СБОРНИК СТАТЕЙ
поу реаакц
А. Г. КуРОША
АИ. МАРКуШЕВИЧА
ПК. РАШЕВСКОГО

МАТЕМАТИКА
в
СССР
ЗА ТРИАЦАТЬ ЛЕТ
1917^1947
О Г И 3
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО - ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1948

СОДЕРЖАНИЕ.
От редакции. 7
ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА.
С. А, Я новская. Основания математики и математическая логика. 11
Библиография . 46
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.
А. О. Г е л ь ф о н д. Теория чисел 53
Гиблиография 66
АЛГЕБРА.
Н.Г.Чеботарёв. Алгебра I (алгебра полиномов и полей) ... 85
А. Г. К у р о ш. Алгебра II (группы, кольца и структуры) 106
А. И. Мальцев. Топологическая алгебра и группы Ли 134
Библиография 159
топология.
А. А. Марков. Топология 183
Библиография 228
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ.
А. А. Ляпунов и П. С. Новиков. Дескриптивная теория множеств. 243
Н. К. Бари. А. А. Ляпунов, Д. Е. Меньшов и Г. П. Тол-
Толст о в. Метрическая теория функций действительного переменного. 256
С. М. Н и к о л ь с к и й. Приближение многочленами функций действи-
действительного переменного 288
А. Ф. Бермант и А.И.Маркушевич. Теория функций комп-
комплексного переменного 319
Библиография 415
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
.В. В. Н е м ы ц к и й и В.В.Степанов. Обыкновенные диффе-
дифференциальные уравнения 481
С. Л. С о б о л е в. Дифференциальные уравнения в частных произ-
производных 518
Библиография 545

СОДЕРЖАНИЕ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ.
В.В.Степанов и Л. Э. Эльсгольц. Вариационное исчисление. 585
B. И. Смирнов. Интегральные уравнения 593
М. Г. К р е и н и Л. А. Л ю с т е р и и к. Функциональный анализ . . 608
Библиография 673
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.
Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогоров. Теория вероятностей. 701
Н. В. Смирнов. Математическая статистика 728
Библиография . 739
ЧИСЛЕННЫЕ Й ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ.
Л. В. Канторович и В. И. Крылов. Приближённые методы. 759
К. А. Семендяев. Вспомогательные средства вычислений .... 802
СВ. Бахвалов. Номография . ¦ 815
Библиография 819
ГЕОМЕТРИЯ-
C. П. Ф и и и к о в. Дифференциальная геометрия трёхмерного про-
пространства. 861
П. К. Р а ш е в с к и й. Тензорная дифференциальная геометрия . . 883
А. Д. Александров. Геометрия «в целом» 919
С, С. Б ю ш гене и А. А. Г л а г о л е в. Синтетическая геометрия 939
Библиография. 954
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ.
А. П. Ю ш к е в и ч. История математики 993
Библиография 1011
РАБОТЫ ЛАТВИЙСКИХ И ЭСТОНСКИХ МАТЕМАТИКОВ.
А. Я. Л у с и с. Работы латвийских математиков за тридцать лет . . 1023
Библиография 1028
А. К. X у м а л. Работы эстонских математиков за тридцать лет ... 1031
Именной указатель 1035

ОТ РЕДАКЦИИ.
Настоящий сборник, подготовленный по инициативе Московского
,'Латематического Общества, имеет целью проследить развитие математи-
математической науки в нашей стране за славное тридцатилетие 1917—1947 гг.
Материалы сборника убедительно свидетельствуют об энергичной и пло-
плодотворной творческой работе советских математиков, об их глубоких
и оригинальных вкладах во все отделы математики, о высоком уровне
советской математической науки и о её ведущей роли во многих основных
разделах математики.
Советская математика восприняла научное наследство выдающихся
русских математиков прошлого—Н. И. Лобачевского, П. Л. Чебышева
и многих других. Развивая идеи этих учёных и сохраняя их лучшие тра-
традиции, советские математики включили вместе с тем в круг своих интере-
юв ряд новых ветвей математики, охватив по существу всю современную
математическую науку.
Для математической деятельности в нашей стране, за годы Советской
власти, характерны не только широта и глубина охвата исследуемых
проблем. Она развивалась и количественно, в смысле всё возрастающего
числа творчески работающих математиков, и территориально в смысле
возникновения новых математических центров—в Грузии, Узбекистане,
Армении и других союзных республиках.
Годы Великой Отечественной войны явились проверкой зрелости
и жизнеспособности нашей науки, и советская математика эту проверку
выдержала. Математики нашей страны оказались готовыми к высоким
требованиям прикладного характера, предъявленным к ним в суровые
годы войны, и не прерывали, вместе с тем, своих теоретических исследова-
исследований. Многие из молодых математиков с оружием в руках защищали родину,
некоторых из них мы навсегда потеряли и храним о них светлую память.
Настоящий сборник можно рассматривать как продолжение сбор-
сборника «Математика в СССР за пятнадцать лет», выпущенного Государ-
Государственным издательством технико-теоретической литературы в 1932 году
под редакцией П. С. Александрова, М. Я: Выгодского и В. И. Гливенко.
Поэтому авторы статей имели право опускать подробности по отношению
к исследованиям, относящимся к первому пятнадцатилетию, и иногда это
право использовали.
Ни отдельные статьи, ни весь сборник в целом не претендуют на
исчерпывающую полноту. Впрочем, степень охвата материала в различ-
различных статьях не одинакова, отчасти потому, что авторы одних статей зна-
значительно превысили отведённый им объём («Функциональный анализ»

8 ОТ РЕДАКЦИИ
«Теория функций комплексного переменного», «Топология»), тогда как
авторы некоторых других не использовали его до конца («Теория чисел»,
«Номография»). Вне поля зрения статей остались, как правило, прило-
приложения математики к вопросам естествознания и техники и, в частности,
многочисленные работы прикладного характера, выполненные советскими
математиками в годы войны. Естественно, что они должны рассматри-
рассматриваться в обзорах соответствующих отраслей естествознания и техники.
В сборник включены некоторые материалы о научной работе по ма-
математике в тех советских республиках, которые сравнительно недавно всту-
вступили в Советский Союз. К сожалению, редакция располагала лишь мате-
материалами о деятельности латвийских и эстонских математиков.
Пробелы в отдельных обзорах, неизбежные даже при том большом
объёме, который имеет этот сборник, редакция старалась восполнить
в библиографических указателях. Эти указатели, приложенные к каждому
разделу сборника, составлены В. М. Курочкиным и пополнены В. И. Битю-
цковым по материалам авторов статей. Редакция хорошо понимает, что
библиографические указатели не являются исчерпывающими. Можно
пожелать, чтобы одно из ведущих математических научных учреждений
нашей страны включило в число своих задач составление полной библио-
библиографии работ советских математиков и её систематическое пополнение.
Редакция надеется, что сборник в целом будет служить не только
собранием материалов по истории обширной ветви отечественной науки,
но и справочным пособием в творческой математической работе.
Редакция считает необходимым отметить энергию и инициативу
Вадима Ивановича Битюцкова, выполнившего большую работу в ка-
качестве ведущего редактора сборника.
Москва, октябрь 1947 г.

ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА.
С. А. ЯНОВСКАЯ.
§ 1. Философские вопросы математики A2). § 2. О проблематике математи-
математической логики A8). § 3. Математическая логика и теория доказательства
в работах советских учёных B6). I
ачиная с античной древности, проблемы обоснова-
обоснования математики неизменно привлекали внимание филосо-
философов. Борьба партий в философии: материализма и идеализ-
идеализма, шла, в частности, и вокруг вопросов о сущности мате-
математики, её основных понятий и методов. Сознательно
или стихийно участниками этой борьбы были и специа-
специалисты-математики. Руководитель школы или направле-
направления не мог уклониться от неё, даже если хотел этого.
Так, Кронекер однажды признался Нетто, что он потратил гораздо
больше времени на философские размышления, чем на математику.
(Заметим, что естествоиспытатель может освободить свою науку из-
под эгиды, стоящей над ней и диктующей ей свои «законы» философии,
только заняв позиции последовательного диалектического материализма.)
Великие русские математики не только не стояли в стороне от борьбы
материализма с идеализмом, но участвовали в ней на стороне передовых
борцов за материализм. Известно, какую роль в создании неевклидовой
геометрии играло стремление Н. И. Лобачевского опровергнуть идеалисти-
идеалистические концепции Канта по вопросу о пространстве и аксиомах геометрии.
Не нуждаются в комментарии известные слова П. Л. Чебы-
шева, произнесённые им в речи «О черчении географических карт»:
«Сближение теории с практикой даёт самые благотворные результаты,
и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются
под влиянием её; она открывает им новые предметы для исследования
или новые стороны в предметах, давно известных. Несмотря на ту высо-
высокую ступень развития, до которой доведены науки математические трудами
геометров трёх последних столетий, практика обнаруживает ясно непол-
неполноту их во .многих отношениях; она предлагает вопросы, существенно
новые для науки, и, таким образом, вызывает на изыскание совершенно но-
новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой
методы или от новых развитии её, то она ещё более приобретает открытием
новых метод, и в этом случае наука находит себе верного руководителя,
в практике».

12 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
В условиях царской России смелые материалистические идеи не
могли, однако, получить должного распространения. Больше того, в конце
XIX в. средств старого домарксова материализма стало недостаточно
для целей успешной борьбы с идеализмом в естествознании и математике
В конце XIX — начале XX в. бурный рост естествознания и матема-
математики, сопровождавшийся крутой ломкой самых основных понятий науки
и укоренившихся в ней давно традиций, привёл в условиях империали-
империалистического общества к проникновению идеализма в некоторые круги
естествоиспытателей и математиков и породил, таким образом, кризис есте-
естествознания. Особенно остро проявившийся в физике, этот кризис рас-
распространился затем и на основы математики. «Материализму,—говорил
Энгельс,—приходится принимать новый вид с каждым новым великим
открытием, составляющим эпоху в естествознании». Чтобы справиться
с кризисом естествознания и математики, необходимо было прежде всего
разобраться в его идеологической сущности и развить дальше философию
диалектического материализма в соответствии с этим основным требова-
требованием марксизма, сформулированным Энгельсом. Эта задача была гениаль
но решена В. И. Лениным в книге «Материализм и эмпириокритицизм».
Великая Октябрьская социалистическая революция открыла перед
наукой нашей Родины невиданные горизонты. Вооружённые идеологией
марксизма-ленинизма, сознательно включившиеся в практику социали-
социалистического строительства, советские учёные—математики в том числе—
показали, насколько правильно было предсказание В. И. Ленина, что
«материалистический основной дух физики, как и всего современного
естествознания, победит все и всяческие кризисы, но только с непременной
заменой материализма метафизического материализмом диалектическим».
Никакой кризис основ не стоит больше и на путях развития математики
в СССР.
§ 1. ФИЛОСОФСКИЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ,
I. Вполне естественно, что в СССР работа по философским вопросам
математики началась с освоения трудов классиков марксизма-ленинизма
и критики идеалистической буржуазной философии математики. Тут в пер-
первую очередь был подвергнут исследованию вопрос о предмете матема-
математики и месте её в системе наук, а также органически связанный с ним
вопрос о формальной и диалектической логике в математике.
Известно множество различных формулировок определения пред-
предмета математики. Некоторые из них отрицают вообще наличие у этой
науки особого предмета. Многие—из принадлежащих современным бур-
буржуазным философам и математикам—носят неприкрытый идеалистический
характер и в той или иной мере совпадают с небезызвестным определением
математики как науки, которая не знает ни о чём она говорит, ни верно
ли то, что она говорит. В своём «Обзоре исследований по основаниям
математики», останавливаясь на вопросе о том, как мыслят себе «пред-
«представители ведущих современных направлений применение математики
к познанию действительности», А. Рейтинг недаром пишет: «В одном отно-
отношении они согласны между гобой,—и это сейчас можно считать почти
единодушным мнением всех математиков,—что положения чистой матема-
математики не говорят ничего о действительности». Рейтинг ошибается,' однако,
называя это «почти единодушным мнением всех математиков». Материа-
Материалистически мыслящие математики—в первую очередь представители
многочисленной школы советских математиков—не разделяют этого

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 13
мнения. Они согласны с определением Энгельса, по которому матема-
математика есть наука о простран.твенных формах и количественных отношениях
материального мира. Пресловутые «трудности», связанные с этим опре-
определением и основанные на том, что в математике имеются дисциплины,
где нет речи ни о числах, ни о фигурах, существуют лишь при метафизи-
метафизическом подходе. Правда, первая попытка С. А. Яновской [I] мате-
материалистически истолковать гегелевское определение категории «коли-
«количества» (как безразличной к специфическим качественным особенностям
вещи определённости её) так, Чтобы под количественными отношениями
материальной действительности понимать такие соотношения её, кото-
которые могут иметь место между вещами самой различной природы: электро-
электронами и атомами столь же хорошо, как и палочками на бумаге или целыми
скоплениями звёзд, рассматриваемыми—каждое—как отдельный пред-
предмет, не давала ещё удовлетворительного решения вопроса.Она, правда,
объясняла, с одной стороны, возможность существенно различных интер-
интерпретаций одной и той же математической дисциплины и применимость её
поэтому в самых различных областях науки; с другой,—недостаточ-
другой,—недостаточность средств математики при изучении наиболее существенных сторон
явлений природы или общественной жизни. Но она не замечала того
обстоятельства, что и формально аксиоматическое,—допускающее мно-
множество качественно различных интерпретаций,—построение матема-
математической дисциплины невозможно без использования содержательно
построенной арифметики, в которой числа и отношения между ними имеют
столь же однозначный и определённый смысл, как, например, понятие
стоимости в политической экономии. Таким образом собственным пред-
предметом математики как исторически, так и логически являются прежде
всего именно пространственные формы и количественные отношения
в их простейшем виде, т. е. как фигуры и числа. Все остальные простран-
пространственные формы и количественные отношения, изучаемые в математике,
вырастают из этих в процессе их диалектического развития. Эта точка
зрения в наиболее отчётливой форме была выражена в статье А. Н. К о л-
могорова [5J, написанной для Большой Советской энциклопедии. ¦
Приводя полностью определение Энгельса, А. Н. Колмогоров
заключает его словами: «Действительный объём этого общего опреде-
определения проще всего понять, рассмотрев основные понятия и разделы мате-
математики в порядке их возникновения. Мы увидим, что само это определение
таит в себе возможности развития, приобретая новый, более широкий
смысл с ростом науки». При этом А. Н. Колмогоров различает
следующие этапы развития предмета математики: 1) математика как
наука о числах, величинах и геометрических фигурах; 2) математика
как наука об изменении величин и о геометрических преобразованиях;
3) математика как наука о количественных и пространственных формах
действительного мира во всей их общности.
2. Кризис основ математики, связанный с попытками идеалисти-
идеалистической философии «освободить» математику «от тирании внешнего мира»
(А. Пуанкаре) и построить её либо на Материале «чистого наглядного
созерцания» по Канту (интуиционизм), либо как простую совокупность
формул, пишущихся по определённым правилам (формализм), развер-
развернулся с полной остротой лишь после первой мировой войны. Не удивитель-
удивительно поэтому, что философским вопросам математики в «Материализме и эм-
эмпириокритицизме» В. И. Л е н и н а непосредственно посвящены лишь от-
отдельные замечания. Тем интереснее для советских учёных была попытка

14 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
применить ленинскую характеристику причин и сущности кризиса физики
к кризису основ математики. Кризису основ математики и критике ведущих
к нему идеалистических направлений современной буржуазной филосо-
философии математики был посвящен ряд работ, в том числе В. И. Гливенко
[5], Л. П. Гокиели[2,7,8,9,10], В. Н. Молодшег о [5], С. А. Янов-
Яновской [3,13,14]. Коллектив профессоров и научных сотрудников Института
математики при Московском государственном университете подготовил
к двадцатипятилетию ленинского «Материализма и эмпириокритицизма»
сборник статей по философии математики,*). Авторы ставили перед собой
задачу «дать характеристику современной математики, вскрыть причины
и сущность кризиса её основ, осветить борьбу партий в современной фило-
философии математики». Как и следовало ожидать, гениальная ленинская ха-
характеристика сущности и основных черт кризиса физики оказалась пол-
полностью приложимой и к кризису основ математики. В. И. Гливенко
подчеркнул при этом, что «чрезвычайно углубившийся после мировой войны
кризис капиталистического общества в целом привёл к тому, что сомнения
в объективной ценности науки стали перерастать в убеждение в её нецен-
неценности. Идеализм стал агрессивным, стал стремиться подчинить себе науку
со всей её проблематикой и методами».
3. Отношение нашей Родины, нашей партии к наследству Маркса
и Энгельса видно уже из того обстоятельства, что и «Диалектика природы»
Энгельса и «Математические рукописи» Маркса были изданы впервые
в нашей стране **). Математическим рукописям Маркса, работа по рас-
расшифровке и переводу которых была выполнена (в 1932 г.) коллек-
коллективом математиков***), посвящен ряд статей, и выступлений (В.И. Г л и-
в е н к о [3], Л. П. Гокиели [13], Э. К о л ь м а н а, С.А. Янов-
Яновской [6, 7, 8] и др.).
Статья С. А. Яновской [7] содержала краткое их описание,
попытку выяснения последовательных этапов развития идей Маркса по во-
вопросам логического обоснования дифференциального исчисления и истори-
исторического очерка его развития****), а также ряд выдержек из более ран-
ранних черновиков работ Маркса, служивших подготовительным материалом
к окончательно им оформленной и посланной на просмотр Энгельсу работе.
Статья В. И. Гливенко [3] была посвящена специально марксо-
вой концепции дифференциала как оперативного символа.
Выход в свет математических рукописей Маркса особенно ярко про-
продемонстрировал, что и в применении к математике действительное пони-
понимание и дальнейшее развитие идей марксизма возможно только с позиций,
развиваемых В. И. Лениным и И. В. Сталиным. Рукописи Маркса
содержат поражающую своей оригинальностью попытку применить диа-
диалектический метод к решению задачи обоснования дифференциального ис-
исчисления. Насколько отличалась, однако, и в этой области материалисти-
*) См. П. С. Александров [1], В. И. Г л и в е и к о [о], А. Н. Колмо-
Колмогоров [4], А. Г. Курош [1], В. Н. Молодший [2], А. М. Фишер [2]
(Ленинградский университет), С. А. Яновская [13, 14, J5].
**) Первое издание «Диалектики природы» содержало и немецкий текст и рус-
русский перевод. «Математические рукописи» были изданы впервые именно на русском
языке.
***) В составе Р. С. Богдан ь, А. Н. Нахимовской, Д. А. Райко-
Райкова и С. А. Яновской.
***•) От «мистического дифференциального исчисления» Лейбница и Ньютона
через «рациональное дифференциальное исчисление» Эйлера и Даламбера к «алге-
«алгебраическому дифференциальному исчислению» Лагранжа.

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 15
ческая диалектика Маркса от идеалистической диалектики Гегеля! В то
время как с точки зрения Гегеля диалектический метод вообще неприменим
в пределах самой математики: понятия количества,числй, операции, бесконеч-
бесконечно большого, бесконечно малого, производной, дифференциала и т. д. могут
быть диалектически развитый обоснованы лишь в системе его идеалисти-
идеалистической философии,—Маркс показал, что трудности, обусловленные
переходом от элементарной математики к высшей и приведшие к мистике,
связанной с б ескотчно малыми в дифференциальном исчислении Лейбница
и Ньютона, объясняются именно диалектическим характером этого перехо-
перехода. Задача, которую ставит перед собой Маркс, состоит в преодолении этих
трудностей с помощью методов материалистической диалектики, применяе-
применяемых Марксом в математике принципиально так же, как это делается им в
«Капитале». Попытка осветить в применении к математике коренное отли-
отличие материалистической диалектики Маркса от идеалистической диалек-
диалектики Гегеля содержится в статье Э. Кольмана и С. А. Яновской[1].
В выступлении на философской дискуссии по книге Г. Ф. Александро-
Александрова «История западно-европейской философии» А. А. Жданов подчерк-
подчеркнул неправильный, немарксистский характер такого изображения истории
философии (и других наук), которое отвлекается от борьбы партий, свя-
связанной в классовом обществе с каждым новым великим открытием, иду-
идущим против укоренившихся в науке устарелых традиций. Наоборот,
современные реакционные буржуазные философы и историки науки
стараются всячески сгладить острые углы в истории естествознания
и математики и представить её как плавный эволюционный прогресс,
где на смену одного великого открытия или теории приходят другие.
Так, англо-американский математик и философ Уайтхед утверждает,
например, что переход от средневековой схоластики к науке нового вре-
времени совершился исключительно «мирно», так как Галилей «умер в своей
постели», а смерть Джордано Бруно имела даже «прогрессивный» «сим-
«символический» смысл, поскольку хоронила-де не смелые новые идеи, а
«лишь» (!) «мистические спекуляции». Тем интереснее для нас, что
в своих математических рукописях Маркс особенно подчёркивает значе-
значение борьбы, ведшейся вокруг идей анализа бесконечно малых в эпоху его
возникновения, и указывает, что она была необходима для того, чтобы
проложить путь новому. «Итак,—пишет Маркс,—сами (его творцы. С. #.)
верили в мистический характер новооткрытого исчисления, которое
давало правильные (и притом в геометрическом применении прямо пора-
поразительные) результаты математически положительно неправильным путём.
Таким образом сами себя мистифицировали и тем более ценили новое
открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных математиков
и вызвали, таким образом, враждебный крик, отдавшийся даже в мире
несведущих в математике людей и бывший необходимым для того, чтобы
проложить путь новому»*).
Критикам основных идей анализа бесконечно малых и роли вызван-
вызванной ими борьбы в истории обоснования математического анализа была
посвящена глава 4 в статье А.П.Юшкевича [2] и статья С. А. Янов-
Яновской [16].
4. Участие в практике социалистического строительства, Великая
Отечественная война советского народа, Сталинские пятилетки всё тес-
*) Сборник «Марксизм и естествознание» (Математические рукописи Маркса),
стр. 51.

16 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
нее и теснее сплачивали советских учёных—математиков в том числе —
вокруг партии Ленина—Сталина. Довольно узкий первоначально круг лк>-
дей,интересовавшихся проблемами обоснования математики в свете филосо-
философии диалектического материализма,значительно, расширился. Расширилась
и тематика разрабатываемых. вопросов. Отметим в этой связи статью
А. Н. К о л м о г о р о в а [3] о теории и практике в математике. В связи
со 150-летием со дня рождения Н. И. Лобачевского в статьях, докладах
и книгах, посвященных Н. И. Лобачевскому, был затронут ряд принци-
принципиальных идеологических проблем мфематики, связанных: с критикой
концепции Канта по вопросам о пространстве и аксиомах геометрии
(В. Ф. Каган [1], Э. Кольман [4]), с сущностью современного
аксиоматического метода (П. С. Александров [2] и А. Н. Колмо-
Колмогоров [7]), с вопросом о роли чувственной наглядности в абстрактных
построениях неевклидовых геометрий (А. Н.Колмогоров. Доклад
на заседании Московского математического общества 3 ноября 1943 г.).
В июне 1944 г. Механико-математическим факультетом Московского
государственного университета была организована большая теоретиче-
теоретическая конференция, посвященная «Проблеме познаваемости мира и мате-
математике». Конференция заслушала и обсудила доклады А* И. Марку-
ш ев и ч а («Математика и материальная действительность»), В. В. Г о-
л у б е в а («Философские идеи Н. Е. Жуковского»), А. Н. Колмого-
Колмогорова («Пространство в математике и физике»), С. А. Яновской
(«Доказуемость и истинность в математике»).
Историко-философские и общеметодологические вопросы матема-
математики затрагивались также в ряде статей, книг и докладов, посвящен-
посвященных истории математики. Так, М. Я. В ы г о д с к и'й [1] подверг кри-
критике распространённые у буржуазных историков математики предста-
представления о выдающейся роли Платона как математика. С. Я. Лурье [3]
подробно исследовал ряд фрагментов Демокрита, освещающих его атоми-
атомистическую концепцию математики. Другие работы С. Я. Л у р ь е [4, 5]
были посвящены проблеме «неделимых» и связанным с нею вопросам
истории возникновения и обоснования математического анализа. С анало-
аналогичным кругом идей мы встречаемся в работах М. Я. Выгодского
[3, 4]. Идеи обоснования математического анализа в XVIII веке освещены
в статье А. П. Юшкевича [2]. Ряд вопросов принципиального харак-
характера, относящихся к истории обоснования анализа, был поставлен в связи
с трёхсотлетием со дня рождения Ньютона в статьях Н. Н. Л у з и н а [1 ],
С. Я. Л у р ь е [5], А. Н. Колмогорова [8]. Идеологические
проблемы математики, были затронуты также: 1) в ряде докладов на орга-
организованной Московским университетом (июнь 1944) конференции, посвя-
посвященной роли русской науки в развитии мировой науки и культуры;
2) в связи с 50-летием со дня смерти великого русского математика
П. Л. Чебышева; 3) в докладах и выступлениях к 30-летию Великой
Октябрьской социалистической революции в Московском университете,
Московском математическом обществе, Математическом институте Ака-
Академии наук и др.
В то время как реакционные буржуазные философы математики,
в том числе и претендующие на «беспартийность» в споре между мате-
материализмом и идеализмом, стоят в действительности на позициях всё
более и более агрессивного идеализма, советские учёные, наоборот, исхо-
исходят из установок диалектического материализма. Чтобы в этом убедиться,
достаточно сопоставить два высказывания: 1) последователя Маха, «логи-

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 17
ческого позитивиста» Карнапа и 2) советского математика А. Н. К о л-
могорова. Для Карнапа не существует вопроса об оправданности
научной теории. Наука есть лишь «язык», и каждый волен выбирать
себе или выдумывать «язык», который ему нравится. В сущности,
«языком» является для Карнапа аксиоматически построенная научная
дисциплина, но только (!) при построении этой дисциплины он предла-
предлагает перевернуть обычное соотношение между реальным содержанием
науки и его формальным отображением в виде системы аксиом и правил
вывода. Исходным пунктом должно быть, по Карнапу, не реальное
содержание, а произвольный выбор каких угодно аксиом и правил
вывода следствий из них. «Вопроса об «оправданности»,—говорит Кар-
нап,—при этом не существует; существует только вопрос о синтакси-
синтаксических следствиях, к которым ведёт тот или иной выбор».
Наоборот, для А. Н. Колмогорова формальный аналитиче-
аналитический аппарат хорош только тогда, когда он соответствует реальному
содержанию. Больше того, даже при наличии уже построенной «аксио-
«аксиоматики» содержательные соображения не только не теряют смысла,
но продолжают играть ведущую роль в дальнейшем развитии науки.
Так, говоря о теории вероятностей, наиболее удачная аксиоматизация
которой принадлежит именно ему, А. Н. Колмогоров [9] пишет:
«Культивируя полную математическую формальную строгость,... мы
направляем все свои, даже и самые общие и абстрактные, исследования
в сторону, определяемую желанием понять законы реальных случайных
явлений, возникновения строгой причинной зависимости на почве нало-
наложения большого числа независимых или слабо связанных случайных
факторов и, обратно, возникновения тех или иных распределений вероят-
вероятностей в результате наложения на строгую причинную зависимость
малых случайных возмущений и т. д. Подобно тому как механики особо
ценят исследователей, владеющих вместе с аналитическим математиче-
математическим аппаратом механическим «здравым смыслом» и механической интуи-
интуицией, так и мы делаем определённое различие между чистыми аналити-
аналитиками, занимающимися отдельными задачами, выдвинутыми теорией
вероятностей, и собственно специалистами по теории вероятностей, для
которых часто решение проблемы заранее видно из наглядных «вероят-
«вероятностных» соображений ещё до того, как найден соответствующий анали-
аналитический аппарат».
5. Настоящая статья посвящена успехам и достижениям советских
учёных в области проблем математической логики и обоснования мате-
математики. Тем не менее было бы неправильно, если бы мы не подчеркнули
тут же хотя бы основных недостатков нашей работы. Работа в области
философии математики до сих пор недостаточно организована и протекает
от случая к случаю. Но особенно существенно, что в этой области очень
слабо развиты ещё методы критики и самокритики, «являющейся подлин-
подлинной движущей силой нашего развития, могучим инструментом в руках пар-
партии» (А. А. Жданов, «Вопросы философии», 1 A947), 270). Приобретаю-
пда всё большее и большее идейное и политическое значение критика
реакционных идеалистических направлений современной буржуазной
философии математики не стоит ещё на должной высоте. Из относящихся
к последним годам могу упомянуть только посвященные критике
логистики и формализма работы Л. П. Г о к и е л и [2, 3—б, 7—10, 12J
и несколько докладов (в том числе «Марксистско-ленинская идей-
идейность и математика» A946 г.) и «О партийности в науке» A947 г.))
2 Математика в СССР за 30 лет

18 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
С. А. Яновской, прочитанные в Московском государственном уни-
университете. Широкое критическое обсуждение наших докладов и работ,
во многом, без сомнения, спорных и не стоящих ещё на уровне требований
марксизма-ленинизма, а также постановка новых боевых проблем, име-
имеющих актуальное научное и политическое значение, являются неотлож-
неотложной задачей советских математиков и философов, в осуществлении которой
они могут опереться на итоги философской дискуссии, проведённой по ини-
инициативе ЦК партии.
§ 2. О ПРОБЛЕМАТИКЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.
1. Детальному освещению работ советских учёных по вопросам мате-
математической логики и теории доказательства мы предпошлём этот пара-
параграф, как введение, задачей которого является обрисовать, хотя оы
в самых общих чертах, идеологический смысл и значение разрабатывае-
разрабатываемых советскими учёными проблем.
Нередко приходится слышать, что в истории математики нужно раз-
различать периоды творческой активности и логического обоснования. Логика
при этом противополагается активному творчеству и рассматривается
лишь как средство приведения в порядок уже накопленного материала.
В действительности это совсем не так. Наиболее напряжённые периоды
научной активности связаны обычно с переворотом и в логических мето-
методах, с новой постановкой и подходом к проблемам логики. Так было
в эпоху создания Виеттой и Декартом первых буквенных исчислений,
связанное с которыми введение переменных в. математику было пово-
поворотным пунктом в её истории. Так было в эпоху крутой ломки основных
понятий и методов математики, обусловленной созданием неевклидовых
геометрий и теоретико-множественных методов современной математики.
Уже в буквенных исчислениях Виетты и Декарта мы имеем дело
с двумя видами формул, одни из которых обозначают предмет, а дру-
другие—предложения, свойства или отношения. Так, у Дека рта'выраже-
рта'выражение — у + — обозначало отрезок, так как областью значений пере-
переменных были отрезки, а операции, обозначенные знаками+,— и т. п.,
порождали из одних отрезков другие. Наоборот, тождества или урав-
уравнения представляли предложения или отношения между переменными,
•т. е. выражения, при подстановке в которых постоянных (индивиду-
(индивидуальных) предметов на место переменных мы получаем предложение1
(истину или ложь). В то время как в устной речи предложения не склады
ваются, не умножаются на число, с предложениями и отношени/ямй
записываемыми на языке буквенного исчисления, можно было опери
ровать по определённым правилам алгебры, образуя, например, и
одних уравнений другие. Добавление буквенного исчисления к ресурса
разговорной речи давало, кроме того, возможность сохранить в выражени1
результата последовательного применения ряда операций путь, к этом*
результату ведущий.
В логике Аристотеля тоже существуют, однако, определённые пр
вила образования и преобразования предложений: виды суждений и ум
заключений. Естественно поэтому, что превращение риторическв
алгебры в буквенное исчисление сопровождалось попыткой сформулир
вать в виде буквенного исчисления и логику Аристотеля. Неудивитель

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
также, что автором этой попытки оказался Лейбниц. Ведь именно Лейб-
Лейбницу принадлежало наиболее удачное оформление анализа бесконечно
малых в виде буквенного—дифференциального и интегрального—исчис-
интегрального—исчисления. Сам Лейбниц связывал с идеями заложенного им логического
исчисления неосуществимую мечту о времени, когда вместо того, чтобы
спорить, люди возьмут карандаши и будут вычислять. Какой-нибудь
конкретной потребности в логическом исчислении как таковом в эпоху
Лейбница ещё не было. Независимо от Лейбница идеи алгебры логики,
или исчисления классов, равносильного логике Аристотеля, были развиты
наряду со многими другими исчислениями, созданными в XIX столетии,
А. де Морганом, Булем, Джевонсом, Пирсом, Шредером. Венцом этого
периода в истории математической логики были работы русского логика,
астронома и математика, собрата Н. И. Лобачевского по Казанскому уни-
университету Платона Сергеевича Порецкого. Переходя в своей известной
«Алгебре логики» к изложению метода П. С. Порецкого, Л. Кутюра
•писал: «Буль и Шредер преувеличивали аналогию алгебры логики с обык-
обыкновенной алгеброй. В логике различие терминов известных и неизвестных
является искусственным и почти бесполезным: все термины в сущности
известны, и речь идёт только о том, чтобы из данных между ними
отношений вывести новые отношения (т. е. отношения неизвестные
или неявно известные)». Такова цель метода П. С. Порецкого.
П. С. ПорецкиЙ и сам сознавал значение созданного им метода. В пре-
предисловии к своей первой большой работе по математической логике A884)
«О способах решения логических равенств и об обратном способе матема-
математической логики» он писал: «Обращаясь к нашему сочинению, предлагае-
предлагаемому ныне на суд читателя, мы должны сказать, что: 1) оно заключает
в себе первый опыт (не только в нашей, но и в иностранной литературе)
построения полной и вполне законченной теории качественных умозаклю-
умозаключений *) и 2) оно представляет собой (за исключением немногих страниц,
посвященных изложению приёмов других авторов) вполне самостоятель-
самостоятельную работу, имеющую тем большее значение, что самые общие формулы
и приёмы этой теории получены впервые только нами. Целаяже часть этой
теории (переход от умозаключений к посылкам) вполне и безраздельно
принадлежит нам, как по приёмам, так и по самой идее о возможности
решения этой задачи»**).
2. Но действительное значение для математики проблемы логики
приобрели лишь с конца прошлого века. Для математики к этому вре-
времени стали характерными две основные для неё теперь особенности.
Одной из них является широкое распространение на все вообще разделы
математики аксиоматического метода, развитию которого положило начало
великое открытие Лобачевского. Другая была связана с идущими от Боль-
цанб— чешского математика и философа первой половины XIX в., но
фундаментально разработанными впервые Георгом Кантором методами
современной теоретико-множественной математики. Само по себе это
не содержало ещё ничего опасного. А. Н. Колмогоров [5] совершенно
правильно отметил, что, несмотря на его абстрактный характер, «новей-
«новейшее развитие математики делает её ближе к действительности, позволяет
*) Под «качеством» П. С. Порецкий понимал то, что в современной математиче-
математической логике обычно именуется «одноместным предикатом».
•*) Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук Обще-
Общества естествоиспытателей при Императорском Казанском университете, том 2 A884)
стр. 161—330, с добавленными стр. 1—IV, I—XXIV вслед за стр. 162.
2»

20 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
«й охватить большее разнообразие реальных явлений и изучать их с мень-
меньшей степенью схематизации, чем этомогла делать классическая матема-
математика». А. Н. К о л м о г о р о в [4] показал, в частности, на конкретном
примере развития теории «цепей Маркова», построенной учеником
П. Л. Чебышева известным русским математиком А. А. Марковым, как
идущее по пути абстракции обобщение этой теории оказалось весьма
существенным для решения важных задач практики социалистического
строительства. «Теперь теория цепей Маркова,—писал А. Н. К о л м о -
г о р о в,—воспринимается всеми просто как общая теория эволюции
физической системы в условиях случайности её изменения, конечности
числа возможных состояний и отсутствия последействия. Отправляясь
от этой теории и ряда примеров, в неё не вмещавшихся, я поставил перед
собой задачу найти все возможные формы уравнений случайных процес-
процессов без последействия. Несмотря на абстрактность этой задачи, уже
в 1931 г. с результате подобных исследований я мог, помимо мемуара,
посвященного общей теории, опубликовать работу, решающую некото-
некоторые проблемы, важные при проектировании телеграфных и телефонных
сетей. Дальнейшие применения не замедлили появиться».
Но растущая абстрактность математики, взятая как таковая, не
содержала в себе границы, отделяющей содержательные обобщения
и абстракции от лишённых смысла. Именно с этой стороной дела и ока-
оказались связанными трудности, с которыми встретилась математика
в связи с развитием и распространением в ней аксиоматического метода
и теоретико-множественных концепций. Эти трудности сосредоточены,
в основном, вокруг двух проблем: 1) вопроса о применимости законов
•формальной логики, экстраполированных от изучения конечных обла-
областей предметов, к бесконечным областям, особенно закона исключён-
исключённого третьего, и 2) вопроса о парадоксах теории множеств.
3. Трудности, освещаемые обычно в связи с законом исключённого
третьего и парадоксами теории множеств, достаточно широко известны,
чтобы на них можно было не останавливаться ещё раз. О методах решения
их советскими учёными будет итти речь ниже. Мы ограничимся здесь
замечаниями общего характера, которые могут понадобиться читателю
в дальнейшем, и примером трудностей не обычного рода, принадлежащим
П. С. Новикову.
Несмотря на то, что уже «Начала» Евклида испокон веков трактуются
как образец—пусть несвободный ещё от некоторых дефектов—примене-
дефектов—применения аксиоматического метода, последний является, по существу, харак-
характерным именно для современной математики. В современной математике
аксиоматический метод приобрёл ту форму, с которой оказались органиче-
¦ски связанными проблемы непротиворечивости, полноты и независимости
^аксиом данной системы), развитие которых привело в дальнейшем к необ-
необходимости расширить самое понятие математической теории, включив
в него элементы логики. На этом обстоятельстве нам и представляется необ-
необходимым немного остановиться.
Вряд ли требуется особо доказывать, что вопрос о непротиворечи-
непротиворечивости системы аксиом относится не только к области задач логического
обоснования математики. Геометрия Лобачевского свидетельствует о том,
как велико может быть значение этой проблемы для всего развития
самой математики! Однако если ещё в конце прошлого века подавляющее
большинство математиков не сомневалось в том, что: A) внутрилогиче-
непротиворечивость и B) выполнимость, или: A) полнота в смысле

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 21
изоморфизма любых двух интерпретаций и B) доказуемость всех истин-
истинных предложений каждой из них, суть пары совпадающих друг с другом
понятий, то в наши дни это уже не так. История развития этих понятий
поучительна при этом с точки зрения диалектического материализма.
Так, хотя модель, на которой интерпретируется система аксиомг
. и выбирается чаще всего из области арифметики*), в основе отождествле-
отождествления непротиворечивости с выполнимостью лежали, в сущности, две основ-
основные идеи: во-первых, выполнимость рассматривалась как гарантирующая1
возможность такого истолкования аксиоматически построенной теории,
в котором её предложения превращаются в содержательные истины^
во-вторых, вплоть до конца XIX в. это отождествление покоилось в конеч-
конечном счёте на убеждении в онтологической правильности законов формаль-
формальной логики, т. е. в реальной неосуществимости противоречия. На таком,
метафизическом убеждении нельзя было строить науку в XX в. В условиях
империалистического общества последняя приобрела двойственный
характер: с одной стороны, в естествознание и математику стихийно
стали всё больше и больше проникать элементы материалистической диа-
диалектики; с другой стороны, недостаточность домарксова метафизического
материализма была использована идеализмом в целях всё .более и более
агрессивной борьбы со всяким материализмом вообще. Так, если перво-
первоначально непротиворечивость просто отождествлялась с выполнимостью,
которая играла при этом роль первичной категории, то уже А. Пуанкаре
перевернул это соотношение между содержательной истинностью и фор-
формальной непротиворечивостью, сделав первичной именно последнюю.
«Существовать в математике»,—заявил Пуанкаре,—означает только «не
содержать в себе противоречия».
Когда интуиционисты (Брауэр и Вейль) обнаружили в математике
трудности, связанные с доказательствами существования, не опираю-
опирающимися на построение, формалисты (Гильберт и его школа) сделали
попытку найти выход из них, опираясь на это положение Пуанкаре.
Правда, Гильберт не мог полностью избежать ссылок на содержатель-
содержательную истинность. Он только перенёс содержание из математики в мета-
метаматематику, где попытался ограничить его рамками финитного. Идея
Гильберта на первый взгляд могла показаться даже заманчивой. Суть
её сводилась к следующему: трудности, о которых идёт речь, обусловлены
тем, что законы формальной логики, экстраполированные от изу-
изучения конечных областей объектов, незаконно переносятся на
бесконечные. Но, по существу, всё, что мы знаем о бесконечном, формули-
формулируется в виде конечных определений, аксиом и теорем, доказательства
которых носят тоже вполне конечный характер. Если сделать все эти
формулировки достаточно полными, чтобы доказательства не содержали
больше никаких скрытых допущений или пропусков, то, поскольку они
могут служить полным отображением изучаемых в математике свойств
бесконечного, изучение последних в свою очередь можно будет заменить
изучением формул, входящих в состав отображающих эти свойства тео-
теорий. Но каждое определение, предложение или доказательство записы-
записывается с помощью конечного числа знаков, на которые к тому же можно
смотреть как на материально существующие вещи, не изменяющиеся,
пока мы о них рассуждаем, так что наши высказывания о них
подчиняются законам формальной логики. Поэтому проблема бескоиеч-
*) То-естъ в пределах самбй математики.

22 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
ности будет решена на таком пути, если только нам удастся полностью
перечислить правила обращения со знаками нашей теории, позволяющие
механически выводить из одних доказанных формул другие, и для
каждой так формализованной математической дисциплины выяснить,
является ли она действительно хорошей формальной теорией: полной
в смысле доказуемости в ней всех содержательно истинных предложений
рассматриваемой дисциплины и непротиворечивой в смысле существования
недоказуемых в ней предложений*).
Каково же было удивление математиков, когда средствами матема-
математической логики (К. Гедель, 1933 г.) было показано, что:
1) уже для арифметики натуральных чисел не существует полной
формальной теории, в которой были бы доказуемы все истинные и только
истинные (содержательно) предложения арифметики;
2) в общем случае (и притом как раз для «формализмов», достаточно
богатых средствами логического вывода) доказательство непротиворечи-
непротиворечивости формальной теории не может быть выполнено средствами этой же
теории **).
На путях формализма не существует, таким образом, выхода из труд-
трудностей, которые заставили интуиционистов провозгласить кризис основ
математики и объявить эту науку покоящейся на безнадежно шатком
фундаменте.
Мы увидим в дальнейшем, на каких путях предлагают выход из
этого положения советские учёные, не разделяющие идеалистических
концепций, распространённых среди зарубежных математиков.
4. Из этого не следует, будто советские математики отрицают вообще
наличие трудностей, связанных с задачей обоснования математики. Они
подмечают подчас такие трудности, которые прошли мимо внимания
интуиционистов и логистов, хотя относятся к широко известнмм пара-
парадоксам логики и теории множеств. Один из таких примеров принадлежит
П. С. Н о в и к о в у. П. С. Новиков, однако, не сделал из него
никаких пессимистических выводов, а, наоборот, сумел использовать, как
мы увидим ниже (см. § 3), для решения проблем, связанных с парадоксами.
Известный парадокс «лжеца» формулируется иногда неправильно
следующим образом: «Критянин говорит: «Все критяне всегда лгут». Что
он сказал: правду или ложь?» Правды он не мог сказать: из предположе-
предположения, что он сказал правду, получилось бы заключение, что он солгал.
Но предположение, что он солгал, ни к какому противоречию не ведёт.
Из него получается только заключение, что не все критяне всегда лгут.
Иными словами, чтобы доказать, что в каком-нибудь собрании,—пусть
даже самых отъявленных реакционеров,—имеются люди, говорящие
иногда правду, достаточно одному из присутствующих произнести фразу:
«Все присутствующие здесь всегда лгут». Само собою разумеется, однако,
что такого рода «доказательство существования» вряд ли убедит кого-
нибудь.
Больше того, рассуждая так,—замечает П. С. Новиков, —
можно «доказать», по существу, любое предложение R, ложность кото-
*) Все рассматриваемые обычно в математической логике «формализмы» отли-
отличаются тем, что выводимость в них какой-нибудь пары предложений, находящихся
друг к другу в отношении утверждения и отрицания, равнозначна с доказуемо-
доказуемостью есншго предложения как истинного, так и ложного содержательно.
**) Финитные средства .метламатематики Гильберта формализуются полностью
в пределах его математики.

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 23
рого не была доказана заранее. Например, что «пока я пишу это, на дворе
члановится темно » или что «пока я пишу это, на дворе, наоборот, све-
светает». Чтобы сделать это, достаточно рассмотреть определение:
«Свойство х в свою очередь обладает некоторым свойством я в том
и только в том случае, если оно не принадлежит самому себе и R ложно»,
которое может быть записано в виде формулы
< * ) 1г(х)~х(х)&/?
(«~»знак эквивалентности, черта сверху—знак отрицания, «&» обозна-
обозначает связку «и»).
Допустим теперь, что 7? ложно. Тогда отрицание R, т. е. R, истинно
и правая часть эквивалентности (*) в свою очередь эквивалентна х(х).
Итак, если R ложно, то
Подставив в обе части этой эквивалентности к на место х, мы получим
те (
т. е. противоречие. Допущение, что R ложно, приводит, таким образом,
к противоречию. «Следовательно», R истинно. (Заметим, что предполо-
предположение истинности R противоречия не даёт.)
Между тем многие, и притом даже важнейшие предложения современ-
современного математического анализа доказываются именно таким образом:
из определения некоторого термина (в нашем примере п(х)) в них
выводится истинность предложения (в нашем примере R), говорящегЪ
совсем не об этом термине. В чём же дело? Почему такие доказательства
большинству математиков не представляются сомнительными? —На
этот вопрос проливают свет работы Д. А. Б о ч в а р а и П. С. Н о в и-
к о в а, посвященные проблеме парадоксов математической логики и
теории множеств.
5. Заметим, что предложение A1): «Произнеся фразу (Ф):—Все
критяне всегда лгут,—критянин Эпименид сказал правду», нетрудно
модифицировать так, чтобы получить действительный парадокс.
Рассмотрим систему аксиом ?, состоящую из двух аксиом: 1) В про-
промежуток времени <tt, /,> X произнёс фразу (Ф): «Всё, что я говорю
в промежуток времени </1( f,>, ложь». 2) В промежуток времени
<*!, f2> X ничего больше не сказал. Эту систему аксиом гораздо легче
осуществить, чем многие другие, непротиворечивость которых доказы-
доказывается с помощью выполняющей их модели. Достаточно зафиксировать
некоторый промежуток времени и найти человека, готового произнести
чЬразу (Ф) и в остальное время помолчать в течение этого промежутка.
Тем не менее система S противоречива. По крайней мере, если мы не
позаботимся о том, чтобы выбрать подходящий к случаю запас средств
логического вывода следствий из аксиом. Между тем ясно, что на самом
деле к аксиомам рассматриваемой системы нельзя с полной свободой
применять средства обычной формальной логики. Ведь пока я про-
произношу фразу (Ф): «Все, что я говорю...», меняется область предметов
{фраз), о которых идёт речь, так как к ним присоединяется моя новая
фраза. А формальная логика требует, чтобы предметы, о которых идёт
речь, не менялись, пока мы о них рассуждаем. Запретив, однако, рассма-

24 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
тривать фразу (Ф) как равноправную с теми, о которых идёт в ней
речь, мы уже противоречия не получим. Чтобы обеспечить непротиво-
непротиворечивость системы аксиом, существования модели оказалось недо-
недостаточно. Пришлось позаботиться ещё о выборе подходящих средств
логики.
На практике мы всегда имеем дело с изменяющимися предметами.
Из этого не следует, однако, будто мы не можем рассуждать о них по зако-
законам обычной формальной логики. Опираясь на применение одного из
основных принципов материалистической диалектики, утверждающего,
что истина всегда конкретна, что всё зависит от условий, места и времени,
мы добиваемся такого уточнения постановки вопроса, при котором законы
формальной логики становятся применимыми. Применимость законов
формальной логики, по существу, может быть обоснована именно
с помощью принципов материалистической диалектики.
Ибо пока вопрос поставлен чересчур абстрактно, в слишком общей
форме, на него чаще всего ещё нельзя дать однозначного ответа.
«Я вспоминаю,—писал И. В. Стал и н,—русских метафизиков 50-х го-
годов прошлого столетия, которые назойливо спрашивали тогдашних диа-
диалектиков, полезен или вреден дождь для урожая, и требовали от них
«решительного» ответа. Диалектикам нетрудно было доказать, что
такая постановка вопроса совершенно не научна, что в разное время
различно следует отвечать на такие вопросы, что во время засухи
дождь—полезен, а в дождливое время—бесполезен и даже вреден,
что, следовательно, требование «решительного» ответа на такой во-
вопрос является явной глупостью» (И. В. Сталин, Сочинения, том 1,
стр. 50—51). Но—этому нас тоже учит приведённый простой и яркий
пример—на конкретно, правильно поставленный вопрос ответ уже бывает
только один: вполне определённый и недвусмысленный.
Сами же по себе, автоматически, законы формальной логики при-
применимы отнюдь не ко всякому высказыванию. Недаром говорят иногда,
что труднейшей частью в решении задачи является правильная поста-
постановка её. Современное развитие математики показало, что и в применении
к аксиоматически построенным математическим теориям необходимо спро-
спросить себя, по каким именно правилам логики с ними можно свободно
оперировать, или в двойственной постановке вопроса: достаточно ли
хорошо сформулированы их аксиомы и определения, чтобы о них можно
было рассуждать по законам классической формальной логики.
Из этого следует, однако, что и современное развитие аксиома-
аксиоматического метода, приведшее к необходимости явной формулировки
не только системы неопределяемых понятий и недоказываемых пред-
предложений (аксиом) данной математической дисциплины, но и приме-
применяемых в ней правил определения понятий и доказательства предло-
предложений, на деле оказывается подтверждающим точку зрения диалекти-
диалектического материализма.
Наоборот, попытки идеализма использовать прогресс науки в своих
целях неизменно терпят крушение и в области математической логики.
Об этом свидетельствуют уже приведённые нами примеры. Конечно,
оба обстоятельства: и то, что выполнимая система аксиом, тем не менее,
может быть противоречива, если мы не примем особых предосторож-
предосторожностей, уточняющих формулировку аксиом и применяемых к ним средств
логического вывода; и то, что, наоборот, противоречивая (просто) система
ак.сиом, тем не менее, может быть невыполнима, могут быть установлены

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 25-
вне всякой связи с «парадоксальными следствиями» П. С. Новикова.
Так, А. Тарский построил систему аксиом, состоящую из предложений:
1 обладает свойством S,
2 обладает свойством S,
п обладает свойством S,
Существует х, не обладающее свойством S,
которая формально непротиворечива, но невыполнима (что побудило
Тарского ввести более сильное понятие ш-непротиворечивости, исключаю-
исключающее подобные случаи). Примеры П. С. Новикова являются, тем
не менее, особенно поучительными потому, что они не просто заменяют
понятие непротиворечивости каким-нибудь более сильным, значение
которого мы отнюдь не собираемся заранее умалять, но которое можно
использовать с целью не опровергнуть тезис Пуанкаре, а лишь «испра-
«исправить» его. Наоборот, примеры П. С. Новикова ярко показывают,
что «существовать» в математике совсем не то же самое, что «не содер-
содержать в себе противоречия».
6. Но логические проблемы, связанные с вопросами о парадоксах
и доказательствами непротиворечивости и полноты, имеют смысл не
только в плане устранения трудностей обоснования математики. Заме-
Заметим, что приведённое выше описание построения научной теории в виде
логического «формализма», содержащего не только систему аксиом,
но и правила образования понятий и вывода следствий, нуждается
в некотором уточнении. Правильнее было бы сказать так: если в старом
понимании формально-дедуктивной теории формулировался только пер-
первый -шаг индукции: задавались исходные понятия и предложения, та
теперь формулируется и второй: задаётся способ, как, имея уже некото-
некоторый запас введённых понятий и доказанных предложений, получить
с их помощью новые. Этот индуктивный приём построения современной
формально-дедуктивной теории позволяет обозреть всю совокупность при-
принадлежащих ей понятий и предложений и, таким образом, выяснить
границы её возможностей и характер дальнейшего развития, необходи-
необходимого для преодоления этой ограниченности. Мы видим уже из этого, что
создание общей теории дедуктивных «формализмов» диктуется и непо-
непосредственными потребностями математики.
Больше того, как мы увидим ниже, доказательство непротиворечи-
непротиворечивости логического «формализма» (или «исчисления») может приводить
и к собственно математическим результатам. Но особенно существенно,
что в наши дни уже не может быть сомнений в том, что именно решение
ряда наиболее трудных проблем математики требует специального иссле-
исследования аппарата математического доказательства и алгоритмических
методов математики.
Если мы будем стоять на точке зрения наивной канторовской
теории множеств, которая позволяет нам рассматривать—принципи-
рассматривать—принципиально—бесконечные множества так; как если бы они были конечными и
лежали перед нами подобно готовым спискам избирателей на участке,
то в полноте—в обычном смысле этого слова—теории множеств никак
нельзя будет сомневаться. В частности, гипотеза континуума Кантора
уже не сможет быть независимой в том смысле слова, в каком, напри-
например, независим от остальных аксиом геометрии постулат о парал-

26 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
лельных. Иными словами, принципиально мы должны были бы рас-
располагать в этом случае такой же возможностью проверки её пра-
правильности, какой располагаем, например, когда нам нужно убедиться,
что нас не пропустили в списке. Но такая «принципиальная» возмож-
возможность мало чего стоит, когда речь идёт о решении проблемы континуума.
Если мы сформулируем, однако,—как это и делается теперь математиками
с целью избежать парадоксов, не прибегая к теории типов Рассела,—тео-
Рассела,—теорию множеств в виде некоторой аксиоматически построенной формальной
системы, допускающей, в числе других, содержательную теоретико-мно-
теоретико-множественную интерпретацию и содержащей, помимо перечисления неопре-
неопределяемых терминов и аксиом, достаточно точное описание применяе-
применяемых в ней правил логического вывода, то вопрос о независимости интере-
интересующего нас предложения в такой системе приобретает специальный
' смысл. Теперь речь идёт о том, чтобы доказать его невыводимость во
правилам этой системы. (Заметим, что наличие точного определения выво-
выводимости, допускающего непосредственную проверку правильности вся-
всякого уже проделанного доказательства, само по себе ещё не означает, что
мы располагаем одновременно и точным—в этом же смысле «проверяе-
«проверяемости»—определением невыводимости.) Решения труднейших задач тео-
теории множеств, таким образом, можно ожидать именно с помощью средств
математической логики и теории доказательства, предметом изучения
которой являются уже не собственные предметы математики, а приёмы
и правила, употребляемые в математике при обращении с hh.vh.
Аналогично, попытки сформулировать точное определение «прове-
«проверяемости», или, что то же самое, эффективно вычислимой функции и свя-
связанное с ними выяснение сущности алгоритмических приёмбв математики
и границ возможностей создания алгорифмов оказывается исключи-
исключительно важным для математики на современном этапе её развития. О,т
определённого и точного ответа на вопрос о том, что значит «эффективно
решить задачу», зависит—теперь уже нельзя сомневаться в этом—п уточ-
уточнение формулировки и непосредственное решение ряда труднейших задач
математики, упорно не поддававшихся усилиям учёных. Именно в этой
связи математическая логика и привлекает сейчас внимание всё более
их более широких кругов советских математиков.
Приложения математической логики не ограничиваются её при-
применениями к решению проблем математики и её обоснования. Она
применяется и при решении задач чисто технического характера. Ряд
результатов в области приложений математической логики к построению
электрических релейно-контактных схем был получен впервые советскими
учёными.
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
В РАБОТАХ СОВЕТСКИХ УЧЁНЫХ.
Обзор работ советских учёных по основаниям математики, математи-
математической логике и её приложениям мы даём здесь, вообще говоря, в хроно-
хронологическом порядке. В соответствии со сказанным основное внимание
будет уделяться при этом работам, посвященным преодолению трудностей,
связанных с законом исключённого третьего, парадоксам логики и тео-
«рии множеств, доказательствам непротиворечивости, полноты и незави-
независимости, а также работам, содержащим применения математической
логики к решению конкретных проблем математики и техники.

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 27
1. Как уже было упомянуто, первые работыяо математической логике,
выполненные русскими учёными,относятся ещё к 80-м годам прошлого века.
Они принадлежат казанскому учёному Платону Сергеевичу Порецкому
и были опубликованы впервые в протоколах заседаний секции физико-мате-
физико-математических наук Общества естествоиспытателей при Казанском универси-
университете. Вопросы математической логики нашли отражение и развитие в ряде
«татей и книг на русском языке В. В. Бобынина A886, 1894), М. С. Вол-
Волкова («Логическое исчисление», 1888), С. А. Богомолова («Вопросы обо-
обоснования геометрии», ч. I. «Интуиция, математическая логика, идея
порядка в геометрии», 1913), Ё. Буницкого («Некоторые приложения
математической логики к арифметике* и «Число элементов в логическом
многочлене», 1896—1898). Однако подлинное развитие и в этой области
началось только после Великой Октябрьской социалистической революции.
2. В качестве одной из первых работ A917 г.) тут следует упомянуть
посвященное логическому закону исключённого третьего введение в работе
талантливого одесского математика С. О. Шатуновского [1].
В этом введении С. О. Шатуновский отмечает, что «применение
логического закона исключённого -третьего не только к элементам беско-
бесконечного многообразия, но и к элементам конечного класса требует чрез-
чрезвычайной осторожности и иногда может быть оправдано только после
длинного ряда исследований». Дело в том, что возможность выбора одного
из двух предложений «А есть В» и «А не есть В», где А обозначает неко-
некоторый предмет, а В—класс предметов, «зависит не только от определения
•класса В, но и от определения предмета А. Как бы ни определить класс В
(если только он, в частности, не будет совокупностью всех вообще пред-
предметов), всегда можно определить предмет А так, чтобы из этого определе-
определения ничего не вытекало относительно принадлежности или непринадлеж-
непринадлежности А классу В. Если и в этом случае всё же говорят, что предмет А
либо принадлежит, либо не принадлежит классу В, то это может иметь
только тот смысл, что определение предмета А может быть дополнено
новым определением (формально или реально) таким образом,чтобы воз-
возможно было сделать дизъюнкцию между принадлежностью и непринад-
непринадлежностью классу В нового предмета А', определение которого склады-
складывается из определения предмета А и упомянутого дополнения, причём
новый предмет А' всё ещё обозначается термином А» (С. О. Ша ту н о в-
с к и й [1], стр. II). Так, про предмет, обозначеный словами: «целое число,
оканчивающееся шестёркой», нельзя сказать ни что он принадлежит
к классу «точных квадратов», ни что он не принадлежит к этому классу.
Этот предмет не является индивидуумом по отношению к предикату «быть
точным квадратом?. Наоборот, для предмета, обозначенного словами:
«целое число, оканчивающееся двойкой», вопрос о принадлежности или
непринадлежности его к классу «точных квадратов» решается однозначно:
«число, оканчивающееся двойкой)», не есть «точный квадрата. Точно
так же, если дополнить определение предмета, обозначенного словами:
«целое число, оканчивающееся шестёркой», добавив к нему: «с предшест-
предшествующей чётной цифрой», то для полученного таким образом предмета А'
из"двух предложений: «А' есть В» и «А' не есть В», одно (и притом именно
второе) будет верно. Можно было бы сказать, что закон исключённого
третьего, в рассматриваемой С. О. Шатун овским форме применим
только в том случае, когда предмет А можно рассматривать как инди-
индивидуум, а не как множество предметов (или как переменный предмет) по
.отношению к классу В. Но как определить термин «индивидуум»? Что'даёт

28 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
нам право рассматривать некоторый предмет как постоянный по отношению
к свойству В ?—С. О. Шатуновский предлагает использовать
закон исключённого третьего как определение индивидуума, или логи-
логической единицы, по отношению к предикату В. Именно, предмет А
является индивидуумом, или логической единицей, относительно преди-
предиката В, если из двух предложений: «Л есть В» и «Л не есть В», по крайней
мере одно верно. Но это значит, что применимость закона исключённого*
третьего нуждается всякий раз в особой проверке.
3. Закону исключённого третьего была посвящена и опубликованная
в 1925 г. работа А. Н. Колмогорова [1].
Молодой советский учёный (А. Н. Колмогоров родился в 1903 г.)
уже в этой статье сумел занять самостоятельную позицию в споре, основ-
основными участниками которого были такие авторитетные математики, как
Гильберт и Брауэр. Основной же результат, полученный им в 1925 г.,
совпадает, по существу, с известным результатом К. Геделя, относящимся
к 1931—1932 гг.
Прежде всего, А. Н. Колмогоров возражает против форма-
формализма Гильберта, согласно которому математика есть только совокупность
формул, которые пишутся по определённым правилам и не должны иметь
реального содержания. Как математика, так и логика являются, с его-
точки зрения, содержательными науками. Иначе они не могут претендовать
на значимость в применении к действительности.
С содержательным подходом к математике связаны, однако, трудно-
трудности, обусловленные тем, что законы формальной логики, в частности закон
исключённого третьего, применимы не ко всякому содержанию. Интуи-
ционисты, Брауэр и Вейль, подметили это для так называемых транс-
трансфинитных суждений математики, под которыми они понимали высказыва-
высказывания, содержащие термины «все» и «существует», примененённые к бес-
бесконечным областям предметов. Однако вывод, который они отсюда сде-
сделали:—о безнадёжной шаткости фундамента математики и кризисе ее'
основ,—был органически связан с их идеалистической философской
установкой. Дело в том, что для них «математические предметы непо-
непосредственно постигаются мыслящим духом; следовательно, математиче-
математическое познание не зависит от опыта» (Гейтинг). «Содержание» математиче-
математической дисциплины с такой точки зрения, конечно, не может зависеть от того^
для какой именно области предметов рассматриваются её предложения.
Отнюдь не так обстоит дело для А. Н. Колмогорова. Предло-
Предложения математической дисциплины должны иметь содержательный
смысл. Но смысл этот зависит от области вещей, к которым она приме-
- няется. Если существует хотя бы одна область, для которой её предложе-
предложения становятся содержательно истинными, то в научной закономерности
дисциплины не проиходится сомневаться. Предложения «интуиционист-
«интуиционистской» математики не вызывают сомнений не потому, что они «непосред-
«непосредственно заложены в нашем духе -, а потому, что они эффективно, т. е. прак-
практически проверяемы. Поэтому, если существует такая интерпретация
«классической»*) математики, в которой её предложения превраща-
превращаются в предложения «интуиционистской» математики, то* тем самым-
законность «классической» математики полностью обоснована, и никакой
кризис основ ей не угрожает.
*) В противоположность «интуиционистской», которую мы в дальнейшем рас-
рассматриваем независимо Ът философских установок Брауэра.

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 29
Если и не этими самыми словами выраженная, то, по существу,
именно эта установка характерна уже для рассматриваемой работы
А. Н. Колмогорова. Он действительно доказывает в ней суще-
существование такой интерпретации «классической) математики, для которой
«все известные нам» предложения её превращаются в предложения «интуи-
.ционистской» математики, причём рассматривает это как подтверждение
тезиса о наличии реального смысла и у тех трансфинитных предложе-
предложений «классической» математики, которые лишены его с точки зрения
Брауэра.
Заметим, что, по А. Н. Колмогорову, отображение всей
«известной нам» классической математики происходит даже не па всю
интуиционистскую, а только в некоторую её4 часть. В классической логике
предложений (в отличие от интуиционистской, где такое сведение невоз-
невозможно) операции, образующие из данных предложений новые, сво-
сводятся к связке «если ... то» (—.>) и отрицанию (-). Для этих операций
А. Н. Колмогоров даёт полную систему аксиом, которую впервые фор-
формулирует таким образом, что единственной не «интуиционистской»
аксиомой оказывается формула А-^- А («двойное отрицание А влечёт А»),
Вторая аксиома отрицания, предложенная А. Н. Колмогоровым,
и соответствующая методу доказательства посредством приведения
к абсурду, также подчёркивалась впоследствии*) как наиболее удачное
выражение содержательного смысла отрицания в применении к выска-
высказываниям как целым.
Сформулируем теперь каждое предложение классической логики
¦и математики, употребляя в качестве логических связок только термины
«если... то» и отрицание, —от чего, классически, смысл предложения
не изменится,—-изаменим затем каждую часть полученного предложения,
в свою очередь являющуюся предложением, её двойным отрицанием.
Если мы будем_обозначать двойное отрицание Р через пР, то, например,
предложение А'—* А преобразуется в
—^ пА). A)
Как показывает А. Н. Колмогоров, такое преобразование не нару-
нарушает логической связи доказательств, выполняемых по правилам подста-
подстановки и отбрасывания доказанной посылки S в доказанном предложении
вида S-^Т.Так как все аксисмы классической логики и все «известные
нам» аксиомы математики превращаются в этой интерпретации в содержа-
содержательно истинные предложения «интуиционистской» логики и математики,
то и все доказуемые (по вышеупомянутым правилам) предложения клас-
классической математики превращаются в доказуемые же предложения
«интуиционистской* математики, содержательная истинность которых
не вызывает сомнений, так как в их доказательстве закон двойного отри-
отрицания заменяется «интуиционистски» правильной формулой A). Известный
результат К. Геделя, гласящий, что «интуиционистская математика
лишь по видимости уже классической»**), так как каждое предложение
*) См., например, работы Генцена.
**) Под классической математикой здесь, собственно, понимается арифметика
натуральных чисел.

30 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
классической математики в определённой интерпретации превращается
в предложение интуиционистской, таким образом, действительно пред-
восхищён А. Н. Колмогоровым.
В работе сформулирован и вывод о том, что вопрос о непротиворечи-
непротиворечивости классической математики сводится к вопросу о непротиворечи-
непротиворечивости интуиционистской, т. е. что и в смысле непротиворечивости клас-
классическая математика обоснована не хуже интуиционистской. Действи-
Действительно, автор пишет: «Применение принципа t. n. d. никогда не приведёт
к противоречию. В самом деле, если бы при его помощи была получена
ложная формула, то соответствующая формула псевдоматематики (т. е.
описанной выше интуиционистской интерпретации формул классиче-
классической математики—С. #.) была бы доказана без его помощи и всё же при-
приводила бы к противоречию».'
Мы видим, насколько далёк был уже в ту пору молодой советский
учёный от безнадёжного пессимизма «интуиционистов», считавших
заранее обречёнными на неудачу все попытки отыскать выход из провоз-
провозглашённого ими кризиса основ математики.
4. В 1927 г. бельгийские математики Барзени Эррера опубликовали
заметку, перепечатанную в следующем году Борелем в приложении к
его известным «Лекциям по теории функции», в которой они трактовали
интуиционистскую логику предложений как трёхзначную логику, до-
допускающую наряду с истинностью и ложностью некоторое «третье» со-
состояние. Против этого утверждения выступили А. Я. X и н ч и н [3] и
В. И. Гливенко fl]*). Как нам'представляется, суть их возра-
возражений при содержательном истолковании сводится к следующему.
Если разобраться, с точки зрения материалистической диалектики,
в приводимых Брауэром примерах неприменимости закона исключён-
исключённого третьего, то можно будет сказать так: если математическое предло-
предложение П считать истинным только после того, как оно уже доказано,
и ложным только после того, как оно приведено к абсурду (т. е. доказано,
что предположение истинности П ведёт к противоречию), то, конечно,
для П возможно и некоторое «третье» состояние, состоящее в том, что
в какой-то момент времени предложение П и не доказано и не опровергнуто.
Но это «третье» состояние не равноправно с двумя другими. Сегодня
предложение П может быть и не доказано и не опровергнуто, а завтра
вопрос уже, быть может, будет решён. Вообще сегодняшнее «третье»
состояние равносильно одному из завтрашних трёх: 1) «доказано»,
2) «опровергнуто», 3) «не доказано, но и не опровергнуто», из которых
последнее, в свою очередь, равносильно следующим трём, и т. д. Всё
находится в движении, и мы не имеем трёх спокойных, исключающих
друг друга состояний, как это требуется в трёхзначной логике. Ведь
речь идёт о предложении П вообще, а не о состоянии наших знаний
о нём сегодня. ,
Чтобы придать вопросу точный смысл, В. И. Гливенко [1J
сформулировал систему аксиом «интуиционистской» логики предложе-
предложений и доказал, что не существует трёхзначной логики, эквивалентной
этой системе аксиом.Результат В. И. Гливенко был в 1932 г. обобщён
*) Почти одновременно с ними против заметки Барзена и Эррера выступил
и американский логик Чарч. Аргументация последнего (см. Bull. Amer. Math. Soc.,.
34 A928), 75—78) звучит, однако, неубедительно, так как Чарч, повидимому, пере-
переносит на многозначные логики верные только для двузначной логики эквивалентности:
Р~(Р истинно), 7>~(Р ложно).

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 31
Геделем, показавшим для сформулированной в 1930 г. Рейтингом системы
аксиом интуиционистской логики, что не существует таблично построен-
построенной л-значной логики предложений, в которой были бы доказуемы все те
и только те выражения, которые доказуемы в системе аксиом Рейтинга.
5. В уже освещенной нами работе А. Н. Колмогорова [1]
всякое предложение П классической математики отображалось в предло-
предложение П^ «псевдоматематики», к которому заведомо был применим закон
исключённого третьего. Отображение это осуществлялось с помощью
замены всех частей предложения П, в свою очередь являющихся предло-
предложениями (в том числе и самого П), их двойными отрицаниями. Для логики
предложений В. И. Г л и в е н к о [2] получил в 1929 г. более сильный
результат. Именно, оказалось, что: 1) если в классической логике предло-
предложений доказуема формула й, то в «интуиционистской» доказуемо двой-
двойное отрицание Я; 2) если отрицание Ч[ доказуемо классически, то "оно же
доказуемо и «интуиционистски».
6. Мы уже отметили, что трудности, связанные с вопросом о приме-
применимости закона исключённого третьего, отнюдь не носят того абсолют-
абсолютного характера, который им придаётся интуиционистами. Именно «инту-
«интуиционистская логика», сформулированная в виде конечного списка аксиом
и правил вывода (или соответствующей ему системы одних только пра-
правил вывода), может быть адэкватно применима поэтому к определённой
области предметов совершенно независимо от гносеологических посылок
интуиционизма. Выяснению реального смысла системы аксиом «интуи-
«интуиционистской логики предложений» Рейтинга была посвящена опублико-
опубликованная в 1932 г. работа А. Н. Колмогорова [3].
Наряду с логикой, систематизирующей методы доказательства пред-
предложений, возможна,—говорит. А. Н. Колмогоров, —и логика,
изучающая методы (конструктивного) решения задач, например, геомет-
геометрических задач на построение. Принципу силлогизма здесь будет соот-
соответствовать такой принцип: если мы умеем свести решение задачи b к реше-
решению задачи а, а решение задачи с к решению задачи Ь, то мы умеем свести
решение задачи с к решению задачи а. Вводя подходящую символику
и правила оперирования с ней, А. Н. К о л м о го ров строит соот-
соответствующее этой логике исчисление проблем. По форме это исчисление
оказывается совпадающим с исчислением Рейтинга, что устанавливается
следующим образом.
Символ А истолковывается как требование: «решить проблему Л».
Формула А означает: «Предполагая проблему А решённой в положитель-
положительном смысле, получить противоречие». Формула Л&В означает: «Решить
обе проблемы Л и В». Формула А\/В — «Решить по крайней мере одну
из проблем А или В». Формула Д—> В— «Свести решение проблемы В
к решению проблемы А». Наконец, формула (х)А(х)—«Дать общий
метод решения А(х) для каждого х». Все формулы, доказуемые в ло-
логике предложений Рейтинга, оказываются истинными и в смысле исчи-
исчисления проблем. С другой стороны, ясно, что при такой интерпретации
закон исключённого третьего теряет силу.
7. Существенную роль в дальнейшем развитии математической логики
сыграла работа М. И. Шейнфинкеля [1]. Этот блестящий ученик
С. О. Шатуновского, к сожалению, рано выбыл из строя. (Забо-
(Заболев душевно, М. И. Шейнфинкель умер в Москве в 1942 г.). Работа,.
о которой идёт речь, была выполнена им в 1920 г., но опубликована только
в 1924 г. в литературном оформлении Бемана. Непосредственной целью

32 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
М. И. Шейнфинкеля было стремление свести к минимуму число
различных знаков, с помощью которых записываются формулы логиче-
логического исчисления. Известно, что отрицание и операции, выражаемые
логическими связками «и», «или», «если... то», «равнозначно», могут быть
сведены к одной единственной операции, выражаемой штрихом Шеффера
А\В и представляющей собой утверждение о несовместимости предложе-
предложений Аи В. Обобщённый штрих Шеффера / (х) |* g (х), представляющий утвер-
утверждение о-несовместности предиката / (х) с предикатом g (x), даёт возмож-
возможность вьфазить и операции с кванторами общности и существования
(терминами «все» и «существует»), связывающими как предметные, так
и формуль'ные переменные (переменные для предикатов и высказываний).
Но это сведение всех операций к одной единственной не устраняет ещё
потребности в специальных знаках для переменных различных видов:
предметных переменных; переменных, обозначающих предикаты,' зави-
зависящие от одного аргумента («свойства»); обозначающих предикаты от
двух, трёх и т. д. аргументов («отношения»); наконец, просто перемен-
переменных, обозначающих высказывания. М. И. ШеЙнфинкель указал
способ, позволяющий заменить любое предложение, записываемое с по-
помощью конечного числа знаков, заимствуемых из этого их бесчислен-
бесчисленного множества (включающего и штрих Шеффера), выражением, пред-
представляющим собой определённую 'комбинацию из трёх постоянных
знаков С, S, U, обозначающих некоторые индивидуальные функции.
Существенно, что он достиг этого с помощью создания общего исчисления
¦функций, основанного на чётком различении функции как особого пред-
предмета от значения функции. (Эту идею М. И. Шейнфинкеля
популяризировал в дальнейшем Чарч. с помощью таких простых при-
примеров: в выражении A) «(x*+xf > 1000»* речь идёт о неопределённом зна-
значении функции (ха+хJ. Символ х играет тут роль свободной переменной.
Пока на место х не подставлено какое-нибудь индивидуальное число или
х не связано квантором общности или существования, выражение A)
не представляет собой предложения. Оно не истинно и не ложно. Иначе
обстоит дело в выражении B) «(х2+хJ —-алгебраическая функция» или
в выражении C) «(ха+хJ—трансцендентная функция». Первое из этих
двух выражений истинно, второе ложно. Тут речь идёт не о значении
функции (х2+хJ, а о самой функции как об особом предмете.) В то время
как при обычном определении сначала задаются области значений аргумен-
аргументов и значений функции, между которыми в дальнейшем устанавливается
соответствие, почему закон этого соответствия, или функция не может
существовать заранее как элемент одной из областей, между" предметами
которых устанавливается соответствие,—для М. И. Шейнфинкеля
функция не создается её определением, а только вводится с его помощью
в рассмотрение. Как аргументом, так и значением функции может быть
сама рассматриваемая функция, если это совместно с её смыслом. Так,
функция тождества, обозначаемая М. И. Шейнфинкелем через /
и относящая к любому предмету х этот же предмет х, так что/ х = х, имеет
смысл и в применении к ней самой. Именно, // есть /. Используя то об-
обстоятельство, что предметом, являющимся значением функции, в свою оче-
очередь может быть некоторая функция, М. И. ШеЙнфинкель сводит
далее функцию от любого числа аргументов к функции от одного аргу-
аргумента и вводит несколько индивидуальных функций, позволяющих ему
преобразовывать выражения, обозначающие значения функций, и заме-
заменять одни комбинации операций им равносильными другими.

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 33
Так, если мы будем обозначать значение функции а, применённой
к аргументу b (которым в свою очередь может быть некоторая функция),
через ab и договоримся понимать выражения вида abc в смысле (ab) с,
то определение вводимой М. И. Шейнфинкелем индивидуальной
функции С («относящей константу») можно будет сформулировать сле-
следующим образом:
Cab =a.
Иными словами, С есть функция, значениями которой служат функции
Са, относящие, при данном а, одно и то же (постоянное) значение а
к любому предмету b.
Аналогично функция S определяется через
Sabc =(ac)(bc).
(Формально её роль сводится к тому, что она позволяет, за счёт присо-
присоединения спереди буквы S, «слить» в одну две одинаковые буквы, здесь
обозначенные через с).
Теперь нетрудно показать, что функция тождества / сводится к функ-
функциям S и С. Иными словами, что применение функции / может быть заме-
заменено некоторой последовательностью применений функций С и S.
Действительно,
1х=лс.
Но с помощью функции С можно записать х в виде Сху, где у совершенно
произвольное. В частности» следовательно,
х=Сх(Сх),
или, что то же самое, «
х=(Сх)(Сх)к
Применив теперь функцию S, мы получим
(Сх)(Сх) =SCCx,
почему окончательно
Ix=SCCx,
т. е.
/ ^SCC.
Идеи М. И. Шейифинкеля были широко подхвачены амери-
американскими математиками, в первую очередь Карри, построившим на их
основании свою «комбинаторную логику» A930), и Чарчем, исчисление
^-конверсии которого представляет собой некоторую «формализацию»
идей М. И. Шейнфинкеля. (Следует отметить, что хотя Чарч
и ссылается несколько раз на М. И. Шейнфинкеля, всё же пол-
полное представление о зависимости его от идей последнего получается лишь
в результате непосредственного ознакомления с работой М. И. Ш е Й н-
ф и н к е л я.) Доделываются и отдельные детали в концепции
М. И. Шейнфинкеля. Так, в заметке «A reinterpretation of Schon-
•finkel's logical operators» Куайн предложил сделать шейнфинкелев-
ское определение функции более близким к обычному пониманию функ-
функции от п аргументов, допустив в качестве значений функции от одного
аргумента функции от л—1 аргумента.
Следующая работа- М. И. Шейнфинкеля, выполненная
им совместно с Бернайсом, широко используется теперь в учебниках
3 А1а<ечитика п С.СС1Р за 30 лет.

34 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
и руководствах по математической логике (см., например, Гильберт
и Аккерман, «Основы теоретической логики»). В ней идёт речь о частных
случаях формул так называемого узкого исчисления предикатов, для кото-
которых удаётся решить проблему разрешимости, т. е. дать эффективный
приём, позволяющий установить, является ли формула истинной при
любых значениях входящих в неё переменных (и для любой области инди-
индивидуумов). Именно, о формулах, которые (в нормальной форме) имеют
приставку, состоящую из одних только знаков общности, или из одних
только знаков существования, или у которых все знаки общности пред-
предшествуют знакам существования. Во всех этих случаях вопрос о всегда-
истинности формулы узкого исчисления предикатов сводится к вопросу
о всегда-истинности её в области, содержащей определённое конечное
число индивидуумов, а в такой области он решается полностью сред-
средствами исчисления предложений.
Отметим также, что, по свидетельству БернаЙса (D. Hillbert u.
P. Bernays, Orundl. der Math., т. I, стр. 70), M. И. ШеЙнфинкель
первый дал ответ на вопрос, близкий к одному из поставленных мимохо-
мимоходом в работе А. Н. Колмогорова [I]. Он предложил систему аксиом,
определяющих связку «если... то» (и не содержащих никаких других
логических связок), достаточную для вывода из неё с помощью правила
подстановки и правила зачёркивания доказанной посылки всех всегда-
истинных выражений, образованных посредством одной только связки
«если... то».
8. В 1927 г. один из старейших уже в ту пору профессоров Москов-
Московского государственного университета И. И. Жегалкин A869—1947)
опубликовал свою первую работу по математической логике [1J. Бле-
Блестящий педагог и передовой учёный (И. И. Ж е г а л к и н у принад-
принадлежит одна из первых работ по теории множеств, написанных на
русском языке. Вышедшая в 1908 г. книга его о трансфинитных числах
до сих пор с интересом читается студентами и начинающими математи-
математиками), И. И. Жегалкин ив преклонном возрасте умел не только
с пониманием следить, но и творчески участвовать в развитии одной из
самых новых математических дисциплин. Уже упомянутая первая работа
его содержала новые и интересныё*результаты и методы. И. И. Жегал-
Жегалкин впервые построил логику предложений как арифметическое кольцо,
выбрав в качестве основных операций строго разделительное «или» и «и»
и введя в исчисление символы 0 и 1 для обозначения постоянных (соот-
(соответственно ложного и истинного) предложений. Заметим, что почти
через 20 лет после И. И. Жегалкина, в 1946 г., .Лалан*) сделал
в Докладах Парижской Академии наук заявку на работу, одним из основ-
основных результатов которой является построение исчисления предложений
в виде кольца двумя путями:
I) принимая за сложение отрицание эквивалентности (т. е. строга
разделительное «или»), за умножение—конъюнкцию («и»);
II) принимая за сложенцг Эквивалентность, за умножение-^дизъюнк-
умножение-^дизъюнкцию (неразделительное «или»).
Хотя И. И. Жегалкин непосредственно использовал именно
первый путь, на самом деле оба содержатся уже в его работе. Действи-
Действительно, в отличие от обычных способов построения исчисления пред-
предложений, когда за основные выбираются сначала некоторые логические
*) V. Lalan. С. R. Acad. Sci., 223 A946), 1086—1087.

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 35
операции («связки»), после чего из их определения (табличного) выво-
выводятся законы, которым подчиняются эти операции,—И. И. Ж е г а л -
к и н исходит из арифметики вычетов по модулю 2 и, истолковав в ней
1 и 0 соответственно как истину и ложь, получает исчисление пред-
предложений, выбрав за основные логические операции те, которые соот-
соответствуют в этом истолковании арифметическим операциям сложения
и умножения. Ясно, что при двойственной интерпретации символов
О и 1 @—истина, 1—ложь) получается второй путь Лалана.
Так как полученное исчисление оказывается, таким образом, изо-
изоморфным арифметике вычетов по модулю 2, то, чтобы завершить построе-
построение исчисления предложений, остаётся только убедиться в том, что
введённых операций достаточно для выражения всех различных функций
истинности, и дать регулярный приём (алгоритм) решения проблемы
разрешимости (т. е. установления для каждой формулы, записываемой
в терминах исчисления предложений, представляет ли она собой всегда
истинное, соответственно выполнимое, выражение). Обе эти задачи
И. И. Жегалкин решает с помощью приведения формулы Ф, содержа-
содержащей элементарные предложения а,, а2,..., а„, к нормальной форме, кото-
которой служит многочлен, линейный относительно каждого a, (i=1, 2,..., л)
и содержащий только различные (по виду) слагаемые *), который, как
нетрудно показать**), однозначно представляет формулу Ф. Самое при-
приведение к нормальной форме'очень просто осуществляется с помощью
«принципа выноса предложения», позволяющего выразить формулу Ф,
содержащую переменное предложение а, в виде
(«либо а истинно, и тогда Ф (а) естьФ (I), либо же а ложно, т. е. а-И
истинно, и тогда Ф (а) есть Ф@)»), где Ф A) и Ф(О)—предложения, не
содержащие уже переменной а .
«Принцип выноса предложения» «оказывает И. И. Жегалкину
[2, 3] особую услугу при расширении исчисления предложений в исчисле-
исчисление предикатов, где с его помощью автор исключительно просто решает
задачу разрешимости для одноместного исчисления предикатов.как узкого,
так и расширенного. Вместе с решением основной задачи И. И. Жегал-
Жегалкин получает при этом результат, гласящий, что всякое выраже-
выражение, составленное из одноместных предикатов и не имеющее свобод-
свободных предметных или предикатных переменных, эквивалентно или О,
Или 1, или одному из выражений типа et + sj+... -\-ек или типа
! + e,-f е;+ ... -f ek) где еп есть предложение: «основная область предме-
предметов имеет точно п объектов». Нет сомнения, что метод И. И. Жегалкина
заслуживает предпочтения перед другими по простоте идеи и исполь-
используемого аппарата и может быть особенно рекомендован для помещения
даже в элементарных учебниках.
Последние две (из опубликованных) работы И. И. Жегалкина
[4, 5] содержат решение проблемы разрешимости для случая формул узкого
исчисления предикатов, имеющих вид
t) (х,)... (xs)W(F, /„ /2,..., /г; х„ х2,..., xs),
. *) Слагаемые, отличающиеся лишь порядком сомножителей, не'считаются при
этом различными.
**) Подсчитав, например, число таких (различных) многочленов.
• 3*

36 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
где F, fltft,..., /г—двуместные переменные предикаты. И. И. Ж е г а л-
к и н показывает, что вопрос о выполнимости такого выражения в
какой-нибудь конечной области предметов сводится к задаче исчисления
предложений и, таким образом, решается окончательно. Ограничение
случаем конечных областей позволяет И. И. Жегалкину определить
двуместные предикаты матрицами, в изучении которых и состоит основная
методическая идея этих работ И. И. Жегалкина, поражающих чита-
читателя исключительной простотой и геометрической наглядностью опери-
оперирования с матрицами. И. И. Же г а л к и н не удовлетворяется теоре-
теоретическим решением вопроса. Он ищет такое решение, которое было бы
практически осуществимо. И ему действительно удаётся снизить число
необходимых проб с 2 + 24+ ... + 2'sfl>2 (у Аккермана) до s+\.
Незадолго перед смертью*) И. И. Жегалкин начал писать
учебник общей логики для средней школы, из задуманных пятнадцати
глав которого успел, однако, подготовить к печати только десять.
9. О реальном смысле доказательств непротиворечивости у нас уже
шла речь выше (см. § 2). Мы выяснили там, что, как учит нас марксизм-
ленинизм, проблема точности формулировок и формально логиче-
логической непротиворечивости играет весьма существенную роль в науке.
Но точность формулировки не достигается автоматически. И в математике
не для всякого поставленного в ней*вопроса можно быть заранее уверен-
уверенным, что он допускает один и только один из двух ответов: да или нет.
А между тем соответствующая такой уверенности посылка подчас играет
существенную роль в доказательстве.
Конкретные трудности, связанные с применением законов фор-
формальной логики в'математике, не могли пройти мимо внимания мате-
математиков. Таковы, например, трудности, связанные с законом исклю-
исключённого третьего в применении к утверждениям существования, относя-
относящимся к бесконечным областям объектов. Применимость этого закона
может быть, правда, обоснована с помощью вцециального доказатель-
доказательства непротиворечивости, но с последним, в свою вчередь, связаны труд-
трудности. Как показал К. Гедель, доказательство непротиворечивости фор-
формализма не может быть выполнено средствами самого этого формализма
и в общем случае предполагает непротиворечивость другого, не менее
сильного, формализма. Не следует ли отсюда, что непротиворечивость
вообще не может быть доказана? В проведённом им доказательстве
непротиворечивости арифметики П. С. Новиков нашёл выход из
этой трудности. Если речь идёт, например, об обосновании применимости
закона исключённого третьего в арифметике, то ясно, что нельзя при-
применять этот закон к арифметическим предложениям при доказательстве
его применимости к таковым. В этом и будет состоять, однако, единствен-
единственное ограничение, налагаемое на средства доказательства непротиворечи-
непротиворечивости в таком случае. По сравнению с самой арифметикой запас этих
средств можно усилить, например, за счёт допущения трансфинитной
индукции. По этому пути, независимо от Генцена, также использовавшего
его, и пошёл П. С. Нов и к о в. Но в доказательстве последнего суще-
существенно при этом то обстоятельство, что оно служит не только целям обос-
обоснования, но содержит и конкретный математический результат, допуска-
допускающий возможность разнообразных приложений. П. С. Новиков строит
пропозициональное исчисление со счётными логическими суммами и про-
*) И. И. Жегалкин умер 28 марта 1947 г.

¦ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 37
йзведениями (дизъюнкциями и конъюнкциями), на образование которых
налагается ограничение, состоящее в требовании конструктивного
(«интуиционистского») характера их задания. Содержательной базой,
необходимой для построения и исследования этого исчисления, служит
«интуиционистская» математика, с помощью которой П. С. Новиков
и даёт доказательство непротиворечивости своего неинтуиционистского
исчисления. Вышеупомянутый конкретный математический результат,
полученный им при этом, состоит в следующем: Пусть F (л) есть предло-
предложение, зависящее от натурального числа л, проверяемое для любого h
конечным числом операций. Тогда, если дано доказательство существо-
существования натурального числа N, для которого предложение F (N) верно,
из этого доказательства можно извлечь эффективное указание числа N.
Иными словами, П. С. Новиков предложил приём, позволяющий
извлечь из некоторых «чистых» доказательств существования эффектив-
эффективный способ вычисления числа, существование которого утверждается.
Д. А. Бочвар, на работах которого по вопросам математической
логики мы сейчас остановимся более подробно, дал неинтуиционист-
неинтуиционистское доказательство полноты исчисления П. С. Новикова, понимае-
понимаемой в широком смысле. Для этого вводится неинтуиционистски опреде-
определяемое понятие содержательно верной формулы и устанавливается,
что всякая содержательно верная формула, записываемая в терминах
формализма П. С. Новик ов а, 'доказуема в этом формализме.
10. Ряд трудностей, непреодолимых с субъективистских, идеалисти-
идеалистических позиций, связан с широко известными парадоксами математиче-
математической логики. Подход с точки зрения диалектического материализма дает
возможность полностью справиться с ними. В трудах советского учёного
Д. А. Бочвара, сочетающего продуктивною творческую работу
в области математической логики с большой работой по химии, мы нахо-
находим интересное решение проблемы пародоксов математической логики.
Эта проблема изучалась Д. А. Б о чв а р о м с двух точек зрения.
Первая точка зрения может быть сформулирована так: логика не
содержит ни экзистенциальных суждений об индивидуальных' объектах
(в частности, о постоянных предикатах), ни утверждений о нетривиальных
связях экзистенциального характера между объектами.
С этой точки зрения, расширенное исчисление предикатов без теории
типов, взятое в целом, не есть логика, хотя включает в себя определён-
определённый логический формализм. Последний может быть выделен из состава
расширенного исчисления предикатов без теории типов путём исключения
всех—явных и неявных—аксиом, утверждающих существование инди-
индивидуальных объектов или нетривиальных зависимостей экзистенциаль-
экзистенциального характера между объектами. Полученный таким образом логиче-
логический формализм—исчисление Ко—непротиворечив. С другой стороны,
для каждого парадокса можно эффективным образом указать теорему
из Ко, отрицающую существование (или сосуществование) предикатов,
предполагаемых в построении данного парадокса. Таким образом, пара-
парадоксы расширенного исчисления предикатов без теории типов следует
рассматривать как результат присоединения к чисто логическим аксио-
аксиомам Ко некоторых противоречащих этим аксиомам экзистенциальных
утверждений, содержащихся в известных определениях или группах
определений. Формализм Ко представляет собой именно ту систему,
которую естественно назвать формализмом классической логики. Мате-
Математика же с этой точки зрения, конечно, не сводится к логике.

38 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Второй точкой зрения, с которой парадоксы получили освещение
в работах Д. А. Б о ч в а р а, явилась точка зрения трёхзначной логики—
системы ?,— где наряду с истинными и ложными высказываниями,
составляющими вместе класс предложений, рассматриваются также
высказывания, не являющиеся предложениями (не имеющие смысла).
Для каждого парадокса можно указать теорему из системы ?, утвер-
утверждающую, что некоторая формула, существенная для построения данного
парадокса, не есть предложение (не имеет смысла).
11. Дальнейшему развитию проблемы парадоксов была посвящена
работа П. С. Н о в и к о в а [3]. Логическое исчисление Ко Д- А. Б о ч-
в а ра, или, как его называет П. С. Новиков, абсолютная логиче-
логическая система расширенного исчисления предикатов (в котором преди-
предикат, т. е. свойство предметов или отношение между предметами, сам
тоже может быть одним из предметов) не содержит никаких индивидуаль-
индивидуальных предикатов. В том числе не содержит и таких индивидуальных пре-
предикатов, которые определяются в терминах самого логического исчис-
исчисления. Иными словами, определение которых имеет вид
(рг) f/vfo xn)~g(Xl7..., х„), Ш
где g(xlt..., х„)~формула, кроме хх,..., х„, не содержащая никаких
свободных переменных и записываемая с помощью одних только знаков
логики. [Таким индивидуальным предикатом является, например, свой-
свойство «непредикативности» предиката, определяемое формулой
(Ял) Нпрд (х) ~~ х~(х),
D/
т. е. «предикат х непредикативен, если он не может быть приписан самому
себе».] Как показал Д. А. Б о ч в а р, определение индивидуального
предиката вида (рг) лишь в том случае может быть присоединено к исчис-
исчислению Ко у если в последнем недоказуемо утверждение о несуществовании
предиката, равнозначного формуле g (х,,..., хп). Иными словами, если
присоединение к Ко допущения .о существовании предиката, опре-
определяемого формулой (рг), не ведёт к п-ротиворечию. Всякое присоединение
к исчислению Ко индивидуальных предикатов этого рода могло бы
вести, однако, к тяжёлым осложнениям, если бы для каждого из них
нужно было давать особое доказательство непротиворечивости. Естест-
Естественно поэтому поставить вопрос как о характеристике широкого класса
предикатов, присоединение которых не ведёт к противоречию, так и,
наоборот, об общем обозрении всех способов образования парадоксов.
Обоим этим вопросам и посвящена работа П. С. Новикова.
В частности, оказалось, что система, образованная присоединением
к Ко аксиом вида
(р) (Ер) (х,)... (х„) (р(хг хп) ~ G (х„..., х„)I
[соответствующих определению (рг)], непротиворечива, если каждое
переменное в формуле (р) фигурирует-либо только на внутренних местах
(т. е. как предметный знак под знаком элементарного предиката), либо
только на внешних местах (т. е. как знак формульной переменной).
(В формуле (Ял) это требование не удовлетворено, так как х занимает
в ней и внешнее и внутреннее место). Логическую систему, образован-
образованную присоединением к Ко аксиом, удовлетворяющих этому требованию,
П. С. Новиков называет системой (Т).

S ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 39
Дальнейший результат, относящийся к вопросу о присоединимости
к Ко индивидуальных предикатов вида (рг), был получен П. С. Нови-
Новиковым с помощью введённого им и освещенного нами в § 2 поня-
понятия ((парадоксального доказательства», представляющего большой мето-
методологический интерес и независимо от этого результата.
Если разрешить присоединение к Ко любых индивидуальных пре-
предикатов, то можно будет, как это и было проделано нами выше, доказать
всякое предложение /?, ложность которого недоказуема в системе Ка,
присоединив к/Со индивидуальный предикат/?д, определяемый формулой
(Pr) Pr()
Df
Суть дела в том, что предикат не создаётся его определением. По-
Последнее выясняет его связи с другими предикатами, должно отображать
процесс его возникновения и развития, но не порождает его тем, что
формулируется нами. При понимании же формулы (pR) как аксиомы суще-
существования истинность предложения R является условием непротиворе-
непротиворечивости этой аксиомы, а не следствием из аксиомы. Если предложение./?
может быть доказано без присоединения определения (рд), то последнее
имеет смысл. Именно эти соображения и лежат в основе теоремы Нови-
Новикова, суть которой сводится к следующему.
Пусть имеем группу определений вида pr (x)~g (x), в которых огра-
ограничение, наложенное на переменные, входящие в формулы g (x), и состоя-
состоящее в том, чтобы эти переменные занимали либо только внешние, либо
только внутренние места, относится только к связанным переменным.
Каждому определению этого вида ставится в соответствие некоторая
формула Н(рг), однозначно определяемая формулой g(x) и являю-
являющаяся «парадоксальным следствием» соответствующего определения
0>rx)~g(x). Если все'.:Эти «парадоксальные следствия» Н выводимы
в некоторой системе (Т), то присоединение рассматриваемой группы
определений к любой системе (Г) не ведёт к противоречию.
С помощью этой теоремы П . С. Новиков показывает, например,
что обычные определения (в терминах логики) понятий тождества,
рефлексивности, транзитивности, а также целых чисел 0, 1, 2, 3;...
не ведут к противоречию.
Что касается второй проблемы, рассматриваемой П. С. Нови-
Новиковым и относящейся к характеристике предикатов, присоединение
которых, наоборот, ведёт к противоречию, мы ограничимся здесь ука-
указанием, что П. С. Новиков дал полное описание всех противоречивых
предикатов с одним переменным, выйдя для этого за рамки расширен-
расширенного исчисления. Именно, он ввёл в рассмотрение формулы с бесконеч-
бесконечным числом логических действий (которые можно, впрочем, изложить
в виде обычного финитного формализма) и показал, что предикаты, ука-
указанные в статье Д. А. Б о ч в а р а [5], являются их частным случаем.
12. Среди возражений, которые выдвигал против математической
логики А. Пуанкаре, едва ли не самым сильным представлялся аргу-
аргумент о её бесплодности. Больше того, сам Пуанкаре видел в ней «толь-
«только одни путы для творчества». Наоборот, советских математиков в
математической логике привлекала прежде всего возможность при-
приложений. Помимо уже освещенной нами работы П. С. Новикова,
в этой связи представляют интерес работы А. И. Мальцева и
А. А. Маркова.

40 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Свою первую, написанную ещё в студенческие годы, работу по мате-
математической логике А. И. Мальцев [1 ] посвятил доказательству
двух теорем, обобщавших результаты Геделя и Сколема. Вторая его
привлекала именно потому, что непосредственно допускала алгебраиче-
алгебраическое истолкование: он из неё сделал заключение, что всякое бесконечное
алгебраичеекое тело имеет расширения. Алгебраическим приложениям
первой А. И. Мальцев посвятил особую работу [2]. Теорема, о кото-
которой идёт речь, гласит, что если выполнима всякая конечная часть неко-
некоторой бесконечной системы предложений, допускающих выражение сред-
средствами «узкого исчисления предикатов», то выполнимой является и вся
система. Ряд теорем алгебры и, особенно, теории групп, имеющих вид:
если некоторое свойство А имеет место для всех частей какой-либо обла-
области (группы, кольца и т. п.), порождённых конечным множеством эле-
элементов этой области, то свойство А имеет место и для всей области,—могут
быть получены из этого предложения как непосредственные следствия.
Для доказательства их достаточно убедиться в том, что утверждение
о справедливости свойства А для какой-нибудь области может быть запи-
записано в виде системы предложений, содержащих — кроме знаков для инди-
индивидуальных предикатов и индивидуальных предметов и знака равенства —
логические связки «и», «или», ,«если... то», отрицание и кванторы
общности и существования, применяемые, только к предметным перемен-
переменным; и что яри замене индивидуальных предикатов переменными оно
может быть истолковано как утверждение о выполнимости полученной
системы. Такой общий подход к локальным теоремам не только позволил
А. И. Мальцеву получить сразу ряд теорем, доказанных ранее
весьма частными приёмами (в том числе; например, теорему Шура о том,
что всякая периодическая группа матриц над полем характеристики
нуль содержит абелев нормальный делитель конечного индекса), но
и непосредственно усмотреть, что некоторые из них имеют место и в более
широких условиях. Так, в доказательстве по методу А. И. Мальцева
теоремы Черникова: если всякая подгруппа локально-конечной группы
g имеет силовскоё множество, то силовскую систему имеет и сама группа
g,—локальная конечность нигде не используется. Это дало А. И.Маль-
И.Мальцеву возможность сформулировать более общее -предложение: если
всякая подгруппа с конечным числом образующих какой-нибудь группы
g имеет силовскую систему, то силовскую систему имеет и группа g. Для
доказанного первоначально Бэром только для счётных групп предложе-
предложения о расширении структурного изоморфизма Л. Е. Садовским
было указано впоследствии доказательство, годное и для несчётных групп.
По методу А. И. Мальцева предложение Бэра доказывается сразу,
буквально в несколько строк, в самых общих предположениях.
С помощью разработанных далее Карри и Чарчем идей комбина-
комбинаторного исчисления М. И. ШеЙнфинкеля и современного уточ-
уточнённого Чарчем, Тюрингом, Клином и Постом понятия алгорифма
А. А. М а р к о в [1,2] получил ряд интересных результатов, доказы-
доказывающих невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциатив-
ассоциативных систем.
13. Математическая логика возникла первоначально в результате
логического анализа используемых в математике средств доказательства.
Тем интереснее для нас, что построенный ею аппарат в руках инженеров
и физиков-конструкторов оказался орудием синтеза конструируемых
ими механизмов. Он был использован в области электро- и радио-

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 41
техники, точной механики и счётно-решающих устройств телемеханики
и автоматики. Применениям аппарата математической логики в теории
релейно-контактных схем .был посвящен ряд работ, принадлежащих
В. И. Шестакову иМ. А. Гаврилову.
Предположение о возможности построения алгебры релейно-контакт-
релейно-контактных схем на базе алгебры логики впервые было высказано в 1910 г. физи-
физиком Эренфестом в рецензии на русский перевод книги Кутюра «Алгебра
логики». Это предположение было подтверждено в конце 1934—начале
1935г. В. И. Шестаковым, который нашёл, что если условиться запи-
записывать контакты, замыкающие цепь при наличии сигналов аи Ь, теми же
буквами, а контакты, размыкающие цепь при наличии этих сигналов,—
символами а' и &', и если условиться далее параллельное и последова-
последовательное соединение контактов обозначать посредством знаков сложения и
умножения соответственно, то введённые таким образом операции а',а+Ь
и ab производятся соответственно по правилам логического отрицания,
логического сложения («или») и логического умножения («и»). Всегда-
замкнутая цепь соответствует при этом логической единице («истина»),
а всегда-разомкнутая цепь—.логическому нулю («ложь»). Установленное
таким образом соответствие между операциями над контактами и логи-
логическими операциями с предложениями позволило В. И. Шестакову
тогда же сформулировать общий метод составления схем (однотактных),.
срабатывающих от заданных сочетаний сигналов.
Эти результаты были изложены в работе «Алгебра релейных схем»,
написанной В. И. Шестаковым в январе 1935 г.*). Работа не
была опубликована, но легла в основу кандидатской диссертации
В. И. Ш е с т а к о в а: «Некоторые математические методы конструирова-
конструирования и упрощения двухполюсных электрических схем класса А», выполнен-
выполненной под руководством В. И. Г л и в е н к о. (Наиболее существенная часть
диссертации была опубликована в 1941 r.,*CMf В. И. Шестаков [1]).
Непосредственное применение уже готового аппарата исчисления
высказываний к релейно-контактным схемам возможно лишь для выде-
выделенного В. И. Шестаковым случая схем класса А, не содержащих
«мостиковых» соединений. Для решения задачи символического пред-
представления структуры схем, содержащих, помимо последовательных
и параллельных, также «мостиковые» соединения, оказалось необхо-
необходимым соответствующим образом видоизменить и усилить этот аппарат.
В работах М. А. Га ври лова [1, 2,3, 4, 5] строится исчисление,,
достаточное для символического представления структуры многополюс-
многополюсных схем с мостиковыми соединениями внутри них и для синтеза схем.
с разновременно срабатывающими реле, т. е. схем, содержащих проме-
промежуточные реле, которые срабатывают в заданной последовательности
с различными временами запаздывания.
Из последних работ, посвященных применению аппарата матема-
математической логики в теории электрических схем, упомянем работу
В. И. Ш е с т а к о в а [3], в которой показано, что всякая характери-
*) Дата существенна, так как в 1938 г. в иностранных журналах был опубликован
ряд статей, посвященных символическим методам представления структуры релейно-
контактных схем и применению алгебры логики в качестве математического аппарата
анализа и синтеза таких схем (см. статьи Nakasima в Nippon Electr. Comm.
Engineering, №№ 9, 10, 13, 14 и статью S. Shannon, A Symbolic Analysis
of Relay and Switching Circuits, Trans, of Amer. Institute of Electr. Engineers, A938),
713—722).

42 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
стическая функция любой операции п-значного исчисления предложений
ложет быть представлена с помощью алгебраических выражений, кото-
которые можно рассматривать как изоморфные образы некоторых релейно-
контактных схем, построенных из проводников с конечными прово-
димостями и контактов п-позйционных реле или переключателей.
Работа В. И. Ш е с т а к о в а, таким образом, свидетельствует о том,
что и многозначные «логики» могут иметь реальный, и притом даже
непосредственно важный для техники смысл.
14. При кафедре истории и философии математики Московского уни-
университета существует семинар по математической логике и философским
вопросам, математики. Большинство работ, упоминавшихся здесь нами,
было обсуждено сначала на заседаниях этого семинара. Из уже закон-
законченных отметим ещё несколько работ, доложенных на заседаниях семи-
семинара в 1947 г.
В докладе «Об арифметических формулах, выводимых без примене-
применения принципа полной математической индукции» (март—апрель 1947 г.)
П. С. Новиков предложил финитный критерий, позволяющий устано-
установить для каждой формулы из арифметики натуральных чисел, имею-
имеющей вид
{где % (xlt..., xk) не содержит никаких предметных переменных, кроме
х1 хк), выводима она или нет в системе, содержащей:
1) Аксиомы и правила вывода «узкого исчисления предикатов»,
дополненные расширением правила подстановки на случай «термов»—
выражений, обозначающих предмет, отличный от истины и. от лжи.
2) Следующие арифметические аксиомы:
X, Яа) X — у
Р.) X<y->(y<z->x<z),
¦* (* < У < У < *),
е,) X <i t < X',
где «О» —индивидуальный знак предмета, х' ~индивидуальный терм
(значение индивидуальной функции: «непосредственно следующий»),«=»,
«<» —знаки индивидуальных отношений.
3) Правила определения предметов (термов), совпадающие с допу-
допущением всех примитивно-рекурсивных [и только примитивно-рекурсив-
примитивно-рекурсивных] функций.
П. С. Новиков задаёт способ, относящий к каждому терму
(спускаясь по определению его через другие термы) принадлежащую ему
цепочку термов. При этом оказывается, что каждому терму, выразимому
в терминах рассматриваемого формализма, однозначно соответствует
его представитель, т. е. терм, цепочка которого состоит уже только из
него самого. Если, заменив теперь в исследуемой формуле (F,) все
, термы их представителями, все сохранившиеся после этого знаки индиви-
индивидуальных функций, кроме штриха, знаками переменных функций, мы полу-
получим всегда-истинную формулу (F,), то, как показывает П. С. Нови-
Новиков, формула (F,) выводима в рассматриваемом им формализме. Иными
.словами, выводима без применения принципа полной ¦ математической

ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 43
индукции. В противном случае нет. Так как представителем для терма
х+у служит он сам, т. е. х+у, то, например, формула
(х) (У) (х+у^у+х)
или дедуктивно равная ей
a + b = b + а
не выводима без применения принципа полной математической индукции.
Действительно, если, следуя правилу П. С. Новикова, заменить
в ней символ постоянной функции х + у знаком для произвольной теоре-
теоретико-числовой функции <р (х , у), то полученная таким образом формула
(*) 00 (? (х, у) = <р(у, х)) -
не будет всегда-истинной.
Заметим, что вопрос о всегда-истинности формулы (F,), построенной
по правилу П. С. Новикова из формулы (Z7,), сводится к вопросу
о всегда-истинности некоторой формулы исчисления высказываний, т. е.
решается эффективно, и что результат П. С. Н о в и к о в а не может быть
усилен, т. е. не распространяется на формулы, содержащие кванторы
существования. .
Вопросу о выводимости или невыводимости некоторых утверждений
существования в системе аксиом Пеано с аксиомо.й полной идукции или
без неё был посвящен доклад В. Н. М о л о д ш е г о, прочитанный им в
феврале 1947 г. «Выводимость» здесь понималась в смысле истинности
в любой системе, для которой выполняется система аксиом Пеано, вклю-
включая принцип полной математической индукции (соответственно без него).
15. В формулировках понятия вычислимой функции, играющего
основную роль в современной математической логике, существенно раз-
различие между так называемыми примитивными рекурсивными и обще-
общерекурсивными функциями. В то время как способы .образования первых
легко обозримы и не ведут к трудностям, с последними всё обстоит уже не
столь просто. Трудности не устраняются даже тем обстоятельством, что
единственным принципом, добавляемым к способам образования прими-
примитивных рекурсивных функций для получения общерекурсивных, является
отыскание наименьшего натурального числа у, для данной группы из п на-
натуральных чисел х1(..., х„, обращающего в нуль выражение F {хх,...,хп,у),
где/г(х,,..., х„, у) — примитивная рекурсивная функция. Ибо решение
вопроса о том, для всякой ли группы из п натуральных чисел
х, хп существует такое наименьшее число у, не может быть выполнено
эффективно. Известный результат Клина (Kleene), гласящий, что всякая
общерекурсивная функция #(*,,..., хп) можег быть представлена в виде
где G—примитивная рекурсивная функция от одного аргумента, /*" —
примитивная рекурсивная функция от п+1-го аргумента, ру—~ оператор,
означающий «наименьшее у такое, что...», сохраняет тем не менее
интерес. Клин сам получил этот результат для одной вполне определён-
определённой функции G. Вопрос о том, при каких ещё функциях G он сохраняет
силу, оставался открытым. В 1946 г. норвежский математик и логик Сколем
высказал предположение, что в формуле (Я) функцию G вообще мож-
можно устранить, которое в том же 1946 г. было опровергнуто Постом

44 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
с помощью примера. В докладе «О представлении общих рекурсивных
функций через примитивные», прочитанном 4 мая 1947 г., А. А. М а р-
к о в [3] дал исчерпывающее решение вопроса о характере функции G.
Именно, оказалось, что за G можно выбрать любую примитивно-рекур-
примитивно-рекурсивную функцию «большого размаха», т. е. функцию как аргументами,,
так и значениями которой являются натуральные числа, множество зна-
значений которой совпадает со всем натуральным рядом и которая при-
принимает каждое своё значение бесконечное множество раз. Такими функ-
функциями являются, например, разность между числом х и наибольшим
треугольным" числом, не превосходящим х, или разность между числом
х и не превосходящим его наибольшим квадратным числом. Наоборот,
если Go не есть функция «большого размаха»', то всегда можно построить
такую общерекурсивную функцию Ф, которую нельзя будет выразить
формулой (Н) при G=G0. Любопытно, что для построения функции Ф
можно использовать пример общерекурсивной функции, не являющейся
примитивной рекурсивной, приведённый самим Сколемом.
16. Отметим в заключение результат, также доложенный в семинаре
в 1947 г. и принадлежащий ученику П. С. Новикова аспиранту
А. А. 3 ы к о в у. Известно, что система аксиом узкого исчисления
предикатов не полна в строгом смысле, т. е. существуют общелогические
(не содержащие индивидуальных знаков) формулы, не вытекающие из
аксиом и в то же время не противоречащие им. А. А. 3 ы к р*в установил,
что к подобного рода формулам относятся те и только те, которые обла-
обладают свойством: после приведения к предварённой конъюктивной нор-
нормальной форме
ox1oxt...oxn%(x1 хг, ..., хп) ¦ •¦ A)
(ох может быть как квантором общности (х), так и квантором суще-
существования {Ех)) выражение % (х,,..., хп) содержит в каждом слагаемом
хотя бы один знак предиката одновременно с его отрицанием; при этом
на одинаковых местах под знаками обоих предикатов могут стоять разно
обозначаемые предметные переменные. Эти формулы можно назвать
«присоединимыми», ибо любые из них, будучи добавлены к узкому исчис-
исчислению предикатов в качестве новых аксиом, не делают его противоречи-
противоречивым, и класс формул, не противоречащих расширенной аксиоматике,
совпадает с классом формул, не противоречащих нерасширенной. В част-
частности, присоединимой будет для любого натурального п формула §ni
\Рг (Хг)У_Р, (X.) V ... V Рг (*„) V Р, (Хл+1) V]
(Хг) (X.) • • • (Хп+1) <jР* (X.) V ••• V Р,(Х„) V Р2 (Хп+1) V V f
Pn(U j
по смыслу равносильная утверждению, что в предметной области содер-
содержится не более п предметов, а также формула §щ_г
(x)F(x, x)&(y) (z) @ [F(y, z)&F(z,t)-+F(y,t)]-+Eu(v)F(u,v),
постулирующая, что число предметов в области конечно. Разумеется,
всякая доказуемая формула присоединима.
Из вышеупомянутого свойства присоединимых формул (не проти-
противоречить друг другу) сразу получается решение вопроса о том, какие иа

№;; ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 45
этих формул, будучи добавлены к аксиомам узкого исчисления преди-
предикатов, делают систему полной в строгом смысле. Именно, в полной системе
должны быть доказуемы все присоединимые формулы, значит, в частно-
частности, должна быть доказуема и формула фг:
(х) (у) [Р (х) V Р(у)].
постулирующая, что предметная область содержит не более одного пред-
предмета. Но легко показать, что присоединение, формулы §х (или любых
других, из которых она вытекает) делает узкое исчисление предикатов
изоморфным исчислению высказываний и, следовательно, полным в стро-
строгом смысле. Отсюда следует, что расширенная аксиоматика узкого
исчисления предикатов полна тогда и только тогда, когда всё исчисле-
исчисление изоморфно исчислению высказываний. .
Далее доказывается теорема: если^формула A) не является всегда-
истинной в области, содержащей п предметов, то «на не может быть
всегда-истинной в области более чем с п предметами. Отсюда вытекает,
что любая присоединимая формула либо доказуема, либо по смыслу
.равносильна одной из формул §„ &2,..., фю-г- Это даёт возможность
для любой присоединимой формулы A) эффективно решить вопрос,
делает ли она систему аксиом узкого исчисления полной в строгом смысле:
для этого необходимо и достаточно, чтобы формула A) переходила в не
всегда-истинную формулу высказываний при интерпретации её в обла-
области ровно из двух предметов.
Совсем просто доказываемый результат А. А. Зыкова заслужи-
заслуживает включения во всякий систематический курс математической логики.
17. Как уже было отмечено, в математической логике советского
учёного интересует прежде всего возможность приложений к решению
трудных проблем математики и техники. На его пути не стоят идеологи-
идеологические трудности, обусловленные субъективистскими, идеалистическими
установками буржуазных учёных. Поэтому, хотя число работ советских
учёных по вопросам математической логики и основаниям математики
пока невелико, мы имеем все основания ожидать, что именно в СССР раз-
развитие этой науки пойдёт по должному пути и неизменно будет давать
плодотворные результаты, достойные науки и учёных нашей Родины.
Нельзя всё же и здесь пройти мимо того обстоятельства, что
•у нас пока слишком мало работ, направленных против идеалисти-
идеалистических извращений в этой области и стоящих на уровне требований
марксизма-ленинизма—в том числе и в отношении полного владения
материалом дела. Патриотический долг советского учёного*— гражданина
первой в мире страны социализма обязывает его не забывать, что идеали-
идеалистическая философия предстаёт теперь «в своём новом, отвратительно
грязном естестве, отражающем всю глубину, низость и мерзость падения
буржуазии», и что «современная буржуазная наука снабжает поповщину,
фидеизм новой аргументацией, которую необходимо беспощадно разо-
разоблачать». (А. А. Жданов. Выступление на дискуссии по книге
Г. Ф. Александрова).

БИБЛИОГРАФИЯ.
Азле'цкий С. П.
[1] О бесконечном в толковании Кантора. Пермь, Труды матем. семин. ун-та, 1 A927),
34—37. t.
Александров!!. С.
[ 1] О новых течениях математической мысли, возникших в связи с теорией множеств^.
Сб. статей по фил. магем. М., Учпедгиз A936), 14—20.
{2] Что такое неезклидоза геометрия? В кн. «Николай Иванозич Лобачевский».
М.-Л.. ГТТИ A9Г). 31-86.
[3] Русская математик* XIX и XX вв. и её влияние на мировую науку. М., Учён.
зап. ун-та, 91 A947), 3—34.
Бернштейн.С. Н.
{1] Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей. Хрк., Зап. матем.
т-ва B), 15 A917), 209—274.
Б о ч в а р Д. А.
[1] Об одном трёхзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов клас-
классического расширенного функционального исчисления. Матем. сб., 4D6), A938).
287—308.
[2] Obereinen Aussagenkalkiil mitabzahlbaren logischen Summenund Produkten. Матем.
сб., 7 D9), A940), 65—100.
[3] К вопросу о непротиворечивости одного трёхзначного исчисления. Матем. сб.,
12 E4), A943), 353—369.
[4] К вопросу о парадоксах математической логики и теории множеств. Матем. сб.,
15 E7), A944), 369—384.
[5] Некоторые логические теоремы о нормальных множествах и предикатах. Матем.
сб., 16 E8), A945), 345—352.
Выгодский М. Я.
П] Платон как математик. М., Вестн. Комм, акад., 16 A926), 193—216.
[2] Понятие числа в его развитии. Естеств. и марксизм, 2 A929), 3—30.
[3] Проблемы истории математики с точки зрения методологии марксизма. Естеств»
и марксизм, 2—3 A930), 32—48.
[4] Иоганн Кеплер и его научная деятельность. В кн. Иоганн Кеплер, «Стереометрия
винных бочек». М-, ГТТИ A935), 7—94.
Гаврилов А. М.
[11 Релейно-контактные схемы с вентильными элементами. ИАН, ОТН A945), 153—164..
[2] Методы синтеза релейно-контактных схем. Ж. Электричество, 2 A947).
[л] Анализ релейно-контактных схем. Ж. Электричестзо, 4 A947).
[4] Об одном обшем методе преэбратозания релелно-контактных схем. Ж. Автомати-
Автоматика и телемеханика, 2 (!947), 89—107.
[5] Структурная классификация релейно-контактных схем. Ж- Автоматика и телеме-
телемеханика, 4 A947), 297—307.
ГливенкоВ. И.
[1] Sur la logiquedeM. Brouwer. Bull. Acad. S:i. de Belgique E), 14 A928),225—228.
[2] Sur quelques points de la logique de M. Brouwer. Bull. Acad. SJ. de Belgique
E), 15 A929), 183—188.
[3] Понятие дифференциала у Маркса и Адамара. Ж. Под знаменем марксизма,
5A934), 79—85.

БИБЛИОГРАФИЯ' 47
Кризис основ математики на современном этапе его развития. (В свете ленинского
учения о кризисе науки в капиталистическом обществе.) М., Фронт науки и тех-
техники, 5—6 A934), 53—59.
[5] Кризис основ математики на современном этапе его развития. Сб. статей по
фил. матем. М., Учпедгиз A936), 69—83.
Гокиели Л. П.
,[1J О понятии функции. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН, 2 A937), 1—36.
[2] О математике «возможности» и математике «действительности». Тбилиси,
Труды матем. ин-та Гр. фиЛ. АН, 6 A939), 15—96.
[3] О так называемых «содержательных аксиомах» математической логики, I.
Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 1 A940), 421—425-
[4] О так называемых «содержательных аксиомах» математической логики, П.
Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 1 A940), 665—672.
[5] О так называемых «содержательных аксиомах» математической логики, III.
Тбилиси, Сообщ. Гр. фил. АН, 1 A940), 731—738.
{6] О так называемых «содержательных аксиомах» математической' логики, IV.
Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 51—58. ,
[7] О понятии существования в математике, I. Тбилиси, Сообщ. 'АН ГрССР, 2 A941),
881—888.
[81 О понятии существования в математике, П. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 3 A942),
111—118.
[9] О понятии существования в математике. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР,
11 A942), 23—51.
[10] О понятии существования в математике, III. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН
ГрССР, 13 A944), 153—201.
[111 О понятии актуально бесконечно малого. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 5 A944),
16—20.
112] К проблеме аксиоматизации логики. Тбилиси. Изд. АН ГрССР A947), 86 стр.
13] Математические рукописи Маркса. Тбилиси. Изд. Гр. фил. ИМЭЛ A947I —1 П.
Градштейн И. С.
[1] Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики. М.—Л., ОНТИ A936),.
1—76.
ГрузинцевГ. А.
[1] Понятие отношения и аксиоматическое определение числа. Днепропетровск.Зап.
ин-та нар. проев., 1 A927), 25—43.
ЖегалкинИ. И.
[1] О технике вычислений предложений в символической логике. Матем. сб.,
34 A927), 9—28.
.[2] Арифметизация символической логики. Матем. сб., 35 A928), 311—378.
[3] Арифмешзация символической логики (Продолжение). Матем. сб., 36 A929),.
205—338.
[4] К проблеме разрешимости. Матем. сб., 6 D8), A939), 185—198.
[5] Проблема разрешимости на конечных классах, м., Учён. зап. ун-та, 100 A946),
155—211.
Каган В. Ф.
[1] Лобачевский. М.—Л., Изд. АН A944), 1—344 стр.
Киреевский н. Н.
[1] Sur le probleme de la resolubilite («Entscheidungsproblem»). ИАН, сер.
физ.-матем. A934), 1493—1500.
[2] Uberdie Allgemeingflltigkeitgewisser Zahlausdrikke. Матем. сб., 42 A935),669—678.
Колмогорова. Н.
1] О принципе tertium non datur. Матем. сб., 32 A925), 646—667.
2] Современные споры о природе математики. Ж., Научное слово, 6 A929), 41—54.
3 Zur Deutungder intuitionistischen Logik. Math. Z., 35 A932), 58—65.
4 Теория и практика в математике. Фронт науки и техники, 5 A936), 39—12.
5 Современная математика. Сб. статей по фил. матем. М., Учпедгиз A936), 7—13.
6 Математика. БСЭ, т. 38 A938), 359—4W.
7 Лобачезский и математическое мышление девятнадцатого века. В кн. «Николай-
Иванович Лобачевский». Ли—Л., ГТТИ A943), 87—100.

48 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
[8] Ньютон и современное математическое мышление. В кн. «Московский универси-
университет—памяти Исаака Ньютона». М., Изд. ун-та A946), 47—52.
[Q] Роль русской науки в развитии теории вероятностей. М., Учён. зап. ун-та,
91 A947), 47—52.
КольманЭ. г
[1] Политика, экономика и математика. За марксистско-ленинское естествознание,
1 A931), 27—40.
[2] О злободневном значении теории вероятностей. Ж. Под знаменем марксизма,
2 A934), 71—76.
[3] Предмет и метод современной математики. М., Соцэкгиз A936), 1—316.
{4] Великий мыслитель Н. И. Лобачевский. М., Госполитиздат A944), 1—100.
Кольм-ан Э. и Яновская С. А.
{1] Гегель и математика. Ж. Под знаменем марксизма, 11—12 A931), 107—120.
См. также Сборник статей к 100-летию со дня смерти Гегеля «Гегель и диалек-
диалектический материализм». М-., Партиздат A932), 259—275.
Костанди Г. В.
|1] О трактовке радикала. Одесса, Труды инДустр. ин-та, 2 G), A940), 151—162.
К р е е р Л. И.
Л] О доказательствах. Владикавказ, Изв. Горек, пед. ин-та, 6 A929), 103—113.
12] Дробное число (Критика идеалистических толкований вопросов методологии, исто-
истории и методики дробей). Владикавказ, Изв. 2-го С.-Кавк. пед. ин-та,9 A932),247—272.
К у р о ш А. Г.
fll Современные алгебраические воззрения. Сб. статей по фил: матем. М., Учпедгиз
A936), 21—29. t'
Крылов Н. М.
f 1} О роли минимального принципа в современной математике. Симферополь, Зап.
матем. каб. Крымск. ун-та, 2 A921), 7—19
Лузин Н. Н.
Tl] Ньютонова теория пределов (опыт философского исследования). Сб.«И. Ньютон»,
М.—Л., Изд. АН A943), 53—74.
Л у р ь е С. Я.
{1] Protagoras und Demokrit als Mathematiker. ДАН (В), A928), 74—79
\2] Эйлер и его «исчисление нулей». В кн. «Леонард Эйлер». Труды ин-та истории
науки и техники B), 1 A935), 51—79.
[3] Теория бесконечно малых у древних атомистов. М.—Л., Изд. АН A935), 1—197.
{41 Математический эпос Кавальери. В кн. Бонавентура Кавальери «Геометрия»,
т. 1. М.—Л., ГТТИA940).
15] Предшественники Ньютона в философии бесконечно малых. Сб. «И. Ньютон».
М.—Л., Изд. АН A943).
Л ю с т е р н и к Л. А.
[\] К вопросу обоснования анализа В геометрии положения без теории множеств. М.,
Вести. Комм, акад., 13 A925), 214—222.
Мальцев А. И.
[1] Untersuchungen aus dem Oebiete der mathematischen] Logik. Матем. сб., 1 D3),
A936), 323—336.
}2] Об одном общем методе получения локальных теорем теории групп. Иваново,
Учбн. зап. пед. ин-та, физ.-матем. фак., 1 : 1 A941), 3—9.
Марков А. А.
{1] Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных систем. ДАН,
'55 A947), 587—590.
[21 Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных систем, П. ДАН.
58 A947). 353—356.
13]|0 представлении рекурсивных формул. ДАН, 58 A947), 1891—1892.
Молодший В. Н.
[1] К критике методологических основ Больцано и Кантора об актуально бесконечном.
М., Сб. На борьбу за материалистич. пиачектику в математике A931).
B] Энгельс о происхождении и факторах развития математики. Естест. и марксизм
A933), 181—203.

БИБЛИОГРАФИЯ 49
[31 О происхождении и значении аксиом геометрии. Ж. Под знаменем марксизма,
3 A935), 101—119.
14] К вопросу о происхождении и значении аксиом геометрии. Сб. статей по фил.
матем. М., Учпедгиз, A936), 30—54.
[5] Эффективизм в математике. М., Соцэкгиз A938), 1—88.
[6] Гипотеза континуум и арифметика алефов. М.,Учён. зап. ун-та, 15 A939), 170—178.
[7] Замечание к статье Л. П. Гокиели «О понятии функции». Тбилиси, Труды матем.
ин-та Гр. фил. АН, 6 A939), 1—14.
Мордуха й-Б олтовскойД. Д.
[ПО числовой характеристике утверждаемого тождества. Ростов н/Д, Изв. Донск.
ун-та, 7 A925), 40—43.
[2] Ньютон A727—1927). Л., Изд. АН, Очерки по истории знаний, 1 A927), 1—73.
[3] Лобачевский и основные логические проблемы в математике. Ростов н/Д, Изв.
С.-Кавк. ун-та, 12:1 A927), 78—96. •
[4] Исследования о происхождении некоторых основных идей современной матема-
математики. Ростов н/Д, Изв. С.-Кавк. ун-та, 2 A5), A928), -35—36.
[5] Два основных источника методов решения уравнений (XVII.век), Ростов н/Д,
Изв. С.-Кавк. ун-та, 2A5), A928), 36—46.
[6] Генезис современного-числа (XVII век). Ростов н/Д, Изв. С.-Кавк. ун-та, 2A5),
A928), 47—65. • . '
[7] Первые шаги буквенной алгебры. Ростов н/Д, Изв. С.-Кавк. ун-та, 2A5), A928),
66—83.
[8] Аксиоматика XVII века. (Первая половина XVII века.) Ростов н/Д, Изв. С.-Кавк.
ун-та, 2A5), A928), 83—102.
J9] Генезис и история теории пределов (XVII век). Ростов н/Д, Изв. С.-Кавк. ун-та,
2A5), A928), 103—114.
[10] Философские элементы в эволюции методических идей в математике первой
лоловины XIX в. Ростов н/Д, Изв. С.-Кавк. ун-та, 2A5), A928), 118—129.
[И] Эволюция понятия функции в прошлом и настоящем. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ
матем. и физ. ун-та, I A937), 51—52.
Новиков П. С.
!П О некоторых теоремах существования. ДАН, 23 A939), 438—440.
2] On the consistency of certain logical calculus. Матем. сб., 12 E4), A943), 231—261.
[3] О логических парадоксах. ДАН, 56 A947), 451—453.
Орлов И. Е.
[1] Исчисление совместности предложений. Матем. сб., 35 A928), 263—286,
Парфентьев Н. Н.
[1] Научное значение работ С. В. Ковалевской в области чистой математики. Казань,
Изв. физ.-матем. о-ва B), 23 A923), 1—11.
СлугиновС. П.
[1] Фюзионизм в математике. Пермь, Труды матем. семин. ун-та, 1 A92?), 26—29.
С i e к л о в В. А.
[1] Математика и её значение для человечества. Берлин, Гос. изд. A923), 1—137.
Ф и in ер А. М.
|1] Философия математики Гопсета. Ж. Под знаменем марксизма, 5A934), 69—78.
[2] Философия математики Р. Гонсета. М., Учпедгиз, Сб. статей по фил. матем. A036),
97—107.
X и н ч и и А. Я.
[11 Das Statigkeitsaxiom des Linearcontinuums als Inductionsprincip betrachtet. Fund.
Math., 4 A923), 164—166.
[2] Идеи интуиционизма и борьба за предмет в современной математике. М., Вести.
Комм, акад., 16 A926), 184—192.
[3] Objection a une note de MM. Brouwer et Errera. Bull. Acad. Sci. de Belgique E),
14 A928), 223—224.
[4] Теория вероятностей в доревлюционной России и Советском Союзе. Фронт науки
и техники, 7 A934), 36—46.
Холщевников А.
[1] О математических рукописях Маркса. Фронт науки и техники, 2 A933), 100—106.
4 Математика в СССР за 30 лет.

50 ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Цейтлин 3. А.
[1] К постановке проблемы обоснования евклидовой геометрии. Ж. Под знаменем
марксизма, 12 A926), 94—116.
Шатуновск и й С. О.
[1] Алгебра как учение о сравнениях по функциональным модулям. Одесса A917).
ШестаковВ. И.
[1] Алгебра двухполюсных схем, построенных исключительно из двухполюсников
(алгебра А-схем). Ж. Техн. физ., 11:6 A941).
[2] Об одном- символическом исчислении, применимом к теории релейных электри-
электрических схем. М., Учён. зап. ун-та, 73 A944), 45—48.
[3] Представление характеристических функций предложений посредством выражений,
реализуемых релейно-контактными схемами. ИАН, сер. матем., 10A946), 529—565.
Шмидт О. Ю.
[ 1] Роль математики в строительстве социализма. Естеств. и марксизм, 2—3 A930), 1—9.
Шейнфинкель М. И.
[1] Ober die Bausteine der mathematischen Logik. Math. Ann., 92 A924), po5— 316.
Шейнфинкель М- И. и Еернайс П. 4
[1] Zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik. Math. Ann.,99 A929),342—372»
Юшкевич А. П.
[1] Философия математики Лазаря Карно. М., Естеств. и марксизм, 3A929), 83—99.
[2] Идеи обоснования математического анализа в XVIII веке. В кн. Лазчрь Карно «Раз-
«Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых». М.—Л., ГТТИ A935), 11—76.
[3] Декарт и математика. В кн. Ренэ Декарт «Геометрия». М.—Л., ГТТИ A938).
Яновская С. А.
[I] Категория количества у Гегеля и сущность математики. Ж. Под знаменем мар-
марксизма A928).
[2] Закон единства противоположностей в математике. Естеств. и марксизм A929).
[3] Идеализм в современной; философии математики. Естеств. и марксизм, 2—3 A930),
10—31.
[4] Очередные задачи математиков-марксистов. Ж.'Под знаменем марксизма, 5 A930),
88—94.
[5] Математика в БСЭ. М., Вестн. Комм. акад. 2—3 A931), 146—154.
[6] Математические рукописи Маркса.Книга и пролетарская революция,2 A933),32—41
17] О математических рукописях,' Маркса. Ж. Под знаменем марксизма, 1 A933),
74—115. См. также Сб. Марксизм и естеств. A933), 138—180.
[8] Выступление на сессии Коммунистической Академии. «Материалы научной сессии.
К пятидесятилетию со дня смерти Маркса». М.—Л. A934), 369—379.
[9] Проблема учебника математики для втузов ещё не решена. Книга и пролетарская
революция A934).
[10] Идеализм и математика. М., Фронт науки и техники, 5—6 A934), 43—51.
[II] Современные течения в буржуазной философии математики. М., Фронт науки
и техники, 3 A935), 37—43.
[12] О так называемых определениях через абстракцию. Ж. Под знаменем марксизма,
4 A935), 154—170.
[13] Идеализм и математика. М., Учпедгиз, Сб. статей по фил. матем. A936), 55—68.
[14] Современные течения в буржуазной философии математики. Сб. статей по фил.
матем. М., Учпедгиз, A936), 84—96.
[15] О так называемых «определениях через абстракцию». Сб. статей по фил. матем.
М., Учпедгиз, A936), 108—136.
[16] Мишель Ролль как критик анализа бесконечно малых.Труды института истории
естествознания, 1A947), 327—346. '

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.
А. О. ГЕЛЬФОНД.
дним из основоположников теории чисел был Л. Эйлер,
проживший ббльшую часть своей жизни в России. В даль-
дальнейшем русским математикам принадлежала также весьма
существенная роль в развитии теории чисел. Например,
П. Л. Чебышев первый установил ряд свойств функции,
выражающей число простых чисел, меньших данной вели-
величины. В частности, он нашёл первые оценки величины
этой функции. Новые методы и направления в теории
чисел были найдены Е. И. Золотарёвым, Г.Ф. Вороным и А. А. Марковым.
Мой краткий очерк посвящен достижениям советских математиков
в теории чисел за последние тридцать лет после Октябрьской социали-
социалистической революции, вызвавшей расцвет науки в России. Я делаю также
попытку охарактеризовать хотя бы до известной степени, при условии
краткости статьи, роль методов и результатов, развитых и полученных
советскими математиками, в развитии теории чисел вообще. Я привожу
поэтому в своей статье и некоторые достаточно важные результаты
иностранных учёных, полученные благодаря новым методам или фактам,
найденным советскими математиками.
§ 1. В теории чисел наиболее крупные и блестящие результаты,
полученные за последние тридцать лет, принадлежат, несомненно,
И. М. Виноградову. Очень многие проблемы аналитической
и аддитивной теории чисел допускают сведение на оценку так называе-
называемых тригонометрических сумм, т. е. сумм вида
V gZntfix) A)
где / (х)—некоторая функция х пробегает ту или иную числовую последо-
последовательность. Впервые, в 1924 г. И. М. В и н о г р а д о в [7] показал,
что решение хорошо известной проблемы Варинга о представлении вcяJ
кого целого числа в виде суммы ограниченного числа данных степеней
чисел натурального ряда может быть получено с помощью оценки три-
тригонометрической суммы. В зависимости от точности оценки тригоно-
тригонометрических сумм стоит наименьшее возможное число слагаемых, необхо-
необходимое ля представления любого достаточно большого числа в виде

54 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
тригонометрических оумм, И. М. Виноградов [37, 40, 50, 60]
в 1934 г. нашёл весьма общий метод для оценки сумм вида A), который
позволил ему прежде всего весьма существенно снизить границу для числа
слагаемых, необходимых для представления достаточно большого числа
N в виде суммы п-х степеней целых чисел до величины
лC1пл+11)
вместо ранее известной величины порядка п2". 'Этот же глубокий метод
позволил И;. М. Виноградову [69] доказать, что всякое нечётное
целое число представляется в виде суммы трёх простых чисел, и решить
тем самым знаменитую проблему Гольдбаха.
Гольдбах в 1742 г. высказал предположение, что всякое достаточно
большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх
простых нечётных слагаемых. Все попытки доказать это предположение
до работ И. М. Виноградова были безуспешны. Любопытно отме-
отметить, что Харди и Литльвуду, которые пользовались методом особых
рядов, послужившим им для доказательства теоремы Гильберта-Варинга,
удалось построить доказательство для предположения Гольдбаха, но
это доказательство опирается на правильность так называемой обоб-
обобщённой гипотезы Римана в теории L-рядов, которая и до сегодняшнего
дня ещё не доказана.
Оценки сумм вида A), полученные И. М. Виноградовым
при различных типах функции f(x), сразу вызвали прогресс в са*мых
различных областях как теории чисел, так и математического анализа.
Так, например, Н. Г. Ч у д а к о в, с помощью метода И. М. Вино-
Виноградова, значительно улучшил остаточный член в формуле для числа
простых чисел и получил существенно новые результаты относительно
длины интервалов, в которых обязательно содержатся простые числа—как
в натуральном ряду, так и в арифметической прогрессии. Ю. В. Л и н н и к
показал, что метод И. М. Виноградова приложим к решению очень
трудных задач теории вероятностей. В последние годы появился ряд
работ как в нашей, так и в иностранной печати, использующих результаты
и метод И. М. Виноградова при оценках числа точек решётки
в различных областях для нужд современной теоретической физики.
Из результатов И. М. Виноградова можно привести очень
общую оценку тригонометрической суммы вида A), где /(х)—-многочлен
/ (х) =-¦ апхп + ап_гхп-г + ... + asxs + ..
Именно, предполагая, что: as иррационально, s>l, число п и все коэф-
коэффициенты аг, а2,..., ап фиксированы, действительный произвольны, и при-
приближённо представляя as в виде
что возможно для бесчисленного множества q, И. М. Виноградов
доказывает неравенство
т+р
? ю л2
Это неравенство принципиально лучше всех ранее известных.

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 55
... Для суммы дробных долей функции И. М. Виноградов дока-
доказывает оценку
т+Р
где X—постоянная относительно Аи Р и /" (х) подчиняется неравенству
(в рассматриваемом интервале),
где С—постоянная. Эта оценка имеет существенное прикладное значение
для вопросов физики, связанных с рассмотрением точек некоторой
решётки в данной области.
Наконец, следует отметить весьма многочисленные и тонкие работы,
относящиеся к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирова-
суммирование идёт по простым числам, и работы относительно вычетов и невычетов.
И. М. Виноградовым [4, 5] в 198 г. было получено не-
неравенство
12
О :< о =а
где С — ) —символ Якоби. Это неравенство устанавливает достаточную глад-
гладкость распределения вычетов и невычетов. Оно послужило началом серии
работ, посвященных распределению вычетов и невычетов. Исследования
И. М. Виноградова продолжались и использовались также в рабо-
работах многих иностранных учёных, среди которых можно назвать Ландау,
Ван дер Корпута. Гейльброна, Девенпорта, Ло-Кен Хуа, Диксона.
С помощью метода И. М. Виноградова Гейльброн и Девенпорт
доказали, что всякое, достаточно большое целое число представляется
в виде суммы не более чем 16 биквадратов, а Диксон нашёл точную гра-
границу для g (л), т. е. наименьшего числа слагаемых, достаточного для пред-
представления любого целого числа в виде суммы л-х степеней целых чисел.
Комбинируя метод И. М. Виноградова с современными мето-
методами в теории L-рядов, ученик И. М. Виноградова Н. Г. Чуда-
Чудаков [2, 15] получил следующие важные результаты: между числами
NuN + N*1 , s > 0, начиная с некоторого N, всегда находится простое
число; почти все чётные числа (в смысле плотности) представляются в виде
.суммы двух простых чисел и, наконец, он улучшил остаточный член
в законе распределения простых чисел. Далее Н. Г. Чудаков распро-
распространил свой результат относительно интервала, в котором встречается
простое число, на случай последовательности простых чисел, принадлежа-
принадлежащих к данной арифметической прогрессии, и значительно понизил то значе-
з
ние N = N (D), начиная с которого в интервале JV и N + N'1 , е > О Дей-
Действительно будет встречаться простое число, принадлежащее к прогрессии
•с разностью D .
Другой ученик И. М. В и н о г р а д о в а Б. И. С е г а л [6, 9, 16,
17, 18, 19, 20] дал весьма любопытное обобщение теоремы Варинга на

56 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
случай нецелых показателей. Он доказал, что существует такое г, зави-
зависящее только от С, что всякое целое N представляется в форм?
k=l
где С—произвольное действительное число, числа х( суть целые числа, a a
стремится к нулю вместе с ростом N. Далее он обобщил это предложение
на случай представления целых чисел вида n+mi с помощью комплекс-
комплексных степеней целых чисел и нашёл границу сверху для числа слагаемых г.
Б. И. С е г а л у принадлежат также результаты относительно при-
приближённого представления произвольного числа N с помощью произ-
произведения степеней данных простых чисел. Пусть N —целое число. Тогда
где р1г ра>..., Pi — заданные простые числа, о,, <х2, ..., аг пробегает или
последовательность целых чисел, или последовательность простых чисел,
а Устремится определённым образом к единице вместе с.ростом N. Кроме
оценки стремления d к единице, Б. И. С е г а л даёт также и асимптоти-
асимптотические числа представлений N в вышеприведённом виде для различных
предположений относительно о,, <х2,.. . ,<х„. Эти последние результаты
были использованы другими авторами. ¦ ¦• -
Кроме этого, Б. И. Сегалом получен ряд ценных результатов
относительно дробных долей функций.
Ученик И.М.Виноградова К. К. Марджанишвили
[1, 2, 3, 5] доказал, что длякаждого заданного целого п существует такое
s, зависящее только от п, что система уравнений
iV1- = xj+x'2'+ ..-+xj; v-1, 2, ...,л,
всегда разрешима в целых неотрицательных числах xlt х2, ...,xs при
почти произвольных целых числах N,, iV2 Nn, величины которых свя-
связаны между собой только некоторыми неравенствами. К. К. Марджани-
Марджанишвили даёт также весьма точную оценку числа решений своей системы
с помощью последнего метода И. М. В и н о г р а д о в а. Он обобщил
эту теорему также и на случай xlt хг, ..., xs простых.
Совершенно отличный от метода И. М. Виноградова, не осно-
основанный на исследовании тригонометрических сумм, метод в аддитивной
теории чисел, открытый в 1930 г., принадлежит Л. Г. Шнирель-
м а н у [1,3]. Замечательная и весьма плодотворная идея Л. Г. Ш н и -
рельмана заключается в том, что в аддитивных проблемах весьма
существенную, а иногда и решающую роль играет плотность последо-
последовательности целых чисел, с помощью которых мы хотим представлять
любое данное целое число. Обозначим через N(x) число элементов после-
последовательности целых чисел п1г п2,..., ns, ..., не превосходящих х.
Пусть
inf^Ua, «>0;
х
другими словами, пусть нижняя грань —^ будет положительна. Назо-
Назовём это число а плотностью последовательности п1г п2, ..., ns, ...

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 57
Л. Г. Шнирельман показал, что если мы имеем две последователь-
последовательности целых чисел с плотностями а и р, то последовательность целых
чисел, состоящая из парных сумм чисел обеих последовательностей и их
самих, имеет плотность, не меньшую, чем a + fJ —оф. Отсюда уже сразу
следует, что всякое натуральное число есть сумма ограниченного (не
зависящего от разлагаемого числа) числа членов последовательности
конечной плотности. Доказав, с помощью некоторых результатов
В. Бруна, что последовательность парцых сумм простых чисел имеет,.
в несколько обобщённом смысле, конечную плотность, Л. Г. Ш н и-
р е л ь м а н впервые в 1930 г. решил знаменитую проблему Гольдбаха
в ослабленной постановке. Он показал, что всякое целое число есть сумма
ограниченного числа простых чисел. Единица при этом считается простым
числом. Тем же путём Л. Г. Шнирельман доказал, например, что
всякое целое число есть сумма ограниченного числа'слагаемых вида Щ, где
v>\ есть целое число, а последовательность пу;'пг,..., ns, ... имеет
конечную плотность.
Аналогичное обобщение представимости целых чисел простыми слагае-
слагаемыми он даёт и для простых чисел относительной конечной плотности. Уче-
Ученик Л. Г. Шнирельмана Н. П. Романов [1, 2, 3] доказал две
весьма тонкие теоремы о плотностях определённых последовательностей.
Он показал, что последовательности, состоящие из сумм простого числа
и п-й степени целого числа или из сумм простого числа и члена цело-
целочисленной геометрической прогрессии, имеют конечную плотность.
В последние годы Н. П. Романов успешно разрабатывал общую
теорию операторной С-функции, идея которой принадлежит Л. Г. Шни-
Шнирельман у, и, кроме этого, построил весьма общий аппарат для полу-
получения различных арифметических тождеств.
Д. А. Р а й к о в [5] доказал, что если мы имеем две последователь-
последовательности множеств на прямой, состоящих из отрезков, и определим для
этих последовательностей понятие плотности, аналогично тому, как
это сделано для числовых последовательностей, то при условии, что каж-
каждая последовательность начинается от нуля, плотность суммы этих после-
последовательностей не меньше суммы их плотностей, если, конечно, эта
последняя не превышает единицу. Теорема, доказанная Д. А. Райко-
Райковым, была сформулирована Л. Г. Шнир ел ьманом. Д. А. Рай-
Райкову принадлежат и другие результаты в направлении исследования
свойств плотностей.
Исследования Л. Г. Шнирельмана о плотности суммарных
последовательностей продолжались многими математиками. В частности,
А. Я. X и н ч и н [28, 29, 31] доказал, что плотность суммы двух после-
последовательностей больше или равна сумме плотностей этих последовательно-
последовательностей (конечно, если эта сумма не превышает единицы), если их плотности
равны. Значительно позже эта теорема была доказана, уже без предпо-
предположения равенства плотностей, американским математиком Манном,
а после него Артином и Шерком. Многие любопытные результаты
в теории плотностей последовательностей были получены после работ
Л. Г. Шнирельмана Л. И. Шатров с ким [1, 2, 3, 4, 5J,
Эрдешем, Безиковичем, Ландау и другими авторами.
§ 2. В классическом направлении аналитической и аддитивной теории
чисел, опирающемся только на аналитические свойства C(s) и L-рядов,
в частности, на законы распределения нулей этих функций, важные
результаты принадлежат Ю. В. Л и н н и к у. Давно уже известно, что-

58 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
многие тонкие и глубокие аналитические и аддитивные факты могут быть
доказаны, если действительно выполняется расширенная гипотеза Римана,
т. е. если все нули Z(s) и всех L(s,х)-рядов действительно лежат на
прямой RS= 2~. К числу таких фактов относились, например, проблема
Гольдбаха для нечётных чисел и проблема о наименьшем простом числе
в арифметической прогрессии с разностью D. При условии выполнения
расширенной гипотезы Римана можно было бы доказать, в частности,
что во всякой арифметической прогрессии Dx-\-1 (D, / )= 1 найдётся про-
простое число p<D2+s, где s > 0 и как угодно малб при достаточно
большом D.
Ю. В. Л и н н и к [24, 25], опираясь только на некоторые тонкие,
им доказанные результаты, относящиеся к плотности и расположению
нулей основной массы L-рядов по модулям, граница которых извест-
известным образом зависит от D, доказывает, что во всякой прогрессии с разно-
разностью D содержится простое число р< D°, где с—абсолютная постоян-
.ная. Эта теорема является качественно почти полным решением
классической проблемы о наименьшем простом числе, в прогрессии.
Ю. В. Л и н н и к [29] дал также чисто аналитическое доказатель-
доказательство замечательной теоремы И. М. Виноградова о представлении
нечётного числа суммой трёх простых. Уже приведённые результаты пока-
показывают силу разработанного Ю. В. Линником аналитического
.метода.
В теории тройничных квадратичных форм Ю. В. Ли н н и к у [1,2,
3, 4, 5, б, 7, 9, 13] также принадлежит очень важный результат.
Он показал, что во многих случаях совокупности чисел, представляемых
родом положительных тройничных форм и отдельным классом рода,
начиная с некоторого места, совпадают. Следует отметить, что установ-
установленный Ю. В. Л и н и и к о м факт для тройничных форм более трудно
достижим, чем для форм с большим числом переменных, и для получения
его Ю. В. Л и н н и к у пришлось преодолеть, в частности, значительные
трудности, связанные с арифметикой кватернионов. Он доказал также,
что всякое достаточно большое целое число есть сумма 7 кубов (вместо 8,
что было доказано Ландау). :
Ю. В. Линник дал также ряд новых оценок тригонометрических
сумм методом И. М. Виноградова и углубил метод эратосфенова
решета.
Работавший под руководством Ю. В. Л и н н и к а А. Реньи, исполь-
используя, в частности, исследования Ю. В. Л и н и и к а в области эрато-
эратосфенова решета и распределения нулей L-рядов Дирихле, доказал ряд
теорем относительно представлений чисел суммами простых и полупро-
полупростых *), например, он установил весьма тонкий факт, что всякое чётное
число есть сумма простого и полупростого числа.
В. А. Тартаковский [1 —11] весьма существенно дополнил
исследования Смита и Минковского о родах квадратичных форм.
С помощью аналитического метода, аналогичного методу Харди и Литль-
вуда в проблеме Варинга, он показал, что для квадратичных форм
с четырьмя и более переменными совокупность целых чисел, представляе-
*) Бесконечная последовательность чисел {рпу называется последовательностью
.полупростых чисел, если число простых множителей ограничено числом, не зави-
зависящим от п.

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 59
лых родом форм и отдельным классом этого рода, начиная с некоторого
деста одна и та же. В дальнейшем им был установлен аналогичный факт
для форм более высоких порядков, причём для выполнения этого свой-
свойства число переменных формы должно быть больше некоторой границы,
зависящей от порядка формы. Далее, В. А. Тартаковский дока-
доказал, что уравнение
x™-kyin = \,
где к и л>2—целые положительные числа, может иметь, кроме три-
риального, не более одного решения в целых положительных числах
X и у.
Метод эратосфенова решета, развитый В. Вруном, позволяет решать
некоторые классы задач, связанных с простыми числами, в ослабленной
постановке, именно не для простых, а для полупростых чисел. Этот метод
также получил дальнейшее развитие в работах советских математиков.
О некоторых из этих работ я уже говорил. В. А. Тартаковский
дал новый, более совершенный, вариант этого метода, названный им
методом избирательного приближённого решета Эратосфена. Пользуясь
этим методом, он доказал, что во всякой арифметической прогрессии Dx+l
ф,1)=\ при любом достаточно большом z существует не менее, чем
a=const.,
<? (D) in 2
простых или состоящих из двух простых множителей чисел, не превосхо-
превосходящих z, причём в последнем случае каждый из этих простых множите-
множитесь 1+»
мй находится между z2 и z2 , где 5=0,01. Он указал также на воз-
возможность получения этим методом, например, теоремы о том, что раз-
разность между двумя числами, состоящими не более чем из четырёх простых
сомножителей, бесчисленное множество раз может равняться двум.
А. А. Бухштаб [2—б] также нашёл значительное усиление
метода эратосфенова решета. Для функции В, (к, х, ха), выражающей
число чисел в прогрессии кп-\-1, не превосходящих х и состоящих из про-
простых множителей, меньших или равных ха, и функции тс, (к, х, х*), выра-
выражающей число чисел в прогрессии кп-\-1, не превосходящих х и не деля-
делящихся на простые числа, не превосходящие Xя, им даны оценки при пере-
переденном а. Он доказал справедливость оценок
(А:, 0-1,
где функции to (а) и ty(a) удовлетворяют некоторым интегро-разностным
уравнениями, в свою очередь, могут быть хорошо оценены. Эти резуль-
результаты А. А. Бухштаба нашли своё применение в работах других
авторов. Ценность усиления метода В. Бруна, данного А.А. Бухшта-
б о м, заключается во введении точных интегро-разностных уравнений
в задачах с переменной а.

60 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
А. А. Бухштаб доказал также ожидавшиеся, но ранее не полу-
полученные теоремы, именно, что все числа, начиная с некоторого, разлагаются
на сумму двух слагаемых, каждое из которых состоит не более, чем из
четырёх множителей и что среди чисел, состоящих не более, чем из
четырех простых множителей, существует бесконечное число с разно-
разностью, равной двум.
Замечательное обобщение известной теоремы Дирихле о бесконечно-
бесконечности простых чисел в арифметической прогрессии принадлежит Н. Г. Ч е б о-
т а р ё в у [1, 3, 4]. Он доказал существование бесконечного числа про-
простых идеалов алгебраического поля, принадлежащих к данной подста-
подстановке. Трудность доказательства этой теоремы подчёркивается тем, что
она не поддавалась усилиям* таких математиков, как Дедекинд и Фро-
бениус. Метод, найденный Н. Г. Чеботарёвым для доказатель-
доказательства своей теоремы, был использован в дальнейшем Артином для дока-
доказательства весьма важного общего закона взаимности.
Пусть ?I=aiIoCi+a2Ioc24-. • .-\-anixn, / = 1, 2, ... , п, будет совокупность
действительных линейных форм с детерминантом, равным единице,
а Ьх, bt,..., Ь„—любые заданные действительные числа. Минковским
была высказана гипотеза, что всегда существует совокупность целых
чисел ас,, xlf..., х„, для которой выполняется неравенство
Н. Г. Чеботарёву принадлежит, по существу единственный, до
настоящего времени, общий, верный при любом п результат в направле-
направлении гипотезы Минковского. Он доказал, что всегда можно найти совокуп-
совокупность целых чисел xlt х2,..., х„, для которой выполняется неравенство
22
Неравенство Н. Г. Чеботарёва в дальнейшем было лишь весьма
немного усилено.
А. 3. В а л ь ф и ш [1—15] за годы своего пребывания в Советском
Союзе успешно продолжал свои прежние, хорошо известные исследо-
исследования по проблеме делителей и счёту целых точек в многомерном эллип-
эллипсоиде. Он улучшил свои прежние оценки в различных задачах этого
типа и получил ряд новых результатов в различных проблемах анали-
аналитической и аддитивной теории чисел.
§ 3. В области теории приближений важные и многочисленные резуль-
результаты принадлежат А. Я. Хин чин у [12]. Приведём некоторые из
них. Пусть а1, й2, ..., <х„ будет система действительных чисел, линейно
независимых в поле рациональных чисел, а числа х1( х2, . . . , х„, у
и Р\> Ра, ¦ ¦ •, Рп> Ч—произвольные целые рациональные числа. Пусть о>
будет верхней гранью тех значений ш > О, при которых неравенства
I I* Y -I- <* V X \„ Y 1( \^- 4-n-w \ Y ^- i I 19 п
I Л1А1 < 1*2Л4 Т • • • Т *ЛАП / l5^ 1 I ] Л1 ^ 4> • ±, Л, . . ¦ , II
имеют бесконечное множество решений в целых числах х1( х2,..., хл, и у.
Пусть также ш2 будет верхней гранью тех чисел ш > 0, при которых
система неравенств
: / n , 0<q<t, 1 = 1,2, .... п.

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 61
'имеет бесконечное множество решений в целых числах plt рг, ..., р„ и q.
Числа (Dj и ш2 являются основными характеристиками линейной
п
формы S xiai~y " совокупности линейных форм qat— pt i = 1, 2,..., п,
1 = 1
(Ютветсте°.нно показывающими, насколько быстро может стремиться
к нулю с ростом абсолютных величин xt линейная форма от п перемен-
переменных и с ростом q максимум системы линейных форм qa1 — px. Тогда числа
«j н», связаны неравенствами:
Эта теорема носит название принципа переноса Хинчина. Достижимость
этих граней доказана Ярником.
Ещё один весьма интересный результат, принадлежащий А. Я. X и н-
чину [21], заключается в следующем. Пусть п—целое, а ф —про-
—произвольное вещественное число. Тогда необходимым и достаточным усло-
условием существования действительного с > 0, при котором выполняются
неравенства:
|х| <сп, \ах — у — §|<— :
для произвольных п и р и некоторых зависящих от п, а. и р целых чисел
*и и у , является ограниченность неполных частных при разложении а
в непрерывную дробь. В ряде работ этого цикла А. Я. X и н ч и н даёт
решение многих линейных как однородных, так и неоднородных задач
линейных диофантовых приближений.
Другой цикл работ А. Я. X и н ч и н а [5, 24] относится к так
называемой метрической теории диофантовых приближений.
Приведём в качестве примера следующий весьма общий и очень
существенный результат А. Я. Хинчина в этой теории. Пусть
а—иррационально и действительно, <? (t) — положительная функция дей-
действительного переменного t, такая, что Р«р (t) монотонно убывает с ро-
ростом t. Тогда, почти для всех а (за исключением множества меры нуль),
неравенство
я<и
будет выполняться для бесчисленного множества целых положительных
чисел р и q, если интеграл
00
\ t<?(t)dt
расходится. Если же интеграл сходится, то это неравенство почти для
всех чисел а может иметь лишь конечное число решений в целых числах
хиу. Аналогичная теорема для одновременного приближения нескольких
иррациональностей также была доказана А. Я. Хинчиным.
Пусть ах, Og, ..., ап — неполные частные разложения иррациональ-
иррационального числа а, а < 1 в непрерывную дробь, a q13 qit ... , qn — знаменатели
подходящих дробей в этом разложении. А. Я. Хинчину [25] при-
принадлежат также два красивых метрических результата относительно

62 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
этих величин, связанных с данным числом а. Почти для всех а существует
предел
у
п—ао
Нт у ауаг. . .яп = С,
где С —абсолютная постоянная и почти для всех а существует предел
lim j/A<7~ = D,
л~ со
где D также абсолютная постоянная.
Существенная метрическая теорема была доказана р. О. Кузьми-
Кузьминым [3]. Пусть для иррационального числа а последовательность непол-
неполных частных будет опять аи а2 ап, antl, ... Обозначим через гп
ар рациональность, для которой последовательность неполных частных
будет ап, ап^х,ап^г,... Если тп (х)естъ мера множества точек Л отрезка
@,1), для которых
гп—ап<х,
то, как утверждал Гаусс в письме к Лапласу,
limmn(x)='n('+3C). 0<х<1.
П->оо 1П ^
Р. О. К у з ь м и н не только доказал это утверждение Гаусса, доказа»
тельство которого до нас не дошло, но и оценил порядок стремления т„ (х)
к своему пределу. Этот вопрос также интересовал Гаусса. Р. О. Кузь-
Кузьмин доказал, что имеет место неравенство
где А и к—абсолютные постоянные.
P.O. Кузьмину [3—12] принадлежат также различные резуль-
результаты в области классической теории С-функции и L-рядов и теории транс-
трансцендентных чисел. В частности, Р. О. К у з ь м и н показал, что резуль-
результат А. О. Гельфонда относительно трансцендентности чисел счу-п,
где а—алгебраическое число, не равное нулю и единице, а л —целое
рациональное, может быть обобщён без существенного изменения ме-
метода, на случай чисел вида аУ^*.
В 1929 г. А. О. Г е л ь ф о н д [1] указал довольно общий подход
к исследованию арифметической природы значений аналитических функ-
функций при алгебраических значениях аргумента, если эти функции обла-
обладают тем свойством, что их значения алгебраические, при аргументе,
принадлежащем к тому или иному алгебраическому полю.
Рассматривая разложение функции аг, причём а — алгебраическое
число, отличное от нуля и единицы, в интерполяционный ряд Нью-
Ньютона с точками интерполяции х0, х^ хп, где последовательность
х„, хг, . .., хп есть последовательность целых точек квадратического поля
A, i \ D), D>0, другими словами, в ряд

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 63
можно показать, что, с одной стороны, числа Лп в силу аналитических
причин должны быстро убывать, а с другой стороны, они не могут быть
очень малы, не обращаясь в нуль, если предположить, что a' Vn__ ЧИсло
алгебраическое. На этом противоречии А. О. Гельфонд построил
доказательство теоремы о том, что ос' У~~\ где а — алгебраическое число,
не равное нулю и единице, a D — целое, положительное, будет транс-
трансцендентным числом. Зигель, Боле и другие авторы продолжили это
исследование. Зигель применил этот метод к доказательству теоремы
о том, что по крайней мере один из периодов эллиптической функ-
функции р(С) при алгебраических инвариантах будет трансцендентным^
числом.
Углубив свой метод введением в него новых идей, А. О. Г е л fa-
фон д [4, 5, 6, 7, 9, 10] дал в 1934 г. доказательство трансцендентности
чисел вида а3, где а—алгебраическое, отличное от нуля и единицы, а
р—алгебраическое иррациональное число, и полностью решил тем самым
проблему арифметической природы чисел этого вида.
Проблема арифметической природы чисел вида *?. где а и 3 алгебраи-
алгебраические, в частной формулировке была высказана Эйлером и уже в совре-
современной форме вошла в число известных проблем Гильберта.
Этот метод был использован также Малером, Риччи и другими авто-
авторами для доказательства трансцендентности других классов чисел.
Продолжая свои исследования, А. О. Гельфонд доказал, в част-
частности, неравенство
|&;-0| >.-"», л-cons,.
и доказал конечность числа решений, при переменных пит, сравнения'
a71 —pm = 0, modj9s • s = lnT"m, y = const.,
где а и [J алгебраические, —-^- иррационально, G—алгебраическое число
фиксированной степени q и высоты Н, п и т — целые рациональные,
а р — любой простой идеал поля, не входящий в а и р. Кроме того, в срав-
сравнении а" ф рт ни для каких целых тип.
Из этих общих предложений следует, например, теорема: Уравнение
имеет лишь конечное число решений в целых числах х, у, z, если a, p и у—
алгебраические числа и хотя бы одно из них не есть алгебраическая единица.
А. О. Гельфонду принадлежат также некоторые результаты
из области целочисленных функций и диофантовых приближений.
А. В. Л о т о ц к и й [2], пользуясь первым методом А. О. Г е л ь-
фонда, доказал иррациональность некоторых бесконечных произ-
произведений, связанных с эллиптическими функциями.
Д. Д. Мордуха й-Б о л т о в с к о м у [5, 6, 7] принадлежит
ряд работ по трансцендентности чисел и функций. Он дал классифика-
классификацию трансцендентных чисел и построил ряд признаков типа признака
Лиувилля принадлежности трансцендентных чисел к тому или иному

64 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
классу. Д. Д. Мордуха й-Б олтовской дал также доказатель-
доказательство весьма трудной теоремы о гипертрансцендентности ? (s)
другими словами, того факта, что С (*) не удовлетворяет никакому алге-
алгебраическому дифференциальному уравнению с полиномиальными коэф-
коэффициентами. Проблема аналитической природы С (s) ставилась Гиль-
бертсм.
§ 4. В области теории диофантовых уравнений существенные
и весьма законченные результаты принадлежат Б. Н. Делоне.
В 1922 г. Б. Н. Д е л о н е [1,2, 4, 17] дал полное решение куби-
кубического уравнения Пелля и нашёл границу числа решений уравнения
вида
ах3 + Ьхгу + сху* + Dyz = 1,
коэффициенты которого—целые числа, а определитель формы отрица-
отрицателен (другими словами, форма имеет лишь один действительный корень).
Следует отметить, что в этих работах Б. Н. Д е л о н е удалось впервые
дать законченное исследование решений широкого класса диофантовых
уравнений степени выше второй. Б. Н. Д е л о н е доказал, что кубиче-
кубическое уравнение Пелля
ах3 + у3 = 1,
где а—целое число, Может иметь, кроме тривиального решения @,2),
не более одного решения в целых числах х и у. Он показал также, что для
каждого заданного значения а можно выяснить, существует ли нетривиаль-
нетривиальное решение, и найти его. Б. Н. Делоне доказал также, что общее
уравнение
ах3 + Ьхгу + сху2 + D8 = 1
имеет не более пяти решений в целых числах х и у. Более того, он пока-
показал, что с помощью весьма своеобразного алгоритма, названного автором
«алгоритмом повышения», можно практически решить почти всякое урав-
уравнение этого типа. Он показал также, что существуют уравнения, имеющие
ровно пять решений.
Ученик Б. Н. Д е л о н е Д. К. Ф а д д е е в [2, 3] расширил границы
приложимости метода, употреблённого Б. Н. Делоне для решения
кубического уравнения Пелля, и дал приложение этого метода к решению
аналогичного уравнения четвёртой степени.
Эти работы Б. Н. Делоне продолжались В. А. Т а р т а к о в-
с к и м, Нагелем, Зигелем и другими математиками.
Не только теоретический, но и большой практический интерес имеют
исследования Б. Н. Д е л о н е по приложению теории тройничных
квадратичных форм к кристаллографии. Он дал в этом направлении
алгоритм для решения задачи о правильной установке кристалла.
Ему [13] принадлежит также ряд результатов по геометрии чисел. В част-
частности, он решил задачу об определении двумерной решётки по расстоя-
расстояниям между её точками и дал новый метод в геометрии чисел, названный
им «методом пустого шара».

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 65
Ещё Лангранж дал теорию приведения двойничных форм. Зебер
построил аналогичную теорию для тройничных форм. Продолжая эти
исследования, Минковский доказал существование некоторой специаль-
специальной области приведения в пространстве коэффициентов для положительно
определённых форм от п переменных. Важный результат в этом направ-
направлении принадлежит Б. А. В е н к о в у [15]. Исходя из идей Г. Ф. Воро-
Вороного, Б. А. В е н к о в показал, что область Минковского есть только
частное решение задачи и установил наличие континуума различных
способов приведения.
Б. А. В е н к о в [4, 5, 9], с помощью применения арифметики ква-
кватернионов, дал также вывод известных формул Дирихле для числа клас-
классов двойничных квадратичных форм, исключая только случай Д = 8л + 7.
Ценность этой работы Б. А. Венкова определяется тем, что вывод
этих формул, данный самим Дирихле, был основан на применении ана-
аналитических методов, и возможность обойтись без них была достаточно
неожиданной.
Б. А. Венков [13] дал также исследование по определению
основных областей автоморфизмов неопределённых тройничных квадра-
квадратичных форм. В этом же направлении иной метод для определения
основных областей был предложен И. С. С о м и н с к и м [2].
Д. С. Горшков распространил метод совершенных форм Воро-
Вороного на случай двойничных неопределённых квадратичных форм и при-
применил его к известной задаче Маркова.
Заканчивая свой очерк достижений теории чисел в Советском
Союзе, я хочу только отметить, что из-за размера статьи я привёл далеко
не все результаты, представляющие интерес и принадлежащие советским
математикам. Но уже приведённых результатов, с моей точки зрения,
достаточно для суждения о весьма крупной, а в некоторых направлениях
и руководящей роли советских учёных в развитии теории чисел за по-
последние тридцать лет.
Математика о СССР за 30 -чет

БИБЛИОГРАФИЯ.
Агрономов Н. А.
Sobre una functi6n numerica. Rev. mat. hisp.-amer., 1 A926), 267—269.
Notas complementarias sobre la functi6n S(N). Rev. mat. hisp.-amer., 2 A927), 75—-80
Sobre algamos problemas de analisis diofantico. Rev. mat. hisp.-amer., 2 П927)
266—276. • \ /•
[4] Sur quelques formules concernant la 1отти1е^Г"Л (п— k)n—n\. Boll. un. Mat.
Ital., 6 A927), 187—190.
Анфертьева Е. A.
[1] О неопределённом уравнении х*—dy*=l. Л., Труды индустр. ин-та, раздел
физ.-матем., 3:1 A939), 41—42.
[2] О формулах суммирования и аналитических тождествах, связанных с одним клас
сом арифметических функций. ДАН, 30 A941), 389—391.
[3] О формулах суммирования и аналитических тождествах, связанных с одним клас
сом арифметических функций, I. Л., Труды политехи, ин-та, 3 A941), 3—20.
Аравийская Е. Н.
{1] О линейных соотношениях между показателями степеней в сравнении g'+g"*=
= I(modp). Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 1A926), 107—114.
Арнольд И. В.
[1] Теория чисел. М., Учпедгиз A939), 1—288.
Артюхов М. М.
[1] Новая оценка g(n) в проблеме Варинга. ДАН, 4 A935), 231—234.
[2] Об одном свойстве алгорифма Якоби. ИАН, сер. матем. A938), 495—612.
Белоновскяй П. Д.
[1] О некоторых геометрических приложениях теории целых комплексных чисел.
Вятка, Труды пед. ин-та, 2 A927), 39—56.
БиллевичК. К.
[1] Об одном применении числовых решёток к обобщению алгорифма непрерывных
дробей. Орджоникидзе, Учён. зап. Сев.-Осет. пед. ин-та, 3 A942), 139—167.
Биллевич К. К., Делоне Б. Н. и Соминский И. С.
[11 Таблица чисто вещественных областей 4-го порядка. ИАН, сер. физ.-матем. A935),
1267—1310.
Бородин Б. В.
[1] Числовая функция Пу?(<*)—произведение числовых делителей целого числа N.
Пермь, Труды матем. семин. ун-та, 1 A927), 30—32.
[2] О делимости "числа аЬ(а>0—Ь10) на 66. Пермь, Труды матем. семин. ун-та, 2 A928),
17—20.
[3] Некоторые замечательные числа. Пермь, Учён. зап. пед. ин-та, 3 A938),
47—57.

БИБЛИОГРАФИЯ 67
Булат П. М.
[1] Об асимптотических оценках средних значений основной функции аддитивной
теории чисел. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 3: 1 A946), 104—110.
Бухштаб А. А.
[1] Об одной метрической задаче аддитивной теории чисел. Матем. сб., 40 A933)
190—195.
[2] Асимптотическая оценка одной общей теоретико-числовой функции. Матем. сб.,
2D4), A937), 1239—1246.
[3] Новые улучшения в методе эратосфенова решета. Матем. сб., 4 D6), A938),.
375—387.
[4] О разложении чётных чисел на сумму двух слагаемых с ограниченным числом
простых множителей. ДАН, 29 A940), 544—548.
[5] Об одном аддитивном представлении целых чисел. Матем. сб., 10 E2), A942).
87—91.
F] Об одном соотношении для функции п (х), выражающей число простых чисел, не
превосходящих х. Матем. сб., 12 E4), A943), 152—160.
Вальфиш А. 3.
ЙТеИегргоЫете, IV. Annali di Pisa, 5A936), 289—298.
Аддитивная теория чисел, III. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН, 3 A938),
ОУ ' 1 1 ?tt
[3] Zur additiven Zahlentheorie, IV. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН,
3A938), 121—192.
[4] Ueber Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden, VII. Тбилиси, Труды матем.
ин-та Гр. фил. АН, 5 A938), 1—68.
[5] Zur additiven Zahlentheorie, V. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН, 5 A938),
69—114.
[6] Ueber einige Ramanujanische Satze. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН,
5 A938), 145—152.
[7] Ueber Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden, VIII. Тбилиси, Труды ма-
матем. ин-та Гр. фил. АН, 5 A938), 181—196.
[8] Zur additiven Zahlentheorie, VI. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН,
5A938), 197—254.
[9] Zur additiven Zahlentheorie, VIII. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр. фил. АН,
8 A940), 69—108.
[10] Zur additiven Zahlentheorie, VII. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 7—14.
[И] Zur additiven Zahlentheorie, VII. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941),
221—226.
[12] Zur additiven Zahlentheorie, IX. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН ГрССР,9 A941),
§О——Уо.
[13] On lattice points in high-dimensional ellipsoids, IX. Тбилиси, Труды матем. ин-та
АН ГрССР, 10 A941), 14—160.
[14] On the class-number of binary quadratic forms. Тбилиси, Труды матем. ин-та АН
ГрССР, 11 A942), 57—72.
[15] On the additive theory of numbers, X. Тбилиси, Труды матем. ии-та АН ГрССР,
11 A942), 173—186.
Вельмин В. П.
[1] Об изображении чисел квадратичными формами с двумя переменными. Ростов
н/Д, Изв. Донск. ун-та, 5 A925), 42—44.
[2] О некоторых свойствах непрерывных дробей. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем.
н физ. ун-та, 1 A937), 30—40.
[3] О числе классов действительной квадратичной области. Ростов н/Д, Учён, зап
НИИ матем. и физ. ун-та, 1 A937), 43—46.
[4] О числе идеальных классов мнимой квадратичной области. Ростов н/Д, Учён.
зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 1 A937), 76—77.
[5] О мнимых квадратичных областях, имеющих заданное число идеальных классов.
Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 2 A938), 4—7.
[6] Некоторые свойства чисел, изображаемых системой линейных функций.Ростов
н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 2 A938), 52—56.
[7] О числе классов разложимых квадратичных форм. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ
матем. и физ. ун-та, 2 A938), 57—59.
5*

68 теория чисел
Венков Б. А.
A] Об арифметике кватернионов. ИАН F), 16 A922—1924), 205—220.
[2] Об арифметике кватернионов. ИАН F), 16 A922—1924), 221—246.
[3] On some new class-number relations. Торонто, Труды международн. матем. съезда
A924), 315—318.
{4] О числе классов бинарных квадратичных форм отрицательных определителей.
ИАН, сер. физ.-матем. A928), 375—392.
[5] О числе классов бинарных квадратичных форм отрицательных определителей,
II. ИАН, сер. физ.-матем. A928), 455—480.
Об арифметике кватернионов. ИАН сер. физ.-матем. A929), 489—504.
Об арифметике кватернионов. ИАН, сер. физ.-матем. A929), 535—562.
Об арифметике кватернионов. ИАН, сер. физ.-матем. A929), 607—622.
Ober die Klassenzahl positiver binarer quadratischer Formen. Math. Z., 33A931),
350—374.
f 10] Современное состояние арифметики гиперкомплексных чисел. Хрк., Труды Все-
Всесоюзного матем. съезда A936), 219—223.
[11] О построении кубических областей данного дискриминанта. Л., Труды ин-та
инж. ж.-д. трансп., 9 A934), 107 стр.
?12] Элементарная теория чисел. М.—Л., ОНТИ A937), 1—219.
Г131 Об арифметической группе автоморфизмов неопределённой квадратичной формы.
ИАН, сер. матем. A937), 139—170.
Г141 О группе автоморфизмов неопределённой квадратичной формы. ДАН, 14A937),
97—98.
[151 О приведении положительных квадратичных форм. ИАН, сер. матем., 4A940),
37—52.
[16] Об экстремальной проблеме Маркова для неопределённых тройничных квадратич-
квадратичных форм. ИАН, сер. матем., 9 A945), 429—494.
]17] Об экстремальной проблеме Маркова для неопределённых тройничных квадратич-
квадратичных форм. Л., Научн. бюлл. ун-та. 7 A946), 7—9.
Виноградов И. М.
[1] Новый способ для получения асимптотических выражений арифметических функ-
функций. ИАН F), И A917), 1347—1378.
[2] О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного опреде-
определителя. Хрк., Зап. матем. т-ва B), 16A918), 10—38.
ГЗ] Об одном асимптотическом равенстве теории квадратичных форм. Пермь, Ж. физ.
матем. о-ва, 1 A918), 18—28.
[4] Sur la distribution des residus et des nonresidus des puissances. Пермь, Ж. физ.-
матем. о-ва, 1 A918), 94—98.
[5] О распределении квадратичных вычетов и невычетов. Пермь, Ж. физ.-матем.
о-ва, 2 A919). 1—16.
[61 Об асимптотических равенствах в теории чисел. ИАН F), 15 A921), 158—160.
[7] Sur un theoreme generale de Waring. Матем. сб., 31 A924), 490—507.
[81 Элементарное доказательство одной общей теоремы аналитической теории чисел.
ИАН F), 19 A925), 785—796.
[9] Элементарное доказательств одного общего предложения из аналитической теории
чисел. Л., Изв. политехи, ин-та, 29 A925), 2—12.
О распределении индексов. ДАН (А), A926), 73—76.
О границе наименьшего невычета л-й степени. ИАН F), 20 A926), 47—58.
О дробных частях целого многочлена. ИАН, F), 20 A926), 585—600.
К вопросу о распределении дробных долей значений функции одного переменного.
10
11
12
13
Л., Ж. физ."-матем. о-ва, Г A920), 56—65.
[14] On a general theorem concerning the distribution of residues and nonresidues of
powers. Bull. Amer. Math. Soc, 22 A926), 596.
[15] Аналитическое доказательство теоремы о распределении дробных частей целого
многочлена. ИАН "F), 21 A927), 567—578.
{16] Demonstration elementaire d'un theoreme de Gauss. Л., Ж. физ.-матем. о-ва,
1A927), 187—193.
[17] О распределении дробных долей значений функции двух переменных. Л., Изв.
политехи, ин-та, 30 A927), 31—52.
[18] On a general theorem concerning the distribution et the residues and non-residues
of powers. Trans. Amer. Math. Soc, 29 <1927), 209—217.
[19] On the bound of the least non-residues of n-th powers. Trans. Amer. Math. Soc,
29A927), 218—226.

БИБЛИОГРАФИЯ 69-
}20l О теореме Варинга. ИАН, сер. физ.-матем. A928), 393—400.
[21] О представлении числа целым многочленом от нескольких переменных. ИАН,
сер. физ.-матем. A928), 401—414.
[221 Об одном классе совокупных диофаитовых уравнений. ИАН, сер. физ.-матем.
A929), 355—376.
0 наименьшем первообразном корне. ДАН A930), 7—11.
числе целых точек внутри круга. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 313—336.
Проблемы аналитической теории чисел. (Тезисы доклада.) Л., В кн. «Доклады
Юбилейной сессии АН». Изд. АН A932), 13.
[26] Об одной тригонометрической сумме и еб приложениях в теории чисел. ДАН,
1 A933), 195—204.
B7] О некоторых тригонометрических суммах и их приложениях. ДАН, 1 A933)
' 249—255.
[28] О проблемах аналитической теории чисел. Труды Юбилейной сессии АН A933),
27—37.
[29] Применение конечных тригонометрических сумм к вопросу о распределении дроб-
дробных долей целого многочлена. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 4 A933),
5—8.
[30] Некоторые теоремы о распределении индексов и первообразных корней. Труды
физ.-матем. пн-та им. Стеклова, 5 A934), 87—93.
[31] О верхней границе g (л) в проблеме Варинга. ИАН, сер. физ.-матем. A934),
1455—1470.
[32] Новые приложения тригонометрических сумм. ДАН, 1 A934), 10—14.
|33] Новые асимптотические выражения. ДАН, 1 A934), 49—51.
[34] Тригонометрические суммы, зависящие от составного модуля. ДАН, 1 A934),
225—230.
[35] Новые теоремы о распределении квадратичных вычетов. ДАН, 1 A936), 289—2S0.
[36] Новые теоремы о распределении первообразных корней. ДАН, 1 A934),
366—370.
37] Новое решение проблемы Варинга. ДАН, 2 A934), 337—341.
38 О некоторых новых проблемах теории чисел. ДАН, 3 A934), 1—6.
39 Некоторые теоремы аналитической теории чисел. ДАН, 4 A934), 185—187.
40 Новая оценка g (л) в проблеме Варинга. ДАН, 4 A934), 249—253.
41] Sur quelques nouveaux resultats en theorie analytique des nombres. С R- Acad. Sci.,
199 A934), 171—175.
[42] О приближениях посредством рациональных дробей, имеющих знаменателей
точную степень. ДАН, 2 A935), 1—5.
[43] Новый вариант вывода теоремы Варинга. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова,
9 A935), 5—10.
Число целых точек в шаре. Труды физ.-матем. ин-та иу. Стеклова, 9 A935), 17—38.
О некоторых рациональных приближениях. ДАН, 3 A935), 3—6.
О дробных частях многочленов и других функций. ДАН, 3 A935), 99—100.
Новые оценки сумм Вейля. ДАН, 3 A935), 195—198.
On approximation to zero with help of numbers of certain general form. Матем. сб.,
42 A935) 14956
44
45
46
47
48
42 A935), 149—156.
[49] On Weyl's sums. Матем. сб., 42 A935), 521—530.
[501 An asymptotic formula for the number of representations in Waring's problem.
Матем. сб., 42 A935), 531—534.
[51] On Waring's problem. Ann. of Math., 36 A935), 395—405.
[52] Une nouvelle variante de la demonstration du theoreme de Waring. С R. Acad.
Sci., 200 A935), 182—185.
[53
[54
[55
Sur les sommes de M. H. Weyl. С R. Acad. Sci., 201 A935), 514—516.
Новое улучшение оценок тригонометрических сумм. ДАН, 1 A936), 195—196.
Новые результаты в вопросе о распределении дробных частей многочлена. ДАН>
2 A936), 355—358.
[56] О дробных частя* многочленов и других функций. ДАН, 3 A936), 99—100.
571 On the number of fractional parts of a polynom lying in a given interval. Матем.
Сб., 1 D3), A936), 3—8.
[58] A new method of resolving of certain general questions of the theory of numbers.
Матем. сб., 1 D3), A936), 9—20.
[59] Approximation by mean of fractional parts of a polynomial. Матем. сб., 1 D3), A936),
21—28.
[60] On asymptotic formula in Waring's problem. Матем. сб., 1 D3), A930), 169—174.
[61] A new method of estimation of trigonometrical sums. Матем. сб., 1 D3), A936),
175—188,

70 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
F2] Supplement to the paper «On the number of fractional parts of a polynom lying
in a given interval»:. Матем. сб., 1 D3), A936), 405—408.
[63] Approximations with help of certain functions. Ann. of Math., 37A936), 101—Ю6.
[64] On fractional parts of certain functions. Ann. of Math., 37 A936), 448—455.
[65] Sur les nouveaux resultats de la theorie analitique des nombres. С R. Acad. Sci.,
202 A936), 179—180.
[66] Sur quelques inegalites nouvelles de la theorie des nombres. С R. Acad. Sci.,
202 A936), 1361—1362.
[67] Новый метод в аналитической теории чисел. Труды физ.-матем. ин-та им. Стекло-
ва, 10 A937), 1—122.
[68] Распределение дробных частей значений многочлена при условии, что аргумент
пробегает простые числа арифметической прогрессии. ИАН, сер. матем. A937),
505—514.
[69] Представление нечётного числа суммой трёх простых чисел. ДАН, 15 A937),
291—294.
[70] Некоторые новые проблемы теории простых чисел. ДАН, 16 A937), 139—142.
[71] Новые оценки тригонометрических сумм, содержащих простые числа. ДАН,
17 A937), 165—166.
[721 Some theorems concerning the theory of primes. Матем. сб., 2D4), A937), 179—196.
[73] Новая оценка одной суммы, содержащей простые числа. Матем. сб., 2 D4) A937),
783—792.
[74] Новая оценка одной тригонометрической суммы, содержащей простые числа.
ИАН, сер. матем. A938), 3—14.
[75] Улучшение оценки одной тригонометрической суммы, содержащей простые числа.
ИАН, сер. матем. A936), 15—24.
[76] Оценка некоторых сумм, содержащих простые числа. ИАН, сер. матем. A938),
399—416.
[77] Оценки тригонометрических сумм. ИАН, сер. магем. A938), 505—524.
[78] Некоторые новые оценки, относящиеся к аналитической теории чисел. ДАН,
19 A938), 339—340.
[79] Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида р-\-к по простому моду-
модулю. Матем. сб., 3D5), A938), 311—320.
[80] Некоторые общие леммы и их применение к оценке тригонометрических сумм.
Матем. сб., 3D5), A938), 435—472.
[81] Некоторые общие теоремы, относящиеся к теории простых чисел. Тбилиси, Труды
матем. ин-та Гр. фил. АН, 3 A938), 1—68.
|82] Две теоремы из аналитической теории чисел. Тбилиси, Труды матем. ин-та Гр.
фил. АН, 5 A938), 153—180.
[83] Элементарные оценки одной тригонометрической суммы с простыми числами. ИАН,
сер. матем. A939), 111—122.
[84] Оценки некоторых простейших тригонометрических сумм с простыми числами.
ИАН, сер. матем. A939), 371—398.
[85] Новое усовершенствование метода оценки тригонометрических сумм с простыми
числами. ДАН, 22 A939), 59—60. .
[86] Простейшие тригонометрические суммы с простыми числами. ДАН, 23 A939),
615—617.
(87] Распределение по данному модулю простых чисел, принадлежащих арифмети-
арифметической последовательности. ИАН, сер. матем., 4 A940), 27—36.
[88] Некоторые общие свойства распределения простых чисел. Матем. сб., 7D9)
A940), 365—372.
[89] Две теоремы, относящиеся к теории распределения простых чисел. ДАН, 30 A941),
285—286.
[90] Некоторое общее свойство распределения произведений простых чисел. ДАН,
30 A941), 675—676.
91] "-
92
93
94
95
96
97
когда аргумент пробегает простые числа. ДАН, 51 A946), 489—490.
[99] Некоторый .общий закон теории простых чисел. ДАН, 55 A947), 475—476.
Улучшение оценок тригонометрических сумм. ИАН, сер. матем., 6 A942), 33—40.
Об оценках тригонометрических сумм. ДАН, 34 A942), #199—200.
Уточнение некоторых теорем теории простых чисел. ДАН, 37 A942), 135—137.
Уточнение метода оценки сумм с простыми числами. ИАН, сер. матем., 7 A943),
17—34.
Основы теории чисел. Изд. 4. М.—Л., ГТТИ A944), 1—142.
Общие теоремы об оценках тригонометрических сумм. ДАН, 43 A944), 51—52.
Аналитическая теория чисел. ИАН, сер. матем., 9 A945), 159—168.
Некоторый общий закон распределения дробных частей значений многочлена,

БИБЛИОГРАФИЯ 71
[100] Аддитивные проблемы теории чисел. В кн. «Юбилейный сборник, посвященный
тридцатилетию Великой Октябрьской социалистической революции», т. 1,
М.—Л., Изд. АН A947), 65—79.
" Гельбке М. А.
[1] Об асимптотических выражениях суммы дробных частей функции двух перемен-
переменных. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A927), 281—298.
[2] Об асимптотическом выражении суммы дробных частей функции двух переменных.
ИАН, сер. физ.-матем. A930), 409—423.
{3] Относительно g(k) в проблеме Варинга. ИАН, сер. физ.-матем. A933), 631—640.
Гельфонд А. О.
[1] Sur les nombres transcend ants. C. R. Acad. Sci., 189 A929), 1224—1228.
[2] О необходимом и достаточном признаке трансцендентности числа. М., Учён.
зап. ун-та, 1 A933), 6—8.
[3] О функциях целочисленных в точках геометрической прогрессии. Матем. сб.,
40 A933), 42—47.
4] О седьмой проблеме Гильберта. ДАН, 2 A934), 1—6.
5] Sur le septieme probleme de Hilbert. ИАН, сер. физ.-матем. A934), 623—630.
6] О приближениях трансцендентных чисел алгебраическими. ДАН, 2 A935), 177—182.
7] Трансцендентные числа. Труды второго Всесоюзн. матем. съезда, т. I A936),
141—163.
Об одном обобщении неравенства Минковского. ДАН, 17 A937), 443—446.
О приближении алгебраическими числами отношения логарифмов двух алгебраи-
алгебраических чисел. ИАН, сер. матем. A939), 509—518.
[10] Sur la divisibilite de la difference des puissances de deux nombres entiers par une
puissance d'un ideal premier. Матем. сб., 7 D9), A940), 7—26.
[11] О совместных приближениях алгебраических чисел рациональными дробями.
ИАН, сер. матем., 5A941), 99—104.
[12] О дробных долях линейных комбинаций полиномов и показательных функций.
Матем. сб., 9E1), A941), 721—726.
Г р а в е Д. А. .
[1] Sur un theoreme d'Euler. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 1: 1 A922), 1—3.
[2] Об основных положениях теории идеальных чисел. Матем. сб., 32A925), 135—151.
[3] О разложении простых чисел на идеальные множители. Матем. сб., 32 A925),
542-561.
[4] Зв'язок Teopii елШтичних функцШ з Teopiero щеал1в. Киев, Ж. матем. цикла
АН УССР, 1:2 A933), 3—14.
[5] Про узагальнення алгоритма Вороного. Киев, Ж. матем. цикла АН УССР,
1: 2 A933), 17—24.
6] Об одном обобщении теоремы Акселя Туз. ДАН, 1 A933), 263—264.
7] Про npoCTi числа. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A938), 3—16.
8] Про задачу Гольдбаха. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 1 A938), 76—80.
Градштейн И. С.
[1] О нечётных совершенных числах. Матем. сб., 32 A925), 476—510.
Г р е б е н ю к Д. Г.
[1] Формула, представляющая число простых чисел в ряду чисел 1, 2, 3 Ташкент
Изв. Узб. фил. АН, 10 A940), 33—34.
Григорьев Е. И.
{1] О плотности и распределении простых чисел. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B)
24 A924), 14—26. ''
[2] Из области неопределённого анализа 4-й степени. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва
B), 24:1 A924), 76—80.
[3] Четыре биквадрата (задача Эйлера). Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B)
24:2 A924), 61—78. '
[4] Resolutio formulae Diophanteae. Казань, Учён. зап. ун-та, 85 A925), 209 217.
Г р о ш ев А. В.
.11 К метрической теории цепных дробей. Матем. сб., 42 A935), 509 518.
[2] К метрической теории линейных форм. ИАН, сер. матем. A937), 427—444.
"" Теорема о системе линейных форм. ДАН. 19 A938), 151—152.

72 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Делоне Б. Н.
11] Sur le nombre des representations d'un nombre par une forme cubique binaire
a discriminant negatif. С R. Acad. Sci., 171 A920), 336—338.
[2] Resolution de l'equation indeterminee рхгу -f qz* — nzy* -j- уз _ j, c. R, Acad.
Sci., 172 A921), 434—436.
[3] О числе представлений числа двойничной кубической формы отрицательного
определителя. Л., ИАН F), 16 A922), 253—272.
[4] Решение неопределённого уравнения 2»2+«/а=1. ИАН F), 16 A922), 273—280.
[5] Sur la representation des nombres par les formes binaires. C. R. Acad. Sci.,
178 A942), 1458—1460.
F) Решение задачи эквивалентности и табуляризация кубических двойничных форм
отрицательного определителя. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A926), 40—55.
[7] О неопределённых уравнениях. М., Труды Всеросс. матем. съезда A927), 148—161.
[8] Ueber den Algorithms der Erhohung. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A927), 257—267.
[9] Ueber die Darstellung der Zalilen durch die binaren kubischen Formen von negativer
Diskriminante. Math. Z., 31 A930), 1—26.
[10] Bemerkung fiber die Abhandlung von Herrn Trygve Nagell: «Darstellung ganzer
Zahlen durch binSre kubische Formen mit negativen Diskriminanten»- Math. Z.,
31 A930), 27—28.
[11] О плотнейших параллелелипедальных расположениях шариков в пространствах
трёх и четырёх измерений. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 4 A933), 63—69.
f 12] Доказательство теоремы Ферма для п=3 при помощи кубической области. ДАН,
2 A934), 7—10.
[13] Sur la sphere vide. A la memoire de Georges Voronoi. ИАН, сер. физ.-матем. A934),
793—800.
[14] Геометрия положительных квадратичных форм. Успехи матем. наук, 3 A937),
16—62.
[15] Геометрия положительных квадратичных форм, II. Успехи матем. наук, 4 A938).
102—164.
[16] Локальный метод в геометрии чисел. ИАН, сер. матем., 9 A945), 241—256.
[17] Алгорифм разделённых параллелограммов. ИАН, 11 A947), 505—538.
[18] Петербургская школа теории чисел. М.—Л., Изд. АН A947), 1—419.
Д и м м а н А.
[1] Ueber einige asymptotische Formeln. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A927), 313—322.
[2] Ueber die Verteilung der Werte der Klassenzahl quadratischen Formen. Труды
физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 5 A934), 59—72.
Егоров Д. Ф.
[1] Элементы теории чисел. М., Гос. изд. A923), 1—202.
Житомирский О. К.
[ 1] Verscharfung eines Satzes von Voronoi. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 2:2 A928), 131—151.
[2] О классификации кубических форм. ДАН, 1 A935), 4—11.
[3] Sur la classification des formes cubiques. ИАН, сер. физ.-матем. A935), 1311—1351.
Жоги н И. И.
1] К теории диофантовых приближений. М., Учён. зап. ун-та, 73 A944), 37—40.
] Об одном вопросе в теории диофантовых приближений. М., Учён. зап. ун-та,
73 A944), 41—44.
Журавский А. М.
[1] Закон взаимности кубических вычетов. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A927), 204—232.
ЗапольскаяЛ. Н.
[1] О свойствах некоторых числовых лучей. Ярославль, Труды пед. ин-та, 2:4A929),
19—34.
Иванов И. И.
[1] Об одном числовом тождестве. Пгр., Изв. политехи, ин-та, 28 A919), 181—183.
12] К теории квадратичных и неквадратичных вычетов по данному простому модулю.
Пгр., Изв. политехи, ин-та, 28 A919), 185—189.
[3] О двух сравнениях. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 1 A926), 37—39.
[4] О сумме, зависящей от простого числа формы 4т+1. ДАН (А), A927), 43—48.
[1]
[2]

БИБЛИОГРАФИЯ
[5] О некоторых суммах, зависящих от простых чисел. Л., Труды индустр. ин-та,
раздел физ.-матем., 3:1 A939), 43—49.
Ковнер С. С.
[1] Ueber einen Satz von Tchebyscheff-Minkowski. Матем. сб., 32 A925), 528—541.
К op ч и н с к и й Н. В.
[1] Об одном способе для решения сравнения. Днепропетровск, Научи, зап. ун-та,
25 A941), 9—10.
[2] Первообразные квадратичные вычеты. Днепропетровск, Научи, зап. унта,
- 25 A941), 11—16.
Констанди Г. В.
[1] О трансцендентных числах Лиувилля. Одесса, Учён. зап. высш. гак., 1 A921),.
49-59.
[2] Разложение иррациональных чисел в непрерывные дроби высших порядков
Одесса, Ж. НИ кафедр, 1:1 A923), 31—42.
Котляков Н. С.
[1] Sur quelques applications du calculdes residus a la theorie des nombres. Симферо-
Симферополь, Зап. матем. каб. Крымск. ун-та, 3 A921), 101—128.
[2] Ueber eine Summenformel. Math. Ann., 90 A923), 26—29.
[3] Ueber eine Zahlentheoretische Anwendung der Laguerreschen Polynome. Л., Ж.
физ.-матем. о-ва, 1 A927), 275—280.
[4] Sum-formulae containing numerical functions. Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 2: 1 A928),
53—74.
[5] Сумматорные формулы, содержащие числовые функции. Л., Ж. физ.-матем. о-ва,
2 : 1 A928), 75—76.
[6] Ueber die Summenformeln in quadratischen Zahlkorperr. Матем. сб., 35 A928),
221—236.
[7] Sur une integrate definie et son application a la theorie des formules sommatoires
Л., Ж. физ.-матем. о-ва, 2:2 A928), 123—130.
[8] Note on a sum-formula and its application. ДАН (А), A929), 209—214.
19] Ueber eine Verallgemeinerung der Ramanujan'schen Identitaten. ИАН, сер.
физ.-матем. A931), 1089—1102.
[Ю] О некоторых тождествах в аналитической теории чисел. ДАН, 2 A934), 342—345.
[11] О некоторых тождествах в квадратичнных числовых областях. ДАН, 2 A934),
524—531.
[12] О некоторых сумматорных формулах, имеющих приложение в теории чисел, 1.
ДАН, 3 A934), 401—404.
[13] О некоторых сумматорных формулах, имеющих приложение в теории чисел, II.
ДАН, 3 A934), 553—556.
[14] On an extension of some formulae of Ramanujan. Proc. London Math. Soc, 41 A936),
26—32.
[15] О некоторых формулах, относящихся к функциям ?(s) и ?2(*)- ДАН, 25 A939),
567—570.
[16] Применение преобразования Mellip'a к выводу некоторых сумматорных формул.
ИАН, сер. матем., о A941), 43—56.
Кравчук М. Ф.
[1] Новий довщ одшеТ теореми Мйжовського. Киев, Научн. зап., 2 A924), 66—70.
[2] Розподш первкних чисел по тдставлениях груп алгебр]'чного р1впяння. Киев,
Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 2 : 2 A927), 25—32.
Кречмар В. А.
[1] О некоторых сравнениях. ИАН, сер. физ.-матем. A928), 415—424.
[2] Ueber einen neuen Beweis eines Satzes von Oauss-Jacobi. Л., Ж. физ.-матем. о-ва,
2:2 A928), 98—103.
[3] Доказательство некоторых сравнений, принадлежащих Ramanujan'у- Труды
научно.-исслед. аэроин-та, 1 A931), 121—125.
[4] О свойствах делимости одной аддитивной функции. ИАН, сер физ.-матем. A933),
763—800.
[5] О верхнем пределе числа представлений целого числа некоторыми бинарными
формами четвёртой степени. ИАН, сер. матем. A939), 289—302.

74 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Круковский Б. В.
[1] Про числа псшбн1 до Бернул1ввих и Эйлерових. Псевдоконтаигенщальш числа.
Киев, Ж. ин-таматем. АН УССР, 1 A934), 43—62.
Кузнецов Г. П.
[I] Новая форма решения уравнения Пелля. Новочеркасск, Изв. Донск. политехи,
ин-та, 10 A926), 55—69.
Кузьмин Р. О.
[1] Успехи аналитической теории чисел. М., Труды Всерос. матем. съезда A927),
137—147.
[2] Об одном арифметическом свойстве алгебраических функций. Л., Изв. политехи.
ин-та. 30 A927), 107—112.
13] Об одной задаче Гаусса. ДАН (А), A928), 375—380.
[4] К теории совокупных диофантовых приближений. Л., Ж. физ.-матем. о-ва,
2:2 A928), 1—12.
[5] Об одном новом классе трансцендентных чисел. ИАН, сер. физ.-матем. A930),
585—597.
[6] О диофантовых приближениях к алгебраическим рациональностям. ДАН (А),
A930), 185—188.
О некоторых диофантовых приближениях. ДАН, 1 A933), 9—17.
О корнях функций Римана ?(s). ДАН, 2 A934), 398—400.
К теории рятов Дирихле L(s). ДАН, 3 A934), 560—564.
[
110
[П
О корнях рядов Дирихле. ИАН, сер. физ.-матем. A934), 1471—1492.
О распределении значений некоторых арифметических функций. ДАН, 15 A937)
117—120.
[12] О трансцендентных числах Гольдбаха. Л., Труды индустр. ин-та, раздел физ.
матем., 5:1 A938), 28—32.
Кулаков А. А.
[1] О числах вида ат ± Ьт- ДАН, 40 A943), 51—54.
Л и н н и к Ю. В.
fl] On certain results relating to positive ternary quadratic forms. Матем.
сб., 5 D7), A938), 453—472.
[2] Одна общая теорема о представлении чисел отдельными тернарными квадратич-
квадратичными формами. ИАН, сер. матем. A939), 87—110.
[3] Несколько новых теорем о представлении больших чисел отдельными положитель-
положительными тернарными квадратичными формами. ДАН, 24 A939), 211—213
[4] О представлении больших чисел положительными тернарными квадратичными
формами. ДАН, 25 A939), 578—580.
[5] О представлении больших чисел положительными тернарными квадратичными
формами. ИАН, сер. матем., 4 A940), 363—402.
[6] Большое решето. ДАН, 30 A941), 290—292.
[7] Новая оценка сумм \Уеу1'я по методу И. М. Виноградова. ДАН, 32 A941),
531—533.
[8
[9
110
[И
О суммах Weyl'H. ДАН, 34 A942), 201—203.
О разложении больших чисел на 7 кубов. ДАН, 36 A942), 179—180.
Замечание о наименьшем квадратичном невычете. ДАН, 36 A942), 131—132.
Пример одной последовательности, не образующей бинарного базиса. ДАН,
36 A942), 179—182.
[12] Об одной условной теореме I. E. Littlewood. ДАН, 37A942), 142—144.
[13] Новые оценки сумм Вейля по методу И. М. Виноградова. ИАН, сер. матем.,
6 A942), 41—70.
[14] On Erd6s's theorem on the addition of rumerical sequences. Матем. сб., 10 E2),
A942), 67—78.
[15] Свойства аналогии L-рядов Dirichlet и теоремы Siegel'fl о к (У —D). ДАН,
38 A943), 115—117.
[16] Нули/--рядов, степенные невычеты и число классов идеалов к (у—D). ДАН,
39 A943), 127—128.
[17] Связь расширенной Riemann'oBofi гипотезы с методом И. М. Виноградова в теории
простых чисел. ДАН, 41 A943), 152—154.
[18] On Weyl's sums. Матем. сб., 12 E4), A943), 28—39.

БИБЛИОГРАФИЯ 75
A91 On the representation of large numbers as sums of seven cubes. Матем. сб., 12E4),
A943), 220—224.
*[20] Элементарное решение проблемы Waring'a по методу Шнирельмана. Матем. сб.,
12 E4), A943), 225—230.
[21] О распределении характеров. ДАН, 42 A944), 337—339.
B2] О возможности обойти расширенную гипотезу Римана при изучении простых
чисел в прогрессиях. ДАН, 44 A944), 147—150.
[23] On Dirichlet's L-series and prime-number sums. Матем. сб., 15 E7), A944), 3—12.
124] On the least prime in an arithmetic progression, I. The basic theorem. Матем. сб.,
15 E7), A944), 139—178.
¦{25] On the least prime in an arithmetic progression, II. The Deuring-Heilbronn's pheno-
phenomenon. Матем. сб., 15 E9), A944), 347—368.
{26] Об одной теореме теории простых чисел. ДАН, 47 A945), 7—10.
[27] О возможности единого метода в некоторых вопросах аддитивной и дистрибутив-
дистрибутивной теории простых чисел. ДАН, 49 A945), 3 —7.
[28] On the characters of primes, 1. Матем. сб., 16 E8), A945), 110—120.
{291 Новое доказательство теоремы Гольдбаха-Виноградова. Матем. сб., 19 ;61),
A946), 3 — 8.
C0] О густоте нулей L-рядов. ИАН, сер. матем., 10 A946), 35 — 46.
[31] Ицея плотностей нулей L в теории простых чисел. Л., Вестн. ун-та, 2 A946),
40—42.
{32] О выражении L-рядов через ^-функции. ДАН, 57 A947), 435—437.
Линник Ю. В. и Реньи А. А.
[1] О некоторых гипотезах теории характеров Дирихле. ИАН, 11 A947;," 539—546.
Лотоцкий А. В.
[1] Об одном способе представления действительных чисел в виде бесконечных произ-
произведений. Иваново, Учён. зап. пед. ин-та, физ.-матем. ф-т, 1:1 A941), 27—35.
[2] Sur l'irrationalite d'un produit infini. Матем. сб., 12 E4), A943), 262 — 272.
Малеев В. А.
[1] О группах решений сравнения хзп-\-узп-\-гъ"—3x"y"zns0 по модулю, предста-
представляющему степень простого дели 1еля выражений: ж2—vz; у2—xz, z*—ху. Казань,
Изв. физ.-матем. о-ва C), 1 A926), 95—106.
B] О свойствах системы чисел, удовлетворяющих сравнению x3"-\-y3n-\-zs"—3x"y"z"=
е=0 (mod q*-m). Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 2 A927), 21—35.
J3] О последней теореме Fermat'a. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 2 A937),36—40.
[4] О композициях решений сравнения x*"+yzn+z3n—3x"y"znn=0 (mod^""). Томск,
Изв. ун-та, 79.2 A928), 103—113.
Марджанишвили К. К.
AГО6 одновременном представлении двух чисел суммами полных т- и л-степеней.
ДАН. 2 A936), 257—258.
[2] Об одновременном представлении л чисел суммами полных первых, вторых, ...,
л-х степеней. ИАН, сер. матем. A937), 609—631.
Оценка одной арифметической суммы. ДАН, 22 A939), 391—393.
Об одной системе диофантовых уравнений. ДАН, 22 A9^9), 471—474.
Об одной задаче аддитивной теории чисел. ИАН, сер. матем., 4 A940), 193—214.
К доказательству теоремы Гольдбаха-Виноградова. ДАН, 30 A941), 681—684.
Марджанишвили К. К. иСегал Б. И.
[1] Об одной оценке сумм Вейля. ДАН, 26 A940), 739—742.
Марков А. А.
jl] Опыт применения функции Е (entiere) к исследованию некоторых классов веще-
вещественных чисел. Воронеж, Труды ун-та, 3 A926), 222—239.
Маркушевич А. И.
ПГК вычислению символа Якоби. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 17 A928), 17—19.
[2] Об алгорифме Эйзенштейна. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 18 A929), 45—52.
Марчевский М Н.
{1] Прибор для ускоренного вычисления степенных вычетов по данному нечётному
первоначальному модулю. Хрк., Зап. матем. т-ва D). I A927), 25—31.

76 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Матвеев А.
|1) О функции, принимающей при целых т и к значение ?—-. Свердловск, Труды
Уральск, индустр. ин-та, 1 A936), 183—189.
Минин А, П.
[1] К вопросу о получении числовых тождеств с помощью числовых рядов. Матем.
сб., 32 A925), 220—232.
Мордухай-Болтовской Д. Д.
Ill Sur certaines categories de nombres transcendents. С R. Acad. Sci., 177 A923).
475—478.
[2] Sur la transcendance de ce et de certains autres nombres. C. R. Acad. Sci.,.
179 A924), 1020—1023.
[3] Sur rimplissibilite d'une relation algebrique entre я et e. C. R. Acad. Sci.,
179 A924), 1239—1242.
[41 О некоторых свойствах трансцендентных чисел первого класса. Матем. сб.,
34 A927), 55—100.
ф] О трансцендентных числах с последовательными приближениями, определяемыми
алгебраическими уравнениями. Матем. сб., 41 A934), 221—232.
[6] Заметка о гипертрансцендеитных числах. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. к
физ. ун-та, 4 A940), 117—118.
[7] Об условиях определяемости числа трансцендентными уравнениями некоторого
общего типа. ДАН, 52 A946), 487—490.
Мурзаев Е. А.
[1] О некоторых свойствах непрерывных дробей второго порядка по ближайшим це-
целым. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 3 A939), 58—85.
[2] Новое доказательство сходимости алгоритма Якоби. Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ
матем. и физ. ун-та, 3 A939), 86—92.
Нарышкин Е. А.
11] О числах, аналогичных числам Бернулли в одноклассных квадратичных областях
отрицательного дискриминанта. ИАН F), 19 A925), 145—314.
П а п к о в П. С.
[1] Алгоритм Евклида о произвольной квадратичной области. Ростов н/Д, Учён.
зап. ун-та, 1 A934), 15—60.
[2] Об одном приложении алгоритма Евклида в произвольной квадратичной области.
Ростов н/Д, Учён. зап. ун-та, 1 A934), 61—78.
C] О мнимых квадратичных областях с заданной группой идеальных классов. Ростов
н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 2 A938), 8—14.
[4] О мнимых квадратичных областях, допускающих только двойничные классы.
Тбилиси, Сообш. АН ГрССР, 5 A944), 88—592.
Парфентьев Н. Н.
[1] Sur quelques proprietes nouvelles de la fonction qui definit le nombre des nombres
premiers dans un interval donne etsur quelques relations entre les nombres premiers.
Казань, Изв. физ.-матем. о-ва B), 23A923), 12—14.
Подсыпании В. Д.
[1] Об одном неопределённом уравнении. ИАН, сер. матем.. 5 A941), 305—324.
[2] Об уравнении ах*+Ьхгу*— су%=-Л. Матем. сб., 18 F0), A946), 105—114.
Попов А. И.
[1] О некоторых формулах суммирования. ИАН, сер. физ.-матем. A934), 801—802.
[2] О некоторых результатах В. Бруна. ДАН, 2 A935), 194—196.
[31 Несколько рядов, содержащих простые .числа и корни ?(s). ДАН, 41 A943),
376—377.
[1] О базисах начального ряда. Матем. сб., 2 D4), A937), 595—598.
[2] О мультипликативных базисах натурального ряда. Матем. сб., 3D5), A938),
569—576.
[3] О распределении чисел, простые делители которых принадлежат заданной ариф-
арифметической прогрессии. Матем. сб., 4 D6), A938), 563—570.

БИБЛИОГРАФИЯ 77
[4] О
[5] Д
сложении множеств в смысле Шнирельмана. Матем. сб., 5D7), A939), 425—440.
Доказательство теоремы Л. Г. Шнирельмана о плотности арифметической суммы
множеств. Успехи матем. наук, 7 A940), 97—101.
Р о з е и с о н Н. А.
A) Некоторые неравенства из теории квадратичных форм. Л., Труды индустр. ин-та,
раздел физ.-матем., 4:2 A937), 85—93.
[2] О современных инвариантах системы квадратичных форм. Л., Труды индустр.
ин-та, раздел физ.-матем., 5:1 A938), 57—65.
Романов Н. П.
О двух теоремах аддитивной теории чисел. Матем. сб., 40 A933), 514—520.
Об одной теореме аддитивной теории чисел. М., Учён. зап. ун-та, 2:2 A934), 49—54.
Ueber einige Satze der additiven Zahlentheorie. Math. Ann., 109 A934), 668—678.
К проблеме Гольдбаха. Томск,Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 1:1 A935), 34—38.
Определение среднего квадратичного основной функции аддитивной теории чисел.
Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 2:1 A938), 13—37.
[6] О некоторых теоремах аддитивной теории чисел. Успехи матем. наук, 7 A940),
47—56.
[7] Об одной специальной ортогональной системе. ДАН, 40 A943), 294—295.
[8] Об одной специальной ортонормированнои системе и её связи с теорией простых
чисел. Матем. сб., 16 E8), A945), 353—364.
[9] Пространство Гильберта и теория чисел. ИАН, сер. матем., 10 A946), 3—34.
J10J Об определении средне-арифметических высшего порядка от основной функции
аддитивной теории чисел. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 3:1 A946),
128-144.
]11] Применение функционального анализа к вопросам распределения простых чисел.
Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, З.М A946), 145—173.
С а м б и к и н Н. П.
11] О разложении чисел л и г в непрерывные дроби при помощи гипергеометрического
ряда. Воронеж, Труды ун-та, 3 A926), 240—246.
С а м к о Г. П.
0 некоторых свойствах разложения действительной квадратичной иррациональ-
иррациональности в правильную непрерывную дробь. Ростов п/Д, Учён. зап. НИИ матем.
и физ. ун-та, 4 A940), 81—95.
С era л Б. И.
II] Обобщение теоремы Brim'а. ДАН (А), A930), 501—507.
{2J Об одной аддитивной проблеме. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 657—668.
[3] Распределение значений одной функции. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова,
4 A933), 37—48.,
[4] Об одной общей теореме аддитивной теории чисел. Труды физ.-матем. ин-та
им. Стеклова, 4 (-1933), 49—62.
[5] Применение теоремы о сумме дробных долей функции к решению одной аддитив-
* noil задачи. ДАН, 1 A933), 5—8.
[6] Об одной теореме, аналогичной теореме Варинга. ДАН, 1 A933), 47—49.
17] Общая теорема, выражающая некоторые свойства арифметических функций. ДАН,
1 A933), 95—99.
[8] Приближение к числам с помощью произведения степеней двух простых чисел.
ДАН (А), 4 A933), 39—44.
[9] Теорема Варинга для степеней с дробными и иррациональными показателями.
Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова. 5 A934). 79—86.
ПО] Проблема Варинга в теории чисел. Ж. Природа, 2 A934) 1—14.
[11] On some problems of the additive theory of numbers. Ann. of Math., 36 A935),
507—520.
[12] Непрерывные дроби. Матем. просвещ., 7 A936), 46—67.
[13] Зависимость между решением проблемы Варинга и оценкой тригонометрических
сумм. ДАН, 4 A936), 243—246.
[14] Решение проблемы Гольдбаха. Ж. Высш. школа, 7 A937), 24—29.
115] Теория чисел. «Матем. и естестп. в СССР», Изд. АН A938), 11—19.
A6] Новый тип диофантовых приближений. ДАН, 19 A938), 667—670.
[17] Приближение комплексных чисел суммой степеней целых чисел с данным ком-
комплексным показателем. Матем. сб., 5 D7), A939), 147—184.

78 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[18] Представление комплексных чисел суммами степеней многочлена. ИАН. сер.
матем. A939), 303—318.
[19] О целых числах с каноническим разложением определённого вида. ИАН, сер.
матем. A939), 51S—538.
[201 О некоторых последовательностях целых чисел. ИАН сер. матем., 4 A940),
319—334.
[21] Суммы характеров и их применение. ИАН, сер. матем., 5 A941), 401—410.
[22] Тригонометрические суммы и некоторые их применения в теории чисел. Успех»
матем. наук, 1:3—4 A3—14), A946). 147—193.
С к о п и н И. А.
[1] О распределении индексов по простому модулю. Л., Ж. физ.-матем. о-ва,.
2:1 A928), 82—93.
[2] О распределении дробных частей системы целых многочленов. ИАН, сер. матем.
A934), 547—560.
СкрылевВ. А.
[1] Конечные непрерывные дроби, образованные квадратичными иррациональ-
ностями. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 17 A940), 145—166.
Слугинов С. П.
[1] Теоремы Фермата и Вильсона. Пермь, Ж. физ.-матем. о-ва, 5:1 A930), 5 —19.
[2] Теорема Шонемана. Пермь, Учён. зап. ун-та, 1:1 A935), 27.
[3] Неопределённое уравнение первой степени с двумя неизвестными. Пермь, Учён.'
зап. ун-та, 1:1 A935), 28—31.
СоколинА. С,
[1] Об одной задаче Радо. ДАН, 26 A940), 868—869.
Соминский И. С.
[1] О приведении двойничных квадратичных форм по способу Зеллинга. Л., Учён,
зап. пед. ин-та, 28 A939), 147—170.
[2] Построение фундаментальной и основной областей арифметической группы авто-
автоморфизмов тройничной квадратичной неопределённой формы. Л., Учён. зап. ун-та,
сер. матем., 10 A940), 148—153.
Степанов В. В.
[1] Арифметическое доказательство одной теоремы Б. И. Сегала. ДАН, 16 A937),
75—76.
Сулаквелидзе К.
[1] Теория чисел. Тбилиси, Изд. ун-та A934), 1—133.
Сушкевич А. К.
II] Теория чисел. Хрк.—Киев, Изд. ДНТВУ A936), 1—249.
Тарасов С. А.
[1] Об алгорифме для обращения кубической иррациональности в непрерывную
дробь. Л., Труды ин-та точн. мех. и оптики, 1:1 A939), 155—160.
Тартаковский В. А.
[1] Ueber die L6sung der unbestimmten Gleichung xan — py*n = 1. Киев, Зап.
физ.-матем. отд. АН УССР, 1:2 A924), 39—43.
[2] Aufl6sung der Gleichung x4—py* = l. ИАН F), 20 A926), 301—324.
[3] Expression pour le nombre de representations d'un nombre par une forme quadrati-
que positive a plus de trois varaibles. С R. Acad. Sci., 186 A928), 1337—1340.
[4] La determination de totalite des nombres rep res en tables par une forme quadratique
positive a plus de quatre variables. С R. Acad. Sci., 186 A928), 1401—1403.
[5] La determination de totalit6 des nombres representables par une forme quadratique
positive quaternaires. С R. Acad. Sci., 186 A928), 1684—1687.
[6] Die Gesamtheit der Zahlen, die durch eine positive Quadratischeform F(x1(rx,,..:
..., xn) darstellbar sind. ИАН, сер. физ.-матем. A929), 111—122.
[7] Die Gesamtheit der Zahlen, die durch eine positive Quadratischeform F(x1( x2>...
..., xn) darstellbar sind. ИАН, сер. физ.-матем. A929), 165—196.

БИБЛИОГРАФИЯ
[8] Sur la representation d'un systeme de nombres par un systeme de formes quadratiques
additives positives. С R. Acad. Sci-, 192 A931), 907—910.
[9] La totalite des nombres representables par une forme indefinie generate quadratique
ou cubique. С R. Acad. Sci., 192 A931), 1072—1075.
[10] Die assymptotische Oesetze des «allgemeinen» Diophantischen Analise mit vieler»
Unbekannten. ИАН, сер. физ.-матем. A935), 483.
ill] О некоторых суммах типа Viggo Brun'a. ДАН, 23 A939), 122—126.
12] Метод избирательного приближённого решета. ДАН, 23 A939), 127—130.
13] Ограничение кубических чисел с заданными нормой и дискриминантом. Трудьь
матем. ин-та им. Стеклова, 11 A940).
[141 О числе решений, не находимых методом Axel Thue Труды матем. ин-та им. Стекло-
Стеклова, 11 A940).
[15] Пример регулярной, но неравномерной распределейности дробных частей функции-;
в интервале. Баку, Труды Азерб. ун-та, 5 A945), 84—88.
Трайнин Я. А.'
[1] О совершенных числах. Томск, Изв. НИИ матем. и мех. ун-та, 2:2 A938), 108—118
Фаддеев Д. К. _
[1] Об уравнении x*+ys=Az*. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 5 A934), 25—40.
[2] Об уравнении х*—Ау*=±\. Труды физ.-матем. ин-та им. Стеклова, 5 A934),
[3] Об уравнении ах*—Ьу*=а; а=\, 2, 4, 8. Л., Учён. зап. пед. ин-та, 28 A939),.
141—146.
Файнерман И. Д.
[1] Распределение простых чисел в свете положений последовательного процесса..
Киев, Сообщ. о иауч.-иссл. работе политехи, ин-та, 5 A946), 10—12.
Филиппов А.
II] К алгебре сравнений. Одесса, Учён. зап. высш. шк., 1 A921), 1—32.
[2] Заметка о простых числах Эйлера. Одесса, Учён. зап. высш. шк., 1 A921), 37—3d.
Хаглеев П. Ш.
[1] Об одной ортонормированной последовательности. ИАН, сер. матем., 10 A946),
271—276.
Хазанов М. В.
[1] К вопросу о великой теореме Ферма. Смоленск, Научн. изв. пед. ин-та, матем.
наука, 1 A932), 25—28.
Хайдуков П. И.
[1] Об одном типе числовых функций и их свойствах. Улан-Уде, Труды Бур.-Моиг..
пед. ин-та, 1 A940), 108—116.
Харадзе А. К.
[1] Sur les suites des nombres rationels analogues aux nombres de Bernoulli et d'Euler.
Тбилиси, Бюлл. ун-та, 7 A927), 248—253.
X и н ч и н А. Я.
[1] Об одном свойстве непрерывных дробей и его арифметических приложениях.
Иваново-Вознесенск, Изв. политехи, ин-та, 5 A922), 27—41.
[2] К вопросу о представлении числа в виде суммы двух простых чисел. Иваново-
Вознесенск, Изв. политехи, ин-та, 5 A922), 42—48.
[3] Ueber dyadische Bruche. Math. Z., 18 A923), 109—116.
[4] Ein Satz fiber KettenbrOche mit arithmetischen Anwendungen. Math. Z., 18 A923),.
289—306.
[5] Einige Satze tiber Kettenbriiche mit Anwendung auf die Theorie der Diophantischen
Approximationen. Math. Ann., 92 A924), 115—125.
[6] Об одном вопросе теории диофантовых приближений. Иваново-Вознесенск, Изв.
политехи, ин-та, 82 A925), 32—37.
[7] Ober die angeniherte Aufl6sung linearer Gleichungen in ganzen Zahlen. Матем^
сб., 32 A925), 203—219.
[8] Zur Theorie der diophantischen Approximationen. Матем. сб., 32A925), 277—278..

80 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[9] Bemerkung zur metrischen Theorie der Kettenbrfiche. Матем. сб., 32 A925),
326—329.
110] Zwei Bemerkungen zu einer Arbeit des Hcrrn Perron. Math. Z., 22 A925), 274—284.
fill Bemerkung zu meiner Abhandlung «Ein Safz iiber Kettenbriiche mit arithmetischen
Anwendungen», Math. Z., 22A925), 316.
[ 12] Obcr eine Klasse linearer diophantischen Approximationeri, Rend. circ. mat. Palermo,
50 A926), 170—195.
[13] Zur metrischen Theorie der diophantischen Approximationen. Math. Z., 24 A926),
706—714.
[14] Диофантовы приближения. М., Труды Всеросс. матем. съезда A927) 131—137.
[15] Ober Diophantische Approximationen hoheren Grades. Матем. сб. 34 A927)
109—112.
{16] Теория чисел. Очерк развития за время 1917—1927 гг. Матем. сб., 35A928), доп.
вып., 1—4.
[17] Ober die angenaherte Aufl6sung Gleichungen in ganzen Zahlen. Матем. сб., 35
A928), 31—33.
118] Великая теорема Ферма. М.—Л., ГТТИ A932), 1—52.
119] Zur addiiiven Zahlentheorie. Матем. сб., 39:3 A932), 27—34.
[20] Ober ein metrisches Problem der additiven Zahlentheorie. Матем. сб., 40 A933),
180-189.
[21] Цепные дроби. М.—Л., ОНТИ A935), 1-104.
[22] Metrische Kettenbruchprobleme. Сотр. Math., I A935), 361—382.
[23] Neuer Beweis und Verallgemeinerung eines Hurwitzschen Satzes. Math. Ann.,
Ill A935), 631—637.
[24] Метрические задачи теории иррациональных чисел. Успехи матем. наук, 1 A936),
7—32.
[25] Zur metrischen Kettenbruchtheorie. Сотр. Math., 3 A936), 276—285.
[26] Ober singuiare Zahlensysteme. Сотр. Math., 4 A937), 424—431.
[27] Ein Satz iiber binare diophantische Approximationen. Math. Ann., 113A937).
398—415.
[281 О сложении последовательностей натуральных чисел. Матем. сб., 6 D8), A939),
161—166.
[29] О сложении последовательностей натуральных чисел. Успехи матем. наук,
7 A940), 57—61.
|30] О задаче Чебышева. ИАН, сер. матем., 10 A946), 281—294.
.C11 Три жемчужины теории чисел. М.—Л., ГТТИ A947), 1—72.
[32] Об одном предельном случае анроксимационной теоремы Кронекера. ДАН,
56 A947), 563-565.
[33] Об одной общей теореме линейных диофантовых приближений ДАН, 56 A947),
679—681.
[34] Две теоремы, связанные с задачей Чебышева. ИАН, 11 A947), 105—110.
Чеботарёв Н. Г.
[1] Определение плотности совокупности простых чисел, принадлежащих к заданному
классу подстановок. ИАН F), 17 A923), 205—230.
[2] Определение плотности совокупности простых чисел, принадлежащих к заданному
классу подстановок. ИАН F), 17 A923), 231—250.
[3] Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge von Primzahlen, welche zu einer gege-
gegebenen Substitutionsklasse gehoren. Math. Ann., 95 A925), 191—228.
[4] Studien iiber Primzahlendichtigkeit, 1. Ober Grenzen, zwischen denen gewisse
Primzahlen liegen, die zu einer gegebenen Abteilung von Substitutionen gehoren.
Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 2 A927), 14—20.
[5] Ober Grenzen, zwischen denen gewisse Primzahlen liegen, die zu einer gegebenen
. Klasse von Substitutionen gehoren. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 3 A928).
1—17.
[6] Об одной теореме Минковского. Казань, Учён. зап. ун-та, 94:7 A934).
Чистяков И. И.
[1] Обобщение формулы Эйлера в теории чисел. М., Труды нефт. ин-та, 2 A940),
9—16.
Чудаков Н. Г.
[1] Заметка о росте функций. Саратов, Учён. зап. ун-та, 12:2 A934). 31.
[2] Заметка о распределении простых чисел. Саратов.Учён. зап. ун-та, 13:1A935) 79.
[3] О нулях функций ? (s). ДАН, 1 A936), 197—200.

БИБЛИОГРАФИЯ 81
[4] On zeros of Dirichlet's L-functions. Матем. сб., 1 D3), A936), 591—602.
[51 On the difference between two neighbouring prime numbers. Матем. сб., 1 D3),
A936), 799—814.
[61 Sur les zeros de la fonction С (s). С R. Acad. Sci., 202 A936), 191—193.
[7] О проблеме Гольбаха. ДАН, 17 A937). 331—334.
[8] О некоторых новых результатах в теории распределения простых чисел. Успехи
матем. наук, 3 A937), 239—246.
[9] О суммах \УеуГя. Матем. сб., 2D4), A937), 17—35.
[10] О функциях С (s) и и (х). ДАН, 21 A938), 525—426.
[11] О плотности совокупности чётных чисел, непредстави
у непредставимых как сумма двух нечёт-
нечётных простых. ИАН. сер. матем. A938), 25—40.
A2] О проблеме Гольбаха. Успехи матем. наук, 4 A938), 14—33.
J13] О теореме Зигеля. ИАН, сер. матем., 6 A942), 135—142.
[14] О некоторых суммах, встречающихся в аналитической теории чисел. ДАН,
42 A944), 340—343.
15] О нулях L-функций Дирихле. ДАН, 49 A945), 89—91.
16] О нулях функции L (s, X)- Матем. сб., 19 F1), A946), 47—56.
17] Введение в теорию L-функций Дирихле. М—Л., ГТТИ A947), 1-202.
18] О некоторых тригонометрических суммах, содержащих простые числа. ДАН,
58 A947), 1251—1294.
Шатровский Л. И.
[1] О минимальных базисах натурального ряда чисел. ИАН, сер. матем., 4 A940),
335—340.
[2] К вопросу о последовательностях, являющихся базисом натурального ряда чисел.
М., Учён. зап. пед. ин-та им. Либкнехта, 7 A940), 41—52.
[3] К вопросу о двух теоремах Эрдеша для множеств целых точек л-мерного про-
пространства. ИАН, сер. матем., 5 A941), 411—422.
[4] Новые обобщения теоремы Davenport'a Pillai о сложении классов вычетов. ДАН,
45 A944), 335—337.
[5] К теореме Эрдеша-Райкова. ИАН, сер. матем., 9 A945), 301—310.
Шнейдер В. Я.
[1] О целых положительных решениях одного неопределённого уравнения. Сверд-
Свердловск, Изв. Уральск, политехи, ин-та, 7 A929—1930), 1—6.
Шнирельман Л. Г.
[1] Об аддитивных свойствах чисел. Ростов н/Д, Изв. Донск. политехи, ин-та,
14:2—3 A930), 3—28
Ober additive Eigenschaften von Zahlen. Math. Ann., 107 A933), 649—690.
Об аддитивных свойствах чисел. Успехи матем. наук, 6 A939), 9—25.
On addition of sequences and sets. Матем. сб., 5 D7), A939), 211—215.
Простые числа. М.—Л., ГИТТЛ A940), 1—59.
Об аддитивных свойствах чисел. Успехи матем. наук, 7 A940), 7—46.
О сложении последовательностей. Успехи матем. наук, 7 A940), 62—63.
С Математика в СССР за 30 лет

АЛГЕБРА

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ).
Ш.
.Г.ЧЕБОТАРЁВ.
§ 1. Теория Галуа (86). § 2. Алгебраические числа (92). § 3. Расположение
корней уравнений на плоскости (98).
ятнадцать лет тому назад я составил подобную
же обзорную статью *), которая тогда охватывала всю
алгебру в целом. В настоящее время развитие алгебры
в СССР настолько продвинулось, что возникла необходи-
необходимость распределить материал алгебры по двум отдель-
отдельным статьям. Статья «Алгебра II» посвящена главным
образом теории групп и теории колец, получившим боль-
большое развитие благодаря школе Э. Нётер, а у. нас осо-
особенно развившейся в направлении теории дискретных бесконечных групп
(О. Ю. Шмидт и А. Г. К у р о ш). Настоящая же статья содержит
изложение результатов, относящихся к отделам алгебры, возникшим
ранее: теории Галуа, теории алгебраических чисел, а также теории распо-
расположения корней уравнений на плоскости комплексной переменной. Два,
последних из этих отделов, собственно говоря, относятся к алгебре лишь
частично; теория алгебраических чисел, с одной стороны, тесно связана
с теорией Галуа и потому может считаться отделом алгебры, с другой
же стороны, она содержит обобщения законов элементарной теории чи-,
сел иа иррациональные числа, в силу чего её естественно относить к тео-
теории чисел. Точно так же теория расположения корней, сто лет тому назад
составлявшая ядро алгебры, в настоящее время отходит к теории анали-
аналитических функций, поскольку и её результаты, и методы мало-помалу
распространяются на трансцендентные функции. Здесь сказывается, наряду
с общим процессом перегруппировки математических наук, неизбежным
при её росте и изменениях в понимании её задач, также особая роль, ко-
которую играет алгебра в ряду других дисциплин. Если мы проследим ход
развития математики, то увидим, что алгебра была колыбелью новых идей
и понятий, возникавших в математике. В дальнейшем эти идеи обобща-
обобщались и проникали в другие дисциплины, и лицо алгебры менялось от эпохи
к эпохе довольно быстро. Поэтому весьма трудно подыскать для алгебры
удовлетворительное определение. В связи с этим понятно, что более со-
*) Н. Г. Чеботарёв, Алгебра. Сборник «Наука в СССР за пятнадцать лет.
Математика». М.—Л., ГТТИ A932), 5—36. В дальнейшем для сокращения будет
обозначаться через AI.

86 АЛГЕБРА
временные отделы алгебры, рассматриваемые в статье «Алгебра II», явля-
являются более «алгебраическими». Однако и здесь мы наблюдаем перенос
таких понятий, как «идеал» и «структура», на другие отделы математики.
В направлений «Алгебра 1» руководящую роль в Союзе сохраняет
школа Д. А. Г р а в е. Темп развития этого направления не так быстр,
как направления, отнесённого к «Алгебра II». Однако, как мы увидим
ниже, в этом направлении у нас решено несколько основных проблем,
стоявших на очереди в современной математике, и иногда эти решения
давали толчки к дальнейшему развитию той или иной теории.
Настоящий обзор охватит развитие направления «Алгебра I» в СССР
за тридцать лет существования Советского государства. Однако резуль-
результаты, подробно рассмотренные в AI, будут только упомянуты.
Наш обзор не охватывает отдела линейной алгебры, поскольку в по-
последнее время этот отдел сделался почти всецело геометрической дисци-
дисциплиной (линейные вектор-функции). С другой же стороны, теория матриц
сделалась неотъемлемой принадлежностью некоторых более специальных
дисциплин (линейные дифференциальные уравнения, теория вероятно-
вероятностей, теория групп и т. д.), при обзоре которых она и должна быть рас-
рассмотрена.
§ 1. ТЕОРИЯ ГАЛУА.
1. Прежде всего рассмотрим работы по обоснованию теории Галуа.
В AI была детально описана диссертация С. О. Шатун о в с к ого [I],
в которой теория Галуа выводилась при помощи так называемых функ-
функциональных модулей. Здесь мы рассмотрим серию работ Б. Н. Д е л о-
не и Д. К. Фаддеев а, посвященных приложениям геометрических
методов к решению наиболее трудных задач теории Галуа.
Б. Н. Д е л о н е уже давно пользовался многомерными решётками
для исследований по теории алгебраических чисел. Именно, он сопоста-
сопоставлял с каждым алгебраическим числом а степени п точку л-мерного про-
пространства, считая её v-ой координатой v-oe сопряжённое с а число, если
оно вещественно, и считая её двумя координатами вещественную и мни-
мнимую части комплексно сопряжённой пары сопряжённых с а чисел. Перво-
Первоначально Б. Н. Делоне рассматривал точки, соответствующие целым
алгебраическим числам. Они образуют решётку, поскольку сумма и раз-
разность целых алгебраических чисел тоже являются таковыми. Кроме того,
он ввёл понятие произведения точек, разумея под этим точку, координаты
которой суть произведения координат точек множителей. Это дало воз-
возможность ему и его ученикам изучать единицы и идеалы алгебраических
полей (см. ниже). В дальнейшем Б. Н. Д е л о н е перешёл к рассмотре-
рассмотрению алгебраических чисел вообще. Исходя из надлежащим образом опре-
определённой решётки, он создал оригинальную геометрическую теорию,
представляющую собой обобщение теории Галуа на прямые суммы алгеб-
алгебраических полей в смысле теории алгебр. Все доказательства обычных
предложений теории Галуа построены геометрически. Подполям данного
поля соответствуют «биссектрисные» подпространства, «заполненные»
данной алгеброй, автоморфизмам группы Галуа —.«осесовмещения» нор-
нормальной, т. е. соответствующей нормальному полю алгебры, и т. д.
Описанная геометрия теории Галуа имеет многочисленные приложе-
приложения, многие из которых изложены в совместной статье Б. Н. Делоне
и Д. К. Ф а дд е е в а [2]. Самое простое из этих приложений —есте-

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 87
лэженное доказательство существования алгебраических полей п-й степени
с заданной.сигнатурой, т. е. числом комплексных пар среди сопряжён-
сопряжённых корней. Конечно, доказательство этого факта при помощи ранее изве-
известных методов не представило бы принципиальной трудности. Однако оно
не было проведено ни в одном из существующих больших курсов теории
алгебраических чисел.
В этой же статье (а также в более ранних статьях) выведена весьма
важная асимптотическая формула. Представим себе в л-мерном простран-
пространстве нанесёнными все точки, соответствующие целым алгебраическим
числам степени п и сигнатуры о. Число этих точек внутри гиперсферы
с центром в начале координат и радиусом г выражается асимптотической
формулой
n(n-M)
где vn>«—константа, весьма просто получаемая для каждых п,а (это объём,
вычисленный у Минковского), а 0 (...)—-известный символ Ландау.
Значительно большие трудности представляет вывод подобных асим-
асимптотических формул, если мы в пространстве нанесём точки, соответствую-
соответствующие целым числам, группа которых является делителем некоторой задан-
заданной группы. Идея получения таких асимптотических формул не нова: ещё
в 1916 г. мы с Б. Н. Делоне обсуждали возможность решения при их
помощи обратной задачи Галуа: найти алгебраические поля с заданной
группой Галуа. Первоначальный план состоял в подсчёте точек, которым
бы соответствовали уравнения с коэффициентами, не превышающими
заданного предела. Такой подсчёт весьма груб; он был впоследствии, неза-
независимо от нас, проведён Ван-дер-Варденом и показал, что даже в про-
простейших случаях он не приводит к нужному результату: в некоторых
случаях для группы и её подгруппы получаются одни и те же асимптоти-
асимптотические выражения. Значительный прогресс в этом направлении даёт идея
Б. Н. Д е л о н е: исследовать асимптотические формулы, аналогичные
предыдущей, но для данных групп Галуа. Для четырёх возможных групп
третьей степени это произвёл сам Б. Н. Д е л о н е, а для десяти групп
четвёртой степени —Д. К. Фаддеев (б]. Для этих групп он получил
следующие асимптотические формулы:
симметрическая группа: с^' + О (г9);
груцпа восьмого порядка: c2re log г+ 0 (г6);
группа четвёртого порядка: cj' +0(г*);
циклическая группа четвёртого порядка:
c5r*iogr+0(r*);
Vierergruppe: сяг* log3 r + 0 (г4 log2 r);
группа третьего порядка: с7т4 log г+0(г*);
группа второго порядка (содержащая транспо-
транспозицию):-с8г5+0 (г4);
группа второго порядка (содержащая двойную
транспозицию): ctr* log r + 0(r4);
единичная группа: clor4 + O(rs).
Однако для знакопеременной группы ему не удалось получить асим-
асимптотической формулы.
Вторая часть разбираемой статьи Б. Н. Д е л о н е и Д . К. Ф ад-
деева посвящена обратной задаче Галуа.Ставится следующая зада-
задача: заданы поле к с группой Галуа F и группа © с нормальным делите-

88 АЛГЕБРА
лем 9Z и фактор-группой ®/98, изоморфной с F. Требуется расширить
поле к до поля К, группа которого была бы изоморфна с ©. Эта задача
носит название задачи погр/жения *). В рассматриваемой статье доказы-
доказывается, что задача имеет положительное решение при любом поле к, если
только 9Z абелева группа, а расширение полупрямое, т. е. © содержит
изоморфную с F подгруппу F' такого рода,что F • 91 = ©. Случай, когда
•К—циклическая группа простого порядка, разобран Б. Н. Делоне,
общий случай —Д. К. Ф а д д е е в ы м. Этот результат даёт возмож-
возможность решить обратную задачу Галуа для гораздо более обширного
класса разрешимых групп, чем это было сделано ранее Шольцем.
Далее, статья содержит общие условия погружаемости при заданных
к и ©.принадлежащие Д. К. Фа д д е е в у. Они названы только необхо-
необходимыми; но они делаются также достаточными, если принять гипотезу
о существовании решений для обратной задачи Галуа (или доказать её
справедливость другим путём).
Условия погружаемости выражены тремя различными способами,
из которых первые два имеют место при любых к и @, а третий в том слу-
случае, если Ш—абелева группа. Для формулировки этих условий надо
ввести в рассмотрение так называемое скрещенное произведение ©хЛ,
т. е. сопоставить с элементами о группы @ элементы и, алгебры JJ x»u»
(ив1 • u,s = ип • и,2, хи„ = и„ • х"),
где х«—элемент х поля к, подвергнутый действию автоморфизма о. Полу-
Получается полупростая алгебра.
Чтобы к погружалось в поле с группой ©, необходимо одно из двух:
1) Скрещенное произведение ©xfc должно допускать представление
матрицами порядка g (g—no рядок группы ©) с коэффициентами из
области рациональности R, причём матрицы, соответствующие коль-
кольцу Ш • к, должны образовать представление этого кольца, эквивалентное
регулярному.
2) В групповом кольце 9? • к должно существовать g элементов U
(где о с ®), удовлетворяющих условиям Щ • /„„ = /Я102; /т = у, если чс91-
Если при атом 0J есть абелева группа, то эти условия могут быть
заменены следующим: :
3) Алгебра ©xft должна быть полным кольцом матриц над своим
центром.
В заключение доказано, что если fft есть циклическая группа порядка
р*, то условие 3) является также достаточным.
2. В AI (стр. 10—12) была описана статья Н. Г. Чеботарёва,
приводящая обратную задачу Галуа к проблеме Люрота для функций
многих переменных или к некоторой диофантовой проблеме, т.е. к нахо-
нахождению целочисленных точек на гиперповерхности, заведомо содержащей
рациональные точки. Н. А. Л е д н ё в [2], исходя из построения римановой
поверхности с наперёд заданными критическими точками, привёл обрат-
обратную задачу Галуа к нахождению на гиперповерхности рациональных то-
точек или, в более общем случае, точек, координаты которых принадлежат
заданному полю к, играющему роль области рациональности для подле-
подлежащего построению уравнения.
3. Н. В. Во л ни на [1] решила вопрос о разложении полино-
полиномов внутри заданного иррационального поля на неприводимые множи-
*) Задача ставилась и раньше; например, в статье Н. Т< Чеботарёва [ 17};

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 89
Конечно, этот вопрос и ранее мог быть решён методами теории
fanya. Но ценность метода Н. В. Волниной заключается в том,
wo ои не пользуется теорией Галуа, а основан на теореме Ландсберга *)
в разложении двух полиномов на неприводимые множители пропорцио-
лвлькых степеней при присоединении к области рациональности корня
другого из разлагаемых полиномов. Теорема Ландсбер была доказана
Бауэром **) без помощи теории Галуа. Н. В. Волнина выяснила, что
идея метода Бауера содержит удобный алгоритм для решения постав-
поставленной задачи. Её результат имеет важное методическое значение, особен-
особенно в применении к методу Мертенса-Шатуновского обоснования теории
Галуа, в котором, как известно, с самого начала надо построить систему
«сноввых модулей, неприводимых в некоторых иррациональных полях.
4. Отметим также исследования Н. Г. Чеботарёва [21, 22]
и А. В. Дороднова [1]по квадрируемым луночкам. Вопрос о них
был поднят ещё в античные времена. Клаузен ***) высказал предположе-
предположение, что квадрируемых луночек (т. е. могущих быть построенными цир-
циркулем и линейкой и площадь которых тоже может быть найдена при
помощи циркуля и линейки) существует всего конечное число типов.
Если выразить отношение угловых мер кругов, ограничивающих луночку,
несократимой дробью ™ , то, по Клаузену, таковыми являются следую-
следующие типы:
т—2\ т=3\ т=3\ /п=5\ т=5\
п=1{, п=\], л =2/, л=1/, п=3/.
Вводя соизмеримость этого отношения как дополнительную гипотезу,
Ландау ****) доказал, что если т есть простое число, то оно должно
бить гауссовым. Чакалов *****) показал, что при /л=17 луночка fie
цежет быть квадрируемой, а также доказал несколько общих предло-
предложений. Задача была им приведена к вопросу, при каких целых и взаимно
простых значениях т, п уравнение
Р)'=» A)
имеет рациональные множители, группа Галуа которых имеет вид 2е?
И. Г. Чеботарёв [22] применил к решению этой задачи разло-
разложение корней уравнения A) в р-адические ряды, учитывая, что если т,п
дают квадрируемую луночку, то показатели при степенях р в этия разло-
^Жениях, будучи дробными числами, могут иметь в свои* знаменателях
только степени двойки. Это дало ему возможность показать, что при
^дополнительном предположении о нечётности тип гипотеза Клау-
'звт справедлива, если не считать случая т =9, л=1, при котором один
кз множителей уравнения A) имеет группу Галуа требуемого типа, но
|фвводит к мнимой луночке.
А. В. Дородное в цитированной работе продолжал исследова-
иия Н. Г. Чеботарёва, разобрав случай, когда одно из чисел т, п
чвгное. Его исследования в существенных чертах были произведены тем
*) Journ. reine u. angew. Math., 132.
**) Journ. reine. u. angew. Math., 163.
***) Journ. reine u. angew. Math., 21 A840).
***•) Sitzber. Berl. Math. Ges., 2 A903).
****•) Math, г., 30 A929).

90 АЛГЕБРА
же методом. Однако ему не удалось решить до конца эту задачу, в его
случае несравненно более трудную, чем в случае Н. Г. Чебота-
Чеботарёва; группа случаев, оставшаяся неисследованной, — весьма частная:
т есть степень двойки, а п—.гауссово простое число. В самое последнее
время А. В. Дороднову удалось до конца решить и эту задачу.
А. В. Дородное занимался также более общей задачей: найти
тип, при которых уравнение A) имеет множитель, порядок группы Галуа
которого есть произведение степени двойки на степень тройки (эта задача
соответствует построению луночки при помощи прибора, вычерчивающего
конические сечения). И здесь А. В. Дородное довёл до конца иссле-
исследование подавляющего большинства случаев. Для некоторых из них он
доказал, что благоприятных значений тип может быть только конечное
число, но не указал, каковы эти значения.
5- В AI уже указывалось, что предложенная Клейном проблема ре-
резольвент была приведена Н. Г. Чеботарёвым [14] к задаче одева-
одевания конечной группы группой Ли, представляемой в пространстве возмож-
возможно меньшего числа измерений. При этом для проблемы Клейна в при-
применении к уравнениям общего типа с переменными коэффициентами пред-
представлялось вероятным весьма неутешительное решение задачи, согласий
которому наименьшее число параметров, входящих в резольвенту, только
на три единицы меньше, чем степень уравнения. Впоследствии Н. Г. Че-
ботарёв [19] изложил свои исследования в более совершенном виде.
В этой статье высказанное только что предположение опиралось на вы-
высказанную в диссертации Э. Картана A894) гипотезу, согласно которой
все подгруппы максимального порядка у простой группы Ли регулярны,
т. е. допускают некоторое весьма простое построение при помощи векто-
векторов, определяющих группу Ли. В 1938 г. эта гипотеза была доказана
Н. Г. Чеботарёвым [33] и тем самым показаны невозможность зна-
значительно снизить число параметров в резольвенте типа Клейна, а также
глубокое различие между проблемами резольвент в смысле Клейна и в
смысле Гильберта.
6. В 1943 г. Н. Г.Ч еботарёв [45] предложил новую формули-
формулировку проблемы резольвент. Она состоит в следующем. Пусть даны два
уравнения одной и той же степени л:
коэффициенты каждого из которых пусть зависят от некоторого числа
параметров. Будем называть одно из них резольвентой другого в том
случае, если параметры обоих можно поставить в такую функциональную
зависимость, что при всевозможных изменениях их значений корни
обоих уравнений будут изменяться в согласии между собой. Последнее,
означает, что каждый корень одного уравнения можно поставить в соот-
соответствие определённому корню другого уравнения (например, обозначив;
соответственные корни одними и теми же индексами). Если параметры^
опишут в комплексном пространстве замкнутые пути, то при этом корни
обоих уравнений претерпят одну и ту же подстановку. Проблема резолы
вент состоит в нахождении по данному первому уравнению второго (ре*
зольвенты), у которого число входящих в коэффициенты параметров:
было бы возможно меньшим.
Оказалось, что в такой формулировке проблема резольвент содержит
проблему резольвент Гильберта "как частный случай. Кроме того, оказа-
оказалось, что два уравнения, являющиеся резольвентами одно по отношению

АЛГЕБРА I (АЛГЕЕРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 91
*| Другому, имеют одинаковую структуру своих «критических многообра-
многообразий». Под этим надо разуметь следующее. Пусть уравнение/(х)=0 содер-
bfOjlT т параметров. Считая их значения комплексными числами, мы будем
¦Сопоставлятьс ними точки 2т-мерного пространства. Каждой такой точке
«будет соответствовать п корней уравнения f(x)=O. Будем называть кри-
таческим многообразием совокупность таких точек пространства, которым
соответствует хотя бы один кратный корень нашего уравнения. Уравне-
Уравнения критического многообразия получатся, если приравнять нулю веще-
вещественную и мнимую части выражения дискриминанта нашего уравнения;
критическое многообразие B/п—2)-мерно.
Критическое многообразие в свою очередь содержит «высшие» крити-
критические многообразия, в точках которых кратны большее число корней.
Эти содержат ещё более высокие критические многообразия и т. д. Полу-
Получаются цепочки из содержащих друг друга критических многообразий,
причём размерность каждого из последующих на две единицы ниже размер-
лости предыдущего.
При некоторых дополнительных предположениях число звеньев в
цепочках критических многообразий остаётся тем же самым для резоль-
резольвенты. Отсюда нетрудно сделать вывод: если уравнению /(х)=0 соответ-
соответствует хотя бы одна цепочка критических многообразий, состоящая
т s звеньев, то резольвента этого уравнения не может содержать
менее s параметров. К сожалению, до сих пор не удалось эту теорему
обратить. Возможно, что, кроме числа звеньев в цепочках критических
Лногооэразий, придётся принять во внимание и другие инварианты.
Своеобразна техника получения критических многообразий. Для
этого, обозначая корни уравнения/(х)= 0 через хг, х„, .;.,хп, надо соста-
составить форму
-f • • • + xantn),
где f,. U, ..., tn—'Новые переменные, а подстановки
/1, 2, ...,п \
\а,, а2, ..., anj
пробегают группу Галуа уравнения. Чтобы узнать, лежит ли данная точка
на критическом многообразии, определяемом соотношениями
Xj = Хг — • • • — Xjtj, X/,j4-l = . . . = Ха-2, . . •,
яужнв положить в выражении формы
...+tkt = 0, ...
Получаемая форма Ф$ тогда должна обратиться в нуль.
Этот результат, применённый к уравнению п-й степени ^переменными
Коэффициентами (включив в область рациональности \f D, где D—ди-
D—дискриминант уравнения, можно привести его группу Галуа к знакоперемен-
знакопеременной), даёт для наименьшего числа параметров в резольвенте значение
s =
Это значение для малых значений п совпадает с полученными Гильбертом
значениями s за исключением значений для л=5 и п=8.

92 АЛГЕБРА
7. По теории Галуа Н. Г. Чеботарёвым было написано две книги:
«Основы теории Галуа» [21, 27] и «Теория Галуа» [23]. Из них первая
в своей первой части является учебным курсом, в котором в основу поло-
положена теория Мертенса-Шатуновского- Вторая часть посвящена алгебраи-
алгебраическим числам. Вторая из этих книг является обзорной монографией
с большим литературным указателем.
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА.
Теория алгебраических чисел лежит на границе алгебры и теории
чисел: с одной стороны, она смикается с теорией Галуа; с другой же сто-
стороны, она представляет собой естественное обобщение элементарной тео-
теории чисел и пользуется некоторыми результатами и методами аналити-
аналитической теории чисел. Поскольку большая часть полученных в СССР ре-
результатов по теории алгебраических чисел связана с теорией Галуа, я
решил включить теорию алгебраических чисел в настоящую статью.
1. Н. Г. Ч е б о т а р ё в [1, 7] доказал сделанное в 1896 г. Фробе-
ниусом *) предположение о существовании простых чисел, принадлежащих
к заданному классу подстановок в заданном алгебраическом поле (см.
AI). Это предположение, а также употреблённый при его доказательстве
метод присоединения к заданному полю побочных полей деления круга дал
возможность Артину **) доказать так называемый общий закон взаимности
для относительно абелевых полей. Этот закон взаимности состоит в том,
что относительная группа Галуа относительно абелева поля изоморфна
с группой идеальных классов основного поля, относительно которой наше
абелево поле есть поле классов. При этом каждую подстановку относитель-
относительной группы можно сопоставить с определённым идеальным классом в том
смысле, что простой идеал основного поля принадлежит к подстановке
тогда и только тогда, если он лежит в соответствующем ей классе. Это
сопоставление носит характер изоморфизма: произведению соответствует
произведение.
2. Закон Артина дал толчок к дальнейшему развитию теории полей
классов. Гассе, а затем Шевалле, перестроили теорию полей классов.
Последний поставил себе задачу построить теорию полей классов, не поль-
пользуясь трансцендентными средствами (теорией С-функций), при помощи ко-
которых доказывалось существование простых идеалов, удовлетворяющих
тем или иным условиям. Пользование трансцендентными средствами ли-
лишает решение эффективности. Для достижения этой цели Шевалле широ-
широко пользуется локальной теорией полей классов. В частности, он предла-
предлагает новое понятие «иделя», который представляет собой совокупность,
определённых р-адических разложений по всем простым р независимо от
того, соответствует этой совокупности элемент поля или нет.
А. М. М е р к у л о в [1] изложил теорию иделей, в общем следуя
Шевалле, но значительно упростив изложение. Именно, он предложил
элементарный метод построения фундаментального базиса р-адической
расширения относительно поля, что дало ему возможность не пользо-
пользоваться общей теорией локальных полей. Кроме того, он доказал основные
теоремы о группах иделей, не пользуясь понятием производной поля.
*) Sitzber. Preuss. Akad.. 5 A895), 689—705.
**) Hamb. Abh., 5 A927), 359—3&3.

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 93
связано с теорией характеров бесконечных абелевых групп
в. Дйдает наложение весьма сложным,
х-. 8. Поскольку теория полей классов дала возможность глубоко изу-
щпь относительно абелевы расширения алгебраических полей, предста-
МЯедо весьма заманчивым распространить эту теорию на относительно
неабелевы расширения. На этом пути основным затруднением является
то, что трудно обобщить понятие идеального класса таким образом, чтобы
Хрущ/ал этих классов не была коммутативной. В настоящее время было
сделано несколько попыток обобщить в этом направлении так называемую
SWOAwyio теорию полей классов. Локальная теория полей классов была
«строена Шевалле. Она состоит в изучении относительно абелевых рас-
шретя р-адических алгебраических полей. Непосредственная связь
% понятием идеального класса здесь теряется, но тем не менее локальная
теория строится но законам, аналогичным законам конечной теории,
вр имеющим гораздо более простые формулировки. Шевалле даже поль-
пользуется результатами локальной теории для построения конечной теории
волей классов.
И. Р. Ш а ф а р е в и ч [3] даёт наиболее общее описание ^-расшире-
^-расширений р-адического поля к при помощи его числовой группы и группы Галуа.
Он представляет последнюю как фактор-группу свободной группы из па-^1
образующих, где л,—степень поля к- Отсюда, как следствие, получается:
чтобы р-группа могла быть относительной группой Галуа р-расшире-
р-расширения заданного р-адичеасого поля, необходимо и достаточно, чтобы она
могла быть представлена не более чем через п0 + 1 образующих элементов.
Этот результат получается при помощи теории свободных бесконечных
групп. Далее автор подсчитывает число различных:* ^-расширений поля к
с заданной группой Галуа. Этот подсчёт основан на подсчёте систем ин-
транзитивности голоморфа этой группы. Наконец, автор доказывает для
рассматриваемого типа расширений Теорему о погружении: если даны
tyyaw ® а поле к, группа Галуа которого гомоморфна группе @, то поле к
может быть расширено до поля К с группой Галуа, изоморфной с ©.
Доказательство основано на очень интересной теореме теории групп:
два изоморфных нормальных делателя свободной р-группы переводятся
друг в друга автоморфизмом тогда и только тогдц, если их фактор-груп-
ш изоморфны.
В своих результатах И. Р. Шафаревич вводит существенное огра-
ограничение: поле к не должно содержать р-ых корней ив единицы. По этому же
вопросу имеются более ранние исследования Красиера*).
4. Н. Г. Чеботарёв посвятил две работы [5,12] изучению абсо-
абсолютной группы Галуа поля классов в узком смысле этого слова, т. е.
абедера поля, неразветвлённого над полем к. В основу исследования по-
положена открытая им ранее «арифметическая теорема монодромии»:
квмпотт всех групп инерции нормального поля есть вся группа Галуа
того поля.
Эта теорема должна накладывать известные ограничения на абсолют-
абсолютную группу Галуа поля классов. В самом деле, если К есть абсолютно
нормальное, относительно абелево и неразветвлённое поле над к, то груп-
группы инерции полей км К изоморфны, а вместе с тем их композиты воспроиз-
«одят группу Галуа полей к и К. Из этого, например, сразу вытекает, что
группа Галуа поля К не может быть циклической.
*) С. R. ACad. Sci., 206 A938), 1534—1536; 1696—1699; 1940—1942.

94 АЛГЕБРА
Автор рассматривает нормальное поле к, а также наименьшее абсо-
абсолютно нормальное полеКр, содержащее относительно циклическое нераэ»
ветвлённое над к поле степени р, где р—простое число. Пусть ©' будет
абсолютная группа Галуа поля Кр, пусть поле к принадлежит к её нор-
нормальному делителю S&, который является абелевой р-группой, и пусть
где @ — группа Галуа поля к. Далее, пусть 9? есть наибольшая подгруппа
группы @', элементы которой перестановочны с элементами группы ф,-
и пусть К„—принадлежащее к 9? поле. Наконец, пусть ? есть какая-нибудь
группа инерции поля Кр относительно поля Кп,? есть её норма, т. е. наи-
наименьший содержащий %' нормальный делитель группы 9? и Щ композит
всех групп %. Тогда имеет место один из следующих четырёх случаев:
1) -Й = g. Будем тогда говорить, что Кр есть собственное поле классов.
2) 92>?, но $ взаимно проста с ЭД}. Тогда Кр есть несобственное
поле классов.
3) 9?>? и одна из групп ?' не взаимно проста с ?. Тогда Кр есть цент
ральное поле классов.
4) 9?>?, все группы %' взаимно просты с $, но их композит Щ не вза-
взаимно прост с $. Тогда Кп есть родовое поле классов.
Каждому из этих случаев соответствует определённое ограничение,
налагаемое на число р. Именно, в случае 1) группа ® есть делитель голо-
морфа группы ^. Если последняя есть абелева группа v-членного типа
(р,р,...,р), то порядок g группы (SJ есть делитель числа
В частности, если v=l, то
р—:l(mod g).
Это, однако, возможно только для полей деления круга. Вообще имеет
место
v<g,
за исключением случая двойного конуса восьмого порядка.
В случае 2) вопрос приводится к рассмотрению поля классов той же
относительной степени, но над истинным подполем (тоже нормальным)
поля к. Мы придём таким образом или к случаю 1), или к случаю 2).
Продолжая процесс, мы в конце концов придём к случаю 1).
В случае 3) возможно лишь конечное число типов групп ^, определяе-
определяемых структурой группы @. Это вытекает из следующей теоремы теории
групп: пусть группа Щ есть композит элементов Q,, Q3, .... Qm, причё»
в эту систему пусть наряду с каждым Q, входят все сопряжённые с ни*
элементы. Далее, пусть задана группа %', обладающая следующими свой-
свойствами:
1) ($>' имеет такой нормальный делитель ^, что фактор-группа @'Д
изоморфна с @,
2) ф содержится в центре группы E5',
3) ©' есть композит некоторых элементов Q'lt Q'2, ..., Qm, переходи
щих в Qlt Qz,.... Qm, при отображении ©'—»C$, причём порядок каждог1
Q't равен порядку Qt. Тогда @' изоморфна с некоторой фактор-группой опре-
определённой конечной группы, вполне определяемой заданием структур*
группы Щ.

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 95
В случае 4) все поля Кр определяются заданием числа множителей,
ко которые разлагается дискриминант поля к.
t-у. Вработе об относительно абелевых полях Н. Г. Ч ебота рёв [17] ис-
%№дует особый тип групп (названный им шольцееыми группами), для
которых задача погружения (названная им задачей А) всегда имеет
ращение.
¦ 5. Все идеалы поля Л, рассматриваемые как идеалы его поля классов
$,. являются главными идеалами. Этот факт, получивший название «теоре-
«теоремы о главных идеалах», был впервые доказан Фуртвенглером в 1929 г.
Е$го доказательство основано на рассмотрении относительной группы
цоля Ki/K, где Ki—поле классов поля К и вытекает из некоторых нетри-
нетривиальных свойств двустепенных групп, к которым принадлежит группа
поля KJK. Обобщая этот результат, Н. Г. Чеботарёв [18] рассмо-
рассмотрел вопрос о группе идеальных классов поля к, рассматриваемых как
классы частичного поля классов. Ему удалось привести этот вопрос тоже
к теории двустепенных групп и дать алгоритм его решения. Повидимому,
этот вопрос не допускает решения, которое могло бы быть просто сформу-
сформулировано.
6. В теории единиц алгебраических полей, а также её приложений
к диофантову анализу, фундаментальные результаты были получены
U. Н. Д е л о н е. Эти результаты были разбросаны по многочисленным
журнальным статьям, а впоследствии собраны в монографии Б. Н. Д е л о-
н е и Д. К. Ф а д д е е в а [1]. Хотя она посвящена кубическим полям
и полям четвёртой степени, но разработанные в ней методы имеют гораздо
более широкое поле приложении, что уже начинает проявляться в работах
учеников Б. Н. Делоне, в которых были использованы изложенные
в этой книге методы. Поэтому мы считаем целесообразным подробно
остановиться на содержании монографии.
В первой главе этой монографии излагается теория решёток,
повторяющихся умножением. Эту теорию мы уже описывали в § 1.
Вторая глава посвящена элементарным вычислениям, связанным
с Кубическими полями: задаче Чирнгаузена, прямой и обратной, нахо-
нахождению фундаментального базиса, разложению простых чисел^на простые
идеалы и определению группы классов кубического поля. В конце главы
приложены таблицы уравнений с их базисами, дискриминантами и числами
классов.
В третьей главе теория решёток применяется к табуляризации
и классификации полей третьей и четвёртой степеней. Приводят-
Приводятся таблицы полей и колец, расположенных в порядке возраста-
возрастания дискриминанта. Дана геометрическая теория двойничных кубических
форм. Выводится интересная теорема В. А. Тартаковского:
существует лишь конечное число кубических единиц с ограниченным дискри-
дискриминантом. Наконец, проводится классификация полей четвёртой степени
в зависимости от групп Галуа и дискриминантов.
В четвёртой главе изложен алгоритм Вороного для нахождения основ-
основных единиц кубических колец. Как и у Вороного, отдельно разобраны слу-
случаи колец, порождаемых уравнениями с вещественными корнями (слу-
(случай О>0)и уравнениями с парой комплексных корней (D < 0), поскольку
для них существенно различны и алгоритмы, и результаты (в первом слу-
случае две основные единицы, во втором случае-^одна). В отличие от Воро-
Вороного, оба алгоритма изложены геометрически, при помощи теории решёток,
в которых разыскиваются так называемые относительные минимумы.

96 АЛГЕБРА
Приложена таблица единиц полей с ?)<0, составленная Б. Н. Делоне
и К. Я. Латышевой, а также таблица А-А. Маркова (старшего)
единиц чисто кубических полей.
Пятая глава посвящена теореме Туэ о конечности числа решений не-
неопределённого уравнения
/(*, У) = т, A)
где левая часть—форма выше второй степени. Основное изложение ведётся
для произвольной степени, но леммы о существовании так называемого
заградительного ряда доказываются только для кубических форм. При-
Приводимое изложение является переработкой В. А. Т а р т а к о в с к о го,
которому также принадлежит улучшение оценки верхней границы для
решений. Приведена также в улучшенном виде теорема Зигеля о числе
решений.
В шестой главе излагаются известные исследования Б. Н. Д е л о н е
по неопределённым уравнениям, посвященные алгоритму решения не-
неопределённого уравнения A), где левая часть—кубическая форма отри-
отрицательного дискриминанта, а также дополнения к ним, данные В. А. Т а р-
таковским, Д. К. Фаддеевым и Нагеллем. Б. Н.Делоне
привёл задачу к нахождению двучленных единиц в кубических кольцах,
а йта задача решается всегда, кроме некоторых исключительных случаев.
В. А. ТартаковекиЙ[1] приложил аналогичный приём к решению
уравнения
Это уравнение решено в монографии методом Д. К. Фаддеева [2], име-
имеющем преимущество втом, что ои не допускает исключений, в то время
как способ В. А. Т артековского не даёт ответа в случае Д=15.
Далее дана известная теорема Б. Н. Д е л .о н е о том, что уравнение A)
имеет не более няти решений. Приведены таблицы решений. Изложена
(по Вейлю) теория Морделла о рациональных точках на кривых третьего
порядка.
7. Как мы уже уцадонали, Б. И. Делоне расшифровал геоме-
геометрический смысл алгоритма .предложенного в 1896 г. Вороным для нахо-
нахождения основных единиц в кубических полях. Алгоритм Вороного долгое
время не поддавался распространению на поля высших степеней, посколь-
поскольку он включает в себя соображения, связанные с приведением бинар-
бинарных квадратичных форм. С другой стороны, были предложены другие ал-
алгоритмы (например, Минковского и Шарва), которые в принципе можно
было бы распространить на любые степени, но которые настолько сложны
на практике, что при их помощи не вычислялись единицы даже для куби-
кубических полей, кроме простых разрозненных примеров. В работе
К. К. Биллевича [1] даётся алгоритм, оперирующий теми же сред-
средствами, что и алгоритм Вороного (решётки, относительные минимум»),
но приложимый к полям любых степеней. Заметим, что алгоритм
Биллевича впервые позволил составлять таблицы единиц для полей,
содержащих более одной основной единицы. К. К. Биллевич соста-
составил две таблицы: для чисто вещественных полей третьей степени (до
D = 1296) и для чиетовещественных полей четвёртой степени (до D = 7168).
8. Работа Н. А. Леднёва [1] посвящена обобщениям Двух изве-
известных теорем Куммера-Гильберта о структуре единиц относительно цикли->
ческих полей. Первая из них, о существовании особой системы относитель-
относительных единиц, обобщена в двух направлениях: вместо расширения простой

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 97
степени рассматривается циклическое расширение простой степени; кро-
кроне того, вместо группы единиц типа В1-' рассматривается несколько
более общая группа единиц.
Вторая теорема Куммера-Гильберта утверждает, что основная систе-
система единиц максимального вещественного подполя поля R (С), где
t, — e l , I—нечётное простое число, является также основной системой
единиц поля /?(С). Она тоже обобщена в двух направлениях: во-первых,
вместо поля рациональных чисел R берётся произвольное вполне веще-
вещественное поле, дискриминант которого не делится на /, во-вторых, вместо
1-Х корней из единицы рассматриваются Jft-e. Из этих результатов вытекает
теорема Эрбрана для случая циклического расширения основного поля.
9. В. А. К у р б а т о в посвятил свою работу [1] полиномам, дающим
подстановки для бесконечного множества простых модулей. Говорят, что
целочисленный полином/(х) даёт подстановку по модулю р, если числа
/(v) (v=0,1, .... р— 1) несравнимы друг с другом по модулю р. Диксон
нашёл, кроме полиномов
ах+Ь, х" (п, р-1)=1,
ещё полиномы
дающие подстановки для бесчисленного множества простых модулей.
Здесь Т„ (х)=cos (narccosx)—полином Чебышева. И. Шур показал, что
в случае простого п, кроме указанных полиномов и их комбинаций, не
существует полиномов степени п, дающих подстановки для бесчислен-
бесчисленного множества простых модулей. Такого рода степени он назвал дик-
соновыми числами. Вегнер показал, что произведения двух простых чи-
чисел, а также степени простых чисел являются диксоновыми числами.
В. А. К у р б а т о в [1] получил более общий-критерий для того, чтобы
число п было диксоновым, причём п в этом случае может быть про-
произведением многих простых чисел.
10. В заметке Д. С. Г о р ш к о в а [1] даётся необходимое и достаточ-
достаточное условие для того, чтобы элементы кубического поля могли быть пред-
.ставлены симметрическими матрицами с рациональными коэффициентами.
'Для квадратичных полей для этого необходимо и достаточно, чтобы их
дискриминанты выражались в виде сумм двух квадратов. Критерий
Д. С. Горшкова состоит в существовании целых элементов поля,
связанных равенством
— * Т--4——-и-
11. В 1925 г. Н. Г. Чеботарёв в бытность в Геттингене по пред-
предложению Островского доказал, что ни один из миноров определителя
Вандермонда, составленного из р-х корней из единицы, где р-^простое
число, не равен нулю. Это доказательство помещено в статье Остров-
Островского*). Оно состоит в следующем. Пусть
*) Jahresber. DMV, 35 A926), 269—280.
^ Математика в СССР за 30 лет

98 АЛГЕБРА
2ni
= г р , а1, <х2, ..., а,к и р1( р,,..., pft —две системы чисел, взятых
из ряда О, 1, ..., р —¦ 1. Полагая в = 1 + я и разлагая Д по степеням я,
получим член, делящийся на наименьшую степень я такого вида:
а~~ 1! 2! ...(Л —1I я
Поскольку я1*-1 точно делится на первую степень р, а наш коэффициент
не делится на р, А не может быть равно нулю.
Впоследствии это доказательство было упрощено А. М. Данилев-
Данилевским [2].
§ 3. РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ
НА ПЛОСКОСТИ.
1. Этот отдел алгебры имеет в качестве основной задачи нахождение
неравенств, которым должны подчиняться коэффициенты уравнения для
того, чтобы его корни лежали в той или в другой части плоскости ком-
комплексной переменной. Эта задача, первоначально формулированная как
чисто алгебраическая, впоследствии утратила свой алгебраический харак-
характер, по существу слившись с отделом теории аналитических функций,
носящим название проблемы коэффициентов. В своей чисто алгебраи-
алгебраической части эта задача в принципе была решена после создания Кронеке-
ром его теории характеристик, по которой Н. Г. Четаевым была
недавно написана небольшая монография [1]. Однако отдельные случаи
этой задачи (проблемы Рауза-Гурвица и Шура-Кона) до сих пор рассма-
рассматриваются в литературе главным образом с целью улучшить форуму, в ко-
которой даётся решение. Это особенно относится к проблеме Рауза-Гурвица,
в силу её значения в решении некоторых вопросов техники.
В настоящем параграфе мы не будем ограничивать себя рамками чисто
алгебраической задачи, поскольку её наиболее интересная и принципиаль-
принципиальная часть касается трансцендентных функций.
2. Связующим звеном между алгебраической и трансцендентной
частями этой задачи является проблема продолжаемых полиномов,которая
в общем виде формулируется так:
Каким неравенствам должны быть подчинены коэффициенты
полинома
... +anz"
для того, чтобы существовал полином
корни которого лежали бы на заданном множестве ЭД? точек плоскости
комплексной пер еменной?
Эта задача имеет чисто алгебраический характер, если мы дополни-;
тельно ограничим степень т. Если же не связывать т никакими огран
ничениями, то, как мы убедимся, задача выходит из рамок алгебры. Так пй
и будем поступать. Тогда при некотором обобщении формулировки (имен-]
но, мы должны потребовать, вместо ограничения на корни, чтобы сам п<к

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 99
лином F (z) обладал заданными свойствами) задача продолжаемых поли-
полиномов есть не что иное, как проблема коэффициентов в уточнённой фор-
формулировке. Возьмём для определённости, как пример, задачу Каратеодо-
ри: условия для коэффициентов разложения функции, принимающей внут-
внутри единичного круга значения, вещественные части которых положитель-
положительны. Первое условие связывает первые два коэффициента, второе условие—
три, и т. д. Что значит, что первые л+1 коэффициентов функции удовле-
удовлетворяют условиям Каратеодори? То, что отрезок разложения функции,
полином л-й степени, может быть продолжен так, чтобы получаемая при
этом функция имела положительную вещественную часть внутри единич-
единичного круга. При этом не имеет существенного значения, продолжаем ли
полином до функции, или до полинома неограниченно высокой степени.
Заметим, что ту или другую проблему коэффициентов можно считать
вполне решённой только тогда, если решена соответствующая ей про-
проблема продолжаемых полиномов.
В частности, задача продолжаемых полиномов включает в себя
общую проблему коэффициентов однолистной функции. В самом деле, что-
чтобы функция
была однолистна внутриуединичного круга, необходимо и достаточно,
чтобы функция
sin28 , i sin36 ,.4.
не имела внутри единичного круга нулей, каково бы ни было значение
нараметра 6. Таким образом проблема приводится к продолжению поли-
полинома
нома
до полинома такого же вида, имеющего все корни вне единичного круга.
Здесь фигурирует только параметр 6.
: Н. Г. Чеботарёв во вводных статьях [25, 34] ставит задачу в об-
обдан виде, а также даёт некоторые указания для решения её отдельных
'Видов: беря в качестве множества ЭД? вещественную ось R (^-продолжа-
(^-продолжаемые полиномы) или единичную окружность К (К-продолжаемые по-
,ДИномы).
!у 3. Н. Н. М е им а н [3, 4] решил задачу R-продолжаемых полиномов.
;9га задача может быть приведена к следующей.
- Заданы вещественные числа su s2, ..., sn. Требуется найти т веще-
вещественных чисел а1г а,, ..., а.т (число т произвольно), удовлетворяющих
системе уравнений
Если считать slt s2, ..., sn декартовыми координатами п-мерного
пространства, каждой точке которого соответствует полином л-й степени,
то точки, соответствующие ^-продолжаемым полиномам, порождают тело,
образованное параллельным переносом кривой
о е, t с i3 с tn
¦ ij t, Oj », ...,Jn — I .
7*

100 АЛГЕБРА
Основная трудность задачи состоит в определении границ этого тела.
При л = 2ип =3 вопрос решается легко: при я=2 тело характеризуется
неравенством
sa>0,
а при п = 3 — неравенством
si > si.
Однако, как показал Н. Н. М е й м а н, при «>4 граница тела состоит
из бесчисленного множества алгебраических гиперповерхностей. Для
каждой точки тела существует параметрическое представление, которое
Н. Н.Мейман назвал каноническим. Оно имеет вид
s*«-fcd? + 0,u*+...+?na* (?=1,2, ...,«),
причём ut > u, >.. • > u,,. > 0 > u^-fi > .. ¦ un и коэффициенты ^г, стоящие
на начётных местах от ц=0, равны единице, а остальные ^ равны произ-
произвольным целым неотрицательным числам. При этом Н. Н. М е й м а н
доказал, что координаты всякой точки тела допускают одно единственное
каноническое представление. Указан также алгоритм, позволяющий при
помощи конечного числа действий решить, соответствует ли заданная
точка R-продолжаемому полиному или нет.
4. С проблемой R-продолжаемых полиномов тесно связана проблема
/^-интегрируемых полиномов.
Задан полином
п
с вещественными корнями (необходимое условие для возможности реше-
решения задачи). В каких случаях можно, проинтегрировав его т раз
(т произвольно), подобрать константы интегрирования так, чтобы полу-
получился полином с вещественными корнями?
Если задача решается положительно, то заданный полином назы-
называется /?-интегрируемым. Н. Г. Чеботарёв [26,41] показал: для
того чтобы заданный полином был R-интегрируемым, необходимо и доста-
достаточно, чтобы полином
..+nl anxn
выл R-продолжаем.
5. По методу решения к проблеме R-продолжаемых полиномов близка
проблема Н-продолжаемых полиномов, т. е. полиномов, которые после
продолжения могут быть сделаны Н-полиномами или, что то же, полино-
полиномами, имеющими все корни левее мнимой оси. В печатающейся сейчас
работе Н. Г. Чеботарёв предложил построение, могущее привести
к решению проблемы и опирающееся на решение проблемы /?-продолжае-
мых полиномов. Однако алгоритма решения проблемы дано не было.
Вообще существуют основания полагать, что проблема Я-продолжаемых
полиномов имеет более простое решение, чем проблема /^-продолжаемых
полиномов.
Для низших степеней известно следующее.
Вещественные квадратные и кубические полиномы Я-продолжаемы
только тогда, если они сами являются Я-полиномами.
Для полиномов четвёртой степени это уже не имеет места.
6. В этом цикле проблем особое место занимает проблема К-продол-
жаемых полиномов, где под К мы понимаем множество точек, порождаю-

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ)
101
щих замкнутую кривую, охватывающую начало координат.. Эта пробле-
проблема при самых широких предположениях имеет положительное решение.
Впервые это было доказано Л. И. Г а в р и л о в ы м [1] для случая, ког-
когда/С— окружность с центром в начале координат. Впоследствии Л. И. Г а в-
рилов [2] дал более простое доказательство этого факта со способом
эффективного построения продолжения. В одной из своих дальнейших
статей [3] он показал, что всякий полином останется К-продолжаемым,
если под К разуметь единичную окружность, из которой выбрано произ-
произвольное множество точек меры нуль. В другой статье [4] он показал, что
в качестве К можно взять произвольную дугу на единичной окружности,
к которой добавлено множество точек, всюду плотное на оставшейся дуге
окружности. В совместной статье Л. И. Гаврилова и Н. Г. Чебо-
Чеботарёва [1] доказан этот факт для произвольной окружности, внутри
которой расположено начало координат. Наконец, Н. Г. Чебота-
Чеботарёв [36] доказал его для произвольной замкнутой спрямляемой кривой,
внутри которой находится начало координат. Для простоты вывода кри-
кривая предположена звездообразной относительно начала координат.
7. Н. Г. Чеботарёв [2] распространил понятие результанта
на целые трансцендентные функции. Для этого он воспользовался теоре-
теоремой Адамара о том, что полюсы функции aobo + a1b1z+ ... являются попар-
попарными произведениями полюсов функций а0 -f a^z + • -. и ba+blz+...
Эта теорема позволила ему построить результант функций /(z) и g (—) ,
где /(z) и g(z)—целые функции. Такой способ построения результанта
встречается в несколько ином виде ещё у Лагранжа (см. Н. Г. Ч е б о-
f a p ё в [24], стр. 29^31).
Впоследствии Н. Г. Чеботарёв [11] применил этот способ к вы-
выводу условий однолистности аналитической функции внутри единичного
круга.
8. Критерий вещественности корней полинома
состоит в положительности вариант
Sp-i
B2p-i
(p=l,2, .... n),
?де sk — суммы степеней корней, находимые при помощи рекуррентных
формул Ньютона. Этот критерий распространялся многими авторами на
Целые трансцендентные функции. В частности, критерий Н. Г. Чебо-
Чеботарёва [10], состоящий в положительности вариант
при всяком р и при достаточно большом (растущем вместе с р) чётном т
является необходимым и достаточным условием вещественности нулей
для любой целой функции с вещественными коэффициентами.

102 АЛГЕБРА
Ранее был известен критерий Громмера *) тех же вариант, но при
фиксированном чётном т. Его выполнение необходимо и достаточно для
того, чтобы заданная целая функция имела только вещественные корни и,
кроме того, была функцией определённого конечного порядка. Упроще-
Упрощению вывода этого критерия были посвящены статьи Н. Г. Чебо-
Чеботарёва [10], М. Ф. Кравчука [12], М. Г. К р е й н а **)
и Н. Н. МеЙмана [1,2].
9. В цитированной статье Громмер также перенёс на целые трансцен-
трансцендентные функции критерий Рауза-Гурвица, необходимый и достаточный
для того, чтобы все корни полинома имели отрицательные вещественные
части. Его обобщение справедливо только для функций порядка нуль.
Фудживара***) предложил критерий для функций порядков нуль и
единица. Однако М. Г. К р е й н показал, что выводы Громмера и Фуд-
жизара содержат ошибочные рассуждения. В частности, Громмер не
учёл возможности, что данная функция и сопряжённая с ней могут иметь
общие нули.
В той же статье М. Г. К р е й н получил критерий представимости
вещественной целой функции
в форме*;
где е (z) — произвольная вещественная целая функция, a g(z) — веще-
вещественная целая функция, все нули которой лежат левее мнимой оси и удо-
удовлетворяющая некоторым дополнительным условиям. Критерий состоит
в положительности последовательных главных миноров матрицы
с, с0 О О О О
с, с2 с, с0 О О
Се С4 С3 С3 Сх Со
Если притом заранее известно, что/(х) и /(—z) не имеют общих нулей,
то приведённый критерий необходим и достаточен для того, чтобы все
нули f(z) лежали левее мнимой оси.
Н. Г. Чеботарёв [10] предложил другой критерий, справедли-
справедливый для любой вещественной целой функции, не имеющей равных по
модулю, но не сопряжённых корней. Более того, он даёт возможность опре-
определять число корней из т наименьших по модулю, которые лежат правее
и левее мнимой оси.
10. Все упомянутые критерии состоят из бесконечного числа нера-
неравенств и потому неприменимы к задаваемым конкретным функциям.
Вместе с тем ясно, что этим недостатком обладают не только уже извест-
известные критерии, но по необходимости должен обладать всякий мыслимый
критерий, справедливый для всех целых функций или хотя бы для всех
целых функций определённого конечного порядка. В самом деле, такого
рода целые функции зависят от бесконечного числа параметров (например,
*) Journ. reine u. angew. Math., 144 A914).
**) См. книгу Н. И. А х и е з е р а и М. Г. К р е й н а «О некоторых вопросах
теории моментов», Хрк. A938), 208—252.
***) T6hoku Math. Journ., 25 A925), 27—35.

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) ЮЗ
коэффициентов их разложения в ряд) и вместе с тем могут иметь бесчи-
бесчисленное множество нулей, так что расположение последних левее мнимой
феи не может быть обусловлено конечным числом неравенств.
Вместе с тем вопросы техники (устойчивость механизмов регулиро-
регулирования в гидравлике и электродинамике, содержащих связи запаздываю-
запаздывающего действия) потребовали эффективного решения проблемы Рауза-Гур-
вица для квазиполиномов, т. е. целых функций типа
> /(х,«х),
где /(и, v) — полином от двух переменных. Поскольку квазиполиномы
содержат конечное число параметров, можно было ожидать, что проблема
имеет эффективное решение, т. е. состоящее из конечного числа равенств
цли неравенств. В результате коллективных усилий Б. Я. Левина,
Н. Н. Меймана, Л. С. Понтрягина, В. Н. Цапырина
и Н. Г. Чеботарёва таковое действительно было найдено.
¦ 11.:Н. Г. Чеботарёв [42, 43] модифицировал проблему Рауза-
Гурвица. Именно, он положил
&eg(z), h(z)— вещественные функции, и определил класс функций /(z),
для которых нули функций
йри всяком достаточно малом s лежат выше вещественной оси. Этот класс
.^Же класса целых функций с нулями левее мнимой оси. Он характери-
.зуется так называемыми условиями Эрмита- Билера; все кул»функций g (z)
;tt h(z) должны быть вещественны, перемежаться, и по крайней мере для
'Одного нуля а функции g (z) должно иметь место
А (») ^П
g'(") ^
Ц, И, Левин [1] и Н. Н. Мейман [5,6], пользуясь большим аппа-
ргом теории аналитических функций, изучили природу мероморфных
|^-', которым соответствуют целые функции / (z) из только что
ценного в рассмотрение узкого класса, который Н. Н. Мейман
классом ЯВ-функций. В частности, доказано, что частное |^
ЯВ-функций разлагается в каноническое произведение такого типа:
Р1й flv и ftv вещественны и av < ^v < «v+i < *v+i-
12. Л. С. П о н т р я г и н [19] доказал, что для квазиполиномов
г 1 некоторых дополнительных условиях имеет место критерий Эрмита-
клера. Б. Я. Л е в и н и Н. Н." Мейман распространили этот
ультат на более общий класс функций
/v (z) — полиномы, a «>v — произвольные вещественные числа.

104 АЛГЕБРА
В той же статье Л. С. Понтрягин предложил способ конста-
констатирования вещественности нулей тригонометрического квазиполинома
/(z, cos z, sin z), где f{z, и, v) — полином степени г относительно z и сте-
степени s относительно и и v вместе. Для этого он доказал, что этот квази-
квазиполином имеет 4ks + г нулей, вещественные части которых лежат в грани-
границах между — 2itfc+s и 2кк+е, гдецелоечисло к достаточно велико. Таким
образом, чтобы все нули квазиполинома / (z, cos z, sin z) были вещественны,
необходимо и достаточно, чтобы -при достаточно большом к он имел
^-интервале (— 2-кк + е, 2кк-\-&) 4ks+r вещественных нулей.
13. Для определения числа вещественных нулей тригонометриче-
тригонометрического квазиполинома, лежащих внутри данного интервала (а, Ь),
Н. Г. Чеботарёв [40] предложил приём, представляющий собой
обобщение метода Штурма. Он составляет штурмов ряд для квазиполи-
квазиполинома и его производной, считая их полиномами от свободно входящего z,
a cos z и sinz включая в коэффициенты. Последний член такого ряда
является не константой, а чисто тригонометрическим полиномом, нули
которого определить нетрудно. Этот ряд даёт возможность подсчитать
нули способом, подобным способу Штурма, но с учётом нулей последнего
члена, а также значений z, в которых обращаются в нуль соседние члены
штурмова ряда. Беря а = — 2пк + е, Ь = 2кк + е, где к достаточно
велико, мы получим для искомого числа нулей линейное относительно к
выражение: pk+q. Все корни квазиполинома вещественны в том
и только в том случае, если p—4s, q — r.
Чтобы решить проблему Рауза-Гурвица для квазиполинома /(z),
надо положить
где g(z), h (z)—тригонометрические квазиполиномы. Далее, надо соста-
составить описанным образом ряд Штурма, полагая V— — g(z), Vl=h(z).
Чтобы выполнялись условия Эрмита-Билера, т. е. чтобы все нули функ-
функций g (z) и h (z) были вещественны и перемежались, необходимо и доста-
достаточно, чтобы величина, вычисленная для этого ряда Штурма по тем же
правилам, по которым мы вычисляли число вещественных нулей функ-
функции g(z) в интервале ( —2яА: + 8> 2тс# + е) при помощи ряда Штурма,
начинающегося с V — g(z), V\ = g'(z), была тоже равна 4sk + r.
14. Поскольку эффективное решение проблемы Рауза-Гурвица необ-
необходимо для технических потребностей, представлялось целесообразным
выразить это решение, хотя бы для небольших значений г и s в виде
явных неравенств. Эта задача была выполнена А. Н. Хованским[1]
для г— 1, s= 1, Н. Г. Чеботарёвым и В. Н. Цапыриным
для r = 2, s=l. H. Г. Чеботарёв решил проблему для квазиполи-
квазиполиномов вида
(а„ + a,z + fl,2!) ch z + (b0 + bYz + baz2) sh'z A)
с положительными коэффициентами а„ bt. Его решение может быть дано
в следующем виде. Рассмотрим вспомогательное уравнение
где
А = аоа\аг> B = a1b1(a0b2 + atb0)~(a0bi — a2b0J, C = bob\b2.
Условие вещественности его корней может быть представлено так:

АЛГЕБРА I (АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ И ПОЛЕЙ) 105
Если эти корни комплексны, то все нули полинома имеют отрицательные
вещественные части. Если же — вещественны, то, обозначая через ^ и т2
те из корней, которые лежат между 0 и у, мы получим следующее
дополнительное условие:
^П = Г -.t I (aoft2-ai,fto)tg';,1
где символ [х] обозначает наибольшее целое число, не превышающее х.
В. Н. Цапырин [1] решил проблему Рауза-Гурвица для полино-
полиномов A) с коэффициентами всевозможных знаков.
Н. Н. Мейман и Н. Г. Чеботарёв приготовили к печати
большую монографию по проблеме Рауза-Гурвица, в которой собраны все
описанные результаты. В виде дополнения к ней приложена статья
Г. С. Бархина и А. Н. Хованского, в которой проблема решена
для квазиполиномов с г = 3, s = 1.
15. В AI были описаны статьи М. Г. К р е й н а [1], Д. А. Г р а в е [3]
И С. А. Гершгорина [1], посвященные расположению корней на
плоскости комплексной переменной. Много интересных статей по этой
мме не описано в настоящем обзоре, поскольку автор не располагает нуж-
йой литературой.
16. В заключение упомянем о двух интересных работах А. А. М а р-
Кова [3,4]. В первой из них автор обобщает знаменитый результат
Артина и Шрейера о представимости рациональных функций от многих
беременных, принимающих при вещественных значениях аргументов
|«йько неотрицательные значения, в виде сумм квадратов рациональных
функций. Это обобщение состоит в следующем: если рациональная функ-
Щ* f(xi> Х2> • •>> хп) принимает неотрицательные значения при веще-
Штнт значениях х1У xt, ..., хп, для которых имеет место
/v(xi, х , х„)>0 (v= 1, 2, ..., т),
Ш /м тоже рациональные функции, то она допускает представление
Ш Чу — рйциональные функции, а е^ — полиномы с неотрицательными
Щзффициентами. Автор доказывает это предложение, опираясь на методы
^результаты Артина и Шрейера.
~ ¦ #о второй работе даётся алгоритм для нахождения числа веществен-
fttt корней уравнения /(?) = 0, удовлетворяющих неравенствам /v (?)> О,
Ще f, Д,—полиномы с рациональными коэффициентами.

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ).
А. Г. КУРОШ.
§ 1. Общий обзор A06). § 2. Прямые произведения групп A09). § 3. Свобод-
Свободные группы и свободные произведения группA11). § 4. Абелевы группы A13).
§ 5. Периодические группы. Бесконечные разрешимые и специальные
группы A15). § 6. Конечные группы A19). § 7. Другие вопросы теории
групп A22). § 8. Общая теория алгебраических систем с одной операцией
A24). § 9. Теория колец и алгебр A27). § 10. Теория структур A31).
§ 1. ОБЩИЙ ОБЗОР.
лгебра разделена в настоящем Сборнике на две статьи, из.
которых первая посвящена теории Галуа, теории алгебра-,
ических чисел, а также теории расположения корней урав-
уравнений на плоскости комплексного переменного, а втек
рая —теории групп, теории колец и смежным вопросам..
Не следует считать это разделение покоящимся на серь-
серьёзных научных основах — оно даже не вполне соответствует
тому делению алгебры на «классическую» и «современную», к которому
привыкли многие математики. Впрочем, само противопоставление ал-,
гебры современной (или новой) алгебре классической (или старой)-
основано на недоразумении. В действительности, подобно тому как
развитие теории алгебраических уравнений с необходимостью привело
к возникновению теории алгебраических числовых полей и теории
конечных групп, дальнейшее развитие алгебры и всей математики в це-.
лом сделало вполне закономерным переход к общей теории полей и к тео-.
рии бесконечных групп, а также .возникновение и бурное развитие,
теории колец. Столь же закономерно появление теории структур, офор-
оформившейся в самостоятельную ветвь алгебры лишь в самые "последние.
годы, но до этого долго вызревавшей в недрах других областей мате-:!
матики, притом не только алгебраических. Несомненно, что все' эти1
отделы алгебры будут приобретать постепенно для широких кругов мате-
математиков характер «классических» ветвей науки —и по отношению к тео-
теории групп и теории колец начала этого уже можно заметить,—в то время
как естественное развитие алгебры и, главное, потребности и опыт смеж-
смежных отделов науки приведут к появлению новых объектов алгебраиче-
алгебраического изучения, а позже, нужно думать, и к новому полному пересмотру
предмета и задач алгебры.
Выделение в Сборнике в особую статью исследований советских
учёных по группам, кольцам и структурам вполне оправдывается,

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 107
однако, местом, которое заняли эти исследования в советской матема-
математике за последние десять-пятнадцать лет. В этих областях алгебры
сейчас работают многие советские математики, составляющие при всём
разнообразии тем и направлений, по существу, единый научный кол-
коллектив. За эти годы ими достигнут ряд серьёзных успехов, а в неко-
некоторых направлениях, в которых работа ведётся у нас систематически,
исследования советских учёных уже оказывают заметное, а иногда
9 решающее влияние на работы зарубежных алгебраистов. Во всяком
случае, сейчас при оценке успехов всей советской математики, успехов
весьма значительных, лучшие достижения советских алгебраистов в тео-
теории групп и теории колец не могут не приниматься во внимание. Наконец,
происходит постоянный приток новых молодых сил к исследованиям
в этих областях, причём столь интенсивный, что лишь весьма немногие
ветви советской математики могут сравниваться с алгеброй в этом
отношении.
- Начало теоретико-групповых исследований в нашей стране связано
сименем О. Ю. Шм и д та. Первые работы О. Ю. Шмидта по теории групп
относятся к 1912—-1913 гг., а в 1916 г. вышла его книга «Абстрактная
Теория групп» (переиздана в 1933 г.-)*), оказавшая позже очень большое
влияние на формирование советской теоретико-групповой школы. Эта
рига, посвященная в основном теории конечных групп и содержавшая
^овейшие (для своего времени) достижения этой науки, впервые в мировой
литературе излагала основы теории групп без предположения о конечности
Групп, т. е. была более прогрессивной, чем выходившие значительно позже
Книги западноевропейских и американских алгебраистов. Исследования
§. Ю. Шмидта по теории групп продолжались, и в дальнейшем, однако,
до самого конца двадцатых годов эта ветвь алгебры не привлекала у нас
Новых исследователей, а из работ в смежных областях можно указать лишь
на исследования А. К. С у ш к е в и ч а по обобщениям понятия группы,
систематизированные в его монографии «Теория обобщённых групп»
•(JE937 г.)**).
4, Весной 1930 г. О. Ю. Шмидт организовал при Московском универ-
университете семинар, объединивший нескольких молодых алгебраистов, пре-
преимущественно из числа его учеников, уже начавших к этому времени иссле-
ания в области конечных групп. Этим было положено начало система-
Лиеской и, можно сказать, массовой работе советских математиков над
" аросами теории групп. Семинар пополнялся затем новыми участниками,
|лавным образом учениками его основных членов, и вскоре превратился
|ааучный центр, с которым в большей или меньшей степени были связаны
ice дальнейшие исследования советских алгебраистов по теории групп,
встепенно развивавшиеся и вне Москвы —в Ленинграде, Свердловске и,
|нее систематично, в некоторых других городах; так, отметим образо-
дешийся к концу тридцатых годов в Ленинграде коллектив молодых тео-
ко-групповиков, учеников В. А. Тартаковского.
Результатом этой деятельности явилось большое число работ по раз-
§рным вопросам теории конечных групп. С другой стороны, развернулись
фирокие исследования по общей теории (бесконечных) групп, затронув-
затронувшие почти все части этой теории и оказавшие заметное влияние на её сегод-
|яшнее состояние. Эти исследования получили отражение в посвящён-
*) См. О. Ю. Шмидт [5].
**) См. А. К. С у ш к е в и ч [20].

108 АЛГЕБРА
ной общей теории групп книге А. Г. К у р о ш а «Теория групп» A944 г.,.
закончена в 1940 г.)*).
Великая Отечественная война отразилась на интенсивности исследо-
исследований по теории групп —многие молодые алгебраисты с оружием в руках
защищали родину, некоторые были заняты работами по оборонной науч-
научной тематике. В результате войны мы навсегда потеряли нескольких
талантливых молодых учёных, уже сделавших свой первый вклад в науку,
иногда весьма значительный, но далеко не успевших развернуть и тем
более исчерпать свои возможности и силы. Тем не менее работа над теоре-
теоретико-групповыми проблемами продолжалась даже в самые трудные годы,
в условиях эвакуации, к ним привлекались новые начинающие учёные,
и теория групп продолжает оставаться и сейчас в центре интересов
советских алгебраистов.
В отличие от теории групп, в теории колец и алгебр наша наука ещё
не имеет сколько-нибудь сложившихся традиций, не имеет своих опреде-
определившихся направлений. Если не считать очень значительных работ
Ф. Э. М о л и н а (Юрьев, затем Томск) по теории гиперкомплекснызг
систем (т. е. алгебр конечного ранга), относящихся к концу прошлого века
и не оказавших никакого влияния на дальнейшее развитие алгебры в нашей
стране, то все исследования по теории колец приходятся у нас на послед-
последние десять-двенадцать лет. Оставаясь пока, как правило, территориально
связанными с Москвой, эти исследования постепенно расширяют свою-
тематику и уже привели к некоторым значительным результатам. За са-
самые последние годы вопросы теории колец привлекли некоторых новых
молодых учёных и это позволяет надеяться на дальнейшее развитие
исследований в этой области, тем более, что многие советские алгеб-
алгебраисты понимают необходимость ликвидации той диспропорции, ко-
которая существует у нас между исследованиями по теории групп и тео-
теории колец.
Работы советских алгебраистов по теории структур остаются пока
ещё более разрозненными и случайными и относятся преимущественно*
к проблемам, выросшим из теории групп или теории колец. В какой-то-
мере в этом отражается современное общее состояние теории структур,
характер которой ещё далеко не определился, но, несомненно, исследова-
исследования советских учёных в этой области могли бы и должны бы быть более
систематичными, тем более, что наши первые работы в теории структур'
относятся к самому началу её развития в качестве оформившейся само*
стоятельной ветви науки.
В самые последние годы произошло приближение интересов советских
алгебраистов к вопросам топологической алгебры, в особенности теорий
топологических групп, с большим успехом развивавшейся до зтого в рабо-
работах советских топологов. Руководящим Принципом явилось здесь* сообрги
жение, по которому общая теория групп может рассматриваться как часть
теории топологических групп, а именно как теория дискретных групп,!
и что многие крупнейшие результаты общей теории групп могут оказаться
частными проявлениями более общих закономерностей, относящихся к те*
или иным достаточно широким классам топологических групп. В этогё
направлении уже получены некоторые результаты; они относятся, однако,
к другой статье Сборника и поэтому в дальнейшем будут лишь кратка
упоминаться.
*) См. А. Г. К у р ош [18].

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 1Q9
Укажем, наконец, на наметившийся в советской алгебре за последнее
время интерес к таким особым ветвям алгебраической науки, как теория
частично упорядоченных групп, теория проективных геометрий, логиче-
логически являющейся частью теории структур, и теория дифференциальных
колец и полей, т. е. образований, которые должны восприниматься как
естественные носители теории алгебраических и, в частности, линейных
.дифференциальных уравнений. Во всех этих направлениях пока сделаны,
однако, лишь самые первые шаги.
Обзор различных направлений и ветвей алгебры, которому посвя-
щены дальнейшие параграфы статьи, явится, конечно, обзором отдельных
работ или циклов работ. Не все работы будут упомянуты, но обзор будет
достаточно полным для того, чтобы подтвердить высказанное выше утвер-
утверждение о широте и разнообразии исследований советских алгебраистов.
Иногда будут упоминаться и работы, ещё не опубликованные, но лишь
В том случае, если они уже находятся в печати и если автор обзора имел
в своё время возможность ознакомиться с ними в рукописи.
§ 2. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП.
Мы начинаем с вопроса о прямых произведениях групп, так как
цкенно к этому вопросу относились первые работы О. Ю. Шмидта *),
ц. он продолжает интересовать советских алгебраистов до настоящего
времени. Роль понятия прямого произведения в теории групп, состоящая
f том, что изучение некоторых классов групп сводится иногда путём
прямого разложения на изучение более простых и обозримых классов
групп, сделала основным вопрос об изоморфизме двух раз-
разложений группы в прямое произведение неразложимых множителей
или, более общо, вопрос о су ществ овании изоморфных про-
продолжений для двух любых прямых разложений группы. В 1911 г.
Ремак **) доказал теорему о центральном изоморфизме любых прямых
разложений конечной группы с неразложимыми прямыми множителями.
В указанных выше работах О. Ю. Шмидт дал два новых доказательства
уроремы Ремака, вошедших затем в учебную литературу ***).
* Позже, обобщая эту теорему Ремака, а также одну теорему Круля,
росящуюся к операторным абелевым группам, О. Ю. Шмидт [3]
!р(?рвые ввёл в рассмотрение некоммутативные операторные группы
ц доказал следующую теорему: если группа G с произвольной областью
тераторов обладает главным рядом, то два любых её прямых разложения
^неразложимыми множителями центрально изоморфны и любой прямой
множитель одного из разложений может быть замещён некоторым мпо-
Шшпелем из другого разложения.
<.:. Эта теорема, вошедшая в литературу пбд именем теоремы Ремака-
Шмидта (или теоремы Круля-Шмидта), нашла существенные применения
В теории колец****), передоказывалась *****) и обобщалась. Так,
Ррэ ******) перенёс её на случай дедекиндовых структур, сохраняя по су-
существу доказательство О. Ю. Шмидта. Обобщения теоремы Ремака-
*) Киев, Отчёт физ.-матем. о-ва A912) и Bull. Soc.Math.de France, 41 A913).
**) Journ. reine u. angew. Math., 139 A911).
***) См., например, Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung A937).
****) См., например, Jacobson, Theory of rings A943).
*****) Cm. Fitting, Math. Zeitschr., 39 A934).
******) Ann. of Math., 37 A936).

110 АЛГЕБРА
Шмидта в самой теории групп начались работой А. Г. К у р о ша [1],
в которой соответствующая теорема была доказана для групп без опера-
операторов, удовлетворяющих условию обрыва убывающих нормальных цепей.
Продолжая эти исследования, Коржинек *) доказал существование
центрально изоморфных продолжений для прямых разложений всякой
группы, в центре которой выполняется условие минимальности, т. е.
обрываются убывающие цепи подгрупп. Сам Коржинек рассматривал
в этой теореме лишь прямые разложения с конечным числом множите-
множителей; её распространение на случай разложений с любым бесконечным
числом множителей (при тех же предположениях о самой группе, как
и у Коржинека) дал О. Н. Головин [1].
Эта цепь исследований заканчивается пока работой А. Г. К у р о ша
[22], содержащей дальнейшие обобщения теорем Ремака-Шмидта и Кор-
Коржинека. Пусть группа G обладает таким свойством: если К и Z будут
соответственно ее коммутант и центр, то всякий гомоморфный образ
группы GfK в группе Z должен быть периодической группой, примарние
компоненты которой удовлетворяют условию минимальности. Тогда два
любых прямых разложения группы О с конечным числом множителей
обладают центрально изоморфными продолжениями. Если же потребо-
потребовать, чтобы указанные гомоморфные образы группы G/K в группе Z сама
удовлетворяли условию минимальности, то центрально изоморфные про-
продолжения будут существовать и для прямых разложений с бесконечным
числом прямых множителей. Эти результаты, как и теорема Коржинека,
относятся к группам без операторов. Для случая операторных групп
в этой же работе А. Г. Куроша доказана следующая теорема, более-
общая, чем теорема Ремака-Шмидта: пусть G —такая группа с
произвольной системой операторов, что если К и Ъ соответст-
соответственно ее коммутант и допустимый центр, то всякий операторно-
гомоморфный образ группы G/K в группе Z обладает главным ря-
рядом. Тогда два любых прямых разложения группы G (причём число пря*
мых множителей может быть и бесконечным) обладают центрально изо-
изоморфными продолжениями.
Та роль, которую в указанных результатах играл центр группы,
позволяла предполагать, что для справедливости в данной группе утвер-
утверждения о существовании центрально изоморфных продолжений для
любой пары прямых разложений достаточно справедливости аналогичного
утверждения для центра этой группы. А. Г. К у р о ш [22] построил
однако, противоречащий пример, являющийся, вместе с тем, первым пр»
мером группы без операторов, обладающей неизоморфными прямыми раз
ложениями с неразложимыми множителями.
Новое направление вопросу об изоморфизмах прямых разложен^
указал О. Н. Головин [1], рассматривая условия, прц которых w
любая, а лишь данная пара прямых разложений группы обладае
центрально изоморфными продолжениями. Так, это заведомо будет имен
место, если в каждом из двух данных прямых разложений центр груши
целиком лежит внутри одного из прямых множителей. Дальнейшее раз
витие эти вопросы получили в теории дедекиндовых структур (см. § 10)
Наряду с вопросом об изоморфизмах прямых разложений предста
вляет интерес и более специальный вопрос об условиях для существовани:
общего продолжения для любых двух прямых разложений данно!
*) Cas. mat. fys., 06 A937), 67 A938).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) Ц1
группы и, в частности, об условиях, при которых группа обладает лишь
^действенным прямым разложением с неразложимыми множителями, если
та такие разложения вообще допускает. Некоторые результаты, отно-
.сящиеся к этому вопросу, получены в работе А. Г. К у р о ш а [б]
Щ- в появившейся одновременно работе Фиттинга *). Так, прямое разло-
разложение О = ПЛ« тогда и только тогда обладает общим продолжением
в
f любым другим прямым разложением группы G, если все прямые множи-
множители Ащ допустимы относительно всех нормальных автоморфизмов этой
группы (т. е. автоморфизмов, перестановочных со всеми внутренними
Автоморфизмами). Отсюда легко вытекает, что любые два прямых разло-
'Жения группы без центра {равно как и группы, совпадающей со своим
коммутантом) обладают общим продолжением. Эти вопросы также в даль-
дальнейшем развивались в области дедекиндовых структур (см. § 10).
'_ Наконец, М. И. Граев [1] показал, что многие из указанных выше
результатов, включая теорему Коржинека и условия для существова-
существования общих продолжений, могут быть перенесены на случай полного
прямого произведения, т. е. такого прямого произведения бесконечного
висла групп, элементами которого служат любые, даже бесконечные, про-
произведения элементов, взятых по одному в заданных группах. При изуче-
изучении этих произведений возникают своеобразные трудности, связанные
с тем, что могут существовать нетождественные автоморфизмы полного
Прямого произведения (а также его изоморфные отображения на истинную
подгруппу), являющиеся тождественными на каждом прямом множителе.
.Заметим, что М. И. Граев изучает в действительности более общую
конструкцию, объединяющую обычное и полное прямые произведения,
а именно, прямое произведение групп с отмеченными подгруппами.
§ 3. СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ
И СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП.
Роль свободных произведений групп аналогична роли прямых произ-
произведений, хотя, в отличие от последних, понятие свободного произведения,
'существенно связанное с бесконечными группами, могло появиться лишь
5 огда, когда развитие общей теории групп достигло достаточно высокого
овня. Частный случай этого понятия, а именно, понятие свободной груп-
и связанная с ним теория групп, заданных определяющими соотно-
яями, разрабатывались уже довольно давно, общее же понятие
ябодного произведения произвольных групп было 'введено в 1926 г.
Лртином, а его изучение началось в работах А. Г. К у р о ш а [2] и осо-
особенно [3].
?¦ В этой последней работе были доказаны теорема о подгруппах свобод-
свободно произведения, обобщающая теорему Нильсена-Шрейера о подгруп-
рах свободной группы, и теорема об изоморфизмах свободных произведе-
произведений, а именно: если группа Q разложена в свободное произведение некото-
фогомножества групп А«, то всякая подгруппа Н этой группы будет свобод-
свободным произведением подгрупп, сопряжённых с некоторыми подгруппами-
некоторых из Аа и, быть может, ещё некоторой свободной подгруппы.
Есла zpynnaG двумя способами разложена в свободное произведение неразло-
ьжимых групп, то эти разложения будут изоморфными, т. е. их множители
*) Math. Zeitschr., 41 A936).

112 АЛГЕБРА
можно так взаимно однозначно сопоставить, что соответствующие
будут изоморфными, а те из них, которые не являются бесконечными
циклическими, даже сопряжёнными в группе G. В связи с этой второй тео-
теоремой заметим, что существуют группы, разложимые в свободное произ-
произведение, но не обладающие свободными разложениями с неразложимыми
множителями. Пример такой группы построил А. Г. К у р о ш [9].
Новое доказательство теоремы о подгруппах свободного произведе-
произведения, использующее комбинаторно-топологические методы, дали Бэр
и Леви*). Они показали также, что теорема об изоморфизмах может быть
обобщена, без существенного изменения доказательства, до теоремы о
существовании изоморфных продолжений для любых двух свободных
разложений произвольной группы. Ещё одно доказательство теоремы
о подгруппах свободного произведения опубликовал недавно Такахаси**).
В дальнейших работах советских алгебраистов теория свободных
произведений групп была развита в различных направлениях. Так, во-
вопросу об автоморфизмах свободного произведения посвящены работы
О. Н. Головина и Л. Е. С а д о в с к о г о [1] и Д. И. Фукс-
Рабиновича [2], [7]. В последней из этих работ дано полное описа-
описание группы автоморфизмов свободного произведения конечного числа
любых неразложимых групп, обобщающее описание группы автоморфиз-
автоморфизмов свободной группы конечного ранга, найденное Нильсеном ***).
Весьма значительную теорему, по существу дающую ответ почти на
все вопросы о свободных разложениях группы с конечным числом обра-
образующих, доказал И. А. Г р у ш к о [2]. Именно, если свободная группе
S с конечным числом образующих гомоморфно отображена на свободно(
произведение групп Alt Аг,..., Ап, то в S можно выбрать такую систем}
свободных образующих, что каждый из них отображается при этом
гомоморфизме внутрь одного из свободных множителей Д. Отсюдг
следует, в частности, что всякая группа с конечным числом образующую
может быть разложена в свободное произведение конечного числа неразло
жимых групп и что минимальное число образующих этой группы равн
сумме соответствующих чисел для всех множителей любого из её свобод
пых разложений. Любопытно, что независимо, но значительно позже
эти же результаты получили Леви****) и Нейман*****).
А. Г. К у р о ш [13] ввёл в рассмотрение локально свободные групт
т. е. группы, всякое конечное подмножество которых порождает свободну]
подгруппу. Если всякая такая подгруппа имеет не более п свободны
образующих, то минимальное число п с этим свойством называете
рангом локально свободной группы. Ранг свободного произведения коне
ного числа локально свободных групп конечного ранга равен сумме ранг*
сомножителей. Локально свободная группа конечного ранга не может был
изоморфной со-своей истинной фактор-группой (обобщение теоремы Магщ
са ******). Существуют неразложимые в свободное произведение локалы
свободные группы любого конечного ранга и любой бесконечной moi
ности. Между локально свободными группами и абелевыми группами 6i
кручения существует тесная связь (см. А. Г. Кур о ш [18], § 4$
*) Сотр. Math., 3 A936).
**) Proc. Akad., Tokyo, 20 A944).
***) Math. Ann., 91 A924).
****) fourn. Ind. Math. Soc; 5 A942), случай двух неразложимых множитеж
*****) J. London Math. Soc, 18A943), общий случай.
******) Math. Ann., Ill A935).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) ЦЗ
Дк И. Ф у к с-Р а б и н о в и ч [6] доказал непростоту локально свобод-
свободных групп, что, впрочем, А.И.Мальцев [6] вывел из некоторых более
общих результатов.
; В работах Л. Е. Садовского [1,2] изучается вопрос о струк-
структурных изоморфизмах свободных групп и свободных произведений. За-
Заметим, что вопрос о том. при каких условиях всякая группа, структура
Подгрупп которой изоморфна структуре подгрупп данной группы, будет
'сама изоморфна этой группе, принадлежит к числу тех вопросов о связях
цежду структурами и другими алгебраическими образованиями, значение
;которых продолжает повышаться. Л. Е. Садовский, решая про-
проблему, поставленную Бэром, доказал, что всякая свободная и, вообще, вся-
всякая локально свободная группа определяется своей структурой подгрупп,
¦причём, если ранг этой группы больше единицы, то всякий её структурный
^изоморфизм является следствием точно одного группового изоморфизма.
|| работе, которая сейчас печатается, Л. Е. Садовский показал, что
вто же утверждение справедливо для всякой группы, разложимой в сво-
свободное произведение.
J*. Всамое последнее время в работах А. А. Маркова, продолженных
М. И. Граевы м, вопрос о свободных группах перешёл в область
Апологических групп.
§ 4. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ.
Интерес к теории абелевых групп возник у нас в связи с исследования-
pi Л. С. П о н т р я г и н а [4] по топологическим абелевым группам,
Исследованиями, которые привели к некоторым новым результатам и
дискретных групп, в частности, к одному критерию для разложи-
[ абелевой группы в прямую сумму бесконечных циклических групп,
зрые результаты об абелевых группах содержала, впрочем, ещё
А. Г. К у ро ша [1], в частности теорему, что всякая абелева
уппа с условием минимальности разложима в прямую сумму конечного
конечных циклических групп и групп типа р°° (т. е. групп, изо-
|рфных фактор-группе аддитивной группы Rp р-ичных дробей по под-
рппе целых чисел; р—простое число); этот результат использовался
. в работах советских алгебраистов по разрешимым и специальным
(см. § 5). .
Работа А. Г. К у р о ш а [8] посвящена абелевым группам конечного
без кручения и содержит полную классификацию р-примитивных
этого типа, т. е. групп, являющихся подгруппами прямой суммы
ргечного числа групп типа Rp (см. выше): указанные группы задаются
щами с р-адическими элементами, причём установлены те элементар-
sпреобразования матриц, эквивалентность относительно которых рав-
яльна изоморфизму соответствующих групп. Отсюда выводится, в
ности, существование неразложимых в прямую сумму р-примитивных
Цлевых групп без кручения любого конечного ранга (для ранга 2 соот-
вующий пример указал ещё Л. С. П о н т р я г и н). Упрощения
орых доказательств этой работы указал Калужнин *).
А. И. М а л ь ц е в [2] обобщил указанные выше результаты и дал
йассификацию всех абелевых групп конечного ранга без кручения, а
| только р-примитивных. Эти группы задаются системами р-адических
•) Hamb. Abh., 12 A938).
Математика в СССР за 30 лет

114 АЛГЕБРА
матриц, по одной для каждого простого р, причём установлены условия,
при которых две такие системы определяют изоморфные группы. Эти
же результаты, но иными методами, независимо получил Дэрри*).
Опираясь на результаты А. Г. К у р о ш а [8], 3. М. К и ш к и н а [I]
изучает кольца эндоморфизмов р-примитивных абелевых групп конечного
ранга без кручения. По р-адической матрице, задающей данную группу,
строится кольцо эндоморфизмов этой группы как некоторое кольцо матриц,
элементы которых—р-ичные дроби. Устанавливаются условия, при кото-
которых кольцо эндоморфизмов тривиально, а также некоторые условия для
его коммутативности и некоторые дополнительные свойства колец эндо-
эндоморфизмов групп ранга 2.
Ещё Прюфер **) указал условия для разложимости счётной периоди-
периодической абелевой группы в прямую сумму циклических групп и групп тала
jf°. Некоторые из указанных выше работ содержат, с другой стороны, усло-
условия для разложимости абелевой группы конечного ранга без кручения
в прямую сумму групп ранга 1. Исследования Е. С. Л я п и н а, завершён-
завершённые и систематизированные в его работе [7], посвящены общему вопросу
о разложимости произвольной абелевой группы в прямую сумму рацио-
нальныхгрупп, т. е. циклических групп, групп типа р^и групп без кру
чения ранга 1. Показано, что для того, чтобы группа G обладала такал
разложением, необходимо и достаточно существование разложений такоа
рода для её максимальной периодической подгруппы Т и для фактор-групт
GJT, являющейся группой без кручения, и, кроме того, существование t
всяком смежном классе а + Т такого элемента, который делился бы
группе Q на всякое натуральное число, на которое делится хотя бы одй
элемент из этого класса, т. е. такого, что характеристика (числ
Штейница) этого элемента была бы равна характеристике класи
Е. С. Л я п и н установил также два критерия, связанных с некоторым
свойствами характеристик элементов группы, для разложимости счй
ной абелевой группы без кручения в прямую сумму рациональны
групп.
Группы, разложимые в прямую сумму рациональных групп, являюи
не единственными разложимыми в прямую сумму периодической групй
и группы без кручения. Общие условия для существования такого paaii
жения указал Бэр ***). С. В. Фомин [1] дал непосредственное прос*
доказательство теоремы о существовании такого разложения для абелей
группы, в которой порядки элементов максимальной периодической пй
группы ограничены в совокупности.
Изучение периодических абелевых групп сводится, как извесп
на случай примарных групп, т. е. групп, имеющих порядками элемент
степени фиксированного простого числа р. Теория счётных примарй
групп по существу исчерпана теоремами Прюфера и Ульма***
поэтому основной интерес представляют несчётные примерные групй
А. Г. К у р о ш [12] построил пример несчётной примерной группы!
элементов бесконечной высоты, не разложимой в прямую сумму цикли
ских групп, более простой, чем пример Ульма *****). Этот пример, а тан
некоторые новые результаты, опубликованные в книге А. Г. К у р о ша[1
*) Proc. London Math. Soc, 43A937).
•*) Math. Zeitschr., 17 A923).
***) Ann. of Math. 37 A936).
****) Math. Ann., 107 A933).
*****) Math. Zeitschr., 40 A935).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) П5
были исходными для широких и содержательных исследований Л. Я. К у-
ликова[1,2],в некоторых частях выходящих за пределы теории при-
примарных групп.
Отметим некоторые из теорем Л. Я. Куликова. Две' основные
теоремы Прюфера обобщаются следующей теоремой: примарная абелева
группа G тогда а только тогда разчожима в прямую сумму циклических
групп, если она является объединением возрастающей последовательности
подгрупп, у каждой из которых высоты элементов в G ограничены в совокуп-
совокупности. Всякая аСелеви группа содержится в некоторой полной абелевой
группе. Для всякой бесконечной мощности т существует примарная группа
этой мощности, не содержащая элементов бесконечной высоты и не допу-
допускающая таких прямых разложений, что всякое прямое слагаемое имеет
мощность, не превосходящую некоторого т', меньшего т. Этот результат
обобщает отмечавшееся выше существование таких несчётных примарных
групп без элементов бесконечной высоты, которые неразложимы в пря-
прямую сумму циклических групп. Некоторые результаты Л. Я. Кули-
Куликова служат обобщением для указанных выше критерия Л. С. П о н-
трягина и результата С. В. Ф о м и н а. Наконец, ряд результатов
посвящен несчётным примерным группам без элементов бесконечной
высоты и связан с базисными подгруппами этих групп, принадлежащими
к числу тех подгрупп, разложимых в прямую сумму циклических групп,
фактор-группы по которым являются полными группами; эти последние
результаты существенно связаны с одной естественной топологизацией
примарной группы, не содержащей элементов бесконечной высоты.
К рассмотренным в этом параграфе исследованиям по абелевым
группам непосредственно примыкают работы Н. Я. Виленкина
по теории топологических периодических абелевых групп, а также работа
М. И. Граева о структурных изоморфизмах топологических абелевых
групп.
§ 5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ГРУППЫ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ
И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ. ¦
Систематическое изучение периодических групп, как естественного,
хотя и весьма широкого, обобщения конечных групп, и, в частности,
изучение бесконечных р-групп, а также, с другой стороны, систематиче-
систематическое изучение различных типов бесконечных разрешимых и специаль-
специальных (нильпотентных) групп--всё это началось в работах советских алге-
алгебраистов. Их исследования, а также работы некоторых иностранных
учёных (Бэр, Гирш, Дженингс) привели к тому, что сейчас указанные
вопросы оформились в самостоятельную главу теории групп, содержа-
содержащую большой материал, хотя и находящуюся ещё на первых этапах своего
развития. j
Начало исследованиям в этой области положили вопросы о силовских
подгруппах бесконечных групп и о центрах бесконечных л-групп. В работе
А. П. Д и цм а н а, А. Г. К у р о ш а и А. И. Уз ко в а [1] были опреде-
определены силовские р-подгруппы группы G как максимальные подгруппы этой
группы, порядки всех элементов которых являются степенями простого
числа р, и была доказана сопряжённость всех этих подгрупп (при данном/?),
если хотя бы одна из них обладает конечным числом 'сопряжённых;
было доказано также, что в этом случае число силовских р-подгрупп сра-
сравнимо с единицей по модулю/?. Для этой теоремы, обобщающей вторую
8*

lб АЛГЕБРА
теорему Силова из теории конечных групп и доказанной обычным методом
Фробениуса, позже Бэр *) дал новое доказательство. А. Г. К у р о ш обоб-
обобщил затем эту теорему на случай топологических групп, а недавно
А. П. Д и ц м а н указал ещё одно её обобщение, относящееся к общей
теории групп и состоящее в том, что в группе выбирается некоторая систе-
система нормальных делителей Нй и роль силовских р-подгрупп играют макси-
максимальные подгруппы со следующим свойством: для всякого их элемента а
и всякого а можно указать такое к~к(а, а), что apkczHa.
В отличие от конечных р-грутт, всегда обладающих нетривиальным
центром, существуют бесконечные р-группы без центра; первый пример
такой группы указал А. Г. К у р о ш [12]. А. П. Д и ц м а н [ 1 ] доказал,
что для существования нетривиального центра в р-группе достаточно,
чтобы она обладала хотя бы одним конечным классом сопряжённых элемен-
элементов, отличным от единичного, а также доказал следующую вспомогатель-
вспомогательную теорему, нашедшую затем применение в различных исследованиях:
если в группе дано конечное инвариантное множество, состоящее из эле-
элементов конечного порядка, то подгруппа, порождённая этим множеством,
будет конечной. Эти результаты А. П. Дицмана получили некоторое
развитие в работах В. К. Туркина и П. Е. Дюбюка [2],
А. В. Т о в б и н а [1] и П. Е. Д ю б ю к а [14].
Изучение периодических групп сразу же встретилось с непреодоли-
непреодолимой пока трудностью, выражаемой следующей проблемой Бернсайда: будет
ли всякая периодическая группа локально конечной, т. е. будет ли конечной
всякая подгруппа этой группы, порождаемая конечным числом элементов?
Это заставило в дальнейшем или доказывать локальную конечность рас-
рассматриваемых периодических групп, или же её заранее предполагать.
Что же касается самой проблемы Бернсайда, то она пока получила решение
лишь в отдельных частных случаях; так, из указанной выше теоремы
А. П. Дицмана вытекает локальная конечность периодической груп-
лы, всякий элемент которой обладает конечным числом сопряжённых.
И. Н. С а н о в [1] доказал конечность периодической группы с конечным
числом образующих, если порядки всех элементов этой группы не больше
числа 4; этим были объединены и обобщены все результаты, относящиеся
к проблеме Бернсайда для случая групп с ограниченными в совокупности
порядками элементов (Бернсайд **), Леви и Ван-дер-Варден ***), Ней-
Нейман ****). Недавно И. Н. Санов показал, что при решении этой «огра-
«ограниченной» проблемы Бернсайда достаточно рассматривать лишь группы с
двумя образующими.
Изучение некоторых классов бесконечных групп, обобщающих конеч-
конечные специальные и конечные разрешимые группы, было начато С. Н. Ч е р-
н и к о в ы м [3, 4] и независимо, но несколько позже, Бэром **** *). За эти-
этими исследованиями последовала длинная серия работ советских алгебраи-
алгебраистов, которая привела к накоплению большого фактического материала и к
формированию нового направления в теории групп, посвященного изуче-
изучению групп, в том или ином смысле близких к абелевым, при ограничениях,
в том или ином смысле близких к конечности группы. Обзору и системати-
систематизации этих исследований посвящена статья А. Г. К у р о ш а и
*) Duke Math. J., б A940).
. **) Quart. Journ., 33 A902).
***) Hamb. Abh., 9 A932).
****) Journ. Lond. Math. Soc, 12 A937).
*****) Trans. Amer. Math. Soc, 47 A940).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) Ц7
С. Н. Черникова [1]. Ниже мы даём краткий обзор отдельных работ
советских алгебраистов в этой области, далеко не исчерпывающий их
содержания.
В работе С. Н. Ч е р н и к о в а [3] назывались специальными и изу-
изучались группы с условием минимальности для подгрупп, удовлетворяю-
удовлетворяющие нормализаторному условию (т. е. всякая истинная подгруппа отлична
от своего нормализатора). Была доказана разложимость этих групп в пря-
прямое произведение р-групп, их счётность и локальная конечность, а также
показано, что в их определении можно заменить нормализаторное условие
существованием возрастающего (трансфинитного) центрального ряда.
Таким образом, для этих специальных групп сохранялись почти все
свойства конечных специальных групп. В дальнейшем С. Н. Черни-
ко в [5, 9] продолжил изучение этих групп и, в частности, доказал, что
специальная р-группа является расширением полной абелевой р-группы
с условием минимальности при помощи конечной р-группы.
Работа С. Н. Черникова [4] посвящена локально разрешимым
группам, т. е. таким локально конечным группам, всякая конечная под-
подгруппа которых разрешима. Доказана локальная разрешимость всякой
периодической разрешимой (т. е. обладающей конечным разрешимым
рядом) группы. С другой стороны, всякая локально разрешимая группа
с условием минимальности для подгрупп разрешима и счётна. В этой же
работе введены локально специальные группы, т. е. такие локально конеч-
конечные группы, всякая конечная подгруппа которых специальна. Доказано,
что к числу этих групп принадлежат все периодические группы с нормали-
заторным условием, а также все периодические группы с возрастающим
центральным рядом. В работе С. Н. Черникова [7] показано, что
группа тогда и только тогда локально разрешима, если она локально
конечна и обладает разрешимой системой, т. е. упорядоченной полной
(в смысле дедекиндовых сечений) системой нормальных делителей с абе-
левыми факторами, а также, что группа G тогда и только тогда локально
специальна, если она локально конечна и обладает центральной системой,
т. е. такой упорядоченной полной системой нормальных делителей, что
всякий её фактор Ai+ilAa лежит в центре группы G/Aa.
И. Д. А д о [3, 6] связал со всякой локально конечной р-группой
нильпотентную алгебру над простым полем характеристики р, что по-
. зволило ему установить некоторые свойства этих групп, в частности дока-
доказать, что для локально конечной р-группы из условия минимальности для
нормальных делителей следует условие минимальности для подгрупп,
а 1акже построить пример р-группы, совпадающей со своим коммутантом.
В работах О. Ю. Ш м и д т а [ 11, 14] теория бесконечных специальных
и разрешимых групп вышла за пределы теории периодических групп.
В первой из этих работ О. Ю. Шмидт называет специальной всякую
группу, удовлетворяющую нормализаторному условию, и изучает свой-
свойства этих групп, обобщая ряд результатов С. Н. Черникова и одно-
одновременно упрощая их доказательства. Работа содержит также новый про-
простой пример р-группы без центра. Во второй работе называется раз-
разрешимой всякая группа, все фактор-группы любой подгруппы которой
обладают разрешимыми системами (см. выше). Для этих групп доказана
«локальная теорема»: если всякая подгруппа с конечным числом обра-
образующих разрешима в указанном смысле, то и сама группа будет раз-
разрешимой. С другой стороны, всякая группа, обладающая разрешимой
системой, вполне упорядоченной по возрастанию, будет разрешимой.

118 АЛГЕБРА
О. Ю. Шмидт указывает также в этой работе новый пример р-группы,
совпадающей со своим коммутантом, и пример р-группы, не имеющей
абелевых нормальных делителей, отличных от единицы.
Вопрос о справедливости локальной. теоремы для данного тео-
теоретико-группового свойства, т. е. вопрос, будет ли из наличия этого
свойства во всех подгруппах с конечным числом образующих вытекать
его наличие в самой группе, возникает во многих разделах теории
групп. Особенно большое значение он приобрёл в теории бесконечных
разрешимых и специальных групп. В работе А. И. Мальцева [6]
указан весьма сильный общий метод для доказательства локальных
теорем, опирающийся на одну теорему, относящуюся к математической
логике. Сам А. И. Мальцев получил этим методом ряд результатов,
в частности, доказал локальную теорему для свойства группы обла-
обладать разрешимой системой.
Отметим другие работы советских алгебраистов, относящиеся
к периодическим, разрешимым или специальным группам. Назовём
силовской системой периодической группы такую упорядоченную полную
систему её нормальных делителей, что I) никакие два фактора этой
системы не содержат элементов одного и того же порядка, 2) система
не может быть уплотнена с сохранением свойства 1). С. Н. Черников
{б] изучает периодические группы, обладающие такой силовской систе-
системой, все факторы которой являются р-группами. Обобщая один из
результатов С. Н. Черникова, А. Г. Курош [19] доказал изомор-
изоморфизм (т. е. совпадение факторов) любых двух силовских систем про-
произвольной периодической группы.
Работа П. А. Гольберга [2] продолжает отмеченные выше
исследования о силовских подгруппах бесконечных групп, в частности
работу Бэра*), в которой было начато перенесение на бесконечные
группы теорем Холла **) о силовских Я-подгруппах и силовских
базах конечных разрешимых групп. П. А. Гольберг показал, что
все теоремы Холла остаются справедливыми для локально разрешимых
групп, если только локальную конечность этих групп заменить более
«ильным требованием локальной нормальности: всякое конечное
множество элементов группы содержится в конечном нормальном де-
делителе.
Обобщая понятие полной абелевой группы, С Н. Черников [11]
вводит понятие полной группы: это группа, порождаемая при любом нату-
натуральном п, п-ми степенями всех своих элементов. Периодичность этих
групп не требуется, но в указанной работе, а также в её продолжении,
сейчас печатающемся, С. Н. Черников предполагает существование
в группе возрастающего центрального ряда, т. е. изучает полные ZA-груп-
пы. Эти исследования принадлежат, следовательно, к теории бесконечных
нильпотентных групп. С. Н. Черников даёт описание строения
лолных Z^l-групп, обобщающее известную теорему о разложимости
полной абелевой группы в прямую сумму аддитивных групп рациональ-
рациональных чисел и групп типа р°°. Из других результатов отметим следующие:
в определении полной ZA-груапы можно полноту группы заменить отсут-
отсутствием истинных подгрупп конечного индекса; всякая периодическая
полная ZA-группа является абелевой; полные Z4-rpyimbi можно опреде-
*) Duke Math. Journ.» б A940).
**) Journ. London'Math. So:.,„3/1928); 12A937).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) . Ц9
лить также как группы, обладающие таким возрастающим (трансфинитным)
рядом нормальных делителей, все факторы которого или изоморфны адди-
аддитивной группе рациональных чисел, или же являются группами типа р°°.
Отметим, наконец, печатающуюся работу С. Н. Ч е р н и к о в а,
посвященную детальному изучению слойно-конечных групп, т. е. таких
периодических групп, которые для каждого п содержат лишь конечное
число элементов порядка га.
§ 6. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ.
Исследования советских алгебраистов в теории конечных групп были
весьма разносторонними и коснулись почти всех частей этой ветви теории
групп, хотя значительная разработанность последней и затруднила разы-
разыскание новых путей для её развития.
Мы начнём с характерного для теории конечных групп вопроса о
числе подгрупп или элементов сданными свойствами. А. А. Кулаков [2]
доказал следующую теорему, ещё ранее высказанную, но не вполне
доказанную Миллером*): число подгрупп порядка ps в нециклической
р-группе нечётного порядка рт, 1 <s<//z—Л сравнимо с 1 +р по модулю р*.
Новое доказательство этой теоремы дал О. Ю. Ш м и д т [4], а затем она
под именем теоремы Кулакова неоднократно передоказывалась, обобща-
обобщалась и дополнялась (Холл, Тазава, Истерфилд**) и вошла в учебную лите-
литературу***). В недавней работе П. Е. Д ю б ю к а получены аналогичные,
но идущие несколько дальше, результаты о числе подгрупп конечной абе-
левой р-группы.
Ряд работ советских алгебраистов посвящен обобщениям известной
теоремы Фробениуса: если га—делитель порядка группы, то число элемен-
элементов группы, порядок которых есть делитель га, делится на п. В. К. Ту р-
к и н [3] объединил эту теорему с одной теоремой Вейснера****), доказав
следующую теорему: если пит—, делители порядка группы, причём п
кратно т, то число элементов группы, порядок которых есть делитель п
а делится на т, делится на наибольший делитель числа п, взаимно про-
простой с т. Этот результат обобщался в дальнейшем в серии работ
:П. Е. Дюбюка [1, 2, 7, 9]. Отметим теорему, содержащуюся в послед-
последней из этих работ и по существу обобщающую все предшествующие
'результаты: если т-^ порядок элемента в классе сопряжённых элементов
Ш группы G, а п-^делитель порядка группы, кратный числу т, то число
'элементов группы G, п-я степень которых принадлежит произвольному
'классу сопряжённых элементов "Я, а какая-нибудь степень входит в класс
^К, кратно наибольшему делителю числа га, взаимно простому с т. (См.
.Также В. И. Г р о ш е в [1].) В этом же направлении идут работы
С. Н. Ч е р н и к о в а [1, 2], относящиеся уже к бесконечным группам.
В печатающейся сейчас работе, относящейся к теории р-адических
'долей, И. Р. Шафаревич вводит понятие свободной конечной р-группы,
гимеющей фактор-группами все конечные />-гоуппы с данным числом обра-
образующих, и устанавливает некоторые свойства этих групп; так, всякий
автоморфизм любой фактор-группы этой группы индуцируется некоторым
*) Proc. Nat. Ac. USA A923).
**) Hall., Proc. Lond. Math. Soc, 36 A933), 4o A935); Tazawa, Sci. Rep. Tohoku
Univ., 23 A934), 24A935); Easterfield, Proc. Cambr. Phil. Soc, 34 A938).
**•) Zassenhaus, Lehrbuch der Gruppentheorie A937).
****) Bull. Amer. Math. Soc, 31 A925).

120 АЛГЕБРА
автоморфизмом самой группы. Устанавливается также число нормальных
делителей свободной р-группы с заданной фактор-группой.
Началом исследований советских алгебраистов в теории конечных
специальных (нильпотентных) групп и подгрупп явилась работа
О. Ю. Шмидта [1], посвященная изучению тех неспециальных групп,
все истинные подгруппы которых специальны. Оказалось, в частности,
что эти группы всегда разрешимы и порядок их делится лишь на два раз-
различных простых числа, причём силовская подгруппа по одному из них
инвариантна, а по другому циклична. Опираясь на эти результаты
О. Ю. Шмидта, С. А. Чунихин [1, 3] установил некоторые новые
свойства конечных специальных групп, А. А. К у л а к о в и С. А. Чуни-
Чунихин [1] нашли условия, при которых группа порядка ркп, к>2, обладает
истинной подгруппой, порядок которой делится на р, но которая не
является р-группой, а Д. П. Колянковский [1] доказал разреши-
разрешимость всякой конечной группы, все неспециальные подгруппы которой
сопряжены между собой.
Дальнейшее развитие эти вопросы получили в работах С. А. Ч у н и-
х и н а [10], И. К. Ч у н и х и н о й и С. А. Ч у н и х и н а [2]. В первой
из них изучены те неспециальные группы с порядками, делящимися на
простое число р, все истинные подгруппы которых с порядками, также
делящимися на р, специальны, а также найдено новое необходимое и
достаточное условие для специальности конечной группы. Во второй работе
вводятся и изучаются р-разложамые группы, т. е. такие группы с поряд-
порядками, делящимися на р, силовские ^-подгруппы которых служат для них
прямыми множителями. Показано, в частности, что для р-разложимости
группы необходимо и достаточно существование ряда нормальных дели-
делителей, в некотором смысле аналогичного верхнему центральному ряду.
Показано также, что если порядок группы G делится на к+l различных
простых чисел ри рг,..., рк, qx, q*,..., qt, причём G ^-неразложима,
i = l,2,..., к,и q/ —разложима, /=1, 2,..., I, то, кроме особо указанных
исключений, группа G для каждого pt содержит / р,-неразложимых
истинных подгрупп, причём все эти kl подгрупп попарно неизоморфны.
(См. также Д. П. Колянковский [2]. Развитие этих идей—в
работе С. А. Чунихина [19].)
Большой интерес у советских специалистов по теории конечных
групп вызывала следующая проблема Бернсайда: может ли быть простой
конечная группа нечётного составного порядка? Исследования в этом
направлении начались у нас с работ В. К. Т у р к и н а [1, 2, 5], показав-
показавшего, что всякая группа, порядок которой нечётен и состоит из семи про-
простых множителей, будет непростой и поэтому разр ешимой (случаи пяти
и шести простых множителей рассмотрены Фробениусом и Бернсайдом).
В дальнейшем А. П. Д и ц м а н, П. Е. Д ю б ю к, А. А. К у л а к о в,
В. К. Т у р к и н и С. А. Чунихин опубликовали большое число
работ, связанных с проблемой Бернсайда и содержащих много различных
критериев непростоты, т. е. условий, достаточных для того, чтобы конеч-
конечная группа была непростой; к этим исследованиям присоединились затем
и некоторые иностранные учёные*). Одни из этих критериев непростоты
связаны со свойствами классов сопряжённых элементов группы, в других
используется теория характеров групп, в некоторых играют роль введён-
*) См. Weisner (Duke Math. Journ., 2 A936)); Zappa (Rend. Semin. Roma,
2 A938), 3 A939)). V

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 121
ные В. К. Т у р к и н ы м [13] квазинормализаторы элементов конечной
группы. Наконец, ряд критериев получен методом мономиальных пред-
представлений групп, идущим от Бернсайда и развитым В. К. Т у р к и н ы м [6]-
разработка этого метода продолжена затем Грюном*) и Орэ **). Следует
отметить, впрочем, что все эти критерии непростоты группы не дали за-
заметного приближения к полному решению проблемы Бернсайда; с дру-
другой стороны, ещё далеко не установлены до конца связи между этими кри-
критериями, а также истинный запас групп, к которому каждый из них
применим.
Отметим некоторые другие работы, относящиеся к конечным группам.
О. Ю. Ш м и д т [2] дал полное описание всех конечных групп, имеющих
только один класс неинвариантных подгрупп; оказалось, что существует-
всего две бесконечные серии таких групп. Продолжая эти исследования,
О. Ю. Ш м и д т [8] описал позже все группы с двумя классами неинва-
неинвариантных подгрупп; существует пять бесконечных серий таких групп и,
кроме того, ещё три изолированные группы.
Е. С. Л я п и н [1] оценивает сверху порядок группы автоморфизмов
конечной группы, доказывая, что он будет делителем произведения поряд-
порядка группы внутренних автоморфизмов и порядков групп автоморфизмов
силовских р-подгрупп этой группы, и устанавливая одну оценку сверху
для порядка группы автоморфизмов разрешимой группы и, в частности,
р-группы. Отметим, что в этом же направлении идёт работа Биркгофа
и Холла***), появившаяся одновременно с работой Е. С. Ляпина.
В другой работе Е. С. Л я п и н [3] изучает классы элементов конечной
группы G, сопряжённых относительно некоторой (не обязательно полнойI
группы автоморфизмов 36 этой группы, и устанавливает, в частности,
связи между порядками этих классов и порядком группы Ж. Отметим
также понятие Ж-коммутанта, введённое в этой работе: это характери-
характеристическая подгруппа, стоящая в таком же отношении к группе ¦?, в каком
обычный коммутант стоит к группе внутренних автоморфизмов.
Другие оценки порядка группы автоморфизмов даёт П. Е. Д ю б ю к [15]
для конечных р-групп при некоторых специальных предположениях
о минимальных базах этих групп. При этих же предположениях указы-
указываются оценки для порядка автоморфизма, обобщающие одну формулу
Фробениуса, относящуюся к автоморфизмам абелевых р-групп.
; С. А. Ч у н и х и н [13] доказал следующую теорему: если для каждо-
каждого делителя к порядка п группы G, взаимно простого с числом ~ , суще-
существует в О подгруппа порядка к, то группа Q разрешима. Это свойство
-конечных разрешимых групп, как независимо показал Холл ****), яв-
является для них характерным.
Работы А. В. Т о в б и н а [2, 3] посвящены изучению строения под-
подгрупп симметрической группы п-й степени, содержащих некоторую сим-
симметрическую или знакопеременную подгруппу к-й степени, к<п. Так,
если подгруппа Н содержит симметрическую подгруппу k-й степени,
но не содержит симметрической подгруппы (к+1)-й степени, причём
jfc>-y, то Н сама содержится в произведении симметрических подгрупп
*) Journ. reine u. angew. Math., 174 A935).
**) Trans. Amer. Math. Soc, 51 A942).
***) Trans. Amer. Math. Soc, 39 A936).
"**) Journ. Lond. Math. Soc, 12 A937).

122 АЛГЕБРА
к-й и (п—к)-й степени. К теории групп подстановок относится также
работа А. Я. Повзне ра [2]; в ней показано, что наименьшая степень
группы подстановок, изоморфной данной конечной абелевой группе, равна
сумме инвариантов последней.
Обобщение одной теоремы Ландау о числе конечных групп с данным
числом классов сопряжённых элементов указал В. К. Туркин [7].
В серии работ А. А. Кулакова (первая [10], шестая—[21]) изу-
изучаются некоторые свойства конечных групп, вытекающие из существова-
существования для этих групп представлений регулярными группами подстановок.
А. Н. Прокофьев [1] показал, впрочем, что многие из результатов
этих работ могут быть получены методами общей теории групп, без пере-
перехода к группам подстановок.
Отметим, наконец, данное Г. М. Хейсиным [1] описание всех
групп порядка p*q*.
§ 7. ДРУГИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГРУПП.
В предшествующих параграфах рассмотрены работы советских алге-
алгебраистов, относящиеся к двум типам произведений групп и к некоторым
основным классам групп. В эти рамки не вошёл ряд теоретико-групповых
работ советских математиков и их обзору посвящается настоящий
параграф.
В работах А. Г. Кур о ша [5, 19] рассматривается возможность
обобщения теорем Шрейера и Жордана-Гёльдера о конечных нормальных
и, соответственно, композиционных рядах группы на случай бесконеч-
бесконечных нормальных рядов, вполне упорядоченных по возрастанию, и, вооб-
вообще, на случай полных нормальных систем. Используя метод уплотнения
двух нормальных систем, введённый независимо, но несколько раньше,
для случая конечных нормальных рядов Цасенхаузом*), доказывается,
в частности, существование изоморфных уплотнений для любых двух
нормальных рядов, вполне упорядоченных по возрастанию, и, следова-
следовательно, изоморфизм любых двух композиционных рядов, вполне упорядо-
упорядоченных по возрастанию, если группа такими рядами обладает.
Известно, что всякая конечная группа обладает изоморфным пред-
представлением матрицами над некоторым полем. Для бесконечной группы
изоморфное представление матрицами конечного порядка существует
далеко не всегда, и вопрос об условиях для существования такого предста-
представления интересовал многих советских алгебраистов. В работах
Д. И. Фукс-Рабинови ча[5], X. А. Д о н и я х и [1], В. Л. Н и с-
н е в и ч а [1 ] рассматривался вопрос о существовании изоморфных пред-
представлений для свободных групп и свободных произведений. Так, В. Л. Н и с-
н е в и ч доказал, что для изоморфной представимости свободного произ-
произведения групп Ga необходима и достаточна изоморфная представимость
¦всех групп G« матрацами одного и того же порядка над полями одной и той
же характеристики. В этой же работе В. Л. Нисневича, с одной
стороны, и в работе Д. И. Фукс-Рабиновича [3],с другой, пока-
показано, что для групп с конечным числом образующих возможность их изо-
изоморфного представления матрицами никак не связана с возможностью
их задания конечным числом определяющих соотношений.
*) Hamb. Abh., 10 A934).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 123
Во всей широте вопрос об изоморфных представлениях групп матри-
матрицами рассматривается в работе А. И. М а л ь ц е в а [5]. В работе, прежде
всего, полностью описаны абелевы группы, допускающие такое представ-
представление над некоторым полем, а также показано, что для изоморфной пред-
представимости периодической группы над полями характеристики нуль доста-
достаточно (необходимость была установлена ещё Шуром), чтобы эта группа
Обладала изоморфно представимым абелевым нормальным делителем конеч-
конечного индекса. Из этих результатов вытекает, в частности, что р-группа
тогда и только тогда изоморфно представима над полем характеристики
нуль, если она специальна в смысле Черникова (см. § 5). А. И. Мальцев
доказал также локальную теорему для изоморфной представимости груп-
группы: аз существования изоморфных представлений степени п для всех подгрупп
данной группы, обладающих конечным числом образующих, вытекает
существование представления такой же степени для самой группы. Ряд
результатов установлен для изоморфно представимых групп с конечным
числом образующих; доказано, в частности, что такая группа не может
¦быть изоморфной своей истинной фактор-группе.
, Исследования П. Г. Конторовича [3—7] относятся частью
к. конечным, частью к бесконечным группам и посвящены различным во-
вопросам, связанным с покрытиями групп системами истинных подгрупп
с теми или иными специальными свойствами, в особенности с расщеп-
летями групп, т. е. с покрытиями подгруппами, которые попарно имеют
йересечением единицу. Так, рассмотрены инвариантные покрытия, т. е.
покрытия нормальными делителями, причём показано, например, что
конечная группа тогда и только тогда специальна, если все её нециклические
тдгруппы обладают инвариантными покрытиями. Установлены некото-
некоторые условия для того, чтобы группа обладала расщеплением, т. е. была
шщепляемой, и некоторые свойства таких групп; так, если группа обла-
тет расщеплением, состоящим из конечного числа компонент, то она
Конечна. П. Г. Конторович особо изучает, далее, расщепления
|циклическими компонентами, а также расщепления с изолированными
яонентами, причём подгруппа Н группы G называется изолированной,
всякая циклическая подгруппа изд или лежит целиком в Н, или же
ересекается с Я по единице.
Обобщая результаты Фиттинга*) о конечных полупростых группах,
. е. группах, не содержащих нетривиальных абелевых нормальных дели-
рлей, П. А. Г ольберг [1] определяет бесконечные полупростые
руппы и показывает, что их описание полностью сводится к описанию
Простых неабелевых групп, и их групп автоморфизмов. Группа называется
Шм этом полупростой, если централизатор её максимального вполне
Приводимого нормального делителя равен единице; требование, входящее
^ определение, сильнее требования отсутствия нетривиальных абеле-
нормальных делителей, но совпадает с ним для групп, удовлетворяю-
их условию обрыва убывающих нормальных цепей.
Некоторые из работ советских математиков о группах, заданных
определяющими соотношениями, относятся к топологии, т. е. лежат вне
ааределов настоящего обзора; таковы, например, работы А. А. М а р к о-
|ао группах кос. Из алгебраических работ в этой области, не вошедших
|в § 3, отметим работу И. А. Груш ко [1], в которой теорема Магнуса**)
•) Jahresber. DMV, 48 A938).
••) Journ. reine u. angew. Math., 163 A930).

124 АЛГЕБРА
«о свободе», относящаяся к группам с одним определяющим соотношением,
а также данное Магнусом *) решение проблемы тождества для этих групп
обобщаются на один более общий класс групп.
Обзор теоретико-групповых исследований советских математиков
мы закончим вопросом о частично упорядоченных группах, т. е. группах,
элементы которых частично упорядочены, причём выполнено следующее
условие:если а< Ь, то при любых элементах с, d из группы будет cad < cbd-
Одной из первых работ в мировой литературе, посвященных таким группам,
была работа Л. В. Канторовича**), по существу относящаяся,
впрочем, к теории функциональных пространств. В дальнейшем теория раз-
развивалась преимущественно в сторону структурно упорядоченных групп,
причём основные результаты получены Биркгофом ***). Е. П. Шимби-
р ё в а [1] рассматривает общие частично упорядоченные группы, преиму-
преимущественно интересуясь однокомпонентными группами, т. е. такими груп-
группами, что для любых двух элементов существует элемент, больший чем
они оба—случай более общий, чем структурная упорядоченность. Найде-
Найдены условия для того, чтобы абстрактную группу можно было однокомпо-
нентно или линейно упорядочить,а также условия для того, чтобы частично
упорядоченная группа могла быть подгруппой полного прямого произве-
произведения линейно упорядоченных групп, чем обобщена тео.рема Клиффор-
Клиффорда****), относящаяся к абелевым группам. Изучая понятие прямого
произведения частично упорядоченных групп, введённое Биркгофом,
Е. П. Шимбирёва показала, что два любых прямых разложения
од покомпонентной группы обладают общим продолжением. Этот резуль-
результат обобщает теорему Биркгофа, относящуюся к структурно упорядочен-
упорядоченным группам.
§ 8. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С ОДНОЙ ОПЕРАЦИЕЙ.
Теория обобщённых групп или, как предпочитают говорить некоторые
специалисты в этой области, общая теория алгебраических систем с одной
операцией, находится пока в стадии первых поисков своего предмета
и своих задач. Различными авторами введены многочисленные типы
алгебраических систем, в том или ином направлении обобщающие понятие
группы; иногда эти обобщения подсказываются важными конкретными
примерами или потребностями тех или иных ветвей математики, иногда
же они возникают из простого желания ослабить или отбросить одну
из аксиом, входящих в определение группы, что, конечно, естественно,
но не слишком глубоко. Теория этих обобщений понятия группы, в свою
очередь, иногда ограничивается их простейшими свойствами, непосред-
непосредственно примыкающими к их определению, иногда же посвящена отдель-
отдельным более глубоким вопросам, обычно при этом подсказанным некото-
некоторыми нетривиальными результатами общей теории групп.
Эти общие замечания целиком относятся и к работам советских
алгебраистов в рассматриваемой области. Тем не менее, их исследования
уже привели к накоплению довольно большого материала и к некоторым
интересным результатам.
*) Math. Ann., 106 A932).
**) Матем. сб., 2 D4), A937).
***) Ann. of Math., 43 A942).
****) Ann. of Math., 41 A940).

АЛГЕБРА И (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 125
Ближайшим обобщением понятия группы является понятие полугруп-
полугруппы, т. е. множества с одной ассоциативной операцией, удовлетворяющей
следующему требованию однозначности обратной операции: из равенства
ас—Ьс, а также и из равенства ca=cb следует а—Ь. Легко видеть, что
всякая конечная полугруппа будет группой. И. В. А р н о л ь д [1] рас-
рассматривает коммутативные полугруппы и в некотором смысле обобщает
на них мультипликативную теорию идеалов в коммутативных кольцах.
Определяя понятие идеала коммутативной полугруппы и ограничиваясь
полугруппами, все идеалы которых обладают конечной базой, И. В. А р-
н о л ьд доказывает, что всякое минимальное расширение такой полугруппы
О до полугруппы, все элементы которой однозначно разлагаются в про-
произведение степеней простых элементов, совпадает (в смысле изоморфизма)
с расширением до полугруппы идеалов полугруппы G. Этот результат
получил дальнейшее развитие- в работе Клиффорда*).
В работе Л. М. Р ы б а к о в а [1] вводятся свободные коммутативные
полугруппы и рассматривается вопрос об условиях, при которых комму-
коммутативная полугруппа может быть вложена в свободную. Оказалось, что
достаточным (хотя и не необходимым) условием для этого будет конечность
числа образующих в полугруппе в соединении с требованием, что для лю-
любых двух элементов а, Ь этой полугруппы из ak=bk должно следовать а—Ь.
А. К. С у ш к е в и ч [11, 16] рассмотрел некоторые общие свойства
некоммутативных полугрупп. Наконец, работы А. И. М ал ьцева [1,3,4]
посвящены вопросу о возможности вложения полугруппы в группу.
Всякая коммутативная полугруппа вкладывается, очевидно, в группу,
однако в первой из указанных работ А. И.Мальцев построил пример
некоммутативной полугруппы, которая не допускает такого вложения.
В двух других работах А. И. Мальцев указал необходимое и доста-
достаточное условие для вложимости полугруппы в группу, выражаемое в виде
бесконечного множества требований вида: «из данной • совокупности
равенств вытекает данное равенство», причём показал, что никакое конеч-
конечное число требований такого вида не может служить в качестве искомого
.условия. А. И. Мальцев указал также некоторый способ обозреть
.все неизоморфныё группы, в которые данная полугруппа может быть
минимальным образом вложена.
\ Ряд работ А. К. С у ш к е в и ч а посвящен дальнейшим обобщениям
Понятия группы: сохраняя ассоциативность умножения, А. К. С у ш к е-
рич отбрасывает требование однозначности обратной операции или же
^сохраняет его лишь с одной стороны, иногда дополняя требованием выпол-
"шимости обратной операции с другой стороны. Обзор основных результа-
результатов этих работ читатель найдёт в статье Н. Г. Чеботарёва (см. сбор-
сборник «Математика в СССР за пятнадцать лет»). Мы отметим лишь, что, поми-
помимо общих свойств этих алгебраических систем, А. К. Сушкевич рас-
5й«атривает их изоморфные представления обобщёнными подстановками
и вырожденными матрицами, а также строит некоторые примеры таких
¦систем из бесконечных матриц; в работе М. Р. Войдиславско-
го [1] аналогичные примеры строятся при помощи однозначных функций
с суперпозицией функций в качестве умножения. Из работ А. К. С у ш-
кевича, относящихся к этой области, но не вошедших в обзор Н. Г. Ч е-
^отарёва, отметим работу [10], посвященную применению к сверх-
сверхгруппам Раутера результатов, относящихся к системам без однозначности
•) Ann. of Math., 39 A938).

126 АЛГЕБРА
обратной операции, и работу [28], в которой рассматриваются системы
с левым законом однозначности обратной операции и с двусторонней еди-
единицей, причём требуется разрешимЬсть хотя бы одного из двух уравнений
ах = b, by = a; элементы a, b эквивалентны, если разрешимы оба уравнения,
причём при некоторых дополнительных условиях множество классов экви-
эквивалентных элементов естественным образом упорядочивается.
Некоторые из этого цикла работ А. К. Су шкевича, а именно-
[4, 9, 17], были продолжены в дальнейшем Клиффордом*) и Столом**).
Алгебраические системы, рассмотренные выше, были ассоциативными.
Изучению систем с неассоциативной операцией посвящена работа А. К. С у-
шкевича [7]; её содержание также изложено в обзоре Н. Г. Ч е б о-
т а р ё в а, и мы отметим лишь, что в ней закон ассоциативности заменяется
следующим более слабым требованием: в уравнении (ха)&==хс элемент
с зависит только от а и Ь, но не от х. В настоящее время системы с неассо-
неассоциативной операцией—квазигруппы подверглись систематическому изу-
изучению и, в частности, результаты указанной работы А. К. Су шкевича
были продолжены и развиты в работах Хаусмана и Орэ***), Мардо-
ча****) и Гаррисона*****).
К этой работе А. К. Сушкевича примыкает также работа
М. Ф. Г а р д а ш н и к о в а [1], в которой рассматриваются конечные
системы с тем же ослабленным законом ассоциативности, как и выше,
но дополнительно отбрасывается требование выполнимости обратной
операции.
К числу интересных алгебраических образований принадлежат
мультигруппы, определение которых отличается от определения группы
по существу лишь тем, что отбрасывается требование однозначности умно-
умножения: произведением двух элементов будет не один элемент, а сразу неко-
некоторое множество элементов. Важным примером мультигруппы служит мно-
множество классов сопряжённых элементов некоторой группы с обычным
умножением классов в качестве операции, причём А. П. Д и ц м а н [10/
показал, что группа тогда и только тогда разрешима (обладает конечным
разрешимым рядом), если её мультигруппа классов сопряжённых элементов
будет ультрагруппой, т. е. обладает «композиционным» рядом, все факто-
факторы которого являются обычными группами. В работе А. И. Вихрова[1]
построена теория расширений для одного класса ультрагрупп, а
именно дано описание ультрагрупп, являющихся расширением данной
группы А при помощи данной группы В при условии, что произведение
любого элемента из А на любой элемент этой ультра группы (как справа,
так и слева) однозначно; эта теория обобщает принадлежащую Шрейеру
теорию расширений для групп.
Одно обобщение п-групп Дёрнте (т. е. систем, в которых произ-
произведение определено не для двух, а лишь для п элементов сразу), связан-
связанное с отказом от закона ассоциативности, рассматривает С. А. Чуни»
хин [17].
Наконец, в работах Е. С. Л я п и н а [8, 9] рассматриваются системы,
в которых операция определена для некоторых, не обязательно конечных,
упорядоченных слов. Для случая, когда эта операция однозначна, опре
*) Ann. of Math., 42 A941) и Amer. Journ. Math., 64 A942).
**) Duke Math. Journ., 11 A944). t
***) Amer. Journ. Math., 59 A937).
****) Amer Journ. Math., 61 A939), Trans. Amer. Math. Soc, 49 A941).
*****) Ann. of Math., 41 A940).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 127
деляются и описываются свободные системы этого вида, причём подсистема
свободной системы сама свободна. Свободные системы выделяются и среди
ассоциативных систем, но подсистема свободной системы может в этом
случае уже не быть свободной.
Исследования А. А. Маркова о выполнимости некоторых алгорит-
алгоритмов в ассоциативных системах с конечным числом образующих и конечным
числом определяющих соотношений, относящиеся к статье Сборника,
посвященной математической логике, по существу принадлежат к рассма-
рассматриваемому в настоящем параграфе разделу алгебры.
§ 9. ТЕОРИЯ КОЛЕЦ И АЛГЕБР.
Уже во введении было отмечено, что исследования советских алгебра-
алгебраистов в теории колец лишь'начинают развиваться. Они, тем не менее,
в большей или меньшей мере уже коснулись многих основных ветвей этой
науки. Мы начнём обзор этих исследований с теории коммутативных колец,
затем перейдём к некоммутативным, но ассоциативным кольцам, особо
выделяя случай ассоциативных алгебр (в общем случае бесконечного
ранга) и закончим неассоциативными кольцами и алгебрами. Заметим,
что в этот обзор не войдут работы о лиевых алгебрах, относящиеся к другой
статье Сборника, хотя они составляют, конечно, часть теории неассоциа-
неассоциативных алгебр.
К теории идеалов в коммутативных кольцах
без делителей нуля относится лишь работа А. И. У з к о в а [4],
в которой показано, что введённое Ван-дер-Варденом («Современная
алгебра», § 103) понятие эквивалентности идеалов является единственным,
при котором справедлива теорема об однозначности разложения всякого
класса эквивалентных идеалов в произведение степеней простых классов.
Переходя к общей теории некоммутативных ассо-
ассоциативных колец, отметим прежде всего работу А. И. Маль-
Мальцева [1], содержащую пример некоммутативного кольца без делителей
нуля, которое не может быть вложено в тело; этот пример, связанный
с отмеченным в предшествующем параграфе примером полугруппы,
которая не вкладывается в группу, явился отрицательным решением
проблемы, поставленной Ван-дер-Варденом. Дальнейшие примеры колец
без делителей нуля, не вкладываемых в тела, можно найти в работе
А. И. М а л ь ц е в а [4].
Работа А. И. У з к о в а [51 посвящена построению мультипликатив-
мультипликативной теории идеалов в некоммутативных кольцах: в кольце с единицей
: отмечается некоторое подкольцо центра, по отношению к этому подкольцу
определяются порядки и идеалы и указываются необходимые и достаточ-
достаточные условия для однозначной разложимости двусторонних и односторон-
односторонних идеалов в произведение степеней простых идеалов. Эта теория содер-
содержит в качестве частных случаев мультипликативную теорию идеалов в
коммутативных кольцах, принадлежащую Нётер, и теорию идеа-
идеалов в полупростых алгебрах конечного ранга, построенную Брандтом,
Артином и Дойрингом, причём А. И. У з к о в распространил по-
последнюю теорию на случай произвольных алгебр конечрюго ранга.
Одновременно с А. И. У з к о в ы м аналогичную теорию идеалов
для некоммутативных колец опубликовал Азано*). а результаты
*) Jap. Journ. Math., 15 A939).

АЛГЕВРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 129
роша [15] поставлена проблема, параллельная проблеме Бернсайда
о периодических группах: будет ли локально конечной всякая алгебраиче-
алгебраическая алгебра, т. е. алгебра, все элементы которой алгебраичны над основ-
основным полем? Этой проблеме были посвящены затем работы Джекобсона*),
Капланского**) и Левицкого***), результатом которых явилось положи-
положительное решение проблемы при условии, что степени всех элементов над
основным полем ограничены в совокупности.
Работа А. И. М а л ь ц е в а [12] параллельна его работе об изоморф-
изоморфном представлении групп матрицами над некоторым полем (см. § 7) и
посвящена изучению ассоциативных алгебр, допускающих изоморфное
представление матрицами над некоторым расширением основного поля.
Доказана локальная теорема, сводящая вопрос о существовании такого
представления на случай алгебр с конечным числом образующих, и ука-
указаны некоторые условия для существования изоморфного представления
в случае конечного числа образующих. Показано, далее, что изоморфно
представимая алгебра с конечным числом образующих не может быть
изоморфной никакой своей истинной фактор-алгебре. Доказана также
.локальная конечность всякой алгебраической алгебры, обладающей изо-
изоморфным представлением.
Важный класс алгебр, хорошо изученный в случае алгебр конечного
ранга и ещё очень плохо в общем случае, составляют простые алгебры.
В работе А. Г. К у р о ш а [16] изучаются некоторые свойства простых
алгебр бесконечного ранга с единицей, связанные с их разложениями
в прямое произведение. Так, показано, что прямое произведение любого
множества простых нормальных алгебр с единицей само просто и нормаль-
нормально. Получена также теорема, обобщающая теорему о том, что прямое про-
произведение двух инверсно изоморфных простых нормальных алгебр конеч-
конечного ранга является полным кольцом матриц над основным полем.
8 работе рассмотрены, далее, локально конечные простые нормальные
алгебры и, в частности, локально матричные алгебры, т. е. такие ал-
алгебры, в которых всякое конечное множество элементов содержится в
некоторой подалгебре, являющейся полным кольцом матриц над основ-
основным полем, причём при небольших ограничениях на основное поле дока-
доказано существование локально матричных алгебр любого несчётного
ранга, не являющихся прямым произведением полных матричных алгебр
конечного ранга.
Изучение локально конечных простых нормальных алгебр было про-
продолжено недавно В. М. К у р о ч к и н ы м. Он назвал, в частности, алгеб-
алгебру примарной (по простому числу р), если всякое конечное множество
её элементов лежит в простой нормальной подалгебре, ранг которой коне-
конечен и является степенью числа р, и доказал, что всякая примарная алгебра,
будет или полным кольцом матриц над некоторой алгеброй с делением,
или же локально матричной алгеброй. С другой стороны, для отмеченной
выше теоремы о простоте и нормальности прямого произведения про-
простых нормальных алгебр, независимо доказанной также Артином и
Уэплсом ****), А. И. Т и х о м и р о в [2] указал очень прозрачное дока-
доказательство, одновременно распространив её на случай неассоциатив-
неассоциативных алгебр.
*) Ann. of Math., 46 A945).
•*) Bull. Amer. Math.Soc, 52A946).
***•) Bull. Amer. Math. Soc, 52 A946).
****) Amer. Journ. Math., 65 A943).
9 Математика в СССР за 30 лет.

128 АЛГЕБРА
А. И. Узкова для алгебр конечного ранга недавно вновь получил
Киокемейстер*).
Публикуемая сейчас работа В. А. Андрунакиевича (см.
также В. А. Андруна киевич [1]) связана с введёнными Джекоб-
соном**) радикальными кольцами (обобщение нильпотентных колец
¦и ниль-колец), а именно посвящена вопросу о подкольцах радикальных
колец. В основе работы лежит понятие «присоединённого» умножения,
которое выражается через сложение и умножение следующим образом:
a°b = a-\-b—ab;
радикальные кольца можно определить как кольца, составляющие группу
по присоединённому умножению, т.е. они играют такую же роль, как тела
в обычном умножении. В. А. Андрунакиевич вводит полу рада-
кальные кольца, аналогичные кольцам без делителей нуля в обычном умно-
умножении, и показывает, что в коммутативном случае они вкладываются
в радикальные кольца, а для некоммутативного случая строит противоре-
противоречащий пример, аналогичный примеру А. И. М а л ь ц е в а. В. А. А н д р у-
накиевич определяет также понятие присоединённого идеала (это
полный прообраз единицы при некотором гомоморфном отображении дан-
данного кольца на кольцо с единицей) и показывает, что для присоединённых
идеалов коммутативного полурадикального кольца справедлива теория,
вполне параллельная мультипликативной теории идеалов в коммута-
коммутативных кольцах без делителей нуля.
К общей теории ассоциативных колец относится также работа
А. И. Герчи кова[1], содержащая необходимые и достаточные усло-
условия для разложимости кольца в двустороннюю прямую сумму тел, и рабо-
работа В. И. Шнейдмюллера [2], посвященная кольцам с условием
минимальности для подколец. Недавно, используя одну теоремуДжекоб-
сона***), В. И. Шнейдмюллер показал, что всякое кольцо с условием
минимальности для подколец счётно и локально конечно (т. е. всякое конеч-
конечное множество его элементов порождает конечное подкольцо).
Переходим к вопросу об ассоциативных алгебрах конеч-
конечного или бесконечного ранга над некоторым
поле м.Один новый способ аксиоматического определения алгебр конеч-
конечного ранга с единицей указал Л. Я. Окуне в [1]. А. И. Ма л ьцев [10]
доказал, что любые два расщепления алгебры конечного ранга в полу-]
прямую сумму радикала и полупростой алгебры (они существуют ввиду!
теоремы Веддербарна) переводятся друг в друга внутренним автомор-i
•физмом, порождаемым элементом из радикала, причём в случае:
алгебр без единицы понятие внутреннего автоморфизма должным образом
определяется. А. И. Тихомиров [3] распространил этот результат
на случай расщепляемой алгебры бесконечного ранга в предположении,
что радикал этой алгебры нильпотептен, а фактор-алгебра по радикалу
имеет конечный ранг.
Среди алгебр бесконечного ранга естественно выделяется класс локаль-
локально конечных алгебр, т. е. таких алгебр, в которых всякое конечное множе
сгво элементов порождает подалгебру конечного ранга. Это понятие впол^
не аналогично понятию локально конечной группы, и в работе А. Г. К у*
*) Bull. Amer. Math. Soc, 52 A946).
**) Amer. Journ. Math., 67 A945).
•**) Ann. of Math., 46 A945).

130 АЛГЕБРА
К области ассоциативных алгебр относятся также работы П. К. Р а -
ш е в с к о г о [2, 3]. В них рассматриваются алгебры над полем коплекс-
ных чисел с двумя образующими и одним определяющим соотношением
второй степени, вводится понятие приводимости одного элемента по мо-
модулю другого элемента, в коммутативном случае (т. е. в случае кольца
многочленов от двух неизвестных) превращающееся в делимость много-
многочлена на многочлен, и указываются алгоритмы для установления при-
приводимости элемента, линейного или квадратного относительно образую-
образующих, по модулю линейного элемента. Эти алгебры изоморфно представ-
представляются, далее, операторами в кольце многочленов от одного неиз-
неизвестного.
Из работ, относящихся к неассоциативным кольцам и алгебрам или,
во всяком случае, не нуждающихся в ассоциативности умножения, отме-
отметим прежде всего работу А. И. Тихомирова [1], выросшую из теории
простых ассоциативных алгебр конечного ранга. При помощи некоторого
поля и заданной в нём полугруппы изоморфных отображений А. И. Т и-
х о м и р о в строит кольца, частным случаем которых будут обычные
скрещенные произведения нормального поля и его группы Галуа, играю-
играющие столь большую роль в теории алгебр конечного ранга, и изучает эти
обобщённые скрещенные произведения, не требуя их ассоциативности.
Следствиями полученных результатов будут простота, нормальность
и другие известные свойства обычных скрещенных произведений.
А. И. У з к о в [6] рассматривает один класс неассоциативных алгебр
конечного ранга, называемых им симметрическими; к этому классу при-
принадлежат, в частности, все ассоциативные и все лиевы алгебры конеч-
конечного ранга. Для симметрических алгебр определяется понятие дискри-
дискриминанта и доказывается, что симметрическая алгебра с отличным от
нуля дискриминантом разлагается в двустороннюю прямую сумму
простых алгебр; этим объединяются известные теоремы об ассоциативных
и лиевых алгебрах.
Одно характерное свойство подалгебр алгебры Кэли (т. е. неассоциа-
неассоциативной алгебры с делением ранга 8 над полем действительных чисел)
указал Ю. В. Л и н н и к [1].
Для ассоциативных свободных колец или свободных алгебр, а также
для неассоциативных свободных колец не может быть доказана теорема,
аналогичная теореме Нильсена-Шрейера о подгруппах свободных групп.
Однако А. Г. К у р о ш в публикуемой сейчас работе показал, что всякая
подалгебра неассоциативной свободной алгебры сама будет свободной.
В этой же работе введено понятие неассоциативного свободного произведе-
произведения алгебр и для него построена теория, параллельная теории свободных
произведений групп (см. § 3). Всякая подалгебра свободного произведения
алгебр АЛ сама будет свободным произведением своих пересечений с каждым
А* и, быть может, ещё некоторой свободной алгебры. Любые два свободные
разложения произвольной алгебры обладают изоморфными продолжениями,
т. е. продолжениями, множители которых, не являющиеся свободным
алгебрами, совпадают.
Отметим, наконец, что в работах А. Г. К у р о ш а [17, 22] рассмо-
рассмотрен вопрос об изоморфизмах разложений колец в двустороннюю прямую
сумму, причём ассоциативность этих колец не предполагается. Оказалось,
что здесь справедливы теоремы, вполне аналогичные теоремам о прямых
разложениях групп (см. § 2); роль центра группы играет при этом идеалу
полных делителей нуля, а центральный изоморфизм заменяется 9^-изомор-

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 131
физмом, т. е. изоморфизмом, при котором разность соответственных элемен-
элементов принадлежит к 9?. Так, если 9? = 0, то два любые двусторонние пря-
прямые разложения данного кольца обладают общим продолжением; если всякая
аддитивная подгруппа идеала 9?, на которую гомоморфно отображается
фактор-кольцо данного кольца по его квадрату, удовлетворяет условию
Минимальности для подгрупп, то два любые двусторонние прямые разло-
разложения этого кольца обладают ^.-изоморфными продолжениями, и т. д,
§ 10. ТЕОРИЯ CTPyKTYPj
Как уже отмечалось во введении, исследования советских алгебра-
алгебраистов по структурам связаны пока преимущественно с теми или иными
результатами из теории групп или теории колец и заключаются иногда
в том, что соответствующий результат доказывается для более широкого
класса структур, чем структуры всех подгрупп (или всех нормальных
делителей) группы или всех идеалов кольца. Первой работой в этом напра-
направлении явилась у нас работа А. Г. К у р о ш а [4], в которой была доказа-
доказана следующая теорема, обобщающая одну теорему Нётер из теории колец:
если элемент дедекиндовой структуры двумя способами разложен в несокра-
несократимое произведение конечного числа неразложимых элементов, то оба
разложения содержат равное число множителей и каждый множитель
одного из разложений может быть замещён некоторым множителем
второго разложения. Эту теорему независимо получил также Орэ*),
а позже под именем теоремы Куроша-Орэ она неоднократно передоказы-
передоказывалась, обобщалась и применялась в других вопросах теории структур * *).
Ряд работ советских алгебраистов посвящен перенесению в теорию
структур теоремы Жордана-Гёльдера. В работе А. Г. Куроша [14],
как и в параллельной ей работе Орэ ***), в структурах выделялись элемен-
ты,свойства которых аналогичны свойствам нормальных делителей в струк-
структуре всех подгрупп группы. Этим путём были получены, однако, теоремы,
лишь аналогичные теореме Жордана-Гёльдера или теореме Шрейера о нор-
нормальных рядах, но их в себя не включавшие. А. И. У з к о в [3] подошёл
к этому вопросу с более общих позиций, предполагая, что в структуре
для некоторых пар элементов а, Ь, где а< Ь, определено, что а нормально-
в ft. А. И. У з к о в при некоторых общих ограничениях нашёл необходи-
необходимые и достаточные условия для того, чтобы для нормальных (в этом смыс-
смысле) рядов была справедлива теорема о нормальности и изоморфизме их
уплотнений, строящихся методом Цасенхауза. Этот результат уже содер-
содержит в себе соответствующие теоретико-групповые теоремы. Исследования
А. И. У з к о в а были продолжены затем Коржинеком *•**).
Исследования по прямым разложениям в структурах уже прошли
в рамках теории структур несколько ббльший "путь. Ещё Орэ *****) по-
показал, что на дедекиндовы структуры может быть распространена тео-
теорема Ремака-Шмидта, причём центральный изоморфизм множителей полу-
получался как следствие их прямого подобия, т. е. существования для них
Ann. of Math., 37 A936).
См., например, Birkhoff, Lattice theory A940); Dilworth, Bull. Amer.
Math. Soc, 52 A946).
**•) Trans. Amer. Math. Soc, 41 A937).
•*•*) Vestnik Ceske Spol. Nauk A941).
•*••*) Ann. of Math., 37 A936).

132 АЛГЕБРА
общего прямого дополнения; дальнейшие результаты в этом направлении
содержит работа Орэ *). Результаты об изоморфизмах прямых разложений
групп и колец из работ А. Г. Куроша [17, 22], отмеченные ⧧2и9,
были получены путём теоретико-структурной модификации метода Круля-
Коржинека. С этой целью для случая полных структур (т. е. структур
с бесконечными суммами и произведениями) было введено понятие вполне
дедекиндовой структуры, более специальное, чем понятие дедекиндовой
структуры, Причём структура нормальных делителей группы будет впол-
вполне дедекиндовой. В этих работах А. Г. К у р о ш а показано также, что
вопрос о существовайии общих продолжений для двух данных прямых
разложений целиком относится к теории структур, а именно введено поня-
понятие центра данной пары прямых разложений единицы во вполне деде-
дедекиндовой структуре и доказано, что равенство центра нулю необходимо
и достаточно для существования общего продолжения для данных разло-
разложений. С другой стороны, на вполне дедекиндовы структуры распростра-
распространена и одновременно несколько усилена теорема О. Н. Головина
(см. § 2). Введено также понятие последовательности центров данной пары
прямых разложений и для случая прямых разложений с двумя слагаемыми
каждое доказано, что если эта последовательность центров на конечном
месте достигает нуля, то данные прямые разложения обладают прямо
подобными продолжениями.
М. И. Г р а е в [3] обобщил указанные выше результаты, освободив
последний из них от предположения, что рассматриваются лишь разло-
разложения с двумя слагаемыми. М. И. Граев получил также ещё более
общий результат; он определил понятие возрастающей последовательности
коммутантов данной пары прямых разложений, причём предположение,
что последовательность центров на конечном месте достигает нуля, рав-
равносильно тому, что последовательность коммутантов на конечном месте
достигает единицы. Оказалось, что существование прямо подобных про-
продолжений вытекает уже из того, что сумма последовательности комму-
коммутантов равна единице.
Укажем ещё одну работу, выросшую из теории групп. М. И. Г р а е в [2]
изучает условия разложимости элементов дедекиндовой структуры
в прямую сумму циклов, т. е. таких элементов, что подструктура элемен-
элементов, им предшествующих, будет вполне упорядоченной по возрастанию.
Из полученных результатов вытекают, в частности, известные теоремы
Прюфера о разложениях периодических абелевых групп в прямую сумму
циклических групп и групп типа рт.
Как уже отмечалось в § 1, проективные геометрии и, в частности,
проективные плоскости принадлежат к числу структур, а именно,-какпо-
казали Биркгоф и Менгер, к числу дедекиндовых структур с дополнениями.
Из работ, посвященных проективным геометриям, мы включим в наш
обзор лишь работу Л. И. К о п е й к и н о й [1], весьма близкую к § 3
этого обзора. В ней, следуя Холлу **), изучаются свободные проективные
плоскости, причём доказывается, что всякая подплоскость свободной
плоскости сама свободна. С другой стороны, Л. И. Копейки-
н а определяет понятие свободно, о произведения проективных плоскостей
и доказывает, что ее якая подплоскость свободного произведения плоскостей
Ая будет свободным произведением своих пересечений со всеми Ал и некото-
*) Duke Math. Journ., 2 A936).
**) Trans. Amer. Math. Soc., 54A943).

АЛГЕБРА II (ГРУППЫ, КОЛЬЦА И СТРУКТУРЫ) 133
рой свободной плоскости, а также, что два любыг свободные разложения
произвольной плоскости оЬладают изоморфными продолжениями. Нако-
Наконец, для свободных разложений проективных плоскостей с конечным
числом образующих оказалась справедливой теорема, аналогичная тео-
теореме И. А. Г р у ш к о (см. § 3).
Некоторые аксиоматические рассмотрения, относящиеся к дистрибу-
дистрибутивным структурам, содержатся в работе А. К. Сушкевича [11].
Совсем иные истоки, вне алгебры, имеют работы В. И. Г л и в е н-
ко [1,2], в которых рассматриваются нормированные структуры, т. е.
структуры, для элементов которых введена неотрицательная норма со
свойствами: \)иза<Ь и аФЬ следует| а | < | b |, 2) | a + b | + \ab\ — \a \ + \b\.
Доказывается дедекиндовость нормированных структур и изучаются их
:вязи с частично упорядоченными метрическими пространствами. Другие
результаты о нормированных структурах можно найти в монографии
В. И. Г л и в е н к о [4], а дальнейшее развитие этих идей указано в книге
Зиркгофа*). К теории нормированных структур относится также работа
"\ М. Шапи ро [2].
Исследования П. С. Александрова о дискретных топологиче-
ких пространствах по существу принадлежат также к теории структур;
1ни относятся, однако, к другой статье Сборника.
*) Lattice theory A940).

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ.
А. И. МАЛЬЦЕВ.
§ 1. Топологические группы A35). §2. Топологические тела и коль-
кольца A45). § 3. Группы Ли A47). § 4. Алгебры Ли A52). § 5. Подалгебры
алгебр Ли A56).
опологическая алгебра изучает абстрактно алгебраические
образования (группы, кольца, тела) при дополнительных
предположениях, что элементы этих образований соста-
составляют топологическое пространство и что основные опера-
операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Если мы
сделаем более сильное предположение, что в топологическое
пространство алгебраического образования можно ввести
систему координат, в которой основные операции будут не
только непрерывны, но и дифференцируемы, то получим классические
области топологической алгебры, основным представителем, которых
является теория групп Ли. При таком общем определении топологи-
топологической алгебры в неё оказываются включёнными значительные от-
отделы геометрии и анализа (геометрия однородных пространств, тен-
тензорное исчисление и теория инвариантов, функциональный анализ
и др.)- Некоторые из них по многочисленности и важности работ
занимают самостоятельное и выдающееся место в математике. Работам,
относящимся к таким отделам, посвящены особые обзоры в настоящем
сборнике, и мы их касаться не будем.
Широкое развитие новой топологической алгебры началось лишь
около двадцати лет назад. Инициатором его у нас был А. Н. Колмого-
Колмогоров [1, 2]. Он один из первых заметил, что весьма общие тополого-алге-
браические аксиомы достаточны, чтобы характеризовать важнейшие объек-
объекты, изучавшиеся в классической геометрии (пространства постоянной
кривизны, проективные пространства). Под влиянием А. Н, К о л м о-
г о р о в а аналогичную тополого-алгебраическую характеристику тел
вещественных чисел, комплексных чисел и кватернионов получил
Л. С. Понтрягин [1]. Идеи А. Н. Колмогорова оказали
значительное влияние на последующее развитие топологической алгебры.
Вслед за упомянутой выше работой о топологических телах Л. С. П о н
т р я г и н напечатал ряд статей, содержащих крупнейшие результать
по теории топологических групп. Эти результаты нашли многочисленны!
и важные приложения и за пределами собственно топологической алгебры
Л. С. Понтрягину принадлежит также заслуга популяризаци
топологической алгебры среди широких кругов советских математике

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 135
(доклад на Всесоюзном математическом съезде, обзорные статьи в «Успе-
«Успехах математических наук» и т. д.)- Наконец, в 1938 г. вышла в свет моно-
монография Л. С. Понтрягина «Непрерывные группы»*), изданная также
на английском языке в США и сразу же приобретшая международную
известность. В этой монографии был подведён общий итог развитию новой
топологической алгебры. Написанная исключительно ясно, она до сих
пор является основным пособием при изучении этой дисциплины.
Одновременно с Л. С. Понтрягиным вопросами топологической
алгебры в Ленинграде стал заниматься А. А. М а р к о в, которому
принадлежит ряд крупных результатов в этой области. Кроме упомя-
упомянутых лиц, топологической алгеброй занимался у нас широкий круг ма-
математиков, получивших много разнообразных результатов. Более под-
подробное изложение самых существенных из них помещено ниже.
Основателем другого направления в топологической алгебре является
Н. Г. Ч е б о т а р ё в. Ему и его ученикам принадлежит ряд выдающихся
результатов в теории групп Ли. Значительным математическим событием
был выход в свет фундаментальной монографии Н. Г. Чеботарёва
«Теория групп Ли»**), освещающей весьма полно как классические, так
и современные вопросы этой теории.
§ 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ.
1. Основания. Топологической группой называют абстрактную группу
G, элементы которой образуют топологическое пространство с аксиомой
отделимости То, причём операции умножения и взятия обратного &G
непрерывны. А. Н. Колмогоровым [3] было отмечено, что из этих
аксиом автоматически следует хаусдорфовость и нормальность группового
пространства. В письме к А. Вейлю Л. С. Понтрягин показал,
что пространства топологических групп являются вполне регуляр-
регулярными***). Этот результат, перенесённый А. Вейлем напроизвольные одно-
однородные пространства, явился основным при построении теории так назы-
называемых пространств с равномерной структурой. Связанный с этим во-
вопрос— не будет лив сякое групповое пространство удовлетворять ещё более
сильному требованию нормальности — оставался некоторое время откры-
открытым, пока А. А. М а р к о в [5] не получил отрицательное решение его.
Именно, А.А.Марковым было показано, что всякое вполне регу-
регулярное топологическое пространство может быть вложено в подходя-
подходящую топологическую группу в качестве её замкнутого подмножества. Так
как замкнутые подмножества нормальных пространств нормальны, а
с другой стороны, не каждое вполне регулярное пространство нор-
нормально, то отсюда и следует существование ненормальных топологиче-
топологических групп.
Уже давно было отмечено, что в топологических группах существует
некоторый процесс, позволяющий пополнять эти группы новыми элемен-
элементами. А. Д. А л е к с а н д р о в [2] поставил и в основном решил вопрос
о существовании максимальных пополнений. А. Д. Алекса ндров
*)См. Л. С. Понтрягин [141.
**)См. Н. Г. Чеботарёв [46].
***) Определения хаусдорфовости, регулярности, полной регулярности и т. д.
см. в статье П. С. Александрова, О понятии пространства в топологии.
Успехи матем. наук, 2 : 1 A7), A947).

136 АЛГЕБРА
называет топологическую группу И абсолютно замкнутой, если Н не
содержится ни к какой большей топологической группе в качестве всюду
плотной подгруппы. Оказывается, для каждой топологической группы G
существует абсолютно замкнутая топологическая группа Н, содержащая
G в качестве своей всюду плотной подгруппы. Н называется абсолютным
замыканием О. Геометрический процесс для построения абсолютных замы-
замыканий указан Д. А. Райковым [5]. Из этого процесса вытекает, что
абсолютные замыкания определяются заданной группой однозначно,
а также получаются геометрические необходимые и достаточные условия
для абсолютной замкнутости.
В изложенных работах основное внимание обращено на изучение
специфически топологических свойств групповых пространств. В извест-
известном смысле двойственным является вопрос: какими специальными аб-
абстрактно-групповыми свойствами обладают топологические группы; на
которые наложены те или иные чисто топологические требования? Исход-
Исходным был бы случай, когда на топологию группы вообще не накладывается
никаких требований кроме её нетривиальности. Однако вопрос о том,
всякая ли бесконечная абстрактная группа допускает нетривиальную то-
пологизацию, до сих пор остаётся открытым. В работе А. А. М а р к о в а [7}
подробно изучаются различные топологизации, которым может подвер-
подвергнуться одна и та же абстрактная группа. В частности, в ней указываются
необходимые и достаточные условия того, чтобы некоторое множество
элементов счётной абстрактной группы G было безусловно замкнутым,
т. е. было замкнутым при любой возможной топологизацииО. Для форму-
формулирования этих условий нужно ввести несколько определений. Функ-
Функция Ф от/л элементовх,, хг,..., хт группы G со значениями в G называется
мультипликативной, если Ф может быть представлена в виде
Ф(х1}х„.;:,хт) = x*j х"»...х*пп (з/= ± 1, *>=!,..., т).
Пусть G—некоторая (абстрактная или топологическая) группа и А—
подмножество её элементов. А называетсяэлементарно алгебраическим, если
существует такая мультипликативная функция Ф (х1;..., xm+i) и такие эле-
элементы а,,..., ат bG, что Л будет совокупностью тех значений х в G, для ко-
которых Ф(а1,...,ат,х)= 1. Сумма конечного числа элементарно алгебра-
алгебраических множеств называется аддитивно алгебраическим. Наконец, пере-
пересечение любого числа аддитивно-алгебраических множеств называется
алгебраическим. Ясно, что элементарно алгебраические множества,
а следовательно, и алгебраические замкнуты при любой топологии G
и являются, таким образом, безусловно замкнутыми в G. А. А. М а р ко-
в ы м показано, что если G счётна, то имгет место и обратное утверждение:
всякое безусловно замкнутое подмножество из G является алгебраическим.
Справедливость этого утверждения для несчётных групп осталась под
сомнением.
С помощью понятия алгебраического множества аналогичным об-
образом был решён и вопрос о потенциально плотных подмножествах
счётных групп.
Решение изложенных тонких вопросов проводится А. А. Мар-
Марковым с помощью принадлежащего ему метода «мультинормк
Сущность его состоит в следующем. Вещественная функция N (g), опре-
определённая на абстрактной группе G, называется нормой, если iV(l)=0,

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 137
N(xyr1)<N(x)+N(y). Система норм N,-(g) называется мультинормой,
если
1) сумма любых двух её норм снова есть её норма,
2) все преобразованные нормы N^a^ga) содержатся в этой системе,
3) для каждого а изб в системе существует норма, значение которой
в точке а отлично от нуля.
Каждая мультинорма естественно порождает некоторую топологи-
топологизацию G, при которой все нормы мультинормы будут непрерывны. Ока-
Оказывается, что в действительности всякая топологизация G может быть
произведена этим способом. Поэтому изучение различных топологизаций
G можно заменить изучением мультинорм.
Выше был упомянут вопрос о возможных нетривиальных топологиза-
циях бесконечных групп. А. А. М а р к о в [5, 6] рассматривает условия,
при которых бесконечная группа может допускать связную топологизацию.
В первой работе показано, что существуют абстрактные группы произ-
произвольной мощности, не допускающие связной топологизаций. Во второй пока-
показано, что существуют связные топологические группы любой мощности, не-
неменьшей мощности континуума, все элементыкоторых имеют порядок 2*).
В теории групп Ли, наряду с обыкновенными топологическими группа-
группами, приходится рассматривать так называемые локальные группы или
групповые ядра. Типичным примером локальной группы может служить
произвольная окрестность единицы обыкновенной топологической группы.
, Аксиоматика локальных групп и определения относящихся к ним основ-
основных понятий были приведены в порядок Л. С. П о н т р я г и н ы м [14}
и П. Смитом **). В частности, ими был поставлен вопрос, всякая ли локальг
ная группа локально изоморфна некоторой обыкновенной топологической
группе. Для случая групп Ли этот вопрос ранее был решён Е. Картаном
в положительном смысле. Для локально евклидовых локальных групп
решение находится по словам Г. Вейля «за пределами нашего совре-
современного знания» ***). А. И. Мальцевым [7] показано, что суще-
существуют топологические локальные группы, не изоморфные локально ника-
никакой-обыкновенной топологической группе. В то же время интересно от-
отметить, что если локальная группа не содержит центральных элементов,
то она заведомо локально изоморфна некоторой обыкновенной тополо-
топологической группе ****).
2. Инвариантная мера. Во многих более глубоких вопросах теории
топологических групп фундаментальную роль играет инвариантная мера.
Существование инвариантной меры на локально компактных группах
со второй аксиомой счётности было впервые установлено Хааром. Эта
позволило распространить известные результаты Петера-Вейля на про-
произвольные компактные группы со второй аксиомой счётности и решить
знаменитую проблему Гильберта для компактных групп (Нейман) и про-
произвольных абелевых групп (Л. С. П о н т р я г и н). Упрощённое дока-
доказательство существования и единственности меры Хаара, а также суще-
существования полной системы представлений компактной группы со второй
*) В силу теоремы Л. С. Понтрягина о полной регулярности топологи-
топологических групп, мощность связных топологических групп не может быть меньше мощ-
мощности континуума.
**) Duke Math. Journ., 2 A936), 246—280.
***) Н. Weyl, The classical groups A939), 258.
****) Элемент а локальной группы G называется центральным если он пере-
перестановочен со всеми элементами достаточно малой окрестности единицы, G.

138 АЛГЕБРА
аксиомой счётное™ дал Л. С. П о н т р я г и н [13, 14]. Другое доказа-
доказательство единственности меры Хаара указано Д. А. Райковым [3].
Аксиоматическое исследование меры Хаара проведено в работе Д. А. Р а й-
к о в а [4]. Однако по своему направлению эта работа относится к функ-
функциональному анализу и выходит поэтому за пределы настоящего обзора.
Явные формулы для меры в линейных классических группах и в груп-
группах Ли, заданных в качестве групп преобразований, были указаны Н. Г.Ч е-
бота рёв ым [29, 30, 31]. Связанный с этим вопрос об интегральных
инвариантах рассматривался Г. И. Дринфельдом [3]. Нако-
Наконец, вопрос о существовании инвариантной меры в однородных простран-
пространствах с группой движений рассматривался Н. Г. Чеботарёвым [44]
и А. Вейлем*).
Интересное обобщение меры Хаара указал А. Д. Александров [1].
Пусть G—топологическая группа. Действительная функция р. (Е),
определённая на всех открытых множествах Е из G, называется левой
инвариантной мерой в G, если 0<p.(E)^i + oo, fi(E)>0 для непустого
Et р.(?)< + со хотя бы для одного Е1 ^(E^s^E,) для Е, ZD Es, p(gE)=p(E), -
g? G, наконец, ij.(?1+E2) = p.(E,)+p.(E1!), если в G существует такая окрест-
окрестность единицы^,что Е\и и EJJ не пересекаются. Если в Gсуществует
окрестность единицы U, обладающая тем свойством, что для каждой
окрестности единицы V в G найдётся конечное число элементов gu.. .,gk,
для которых U= \JgfV ,то G называется локально ограниченной. Если в этом
определении в качестве U можно взять всю группу G, то G будет называться
ограниченной. Оказывается, для существования в G левой инвариантной
меры необходимо и достаточно, чтобы G была локально ограниченной. Огра-
Ограниченность же группы G равносильна существованию на G меры, инва-
инвариантной слева и справа и такой, что tx(E)=p.(E"). Последнее, в свою оче-
очередь, необходимо и достаточно для того, чтобы G была изоморфна некото-
некоторой подгруппе прямого произведения групп унитарных матриц.
3. Теория представлений и теория характеров. Непрерывное гомоморф-
гомоморфное отображение одной топологической группы G внутрь другой G назы-
называется представлением G в G. Если в качестве G взять группу всех неосо-
неособенных матриц степени п с комплексными элементами, то представление
называется линейным степени п. Ограничивая класс матриц ортогональ-
ортогональными, унитарными или вещественными, мы получим соответственно уда-
тарные, ортогональные if вещественные представления G. В работах Петера
и Вейля задача построения нелинейных представлений компактных групп
Ли была связана с теорией интегральных уравнений на группах. Как
указывалось, после открытия меры Хаара теория Петера-Вейля была
перенесена Нейманом на компактные топологические группы, что позво-
позволило решить для них упомянутую проблему Гильберта (^ейман), а также
построить их общую теорию (Л. С.Понтрягин). В дальнейшем теория,
представлений оказалась связанной с исследованием различных классов
специальных функций на группах (почти периодических, положительно*
определённых и т. п.). Благодаря этим связям с теорией функций, а такж;-
благодаря тому, что много наиболее глубоких проблем теории топологи-
топологических групп оказалось возможным решить только с помощью теории пред-
представлений, последняя заняла в теории топологических групп одно из цен
тральных мест. В последнее время, наряду с линейными представлениями
особый интерес приобрели представления в группе унитарных преобразо-
*) A. Weil, L'integration dans les groupes topo!ogiques. Paris A940).

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 139
ваний гильбертова пространства (И. М. Гельфанд и др.)- Однако
это формулировкам окончательных результатов и по методам дока-
доказательств эти важные работы выходят за пределы настоящего реферата.
Следы матриц неприводимых представлений групп называются харак-
характерами. Если группа коммутативна, то все её неприводимые линейные
лредставления первой степени и, таким образом, изучение характеров
коммутативных групп равносильно изучению их представлений первой сте-
степени. Теория характеров коммутативных групп была создана Л. С. П о н-
трягиным [3, 4, 12] и с той поры подвергалась изучению в большом
количестве работ различных авторов (Д. А. Райков, Ван-Кампен,
Вейль и др.). Красота результатов и важность приложений делают эту
теорию одним из наиболее замечательных отделов всей топологической
алгебры. Несмотря на то что превосходное изложение этой теории содер-
содержится в монографиях самого Л. С. П о н т р я г и н а [14] и А. Вейля*),
мы здесь ещё раз сформулируем её основные результаты.
Обозначим через К группу всех комплексных чисел с единичным моду-
модулем по умножению. Так как дальше будет употребляться аддитивная
запись, то под К удобнее понимать аддитивную группу всех вещественных
чисел, рассматриваемых по модулю всех целых чисел. Пусть G—локально
компактная коммутативная группа со второй аксиомой счётности. Непре-
Непрерывное гомоморфное отображение G в К называется характером G. Таким
юбразом характерами G являются непрерывные функции <р (g), определён-
определённые на G со значениями в К,, удовлетворяющие дополнительному требо-
BaHHK><p(g,+gs)=?(g.) + <p(g«)- Если <? (g) и Ц(g)-^ характеры G, то— <p(g)
и <? (ё)-\г$ (g) будут также характерами G. Следовательно, характеры G
сами естественным образом составляют коммутативную группу у. Чтобы
внести в у топологию, берём произвольную окрестность нуля U группы К
и произвольное компактное множество F bG. Совокупность всех харак-
характеров <р (g), удовлетворяющих требованию <р (F) с U, называем по опреде-
определению окрестностью нуля в у. В силу этой топологии группа у оказы-
оказывается снова локально компактной и со второй аксиомой счётности. Если G
дискретна, то группа характеров у будет компактна, если G компактна,
то у дискретна. Пусть g 6 G, cp g у. Условимся <р (g) обозначать через (g,<p).
Скобка (g,<p) есть функция от двух аргументов g и <? со значениями в к.
При фиксированном <р это будет характер группыО, а при фиксированном g
и меняющемся <р мы получим характер группы у. Таким образом, эле-
элементы группы G можно рассматривать как характеры у. Центральный
результат теории характеров состоит в том, что различные элементы G
дают различные характеры группы у и что все характеры у ими исчер-
исчерпываются. Иными словами, если у есть группа характеров для G, то
. обратно, G есть группа характеров у. Операция взятия группы харак-
характеров устанавливает взаимно однозначное отображение класса локально
компактных коммутативных групп со второй аксиомой счётности на себя.
При этом отображении компактные группы переходят в дискретные, и та-
таким образом, например, задача классификации компактных групп оказы-
оказывается равносильной задаче классификации абстрактных счётных групп.
Условимся элементы g?G и х?у называть ортогональными, если
{g,x) = O. Если Н—множество элементов G, то через Н±- обозначим сово-
совокупность элементов у, ортогональных ко всем элементам Н, и аналогич-
аналогичные обозначения введём для множеств из у. Я-Lназывается аннулятором
*) A. Weil, L'integration^ dans les groupes topologiques. Paris A940).

140 АЛГЕБРА
множества Я в у. Ясно, что аннулятор произвольного множества есть
замкнутая подгруппа. Более того, если Я—замкнутая подгруппа в G,
то (//!)-!-=//. Это показывает, что если мы аинулятор подгруппы Я будем
называть соответственной подгруппой в группе характеров, то соответ-
соответствие будет взаимно однозначным. Очевидно, из Я,с:Я! следует H^-ZDH4-.
С точки зрения теории характеров связь между Я и Н1- даётся теоремой: Я~
есть группа характеров для GJH.
Указанные свойства группы характеров дают повод к постановке
различных вопросов аксиоматического характера. Решение одного из них,
полученное Л. С. Понтрягиным, мы здесь сформулируем. Пусть
G—счётная дискретная группа, у—компактная группа со второй аксиомой
счётности и пусть определена функция (g, x) со значениями в к, непрерывна
зависящими от х и удовлетворяющими условиям дистрибутивности.
Тогда, если yj- и GJ-—нули, то у—группахарактеровдляв. К сожалению,
для произвольных локально компактных групп это предложение стано-
становится неверным... По поводу дальнейших связей между свойствами группы
G и её группы характеров мы отсылай к книге Л. С. Понтрягина [14].
Теория характеров строилась первоначально Л. С. ГТонтряги-
н ы м преимущественно для компактных и дискретных групп. Этот слу-
случай представляет наибольший интерес с точки зрения приложений. В даль-
дальнейшем Ван-Кампен внёс в неё ряд важных усовершенствований, распро-
распространив основные теоремы Л. С. Понтрягина на локально биком-
бикомпактные группы. Существенно новых средств, помимо разработанных
Л. С. Понтрягиным, это не потребовало.
Доказательства Л. С. Понтрягина основаны на тонком ана-
анализе алгебраической структуры рассматриваемых групп. В работах
И. М. Гельфанда и Д. А. Райкова дано аналитическое построе-
построение теории характеров *). Д. А. Райковым [4] теория характеров
была построена для класса групп, выделяемого не топологическими
свойствами, а существованием в них меры Хаара. Однако существенного
расширения рассматриваемого класса групп это не даёт. Более широкие
классы групп, для которых справедливы основные понтрягинские
теоремы, указал Н. Я. Виленкин **). Эти классы описываются в сме-
смешанных тополого-алгебраических терминах. Определений мы здесь не
приводим по причине их сложности.
4. Компактные и локально компактные группы. В описании структуры
компактных и локально компактных групп существенную роль будут
играть группы Ли. Поэтому мы напомним их определение.
Топологическая группа G называется локально евклидовой или г-членной,
если в G существует" окрестность единицы U, допускающая взаимно
однозначное и взаимно непрерывное отображение на r-мерный куб Г ве-
вещественного евклидова пространства. Пусть в U выбраны настолько
близкие к единице элементы х, у, что их произведение z =xy всё ещё
содержится в U. Обозначим через х1(... ,xr, ylt---,yr, z,,..., zr соответст-
соответственные координаты точек куба Г, отвечающих элементам [x,y,z.
Тогда z, zr будут функциями от х,,..., хг, уи¦ ¦-, у/-
Zi=fi(xl,..., xr, y,,.;g, уr) (i=l,...,r).
*) См. И. М. Г е л ь ф а и д [1], И. М. Гельфанд и Д. А. Райков [1],
Д. А. Райков [2]. щ
**) Работа находится в печати.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕЕРА И ГРУППЫ ЛИ 141
•В общем случае функции /, будут только непрерывны. Если отображение
•U на Г можно выбрать так, чтобы /,- были аналитическими, то G называется
группой Ли. Вопрос, будет ли всякаяг-членная группа группой Ли, соста-
составляет знаменитую пятую проблему Гильберта. Как уже упоминалось, для
коммутативных групп эта проблема в положительном смысле была решена
Л. С. П о и т р я г и н ы м [3, 4].
Общая теория компактных групп создана Л. С. Понтрягиным
в работе [2], где, в частности, получается и решение проблемы Гильберта
для этих групп. Чтобы сформулировать её основные результаты, введём
несколько определений. Пусть дано открытое, непрерывное^ гомоморф-
гомоморфное отображение одной топологической группы G на другую С. Обозначим
через N ядро этого гомоморфизма. Говорят, что G аппроксимирует
группу С с точностью до N. Говорят также,что семейство групп {Gt }аппро-
ксимирует группу G с любой степенью точности, если для любой окрест-
окрестности единицы UhsG можно найти такое гомоморфное отображениеб на
подходящую группу Glt ядро которого лежит b(J . Л. С. Понтрягиным
показано, что всякая компактная группа со второй аксиомой счётности
t любой степенью точности аппроксимируема группами Ли. Это позволило
ему представить компактные группы в виде особого рода предела последо-
последовательности группы Ли, что сделало структуру этих групп весьма про-
прозрачной. В дальнейшем результаты Л. С Понтрягина Ван-Кампен
распространил на более широкий класс бикомпактных групп и дал деталь-
дое описание связных компактных групп.
Попытки построить аналогичную теорию локально компактных
•трупп в общем случае до сих пор не удались.
Для наиболее важного случая коммутативных групп такая теория
была создана Л. С. Понтрягиным [3,4,12]. В этих работах,
•наряду с результатами, вскрывающими структуру коммутативных групп,
¦содержится и изложенная выше знаменитая теория характеров ком-
коммутативных групп. Теперь мы изложим основные структурные теоремы
этих работ.
Если коммутативная группа G, удовлетворяющая второй аксиоме
счётности, компактна, то к ней приложимы результаты общей теории
компактных групп и, таким образом,в будет пределом последовательности
коммутативных компактных групп Ли. Если же G не компактна, но
локально компактна, то в G найдётся замкнутая подгруппа Н, распа-
распадающаяся в прямую сумму компактной и векторной групп, и такая,
что фактор-группа G/H будет дискретна. >
Обозначим через Go связную компоненту нуля G. Тогда, если Go
компактна,то уже сама группа G распадается в прямую сумму ком-
компактной и векторной групп.
Эти теоремы довольно полно вскрывают структуру локально
компактных групп. Для локально связных групп результат оказы-
оказывается совершенно окончательным: всякая локально компактная, ло-
локально связная и связная коммутативная группа со второй аксиомой
счётности есть прямая сумма векторной группы и конечного или
счетного числа групп К, изоморфных фактор-группе аддитивной
группы вещественных чисел по подгруппе целых чисел. Отсюда, в частности,
следует, что коммутативные r-членные группы являются группами Ли,
и, таким образом, пятая проблема Гильберта для коммутативных
групп оказывается решённой.

142 АЛГЕБРА
В последующих работах Ван-Кампена было показано, что резуль-
результаты Л. G. Понтрягина без существенных изменений распростра-
распространяются на произвольные локально бикомпактные коммутативные группы.
Эти же результаты позволили выяснить и структуру локально компактных
разрешимых групп *). Именно, в 1941 г. Шевалле опубликовал следующий
результат: всякая локально компактная, связная, локально связная
разрешимая группа конечной размерности есть группа Ли. Тем самым
им была решена утвердительно пятая проблема Гильберта для разрешимых
групп. А. И.. Мальцев [19] выяснил строение более широкого
класса разрешимых групп, удовлетворяющих только условию связности
и локальной компактности. Оказалось, что все эти группы аппроксимируемы
с любой степенью точности группами Ли по центральным компакт-
компактным подгруппам и локально изоморфны прямым произведениям групп Ли
на компактные абелевы группы.
Отметим, наконец, работу А. Я. Повзнера [1], показавшего,
что двучленные группы являются группами Ли.
5. Абстрактно групповое направление. Характерной особенностью*
работ, к рассмотрению которых мы переходим, является то, что их тема-
тематика и результаты параллельны известным разделам абстрактной теории
групп: свободные группы, теоремы Силова, периодические абелевы группы,
структурные изоморфизмы. Это не мешает тому, что факты, полученные
здесь, имеют иногда и специфически топологический интерес. Мы начнём
с важной теории свободных топологических групп, построенной
А. А. М а р к о в ы м [5, 8] и уже нашедшей ряд откликов (М. И. Граев,
Какутани**)).
Условимся говорить, что некоторое множество М элементов тополо-
топологической группы G порождает G топологически, если G не содержит соб-
собственных замкнутых подгрупп, содержащих М. Пусть X—произвольное
вполне регулярное топологическое пространство. Согласно А. А. М а р-
к о в у, топологическая группа F называется свободной топологической
группой пространства X, если она удовлетворяет следующим требова-
требованиям:
Ft) X есть подпространство F;
F8) X топологически порождает F;
Fa) каково бы ни было непрерывное отображение <р пространства X
в произвольную топологическую группу G, существует непрерывный
гомоморфизм группы F bG, совпадающий с <р на X.
Поскольку свободная группа пространства X характеризуется чисто
аксиоматически,то важным вопросом является доказательство её существо-
существования. Оказывается, для каждого вполне регулярного пространства X
свободная топологическая группа F существует и определяется одно-
однозначно с точностью до топологических изоморфизмов, переводящих точки X
в себя. Множество X является свободным базисом F в смысле абстракт-
абстрактной теории групп и замкнуто в F. Из последнего свойства непосред-
непосредственно вытекает положительное решение упоминавшегося выше вопроса
о существовании ненормальных групп. Назовём топологическую груп-
группу G свободной, если существует вполне регулярное пространство,
свободной топологической группой которого G является. Имеет место
*) Топологическая группа называется разрешимой, если она содержит конеч-
конечную систему убывающих нормальных делителей, оканчивающуюся единичной под-
подгруппой, все фактор-группы которой коммутативны.
**) Proc. Imp. Akad. Tokyo, 20 A944), 585—598.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 143
следующий аналог теоремы Дика: всякая топологическая группа топо-
топологически изоморфна фактор-группе некоторой свободной группы по
соответственному нормальному делителю.
Теория свободных топологических групп позволила А. А. М а р-
кову перенести в теорию топологических групп и понятие системы
определяющих соотношений, а также доказать связанные с этим про-
простейшие теоремы.
Изложенные результаты сохраняются, если во всех формулиров-
формулировках слова «топологическая группа» заменить словами «коммутатив-
«коммутативная топологическая группа». Такимпутём получается понятие свободной
коммутативной топологической группы и соответственные свойства
таких групп. Упомянем ещё следующие результаты: 1) абстрактно
групповой коммутант свободной топологической группы замкнут в этой
группе, и 2) если F— свободная топологическая группа пространства X,
А—свободная абелева группа того же пространства X, то фактор-
факторгруппа F по её коммутанту топологически изоморфна А.
Основным методом, применяемым А. А. Марковым в рассматри-
рассматриваемой работе, есть метод мультинорм, сущность которого была изложена
выше.
Работа А. А. Маркова послужила отправным пунктом для иссле-
исследований по теории свободных топологических групп Граева. М. И. Граев
прежде всего несколько модифицирует понятие свободной группы. Пусть
X—вполне регулярное пространство, е—какая-нибудь его точка. Топо-
Топологическая группа F(X) называется по Граеву свободной для X, если она
обладает свойствами FJ, F2) Маркова и свойством FJ); каково бы ни было
непрерывное отображение <р пространства X в произвольную топологи-
топологическую группу G, переводящее точку е в единицу G, существует непре-
непрерывный гомоморфизм группы F(X) в G, являющийся продолжением <р.
Доказательство основной теоремы о существовании группы F(X) осно-
основывается на понятии более сильной и более слабой топологизации, бла-
благодаря чему становится довольно прозрачным. Труппа F (X) с точностью
до изоморфизма единственна и не зависит от выбора точки е в X. Если
точка е, изолированная в X и Х'—Х\е, то свободная топологическая
группа пространства X' в смысле Маркова изоморфна группе F(X).
Группа F(X) связна, если и только если связно пространство X. Сле-
Следовательно, группа F(X) тогда и только тогда является свободной в смысле
Маркова, если она связна.
Аналогичные определения и свойства имеют место и для коммутатив-
коммутативных групп. '
Среди вопросов, оставшихся в работе А. А. Маркова открытыми,
имеется следующий: следует ли из изоморфизма свободных групп
пространств X, Y гомеоморфизм пространств ХиК? Это даёт повод ввести
понятие эквивалентности топологических пространств. Два топологи-
топологические вполне регулярные пространства называются эквивалентными,
если их свободные топологические группы топологически изоморфны.
М. И. Г р а е в показывает, что, вообще говоря, из эквивалентности про-
пространств ещё не следует их гомеоморфизм, и, таким образом, вопрос
А. А. Маркова решается отрицательно. В связи с этим возникает
новая задача —найти свойства, присущие одновременно всем эквива-
эквивалентным пространствам. Такими свойствами оказываются биком-
пактность и свойство быть компактом данной размерности. Условия экви-
эквивалентности счётных бикомпактных пространств рассмотрены более

144 АЛГЕБРА
детально. В заключение изучается вопрос о замкнутости и свободе
некоторых особых подгрупп свободных групп.
В работах Н. Я. В и л е н к и н а [1, 2, 31 строится содержательная
теория абелевых топологических групп, обобщающая теорию абстракт-
абстрактных периодических абелевых групп. Выше упоминалось, что теория
характеров Л. С. Понтрягина устанавливает взаимно однозначное
соответствие между абелевыми компактными группами со второй аксиомой
счётности и счётными дискретными коммутативными группами. Поэтому
каждое свойство дискретных групп должно иметь двойственным некоторое
свойство компактных групп. Важные примеры таких двойственных фор-
формулировок были указаны Л. С. П о н т р я г и н ы м. Например, отсут-
отсутствие элементов конечного порядка в дискретной группе равносильно
связности двойственной группы, периодичность дискретной группы равно-
равносильна нульмерности двойственной компактной группы и т. п. В частно-
частности, если дискретная группа есть /ыруппа, т. е. если каждый её элемент
имеет конечный порядок вида рп, где р — фиксированное простое число,
то двойственная группа обладает тем свойством, что для каждого её
элемента g последовательность g, pg, p2g,,... ,png сходится к нулю. Про-
Продолжая этот лист соответственных свойств, оказалось возможным перене-
перенести известную теорию Прюфера-Ульма абстрактных счётных периоди-
периодических коммутативных групп на компактные нульмерные группы со второй
аксиомой счётности (Крулль), после чего теория Прюфера-Ульма ока-
оказалась существующей в двух видах: с одной стороны, первоначальная тео-
теория для дискретных групп, с другой,—теория Крулля для нульмерных
компактных. Объединение этих теорий явилось естественно возникшей
задачей. Теория Прюфера-Ульма состоит из двух частей: теории Прю-
¦фера разложений группы в прямую сумму циклических групп и теории
Ульма построения групп по так называемым ульмовским факторам.
Н. Я. В и л е и к и н ы м [1, 2, 3] устанавливаются аналоги теорем
Прюфера для широких классов топологических групп, содержащих
внутри себя как дискретные группы, рассматривавшиеся Прюфером,
так и компактные группы, рассматривавшиеся Круллем (чем осуще-
осуществляется вышеуказанное объединение прюферовой части теории Прю-
фер-Ульма). Для этого сначала вводится особое понятие прямого про-
произведения с отмеченными подгруппами и затем даются условия для разло-
разложимости групп в произведения циклических jo-групп, групп типа /?«,, групп
целых р-адических, групп рациональных р-адических чисел, а также их
различных комбинаций. Независимо от Н. Я. Вил енкина частные резуль-
результаты этого вида были получены Браконье и Дьедонне *), также восполь-
воспользовавшимися прямым произведением с отмеченными подгруппами. Чтобы
расширить область применения своих теорем, Н. Я. Виленкин в по-
последующих работах**) определяет новые, весьма широкие классы топо-
топологических групп, названные им слабо сепарабельными и волокнистыми,
и изучает их различные свойства, в том числе находит условия для
разложимости их в прямые суммы упомянутых выше простейших групп.
В теории абстрактных групп важное место занимают теоремы Силова
и их различные обобщения. Далеко идущее перенесение теорем Силова
¦в теорию топологических групп принадлежит А. Г. Курошу [20].
Пусть р—простое число. Элемент g произвольной топологической
*) См. С. R. Akad. Sci. A944).
**) Находятся в печати.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 145
группы G называется р-элементом, если последовательность g, gp gp2,...
сходится к единице G. Подгруппа Я называется р-подгруппой, если все
элементы Я являются ^-элементами. Максимальные /7-подгруппы
группы G называются её силовскими подгруппами. Речь идёт о нахожде-
нахождении условий, при которых все силовские подгруппы, принадлежащие
одному и тому же числу р, будут сопряжены между собою.
Пусть Я—какая-нибудь подгруппа произвольной топологической
группы G, ®п— множество подгрупп, сопряжённых с Я. Введём в йнтопо-
йнтопологию, называя базисными открытыми множествами множества, полу-
получающиеся из Я путём трансформирования Я элементами какого-либо
открытого множества изО. Предположим, что Gобладает полной системой
окрестностей единицы, являющихся нормальными делителями G и пусть
в G дана такая замкнутая р-подгрупла Р, что класс $„ бикомпактен.
Тогда имеет место следующий основной результат А. Г. К у р о ш а: для
«сякой р-подгруппы Q группы G можно указать такую подгруппу Plt
сопряжённую с Р, что подгруппа {PlfQ}, порождённая элементами Р, и Q,
будет р-подгруппой. Если здесь Р силовская р-подгруппа, то Р1 совпа-
совпадает с Q и мы приходим к выводу, что если в группе G класс ШР для неко-
некоторой силовской р-подгруппы бикомпактен, то все силовские р-под-
р-подгруппы сопряжены. Для дискретных групп G эта теорема непосредственно
обращается в теорему А. П. Д и ц м а н а-А. Г. К у р о ш а-А. И. У з-
кова [1], а для компактных нульмерных групп со второй аксиомой
счётности в теорему Ван-Данцига *).
Перенесением теорем Бэра о структурных изоморфизмах абстракт-
абстрактных коммутативных групп на случай топологических групп занимался
М. И. Г р а е в [4]. Если между замкнутыми подгруппами групп GnG'
установлено взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение
включения, то это соответствие называется структурным изоморфизмом,
а группы G и G' структурно изоморфными. Ясно, что всякий топологи-
топологически-групповой изоморфизм G и G' влечёт за собой соответственный
структурный. Возникает вопрос: можно ли утверждать и обратное?
Условия для возможности такого утверждения в случае абелевых
абстрактных групп были найдены Бэром. Существенная часть их
М. И. Г р а е в ы м перенесена в топологические группы. Пусть G и G' —
коммутативные локально компактные группы со второй аксиомой счёт-
яости. Каждый структурный изоморфизм между G и G' заведомо индуци-
индуцируется и только двумя групповыми, если выполнено одно из следующих
[условий: 1)G—нульмерна и ранга > 2, 2) G имеет ранг 0и размерность>2,
щ G содержит замкнутую векторную подгруппу размерности>2. Вводя
"f множество подгрупп топологию и называя структурный изоморфизм,
^Сохраняющий топологию, топологическим, М. И. Г р а е в находит ана-
•логичные условия и для топологических структурных изоморфизмов.
§ 2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕЛА И КОЛЬЦА.
6. Топологические тела. Переходя к обзору работ по топологическим
f*№M и кольцам, отметим, что мы не будем здесь касаться важных работ
Щ. М. Гельфанда и других по нормированным кольцам, а также
фной литературы по функциональному анализу. Что касается работ,
*) Сотр. Math., 3 A936), 408—426.
Ю Математика в СССР за 30 лет.

146 АЛГЕБРА
относящихся собственно к топологической алгебре, то их весьма немного.
Первой по времени является важная работа Л. С. Понтрягина [1]
о топологических телах. В этой работе доказана следующая основная
теорема: всякое связное локально-компактное топологическое тело со второй
аксиомой счётности изоморфно либо полю вещественных чисел, либо полю
комплексных чисел, либо телу кватернионов. Эта теорема была доказана,
как указывает Л. С. Понт р яги н, по предложению А. Н.Колмого-
Н.Колмогорова, применившего её к построению аксиоматики комплексной
проективной геометрии.
7. Условия нормируемости. Условия нормируемости линейных топо-
топологических пространств указаны А. Н. К о л м о г о р о в ы м [3]. Пусть
L линейное топологическое пространство, т. е. аддитивно записываемая
коммутативная топологическая группа с непрерывным умножением
на вещественные числа. Подмножество А из L называется ограниченным,
если из пч?А, av—^ 0 следует avav—>б, где б —нулевой элемент L, av —
вещественные числа. А—выпукло, если из х?А, у?Аг a-f [3=1,а|гО,
psO следует ах+$у?А. Пространство L нормируемо, если в L можно
ввести метрику p(x,6)=jx| со свойствами |ax|=| a| |x|, |х+У|^ |х|+|}'|.
Оказывается, для нормируемости L необходимо и достаточно, чтобы в L
существовала по меньшей мере одна выпуклая ограниченная окрест-
окрестность нуля.
Условия для нормируемости топологических (коммутативных) полей
нашёл И. Р. Ш а ф а р е в и ч [1]. Топологическое поле К называется
нормируемым, если на нём можно задать вещественную функцию <р (х)
со свойствами 1) <р(х)> 0 при хфО, <р @)=0; 2) <р (х+у)^ <р (х)+? (у);
3) <р (ху)=<р (х) у (у); 4) система множеств Е-Дср (х)<е} образует полную систе-
систему окрестностей нуля. Множество W из К называется ограниченным, если
для всякой окрестности нуля U существует такая окрестность нуля V,
что W-VdU. Пусть R—множество таких элементов х из/С, что хп—^0 для
и—><х>, а/?—множество элементов, обратные которых в R не входят. Для
нормируемости К необходимо и достаточно, чтобы R было открыто, aft
ограничено.
Эта теорема позволила И. Р.Шафаревичу на основе результа-
результатов Островского и Хассе-Шмидта получить непосредственно структуру
локально-бикомпактных полей: всякое связное локально бикомпактное
поле оказывается либо полем вещественных, либо полем комплексных чисел,
а несвязное—полем р-адических или z-адических чисел.
Используя метод И. Р. Ш а ф а р е в и ч а, Д. П. М и л ь м а н [1]
получил аналогичные теоремы для нормируемости топологических комму-
коммутативных колец К с единицей. При этом кольцо К Д. П. Мильман
называет нормируемым, если на нём можно задать вещественную функцию
<р(х), удовлетворяющую требованиям 1), 2), 4) Шафаревича и условию
3')<р(ху)^<р (х)<р (у). Сохраняя определение множества R из работы И. Р. Ша-
Шафаревича и называя множество W выпуклым, если для каждых
двух элементов х, у из W существует элемент г, для которого 2z=x+y
и все z с этим свойством входят в W, автор приходит к следующему
результату. Если множество R открыто, ограничено, выпукло и со-
содержит элемент, имеющий обратный, то кольцо нормируемо. Это даёт
возможность получить характеристику плотных подколец полных
линейных колец непрерывных функций, определённых на биком-
бикомпакте .

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 147
§ 3. ГРУППЫ ЛИ.
8. Группы Ли и их алгебры. Линейное пространство L над полем К
называется алгеброй Ли, если кроме операций сложения элементов L
и умножения их на числа из К в L задана ещё операция коммутирования
[а, Ь] со свойствами: [a, b]=—[b, а], [аа+рй,с]=а[а, c]+$[b,c], \abc J]=
=[[а,6]с]+[й[а, с]]. ПустьG— группа Ли, е—единица G и U —окрестность е,
в которой можно ввести координаты хх,...,хг, так чтобы е имела коорди-
координаты 0,...,0, а функции Л,..., /г, выражающие закон умножения (см. п. 4)
были дважды дифференцируемы. Касательные в точке е ко всем кривым,
выходящим в U из точки е, образуют г-мерное линейное пространство L.
Чтобы ввести в L операцию коммутирования, рассмотрим две кривые
*@> y(t),O^t^l,x(O)=y(O)=e. Векторы a, b с компонентами (Л
?} лежат в L и касаются указанных кривых в точке е. Из условий,
дифференцируемое™ следует, что предел
Пш [эгЧО УЧО x(t) y(t) ]tlf*=ct (/=1,.../).
существует и зависит только от а и Ь. Вектор с компонентами с,,...,с, назы-
называется коммутатором \а, Ь]. Эта операция коммутирования удовлетво-
удовлетворяет изложенным выше требованиям, и пространство L становится теперь
алгеброй Ли. Алгебра L и называется алгеброй Ли группы G. Если введён-
введённые в G координаты были вещественными, то алгебра L также вещественна,
а если координаты могли принимать комплексные значения, то алгебра L
будет над полем комплексных чисел. Совокупность касательных к кри-
кривым, выходящим из е и лежащим в какой-нибудь лиевской подгруппе Н
группы G, образует подалгебру М в алгебре L. Если Я^нормальный
делитель, то М—идеал в L.
Из построения алгебры Ли группы G видно, что для определения
этой алгебры нет нужды знать группу G в целом; достаточно знать лишь
ее сколь угодно малую окрестность единицы. Таким образом алгебры Ли
могут служить полной характеристикой не групп Ли, а только локаль-
локальных групп Ли. В частности, установленное выше соответствие между под-
подалгебрами и подгруппами для локальных групп становится взаимно одно-
однозначным. Это делает ясным, почему в классической теории групп Ли огра-
ограничивались изучением локальных групп. Однако с развитием общей
теории • топологических групп обнаружилась важность рассмотрения
и групп в целом. Работы Шрейера о локальном изоморфизме, Петера
и Вейля об интегральных уравнениях на группе, теория меры Хаара и ком-
компактных групп, теория характеров Л. С. Понтрягин а—имеют дело
именно с группами в целом. Наконец, Картаном*) была поставлена во всей
своей общности и задача об изучении групп Ли в целом. Среди первых
вопросов этого направления находился принципиальный вопрос о возмож-
возможности построения группы по алгебре Ли, т. е. вопрос о возможности вклю-
включения локальной группы Ли в группу Ли в целом. Этот вопрос был решён
Картаном в положительном смысле и послужил поводом к постановке
аналогичного вопроса для общих топологических групп, рассмотренного
выше (см. п. 1). Если рассматривать группы в целом, то одной и той же
*) La theorie desgroupes finis et continus et 1'analysis situs. Paris A930).
10*

148 АЛГЕБРА
алгеброй Ли могут обладать и неизоморфные группы. Согласно Шрейеру,
все они являются фактор-группами от однозначно определённой, одно-
связной группы с той же алгеброй, по дискретным нормальным делителям.
А. И. Мальцев [16,20] показал, что группу Ли в целом можно с точ-
точностью до конечнолистных накрытий охарактеризовать её алгеброй Ли
и некоторым специальным рациональным подмодулем.
Между подгруппами группы Ли, рассматриваемой в целом, и под-
подалгебрами её алгебры Ли нет того простого соответствия, которое имеется
между подалгебрами и подгруппами локальных групп. В работах Ней-
Неймана и Картана были указаны топологические признаки тех подгрупп,
которые отвечают подалгебрам алгебры Ли. На примере подгрупп век-
векторной группы размерности 2 Е. М. Л и в е н с о н [1] показал, что эти
условия нельзя заменить условием связности.
Среди подгрупп топологической группы особое значение имеют замкну-
замкнутые подгруппы. Поэтому возникла задача, каким подалгебрам отвечают
замкнутые подгруппы. Поскольку группа Ли О определяется её алгеброй
неоднозначно, то при точной постановке задачи кроме алгебры Ли следует
указывать ещё её рациональный подмодуль. В случае, когда G односвязна,
Л. С. П о н т р я г и н [14] показал, что всякому идеалу алгебры Ли в G
отвечает замкнутый нормальный делитель. А. И. Мальцевым [8]
было выяснено, что этот нормальный делитель также односвязен. Даль-
Дальнейшие результаты о замкнутых подгруппах были получены А.И.Маль-
А.И.Мальцевым [9, 16]. Среди них отметим следующие. Пусть А—произвольная
подалгебра алгебры Ли L, В—нормализатор А, т. е. наименьшая подал-
подалгебра, содержащая А в качестве идеала. Тогда во всякой группе Лив с алгеб-
алгеброй L подалгебре В отвечает замкнутая подгруппа. Далее, если Я—-под-
Я—-подгруппа группы Ли G, отвечающая подалгеб ре А и F—замыкание Н, то под-
подалгебра С, отвечающая подгруппе F, имеет вид C=A+D, где D—комму-
D—коммутативная подалгебра, все элементы которой перестановочны со всеми
элементами А. Наконец, было показано, что для замкнутости подгруппы,
отвечающей некоторой подалгебре, необходимо и достаточно, чтобы замы-
замыкания всех однопараметрических подгрупп, содержащихся в ней, снова
содержались в ней самой. Последний результат позволил сформулировать
общие условия для замкнутости подгруппы в виде некоторых требований,
накладываемых на пересечения подалгебры с рациональными подмоду-
подмодулями, характеризующими вместе с алгеброй Ли заданную подгруппу.
Среди всех подгрупп некоторой группы Ли Q особый геометрический
интерес представляют компактные подгруппы. Картан показал, что все
максимальные связные компактные подгруппы полупростых групп Ли
сопряжены. А. И. Мальцев [16] распространил эту теорему Картана
на произвольные группы Ли. Таким образом оказалось, что всякая связная
компактная подгруппа Н группы Ли G сопряжена с некоторой подгруп-
подгруппой её фиксированной максимальной компактной подгруппы F. Причём,
если компактные подгруппы Н и Нх сопряжены в G, то их представи-
представители в F будут сопряжены в F. Тем самым задача классификации
компактных подгрупп Ли свелась к классификации замкнутых подгрупп
компактных групп.
9. Линейные группы. В тесной связи с вопросом о подгруппах нахо-
находится вопрос об изоморфных линейных представлениях алгебр и групп Ли.
Пусть Л—-ассоциативная алгебра. Введём в А новую операцию коммути-
коммутирования, полагая [a, b]=ab~ba(a, b 6 А). Эта операция удовлетворяет
всем требованиям, налагаемым на операцию коммутирования в алгебрах

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 149
Ли, и тем самым из А возникает алгебра Ли А,. Если А—алгебра всех
квадратных матриц данной степени п, то Аг называется полной матричной
алгеброй Ли. Давно предполагалось, что каждая вещественная или ком-
комплексная алгебра Ли изоморфна подалгебре некоторой матричной алгебры
Ли. Полное доказательство этого глубокого утверждения удалось дать
И. Д. А д о [2] в 1935 г. Доказательство И. Д. А д о опирается на тонкие
структурные свойства комплексных алгебр Ли. Для алгебр над полями
простои характеристики аналогичные свойства не известны и поэтому
вопрос о возможности представления таких алгебр матрицами до сих пор
остаётся открытым *). Другие доказательства теоремы Адо были указаны
впоследствии Е. Картаном**) и А. И. Мальцевым [18].
Из теоремы Адо следует, что каждая локальная группа Ли допускает
изоморфное матричное представление. Для групп Ли в целом это неверно.
Достаточные условия для представимости групп Ли в целом в важных
частных случаях были указаны Картаном в упомянутой работе и Биркгоф-
фом***). Необходимые и достаточные условия нашёл А. И.Мальцев [13].
Именно, для линейной представимости группы Ли G в целом необхо-
. димо и достаточно, чтобы были линейно представимы ее' радикал и фактор-
факторгруппа группы G по радикалу. В свою очередь, для представимости ради-
радикала необходимо и достаточно, чтобы его коммутант был односвязен,
а представимость фактор-группы зависит от строения её центра.
10. Групповое пространство. Важной задачей теории групп Ли
в целом является изучение топологических свойств групповых пространств
и, в первую очередь, их чисел Бетти. Начало этому положил Картан в уже
упоминавшейся монографии. Прежде всего им было показано, что про-
пространство связной и односвязной группы Ли разлагается в топологическое
произведение евклидова пространства и пространства её максимальной
компактной подгруппы. Тем самым задача изучения пространств произ-
произвольных односвязных групп Ли свелась к изучению пространств ком-
компактных групп. Для компактных групп Картаном была построена особая
теория инвариантных дифференциальных форм, с помощью которой вы-
вычисление чисел Бетти удалось свести к элементарно алгебраической задаче
об определении числа линейно независимых форм в некоторых линейных
Системах. Эта последняя, в свою очередь, может быть сведена к вычи-
вычислению интегралов вида
1 /
где
Однако фактически найти числа Бетти этим способом не удалось, также
как не удалось до сих пор вычислить прямым образом и интеграл (W). Эту
трудную проблему Картана в 1935 г. решил Л. С. Понтрягин [5,6,16]
*) В 1937 г. Биркгофф и Витт показали, что всякая алгебра Ли представима
линейными преобразованиями бесконечно мерного пространства. Отсюда Биркгофф
получил теорему Адо для полей произвольной характеристики, по только для ииль-
потентных алгебр (Ann. of Math., 38 A937), 526—532).
**) Journ. Math. pur. appl., 17A938), 1—12.
***) Bull. Amer. Math. Soc, 4 A936), 882—888 и Ann. of Math., 38 A937),
526—532.

150 АЛГЕБРА
геометрическим методом. Результаты оказались следующие. Как известно,
всякая односвязная компактная группа Ли распадается в прямое произ-
произведение простых групп, а все простые компактные группы с точностью
до локального изоморфизма содержатся в таблице:
Л„—группы унитарных матриц степени п-f-l с определи-
определителем + 1;
Вп—группы вещественных ортогональных матриц опре-
определителя +1 от 2/2-f-l переменных;
С„—группы унитарных симплектических матриц степе-
степени 2 п;
Dn—группы вещественных ортогональных матриц опре-
определителя +1 степени 2л;
G2, Fit Et, ?„ Еа— пять особых групп.
Согласно Л. С. Понтрягину, числа Бетти групп Ап, Вп, С„, Д,
совпадают с числами Бетти таких топологических произведений:
n7 x... ,
где Sk обозначает сферу размерности к. Так как Л. С. Понтряги-
н ы м [16] было показано, что локально изоморфные компактные группы
имеют одни и те же числа Бетти, то тем самым задача вычисления чисел
Бетти была в основном решена. Что касается коэффициентов кручения, то
они у Ап и С„ отсутствуют, а Вп, Dn имеют коэффициенты кручения, равные
двум (Л. С. П о н т р я г и н [16]). Причиной этого по предположению
Л. С. Понтрягина является то обстоятельство, что Ап и С„ одно-
связны, а Вп и Д, нет. Однако предположение, что универсальные накры-
накрывающие для Вп, Dn коэффициентов кручения не имеют, остаётся пока
недоказанным. Отметим ещё, что числа Бетти для G2 также вычислены
(G2~ S'xS11), а для остальных особых групп неизвестны.
Совпадение чисел Бетти у компактных групп с числами Бетти тополо-
топологических произведений сфер заставило поставить вопрос: не гомеоморфны
ли группы этим произведениям? Используя гомотопические инварианты,
Л. С. П о и т р я г и н [18] показал, что на этот вопрос следует ответить
отрицательно. Так, А2 вообще не может быть представлена в виде тополо-
топологического произведения двух многообразий.
Уже упоминалось, что изучение пространства односвязной группы
Ли Картан свёл к изучению пространства её максимальной компактной
подгруппы. Д ля неодносвязных разрешимых групп это же было сделано
А. И. Мальцевым [11] и независимо Шевалле *) показавшими, что
пространство связной разрешимой группы Ли гомеоморфно топологиче-
топологическому произведению прямых и окружностей. А. И. Ма л ьцев ым [16]
была доказана и общая теорема: пространство всякой связной
группы Ли G гомеоморфно топологическому произведению некоторого
евклидова пространства на пространство максимальной связной компакт-
компактной подгруппы.
11. Однородные пространства. Пусть М—топологическое пространство,
С—некоторая группа гомеоморфных отображений М на себя. Условимся
*) Ann., of Math., 42 A941), 668—675.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 151
называть элементы G движениями пространства М. Важной геометриче-
геометрической задачей является нахождение минимальных топологических условий,
которым должны удовлетворять М и G, чтобы М стало гомеоморфно
какому-нибудь пространству постоянной кривизны, a G обратилась бы
в группу его изометрических отображений. А. Н. Колмогорову [I]
принадлежит современная постановка этой задачи и одно из возможных
е8 решений. Основная его идея состоит в том, что пространства постоянной
кривизны обладают наибольшей свободой движений; поэтому и решение
задачи должно быть связано с наличием большого количества движений.
Пусть М—метризуемое, локально-компактное, связное топологическое
пространство и G—транзитивная группа гомеоморфизмов М. Обозначим
4epe3Sp (Xj,..., х„) сферу с центрами хи .... х„, проходящую через точку у,
т. е. совокупность тех точек М, в которые можно перевести у преобра-
преобразованиями G, оставляющими на месте точки xlt ..., хп. Основной результат:
если каждые две сферыБц (х,, ..., х„), Sv(xu ..., хп) отделяют одна другую
от точки х„ в сфереSXn (xi> ••¦> xn-i)> т0 М можно так отобразить топо-
топологически на некоторое пространство постоянной кривизны, что G перей-
перейдёт в группу его изометрий.
В дальнейшем это направление исследований разрабатывалось рядом
иностранных учёных (Буземан, Биркгофф и др.).
Мы пока не обращали внимания на то, имеет или нет топологию
группа G. Если предположить, что группа G топологическая.то естественно
возникает весьма важное понятие группы, действующей на топологическом
пространстве. Именно, говорят, что топологическая группа G действует на
топологическом пространстве М, если определены произведения
mg (т € М, g 6 G) со значениями в М, зависящими непрерывно от т, g, и если
(mg)h=m(gh), me=m (g,h—элементы, е—единица G). G называют эффек-
эффективной на ЛГ.если для каждого §фе найдётся такой элемент т, что mg ф т.
Говорят, что G действует на М транзитивно, если для любых a, b из М
найдётся такой элемент g€G, что ag=b. Совокупность элементов G, остав-
оставляющих на месте какой-либо элемент т из М, называется стабильной
подгруппой Gm. Если G—локально-компактная группа, со второй аксиомой
счётности и действует транзитивно на некотором пространстве М, то легко
доказывается, что М гомеоморфио пространству вычетов М по любой
стабильной подгруппе Gm. Отсюда видно, что изучение пространств с дей-
действующими на них транзитивно топологическими группами приводится
кизучению пар, составленных из топологической группы и её замкнутой
подгруппы, т. е. к чисто тополого-алгебраической задаче. Для пространств
с действующими на них группами можно указать следующий аналог пятой
проблемы Гильберта: будет ли группой Ли всякая локально компактная
связная топологическая группа, транзитивно действующая на некотором
топологическом многообразии? В работе 1936 г., оставшейся неопубли-
неопубликованной, Л. С. Понтрягин показал, что для компактных групп
эта проблема решается положительно. Полное доказательство было опубли-
опубликовано впервые и независимо Монтгомери и Циппиным. А. И. М а л ь-
ц е в [19]показал, что эта проблема решается положительно и для разре-
разрешимых групп. Им же показано, что пространство вычетов связной, одно-
связной разрешимой группы Ли по её связной подгруппе гомеоморфно
евклидову пространству. В другой работе *) А. И. М а л ь ц е в рассма-
рассматривал пространства с нильпотентной группой Ли движений. Оказалось,
*) Находится в печати.

152 АЛГЕБРА
что такие пространства однозначно определяются своей группой Пуан-
Пуанкаре, причём всякая абстрактная нильпотентная группа без элементов
конечного порядка и с конечным числом образующих есть группа
Пуанкаре одного из этих пространств.
Уже указывалось (п. 2), что вопрос о существовании инвариантной
меры в пространствах с группой движений рассматривался Н. Г. Чебо-
Чеботарёвым [44]. Ряд теорем из теории динамических систем перенёс
на пространства с группой движений В. В. Н е м ы ц к и й *). Некоторые
условия для возможности погружения одного пространства с группой
движений в другое нашёл Б. А. Розенфельд **). Это позволило ему
единообразным методом получить много результатов классической гео-
геометрии. Наконец, В. В. В а гн е р ***) исследовал широкое понятие геомет-
геометрической величины. Последние две работы по своему характеру относятся
уже к области геометрии и выходят за пределы настоящего реферата.
§ 4. АЛГЕБРЫ ЛИ.
12. Общие замечания. Выше упоминалось, что изучение локальных
групп Ли эквивалентно изучению алгебр Ли, причём изучение комплекс-
комплексных локальных групп эквивалентно изучению алгебр Ли над полем
комплексных чисел, а вещественных локальных групп—изучению алгебр
Ли над полем вещественных чисел. С алгебраической точки зрения изу-
изучение алгебр над полем комплексных чисел проще и поэтому предше-
предшествует изучению алгебр над полем вещественных чисел.
Пусть L—алгебра Ли над каким-нибудь полем К и А, В некоторые
множества её элементов. Символом [А, В] обозначают минимальную
подалгебру из L, содержащую все коммутаторы вида [а, Ь], где а(-А,
b 6 В. Подалгебра [L, L] называется первым коммутантом L и обозна-
обозначается L', подалгебра [L',L']~emopbiM коммутантом и т. д. Если при
некотором к к-й коммутант L(k) окажется нулём, то L называется
разрешимой. Всякая алгебра L имеет единственный разрешимый идеал R
максимальной размерности. Этот идеал R называется радикалом L.
Если R равен нулю, то L полупростая алгебра. Кроме разрешимости
и полупростоты основную роль в теории алгебр Ли играют ещё понятия
простоты и нильпотентности. Определяются они следующим образом.
Алгебра L называется простой, если L не имеет собственных идеалов;
L называется нильпотентной, если при достаточном числе членов выраже-
выражение [... [L, L]L...]L обращается в нуль. Нильпотентные алгебры называют-
называются алгебрами ранга нуль. Пусть L—произвольная алгебра Ли, R её радикал.
Легко показывается, что алгебра вычетов L/R будет полупростой. Отсюда
видно, что задача об исследовании алгебр Ли распадается на изучение
полупростых алгебр, разрешимых алгебр и изучение нахождения спо-
способа составления алгебры L из радикала R и полупростой алгебры
вычетов LJR.
13. Полупростые алгебры. Предыдущие определения имеют смысл
при любом основном поле. Однако, в дальнейшем всюду, где ие оговорено
противное, будет подразумеваться, что основным полем является поле
всех комплексных чисел. Согласно классическим результатам Киллинга-
*
**
) ДАН, 53 A946), 495—498.
:) ИАН, сер. матем., 9 A945), 371—ЗН6.
ДАН, 46 A945), 383-386.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 153
Картана, каждая полупростая алгебра Ли есть прямая сумма простых
алгебр, а простые алгебры с точностью до изоморфизма исчерпываются
алгебрами Ли групп Ап, Вп, Сп, Dn, G2, Fit Ee, E,, Ee, приведённых
в п. 10. Доказательство последнего результата, весьма сложное и мало-
малообозримое у Картана, было сделано геометрически прозрачным в основных
работах Вейля и Ван-дер-Вардена. Е. Б. Дынкин [1] недавно ещё
более упростил рассуждения Ван-дер-Вардена.
Ф. Р. Гантмахер [1.2] подробно изучил автоморфизмы полу-
полупростых комплексных алгебр Ли. Автоморфизмы этих алгебр были ранее
рассмотрены Картаном и Вейлем. Однако Ф. Р. Гантмахер получил
более полные и точные результаты при одновременном упрощении доказа-
доказательств. Группа автоморфизмов комплексной полупростой алгебры Ли
L является топологической группой ЭД, которая распадается на конечное
число связных компонент $=$0+91,+.. .+$,,. Пусть здесь Ч&0 обозна-
обозначает связную компоненту единицы. Элементы %0 являются внутренними
автоморфизмами L и алгебра Ли группы $„ изоморфна L. Элементы %
являются линейными преобразованиями линейного пространства L. Авто-
Автоморфизм а, принадлежащий компоненте 3$г, называется регулярным,
если, число 1 является собственным значением а наименьшей, возможной
у элементов Щ, кратности. Оказывается, все элементарные делители
регулярных автоморфизмов простые. Регулярные элементы образуют в ?t,-
|1И'крытое связное множество комплексной размерности г, а остальные эле-
элементы распадаются в конечное число связных многообразий меньшей раз-
верности.
Пусть а—произвольный автоморфизм L. Обозначим через At совокуп-
совокупность элементов L, принадлежащих собственному значению I преобразова-
преобразования a. At—всегда некоторая подалгебра из L. Если а—регулярный эле-
элемент, то алгебра At коммутативна. Обратно, если А, коммутативна,
То а регулярен. Следующая теорема даёт каноническое представление авто-
'йорфизмов L: если элементарные делители автоморфизма а, отвечающие
Ыственному значению I, просты, то а=и~1 zu, где и—внутренний автомор-
л, а г—некоторый «главный» автоморфизм, характеризующийся осо-
ии свойствами по отношению к канонической базе алгебры L. В заклю-
ение главные автоморфизмы находятся заново для всех простых
чексных алгебр Ли.
Работа Ф. Р. Г а н т м а х е р а [3] посвящена нахождению веще-
венных простых алгебр Ли. Эту задачу впервые решил Картам,
нако его метод был чрезвычайно громоздок и основывался на большом
ячестве вычислений. В дальнейшем Картан с помощью созданной им
ории симметрических пространств доказал следующую теорему, позво-
вшую сделать нахождение вещественных простых алгебр более прозрач-
а. Пусть L—алгебра Ли одной- из компактных простых групп, нерс-
Йкленных в п. 10. Ищем все инволютивные автоморфизмы L, т. е. автомор-
рзмы б, для которых 62=1. Для каждого 0 в L можно найти базис
I,..., ет, ет+и ..., еТ, образованный собственными векторами 6, принадлежа-
принадлежавши собственным значениям ± I. Пусть
e^ — eh ej)=—ei, (j=),...,m; a = m-r-1, ..., г).
Составим формально алгебру L\ с базисом е,, ..., em, /e,,,+1,..., ier, /=г| —1.
Структурные константы этой алгебры будут вещественными, а потому
U можно рассматривать как вещественную алгебру Ли. Утверждается,

154 АЛГЕБРА
что, меняя L и 6, можно получить этим способом все вещественные простые
алгебры Ли. Ф. Р. Г а н тм а х е р [3] даёт сначала чисто алгебраическое
доказательство этого утверждения, а затем, используя каноническое
представление автоморфизмов, получает все вещественные простые'
алгебры Ли.
Б. А. Ф у к с ом [1, 2] рассматривались автоморфизмы произволь-
произвольных алгебр Ли. В первой из этих работ изучаются так называемые
дифференцирования алгебр Ли и, особенно, внешние дифференцирова-
дифференцирования. Во второй рассматриваются дифференциальные уравнения, опреде-
определяющие автоморфизмы группы преобразований, и даётся обобщение
одной теоремы Ли о них.
14. Радикал. В вопросе о построении алгебры Ли с заданным радика-
радикалом R и заданной алгеброй вычетов L/R основной является теорема Леви,
согласно которой в L существует полупростая подалгебра S, удовлетво-
удовлетворяющая равенству L = S-\-R. А. И. Мальцев [10] показал, что макси-
максимальные полупростые подалгебры сопряжены между собой и, таким обра-
образом, разложение Леви единственно с точностью до внутренних автоморфиз-
автоморфизмов. Этот результат позволил в основном решить и общую задачу о нахо-
нахождении алгебр Ли с заданным радикалом R. Пусть дана произвольная
разрешимая алгебра Ли R. В алгебре её дифференцирований выбираем
максимальную полупростую подалгебру Т и из каждого класса сопряжён-
сопряжённых полупростых подалгебр Т в свою очередь выбираем по представи-
представителю S. Полупрямые суммы вида S+R исчерпывают все неразложимые
в простую сумму алгебры с радикалом R. Тем самым задача о построении
алгебр Ли с данным радикалом приводятся к классификации полупростых
подалгебр в полупростых алгебрах Ли. Эта классификация рассмотрена
А. И. М а л ь ц е в ым [15] и будет описана ниже (п. 19). Здесь мы отметим
следующий частный результат. Используя теорему Монтгомери-Циппина*),
легко доказать, что каждая полупростая алгебра Ли обладает лишь:
конечным числом классов сопряжённых полупростых подалгебр. Принимая
во внимание сказанное выше, заключаем, что неразложимых в прямую
сумму алгебр Ли с данным радикалом существует лишь конечное число.
15. Разрешимые алгебры. Результаты предыдущего п. показывают,
что задача классификации общих алгебр Ли в существенных чертах сво-
сводится к изучению разрешимых алгебр. Строение разрешимых алгебр рас-
рассматривалось А. И. Мальцевым [18]. Основная его цель состоит
в том, чтобы изучение разрешимых алгебр свести к изучению нильпотент-
ных. Для этого сначала вводится особый класс расщепляемых алгебр и по-
показывается, что каждая расщепляемая алгебра представляется в виде
R=A-\-K, где К —максимальный нильпотентный идеал в R, а А—макси-
А—максимальная коммутативная подалгебра, все элементы которой имеют простые
элементарные делители. Представление R=A-{-K однозначно с точно-
точностью до внутренних автоморфизмов. К называется ядром алгебры R.
Теперь, чтобы получить все расщепляемые алгебры с заданным яд-
ядром К, достаточно для /? взять алгебру дифференцирований, выбрать в
ней максимальную коммутативную подалгебру А, образованную эле-
элементами с простыми элементарными делителями, и составить полупрямую
сумму А+К. Подалгебры вида AX4-K, Aid А с точностью до изомор-
изоморфизма исчерпывают все расщепляемые разрешимые алгебры с ядром К.
Если R—нерасщепляемая разрешимая алгебра, то существует един-
*) Bull. Amer. Math. Soc, 48 A942), 448—452.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ 155
ственная минимальная расщепляемая алгебра R, содержащая R. Зная
R, можно, обратно, найти R, если дополнительно задать инварианты особой
нильпотентной группы, связанной с R.
16. Нильпотентные алгебры. Пусть L—алгебра Ли. Положим
[L, L]=Lit [L2L]=L3... Цепочка идеалов LidL2 ID L3 ID ••• носит название
нижнего центрального ряда алгебры L. Если на каком-либо месте
этого ряда стоит нуль, то L нильпотентна. Пусть Ln=0, Ln_x Ф 0. Тогда п
называют числом ступеней или классом нильпотентной алгебры. Число
ступеней, а также размерности алгебр L, L., L3,...—простейшие ариф-
арифметические инварианты нильпотентной алгебры. Обозначим через Zx центр
алгебры L, через Z2 совокупность тех элементов L, которые при гомоморфиз-
гомоморфизме L —> Z/Zj переходят в центр L/Z и т. д. Последовательность Z1czZia...
называется верхним центральным рядом L. Для нильпотентности L не-
необходимо и достаточно, чтобы при некотором п было Zn=L. Размерности
Z\, Z2,... дают другую систему арифметических инвариантов L. На при-
примерах легко видеть, что указанные инварианты нильпотентных алгебр не
определяют. Поэтому разыскание новых инвариантов нильпотентных
алгебр имеет значительный интерес. В частности, интересные инварианты
арифметической природы были указаны Г. Б. Гу рев и чем [1].
Другие инварианты получил А. И. Мальцев.
' Автоморфизмы нильпотентных алгебр изучал И. Д. А д о [2]. Его
результаты могут быть описаны следующим образом. Пусть L—свободная
алгебра Ли с fc-образующими, Ln—n-й член её нижнего центрального ряда.
Тогда LJLn можно назвать свободной гс-ступенной нильпотентной алгеб-
алгеброй Ли с А образующими. И. Д. А д о показано, что любые А образующих
алгебры LJLn можно перевести в любые другие к образующих некоторым
её автоморфизмом, и что любой автоморфизм алгебры L/Ln индуцируется
некоторым автоморфизмом L. Аналогичные теоремы установлены
И. Р. Шафаревичем [3] для свободных р-групп и А. И. М а л ь ц е-
в ы м для произвольных свободных нильпотентных алгебр.
А. Я. П о в з и е р [3] дал простое доказательство теоремы Картана
о том, что определяющие функции /,- (см. п. 4) нильпотентной группы Ли
В специальной системе координат являются полиномами, а также указал
Некоторые уточнения этой теоремы.
; 17. Смешанные вопросы. Алгебры Ли непосредственно связаны с ас-
ассоциативными алгебрами. Выше указывалось, что если А—ассоциативная
алгебра, то полагая [a, b]=ab—Ьа, мы получим алгебру Ли At. Пусть,
в частности, А—ассоциативная алгебра бесконечных степенных рядов
втнекоммутирующих переменных xt, x2, ..., хк. Обозначим через L мини-
минимальную подалгебру Ли из А{, содержащую элементы хи х,, ..., хс. Рас-
Рассмотрим какой-либо полином / (х1( х2, ..., хк) из А. Утверждение, что /
входит в L означает, что этот полином может быть представлен в виде
лиевского полинома orx,,x,_, ..,xk. E. Б. Дынкин [2] указал весьма про-
простой способ как, зная, что обыкновенный полином / (х,, ..., х,с) входит
в L, фактически найти его лиевское выражение. Это позволило ему ука-
указать явное выражение для формулы Хаусдорфа-Кэмпбелла, играющей
важную роль в теории групп Ли.
Поскольку значительное число теорем для алгебр Ли и ассоциативных
алгебр формулируется одинаково, то весьма важно было бы их объединить
в одну общую теорию. Такая попытка была сделана А. И. Узковым[6].
В этой работе для одного класса неассоциативных алгебр, заведомо

156 АЛГЕБРА
включающего в себя все ассоциативные алгебры и алгебры Ли, даётся
определение дискриминанта, которое позволяет сформулировать условия
для разложимости алгебры в прямую сумму своих идеалов.
Наконец, известно много теорем, формулирующихся одинаково как
для алгебр Ли, так и для обыкновенных абстрактных групп. П. К. Р а-
ш е в с к и м [1 ] указана система аксиом, в которой имеет место значи-
значительная часть упомянутых теорем и которой подчинены как алгебры Ли,
так и абстрактные группы.
§ 5. ПОДАЛГЕБРЫ АЛГЕБР ЛИ.
В п. It было показано, что геометрическая задача об изучении одно-
однородных пространств с эффективно и транзитивно действующей группой
преобразований эквивалентна изучению пар, составленных из тополо-
топологической группы и некоторой её замкнутой подгруппы. При этом сопря-
сопряжённые подгруппы дают эквивалентные пространства. В классической
дифференциальной геометрии интересуются лишь локальными свой-
свойствами пространства. Поэтому вместо групп и их подгрупп в целом можно
ограничиться рассмотрением локальных групп и подгрупп и привести
задачу к изучению подалгебр алгебр Ли.
18. Разрешимые, нильпотентные и абелевы подалгебры. Среди разре-
разрешимых подалгебр алгебр Ли особый интерес представляют подалгебры
максимальной размерности. Сначала Н. Г. Чеботарёв [38] в регуляр-
регулярном случае, а затем В. В. М о р о з о в [7] в общем случае доказали, что
все максимальные разрешимые подалгебры произвольной алгебры Ли
сопряжены между собой. Другие классы разрешимых, а также ниль-
потентных подалгебр рассматривал А. И. М а л ь ц е в [18].
В теории полупростых алгебр L важную роль играют подалгебры,
образованные элементами L, принадлежащими нулевому собственному
значению какого-либо элемента h из L. Если элемент h регулярен, то эти
подалгебры называются картаповскими. Выше (п. 13) указывались-
необходимые и достаточные условия Ф. Р. Гантмахера, чтобы под-
подалгебра, принадлежащая элементу h, была коммутативна. Ф. Р. Гант-
м а х е р [2] и В. В.Морозов [5] также показали, что всякий элемент
полупростой алгебры, имеющий простые элементарные делители, входит
в некоторую картановскую подалгебру. Наконец, в той же работе
Ф. Р. Гантмахером было дано новое доказательство сопряжён-
сопряжённости картановских подалгебр полупростых алгебр. Сопряжённость кар-
тановских подалгебр в произвольных алгебрах Ли была доказана позже
Шевалле *).
Картановские подалгебры полупростых алгебр являются их макси-
максимальными коммутативными подалгебрами. Это не исключает того, что-
в полупростых алгебрах имеются коммутативные подалгебры более высо-
высоких размерностей. В простых алгебрах серии А„ коммутативные подал-
подалгебры наивысшей размерности были найдены Шуром **). Новый вывод
этого результата указал Джекобсон ***).
А. И. Мальцев [17] нашёл коммутативные подалгебры макси-
максимальной размерности всех полупростых алгебр Ли.
*) Amer Journ. Math., 63 A941), 785—795.
**) Journ reine u. angew. Math., 130 A905), 66—76.
***) Bui!. Amer. Math., Soc, 50 A944), 431—437.

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ГРУППЫ ЛИ J57
19. Полупростые подалгебры. Выше указывалось, что задача построе-
построения всех алгебр Ли с данным радикалом приводится к классификации
яолупростых подалгебр в полупростых алгебрах Ли. К этому же при-
приводится и задача классификации однородных пространств с компактной
группой движений. Таким образом, изучение полупростых подалгебр
Представляет особый интерес. Легко показывается (А.И.Мальцев [1 б]),
что на самом деле последнее эквивалентно изучению простых подалгебр
в простых же алгебрах Ли.
Минимальными из простых алгебр являются трёхчленные алгебры.
Ф. Р. Г а н т м а х е р [4] дал полную классификацию трёхчленных про-
простых подалгебр в простых алгебрах четырёх основных серий Ап, Вп, Сп,
Dn. Свойства простых трёхчленных подалгебр рассматривались также
В. В. М о р о з о в ы м [5j| и А. И. М а л ь ц е в ы м [15]. Элемент а алгеб-
алгебры L назовём нильпотентным, если все его собственные значения равны
нулю. Тогда для каждого нильпотентного элемента а полупростой
алгебры L найдутся в L элементы Ь, Л, связанные с а соотношениями [ab]=h,
[ha]=a, [hb]=—b и составляющими, таким образом, базис трёхчленной
простой подалгебры (В. В. М о р о з о в). С другой стороны, если у двух
простых трёхчленных подалгебр с базисами a, b, h и alt bu hu связанны-
связанными аналогичными соотношениями, элементы h и пг совпадают, то такие
подалгебры сопряжены (А. И. Мальце в).
Задача о классификации произвольных простых подалгебр была прин-
принципиально решена А. И. М а л ь ц е в ы м [15] с помощью теории пред-
представлений Картана. Гомоморфное отображение группы Gu в О было
названо выше представлением G1 в G. Два представления G1 в G называются
Швшалентными, если одно из них переводится в другое внутренним авто-
автоморфизмом G. В нетривиальном представлении образ простой группы
<?i bG будет её подгруппой, изоморфной G±. Эквивалентные представления
дают сопряжённые подгруппы. Таким образом, зная все неэквивалентные
представления G± в G, мы тем самым знаем все классы сопряжённых под-
подгрупп группы G, изоморфных Gx.
Все неэквивалентные линейные представления простых групп были
«найдены впервые Картаном*). Тем самым были найдены все простые под-
руппы групп серии Ап. Чтобы найти простые подгруппы в сериях Вп,
Dn, достаточно было найти ортогональные и симплектические пред-
авления простых групп (А. И. Мальцев [15]). Вычисление простых
одгрупп в группах G-it Fit Ee E7, Еа, представляет особую задачу. Это
ясление было проделано в явном виде лишь для первых двух из них.
20. Максимальные подалгебры. "Пусть топологическая группа G дей-
рвует транзитивно и эффективно на некотором пространстве М. Если М
рожно разбить на такую совокупность подмножеств {MJ, что движения
|йз G не разрушают этих подмножеств, передвигая их как одно целое, то
01 называются системами импримитивности G, а сама группа G
Штримативной группой движений. Если G никаких систем импримитив-
импримитивности, кроме тривиальных, не содержит, то G называется примитивной.
Поскольку импримитивную группу движений можно рассматривать как
fpynny движений пространства, составленного из систем импримитивно-
импримитивности и имеющего при обычных условиях меньшую размерность, то отсюда
звиден особый интерес задачи определения всех примитивных групп пре-
преобразований.
*) Bull. Soc. Math. France, 41 A913), 53—96.

158 АЛГЕБРА
Если Н—стабильная подгруппа группы движений G, то для примитив-
примитивности G необходимо и достаточно, чтобы Н была максимальной подгруп-
подгруппой в О. Таким образом упомянутая задача сводится к нахождению
максимальных подгрупп топологической группы G, не содержащих нор-
нормальных делителей G. В случае групп Ли дело сводится к исследованию
максимальных подалгебр алгебр Ли, не содержащих внутри себя идеалов.
Эта задача была поставлена ещё С. Ли и разрешена им в предположении,
что размерность G отличается от размерности Н не более чем на 3.
Важным частным случаем задачи Ли являлась задача Картана о
нахождении подалгебр максимальной размерности в простых алгебрах Ли.
Эта задача была решена самим Картаном в предположении, что рассма-
рассматриваются только регулярные подалгебры. Н. Г. Чеботарёв [33]
показал, что наивысшая размерность нерегулярных подалгебр не может
быть выше наибольшей размерности регулярных. Тем самым впервые
задача Картана была решена в общем виде.
Решение первоначальной задачи Ли было существенно продвинуто
В. В. М о р о з о в ы м [ 1, 2, 3, 4, 8]. Среди различных его результатов отме-
отметим следующие. Прежде всего, не каждая группа Ли может быть прими-
примитивной группой движений. Если полупростая группа G движений прими-
примитивна и в то же время не проста, то G есть прямое произведение двух
изоморфных простых групп, а стабильная подгруппа является так называе-
называемой медианной подгруппой. Легко получить также примитивные непо-
лупростые группы. Именно, пусть А—п-мерное векторное пространство,
L—какая-нибудь неприводимая алгебра Ли, образованная линейными
преобразованиями А. Полупрямая сумма L+A будет алгеброй Ли иско-
искомой примитивной группы, причём соответственной максимальной подал*
геброй будет L. В результате неисследованными остались только прими-
примитивные простые группы. Так как простые группы нетривиальных нор-
нормальных делителей не содержат, то задача свелась к классификации
максимальных подгрупп простых групп Ли. В работе В. В. М о р о з о в a [8J
показано, что неполупростые максимальные подгруппы простых групп
обязательно регулярны, а регулярные максимальные подгруппы были им
же найдены ранее (В. В. Морозов [4]). Тем самым, работами
В. В. Морозова общая задача С. Ли была сведена к определению
максимальных полупростых подгрупп простых групп Ли,
А. И. Мальцевым [15] дано решение более общей задачи о клас-
классификации всех пролупростых подгрупп. Однако, какие из найденных
в ней подгрупп максимальны, а какие нет, в явном виде установлена
не было. Результаты, установленные В. В. Морозовым, позволили ему
чисто алгебраическим путём получить заново результаты Ли о примитивг
ных группах пространств размерности не выше 3, а также найти прими-
примитивные группы пространств размерности 4.
В заключение отметим ещё работу В. В. М орозова [6], в которой
показано, что совокупность элементов простой алгебры Ли, перестановоч-
перестановочных с заданной ее' полупростой подалгеброй, есть либо снова полупростая
подалгебра, либо прямая сумма полупростой и абелевой подалгебр.

БИБЛИОГРАФИЯ.
Агрономов Н. А.
[1] Note sur les determinants. Boll. un. Mat. Hal., 6 A927), 266—268.
[2] Об одном методе изложения теории детерминантов. Владивосток, Труды Дальне-
вост. ун-та A5), 2 A928), 1—21.
Ад о И. Д.
[1] О структуре конечных непрерывных групп. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C)
6 A934), 38—42.
[2] О представлении конечных непрерывных групп с помощью линейных подстано-
подстановок. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 7 A934—1935), 1—43.
О нильпотентных алгебрах и р-группах. ДАН, 40 A943), 339—342.
К теории характеров конечных групп. ДАН, 50 A945), 11—44.
О подгруппах счётной симметрической группы. ДАН, 50 A945), 15—18
Локально конечные р-группы с условием минимальности для нормальных дели-
делителей. ДАН, 54 A946), 475—478.
[7] Представление алгебр Ли матрицами. Успехи матем. наук, 2:6 B2), A947),
159—173.
¦[8] Доказательство счётности локально конечной р-группы с условием минималь-
минимальности для нормальных делителей. ДАН, 58 A947), 523—524.
Азлецкий С. П.
[1] К вопросу о геометрической интерпретации субституций. Свердловск—М.,
Изв. Уральск, лесотехн. ин-та, 3 A934), 81—85.
Александров А. Д.
[1] О группах с инвариантной мерой. ДАН, 34 A942), 7—11.
f{2] О расширении хаусдорфова пространства до Я-замкнутого. ДАН, 37 A942),
138—141.
Александров П. С.
, [1] Введение в теорию групп. М., Учпедгиз A938), 1—128.
] . Андрунакиевич В. А.
[1] Полурадикальиые и радикальные кольца. ДАН, 55 A947), 3—6.
Аравийская Е. Н.
[1] О применении символов Hurwitz'a к составлению уравнений периодов в теории
деления круга. Томск, Изв. ун-та, 79:2 A928), 77—81.
Арнольд И. В.
[1] Ideale in kommutativen Halbgruppen. Матем. сб., 36A929), 401—408.
Архангельский А. П. иМалеев В. А.
[1] Об определении наименьшего показателя W, при котором выражение хт—1 де-
делится нацело на многочлен^ (x)=xn+at хп~1,+а2хп~2+...+ап_1х+ап по простому
модулю р. Томск, Изв. индустр. ин-та, 55:1 A936), 43—48.

160 АЛГЕБРА
А р ш о и С. li.
|1] Обобщение прапила Саррюса. Матем. сб., 42 A935), 121—128.
[2] Доказательство существования я-значных бесконечных асимметричных последо-
последовательностей. Матем. сб., 2 D4), A937), 7G9—779.
А х и е з е р Н. И. и К р е и н М. Г.
II] ОЪег eine Transformation der reelen toeplitzschen Formen. Хрк., Зап. матем. т-ва
D), 11 A935).
Баженов Г. М.
|1] О преобразовании Чирнгаузена. Воронеж, Труды ун-та, 9:4 A937), 9—24.
Б а у т и и Н. Н. и И к о и и и к о в Е. А.
[1],',Об исследовании корней алгебраических уравнений геометрическим методом
Горький, Труды нн-та шок. водн. транш., 3 A936), 195—219.
Белов СЕ.
[1] Об определении верхней границы абсолютной величины детерминанта с веще-
вещественными элементами. Днепропетровск, Научи, зап. ун-та, 25 A941), 5—7.
Б е л ь к о в и ч И.
[.] Матрицы-кракопианы и их применение в астрономии. Астрон. ж., 8:2 A931)
150-161.
Б и л л е в и ч К. К.
[1] Об единицах алгебраических-полей п-го порядка. Диссертацчя A945).
Боголюбов Н. Н.
[1] Surle theoreme fondamental de l'algdbra. Boll. un. Mat. Hal. A932).
Б у р ь я н В.
[1] Построение некоторых неприводимых полиномов неэйзенштейновского типа.
Ростов н/Д, Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 4 A940), 109—116.
В а л ь ф и ш А. 3.
[1] Ober primare Ideale. Тбилиси, Сообщ. АН ГрССР, 2 A941), 393—398.
В е л ь м и и В. П.
[1] О зависимости между корнями нормального уравнения третьей степени. Ростов
н/Д, Труды ин-та матем. и естеств. С.-Кавк. ун-та, 16 A930), 79—85.
[2] К теории решений алгебраических уравнений в радикалах. Ростов н/Д, Юбил. сб.
научн. работ машиностр. ин-та, 1 A940), 33—43.
Вержбицкий Е. Д.
[1] Некоторые вопросы теории рядов композиций нескольких матриц. Матем. сб.
5 D7), A939), 505—512.
В и л с и к и н Н. Я.
[1] К теории прямых разложений топологических групп. ДАН, 47 A945), 635—637.
[2] Прямые разложения топологических групп, I. Матем. сб., 19F1). A946), 85—154,^
[3] Прямые разложения топологических групп, II. Матем. сб., 19 F1), A946),|
ЗЦ—340.
[4] К теории общих топологических групп. ДАН, 58 A947), 1573—1576.
[5] Об одном классе полных ортонормальных систем. ИАН, 11 A047), 363—400.
Виноградов СП'.
[1] Основы теории детерминантов. Изд. 4. М.—Л., ОНТИ A935), 1—103.
Вихров А. И.
[1] Теория расширений для ультрагрупп. М., Учён. зап. ун-та, 100 A940), 3—19.
ВойдиславскийМ. Р.
II] Конкретный случай некоторых типов обобщённых групп. Хрк., Зап. матем. т-взз
D), 17 A940), 127—144. '

БИБЛИОГРАФИЯ 161
Волнина Н. В.
[1] О приводимости полиномов в иррациональных полях. ДАН, 58A947), 1873—1876.
Воробьёв Н. Н.
A] Нормальные подсистемы конечной симметрической ассоциативной системы. ДАН,
58 A947), 1887—1890.
Выгодский М. Я.
[1] Об одном применении диагонального процесса к комбинаторным задачам. Матем.
сб., 42 A935), 19—22.
ГавриловЛ. И.
[1] О продолжаемых полиномах, IV. О K-продолжаемых полиномах. Казань, Изв.
физ.-матем. о-ва C), 8 A936—1937), 125—129.
[2] Uber F-Polynome, V. Ober K-Fortsetzbarkeit der Polynotne. Казань, Изв. физ.-ма-
физ.-матем. о-ва C), 12 A940), 139—146.
[3] О К-продолжаемости полиномов. ДАН, 32 A941), 234—236.
D] О К-продолжаемости полиномов. ДАН, 37 A942), 279—288.
ГавриловЛ. И. иЧеботарёвН. Г.
{IJ О продолжаемых полиномах, VI. К-продолжаемые полиномы со сдвинутым цен-
центром. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C). 12 A940), 183—195.
Гантмахер Ф. Р.
A| Sur la representation canonique de substitutions isomorphiques d'un groupe semi-
simple complexe de Lie. С R. Acad. Sci., 207 A938), 208—210.
f2] Canonical representation of automorphisms of a complex semi-simple Lie group. Ma-
гем. сб., 5 D7), A939), 101—146.
ЙОп the classification of real simple Lie groups. Матем. сб., 5 D7) A939), 217—250.
О трёхчленных простых подгруппах полупростых групп Lie. М., Рефераты АН,
физ-.матем. отд. A940).
• Гантмахер Ф. Р. и Крейн М. Г.
И] Zur Strukturfrage von Orthogonalmatrizen. Киев, Зап. прир.-техн. отд. АН УССР
A929).
[2] О нормальных операторах в эрмитовом пространстве. Казань, Изв. физ.-матем.
о-ва C), 4 A930), 71—84.
{31 Sur les matrices oscillatoires. С. R. Acad. Sci., 201 A935), 577—579.
Ul Sur les matrices completement non negatives et oscillatoires. Сотр. Math., 4 A937),
445—476.
15] Осциляционные матрицы и малые колебания механических систем М.—Л., ГТТИ
A941), 1—220.
/ Гарда ш ников М. Ф.
1] Об одном типе конечных групп без ассоциативного закона. Хрк., Зап. матем.
1 т-ваD), 17A940), 29—34.
ГельфандИ. М.
К] Zur Theorie der Charaktere der Abelschen topologischen Gruppen. Матем. сб., 9 E1),
'. A941), 49—50.
Тельфанд И. М. иНаймарк М. А.
\Ц Об унитарных представлениях комплексной унимодулярной группы. ДАН,
54 A946), 195—198.
[9] Унитарные представления группы линейных преобразований прямой. ДАН,
55 A947), 571—574.
fj3] Основная серия неприводимых представлений комплексной унимодулярной группы.
; ДАН, 56 A947), 3—5.
W1 Унитарные представления группы Лоренца. ИАН, И A947), 411—504.
Hi] Унитарные представления полупростых групп Ли, I. Матем. сб., 21 F3), A947),
405—434.
Гельфанд И. М- и Райков Д. А.
¦I К теории характеров коммутативных топологических групп. ДАН, 28 A940),
195—198.
Р Математика в СССР за 30 лет

162 АЛГЕБРА
[2] Неприводимые унитарные представления локально-бикомпактных групп. Матем.
сб., 13 E5), A943), 301—316.
[3] Неприводимые унитарные представления локально-бикомпактных групп. ДАН,
42 A944), 203—205.
Герчиков А. И.
[1] Кольца, разложимые в прямую сумму тел. Матем. сб., 7 D9), A940), 591—597.
Гер ш гори и С. А.
[1] Ober die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix. ИАН, сер. физ.-матем. A931),
749—754.
Гливенко В. И.
[1] Geometrie des systemes de choses normees. Amer. J. Math., 5S A936), 799—828.
[21 Contribution ? l'etude des systemes de choses normees. Amer. J. Math., 59 A937),
941—956.
[31 Основы общей теории структур. М., Учён. зап. пед. ин-та, сер. физ.-матем..
1 A937), 3—33.
[4] Theorie generate des structures. Paris A938).
Головин О. Н.
[1] Множители без центров в прямых разложениях групп. Матем. сб., 6 D8), A939),
423—426.
[2] Об ассоциативных операциях на множестве групп. ДАН, 58 A947), 1257—1260
Головин О. Н. и Садовский Л. Е.
[1] О группах автоморфизмов свободных произведений. Матем. сб., 4 D6), A938),
505—514.
Гольберг П. А.
[1] Бесконечные полупростые группы. Матем. сб., 17E9) A945), 131—142.
[2] Силовские П-подгруппы локально нормальных групп. Матем. сб., 19 F1), A946),
451—460.
Гончаров В. Л.
[1] Из области комбинаторики. ИАН, сер. матем., 8A944), 3—48.
Горшков Д. С.
[1] Кубические поля и симметрические матрицы. ДАН, 31 A941), 842—843.
Граве Д. А.
[1] Sur Ies racines cinquiemes de l'unite. К., Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 1:1 A922),
4—6.
[2] О единицах конечного поля. Матем. сб., 32 A925), 502—568.
[31 Малые колебания и некоторые предложения алгебры. ИАН, сер. физ.-матем.
A929), 563—570.
[4] Algorithme du calcul des racines des equations algebrique. Киев, Изд. АН УССР
A936), 1—20.
[5] Принципи теорп Галуа. Киев. Ж. ин-та матем. АН УССР, 3 A937), 65—72.
[6] Про одну задачу Эйлера. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 3 A937), 73—74.
[7] Про неможлив1сть алгебра1чного розв'язання загального р1вняння вище чет-
четвёртого степеня. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 4 A938), 3—8.
18] Трактат по алгебраическому анализу. Т. 1, 2. Киев, Изд. АН УССР A938—1939),
196+411.
Граев М. И.
[ 1J К теории полных прямых произведений групп. Матем. сб., 17 E9), A945), 85—104.
[2] Прямые суммы циклов в дедекиндовых структурах. Матем. сб., 19 F1), A946),
439—450.
[3] Изоморфизмы прямых разложений в дедекиндовых структурах. ИАН, сер. матем.,
11 A947), 33—46.
[41 Структурные изоморфизмы топологических абелевых групп. Матем. сб., 201 F2)
A947), 125—142.

БИБЛИОГРАФИЯ 163
Гребенюк Д. Г.
[1] О целых алгебраических числах, зависящих от неприводимого уравнения 4-й сте-
степени. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 11 A925), 19—43.
[2] О целых алгебраических числах, зависящих от неприводимого уравнения 4-й сте-
степени. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 12 A926), 1—14.
[3] О фундаментальном базисе области алгебраических чисел, зависящих от корня
неприводимого уравнения п-ой степени. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та, 13 A926),
41—52.
Гринберг В. Б.
[1] Теория развёрток матриц. Баку, Труды Аз. ун-та, сер. матем. 1:1 A942),
32—55.
Г р о ш е в В. И.
[1] О числе элементов группы, степень которых принадлежит произвольному мно-
множеству элементов. ДАН, 24A939), 14—17.
Г р у ш к о И. А.
[11 Решение проблемы тождества в группах с некоторыми соотношениями специаль-
специального типа. Матем. сб., 3 D5), A938), 543—552.
[2] О базисах свободного произведения групп. Матем. сб., 8 E0), A940), 169—182.
Гуревич А.
[1] Unitary representation in Hilbert space of a compact topological group. Матем. сб.,
13 E5), A943), 79—86.
Гуревич Г. Б.
[1] О некоторых арифметических инвариантах произвольной матричной алгебры Ли,
ДАН, 45 A944), 51-53.
Даниель М. К.
[1] Один из реальных моментов связи теории множеств с комбинаторикой. Краснодар,
Изв. инж.-строит. ин-та, 2 A936), 139—140.
Данилевский А. М.
[1] О численном решении векового уравнения. Матем. сб.,' 2 D4), A937), 169—172.
[2] Про одну теорему Островського-Чеботарьова. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 14 A937),
81—84.
[3] Про одне узагальнення формул Cayley. Хрк.. Зап. матем. т-ва D), 14 A937),
85—96.
Делоне Б. Н.
[1] Zur Bestimmung algebraischen Zahlkorper durch Kongruenzen; eine Anwendung auf
die Abelschen Gleichungen. Journ. reine u. angew. Math., 152 A923), 120—123.
[2] К геометрии теории Галуа. Сб. памяти акад. Граве A940), 52—62.
Делоне Б. Н. и Фаддеев Д. К.
[1] Теория иррациональностей третьей степени. Труды матем. ин-та им. Стеклова,
11 A940), 1—340.
[2] Исследования по геометрии теории Галуа. Матем. сб., 15 E7), A944). 243—284.
Д и а н и н С. А.
[1] О разложении на множители определителя Шредингера. Л., Сб. электро-мех.
ин-та, 1 A934), 36—42.
Д и ц м а н А. П.
О р-группах. ДАН, 15 A937), 71—76.
Sur les groupes infinis. C. R. Acad. Sci., 205 A937), 952—954.
Некоторые критерии непростоты группы. Труды семин. но теории групп A938),
27—29.
[4] О центре р-групп. Труды семин. по теории групп A938), 30—34.
5] О центре р-групп. М., Учён. зап. пел. ин-та, сер. физ.-матем., 2 A938), 55—60.
[61 О сравнении систем элементов группы по двойному модулю. ДАН, 26 A940),
323-327.
11*

164 АЛГЕБРА
[7] О некоторых признаках непростоты групп. Матем. сб., 7 D9), A940), 533—538.
f8J Некоторые теоремы о бесконечных группах. Сб. памяти акад, Граве A940),
63—67.
[9] О признаках непростоты групп. ДАН, 44 A944), 97—99.
[10] О мультигруппах классов сопряжённых элементов группы. ДАН, 49 A945),
- 323—326.
Дицман А. П. и Кулаков А. А.
[1] Некоторые критерии непростоты конечных групп. ДАН, 3 A935), 11—12.
Дицман А. П. иЧунихин С. А.
[1] О классах и центре конечной группы. ДАН, 2 A936), 305—308.
Дицман А. П., К у р о ш А. Г. и У з к о в А. И.
[1] Sylowsche Untergruppen von unendlichen Gruppen. Матем. сб., 3 D5), A938),
179—185.
ДонияхиХ. А.
[1] Линейное представление свободного произведения циклических групп. Л., Учён,
за*, ун-та, сер. матем., 10 A940), 158—165.
Дородное А. В.
[1] О круговых луночках, квадрируемых при помощи циркуля и линейки. ДАН,
58 A947), 964-968.
Дринфельд Г. И.
{1] Про штегралым швар]анти груп Lie. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 4 A938),
19—24.
[2] Про одну властивкпъ групи обернено! до дано! неперервно! групи перетвореиь.
Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 3 A940), 67—71.
[3] Про оператори, як1 переставляють штегралыИ швар1анти неперервно! групи
перетворень. Киев, Ж. ин-та матем. АН УССР, 4A940), 157—163.
Дубнов Я. С.
[1] О симметрично сдвоенных ортогональных матрицах. М., Изв. асе. ин-тов ун-та
A927), 33 —35.
B] О матрицах Дирака. М., Учён. зап. ун-та, 2:2 A934), 43—48.
Д ы н к и н Е. Б.
[1] Классификация простых групп Ли. Матем. сб., 18 F0), A946), 347—352.
[2] Вычисление коэффициентов в формуле CampbeH'a-Hausdorfi'a. ДАН, 57 A947),
-?. 323-326.
[3] Структура полупростых алгебр Ли. Успехи матем. наук, 2:4 B0), A947), 59—127.
Дюбюк П. Е.
La generalisation du theoreme de Tundn. Матем. сб., 1 D3), A936), 603—606.
Sur le theoreme de Frobenius. Матем. сб., 2D4). A937), 1247—1253.
3 О порядке элемента в простой группе. ИАН, сер. матем. A938), 543—550.
4] Теорема, содержащая в себе теоремы Фробениуса, Вейснера и Туркина о числе
элементов данного порядка в группе. ДАН, 20 A938), 521—524.
[5] О фундаментальной теореме Фробениуса. ДАН, 21 A938), 158—161.
[6] О фундаментальной теореме Фробениуса. Труды семин. по теорий групп A938),
35—38.
[7] Surle nombre des elements d'un groupe qui verifient certaines conditions. Матем.
сб., 4 D6), A938), 515—520.
О нормализаторе элемента в конечной группе. ИАН, сер. матем. A939), 123—140.
Обобщение теорем Фробениуса и Вейснера. Матем. сб., 5D7), A939), 189—196.
i
\
ПО
т:
[12
[13
О нормализаторе элемента в конечной группе. ДАН, 22 A939), 103—104.
Мономиальные представления и критерии непростоты групп. ДАН, 23 A939),3—6.
Об инвариантных подгруппах в конечной группе. ДАН, 24 A939), 104—1С6.
Об инвариантных подгруппах в конечной группе. Матем. сб., 7 D9), A940)
285—300.
[14] О подгруппах конечного индекса бесконечной группы. Матем. сб., 10E2), A942),
147—150.
[15] Об автоморфизмах р-групп. Матем. сб., 18 F0), A946), 281—298.

БИБЛИОГРАФИЯ 165
Егоров Н. П.
[1] О порядке групп движений пространств аффинной связности. ДАН, 57 A947),
867—870.
Запрягаев А. В.
[1] Элементарное доказательство основной теоремы алгебры. Владикавказ, Изв.
Горек, пед. ин-та, 6 A929), 188—189.
Зы л ев В. П.,
[1] Теория систем алгебраических линейных уравнений и их применение в есте-
естествознании и технике. М., В кн. Материалы 1-й научн.-техн. конфер. ка-
кафедр, ин-та инж. трансп. A936), 178—179.
Каган В. Ф.
[1] Основания теории определителей. Одесса, Гос. изд. Украины A922), 522-t-VIll.
[2] О некоторых системах чисел, к которым приводят Лоренцовы преобразования.
М., Изв. асе. ин-тов ун-та A927), 3—31.
Калашников В. А. иКурош А. Г.
[1] Свободные произведения групп с объединёнными подгруппами центров. ДАН,
1 A935), 285—286.
Кишкина 3. М.
[I] Эндоморфизмы р-примитивных абелевых групп без кручения. ИАН, сер. матем.,
9 A945), 201—232.
Кожевников В. А.
[1] Лииейка, циркуль и уравнение пятой степени. М., Ж. Вестн. инж. A926),
212—214.
Колмогоров А. Н.
[11 Zur topologisch-gruppentheoretischen Begrflndung der Geometrie. Gdtt. Nachr.,
2 A930), 208—210.
[2] Zur Begrflndung der projektiven Geometrie. Ann. of Math., 33 A932), 275—276.
[31 Zur Normirbarkeit eines allgetneinen topologischen linearen Raumes. Studia Math.,
5 A935), 29—33.
Колянковский Д. П.
[1] Об одной теореме О. Ю. Шмидта. ДАН, 19 A938), 343—346.
[21 О иеспециальных подгруппах конечных групп. Матем. сб., 19 F1), A946),
429—438.
Комар евский В. М.
[11 К доказательству Cauchy основной теоремы высшей алгебры. Ташкент, Бюлл.
1 Ср.-Аз. ун-та, 6 A924), 153—154.
Конторович П. Г.
[1] Об оценке нижней границы числа точек Вейерштрасса для негиперэллиптического
поля алгебраических чисел. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва C), 7A934—1935),
99—101.
[2] О некоторых свойствах полупрямых произведений. ДАН, 22 A939) 557—559.
3] О разложении группы в прямую сумму подгрупп, I. Матем. сб., 5 D7), A939),
[4] О разложении группы в прямую сумму подгрупп, II. Матем. сб., 7 D9), A940),
[5] Инвариантно покрываемые группы. Матем. сб., 8 E0), A940), 423—430.
}6] Группы с базисом растепления. Матем. сб., 12 E4), A943), 56—70.
[7] Группы с базисом расщепления, II. Матем. сб., 19 F1), A946), 287—308.
КопейкинаЛ. И.
[1] Свободные' разложения проективных плоскостей. ИАН, сер. матем., 9 A945),
495—526.

166 АЛГЕБРА
Кравчук М. Ф.
¦ [1] Про одиниць поля R(f?). Киев, Изв. политехи, с.-х. ин-та, 19 A924), 17—18.
2] До загально! теори бшшшних форм. Киев, Изв. политехи, с.-х. ин-та, 19 A924),
72—80.
[3] Дови теореми про суцшьтсть кореШв алгебра1чного р1внання. Киев, Научи.
зап., 2 A924), . 71—81.
[41 До теорп перемшних матриць. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН УССР, 1:2A924),
28—33.
f5] Про одне перетворення квадратичиих форм. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН
УССР, 1:2 A924),. 87—90.
[6] Про квадратичш форми та лпшпм перетворения. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН
'УССР, 1:3 A924), 1—89.
[7] Перемшт множили лш1йних перегворень. Киев, Зап. с.-гоеп. ин-та^ 1 A926),
25—58.
J8
tio;
[11
[12
Ober vertauschbare Matrizen. Rend. circ. mat. Palermo, 51 A927), 126—130.
Sopra un teorema generate di Kronecker. Boll. un. Math. Hal., 6 A927), 12—15.
Про одну Hermite'ony формулу. Киев, Зап. с.-госгт. ин-та, 2 A927), 80—82.
Sur un thdoreme de Laguerre. С. R. 'Acad. Sci., 188 A929), 299—302.
Алгебра1чн1 студи над аналпичними функшями. Киев, Зап. физ.-матем. отд. АН
УССР, Г2 A929).
{131 Про одне пзагальнення Hadamard'ono'f нер1вности. Киев, Зап. прир.-техн. отд.
АН УССР, 1 A931), 90—95.
[14] Про одну неровность. Киев, Зап. прир.-техн. отд. АН УССР, 1 A931),. 96—101.
Кравчук М. Ф. и Г о л ь д б а у м Я. С.
}1] Про групи ко.ммутативних матриць. Киев, Труды авиац. ин-та, 5 A936), 12—23.
12] Об эквивалентности особенных пучков матриц. Киев, Труды авиац. ин-та, 6 A936),
5—27.
К р е е р Л. И.
II] Трёхчленные уравнения. Владикавказ, Изв. Горек, пед. ин-та, 6 A929), 73—98.
}2] Алгебраические уравнения. Тригонометрический метод. Владикавказ, Изв. Горек,
пед. ин-та, 7:2 A930), 3—20.
К р е й н М. Г.
{1] Lesysteme derive et les contours derives. Одесса, Ж. НИ кафедр, 2:3 A926), 61—73.
[2] Додаток до npaui «До структури ортогонально! матрищ». Киев, Зап. прир.-техн.
отд. АН УССР, 1 A931), 103—108.
[3] К теории симметрических полиномов. Матем. сб., 40 A933), 271—283.
[4] О спектре якобиевой формы в связи с теорией крутильных колебаний валов.
Матем. сб., 40 A933), 455—466.
[5] Ober eine neue Klasse von Hermiteschen Formen. ИАН, сер. физ.-матем. A933),
1259—1275.
{6] Об узлах гармонических колебаний механических систем некоторого специаль-
специального типа. Матем. сб., 41 A934), 339—348.
J7] Об одном специальном классе детерминантов в связи с интегральными ядрами
Келлога. Матем. сб., 42 A936), 501—507.
[8] О положительных функционалах на почти периодических функциях. ДАН,
30 A941), 9—12.
Крейн М. Г. и Наймарк М. А.
ll] Ober eine Transformation der Bezoutiante, diezum Sturmschen Satze fuhrt. Хрк.,
Зап. матем. т-ва D), 10 A933), 33—40.
J2] О применении безутиантов к вопросам отделения корней алгебраических уравне-
уравнений. Одесса, Труды ун-та, 1 A935), 51—69.
{3] Метод симметрических и эрмитовых форм в теории отделения корней алгебраи-'
ческих уравнений. Хрк., ГНТИ A936), 1—41.
К р у т и к Б. А.
J1] О некоторых свойствах конечной группы. Матем. сб., 10 E2), A942), 239—248.
К р ы ж а н о в с к и й Д. А.
[1] Элементы теории неравенств. М.—Л., ОНТИ A936), 1—112.

БИБЛИОГРАФИЯ 167
Крылов Б. Л.
[1] Определение группы системы Галуа в случаях, когда дифференциальные подста-
подстановки имеют равные характеристические числа. Казань, Изв. физ.-матем. о-ва
C), 11 A939), 181—197.
Крылов Н. М.
[1] Sur l'existence des racines d'une equation algebrique. Симферополь, Зап. .матем.
.-•• каб. Тавр, ун-та, 1A919), 33—35. ;
К у з и е ц о в Г. П.
[1] Исключение неприводимых множителей из целой рациональной функции. Ново-
Новочеркасск, Изв. Донск. политехи, ин-та, 9 A923—1925), 1—16.
[2] О числе целых решений уравнения Хх+х2+...+хп=т, удовлетворяющих системе
неравенств хх-<х2<...<<лп, причём т—число натуральное. Новочеркасск, Изв.
Донск. политехи.' ин-та, 10 A926—1927), 70—78.
ДЗ] Алгоритм числа общих корней нескольких алгебраических уравнений. Новочер-
Новочеркасск, Изв. Донск. политехи, ии-та, 11 A929), 214—226.
..[4] Об определённых решениях для неизвестных неопределённой системы ли-
линейных уравнений. Новочеркасск, Изв. Донск. политехи, ин-та, 11 A929>,
231-233.
[5] Об определённых решениях неопределенной системы уравнений; общий случай.
Новочеркасск, Изв. Донск. политехи, ии-та, И A929). 234—236.
Кулаков А. А.
' {1] Об одной теореме теории характеров групп. Матем. сб., 36 A929). 129—134.
[2] Ober die Anzahl der eigentlichen Untergruppen und der Eletnenten von gegebener
Ordnung in p-Gruppen- Math. Ann., 104 A930), 778—793.
[31 Sur les relations entre les parties reelles des caracteres de groupes. С R. Acad. Scl.,
195 A932), 594—596.
[4] Sur leproblemede Burnside. С R. Acad. Sci., 199A934), 116—119.
[5] Sur quelques theoremes qui se rattachenta un probleme de Burnside. С R. Acad.
Sci., 200 A935), 2141—2143.
16] О некоторых свойствах конечных групп. Матем. сб., 1 D3), A936), 253—256.
, [7] Ober Relationen zwischen den Realteilen der Gruppencharaktere. Матем. сб.,
1 D3), A936), 257—260.
[8] Verallgemeinerung eines Satzes4von Frobenius. Матем. сб., 1 D3), A936), 261—262.
[9] Einige Anwendungen der Theorie der Gruppencharaktere. Math. Ann., 113A937),
216—225.
{10] Ober die regulSre Darstellung einer abstrakten Gruppe, I. Матем. сб., 2 D4), A937),
357—360.
[11] Ober die regulSre Darstellung einer abstrakten Gruppe, II. Матем. сб., 2 D4), A937),
1003—1006.
[12] Исследования по теории р-групп, теории характеров и теории представлений
абстрактных групп подстановками. Труды семин. по теории групп A938),
39—49.
A3] Ober die regulSre Darstellung einer abstrakten Gruppe, III. Матем. сб., З D5), A938),
187—189.
[14] Einige Bemerkungen zur Arbeit «On a theorem of Frobenius» von P. Hall. Матем.
гб., З D5), A938), 403—406.
[15] Ober regulSre Darstellung einer abstrakten Gruppe, IV. Матем. сб., 4 D6), A938),
371—373.
[16] О регулярном представлении абстрактной группы. Сб. памяти акад. Граве A940),
104—109.
[17] Ober die regulSre Darstellung einer abstrakten Gruppe, V. Матем. сб. 8 E0), A940),
. 69—72.
[18] Eipige Bemerkungen zur Arbeit. «Form of the number of the subgroups of a prime
power group» von G. A. Miller. Матем. сб., 8 E0), A940), 73—76.
[19
[20
f21
Об одном критерии непростоты конечной группы. ДАН, 40 A943), 3—4.
О группах нечёшого порядка. ДАН, 53 A946), 687—690.
О регулярном представлении р-групп. ДАН, 54 A946), 113—116.
Кулаков А. А. иЧунихин С. А.
[1] О подгруппах составного порядка конечной группы. Матем. сб., 39:3 A932),
67—70.

168 АЛГЕБРА
Куликов Л.-Я.
[1] К теории абелевых групп произвольной мощности. Матем. сб., 9 E1), A941),
165—182.
[2] К теории абелевых групп произвольной мощности. Матем. сб., 16 E8), A945),
129—162.
Курбатов В. А.
[1] О полиномах, которые дают подстановки для бесконечно многих простых чисел.
Свердловск, Учён. зап. пед. ин-та, 4, 79—121.
[2] Обобщение теоремы Schur'a относительно одного класса алгебраических функций.
Матем. сб., 21 F3), A947), 133—142.
Курош А. Г.
[11 Zur Zerlegung unendlicher Gruppen. Math. Ann., 106 A932), 107—113.
[2] Ober freie Produkte von Gruppen. Math. Ann., 108A933), 26—36.
131 Die Untergruppen der freien Produkte von beliebigen Gruppen. Math. Ann.,
109, A934), 647—660.
[4] Durchschnittsdarstellungen mit irreduziblen Komponenten in Ringen und in sogenann-
ten Dualgruppen. Матем. сб., 42 A935), 613—616.
15] Eine Verallgemeinerung des Jordan-HOlderschen Satzes. Math. Ann., HI A935),
13—18.
[6] Ober absolute Eindeutigkeit derdirekten Produktzerlegungen einer Gruppe. Матем.
сб., 1 D3), A936), 345—350.
[7] Пути развития и некоторые очередные проблемы теории бесконечных групп. Усп.
матем. наук, 3 A937), 5—15.
[8] Primitive torsionsfreie abelsche Gruppen vom end lichen Range. Ann. of. Math.,
38 A937); 175—203.
[9] Zum Zerlegungsproblem der Theorie der freien Produkte. Матем. сб., 2 D4), A937),
995—1001.
[10] О некоторых вопросах теории бесконечных групп. Труды семин. по теории групп
A938), 50—79.
[11] К теории частично упорядоченных систем конечных множеств. Матем. сб., 5D7),
A939), 343—346.
[12] Несколько замечаний к теории бесконечных групп. Матем. сб., 5D7), A939),
347—354.
A3] Локально свободные группы. ДАН, 24 A939), 99—101.
[14] Теорема Жордана-Гельдера в произвольных структурах. Сб. памяти акад. Граве
A940), 110—116.
[15] Проблемы теории колец, связанные с проблемой Бернсайда о периодических груп-
группах. ИАН, сер. матем., 5 A941), 233—247.
Direct decompositions of simple rings. Матем. сб., 11 E3), A942), 245—264.
Изоморфизмы прямых разложений. ИАН, сер. матем., 7 A943), 185—202.
Теория групп. М.—Л., ГТТИ A944), 1—372.
Композиционные системы в бесконечных группах. Матем. сб., 16 E8), A945).
59—72.
[20] Силовские подгруппы нульмерных топологических групп. ИАН, сер. матем.,
9 A945), 65—78.
Курс высшей алгебры. М.—Л., ГТТИ A946), 1—316.
Изоморфизмы прямых разложений, II. ИАН, сер. матем., 10 A946), 47—72.
Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр. М
[21
[22
T23
сб., 20 F2), A947), 239—262.
Курош А. Г. и Ч е р н и к о в С. Н.
'[ 1] Разрешимые и нильпотентные группы. Успехи матем. наук,'2:3 A9), A947), 18—59.
Ланцевицкий И. Л.
[1] Об одном персимметрическом детерминанте. Хрк., Сб. научн.-техн. статей эленпро*
техн. ин-та, 4 A937), 197—199. ;
Левин Б. Я.
[1] Критерий Эрмита для целых функций экспоненциального типа, I. ДАН, 41 A943jj
50—54. ;

БИБЛИОГРАФИЯ 169
[2] Критерий Эрмита для целых функций экспоненциального типа, II. ДАН, 41 A943)г
103—104.
Левитан Б. м.
[1] К теории унитарных представлений локально-компактных групп. Матем. сб.,.
19 F1), 1946), 407—426.
Л ед н ё в Н. А.
[11 О единицах относительно циклических алгебраических числовых полей. Матем.
сб., 6 D8), A939), 227—262.
[2] Об обратной задаче теории Галуа. Матем. сб., 9 E1>, A941), 137—164.
Ливенсон Е. М.
[1] Ah example of a no.—closed connected subgroup of the two-dimensional vector-
space. Ann. of Math., 38 A937), 920—922.
[21 On the realisation of Boolean algebras by algebra of sets. Матем. сб., 7D9), A940),.
300—312.
Л и и н и к Ю. В.
[1] Обобщение теоремы Frobenius'a и установление связи её с теоремой Hurwitz'a
0 композиции квадратичных форм. ИАН, сер. матем. A938), 41—52.
Л и п и н Н. В.
[I] О регулярных матрицах. Л., Труды ин-та инж. Ж.-д. траисп., 9 A934), 105.
Лопатинский Я. Б.
AJ Теорема о базисе. Баку, Труды сект, матем. АН АзССР, 2 A946), 32—34.
Лузин Н. Н.
[I] О методе акад. А. Н. Крылова составления векового уравнения. ИАН, сер. физ.-
матем. A931), 903—958.
[2] О некоторых свойствах перемещающего множителя в методе акад. А. Н.Крылова,
I. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 596—638.
13] О некоторых свойствах перемещающего множителя в методе акал А. Н.Крылова,
¦ И. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 735—762.
.14] О некоторых свойствах перемещающего множителя в методе акад. А. Н. Крылова,
" III. ИАН, сер. физ.-матем. A932), 1065—1102.
ЛукомскаяМ. А.
•Jl] К вопросу о нахождении комплексных корней алгебраических уравнений. Минск,
' Учён. зап. Белорус, ун-та, сер. фнз.-матем., 1 A939), 45—55.
Л Я п и и Е. С.
11 Ober die Ordnung der Automorphismengruppe einer endlichen Oruppe. Матем. сб.,
1 D3), A936), 887—906.
2] О разложении абелевых групп без кручения, имеющих конечный ранг, в прямую-
сумму групп первого ранга. Матем. сб., 3 D5), A938), 167—177.
3] Классы квази-сопряжённых элементов конечных групп. Матем. сб., 3 D5), A938),
• 389—402.
[4] О разложении абелевых групп в прямые суммы групп первого ранга. ИАН,
: сер. матем. A939), 141—148.
!5) Некоторые свойства разложения абелевых групп без кручения в прямые суммы.
ДАН, 24 A939), 8—10.
J6] Разложение исчислимых абелевых групп без кручения в прямые суммы групп
первого ранга. ДАН, 24 A939), 11—13. •
Щ О разложении абелевых групп в прямые суммы рациональных групп. Матем. сб.,
8 E0), A940), 205—238.
t] Системы с одним бесконечным действием. ДАН, 50 A945). 45—52.
I] Свободные системы с бесконечным однозначным действием. ДАН. 51 A940),
491— 494.
к] Свободные системы с одним бесконечным действием. Л., Научн. бюлл. ун-та,
7 A946), 6—7.
И] Ядра гомоморфизмов ассоциативных систем. Матем. сб., 20 F2), A9i7),
497—514.
Максимов И.
Ц1] О смежных корнях. ДАН, 37 A942), 104—106.

170 АЛГЕБРА
Малеев В. А. и Чистяков Ю. В.
[1] О вычислении производных сумм одинаковых степеней корней по коэффициентам
уравнения. Томск, Изв. индустр. ин-та. 55:1 A936), 37—42.
Мальцев А. И.
On the immersion of an algebraic ring into a field. Math. Ann., 113A937),686—691.
Абелевы группы конечного ранга без кручения. Матем. сб., 4D6), A938), 45—68.
О включении ассоциативных систем в группы. Матем. сб., 6 D8), A939), 331—336.
О включении ассоциативных систем в группы, II. Матем. сб., 8 E0), A940),
251—264.
Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами. Матем. сб., 8 E0),
A940) 405422
[5] рф
A940), 405—422.
[6] Об одном общем методе получения локальных теорем теории групп. Иваново,
Учён. зап. пед. ип-та, физ.-матем. фак-т, 1:1 A941), 3—9.
О локальных и полных топологических группах. ДАН, 32 A941), .606—608.
[] Об односвязности нормальных делителей групп Lie. ДАН, 34 A942), 12—15.
[9] Подгруппы групп Lie в целом. ДАН, 36 A942), 5—8.
1.10.1 О разложении алгебры в прямую сумму радикала и полупростой подалгебры.
ДАН, 36 A942), 46—50.
[7]
[8]
[9]
[П
112'
113
О структуре групп Lie в целом. ДАН, 37 A942), 3—6.
О представлениях бесконечных алгебр. Мате.м. сб., 13 E5), A943), 263—286.
О линейных связных локально-замкнутых группах. ДАН, 40 A943), 108—ПО.
Ор Л ДАН
Ортогональные и симплектические представления полупростых групп Ли. ДАН,
41 A943), 332—335.
[15] О полупростых подгруппах групп Ли. ИАН, сер. матем., 8 A944), 143—174.
[16] On the theory of the Lie groups in the large. Матем. сб., 16E8), A945), 163—190;
19 F1), A946) 523-524.
17] Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли. ИАН, сер. матем., 9 A945),
291—300.
[18 О разрешимых алгебрах Ли. ИАН, сер. матем., 9 A945), 329—356.
]19 Топологические разрешимые группы. Матем. сб., 19 F1), A946), 165—174.
,[20 Замечание к работе А. Н. Колмогорова, А. А. Петрова и Ю. М. Смирнова
«Одна ф)рмула Гаусса из теории наименьших квадратов*. ИАН, 11 A947),
567—568.
Марков А. А.
[1] Sur les espaces vectoriels considered comme groupes topologiques. С R. Acad. Sci..
197. A933), 610—612.
12] Ober endlich-dimensionale Vektorraume. Ann. of Math., 36 A935), 464—506.
C] On the representation of relatively definite functions. Матем. сб., 4 D6), A938),
157—164.
[4] On the determination of the number of roots of an algebraic equation situated in ш
given domain. Матем. сб., 7 D9), A940), 3—6.
[5] О свободных топологических группах. ДАН, 31 A941), 299—302.
[6] О существовании периодических связных топологических групп. ИАН, сер. ма»
тем., 8 A944), 225—232.
|7] О безусловно замкнутых множествах. ДАН, 44 A944), 196—197.
|8] О свободных топологических группах. ИАН, сер. матем., 9 A945), 3—64.
[9] О безусловно замкнутых множествах. Матем. сб., 18 F0), A946), 3—28.
Ч10] Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных систем. ДАН,
55 A947), 587—59J.
,[П] О некоторых неразрешимых проблемах, касающихся матриц. ДАН, 57 A917),
539—542.
[ 12] Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных систем. ДАН,
58 A947), 353—356. :
Маруашвили Т. И.
[1] О корнях детерминанта, определяющего критические силы. Тбилиси, Сообщ. АН
ГрССР, 7 A946), 103—111.
М ейм а н Н. Н.
[1] О корнях целых трансцендентных функций. Матем. сб., 40 A933), 521—528.
[2] Про полюси мероморфних функшй. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 14A937), 97—104.
[3] Sur les polinomes R-prolongeables. Матем. сб., 3 D5), A938), 591—650.

БИБЛИОГРАФИЯ 171
[4] О продолжаемых полиномах, II. Об ^-продолжаемых полиномах. Сб. памяти
акад. Граве A940), 117—165.
г [5]. К проблеме Эрмита-Гурвица для целых трансцендентных функций. ДАН, 40 A943),
55—58.
[6] К вопросу о распределении нулей целой функции. ДАН, 40 A943), 200—203.
17] Оценка расстояния между срседиимй нулями для одного класса целых функций.
ДАН, 53A946), 11—14.
..•. ;Мелеитьев П. В.-
|1] Решение алгебраических уравнений высших степеней с вещественными и комплекс-
комплексными корнями. Ж. Р. физ.-хим. о-ва, часть физ., 62:2 A930), 173—195.
.-¦г, Меркулов А. М. '
II] Теория полей классов. Диссертация A947).
Мильман.Д. П.
-{Г] Нормируемость топологических колец. ДАН, 47 A945), 166—168.
М и р л а с Л.
•:A] Об одном методе нахождения корней простой формы характеристических уравне-
уравнений 3-й и 4-й степени и о некоторых его применениях к исследованию электрических
колебаний в сложных контурах. Ж. Вестн. электротехники, 9A931), 309—314.
. ..• М и х а.л ь с к и й Н.
A] Автоматическое построение квадрата для симметрической группы субституций.
Матем. сб., 36 A929), 81—90.
Млодзеевский Б. К.
• 11] Основы высшей алгебры. М., Гос. изд. A922), 1 — 112.
Мордухай-Болтовской Д. Д.
• 11] Sur quelques proprk-tes des transformations irrationnelles des courbes algebriques.
Хрк., Зап. матем. т-ва D), 7 A933), 25—38.
[2] Метаалгебра. Ростов н/Д., Учён. зап. НИИ матем. и физ. ун-та, 1 A937), 21—25.
Морозов В. В.
}1] Определение систем импримитивности конечных непрерывных групп. Казань,
Учён. зап. ун-та, 90:6 A930), 969—976.
J2] О примитивных группах в четырёх переменных. Казань, Труды ин-таинж. коммун,
строит., 5 A938), 3—30.
J3] О примитивных группах. Матем. сб., 5 D7), A939), 355—390.
•14] О примитивных группах в трёх переменных. Сб. памяти акад. Граве A940),
193—212.
>E] О нильпотентном элементе в полупростой алгебре. ДАН, 36 A942), 91—94.
|б] О централизаторе полупростой подалгебры в полупростой алгебре Lie. ДАН,
36 A942), 275—277.
J7] On a theorem of E. Cartan. Матем. сб., 12 E4), A943), 335—339.
(81 О неполупростых максимальных подгруппах простых групп. Казань, Диссерта-
Диссертация A943).
{9] Алгебра. Успехи матем. наук, 2:6 B2), A047), 3—7.
М о ц о к Д. К.
Jl] The complete groups of the regular polytopes. Матем. сб., 40 A933), 86—114.
Назаров Н. Н.
¦ fl] Об одной теореме из теории определителей. Ташкент, Бюлл. Ср.-Аз. ун-та,
19A934), 7—9.
Нисневич В. Л.
fl] О группах, изоморфно представимых матрицами над коммутативным полем. Матем.
сб., 8 E0), A940), 395—404.
О г и е в е ц к и й И. Е.
-[1] Узагальнення кососиметричного дуалктичного закону на неконгруенгт перегво-
рення. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 3 A929), 81—94.

172 АЛГЕБРА
О к у н ев Л. Я.
[I] Кольцо, как алгебра относительно тела. Матем. сб., 40 A933), 410—424.
{2] О признаках, определяющих кольцо как гиперкомплексную систему. Труды
семин. по теории групп A938), 80—96.
|3] Основы современной алгебры. М., Учпедгиз A941), 1—202.
[4] Высшая алгебра. Изд. 3. М.—Л., ГТТИ A944), 1-292.
Папкович П. Ф.
11] Об одном методе разыскания корней характеристического определится.
Прикл. матем. и мех., 1 A933), 314—318.
Повзиер А. Я.
[II Аксиоматическое определение двучленных групп Ли. Казань, Изв. физ.-матем.
о-ва C), 9A937), 123—131.
\2] Про знаходження групи шдставлень найменшого степеня, 1зоморфнси дащй абе-
левШ rpyni. Хрк., Зап. матем. т-ва D), 14 A937), 151—158.
[3] О нильпотентных группах Lie. Хрк.,