Text
                    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИКИ
Функции
пределы


АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ ПОД РЕДАКЦИЕЙ П. С. АЛЕКСАНДРОВА, А. И. МАРКУШЕВИЧА и А. Я. .ХИНЧИНА КНИГА ТРЕТЬЯ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ (основы анализа; ЕС ОГ а НМУ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1952 ЛЕНИНГРАД
11-5-2 Редактор А. 3. Рывкш. Техн. редактор Н. Я- Мурашова. Корректор А. С. Каган. Подписано к печати 4/IV 1952 г. Бумага ШХ^'/ю- I7i5 бум. л. 35 печ. л. 36,95 уч.-изд. л. 42 228 тип. знаков в печ. л. T-O2I17. Тираж 50 000 экз. Цена книги II р. 10 к. Переплёт 2 р. Заказ № 38. Номинал — по прейскуранту 1952 г. 2-я типография «Печатный Двор» им. А. М. Горького Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Ленинград, Гатчинская, 26.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ (В. Л. Гончаров) Глава I. Общие сведения об элементарных функциях и графиках уравнений 11 § 1. Элементарные функции 11 § 2. Графические представления. Приёмы точечных построений. . 17 § 3. Простейшие преобразования графиков 25 § 4. Прямая и обратная функции 32 § 5. Элементарное исследование функций (постановка вопроса и некоторые общие приёмы) 34 Глава П. Обзор элементарных функций и их графиков 41 6. Классификация рациональных функций 41 7. Целые положительные степени 42 8. Многочлены первой степени (линейные функции) 45 9. Многочлены (трёхчлены) второй степени 46 10. Многочлены третьей степени 48 11. Биквадратные многочлены 51 12. Многочлены высших степеней 52 13. Целые отрицательные степени 54 14. Дробные линейные функции 56 15. Дробные функции второй степени 58 16. Дробные рациональные функции (общий случай) 64 17. Алгебраические иррациональные функции 66 18. Примеры исследования алгебраических функций 68 19. Элементарные трансцендентные функции '& 20. Показательная функция ?8 ^ 21. Функции, связанные с показательной ' • 84 § 22. Логарифмическая функция °8 § 23. Функции, связанные с логарифмической 90 § 24 Произвольная степенная функция °" § 25. Основные (целые) тригонометрические функции: синус и косинус 95 § 26. Простые гармонические колебания J01 § 27. Тригонометрические многочлены '05 § 28. Многочлены Чебыщева Ю7 § 29. Тангенс и другие дробные тригонометрические функции. . . Ш г*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 30. Представление функций, рационально зависящих от тригоно- тригонометрических, через одну или две из них 116 § 31. Примеры исследования функций, рационально зависящих от тригонометрических. Тригонометрические уравнения 121 § 32. Обратные тригонометрические функции 128 § 33. Исследование многочленов Чебышева. Их минимальное свойство 134 Глава III. Пределы числовых последовательностей и пределы функций 140 § 34. Конечные и бесконечные числовые последовательности . . . 140 § 35. Общее определение бесконечной числовой последователь- последовательности 149 § 36. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предель- предельной точки . , 153 § 37. Примеры. Предел как единственная предельная точка .... 159 § 38. Предел последовательности: классическое определение и основные свойства 165 § 39. Обобщение понятия предела (пределы в «несобственном смысле») 173 § 40. Предел функции на бесконечности 176 § 41. Односторонний предел функции в конечной точке 180 § 42. Двусторонний предел. Понятие непрерывности 187 § 43. Примеры непрерывных функций 190 § 44. Пределы при монотонном изменении. Число е 195 Глава IV. Пределы последовательностей функций. Свойства не- непрерывных функций 202 § 45. Простая сходимость 202 § 46. Общее понятие функции одной действительной переменной 210 § 47. Свойства непрерывных функций 215 § 48. Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций 222 § 49. Теорема Вейерштрасса-Бернштейна о приближении непре- непрерывной функции с помощью рациональных многочленов. . . 227 § 50. Доказательство теоремы 232 § 51. Определение показательной функции. Продолжение непре- непрерывной функции за пределы всюду плотного множества. . . 237 § 52. Теорема Больцано и проблема существования однозначной обратной функции 244 § 53. Функциональные уравнения и элементарные функции 247 Глава V. Общее понятие функции 254 § 54. Соответствие между множествами 254 § 55. Геометрические образы в многомерных пространствах .... 256 § 56. Пространственные отображения 260 " § 57. Метрические пространства 264 § 58. Понятие предела в метрическом пространстве 268 _§ 59. Топологические пространства 272 § 60. Алгебра множеств. Производное множество. Замкнутость и связность 274 § 61. Непрерывные отображения и их свойства 279 § 62. Гомеоморфные отображения 282 § 63. Верхняя и нижняя границы числовых множеств или после- последовательностей. Верхний и нижний пределы числовых мно- множеств или последовательностей 287
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ.И РЯДЫ (И. П. Натансон) Введение 299 Глава I. Производные 303 § 1. Производная и дифференциал 303 1. Задачи, приводящие к понятию производной 303 2. Определение производной 307 3. Дифференцируемость и непрерывность. Односторонние про- производные 309 4. Производные простейших элементарных функций 312 5. Дифференцирование обратных функций 318 6. Правила комбинирования формул дифференцирования .... 320 7. Дифференциал 327 8. Производные и дифференциалы высшего порядка 333 9. Частные производные и полный дифференциал 337 § 2. Важнейшие теоремы о производных 339 10. Теоремы Ферма и Ролля 339 11. Формулы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя 342 12. Формула Тейлора 346 13. Исследования П. Л. Чебышева и С. Н. Бернштейна 353 § 3. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций 354 14. Признаки постоянства и монотонности функции 354 15. Экстремум функции 359 16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке ¦ 363 Глава II. Интегралы ЗР6 § 4. Неопределенные интегралы Звб 17. Основные понятия 366 18. Интегрирование с помощью подстановки 369 19. Интегрирование по частям 371 20. Общие замечания по поводу интегрирования элементарных функций 373 § 5. Определённые интегралы .' 377 21. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла . . 377 22. Определённый интеграл 380 23. Основные свойства интеграла 385 24. Интеграл, как функция верхнего предела ?91 25. Вычисление определённого интеграла с помощью неопреде- неопределённого 393 26. Формула Валлиса 398 27. Приближённое вычисление определённых интегралов 400 § 6. Приложения интегрального исчисления. . . ; 408 28. Вычисление площадей 408 29. Вычисление объёмов 411 30. Длина дуги кривой 417 31. Площадь поверхности вращения 418 32. Общие указания по поводу приложений интегрального исчисления и его связей с дифференциальным исчислением 420
6 * ОГЛАВЛЕНИЕ Глава III. Ряды 425 § 7. Ряды с постоянными членами 425 33. Основные понятия 425 34. Простейшие свойства рядов 429 35. Положительные ряды 431 36. Знакочередующиеся ряды 437 37. Абсолютная сходимость 440 38. Вопрос о перестановке членов ряда. Умножение рядов ... 441 § 8. Степенные ряды 447 39. Промежуток сходимости 447 40. Свойства суммы степенного ряда 452 41. Разложение логарифма и составление таблиц логарифмов . . 457 42. Разложение арктангенса и вычисление гс 465 43. Общие замечания по поводу разложения функций в степен- степенные ряды 469 44. Биномиальный ряд 472 45. Очерк аналитической теории тригонометрических функций . 481 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (В. Л. Гончаров) § 1. Рациональные функции 493 § 2. Пределы. Ряды 496 § 3. Показательная функция. Синус и косинус 500 § 4. Выражение тригонометрических функций через показа- показательную 504 § 5. Гиперболические и тригонометрические функции 507 § 6. Логарифм 508 § 7. Произвольная степень 510 § 8. Обратные тригонометрические и гиперболические функции . 511 § 9. Производная 513 § 10. Интеграл 517 § 11. Приближение функций многочленами 523 § 12. Первообразная функция 526 § 13. Интеграл Коши 532 § 14. Понятие аналитической функции 536 § 15. Свойства аналитических функций 539 § 16. Геометрический смысл аналитических функций 544 § 17. Примеры конформных отображений 547 Алфавитный указатель 553
ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемая читателю книга третья «Энциклопедии элементар- элементарной математики» завершает первый большой раздел этого издания, посвященный систематическому изложению тех элементов матема- математической науки, на основе которых складываются школьные курсы арифметики, алгебры и отчасти тригонометрии. Если материал первых двух книг ограничивался преимущественно вопросами арифметики и алгебры в собственном смысле слова как учения о числах, их обобщениях, операциях над ними (имеются в виду алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение и деление) и алгебраи- алгебраических уравнениях, то третья книга посвящена вопросам анализа, а именно, функциям и пределам. Наряду с учением об элементарных функциях и обстоятельно изложенной теорией пределов, сюда вошли также наиболее элементарные сведения из дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов и сведения о функциях комплексного переменного. Понятия производной и интеграла давно стучатся в двери обще- общеобразовательной школы; как бы ни относиться к вопросу об их фактическом включении в школьные программы, сколько-нибудь удовлетворительное завершенное изложение элементарных основ математической науки без этих основных понятий следует признать немыслимым при современном состоянии науки. Что касается функций комплексного переменного, то нет ни возможности, ни необходимости в том, чтобы вводить, хотя бы и не в близком будущем, систематические сведения о них в школьную программу. Однако тот основной факт, что элементарные функции являются аналитическими функциями, определёнными во всей ком- комплексной плоскости (за исключением, быть может, определённых точек) и что, следовательно, полного понимания свойств этих функ- функций и связей между ними можно достичь, только рассматривая их как функции комплексного переменного, оправдывает включение в нашу книгу небольшого очерка об аналитических функциях ком- комплексного переменного. Редакция
В. Л. ГОНЧАРОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
ГЛАВА I ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ И ГРАФИКАХ УРАВНЕНИЙ § 1. Элементарные функции Ближайшим предметом рассмотрения в математике являются числа и выполняемые над ними операции (действия). И понятие числа и понятие операции допускают неограниченные расширения и обоб- обобщения. В настоящей статье, если не сделано особой оговорки, речь будет итти лишь о действительных числах и (в трёх первых гла- главах) преимущественно о тех операциях, которые изучаются в эле- элементарной математике и потому сами носят название элементарных. Сюда относятся прежде всего алгебраические операции — сложение, вычитание, умножение и деление, затем возведение в произвольную степень и извлечение корня произвольной степени, логарифмирова- логарифмирование по произвольному положительному основанию и, наконец, со- составление из данной величины шести тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс), а также так называемых обратных функций (арксинус, арккосинус и т. д.). Перечисленные операции могут выполняться, смотря по обстоя- обстоятельствам, в том или ином заранее указанном порядке над данными числами или над буквами (переменными величинами), обозначающими числа. Мы будем предполагать, по крайней мере в пределах глав I и II, что число выполняемых операций конечно. Результат вы- вычисления можно обозначить какой-нибудь новой буквой; при этом те буквы, которые участвовали в вычислении, ставятся в скобках, в определённом порядке, будучи разделены запятыми. Например: v = iteu, A) или /С) = 7*ТТ> B) или ещё F(x, у) = х*+у* — 25. C) Получаемые таким образом математические выражения, или фор- формулы, способные принимать то или иное числовое значение в зави-
12 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО симости от числовых значений входящих (т. е. участвующих в вы- вычислении) величин, являются элементарными функциями этих величин. Входящие в данную формулу «переменные» величины назы- называются независимыми, сама же функция носит название зависимой переменной. Функциональные символы вроде / (t) или F (х, у) особенно удоб- удобны в следующем отношении: что бы ни представляли собой вели- величины с, а, Ъ — числа или же новые буквенные выражения, — че- через /{с) или F(a, b) обозначают то, что получится, если вместо t подставить с, или вместо х подставить а, а вместо у подставить Ь. Так, из соотношений B) и C) вытекает: /A) 1; FF, 7) = 6*-f 72 — 25 = 60, FD, 3) = 42-f З2 —25 = 0, и точно так же 2-- п 2-- /и\ п _ Ъпп f _ 2(—t) _ 2t т\п) ('"У,, /( ^ W + ('"У W F (px, qy) = {pxf -f- {qyf — 25 = p*x* -f- Ч*у* — 25. Если независимые переменные не выписаны в скобках (что имеет своё преимущество краткости), то в случае подстановок запись приходится усложнять; например, соотношение A) даёт: или же пользуются описательными оборотами речи: «при к = п ве- величина v принимает значение 1». Читателю, несомненно, знакомо определение функции (от одной перемен- переменной) как соответствия между числовыми значениями независимой пе- переменной и числовыми значениями зависимой переменной. Переменная величина у называется функцией переменной величины х (в некотором промежутке /), если каждому значению х (из /) соответ- соответствует некоторое определённое значение у. В таком общем виде определение функции было дано Н. И. Лобачев- Лобачевским в 1834 г. в следующих словах1): «Это общее понятие (функции. — Ред.) требует, чтобы функцией от х называть число, которое даётся для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выраже- выражением или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выби- выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оста- оставаться неизвестной». Слово «соответствуем (или «сопоставляется» иногда также говорят «от- «отвечает») оставляет открытым вопрос о том, какова должна быть природа 1) Н. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений, т. V, Гостех- излат, 1951, стр. 43.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 13 правила, посредством которого устанавливается соответствие: важно лишь, чтобы такого рода правило было указано. В частности, правило соответствия может иметь «эмпирический» харак- характер; так, если говорят о температуре как функции времени, то правило заключается в том, чтобы в назначенный момент времени зафиксировать показание термометра. В преподавании элементарной математики имеют особенно важное, если не исключительное, значение такие функции, для которых правило соответ- соответствия носит «оперативный» или «аналитический» характер: оно указывает, в надлежащем порядке, те математические действия (опера- ц и и), которые надо совершить над значением х, чтобы получить значение у. Нет оснований противопоставлять понятие однозначного анали- аналитического выражения понятию функции как соответствия: первое является частным случаем второго'). Понятие функции как аналитического выражения сложилось в первой половине XV11I в. Именно так определяли функцию И. Бернулли A718 г.) и Л. Эйлер A748 г.). Последний предложил следующее определение: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, со- составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Следует, однако, заметить, что у Эйлера 1) не вполне чётко отграничены «допустимые» операции, 2) не исключаются формулы, содержащие бесчисленное множество опе- операций. Точное определение элементарной функции (в современном смысле) опирается на понятие функции как соответствия и формулируется так: Функция называется элементарной, если её значения могут быть получены из постоянных чисел и значений независимых переменных по- посредством конечного числа элементарных операций. Конкретные примеры неэлементарных функций приведены в главе IV. Там же указан и наиболее естественный способ их получения (см. § 49). К понятию функции как соответствия нам придётся обращаться в дан- данной статье неоднократно. Покуда же просим читателя, если идёт речь о «функциях», иметь в виду те самые элементарные функции, с которымв приходится встречаться в процессе преподавания. В дальнейшем (в главах I—IV) число рассматриваемых перемен- переменных величин ограничивается двумя: ради единообразия они будут обозначены буквами х и у. Пусть дано уравнение вида F(x>y) = 0> D) где F (х, у) — какая-нибудь элементарная функция величин х и у %). Предположим, что х0 и у0 — произвольные числа. Если эти числа *) Два понятия функции (более узкое и более широкое) можно сблизить между собой, или даже отождествить, одним из следующих способов: а) устанавливая, что весьма обширные классы функций-соответствий допускают аналитическое представление (см., например, теорему Вейер- штрасса в § 49 гл. IV); б) рассматривая как математическую операцию переход от числового значения независимой переменной к соответствующему (в силу функциональ- функционального соотношения) значению зависимой переменной. 3) Если в правой части уравнения стоит не нуль, всегда можно пере- перенести всё в левую часть.
14 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО таковы, что при подстановке ха вместо х и _у0 вместо у *) уравне- уравнение удовлетворяется, т. е. его левая часть становится равной нулю, то пара чисел (х0, у0) представляет собой решение (одно из решений) данного уравнения. Функция F (х, у) может оказаться такой, что уравнение F[х, у) = 0 не имеет вовсе решений [например, при F(x, y) = —^ц— или при F(x, y) = 2x~y); или она может быть такая, что существует только одно решение или, вообще, конечное число решений (например, при F (х, у)=хч-\-уч имеется единственное решение: х== 0, _у = 0); не исключена и «противоположная крайность», когда функция F(x, у) обращается в нуль тождественно, так что любая пара значений х и у оказы- оказывается решением. Более важным и часто встречающимся является иной случай, когда существует бесконечное множество решений уравнения F (х, у) = 0, и дело обстоит именно таким образом, что, задав «произвольно» значение какой-нибудь одной переменной, можно подыскать одно значение (или несколько) другой переменной так, чтобы уравнение удовлетворялось. Тогда говорят, что данное уравнение устанавливает функциональную зависи- зависимость между переменными х и у. Предположим, например, что F{x, у) = 2х — 5у + 10. E) Уравнение 2х — 5^+10 = 0 F) таково, что, задав значение х совершенно произвольно, можно найти решение, если взять значение у согласно формуле Таким образом, каждому значению х соответствует одно опреде- определённое значение у, удовлетворяющее нашему уравнению: оно даётся предыдущей формулой. Если положить то можно сказать, что уравнение F{x, y) = 0 равносильно уравне- уравнению y=f(x). •) Предполагается, что эта подстановка «имеет смысл>, т. е. что сово- совокупность операций, указываемых символом F, может быть выполнена при значениях х = хй, у=у„.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 15 В качестве второго примера рассмотрим функцию F(x, y) = = х9-\-у9—1. Свойства уравнения —1=0 (8) иные: здесь можно произвольно взять значение х лишь из промежут- промежутка— 1 sS-xrsS-J--1» и тогда получаются два различных значения у: Положив легко понять, что каждое из уравнений У=/Л*). У=М*) (9) влечёт за собой уравнение (8), тогда как из уравнения (8) при любом значении х из рассматриваемого промежутка следует или одно или другое из уравнений (9) •). Роли переменных х и у в этом примере можно было бы по- поменять. Возвращаясь от частных примеров к общему случаю, следует сказать, что имеется существенное преимущество в том, чтобы рас- рассматривать функциональную зависимость между х и у в виде уравне- уравнения, связывающего между собой переменные х и у, тем самым оставляя за собой право, если угодно, считать х независимой пере- переменной, а у — зависимой, или наоборот. Предположим, например, что в качестве независимой переменной мы хотим взять величину х. Если случится, что, каково бы ни было выбранное значение х из некоторого промежутка (например, при а<^х<^Ь), уравнение F(x,y) = 0 имеет всегда один корень отно- относительно у, и этот корень удастся выразить в виде элементарной формулы, зависящей, естественно, от х, тогда величина у, удовле- удовлетворяющая данному уравнению, в рассматриваемом промежутке является однозначной функцией величины х: y=f(x). Последнее уравнение в этом случае равносильно заданному уравнению F {х, у) = 0 (в рассматриваемом промежутке). Но может случиться и так, что каждому значению х из некоторого промежутка соответствует таким же образом несколько (например, k) корней (относительно у) данного уравнения; предполагая, что каждый из этих k корней определяется по особой элементарной формуле y=f1(x), у=/2(х), ... , y=fk{x), мы будем иметь в этом случае k различных однозначных функ- функций, или, как иногда говорят,одну многозначную (А-значную) •) К уравнению (8) мы вернёмся в § 46, см. стр. 213.
16 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО функцию в рассматриваемом промежутке. В этом случае заданное уравнение F (х, у) = 0 «расщепляется» на k уравнений. В первом из приведённых выше примеров уравнение F) опре- определяет у как однозначную функцию х для каких угодно значений х (—оо<-к<+оо); во втором — уравнение (8) определяет у как. двузначную функцию х в промежутке —1^дг^-|-1. Чтобы убедиться в том, насколько разнообразны возникающие здесь возможности, рассмотрим еще третий пример *), полагая F {х, у) = х4 +j4 — х* —У. A0) Уравнение i\i i\i A1) (что равносильно xl-\-y" — х*—У2 = О) — биквадратное относи- относительно у, и решения его даются формулами Легко убедиться, что при (,, в промежутках выражение, стоящее под внутренним радикалом, положительно, и сам этот радикал меньше чем -»-, так что выражение, стоящее под внешним радикалом, независимо от выбора знака под радикалом, будет также положительным; таким образом, в указанных промежут- промежутках уравнение A1) приводит нас к рассмотрению четырёх одно- однозначных элементарных функций y=fiM 0=1. 2, 3, 4), причём положено ») См. стр. 76.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯ* 17 В промежутке— 1 <^х<^-\- 1 выражение, стоящее под внутрен- внутренним радикалом, положительно, но сам внутренний радикал больше чем -»-, и потому в этом промежутке имеется лишь два значения: У=А(х) и у=/,(х). Наконец, при выполнении условия 1т. е. в промежутках уравнение A1) не имеет вовсе корней. § 2. Графические представления. Приёмы точечных построений Мы убедились, что уравнение вида F(x,y) = 0 A2) может иметь сколько угодно решений. Чтобы придать совокупности решений ббльшую обозримость, прибегают к плоскости Оху, и с каждым решением (х, у) сопо- сопоставляют точку с абсциссой х и ординатой у. Все получаемые та- таким образом точки-решения, будучи рассматриваемы как целое, образуют график уравнения. Точнее и проще: графиком уравне- уравнения называется совокупность (множество) всех точек ') плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению. Нахождение всех решений данного уравнения и построение его графика — в сущности равносильные задачи, но, говоря о графике уравнения, а не о совокупности его решений, мы не только при- придаём наглядность интересующему нас вопросу, но и значительно упрощаем речь. В случае, если данное уравнение «решено» относительно зави- зависимой переменной у, так что эта переменная у в некотором про- промежутке а<^х<^Ь представляется в виде однозначной функции переменной х y = f{x), то говорят без всякого различия о «графике уравнения », или о «трафике функции f(x)». *) Можно также сказать: «геометрическое место точек»... 2 Энциклопедия, г.н. 3,
18 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Характерное свойство графика в этом случае то, что всякая прямая, параллельная оси Оу (в пределах промежутка), имеет с графиком ровно одну общую точку. Указанный случай является особенно важным как практически, так и теоретически; к нему в дальнейшем преимущественно напра- направлено внимание. Чтобы построить график данного уравнения, нужно, вообще говоря, отметить в плоскости Оху все принадлежащие ему точки. Этого сделать на самом деле, конечно, нельзя (если не говорить о частных случаях) по топ простой причине, что точек графика — бесконечное множество. Обыкновенно делают приближённое по- построение и именно следующим образом: отмечают в плоскости до- достаточное количество точек, стараясь вместе с тем, чтобы после- последовательно отмечаемые точки находились одна от другой на доста- достаточно близких расстояниях; соединяя затем последовательно отме- отмеченные точки «плавной линией», получают график уравнения. Такая процедура носит название построения по точкам. При этом, ко- конечно, в зависимости от характера производимых вычислений и геометрических операций, отмечаемые на чертеже точки бывают определены более или менее точно; но насколько точно воспроиз- воспроизведён бывает график в промежутках «между» отмеченными точками, *-* 0.5 Рис. u uo 1. H л: 0,5 0,6 0,7 0,8 У 0,71 0,77 0,84 0,89 X 0,9 1,0 1,1 1,2 У 0,95 1,00 1,05 1,10 это зависит, с одной стороны, от свойств данного уравнения, с другой — or знаний и опытности производящего построение. Общеизвестный вычислительный приём построения графиков функций заключается в том, что для ряда значений независимой переменной х') вычисляют значения функции y=f(x), записы- записывают результаты в легко обозримой табличной форме, вслед за тем (или параллельно с вычислениями) отмечают соответствующие точки на чертеже и соединяют их плавной кривой. ') Часто эти значения берут «равноотстоящими», т. е. образующими ариф- арифметическую прогрессию. Если, например, берутся значения, выражающиеся десятичными дробями с одним знаком после запятой, то говорят для крат- краткости, что берутся значения «через одну десятук».
ОВЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 19 В качестве примера приведём таблицу и рис. 1, составленные для функции У=/х A3) в промежутке 0,5^jc^ 1,2, причём значения х взяты через одну десятую. В следующем примере (рис. 2) в таблице, составленной для функции «--*<* + i>, A4) значения х взяты через одну пятую, в промежутке X 0 1 5 2 5 0 6 55 7 30 У или » > 0,00 0,11 0,23 X 3 5 4 5 1 24 5" 18 35" 2 ? У или > 0,37 0,51 0,67 i i Рис. 2. В таблице иногда бывает удобно вставлпть промежуточные столбцы, заполняя их последовательно. Это видно на примере таб- таблицы, составленной для функции: A5) X 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0,00 0,25 1,00 2,25 4,00 6,25 л? + 1 1,00 1,25 2,00 3,25 5,00 7,25 |/"лг2 + 1 1,00 1,12 1,41 1,80 2,24 2,69 0,50 0,56 0,70 0,90 1,12 1,34 Наряду с вычислительным приёмом построения заслуживает вни- внимания и геометрический. Предположим, что правая часть уравнения не содержит иных операций, кроме четырёх арифметических и извле- 2*
20 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО чения квадратного корня; тогда, считая значение х данным в виде отрезка, можно построить отрезок у с помощью циркуля и линейки. Если требуется сделать несколько подстановок х xlt х=^х%, ..., х = хп, то целесообразно, конечно, систематизировать работу и производить п построений совместно, последовательно выполняя один и тот же этап во всех п построениях. Предположим, например, что дана та же функция A5). Чтобы произвести отдельное построение, возьмём точку Р с абсциссой х на горизонтальной •) оси и точку Q с ор- ординатой 1 на вертикальной оси (рис. 3); через точку Р проведём вертикальную прямую и на ней отложим вверх отре- отрезок PR, равный PQ; если разделим затем отрезок PR пополам, то точка деления М будет иметь как раз абсциссу х и ординату у. Пусть требуется построить те точки графика A5), которые соответствуют абсциссам хи х%,..., хп. Тогда: 1) на горизонтальной оси мы отметим точки Pi, Рч Р„с абсциссами xltx2,..., хп, а на вертикальной оси — точку Q с ординатой 1; 2) через точки Р„ Ps,..., Рп проведём вертикальные прямые; 3) посредством циркуля на прямой, проходящей через Р„ отложим отрезок Р,/?,, равный PtQ; затем на прямой, проходящей через Р2, отложим отрезок Ра/?.2, равный PaQ, и т. д.; 4) найдём середину Ж, отрезка Р^,, середину у М2 отрезка Р.2к> и т. д. Точки Ж1, Ж2, , очевидно, и будут искомыми. В другом примере *(*+!) х + 2 У G и / " 1 — R М Р *х Рис. 3. У = - A6) построение можно выполнить сле- следующим образом. Отметим в плоскости Оху точку 5 с координатами (— 2, 0) и про- рис 4 ведём прямую _y = j;-|-l) отсекаю- отсекающую на осях Ох и Оу соответственно отрезки — 1 и 1 (рис. 4). Возьмём на горизонтальной оси точку Р с абсциссой х, проведём у) В дальнейшем мы для удобства речи называем ось Ох горизонтальной, ось Оу — вертикальной, а прямые, параллельные той или иной оси,—гори- оси,—горизонтальными и вертикальными.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 21 через неё вертикальную прямую и отметим точку пересечения Q с прямой у = х-\-\. В треугольнике PQS катеты PQ и PS (при х^>—1) соответ- соответственно равны х -f- 1 и х -\- 2. Поэтому достаточно из начала коор- координат О провести прямую, параллельную SQ до пересечения с PQ в точке М, чтобы получить треугольник РМО, подобный PQS; из подобия же следует, что РМ PQ OP SP т. е. PM—QP-PQ— *(*+') SP — х + 2 ' так что точка М как раз принадлежит графику. Чтобы получить несколько точек графика Ми М.2, , Мп с абсциссами х{, х.2,..., хп, достаточно: 1) отметить на горизон- горизонтальной оси точки Pt, Pt, .... Рп, с такими же абсциссами, 2) про- весги через них вертикали до пересечения с прямой у = х -\- 1 в точках Qlt Q.it ..., Qn, 3) через точку 5 провести прямые SQU SQ$, ..., SQn, 4) через начало координат О провести прямые, па- параллельные SQlt SQ%, ..., SQn, до пересечения с прямыми PtQlt P^Qi, .-., PnQn- Точки пересечения Mlt Ma, ..., Мп будут иско- искомыми. Рассмотрим, наконец, пример у= /х. A7) Руководствуясь тем, что величину у можно понимать как сред- среднюю геометрическую из величин х и 1, отметим на горизонтальной оси точки 5 с абсциссой — 1 и Р с абсциссой х. На отрезке SP как на диаметре построим окружность и из точки N её пересечения с вертикальной осью опустим пер- перпендикуляр на вертикальную пря- прямую, проведённую через Р. Обозна- Обозначая основание перпендикуляра бук- буквой М, видим, что точка М имеет абсциссу х и ординату PM=ON= /x и, следовательно, принадлежит гра- графику (рис. 5). Таким образом, точечное по- Рис. 5. строение сводится к проведению через точку S ряда окружностей с центрами на горизонтальной оси и к проектированию точек пересечения окружностей с верти- вертикальной осью на касательную, проведённую через противоположный конец диаметра. У N. SH.OJ 0 *-т ¦ X *- м Р *х
22 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Примеры такого рода можно разнообразить, изощряя изобрета- изобретательность в геометрических построениях. Рассмотрим следующее вполне естественное обобщение. Допус- Допустим, что заданы, в качестве вспомогательного средства построения, графики функций у = и{х), y — v{x),... В таком случае можно построить по точкам график функции y=f{x, и(х), v(x),...), A8) если только допустить, что правая часть уравнения составляется из своих аргументов х, и, v,... посредством пяти упомянутых выше операций. Действительно, для каждого заданного отрезка х извест- известными являются, по предположению, отрезки и(х), v(x),..., и из них с помошью циркуля и линейки может быть построен отрезок f{x, и{х), v(x),...). Нас в особенности интересуют следующие частные случаи гра- графических построений: 1. Если заданы графики функций _у = н (х) и у = v {x), то можно построить по точкам график функции y = u{x)-\-v{x) A9) (рис. 6, а). 2. Если заданы графики функций у = а(х) и у — v(х), то можно построить по точкам график функции y = tt(x) — v(x). B0) 3. Если заданы графики функций у = и(х) и y = v(x), то можно построить по точкам график функции у = и(х) v(x) B1) (рис. 6,6). 4. Если заданы графики функций у = и(х) и y = v(x), то можно построить по точкам график функции Легко понять, что дело сводится к сложению, вычитанию, умно- умножению и делению отрезков. «Отрезки» понимаются, конечно, в алге- алгебраическом смысле, так как и (х) и v (x) представляют со- собой действительные числа, которые могут быть больше нуля, меньше нуля или равны нулю. «Умножение» понимается в том смысле, что перемножены должны быть числа и взят затем отрезок
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 23 (ордината точки), равный по длине и по знаку полученному произ- произведению; аналогично — для деления '). У, 0 О -1 а) y-V(X) у—van в) х У 0 X Рис. 6. у-и г) Обыкновенно бывает целесообразно избегать вычитания и деле- деления, сводя вычитание к сложению, а деление к умножению: и — v = и -\- (— v), и 1 и опираясь при этом на следующие положения: 5. Если задан график функции y = v(x), то не представляет труда получить и график функции у = — v (x) (рис. 6, в). 6. Если задан график функции у = v (х), то можно легко пб- 1 строить по точкам и график функции у = v{x) (рис. 5, г). J) Геометрическое построение в случаях 3 и 4 сводится, очевидно, к на- нахождению четвёртой пропорциональной, так как равенству y=,uv можно v v и у и а раенству у вид ^- = — v v и придать вид — = -г-, а равенству у = у вид ^- = .
24 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО В самом деле, из графика y = v(x) график у = ~—v(x) полу- получается посредством замены всех ординат им противоположными по знаку, т. с. посредством симметрического отражения относительно оси Ох; что же касается графика _у — —^—г, то он получается из графика у = v(x) посредством замены всех ординат им обратными. Приёмы построений, вытекающие из пунктов 1—4, можно назвать кратко «сложением», «вычитанием», «умножением» и «делением» графиков. Выполнять каждую из этих операций можно путём вычи- вычисления или путём геометрических построений. В данной связи не излишне указать ещё и на следующее поло- положение, не являющееся частным случаем раньше сформулированного общего принципа: 7. Если заданы графики функций у = и (лг) и у = v (x), то можно построить по точкам график «сложной функции» («функции от функции»): y = u{v{x)). B3) Рассмотрим этот вопрос подробнее. Пусть Р—точка с абсцис- абсциссой х на горизонтальной оси (рис. 7). Проводя через точку Р верти- вертикальную прямую, в пересечении её с графиком y = v(x) поставим точку Q; отрезок PQ равен v(x). Пусть Т—точка на го- горизонтальной оси с абсциссой v (х) (так что ОГ= PQ); тогда, проводя через точку Т верти- вертикаль до пересечения с гра- графиком у =и (х) в точке S, получим отрезок TS, равный u(v(x)). Нам останется спро- спроектировать точку 5 на верти- вертикаль, проведённую через Р, чтобы получить точку М с абс- абсциссой х и ординатой и (v (x)). Вместо того, чтобы откла- Рпс. 7. дывать на горизонтальной оси отрезок ОТ, равный PQ, можно воспользоваться биссектрисой ОВ координатного угла Оху (уравне- (уравнение которой есгь х=у): достаточно из точки Q провести гори- горизонтальный отрезок до пересечения с ОВ в точке R, затем из точки R провести вертикальный отрезок RS до пересечения с гра- графиком у = а (лг) в точке 51; далее, как указано выше. Разобравшись в этом построении, можно очень быстро выпол- выполнить его для целого ряда точек Р, проводя сначала ряд отрез- отрезков PQ, затем ряд отрезков QR, затем ряд отрезков /^5 и, наконец, ряд отрезков $М (см. рис. 7). У 0 / / р / у-шх) X
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 25 § 3. Простейшие преобразования графиков Идея, лежащая в основе излагаемых ниже соображений, заключается в следующем. Предположим, что тем или иным путем уже построен гра- график G уравнения F{x, _y) = 0. B4) Тогда в ряде случаев, если только уравнение F%(x, y):=0 отли- отличается от уравнения F(x, у) = 0 определённым, легко устанавли- устанавливаемым признаком, график G% уравнения F% = 0 получается из гра- графика G уравнения /7 = 0 посредством некоторого легко выполни- выполнимого геометрического преобразования. Мы ограничимся рассмотрением следующих элементарных преобразований: I. а) Осевая симметрия относительно оси Ох. б) Осевая симметрия относительно оси Оу. в) Центральная симметрия относительно начала О. (Симметрии относительно произвольной прямой и относительно про- произвольного центра рассматривать не будем.) II. а) Перенесение (сдвиг, трансляция) на данный от- отрезок параллельно оси Ох. б) То же параллельно оси Оу. (Перенесения, параллельного произвольной прямой, рассматривать не будем.) III. а) Растяжение (или сжатие) в данном отношении по направлению оси Ох1). б) То же по направлению оси Оу. (Растяжения по произвольному направлению рассматривать не бу- будем.) Иных преобразований, кроме перечисленных элементарных, мы рассматривать не будем; однако нам придётся встречаться с преоб- преобразованиями, возникающими как результат последовательного выпол- выполнения нескольких элементарных. Останутся в стороне также пре- преобразования вращения (если не считать одного частного случая, см. ниже теорему IV). Свойства перечисленных преобразований, которые могут служить их определениями, заключаются в следующем: I. а) При осевой симметрии относительно оси Ох точка (х, у) переходит в точку (х, —у). I. б) При осевой симметрии относительно оси Оу точка (х, у) переходит в точку (—х, у). I. в) При центральной симметрии относительно начала коорди- координат О точка (х, у) переходит в точку (—х, —у). J) «Сжатие в т раз> — то же, что «растяжение в — раз».
26 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО II. а) При перенесении на отрезок а (а 5*0) параллельно оси Ох точка (х, у) переходит в точку (х-\-а, у). II. б) При перенесении на отрезок b(b^O) параллельно оси Оу точка (х, у) переходит в точку (х, у-\-Ь). III. а) При растяжении в р раз (j>^>®, /?S=5l) по направле- направлению оси Ох точка (х, у) переходит в точку (рх, у). III. б) При растяжении в q раз (q^>0, #2>1) по направлению оси Оу точка (х, у) переходит в точку (х, qy). У ш р-3 g-Z Рис. 8. Теперь можно сказать, что справедливы следующие утвержде- утверждения (рис. 8): I. а) График G, уравнения F{x, —y) = 0 симметричен графику G уравнения F(x, j>) = 0 относительно оси Ох. I. б) График G2 уравнения F(— х, у) = 0 симметричен графику G уравнения F(x, y) = 0 относительно оси Оу. I. в) График G3 уравнения F(— х, —у) = 0 симметричен графику G уравнения F (х, у) = 0 относительно начала координат О.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 27 II. а) График G4 уравнения F(x — a, у) = 0 получается из графика G уравнения F (х, у) = 0 посредством пере- перенесения параллельно оси Ох на отрезок, равный а. II. б) График GB уравнения получается из графика G уравнения F (х, у) = 0 посредством пере- перенесения параллельно оси Оу на отрезок, равный Ь. III. а) График G6 уравнения f(—, у)=о получается из графика G уравнения F (х, _у) = 0 посредством рас- растяжения в р раз по направлению оси Ох. III. б) График G7 уравнения f(x.Z-) = получается из графика G уравнения F(x, _у) = 0 посредством рас- растяжения в q раз по направлению оси Оу. На рис. 8 /// изображены график G6 при р = 3 и график G7 при Доказательство I. а) Пусть точка М (х„, у„) принадлежит графику G, так что В таком случае точка М' (лгс, —у0) принадлежит графику Glt так как её координаты удовлетворяют уравнению Г(х, —у) = 0. Но точка М сим- симметрична точке М относительно оси Ох. Итак, график Gt содержит все точки, симметричные какой-нибудь точке графика G относительно Ох. Если бы график G содержал ещё какую-нибудь лишнюю точку N'(хи yj, то имело бы место равенство и тогда вышло бы, что симметричная точка N(xlt —yt) принадлежит гра- графику G, что противоречит допущению. Доказательство II. а) Пусть точка М(лг0, у0) принадлежит графику G, так что В таком случае точка М' (лг0 + а< Уо) принадлежит графику G4, так как её координаты удовлетворяют уравнению F(x — а, у) = 0. Но точка М', очевчдно, получается из точки М посредством перенесения параллельно оси Ох. И т. д. Доказательство III. а) Пусть точка М (xo,yv) принадлежит графику G, так что
28 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТНИТРЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО В таком случае точка М'(рх0, ул принадлежит графику Q., так как её I х \ координаты удовлетворяют уравнению Fl—t у) = 0. Но точка М' получается из точки М посредством растяжения в р раз по направлению оси Ох. И т. д. Доказательства остальных теорем аналогичны. Формулируем установленные выше теоремы применительно к гра- графикам функций. Предположим, что данное уравнение имеет вид У=/{Х). B5) В этом случае можно положить F{x,y)=y-f{x). Но тогда F[x, ~y) = -y-f(x), и уравнение F(x, —у) = 0 может быть записано в виде У = —/{*). Отсюда вытекает теорема Г. а) График функции—f(x) симметричен графику функции f(x) относительно оси Ох (см. § 2, п° 5). Подобным же образом получаются и следующие теоремы: Г. б) График функции /(—х) симметричен графику функции f(x) относительно оси Оу. V. в) График функции—/(—-х) симметричен графику функции f(x) относительно начала координат О. 1Г. а) График функции/(дг — а) получается из графика функции f(x) посредством перенесения параллельно оси Ох на отрезок а. II'. б) График функции f(x)-\-b получается из графика функции f(x) посредством перенесения параллельно оси Оу на отрезок Ь. ИГ. а) График функции /(—) получается из графика функции f{x) посредством растяжения в р раз по направлению оси Ох. ИГ. б) График функции qf{x) получается из графика функции f{x) посредством растяжения в q раз по направлению оси Оу. Рассмотренные нами преобразования, как уже было замечено, могут комбинироваться между собой. Так, заменяя в об- общем уравнении F (х, у)^0 сначала х через х — а, затем у через у — b (или в обратном порядке), получим уравнение F(x — a, y — b) = 0, график которого получается из графика данного уравнения посред- посредством перенесения на отрезок а параллельно оси Ох и на отрезок Ъ параллельно оси Оу (что, конечно, равносильно одному перенесению параллельно некоторой наклонной прямой).
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 29 Или ещё: график уравнения F(*.t z\=0 \Р' QI получается из графика уравнения F{x, j) = 0 посредством растяже- растяжения в р раз по направлению оси Ох и растяжения в q раз по на- направлению оси Оу. Подобным же образом график уравнения F(.— x, — у) = 0 % получается из графика F (х, у) = 0 посредством двух последова- последовательных преобразований симметрии — сначала относительно оси Ох, затем относительно оси Оу (или наоборот). Но он же (согласно 1в) получается из того же графика посредством преобразования цен- центральной симметрии относительно начала координат. Это не удиви- удивительно: легко показать и непосредсгвенно геометрически, что по- последовательные симметричные отражения данной точки относительно двух взаимно перпендикулярных прямых дают в итоге точку, сим- симметричную заданной относительно точки пересечения этих прямых. Следует обратить особое внимание на тот случай, когда функ- функция F не изменяется при замене у на —у: F(x, —y) = F(x, у). В этом случае графики двух уравнений ¦ F (х, —j) = 0 и F(x, y) = 0 совпадают и так как (вследствие 1а) они взаимно симметричны от- относительно оси Ох, то выписанное выше тождество свидетельствует о том, что график G уравнения F(x, у) —0 имеет ось Ох своей осью симметрии. Проведя аналогичные рассуждения с использованием 16 и 1в, мы можем составить следующую таблицу признаков наличия элементов симметрии: если F(x, -y) = F(x,y), F(-x,y) = F(x,y), F(-x, -y)==F(x,y), TO G имеет ось симметрии Ох G имеет ось симметрии Оу G имеет центр симметрии О Обратимся к случаю уравнения вида y=f(x). Если функция/(х) не изменяется при замене х на —х: f(-x)=f(x), то её называют чётной; если при замене х на —х абсолютная величина f{x) не изменяется, но изменяется знак: то функцию называют нечётной.
30 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Из теорем Гб и Гв следует: если функция / (лг) — чётная, функция / (х) — нечётная, то её график G имеет ось симме- симметрии Ov её график имеет центр симме- симметрии О Если функция F(x, у) не изменяется при одновременной замене д; на д; — а и у на у — Ь: F(x—а, у — b) = F(x, у), то её называют периодической с периодом (а, Ь); то же в этом случае говорят и о графике урав- уравнения F (х, у) = 0. Если функция f(x) не изменяется при замене х на х—а, то ее (а также и её график) называют периодической с периодом а. На рис. 9, а и 9,6 изображены соответственно гра- графики функций F(x, y) = 0 с периодом A,2) и y—f{x) с пе- периодом, равным 1. Если функция f{x) имеет период а, то очевидно, что чи- числа 2а, За, ..., па, ..., а также — а,—2а, ... в равной степени являются периодами. По большей части, говоря о периоде, имеют в виду наименьший из положи- положительных периодов. Подобные же соображения отно- относятся и к функциям F(x, у) и их графикам. Можно было бы рассмотреть свойство функций не изменяться при замене х на рх и у на qy F(px, qy) = F(x,y), f(px)=f(x), чему соответствовало бы то обстоя- обстоятельство, что график не изменяется при определённого рода растяже- растяжениях. Но это не представляет осо- особенного интереса. Установить сразу для данного графика наличие элементов сим- симметрии или периодичности выгодно в том отношении, что позволяет
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 31 сократить последующую работу построения. Если установлено, что график имеет симметрию относительно вертикальной оси, то доста- достаточно исследовать его лишь в одной (например, правой) полупло- полуплоскости; если установлено, что имеется симметрия относительно обеих осей, то можно ограничиться одним (например, первым) квадрантом; если известно, что график имеет период а, то достаточно рассмотреть его расположение в пределах одной «полосы периодов» (например, в полосе О=^лг<^а или —¦^¦<^х^-^-); и т. п. Рассмотрим, ради разъяснения предшествующего, несколько конкретных примеров. Пример 1. График уравнения y = 4xs имеет вертикальную ось симме- симметрии. Переписав уравнение в виде ~=ха, видим, что из графика у = л:2 он получается посредством растяжения в 4 раза по направлению оси Оу. [ xV Написав то же уравнение в виде y = l—\ t видим, что тот же график можно получить из графика у = ха посредством сжатия в 2 раза по направ- направлению оси Ох. Пример 2. График у = 2х — 1 получается из графика у = 2х посред- посредством перенесения параллельно оси Оу на отрезок — 1. Написав уравнение в виде у = 2(х—jA t видим, что он может быть получен из того же гра- графика посредством перенесения параллельно оси Ох на отрезок -^-. Пример 3. Уравнение д:а -\-у2 = 2Cх-]-4у) можно написать в виде («выделение квадратов») и тогда видно, что его график получается из гра- графика л:8 + У3 = 25 посредством перенесения по направлению оси Ох на отре- отрезок 3 и по направлению оси Оу на отрезок 4. Пример 4. График уравнения у = 2*~а получается из графика у = 2* посредством перенесения параллельно оси Ох на отрезок 3. Придав уравне- уравнению вид у = -jr- • 2х, убеждаемся, что он получается из того же графика о посредством сжатия в 8 раз по направлению оси Оу. Пример 5. Функции y = cosx, y^^sin2x, у = cosx-\-sin2x имеют соответственно период 2т, ти и 2тг. Первая из них — чётная, так что график симметричен относительно оси Оу, вторая — нечётная, так что график имеет центр симметрии в начале О. Третья не является ни чётной, ни нечётной. Пример 6. Обе функции у = tg кх (нечётная) и у = tg2 izx (чётная) имеют один и тот же период 1. Пример 7. График уравнения sin2 x -\- sin8 _y = -=- симметричен относи- тельно обеих осей Ох и Оу и (следовательно) относительно центра О. Он имеет периоды (ж, 0) и @, z) (и вообще — периоды вида (/nit, tvz), где т и п — целые числа). В заключение отметим одну теорему, касающуюся вра- вращения.
32 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ' ПЕРЕМЕННОГО IV. Графики G8 и G9 уравнений a) F(х+у ~Х+У\ — Vz ' Vi ) = 0 и б) F 1^~ 1 \ V2 ' \ /* из графика V2 G уравнения ° х получаются ф у F(x,y) = 0 посредством вращения на 45° около начала О в прямом направлении (т. е. от оси Ох к Оу) или обратном (от оси Оу к оси Ох), как показано на рис. 10. Это следует из общих формул поворота координатной системы на угол у '): \х= I У = х = х' cos ср —У sin cp, je'sin<p-}-y cos 9, Рис. 10. если положить ? = § 4. Прямая и обратная функции В связи с теоремами I—IV предыдущего параграфа поставим ещё вопрос: что делается с графиком уравнения F(x, y) = 0, если по- поменять местами буквы х и у? Оказывается, что имеет место следующая теорема. V. График G,o уравнения F(y, jt)=O симметричен графику G уравнения F(x, _y) = 0 относительно бис- биссектрисы у^х первого координатного угла (рис. 11). В самом деле, если точка М(хй, у0) при- принадлежит графику G, то точка М (_у0. -*о) принадлежит графику GI0; но точка М, оче- очевидно, симметрична точке М относительно упомянутой биссектрисы. В частности, если функция F(х, у) сим- симметрична относительно переменных х и ' у, т. е. не изменяется при их перестановке / F(y, x) = F(x, у), Рис. 11. то график уравнения F (х, _у) = 0 имеет прямую х = у осью сим- симметрии. Примерами могут служить уравнения х-\-у=1, д;4-|-_у4 = 25, ху=1, х-\-у = ху, ¦)/ х -\- ¦/ у = 1 и т. п. ') См. Э. э. м., кн. 4 «Геометрия, часть Ь, статья «Элементы аналитиче- аналитической геометрии».
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 33 Уравнение F(x, у) = 0 позволяет рассматривать^ как некоторую (однозначную или многозначную, см. § 1) функцию переменной х. Допустим точно так же, что оно позволяет рассматривать х как не- некоторую, однозначную или многозначную, функцию переменной у. Этим, вообще говоря, различным (с точки зрения выполняемых операций), функциям нередко дают наименования прямой и об- обратной. Ограничиваясь простейшим случаем, предположим, что в преде- пределах некоторой часги плоскости (или, может быть, во всей плоско- плоскости) каждая прямая, параллельная оси Оу, имеет с графиком урав- уравнения F(x,y) = Q B6) только одну общую точку, и вместе с тем каждая прямая, парал- параллельная оси Ох, также имеет с графиком только одну общую точку. Это значит, что в пределах названной части плоскости уравнение B6) может быть «решено относительно у» У=/(х) B7) и вместе с тем может быть «решено относительно х> x = g(y). B8) При этом мы ограничиваемся здесь предположением, что для опре- определения значения х по данному значению у, или обратно, доста- достаточно элементарных операций, так что функции, обозначенные бу- буквами fug, — элементарные. Тогда функцию / можно считать прямой, функцию g — обратной (или, если угодно, наобо- наоборот). Так как согласно предположению три уравнения B6), B7) и B8) равносильны, то у них один и тот же график — скажем, G. В уравнении B8) вопреки принятым нами обозначениям роль независимого переменного играет буква у, роль зависимого — буква х. Поменяв местами эти буквы, мы получим такое же уравнение, с точки зрения выполняемых операций: У = Е(х). B9) но график его будет уже другой: он согласно изложенному выше симметричен графику G относительно прямой х=у. Мы приходим, таким образом, к важному выводу: если обозна- обозначать независимую переменную одной и той же буквой х, то гра- график прямой функции y=f(x) и график обратной функции y = g(x) взаимно симметричны относительно прямой х—у. Пример 1. Уравнение 2х — 5у + 10 = 0 (см. § 1) равносильно каждому из уравнений 2ДГ+10 5у-Ю .г или х=-^--—. 3 Энциклопедии, t.u. 3.
34 ЭЛКМКНТИРНЫК ФУНКЦИИ ДРЙСТВИТРЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Если в качестве прямой функции взять то обратной функцией будет . . 5х— 10 g(x) = g • Пример 2. Уравнению л:3—у = 0 можно придать вид у = х*. Решая его относительно лг, получаем: \Гу в правой полуплоскости (х Х=: ._ — \/ у в левой полуплоскости (х < 0). Итак, если прямая функция есть /(х) = д:2, то обратной является )=\Гх (радикал — в алгебраическом смысле). Или более точно: обрат- обратной функцией является g (х) = -)- \Гх в верхней полуплоскости (у>0), g(x) = — ~\[ х — в нижней (у<0) (здесь радикалы — в арифметическом смысле). „ , 1 яг Пример 3. Если /(jc) = -j--(x3 + 1), то g(x) — у ЮОлг— 1, Пример 4. По отношению к функции у f(X)~l+x обратной функцией будет . . х Пример 5. Если в качестве прямой функции взять / (*) = >g cos х, то обратной функцией будет g (х) = Arccos I0v. § 5. Элементарное исследование функций (постановка вопроса и некоторые общие приёмы) Пусть дано уравнение вида У =/(*)¦ C0) Под словом «исследование» функции /(х) (или её графика G) можно понимать выяснение самых разнообразных свойств этой функции. Однако чаше всего, говоря об «исследовании», имеют в виду найти ответы на следующие вопросы: А. Обращается ли функция в нуль и в каких именно точках? В каких промежутках она положительна и в каких — отрицательна? Б. Какова «изменяемость» функции? В каких промежутках функ- функция возрастает и в каких — убывает? В каких точках она имеет наи- наибольшее значение (максимум) и в каких—наименьшее (минимум)?
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 35 Термины «возрастает», «убывает», «максимум», «минимум» тре- требуют объяснений. Говорят, что функция f(x) в данном промежутке возрастает, если, каковы бы ни были два значения х из этого проме- промежутка, например, х' и х", как только C1) то непременно /С^Х/СО- C2) (Тогда уже и обратно: из неравенства C2) следует неравенство C1 )• так как, если бы было х"<^х', то из этого следовало бы, что "Х/() а из равенства х" = х' следовало бы, что f(xT) ¦= Иначе можно сказать: свойство «возрастания» означает, что с увеличением независимой переменной увеличивается также и функция (зависимая переменная), и обратно; напротив, с умень- уменьшением независимой переменной уменьшается и функция, и обратно. Таким образом, переменные х и у изменяются «в одном направлении»'). Говорят, что функция f(x) в данном промежутке убывает, если, каковы бы ни были два числа х" и х" из этого проме- промежутка, из неравенства х1 <х" C3) непременно следует неравенство /(ДО >/(¦*") C4) (и тогда, конечно, обратно). Таким образом, в этом случае с уве- увеличением независимой переменной х функция y=f(x) уменьшается, а с уменьшением х — увеличивается; переменные х и у изменяются «в разных направлениях» 2). 1) С точки зрения теории неравенств вопрос целесообразно поставить в следующей форме: можно ли утверждать, что из неравенства вида А <. В непременно вытекает неравенство /(Л)</(Д)? Ответ — утвердительный, если только в рассматриваемом промежутке функция f (х)— возрастающая. Примеры возрастающих функций: / (х) = тх (т >> 0), / (х) = х* для любого промежутка; f(x) = x*, f(x)= Ух для промежутка 0^д:<оо. а) Если функция f(x) — убывающая (в рассматриваемом промежутке), то из неравенства А < В следует неравенство / (А) > / (В). Примеры убывающих функций: f(x) = mx (ш<0)в любом промежутке; f(x) = —, —s (s>0) при положительных значениях лг. 3*
36 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Если а<^с<^Ь и если в промежутке от а до с функция f(x) возрастает, а в промежутке от с до b убывает, то в точке х = с функция/(дг) имеет максимум; если, напротив, в промежутке от а до с функция убывает, а в промежутке от с до b возрастает, то в точке х=с она имеет минимум. Сказанное не является определением максимума и минимума: согласно точному, принятому в науке определению функция имеет максимум в точке х = с, если можно указать два таких числа а и Ь, что 2) неравенство №>/(*) C5) имеет место для любого х, удовлетворяющего условиям а<^ х ф с. Аналогично для минимума. В дальнейшем (см. § 46, пример 4) на примере будет обнаружено, что вторая формулировка несколько шире первой. Геометрический смысл понятий возрастания и убывания, макси- максимума и минимума достаточно очевиден и не требует пояснений. Примечание 1. Понятия «возрастающая функция» и «убывающая функция» могут быть несколько расширены. Именно, можно предположить, что взамен неравенства C2), как следствие неравенства х' <х", должно вы- выполняться менее стеснительное соотношение /<*•) *?/<*">. C2') Таким образом, предполагается, что с увеличением независимой переменной функция или возрастает или не изменяет значения (но не убывает): такую функцию называют неубывающей. Всякая возрастающая функция есть вместе с тем неубывающая; об- обратное неверно. Вот «житейский» пример неубывающей функции: л: — время, f(x) — по- показание электросчётчика. С течением времени при затрате электроэнергии показание счётчика увеличивается; но если в течение какого-нибудь про- промежутка времени энергия не расходуется, то не изменяется и показание счётчика. Можно доказать, что всякая элементарная неубывающая функ- функция непременно должна быть возрастающей (если она не сводится к посто- постоянной). Точно так же функция, удовлетворяющая требованию /(х'K=/(*"). C4') менее стеснительному, чем требование C4), называется невозрастаю щей. Примечание 2. Понятия максимума и минимума также допускают некоторое расширение. Говорят, что в точке с функция / (лг) имеет макси- максимум в расширенном смысле, если взамен точного неравенства C5) в окрестности этой точки выполняется соотношение f(c)^f(x). C5') Аналогично для минимума.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 37 Примечание 3. Изменение величины в одном и том же направле- направлении (в сторону возрастания или в сторону убывания) или состояние неизмен- неизменности в математике называется монотонным изменением. Монотонными называются также неубывающие и невозрастающие функции. Эти термины сообщаются читателю для сведения: мы далеки от мысли о том, что было бы целесообразно вводить их в практику преподавания. Примечание 4. Ради сокращения речи в математике термины «макси- «максимум» (maximum — наибольшее) и «минимум» (minimum — наименьшее) при- принято объединять в один термин «экстремум» (extremum — крайнее); в пре- преподавание в средней школе этот термин также нет надобности вводить. По поводу вопросов типа А (см. стр. 34) мы ограничимся здесь общим замечанием о том, что, желая выяснить знак функции f(x), обыкновенно стараются данную формулу представить (подвергая тож- тождественным преобразованиям) в виде произведения таких множите- множителей, чтобы знак каждого из них мог быть легко установлен. Затем остаётся сослаться на элементарные свойства произведений: 1) произведение равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю, 2) если все множители отличны от нуля, то произведение поло- положительно или отрицательно, смотря по тому, будет ли число отри- отрицательных множителей чётным или нечётным. В иных случаях, когда такого рода разложение на множители не удаётся, пытаются свести вопросы типа А к вопросам типа Б. Например, установив, что в рассматриваемом промежутке функ- функция возрастает и что в начальной точке промежутка она принимает положительное значение, можно сейчас же заключить, что функция положительна во всём промежутке. Или более общо: к тому же самому заключению можно придти, если удастся установить, что положительным является наименьшее значение функции во всём рас- рассматриваемом промежутке. Заметим, что точки, в которых рассматриваемая функция прини- принимает значение нуль, очень часто ради краткости и удобства речи называют нулями этой функции. По поводу вопросов типа Б нужно сказать, что они принципиаль- принципиально сложнее: общий метод для их разрешения даётся в дифферен- дифференциальном исчислении; исследование возрастания и убывания функ- функции составляет одну из основных задач математического анализа. Метод дифференциального исчисления по существу заключается в том, что о возрастании и убывании функции судят по знаку неко- некоторой другой функции'), называемой «производной» от функции (см. стр. 307). Однако существуют и разнообразные, хогя отнюдь не исчерпы- исчерпывающие, элементарные методы исследования изменяемости функции, представляющие к тому же особый интерес с точки зрения школь- ') Тр-есть вопрос типа Б сводится к вопросу типа А „
38 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО ' * ной практики; на некоторых из них здесь уместно остановиться. Следует заметить, что в одних случаях вообще совершенно излишне обращаться к методам анализа, так как вопрос решают наиболее простым и естественным путём элементарными методами; в других же случаях, хотя элементарное решение и возможно, оно оказы- оказывается гораздо более сложным, чем решение методами анализа, а подчас носит и вовсе искусственный характер (см., например, ко- конец § 10). Элементарные методы основываются на том, что «изменяемость» простейших функций исследуется, исходя непосредственно из опре- определения возрастания или убывания. Вместе с тем ряд теорем, почти очевидных, позволяет судить по «изменяемости» одних функций, более простых, об изменяемости других, более сложных. Условимся ради краткости говорить, что в рассматриваемом про- промежутке функции и(х) и v(х) изменяются в одном и том же направлении, если обе они — возрастающие или обе — убываю- убывающие; напротив, будеде говорить, что функции и(х) и v(x) изме- изменяются в противоположных направлениях, если одна из функций — возрастающая, а другая — убывающая. В таком случае: 1. Функции и(х) и и{х)-\-С (где С—постоянное число) изме- изменяются в одном и том же направлении. 2 и 2'. Функции и(х) а Си(х) изменяются в одном и том же или в противоположных направлениях, смотря по тому, является ли С положительной или отрицательной постоянной. 3. Если функции и (х) и v (x) изменяются в одном и том же направлении, то сумма u(x)-\-v(x) изменяется в том же направлении. 4. Если положительные функции и(х) и v(x) изменяются в одном и том же направлении, то произведение и (х) v (x) изме- изменяется в том же направлении. 4'. Напротив, если отрицательные функции и(х) wv (x) из- изменяются в одном и том же направлении, то произведение и (jc) v (x) изменяется в противоположном направлении. 5 и 5'. В частности, если и(х) — положительная функция, то и2 (х) изменяется в том же направлении, что и а (х); если и (х) — отрицательная функция,то и2 (х)изменяется в направлении противо- противоположном. 6. Функции и (х) и — а (х) изменяются в противоположных на- направлениях. 7. Если функция и (х) положительна в некотором промежутке, то функции и (х) и в этом промежутке изменяются в противо- противоположных направлениях. Т. Если функция и(х) отрицательна в некотором промежутке, то и (х) и — точно так же изменяются в противоположных направлениях.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 39 Таким образом, относительно всякого промежутка, в котором функция и (лг), не обращаясь в нуль, сохраняет один и тот же знак, можно сказать, что функции и (х) и —— изменяются в противопо- противоположных направлениях. 8. Если функция и(х) — положительная, то функции и(х) и ¦yfu(x) изменяются в одном и том же направлении (здесь у/и — ариф- арифметическое значение корня). 9. «Сложная функция» и (v (х)) возрастает, если обе функции и (х) и v (х) изменяются в одном и том же направлении; убывает — если и (х) и v (х) изменяются в разных направлениях'). Доказательства всех этих теорем однотипны и крайне элементарны; дело сводится к использованию определения убывания или возрастания функции, с привлечением простейших свойств неравенств. В качестве примера приве- приведём одно из них, именно, относящееся к теореме 3, с допущением возра- возрастания. Сумма двух возрастающих функций есть функция возрастающая. Доказательство. Пусть / (х) = и (х) -\- v (x), причём функции и (х) и v(x) — возрастающие в некотором промежутке. Предположим, далее, что х' и х" — какие угодно числа из этого промежутка, причем xl<x". По предположению имеем: Складывая эти неравенства, получаем U (X') + V (X1) < U (X") + V (А""), х. е. Теоремами 1—8 в дальнейшем мы будем пользоваться большэй частью без соответствующих ^1 ссылок. В порядке примечания не ме- мешает отметить, что «исследова- «исследование» функций не всегда ограни- ограничивается вопросами, сформулиро- сформулированными в пунктах А и Б; однако оно очень часто может быть све- сведено к ответу на эти вопросы. Приведём пример. Пусть,кроме исгледуемого графика G функции y—f{x), имеется уже хорошо известный нам график Go функции _У = ., бы интересовать такие вопросы: Рис. 12. (рис. 12). Нас могли 1) Точнее: нужно рассматривать изменяемость функции и(х) в том про- промежутке, какому принадлежат значения функции v\x) в процессе изменения переменной х.
40 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО А'. Пересекается ли график G с графиком Go и в каких именно точках? В каких промежутках график G лежит выше графика G^ и в каких — ниже? Б'. Как изменяется (с увеличением х) направленный вертикаль» ный отрезок М0М между точкой пересечения с графиком Go и точ-* кой пересечения с графиком G? В каких промежутках он возраста- возрастает? В каких убывает? В каких точках принимает наибольшее и в каких — наименьшее значение? Легко понять, что вопросы А' и Б' сводятся к вопросам А я Б, если только вместо самой функции f(x) ввести разность f(x)— —/«(¦*)• При исследовании различных свойств данной функции формулу, с помощью которой она задана, часто приходится подвергать тем или иным тождественным преобразованиям. Выбор преобразования в каждом данном случае зависит от того свойства функции, которое имеется в виду установить.
ГЛАВА II ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ § 6. Классификация рациональных функций Рациональными называются такие функции, значения которых можно найти, не совершая над заданным значением независимой переменной х и числами, которые предполагаются постоянными, никаких операций, кроме четырёх действий арифметики (сложение, вычитание, умножение, деление). Из числа рациональных функций целыми') называются такие, значения которых можно получить из переменной х и постоянных чисел посредством не более чем трёх операций: сложения, вычитания и умножения. Упоминание о вычита- вычитании не обязательно, так как вычесть число или буквенное выраже- выражение— значит прибавить его, предварительно умножив на—1. Те рациональные функции, которые не являются целыми, носят назва- название дробных. Примеры целых рациональных функций: *+ 4 (= cos B arccos х) (= 2ха — 1) 3). Примеры дробных рациональных функций: Методом полной математической индукции легко установить: 1) Всякая целая рациональная функция Р (х) может быть пред- представлена в виде многочлена, расположенного по убывающим сте- степеням х: P(x) = axn-\-bxn-l-\- ... -\-kx-\-l (а ^ 0; п — целое, ^ 0). Число п называется степенью многочлена Р (х). ') Вместо «целая рациональная функция» принято говорить короче «рацио- «рациональный многочлен», или «полином». s) Имеется в виду арифметическое значение корня. 3) Ограничение | х | sSS 1 (которое кажется необходимым) будет снято в статье «Элементарные функции комплексного переменного»,, см. стр. 511.
42 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 2) Всякая дробная рациональная функция /?(лг) может быть представлена в виде отношения двух многочленов, расположенных по убывающим степеням х (без общих множителей): Под степенью дробной рациональной функции понимают наи- наибольшую из степеней числителя Р(х) и знаменателя Q(x)i). При доказательстве предложения 1) индукция производится по числу операций. Обозначим это число через N. Заметим предварительно, что а) сумма, б) разность, в) произведение двух многочленов, расположенных по убываю- убывающим степеням х, могут быть также представлены в виде многочлена, распо- расположенного по убывающим степеням х. Допустим теперь, что предложение 1) справедливо для всякой целой рациональной функции, «составленной из переменной х и постоянных посредством N операций, и докажем, что оно будет справедливо также для целой рациональной функции, «составленной» таким же образом посредством N-\- 1 операций. Последняя (N-\- 1)-я опера- операция, указываемая выражением, с помощью которого задана наша функция, не может быть ничем иным, как только сложением, вычитанием или умно- умножением; но так как каждая из двух целых рациональных функций, над кото- которыми нужно произвести названную операцию, «составлена» не более как из N операций, то каждая из иих может быть представлена в виде многочлена, расположенного по убывающим степеням х. Значит, на основании предвари- предварительного замечания данная функция также может быть представлена в виде многочлена, расположенного по Степеням х. Остаётся заметить, что для случая N= 1 утверждение, очевидно, спра- справедливо. Предложение 2) доказывается также посредством индукции, но уже по числу делений. Предварительно нужно заметить, что а) сумма, б) разность, в) произведение, г) отношение двух дробей, у которых числитель и знаме- знаменатель — многочлены, также могут быть представлены в виде дроби того же вида. § 7. Целые положительные степени Рассмотрим графики функций х, х\ ха Xй, ... A) График Gi функции у = х B) — совокупность точек, у которых абсцисса равна ординате, пред- представляет собой биссектрису первого и третьего координатных углов, ') Следует не упускать из виду различие между степенью рациональной функции и порядком алгебраической кривой — графика этой функции (см. ниже § 17). С геометрической точки зрения порядок кривой есть максималь- максимальное число точек её пересечения с произвольной прямой, а степень функ- функции— максимальное число точек пересечения её графика с произвольной горизонтальной прямой (включая н емнимые» точки пересечения). Для целых функций степень и порядок графика совпадают, для дробных они могут различаться. Например, дробная функция у = первой степени, а её график—гипербола — кривая второго порядка.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 43 т. е. прямую линию, проходящую через начало О и образующую угол в 45° с осью Ох (рис. 13, а). График Ga функции у = х* C) (рис. 13, б) носит название параболы. (В расширенном смысле пара- параболами называют иногда графики произвольных рациональных мно- п I X В) Рис. 13. гочленов.) Он симметричен относительно оси Оу, так как функ- функция xi — чётная. Он весь лежит в верхней полуплоскости (так как ха :>= 0), кроме одной точки — начала О, вершины параболы, в кото- которой кривая пересекается со своей осью симметрии. Функция х,— очевидно, возрастающая; значит, при х~^>0 функция х9— также возрастающая. Напротив, при х <^ 0 она — убывающая по свойству симметрии (или вследствие предложения 4' на стр. 38). Чтобы выяснить взаимное расположение графиков B) и C), рассмотрим разность х* — х. Разлагая её на множители X ' "~ X — X IX ' " 1J} видим, что графики G2 и Gl имеют две общие точки: начало О @, 0) и точку Р A, 1). При этом, если х^> 1, то х8-—х^>0, так что G2 лежит выше G,; если 0<^л-<^1, то ха — х<^0 и G2 ниже G,; если х <[ 0, то ясно, что G2 выше Gx. При очень малых значе- значениях | х | отношение ^=х X очень мало по абсолютной величине, и потому около вершины кри- кривая тесно примыкает к горизонтальной оси («касается» её, см. стр. 309). При очень больших значениях \х\ это отношение, напротив, очень велико, что говорит о быстром возрастании х*. График Go функции y = tf D)
44 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО («кубическая парабола») имеет центр симметрии О (рис. 13, в), так как функция хя — нечётная. Подобно G,, он расположен в первом и третьем квадрантах. С графиком Ga он имеет общие точки ОиР, причём лежит ещё ниже его в промежутке 0<^х<^1 и ещё выше Рис. 14. его в промежутке ! <Сх<^по. Около начала О он примыкает к оси Ох ещё теснее, чем G2 (в точке О имеется «касание второго порядка», причём касательная пересекает кривую); при неограниченном возра- возрастании х функция х3 растёт еще быстрее, чем ха. Обозначая вообще через О„ график функции у=хп (при любом целом положительном л), можно установить, что он про- проводит через точки О и Р\ при п чётном он имеет ось симметрии Оу
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 45 и располагается в первом и втором квадрантах, а при п нечётном имеет центр симметрии О и располагается в первом и третьем квадрантах. В промежутке 0<^х<^1 значения функций A) при данном значении х образуют убывающую геометрическую прогрес- прогрессию: из последовательности графиков G,, G2, G3 Gn, . . . E) каждый следующий лежит ниже предыдущего, всё теснее примыкая к горизонтальной оси; в промежутке 1 <^ х <^ оо эти же значения образуют возрастающую геометрическую прогрессию, и из графи- графиков A) каждый следующий лежит выше предыдущего. На рис. 14 изображены графики функций х, xi, x3, xi, xs, Xе из совокупности A). § 8. Многочлены первой степени (линейные функции) Линейная функция имеет общий вид у = ах-\-Ь {а ф 0). F) Из уравнения видно, что её график может быть получен из графика прямой у = х посредством растяжения в \а\ раз по направлению оси Оу, с последующим (в случае а <^ 0) симметричным отражением относительно оси Оу и затем — перенесением параллельно оси Оу на отрезок, равный Ъ. В самом деле, рассмотрим последовательно графики уравнений 1) у = х, 2)у = \а\х, 3) у = ах, 4) у = ах -\- Ъ. График 1) нам известен: это — биссектриса 1-го и 3-го коорди- координатных углов. Уравнению 2) можно придать вид -р-у =.*;, откуда ясно (см. § 3, III. б), что его график получается из графика 1) посредством растяжения в \а\ раз по направлению оси Оу. Гра- График 3) в случае а ^> 0 ничем не отличается от графика 2); в случае а <^ 0 уравнению 3) можно придать вид у = — | а | х или (—-_у) = j <г | .хг, откуда ясно, что график 3) получается в этом случае из графика 2) посредством симметричного отражения относительно оси Ох. Нако- Наконец, легко понять (§ 3, II. б), что график 4) получается из гра- графика 3) посредством перенесения параллельно оси Оу на отрезок, равный Ъ'). *) В дальнейшем рассуждения, подобные предыдущему, будут опускаться, и вместо них будут приведены лишь ссылки на пункты § 3,
16 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Запись показывает, что график уравнения F) может быть также получен посредством перенесения графика у = х параллельно оси Ох на отрезок, равный ( ) , и последующего растяжения в \а\ раз по направлению оси Оу, с симметричным отражением (в случае а <^ 0) относительно оси Ох. Так или иначе, ясно, что график линейной функции F) — наклон- наклонная (т. е. не параллельная ни одной из координатных осей) прямая линия. Коэффициент а в уравнении F) называется наклоном (или подъёмом) прямой: его называют также угловым коэффициентом. Он представляет собой тангенс угла, который прямая образует с положительным направлением оси Ох: действительно, если о= 1, это очевидно, так как в этом случае упомянутый угол составляет 45°; с другой стороны, при растяжении в | а | раз по направлению оси Оу тангенс увеличивается во столько же раз, а при отражении отно- относительно оси Ох меняется знак как угла, так и его тангенса. Свободный член b представляет собой значение функции при х=0, т. е. «отрезок, который прямая отсекает на оси Оу», или, точнее, ординату точки пересечения прямой с этой осью. Что касается точки пересечения с осью Ох, то её абсцисса равна (— А) . Рассматриваемая функция, как легко понять, — возрастающая, если а ^> 0, и убывающая, если а <^ 0. В случае а= 0 линейная функция сводится к постоянной («мно- («многочлен нулевой степени»); её график — прямая, параллельная оси Ох. § 9. Многочлены (трёхчлены) второй степени Трёхчлен второй степени имеет общий вид: у = ах* -\- Ъх -\-с {аф 0). G) Выполним в правой части следующие преобразования: вынесем а за скобки, затем «выделим точный квадрат». Запись показывает, что график уравнения G) получается из параболы у=х* посредством последовательного выполнения следующих преобразо- преобразований: 1) перенесения параллельно оси Ох на отрезок I— ~о~I
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 47 2) перенесения параллельно оси Оу на отрезок —ji— '• 3) растяжения в | а \ раз по направлению оси Оу с отражением (в случае а <^ 0) относительно оси Ох. Уравнению G) можно также придать вид . lac — b* ,_ч и отсюда следует, что возможен иной план преобразований: 1) перенесение параллельно оси Ох \\А отрезок (— — ), 2) растяжение в | а | раз по направлению оси Оу с отражением (в случае а <^ 0) относительно оси Ох, 4ас bs 3) перенесение параллельно оси Оу на отрезок —j . Таким образом, график трёхчлена второй степени, заданного общим уравнением G), есть парабола, конгруэнтная параболе у=\а\х*. получающейся из основной параболы у = А'2 посредством растяже- растяжения в | а | раз по направлению оси Оу. Независимо от описанных геометрических преобразований, из записи (8) или (9) видно (см. § 5), что в случае а ^> 0 функция адг2 -|- Ъх -\- с при х <^ я— убывает, при х^>— 0— возрастает, в точке х — — -S— имеет минимум, значение которого равно —т—; в случае а<^0, напротив, при х<^ — ^- она возрастает,при х^> — ^~ b убывает, в точке х=—-=— имеет максимум, значение которого 4сг — *s равн0 4а • При условии, что b отлично от нуля, перенесение параболы совершается влево, если знаки Ъ и а одинаковы; вправо — если эти знаки различны. При Ъ, равном нулю, горизонтальное перенесение отсутствует. Вертикальное перенесение отсутствует в том случае, если выра- выражение D = 4ас — ?2 (дискриминант трёхчлена) оказывается равным нулю; тогда, как показывает формула (8) или (9), функция ах* -}- Ьх -\- с сохраняет при всех значениях х, кроме х = — у- , один и тот же знак, именно — тот же, что и коэффициент а, и лишь при х = — -~- обращается в нуль. Парабола касается оси Ох.
48 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Если D положительно, то сумма в квадратных скобках в фор- формуле (8) при всех значениях х положительна, н значит, наша функ- функция сохраняет тот же знак, что имеет а, при всех значениях х без исключения. Парабола не пересекается с осью Ох. Если D отрицательно, то выражение в квадратных скобках можно рассматривать как «разность квадратов», и тогда, полагая — Ь — — 4ас Та Та можно представить трёхчлен в виде произведения Ъх -\- с = а (х — х,) (х — х2) (x Отсюда видно, что трёхчлен обращается в нуль в точках х = лг]1 и х = х%. Значит, парабола в этих двух точках пересекает ось Ох. Что касается знака трёхчлена, то он не при всех значениях х один и тот же: в случае а^>0 знак положителен при х^>х2 и х<^х1г и отрицателен при х1 <^х <^ дг8; при а <^0—наоборот. Вс*ё это легко истолковывается геометрически. § 10. Многочлены третьей степени Общий вид многочлена третьей степени: у = ах3 -f bx* -f- ex -f- d (ajbO). Вынесем а за скобки и «выделим точный куб» A0) 1 ** bs где ради краткости положено а 3 cs ' U ~ a 3 ca "T 27 e» " Далее, в случае D фЪ можно преобразовать данное выражение ещё следующим образом: причём следует перед вторым членом взять знак -J- или —, смотря по тому, будет ли D ^> 0 или D < 0.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 49 Если же D = Q, то формула A1) принимает вид Глядя на формулы A2) и A3), можно сделать заключение, что посредством элементарных преобразований (см. § 3, I—III) график данного многочлена третьей степени общего вида может быть по- получен из графиков следующих простейших многочленов: (а) у = х3-\-х, (Т) У = х*. Именно, в случае /5^0 данный график получается из графиков (а) или (Р) (смотря по тому, будет ли D ^> 0 или D <^ 0) посред- посредством следующих преобразований: 1) растяжения в -\f\D\ раз по направлению оси Ох, 2) перенесения параллельно оси Ох на отрезок (— ~\г D' 3) перенесения параллельно оси Оу на отрезок р-, 4) растяжения в | а | • | D |3/* раз по направлению оси Оу, с от- отражением (в случае а <^ 0) относительно оси Ох. В случае же /5 = 0 рассматриваемый график получается из гра- графика (y) посредством 1) перенесения параллельно оси Ох на отрезок (—=-), 2) перенесения параллельно оси Оу на отрезок D', 3) растяжения в ] а | раз по направлению оси Оу, с отражением (в случае а<^0) относительно оси Ох. Итак, чтобы отдать себе отчёт в расположении графиков функций вида A0) и в случае надобности провести их элементарное иссле- исследование, достаточно рассмотреть кривые (а) и (C); что касается кривой (y), то о ней уже было сказано раньше (см. § 7). Обе функции (а) и ($) — нечётные, так что графики их (рис. 15) симметричны относительно центра О. При х^>0 функция (а) — возрастающая (см. § 5), и вё график, очевидно, лежит выше прямой у=х, тесно к ней примыкая около начала О (касаясь её в этой точке). Поведение графика (р) сложнее: разложение на множители х3 — х = х (х — 1) (х -|- О показывает, что имеются пересечения с осью Ох в точках дг = О, х=1 и х = —1. Ограничимся рассмотрением положительных зна- значений х. Мы видим, что х3—лг^>0 при х^>1, по х3 — лг<0 при ><1. 4 Энциклопедия, кн. 3.
50 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Вместе с тем непосредственно ясно, что график лежит выше прямой у = — х и касается её в начале координат. Из преобразо- преобразования %{У (+-?=) • A4) можно заключить, что при х=-у= функция имеет минимум, рав- / 2 \ 1 ный I —); отсюда же видно, что она возрастает при х^>—?= (см. § 5). fa) -1 // г / / У, i 0 -i • I / / X Рис. 15. Доказать элементарно, что функция f(x) = xt — х убывает в промежутке 0 < х < ¦ , можно проще всего, основываясь непосредственно на онре- делении. Считая, что величины и удовлетворяют неравенствам 0 sg х1 < х" ¦¦ так что мы получаем = № -f ЛK — (л: + й)] - (х3 - л:) = - h {1 - (Зл* + 3hx + Л4)},
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 51 и так как 1=-л)+л* = = 1_Л|/ + Л8=1—Л(|/ —Л)<1, то выражение в фигурных скобках положительно и, следовательно, разность f(x")—f(x') имеет знак, противоположный знаку Л = х"—х'г). § 11. Биквадратные многочлены Из многочленов четвёртой степени мы остановимся только на биквадратных, т. е. на многочленах вида у = ах*-\- bx*-\-c (a ^ 0). A5) Такие многочлены — чётные функции: их графики симметричнм относительно оси Оу. Как показывает преобразование в случае b Ф 0 график многочлена A5) получается из кривых (а) у=хк-\- дг9, посредством одних лишь растяжений по направлению обеих осей и перенесения параллельно оси Оу (с отражением относительно оси Ох или без отражения); в случае Ь = 0 то же получается, очевидно, из кривой (Т) У = ^- Так как функции дга и дг4 положительные и возрастающие при , причём графики их в начале О касаются оси Ох, то и функ- функция (а) — их сумма — обладает теми же свойствами (рис. 16). Что касается функции (р), то она, как видно из разложения дг4 — х* = х*(х— 1) (дг-f 1). обращается в нуль в точке дг = О (график касается оси Ох) и в точках лг = ±1 (см. рис. 16). Далее, функцию (а) можно представить в виде у = ер (лг9), где положено ер (и) = ця — и. При возрастании и от О до -^ функция ') В предыдущем изложении не указано, откуда взялось преобразова- преобразование A4). Это свидетельствует об искусственном характере употребляемого нами элементарного метода. Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что дифференциальное исчисление даёт единый и вполне естественный метод для нахождения максимумов и минимумов, а также чрезвычайно облегчает исследование изменяемости функций. 4*
52 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО ф(и) убывает от 0 до ^-, а при возрастании и от -к- до беско- бесконечности она возрастает от — х до бесконечности*); значит (см. § 5) У,, О (а) о х -л IP) при возрастании х(— j/m ) от 0 до —= функция у — ср(х*) убы- убывает от 0 до—j, а при возрастании jc от —^ до бесконечности — возрастает от т до бесконечности. § 12. Многочлены высших степеней Главная трудность при исследовании знака многочленов вида у = axn-\-bxn~l + ... -\-kx-\-l (а^0;/г^4) A7) заключается в их разложении на множители, что в свою очередь связано с нахождением всех (по крайней мере действительных) корней алгебраического уравнения axn-\-bxn-l-\-...-\-kx-\-l = Q. A8) Допустим (не ограничивая существенно общности), что старший коэффициент а равен 1. Из алгебры известно, что после объединения попарно-сопряжен- попарно-сопряженных множителей рассматриваемый многочлен может быть представлен в виде произведения У = {х— ol)x(jc — $Y{x — 7)v---(*a + /'* + ?)(\--. A9) где а, |3,... — действительные, различные между собой, корни уравнения, X, ji,... — их кратности (целые положительные числа), и трехчлены второй степени вида х^-\-px-\-q... имеют сопряжен- сопряженные мнимые корни. 1) В самом деле (см. § 9),
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 53 Так как трехчлены вида х*-{-рх-\-д постоянно сохраняют поло- положительный знак, то знак многочлена у зависит исключительно от знаков множителей вида (х— а)\ Предположим для определенности, что корни а, |3,... располо- расположены в порядке убывания: а^>|3^>у^>...; представим себе теперь, что независимая переменная х, постепенно убывая, проходит через значения х = а., х = $, ... Пока х больше, чем а, все множители нашего произведения положительны; значит, положительным остается и сам многочлен. Но когда х прошло через значение а, разность х — а становится отрицательной; сохраняет ли при этом множитель (х — а)* прежний знак или меняет его — зависит от того, является ли кратность X четным или нечетным числом. Так продолжается и дальше, при прохождении х через значение р и т. д. Из этих соображений вытекает такой результат, касающийся графика нашего многочлена: график располагается выше оси Ох при х^>иг, он расположен выше или ниже оси Ох при $<^х<^а, смотря по тому, является ли кратность X четной или нечётной. При Т<С-^<СР эт0 Уже зависит от чётности X —|— р- и т. д. Сумма сте- степеней всех множителей в формуле A9)X-)-ja-j-v-|-. ..-)-2р-(-... равна степени п данного многочлена. Если п — чётное, то левее наименьшего из корней (как и правее наибольшего) график лежит выше оси Ох; если п — нечётное, то левее наименьшего из корней он лежит ниже оси Ох. Это справедливо при любом положительном коэффициенте а; при отрицательных а всё происходит наоборот. Отметим, что в точках, являющихся простыми (т. е. первой кратности) корнями данного многочлена, график пересекает ось Ох без касания; в точках, являющихся корнями чётной кратности, имеет место касание без пересечения с осью; а в точках, являющихся кор- корнями нечётной кратности, начиная с третьей, имеет место касание с пересечением (как и для функции _у^х"). Строгое доказатель- доказательство читатель легко мог бы провести, пользуясь методами диффе- дифференциального исчисления. Возрастание и убывание многочлена общего вида поддаётся эле- элементарному исследованию лишь в частных случаях. Преобразование B0) показывает, что при неограниченном возрастании |л;| абсолютная величина функции у также возрастает неограниченно, и тем быстрее, чем больше степень п. При исследовании многочленов возможны упрощения в том слу- случае, если данный многочлен представляет собой чётную или не- нечётную функцию. Легко понять, что многочлен есть чётная функция переменной х в том (и только в том) случае, если он содержит лишь чётные степени х, и нечётная функция переменной х в том (и только в том) случае, если содержит лишь нечётные-степени х.
54 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 13. Целые отрицательные степени Рассмотрим теперь графики Glt G2, G3, , Gn, простейших дробных функций J J J J Начнем с функции J_ J_ J_ x ' xa ' x* ' "' возникающей при решении уравнения второго порядка ху=1. B2) Ее график (рис. 17, а) можно построить, исходя из графика прямой у=х, в соответствии с указаниями 6, § 2. Имеется центральная У У 1 —^-/ 0 \ V 1 ^ , а) -1 О -I х X В) Рис. 17. симметрия относительно начала координат О; имеется также сим- симметрия относительно прямой у = х (см. § 4); точка х = 0 — особен- особенная в том смысле, что ей не соответствует никакое значение у: на оси Оу нет ни одной точки графика. Эта точка называется «точкой разрыва» (см. гл. III, § 42); в ней функция у = — «теряет смысл». Пусть . Так как функция у==х — возрастающая, то функция у==—, являющаяся величиной, ей обратной, — убывающая. График проходит через точку A, 1); с неограниченным увеличе- увеличением х обратная величина — становится неограниченно малой — график приближается к оси Ох (как говорят, «асимптотически»); с неограниченным уменьшением х обратная величина — неограни- X ченно увеличивается — график, приближаясь к оси Оу, поднимается вверх, «уходит в бесконечность». Можно сказать иначе: уходя в бес-
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 55 конечность, график приближается к оси «асимптотически». Вслед- Вследствие симметрии кривая в целом состоит из двух «ветвей»: одна из них лежит в первом, другая в третьем квадранте (см. рис. 17, а). Название кривой — гипербола. Оси Ох и Оу— её асимптоты1). Перейдем к функции У = ^Г, B3) которая может быть рассматриваема как обратная величина по от- отношению к функции у = х*. Симметрии относительно биссектрисы у=х в данном случае уже нет; при х~^> 1 мы имеем х*^>х и —а-<^—, так что график G2 лежит ниже графика G, (теснее при- мыкает к оси Ох); при 0<^дг<^1 мы имеем, напротив, х*<^х и —а-^>—, так что Ga лежит выше G, (поднимается кверху быстрее). Вместо центральной симметрии имеется осевая симметрия относи- относительно оси Оу: таким образом, график G2 состоит из двух «ветвей>, расположенных соответственно в первом и втором квадрантах (рис. 17, б). Рассматривая следующие функции у = -~- и их графики О„ я = 3, 4, ... ; график функции у=— изображен на рис. 17,в), мы видим, что все эти функции, как и две уже рассмотренные, «теряют смысл» при х = 0, являются чётными или нечётными, смотря по чётности га, и при х~^>0 обладают общим свойством — убывать неограниченно при неограниченном возрастании х и возрастать не- неограниченно при его неограниченном убывании. Так как х "С х* "С -я8 <С • • • при дг^> 1 и х>лга>*3>... при 0<лг<1, то отсюда следует, что Геометрически всё это означает: каково бы ни было га, в пер- первом квадранте кривая Gn+1 при х^> 1 лежит ниже кривой О„, а при •) См. Э.э. м., кн. 4, Геометрия, ч. 1, статья «Элементы аналитической геометрии».
56 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 0<^jc<^1 — выше Gn. Все они «асимптотически» приближаются к осям Ох и Оу (рис. 18). Н 1_? 3 х 2 у^ 5 6 y~ Рис. 18. Каждая из кривых О„ имеет ещё вторую ветвь, симметричную первой (относительно Оу или О) и лежащую, смотря по чётности п, во втором или третьем квадрантах (см. рис. 18). Кривые О„ (п = 3, 4, ...) иногда называются гиперболами выс- высших порядков. § 14. Дробные линейные функции Предположим, что данная дробь B4) Jf~ cx + d несократима (ad — be ф 0) и не сводится к целой линейной функ- функции (с ф 0). Тогда, выделяя целую часть и вынося затем за
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 57 скобки коэффициент при х в знаменателе, ей можно придать вид a ad— be <25> Эта запись свидетельствует о том, что график функции —i-= СХ —I— CL можно получить из ных преобразований: можно получить из графика — посредством следующих элементар- X 1) растяжения в ad— be раз в направлении оси Оу, с отра- с* жением (в случае ad— bc^>0) относительно оси Ох, 2) перенесения параллельно оси Ох на отрезок, равный I—¦—), 3) перенесения параллельно оси Оу на отрезок, равный —. Таким образом, уравнение B4) также представляет гиперболу (обыкновенную, второго порядка). Функция J~. «теряет смысл» (не имеет никакого значения, перестает «существовать») в точке х = . В промежутках / d\ I d , \ I — оо, 1 и I , -|-оо] она сплошь возрастает (если ad — be ^> 0) или сплошь убывает (если ad — be <^ 0)'). При не- II j. ax + b ограниченном увеличении \х\ значения функции —лГТ неограни- неограниченно приближаются к —: это видно из преобразования B5) или, С проще, из преобразования ах Точка [ , —1 (не принадлежащая кривой!) представляет со- собой её центр (центр симметрии); прямые х = и у = её асимптоты. Итак, для нахождения асимптот кривой B4) достаточно выполнить преобразование B5). •) Мы будем пользоваться сокращённым оборотом речи «функция воз- возрастает (или убывает) всюду, кроме точки разрыва».
58 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 15. Дробные функции второй степени Исследование изменяемости несократимых дробей вида 0>.> B6) удаётся провести элементарными методами, хотя выполняемое при этом тождественное преобразование частично носит более или менее искусственный характер. Если йфЪ, то следует сначала исключить целую часть из дроби, затем вместо остающейся дроби ввести ве- величину, ей обратную: са 1¦ dx* + ex +f~ d "T" A (dx* + ex +/) (оба выражения bd— ae и cd— af не обращаются одновременно в 0, иначе данная дробь не была бы несократимой). Дело сводится, таким образом, к исследованию дроби, у которой числитель — многочлен второй степени, а знаменатель — первой степени. То же самое мы имели бы, допустив сразу, что d = 0. Итак, рассмотрим дробь вида + пх+р _ •* rx + s ' причем допустим, что т ф 0 и г ф 0. Мы исключаем, таким обра- образом, случаи, уже рассмотренные раньше (§§ 14 и 9). Вынося за скобки г и положив мы можем расположить числитель по степеням х — аа): m (х — af + Bma + п) (х — а) + (та* + па + р) У— г{Х-а) Затем выделим целую часть, вынося - за скобки: = 21(^_а)-|-Bа-1-JLj-l IL——2LJ. B9) •) Запись a--{-dt^z0 нужно понимать в её точном смысле: она озна- означает, что хотя бы один из коэффициентов and отличен от нуля. s) Для этого проще всего, введя новую переменную х±, связанную с х равенствами х^ = х — а, х = х^-{-а, расположить числитель по степеням х^.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 59 Величина А = а9 -|- — а -|—?- отлична от нуля1), но возможны два разных случая: I Л<0 и II Л>0. В случае I мы придадим формуле B9) вид 2та + п . mVJA\ / х-а г ^ г \УТА\ откуда ясно, что график уравнения B8) в этом случае получается из графика уравнения У=*~ 0) посредством последовательного выполнения следующих преобразо- преобразований: 1) растяжения в ]/| А | раз по направлению оси Ох, 2) растяжения в " " '—L раз по направлению оси Оу, 3) перенесения параллельно оси Ох на отрезок а = , 4) перенесения параллельно оси Оу на отрезок ——. В случае же II, имея в виду, что | А \ = А, мы напишем: откуда ясно, что график B8) в этом случае посредством тех же преобразований, что и раньше, получается из графика У = * + ^- (И) Рассмотрим подробнее графики (I) и (II). Уравнению (I) можно придать вид y У X или C0) Функция (I) обращается в нуль в точках дг=1 и х = — 1 и теряет смысл (имеет «разрыв») в точке лг = О (рис. 19, а). Иссле- J) Действительно, а есть корень знаменателя дроби B8); если бы было ma2 -f- па -\- р = 0, то а было бы также корнем числителя, и тогда дробь была бы сократима на х — а.
60 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО дование её знака не представляет затруднений. Так как функ- функция х—всюду возрастающая, а функция I — — ] — возрастающая всюду, кроме точки разрыва х = 0, то из формулы (I) следует (§ 5, п. 3), что и о функции х также можно утверждать, что она — возрастающая всюду, кроме точки разрыва х = 0. 0/ У /\ Рис. 19. Что касается функции, заданной уравнением (II), то она также имеет разрыв в точке л; = 0, но в нуль нигде не обращается (рис. 19,б). Чтобы исследовать её изменяемость при х~^>0, при- придадим уравнению (И) вид I 1 \ О C1) Эта запись показывает, что данная функция в точке х= 1 прини- принимает значение 2, при всех же прочих положительных значениях х принимает значения, большие чем 2; следовательно, она имеет ми- минимум в точке jc=1. Вместе с тем, так как в промежутке l^-tf-^оо функции -\[х и [ —)—возрастающие (§ 5, п.п. 8, V Vxl 7, 6, 3), то и сумма их ух ——также возрастающая; так как, г- 1 Y кроме того, ух —т-= ]>0, то возрастающей является (§ 5, п. 5) ух I _ 'i \a и функция [ух j=] , следовательно, и функция, заданная ура- \ у х] внением C1), т. е. х-\ . Аналогично устанавливается, что функ-
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 61 ция х-\~ убывает в промежутке 0<^лг<^1: нужно только уравне- уравнению (II) придать вид (^/^)а C2) Необходимость подробного исследования отрицательных значе- значений х устраняется для функций (I) и (II) тем, что обе они — не- нечётные, откуда следует симметрия графика относительно центра О. Нужно отметить еще присутствие в обоих случаях наклонной асимптоты у=х (см. рис. 19, а и б); это значит, что при неогра- неограниченном возрастании х разность ординат Ijc±—)—х неограни- неограниченно убывает. Мы полностью выяснили поведение функций вида B8), т. е. функций вида B6) с ограничением ef = O. Чтобы исследовать общий случай, достаточно констатировать, ссылаясь на формулу B7), что график функции общего вида B6) получается из графика функции вида B8) (в случае bd — ас^? 0) или функции вида -{-с (а ^ 0) (в случае bd — ас = 0, cd — af ф 0) посредством следующих пре- преобразований: 1) нужно от графика данной функции перейти к графику функ- функции, представляющей величину, ей обратную (см. § 2), 2) затем выполнить перенесение параллельно оси Оу на отре- а зок ч. Тем самым с помощью (§ 5, 1—9) определяется характер изме- изменяемости рассматриваемой функции. Исследование знака этой функции, а также определение тех точек, где она обращается в нуль или терпит разрыв, — все это не представляет затруднений, если только 'степень числителя и знаменателя не выше чем 2. Пример 1. *=-*=?=*• C3) Запись (х + 2)(х-2) у (х позволяет установить, что график пересекает ось Ох в точках х = — 2 и х = -\-2 и имеет разрывы в точках х = — 1 их = 3; оиа же даёт возмож- возможность исследовать знак у. Кроме того., из записи 1~ х»
62 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО видно, что при неограниченном увеличении |л;| величина^ приближается к 1; прямая у = 1 является асимптотой. Сделав дополнительно к этому 2—3 то- точечные подстановки, мы намечаем график, изображённый на рис. 20. Рис. 20. Однако для того, чтобы убедиться в том, что функция C3) всюду, кроме двух точек разрыва, убывает, нужно прибегнуть к изложенной выше теории. Следуя ей, мы приходим к записи , ¦ 2 (-l)' и тогда для получения нужного заключения остаётся непосредственно со- сослаться на теоремы § 5. Пример 2. У= х» — х Рис. 21. Числитель и знаменатель всегда положительны; следовательно, всегда 0. Прямая .у=1—асимптота, как и в примере 1. Изложенная теория
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ приводит к записи 63 1 1 Функция х -\ убывает при | х | < 1 (кроме точки разрыва) и возра- возрастает при | х | > 1; отсюда следует, что функция у возрастает при | х | < I и убывает при |х|> 1, но никаких разрывов у неё уже нет (рис. 21). Пример 3. 1 X Знак функции всегда положителен; характер изменяемости следует не- непосредственно нз теорем § 5 (рис. 22). Пример 4. 1 Рис. 23. Знак функции меняется при х = ± 1 (рис. 23); для исследования изме- изменяемости достаточно согласно теории выделить целую часть: у=\
64 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 16. Дробные рациональные функции (общий случай) Всякая дробная рациональная функция у = /? (лг) может быть представлена в виде отношения двух многочленов, не имеющих общих корней, где P{x) = axn-[-bxn-1-{- .. = a{x-a.f (*—p)" ... Q (jc) = a'x"' + fe'jc"'-1 -f ... -f- A'jc + Л = Возникающие при разложении на множители трёхчлены второй степени с мнимыми корнями х*-\-рх-\-q, лг2-|-р'х-{-q', ... всегда сохраняют положительный знак. Все корни числителя и знамена- знаменателя предполагаются различными. Старшие коэффициенты а и а' (несущественно ограничивая общность) можно для простоты при- принять равными единице. Итак, *{х) C4) Представим себе, что числа а, р, ..., а', Р' являющиеся действительными корнями числителя и знаменателя, будучи распо- расположены в порядке возрастания, разбивают ось Олг на некоторое число промежутков. Взяв какое-нибудь значение х в одном из про- промежутков, легко сосчитаем, с учётом кратности, число множителей в числителе и знаменателе дроби, имеющих отрицательный знак при этом значении х: знак функции будет тот или иной в зави- зависимости от чётности этого числа. Названное число множителей равно числу действительных корней числителя и знаменателя не- нечётной кратности,., превышающих рассматриваемое значение х: оно, очевидно, не зависит от выбора значения х в данном промежутке и зависит, таким образом, только от промежутка. Исходя из этого соображения, можно сразу разметить знаки, соответствующие про- промежуткам, представляя себе, что лг убывает от -J- оо до — оо, и учитывая, что знак функции меняется при прохождении х через всякий действительный корень нечетной кратности в числителе и знаменателе. Если а и а' не равны между собой, то перед дробью в фор- формуле C4) появляется числовой коэффициент: будучи положитель- положительным, он не влияет на знак функции (вызывая растяжение графика функции в направлении оси Оу); будучи отрицательным, даёт про- противоположное распределение знаков (к растяжению присоединяется отражение относительно оси Ох).
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 65 Выясним подробнее расположение графика в окрестности такой точки, в которой функция меняет знак. Объединяя вместе случаи, когда такая точка оказывается корнем числителя или корнем знаме- знаменателя дроби в формуле C4), придадим этой формуле вид где ?—рассматриваемый корень одного из многочленов, |о| — его кратность, Rt(x)— произведение всех прочих множителей (с поло- положительными и отрицательными степенями). Если \ — корень числителя, т. е. о^>0, то функция R(x) при x = !! принимает значение нуль, и получается точка графика на оси Ох; график в этой точке касается оси или пересекает ') ось счетное. сй, енечртноеал ЯДРО С<0. счетное. онечетное. ЯДЫ счетное. CHi'vemnoeMJ, счетное. 0<О. о нечетное Я Д й) б) Рис. 24. в зависимости от того, будет ли о чётным или нечётным. Если ещё обратить внимание на то, что возможен тот или иной знак Rx (?), то становится ясным, что имеет место одно из четырёх расположе- расположений, схематически указанных на рис. 24, а. В случае, если о<^0, т. е. Е есть корень знаменателя (и, сле- следовательно, «точка разрыва» функции R (х)), соответствующие че- четыре расположения показаны на рис. 24, б. Чтобы выяснить вопрос о «поведении кривой на бесконечности», достаточно разделить числитель и знаменатель данной дроби на xN, где N— наибольшее из чисел лил' (степеней числителя и знаменателя). Оказывается, чго при неограниченном возрастании \х\: 1) если п<^п', кривая асимптотически приближается к оси Ох, ') Пересекает без касания, если о=1; пересекает с касанием, если = 3, 5, ... 5 Энциклопедия, ьн. 3.
66 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 2) если п = п', то она имеет горизонтальную асимптоту 3) если п^>п', то \у\ неограниченно возрастает при увеличе- увеличении \х\, при этом в случае п^п'-\-2 прямолинейных асимптот нет, а в случае п = п' -f- 1 имеется наклонная асимптота, уравнение ко- которой легко составляется посредством исключения целой части из дроби. Например, кривая как видно из записи х-+х+1г имеет асимптоту у — 2х-\-\. § 17. Алгебраические иррациональные функции Целой рациональной функцией (многочленом) от двух пере- переменных лг и у называется такая функция, значения которой мо- могут быть получены из значений этих переменных и из постоянных чисел посредством не более чем трёх операций — сложения, вычи- вычитания и умножения. Если Р(х, у) — такая функция, то уравнение Р{х, у) = 0 C5) (называемое алгебраическим) определяет алгебраическую функциональную зависимость между лг и у. Предположим, что некоторая функция, однозначная или много- многозначная, y=f(x) C6) в некотором промежутке удовлетворяет уравнению вида C5) то- тождественно относительно х: Тогда функция C6) называется алгебраической. Например, функция у = |/1 — Л'2 — алгебраическая, так как в промежутке— 1 ^ .у^ 1 удовлетворяет уравнению х*-\-у* = \ '). Всякая рациональная функция (в том числе и целая) является алгебраической. Действительно, из соотношения См., впрочем, стр. 214.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 67 где Р{х) и Q{x)— многочлены (целые рациональные функции) от- относительно х, следует соотношение Q{x)y — P(x) = Q, причём его левая часть есть целая рациональная функция относи- относительно переменных хну. Многочлены от двух 'переменных х и у, как и многочлены от одной переменной, классифицируются по степеням. Необходимо только указывать, имеются ли в виду степени многочлена относи- относительно переменной лг или относительно у, или относительно с о- вокупности переменных х и у; в последнем случае 1) степенью отдельного члена называется сумма степеней х и у, в него входящих, 2) степенью многочлена называется наибольшая из степе- степеней отдельных членов. Например, многочлен Р{х, у) = х*-\-Зх*у3—у* — степени 5 относительно х, степени 4 относительно у и степени 8 относительно совокупности х и у. Если левая часть уравнения C5) — степени п относительно со- совокупности переменных х и у, то говорят, чго само уравнение, а также его график — порядка п. Из предыдущего ясно, что всякая рациональная функция Р(х) у= ^. ! удовлетворяет алгебраическому уравнению первой степени относительно^. Но это не означает, что всякое уравнение, которому удовлетворяет рациональная функция, непременно должно быть первой степени относительно у. Например, рациональная функция у = х удовлетворяет уравнению второй степени относительно у У*=*. C7) а также уравнению третьей степени относительно у У = *3; C8) при этом уравнению C7) удовлетворяет также другая рациональ- рациональная функция у =— х; но уравнению C8) не удовлетворяет ника- никакая функция, кроме _у=л\ Те алгебраические функции, которые не являются рациональ- рациональными, называются иррациональными. В качестве простейших примеров иррациональных алгебраи- алгебраических функций можно указать у=/х или ') В этом параграфе и дальше, если не сделано оговорки, радикалы по- понимаются в алгебраическом смысле: это значит, что в случае чётного показателя при радикале подразумевается двойной знак. 5*
68 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕГОННОГО Если мы хотим доказать иррациональность данной функции, то нам нужно установить, что её нельзя представить в виде отно- отношения двух многочленов. Как всякое доказательство невозмож- невозможности, оно связано с известными трудностями. Читателю можно порекомендовать попытаться найти доказательство иррациональ- иррациональности днух приведённых выше функций, строя ею по образцу из- известного доказательства иррациочальносги числа \/2 и опираясь при этом на лемму: если квадрат многочлена делится,на х (или на jc'2-j-1), то и сам многочлен делится на х (или на лг2-|-1). § 18. Примеры исследования алгебраических функций Рассмотрим несколько характерных примеров. Пример 1. Функция y=\fx (*=а=0) C9) является обратной по отношению к функции у =х°. В самом деле, она удовлетворяет уравнению У —лг = О. D0) Поменяв местами х и у (см. § 4), получаем уравнение у — я* = 0, D.1) которое нами уже было исследовано (§ 7). График уравнения D1) — парабола с осью Оу и першиной О, расположенная в верхней полу- Рис. 25. пчоскости (см. рис. 13, б). График уравнения D0) получается из графика D1) посредством преобразования симметрии относительно биссектрисы у = х: это — парабола с осью Ох, расположенная d правой полуплоскости (рис. 25, а).
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 69 График D1) в вершине О имеет горизонтальную касательную (ось Ох); график D0) в той же вершине имеет вертикальную ка- касательную (ось Оу). Уравнение D0) определяет двузначную функцию у, поэтому в формуле C9) естественно понимать радикал в алгебраическом смысле — с двойным знаком. Если взять только знак «-|-» (ариф- (арифметическое значение радикала), то в качестве графика получим «половину» параболы, лежащую в верхней полуплоскости; анало- аналогично для знака « — ». Пример 2. Подобным же образом функция — обратная по отношению к функции у=х3. D3) График D3) — кубическая парабола с вершиной О, проходящая в первом и третьем квадрантах и r точке О касающаяся оси Ох (см. § 7; рис. 13, в). График D2) — симметричная ей (относительно биссектрисы у = х) парабола; у неё та же вершина, и она прохо- проходит через те же квадранты, но в вершине О имеет вертикальную касательную Оу (рис. 25, б). Обе функции D3) и D2) однозначны и определены для всех значений х. Пример 3. Вообще при любом целом положительном п функция У=У* ' D1) является обратной по отношению к функции у = хп. D5) Графики функций D4), получающиеся по симметрии из графиков функций D5), имеют в точке О вертикальную касательную и при- примыкают к ней тем теснее, чем больше п. Расположение кривой при любом чётном п — такое же, как при п =2; при любом нечётном п — как при и = 3. Пример 4. Рассмотрим произвольную рациональную степень y=xt [рфд), D6) или у=У& D7) где р и q — целые положительные числа, не имеющие общих мно- множителей. Эта функция удовлетворяет уравнению х"—у^ = 0. D8)
70 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТРЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Ограничиваясь рассмотрением положительных значений х и у, заметим, что отношение при неограниченном приближении х к нулю само либо неограниченно убывает, либо, напротив, неограниченно возрастает, —смотря по тому, будет ли — ^> 1 или — геометрически это означает, что, приближаясь к началу координат в пределах первого квад- квадранта, график либо примыкает к оси Ох (рис. 26, а), либо — к оси ¦jj>l--pug-clia нечётные У\ i а) У. 0 • р-нечётнпе,д-чётное О -q<l:puq- оба нечетные ¦q- <1;р-чётное, q-нечетное ~д < 1;р-нечётное, а- чётное 6) Рис. 26. Оу (рис. 26, б) («касается» той или другой), смотря по тому, бу- будет ли показатель — больше или меньше единицы. При д:^>0 функция лг ч возрастает и тем быстрее, чем больше степень —. Что касается поведения графика в остальных квадрантах, то, глядя на уравнение D8), легко понять, что 1) если р и q — оба нечетные, то имеется симметрия относи- относительно центра О, так что график лежит в 1-м и 3-м квадрантах, 2) если р чётное, a q нечётное, то имеется симметрия относи- относительно оси Оу, так что график лежит в 1-ми 2-м квадрантах,
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 71 3) если р — нечётное, a q — чётное, то имеется симметрия отно- относительно оси Ох, так что график лежит в 1-м и 4-м квадрантах. Возможные случаи схематически изображены на рис. 26. Следует обратить внимание на наличие так называемой «точки возврата» в начале координат О в том случае, когда числа р и q— различной чётности, причём нечётное больше чётного. Пример 5. Функции у=х или y qr— * X хР (при целых положительных р и q) представляют собой величины, обратные по отношению к функциям, рассмотренным в предыду- р и q-нечётные p - чётное, q-нечётное р-нечётное, q- четное Рис. 27. щем примере. Ограничимся (ссылаясь на § 2, п. 6 и § 5, п. 7) приведе- приведением рис. 27, показывающего схематически возможные расположе- расположения графиков в окрестности точки jc = O. Пример 6. Функция У= Z17 D9) имеет график, симметричный графику функции D0) (см. рис. 25, с) относительно оси Оу. Пример 7. Функция удовлетворяет алгебраическому уравнению второго порядка E0) E1)
72 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО График этого уравнения — окружность радиуса 1 с центром в на- начале координат О (рис. 28); действительно, из уравнения видно, что расстояние точки М (х, у) от начала О равно 1. При растяжении в г раз по напра- направлениям осей Ох и Оу мы получим уравнение х*+у* = г\ E2) график которого — окружность радиуса г с центром О. Производя теперь пере- перенесения параллельно оси Од; на отрезок а и параллельно оси Оу на отрезок Ь, приходим к уравнению -Ь)* = г*, E3) Рис. 28. представляющему геометрически окружность радиуса г с центром (а, Ь). Пример 8. При растяжении в р раз по направлению оси Ох и в q раз по направлению оси Оу уравнение E1) примет вид E4) или графиком этого уравнения является эллипс с полуосями р и q (рис. 29). Уравнение E4) называется канониче- каноническим уравнением эллипса.При p=q=r получается окружность E2)радиусаг с центром О. Рис. 29. Пример 9. Преобразования IV а и IV б, рассмотренные в § 3, будучи применены соответственно к уравнениям 1 1 1 \/ ( \ i У -—v п 1 1 \р х /| 1 I а) х*— У = 1, у= i/3?^r (|*|^=1), E5) б) х°~— у = — 1, у= f/Jca + l, E6) в обоих случаях дают уравнение 2ху=1, и остаётся ещё сделать растяжение в j/2 раз по направлениям обеих осей, чтобы убедиться в том, что графики данных алгебраи-
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 73 ческих иррациональных функций — гиперболы (см. § 13, рис. 17). Расположение их указано на рис. 30, а и б. У\ п) 6) Рис. 30. Пример 10. Растяжение в р раз по направлению оси Ох и в q раз по направлению оси Оу от уравнений а) и б) примера 9 приводит к уравнениям ')?-?=-1, у=$ (графики — сопряжённые между собой гиперболы с полуосями р и q (рис. 31, а и б)). Рис. 31. Пример П. Функции 1 в) У = - Xs-1 1 E9)
74 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДРЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО удовлетворяющие соответственно уравнениям четвёртого порядка *V -f 1 =у*, *у =У -f 1, J»V + -У* = Ь представляют собой величины, обратные функциям E0), E5) и E6). Этим определяется характер их изменения. На рис. 32, а, б, в изо- У бражены соответственно графики E9) а), б), в) (сплошные линии) и для сравнения графики E0), E5) и E6) (пунктирные линии). Пример 12. У/1. F0) Освободившись от радикалов, приходим к уравнению второго порядка (* — .УJ+ 1=2(*+ у). F0') Оно определяет двузначную алгебраическую функцию F1) График имеет осью симметрии биссектрису у = х, так как уравне- уравнение F0) или F0') не изменяется при взаимной перестановке х и у. Он целиком лежит в первом квадранте и на самих осях имеет только точки @, 1) и A, 0). Поворот осей на —45° (см. § 3) приводит уравнение F0') к виду F2)
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 75 отсюда ясно, что график данного уравнения — парабола, в точках (О, 1) и A, 0) касающаяся координатных осей ') (рис. 33). Пример 13. Четырёхзначная функция _у= j/jc-fl+ /x (х^О) F3) удовлетворяет уравнению четвёртого порядка (УJ а F4) которое легко получить, положив и = \fx + 1, v — и затем исключая и и v. В располо- расположении графика легко отдать себе отчёт, или принимая у за независи- независимое переменное x==- 4ys или путём «сложения» (см. § 2) параболических графиков у = j/лг и .у= /х-\-1. «Расщепим» одну четырёхзнач- четырёхзначную функцию F3) на четыре одно- однозначные, причём введём радикалы в арифметическом смысле: Уа= Графики ух и Уъ оба лежат в первом квадранте, причём yt воз- возрастает (§ 5, п. 3), а у% убывает (§ 5, п. 7); они смыкаются в точке @, 1), где имеется верти- вертикальная касательная (рис. 34). При Рис. 34. J) В самом деле, уравнение F2) имеет графиком параболу, получаю- получающуюся из параболы у = Xs посредством растяжения в у 2 раз по направле- направлению оси Ох и перемещения .параллельно оси Оу на отрезок —j=r _
76 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО неограниченном возрастании х функция ух неограниченно возрастает, хотя и довольно медленно '); напротив, функция _у2 неограниченно стремится к нулю а). Графики уа и _у4 симметричны графикам _у2 и у1 относительно оси Ох. Пример 14. По уравнению четвёртого порядка F5) (см. § 1, стр. 16) можно судить о наличии нескольких симметрии (§ 3): относительно оси Од;, относительно оси Оу (значит, и отно- относительно центра О), а также относительно биссектрисы у = х. Поэтому при исследовании графика уравнения F5) достаточно огра- ничиться рассмотрением «восьмушки» плоскости, определяемой не- неравенствами При таких условиях в решении уравнения относительно у (в6) (предполагая, что оба радикала взяты в арифметическом смысле) достаточно ограничиться рассмотрением значений л;, не пре- превосходящих 1 (при л; ]> 1 мы получили бы 1/ -j -f- л;2 — л;1 <^ - -, у<^1, что противоречит условию дг^.у); знак минус перед вну- внутренним радикалом при д;^>0 брать и подавно излишне. При воз- возрастании л; от 0 до 1 изменение функции у зависит, очевидно, от изменения выражения V ) (см. § 9). Величина z не превышает -н- и равна -н- только при л;= ; значит, у не превышает 1/ -о"~Ьг "о" и пРинимает эт0 наибольшее возможное значение только при л; = - щ При возра- l) Точнее говорит об этом соотношение с) Именно, ', — 2 1/ X == — р—
ОБЗОР ЭЛРМЕНТ\РНЫХ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКОВ 77 станин л: от 0 до —— величина (хг — _] убывает от _!_ до 0; 11 , . значит, г возрастает от хд°Т» а У возрастает от 1 до при возрастании, далее, л; от до 1 величина |д;а — _L] возра- возрастает от 0 до -j-; значит, z убывает от -к- до -j, а у убы- убывает от т -н- до 1. 1 .. \ f У 0 j i Следует обратить внимание на то, что при л;=0 (но только при этом значении) в формуле F6) можно взять знак минус перед внутренним радикалом. Это даст «изолированную точ- точку» в начале О. Весь график изображён на рис. 35. Примечание. Если уравне- ' ' те y=f(x) таково, что правая Рис. 35. часть его «составлена> из х и по- постоянных чисел с помощью лишь рацпональных операций и извлечениярадика- лов целых степеней (в конечном числе), то у есть элементарная, и притом алге- бравческая, функция переменной х. Действительно, «избавляясь» от радика- радикалов, уравнению указанного вида всегда можно придать вид C5I). Напротив, если мы исходим из урапнения пида C5), то, допуская, что существует функция у =f(x), ему удовлетворяющая2), мы и.ожем утвер- утверждать, что эта функция — алгебраическая, но не всегда верно, что она —¦ У\ 0 -г элементарная. В самом деле, например, уравнение -1 Рис. 36. невозможно решить в ра- -± *- дикалах относительно у (при х • произвольном буквенном па- параметре л:); тем не менее легко доказывается, что это уравнение определяет у однозначно как функцию х: при возрастании л: от — оо оо левая часть уравнения также возрастает от — оо до + оа (рис. 36) и, следовательно, при одном и только одном значении у примет любое наперёд заданное значение х (см. ниже § 52, теорема Больцано). Вполне понятно, что здесь идёт речь о функции как о «соответствии». •) Чтобы «избавиться» от радикалов, нужно принять их за новые пере- переменные и затем исключить (см. Э. э. м., кн. 1, А. И. У з к о в, Векторные пространства и линейные преобразования, § 17). *) Заметим, что в примере х2-f-.V2 + 1 =0 не существует никакой функ- функции действительной переменной, которая удовлетворила бы уравнению. до
78 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 19. Элементарные трансцендентные функции* Термин «трансцендентная» функция имеет вполне точный смысл: функция у=/(х) называется трансцендентной, если она не удо- удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению Р(х, у) = 0, где Р(х, у) обозначает алгебраический многочлен (целую рациональ- рациональную функцию) относительно переменных л; и у. В курсе математики средней школы из числа трансцендентных функций систематически изучаются: показательные, тригонометрические (круго- (круговые), а также им обратные; но учащемуся приходится встречаться и с различными их комбинациями. В высшей математике рассматриваются и изучаются трансцендент^ ные функции самых разнообразных типов. «Трансцендентный» обозначает буквально — «превосходящий» (подразумевается, по Эйлеру, превосходящий силу алгебраических методов, что соответствует в точности приведённому выше опреде- определению). Доказательства трансцендентности функций относятся к числу «доказательств невозможности», они строятся по схеме «от противного» и требуют привлечения разного рода искусственных приемов. § 20. Показательная функция Показательной, или экспоненциальной '), функцией называют всякую функцию вида у = ах (fl>0). F7) Символу ах даётся «расчленённое» определение. 1°. Если х равно целому положительному числу п, то ах сле- следует понимать как результат повторного умножения: ап=аа...а. F8) п раз 2°. Если х есть положительное дробное рациональное число —, то, возводя основание а в степень д; согласно формуле Л = Vtf • F9) берут арифметическое значение радикала. l) «Экспонент» (по-латыни) означает показатель.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ II ИХ ГРАФИКОВ 79 3°. Если х— отрицательное число (—• —), то полагают а Q= G0) а" наконец, а°=1. G1) 4°. Для иррациональных значений х показательная функция ах определяется «по непрерывности» (см. ниже § 51). Примечание. В этом параграфе сформулированы важнейшие свой- свойства показательной функции, но доказательства приведены ниже лишь для случая рациональных показателей. По поводу иррациональных показателей см. § 51. Из определения следует, что при всех значениях независимой переменной х показательная функция принимает положительные значения. В частности, она ни при каких значениях х не обращается в нуль. Её график весь располагается выше оси Ох. Рассматривать показательную функцию при отрицательном осно- основании а не приходится по той причине,что раз а отрицательно, пе- переменной л; нельзя давать дробных значений вида w? (где т и п целые), не говоря уже о значениях иррациональных (см. стр. 510). Случаи, когда а = 0 или а—1, не представляют никакого инте- интереса. Показательная функция при основании а, большем единицы, — возрастающая; при основании а, меньшем единицы,—убывающая. Пусть даны два рациональных числа л;' и л;", причём л;' <^ л;". Допустим, что они приведены к общему знаменателю: Тогда из неравенства а^> 1 следует неравенство ар'<^ар" и, далее, после извлечения арифметических корней степени q '), Таким же образом из неравенства 0<^а<^1 мы получили бы аР'>аР", й>>а«,т. е. ах'>ах". Чтобы выяснить взаимное расположение графиков двух показа- показательных функций а* и bx {Q<^a<^b), обратим прежде всего вни- ') Функция х Q — возрастающая (при х > 0), см. § 18, пример 3.
80 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО мание на то, что они пересекаются в точке @, 1), (гак как a°=i и b°=l), и затем установим следующее: если 0<^а<^Ь, то при х~^>0 имеет место неравенство ах<^Ьх, а при д;<^0 — неравенство ax>bxl). I I \* Заметим, что график функции I — I симметричен графику а" относительно оси Оу. Действительно, мы имеем и остаётся сослаться на I б, § 3. На рис. 37 даны графики нескольких показательных функций при различных основаниях. « X Рис. 37. При неограниченном возрастании х показательная функция у = ах (если а^>1) также неограниченно возрастает и притом очень быстро — быстрее чем любая степень х. Принимая во внимание, что функция ах — возрастающая, доста- достаточно ограничиться рассмотрением целых значений переменной л;; в самом деле, если эта функция при х = п (целое) принимает не- некоторое значение N, то при всех значениях л;, больших чем п (в том числе и дробных), она принимает значение, большее чем N. ') В самом деле, достаточно обозначить х через с и сослаться на то, что функция Xе — возрастающая при с > 0 и убывающая при с < 0 (для случая с рационального — см. § 18, пример 4, для случая с иррациональ- иррационального — см. § 51).
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 81 Положив а—1=8, а=1-]-8 (8>0), мы получаем по формуле бинома (сумма положительных слагаемых больше одного второго слагае- слагаемого), и так как пЬ при неограниченном возрастании п тоже неограни- неограниченно возрастает, то тем более такое заключение справедливо отно- относительно а". Пусть теперь р — какое-нибудь целое положительное число. Если мы хотим доказать, что при достаточно больших значениях п справедливо неравенство ап>п», то достаточно применить прежнее рассуждение, выделяя, однако, вместо второго (р -\- 2)-й член суммы: п(п— Но при достаточно больших значениях п я(я—1)...(я—р) р Действительно, это неравенство равносильно следующему: п> 1-2...( а последнее очевидно, так как при неограниченном возрастании п правая часть приближается к числу ,р^ —-, а левая неогра- неограниченно возрастает. Остаётся сопоставить неравенства G2) и G3). Например, полагая 8 = 0,01, р = 100, можно сказать, что при до- достаточно больших х Мы доказали, что при неограниченном возрастании х показатель- показательная функция у —а* (при а^>1) тоже неограниченно возрастает, и притом быстрее, чем любая положительная степень х. Из тождества *-= D-)* вытекает, что, если х, оставаясь отрицательным, неограниченно возрастает по абсолютной величине, то показательная функция 6 Эшрииншеаия, кн. 3.
82 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО у=ах (при а<^1) неограниченно убывает, и притом быстрее, чем любая отрицательная степень х. Свойством показательной функции быстро возрастать или убшвать при возрастании независимой переменной можно воспользоваться для доказатель- доказательства её трансцендентности. Доказательство. Предполагая для определенности, чтоа>1, до- допустим, что функция у = ах — алгебраическая. Это значит, что она тожде- тождественно удовлетворяет уравнению вида Р (х, у) — 0. Разложив многочлен Р{х, у) по убывающим степеням у, мы получим: Р(х, у)==Р0(х)у" + Р^х)^ + ... +Рп-1(х)у+Рп(х), причём степеньп — целая положительная и Ро(х), Р\{х), ..., Pn_t(х),Рп(х) — многочлены относительно х; положим, в частности, где т — целое положительное число или нуль, но А отлично от нуля, и, не ограничивая общности, можно считать, что А > 0. Тождество Р{х, ах) = 0 можно переписать в виде Ро(х)Ф* + Р, (х) а'»-»* + ... + Р„_1 (х) а" + Рп (х) = 0, или Ро(х) = -Р1(х)а-*- ... -Р„_, (*)е-«-1.*_Рп (х)а~"\ Предположим, что х неограниченно возрастает. Тогда многочлен Р0(х) в левой части тождества также неограниченно возрастает (при т > 0) или сводится к постоянной положительной величине А (при т = 0). Что же касается правой части, то она распадается на сумму конечного числа чле- членов, из которых каждый имеет вид Cxsa~ x (k > 0) и, следовательно, по дока- доказанному свойству показательной функции, стремится к нулю (следует обра- обратить внимание на то, что а~ь — —_<;!); поэтому и вся правая часть стре- стремится к нулю. Получается противоречие, которое и доказывает утвержде- утверждение о трансцендентности функции ах. Говоря о свойствах показательной функции, следует в особен- особенности указать на её основное функциональное свойство, выражающееся в тождестве ах'+х" = ах'ах", G4) справедливое при всех значениях х1 и х" («теорема сложения»). Эго соотношение очевидно для случая целых значений х' и х". Оно доказывается для случая рациональных значений х1 и х", по приве- приведении к общему знаменателю, х> — ? х" — ^ посредством использования свойств арифметических корней: из ра- равенства аР'+Р" = аР'аР" следует равенство
ОВЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 83 Применяя теорему сложения для показательной функции в гом случае, когда в показателе стоит сумма п слагаемых, из которых каждое равно х (с привлечением полной индукции), мы получаем тождество апх=(аху. G5) Его легко обобщить: при любом (действительном) X справедливо тождество аКх=(ах)\ G6) Для случая целого X (= я) это равенство уже доказано; если Х=—, то положим в соотношении G5) п = р и извлечём арифме- арифметические корни степени q. Равенство G5) говорит, между прочим, о следующем: если независимое переменное х принимает ряд значений, образующих арифметическую про- прогрессию g, g+h, g + 2h, ..., g + nh, .... то показательная функция ах принимает ряд значений, образующих гео- геометрическую прогрессию G,Gq,Gq3 Gq\ ...¦). Именно, мы получаем: G = aS, q = ah. Этому соответствует такое свойство графика функции ах: ординаты, восставленные в равноотстоящих точках оси Ох, образуют геометрическую прогрессию. Полагая в соотношении G4) х' = х, х" = — с, мы получаем тождество ах~с=Сах, (где С=а~с). Это означает (см. § 3): перемещение графика функ- функции ах параллельно оси Ох на отрезок с равносильно его растя- растяжению по направлению оси Оу в а~с раз (сжатию в ас раз). В соотношении G6) как X, так и х представляют собой совер- совершенно произвольные числа: это даёт право поменять местами буквы X и х: аХх=(ах)х. Положив затем Х = — С»>0), получим следующее свойство графика показательной функции ах: растяжение в р раз по напра- направлению оси Ох равносильно переходу от графика показательной функции с основанием а к графику показательной функции с осно- ванием аР • 1) Следует отметить, что, помимо показательных функций ах, этим же свойством обладают и функции несколько более обширного класса сах (где с — постоянная). 6*
84 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Основному соотношению G4) можно также дать геометрическое истолкование. Именно, положив в нём jc' —Xjc, х"— \lx, мы полу- получаем: и, далее, используя G6): (а*)* (а*)* = (а*+ *)х, или а'ха"х = (а'а")х, где а' = а\ Таким образом, в результате «умножения» графиков показа- показательных функций с основаниями а' и а" (см. § 3) возникает гра- график показательной же функции с основанием, равным а'а". § 21. Функции, связанные с показательной Рассмотрим функции Чтобы построить график функции f (х), достаточно «сложить» (см. § 2, п. 1) взаимно симметричные относительно оси Оу графики показательных функций с основаниями а и —, затем произвести сжатие вдвое по направлению оси Оу. Получаемый график можно назвать «полусуммой» данных графиков. Особенно легко произ- произвести построение по точкам, деля пополам точкой М отре- отрезок MiMit образованный на каждой вертикальной прямой графи- графиками а* и а~х. Чтобы построить график функции g(x), нужно проделать то же самое, предварительно заменив график а~х графиком (—а~х), т. е. отразив его по симметрии относительно оси Ojc. Легко проверить, что: 1) функция / (х) — чётная, функция g(x)—нечётная; отсюда следуют свойства симметрии их графиков (см. § 3), 2)/@) 3) f(x)^>0 при всех значениях х, I >0 при ё^Х) \ <0 при В самом деле, из а^>1 следует а^>а~1, и тогда (см. § 20) при jc>0 и г. д.
ОБЗОР ЭЛРМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ II ИХ ГРАФИКОВ 85 4) При всех значениях х ?=!. * G7) Докажем, что 5) функция / (х)— возрастающая при jc^>0 и (по симметрии) убывающая при х<^0; функция g(x)— всегда возрастающая. Для доказательства достаточно заметить, что где положено При х ^> 0 мы имеем и ^> 1, а при условии и ^> 1 функции и -| и и являются возрастающими (см. § 15, (I) и (II)). Так как пока- показательная функция и = ах при а^>1—также возрастающая, то отсюда следует (§ 5, п. 9) требуемое заключение. Опираясь на основное функциональное свойство показательной функции, можно вывести соответствующие свойства функций f (х) и g(x). Именно, / (х1 + х") = 1 (а*' +*" + а-К +х")) = -j (а*' а*" + а,-х'агх" ), и с другой стороны — f(x')f(x")+g(x')g(x") = значит, / (У + *") =/ (х1) f {х") + g (x') g (*"). G8) Аналогично доказывается, что ^ (*- + х") =f(x') g (x") + g (jxf) fix1'). G9) Рассмотрим ещё функцию ?? )- (80) Так как функция f(x) — чётная, а функция g(x) — нечётная, то функция h (х) — нечётная, причём h @) = 0. Очевидно, h (x) ^> 0 при х ^> 0 и h (х) <^ 0 при х <^ 0. Функция h{x) при х~^>0 — возрастающая. В самом деле, если х возрастает, начиная от значения нуль, неограниченно, то и = сГ2х убывает от 1, неограниченно приближаясь к нулю, и потому (опи,->
86 ЭЛЕМЕНТЛРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО раясь на § 5, п. 6, 1, 7 и 4), из записи , , . ] — и мы видим, что при неограниченном возрастании х функция ¦ h (x) возрастает и притом приближается к 1. Из свойства симметрии видно, что h (х) возрастает на всей оси и что, если х неограни- неограниченно возрастает по абсолютной величине, оставаясь отрицатель- отрицательным, то h (х) приближается к —1. Для функций f(x), g(x) и h(x) приняты (обычно — только при а = е=2,718... , см. § 44) обозначения и наименования: f(x) = chx («косинус гиперболический»I), g(x) = shx («синус гиперболический»), h(x) — thx («тангенс гиперболический»). В этих обозначениях тождества G7) — (80) принимают вид eh** — sh2;c=l, (81) ch (x' 4- х") = ch x' ch x" -f sh x1 sh x", (82) sh (х' -\- х") = ch x' sh x" -\- sh я' ch x), (83) ^ (84) Здесь ясно видна формальная аналогия с обыкновенными («круго- («круговыми») функциями cosjc, sin л; и tgjc; отсюда происходят наименова- наименования «косинус», «синус», «тангенс» 3). Что касается термина «гиперболические» функции, то он объяс- объясняется следующим образом. Как известно из тригонометрии (см. также § 25), функции удовлетворяют тождественно уравнению = 1. Последнее уравнение (в плоскости ОКУ) представляет окруж- окружность, и потому эти функции называются «круговыми». Совершенно ¦) Для краткости будем в этом параграфе функции f (x), g(x) и h{x) называть «гиперболическим косинусом», «гиперболическим синусом» и «гиперболическим тангенсом» при любом а (а > 0). *) Тождества (82) и (83^) называются «теоремой сложения» (для гипербо- гиперболических функций ch* и sh*). s) Причина возникновения формальных аналогий между круговыми и гиперболическими функциями объяснена на стр. 507—508.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 87 таким же образом функции X = ch х и Y = удовлетворяют уравнению (см. формулу (81)). Так как это уравнение в плоскости OXY пред- / Рис. 38. ставляет гиперболу (§ 18, пример 9), то отсюда происходит термин «гиперболические» функции. Н Графики функций shjc и с\\х изображены на рис. 38; график функции th;e — на рис. 39.
88 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 22. Логарифмическая функция Логарифмическая функция (короче, логарифм) по основанию а (а ^> 0) определяется как функция, обратная показательной, с тем же основанием. Допустим, что а^>1. Если показательная функция задаётся урав- уравнением у = ах (а>1), (85) то уравнение, определяющее логарифмическую функцию, получается из него посредством перестановки букв х и у, что соответствует изменению роли переменных (см. § 4). Логарифмическая функция по основанию а y = \ogax (86) определяется из уравнения х = ау. График уравнения (86) симметричен графику уравнения (85) от- относительно биссектрисы у=х (см. § 4). На рис. 40 изображены: У1 Ч X Рис. 40. график функции y = \gx (сплошная линия) и симметричный ему относительно биссектрисы у = х график функции _у=10* (пунктир- (пунктирная линия). Принципиальный вопрос о том, соответствует ли в силу уравнения (85) заданному значению х одно определённое значение у, кажется допускающим очевидный ответ, именно утвердительный, в случае, если х положительно; огвег отрицательный в случае, если х отрицательно или равно нулю. В самом деле, речь идёт о том,
ОВЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ "Р\ФИКОВ 89 пересекается ли в единственной точке с графиком (85) данная вертикальная прямая, и чертёж подсказывает решение. Логическое обоснование существования логарифма положительного числа по данному положительному основанию приведено ниже (см. § 52). Все свойства обратной функции — логарифма непосредственно вытекают из свойств прямой функции — показательной, и иллюстри- иллюстрируются рис. 40. Прежде всего, как уже было только что отмечено, существуют логарифмы logaA: только тех чисел х, которые положительны (лг^>0) (так как показательная функция принимает лишь положи- положительные значения). Функция logaх прилг^-0 оказывается, далее, возрастающей (см. § 52). Она возрастает, с увеличением х, неограниченно, однако медленнее, чем любая положительная степень х. Действительно, пусть 8 — постоянное положительное, сколь угодно малое число. Тогда, полагая мы получим: logq*= У _/У V х* аеУ \°у 1 ' По свойству показательной функции, при достаточно больших зна- значениях у величина ау становится больше, чем любая степень у, на- например ys • Значит, выражение в скобках становится меньше еди- единицы, откуда следует (при достаточно больших значениях х), что Когда же х приближается к нулю, то функция Iog0;e, делаясь (при х<^\) отрицательной, по абсолютному значению неограниченно возрастает, однако медленнее, чем любая отрицательная степень х. Нам нет необходимости задерживаться на замечательном функ- функциональном свойстве функции логарифм logo (*'*") = logax' + loga л;", (87) вытекающем из функционального свойства («теорема сложения») показательной функции G4) и лежащем в основе вычислительных применений логарифмов. Излишне также перечислять достаточно известные следствия, вытекающие из формулы (87). Отметим ещё некоторые свойства графиков логарифмических функций. Из формулы l°gaf-=loga* — Юёар (88) следует: растяжение графика функции 1ogaJc в р раз по напра- направлению оси Ох равносильно перенесению его параллельно оси Оу на отрезок (—1oga/?).
90 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Формула q logajc — log0v9 x (89) говорит о том, что растяжение графика логарифма по основа- основанию а в q раз по направлению оси Оу равносильно переходу от этого графика к графику логарифма по основанию а ч' Логарифмируя тождества соответственно по основаниям Ь и а, мы получаем loga x • !°gb a = l°gb х, logb x ¦ loga Ь = loga x, ИЛИ log x , д Эти формулы показывают, как логарифм числа по некоторому основанию выражается через логарифм того же числа по другому основанию; из них, между прочим, следует (если положим х = Ъ в первой из формул или .Г:=аво второй), что loga6 nlogba — вели- величины, взаимно обратные: Таким образом, чтобы перейти от системы логарифмов по одному основанию к системе по другому основанию, достаточно умножить логарифмы на некоторый постоянный множитель («.модуль перехода»}. Этому как раз соответствует геометрически растяжение графика логарифма по направлению оси Оу (нужно по- дожить в формуле (89) аЯ = Ь). Примечание. Мы предположили, что а>\. Если 0<в<1, то во- вопрос о логарифме по основанию а исчерпывается тем, что имеет место то- тождество logax = — logi х- а (в самом деле, если х — аУ, то дг=1—) .) Случай же а = 1, очевидно, не заслуживает рассмотрения. § 23. Функции, связанные с логарифмической 1. Поскольку функции f(x), g(x) и h(x), введённые в § 21, являются простыми комбинациями из показательной, неудивительно, чго функции, им обратные, оказываются связанными с логарифми- логарифмической. Найдём явное выражение для функций, обратных гиперболиче- гиперболическим.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 91 Нам придётся (§ 41» уравнениях ах . а—х У — "^"+^? (92) поменять местами буквы л: и у и затем решить полученные ура- уравнения (93) * (94) относительно у. Станем решать уравнения (93) параллельно. После умножения на 2ау эти уравнения принимают вид т. е. представляют собой квадратные уравнения относительно ау, так что дальше отсюда следует: Во втором случае знак минус перед радикалом излишен, так как, решая уравнение относительно ау, мы, естественно, разыски- разыскиваем только положительные его корни; выражение же х — \f х*-\-\ заведомо отрицательно (относительно разности х — |/х* — 1 этого сказать нельзя). Дальше остаётся прологарифмировать: Замечая, что х + Vх* — 1' получаем функции, обратные «гиперболическим косинусу и синусу» (91), в виде *a —I), ,V = loga(*+/*2 + l). (95) Первая из них задана при ограничении х^1 и двузначна (два зна- значения различаются знаками); вторая задана без ограничений и одно- однозначна. Что касается уравнения (94), то, решая его относительно ау, получаем: ау=у у~— (радикал—арифметический), откуда видно, что функция, обратная «гиперболическому тангенсу» (92),
92 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО т 1 ,„„ l+x I —X ' есть У = ^Т lo?a i—*, • (96) Z. 1 Л ' Она задаётся с ограничением —1<^jc<^-]-1 и однозначна. В частности, при а = е формулы (95) и (96) дают нам функции, обратные гиперболическим косинусу, синусу и тангенсу (в собствен- собственном смысле): arch x = ± loge (x -j- |/лг2 — 1), arsh х = loge (л: -f- j/л;2 -\-1), (95') (96') Графики функций (95) и (96) (для случая а = е) получаются из графиков функций (91) и (92) (см. рис. 38 и 39) посредством сим- симметричного отражения относительно биссектрисы у = х. 2. Часто бывает нужно отдавать себе отчёт в поведении лога- логарифма данной функции (по основанию а}, зная поведение самой функции; другими словами, по графику дайной функции на- наметить график её логарифма. Это сделать нетрудно, если не упускать из виду следующих, достаточно очевидных, обстоятельств '): 1) функция loga/(Ar) существует при условии (и только при том условии), что функция существует и положительна; 2) функция logaf(x) равна нулю, положительна или отри- отрицательна, смотря по тому, бу- будет ли функция f(x) равна единице, больше или меньше единицы; вообще же при а = = 10 (а также и при а = ё) 3) функция loga/(x) воз- V 'х растает (или убывает) в тех же промежутках, что и функция f(x) (см. § 5, п. 9); она имеет максимум (или минимум) в тех же точках, что и f(x). Последнее отмеченное об- обстоятельство особенно важно в том отношении, что нередко бывает гораздо легче найти ма- максимум или минимум логарифма функции, чем самой функции. На рис. 41 изображены совместно графики: а) функции f(x) = (x— 1) (л:—2) (л: — 3) (кривая /), б) функции log10 f(x) = log10 [(л: — 1) (л: — 2) (х — 3)] (кривая II). Рис. 41. Попрежнему предполагаем дальше, что а > 1,
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ II ИХ ГРАФИКОВ 93 § 24. Произвольная степенная функция Степенная функция у = х" (97) была рассмотрена для случаев, когда а — целое положительное или отрицательное v .-ло (см. § 7 и § 13), затем — для случая, когда а = ——любое рациональное число (§ 18). Случай когда а — ирра- иррациональное число, подразумевает предельный переход «по непре- непрерывности» в показателе. Заметим предварительно, что функция х" даже в случае а рационального (при чётном знаменателе) теряет смысл для отрицательных значений л:; если а — иррациональное, то при х отрицательном выражению ха нельзя приписать никакого смысла ни непосредственно, ни в результате предельного перехода. По этой причине, рассматривая иррациональную степень ха, пере- переменной х не дают отрицательных значений и считают, что эта функ- функция задана только для положительных значений х. Можно доказать, что функция (97) при а иррациональном является трансцендентной функцией, т. е. степенная функция относится к числу алгебраиче- алгебраических функций только при а рациональном. Выбрав произвольное положительное основание а, формуле (97) часто придают вид х« = (а*оеах)а = аа1оеаХ1). (98) Такая запись имеет теоретическое и практическое оправдание. С одной стороны, предельный переход по непрерывности предста- представляет собой довольно сложное построение, которое можно осуще- осуществить одинаково как по отношению к показательной функции, так и по отношению к степенной (в последнем случае, как было ука- указано, с ограничением х~^>0); но целесообразно осуществить её лишь один раз, именно, по отношению к показательной функции, с дальнейшим автоматическим перенесением на обратную функцию— логарифмическую (см. § 52) и, далее, опять автоматически — с по- помощью формулы (98) — на степенную2). ') Логически это — определение произвольной степени; формула логариф- логарифмирования произвольной степени отсюда вытекает как следствие. s) Возможен и иной ход мыслей: сначала определяется для всех значе- значений х > 1 логарифм («натуральный», т. е. по основанию е, см. гл. 111, § 44) согласно формуле X \пх =f! как площадь, ограниченная гиперболой у = — г осью Ох и вертикалями, про- ведёнными через точки 1 и л: на этой оси; затем показательная функция (с основанием е) определяется как обратная по отношению к логарифму; нако- наконец, степенная функция х" определяется по формуле ха=еа1пх.
94 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО С другой стороны, практическое вычисление значений функ- функции л:" при ряде данных значений х удобнее всего произвести Н V X Рис. 42. с помощью таблицы логарифмов, составленной по некоторому осно- основанию а, а это и приводит по сути дела к формуле (98). Основываясь на формуле (98), можно с помощью двух кривых — графиков функций ах и \ogax осуществить точечное построение любой степенной функции л:". Это построение ясно из рис. 42, на котором взято а = 2 и выбрано значе- 3 ние а = -=-. По поводу графиков функ- функций у = х" (при произвольных значениях показателя а) по- полезно сделать следующие за- замечания (рис. 43): 1) Все они проходят через О 1 Рис. 43. ТОЧКУ А О» О- 2) Если а>0, то функция Xя возрастающая; график её, выходя из начала О и уходя в бесконечность, целиком расположен в квадрате OMAN и квадранте SAT (см. рис. 43).
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ II ИХ ГРАФИКОВ 95 Если а<^0, то функция ха— убывающая; график её целиком расположен в частях плоскости xMAS и yNAT, асимптотически приближаясь к осям Ох и Оу. 3) Если а'<^а", то из двух кривых у = ха> и у—ха" первая лежит выше второй при 0<^.?<^1 и ниже второй при х ^> 1. Это — следствие из свойств показательной функции. i 4) Графики кривых у = ха и у = ха взаимно симметричны отно- /— 1 1 сительно биссектрисы х=у (например, х3 и у х; -^ и __/ ). § 25. G. рные (целые) тригонометрические функции: синус и косинус Рассмотрим в плоскости OXY «единичный круг» Х*-\-У*—1, (99) с центром О и радиусом 1. Точку А пересечения окружности с положительной полуосью ОХ будем считать «начальной»; вообразим точку М, движущуюся (вра- (вращающуюся) по окружности, причём положительным направлением вра- вращения будем считать направление от оси ОХ к оси OY, т. е. против часовой стрелки (рис. 44). Положение точки М опреде- определяется однозначно, если указать длину дуги AM отсчитываемую в положительном направлении от начальной точки А до точки М. Когда х возрастает от О до 2тс, точка М делает пол- Рис. 44. ный оборот. Промежутки измене- ния 0<^Х<^-^-, -2"<СЛ:<СЛ> '1<СЛ:<С~'Г' ~2 я ^ лг<С2тг (которым соответствуют дуги АВ, ВС, CD, DA; см. рис. 44) носят названия первой, второй, третьей, четвёртой четверти'). ') Следующая, пятая, четверть Bтс < х <-^- тс ], которой снова, как и пер- первой, соответствует дуга АВ, «гомологична» первой; точно так же шестая четверть (-=- тс < х < Згс ) гомологична второй и т. д. «Минус первая» четверть ( ^-<д:<0| гомологична четвёртой, «минус вторая» f—тс<х<—^" третьей, и т. д. «Нулевой» четверти нет вовсе.
96 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Абсцисса К и ордината Y точки М, расположенной на окруж- окружности таким образом, что длина дуги AM равна х, являются функ- функциями величины х, называемыми косинусом и синусом: Y = sin x = MtM. A00) Из соотношения (99) следует тождество cos2 х -]- sin2 x = 1. A01) Таким образом, определение основных тригонометрических функ- функций, сообщаемое в школе, носит геометрический характер. Ввиду того, что оно связано с рассмотрением окружности (круга), триго- тригонометрические функции иначе называются круговыми. Существуют и различные аналитические (формульные) определения синуса и ко- косинуса: простейшие из формул, которые могут быть взяты в каче- качестве определений, — степенные ряды (см. стр. 471 и 500) подразу- подразумевают выполнение лишь двух действий — сложения и умножения, но число этих действий бесконечно (что равносильно наличию пре- предельного перехода, см. § 48); как известно, о подобного рода формулах школьные программы не упоминают. Замечательное свойство синуса и косинуса, которое отличает их от всех ранее рассмотренных нами функций, — их периодичность. Геометрически ясно, что после полного оборота по окружности точка М снова оказывается на прежнем месте; отсюда следуют тождества sin (л: -j- 2t) = sin x, cos (л: -f- 2я) = cos x, 0 02) свидетельствующие о том (см. § 3), что 2л есть период функций синуса и косинуса'). Наличие периода позволяет сделать заключение о трансцендентности три- тригонометрических функций (см. § 19). В самом деле, раз функция имеет период, то она принимает одно и то же значение с в бесконечном ряде различных точек: например, cos л; принимает значение 1 в точках вида 2Ы2). Но функ- функция, обладающая этим свойством и не сводящаяся к постоянной с, никак не может быть алгебраической. Действительно, алгебраическая функция у =f (x) определяется уравнением вида Р(х, у) = 0, где Р(х, у) — многочлен относительно хну; допустим, что у имеет значе- значение с при бесчисленном множестве значении х, но не при всех значениях х; тогда алгебраическое уравнение Р(х, с) = 0, C5') ') Итак, в «гомологических» точках (различающихся на величину, крат- кратную 2тс) каждая из функций cos л; и sin л; принимает одни и те же значения. При таких условиях во многих случаях можно, не различая гомологических четвертей, ограничиться рассмотрением первых четырёх, образующих один период. s) Здесь и дальше k обозначает произвольное целое число.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 97 не обращаясь в тождество относительно х, имеет бесчисленное множество корней. Это, однако, невозможно, тик как уравнение C5') относительно х — алгебраическое и степень его, очевидно, не превышает степени уравнения C5) относительно пары переменных х и у. Итак, функции синус и косинус — трансцендентные. О знаке основных тригонометрических функций, а также об их возрастании или убывании следует судить, исходя из определения, т. е. основываясь на геометрических представлениях. Функция sin л: обращается в нуль тогда и только тогда, когда равна нулю орди- ордината точки М, т. е. сама точка оказывается лежащей на оси Ох; игак, , sin Ает = 0. A03) Функция cos х обращается в нуль тогда и только тогда, когда равна нулю абсцисса точки М, т. е. сама точка оказывается лежащей на оси Оу; итак, cos (у -\- kn) = 0. A04) Знаки sin л: и cos л; (по четвертям) определяются в зависимости от знаков ординаты и абсциссы точки М, а именно, согласно схемам: 'ш т Sin .Г COS X Обе функции синус и косинус способны изменяться лишь в пределах от — 1 до -|- 1. При этом синус принимает наибольшее значение -j-1 на границе первой и второй четверти l, A05) а наименьшее значение — 1 — на границе третьей и четвёртой —1. A06) Что же касается косинуса, то он принимает наибольшее значение —|— 1 на границе четвёртой и первой четверти cos2?tc=1, A07) а наименьшее — на границе второй и третьей cos(ts4-2?k) = —1. A08) 1 Эыдинлоиедпн, кн. 3.
98 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Изменяемость синуса и косинуса по четвертям даётся схемами: и/ \/ п. W Ж cosx Наилучший способ для запоминания указанных свойств — непо- непосредственно опираться на зрительные представления единичного круга с вращающейся точкой (см. рис. 44). Этот простой рисунок всегда легко воспроизвести на бумаге или мысленно. Не излишне, впрочем, сопоставляя обе схемы, обратить внимание на то, что изменяемость синуса находится в «прямом соответствии» со знаком косинуса (т. е. синус возрастает там, где косинус поло- положителен, и убывает там, где косинус отрицателен), а изменяемость косинуса — в «обратном соответствии» со знаком синуса '). Отмерим на единичном круге (рис. 45) от точки Л дуги л: и—х и в концах их поставим точки М и Ж,; этп точки имеют одну и ту же абсциссу, но их ординаты отличаются знаком. Отсюда сле- следует (см. § 3), что косинус — чётная функция, а синус — нечётная: cos(—л:) = cos х, sin(—х) = — sin л:. A09) casfx+7Tj—cosx. s\r\(x*!Tj—smx Рис. 45. Рис. 46. Рис. 47. Рассмотрим дальше точки М и Мх, находящиеся в концах дуг х и х-\-ъ (рис. 46). Эти точки расположены на противоположных концах диаметра единичного круга и, значит, симметричны относи- *) Это — лишь часть того, что содержится в «правилах дифференцирова- дифференцирования»: (sin х)' = cos х, (cos jc)' = — sin x (см. стр. 312, формулы 5) и 6)). I
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 99 тельно центра О. Поэтому отличаются между собой лишь знаком их абсциссы, а также их ординаты. Следовательно, cos (л:-\-тс) = — cosx, sin (л:-f-~) =— sinx. (ПО) Наконец, возьмём две точки М и Mt, находящиеся в концах дуг х и -jt х (рис. 47). Легко понять, что такие точки взаимно симметричны относительно биссектрисы х=у. Значит (см. § 4), абсцисса Ж, равна ординате М, а ордината Мх — абсциссе Ж. Итак, sin (-^-—a:) = cosa:. (HI) Из формул A11), A09), (ПО) легко получается следующа я: cos л: = sin (л:-[--I). A12) Переходя к построению и исследованию графиков функций sin x и cos л:, заметим, что достаточно получить график синуса в про- промежутке первой четверти @<^х<^-^Л для того, чтобы затем, поль- пользуясь формулами A09—ПО), посредством элементарных преобразо- преобразований продолжить его на всю ось (—оо <^лг<С-г"°°)- Действительно, по формуле A09) начало О есть центр симме- симметрии этого графика, что позволяет продолжить его на промежуток (—-??<^Х<С.^>)> вторая из формул (ПО), говорящая о том, что пря- мая х = -=- есть ось симметрии графика1), позволяет продолжить его на промежуток (— у<СЛ:<Ст'л)' Дальнейшее продолжение ста- становится возможным вследствие существования периода 2тс (формула A02)). Что касается графика косинуса, то, как видно из формулы A12), он получается из графика синуса посредством перенесения параллельно оси Ох на отрезок (— ~). Чтобы выполнить точечное построение графика функции sinx в пределах первой четверти \0<Сх<С-гА> прибегают обыкновенно к делению на т равных промежутков. ') Это заключение следует не непосредственно: заменяя в формуле A10) х на х—^ и затем используя нечётность синуса (формула A09)), мы полу- получаем: sin I 71 и последнее уже показывает, что прямая х = -^- есть ось симметрии. 7*
100 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Разделим, с одной стороны, на т равных частей четверть дуги АВ единичного круга (в плоскости OXY, рис.48, а); с другой, раз- разделим на т же равных частей отрезок @, -^-) на осп Ох (в пло- плоскости Оху, рис. 48, б) и проведём через точки деления вертикали. Откладывая затем ординаты точек деления на дуге АВ на соответ- соответствующих вертикалях в плоскости Оху, получим ряд точек графика функции sin х. у В и OJ о Рис. 48. о,ч 0.7 0.5 i* 1.0 п г Если нужно наметить график синуса довольно быстро (и не осо- особенно заботясь о точности), то очень полезно бывает построение «через четыре точки», соответствующее случаю т = 4. При этом длины ординат (значения sin л: при х = 0, -^, -j-, -о"^» -п) оказы- оказываются приблизительно равными 0, 4, 7, 9, 10 десятых1). Эти числа заслуживают того, чтобы их запомнить (см. более жирные ординаты на рис. 48, б). У\ Рис. 49. Существенно обратить внимание ещё на одно обстоятельство. Рассмотрим на единичном круге несколько положений М, М, М" точки, движущейся к точке А, соответствующих весьма малым зна- значениям независимой переменной х. Как видно на рис. 49, а, орди- ») Точнее: 0; 0,383; 0,707; 0,924; 1.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 101 ната NM точки М, конечно, несколько меньше, чем длина дуги AM. Но отношение —т= при приближении М к А неограниченно при- ближается к единице. Этому соответствует (рис. 49, б) тот факт, что ордината РМ точки М на графике синуса, движущейся к на- началу О, хотя и несколько меньше, чем абсцисса ОР (или, что то же, ордината PQ точки Q на биссектрисе у=х), однако сприблп- РМ I РМ\ жением М к О отношение -~.р ("л" pq ) всё меньше отличается от 1. Таким образом, график синуса лежит ниже биссектрисы у ^х: но по мере приближения к началу О всё теснее к ней примыкает («касается»). i I I i I I I I ,1111 \ "X -1 П Ш Рис. 50. Ш На рис. 50 показаны графики функций у = ъ\пх и у = соъх. (ИЗ) Эти кривые носят название синусоиды и косинусоиды. «Теоремы сложения» для функций s'mx и cos л: sin (х' -{- х") = sin х1 cos x" -\- cos x' sin x", cos (.v' -\- х") = cos х1 cos x" sin x' sin x" хорошо известны из курса тригонометрии; нам незачем на них оста- останавливаться (см. также стр. 505). § 26. Простые гармонические колебания График уравнения — с) (С>0, Х>0) A14) получается из графика ,y = sin.v посредством следующих последова- последовательно выполненных преобразований: 1) сжатия в X раз (растяжения в — раз) по направлению оси Ох, 2) растяжения в С раз по направлению оси Оу, 3) перенесения параллельно оси Ох на отрезок, равный с.
102 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Всякую функцию вида A14), а также ее график, называют про- простым гармоническим колебанием (или просто гармоническим ко- колебанием). Соответствующую кривую иногда называют также сину- синусоидальной. Параметры С, X, с в уравнении A14) носят следующие назва- названия: С — амплитуда, X — частота, с — фаза. Вследствие произведённого сжатия в X раз период функции, за- заданной уравнением A14), равен уже не 2тс, а —. Положив мы получаем и уравнению A14) можно также придать вид y=Csin — (х — с) (С>0, <о A15) Часто/па и период гармонического колебания обратно пропор- пропорциональны, причём их произведение равно 2тг: Хю = 2я. A16) Рис. 51. На рис. 51 изображено гармоническое колебание с амплитудой С=2, частотой Х = 3 (периодом <в = -^) и фазой с = ггх, причем построение произведено «через четыре точки».
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 103 Имея в виду рассмотреть дальше гармонические колебания с одним и тем же периодом, допустим для простоты, что о> = 2тг, т. е. Х= 1. Легко понять, что гармонические колебания вида и v = Bsinx A17) (каковы бы ни были знаки А и В) имеют фазы, отличающиеся на четверть периода (у). Всякое гармоническое колебание вида y=Csin(x — с) может быть разложено на сумму двух таких колебаний: С sin (х — с) = A cos х -f- В sin x. A18) Чтобы в этом убедиться, достаточно выполнить тригонометри- тригонометрическое преобразование по формуле: С sin (х — с) = С (sin х cos с — cos x sin с), и затем положить А = — Csinc, B = Ccosc. A19) Обратно, сумма двух гармонических колебаний с одним и тем же периодом представляет собой гармоническое колебание с тем же периодом. Доказывая это, сначала допустим, что данные колебания отли- отличаются на четверть периода и имеют вид и = A cos х, v = B sin x. Нужно подобрать постоянные С (]> 0) и с таким образом, чтобы удовлетворялось тождество A18). Но тогда дело сводится к реше- решению уравнений A19) относительно неизвестных С и с. Возводя в квадрат почленно каждое из этих уравнений, склады- складывая и извлекая арифметический корень, мы получаем: / + A20) Далее из уравнений А sin с = — cos с = —, можно в пределах промежутка 0 ^ с <^ 2тс найти единственное зна- значение с.
104 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Обращаясь к общему случаю, разложим каждое из данных колебаний yt = Ci sin (х — Ci), _v, = Cs sin (x — cs) на сумму колебаний вида A18): ух = (— Ci sin cx) cos x -f- (Ci cos Cj) sin at, js = (— Cs sin cs) cos x -f- (Cs cos cs) sin x; тогда получим сумму .у —yt -f- js = — (Ci sin Cj + Cs sin cs) cos x + (Ci cos Cj -|- Cs cos cs) sin л:, очевидно, вида A18), причем А = — (Ci sin Ci + Cs sin cs), B = Ci cos Cj + C2 cos c2. Сумма простых гармонических колебаний с различными пери- периодами уже не является простым гармоническим колебанием. Если частоты слагаемых колебаний соизмеримы j j 2 2 (где т1 и от2 — целые положительные числа), то сумма колеоаний yt z= Q sin X, (x — с,) и у % = С2 sin Х2 (л: — с2), равная _у = d sin >.х (л: — с,) -f- C2 sin Х2 (х — с2), представляет собой так называемое сложное гармоническое колеба- колебание ') с периодом 2а (В случае же несоизмеримости частот сумма не является периоди- периодической функцией.) Рис. 52. На рис. 52 сплошной линией изображена сумма (по точкам) (см. § 3) колебаний с частотами 2 и 3 (изображённых пунктирными линиями): ух = sin 2х и yt = sin Злг. 1) Определение см. ниже, § 27.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 105 § 27. Тригонометрические многочлены Подобно тому как всякая функция вида = с0 + с, (где я — целое положительное число; с0, cv п коэффициенты) носит название рационального многочлена (относи- (относительно переменной х), введено также особое наименование для функций вида f(x) — а04- (a, cosjc4-bt sin х) -\- (а2 cos 2x-\-bt sin 2x) -\-... ... 4- (а„ cos nx -\- Ьп sin nx), A21) где п — целое положительное число; а0, ai,...,an,bl,bi,...,bn — постоянные коэффициенты. Такие функции называются тригономе- тригонометрическими многочленами (относительно переменной х). Число п (при условии а^-\-Ь2пф 0) называется порядком тригонометриче- тригонометрического многочлена. Коэффициент а0 есть свободный член, выраже- выражение ai cos х -\- bx sin х —первый член, выражение о2 cos 2x -\- b.2 sin 2x—¦ второй член тригонометрического многочлена и т. д. График т-го члена многочлена (при /и^1) представляет собой простое гармо- гармоническое колебание частоты т (т. е. периода —-). График вся- всякого тригонометрического многочлена порядка л (^=2) носит назва- название сложного гармонического колебания. Пример такого колеба- колебания был указан в предыдущем параграфе. Так как всякая функция периода т имеет также периодами все числа, кратные ш, то каждый член многочлена A21) имеет перио- периодом число 2ъ. Так как, с другой стороны, сумма функций некото- некоторого периода также есть функция с этим самым периодом, то сам многочлен A21) имеет период 2я'). Совершенно очевидно, что 1) сумма двух (или большего числа) тригонометрических мно- многочленов порядка^л есть также тригонометрический многочлен порядка ^ л; 2) при умножении тригонометрического многочлена на постоян- постоянное число он остаётся тригонометрическим многочленом, без повы- повышения порядка. ') Термины «тригонометрический многочлен» и «сложное гармоническое колебание» относятся также к выражениям более общего вида . I а0 + I о 2кх , . . 2пх\ , ! 2гмх , . 2т.пх\ о, cos —+ *i sin —I +. . .+(encos—-—|-*nsm——J возникающим при «растяжении» в — раз по направлению оси Ох. Такие мно- гочлены, конечно, имеют период <е. В дальнейшем, однако, ради простоты рассматриваются лишь многочле- многочлены вида A21) с периодом 2т:.
106 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Докажем следующую теорему. Всякий рациональный многочлен Р (и, v) относительно двух переменных u=:cosx, x; = i есть тригонометрический многочлен относительно переменной х. Порядок этого многочлена не превышает степени многочлена Р (и, v) относительно пары-переменных и, v. Доказательство разобьём на несколько ступеней. 1) Каждое из выражений вида cospxcosqx, sinpxcosqx, cospxsxnqx, sinpxsmqx A22) (где р и q — целые положительные числа) есть тригонометриче- тригонометрический многочлен порядка р -\- q. Это следует из элементарных то- тождеств: cos px cos qx = y lcos (P -f~ Ч)x ~\~ cos (P — Ч) x]> sin px cos qx= ^ [sln iP -f- Я)x 4~ sln (P — i) x]> cos px sin qx = Y [sin (p-\-q)x — sin (p — q) x\, sinpx sin qx =y [— cos {p-\- q) x -\- cos (p — q) x]. 2) Произведение двух тригонометрических многочленов поряд- порядков г и s есть тригонометрический многочлен порядка r-|-s. Предположим, что перемножаются многочлены f (х) — а0-\-(at cosx-\-bj sinjc)-f- ... -\- (ar cos rx -\- br sin rx) и g (x) = a'o -f- (a[ cos x -f- b\ sin x) -f- ... -\- (a's cos sx -j- b's sin sx). Их произведение есть сумма конечного числа членов вида A22) с постоянными коэффициентами, и следовательно, в силу предвари- предварительных замечаний A) и B), также есть тригонометрический мно- многочлен. Порядок его, очевидно, не превышает r-f-s, но не может и быть меньше, так как члены порядка г -\- s получаются только при перемножении выражений ar cos rx -J- ?»rsin rx и a's cos sx -\-b's sin sx, именно, они таковы: у { (a/i's — brb's) cos (r + s) x -\- (arb's -f bra's) sin (r + s) xj. Коэффициенты при cos(r-j-s)jc и s'm(r-\-s)x не могут обра- обратиться в нуль одновременно, так как если arr-\-b*^> 0, то из урав- уравнений ara's — bjb's = 0, bji's-\-arb's = 0 сейчас же следует:
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 107 3) В частности, выражения вида cosft*sin*>; A23) (где каждое из чисел h и k есть целое положительное число или нуль) являются тригонометрическими многочленами порядка h~\-k. В самом деле, каждый из h-\-k множителей в выражении A23) есть или cos л: или sinx—тригонометрические многочлены поряд- порядка 1. 4) Произвольный рациональный многочлен Р(и, х;), где u = cosx, w = sinx, есть сумма конечного числа членов вида A23) с по- постоянными коэффициентами и потому на основании замечаний A) — B) есть тригонометрический многочлен. Порядок этого многочлена, очевидно, не превышает наибольшей из сумм h-\-k, т. е. степени многочлена Р(и, v). Но этот порядок может быть и меньше (простейший пример: Р(и, v) = н2 -\- v*). § 28. Многочлены Чебышева Мы докажем теперь обратную теорему: Всякий тригонометрический многочлен порядка п f(x) = а0 -f- («I cos x -f- bt sin x) -j- (a-i cos 2x -j- &2 sin 2x) -f- ... ... + (ancosnx-{-bnsmnx) (аЩ-«^0) A24) представляет собой рациональный многочлен Р(и, v) степени п (точно) относительно пари переменных и = cos л:, х> —sinx. Достаточно установить это по отношению к простейшим триго- тригонометрическим многочленам вида cos пх и sin пх (где п — произ- произвольное целое положительное число); в самом деле, при сложении рациональных многочленов и умножении их на постоянные числа, очевидно, снова получаются рациональные многочлены. Останется ещё проверить утверждение, касающееся степени. Докажем сначала, что существуют такие рациональные много- многочлены 1) Тп (и) степени п относительно u = cosx и 2) Un(u) степени п—1 относительно и, которые удовлетворяют тождествам относительно х: cos пх— Tn(cosx), A25) sin/?*:=?/„ (cos jc) sin jc. A26) Чтобы уяснить существо вопроса, посмотрим, что получается при значениях л=1, 2, 3. Если я=1, то нужно положить Г,(и) = и, Ui(u)=\. A27)
108 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Если я = 2, то cos 2х = cos3* — sin2* = 2 cos2* — 1, sin 1x = 2 sin x cos л: = 2 cos jc sin x, так что Га(и) = 2иа—1, U2(n) = 2u. A28) Если л = 3, то аналогично получаем: cos Зх = cos Bx -\-x) = cos 2x cos х — sin 2x sin x = = B cos2* — 1) cos д: — 2 cos д; sin2* = = B cos2*— 1)cosjc— 2cosx(l— cos2jc) = = 4 cos3jc — 3 cos x, sin 3JC=sin Bx-f-*) = sin2xcosJe-j-cos2A:sin.xr = = 2 cosjc sin x -J- B cos2* — 1) sin jc = = D cos2* — 1) sin x, так что Ta (и) = 4и3 — 3ff, С/3 (н) = 4н2 — 1. A29) Таким образом можно продолжать и дальше. Дальнейшее рассуждение основывается на методе полной индук- индукции. Допустим, что существование многочленов Тп (и) и Un (и) установлено, и сами они уже вычислены; посмотрим, как устано- установить существование многочленов Tn + i{ii) и Un + l(u) и каких вы- вычислить. Мы имеем, пользуясь тождествами A25) и A26), которые пред- предположены доказанными: cos (л -J- 1) х = cos (nx -f- х) = cos их cos x — sin nx sin х = = Тп (cos x) cos x — Un (cos x) sin2* = = Тп (cos л) cos х — Un (cos x) A — cos2jc), и, с другой стороны, sin (и -f- 1) x = sin (nx -\-x) = sin лл: cos x -)- cos лл: sin л: = = 6^n (cos л:) sin л: cos x -[- 7'n (cos л) sin л: = = {Un (cos jc) cos x -\-Tn (cos x)} sin jc. Так как Тп (и) и 6^п (н), по предположению, — многочлены соот- соответственно степеней п и п—1, то, очевидно, выражения Гя (я) я-?/„(«)( 1-й") и ?/„(и)я+7-я(я) — также многочлены степеней соответственно и -\-1 ил. Обозначая их через Тп + 1(и) и С/п + ,(и): '0 + («2-1)^п(«). 1 (я) J (
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 109 мы получаем те тождества, которые нам нужно было доказать: cos (п -{- 1) х = Тп +, (cos х), sin (я -|- 1) х = Un +, (cos x) sin x. Существование многочленов Г, (и) и ?/, (и), определяемых фор- формулами A27) и удовлетворяющих тождествам A25) и A26) при л= 1 было проверено непосредственно. Многочлены Г„(и) и Un(u) при я:э=2 вычисляются по рекуррентным зависимостям A30). Так полу- получаются формулы A27), A28), A29) и следующие: 74 (и) = 8и4 — 8и2 + 1, ?/4 (и) = 8и3 — 4 и, Тъ (и) = 16ив — 20п3 + 5н, Ub (и) = 16 и4 — 12 н2 -|- 1. 76 (и) = 32 и6 — 48 и* -4- 18 и2 — 1, ?/в (и) = 32 и» — 32 ц3 + 6 и и т. д. Легко проверить с помощью формул A25) и A26), что 1) все многочлены Т.2п(а) и С/2п + ,(и) — чётные функции переменной и, а 7an + i('O и ^2п(н) — нечётные, 2) старшие коэффициенты много- многочленов Тп{и) и 6^„ (гг) • равны 2": Гя(а) = 2—«- + .... ^я(и) = 2"-1нв-14-... к ' Многочлены Тп (и) называются многочленами Чебышева первого рода, а ?/„ (и) — многочленами Чебышева второго рода. Используя многочлены Чебышева, мы можем тригонометрическо- тригонометрическому многочлену, заданному формулой A24), придать вид 27-2 (и) + ... + ajn (в)} -f ^ tf, (и) + Ь%иг (и) 4- • • ¦ Выражения, стоящие в первой и во второй фигурных скобках, — ра- рациональные многочлены от переменной и: L (и) = а0 4- a, Tt (и) + «272 (в) 4" • • - 4" aJn ("). \ Ж(в)= *, ?/. (а) 4-№(") + +№(") / так что /(jt) = L(KL-wAf(n). A33) Если ап ф 0, то многочлен L (и) — степени л; если ~Ь'п ф 0, то многочлен Ж (и) — степени и—1. Но так как, по предположению, хотя бы один из коэффициентов ап и Ъп отличен ог нуля, то не- непременно или /.(и) — степени л или Ж (и) — степени л—1. В обоих случаях многочлен Hti)-\-vM(u) — степени л относительно пары переменных и, v.
110 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Многочлен L (и) -J- vM (и) удовлетворяет всем требованиям, которые были предъявлены теоремой к многочлену Р(п, v). Но он — не единственный, удовлетворяющий этим требованиям '). Мы укажем ещё одну возможную форму многомчена Р(и, v). Заменяя в тождествах A25) и A26) л; через i — х, мы получим новые тождества: cos п(^- — х) = Тп (sin х), ,1 * sin/z(y — х) = Un (sin л:) cos л:, I которым, расчленяя случаи п чётного и п нечётного, можно также придать следующий вид: cos 1пх = (— 1)" Г2„ (sin х), cos Bл -f-1) х== (— 1)" U2n+1 (sin x) cos x, sin2«A: = (— 1)"+1 f/2n(sinA:)cosA:, sinB«-J-l)*=(— i)" Отсюда получается: + a {aM iv) + bM2 (v) — a3U3 (v) — bkUk (v) + asUs (v)+...\ и, полагая i (v) = ao + b1 Tt (v) - a9T, (v) - b3T3 (v) + aj, (v) + ..., \ a9T, (v) - b3T3 (v) + aj, (v) + ..., \ (v) — a3Ub {v) — bkUk (v) + ..., J Mt (v) = OlU1 (v) + b%U* ( мы находим новую форму для многочлена Р(и, v): Полезно обратить внимание на несколько следующих частных случаев. Условимся буквой Р обозначать рациональный многочлен. Тогда 1) Если b1=bi = b3 = bi= ... =0, т. е. если f(x) есть три- тригонометрический многочлен вида f(x) = a0 -j- at cos x -j- a2 cos 2x -f- ... -j- an cos nx -j- • • •» то он представляет собой рациональный многочлен от cosa;: f(x) = P(cosx). 2) Если ao = a1^=ai = a3= ... =0, т. е. если /(л:) есть три- тригонометрический многочлен вида f{x) = bt sinA: -f- *s sin 2x -f- ... -f- йп sin л л: -f- ..., x) Это следует из того, что если и = cos л:, г» = sin л:, то выражение и, встретившееся где-нибудь в формуле, можно заменить через 1 — v%.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 1 1 I то он может быть представлен в виде / (х) = sin х • Р (cos х). 3) Если а1 = а3 = ал= ... =0, #2 = #4 = #6= ... =0, т. е. если тригонометрический многочлен f(x) имеет вид f(x) = ao-\-b1 sin x -j- Q2 cos 2л: -j- b3 sin Зл: -j- ..., то он представляет собой рациональный многочлен от 4) Если а0 = а„ = а4 = ... = 0 и й, = b3 = bs = ... = 0, т. е. тригонометрический многочлен f(x) имеет вид f{x) = а, cos х -j- й2 sin 2л: -J- а3 cos Зл: -j- #4 sin 4л; -f- ..., то он может быть представлен в виде f(x) = cos x • Р (sin л;). Нетрудно также проверить, что все эти утверждения обратимы. § 29. Тангенс и другие дробные тригонометрические функции Перейдём к рассмотрению дробных тригонометрических функ- функций, понимая под таковыми рациональные функции от основных тригонометрических бшл; и cos л;, содержащие по крайней мере одну операцию деления. Простейшими элементарными дробными тригонометрическими функциями являются такие, которые содержат только одно дей- действие и именно — деление. Их — четыре: тангенс, котангенс, секанс и косеканс; они определяются формулами , sin х , cos л: 1 1 ,,„-. ts:x = , cts^=-^—, 8есл; = и со8есл: = -^—-. A37) ь cos л:' ° sin х cos л: sin л: ч ' Тангенс заслуживает особого внимания. С помощью соот- соотношений A10) мы получаем: ^' ^ A38) cos (х + я) — cos х cos х откуда ясно, что тангенс имеет период п, вдвое меньший, чем синус и косинус. С другой стороны, тангенс — нечётная функция Таким образом, достаточно изучить поведение тангенса в преде- пределах первой четверти \0<^х<^^-\. Имея график тангенса в этих пределах, можно его продолжить, пользуясь симметрией относи-
112 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО тельно центра О, для —-= <^ и влево по свойству периодичности. При л: = 0 получаем: а дальше — продолжать вправо так как в пределах первой четверти числитель sin л: возрастает (от 0 до 1) и знаменатель cos л: убывает (от 1 до 0), то дробь, определяющая тангенс, возрастает, и именно, от нуля до беско- бесконечности. При х = у тангенс «не существует», «теряет смысл», «терпит разрыв», так как знаменатель cos л; обращается в нуль, тогда как числитель sin л: равен единице. Таким образом, график тангенса не имеет ни одной точки на прямой х=^у. Тангенс положителен в первой четверти и (по свойству нечёт- нечётности) отрицателен в четвёртой; по свойству периодичности снова по- положителен в третьей и отрицателен во второй. Это иллюстрируется схе- схемой: У X а/ На рис. 53 показано точечное построение графика тангенса в пределах первой четверти — посредством деления первой чет- четверти на восемь равных частей. Возвращаясь к единичному кругу (рис. 54), мы видим, что если точка М поставлена в конце дуги AM длины х, то точка Р, взятая на пересечении радиус-вектора ОМ с касательной к кругу в начальной точке А, как раз имеет орди- ординату, равную tg;c; в самом деле, из подобия треугольников О АР и ОМуМ следует АР MiM О A l)Mt • т. е. АР sin х . „ , АР = tgx. 1 "cosx'
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 113 Имея в виду это геометрическое истолкование тангенса, при точечном построении достаточно проектировать точки пересечения радиус-векторов с вертикальной касательной в начальной точке единичного круга (см. рис. 53, а) на соответствующие вертикали в плоскости Оху (см. рис. 53, б). Существенно отметить одну особенность графика тангенса. На Aft рис. 54 дуга AM меньше отрезка АР1), и потому отношение-jj-t больше единицы; но когда М прибли- приближается к А, это отношение прибли- приближается к единице. На рис. 53, б этому соответствует следующее: абсцисса каждой точки графика меньше орди- ординаты, и потому отношение ординаты к абсциссе больше единицы; но с при- приближением точки к началу координат —? О это отношение приближается к еди- единице. Кривая около начала координат О, будучи расположена выше биссек- биссектрисы у = х, Рис 54 тесно к ней примыкает (касается её в начале координат О). Не останавливаясь на более подробном рассмотрении свойств функций котангенс, секанс и косеканс, отметим лишь, что их гра- графики получаются из графиков соответственно тангенса, косинуса и синуса посредством построения графика величины, обратной по отношению к данной функции (см. § 4), в согласии с определе- определениями A37). Но график котангенса из графика тангенса может быть получен ещё другим, более простым, способом: так как (, sir ' cos ¦ ( Sin т. или то достаточно над графиком тангенса произвести следующие пре- преобразования: 1) отразить его симметрично относительно оси Ох, ') Обосновать это логически можно следующим образом. Обозначим че- рса А' точку на единичном круге, расположенную симметрично точке А от- относительно прямой ОМ. Дуга АМА' меньше ломаной АРА (из двух выпук- выпуклых линий объемлемая меньше объемлющей); значит, AM. меньше АР. рез 8 Энциклопедия, кн. 3.
114 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 2) перенести параллельно оси Ох на отрезок -~-. Нетрудно понять, что совокупность этих преобразований рав- равносильна симметричному отражению относительно оси л:— ~ '), Подобным же образом график косинуса получается из графика синуса и график косеканса из графика секанса а). У Рис. 55. На рис. 55 изображены совместно графики шести тригонометри- тригонометрических функций sin х, cos x, tg x, cosec x, sec x и ctg x. Желая отдать себе отчёт во взаимных связях между шестью тригонометрическими функциями, положим ради краткости и = cos х, н, = sec х, * v = sin х, vt = cosec x, \ A40) w = tgx, w1 =ctg;t. I Основным соотношениям A01) и A37) можно тогда придать вид 1) B« + iP=l, 3) ни, =1, и 4) wt = 1, 5) ¦wwl= 1. A41) ') При этом учитывается центральная симметрия графика тангенса от- относительно центра О. ') Отсюда термин «кофункции».
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ II ИХ ПЧФИКОВ 115 Совокупность этих пяти равенств обладает тем свойством, что если задано числовое значение какой-нибудь одной из шести пере- переменных, то, не прибегая ни к каким действиям, кроме четырёх арифметических и извлечения квадратного корня, можно опреде- определить значения остальных пяти переменных (решить систему урав- уравнений A41) относительно назначенных пяти букв). Но по смыслу вопроса извлекать квадратный корень приходится алгебраически, т. е. в тех случаях, когда он встречается, остаётся неопределён- неопределённость в знаке, двузначность. Таким образом, если система соотно- соотношений A41) и позволяет рассматривать из шести величин (и, v, w, "i, vv wt) каждую как функцию каждой, то, как показывает бо- более детальное рассмотрение, из 5 X 6 = 30 возникающих при этом функций лишь 6 оказываются однозначными (рациональными), остальные же содержат квадратные корни и потому двузначны. Например, если задано значение синуса v — -^, то для косинуса получается два значения и = ±-*у-, и выбор знака может быть сделан не иначе, как исходя из каких-либо дополнительных данных, позволяющих судить о том, в какой четверти заключено значение независимой переменной х. Из шести тригонометрических функций нет ни одной, значение которой однозначно определяло бы значение всех остальных. Всё же функция тангенс с этой точки зрения представляет особен- особенный интерес. Если tgx = w, то значение синуса и косинуса вы- вычисляются по формулам A42) cos;t= причём знаки перед двумя радикалами могут быть какие угодно, но одинаковые. Замечательно то, что при таких условиях квадраты sinsAr, cos9 л:, произведение sin x cos x, а значит, и гакие функции, как sin 2л: и cos 2л: через w выражаются уже рационально: sin 2л; = 2w 1+w" 1—то8 A43) Теперь легко понять, что, вводя новую функцию с периодом а именно, тангенс половинного угла j , X i^ztg 2"» 8*
116 ЭЛРМЕНТАРНЫР ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО мы получим, заменяя в формулах (НЗ) х через -у. w через t, или в результате непосредственного вычисления: It Таким образом, синус, косинус, а следовательно, и остальные четыре тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла рационально. По значению tg -»- можно вычислить однозначно значения всех тригонометрических функций. График функции t = tg-~- (он изображён на .рис. 55 пунктиром) получается из графика w = tgx посредством растяжения в 2 раза по направлению оси Ох. Из рис. 55 ясно, что каждому значению t соответствует (в пределах периода длиной 2п) одно и только одно значение х, а следовательно, —одно значение каждой из функций и, v, w, и„ г>„ wv 1 х Конечно, функция tx = —- = ctg -»- способна играть такую же роль. § 30. Представление функций, рационально зависящих от тригонометрических, через одну или две из них Всякая рациональная функция от элементарных тригонометри- тригонометрических функций одной и той же переменной х может быгь пред- представлена как рациональная функция от двух элементарных функций: н = cos х и v = sin х. Это следует из того обстоятельства, что по формулам A41) функция w = tgx, а также функции M, = sec;t, t>, = cosec;t и wt^c\gx выражаются рационально через и и v. При этом нужно принять во внимание, что рациональная функция от одной или не- нескольких переменных, из которых каждая зависит рационально от одной или большего числа других переменных, сама есть, очевидно, рациональная же функция от этих других переменных. Пример. 1 / sec л: cosec х \ v " ¦*"* cos x 2 \1 + tg х 1 — ctg x) u2 — v" cos2 x — sin2 x ' I. Всякая рациональная функция от элементарных тригоно- тригонометрических функций одной а той же переменной х может быть представлена как рациональная функция от одной лишь функции — тангенса половинного угла: , , х
ОВЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ II ИХ ГРАФИКОВ 117 Это следует из формул A44) предыдущего параграфа. Пример. cos x 1 — t* B 2 cos^x-sin2* 1-6**-И4 j _6tgS5_ + tg« —" Теорема I носит общий характер. Следующие теоремы II, III и IV содержат в услонии дополнительные предположения и выделяют таким образом важные частные случаи. II. Если рациональная функция от элементарных тригоно- тригонометрических функций является а) чётной, б) нечётной относи- относительно независимой переменной х, то она может быть пред- представлена а) как рациональная функция от переменной и = cos x, б) как произведение рациональной функций от переменной и = со$х на v = sin х. а) Обозначим рассматриваемую функцию через f(x). По тео- теореме I имеем тождество (f). (H5) С другой стороны, по условию, /(—*)=/(*)• A46) Отсюда следует тождество: т. е. или Rl(—t) = Rl(t)% A48) так что рациональная функция Rt — чётная. 2) Буквами R со значками обозначаются дальше различные рациональные функции. 2) Тождество A18) следует из тождества A47), так как при любом t ыижно подобрать х так, чтобы удовлетворялось равенство ? '¦
118 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТПИТЕЛЫЮГО ПЕРЕМЕННОГО В таком случае она может быть представлена как рациональ- рациональная функция от t2') Но ,2 . ъЦ, 1 — cos л: 1 — и Поэтому f{x) = Rt (t) = R, (*¦) = R, (tj?)'= Яз (и)- б) Если вместо тождества A46) согласно условию теоремы имеется тождество /(—*) = —/(*). то вместо A48) мы получаем: так что функция /?, (t) — нечётная. Но тогда функция -— чётная, и потому, как раньше, ') Если R(x) есть чётная рациональная функция от х, то она есть рациональная функция от л:2. Эта теорема может показаться очевидной. Вот её доказательство. Р(х) Пусть R (х) = у ', где Я (л:) и Q (х) — многочлены. v \х) Разделяя в них члены четной и нечетной степени, напишем Р (х) = Я, (*•) + хР2 (х*), Q (х) = <?, (х-) + xQ, { где Ри Pir Qt и Qa — новые многочлены. Из тождества /?(—x) = R(x) сле- следует тождество <?, (а:2) - xQ, И d (л:8) + xQa (д:2) ' Н'ЛИ В этой пропорции и правая и левая часть есть одна и та же рациональная функция от хК Обозначая её через S (л:2), мы получаем: Р, (*•) = Q1(xi!)S (а:2) и Ps(x*) = Q1!(xs)S(x*), И отсюда следует тождество
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ . 119 В таком случае /И = Я1@ = 'Я,(п) = 1В^-.Я,(й). Но х sin х и поэтому III. ?слгг рациональная функция от элементарных тригоно- тригонометрических функций а) не меняется при замене независимой переменной х через it — х, б) меняет лишь знак при этой замене, то она может быть представлена а) как рациональная функция переменной v = sin x, б) как произведение рациональной функции X) = sin х на и = cos x. а) Тождеству /(*)=/(* — *), A50) заменяя х через х-\--~-, можно придать вид ИЛИ где положено /,(*)=/(*+?)• A51) Итак, функция /, (л:) — чётная. По теореме На в таком случае она может быть представлена как рациональная функция от /l (*) = *! («О- Другими словами, имеет место тождество Заменяя в нём х через х—=-, получаем: f{x) = Rt (cos (х —у)) = /?! (sin*) = /?, (в). б) Если вместо тождества A50) имеет место по условию то- тождество
120 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО то тогда функция/| (л:), определяемая тождеством A51), — нечёт- нечётная, и потому на основании теоремы Пб можно написать /, (л;) = vRj (к) = sin л: • Rj (cos лг), или fix -\- ~\ = sin х • Rt (cos x). Заменяя х через х — у, получаем: /(лг) = — cos х • Rj (sin лг) = cos x • /?а (sin лг) = uR2 (v). IV. Если рациональная функция от элементарных тригоно- тригонометрических функций а) не изменяется при замене х на х-\-ъ (т. е. имеет период я), б) меняет лишь знак при этой замене, то она может быть представлена а) как рациональная функция от w = tgt, б) как произведение рациональной функции w на u = cosx или г> = 8шлг. а) Раз функция f{x) обладает периодом я /(* + *)=/(*), то функция обладает периодом 2тг; в самом деле, В таком случае, по теореме I, существует тождество заменяя в нём л: через 2л:, получаем: f{x)=fi{2x) = б) Если функция /(лг) удовлетворяет тождеству /(* + =) = то каждая из функций /Лх)= и /eW=4 J1 у ' cosх /n ' sin х имеет период л. Значит, по теореме IVa имеем: fi{x) = Rl{w), /,(*) = «,(да), откуда /(¦*)=/] (¦*) cos * = ''^1 C^). /(л) =/j (л:) sin л: = v R.2 (w).
ОБЗОР ЭЛЕМРНТЛРННХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 121 При м еч ан и е. Легко проверить, что теоремы 1,11, III и IV обратимы. Для теорем II, III и IV это устанавливается непосредственно; что касается теоремы I, то достаточно указать на тождество A49). Таким образом, теоремы I—IV дают условия, необходимые и достаточ- достаточные для того, чтобы функция могла быть представлена в той или иной из рассмотренных форм. § 31. Примеры исследования функций, рационально зависящих от тригонометрических. Тригонометрические уравнения Теоремы I, И, III и IV, изложенные в предыдущем параграфе, и родственные им теоремы в § 28 (см. 1 и 3) открывают воз- возможности для элементарного исследования функций, рационально зависящих от основных тригонометрических. Если с помощью вве- введения новой независимой переменной — одной из основных триго- тригонометрических функций или тангенса половинной дуги — удаётся свести данную функцию к рациональной функции от новой пере- переменной, то тем самым, поскольку поведение основных тригономе- тригонометрических функций можно считать известным, имеются основания судить и о поведении данной сложной функции (см. § 5, п. 9). Те же теоремы полезны и при решении тригонометрических уравнений. Главная трудность при решении уравнений заключается в том, чтобы, «алгебраизируя» их, удачно выбрать новую перемен- переменную. Теоремы позволяют сделать выбор по простым формальным признакам, чем обусловливается направление дальнейших тождест- тождественных преобразований. Следует отметить, что если переход к новой переменной ^ = tg-2- позволяет всегда произвести рационализацию (это, так сказать, «универсальная» подстановка), тем не менее в случае, если возможна одна из подстановок ii:=cosx, f^sinAr или w^tgx, то вновь получаемая рациональная функция, как правило, оказывается проще; поэтому можно рекомендовать к «универсаль- «универсальной» подстановке прибегать лишь «в крайнем случае». Обратимся к примерам на исследование функций. П р и м е р 1. 1 .,— jv*,— 3_|_2cosjc- Эта фувкция — рациональная относительно и = cos x. При неограниченном изменении х переменная и меняется в пределах от — 1 до -\-1, и функция 1 / 3\ в этом промежутке как и всюду, кроме точки разрыва и —— =- — о -)- ш \ 2.) убывающая (см. § 5, п. п. 1, 2, 7). Поэтому функция _у=/(х) убывает п тех промежутках, где cosx возрастает, и возрастает в тех промежутках, где он убывает (§ 5, п. 9). Так как функция f(x) чётная, то достаточво рассмотреть
122 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО половину периода О-^x^it: на другую половину —tc^Jjc^O график продолжается по симметрии. В пределах первых двух четвертей cosjc убы. вает от 1 до — 1; значит, функция f(x) возрастает и именно, от -=- до 1 о • * У J 1 x A r 0 Рис. 56. При л=у (положение «равновесия» для h = cosjc) значение/(л;) равно -д (РИС. 56). Пример 2. . . sin8 л: — sin 2л: Так как эта функция, очевидно, не меняется при замене х на х-}-it (имеет период it), то естественно ввести переменную w = tg x. Преобразо ia- ние даёт: у = tg х (tg x — 2) = w (w — 2). Функция w {w — 2) = (ty — l)s — 1 убывает в промежутке — oo < w < 1 и возрастает в промежутке 1 < w < се. \ I и п 7 гп -1 Рис. 57. Функция tg х—возрастающая; значение до—1 она принимает (в промежутке периода при х = -^; прид: = -к- она терпит разрыв. Когда х воз- возрастает от 0 до -г, то w возрастает от нуля до 1, а у убывает от 0 до — 1;
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 123 когда х возрастает от -^ до у, то w возрастает от 1 до бесконечности, а у — от —1 до бесконечности (значение у = 0 получается при да = 2, т. е. при Т°); когда х возрастает, далее, от у до it, то w (после разрыва) возрастает от — оо до 0, и тогда у убывает от 4- <» До 0. Заметим ещё, что при х = -дК мы имеем w = —1, _у = 3 (рис. 57). Пример 3. у =/ (х) = у C cos х — cos 3 х). ТакjcaK функция f{x) — чётная, то достаточно исследовать полупериод ".¦а, взяв в качестве вспомогательной переменной h = cosjc. Так как cos Зх = 4 cos3 х — 3 cos x = 4н3 — Зн (многочлен Чебышева Тя(и)), то у = у [Зн — Dн3— Зн)] = Зи — 2и». Получившийся многочлен третьей степени сведём к «стандартной форме> (см. § 10, (р)) заменой и тогда будем иметь Поведение функции z3 — z меняется в точках z = ± Л/ — (см. § 10), которым соответствуют точки н = ± 1/ у и, далее, х—^г и х = -т- п. У. -1 -VZ Рис. 58. Рассматривая образованные этими точками промежутки, мы убеждаемся, пользуясь общими положениями об изменении сложных функций (см. § 5), в справедливости следующей таблицы (см. рис. 58):
124 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО X возрастает от 0 до -|- возрастает ¦к 3 ОТТ т~4* возрастает 3 ОТ -j- -К ДО ТС и убывает от 1 до Л/ — убывает убывает до — 1 г убывает убывает убывает 0,-/1 «о-/| Z3 —? убывает 1 ,/Т 2 -.AT до—зУт возрастает 2 ,/Т убывает от^-)/? I ,/Т возрастает от I до j/" убывает от |/" 2 до — ]/ возрастает от —}/" 2 до — 1 Сразу видно, что при -f = -9- мы получаем _у==0. Полезно в этом примере сопоставить результаты проведенного исследо- исследования с точечным построением, заключающимся в составлении «полусуммы» графиков J»! = COS Зх И _ys = — 3 COS X. Пример 4. cos 2x Эта функция — нечётная, так что достаточно рассмотреть полупериод 0-ёСх^.к график можно затем продолжить, пользуясь симметрией отно- относительно центра О. Функция f(x) не изменяется при замене х на л — х; отсюда видно, что естественно взять в качестве вспомогательной перемен- переменной n = sin.!C. Вместе с тем отмеченное обстоятельство показывает, что пря- прямая х = -к- является осью симметрии графика; таким образом, достаточно рассмотреть даже четверть периода фик продолжается по симметрии. Мы получаем: ; -=-: на вторую четверть гра- y=- или же COS8 X — Sins X 1 — 2 Sin 2 X 1 1 _„. : = : = - 2sin x = 2v, A52) sm x sin x sin д: г/ A53)
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТ\РНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 125 С увеличением v выражение 2v убывает (всюду, кроме точки разрыва v=G), так как — убывает, a 2v возрастает. Когда х возрастает от 0 до -=-, то v = sin х возрастает от 0 до 1, и тогда у = 2v убывает от -\- оо до —1. Из формулы A53) ясно, что -п X Рис. 59. значение нуль у принимает (в первой четверти) при v= I/ —, т. е. при х — -^ (рис. 59). Пример 5. х В этом примере не удаётся обнаружить элементов симметрии или пери- периодичности (помимо периода 2к). Исследуем функцию посредством замены Выражая cos лг и sin x через t по формулам A44), мы получаем: 1— t* 1 +1* '2 3 — -. 2t 3 — и, далее (см. § 9), A54) A55)
126 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Поведение выражения It j + -q- (в зависимости от t) меняется при t = -=-, чему соответствует значение х, равное корню j уравнения о х X 1 а именно, Когда х возрастает от —it до ?, то t возрастает от — оо до —, выра- A \2 Я 6 I У Я 4 ние бывает от оо до -^- и, ?начит, у возрастает от 0 до 1 — 3 I/ ,. . 1 -j-. Когда же х возрастает от ? до it, то t возрастает от — до оо, выраже-. I. 1 \а , 8 8 , 3 \t -—^-J +-g- возрастает от -^- до оо и у убывает от -j- до 0. Заметим, кроме того, что при х = 0, х = уих = — -~- получается соот- 2 1 I ветственно:д» = -^-, у = -^- и jr = — (рис. 60). -ЯГ Переходя к примерам на решение тригонометрических уравнений, уместно заметить, что при решении уравнения нас непосредственно интересует только один вопрос из общего плана исследования (см. § 5), именно: при каких значениях переменной х данная функция принимает значение нуль! Так как при решении этого вопроса существенно лишь разложение на множители данного выражения, то одинаково удобно прибегать к теоремам II — IVa и к теоремам II — IV6 предыдущего параграфа (или к 1—4, § 28). Характер использования этих теорем таков, что, установив, какую тригонометрическую функцию удобно взять в качестве вспомогатель- вспомогательной переменной, нетрудно дать надлежащее направление выполня- выполняемым тождественным преобразованиям. Пример 6. 9— 11 cos *+ 13cos 2x — 3cos 3* = 0. Так как левая часть — чётная функция х, то (на основании теоремы IlaJ можно ввести переменную u = cosx. Принимая во внимание, что cos 2лг = 2и*—1, cos Зх = 4н8 — Зн (многочлены Чебышева 1-го рода, см. стр. 108), находим: 9 — И cos х + 13 cos 2x — 3 cos Зх = — 2 (бк3 — 13и« + и + 2).
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 127 Выделив множитель и — 2 многочлена третьей степени, мы легко разло- разложим затем на множители получившийся трёхчлен второй степени бк3 — 13us + « + 2 = (h — 2)Fks — и— 1) = (к — 2)Bи— 1)(Зц+1). Итак, уравнению можно придать вид (cos х — 2) B cos x — 1) C cos х + 1) = 0. Множитель cos x — 2 никогда не обращается в нуль; значит, уравнение удо- удовлетворяется лишь при условии, что 1 1 COS X = ту ИЛИ COS X = 5" , откуда получаются два корня и нетрудно найти два остальных (в пределах периода). Пример 7. 3 sin 2х + 4 cos3* — 3 sin 4x = 0. При замене х на п— х левая часть уравнения меняет знак. Поэтому на основании теоремы Шб, вводим переменную v = sin x. Тогда с использова- использованием многочленов Чебышева обоих родов получаем: sin 2х = cos х ¦ 2v, cos 3* = 4 cos3 x — 3 cos x = cos x D cos* x — 3) = cos x ¦ A — 4v*), sin 4x = (8 cos3 x — 4 cos x) sin x = cos x (8 cos2 jc — 4) sin x = Dv — 8t/*) cos x; после подстановки уравнение принимает вид A2i>3 — 8»» — 3v + 2) cos x = 0. Многочлен третьей степени удаётся разложить на множители: Dvs — 1) Ct> — 2) cos x = 0. или Dsinsjc— l)Csin x — и мы легко находим восемь корней уравнения (в пределах периода): it 3 к 3 5 7 ¦* 1 = " 1 ¦**= " "• ¦*» ~ ~4~ • "*4 = ~тс> ¦*'= Т "' Х°= ~4~ "* два последних корня определяются из уравнения 2 Пример 8. Требуется найти корни уравнения 1 + sin х cosjc = 35 cos* x в пределах первой четверти. Так как обе части уравнения содержат лишь члены чётных степеней относительно cos x и sin x и, следовательно, левая и правая его части не меняются при замене х на лг-|-л1 то имеет смысл ввести переменную w = tgx. Пользуясь формулами A42), приводим уравнение к виду 35. A56)
128 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО В первой четверти w = trjJc:>0, и потому нам нужны лишь положи- положительные корни уравнения A56). Его левая часть — возрастающая функция w н, значит, уравнение A56) имеет не более одного положительного корня. Легко проверить, что один корень есть: это да = 2. Остаётся найти значение х в первой четверти из уравнения tg х = 2. § 32. Обратные1) тригонометрические функции В уравнении y — smx A57) поменяем местами хну; получим x = siny. A58) Записывают также равенство A58) в виде .у = Arcsin л;; A59) равенства A59) и A58) следует рассматривать, таким образом, как равносильные. Обратная тригонометрическая функция Arcsin x {арксинус х бук- буквально—«дуга, синус которой равен х») не является однозначной. Вернёмся к единичному кругу, с помощью которого была опреде- определена функция синус (см. рис. 44). Каждой данной дуге AM соответствует одно определённое зна- значение синуса—ордината точки М, вертикальный отрезок MtM. Пусть, обратно, в качестве независимой переменной взят некоторый вертикальный отрезок МгМ (он может быть направлен вверх или вниз, но по длине не должен превосходить единицы). Обозначим его через х: MtM~x. Тогда на вопрос, какая дуга имеет этот отрезок своим синусом,— однозначного ответа дать нельзя. Таких дуг существует бесконеч- бесконечное множество: требуемым свойством обладает не только дуга AM, но и дуга ABN, а также ABCDAM и ABCDABN и т. д. и ешё «отрицательные» дуги ADCN, ADCBM и т. д. Итак, если функция Arcsin л: имеет значение у, то она имеет значение тс—у, а также (вообще) y-\-2kv и (it—y)-\-2kn. Свойство неоднозначности функции Arcsin л: ясно видно и из её графика. Мы знаем (см. § 4), что график уравнения A59) получает- получается из графика уравнения A57) посредством симметричного отра- отражения относительно биссектрисы у = х (рис. 61). Из графика функ- функции Arcsin л: видно, что при условии |лг|^1 существует бесконеч- 1) См. § 4.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ II ИХ ГРАФИКОВ 129 ное множество точек, имеющих данную абсциссу х: если ординату одной из них (всё равно которой) обозначить через у, то ордина- ординаты всех охватываются формулами Подобно тому как в случае квадратного корня (функция, обрат- обратная функции «квад- «квадрат») из числа х при условии лг^О необхо- необходимо различать дву- двузначный «алгебраиче- «алгебраический» корень от одно- однозначного «арифмети- «арифметического», так же точно и в случае арксинуса (функция, обратная функции «синус») от независимой перемен- переменной л: при условии |*[=gl—всякий раз, когда могут возник- возникнуть сомнения, — при- приходится указывать, имеется ли в виду какое-нибудь (любое, безразлично какое) значение рассматри- рассматриваемой функции или же некоторое определённое, и какое именно. Но различие — в том, что функция \fx двузначна, тогда как функ- функция Arcsin л: бесконечно многозначна. Те значения у = Arcsin x, которые удовлетворяют неравенству Fr=^i_y =?S-J--^-, нередко называют главными и обозначают через arcsin х. Таким образом, можно написать Arcsin л: {arcsir (— arcsin x -\- 2kic, arcsin л:) -f- A60) На рис. 61 главные значения арксинуса отмечены жирной линией. Функция у = arcsin л: определена в пределах —1^лг^-)-1, при- притом она — однозначная, нечётная и возрастающая (см. § 52). В Энциклопедия, ш, 3.
130 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО В данной статье, выяснив суть дела на одном примере аркси- арксинуса, нет необходимости входить в подробности, касающиеся функ- функций, обратных прочим элементарным тригонометрическим функциям. Ограничимся поэтому краткими указаниями и графическими иллю- иллюстрациями. Функция арккосинус _у = Arccos л;, A61) обратная функции косинус y = cosx, A62) определена и притом бесконечно многозначна (как и функция Arcsin.x;) в промежутке (—1 ^лг^-]-!)• Её «главное значение» Рис." 62. тг; общая формула _y = arccosjt; удовлетворяет неравенству имеет вид Arccos л: = ± arccos л: -f- 2&тс. A63) Функция у = arccos л: — однозначная и убывающая — определена в промежутке — 1 ^ л; ^ -J- 1 (рис. 62).
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТ\РНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 131 Функция арктангенс y = kio.tgx, A64) обратная функции тангенс y = tgx, A65) определена и притом бесконечно многозначна для всех значений независимой переменной (—оо<^л;<^-|- оо). «Главное значение» arctg л; удовлетворяет неравенству—у<О<"|-' обишя формула имеет вид Arctg_y = arctg x -\- frx. Функция у = arctg л: — однозначная, нечётная и возрастающая в пределах —оо<^лг<^-|- оо. Функция арктангенс никогда не при- принимает значений вида -^--{-/гя. График её состоит из бесчислен- ного множества от- отдельных «ветвей*, пе- переходящих одна в дру- другую при перенесениях параллельно оси Оу на отрезки вида ?тс (рис. 63). Аналогично опре- определяются функцииарк- функцииарккосеканс, арксеканс и арккотангенс у = Arccosecx;, ] y — Arcsecx, | A66) у — Arcctgx, j обратные функциям косеканс, секанс и ко- котангенс у = cosec л:, y = secx, A67) Рис. 63. Их употребления всегда можно избежать, принимая во внимание, что Arccosec х = Arcsin — ')> Arcsec л: = Arccos —, х ' х ' jc^ Arctg—. A68) ') «Дуги, имеющие косеканс, равный х, те же самые, что и дуги, имею- имеющие синус, равный —» и т. п. X 8»
132 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Задачи элементарной математики редко приводят к необходимо- необходимости пользоваться обратными тригонометрическими функциями в явной форме. Например, задача «вычислить значение Arcsinjc при х = -5-» равносильна задаче: «найти все дуги (или углы), синус ко- 1 „ торых равен -^». В разного рода задачах геометрического содер- содержания удачный выбор неизвестной или переменной, как правило, позволяет обойтись без обратных функций. Напротив, в высшей математике (в интегральном исчислении) обратные круговые" функ- функции появляются вполне естественным прямым путём (см. стр. 367) и избегать их было бы крайне неудобно. Тригонометрические функции связаны между собой большим количеством различных соотношений, значительная часть которых приводится в учебниках тригонометрии; некоторые из формул по- подобного рода настолько важны в теоретическом и практическом отношениях, что занимающийся математикой запоминает их прочно и навсегда *). Обратные функции чрезвычайно обогащают формуль- формульный аппарат тригонометрии. Но пользоваться соотношениями, со- содержащими обратные функции, приходится на самом деле не очень часто и не очень много; и именно математическая практика указы- указывает, какие из подобного рода формул заслуживают преимущест- преимущественного внимания. С этой точки зрения представляют интерес фор- формулы лишь некоторых типов. I. Тригонометрическая функция от обратной тригонометри- тригонометрической (не обязательно — соответствующего наименования) есть алгебраическая функция, именно, выражающаяся через арифмети- арифметические операции и квадратные радикалы. Если прямая и обратная функции соответствуют в смысле на- наименования, то, как явствует из определения, они «погашают» друг друга: sin(Arcsinjt)=.x;, cos (Arccos л:) = х, tg(ArctgAr)=Jca). Рассмотрим теперь случай, когда такого соответствия нет; возь- возьмём, например, выражение sin Arccos л:. Можно написать сразу A69) ссылаясь на то, что «синус дуги, косинус которой равен х, есть j/l—л:2, так как сумма квадратов синуса и косинуса есть 1». Или ') Сюда относятся, например, «теоремы сложения» (синус и косинус сум- суммы двух дуг). s) Спросим себя: «Кто отец сына, у которого отец Иван?» Сомнения нет: отец — Иван.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 133 станем рассуждать подробнее: обозначим через у какую-нибудь дугу, косинус которой равен х, Arccos л;=.Vi тогда, по определению, д: = cosy и, следовательно, sin Arccos x = sin.y — j/l.— cos* .у = \^\ —x2 '). Такого же характера соображения приводят в итоге к следую- следующей табличке формул2): sin Arctgл; = =^ cos ArcsinJt: = i/l—л:3, У 1-\-х2 cos Arctgx = ,гт__- , tgArcsinл: = у^-^; , sin Arccos л; = i/1 — х2, tg Arccos л; = II. Обратная тригонометрическая функция от прямой (с со- соответствием наименований или без соответствия) есть бесконечно многозначное выражение, которое при несоответствии наимено- наименований может быть упрощено лишь в случае «кофункций». Мы получаем, во-первых3): Arcsin (sin л:) = Arccos (cos л:) = zt л: -f- Arctg (tgA:) = jc -|- frx. Мы получаем, во-вторых: Arcsin (cos x) = (— q= x) -j- 2kn, Arccos (sin л:) = zt f-|- — л: J и т. д. x) Конечно, радикалы здесь и ниже следует понимать в алгебраическом смысле: выбор знака может быть сделан лишь в том случае, если известно, в какой четверти находится дуга, определяемая обратной круговой функцией. а) Если дуга, определяемая обратной функцией в левой части формул, рас- расположенных одна над другой, одна и та же, то радикалы в правой части, конечно, должны иметь одинаковые знаки. 8) Спросим:" «Какой сын у отца, у которого сын Иван?» Не известно: мо- может быть, Иван, а может быть — один из его братьев.
134 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО В самом деле, например Arcsin (cos л:) обозначает всякую дугу, синус которой равен cos л:. Так как cos.x;=sinfy — х\, то -=¦ —л: есть одна из таких дуг; всякая иная из этих дуг или в сумме с нею составляет тс, или отличается от той или другой на величину, кратную 2тг. III. Нередко приходится одну из обратных тригонометрических функций заменять другой, с надлежащим изменением аргумента. Пусть, например, одно из значений Arcsin л: требуется представить как арккосинус от некоторой величины; обозначим последнюю буквой у: Arcsin л: = Arccos у. Из написанного равенства следует: у = cos (Arcsinл:), или по формуле п. I ,, -ш/ j Z$ Итак, ArcsinJt = Arccos \f 1—л:3, A70) причём эту формулу нужно понимать в том смысле, что каждое значение ArcsinA: (при условии |л:|^1) равно некоторому зна- значению Arccos j/ I—х2; какому именно — подлежит уточнению в за- зависимости от конкретных обстоятельств. Подобным же образом 4- Arcsin л; = Arete r. ' , X Arctg л: = Arcsin . и т. п. й Vl+x* § 33. Исследование многочленов Чебышева. Их минимальное свойство Идея элементарного исследования тригонометрических много- многочленов (или вообще функций, рационально зависящих от тригономе- тригонометрических) заключается в том, чтобы посредством тригонометриче- тригонометрической подстановки свести вопрос к более простому исследованию рациональной функции. В немногих случаях возможно осуществить-обратный ход мысли: исследование рационального многочлена (или рациональной функ- функции) свести к более простому исследованию тригонометрического многочлена или функции, рационально зависящей от тригонометри- тригонометрических. Дело, конечно, в том, что немногие тригонометрические многочлены успешно поддаются непосредственному исследованию. К числу таких многочленов можно, однако, отнести cosnx и sinnx.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 135 В качестве примера рассмотрим поведение многочлена Чебышева первого рода Тп(х) в промежутке значений независимой перемен- переменной от —1 до -f-1. Формуле, его определяющей, cos пх = Тп (cos Jt), заменив cos л: через и, можно придать вид Тп (и) = cos n Arccos it. A71) Здесь всё равно, какое значение Arccos и иметь в виду: функция cos/zx не меняется при замене х на —х или на х-)-2kx. Для про- простоты допустим, что речь идёт о главных значениях Arccos и. Предположим сначала, что п — число чётное: п = 2т. Когда и возрастает от ¦—1 до -\- 1, то л: = arccos и убывает от тг до 0, и значит, величина пх = п arccos и убывает от лтс до 0. Но раз эта величина, являющаяся аргументом под знаком косинуса, убывает от пъ = 2тк до 0, то легко понять (представим себе гра- график косинуса), что сам косинус, т. е. многочлен Тп (и), при этом Y = wz раз совершит полное колебание от -f- 1 к-—1 и обратно. Нетрудно понять, что при этом: 1) Значение -)-1 многочлен Тп(и) принимает в тех точках, где п arccos и = 2kr>, т. е. и = cos ——: п (cos2p-)=1 (osS^-J). A72) 2) Значение — 1 он принимает в тех точках, где п arccos и = т. е. H = cosB*+lb: п *±i>) () A73) 3) Значение 0 он принимает в точках, где п arccos и = -^ -\- -|-Ьг, т. е. M = cos^ -1L-; 1 = 0 (O^kszzn— 1). A74) Предполагая, что п—нечётное: п — 2т -\-1, мы получим такие же результаты, с той разницей, что при увеличении и от — 1 до -J- 1 выражение л arccos к убывает от пъ=Bт-\- 1)т: до 0 и поэтому Т„(н) сначала возрастает от —1 до -j-Ь загем делает ещё т пол- полных колебаний от -\- 1 до —1 и обратно. Формулы же A72—174) сохраняются без изменений.
136 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО На рис. 64 воспроизведён график многочлена Чебышева при л =12 в пределах, указанных неравенством —1 Самым замечательным свойством многочлена Чебышева является то, что в промежутке —1=^лггё-}~1 при убывании л: от 1 до — 1 он принимает, начиная с правого конца (х= 1), есте- естественно, поочерёдно, наи- наибольшие значения -\-1 и наименьшие — 1, все рав- равные между собой по абсо- абсолютному значению, причём совершается п переходов от 4-1 к — 1 или обратно; таким образом, на левом конце (х = —1) прини- принимается значение 4~ 1 или — 1 в зависимости от чёт- чётности п.'. За пределами про- промежутка | Т„ (х) | быстро возрастает. Сделаем теперь «сжа- «сжатие» в 2п~1 раз по направ- направлению оси Оу и рассмотрим новый многочлен y=Jl—Tn(x). A75) Свойства его графика — такие же, что и графика Тп (х), с той разницей, что абсолютные величины мак- максимумов и минимумов на этот раз равны t . Вместе с тем, так как старший коэффициент Т„ (х) равен 2П~' (см. § 28, A31)), то старший коэффициент нового многочлена равен 1. Итак, среди многочленов степени п, со старшим коэффициентом, равным единице, A76) ') Для удобства независимое переменное — аргумент многочлена Тп — здесь и дальше обозначено, как обычно, буквой х.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ II ИХ ГРАФИКОВ 137 существует такой (именно, -ш=г Тп (х)), который в промежутке =1 удовлетворяет неравенству Мы покажем сейчас, что ещё уменьшить указанную гра- границу нельзя: многочлен Рп(х) степени п вида A76) не может В Д -/ \ П=!2 Рис. 65. D при всех значениях х |^1) удовлетворять неравенству \Рп(х)\<-^=г- A77) На рис. 65 сплошной линией показана схематически часть гра- графика A75), заключённая в прямоугольнике с верширтами Вертикалями, проведёнными через точки максимума и минимума, этот прямоугольник разбит на п частей — также прямоугольников с одной и той же высотой и различными основаниями. Если бы существовал многочлен Рп(х) вида A76), удовлетворяющий нера- неравенству A77), то часть графика У = Ра(х). A78) ограниченная пределами —1 =ё^лг=ё^-)-1, была бы заключена внутри полосы, ограниченной прямыми АВ и DC (пунктирная крииая на рис. 65); так как она соединяла бы отрезки ВС и AD, то этот график имел бы по меньшей мере п общих точек с графиком A75). В самом деле, на пути от ВС к AD график A78) должен был бы пересечь все промежуточные вертикали, и внутри каждого частного прямоугольника было бы по меньшей мере по одной общей точке графиков A78) и A75), так как, очевидно, не могут не пере- пересечься лежащие внутри прямоугольника две кривые, из которых одна соединяет противоположные вершины, а другая — внутрен- внутренние точки противоположных сторон этого прямоугольника. Но абсциссы п точек пересечения графиков A78) и A75) (не- (несомненно все — различные) должны быть корнями уравнения .^Тп{х)-Рп(х) = 0. A79)
138 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО А это невозможно, так как вследствие равенства старших коэф- коэффициентов рассматриваемых многочленов уравнение A79) — степени ниже чем п. Мы пришли к противоречию; следовательно, сделанное нами допущение о существовании многочлена Рп (х) было неверно. Доказанное свойство многочленов Чебышева формулируют обыкновенно так: из всех многочленов Рп(х) степени п вида {176) наименее всех «отклоняется от нуля» в промежутке многочлен Чебышева -^^ Тп (х). При этом под «отклонением от нуля» неко- некоторого многочлена Р(х) в данном промежутке а^дг^б следует понимать наибольшее значение | Р (х) | в этом промежутке, иначе говоря, — наибольшую (по абсолютной величине) из ординат соот- соответствующего графика. Это свойство оказалось отправным пунктом созданной П. Л. Че- бышевым (в середине прошлого столетия) теории наилучшего при- приближения функций. Не останавливаясь подробнее на многочленах Чебышева второго рода (см. § 28, A31)) т. , . sin их sinrzarccosx "v ' sin x jAi _ xa исследование которых также может быть проведено элементарным методом'), рассмотрим ещё подобный же пример дробной рациональной функции, исследование которой сводится к исследованию дробной тригонометрической функции. Функция, о которой идёт речь, имеет вид A80) Что эта функция — рациональная, устанавливается методом полной матема- математической индукции. Пусть Rn (х) — рациональная. Тогда #n+i (х) = tg [(« + ]) arctg *1 = tg (« arctg x + arctg x) = _ tg(warctgx) + tg(arctgx) _ Rn(x) + x 1 — tg(narctgx) ¦ Ig(arctgх) 1— Rn(x) ¦ x ' откуда видно, что функция Rn+l (x) — также рациональная. Но Rt (x) = = tg (arctg x) = х — функция рациональная; значит, и все функции Rn (x) — рациональные. Например: _ . . 2х „ , . Зх — х3 _ . . 4(х — Xs) г) Максимумы и минимумы многочлена Un(x) лежат уже не. на гори- горизонтальных прямых у = ± \, а на кривых У = ±: 2) Выбор значения арктангенса безразличен, так как функция tgnx не изменяется при замене х на x + ir. Поэтому можно считать, что выби- выбираются «главные значения» арктангенса.
ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 139 Так как arctg x— функция возрастающая и tgx также (кроме точек разрыва), то Rn (x) — тоже функция, возрастающая всюду, кроме точек разрыва. При возрастании х от — ос до -f- ос функция arctg x возрастает от _- ~ до -f- -»-, а п arctg х — от —•=- до -j-—. Точки разрыва возникают при п arctg x = " + kit, т. е. при х = tg должны удовлетворять неравенству пк -к или причём целые числа k пк п—\ A81) Функция Rn (х) обращается в нуль при условии п arctg х = k-к, т. е. -при X=tg —, причём k удовлетворяют неравенству или A82) По поводу значений k, в точности равных границам, указываемым соот- соотношениями A81) и A82), следует заметить, что 1) «разрыв при х = ±ос» . Рис. 66. даёт наклонную асимптоту, 2) «обращение в нуль при х = ±оо» соответ- соответствует случаю, когда ось Ох становится асимптотой. На рис. 66, а и б показаны соответственно графики R3 (x) и Rt (x).
ГЛАВА III ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ § 34. Конечные и бесконечные числовые последовательности Из всякого данного множества (совокупности) Е каких угодно объектов можно образовывать последовательности. Последовательность строится следующим образом. Указывается некоторый объект At из Е, называемый первым членом последова- последовательности; затем указывается объект А%, который непосред- непосредственно следует за Л, и называется вторым членом; далее, указывается объект А3, который непосредственно следует за Ла и называется третьим членом, и т. д. Объекты Av А3, А3_н т. д.— не обязательно различные: среди них могут быть и одинаковые. Процесс построения последовательности заключается в том, что если уже указан некоторый «я-й член», получивший «порядковый номер», или индекс п, то указывается «непосредственно следую- следующий» за ним «(я-|-1)-й член» с индексом л —|— 1. Такой процесс может закончиться на некотором объекте An, по- получившем индекс, равный натуральному числу N: это произойдёт в том случае, если не будет указано никакого объекта, непосред- непосредственно следующего за объектом Ду Тогда iV-й член последова- последовательности А^ называется её последним членом; индекс N в этом случае обозначает число членов последовательности. Сама по- последовательность тогда называется конечной. Перечисляя члены конечной последовательности в порядке сле- следования, обычно их разделяют запятыми: ¦» ""8» -» • • • » Ар?. (I) Многоточие здесь обозначает пропуск членов с индексами, ббль- шими чем 3, но меньшими чем N. Но процесс построения последовательности можно представлять себе и неограниченно продолжающимся, не имеющим конца. В таком случае не будет существовать последнего элемента последователь- последовательности: каково бы ни было натуральное число п, за членом после- последовательности Ап, имеющим индекс п, будет непосредственно еле-
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 141 довать член Ап+1, имеющий индекс, на единицу больший. Если мы говорим, что в результате построения получается бесконечная последовательность, то это означает, что, каково бы ни было на- натуральное число N, всегда найдётся член последовательности, имею- имеющий индекс N; вместе с тем придётся сделать допущение, что всякий член последовательности имеет в качестве индекса неко- некоторое натуральное число'). * Члены числовых последовательностей в дальнейшем будут обо- обозначаться маленькими буквами. Самый простой способ задать конеч- конечную числовую последовательность заключается в том, чтобы напи- написать все её члены один за другим, в порядке следования: av яа, а3, .... aN. B) Вот несколько примеров конечных числовых последовательно- последовательностей: 1) 1, 2, 3, 4, 5 (N=5), 2) 7, 2, 10 (N=3), 3) 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2 (N=8). В случае, если число членов N велико, непосредственное выпи- выписывание всех членов становится затруднительным. Иногда, чтобы задать последовательность, прибегают к аналитическому методу. *) Нужно объяснить, в чём смысл последней оговорки. Рассмотрим, например, совокупность различных между собой чисел вида 1-1, 1+1 и 2-1, где и может принимать все натуральные значения, кроме 1 и 2. Если все эти числа расположены в порядке возрастания, то возникает сле- следующая «упорядоченная» система чисел: 1 2. -L JL ilAilliUl? 3' 4 ' 5' 6 ' "¦ ' 6' 5' 4 ' 3' 3' 4' 5' 6' 7 ' '"" 2 В этой системе имеется первый член -^-, которому не предшествует непо- о средственно никакой другой; помимо того, каждому числу непосредственно предшествует и за каждым членом непосредственно следует один и только один член; таким образом, последнего члена в системе #не существует. Система, однако, не образует бесконечной последовательности: действи- 2 3 тельно, приписывая члену — индекс 1. члену -у индекс 2 и т. д., вообще члену вида 1 индекс п — 2, мы «израсходовали» бы все натуральные индексы на члены вида 1 , и на члены вида 1 -| или 2 индек- индексов бы «нехватило». Располагая все числа данной совокупности в ином порядке (не в порядке возрастания), мы могли бы получить последовательность чисел, например:  • "» 3* 4* 4 ' Т' 5~' 5' 5' 6' 6' 6' "¦
142 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Предположим, что существует элементарная функция f(x), не теряющая смысла при целых положительных значениях х в преде- пределах от х = 1 до х = N и обладающая тем свойством, что при под- подстановке лг=1 получается как раз первый член последователь- последовательности av при подстановке дг=2 — второй член и т. д. до x = N. Тогда достаточно указать функцию f(x) и число членов последо- последовательности N; воспроизведение всей последовательности /A). /B), /C), ... ,/(Л0' в этом случае не представит труда. Например: 1) если /(лг) = лг\ iV=5, то получим последовательность 1, 4, 9, 16, 25; 2) если f(x) = x3 — 6лг24~11лг — 6, N=A, то получим после- последовательность О, 0, 0, 6; 3) если /(дг) = (—1)*+1, N=8, то получим последовательность 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1. В случае какой угодно конечной последовательности, содержа- содержащей N членов, существует функция /(дг), удовлетворяющая поста- поставленным требованиям'). Бесконечную последовательность объектов записывают сле- следующим образом: Av А» А3, ... , C) или Alt А%, А3, ... , Ап, ... D) Первое многоточие в последней строчке означает, как и раньше, пропуск конечного числа членов; но многоточия, стоящие в конце строки, согласно общепринятому условию, всегда обозначают пропуск бесконечного числа членов или, лучше сказать, возможность неограниченного продолжения. Ради сокращения письма пользуются также весьма часто записью \АЯ\. E) ') Такова, например, для последовательности B) функция, представляю- представляющаяся в виде рационального многочлена степени N— 1 N _ V / (m-\)\{N-m)\ (интерполяционная формула Лагранжа).
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 143 Член последовательности Ап, индекс которого обозначен буквой (в данном случае п), называется общим членом последовательности. В настоящей главе будут рассматриваться только числовые после- последовательности, т. е. последовательности чисел (исключительно — действи- действительных), в следующей главе — последовательности функций (функцио- (функциональные последовательности). Позднее придётся встречаться с последова- последовательностями, составленными и из иных объектов. Как задать (определить) бесконечную числовую последо- последовательность? Наиболее естественным является аналитический спо- способ, указывающий в явной форме, какие действия нужно выполнить над значком п, чтобы получить общий член последовательности: (я=1, 2, 3, ...). В каждом данном случае подбор функции f(x) к заданной числовой последовательности может представлять большие или меньшие трудности. Этот вопрос стоит в стороне от целей, преследуемых настоящей статьёй, и ему здесь не будет уделено места. Заметим здесь лишь следующее. Для каждой числовой последовательности функцию f(x) можно видоизменить различными способами. Так, в примере 3 вместо f(x) = (—1)*+1 можно взять /(х)= cos т:х; в любом примере вместо f(x) можно взять f(x)-\- sin кх и т. п. Отметим ещё один способ задать последовательность: это спо- способ рекуррентных зависимостей1). Он указывает, какие действия нужно произвести над членами последовательности, уже вычисленными а„ а2, ... , ап, чтобы получить следующий член ап+1; помимо того, должны быть заданы, в том или ином числе (смотря по характеру зависимости), несколько первых членов («начальные данные»). Рассмотрим ряд примеров последовательностей, которые будем предполагать (ради простоты записи) бесконечными. 1. Арифметическая прогрессия определяется рекур- рекуррентной зависимостью (разностным уравнением) ап+1 — an = d (я=1, 2, 3, ...) F) с начальным данным а1 = а. Прогрессия имеет вид a, a-J-d, a-\-Id, ... , а-\-(п — 1)d, ... Формула для общего члена an = a + {n—\)d (n=l, 2, 3, ...) задаёт ту же прогрессию аналитическл. Правая часть этой формулы зависит от индекса п линейно. ') Вместо «рекуррентная зависимость» говорят также «разностное уравнение».
144 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 2. Если общий член последовательности ап задаётся формулой вида ап = Р(п), где через Р(х) обозначен некоторый многочлен (целая рациональная функ- функция) степени т относительно jc, то последовательность {а„} носит- назва- название арифметической прогрессии порядка т. Обыкновенной арифметической прогрессии соответствует, таким образом, порядок 1. Приведём примеры арифметических прогрессий высших порядков: {яа} = 1, 4, 9, 16, 25, ... (порядка 2), {"(иаб~!)| = 0, 1, 4, 10, 20, ... (порядка 3). Легко понять, что если Р(х) есть многочлен степени т, то Р(х+1)-Р(х) есть многочлен степени т — 1. В самом деле, из формулы Р(х) = ахт + Ьх'1 следует, что Р(х+ 1) — Р(х)=тахт~1-\- и здесь та^О. Отсюда ясно, что «.последовательность разностей* {о„+1 — а„}, составленная из арифметической прогрессии порядка т, есть прогрессия порядка т — 1. Можно было бы также доказать, что «.последовательность сумм* составленная из арифметической прогрессии порядка т, есть прогрессия порядка т -\- 1 (но мы не будем приводить здесь доказательства). Эти свойства легко проверяются на приведённых выше примерах. Они могут также быть использованы при продолжении» прогрессии вправо. Например, написав под пятью ранее выписанными членами прогрессии второго (п(п—1I . порядка <—5—=—'-> соответствующие разности, мы обнаруживаем, что эти разности образуют обыкновенную прогрессию (первого порядка); продолжая её и затем суммируя, получаем продолжение данной прогрессии: О, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... 1,2,3, 4 5, 6, 7, ... Таким образом, члены арифметической прогрессии любого порядка можно вычислять последовательно с помощью одних сложений. 3. Геометрическая прогрессия определяется рекур- рекуррентной зависимостью = q (я=1, 2, 3, ...) G) с начальным данным CL\ (Хш
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 145 Прогрессия имеет вид a, aq, aq* aqn~\ ... Формула для общего члена an = aqn-1 (я=1, 2, 3, ...) задаёт ту же прогрессию аналитически. 4. Последовательность «факториалов» определяется рекуррентной зависимостью an+i=(n+\)an (п=1, 2, 3, ...) с начальным данным в1 = 1. Последовательность имеет вид 1, 2, 6, 24, 120, ... , п\ причём общий член даётся формулой а„ = л!= 1 -2 • З...Л. 5. Последовательность Фибоначчи1) определяется тем условием, что каждый член (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих: G«+a = G» + Gn+i (и = 3, 4, ...). (8) В качестве начальных данных указываются значения двух первых членов, например, e,=0, oj=l. (9) Тогда без всякого труда по рекуррентной формуле (8) мы находим: = 2 + 3 = 5, а7 = 3 + 5 = 8, а„ = 5-|-8=13, a9 = 8-f 13 = 21, а,0= и т. д. Написав некоторое число членов последовательности Фибо- Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... , A0) естественно поинтересоваться, нельзя ли задать эту же последо- последовательность аналитически, представляя общий ее член ап в явной форме как функцию значка п (в «замкнутой форме» а). ') Леонард Пизанский (XIII век). 2) Смысл последнего иногда употребляемого оборота речи заключается в том, что в формуле, выражающей а„ через п и содержащей лишь элемен- элементарные операции, число этих операций не должно зависеть от и. Например, относительно последовательности факториалов (п. 4) неправильно было бы сказать, что её общий член ап = п\ записан «в замкнутой форме» (хотя и весьма кратко). 10 Энциклопедия, кн. 3.
146 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Мы приведём здесь такого рода решение «разностного» уравне- уравнения (8), предварительно заметив, что существует только одна последовательность, удовлетворяющая требованиям (8) и (9): в самом деле, раз первые два члена заданы, третий определяется однозначно по первым двум, четвёртый — по второму и тре- третьему и т. д. Общий член ряда Фибоначчи, как легко прове- проверить, имеет вид Читателю, которого поразит эта формула, мы сделаем всё же намёк по поводу того, каким путём можно к ней придти. Попытаемся, сначала оставляя в стороне начальные условия (9), найти геометрическую прогрес- прогрессию, которая обладала бы рекуррентным свойством (8). Полагая в уравне- уравнении (8) an = aqn~l, мы получим что при допущении афй, q^O приводит нас дальше к квадратному уравнению (») Решая его, мы убеждаемся, что знаменатель прогрессии должен равняться одному из чисел 1+VH , 1 q = -JL3-— или q' = обратно, каковы бы ни были числа а и а', прогрессии \ A2) a, aq, aqs, aqs, ... , aqN a', a'q', a'q", a'q13, ... , a'q' ,...) удовлетворяют соотношению (8). Далее, обратим внимание на то обстоятельство, что если каждая из последовательностей A2) удовлетворяет соотношению (8), то «последова- «последовательность-сум ма> а + а', aq + a'q1, aq' + a'q", aq* + e1q<\ ... , aqN~' + a'q'N~l также ему удовлетворяет'). Затем останется подобрать постоянные а и а' так, чтобы выполнялись начальные условия (9): для этого достаточно решить систему уравнений 1) В самом деле, складывая равенства aqn+1 = aqn-* + aqn и alqln+1 = a'ql"-i-\-a'qm, получим равенство aqn+l + a'q'"+' = (ciqn~l + a'q^) + (aqn + a'q).
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 147 6. Рассмотрим последовательность, отличающуюся от последова- последовательности Фибоначчи тем, что каждый член её равен ке сумме, а полусумме двух предыдущих («=1,2,3,...), A3) при прежних начальных условиях Cj:=0, Мы получаем: ~2~ 3 ~ аз — 2 — ~2 > а* — 2 — 4 ' а" — 2 — ~8* 4 + 8 11 8 +16 21 16 + 32 43 а6— ^ — Тб' ат— 2 ~32' а» ~ 2 "~64' " Т- Д" Общий член в„ возникающей последовательности О , i i 1 » ?1 « ,14) ' ' 2 ' 4 ' 8 ' 16' 321 М' ¦"¦ 1 ' может быть найден тем же методом, что и в предыдущем примере; ио вместо квадратного уравнения A1) придётся решать уравнение корни которого суть 1 и | =-| . Подбирая постоянные в и в' в выражении « + (—1)"""'"oh-i так» чтобы удовлетворить начальным условиям A4), мы получаем: i{ij^} («=1.2,3,...). 7. Если задать последовательность требованием, чтобы каждый её член равнялся среднему арифметическому трёх предыдущих "л+8 то необходимо в качестве начальных условий задать значения трёх перных членов аи а2 и ва. Вычисление одного за другим всех членов не пред- представляет труда; правда, на пути к построению формулы для общего члена а„ встречаются некоторые затруднения *). Можно указать два различных геометрических представления конечной последовательности чисел а„ а.2> а3, .. ., ап, ... , aN. A5) ') Рассуждение, подобное предыдущему, приводит к уравнению третьей степени, имеющему мнимые корни; впрочем, в окончательной формуле мни- мнимости можно избежать.
148 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Первое связано с координатной плоскостью Оху; в плоскости отмечаются точки с координатами (п, ап) (п=1, 2, ... , АО и затем проводятся вертикальные отрезки, вершины которых нахо- находятся в этих точках, а основания — на оси Ох. Члены последова- последовательности изображаются этими вертикальными отрезками («стол- («столбиками»). Если член положителен, то отрезок направлен вверх; если отрицателен, то—вниз. Если члены возрастают при возрастании п в некоторых пределах (я, <^л<^/г2), то при движении слева направо «столбики» растут (алгебраически); если члены убывают, то «стол- «столбики» уменьшаются. При аналитическом задании последовательности «„=/(«) достаточно наметить график функции _у=/(лг) и затем прочертить вертикальные отрезки, соответствующие целым абсциссам. Другое геометрическое представление последовательности чисел связано с одной лишь числовой осью. На числовой оси последова- последовательно отмечаются точки ах, а2) ...; чтобы точки не смешались, необходимо ставить при них соответствующие пометки. Если в не- некоторых пределах пх<^п<^п% члены последовательности возрастают, то соответствующие точки располагаются слева направо; если убывают, то — справа на- налево. Чтобы перейти от первого геометрического представле- представления ко второму, достаточно спроектировать все верти- вертикальные «столбики» на вер- вертикальную же ось и затем (если угодно, придав этой оси горизонтальное положение) i) —н 1"  у"|т н поставить пометки при проек- 0 % ' циях. Рис. 67. Обоими указанными пред- представлениями пользуются в оди- одинаковой степени и преимущественно с целью дать толчок вообра- воображению, не придавая значения собственно-графической стороне дела. На рис. 67, а и б дано графическое представление последова- последовательности, определённой рекуррентным соотношением A3), причём значения п взяты только от п=1 до « = 8. Бесконечные последовательности допускают такие же геометри- геометрические представления, что и конечные. Разница лишь в том, что практически выполнить построение, конечно, невозможно и прихо- приходится всегда останавливаться на каком-ю члене ап, предоставляя дальнейшее усилиям воображения. 1 0.5 1 г з « * 5 Б 7 В a3asq8a4 аг
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОтТЕЛЫЮСТЕЙ II ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 149 § 35. Общее определение бесконечной числовой последовательности В дальнейшем, как это общепринято в математике, говоря о после- последовательностях, мы будем всегда иметь в виду бесконечные последовательности. Существенное отличие бесконечной последовательности от конеч- конечной заключается в том, что конечная последовательность может быть задана непосредственным перечислением её членов (как бы велико ни было их число), тогда как для бесконечной последова- последовательности такое перечисление принципиально невозможно. С этим положением легко согласится неискушённый читатель и на во- вопрос: «чем же в случае бесконечной последовательности можно заменить непосредственное перечисление?» — не замедлит высказаться в том смысле, что бесконечной последовательности должна быть присуща «закономерность», или что должен быть указан некоторый «закон», по которому составляются следующие один за другим члены последовательности; такую же мысль нетрудно найти и во многих литературных источниках. Оспаривать по существу справедливость такого суждения не прихо- приходится; необходимо только подвергнуть более глубокому анализу содержа- содержания понятия «закон», или «закономерность», принимая во внимание, что подобного рода термины (способные оказывать сильное, так сказать, гип- гипнотизирующее воздействие) не всегда находят для себя место в лексиконе математика. Тот, кто спешит произнести слово «закон», по большей части имеет в виду прежде всего математическую формулу, которая выражала бы общий член последовательности в виде функции индекса, или номера, и. Если над- надлежащим образом уточнить понимание термина «формула», или «элементар- «элементарная функция» (в том смысле, как это было сделано в § 1), то «указать закон» значит то же самое, что согласно сказанному в § 34 «задать последователь- последовательность аналитически», в «замкнутой форме». Этот способ задавать последова- последовательности, конечно, вполне пригоден для бесконечного случая, как и для конечного. Но подобное толкование «закономерности» слишком ограничено, недо- недостаточно чётко и неустойчино. Оно, поводимому, не охватывает многих про- простых «рекуррентных» последовательностей; при этом остаётся открытым вопрос о том, существует или не существует аналитическое представление последовательности в «замкнутой форме». Во многих случаях подобрать функцию /(jc) нетрудно. Так, для последо- последовательности (-1). 1. (-1). 1. (-1). 1. ... (И) оказывается возможным положить f(x) — cos%x. Более сложным м этом смысле мог бы показаться пример последовательности 1, 0, 0, 1, 0. 0, 1, 0, 0, ... A7) (с чередованием одной единицы и двух нулей); но и в этом случае вопрос, касающийся функции / (л:), решается утвердительно: можно положить, например,
150 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Такой же положительный результат можно получить и для произвольной периодической последовательности, с «периодом» р, аи с2, ... , ар, о„ а%, ... , ар, аи аа, .... ар, ... , A8) которую можно определить рекуррентным соотношением а„+р = а„ (п— 1, 2, 3, ...) с начальными данными — произвольными значениями at, c2, са, ... ,' ар. С другой стороны, например, рекуррентная зависимость "л+i — "п = п+1 с начальным условием Ci = l, очевидно, определяет единственную последо- последовательность ' 1+ 1++ 1+++ +1<19> которую, казалось бы, нет оснований отнести к числу «незакономерных», хотя вовсе не ясно, существует ли элементарная функция / (х), удовлетворяю- удовлетворяющая бесконечному числу условий f(n)=l+l+l+ ... +JL («=1,2,3,...). Вместе с тем нужно обратить внимание и на то обстоятельство, что, опираясь на определение последовательностей «аналитическим» методом, мы ставим понятие последовательности в зависимость от допускаемого класса функций f(x). Ограничиваться только классом «элементарных» функций не- неестественно. При дальнейшем же расширении понятие «функция» становится столь эластическим аппаратом, что приобретает способность изображать любую эмпирическую закономерностьх), в связи с чем сама идея «закономерности» поднимается, если можно так выразиться, на более высокую ступень. В свете высказанных соображений и приведённых примеров не должен показаться удивительным следующий способ определения бесконечной после- последовательности, который в настоящее время принят в математике. Числовая последовательность \ап\ считается заданной, если указано правило, позволяющее по заданному индексу — произволь- произвольному целому положительному числу п — однозначно определить член последовательности ап, стоящий на п-м месте. Другими словами, последовательность {ап\ задана, если с каждым целым положи- положительным числом п сопоставлено (приведено в соответствие) неко- некоторое число ап. Характер правила, устанавливающего соответствие между п и ап, безразличен. В простейшем случае «аналитического» определения an—f(n) «правило» указывает совокупность элементарных матема- математических операций, которые нужно выполнить над числом п, чтобы получить число ап. Но «правила» могут быть и совсем иные. *) Яркая иллюстрация этой мысли приведена в § 49.
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 151 Приведём примеры, в которых «правило» угадывается без труда: 1) 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, ...; 2) 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ; 3) 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, ... ; 41— — — — — — — — -i_LA ' 2 ' 3 ' ~3~' 4 • 4 ' 5' 5' 5' 5' 6' 6 ' "" " В каждом из этих примеров «закономерность» (в более широком смысле) имеется налицо: последовательности «заданы», хотя вопрос о существовании функции f(x) крайне неясен, и нельзя также усмотреть наличия простых рекуррентных зависимостей. В примере 3 правило, определяющее соответствие между п и а„, таково: а„ есть га-й десятичный знак п разложении отношения длины окружности к длине диаметра. В примере 4 пыписыпаются п пиде последовательности псе несократимые прапильные рациональные дроби. Порядок определяется тем условием, что из двух дробей — и ~ дробь —¦ следует за дробью —, если д' > д; а в слу- случае g' = q. если р'~>р. Чтобы узнать, какая дробь стоит на га-м месте, нужно продолжить последовательность до га-го места и посмотреть, какая дробь станет на этом месте. Остановимся на некоторых спойствах бесконечных числовых последовательностей. Среди конечного числа данных различных чисел всегда можно пыбрать наибольшее и наименьшее. Понятие наибольшего и наименьшего числа тре- требует небольшого уточнения п тех случаях, когда данные числа не обяза- обязательно различны между собой. Рассмотрим сначала конечную последо- последовательность «1. °2, аа, ... , aN. B0) Наибольшим из чисел B0) назыпается такое, которое не меньше всех остальных: оно обозначается через max {au с2, ... , с„}. Таким образом, max{c,, cs, ..., aN}^an (n=I, 2, ..., N), B1) но пместе с тем равенстпо имеет место хотя бы для одного значения п. Точно так же наименьшим из чисел B0) назыпается такое, которое не больше всех остальных: оно обозначается через min [аи а°, ... , с„}; мы получаем min {Cj, as, ... , aN] sg an (n = 1, 2, ... , N) B2) при наличии рапенстпа хотя бы для одного значения п. Существование наибольшего и наименьшего членов конечной числовой последовательности не вызывает никаких сомнений'). Совсем иначе обстоит дело в случае бесконечной числопой последовательности: такая последовательность может не иметь наибольшего члена и может не иметь наименьшего. Так, последовательность натуральных чисел {п\ не имеет наи- наибольшего члена; последовательность целых отрицательных чисел ') Не исключается такой случай, что наибольший и наименьший члены соппадают.
152 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО {—п} не имеет наименьшего; последовательность, составленная из целых чисел, {(— 1)п+1л[ не имеет ни наибольшего, ни наименьшего. Другое яркое отличие бесконечных числовых последователь- последовательностей от конечных связано с понятием ограниченности. Последовательность (всё равно какая — конечная или бесконеч- бесконечная) называется a) ограниченной сверху (гопорят также — справа), если пс.е члены её меньше одного и того же числа М: ап<М (я=1, 2, 3, ...), B3) b) ограниченной снизу (слева), если все члены.её больше одного и того же числа т: ап>т (я = 1. 2, 3, ...), B4) c) ограниченной (просто), если она ограничена и сверху и снизу: т<ап<м (л=1, 2, 3, ...). B5) { Всякая конечная последовательность, очевидно, ограничена. В качестве М можно взять любсз число, большее чем наибольший из членов последовательности; в качестве т — любое число, меньшее чем наименьший из членов последовательности. Аналогичное утверждение неверно для бесконечных по- последовательностей. Примером бесконечной последовательности, не ограниченной сверху, может служить последовательность натураль- натуральных чисел \п\; но она ограничена снизу. Напротив, последователь- последовательность {—п\ не ограничена снизу. Последовательность {(—1)"+1л} не ограничена ни сверху, ни снизу. Бесконечные арифметические прогрессии первого порядка огра- ограничены снизу, но не сверху, или наоборот, смотря по тому, будет ли ' их разность положительной или отрицательной. Бесконечные геомет- геометрические прогрессии ограничены снизу, но не сверху, если их знаменатель больше единицы; ограничены и сперху и снизу, если знаменатель заключён между — 1 и -\- 1; не ограничены ни сверху, ни снизу, если знаменатель меньше чем — 1. Бесконечная последо- последовательность Фибоначчи A0) не ограничена сверху, но последова- последовательность A4) ограничена. Ограничены сверху и снизу все перио- периодические последовательности, а также последовательности 1, 3 и 4 на стр. 151; но последовательность 2 (там же) ограничена снизу, но не сверху. Последовательность не ограничена сверху. Чтобы в этом убедиться, нужно установить, что, как бы велико ни было число М, всегда можно указать такой
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОПАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 153 член последовательности ап, что будет иметь место неравенство ап^М; нужно, другими словами, указать такое п, что От нас зависит взять п вида п = 2Р. Обратим внимание на то, что 14-1 + 1 1 > 9 т а 2 ' 3 1 1 + ~з~~т~" 1 , р-' + Поэтому, взяв ' 9Р Т • • ¦ "Т" 9Р 2М, будем иметь: I + + + Если бесконечная последовательность ограничена сверху, то отсюда не следует, что в ней имеется наибольший член. Так, для последовательности п \ 1 2_ 3^ +Tl—~2' 3 ' Т>""" общий член . . меньше чем 1 (=7kf); но в ней нет наибольшего члена. Обратное, напротип, верно: совершенно очевидно, что если в последовательности \ап\ имеется наибольший член, то, взяв М хоть немногим больше этого члена, мы получим для всех членов последовательности неравенство § 36. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки Многие из терминов, которыми мы будем пользоваться дальше, встречались неоднократно как в этой статье, так и в предшествую- предшествующих. Уточним, однако, какой смысл мы будем в них вкладывать в настоящем параграфе. ') В самом деле, сумма в каждой строчке ^-^-, а всего строчек р-\-1.
154 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Каждое действительное число х мы представляем себе написан- написанным в виде бесконечной десятичной дроби х = где х0 обозначает число единиц, хг — число десятых, х2 — число сотых,..., вообще хп — число единиц разряда 10~", заключаю- заключающихся в разложении числа х. Числа, представимые в виде конечной десятичной дроби, мы усло- условимся записывать также в виде бесконечной десятичной дроби — с «нулём в периоде», например 4,83 = 4,83000 ... Такие числа допускают ещё другое представление, именно, с «девят- «девяткой в периоде», например 4,83 = 4,82999 ... Итак, каждое число может быть предстаплено в виде бесконеч- бесконечной десятичной дроби одним или — самое большее — двумя различ- различными способами. Но, с другой стороны, всякая бесконечная десятичная дробь представляет лишь одно число. Под «десятичными дробями нулевого ранга» мы будем понимать все целые числа и обозначать их совокупность через ф0); под «десятичными дробями первого ранга» будем понимать все конечные десятичные дроби, имеющие не более одной значащей цифры после запятой, и обозначать их совокупность через (Oj); вообще под десятичными дробями «п-го ранга» будем понимать все конечные десятичные дроби, имеющие не более п значащих цифр после запя- запятой, и будем обозначать их совокупность через (Dn) и т. д. Каждая из числовых совокупностей (?>„), будучи расположена в порядке возрастания, представляет собой арифметическую прогрессию (про- (простирающуюся в обе стороны — вправо и влево), с разностью, равной 10"". Под промежутком [а, Ь], где а<^Ь, условимся понимать сово- совокупность всех действительных чисел х, заключённых между а и Ь, включая эти две точки (начальную и конечную): Точки промежутка, отличные от начальной и конечной, называются внутренними; начальная и конечная точки называются также кон- концевыми. Длиной промежутка [а, Ь] называется разность Ь — а; длина промежутка — всегда положительное число. Центром проме- промежутка [а, Ь] называется число (точка) ° ^ . Если а и Ъ — две произвольные точки (а^Ь), то они образуют или не образуют промежуток, смотря по тому, будет ли афЬ, или а = Ь. В первом случае начальной точкой, промежутка, образован-
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 155 ного числами а и Ъ, является меньшее из этих чисел, конечной — боль- большее. Длина промежутка, образованного точками а и Ь, равна \а — Ь\. Выражение \а — Ь | называется также отклонением, или расстоянием, точки а от точки Ь (или точки Ъ от точки а); очевидно, при любых а и Ъ \а — ft|==sO. B6) По определению абсолютной величины неравенство I* — с|<от (/и>0) B7) означает совместное выполнение двух неравенств {л: — с <[ т, — (дг— с) О, что равносильно выполнению одного двойного неравенства с — /я О< с -|- /я. B8) Таким образом, из неравенства вида B7) следует неравен- стпо B8), и обратно, из неравенства вида B8) следует неравен- неравенство B7). Так как точка с есть центр промежутка [с — т, с-\- т], а число 2т — его длина, то сказанное можно выразить ещё так: если отклонение точки х от точки с меньше чем т, то точка д: расположена внутри промежутка длины 2т с центром с, и обратно. Окрестностью точки с называется совокупность внутренних точек любого промежутка, для которого с является внутренней точкой. Чаще всего приходится иметь дело с окрестностями, для которых данная точка является центром. Под т-окрестностью точки с (от^> 0) понимают совокупность точек, расстояние которых от точки с меньше чем т; чтобы точка х принадлежала m-окрестности точки с, необ- необходимо и достаточно выполнение любого из соотношений B7) или B8). Если 0 <^ mt <^ т3 и точка д: принадлежит тх-окрестности точки с, то она принадлежит также и её /яа-окрестности; обратное неверно. Читателю рекомендуется ясно представлять себе геометрический смысл всего предыдущего (на числовой оси). Отметим ещё в качестве леммы следующее положение: Если имеется «двусторонняя'»') арифметическая прогрессия с разностью d(^>0), то при условии m^>d т-окрестность любой точки с, не принадлежащей прогрессии, содержит обе точки про- прогрессии, между которыми лежит с, а следовательно, и весь обра- образованный ими промежуток. Если же сама точка с входит в состав прогрессии, то её т-окрестность содержит обе ближайшие точки прогрессии, а также оба прилежащих промежутка длины d. То-есть продолжающаяся неограниченно не только пправо, но и влево.
156 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Это совершенно ясно геометрически. Аналитическое доказатель- доказательство также несложно. Пусть точки прогрессии имеют вид и пусть а-\-(р— тогда с помощью условия m^>d получаем с — m^a-\-pd— m<^a-\-pd— d = a-\-{p— \)d, с-\- т^а -\- (р — 1)d-{- т^>а-\- (р— I) d-\-'d = a ~\-pd, так что с — т <^а -\- (р — 1) d <^a -\- pd <[c -\- т. Теперь мы сформулируем основную теорему этого параграфа. Какова бы ни была ограниченная бесконечная последователь- последовательность {an}=at, ait as, ... , ап, ... , B9) всегда существует по меньшей мере одна точка с, обладающая тем свойством, что в любой её сколь угодно малой (по длине) окрестности имеется бесконечное множество точек последова- последовательности B9). Доказательство этой теоремы базируется на следующем очевид- очевидном принципе, который мы формулируем для большей наглядности следующим образом: если в конечном числе ящиков разложено бесконечное множество предметов, то хотя бы в одном ящике окажется бесконечное множество этих предметов. Обращаясь к доказательству теоремы, условимся прежде всего, что если среди чисел ап будут встречаться отрицательные, то мы будем записывать их в виде десятичных дробей с отрицательными характеристиками, но положительными мантиссами, например — 4,52038 ... =5,47961 ... Все члены последовательности разбиваются на классы («распре- («распределяются по ящикам»), смотря по характеристике, т. е. по тому, какое число целых единиц стоит в соответствующей записи слева от запятой. Число таких классоп — конечное, так как последова- последовательность \ап\ — ограниченная, и потому все числа ап заключены между двумя какими-то числами т и М: т<ап<М (и=1, 2, 3, ...). Не ограничивая общности, можно считать числа т и М целыми. Наших классов, или «ящиков», — столько же, сколько различных характеристик т, от+1, /я-[-2 М— 1, C0) именно, N=M—т. Так как членов последовательности \ап) бес- бесконечное множество, то хотя бы в одном из «ящиков» их окажется
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОП\ТЕЛЬИОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 157 бесконечное множество. Другими словами, среди целых чисел C0) найдётся одно такое (обозначим его через с0), что бесконечное множество членов последовательности \ап\ имеют характеристику с0, т. е. удовлетворяют неравенству Предположим, далее, что «ящик» с характеристикой с0 разби- разбивается на 10 «подразделений» — смотря по тому, какова первая цифра после запятой в рассматриваемой десятичной дроби. Так как в этот «ящик» попадает бесконечное множество членов последова- последовательности, то хотя бы в одно из 10 «подразделений» их также попадает бесконечное множество. Пусть, например, бесконечное множество членов последовательности попадает в «подразделение», характеризуемое цифрой с,, на первом месте справа от запятой; другими словами, допустим, что имеется бесконечное множество чисел ап, удовлетворяющих неравенству С0'С1 ^ Х \ С0'С1~Г 1Q • Вообразим ещё дальше, что «подразделение», характеризуемое цифрами co,ct, разбивается ещё на 10 «под-подразделений» — в за- зависимости от второй цифры справа от запятой. Хотя бы одно из таких под-подразделений, например характеризуемое цифрой с2 на втором месте спрапа от запятой, содержит бесконечное множество членов последовательности, так что существует бесконечное мно- множество членов, удовлетворяющих неравенству co'cica ^= ¦*¦ \ cn>cica "T iQfj • Можно предстапить себе, что подобного рода процесс продол- продолжается до бесконечности. Мы получим таким образом бесконечную последовательность цифр') Cqi С|, Са, . . . , Сп, . . . , соответственно стоящих слева от запятой, на первом, на вто- втором, ... , на л-м месте справа от запятой, ... , и обладающих тем свойством, чго в каждом из промежутков [co,ct; co,ct-{- КГ1], C1) ...сп; со,с1Сз...с„+10-"], содержится бесконечное множество членов последовательности {ап\. ') Впрочем, с0 может быть каким угодно, положительным или отрица- отрицательным, целым числом или нулем.
158 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Рассмотрим теперь число с, выражающееся бесконечной дробью c = co,Clc^...cn... , C2) и докажем, что в любой его окрестности содержится бесконечное множество точек последовательности \ап\. Это число принадлежит одновременно каждому из промежутков C1). Возьмём какую угодно окрестность точки с, т. е. сколь угодно малый промежуток, содер- содержащий внутри точку с. Не ограничивая общности, можно допустить, что точка с есть центр этого промежутка'). Обозначая длину про- промежутка через 2е, мы будем иметь дело с 6-окрестностью точки с: I*— или с — е<^х<^с-\-е. Десятичные дроби ранга п образуют арифметическую прогрессию с разностью 10~". Если только е>КГ", C3) то по лемме е-окрестность точки с содержит обе ближайшие к с дроби co,CiCa.. .cn и c^cfa.. .cn -f~ 10-", а следовательно, содержит и образованный ими промежуток (co,clCi.. .сп; сй,с^.. хп + 10"") C4) (это верно также и в том случае, если с совпадает с одной из назван- названных дробей). Но так как в промежутке C4) содержится бесконеч- бесконечное множество членов последовательности \ап\, то справедливо то же самое и относительно рассматриваемой е-окрестности точки с. Остаётся заметить, что неравенство C3) равносильно следую- следующему: «>lg|. C5) Итак, для того чтобы предыдущее рассуждение имело силу, до- достаточно, пользуясь десятичными дробями ранга п, взять в качестве п любое целое число, удовлетворяющее неравенству C5). Теорема доказана. Всякая точка, обладающая тем свойством, что в любой её окре- окрестности содержится бесконечное множество точек последователь- последовательности {ап\, называется предельной точкой этой последовательности. Пользуясь этим термином, можно сформулировать теорему Больцано-Вейерштрасса следующим образом: *) Если доказано, что в промежутке АА' (с центром с) содержится бес- бесконечное множество точек последовательности [аП], то тем самым аналогич- аналогичное утверждение будет доказано и для промежутка АВ, охпатыпающего АА'.
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 159 Всякая ограниченная бесконечная последовательность [ап\ имеет по крайней мере одну предельную точку. Примечание 1. При доказательстве теоремы Больцано-Вейерштрасса то обстоятельство, что множество рассматриваемых чисел ап (п=1, 2, 3, ...) может быть расположено п порядке последовательности, т. е. что оно — счётное (см. Э. э. м., т. I, стр. 92), не играет никакой роли. Поэтому теорема справедлива не только для последовательности чисел, но и для любого бесконечного множества чисел Еу заключённого в дан- данном конечном промежутке. Примечание 2. Определение предельной точки множестпа Е можно видоизменить следующим образом: точка с называется предельной точкой данного множества Е, если в любой её сколь угодна малой окрестности имеется хоть одна точка этого множества, отличная от точки с. В самом деле, если верно, что в любой окрестности точки с содержится хоть одна точка данного множества Е, то перно и то, что в любой окрестности их содержится сколько угодно. Пусть, например, (с — е, с -\- е.) есть данная е-окрестность точки с. Выберем в ней точку ct данного множества Е, отлич- отличную от с, затем возьмём ei-окрестность точки с, подчиняя et условию ei < I ci — с |, и в этой ец-окрестности (с — е.и с-\- et) выберем новую точку с2 множества Е, отличную от с; затем возьмём е2-окрестность той же точки с, подчиняя е2 условию е2 < | с2 — с |, и в этой еа-окрестности (с — es, с 4- е2) выберем третью точку с8 данного множестпа Е, отличную от с, и т. д. § 37. Примеры. Предел как единственная предельная точка Различные последовательности могут иметь то или иное число предельных точек; существуют также последовательности, обладаю- обладающие бесконечным множеством предельных точек. Заметим ещё, что предельная точка может «принадлежать» последовательности, т. е. входить в состав её членов (может быть, даже неоднократно), или J-, 1 A 1 В) \ \imd.L "г №,, вг НИМ lit 1 о HgtigiintA иП).й.а7 и$ й] 1 1 1Ш 1 III 1 I 1 1 1 0 1 0, \ 1 \ 1 -10 1 Рис. 68. не принадлежать ей. Разнообразие мыслимых возможностей видно из приведенных ниже примеров. Читателю рекомендуется при рас- рассмотрении примеров пользоваться геометрическим представлением, изображая члены последонательности в виде точек на числовой оси. 1. Последовательность ll=l ill «J— ' 2 ' 3 ' 4 ' ' • ¦ имеет одну предельную точку 0 (рис. 68, а).
160 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 2. То же можно сказать о последовательности которая от предыдущей отличается тем, что на первое место постав- поставлен нуль и все члены сдвинуты на одно место; также о последо- последовательности 0, 1,0,1,0,1,0,-1, ... , которая отличается от предыдущей тем, что нуль вставлен между всякими двумя членами (начиная со второго). 3. То же можно сказать о последовательностях вида ГЦ j_ J_ JL V/ 2я' 3я' 4я' ••• при условии а ^> 0. 4. То же можно сказать о последовательности с чередующимися знаками (рис. 68,6) f(- D"+M — 1 __L I _1 V п )— ' 2 ' 3 ' 4 ' * ' • и о любой последовательности, возникающей из последовательности \—> посредством расстановки знаков совершенно произвольным об- образом. 5. Любая бесконечная геометрическая прогрессия имеет един- единственную предельную точку 0, если только её знаменатель q удов- удовлетворяет условию )^[<^1. 6. Последовательности \a + q"\, где \q\<l, имеют единственную предельную точку а. 7. Последовательность n»+i_M=! — 1 - — .1 ' п+\}— 2 ' 3 ' 4 ' 5 ' ' * • имеет две предельные точки: 1 и — 1 (рис. 68, в). 8. То же можно сказать о последовательности {COS/Z7T} = {(— 1)"} = — 1, 1,-1, 1, ... 9. Если последовательность \ап\ имеет единственную предель- предельную точку а, а последовательность {Ьп\ — единственную предельную точку Ь, причём Ъ фа, то последовательность ак, bv a.2, bv Gj, b3, ... C6)
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 161 имеет две предельные точки: а и Ь. Если же Ь = а, то предыдущая последовательность имеет лишь одну предельную точку, именно, а=-Ь, например 1 ' 1 ' 2 ' 2 ' 3 ' 3 ' 4 ' 4 ' Т' Т' Ничто существенно не изменилось бы в этом примере, если бы в рассматриваемой последовательности C6), «составленной» из по- последовательностей {ап} и {Ьп\, члены этих последовательностей не чередовались между собой, а следовали бы и каком угодно порядке. 10. Последовательность {sin/z|}==l, 0, —1, 0, 1, 0, —1,0, ... имеет три предельные точки: 1, —1 и 0. Любая периодическая последовательность имеет в качестве точек все те числа, которые встречаются в пределах периода. 11. Если последовательность {ап\ имеет единственную предель- предельную точку а, последовательность \Ьп} — единственную предельную точку Ь, , последовательность {/„} — единственную предельную точку /, то при условии, что числа а, Ь, ... , I различны между собой, все они являются предельными точками последовательности Яц Ьу, ...» ly, flg, D2> • • • » ^2» ^3> &3> • • • ' ^3» В случае совпадений число предельных точек соответствующим образом уменьшается. 12. Если рассмотреть последовательности, стоящие в первой, второй, третьей и т. д. строчках следующей таблицы: 1 I I ±_L± 1-L-L 1-L-L ±4-~L^ La-L^ L + L^ J-4-1 2 ' 1* ' 2 "• 2- ' 2 ' 3- ' 2 ' 4s ' ' " '' i,l/ ill7 1117 111 4 ~T 1" 4 "T" 2» ' 4 "t" 32 ' 4 1" 4« « • • • » то легко убедиться, что каждая из них имеет единственную пре- предельную точку, а именно, 1, тг> "о" и т. д. Но составляя последо- вательность из всех элементов таблицы по диагоналям (как пока- показывают стрелочки), получаем последовательность ~2' 7' Т' 3 ¦ 4 ' 9 ' 4 ' 12* 18' 16' • - • ' 11 Энциклопедия, кн. 3.
162 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО для которой предельными точками являются все числа ' 1' ?' и т' д" и еще число 0 (см. по этому поводу теорему на стр. 163). 13. Последовательность 1 на стр. 151 имеет две предельные точки: 0 и 1. 14. Последовательность 3 (там же) не может иметь иных пре- предельных точек, кроме десяти следующих: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все ли они являются предельными точками этой последовательности, в настоящее время нельзя считать установленным. 15. Последовательность 4 (там же) имеет в качестве предельных точек все числа х без исключения из промежутка [0, 1]: Действительно, в любом промежутке содержится бесконечное мно- множество рациональных чисел (рациональные числа расположены всюду плотно'). 16. Последовательность {sfn/гяб}, где 8 — иррациональное число, имеет предельными точками все точки промежутка [— 1, -\- 1]: Доказательство теоремы проведём «от протишгого. Вообразим, что на единичной окружности отмечены, как принято в три- тригонометрии, все точки Р„, соответствующие центральным углам вида mrb, a также на вертикальном диаметре — их проекции Р"п(п=\, 2, 3, ...). Если бы на этом диаметре существовал хоть один промежуток, на котором бы не было точек Р'п, то на окружности, очевидно, нашёлся бы «дуговой» проме- промежуток, на котором бы не было точек Р„. Таких промежутков на окружности может быть больше чем один, но так как сумма их длин не превышает длины окружности 2я, то срепи них можно выделить наибольший (или один из наибольших, если их несколько). Обозначим через L дугу окруж- окружности, соответствующую этому промежутку, и через ). — её длину @ < Х < 2ir). Вращая дугу L около центра на угол 2пп, кратный 2л, мы получаем новую дугу Ln, однако соответствующую тому же самому дуговому промежутку. Условимся теперь называть гомологическими между собой такие дуги, которые получаются одна из другой посредством вращения на угол, крат- кратный яв. Если дуга L' — гомологическая по отношению к L, то ясно, что на ней также нет точек Рп. Рассмотрим совокупность дуг Ln (я=1, 2, 3, ...), гомологических дуге L = /.„. Так как длина каждой нз них равна X > 0, а число их — бесконечное, то наверное какие-нибудь две из них, например Lp и Lq (p<q), окажутся покрывающими на окружности один и тот же дуговой промежуток М длины |л (>¦ 0). •) См. Э. э. м., кн. 1, А. Я. X и н ч и и, Элементы теории чисел, гл. IV и V.
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 163 Возможны два случая: 1) ]л=Х и 2) jj.<L Первый случай приходится отвергнуть. В самом деле, если jj- = X, to у дуг Lp и Lq совпадают как начальные, так и конечные точки; значит, дуга Lq получается нз дуги Lp в результате вращения на угол, который равен (Я—Р)П8; с другой же стороны, этот угол является кратным 2ic. В таком случае (д — р) тсй = 2гтс (г — целое), т. е. д-р' что противоречит предположению относительно иррациональности 6. Но приходится отвергнуть и второй случай. Действительно, в дуговом промежутке, покрываемом объединением дуг Lp и Lq, не содержится точек Р„, так как нх нет ни на дуге Lp, ни на дуге Lq; длина же его равна что противоречит определению дуги L. Теорема. Если некоторое множество точек Е имеет в данном (ко- (конечном) промежутке бесконечное множество предельных точек, то всякая предельная точка множества, составленного из этих предельных точек, есть вместе с тем предельная точка данного множества. Доказательство. Пусть Е' есть множество предельных точек дан- данного множества Е и пусть с" есть предельная точка множества Е'. По предположению, в любой окрестности точки с" имеется сколько угодно точек множества Е', и вместе с тем в любой окрестности каждой из точек с' множества Е имеется сколько угодно точек множества Е; требуется дока- доказать, что в любой окрестности точки с" имеется хоть одна *) точка данного множества Е, отличная от с". Пусть (с" — е, с" -\-t) — заданная окрестность точки с". В окрестности 1с" ^-, с" +"о~) этой точки мы найдем точку с' множества Е1 и будем иметь: В окрестности (с'—^-, e'-|--^-J точки с1 существует сколько угодно точек данного множества Е; выберем одну из них, например с, отличную от с", так что будет: Тогда по известному свойству абсолютных величин2) получим: что и требовалось доказать. Примечание. Теорема остаётся справедливой, и сохраняется в силе доказательство, если «множество Е» заменить «последовательностью {в,.}». J) См. примечание 2 на стр. 159. ") См. сноску s) на стр. 170. 11*
164 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Если ограниченная последовательность имеет только одну предельную точку, то эта точка называется пределом после- последовательности. Если же ограниченная последовательность имеет более одной предельной точки, то говорят, что последовательность не имеет предела. Таким образом, каждая из последовательностей, приведённых в примерах 1—6, имеет предел, а последовательности в примерах 7—16 предела не имеют1). Если точка с есть не только предельная точка, но и предел ограниченной последовательности {ап}, то верно не только то, что в любой окрестности с лежит бесконечное множество точек последовательности, но и то, что в любой окрестности с лежат ^ _ почти все точки после- j f ! ^ | довательности. При этом т с-е с с+е м «почти все» означает—«все, а) кроме, может быть, коне-ч- , _ ного числа». f | "N[ 'f | '^ Желая это установить, с-е с се с-е е с+е достаточно, как и раньше, ^ ограничиться рассмотрением Рис. 69 промежутков, по отноше- отношению к которым с является центром. Итак, пусть дана некоторая е-окрестность точки с (рис. 69,а); считая, что все точки последовательности {ап} заключены между т и М, можно допустить, что е<^М — с и е<^с — т, так что промежугок [с — е, с -{- е] лежит внутри промежутка (т, М). Будем рассуждать «от противного»: все точки последовательности \а„\ лежат в промежутке [т, М], и если бы было неверно, что «почти все» они лежат в промежутке [с — е, c-f-e]» то это означало бы, что бесконечное множество их заключается в паре промежутков [т, с — е] и [с-[-е, М], и следовательно, заключается хотя бы в одном из них, например в промежутке [т, с — е]. Но по теореме Больцано-Вейерштрасса отсюда следовало бы, что последователь- последовательность {ап\ имеет предельную точку в промежутке (т, с — е). По- Последнее невозможно, так как, по предположению, с — единственная предельная точка последовательности. Мы приходим, таким образом, к заключению, что «почти все» точки последовательности лежат в промежутке [с — е, с-}-6]- Обратно, если верно, что в любой окрестности точки с лежат «.почти все» точки бесконечной последовательности {ап\, то отсюда J) Это относится и к примеру 14. Можно утверждать, что последова- последовательность, приведённая в этом примере, имеет по крайней мере две предель- предельные точки. Иначе число тс представлялось бы периодической десятичной дробью и в таком случае было бы рациональным (см. Э. э. м., кн. 1, стр.312, теорема 4), тогда как доказано, что я — число иррациональное.
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 165 следует, что с есть единственная предельная точка этой после- последовательности. Докажем и это «от противного». Пусть, кроме точки с, есть ещё предельная точка d (фс); предположим, напри- например, что (?^>с (рис. 69,6). Так как с' — предельная точка, то в лю- любой её е-окрестности содержится бесконечное множество точек последовательности. Что касается точки с, то в её е-окрестности содержатся «почти все» точки последовательности. Выбрав е удо- с1 - с влетворяющим неравенству е<^—^—, получим с-\-е<^с'—е. Две е-окрестности оказались не имеющими ни одной общей точки; мы пришли к противоречию. Подвергнем, наконец, перефразировке выражение «почти все» точки последовательности. Если «почти все» точки последователь- последовательности заключены в некоторой е-окрестности точки с, то это зна- значит, что лишь конечное их число находится вне этого промежутка. Каждый из этих членов последовательности имеет свой индекс, и раз число их конечно, то среди этих индексов есть наибольший. Обозначим этот наибольший индекс через N. Он зависит, конечно, от выбранной окрестности точки с, т. е. зависит от числа е; чтобы подчеркнуть это обстоятельство, иногда при N ставят значок е и вместо N пишут Ne. Итак, среди членов последовательности {ап}, у которых индекс п не превышает N, одни, может быть, попадают в е-окрестность точки с, другие оказываются вне её; но если только п^>N, то можно уже наверное сказать, что соответствующий член ап находится в е-окрестности.' Высказанные соображения позволяют иначе сформулировать поня- понятие предела числовой последовательности. Это иное определение, к которому мы сейчас обратимся (исторически раньше сложившееся !), логически строго равносильно приведённому выше. § 38. Предел последовательности: классическое определение и основные свойства Число а2) называется пределом (конечным пределом, пределом «в собственном смысле» — см. § 39) числовой последовательности если, как бы мало ни было наперёд заданное положительное число е, можно указать такое число N~Ne, что неравенство /z>7V C7) влечёт за собой неравенство _ К —в|<е. C8) *¦) О. Коши впервые дал то определение предела, которое в настоящее время является общеизвестным и повседневно употребляемым. s) Для удобства дальнейшего изложения буква с предыдущего параграфа заменена здесь буквой а.
166 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Или словами (что гораздо менее отчётливо): число а есть предел последовательности {ап\, если отклонение общего члена последо- последовательности от а делается сколь угодно малым при условии, что индекс члена достаточно велик. Для обозначения того факта, что а есть предел последователь- последовательности \ап}, применяется любая из записей: 1) Нта„ = а (более старая), 2) ап-*а (более новая). В наше время обе они одинаково употребительны. Вместо «а есть предел ап» пользуются постоянно синонимиче- синонимическим оборотом: «ап стремится к а». Если хотят указать, что после- последовательность имеет предел, не указывая, — какой именно, то гово- говорят, что последовательность — сходящаяся. Иногда говорят также «последовательность сходится к а» или «к пределу а». Если последовательность не имеет предела, её называют расхо- расходящейся. Рассмотрим теперь внимательнее примеры 1—5 § 37 с точки зрения этого определения. Во всех этих примерах предел а равен нулю, и потому неравенство C8), наличие которого требуется установить, принимает более простой вид KIO C9) В примере 1 о„ = —, и неравенство C9) выполняется при л^>—, так что в качестве N может быть взято любое число, не меньшее 1 чем —. е В первой последовательности примера 2 а = г (при п ^2) ft 1 и неравенство C9) выполняется, если только п~^>—\-1; следова- следовательно, в качестве N может быть взято любое число, хотя бы на единицу большее чем —. Во второй последовательности примера 2 о2ш = —, а2т j = 0, и неравенство C9) выполняется автоматически для всех нечётных п; что касается чётных, то оно выполнено, если ^=/«^> —, т. е. при я^> —. Итак, в качестве N может быть взято любое число, не 9 меньшее чем —. В примере За„ = -, и роль N может играть любое число, не п меньшее чем е ",
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 167 В примере 4 всё обстоит так же, как в примере 1, поскольку (- 1)"+' 1 п п-1 В примере 5, полагая ап = ад"'1, мы должны иметь | а | • | q I" что равносильно Таким образом, N должно быть не меньше, чем правая часть этого неравенства. Из приведённых примеров видно, как следует понимать зависимость числа N, упоминаемого в определении предела, ох числа е. Нужно, впрочем, заметить, что на практике, если требуется найти предел данной последова- последовательности, то прибегать к «эпсилонным> рассуждениям не приходится, так как, основываясь на теоремах, излагаемых ниже, почти всегда удаётся сво- сводить более сложные случаи к более простым. Лишь редко подобного рода сведение оказывается невозможным, и тогда «эпсилонные> рассуждения слу- служат средством доказательства. Следующей теоремой придётся не раз пользоваться в дальней- дальнейшем: Из всякой ограниченной последовательности можно «выделить» сходящуюся последовательность. Это значит: если последовательность {ап\ — ограниченная, то можно указать такую возрастающую последовательность целых по- положительных чисел \рп\, что последовательность {ар } будет иметь предел. Доказательство. По теореме Больцано-Вейерштрасса (§ 36) последовательность \ап\ имеет хоть одну предельную точку, напри- например а. По определению предельной точки, во всякой е-окрестности точки а имеется точка последовательности \ап}. Пусть {е„} — после- последовательность положительных убывающих чисел, сходящаяся к нулю. Для каждого е„(/г=1, 2, 3, ...) подберём член данной последова- последовательности аРп, находящийся в е„-окрестности точки а: (я = 1, 2, 3, ...); D0) при этом, подбирая члены последовательности аРп один за другим, можно позаботиться, чтобы каждый следующий индекс рп+1 был больше предыдущего рп. Из соотношений D0) сейчас же следует, что Примечание. Мы рассматриваем в этом параграфе лить ограничен- ограниченные последовательности; заметим, однако, теперь же, что неограниченная последовательность не может иметь конечного предела, т. е. если после- последовательность {аП} имеет конечный предел а, то она непременно — огра- ограниченная.
168 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО В самом деле, задав себе какую-нибудь е-окрестность точки а, мы видим из соотношения C8), что все члены последовательности ап, начиная с индекса N -\-\, удовлетворяют неравенству ап < а + е. Вместе с тем среди конечного числа членов аи в2, , а^ можно выбрать наибольший; обозначая затем через М любое число, превышающее как этот наибольший член, так и число а -\- е, мы будем иметь при всех значениях га неравенство ап<М. откуда следует ограниченность сверху. Подобным же образом устанавливается и ограниченность снизу. На «переход к пределу» («предельный переход») можно смот- смотреть, как на некоторую операцию. С арифметическими опера- операциями предельный переход имеет общее, но кое в чём от них за- заметно отличается. Как и в арифметических операциях, здесь по дан- данным числам составляется новое число а = Ншо„; как и в арифметических опе- операциях, данными числами вновь составляемое число определяется однозначно. Но операция перехода к пределу далеко не всегда «возможна» (данная последовательность чисел может не иметь пре- цела). Далее, «данных» чисел должно быть не два (или конечное чи- число, как в случае сложения или умножения), а бесконечное мно- множество; притом весьма замечательно, что в результате отбрасыва- отбрасывания или добавления или замены конечного числа членов после- последовательности не изменяется сходимость последовательности ') и не изменяется её предел (если он существует). В самом деле, если точка а есть единственная предельная точка последовательности {ап\, то она, несомненно, будет единственной и для видоизменённой (указанным способом) последовательности. Весьма важно, что отбрасывать можно и бесконечное мно- множество членов последовательности — лишь бы оставлено было также бесконечное множество. Именно, справедливо следующее утвер- утверждение: Пусть \Pn\-Pl' Pi, ... , Рп,-.. есть некоторая возрастающая последовательность целых поло- положительных чисел. Тогда, если предел последовательности {ап} су ществует *) То есть сходящаяся последовательность остаётся сходящейся, расходя- расходящаяся — расходящейся.
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 169 пю существует и равен ему предел «частной» последовательности') В самом деле, раз последовательность {а„} имеет предел а (н следова- следовательно, ограничена), то это значит, что а есть единственная предельная точка этой последовательности. Так как все члены последовательности {оРп\ содержатся в последовательности {а„}, то последовательность Sap 1 также ограничена и вместе с тем не может иметь иных предельных точек, кроме а. Но по теореме Больцано-Вейерштрасса (§ 36) она имеет непременно хоть одну предельную точку. Итак, а есть единственная предельная точка после- последовательности {oPn}f т. е. есть её предел. Следующие основные теоремы характеризуют свойства предель- предельного перехода как операции и вместе с тем лежат в основе факти- фактического вычисления пределов2). Теорема I. Если последовательности {ап\ и \bn) имеют пре- пределы, именно, то «последовательность-сумма» {an -f- bn\ также имеет предел, именно, Теорема II. При тех же предположениях «последовательность- разность» {ап — Ьп\ имеет предел, а именно, ап — Ьп-*а — Ь. Теорема III. При тех же предположениях «последователь- «последовательность-произведение» {anbn\ имеет предел, а именно, Теорема IV. При тех же предположениях и при дополнитель- дополнительном предположении ЬфО «последовательность-частное» \jr\ имеет предел, а именно, Очень часто теорему I читают кратко: «предел суммы равен сумме пре- делов> и записывают: lim (йп + Ь„) = lim а„ + lim Ь„, причем условия теоремы подразумеваются. Если пределы а„ и Ьп не суще- существуют, то, конечно, в общем случае («раз навсегда>) нельзя ничего сказать 1) Вместо «частная последовательность» говорят также «подпоследова- «подпоследовательность». s) Доказательства этих теорем были приведены на стр. 194 -195 кн. 1 «Энциклопедии элементарной математики». Мы приводим, однако, несколько иные приёмы доказательств.
170 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО о пределе ап-\-Ьп. Следует, впрочем, заметить, что .возможны случаи, когда оба предела ап и Ь„ ие существуют, а предел ап -(- Ьп существует 1). Аналогичные замечания справедливы и по поводу теорем II — IV. Докажем сначала теорему I. Нам дано, что при достаточно больших значениях п отклонение \ап — а\ делается сколь угодно малым, и то же относительно \Ьп — Ь\, требуется доказать то же самое по поводу отклонения | (а„ -\- Ьп) — (а -\- Ь) |. Мы имеем по свойству абсолютной величины2) Пусть задано наперёд число е (>0). Тогда можно подобрать такое М» что при ^ и такое Л'", что при л^>Л^' В таком случае, обозначая через Nt наибольшее из чисел N'B и ЛГ,', будем иметь при n^ что и требовалось доказать. Докажем теперь теорему III. При тех же данных, что и в тео- теореме I, требуется доказать, что при достаточно больших значениях п отклонение | anbn — ab \ станет меньше любого наперёд заданного е ( ^> 0). Мы имеем: и по свойствам абсолютной величины \anbn-ab\^ п-а\.\Ьа-Ь\. D1) 1) Например, последовательности 1, -1, 1, -1, 1, -1, .. -1,1,-1,1,-1,1,... расходящиеся, тогда как «последовательность-сумма» 0, 0, 0, 0, 0, 0,... сходящаяся. *) Мы имеем в виду свойство Далее используется ещё свойство \ху\ = \х\-\у\. См- Э-э.м., кн. 1, формулы A) и B) на стр. 128—129.
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 171 Пусть К—наибольшее из чисел \а\, \Ь\ и I1); достаточно, конечно, допустить по поводу е, что Тогда, подобрав А? и N4 таким образом, что щ ПРИ мы будем иметь при n~^>Ns, где Nt = max{N'e, Л/?'}: Сопоставляя D1) и D2), получаем то, что требовалось доказать. Отметим частный случай теоремы III (при {ап\ = {а}): если bn—*-b, то abn-*-ab («постоянный множитель можно выносить за знак предела»). В частности, при а = — 1 получается: если Ьп —*¦ Ь, то (— 6„) -> (— Ь). Отсюда сейчас же вытекает теорема II Переходя к теореме IV2), докажем сначала её частный случай, когда {а„} = {1}: если bn-+b^O, то -r-~*-j-. 11" Составим отклонение -г- от -=-: Ъп Ъ Отклонение |^„ — й] при достаточно больших значениях п стано- становится меньше любого положительного числа; например, оно станет меньше, чем -^: \ЬЯ-Ь\<}? (при « Но так что 1) Последнее нужно на случай, если а = b = 0. s) Заметим, между прочим, что текст теоремы IV нуждается в допол- дополнительном разъяснении: из неравенства b^tO вытекает, что при достаточно больших п величины Ъп отличны от нуля; таким образом, последовательность \г\ может содержать лишь конечное число членов, не имеющих смысла; их следует отбросить или заменить какими угодно числами.
172 ЭЛЕМЕНТ\РНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Отсюда следует: т. е. 1йя|>-5йН- D4) Подберём Л^" так, чтобы из неравенства n^>N% следовало: \Ьп — ^|<у |6|ае. D5) Тогда из сопоставления D3), D4) и D5) вытекает при /z^>/Vs, где V, M'}: il_l -IAIS- \Ь\~^\Ь\ что и требовалось доказать. Теперь общий случай теоремы IV сводится к теореме III: если ап-*-а, Ьп-*-Ъ, то Докажем, наконец, теорему о предельном переходе в нера- неравенстве: Если последовательности \ап\ и \Ьп\ имеют пределы «»->«- bn^b, и, кроме того, при всех значениях п справедливо неравенство an^bn, (i6) то непременно имеет место неравенство а^Ь. D7) Начнём с частного случая, когда {а„} = {0}, и значит, а —0. Нужно доказать, что из соотношений Ьп^0 (я=1, 2, 3,...) и bn-f-b следует Ь^О. Будем доказывать от противного. Пусть Ъ <^ 0. Полагая е = | b ], видим, что по определению предела при достаточно больших п должно иметь место неравенство или Но так как b <^ 0, то b ~f- [ b \ = 0, и вторая половина последнего неравенства принимает вид Ьп<^0. Это противоречит допущению й„^0 (я=1, 2, ...). ') Не представит труда истолковать предыдущее рассуждение геометри- геометрически, с помощью числовой оси.
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 173 Перейдём к общему случаю. По предположению Ьп^ап (я=1, 2, ...); значит, Ьп — а„^0 (я= 1, 2, .. .)¦ На основании теоремы II Ьп — ап—*-Ь— а. По уже доказанному (частный случай) Ъ-—aS=0, т. е. Ь^а. В частности, заключение теоремы сохраняется и в том, особенно часто встречающемся случае, когда условие D6) заменяется сле- следующим: ап<Ьп. Иными словами, из неравенства ап<^Ьп вытекает, что asgrft (но не а<^Ь). Этими соображениями оправдывается следующее правило: «при переходе к пределу в неравенстве нужно добавлять знак ра- равенства». § 39. Обобщение понятия предела (пределы в «несобственном смысле») Мы познакомимся теперь с некоторыми условными оборотами речи, широко употребляемыми в математической практике. Условимся называть «окрестностью точки -\- оо» всякий проме- промежуток, не ограниченный сверху (без начальной точки), и будем такой промежуток х~^>М (или М<^х<^-\- оо) называть Ж-окрестностью точки -]- оо. Говорят, что последовательность имеет «предельную точку-{-о0»? если во всякой «окрестности точки -{- оо» содержится бесконечное множество точек последовательности. Это как раз означает, что последовательность неограничена сверху. Аналогично определяется «окрестность точки — оо» — как вся- всякий промежуток, не ограниченный снизу (без конечной точки); та- такой промежуток х<^—М (или —оо<^х<^ — М) называется «(—М)-окрестностью точки —оо». Если говорят, что последовательность «имеет предельную точку — оо», то это равно- равносильно констатации того, что последовательность неограничена снизу. Формулировка теоремы Больцано-Вейерштрасса теперь упро- упрощается: Всякая бесконечная последовательность \ап\ имеет хотя бы одну предельную точку (в «собственном» или в «несобственном» смысле). В самом деле, если последовательность не ограничена сверху, то она имеет предельную точку -|- оо; если не ограничена снизу, то имеет предельную точку — оо; если ограничена сверху и снизу, то
174 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО по основной теореме имеет хоть одну «конечную» предельную точку. Далее, остаётся в силе (расширяя свой смысл) определение: пределом последовательности называется предельная точка, если она — единственная. Допустим, что единственная предельная точка есть -J- оо, и перефразируем это утверждение. Так как — оо не есть предельная точка, то последовательность ограничена снизу, так что в некотором промежутке (— оо, т) нет ни одной точки после- последовательности; так как никакая «конечная» точка не есть предель- предельная точка, то во всяком «конечном» промежутке [т, М], где М^>т, имеется лишь конечное число точек последовательности. Среди индексов этих точек возьмём наибольший и обозначим его через N = Nm1 тогда окажется, что при условии n^>N точка ап непре- непременно находится в Ж-окрестности точки -4- оо, т. е. удовлетворяет неравенству ап^>М. Ясно и обратное: если, как бы велико ни было М, все точки ап при достаточно больших значениях п нахо- находятся в Ж-окрестности точки -J- оо, то последовательность \ап] не имеет иных предельных точек, кроме ~|- оо. Мы приходим, таким образом, к следующему определению: Считается, что последовательность \ап\ имеет предел -\- оо («яп стремится к бесконечности»), если, как бы велико ни было наперёд заданное число Ж, можно указать такое число N=Nm> что неравенство я>Л/ D8) влечёт за собой неравенство ап>М. D9) Иначе: последовательность \ап\ имеет предел -}-оо, если её общий член становится сколь угодно большим, раз только доста- достаточно велик его индекс. Пишут: 1) liman= оо, 2) а„^сх. Иногда вместо того, чтобы говорить «стремится к бесконечности», го- говорят «расходится к бесконечности». Воздерживаясь от повторений, скажем, что последовательность {ап\ имеет предел — оо, если, как бы велико ни было наперёд заданное число Ж, можно указать такое число N=Nm, что нера- неравенство n>N E0) влечёт за собой неравенство ап<-М. E1) Запись: Нта„ = —оо, или
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 175 Приведём несколько примеров. 1. Последовательность натуральных чисел {п\ имеет единствен- единственную предельную точку, т. е. предел, -\- оо. То же справедливо относительно последовательностей {па\ при а>0. 2. Последовательность {(— 1)"+1й} = 1, —2, 3, —4, 5, —6, ... имеет две предельные точки -|~ °° и — °°> и следовательно, не имеет предела даже и в «несобственном» смысле. 3. Если последовательность {ап\ не имеет конечных предельных точек, то lim) а„ | = -f- оо. 4. Арифметическая прогрессия {a -f- (ji— 1) d\ имеет предел -\- оо или —оо, смотря по тому, будет ли d^>0, или е?<^0. 5. Геометрическая прогрессия \qn} имеет предел -|- оо при q^-I1), и не имеет предела при q <^—1. Но в этом последнем случае, конечно, lim | q j" = -f- oo. 6. lim f 1 —|—я—|—q—j—...—| ) = оо (см. конец § 35). 7. Последовательность 2 на стр. 151 имеет в качестве предель- предельных точек все натуральные числа и еше -f- оо. Предела нет. 8. Последовательность {tg/кеб},где б—иррациональное число, имеет предельными точками все числа без исключения и ещё -f- оо и — оо. В самом деле, если бы в некотором промежутке (а, [3) не было ни одной точки последовательности {tg/гяб}, то в промежутке I ° 7- j не было бы ни одной точки последовательности {sin/исб}, а это противоречит примеру 16 § 37. По поводу основных теорем I—IV § 38 необходимо сделать предостережение: на случай бесконечных пределов они переносятся лишь частично. Справедливы такие теоремы (доказательство их предоставляем читателю): V. Если ап—»¦-j-оо, Ьп^>т, то ап -J-bn —*¦ --]- оо. Г. Если an-s оо, Ьп<^М, то an-j-bn^*- — оо. (Теоремы типа II заменой знака сводятся к теоремам типа I). ИГ. Если а„-*оо, I Ш". Если ая-»-0, \1 IV. Если ап-+оо, 0<*„<-М, IV". Если ап-*0, |й„|>т>0, IV". Если [а„|<М, |*„|-*оо, IV"". Если !ал[>»г>0, |й„|-* о, то то то то то то а «А а„ "К' ~ьп оп bn ' -»¦ 00. "*" °°' > 0. ->0. -^00 Доказательство см. на стр. 81.
176 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Но нельзя ответить в обшей форме («раз навсегда»), например, на такие вопросы: 1) Что будет с разностью ап — Ьп, если ап-»-оо, 6„-»-оо? 2) Что будет с произведением anbn, если ап—>¦ ос, Ьп—>-0? 3) Что будет с отношением -г5-, если ап ->¦ оо, Ьп -»¦ оь ? 4) Что будет с отношением -г5-, если ап-»-0, 6„-»-0? Каждый из вопросов подобного рода получает разрешение только в том случае, если указано, каковы именно данные после- последовательности \ап} и \Ьп}. Очень часто простое тождественное пре- преобразование приводит к положениям, когда одна из теорем типов I—IV уже оказывается применимой '); но иногда всё же приходится прибегать к особому исследованию (примеры см. ниже, §§ 43—45). § 40. Предел функции на бесконечности К понятию предела последовательности сводится по- понятие предела функции. Рассмотрим сначала случай предела функции «на бесконечности» (-}- оо). Предположим, что некоторая функция f(x) действительной пе- переменной х задана (не теряет смысла) в некоторой окрестности точки (~f- оо), например в промежутке {а, оо). Мы уже имели дело с последовательностями, общий член которых а„ имеет вид f(xn), {/•(«)} =/A), /B), ...,/(«), ... Пусть теперь {хп} — какая угодно последовательность значений х из промежутка (а, оо), имеющая предел -\~ оо: *п + + оо. E2) Если последовательность соответствующих значений функции {f(xn)\=/(Xl), f(x,) /(*„), ... также стремится к некоторому пределу L, конечному или беско- бесконечному 2), ?, E3) и притом независимо от того, как выбрана последовательность \хп}, обладающая свойством E2), то тогда говорят, что при не- ') Распространённый термин «раскрытие неопределённостей» (случаи: оо — оо, оо-0, —, yj-) способен вносить некоторую дезориентацию, так как «неопределённость» заключается лишь в невозможности непосредственного применения какой-либо из основных теорем. 2) Условнмся пользоваться большой буквой L для того, чтобы охватить сразу оба эти случая.
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 177 ограниченном возрастании х функция стремится к пределу L, и записывают это одним из следующих способов: I E4) 2) f(x)^*-L при *->--{-оо. ) Напротив, если две различные последовательности вида \f(xn)\ имеют различные пределы или существует хотя бы одна такая последовательность \хп\, что последовательность {f(xn)\ не имеет предела1), то говорят, что функция f(x) не стремится к пределу при неограниченном возрастании х, или что предел lim f{x) не су- шествует. Подобные же определения даются понятию предела f(x) при х-*- — оо. Рассмотрим примеры. 1. Функция f{x) = — при л;-* оо имеет предел 0: lim 1 = 0. л:—<х, * В самом деле, раз х -*¦ оо, то »¦ О (IV"). Точно так же хп lim l- = 0. 2. Пусть f{x) = xn (я—целое положительное). Тогда lim хп = + оо, lim *» = { + °°> если п - чётное' (ИГ) „—о, х—ао I—°°i если п — нечетное. 3. Пусть /(jc) = a*(a> 1). Тогда lim a* =оо, lim a* = 0. JC->OD ДГ-> ОС Для целых значений х это показано на стр. 81; для произвольных — следует из того, что функция ах—возрастающая. 4. limlogaA:=oo (при а~^>1). ДГ-.0О 5. Функция / (х) = sin х (рис. 70, а) не имеет предела при х, стремящемся к оо. Действительно, положив хп = ъп, мы получаем / (ки) = sin яи -> 0; положив хп — у -f- 2ял, получаем ') Случай, когда всевозможные последовательности вида {/(л:,,)} имеют предел, но не всегда один и тот же, является невозможным. Именно, если последовательность {/(лг'„)} имеет предел V, а последовательность {/*>'«)} — предел L", причём L' ^ L", то последовательность предела иметь не может (см. § 37, пример 9). 12 Энциклопедия, кн. 3.
178 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛ! НОГО ПЕРЕМЕННОГО / (-?¦ ~Ь 2кя) = sin (y-\- 2тя] ->¦ 1; положив хп = -^к-\-2-.хп, полу. чаем /(^-я-4-2л/г) = Б(п (-Й-7Г4-2^и)->-—1, и т. п. Аналогично не существует предел lim sinjf. _jfc=-—^Yjf- -jtTx В) Рис. 70. 6. Функция f(x) = xsmx (рис. 10,6) также не имеет предела ни нрн л:->оо, ни при х^у — оо. На этот раз, как в предыдущем примере, /(тся)->- 0; но /1-у -j- 2ъп\-*--\- оо,/(-^-тг-|- 2ял)->- — оо. sm л: 7. Функция /(л:)= (рис. 70, в) имеет предел 0 прил;->-оо и при х—*¦— ои: *-»J;oo X
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 179 Это ясно из неравенства sin л: I | sin x | 1 *- I у | ~ I у~Т > Л | | Л | |ЛГ | с использованием примера 1. 8. Функция /(х) = 2х sin 2гсл; не имеет предела при имеет предел 0 при х-+—оо: Iim2vsin2n.r—0. Функция при л:-»¦-}- lim = 2"vsin2njc (рис. 71), напротив, имеет предел О 3 - и не имеет предела при х^*- — оо. Определению «пре- «предела функции на беско- бесконечности» можно дать иную («эпсилонную») формулировку. Остано- Остановимся на случае точки -}- оо. Соотношение E4) означает: 1) При L конечном: как бы мало ни было s (~^> 0), можно указать такое число Х=Хг, что из неравенства следует неравенство E5) Рис. 71. 2) при L = -\-oo: как бы велико ни было М, можно указать такое число Х = Хмг что из неравенства х>Х следует неравенство f(x)>M; E6) 3) при L = — оо: такая же формулировка, с заменой неравенства E6) неравенством /(*)<— М. E7) Покажем, что новые и прежние формулировки равносильны, останавливаясь хотя бы на случае L конечного. Допустим, что из л;„-»-оо следует /(*„)-»-?, и докажем, что ко всякому е(>0) можно подобрать число Х=Хг, обладающее 12*
180 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО указанным свойством. Пусть это неверно, и такое число X можно подобрать не ко всякому е; предположим, что к некоторому е* (]> 0) нельзя подобрать числа X, обладающего требуемым свой- свойством. Это значит, что, как бы велико ни было X, можно к нему подобрать такое значение х, что х~^>Х, но \f(x) — L\^s*. Пусть дана последовательность такая, что Х„-»-оо. К каждому Хп подберём такое х = хп, что хп>Хп, E8) но вместе с тем \f(Xn)-L\^e*. E9) Рассмотрим теперь последовательность значений х Из неравенства E8) следует, что аг„-»-оо. Но из неравенства E9) следует, что соотношение f(xn)—*-L не осуществляется, так как отклонение |/(лг„) — L | остаётся большим, чем положительное число е*. Получается противоречие, откуда ясно, что сделанное допущение было неверно. Обратно, допустим, что ко всякому е(]>0) можно подобрать число X=Xt, обладающее тем свойством, что из неравенства х^>Х следует неравенство E5), и покажем, что из лг„-»-оо следует /(лг„) —>¦ L. Так как л:„-»-оо, то, как бы велико ни было М, при n^>N, где N=Nmj мы должны иметь: хп^>М. Положим М = Х; тогда при n~^>N будем иметь хп~^>Х, и в таком случае согласно сделанному допущению отсюда вытекает \/(хп) — § 41. Односторонний предел функции в конечной точке Перейдём к рассмотрению вопроса о пределе значений функции /(л:) в некоторой конечной точке х = с, т. е. о пределе, к ко- которому, возможно, стремится значение /(л:) при неограниченном приближении переменной х к конечному значению с. Начнём с примеров, демонстрирующих разнообразие возникаю- возникающих в данном случае возможностей. Пример 1. Исследуем поведение функции 2x, F0) в особенности сосредоточивая внимание на окрестности точки л: = 0. Функ- Функция f(x) задаётся предыдущей формулой для всех значений х, кроме дг = О; очевидно, при всех значениях х(^0) она положительна. Легко понять, что lira/(л;) = lira f(x)=l. Х-+ оо X -» — Ов
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 181 Если х убывает от + оо, неограниченно приближаясь к нулю, то — возра- стает от 0 до бесконечности, и тогда Iх возрастает от 1 до бесконечности. С другой стороны, если х возрастает от —оо, приближаясь к 0, то — убы- вает от 0 до —оо, и значит, Iх убывает от 1 до 0 (причём значение 0 не принимается ни при каком значении л;). График функции F0) показан на рис. 72. У, -3 -2 -1 О I Рис. 72. V х Замечательное свойство функции F0), которое нас интересует, заклю- заключается в наличии разрыва («скачка») её графика около точки х = 0; чуть правее этой точки значения функции чрезвычайно велики, чуть левее — близки к нулю, в самой же точке д: = 0 функция не имеет никакого значения: на вертикальной оси нет ни одной точки графика. П р и м е р 2. —1—. F1) Этот более сложный пример исследуется с точки зрения возрастания и убывания подобно предыдущему и приводит к графику, изображённому на С Рис. 73. х рис. 73. Здесь также имеется разрыв в точке х = 0; но тогда как чуть левее этой точки значения f(x) близки к 1, чуть правее этой точки они близки
182 ЭЛЕМЕНТ\РНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО к нулю (сконечный скачок»), и опять на вертикальной оси нет ни одной точки графика, так как функция не определена при д: = 0. Функция, между прочим, обладает свойством откуда можно заключить, что точка 10, -^-1 есть центр симметрии графика. Примерз. Достаточно в данной связи лишь напомнить читателю о функциях a)f(x) = — и 6)/(jt) = -j, X Xя графики которых обнаруживают разрывы при приближении к точке д: = 0: с обеих сторон имеется неограниченное возрастание по абсолютной величине, но в первом случае — при различных знаках, во втором — при одном и том же знаке. Пример 4. /W = -nl. F2) Значения функции, очевидно, колеблются между +1 и — 1. Ясно, что lim/(jc) = 0. Jf->-OO ., 2 1 iz Когда х убывает от -|-°о до — , то — возрастает от 0 до -тги/(х) тс X Z су гу 1 возрастает от 0 до 1; когда же х убывает от — до —, то — возрастает от -=- до — л и f (х) убывает от 1 до —1, обращаясь в нуль при х = —, и т. д. У) 1 \ \ 1 и -1 [ L г l 1 1 ?'х л л л л л л Рис. 74. Так как функция f(x) — нечётная, то её график, изображённый на рис. 74, имеет начало О центром симметрии. При приближении х к нулю колебания функции «учащаются». В точке л: = 0 функция не определена. Пример 5. JLsin± F3)
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 183 Функция «совершает колебания», которые сучащаются» и срастут» (в смысле размаха) при приближении х к точке О. Так как при х>0 т. е. I. то график заключён между ветвями гипербол у —— и у = г (рис. 75). Общие точки графика с верхней гиперболой получаются из уравнения п п Рис. 75. 1 — = 1, что дает д: = х ветствуют значениям х = -т~ ; общие точки с нижней гиперболой соот- — (корни уравнения sin— = —1]. Функ- 71 \ х I \ относительно оси Оу. С осью Оу график ция — чётная, график симметричен относительно оси Оу. не пересекается: функция не имеет смысла при х = 0.
184 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Пример 6. F4) В этом примере функция также совершает колебания, которые на этот раз отличаются тем, что их «размах» уменьшается при приближении к на- началу О. При лг>0, очевидно. так что F5) 2 Равенство справа достигается при х= . . , равенство слева — при 2 х = /о. . . Максимумы и минимумы находятся чуть правее этих точек1). Рис. 76. Функция — чётная, график имеет ось симметрии Оу (рис. 76). Несмотря на неравенство F5), разрыв не устранён окончательно; в точке д: = 0 функция не имеет смысла, и на оси Оу нет точек графика8). ') Легче всего это установить с помощью дифференциального исчисле- исчисления. Мы получим: f(x) = sin cos —. v xx x Отсюда следует: Решить же уравнение /'(jc) = O можно, приведя его к виду tg— = —, или X Л tg?=5, где 5 = —, а затем действуя графически. *) Положим — = и. Так как sin и < и прн и > 0, то л: sin — < 1 при -*- л* Х>0. Далее, из соотношения lira ?LnJL = «->о и
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ II ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 185 Графики примеров 5 и 6 удобно строить систематическими приёмами, указанными в § 2. Пример 7. 1_ f(x) = 2 х\ F6) Функция не определена при х = 0; однако при приближении к значению л: = 0 справа или слева без «колебаний» и очень быстро приближается к нулю (рис. 77). У, 1 0 ) 'х Рис. 77. Примеры, подобные рассмотренным, дают повод ввести следую- следующие уточняющие определения. Пусть функция f(x) задана в некотором промежутке с конеч- конечной точкой с, кроме самой точки с, в которой она может быть задана или не задана. Если для всякой последовательности точек \хп\, обладающих свойствами 2) F7) последовательность \/(хп)\ стремится к одному и тому же конеч- конечному или бесконечному пределу Z/, /(*„)-*>!'. F8) то говорят, что при неограниченном приближении х к точке с слева функция f(x) стремится к пределу L'; для записи этого пользуются иногда условным обозначением') /(с —0) = Г. (см. формулу (89) на стр. 192) следует: lim л: sin — = 1. X —* оо «^ Таким образом, прямая _у=1 есть асимптота графика рассматриваемой функции (см. пунктирную прямую на рис. 76); сам график приближается к ней снизу. ') Принимается во внимание громоздкость записей вроде clim f(x) = L't, или «/ (л;) —*¦ L' при х < с, х —*- с». х<с
186 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Точно так же, если для всякой последовательности точек {х ]t взятых в некотором промежутке с начальной точкой с и обла- обладающих свойстпами , 2 ч F9) последовательность {/(лг„)} стремится к одному и тому же пре- пределу L", /(*„)-*!", * G0) то говорят, что при неограниченном приближении х к с справа функция f(x) стремится к пределу L", и записывают: /(c-f-0) = I". Рассмотренные нами примеры подобраны таким образом, что с всё время равно нулю. Мы получаем: в примере 1: Z.' = 0, L" = -\- оо, » » 2: L'=l, L" — 0, » » 3: a) 1' = —оо, L" = -\-oo; б) И = L" = -\- оо, » примерах 4 и 5: пределы L' и Z." не существуют, » » 6 и 7: L' = L" = O. Следует обратить особое внимание на то, что при нахождении пределов L' и L" число /(с) — значение функции в самой рас- рассматриваемой точке лг = с — не играет никакой роли: функ- функция может и «не иметь смысла» в этой точке. Определение предела L' допускает следующую «эпсилонную» перефразировку. Соотношение F8) означает 1) при L' конечном: как бы мало ни было е (^> 0), можно указать такое число 8 = 8е(]>0), что из неравенств х<с, лг>с —8 G1) следует неравенство </(*)-1'|<е. G2) 2) при L' =~\- оо: как бы велико ни было М, можно указать такое число 8s:8.ih(^>0), что из неравенств G1) следует неравенство /(•*)> ЛГ, G3) 3) при L" = — оо — такая же формулировка, с заменой последнего неравенства следующим: /С*)<-ЛГ. G4) Аналогичные определения могут быть сформулированы для пре- предела L". Мы не будем останавливаться на доказательстве равносильности этих определений с прежним определением. Оно строится по образцу доказательства, приведённого в предыдущем параграфе.
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВ \ТЕЛЬНОСТЕЙ II ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 187 § 42. Двусторонний предел. Понятие непрерывности Величины U и L", определённые в предыдущем параграфе, назы- называются левым и правым пределами функции f(x) в точке лг=с. Это — односторонние пределы. Если оказывается, что левый и правый пределы между собой равны L' = LI' = L,1) то их общее значение L является уже двусторонним пределом, или просто пределом функции f{x) в точке лг=с, чему соответствуют записи: 1) lim f(x) = L, G5) X -*С ИЛИ 2) f(x)->L при х-+с. G6) Независимо от односторонних пределов двусторонний предел может быть определён следующим образом. Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки с (исключая, может быть, самую точку с). Если для всякой последовательности точек {лг„}, взятых в этой окрестности и обладающих свойствами 1) ХП Ф С> ) последовательность {/(х„)} стремится к одному и тому же, конеч- конечному или бесконечному, пределу L, f(xn)-+L, G8) то говорят, что при неограниченном приближении х к с функция /(с) стремится к пределу L. «Эпсилонная» формулировка, строго эквивалентная предыдущей, такова: соотношение G5) или G6) обозначает: 1) в случае L конечного: как бы мало ни было е (^> 0), можно указать такое 8 = 8? (^> 0), что из неравенства хфс, \х — с|<8 G9) следует неравенство |/(*)-1 |<е; (80) 2) при L=-\- со: как бы велико ни было М, можно указать такое 8 = Ъм (^> 0), что из неравенства G9) следует неравенство (81) ') Напомним, что при этом не исключаются случаи ¦? = +оо, или L = —ею.
188 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 3) при L = — оо — такая же формулировка, с заменой последнего неравенства следующим: /(*)< —Л1. (82) Действительно, если соотношение G8) осуществляется для вся- всякой последовательности \ хп \, удовлетворяющей требованию G7), то оно осуществляется и для всякой последовательности, удовле- удовлетворяющей требованию F7), или требованию F9), так что если суще- существует предел L, то обязательно существуют пределы L' и L", и притом L' = L" = L. Обратно, пусть существуют равные между собой пределы 11 и L", и L есть их общее значение: 11 = L" = L. В таком случае, последовательность { хп \, удовлетворяющую требованию G7), можно считать «составленной»') из двух последовательностей, соответственно удовлетворяющих требованиям F7) и F9); тогда последовательность {/(*„)} будет «составлена» из двух последо- последовательностей, имеющих один и тот же предел L; значит, /(лг„)->?. В примерах 1, 2, За, 4 и 5 предшествующего параграфа предел рассматриваемых функций в точке лг = О не существует; в примерах 6 и 7 L = Hm /(лг) = О; в примере 36 L = -\-oo. дг-»О Чрезвычайно важно понять, что числовое значение предела, даже «двустороннего», 1 = Ит/(лг), как и самый факт его существования, не зависит от того, чему равно значение /(с) функции f(x) в точке х = с, и даже от того, определена ли сама функция в этой точке. С понятием предела функции в данной точке тесно связано по- понятие непрерывности функции в этой точке. Предположим, что функция /(л:), заданная в окрестности неко- некоторой точки х = с, имеет конечные левый и правый пределы в этой точке, U и L", и что три величины 11, L" и /(с) равны между собой: (83) Заметим, что по доказанному достаточно предположить, что су- существует конечный предел L функции /(л:) в точке л: —с и что две величины L и /(с) равны между собой: L=f(c). (84) В таком случае говорят, что функция f(x) непрерывна в точке ЛГ:=С. ') См. § 37, пример 9.
f ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВ \ТЕЛЬНОСТЕЙ II ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 189 Ни в одном из примеров 1—7 § 41 функция /(*•) не является непрерыв- непрерывной в точке лг = О, и именно но следующим причинам: в примерах 1, 2, За 11ф1Г, значит, L не существует, в примере 36 L существует, но не конечно, в примерах 4 и 5 L' и L." не существуют, в примерах 6 и 7 L существует и конечно, но функция не задана в точке л: = 0. Впрочем, все приведённые примеры имеют то общее, что ни в одном из них функция не задана в рассматриваемой точке: этого обстоятельства достаточно, чтобы функция и ней не могла быть признана непрерывной. В приведённом выше определении непрерывности функции /(л:) в данной точке с используется понятие предела: предел функции в рассматриваемой точке равен её значению в этой точке. Можно, однако, избегнуть упоминания о пределе, раскрывая содержание этого понятия в самой формулировке определения непрерывности. Так мы приходим к определениям, которые строго эквивалентны сформулированным выше: 1. Функция f(x), заданная в некоторой окрестности точки х = с, непрерывна в этой точке, если, какова бы ни была последователь- последовательность { хп }, обладающая свойством хп^с,1) (85) непременно последовательность {/(*„)} сходится к пределу /(*»)-*/(«) (86) (определение Гейне). 2. Функция /(лг), заданная в некоторой окрестности точки х = с, непрерывна в этой точке, если, как бы мало ни было число е(^>0), можно указать такое 8 = 8е, что из неравенства • |лг—с|<е2) (87) следует неравенство (88) («эпсилонное» определение Коши). С понятием непрерывности функции в данной точке связы- связывается понятие непрерывности функции в данном промежутке. Говорят, что функция непрерывна в некотором промежутке3), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Например, функция/(л:) = —непрерывна в промежутке Q<^x^ \ (если не включать начальной точки аг = О), но она не является не- непрерывной в промежутке 0=Sx^l (если включена точка аг=О), так как не задана в точке лг = О. ') Необходимость ограничения хп ф с здесь уже отпадает. s) Ограничение хф.с излишне. •) Промежуток может здесь включать или не иключать начальную и конечную точки, или включать одну из них.
190 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие «разрыва в точке х = с» уточняется теперь следующил, образом: если функция определена (задана) в некотором промежутке внутри которого находится данная точка х = с, но не определена или не непрерывна в самой этой точке, то говорят, что в этой точке функция «имеет разрыв». § 43. Примеры непрерывных функций Установить непрерывность данной функции f(x) в данной точке с по большей части, можно, не прибегая к исследованию всевозможных последовательностей вида {/(лг„)}, где хп-*-с (что практически н неосуществимо), и не пользуясь также «эпсилонными» построениями. Заметим предварительно, что функции, сводящиеся к постоянным f(x) = C, а также функция, тождественно равная независимой переменной, f{x)-x, очевидно, являются непрерывными в любой точке. Действительно, в первом случае мы видим (обращаясь хотя бы к «эпсилонному» определению), что отклонение \f(x)—f(c)\ при всяком х равно нулю, во втором — оно всегда равно отклонению | х—с \, и потому 8 можно всегда взять равным е. В дальнейшем же открываются обширные возможности, опираясь на основные теоремы о пределах, из свойства непрерывности одних функций заключать о непрерывности других. Справедливы прежде всего такие теоремы: если каждая из функ- функций и (х) и v (х) непрерывна в точке с, то непрерывны в этой точке также их а) сумма и (х) -J- v (х), Ь) разность и (л;) — v (л;), с) про- произведение и (л;) v (x), d) отношение —|—j (при дополнительном условии v(c)^0). Докажем в качестве примера пункт а). По предположению из хп -*¦ с следует и (хп) -*¦ и (с) и v (xn) ->¦ v (с). Тогда по теореме 1 § 38 мы получаем: и (дг„) -]- v (xn) -»- и (с) -\- v (с), что и требовалось доказать. Установим, наконец, следующую общую теорему е) о непрерыв- непрерывности «сложной» функции: если функция и (х) непрерывна в точке х = с, и функция /(и) непрерывна в точке и = н(с), то функция F(x)=f(u(x)) непрерывна в точке х — с. В самом деле, если хп-*-с, то по свойству непрерывности функ- функции и (х) и (хп) -+ и (с), и тогда по свойству непрерывности /(и) /(и (*„))->/(и (с)), т. e.F(xn)-+F(c).
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 191 Из теоремы е) следует: если функция v (х) непрерывна в про- промежутке а<^х<^Ь, если все значения, которые она принимает в этом промежутке, принадлежат промежутку c<^x<^d, и если, наконец, функция и (л;) определена и непрерывна в промежутке c<^x<^d, то сложная функция u(v(x)) непрерывна в промежутке а<^х<^Ь. В частности, если функции и (дг) и v (x) определены и непре- непрерывны при всех действительных значениях х, то можно сказать то же самое о сложной функции и (v (x)). Принимая во внимание определение целой и дробной рациональ- рациональной функции (см. § 6), мы выводим, опираясь на пункты а) — d), в частности, такие заключения: Всякий рациональный многочлен (целая рациональная функция) Р(х) непрерывен всюду, т. е. в любой точке (другими словами, в промежутке —оо <^a:<^-j-ос). Всякая дробная рациональная функция (где Р (х) и Q (дг) — многочлены без общих множителей) непрерывна всюду, кроме точек, в которых знаменатель Q (х) обращается в нуль. Пользуясь обозначениями предыдущего параграфа, можно сказать, что в таких точках пределы V и L" бесконечны, притом — одного или различных знаков в зависимости ог кратности нуля Q(x) (см. § 16). Всякая рациональная функция может иметь лишь конечное число «разрывов», и все они —указанного здесь типа. Корни целых степеней являются непрерывными функциями всюду, где они существуют. Докажем это хотя бы для случая арифметического квадрат- квадратного корня (я ^2). Пусть с^>0. Тогда С \х„ — с\ Если хп-*-с, то правая часть стремится к нулю; значит, и левая. В случае с = 0 речь может итти лишь об «односторонней» непре- непрерывности функции f(x) = ]/х (т. е. при ограничении х^=0). Нужно лишь доказать, что -]/хп->-0, если л;„^>0 и хп->-0. Чтобы из неравенства К следовало неравенство достаточно положить о<^ое = еа. По поводу общего случая (я^З) см. стр. 246, пример 2.
192 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Тригонометрические функции sin л: и cos л; всюду непрерывны В самом деле, возьмём на единичном круге yj AC= с, \и АМ = Х (д; ф с) и обозначим через Ct и Mt проекции точек С и М на го- горизонтальную ось, а через Я — проекцию точки С на М1Л1; тогда получим: sin х — sin с = МХМ — С,С = РМ, cos х — cos с = OMt — OCj = — PC; далее мы видим,что I sin jtr—sin с 1 = 1 РМ I \ \<СМ<^СМ = \х-с\, I cos х — cos с | = | PC | J отсюда понятно, что если л;п —>¦ с, то sin л;„ —>¦ sin с и cos xn —*¦ cos с. Тригонометрические многочлены (целые рациональные функции от аргументов cosa; и sin л;) всюду непрерывны (см. §27). Мы убе- убеждаемся в этом, ссылаясь на непрерывность «сложной функции». О дробных тригонометрических функциях можно сказать то же, что и о дробных рациональных — с тем отличием, что если имеются разрывы функции (нули знаменателя), то число их не может быть конечным; но в пределах периода число разрывов ко- конечно. Так, элементарные тригонометрические функции tgjc, secjtr и cosecx; имеют по два разрыва в периоде. Как произведение непрерывных функций всюду непрерывна функция л; sin л; и непрерывны вообще функции вида P(x)sinx или Р (jc) cos _*;, где Р(х) — рациональный многочлен. Функция /(дг) = как отношение непрерывных функций, непрерывна всюду, кроме точки х = 0. Что касается точки х = 0, то в ней функция f(x) не определена, и потому о непрерывности в ней не может быть речих). Тем не менее, существует двусторон- двусторонний предел функции f(x) в точке л; = 0, именно: (89) х->0 х Пусть сначала л;^>0. Тогда при условии х<^ -»¦ справедливы неравенства (§§ 25 и 29) sinA;<A;<tgjt. (90) Разделив все члены неравенства (90) на sinx. и перейдя к обратным величинам, получим: ^ (91) Вследствие непрерывности cosa; в точке х — 0, как бы мало ни было е, можно указать такое 8, что при ||^ | cos л; — 1 | <С е» *) См., впрочем, стр. 504, упражнение 5.
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 193 так что ^ 1 —е. Но тогда, как следует из (91), и значит, I sin л; 1 I <r^ \ х I Таким образом, в данном случае существует правый предел L'' = l; существование левого предела V и равенство /.' = /." = 1 следуют из чётности функции . X Особого внимания заслуживает вопрос о непрерывности по- показательной функции. Показательная функция f(x) — ax непрерывна всюду. Убедимся в этом, ограничиваясь случаем a^-l1): если а<^1, то достаточно будет указать, что ах — _1Х и а~1 ^> 1. Мы уста- установим сначала, что существует правый предел L" функции ах в точке лг = с и притом L" = ac. (92) Пусть хп^>с, хп-*-с; тогда хп г хп~с /'ОЧ'» а = а • а . \.°") Положим х„ = с -j- hn ~^> 0. Нам достаточно показать, что из соот- соотношения Л„-0 (94) (какова бы ни была последовательность положительных чисел {hn }) следует соотношение В таком случае правая часть, а значит, и левая, в равенстве (93) имеют предел ас. Рассмотрим последовательно несколько случаев: 1) Допустим, что hn = —, и докажем, что vl. (95) На стр. 81 мы имели неравенство (при а^>1) Придадим ему вид ') Следующее ниже доказательство одинаково применимо к случаю, когда рассматриваются лишь рациональные значения х, и к более общему случаю, когда рассматриваются какие угодно действительные значения х. Что касается определения показательной функции ах при иррациональ- иррациональных значениях х, а также соответствующего распространения её свойств, то по этому поводу см. § 51. 13 Эвциклоиедин, in. 3.
194 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Так как здесь а-—произвольное число, с одним лишь ограничением а^>1, то можно заменить а через \Га: П г Левая часть последнего неравенства положительна, и так как правая, очевидно, стремится к нулю, то следовательно, то же справедливо и относительно левой части. Отсюда вытекает (95). 2) Пусть hn = —, где члены последовательности {рп } — целые Рп положительные числа, причём рп —*¦ <х>. Тогда соотношение рп,- . у а ->- 1 является прямым следствием из соотношения (95) (см. стр. 168—169). 3) Пусть члены последовательности { hn } — какие угодно поло- положительные числа, hn -*¦ 0. Подберём целые числа рп по условию <Р+1 (л = 1,2...); "я очевидно, рп -у оо . Тогда и так как функция а" — возрастающая, то Левая часть в последнем неравенстве больше 1, правая, согласно предыдущему пункту, имеет предел 1; значит, айл-»-1. Существование левого предела U функции ах в точке с и ра- равенство L' = ac (96) можно доказать, исходя из тождества и полагая с— а;„ = А„>0. Из соотношений (92) и (96), принимая во внимание, что ас есть значение функции ах в точке с, следует непрерывность функции а* в этой точке. Функция \ogax(a^>l) непрерывна во всех точках, где она существует, т. е. при х^>0. Это вытекает из свойства возрастания показательной функции ах. Рассмотрим точку х = с^>0; покажем, что правый предел logaX в этой точке, L", существует и равен Iogac. Пусть хп ^> с, хп -* с. Из хп ^> с следует, что \ogaxn ~^> logac. Нужно доказать, что 1о?„л:п-> logac. Допустим, что это неверно. В таком случае суще- существует такое число е* О 0), что для сколь угодно больших зна-
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 195 чений п имеет место неравенство Но тогда для тех же значений п (по свойству иозрасгания а") т. е. А это противоречит допущению хп —*¦ с. Итак, доказано существование правого предела L" в точке с и равенство L" = log0c. Подобным же образом доказывается суще- существование в этой точке левого предела 11 и равенство U =: Iogac. Отсюда же следует равенство U = L" = logac и, следовательно, непрерывность функции IogaA; в точке с'). Непрерывность общей степенной функции ха при любом по- постоянном а, в любой точке х(х~^>0) получается как следствие теоремы о непрерывности сложной функции. Действительно (§ 24), х" = аа1°еах, и, полагая v(x) = a\ogax, и(х) = ах, мы видим, что функция v{x) непрерывна при л:^>0, функция же и (л;) непрерывна при любом значении х, откуда следует заключение. Таким же образом устанавливается непрерывность функций вроде х хх при х Подводя некоторые итоги сказанному, позволительно констатировать что для элементарных функций точки непрерывности являются, так сказать правилом, а точки разрыва — исключением. "Многие элементарные функции непрерывны во всех точках, где они заданы; другие непрерывны всюду, кроме «отдельных> точек (так часто говорили раньше, не видя необходи- необходимости в разъяснении того, что такое «отдельные точки»). Приведём в качестве заключительного примера функцию /(*) Ц-, (97) sinx имеющую разрывы во всех точках вида х = -г—, где k — целые числа (k ф 0), и, кроме того, ещё разрыв в точке х =0. § 44. Пределы при монотонном изменении. Число е Теорема Вейерштрасса. Всякая возрастающая, или хотя бы неубывающая, ограниченная сверху последовательность { ап \ имеет конечный предел. При этом под возрастающей последовательностью, разумеется, нужно понимать такую, у которой каждый следующий член больше ') Более общая теорема по поводу непрерывности обратных функций припёдена в § 52. 13*
196 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО предыдущего, если же говорят о неубывающей последовательности то предполагают, что каждый следующий член может быть больше' или равен предыдущему: at =? a2 =g ... s? an =? ... (98) Раз последовательность — возрастающая или неубывающая, то она непременно ограничена снизу, так как все её члены больше некоторого числа т, меньшего, чем первый член. Так как по условию она, кроме того, ограничена и сверху, то её можно назвать просто ограниченной. Но в таком случае по теореме Больцано-Вейерштрасса (§ 36) она имеет хотя бы одну предельную точку: нужно доказать, что такая точка — только одна. Допущение, что имеется более одной предельной точки, приведёт к противоречию. В самом деле, пусть последовательность {ап) в числе своих предельных точек имеет две точки а и а', и пусть, например, а<^а. Выберем число е по условию тогда а-|-е<а' —е. (99) В е-окрестности точки а' должна находиться хоть одна точка по- последовательности { ап }, например atf a' — e<ajv<y-f e. В таком случае все члены последовательности ап, следующие за fljVi будут не меньше чем а' — е: an^aN>a' — e {n = N+l, N+2, ...) и значит, меньшими чем а' — е смогут оказаться лишь члены, имеющие индекс п, меньший чем N: таких членов — конечное число. Итак, в е-окрестности точки а вследствие (99) сможет заключаться лишь конечное число членов. А это противоречит тому, что а есть пре- предельная точка. Таким образом, последовательность {ап} имеет лишь одну предельную точку, и она есть её предел: последовательность — сходящаяся. Заметим, что в условии теоремы Вейерштрасса нет необходи- необходимости предполагать, что последовательность — неубывающая с пер- первого же члена: она может быть неубывающей, начиная с некото- некоторого члена. То, что справедливо относительно неубывающей, ограниченной сверху, последовательности, переносится, конечно, и на невозра- стающую, ограниченную снизу последовательность.
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДРЛЫ ФУНКЦИЙ 197 Условившись (как иногда делают) называть монотонной') не- неубывающую или невозрастающую последовательность, можно даже охватить оба случая общей формулировкой: Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет, конечный предел. Или, короче: Всякая монотонная последовательность имеет предел. Если последовательность ограничена, предел — конечный, если не огра- ограничена, — бесконечный. Пример 1. Возрастающая последовательность iHi> !+-i"' ! + i-+4-,- (loo) ограничена сверху. Действительно, по поводу члена а2Р _ т можно утверждать: _, , _1_. J_ , _¦ 1 _ а2Р. — 1 "Г 22 "Т" З2 ' ' " "¦ B^ — 1)s 1)s _L_y 1 43 '23 ~Г '42 + 4T 1 ')=2 —<2 p-l * ->p-l \ ''• Раз неравенство A01) доказано при любом /?, то справедливо также при любом и нера- неравенство а„<2. A02) В самом деле, к заданному п всегда- можно подобрать р так, чтобы было тогда будем иметь: и, значит, с помощью A01) получится неравенство A02). Итак, существует предел 1 ') См. § 5, стр. 37. 2) Произведено суммирование по строкам.
198 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО С помощью разного рода приёмов не особенно трудно вычислить этот предел с наперёд назначенным числом десятичных знаков: а=1,644 ... Но лишь математический анализ позволяет установить, чго этот предел замечательным образом связан с числом тс: (последний результат принадлежит Эйлеру). Пример 2. Последовательность { ап), где имеет особенно большое значение в анализе. Можно порекомендовать читателю вычислить (непосредственно) значения ап при п=\, 2, 3, 4, 5, округляя их до 0,001; затем с помощью логарифмов при п= 10, 50, 100 и даже и= 1000. Последовательность A03) — возрастающая. В самом деле, рас- раскрывая по формуле бинома Ньютона, мы получаем: и, таким же образом, 1±Л !_\Л М (,_! Каждый член во второй сумме, начиная с третьего, больше, чем соответствующий член первой суммы, и имеется ещё лишний, по- последний, член; значит, С другой стороны, последовательность {ап } ограничена сверху. Действительно, из формулы A04) следует, что, каково бы ни былой, Отсюда следует, что последовательность { а„ } имеет конечный предел, =С 3. Этот предел обозначается буквой е: A05)
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВЧТЕЛЪНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 199 Его числовое значение даётся равенством Число е играет большую роль в математическом анализе: его принимают в качестве основания системы «натуральных» логариф- логарифмов!) (см. стр. 316). Сказанное относительно последовательностей оказывается спра- справедливым и для функций. Если функция f(x), заданная в некоторой окрестности точки (-}-оо), является возрастающей (или хотя бы неубывающей) и обладает свойством ограниченности сверху, то существует ко- конечный предел L= lim/(*). X —-СО Нужно доказать, что, какова бы ни была последовательность {хп \ в заданной окрестности точки (-J- оо), из условия хп -»- оо следует, что последовательность {/(-*;„)} стремится к некоторому одному и тому же пределу. Последовательность {/(и)} — возрастающая и ограниченная; положим L = \imf(n). A06) Пусть рп — такие целые числа, что А,^*«<Л,+ 1 («=1,2,...). A07) Из неравенства A07) следует: /0>„)^/(О</(/>„+!). (Ю8) и так как, очевидно, р„—*- оо и рп-\- 1 —*¦ оо, а из соотношения A06) вытекает /(рп) —*¦ L и f{pn-\-1)—»¦ L, то отсюда на основании не- неравенства A08) заключаем: Подобная же теорема справедлива, конечно, и в случае функции fix), убывающей (невозрастающей) и ограниченной снизу в окрест- окрестности точки (-|- оо). Аналогичные формулировки существуют и для точки (— оо). Наконец, не исключается и случай одностороннего приближения неизвестной переменной к конечному пределу: Если функция f(x), заданная в некотором промежутке с < х <^ с -f- 8 или с — 8 <^ х <^ с, где Ь ^> 0, изменяется монотонно (т. е. не убывая или не возрастая), то существует предел f(c-\-0) (или /(с —0)). Этот предел конечен в том случае, если функция в данном промежутке ограничена. ') Логарифмы, пзятые по основанию е, часто обозначаются следующим образом: l
200 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТРЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Нет необходимости приводить доказательство этого утверждения. Пример 3. Если бы было легко доказать элементарными сред- ствами, что функция 4 — возрастающая, то она могла бы хорошо иллюстрировать пре- предыдущую теорему. Не имея, однако, возможности опираться на это свойство, мы, чтобы доказать равенство = е, A09) станем рассуждать несколько иначе. Нам уже известно (см. при- 01ZJVSB7B3 10X Рис. 78. мер 2), что /(/z)->-e; предположим теперь, что хп -*- оо, и докажем, что f(xn)-+e. Пусть (как раньше) где рп — целое. Тогда и, с другой стороны, рп+1 Нетрудно сообразить, что правые части в обоих неравенствах (ПО) и A11) имеют предел е; отсюда следует соотношение и, наконец, A09).
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 201 Рассмотрим также, чему равняется lim f(x). Пусть {хп \ — X —> — го такая последовательность значений х, что хп—>— оо. Положим \хп\= — хп = \п. Тогда и так как !!„->¦ оо и также \п—1 -»¦ оо, то первый множитель справа стремится к 1, второй, по доказанному, — к числу е. Итак, наряду с соотношением A09) мы имеем: Hm (l+!)* = *. A12) х-* — со\ ¦*/ С1 \* '^ 1 + —1 '. 1) В заштрихованной полосе могут встретиться отдельные точки данного графика. Так, при х==—^ не получается никакого (действительного) зна- значения функции / (лг); при х = получается одно отрицательное значение; о 2 при х = —=—одно положительное значение. Осмыслить эти явления о можно с помощью теории функций комплексного переменного.
ГЛАВА IV ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ § 45. Простая сходимость Говоря о последовательностях чисел {ап\, мы установили (§ 38) взгляд на переход к пределу (ап -> а) как на операцию, позволяющую иногда по данным числам ап (п — 1, 2, 3,...) по- построить новое число а, называемое пределом последовательности: а = lim an. Переходя теперь к рассмотрению последовательностей функций {/„W!=/.D /*(¦*).••-. /«(¦*)..•¦. О) заданных в некотором (конечном или бесконечном) промежутке, определим и в этом случае операцию перехода к пределу /„(*)-»-/(¦*). позволяющую иногда по данным функциям/„(лг) (и=1, 2, 3,...) построить новую функцию — предел последовательности данных функций = lim/„(*). B) К вопросу о сходимости последовательности функций можно подходить с различных точек зрения. Мы установим сначала более общее понятие простой сходимости и лишь позже (см. § 48) обра- обратимся к более специальному (и практически более важному) поня- понятию равномерной сходимости. Можно рассуждать так. Задавая в некотором промежутке / по- последовательность функций A), мы задаём бесконечное множество числовых последовательностей: именно, если х0 есть какое-нибудь значение х из промежутка /, то с каждым таким значением сопоста- сопоставляется числовая последовательность
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 203 Может случиться, что некоторые из таких числовых последова- последовательностей {/„(-*;„)} имеют предел, и притом конечный; этот пре- предел, вообще говоря, зависит от выбора точки х0; обозначим его через /(*„). Сказать, что в промежутке I последовательность {/„(¦*)} стремится к пределу f(x) /„(*)->/(*), D) означает, по определению, то же самое, что констатировать на- наличие предельного отношения (в собственном смысле — см. § 38) для каждой точки х0 из промежутка I. Нужно сразу же заметить, что символ f(x) вовсе не обязательно обо- обозначает элементарную функцию (см. § 1). В самом деле, на основании пре- предыдущего с каждым значением х из промежутка /сопоставляется по особому правилу некоторое число у =/(лг); но упомянутое правило подразу- подразумевает выполнение, кроме элементарных операций, ещё операции перехода к пределу (для случая числовой последовательности), и вовсе ни откуда не следует, чтобы тот же результат мог быть получен без этой операции. Та- Таким образом, если предел последовательности A) мы станем трактовать как функцию числового значения переменной х, то следует заранее считать не исключённым, что функция эта уже не является элементарной, а есть функ- функция в более общем, расширенном смысле слова. Дальнейшие примеры пока- покажут характер получающихся этим способом функций. Если не делать предположения, что при любом числовом зна- значении х=ха из рассматриваемого промежутка / последователь- последовательность A) стремится к конечному пределу, то в зависимости от выбранного значения х0 возможны три различных случая: 1) или эта последовательность имеет конечный предел, 2) или её предел бесконечен (-[- оо или — оо), 3) или она не имеет предела. Обозначим соответствующие совокупности (множества) точек х = х0 через ?,, ?2 и Е3; каждая точка из / принадлежит одной и только одной из этих совокупностей. Символ /(л;0) имеет смысл в том случае, если точка лг0 принадлежит совокупности ?,; эта совокупность носит название области сходимости последователь- последовательности A) (в пределах промежутка /). Если х0 принадлежит Ег, то символ/(лг0) не имеет никакого смысла; если же х0 принадлежит Е3, то возможна была бы запись = + °° или / (хо) — — °°> но она не принята '). Итак, в общем случае функция f(x) оказы- оказывается заданной лишь в точках совокупности Ех. 1) Тем не менее случаи, когда х0 принадлежит Е2 или принадлежит конечно, существенно различны.
204 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО В дальнейшем запись /„(*)-*/(*) «ли lim/„(¦*)=/(*) будет использована только для случая Е1 = /, т. е. при допущении, что сходимость к конечному пределу имеет место во всех точ- точках рассматриваемого промежутка. Рассмотрим несколько примеров, в которых роль промежутка / будет играть вся действительная ось —оо <^лг<^-(-оо. Пример 1. Пусть дана последовательность функций {/„(-*;)}, где Рассмотрим три случая: 1° jc = O. В этом случае, очевидно, /п(лг) 2° х^>0. Считая х постоянным, положим у оо, то на основании § 44 (пример 3) и в силу непре- непрерывности степенной функции 3° х <^ 0. При этом предположении мы получаем, сделав ту же подстановку, u>n-v—оо, и потому снова (см. конец § 44) Итак, во всех случаях мы имеем: /(*) = lim /„ (х) = lim (l + ?)" = е*. E) В этом примере сходимость имеется при всех значениях лг, и функция, получающаяся при переходе к пределу, — элементарная. Пример 2. Положим fn(x) = xn (я=1, 2, 3,...). Последо- Последовательность {хп}==х, х\ х9 *»,... (см. § 37, п. 5 и § 39, п. 5) сходится к пределу 0 при условии — 1<^лг<^1, сходится к пределу 1 прилг=1, расходится к -[- оо при х^> 1 и вовсе не имеет предела при л;=?—1. Таким образом, можно сказать, что в данном случае совокупность точек Et (область сходимости) есть промежуток от — 1 до -\-\, со включением пра- правого конца, но без включения левого; совокупность ?2 — промежу- промежуток от 1 до оо, без включения левого конца; совокупность Е3—• промежуток от —оо до —1, со включением правого конца. Пре- Предельная функция f(x) = lim x" «определена», «задана», «суще-
ПРЕДЕЛ» ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 205 1, и именно определяется равен- '' F) ствует» при условии — 1 <^д ствами Э, если — 1 < 1, если х— 1. Её график, с разрывом на правом конце, изображен на рис. 79 У, 1 О 1 х -1 ¦ Рис. 79. жирной линией, причём следует добавить, что точки A, 0) и (—1,0) ему не принадлежат. Пример 3. Пусть /„(лг) = { * ^ (и=1, 2, 3,...). После- Последовательность \l+n*x*f—l + x*' 1
206 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО — сходящаяся при всех значениях х. Предельная функция, как легко понять, определяется равенствами /(¦*) = при х=0, G) при х ф 0. Она имеет разрыв в точке л; = 0 (рис. 80). В этой точке (см. § 41) Z.'=/@ — 0) = 0, ?."=/@ + 0) = 0, но В этом примере график fn(x) получается из графика /, (х) по- посредством сжатия в п раз по направлению Ох. 1 х Подобные же результаты получаются, если положить Пример 4. /„(*) = cos2" (п=\, 2, 3....). И в этом примере имеется сходимость на всей оси; предельная функция f(x) задается равенствами A, \0 если х — целое, в других случаях. (8)
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВ ЧТЕЛЫЮСТЕЙ ФУНКЦИЙ 207 Она имеет бесконечное множество* разрывов в точках, соответ- соответствующих целым значениям х (рис. 81). -2 х Пример 5. /„(*) = cos" (л=1, 2, 3,...). В этом примере точки вида x = k, где k — целое нечётное, принадлежат множеству Е3: в них нет сходимости. Все остальные точки принадлежат множеству ?,. Рис. 82. Предельная функция /(лс) определяется равенствами (рис. 82) 1, если x = k, где k — целое четное, Д если х— не целое число. Пример 6. 2 , „ / (лс) = — arctg юс (я = 1, 2, 3,... )• /(*) = (9)
208 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Графики функций /„ (лг) = — arctg/гд: изображены на рис. 83. Гра- График /п (¦*) получается из графика /, (лг) посредством сжатия в п раз по направлению оси Ох. Предельная функция /(лг) задана для всех значений х и опре- определяется равенствами — 1 при х /(*) = 0 при лг = О, (Ю) 1 при лг]>0. В точке лг = О функция /(лг) имеет разрыв, ?'=/@ —0) = —1, /@) = 0, L" =/@ + 0) = +1. Функцию /(лг), определённую равенствами A0), иногда обозначают sgn* ')• Пример 7. {n=\, 2, 3,...). (Ю Переход к пределу нам даёт: 2 2 /(лг) = lim /п (лг) = lim —лг arctg илг = лг • lim — arctg nx = =лг • sgn лг = | д: j. *) S2n ~~ сокращение латинского слова signum (знак).
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 209 2 График функции /„ (лг) из графика /, (лг) = — лг arctgлг, изображён- рого на рис. 84, получается посредством одновременного сжатия в п раз по направлениям Ох и Оу (т. е. уменьшения в п раз). В пре- пределе получается фигура, составленная из двух лучей—биссектрис 1-го и 2-го координат- координатных углов. Предельная - - "¦ функция, таким образом, есть |лг|. Пример 8. После- Последовательность {/(л:)}, где /я \х)== ] i 2пх' имеет предельную функ- функцию /(*) = 1 при лг<^0, Y при лг = О, A2) О при *>0. Рис.84. Пример 9. Пусть и (х) и v (лг) — две какие угодно функции, заданные для всех значений лг. Тогда последовательность {/„(лг)}, где \; а: /я (*0 = и : ~г да 1+2-"*' имеет предельную функцию /(лг), определяемую равенствами и (лг) при х <^0, f(x) = { a(x) + v{x) при лг = О, # г;(лг) при х^>0. Такой же результат получился бы, если бы мы взяли П р и м е р 10. Пусть F (лг) какая угодно функция (— оо <лг < со). Тогда последовательность {/„(лг)}, где 14 Энциклопедия, т. 3. [1 " 1+ /••(*) J '
210 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО имеет предельную функцию f(x), равную 1 в тех точках, Где F (х) = 0, и равную 0 во всех остальных точках. Положив подобным же образом мы получим предельную функцию f (х) = sgn F (х), равную —1, о или -~\- 1, смотря по тому, будет ли F(x) отрицательным, равным нулю или положительным числом. Пример 11. Функция fp(x)= lim co&v(ЮРкх) q —* се от предельной функции примера 4 отличается лишь тем, что график сжат в ЮР раз по направлению оси Ох. Она имеет значение 1, если х выражается десятичной дробью «ранга р» (см. § 36); во всех остальных точках она равна нулю. Рассмотрим теперь функцию /(*)= Umfp(x) р ->сс — предел последовательности /.D /•(*). /.(*).... Эта последовательность состоит из одних нулей, если х не представляется в виде конечной десятичной дроби, и из одних единиц, — если л: есть деся- десятичная дробь ранга 1; если же, вообще говоря, х представляется в виде ко- конечной дроби ранга й(>1) (но не низшего), то первые к— 1 членов по- последовательности — нули, все же остальные, начиная с А-го, — единицы. Та- Таким образом, функция fix), т. е. предел последовательности {/„ (а:)} равна единице, если х представляется в виде конечной десятичной дроби, и равна нулю, если х таким образом не представляется. Нарисовать график функции у—f(x), конечно, невозможно, но всё же его можно «мыслить», как множество точек, «всюду плотно» расположенных на каждой из прямых .у = 0 и у~ 1 (в плоскости Оху). Следует обратить внимание на то, что при определении функции f(x) в этом примере операция перехода к пределу выполнялась дважды: # f(x)— lim lira cos2? AС на:). A3) p —* od q —* cc § 46. Общее понятие функции одной действительной переменной Как можно было догадываться заранее, мы заключаем, основываясь на рассмотрении предыдущих примеров, что допущение операции перехода к пределу на равных правах с прочими «элементарными» операциями откры- открывает неограниченные возможности для расширения классов рассматриваемых функций. Так возникают функции, имеющие разрывы разнообразных типов ) ') В частности, такие, что все три числа С =/(с— 0), /(с) и?"=/(с оказываются различными между собой (.см. § -11).
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 211 (см. примеры 2—6, § 45); функции, «склеенные» из нескольких данных функ- функций (примеры 7 и 9, там же); функции, определяемые одним или другим спосо- способом в зависимости от того, какому «множеству» принадлежит значение не- независимой переменной (примеры 10—11, там же). Как мы видим, ограничивать себя рассмотрением лишь класса «элементарных» функций становится искус- искусственным, плохо оправданным, запретом. К тому же легко придти к мысли, что проще и удобнее определять функцию непосредственно системой равенств вроде G), (8) или (9), чем посредством предельных переходов, подобных указанным выше. Естественно сделать ещё один решительный шаг вперёд и сказать, что существенным в самой идее функции является то, какие значе- значения она принимает при различных значениях переменной, а не то, какие операции нужны для вычисления её значений. Высказанные соображения достаточны для того, чтобы не только де- декларировать, но и внутренне оправдать то определение понятия функции действительной переменной, которое единственно принято в настоящее время в науке. Говорят, что на некотором числовом множестве Е задана функция у=/(х), если с каждым значением «независимой» переменной х из мно- множества Е каким бы то ни было способом сопоставлено некото- некоторое, только одно, значение «зависимой» переменной у. Другими словами: указано правило, на основании которого каж- каждому значению х из Е единственным образом приводится в соот- соответствие некоторое значение у. Это определение необычайно расширяет понятие функции, так как характер указываемого «правила» ничем не ограничивается: в частности, роль «правила» может играть формула, содержащая элементарные операции, но это не обязательно. Вместе с тем новое определение несколько сужает понятие функции: раз каждому значению х соответствует только одно значение y=f{x), значит, тем самым устраняются из рассмотрения «многозначные функции», и остаются лишь «однозначные». Введение понятия однозначной функции имеет для изложения теории функций действительного переменного первостепенное методическое значение: ограничиваясь лишь рассмотрением однозначных функций (или «расщепляя» многозначные функции на ряд однозначных), мы упрощаем формулировки многих утверждений. Мы уже упоминали об определении функции как соответствия в § 1,— правда, лишь в предположении, что функция «задана» в некотором проме- промежутке, а не в «произвольном множестве» точек. Приведём ещё несколько примеров функций, задаваемых «независимо от формулы». Пример 1. Функция, называемая «целая часть х» и обозначаемая /(*> = [*]. A4) определяется для любого значения, как наибольшее целое число, не превы- превышающее данного значения л:. Например, Г-11 = 7, [3]=3, [-2,47]=-3. 14*
212 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО График изображён на рис. 85. Если л — целое число, то /(л-0) = л-1, /(л)=/(л+0) = л. Пример 2. Определим функцию f(x) в промежутке O^at^I—сна- O^at^I—сначала для множества Е дробных значений л: со знаменателем вида 2"— сле- следующим образом. Пусть it * Б S ч 3 г i НУ затем / г з v Рис. 85. г 7 х и т. д. Вообще пусть при т нечётном I (определение / (л:) в точках х = а промежутка 0 ^ л: ^ 1, не принадлежащих Е, может быть дано, далее, «по непрерывности—см. §51). На рис. 86, а построены все точки графика, соответствующие значе- значениям л: из Е, для которых л"^ 4 1 X Пример 3. Приведём аналогичный пример для того же промежутка: пусть затем, если вообще 2-
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 213 то полагаем /2и+1\ J\ 2«« ) — (допускаем, что — и Щ- — несократимые дроби, 0 = --j-1. Таким образом. fl М— °±1 — I W'\_!L±J_I //з\ i + i 2 7 \~ij ~~i+2~ з ' у ^4/ 2+i з* i !)-±± L fi) L±± l f(L)L±2— f/ _ S)~ I +3 4 ' y\8/~3 + 2— 51 ' \%)—Ъ+Ъ~ 5 • J \ 8 j ~ W+l ~ * и т. д. (рис. 86, б) (здесь также возможно «продолжение на весь промежу- промежуток O^at^I по непрерывности:»). Пример 4. Функция / (а:) определена в промежутке — 1 <: х ^ 4" 1 следующими условиями: 1)/@) 0 2) f(x) = x, если х имеет вид -к— (л —целое) и f(x) = 2x, если а: имеет 3) функция/(а:) в каждом из промежутков —хт-^аг^ — (л=1,2,3,...) — линейная; 4) функция f(x)— чётная. Читатель построит график функции f(x) и убедится, что эта функция имеет минимум в точке х = 0, хотя и нельзя указать такое число е (> 0), чтобы в промежутке — е < х < 0 функция убывала, а в промежутке 0 < л: < е она возрастала'). Пример 5. Функции/j (дг) и /а (х) при хфО определены равенствами /,(*) = 2 и дополнительными условиями И та и другая непрерывны при всех значениях л: (см. § 41, пример 7 и § 43). Пример 6. На стр. 15 мы рассматривали уравнение и установили, что в промежутке—1^аг^-|-1 имеются, две функции y—f(x), ему тождественно удовлетворяющие, именно, )=V\^=l? и *) Другие примеры, обладающие тем же свойством: j \Х)== 2 | х I -4— X sin — у уХ X при дополнительном условии /@) = ( -Ь, /(Х) = А-3 +ЛГНП-1-
214 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Вернёмся ещё раз к этому вопросу и постараемся выяснить: сколько существует в названном промежутке функций, удовлетворяющих нашему уравнению? только ли две? С новой точки зрения, установленной в настоящем параграфе, следует признать, что таких функций — бесконечное множество. Вот ещё одна функ- функция, удовлетворяющая выставленному требованию: — У1 — х* при 0 < х s2 + 1- Эта функция— не элементарная; притом она имеет разрыв в точке х = 0. Представим себе, что все точки промежутка [—1, -\-Ц разбиты на два каких-либо множества А и В, и пусть функция f(x) определяется усло- условиями \ ~\f\—х2, если л: принадлежит множеству А, \ -УТ=Гх~\ если х принадлежит множеству В. Такая функция тоже удовлетворяет нашему уравнению. Но непрерыв- непрерывных функций интересующего нас класса — только две: /, (х) и /2 (х). Изложенный ход мыслей находится в соответствии с историче- историческим процессом. В историческом плане предельный переход вошёл в математический обиход не в общем (явном) виде, а в форме суммирования рядов функций. Работы Фурье (в первой четверти прошлого столетия) создали предпосылки для расширения понятия функции: в них был указан приём представления в аналитической форме (в виде формул, содержащих предельный переход) таких функций, которые раньше считались аналитически непредставимыми и потому не подлежащими математическому исследованию. После этого введение нового определения, ныне общепринятого, стало неизбежным: оно было впервые сформулировано Лобачевским (см. стр. 12) и Леженом-Дирихле и использовано Риманом. Числовое множество Е — совокупность тех значений х, которым по определению ставятся в соответствие числовые значения у, обыкновенно называют множеством определения функции. Чаше всего в качестве множества определения функции приходится встре- встречаться с промежутками: следует различать промежутки замкну- замкнутые, вида а^х^Ь (сегменты), и промежутки открытые, вида а<^х<^Ь (интервалы). В замкнутом промежутке asSJtsgb имеется наибольшее число Ъ и наименьшее а; в открытом — нет ни того, ни другого. Иногда случается иметь дело с промежутками, которые замкнуты с одного конца и открыты с другого (например, проме- промежуток — 1 <.rsS 1). Бесконечные промежутки с той стороны, на которой стош знак бесконечности, считаются открытыми.
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 215 В настоящее время становятся общеупотребительными обозна- обозначения, которыми мы отчасти уже пользовались: [а, Ь] — для замкнутого промежутка a (а, Ь) — для открытого промежутка а^^ [а, Ь) — для полузамкнутого промежутка а^х<^Ь и т. п. Примечание. Читатель, вероятно, обратил внимание на аналогию между определением числовой последовательности в § 35 и определением функции в настоящем параграфе. Однако здесь — не только аналогия, но и обобщение: задать последовательность чисел { ап } значит с каждым целым положительным числом л сопостапить некоторое число а,.; таким образом, по- последовательность, с точки зрения настоящего определения, можно рассма- рассматривать как функцию, заданную на множестве всех целых положитель- положительных чисел. Как видно из приведённых примеров, «множества определения» функций могут быть весьма разнообразных типов; всё же в даль- дальнейшем нам придётся иметь дело преимущественно с промежут- промежутками — замкнутыми или незамкнутыми. § 47. Свойства непрерывных функций Чтобы отдать себе отчёт в степени общности понятия функции как «со- «соответствия:», постараемся представить себе, какова геометрическая сторона дела. С каждым значением х (хотя бы из некоторого промежутка) сопо- сопоставляется некоторое значение у. геометрически это означает, что на каждой вертикальной прямой отмечается согласно заданному правилу одна какая-то точка. (На самом деле нельзя, конечно, отметить всех точек, которые таким образом могут быть получены; но можно «представить себе>, что это сде- сделано.) Из наличия упомянутого правила логически не вытекает, что все отме- отмеченные точки в своей совокупности образуют «плавную кривук» (см. хотя бы пример 11 в § 45); график будет плавной, или непрерывной кривой только в случае, если функция y=f(x) обладает свойством непрерывности1) (в рассматриваемом промежутке). Хотя в математике изучение функций, имеющих «разрывы», оказывается полезным не только в теоретическом отно- отношении, но и с точки зрения многих приложений, тем не менее непрерывные функции (и их графики — непрерывные кривые) представляют особенно важ- важный класс функций, обладающих замечательными свойствами. С некоторыми из этих свойств мы познакомимся теперь же; наиболее же существенное из них будет установлено в §§ 49—50. Теорема I. Если функция, непрерывная в некотором проме- промежутке, в двух точках этого промежутка принимает значения разных знаков, то в какой-то точке (хотя бы одной) между двумя упомянутыми она принимает значение нуль. Эта теорема лежит в основе приближённого метода решения уравнений, посредством «проб», и доказательство следует за этим методом. Доказательство. Пусть /(х) непрерывна в промежутке /; аи Ъ (а<^Ь) — точки этого промежутка, причём/()^/^ ') См. § 42. Понятие непрерывности, очевидно, не связано с тем, задана ли функция «аналитически» или «посредством правила».
216 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Среди всех десятичных дробей «ранга 1» (см. § 36), заключён- заключённых в промежутке а^х^Ь, можно выбрать (не обязательно—един- сгвенным способом) две рядом стоящие х\ а х?[ (х[<^х), удовле- удовлетворяющие условиям /(¦*,') <С О, fi^D^-O1). Затем среди всех дро. бей «ранга 2», заключённых в промежутке х[ ==? х ^ х'[, выберем две рядом стоящие х'а и x"g (х\ <^х"), удовлетворяющие условиям /С*») "С0- f(x")^>® и т- Д- Последовательности {х'п\ и {л^} — монотонные и ограниченные; значит (§ 44), каждая из них имеет предел. Этот предел — один и тот же для обеих последовательно- последовательностей, так как х"п—jc;=io-"-^o. Обозначим его через \. По свойству непрерывности (§ 42) из со- соотношений х'п-^1 и <->? следуют соотношения , )/а) и Так как /(*»)•< О при любом п, то /(?)^0 (§ 38, стр. 172); точно так же из f(x%)^>0 следует /(?)^0. Итак, Следствие (обобщение). Функция, непрерывная в неко- некотором промежутке, не может «перейти» от одного значения к другому, не приняв любого промежуточного значения. Другими словами, если /(а) —Л, f(b) = B, причём a<^b a АфВ, то, каково бы ни было число X, заключённое между А и В, существует (по крайней мере одно) такое значение х = \, что 1 Для доказательства достаточно применить доказанную теорему 1 к новой, также непрерывной, функции fl(x)=f{x) — X. Это свойство непрерывной функции, казалось бы, выразитель- выразительнее характеризует «плавность» графика, чем само определение не- непрерывности. Однако оно не равносильно свойству, обычно прини- принимаемому в качестве определения непрерывности; например, функ- функция, заданная равенствами | sin — при х ф О, [ 0 при х = 0, ') Если бы нашлась такая дробь хи что f(xl}=0, то теорема была бы уже доказана: поэтому мы предполагаем, что таких дробей нет.
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 217 обладает рассматриваемым свойством и, однако, имеет точку раз- разрыва x=0 (см. § 41, пример 4). Доказанный выше результат принадлежит чешскому математику Больцано A817 г.). Опираясь на теорему Больцано, можно доказать существование един- единственного положительного действительного числа (бесконечной десятичной дроби), квадрат которого равен 2. Функция f(x)=xs непрерывна (§ 43) и возрастает в промежутке 0 < х ^ 2 от 0 до 4; значит, она в некоторой точке принимает значение 2: Такое число ? —¦ только одно; если бы существовало два таких числа ? и ?" (;' ф%'), то одно из них было бы меньше другого, например, 5'<5", и отсюда следовало бы ?'2 < ?"s, а это противоречило бы равенствам 5'3 = 2и ? = 2. Итак, существует одно и только одно положительное число 6 такое, что Es = 2: оно обозначается через У2 (арифметический корень). Точно так же доказывается существование других «не извлекающихся нацело» радикалов, затем логарифмов (исходя из непрерывности по- показательной функции на всей оси), обратных круговых функций, корней уравнений вроде хь-\-х — а = 0 (a Sg; 0) и т. п. Таким же точно образом устанавливается, вообще говоря, существование (в смысле «соответ- «соответствия») обратной функции x=g(y) по отношению к любой непрерывной и монотонной функции у = f (х) (см. ниже § 52). Теорема II. Функция, непрерывная во всех точках замкну- замкнутого промежутка, ограничена в этом промежутке. Доказательство. Пусть /(х) непрерывна в промежутке а^х^Ь. Требуется установить, например, что существует такое число М, что при всех значениях д; из этого промежутка Допустим, что такого числа нет; тогда, каково бы ни было М, можно указать такое значение х^Лм в промежутке, что Возьмём последовательность таких чисел {Мп }, что Мп—> оо, и к каждому числу Мп подберём такое число хп из промежутка, что Тогда /(*„)-*«>. A5) Из ограниченной последовательности {хп} выделим сходящуюся последовательность ] хРп } (см. § 38, стр. 167): J) В самом деле, из а ^ хРп ^ Ь следует а ^ ; sg: Ь (§ 38).
218 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО По свойству непрерывности функции f(x) из последнего соот- соотношения вытекает, что последовательность \f(xp)} стремится к конечному пределу: /(*,„)-/«)¦ С другой стороны, из соотношения A5) следует, что /(*„„)-*«>. Получается противоречие. Значит, число М, обладающее требуе- требуемым свойством, существует. Заметим, что теорема неверна, если отбросить требование замкнутости промежутка. Это демонстрируется примером функции рассматриваемой в открытом (слева) промежутке 0<^jt^l: во всех точках этого незамкнутого промежутка функция непрерывна и, однако, как легко понять, не ограничена сверху. Теорема III (Вейерштрасса). Среди значений, принимае- принимаемых функцией, непрерывной в замкнутом промежутке, можно указать наибольшее и наименьшее1). Другими словами: если функция f(x) непрерывна в промежутке а^х^Ь, то можно указать такое число ?д (не обязательно един- единственное), что 1) a^?t^b и 2) для всех значений х из проме- промежутка справедливо неравенство /(Jf)sS/(!ii); и можно указать такое число ?2 (тоже не обязательно единственное), что 1). а^^^Ь и 2) для всех значений х из промежутка /(Jf)^/(Ea). Доказательство. Установим, например, как найти число lt. По теореме II функция ограничена в рассматриваемом проме- промежутке: Среди десятичных дробей «ранга 1», очевидно, можно указать две такие, рядом стоящие у[ и у" (у[ <^У,'), что неравенство выполняется для всех значений х из промежутка, а неравенство — не для всех. Значит, можно указать такое значение х = х1 в про- промежутке, что . Л =?/(*») <Х- •) Наибольшее из значений функции в промежутке определяется, как такое значение, которое не меньше всех прочих; наименьшее — как такое, которое не больше всех прочих. Здесь имеется аналогия с символами max { alF ..., а„ } и rain { ах ап } (см. § 35).
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 219 Таким же образом среди десятичных дробей ранга 2 можно найти две такие, рядом стоящие y's и у" (у'а <^у"), что неравен- неравенство выполняется для всех х из промежутка, а неравенство /wo;. — не для всех. Значит, существует такое х2 в промежутке, что и т. д. Очевидно, последовательности {у'п\ и {у'„} — монотонные и ограниченные; следовательно, каждая из них имеет предел. Этот предел — один и тот же для обеих последовательностей, так как ^—^=10-->О. . A6) Обозначим его через к], так что Уп-^Ч A7) Ук-+Ъ A8) По нашему построению, каково бы ни было х из промежутка, и при любом целом положительном п, мы имеем /МО-- Переход к пределу при п -*¦ оо даёт Нам остаётся доказать, что существует такое число Ej^E в про- промежутке, что /© = 4- По построению при любом п целом положительном существует такое хп в промежутке, что или, принимая во внимание равенство A6), ю-". Из ограниченной последовательности {хп} «выделим» сходя- сходящуюся последовательность {хр }: Очевидно, имеет место неравенство
220 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Перейдём в нём к пределу (при п-+оо). Принимая во внимание что по свойству непрерывности функции f(x) в точке лг = Е и притом вследствие A8) мы получим: откуда следует: что и требовалось доказать. Заметим, что теорема о наибольшем значении неверна, если от- отбросить требование замкнутости промежутка. Примером может слу- служить та же функция /(¦*;)==— в промежутке 0<^д;^1, или, ещё проще, функция f(x)=x в промежутке 0^л:<^1. Она неверна также, если отбросить требование непрерывности функции f(x). Примером может служить функция, определенная равенствами /(*) —j Q при х==1 Эта функция, имеющая разрыв в точке д: = 1, не имеет наиболь- наибольшего значения в замкнутом промежутке, в котором она определена. Теорема IV (о «равномерной» непрерывности). Если функция f(x) непрерывна в замкнутом промежутке I, то при всяком е(^>0) можно указать такое число 8 = 8е(^>0), что, каковы бы ни были числа х1 и х" из I, неравенство A9) влечёт за собой неравенство 1/(до-л*"; I о- B0) Предоставляем читателю обдумать геометрический смысл этой теоремы. Доказательство. Пусть теорема неверна: пусть не со вся- всяким положительным числом е можно сопоставить число 8, обладаю- обладающее указанным свойством. В таком случае существует некоторое положительное число е*, обладающее тем свойством, что, как бы мало ни было 8(^>0), можно указать такие числа х' и х" из 7, что неравенство выполняется, а неравенство
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 221 — не выполняется, и следовательно, имеет место противоположное неравенство ('-/(.К") |=-Е*. Возьмём тогда последовательность положительных чисел { 8П }, обла- обладающую свойством 8»-О, и к каждому п подберём в промежутке / пару чисел х'п и х"п, удо- удовлетворяющих неравенствам |/W-/W|>e*. B2) Из ограниченной последовательности {х'п\ выделим сходящуюся последовательность {х'р }: *рп-^, B3) причём \, разумеется, принадлежит I. Из соотношений B1) и B3) следует, что также х''п^1 B4) По свойству непрерывности соотношения B3) и B4) влекут за собой соотношения f (х'рп) Вследствие B2) имеет место неравенство переходя в нём к пределу при л->оо, получаем противоречие, так как левая часть стремится к нулю, тогда как правая есть по- постоянное положительное число. Примечание 1. Существенное различие понятий «равномерной» не- непрерывности от «обыкновенной заключается в том, что в случае «обык- «обыкновенной непрерывности п точке х = х0* число 6 в неравенстве \х — хо|<8 зависит не только от числа е п неравенстве | / (х)—/0*o)l<ei но также ещё и от значения дг0: о = о(б, лг0); в случае же «равномерной пепрерывности в данном промежутке» число 6 в неравенстве A9) зависит только от числа е в неравепстве B0) и, конечно, ещё от самого промежутка. 'Примечание 2. Из равномерной непрерывности функции в каком угодно (замкнутом или незамкнутом) промежутке /, очевидно, вытекает её непрерывность (в обычном смысле) в любой точке лг0 промежутка /.
222 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Действительно, если неравенство B0) справедливо при каких угодно х1 и х" удовлетворяющих соотношению A9), то, в частности, можно положить х" = х0 и заменить х1 через х; тогда получится, что из неравенства следует неравенство как полагается по обычному определению. Примечание 3. Теорема IV неверна в случае незамкнутого проме- промежутка. Об этом свидетельствует всё тот же пример: / (х) = — ( Полагая здесь в=1, х' = Ь, х" =-^-, мы получаем при о< 1 и, однако, 1 6 1 о Таким образом, в случае замкнутого промежутка свойства обыкновенной непрерывности в промежутке и равномерной непре- непрерывности в промежутке строго эквивалентны; в случае незамк- незамкнутого промежутка это не так. § 48. Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций В § 45 понятие предела последовательности функции было сведено к понятию последовательности чисел: требовалась сходи- сходимость последовательности {/„ (х)} в отдельности для каждого зна- значения х из рассматриваемого промежутка /. Можно подойти к тому же вопросу иначе, рассматривая функ- функцию в промежутке / как целое. Ниже будет изложен один из таких возможных подходов. При этом мы условимся, что на первых пЪрах будем иметь дело лишь с непрерывными функциями, рассматривае- рассматриваемыми в одном и том же замкнутом промежутке *). Рассмотрим две какие-нибудь непрерывные функции f(x) и g(x) в замкнутом (и следовательно, конечном) промежутке I(a^x^b). Мы укажем способ измерять «отклонение» одной функции от дру- другой, или одного графика от другого, посредством некоторой число- числовой характеристики. Когда идет речь об «отклонении» одного числа а от другого Ъ, то под таковым мы понимаем (см. § 3t>) абсолютную величину их разности \а — Ъ\. В качестве же «меры отклонения» (или просто «отклонения») функции f(x) от функции ^(л;) в про- *) Такое ограничение лишь отчасти связано с существом дела; главным же образом оно оправдывается нашим намерением сосредоточить внимание на простом и особенно важном случае.
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 223 межутке / мы примем максимум (наибольшее значение) абсолют- абсолютной величины их разности в этом промежутке: р(/, g) = P/ (/, g) = max \f(x)—g(x)\. B5) Геометрически, как легко понять, отклонение р (/, g) предста- представляет собой наибольшую из длин вертикальных отрезков, соединяю- соединяющих точки графиков / и g с одинаковыми абсциссами (рис. 87). Так как функции f(x) и g(x) не- непрерывны, то непрерывна так- также их разность f(x) — g(x), а также и её абсолютная ве- величина |/(л:) — g(x)\1); сле- следовательно (по теореме III пре- предыдущего параграфа), среди упомянутых отрезков есть наи- наибольший. Итак, отклонение р (/, g) обладает следующим свойст- свойством: каково бы ни было зна- значение х из промежутка /, спра- справедливо соотношение \fW-g(*) I *? Р (/. g), B6) Рис- 87- причём равенство имеет место хотя бы для одного из этих зна- значений. Отклонение р (/, g) всегда неотрицательно: ?)^0 B7) и равно нулю в том и только в том случае, если f(x)=g(x) в про- промежутке I (графики совпадают). Обратимся теперь к определению равномерной сходи- сходимости последовательности функции. Говорят, что последовательность функций |/„М}=/,D Л(*), -••. /„(*) непрерывных в одном и том же замкнутом промежутке I, в этом промежутке сходится (стремится) равномерно к непрерывной же функции f(x), если предел числовой последовательности {р(Л. равен нулю: = р(/и Л. Р(Л. /). ••• • р(Л. B8) ') Мы предоставляем читателю в данной связи доказать теорему: Если непрерывна в точке лг = с функция F (х), то непрерывна также и её абсолютная величина | F (х) |.
224 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Для обозначения равномерной сходимости мы будем иногда поль- пользоваться записью: _> Теорема. Из равномерной входимости (/„ =>/) следует схо- сходимость в обычном (см. § 45) смысле (/„ ->/). В самом деле, соотношение B9), равносильное B8), означает, что, как бы мало ни было е(^>0), при достаточно больших значе- значениях п справедливо неравенство Р (/„,/) О C0) Пусть х—какое-нибудь число из промежутка /. По свойству B6) !/„(•*)—А*I^р (/"„,/); C1) значит, |/ ()/()[< 8- Итак, при любом х из 1 /„(*)-*/(*)¦ (Доказательство можно резюмировать следующим образом: раз наиболь- наибольший из «отрезков» \fn(x)—f(x)\ стремится к нулю при л-^оо, то и каждый из них в отдельности также стремится к нулю.) Приведём примеры, показывающие, что, обратно, из обыкновен- обыкновенной сходимости не следует равномерная сходимость. Пример 1. fn <*) = ^ г-^ {п = 1, 2, 3, ...). C2) Значения х здесь произвольны; ограничимся хотя бы промежутком Мы получаем: 1) при д: = 0 2) при х ф О х\ п I л?х* Таким образом, при всех значениях х так что предельная функция f(x) тождественно равна нулю. И тем не менее равномерной сходимости нет, так как Р (/л. /) =¦= max | /„ (х) — f (х) | = max /„ (х) = 1 *). ') Непосредственно из формулы видно, что /„ (х) принимает наибольшее значение при x = —F=. Уп
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 225 Полезно отдать себе отчёт в геометрическом смысле этого примера: график функции /„ (х) тот же, что и в примере 3, § 45 (см. рис. 80), но сдвинут вправо на расстояние —-=- V п В следующем примере функции последовательности не принадлежат к числу элементарных, но геометрическая сторона дела более проста. Пример 2. В промежутке 0^хsg 1 непрерывные функции /„(х) заданы условиями: пх 2 — nx 0 при при при 0«?д п «4 - («=1,2,3...), C3) (на рис. 88 изображён график /10). Мы получаем: 1) при лг = О /л @) = 0 — 0, У 1 2) при 0<jc^ 1: ) = 0, если только п^?= —; значит, и п этом случае Итак, в нашем промежутке Тем не менее, Р (/„, Л = тах/л (х) =/„ A = 1. 1 X Поэтому сходимость — не равномерная. РиС- 8S- Геометрический смысл равномерной сходимости чрезвычайно прост. Соотношение B9) означает, что, как бы мало ни было е, при достаточно больших значениях п имеет место неравенство это же неравенство по отмеченному выше свойству отклонения рав- равносильно одновременному выполнению бесконечного множества нера- неравенств I/» С*)—/(¦*)!< * C4) (где х может принимать любое значение из промежутка Г). Придавая соотношению C4) вид /(X) - Е </„(*)</(*) "К мы можем следующим образом истолковать равномерную сходимость /„=*/• 15 Энциклопедия, ни. 3
226 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО f*e /-? Вообразим графики функций f(x)— е и/(л:)-f-e, получающиеся из графика f(x) посредством перенесения графика вверх и вниз на отрезок е. Тогда при достаточно больших значениях n(n~^>ns) гра- график функции /п (х) весь заключен в «полосе» между этими двумя графиками (рис. 89). Если бы мы условились эту полосу называть «е-окрестностью» графика /(-V), то можно было бы сказать иначе, что графики «почти всех» функций /п (д-) попадают целиком в эту«е-ок- рестность», т. е. лишь конеч- конечное число их не попадает f+e в неё (см. определение пре- предела числовой последова- последовательности, приведённое на стр. 164). f-E Выше равномерная схо- сходимость fn(x)^?f(x) была определена в предположе- предположении, что все функции после- последовательности {/„ }, а также и предельная функция f{x) Рис. 89. в рассматриваемом проме- промежутке / непрерывны. В та- таком ограничении нет логической необходимости. В самом деле, из приведённого определения равномерной сходимости вытекает: как бы мало ни было е(^>0), существует такое п (зависящее только от е, но не от х), что при всяком значении х из промежутка I справедливо неравенство C4). Эту словесную формулу обыкновенно и принимают в качестве определения равномерной схо- сходимости, не требуя в самом определении непрерывности функций /„(*) и/И. При таком понимании равномерной сходимости сформулируем теорему: Если последовательность функций \fn(x)}, заданных и непре- непрерывных в промежутке 1, сходится в нём равномерно к некоторой функции f(x), то эта функция также непрерывна в I. Доказательство. Пусть с — какое угодно значение перемен- переменной из промежутка /, е —- заданное сколь угодно малое положитель- положительное число. Из тождества /(*) ~№ = \fix) -/„ (*)] + [fn (*) ~fn @1+ [/„ (С) ~№\ следует неравенство №) -А М | 4- [/„ (дг) -/„ (с) | +1/„ (с) -/(с) |. C5)
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕЛОП\ТРЛЫЮСТЕЙ ФУНКЦИЙ 227 Выберем в нём: 1) п настолько большим, чтобы при каких угодно л: из / (и, в частности, при х = с) имело место неравен- неравенство 1/М-ЛМКу, и затем 2) 8(^>0) настолько малым, чтобы при выбранном значе- значении п и при условии \х—е|<^8 осуществлялось неравенство тогда каждое из трёх слагаемых в правой части неравенства C5) е "з" будет меньше чем ~ и, следовательно, при условии \х—с|<"8мы будем иметь Отсюда видно (см. § 42, стр. 189), что Mm f(x)=f (с), т. е. что функция f(x) непрерывна в точке с промежутка /, а сле- следовательно, и во всём промежутке I. § 49. Теорема Вейерштрасса-Бернштейна о приближении непрерывной функции с помощью рациональных многочленов Основная задача, которой посвящены главы I—II настоящей статьи и к разрешению которой в одинаковой степени привлекается внимание школьника, студента и преподавателя, заключается в сле- следующем: дано уравнение, выражающее одну переменную величину у через другую х; требуется построить соответствующий график. В этой задаче не г никаких принципиальных трудностей, дело ослож- осложнено лишь разнообразием возможных случаев и необходимостью выработать надлежащие технические приемы. Но и практика и исследователя часто интересует обратная задача, представляющая трудности принципиального порядка. Вкратце ее можно сформулировать так: дан график, требуется построить соответствующее уравнение. Наблюдатель или экспериментатор, регистрирующий ход некоторого процесса, в котором каждое «состоя- «состояние» характеризуется значениями двух функционально-связанных величин (переменных, или параметров), получает иа координатной («изобразительной») плоскости запись процесса в виде некоторой эмпирической—-или (как говорили ещё во время Эйлера) «произ- «произвольной»— кривой; чтобы приступить к математическому исследова- 15*
228 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО нию изучаемого явления, нужно — точно или хотя бы в каком-то смысле приближённо — написать уравнение этой кривой. Как подобрать такое уравнение? Постановка вопроса требует уточнения, и это можно сделать различными способами. Допустим, что заданная кривая в пределах рассматриваемого промежутка I(a^x^b) имеет одну общую точку со всякой вер- вертикальной прямой, что позволяет рассматривать ординату у каждой точки кривой, как функцию абсциссы х (функция здесь понимается, конечно, как «соответствие»); предпо- предположим дальше, что функция f(x) непрерывна в точном математи- математическом смысле ') (см. § 42). Иногда выбирают на данной кривой конечное число точек Miipci, у,) (i=l, 2 т) и затем так подбирают элементарную непрерывную функцию, чаще всего — рациональный многочлен Р(х), чтобы график в точности проходил через выбранные точки (не заботясь при этом о точном совпадении графиков в промежуточных точках). Задача нахождения этого рода функции носит название интерполяционной. Другая постановка вопроса — и именно она нас в данном случае интересует — заключается в том, чтобы отклонение подбираемой элементарной функции (могочлена Р(х)) от данной функции во всех точках промежутка было меньше заранее назначенного числа е. Иными словами, требуют, чтобы во всём промежутке выполнялось неравенство или (ещё иначе), в обозначениях § 48, Такая задача носит название аппроксимационной (задача приближе- приближения функции). Естественно интересоваться, можно ли подобрать многочлен Р(х) к заданной функции f(x) и заданному наперёд сколь угодно малому числу ё. Утвердительный ответ даётся теоремой Вейерштрасса A885 г.), которая является обратной по отношению к теореме, приведённой в конце § 48. Вот её точная формулировка: *) В последнем требовании есть элементы идеализации: по отношению к эмпирическим кривым можно лишь условно говорить о его выполнении. Но оно выполняется в точном смысле, например, в случае «склеенных» не- непрерывных графиков: см. хотя бы § 45, примеры 7 или 9, при условии, что функции и (х) и v (дг) — непрерывные, и притом и @) = v @).
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОПЛТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 229 Какова бы ни была функция f{x), непрерывная в замкнутом ') промежутке I(a^x^b), можно указать такую последователь- последовательность многочленов { Рп {х)}, которая в промежутке I равномерно сходится к f(x). Итак, проблема представления данного «графика» посредством «уравнения» имеет точное решение /(*) = Hm Pn(x) Л-»оо и приближённое решение f(x)~Pa(x), причём возможная погрешность \Рп(х)—f(x)\ не превышает числа Р(Рп> Л = тах Iрп(х)—f(x)\> не зависящего от х и стремящегося к нулю при п~> оо . Остриё всякого пишущего инструмента (карандаша, пера, куска мела) — не точка, и «реальный» график — след, остающийся на бумаге, при движе- движении пишущего инструмента — не «идеальная математическая кривая», а «полоса», имеющая некоторую «ширину». Поэтому, несколько' упрощая, можно сформулировать теорему Вейерштрасса и таким образом: Как бы шзвилист» ни был данный ^реальный» график, проведённый «.одним движением* пишущего инструмента (см. рис. 89), всегда можно найти рациональный многочлен, график которого «совпадает* с данным графиком. Возвращаясь к точной формулировке, нужно заметить, что после- последовательность многочленов { Рп (лг) } определяется не однозначно. Различные доказательства теоремы, предложенные различными авто- авторами, приводят к тому или иному приёму построения приближающей последовательности. Первоначально данные доказательства не были общедоступными. Мы приведём ниже, в свободном изложении, доказательство советского учёного, академика С. Н. Бернштейна, предложенное им в 1912 году. Будучи вполне элементарным, оно потребует, впрочем, некоторой предварительной подготовки. Предположим, для простоты, что речь идёт о промежутке Многочлены Бернштейна последовательно возрастающих степе- степеней обозначаются через Вп (х). Они имеют вид: Вп{х) = 2 /{^)СпХтA -х)п-т, C6) т = 0 где через С" обозначены биномиальные коэффициенты \ с условием полагать 0!=1. 1) Существенное предположение.
230 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Теорема Берн штейн а. Пусть f(x) — функция, непрерыв- непрерывная в замкнутом промежутке 0 =?J х =sc 1. Тогда последователь- последовательность многочленов { Вп (х) \ в этом промежутке равномерно стре- стремится к f(x): ?„(*)=*/(*)• C7) Лемма. Если р -J- q == 1, то сумма (п)_ V {m— = 0, 1, 2, ...) равна npq. Доказательство. Вычислим предварительно суммы т=*0 = У т(т—1)Спрто"~т. mm Что касается первой из них, то она представляет собой не что иное, как разложение по формуле бинома и потому ($ (я = 0, 1, 2, ...)• Чтобы вычислить сумму S^\ заметим предварительно, что отсюда следует при m»=0 n— 1 ч^ s-jn m' (л — 1) — in о (w — 1) m —0
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 231 Чтобы вычислить сумму S", заметим, что т(т— 1)С = /г(л— l)C™Zl (т=э=2, л=э=2), и потому (при п ;э=2) g 1 ч \i /~itTt — & Щ П — /71 ^^ fl \fl 1) ~ О fi 2 Р Ч ~^ = ВГЯ-П»' ^ Cm-?Dm-V"-2>-(m-2>: = n(n— Итак, мы получаем: Sp=l, SM = np, 5»»)=я(л —!)/>" (я = 0, 1, 2, ...)')• Переходя к вычислению суммы SW, обратим внимание на тож- тождество (т — прJ = л2/»2 — BлуР — \)т-\-т(т — 1); из него вытекает (при л^О) с помощью уже полученных формул: т--=0 = Bv 2 OV~m~B^- m=0 л + 2 m(m- l) Справедливость этих формул для сумм Sjf, S|0) и S^1' проверяется непосредственно.
232 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 50. Доказательство теоремы Условимся в сокращённом обозначении: и%(х) = С?хтA—х)я-т (т = 0, 1, ... , п; я = 0, 1, 2, ...) в таком случае Полагая в формуле р равным х, q равным I—х (так что p-\-q—\), мы получаем тож- тождество (относительно х): п 2 hS?(*)=1, C9) m = О откуда следует, что л т = 0 Вычитая D0) из C8), мы будем иметь: Ba(x)—f(x) = так что (по свойствам абсолютной величины) п Нам нужно убедиться, что сумма в правой части при достаточно больших п становится меньше любого наперёд заданного числа е(^>0). Для этого придётся воспользоваться свойством непрерыв- непрерывности функции f(x). Так как функция f(x) предполагается непрерывной в замкнутом промежутке 0^л;^1, то она в этом промежутке 1) ограничена (см. § 47, теорема II) и 2) равномерно непрерывна (см. § 47, тео- теорема IV). Это значит: 1° можно указать такое число М, что \f(x)\*?M (O^jc^I), D2) ') Очевидно, u№(x)>s0 при
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 233 2° к заданному числу е можно подобрать такое число (^) что, каковы бы ни были числа х1 и л;" из промежутка OsS-t^Sl, из неравенства ) непременно следует неравенство (*')-/(*")[<-!. D3) Перейдём теперь к «оценке» суммы, стоящей в правой части D1). Эту сумму разобьём на две суммы, и именно таким образом. При суммировании индекс т пробегает все значения от 0 до п: т = 0, I, 2, ... , п; из этих значений одни удовлетворяют неравенству т п <8, D4) другие — не удовлетворяют. Разобьём сумму на две суммы: к пер- первой отнесём те члены, для которых неравенство D4) выполняется, ко второй — те, для которых это неравенство не выполняется, и получающиеся таким образом частные суммы снабдим значками I и II1). Итак, 2 | т=*0 -/ <*> I«- <*> + 2„ Ш -/{х) Iв-{х)- D5) Рассмотрим теперь каждую из двух сумм в отдельности. В первой сумме значок т принимает лишь такие значения, кото- которые удовлетворяют неравенству D4) и потому согласно пункту 2° для всех членов этой суммы справедливо неравенство Итак, мы получаем: Нам нисколько не мешает то обстоятельство, что разбивка членов п vi V V суммы У на две СУММЫ ^_j и Zj зависит от числового значения х.
234 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Обратимся на минуту к сумме ' й1^' (л:): её можно было бы раз- т — О (ni , бить на две, точно так же, как и предыдущую, л \1 („) \1 ( т = 0 принимая во внимание, что среди выражений и™ (х) чет отрица- отрицательных и что сумма слева согласно C9) равна единице, мы заклю- заключаем, что У и™{х) = 1 - У яЙ» (х) ==? 1. D7) Возвращаясь к неравенству D6), мы теперь можем утверждать, что /(?)-/(*) D8) Перейдём теперь к рассмотрению второй суммы в правой части D5): Так как по свойствам абсолютной величины и с помощью D2) то 2U Ю н =ш2,"-) (х)-D9) Согласно нашему условию во всех членах суммы, отмеченной значком II, неравенство D4) не выполняется, и следовательно, выпол- выполняется противоположное неравенство т —— ¦ JC п = 8, которому можно придать также вид \т — nx\ или или, наконец, (т — Умножим обе части последнего неравенства на неотрицательную величину а'„(х) и просуммируем (разумеется, со значком II): (т ~nxY rim)(x}— ' ^У (т — пх?и{п)х E0) ^нт (л;; — w^,ц (от — /zxj н,„ л;, (ои;
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 235 п Обращаясь к сумме > (т — nxf и^' (л:), мы можем её разбить по т = о • тому же правилу, что и прежние суммы: п J (ш — nxf и™(х) = V (т — nxf и^Хх) + У (m-nxf и™(х), т — 0 откуда сейчас же следует неравенство j %\x)^ 21 (m — nxftt^(x). E1) m = 0 Сопоставляя неравенства E0) и E1), мы получаем дальше: п 2^ «и» (х) ^ Б4? Ц (* - пхУ и« w- E2) m = 0 Сумму, стоящую справа, нам очень легко вычислить: для этого достаточно в формуле леммы положить р=х, д=1—х; тогда оказывается, что п п "V {т — nxfu^^x)— V (m — nxfCnXm(\— x)n~m=nx{\— x). m = 0 m =0 Поэтому неравенство E2) принимает вид По поводу выражения л;A—л:) можно заметить (см. § 9), что л:A л:) = -^- 1л; ^-1 ^ -^; значит, Сопоставляя с этим неравенством раньше полученное неравенство D9), можно написать: Наконец, собирая вместе соотношения D1), D5) и D8), E3), мы заключаем: Е М
236 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Число е задано наперёд. Число 8 подобрано нами в зависимости от заданного е, принимая во внимание непрерывность функции f(x). Но ничего не сказано пока о степени п многочлена Вп(х). Мы допустим теперь, что степень п настолько велика, что удовлетво- удовлетворяет неравенству 25src ^ 2' т. е. допустим, что ">"?• E4) В таком случае Это неравенство имеет место при любом значении х из про- промежутка 0=s;jt;=s;l. Придавая л; значение, при котором непрерывная функция | Вп (х) —f{x) | в этом промежутке достигает максимума (см. теорему III, § 47), мы приходим к неравенству р (Вп, Л = max | В„ (х) -/(*) [ < е. Таким образом, ко всякому е можно подобрать такое п, (например, Пе = -^2~), что при п^>пе имеет место неравенство Но это как раз означает, что р(Вп, /)-*0 или, в промежутке 0^:л;^1, Я» (*)=*/(*)¦ Теорема доказана. Пример 1. Полагая f{x) = ax, мы получаем: т — 0 Пример Z Полагая f(x) = sinizxt мы получаем *) Следует принять во внимание, что (см. стр. 504). Все коэффициенты многочлена В„ (х), конечно,—действительные.
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 237 Примечание. Неравенство E4) позволяет судить о том, какую сте- степень п достаточно выбрать, чтобы сделать отклонение р (Bn,f) меньшим, чем заданное число е. Например, если f(x) — sin¦кх, то можно положить М—1, притом1) | sin ъх' — sin ¦кх" | < я | x' — x" |, так что достаточно положить чтобы при |х' — х" | <В иметь |/(x')-f(x") | < е. В таком случае неравенство E4) принимает вид Итак, если, например, 6 = 0,1, то достаточно взять многочлен Вп{х) степени большей, чем 3141, чтобы отклонение р(В„, /) стало меньше 0,1. Не следует особенно огорчаться этим результатом: взять столь высокую степень достаточно для того, чтобы отклонение стало меньше 0,1, но необходимости в том нет, и требуемое приближение на самом деле достигается при гораздо меньших значениях я. Если бы мы поставили своей задачей не выяснение принципиальной стороны дела, а оценку фактической погрешности, то рассуждение пришлось бы строить иначе (оно было бы значительно сложнее). § 51. Определение показательной функции. Продолжение непрерывной функции за пределы всюду плотного множества Вопрос, который мы здесь перед собой поставим, заключается в следую- следующем: можно ли установить значение функции y = f(x) в некоторой точке х = с, если известны её значевия в каких-то других точках, отличных от от точки с? Ответ, конечно, должен быть категорически отрицательным, если функ- функция f(x) не подчинена никаким дальнейшим условиям: это вытекает из самого определения функции как «произвольного соответствия» (см. § 46). Иначе обстоит дело, если заранее наложить на функцию f(x) те или иные ограничения — выделить некоторый более узкий класс функций и рас- рассматривать лишь функции, ему принадлежащие. Так, например, если говорить только об элементарных функциях (см. § 1), то можно было бы до- доказать, что, зная значения такой функции во всех точках некоторого про- промежутка сколь угодно малой длины, можно вычислить её значения в любой точке за пределами промежутка, лишь бы в этой точке функция не теряла смысла. Но вот другой пример: читатель согласится, как с фактом очевидным, что для определения линейной функции достаточно задать её значения всего лишь в двух точках; вообще для определения многочлена степени я достаточно указать его значения в n-f-l различных точках? В дальнейшем нас интересует, в какой степени значения функции в не- некотором множестве точек определяют её значения в точках, не принадлежа- принадлежащих этому множеству, если заранее известно, что функция f (х) непре- непрерывна. 1) См. стр. 192.
238 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПРРЕМЕИНОГО Легко понять, что из самого определения непрерывности вытекает следующее утверждение: если функция f{x), заданная в некоторой окрестности точки дг = с, непрерывна в самой этой точке, то зна- значение её в этой точке может быть вычислено, раз известны её значения в точках некоторой последовательности \хп\, имеющих пределом точку с. В самом деле, в этом случае (см. § 42) должно быть: Вместо того чтобы задавать значения функции в точках после- последовательности {хп}, имеющей пределом точку с, конечно, можно было бы также задать её значения во всех точках некоторого мно- множества Е— при единственном условии, чтобы из этого множества можно было выделить последовательность {хп\, имеющую пределом точку с. Особенно интересны с рассматриваемой точки зрения всюду плотные множества. Точечное множество Е называется всюду плот- плотным, если, каков бы ни был данный промежуток (а, Р), а<^р, в этом промежутке содержится хоть одна точка Е. Говорят также о множествах Е, всюду плотных в данном промежутке /, если на^ званному требованию удовлетворяет всякий промежуток (а, 8), при- принадлежащий промежутку /. Нам уже знакомы примеры всюду плотных множеств: таковы множества 1) рациональных чисел, 2) конечных десятичных дробей, 3) конечных бинарных дробей (чисел вида ~ , где тип — целые). Если множество Е всюду плотно (в даннном промежутке /), то, какова бы ни была точка с (из этого промежутка), всегда можно выделить такую последовательность точек \хп\ из Е, что точка с является её пределом: хп^с. E5) Действительно, пусть \еп\ — убывающая последовательность по- положительных чисел и еп —>- 0; из каждого промежутка (с — еп, с-\- еп) (и== 1, 2, 3, ...) выберем точку хп, принадлежащую Е, и тогда будем иметь соотношение E5). Заметим, между прочим, что последовательность \хп) может быть выбрана, если угодно, возрастающей или убывающей. Так, чтобы последовательность \хп\ была возрастающей, достаточно взять xt из промежутка (с — е,, с) и затем каждую следующую точку дгп+1 выбирать внутри промежутка (дг„, с) (л = 2, 3, ...). Сравнивая со сказанным выше, мы приходим к заключению: если функция f{x) непрерывна в некотором промежутке 1, то по заданным её значениям в точках некоторого множества Е, всюду плотного в промежутке I, можно вычислить её значения во всех точках I.
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВИГЕЛЬНОСГЕЙ ФУНКЦИЙ 239 Этот результат имеет ближайшее отношение к вопросу об опре- определении показательной функции f{x) = ax (а^>1). Со- Согласно формуле F9) из § 20: ?)=ef = y*i E6) показательная функция ах определена (задана) во всех точках всюду плотного множества рациональных точек. Задача заключается в том, чтобы посредством операции перехода к пределу определить функ- функцию Gх также и для иррациональных значений х. Пусть с—какое- нибудь иррациональное значение х. Действуя по предыдущей схеме, достаточно выделить такую последовательность рациональных чисел {/"„}, что гп—»-с, и тогда значение ас должно определиться по формуле E7) Однако таким рассуждением нельзя удовлетвориться, так как нам заранее неизвестно, существует ли такая непрерывная функция /(дг), которая в рациональных точках г=— принимает значения, указываемые равенством E6). При таких условиях: 1) подлежит доказательству существование предела в правой части E7), 2) не- необходимо убедиться, что этот предел не зависит от выбора после- последовательности рациональных чисел \гп\. Нисколько не облегчает положения то обстоятельство, что функ- функция ах является непрерывной по отношению ко множеству рацио- рациональных чисел Е. Рассмотрим следующие примеры. Пусть с — иррациональное число; функ- функция fi(x), определённая при х^Ьс условиями 0 при х < с, 1 при х > с, или функция /2 (х) = sin , определённая также при хфс, являются обе непрерывными по отношению ко множеству рациональных чисел; и тем не менее не представляется возможным приписать функции /i (x) или /3 (х) такое значение в точке х = с, чтобы в этой точке они стали непрерывными. Для того чтобы определить показательную функцию f(x) = ax (а^> 1) в иррациональных точках, проще всего воспользоваться свойст- свойством её монотонности на множестве рациональных точек, т. е. свойством быть возрастающей, и, кроме того, —¦ теоремой сложения (см. § 20). Выберем возрастающую последовательность { г'п ) и убывающую последовательность {т"п \ рациональных чисел таким образом, чтобы было г'п^*-с, г'п^-с; тогда из неравенств следуют неравенства /(Г'О <f(r2) <... <f{rn) <... </(О < • •. <Ж') <Ж). E9)
240 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Последовательность {(/(/"«)} — возрастающая и ограниченная сверху; последовательность {/(/"„)} — убывающая и ограниченная снизу; значит, каждая из них имеет предел: С, Вместе с тем, переходя к пределу в неравенстве получаем Для доказательства того, что С —С", воспользуемся теоремой сложения: г" г" т Г' ап = а" Гп-ап. F1) tt ' Так как, очевидно, i"n — г'п—*-0, то аГп~г" —>-1'), и переход к пре- пределу в равенстве F1) даёт: С' = С. F2) Общее значение С и С" станем обозначать теперь через С (так что /(/^)->-С и /(г'п)-* Q, и покажем, что если { р„} — какая угодно последовательность рациональных чисел, обладающая свой- свойством рл—*~с, то непременно /(р„) стремится к С. Нужно убедиться, что, как бы мало ни было е, при достаточно больших значениях п F3) Возьмём jV настолько большим, чтобы выполнялись неравенства С— *</Ш и /(/¦&)< С+е; F4) тогда, так как с принадлежит промежутку (гдг, Гдг), то при достаточно больших п мы получим и следовательно, по свойству возрастания /(г), F5) Из сопоставления неравенств F4) и F5) затем следует неравен- неравенство F3). Теперь значение функции f(x) — cf определено во всякой ирра- иррациональной точке х = с по формуле E7). После этого непрерыв- непрерывность функции в этой точке уже не составляет проблемы: она сле- следует из того обстоятельства, что при единственном условии хп—*-с предел последовательности \f(xn)\ существует и равен C—f(c). Для какой угодно последовательности {хп } это доказывается так же, как только что было доказано для рациональной последова- 1) См. стр. 193.
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 241 тельности {р„}, если принять во внимание, что добавление ирра- иррациональных точек не нарушает свойства показательной функции быть возрастающей. Таким образом, показательная функция f(x) = ax, определенная теперь при всех действительных значениях х, обладает свойствами непрерывности и монотонности во всём промежутке —oo<^jc<^oo. Наконец, остаётся в силе и «теорема сложения» ах> + х" = ах> ¦ ах"; F6) первоначально установленное (§ 20) для случая рациональных значе- значений х' и х", это соотношение со ссылкой на непрерывность обобщается на случай иррациональных значений. Пусть последовательности рациональных чисел { х'„ \ и { х"п \ обладают свойствами х'п—>-^ и x'lt^-x"; тогда достаточно перейти к пределу при л-voo в равен- равенстве (fn + х'п — cfn . а п. Укажем иной, более общий ход мыслей, позволяющий «по непрерыв- непрерывности» определять функцию/(х) для всех значений х из некоторого промежут- промежутка /, если известны её значения в точках нсюду плотного множества'Е. Докажем теорему: Если заданы значения функции y=f(x) во всех точках множества Е, всюду плотного в промежутке Iia^x-^b), причём 1° на множестве Е совокупность этих значений удовлетворяет тре- требованию монотонности: с увеличением значения х увеличивается и значе- значение f{x), 2° заданное множество значений f (х) в точках множества Е при- принадлежит некоторому промежутку К(А^.у^В) и также всюду плотно в нём, то значения функции f(x) в точках I, не принадлежащих Е, могут быть определены таким образом, чтобы, функция f (х) была непрерывной во всём промежутке I. Доказательство строится совершенно таким же образом, как в случае распространения понятия степени на случай иррационального показателя, только «множество рациональных точек» заменяется «множеством Е», а роль произвольной иррациональной точки х=с играет произвольная точка, при- принадлежащая промежутку I, но ие множретву Е. Заслуживает особого нни- мания лишь то, как доказать равенство F2), не прибегая к специальным свойствам показательной функции и используя зато условие 2°. Допустим, что С < С"; тогда вследствие 2° существует такое значение а:=г из множества Е, что С'/)<С". F7) Так как с не принадлежит Е, то равенство г = с невозможно. Пусть г < с; тогда при достаточно большом и получим г < Гп < с и, следовательно, f{r)<f{r'n); переходя к пределу, будем иметь /(г) ^ С, что противоречит левому неравенству F7). Так же приходится етвергнуть и допущение г > с. Итак, заключаем, что С'=С". Пример 1. Чтобы доказанную теорему можно было, в частности, при- применить к функции ах(а>\), нужно только проверить, что множество 16 Энциклопедия, кн. 3
242 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО значений, принимаемых этой функцией в рациональных точках, всюду плотно. Пусть дан промежуток (a, J3), причём 0 < а < р. Так как lim (J- ) = ос, то можно подобрать целое число п таким образом, что откуда следует Легко понять, что хоть один из членов прогрессии .... г3, Г1. 1, <7. <72. .... 9", ... попадает в промежуток (а, E). Предположим, что таким членом будет qm, так что или что и требовалось доказать. П р и м е р 2. В примере 2 § 46 множество АГ заданных значений функ- функции f(x) всюду плотно в промежутке @, 1). В самом деле, обозначая через АГЯ множество значений, принимаемых функцией f(x) в рациональных точках со знаменателем ^2", мы видим, что самый большой из промежутков, обра- образованных на отрезке @, 1) точками Кп имеет длину \-г\ . Пусть (я, (?) — за- заданный промежуток (О^а<р^1); возьмём п удовлетворяющим условию -j) <р — а; тогда на промежутке (а, р) непременно найдётся хоть одна точка множества Кп и> значит, множества К- Пример 3. В примере 3 § 46 множество К заданных значений функ- функции fix) также всюду плотно в промежутке @, 1). Предлагаем читателю доказать это в качестве упражнения. Укажем, наконец, ещё третий способ построения показательной функ- функции— посредством равномерного приближения многочленами. Возвращаясь к многочленам рассмотренным в § 45, убедимся, что во всяком промежутке вида (О, R) (./? > 0) последовательность { Рп (х) } равномерно стремится к некоторому пределу.
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 243 В самом деле, как в § 44, мы из сравнения коэффициентов в разложе- разложениях Р„(х) и Р„+, (х) по степеням х заключаем, что ¦*)** ••-, F8) и вместе с тем при тюбом п Пусть ,V—целое положительное число, N> R; тогда, далее, npnra>iV F9) Из соотношений F8) и F9) следует, что последовательность {Рп (х)} стремится к некоторому конечному пределу /(л) Р„(х)-*/(х). G0) Следующие соображения показывают, что это стремление — равномерное. Так как разность Pm+J (x) — Рт^х), будучи разложена по степеням х, имеет все коэффициенты положительные, то она лишь увеличится при замене х на /?: Pm+i(x)-Pm(x)^Pm+l(R)-Pm(R). Просуммируем эти неравенства по букве т от га до п-\-р— 1: п + р—1 n + p—i ИЛИ Ял+Р И - Я„ (х) ^ Рл+/, (/?) - Я„ (/?); затем предельный переход р—*- со нам даёт: /(*)-Я, (*)«?/(/?)-Л, (Ф G!) Остаётся заметить, что при заданном е н произвольном х из проме- промежутка [0, R] правая (не зависящая от х) часть неравенства G1), а значит, и левая может быть сделана меньше е при достаточно большом п; итак, в этом промежутке Pn(x)z$f(x). Так как многочлены Р„ (х) — непрерывные функции, и сходимость {Рп(х)} к /(х) — равномерная, то на основании последней теоремы в§ 48 функция f(x) непрерывна в промежутке [0, R\. Число R здесь, однако, сколь угодно велико, поэтому функция f(x) непрерывна в промежутке [0, оо). С другой стороны, рассуждение, проведённое в § 45 (пример 1) при до- допущении, что значения х — рациональны (по нашему ходу мыслей показателю 16*
244 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО степени д: мы не имеем права давать иррациональных значений), показывает, что при всевозможных рациональных значениях х независимо от их знака имеет место равенство Таким образом, функция /(х), определяемая в промежутке (—оо, -(- ос) соотношениями /С*)— lim /i + —Y при n-»oo \ n I при рациональных значениях х равна е* и вместе с тем при всех значениях х непрерывна. Тем самым закончено построение показательной функции ех. Примечание. Нетрудно понять, что, желая дать определение пока- показательной функции ах при произвольном положительном основании а, достаточно было бы в предыдущей формуле заменить х через х 1п а: г .. (, , х 1п а\" ._пч a* = hm 1+—— . G2) п-»оо \ " / § 52. Теорема Больцано и проблема существования однозначной обратной функции Предположим, что функция y=f(x) задана и непрерывна в зам- замкнутом промежутке I[a, b]. Тогда по теореме Вейерштрасса (§ 47, III) она достигает в каких-то точках этого промежутка своего наимень- наименьшего значения А и своего наибольшего значения В. Исключая слу- случай А = В (когда функция сводится к постоянной), мы можем утверждать также на основании теоремы Больцано (§ 47, I), что в промежутке / функция f(x) принимает — и, возможно, неодно- неоднократно — любое значение jx, заключённое между А и В. Итак, каково бы ни было значение у (А^у^В), уравнение (относительно х) имеет по крайней мере один корень в промежутке а^х^Ь. Сопо- Сопоставляя с каждым значением у из промежутка (А, В) все те зна- значения х, которые являются корнями уравнения G3), мы получаем — вообще говоря, многозначную — обратную функцию G4) которая задана в промежутке А^уз^В и в каждой его точке имеет по меньшей мере одно значение. Весьма существенно уметь выделять те случаи, когда обратная функция x = g(y) оказывается однозначной. Достаточные усло- условия для этого даёт теорема:
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 245 Если функция y=f(x)— непрерывная и возрастающая (убы- (убывающая) в промежутке [а, Ь], то обратная функция x — g(y) однозначна, возрастает (убывает) и, более того, непрерывна в про- промежутке \А, В]1). При этом A=f(a), B=f(b), если функция f(x) — возрастаю- возрастающая, и A=f(b), B=zf(a), если она — убывающая. Обращаясь к доказательству, остановимся только на первом из этих двух предположений. Существование решения уравнения G3) при у = А или у = В очевидно; при А<^у<^В оно вытекает, как мы видели, из теоремы Больцано. Что решение — только одно, ясно почти сразу: если бы их было два, например х" и х" (tf <^х"), то из равенств f(x-)=y и /(*")= У следовало бы /0*0= /С*"). тогда как го свойству возрастания f(x) из неравенства должно вытекать, что f( Обозначим единственный корень уравнения G3) через g(y), так что f(g(y))=y (А<У<В). Легко понять, что g(y) является возрастающей функцией аргумента у. В самом деле, пусть А «?/</'===:?. - G5) Полагая g(y') = x', g(y") = x", мы имеем: Отсюда понятно, что х'<^х"; действительно, из противоположного допущения х'^х", по свойству возрастания функции f(x) следо- следовало бы f(x')^f(x"), т. е. у'^у", а это противоречит предполо- предположению G5). Остается обнаоужить непрерывность функции g(y)- Рассмотрим хотя бы точку y = d, причем A<^d<^B. Так как функция g(y) по доказанному—возрастающая, то существуют левый и правый пре- пределы (см. § 42) L'—g(d — Q) и L" Притом из y<Cd следует g(y)<Cg(dY< значит, переходя к пре- пределу при y^-d, получаем: L'^g(d). Аналогично, g(d)^L". Итак, ') Обратное предложение см. в конце § 62.
246 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Нам нужно доказать, что Допуская, напротив, например, что L' <^g(d), мы приходим к про- противоречию. В самом деле, выберем число Е, удовлетворяющее не- неравенству l G6) Очевидно, а <?<;&, так как g(d)<^g{B) = b и L"^>g(A)~a; следовательно, значению аргумента лг = ? должно соответствовать некоторое значение функции yz=f(x). По свойству возрастания/(х) из неравенства G6) следует: f(L')<№<f(g(d))- G7) Но f(g(d)) = d; с другой стороны, по свойству непрерывности f(x) из соотношения lim g{y) = L' следует: d y<d и так как TO Итак, придавая неравенству G7) вид убеждаемся в том, что оно противоречиво. Заметим, что если рассматриваемый промежуток не замкнут с одного из концов (например, а^х<^Ь, не исключая и случая b = со), то предыдущую теорему можно применить к замкнутому промежутку a^x^bt (где Ь1<^Ь), с последующим предельным переходом Ь1 —*¦ Ь. Тогда оказывается, что згключенне теоремы справедливо для незамкнутого промежутка Azszy<^В, причём В = 1\т/(х). .V—b Пример 1. Функция у = ах (а ^> 1) — непрерывная и возрастаю- возрастающая в промежутке — оо <С-*Г<\~~Ь °°- Отсюда следует, что обратная функция x = loga.y—однозначная, возрастающая и непрерывная в промежутке 0<^х<^оо. Пример 2. Функция _y = jc" (и — целое положительное) — не- непрерывная и возрастающая в промежутке О^лг<^оо. Отсюда сле- " г— дует, что обратная функция лг= у у (радикал — в арифметическом смысле) — возрастающая и непрерывная в промежутке 0^
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 247 Пример 3. Функция y = tgx — непрерывная и возрастающая в промежутке — -к-^-^^Ч'о " Значит, функция_y = arctgл:(«глав- arctgл:(«главное значение» арктангенса) — возрастающая и непрерывная в проме- промежутке — со <[_у <[ -\- оо. Пример 4. Функция у = х9-]- х — непрерывная и возрастаю- возрастающая в промежутке 0=sSjc<^oo. Отсюда следует, что х есть одно- однозначная, возрастающая и непрерывная функция аргумента у в про- промежутке 0=ё_у<[оо. Эта функция, кстати сказать, не является элементарной в смысле § 1 (см. §18, примечание). § 53. Функциональные уравнения и элементарные функции Пусть f{t) — функция, заданная в некотором промежутке /, и пусть х и у — какие-то произвольные значения аргумента t в этом промежутке; допустим также, что значение t, равное сумме х-\-у, также принадлежит тому же промежутку. Положим ради краткости *=/(*)> У=/(У). Z=f(x+y). G8) Допустим ещё, что из написанных трех уравнений можно исклю- исключить две переменные х и у; другими словами, можно написать новое уравнение, скажем, F{K, Y, Z) = 0, G9) являющееся следствием уравнений G8) и вместе с тем не содержащее ни лг, ни у. Подставляя сюда вместо X, Y, Z их значения, мы по- получим соотношение FViA /Су), /(х+у)) = о, (80) справедливое при всех значениях х и у, подчинённых названным выше ограничениям. Соотношение (80), принадлежащее к категории функцио- функциональных уравнений, носит название теоремы сложения функ- функции /(*) •). Если бы иместо суммы х-\-у мы взяли произведение ху, то, действуя как раньше, пришли бы к другому функциональному ура- уравнению ), ЯЛ,/(*¦)')) = 0, (81) которое носит название теоремы умножения функции f{t). Аналогичным образом, вводя вместо суммы х-\-у или произведения ху некоторую произвольную функцию <л(х, у) переменных х и у, мы могли бы придти к функциональному уравнению вида *Г (/ (дс), / 0'). /(» (х. У))) = °- (82) х) Необходимо объяснить, что соотношение (80) есть тождество отно- относительно х и у; «уравнением» же его называют постольку, поскольку неиз- весгной считается функция /.
218 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Но нам нет надобности итти по пути такого рода обобщений, и мм ограничимся рассмотрением теоремы сложения и теоремы умножения неко- некоторых функций. Рассмотрим примеры (в которых роль промежутка / будет играть вся числовая ось). Пример I. Функция/(?)— линейная однородная: f{t) = mt. В таком случае уравнения G8) принимают вид Х = тх, Y = tny, Z = из них немедленно следует: Z=X-}-Y или f(x+y)=f(x)+f(y). (I) Это и есть теорема сложения функции f{f) = mt. Подобным же образом из уравнений Х=тх, Y — my, Z=mxy получаем теорему умножения для тех же функций # mf(xy)=f(x)f(y). {83) Как видно, каждая из функций mt имеет свою теорему умно- умножения, тогда как теорема сложения у них всех одна и та же. Пример 2. Из уравнений Х=ах, Y — аУ, Z = следует уравнение Z=XY, f(x+y)=f(x)f(y). (II) Это — теорема сложения для всех показательных функций вида а1. Теорема умножения для функции а1 имела бы вид 1°а,/(*.У) = Ю&./И 1О&./00, (84) и следовательно, зависела бы от основания а. Пример 3. fit) = logo t. Теорема сложения оказывается зависящей от параметра а: тогда как теорема умножения от него не зависит: f{xy)=J(x)+f{y). (Ш)
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 249 Пример 4. /(/) = *" (с/ =?0). И здесь теорема сложения зависит от параметра а: [/(*+ v)]r= [/ (*)f + If (У)]"' тогда как теорема умножения от него не зависит: /(*У) =/(*)/СО- (IV) Четыре уравнения (I), (H), (Ш) и (IV) в особенности привлекают наше внимание. Посмотрим, исчерпывается ли уже известными нам формами совокупность их решений и в какой сте- степени. С некоторыми существенными оговорками ответ на этот вопрос ока- оказывается утвердительным. Именно, справедливы следующие теоремы: Теорема 1. Если функция f(i), заданная и непрерывная для всех значений t (— оо <[* <[ -f- со), удовлетворяет уравнению (I) тождественно относительно х и у, то она имеет вид f (t) — mt, где т — постоянное число. Теорема 2. Если функция f(t), заданная и непрерывная для всех значений t (—со <^ t <^ -\- оо), удовлетворяет уравнению (II) тождественно относительно х и у, то она имеет end f(t)^al, где а — неотрицательная постоянная. Теорема 3. Если функция f(t), заданная и непрерывная для всех положительных значений t, притом не сводящаяся к нулю, удовлетворяет уравнению (III) тождественно относительно всех положительных значений х и у, то она имеет вид f{t) = \ogat, где а — положительная постоянная. Теорема 4. Если функция f(t), заданная и непрерывная для всех положительных значений t, притом не сводящаяся к нулю, удовлетворяет уравнению (IV) тождественно относительно всех положительных значений х и у, то она имеет вид f(t) = ta, где а — постоянное число. Доказательство теоремы I. Посредством индукции по п из (I) легко выводится тождество /(*,+*»+...+*„)=/ (*,) +/ (*») +•••+/ (*„)• (85) Полагая Х^ Х% ... Хп X, получим nf(x). (86) Далее, вводя обозначение
250 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО при лг=1 будем иметь (для всех целых положительных значе- значений п): / (я) = тп. С другой стороны, заменяя в (86) п через q и полагая х рав- равным — (где р и q — целые положительные), приходим к соотношению откуда, если принять во внимание, чго f(p) = mp, следует: = «f. (87) Полагая затем в данном уравнении (I) ¦лг=1, у = 0, получаем: /(!)=/(!)+/@), так что /@) = 0; (88) и наконец, подставляя в (I)—х вместо у, будем иметь (при любом х) 0 =/(*)+/(—*), откуда /( — *) = -/(*). (89) Сопоставляя (87), (88) и (89), мы можем сказать, что равенство f{x) = mx (90) установлено для всюду плотного множества всех рациональных зна- значений х. Отсюда, вследствие допущенной непрерывности f(t), на основании теоремы, доказанной в § 51, и со ссылкой на непрерыв- непрерывность функции f(t) = mt мы имеем возможность утверждать, что ра- равенство (90) справедливо для всех действительных значений х. Доказательство теоремы 2. Заменяя в уравнении (II) хну через -^, мы получаем: Если бы функция f{f) обращалась в нуль при некотором значе- значении t = x, то вследствие (II) она была бы равна нулю также при t = x -\-y, где у совершенно произвольно, т. е. равнялась бы нулю тождественно. Оставляя в стороне это предположение, соответствующее слу- случаю а = 0, мы должны считать, что при всех значениях t
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 251 Пусть /A) = а^>0. Полагая в таком случае /(/) = аФ(О, 9@ = log о ДО. мы видим, что уравнению (II) можно придать вид т. е. 9 (*+30 = Ф (¦*)-!-? GO- Это — уравнение типа" A); и из доказательства теоремы 1 сле- следует, что 9@= «* или f(t)r=amt. Подставив значение /= 1, убеждаемся, что т— 1, так что f(t)x=a{. Доказательство георемы 4. Поскольку х и у предпо- предполагаются произвольными положительными числами, можно положить д:=10:-, E = lgjf, и тогда уравнение (IV) примет вид /A0:-+'.)=/<10е')/A0ч). (IV) Вводя ешё новую неизвестную функцию /Чт)=/A(Г), • (91) мы придадим (IV) вид Так как % и т(—произвольные действительные числа, и функция ^(т) непрерывна на всей оси (по теореме о непрерывности слож- сложной функции, вследствие непрерывности функций f(t) и 10т), то на основании теоремы 2 получим: В таком случае, заменяя в последнем тождестве т через ]gt, мы получаем окончательно: 3, если а = О, 10 (где <x=lga), если а>0. Доказательство теоремы 3. Уравнение (III) можно пере- переписать в виде Вводя функцию i G(t) = \Qf(t\ (92) ¦) придадим ему вид \ G(xy) = G{x)G(y). (ИГ)
252 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО По теореме 4 из (ИГ) следует, что или G(t) = 0 или G (?_)== ^«_ Так как показательная функция в нуль не обращается, то приходится рассматривать лишь вторую возможность. Но если G(t) = ta, то при допущении а=0 мы получаем G(t)^r I, f(f) = O; оставляя эту возможность в стороне, приходим к заключению, что Всё изложенное выше показывает, что функциональные уравнения (I—IV) являются характеристическими соответственно для функций mt, a1, log0 t и ta\ другими словами, эти уравнения могут служить в качестве определения этих функций — при дополни- дополнительном требовании непрерывности. Примечание 1. Если вместо непрерывности наложить на функции fit) требование дифференцируемости (см. стр. 309), то т е м более заклю- чевия теорем 1—4 остаются в силе. Доказательства теорем при таких усло- условиях значительно упрощаются. Например, теорема 1 может быть доказана следующим образом. Дифференцируя тождество (I) по переменной х, мы получаем: f(x+y)=f(x), и так как у здесь — произвольное, то отсюда вытекает, что f'(x) сводится к постоянной: Г(х) = т. Но тогда интегрирование дагт: f(x) = тх -\- С, где С—новая постоянная. Подставляя найденное выражение для f(x) снова в уравнение A), видим, что при всех значениях х и у т (х + у) + С = (тх + С) + (ту + С), откуда следует, что С = 0 н что / (х) — тх. Среди функций, которые мы смогли определить с помощью уравнений (I—IV), не фигурируют тригонометрические, а также им обратные. Читатель, который пожелал бы составить теорему сложения, например, для функции/(/) = sin/, пришёл бы к известной из тригонометрии формуле для «синуса суммы»; но в ней косинусы были бы выражены через синусы, так что формула имела бы следующий, сравнительно сложный вид: f(x+y)=f(x)- ; \ (можно было бы «избавиться от иррациональности»). Уместно, впрочем, высказать следующие соображения. В теории функций комплексного переменного устанавливается, что тригонометрические функции выражаются, с привлечением мнимой единицы, через показательные, например, cost-" +g -, sin/^g 2.g -, (93) теряя при этом, так сказать, право на самостоятечьное существование; точно так же обратные тригонометрические функции выражаются через логарифмы и радикалы (см. стр. 511). Таким образом, при перечислении
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 253 основных операций, служащих Д7Я получения элементарных функ- функций, к четырём арифметическим действиям (сложение, вычитание, умноже- умножение, деление) достаточно прибавить всего лишь потенцирование, логарифми-. рование и возведение в произвольную степень '). Принимая это во внимание, мы приходим к мысли о справедливости следующего утверждения: Все элементарные функции составляются из независимой переменной в результате повторного применения конечного числа арифметических действий и тех операций, которые, будучи обозначены символом/, являются решениями функциональных уравнений (I—IV). Отсюда выясняется то значение (конечно, теоретическое), которое имеют уравнения (I—IV) для элементарной математики. Примечание 2. Из теорем 1—4 предыдущее утверждение, строго говоря, не вытекает по той причине, что при составлении тригонометри- тригонометрических функций из показательной согласно формулам' (93) приходится прибегать к операции f{t) — it, тогда как в решении f(t) = mt уравнения (I) постоянная т предполагается действительной. Чтобы обосновать наше утверждение, надо перенести теоремы 1—4 в комплексную область. Есте- Естественно, что при таком перенесении требование непрерывности заме- заменится требованием регулярности искомой функции f(t). Так, формулируя теорему Г, аналогичную теореме 1, нужно предполагать функцию / регу- регулярной во всей плоскости и допускать, что соотношение (I) выполняется при всех комплексных значениях х и у. Так как из регулярности сле- следует дифференцируемость, то доказательство было бы построено далее так, как указано в примечании 1, но при этом постоянная т могла бы оказаться произвольной комплексной. Рекомендуем читателю, по прочтении статьи, «Элементарные функции комплексного переменного» (стр. 493—552), попытаться сформулировать, как эту, так и остальные три теоремы, касающиеся решения уравнений (I—IV) в комплексной плоскости, а также восстановить детали доказательств. *) Напомним, кстати, что возведение в произвольную степень конструи- конструируется из логарифмирования, умножения на постоянное число и потенциро- потенцирования (см. стр. 93).
ГЛАВА V ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ § 54. Соответствие между множествами В § 1 было упомянуто, а в § 46 подробно рассмотрено опре- определение функции как соответствия между двумя числовыми мно- множествами, установленного на основе совершенно произвольного правила; как ни общо это определение, всё же в другом отноше- отношении оно является очень узким и допускает значительное расширение. В силу этого определения функция сопоставляет с каждым числом (с числовым значением переменной х из некоторого промежутка) некоторое число (соответствующее зна- значение у). В более общем случае можно говорить о множествах, составлен- составленных из элементов какой угодно природы. Именно, обшее определе- определение функции, имеющее громадное значение в современной математике, формулируется следующим образом. Дано некоторое множество объектов, которое обозначим через ST; сами объекты, как элементы этого множества, условимся обозначать буквой X («переменное» во множестве J2"), снабжая её различными значками, если речь идёт об отдельных элементах множества ??¦ Пусть также задано некоторое множество объектов, которое назо- назовём У: оно может содержать полностью или частично элементы множества 3?, но может также состоять сплошь из элементов, не прина