г «, -j- Я, . . . | .
Функция з> = е~хsin * определяет закон так называемого затухаю-
затухающего колебания. Множитель е~х не только «глушит» размах колеба-
колебаний, происходящих от второго, периодического, множителя sin л:, но и сме-
смещает вершины гармоники.
III. Неравенства. Методы исследования функций часто могут
быть применены к доказательству неравенств.
Докажем, например, справедливость неравенств
~ х < sin х < х, если Q<Cx<Ci7'
Рассмотрим функцию у = . Так как её производная
в интервале @, -5-) отрицательна (x<C^tgx), то у убывает и, значит,
sin тс-
2 ^. sin х ^ 1
откуда и следуют наши неравенства.
Имеет место также неравенство
sin х^>х— -^г-
при любом лг^>0.
Для его доказательства рассмотрим функцию
f(x) = sin x — х -|—g-
и убедимся в том, что она всегда положительна, если х^>0. Так
как /@) = 0, то достаточно показать, что f(x) возрастает в интер-
интервале @, оо). Производная функция
/'(*)= cos*-1+^-
должна быть положительна, но этого сразу не видно. Однако её
производная
/" (х) = х — sin х
положительна при х^>0 и, следовательно, /'(•*) — функция возра-
возрастающая, а заметив, что /' @) = 0, заключаем, что/'(#)^>0. Отсюда
в свою очередь вытекает возрастание f(x).

68] § 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
Неравенство
<хг
D
позволяет указать погрешность при замене sinx через х.
Докажем неравенство
213
Черт. 80.
при любом л:^>0. Функция f(x) = x — InA —|— Jt:) при х=0 равна
нулю: /@) = 0, и при х^>0 возрастает, что легко проверить по
производной: /' (х) = 1—-,-д:—, положительной для всех х^>0.
1 -f- X
Следовательно, /0*0]>0 в интервале @, оо), откуда и вытекает
доказываемое неравенство.
IV. Задачи о наибольших и наименьших значениях.
Предположим, что даны две величины, связанные функциональной
зависимостью, и требуется оты-
отыскать значение одной из них (заклю-
(заключённое в некотором интервале *)),
при котором другая принимает наи-
наименьшее или наибольшее возмож-
возможное значение.
Для решения такой задачи пре-
прежде всего следует составить ана-
аналитическое выражение для той функ-
функции, с помощью которой одна вели-
величина выражается через другую,
а затем найти наибольшее или наименьшее значение полученной
функции в данном интервале.
Примеры. 1) Найдём наименьшую длину отрезка между
осями координат, проходящего через данную точку (х0, у0). Можно,
конечно, допустить, что точка (xOf j/0) лежит в первом координатном
углу. Выбирая в качестве независимой переменной угол а (черт. 80)
и обозначая через / длину отрезка АВ> получим:
COS a ' sin а'
причём а изменяется в интервале @, у). Отсюда
dl_ х0 sin а у0 cos « у0 sin а /лг0 , 3 \
da COS2 а sin2 а COS2 а \у0 ® / *
Так как первый множитель положителен, то знак производной
совпадает со знаком второго множителя. Имея в виду, что ctga
*) Он может быть и неограниченным.

214 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ F8
в интервале (О, у) непрерывно убывает от -]-оо до 0, приходим
к выводу: при изменении а от 0 до -^- производная сначала отри-
отрицательна, обращается в нуль при а = а0, при котором ctg а0 = 1/ —¦,
а потом положительна. Таким образом, изучаемая функция в задан-
заданном интервале имеет один минимум в точке а = а0, который и будет
искомым наименьшим её значением:
— х° \
— COSflto "Г si
'наим— COSflto "Г sinao-
Но ctgao=l/—, поэтому, выражая cos a0 и sin a0 через ctga0,
найдём: ^
yj у Y \Уо) =
I
— U
1\L
3
Выбор независимой переменной при решении конкретных задач
о наибольших и наименьших значениях чаще всего предоставлен нам
самим, и от удачи этого выбора зависят лёгкость и быстрота дости-
достижения результата.
В рассмотренной задаче можно принять в качестве независимой
перемеьной, например, ещё отрезок OA=*x. Тогда
и мы получаем менее удобное для исследования выражение, чем
указанное выше.
2) Найдём наибольшее среди чисел 1, j/2^ j/T, jJ/T, • • чуПг* ••• Будем
рассматривать эти числа как значения непрерывной при х > 0 функции
у = у~? в «целых точках»: дг= 1, 2, 3, 4, ..., п, ... Исследуем функцию
у = х х. Имеем:
Выражение для производной позволяет заключить, что функция возрастает
в интервале @, е\ убывает в интервале (е} оо), достигая при х = е един-
единственного максимума, равного ее.

691 § 2. применение первой производной 215
Значит, искомым числом может быть только одно из двух значений
_l_
функции у = хх, соответствующих целым значениям х, ближайшим к точке
максимума х = е. Такими значениями являются У 2 и у 3. Но так как
уЗ >> ~\/~2 (что проверяется элементарно), то наибольшее среди чисел
1, }/Т, |/з", |/4, ..., ^7, ... есть Уз.
69G7). Одно свойство первообразной функции. В качестве
важного применения теоремы о поведении функции на интерва-
интервале (п° 67) рассмотрим сейчас предложение, играющее существенную
роль в построении интегрального исчисления (гл. V
и VI). Это предложение относится к новому понятию, обратному
понятию производной, именно к понятию первообразной функции.
Определение. Первообразной от функции f(x) назы-
называется функция F(x), производная которой равна данной
функции:
F{x)=f(x).
Первообразную иногда называют ещё. примитивной.
Чтобы лучше отдать себе отчёт о соотношении между перво-
первообразной и данной функциями, рассмотрим несколько примеров.
Пусть у = х*. Для какой функции х* служит производной?
Очевидно, для -у :
3
Поэтому первообразной от х* является функция -—-. Но не только
о
она. В самом деле, производной от -^--f-S, ~ 100 и вообще от
-о- -\- С, где С — произвольная постоянная величина, будет также х*.
X*
Следовательно, любая функция -~--\-С является первообразной от х*.
х*
Две функции, л:2 и -~- -\-С, находятся в таком соотношении
друг к другу: первая является производной от второй, вторая —
первообразной от первой.
xk+1
Подобным образом любая функция -{-С является первооб-
первообразной от xk(k^ — 1); любая функция sinjc-j-С является перво-
первообразной от cos л:; любая функция 1пх-\-С является первообразной
от — и т. д.
Теорема. Если функция имеет первообразную, то она
имеет бесчисленное множество первообразных, причём любые
две из них отличаются друг от друга только постоянным сла-
слагаемым.

216 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ [в9
Доказательство. Пусть функция F(х) есть первообразная
от функции /О0> т- е- ^ С*) =/(•*); тогда функция F(x)-{-C при
всяком постоянном С будет также первообразной, ибо
Нам остаётся показать, что любые две первообразные от f(x)
отличаются друг от друга лишь постоянным слагаемым. Пусть F(x)
и Ф (х) — две первообразные от /(л:), тождественно не равные
между собой. Имеем:
Ф'(*)
Вычитая одно равенство из другого, получим: F (х) — Ф^л:) = 0,
т. е. [Ф (х) — F(х)]г = 0. Но если производная от некоторой функ-
функции (в нашем случае от Ф (х) — F (х)) тождественно равна нулю, то
сама функция постоянна (п° 67); следовательно, Ф (х) — F(x) = G^f
где Сх — вполне определённая постоянная.
Что и требовалось доказать.
Таким образом, формула F(x) -\- С, где F(x) — какая-нибудь
первообразная от /(л:), а С — произвольная постоянная,
охватывает все без исключения первообразные от f(x). Придавая
различные численные значения С, мы будем получать различные
первообразные; при этом не существует никакой первообразной,
которую нельзя было бы получить из этой формулы, придав С
подходящее численное значение.
В силу доказанной теоремы устанавливаются простые соотношения
между функциями, производные которых равны друг другу.
' 1 Г **
Например, возьмём две функции: arctg x и arctg -~-—. Их производные
1 ~—~ X
равны между собой; значит:
arctg T~Zr~ = aPCt2 x + С, — 1 < х < 1;
полагая здесь х = 0, находим, что С = arctg 1 и, следовательно,
arctg —Г— -— arctg х + arctg I = arctg x + -j-,
1 — X 4
Эту формулу можно вывести и элементарно.
Точно так же
arcsin х = arctg
В самом деле,
(arcsin л:)' = (arctg -
Поэтому
х
arcsin х = arctg ¦
Полагая же х = 0, находим, что С = 0. Эту формулу также нетрудно
доказать элементарно.

701 § 3. применение второй производной 217
§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
70G8). Второй достаточный признак экстремума. Так как
вторая производная f"(x) функции f(x) является производной от
производной f (x), то рассуждения предыдущего параграфа позволяют
при помощи f"(x) описать поведение fr(x)> что в свою очередь
даст возможность более основательно судить о ходе изменения
самой функции f(x).
Применим прежде всего вторую производную к отысканию экстре-
экстремумов функции.
Второй достаточный признак экстремума. Если
fiXo) равно нулю, a f"(x0) не равно нулю, то дг0 естъ точка
экстремума функции f(x), и именно — точка максимума при
/'(лго)<^О и точка минимума при fr(Xo)^>O.
Доказательство. Так как /" (jc0) ф О, ro>f(x) в точке xQ
или возрастает, если /"(хо)^>О, или убывает, если fr(xQ)<^0.
В силу же условия f (х0) = 0 это означает, что слева и справа от
точки Xq, в некоторой её окрестности, fT(x) имеет разные знаки:
слева—, а справа-)-6 первом случае (f"^>0) и слева -f-, а справа —
во втором случае (/" <^ 0). В самом деле, раз функция (здесь f(x))
в какой-нибудь точке равна нулю и возрастает, то слева от этой
точки она должна иметь меньшие чем нуль значения, т. е. отри-
отрицательные, а справа — большие, т. е. положительные. Аналогич-
Аналогично, если fr(x) в точке равна нулю и убывает, то слева от
этой точки она имеет положительные значения, а справа — отрица-
отрицательные.
Итак, f(x) при переходе х через х$ меняет знак, причём с —
на-]-, если /"(-*о)]>О» и c-f- на—, если frr(x9)<^Q9 а это со"
гласно известному нам первому признаку (п° 67) указывает на
наличие' в точке х0 экстремума функции f(x): минимума в первом
случае (/"^>0), максимума — во втором (/"<^0).
В случае /'(jco) = O и /" (л;0) = 0, когда вторым признаком
воспользоваться нельзя, нужно обратиться к первому признаку,
более «сильному».
Так, например, обе первые производные функции у = х^
обращаются в нуль при лг = О; функция же в этой точке до-
достигает минимума, на что указывает и первый признак: производ-
производная у = 4лг3 меняет знак с — на ~\- при переходе х через нуль.
Функция у=хг, хотя её первые две производные тоже обра-
обращаются в нуль при х = 0, не имеет экстремума; и действительно, её
первая производная не меняет знака при переходе х через нуль.
Однако в случае своей применимости второй признак оказывается
весьма удобным; вместо рассмотрения знака функции fr{x) в точках,
отличных от предполагаемой точки экстремума, он позволяет дать
ответ по знаку функции f"(x) в той же точке.

218 {VI. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ [70
Примеры. 1) f(x) = ax*-\-bx-\-с. Так как f'(x) = 2ax-{-b
обращается в нуль при х = — -у, a f"(x) = 2a, то f(x) имеет ма-
максимум в указанной точке, если а<^0, и минимум, если а^>0.
На этом примере читатель может наглядно убедиться в большом
значении теории для математической практики. Он показывает, что
с расширением средств анализа упрощаются и укорачиваются рас-
рассуждения и выкладки, необходимые для исследования конкретных
функций. В первой главе, где мы ещё не владели дифференциальным
исчислением, квадратичная функция потребовала от нас довольно
длинных и специальных рассмотрений; в первом параграфе этой
главы, где было использовано понятие только первой производной,
мы достигли тех же результатов значительно проще; наконец, здесь
благодаря обращению и к понятию второй производной нам пона-
понадобились лишь три строки.
2) Найдем путь, по которому распространяется световой луч при пере-
переходе из одной среды в другую.
Пусть луч исходит из точки А первой среды, где скорость света равна си
и попадает в точку В второй среды, где скорость света равна с2, причём
среды разделены между собой плоско-
плоскостью (черт. 81). Искомый путь соста-
составлен из двух прямолинейных отрезков
АС и СВУ лежащих в одной плоскости
с перпендикуляром, восставленным к
разделяющей плоскости* в точке С.
Наша задача, очевидно, состоит в
указании положения точки С. Решение
этой задачи исходит из важного прин-
принципа Ферма: траекторией луча све-
Черт. 81. та служит линия, распространяясь по
которой свет пробегает расстояние
в кратчайшее время. В нашем случае время, в течение которого луч
переходит из точки А в точку С, равно (см. обозначения на чертеже)
У a2 -f- х2 ^ а Время перехода из точки С в точку В равно У ^2 + (? XY #
Следовательно, из начальной точки в конечную луч попадает за время
На основании принципа Ферма вопрос приведён к задаче о наименьшем
значении этой функции (при — оо < х < со). Имеем:
dt [ х11-х
— xf '
Так как (- — I <0, а (^— 1 > 0, то производная обращается в нуль
внутри интервала @, /). Но вторая производная
йЧ 1 а2^J b*

71) § 3. применение второй производной - 219
dH dt
для всех х положительна, -т-^- > 0, и, значит, -~т— постоянно возрастает, по-
поэтому она не может иметь больше одного нуля, который будет искомой
точкой минимума (ибо -r-j > О ); в этой точке функция достигает своего
наименьшего значения. При значении ху обращающем -=- в нуль, имеем:
1 х _ 1 1-х
т. е. (см. черт. 81):
1 АХС 1 ВХС
С! АС с2 ВС
, или
— sina=— sinp,
откуда
sin a сх
sinp "сГ"
Таким образом, отношение синуса угла падения к синусу угла прелом-
преломления равно отношению скоростей распространения света. Это — извест-
известный закон преломления света.
71 G9). Выпуклость и вогнутость линии. Точки перегиба.
I. Определение. Дуга называется выпуклой (п° 57), если
она пересекается с любой своей хордой только в двух точках.
Черт.
Л
82.
i
В
/
А
Черт. 83.
\
в
Дуга АВ на черт. 82 — выпуклая, а на черт. 83 — не выпуклая:
у дуги на черт. 83 есть хорды МХМ2У которые кроме точек Мх и
7И2 пересекаются с дугой АВ ещё в других, отличных от этих,
точках Мд.
Будем рассматривать только линии, расположенные в декартовой
координатной плоскости, являющиеся графиками однозначных и не-
непрерывных функций y=f(x). Если такая линия — выпуклая, то её
выпуклость обращена или вверх (в сторону положительных орди-
ординат) или вниз (в сторону отрицательных ординат). Точно говоря,
линия y=f(x) выпукла вверх, если её произвольная дуга

220 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ G1
лежит над хордой, стягивающей эту дугу; она выпукла
вниз, если её произвольная дуга лежит под хордой, стягивающей
эту дугу.
Вошло в привычку в первом случае линию называть просто
выпуклой, а во втором — вогнутой. На черт. 84 дуга АС
выпукла, а дуга СВ вогнута. Совершенно ясно, что выпуклая дуга
лежит под, а вогнутая дуга над любой своей касательной. Оче-
Очевидно и обратное: если линия в каждой точке имеет касательную
и лежит под ней, то эта линия выпуклая, если же линия лежит
над любой своей касательной, то она вогнутая.
Возьмём линию АВ (черт. 84), не являющуюся ни выпуклой, ни
вогнутой. Точку С на линии, в которой происходит «нарушение»
выпуклости линии, называют точ-
1 кой перегиба.
О п р е д е л"е н и е. Точкой пере-
перегиба называется точка на линии,
отделяющая её выпуклую часть
от вогнутой.
Если линия имеет в каждой
точке касательную, т. е. функция
f(x) производную (конечную или
бесконечную), то в точке пере-
перегиба касательная пересекает ли-
линию так, что в любой окрестности этой точки линия лежит
по обе стороны от касательной.
II. Перейдём теперь к выяснению связи между характером
выпуклости линии yz=:f(x) и свойствами функции f(x) (мы
допускаем, что функция f\x) по меньшей мере дважды дифферен-
дифференцируема).
Рассмотрим точки экстремума f(x). Эти точки (если они суще-
существуют) разбивают весь, интервал, в котором рассматривается функция,
на интервалы монотонности f'(x) и, значит, интервалы знакопосто-
янства f" (х). Оказывается, что график функции f(x) в интервале
постоянства знака f" (x) представляет собой выпуклую в ту или
другую сторону линию.
Прямая теорема. Если линия y=zf(x) выпуклая, то
fr(x) в соответствующем интервале неположительна; если линия
у =/ (х) вогнутая, то f" (x) в соответствующем интервале не-
неотрицательна.
В самом деле, если линия выпуклая, то любая её касательная
находится над ней и при перемещении точки касания слева направо
угол, образуемый касательной с осью Ох> может, как это очевидно
геометрически (см. черт. 84), лишь уменьшаться (при этом мы вместо
тупого угла рассматриваем взятый со знаком — угол, дополнитель-
дополнительный до тг). Вместе с углом уменьшается и его тангенс, т. е. ff(x)\
следовательно, рассматриваемый интервал есть интервал убывания

§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
221
функции fr(x); значит, в данном интервале производная от неё,
т. е. f!f(x), не может быть положительной.
Совершенно аналогично обнаруживаем, что если линия вогну-
вогнутая, то/"(л:) 3^ 0. Например, парабола у = xk на всей оси Ох вогнута
и -^- = 12jc* везде положительна, кроме lv = 0, где. она рав-
равна нулю.
Обратная теорема. Если f (x) везде в интервале отри-
отрицательна, то линия y*=if(x), соответствующая этому интер-
интервалу, выпуклая;
если ff(x) везде в интервале положительна, то линия y=xf(x),
соответствующая этому интервалу, вогнутая.
Пусть /" (х) < 0. Это означает, что f (x) убывает, т. е. убывает
угловой коэффициент касательной к линии, а значит, убывает и
угол, образуемый касательной с осью Ох. у
При этом очевидно, что линий лежит
под всякой своей касательной, т. е.
она выпуклая. Таким же точно обра-
образом геометрически убеждаемся, что если
frr(x)^>0y то линия вогнутая.
В
х
Аналитическое доказательство теоремы
основывается на том замечании, что если
дуга выпуклая, то приращение ординаты ли-
линии меньше приращения ординаты соответ-
соответствующей касательной (черт. 85); обратно,
если это имеет место для всякой точки лг0
интервала [хи х2] и для всякого приращения
h абсциссы, Xi ^ xQ + h ^ лг2, то дуга АВ лежит под любой своей ка-
касательной и, значит, она выпуклая.
Рассмотрим разность приращения ординат линии и касательной. Она
может быть выражена согласно формуле Лагранжа так:
Черт. 85.
Снова, применяя формулу Лагранжа, получим:
Дд> — dy = /" (jc, + Ы) 6Ла, 0 < et < в.
(*>
Если /" (*) везде в интервале [х1у лг2] отрицательна, то /" (л:0 + ^Л) < 0 и,
значит, ку<.йу для любого xQi *i < лг0 < лг2, и любого Л, Xi <хо + Л<х2;
дуга лежит под касательной, т. е. она выпуклая. Таким же образом рас-
рассуждаем в случае положительного знака /" (л:).
III. Абсцисса точки перегиба линии _у=/(лг) отделяет друг от
друга интервалы монотонности противоположного смысла первой
производной f(x) и поэтому является её точкой экстремума; об-
обратно, если точка на оси Ох отделяет интервалы монотонности
функции fr(x), являясь, следовательно, точкой экстремума /'(#)» т0
она есть абсцисса точки перегиба линии _у=/(дг). Вследствие
этого отыскание абсцисс точек перегиба и интервалов выпуклости

222
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
171
и вогнутости графика функции f(x) производится по известным
нам правилам.
Отметим прежде всего, что абсциссы точек перегиба линии
y=f(x) являются действительными корнями уравнения /"(.?) = О,
т. е. «стационарными точками» f (х). Далее приведём два доста-
достаточных признака для точек перегиба как точек экстремума /' (лг).
Первый признак. Если /"(л:0) = 0 и f (x) меняет знак
при переходе х через л:0, то точка (л;0,</(л;0)) есть точка пере-
перегиба линии y=f(x); слева от неё лежит участок выпуклости,
а справа — участок вогнутости при перемене знака с — на -|- и
слева — участок вогнутости, а справа — участок выпуклости при
перемене знака с -|- на —; если же f"(x) знака не меняет,
то точка д:0 не является абсциссой точки перегиба.
Второй признак. Если /"(лг0) = 0, a f"(лг0) Ф 0, то точка
(д:0,/(лг0)) есть точка перегиба линии y=f(x); при /'"(•*<>)!> О
слева от неё лежит участок выпуклости, справа -— участок вогну-
вогнутости, а при /'" (х0) < 0 — слева участок вогнутости, а справа —
участок выпуклости.
Примеры. 1) Линия у = хъ-\-х в точке @,0) имеет точку
перегиба: прежде всего у" \x=o=2Qxz\x=o = O; далее, "так как
у™ \х=0 = 0у то, рассматривая значения у" вблизи точки х = 0,
видим, что У при переходе х через. х = 0 меняет знак с —
на Ц-; следовательно, х = 0 есть абсцисса точки перегиба, причём
слева от этой точки лежит
^ участок выпуклости линии, а
^~ справа — участок вогнутости.
X \ / 2) Линия у == х4 -|- х в
точке @, 0) не имеет пере-
перегиба: здесь также
=0,
0 а
(X
Ь $ с у
Черт. 86.
однако при переходе х через точку х—0 у'г знака не меняет.
Мы допускали, что функция f(x) во всём рассматриваемом
интервале дважды дифференцируема. Если это не так, то нужно
исследовать f'(x) и f"(x) в окрестностях тех отдельных точек, в
которых они не существуют.
В обычно встречаемых случаях точки экстремума а, Ьу с, ... и
абсциссы точек перегиба а, р, 7, • • • чередуются (черт. 86).
Обратим внимание на разницу в характере терминов: точкой
экстремума функции называется точка на оси независимой пе-
переменной, а точкой перегиба — некоторая определённая точка
самого графика. Это связано с тем, что понятие экстремума —
относительное, зависящее от выбранной системы координат: точка

72] § 3. применение второй производной
на линии, соответствующая точке экстремума в одной системе ко-
координат, может не соответствовать точке экстремума в какой-нибудь
другой системе координат; понятие же точки перегиба не зависит
от системы координат, а обусловлено свойствами, присущими самой
линии: точка перегиба остаётся таковой при всех перемещениях
линии на плоскости (как твёрдого тела), т. е. в любой системе
координат.
72 (80). Примеры.
I. Основные элементарные функции. Характер графи-
графиков основных элементарных функций в смысле их выпуклости
теперь может быть очень легко проверен.
Так, график степенной функции у = хп на положительной по-
полуоси Ох вогнут при л<^0и«^>1 и выпукл при 0<^#<^ 1. Действи-
Действительно, у" = п(п—\)хп~* положительна в первых случаях и отри-
отрицательна во вторых.
График показательной функции у = ах при любом а ^> 0 вогнут
на всей оси Ох.
Логарифмика у = loga х всюду выпукла при а ]> 1 и вогнута
при а<^\.
Действительно,
отрицательна в первом случае и положительна во втором.
Так как
(sin лг)" = — sin x%
то интервалы выпуклости и вогнутости синусоиды совпадают соот-
соответственно с интервалами положительного и отрицательного знаков
sin xy а точками перегиба синусоиды являются точки её пересечения
с осью Ох.
Исходя из выпуклости синусоиды в интервале @, -^-) и линии
_y = ln(l-j-jc) в интервале @, со), читатель без труда геометри-
геометрически снова докажет неравенства (см. п° 68, III)
— <^ sin дг<"^ при 0<.г<^~- и *>1пA -\-х) при х^>0.
ТС Z,
II. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Не всегда удаётся установить
характерные точки функции (точки пересечения с осью Ол*, точки экстре-
экстремума, абсциссы точек перегиба) прямым решением уравнений /(лг) = О,
/'(лг) = О, /"(л;) = 0. Часто приходится прибегать к косвенным соображе-
соображениям, вытекающим из поведения /(л:), f {x\ f"(x) и т. п.
Для иллюстрации сказанного исследуем уравнение состояния газа, дан-
данное Ван-дер-Ваальсом:

224 гл. IV. исследование функций и линий 172
где р — упругость газа, v — объём, Г — абсолютная температура, a, b —
положительные постоянные, разные для различных газов, R — постоянная,
зависящая от числа грамм-молекул, но не от вещества газа.
Объём v должен быть большим, чем b(v> b), ибо при v < b из уравне-
уравнения следовало бы, что положительная величина RT равна отрицательной.
В силу же физических соображений рассматриваемые значения v велики
сравнительно с Ь.
Рассмотрим уравнение при различных, но постоянных температурах (изо-
(изотермические процессы). Если Т = const, то р является функцией одной пе-
переменной v:
= RT а__
Возьмём первую производную от р до v:
dp _ RT 2a _ 1 Г (g-Qi n<ri
dv -"" (v — by "f" v* ~~ (v — by I vb у
Прямое отыскание точек экстремумов требует здесь решения кубиче-
кубического уравнения. Мы оббйдём это, основываясь на том обстоятельстве,
что знак производной зависит только от второго множителя
который и достаточно исследовать.
При v~b <y = — RT и при v — со a-+ — RT; так как производная
от а по v
*L = 2а (° —*)(** — *)
dv v*
положительна в интервале (#, 3?) я отрицательна в интервале C?, оо) i'f
значит, <з в точке vo—3b достигает максимума, равного -^г RT, то вопрос
8а
о знаке <у решается знаком величины -^ — RT.,
т 1 8а
Пусть он отрицателен, т. е. I ^~rTyjL\ тогда а отрицательна для всех х/,
b<Z v < оо и поэтому р = <р (v) постоянно убывает.
Пусть, далее, ^ — RT>0, т. e. T <"D~27b'y тогда а два раза обра-
обращается в нуль: в некоторой точке v = vu~ лежащей между b и 3?, и в не-
некоторой точке tf = i?2, лежащей правее ЗЬ. Ясно, что vt даёт минимум,
v2 — максимум.
Пусть, наконец, 9- ~-/^Г = 0, т. е. Т — -д-пти* Тогда а обращается в
нуль лишь при v =zvo — 3by оставаясь для всех остальных значений v отрица-
отрицательной. Поэтому и -j^-bo всём интервале (Ь, оо) отрицательна, за исключе-
исключением точки vo=^3b1 где она достигает максимума, равного нулю. Следова-
Следовательно, р постоянно убывает, а график функции р = <р (v) имеет при v = vQ
точку перегиба (г>0 = 3?, р0 =--~|, касательная ^в которой параллельна
оси Ov. Точка v0 является стационарной точкой функции у (v). Значения

73]
§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
225
называются соответственно критическими температурой, объё-
объёмом и упругостью газа.
Таким образом, при значениях температуры Г, меньших критической
(r7lr) ()
всегда имеет одну точку мини-
минимума и одну точку максиму-
максимума, сближающиеся между собой
с повышением температуры; они
совпадают при Т = То с точкой
v0 = 3?, которой соответствует
точка перегиба графика; при зна-
значениях температуры Г, ббльших
критической (Го < 7\ < Г2 <«..)»
так же как и при Г = Го, р = <р (vj
постоянно убывает. Замечая ещё, А
ч<го р—»со при v—*b ир —*0 при
#Хоо, без труда вычертим гра-
графики функций р = ч> (v), соответ-
соответствующие различным температу-
температурам. Из черт. 87 видно, что толь*
ко при больших (постоянных) тем-
температурах (превосходящих крити-
критическую) и больших значениях
объёма v упругость газа р изме-
изменяется по закону, близкому к закону Бойля-Мариотта. В других же случаях
закон Бойля-Мариотта совсем неприменим.
§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
73 (81). Теорема Крши и правило Лопиталя.
I./йоказанная в п° 65 теорема Лагранжа является частным
слу/аем следующей теоремы.
Чч/Георема Коши*). Если функции/(лс) и ср(#) непрерывны
в, замкнутом интервале [хи х2] и дифференцируемы в открытом
интервале (хи х%), причём в этом интервале f (x) и <рг (х) не
имеют общего нуля **) и 9 C^i) Ф ? (*2)» то в этом интервале
существует по меньшей мере одно значение х = §, для которого
Черт. 87.
Иными словами,
Средняя бкорость изменения функции f(x) относительно
функции <р (х) в интервале [xv лг2] равна скорости изменения
*) О. Коши A789—1859) — знаменитый французский математик. Его
выдающиеся труды лежат в основе многих современных разделов матема-
математики.
**) Условие, что функции /' (х) и ср' (х) не имеют в интервале (хи х*)
общего нуля (т. е. не обращаются в нуль при одном и том же значении л:),
аналитически можно выразить так:

226 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ G3
функции f(x) относительно функции <?(х) в некоторой проме-
промежуточной* «средней», точке \ (х{ <^?><^х% или xi^>%^>x<t)*
Доказательство. Обобщая соответствующим образом дока-
доказательство теоремы Лагранжа, построим вспомогательную функцию
где
Такое значение для X получится, если мы потребуем, чтобы
F (x1) = F(x<2). Функция F(x) удовлетворяет в интервале [х^ х.2]
всем условиям теоремы Ролля *).
Следовательно, в интервале (хг, х%) существует такая точка 5,
что F(?) = 0, т. е.
/'(!) = Хер'(!),
причём ср'($) не может равняться нулю. В самом деле, если бы
ср'(?) = О, то и /'(?) = 0, чего быть не может в силу условий тео-
теоремы. Поэтому, деля обе части последнего равенства на ср'(?),
получим:
— у'F) ' Т* е* vixj-vixj — ср'(;Г
Что и требовалось доказать.
В то время как в теореме Лагранжа рассматривается отношение
конечного приращения функции к соответствующему приращению
независимой переменной, в теореме Коши -рассматривается отноше-"
ние конечного приращения функции к соответствующему прираще-
приращению другой функции.
Формула (*) называется «обобщённой формулой конеч-
конечных приращений» или формулой Коши, а теорема ещё —
«обобщённой теоремой о среднем значений». В част-
частном случае при у(х) = х формула и теорема Коши обращаются
в формулу и теорему Лагранжа **).
*) Легко проверить и непосредственно, что значения, принимаемые
функцией F (х) на концах интервала, т. е.
равны между собой.
**) Нельзя доказать теорему Коши, как это может показаться с первого
взгляда, простым почленным делением двух формул Лагранжа, относящихся
к функциям / и ср, потому что при этом промежуточное значение ? в пер-
первом и во втором случаях будет, вообще говоря, не одно и то же.

13] § 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 227
II. С помощью формулы Коши доказывается очень удобное и
важное правило предельного перехода.
Правило Лопиталя*). Пусть функции f(x) и ^(л:) при
лс-^л:0 (или ле->оо) совместно стремятся к нулю или к беско-
бесконечности. Если отношение их производных имеет предел (кото-
(которым может быть и бесконечность), то отношение самих функ-
функций также имеет предел, равный пределу отношения произ-
производных:
Предполагается, что функции f(x) и у(х) в некоторой окрест-
окрестности точки xQt если х-+х0 (или вне некоторой окрестности нуля,
если лг^оо), определены (за исключением, быть может, самой
точки Xq) и дифференцируемы. Известная теорема о пределе дроби
здесь неприменима.
Доказательство. Рассмотрим четыре возможных случая.
1. Пусть х~+х0 и при- этом /(дг)->0 и ср(х)->0. Будем счи-
считать, что и функция f(x) и функция ср(лг) при x = xQ равны нулю:
/(лго)^=О, y(xQ) = 0 (для нахождения при x->xQ предела их отно-
отношения не имеет значения, определены ли они в этой точке или нет,
а если определены, то чему они в действительности равны). Тогда
при ху достаточно близком к х0, справедлива формула Коши
Действительно, так как по условию теоремы отношение :Lr~
стремится к пределу при $~>лго> то существует такая окрестность
точки xOi что f(x) и cpf (x) не имеют в ней общего нуля. (Иначе не
было бы предела У^тт^.) Значит, условия теоремы Коши соблюдены.
Если х->Хц, то и ^jc0, и мы получаем:
11ГП . ч ' 11Ш | /w4
или, заменяя обозначение аргумента в правой части с ?чна х, при-
приходим к требуемому равенству
*) Лопиталь A661—1704) написал в 1696 г. книгу «Анализ бесконечно
малых», явившуюся первым трудом, содержащим общее изложение дифферен-
дифференциального исчисления. В этой книге было приведено указанное правило
в самом простейшем его случае. Оно было, по-видимому, ранее известно
И. Бернулли A667—1748) — знаменитому швейцарскому математику, учителю
Л. П. Эйлера.

228 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ GЙ
2. Пусть jc->oo и при этом /(дг)->0 и <p(je)->0. Полагая
х = —-, придём к рассмотренному первому случаю, так как если
х-+оОу то z->Q. Имеем:
а по доказанному
отсюда следует, что
3. Пусть дг^^Хо4 и при этом f(x)->oo и ср(лс)~> со.
В соответствии с условием теоремы предел отношения произ-
производных существует; обозначим его через А:
Возьмём произвольную точку л:', достаточно близкую к точке xQ,
и, например, справа от неё xf^>jco (доказательство не изменится,
если взять х'<С^х0). По формуле Коши будем иметь:
f(X)-f(X')_f®
?(*)-*<*') Т1 F)' ГДе
Вынесем множителем в числителе f(x), а в знаменателе «р (х)
и перепишем равенство так:
Выберем л:' настолько близким к дг0 (что повлечёт за собой
нужную нам близость и % к хД чтобы J-~ отличалось от А не
<р (?)
более чем на заранее заданную и как угодно малую величину. Это
возможно, так как указанное отношение стремится по условию к
А при \-*¦ дгй. Вслед за этим настолько приблизим х к ха,
чтобы отношение
,
,

731
§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
22S
отличалось от единицы не более чем на заранее назначенную как
угодно малую величину. Это также возможно, так как при выбран-
выбранном и закреплённом хг отношения * ? I и ^* { стремятся к нулю
с приближением х к дг0 (в силу того, что /(дг)-^оо и ср (х) -> сю).
Тогда выражение в ^правой части равенства (*) при х, достаточно
близком к лг0, будет как угодно мало отличаться от Л, т. е.
)
4
1. f(x) л
hm ^-4 = Д=
4. Пусть лг->оо и при этом /(х)->оо и (р(х)->-оо. Анало-
Аналогично случаю 2 при помощи замены х на — получим, что снова
Во всём предыдущем не исключено, что отношение производных
неограниченно возрастает; но тогда по правилу Лопиталя, остаю-
остающемуся справедливым, стремится к бесконечности и отношение самих
функций.
Итак, правило Лопиталя доказано полностью.
Примеры. 1) lim
0
——
. Здесь числитель и знаменатель
стремятся к нулю при jc->0; они и равны нулю при х = 0, будучи
функциями непрерывными.
Имеем:
lim
х — sin л:
= Hm
х-+0л МПЛ х-+0
после чего элементарные приёмы дают:
Зл-2
hm
sin л:
= lim
= hm 6
X
~2
. x
sin~ J
= 6.
ол Mr» s[nx и™ cosx 1
Ц) hm —— = hm —j— = 1.
x->0 x x->0 l
3)
Мы видим, как просто решаются теперь знакомые нам примеры.
Однако простота эта в данном случае кажущаяся, ибо мы пользуемся
дифференцированием функций sin x и In (I —f- jc), а оно само опи-
опирается на знание пределов отношений ¦sin х и > \х\ ПрИ х-+0.

230 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ G3
Может случиться, что f'(x) и <?' (х) также совместно стремятся
к нулю или к бесконечности при x-*xQ (или лг->оо). Прилагая
к их отношению снова правило Лопиталя, получим:
Иногда оказывается необходимым многократно повторить раз-
раздельное дифференцирование числителя и знаменателя, и если в конце
f(tl) /дЛ
концов при каком-нибудь п Hm J (n) ) ' существует, то ?ожно утвер-
ср {X)
ждать существование и предела М-г, причём
ср (х) <?(п) (X)
л 14 1- х — л: cos л: ,. 1 — cos x 4- х sin x
Примеры. 1) lim : = hm -, ! =
у F ' х_0 x — smx х_0 1 — cos л:
.. 2 sin х+х cos x t. 3cosa:4—л: sin л: о
= lim : = lim = o.
x_0 sin л: х_0 cos a:
Здесь мы последовательно три раза применили правило Лопиталя.
J_
2) lim ^= lim -^=r=0, n>0.
о\ 1- а* 1- я* In я , ах\па
3) hm jjj. = hm __=.. .= i,m —^|— = oo,
^^ + 00^ ЛГ~*ОО ПХ AT —OO Ш
если д — целое и положительное число иа)>1,
Мы получили результаты, подтверждающие свойства показатель-
показательной и логарифмической функций, высказанные в первой главе без
доказательства.
Приведём пример, когда отношение функций имеет предел, а
отношение их производных не стремится ни к какому пределу. Так,
1. х + sin х
hm ——
,. 'f* , smx\ ч
но вместе с тем
(x+smx)' 1 + cos x
X1 ~ 1
при лг~>со постоянно колеблется между 0 и 2 и, значит, не имеет
предела.
Этот пример не противоречит правилу Лопиталя — просто к нему
правило неприложимо.
III. Первые два рассмотренных нами случая отыскания предела
f (х)
отношения^-—, когда и f(x)-+Q и ср(лс)->0, можно условно
ср (лг)

73] § 4. дополнительные вопросы, решение уравнений 231
обозначить как случаи -~-; вторые же два случая, когда и /(лг)->оо
и ср(х)-*со, — как случаи —. Разумеется, эти обозначения
/О оо\
[-7Г- и —J не имеют никакого математического смысла; они могут
служить исключительно для наиболее краткого указания опреде-
определённого случая при отыскании предела функции*).
С помощью правила Лопиталя очень часто удаётся находить
пределы функций и в других случаях, отличных от случаев -^
и —. Мы рассмотрим случаи: а) 0-оо, б) со — со, в) 1°°, г) со0,
д)°0°.
Эти обозначения указывают, что ищется предел функции при
заданном изменении независимой переменной х (х -> дг0 или х -> со),
которая представляется выражением, являющимся соответственно:
а) произведением функции, стремящейся к нулю, и функции,
стремящейся к бесконечности;
б) разностью двух функций, стремящихся к положительной бес-
бесконечности;
в) степенью, основание которой стремится к 1, а показатель—
к бесконечности;
г) степенью, основание которой стремится к "со, а показатель —
к нулю;
д) степенью, и основание и показатель которой стремятся к нулю.
Нет нужды описывать те приёмы, которые позволят каждый из
указанных случаев привести к «главным» случаям: -х- или —. На
разбираемых ниже примерах читатель ознакомится с этими приёмами.
Заметим только, что в случаях в), г), д) функция предварительно
логарифмируется и, значит, сначала отыскивается предел не задан-
заданной функции, а её логарифма, а затем уже по пределу логарифма
находится предел функции (что допустимо вследствие непрерывно-
непрерывности логарифмической -функции).
Примеры, а) А= lim хп-\пх, #^>0; случай 0-со. Преобра-
зовываем:
Л= lim —г—;
*->о JL
*) Однако в некоторых учебных руководствах и теперь ещё сохраняется
О оо
традиция считать -г- и — в качестве так называемых «неопределенных»
выражений. Нахождение пределов этих выражений называют «раскры-
«раскрытием неопределённостей», почему и правило Лопиталя лшаче на-
называют «правилом для раскрытия неопределённостей».

232 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ [73
мы пришли к случаю —. Применяем правило Лопиталя:
Нт—=lim (—^) = 0.
->0 п х-*0 \ П I
(X 1 \
— — . случай со — оо. Преобразовываем:
х — 1 тх/
л .. х In х — х + 1
А = ит :
тг-л—¦—:
xi — 1Iплг '
мы пришли к случаю -^-. Применяем правило Лопиталя:
л: ' л:2 ' х
в) Л= lim (iHL^ )* ; случай Iе0. Преобразовываем:
1п sin
мы пришли к случаю -g-. Применяем правило Лопиталя:
cos л: 1_
1п А = lim (*" ^ " Ш ^)f Ит sin x *
^ = Ит =
1 ,. x co's x — sin x
= -?Г llffl ^—;
2 л,_0 x**mx
и дальше
Л 1 t. — a: sin л: I 1. — sin x
11Л ~ ~~ 2 "До 2х sin л: + л:2 cos x 2 ^ 2 sin x + x cos л:
v_kfl" cos x — х sin x и
откуда
YV

74] § 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 283
1
г) A=lim(ctgje)ln*; случай оо°. Преобразовываем: ,
*->о
In А = In lim (ctg xI™ = lim 11^Л;
мы пришли к случаю —. Применяем правило Лопиталя:
1
, * .. ctg л: sin2 х .. — х *
In Л = lim ^ = lim ¦ . — — 1,
COSA^* Sin X
X
откуда Л = —.
|0
д) Л = Нтл^; случай 0°. Преобразовываем:
In Л = In lim xx = lim л>1п х\
мы пришли к известному уже случаю (Ьоо. Имеем:
In Л = lim -=—
х
и дальше по правилу Лопиталя:
X
In Л = lim —г- = 0,
откуда Л = 1.
74 (83). Асимптотическое изменение функций и асимптоты
линий.
I. Для описания поведения функции важно знать ещё, как она
изменяется при х -> оо. Характеристика этого изменения даётся
сравнением данной функции f(x) с какой-нибудь другой, хорошо
известной функцией ср(дг) при неограниченном возрастании |дг|. Мы
будем рассматривать в качестве такой функции только линейную
функцию ср (дг) = ах -(- Ь. Указанное 'сравнение геометрически со-
состоит в сопоставлении бесконечной ветви графика функции j/=/(at)
с прямой линией у — ах-\-Ь. Введём в связи с этим общее гео-
геометрическое определение понятия прямолинейной асим-
асимптоты.
Определение. Прямая линия Г называется асимптотой
линии ?, если расстояние точки линии L от прямой Г при не-
неограниченном удалении этой точки от начала координат стре-
стремится к нулю.

234
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
G4
(Асимптоты могут быть и не прямыми линиями, но мы рассма-
рассматриваем, лишь прямолинейные асимптоты и в дальнейшем факт пря-
прямолинейности асимптоты не оговаривается.)
Знание асимптот бесконечных ветвей графика функции y=f(x)
является необходимым для того, чтобы правильно представить себе
форму всего графика и,
следовательно, характер
изменения функции во
всей области её опреде-
определения.
Следует различать
случай вертикальной
асимптоты от случая н а-
клонной асимптоты.'
1) Пусть линия у==
=/(лг) имеет вертикаль-
вертикальную асимптоту. Уравне-
Уравнение такой асимптоты
Черт. 88. .
будет x = xQ, и поэтому согласно определению асимптоты обяза-
обязательно f(x)-*oo при х-ь-Хцу и обратно.
Итак,
Если f(x) при х-+х0 стремится к бесконечности, то линия
y=s:f(x) имеет асимптоту х = х0.
Взаимное расположение бесконечной ветви линии и её верти-
вертикальной асимптоты x = Xq обнаруживается исследованием знака
бесконечности (±гоо), к которой стремится f(x) при стремлении х
к Xq"справа и слева. Это ясно
из черт. 88, где показаны воз-
возможные случаи.
2) Пусть линия y=f(x)
имеет наклонную асим-
асимптоту. Уравнение такой асим-
асимптоты будет: у = ах-\-Ь. Со-
Согласно определению асимптоты
расстояние MNt точки М на
линии L от асимптоты Г
(черт. 89) стремится к нулю
при х -> со. Но при этом и Р • •
разность MN ординат точки М
и соответствующей (т. е. имеющей ту же абсциссу) точки N на
прямой Г также стремится к нулю (и обратно, если MN->0, то и
->0). Действительно, из черт. 89 имеем:
COS a
MNt = MN cos a,
где а — уГол между асимптотой и осью Ох.

74] § 4. дополнительные вопросы, решение уравнений 236
Итак,
Um [/(*)-(** + *)] = <>.
ДГ~>ОО
В соответствии с этим условием можно дать аналитическое
определение наклонной асимптоты.
Определение. Если
lim [/(*) —
то прямая линия у = ах-{-Ь называется асимптотой линии
y=f(x); тогда говорят, что функция f(x) асимптотически
стремится к функции ах-{-Ь (или/(лг) асимптотически равно
ах + Ь)*).
Чем больше | х |, тем, вообще говоря, с большим правом, т. е.
с меньшей относительной и абсолютной ошибкой, можно заменить
данную функцию y=f(x) её асимптотой у = ах -j- b3 что, конечно,
значительно упрощает использование функции f(x).
Таким образом, вопрос о существовании и нахождении наклон-
наклонной асимптоты линии y=f(x) сводится к вопросу о существовании
и отыскании таких чисел а и &, что
lim [f(x) — ax — b] = 0.
.v-юо
Отсюда
lim х
и, значит,
цш r/^-a-ll^o, т. е. lim Ш^а. (*)
Из основного условия затем находим:
lim {f{x) — ax\ — b. (**)
Если равенство (**) имеет место при каком-нибудь а, то обяза-
обязательно имеет место и равенство (*).
*) Вообще функция y=if(x) асимптотически стремится
к функции у = <р (х) (не обязательно линейной), если
lim [/ (х) — <р С*)] = О,
ЛГ-+ОО
или, как это принимается иногда -в' более тонких разделах анализа, если

236 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ • 174
Обратное предложение несправедливо: равенство (*) может осу-
осуществляться, а равенство (**) — нет, и тогда линия y=zf(x) асим-
асимптоты не имеет.
Например, для линии^ = .*;-}-In л: имеем:
lim—! =1, т. е. а=1,
НО
lim (
и, значит, асимптоты в данном случае не существует.
Итак,
fix)
Если J-^~ при х -> оо стремится к конечному пределу а и
если /(лг) — ах при лс~>оо стремится к конечному пределу й,
то линия y=f(x) имеет асимптоту у=.ах-\-Ъ.
Пусть функция f(x) стремится к конечному пределу (=&) при
лг->оо; тогда, очевидно, й = 0 и линия j/=/(.?) имеет асимптоту,
параллельную оси Ох, именно у = Ь.
Асимптотическое изменение функции может быть раз-
различным при стремлении х к положительной или к отрицательной
бесконечности,, и поэтому следует раздельно исследовать случаи
Вслед за тем как найдена асимптота у = ах -f- b, исследованием
знака выражения 8=/(лг) — ах — Ь при лг-^оо можно установить
взаимное расположение бесконечной ветви линии и её асимптоты.
Ветвь линии либо находится, начиная с некоторого места над ней
(8^>0), либо под ней (§<С[0), либо постоянно пересекает,её (Ь бес-
бесконечное число раз меняет знак).
Пример. Найти асимптоты линии у = х arctg x.
Так как ^~ = arctg х при х -> -j- схэ стремится к -?-, а при х -> — со
X ?
стремится к —о"> то ищем пределы
lim [У — -2Х)> hm
По правилу Лопиталя находим:
/ _ те \ аГС1§ Х ^ 14-л:»
lim ly-+--7}-x)= Hm j —= lim —"*",¦=—1.
л:
Значит, имеем две асимптоты:
И J> = — -

74]
§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
237
Исследовав линию на конечных расстояниях, правильно пред-
представим себе вид всей линии (черт. 90). Обе асимптоты лежат под
~туХ — 11 >0 при х^>0 vi у — (— -^х — 1)]> 0
при
0. Так как, кроме того*),
> и и у -
lim У = i
и lim y' = — -^-,
то функцию х trctg х при достаточно больших | х | можно считать
линейной (с как угодно малой ошиб- yt
кой в определении самой функции
и её производной):
х arctg х я^ у х — 1 при
i—-JX~ 1
при
Черт. 90.
II. Покажем теперь, что если каса-
касательная к линии y~f(x) при неогра-
неограниченном удалении точки касания стре-
стремится к некоторому «предельному по-
положению», то в этом положении она
совпадает с асимптотой. В самом деле,
обозначим через X и У текущие координаты касательной к линии y~f(x)
в её точке (х, у); имеем:
т. е.
Существование «предельного положения» этой прямой при х—voo озна-
означает, что коэффициенты последнего уравнения имеют пределы, которые мы
обозначим соответственно через а1 и У\
lim /' (х) = а\
д:-*оо
\\m(y-xf{x)) = b'.
Остаётся показать, что а! -=.а и Ь1 = д, где а и Ь — коэффициенты урав-
уравнения асимптоты: у-=.ах-\-Ь> Но а = lim ^-^у что, по правилу Лопиталя.
*) Если у~ах-\-Ь есть асимптота y~f(x), a f (х) не стремится при
х —> оо к а, то, хотя значения f(x) (при больших | х |) близки к значениям
ах-\-Ь, функцию f(x) нельзя рассматривать как «приближённо линейную»
функцию ах-\-Ъ, так как её скорость изменения не стремится к постоян-
постоянной а. Геометрически: линия y=f(x) может быть как угодно близка по по-
положению к прямой у = ах -j- Ь, но её нельзя считать «приближённо прямой
линией», если её «направление» не стремится к направлению этой прямой
(асимптоты).

238 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ |74
даёт а = lim =af; b = lim (у — ax), что также, по правилу Лопи-
1
у
лГ х
таля, дает Ъ = lim = lim — = lim (у — ху') = Ь\
лг->оо _?_ x-+jx> j_ х-юэ
X " X2
Однако обратное несправедливо — линия может иметь асимптоту, в то
время как предельного положения касательной не существуес. Так, линия
sin х^
у~ имеет асимптоту y = 0t а касательная к ней нри неограниченном
удалении точки касания, как можно убедиться, постоянно колеблется, не
стремясь занять никакого «предельного положения».
Условно говорят, что прямая линия, занимающая при х-±со «предель-
«предельное положение» касательной, есть касательная в бесконечно уда-
удалённой точке линии.
Итак, мы доказали, что касательная в бесконечно удалённой точке есть
асимптота; только при существовании касательной в бесконечно удалённой
точке линию можно считать асимптотически прямой линией,
а соответствующую функцию — линейной.
Это предложение позволяет дать простой способ для отыскания асимптот
алгебраической линии; линия п-го порядка задается уравнением:
(х) yn-i + ... + ak(x) yn~k +... + а„ (*) = О, (•»)
где ak(x) — многочлен не выше k-Pi степени (?=1, 2, ..., п). Абсциссы
точек пересечения прямой у = ах + Ь с данной линией находятся, очевидно,
из уравнения я-й степени относительно х
а0 (ах + ЬГ + а, (х) (ах + Ь^ + ... + ап (х) = 0, (»>)
имеющего п корней. Если прямая стремится к касательной в бесконечно
удалённой точке (т. е. к асимптоте), то по меньшей мере две точки пересече-
пересечения, сливаясь между собой, неограниченно удаляются, и на конечном рас-
расстоянии остаётся соответственно меньшее число точек пересечения; абсциссы
последних удовлетворяют уравнению, которое получится из уравнения (**),
если в нём приравнять нулю коэффициенты при двух старших степенях х *).
Это даст два уравнения для отыскания двух параметров (а и Ь) в уравне-
уравнении асимптоты.
Если линия (*) имеет вертикальную асимптоту: * = л, то аналогично
в уравнении
1 +••• + *«<«) = 0
коэффициенты при двух старших степенях у должны быть равны нулю.
В том случае, когда в уравнении я-й степени содержится член с уп, т. е.
*) Вообще, если мы имеем уравнение
с переменными коэффициентами <х0, аь ..., ап (остающимися, однако, ограни-
ограниченными), то удаление одного корня в бесконечность может происходить
только при стремлении к нулю а0. Действительно, из алгебры известно, что
где ии и2, ..., ип — корни зфавнения. Если uL —* оо, то необходимо а0 -*. 0;
если и и2 -> оо, то и «! -> 0.

§ 4. Дополнительные вопросы, решение уравнений 239
когда Яо^О, линия не имеет вертикальной асимптоты; при go=O второе
равенство ах (а) = 0 или, если ах (х), а2 (х), ..., ak_t (x) тождественно равны
нулю, равенство ak (а) = О даёт уравнение, из которого находятся значения а.
Рассмотрим в качестве примера линию
у* + Хг — Залу — О,
называемую листом Декарта (см. ниже черт. 92). Мы имеем уравнение
третьей степени, и так как ао=1, то вертикальные асимптоты отсутствуют.
Для отыскания невертикальных асимптот записываем уравнение (ах + Ь)ь +
+ *3 — За* (ах + Ь) = 0; приравниваем нулю коэффициенты при двух стар-
старших степенях х:
a»-f 1=0 и ЗаЧ — Заа = 0,
откуда а = — 1 и Ъ = — а. Значит, декартов лист имеет асимптоту
у = — л: — а.
75 (84). Общая схема исследования функций. Примеры. Теперь
мы можем составить схему, следуя которой удобно производить
исследование функций и линий.
Пусть рассматривается функция y=f(x). Предлагаемая схема
состоит из пяти пунктов, в которых устанавливаются:
I. 1) Интервалы определения, 2) точки разрыва и интервалы
непрерывности, 3) нули и интервалы знакопостоянства, 4) оси и
центры симметрии графика (чётность, нечётность и периодич-
периодичность функции), б) область плоскости, в которой целиком лежит
график.
II. 1) Интервалы монотонности, 2) точки экстремума и экстре-
экстремальные значения.
III. 1) Участки выпуклости и вогнутости графика, 2) точки
перегиба графика.
IV. Асимптоты графика.
V. График.
В первом пункте даётся в общих чертах, ещё без привлечения
средств анализа, описание особенностей функции и её графика.
При этом нельзя забывать о существе той конкретной задачи,
которая привела к исследуемой функции. Может оказаться, что до-
достаточно ограничиться более узким интервалом изменения незави-
независимой переменной, чем естественный интервал определённости ана-
аналитически представленной функции, или что' задаче соответствует
лишь одна ветвь функции (в случае многозначности) и т. п.
Выполнение четвёртого пункта иногда удобно производить вместе
с первым пунктом, когда выясняется общая картина поведения
функции.
Можно, конечно, ограничиться словесным описанием поведения
заданной функции, но правильное, учитывающее все её особенности,
графическое изображение является очень экономным и выразитель-
.ным средством для наглядного представления изучаемой функцио-
функциональной зависимости. Поэтому выполнение первых четырёх пунктов

240 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ G8
следует сопровождать постепенным построением графика функции
(п° V).
Примеры. 1) Исследуем функцию
х2
У 1 I у- *
I. Функция определена и непрерывна на всей оси Ох за исклю-
исключением точки х — —1, где она терпит бесконечный разрыв. Нулём
функции служит только точка jc = O.
II. Имеем:
~ 0+*J •
Производная обращается в нуль при х = 0 и х = — 2, причём
в интервале (— со, — 2) она положительна, в интервале (— 2, 0) —
отрицательна (за исключением точки х = —1, где она не опреде-
определена), в интервале @, оо) снова положительна. Значит, функция
в первом интервале возрастает, во втором — убывает, в третьем —
возрастает; х = — 2 является точкой максимума, причём максималь-
максимальное значение функции равно —4, а х —0 является точкой мини-
минимума, причём минимальное значение функции равно 0,
III. Имеем:
2
Вторая производная в нуль нигде не обращается, но при пере-
переходе х через точку х = — 1 меняет свой знак с минуса на плюс.
Таким образом, есть два интервала знакопостоянства у": в интер-
интервале (—со, —1) она отрицательна, в интервале (—1,оо)— поло-
положительна. В первом интервале график функции выпуклый, во вто-
втором — вогнутый.
IV. Вертикальной асимптотой графика функции служит прямая
xz=—1, причём у-+-\-оо при лг->—1 справа и у-г>— оо при
х-+—1 слева. Далее, так как -^-srs-j-^— при jc-^i±oo стремится
X 1 —р X
к 1 и j/ — jc = — -у—— при х -> ± сю стремится к — 1, то суще-
1 -\- X
ствует ещё одна асимптота у = х— 1. Вследствие того что разность
положительна при х^>—1 и отрицательна при х<^—1, график
справа от прямой ;с = —1 находится над асимптотой у — х—1,
а слева от прямой х = — 1 под ней.
Приняв

7S1
§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 241
мы, например, для всех х^>100 сделаем ошибку, не превосходя-
превосходящую 0,01 в значении функции и не превосходящую 0,0001 в зна-
значении скорости её изменения. Практически функцию у= , ,
1 -f- X
в интервале A00, оо) можно считать линейной функцией у = х—1,
что, конечно, значительно упрощает её использование.
V. Приняв во внимание результаты, полученные в первых четы-
четырёх пунктах, без труда построим график (черт. 91), дающий пра-
правильное представление о ходе изменения функции на всей оси Ох.
В данном примере правильность нашего
исследования легко проверить, так как
л:2
линия у = -р-г-— есть не что иное, как
1 -\- X
гипербола, в чём нетрудно убедиться,
преобразовав подходящим образом си-
систему координат.
2) Изучим функцию, заданную неявно "<* -J
уравнением
О
Линия, определяемая этим уравнением, на- I /
зывается, как нам известно (п° 74), л и-
стом Декарта.
В таких случаях, когда уравнение, за-
задающее функцию, не допускает простого пе-
перехода к явному заданию, следует попы-
попытаться найти удобные параметрические урав-
уравнения. Иногда это удаётся сделать, положив
у = txy т. е. принимая в качестве параметра
t = — угловой коэффициент прямой, про-
проведённой из начала координат в текущую точку (л:, у) линии. В данном при-
примере имеем:
откуда
Sat
Черт. 91.
Поэтому
3at*
Таким образом, заданную функцию (и лист Декарта) можно определить па-
параметрическими уравнениями:
— оо < t < оо.
Каждому значению t соответствует одно значение х и одно значение уу
т. е. одна точка (л:, у) на линии.
Так как замена х на у, а у на л: не меняет уравнения линии, то эта
линия симметрична относительно биссектрисы первого и третьего коорди-
координатных углов.
9 А. Ф. Бермант

242
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
[76
Координаты х и у обращаются в оо при одном и том же значении t
(t = —1). Очевидно поэтому, что точек разрыва линия не имеет.
Дифференцируя, находим:
*1===3аA + *»J' ^Г = 3аA +^K#
Изменению t от —оо до —1 соответствует монотонное возрастание х
(ввиду того что хх > 0) от 0 до оо и монотонное убывание у (ввиду того
г что у < 0) от 0 до — оо. Значит, в 4-м
By координатном углу точка (х> у) описы-
Л вает дугу О А (черт. 92), уходящую в бес-
бесконечность и имеющую, как мы видели
в п° 74, асимптоту х + у = — а. Для угло-
углового коэффициента касательной имеем
выражение
dy 2t-t*
dx 1 — 2tb '
стремящееся к —оо при t—»— оо. Из
этого заключаем, что касательной к дуге
ОА в точке О служит отрицательная
полуось Оу.
Возрастание /от — 1 до 0 вызы-
вызывает движение точки (л:, у) вдоль дуги
Л'О, симметричной с ОА относительно
биссектрисы ВВ'. Дальнейшее возра-
возрастание t от 0 до 1 приводит вначале
i / = ) к возрастанию х от 0
Черт. 92.
до j/4a, а затем к убыванию до тг-а и к монотонному возрастанию у от 0
3
до ~а. Точка (ху у) описывает дугу OCD. Изменению t от 1 до оо соот-
соответствует движение точки (л:, $) вдоль дуги DEO, симметричной относи-
относительно В В'у с дугой OCD. При 2 = 0 -~=0у из чего следует, что касатель-
касательной к дуге OCD в точке 0 служит ось Ох.
Вид линии и картина поведения соответствующей функции совершенно
ясны благодаря произведённому анализу и найденной в п° 74 асимптоте (см.
черт. 92). Впрочем, асимптоту здесь легко найти и по общему правилу,
исходя из параметрических уравнений.
Итак, когда параметр t непрерывно возрастает от — оо до оо, подвижная
точка (Ху у) обегает лист Декарта в таком порядке: OAA'OCDEOy причём
петле OCDEO соответствует изменение t от 0 до оо.
76 (85). Решение уравнений. Понятие кратного корня. Иссле-
Исследование функции f(x) требует, вообще говоря, решения уравнений
/(лг) = О, /г(лг) = О, f"(x)=0; но в свою очередь методы иссле-
исследования функций могут помочь находить корни уравнений.
Заметим прежде всего, что знание поведения функции _у=/(лг)
помогает установить, сколько раз график её пересекает или касается
оси ОХу т. е. сколько действительных корней имеет уравнение
/(лг) = О, и приблизительно указать те места оси Одг, где это пере-

76] § 4. дополнительные вопросы, решение уравнений 243
сечение или касание происходит; другими словами, оно позволяет
выделить такие интервалы оси Ох, что внутри каждого из них
заключён лишь один корень уравнения/(х) = 0. Это выделение интер-
интервалов называется отделением или изолированием (изоляцией) кор-
корней, а сам интервал — интервалом изолирования (изоляции).
Будем везде исходить из того, что нам так или иначе удалось
изолировать корень дг0 уравнения /(лг) = О в некотором интервале
[хи лг2]. Каждое из чисел хх и х% можно считать приближён-
приближённым значением корня лг0: первое, xv — с недостатком, второе,
лг2,— с избытком (если х1<^х,2)> причём разность лг2— хх является,
очевидно, погрешностью этих приближённых значений. Изла-
Излагаемые здесь методы приближённого решения уравнений состоят
в том, что указываются приёмы, посредством которых по данному
интервалу изоляции [xv х2] и по функции f(x) находится такой
новый интервал [х[, х^ что
Х\ < х\ < xQ < х'2 < лг2,
т. е. суживается интервал изоляции; ясно, что х\ и х*ъ —
суть, вообще говоря, лучшие чем хг и лг2 приближённые значения
корня х0.
Применяя к интервалу [х[у х^] тот же или другой метод, полу-
получаем ещё лучшие приближённые значения х'{, х\ корня лг0.
Мы приводим три метода, самые простые и удобные: «м е т о д
проб», «метод хорд» или, как ещё его называют, «regula falsi»
(правило ложного положения) и «метод касатель-
касательных», который известен также под названием «метода Нью-
Ньютон а», а также комбинирование этих трёх методов.
Введём теперь понятие кратности корня.
Определение. Если функцию f(x) в окрестности точки
x=zXq можно представить в виде (х — xQ)k fx (х), где k — целое
положительное число, a fx (дг0) Ф 0, то дг0 называют k-кратным
корнем уравнения /(л;) = 0 (или нулём функции /С*)); говорят
ещё: лг0 — корень (нуль) ?-й кратности.
Если функция f(x) имеет k производных в точке лг0, то, как
легко проверить последовательным дифференцированием функции
f(x) — (x — x^)kfx{x)y имеем:
Обратно, если эти последние условия имеют место, то, как мы
покажем в п° 79, f(x) можно представить в виде (х — x<b)kf\(x)>
где /i(x0) Ф О и> значит, лг = лго есть ^-кратный нуль функции f\x\
Таким образом,
Если функция f(x) k раз дифференцируема, то необходимыми
и достаточными условиями того, чтобы лг = дг0 было её нулём
k-u кратности, служат условия
... =/(ft-1J (jc,) = 0, /<*> (x0) ф 0.

244 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ [76
Если k=l9 то корень (нуль) называют однократным или
простым.
Так, например, х = 2 есть двукратный корень, а х=\—одно-
х=\—однократный корень уравнения /{х) = хъ— 5л:2 —|— 8jc — 4 = 0, ибо
= 0, /'B) = 0, /"B)9*0, а /A) = 0, /'0)^0.
Укажем общую оценку приближённого значения хТ корня xQ
уравнения f(x) = 0, полученного любым способом (в предположении,
что f(x) имеет непрерывную производную f'(x) и корень xQ —
простой, т. е. /'(х^^О). По формуле среднего значения (п° 65)
находим:
откуда (имея в виду, что /(дго) =
если в исходном интервале изоляции \f(x)\ ^m ф 0, то
Это даёт погрешность е приближённого значения xf простого
корня х$ уравнения f(x) = Q:
Такая погрешность, однако, не всегда бывает удовлетворительной:
она может оказаться больше длины интервала изоляции.
1. Метод проб. Этот метод является простым, но не лучшим
из методов последовательного приближения к корню уравнения.
Пусть интервал [xv x%] есть интервал изоляции корня уравнения
/(л;) = 0 (/С*) — непрерывная функция) и /(*i)-/W<0, Послед-
Последнее условие означает, что значения функции f(x) на концах интер-
интервала— разных знаков; допустим для определённости, что /(^)<0,
а /С#2)^>0. Возьмём любое значение х = х' в интервале [xv x%]
и «испробуем» его, подставив в функцию/(л:); если/(лгг)<^0, то
мы, заменяя xt на х\ получим суженный интервал изоляции [х\ х%\;
если же f(x')^>0f то мы придём к суженному интервалу изоляции
[Xi, xf\y заменив лг2 через х\
Неограниченно применяя метод проб, мы получим последова-
последовательность точек х\ х", ..., которая, как это можно доказать, имеет
своим пределом корень лг0. В силу этого с помощью метода проб
можно найти приближённое значение корня с любой точностью.
Удобно в качестве новой «испытуемой» точки хг выбирать сред-
среднюю точку предыдущего интервала изоляции: х' = Xi

76]
§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
245
Пример. Рассмотрим уравнение
/ (х) = х* + М-*8 + О,9лг — 1,4 = 0.
Так как /' (х) = Зл:2 + 2,2л: + 0,9 > 0 для всех значений л:, то функция/(л*)
монотонно возрастает и, значит, её график лишь один раз пересекает ось Ох;
кроме того,/@) = —1,4, а/A) = 1,6, и значит, уравнение имеет единствен-
единственный действительный корень, лежащий в интервале [0, 1].
Находим /@,5) и f @,7) (берём 0,7, а не 0,75 для того, чтобы не услож-
усложнять вычислений):
/ @,5) = ~ 0,55, /@,7) = 0,112.
Это показывает, что интервал [0,5; 0,7] есть интервал изоляции искомого
корня. Далее мы имеем:
/ @,6) = — 0,25, / @,65) = - 0,076, / @,67) = — 0,002.
Ясно, что мы таким образом приближаемся к корню; он лежит в интер-
интервале [0,67; 0,7]. Приблизим теперь к корню правую границу интервала изо-
изоляции. Испробуем 0,68; получим:/@,68) = 0,034.
Итак, мы нашли новый интервал изоляции [0,67; 0,68], который в 100 раз
меньше первоначального [0, 1]. Если взять в качестве значения корня число
0,675, то погрешность будет равна 0,005.
Метод проб чаще всего требует более длинных вычислений, чем
излагаемые ниже методы хорд и касательных, ибо в этом методе
выбор каждого следующего, более точного, приближённого значения
корня в значительной мере случаен, тогда как в упомянутых двух
других методах этот выбор производится целесообразно.
Черт. 93.
II. Метод хорд. Условия остаются те же, что и в методе
проб. Соединим концы дуги MjALj (черт. 93) линии у=/(х)> соот-
соответствующей интервалу [xlt дг2]> хордой МгМ^. Очевидно, что в слу-
случае (/) точка х=х[ пересечения этой хорды с осью Ох лежит ближе
к х0> чем хх\ исходя из нового суженного интервала [х[, л:2], по-
получим точно так же точку х'{, которая будет лежать ещё бли-
ближе к jc0, чем x'v Таким образом, находим последовательность точек
хх> х[, дгр ... , стремящуюся слева (т. е. указанные значения

246 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ 176
возрастают) к неизвестному нам корню х0 *). Аналогично в слу-
случае (//) также получается последовательность точек jc2, х'2, х%> ... ,
с другой стороны, справа (т. е. указанные значения убывают), стре-
стремящаяся к корню х0.
Написав уравнение хорды М^М^
() х — xi
найдём, положив j/ = 0, выражение для абсциссы хг точки её пере-
пересечения с осью Ох:
Это выражение, годное в обоих случаях (/) и (//) (а также и при
f(xi)^>®> /(^2)<С^)> даёт новое приближение хг к корню х0 по
двум предыдущим приближениям х^ и jc2. Для того чтобы сузить
интервал изоляции, нужно заменить х^ или jt2 через хг. Какая именно
из этих точек заменяется, можно установить сразу по известному
нам поведению функции f(x) или, когда это затруднительно, по
знаку f(x').
Пример. Применим метод хорд к тому же уравнению
/ (х) = л:3 + 1,1л:» + 0,9* — 1,4 = 0.
Полагая лГх = О, лг2= 1, находим по формуле (А):
и далее, считая хх = 0,467, лг2= 1,
хи ^0,617;
точно так же
х"' ^ 0,660; х™ «s 0,668; xv ^ 0,670; хщ ^ 0,670.
Устойчивость первых трёх десятичных знаков в/и atvi указывает, как
и всегда при подобных вычислениях, на то, что мы подошли близко к истин-
истинному значению корня. Испробуем для выяснения точности значение 0,671.
Имеем /@,671) «=0,0012 и так как/@,670) <0, то новым интервалом изоля-
изоляции длиной всего в 0,001 будет интервал [0,670; 0,671]. Взяв за приближён-
приближённое значение корня 0,6705, мы допускаем ошибку, не превосходящую 0,0005,
т. е. в 10 раз меньшую, чем та, которая была допущена в методе проб при
одном и том же (примерно) объёме вычислений.
III. Метод касательных. Пусть интервалом изоляции корня х0
уравнения /(х) = 0 служит интервал [xly jc2], которому соответ-
соответствует дуга линии y=f(x), имеющая в каждой своей точке каса-
касательную, но не имеющая точек перегиба (если функция f(x) дважды
дифференцируема, то ffr(x) не меняет знака в интервале [хь jc2]).
Знаки же f(xt) и /(х2) теперь могут быть и одинаковыми.
*) Это, строго говоря, нуждается в доказательстве, которое мы опускаем
(см., например, Г. М, Фихтенгольц, т. 1, 366—367, сноска на стр. 105),

16)
4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
247
В то время как метод хорд основан на замене дуги линии её
хордой, метод касательных исходит из замены этой дуги её каса-
касательной. Касательная в случаях f(xt) -/(х^)<^ 0 проводится в кон-
концевой точке дуги Mj или Ж2, причём именно в той, которая лежит
над осью Ох у если дуга вогнута (/* (х) ^ 0) (черт. 94, /), и лежащей
под осью Ох> если дуга выпукла (/" (jc)^O) (черт. 94, //); в слу-
случаях же /(Xi) '/(х%)^>0 безразлично, в каком конце дуги брать
касательную к линии.
Эти условия обеспечивают то, что точка пересечения х[ (или х%)
касательной с осью Ох всегда будет находиться между корнем х0
и одним из концов (Xi или х%) интервала изоляции [хъ дг2]; интер-
интервал [х[, х%] или [хи х%] будет новым суженным интервалом изо-
изоляции корня jc0 *). Повторное неограниченное применение метода
касательных приводит к последовательности, имеющей в качестве
предела **) корень jc0. Значит, и по этому методу корень можно
найти с любой точностью.
Черт. 94.
На черт. 94 представлены два из возможных шести случаев;
остальные четыре случая читатель изобразит на чертеже самостоя-
самостоятельно.
Написав уравнение касательной МХТ (или М^Т)
) =/ (хг) (х — хх) (или у —f(Xi) =/' (
найдём, положив у = 0, выражение для абсциссы х[ (или х'^) точки
её пересечения с осью Ох:
Т \Х\) \ Т \Л2/ I
Пример. Снова обратимся к уравнению
/ (х) = хг + 1,1л:2 + 0,9л: — 1,4 = 0.
*) Если какое-нибудь из условий не выполнено, то новый интервал изо-
изоляции может оказаться шире прежнего, и мы, таким образом, не приблизимся
к корню, а удалимся от него.
**) См. сноску на стр. 246.

248 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ G6
Так как /" (х) = 6л; + 2,2 > 0 в интервале [0, 1], то касательную проводим
в точке с абсциссой, равной 1. По формуле (Б) имеем последовательно:
х' = 1-~Л11^0,738, х11 = 0,738- {, f'lfj. ^0,674, *"'«**0,671, ;tlv
причём ясно из самого метода получения приближений, что /@,671) >0.
Так как / @,670) <0, то новым интерралом изоляции корня будет интервал
[0,670; 0,671]. Этот интервал по методу касательных мы получили ещё бы-
быстрее, чем по методу хорд.
IV. Комбинированные методы. Совместное использова-
использование различных методов для решения уравнений иногда называют
комбинированным методом.
Допустим сейчас, что выполнены условия, указанные и в методах
проб и хорд и в методе касательных: дуга линии y=f(x), соот-
соответствующая интервалу изоляции [хи лг2] корня лг0 уравнения /(л;)=0,
в каждой своей точке имеет касательную, не имеет точек перегиба
и f(xi) #/(^)<C^- Если в этих условиях применять совместно,
например, метод хорд и метод касательных, то это приведёт к двум
последовательностям точек, стремящихся к точке х0 с разных сторон
от неё.
В случае (/) на черт. 94 метод касательных даёт приближённые
значения xW к корню лг0 слева (с недостатком), а метод хорд — при-
приближённые значения х^ справа (с избытком); в случае же (//) — на-
наоборот. Если вычисленные так на л-м шаге приближённые значения
суть х№ и xf\ то следующие (п-{-1)-е приближённые значения
x[n + V и х&+[) вычисляются (например, в случае (/), черт. 94) по
таким формулам:
&ф.. (В)
г{п) Лп)
1) х(п) f(x(n)) 2 ~ 1 СП
Находимые по формулам (В) и (Г) значения приближаются к корню
с двух сторон, что и ускоряет процесс вычисления корня с данной
точностью.
Разумеется, комбинированный метод можно также употреблять, совмещая
метод хорд или метод касательных с методом проб, как фактически уже было
сделано выше при решении уравнения
/ (х) = xz + 1,1 л:2 + 0,9* — 1,4 = 0.
Применим к этому уравнению комбинированный метод. Имеем х[ ^=0,467
(см. II) и х'2ъ* 0,738 (см. III).
По формулам (В) и (Г) находим:
/@,467) @,738-0,467)
/ @,738) -/@,467Г
/@,658) @,674-0,658) ^,«Ofi71
_______ о.бТО.х,'-.0,671.
Здесь мы уже на третьем шаге достигли интервала изоляции [0,670; 0,671],
в 1000 раз меньшего первоначального [0, 1].

77) § 5. формула тейлора и ее применения 249
§ 5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЯ
77 (86). Формула Тейлора для многочленов. Многочлены являются
простейшими аналитическими выражениями; они составлены из неза-
независимой переменной и постоянных только при помощи действий
сложения и умножения. Поэтому вычисление значений много-
многочлена является простой арифметической операцией, которая может
быть выполнена без всяких вспомогательных средств. Вычисление же
значений других аналитически заданных функций требует, как пра-
правило, специальных таблиц значений основных элементарных функ-
функций. Эти таблицы составляются на основании чрезвычайно важной
для всего математического анализа формулы Тейлора*), кото-
которая позволяет приближённо представлять функции в виде много-
многочленов от независимой переменной. Это даёт возможность заменять
сложные аналитические выражения самыми простыми из них и при-
приводить вычисление значений всякой функции лишь к арифметическим
действиям.
Возьмём функцию f(x) и допустим сначала, что она — многочлен
я-й степени. Поставим перед собой задачу «расположить многочлен
f(x) по степеням (лг — хо)^>:
f(x) = а0 -\- ах (х — х0) + а* (лг — лг0)* +• ... -|- ап (х — xQ)n.
Задача сводится к отысканию неизвестных нам коэффициентов а0,
аи а2, ... , ап, В каждом конкретном случае эти числа можно легко
найти чисто алгебраическим путём. В самом деле, расположим много-
многочлены, находящиеся в левой и в правой частях равенства, по сте-
пеняхм х. Так как мы имеем тождество, то коэффициенты при одина-
одинаковых степенях х должны быть равны между собой **). Приравняв
коэффициенты в правой части соответствующим заданным коэффи-
коэффициентам левой, мы придём к системе п -\- 1 уравнений с п -f-1 не-
неизвестными а0, аг, ... , ап> которую и остаётся решить.
Пример. Расположим /(л:) = — 3 -f- •* — х* -f- 2х3 по степеням
х— 1. Полагаем
откуда
— 3+JC |
= (а0 — ах -\- а2 — аа) -)- (а1 — 2а.2 - f 3%) х -\- (а.2 — За3) х* -f а3лг3
*) Тейлор A685—1731), ученик Ньютона.
**) В этом легко убедиться. Пусть тождественно
«e + «i*+ ••• +«ялл = рв + р1х+ ... +МЛ;
нужно доказать, что а0 = ^0, ах = рь ..., <хп = рл. Действительно, полагая
х ==• 0, получим а0 == Эо и> значит, тождественно atx + • • • + апхП = hx +
+ ••• Л-$пхП- Деля обе части этого тождества на х и полагая затем лг = О,
получим а1 = р1. Продолжая т^ким образом дальше, получим все треб}емые
равенства.

250 ГЛ. IV, ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ [77
и, значит,
а0 — ах -f- а2 — аъ = — 3, ах — 2я2 -f За3 = 1,
а2— За3 =—1, а3 = 2.
Из этой системы находим: а3=2, а2 = 5, 0^ = 5, ао = — !• Итак,
тождественно
_ 3 -f дг — л:2 + 2#3 = — 1 -f 5 (х — 1) + 5 (х — 1 f + 2 (л? — 1 K.
Такой метод решения поставленной задачи называется методом
неопределённых коэффициентов.
Определение. Метод, состоящий в том, что искомое выра-
выражение заранее указанного вида записывается с неопределёнными
коэффициентами, находимыми затем из условий выполнения не-
некоторых тождественных равенств, носит название метода не-
неопределённых коэффициентов.
Этот метод довольно часто употребляется.
Однако данную задачу отыскания коэффициентов а0, аи ¦ ¦. , ап
можно решить в общем виде: оказывается, что они очень просто
выражаются через производные данной функции (многочлена) f{x).
Найдём эти выражения.
Прежде всего, положив в тождестве
— *оJ+ ¦¦¦ +<*п(х — хо)п
x = xOf получим f(xo) = ao. Далее, возьмём первую производную
от обеих частей
f{x) = ai-\-2a%(x — x0)+ ... + пап (х — х^
и положим в этом новом тождестве снова дг = лг0. Тогда получим:
f(xo) = a1. Продифференцировав ещё раз
и опять положив х = х0, найдём f (x0) = 2а2.
Продолжая последовательно дифференцировать и всякий раз пола-
полагая в получаемых тождествах лс = лг0, придём к следующим равенствам:
о) = п{п— 1) ... 3-2.ая.
Ясно, что производные (/г -|— 1)-го порядка и от левой и от пра-
правой частей тождественно равны нулю.
Итак, окончательно имеем:
п —f(x^ а —ПхЛ а —/<
ао — J(xoh ai—/ \хо)> а2 — —2
и, следовательно,
fix) =/(*о) +/ (^о) (х -
4 ^(*-*оJ+ ... +?^{х-х.Г. (А)

78| § 5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЯ 251
Эта формула, дающая представление данного многочлена f(x)
в виде многочлена, расположенного по степеням заданной разности
х — х0) называется ф о р м у л о й Тейлора для многочленов.
В рассмотренном выше примере х0 = 1 и
и мы получаем то же разложение, что и выше.
В качестве ещё одного интересного примера расположим много-
многочлен #-й степени f(x) = (l -\-x)n по степеням х, т. е. по степеням
разности х — 0. Имеем:
/(I, /@) = », /'@) = л(я-1)
/<*>@) = «(л — 1) ... (и — ?-1-1), ... ,/(я)@) = л(я— 1) ... 2-1.
Формула Тейлора даёт:
I п(п—\) ... (п — k + \) k ,
... -\ в х + ...
Мы получили известную формулу Ньютона для бинома в целой
положительной степени. Таким образом, формула Ньютона
является частным случаем формулы Тейлора.
78 (87). Формула Тейлора. Пусть теперь функция f(x)— не
многочлен; тогда формула (А) п° 77 уже не имеет места, ибо пра-
правая её часть есть многочлен, а левая не многочлен. Но мы можем
эту формулу рассматривать не как точную, а как приближён-
приближённую. Замечательным фактом является то, что ошибка без труда
находится и оценивается, причём эта ошибка в условиях вполне
естественных предположений делается достаточно малой. В этом
именно и состоит смысл приближённой формулы.
Теорема. Если функция/(jc) в интервале (а, 6) имеет про-
производные до (ft-j-l)-ro порядка включительно, то она может
быть представлена в виде
(*)
где а<^х<^Ь, а<^хо<^Ь и 5 заключено между xQ и х.
Формула (*) называется формулой Тейлора я-го порядка для
функции f(x) в точке х0.
Доказательство. Возьмём какую-нибудь точку х в окре-
окрестности точки х0 и формально запишем:
f(x) =/(*в) +/' (*о) (* - *о) +
^ ^() л> (Б)

252 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ (W
где последнее слагаемое Rn есть разность между значением функ-
функции и соответствующим значением многочлена
который называется многочленом Тейлора я-й степени
функции /(лг) в точке х0.
Придадим Rn вид, сходный с видом общего члена многочлена
Тейлора, именно, положим Rn = 7—ттп &п ' (х — -^o)"+1 и найдём
выражение для Dn\ этим самым мы установим выражение и для Rn.
Введём вспомогательную функцию F(t) от некоторой перемен-
переменной /:
F(t)=f(x)-[Nn(x-t)+^^Dn.(x-tT
т. е.
Вспомогательную функцию F{t) мы построили, вычтя из f(x)
правую часть формулы (Б), в которой лг0 заменено вспомогательной
переменной / везде, кроме множителя Dn в выражении Rni который
также, вообще говоря, зависит и от лг0 и от х.
Функция F{f) обращается в нуль при t = xQ согласно равенству (Б)
и при t = xy как это прямо видно из выражения для F(t). В силу
теоремы Ролля её производная F (t) должна обратиться в нуль
в промежуточной точке t = \y F($) = 0, причём лго<^<^.* или
>?>. Найдём F(t):
= - [f (t)+f @ (x-t)-f @ +
y-tf-f(t){x
1) @ (x - tf - -^Ty!/U) W (x -
т. e.
Значит,
F F) = 1 (x -%f [О„-/л+1) Ш = 0.
Отсюда и находим искомое выражение для Da:

W| § 5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА Й ЕЁ ПРИМЕНЕНИЙ 253
Итак,
следовательно,
f(x) =/(*„) +/' (*,) (* - *,) +1/' (*,) (х - *,)« -Ь ...
~xf{n) (*•)(х-х0)" + (irJ-[y|/(л+1) E)(х-лгоГ1. (В)
¦ • • + ~x
Что и требовалось доказать.
Последний член в этой точной формуле отличается от общего
члена суммы только тем, что значение соответствующей производ-
производной берётся не в данной точке лг0, а в некоторой точке ?, лежащей
между х0 и х.
Член Rn, являющийся ошибкой приближённого равенства
называется остаточным членом формулы Тейлора п-го порядка.
Формула Лагранжа есть частный случай (п = 0) формулы Тейлора.
Если f(x) — многочлен я-й степени, то Rn = 0, и формула (В) обра-
обращается в формулу (А) п° 77.
Часто формула Тейлора берётся при д;0 = 0. Тогда*)
Здесь многочлен Nn расположен прямо по степеням независимой
переменной.
Придадим формуле Тейлора другой вид, обозначив х — х0 через
г = лго-|-Алг):
=/ (х.) +f (х,) Lx +1
... + !/»> (х.) Длт* + (^/(л+1) G) А
откуда
где ? = о +
Последняя формула (Г) показывает, что приращение любой функ-
функции, удовлетворяющей условиям, при которых справедлива формула
Тейлора, точно выражается весьма простой суммой («тейло-
ровой суммой») её последовательных дифференциалов. Эти
*) Иногда в этом случае её называют формулой Маклорена.

254 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ [7д
дифференциалы берутся при начальном значении х = х0 кроме диффе-
дифференциала наивысшего порядка, который берётся при другом значении,
заключённом между начальным (х0) и наращённым (лг0 -\- Ал:) значе-
значениями независимой переменной.
Из формулы (Г) сразу видно, что при Ал: -> О «тейлорова
сумма» дифференциалов
i • • • + ^ **/(¦*,), k ^ п>
является приближённым значением бесконечно малого приращения
Д/(лг0) с точностью до бесконечно малых не ниже (k-\- 1)-го порядка.
В частности, отсюда следует, что дифференциал любой дважды
дифференцируемой функции отличается от её приращения на
бесконечно малую величину не ниже второго порядка.
79 (88). Некоторые применения формулы Тейлора. Примеры.
I. Поведение функции. Допустим снова, что функция /(х)
имеет в некоторой окрестности точки х0 п -j-1 последовательных
производных, причём
f (xo)=f (х0) = ... =/*-!> (хв) = 0, a fk) (хв) ф О, k < я.
Тогда
При Ал: -^ 0 выражение справа является суммой бесконечно малых,
среди которых первое слагаемое имеет низший порядок малости.
Знак же суммы этих бесконечно малых разных порядков при до-
достаточно малом Ал; совпадает со знаком бесконечно малой низшего
порядка, если только последняя не обращается в нуль *), т. е.
в нашем случае со знаком dkf(x0).
Итак, в рассматриваемых условиях приращение A/=/^0-f-Ал:) —
— /(л:0) в достаточно малой окрестности точки лг0 имеет знак диф-
дифференциала dkf(x0)=f(k> (xo)kxk.
Если k — нечётное число, то при Алг^>0 и при Длг<^0
А/ будет иметь разные знаки, причём здесь возможны два случая:
1) /(fe) (л:0)<^0; тогда значения функции слева от точки х0 больше,
чем её значение в самой точке xQ (ибо А/^>0 при Длг<^0), а справа
*) В самом деле, пусть р, 7» • • •» w — бесконечно малые высшего порядка,
чем а, и а не обращается в нуль. При этом
и так как сумма — -\~ — + ... +— бесконечно мала, то величина, заключён-
заключённая в скобки, положительна и знак « + Р + 7+ ••<ч+и) совпадает со зна-
знаком а.

79] § 5. формула тейлора и её применения 255
от точки х0 значения функции меньше, чем значение при x = xQ
(ибо Д/<0 при Дх>0);
2)/(/г) (л;0)^>0; тогда, наоборот, значения функции слева от
точки х0 меньше, а справа от неё — больше, чем значение функции
в самой точке х0. Другими словами, в первом случае функция убы-
убывает «в точке х^9 во втором — возрастает.
Если же k — чётное число, то и при Ajc<C^0 и при Адг^>0
А/ будет иметь один и тот же знак (именно, знак fw (x0)); в этом
случае значение функции в точке х0 больше значений функции как
слева, так и справа от точки х0, если /(/г) (х0) <^ 0, и меньше этих
значений, если f^ (Xq)^>0. Другими словами, в первом случае
функция достигает в точке х0 максимума, во втором — ми-
минимума.
Таким образом, мы приходим к общим аналитическим признакам
поведения функции «в точке», обобщающим признаки, указанные
нами раньше.
Признаки поведения функции «в точке». Если
/ (*,) =/" (х.) =... =/л-!) (дг„) = 0, а /*> (*,) Ф О, то:
1) при к нечётном функция f(x) не имеет экстремума в точ-
точке а:0, а убывает «в этой точке», если f{k) (x^)<^Q, и возрастает,
если /(/г) (#о)^>0 (в частности, при ?=1 отсюда получается изве-
известный нам признак, см. поб4);
2) при к чётном функция f{x) имеет экстремум в точке дг0:
максимум, если /(/г) (л^Х^О, и минимум, если f{k) (x0)^>0 (в ча-
частности при k = 2 отсюда получается известный признак экстре-
экстремума, см. п° 64).
Точно так же, рассматривая разность &f(x0) — df(xQ), придём
с помощью формулы Тейлора (Г) (п°78) к общему аналитическому
признаку существования точки перегиба:
Признак существования точки перегиба. Если
f(xQ)=f"(x0) = ...=f{k^(x0) = 0, a fk)(Xo)*0, то при к
нечётном линия y=f(x) имеет в своей точке с абсциссой д:0
точку перегиба, а при к чётном она не имеет точки перегиба,
будучи выпуклой в окрестности указанной точки, если/(*) (д:0) <^ О,
и вогнутой, если fw (xQ)^>0 (в частности, при 4 = 3 и при к = 2
отсюда получаются известные нам признаки, см. п°71).
Заметим, что если наряду с равенством нулю первых к — 1 по-
последовательных производных функции в точке х0 обращается в нуль
и сама функция, то формула Тейлора показывает, что функцию/(дг)
можно представить так:
/(*) = (* —*0)*/i(*)>
где функция /j (x) уже не обращается в нуль при х — х0, т. е. что
х0 есть нуль функции k-ft кратности (п°76).
II. Многочленные приближения Тейлора. Предпо-
Предположим, что известны значения функции f(x) и её первых п произ-

256 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ 179
водных в точке лг0, а^хо^Ьу и число Mn+if ограничивающее
/(л+1)(г) (но абсолютной величине) в интервале [а, Ь]:
)
|/()|л+1
Тогда существует число Ъп> ограничивающее абсолютную вели-
величину остаточного члена в формуле Тейлора для любой точки х
интервала [а, Ь]. Именно:
Следовательно, мы можем указать многочлен /г-й степени отно-
относительно разности х — х0 [многочлен Тейлора Nn {х — лг0)], значения
которого в любой точке интервала [а, Ь] служат приближёнными
значениями функции с погрешностью
Говорят, что многочлен Nn(x— х0) приближает функцию f(x)
в интервале [а, Ь] равномерно с погрешностью Ьп(т. е. спогреш-
ностью 8Л, годной для всего интервала [а, Ь]).
Геометрически это означает, что линия y=f(x) и парабола
n-го порядка y = Nn(x— дг0) в интервале [а, Ь] по положению отли-
отличаются друг от друга не больше, чем на 8Л, точнее: чторазность
соответствующих ординат не превосходит по абсо-
абсолютной величине Ьп в любой точке интервала [а, Ь].
Заменяя в интервале [а, Ь] данную функцию f(x) её многочленом
Тейлора Nn(x — лг0), мы получаем возможность пользоваться вместо
сложной функции наиболее простой функцией (многочленом), вместо
сложной линии — очень простой линией (параболой). Эта возмож-
возможность основана на знании погрешности Ъп, характеризующей указанную
замену. В частности, если положить, что в интервале [а, Ь]
(т. е. заменить дугу линии соответствующим отрезком касательной),
то погрешность Ьг будет равна -к-М^(р — аJ. Этим мы восполняем
пробел, допущенный в п°53, при рассмотрении замены Д/(лг) через
df{x).
Великому русскому математику П. Л. Чебышеву (см. п° 4) при-
принадлежит другая важная постановка проблемы многочленных при-
приближений. Дело в том, что многочлен Тейлора л-й степени Nn (х — лг0)
вовсе не является, с известной точки зрения, «наилучшим много-
многочленным приближением» данной функции f(x) в данном интервале.
Оказывается, что если потребовать, чтобы многочлен я-й степени Рп (х)

79] § 5. формула тейлора и ее применения 257
в этом интервале «наименее отклонялся» от f(x), т. е. чтобы наи-
наибольшее значение выражения \f(x)— Рп(х)\ было бы наименьшим,
то при Рп (х) = Nn(x — Xq) этого, вообще говоря, не будет. Много-
Многочлены, удовлетворяющие указанному требованию, были введены
в науку П. Л. Чебышевым и носят теперь его имя. Проблемы, поста-
поставленные в связи с открытием многочленов Чебышева, привели к со-
созданию нового отдела математического анализа, носящего название
«конструктивной теории функций». Труды П. Л. Чебышева особенно
глубокое развитие получили в работах отечественных учёных.
III. Примеры. Из изложенного метода многочленных прибли-
приближений Тейлора вытекает весьма простой способ приближённого
вычисления значений функций. Даже вычисление значений много-
многочлена сильно упрощается, если данный многочлен высокой сте-
степени заменить многочленом меньшей степени.
Например, вычислим значение многочлена
f(x) = 2 -f x — 2> — хъ + хп -f 2x10 — х™
при х =1,025. По формуле Тейлора имеем:
-i /" A) . 0,025*
Ограничиваясь первыми четырьмя членами, находим:
/A,025) ъ 2 — 1 • 0,025 — ~2- • 0,025* — ^ 0,025* я^ 1,904.
По прямому и полному подсчёту с теми же округлениями получаем:
/A,025)= 2 + 1,025 — 2 . 1,025* — 1,025б + 1,0257-f
+ 2 • 1,02510 — 1,02520^ 1,903.
Мы видим, что формула Тейлора позволяет здесь избежать гро-
громоздкого возведения многозначных чисел в высокие степени, сохра-
сохраняя в ответе 3 верных знака.
Обратимся теперь к важным примерам многочленных приближений,
получаемых по формуле Тейлора, и к примерам приближённых вы-
вычислений значений функций.
1) Найдём формулу Тейлора при хо = О я-го порядка для функ-
функции ех. Так как (exyk) = ex при любом k> то формула имеет вид
Рассматривая это разложение в произвольном, но фиксированном
интервале [—7И, М]9 находим оценку
(я+1I

258 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ 179
Значит, в интервале [— М, М] функция ех может быть заменена
с погрешностью, равной 8Л, многочленом
В частности, полагая л:=1, получаем для числа е значение
2! ' 3! я!
о
с точностью до . , .--. При /г=10 это выражение даёт семь верных зна-
знаков: е = 2,718281...
По указанной заранее погрешности о можно из неравенства
1 7ем-Мп^1<Ь
найти число членов я, которое обеспечивает заданную точность.
2) Представим функцию f(x) = s\nx по формуле Тейлора при
хо = О. Так как
/¦I Ь\ * \ • / | у 7С
\л j от i vv —|— /с ^
т. е. /@) = 0, /f@)=l,/"@) = 0, /'"@) = —1, /iV@)=0, ..., то
sinx = x sTx +••• —Bл—l)!^
Здесь в силу неравенства |sinjc|^l, очевидно, имеем:
где [— М, М] — интервал, в котором рассматривается формула; таким
образом, мы нашли погрешность, с которой многочленом
можно заменить функцию sin х в интервале [—М> М\. При п= 1, 2, 3
получаем довольно часто употребляемые приближённые выражения
для sin x:
хъ , х
x х ,
Sin X ^d> Xy Sin X Я^=/ X л~ , Sin X ^^ X л р~ Тол •
Эти три формулы расположены в порядке повышающейся точности.
Первая из них известна ещё из главы II,

791
§ 5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЙ
На черт. 95 сравниваются в окрестности точки х = 0 график
функции у = sin х с графиками приближающих многочленов
= х, у = х-~х\ y =
У\
-/
Черт. 95.
Аналогично легко доказать, что
^х
пх 1Г •"• —Bл)Г
с погрешностью
°л~ Bл+1)!
справедливой во всём интервале [—М, Щ.
При я = 0, 1, 2 получаем:
В достаточно малой окрестности точки дг = О эти формулы дают
У
0
¦ л
F
К-
AN
/
н
1
/ 5з:
Черт. 96.
как угодно точные значения функции cos х, причём вторая формула
точнее, чем первая, а третья точнее, чем вторая. На черт. 96 в

260
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
1*9
окрестности точки х = 0 даны для сравнения графики функций
y=cosx и приближающих многочленов:
х2
1 t х2 . х , xi
Найденные многочленные приближения функций е*, sin х, cos x
в действительности служат для вычисления значений этих функций.
3) Пусть f(x) =ln(l +JC). Имеем:
т.
= 0, /Ч0)=1,
i(Al)!
= (—l)i(A_l)!
Следовательно, формула Тейлора при лго = О для 1пA-{-л:) *)
имеет вид
Для интервала [О, 1] получаем оценку
, г, , 1 Xn+l ^
\у~Х-123*+^Х*\
Эта погрешность слишком велика: для вычисления значения
ln(l-(-Jc) с достаточной точностью пришлось бы брать многочлен
слишком высокой степени. В п° 133
будет найдена лучшая формула,
т. е. с меньшей погрешностью.
При п=\у 2, 3 имеем при-
приближённые равенства ^
In A+*)«**,
Эти равенства следуют друг за
Черт. 97. другом в порядке возрастающей
точности, которая является как
угодно большой в достаточно малой окрестности точки лг = О. Пер-
Первое из этих равенств нам известно ещё из гл. II.
На черт. 97 сравниваются между собой график функции у =
= ln(l-j"*r) и графики её первых трёх многочленов Тейлора:
*) Нельзя рассматривать формулу Тейлора при xQ = 0 для In x, так как
эта функция не определена в точке х = 0.

вО| § б. кривизна 261
4) Наконец, рассмотрим бином f(x) = (l -\-x)m при произволь-
произвольном показателе т. Найдём разложение (\-\-х)т по формуле Тей-
Тейлора п-го порядка при д;0 = 0*). Так как
...(т — k-\-l), и мы получаем:
! т(т~
Если w— целое положительное число и п^ту то формула
обрывается на (яг -|- 1)-м члене: все дальнейшие члены, как легко ви-
видеть, равны нулю и, значит, остаточный член равен нулю; формула
при этом обращается в формулу Ньютона (см. п° 77). Но если т
не есть целое положительное число, то найденная формула Тейлора
даёт очень важное приближённое выражение бинома A -\-х)т в виде
многочлена /г-й степени с так называемыми «биномиальными
коэффициентами».
Мы здесь не будем оценивать остаточный член — это будет
сделано в гл. IX.
Для #—1, 2, 3 имеем приближённые формулы
(l+x)^l+mx + x+ ^
Эти формулы также являются как угодно точными в достаточно
малой окрестности точки jc = O, причём вторая точнее первой, а
третья точнее второй. Первая формула нам уже встречалась (см.
п° 53).
§ 6. КРИВИЗНА
80 (91). Понятие кривизны. В этом параграфе вводится новая
количественная характеристика линий, так называемая «кривизна»,
определяющая меру «изогнутости», «искривлённости»
линий. Будем здесь предполагать, что каждая рассматриваемая линия
имеет касательную в любой точке, непрерывно вращающуюся при
непрерывном движении точки касания вдоль линии.
Прежде всего введём понятие угла смежности дуги ли-
линии как угла <р между касательными в её конечных точках Жо
и Мх (черт. 98).
*) Мы не берём просто степенную функцию хт потому, что если т не
целое положительное число (а только такой случай и интересен), то произ-
производные от л:т, начиная с некоторой, в точке х = 0 не существуют.

262
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
[80
Угол смежности ср в некоторой степени даёт представление об
изогнутости дуги М^Ми так как он является тем углом, на который
поворачивается касательная при перемещении точки касания от на-
начальной точки дуги Мо до конечной Мх\ чем угол смежности боль-
больше, тем, очевидно, больше изо-
изогнутость дуги. Но один и тот
же угол смежности могут иметь
две дуги с явно различной изо-
изогнутостью. Так, на черт. 98, /
этот угол приходится на боль-
большую длину дуги (изогнутость
меньше), а на черт. 98, // —
Черт. 98. на меньшую (изогнутость боль-
больше). В силу этого для харак-
характеристики изогнутости угол смежности дуги рассчитывается на еди-
единицу её длины.
Определение. Отношение угла смежности дуги к её длине
называется средней кривизной дуги:
Средняя кривизна даёт нам количественную, однако только об-
общую характеристику изогнутости всей дуги MQMX. На отдель
ных участках той же дуги средняя кривизна,
вообще говоря, будет иной, чем та, которая
соответствует всей дуге. Чтобы избежать этой
неопределённости, устанавливается понятие
кривизны в точке Жо, основывающееся на
том представлении, что чем меньше дуга М0Ми
тем средняя кривизна лучше характеризует изо-
изогнутость линии вблизи точки Мо.
Определение. Кривизной К линии в
её точке Мо называется предел, к кото-
которому стремится средняя кривизна КСр дуги
MqMx линии при стремлении конечной точки дуги Мг к её на-
начальной, данной, точке Жо:
А= "Ш /Сер ^^ ИШ ля .. ,
Черт. 99.
В частности, для окружности радиуса г имеем (черт. 99):
как видим, средняя кривизна окружности — величина постоянная и
значит, её кривизна в любой точке также постоянна и обратна
радиусу.

80]
§ 6. КРИВИЗНА
263
Это вполне согласуется с нашим непосредственным представле-
представлением о характере «изогнутости» окружности.
Найдём теперь выражение для кривизны линии, заданной урав-
уравнением y=f(x) в системе декартовых координат; мы предполагаем,
что функция f(x) дважды дифференцируема при рассматриваемых
значениях х. Возьмём на линии точки М и Мх с абсциссами соот-
соответственно х и x-\-Lx. Далее, обозначим через а и а + Да углы,
образованные с осью Ох касательными в точках М и Ml7 и через
As — длину дуги ММХ. Так как угол
смежности ср дуги ММХ равен |Да|
(черт. 100), то
При Л1! -> М
кривизна равна
К— lim АГср =
Дл:+0
(cm. n° 57). Из
и, значит,
Да
As
—
Аа
Ал:
As
Ал:
кх -*¦ 0 и искомая
da
dx
ds
dx
da
dx
равенства tga=y,
den у
dx~
TS
т. е. a = arctgy, находим:
(A)
Знак выражения ^>2 g указывает сторону, в которую
изогнута (выпукла) линия «в точке М»у а абсолютная величина
этого выражения даёт кривизну, т. е. меру изогнутости линии
в точке М.
По формуле (А) кривизна определяется как функция абсциссы
точки линии. Если уравнение линии дано в параметрической форме
w — tSU. 1rrr_
У V(fy У —
или в сокращённой записи
iv-
(*'»+/«/
(Б)

264
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
[81
Здесь кривизна является функцией параметра t, соответствую-
соответствующего рассматриваемой точке линии. При t = x формула (Б) обра-
обращается в формулу (А).
Наконец, допустим, что линия задана уравнением в полярных ко-
координатах р=/(ср). Из равенств x = pcos<p, j/ = psincp, принимая
^ за параметр, получаем:
хт = pr cos ср — р sin ср, х" = р" cos ср — 2pr sin ср — р cos ср,
у = pr sin ср —|— р cos ср, у" = р" sin ср -|- 2pr cos ср — р sin ср.
Подставляя эти выражения для х\ х\ у\ у" в формулу (Б),
находим формулу для кривизны в системе полярных координат:
JV"
Р'2K
(В)
Кривизна линии является локальным понятием, относящимся к
точке линии. Только окружность (и прямая) имеют постоянную
кривизну; кривизна прямой линии, как видно, например, из форму-
формулы (А), равна нулю, что опять-таки вполне согласуется с нашим
непосредственным представлением о неизогнутости прямой ~ линии.
У других линий кривизна вообще меняется от точки к точке.
Кривизну К— -р можно рассматривать как скорость (взятую
по абсолютной величине) изменения угла наклона линии относи-
относительно её длины.
Наконец отметим, что кривизна линии не зависит ни от системы
координат, ни от положения линии в плоскости, а только от свойств,
присущих самой линии.
81 (92). Радиус, центр и круг кривизны. Проведём в точке М
(черт. 100) нормаль к линии в сторону вогнутости и отложим на
этой нормали от точки М отрезок ММ = гу по величине обрат-
обратный кривизне К:
Определение. Отрезок ММ* называется радиусом кри-
кривизны, точка ЛГ — центром кривизны, а круг (и окружность)
с центром в точке М! и радиусом ММ1 — кругом {и окружностью)
кривизны линии в её точке М.
Окружность кривизны имеет, очевидно, ту же кривизну, что и
данная линия в точке М.
Для радиуса кривизны имеем формулы
г==
У"
у"х' — х"у'
(П
В качестве меры локальной изогнутости линии можно вместо
кривизны использовать радиус кривизны, причём линия тем больше

ail
§ 6. КРИВИЗНА
265
изогнута в данной точке, чем меньше радиус кривизны. Заметим,
что радиус кривизны прямой линии в любой её точке условно счи-
считается «бесконечным», так же как условно считают прямую линию
окружностью «бесконечного» радиуса.
Замена бесконечно малой дуги линии вблизи точки М соответ-
соответствующим отрезком касательной сопровождается бесконечно малой
погрешностью не ниже второго порядка, а, как можно показать,
замена её соответствующей дугой окружности кривизны — беско-
бесконечно малой погрешностью не ниже третьего порядка. Таким обра-
образом, малую дугу линии мы можем считать «почти» дугой окружности
кривизны, причём с большим правом, т. е. меньшей ошибкой, чем
отрезком касательной.
Таким образом, введённые здесь понятия служат для более точной
характеристики линии в её точке М. Они указывают степень изогну-
изогнутости линии посредством сравнения её с окружностью, имеющей с ней
общую точку М> общую касательную в этой точке и ту же кривизну.
Как известно, первая производная /'(х) имеет очень простую
геометрическую интерпретацию; вторая же производная f"(x) не
может быть столь же просто геометрически интерпретирована.
Однако, как это хорошо видно из формулы
(Г), существует тесная связь между второй
производной f"(x) и радиусом кривизны
графика фу нкции y=f(x) в соответ-
соответствующей его точке. В частности, если ра- /
диус кривизны не существует или равен j
бесконечности, то /" (х) при соответствую- ,
щем значении х не существует или /" (х) = 0. \
Обратно, в тех точках графика, для кото-
которых /"(¦*) не существует или f"(x) = 0,
радиус кривизны не существует или равен
бесконечности. Так, в точке перегиба ли-
линия или не имеет радиуса кривизны или её
радиус кривизны бесконечен.
У\
Черт. 101.
Возьмём, например, функцию, график "которой
изображён на черт. 101. Линия АМН составлена
из дуг двух окружностей С и С". Прямо по гра-
графику видно, что функция везде в интервале
(—1, 2) имеет производную (линия — касатель-
касательную), притом непрерывно изменяющуюся. Что касается второй производ-
производной, то оказывается, что она вовсе не существует в точке х = 0.
Можно убедиться в этом непосредственным вычислением. Но с помощью
радиуса кривизны этот факт можно объяснить просто и наглядно. В самом
деле, слева от точки М радиус кривизны везде равен 1, а справа везде ра-
равен 2; значит, в точке М не существует радиуса кривизны, а потому не
существует и второй производной при х = 0. Подобно тому как линия в
угловой точке имеет «две касательные», линия АМВ имеет в точке М «два
радиуса кривизны»: один, соответствующий дуге AM слева от точки М, дру-
другой— дуге БМ справа от этой точки.

266 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ [81
Пусть функцияy=f (x) в заданном интервале гладкая, т. е. везде
имеет непрерывную первую производную. Её график имеет в каждой
своей точке касательную и представляется непрерывной, гладкой,
(см. п°54), линией, вдоль которой касательная «вращается» непре-
непрерывно. Но при этом может случиться, что функция не имеет
в некоторых точках второй производной и, следовательно, линия —
радиуса кривизны. С точки зрения изменения кривизны линию тогда
нельзя рассматривать как особенно «гладкую» — кривизна её терпит
разрывы в точках стыка отдельных частей с непрерывно меняю-
меняющейся кривизной. Эти точки линии играют такую же роль относи-
относительно кривизны, какую угловые точки линии играют относи-
относительно её направления.
Например, линия АМВ (черт. 101) не является «гладкой» в смысле кри-
кривизны, ибо, несмотря на кажущуюся плавность линии, её кривизна терпит
разрыв в точке М — она переходит от значения, равного 1, к значению, рав-
равному 2 (радиус кривизны в точке М перескакивает от значения, равного 1,
к значению, равному -^
Если f(x) везде имеет и вторую непрерывную производную, то
график её в каждой точке имеет непрерывную кривизну, и линию
y=f(x) можно считать «гладкой» в более сильном смысле: вдоль
неё непрерывно меняется не только касательная, но и кривизна.
Линию у=/(х) следует считать тем более «гладкой», чем боль-
больше производных функции f(x) существует в каждой точке рассма-
рассматриваемого интервала. Снова заметим, что элементарные функции,
вообще говоря, т. е. за исключением отдельных точек, имеют про-
производные всех порядков.
Эти обстоятельства имеют большое значение в некоторых практических
вопросах, например при проведении железнодорожных путей. Дело в том,
что, как известно из механики, при движении тела по окружности радиуса /?
величина центробежной силы Р определяется по формуле Р = —^-' где т —
масса тела, a v — его скорость; эта сила направлена по радиусу окружности.
При движении по какой-нибудь другой траектории по нормали к ней также
направлена сила, определяющаяся по той же формуле, причём под R пони-
понимается радиус кривизны траектории в данной точке. Допустим, что скорость
сохраняется постоянной, тогда сила будет испытывать разрывы непрерывно-
непрерывности в точках разрыва кривизны линии, но которой происходит движение. Этим
объясняются толчки вагонов на поворотах, хотя обычно и кажется, что путь
имеет плавные закругления. Во избежание толчков стараются повороты осу-
осуществлять так, чтобы кривизна изменялась непрерывно. Например, прямую
соединяют с дугой окружности при помощи так называемых переходных
кривых, допускающих непрерывный переход кривизны от нуля до кривизны
данной окружности. Часто в качестве переходной кривой используется ку-
кубическая парабола: у = ахъ. Для неё мы имеем:
У = Sax2, у" = бах и К = ;
A+9а2лг4)'

82] § 6. кривизна 267
При х = 0 У == 0 — парабола касается оси Ох в начале координат и име-
имеет в этой точке кривизну, равную нулю. (Это понятно: начало координат —
точка перегиба параболы у = ах6.) Затем до некоторого х кривизна возра-
возрастает. Таким образом, полуось Ох можно соединить с подобранной дугой
окружности посредством кубической параболы так, что кривизна образован-
образованной линии будет непрерывно увеличиваться от нуля до кривизны окружности.
Если траектория настолько «гладка», что кривизна существует и непре-
непрерывна в любой точке, то движение остаётся плавным без всякого изменения
скорости на поворотах.
i
82 (93). Эволюта и эвольвента. Пусть дана линия L с непре-
непрерывной кривизной. Тогда каждой точке М на линии L соответствует
точка М — центр кривизны L в точке М.
Определение. Геометрическое место центров кривизны ли-
линии L называется её эволютой L\ а сама линия L относитель-
относительно своей эволюты V называется эвольвентой (или инволютой,
или развёрткой).
Если линия L задана уравнением в системе декартовых коорди-
координат, то для вычисления координат ?, -ц центра кривизны поступим
так. Запишем два условия:
1) точка М лежит на нормали к линии:
2) расстояние точки М от точки М равно радиусу кривизны г:
Решая эти два уравнения относительно ? и т] и учитывая, что
^\^>Уу если у ]>0, и у\<^уУ если У'<0, а также величину ради-
радиуса кривизны г, придём к следующим равенствам:
. (А)
Координаты ?, г\ задаются здесь как функции абсциссы соответ-
соответствующей точки линии L.
При параметрическом задании линии L будем иметь:
Координаты ?, у\ задаются здесь как функции того же параме-
параметра, через который заданы координаты х и у. В частном случае,
когда t = x, формула (Б) обращается в формулу (А).
Итак, зная уравнения эвольвенты L, мы без труда находим па-
параметрические уравнения эволюты U по формулам (А) или (Б).
Обратная же задача — аналитическое определение эвольвенты по её
эволюте — задача более трудная;' она решается с помощью инте-
интегрального исчисления. Но некоторые свойства эвольвенты и эволюты,
тесно связанные между собой, мы можем рассмотреть и сейчас.

268
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
[82
Теорема 1. Касательная к эволюте служит нормалью к
эвольвенте (черт. 102).
Доказательство. Угловой коэффициент касательной к эво-
эволюте, ~, мы найдём из формул (Б), предварительно преобра-
преобразовав их к более удобному
для дифференцирования виду.
Обозначим
х'у" — у'х" *
так что |v| = r, где г — радиус
кривизны. Тогда
Черт. 102. • ' 1 Ух
Заметим теперь, что имеют место следующие равенства:
у=_у.
поэтому
dt
v,
л:'
л:'
Это равенство означает, что касательная к эволюте V (угловой
коэффициент равен -—] параллельна нормали к данной линии L
(угловой коэффициент равен —-т-\ ; а так как, кроме того, нормаль
id)
проходит через соответствующую точку (точку касания) М (%, т))
эволюты, то эти прямые совпадают между собой. Отсюда следует, что
эволюта И касается всех нормалей к эвольвенте или, как говорят
(см. п° п° 45, 164), является огибающей семейства нормалей.
Если провести большое число нормалей к данной линии L, то обрисо-
обрисованная ими линия и даёт приближённое представление об эволюте U.
Отложим на каждой нормали линии Lx один и тот же отрезок
Л!цЛ1«1 = M12M22 = ^13^23 =... (черт. 102). Мы получим новую
линию Lv «параллельную» данной, нормали которой совпадают с

82] § 6. кривизна 269
нормалями данной линии Lv Поэтому обе эти «параллельные» линии
имеют одну и ту же эволюту. Таким образом, каждая линия имеет
одну эволюту, но последняя имеет бесконечное множество эвольвент,
составляющих семейство «параллельных» линий.
Теорема 2. Приращение длины дуги эволюты равно соот-
соответствующему приращению радиуса кривизны данной эвольвенты
(при условии, что радиус кривизны изменяется вдоль дуги эволь-
эвольвенты монотонно).
Доказательство. Возьмём дугу эволюты и найдём выраже-
ds
ние для -г-. По формулам (А) находим:
k
Но то же самое читатель без труда получит для квадрата производной
радиуса кривизны эвольвенты по абсциссе, т. е. для (-—). Значит,
ds
di
dr
На основании формулы Коши (п°73) заключаем*), что
| As | = | Ar |.
Что и требовалось доказать.
Указанные два свойства позволяют дать очень простой механи-
механический способ для построения эвольвент.
Представим себе гибкую нерастяжимую
нить, обтягивающую заданную выпуклую
линию (эволюту). Станем развёртывать эту л? а
нить, сохраняя её всё время натянутой. *
Тогда каждая точка нити опишет эволь-
эвольвенту**), для которой нить будет норма-
нормалью; при этом фиксированная точка нити в
процессе развёртывания опишет определён-
определённую эвольвенту, ибо длина освобождае-
освобождаемой части нити точно равна длине дуги
эволюты, которую обтягивала эта часть
нити. На черт. 103 М^М[ — М0М'0=М$Л'и Черт. 103.
МъМ'ъ — МгМ[ = М[М'ъ, ... , и значит, по второму свойству, отрезки
нити МХМ[> М^М^у ... суть радиусы кривизны одной и той же линии L.
*) Действительно, если две функции / и <р таковы, что в каждой точке
некоторого интервала |/'| = |ср'|, то из формулы
А/
/41)
dr
следует, что
|Д/| = |Д<р|. Если г изменяется вдоль дуги не монотонно, то -т- обращает-
обращается в нуль и формула Коши неприменима.
**) Отсюда и происходят названия развёртка, эвольвента, инво-
инволюта,

270
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
[83
Указанному процессу развёртывания нити равносильно движение
(качение) без скольжения прямой по линии 1!\ каждая точка такой
прямой описывает её эвольвенту.
Из геометрических соображений можно усмотреть, что точкам
линии, в которых кривизна (или радиус кривизны) достигает экстре-
экстремума, соответствуют угловые точки (острия) эволюты. Точки линии
с экстремальной кривизной называются её вершинами, причём
это определение понятия вершины не зависит ни от системы коор-
координат, ни от способа задания линии.
83 (94). Примеры.
I. Развёртка окружности. Фиксированная точка прямой линии,
катящейся без скольжения по окружности, опишет эвольвенту этой окруж-
окружности. Возьмём ту из эвольвент, которая проходит через точку А (я, 0) окруж-
Черт. 104.
Черт. 105.
ности (черт. 104). Имея в виду, что РА = PC, легко найдём уравнение эволь-
эвольвенты:
х = a (cos t +1 sin t), y = a (sin t — t cos t\
где a — радиус окружности, a t — угол РОА.
Линия, определяемая этими параметрическими уравнениями, и назы-
называется в соответствии с её происхождением развёрткой окружности.
Обратно, по формулам (Б) п° 82 найдём уравнения эволюты развёртки окруж-
окружности
5 = a cos t, tq = a sin t
Мы видим, что это — как раз исходная окружность.
II. Эволюты параболы и эллипса. Для параболы у2 = 2рх имеем:
4xV~x~
Исключая х, получим известное нам уравнение полукубической параболы
(см. п° 21);

83]
§ 6. КРИВИЗНА
271
Итак, эволютой параболы является полукубическая
парабола (черт. 105). Наименьший радиус кривизны параболы равен р,
причём ему соответствуют как раз вершина параболы и остриё эволюты.
Для эллипса — Д-"^г=1 имеем:
Принимая во внимание уравнение эллипса и исключая х и у, найдём:
11 1
Эта линия получается из линии ?
+к]3 =
2 !
а
изменением всех
её ординат в отношении я :#. Линия л;3-|-д;3=&3 называется астрои-
астроидой (черт. 106) и является частным случаем гипоциклоиды — линии,
описываемой произвольной точкой
окружности, катящейся без скольже-
ния изнутри по другой окружности
(если катящаяся окружность касается
неподвижной извне, то получающаяся
линия называется эпициклоидой).
Черт. 106.
Черт. 107.
Астроида — это гипоциклоида, получаемая качением окружности, радиус ко-
которой в четыре раза меньше радиуса неподвижной окружности.
Итак, эволютой эллипса является деформированная
астроида (черт. 107). Точки заострения астроиды соответствуют вер-
вершинам эллипса, причём в вершинах, лежащих на большой оси, эллипс
имеет наименьший радиус кривизны (== — = параметру эллипса), а в вер-
/ а*\
шинах, лежащих на малой оси, — наибольший радиус кривизны (= — ),
III. Эволюта циклоиды. Для циклоиды
х = a (t — sin t), y = a(\— cos t)
по формулам (Б) п° 82 получаем:
$ = a (t + sin t), t[ = а (— 1 — cos t).

272
ГЛ. W. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
(83
так:
или
Введём новый параметр z = t — я; тогда уравнения эволюты запишутся
? = а (тс +1 — sin т), у\ = а (— 1 — cos т),
р = s — an = я (т — sin т), V = у\ + 2а = а A — cos т).
Отсюда мы видим, что эволютой циклоиды является та
же самая циклоида, только перемещённая вдоль оси
абсцисс на an единиц вправо и вдоль оси ординат на 2а
единиц вниз (черт. 108).
Черт. 108.
Острия циклоиды-эволюты соответствуют вершинам циклоиды-эвольвенты.
В этих вершинах радиус кривизны достигает наибольшего значения, рав-
равного 4а.
Заметим теперь, что полуарке циклоиды-эволюты соответствует такая
же полуарка циклоиды-эвольвенты, причём разность радиусов кривизны в её
концах равна 4а. Следовательно, мы можем заключить (в силу второго свой-
свойства п° 82), что длина одной арки циклоиды равна 8а, т. е.
восьми радиусам производящего круга.

ГЛАВА V*)
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
84 (95)- Площадь криволинейной трапеции. Начнём с наглядной
геометрической задачи об определении площади плоской фигуры.
Этой задаче обязаны своим происхождением и геометрия и мате-
математический анализ. Метод её решения обладает большой степенью
общности: он может быть применён и для определения других
величин, по своему физическому смыслу совершенно отличных от
площади.
Теория площадей исходит из двух положений:
1) площадь фигуры, составленной из нескольких фигур, равна
сумме площадей этих фигур;
2) площадь прямоугольника равна произведению его измерений.
В элементарной геометрии, опираясь на эти положения, находят
площадь треугольника, а также и площадь многоугольника, так как
всякий многоугольник может быть разбит на треугольники. По пло-
площадям многоугольников с помощью некоторой операции предельного
перехода устанавливается площадь любой фигуры.
Напомним, что именно таким способом в элементарной геометрии
по площадям правильных вписанных и описанных многоугольников
определяется площадь круга. Однако при этом используются особые
геометрические свойства фигуры (круга), что в других случаях де-
делается очень затруднительным.
Фигуру, площадь которой нужно определить, мы будем рассмат-
рассматривать в плоскости, снабжённой системой декартовых координат
(случай полярной системы см. в п° 117).
Определение. Криволинейной трапецией называется
фигура, ограниченная осью Ох, линией, с которой любая прямая,
параллельная оси Оу, пересекается не более кем в одной точке,
и двумя прямыми х = а и х — b (черт. 109); интервал [а, Ь] оси
*) В главах V («Определённый интеграл») и VI («Неопределённый инте-
интеграл») изложение ведётся так, что изучать их можно в любом порядке: сна-
сначала гл. V, а зате!\1 гл. VI или, наоборот, сначала гл. VI, а затем гл. V.
10 А. Ф. Бермаах

274 '
ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[84
Ох называется основанием*) криволинейной трапе-
трапеции **).
Всякую фигуру, как правило, можно разбить на ряд криволи-
криволинейных трапеций и, таким образом, искомую площадь определить
Черт. 109.
BCD
Черт. ПО.
как алгебраическую сумму площадей криволинейных трапеций, со-
составляющих эту фигуру. Так, например, площадь фигуры, изобра-
изображённой на черт. НО, может быть представлена в виде следующей
алгебраической суммы:
пл. АА'СС — пл. ЯВ'С'С+пл. BB'D'D — пл. ANUD.
Отсюда следует, что для решения поставленной задачи доста-
достаточно определить площадь криволинейной трапеции.
I. Прежде чем обратиться к
общему случаю, рассмотрим для
наглядности параболическую
трапецию (треугольник), огра-
ограниченную параболой y = kx*,
осью Ох и прямыми х = 0, х = Ь
(черт. 111).
Построим близкую к параболе
ломаную линию следующим обра-
образом: основание трапеции разделим
на п равных частей и из точек
деления восставим перпендикуляры
к основанию до пересечения с па-
параболой, затем из каждой точки
Черт.
пересечения проведём отрезок прямой, параллельной оси абсцисс,
до встречи со следующим перпендикуляром.
Площадь полученной ступенчатой фигуры найти легко.
*) Эта терминология отличается от принятой в элементарной геометрии,
где интервал [а, Ь] называется высотой трапеции, а основаниями её назы-
называются отрезки параллельных прямых лг = я, х = Ь.
**) Основание криволинейной трапеции может находиться, конечно, и
на оси Оу.

84] § 1. понятие определённого интеграла 275
Обозначим через л;0, хи лг2, ..., хп_ъ хп абсциссы точек деле-
деления. Так как длина всего основания равна Ь> то
хо = О, Хх = ^> х2 = 2~у ..., хп_1 = (п — \)~9
абсциссы точек деления образуют арифметическую прогрессию с
разностью —.
Ординаты, соответствующие точкам деления, обозначим через
Уъ> Уъ Уъ -у Уп-ъ Уп> а площадь — через sn.
Очевидно, имеем:
*п=У о C*i — *о) -г У\ С*« — ^0 + • • • + Уп~\ С** — ^л-i).
Так как ордината yt> проведённая из точки деления х0 равна
kxh a .^ = 2 — , то
Подставляя эти значения в выражение для sn> получим:
или
л п2 п ' л3 л
ибо лг1Ч1 — Art- = —. Вынося за скобки общие множители, найдем:
Сумма, стоящая внутри скобок, равна ¦) n ^""" УЦ_^~
Таким образом,
б
Эта формула даёт площадь ^-ступенчатой фигуры, которая при-
принимается в качестве приближения (по недостатку) к площади
нашей параболической трапеции. С увеличением п ступенчатая фи-
фигура приближается к трапеции ОВС (черт. 111); поэтому площадь
трапеции — обозначим её через 5 — определяется как предел, к
*) Доказать это легко, например, при помощи метода индукции.
10*

276 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 184
которому стремится функция sn целочисленного аргумента п при не-
неограниченном его увеличении. Это условие даёт:
Здесь sn стрехмится к своему пределу s, постоянно увеличиваясь.
Построим теперь ломаную, заменяющую параболу, так: из каждой
точки деления параболы проведём прямую, параллельную оси Ох,
до встречи не со следующим, а с предыдущим перпендикуляром.
Тогда мы получим /г-ступенчатую фигуру, площадь s'n которой бу-
будет больше чем 5. Мы имеем:
хп — хп-\) =
и, значит,
Эта формула также даёт приближённое значение площади трапе-
трапеции (по избытку).
С неограниченным увеличением п ступенчатая фигура также не-
неограниченно приближается к трапеции ОВС> и следовательно, мы
можем принять предел, который имеет площадь sn при я-*оо,
в качестве площади трапеции 5. Но
и мы получаем, как и следовало ожидать, то же с^мое значение,
что и раньше. Здесь s'n стремится к своему пределу sy постоянно
уменьшаясь.
Заметим, что так как BC = kb*y то площадь прямоугольника
СВВ'С равна 2ЬкЬ* = 2кЬ'д; отсюда следует, что площадь парабо-
параболического сегмента ВОВ1 равна
2kb* — 2k~=.^kb\
т. е. она составляет две трети от площади прямоугольника СВВ!СУ/
построенного на хорде ВВГ и стрелке OD. Этот результат был
получен ещё Архимедом, предвосхитившим методы, созданные
много веков спустя и приведшие > затем к интегральному исчисле-
исчислению.
Если основанием параболической трапеции служит интервал [а, Ь]у
то площадь трапеции 5 будет равна

84) § 1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 277
Действительно, площадь этой трапеции, очевидно, равна разности
площадей трапеций с основаниями [О, Ь\ и [0, а\\ последние же, по
вышеизложенному, равны соответственно k-~- и k-^m
о о
Рекомендуем применить рассмотренный способ определения пло-
площади параболической трапеции к вычислению известной читателю
площади прямолинейной трапеции, ограниченной прямыми у = kx,
j/ = 0, х = а, x = b.
При этом для площади s получится выражение
которое легко найти и элементарным путём.
Наконец, отметим, что площадь 5 прямоугольника, ограничен-
ограниченного прямыми y = k, y = 0, x = a, x = b, равна
s = k(b — а).
II. Обратимся к общему случаю, когда криволинейная тра-
трапеция с основанием [а, Ь] ограничена некоторой линией, заданной
уравнением y=f(x), где f(x) — непрерывная в интервале [а, Ь]
функция.
Будем пока предполагать, что f(x)^>0 в интервале [а, Ь],
т. е. что трапеция расположена над осью Ох. Метод, использован-
использованный /нами для определения площади параболической трапеции, не
содержит ничего такого, что препятствовало бы применению его к
общему случаю. Состоит этот.метод в том, что основание трапеции
делится на части: из точек деления восставляются перпендикуляры к ос-
основанию до пересечения с линией и из каждой полученной таким
образом её точки проводится прямая, параллельная основанию, до
встречи со следующим (или предыдущим — безразлично) перпенди-
перпендикуляром. Площадь образующейся при этом ступенчатой фигуры
рассматривается в качестве приближения к площади криволинейной
трапеции, причём тем более точного, чем ломаная, заменяющая ли-
линию, более тесно к ней примыкает. Последнее достигается увели-
увеличением числа точек деления основания трапеции при совместном
уменьшении длин всех частей, на которые подразделяется осно-
основание.
Определение. Площадью криволинейной трапе-
трапеции называется предел, к которому стремится переменная пло-
площадь ступенчатой фигуры при неограниченном увеличении числа
точек деления основания и при стремлении к нулю длин частей,
на которые оно подразделяется*
Пусть точки xQ = a> xu х2,..., хп_х, хп = Ь разбивают ин-
интервал [а, Ь] на п частей [jc0, хх], [хи х^\ ..., [хп_и хп\ Эти
интервалы мы будем называть частичными интервалами.
Обозначим через yOi yv у,ь ..., уп_и уп ординаты линии y=f(x),

278
ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[84
В
соответствующие точкам деления. Построим, как указано выше,
я-ступенчатую фигуру (черт. 112).
Раньше мы делили основание на равные части; однако и это не
является обязательным; необходимо лишь, чтобы при неограниченном
увеличении числа частей длина наи-
наибольшего из них стремилась кнулю.Если
ж этого не предусмотреть, то может так
^ q/ случиться, что ступенчатая фигура не
будет* неограниченно приближаться к
криволинейной трапеции. В самом деле,
будем увеличивать число точек деления
основания так, например, чтобы какой-
<2у хг с Ь=яп я нибудь частичный интервал, пусть (с, Ь)
Черт. 112. (черт. 112),оставался неизменным. Тогда
ломаная может неограниченно прибли-
приближаться к дуге АС заданной линии y=f(x), но вовсе не будет
приближаться к дуге СВ, и постоянная часть трапеции сСВЬ не
будет при этом процессе покрываться нашими фигурами. Таким
образом, по площадям этих фигур мы никак не сможем определить
площадь трапеции.
Обозначим через sn площадь построенной я-ступенчатой фигуры,
а через 5 — площадь криволинейной трапеции, которую мы желаем
определить. Напишем выражение для sn. Вся фигура состоит из п
прямоугольников, площадь каждого из которых выразить легко;
именно, площадь прямоугольника, соответствующего (г —J— 1)-му ча-
частичному интервалу, очевидно, равна yt (xi+1 — xt). Значит,
или, так как yi = f(xi)y то
xt)
Все слагаемые этой суммы имеют один и тот же вид: отличаются
они друг от друга только значениями индекса (указателя) при неза-
независимой переменной. Для сокращения записи вводят символ 2j (гРе*
ческая прописная буква «сигма») — символ суммы; именно, пишут:
(*)
Этот символ вообще обозначает, что нужно сложить выражения
данного вида, придавая индексу все целые значения от значения,
указанного под символом «сигма», до значения, указанного над
символом «сигма».

в5] § 1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА 279
Заметим, что образование каждого слагаемого f{xt) (хм — х{)
суммы (*) можно представить себе так: в частичном интервале
[xiy xi+1] вместо функции y=f(x), вообще говоря, изменяющейся
в этом интервале (каким бы малым он ни был), берётся постоянная
y=f(Xi), равная значению данной функции в начальной точке ча-
частичного интервала, и затем вычисляется площадь образующейся при
этом фигуры (прямоугольника).
Площадь заданной криволинейной трапеции определяется как
предел sn при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных
интервалов. Таким образом,
/г—1
s= lim sn= lim У f(xt)(xM — xt).
тпх{х.+1-х.)~*0 maxU/+1-*.)-»0 .^Q
85 (96). Примеры из физики. Рассмотрим некоторые важные
понятия физики, точное определение которых основывается на тех
же рассуждениях, что и определение площади криволинейной тра-
трапеции.
I. Работа переменной силы. Пусть под действием неко-
некоторой силы тело движется по прямой линии, причём направление
силы совпадает с направлением движения. Требуется определить
% IjI Ни Рпч
м?- ^н 1—, , , ,—,—,—, Z w
StrQ S, S2 Si St+f Sn-1 SrrS
Черт. ИЗ.
работу, произведённую при перемещении тела из положения М
в положение N (черт. 113).
Если на протяжении всего пути от М к N сила остаётся по-
постоянной, то, как известно, работа определяется как произведение
силы на длину пути. Обозначим через А работу, через Р—силу,
через 5 — длину пути MN. Тогда *)
Предположим теперь, что сила на пути от М к N непрерывно
изменяется. В каждой точке между М и N, находящейся на расстоя-
расстоянии 5 от точки Mf действующая сила принимает определённое зна-
значение Р. Это значит, что сила Р есть некоторая функция расстоя-
расстояния 5, т. е. P=f(s). Как определить работу, совершённую при
перемещении тела из точки М в точку N в этом случае?
Разобьём весь путь MN, т. е. интервал изменения переменной s,
на п участков точками, находящимися на расстояниях s0 = 0, slf sa,..., si9
*) Если Р выражено в килограммах и S — в метрах, то А будет выражено
в килограммометрах. Если же Р выражено в динах и S — в сашиметрах, то
А выразится в spiax.

280 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 185
Si+\> • • • > sn-u sn = S от точки М. Вместо действующей на пути MN
переменной силы Р возьмём другую силу Р'п, сохраняющую постоян-
постоянные значения на каждом из наших участков, причём эти значения
положим равными значениям действующей силы Р, например, в на-
начальных точках. На первом участке [s0, sx] эта сила равна P0=/(s0),
на втором [su s%] она равна Pi=:f(sl)J ..., на G-f- 1)-м [si} si+1] она
равна Pi=/(s/) и т. д.
Мы принимаем, что работа на некотором пути равна сумме ра-
работ, соответствующих отдельным участкам, на которые разбит весь
путь; поэтому для работы Ап> произведённой силой Р'п> будем, оче-
очевидно, иметь:
to) О* — *i) + • • • +/ to) (si+1 — st) +...
л—1
/to)to+i—**)•
Величину Ап мы принимаем в качестве приближённого значения
искомой работы, причём тем более точного, чем больше число п и
чем меньше участки, на которые разбивается весь путь MN. В са-
самом деле, при этом вспомогательная сила Р'п> заменяющая истин-
истинную Р, всё меньше отличается от последней.
Рассуждая дальше так же, как и в случае задачи о площади,
станем неограниченно увеличивать число пу заставляя стремиться к
нулю наибольший из участков. Тогда введённая нами вспомогатель-
вспомогательная сила будет неограниченно приближаться к заданной силе Р.
Работу А определяют как предел Ап при стремлении к нулю длины
наибольшего из частичных участков:
п-\
А= Нш Ап= lim У f($i)(si+1 — st).
И. Пут ь. Предположим, что тело совершает поступательное
движение, причём известна величина скорости v в любой момент
времени t в некотором промежутке [Tl9 72]. Другими словами, ве-
величина скорости v задана как функция (непрерывная) времени t,
т. е. v—f(t). Найдём путь s, пройденный телом за время от t =
= Тх до t=T%. Как видим, эта задача обратна задаче, рассмотрен-
рассмотренной в п° 42, об определении скорости по пути, заданному как функ-
функция времени.
Если скорость v остаётся во всём промежутке времени [Ти Т2]
постоянной, т. е. если движение равномерное, то путь 5 измеряется
произведением скорости на время, в течение которого тело двига-
двигалось: s = v(T% — Тх)% Но если скорость с течением времени ме-
меняется, то для нахождения пройденного пути оказывается необ-
необходимым прибегнуть к рассуждению, аналогичному проведённому
нами уже дважды для определения площади и работы. Именно,

85] § 1. понятие определённого интеграла 281
разобьём промежуток времени [Ти Г2] на п промежутков точ-
точками ts=Tu tl9 t^ ..., ti9 ti+1) ..., tn_u tn = T%. Вместо задан-
заданного движения возьмём другое движение, являющееся равномерным
в каждом частичном промежутке времени, причём скорость v в про-
промежутке \ti9 ti+1] равна скорости заданного движения, например, в
начальный момент: т>=/(^). При этом путь, пройденный в течение
времени от t — tt до t = ti+l9 равняется f(ti)(tM—1(). Ясно, что
путь sn, соответствующий промежутку времени [7\, Г2], равен
сумме расстояний, пройденных за промежутки времени, на которые
разбивается весь промежуток [Ти Г2]. Значит,
d - 'в) + /('l) ('« — 'l)+--- + /('*) &+1 —
я—1
Величина 5Л является приближением к пути s, причём тем более
точным, чем больше число п и чем меньше частичные промежутки
[tit ti+1]. Предел sn при стремлении к нулю наибольшего частичного
промежутка и даёт искомый путь s:
л —1
s= lini sn= lim
max (ti+l - ^) -0 max (/.+J - /p -0 ^Q
Отметим, что так вычисляемый путь действительно совпадает с
путём, исходя из которого определяется в соответствии с п° 42 за-
заданная скорость движения. Это будет нами доказано в конце главы
(п° 93).
III. Масса. Возьмём отрезок материальной линии и предполо-
предположим, что нам известна плотность в каждой её точке. Это означает,,
что плотность Ь задана как функция (непрерывная) длины s линии от
какого-нибудь её конца до рассматриваемой точки: & = cp(s). Вычис-
Вычислим массу всей линии длиной 5, т. е. в интервале от s = 0 до
5 = 5. Эта задача обратна задаче, рассмотренной в п° 42.
Если плотность В постоянна на всей линии, т. е. если масса
распределена равномерно, то масса пг измеряется произведением
плотности на длину линии: tn = bS. Но если плотность меняется
вдоль линии, то мы поступим аналогично предыдущему: разобьём
всю линию на п частей с помощью точек, находящихся от начала
отсчёта длины на расстояниях s0 —0, su s2, ..., si9 sM, ..., V-i»
5^ = 5, и допустим, что в каждом частичном интервале [si9 si+1]
масса распределена равномерно, т. е. что плотность остаётся постоян-
постоянной, равной данной плотности, например, в начальной точке соот-
соответствующего куска линии: 8 = <р (s,-). При этом допущении масса,
соответствующая частичному интервалу [si} sifl], будет равна

282 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ (86
9(si)(si+i — si)< a масса, соответствующая всему интервалу [0, 5],
будет, очевидно, равна
— 50 -f ... -f cp (s,.) (s/+1 — s,) 4-...
При стремлении к нулю длины наибольшего из кусков, на которые
линия разбивается (и, значит, при неограниченном увеличении числа я),
введённое нами «кусочно равномерное» распределение
массы будет неограниченно приближаться к заданному распределению
массы; следовательно, подобно рассмотренным раньше случаям
искомая масса т будет равна пределу тп при стремлении к нулю
длины наибольшего частичного участка линии:
п — 1
т= lim mn= lim У cp (st) (si+1 — st).
max {si+l — s.) -> 0 max (s?+1 — st) -> 0 ~Q
Мы позже докажем (п° 93), что так вычисляемая масса совпадает
с массой, исходя из которой определяется согласно п° 42 заданная
плотность.
86 (97). Определённый интеграл. Теорема , существования.
В предыдущих двух пунктах мы видели, что определение некото-
некоторых важных понятий геометрии и физики (понятий площади, ра-
работы, пути, массы) приводит к одной и той же последователь-
последовательности действий над известными функциями и их аргументами (причём
среди этих действий существенным был переход к пределу). Но раз
эта последовательность действий применяется в различных случаях
и имеет большое значение, то необходимо установить её строго
математически, независимо от конкретных условий той или иной
задачи. Тогда и применение её в каждом отдельном подходящем
случае будет заранее узаконено и не будет требовать специальных
рассуждений, иногда более трудных в частных, чем в общих пред-
предположениях.
Если отвлечься от физического смысла переменных и от их обо-
обозначений, то указанная последовательность действий состоит в сле-
следующем:
1) интервал [а, Ь]у в котором задана непрерывная функция
f(x) (теперь мы отбросим предположение, что f(x)^>0 в интер-
интервале [а, Ь])у разбивается на п частичных интервалов при помощи то-
точек хо = а, хь хъ ..., хп_и хп = Ьу причём <i^^<
2) значение функции f(xj) в начальной точке каждого частич-
частичного интервала умножается на длину этого интервала xi+i — xt,
т. е. составляется произведение f{xt){xM — xfr

в?] § 1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА 283
3) берётся сумма 1п всех этих произведений:
/л =/С*о) 0*1 — ¦*<
или, если обозначить дг,-+1 — дг,- через Д^,
п—\
^bxt (A)
4) находится предел / суммы 1п при стремлении к нулю наи-
наибольшего частичного интервала:
/= lim /л.
/л.
В рассмотренных выше четырёх конкретных задачах этот пре-
предел / измеряет соответственно: площадь, работу, путь, массу.
В общем случае он называется определённым интегралом, или
прбсто интегралом у от функции f(x) в пределах от а до Ъ и обо-
обозначается так:
ь
(читается: «интеграл от а до b f(x) на dx»). Следовательно,
по определению
b
п—1
\f{x)dx= lim У/(*,) А*,. (*)
a i i=0
Сумма (А) называется я-й интегральной суммой.
Определение. Определённым интегралом (*) называется
предел, к которому стремится п-я интегральная сумма (А), при
стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала.
Применяя это новое фундаментальное понятие математического
анализа к четырём конкретным вопросам, разобранным в п° 84 и
85, можно полученные выводы выразить в таких словах:
1) площадь криволинейной трапеции равна интегралу от ор-
ординаты линии, ограничивающей трапецию, взятому по основанию:
ъ
2) работа, произведённая силой, равна интегралу от силы,
взятому по пути:
s

284 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 186
3) путь, пройденный телом, равен интегралу от скорости,
взятому по времени:
4) масса, распределённая на линии, равна интегралу от плот-
кости, взятому по ~длине линии:
s
т= 1 ®(s)ds.
По поводу данного нами определения интеграла нужно сделать
три существенных замечания:
I. Наше определение интеграла потеряло бы необходимую общ-
общность, если вдруг оказалось бы, что интегральная сумма (*), со-
составленная для некоторой непрерывной функции, не стремится к
пределу при п ->¦ со. Для такой функции понятие интеграла, а для
соответствующей криволинейной трапеции наглядное геометрическое
понятие площади не имели бы смысла.
Уверенность, что 1п для всякой непрерывной функции стремится
к определённому числу, черпается, конечно, из непосредственных
геометрических представлений; но они не могут служить единствен-
единственным основанием для теоретических суждений. Однако справедлива
общая теорема, согласно которой каждая непрерывная на конечном
интервале [а, Ь] функция имеет интеграл, т. е. 1п при стремлении
к нулю длины наибольшего частичного интервала стремится к опре-
определённому числу /.
II. 1п выражает площадь ^-ступенчатой фигуры, составленной из
прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы,
а высотами — ординаты линии у=/(х) в начальных точках частич-
частичных интервалов. Если считать установленным, что /я->/, то по тем
же самым соображениям необходимо считать, что площадь ступен-
ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, высотами которых
служат ординаты линии в конечных точках частичных интервалов,
также стремится к /. Площадь такой фигуры, очевидно, выражается
суммой
п — \
(Б)
Больше того. Возьмём я-ступенчатую фигуру, составленную из
прямоугольников, каждый из которых имеет основанием частичный
интервал, а высотой — ординату линии в какой-нибудь точке
этого интервала (черт. 114).
Попрежнему следует считать, что площадь такой фигуры стре-
стремится к площади криволинейной трапеции (=/) независимо от того,

86]
§ 1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
285
какие точки в частичных интервалах мы всякий раз избираем в ка-
качестве оснований высот прямоугольников. Обозначим эти точки
через &о, ?ь •••> ?/i-i:
а = х0 < 5Э ^ хг ^ ?! < ** <... ^ лг^ < Ert
Площадь ступенчатой фигуры запишется так:
я —I
(В)
2
i==0
Следовательно, должно быть:
,=иш2.
Так как суммы (А) и (Б) получаются из суммы (В) соответственно
при Ъ = Х( и Ь?=хм, то наше заключение состоит в том, что
д=хд
Черт. 114.
сумма (В) должна иметь один и тот же предел при любых значе-
значениях ?,-, хг^1г^х(+1. Это и в самом деле имеет место.
III. Мы не делали никаких специальных оговорок относительно
способа разбиения интервала [а, Ь\ на п частичных интервалов, т. е.
закона, по которому выбираются абсциссы точек деления хъ хъ ...
..., xn_v Геометрически вполне очевидно, что если 1п стремится к опре-
определённому числу 1 при каком-нибудь способе подразделения всего
интервала, то это должно иметь место при любом другом способе,
лишь бы число точек деления неограниченно возрастало, а длина
наибольшего частичного интервала стремилась при этом к нулю.
Действительно, сумма (В) стремится к одному и тому же пре-
пределу независимо от того, по какому закону разбивается на части
интервал интегрирования.
Расширяя данное выше понятие #-й интегральной суммы, назо-
назовём теперь «/z-й интегральной суммой» для функции f{x)
сумму (В). Справедлива следующая общая теорема.

286 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ (86 ^
Теорема существования определённого инте-
интеграла*). #-я интегральная сумма, соответствующая конеч-
конечному интервалу [а, Ь\ изменения переменной х, а*^х^Ь, и не-
непрерывной на нём функции f{x)> при стремлении к нулю длины
наибольшего частичного интервала стремится к пределу и при-
притом к одному и тому же, независимо от того, какие значения х
в частичных интервалах [xi9 xul] принимаются в качестве чи-
чисел §;, и независимо от способа разбиения интервала [а, Ь\ на
частичные интервалы [xi9 xi+1].
Этот предел называется определённым интегралом, или
просто интегралом, от функции f(x) в пределах от а до b
п—\ Ъ
lim ^
Символ интеграла указывает на его происхождение: J является
как бы вытянутой буквой s, первой буквой слова summa; выраже-
выражение, стоящее за (говорят также: под) символом интеграла, показы-
показывает вид суммируемых слагаемых; индекс при переменной в выраже-
выражении под интегралом опущен, чем подчёркивается, что в процессе
суммирования, завершающегося предельным переходом, переменная х
принимает все значения в интервале [а, Ь]; числа, стоящие под и
над символом интеграла, указывают концы интервала, на котором
производилось суммирование.
Функция f(x) называется подинтегральной функцией;
выражение f(x) dx — под интегральным выражением;
число а — нижним, а число b — верхним пределами**) инте-
интеграла; переменная х — переменной интеграции (интегри-
(интегрирования); интервал а^х^Ь — интервалом интеграции
(интегрирования).
Интегральные суммы, составленные при различных разбиениях
интервала интегрирования и различных выборах точек ?, могут от-
отличаться друг от друга весьма значительно. Сформулированная выше
замечательная теорема показывает, что разница между ними сти-
стирается по мере возрастания числа точек деления и убывания наи-
наибольшего частичного интервала, совсем исчезая в пределе. Символ
ъ
\f(x)dx изображает просто число; он поэтому и не несёт на
*) Доказательство теоремы существования определённого интеграла см.
в более полных курсах анализа, например: В. И. Смирнов, Курс высшей
математики, т. 1 A948), стр. 271; Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц, Курс дифферен-
дифференциального и интегрального исчисления, т. II A948), стр. 108; Р. Курант,
Курс дифференциального и интегрального исчисления, ч. I A931), стр. 112.
**) Здесь термин «предел» употребляется в смысле, не имеющем отно-
отношения к понятию «предел функции».

87[ § 1. понятие определенного интеграла 287
себе следа специального способа получения этого числа; оно не
зависит от того, как была совершена операция образования опре-
определённого интеграла. Это число, разумеется, не зависит также и от
обозначения переменной интегрирования, так что справедливо
равенство
ь ь
87 (98). Вычисление определённого интеграла. Операция на-
нахождения определённого интеграла по заданной подинтегральной
функции и заданному интервалу интегрирования называется опре-
определённым интегрированием функций.
Определённое интегрирование функций, выполняемое в соответ-
соответствии с определением интеграла, представляет собой, как правило,
операцию весьма громоздкую. Для иллюстрации найдём интеграл
от степенной функции с целым неотрицательным показателем k:
ъ
В трёх частных случаях, при k = 0, k—l, k = 2, этот интеграл
нам уже известен (п° 84):
Легко обнаружить здесь закономерность, наталкивающую на предпо-
предположение, что и при любом целом k ^> 0 будет:
Подтвердим эту догадку непосредственным вычислением.
В указанных трёх случаях мы делили интервал [а, Ь] на п рав-
равных частей с помощью точек хъ хъ ... , образующих арифмети-
арифметическую прогрессию. При произвольном целом k ^> 0 удобнее
делить интервал [а, Ь\ на п неравных частей, с помощью точек
хо = а, хъ хъ ... , хп_и хп = Ь образующих геометрическую
прогрессию. Пусть знаменатель этой прогрессии равен q. Тогда
Из последнего равенства имеем:
1
/AV", (*)
и так как Ь^>а, то #^>1. Длины частичных интервалов равны:
Xl — xo = a(q~ I), x^ — xx = aq{q— 1), ...
... , xi+1 — xt = aq{ (q — 1), ... , xn — xn_x = aqn~l (q—\).

288 • гл. v. определённый интеграл [87
Как видим, они образуют также геометрическую прогрессию со
знаменателем q. В силу того что д^>1, каждый частичный интервал
длиннее всех предыдущих. Значит, самым большим является послед-
последний интервал:
1^
Так как ^~>1 при я->оо (что следует из формулы (*)), то длина
наибольшего частичного интервала стремится к нулю и, следова-
следовательно, выбранная система подразделения интервала [а, Ь] удовле-
удовлетворяет нужным условиям.
Составим п-\о интегральную сумму:
л-1 л-1
J_0 * = 0
так как akJrl(q—1) входит множителем во все слагаемые, то
/—0
Внутри квадратных скобок находится сумма п членов геометриче
ской прогрессии со знаменателем qk+l. Получаем:
что ввиду соотношений
даёт:
/№) = aft+i (q— 1) (? _
Для определения интеграла /(fe) остаётся найти предел этого
выражения при п -> оо. Но если п-+оо, то # ~> 1 и
ПШ /w == lltXl
что мы и хотели показать *).
*) Мы могли бы, как и раньше для k = 2, делить интервал [а, #] на рав-
равные части. Результат получился бы, как это и следует из теоремы существо-
существования, тот же самый. Деление на неравные части с помощью точек, образую-
образующих геометрическую прогрессию, представляет здесь то удобство, что не
нужно находить формулу для суммы k-x степеней чисел натурального ряда,
а оказывается достаточной известная формула для суммы членов геометриче-
геометрической прогрессии,

88] § 2. основные свойства определённого интеграла 289
В дальнейшем мы убедимся в том, что формула
о
справедлива для любого k, за исключением k = —1, при котором
правая часть формулы теряет смысл.
Рассмотренный пример показывает, что вычисление определён-
определённого интеграла при помощи метода, прямо вытекающего из опреде-
определения, встречает трудности даже, казалось бы, в самых простых
случаях. И важнейшее в математическом анализе понятие не
нашло бы своего настоящего места, если бы не был открыт другой
несравненно более удобный и лёгкий в техническом отношении
метод вычисления определённых интегралов.
Мы изложим в следующем параграфе ряд основных свойств опре-
определённого интеграла, которые в конечном счёте и приведут нас
к установлению обходного пути для вычисления интегралов.
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
88 (99). Простейшие свойства определённого интеграла.
Теорема 1 (об интеграле суммы). Интеграл от суммы
определённого конечного числа функций равен сумме интегралов
от слагаемых функций:
Теорема II (о вынесении постоянного множителя).
Постоянный множитель подинтегральной функции можно вынести
за символ интеграла:
b b
Для доказательства этих теорем достаточно написать выражения
для интегральных сумм и затем' воспользоваться известными теоре-
теоремами о пределе суммы и о пределе произведения.
Теорема III (о знаке интеграла). Если подинтегральная
функция в интервале интегрирования не меняет знака, то инте-
интеграл представляет собой число того же знака, что и функция,

290 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ [89
Доказательство. Пусть/(jc)SsO в интервале [а, Ь]у а
Тогда в интегральной сумме
п-\
все слагаемые неотрицательны и, значит, /д^0, а предел неотри-
неотрицательной величины не может быть отрицателен. Определённый
интеграл от непрерывной знакопостоянной функ-
функции/^) может быть равен нулю только в том слу-
случае, когда функция f(x) тождественно равна нулю
(см. п° 90).
Если подинтегральная функция в интервале интегрирования
меняет знак, то интеграл от неё может быть и положительным чис-
числом, и отрицательным, и равным нулю.
Это свойство определённого интеграла следует иметь в виду
при решении задач. Например, находя с помощью интеграла пло-
площадь трапеции, необходимо учитывать её расположение относи-
относительно оси Ох. В случае, когда трапеция целиком лежит над осью
Ох, интеграл от ординаты выражает площадь; в случае, когда трапе-
трапеция целиком лежит под осью Ох, интеграл, будучи отрицательным,
выражает, очевидно, площадь трапеции* взятую с отрицательным
знаком; наконец, в случае, когда трапеция лежит и над осью Ох
и под ней, интеграл от ординаты вовсе не выражает искомой площади.
Таким образом, для отыскания площади криволинейной трапеции
нужно отдельно вычислить интегралы, выражающие площади её
часрей, расположенных над осью абсцисс, отдельно — интегралы,
выражающие площади частей, расположенных под осью абсцисс,
и затем взять сумму их абсолютных величин.
89 A00). Изменение направления и разбиение интервала
интегрирования. Геометрическая интерпретация интеграла. До
сих пор мы предполагали, что нижний предел интеграла меньше
верхнего (а<^Ь) или, как говорят, что интервал интегриро-
интегрирования направлен вправо.
Распространим теперь данное нами определение интеграла и на
случай, когда интервал интегрирования направлен влево,
т. е. когда нижний предел больше верхнего (я^>#). Именно, поло-
положим в любом случае
ь п—\
Г f(x) dx = lim У /(У (хм - *,); (*)
J ma*l*i+i-*il->o«=o
если a^>b, то

89] § 2. основные свойства определённого интеграла 291
Мы сейчас оправдаем это распространение понятия определён-
определённого интеграла, доказав такую теорему.
Теорема IV (о перестановке пределов интеграла).
Если верхний и нижний пределы интеграла поменять местами,
т. е. изменить направление интервала интегрирования на обрат*
ное, то интеграл изменит только знак:
b a
b
Доказательство. В сумме (*) при а^>Ь все приращения
переменной интеграции kxt — хм — xt отрицательны. Вынесем — 1
за скобки и за символ предела и переменим порядок следования
слагаемых на обратный; получим:
ъ п-\
О dx = — lim У f{%n_t_x) (хп_^ — xn_t)..
Здесь суммирование *) производится уже слева направо:
Ь = хп<: $„_! ^ хп_г ^ -.. < хх < 50 < х0 = а,
и согласно первому определению интеграла правая часть равна инте-
а
гралу \ f(x)dx, в котором нижний предел меньше верхнего, взятому
со знаком—.
Теорема доказана.
Ясно, что равенство (**) справедливо и при а
Будем считать, что
а
г*
¦ = о,
т. е. что интеграл с равными пределами равен нулю. Это есте-
естественно, так как, если конец основания трапеции совместить с его
началом, то трапеция превратится в прямолинейный отрезок — орди-
ординату /(а), «площадь» которого нужно считать равной нулю. При
этом, как лепко видеть, равенство (**) имеет место при любом соот-
соотношении между а и b (a^>b, a<^bf a = b).
Первые два свойства интеграла (п° 88) относятся и к случаю,
ь
когда в интеграле \f(x)dxy a^>b, а формулировку теоремы III,
а
если а^>Ь> необходимо изменить вполне очевидным образом.
*) Для ясности удобно переменить обозначения точек деления х-ь и про-
промежуточных точек ;;, положив ;л_1--1 = 5], xn_i=zxi.

292
ГЛ. У. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[89
Теорема V (о разбиении интервала интегрирова-
интегрирования). Если интервал интегрирования [а, Ь\ разбит на две части
[а, с] и [с, Ь], то
Ь с Ъ
x. (***)
Доказательство. Так как предел интегральной суммы не
зависит от способа разбиения интервала [а, Ь] на части, будем дро-
дробить его так, чтобы точка с всегда была точкой деления. При этом
интегральную сумму можно представить так:
где в первой сумме в правой части собраны все элементы, соответ-
соответствующие точкам деления интервала [а, с]9 а во второй сумме — эле-
элементы, соответствующие точкам деления интервала [с, Ь]. И первая
и вторая суммы суть интегральные суммы для f(x), соответствую-
соответствующие интервалам [ау с] и [с, Ь\, Если число точек деления неограни-
неограниченно возрастает, а длина наибольшего частичного интервала стре-
стремится к нулю для всего интервала [а, Ь\у то то же самое, очевидно,
будет выполняться и для интервалов [а, с] и [с, Ь]\ при этом первая
сумма стремится к интегралу в пределах от а до с, а вторая —
к интегралу в пределах от с до Ьу и мы получаем требуемое равенство.
Соотношение (***) выражает геометрически очевидное обстоя-
обстоятельство: если разбить трапецию на две — одну с осно-
основанием [а, с], другую с основанием [с> #], то пло-
площадь всей трапеции будет равна сумме площадей
этих двух трапеций.
Равенство (***) справедливо и в том случае, когда с лежит вне
интервала [а, Ь]9 справа от него (а<^Ь<^с), или слева от него
(с<^а<^Ь) при условии, что f(x) непрерывна в [а, с] или в [с, Ь].
Пусть а<^Ь<^с. По доказанному,
откуда
b с с
§fix)dx=^fix)dx-^f ix) dx.
a a b
Меняя местами пределы второго интеграла в правой части,
получим:
ь ь
с ь
fix) dx = J f(x) dx + J f{x) dx.

90] § 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА 293
Что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается, что равенство (***) имеет место и при
с<^а<^Ь. Геометрическую интерпретацию двух последних случаев
предоставляем читателю.
Из доказанной теоремы непосредственно следует, что если
clt с2, ... , ck — как угодно расположенные числа в интервале непре-
непрерывности f(x)y то
ь а с% ь
fix) dx=\fix)dx+\ fix) dx +... + fix) dx.
a cl ck
Теперь мы можем обратиться к геометрической интер-
интерпретации определённого интеграла. Условимся площади
криволинейной трапеции, расположенной над осью Ох, приписывать
знак плюс, а расположенной под осью Ох — знак минус. Тогда,
очевидно, определённый интеграл от функции f(x) будет суммой
алгебраических площадей (т. е. снабжённых определёнными знаками)
криволинейных трапеций, из которых состоит данная трапеция.
Имея это в виду, мы в дальнейшем определённый интеграл
ь
'f(x)dx
всегда можем интерпретировать, независимо от конкретного
смысла переменной интеграции х и функции f(x), как «площадь»
(«алгебраическую», а негеометрицескую) криволиней-
криволинейной трапеции с'основанием [а, Ь], ограниченной линией у = f (х).
90 A01). Оценка определённого интеграла.
I. Основная теорема. Укажем границы, между которыми
наверняка заключено значение интеграла.
Теорема VI (об оценке определённого интеграла).
Значение определённого интеграла заключено между произведе-
произведениями наименьшего и наибольшего значений подинтегральной
функции на длину интервала интегрирования, т. е.
ь
где т и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения
f(x) в интервале [а, Ь].
Доказательство. Возьмём две функции М —f(x) и т —f(x).
Первая из них в интервале [а, Ь] неотрицательна, вторая — неполо-
неположительна. Значит, по свойству III (п° 88)
ь ь
и f [/и—
О,

294
ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[90
а по свойству I (п°88)
ъ . ь ъ ъ
f Mdx — \ f(x)dx7^0 и t mdx— [f(x)dx^Oy
откуда
а
b
М С dx = M(b — i
a
b
a a
b
m
\ dx = m(b — a) ^ i / (x) dx.
Что и требовалось доказать.
Геометрическая иллюстрация здесь состоит в следующем: площадь
криволинейной трапеции больше площади прямоугольника с основа-
основанием, равным основанию трапеции, и вы-
высотой, равной наименьшей ординате тра-
трапеции, и меньше площади прямоуголь-
прямоугольника с тем же основанием и высотой,
равной наибольшей ординате трапеции
(черт. 115).
Находя границы для интеграла, мы,
как говорят, производим его оценку.
Может случиться, что весьма трудно или
даже невозможно найти точное значение
интеграла, а оценивая его, мы узнаем, хотя
бы грубо, порядок числа, которым он выражается.. С такого рода
оценками приходится довольно часто встречаться в математике.
В качестве первого применения теоремы VI докажем, что интеграл от
непрерывной и знакопостоянной в интервале интегрирования [«, Ь] функции
f (x) может быть равен нулю, только если тождественно равна нулю под-
интегральная функция (см. теорему III).
Предположим противное: пусть интеграл равен нулю, а функция f (х)
отлична от нуля хотя бы в одной точке внутри интервала интегрирования:
У
0
r\l
rv
a
M
i
Черт. 115.
/=
= 0, a f(c)
, где
причём пусть f (х) ^ 0 в интервале [а, Ь].
Вследствие непрерывности функции / (х) существует в интервале [а, Ь]
такой интервал — обозначим его через [а, р], — содержащий точку с, что в нём
функция f (х) отлична от нуля; обозначим через т^О наименьшее значение
f(x) в интервале [а, р]. На основании теоремы V имеем:

90] § 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА 295
и так как первый и третий интегралы справа неотрицательны (теорема III),
то, используя теорему VI, получаем:
а а
Мы пришли к противоречию с условием, что / = 0; значит, /(л;) = 0.
Указанные в теореме VI границы для интеграла тем более точны
(узки), чем короче интервал интегрирования и чем меньше линия
y=f(x) отличается по положению от прямой, параллельной оси Ох,
Теорема об оценке определённого интеграла позволяет указать его
приближённое значение.
Примеры. 1) Оценим интеграл
2
Ь — х
9 —
:dX.
Известными методами дифференциального исчисления находим, что
наибольшее и наименьшее значения подинтегральной функции в интер-
3 1
вале [0, 2] равны соответственно -=- и -к-» Значит,
2
??¦* B-0),
т. е. интеграл заключён между 1 и 1,2. В первом приближении
можно считать, что он равен 1,1, причём абсолютная погрешность
не превосходит 1,2 —1 = 0,2, а относительная не превосходит
-~^-j—«^18%. (Позже мы сумеем найти точное значение„приведён-
3
ного интеграла. Оно равно -j- In 5 — In 3 ^^ 1,0472.)
2) Оценим ещё интеграл
-dx.
х
4
Читатель легко проверит, что подинтегральная функция в интер-
интеррр
вале -^-, 4Ц- убывает и, следовательно,
sin -y
4 -
2
TC
T
{nx dy
X
sin -j-
T

296 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ [90
Таким образом, интеграл заключён между 0,5 и 0,71, что даёт
нам неплохое о нём представление. Более точные приёмы показывают,
что приближённо он равен 0,62.
II. Обобщения основной теоремы. 1) Интегрирова-
Интегрирование неравенств. Справедлива следующая более общая теорема,
чем теорема VI.
Теорема. Если в каждой точке х интервала [а, Ь\
то
ь ь ь
<?(x)dx,
Это значит, что неравенство между функциями влечёт неравенство
того же смысла между их определёнными интегралами, или, говоря
коротко, неравенства можно интегрировать. Легко понять на осно-
основании простых геометрических соображений, что дифференцировать
неравенства, вообще говоря, нельзя.
На доказательстве и геометрической интерпретации теоремы оста-
останавливаться не будем, так как они вполне подобны предыдущим.
В частном случае, когда <?(х) тождественно равно М, а ф(лг)
тождественно равно т, получаем теорему VI.
2) Оценка абсолютной величины определённого
интеграла. Допустим, что в интервале [а, Ь]
\f(x)\^M, т. е. —Л«</(*)<Л1.
На основании свойства VI
ь
\M{b — a)
т. е.
ь
\\
f(x)dx
Это даёт оценку абсолютной величины определённого интеграла
по оценке абсолютной величины подинтегральной функции.
III. Неравенство Буняковского*). Если подинтеграль-
ную функцию представить в виде произведения двух функций:
f{x) =Л (х) /в (х). то
ь
p J \fxix)fdx -у J [f,
*)B. Я- Буняковский A804—1889), академик, известный русский
математик, опубликовавший указанное неравенство в 1859 г. В литературе
этому неравенству иногда необоснованно присваивается название «неравен-
«неравенства Шварца»,

90] § 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА 297
Доказательство. Возьмём вспомогательный интеграл
ь
При любом действительном X этот интеграл не может быть отри-
отрицательным (теорема III): /^0. Раскрывая скобки в подинтегральном
выражении и обозначая
ъ ь ъ
[fi(•#)] dx = 11, \ f\ (x)f% (x) dx = /12, 1 [/2
получим:
В левой части этого соотношения находится квадратный трёхчлен
относительно X; при любом X он неотрицателен, а это имеет место
(ввиду того, что А ^> 0) в том и только в том случае, когда дискри-
дискриминант трёхчлена неположителен (см. п° 18):
т. е.
ь ь ь
У J J
а а а
откуда
- _
l/ J l/i (^)l2 ^ ' l/ J [/¦
^ a " a
Пример. Пусть
/= f
По теореме VI имеем:
а по неравенству Буняковского, принимая fx (х) = 1, /2 (х)= |/"l
находим:
т. е. лучшую оценку, чем по теореме VI.

298 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ • 191
§ 3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
(ПРОДОЛЖЕНИЕ). ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
91 A02). Теорема о среднем. Среднее значение функции*
I. Теорема о среднем. Определённый интеграл обладает
следующим важным свойством:
Теорема VII (о среднем). Если функция / (х) непрерывна
в интервале [а, Ь\у то внутри этого интервала существует по
меньшей мере одно значение xssg, a^l^b, для которого
b -a —'w
Доказательство. В силу теоремы VI имеем:
ь
f{x)dx
b — a
и, значит,
ь
f(x)dx
а
о
S
Ь — а ~г>
где (л — некоторое число, заключённое между наименьшим (т) и
наибольшим (М) значениями функции f(x) в интервале [а, ?], т. е.
т^\х^М. Но f(x)} будучи непрерывной функцией, обязательно
принимает по меньшей мере один раз каждое значение, лежащее
между т и М. Следовательно, при некотором .*==?, a^l^b,
f(x) получит значение, равное (х, т. е. ДЕ) = [л.
Что и требовалось доказать.
Из равенства (*) находим:
ъ
f(x) dx=/(Е) {р — а), а ^ % ^ Ь.
Эта формула позволяет теорему о среднем высказать в такой форме:
Определённый интеграл от непрерывной функции равен произ-
произведению значения этой функции в некоторой «средней» точке
интервала интегрирования на длину интервала.
Геометрически теорему о среднем можно интерпретировать так:
существует прямоугольник с основанием, равным основанию трапеции,
и высотой, равной ординате ограничивающей трапецию линии в неко-
некоторой точке основания, площадь которого равна площади трапеции
(черт. 116).

91]
§ 3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
299
«2?
Черт. 116.
требуемым по теореме
Дадим наглядное пояснение теоремы. При движении прямой,
параллельной оси Ох (черт. 116), вверх от положения ВС площадь
прямоугольника АВСК будет непрерывно возрастать от величины,
меньшей площади трапеции, до вели-
величины, большей её. Очевидно, при не-
некотором промежуточном положении
прямой — обозначим его через FG —
площадь прямоугольника AFGK ока-
окажется в точности равной площади
трапеции s. Так как при этом дви-
движении прямая постоянно пересекает
линию, ограничивающую трапецию, то
и в положении FG найдётся одна (или
несколько: на черт. 116 две) точка
пересечения Q, абсцисса которой и будет
«средним» значением ?.
Только в одном случае, а именно, когда f(x)— линейная функ-
функция и, значит, трапецию ограничивает прямая линия, сразу можно
сказать, какова точка 1-:она лежит в середине основания трапеции
(проверить это аналитически!): ?= а^ - Отрезок PQ будет тогда
средней линией прямолинейной трапеции. Иногда отрезок PQ
и в общем случае называют «средней линией» криволиней-
криволинейной трапеции. Криволинейная трапеция может иметь несколько
(равных по величине) «средних линий».
Теорема о среднем имеет ^большой теоретический интерес, но
практически мало пригодна для вычисления интегралов, так как нам
заранее не известно значение ?.
II. Понятие среднего арифметического. Значение
/(Е), находимое по теореме о среднем, называется средним или,
точнее, средним арифметическим значением функции f(x)
в интервале [а, Ь].
Определение. Средним арифметическим (средним) зна-
значением, у с?, непрерывной функции y=zf(x) в интервале [а, д]
называется отношение определённого интеграла от этой функции
к длине интервала:
Приведём некоторые соображения в обоснование этого опреде-
определения.
Пусть некоторая величина у принимает п значений: УиУъ> ••• ,уп.
«Средним», или, точнее, «средним арифметическим», зна-
значением этой величины называется частное ~гУп^ так>
если температура воздуха в течение суток измеряется через каждый

300 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ [91
час, то «средним» будет частное от деления суммы всех наблюдён-
наблюдённых температур на 24.
Вместо того чтобы рассматривать всю совокупность значе-
значений, часто можно ограничиться указанием только среднего значения,
так как оно в известной мере характеризует всю совокупность. Если
сказать, что средняя температура воздуха в течение суток равна 10,5°,
то это даёт некоторое представление обо всём температурном режиме,
хотя температура в отдельные часы может значительно отличаться
от 10,5° в большую или меньшую сторону.
Но представим себе теперь, что величина изменяется непрерывно
(например, температура воздуха известна в любой момент суток),
и мы хотим как-то в «среднем» охарактеризовать всю
совокупность её значений. Как в этом случае следует опре-
определить «с р е д н ю ю» температуру воздуха, принимая во внимание
всю известную совокупность значений температуры? Вообще, что
следует принять в качестве «среднего значения» непрерывной функ-
функции у=/(х) в некотором интервале [а, Ь]?
Разобьём интервал [ау Ь] на п равных частей с помощью точек
xi) = a) хи jc2, ..., хп_и хп — Ь и возьмём значения функции в п
точках:
Уо =/(*о)> У\ =/(*i)> • • • > Уп-i =/(**-i)«
Значениями нашей функции во всех остальных точках интервала
[а, Ь] пока пренебрежём. Возьмём среднее арифметическое указан-
указанных п значений:
Ясно, что чем больше я, тем больше значений функции учитывается
при отыскании среднего значения, и поэтому естественно за «с р е д-
нее» значение, уср, функции принять предел, к кото-
которому стремится у\п при я --> оо. Найдём этот предел.
Умножив и разделив выражение для г\ на b — а, получим:
1 / Ь — а | b — а , , b — а '
но так как ~ а — кхг, то
п—1 п—\
откуда, переходя к пределу, получаем указанное нами выше выра-
выражение для среднего значения:
я-1 b

92J § 3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА 301
На основании теоремы о среднем (теорема VII) мы заключаем,
что _УСр = /(?), где a<^i<^b> т. е. что «среднее» значение не-
непрерывной функции в интервале всегда (если только функция — не
постоянная) меньше некоторых её значений, больше других её зна-
значений и равно по меньшей мере одному её значению (в «с р е д-
ней» точке интервала).
Геометрически «среднее» значение функции изображается «сред-
«средней линией», соответствующей криволинейной трапеции.
Понятие среднего значения функции очень употребительно в технике.
Многие величины часто характеризуются своими средними значениями; та-
таковы, например, давление пара, сила и напряжение переменного тока; ско-
скорость химической реакции и т. п.
Иногда одну и ту же переменную величину можно рассматривать как
функцию различных переменных. Тогда её средние значения относительно этих
переменных, вообще говоря, оказываются отличными друг от друга. Напри-
Например, при движении по закону s = -x-jft2 (свободное падение в пустоте) ско-
скорость v можно представить и как функцию времени: v=gty и как функцию
пути: v = ]/gs. Найдём средние значения квадрата скорости относительно
времени и относительно пути.
Среднее значение v2 за время от 0 до Г равно
-г
TJ 3
среднее же значение v2 за путь от 0 до 5 (=.—gT2) равно
Таким образом, следует иметь в виду, что понятие среднего значения —
относительное, определяемое не только совокупностью значений вели-
величины, но и выбором переменной относительно которой среднее значение
рассматривается.
92 A03). Производная от интеграла по верхнему пределу.
Будем считать нижний предел интеграла постоянным, а верхний пере-
переменным. Придавая верхнему пределу различные значения, будем полу-
получать соответствующие значения интеграла; следовательно, при рас-
рассматриваемом условии интеграл является функцией своего верхнего
предела.
Остановимся на общепринятых обозначениях. Независимая пере-
переменная в верхнем пределе обычно обозначается той же буквой,
скажем х, что и переменная интеграции. Таким образом, например,
записывают:

302 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 192
Однако переменная х в подинтегральном выражении не имеет
отношения к аргументу функции 1(х), она служит лишь вспомо-
вспомогательной переменной—переменной интеграции,
пробегающей в процессе составления интеграла (суммирования) зна-
значения от а до х — верхнего предела интеграла. Если нам
нужно вычислить, частное значение функции 1(х), например, при
х = Ь, т. е. /(&), то мы подставим b вместо х в верхний предел
интеграла, но, разумеется, не будем подставлять b вместо переменной
интеграции. Поэтому нагляднее было бы употреблять такую запись:
взяв для переменной интеграции другую букву (здесь t). Но так
как эта переменная изменяется вдоль той же оси, то мы будем часто
обозначать одной буквой и переменную интеграции и независимую
переменную в верхнем пределе, однако всегда помня их различный
смысл в символе интеграла.
Свойства интеграла, изученные в предыдущем параграфе, отно-
относятся и к интегралу с переменным верхним пределом.
Весьма важно изучить связь между функцией 1{х) и данной под-
интегральной функцией f(x).
Теорема VIII (о производной интеграла по верх-
верхнему пределу). Производная от интеграла по его верхнему
пределу равна подинтегральной функции:
X
Г (х) = ( J f(x) dx)' =/(*). (*)
а
Доказательство. Придадим аргументу х приращение Дх.
Тогда «наращённое» значение функции будет
= J f(x)dx.
а
Значит,
лг-fAv х
— I(x)= J f(x)dx— i\jf(x)dx,
т. е.
д/= J f(x)dx.

92]
§ 3. основные; свойства определённого интеграла
303
Применяя к последнему интегралу теорему о среднем (теорема VII),
найдём:
где Е — точка, лежащая между х и х-\-
По определению производной имеем:
= lim ? = lim
Длг-*О
Но если Ал;->0, то х-\-кх стремится к х\ поэтому и подавно
, а так как f(x)— непрерывная функция, то
lim/(?)= lim/(?)=/(.*).
0 Ч
Что и требовалось доказать.
Из теоремы следует также, что
X
d[f(x)dx=f{x)dx.
(**)
Необходимо заметить, что результаты в формулах (*) и (**) не
зависят от обозначения переменной интеграции; имеют место, например,
такие равенства:
± J /@ dt=f{x),
Рассмотрим геометрическую интерпретацию теоремы. Функция/(лг)
выражает переменную площадь криволинейной трапеции с пере-
переменным основанием [а, х], ограниченной линией y=f(x). В тео-
теореме VIII утверждается, что произ-
водная от площади трапеции по
абсциссе равна ординате линии,
ограничивающей трапецию (отрезок
AB=f(x) на черт. 117), или что
дифференциал площади Трапеции ра-
равен площади прямоугольника со сто-
сторонами, равными соответственно при-
приращению основания трапеции и ор-
ординате линии в крайней точке.
Поясним геометрически эти
предложения. Придадим основанию
трапеции бесконечно малое приращение dx, тогда приращение Д/(лг)
площади трапеции изобразится площадью бесконечно узкой криво-
криволинейной трапеции ЛВСЕ (черт. 117). Покажем, что дифференциа-
дифференциалом dl(x) площади будет площадь прямоугольника ABDE. Для этого
0
Черт. 117.

304 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [93
прежде всего убедимся в том, что площадь АВСЕ и площадь ABDE —
эквивалентные бесконечно малые. Мы имеем:
пл. ABDE—у Ах, уАх^пл. АВСЕ ^у Ах,
где j/ и j/ — соответственно наименьшее и наибольшее значения
функции y — f(x) в интервале [х, x-\-Lx\\ поэтому
пл. АВСЕ ?А?
у Ал: ^ пл. ABDE ^у Ах '
При Ах -»¦ 0 отношение рассматриваемых площадей стремится
к единице, ибо вследствие непрерывности функции f(x) величины
у и у имеют при Ах ->0. своим пределом у. Так как, кроме того,
пл. ABDE {= у Ах) пропорциональна Адг, то она и является диффе-
дифференциалом площади криволинейной трапеции:
dl(x)=f(x)dx, или ^=/(*).
Итак, функция / (х) является первообразной (п° 69) от данной
функции f(x). В связи с этим из теоремы существования интеграла
вытекает теорема:
Всякая непрерывная функция имеет первообразную, а значит,
в соответствии с теоремой п° 69, и бесчисленное множество перво-
первообразных, которые, однако, отличаются друг от друга лишь на
постоянную.
Теорема VIII показывает, что применение к какой-нибудь функ-
функции операции интегрирования (с переменным верхним пределом) и
затем к результату — операции дифференцирования (по этому пре-
пределу) оставляет функцию неизменной.
(В п° 93 мы найдём результат последовательного применения
наших действий в обратном порядке: сначала дифференцирование,
а затем определённое интегрирование.)
Эти предложения связывают между собой главные операции
анализа — интегрирование и дифференцирование, — при-
причём так, что они оказываются в известном смысле операциями взаимно
обратными: будучи выполненными последовательно, они как бы
уничтожают друг друга.
93 A04). Формула Ньютона-Лейбница.
Теорема. Значение определённого интеграла равно разности
значений любой первообразной от подинтегральной функции,
взятых при верхнем и нижнем пределах интеграла:
ь
Равенство (*) называется формулой Ньютона-Лейбница.

93] § 3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА 305
Другими словами,
Значение определённого интеграла равно приращению любой
первообразной от подинтегральной функции на интервале инте-
интегрирования.
Доказательство. Рассмотрим функцию
так как она является первообразной от функции f(x), то в соответ-
соответствии с теоремой п° 69 её нужно искать среди функций F(x)-\-C9
где F(x) — какая-нибудь из первообразных от f(x).
Следовательно,
где Сх — некоторая определённая постоянная. Для отыскания её
воспользуемся известным нам вторым свойством функции 1(х), а
именно, те'м, что 7(а) = 0. Отсюда /7(а)-|-С1 = 0, т. е. СХ = — F(a).
Итак,
X
а
при х — Ь получаем доказываемое равенство (#).
Разность значений функции записывают часто так:
Вертикальная черта с нижним и верхним индексами, стоящая
справа от символа функции и называемая знаком двойной Под-
Подстановки, указывает, что из значения функции, принимаемого ею
при верхнем индексе, нужно вычесть её значение, принимаемое при
нижнем индексе.
Воспользовавшись этим обозначением, формуле (*) можно при-
придать вид
причём F'(x)=f(x).
Формула Ньютона-Лейбница даёт нам замечательный ключ к вычи-
вычислению определённых интегралов. Она позволяет находить опре-
определённый интеграл, обходя суммирование, при помощи
первообразных функций. Для иллюстрации возьмём несколько
простых примеров.
x+i
Так как . , . есть первообразная от х\ то
ъ
v-fe+l
Ji
11 А. Ф. Бермант

306 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 193
Мы легко получили формулу, потребовавшую больших усилий,
когда мы её выводили (и только для целых положительных k) на осно-
основании самого определения интеграла, при помощи суммирования
(п°87).
Одной из первообразных от sin х является — cos х} в силу чего
ъ
ь
sin xdx= — cos x
= — cos b -f- cos a.
Так как одной из первообразных от — служит \пх, то
ъ
г
X
а
— dx=\nx
= lnb — In a— In —.
b = eb-ea.
Одной из первообразных от ек служит ех, поэтому
ь
\ exdx=ex
J а
а
Если взять какие-нибудь другие первообразные от подинтеграль-
ных функций (т. е. отличающиеся от выше взятых на постоянные
величины), то, очевидно, получим те же результаты.
Заметим теперь, что так как F(x) есть первообразная от F (x)f
то
а
или в условной записи
Эт© — несколько иной вид формулы Ньютона-Лейбница, по-
позволяющий основную теорему этого пункта выразить так:
Приращение дифференцируемой в интервале функции равно
определённому интегралу по этому интервалу от дифферен-
дифференциала функции.
Формулы
X
j §f{x)dx=f(x)-f(a) (**)
устанавливают точный характер связи между понятиями определён-
определённого интеграла и производной.
Эта связь вполне соответствует связи, которая имеет место между
всякими другими взаимно обратными действиями. Любую из наших

93| § 3. основные свойства определённого интеграла 307
двух операций анализа можно считать прямой; тогда другая, обратная
ей, определится на основании зависимостей (**). Так как дифферен-
дифференцирование функций — действие более простое, то его принимают
в качестве прямого действия.
Окончательным, весьма важным результатом настоящей главы
является полученный нами вывод, что определённое интегрирование
функций сводится к нахождению первообразных от этих функций.
Замечание. Теперь очень легко показать, что путь s, найденный нами
(в п° 85, II) при помощи интеграла (по скорости v), действительно совпадает
с тем путём, исходя из которого была определена скорость. Пусть путь s
как функция времени t задан так: s = F(?). Тогда v=f(t)~F'(t) (см. п°42).
Поэтому согласно п° 85 (и п° 85)
т
s= \F'(t)dt9
о
откуда по формуле Ньютона-Лейбница (считая, что F @) = 0) получаем:
Аналогично в задаче о массе (п°85, III) имеем:
w = 1 ? (s) ds,
где ср (s) = Ф' (s) (см. п° 42), причём m = Ф (s). Подставляя в интеграл Фг (s)
вместо ср (s) (и считая Ф @) = 0), получим но формуле Ньютона-Лейбница
ш =
о
11*

ГЛАВА VI
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
И НЕОПРЕДЕЛЁННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
94 A05). Неопределённый интеграл. Основная таблица инте-
интегралов.
Определение. Действие отыскания первообразных назы-
называется неопределённым интегрированием, а выражение, охваты-
охватывающее совокупность всех первообразных от данной функции
f(x)y называется неопределённым интегралом от f(x) и обо-
обозначается так:
Функция f(x) называется подинтегральной функцией,
выражение f(x)dx — подинтегральным выражением, а пе-
переменная х — переменной интеграции (интегрирования).
В этой главе везде предполагается, что подинтегральная функция/(лг)
при рассматриваемых х непрерывна.
Так как в п°69 доказано, что любая первообразная отличается
от данной первообразной на постоянную, то
где F(x) — какая-нибудь из первообразных от f(x), а С — произ-
произвольная постоянная.
Неопределённое интегрирование есть действие, обратное диффе-
дифференцированию. При помощи дифференцирования мы по данной функ-
функции находим её производную, а при помощи неопределённого интегри-
интегрирования мы по данной производной находим саму (первоначальную)
первообразную функцию.
Символ неопределённого интеграла отличается от символа
определённого интеграла (см. гл. V) только отсутствием пределов
интегрирования. Выбор такого символа для обозначения результата опера-
операции, обратной дифференцированию (и самой операции), вполне оправды-
оправдывается т,ой связью между первообразной и определённым интегралом,
которая выражается формулой Ньютона-Лейбница (п° 93).

941
§ 1. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
309
Найти неопределённый интеграл от функции — это значит найти
все первообразные от неё (для чего достаточно указать одну из
них). Потому и говорят «неопределённое» интегрирование,
что при этом не указывается, какая именно из первообразных имеется
в виду.
График первообразной от функции f(x) называется интеграль-
интегральной кривой функции y=f(x). Очевидно, мы получим любую
другую интегральную кривую, если передвинем какую-нибудь
интегральную кривую параллельно самой себе в направлении оси
ординат на отрезок, изображающий добавляемое слагаемое С. Поэтому
неопределённый интеграл геометрически представляется совокуп-
совокупностью всех интегральных кривых, получаемых при
Черт. 118.
непрерывном параллельном движении одной из них по направлению
оси Оу от — оо до -j-oo (черт. 118).
По самому определению неопределённого интеграла имеем:
i\f(x)dxi=f(x) или d $f(x)dx=f(x)dx
/'(*)<**=/(*) +С или ?<//(*) =
Символы дифференциала и неопределённого интеграла уничто-
уничтожают друг друга, будучи применёнными последовательно (если
отвлечься от постоянного слагаемого в формулах второй строки).
В дальнейшем там, где не будет опасности смешения понятий,
под термином «интеграл» и «интегрирование» понимаются
неопределённый интеграл и неопределённое инте-
интегрирование.
Проинтегрировать функцию, или, как говорят часто,
взять от неё интеграл, в самых лёгких случаях можно простым
обращением подходящей формулы дифференцирования.
Приведём здесь формулы интегрирования, получающиеся
обращением основных формул дифференциального
исчисления,

310 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |95
Основная таблица интегралов.
С xkdx = Y^j-{-C> kjb — \. { sinxdx — '— cosx + C.
С
= sin jc + С. f —^==-= arcsin jc + С
Таблицу необходимо помнить наизусть.
95 A06). Простейшие правила интегрирования.
Теорема I. Интеграл от суммы определённого конечного
числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:
= ?/(х)<?х+$?(*)<** + ••• + ? *(*)<**•
Доказательство. Пусть F (х), Ф (х), ..., ЧГ (лг) — перво-
первообразные функции соответственно or f(x), <?(x), ..., ^(х). Тогда
) + Ф
и, значит,
Но
где Л, Ву ..., D — произвольные постоянные. Складывая все послед-
*) В этой формуле х может быть как положительным, так и отрица-
отрицательным; нельзя только предполагать, что л: изменяется в интервале, содер-
содержащем точку л: = 0, ибо тогда подынтегральная функция перестаёт быть
непрерывной. Если х > 0, то — есть первообразная от In х\ если же х < 0,
то, положив z = — л:(>0), чнайдём — = —, и тогда первообразной от
— будет In г, т, е. In | x |. Таким образом, формула охватывает оба случая.

95) | 1, ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА Sli
ние равенства, получаем:
Сумма же произвольных постоянных А -\- В -j- ... -f- D есть
снова произвольная постоянная, которую можно обозначить одной
буквой С. Сравнивая при этом равенства (*) и (**), приходим
к тому, что мы и хотели доказать *).
Теорема II. Постоянный множитель подинтегральной функции
можно вынести за символ интеграла:
Доказательство. Если F{x)=f{x\ то [с F(x)]r = cf(x) и
Произвольную постоянную Сх можно представить в виде сС, где
С — снова произвольная постоянная. Поэтому
] = c \f{x)dx.
Что и требовалось доказать.
Пример.
i B sin x — 3 cos x) dx = 2 \ sin x dx — 3 i cos x dx =
= — 2 cos x — 3 sin x -j- C.
Хотя каждое промежуточное интегрирование даёт произвольное по-
постоянное слагаемое, в окончательном результате указывается только
одно слагаемое, так как сумма произвольных постоянных будет также
произвольной постоянной.
Теорема III. Всякая формула интегрирования сохраняет свой
вид при подстановке в неё вместо независимой переменной любой
дифференцируемой функции от неё, т. е. если
то и
где и = у(х) — любая дифференцируемая функция от х.
Доказательство. Из того, что
, следует: F(x)=f(x).
Возьмём теперь функцию /7(ц) = /7[ср(дг)]; для её дифференциала,
в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала
*) Левые части равенств (*) и (**) отличаются от суммы F (х) + Ф (х) +
+ .. + ^ (х) на произвольную постоянную величину, следовательно, они
выражают одну и ту же совокупность функций (именно совокупность
первообразных от подинтегральной).

312 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [96
функции (п°52), имеем:
= F(ji)dn=f(tt)da.
Отсюда
J /(и) du = j d/7(a) = F(и) + С.
Это правило очень важно. Основная таблица интегралов в силу
этого правила оказывается справедливой независимо от того, является
ли переменная интеграции независимой переменной или
любой дифференцируемой функцией е ё; таким образом,
основная таблица сразу значительно расширяется.
Пример. Возьмём интеграл \ 2xex2dx. Замечая, что 2х есть
не что иное, как производная от дг3, перепишем интеграл так:
2хех* dx= Г e*9 d (л:2) = С ett du,
где положено u = jc2. Последний интеграл нам известен; он равен
еи-\-С, значит,
Как показывает этот пример, нужно стараться так преобра-
преобразовать подинтегральное выражение, чтобы оно приняло вид под-
интегрального выражения одного из интегралов основной таблицы.
Заметим, что правильность интегрирования всегда можно прове-
проверить дифференцированием результата.
96 A07) Примеры. Рассмотрим типичные и важные примеры.
1) 1 sin5xdx. Умножим и разделим интеграл на 5 и внесём
множитель 5 под символ интеграла:
1 sin Ъх dx = -ё- 1 sin Ъх • 5 dx = -g- \ sin 5л: d Eлг).
Полагая 5х = и, придём к интегралу основной таблицы:
С 1 С 1 1
1 sin 5x dx = у 1 sin и du = — -g- cos и + С = — -g- cos Ъх -\- С.
Подобным же образом найдём, например, что
^e'**dx = — у §e-**d{— Ъх) = — 1 f e"dii =
2) 1 Bлг—II00 c/jc. Умножая и деля на 2 и замечая, что
*s= d Bх — 1), получим:
f Bx—\)mdx = ^ \ Bx— l)mdBx— 1).

96] § 1. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА 313
Полагая 2х — 1 = и, находим:
Читатель оценит все преимущества этого интегрирования, если
сравнит его с интегрированием многочлена, полученного от раскры-
раскрытия бинома в сотой (!) степени по формуле Ньютона.
() фру
3) \ х* у^4 — 3jc3 dx. Преобразуем интеграл:
С хъ }/4 — ЗхЫх= — ~ С /4 —3jc3. (— 9л:2) dx —
последнее преобразование основано на том, чтойD — Зд:3)= — 9x*dx*
Полагая 4 —Зд:3 = ц, получим:
С развитием навыка в интегрировании не будет нужды записывать
все промежуточные выкладки и обозначения. Ббльшая часть их про-
производится в уме.
4) \ q _^ 1 * Преобразуем интеграл так:
С 2dx _ 2 С Sdx _ 2 С (Зх — l)f - _ 2 Г ^ (Зл: — 1)
J "а^=Л~"У J 1^=Л — Т J здг —i ах— з j " ах— 1 "•
Обозначая 3jc — 1 через иу придём к табличному интегралу
Вообще, если числитель подинтегральной функции является
производной знаменателя, то интеграл равен логарифму абсо-
абсолютной величины знаменателя. В самом деле,
Например:
J ctgxdx=
5) \ 2x_ l dx. Разделив числитель на знаменатель, получим в част-
чном 1,5 и в остатке 3,5.

314 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 136
Следовательно,
¦= 1,5л: -f 1,75 In 12x — 11 + C.
Jdx
x2_i- Представим знаменатель подинтегральной функции
в виде произведения двух линейных множителей:
Г dx = С dx
1 v-2 1 1 / у
Числитель запишем в виде 1 =-^ [(д;-(-1) — (л;— 1)], тогда
\ dx — 1 С (х+1
1 г* л: 4- 1 1С х — 1
— 2 J (д;-1)(д;+1)аХ 2 J (д;_1)(д;+Л)аХ>
1льше:
) х*—\~ 2 ) х— 1 2 J дг+1""
1
Так можно поступать всегда, когда числитель подинтегральной
функции постоянен, а знаменателем служит квадратный трёхчлен,
разлагающийся на линейные множители. Например:
С 1 лт— С
(jc —2)(jc —3)
7) \ sin л: cos x dx. По известной формуле тригонометрии имеем:
\ sin х cos x dx = у \ sin 2л: rfjc =
Этот интеграл можно брать иначе:
1 sin х cos x dx — \ sin xd(s\n x) =-^-^-(-С.
или
\ sin л: cos xdx = — i cos x d (cos x) = — cos> x -j- C.
Может показаться, что для одного и того же интеграла мы по-
получили три существенно различных ответа:
— ~ cos 2x -f- С, у sin2 х -\- С, — ~- cos2 л: -f- С

96]
§ 1. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
315
Однако С — произвольную постоянную — можно представить, на-
например, так: С=-?-\-С\ где С — также произвольная постоянная.
Тогда первое выражение примет вид второго
— ± cos 2х + ± + С ==^A — cos 2х)-\-С = ^ sln*х + а
Аналогично проверяется, что любые два из наших выражений отли-
отличаются друг от друга только на постоянную величину. Значит, любое
из найденных нами выражений даёт всю совокупность первообразных
от sin х cos x,
8) \ cos*xdx. Последовательно находим:
\ cos*xdx—\ cos2* d (sin x)= \ A — sin2x)d(sm *) =
* С С 1
== \ d (sin x)— i sin2 л: rf (sin jc) = sin x ~- sin3 x-\- C.
9) \ -r^—. Выразим sin x через функции половинного аргумента:
f dx = f
J sin^ J
dx
2 sin ~ cos ~
Далее, разделим числитель и знаменатель подинтегрального выраже-
х 1
ния на cos2-k- и введём -^ под знак дифференциала. Тогда
1
dx
sin x
Можно применить другой приём. Именно, заменяя 1 в числителе через
sin2 у + cos2 у, получим:
[-**- =
J sin x
cos
4-m
C.
10) f ** Имеем:
7 J в2 + л;8
d*
-f x* ~~ a*
» + (т)"ч;(^"т)п'"
= — arctg м -f- С = — arctg — -f- C.

ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Аналогично находится и интеграл \ - * _ :
— «
= arcsin ~ -f С.
Нет нужды запоминать полученные результаты. Особое внимание
следует обратить на применённые способы преобразований.
§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
97 A08). Интегрирование по частям. Так как интегрирование —
действие, обратное дифференцированию, то каждому правилу диффе-
дифференцирования должно соответствовать некоторое правило интегри-
интегрирования. Доказанные в § 1 три правила интегрирования соответствуют
правилам дифференцирования суммы, произведения функции на по-
постоянную величину, сложной функции.
Теперь мы обращаемся к так называемому методу интегри-
интегрирования по частям, который получается из обращения фор-
формулы дифференцирования произведения двух функций.
Пусть и и v — дифференцируемые функции от х. Имеем:
d (uv) = udv-{-vdu,
откуда
udv = d (uv) — v du.
Интегрируя обе части последнего равенства, получим:
или
I и dv = 1 d {uv) — \v du,
I udv = uv— \ vdu. (*)
Это и есть формула интегрирования по частям. Про-
Произвольную постоянную при интегрировании d(uv) мы не записываем,
присоединяя её к произвольной постоянной второго, незавершённого
в общем виде, интегрирования в правой части равенства (*).
Интегрирование по частям состоит в том, что подинтегральное
выражение f(x)dx представляется каким-либо образом в виде про-
произведения двух множителей и и dv (последний обязательно содер-
содержит dx)y и согласно формуле (*) данное интегрирование заме-
заменяется двумя: 1) при отыскании v из выражения для dv; 2) при
отыскании интеграла от vdu. Может оказаться, что эти два инте-
интегрирования легко осуществляются, тогда как заданный интеграл не-
непосредственно найти трудно.

97] § 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 317
Примеры. 1) \ хехdx. Примем ехdx за dv, х — за и, т. е.
положим:
ех dx = dv,\ [ v = \ ех dx = ех,
V откуда } J
х = и, ) [ du = dx.
Получаем по формуле (*):
\ хех dx = хех — \ ех dx = хех — е* 4-С = е*(х — l)~f~C.
J J
Мы видим, как здесь незнакомый интеграл был приведён к хорошо
известному интегралу. *
2) \ \nxdx. Положим:
dx = dvA f v = *>
} откуда \ , dx
\nx = u, J J 1аи ——.
Тогда
1 lnxdx = xlnx— i dx = x\nx — х-\-С=*
С развитием навыка отпадает необходимость подробно записывать
все промежуточные выкладки и обозначения.
Иногда для получения результата нужно последовательно не-
несколько раз применить интегрирование по частям.
cos x dx. Положим:
cos xdx = dv,
v = sin x,
du г= 2х dx.
Формула (*) даёт:
\ x1 cos x dx = x* sin x — 2 i x sin x dx.
Последний интеграл снова берётся по частям. Окончательно получаем:
1 х* cos х dx = jc2 sin x -J- 2x cos x — 2 sin x -f- С
Многократным интегрированием по частям можно найти интегралы
лт™ sin jc алг, i jcw cos х адг, \ лг^ адг
(т — целое положительное число) и, значит, интегралы
Р (х) sin xdx, \ P (х) cos x dx, С Р (х) е* dx,
f
где Р(х) — любой многочлен.
Повторное интегрирование по частям иногда приводит к перво-
первоначальному интегралу, и тогда получается или ничего не дающее

318 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (97
тождество (так что интегрирование было произведено нерационально)
или же такое равенство, что из него удаётся найти выражение
для искомого интеграла. Рассмотрим иллюстрирующие это примеры.
4) \ ex cos х dx. Положим:
cos х = и,
du = — sin x dx.
Отсюда i e* cos xdx=:eK cos x-\- i evs\nxdx.
Снова применим интегрирование по частям; положим**):
ех dx= dv,
sin x = и,
v = ex,
du = cos x dx.
Тогда получим: i e* sin xdx=ex sin x— \ e* cos xdxy и мы при-
пришли к исходному интегралу. Подставив найденное выражение
в результат первой операции, получим:
\ е* cos xdx = e* cos х -\-е* sin х — \ ех cos x dx;
перенося интеграл из правой части в левую, найдем:
2 \ е* cos xdx=ex(cos x-\- sin лс) + С
и, значит,
\ е* cos xdx = Ye* (co$ x-\~ sin x)-\-C.
5) \ V^—xldx. Умножим и разделим подинтегральную функцию
на ]/\—х1 и разобьём интеграл на два:
г ^-^2 лг^=е—^зе— с ***.
¦ J Л/Л— х* J]/l— х'1 J|/_a:2'
Первый интеграл в правой части — табличный (= arcsin x)\ второй
возьмём по частям следующим образом:
¦ dx = dvf
Значит,
du = dx.
|/~1 — л:3
*) Если здесь принять sin x dx за d#, то придём к тождеству
f e? cos x dx = f ex cos л: (/й:.

08] § 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 319
Итак, получаем уравнение:
Л ________
•/l — х1 dx = arcsinх-\-х у\ — х2 — \ ]/l — х*dx,
из которого находим искомый интеграл:
С j/i _x*dx = y(arcsinx-\-x /l —Jtr2)-(-C.
Правило интегрирования по частям нередко позволяет довести
интегрирование до конца. Однако заранее дать рецепт, когда и как
именно его следует применять, невозможно. Навык покажет, в каких
случаях имеет смысл испробовать интегрирование по частям и какой
множитель подинтегрального выражения выгодно принять за dv.
98 A09). Замена переменной. Метод замены переменной
интеграции, или подстановки, состоит в следующем. Пусть
нам удалось подинтегральное выражение f(x)dx преобразовать к та-
такому виду:
f(x)dx=fl[<?(x)]?'(x)dx;
тогда
§f(x)dx=
или, полагая ср(лг) = м, получим:
Если первообразная от /_ (и) известна и равна F(u), то
Этим способом мы уже, собственно говоря, пользовались в
п°95, III.
Таким образом, указанный метод состоит в замене переменной
интеграции х другой переменной н, связанной с х формулой и = у(х).
Можно замену производить, выражая не и через х, а х через и,
т. е. полагая
х = $ (и), dx = у (и) du
Если последний интеграл оказывается возможным как-нибудь найти
(пусть он равен F(u)-\-C), то выражение для заданного интеграла
получается возвращением к переменной ху т. е. подстановкой в F(n) -\- С
вместо и его выражения через лг. '
В справедливости равенства (*) легко также убедиться, взяв про-
производные по х от обеих частей и помня, что Ъ{и) = х.
В п° 95 мы употребляли правило замены переменной, сначала
преобразовывая подинтегральное выражение (приводя к знакомому

320 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [98
типу), а затем вводя новую переменную по формуле и =
Здесь же мы рекомендуем практически более удобный в сложных
случаях обратный путь: сначала выбрать формулу замены и = у (х)
или х = $(и)} а затем в соответствии с ней преобразовать под-
интегральное выражение. Никаких общих правил для выбора под-
подстановки дать нельзя.
Примеры. 1) 1 х1 |/4 — Ъх*dx. Положим /4 — Зх'6 = и, т. е.
4 — Зх3 = м2.
Дифференцируя, имеем: — 9х* dx = 2м du и x*dx = — -g- и du.
Поэтому
f х* /4 — дхЫх = — у С u*du = — ~и*-\-С =
= —^D —Зх3) /4 —
Этот пример мы уже решили (см. п° 96, пример 3) непосредствен-
непосредственным преобразованием подинтегрального выражения.
2) \ sin х cos x dx. Положим sin x = и. Отсюда cos x dx = du и,
значит,
1 sin x cos jerfjc= i ttrfM=-x-"h^== —о 1" ^#
Этот интеграл также был найден в п°96. Он является примером
интеграла такого общего типа:
\
sin nx cos mx dx,
где п и т — целые числа. Имеем:
sin nx cos тх = -^ [sin {п — т) х -f- sin {n ~\- т) х]
и, значит (при п ф т\
i sin nx cos тх dx = ^ \ sin (n — m) x dx -f- у i sin (/г -f- w) •# rf^ =
3) \ sin3 x cos2 x dx. Произведём замену cos x = u> — sin xdx —
z=du. Имеем:
\ sin x A — cos2 x) cos2 x dx = — 1A — и*) м2 du =
ub , и5 i r cos8 x , cos5 л:

98] § 2. основные методы интегрирования 321
Нередко вместе с заменой переменной нужно применить другие
методы (например, интегрирование по частям), для того чтобы до-
довести задачу до конца.
4) \ х*е*ъ dx. Положим хъ = и. Имеем: Ъх1 dx = du и, значит,
х = \ С ueudu,
а этот интеграл, как мы знаем (п°97, пример 1), берётся по частям.
Получаем:
В предыдущих примерах были использованы подстановки типа
р = м. Теперь рассмотрим примеры, когда удобны подстановки
типа х = <\>(и). Начнём с употребительных «тригонометриче-
«тригонометрических подстановок».
5) \ |/l—x*dx. Положим ^=sinw, dx= cos u diu
Подставляя, находим:
i j/l—x*dx= i cos2
udu.
Последний интеграл берётся или по частям или заменой cos* и
через уA -f- cos 2и). Имеем:
= у (arcsin х-\-х ]/1 — х2) 4- С.
Этот же интеграл мы нашли другим путём в п° 97 (пример 5).
6) \ х Положим
x = tgu, dx = - dtt
' cos3 и *
Подставляя, находим:
du
С dx = С
cos и
Последний интеграл можно найти при помощи различных спосо-
способов (см. пример 9 п° 96), например, так:
du 2 CLd(tt) — 2 \ 2 -2
2 | W" J ^^T

322 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 198
где v = tg~. Далее, мы имеем (ср. пример б п°96):
так как
то
_ ух% 4-i+x24-i + ^ + >y Уа:8 + 1 _
~~ 1+У^+Т
1 + ^s +1
Следовательно,
Здесь можно не применять знака абсолютной величины, ибо вы-
выражение х -\- \/х* -\-1 при положительном знаке радикала всегда
положительно.
7) Аналогично подстановкой х = —— найдём, что
Результаты двух последних примеров можно объединить в один:
Особенно просто берутся интегралы, рассмотренные в предыду-
предыдущих двух примерах, если воспользоваться «гиперболическими
подстановками». Рекомендуем читателю проделать соответ-
соответствующие выкладки.
Тригонометрические подстановки позволяют также легко найти
и интегралы:
8) J /^^ldx = j

99) § 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 323
dx
-. Здесь удобно положить:
= ltgu, dx =
cos2 и
что даёт:
С Idu If 1
/2
cos2 и
1 С 1 1 х
—— = -- \ cos и du = ^г sin и -[- С = ^ sin arctg у.
cos2 и cos и
Но sin а = ' g a - , поэтому
Sin
Следовательно,
Процесс интегрирования обычно состоит в целесообразном при-
применении рассмотренных нами приёмов (алгебраические преобразо-
преобразования подинтегрального выражения, интегрирование по частям, инте-
интегрирование подстановкой) для того, чтобы привести заданный инте-
интеграл к интегралу, уже известному.
Необходимо предостеречь читателя от необдуманных проб раз-
различных приёмов. Решение достаточного количества примеров должно
послужить к развитию навыка быстро находить кратчайшие пути
для отыскания интегралов.
Теперь мы можем таблицу основных формул инте-
интегрального исчисления (п° 94) дополнить ещё четырьмя часто
используемыми формулами:
dx
dx
it a8
dx
\ r dx =
J у a* — x2
r
у
§ 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ *) ФУНКЦИЙ
99 (ПО). Дробно-рациональные функции. Важнейшим общим
классом интегрируемых функций является класс всех рациональ-
рациональных .функций. Именно, можно указать достаточно простую
*) Термин «интегрируемая функция» ради сокращения употре-
употреблён здесь в том смысле, что неопределённый интеграл от неё может быть
выражен элементарной функцией. В анализе, чаще всего в так
называемой теории функций, под «интегрируемой функцией» пони-
понимается функция, для которой существует определённый интеграл (п° 86).

324 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [99
последовательность действий (алгоритм), с помощью которой нахо-
находится элементарная функция, являющаяся интегралом от данной
рациональной функции. Этот алгоритм опирается на известные из
алгебры факты; поэтому мы прежде всего обратимся к рассмотрению
сведений алгебраического характера.
Основная теорема алгебры. Всякое алгебраическое
уравнение (я— целое положительное число)
хп + aiXn-i +... + *n-i* + ап = 0 (•)
имеет столько же корней (действительных или комплексных),
сколько единиц содержится в показателе степени уравнения
(т. е. п)\ если коэффициенты уравнения аи ..., а„—-действи-
а„—-действительные числа, то каждому комплексному корню соответствует
другой комплексный корень, с ним сопряжённый *).
Отсюда вытекает следующее предложение.
Теорема. Всякий многочлен /1-й степени может быть пред-
представлен в виде произведения п линейных множителей:
где «!, а2, ..., ал — корни уравнения (*).
Если k из п корней равны между собой: а1 = а2 = .. . = ал = а
(т. е. a — корень k-fi кратности), то в произведении можно
записать вместо соответствующих k множителей один: (х — а)*;
если коэффициенты уравнения — действительные числа, то каждые
два множителя, соответствующие сопряжённым комплексным кор-
корням, можно заменить одним квадратным трёхчленом х*-\-рх-{-д,
где ряд — действительные числа **).
Таким образом,
где ky ... — показатели кратности действительных корней, а t, ... —
показатели кратности сопряжённых комплексных корней.
Для того чтобы фактически получить это произведение (как го-
говорят, разложить данный многочлен на линейные и
квадратные множители), нужно найти все корни соответст-
соответствующего уравнения (*), решить его. Это составляет особую задачу,
которой мы уже отчасти занимались в п° 76; больше на ней мы не
*) Это значит, что если а = с -\-ld (i =~Y^—1) есть корень уравнения,
то корнем уравнения служит также число | а | = с — id (с и d — действитель-
действительные числа). __ _ _
**) В самом деле, (х — а) (л: — а) = х* — (а + а) х + а . а, а сумма и произ-
произведение сопряжённых комплексных чисел суть числа действительные. Замена
двух комплексных множителей одним действительным делается для того,
чтобы не иметь дела с комплексными числами.

99] § 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 325
останавливаемся и в дальнейшем считаем, что представление данного
многочлена в виде произведения (**) так или иначе осуществлено.
Рассмотрим дробно-рациональную функцию
Р(х)
где Р(х) и Q(x) — многочлены,
-' +... + ьт_хх + ья9
и допустим, что степень многочлена Р(х) меньше степени много-
многочлена Q (х), т<^п. Пусть многочлен Q (х) представлен в виде про-
произведения действительных линейных и квадратных множителей:
Сформулируем следующее важное для интегрального исчисления
алгебраическое предложение.
Теорема. Существуют такие числа А, В, С, что справед-
справедливо тождество
Дроби _k^ называются простейшими дробями 1-го
вида, а дроби *\ ± \t—простейшими дробями 2-го
вида.
Таким образом, в теореме утверждается возможность представле-
представления всякой рациональной дроби в виде суммы простейших дробей
или возможность, как говорят, разложения данной рацио-
рациональной дроби на простейшие.
Р(х)
При этом в указанном разложении дроби t^Vt каждому дей-
действительному корню (a) k-ft кратности многочлена Q(x) соот-
соответствует k простейших дробей 1-го вида:
Л2 At
а)*1 Х — а >
а каждой паре сопряжённых комплексных корней (а, а) многот
члена Q(x) t-й кратности — t простейших дробей 2-го вида:
Bt_xx + Ct_t

326 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [99
где лг* -(- рх -\- q = (х—а) (х — а), причём дискриминант р* —
ибо корни а и а — комплексные.
Для фактического разложения данной рациональной дроби на
простейшие нужно, зная разложение её знаменателя на действитель-
действительные линейные и квадратные множители, найти все коэффициенты
Л, В, С в разложении (#**). Это можно сделать, например, при по-
помощи метода неопределённых коэффициентов (см. п° 77).
Именно, записав разложение (***), существование которого заранее
известно, с неопределёнными (буквенными) коэффициентами, мы после
освобождения от знаменателей получим равенство числителя данной
дроби, многочлена Р(х), некоторому многочлену с п неизвестными
коэффициентами. Так как это равенство должно быть тождествен-
тождественным, то, приравняв между собой коэффициенты при одинаковых
степенях х в левой и правой частях, придём к системе п уравнений
с п неизвестными, из которой последние и могут быть найдены..
Вместо приравнивания коэффициентов часто поступают иначе: под-
подставляют в полученное тождество п различных частных значений неза-
независимой переменной. Особенно удобно в качестве этих значений брать
нули знаменателя данной дроби. При этом также приходят к п уравне-
уравнениям с п неизвестными. В п° 100 на примерах читатель ознакомится
с указанными здесь способами вычисления коэффициентов Ау Ву С.
Р (х)
Если степень т числителя дроби щ^: больше или равна сте-
степени п знаменателя, то, разделив многочлен *Р(х) на многочлен
Q(x), мы получим в частном некоторый многочлен N(x) и в остатке
многочлен М(х) не выше (п—1)-й степени. Следовательно,
q(x) •
Интегрирование многочлена N(x) не доставляет никаких затруд-
затруднений и, значит, весь вопрос заключается в интегрировании дроби,
степень числителя которой меньше степени знаменателя.
Итак, пусть т<^п. Тогда на основании указанной выше теоремы
алгебры мы можем сказать, что наша задача интегрирования сво-
сводится к интегрированию простейших дробей.
Рассмотрим отдельно четыре возможных случая:
Первые три из них очень просты, а последний требует более слож-
сложных вычислений.

99J § 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 327
Постараемся выделить в числителе в качестве слагаемого произ-
производную знаменателя. Для этого умножим и разделим подинтеграль-
ное выражение на 2 и затем прибавим и вычтем в числителе Вр;
мы получим:
Вх + С , 1 С2Вх + Вр + 2С-Вр
_В С 2х + р , , 2С-Вр f
— 2 J *¦ + />*+? "Г 2 )
Первый интеграл в правой части известен, ибо числитель подин-
тегральной функции есть производная знаменателя; что касается
второго интеграла, то, выделяя полный квадрат в знаменателе под-
интегральной функции
? 4
и замечая, что согласно условию Aq — /?2^>0, находим:
4 - *" + С
(п° 96, пример 10). Итак,
jL arctg
4. \ . , , ,—Г7- rfjc. Как и выше, получим:
С Вх+С .
3 (лг Я*
— 2 ) (х*+рх+дупХ-Г 2 J (xa
Первый интеграл в правой части находится легко:
С 2х+р
t-1 + C
Во втором интеграле для упрощения прежде всего положим
x-\--p^ = }/bz, где 8= ?ТР- (8]>0 по условию). При этом
С dx _ Г dx }f? Г dz
3 v + px + tf-) ^ + |J+4?_^J- «TjeqTj».

328 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [99
Следовательно, интегрирование простейшей дроби в четвёртом
случае приводится к отысканию интеграла
Применим здесь следующий приём. В числителе подинтегрального
выражения прибавим и вычтем ? и разобьём интеграл на два:
* — J (*¦ + W J
1
последний интеграл возьмём по частям, полагая
отсюда
<п— 1 С
v—T)
Значит,
/_ f dz I * * L_ С dz
H — J EJ2 + j)^! "Г 2 (^ — l) (*» + \)t-i 2 (^ — 1) J (z* + \y~l >
т. e.
/= 1 ^ I 2^3 С d*
t 2(t — 1) (z* + l)^1 ^^ 2 (^ — 1) J (z2 + I)' '
Интеграл, к которому мы пришли — того же типа, что и перво-
первоначальный, но показатель степени знаменателя здесь на единицу
меньше. Можем записать:
Мы получили формулу приведения (рекуррентную фор-
формулу) для нахождения /,*).
*} Вообще рекуррентная формула связывает между собой значения не-
некоторого выражения (функции), зависящего от параметра (обычно цело-
целочисленного), соответствующие различным значениям этого параметра.
Благодаря этой связи удаётся последовательно (рекуррентно) найти все
значения выражения через какие-нибудь известные значения (соответству-
(соответствующие чаще всего начальным значениям параметра). Рекуррентные формулы
довольно часто встречаются в математике, в частности в интегральном исчи-
исчислении, где их источником обычно служит интегрирование по частям.

100] § 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 329
Именно, пользуясь этой формулой, можно сразу выразить
h-i чеРез h-чу для чег0 нужно только в формуле всюду заменить t
на t—1. Таким же образом последовательно получим выраже-
выражения для /,_2 через /,_3, /,_3 через /,_4 и т. д., пока не дойдём до
известного интеграла 1Х:
Подведём итог. Мы видели, что интегралы от простейишх дробей
выражаются через элементарные функции: рациональные, логарифми-
логарифмические и обратные тригонометрические (арктангенсы). Любая рацио-
рациональная дробь интегрируется как сумма многочлена и некоторого числа
простейших дробей и, значит, также выражается элементарной функ-
функцией, составленной из рациональных же дробей, логарифмов и арк-
арктангенсов.
Главным моментом в интегрировании рациональной дроби является
разложение её на простейшие, что требует знания разложения её
знаменателя на действительные линейные и квадратные множители
(или, что равносильно этому, — знания нулей знаменателя). Послед-
Последняя задача есть, собственно говоря, задача не анализа, а алгебры,
и мы ею здесь специально не занимаемся. Из приводимых в п° 100
примеров будет видно, как следует находить разложение дроби
на простейшие при известном разложении её знаменателя на мно-
множители.
Рациональная функция R(x) (над х производятся лшль рацио-
рациональные действия: сложение, вычитание, умножение, деление) всегда
может быть приведена к виду рациональной дроби. Вследствие этого
интегрирование рациональных функций доводится до конца по весьма
простой, описанной выше схеме.
100 A12). Примеры. Приведём примеры, которые разъяснят из-
изложенные в п° 99 общие положения об интегрировании рациональ-
рациональных дробей.
1) \ ~ dx* Разложение подинтетральной дроби на простей-
J X *•— X
шие должно иметь вид
х — 3 л: —3 А | В , С
xz — x х (х — 1) (л: ^Р~Т) ~ ~х ' х — 1 » х + 1
(какими буквами обозначены неопределённые пока коэффициенты —
не имеет, конечно, никакого значения).
Освобождаясь от знаменателя, получим:
х — 3 =
Так как это — тождество, то коэффициенты при одинаковых степе-

330 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [IOU
нях х должны быть равны между собой:
Из этой системы трёх уравнений с тремя неизвестными находим:
4 = 3, В = — 1, С = —2.
Ещё проще для определения коэффициентов 4, В и С посту-
поступить так: полагая х = 0, х=\, х = —1, получим —3 = — Л,
— 2 = 2ВУ — 4 = 2С, т. е. снова
Итак, тождественно
л: —3 = _3 1 2_ t
хъ—х х х—1 х-\- I'
поэтому
J * Ja'-1
Напомним читателю, что мы уже раньше интегрировали рацио-
рациональные дроби при помощи разложения их на простейшие (п° 93,
пример 6). Но там мы опирались не на общее правило, а на непо-
непосредственно очевидные преобразования, которыми, впрочем, следует
рекомендовать пользоваться и всегда в доступных случаях.
2) 1 —з—о 2 I а ^Хш Разложим знаменатель подинтегральной
дроби на множители. Замечая, что он обращается в нуль при х =
= —1, разделим его на jc —1~ 1; в частном получится л;2 — 4лг-)-4 =
= (х — 2J *), и значит, разложение дроби на простейшие должно
иметь вид
х — 5 х — 5 А , В , С
: — 2V> х -\- 1 ~t~ (х — 2)* ~г х — 2 "
"(л:+1)(л: —2J х+1 » (л: — 2J
Найдём коэффициенты Л, В> С. Приводя к общему знаменателю и
освобождаясь от него, получим:
х — Ь = А(х — 2f + B(x+\) + C(x-\-l)(x — 2).
*) Разложить знаменатель на множители здесь легко и непосредственно:
*8 — Зл:2 + 4 = л:8 + л:2 — 4л:2 + 4 = л:2 (л: + 1) — 4 (х — 1) (х + 1) =
(+l)B4 + 4) (+l)BJ

100] § 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 331
Здесь удобно положить х = —1, х = 2у х = 0; получаем:
— 6 = 9Л, —3 = 35, — 5 = 4A-f 5 — 2С.
Отсюда
А = _1 в = —\у С = -.
Следовательно,
С *-5 , 2 С dx С dx , 2 С dx _
J хъ — 3х* + 4ах— 3 J л:+1 J (х — 2J"+" J х-2 ~
— 2
4 3 w r dx. Знаменатель легко раскладывается на мно-
множители
Разлагаем подинтегральную функцию на простейшие:
12 12
3~-;t— 1 (лг+ 1)(лг— \)(х*-\-х+ \) ~
_ А , В , Слг + Я
~ А-4-.1 "г v-_i "т;
Коэффициенты Л, В, С, D находим из тождества
Подставляя сюда четыре различных численных значения х, на-
например дг=1, дг = —1, х = 0, х — 2, получаем систему
12 = 65, 12 = —2Л, \2 = — А + В — р,
12 = 1А + 215 + 3 BС+ °)>
из которой находим:
, А = — 6, 5 = 2, С=4, /) = — 4/
Следовательно,

332 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [100
Последний интеграл вычисляем так:
,_1 Г 2х+1-3 _.._
2
-1 , 3
2 J х* + х+1 "* 2 J x* + x + \
1
~ 2
Окончательно имеем:
+ 2 in (*« + jc + 1) - 4 /3 arctg ^±L + C =
4) i
' ^ T алг. Разложение знаменателя на множители
— 6 2^3
очевидно:
Поэтому разложение заданной рациональной дроби на простейшие
должно быть таким:
Вх + С
8 + 4л:2 + 1__г_^ i Вх
:8 + I)8 х • (л:2
а: ~" х (а:8 + I)8 х • (л:2 + IJ+" л:2 + 1 *
Отсюда имеем:
или, приводя в правой части подобные члены,
Приравнивая соответственные коэффициенты, получаем систему
A-f Д = 3, ?=1, 2A + 5 + D = 4, С + Я = 0, Л=1,
из которой находим:
Л = 1, 5 = 0, С = — 1, _Э==2, ?=1.
Следовательно,
^ + *8 + 4*' + i -гГ ** Г
= in 1 xI + In(*• 4.1)+ J

101] § 3, основные классы интегрируемых функций 333
Далее, интегрированием по частям получаем *):
х dx
1_
и окончательно
Замечание. Один нередко встречающийся пример рациональ-
рациональной дроби может быть проинтегрирован намного проще, чем по
общему правилу. Именно, интеграл
dx
где п и т — целые положительные числа, при помощи подстановки
сразу приводится к интегралу от суммы степенных функций. В са-
самом деле, мы имеем:
х — a = z{x — b\ т. е. (х — b)-\-(b— a) = z(x — b),
откуда
Имеем:
С dx С (b — a)(z—\)n(z—\)mdz __
) (x — a)n(x — b)m~ J (b — a)nzn(b — a)m(z~ IJ ~^
1 С (z—\)m+n-* ,
~ (b — a)m+n~1 J zn aZt
Раскрывая бином по формуле Ньютона, получаем интеграл от суммы
степенных функций.
101 A13). Метод Остроградского. Наибольшие вычислительные
затруднения при интегрировании рациональных дробей доставляет
отыскание интегралов от простейших дробей при наличии кратных
корней знаменателя дроби (случаи 2 и 4 п° 99). М. В. Остро-
Остроградский (см. п° 4) предложил метод отыскания интеграла от
рациональной -дроби, благодаря которому удаётся избежать громозд-
громоздкого вычисления интегралов от простейших рациональных дробей
во втором и четвёртом случаях.
С х2
*) Интеграл \ • s . dx удобно берётся ещё тригонометрической
подстановкой х = tg и.

334 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ JIOI
Изложим метод Остроградского. Пусть дан интеграл
Q(x)a
где
Q(x) = (x-*)k ... (j
Каждому множителю (х — a)ft соответствует k простейших дробей:
(X — a)ft I" •'•  (* — aJ~T x—a'
интегрирование которых даёт сумму двух слагаемых: 1) рациональ-
рациональной дроби __}X\&=i у гДе М- (х) — некоторый многочлен степени не
——- dx\ каждому множителю
(xiJrpx-\-qy соответствует t простейших дробей:
BjX -\- Cj | , Б\Х -f- Cj
интегрирование которых даёт сумму двух слагаемых: 1) рациональ-
рациональной дроби T-y-j—^ t 1, где N(x) — некоторый многочлен степени
{+p + q) вх + С
не выше 2t—3, и 2) интеграла \ 2 , "*" , dx.
Суммируя результаты, соответствующие' всем множителям знаме-
знаменателя Q(x), мы, очевидно, получим:
где
Р\(х) — многочлен степени, низшей, чем степень многочлена Qy(x),
а Р2 (х) — многочлен степени, низшей, чем степень многочлена Q2 (x).
Формула (*), обнаруживающая аналитическую структуру инте-
интеграла от рациональной дроби, называется формулой Остроград-
с к о го.
Мы сейчас увидим, что дробь п \ [—так называемая рацио-
н а л ь н а я часть интеграла — может быть найдена без всякого инте-
интегрирования при помощи чисто алгебраических преобразований; таким
образом, формула Остроградского показывает, что интегрирование
любой рациональной дроби фактически сводится к интегрированию
некоторой другой рациональной дроби, знаменатель которой имеет
только простые (однократные) нули, совпадающие с различ-
различными нулями знаменателя данной дроби.

1OI| § 3. основные, классы интегрируемых функций 335
Если известно разложение многочлена Q(x) на множители, то
составление многочленов Qt (х) и Q2 (х) не представляет никакого
труда; при этом Qt (х) Q2 (х) = Q (х). Запишем с неопределёнными,
буквенными, коэффициентами многочлены: Рх (х) степени п± — 1,
где пх — степень Qx (х), Р2 (х) степени щ — 1, где п% — степень
Q%(x) (#!-]-#2 = я, где п — степень многочлена Q(x)). Для нахо-
нахождения этих коэффициентов возьмём производные от. обеих частей
равенства (*):
Р(х) _P[(x)Ql(x)-Q[(x)P1(x) . pt(x) ,.,ч
Q(x) — Ql(x) "f (?*(*) " v "}
Эта формула, равносильная формуле Остроградского, является
тождеством. Освобождаясь в ней от знаменателей и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой ча-
частях равенства, получим систему из п уравнений для отыскания
п\ ~Ь пъ (= п) неизвестных коэффициентов многочленов Р1 (х) и
Ръ(х). (Разумеется, систему уравнений можно получить не сравне-
сравнением коэффициентов, а подстановкой вместо х в формулу (**) п
различных численных значений; см. п° 100.)
Многочлен Qi (х) [ а затем и Q» (х) ^; [ ) можно без труда найти,
V vi \х) )
не зная даже разложения знаменателя Q (х) на множители. Оказывается,
что Qi (x) есть не что иное, как общий наибольший делитель многочленов
Q (х) и Q' (х). В самом деле, как известно, /г-кратный нуль функции Q (х)
является (k—1)-кратным нулём её производной Q' (х)\ поэтому каждый
«кратный» множитель в разложении .многочлена Q (х) войдёт множителем,
но в меньшей на единицу степени, и в разложение многочлена Q' (х). Значит,
Q' (х) = (л: - а)*"» . .. (л2 + рх + Я)' • Q3 (*),
где многочлен Q3 (x) не имеет нулей, общих с хмногочленом Q (х). Из этого
представления видно, что Qt (x) есть общий наибольший делитель много-
многочленов
Как и всякий общий наибольший делитель двух многочленов (или чисел),
многочлен Qi (x) может быть найден при помощи метода последова-
последовательного деления (так называемого «алгоритма Евклида»).
Именно, Q (х) делится на Q' (х)у затем Q' (х) делится на остаток, далее пер-
первый остаток — на второй и т. д., пока деление не закончится без остатка.
Полученный при этом последний остаток и будет общим наибольшим делите-
делителем. Постоянные множители и делимого и делителя можно и отбра-
отбрасывать и присоединять, так как это влияет только на постоянный множитель
окончательного результата, который мы всегда можем отнести к многочлену
Л (х).
Из примера станет ясно, насколько метод Остроградского упрощает
интегрирование рациональных дробей как раз в наиболее затруднительных
случаях.
Пример. Возьмём пример 4) из предыдущего пункта:

336 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (802
Здесь Q (x) = хъ + 2л:8 + <*:, Q'(х) = 5л:1-{-6л:2-f-1. Находим общий наиболь-
наибольший делитель Q (х) и Q' (л:). Делим Q (лг) на Qf (л*), затем Q' (л:) на новый
остаток и т. д.
__ 5л:8 + 10л:8 + 5л* | 5^ + 6л:2 + 1 j л:3 + х \ л*2 + 1
5л:8 + 6л:3 + х х
4л:3 + 4х
Значит, общим наибольшим делителем является двучлен л:2-|-1, т. е.
Qt (х) = л*2 + li a поэтому
Ол -j— <-)Л ил
Х2+1
л:3+л: х\
• По формуле Остроградского имеем:
f а*« + *' + 4*» + 1 Ах + В С Сх + Рх + Е
'"" J ^ + 2л:8 + л: ах ~ х* + \ + J д:(х2+1) '
откуда
— 2Лл:2 —
а: "" (а:2+1J + л:(л:2 + 1) *
Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, находим:
Зл:4 + л:8 + 4л:2 + 1 = (— А*:2 — 2Вх + А) х + (Сл:2 + Dx + Е) (л:2 + 1).
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему
пяти уравнений с пятью неизвестными:
откуда
Следовательно,
-1 С6л-2
2 J л:
и несложная интеграция дроби, знаменатель которой имеет только простые
корни @, -\-i% —/), приводит к окончательному ответу
102 A14). Некоторые иррациональные функции. Обратимся те-
теперь к интегрированию некоторых простых типов иррациональных
функций.
Очень часто главные усилия направляются на отыскание преобра-
преобразований, сводящих данный интеграл к интегралу от рациональной
функции. О таких преобразованиях говорят, что они рационали-
рационализируют интеграл.
Заметим, что символом R (а, р, т> • • •) мы обозначаем выражение,
рациональное относительно а, р, 7> * • •> т- е. такое, что над а, р, f, ...
производятся только рациональные действия.

102] § 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 337
I. Предположим, что подинтегральная функция является рацио-
рациональным выражением относительно х (переменной интегрирова-
интегрирования) и различных радикалов из одной и той же дробно-линейной
(в частности, линейной) функции —jEtt (пРи Условии> чт0 a^i —
— bat^:O9 см. п° 19):
Если п — наименьшее кратное всех показателей т, р, ..., то
интеграл от указанной функции посредством подстановки
приводится к интегралу от рациональной дроби (рационализи-
(рационализируется) и, значит, выражается элементарной функцией.
В самом деле, имеем:
Ьхип — b # йЬл Ьйл •* л .
х=— д*, dx = — — • пи du
Отсюда видно, что подинтегральная функция рациональна отно-
относительно переменной интегрирования и*) ( —, —, # . . — целые
числа).
Пример. I ,.х . Положим Здг 4- 2 = и3. Тогда
'Зх + 2
—-—, dx = ti*dti.
Получаем:
*) Рациональная функция от рациональной будет снова рациональной.
12 А. Ф. Бермаыт

338 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛВНИВ [Ю2
Остаётся к последнему интегралу применить известный метод
интегрирования рациональных дробей. Находим:
С За2 . С du , 5 С du . 4 С du
J и? —зи — 2 J (а + 1)а~» 3 J и+1 "г 3 J а —2 ~
и, возвращаясь к старой переменной:
/¦ -
х—
П. Выражение
(а и 6— действительные числа, ту п и /? — рациональные числа)
называется дифференциальным биномом. Будем считать,
что т и п — числа целые; в противном случае подстановка х = и9,
где q — общий знаменатель дробей тип, приведёт нас к такому
именно виду бинома. Пусть /> = —, $*>0. Если р — целое и поло-
s
жительное, то мы имеем просто многочлен, а если оно целое и отри-
отрицательное, то дробно-рациональную функцию,
Для интегрирования дифференциального бинома при р не целом
могут служить две подстановки:
)
2)
Первая из них употребляется тогда, когда т~^ есть целое чи-
число, вторая — когда ———\-р есть целое число. При этом инте-
интеграл преобразуется в интеграл от дробно-рациональной функции
(рационализируется) и, значит, выражается в элементарных
функциях.
Доказательство этого утверждения очень просто, и читатель
может провести его самостоятельно. П. Л. Чебышев (см. п°4) пока-
показал, что интегрирование в элементарных функциях дифференциаль-
дифференциального бинома возможно только в следующих трёх случаях:
1) р _ целое; 2) ^i-l — целое; 3) ^ti _|_ р _ целое.

102]
§ 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
339
Примеры. 1)
dx. Здесь
д
*) X Yl
му 1 -f- x* = к2. Отсюда х dx = udu и
= 0. Положим поэто-
? ¦' * '
¦' * ' л л « «Л? Q/X ' ~*"— /ft
tt8 — 1 * (U8 —
IJ
Т1Г~ 1 <«•-:
„_±1_c
ТИ 8«» + С- 8
III. Рассмотрим несколько часто встречающихся интегралов, зави-
зависящих от иррационального выражения i/ax* -\-bx-\- с.
х Вынося за символ интеграла —= (если а">0)
Y*+bx + c Ya V ^ .
или (если а<^0), приведём интеграл к виду
их от
1) Г
J
ИЛИ
Выделяя полные квадраты, получим:
I или
J
С
I
}
dx
Первый интеграл выражается через логарифмы (п° 98, пример 6),
а второй — через арксинус (п° 98, пример 5), если {*
12*

340 ГЛ, VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |Ю2
если же 4q -|~ р* <С °> то подинтегральная функция принимает лишь
мнимые значения.
х -. Легко проверить, что замена х—а=—
и
приводит этот интеграл к интегралу вида 1).
¦ i ~ dx. Этот интеграл можно разбить на два, вы-
у ах2 + Ьх + с
делив в числителе часть, пропорциональную производной подкорен-
подкоренного выражения; тогда один легко взять непосредственно (как инте-
интеграл от степенной функции), а второй является интегралом вида 1).
Укажем без доказательства простую схему интегрирования, когда
в числителе находится вообще любой многочлен. Именно,
dx , ч
j yax*-\-bx + c 1V V ~ ~ ~ J У
где Р\(х) — многочлен степени, на единицу меньшей степени дан-
данного многочлена Р(х), а X — постоянная. Для нахождения Р%(х)
и X продифференцируем указанное равенство:
Р(х) =
1/ ал:2 + Ьх + с
= Р[(х) А-* 1 Ьг 1 г 1
l ' j
отсюда
2Р(х) = 2Р[ (х) (ах* + Ьх +
Из этого тождества можем найти все коэффициенты многочлена
Р\(х) и число X. Интегрирование заканчивается отысканием инте-
интеграла вида 1).
4) l |/ax*-\-bx-\-cdx. Выделением полного квадрата в подко-
подкоренном выражении интеграл сводится, к одному из трёх известных
интегралов (п° 98, примеры 5 и 8):
f
1— j? dx,
Можно поступить иначе:
д * ч.1 J 1/ал:2 + ^л: + с
последний интеграл берётся по схеме (*). Подобным путём может
быть найден и интеграл
Р (х) ^a
где Р(х) — любой многочлен. ^v
В п° 104 будет рассмотрен общий метод для интегрирования
выражений, рационально зависящих от / ах* -\-bx-\-c и от дг.

103]
§ 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
341
103 A15). Тригонометрические функции. Пусть дано выражение,
зависящее, и притом рационально, только от тригонометрических
функций. Так как все тригонометрические функции рационально
определяются через sin х и cos х9 то это выражение можно считать
рациональной функцией от sin x и cos x, т. е. оно имеет вид
R (sin х, cos x).
Теорема. Интеграл
V
, cosx)dx
подстановкой # = tgy преобразуется в интеграл от рациональ-
рациональной функции (рационализируется).
Доказательство. Имеем:
х х 2tgf
sin x = 2 sin -^ cos -— = — ,
т. e.
sin лг =
2a
Далее,
cos x = cos2 ~ — sin2 ¦? s=-
COS X=:
1—t
т. e.
Наконец, из равенства je = 2arctg« имеем:
2
Таким образом,
l+aa
Подинтегральная функция здесь рациональна относительно и.
Jdx х
3+5COS*- Полагаем tgT = «.
Г djc Г 2^а | du
1 3 + 5 cos x ~~ I T^ ах (о i r1—tt2\ ~ I 4 —и
2-f я
2-й
2 + tgf

342 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ЮЗ
Преобразованием с помощью тангенса половинного аргумента мы
пользовались и раньше (п° 96, пример 9 и п° 98, пример 6). Этот
метод интегрирования рационального тригонометрического дифферен-
дифференциала всегда приводит к цели, но именно в силу своей общности
он часто является не наилучшим в смысле краткости и простоты
Необходимых преобразований.
Если, нащшмер, sin х и cos х входят в выражение функции R
только в чётных степенях, то удобнее взять подстановку u = tgx.
Тогда
Например,
Г dx __ С du С du _
J ¦+•«-*-,) „+.4A+,^)-.! ¦+*-
Разумеется, здесь можно применить и общую подстановку и=±\ х
но она потребует более длинных вычислений.
Подстановкой u = tgx легко берётся, например, и такой интеграл:
С _dx
Имеем:
С dx _ С du
} l+2tgx~ J (l+Bt)(l
Находя интеграл от рациональной дроби и возвращаясь к старой
переменной, получим:
Часто также бывает выгодным принять и = sin х или, и = cos x.
Такие замены переменной употреблялись ещё в п° 96.
Иногда же наиболее короткий путь, ведущий к окончательному
результату, лежит не в методе подстановки, а в других приёмах.
Для иллюстрации рассмотрим интегралы типа
sin" х cosOT x dx,
где п и т — целые числа. Если одно из них нечётное, то проще
всего положить u = smx или u=cosx.
Например (п = — 3, т = —1):
Jdx С cos л: , С du .
sin3* cos* — J sin3* cos2* ax— ) иь(\ — и*)> u—smx>

103] § 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 343
и остаётся найти интеграл от рациональной дроби. Получаем:
J И3A-и2) J tt8 + j « + 2jl-« 2
Когда п и m — оба чётные, можно положить u = tgx.
Например (я =— 4, m = 0):
Г_^__ f ** Г rf« ^_
I sin4A:~ I cos2 л: sin3 x tg2 л: ~ I Ф >
Следовательно,
J "sh?T= J *^^dw=~^~lT + C = ~3ti^~tiT + C-
Но если оба показателя, кроме того, положительны, то с успехом
применяются тригонометрические преобразования с кратными аргу-
аргументами.
Например:
i sin2 х cos4 x dx = V (sin x cos xf cos2 x dxzst
= \\ sin2 2jcA + cos 2x)dx=*
\
Й J A ~
cos
При целых и неотрицательных пит (чётных или нечётных)
весьма удобен метод интегрирования по частям: он даёт здесь фор-
формулы приведения (рекуррентные формулы). С %примерами
формул приведения мы уже встречались при * интегрировании рацио-
рациональных дробей (п° 99).
Найдём
/m= f cosmxdx, л = 0, /я>0.
Положим
u = cosm-1 х, dv =t cos x dx.
При этом
du = — (m — 1) cos x sin лг a?*, t; = sin x
и
/OT = sin x cos^1 jc + (m — 1) f cosm x sin2 лг rfjc =
= sin x cosm~l x-\-{m—1) i cosOT xdx — (m—1) \ cosmxdx,

344 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1Ю4
откуда
mlm — sin x cosm^ x -f- (m — 1) /m_2
и, следовательно,
Это и есть формула приведения, которую мы хотели получить.
Она позволяет легко довести задачу нахождения интеграла до конца.
Так же составляются формулы приведения и в случаях п^>0,
т = 0 и л>0, т^>0.
Мы видим разнообразие тех приёмов, которые позволяют упро-
упрощать интегрирование рациональных тригонометрических дифферен-
дифференциалов, обычно весьма сложное при следовании общему методу
(подстановке u — tg
104 A16). Рациональные функции от х и /ах*-{-Ьх-\-с. Изу-
Изучим теперь в общем виде интегрирование функций, рационально
зависящих от л: и иррациональности -/ ах* -\- Ьх -(- с, т. е. функций
вида R(x, ]/ ax* -f- bx -{- с).
Важные частные случаи были рассмотрены в п° 102, III. Но
существует общий способ рационализации интегралов
ax* -f Ьх-\- с) dx (*)
и, значит, интегрирования их в элементарных функциях. Этот спо-
способ может быть реализован по следующей схеме/"
Прежде всего выделением полного квадрата в подрадикальном
выражении и линейной подстановкой интеграл сводится к одному
из интегралов следующих трёх типов:
(A)
(Б)
v. V7°F*)dy. (в)
Затем подстановки j/=sintt, у=-~.—, j/ = tg» преобразуют соот-
соответственно интегралы (А), (Б), (В) в интегралы от рациональных
тригонометрических дифференциалов:
1 R (у, |/1 —У) dy = \ R (sin и, cos и) cos и du,
sin a ' sin и I sin2 и
COSH ,
du,

104] § 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 345
Наконец, последние интегралы, как известно (п° 103), могут быть
рационализированы [например, при помощи общей подста-
подстановки tg~- =
Приведение интегралов (А), (Б) и (В) к интегралам от рацио-
рациональных функций можно осуществить не в два приёма, а в один.
Действительно, для этого нужно лишь выразить у прямо через г9
минуя промежуточную переменную и. Имеем:
у= sin и = j-^r в случае (А),
y-^i в случае (В).
Эти формулы и дают подстановки, сразу рационализирующие
интегралы (А), (Б) и (В). Отсюда легко указать и формулы для
подстановок, рационализирующих исходный интеграл от
в различных случаях (так называемые подстановки Эйлера),
но в этом практически нет никакой нужды.
Иногда предпочтительнее не доводить вычисления по схеме до
конца, а прервать её на преобразовании рассматриваемых интегралов
в интегралы от тригонометрических функций.
Действительно, последние — мы убедились в этом в предыдущем
пункте — могут быть часто найдены проще другими методами, чем
приведением их по общему правилу к интегралу от рациональной
функции.
Например, интеграл
хп .
где т и п — целые числа, подстановкой x = tgu преобразуется
в интеграл
С sin* и cosm-4 и du,
который далее преобразовывать в интеграл от рациональной функции
не имеет смысла. Его удобнее находить частными приёмами (на-
(например, с помощью формул приведения при т ^ п -\- 2). Поэтому
непосредственная рационализация заданного интеграла по вышеука-
вышеуказанным формулам была бы излишним усложнением.

346 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |Ю4
Jdx
— . Положим х = sin и, dx = cos и du.
у 1 — X — 1
Тогда
dx С cos a
_ I — COS U
и далее
J 1 — cos « J
sin8 a ™ —
С da , С d (sin u) , 1 , ^
~~ J IE*"» > J sinatt — ctg и — ^j-j -f- C.
Следовательно,
д-2 i
shim
+ C=arcsin^-f- 1+^—f^.+C.
—^ ^ rfx. Выделяя полный квадрат в подкорен-
(д:—1)]/л:2 —2аг + 5
ном выражении и полагая —^— =j/, преобразуем заданный интеграл
в интеграл
Сразу рационализируя по формуле у = « __ а, получим:
Возвращаясь к первоначальной переменной, находим:
— 2 In |лг-f-1 =*= А2
При решении конкретных задач общий метод обычно можно заме-
заменить частными приёмами. Так, например, интеграл 2) проще не ра-
рационализировать, а разбить на два:
Jdx | С х
х — 1~Т~) (X-l)Vx* —
Первый берётся немедленно, а второй — способом, указанным в п° 102.
Вместе с тем общая схема рационализации интеграла (*) теорети-
теоретически интересна в том отношении, что она устанавливает принци-
принципиальную возможность выразить любой такой интеграл элементар-
элементарной функцией.

105] § 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 347
105 A17). Общие замечания.
L О технике интегрирования. На этом мы заканчиваем
рассмотрение основных классов интегрируемых функций и вообще
техники интегрирования.
Мы видим, что сравнительно в редких случаях удаётся дать пра-
правила для интегрирования функций. Но и тогда, когда имеется тео-
теоретическая схема для получения. окончательного результата интегри-
интегрирования, она вовсе не является наилучшим, наиболее экономным
путём. Интегрирование чаще всего может быть выполнено не един-
единственным способом. И всякий раз частные обстоятельства должны
подсказать тот искусственный приём, который в данном случае быстрее
всех других приводит к цели. Владение действием интегрирования
заключается не только в знании того, как можно в конце концов
найти данный интеграл, но и в умении взять его с минимумом
затраченного времени и труда.
Кроме примеров, отмеченных раньше, для характеристики сказан-
сказанного приведём ещё два простых интеграла.
Возьмём интеграл
Было бы оплошностью применить здесь общее правило (разло-
(разложить данную дробь на простейшие). Легко заметить, что предвари-
предварительная подстановка лс -|-1 = и значительно облегчает задачу:
Также нужно догадаться, что интеграл
dx
J l
не следует брать по общему методу (подстановкой u — tgx), ибо
dx ' Гdx ' 1 Г dx
J J
2 | coslfi —jcV
последний интеграл — табличный.
Изобретательность и навык приобретаются практикой в решении
достаточно большого числа примеров.
В практических целях часто пользуются различными справоч-
справочниками и готовыми таблицами особенно часто встречающихся ин-
интегралов *).
*) См., например, И. М. Рыжик и И. С. Градштейн, Таблицы инте-
интегралов, сумм, рядов и произведений, Гостехиздат, 1952.

348 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [Ю5
II. Об интегрировании в элементарных функциях. В от-
отличие от дифференцирования интегрирование не есть (как мы об этом уже
говорили) автоматическое действие, всегда позволяющее найти элемен-
элементарную функцию, являющуюся первообразной от заданной эле-
элементарной функции. Строго доказано, что во многих случаях и не
существует такого элементарного выражения для первообразной. Другими
словами, можно указать элементарные функции, интегралы от которых не
выражаются никакими конечными комбинациями основных элементарных
функций. Про такие функции говорят, что они не интегрируемы в эле-
элементарных функциях (или не интегрируемы в конечном
вид е). Напомним доказанную П. Л. Чебышевым (п° 103, И) неинтегрируемость
в конечном виде функции хт (а + Ьхп)Р, если ни одно из трёх чисел р, —^—,
т+1 .
—¦ \-р не является целым.
Укажем ещё следующие примеры не берущихся в конечном виде инте-
интегралов: 1 , где Р (х) — произвольный многочлен степени выше второй;
J у Р {х)
Jsin х А С cos х Г dx
dx, I dx, l -% .
X J X ' J In X
Подинтегральные функции здесь очень просты по своей конструкции, и
тем не м«нее оказывается, что их интегралы нельзя представить никакими
элементарными функциями.
Следует отличать существование функции и изобрази-
изобразимость её с помощью тех или иных заданных средств, например с помощью
элементарных функций. Указанные интегралы существуют, но наших
средств — всех основных элементарных функций — оказывается недостаточно
для того, чтобы составить из них конечные выражения для этих интегралов.
Разъясним эту- мысль. Допустим, что мы позволяем себе пользоваться
всеми основными элементарными функциями, кроме логарифмической. Тогда
многие известные интегралы станут «н еберу щимис я». Например, при
С dx С dx
этом нельзя будет выразить в «конечном виде» 1 —, 1 —
В самом деле, среди принятых функций (раз нет в распоряжении лога-
логарифмической) не существует функции, производная которой была бы равна
— или —g г и т. д. Включив в рассмотрение и логарифмическую функцию,
X X -~~ 1
мы сумеем выразить эти интегралы, но не будет ничего удивительного, если
другие интегралы останутся ещё «неберущимися» в конечном виде. Для того
чтобы сделать и их «берущимися», нужно расширить класс основных
функций, которыми условились пользоваться. Так в анализе
и поступают. Среди «неберущихся интегралов выделяют особенно простые и
важные и детально изучают изображаемые ими функции. Эти новые функции
пополняют запас наших средств и делают доступным для интегрирования
в «конечном виде» ряд неинтегрируемых в старом смысле функций.
и т. п.

ГЛАВА VII
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
106 A18). Определённое интегрирование по частям. Ввиду того
X
что \f{x)dx есть первообразная от f(x), можно написать:
а
х
$/(*)<**= J/(*)<** +С.
а
С другой стороны, в силу формулы Ньютона-Лейбница имеем:
ь
J/(*)<** =
а
Этими двумя соотношениями выявляется точный характер связи
между понятиями определённого и неопределённого интегралов.
Формула НьютоиауЛейбница показывает, что для вычисления опре-
определённого интеграла мы получили теперь хороший способ — неоп-
неопределённое интегрирование. Оказывается, однако, что правила неопре-
неопределённого интегрирования могут быть непосредственно при-
приложены к определённому интегралу, что позволяет иногда значительно
сократить выкладки.
Правило интегрирования по частям:
f = uv\ — \ vdu.
\Xi J
Xi Xi
Доказательство. Имеем:
X2
1 «й=\ иdvI*2 = (uv— i
Х$
отсюда непосредственно и следует доказываемая „формула.

350 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [106
Вместо того чтобы до конца доводить неопределённое интегри-
интегрирование по частям, а затем выполнить двойную подстановку, можно
сразу воспользоваться последней формулой.
Рассмотрим в качестве примера интеграл
/я= i sinnxdx.
Положим
и = sin^1 х, dv = sin x dx.
При этом
du = (n — 1) sin" x cos x dx, v = — cos x
1С 1t
T T"
In s= — cos x sinn":
1 x I -f {n — 1) С sin"-2 x cos2 * dx.
.o S
Первое слагаемое в правой части равно нулю; заменяя во втором
слагаемом cos2* через 1 — sin2*, получим:
1С 1С
In = (n—l)\ s\nn-*xdx
т. е.
— (п— 1) \ s\nn
откуда
4 = ^4-9. (*)
Это равенство даёт формулу приведения (рекуррентную фор-
формулу). Заменяя в ней п на п — 2, получим:
и, значит,
Продолжая таким же образом дальше снижать индекс, мы в случае
целого п дойдём до 1и если п — нечётное число: п = 2т-\-\, или
до 10) если п — чётное число: п = 2т.

107J § 1. способы вычисления интегралов 351
Именно:
г 2т 2т—2 2т —4 А А /
*т+1 2т+1 2т —1 2т —3 ### 5 ' 3 и
т 2т—1 2т —3 2т—5 JL JL J#
ш~ 2т 2т — 22т — 4 "• 6 ' 4 ' 2 #У°#
Но
It=\ sinxdx=l9 IQ=\ dx = -
Следовательно,
1С
=1
2'4-6...Bm-2)-2in
3.5.7###Bm— l)Bm+l)f
1С
d*
2-4.6... B»-2).2m
где w — целое положительное число.
Предварительное отыскание неопределённого интеграла от sinrt.tf
потребовало бы более громоздких выкладок.
107 A19). Замена переменной в определённом интеграле.
I. Правило замены переменной (подстановки). Если
в интервале [их, #2] функция х = ^(а) непрерывна вместе со своей
производной ф'(а) и если х = <\>(и) не выходит из интервала
непрерывности функции f(x) % когда и изменяется в интервале
I»i» «J» причём ф@1)=клг19 ф(»2) = д:2, то
Jf(x)dx=
J
Из формулы (*) видно, что подинтегральное выражение преоб-
преобразовывается так же, как и в случае неопределенного интеграла.
Что же касается пределов интегрирования, то старые пределы Х\ и
хг связаны с новыми их и щ так же, как старая переменная х с новой
переменной и.
Доказательство. Преобразуем неопределённый интеграл
\f(x)dx при помощи подстановки дг =
*) Этот интервал не должен быть уже интервала [хи х2], в котором
интегрируется непрерывная функция f(x).

352 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [107
Согласно правилу п° 98 имеем:
где F(u)— первообразная от функции /[ф(я)]фг(а).
Рассматривая и как функцию от х, определяемую зависимостью
получим:
\
*
С другой стороны,
в3
й2= \/[*(«)]f (я)Л,
«I J
«1
и мы приходим к равенству (*)¦
Итак, вместо того чтобы, выполнив при помощи замены пере-
переменной неопределённое интегрирование, вернуться к первоначальной
переменной, а затем вычислить двойную подстановку в данных
пределах, можно сразу взять двойную подстановку в новых преде-
пределах. Результат — значение определённого интеграла — получится тот
же, а выкладок потребуется меньше.
После выбора нужной подстановки лг = ф(и) единственная труд-
трудность заключается в отыскании новых пределов интегрирования щ
и и2. Эти пределы являются корнями уравнений дг1 = ф(к) илг2=ф(и)
относительно неизвестной #.
Заметим, что если функция х = Ь(а) не монотонная, то может оказаться,
что их и н2 определяются неоднозначно (уравнения лгх = ф(«) и л:8==ф(а)
имеют по нескольку корней, удовлетворяющих условиям правила).
2
Примеры. l)f dx — • Положимх = sin «. Новые пределы
2 т/Т
интегрирования щ и щ найдём из уравнений 1/2 = sin и и ^r-^z sin и;
щ можно взять равным 4-, а щ равным -^. При цзменении к от -g-
до g- jf=smM пробежит весь интервал интеграции ly, 2~J*
как, кроме того,
dx da
х |/*i х2 sin a *
то
КГ л
2
r___tfx__ С da

107]
§ 1. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
353
Неопределённый интеграл от ^— равен In
мер 9), поэтому
+C(n°96, при-
—
Т
= In tg I ctg ^ = In -?i B + /3) ^ 0,765.
Функция x = sin и — не монотонная, и в качестве нового интервала инте-
интегрирования можно взять не интервал I -^, -~-1, а другой интервал. В самом
деле, например, при и = -^ п также л: = sin и = у и в интервале [иъ и2], где
U\ = -д- я, а иа = -о- , соблюдаются все необходимые условия. Но при этом мы
О о
имеем:
лг]/—
sin и
знак «минус» взят потому, что }/~1— sin3и =—cos и для -^^Ui^0
Следовательно,
3 х/Г=^" 3 ^й!Г"~ П g2
1"
V
2"
а так как tg^ =ctg-^-, то мы приходим к прежнему ответу.
2
2) Найдём Un= \ cosnxdx. Положим х = ^ — и;
тогда
2
ллгс/лг=— С cosnfy — u\du=
а так как значение определённого интеграла не зависит от обозна-
обозначения переменной интеграции, то
\ cosn xdJt= \ sinn
о о

354 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [107
Таким образом, к Un можно отнести все те формулы, которые
?
были найдены в п° 106 для /л= V sinnxdx.
Если я =2, то
ttic _те_ «
? 2 2 , ?
• ¦ ¦ .. ___ _ ¦ С1Т1" у /1V* . . ч ____ _^^ 1
0 0 0 0
откуда
i Q,os*xdx= i
II. Очень часто замена переменной в определённом интеграле про-
производится не по формуле лг = <|>(и), а по формуле и == ср (л:), выра-
выражающей новую переменную через старую. Тогда новые пределы
щ и щ сразу определяются по формулам
При этом условия для справедливости правила замены переменной
заведомо будут выполнены, если функция ср (х) в интервале [хи лг2]
монотонна и имеет производную, отличную от нуля.
В самом деле, тогда обратная функция лг = ф(м) будет непрерывна
и будет иметь непрерывную производную.
Например, для интеграла
те
?
о
полагая cosx=u> будем иметь: /= — I' " = arctg и =-т-»
Приведём пример, когда невыполнение условий правила подстановки вле-
влечёт за собой его несправедливость.
Бозьмём интеграл

107] § 1. способы вычисления интегралов 355
и положим х* = и. Имеем:
— 1 1
Ошибка произошла потому, что функция л: = ф (ц) = |/м в интервале
t«i = 1, ut = 4] не удовлетворяет нужному_условию: если взять положительную
ветвь х = + Jfti, то ATi = <|> («i) = + К* ^J" Ь а не — 1, как должно быть;
если же взять отрицательную ветвь х = — |/и, то х± = ф (и2) = — YT = — 2,
а не -f-2i как должно быть; таким образом, здесь правило неприложимо.
III. С помощью правила подстановки выведем формулу для инте-
интеграла, взятого по «симметричному» интервалу:
Представим этот интеграл так:
а 0 а
f(x) dx= J f{x) dx + j /(*) «to,
— a —a 0
и, заменив переменную интеграции в первом интеграле в правой
части по формуле х= — к, получим:
а
а а а
f /(*) dx = f /(- й) ЙИ -f С
— a О О
Таким образом,
—a
Подинтегрдльная функция в правой части равна нулю, если f(x) —
функция нечетная, и равна 2f(x), если/(лг) — функция чётная. Следо-
Следовательно,
О, если f(x) — нечетная функция,
а
2 I f(x) dx, если f(x) — чётная функция.
8
Эти формулы очень полезны. Мы ими не раз воспользуемся
Э дальнейшем. Можно, например, сразу сказать, не производя вычи-
вычислений, что
а тс
f x*ex* dx = 0, J sin8 x cos9 x dx =в 0.
— а —тс
Рекомендуем читателю дать геометрическую интерпретацию выве-
выведенных формул.

356 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 2. ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ
108 A20). Численное интегрирование. Обратимся сейчас к неко-
некоторым употребительным методам приближённого числен-
численного интегрирования, позволяющим находить приближённое
значение интеграла от любой непрерывной функции с практически
достаточной точностью. Потребность в приближённом вычислении
интеграла может возникнуть и тогда, когда не существует или не
известен метод для отыскания точного значения интеграла, и тогда,
когда этот метод известен, но он громоздок и неудобен. Излагаемые
здесь приближённые методы основаны на следующем: интерпретируя
интеграл как площадь криволинейной трапеции, мы получим её при-
приближённое значение, т. е. приближённое значение интеграла, если
вычислим площадь другой трапеции, ограничивающая линия которой
близко примыкает к линии, ограничивающей данную трапецию. Вспо-
Вспомогательную линию проводят с таким расчётом, чтобы она, по воз-
возможности, мало отклонялась по положению от заданной линии и чтобы
при этом получилась трапеция, площадь которой легко вычисляется.
Мы изучим три правила численного интегрирования: 1) правило
прямоугольников, 2) правило трапеций, 3) правило
параболических трапеций,
называемое по имени его автора пра-
правилом Симпсона*). Обычно
интервал интегрирования делится на
равные части.
I. Правило прямоуголь-
прямоугольников. Разделим интервал инте-
интегрирования [а, Ь] на п равных ча-
частей и заменим данную трапецию
ступенчатой фигурой, состоящей из
п прямоугольников, опирающихся
на частичные интервалы и имею-
имеющих высотами ординаты линии
Черт. 119,
р
y=f(x) в начальных (или в конечных) точках частичных интерва-
интервалов (черт. 119). Значение площади этой фигуры и будет давать
ъ
приближённое значение искомого интеграла /== i ydx.
а
Если обозначить значения f(x) в точках деления через j/0, уи ...
...» Уп-и Уп> т- е- положить yk—f(xk), xk = a-\-kLx, где
Ддг=:-^—, a k принимает значения 0, 1, 2, ... , п — 1, то, оче-
очевидно, будем иметь следующую формулу:
[или /
*)Симпсон A710—1761).

108] § 2. приближённые методы 357
Эта формула и называется «формулой прямоугольников».
В качестве примера найдём приближённое значение интеграла
4
С
о
Пусть я=10. Тогда Адг = 0,4; x = k-0A (k = 0, I, 2, ..., 9)
и Л = 0, ^1 = (Ь0,4J = 0,16, Л = B.0,4J = 0,64,.... , Л =
= (9. 0,4)* =12,96.
Следовательно,
/^0,4@ + 0,16 + 0,64 + 1,44 + 2,56 + 4 + 5,76 + 7,84 +
+ 10,24 + 12,96)= 0,4 . 45,6= 18,2'.
Абсолютная ошибка равна 3,09, а относительная — равна
3,09 ¦ 100 ^ , у/
—щ 14,5 /0.
Ошибка немалая, и для того чтобы её уменьшить, нужно значи-
значительно увеличить число делений, что делает вычисления громоздкими.
II. Правило трапеций. Оставим разбиение интервала [а, Ь]
прежним, но заменим теперь каждую дугу линии y=f(x)y соответ-
соответствующую частичному интервалу, хордой, соединяющей конечные
точки этой дуги. Таким образом, мы заменяем данную криволиней-
криволинейную трапецию п прямолинейными (черт. 119). Геометрически оче-
очевидно, что площадь такой трапеции более точно выражает искомую
площадь, чем площадь я-ступенчатой фигуры из правила прямоуголь-
прямоугольников.
Площадь каждой прямолинейной трапеции равна^ длине частич-
частичного интервала кх(= *""¦], умноженной на полусумму соответ-
соответствующих ординат. Значит, для всей площади в прежних обозначе-
обозначениях получим:
1 1 У1+У* | ... |
или
/ а* Д* (*±^ Л-Ух +Л + • • •
Эта формула и носит название «формулы трапеций». Вычи-
Вычисление по ней практически нисколько не сложнее, чем по «формуле
прямоугольников», так как здесь требуется вычислить только одно
лишнее значение функции, а достигаемая при этом точность больше.
Применим «формулу трапеций» к вычислению того же интеграла
от jc2 при п = 10. Имеем:
'0,4(^-^-1-0,16 + 0,64 + 1,44 + 2,56 + 4 + 5,76 +
+ 7,84 + 10,24 + 12;9б) = 21,44.

358 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [108
Теперь абсолютная ошибка равна только 0,11, а относительная
-I—1—- =0,51%. Точность — хорошая, во всяком случае доста-
достаточная для большинства практических расчётов.
Вычислим ещё приближённое значение интеграла
'те
I— Г s\nxdx = 2.
Пусть я = 6. Тогда
ъ I sin 0 + sin те . .
"T[ Г + sin
2те
Зя
4те
5те
,5)= 1,9541.
Абсолютная ошибка равна 0,0459, а относительная ошибка рав-
равна 2,57о.
III. Правило Симпсона. Это правило требует, вообще го-
говоря, не большей затраты труда, чем два предыдущих, аг -приводит
обычно к ещё более точным резуль-
результатам (при одном и том же разбие-
разбиении интервала).
Как и раньше, разобьём интер-
интервал [я, b\ на п равных частей, но
предположим, что п — чётное чи-
число, п = 2т. Заменим дугу линии
y=f(x)t соответствующую интер-
интервалу [xQt х%]у дугой параболы, ось
которой параллельна оси ординат,
проходящей через следующие три
точки: начальную точку дуги (xQ, y^)y
среднюю точку дуги (х1у ух), ко-
конечную точку дуги (лг2, j/2) (черт. 120). Такую параболу всегда
можно провести единственным образом*). Подобные замены произ-
произведём в интервалах [лг2, лг4], [xiy лг6], ... , [хп^у хп].
Итак, заданная трапеция заменяется т = ~ параболическими тра-
трапециями, площади которых найти нетрудно. В самом деле, вычислим
площадь 5 трапеции, ограниченной какой-нибудь параболой, с осью,
параллельной оси ординат:
y=px*-{-qx-{-r.
х, х2
Черт. 120.
*) Уравнение такой параболы имеет вид у = рх2 + дх + т. Из того усло-
условия, что эта парабола проходит через три точки, находим три уравнения,
из которых и вычисляем значения трёх параметров уравнения: р, д, г.

108]
§ 2. ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ
359
Предположим сначала, что основанием трапеции служит интервал
оси Ох, симметричный относительно начала координат: [—f> Т1* Для
площади такой параболической трапеции имеем выражение
S= V (px*-{-qx-\-r)dx=p \ x*dx-{-q I xdx-\-r V dx>
— т
—т
Преобразуем это выражение так:
Заметим теперь, что p*f — Я1 ~hr равно ординате уп параболы в на-
начальной точке основания трапеции х = — у, что г равно ординате ус
параболы в средней точке основания х = 0, что р*{* -}~ q^ -{- г равно
ординате ук параболы в конечной точке основания x = f; 'что, на-
наконец, 2f равно длине основания. Поэтому площадь трапеции можно
выразить по формуле
Очевидно, что эта формула справедлива и для параболической
трапеции рассматриваемого вида с любым основанием. Действи-
Действительно, площадь трапеции не изменится, если перенести её парал-
параллельно самой себе так, чтобы основание стало симметричным отно-
относительно начала координат, и тогда искомая площадь выразится
в согласии с полученной нами формулой.
Возвращаясь к первоначальной задаче, найдём по этой формуле
площадь Si параболической трапеции, опирающейся на интервал
[ ]
где кх = -^~-. Аналогично выразятся площади 52, S& ... 9Sm после-
последующих параболических трапеций:
5 0

360 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1Ю8
Сложив почленно все эти равенства, получим выражение, дающее
приближённое значение для искомого интеграла:
Это и есть формула Симпсона. Ей можно придать другой вид:
Правая часть в этой формуле равна двум третям суммы правых ча-
частей «формулы трапеций» и «формулы прямоугольни-
прямоугольников» при условии, что в последней выбрасываются все «чётные»
ординаты.
1
По формуле Симпсона, например, для интеграла /= i xldx(=0,2)
<Г
при п= 10 находим: /я»0,200013; абсолютная ошибка составляет
всего 0,000013, а относительная —0,01%-
Дл^ рассмотренного выше интеграла от х* формула Симпсона
должна, конечно, дать точное значение. Заметим, что формула Симп-
Симпсона даёт также точное значение и для интеграла от кубической
функции.
Применим формулу Симпсона к интегралу от sin х, вычисленному
раньше по формуле трапеций.
Простые подсчёты при я = 6 дают:
|-( 1,9541 +у)^ 2,0009.
Относительная ошибка результата равна 0,04% — очень хорошая
точность, достигнутая всего при шести точках деления интервала
интегрирования.
!
Возьмём ещё такой пример: I . А 7,. Имеем по точному под-
J * "Г х"
о
счёту:
= arcte *
=arctgx — arctg °=т -
С другой стороны, здесь легко найти приближённое значение
определённого интеграла по какому-нибудь правилу приближённого
интегрирования; тогда получится приближённое значение для числа тс.'
Так, по правилу Симпсона, только при # = 4 найдём ^-я^ 0,78539
со всеми верными знаками,

1091
§ 2. ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ
361
Приведём без доказательств *) погрешности указанных прибли-
приближённых формул:
I. Прямоугольников -ттт-(Ь —
II. Трапеций
III. Параболических
трапеций
где Mj^l /ff(Je)|
в интервале [а, Ь].
где
А*4,* ,„ где Mi^\fW)(x)
Г§0*^ а' 4> в интервале [а, Ь].
Отсюда видно, что, в то время как при Алг-^О в первых двух
формулах погрешности являются бесконечно малыми второго по-
порядка, в третьей формуле погрешность — бесконечно малая величина
четвёртого порядка.
Наши правила позволяют приближённо находить интегралы не
только от функций, заданных формулами, но и от функций, задан-
заданных геометрическим или табличным способом.
Пример. Ширина реки равна
перечном её сечении через каждые 2
X
У
0
0,2
2
0,5
4
0,9
б
1Д
8
1,3
20 м; промеры глубины в некотором по-
поле дали следующую таблицу:
10
и
12
2,1
14
1,5
16
1,1
18
0,6
20
,0,2
Здесь расстояние (в метрах) от одного из берегов обозначено через х, соот-
соответствующая глубина реки (также в метрах) — через у. Требуется найти пло-
площадь поперечного сечения реки.
По «формуле трапеции» находим:
по формуле Симпсона
S = 1 [22 + 2 • @,5 + 1,1 + 1,7 + 1,5 + 0,6)] = 21,9 м*.
Результаты — весьма близкие. О точности их говорить не приходится,
так как по условию задачи точный профиль реки не задан.
109 A21). Графическое интегрирование. Остановимся теперь на графи-
графическом методе отыскания значения интеграла.
Пусть нам известен график функции д> = /(*). Поставим задачу: геоме-
геометрическими средствами, не прибегая ни к каким вычислениям, найти интеграл
ь
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, т. 11 A948), стр. 183 и след.

362 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [109
Будем предполагать, что масштаб по оси Ох равен масштабу по оси Оу
и что полюс графика Р находится на расстоянии масштабной единицы от
начала координат: ОР=1 (черт. 121). Проведём прямую FG, параллельную
оси Ох и пересекающую линию y=f(x) так, чтобы площадь полученного
прямоугольника возможно мало отлича-
отличалась от площади нашей криволинейной
трапеции.
Для этого нужно, чтобы площадь,
заключённая между линией и прямой FG
и лежащая над прямой, по возможно-
возможности, точно равнялась площади, заклю-
заключённой между линией и прямой и лежа-
лежащей под прямой. Ясно, что это равно-
равносильно приближённому установлению
средней линии трапеции (см. п° 91).
Продолжим прямую FG до пересечения
с осью Оу в точке Т и соединим эту
/
У
J/1 ;
0 о i
м
Q
В
> *
Черт. 121.
точку с полюсом графика. Наконец, из точки А проведём прямую, параллель-
параллельную РГ, до пересечения с прямой х = Ь в точке М'.
Легко убедиться в том, что отрезок М'В изображает искомую площадь,
т. е. отрезок М'В содержит столько линейных масштабных единиц, сколько
квадратных единиц содержит площадь криволинейной трапеции. В самом
деле, из подобия треугольников РОТ и АВМ находим:
ВМ1 ОТ
АВ-ОТ
;
ОТ D,
=ор> откуда вм=
но ОР=1, а АВ • ОТ измеряет площадь трапеции.
Если интервал [а, Ъ\ недостаточно мал, то проведение прямой FG на глаз
может привести к ощутительной ошибке. Для того чтобы уточнить построе-
построение, разобьём интервал интегрирования на частичные интервалы (не обяза-
обязательно равные между собой) и всю трапецию— на ряд ^ трапеций, опираю-
опирающихся на эти частичные интервалы.
Точки деления выберем таким образом, чтобы каждый частичный интер-
интервал был интервалом монотонности подинтегральной функции и чтобы в числе
точек деления находились все точки пересечения линии с осью Ох. Если
в каждом интервале линия незначительно отличается от прямой, то в каче-
качестве средних линий частичных трапеций можно брать просто ординаты в сред-
средних точках частичных интервалов *). Тогда отпадает необходимость проводить
на глаз вспомогательные линии. Практически обычно так и поступают.
Последовательно, для каждой из частичных криволинейных трапеций
построим указанным выше путём отрезок, изображающий её площадь. В целях
ясности чертежа удобно откладывать этот отрезок не от данной оси Ох, а
от другой оси ОьХ, параллельной первой (черт. 122). В точке х = а площадь
трапеции, отсчитываемая от прямой х = а, очевидно, равна нулю. Отметим
на оси OiX точку М'0(а, 0) — она соответствует точке Мо линии у=/(х).
До прямой x = Xi площадь трапеции равна площади первой частичной тра-
трапеции; она изобразится отрезком М[хи который мы получим, если из точки М'о
проведём прямую, параллельную PTi} до пересечения с прямой л: = л:1
в точке М[. Эта точка соответствует точке Mi на линии. Площадь трапеции
до прямой х = лг2 (т. е. значение интеграла, взятого от а до х2) равна сумме
(в алгебраическом смысле) площадей первой и второй частичных трапеций.
Она изобразится отрезком М'2х^ который получится, если из точки М[ про-
провести прямую, параллельную РТ2, до пересечения с прямой х = л:8 в точке М'2.
Эта точка соответствует точке М2 на линии. Продолжая так же дальше,
•) Чем больше точек деления, тем точнее получится построение.

109]
§ 2. ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ
863
построим последовательно точки ЛЦ» MJ, ... , соответствующие точкам Л13,
М4, ... линии. Ордината точки М'п соответствующей точке Мп(b, f (b)) линии,
и даст нам искомое значение интеграла l(b).
Соединим полученные точки М'Оу М[у М'2у ... , Мп плавной линией. Орди-
Ординаты этой линии, очевидно, приближённо изображают значения интеграла,
9, S
Черт. 122.
взятого от jc^=fl до соответствующих точек основания трапеции. Другими
словами, она является графиком функции, определяемой нашим интегралом
с переменным верхним пределом
X
/(*)=$/(*)«/*.
Как известно (п°94), линия у = /(х) называется интегральной
кривой функции y=f(x). Её можно получить, найдя предварительно, если
это оказывается возможным, — при помощи интегрирования — аналитическое
выражение для функции у~[(х).
Рассмотренное нами геометрическое построение интегральной кривой
по графику подинтегралъной функции называется графическим инте-
интегрированием.
Так же как и в случае графического дифференцирования, графическое
интегрирование бывает наиболее удобным тогда, когда подинтегральная функ-
функция задаётся графически, а аналитическое её выражение не известно. Это
нередко встречается в практике, например, когда функция определяется гра-
графиком, записываемым самопишущим прибором.
Из самого процесса построения интегральной кривой ясно, что в тех ин-
интервалах изменения ху где линия y=f(x) расположена под осью Ох, т. е.
где f (х) отрицательна, интегральная кривая снижается, т. е. функция у = / (х)
убывает. Причиной этого является то отмеченное ранее обстоятельство, что

364 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [НО
площади, соответствующие отрицательным ординатам, входят в значение
интеграла со знаком минус, т. е. вычитаются. Этот факт вполне согласуется
с тем, что /' (х) ==/ (х).
Нащ способ графического интегрирования (средние линии криволинейных
трапеций проводятся через средние точки оснований) является не чем иным,
как графическим выполнением приёма приближённого интегрирования по
правилу трапеций (п° 108, II).
§ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
110 A22). Интеграл с бесконечными пределами. Понятие опре-
определённого интеграла было установлено (гл. V, § 1) для конеч-
конечного интервала и непрерывной на нём функции. Дан-
Данное нами определение этого понятия теряет смысл, если интервал
интегрирования бесконечен или функция в интервале интегрирования
имеет точки разрыва. Но, как будет видно ниже, довольно часто
встречается необходимость распространить понятие интеграла
для случаев бесконечного интервала интегрирования
и разрывной функции.
Обратимся к первому случаю.
Пусть функция y=f(x) непрерывна для всех значений х>
а^х<^оо. Понятие интеграла от функции f(x) имеет смысл для
любого интервала [a, tj], т]^>а, и естественно считать, что интеграл
тем лучше выражает величину, которую следует принять в каче-
качестве интеграла от функции f(x) в бесконечном интервале [а, оо),
чем больше т]. Заставим ц произвольным образом неограниченно
возрастать. Имеются две возможности: или /(?]) при т]->оо имеет
предел или / (tj) такого предела не имеет (стремясь к бесконечности
или вовсе не стремясь ни к какому пределу).
Определение. Если lim /(tj) существует, до этот предел
называют несобственным интегралом от функции f(x) в ин-
интервале [а, оо) и обозначают так:
J fix) dx.
а
Значит,
+ ОО Г)
if»
f(x) dx = lim i f(x) dx*
Говорят при этом, что несобственный интеграл I f(x)dx суще-
а
ствует или сходится* Если же /(i)) не имеет предела, то говорят,

110] § 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 365
V°
что несобственный интеграл \ f{x) dx не существует или рас-
а *
ходится.
Аналогично определяются несобственные интегралы и для других
бесконечных интервалов:
а а
[f(x)dx = lim \f{x)dx,
-f-oo -t\ N t\
[f(x)dx— lim \f(x)dx= lim C/C*)d.xr-|-lim \f(x)dx$
где N — любое число, причём ? и tj изменяются произвольно и не-
независимо друг от друга.
Рассмотренные интегралы называются интегралами с беско-
бесконечными пределами.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами обладают
всеми свойствами обыкновенных (собственных) интегралов,
которые сохраняются при соответствующем предельном переходе.
Обозначим через F(x) первообразную от f(x). Условно запишем:
а
J /(х)dx = F(a)-F(-00),
— F(— oo),
понижая под символами F(-\~oo) и F{—оо) пределы, к которым
стремится F(x) при дг-^ + сх) и х-* — со.
Предположим, что линия y=f(x) ограничивает «бесконеч-
«бесконечную трапецию» («трапецию» с бесконечным основанием)
(черт. 123). Если существует несобственный
интеграл от f(x), взятый вдоль основания тра-
трапеции, то естественно считать, что он измеряет у' ||||]J^ y=*f(x)
«площадь» этой бесконечной трапеции; в
противном случае говорить о площади трапе-
трапеции нельзя.
Существование несобственного интеграла
наглядно может быть объяснено тем, что не-
неограниченное увеличение основания сопровождается неограниченным
и достаточно сильным уменьшением высот трапеции, а если
интеграл не существует, то увеличение основания не «компенси-
«компенсируется» достаточно сильным уменьшением высот.

366 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [НО
Например, бесконечной трапеции, ограниченной положительной
осью Qx, прямой х = а ( ^> 0) и линией у = —ь, можно приписать
X
площадь, равную ~-д, ибо
J x z x \a
a
Бесконечной трапеции, ограниченной, например, гиперболой j/ =
= —, положительной осью Од; и прямой дг = a Q> 0), нельзя припи-
приписать площади, так как
Вообще нетрудно убедиться в том, что
Трапеция с основанием [а, +со), д]>0, ограниченная линией
(м^>0) имеет площадь {«конечную») или не имеет пло-
площади (т. е. имеет «бесконечную площадь») в зависимости от того,
будет ли т^>\ или /п^1.
Этим мы воспользуемся затем для вывода признаков сходимости
и расходимости несобственных интегралов рассматриваемого типа.
Примеры. 1) Вычислим площадь криволинейной трапеции, огра-
ограниченной всей осью Ох и линией у= 8.
1 -j- X
Имеем:
+
= J
7C.
Впрочем, этот несобственный интеграл подстановкой jc =
можно преобразовать в собственный:
4-—
-f со ^2
f d Г
dx
2
Г da Г
J —я^~-4
2) Если точка М массы т, йаходящаяся в начале координат, притягивает
свободную точку Mt массы 1, лежащую на расстоянии х от М на оси Ох,
то величина Р силы притяжения, как известно, определяется из формулы
p=z k ~2, где k — константа,

Ill] . § 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 367
а работа, произведённая при перемещении Afi из точки х = г до точки
х = а (а > г > 0), из формулы
знак «минуо перед интегралом взят потому, что направление силы противо-
противоположно направлению движения точки М (по той же причине работа оказа-
оказалась отрицательной).
Если а = оо, то
Если точка.Mi будет перемещаться «из бесконечности» до точки х~г,
%о сила ньютоновского притяжения произведёт уже положительную работу
выражающую меру накопленной в точке лг = г потенциальной энер-
энергии. Она называется потенциалом силы притяжения матери-
материальной точки М при х = г (или в точке х = г).
Укажем два замечательных несобственных интеграла, значения
которых будут нами определены позже (см. часть II, п° 180 и 181):
-со
— со
-со
I
X
— оо
r-** dx= -/~п (интеграл Пуассона),
x = Y (интеграл Дирихле).
Интересно, что соответствующие неопределённые интегралы не
выражаются в элементарных функциях.
111 A23). Признаки сходимости и расходимости интеграла
с бесконечными пределами. Обычно приходится иметь дело с не-
несобственным интегралом от функции, первообразная которой не
известна, а вместе с тем бывает важно знать, существует ли этот
интеграл или нет. Тогда прибегают к признакам, позволяющим
судить о сходимости или расходимости интеграла без отыскания
первообразной.
Пусть подинтегральная функция f{x) не отрицательна в интер-
интервале интегрирования: /(jc)^O. При этом имеют место следующие
Достаточные признаки сходимости и расходимости интеграла
с бесконечными пределами.

368 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ fill
Признак сходимости. Если существуют такие постоян-
постоянные Л>0и /и>1, что при 0<<
оо
то интеграл \f(x)dx сходится.
а
Доказательство. Имеем при
44 (m — 1) am~l '
a a
значит, функция 1(у\) ограничена и, будучи возрастающей с возра-
возрастанием ц (в силу неотрицательности /(лг)), имеет предел при if) -> оо.
Признак расходимости. Если существуют такие посто-
постоянные М>0 и /»<;1, что при
оо
то интеграл \ f{x)dx расходится.
а
Доказательство. Имеем при
^ при т== 1.
Оба полученных выражения стремятся к бесконечности при yj -> оо.
Мы видим, что сходимость интеграла обеспечивается доста-
достаточно быстрым стремлением подинтегральной функции к нулю — при
неограниченном возрастании её аргумента — и что недостаточно бы-
быстрое стремление к нулю, наоборот, гарантирует расходимость инте-
интеграла.
Например, на основании признака сходимости заключаем, что ин-
интеграл
dx
сходится, ибо
оо
С
)
во всём интервале A, оо).

Ill] § 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 369
На основании признака расходимости заключаем, что интеграл
не существует, ибо
*1
Из доказанных признаков вытекают ещё такие предложения (при f(x) :^= 0).
Достаточные признаки. Если lim xmf(x) = Л, то при т> 1
интеграл
сходится, а при w<l и А>0—-расходится.
Доказательство. В силу известных свойств пределов при заданном
по произволу малом положительном о имеем:
xmf(x)<:A + a
для всех x>N, где N — достаточно большое положительное число, соот-
соответствующее выбранному о.
Отсюда
Запишем:
оо JV оо
f{x) dx = J f(x) dx+ J f(x) dx. (*)
a a JV
ПервЫй интеграл в правой части этого равенства существует как обыкно-
обыкновенный («собственный»), а второй при т > 1 как удовлетворяющий условиям
основного признака.
Если же А > 0, то для х > N имеем также А — a < xmfix)t где 0 < a < A
или
М
f(*)>jEL М Ла 0<а<Д
и второй интеграл в правой части равенства (*) при т ^1 в силу основного
признака расходимости не существует (он равен +оо), а значит, расходится
и рассматриваемый интеграл (он также равен + оо).
Что касается случаев, когда подинтегральная функция меняет
свой знак в бесконечном интервале интегрирования, то для них мы
приведём один весьма общий признак.
13 А. Ф. Бермант

370 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (Ш
Достаточный признак сходимости. Если интеграл
со оо
1 \fix)\dx сходится, то сходится и интеграл \ f(x)dx, причём
а а
тогда говорят, что он сходится абсолютно.
Доказательство. Введём две вспомогательные положительные
функции, /+ (х) и /- (а:), определив их следующим образом:
r{x)ss !/(*)!-/(*)
Мы видим, что функция /+(л:) при данном х равна /(х), если /()^,
и равна 0, если /(х)<0, а функция f~(x) при данном х равна |/(лг)|, если
/(х)^0, и равна 0, если /(л:)>0. (Читателю рекомендуется построить
графики функций f^{x) и f"(x) по данному графику функции f (х).)
Мы имеем:
и, следовательно,
J ? J (лг) dx,
f (х) dx = § f+(x)dx-
а
По условию, интеграл от \f{x)\ имеет предел при т)-+оо; легко пока-
показать, что поэтому интегралы в правой части первого равенства также имеют
пределы. В самом деле, каждый из них есть положительная возрастающая
функция от у\; если бы какой-нибудь из них не имел предела, что могло бы
быть только при стремлении его к + оо, то, очевидно, и сумма этих интегра-
интегралов также не имела бы предела и стремилась бы к +°°» а это противоречит
условию. Но если интегралы от функций f+ (x) и /~ (х) имеют пределы при
т]—>оо, то их разность, т. е., согласно второму равенству, заданный интеграл
от функции f{x\ также имеет предел при -/]—*оо, другими словами, сходится.
Если интеграл от |/(дг)| расходится, то об интеграле от f{x)
на одном этом основании ещё ничего сказать нельзя: он может рас-
расходиться, а может и сходиться, и в последнем случае говорят, что
он сходится не абсолютно, или условно.
со
^ * п,_
если 2г^лг<^оо, то
2
со
Пример. I S1^ * п,_ dx абсолютно сходится. В самом деле,
sin л: In x
x У х- — .

112]
§ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
371
112 A24). Интеграл от функции с бесконечными разрывами,
Если в интервале [а, Ь] функция f(x) имеет некоторое число точек
конечного разрыва, то определить понятие интеграла для такой
функции не представляет никаких затруднений. В самом деле, при
этом естественно считать, что цнтеграл есть просто сумма обыкно-
обыкновенных {собственных) интегралов, взятых по частичным интер-
интервалам, на которые разбивается интервал [а> Ь] всеми точками
разрыва функции. Обозначив их через cv съ ...., ck> С1<^с^<^с^<^
CCC будем, иметь:
Этим самым,„устанавливается и вполне естественное определение
«площади» криволинейной трапеции, соответствующей функции
yz=zf(x), с конечным числом то-
точек конечного разрыва в интер-
интервале [а> Ь] (черт. 124): площадь
такой трапеции есть сумма
площадей трапеций, опираю-
опирающихся на частичные интервалы
[а, сх], [си с*], ...у [cki b], за-
заключённые между последова-
последовательными точками разрыва.
Перейдём к распространению
понятия интеграла дл% функций
Черт. 124.
с бесконечными разрывами.
Пусть функция y=f(x) непрерывна для всех значений х,
а^х<^Ьу а в правом конце х — Ь интервала претерпевает беско-
бесконечный разрыв. Ясно, что обычное определение интеграла здесь
теряет свой смысл. Но если взять обыкновенный интеграл
/(е)= J f(x)dx, s>0,
а
то мы аналогично предыдущему случаю (п° ПО) должны согласиться
с тем, что /(е) с уменьшением е всё лучше выражает ту величину,
которую следует принять в качестве интеграла от функции f(x)
в интервале [а, Ь]. Заставим г произвольным образом стремиться
к нулю. Тогда / (е) либо имеет предел либо такого предела не имеет
(стремясь к бесконечности или вовсе не стремясь к пределу).
Определение. Если lim /(е) существует, то этот предел
называют несобственным интегралам от функции f(x) в ин-
ь
тервале [а, Ь\ и обозначают так: \f(x)dx.
13*

372 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [И2
Значит,
Ь-г
[f(x)dx = \im С f(x)dx
о
Говорят при этом, что несобственный интеграл \f(x)dx сущест-
а
вует или сходится. Если же /(г) не имеет предела, то говорят,
ь
что несобственный интеграл \ f(x) dx не существует или расхо-
а
дится. ^
Аналогично, если f(x) претерпевает бесконечный разрыв только
в левом конце х=а интервала [а, Ь], то
ъ ь
f(x)dx = \im С f(x)dx, 8>0.
a + 5
У
Наконец, если f(x) имеет бесконечный разрыв в какой-нибудь
промежуточной точке х = с интервала [a, b], a<^c<^b, то
Ь c-s b
[f(x)dx = lim { f(x)dx + \im [ f(x)dx,
a a c-j-o
причём s и 5 стремятся к нулю произвольно и независимо друг от
друга.
Вполне очевидно, как определяется несобственный интеграл
в случае конечного числа точек бесконечного разрыва подинтеграль-
ной функции в интервале интегрирования.
На несобственные интегралы от разрыв-
разрывных функций переносятся все те свойства
"Ч_обственных интегралов, которые со-
сохраняются при соответствующем предельном
переходе.
Предположим, что линия _у=/(дг) имеет
некоторое число асимптот, перпендикуляр-
перпендикулярных к оси Ох; тогда ограниченная ею тра-
трапеция будет бесконечной (с «беско-
«бесконечными высотами») (черт. 125). Если су-
существует несобственный интеграл от функ-
функции f(x), то считают, „что он измеряет «пло-
«площадь» этой бесконечной трапеции; в про-
противном случае трапеция площади не имеет.
Существование несобственного интеграла и здесь может быть
наглядно объяснено тем, что в одних случаях неограниченное уве-
увеличение высоты «компенсируется» достаточно сильным уменьше-
уменьшением ширины «шпиля», в других случаях — не «компенсируется».
о Ь
Черт. 125.

U2] § 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 373
Например, бесконечной трапеции, ограниченной линией у = -—_ и
ух
прямыми х = 0, х — а, у = 0, можно приписать площадь, равную
2 /а, ибо
а
-±=dx = \\m f -U dx=lira2(/а— /5)=2/а.
у х б-+о J F л: в-»о
О о
Бесконечной трапеции, ограниченной, например, гиперболой _у = —
и теми же прямыми лг = 0, х = a, j/ = 0, нельзя приписать площади, ибо
Вообще нетрудно убедиться в том, что
Трапеция с основанием [а, Ь], ограниченная линией у =-. ш
ила у = jT г^- (т ^> 0), имеет площадь {«конечную») или не имеет
площади (т. е. имеет «бесконечную площадь») в зависимости от
того, будет ли т<^\ или т^\.
Этим мы воспользуемся затем для вывода признака сходимости
и расходимости несобственных интегралов рассматриваемого типа.
Пример. Найдём площадь 5 «бесконечного шпиля», ограничен-
ограниченного осью Ох, прямыми x = a(a<^0)) x = b (b^>0) и линией
j/ = r—=. Так как функция 3 ¦ ' имеет в интервале [а, Ь] точку
\/ х2 Ух*
бесконечного разрыва (х = 0), то
ь - s * ь
Jhm \
о С dx ,. С
{/а).
Последняя формула может дать повод к ошибочному заключению,
что нет нужды разбивать интеграл на два, рассматривать предель-
предельные переходы и т. п., так как тот же результат получается прямо:
Чтобы* убедиться в том, что это заключение вообще неверно,
возьмём интеграл

374 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [813
вычисляя его по обычному правилу, найдём:
ь
dx ___!
X* ~~~" X
а
т. е. интеграл от положительной функции равен отрицательному
числу!
Этот явно абсурдный результат объясняется тем, что внутри
интервала интегрирования [ау Ъ\ находится точка х<=0 такого
бесконечное разрыва подйнтегральной функций, что интегралы
0 ь
С dx С dx
1 — и т не существуют.
«3 х" J^-
а О
Следовательно, в случаях, когда функция имеет внутри или на
концах интервала интегрирования точки бесконечных разрывов, не-
необходимо поступать осторожно, точно придерживаясь данного выше
распространения понятия интеграла на эти случаи.
113 A25). Признаки сходимости и расходимости интеграла
от разрывной функции* Имеют место следующие достаточ-
достаточные признаки сходимости и расходимости несобственного интеграла
от функции с бесконечным разрывом при х = Ь в случае, когда
подинтегральная функция неотрицательна в интервале интегрирова-
интегрирования [а, Ь].
Признак сходимости. Если существуют такие постоян-
постоянные М>0 и 0</я<[1, что при
ь
то интеграл \ / (л:) dx сходится.
а
Доказательство. Имеем при
Ъ—г Ъ—ъ
следовательно, функция /(е) ограничена и, будучи возрастающей
с уменьшением е (в силу неотрицательности fix)), имеет предел
при е-*0.

§ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
375
Признак расходимости. Если существуют такие по-
постоянные М>0 и m^tl, что при 0<^^Ь
ь
то интеграл [f(x)dx расходится.
а
Доказательство. Имеем при
Ъ—г
Ъ-t
т
— а:
м_ /j \_ \
— 1 [гм*1 (р — а)т~1 )
при т^> 1,
Л1 In ~~fl при т=1.
Оба полученных выражения стремятся к бесконечности при
е-*0.
Мы видим, что сходимость интеграла обеспечивается не очень
быстрым возрастанием подинтегральной функции, когда её аргу-
аргумент стремится к точке бесконечного разрыва, и что достаточно
быстрое возрастание, наоборот, гарантирует расходимость ин-
интеграла.
Например, на основании признака сходимости заключаем, что
интеграл
3 т/ПГ
dx
х2
сходится, ибо
во всём интервале [0, 1].
На основании признака расходимости заключаем, что интеграл
С dx
} sin2 A-
о
не существует, ибо
sin2 A — х)
хJ
во всём интервале [0, 1].

376 ГЛ. VII. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
. Ясно, too признак автоматически переносится и на интегралы,
подинтегральные функции которых имеют разрыв при нижнем пре-
пределе интеграла.
Из доказанных признаков вытекают ещё такие предложения (при / (л:) ^ 0).
Достаточные признаки. Если
Iim (b — x
то при 0< m < 1 интеграл
ъ
I
f{x)dx
сходится, а при т^\ и А > 0 — расходится.
Доказательство. В силу известных свойств пределов при заданном
по произволу малом положительном а имеем:
для всех х, удовлетворяющих условию 0<& — x<v, где v — достаточно
малое число, соответствующее выбранному с. Отсюда
М
Запишем:
ь 6—v б
A:= J f(x)dx+ J f{x)dx. (*)
a b — v
Первый интеграл в правой части этого равенства существует как обык-
обыкновенный («собственны й»), а второй, при 0 < т < 1, как удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям основного признака сходимости.
Если же А > 0, то в интервале [b — v, b] имеем также:
-v, 0<а<Д
и второй интеграл в правой части (*) при т^\ в силу основного признака
расходимости не существует (он равен -\- оо), а значит, расходится и рассма-
рассматриваемый интеграл (он также равен +оо).
Обращаясь теперь к случаям, когда подинтегральная функция
меняет-свой знак в интервале интегрирования, приведём аналогично
предыдущему один общий признак.
Достаточный признак сходимости. Если интеграл
ь ь
1 \f(x)\dx сходится, то» сходится и интеграл \f(x)dxf при-
а а
чём тогда говорят, что он сходится абсолютно.

§ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 377
Доказательство. Предположим, что f(x) непрерывна в интервале
[а, Ь) и lim / (л:) = оо.
Вводим функции/+(л:) и f~(x) (см. n° 111) и записываем:
Ь — s Ь — s b — е
\f(x)\dx =
а а
b — s
/(x)dx= I /+ (x) dx - J /" (x) dx.
Рассуждая дальше совершенно так же, как в n° 111, приходим к заклю-'
чению, что раз интеграл в левой части первого равенства имеет предел при
е—»¦ 0, то имеют пределы каждый из интегралов в правой части этого равен-
равенства, а значит, и интеграл в левой части второго равенства.
При расходимости интеграла от абсолютной величины функции интеграл
от самой функции может и сходиться и расходиться.

ГЛАВА VIII
ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
114 A26). Метод «суммирования элементов». В пятой главе
(п° п° 84, 85) мы рассмотрели задачи на отыскание: 1) площади криво-
криволинейной трапеции; 2) работы переменной силы; 3) расстояния,
пройденного движущимся телом; 4) массы материальной линии. Обоб-
Обобщая математические операции, с помощью которых были решены эти
задачи, мы и пришли к понятию интеграла.
С целью охарактеризовать наиболее общим образом про-
простейший класс задач, приводящих к интегралу, и составить схему
их решения, ещё раз внимательно присмотримся к тем рассужде-
рассуждениям, которые позволили выразить решения четырёх указанных фи-
физически разнородных задач в одинаковой математической форме,
в виде интеграла.
Прежде всего во всех четырёх задачах искомая величина отно-
относится к некоторому интегралу [а, Ь\ изменения независимой пере-
переменной х, а^х*^Ь. Так, мы ищем площадь криволинейной трапе-
трапеции, имеющей в качестве основания интервал |а, Ь\\ мы ищем
работу, произведённую на участке пути [а, Ь\\ мы ищем расстоя-
расстояние, пройденное телом за промежуток времени [а, Ь]\ мы
ищем массу, находящуюся на отрезке линии [а, Ь].
Первым нашим шагом является разбиение этого интервала [я, Ь\
на частичные интервалы^, xi+1], xt ^ х ^ хм (I = 0, 1, ..., п—1).
При этом мы исходим.из той существенной предпосылки, что опре-
определяемая величина, соответствующая всему интервалу,
составляется как сумма из таких же величин, соот-
соответствующих всем частичным интервалам. Такое свой-
свойство называется аддитивностью. Так, площадь, работа, рас-
расстояние, масса — аддитивны относительно интервалов, на
которых они определены: площадь криволинейной трапеции, имею-
имеющей основанием интервал [а, Ь]у есть сумма площадей криволиней-
криволинейных трапеций, имеющих основаниями все интервалы [xit х^]', ра-
работа, произведённая некоторой силой на участке пути [а, Ь], равна

II4-] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ 379
сумме работ, произведённых этой силой на всех участках [xiy xi+l],
и т. п. Естественно, что интеграл, к которому эти величины
приводят, также обладает свойством аддитивности относи-
относительно интервала интегрирования. Это точно выражено в свойстве
IV интеграла (п° 89).
Будем рассматривать интересующую нас величину (площадь,
работу, путь, массу) на переменном интервале [а, х] с каким-нибудь
фиксированным левым концом а. Тогда эта величина будет некото-
некоторой функцией F(х) от абсциссы х правого конца интервала. В со-
соответствии с этим наша величина, отнесённая к интервалу [ау Ь]9
а<:а<^?, будет равна F(b)— F(a), a величина, отнесённая к интер-
интервалу [xif xi+i], будет равна &F(xl) = F(xM)— F(xt). Действительно,
интервал до xi+1 есть сумма интервала [a, xt] и интервала [xiy xi+1],
поэтому в силу аддитивности и величина F(xi+1) есть сумма вели-
величины F(xt) и величины, соответствующей интервалу [xt, хм]у так
что последняя равна разности F(xi+1) — F(xt).
Таким образом, разбивая данный интервал на части, мы исходим
из того, что
п—1 п—\
F{b)-F{a) =
Часть AF(xt) нашей величины называется истинным элементом
величины, соответствующим частичному интервалу [xiy xi+i]. Само
по себе равенство (*) выражает только тот тривиальный факт, что
целое равно сумме всех его частей, и ничего не даёт для решения
задачи; действительно, вместе с функцией F(x) нам заранее не
известны и её приращения Д/7^-).
Однако представление искомой величины в виде суммы её истин-
истинных элементов подготавливает следующий — решающий — шаг всей
операции.
Заметим, что величина F(x) всегда определяется некоторой из-
известной нам величиной/(лг) (ординатой линии, ограничивающей
трапецию; действующей силой; скоростью движения; плот-
плотностью), причём если эта величина f(x) остаётся на некотором
интервале постоянной, то величина F(х) равна произведе-
произведению этой постоянной величины на длину интервала.
Так, при постоянной ординате трапеция является прямоугольником
и её площадь равна произведению ординаты на длину основания;
при постоянной силе работа равна произведению этой сллы на длину
пути, и т. п.
Решающий шаг рассуждения состоит в том, что мы истинный
элемент искомой величины, соответствующий интер-
интервалу [xt, x^i], заменяем величиной, получающейся
при условии, что определяющая величина f(x)
остаётся на интервале [xi7 xi+x] постоянной, равной

380 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА [Н5
значению, принимаемому f{x)t например, в левом конце интервала:
f(x)=J\xi). Соответственно с этим AF(Xi) заменяется на
f(xi)&Xi (kxi = xM — xt), и вместо точного равенства (*) мы полу-
получаем лишь приближённое равенство
п—л
t=0
Но мы считаем, что при неограниченном увеличении числа частичных
интервалов и стремлении к нулю их длин ошибка в этом приближён-
приближённом равенстве неограниченно уменьшается; совершая предельный
переход, т. е. переходя к интегралу, мы приходим к равенству
дающему нам выражение для искомой величины.
Смысл этой замечательной замены приращения ^F(xt) выраже-
выражением f(Xi)Axi заключён в том, что, в то время как первое нам не
известно, второе есть известная величина, поскольку уравнение ли-
линии, равно как и выражение силы как функции пути и т. п., нам
задано в самом условии задачи.
Величина f(xt)Axit заменяющая истинный элемент Д/7^) иско-
искомой величины, называется элементом, соответствующим частич-
частичному интервалу [х(, хг -\- Длг?].
Мы видим, что метод, применённый нами для решения рассматри-
рассматриваемых четырёх задач, состоит в том, что вместо суммирования
истинных элементов искомой величины Д/7(х) интегрируют её
«элемент» f(x) dx, или, как говорят условно, «суммируют её эле-
элементы» *). "
Можно, конечно; метод «суммирования элементов» непосред-
непосредственно применять и к другим задачам, но это не представляется
целесообразным, так как он в сущности приводит к повторению
в каждом случае уже раз и навсегда установленного определения
понятия интеграла; кроме того, он недостаточно надёжен, поскольку
не содержит критерия правильности выбора «элемента», заменяю-
заменяющего «истинный элемент» рассматриваемой величины.
Теория определённого интеграла позволяет дать более простой и
надёжный метод.
115 A27). Метод «дифференциального уравнения». Схема ре-
решения задач. Итак, пусть дана некоторая величина и:
1) зависящая от интервала (так, площадь криволинейной трапе-
трапеции зависит от интервала, являющегося её основанием; работа зави-
*) Употребляя образный термин «суммирование», нужно помнить, что
речь идёт не о суммировании в прямом смысле, а об операции интегри-
интегрирования.

i!5] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ Й МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ 381
сит от участка пути, на котором она произведена, и т. п.). Если мы
будем относить величину и к переменному интервалу с1 закреплён-
закреплённым, например, левым концом а и переменным правым концом х
то и можно рассматривать как функцию независимой переменной х
т. е. u = F(x);
2) обладающая свойством аддитивности, т. е. при разбиении
интервала изменения х часть её, соответствующая всему этому
интервалу, составляется как . сумма из её частей, соответствующих
частичным интервалам;
3) дифференцируемая как функция х в рассматриваемом интер-
интервале [а, Ь].
Пусть, наконец, требуется определить часть величины и, соответ-
соответствующую интервалу [а, Ь] изменения независимой переменной.
Указанные сейчас три условия и составляют как раз характери-
характеристику задач, решения которых могут быть выражены с помощью
интеграла.
Искомое значение равно F(b) — F(a), а по формуле Ньютона-
Лейбница мы имеем:
ь
Таким образом,
Искомая величина измеряется интегралом от дифференциала
неизвестной функции F(x), взятым по интервалу, к которому
отнесена эта величина.
Это же самое легко получается из равенства (*) п° 114. По
формуле Лагранжа имеем:
FF
и значит,
1 = 0
Переходя к пределу при условии, что max | &х( | -> 0, получим на
основании теоремы существования интеграла (п° 86):
л—1
F(b) — F (a) = Hm У Fr ft) kxt = ( F (jc) dx = ( dF (x) *).
max I Л*. 1-0 .^ J J
Хотя функция u = F{x) и не известна, её дифференциал часто
оказывается возможным выразить через данные по условиям задачи
*) Обратим внимание на то, что мы здесь иным способом, чем раньше,
вывели формулу Ньютона-Лейбница (пс 93).

382 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
функции и дифференциал независимой переменной; при этом реше-
решение всей задачи заканчивается вычислением значения интеграла от
некоторой известной функции. Так было во всех четырёх задачах,
рассмотренных в п° 114.
Определение. Равенство
du—f(x)dx,
связывающее дифференциал неизвестной функции с дифферен-
дифференциалом независимой переменной, называется дифференциальным
уравнением задачи.
Итак, при решении всякой конкретной задачи указанного нами
типа можно избежать проведения всего рассуждения, оправдываю-
оправдывающего выражение этого решения в виде интеграла, и воспользоваться
его окончательным выводом, что искомая величина равна интегралу
от дифференциала неизвестной функции F\х).
Решение задачи естественно разбивается на три этапа:
I. Составление дифференциального уравнения, т. е. отыскание
выражения для дифференциала искомой величины и:
du—f{x)dx, (*)
где f(x) — известная функция.
Для этого в произвольной точке - х заданного интервала [а, Ь]
берётся бесконечно малое приращение dx\ дифференциал dF(x) на-
находят, пользуясь тем, что он: 1) является главной частью прираще-
приращения AF (т. е. истинного элемента величины, соответствующего интер-
интервалу [х, x-\-dx}) и 2) пропорционален dx. В конкретных задачах
дифференциал dF(x) часто находят как приращение величины F(x),
вычисленное при условии, что величины, определяющие образование
F(x)t сохраняют в интервале [х, x-\~dx\ свои значения, принятые
в точке х.
Так, например, дифференциал в точке х площади криволинейной
трапеции есть площадь прямоурольника с основанием [х, x~\-dx\\\
с высотой, равной значению ординаты ограничивающей трапецию
линии в точке х.
Всякий раз можно проверить, что составленное выражение дей-
действительно является дифференциалом, убедившись в том, что оно
обладает двумя известными свойствами дифференциала (п° 51).
II. Переход от дифференциального уравнения (*) к интегралу
ь
F(b)-F(a)=§f(x)dx. (**)
а
Этот переход осуществляет «суммирование всех элемен-
элементов^, приводящее к точному результату.

115]
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
383
Пределы а и Ъ интеграла (**) устанавливаются по условиям
задачи в зависимости от выбранной системы координат. Они должны
быть таковы, чтобы изменение независимой переменной в интервале
[а, Ь] как раз соответствовало всей искомой величине.
III. Вычисление определённого интеграла, Для этого мы обла-
обладаем весьма эффективным средством — неопределённым интегриро-
интегрированием. Здесь как раз и видно, что вычисление интеграла, приме-
применённого к задаче на основании своего определения (как предела
интегральных сумм), осуществляется другим, несравненно более лёг-
лёгким методом, чем доставляемый самим этим определением.
Взяв в качестве верхнего предела интеграла (**) независимую
переменную х> получим выражение для функции F(x) при известном
её начальном значении F(a):
Как говорят, функция u = F(x) даёт в интервале [а, Ь] инте-
интегральный закон рассматриваемого процесса, её производная
F(x) = f(x) — скорость этого процесса, а дифференциал
dF(x) =f(x)dx — дифференциальный закон его.
Сейчас мы строго обосновали переход по нашей схеме от диф-
дифференциального закона к интегральному.
В вопросах применений интегрального исчисления к конкретным
задачам самым трудным пунктом обычно бывает первый. В нём по
данным условиям требуется составить
дифференциальное уравнение задачи, т. е.
выражение для произвольного
«элемента» искомой величины.
Если дифференциал найден верно, то
можно утверждать справедливость и
окончательного результата, вычисленного
по нашей схеме.
Можно рассмотреть пример, когда неосто-
неосторожное «упрощение» приращения искомой ве-
величины при нахождении дифференциала при-
приводит к ошибке. Пусть нужно вычислить пло-
площадь боковой поверхности прямого кругового Черт. 126.
конуса. Если в качестве дифференциала этой
площади принять площадь прямого кругового
цилиндра, вписанного в бесконечно малый усечённый конус —приращение
искомой величины на участке [х, x-\-dx] (черт. 126), то мы "придём к невер-
неверному ответу. Рекомендуем читателю разобрать этот вопрос и указать при-
причину ошибки.
Из разбираемых ниже задач (п° 116) будет видно, каким обра-
образом в конкретных случаях можно убедиться в том, что составлен-
составленное, обычно при помощи упрощающих предположений, выражение
действительно является дифференциалом функции.

384 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА [И6
116A28). Примеры.
I. Площадь круга. Возьмём простую задачу, ответ которой
нам хорошо известен. Найдём площадь 5 круга радиуса R, зная,
что длина окружности радиуса г равна 2тсг.
Независимой переменной в этой задаче служит г, O^r^R, a
известной функцией, «определяющей» искомую величину, — длина
окружности 2%г. Ясно, что площадь круга является
функцией радиуса г. Обозначим её через s = F(r);
тогда S = F(R), причём величина 5 соответ-
соответствует изменению г от 0 до R.
1) Составим дифференциальное уравнение
задачи. Для этого придадим произвольному значе-
значению радиуса г "приращение dr. Приращение пло-
площади As выразится площадью заштрихованного
Чеот 127 колечка (черт. 127), и мы найдём его главную
часть dsf если предположим, что на участке от
г до r-\-dr длина окружности не изменяется,
а остаётся равной длине при начальном «значении» радиуса г.
При этом приращение («элемент» площади круга) будет равно,
как легко понять, произведению длины окружности 2%г на прира-
приращение радиуса dr:
ds = 2irr dr.
Убедимся в том, что выражение 2nrdr действительно эквива-
эквивалентно As. Очевидно, имеем:
2иг dr < As < 2% (г -f- dr) dr,
откуда
1 < As < i i- ?
Эти неравенства и показывают, что
As ч
=1.
Итак, дифференциал площади круга равен длине окружности,
умноженной на дифференциал радиуса.
2) «Просуммируем» все элементы, когда г изменяется от 0 до R:
R
S =
3) Наконец, вычислим интеграл
Очень наглядно (но принципиально неверно!) можно представить
себе круг, состоящим из очень большого числа концентрических

Ив! § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ Й МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ 385
колец, настолько тонких, что площадь каждого из них принимается
равной площади прямоугольника с основанием, равным длине внут-
внутренней окружности, и высотой, равной ширине кольца. Это отра-
отражено структурой подинтегрального выражения: 2%r dr. «Сумма» этих
площадей (на самом деле интеграл!) и даёт площадь всего круга.
Интеграл в этой задаче выражает .площадь, но вовсе не «тра-
«трапеции»; мы интегрируем не ординату линии, ограничивающей
трапецию, а длину переменной окружности. Мы видим, что интеграл
даже в применении к задачам о площадях может получать совсем
иную, чем первоначальная, трактовку.
Можно, разумеется, задачу о площади круга решать другим спо-
способом, находя площадь соответствующей криволинейной трапеции.
Взяв уравнение окружности в виде xl-\ry* = U?, найдём:
щ
)
t
н
1.
Решать задачи с помощью интеграла можно различными спосо-
способами,' зависящими от выбора независимой переменной. Этой возмож-
возможностью необходимо пользоваться для упро-
упрощения решения.
И. Истечение жидкости из ци-
цилиндра. Цилиндрический сосуд, в дне ко-
которого имеется отверстие, наполнен жидко-
жидкостью. Найдём время 71, в течение которого
жидкость вытечет из сосуда, если высота
столба жидкости равна //, радиус цилиндра Черт. 128.
равен г, площадь отверстия равна 5 (черт. 128).
Эта задача может быть решена с помощью интеграла, если вос-
воспользоваться следующим законом Торичелли: скорость исте-
истечения жидкости в случае отверстий, небольших
сравнит ел ьно с высртой столба жидкости, равна
\f2gh> где h (см) — высота уровня жидкости над отверстием, а
?• = 981 (как известно, так же выражается и скорость свободного
падения тела в пустоте в зависимости от высоты падения). Здесь
скорость истечения жидкости численно равна весу жидкости, выте-
вытекающей за единицу времени A сек.) через отверстие в единицу
площади A см*).
Если бы убыль . жидкости постоянно возмещалась, то скорость
истечения по закону Торичелли оставалась бы постоянной, и тогда
наличное вначале количество жидкости вытекло бы за -У пг --
единиц времени (секунд), где f — удельный вес жидкости. Но без

386 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
такого возмещения уровень жидкости всё время понижается, и ско-
скорость истечения уменьшается; задача оказывается более сложной.
Пусть уровню h (высота столба жидкости над отверстием) со-
соответствует момент t (за время t уровень жидкости понизился на
И — К).
1) Составим дифференциальное уравнение задачи. Придадим
переменной h отрицательное приращение dh\ при этом переменная t
получит (положительное) приращение Ы (уровень жидкости пони-
понизится на — dh за время At). Мы найдём dt как то количество единиц
времени, которое понадобилось бы для того же понижения уровня
жидкости, если бы скорость истечения («определяющая» величина
в этой задаче) оставалась неизменной, а именно, той, которая была
при уровне h (или, что всё равно, в момент t).
Количество жидкости, вытекшей за промежуток времени от t до
t-\-dt при принятом условии измеряется ^[ighsdt. Но, с другой
стороны, оно в точности равно количеству жидкости, заключаю-
заключающейся между уровнями h и h-\-dh> т. е. —^r^dh (знак минус
взят потому, что dh<^0).
Следовательно, имеем:
/2ghsdt=
Отсюда получаем выражение для дифференциала одной величины
через дифференциал другой:
dh
2) Полное время истечения Т соответствует изменению перемен-
переменной h от Н до 0. В силу этого «суммирование элементов» искомой
величины (Т) даёт:
dh
3) Интегрирование приводит к ответу:
По этой формуле находится время, за которое вытечет жидкость
при данном начальном уровне, или, обратно, начальная высота
жидкости при заданном полном времени её истечения. Интересно,
что это реальное время истечения жидкости в два раза больше того,
которое нужно для истечения при постоянном возмещении убыли.

116]
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
387
III. Притяжение точки стержнем. Найдём силу р, с которой
однородный прямолинейный стержень длины а и плотности \i притягивает
точку М массы ш, расположенную на перпендикуляре к середине стержня
на расстоянии / от него (черт. 129).
Отложим по обе стороны от середины О стержня два равных отрезка ON
и ONi. Сила р, с которой точка М притягивается отрезком NiN, очевидно,
является функцией его длины, или,
что всё равно, угла ср между отрезком
MN и перпендикуляром МО:
ч'
а
Г 2
/
/1
\
0
N N' 1
а Л
2 —П
Придадим независимой перемен-
переменной <р приращение d<p. Тогда функция
F (у) получит приращение Ар, являю-
являющееся силой, с которой притягивают
точку М два равных симметричных q ^9
относительно точки О отрезка NN1 ^ '
и N,N1
Рассмотрим сначала действие на точку М одного отрезка NN'. Для
чтобы найти дифференциал силы, допустим, что вся масса отрезка NN1 сосре-
сосредоточена в точке N. По закону Ньютона сила притяжения будет равна к - **
где к— постоянный коэффициент. Заметим теперь, что MN =
COS ср
где
/ = МО, а
= ON' — ON = I [tg
— tg <p]
tg <p = / -^~?
(мы отбросили бесконечно малую высшего порядка относительно сГ<р). Значит,
сила притяжения между отрезком NN' и точкой М эквивалентна силе
Эту силу можно представить себе приложенной к точке М вдоль от-
отрезка MN. Нам достаточно принять во внимание лишь её составляющую
по направлению МО, так как вторая составляющая по перпендикулярному
к МО направлению уничтожится подобной же составляющей силы, притя-
притягивающей точку М к отрезку NiN[. Таким образом, учитывая влияние обоих
отрезков NN' >и NiN[, получаем:
> dp = 2k -~ cos cp dw.
Здесь правильность выражения для дифференциала очевидна, так как при его
составлении мы игнорировали лишь бесконечно малые величины высших
порядков.
«Просуммируем» все элементы искомой силы, причём угол ср должен изме-
измениться от О до угла, образуемог® отрезком МА с МО, т. е. до
Получим:
arctg %
f
sin '
arctg ;
= 2k I sin arctg ^г

388 ГЛ. VIH. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
tg a
Имея в виду, что sin а =—-z. окончательно получаем:
]/l + tg2ct '
a
Предположим, что длинна стержня а неограниченно возрастает. Тогда
сила Д возрастая, будет стремиться к величине
Это — та сила, с которой притягивает к себе «бесконечный» однородный
(плотности fx) прямолинейный стержень точку массы т, находящуюся от него
на расстоянии- /. Практически не существует «.бесконечного» стержня, но
если длина некоторого стержня велика сравнительно с расстоянием от него
точки (расположенной на перпендикуляре к его середине), то приближенно
можно считать, что сила притяжения измеряется найденным очень простым
выражением.
Если в качестве независимой переменной принять не угол <р, а длину
стержня х = ON, то искомая сила выразится интегралом
2
р = 2kmixl f
dx
(/2 + x2) j/> + л:
Этот интеграл удобно вычислить подстановкой х = / tg cp (см. п° 98,9).
При этом
arctg —.
p=z2k ~- \ cos <p cfy.
oJ
Таким образом, выбор угла <р в качестве независимой переменной фактически
осуществил подстановку, приводящую сложный интеграл к табличному
интегралу (от cos <p).
Переход к конкретной задаче, решаемой с помощью интеграла,
от одной независимой переменной к другой означает не что иное,
как замену переменной в интеграле. В силу этого — подчеркнём ещё
раз — удачный выбор независимой переменной (или, что всё равно,
системы координат) избавляет в дальнейшем от сложных действий
при отыскании интеграла.
Рассмотренные задачи наглядно иллюстрируют многообразие во-
вопросов, которые могут быть исследованы с помощью понятия инте-
интеграла.
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ.
ПРОЦЕССЫ ОРГАНИЧЕСКОГО РОСТА
117A29). Площадь фигуры. Все разбираемые в этом параграфе
задачи могут быть всякий раз решены заново по схеме, которая
была составлена в п° 115. Но, так как они имеют большое значение
и часто встречаются, мы здесь решим их в общем виде и получим
окончательные формулы, которые рекомендуем запомнить.

887] § 2. некоторые задачи геометрии и статики 389
Начнём с задачи о вычислении площади плоской фигуры, или,
как говорят ещё, о квадратуре фигуры. Исторически эта за-
задача так непосредственно связана с интегрированием, что часто само
отыскание интеграла называют квадратурой, и если какая-нибудь
задача приводит к вычислению интеграла, то говорят, что она сво-
сводится к квадратуре,
I. Система декартовых координат. При задании линии,
ограничивающей фигуру, уравнением в декартовой системе координат
удобно в качестве основной фигуры, площадь которой опреде-
определяется одним интегралом, принять криволинейную тра-
трапецию. Для её площади 5 (в предположении, например, что
имеем формулу
S=(f{x)dx,
где^=/(лг) — уравнение ограничивающей трапецию линии, а ^ и
Х% — значения х7 соответствующие началу и концу этой линии (считая
слева направо).
Если уравнение линии задано в параметрическом виде лг
y = ^(t), то, совершая подстановку в интеграле по формуле x =
очевидно, получим: '
«1
где Tt и Г2 — значения, между которыми изменяется t, когда
точка пробегает слева направо всю линию, ограничивающую тра-
трапецию.
Примеры. 1) Найдём площадь S, ограниченную эллипсом
^-f|g= 1. Имеем:
а
S = 2 V ydx.
— а
Здесь удобно перейти к параметрическому заданию: x = acost,
у = Ъ sin t. Тогда
о
S = —2ab f sin* tdt
Вычисление даёт:
S = 2ab \ sin*tdt=:2ab . ~(t—sin t cost)

390
ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
[117
Использование параметрических уравнений здесь выполняет в сущ-
сущности тригонометрическую подстановку в интеграле
2) Вычислим площадь 5 криволинейного треугольника, ограни-
ограниченного действительной полуосью [0, 1] равнобочной гиперболы
х2—у*=1, отрезком прямой, соединяющей центр @, 0) с данной
точкой гиперболы (jc, у) — пусть эта точка лежит в первом коор-
координатном углу, — и самой гиперболой. Очевидно, имеем:
\dx.
Вычисляя интеграл (см. п° 98, пример 8), находим:
1
Находим отсюда х:
х -
2
— = ci. 25;
обозначая 25 через t, приходим к первому из указанных в п°55
(III, пример 3) параметрических уравнений гиперболы, т. е. x = cht;
второе получим из самого уравнения
ch21 —j/2 = 1, откуда у = sh t. Таким об-
образом, мы доказали утверждение о гео-
геометрическом смысле параметра t в урав-
уравнениях гиперболы, высказанное в п°55.
II. Система полярных коор-
координат. Если линия, ограничивающая фи-
фигуру, задана уравнением в полярной си-
системе координат, то в качестве основ-
основной фигуры принимается криволи-
криволинейный сектор (черт. 130).
О п р%е д е л е н и е. Криволиней-
Криволинейным сектором называется фигура,
ограниченная линией р =/(ср), с которой
любая прямая, исходящая из полюса Р, пересекается не более,
чем в одной точке, и двумя полярными радиусами ^ = Ф1 и ср==Ф2
этой литии
Таким образом, /(<р) в интервале [ФА, Ф<2] — однозначная функ-
функция. Покажем, что площадь такого сектора определяется одним
интегралом.
Возьмём произвольное значение ср, Ф^ <^ <р <^ Ф2> и соответствую-
соответствующее ему значение р. Придадим <? приращение rfcp; при этом площадь S
Черт. 130.

I18J
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ
391
сектора получит некоторое приращение AS, выражающееся площадью
сектора РММ^ Мы найдём дифференциал площади dS, если допу-
допустим, что полярный радиус р между <р и ср -|- dy остаётся неизменным.
Тогда приращение площади выразится площадью кругового сектора
РММ. Последняя, как известно из элементарной геометрии, равна
произведению половины радиуса на длину
дуги. Значит,
dS 9d9
Легко убедиться в том, что это выра-
выражение действительно является главной
частью приращения AS.
Суммирование в пределах от Фх до
Ф2 даёт формулу
Черт. 131.
Пример. Вычислим площадь S фигуры, ограниченной линией
р = a cos Зср,
которую называют трёхлепестковой розой (черт. 131).
Площадь одной шестой части всей фигуры (половины лепестка)
выражается интегралом
а2 \
Действительно, конец полярного радиуса опишет всю ограничиваю-
ограничивающую сектор линию, когда полярный угол изменится от О ДО-?-.
Следовательно, площадь розы равна
тс/6 я/2
т. е. площади круга, диаметр которого равен а.
118A31). Длина линии. Понятие длины линии, как и понятие
площади криволинейных фигур, требует специального определения.
Длина отрезка прямой устанавливается на основании самого про-
процесса измерения, состоящего, как известно, в том, что отрезок, при-
принятый за единицу длины, или его часть, укладывается в данном от-
отрезке. Число, получающееся в результате этого сравнения, и измеряет
длину отрезка. По отношению к кривой линии такой процесс изме-
измерения осуществить невозможно, так как, вообще говоря, никакая
часть кривой линии не совмещается с прямой; поэтому нужно ука-
указать то «усовершенствование» процесса измерения, которое позволит

392 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
поставить в соответствие данной линии число, принимаемое нами в ка-
качестве меры её длины.
Так же как и при определении понятия площади, мы будем заме-
заменять данную линию другими линиями, как можно лучше её изобра-
изображающими, и длины которых находятся элементарно. Такими линиями
могут служить ломаные линии. Неограниченно приближаясь ломаными
линиями к данной кривой линии, мы построим наглядный и естествен-
естественный предельный процесс для определения длины линии.
Впишем в линию ломаную, т. е. линию, составленную из отрез-
отрезков прямых, вершины которой лежат на данной линии. Длина лома-
ломаной находится элементарно, причём, исходя из очевидных геометри-
геометрических соображений, мы принимаем, что чем больше число сторон
ломаной и чем меньше наибольшая из этих сторон, тем лучше её
длина "выражает ту величину, которую следует считать длиной данной
линии. Если можно описать ломаную линию — каждая её сторона
касается данной линии, — то точно так же с увеличением числа сторон
и с уменьшением наибольшей из них её длина, вообще говоря,
приближается к величине, которую мы неизбежно должны принять
в качестве длины данной линии.
Определение. Длиной кривой линии называется предел,
к которому стремится длина вписанной в неё (или описанной)
ломаной при неограниченном увеличении числа её сторон и при
стремлении наибольшей из этих сторон к нулю.
(Можно доказать, что пределы периметров вписанных и описан-
описанных ломаных совпадают.)
Не всякая линия в соответствии с этим определением имеет
длину. Однако обычно в математике и всегда в её применениях встре-
встречаются только линии, имеющие длину или, как говорят, спря-
спрямляемые. Вычисление длины линии называют спрямлением.
Если дуга выпуклая, то, как легко видеть, её длина, в соответ-
соответствии с данным определением, больше длины любой ломаной, впи-
вписанной в неё, и меньше длины любой ломаной, описанной около неё.
Это и' есть тот принцип, из которого мы исходили при выводе
формулы для дифференциала длины линии в п°57: если линия задана
в системе декартовых координат уравнением у =f{x), то
Считая, что f (х) — непрерывная функция и что, кроме того, длина
обладает свойством аддитивности, мы получаем согласно схеме п° 115
выражение*) для длины L всей нашей линии:
х*
*) К этому же выражению мы придём, если будем прямо исходить
из определения длины. Разделим дугу на п частей, и пусть точки деления

818) § 2. некоторые задачи геометрии и стлтики 393
здесь Хх и Х<ц — абсциссы соответственно левого и правого концов
линии.
Дифференциалу длины дуги, как известно, можно придать форму,
не предполагающую предварительного выбора независимой перемен-
переменной (переменной интеграции):
При этом получаем общую формулу для длины линии в декартовых
координатах:
(В)
()
=V
(А)
где (Л) и (В) условно обозначают начало и конец спрямляемой
дуги АВ. Вместо (А) и (В) нужно подставить соответствующие им
значения выбранной переменной интеграции.
Если уравнение линии задано параметрически jc = cp (t),y = Ь (Л, то
где Тг и Г2 — значения параметра t, соответствующие началу А и
концу В линии.
имеют абсциссы Xi = xQi хи лг2, ..., хп_и хп=Х^ Проводя через каждые
две последовательные точки деления хорду, мы построим вписанную ломаную,
длина sn которой, очевидно, равна:
ть— 1
= 2
или
Л—1
где kXi — Xi+t — Xi, &yi=f(xi+i)—f(Xi). В соответствии с формулой Ла-
гранжа имеем:
тг—1
{=0
а переходя к пределу при п —> оо и при ,стремлении к нулю наибольшей из
сторон, найдем указанную в тексте формулу для длины L всей линии. То же
самое получится, если брать не вписанные/а описанные ломаные линии.
При таком подходе не нужно требование, чтобы линия в каждой своей
точке была «локально выпуклой» (см. п°57).

394 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА A18
Переходя к полярным координатам, будем иметь такую общую
формулу:
(В)
Чаще всего переменной интеграции является полярный угол <р
(уравнение разрешено относительно р), и формула принимает вид
Примеры. 1) Спрямим одну арку циклоиды
х = a (t — sin t), у = а A — cos t).
Имеем:
L — a\ ]/A — cos 02H~ sin2^ dt — 2a \ sin — й/=4
т. е. искомая длина равна восьми радиусам производящего круга.
Этот результат мы получили в п°83, III из других, косвенных, со-
соображений.
2) Для длины -дуги эллипса
x — acost, y — bsint
находим:
L =
%
где е = i- эксцентриситет эллипса. Положив cos t = и, при-
придадим интегралу другой вид:
L = а \ — ~~? dity щ = cos 7\, й« =*cos Го.
Этот интеграл (так называемый эллиптический интеграл) не
берётся в конечном виде, и поэтому длина дуги эллипса не может
быть выражена элементарной функцией. Приближённо же длина дуги
эллипса находится при помощи методов приближённого вычисления
определённых интегралов (или прямо по таблицам значений эллипти-
эллиптических интеградрв).
3) Вычислим длину логарифмической спирали р = аеШ9 от неко-
некоторой её точки (р0, ср0) до-переменной точки (р, <pj.

119] § 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ 395
Имеем:
I —
Фо Фо
/я
Здесь L даётся как функция конечного полярного угла <р. Её* можно
представить как функцию конечного полярного радиуса р:
т
Это выражение показывает, что длина дуги логарифмической спирали
пропорциональна приращению полярного радиуса дуги.
Если двигаться по спирали к полюсу, то полярный угол ср стре-
стремится к — оо. Интеграл для длины становится несобственным, и мы
получаем:
Р>
т. е. длина дуги логарифмической спирали от полюса до произвольной
её точки пропорциональна полярному радиусу этой точки.
В том, что дуге, имеющей бесконечное множество завитков,
приписывается конечная длина, нет, разумеется, ничего неожиданного.
Очень наглядно спрямляемость такой дуги может быть пояснена тем,
что из любой конечной дуги теоретически можно образовать линию
с бесконечным числом завитков, общая длина которых останется
равной длине взятой дуги. Например, из прямолинейного отрезка
длины 1 можно свернуть бесконечную прямоугольную спираль, сгибая
под прямым углом каждый раз половину последнего отрезка. Ее
длина равна 1 \ = у + т + -g- + ... j.
119A32). Объем тела. Прежде всего условимся о тех двух на-
наглядных принципах, из которых мы будем исходить при определении
объема тела:
1) объем тела обладает свойством аддитивности, т, е. объём
всего тела равен сумме объёмов частей, из которых оно соста-
составлено;
2) объём прямого цилиндра равен произведению площади фигуры,
лежащей в параллельных основаниях цилиндра, на его высоту,
Пусть дано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, и пусть
известна площадь любого его сечения, произведённого плоскостью,

396
ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
[119
перпендикулярной к некоторой прямой, например к оси Ох
(черт. 132).
При этом можно считать, что площадь такого сечения является
известной нам функцией S(x), где х—^ абсцисса точки пересечения
указанной плоскости с
осью Ох.
Предположим, далее,
что всё тело заключено
между двумя перпенди-
перпендикулярными к оси Ох
плоскостями, пересекаю-
пересекающими её в точках Х\ и А\2.
Зададимся целью най-
х ти выражение для объё-
объёма V заданного тела. Для
Черт. 132. того ЧТО5Ы это сделать,
проведём произвольную
плоскость, перпендикулярную к оси Ох и пересекающую её в точке х>
Х\ <С х <С ^V> рассмотрим объём v тела, отсчитываемый, например, от
абсциссы Хг до взятой абсциссы х. Придадим х приращение Ах;
объём v получит приращение Дг>, выражающееся объёмом части
тела, заключённой между плоскостями, проходящими через точки
х и x-\-dx (черт. 132). Вместо этой части возьмём прямой ци-
цилиндр, основанием которого является сечение тела с абсциссой х и
высота которого равна dx. Тогда приращение объёма выразится
произведением S(x)dx. Это произведение есть главная часть прира-
приращения Аи. В самом деле, ясно, что Аи подчинено неравенствам
где S и S — соответственно наименьшая и наибольшая площади
сечений в интервале [х, x~\-dx\ Деля все члены этих неравенств
на S(x)dx, получим:
Мы предполагаем, что S(x) — непрерывная функция; поэтому при
dx->0 S-+S(x) и S->S(x). Значит,
Av
S (x) dx'
1.
Что и требовалось доказать.
Таким образом,
= S(x)dx.

1I9J § 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАД\ЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ 397
Интегрируя, находим:
с2
*=J S(x)dx
Так как отыскание выражения для S(x)> вообще говоря, требует
в свою очередь интегрирования, то можно сказать, что вычисле-
вычисление объёма тела сводится к двум квадратурам.
Если рассматриваемое тело получается вращением линии j/=/(.*;)
вокруг оси Ох (причём, конечно, предполагается, что линия не пере-
пересекает её в интервале [Xlt Х%\), то поперечным сечением с абсцис-
абсциссой х служит круг, радиус которого равен соответствующей орди-
ординате линии y=f(x).
В этом случае
«
и мы приходим к формуле для объёма тела вращения
Отметим простое и удобное правило для вычисления объёмов в одном
частном случае. Именно, предположим, что площадь 5 (л:) сечения тела вы-
выражается многочленом второй степени относительно х, т. е. S (х) = ах* +
+ Ьх + с. Тогда (см. п° 108, III) будем иметь:
где H^Xz — Xi есть высота тела, SR = S(Xt\ Sc = s(
SK = 5(X*) — площади начального, среднего и конечного сече-
сечений тела. Эта формула носит название формулы Симпсона, хотя
в геометрической форме она была известна ещё Кавальери A591—1647).
Эта формула довольно часто находит себе применение. Так, например, легко
проверить справедливость её для известных из элементарной геометрии тел:
призмы, пирамиды, шара, цилиндра, конуса (полного и усечённого). Если из-
изменение площади сечения не подчиняется указанному - закону, то формула
Симпсона употребляется как приближённая. (Можно показать, что она остаётся
ещё точной, если 5 (л:) есть многочлен третьей степени относительно х:
S(x) = ах* + Ьх2 + сх + d.) Фактически такое употребление формулы озна-
означает приближённое вычисление значения интеграла (*) по правилу Симпсона
(см. п° 108) при одной промежуточной точке деления.
Из общей формулы (*) сразу вытекает так называемый принцип
Кавальери.
Два тела, ограниченных параллельными плоскостями, имеют равные
объёмы, если их высоты равны и если плоские сечения, параллельные ука-
указанным плоскостям, проведённые на одинаковых расстояниях от основа-
оснований, имеют равные площади.
Действительно, при этих условиях тела можно поместить так, что пре-
пределы интегралов (*) и подынтегральные функции в обоих случаях будут
тождественны друг другу.

398
ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
[119
Принцип Кавальери после создания дифференциального и интегрального
исчислений потерял своё значение, но в своё время он оказал большое влия-
влияние на развитие идей, легших в основу математического анализа.
Примеры. 1) Плоским сечением трёхосного эллипсоида
перпендикулярным, например, к оси Ох (черт. 133), является эллмпг
с полуосями by 1 — ^ и с I I — ~, — а^х^а.
Найдем объём- этого эллипсоида.
Площадь поперечного сечения в точке х нам известна (см. п° 117):
она выражается, как видно, квадратичной функцией от х. Поэтому
воспользуемся формулой Симпсона. Здесь
следовательно,
Если две из полуосей равны между собой, например с — b, то
для объёма этого эллипсоида вращения по-
получаем: V==—-v:ab<i. Если все три полуоси
о
равны между
объём шара
собой а = Ь =
находим
Черт. 133.
Черт. 134.
2) Вычислим объём тора («правильной баранки»)—тела, полу-
полученного от вращения круга около оси, лежащей в той же плоскости и не
пересекающей круга. Пусть круг радиуса а вращается вокруг оси Од:, при-

159]
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ
399
чём центр его лежит в точке @, b\b>a (черт. 134). Уравнением вращаю-
вращающейся окружности будет:
л* + (.у-*)« = <!*.
Мы, очевидно, найдём искомый объём, если из объёма тела, образован-
ного вращением верхней половины окружности (у = Ъ + |/ «* - *2), вычтем
объем тела, образованного вращением нижней половины окружности
=z& — У а? — Л'3). Имеем:
и далее, полагая х = й sin
cos21 dt=z 8тс#я2 —r- = 2'
3) Коноидом называется тело, основаниями которого
с л у ж а т д в е п л о с к и е ф и г у р ы (и л и л и н и и), лежащие в парал-
параллельных .плоскостях, а боко-
боковая поверхность составлена
из прямых, соединяющих по
некоторому закону точки
контуров оснований.
Вычислим объём V следующего ко-
коноида: нижчим основанием его являет-
является круг радиуса г, верхним — отрезок
прямой длины 2г, расположенный над
каким-нибудь диаметром круга на вы-
высоте, равной а\ прямыми соединяются
точки окружности и точки отрезка,
имеющие общую проекцию на диаметр,
являющийся проекцией указанного от-
отрезка (черт. 135). На чертеже видно,
как удобно расположить систему коор-
координат. Сечением, перпендикулярным к
оси ординат в точке у, будет равнобедренный треугольник, основание кото-
которого равно 2 У г2 —у'2, а высота равна а. Значит,
Черт.
=a \V r* — y* dy=*2a\ У г* — у* dy = 2ar* \
J oJ о
cos21 dt = 4- *r*af
т. е. объё'м этого коноида равен половине объёма прямого цилиндра с теми
же основанием и высотой.

400
ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
[120
ирос в общем случае см. часть
Пусть некоторая дуга АВ
оси Ох (черт. 136), образуя
120 A33). Площадь поверхности вращения. Рассмотрим сейчас
только задачу об определении площади поверхности вращения (во-
II п° 178).
линии y=f(x) вращается вокруг
поверхность, площадь Q которой
требуется установить. Мы
предполагаем, что дуга
АВ «локально выпуклая»
и везде имеет касатель-
касательную.
Будем исходить из
таких двух естественных
принципов:
I). площадь поверхно-
поверхности обладает свойством
аддитивности;
2) если к вращаю-
щейся бесконечно малой
выпуклой (вогнутой) дуге
Черт. 136.
проведены касательная и хорда, то площадь поверхности меньше
(больше) площади поверхности, полученной от вращения соответ-
соответствующего отрезка касательной,, и больше (меньше) площади по-
поверхности, полученной от вращения хорды.
Обозначим через Хх и Х% абсциссы концов дуги (Х1<^Х^.
Проведём через произвольную точку х, Х1<^х<^Х2> плоскость,
перпендикулярную к оси Ох. Придадим х приращение dx; тогда
площадь q поверхности, отсчитываемая от какого-нибудь постоянного
сечения, получит приращение Aq, равное площади поверхности, за-
заключённой между плоскостями, перпендикулярными к оси Ох и про-
проходящими через точки х и х -\- dx. В соответствии с принципом 2) kq
удовлетворяет следующим неравенствам (считая, например,
Действительно, выражение слева измеряет площадь поверхности
усечённого конуса, образующей которого служит хорда дуги, а вы-
выражение справа даёт площадь поверхности усечённого конуса, обра-
образующей которого служит отрезок касательной. Деля все члены не-
неравенства на 2ъу )/dx*-\-dy*f находим:
Any -\- 2я Ду У Дл:2 + Ду3 ^ Д<7
<
~4«у ydx* + dy* 2%у]
Так как при dx -> 0 и левая и правая части стремятся к 1, то и
—.Л<?

ISO] § 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ 401
Знаменатель дроби в клевой части — главная часть Д<7, — будучи
пропорциональным dx Bтсу yfdx* -\- dy* = 2пу /l -J- у* dx), яв-
является искомым дифференциалом:
dq = 2тсу ]/^лга -j- <(Уа» или короче cty =
Следовательно,
Вместо (А) и (В) нужно подставить соответствующие им зна-
значения выбранной переменной интеграции. Если уравнение линии
разрешено относительно у, то формулу удобно взять в виде
*
Q = 2c \f(x)/
если же уравнение линии задано параметрически # = ср(/), у = <}>(/),
то
Q = 2т: f ф @ /^@ + ^@ Л, П < Ть
t
где ^ и Г2 — значения параметра tt соответствующие точкам А и В
линии.
Примеры. 1) Вычислим площадь сферического пояса. Пусть
дуга окружности с центром в начале координат и радиусом г вра-
вращается вокруг оси Ох. Из уравнения окружности лг2-|-У* = г*
имеем: у = г2 — х*> уу' = — х, и, значит,
— **) 4- ^2 ^ =
где Я—высота пояса. При ЛГ=2г^ получаем площадь сферы
2) Найдём площадь поверхности тора (см. п° 119, пример 2). Она, оче-
очевидно, равна сумме площадей поверхностей, образованных вращением верх-
верхней и нижней половин окружности хг + (у — ЬJ = а8. Так как
а. Ф. Вврмант

402 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 1121
то
2*
dx с ' du
=**nh \ r =
du
arcsin
121 A34). Центр тяжести и теоремы Гюльдена. Если массы ти т2,..., тп
сосредоточены в точках Mi (лгь yt\ М2 (дг2, д>2),..., Мп (хп, уп) на плоскости,
то координаты центра тяжести М(?, у) этой системы точек даются форму-
формулами
Заметим, что для однородной системы материальных точек
,. = шл) координаты центра тяжести
не зависят от величины массы, а зависят исключительно от расположения
точек.
Произведение массы. точки на её расстояние от какой-нибудь оси на-
называется статическим моментом этой точки относительно оси. По-
Поэтому произведения х^ и 5>//и* СУТЬ статические моменты точки Mi отно-
относительно соответственно осей Оу и Ох. Сумма статических моментов то-
точек называется статическим моментом системы. Следовательно,
координаты центра тяжести системы точек М,(;с/, у{) могут быть выражены
так:
с^ Мх
где Мх и Му—статические моменты системы относительно осей Ох и Оу,
aiM- сумма масс. Отсюда Ш = Му, *№ = Мх\
Таким образом, центр тяжести можно определить как такую
точку, что если в ней сосредоточить всю массу системы, то её стати-
статический момент относительно какой-нибудь оси будет равен соответствую-
соответствующему статическому моменту всей системы.
Обратимся теперь к вопросу о центрах тяжести не систем конечного числа
точек, а сплошных протяжений (линий, плоских фигур, поверхностей, тел),

121]
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ
403
сохраняя и для этих случаев данное определение центра тяжести. Поэтому
вопрос сводится к определению статических моментов рассматриваемых
протяжений относительно осей координат, для чего приходится уже обра*
титься к понятию интеграла.
I. Линия. Определим статические моменты Мх и Му материальной одно-
однородной дуги АВ линии y = f(x) (черт, 137). Мы принимаем, что она имеет
только одно измерение и что её
плотность равна &
Пусть Xi и Хь — абсциссы
концов дуги. Придадим произволь-
произвольному значению х% Хх < х < Х9,
приращение dx. Тогда статический
момент тх дуги АС относительно
оси Ох получит приращение Дт*,
равное статическому моменту дуги
СС (ибо статический момент це-
целого равен сумме статических мо-
моментов составляющих его частей).
Мы получим главную часть при-
приращения, пропорциональную dx,
т. е. dmx, если заменим дугу СС
отрезком касательной СС" и возь-
возьмём статический момент точки С
в предположении, что в ней сосре-
сосрех x+dx
Черт. 137.
доточена вся масса отрезка СС".
Так как эта масса, очевидно, равна произведению плотности
отрезка, то
на длину d$
dmx = by ds.
Подобным же образом
Интегрируя, придём к формулам
Мх
(В)
Ь 1 у dst
Му
:Ъ \ xdS.
(В)
1
Вместо (А) и (В) нужно подставить соответствующие им значения выбран-
выбранной переменной интеграции.
Для вычисления координат центра тяжести дуги остаётся разделить
My и А1Х на массу всей дуги. Значит,
W
ds
Отсюда видно, что в случае однородной дуги координаты её центра
тяжести не зависят от плотности.
Докажем, что если дуга имеет ось симметрии, то центр тяжести
обязательно лежит на этой оси. Расположим систему координат так, что»

404
ГЛ. VII!. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
A21
бы осью симметрии была ось Оу. Нужно доказать, что при этом условии
|«0, т. е. что
i *rfS = 0.
Вследствие симметрии дуги относительно оси Оу имеем:
Jbs-A^o, f(-x)=f(x\ /'(-*) = -/'(*),
откуда /'* (—¦ лг) =/'а (х), и интеграл
,(В)
действительно равен нулю, так как подинтегральная функция нечётна в
интервале интегрирования [—а, а].
II. Криволинейная трапеция. Перейдём к отысканию статиче-
статических моментов и координат центра тяжести плоской материальной однород-
однородной фигуры (пластинки). Мы принимаем, что она имеет только два измерения
(не имеет толщины) и что её плот-
плотность равна Ь.
Благодаря тому свойству стати-
статического момента, что момент целого
равен сумме моментов всех его ча-
частей, задача сводится к вычислению
Статических моментов криволинейных
трапеций относительно осей коор-
координат.
Возьмём криволинейную трапе-
трапецию с основанием на оси Ох, огра-
ограниченную дугой АВ линии j; =/(*).
Придадим произвольному значению
х, Xi<x<X2 (Xi и X* — абсциссы
концов дуги), дриращение dx. Тогда
статические моменты тх и ту трапе-
трапеции CCFD (черт. 138) получат при-
приращения Атх и Дт/Гу, являющиеся моментами трапеции CCFD относительно
осей Ох и Оу. Мы найдём главные части приращений, пропорциональные
dx (т. ^е4 dmx и dmy), если заменим эту трапецию прямоугольником CCFD и
возьмём статические моменты ординаты CD в предположении, что на ней
равномерно сосредоточена вся масса прямоугольника CCFD. Эта масса
равна произведению плотности о на площадь da прямоугольника; что касается
моментов отрезка CD, то они равны моментам его центра тяжести, который,
очевидно, находится в середине отрезка. Таким образом,
0
Черт. 138.
откуда
dmx = -s- by с/о, dm v = Ьх do,
(В) (В)
If С
Т * 1 У а°> Му = Ь \
Ш {А)

I2IJ § 2. некоторые задачи геометрий и статики 405
У
I*,
А
У
Так как масса всей трапеции равна Ь \ й<з, то формулы для координат
А
центра тяжести имеют вид
(А)
р
11"" 2 (В)
Вместо (Л) и E) нужно подставить соответствующие им значения выбран-
выбранной переменной интеграции. Чаще всего эти формулы имеют вид
х2
*i- - 1 х±
^ydx \ydx
(**)
Здесь мо^кно показать ещё проще, чем в I, что если есть ось симметрии, то
центр тяжести обязательно лежит на этой оси.
Мы снова видим, что координаты центра тяжести в случае однородности
не зависят от плотности.
Вследствие того что фактические вычисления координат центров тяжести
линии и плоских фигур не отличаются от аналогичных вычислений в задачах
чисто геометрического характера, мы не будем разбирать конкретных при-
примеров, а остановимся лишь на одном очень интересном геометрическом
следствии, заключающемся в простом правиле для отыскания площадей
поверхностей и объёмов тел вращения.
III. Теоремы Гюльдена. Из второй формулы (*) имеем:
. L.y]= \ yds,
где L — длина дуги АВ (черт. 136). Умножая обе части на 2тс, получим:
А
L ¦ 2щ = 2я \у ds.
Правая часть даёт площадь поверхности, образованной вращением дуги АВ
вокруг оси Ох (п° 120), а множитель 2щ в левой части — длину окружности,
описанной центром тяжести дуги.
Первая теоремаГюльдена*). Площадь поверхности, полученной
от вращения дуги линии вокруг оси, не пересекающей её, равна произведем
*) П. Гюльден A577—1643). Теоремы, носящие имя Гюльдена, были
известны еще александрийскому учёному Паппу C00 л. до н. э.).
14 А. Ф. Бермант

406 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА |12f
иию длины этой дуги на длину пути, описанного центром тяжести дуги
(в предположении, что она однородна):
<? = Д где / = 2ят|.
Теорема останется справедливой, если дуга сделает не полный оборот
(на угол 2тс), а повернётся вокруг оси на угол а (а < 2я); тогда / = аг\. Она
верна и в случае, когда вращается замкнутая линия (не пересекающая ось).
Это можно проверить, сравнив явные выражения для центра тяжести линии
и для площади соответствующей поверхности вращения.
Эта теорема позволяет по двум из величин Q, Z,, v) найти третью.
Например, площадь поверхности ,тора (см. п° 120, пример 2) находится
сразу: L = 2яя, / = 2я# и, значит,
Q = \тС-аЬ.
Найдём ещё площадь поверхности, образованной вращением полуокруж-
полуокружности вокруг своей касательной в средней точке. Для этого узнаем поло-
положение центра тяжести полуокружности. Ясно, что он лежит на радиусе,
перпендикулярном к диаметру, соединяющему концы полуокружности. Вра-
Вращение полуокружности около этого диаметра даёт сферу; по теореме Гюльдена
Апг2 = яг-2тп),
откуда
2г
Следовательно, центр тяжести находится на расстоянии г от заданной
оси вращения.
Снова, применяя теорему Гюльдена, получим искомую площадь:
Q =яг • 2<к (г — ~\ = 2*г2 (л — 2).
Перейдём ко второй теореме Гюльдена.
Из второй формулы (**) мы имеем:
где 5 — площадь трапеции ABGE (черт. 138); умножая обе части на я, получим:
S • 2*i)=ir 1 .у2 dx.
I
Правая часть даёт объём тела, образованного вращением этой трапеции
вокруг оси Ох (п° 119).
Вторая теорема Гюльдена. Объём тела, полученного от вра-
вращения трапеции вокруг её основания, равен произведению площади этой
трапеции на длину пути, описанного центром тяжести трапеции (в пред-
предположении, что она однородна):
V=S/, где /=2ят).
Теорема останется справедливой, если трапеция сделает не полный обо-
оборот, а повернётся вокруг оси на угол а (а <с 2тс); тогда / = щ. Она верна и
в случае, когда вращается не трапеция, а какая-нибудь фигура (не пересе-
пересекающая ось вращения). Это можно проверить, сравнив явные выражения
для центра тяжести фигуры и для объёма соответствующего тела вращения.

§ 2. некоторые задачи геометрии и статики 407
Вторая теорема Гюльдена позволяет по двум из величин V, 5, vj найти
третью.
Например, объём тора (см. п° 119, пример 2) находится сразу: S~na2,
1 = 2ъЬ и, значит,
V = 2n*a4.
Найдём ещё объём тела, образованного вращением полукруга вокруг
касательной в средней точке полуокружности. Для этого узнаем положение
центра тяжести полукруга. Ясно, что он лежит на радиусе, перпендикуляр-
перпендикулярном к основанию полукруга. Вращение полукруга около этого основания
даёт шар; по теореме Гюльдена
4 1
— тег3 = -су пг2 • 2tiy],
откуда
Аг
Следовательно, центр тяжести находится на расстоянии г — ^- от за-
заданной оси вращения. Снова, применяя теорему Гюльдена, получим искомый
объём:
Замечание 1. Определение статических моментов и координат центра
тяжести тел и поверхностей основано на рассмотрениях вполне подобных
тем, которые изложены выше в^ случаях 1 и II. Так, например, ясно, что
центры тяжести однородных тел и поверхностей вращения лежат на оси
вращения. Пусть осью вращения служит ось Ох. Тогда статический момент
тела относительно оси Оу имеет вид
(В)
= Ъ f
xdv,
СА)
где S — плотность тела, А и В — начальная и конечная точки вращающейся
дугр^ dv — дифференциал объёма тела. Для абсциссы центра тяжести имеем
выражение
(В) X.
xdv I xy2dx
i
(А)
(Д)
где Xi и Х>2 — абсциссы точек А и В.
Точно так же для абсциссы центра тяжести поверхности получаем формулу
ху у \
14*

408 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА |122
Замечание 2. В механике применяются ещё так называемые м о-
менты инерции. Моментом инерции материальной точки относи-
относительно какой-нибудь оси называется произведение массы этой точки на
квадрат её расстояния от оси. Поэтому статический момент иногда назы-
называют моментом первого порядка, или линейным (расстояния
берутся в первой степени), а момент инерции — моментом второго
порядка, или квадратичным (расстояния берутся во второй степени).
От момента инерции точек к моментам инерции сплошных протяжений
(линий, фигур, поверхностей, тел) переходят совершенно так же, как и
в вопросе о статических моментах. Вполне очевидно, что для моментов
инерции относительно осей координат при этом получатся выражения,
которые отличаются от соответствующих выражений для статических момен-
моментов лишь тем, что вместо первых степеней координат под интегралы войдут
их квадраты. Например, моменты инерции 1у относительно оси Оу линии,
трапеции, поверхности вращения и тела вращения выразятся соответственно
так:
(В) (В) (В) (В)
Гу = Ъ \ x*d$, 1у=:Ъ С x*ds, 1у = Ъ f x*dq, 1у = Ъ С x*dv.
(А) (Л) (А) (А)
122 A35). Процессы органического роста. Процессом органического
роста называют всякий процесс, в котором участвуют две переменные вели-
величины х и у, дифференциальный закон которого выражается так:
dy = ky dx,
где & —постоянный коэффициент (см. п°58).
Интегрирование приводит к показательной функции, с помощью которой
выражается интегральный закон процесса органического
роста:
у = С.е**.
I. Размножение микроорганизмов. Известно, что колония
микроорганизмов в начале опыта весила Мо = 0,05 г, а через 2 часа М2 =
= 0,06 г; найдём, сколько будет весить эта колония через 3 часа.
Обозначим через М вес колонии в момент t\ принимая, что возрастание
веса вследствие размножения происходит по закону органического роста
dM = kMdt, получим после интегрирования:
М = Моеы.
Следовательно, М2 = 0,06 = 0,05efe'2, откуда Дг = 0,0915. Таким образом, зави-
зависимость веса колонии от времени определяется формулой
В частности, подставляя ? = 3, найдём:
II. Распад радия. Задача о распаде радия доставит нам пример про-
процесса, в кртором одна величина с увеличением другой убывает по закону
органического роста.
Так как каждую часть данного запаса радия следует считать источником
образования нового вещества, то ясно, что чем большее количество радия
имеется в данный момент, тем большее количество вещества из него выде-
выделяется. Принимая закон органического роста, напишем:
dx , .л 1 dx
Ti=-kx> или Л = -ТТ|

122] § 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ 409
где х — количество радия в момент t, k — постоянный коэффициент. Знак
минус взят потому, что положительному dt соответствует отрицательный dx:
с увеличением промежутка времени количество радия уменьшается.
Имеем:
? ___ _ I
a
где а — количество радия при ? = 0. Следовательно,
1 1 х -ы
t = г- Ш — И X = Д^ .
k a
Из этих уравнений можно определить х по t и tf по л:, если известны
я и ?.
Пусть, например, половина начального количества а=1 г радия В рас-
распадается (образуя радий С) в течение 26,7 мин. Из равенства 26,7 = —~ь^п±Г
находим Aj^» 0,026; значит, процесс протекает по формуле
х = е~~°*ош
Для того чтобы узнать, какое количество осталось нераспавшимся,
например, через 10 мин. после начала опыта, достаточно в эту формулу
подставить t=. 10:
Так как убывающая функция е~ы с увеличением t всё медленнее умень-
уменьшается, то распад радия является процессом замедляющимся.
III. Барометрическая формула. Рассмотрим призматический
столб воздуха с сечением в 1 ж2, основание которого находится на уровне
моря. Очевидно, что давление р на высоте h является убывающей функцией
Нч Если бы плотность воздуха не менялась с высотой, то давление на
высоте h было бы меньше давления на уровне моря просто на вес столба
воздуха до высоты /г, численно равный koh, где k0 — плотность воздуха
на уровне моря. Но плотность в свою очередь зависит от давления и также
уменьшается с высотой.
Придадим h положительное приращение dh и найдём связь между dh
и dp. Увеличению h на dh соответствует уменьшение давления Др, численно
равное весу воздуха между двумя горизонтальными сечениями столба на
высотах h и h-\- dh. Мы получим dp, если допустим, что в промежутке от h
до h-\-dh плотность воздуха не меняется и остаётся такой же, как и на
высоте h.
Тогда
dp = — k dhy
где k — плотность на высоте h.
Сделаем допущение, что от уровня моря до интересующей нас высоты
температура воздуха остаётся постоянной. Тогда по закону Бойля-Мари-
отта будем иметь:
где р0 — давление на уровне моря. Поэтому
=-*°LPdh и dh=-e±*?.

410 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 1122
Так как высоте h соответствует изменение давления от р0 до /?, то
Pa
Отсюда
Эта формула, дающая выражение для давления через высоту, называется
упрощённой барометрической (или гипсометрической) форму-
формулой. Упрощение заключается в предположении постоянства температуры в слое
воздуха от уровня моря до высоты ft. В природе этого постоянства не наблю-
наблюдается; температура довольно сильно меняется с высотой, и, желая учесть
это изменение, нельзя пользоваться при решении задачи законом Бойля-Мари-
отта. Нашу формулу можно применять только как ориентировочную для не
очень больших Л. Более же точная барометрическая формула значительно
сложнее.

ГЛАВА IX
РЯДЫ
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
123 A37). Понятие ряда. Сходимость.
I. Ряд. Понятие ряда возникает уже в элементарной математике
в связи с задачей выражения данных чисел посредством других чисел,
например посредством самых простых, в известных отношениях, чисел:
десятичных дррбей. Пусть нужно выразить через десятичные дроби
5 5
две дроби: -^ и -д-. Деление числителя на знаменатель для первой
дроби заканчивается без остатка f-g- равно «конечной» десятич-
десятичной дроби 0,625], а для второй вовсе не заканчивается (-д- равно
«бесконечной» периодической десятичной дроби 0,555 ... ]. Та-
ким образом, число -g- равно сумме десятичных дробей: in 4~ us ~Н
+ TQ8» а для того чтобы число -д также можно было считать сум-
суммой десятичных дробей, согласились рассматривать выражение,
состоящее из «бесконечного» множества дробей:
и приписывать ему «сумму», вычисляемую по определённому пра-
правилу (в данном случае -g- =, _[. 1. Мы получили пример ряда,
изучаемого в курсе элементарной математики, — геометрическую про-
прогрессию. Так будет всякий раз при представлении рациональ-
рационального числа посредством десятичных дробей, как говорят, при «пре-
«превращении» обыкновенной дроби в десятичную (за исключением случаев,
когда рациональное число равно конечной десятичной дроби).
Если попытаться представить и иррациональное число
с помощью десятичных дробей, то мы также придём к «б ее ко-

412 гл. тх. ряды
н е ч н о й» дроби, но уже не образующей геометрической прогрес-
прогрессии: десятичная дробь не будет периодической. Например,
= 1,4142... =
= 2,7182... = 2 + ^
ни в одной из этих дробей нет периода, ибо в противном случае
соответствующее число было бы рациональным.
К выражениям, состоящим из бесконечного числа членов, после-
последовательно прибавляемых к ранее сложенным, естественным образом
приводит и задача представления данной функции с помощью дру-
других функций, например с помощью наиболее простых функций —
многочленов. К этой задаче мы обратимся несколько позже, в § 3,
а пока займёмся вопросом о рядах вообще.
Пусть дана последовательность иг, м2, ... , ип, ...
Определение. Выражение
называется рядом, а ии иг, ..., ип9 ... — членами его.
Если это выражение состоит из конечного числа членов, ряд
называется конечным; если же члены образуют неограниченную
последовательность, ряд называется бесконечным. Разумеется,
интерес для нас сейчас представляют именно бесконечные ряды; их
обычно называют просто рядами, опуская термин «бесконечные».
Если все члены ряда — числа, ряд называется числовым,
а если они являются функциями, то — функциональным.
Выражение для п-го члена ряда при произвольном п называется
общим членом ряда. Можно сказать, что ряд задан, если задана
функция целочисленного аргумента п, выражающая общий член
ряда. Так, если общие члены рядов суть: нЛ = 2я, кл=~р> то на"
чальные «отрезки» этих рядов лмеют вид
±+±+± ±+±+±
2 "Г 4 ~ 8 ' \р » 2? ~ ЗР'
(считая здесь я=1, 2, 3).
II. С у м м а ряда. Обратимся к определению понятия суммы
ряда
Сумму п первых его членов обозначим через sn:

I23J § 1. числовые ряды 413
С неограниченным увеличением п в сумме sn учитывается всё
большее и большее число членов последовательности. Поэтому есте-
естественно дать следующее определение.
Определение. Суммой s последовательности ии и2, ...
..., ипУ ... называется предел (если он существует) суммы п пер-
первых членов sn последовательности при я, стремящемся к беско-
бесконечности:
5 = lim sn = lim (uY + я2 + • • • + ««)•
П-+СО П-*СО
Записывают это так:
и 5 называют суммой ряда ut -f- щ + • • • ~Ь ап + • • •» а sn — ча~
с тинными суммами.
Такое определение суммы мы уже использовали при суммирова-
суммировании членов бесконечной геометрической прогрессии (п° 28, III) и
членов последовательности 1, ур,^-, ...» jj, ... (п°41).
Итак, каждому ряду щ -f- н2 -f-... -j- ип -\~... соответствует
последовательность sl9 s%i ..., sn, ..., где sn = Mj -f- w2 +...
...-)- кл; предел 5 этой последовательности есть «сумма» ряда. Обратно,
каждой сходящейся последовательности аи аъ ..., ап, ...
можно поставить в соответствие ряд wt -f- гг2 -f-... -(- мл ~h • • •> где
ип = ап — ап__ъ сумма которого 5 есть предел данной последова-
последовательности; действительно,
и 5 = Цт5л=Нтал. Следовательно, отыскание суммы ряда есть
просто иная, очень часто удобная, форма перехода к пределу в по-
последовательности.
Пусть ряд щ -f- щ -|п... -(- ип -f-... имеет сумму 5. Тогда
где гл = кл+1 -f- кл+2 -|-... — бесконечный ряд, называемый п-м
остатком ряда. Остаток ряда — это та ошибка, которую мы
допустим, приняв в качестве приближённого значения суммы ряда
его я-ю частичную сумму.
Определение. Ряд, который имеет сумму, т. е. для кото-
которого sn имеет предел при п~>оо, называется сходящимся. Если
же sn предела не имеет (в частности, стремится к оо), то ряд
называется расходящимся.
Примерами сходящихся рядов могут служить: бесконечная геометри-
геометрическая прогрессия при |?|<1; ряд 1 -fl-J-J -\- ... + if +•••>
сумма которого равна числу е.

414 гл. ix. ряды [123
Примерами расходящихся рядов могут служить: бесконечная
геометрическая прогрессия при | q | ^> 1; ряд 1 -|- 3 -\- 5 -\-...
...-}- Bп — 1) -f-... (действительно, sn = ri* и, значит, sn -> оо при
п -> оо); ряд 1 — X —|— 1 — 1 -)-... (здесь sn равно 0 или 1 в зави-
зависимости от того, будет ли п чётным или нечётным, и поэтому sn
не имеет предела).
III. Необходимый признак сходимости. Оказывается,
что сходящиеся ряды в некоторых отношениях сохраняют свойства
обыкновенных конечных сумм.
Естественно поэтому, что первый важнейший вопрос, относя-
относящийся к данному ряду, состоит в выяснении того, сходится он
или расходится. Нашей ближайшей целью здесь будет изложение
признаков, при помощи которых по общему члену
ряда можно судить о сходимости или о расходи-
мостиряда.
Замечание. При исследовании вопроса о сходимости ряда
можно не принимать в расчёт (просто отбрасывать) любое конечное
число начальных членов ряда. В самом деле, пусть n — N-\-m\ обо-
обозначим через s# сумму N первых членов, через s'm — сумму следую-
следующих за ними т членов. Тогда
Считая N постоянным, мы видим, что при п -> оо также т->оо
и sn имеет или не имеет предел совместно с $'т.
Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд
сходится, то общий член стремится к нулю при неограниченном
возрастании его номера.
Доказательство. Имеем:
если ряд сходится, то
lim sn_x = s и lim sn — s. l
Л—ЮО Л—ЮО
Отсюда следует, что
lim un= lim (sn — sn_t)= lim sn— lim sn^ = s — s = 0.
Из доказанного необходимого признака сходимости вытекает
достаточный признак расходимости ряда:
Если ип не стремится к нулю, то ряд не может быть сходя-
сходящимся, т. е. он расходящийся.
Возьмём, например, ряд
_L _L A _L ?_ _L_ ! п {
101 ~^ 201 "Т" 301 "Г" •••~t~ 100л+1 "» #'f

I24J I 1. числовые ряды 41 б
Этот ряд расходится, ибо его общий член ип = 1QQn i 1 при
п-+оо стремится не к нулю, а к ™.
Однако стремление п-го члена ряда к нулю не является
достаточным для сходимости ряда.
Возьмём классический пример так называемого «гармонического
ряда»
1.1. . 1 .
Хотя здесь и„= >0, тем не менее ряд расходится. В самом деле,
мы сейчас докажем, что sn-+oo при я->оо. Так как лг^>1пA -\-х)
(п°68, III, пример 3), то sn= I +| + l-f ... + -jj-> In
T. e.
ввиду того что In (лг —|— 1)-*оо при #-^оо, sn также неограниченно
возрастает.
124 A38). Ряды с положительными членами. Достаточные
признаки сходимости. Обратимся сейчдс. специально к рядам, все
члены которых положительны. Для таких рядов некоторые
употребительные достаточные признаки сходимости или расходимости
могут быть извлечены из двух простых теорем, относящихся к
сравнению данного ряда с другим рядом, сходимость или расхо-
расходимость которого известна заранее.
Пусть даны два ряда с положительными членами
со
2 «I.*
vn^0. B)
Теорема 1 *). Если каждый член ряда A) не больше соот-
соответствующего члена ряда B), т. е. ип <, vn (п = 1, 2, ...), и если
ряд B) сходится, то ряд A) также сходится.
*) Вследствие замечания на стр. 414 теоремы 1 и 2 остаются справед-
справедливыми и в том случае, когда условиям теорем удовлетворяют члены рядов
не при всех п, а лишь начиная с некоторого п = N,

416 гл. ix. ряды [124
Доказательство. Положим:
ап при возрастании индекса п не убывают: sn+1 и ап+1 полу-
ап добавлением к ним неотрицательных слагаемых
и т/л+1. Так как ап, по условию, стремится к пределу — обозна-
обозначим его через а, — то ап ^ а при всяком п. Но также в согласии
с условием теоремы sn^on) значит, sn^a при всяком п. Итак, sn
при л->оо есть неубывающая и ограниченная функция; поэтому sn
стремится к пределу.
Теорема 2. Если каждый член ряда A) не меньше соот-
соответствующего члена ряда B), т. е. un^vn (n=l, 2, ...)»и ряд
B) расходится, то ряд A) также расходится.
Доказательство. Так как ап = 2jVk не убывает, то расхо-
*-1
димость ряда B) может происходить только вследствие того, что
сЛ->оо. Но, по условию, sn^an и, значит, $Л также неограниченно
возрастает при п-+оо, т. е. и ряд A) расходится. (Теорема 2 также
легко следует — методом от противного — из теоремы 1.)
Что и требовалось доказать.
В качестве примера на применение этих теорем рассмотрим ряд
1 ЬЬ+ + +
где /?^>0. Покажем, что этот ряд расходится, если р^1, и схо-
сходится, если р>> 1.
Пусть /?^1. Тогда каждый член ряда не меньше соответствую-
соответствующего члена гармонического ряда:
так как гармонический ряд расходится, то, значит, расходится и наш
ряд. Например, ряд 1 -f- —= -f- tj= +... расходится.
Пусть теперь /?]>1. Сгруппируем члены ряда так:
В каждой скобке заменим все члены наибольшим из них (первым);

•24) § i. числовые ряды 417
получим ряд
I 12Р I 2Р / ' \ ~4& I 4^ I 4^ I ^р) ~"Г * * * у
т. е.
Этот ряд является геометрической прогрессией со знаменателем q,
меньшим 1 (<7 = -2J3=r<C ^ значит, он сходится, а так как каждый
член ряда (#) меньше соответствующего члена ряда (**), то данный
ряд при р ^> 1 сходится.
Например, ряд 1 -f- -^ -f- -^ -{*"... сходится.
Принимая в качестве ряда для. сравнений геометрическую про-
прогрессию, можно вывести из указанных теорем практически удобные
достаточные признаки сводимости и расходимости.
Возьмем ряд
с положительными членами.
I. Признак Даламбера*) (общий). 1) Если отношение
Ъп последующего члена ряда к предыдущему
8 =Е»±ь
начиная с некоторого номера n = N, остается меньше числа <у,
меньшего 1, <7<1, т. е. Ъп<^д, то ряд сходится;
2) если отношение 8Л последующего члена ряда к предыду-
предыдущему, начиная с некоторого номера n = N, остаётся не меньше 1,
т. е. 8Л ^ 1, то ряд расходится.
Доказательство. Отбросим в заданном ряде первые Af—1
членов, что, как известно (п° 123), не повлияет на сходимость ряда.
Тогда при n^N будем иметь:
в случае 1):
и мы получаем сходящуюся (так как q<^ 1) геометрическую
прогрессию
qtin -f фпп +...,
*) Даламбер A717—1783) — знаменитый французский математик и
энциклопедист. Много сделал для развития математического анализа. Излагае-
Излагаемая точная форма признака принадлежит, впрочем, не Даламберу, а Коши.

418 гл. ix. ряды A24
каждый член которой боль ш е соответствующего члена данного
ряда. Значит, этот ряд сходится (см. теорему 1);
в случае 2):
и мы получаем расходящийся ряд
«я + Un + • • • >
каждый член которого меньше соответствующего члена данного
ряда. Значит, этот ряд расходится. Расходимость ясна и из того,
что ип+т^>ип^>0 при любом т и, следовательно, не удовлетво-
удовлетворяется необходимый признак сходимости — общий член не стремится
к нулю.
Один частный случай изложенного признака Даламбера представ-
представляет собой его предельную форму, которая часто практически бывает
весьма удобной. Этот частный случай известен также под названием
признака Даламбера.
Признак Даламбера (частный). Если при п -> о© суще-
существует предел отношения -^р- , равный р,
то при р<1 ряд сходится, при р>! ряд расходится.
При р=1 ряд может оказаться как сходящимся, так и рас-
расходящимся.
Доказательство. Пусть р < 1; всегда можно выбрать такое N,
что при n^>N будет справедливо неравенство
где s ^> 0 берется настолько малым, чтобы р —j— e еще оставалось
меньшим 1. Но тогда по первой части общего признака Даламбера за-
заключаем, что ряд сходится.
Пусть р^>1; мы можем выбрать такое N, что при n^>N будет
иметь место неравенство
где е ^> 0 берется настолько малым, чтобы р — s еще оставалось
ббльшим 1; в силу второй части общего признака Даламбера при-
приходим к выводу, что ряд расходится.
Наконец, пусть р = 1. В качестве примера возьмем ряд
оо
-д-, для которого

124] § I. числовые ряды 419
при п-±оо независимо от величины показателя р. Вместе с тем
нам известно, что при р ^ 1 этот ряд расходится, а при р ^> 1 —
сходится. Так что при р = 1 ничего нельзя сказать о сходимости ряда.
Так как вопрос о существовании предала у последовательности равно-
равносилен вопросу о сходимости соответствующего ряда, то признак Далам-
бера, как и всякий другой признак сходимости и расходимости ряда, можно
переформулировать применительно к последовательности. Читатель сможет
сделать это самостоятельно.
И. Признак Кош и (общий). 1) Если корень д-й степени
у.п из пго члена ряда
начиная с некоторого n = N, остается меньше числа д, мень-
меньшего 1, g<^U т- е* %п<СУ> то ряд "сходится;
2) если корень я-й степени %п из я-го члена ряда, начиная
с некоторого я = ЛГ, остается не меньше 1, т. е. х„^1, то ряд
расходится.
Доказательство. Это доказательство по существу не отли-
отличается от доказательства признака Даламбера. Начиная с некоторого
n = N, будем иметь:
в случае 1):
и мы получаем сводящуюся (так как q<^ 1) геометрическую про-
прогрессию
каждый член которой больше соответствующего члена данного
ряда. Значит, он сходится (см. теорему 1);
в случае 2):
и расходимость ясна, так как общий член ряда не стремится к нулю.
Из изложенного признака Коши, в частности, следует его пре-
предельная форма, также известная под названием признака Коши.
Признак Коши (частный). Если при п-> оо существует
предел Уип, равный р,
lim л/^ = р,
то при р<1 ряд сходится, при р>1 ряд расходится.
При р = 1 ряд может оказаться как сходящимся, так и рас-
расходящимся,

420
ГЛ. IX. РЯДЫ
[124
Доказательство буквально ю же, что и в признаке Даламбера;
его самостоятельно проведет читатель.
Изложенные признаки Даламбера и Коши очень просты и часто
употребляются. Особенно это относится к признаку Даламбера.
Вместе с тем они не всегда могут быть использованы. Дадим еще
один признак, очень удобный и позволяющий иногда дать ответ,
когда указанные два признака ответа не дают.
Интегральный признак Коши. Если члены ряда
можно рассматривать как значения некоторой положитель-
положительной непрерывной и убывающей в интервале от х = 1 до ос
функции y=f(x) при целых значениях аргумента х\
.., un=f(n),...,
то ряд сходится, если несобственный интеграл
сходится (существует), и расходится, если этот интеграл расхо-
расходится (не существует) (см. п° 110, 111).
Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию,
ограниченную линией y=f(x)} с основанием от х=\ до х = п,
где п — произвольное целое поло-
положительное число (черт. 139). Пло-
Площадь ее измеряется интегралом
\
/ 2
rn=\f(x)dx.
Отметим целые точки основания:
х=\, х = 2, ..., х = п—1,
-»* лг = /г. Этим точкам соответствуют
/?-/ п х две ступенчатые фигуры (черт. 139):
Черт. 139. одна из них («входящая») имеет
площадь, равную /B)-)-/CL-...
) = sn — ии а вторая («выходящая») — площадь, равную
/AL-/B)-)-...+/(«— \) = sn — ип. Площадь первой фигуры
меньше площади данной'криволинейной трапеции, площадь второй —
больше ее, т. е. мы имеем:
()
Отсюда получаем два неравенства:

125] § 1. числовые ряды 421
1) Пусть /=Нт/л существует; тогда /„<[/, и из неравенст-
п -> оо
ва (*) при всяком п находим:
Следовательно, sn как возрастающая и ограниченная функция
имеет предел и, значит, ряд сходится.
2) Пусть / не существует; тогда In -> оо при п -> оо, и на осно-
основании неравенства (**) заключаем, что sn также неограниченно
возрастает, т. е. ряд расходится.
На примере знакомого уже нам ряда
можно убедиться в том, что интегральный признак может с легко-
легкостью дать ответ тогда, когда признаки Даламбера и Коши бессиль-
бессильны: для этого ряда и &Л-М и хл->1. Применим к нему интеграль-
интегральный признак.
Очевидно, функцией f(x) может служить -р-. Интеграл
как известно (п° 111), существует или не существует в зависимости
от того, будет ли р^>\ или /?^1. Значит, ряд сходится в первом
случае и расходится во втором.
125 A39). Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходи-
сходимость. Перейдем к рядам с членами, имеющими любой знак. Прежде
всего остановимся на так называемых рядах со знакочере-
знакочередующимися членами. В таком ряде члены попеременно имеют
то положительный, то отрицательный знак. Его можно записать
так:
±{Щ — «2 + «3 —• ••)> ' О)
где их, щ, и3,... — положительные числа. Возьмем перед всем рядом
знак-f-, что, конечно, не ограничит общности.
Укажем простой достаточный признак сходимости знакочередую-
знакочередующегося ряда.
Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде аб-
абсолютные величины членов убывают, т. е. в ряде A) их^>щ^>
>#3>... , и общий член ип стремится к нулю, то'ряд сходит-
сходится, причем его сумма по абсолютной величине не превосходит
первого члена; остаток ряда гп не превосходит по абсолютной
реличине первого из отбрасываемых членов.

422 гл. ix. ряды A2S
Доказательство. Пусть п пробегает последовательность
четных чисел п = 2т. Тогда
$Ът = («1 — lh) + («а —
По условию выражение в каждой скобке положительно и, значит,
s2m, будучи положительной, возрастает с увеличением т. С другой
стороны,
S%m = «1 — К«'2 — «а) + («I — Ив) + • • • + ««я»]-
По тому же условию сумма в квадратной, скобке положительна:
из этого следует, что sim<^ut при любом т. Значит, s%m как воз-
возрастающая и ограниченная величина имеет предел lim s2m = s, при-
т-*<х>
чём 5<^«х.
Пусть теперь /г == 2/уг —j— 1. Имеем:
При #г->оо, принимая во внимание условие н2т+1~*0, находим:
lim 52m+1==lim 52m = 5.
Итак, 5Л при д -> со имеет предел $, меньший их. Остаток ряда
представляет собой ряд, удовлетворяющий всем условиям признака
Лейбница. Поэтому его сумма гп меньше по абсолютной величине
первого члена в скобке, т. е. |гя|<[кя+1.
Что й требовалось доказать.
Признак Лейбница позволяет в случаях, когда он применим, уста-
установить не только сходимость ряда, но и оценить погрешность, допу-
допускаемую при отбрасывании всех членов ряда, начиная с некоторого.
Например, по признаку Лейбница сразу видно, что ряд
_1.±_±.
9. п^ а д i * • *
4
сходится (мы увидим позже, в п° 130, что его сумма равна In 2), при-
причем погрешность приближенного равенства 1п2«^1—9~~f"T—*••
*..-+- г равна —.
— п-~ 1 v п
Что касается рядов с произвольным распределением знаков их
членов, то мы приведем один важный общий признак.
Достаточный признак сходимости. Если ряд, состав-
составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится,
то сходится и данный ряд.
Доказательство. Обозначим через sa сумму п первых чле-
членов ряда

125) § 1. числовые ряды 423
через s% — сумму всех положительных, а через Sn — сумму абсолют-
абсолютных величин всех отрицательных членов среди первых п членов
ряда. Тогда
причем
Так как, по условию, ол имеет предел (обозначим его через о),
a sj и 5л — положительные и возрастающие функции от я, причем
Sn^Qn^0 и sn<Cian<C0* т0 и они имеют пределы. Вследствие этого
и sn = s% — аи при п -> оо стремится к пределу.
Что и требовалось доказать.
Этот достаточный признак не является необходимым, т. е.
оо оо
ряд \ nk может сходиться и тогда, когда ряд ^ \ик\ расходится.
Например, ряд
1_±+±_±
сходящийся, а ряд
составленный из абсолютных величин его членов, как известно, рас-
расходится.
Определение. Ряд, абсолютные величины членов которого
образуют сходящийся ряд, называется абсолютно или безуслов-
безусловно сходящимся.
Если ряд сходится, а ряд, образованный из абсолютных ве-
величин его членов, расходится, то данный ряд называется неаб-
неабсолютно или условно сходящимся.
Например, ряд 1 — ~о~~1~Т — т~Ь'" — условно сходящийся.
К ряду, составленному из абсолютных величин членов данного
ряда, могут быть применены как к ряду с положительными членами
признаки, изученные в п° 124. Если при этом обнаружится, что ряд
сходится, то это будет указывать на абсолютную сходи-
сходимость данного ряда. Если же расходимость ряда абсолютных ве-
величин будет установлена по признаку Даламбера или Коши, то это
также будет означать и расходимость данного ряда. В самом деле,
признаки расходимости Даламбера и Коши основываются на том, что
общий член не стремится к нулю, а ясно, что если lim | ип | ф 0, то
и lim ип -ф 0 и, значит, ряд 2«я расходится. Таким образом, для
того чтобы установить сходимость или расходимость данного ряда
(с членами, имеющими произвольные знаки), можно пользоваться

424 гл. ix. ряды [1Й6
признаками Даламбера и Коши, примененными к ряду, составленному
из абсолютных величин членов данного ряда.
Указанное разграничение абсолютной и неабсолютной сходимости
рядов является весьма существенным. Оказывается, что важные свой-
свойства конечных сумм переносятся только на абсолютно схо-
сходящиеся ряды; условно сходящиеся ряды некоторыми из этих
свойств не обладают.
126 A40). Действия над рядами. Укажем теперь некоторые самые про-
простые правила действий над сходящимися рядами и их простейшие свойства.
I. Под произведением сходящегося ряда
на число А мы понимаем ряд, образованный из произведений каждого члена
данного ряда на число А
Этот ряд также сходится, и его сумма равна As.
Под суммой двух сходящихся рядов
S' = их + U2 + . . . + tln + • • •
мы понимаем ряд, образованный из сумм соответствующих членов данных
рядов:
Этот ряд также сходится, и его сумма равна s' + 5".
Умножение двух рядов будет рассмотрено ниже в этом же пункте.
II. В сходящемся ряде можно группировать члены ряда (в порядке
их следования) любим образом, т. е. при такой группировке будут полу-
получаться также сходящиеся ряды с той же суммой. *
Пусть дан сходящийся ряд
s = их + «2 + • • • + tin + • • •
Образуем новый ряд, объединив в группы последовательные члены ряда:
этот ряд можно записать так:
где через vu щ,..., v^ ... обозначены значения соответственно 1-й, 2-й,...
..., fc-й, ... скобки. Оказывается, что этот ряд так же сходится и его сумма
равна s. (Доказательство мы опускаем.) *)
Итак, сочетательным свойством обладает каждый сходящийся ряд.
III. Сложнее дело обстоит с переместительным свойством.
В абсолютно сходящемся ряде можно переменить любым
образом места членов ряда, т. е. при такой перестановке будут полу-
получаться также абсолютно сходящиеся ряды и с той же суммой.
Как видим, справедливость переместительного свойства утверждается
лишь при особом условии: сходимость ряда должна быть абсо-
абсолютной.
*) См., например, этот «Курс», изд. 1950, 1951 гг.

126] § 1. числовые ряды 425
Пусть дан абсолютно сходящийся ряд
S = Ui + U2 + . . . + Un + . . . (*)
Образуем новый ряд, переменив места неограниченной последовательности
членов ряда:
+ +
где пи п2, ... , щ, ... — числа натурального ряда, взятые в каком-нибудь
порядке. Оказывается, что этот ряд так же абсолютно сходится и его сумма
равна s. (Доказательство мы также не приводим.) *)
Итак, сумма абсолютно сходящегося ряда не меняется от перемени
мест слагаемых.
Это свойство, столь очевидное для конечных сумм, несправедливо для
сходящихся рядов, если только сходимость не абсолютная. Возьмем, напри-
например, условно сходящийся ряд (см. п° 125):
и умножим его на -у
±л-±-±-1-±-±
2 Л~~* 2 4^6 8
Складывая два ряда, находим:
3 л , , 1 1,1
Этот ряд получается из данного путем простой перестановки членов. Таким
образом, изменение порядка, в котором следуют друг за другом члены
условно сходящегося ряда, привело к изменению суммы ряда. Можно ожи-
ожидать, что какая-нибудь другая перестановка членов вызовет и иное изменение
суммы. По этому поводу упомянем следующую теорему Р и м а н а:
В условно сходящемся ряде всегда можно изменить так места его
членов, что ряд будет сходиться к наперед заданному числу или даже
станет расходящимся,
IV. Под произведением двух сходящихся рядов
. + «„+..., A)
. + va + ... B)
будем понимать ряд, образованный из всевозможных парных произведений
членов данных рядов, расположенных в таком порядке:
(UtVi) + (Utv2 + u2Vi) + (utVb + а2г/2 + uzvx) +...
. • • + («ifrt + «itfft-i + • • • + ««-Л + Идяi) + • • • C)
В каждой группе членов этого ряда, объединенных скобками, сумма
индексов сомножителей (т. е. номеров мест, на которых они находятся
в своих рядах) постоянна: в 1-й скобке она равна 2, во 2-й равна 3, в 3-й
равна 4, ... , в я-й равна я+ 1.
Имеет место теорема:
Если ряди A) и B) абсолютно сходятся, то их произведение есть
также абсолютно сходящийся ряд, сумма s которого равна произведению
сумм рядов сомножителей:
*) См., например-, этот «Курс», изд. 1950, 1951 п\

426 гл. ix. ряды
Доказательство см. в более полных курсах анализа (см. сноску на стр.
425).
Итак, на бесконечные ряды безоговорочно не распространяются все обыч-
обычные свойства конечных рядов и арифметических действий. Это распростра-
распространение требует, вообще говоря, дополнительного условия, которым служит
абсолютная сходимость рассматриваемых бесконечных рядов.
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
127 A41). Определения. Равномерная сходимость. Предполо-
Предположим теперь, что задан функциональный ряд
¦ ; (А)
членами его служат функции независимой переменной,
определенные в некоторой области.
Ряд (А) может для одних значений х сходиться, для других —
расходиться. Значение лг = лг0, при котором числовой ряд
сходится, называется точкой сходимости ряда (А). Совокуп-
Совокупность точек сходимости ряда называется областью сходимости
ряда; говорят, что ряд сходится в этой области. Об-
Областью сходимости ряда обычно бывает какой-нибудь интервал оси Ох.
Сумма ряда является некоторой функцией х> определенной в об-
области сходимости; обозначим ее через f(x):
Говорят, что ряд сходится к функции /(#)*)•
Естественно возникает вопрос об установлении свойств функ-
функции /(лг), представляемой данным рядом, по известным свойствам
членов ряда — функций uv иа, ... , ип9 ...
Прежде всего заметим, что непрерывность функций uv
Щ> »• • , ип, ... еще недостаточна для того, чтобы можно было за-
заключить о непрерывности функции f{x). Ниже мы приведем
пример ряда непрерывных функций, сходящегося к разрывной функ-
функции. Сходимость ряда непрерывных функций к непрерывной же функ-
функции обеспечивается дополнительным условием, выражающим одну
важную особенность в характере сходимости функциональных
рядов. Обратимся к рассмотрению этой особенности. Пусть хх —
какая-нибудь точка внутри области сходимости. Запишем:
где sn(xx) — сумма п первых членов, а гп(хх) — остаток ряда. Так
как lim 5л(аг1)=/(лг1), т. е. lim гл(^1) = 0, то для всякого заранее
п -* оо л—• оо
¦) Говорят также, что ряд определяет, или выражает, или пред-
представляет функцию / (х).

'27] § 2. функциональные ряды 427
данного е]>0 можно указать такое положительное число Л^, что
при n^Ni для х = хг будет:
к» (¦*)!<•¦ (*)
Возьмем теперь другую точку лг2 области сходимости. Нера-
Неравенство (*) для точки лг2 при том же заданном е будет выполняться,
вообще говоря, начиная с некоторого другого индекса п = М2.
Ясно, что при п, превосходящем большее из чисел Л^ и N%, не-
неравенство (*) удовлетворяется не только для точки xlt но и для
точки лг2. То же самое заключение можно, очевидно, сделать для
любого конечного числа фиксированных точек области сходи-
сходимости. Но если иметь в виду все точки этой области (т. е. любую
из них), то заранее мы не можем утверждать существование такого
значения индекса N, что при всех n^N неравенство (*) будет вы-
выполняться, какой бы ни была точка х. В самом деле, у нас
пока нет основания исключать возможность того, что при переходе
от одной точки хг к другой нужное значение я = Л^ возрастает;
если же точек хг бесчисленное множество, a Nt неограниченно растут,
то и окажется, что общего для всех точек xt значения n = N,
начиная с которого неравенство (*) выполняется, выбрать нельзя.
Определение. Сходящийся функциональный ряд i(O +
+ #2 0*0 + • • • + ип (х) + • • • называется равномерно сходящимся
в некоторой области, если каждому сколь угодно* малому числу
s^>0 соответствует такое целое положительное число N, что
я-й остаток /•„(*) = Я/1+i (*) + »«+iiW + • • • при n^N остается
по абсолютной величине меньше е, |гя(#)|<^е, каково бы ни
было х в указанной области.
Отмеченное свойство указывает на известную «однород-
«однородность» характера сходимости ряда во всех точках области, что
и подчеркивается термином «равномерно»*). Если ряд f(x) =
= щ (х) -J- щ (х) -\-... -j- un (х) -{-••• сходится в интервале равномерно,
то функцию f(x) — сумму ряда — можно приближенно представить
при помощи одной и той же частичной суммы ряда
SN (X) = Uг (X) + Щ (X) -f-. . . -f UN (X)
с одной и той же точностью во в,сех точках рассма-
рассматриваемого интервала; эта точность характеризуется нера-
неравенством | Гн (х) \ <d е, справедливым при любом рассматриваемом х>
причем N подбирается по заданному' заранее е.
*) «Равномерная» непрерывность (см. п° 37) также определяет
«однородность» (как бы «одинаковость») характера непрерыв-
непрерывности функции во всех точках cooTBeTcfeyioiuero интервала. «Равномер-
«Равномерность» какого-нибудь свойства играет большую роль в математике. В самых
общих словах можно сказать, что это объясняется возможностью использо-
использовать свойство — если оно равномерно — не только в отдельной точке (л о-
к а л ь н о), но ив целой области (интегрально).

428
ГЛ. IX. РЯДЫ
[127
Вполне очевидно, как можно перенести понятие равномерной схо-
сходимости на функциональные последовательности: по-
последовательность функций #! (лг), а%(х), ... , ап (х), ... в данной
области равномерно сходится к функции f(x), если для всякого
?^>0 можно указать такое N, что при n^N будет выпол-
выполняться неравенство \f(x)— ««(^)|<CS в0 е€ех м-очках области.
Равномерность стремления функций ап(х) к своей предельней
функции f(x) геометрически интерпретируется так: если снизу
и сверху от графика функции y=f(x) провести «параллель-
«параллельные» ему линии на как
угодно малом расстоя-
расстоянии е (е ^> 0), исчисляе-
исчисляемом по направлению оси
Оу (линии „у=/(.*;) db в),
то, начиная с некото-
некоторого номера n — N, со-
соответствующего назна-
назначенному е, графики функ-
функций у = ап (х) целиком
*' помещаются внутри полу-
Черт. 140. ченной полосы шириной
2е (черт. 140).
Значение понятия равномерной сходимости делается ясным и
из следующей общей теоремы.
Теорема. Сумма равномерно сходящегося в некоторой об-
области ряда, составленного из непрерывных функций, есть функ-
функция, непрерывная в этой области.
Доказательство. Пусть ряд щ (х) -\- щ (х) -f-... -f- un(x) -)-•••
равномерно сходится в некоторой области. Запишем
и зададим сколь угодно малое е^>0. В силу равномерной сходи-
сходимости можно указать такое N, что при n^N для любой точки х
области выполняется неравенство | гЛ (л:) | <^-о"• Придадим х прира-
приращение h и рассмотрим разность
+ *)_/(*) = [sn (х + h) - sn (x)} + rn (x + h) - rn (x).
Имеем:
На основании сказанного при n

127] § 2. функциональные ряды 429
Но sn (x) при любом выбранном и фиксированном п, будучи суммой ко-
конечного числа непрерывных функций, есть непрерывная функция. По-
Поэтому для достаточно малого 8
как только |А|<^8. Следовательно, при
Это и доказывает непрерывность функции f(x).
Рассмотрим пример, показывающий, что условие равномерности сходи-
сходимости является существенным для справедливости теоремы.
Ряд
х 1 х | | х i
T • • • ~ /i 1 ~\n r • • •
\+x
составлен из функций* непрерывных в любом замкнутом интервале [0, я],
где я>0, и сходится для всех неотрицательных х. В самом деле, при лг>0
это — геометрическая прогрессия со знаменателем Ц=>-г-г— (< !)• Сумма
1 -f- х
ряда при х > 0 равна
Вместе с тем/@)^0, так как при х = 0 каждый член ряда равен нулю.
Мы видим, что сумма ряда/(лг) есть разрывная функция (в точке л: = 0):
/(лг)=1, если jc>0 и/@) = 0. И оказывается, что в интервале [0, а] ряд
сходится неравномерно. Действительно, каково бы ни было е, ,0<е<1, и
как бы велико ни было N, всегда можно указать такое достаточно близкое
к нулю .значение х, что
х.х, 1
будет больше е. Легко проверить, что для этого следует взять х < (—• J — 1.
Приведем простой достаточный признак равномерной схо-
сходимости функционального ряда.
Признак Вейе^рштрасса*). Если функции пх (х), щ (х),...
..., ип (л:), ... в некоторой области не превосходят по абсолютной
величине соответственно положительных чисел Ми М2,..., Мп,...
и если числовой ряд
сходится, то функциональный ряд щ (х) -j- «2 (л:) + • • • + «я (х) + • ••
в этой области сходится равномерно (и абсолютно).
*) К. Вейерштрасс A815—1897) — знаменитый немецкий математик.

430 гл. ix. ряды
Доказательство. Прежде всего заметим, что ряд
«1 (*) + «« (X) + . . . + Un (X) -\- . . .
абсолютно сходится, ибо абсолютные величины его членов не пре-
оо
восходят соответствующих членов сходящегося ряда \>Mk (см. п° 125).
Далее, задав е>0, мы можем выбрать такое N, что при n^N
будем иметь:
AWi + лС. + •••<«•
Но остаток ряда
гп (х) = иЛ+1 (х) + мЛ+2 (*) -|-...
по абсолютной величине в любой точке области удовлетворяет в со-
согласии с условием неравенству
| Гп (X) | = |«я+1 (X) + «л+2 (¦*) + . . . К | «я
Значит, как только n^Ny будет иметь место неравенство
справедливое, каково бы ни было х в данной области. Отсюда сле-
следует, что ряд сходится и притом равномерно и абсолютно.
Некоторые авторы называют функциональный ряд, удовлетво-
удовлетворяющий условиям признака Вейерштрасса, правильно сходя-
сходящимся.
128 A42). Интегрирование и дифференцирование функцио-
функциональных рядов. Обратимся к применениям основных операций ана-
анализа к сходящимся функциональным рядам.
Докажем следующие две общие теоремы.
Теорема 1. Пусть ряд ux{x)-\-Ui{x) + ..'.4-яя(*) + •••>
составленный из непрерывных функций, равномерно сходится
в некоторой области к функции f(x); тогда ряд, составленный из
интегралов от членов данного ряда, взятых по интервалу [а, х\,
принадлежащему данной области:
XX X
«! (х) dx + J Щ (х) dx+... + J »„ (х) dx+...,
а а а
равномерно сходится к соответствующему интегралу от суммы
f(x) данного ряда.
Говоря коротко,
Равномерно сходящийся ряд непрерывных функций можно
интегрировать почленно.

§ 2. функциональны? ряаы 431
Доказательство. Пусть
гя(*)-
Значит,
XXX
ИЛИ
где
XXX X
{* гъ С f*
un(x)dx,
X
|= J rn(x)dx.
a
Возьмем е]>0. В силу равномерной сходимости можно выбрать
такое N> что при n^N будет
независимо от выбора точки х. Тогда по теореме об оценке абсо-
абсолютной величины интеграла (п° 90) будем иметь:
Итак, для любого е^>0 можно найти такое Ny что при
выполняется неравенство
притом равномерно относительно л:, т. е. равномерно
Что и требовалось доказать.
Отметим, что в доказательстве была существенно использована
равномерная сходимость ряда. Без этого теорема может быть неверна.
Полученный результат можно записать еще так;
X X
\ f(x) dx == lim { sn (x) dx

432 гл. ix. ряды 1128
дли, принимая во внимание, что f(x) = lim sn(x)> так:
п -*со
X
lim \ sn(x)dx = \ lim sn(x)dx,
я-юо J J я-юо
а а
т. е. операцию равномерного предельного перехода и операцию
интегрирования можно переставить между собой. ч
Теорема 2. Пусть ряд иг(х)-\-щ(х)-{-...-\-ип(х)-{-...
составлен из функций, обладающих непрерывными производными;
если ряд, составленный из производных от членов данного ряда:
равномерно сходится в некоторой области, то его сумма есть
производная от суммы данного ряда в этой области.
Говоря коротко,
Ряд можно дифференцировать почленно, если ряд производных
сходится равномерно.
Доказательство. Обозначим через F(x) сумму равномерно
сходящегося, по условию, «производного» ряда
Очевидно, нужно только убедиться в том, что F(x)=f (jc), если
Применяя к ряду (*) теорему 1, условия которой здесь выпол-
выполнены, получим равномерно сходящийся ряд
XXX X
\ F (х) dx = J и [ (х) dx + J «2 (х) dx -f... + f H« (*) dx + • • • =
= l«i (x) - Щ (a)} + [a, (x) - щ (a)} + ... + [an (x) - un (a)}
Отсюда
к2 (a) +... + aa (a) +...] =/(*) -/(a)
и, значит,
Что и требовалось доказать.
Ход доказательства показывает, что в силу теоремы 1 из ука-
указанных условий следует, что данный ряд равномерно сходится.
Как видим, теорема о дифференцировании бесконечного ряда
более сложна, чем теорема об интегрировании, — она требует

129] § 3. степенные ряды 433
проверки того, что ряд, получающийся в результате дифферен-
дифференцирования, т. е. ряд из производных, — равномерно сходящийся.
Что последнее условие нельзя отбросить, показывают примеры. Так, ряд
sin х , sin 2гх , , sin nzx ,
в любом интервале равномерно сходится, ибо абсолютные величины его
членов не больше соответствующих членов сходящегося ряда
(см. теорему 2 в п° 127). Вместе с тем «производный» ряд
cos х + 2 cos 2*x +... + п cos пъх...
является расходящимся при всяком х (ибо общий член не стремится к нулю).
Итак, заканчивая изучение общей теории рядов, можем сказать,
что применимость действий анализа к бесконечному функциональ-
функциональному ряду обеспечивается свойством равномерной сходимости ряда.
Заметим, кроме того, что применимость арифметических дей-
действий к бесконечному ряду обеспечивается свойством абсолютной
сходимости ряда.
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
129 A43). Ряды Тейлора-
Определение. Степенным рядом называется функцио-
функциональный ряд
члены которого суть произведения постоянных на степенные
функции (с целыми показателями степеней) от разности л: —х0
(в частности, если хо = О— от самой независимой переменной х).
Постоянные а0, alt а2, ..., ап, ... называются коэффициентами
степенного ряда.
К степенному ряду мы, естественно, приходим, составляя по фор-
формуле Тейлора приближения функций многочленами (п° 79) с неогра-
неограниченно повышающейся точностью (т. е. при Ъп—*0).
Если в некоторой окрестности точки х0 функция f(x) имеет
производные до (л -f- 1)-го порядка включительно, то, как известно,
^т /" (х0) (х - х0? +...
где % — точка, промежуточная между точками х0 и х, пли

434 гл, ix. ряды
(см. п° 78). При данном п приближенное выражение функции/(х)
в виде многочлена Nn(xi—Jcr0):
вообще говори, тем точнее, чем меньше длина интервала, в roto-
ром рассматривается это приближение (так как погрешность Ьп будет
меньше). Пусть теперь интервал [а, Ь\ в котором рассматривается
приближение, остаётся неизменным. Тогда увеличение точности
часто может быть достигнуто путём увеличения порядка «фор-
«формулы Тейлора. Действительно, из выражения для погрешности
(см. п° 79)
где Мп+1 ^ |/(л+1) (х) |, видно, что с увеличением п знаменатель быстро
увеличивается, и можно ожидать стремления Ьп к нулю.
Итак, станем неограниченно увеличивать п\ при этом для спра-
справедливости формулы Тейлора необходимо допустить существование
у функции f(x) в интервале [а, Ь] производных любых порядков;
кроме этого предположим, что lim Ьп = 0, т. е. что lim Rn = О для
п -+ оо п -* оо
каждого х, а^х^Ь. Из равенства (*) получаем:
/(*) = lim Nn (х - х0) = lim [/(*,) +f (x0) (x - x.) +
^ - x,f +... +7jf/(n) (x9) (x - х,П
согласно определению понятия суммы ряда, f(x) есть сумма такого
бесконечного степенного ряда:
f{x) = f{x,) +f (jc.) ix -x0) -f i-/"
±():. (**)
Ряд в правой части вообще называется рядом Тейлора для функ-
функции f(x).
Определение. Рядом Тейлора ^ля функции f(x) в окре-
окрестности точки х0 называется степенной ряд относительно раз-
разности х—лг0, коэффициенты которого aOf alf a2, ...9ал9 ... выра-
выражаются через производные функции f(x) в точке дг0 так:
Эти коэффициенты называются коэффициентами Тейлора
функции f(x) в точке х0.
Если ряд в правой части равенства (**) сходится, то это равен-
равенство можно считать как бы формулой Тейлора «бесконечного
порядка», дающей представление функции в виде многочлена
«Оесконечной степени». Смысл этого замечательного представления

130] § 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 435
состоит в том, что оно соединяет в себе простоту функций
(степенные!), из которых состоит ряд Тейлора, с простотой пра-
правил (обычные!), по которым производятся различные действия над
ним. Благодаря этому, исследование даже очень сложных по своей
аналитической структуре функций и действия над ними могут быть
сведены к элементарной «алгебре» «конечных» и «бесконечных»
многочленов. Примеры такого сведения мы встретим в этом же пара-
параграфе и в других главах.
Определение. Функция, которая в некотором интервале
может быть представлена своим сходящимся рядом Тейлора, назы-
называется аналитической в этом интервале.
Как мы видели, условия, при которых функция будет аналитиче-
аналитической, следующие: 1) она должна быть «бесконечно дифференцируе-
дифференцируемой» в интервале (т. е. иметь производные любых порядков), 2) оста-
остаточный член её формулы Тейлора должен стремиться к нулю для
любой точки интервала при неограниченном возрастании порядка
формулы.
Первое условие позволяет образовать ряд Тейлора, а второе —
гарантирует сходимость этого ряда к рассматриваемой исходной
функции.
Заметим, что каждая элементарная функция во всей области
её определения за исключением, быть может, отдельных точек есть
аналитическая функция.
130 A44). Примеры. Рассмотрим несколько важных примеров
(см. п° 79) разложений функций в ряды Тейлора.
1) Мы имеем:
где R^—L—etx"*1, 5 = 8jc, 0<6<l. Значит,
I Р I <: ' * рМмп+1 — а г/тр 1 v-1 <r M
' п' (п4-1)! — ПУ ' '
Доказать, что Ъ —*0 при п — оо проще всего так: числовой ряд
Мп
с общим членом — (М — любое число) сходится, в чём убеждаемся
Mn+1 n\ M
по признаку Даламбера: т^тгпГ " W~JT±\'~~*^ значит, общий член
Мп
ряда —р должен стремиться к нулю.
Итак, вследствие произвольности М ряд
сходится для любого х, т. е. на всей оси Ох. Этот ряд, имеющий
большое значение, иногда называется экспоненциальным.

436 гл. ix. ряды [130
В частности, при х=1 находим ряд для числа е:
который мы уже получили в п°41.
2) Имеем:
О111 „v — ^ 3! ^5! ••• i B/2—1)! i 'vi>
где Rn = /y^sin (? -{- «те) л:2Л, I = 0лг, 0 <^ б <^ 1. Значит,
| /^л | ^ Ж2'1 = §л, где | лг | ^ Ж;
на основании доказанного в 1) стремления Ьп к нулю (при п-
находим ряд Тейлора для sin х в окрестности точки х = 0:
равенство справедливо на всей оси Ох.
Точно так же найдём:
cos х = 1 — 2|- х* + 4l *4~' * • "Ь Bп)\ Х*П "Ь ' *#>
на всей оси Ол\
Из представлений sin x и cos x в виде «бесконечных» многочле-
многочленов ясно видна нечётность первой функции и чётность второй,
3) Для функции \пA-\~х) имеем:
где Rn = t^{l+^)n+1xn+\ E = ft*,1)<e<l. Значит,
8
если 0 ^ х ^ 1. Непосредственно видно, что Ьп -> 0 при п -> со, и мы
получаем:
Этот ряд сходится к функции In A -\~х) не только в интервале [0, 1],
но и в интервале (— 1, 0), как это будет доказано ниже с помощью
другого подхода к задаче разложения функций в ряды Тейлора.
В частности, при х=\ имеем так называемый ряд Лейбница
(см. п°125)
1п2=,-± + ±-... + ^Г + -
При х-—1 ряд расходится, ибо он представляет собой изве-
известный гармонический ряд, у всех членов которого изменён знак

ISO] § 3. степенные ряды 437
с-{-на—. Разумеется, нечего и говорить о ряде при х^— 1, но
оказывается, что он расходится и при х^> 1 (см. п° 131).
4) Составим ряд Тейлора для бинома (\-\-х)т, где т — любое
число. Мы имеем:
I т(т— !)..:(/
-\-- -,
где Rn = w(m~P---(,W n) A + $y»-«-*i*n+1, % = Ьх, 0<9< 1, при-
(П -f- 1I
чём можно считать, имея в виду неограниченное возрастание щ что
если 0^х<^ 1, то
Действительно, A -j- \)т-п-1 <^ 1 лри достаточно большом п.
Докажем, как и в примере 1), что &л->0 при п->оо. В самом
деле, ряд с общим членом Ьп сходится, ибо по признаку Даламбера
имеем:
поэтому общий член ряда Ьп должен стремиться к нулю и, значит,
для интервала [0, 1) приходим к разложению
. т(т— 1)...(от—я + 1) п |
* п\ • ' "
Это — так называемый биномиальный ряд. Он сходится
к функции (\-\-х)т не только в интервале [0, 1), но и в интервале
(—1, 0), что мы докажем немного ниже. Заметим, что при любом
т^>0 биномиальный ряд сходится к представляемому им биному
в замкнутом интервале [—1, 1].
Приведём часто встречающиеся биномиальные ряды, соответствующие
1 1 ¦ 1 /
значениямот= —1, -^-> —-у (справа указаны интервалы, в которых спра-
справедливы разложения):
1 _, 1 ,ЬЗ о Ь 3 ¦ 5 з i 1 -3 »5.7 4_
уГ\^с~~ 'ТДГ+2ТТЛ:~~2~Г4ТбХ + 2.4.6-8 * '•• +
(—к*<;1).
15 А, Ф, Бермант

438 гл. ix. ряды [131
В этих трех рядах для л:>0 ошибка при отбрасывании всех членов,
начиная с n-го, согласно признаку Лейбница может быть оценена абсолют-
абсолютной величиной п-го члена.
Разложения в ряд Тейлора некоторых других простейших функ-
функций мы рассмотрим в следующем параграфе при помощи иного
метода.
131 A45). Интервал и радиус сходимости.
I. В результате различных действий над рядами Тейлора могут
возникать степенные ряды, представляющие не известные нам заранее
функции. Поэтому важно уметь исследовать степенные ряды, взятые
сами по себе.
Итак, пусть дан степенной ряд
(Для простоты изложения мы можем взять такой ряд, ибо всякий
степенной ряд au + a1{x—xJ + a%(x—x%)*-\-... + an(x — xJg-{-...
подстановкой х— хо = хг преобразуется в указанный ряд.)
Прежде всего обратимся к изучению вида области сходимости
степенного ряда. Непосредственно очевидно, что возможны три
случая:
1) область сходимости состоит только из одной точки дг = О
(когда ряд сводится к своему начальному члену); другими словами,
ряд расходится для всех х (кроме одного);
2) область сходимости состоит из всех точек оси Ох\ другими
словами, ряд сходится для всех х\
3) область сходимости состоит больше чем из одной точки оси Ох,
причём есть точки оси, не принадлежащие области сходимости.
1-й случай может иллюстрировать ряд
1+ х + 2*х* + д*х* -{-.. .-\- ппхп -{-...;
действительно, если х Ф 0, то, начиная с достаточно большого я,
будет \пх\^>\, откуда вытекает неравенство \ппхп\^>\, означающее,
что общий член ряда не стремится к нулю; примером, когда имеет
место 2-й случай, может служить экспоненциальный ряд (см. п° 130,
пример 1):
геометрическая прогрессия
1-f *-[-.** + ...+ *" + .••
представляет собой пример ряда в 3-м случае.
Оказывается — и это является весьма замечательным фактом,—
что область сходимости степенного ряда в 3-м случае есть просто
один интервал оси Ох, симметричный относительно точки х = 0

131]
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
439
(для ряда я0 -|- at (х — х0) -{"••• — симметричный относительно точки
x = xQ). Мы ниже докажем это.
Прежде всего рассмотрим следующую теорему.
Теорема Абеля*). Если степенной ряд (*) сходится при
х = х0 ф О, то он сходится (и притом абсолютно) для всякого х,
по абсолютной величине меньшего х0, |*|<Cl*ol» т- е« в интер-
интервале (— |лг01, |*0|)-
Доказательство. Заметим, что вследствие сходимости ряда
akx\
его общий член должен стремиться к нулю; поэтому все
члены этого ряда равномерно ограничены: существует такое
постоянное положительное число Ж, что при всяком п имеем:
Запишем ряд (*) так:
и возьмём
ряда:
ряд, составленный из абсолютных величин членов этого
В силу сделанного только что замечания каждый член здесь меньше
соответствующего члена геометрической прогрессии со знаменате-
х
лем
Если
лг0
то
^1, и прогрессия сходится, поэтому схо-
дится и ряд абсолютных величин, а значит, сходится (абсолютно)
и сам ряд (*). Теорема доказана.
Следствие. Если степенной ряд расходится при х = дг0, то
он расходится и при всяком х, большем по абсолютной величине,
чем дго> |*|>|лго|.
В самом деле, если бы он сходился при каком-нибудь таком х,
то в силу теоремы Абеля он абсолютно сходился бы и при всех
*) Н. Абель A802—1829) — замечательный норвежский математик, сде-
сделавший-за свою короткую жизнь очень много для развития различных обла-
областей математики.
**) Если йпх% стремится к нулю, то, начиная с некоторого « = ЛГ, все^
| апх% | не превосходят некоторого заранее взятого числа Ми что же касается
^1
N первых членов: | а01, |
| а2х* |,..., | aN _
"~ 1
то обозначим
через М2 число, превосходящее все эти члены. Тогда, действительно, при
всяком п будет |яЛ*?|<М, где М — большее из чисел Мх и М8.
15*

440 гл. ix. ряды ч [131
меньших по абсолютной величине значениях лг, в частности при
х = х0, а это противоречит условию.
Из теоремы Абеля и её следствия вытекает справедливость пред-
предложения, высказанного выше,44 а именно:
Для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости,
так и точки расходимости, существует такое положительное
число R, что для всех х, \ х К R, ряд абсолютно сходится, а для
всех х, | х | ^> R, ряд расходится.
Что касается значений x = R и х = — /?, то здесь могут осуще-
осуществляться различные возможности: ряд может сходиться в обеих
точках, или только в.одной из них, или ни в одной.
Определение. Число R такое, что для всех х9 |х|</?,сте-
|х|</?,степенной ряд сходится, а для всех х, |л;|>/?, расходится, назы-
называется радиусом сходимости ряда, а интервал от х = — /? дс
# = /?—интервалом сходимости (он может быть замкнутым с
двух сторон, или только с одной стороны, или вовсе открытым).
Условимся для рядов, расхбдящихся при всех х, кроме л; = 0,
считать R — 0, а для рядов, сходящихся при всех х, считать
Я = оо.
II. Можно указать правила для нахождения радиуса сходимости
степенного ряда (*).
tt .
Теорема. Если существует Нт у \ ап | = р, то радиус сходимо-
Л->ОО
сти ряда равен—, т. е. /? = —, причём считаем /? = (), если pas oof
и /?=оо, если р = 0. .
Доказательство. Положим ип=>\апхп |, так, что Ио + И1 +
4- Щ -\- ... + tin -f- • • • есть ряд абсолютных величин членов ряда (*):
Ы + \а1\\х\^\а%\\х^ + ... + \ая\\х\Л + ... (**)
Имеем:
1) Пусть р — конечное число, отличное рт нуля. Тогда
lim yun=p\x\;
п —*¦ оо
следовательно, по признаку Коши ряд (**) сходится и, значит,
ряд (*) сходится абсолютно при р|х|<^ 1, т. е. при |jc|<[ —. При
p|jc|]>l, т. е. при \х\^> — , ряд (**) расходится, и поэтому ряд (*)
не может сходиться абсолютно. Но тогда он вообще расходится
при этих значениях х. В самом деле, если бы при х = хи |^i|^> —,
ряд (*) сходился, то по теореме Абеля для х = хъ где | х[ \ ^> | лг21 ^> —,

132] § 3. степенные ряды 441
он должен был бы сходиться абсолютно, чего, как мы видели,
быть не может. Таким образом, ряд сходится при | х \ <^ — и расхо-
расходится при |лг|^>— и, значит, /?=—.
, 2) Пусть р = 0. Тогда lim -/ип=г0 при всяком х> и ряд (**)
сходится для любого х: Значит, ряд (*) абсолютно сходится во
всякой точке оси Ох и ^ = оо.
3) Пусть р = оо. Тогда lim умя=оо при всяком х> хфО9 и,
Л-ЮО
значит, ряд (*) не может сходиться абсолютно ни при каком х ф 0.
На основании теоремы Абеля заключаем, что ряд (*) во всех точках
оси Ох (кроме нулевой) расходится и ^ = 0.
Приведённое здесь правило для нахождения радиуса сходимости
было получено из признака Коши. Аналогичное правило может .быть"*
получено и из признака Даламбера.
Теорема. Если Jim н~±ч = р, то радиус сходимости ряда
равен —, т. е. /?=—, причём мы считаем /?=0 при р = ос и
R = оо при р = 0.
Заметим, что правило, вытекающее из последней теоремы, прак-
практически очень удобное, справедливо, однако, лишь для ряда, не
имеющего (начиная с некоторого n = N) «пропусков», т. е. такого,
что ak^0 (?>N).
Для отыскания радиуса сходимости ряда (*) признаки Далам-
Даламбера и Коши могут быть непосредственно применены во всех слу-
случаях к ряду (**).
132 A46). Общие свойства степенных рядов. На основании
свойств функциональных рядов (§ 2) мы докажем три теоремы
о непрерывности, бесконечной дифференцируемости и аналитичности
функций, к которой сходится данный степенной ряд.
Теорема I. Сумма степенного ряда
есть функция, непрерывная в любом замкнутом интервале, при-
принадлежащем интервалу сходимости (т, е. лежащем внутри интер-
интервала сходимости).
Доказательство. В силу теоремы п° 127 достаточно убе-
убедиться в том, что степенной ряд равномерно сходится в любом
интервале [—Ru R^, где /?i<[jR. А это просто следует из того,
что в силу теоремы Абеля ряд

442 гл. ix; ряды 1132
сходится. В самом деле, каждый член степенного,ряда (*) не пре-
превосходит в интервале [—Ru /?i] по абсолютной величине соответ-
соответствующего члена ряда (**):
I пПХ I ^ I пП I *<1 >
а поэтому на основании признака Вейерштрасса (п° 127) заключаем,
что степенной ряд равномерно сходится в. интервале [— Ru Rt].
Теорема II. Сумма степенного ряда (*) есть функция, име-
имеющая внутри интервала сходимости производные любого порядка.
Эти производные являются суммами степенных рядов, полученных
из данного степенного ряда почленным его дифференцированием
соответствующее число раз, причём радиус сходимости каждого
«производного» ряда тот же, что и у исходного степенного ряда.
Доказательство. Обозначим через f(x) сумму ряда (*) и
^формально возьмём первый «производный» ряд~
Для того чтобы доказать справедливость этого равенства в интервале
[—Ru Ri]y R\<CR> нужно в силу теоремы И п° 128 показать,
что последний ряд в этом интервале равномерно сходится. Дока-
Докажем, что его радиус сходимости равен радиусу сходимости R
ряда (*). Тогда отсюда будет вытекать, так же как и при доказа-
доказательстве теоремы I, что «производный» ряд равномерно сходится
в интервале [—Ru /?i]. Пусть |x\^Rt <C#s<C#- Имеем:
со
Так как ряд \, апЩ. сходится (теорема Абеля), то все его члены
я = о .
ограничены некоторым числом М:
Тогда
Следовательно, члены рассматриваемого ряда по абсолютной вели-
величине не больше соответствующих членов ряда
*,+.*,.+...+,«,¦+....
который сходится. В самом деле, применяя признак Даламбера,
имеем:

132] | 3. степенные Ряды 443
Таким образом, «производный» ряд сходится при всяком х, \^
Что и требовалось доказать.
Ни при каком х, \ х | > R, производный ряд сходиться не может,
так как иначе при том же х сходился бы (на основании теоремы 1
п° 128) и первоначальный ряд, что противоречит определению ин-
интервала сходимости.
Применяя только что доказанное предложение к первому «про-
«производному» ряду, найдём:
точно так же
и таким же образом дальше.
Итак, степенной ряд можно в интервале его сходимости по-
почленно дифференцировать любое число раз.
Что степенной ряд можно в интервале его сходимости
почленно интегрировать, непосредственно вытекает из теоремы 1
п° 128.
Например,
где ||<
Теорема III. Сумма степенного ряда есть функция, анали-
аналитическая в интервале сходимости.
Доказательство. Возьмём степенной ряд в общем виде
В теореме II было доказано, что в интервале сходимости степен-
степенного ряда [jc0 — R, xQ -\- R]' функция f(x) бесконечно дифферен-
дифференцируема. 1
Выразим коэффициенты ряда через производные от функции
). Для п-й производной, как легко видеть, имеем:
Полагая здесь х = х0, получаем:
откуда
а
п\

444 гл. ix. ряды
Таким образом, коэффициенты степенного ряда являются соответ-
соответствующими коэффициентами Тейлора для функции /(х) и
точки х = х0
Отсюда и следует утверждение теоремы, которое можно ещё
формулировать так:
Всякий степенной ряд служит рядом Тейлора для представляе-
представляемой им функции.. '
Это означает, что если функция может быть представлена степен-
степенным рядом, то только одним, именно её рядом Тейлора, т. е. что
разложение функции в степенной ряд единственно.
§ 4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
133 A47). Другой метод разложения функций в ряд Тейлора.
До сих пор ряд Тейлора для данной функции мы находили прямым
путём: вычисляли коэффициенты Тейлора последовательным диффе-
дифференцированием самой функции, составляли формулу Тейлора и дока-
доказывали затем, что остаточный член для некоторого интервала значений
независимой переменной стремится к нулю. Такой метод решения
задачи о разложении функций сопряжён с трудностями, так как часто
оказывается нелёгким исследование остаточного члена (так, например,
по этой причине мы оставили пока недоказанным, что ряды для
\п(Х-\-х) и (l-|-jc)m сходятся в интервале (—1, 0)).
Теперь, пользуясь изученными в § 3 общими свойствами степен-
степенных рядов, мы изложим иной метод решения задачи о разложении
функций в ряды Тейлора; этот метод обладает по сравнению с пер-
первым методом рядом серьёзных преимуществ, которые будут очень
ясно видны на приводимых ниже примерах.
Пусть дана в окрестности точки лсг0 бесконечно дифферен-
дифференцируемая функция f(x). Запишем формально:
где а0, ах> а2, ..., аПУ ... — неопределённые пока коэффици-
коэффициенты. Допустим, что мы можем найти эти коэффициенты (в пред-
предположении, что функция разлагается в степенной ряд) на основании
некоторого свойства данной функции f(x). Далее, находим ин-
интервал сходимости так образованного ряда. В этом интервале он
является рядом Тейлора для представляемой им функции, т. е. для
своей суммы; обозначим её через F(x). Для того чтобы быть уве-
уверенным в том, что мы получили разложение функции f(x) в ряд
Тейлора, остаётся затем лишь доказать, что функция F(x) совпа-
совпадает с fix).

133] § 4. степенные ряды (продолжение) 445
Проводится это доказательство обычно так. Проверяем, что
функция F(x) обладает тек самым свойством функции/(jc), на осно-
основании которого вычислялись коэффициенты степенного ряда (*). Если,
кроме того, этим свойством может обладать только одна функция,
то заключаем тогда, что функции F(x) и f(x) должны совпадать
между собой и полученный ряд является искомым рядом Тейлора.
В целях краткости описанный сейчас второй метод назовём
«методом неопределённых коэффициентов». На примерах читатель
освоится с этим методом.
Итак, в первом методе доказывается, что остаточный член
в формуле Тейлора стремится к нулю. Во втором методе вместо
этого доказывается, что ряд Тейлора данной функции предста-
представляет именно её, а не какую-нибудь другую функцию.
С первого взгляда может показаться излишней проверка того, что
сходящийся степенной ряд, коэффициенты которого совпадают с коэф-
коэффициентами Тейлора для данной функции, имеет своей суммой именно
эту функцию. Примером того, что это не всегда верно, может слу-
служить функция, указанная Коши:
f(x) = <? х* при х ф О й /@) = 0.
Это — бесконечно дифференцируемая на всей оси Ох функция, при-
причём все её производные в точке х = 0 равны нулю. Действительно,
-^e при х ф 0 и f @) = 0, так как
/"@) = 0, так как
и т. д. Следовательно, все коэффициенты Тейлора функции f(x)
при х — 0 равны нулю. Соответствующий ряд Тейлора состоит из
членов, .равных нулю, и, значит, сходится, но не к функции /(х),
а к функции, тoждecтвeннq равной нулю.
Вышеопределённая функция f(x) доставляет нам пример беско-
бесконечно дифференцируема й, но не .аналитической
функции в окрестности точки лг=О.
Мы видим, что степенной ряд может быть рядом Тейлора не
одной, а бесконечного множества функций, но сходится он только
к одной из этих функций, для которой является её единствен-
единственным степенным разложением.

446 гл. ix. ряды 1133
Примеры. 1) Разложим в ряд Тейлора функцию f(x) = ex.
Воспользуемся тем её свойством, что f(x)=f(x) и /@)=L
Пусть
/ (х) = а0
По второму условию /(О) = ао=1. В согласии с первым условием
имеем:
Так как это равенство должно выполняться тождественно, то ах= 1 и
а = в*
л п '
Из этого рекуррентного соотношения последовательно находим
коэффициенты
1*1 1
Ряд
1 + + S+ +
имеет своим интервалом сходимости всю ось Ох, т. е.. его радиус
сходимости равен оо. Действительно (см. п° 131),
== 0 и R = oo.
Значит, полученный ряд представляет для всякого х функцию F(x)y
удовлетворяющую, как это непосредственно видно, поставленным
условиям: FT (x) = F(x), F@)=l. Но эти условия определяют'един-
определяют'единственную функцию, именно ех. В этом читатель легко убедится
самостоятельно, решив дифференциальное уравнение dF(x) = F(x) d#
при условии /7@)=1.
Итак,
на всей оси Ох,
2) Выведем разложение бинома (l-f--^)m ПРИ любом т в ряд
Тейлора в окрестности точки х = 0. *
Заметим, что функция /(д;) = A -\-х)т удовлетворяет таким
условиям: A -\-x)f (x) = mf(x) и /@)= 1. Будем искать степенной
ряд, выражающий функцию, подчинённую этим условиям:
f(x) = а0 + ахх +
причём «о=1» так

183) | 4. степенный Ряды (продолжение) 44?
Умножая «производный» ряд на 1 -\-х и приравнивая первоначаль-
первоначальному ряду, умноженному на т, получим:
т. е.
= т -\- тахх-\-та^х* -\-... -f- /яа^-хт" -[-
Сравнивав коэффициенты при одинаковых степенях, находим:
Из этих соотношений последовательно находим искомые коэффи-
коэффициенты:
=== 5 ' •"
_^ (от — 1)... (т — п +1)
... , ап— 1 .2.../г
мы получили биномиальные коэффициенты.
Если т не есть целое положительное число, то ряд
имеет своим интервалом сходимости интервал (—1, 1), т. е. его
радиус сходимости равен 1. Действительно,
0—Нт \т(т-\)...(т-п)\п\ | от — я | г
Наш ряд представляет в интервале (—1, 1) функцию/^лг), удов-
удовлетворяющую соотношению A ~\- х) Fr (x) = mF (x) при условии
F@)= 1, что непосредственно вытекает из закона образования коэф-
коэффициентов; но это легко и проверить, если проделать нужные опе-
операции над рядом. Указанное соотношение определяет единственную
функцию, именно (\-\-х)т* В самом деле, перепишем соотноше-
соотношение так:
^=^_4р7' где it = F(x)9
или
d (In и) = rf |> In (I-f лг)],
откуда

448 гл. ix. ряды [133
причем С s=*0, так как а^=\, если #=^=0. Значит,
и н = A+лг)т, ^
и мы окончательно доказали сходимость биномиального ряда к A -\*х)т
в интервале (—1, 1).
3) Точно так же мы можем найти разложение в ч ряд Тейлора
функции /(лг) = 1пA -\-х), заметив, что она удовлетворяет условиям
Мы придём к ряду
В п° 130 была доказана справедливость этого разложения лишь
в интервале @, 1). Теперь легко установить его законность и в ин-
интервале (— 1, 0). В самом деле, имеем:
р = hm , . = I и R = I,
т. е. интервалом сходимости служит, во всяком случае, интервал
4) Найдём ряд Тейлора функции/(л:) = arctg x в окрестности точки х = 0.
Будем исходить из следующих свойств функции/(лг):
Положим
Г(х) = а1
= О по условию 2)). По условию 1) в интервале (—1, 1) имеем:
ах + 2а2х +... + папхп^ +... = 1 — лг2 + л:4 —
Сравнивая коэффициенты, найдём:
1 1 / \\п
= 1, «8 = 0, 08 = — у, а4 = 0, «5==у, ... , 02л = 0, 02П+1 = ^Г\
*-1* + 1л:-...
Степенной ряд в правой части сходится в интервале (— 1, 1), ибо
он представляет функцию F{x\ удовлетворяющую, как это очевидно, соот-
соотношению F* (х) = 1 — х2 +х* —... = -. 2, которое при условии F @) = 0
1 -р X
определяет единственную функцию, а именно arctg x.

134] § 4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 449
1Z т
Ряд сходится и при л: = 1, доставляя значение arctg 1= — , вследствие
чего
Это замечательное представление числа тс в виде бесконечного ряда было
известно ещё Лейбницу.
Итак,
в замкнутом интервале [—1, 1].
5) Аналогично получим ряд для /(.*:) = arcsin.*:. Имея в виду, что
Г(Х)=УТ=^' /@)==0'
и полагая
/ (*) = ахх + аъх* + ...+ апхп + ...,
запишем (см. п° 130):
а, + 2а2х +...+ папхп-1 + ... =
откуда
_ Ь3-5...Bк —1) 1
Д2« — U, 02n+i— 2.4.6... 2я *2л + Г
Получаемый таким образом ряд имеет радиус сходимости, равный 1; он
сходится также и на концах интервала х = —1 и х = \. Его сумма удовле-
удовлетворяет исходным условиям, которые определяют единственную функцию, а
именно arcsin x.
Итак,
__ ,1 1 8 ьз 1 5 , ,
Ь3-5...Bк — 1)
+ 2-4-6... 2л
в замкнутом интервале [— 1, 1].
134 A48). Некоторые применения рядов Тейлора.
I. Приближённое вычисление значений функции.
Допустим, что функция f(x) — аналитическая в некотором интер-
N вале (а, Ь) и нам известны значения самой функции и её последо-
последовательных производных в какой-нибудь точке x = xQt принадлежа-
принадлежащей интервалу (а, Ь). Тогда точное значение функции f(x) в любой
другой точке этого интервала может быть вычислено по ряду Тей-
Тейлора, а приближённое её значение — или по частичной сумме этого
ряда или по соответствующей формуле Тейлора.
О применении формулы Тейлора для вычисления значений
функции мы уже говорили в п° 79. Использование для этой цели

450 гл. ix. ряды A34
частичных сумм ряда Тейлора обычно оказывается более
выгодным по следующим двум соображениям.
1) При замене функции её многочленом Тейлора иногда удаётся
дать более точную оценку ошибки, если исходить из всего ряда, а
не из формулы Тейлора; иными словами, погрешность, которую мы
можем указать, ограничиваясь первыми членами ряда Тейлора, бы-
бывает меньше, чем оценка остаточного члена соответствующей фор-
формулы Тейлора.
2) Выражение данной функции в виде ряда иногда может быть
очень просто преобразовано в другой ряд, «быстрее сходящийся».
Определение. Один ряд называется «б ы с т р е е» или «л у ч-
ш е» сходящимся,, чем другой, если для достижения одной и той
же точности можно ограничиться в первом ряде меньшим чи-
числом начальных членов, чем во втором. Преобразование ряда в
другой «лучше сходящийся» называется улучшением сходи-
сходимости ряда.
1) Для иллюстрации первого соображения возьмём формулу Тейлора
и ряд Тейлора для числа е. В п° 79 мы нашли, что
и что погрешность $лравна -¦ . .. t .
Если иметь в виду весь ряд для числа еу то ошибка приведённого выше
приближённого значения будет равна остатку Rn ряда, причём
1 ' 1 * ""[М 1 [-•••]<
|1++ + = в
Г~вя"ПГ'
Итак, можно считать Ьп = -j—, что даёт лучшую оценку ошибки, чем
Пусть, например; поставлена задача вычислить число е с точностью
до 0,01. Из соотношения
1 ^ 1
находим, что п можно взять равным 4 (получающийся при этом в левой ча-
части относительно малый недостаток до 100 не должен смущать, так как
оценку Rn мы и здесь явно преувеличили; если же оценить JRn более точно,
то окажется:
+ я
что при п = 4 в точности равно 0,01). Значит, мы имеем право утверждать,
что 14-1+7^4--ог+т7!:*э2,71 отличается не больше, чем на 0,01 от числа е.

•341 . § 4. степенные ряды (продолжение) 451
Возьмём теперь 8П из формулы Тейлора. Из неё следует, что нужно п
взять таким, чтобы
y^S^, т.е. (п + 1)!^300,
для чего п должно быть не меньше 5. Таким образом, пользуясь форму-
формулой Тейлора, мы можем только тогда поручиться за достижение точности,
в 0,01, когда возьмём п = 5. На самом же деле, как мы видели, пользуясь
рядом Тейлора, эта точность получается и при п = 4.
2) Для иллюстрации второго соображения возьмём известный
ряд
L о
Этот ряд очень медленно сходится. Из теоремы Лейбница о знакоперемен-
знакопеременных рядах следует, что для вычисления In (\ -\-x) с точностью до 0,00001 нужно
(например, при х = 1) взять не меньше 100 000 (!) начальных членов ряда.
Аналогичный результат даст оценка остаточного члена в формуле Тейлора
для \п(\-\-х). Такое суммирование практически невозможно.
Покажем, как здесь можно ускорить сходимость ряда. Заменяя х на
— л: и вычитая из выражения для In A —J— jc), получим:
Ряд в правой части уже сам по себе сходится быстрее, чем ряд для
In A + х)- Кроме этого, по найденной формуле можно вычислять логарифмы
любых (подожительных) чисел. В самом деле, когда х меняется в интер-
1 -4- х
вале сходимости ряда (— 1, 1), непрерывная функция -=—^— пробегает весь
интервал @, оо). Вычислим по этой формуле In 2. Если -—^— = 2, то х = -тгш
Возьмём л-ю частичную сумму:
Ошибку оценим так:
2-9
t f ^ 32"Г3^*Г •••;- B/г + 3K2*+*.8 '
Найдём /г, при котором ошибка не превзойдёт 0,00001. Должно быть
4 B/г + 3) 32«+! ^ 105,
что, наверное, имеет место при п > 4. Значит,
Итак, в новом ряде достаточно было взять пять слагаемых вместо 100 00СГ
в исходном ряде, чтобы найти результат (In 2) с той же точностью. (Между
прочим, нетрудно показать, что можно взять только четыре слагаемых.)

452 гл. IX. ряды 1134
Полагая в полученном ряде х= <лкт \ i » гДе N — целое положительное
число, придём к формуле
In-
фактически служащей для вычисления логарифмов (натуральных) целых чисел,
одного вслед эа другим, с любой практически нужной точностью.
II. Разложение в ряд неявной функции. Метод «не-
«неопределённых коэффициентов», употреблённый нами для отыскания
ряда Тейлора функции по её характерному свойству (п° 133),
может быть использован и тогда, когда это свойство выражается
в виде конечных (а не дифференциальных, как было в п° 133) со-
соотношений.
Другими словами, указанный метод может быть применён для
отыскания явного — в виде ряда — выражения функции, заданной
неявно уравнением между независимой переменной и функцией.
В качестве примера возьмём уравнение (ср. п° 13)
задающее в неявной форме у как функцию х. Существует общая теорема,
на основании которой можно заключить, что у в некоторой окрестности
точки л: = 0 является аналитической функцией л:.
Найдём начальные члены её разложения в ряд Тейлора при лго = О. За-
Запишем:
у = ахх + а2х2 + я з*3 + • • •;
0о := 0 потому, что при х = 0 из уравнения следует у = 0. Неопределённые
коэффициенты аи а2у аг, ... найдём из того условия, что ряд удовлетворяет
заданному уравнению. Имеем:
или
г • • •/ -г 21
откуда

134] § 4. степенные ряды (продолжение) 453
Этот степенной ряд сходится (равномерно и абсолютно) в некоторой
окрестности точки х = О, доставляя степенное разложение нуля. Поэтому
коэффициенты при всех степенях х должны быть равны нулю;
-1+^=0,
c3 — -g
Из этой системы находим:
«1 = 1, «i = —1, «8 =
значит, '
Мы получили начальный отрезок ряда Тейлора для рассматриваемой функ-
функции, который в достаточно малой окрестности точки х = 0 может дать
вполне удовлетворительное по точности представление о функции.
Наконец, заметим, что коэффициенты ряда Тейлора в рассмотренной
задаче (и в других аналогичных задачах) можно находить, пользуясь выра-
выражениями этих коэффициентов через производные от функции. Значения их
в соответствующей точке (здесь в точке х = 0) вычисляются из уравнения,
задающего функцию, последовательным его дифференцированием. В приве-
приведённом примере читатель без труда проверит, что результат получится тот
же самый.
III. Интегрирование функциИГ*Допустим, что нужно найти
а
причём известно разложение подынтегральной функции f(x) в ряд
Тейлора, а пределы интеграла лежат внутри интервала сходимости
ряда. Тогда мы имеем право интегрировать ряд почленно. В резуль-
результате получится ряд Тейлора для функции F(x) с тем же интерва-
интервалом сходимости. Если функция F(x) выражается в конечном виде,
то, таким образом, для этой элементарной функции мы находим её
разложение в ряд Тейлора, Если же такое конечное выражение
для функции F (дг) не известно или его и не существует (см. п° 105, II),
то найденный ряд может служить выражением функции F(x) через
самые простые основные элементарные функции — степенные —
правда, уже не конечным выражением, а бесконечным. Однако,
так как установленные свойства степенных рядов в интервале их
сходимости вполне аналогичны свойствам конечных выражений, то
такое представление функций с помощью бесконечных рядов сле-
следует признать нисколько не «худшим», чем представление с по-
помощью конечного числа основных элементарных функций. Наоборот,
оно в силу простоты членов ряда во многих отношениях зна-
значительно удобнее любой не» степенной функции, и часто стараются
известную элементарную функцию и даже основную элементарную
функцию представить в виде бесконечного степенного ряда.

454 . гл. ix. ряды 1134
Примеры. 1) Возьмём интеграл ,
f \— Xй
О '
Согласно n° 130 имеем:
2
интегрируя ряд почленно, получаем, имея в виду, что F (х) = arcsin х:
. 1л:3, 1-3 хъ , ЬЗ-5 л:7 , 1-3-5.7 х» .
= x + T т + тт у + 74^ Т + Т^бТ Т + -
Подобным же приёмом легко найти разложения In A + лг) и arctg x:
х х
Применённый здесь метод разложения функций arcsin л:, 1пA+лг),
arctg л:, в сущности говоря, лишь по форме отличается от «метода неопре-
неопределённых коэффициентов», при помощи которого эти функции были разло-
разложены в п° 133.
Заметим, что, зная оценку остаточного члена ряда для подынтегральной
функции /(л:), мы можем на основании теоремы об оценке интеграла оценить
и остаточный член ряда для интеграла^(л:).
2) Пусть дан интеграл
sin л: .
dx
(не выражаемый в конечном виде, см, п° 105). Деля ряд для sin x на х,
получим:
sin л: . х2 , jc4
х ~" "ЗГ"^Г"" '•'
Этот ряд, как и ряд для sin лг, имеет своим интервалом сходимости всю
ось Ох. Интегрирование даёт:
Этот ряд не сходится ни к какой элементарной функ-
ц и и; он является аналитическим заданием новой функции,
но посредством не конечного, а бесконечного числа операций.
3) Аналогичным путём можно представить через элементарные функции
эллиптический интеграл (не выражаемый в конечном виде). Возьмём, напри-
например, задачу об определении длины L эллипса с полуосями а и Ъ. Имеем
(п° 118):
где $ — эксцентриситет эллиггса,
1\у\—

135] § 4. степенные ряды (продолжение) 456
Так как s< 1, то ss cos2f< 1, и подынтегральную функцию можно раз-
разложить в биномиальный ряд (см. п° 130):
]/1—s*cos4 =l—-L
Интегрируя, получаем:
~е* С cos^^+^4
0
Этот ряд даёт разложение длины эллипса по степеням его эксцентриситета.
Ограничимся написанными членами. Тогда остаток ряда для подынтеграль-
подынтегральной функции
не будет превосходить по абсолютной величине выражения
Значит, остаток ряда для L не превосходит
%л_ ЬЗ-5 е8 Г/2__ л_ 1*3-5
Следовательно,
е8
где | JR | < 0,022-= ^%а. По этой формуле можно при малом е с достаточ-
достаточной точностью вычислять длину эллипса.
135 A50). Функции комплексной переменной. Формулы Эйлера.
В общем курсе математического анализа обычно употребляются
только действительные функции действительных переменных вели-
величин. Однако некоторые операции (например, решение уравнений),
произведённые в области действительных чисел, приводят к ком-
комплексным числам. В таких случаях стремятся окончательные резуль-
результаты вычислений освобождать от комплексных чисел с тем, чтобы
не выйти из области действительных чисел.
Полагая, что читатель знаком с алгеброй комплексных чисел из курса
элементарной математики, только кратко напомним её основные положения.
.Пусть дано комплексное число: z = х + (у, где х и у — действительные
числа, а /2 = — 1; х называется действительной частью, ayi— мни-
мнимой частью z. Число х — iy называется сопряжённым z\ оно обо-

456 гл» ix. ряды [138
значается через z. Модулем числа z = х + iy называется число |z| =
= |/"лг3 + .у2. Равенство 2 = л; + /у = 0 может иметь место только, если
| я | = 0, т.е. если и х=0и)/ = 0. Геометрически комплексное число изо-
изображается точкой плоскости, снабжённой системой декартовых координат,
причём абсциссой точки служит действительная, а ординатой — мнимая часть
числа. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью, а ось
ординат — мнимой осью; плоскость же называют плоскостью ком-
комплексных чисел, или комплексной плоскостью. Если точка изображает
число г, то её называют «точкой z>. Можно изображением комплексного
числа считать также радиус-вектор указанной точки (его проекциями на
оси являются соответственно действительная и мнимая части). Ясно, что
длина радиус-вектора равна модулю числа. Точка z симметрична точке z
относительно действительной оси (т. е. оси абсцисс).
Если перейти по обычным формулам к системе полярных координат,
обозначив их через р и <р, то, очевидно, будем иметь:
z = х + iy = р (cos ср + i sin <?), (*)
где р — модуль числа г, т. е.
a <f — так называемый аргумент числа z, т. е.
По заданному комплексному числу его аргумент находится не одно-
однозначно, а с точностью до целого числа полных оборотов^Выражение в пра-
правой части (*) называется тригонометрической формой комплекс-
комплексного числа. /
Если у = О, то комплексное число z = x есть действительное число,
изображаемое точкой действительной оси, а если х = 0, то z=-iy назы-
называется мнимым числом, изображаемым точкой мнимой оси.
Так как действительные числа составляют часть множества всех комплекс-
комплексных чисел, то правила арифметических действий над комплексными числами
устанавливают так, чтобы сохранялись все свойства действий над действи-
действительными числами (кроме тех свойств, которые вытекают из понятий
«больше» или «меныие>, не имеющих смысла для комплексных чисел, отлич-
отличных от действительных).
Действия производят в соответствии с формулами
т. е. сумма двух комплексных чисел есть комплексное число, действительная
и мнимая части которого равны сумме соответствующих частей слагаемых.
Геометрически этому правилу соответствует известное из векторной алгебры
правило геометрического сложения векторов.
2) (xt + iyx) — (
вычитание есть действие, обратное сложению, и аналитически выражает
обычное геометрическое вычитание векторов. Разность двух комплексных
чисел Zi — z2 изображается вектором с началом в точке z2 и концом в
точке Zi. Таким образом, \zi — z21 есть длина прямолинейного отрезка,
соединяющего точки Zi и z2.
В соответствии с правилом вычитания заключаем, что два комплексных
числа могут быть равны в том и только в том случае, когда равны между
собой их действительные и мнимые части.
3) (*i + lyx) (** + (Уi) =

•331 § 4. степенные ряды (продолжение) 467
это правило не соответствует ни одному из умножений векторной алгебры.
Если сомножители взять в тригонометрической форме, то легко вывести, что
Pi (cos ?! + «sin <рц) . р2 (cos <f2 + /sin ?,) s=t Pip2 [cos (?1 + <p2) + /sin (<pt + <p2)],
т. е. при умножении модули чисел перемножаются, а аргументы скла-
складываются.
Последовательно распространяя на любое число п сомножителей и счи-
считая их равными между собой, придём к правилу возведения комплексного^
числа в целую степень:
[р (cos <р + / sin <р)]я = рл (cos щ +1 sin л?),
п — целое положительное число.
Это — так называемая формула Муавра.
Умножим комплексное число на сопряжённое ему: произведение будет
действительным положительным числом, равным квадрату модуля каждого
из сомножителей: zz = (х + 1у) (х — iy) = хг + У2 = I z |2 = | 2 |2.
дч *! + ^1 _
при условии, что л:а + /у*9^0» Деление есть действие, обратное умножению.
Если делимое и делитель взять в тригонометрической форме, то
т. е. при делении модуль делимого делится на модуль делителя, а аргу-
аргумент делителя вычитается из аргумента делимого.
Внимательно рассмотрев вышеприведённые формулы, легко заметить, что
выражаемые ими правила можно объединить общим и очень простым пра-
правилом:
Арифметические действия над комплексными числами производятся
по обычным правилам, применённым к числам так, как если бы это Шли
обыкновенные двучлены (а + ib), но в результате /s везде заменяется
на — L
Известные в области действительных чисел законы и свойства арифмети-
арифметических действий без изменения переносятся в область комплексных чисел.
Отметим, что если в каком-нибудь арифметическом действии вместо
всех комплексных чисел взять их сопряжённые, то и результат получится
сопряжённый первоначальному. Действительно, изменив знаки yt и у2 на
обратные, мы увидим, что в правых частях всех четырёх формул 1), 2), 3)
и 4) знак мнимой части также переменится »на обратный. Но если это имеет
место в каждом из четырёх арифметических действий, то, значит, имеет
место и в любой их совокупности.
Комплексная величина z = x-\-ly называется переменной, если
она принимает различные численные (комплексные) значения. Мы
говорим, что комплексная величина w=u-\-iv есть функция неза-
независимой комплексной переменной z = x-\-iyf если
каждому значению этой переменной, принадлежащему некоторой
совокупности комплексных чисел, называемой областью определе-
определения функции, соответствует одно или несколько определённых
значений величины w. Обозначение обычное: w=f(z).
Далее можно ввести для функций комплексной переменной фун-
фундаментальные понятия математического анализа (предела, непрерыв-

458 гл. ix. Ряды
ности, производной, интеграла, ряда и т. п.) в полной аналогии
с соответствующими понятиями для функций действительной пере-
переменной. Мы оставляем это введение в стороне, так как оно потре-
потребовало бы специального изложения, выходящего за границы нашего
курса *). Необходимыми простыми соображениями мы воспользуемся
без проведения строгого обоснования.
Для определения основных элементарных функций от комплексной
переменной можно применить различные методы; но проще всего,
зная уже степенную функцию w = zn (при п целом и положитель-
положительном), дать эти определения при помощи степенного ряда.
Можно доказать, что ряд с комплексными членами wx -f-^a -)-.••
... -f- wn -f-..., где wn = un -j- lvny un и vn — действительные
числа или функции, сходится, если сходится ряд (с действи-
действительными членами), составленный из модулей членов дан-*
ного ряда. Тогда ряд называется абсолютно сходящимся,
причём его сумма s равна и -f- to, где и = щ -{- щ -\-... -\- ип ~\-...,
* = г>1 + г>а + --- + *л + ---
Для степенного ряда от комплексной переменной z
где а0, аи а%, ... , ап, ... — комплексные постоянные, оказывается
справедливой теорема Абеля из п° 131 в той же формулировке; из
неё вытекает существование числа R такого, что при всех z, удо-
удовлетворяющих неравенству \z\<^R, степенной ряд абсолютно схо-
сходится, а при всех |<z|^>/? — расходится. Если |^|<^R> то точка z
ле&ит в круге с центром в начале координат и с радиусом, рав-
равным R; число R и называется радиусом сходимости ряда,
а круг \z\<^R — кругомсходимости. Радиус сходимости может
быть равен нулю и бесконечности. В первом случае ряд сходится
только в одной точке, а во втором —в любой точке плоскости.
Теория степенных рядов, изложенная в предыдущем параграфе,
без всяких существенных изменений справедлива и для степенных
рядов в области комплексных чисел.
В силу этой теории в круге сходимости степенной ряд схо-
сходится абсолютно и равномерно к функции, непрерывной и беско-
бесконечно дифференцируемой. Она называется аналитической в этом
круге.
Ряд
сходится при любом z, т. е., как говорят, во всей комплексной
плоскости. В точках действительной оси, когда z — xy этот ряд
*) См. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III, Гостехиздат;
М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат, Методы теории функций комплекс-
комплексного переменного, Гостехиздат, 1951.

¦35] § 4. степенные ряды (продолжение) 459
представляет функцию ех\ естественно считать, что и при всяком
комплексном z ряд представляет функцию, которую вды называем
показательной функцией (с основанием е) и обозначаем
через ez. Следовательно, по определению
Ц^связи с таким определением и инвариантностью правил дей-
действий над числами и рядами при переходе в комплексную плоскость
свойства функций еху вытекающие из этих действий, остаются спра-
справедливыми и для функции ег. Например, ег^г* = ег^ • е*к
Если j/ = 0, т. е. z = x, то ег есть известная экспоненциальная»
функция ех. Посмотрим теперь, как можно выразить функцию ezt
если лг = О, т. е. z = (y, где у— действительное число. Имеем:
т. е.
ИЛИ
Но ряды, стоящие в скобках, представляют соответственно ^
и sin у. Поэтому eiy= cosy -\-ism у. Для того чтобы подчеркнуть
общность результата, заменим обозначение переменной у через t
eil = cos t-{-ismt.
Это и есть формула Эйлера, выражающая показательную
функцию через тригонометрические. В силу этой формулы каждое
комплексное число можно представить ещё в так называемой пока-
показательной форме: ч
z = p (cos cp -{- isin cp) = pei<?, (*)
где p = |z|, cp^arg^. Заметим, что с изменением ср от 0 до 2тс
точка el(p = cos ср-f-isin <р обегает один раз полную окружность
с центром в начале координат и с радиусом, равным 1.
Заменяя t на —t, получим: >
e"lt = cos t — /sin t. (**)
Из двух равенств (*) и (**) найдём:
cost=
—
eit e-it

460 гл. ix. ряды [135
Это — также формулы Эйлера; они дают выражения для триго-
тригонометрических функций через показательные. ч
Нам понадобится в дальнейшем дифференцировать по х функцию
у=егху где х — действительная переменная, а г = <х-[-/р — ком-
комплексное число. Легко показать, что это дифференцировайие произ-
производится так же, как если бы г было действительным числом; именно,
Имеем у = егХ=еах-е®х> а значит, по формуле Эйлера
у = еах (cos рлг -{- isin рлг).
Дифференцируя сумму по обычному правилу, будем иметь:
yr = (xfeax(cos (Злт -|- isin рлг) + $еах(— sin рлг -f /cos $x) =
= аеах (cos рлг -j- Isin $x) + §е** (ism рлг -f cos %x) —
= (а + ф) еах (cos pjc + /sin рлг) = rerX.
Что и требовалось доказать.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля теорема 439, 458
Абсолютная величина произведения 27
разности 27
суммы 27
частного 27
числа 26
Абстрактность 13
Аддитивность 378
Адиабатическое изменение объёма 66
Алгоритм 324
— Евклида 335
Амплитуда колебания 74
Аналитическое выражение 33, 45, 46
— задание функции 34
Аргумент комплексного числа 456
— функции 38
Асимптота 233, 234, 236, 238
— вертикальная 234
—, геометрическое определение 233
— горизонтальная 236
— наклонная 234, 235
, аналитическое определение 235
Асимптотическое изменение функции 235, 236
Асимптоты алгебраических линий 238
Астроида 271
Барограф 36
Барометрическая (гипсометрическая) фор-
формула 409, 410
Бесконечно большая величина 91, 93, 94, 95, 96
— малая величина 96, 123
k-ro порядка 121
— малые эквивалентные (равносильные) 122
— малых приращений формула 203
Бином Ньютона 251
—, ряд Тейлора 446, 447
—, формула Тейлора 261
Бойля-Мариотта закон 15, 66, 225
Буняковского неравенство 296
Ван-дер-Ваальса уравнение 223
Вейерштрасса признак 429
Величина 13, 14, 25, 26, 32
— переменная 14, 25, 36
— постоянная 14, 32, 36
Вершины линии 270
Возрастание функции в интервале 205, 206
в точке 193, 194, 195
Вторая производная 184, 191
, геометрическая интерпретация 265
функции, заданной параметрически 186
Второй дифференциал 189
— закон Ньютона 187
Вычисление определённого интеграла 287
Гармоника простая 75
— сложная 76
Гармоническое колебание простое 73
сложное 76
Гипербола 58, 60, 66, 176
— равнобочная 58, 66, 176
Гипоциклоида 271
Главная часть бесконечно малой 123
Главные значения обратных тригонометриче-
тригонометрических функций 78, 79
Гладкость линии 170
График движения 131
— дробно-линейной функции 60
— затухающих колебаний 211
— квадратичной функции 55
— линейной функции 54
— логарифмической функции 70, 223
— обратной функции 62
— показательной функции 67, 223
— синусоидальной функции 74, 223
— степенной функции 65, 66, 223
— функции 34, 35
в полярных координатах 178
— *—, построение по точкам 50, 192
, — по «элементам» 192, 193
Графики гиперболических функций 68
— обратных тригонометрических * функций
78, 79
— тригонометрических функций 72, 73
Графическое дифференцирование 159
— задание функции 34, 35
— изучение функции 50
— интегрирование 361, 363
Гюльдена теоремы 405, 406, 407
Даламбера признак (общий) 417, 4$0, 441
(частный) 418
Действия над комплексными числами 456,
457
Декартов лист 239, 241, 242
Дирихле несобственный интеграл 367
Дифференциал второго порядка 189
— длины линии 181, 182
— независимой переменной 162
— л-го порядка 190, 191
—, применение к приближённым вычислениям
166, 167, 168
— произведения 164
— суммы 164
— третьего порядка 190
— функции 161, 162, 163, 166, 189, 190, 309
, геометрическая интерпретация 1вЗ, 164
, инвариантность формы 165, 190, 191
— частного 164
Дифференциалы, основная таблица 164
Дифференциальное уравнение задачи 382
Дифференциальный бином 338
— закон процесса 383
Дифференцирование графическое 159
— непосредственное 136, 138, 143
— неявной функции 158, 185
— обратных функций 156, 158, 166
— по формулам 154, 155

462
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Дифференцирование рядов 432, 433
— сложной функции 147, 148, 149, 164
— степенных рядов 443
— функции 143, 163, 304, 307, 308
, заданной параметрически 175, 186
Дифференцируемость функции 169
, необходимое условие 169
Длина дуги логарифмической спирали 394, 395
циклоиды 394
эллипса 394
— линии 391, 392, 393, 394
— логарифмической спирали 394, 395
Дуга выпуклая 180, 219
Евклида алгоритм 335
Задачи о наибольших и наименьших значениях
213, 214, 218
—, приводящие к интегралу 378, 380, 382,
383, 384
Закон Бойля-Мариотта 15, 66, 225
— затухающего колебания 212
— органического роста 184, 408
— преломления света 219
— Пуассона 66
— Торричелли 385
Замена переменной в неопределённом инте-
интеграле 311, 319—321 \
в определённом интеграле 351, 352, 355
Зеркальный дериватор 159
Знак двойной подстановки 305
Изоляция корней 243
Изотермическое изменение объёма 66
Инволюта 267 т
Интеграл неопределённый, см. Неопределён-
Неопределённый интеграл
— несобственный 364, 371
— определённый, см. Определённый интеграл
Интегральная кривая 309
Интегральный закон процесса 383
Интегрирование в элементарных функциях 348
— дифференциального бинома 338, 339
— иррациональных функций 336, 337, 338, 339,
340, 341, 344, 345, 346
— неравенств 296
— по частям 316—319, 349, 350
— простейших дробей 326, 327, 328
— рациональных дробей 324, 326, 329—333
, метод Остроградского 333, 334, 335
— рядов 430, 431, 432
— степенных рядов 443
— тригонометрических функций 341, 342
— функций 347
Интервал 25
— вогнутости линии 220, 221
— возрастания функции 49
— выпуклости линии 220, 221
— замкнутый 25
— знакопостоянства функции 47
— изоляции 243
— интегрирования 286
— монотонности функции 49, 193
— открытый (незамкнутый) 25
— полуоткрытый 25
— сходимости ряда 440
— убывания функции 49
Интерпретация 23
Исключение параметра 173
Истечение жидкости из сосуда 385, 386
Истинный элемент величины, соответствую-
соответствующий частичному интервалу 379
Кавальери принцип 397, 398
Касательная 139
— в бесконечно удалённой точке 238
Квадратный трёхчлен 32, 55, 209
Квадратура 38)
— фигуры, см. Площадь фигуры
Колебания затухающие 211
Комплексная переменная 457
Комплексное число 455, 456, 457
, действительная часть 455
, мнимая часть 455
, модуль, аргумент 456
, показательная форма 459
сопряжённое 455
, тригонометрическая форма 456
Конечных приращений обобщённая формула,
см. Коши формула
формула, см. Лагранжа формула
Коноид 399
Концы интервала 25
Корень уравнения &-кратный 243
— функции, см. Нуль функции
Коши признак интегральный 420
(общий) 419, 440, 441
(частный) 419
— теорема S25, 226
— формула 225, 226
Коэффициент обратной пропорционально-
пропорциональности 58
— пропорциональности 52
Коэффициенты степенного ряда 433
— Тейлора 434 /
Кратность корня уравнения 243
Кривизна линии в точке 262, 263, 264
— средняя дуги 262
Криволинейная трапеция 273
Криволинейный сектор 390
Критическая температура газа 224, 225
— упругость газа 224, 225
Критический объём газа 224, 225
Круг кривизны 264
— сходимости ряда 458
Лагранжа теорема 201, 202, 226
— формула 202, 203, 204
, применение к приближённым вычисле-
вычислениям 203
Лейбница признак 421, 422
— ряд 436
— формула 188, 189
Линейная комбинация функции 51
— плотность линии в точке 134, 136, 137
средняя 134
однородной линии 133
Линия вогнутая 220
— выпуклая 220
— гладкая 170, 266
— кусочно-гладкая 170
— спрямляемая 392
Лист Декарта 239, 241, 242
Логарифм десятичный 130
— натуральный 129, 130, 452
Логарифмика 70
Логарифмическая производная 156
— спираль 179, 394
Логарифмическое дифференцирование 155,
156
Локсодрома 180
Лопиталя правило 227—233
Маклорена формула 253
Максимальное значение функции 194, 196
Максимум функции 194, 195
Масса 281; 282, 284
Математика высшая И, 12, 13, 15, 17
— элементарная 11, 12, 13, 15
Математический анализ 12, 16
Метод «дифференциального уравнения» 380
— неопределённых коэффициентов 250, 326.
445, 452

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
463
Метод «суммирования элементов» 380
Минимальное значение функции 194, 196
Минимум функции 194, ,195
Многочлен 42
—, разложение на множители 324
— Тейлора 252
Многочленные приближения Тейлора 255, 256
Модуль комплексного числа 456
— перехода 130
— числа 26
Момент инерции линии 408
поверхности вращения 408
сплошных протяжений 408, 409
тела вращения 408
точки 408
трапеции 408
Муавра формула 457
Наибольшее, наименьшее значение функции
в- интервале 49, 208
Направление линии в точке 140
Начальная фаза 74
л-я интегральная сумма 283, 285
— производная 184, 191
Неопределённое интегрирование, замена пере-
переменно fl (подстановка) 311, 319—321
, основная таблица интегралов 310, 323
по частям 316—319
, примеры 312—316, 317, 318, 320—323,
329—333, 335, 336, 337, 339, 341, 343, 345,
346
, тригонометрические подстановки 321,
322, 323
функции 308, 309, 323
Неопределённый интеграл 308, 309
, теорема об интеграле суммы 310
, — о вынесении постоянного множителя
311
Непрерывность обратных тригонометрических
функций 120
— тригонометрических функций 119
— функции 106, 169, 171
равномерная 427
— элементарных функций 119
Неравенства, решение методом исследования
функций 212
Неравенство Буняковского 296
Несобственный интеграл *364, 371
абсолютно сходящийся 370, 376
Дирихле 367
, достаточные признаки сходимости и
расходимости 368, 369, 370, 374, 375, 376
от функции с бесконечными разрывами
371, 374, 375
Пуассона 367
с бесконечными пределами 364, 368, 369-
условно сходящийся 370
Нормаль к линии 141
Нуль функции 47
fe-кратный 243
однократный (простой) 244
я-й дифференциал 190, 191
Ньютона бином 251
— второй закон 187
Ньютона-Лейбница* формула 304, 305, 306, 381
Область определения (существования) функ-
функции 44, 45
— определённости аналитического выраже-
выражения 45
— сходимости ряда 426
степенного ряда 438
Обратная пропорциональная зависимость 58
Общий член ряда 412
Объём коноида 399
— тела 395, 396, 39?
Объём тора 398
— эллипсоида 398
Однозначная ветвь многозначной функции 43
Окрестность точки 26
Операции над непрерывными функциями 117,
118
Определённое интегрирование графическое
361
.замена переменной (подстановка) 351.
354
по частям 349, 350
приближённое 356, 361
функции 287, 304, 307
Определённый интеграл 283, 284, 290, 291, 306
, геометрическая интерпретация 293
, непосредственное вычисление 275, 287—
289
, оценка абсолютной величины 296
по симметричному интервалу 355
с переменным верхним пределом 301—304
с равными пределами 291
, теорема об интеграле суммы 289
, — о вынесении постоянного множителя
289
, — о знаке интеграла 289
, — о перестановке пределов интеграла
291
— —, — о производной интеграла по верхнему
пределу 302, 303
, — о разбиении интервала интегрирова-
интегрирования 292
, — основная об оценке 293, 2S4, 295, 296
, — о среднем 298, 299
Основание криволинейной трапеции 274
Остаток П'к ряда 413
Остаточный член формулы Тейлора 253
Остроградского метод интегрирования рацио-
рациональных дробей 333, 334, 335
— формула 334
Отделение корней 243
Отношение бесконечно малых, примеры 124
Ошибка абсолютная 28
•— относительная 30
Парабола 56, 65, 142, 270
— кубическая 61
— полукубическая 65, 172
Параметр 173, 174
Параметрические уравнения гиперболы 176
линии 173, 174
окружности 175
циклоиды 177
¦ эллипса 175, 176 •
Первообразная функции 215
Переменная зависимая 31
— интеграции 286, 302, 303
— независимая 31
непрерывная 47
Переходные линии 266
Период колебания 74
— функции 48
Площадь криволинейной трапеции 275, 277,
278, 279, 283, 290, 293, 294
— круга 384
— параболической трапеции 274—276
— поверхности вращения 400
тора 401
— сферического пояса 401
— фигуры 389, 390, 391
— эллипса 389
Повторное дифференцирование неявной функ-
функции 185
функции 184
Погрешность (абсолютная) приближённого
значения 29
— относительная 30

464
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Подынтегральная функция 286, 308
Подынтегральное выражение 286, 308
Подкасательная 141
Поднормаль 141, 142
Подстановки Эйлера 345
Полином, см. Многочлен
Политропные линии 66
Полюс графика 159
Порядок бесконечно малой 121
Последовательность 44, 413
— равномерно сходящаяся 428
— сходящаяся 413
Постоянная 32
Потенциал силы притяжения 367 ~
Правило, см. соответствующее название
Предел интеграла верхний 286
— — нижний 286
sin х
при х -+ 0 125, 126
— последовательности 80
, примеры 82—84
— произведения 100
'— суммы 99
-— функции левый 87
правый 87
при х -* xq 85
при х -+ оо 89
— —, примеры 87, 88, 90
— частного 101
Предельного перехода правила 99, 100, 101,
109, 120
Преобразование масштаба 51
Приближение 29
Приближённое вычисление значений функции
450
— значение 28
— решение уравнений, комбинированные ме-
методы 248
, метод касательных 246
, — проб 244, 245
, — хорд 245, 246
— чисденное интегрирование 356
правило прямоугольников 356, 361
, — Симпсона 358, 361
, — трапеций 357, 361
, формула прямоугольников 356, 357,
361
, — Симпсона 360, 361
— трапеций 357, 361
Признак монотонности функции в интервале
206
Признаки выпуклости и вогнутости линии 220
221
— поведения функции в интервале 205, 206
в Точке 197, 255
-*- существования предела 104, 105
точки перегиба 222, 255
— экстремума функции 199, 206, 207, 217, 255
Примитивная 215
Принцип Кавальери 397
— Ферма 218
Приращение аргумента 53
— функции 53, 163, 164
Притяжение точки стержнем 387
Произведение сходящегося ряда на число 424
— сходящихся рядов 425
Производная 137, 162, 163, 166, 170, 306
— второго порядка 184, 191
—> геометрическая интерпретация 139, 140
— интеграла по верхнему пределу 302
— логарифмической функции 153
— неявной функции 158
— я-го порядка 184, 191
— показательной функции 153
— произведения 145
Производная сложной функции 147, 148, 149
164
— степенной функции 138, 154
— суммы 144
— третьего порядка 184
— функции, заданной параметрически 186
— частного 146
Производное число 137, 200
Производные взаимно обратных функций 157
— гиперболических функций 155
— обратных тригонометрических функций 151,
152
—, основная таблица 154
— тригонометрических функций 150
Простейшая дробь 1-го вида 325
2-го вида 325
Процессы органического роста 184, 408
Прямая пропорциональная зависимость 52
Пуассона закон 66
— несобственный интеграл 367
Путевой угол 180
Путь 280, 281, 284
Работа переменной силы 279, 280, 283
Равномерная непрерывность функции 115, 116,
— сходимость ряда 427, 429
Равномерный процесс 55
Радиус кривизны 264
— сходимости ряда 440, 458
Развёртка 267
— окружности 270
Разложение функций в ряд Тейлора 435, 436,
437, 445, 446, 448, 449
Размножение микроорганизмов 408
Раскрытие неопределённости 231
Раскрытия неопределённости правило, см.
Лопйталя правило
Распад радия 408
Расходимость несобственного интеграла 368,
369/374
— ряда, достаточный признак 414
Рационализации интеграла 336
Рациональная дробь, разложение на простей-
простейшие дроби 325, 326
Рекуррентная формула 328
Римана теорема 425
Ролля теорема 200, 202
Ряд 412*
— бесконечный 412
— биномиальный 437
— быстрее сходящийся 450
— гармонический 415
— знакочередующийся 421
— конечный 412
— Лейбница 436
— правильно сходящийся 430
— расходящийся 413
— с комплексными членами 458
— степенной 433, 438, 441, 442, 443, 444, 458
, общие свойства 441—444
— сходящийся 413
абсолютно 423, 424, 426
равномерно 427
условно 423-424
— Тейлора 434, 444, 445
, интегрирование функций 453
, применения 449—455
, разложение неявной функции 452, 453
—, улучшение сходимости 450
— функциональный 412, 426
— числовой 412
— экспоненциальный 435
Ряды с положительными членами 415—421
— сходящиеся, правила действий и свойства
424-426

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
463
Сегмент 25
Символ R (а, 3, Г. . . .) 336
Симпсона формулы 360, 361, 397
Синусоида 72
Скорость движения в данный момент 132, 136,
137
— изменения длины линии 181
линейной функции 135
полярного радиуса 178
функции 136, 173
относительно аргумента 165
функции 173, 174
— равномерного движения 132
— средняя движения 132
изменения функции 136
относительно функции 172
Сложные проценты 182, 183, 184
Спрямление линии 392
Сравнение рядов, теоремы 415, 416
Среднее арифметическое значение функции
299, 300, 301
Статический момент криволинейной трапе-
трапеции 404
линии 403
пластинки 404
системы 402
точки относительно оси 402, 408
Стационарная точка функции 199 %*
Степенной ряд, см. Ряд степенной
Сумма ряда 412, 413
частичная 413
— степенного ряда, свойства 441, 442, 443
— сходящихся рядов 424
Сферический пояс 401
Сходимость несобственного интеграла 364, 365,
368, 369, 370, 372, 374
— ряда абсолютная 423, 424, 426
знакочередующегося, признак Лейбница
421, 422
, необходимый признак 414
равномерная 427
, признак Вейерштрасса 429
с положительными членами, достаточ-
достаточные признаки 417—421
с произвольными членами, общий до-
достаточный признак 422
— степенного ряда, теорема Абеля 439
Табличное задание функции 32, 33
Тангенсоида 73
Тейлора коэффициенты 434
— многочлен 252
— многочленные приближения 255, 256
— ряд 434, 444, 445
— сумма 253
— формула 249, 251, 253, 254, 433, 434, 449
т для многочленов 251
-, примеры 257—261
Теорема Коши 225, 226
— Лагранжа 201, 202, 226
, геометрический смысл 202
— обобщённая о среднем значении, см. Тео-
Теорема Коши
— о конечном приращении, см. Теорема
Лагранжа
— основная алгебры 324
— о среднем значении, см. Теорема Лагранжа
— о сумме равномерно сходящегося ряда 428
— Римана 425
— Ролля 200, 202
, геометрическая интерпретация 200
— существования определённого интеграла
Теоремы Гюльдена 405, 406, 407
Теплоёмкость при данной температуре 135,
Теплоёмкость средняя 135
Термограф 36
Тор 398, 401
Торричелли закон 385
Точка бесконечного разрыва 109
— иррациональная 24
— критическая 207
— максимума функции 194, 195
— минимума функции 194, 1$5
— перегиба 220, 222
, признаки существования 222, 255
— разрыва функции 109, 169
1-го рода 109, 111, 112
2-го рода 110
— рациональная 23, 24
— стационарная функции 199
— сходимости ряда 426
— угловая 170
— устранимого разрыва 112
— экстремума функции 194, 197, 200, 222
Третий дифференциал 190"
Третья производная 184
Трёхлепестковая роза 391
Убывание функции в интервале 205, 206
в точке 193, 194, 195
Угол между пересекающимися линиями 141
— смежности дуги 261, 262
Улучшение сходимости ряда 450
Уравнение Ван-дер-Ваальса 223
— движения 131
— касательной 141
— нормали 141
— равномерного движения 55
Ускорение изменения функции 187
— прямолинейного движения 187
Устранение разрыва 112
Фаза колебания 74
Ферма принцип 218
Формула 33, см. также соответствующее на-
название
Функции гиперболические 68, 69, 155
— неэлементарные, примеры 46
— обратные тригонометрические (обратные
круговые) 39, 77-79, 120, 151, 152
1 ряд Тейлора 448, 449, 454
— основные элементарные 39, 154, 164, 209,
223
— тригонометрические (круговые) 39, 71—73,
119, 150, 176, 223, 341, 459
1 рЯд Тейлора 436
, формула Тейлора 253, 259
— элементарные 39, 119, 120, 172, 209,435,453.
454
, представление степенным рядом 453,
454, 455
Функциональная зависимость 14, 15, 31, 34
Функция 31, 35, 46
— алгебраическая 42
— аналитическая 435, 458
—, аналитическое задание 34
—, бесконечно колеблющаяся в точке 196
—, возрастающая в интервале 49, 205, 20°
—, — в точке 193, 194, 195
— гладкая 170
—, графическое задание 34, 35
—, дифференцируемая в точке 169
— дробно-линейная 59
т- дробно-рациональная 42, 324
— е , ряд Тейлора 446
— е , формула Тейлора 257
— иррациональная 41, 336
— квадратичная 32, 55, 209
— комплексной переменной 457, 458
"- кубическая 210

466
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Функция кусочно-гладкая 170
— линейная 52, 55, 160
, основное свойство 53, 54
— логарифмическая 39, 69—71, 153, 209, 223
, ряд Тейлора 448, 454
, формула Тейлора 260
— многозначная 42
— монотонная 49
— неограниченная 94, 95
— непрерывная в интервале 108
в точке 107, 108
, не имеющая производной, примеры 170,
171, 172
, общие свойства 113, 114, 115
— непрерывного аргумента 47
— нечётная 47
— неявная 41, 158, 185
— —, ряд Тейлора 452, 453
— обратная 61
— —, условие однозначности 63
—, общая схема исследования 239, 240
— ограниченная 94
— однозначная 42
— от функции 38
— параметрическое задание 173, 174
— периодическая 48
— показательная 39, 66, 67, 68, 153, 209 223,
459
— равномерно непрерывная 116
— разрывная, примеры ПО, 113
— рациональная 41, 324, 337
— синусоидальная 74
— сложная 38, 148
— степенная 39, 64, 65, 138, 154, 209, 223, 458
— степенно-показательная 155
—, табличное задание 32, 33
— трансцендентная 42
— убывающая в интервале 49, 205, 206
в точке 193, 194, 195
— целая рациональная 41
— целочисленного аргумента 44
—, частное значение 37
— чётная 47
— экспоненциальная 67
— элементарная 39, 119, 120, 172, 209, 435. 439,
Функция явная 40
алгебраическая 41
Центр кривизны 264, 267
— тяжести криволинейной трапеции 405
линии 403
пластинки 404
системы 402
сплошных протяжений 402, 403
Циклоида 176, 177, 394
Частичный интервал 277
Частота колебания 74
Числа действительные 23
— иррациональные 22, 24
— рациональные 22, 24
Число 22
— е 126, 128, 129, 436
— комплексное, см. Комплексное число
— мнимое 456
— тс 449
Числовая ось 23
Члены ряда 412
Эвольвента 267, 269, 270
Эволюта 267
т- параболы 270, 271
— циклоиды 271, 272
— эллипса 271
Эйлера подстановки 345
— формулы 459, 460
Эквивалентность бесконечно малых 123
Экстремальное значение функции-194
Экстремум функции 194, 222, 223
, второй достаточный признак 217, 255
, необходимый признак 199
-, первый достаточный признак 206, 207,
217, 255
, порядок отыскания 207, 208, 209
Элемент величины, соответствующий частич-
частичному интервалу 380
— функции 192 „
Эллипс 271, 389, 394
Эллиптический интеграл 394
Эпициклоида 271