/
Author: Зи Э.
Tags: электромагнетизм электромагнитное поле электродинамика теория максвелла физика теория поля квантовая теория поля квантовая физика
ISBN: 978-5-93972-770-9
Year: 2009
Text
Э.Зи
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
В ДВУХ СЛОВАХ
Перевод с английского
В. Г. Войткевич и Ю. В. Колесниченко
Под научной редакцией
И. В. Полюбина
R&C
Москва ♦ Ижевск
2009
УДК 537.8:530.145
ББК 22.315
3 59
Интернет-магазин * физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru технологии
Зи Э.
Квантовая теория поля в двух словах. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика», 2009. — 632 с.
В своей монографии известный физик-теоретик Энтони Зи вводит в предмет
одного из самых важных и сложных разделов теоретической физики — квантовой
теории поля. В книге рассматривается весьма широкий спектр вопросов:
перенормировка и калибровочная инвариантность, рснорм-группа и эффективное действие,
симметрии и их спонтанное нарушение, физика элементарных частиц и
конденсированное состояние вещества. В отличие от ранее выпущенных книг на эту тему,
в работе Э.Зи особое внимание уделяется гравитации, также обсуждается
применение квантовой теории поля в современной теории конденсированного состояния
вещества.
ISBN 978-5-93972-770-9 ББК 22.315
© Princeton University Press, 2003
All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any
form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording
or by any information storage and retrieval system, without permission in writing
from the Publisher.
© Перевод на русский язык:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Оглавление
Предисловие xi
Соглашения, обозначения и единицы измерений xv
ЧАСТЬ I. МОТИВИРОВКА И ОБОСНОВАНИЕ 1
Глава 1.1. Кому это нужно? 3
Глава 1.2. Формулировка квантовой физики на языке интеграла
по траекториям 8
Глава 1.3. От матраца к полю 20
Глава 1.4. От поля к частице и к силе 30
Глава 1.5. Кулон и Ньютон: отталкивание и притяжение .... 36
Глава 1.6. Закон обратных квадратов и плавающая 3-брана . . 45
Глава 1.7. Диаграммы Фейнмана 49
Глава 1.8. Каноническое квантование и возмущение вакуума . . 72
Глава 1.9. Симметрия 82
Глава 1.10. Теория поля в искривленном пространстве-времени 89
Глава 1.11. Резюме теории поля 98
ЧАСТЬ II. ДИРАК И СПИНОР 101
Глава П.1. Уравнение Дирака 103
Глава II.2. Квантование дираковского поля 121
vi Оглавление
Глава П.3. Группа Лоренца и спиноры Вейля 130
Глава И.4. Связь спина со статистикой 137
Глава II.5. Энергия вакуума, грассмановы интегралы и фейнма-
новские диаграммы для фермионов 141
Глава II.6. Рассеяние электронов и калибровочная
инвариантность 151
Глава П.7. Диаграммное доказательство калибровочной
инвариантности 157
ЧАСТЬ III. ПЕРЕНОРМИРОВКА И
КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 167
Глава III. 1. Обрезание нашего незнания 169
Глава III.2. Перенормируемые против неперенормируемых . . . 180
Глава III.3. Контрчлены и физическая теория возмущений ... 185
Глава III.4. Калибровочная инвариантность: фотон не знает
покоя 196
Глава III.5. Теория поля без релятивистской инвариантности . 202
Глава II 1.6. Магнитный момент электрона 207
Глава III.7. Поляризуя вакуум и перенормируя заряд 214
ЧАСТЬ IV. СИММЕТРИЯ И НАРУШЕНИЕ
СИММЕТРИИ 223
Глава IV. 1. Нарушение симметрии 225
Глава IV.2. Пион как намбу-голдстоуновский бозон 235
Глава IV.3. Эффективный потенциал 242
Глава IV.4. Магнитный монополь 252
Оглавление vii
Глава IV.5. Неабелева калибровочная теория 262
Глава IV.6. Механизм Андерсона-Хиггса 274
Глава IV.7. Киральная аномалия 283
ЧАСТЬ V. ТЕОРИЯ ПОЛЯ И КОЛЛЕКТИВНЫЕ
ЯВЛЕНИЯ 297
Глава VI. Сверхтекучие жидкости 300
Глава V.2. Евклид, Больцман, Хокинг и теория поля при
конечной температуре 305
Глава V.3. Теория критических явлений Гинзбурга-Ландау . . 312
Глава V.4. Сверхпроводимость 315
Глава V5. Пайерлсовская неустойчивость 318
Глава V6. Солитоны 322
Глава V.7. Вихри, монополи и инстантоны 327
ЧАСТЬ VI. ТЕОРИЯ ПОЛЯ И
КОНДЕНСИРОВАННЫЕ СРЕДЫ 337
Глава VI. 1. Дробная статистика, член Черна-Саймонса и
топологическая теория поля 339
Глава VI.2. Квантовые холловские жидкости 347
Глава VI.3. Дуальность 359
Глава VI.4. сг-модели как эффективные теории поля 370
Глава VI.5. Ферромагнетики и антиферромагнетики 375
Глава VI.6. Поверхностный рост и теория поля 379
Глава VI.7. Беспорядок: реплики и грассманова симметрия . . 383
viii Оглавление
Глава VI.8. Ренорм-групповой поток как естественное понятие
в физике высоких энергий и конденсированных сред 391
ЧАСТЬ VII. ВЕЛИКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ 409
Глава VII. 1. Квантование теории Янга-Миллса и калибровочная
теория на решетке 411
Глава VII.2. Электрослабое объединение 421
Глава VII.3. Квантовая хромодинамика 429
Глава VII.4. Разложение по большим N 439
Глава VII.5. Великое объединение 456
Глава VII.6. Протоны не вечны 464
Глава VII.7. Объединение 50(10) 474
ЧАСТЬ VIII. ГРАВИТАЦИЯ И ЗА ЕЕ ПРЕДЕЛАМИ 487
Глава VIII. 1. Гравитация как теория поля и картина Калуцы-
Клейна 489
Глава VII 1.2. Проблема космологической постоянной и проблема
космического совпадения 508
Глава VIII.3. Эффективная теория поля как подход к пониманию
природы 512
Глава VIII.4. Суперсимметрия: очень краткое введение 520
Глава VIII.5. Немного о теории струн как 2-мерной теории поля 530
Заключение 533
Приложение А. Гауссово интегрирование и основное тождество
квантовой теории поля 538
Приложение В. Краткий обзор теории групп 540
Приложение С. Правила Фейнмана 552
Оглавление ix
Приложение D. Разные тождества и феинмановские интегралы 556
Приложение Е. Пунктирные и непунктирные индексы. Майора-
новский спинор 560
Решения некоторых упражнений 565
Рекомендуемая литература 588
Предметный указатель 592
Посвящается моим родителям,
которые ставили образование превыше всего
Предисловие
В студенческие годы после курса квантовой механики мне захотелось
взяться за квантовую теорию поля, однако все книги по этой теме
выглядели слишком устрашающе. К счастью, я нашел маленькую книжку Мандла
по теории поля, которая помогла мне почувствовать предмет, после чего
я уже мог двигаться дальше и сумел осилить более сложный материал.
Впоследствии я узнал, что и на остальных физиков моего поколения Мандл
повлиял самым положительным образом.
В последние три десятилетия или около того квантовая теория поля
существенно разрослась, соответственно Мандл безнадежно устарел, чтобы
рекомендовать его сегодняшним студентам. Поэтому я решил написать
книгу об основах современной квантовой теории поля и адресовать ее
способным и любознательным студентам, только что окончившим курс квантовой
механики и которым не терпится начать изучение квантовой теории поля.
Изначально я задумывал написать довольно тонкую книжку, по
крайней мере по сравнению с большинством увесистых томов по квантовой
теории поля. Мне хотелось написать ее живым, разговорным языком, с
индивидуальным, а не энциклопедическим подбором материала. Я
планировал написать много маленьких глав, каждую — «на один укус».
Трудность заключалась в том, что, с одной стороны, книга должна
была быть небольшой по объему и доступной читателям, но в то же время
затрагивать максимально возможное количество актуальных тем. Ну и
задача! При этом, оставив за собой право в выборе материала, нужно было,
не каясь, идти по этому пути до конца. Замечание для будущего рецензента
этой книги: Вы можете всегда критиковать эту книгу за отсутствие в ней
ваших любимых сюжетов. Но я ни в коем случае не склонен просить за это
прощение. По этому случаю (да и для всей своей жизни в целом) я выбрал
в качестве девиза слова из песни Рикки Нельсона «Вечеринка в саду»: «Ты
не можешь угодить всем, так что угоди самому себе».
Эта книга отличается от других книг по квантовой теории поля,
вышедших в последние годы, в нескольких отношениях.
Прежде всего, я хочу подчеркнуть очень важную мысль: применение
квантовой теории поля не ограничено рамками физики высоких энергий,
тогда как многим физикам-теоретикам моего поколения привита именно
Xll
Предисловие
эта ошибочная точка зрения, которую на удивление продолжают поощрять
некоторые современные учебники по квантовой теории поля (все —
написанные специалистами в области физики высоких энергий). Например,
особенно явным, прозрачным и физическим примером важности ренорм-
группы в квантовой теории поля является изучение управляемого роста
поверхности. Вместо того чтобы вязнуть во всякого рода концептуально
второстепенных деталях, вроде расходимостей, можно учесть очевидное
физическое понятие — изменение линейки, используемой для измерения
флуктуирующей поверхности. К другим примерам относится теория
случайных матриц и калибровочная теория Черна-Саймонса в квантовых хол-
ловских жидкостях. Я надеюсь, эта книга окажется полезной студентам,
изучающим теорию конденсированных сред, в плане первого знакомства
с квантовой теорией поля. Книга содержит восемь частей1, две из которых
в значительной степени посвящены теории конденсированных сред.
Я хочу вкратце познакомить читателя с современными тенденциями,
например с теорией струн, так, чтобы разжечь его аппетит. Особенностью
моей книги является также и то, что теория гравитации присутствует в ней
с самого начала. Некоторые темы рассматриваются совершенно иначе, по
сравнению с традиционными учебниками. Скажем, я пользуюсь методом
Фаддеева-Попова для квантования электромагнетизма и языком
дифференциальных форм при изложении теории Янга-Миллса.
Основное внимание уделяется концептуальным, а не вычислительным
аспектам. Единственное вычисление, которое приводится мной во всех его
деталях, — это вычисление магнитного момента электрона. К счастью,
имеется немало прекрасных учебников, фокусирующихся на вычислительных
приемах. На протяжении всей книги мною отдается предпочтение
конкретным примерам, а не тяжелому абстрактному формализму. Вместо общего
случая я всегда предпочитаю рассматривать простейший.
Я был вынужден постоянно выбирать между ясностью и объемом
изложения. Пытаясь предугадать и затем свести к минимуму то, что может
сбить читателя с толку, я часто обнаруживал, что уделил вопросу больше
внимания чем собирался.
Я старался избегать пугающей фразы: «Можно показать, что...»
В противном случае книга получилась бы намного тоньше! В самом деле,
существуют и более тонкие книги по квантовой теории поля: я
просмотрел пару из них и обнаружил, что они едва ли что-то объясняют. Должен
признаться, у меня присутствует почти неутолимое желание все объяснять.
*Мюррей Гелл-Манн обычно говорил о «восьмеричном пути» к знаниям и спасению
(М. Гелл-Манн, Ю. Нееман. Восьмеричный путь). Читатели, знакомые с современной
китайской литературой, знают, что у небесного дракона восемь частей тела.
Предисловие
хш
По мере того как разрасталась моя рукопись, рос и список тем,
которые, увы, я вынужден был опустить. Так много красивых результатов, но
так мало места! Я едва не заболел, думая обо всем том, от чего пришлось
отказаться (бозонизация, инстантон, конформная теория поля и т.д.). Как
заметил один мой коллега, ореховая скорлупа превращается в кокосовую!
Шелли Глэшоу однажды описал процесс возникновения физических
теорий: «Гобелены создаются большим количеством мастеров, работающих
вместе. Когда труд окончен, невозможно установить вклад каждого из них,
а все торчащие и неловкие стежки аккуратно заделаны». Мне очень жаль,
что, предлагая читателю лакомые кусочки тут и там, я не могу углубиться
в пленительную историю квантовой теории поля со всеми ее поражениями
и триумфами. Мои цитирования оригинальных работ страдают от одной
особенности человеческой психологии — излишнего предпочтения своих
собственных. Склонность к протекции своего, — эта причуда человеческой
психологии, — выражена у меня в большей степени, чем позволяют правила
приличия. Конечно, я не стремился к созданию настоящей библиографии.
Начало книги зарождалось в то время, когда я в качестве начинающего
доцента Принстонского университета читал курс по квантовой теории поля.
При этом мне фантастически повезло: ассистентом преподавателя у меня
работал Эд Виттен. Он предлагал настолько ясные, вразумительные
решения задач, которые я задавал на дом, что в начале следующего учебного года
я отправился к руководству с вопросом: «Что за ассистент мне достался на
этот раз? Он не способен и на половину того, что мог его
предшественник!» Некоторые коллеги просили меня сделать из моих заметок текст,
в котором все очень нуждались (то были захватывающие времена, когда
калибровочные теории, асимптотическая свобода и множество других тем
было невозможно найти в книгах, их нужно было изучать какими-то
иными способами), но один немолодой, умудренный опытом ученый убедил
меня, что это может стать крахом моей карьеры. Десятилетия спустя час
пробил. Я, в частности, благодарен Мерфи Голдбергеру, побудившему
меня искать новое применение своей склонности к разъяснению, перейдя от
написания популярных книг к написанию учебников. Также очень приятно
сказать пару слов в память об ушедшем Сэме Треймане, учителе, коллеге
и соавторе, который, будучи членом редакционной коллегии издательства
Принстонского университета, склонил меня к тому, чтобы заняться этим
проектом. И мне искренне жаль, что я слишком долго тянул, все никак не
мог закончить книгу, и он так и не увидел ее в окончательном варианте.
На протяжении многих лет мои познания в области квантовой теории
поля совершенствовались в дискуссиях с коллегами и соавторами.
Студентом я посещал курсы по квантовой теории поля, которые вели Артур Вайт-
XIV
Предисловие
ман, Юлиан Швингер и Сидней Коулмен. И это было большим везением,
поскольку каждый из этих замечательных физиков обладал своим
особенным стилем и подходом к предмету.
Книга прошла «полевые испытания» на читаемых мной курсах. Я
использовал ее, ведя курс по теории поля в университете Калифорнии
в Санта-Барбаре, и был очень признателен некоторым своим студентам,
в частности, Теду Эрлеру, Эндрю Фрею, Шону Рою и Дину Таунсли за
комментарии. Огромную пользу принесли мне и очень разноплановые
комментарии физиков, читавших текст целиком или избранными главами, —
Стива Барра, Дуга Эрдли, Мэтта Фишера, Мэрфи Голдбергера, Виктора Гу-
рария, Стива Хсу, Бэй-лока Ху, Клиффорда Джонсона, Мерана Кардара, Яна
Лоу, Джо Полчинского, Аркадия Вайнштейна, Фрэнка Вильчека, Эда Вит-
тена и особенно Джошуа Файнберга. Джошуа, к тому же, выполнил много
упражнений.
К слову об упражнениях: в физике далеко не уйдешь, если
отсутствует осознание абсолютной важности выполнения упражнений при
изучении предмета. И особенно важным для вас будет сделать большую часть
упражнений из этой книги, поскольку, чтобы компенсировать сокращения,
мне пришлось перенести обсуждение ряда важных вопросов в упражнения.
Некоторые из них мне потребуются в последующих главах. Для некоторых
задач приведены решения.
У меня есть специальная страничка в Интернете
http://theory.kipt.ucsb.edu/zee/nuts.html
с перечнем всех ошибок, типографических и прочих, которые обязательно
принимаются мной во внимание.
Я благодарю своих редакторов Тревора Липскомбэ, Джо Висновски
и Сару Грин, а также сотрудников принстонского редакционного совета
(в частности, Сида Вестморлэнда и Эвелин Гроссберг) за то, что этот текст
был ими внимательно прочитан и, конечно, за их советы. Наконец, я
благодарю Питера Зи за предложения по оформлению обложки и Кэтрин Зи за
исполнение сонат Моцарта в то время, как я вычитывал корректуру.
Соглашения, обозначения и единицы
измерений
По той же причине, по которой мы больше не пользуемся для
измерения расстояний королевским футом, мы используем естественные единицы
измерения, в которых скорость света с и символ Дирака h оба принимаются
равными 1. Планку принадлежит глубокое замечание, что в естественных
единицах измерения все физические величины можно выразить через массу
Планка МПланк = 1/у/@ньктт — Ю19 ГэВ. Величины си h, как и факторы
пересчета, не настолько фундаментальны. В этом свете я искренне
удивляюсь специалистам в области физики конденсированных сред, которые
оперируют постоянной Больцмана к, ничем не отличающейся от
коэффициента пересчета футов в метры.
Пространственно-временные координаты х*1 имеют греческие
индексы (/i = 0,1,2,3) с временной координатой х°, порой обозначаемой как t.
Пространственные координаты хг имеют латинские индексы (г = 1,2,3)
и дц = djdx^. Мы используем метрику Минковского rfv с
сигнатурой (+,—,—,—), так что г/00 = +1. Используем запись г\^уд^ду^р —
= д^(рд^<р = (дф)2 = (dip/dt)2 — Y^(d<p/dx1)2. Метрика в искривлен-
г
ном пространстве-времени всегда обозначается как g^v', но довольно часто
символом gV-v я буду обозначать метрику Минковского, если из контекста
очевидно, что мы находимся в плоском пространстве-времени.
Так как в книге речь главным образом идет о релятивистской
квантовой теории поля, я без лишних объяснений буду использовать
релятивистский язык. Соответственно, если я говорю об импульсе (за исключением
специально оговоренных случаев), то я подразумеваю энергию и импульс.
Также, поскольку h = 1, я не буду проводить различия между волновым
вектором к и импульсом и между частотой и и энергией.
В теории локального поля мы имеем дело в основном с плотностью
лагранжиана С, а не самим лагранжианом L = f d3xC. Как это принято
в литературе и устных дискуссиях, я часто буду несколько вольно
употреблять термины и называть С лагранжианом. Мне присущи и другие
неточности, например, единичную матрицу я обозначаю как 1, а не /. Я использую
xvi Соглашения, обозначения и единицы измерений
тот же символ <р для преобразования Фурье <р(к) функции (р(х) всякий
раз, когда риск внести путаницу отсутствует, т. е. практически всегда.
Лучше несколько вольно использовать терминологию, чем нагромождать текст
обозначениями и проявлять невыносимый педантизм.
Символ * обозначает комплексное сопряжение, a f — эрмитово
сопряжение: первое применяется к числу, второе — к оператору. Также я
использую условные обозначения к. с. и э. с. И опять-таки, если нет риска
путаницы, я часто употребляю f вместо *. Например, в интеграле по траекториям
бозонные поля имеют числовые значения, тем не менее я пишу <^, а не (р*.
Для матрицы М, однако, нужно очень внимательно проводить различия
между М t и М *.
Я пытался правильно получать множители 2 и 7г, но некоторые ошибки
все равно неизбежны.
Часть I
Мотивировка и обоснование
Глава 1.1
Кому это нужно?
Кому нужна квантовая теория поля?
Квантовая теория поля появилась из нашей потребности описать
эфемерную природу жизни.
Нет, серьезно, квантовая теория поля необходима тогда, когда мы
одновременно работаем с двумя величайшими физическими открытиями
последнего века прошедшего тысячелетия: специальной теорией
относительности и квантовой механикой. Вообразите ракету, которая движется со
скоростью, близкой к скорости света. Ее движение описывает специальная
теория относительности, а не квантовая механика. С другой стороны, для
изучения рассеяния медленных электронов на протоне необходимо учитывать
квантовую механику, и при этом можно не иметь ни малейшего понятия
о теории относительности.
На пересечении квантовой механики и специальной теории
относительности возникают новые явления: частицы могут рождаться и умирать.
И именно эти вопросы, связанные с рождением, жизнью и смертью,
обусловили развитие нового направления в физике — квантовой теории поля.
Давайте рассуждать эвристически. В квантовой механике есть принцип
неопределенности, который гласит, что энергия может испытывать резкие
флуктуации за малый промежуток времени. Согласно же специальной
теории относительности, энергию можно преобразовать в массу и наоборот.
Если объединить принципы квантовой механики и специальной теории
относительности, то придем к выводу, что флуктуирующая энергия может
превращаться в массу, то есть в ранее не существовавшие частицы.
Запишем теперь уравнение Шредингера для рассеяния электрона на
протоне. Уравнение описывает волновую функцию одного электрона, и, как
бы вы ни упражнялись с теорией дифференциальных уравнений в частных
производных, электрон, за которым ведется наблюдение, всегда остается
одним-единственным электроном. Однако, согласно специальной теории
относительности, энергия может быть преобразована в материю: если
электрон обладает достаточной энергией, могут родиться электрон и позитрон
4
Глава 1.1
(«антиэлектрон»). Уравнение Шредингера просто не в состоянии описать
это явление, что свидетельствует о несостоятельности нерелятивистской
квантовой механики.
Потребность в квантовой теории поля вы могли видеть и на другом
этапе вашего образования. В конце основательного курса по
нерелятивистской квантовой механике нередко обсуждается взаимодействие излучения
с атомом. И вы, наверное, помните, что электромагнитное поле
рассматривается как поле; итак, это поле. Его фурье-компоненты квантуются как
совокупность гармонических осцилляторов, что приводит к операторам
рождения и уничтожения фотонов. Таким образом, электромагнитное поле есть
квантовое поле.
/ /
/ /
/ /
/ /
/
/
/
/
IOOOOOJ
lopooo; ф юродов
IOOOOOJ ф IOOOOOJ ф iQQQOOi ф IOOOOOJ
/ / /
/ / /
/ / /
/ / /
Рис. 1.1.1
Между тем к электрону относятся как к бедному родственнику с его
волновой функцией Ф(гг), описываемой «старым добрым» уравнением
Шредингера. Рождаться и уничтожаться могут фотоны, но никак не
электроны. Поэтому, абстрагируясь от экспериментального факта, что
электроны и позитроны могут рождаться парами, с точки зрения чистого разума
было бы естественнее рассматривать электроны и фотоны с одних и тех же
позиций, т. е. как элементарные частицы.
Как видите, я был более или менее прав: квантовая теория поля
является ответной реакцией на эфемерную природу бытия.
Все вышесказанное выглядит достаточно неопределенным, поэтому
одна из целей данной книги — придать рассуждениям большую четкость.
Кому это нужно?
5
Давайте, в самом деле, наполним вышеприведенные соображения
некоторой конкретикой. Для этого постараемся вспомнить, где в классической
физике мы хотя бы условно имеем дело с рождением и смертью частиц.
Представьте себе матрац, который мы идеализируем как двухмерную
решетку точечных масс, соединенных друг с другом пружинами (рис. 1.1.1).
Для простоты сосредоточимся на вертикальном смещении точечных масс
и обозначим его как qa(t)), проигнорировав их незначительное
горизонтальное движение. Индекс а просто указывает, о какой точечной массе
в данный момент идет речь. Лагранжиан такой системы имеет вид:
L = ^ I ^2 т£ ~ Y1 к*ЪЯаЯЬ ~ ^2 ЭаЪсЧаЧЪЧс ~ • • I (1)
\ а а,Ь а,6,с /
Если оставить только члены второго порядка по q («гармоническое
приближение»), придем к уравнениям движения mqa = — ^ &абф>- Считая q
ъ
осциллирующими с частотой о;, получаем ^ kabqb = muj2qa. Следователь-
ь
но, собственные частоты и собственные моды определяются
соответственно собственными значениями и собственными векторами матрицы к. Как
обычно, можно сформировать волновые пакеты путем суперпозиции
собственных мод. При переходе к квантовой теории эти волновые пакеты ведут
себя как частицы, подобно тому, как электромагнитные волновые пакеты
при квантовании ведут себя подобно частицам, называемым фотонами.
Поскольку рассматриваемая теория линейна, два волновых пакета
свободно проходят друг сквозь друга. Но как только мы включим в
лагранжиан (1) нелинейные члены, а именно кубические, четвертой степени и т.д.
по q, теория станет ангармонической. Собственные моды теперь
взаимодействуют друг с другом. Волновой пакет может распасться на два, а два
волновых пакета, проходя рядом, рассеиваются и, возможно, образуют новые
волновые пакеты. Поэтому естественно предположить, что физику частиц
можно описать с помощью такого подхода.
Квантовая теория поля возникла, в сущности, из подобного рода
физических идей.
И что поразительно, даже по прошествии 75 лет квантовая теория
поля все еще базируется на этой гармонической парадигме, если мне будет
позволено использовать столь высокопарное выражение. Мы так и не
смогли отойти от таких базовых понятий, как осцилляторы и волновые пакеты.
В самом деле, теория струн — наследница квантовой теории поля, — по-
прежнему жестко привязана к гармонической парадигме. Но я нисколько не
6
Глава 1.1
сомневаюсь, что однажды какой-нибудь талантливый молодой физик,
может быть даже из числа моих читателей, сможет вывести нас за эти рамки.
Физика конденсированных сред
Хотя эта книга посвящена релятивистской теории поля, хотелось бы
тем не менее заметить, что одним из величайших достижений
теоретической физики за последние примерно 30 лет является все более частое
использование квантовой теории поля в физике конденсированных сред.
На первый взгляд это кажется удивительным. Ведь частичка
«конденсированного вещества» состоит из огромного числа нерелятивистских
электронов, болтающихся среди всевозможных ионов и взаимодействующих
посредством электромагнитной силы. Почему бы нам просто не написать
гигантскую волновую функцию Ф(х1, Х2, ..., xn), где x.j обозначает
положение j-ro электрона, а N — большое, но конечное число? И пусть Ф является
функцией многих переменных, она тем не менее подчиняется
нерелятивистскому уравнению Шредингера.
Конечно, мы можем сделать это; именно такой подход использовался
при изучении физики твердого тела на ее раннем героическом этапе
развития (да и сейчас к нему прибегают во многих ее разделах).
Так зачем же тогда квантовая теория поля нужна теоретику,
специализирующемуся на изучении конденсированных сред? Для ответа на этот
вопрос давайте вновь обратимся к эвристическим рассуждениям и
попытаемся отобразить ситуацию в общих чертах, не вдаваясь в подробности. В
типичном твердом теле ионы колеблются около своих равновесных
положений в кристаллической решетке. Динамика этих колебаний наиболее
естественно описывается так называемыми фононами, которые более или менее
эквивалентны волновым пакетам в модели матраца, рассмотренной ранее.
Обо всем этом можно прочитать в любом стандартном учебнике по
физике твердого тела. Более того, если вы слушали курс физики твердого тела,
то вам должно быть известно, что из энергетических уровней, доступных
электронам, формируются зоны. Когда электрон выбивается (например,
фотоном) из заполненной зоны в пустую, то в ранее полностью заполненной
зоне образуется дырка. Эта дырка может перемещаться как частица,
сохраняя свою индивидуальность, и существует до тех пор, пока другой электрон
не попадет в зону и не уничтожит ее. В самом деле, именно так, как дырку
в «море электронов», впервые представил Дирак античастицу электрона —
позитрон.
В последующих главах мы конкретизируем это эвристическое
рассуждение.
Кому это нужно?
7
Союзы
Подводя итог всему вышесказанному, замечу, что квантовая теория
поля родилась от необходимости соединить специальную теорию
относительности с квантовой механикой, точно так же, как новая наука — теория
струн — была рождена от необходимости соединить общую теорию
относительности с квантовой механикой.
Глава 1.2
Формулировка квантовой физики на
языке интеграла по траекториям
Страшный сон профессора: умник в аудитории
Как говорилось в предисловии, мне прекрасно известно, насколько
страстно вы жаждете поскорее нырнуть в квантовую теорию поля, но
первым делом мы должны все же пройтись по формализму интеграла по
траекториям в квантовой механике. Этот формализм не всегда преподается
на вводных курсах по квантовой механике, но даже если вы считаете, что
неплохо с ним знакомы, данная глава все равно послужит полезным
обзором. Причина, по которой я решил начать именно с формализма интеграла
по траекториям, заключается в том, что он особенно удобен для перехода
от квантовой механики к квантовой теории поля. Для начала я дам
эвристическое обоснование формализма, за которым последует более точное
математическое его описание.
Возможно, наилучшим способом дать представление о формализме
интеграла по траекториям является пересказ истории, разумеется,
апокрифической, как и большинство физических историй. Давным-давно, в
аудитории, где изучалась квантовая механика, профессор монотонно рассказывал
об эксперименте с двумя щелями, предлагая стандартное решение.
Частица, испущенная источником S (рис. 1.2.1) в момент времени t = О,
проходит через первое или второе из двух отверстий, А\ и А2, просверленных
в экране, в момент времени t = Т, зафиксированном детектором,
расположенным в точке О. Амплитуда детектирования определяется основным
постулатом квантовой механики, принципом суперпозиции, как сумма
амплитуды распространения частицы от источника S через отверстие А\ до
точки О, и амплитуды распространения частицы от источника S через
отверстие Л2 до точки О.
Внезапно одна светлая голова, — назовем этого студента Фейнманом, —
спросил: «Профессор, а что, если мы просверлим в экране третью дырку?»
Профессор ответил: «Очевидно, амплитуда обнаружения частицы в точке О
Формулировка квантовой физики на языке интеграла 9
К
>о
Рис. 1.2.1
будет определяться суммой трех амплитуд: амплитуды распространения
частицы от источника S через отверстие А\ до точки О, амплитуды
распространения частицы от источника S через отверстие Ач до точки О, а также
амплитуды распространения частицы от источника S через отверстие As
до точки О».
Профессор готов был уже продолжать, но Фейнман вновь прервал его:
«А что, если я просверлю четвертую и пятую дырку в экране?» Профессор
начал терять терпение: «Хорошо, умник, я думаю, всему классу понятно,
что мы будем суммировать по всем отверстиям».
Чтобы уточнить сказанное профессором, обозначим амплитуду
распространения частицы от источника S сквозь отверстие Ai до точки О через
(5 —>• Ai —> О). Тогда амплитуда обнаружения частицы в точке О будет
равна:
^(обнаружена в О) = ]Г A(S -> А* -> О). (1)
Однако Фейнман упорствовал: «А что, если теперь взять другой экран
(рис. 1.2.2) с несколькими просверленными в нем дырками?» Теперь
профессор утратил терпение уже по-настоящему: «Смотрите, неужели вы не
понимаете, что в таком случае вы просто берете амплитуду
распространения от источника S к отверстию Ai на первом экране, затем к отверстию Bj
на втором экране, а после к детектору в О и суммируете все это по г и j?»
Фейнман продолжал допекать: «А что, если я возьму третий экран,
четвертый, а? Что, если я возьму экран и просверлю в нем бесконечное
количество дырок, так, что экран практически перестанет существовать?».
Профессор вздохнул: «Пойдем дальше, у нас еще довольно много
материала, который нужно освоить».
10
Глава 1.2
5«r л-
X
>С>чсч
-i5>
А
В,
/
\
Рис. 1.2.2
\ —
::-'*'
^о
Рис. 1.2.3
Но, дорогой читатель, естественно, вы поняли, к чему клонил
светлая голова Фейнман. Особенно мне понравилось его замечание о том, что
если мы возьмем экран и просверлим в нем бесконечное количество
отверстий, то сам экран перестанет существовать. Воистину «дзэн»!
Фейнман показал, что, если между источником и детектором находится пустое
пространство, амплитуда распространения частицы от источника к
детектору является суммой амплитуд распространения частицы через каждое из
отверстий в каждом из (несуществующих) экранов. Иными словами, мы
должны суммировать по амплитудам распространения частицы от
источника к детектору, следуя по всем возможным траекториям между источником
и детектором (рис. 1.2.3).
^(распространения частицы от S до О за время Т) =
Ел /распространения частицы от 5 до О за\ ,~\
\время Т по определенной траектории / ^ '
(траектории)
Формулировка квантовой физики на языке интеграла 11
Теперь любители математической строгости будут озадачены тем,
как должна определяться £] . Фейнман поступил согласно Ньютону
(траектории)
и Лейбницу: взял траекторию (рис. 1.2.4), аппроксимировал ее
прямолинейными сегментами и устремил сегменты к нулю. Как видите, это
эквивалентно заполнению пространства экранами, расположенными на
бесконечно малом расстоянии друг от друга и имеющими бесконечное количество
отверстий.
Рис. 1.2.4
Отлично, но как же сконструировать амплитуду Л (распространения
частицы от 5 до О за время Г по выбранной траектории)? Что ж,
можно воспользоваться унитарностью квантовой механики: если нам известна
амплитуда для каждого из инфинитезимальных сегментов, мы лишь
перемножаем их и получаем амплитуду всей траектории.
В квантовой механике амплитуда распространения из точки qT в точку
qF за время Г определяется унитарным оператором е~гНТ, где Н —
гамильтониан. Если точнее, то, обозначая через \q) состояние, в котором
частица находится в точке q, амплитуда в данном случае будет (qF\e~lHT\qj).
Здесь используем бра- и кет-векторы Дирака. Разумеется, с философской
точки зрения утверждение, что амплитуда равна (qF\e~lHT\qj),
равносильна постулированию и является определением Н. И это дело
экспериментаторов — установить, что Н является эрмитовым, имеющим форму
классического гамильтониана, и т. д.
В самом деле, формализм интеграла по траекториям можно
полностью сформулировать на математическом языке, начиная с величины
{Qf\6~iHT\(1i) и не учитывая всю эту фейнмановскую болтовню о
бесконечном количестве отверстий. Многие физики предпочли бы
математическое рассмотрение безо всяких разговоров. Собственно говоря, формализм
интеграла по траекториям был открыт Дираком именно таким способом
и задолго до Фейнмана.
Одно важное замечание об обозначениях, хотя оно и нарушает ход
нашего повествования: мы обозначаем координаты, перпендикулярные оси,
12
Глава 1.2
соединяющей источник с детектором, как q, а не как х по причине, которая
станет ясной в следующей главе. Для простоты обозначений будем
считать q одномерным, а также опускать координату вдоль оси, соединяющей
источник с детектором.
Формулировка Дирака
Разделим время Т на N промежутков, каждый продолжительностью
St = T/N. Тогда запишем
(qF\e-iHT\qi) = (qF\e-iH5te-iHSt.. .e'iHSt\qi).
Теперь воспользуемся тем фактом, что \q) образует полный набор
состояний, так что J dq\q)(q\ = 1. Вставим 1 между всеми этими множителями
е-гН5т и запишем
Ые~шт\я1) =
(qF\e-iHSt\qN^)(qN-i\e-lHSt\qN-2)---
...{q2\e-iHSt\qi). (3)
Рассмотрим отдельный множитель (qj+i\e~lH6t\qj). Сделаем
небольшой шаг вперед, вычислив множитель для случая свободных частиц, когда
Н = р2/2гп. Знак крышечки над р говорит о том, что это оператор.
Обозначим как \р) собственное состояние р, а именно р\р) = р\р). Помните ли
вы из курса квантовой механики, что (q\p) = егря? Конечно, помните. Эта
запись означает, что собственное состояние импульса есть плоская волна
в координатном представлении. (Нормировка такова, что f(dp/2ir)\p)(p\ =
= 1.) Снова подставляя полный набор состояний, получаем
= y|e-^(Pv2m)(g.+ib)(p|q.) =
dp
Обратите внимание, что мы убрали знак крышечки с оператора импульса
в показателе экспоненты: поскольку оператор импульса действует на
собственное состояние, его можно заменить своим собственным значением.
/:
_е -i6t{p2/2m)eip{qj+i-qj) ^
Формулировка квантовой физики на языке интеграла 13
Интеграл по р известен как гауссов интеграл, с которым вы уже,
наверное, знакомы. Если нет, обратитесь к приложению 1 к этой главе.
Вычисляя интеграл по р, получаем
/ о \ V2
(q- 1\c~i8t{^,2m)\q-) = ( ~г27ГШ ) e[irn(qj+1-qj)2}/26t =
г2тгт\ i6t{m/2)[(qj+1-qj)2/8t}2
St J
-(■
Подставляя это выражение в (3), приходим к
/ .л \ N/2 N-l r
(<lF\e-iHT\qi) = (^§^) U/фи
-г2ттт\М/2!^ [ ^ ^t{m/2)\\qj^-qj)/8t]2
3=0
с q0 = qi и qN = qF.
Теперь можно перейти к непрерывному пределу St —> 0. Ньютон
N-1
и Лейбниц показали, что можно заменить [((ft+i —qj)/St]2 на q2, a St ^2 на
3=0
Т
J dt.B конечном итоге определяем следующий интеграл по траекториям:
о
г /с \N/2N-1 r
Таким образом, мы получили представление в виде интеграла по
траекториям
(qF\e-*"T\qi) = J Dq(t)ei 2 . (4)
Этот фундаментальный результат говорит о том, что для получения
(QF\e~lHT\Qi) необходимо просто интегрировать по всем возможным
траекториям q(t)9 таким что q(0) = qt и q(T) = qF.
В качестве упражнения проверьте, что если начать с гамильтониана для
частицы в потенциале Н = p2/2m + V(q) (и снова знак крышечки над р
обозначает оператор), то окончательный результат был бы следующим:
rrrr Г i\dt\\rnq2-V{q)\
(qF\e-*HT\qj) = J Dq(t)eJ° ^ ±
(5)
14
ГЛАВА 1.2
В величине \™>q2 — V(q) мы узнаем лагранжиан L(q,q).
Лагранжиан появляется естественным образом из гамильтониана. В общем случае
имеем
(qF\e-*HT\qi)=J Dq(t)eJo \ (6)
Во избежание возможной путаницы, позвольте мне уточнить, что t
является переменной интегрирования в показателе экспоненты в правой части
последней формулы. Тот факт, что t появляется в мере интеграла по
траекториям Dq(t), просто свидетельствует о том, что q есть функция от t (как
если бы нам стоило это напомнить). И действительно, данную меру мы
будем часто для краткости обозначать как Dq. Вы, должно быть, помните,
т
что в классической механике f dtL(q,q) называется действием S(q). Дей-
о
ствие S является функционалом от функции q(t).
Зачастую, вместо того чтобы уточнять, что частица стартует из
начальной точки qj и завершает движение в конечной точке qF, мы будем
говорить, что частица стартует из некоторого начального состояния / и
завершает движение в некотором конечном состоянии F. В этом случае мы должны
вычислить выражение (F\e~tHT\I), которое после подстановки полного
набора состояний можно переписать в виде
J'dqF J'^/^ЫЫе-^ММ/)
или, если смешать обозначения Шредингера и Дирака, в виде
dqi*F{qFY(qF\e-iHT\qi)4>(qi).
JdqFJc
В большинстве случаев в качестве |/) и |F) мы будем брать
основное состояние, обозначаемое как |0). Общепринято обозначать амплитуду
(0|е_*ят|0) символом Z.
На том уровне математической строгости, с которым мы имеем дело,
г ^ / ч ifdt\±mq2-V(q)]
интеграл по траекториям J Dq(t)e ° L J считается сходящимся,
поскольку осциллирующие фазовые множители от различных траекторий
взаимно сокращаются. Для большей строгости можно было совершить так
называемый поворот Вика к евклидовому времени. Он сводится к замене
t —» —it и повороту контура интегрирования в комплексной плоскости £,
Формулировка квантовой физики на языке интеграла 15
так что интеграл преобразуется к виду
j Dq{t)e
(7)
известному как евклидов интеграл по траекториям. Так же как для
обыкновенных интегралов, рассмотренных в приложении 1 к настоящей главе,
мы всегда будем предполагать возможность безнаказанно совершать такую
замену.
Одной особенно приятной особенностью формализма интеграла по
траекториям является то, что мы можем легко восстановить классический
предел квантовой механики. Для этого просто возвращается в (6)
постоянная Планка h:
(qF\e-^HT\qi) = J Dq(t)
(i/ft) JdtL(q,q)
e u
и берется предел при h —> 0. Применяя метод стационарной фазы или метод
наискорейшего спуска (если вам незнакомы эти понятия, загляните в допол-
(i/h)fdtL(qr,qc.)
нение 2 к данной главе), получаем е ° , где qc{t) есть
«классическая траектория», определяемая решением уравнения Эйлера-Лагранжа
(d/dt)(SL/6q) — (SL/5q) = 0 с подходящими граничными условиями.
Приложение 1
+ оо _1х2
Сейчас я вам покажу, как вычислить интеграл G = J dxe 2 . Трюк заклю-
— со
чается в том, чтобы возвести интеграл в квадрат, обозначить фиктивную
переменную интегрирования в одном из интегралов как у и перейти к полярным
координатам:
+ оо +оо +оо +оо
G2 = f dxe'*** f dye~*y2 = 2тг f drre'^ = 2тг f dwe~w = 2тг.
— oo — oo 0 0
В итоге получаем:
/ dxe'*** =y/bi. (8)
16
Глава 1.2
Хотите верьте, хотите — нет, но значительная часть литературы по
теоретической физике основывается на вычислении разных модификаций этого базового
гауссова интеграла. Простейшее обобщение следует практически немедленно:
/*.-*--fiF)"*. о»
— ОО
что очевидно из масштабирования х -* х/у/а.
Применяя к нему повторно —2(d/da), получаем
f dxe
2аХ х2п
{х2") = — : = ^(2п-1)(2п-3)...5-3.1. (Ю)
+ оо --ах2 а
J dxe 2
Множитель 1/ап следует из анализа размерностей. Чтобы запомнить множитель
(2п — 1)!! = (2га — 1)(2га — 3)... 5 • 3 • 1, представьте себе 2п точек и соедините их
попарно. Первая точка может быть соединена с одной из (2п — 1) точек, вторая —
с одной из оставшихся (2га — 3) точек и так далее. Это хитрое наблюдение, которым
мы обязаны Жан-Карло Вику, в литературе по теории поля называют теоремой Вика.
Между прочим, теоретики-полевики при вычислении, например, (х6) используют
следующее графическое мнемоническое правило: записывают (х6) как (хххххх)
и соединяют х-ы:
(хххххх)
Такой набор связей называется сверткой Вика. В этом простом примере все
шесть х являются тождественными, поэтому каждая из различных сверток Вика
дает один и тот же множитель а~3 и окончательный результат для (х6), равный а-3,
умноженное на число различных сверток Вика, а именно 5 • 3 • 1 = 15. В
дальнейшем мы рассмотрим менее тривиальный пример с различными х, в котором разные
свертки Вика дают разные значения.
Важной модификацией является интеграл
+ оо
/
dxe-^x2+Jz=(^)1/2ej2^. (11)
Чтобы убедиться в этом, возьмем выражение в показатель степени и «дополним до
полного квадрата»: —ах2/2 + Jx = —(а/2)(х2 — 2Jx/a) = —(а/2)(х — J/a)2 4-
+ J2 /2а. Интеграл по х теперь вычисляется с помощью сдвига х —> х 4- J/а
и приводит к множителю (27г/а)1/2. Заметьте, что мы также можем получить (10),
если повторно продифференцировать по J и затем положить J = 0.
Формулировка квантовой физики на языке интеграла 17
Другую важную модификацию получаем заменой J на г J:
/
■\ax2+iJx _ /27Г\1/2 -J2/
(£)*-■""•. (12)
Чтобы получить еще одну модификацию, заменим а на —ъа\
/
dxJ*«*2^* = (My/2e-iJ2/2« (13)
Теперь перейдем от а к вещественной симметричной N х iV-матрице Atj и от х
к вектору Xi (i,j = 1, -.., AT). Тогда получим следующее обобщение (11):
+ оо +оо +со * ьл\ 1/2
J J ... fdxldx2... <bNe-*"A~+J- = f ^_ J >А"Ч (14)
-oo —oo —oo
где x • A • x = XiAijXj и J • x = JiXt (с суммированием по повторяющимися
индексам). Чтобы удостовериться в этом, диагонализируем А с помощью ортогонального
преобразования О: А = О-1 • D • О, где D — диагональная матрица. Обозначим
2/г = OijXj. Иначе говоря, мы вращаем координаты в iV-мерном евклидовом
пространстве, по которому ведется интегрирование. Используя
+оо +оо +оо +оо
/ • • / dx\ ... dxN = I • • • / dy\... dyN,
— oo —oo —oo —oo
мы раскладываем левую часть формулы (14) на произведение N интегралов вида
(И). Результат затем можно выразить через -D-1, равный О • А~1 • О-1. (Чтобы
убедиться в том, что вы все поняли, проделайте указанные действия явно для N =
= 2.)
Вставив несколько г (А —> — iA, J —► г J), получим обобщение (13)
+оо+оо +оо /^ лДГ\ 1/2
0-{i/2)J.A~1-J
-1-00 -t-oo -i-oo / \iV\
— oo —oo —oo ^ '
(15)
Также легко получить обобщение формулы (10). Неоднократно
дифференцируем (14) по J и затем полагаем J —► 0. Получаем
(XiXj . ..XkXl) = ^2(А~г)аЬ ■ . . (A~1)cd, (16)
18
Глава 1.2
где мы определили
+оо +оо +оо —-х-А-х
f f ... J dx\ dx2 • • • cLxnc 2 XiXj . . . XfcXl
I \ —OO —OO —OO i+n\
(XiXj . ..XkXl) = —— (17)
+oo -foo +oo _± д
J J ... J dX\ dX2 • • • dXNC 2
— OO —OO —OO
и где набор индексов {а, 6, ..., с, d} представляет собой перестановку набора
индексов {i,j, ..., к, I}. Суммирование в формуле (16) осуществляется по всем таким
перестановкам или сверткам Вика. Наиболее просто объяснить формулу (16) на
простом примере (xiXjXkXi). Соединяем попарно х (свертки Вика) и записываем
множитель (А-1)аь в случае, когда соединяем ха с хь. Таким образом,
(хгх^м) = (Л-1)^ (Л"1)*! + (iOiiCiOj* + (A-'UiA-1)^. (18)
(Не забывайте, что А и А~г симметричны.) Обратите внимание, что поскольку
(xiXj) = (i4_1)ij, правую часть формулы (16) можно также переписать в терминах
(XiXj). Пожалуйста, вычислите \XiXjXkXlXmXn) и тогда вы станете экспертом по
свертыванию Вика. Естественно, (16) сводится к (10) при N = 1.
Возможно, вы, как и я, не любите что-либо запоминать, но некоторые из
приведенных формул все-таки стоит отложить в памяти, потому что они снова и снова
встречаются в теоретической физике (и в этой книге тоже).
Приложение 2
+оо
Чтобы вычислить экспоненциальный интеграл вида / dqe~^l^h^^q\ мы ча-
— оо
сто прибегаем к приближенному методу наискорейшего спуска, который я сейчас
изложу ради вашего удобства. В пределе малых /г интеграл определяется
минимумом f(q). Разложив f(q) = f(a) + ^/"(а)(<7 — а)2 + 0[(q — а)3] и использовав (9),
мы получим
1/2
J = в-(1/й)/<а) / _^ГП_ \ е-0(П^)^ (ig)
( 2ттП \
\f"(a)j
Для функции f(q) многих переменных q\, ..., qN с минимумом в qj = dj мы
немедленно приходим к обобщению
[detf"(a)) C m
Формулировка квантовой физики на языке интеграла 19
Здесь /"(а) обозначает NxTV-матрицу с элементами [/"(a)]ij = (d2f/dQi &Qj)\ =a-
Во многих случаях в выражении (20) не нужен множитель, содержащий
детерминант. Если вы можете вывести формулу (20), это значит, что вы на пути становления
теоретиком в квантовой теории поля!
Упражнения
1.2.1. Проверьте (5).
1.2.2. Выведите (16).
Глава 1.3
От матраца к полю
Матрац в непрерывном пределе
Представление в терминах интеграла по траекториям
Z = (0|е"гЯТ|0) = / Dq(t)e ° L2 v 'J, (1)
которое мы получили для квантовой механики одной частицы, можно
обобщить практически немедленно до случая N частиц с гамильтонианом
H = ^2^-aPl + V(quq2,...,qN). (2)
а
Мы просто мысленно следим за положением частиц qa с а = 1,2, ..., N.
Применяя те же шаги, что и прежде, получаем
Z = (0|е-*ят|0) = f Dq(t)eiS{q) (3)
с действием
S(q) = Jdt ( J2 \rnq2a ~ V[qi,q2, •.., qN] 1 •
Потенциальная энергия V(qi,q2, •. •, qN) теперь включает энергию
взаимодействия между частицами, а именно члены вида v(qa — qb), а также
энергию, обусловленную внешним потенциалом, то есть члены вида w(qa).
В частности, запишем интеграл по траекториям, описывающий квантовую
динамику матраца, речь о котором шла в главе 1.1, с потенциалом
V(qi,q2, • • •, qN) = JZ o*^6^6 + * * *
2
аЪ
ОТ МАТРАЦА К ПОЛЮ
21
Нам остается всего чуть-чуть до квантовой теории поля!
Предположим, нас интересуют лишь явления, происходящие на масштабах много
больших размера решетки I (рис. 1.1.1). Говоря математически, мы берем
непрерывный предел / —> 0. В этом пределе можно заменить индекс а
у частиц на двумерный вектор положения х и поэтому писать q(t,x)
вместо qa{t). Согласно традиции заменим латинскую букву q на греческую ср.
Функция tp(t,x) называется полем.
Кинетическая энергия ^ к™>а4а теперь становится
a Z Z
Мы заменяем J2 на l/l2 f сРх и обозначаем массу ma//2, приходящуюся
a
на единицу площади, через а. Мы считаем все та равными, в противном
случае а будет функцией от х, система станет неоднородной, и нам будет
трудно записать лоренц-инвариантное действие (см. ниже).
Сконцентрируемся на первом члене в V = J^ \kabqaqb+ Запишем
аЪ 1
2qa,qb = Яа + Яь ~ (Яа — Яь)2• Для простоты допустим, что каъ связывает
только ближайших соседей по решетке. Для пар ближайших соседей (qa —
— qb)2 ~ 12(дф/дх)2 + ... в непрерывном пределе производная очевидно
берется в направлении, соединяющем узлы решетки а и Ь.
Собирая все вместе, получим
т
5(g) -» S(<p) = fdt fd2xC(<p) =
о
-Ил§И£)"->[(£),+®*]-
О
-V-^Ч...}, (4)
где параметры рит зависят от каь и /. Точные соотношения нам не важны.
В дальнейшем мы будем брать предел Т —> со, так что сможем
интегрировать все по пространству-времени в формуле (4).
Мы можем немного «причесать» это выражение, записав р = ас2
и промасштабировав (р —> <р/у/<т так, чтобы в лагранжиане появилась
комбинация (dip/dt)2 — с2[(д(р/дх)2 + {dip/ду)2]. Параметр с очевидно
имеет размерность скорости и определяет фазовую скорость волн на нашем
матраце. Интересно то, что мы естественным образом получаем лоренц-
инвариантность, в которой с играет роль скорости света.
22
Глава 1.3
Мы начали с рассмотрения матраца по педагогическим соображениям.
Разумеется, никто и не полагает, что наблюдаемые в природе поля, скажем,
мезонное поле или поле фотона, в действительности состоят из точечных
масс, соединенных пружинами. Современная точка зрения, которой я дам
имя Гинзбурга-Ландау, заключается в том, что надо начинать с требуемой
симметрии, например, лоренц-инвариантности, если нас интересует
физика элементарных частиц, затем выбрать нужные нам поля, определив, как
они преобразуются под действием симметрии (в рассмотренном случае мы
выбрали скалярное поле ф), и затем записать действие, включающее не
более двух временных производных (потому что мы не знаем, как квантовать
действие, содержащее более двух производных по времени).
Приходим к лоренц-инвариантному действию (положив с = 1)
■/
ddx
LI (<V)2 -ImV-f^3-^4 +...], (5)
где различные численные коэффициенты введены для дальнейшего
удобства. Релятивистская запись (дер)2 = д^д^ер = (dtp/dt)2 — (dip/dx)2 —
— (dip/ду)2 объясняется в разделе, посвященном условным обозначениям.
Размерность пространства-времени d может, очевидно, выражаться любым
целым числом, хотя в нашей модели матраца она равна 3. Мы часто пишем
d = D + 1 и говорим при этом о (D + 1)-мерном пространстве-времени.
В этом примере мы видим эффективность введения симметрии.
Лоренц-инвариантность вместе с требованием, по которому лагранжиан
может содержать d/dt не больше чем во второй степени, свидетельствует
о том, что лагранжиан может иметь лишь форму1 С = ~(cty?)2 — V((f),
где V - полином по <р. Позже мы гораздо подробнее поговорим о
симметрии. А сейчас лишь заметим, например, что мы могли бы потребовать
симметричность физики относительно преобразования ip —» — </?, в этом случае
функция V((p) должна была бы быть четным полиномом.
Теперь, когда вы уже знаете, что представляет собой квантовая теория
поля, вам должно быть понятно, почему в предыдущей главе я предпочел
использовать символ q для обозначения положения частицы, а не более
традиционную запись х. В квантовой теории поля х является значком, а не
динамичной переменной, х, фигурирующий в cp(t, х), соответствует индексу а
в записи qa(t) в квантовой механике. Динамическая переменная в
квантовой теории поля — это не положение, а поле (р. Переменная х просто указы-
1 Строго говоря, член вида U((p)(dip)2 также допустим. В квантовой механике член вида
U(q)(dq/dt)2 описывал бы частицу, масса которой зависит от положения. Мы не будем до
поры до времени рассматривать такие «неудобные» члены.
ОТ МАТРАЦА К ПОЛЮ
23
вает, о какой полевой переменной идет речь. Я разъясняю этот момент
потому, что при первом знакомстве с квантовой теорией поля некоторые
студенты, привыкшие к тому, что х есть динамический оператор в квантовой
механике, начинают путаться, не понимая той роли, которую он играет здесь.
Подводя итог, приходим к таблице
(6)
Таким образом, мы наконец получили интеграл по траекториям,
определяющий теорию скалярного поля в d = (D + 1)-мерном пространстве-време
ни:
\(dip)2-V(<p)^
Q
а
««(*)
Е
а
-*ч>
—>• х
-> (f(t, Х) = (f(x)
-> JdDxq(t)
=/w/ddx^(
(7)
Заметьте, что (0 +1)-мерная квантовая теория поля — это просто
квантовая механика.
Классический предел
Как уже говорилось, формализм интеграла по траекториям особенно
удобен для перехода к классическому пределу. С учетом того, что
постоянная Планка h имеет размерность энергии, помноженной на время, мы
видим, что она присутствует в унитарном операторе эволюции е^~г^п^нт.
Прослеживая вывод интеграла по траекториям, мы убеждаемся, что
необходимо просто разделить общий множитель г на ft и получить
/
Z = Dye
[i/h)fd4x£(<p)
(8)
В пределе, когда h много меньше соответствующего действия, которое мы
рассматриваем, можно вычислить интеграл по траекториям, используя
приближение стационарной фазы (или наискорейшего спуска). В предыдущей
главе я объяснял, как это делается в контексте квантовой механики. Просто
определяется экстремум J d4xC(ip). Согласно стандартному
вариационному методу Эйлера -Лагранжа это приводит к уравнению
SC
SC
Sep
0.
(9)
24
Глава 1.3
Таким образом, мы точно воспроизводим классическое полевое уравнение,
которое в нашей теории скалярного поля имеет вид:
(д2 + т2Ых) + 9-у{х)2 + ^{xf + ... = 0. (10)
Вакуум
В квантовой механике точечных частиц, обсуждавшейся в главе 1.2, мы
записывали интеграл по траекториям для (Г\е~гНг\1), с некими начальным
и конечным состояниями, которые мы выбирали по своему усмотрению.
Удобным и наиболее естественным было бы принять в качестве \I) = \F)
основное состояние. Что мы можем взять в качестве начального и
конечного состояний в квантовой теории поля? Стандартным выбором для
начального и конечного состояний является основное состояние или вакуумное
состояние системы, обозначаемое |0), в котором, проще говоря, ничего не
происходит. Иными словами, мы бы вычисляли амплитуду квантового
перехода из вакуума в вакуум, которая позволила бы нам определить энергию
основного состояния. Но эта величина не представляет особого интереса,
поскольку в квантовой теории поля мы хотели бы измерять все энергии
относительно вакуума, и поэтому, по договоренности, принять энергию
вакуума равной нулю (возможно, вычитая бесконечно большую константу из
лагранжиана). Между прочим, вакуум в квантовой теории поля подобен
штормящему морю квантовых флуктуации, но в рамках нашего первого
знакомства с квантовой теорией поля мы не будем исследовать его во всех
подробностях. Безусловно, в последующих главах книги мы еще не раз
вернемся к этому вопросу.
Возмущение вакуума
Нам бы хотелось сделать что-нибудь более захватывающее, чем
просто наблюдать за бурлящим морем квантовых флуктуации. Хорошо было
бы вакуум возмутить. Где-нибудь в пространстве в некий момент времени
мы бы создали частицу, пронаблюдали, как она в течение какого-то
времени распространяется, и затем уничтожили бы ее в каком-то другом месте
в более поздний момент времени. Иначе говоря, нам хотелось бы создать
источник и сток (иногда обобщенно называемые источниками), в которых
частицы могут создаваться и уничтожаться.
Чтобы понять, как это сделать, вернемся к модели матраца. Попрыгаем
на нем вверх-вниз, чтобы создать некоторые возбуждения. Очевидно, что
ОТ МАТРАЦА К ПОЛЮ
25
Рис. 1.3.1
воздействие на массу в матраце, отмеченную индексом а, соответствует
добавлению члена Ja(t)qa к потенциалу V{q\,q2, ..., qn)- В более общем
случае мы можем добавить ^2^a(t)qa- При переходе к теории поля этот
а
добавленный член превращается в член J(x)ip(x) в лагранжиане теории
поля, согласно таблице перевода (6).
Эта так называемая функция источника J(t,x) описывает, как матрац
был потревожен. Мы можем выбрать любую понравившуюся нам
функцию, пользуясь свободой прыгать на матраце где и когда заблагорассудится.
В частности, J(x) может сводиться к нулю везде в пространстве-времени,
за исключением некоторых локализованных областей.
Подпрыгивая на матраце вверх и вниз, мы может создать тут и там
расходящиеся волновые пакеты (рис. 1.3.1). Они в точности
соответствуют источникам (и стокам) для частиц. Таким образом, нам в самом деле
придется вычислить интеграл по траекториям
Z- [ D ^d4x[^^)2-v(^+J(x)¥?(x)] (n)
Теория свободного поля
Функциональный интеграл в (11) невозможно вычислить за
исключением случая, когда
%) = |[(ад2-гаУ]. (12)
26
Глава 1.3
Соответствующая теория называется свободной или гауссовой теорией.
Уравнение движения (9), имеющее вид (д2 + т2)ф = О, известно как
уравнение Клейна-Гордона2. Так как оно линейно, его можно немедленно
решить, в результате чего получить <р(ж, t) = ег^ь~к'х^ с
Ш2 = 1?+т2. (13)
В используемых нами естественных единицах h = 1, и поэтому частота и
есть то же самое, что энергия fiu;, а волновой вектор к — то же самое, что
импульс hk. Таким образом, мы узнаем в (13) соотношение
энергии-импульса для частицы с массой га, а именно усовершенствованный вариант
простейшей формулы Е = тс2. Можно предположить, что эта теория поля
описывает релятивистскую частицу с массой га.
Теперь вычислим (И) для обозначенного частного случая:
Z = /V/d4x{|N)2-mV]+^- (14)
Интегрируя по частям в J d4x и не заботясь о возможных вкладах
граничных членов в бесконечности (мы неявно предполагаем, что поля, по
которым мы интегрируем, убывают достаточно быстро), запишем
Z = /V/d4-^2W)*2+4 (15)
С подобными функциональными интегралами вам неоднократно
придется сталкиваться в процессе изучения теории поля. Трюк состоит в
воображаемом переходе к дискретному пространству-времени. Делать вам на
самом деле ничего такого не нужно: просто вообразите себе, что вы его
квантуете. Опишу в общих чертах, как это работает. Заменим функцию
(р(х) вектором ф1 = ср(га) с целым числом г и периодом решетки а. (Для
просты я пишу все так, как если бы мы находились в 1-мерном
пространстве-времени. В более общем случае индексом i нумеруются каким-либо
способом узлы решетки.) При этом дифференциальные операторы
превращаются в матрицы. Например, dip(ia) —> (l/a)(^+i — <Pi) = ^2 Mij<pj с со-
з
ответствующей матрицей М. Интегралы становятся суммами. К примеру,
f d4xJ(x)p(x) -> aA^lJnpi.
г
2Уравнение Клейна - Гордона в действительности открыл Шредингер до того, как он вывел
уравнение, носящее сейчас его имя. Позднее, в 1926 году, его вывели независимо от Шредин-
гера Клейн, Гордон, Фок, Кудар, де Донер и ван Дунген.
ОТ МАТРАЦА К ПОЛЮ
27
Вот теперь интеграл (15), подумать только!, есть просто интеграл,
который мы вычислили в (1.2.15):
+оо +оо +оо
I dqidq2...dqNe(il2),lAq+iJq =
— ОО — ОО —ОО
Роль А из (16) играет в (15) дифференциальный оператор — (д2 + +т2).
Определяющее уравнение для обратной матрицы А-А"1 или АцА~£ = 5ik
в непрерывном пределе сводится к виду
-(д2 + m2)D(x -у) = 5(4\х - у). (17)
Мы обозначаем непрерывный предел от Aj£ D(x—y) (который, как мы
знаем, должен быть функцией от х — у, но не х и у по отдельности, поскольку
ни одна точка пространства-времени не является особой). Обратите
внимание, что при переходе от решетки к континууму Кронекер заменяется
Дираком. Очень полезно уметь мысленно осуществлять переходы между
решеткой и континуумом.
Итак, приходим к окончательному результату
Z(j) = Ce-(i/2) Sf d4xd4y J(x)D(x-y)J(y) ^ QeiWV\ (18)
в котором D(x) определяется решением уравнения (17). Общий
множитель С, соответствующий общему множителю с детерминантом в (16), не
зависит от J и, как станет ясно из дальнейших обсуждений, зачастую не
представляет особого интереса. Как правило, я буду опускать множитель С.
Очевидно, что С = Z(J = 0), поэтому W(J) определяется как
Z(J) = Z(J = 0)eiW{J). (19)
Заметьте, что
W(J) = -\ JJd4xd4yJ(x)D(x - y)J(y) (20)
является простым квадратичным функционалом от J. В отличие от него,
Z(J) зависит от произвольно высокой степени J. Этот факт потребуется
в главе 1.7.
28
Глава 1.3
Свободный пропагатор
Функция D(x), известная как пропагатор, играет важную роль в
квантовой теории поля. Будучи обратной дифференциальному оператору, она
тесно связана с функцией Грина, знакомой вам из курса
электромагнетизма.
Физики не очень обращают внимание на математическую строгость, но
и им время от времени следует быть осторожными, чтобы удостовериться,
что их действия на самом деле имеют смысл. Для того чтобы интеграл (15)
сходился для больших <р, заменим га2 —> га2 — ге так, чтобы
подынтегральное выражение содержало множитель e~€fd Xip , где е — положительная
бесконечно малая величина3, которую мы позднее устремим к нулю.
Можно легко решить (17), если перейти в импульсное пространство
и вспомнить представление дельта-функции Дирака.
S(4)(x-y) = j-^ieik{x~y). (21)
Решением будет
««-»)=/^М^- (И)
J (27г г Аг - 77Г + ге
что легко проверить, подставив его в (17). Заметьте, что так называемая
ге-прескрипция, которую мы только что сделали, является существенной;
в противном случае fc-интеграл будет содержать полюс.
Чтобы вычислить D(x)9 проинтегрируем сначала по А:0 методом
контуров. Определим и к = +\к2 + т2. Подынтегральное выражение
содержит два полюса в комплексной /с°-плоскости — в ± \Ju\ ~ ге->
которые в пределе е —► О равны -\-ujk — ie и — u>k + is. Для
положительного х° мы можем продлить контур интегрирования, идущий от — оо до оо,
вдоль вещественной оси, включив бесконечную полуокружность в
верхней полуплоскости, так, чтобы включить полюс в — (Jk + ге и получить
-if[d3k/(27r)32u>k]e~'l(u;kt~k'^. Для отрицательного х° мы замыкаем
контур в нижней полуплоскости. Таким образом:
D(x) = -i f —тг— [e-i{u}kt-ts)e{x°) + e^-^Oi-x0)}. (23)
J (27г)с{2а;^
Традиционно е воспринимают как бесконечно малое, поэтому, будучи умноженной на
любое положительное число, е остается е.
ОТ МАТРАЦА К ПОЛЮ
29
С физической точки зрения D(x) описывает амплитуду
распространения возмущения поля из начала координат в х. Мы ожидаем
существенно различного поведения в зависимости от того, находится х внутри или
вне светового конуса. Мы можем оценить то, что происходит, и без
вычисления интеграла. Для х = (£,0) при, например, t > 0 D(x) = —
—г f[d3k/(27r)32ujk]e~luJkt является суперпозицией плоских волн, и поэтому
мы должны иметь осциллирующее поведение. В противоположность этому,
для х° = 0, полагая 0(0) = |, D(x) = -г f[ds к/(2тг)32у/к2 + m2]e'i%'s,
тогда разрез квадратного корня, начинающийся в ±гга, приводит к
экспоненциальному затуханию ~ e~mlf', как следует ожидать. С классической
точки зрения частица не может выйти за пределы светового конуса, но
квантовое поле может «просочиться» на расстояние порядка га-1.
Упражнения
1.3.1. Проверьте, что D(x) убывает экспоненциально для пространственноподоб-
ного интервала.
1.3.2. Найдите пропагатор D{x) для теории свободного поля в (1 + 1)-мерном
пространстве-времени и изучите его поведение для больших х1 при х° = 0.
Глава 1.4
От поля к частице и к силе
От поля к частице
В предыдущей главе для свободной теории мы получили выражение
W(J) = -\fj d4xdAy J(x)D(x - y)J(y), (1)
которое мы сейчас запишем через преобразование Фурье
J(k) = Jd4xe-ikxJ(x):
вд = -|/^*^« (2>
(Заметим, что J(k)* = J(—k) для вещественного J(x).)
Мы можем как угодно прыгать на матраце вверх-вниз. Иными словами,
мы можем выбирать любой «/(ж) и, используя эту свободу выбора, получать
большое количество физической информации.
Рассмотрим J(x) = Ji(x) + ^(ж), где J\{x) и ^(ж) сосредоточены
в двух локальных областях 1 и 2 пространства-времени (рис. 1.4.1). Тогда
W(J) содержит четыре члена вида J\J\, J^Ji, J\Ji и J£ J\. Рассмотрим
два последних членах, один из которых имеет следующую форму:
W(J) = -\1 гёМк)\2 \ Jx(fc). (3)
^ J (7г)4 /г - тпг + ге
Мы видим, что W( J) является большим только тогда, когда фурье-ком-
поненты J\{x) и ^(ж) значительно перекрываются и когда в области
перекрытия в импульсном пространстве член к2 — га2 близок к нулю. В точке
к2 = га2 существует пик «резонансного типа», при этом выполняется
соотношение энергии и импульса для частицы массой га. (Мы будем
пользоваться языком, принятым в теории относительности, и писать
«импульсное пространство», вместо «пространство энергии-импульса», переходя на
ОТ ПОЛЯ К ЧАСТИЦЕ И К СИЛЕ
31
'Щ'к
t f ^^
111
X
Рис. 1.4.1
нерелятивистский язык только тогда, когда того требует контекст, как,
например, в случае словосочетания «соотношение энергии-импульса».)
Итак, мы интерпретируем физические свойства, содержащиеся в
нашей простой теории поля, следующим образом: источник в области 1
пространства-времени создает «возмущение поля», которое позднее
поглощается стоком в области 2 пространства-времени. Экспериментаторы
предпочитают называть это возмущением поля частицей с массой га. Наше
предположение, основанное на уравнении движения, о том, что теория содержит
частицу массой га, нашло свое подтверждение.
Немного жаргона: при к2 = га2 говорят, что к находится на
массовой поверхности. Заметьте, однако, что в (3) мы интегрировали по всем к,
включая fc, удаленные от массовой оболочки. Для произвольного к удобно
говорить о «виртуальной частице» с импульсом к, распространяющейся от
источника к стоку.
От частицы к силе
Продолжим исследовать другие возможности для J(x) (которые мы
обобщенно будем называть источниками), например, J(x) = J\(x) + J2(x),
где Ja(x) = 5^(х — ха). Иначе говоря, J(x) есть сумма источников, яв-
32
Глава 1.4
ляющихся стационарными бесконечно острыми пиками, расположенными
в f 1 и f 2 в пространстве. (Если вам нужна большая математическая
точность, чем предлагается здесь, замените дельта-функцию функциями с
пиками в ха. Правда, этим вы лишь загромоздите формулы, не добившись
ничего существенного.) Образно выражаясь, мы описываем два массивных
сгустка, расположенных на матраце в^ и являющихся абсолютно
неподвижными [в J{x) нет временной зависимости].
Что квантовые флуктуации поля ср, то есть вибрации матраца, делают
с двумя массами, находящимися на матраце? Если вы считаете, что между
этим массами существует взаимное притяжение, то вы совершенно правы.
Как и прежде, W( J) содержит четыре члена. Мы пренебрежем членом
«самодействия» J\ J\, так как он присутствовал бы в W вне зависимости
от присутствия J2. Нас интересует взаимодействие между двумя
«массивными сгустками», представленными посредством 3\ и 3^. Аналогично мы
пренебрегаем членом J^ J2.
Подставляя в (1) и вычисляя интеграл по d3x и d3y, мы немедленно
получаем
(Множитель 2 обусловлен двумя членами J2J1 и J\ J2) Интегрируя по т/°,
получаем дельта-функцию, которая обнуляет А:0 (так что, если говорить на
жаргонном языке, к определенно не находится на массовой поверхности).
Итак, мы остаемся с
\J J J (27Г)3 jfe2+m2 >
Обратите внимание, что бесконечно малое ге можно опустить, поскольку
знаменатель к2 + т2 всегда положителен.
Множитель (f dx°) может вселить в нас ужас и тревогу: интеграл по
времени кажется бесконечным. Не бойтесь! Вспомним, что в формализме
интеграла по траекториям Z = CelW^ представляет собой (0|е-гЯТ|0) =
_ е-гЕТ^ Где jg _ энерГИЯ? обусловленная двумя источниками,
воздействующими друг на друга. Множитель (f dx°) дает в точности временной
интервал Т. Все в порядке. Подставляя iW = —гЕТ, из (5) получаем
Е= [ d4 е*(*.-д3) ()
J (27Г)3 £2+то2 • ^ >
ОТ ПОЛЯ К ЧАСТИЦЕ И К СИЛЕ
33
Эта энергия отрицательна! Наличие двух дельта-функциональных
источников в х 1 и f 2 уменьшило энергию. Иными словами, два источника
притягивают друг друга в силу их взаимодействия с полем <р. Мы добились
первого физического результата в квантовой теории поля!
Величина Е отождествляется с потенциальной энергией между
двумя статическими источниками. Даже без вычисления интеграла видно, что
с увеличением расстояния х\ — х*2 между источниками осциллирующая
экспонента обрезает интеграл. Характерное расстояние является обратным
характерному значению к, равному га. Итак, можно ожидать, что
взаимодействие между двумя источниками быстро убывает до нуля на
расстоянии 1/т.
Радиус действия силы притяжения, порождаемой полем у>,
определяется обратной массой га частицы, описываемой полем. Это понятно?
Интеграл вычисляется в приложении к этой главе, в итоге получаем
Результат вполне ожидаемый: потенциал убывает экспоненциально на
масштабе расстояний 1/т. Очевидно, dE/dr > 0: две расположенные на
матраце массы могут уменьшить энергию, приближаясь друг к другу.
Вывод, к которому мы пришли, явился одним из наиболее
выдающихся результатов в физике двадцатого века. Юкава предположил, что
взаимодействие между нуклонами в атомном ядре обусловлено взаимодействием
с полем, подобным вышеописанному полю ip. Известный радиус действия
ядерных сил позволил ему не только предсказать существование частицы,
ассоциированной с этим полем и называемой ныне тг-мезоном1 или
пионом, но также определить ее массу. Как вам, вероятно, известно, в итоге
было установлено, что пион наделен свойствами, в значительной степени
совпадающими с предсказанными Юкавой.
Происхождение силы
Тот факт, что обмен частицей порождает силу, явился одним из
наиболее значительных концептуальных достижений в физике. Сейчас мы
ассоциируем частицу с каждой из известных нам сил: например, фотон с
электромагнитной силой, а гравитон с гравитационной силой; первое
утверждение однозначно подтверждается экспериментально, второе — пока никто не
'Этимология этого слова довольно интересна. (A. Zee, Fearful Symmetry: читайте стр. 169
и 335, чтобы узнать, наряду с другими вещами, о возражении французов и связи между
мезоном и иллюзией.)
34
Глава 1.4
подтвердил опытным путем, но вряд ли кто-то сомневается в его
истинности. Фотон и гравитон мы рассмотрим в следующей главе, но уже сейчас
мы может ответить на вопрос, который очень любят задавать
сообразительные школьники: почему гравитационная сила Ньютона и электрическая
сила Кулона подчиняются закону 1/г2.
Из (7) видно, что если масса т промежуточной частицы равна
нулю, возникающая сила будет подчиняться закону 1/г2. Прослеживая
обратно наш вывод, видим, что это следует из того факта, что плотность
лагранжиана для простейшей теории поля содержит
пространственно-временную производную д второй степени (так как любой член,
включающий одну производную, не является лоренц-инвариантным). В самом
деле, степенная зависимость потенциала следует из анализа размерностей:
1(13к(е^*/к2)~1/г.
Связанные против несвязанных
Рис. 1.4.2
В заключение сделаем несколько
формальных замечаний, которые будут важны
для нас только в главе 1.7. Во-первых,
обратите внимание, что мы могли нарисовать
небольшой рисунок (рис. 1.4.2) для
иллюстрации подынтегрального выражения J(x)D(x —
—y)J{y) в W(J): возмущение
распространяется из точки х в точку у (или наоборот). В
действительности это начало фейнмановских
диаграмм! Во-вторых, вспомним, что
Z(J) = Z(J = 0)£
[(iW(j)r]
п=0
П\
Например, член с п = 2 в Z(J)/Z(J
определяется выражением
= 0)
oi (_|) d4xid4X2d4x3d4X4D(xi-x2)><
X D(xs - X4)J(Xi)J(X2)J(Xs)J(X4).
Подынтегральное выражение графически представлено на рисунке 1.4.3.
Этот процесс называется несвязанным: распространение из х\ в х^ и из
ОТ ПОЛЯ К ЧАСТИЦЕ И К СИЛЕ
35
хз в Х4 происходит независимо. Мы вернемся к вопросу о разнице между
связанными и несвязанными диаграммами в главе 1.7.
Рис. 1.4.3
Приложение
С учетом того, что х = (х\ — й) и и = cos#, где 0 — угол между к и х,
вычисляем интеграл в (6) в сферических координатах (с к = \к\ и г = \х\) и получаем
ОО +1 ОО
(2n)2J J k2+m2 (27r)HrJ
***^?' (8)
Так как подынтегральное выражение четно, можно расширить область
интегрирования и записать
СО ОО
1 / dkk sinkr - Х f dkk i
2 У dkk2+m2-2iJ dkkk2 +
m
Поскольку г положительно, можно замкнуть контур в верхней полуплоскости,
чтобы включить полюс в +гт, получая тем самым (l/2i)(27ri)(im/2im)e~rnr =
= (тг/2)е-тг. Итак, / = (1/4тгг)е-тг.
Упражнение
1.4.1. Вычислите аналог закона обратных квадратов в (2 -f 1)-мерной Вселенной
и в более общем случае в (D + 1)-мерной Вселенной.
Глава 1.5
Кулон и Ньютон: отталкивание
и притяжение
Почему одноименные заряды отталкиваются
Мы предположили, что квантовая теория поля дает естественное
объяснение как гравитационной силе Ньютона, так и электрической силе
Кулона. Между подобными объектами ньютоновская сила является
притягивающей, а кулоновская — отталкивающей. Является ли квантовая теория поля
«достаточно умной», чтобы объяснить этот наблюдаемый факт — один из
основополагающих в нашем понимании физической Вселенной? Делайте
ставки!
Вначале мы рассмотрим квантовую теорию электромагнитного поля,
известную как квантовая электродинамика, или сокращенно КЭД. Чтобы на
этом этапе избежать сложностей, связанных с калибровочной
инвариантностью (подробнее о ней позже), рассмотрим теорию массивного мезона со
спином 1, или векторного мезона. В конце концов, все, что нам известно
экспериментально, — это верхняя граница массы фотона, которая, хотя и
маленькая, не является нулем с математической точки зрения. Можно встать
на прагматическую позицию: проводить вычисления с массой фотона га,
в конце положить га = О и, если результат окажется разумным, считать,
что все ОК1.
Вспомним максвелловский лагранжиан для электромагнетизма С =
= —jF^F^, где F^ = д^Ау — dvA^ с векторным потенциалом А^(х).
Причину появления важного общего знака «минус» в лагранжиане
можно понять, если посмотреть на коэффициент при (доАг)2, который должен
быть положительным, как и коэффициент при (доср)2 в лагранжиане для
скалярного поля. Это просто означает, что вариация по времени приводит
к положительному изменению действия.
'Когда, будучи студентом, я слушал курс квантовой теории поля Сиднея Коулмена, он
трактовал КЭД именно таким образом, чтобы избегать обсуждения калибровочной
инвариантности.
Кулон и Ньютон: отталкивание и притяжение
37
Сейчас наделим фотон небольшой массой, изменив лагранжиан на С =
= —jF^F^ + ^т2А^А^ + A^J^. (Массовый член мы записали по
аналогии с массовым членом т2(р2 в лагранжиане скалярного поля;
впоследствии станет очевидным, что это на самом деле масса фотона.) Я также
добавил источник 7д(х), который в этом случае более известен как ток.
Будем предполагать, что ток сохраняется, то есть д^ JM = 0.
Итак, вы знаете, что теория поля нашего векторного мезона
определяется интегралом по траекториям Z = f DAetS^ = elW^ с действием
S(A) = fd4xC= J d*x{A»[(d2 + т2)д^ - d»d»]Av + А^У (1)
Ко второму равенству приходим путем интегрирования по частям [сравните
с (1.3.15)].
Надо просто применить уравнение (1.3.16). Для этого всего лишь
нужно обратить дифференциальный оператор в квадратных скобках; другими
словами, необходимо решить уравнение
[(д2 + т2)9^ - 0"0"] Д,А(ж) = 8№*Цх). (2)
Как и раньше [сравните с (1.3.17)], переходим в импульсное пространство,
определяя
D„x(x) = J-^jD„x(k)eik*.
(2тг)4
Подставим последнее выражение в (2) и получим [—(к2 — rnl)giiv +
+ k^kv\Dv\(k) = 5%, в итоге найдем
Д,д(*) = -*A + W™». (3)
к — т
Это и есть пропагатор фотона или, точнее, массивного векторного мезона.
Таким образом,
WW = "I 1тГЪ^Г~9£*к£1т2Г(к). (4)
^ J (27г)4 кг - 77Г + ге
Так как закон сохранения тока d^J^(x) = 0, сформулированный для
импульсного пространства, имеет вид ktlJfJ'(k) = 0, мы можем опустить
38
Глава 1.5
член k^kv в фотонном пропагаторе. Эффективное действие при этом
упрощается до
w{j)'\l^j4k)"^^uk)- <5)
Никаких вычислений больше не требуется для получения
фундаментального результата. Просто сравним его с (1.4.2). Теория поля привела к
дополнительному знаку «минус». Потенциальная энергия между двумя сгустками
с плотностью заряда 3°(х) положительна. Электромагнитная сила между
одноименными зарядами является отталкивающей.
В силу закону сохранения тока мы можем теперь спокойно положить
массу фотона га равной 0. [Обратите внимание, что мы не могли этого
сделать в (3).] В самом деле, обратившись к (1.4.7) мы видим, что
потенциальная энергия между одноименными зарядами равна
£=-^-e-mr->-^-. (6)
47ГГ 47ГГ
Чтобы включить положительные и отрицательные заряды, можно
просто записать 3£ — 3%. Мы видим, что сгусток с плотностью заряда 3®
притягивается к сгустку с плотностью заряда 3®.
Идем в обход Максвелла
Покончив с электромагнетизмом за две минуты, перейду теперь к
гравитации. Обратимся к массивному мезонному полю со спином 2. При
анализе массивного мезонного поля со спином 1 я двигался кратчайшим путем.
Предположил, что вы знакомы с максвелловским лагранжианом, просто
добавил к нему массовый член и начал вычисления. Однако я сомневаюсь, что
вы столь же хорошо знакомы с соответствующим лагранжианом для
массивного поля со спином 2. (Так называемый линеаризованный
эйнштейновский лагранжиан, речь о котором пойдет в следующей главе.) Поэтому
сейчас я прибегну к другой стратегии.
Давайте, рассуждая физически, вместе получим пропагатор
массивного поля со спином 2. Для начала рассмотрим массивное поле со спином 1.
Фактически мы начнем с нечто еще более простого: с пропагатора
D{k) = 1/{к2 — га2) массивного поля со спином 0. Он соответствует
ситуации, когда амплитуда распространения возмущения со спином 0
устремляется к бесконечности, когда возмущение — почти реальная частица. Вычет
Кулон и Ньютон: отталкивание и притяжение
39
в полюсе определяется свойствами частицы. Пропагатор для поля со
спином 1 Dv\ имеет пару лоренцевых индексов, и мы действительно можем
получить его форму из выражения (3):
где для дальнейшего удобства введено обозначение
GvX(k) = gvX - ^. (8)
Теперь попробуем объяснить физику, скрывающуюся за Gv\. Я
надеюсь, вы помните понятие поляризации из курса электромагнетизма.
Массивная частица со спином 1 имеет три степени поляризации по той
простой причине, что в собственной системе покоя вектор ее спина может
быть направлен по трем разным направлениям. Эти три вектора поляри-
(о)
зации £д являются просто тремя единичными векторами, направленными
вдоль осей х, у и z соответственно, (а = 1,2,3): е^ = (0,1,0,0), е^' =
= (0,0,1,0), £д = (0,0,0,1). В системе покоя /сд = (га, 0,0,0), и поэтому
fc^a) = 0. (9)
Поскольку мы пришли к лоренц-инвариантному уравнению, оно также
верно для движущейся частицы со спином 1. Действительно, вместе с
подходящим условием нормировки оно фиксирует три вектора поляризации е)? (к)
для частицы с импульсом к.
Амплитуда рождения источником частицы с импульсом к и
поляризацией а пропорциональна е^ {к)9 а амплитуда поглощения ее в стоке
пропорциональна Еу\к). Чтобы получить амплитуду распространения
частицы от источника до стока, необходимо перемножить эти амплитуды и затем
просуммировать по трем возможным поляризациям. Становится понятным
смысл вычета в полюсе пропагатора частицы со спином 1 Dv\\ он
представляет собой ^2ви \к)е£ (к). Чтобы вычислить эту величину, заметим,
а
что в силу лоренц-инвариантности она может выражаться лишь линейной
комбинацией ди\ и к„к\. Условие к^е^ = 0 фиксирует эту комбинацию
как gv\ — кик\/т2. Вычислив левую часть выражения для к, находящегося
в состоянии покоя, при, скажем, v = А = 1, мы придем к общему знаку —1,
40
Глава 1.5
который имеет принципиальное значение. Таким образом:
£4a>(fc)4a)(fc) = -GvX(k) = - La - Ц±\ (10)
a ^ '
Итак, мы построили пропагатор частицы со спином 1, двигаясь в обход
Максвелла. А теперь перейдем к спину 2! Попробуем аналогичным образом
пойти в обход Эйнштейна.
Идем в обход Эйнштейна
Массивная частица со спином 2 имеет 5 (2 • 2 + 1 = 5, помните?) сте-
(а)
пеней поляризации, характеризуемых пятью тензорами поляризации е^
(а = 1,2, ..., 5), симметричными относительно индексов \х и v и
удовлетворяющими
*"£# = 0, (11)
а также условию нулевого следа
дГе™ = о. (12)
Проверим выполнимость условий. Симметричный лоренцевский тензор
имеет 4 • 5/2 = 10 компонент. Четыре условия (11) и одно условие (12)
сокращают число компонент до 10 — 4 — 1 = 5, а нам только этого и
надо. (И еще немного жаргона: помните ли вы, как построить неприводимое
представление группы? Если нет, читайте приложение В.) Мы фиксируем
нормировку еД|/, полагая, что положительная величина ^£12 \к)е£ (к) =
а
= 1.
Итак, по аналогии со случаем частицы спина 1, определим
Yle$(k)£\a(fy- Для этого необходимо выразить этот объект через д^
а
и fcM, или, что эквивалентно, через G^ и fcM. Объект должен
представлять собой линейную комбинацию G^vG\a, G^kxka, и т. д. Используя (11)
и (12) (упр. 1.5.1), вы легко придете к выражению
E^W^W = (G„xG„a + G^Gvx) - |G^GAff. (13)
a
Общий знак и коэффициент пропорциональности определяются из
вычисления обеих частей данного равенства при, например, ц = \ = 1и1; = сг =
= 2.
Кулон и Ньютон: отталкивание и притяжение
41
Таким образом, мы нашли пропагатор массивной частицы со спином 2
(G^xGjsa + GnaGvx) — -^G^Gxcr
D^Mk) = ^3^2 • (И)
Почему мы падаем?
Мы уже в состоянии объяснить одну из фундаментальных тайн
Вселенной: почему массы притягиваются.
Вспомним из курсов электродинамики и специальной теории
относительности, что плотность энергии или массы является частью тензора
энергии импульса ТД1/. Для наших целей вам фактически нужно помнить лишь
то, что это симметричный тензор и что его компонента Т00 является
плотностью энергии.
Для взаимодействия с тензором энергии импульса необходимо
тензорное поле (^М1/, симметричное по своим индексам. Другими словами,
лагранжиан Вселенной должен содержать член вида (р^Т^. Фактически
это и означает, что гравитон — частица, ответственная за гравитацию, —
имеет спин 2, точно так же, как фотон — частица, ответственная за
электромагнетизм и взаимодействующая с током JM, — имеет спин 1. В теории
Эйнштейна, которую мы будем обсуждать позднее, <рД1/ является, конечно
же, частью метрического тензора.
Подобно тому как мы наделяли фотон маленькой массой для того,
чтобы избежать обсуждения калибровочной инвариантности, мы
предположим, что гравитон имеет малую массу, уклоняясь тем самым от
обсуждения общей координатной инвариантности2. Ага, мы только что получили
пропагатор массивной частицы со спином 2. Посмотрим, как он работает.
По аналогии с выражением (4)
* J (27г)4 кг - mz + ге
описывающим взаимодействие двух электромагнитных токов,
взаимодействие между двумя сгустками энергии импульса описывается формулой
л Г Ml. {GiiX+G^fjGvx) — -zG^Gxa
W^ = ~\ \ WVJ^^ Г2 2—^ TAa(fc)- (16)
^ J (27г)4 кг - тпг + ге
2 В настоящий момент я прошу вас пренебречь нюансами и просто предположить, что
для осмысления гравитации стоит положить m —► 0. Подробнее я остановлюсь на теории
гравитации Эйнштейна в главе VIII. 1.
42
Глава 1.5
Закон сохранения энергии-импульса dfJ,Tflly(x) = О и, следовательно,
к^Т^(к) = О позволяет заменить GM„ в (16) на д^.
Наступает момент истины. Взглянем на взаимодействие двух сгустков
плотности энергии Г00. Из (16) следует
1 + 1 — -
W{T) = -\f j£k-4T™(k)*-2 ^-T™(k). (17)
* J (27Г)4 к2 - Шг + 18
Сравнивая с (5) и учитывая хорошо известный факт, что 1 + 1 — 2/3 > О,
мы видим, что в то время как одноименные заряды отталкиваются, массы
притягиваются. Аплодисменты, пожалуйста!
Вселенная
Трудно переоценить важность (не говоря о красоте) того, что мы
только что узнали: обмен частицей со спином 0 порождает притягивающую
силу, со спином 1 — отталкивающую силу, а со спином 2 —
притягивающую силу. Упомянутые силы реализуются в сильном взаимодействии
адронов, электромагнитном взаимодействии и гравитационном
взаимодействии соответственно. Универсальное гравитационное притяжение
порождает нестабильности, приводящие к образованию структур в ранней
Вселенной3. Плотные области становятся еще плотнее. Притягивающая
ядерная сила, обусловленная частицей со спином 0, в конечном итоге зажигает
звезды. Более того, притягивающая сила между протонами и нейтронами,
порождаемая обменом частицей со спином 0, способна преодолеть
отталкивающую электрическую силу между протонами, порождаемую обменом
частицей со спином 1, что приводит к образованию огромного
разнообразия ядер, без которого мир определенно был бы довольно скучным.
Отталкивание между одноименными и, следовательно, притяжение
между противоположными зарядами, вызываемое частицей со спином 1,
приводит к образованию электрически нейтральных атомов.
Наш мир является результатом хрупкого равновесия между спинами О,
1 и 2.
В нашем кратком обзоре Вселенной мы не упомянули слабое
взаимодействие. В действительности слабое взаимодействие играет решающую
роль в поддержании постоянной скорости горения звезд, подобных нашему
Солнцу.
30 гравитационной неустойчивости и образовании структур во Вселенной читайте в книге
A. Zee Einstein's Universe (ранее известной под названием An Old Man's Toy).
Кулон и Ньютон: отталкивание и притяжение
43
Степени свободы
Пора немножко остыть: с логической и математической точек зрения
физика частицы с массой тп ^ 0 может отличаться от физики частицы
с массой га = 0. В самом деле, как известно из классической
электродинамики, электромагнитная волна имеет 2 поляризации, то есть 2 степени
свободы. Для массивной частицы со спином 1 мы можем перейти в ее
собственную систему покоя, после чего группа вращений даст нам 2 • 1 + 1 =
= 3 степени свободы. Ключевым с точки зрения физики здесь является то,
что безмассовый фотон нельзя привести в его собственную систему покоя.
Математически группа вращений 50(3) вырождается в группу вращений
50(2), т. е. группу двумерных вращений вокруг направления импульса
фотона.
В главе П.7 мы увидим, что в пределе нулевой массы продольная
степень свободы массивного мезона со спином 1 отщепляется. Поэтому
рассмотренное здесь взаимодействие между зарядами (6) следует признать
корректным. Однако в главе VIII. 1 вы узнаете, что в случае с гравитацией
о
коэффициент - в (17) заменяется на 1 в эйнштейновской теории. К счастью,
знак взаимодействия в (17) не меняется. Приглушите немного
аплодисменты.
Приложение
Давайте представим, что мы никогда не слышали о лагранжиане Максвелла.
Нам надо написать релятивистский лагранжиан для массивного мезонного поля со
спином 1. Общими усилиями мы придем к теории Максвелла. Спин 1 означает,
что поле преобразуется как вектор под действием трехмерной группы вращений.
Простейшим лоренцевским объектом, содержащим трехмерный вектор, является,
очевидно, четырехмерный вектор. Поэтому начнем с векторного поля А^(х).
То, что векторное поле имеет массу га, означает, что оно удовлетворяет
полевому уравнению
(<92+га2)Лм = 0. (18)
Частица со спином 1 имеет три степени свободы [ на научном языке:
представление j группы вращений имеет размерность (2j +1); здесь j = 1]. С другой стороны,
поле Ац(х) содержит 4 компоненты. Таким образом, необходимо наложить условие,
которое сократило бы число степеней свободы с 4 до 3. Единственной лоренц-кова-
риантной возможностью (линейной по А^) является условие
дрА* = 0. (19)
Полезно проанализировать выражения (18) и (19), которые для импульсного
пространства имеют вид (к2 — m2)Atx(k) = 0 и kflAfl(k) = 0. Первое уравнение
44
Глава 1.5
говорит о том, что к2 = га2, а из второго следует, что при переходе в собственную
систему покоя, где /см = (га, б), А0 сводится к 0, при этом остаются три ненулевые
компоненты Аг с г = 1,2,3.
Обратите особое внимание на то, что (18) и (19) можно объединить в одно
уравнение
(д^д2 - д»ди)А„ + т2А» = 0. (20)
Проверим, что (20) содержит как (18), так и (19). Подействуем с помощью д^
на (20). Получим т2д^А^ = 0, что предполагает д^А^ = 0. (На этом этапе
критично, что га ф 0, то есть мы не рассматриваем фотон с массой, строго равной 0.)
Таким образом, получаем (19); используя (19) в (20), мы приходим к (18).
Теперь можно построить лагранжиан, умножая левую часть (20) на ^ Ац (где -=
есть результат соглашения, а общий знак «+» обусловлен физикой, а именно
условием положительности кинетической энергии); то есть
С = \А»[(д2 + m V " дтди]Аи. (21)
Интегрируя по частям, приходим к версии лагранжиана Максвелла с ненулевой
массой. В пределе га —> 0 получаем вариант Максвелла.
Несколько слов о терминологии. Некоторые настаивают на том, чтобы
называть полем только F^,,, a Ay, — потенциалом. Но в соответствии с общепринятым
обозначением мы не будем делать этих тонких различий. Для нас любая
динамическая функция в пространстве-времени является полем.
Упражнения
1.5.1. Исползуя свойства симметрии, запишите наиболее общую форму для
Х2 £%Л^)£\а (*0- Например, она должна быть инвариантна относительно пе-
а
рестановки {fiv <-> Лег}. Вы должны получить нечто типа
AG^uGxa + B(G^Gua + G^aGux) + C{Gnuk\ka + kpkvGxo)*
+ D{k^k\Gua + k^kaGuX + kukaG^x -f kukxG^a) 4- Ekpkvk\k* (22)
с неизвестными А, ..., E. Примените fcM ^2 s^Js\^ = 0 и выясните, что это
а
условие означает для констант. Действуя таким образом, получите (13).
Глава 1.6
Закон обратных квадратов и плавающая
3-брана
Почему обратный квадрат?
При первом знакомстве с физикой не задавались ли вы вопросом,
почему сила действует по закону обратных квадратов, а, скажем, не по закону
обратных кубов? Сейчас у вас есть исчерпывающий ответ. Когда две
частицы обмениваются безмассовой частицей, потенциальная энергия между
ними равна
V(r)(x [d3keij**±<x±. (1)
J К
Спин обмениваемой частицы определяет общий знак, но 1/г, как я
отмечал ранее, следует из анализа размерностей. На самом деле V(r) —
преобразование Фурье пропагатора. Член к2 в пропагаторе обусловлен членом
(di<P'di(f) в выражении для действия, где ip обозначает поле,
ассоциированное с обмениваемой безмассовой частицой, а форма (дг<р • дцр) объясняется
инвариантностью относительно вращений. Поэтому в (1) не может
фигурировать ни к, ни к3; к2 есть простейшая возможность. То есть можно
сказать, что закон обратных квадратов в некотором смысле проистекает из
инвариантности относительно врашений!
С физической точки зрения закон обратных квадратов восходит к
модели потока Фарадея. Рассмотрим сферу радиуса г, окружающую заряд.
Электрический поток на единицу площади, протекающий сквозь сферу,
изменяется по закону 1/47гг2. Этот геометрический факт отражается
множителем d3k в (1).
Мир бран
Удивительно, но тех минимальных знаний по квантовой теории поля,
которые я вам успел преподать, достаточно, чтобы вывести вас на
передовой край современных исследований, современных, разумеется, на момент
46
Глава 1.6
написания книги. В теории струн наш (3 +1)-мерный мир может быть
вложен в большую Вселенную, подобно тому как (2 + 1)-мерный лист бумаги
вкладывается в наш привычный (3 + 1)-мерный мир. Считается, что мы
живем на 3-бране.
Предположим, существуют п дополнительных измерений с
координатами ж4, ж5, ..., жп+3. Пусть характеристическими масштабами,
ассоциированными с дополнительными координатами, будет R. Я не могу
вдаваться в подробности, касающиеся различных сценариев, описывающих суть R.
Я также не могу объяснить, почему мы привязаны к 3-бране. Однако
могу сказать, что гравитация по своей сути связана со структурой
пространства-времени и поэтому пронизывает всю (п + 3 + 1)-мерную Вселенную.
Хорошо, какому же закону подчиняется гравитационная сила между
двумя частицами? Конечно не закону гравитации, известному еще вашим
дедам: используя преобразование Фурье
V(r) ос [ds+nkeij**±- ос -±-, (2)
W J к2 г1+"'
мы получаем закон 1/г1+п.
Не противоречит ли он наблюдениям?
На самом деле нет, поскольку закон Ньютона остается справедливым
для г ^$> R. В этом пределе дополнительные координаты эффективно зану-
ляются, по сравнению с рассматриваемым нами характеристическим
масштабом длины г. Поток не может распространиться далеко в направлении п
дополнительных координат. Представьте себе поток, вынужденно
распространяющийся лишь по трем известным нам направлениям подобно тому,
как электромагнитное поле в волноводе вынуждено распространяться
только вдоль трубы. Мы эффективно возвращаемся в (3 + 1)-мерное
пространство-время, a V(r) возвращается к зависимости 1/г.
Новый закон гравитации (2) справедлив только в противоположном
пределе г <С R. Эвристически, когда R много больше расстояния между
двумя частицами, поток не знает о том, что дополнительные координаты
конечны, и считает, что он живет в (п + 3 + 1)-мерной Вселенной.
В силу слабости гравитации, закон Ньютона не был проверен с
достаточной точностью на лабораторных масштабах расстояний, поэтому
теоретикам есть чем спекулировать: R легко может существенно превышать
масштаб элементарных частиц, но все же быть много меньше
масштаба явлений повседневной жизни. Невероятно, но Вселенная может иметь
«большие дополнительные измерения»! (Слово «большие» означает
большие в масштабах физики элементарных частиц.)
Закон обратных квадратов и плавающая 3-брана 47
Масса Планка
Обратимся к расчетам и определим массу Планка М?\, записав закон
Ньютона в более удобной форме v(r)=GNTrnim2(l/r)=(mim2/Mpl)(l/r).
Численно Mpi ~ 1019 ГэВ. Очевидно, что такое огромное значение
отражает слабость гравитации.
В фундаментальных единицах, в которых h и с берутся равными
единице, гравитация определяет собственный масштаб массы или энергии,
который много больше любого экспериментально исследованного
масштаба. Действительно, одна из фундаментальных загадок современной физики
элементарных частиц как раз и заключается в том, почему этот массовый
масштаб столь велик, по сравнению со всеми остальными известными нам
масштабами. Когда придет время, я вернусь к этой так называемой
проблеме иерархии. А сейчас зададимся вопросом, может ли эта новая модель
гравитации — новая на рубеже последнего столетия — облегчить
решение проблемы иерархии за счет уменьшения собственного гравитационного
массового масштаба?
Пусть Мр1(п+3+1) обозначает характеристический масштаб массы для
гравитации в (п + 3 4-1)-мерной Вселенной, так что гравитационный
потенциал между двумя объектами с массами т\ и Ш2, находящимися на
расстоянии г <С R друг от друга, равен
V(r) = mim2 г
[AfpKn+a+i)]2^^»'
Заметим, что зависимость от MPi(n+3+i) непосредственно следует из
анализа размерностей: две степени нужны, чтобы сократить m\rri2, и п
степеней — чтобы согласовать с п дополнительными степенями 1/г. Для случая
г > R, как уже говорилось ранее, геометрическая протяженность
гравитационного потока ограничивается значением R так, что потенциал
становится равным
mim2 1 1
V(r) =
[Мр1(п+з+1)]2+"Д*г-
Сравнивая с экспериментально наблюдаемым законом V (r)=(m\rri2 / М$\) >
х(1/г), получаем
2 М?\
iWPl(n+3+l) ~ \M ч pin*
№l(n+3+l)rt
48
Глава 1.6
Если величина MPi(n_|_3+i) R может быть достаточно большой, то
появляется интригующая возможность того, что фундаментальный масштаб
гравитации Мр1(п+3+1) много меньше, чем мы всегда думали.
Таким образом, величина R ограничена, с одной стороны, нашим
желанием уменьшить фундаментальный гравитационный масштаб и, с другой
стороны, результатами экспериментов.
Упражнения
1.6.1. Подставив числа, покажите, что случай п = 1 уже исключен. Для справки
см. S.Nussinov and R.Schrock, Phys. Rev. D59: 105002, 1999.
Глава 1.7
Диаграммы Фейнмана
Фейнман принес квантовую теорию поля
в массы.
Ю. Швингер
Ангармоничность в теории поля
Для теории свободного поля, которую мы рассматривали в
последних главах, найти решение легко, поскольку определяющий интеграл по
траекториям (1.3.14) является гауссовым, так что можно просто применить
(1.2.15). (Это соответствует решению задачи о гармоническом осцилляторе
в квантовой механике.) Как говорилось в главе 1.3, в рамках гармонического
приближения колебательные моды на матраце можно линейно складывать,
и таким образом они просто проходят друг сквозь друга. Частицы,
представленные волновыми пакетами, составленными из этих мод, не
взаимодействуют1 : отсюда и название «теория свободного поля». Для того чтобы
моды начали рассеиваться друг на друге, мы должны включить в
лагранжиан ангармонические члены так, чтобы уравнения движения перестали быть
линейными. Для простоты добавим к нашей свободной теории только один
ангармонический член — j^ip4 и с учетом (1.3.11) попробуем вычислить
ад = /^/л{^(ад2-го2^-^4Ч. (1)
(Мы опустили зависимость Z от Л.)
Решать квантовую теорию поля совсем нетрудно, скажете вы, для этого
надо всего лишь вычислить функциональный интеграл (1). Но интеграл-то
не из легких! Если бы вы смогли его вычислить, это была бы сенсация.
'Потенциальный источник путаницы. Вследствие распространения у?, источники,
связанные с <р, как мы видели в главе 1.4, взаимодействуют, но частицы, ассоциированные с полем <^>,
не взаимодействуют друг с другом. Такая ситуация аналогична утверждению, что заряженные
частицы, связанные с фотоном, взаимодействуют, но фотоны (в главном приближении) не
взаимодействуют друг с другом.
50
Глава 1.7
Диаграммы Фейнмана облегчают задачу
Будучи студентом, я слышал об этих таинственных маленьких
картинках, называемых диаграммами Фейнмана, и очень хотел о них узнать. Я
уверен, что и вы интересуетесь этими забавными диаграммами. Итак, я
покажу вам, что в диаграммах Фейнмана нет ничего такого: на самом деле мы
уже рисовали маленькие пространственно-временные картинки в главах 1.3
и 1.4), демонстрирующие, как частицы появляются, распространяются и
исчезают.
Для того, кто впервые изучает квантовую теорию поля, диаграммы
Фейнмана кажутся несколько сложными. Для их вывода в стандартных
учебниках используется канонический формализм (который я введу в
следующей главе), вместо формализма интеграла по траекториям,
используемого здесь. Впоследствии мы увидим, что в каноническом формализме
поля являются квантовыми операторами. Для вывода диаграмм Фейнмана
мы должны были бы решить уравнения движения для полевых операторов
с применением теории возмущений относительно Л. Для этого требуется
развить довольно сложную технику.
По мнению тех, кто предпочитает формализм интеграла по
траекториям, построение диаграмм в нем значительно проще (и это естественно!).
Тем не менее вывод диаграмм может быть довольно сложным, и студент
легко может потерять нить. Так или иначе, придется потрудиться.
Я постараюсь максимально облегчить вам задачу, применив один
замечательный педагогический прием, состоящий в том, чтобы дать вам
возможность самим открыть диаграммы Фейнмана. Буду придерживаться
следующей стратегии: дам вам решить две задачи на возрастающую
сложность, которые я называю задачей для младенца и задачей для ребенка
соответственно. После того как вы их одолеете, вычисление (1) покажется
вам намного проще.
Задача для младенца
Задача для младенца состоит в вычислении обычного интеграла
Z(J)= [ dqe-*m2q2-uq4+J9, (2)
— ОО
который, очевидно, является более простой версией (1).
Диаграммы Фейнмана
51
Сначала сделаю тривиальное замечание: мы всегда можем заменить
q —> q/m так, чтобы Z = т~1Т[ -^т, щ), но делать этого не будем.
Для Л = 0 получаем всего лишь один из гауссовых интегралов,
описываемых в приложении к главе 1.2. Вы скажете, что Z{ J) достаточно просто
вычислить как ряд по Л: разложив
+оо
—оо *-
и почленно проинтегрировав. Вы, возможно, даже знаете один из несколь
+00 _Im202,j
ких приемов вычисления f dqe 2 q4n: можно записать интеграл
/ j \ +°°
в виде (-J7 ) / dqe 2"" ч ' "* и применить (1.2.11). Итак:
Z(J) =
+оо
' — оо
ч 1/2 _\.(_d-Y _L_
2?L] е A\\dj) с2т-
(:*)
(■I)
(Есть и другие способы, например, многократное дифференцирование
+00 _Im202,j
J dqe 2 по m2, но я хочу использовать трюк, который также ра
—оо
ботает и в теории поля.) Разложим обе экспоненты и получим любой член
двойного степенного разложения Z(J) по Л и J. [Часто общий множитель
(27Г/Ш2)1/2 = Z(J = О, А = 0) = Z(0,0) опускается, поскольку он
одинаков для всех членов ряда. Когда нам захочется точности, мы определим
Z = Z(J)/Z(0,0).]
Предположим, например, что нам нужен член в Z порядка Л и ,1Л.
Выделим член порядка J8 в eJ /2m , то есть [1/4!(2га2)4] J8, заменим
e-{X/4\)(d/dJ) на —(\/4\)(d/dJ)4 и продифференцируем, чтобы
получить [8(—А)/(4!)3(2га2)4] J4. Другой пример: член порядка Л2 и J6 равен
52
Глава 1.7
i(A/4!)2(d/dJ)8[l/7!(2m2)7]J14 - [14!(-A)2/(4!)26!7!2(2m2)7]J6. Третий
пример: член порядка л2 и J4 имеет вид [12!(—A)2/(4!)32(6!)(2m2)6]J4.
И наконец, для члена порядка А и J0 получаем [1/2(2гп2)2](—А).
о
(Ь)
Рис. 1.7.1
(с)
Вы можете делать это не хуже меня! Получите еще несколько
членов ряда, и вы быстро поймете их структуру. Со временем вы узнаете, что
можно отождествлять члены ряда с диаграммами и формулировать для них
правила. Рассмотренные нами четыре примера приводятся в соответствие
диаграммам, изображенным на рисунках 1.7.1-1.7.4. Можно видеть, что по
некоторой причине, которую вы потом поймете, каждый член
сопоставляется с несколькими диаграммами. В качестве упражнения постарайтесь
точно сформулировать соответствующие правила, чтобы получить
правильные численные коэффициенты (но поверьте мне, «будущее демократии»
от них не зависит.) Правила должны звучать примерно так: (1)
диаграммы строятся из линий и вершин, в которых встречаются четыре линии;
(2) каждой вершине соответствует множитель (—А); (3) каждой линии
соответствует 1/га2; и (4) каждому внешнему концу соответствует J
(например, рис. 1.7.2 имеет семь линий, две вершины и шесть внешних концов,
что дает ~ [(—A)2/(m2)7] J6). (Вы заметили, что удвоенное число линий
равно числу вершин, помноженному на 4, плюс число внешних концов?
Соотношения подобного рода встретятся нам в главе III.2.)
По очевидным причинам некоторые диаграммы (например, рис. 1.7.1а,
1.7.2а) называются древесными2, а другие (например, рис. 1.7.lb и 1.7.3а) —
петлевыми.
2Китайский иероглиф, обозначающий дерево (A. Zee, Swallowing Clouds), показан на
рис. 1.7.5. В качестве упражнения подумайте, почему эта диаграмма не появляется в
разложении Z(J).
Диаграммы Фейнмана
53
Р
b
(е)
О)
Ю
а
ю
(Ь)
(с)
(d)
а
(о
DO
(к)
(i)
Рис. 1.7.2
Рассмотрите столько примеров, сколь вам нужно, чтобы добиться
должного понимания происходящего, так как мы будем делать в
точности то же самое в квантовой теории поля. Там это будет выглядеть более
запутанным, но лишь на первый взгляд. Прежде чем двигаться дальше,
удостоверьтесь, что вы понимаете, как использовать диаграммы для
представления двойного степенного разложения Z(J). Из своей преподавательской
практики я знаю, что у студентов, основательно не разобравшихся с
разложением Z( J), нет шансов понять то, что мы собираемся делать в контексте
теории поля.
Виковская свертка
Совершенно очевидно, что Z(J) можно при желании разложить в ряд
по степеням J, а не А. Далее вы увидите, что специалисты в области фи-
54
Глава 1.7
(е)
(i)
d
ю
(b)
(с)
(f)
bo
Рис. 1.7.3
Р
b
м
88
(g)
(ь)
зики элементарных частиц предпочитают классификацию по степеням J.
В рамках нашей задачи для младенца можно записать
00 -, +Г° 1 2 2 А 4 °° ,
s=0 ' ^ s=0
(5)
Коэффициент G^s\ аналоги которого в квантовой теории поля называются
функциями Грина, можно вычислить как ряд по Л, каждый член
которого определяется виковской сверткой (1.2.10). Например, член О(Л) в G^
имеет вид
+оо
Л f , -^mV s -7!!Л
4!Z(0
)о) I ^
»«2Л2
2т 9 ?8
4!т8
Диаграммы Фейнмана
55
и который, конечно, равен3 значению, полученному нами ранее для
члена Л J4 в Z. Таким образом, существует два способа вычисления Z\ с
разложением сначала по Л или по J.
Рис. 1.7.4 Рис. 1.7.5
Связанные против несвязанных
Вы, должно быть, заметили, что некоторые диаграммы Фейнмана
являются связанными, а другие — нет. Так, диаграмма на рис. 1.7.2а связанная,
а на рис. 1.7.2Ь нет. Я предсказывал это в конце главы 1.4 и на рис. 1.4.2
и 1.4.3. Запишем
сю
Z(J, А) = Z(J = 0, \)ew^» = Z(J = 0, А) £ -L [W(J, A)]N. (6)
7V=0
По определению, Z(J = О, Л) состоит из диаграмм без внешнего
источника J, таких как диаграмма на рис. 1.7.4. Мы утверждаем, что W
является суммой связанных диаграмм, тогда как Z содержит как связанные, так
и несвязанные диаграммы. Таким образом, рисунок 1.7.2Ь состоит из двух
несвязанных частей и определяется членом (1/2!) [W( J, Л)] в (6);
множитель 2! указывает на то, что нам абсолютно не важно, какую из двух частей
мы помещаем «слева или справа». Аналогично рис. 1.7.2с определяется
членом (1/3!) [W( J, Л)] . Значит, необходимо вычислять W, а не Z. Если вам
хорошо преподавали статистическую механику, вы должны признать, что за
всеми этими рассуждениями о связных и несвязных графах лежит то, что
служит основой связи между свободной энергией и статистической суммой.
Распространение: отсюда туда
Все эти особенности задачи для младенца по своей структуре
совершенно аналогичны особенностям теории поля, и мы можем немедленно
3В качестве проверки законов арифметики удостоверимся, что действительно 7!!/(4!)2 =
= 8!/(4!)324.
56 Глава 1.7
обратиться к нашим рассуждениям. Однако, прежде чем переходить к
теории поля, рассмотрим так называемую задачу для ребенка, т. е. задачу на
кратные (а не обычные) интегралы:
ад = J J ... J dgi dga • • • dqNe~^Aq-^+J\ (7)
—оо — оо — оо
где q4 = ^2qf. Обобщая последовательность действий, приведших нас
г
к (3), получаем
ад =
В качестве альтернативы мы могли бы, как в (5), разложить по
степеням J
Ji«Gt.A2, (9)
затем разложить по степеням Л и вычислить виковские свертки.
Одна из особенностей задачи для ребенка, которая отсутствует в
задаче для младенца, состоит в распространении «отсюда туда». Вспомним
обсуждение пропагатора в главе 1.3. Как и в (1.3.16), мы можем
рассматривать индекс г как метку узла решетки. В самом деле, в (1.3.16) мы, по сути,
(2)
вычислили «двухточечную функцию Грина» G\j в нулевом порядке по Л
(дважды продифференцируйте (1.3.16) по J):
/z(0,0) = (A-%
(см. также приложение к главе 1.2). Матричный элемент (A~1)ij описывает
распространение из г в j. В задаче для младенца каждый член в разложении
Z(J) можно ассоциировать с несколькими диаграммами, но при наличии
распространения этого сделать нельзя.
deb A
-^tEW^)4 \j.A-
е 1 е2
(8)
ад = Еi■*. • • • ■*. / (П*'К5 *' *х • •
оо
= Z(0,0)Y,j}Ji>---
s=0
Gg>(A = 0) =
+ 00
/(n*>
-izq-Aq
QiQj
Диаграммы Фейнмана
57
Теперь вычислим «четырехточечную функцию Грина» Gijkl в первом
порядке по Л:
+оо f
А \^Л4 , п(\Ъ\
alfkl = ( П dq™ ) е 2 QAQ^QjQkqi
^2Jrf + 0(A')
Z(0,0) =
-Aj^^-^in^-^^^-^fcn^-^zn + OCA2). (10)
71
Первые три члена описывают распространение одного возбуждения из г в j,
а другого — из /с в I, плюс две возможные перестановки этой «истории».
Наличие члена, порядок которого равен А, указывает на то, что четыре
возбуждения, распространяющиеся из г в п, из j в п, из к в п и из I в п,
встречаются в п и взаимодействуют с амплитудой пропорциональной А,
где п может находиться где угодно на решетке или матраце. Между прочим,
видно, почему удобно определять взаимодействие (А/4!)</?4 с 1/4!: ^ имеет
на выбор четыре qn для свертывания, qj — три qn и так далее, что дает
множитель 4!, который сокращается с (1/4!).
Пертурбативная теория поля
Теперь вы должны быть готовы перейти к теории поля!
В самом деле, функциональный интеграл в (1) (который я здесь снова
привожу)
ад = / ^/Л^№),^^Н (и)
имеет такую же форму, что и обыкновенный интеграл в (2) и кратный
интеграл в (7). Имеется одна незначительная разница: в (2) и (7) отсутствует г,
но, как говорилось в главе 1.2, мы можем совершить над (11) виковский
поворот и избавиться от г, но делать этого не будем. Существенное
отличие состоит в том, что Jh^b(11) являются функциями от непрерывной
переменной я, в то время как J и q в (2) ни от чего не зависят, а в (7) они
зависят от дискретной переменной. Если не считать этого, все остальное
совершенно идентично.
Как в (3) и (8) имеем
Z{J) = e-^fd^[6/i5JM]4 Г D^eiSd<x{l[(dVf-m*V*}+JV} =
58
Глава 1.7
Z(0 о)е"4!Л^^^[5/^Н4е-|Я^4^^2/Лх)^(х-2/)Л2/)
Полное структурное подобие!
Роль 1/т2 в (3) и Л-1 в (8) теперь играет пропагатор
pik-(x-y)
D(x-y)= /7^* 2 2 _ •
У (27г)4 /г - тгг + ге
Кстати, если вернуться к главе 1.3, то можно увидеть, что в d-мерном
пространстве-времени выражение для D(x — у) имеет такую же форму, но
с заменой d4k/(27r)4 на ddk/(27r)d. Обыкновенный интеграл (2) подобен
теории поля в 0-мерном пространстве-времени: если положить d = 0, то
распространение будет отсутствовать и выражение для D(x — у) сведется
к виду —1/т2. Согласитесь, что все это вполне логично.
Мы также знаем, что J(x) соответствует источнику или стоку. Таким
образом, если бы мы разложили Z( J) по J, то степени J отвечали бы числу
частиц, вовлеченных в процесс. (Обратите внимание, что в используемой
системе обозначений процесс рассеяния (р+ц> —»<£+<£> рассматривается как
4-частичный процесс: мы подсчитываем общее число входящих и
выходящих частиц.) Поэтому в теории поля часто разумнее определять степень J.
Аналогично тому, как это делалось в младенческой и детской задачах,
можно начать с разложения по J:
ОО /»
Z(J) = Z(0,0)J2~\ d4xi • • • d4xsJ(xi) • • • J(xa)G{a)(xu • • •, xa) =
= ^— / dAX\ .. .d4xsJ(xi)... J(xs)x
s=0 S' J
x/V^*{^№,"-'"V]-^'}¥(x1).■■*,). (13)
В частности, имеем двухточечную функцию Грина:
С{хиъ) s ^| V^*^^'-^"^4}^)^), (14)
четырехточечную функцию Грина:
G(xllx2xsx4)^-^^)J DipeJ W "} ^ ** J x
X (p(x1)(p(x2)^(x3)ip(x4) (15)
Диаграммы Фейнмана
59
и так далее. [Иногда Z( J) называют производящим функционалом, так как
он порождает функции Грина.] Очевидно, что в силу трансляционной
инвариантности G(x\,X2) зависит лишь от х\ — Х2, а не от х\ и Х2 по
отдельности. Аналогично, G(x\, £2, #з> х±) зависит только от х\ — х±, x<i — х\
и хз — Х4. При Л = 0 выражение для G(xi, X2) сводится к виду iD(x\ — X2),
т. е. к пропагатору из главы 1.3. В то время как D{x\ — X2) описывает
распространение частицы между х\ и Х2 в отсутствие взаимодействия, пропагатор
G{x\ — Х2) отвечает за распространение частицы между х\ и Х2 в
присутствии взаимодействия. Если вы поняли, как строится G\,kl, то должны
знать, что G(xi, Х2, Х3, Х4) описывает рассеяние частиц.
В некотором смысле существует два способа построения теории поля,
которые я мог бы назвать способом Швингера (12) и способом Вика (13).
Подведем итог: с помощью диаграмм Фейнмана очень удобно
представлять члены двойного степенного разложения Z( J) по Л и J.
Как говорилось в предисловии, я не стремлюсь сделать из вас
специалистов по вычислению фейнмановских диаграмм. В любом случае это
может прийти только с опытом. К тому же, существует много прекрасных
книг, посвященных вычислению диаграмм. Я постарался дать вам
максимально ясное представление о концепции, скрывающейся за этим
выдающимся изобретением Фейнмана, которое, как довольно едко заметил Швин-
гер, позволило практически каждому стать теоретиком-полевиком. А пока
не думайте слишком много о множителях 4! и 2!.
Столкновения между частицами
Как я уже отмечал, в главе 1.4 описывается стратегия введения
источников и стоков с целью наблюдения за распространением частицы
(которую я буду называть мезоном), связанной с полем <р. Давайте введем два
источника и два стока для наблюдения за рассеянием двух мезонов друг
на друге (рис. 1.7.6). Оба источника, локализованных в областях 1 и 2,
порождают по одному мезону, и эти два мезона со временем исчезают в
стоках, локализованных в областях 3 и 4. В этом случае достаточно найти
в Z член, содержащий J(xi)J(x2) J(xs) J(x±). Но он в точности совпадает
С G(xi,X2,X3,X4).
Ограничимся вычислением в первом порядке по Л. Следуя Вику, мы
должны вычислить
^(_й)/л/^^ЧН—V]},
х ^(xi)^(x2)^(x3)^(x4)^M4. (16)
60
Глава 1.7
И
Рис. 1.7.6
Как и в (10), мы образуем виковские свертки и получаем
(-гЛ) / d4w D(x! - w)D(x2 - w)D(x3 - w)D(x4 - w). (17)
В качестве проверки получим это выражение способом Швингера.
Заменим е-(*/4!>Л / d* MS/5J(w))4 на _(г/4!)Л / d4 w(5/SJ(w))4 и
e-(i/2)ffd4d4yJ(x)D(x-y)J(y) на
J^^jjd4d4yJ{x)D{x-y)J(y)
Для сокращения записи благоразумным будет обозначать J(xa) как Ja,
J d4xa как /, a D(xa — хь) как Dab. Опуская общие численные коэффи-
а
циенты, которые я предлагаю вам вписать самостоятельно, получаем
~ ^ / ( Jj~ ) I "' I DaeDbfDCgDdhJaJbJcJdJeJfJgJh- (Щ
Четыре (S/5JW) действуют на восемь J всеми возможными способами,
порождая при этом много членов, которые я снова предлагаю вам получить
Диаграммы Фейнмана
61
самостоятельно. Связный член равен
/ I DawDbwDcwD(iwJaJbJcJd- (19)
w
Очевидно, что это выражение является результатом действия четырех
(S/SJW) на Je, Jj, Jg и Jh, при котором хе, х/, хд и Xh становятся
равными w. Сравните (19) с [8!(—A)/(4!)3(2m2)4] J4 из задачи для младенца.
Вспомним, что мы принялись за вычисления с целью породить два
мезона источниками, локализованными в областях 1 и 2, пронаблюдать
за их рассеянием друг на друге и уничтожить их в стоках,
локализованных в областях 3 и 4. Другими словами, мы задаем функцию
источника J(x) равной сумме дельта-функций, имеющих пики в точках х\,
Х2, хз и #4- Из (19) немедленно следует, что амплитуда рассеяния равна
—гЛ / D\wD2wDzwD4wi что в точности совпадает с (17).
w
Полученный результат очень легко объяснить (см. рис. 1.7.7а). Два
мезона распространяются с амплитудой D{x\ — w)D(x2 — w) из мест
рождения х\ и X2 до пространственно-временной точки w, рассеиваются с
амплитудой —гЛ и затем распространяются с амплитудой D(w — xs)D(w — £4)
до своих мест поглощения в хз и х± [заметим, что D(x) = D(—x)].
Интегрирование по w означает, что точка взаимодействия может находиться где
угодно. Все как в задаче для ребенка.
(а) (Ъ)
Рис. 1.7.7
Все действительно довольно просто, если понимать, что
происходит. Все еще путаетесь? Тогда может оказаться полезным представить
e-(i/4\)\fd w[5/sj(w)] как некую машину, действующую на
Z(J,\ = 0) = е~№) If d4xd4y J(x)D(x-y)J(y) ^
62
Глава 1.7
Будучи разложенной в ряд, Z(J,\ = 0) представляет собой несколько J,
разбросанных в пространстве-времени, а каждая пара J связана
посредством D. Вообразите пучок струн, концы которых соответствуют J. Что
делает «машина»? Машина состоит из суммы членов, например, члена
' I d4wx f d
п4
6
5J(wi)
4
5
5J(W2)
Когда этот член действует на какой-либо член в Z(J, A = 0), он хватает
четыре струнных конца и склеивает их вмести в точке W2l затем другие
четыре струнных конца и склеивает их вместе в точке w\. Затем по
положениям w\ и и>2 проводит интегрирование. Два примера показаны на рис. 1.7.8.
В эту игру можно играть даже с ребенком. Эта детская игра,
заключающаяся в склеивании четырех струнных концов, генерирует все диаграммы
Фейнмана в нашей теории скалярного поля.
Сделай это раз и навсегда
А теперь появляется Фейнман и говорит, что глупо каждый раз
повторять эту утомительную болтовню. Надо просто понять правила раз и
навсегда.
Например, для диаграммы на рис. 1.7.7а сопоставим рассеянию
множитель —гЛ, распространению из х\ в w множитель D(x\ — w) и так
далее — что с концептуальной точки зрения аналогично нашей младенческой
задаче. Смотрите, вы сами могли бы изобрести диаграммы Фейнмана. (Ну,
хорошо, может и могли бы, а может и нет.)
Точно так же, как при переходе от (1.4.1) к (1.4.2), легче работать в
импульсном пространстве. И действительно, эксперименты так и проводят.
Мезон с импульсом к\ и мезон с импульсом к2 сталкиваются и после
рассеяния разлетаются с импульсами кз и к± (см. рис. 1.7.7Ь). Каждый пропа-
гатор пространства-времени дает нам
D(xa -w) =
d4kg e±Jkg(x(l-w)
(2тг)4 к\ - m2 + is'
Обратите внимание, что мы свободны выбирать знак (либо плюс, либо
минус) фиктивной переменной интегрирования в экспоненте. После
интегрирования в (17) по w получаем
fd4we-i{kl+k*-k3-k4)w = (2tt)45(4)(A:i + к2 - к3 - к4).
Диаграммы Фейнмана
63
У л Уз
2/i 2/2
=>
(а)
Ъ
Ул Уз
,Ух У2%
=>
(Ь)
Рис. 1.7.8
Тот факт, что взаимодействие могло произойти в любой точке
пространства-времени, отражается законом сохранения импульса к\ + &2 = /сз + &4-
(Мы включили соответствующие знаки минус в два пропагатора D, с тем
чтобы рассматривать &з и к± как выходящие импульсы.)
Итак, существуют диаграммы Фейнмана как в реальном
пространстве-времени, так и импульсном пространстве.
Пространственно-временные диаграммы Фейнмана буквальным образом представляют картину того,
что происходит. (Тривиальное замечание: ориентация диаграмм Фейнмана
зависит от личного выбора человека. Кто-то рисует их так, что время
изменяется в вертикальном направлении, а кто-то — так, что в горизонтальном.)
64
Глава 1.7
Правила
Итак, мы вывели знаменитые правила Фейнмана в импульсном
пространстве для нашей теории скалярного поля, которые формулируются
следующим образом:
1. Нарисовать диаграмму Фейнмана процесса (рис. 1.7.7Ь для только
что рассмотренного процесса).
2. Обозначить каждую линию импульсом к и сопоставить с ней про-
пагатор г/[к2 — т2 + ie).
3. Сопоставить каждой вершине взаимодействия константу связи — г А
и (27т)45^4м Y^ki — X^j), в результате чего сумма входящих в вершину
^ г 3
импульсов J2 ki окажется равной сумме выходящих из нее импульсов Y, kj •
i Э
4. Проинтегрировать по импульсам внутренних линий с мерой .
Данное действие соответствует суммированию по промежуточным
состояниям в обычной теории возмущений.
5. Наконец, существует правило для вычисления «противных» симмет-
рийных множителей. Они являются аналогами численных коэффициентов
в рассмотренной нами младенческой задаче. Как следствие, некоторые
диаграммы необходимо умножить на симметрийный множитель, такой как -.
Эти множители обуславливаются различными комбинационными
множителями, которые учитывают различные варианты воздействия (6/SJ) на J
в выражениях типа (18). Пример вычисления симметрийного множителя
вы найдете в упражнении 1.7.2.
Проиллюстрируем на примерах, что означают эти правила (а заодно
и понятие внутренней линии).
В качестве первого примера рассмотрим вычисленную нами
диаграмму (рис. 1.7.7Ь). Применяя правила, получаем
-iX(2n)4S^(kl + к2 - кг - кА) П [ т~2 V~ I •
аЛ \ka-m2+ieJ
Вы, надеюсь, согласитесь, что довольно глупо таскать с собой множитель
YI ( -5 ^ 1, общий для всех диаграмм, в которых два мезона рас-
a=i \k£ -m -hieJ
сеиваются в два мезона. Поэтому мы дополним правила Фейнмана еще
одним, утверждающим, что с внешними линиями пропагатор
ассоциировать не надо. (На профессиональном языке это называется «ампутацией
Диаграммы Фейнмана
65
внешних концов».) Поскольку всегда присутствует общий множитель,
отвечающий за сохранение импульса, нам также не стоит таскать за собой
общую дельта-функцию. Таким образом, получаем еще два правила:
6. Со внешними линиями пропагатор не сопоставлять.
7. Предполагать наличие дельта-функции, отвечающей за сохранение
общего импульса.
Амплитуда для диаграммы на рис. 1.7.7Ь равна —гЛ.
Рис. 1.7.9
Рождение частиц
Как объясняется в главе 1.1, одной из мотиваций для построения
квантовой теории поля явилась необходимость описать рождение частиц.
Теперь мы в состоянии описать, как два мезона образуют четыре. Диаграмма
Фейнмана на рис. 1.7.9 (сравните с рис. 1.7.2а) может появиться в теории
возмущений с порядком Л2. Ампутируя внешние концы, мы опускаем мно-
6
житель Y\ [i/^a —rn2-\- ie], сопоставленный с шестью внешними линиями,
а=1
оставляя при этом лишь пропагатор, связанный с одной внутренней
линией. Для каждой вершины включаем множитель (—г А) и дельта-функцию,
отвечающую за сохранение импульса (правило 3). Затем интегрируем по
66
Глава 1.7
внутреннему импульсу q (правило 4) и получаем
(-^)2 [ if* 2 V • (2^W(fci + k2-h- q)x
J (27г)4 q* — mr + ге
x (2тт)46^[д - (к4 + fc5 + A*)]. (20)
Интеграл по q трудности не вызывает, его вычисление приводит к
НА)2- -±-2 5__(27r)5W[*i + fc2-(fc3 + fc4 + *5 + *ft)]. (21)
Ранее мы договорились (правило 7) не писать каждый раз общую
дельта-функцию. Из примера видно, что нет необходимости писать
дельта-функции, которые затем исчезают (все кроме одной) при интегрировании. На
рис. 1.7.9 мы могли с самого начала использовать закон сохранения
импульса и обозначить внутреннюю линию суммой к4 4- fcs + ^6> а не символом q.
Если бы у вас были практические навыки, вы бы легко записали
амплитуду
<-<А>%* _ч- ^Л 2ТТ- (22)
(к4 + к5 + кб) -mz + ге
с самого начала: просто запомните, что мы ассоциируем константу (—г А)
с каждой вершиной и пропагатор — с каждой внутренней (но не внешней)
линией. Довольно просто, если понять суть.
Чего стоит быть ненастоящим
Лежащая в основе наших действий физика довольно проста:
внутренней линии соответствует виртуальная частица, у которой квадрат
релятивистского 4-импульса к4 + &5 + &б не обязательно равен га2, как должно
быть в случае с реальной частицей. Чем дальше импульс виртуальной
частицы от массовой поверхности, тем меньше амплитуда. Такова плата за
нереальность.
Согласно квантовым правилам для тождественных частиц, полная
амплитуда находится симметризацией по четырем конечным импульсам.
Другими словами, мы должны заметить, что линия, помеченная как к$ на
рис. 1.7.9, могла бы быть также помечена как к4, &5 или ке, так что
необходимо добавить все четыре вклада.
Диаграммы Фейнмана
67
Чтобы удостовериться в том, что вы понимаете правила Фейнмана,
я настоятельно рекомендую вам получить (21) из (12) и (13), вычислив
интеграл по траекториям.
Еще раз повторю (думаю, это того стоит), что в диаграммах Фейнмана
нет ничего магического.
ГЬу~Г" /Сп А/
Петли и первое знакомство с расходимостями
Как и в нашей младенческой задаче, существуют древесные и
петлевые диаграммы. До сих пор мы рассматривали только древесные
диаграммы. Нашим следующим примером будет петлевая диаграмма на рис. 1.7.10
(сравните с рис. 1.7.3а). Применяя правила Фейнмана, получаем
i<-«)2
/
d4k
(2тг)4 к2 - т2 + is (кг + к2 - к)2
т2 + ie
(23)
Как и ранее, лежащая в основе (23) физика проста: при изменении к
подынтегральное выражение является большим только тогда, когда первая
или вторая (или обе вместе) виртуальные частицы, ассоциированные с
двумя внутренними линиями, близки к реальным. Еще раз повторяю, что за
свою нереальность частицы должны платить (см. упражнение 1.7.4).
68
Глава 1.7
На больших к подынтегральное выражение ведет себя как 1/к4.
Интеграл оказывается бесконечным! Он расходится как J d4k(l/k4). Мы
вернемся к этому явному бедствию в главе III. 1.
h+h-
K+h-P
Рис. 1.7.11
Получив некоторые практические навыки, вы сможете записывать
амплитуду с первого взгляда. В качестве другого примера рассмотрим трех-
петлевую диаграмму на рис. 1.7.11, дающую вклад 0(А4) в мезон-мезонное
рассеяние. Для начала выберем в каждой петле по одной внутренней линии
и обозначим бегущий по ней импульс (символами р, q и г в нашем
примере). На этом этапе у нас есть большая свобода выбора — ваш выбор может
отличаться от моего, но физика, разумеется, от этого не зависит. После
этого импульсы, бегущие по другим внутренним линиям, фиксируются
законом сохранения импульса, как указано на рисунке. Запишем для каждой
вершины константу связи, а для каждой внутренней линии — пропагатор
и проинтегрируем по внутренним импульсам р, q и г. Таким образом, без
учета симметрийных множителей получаем амплитуду
d4p d4q d4r i г
(-«г/.
(2тг)4 (2тг)4 (2тг)4 р2 - т2 + ге (кг + к2 - р)2 -m2 + ie
q2 -га2 + ie (p — q — r)2 — m2 + ie
г г
г2 - m2 + ге (к\ + &2 - r)2 -m2 + ie
Этот тройной интеграл снова расходится: он ведет себя как / d12P(l/P12).
Диаграммы Фейнмана
69
Мое заверение
Когда я преподаю квантовую теорию поля, именно в этом месте
некоторые студенты по непонятным причинам испытывают страх перед
диаграммами Фейнмана. Мне бы хотелось заверить читателей, что все это
на самом деле довольно просто. Диаграммы Фейнмана можно
представлять себе как пространственно-временные картинки поведения частиц,
которые собираются вместе, сталкиваются и порождают другие
частицы, и так далее. Один студент был озадачен тем, что частицы не
распространяются по прямым линиям. Помните, что квантовая частица
распространяется как волна: D(x — у) описывает амплитуду
распространения частицы из х в у. Очевидно, что гораздо удобнее рассматривать
частицы в импульсном пространстве: так нам сказал Фурье. Мы увидим
еще много примеров фейнмановских диаграмм, и вскоре вы с ними
хорошо познакомитесь. Другой студент был обеспокоен вычислением
интегралов (23) и (24). Пока я вас этому еще не учил, но со временем
обучу. Хорошей новостью является то, что на передовых рубежах
современных исследований лишь немногим теоретикам приходится
вычислять диаграммы Фейнмана с учетом всех множителей 2. В большинстве
случаев достаточно понять лишь общее поведение интеграла. Но,
конечно, всегда почетно получить точный результат. В главах II.6, III.6 и III.7
я приведу детальные вычисления диаграмм Фейнмана, правильно
получив численные множители, чтобы можно было сравнить с
экспериментами.
Вакуумные флуктуации
Давайте вернемся к членам, которые я опустил в (18) и которые вы
должны были найти сами. Например, четыре [5/6J(w)] должны были
подействовать на Jc, Jd, Jg и Jh в (18) и дать что-то вроде
г\ //// DaeDbjJaJbJeJf I / DWWDU
Коэффициент при J{x\)J{x2)J{x^)J{x4) оказывается равным D\$x
xD24(—iX J DWWDWW) плюс члены, полученные с помощью перестановок.
w
Соответствующий физический процесс легко описать как словесно,
так и графически (см. рис. 1.7.12). Источник в х\ порождает частицу,
которая безо всякого взаимодействия свободно распространяется до хз, где
70
Глава 1.7
Рис. 1.7.12
она спокойно умирает. Частица, рожденная в #2, живет той же небогатой
событиями жизнью, прежде чем исчезнуть в х±. Эти две частицы совсем не
взаимодействуют. Где-то там в точке w, которая может находиться
абсолютно где угодно во Вселенной, происходит взаимодействие с амплитудой —гЛ.
Это называется вакуумной флуктуацией: как говорилось в главе 1.1,
квантовая механика и специальная теория относительности неизбежно ведут к
появлению частиц из вакуума, которые могут даже взаимодействовать,
прежде чем вновь исчезнуть в вакууме. Посмотрите на различные временные
срезы (один из которых обозначен пунктирной линией) на рис. 1.7.12. В
далеком прошлом во Вселенной частицы отсутствовали. Потом там было две,
потом четыре, потом снова две и, наконец, в отдаленном будущем, ни одной
частицы. Более подробно об этих флуктуациях мы поговорим в главе VIII.2.
Отмечу, что вакуумные флуктуации также присутствуют в задачах для
младенца и ребенка (см., например, рис. I.7.1c, I.7.2f,g, I.7.3f,g и так далее).
Два слова об истории
Я убежден, что всякий уважающий себя физик просто обязан изучать
историю физики, из которой история квантовой теории поля является
наиболее захватывающей. К сожалению, у меня нет возможности рассказать
о ней в рамках настоящей книги4. Описанный здесь подход к теории
поля, основанный на интеграле по траекториям с использованием источни-
4Прекрасный очерк по истории квантовой теории поля приведен в главе 1 книги С. Вайн-
берга Квантовая теория полей.
Диаграммы Фейнмана
71
ков J(x), ассоциируется у нас главным образом с Юлианом Швингером,
называвшим его «магией» во времена моего студенчества (так что я мог
бы говорить людям, что, будучи студентом, изучал магию). В одном из
многочисленных мифов, которые любят рассказывать физики за
семейными обедами, говорится, что Фейнман открыл свои правила в результате
неожиданного озарения. В 1949 году Фримен Дайсон показал, что
правила Фейнмана, которые озадачили физиков на конференции в Поконо годом
ранее, можно на самом деле получить на основе более формальных работ
Юлиана Швингера и Шин-Итиро Томонага.
Упражнения
1.7.1. Вычислите амплитуду, соответствующую рисунку 1.7.12 в (18).
1.7.2. Выведите (23) из первых принципов, то есть с выражения (12). Это несколько
утомительно, хотя и прямолинейно. Найдите симметрийный множитель -.
1.7.3. Нарисуйте все диаграммы, описывающие процесс рождения четырех
мезонов из двух, до порядка Л2 включительно. Выпишите соответствующие
фейнмановские амплитуды.
1.7.4. В силу лоренц-инвариантности мы всегда можем выбрать к\ + къ = (Е, 0)
в (23). Интеграл можно изучать как функцию от Е. Покажите, что, для
того чтобы обе внутренние частицы стали реальными, Е должна быть
больше 2т. Дайте этому физическую интерпретацию.
Глава 1.8
Каноническое квантование
и возмущение вакуума
Всегда рождай, прежде чем уничтожить,
и никак иначе.
Неизвестный
Взаимодополняющие формализмы
Я рассматриваю формализм интеграла по траекториям как наиболее
быстрый путь построения квантовой теории поля. Но я также должен
обсудить канонический формализм не только в силу того, что исторически
именно этим путем развивалась квантовая теория поля, но и потому, что он
сохраняет актуальность и поныне. Интересно заметить, что канонический
формализм и формализм интеграла по траекториям часто являются
взаимодополняющими в том смысле, что результаты, которые трудно получить
в одном, легко получаются в другом.
При обсуждении канонического формализма я буду довольно краток,
отчасти из-за того, что он является стандартным подходом и потому
детально излагается в большинстве книг по квантовой теории поля.
Гейзенберг и Дирак
Начнем с краткого обзора гейзенберговского подхода к квантовой
механике. Для заданного классического лагранжиана одной частицы L = \q2 —
— V(q) (мы положили массу равной 1) канонический импульс
определяется как р = SL/5q = q. После этого, гамильтониан системы записывается
в виде Н = pq — L = р2/2 + V(q). Гейзенберг заменяет положение q{t)
и импульс p(t) на операторы, накладывая каноническое коммутационное
соотношение
]p,q) = -i- (1)
Каноническое квантование и возмущение вакуума 73
Операторы эволюционируют во времени по закону
dp
dt=i[H,p} = -V'(q) (2)
И
%=i[H,q]=p. (3)
Другими словами, операторы, составленные из р и q, эволюционируют как
0(t) = егНгО(0)е~гНг. В формуле (1) р и q рассматриваются в один и
тот же момент времени. Объединяя (2) и (3), мы получаем операторное
уравнение движения q = —V'(q).
Следуя Дираку, рассмотрим в некоторый момент времени оператор а =
(l/y/2Ui)(u>q + гр) с некоторым параметром ш. Из (1) получаем
[a,at] = l. (4)
Оператор a(t) эволюционирует по закону
da _■
dt ~l
Н^О + гр)
-tffip+bv'h))*
который можно переписать в терминах а и а*. Основное состояние |0)
определяется как состояние, такое что а\0) =0.
В частном случае V'(q) = u2q получаем особенно простой результат
^ = —iuja. Он представляет собой гармонический осциллятор L = -q2 —
dt л
-±u,2q2"H = w(aia+±).
Обобщение на случай многих частиц следует немедленно. Начиная с
L = S^7Lq2a-V{q1,q2, ..., qs),
а
получаем ра = 5L/Sqa и
\Pa(t),Qb(t)} = -iSab- (5)
Обобщение до теории поля следует почти немедленно. Фактически мы
просто используем нашу таблицу подстановок (1.3.6) и видим, что в D-мер-
ном пространстве L обобщается до
L = JdDx{±(<p2 - (V^)2-mV)-«M}, (6)
74
Глава 1.8
где ангармоничный член (член взаимодействия в квантовой теории поля)
обозначается через и{ф). Плотность канонического импульса,
сопряженного полю (p(x,t), при этом равна
<*>*) = T^ht = 8o<P&t), (7)
так что каноническое коммутационное соотношение для равных моментов
времени теперь имеет вид
[7r(x,t)^(x',t)} = [doip(S,t)M^^)] = -i5^D\x-xf) (8)
(и, конечно, [n(x,t),7r(x\i)] = 0 и [(p(x,t),(p(x',t)] = 0). Заметьте, что 5аь,
из (5) становится в (8) в S^D\x — xf). Проверьте, что (8) имеет правильную
размерность. Проворачивая рукоятку канонического формализма, находим
гамильтониан
Н = f dDx[7r(x,t)d0<p(x,t) -C} =
dDx{|[7r2 + (V^)2+mV2]+^)}. (9)
/■
Для случая и = 0, соответствующего гармоническому осциллятору,
приходим к теории свободного скалярного поля и можем продвинуться
существенно дальше. Полевое уравнение имеет вид
(d2 + m2V = 0. (10)
Раскладывая в интеграл Фурье, получаем
<p{x,t) = [ , d°k [a(fe)fi-i^*-£-g)-<-flt(jk)fli(^*-g-g)]7 (И)
где u>k = +vfc2 + m2, так что удовлетворяется полевое уравнение (10).
Странный на вид множитель (2u;fc)-1/2 выбирается с тем, чтобы
каноническое соотношение
[а(к)^(к')] = 5^п){к-к') (12)
для операторов рождения и уничтожения приводило к каноническому
коммутированию [d(np(x,t),(p(x',t)] = —i5(D'(x — x') в (8). Лучше вам это
Каноническое квантование и возмущение вакуума 75
проверить, хотя необходимость в множителе {2ик)~1^2 можно увидеть еще
и потому, что в доф множитель шк спускается из показателя экспоненты.
Как и в квантовой механике, вакуумное, или основное, состояние |0)
определяется условием а(к)\0) = 0 для всех к. Вычислим (0\ip(x, £)</?(0,0)|0)
для t > 0. Из четырех членов а)а\ а)а, аа) и аа, фигурирующих в
произведении двух полей, остается вычислить только член аа^. Таким образом,
используя (12), получаем f[dDк/(2тг)°2u>k}e-i{uJkt-k ^. Другими словами,
если мы определим упорядоченное по времени произведение
Т[ф)<р(у)] = в(х° - у°ЫхЫу) + 9(у° - х°Ыу)ф), (13)
то
{0\Т[р{2Лч>Ф,0)]\0) =
dDk
-I
(2n)D2u;k
[e(t)e-i(Wfc*-£,5) + e(-t)e+i(wfct"£'*)]. (14)
Вернемся назад к (1.3.23). Находим, что (0|Т[<р(ж)<р(0)]|0) = iD(x) есть
пропагатор частицы, распространяющейся из 0 в х9 полученный нами
в формализме интеграла по траекториям. Полученный результат также
подтверждает обоснованность ie прескрипции в (1.3.22). Физический смысл
состоит в том, что мы всегда рождаем, перед тем как уничтожить, а не
наоборот. Это одна из форм причинности.
Обратите внимание на то, что условие эрмитовости позволяет
выразить второй член в квадратных скобках в (11) через первый член. Если бы
(р zfz <^t (как вы увидите в главе 1.9), то два члена должны были быть
разными. Этот важный случай рассматривается в упражнении 1.8.3, которое
следует выполнить, так как его результаты понадобятся нам в дальнейшем.
Энергия вакуума
В качестве содержательного упражнения вычислим для теории
свободного скалярного поля среднее
(0|Я|0) = ljdDx (0|тг2 + (V^)2 + mV|0>,
которое мы условно назовем «энергией вакуума». Все, что нам нужно, —
это объединить вместе (7), (11) и (12). Сфокусируемся на третьем члене
76
Глава 1.8
в (0|#|0), который мы уже фактически вычислили, так как
(оиг,*мг,*)|о> = (оиб,о),^,о)|о>= Km <омг,^(о,о)|о> =
z,i->0,0
= lim / dDk e-i(u,kt-k.x) = f dDk (15)
af.t-ff.o./ (2^)^20;^ У (27r)D2u;fc
Первое равенство следует из трансляционной инвариантности, которая
означает, что мы можем заменить JdDx в (0|iJ|0) на объем
пространства V. Вычисление двух других членов производится во многом
аналогично: например, два множителя V в (V<^)2 просто дают множитель к2.
Таким образом
<o™ = v/(^k[i("'+p+*"2)] = v/(0^ (16)
где мы восстановили h.
Полученный результат должен вызвать у вас чувство удовлетворения
и тревоги одновременно: удовлетворения потому, что мы узнаем в нем
энергию нулевых колебаний гармонического осциллятора, проинтегрированную
по всем импульсным модам, а тревоги из-за того, что интеграл по к явно
расходится. Нам, однако, не следует тревожиться: энергия любой
физической конфигурации, например масса частицы, должна измеряться
относительно «энергии вакуума». Нас интересует разница между энергией мира
с частицей и энергией мира без частицы. Другими словами, мы могли бы
просто определить правильный гамильтониан как Н— (0|#|0). К некоторым
из обсуждавшихся здесь вопросов мы вернемся в главах И.5, III. 1 и VIII.2.
Эффект Казимира
А что случится, если мы возмутим вакуум?
Разумеется, не только скалярное поле вносит вклад в энергию
вакуума. Электромагнитное поле, например, также испытывает квантовые
флуктуации и добавляет к плотности энергии вакуума е что-то типа
2j[d?k/{2ivf]\liwk. В 1948 году Казимир сделал блестящее
предположение, что вызванное нами возмущение вакуума может привести к сдвигу Ае.
Хотя е является экспериментально ненаблюдаемой величиной, сдвиг Ае
должен поддаваться измерению, поскольку мы можем контролировать
процесс возмущения нами вакуума. В частности, Казимир рассматривал
ситуацию со внесением в вакуум двух параллельных «идеально» проводящих
Каноническое квантование и возмущение вакуума 77
пластин (которые формально имеют бесконечную протяженность и
нулевую толщину). Изменение Ае в зависимости от расстояния d между
пластинами приводило к возникновению силы между ними, известной как сила
Казимира.
Назовем направление, перпендикулярное пластинам, осью х. В
силу граничных условий, которым должно удовлетворять
электромагнитное поле на пластинах, волновой вектор может принимать лишь значения
(тгп/d, ky,kz) с целым п. Таким образом, энергия между пластинами в
расчете на единицу площади изменяется на величину
Для вычисления силы мы изменяем d, но при этом должны учитывать,
как изменяется плотность энергии снаружи двух пластин. Существует,
однако, хитрый прием, позволяющий этого избежать: надо вставить третью
пластину, как показано на рис. 1.8.1! Расстояние L между двумя внешними
пластинами можно выбрать произвольно большим.
В соответствии с общей атмосферой книги (и моей философией), я
стараюсь избегать, насколько это возможно, утомительных вычислений,
поэтому предлагаю ввести два упрощения: (1) провести вычисления для
безмассового скалярного, а не электромагнитного поля, чтобы не беспокоиться
о поляризации и тому подобном, и (2) перейти в (1 + 1)-мерное
пространство-время, чтобы не интегрировать по ку и kz. Как вы увидите,
вычисления окажутся очень поучительными, они позволят ощутить прелесть
выделения конечных физических результатов из явно расходящихся выражений.
Это называется перенормировкой, мы рассмотрим ее в главах III. 1-3.
При такой формальной постановке энергия равна Е = f(d) + f(L — d),
где
со
п=1
поскольку моды задаются выражением sin(n7rx/d) (п = 1, ..., оо), а
соответствующая энергия равна сип = nn/d.
оо
Ой! А что нам делать с J2 п? Никто из древних греков, начиная с Зе-
п=1
нона, нам не подскажет.
Им следовало бы нам ответить, что мы решаем физическую, а не
математическую задачу. Физические пластины не могут препятствовать
прохождению волн произвольно большой частоты. Чтобы учесть это крайне
78
ГЛАВА 1.8
важное физическое свойство, нам следует ввести множитель е~
чтобы исключить вклад мод cwn>o_1: этим модам не видны пластины.
Таким образом, получаем
оо оо
f (А\ — _ZL V np-ann/d --1-1V p-anir/d _ _ 1 _0_
2d ^ 2 9а ^ 2 9а 1 _ е-атг/<*
п=1 п=1
2d (еатг/сг _ 1)2
(18)
Так как мы хотим, чтобы а г было большим, рассмотрим предел малого а,
когда
Заметим, что /(d) устремляется к бесконечности при а —> 0, как и должно
быть, иначе мы бы возвратились к (17). Но сила между двумя проводящими
пластинами не должна устремляться к бесконечности. Экспериментаторы
это бы точно заметили!
Итак, сила дается выражением
дЕ
:m-«I-0-(5J? + 5J?+...)-«l-.i
\2тга:
>
а—>0
2 '
7Г
24
24d2
(*
d)
dd ' к ' \ 2тга2 24d2 "' 7 <»-о
7ГЙС
(L - d)2 I L»d 24d2'
(20)
взятым с обратным знаком. Расходимость 1/а2 сократилась.
Видите, наша любимая физика приводит к разумному результату. Мы
восстановили ft, чтобы подчеркнуть квантовую природу силы. Так как
dE/dd > 0, сила Казимира между двумя пластинами является
притягивающей. Чтобы измерить эту крошечную силу, потребовались довольно
сложные эксперименты.
Никто не совершенен
В каноническом формализме время рассматривается не так, как
пространство, в силу чего у читателя может возникнуть вопрос о лоренц-ин-
вариантности получившейся теории. В стандартном подходе, используемом
во многих учебниках, начиная с этого момента мы должны были бы
использовать гамильтониан для описания динамики, развивая теорию возмущений
Каноническое квантование и возмущение вакуума 79
по взаимодействию и((р). После ряда формальных шагов мы получили бы
правила Фейнмана, которые явно задавали бы лоренц-инвариантную
теорию.
Был период, когда люди считали, что квантовая теория поля
определяется набором правил Фейнмана, которые дают конкретный алгоритм
расчета наблюдаемых величин, таких как сечения рассеяния. В своем крайнем
проявлении такая точка зрения рассматривала поля лишь как
математические объекты, помогающие нам добраться до правил Фейнмана, и которые
после этого надо просто выбросить.
Начиная с 1970-х годов, такая точка зрения оказалась
несостоятельной, так как стало понятно, что квантовая теория поля представляет собой
нечто большее, чем просто набор диаграмм Фейнмана. Теория поля
содержит в себе непертурбативные эффекты, которые по определению не
ухватываются диаграммами Фейнмана. Многие из этих эффектов, которые мы
рассмотрим в свое время, наиболее легко формулируются в формализме
интеграла по траекториям.
Как я отмечал, канонический формализм и формализм интеграла по
траекториям часто дополняют друг друга, поэтому я воздержусь от
дискуссии на тему, который из них является более эффективным. В своей книге
я принимаю прагматическую точку зрения и использую тот из них, который
наилучшим образом подходит для обсуждаемой проблемы.
Тем не менее позвольте мне отметить некоторые особенности обоих
формализмов, вызывающие особые затруднения. В каноническом
формализме поля являются квантовыми операторами, содержащими бесконечное
число степеней свободы. Были времена, когда ученые обсуждали такие
тонкие вопросы, как, например, определение произведения полей. С другой
стороны, в формализме интеграла по траекториям многие грехи можно
замести под ковер, в качестве которого выступает мера интегрирования (см.
главу IV. 7).
Приложение
Вас может озадачить тот факт, что пропагатор в каноническом формализме
должен определяться с упорядочиванием по времени, тогда как в формализме
интеграла по траекториям в нем нет необходимости. Для разрешения этой кажущейся
загадки достаточно посмотреть на квантовую механику.
Пусть A[</(£i)] — функция от q, определенная в момент времени t\. Что
т
iJdtL(q,q)
представляет собой интеграл по траекториям J Dq{t)A[q(t\)]e ° на
операторном языке? Вернемся назад к (1.2.3) и вставим ^[g(£i)] в подходящий
80
Глава 1.8
множитель (qj+i\e~tHSt\qj). Слово «подходящий» означает, что момент
времени t\ располагается между моментами времени j St и (j + l)St для этого j.
В {qj+i\e~tH6tA[q(t\)]\qj) мы заменяем с-число A[<7(£i)] оператором i4[g(£i)].
Таким образом, интеграл представляет собой выражение (qr\e~lH(<T~tl^ x
xA[5(ti)]e-im49/>-
Теперь мы готовы ответить на более сложный вопрос: что представляет собой
интеграл по траекториям
т
/ifdtL(q,q)
Dq(t)A[q(ti)]B[q(b)]e «
на операторном языке? Здесь B[q(t2)] означает некоторую другую функцию от q,
определенную в момент времени £г. Мы также подставляем B[q(t2)] в
соответствующий множитель в (1.2.3) и заменяем B[q{t2)} на B[q(t2)]. Видим, что нам
необходимо следить за тем, какой из двух моментов времени t\ и t2 наступает раньше.
Если сначала наступает ^2, то оператор A[<f(£i)] должен стоять слева от
оператора B[q(t2)], и наоборот, если сначала наступает t\. Итак, если t2 раньше ti9 мы
получаем следующую последовательность:
Таким образом, определяется упорядоченное по времени произведение
T{>l[5(ti)]B[5(fc)]} = e(h-t2)A[q{t1)}B[q(t2)]+e(ti-t1)B{g(t2)}A{g(t1)}. (21)
Имеем
т
(9F|TM[§(ti)]B[?(t2)]e-iHT}|g/> = J Dq{t)A[q{ti)]B{q{t2)]eS°dtL{4'4). (22)
Упорядочение по времени не появляется в правой части, но играет важную
роль в левой.
Упражнения
1.8.1. Некоторые авторы предпочитают определять а(к) и а^(к) без квадратного
корня. Покажите, что для произвольной функции /
Jd4kS(k2 - m2)e(k°)f(k°, к) = f g/(Wfc,*).
Обоснуйте, что d3k/2u>k есть лоренц-инвариантная мера. [Указание:
преобразования Лоренца не изменяют знак к0.] Значит, определенные этими
авторами операторы рождения и уничтожения являются лоренц-ковариантными.
Получите их коммутационные соотношения.
Каноническое квантование и возмущение вакуума 81
1.8.2. Вычислите (к'\Н\к)9 где \к) = а+(£)|0).
1.8.3. Мы рассмотрели эрмитово (или вещественное, как говорят при несколько
вольном употреблении терминологии) скалярное поле. Рассмотрим теперь
комплексное скалярное поле, определяемое лагранжианом С = д(р^д<р —
— m2ip^ip. Считая <ри^ независимыми переменными, получите уравнения
движения Эйлера-Лагранжа. Неэрмитовость </? означает, что (11) должно
быть заменено на
<p(£,t) = Г—J^=[a(k)e-iiuJkt-*'*) +&+(£)ei(Wfct-*-*). (23)
J у/(2тг)°2и;к
Докажите, что канонические коммутационные соотношения предполагают,
что (а, а*) и (6,6*) формируют два независимых множества операторов
рождения и уничтожения. Вычислите (0|Т[^(ж)у>*(0)]|0). [Указание: д<р
сопряжено с ^, а не с <р.]
1.8.4. Используя уравнения движения, проверьте, что ток J^ = i^dpip —
— д^(р) сохраняется, а соответствующий заряд равен Q = J dDx Jo(x) =
= $dDk[a\k)a(k) — b*(k)b(k)]. Мы видим, что частица, порожденная а1"
(назовем ее «частица»), и частица, порожденная 6* (назовем ее
«античастица»), несут противоположные заряды. Таким образом, ^ рождает частицу
и уничтожает античастицу, то есть создает единицу заряда. Поле tp делает
обратное. Покажите, что [Q,4>(x)\ = —ip{x).
1.8.5. Для поля А покажите, что при q° > 0 имеет место выражение
1ш|г f d4xeiqx{0\T[A(x)A(0)}\0)\ = ± Гd4xeiqx(0\[A(x),A(0)}\0).
(24)
Для этого вставьте 1 = Sln)(nl (ln) — полный набор состояний) меж-
п
ду А(х) и А(0) в левой части равенства. [Указание: используйте
интегральные представления 0(t) = —if(duj/27r)elu;t/(uj — is) и в(—t) =
= i${du/2ir)eiuJt/{u + ie).]
1.8.6. Продемонстрируйте сюе умение вычислять интегралы на примере
расчета силы Казимира в (3 + 1)-мерном пространстве-времени. В помощь см.
M.Kardar and R. Golestanian, Rev. Mod. Phys. 71: 1233, (1999); J.Feinberg,
A.Mann, and M.Revzen, Ann. Phys. 288: 103, (2001).
Глава 1.9
Симметрия
Симметрия, преобразование и инвариантность
Важность симметрии для современной физики трудно переоценить1.
Когда физический закон не меняется при некотором преобразовании,
говорят, что он обладает симметрией.
Я уже использовал лоренц-инвариантность для ограничения формы
действия. Конечно, лоренц-инвариантность является симметрией
пространства-времени, но поля могут также преобразовываться в так называемом
внутреннем пространстве. На самом деле мы уже видели тому пример.
В главе 1.3 я бегло упомянул, что в теории скалярного поля мы могли бы
потребовать инвариантность действия относительно преобразования ц> —> —<р
и таким образом исключить из действия члены нечетной степени по <р,
например, <р3.
Рис. 1.9.1
Если член </?3 присутствует, два мезона могут рассеяться и перейти
в три мезона, как показано для примера на рис. 1.9.1. Но в отсутствие
этого члена такой процесс запрещен, и вы легко можете убедиться в этом.
Нельзя нарисовать диаграмму Фейнмана с нечетным числом внешних
линий. (Подумайте о модификации интеграла из нашей младенческой задачи
A. Zee, Fearful Symmetry.
Симметрия
83
I v^w — Л J. nri А П -X- In
в главе 1.7 до вида f dqe 2 .) Таким образом, простая
— оо
симметрия относительно отражений <р —» — ip подразумевает, что в любом
процессе рассеяния число мезонов сохраняется по модулю 2.
После того как мы рассмотрели случай одного скалярного поля,
обратимся к теории с двумя скалярными полями ip\ и (р2, удовлетворяющими
симметрии относительно отражений ipa —» — сра (а = 1,2):
С = \{d<ptf - \тЫ - ^\ + |(^2)2 - \m\rt - %<р*2 - fylvl (1)
Имеем две скалярные частицы, назовем их 1 и 2, с массами mi и m<i.
В низшем порядке они могут рассеиваться следующим образом: 1 + 1 —> 1 +
+ 1, 2 + 2->2 + 2, 1 + 2->1 + 2, 1 + 1->2 + 2и2 + 2->1 + 1
(убедитесь в этом самостоятельно). Если пять параметров mi, Ш2, Ai, A2
и р абсолютно произвольны, между частицами нет никакой взаимосвязи.
Точка зрения, которую среди прочих активно поддерживал Эйнштейн
и согласно которой фундаментальные законы должны быть
упорядоченными и простыми, а не произвольными и сложными, является почти символом
веры среди физиков-теоретиков.
Такая упорядоченность находит свое отражение в симметрии действия.
Предположим, что 7П\ = Ш2 и Ai = A2. Тогда две частицы будут
иметь одинаковые массы и одинаково взаимодействовать как с собой, так
и друг с другом. Лагранжиан С оказывается инвариантным относительно
симметрии перестановки (pi <^> (p2-
Предположим, далее, что мы налагаем условие р = Х\ = Аг, так что
лагранжиан становится равным
С = \ [(дуг)2 + (д<р2)2} - \т*{ч>\ + Ч>1) ~ £(¥>? + ^)2 (2)
и инвариантным относительно двумерных вращений {<^i(x)—> cos0<pi(x) +
+ sin0<p2(#), 4>2{x) —* — sin0(/?i(x) + cos0(^2(^)} с произвольным углом в.
Говорят, что теория обладает «внутренней» 5<3(2)-симметрией,
внутренней в том смысле, что преобразование не имеет ничего общего с
пространством-временем. В отличие от симметрии перестановки <р\ <-► <р2, это
преобразование зависит от непрерывного параметра 9, а соответствующая
симметрия называется непрерывной.
Из этого простого примера мы видим, что существуют иерархии
симметрии.
84
Глава 1.9
Непрерывные симметрии
Если мы будем достаточно долго смотреть на уравнения движения
(д2+т2)<ра + \ф?(ра = О, то увидим, что если определить J^ = i((pid^(p2 —
— ^d^ipi), то 9М JM = i((fid2(f2 — ф2д2<р\) = 0, то есть JM является
сохраняющимся током. Соответствующий заряд Q = J dDxJ°, подобно
электрическому заряду, сохраняется.
Обратимся к истории. Когда Гейзенберг заметил, что масса только что
открытого нейтрона почти совпадает с массой протона, он высказал
предположение, что если бы электромагнитное взаимодействие можно было бы
каким-то образом выключить, то существовала бы внутренняя симметрия,
переводящая протон в нейтрон.
Внутренняя симметрия точно так же накладывает ограничения на
форму теории, как и лоренц-инвариантность. В качестве обобщения нашего
простого примера предположим, что мы хотим построить теорию поля,
содержащую N скалярных полей ipa, а = 1, ..., N, так, чтобы она была
инвариантна относительно преобразований (ра —» RabVb (с суммированием по
повторяющимся индексам), где матрица R есть элемент группы вращений
SO(N) (см. краткое изложение теории групп в приложении В). Поля (ра
преобразуются как вектор ф = (ipi, ..., <pn). Мы можем составить только
один инвариант, а именно скалярное произведение ф • ф = (раЦ>ь = Ф2 (как
обычно, по повторяющимся индексам, если не оговорено особо,
производится суммирование). Лагранжиан, таким образом, ограничивается формой
£=I[W)2-mV2]-^2)2. (3)
Правила Фейнмана приведены на рис. 1.9.2. Когда мы рисуем диаграммы
Фейнмана, каждая линия, помимо импульса, несет на себе внутренний
индекс.
с d
УС - *А(£ «Аг»А АН-^аАс)
а Ь
Рис. 1.9.2
Симметрия проявляется в физических амплитудах. Представим,
например, что мы вычисляем пропагатор iDab(x) = J Ифег3(ра{х)(рь(0). Предпо-
Симметрия
85
ложим, что мера D(p инвариантна относительно SO(N). Рассуждая о том,
как Dab{x) преобразуется под действием группы симметрии SO(N), вы
легко придете к выводу (см. упражнение 1.9.2), что он должен быть
пропорционален 5аъ. Можно проверить справедливость полученного вывода,
нарисовав несколько диаграмм Фейнмана или рассмотрев обыкновенный
интеграл J dqe~s^qaqb. Независимо от того, насколько сложна
нарисованная вами диаграмма (например, рис. 1.9.3), вы всегда получите этот
множитель 6аь. Аналогично амплитуды рассеяния также должны обладать
симметрией.
Рис. 1.9.3
В отсутствие 50(АГ)-симметрии, в (3) могли бы присутствовать и
другие члены (например, (paVbVcVd с произвольно выбранными а, 6, с и d).
Можно записать R = ев'т, где в • Т = ^0ЛТЛ есть вещественная ан-
А
тисимметричная матрица. Группа SO(N) имеет N(N — l)/2 генераторов,
обозначаемых как Тл. [Рассмотрите более знакомый вам случай 50(3).]
При инфинитезимальном преобразовании (с суммированием по
повторяющимся индексам) фа —► Rab^Pb — {l+0ATA)ab<Pb, то есть, другими словами,
имеем бесконечно малое изменение 5(ра = 0АТАаьфь-
Теорема Нётер
Мы подошли к одному из самых принципиальных открытий
теоретической физики — теореме Нётер, которая гласит, что каждому генератору
группы непрерывной симметрии соответствует сохраняющийся ток.
Появление сохраняющегося тока в (2) не было случайным.
Как это часто бывает с особо важными теоремами, доказательство
теоремы Нётер удивительно просто. Обозначим поля нашей теории как ipa.
Поскольку симметрия является непрерывной, можно рассмотреть бесконечно
малое изменение 5(ра. Так как С при этом не меняется, получаем
5(fa a Sd^a
d^5ipa. (4)
86
Глава 1.9
На этом месте мы придем в тупик, если не воспользоваться уравнениями
движения 5С/5(ра = 8^(6С/6д^а) и не объединить два члена, получив
Если определить
J's я&к*» (6)
то (5) будет означать, что д^ JM = 0. Мы нашли сохраняющийся ток! [Из
наших действий очевидно, что в (6) производится суммирование по
повторяющемуся индексу а.]
Теперь немедленно проиллюстрируем это на примере простой
теории скалярного поля (3). Подставляя S(pa = 0А(ТА)аъ(рь в (6) и замечая,
что вА является произвольным, получаем N(N—l)/2 сохраняющихся токов
JA = д^(ра(ТА)аь^рь, по одному на каждый генератор группы симметрии
SO{N).
В частном случае N = 2 можно определить комплексное поле (р =
(<pi + iip2)/y/2. Лагранжиан (3) перепишем в виде
С = д<р*д(р — тп2(р^(р — \((р^(р)2.
Видим, что он инвариантен относительно ср —> егв(р и $ —» е~гв<р^. Из (6)
находим JM = 1((р^дц(р — дцф^ф) — это ток, использованный нами в
упражнении 1.8.4. Математически это объясняется изоморфизмом групп 50(2)
и С/(1) (см. приложение В).
Пример скалярного поля, преобразующегося как вектор под действием
группы SO(N)9 я рассмотрел из педагогических соображений. Очевидно,
что все рассмотренное выше остается справедливым и для случая
произвольной группы G с полями ip, преобразующимися в условиях
произвольного представления 1Z группы G. Сохраняющиеся токи также будут
определяться выражениями JA = д^а{ТА)аъ^рь с генераторами ТА,
вычисленными в представлении 1Z. Например, если </? преобразуется как пятимерное
представление группы 50(3), то ТА является 5 х 5-матрицей.
Для того чтобы физика была инвариантна относительно группы
преобразований, нужно лишь, чтобы инвариантным было действие. При этом
плотность лагранжиана может измениться на полную производную: 5С =
= д^К*1 при условии, что соответствующий граничный член можно
опустить. Тогда из (5) будет следовать, что для вывода формулы для
сохраняющегося тока необходимо будет лишь модифицировать (6) до вида
Симметрия
87
J*1 = 6С/6д^(ра5(ра — Кц. Как мы увидим в главе VIII.4, многие
суперсимметричные теории поля принадлежат к этому типу.
Заряд как генераторы
Используя канонический формализм из главы 1.8, мы можем получить
изящное выражение для заряда, связанного с сохраняющимся током
«■/Aj,-/Aife^
Если узнать в 5С/5дофа канонический импульс, сопряженный полю у?а,
получим
i[Q,<Pa]=S(Pa- (?)
Оператор заряда генерирует соответствующее преобразование полей.
Рассмотренный нами частный случай для комплексного поля у? в SO(2) ~
С/(1)-теории является важным; здесь [Q, <р] = <р и егв®(ре~г9® = ег9^р.
Упражнения
1.9.1. Некоторые авторы предпочитают более детальную формулировку теоремы
Нётер. Предположим, что действие не меняется под действием инфинитези-
мального преобразования дфа(х) = 6AVA [здесь вА — параметры,
маркируемые индексом A, a VA — функция от полей фъ и, возможно, их первых
производных по х]. Следует подчеркнуть, что, когда мы говорим о
неизменности действия S, мы не используем уравнения движения. В конце
концов, уравнения движения Эйлера-Лагранжа следуют из условия SS = О для
произвольного изменения 5ipa, удовлетворяющего определенным граничным
условиям. Рассмотренный нами пример теории скалярного поля прекрасно
иллюстрирует этот момент, который в некоторых книгах может приводить
читателей к замешательству: SS = О просто потому, что 5 построено с
помощью скалярного произведения O(N) векторов.
А теперь проделаем нечто, что на первый взгляд выглядит несколько
странным. Рассмотрим написанное выше инфинитезимальное изменение, но с
параметрами вА, зависящими от х. Другими словами, рассмотрим 5<ра{х) =
= 9A(x)VA. В этом случае никак не объяснить факт сокращения 8S, но,
с другой стороны, мы знаем, что раз SS сводится к нулю при постоянном вА,
то выражение для SS должно иметь вид SS = J d4x J^{x)d^6A{x). На
практике это позволяет нам легко получить ток JM(x); он представляет собой
всего лишь коэффициент при д^вА(х) в SS.
Покажите, как все это работает для лагранжиана (3).
88
Глава 1.9
1.9.2. Покажите, что Dab(x) должно быть пропорционально даь, как утверждается
в тексте.
1.9.3. Напишите лагранжиан 50(3)-инвариантной теории для скалярного
(относительно преобразований Лоренца) поля <р, преобразующегося по пятимерному
представлению, до членов четвертого порядка по полю. [Указание: удобно
представить ц> симметричной 3 х 3-матрицей с нулевым следом.]
1.9.4. Добавьте к лагранжиану из упражнения 1.9.3 скалярное (относительно
преобразований Лоренца) поле г/, преобразующееся как вектор под действием
SO(3), сохраняя при этом £0(3)-инвариантность. Получите нётеровские
токи этой теории. Используя уравнения движения, проверьте сохранение токов.
Глава 1.10
Теория поля в искривленном
пространстве-времени
Общее преобразование координат
В теории гравитации Эйнштейна инвариантный
пространственно-временной интервал Минковского ds2 = rj^dx^ dx" = (dt)2 — (dx)2
заменяется на ds2 = g^vdx^ dx", где метрический тензор д^(х) является
функцией пространственно-временных координат х. Основополагающий принцип,
известный как принцип общей ковариантности, гласит, что заключенная
в действии S физика должна быть инвариантна относительно
произвольного преобразования координат х —> х'{х). Точнее, принцип1 гласит, что
с соответствующими ограничениями эффект гравитационного поля
эквивалентен эффекту преобразования координат.
Так как
ds2 = д'Ха dx'x dx'ff = g>x„^dx£_dx» dx» = 9fW dx» dx\
метрика преобразуется как
^(Х^9^=^(Х)- (1)
Обратная метрика g^v определяется выражением g^ugUp = $% •
Скалярное поле, в соответствии со своим названием, не преобразуется:
ip(x) = tp'(xf). Градиент скалярного поля преобразуется как
я , ч дх,х д<р'(х') дхх я, ., ,ч
Точную формулировку принципа общей ковариантности смотрите в книге С. Вейнберга,
Гравитация и космология, с. 92.
90
Глава 1.10
По определению (ковариантное) векторное поле преобразуется согласно
так что дц(р(х) является векторным полем. Если известны два
векторных поля Ац(х) и Ви{х)у можно свернуть их с д^(х) в форму
g^(x)A^L(x)Bl/(x)9 которая, как вы можете непосредственно проверить,
является скаляром. В частности, g^v'(x)dtl(p(x)dl/(p(x) является скаляром.
Таким образом, если в лагранжиане С = ^[(дф)2 — т2(р2] = }:{jfvd^dv^p —
— т2(р2) заменить метрику Минковского rfv на метрику Эйнштейна д^,
то он станет координатно-инвариантным.
Действие находится интегрированием лагранжиана по пространству-
времени. При координатном преобразовании имеет место d4x' = d4x x
х det(dx'fdx). Вычисляя детерминант выражения (1), получаем
а 4. л ± / дх'х дх'а ,
detg^ = detgXa^ir-^=g
det[f^
ox
(2)
Видим, что комбинация dftxy/^g = dftx'yj—g' является координатно-инва-
риантной.
Таким образом, для произвольной квантовой теории поля можно
немедленно записать соответствующую теорию в искривленном
пространстве-времени. Все, что для этого требуется, — это заменить в нашем
лагранжиане метрику Минковского rfv на метрику Эйнштейна g^v и включить
множитель х/~~# в меру интегрирования по пространству-времени2. При
этом действие будет инвариантным относительно произвольных
преобразований координат. Например, действие S для скалярного поля в
искривленном пространстве-времени просто равно
5 = f dAx^^\{g^d^d^ - mV)- (3)
(Для поля со спином 1/2 имеется некоторая тонкость, о которой мы
поговорим в части II. Со временем мы вернемся к этому в главе VIII. 1.)
В квантовании скалярного поля в искривленном
пространстве-времени нет никакой принципиальной трудности. Мы просто оперируем
метрикой QpV как заданной [например, это может быть метрика Шварцшильда
2Мы также должны заменить обычные производные Эм на ковариантные DM из теории
относительности, но при действии на скалярное поле ср ковариантная производная совпадает
с обычной D}j,(p = дц<р.
Теория поля в искривленном пространстве-времени 91
в сферических координатах: #оо = (1 — 2GM/r), grr = — (1 — 2GM/r)_1,
две = —г2 и дфф = —г2 sin 9] и изучаем интеграл по траекториям f DipetS,
который по-прежнему является гауссовым и потому вычислимым. Можно
получить пропагатор D(x, у) скалярного поля и так далее, и тому подобное.
(См. упражнение 1.10.1.)
На данном этапе метрика g^v выглядит в точности как поле, если не
считать того факта, что Gfxl/(x) несет на себе лоренцевы индексы, а ср(х) —
нет, и на самом деле является классическим полем. Запишем действие мира
S = Sg + Sm в виде суммы двух членов: Sg, описывающего динамику
гравитационного поля д^у (которое мы обсудим в главе VIII. 1), и Sm,
описывающего динамику всех остальных полей в мире [«материальных полей»,
как, например, (р в нашем простом примере с Sm> вычисляемым по (3)].
Мы могли бы проквантовать гравитацию, проинтегрировав также по G^,
обобщая тем самым интеграл по траекториям до J DgD(pelS.
Легче сказать, чем сделать! Я уверен, вы слышали, что все попытки
проинтегрировать по д^(х) завершились непреодолимыми трудностями,
так что в конечном итоге теоретикам пришлось искать утешение в теории
струн. Когда придет время, я объясню, почему теорию Эйнштейна
называют «неперенормируемой».
На что реагирует гравитон
Одним из наиболее глубоких результатов теории гравитации
Эйнштейна является фундаментальное определение энергии и импульса. Чем же
в точности являются энергия и импульс? Энергия и импульс — это то, на
что реагирует гравитон. (Гравитон, конечно, есть частица, отвечающая
полю д^.)
Тензор энергии импульса Т^и определяется как вариационная
производная действия материи S по метрике д^и (при фиксированных
координатах х^)\
Т^(х) = --^-^- (4)
Энергия, по определению, равна Е = Р° = /d3xv/=:^T00(x), а импульс
Pi = fd3Xy/=jjT0i(x).
Даже если нас не интересует само по себе искривленное
пространство-время, выражение (4) по-прежнему дает нам простой (и
фундаментальный) способ определения тензора энергии импульса для теории поля
в плоском пространстве-времени. Мы просто варьируем метрику Минков-
ского т]^, записывая g^v — ц^ + ЛД1/, и разлагаем Sm до первого порядка
92
Глава 1.10
по h. Согласно (4) получаем3
SM(h) = SM(h = 0) -Jd4x[±h^T^ + 0(h2)]. (5)
Симметричное тензорное поле h^u{x) является фактически полем
гравитона (см. главы 1.5 и VIII. 1). Тензор энергии импульса Т^(х) — это то,
с чем взаимодействует гравитон, точно так же, как электромагнитный ток
JM (x) — это то, с чем взаимодействует фотон.
Рассмотрим общее выражение Sm = Jd4x^/IIg(A + g^vB^v +
+ g^9XpC^xP +...)• Так как -g = 1 4- rTK» + 0{h2) и 9*" = rfv ~
— h^v + 0(h2), то в плоском пространстве-времени получаем
Т^ = 2(ВД1/ + 2С^хРг)Хр +...)" ЧцуС. (6)
Заметим, что
Т = гГТ^ = -(4А + ЪГВ^ + 0 • v^VXpC^xP + -..), (?)
где специально подчеркивается тот факт, что С^хр не вносит вклада в след
тензора энергии импульса.
Теперь продемонстрируем всю мощь подобного определения Т^9
получив давно известный результат для электромагнитного поля. Обобщая
лагранжиан массивного поля со спином 1 до случая с искривленным
пространством-временем, находим4 С = ( — -^gllugXpF^xFvp + ^^д^А^А^)
и, следовательно5, T^v = —F^F* + m2A^Ay - ri^C.
Для электромагнитного поля полагаем тп = 0. Во-первых, С = — j x
xF^F^ = - \{-2Fl + F%) = \Ф2- В2). Таким образом, Т00 - -^ол х
xFq — }:{Е2 — В2) = ^(Е2 + В2). Успокаивает то, что мы получили
3Я использую обычное соглашение, согласно которому суммирование по индексам
производится без учета какой-либо возможной симметрии; другими словами, —Ь.^иТ^и =
= \{hoiT01 + h10T10 +...)= >*oiT01 + ...
43десь используется тот факт, что ковариантный ротор равен обычному ротору D^AU —
— DuAy. = d^Au — диАц, и поэтому F^ не включает в себя метрику.
5То, что координаты х^ остаются фиксированными, означает, что фиксированным
остается др и, следовательно. Ам. [Поскольку ам и д^ связаны калибровочной инвариантностью —
здесь мы немного торопим события (см. главу II.7), но вы уже наверняка слышали о
калибровочной инвариантности в нерелятивистском контексте.]
Теория поля в искривленном пространстве-времени 93
известный «с детства» результат. Между прочим, становится ясно, что Е2
можно рассматривать как кинетическую энергию, а В2 как потенциальную
энергию. Далее, T0i = -F0\Ff = F0jFij = SijkEjBk = (Ё x B)i — это
и есть вектор Пойнтинга.
Так как лагранжиан Максвелла С = —jg^ugxpF^\Fup включает в себя
лишь С-член с C^v\p = — jF^Fxp, из (7) следует, что тензор энергии
импульса электромагнитного поля имеет нулевой след — это важный факт,
который нам понадобится в главе VIII. 1. Можно также непосредственно
проверить, что Г = 0 (упражнение I.10.4)6.
Приложение: искривленное пространство-время —
краткое введение
Общая теория относительности часто излагается более трудно и загадочно,
чем следовало бы. Для дальнейшего использования я приведу здесь краткий обзор
ее основных элементов.
Обозначим через Х^ пространственно-временные координаты точечной
частицы. Для того чтобы построить для нее действие, заметим, что единственной
координатно-инвариантной величиной является «длина»7 мировой линии, вдоль
которой движется частица (рис. 1.10.1), а именно J ds = J ^g^dX^- dX", где G^
вычисляется в точке нахождения частицы. Таким образом, действие для точечной
частицы должно быть пропорционально
У ds = J\fg^dX»dX» = j j9^[X(0}d^d^d<:,
где С — произвольный параметр, монотонно изменяющийся вдоль мировой линии.
Длина, будучи геометрической величиной, явно является инвариантной
относительно изменения параметризации, то есть не зависит от нашего выбора £> если он
корректен. Это один из «более чем очевидных» фактов, так как явно
не зависит от £. Если хотите, мы можем проверить параметризационную
инвариантность / ds.
6Мы видим, что условие бесследовости связано с тем, что электромагнитное поле не имеет
масштаба. Как говорят, чистый электромагнетизм является масштабно-, или дилатационно-,
инвариантным. Подробнее о дилатационной инвариантности можно узнать из работы Коулме-
на. Аспекты симметрии (S. Coleman. Aspects of Symmetry, p. 67).
7Мы употребили слово «длина» в кавычках потому, что если бы д^ имела евклидову
сигнатуру, то величина f ds действительно соответствовала бы длине, и, минимизируя J ds,
мы бы получили кратчайшую траекторию (геодезическую) между конечными точками, но
в нашем случае д^и имеет сигнатуру Минковского.
94
Глава 1.10
Рис. 1.10.1
Очевидно, что степени d£ согласуются. То есть если записать £ = C(v)i TO
dX^/dC = (dr)/dC)(dX^/dr)), то dC = (dC/dri)dr).
Для облегчения записи определим
K = g^[X(Q]
dX» dXv
d£ dC, '
Считая изменение / d^y/K равным нулю, получаем выражение
hsit (2^^^+^-^^^л>
dC dC
которое после интегрирования по частям (при стандартном условии 6ХХ = 0 на
концах) приводит к уравнению движения
<**{■&»*$■)-
:29»x—)-dxg^ — —-0.
(8)
Для упрощения (8) воспользуемся нашей свободой выбора С и положим dC,
= ds так, что К = 1. Получим
d2XfX
dX° dX»
dX» dXv
2РмА"^ + 2а"^Л"dT"ST - ал5^ d* ds
Умножив на #рл, приходим к выражению
d Хр , 1 о\ /оя о ч dXM dX^ _ n
= 0.
Теория поля в искривленном пространстве-времени 95
то есть
^+ГМВД]*£4£=0, (9)
где мы определили символ Римана - Кристоффеля
1%, = \дрХ(д»д„х + а„0МА - дхдци). (10)
При заданном начальном положении Х^(so) и скорости {dX^/ds){so) имеем
четыре дифференциальных уравнения второго порядка (9), определяющих
геодезическую траекторию, по которой частица движется в искривленном
пространстве-времени. Обратите внимание, что вопреки впечатлению, которое остается после
прочтения некоторых книг, уравнение (9), в отличие от (8), не является репараметриза-
ционно инвариантным.
Для перехода к ньютоновской гравитации необходимо выполнение трех
условий: (1) частицы двигаются медленно dXl/ds <С dX°/ds; (2) гравитационное поле
слабое, так что метрика близка к метрике Минковского д^и ~ т\^и + h^u\ и (3)
гравитационное поле не зависит от времени. Условие (1) означает, что d2Xp/ds2 +
+ r£0(dX°/ds)2 ~ 0, а (2) и (3) подразумевают, что Г£0 ~ -^r}pxd\h0o. Таким
образом, (9) упрощается до вида d2X°/ds° ~ 0 (и, как следствие, значение dX°/ds
остается неизменным) и d2Xl/ds2 + -dihoo(dX°/ds)2 ~ 0, что, учитывая
пропорциональность Х° и s, сводится к виду d2Xl/dt2 ~ —-xdihoo. Таким образом,
получаем уравнение Ньютона —— ~ —Уф, если определить гравитационный по-
£х
dt2
тенциал ф как /loo = 20:
200^1 + 20. (11)
С учетом метрики Шварцшильда приходим к выводу, что на больших расстояниях
от массивного тела имеет место ф = —GM/r, как мы и предполагали. (Заметьте,
что процесс получения результата не зависит ни от hij, ни от hoj до тех пор, пока
они не зависят от времени.)
Таким образом, действие для точечной частицы равно
S = -тп J' y/g^dXW = -mj Jd^lMO^^-dC (12)
Множитель га следует из соображений размерностей.
Быстрый способ найти S (в рамках которого мы, к тому же, получаем знак
минус) состоит в том, чтобы начать с нерелятивистского действия для частицы
в гравитационном потенциале ф, то есть с выражения S = f Ldt = fl-^mv2 —
— m — ?7i0left. Обратите внимание, что масса га входит со знаком минус, так как
96
Глава 1.10
является частью потенциальной энергии в нерелятивистской физике. А теперь
представим S в релятивистской форме: для малых v и ф
S=-m [(л-±у2+ф}(1Ь~-гп f y/\-v2 + 24>dt =
= -т f у/(\+2ф)(<1Ь)2-{(1х)2.
Видим8, что происхождение 2 в (11) обуславливается квадратным корнем в
множителе Лоренца - Фитцжеральда у/1 — v2.
Теперь, зная S, с помощью (4) можно вычислить тензор энергии импульса
точечной частицы:
т^(х) = -^= fd<;K-1/26{4)[x-x{<;)}
v-9 J
dX» dXv
V4J rfC dc '
Полагая £ равной s (которую в этом случае можно назвать собственным
временем т), получаем
7^) = -^ fdrSi4)[x-X(r)}
у/-9 J
dX» dXv
y/—g J dr dr '
В частности, как мы и ожидали, 4-импульс частицы равен
dXv
m"dT '
Р" = fd3Xy/^T0u = m fdrS[x° - X°(r)]^^ =
Приведенное здесь действие (12) имеет два недостатка: (1) трудно работать
с интегралом по траекториям J DXe~irn^ d^v №*>l/dQ{dx,л/dQ^ содержащим
квадратный корень, и (2) S не имеет смысла для безмассовой частицы.
Для устранения указанных недостатков заметим, что в классическом случае S
эквивалентно
Q 1 f Ar (l dX» dX^ 2\
8 Отсюда не следует, что gij = 6ij. Важно то, что в главном порядке по v/c наша
частица чувствительна только к доо. В самом деле, восстанавливая с в метрике Шварцшильда.
получаем
ds2 = Л _ ЩМ\ С2Л2 _ Л _ ЩМ\ _1 dr2 _ _r2d02 _ r2si„2 q ^2 _
.c2dt2_£2_2GMdt2+0{1/c2)
Теория поля в искривленном пространстве-времени 97
где (dX^/dQidXn/dQ = g^(X)(dX^/dC)(dXu/dQ. Варьируя 1107(C), получаем
7П 7 — (dX^/dQ(dXfl/dQ. Исключая 7 из «bimp? мы восстанавливаем о.
Интеграл по траекториям J DXelS"np имеет стандартную квадратичную
форму9. Квантовая механика релятивистской точечной частицы наиболее удобным
образом формулируется в терминах 5imp, а не S. Более того, для случая т = 0
выражение Simp = ~7л $ й^Ъ^^Х* /dCj^dX^/dC)] совершенно осмысленно. Заметьте,
что варьирование по 7 приводит к хорошо известному факту, что для безмассовой
частицы gliU(X)dXfAdXu = 0.
Действие 5imp послужит нам отправной точкой при обсуждении теории струн
в главе VIII.5.
Упражнения
1.10.1. Проинтегрировав по частям, получите действие для скалярного поля
S = -Jd4xV^9^ I-^dl>y/=jjg>"'d„ + т2 j <p
и выведите уравнение движения для ip в искривленном
пространстве-времени. Обсудите пропагатор скалярного поля D(x, у) (который, конечно, уже не
является трансляционно инвариантным, то есть не является больше
функцией от х — у).
1.10.2. Используя (4), найдите Е для скалярного поля в плоском
пространстве-времени. Покажите, что результат совпадает с тем, который вы бы получили
при использовании канонического формализма из главы 1.8.
1.10.3. Покажите, что в плоском пространстве-времени величина Рм, полученная
нами из тензора энергии импульса Т*и', будучи интерпретированной как
оператор в каноническом формализме, удовлетворяет условию [Р^у(р(х)] =
= —гд^(р(х), то есть выполняют ту самую роль, которую мы ожидаем от
операторов энергии и импульса, а именно является сопряженной со
временем и пространством и, следовательно, имеет вид —гд^.
1.10.4. Покажите, что для максвелловского поля Tij = — (EiEj -\-BiBj) + -8ц(Е2 +
+ В2) и, следовательно, Т = 0.
Техническая трудность, которую мы рассмотрим в главе Ш.4, состоит в том, что в
интеграле по X(Q кажущиеся различными функции Х(С,) могут на самом деле быть физически
тождественными, связанными друг с другом репараметризацией.
Глава 1.11
Резюме теории поля
Что вы узнали?
Теперь, когда мы подошли к концу первой части, оценим критически
то, что вы узнали. Квантовая теория поля вовсе не трудна; она сводится к
вычислению одного-единственного, но большущего интеграла
ад = Jj^f<D+A*™'-?mV-»4+J*]. (1)
Многократным функциональным дифференцированием Z(J) и
последующим наложением условия J = О получаем
/
Dip(p(xi)tp(x2) • ■ ■ <р{хп)е
Id1
!(av>)2-5mV-AV4
(2)
что соответствует амплитуде для п частиц, ассоциированных с полем ip,
которые возникают и исчезают в пространственно-временных точках
х\,Х2, ..., хП9 взаимодействуя друг с другом в интервалах между ними.
Это есть рождение, смерть и, в некотором смысле, жизнь между ними.
Ах, если бы мы только могли вычислить интеграл (1)! Но мы не
можем. Один из способов выйти из положения состоит в разложении этого
интеграла в ряд по Л:
Х;Ц^- fD4xp{x1)<p{x2)...V>{xn) \[dD+1y<p(y)
fc=0 ' J '-•'
x e
ifd<
5 «V>2 -2
bv]
(3)
Для отслеживания членов полученного ряда мы рисуем маленькие
диаграммы.
Резюме теории поля
99
Теоретики, занимающиеся квантовой теорией поля, пытаются
придумать способы вычисления (1), но, не добившись успеха, изобретают разные
трюки и методы, чтобы правдами или неправдами извлечь нужные
физические результаты без явных вычислений (1).
Для того чтобы понять, что квантовая теория поля является
непосредственным обобщением квантовой механики, посмотрим, как
соответствующим образом упрощается (1). Мы записали теорию в (D + 1)-мерном
пространстве-времени, то есть в D пространственных измерениях и одном
временном измерении. Рассмотрим (1) в (0 + 1)-мерном
пространстве-времени, то есть в отсутствие пространства; получим
Z(J) = /^ei/*[5(S)'-bV-V+^]> (4)
где мы теперь обозначаем пространственно-временную координату х
просто временем t. Мы узнаем в полученном выражении квантовую механику
ангармонического осциллятора, с обозначенным у? положением
прикрепленной к пружине массы и внешней силой J, действующей на осциллятор.
Каждый член в действии квантовой теории поля (1) имеет физический
смысл: первые два члена обобщают гармонический осциллятор до случая
пространственных колебаний, третий член соответствует ангармоничности,
а последний член соответствует внешнему пробнику. Вы можете
рассматривать квантовую теорию поля как бесконечный набор гармонических
осцилляторов, по одному на каждую точку пространства.
Здесь у нас было скалярное поле </?. В предыдущих и последующих
главах понятие поля было и будет несколько обобщено: поле может
преобразовываться в соответствии с нетривиальным представлением группы
Лоренца. Мы уже встречали поля, преобразующиеся как вектор и как тензор,
а впоследствии встретим поле, преобразующееся как спинор.
Лоренц-инвариантность или какие-либо другие имеющиеся симметрии накладывают
ограничения на форму действия. Интеграл будет выглядеть более сложно,
но подход к его вычислению останется в точности таким же.
Вот, собственно, и вся квантовая теория поля.
Часть II
Дирак и спинор
Глава ИЛ
Уравнение Дирака
Смотря на огонь
Согласно физической легенде, по-видимому, соответствующей
действительности, в один из вечеров 1928 года Дирак смотрел на огонь и вдруг
осознал, что, по причинам, теперь не имеющим никакого значения, ему
необходимо релятивистское волновое уравнение первого порядка по
пространственно-временным производным 9М = д/дх^1. Уже в то время
хорошо было известно уравнение Клейна-Гордона (д2 + т2)(р = О, которое
описывает свободную частицу массой т и является квадратичным по
пространственно-временным производным. Оно фактически является
уравнением движения в теории скалярного поля, изученной нами ранее.
На первый взгляд желание Дирака не имеет смысла.
Предположительно уравнение должно иметь форму «некая линейная комбинации <ЭМ,
действующая на некое поле ф, равна некоторой константе, умноженной на
поле». Обозначим линейную комбинацию через см9м. Если см есть четыре
обычных числа, то 4-вектор см определяет некоторое направление и
потому уравнение не может быть лоренц-инвариантным.
Тем не менее, следуя Дираку, запишем (воспользовавшись
современными обозначениям):
(27M9M - т)ф = 0. (1)
На данном этапе четыре величины i^ являются просто коэффициентами
при 9Д, a m - просто константой. Мы уже знаем, что в качестве 7м не
могут выступать просто четыре числа. Итак, давайте выясним, что должны
представлять из себя эти четыре объекта, чтобы обозначенное уравнение
правильно описывало физику.
Действуя на (1) выражением (г^д^+т), Дирак получил —(гу*Лгу1/дцд1/+
+т2)ф = 0. По традиции, определим в дополнение к коммутатору [А, В] =
= АВ — В А, известному нам из квантовой механики, антикоммутатор
{А, В} = АВ + В А. Поскольку производные коммутируют друг с
другом, ^Гд^д„ = i{7",7"Rd„ получаем (|{7д,7"}^а, + т2)т/> = 0.
104
Глава II. 1
В момент озарения Дирак осознал, что если бы
{7",7"} = 27Г, (2)
где rf"v является метрикой Минковского, то он пришел бы к выражению
(д2 + гп2)ф = 0, которое описывает частицу массой га, и, стало быть, (1)
также описывало бы частицу массой га.
Так как г}^у есть диагональная матрица с диагональными элементами
ту00 = 1 и г?* = — 1, формула (2) гласит, что (70)2 = 1> (lj)2 = —1 и 7М7^ —
= — 7^7М ПРИ М Ф и- В этой ситуации коэффициенты 7м антикоммутируют
друг с другом, а это означает, что они и в самом деле не могут
выражаться обычными числами. Рассуждения Дирака будут иметь смысл, если мы
сможем найти четыре таких объекта.
Алгебра Клиффорда
Говорят, что множество объектов 7м (очевидно, что d из них в d-мер-
ном пространстве-времени), удовлетворяющих соотношению (2), образует
алгебру Клиффорда. Я изложу математику алгебры Клиффорда чуть
позднее. А сейчас достаточно будет проверить, что следующие матрицы 4x4
удовлетворяют условию (2):
7°=(J Л)^®7*' (3)
7*= (°аг о) =(ji®iTZ' (4)
Здесь а и г обозначают стандартные матрицы Паули. По историческим
причинам четыре матрицы 7м называют гамма-матрицами — не слишком
образное название! (Согласно принятому соглашению, нам совершенно неважно,
верхний или нижний индекс имеет матрица Паули. С другой стороны, мы
определяем 7д = V^Y'•> и теперь нам не все равно, сверху или снизу стоит
у гамма-матрицы индекс; его необходимо рассматривать подобно индексу
любого лоренцевского вектора. Такое соглашение удобно, поскольку оно
позволяет записать 7м д^ = 7ддм.)
При расчетах удобным оказывается обозначение с использованием
прямого произведения: например, 7Z7J = {<?г ® гт2)(с^ <8> гтг) = (ага^ ®
^2т"2^2) = —(crVJ <g> /), и поэтому {7г,7^} — — {<гг•><**} ® I = — 25li9 как
и должно быть.
Можете убедиться в том, что размерность матриц 7м не может быть
меньше, чем 4 х 4. С математической точки зрения спинор Дирака ф должен
Уравнение Дирака
105
иметь четыре компоненты! Физическое содержание уравнения Дирака (1)
становится более понятным, если перейти в импульсное пространство:
подставляем ф(х) = J[d4p/ (2тг)4]е~грхф(р) в (1) и получаем
Ь»Р» - гпШр) = 0. (5)
В силу лоренц-инвариантности выражения (5), которую мы докажем
позднее, его физическое содержание можно исследовать в любой системе
координат. В частности, мы можем рассмотреть его в системе покоя р^ =
= (т, 0), где уравнение сводится к виду
(7° - 1)V - 0. (6)
Так как (70 — I)2 = —2(7° — 1), мы узнаем в (70 — 1) проектор с точностью
до тривиальной нормировки. В самом деле, записав (3) в явной форме, мы
видим, что в уравнении Дирака нет ничего таинственного: в явном виде
формула (6) равна
(S !)*-".
то есть две из четырех компонент в ф равны нулю.
Это вполне осмыслененное утверждение, поскольку известно, что
электрон имеет 2 физические степени свободы, а не 4. В этом свете
загадочное уравнение Дирака является ни больше ни меньше чем
проекцией, избавляющей нас от нежелательных степеней свободы. Сравним
полученный результат с уравнением движения массивной частицы со спином 1
(глава 1.5). Для него мы также отбрасывали одну из четырех компонент Лм.
Действительно, уравнение Клейна-Гордона (д2 + тп2)(р(х) = 0
выкидывает те фурье-компоненты <р(к)9 которые не удовлетворяют условию массовой
поверхности к2 = га2. Из наших рассуждений вытекает единый взгляд на
уравнения движения в релятивистской физике: эти уравнения просто
отбрасывают нефизические составляющие.
Удобное обозначение, введенное Фейнманом: ф = 7мад для
произвольного 4-вектора ам, сейчас стало стандартным. Уравнение Дирака при этом
имеет вид (г^ — т)ф = 0.
Родственники гамма-матриц
При преобразовании Лоренца x,v = Л^хм четыре компоненты
векторного поля А^ преобразуются как вектор. А как преобразуются 4
компоненты ф! Конечно же, не так, как А^, ведь даже при вращении поля ф и А^
106
Глава II. 1
преобразуются неодинаково: одно — как спин 1/2, а другое — как спин 1.
Запишем ф(х) —> ^(х') = S(A)ip(x) и попытаемся определить 4 х 4-мат-
рицу 5(Л).
Для начала было бы неплохо выбрать (и обозначить) 16 линейно
независимых матриц размерностью 4x4. Пять из них мы уже знаем: единичная
матрица и четыре матрицы 7м- Стратегия заключается в простом
умножении 7м друг на друга, в результате чего образуется больше 4 х 4-матриц.
Перемножаем таким образом до тех пор, пока не получим все 16 матриц.
Поскольку квадрат гамма-матрицы 7м равен ±1, а 7м антикоммутируют
друг с другом, достаточно рассмотреть только 7/i7l/> 7М7*/7Л и 7/х7^7Л7р
с отличными друг от друга д, г^, А и р. Таким образом, единственным
произведением четырех гамма-матриц, которое мы должны рассмотреть,
является
75 = Z7V7273- (?)
Эта комбинация настолько важна, что она имеет свое собственное имя!
(Происхождение сего странного имени связано с тем, что в некоторых
старомодных обозначениях временная координата называлась х4 с
соответствующей 74) Имеем
75 = г(1<g> тзХа1 <g> гт2)(а2 <g> гт2)(а3 <8> гт2) = г4(/ <g> r3)(a1a2as <8> т2)
и поэтому
75 = /®т1 = (5 J). (8)
Восстановив множитель г, видим, что матрица 75 явно является эрмитовой.
Ее важной особенностью является то, что 75 антикоммутирует со всеми 7м*
{75,7"}=0. (9)
Далее, видим, что произведение трех различных гамма-матриц может
быть записано как 7М75 (например, у1^2^3 = _$7075). Наконец,
используя (2), можно записать произведение двух гамма-матриц как 7^7^ = if* ~
— ia^u, где
а"" = 1(7", 7"]. (10)
Всего имеется 4 • 3/2 = 6 таких а^-матриц.
Подсчитаем их все и получим число 16. Множество 16 матриц
{1,7м, сгД1/, 7Д75> 75} образует полный базис в пространстве всех 4 х
4-матриц, то есть любую 4 х 4-матрицу можно записать в виде линейной
комбинации этих 16 матриц.
Уравнение Дирака
107
Полезно записать a^v в явном виде, используя представления (3) и (4):
"''"''''("о' «г")' <12)
Видим, что сг*-7 являются просто удвоенными матрицами Паули, например,
Преобразование Лоренца
Вспомним из курса квантовой механики, что произвольное вращение
может быть записано в форме егвз\ где J — три генератора вращения,
а в — три параметра вращения. Вспомним также, что группа Лоренца
содержит, помимо вращений, еще и собственные преобразования Лоренца
(бусты) с тремя соответствующими генераторами К. Из курса
электромагнетизма вспомним, что 6 генераторов {J, К} преобразуются под
действием группы Лоренца как компоненты антисимметричного тензора, подобно
электромагнитному полю F^, и поэтому могут быть обозначены как JMl/.
Более подробно обсудим это в главе II.3. В настоящий момент достаточно
запомнить, что, используя такое обозначение, мы можем записать преобра-
зование Лоренца в виде Л = е 2 **" , где J2J порождают вращения, J°l
порождают бусты, а антисимметричный тензор равен uo^v = —6cVM, шесть
составляющих которого (6 = 4- 3/2) соответствуют трем вращениям и трем
бустам.
Опираясь на предыдущие рассуждения и тот факт, что у нас есть шесть
матриц а^, можно ожидать, что с точностью до общего численного
множителя матрицы а^и должны представлять собой 6 генераторов J^v
группы Лоренца, действующей на спинор. Действительно, это предположение
1 • rij
подтверждается анализом того, как действует вращение е 2 .
Возвращаясь к (12), видим, что если бы Jlj были равны гаи, то это в точности
соответствовало бы тому, как частица со спином 1/2 преобразуется в
квантовой механике. Более точно, разобьем четыре компоненты дираковского
108
Глава II. 1
спинора на две группы по две компоненты:
-iu> -a3
Из (12) следует, что при вращении вокруг третьей оси ф —> е 2 ф
и^-^е 12 2 х- Приятно видеть, что ф и \ преобразуются как 2-компо-
нентные спиноры Паули.
Таким образом, мы пришли к выводу, что преобразование Лоренца Л,
действующее на ф, представляется в виде 5(Л) = e-(*/4)<*V/cr'"/j и поэтому,
действуя на ф, генераторы J^v в самом деле равны -о^'. Следовательно,
можно ожидать, что если ф(х) удовлетворяет уравнению Дирака (1), то
ф'{х') = 3(Л)ф(х) будет удовлетворять уравнению Дирака в штрихованной
системе отсчета
(Н^ - т)ф'(х') = 0, (14)
где д^ = д/дх'^. Чтобы это доказать, вычислим [crMi",7A] = 2i(jflrjuX —
— 71/^/хЛ] и, следовательно, для бесконечно малого и получим SixS~~l =
= 7м — (г/4)^/д/[о"М1/,7Л] = 7Л + 7Ма;^- Строя конечное преобразование
Лоренца из комбинации бесконечно малых преобразований (так же, как при
обсуждении группы вращений в квантовой механике), получаем S^S-1 =
= л£7д.
Билинейные комбинации дираковских полей
Алгебра Клиффорда говорит нам, что (7°)2 = +1 и (Y)2 = —1, и,
таким образом, указывает на необходимость г в (4). Одним из следствий такой
необходимости в г является то, что 7° оказывается эрмитовой, в то время
как 7г являются антиэрмитовыми. Этот факт удобно выразить следующим
образом:
(y)t = 7<у7о. (15)
Таким образом, билинейная комбинация ф^^ф не является эрмитовой, как
вы могли подумать; эрмитовой же является ф^ф с_ф = ф^°.
Необходимость введения в релятивисткой физике параметра ф, помимо ф\
обуславливается (+,—,—, —)-сигнатурой метрики Минковского.
Оказывается, (а^У = 70сгД1/7°- Следовательно, S(A)t =
_ ^о^г/^ш^а'^^о (что? кстати, явно указывает на то, что S не является
Уравнение Дирака
109
унитарным — этот факт нам известен из условия неэрмитовости <toO> и
поэтому
ф'^х') = ^(я)^(Л)Ч° = Ф(х)е+М4^>"а"\ (16)
Имеем
ф\х')ф'{х') =ф(х)е+^4)ш^а'лие-^А)ш^<г'лиф(х) = ф{х)ф(х).
Вы, вероятно, привыкли писать ф^ф в нерелятивистской физике. В
релятивистской физике вы должны привыкнуть писать фф. Именно фф, а не ф*ф,
преобразуется как лоренцевский скаляр.
Очевидно, что существует 16 билинейных комбинаций дираковских
полей фГф, соответствующих 16 линейно независимым Г. Теперь можете
рассмотреть, как преобразуются различные фермионные билинейные
комбинации (упражнение И. 1.1). Используемое обозначение очень удачно:
различные объекты преобразуются так, как им и следовало бы. Мы просто
смотрим на их лоренцевские индексы. Таким образом, ф(х)^ф(х)
преобразуется как лоренцевский вектор.
Четность
Важной дискретной симметрией в физике является четность, или
зеркальное отражение1
х» -W = (x°,-£). (17)
Умножим уравнение Дирака (1) на 7°- 7°(^7м^м ~~ тп)ф(х) = 0 = (ij^d^ —
— т)/у°ф(х)9 где д'^ = д/дх'*1. Таким образом
ф\х') = ггу°ф(х) (18)
удовлетворяет уравнению Дирака в пространственно-отраженном мире
(где 7] является произвольной фазой, которую можно положить равной 1).
Обратите внимание, что, например, ф (х')фг(х') = ф(х)ф(х), но
ф {хг)^ъф'{х!) = ф(х)"у0^ъ^°ф(х) = —ф(х)ч5Ф(х). При преобразовании
'Вращение состоит из всех линейных2 преобразований хг —► R^xK таких что det R =
■-— +1. Преобразования с det Я = — 1 состоят из отражения с последующим вращением.
В (3 + 1)-мерном пространстве-времени отражение можно определить как изменение
знака одной из пространственных координат или всех трех пространственных координат. Эти
две операции связаны вращением. Заметьте, что зеркальное отражение в нечетномерном
пространстве-времени не эквивалентно инверсии пространства, при котором меняется знак всех
пространственных координат (см. упражнение II. 1.11).
2Точнее ортогональных. — Прим. ред.
по
Глава II. 1
Лоренца ф(х)"у5ф(х) и ф(х)ф(х) преобразуются одинаковым образом, но
при пространственном отражении они преобразуются прямо
противоположно друг другу; иными словами, в то время как ф(х)ф(х) преобразуется
как скаляр, ф{х)^ъф{х) преобразуется как псевдоскаляр.
Теперь вы уже в состоянии выполнить крайне важные упражнения
к этой главе.
Дираковский лагранжиан
Интересный вопрос: какой лагранжиан приводит к уравнению Дирака?
Ответ таков:
С = ф(гр - т)ф. (19)
Поскольку ф — комплексное поле, для_вывода уравнения движения
Эйлера -Лагранжа можно варьировать фиф независимо друг_от друга.
Таким образом, д^дС/бд^ф) — 5£/5ф = 0 дает да(гф^) + тф = 0, что
в условиях эрмитова сопряжения и умножения на 7 приводит к уравнению
Дирака (1). Другое вариационное уравнение д^,(5С/8дцф)—5С/дф = 0 дает
нам уравнение Дирака еще более непосредственно. (Если вам не нравится
несимметричное рассмотрение фиф, вы всегда можете проинтегрировать
в действии по частям так, что 9М в лагранжиане будет действовать на ф,
а затем взять среднее от этих двух форм лагранжиана. В действие S =
= J d4x С поля фиф входят симметрично.)
Медленные и быстрые электроны
Для данного набора гамма-матриц легко решить уравнение Дирака
[ф - т)ф(р) = 0 (20)
относительно ф(р): оно представляет собой простое матричное уравнение
(см. упражнение И. 1.3).
Заметьте, что если кто-то использует гамма-матрицы 7м» вы вправе
вместо этого использовать 7/д — W~1^W с произвольной обратимой
4 х 4-матрицей W. Очевидно, что 7/д также удовлетворяют алгебре
Клиффорда. Такая свобода выбора соответствует простому изменению базиса.
Физика не зависит от выбора базиса, зато выбор наиболее удобного базиса
зависит от физики.
Например, предположим, что мы исследуем медленно движущиеся
электроны. Используем для этого базис, определенный в (3) и (4), и двух-
компонентное разбиение ф (13). Из (6) следует, что для покоящегося элек-
Уравнение Дирака
111
трона х(р) — 05 поэтому можно ожидать, что для медленно движущегося
электрона х{р) будет много меньше, чем ф(р).
В противоположность этому, для импульсов, намного превышающих
массу, можно приближенно записать (20) как фф{р) = 0. Умножая
слева на 755 видим, что если ф(р) является решением, то ^ъф{р) также
является решением, поскольку 75 антикоммутирует с 7м. В силу того, что
(75)2 = 1> мы можем построить два проекционных оператора Рь = ~(1 —
— 75) иРд = ^(1 + 75)> удовлетворяющих условиям Р% = Pl, Pr = Pr
и PlPr = 0. Чрезвычайно полезно ввести две комбинации фь = ^(1— 1Ъ)Ф
и фя = ^(1 + 75)'0- Обратите внимание, что ^ъфь = ~Фь и 75фя = +фя.
Говоря физически, релятивистский электрон имеет две степени свободы:
он может вращаться либо по, либо против часовой стрелки вокруг
направления движения. В качестве упражнения докажите, что фь и фл
соответствуют именно этим двум возможностям. Индексы L и R указывают на
то, левой или правой является частица. Таким образом, для быстро
движущегося электрона более удобным оказывается базис, известный как базис
Вейля, в котором диагональной оказывается матрица 75, а не 7°- Вместо (3)
выбираем
7° =(5 о)=/®Т1- <21>
7г остаются теми же самыми, что в (4). Так определяется базис Вейля.
Вычислим теперь матрицу
75 = 27V7273 = ^(/®r1)(aV2a30z3r2) = -(/0r3)=^"o/ °\ (22)
которая в самом деле оказывается диагональной, как мы того и хотели.
Разложение на левые и правые поля, естественно, не зависит от нашего
выбора базиса. Однако в базисе Вейля у нас есть одно хорошее свойство:
фь имеет две верхние компоненты, а фц — две нижние. Спиноры фь и фц
называются спинорами Вейля.
Обратите внимание, что при переходе от базиса Дирака к базису
Вейля 7° и 75 меняются местами (с точностью до знака):
Дирак: 7° диагональна, Вейль: 75 диагональна. (23)
Каким базисом пользоваться, зависит от физики: когда мы имеем дело
с медленными частицами со спином 1/2, то предпочтительнее иметь диа-
112
Глава II. 1
тональной матрицу 7 > в то время как для быстро движущихся частиц со
спином 1/2 удобнее иметь диагональной 75-
Замечу мимоходом, что если мы определим сг^=(7, а) и а^=(1, —<?),
то в базисе Вейля можно записать
7 " ^ о у
в более компактной форме. (Более подробно данный вопрос обсуждается в
приложении Е.)
Киральность
Вне зависимости от того, является ли дираковское поле ф(х)
массивным или безмассовым, чрезвычайно полезно разбить ф на левое и правое
поля ф(х) = фь(х) + ^r(x) = 4(1 — 1ъ)Ф{х) + 4(1 + /у5)ф(х). В качестве
упражнения покажите, что лагранжиан Дирака можно записать в виде
С = ф({р - т)ф = фьг@фь + Фягрфя - т(фьфц + фнфь). (24)
Кинетическая энергия связывает левое поле с левым, а правое поле с
правым, тогда как массовый член связывает левое поле с правым, а правое
поле с левым.
Преобразование ф —» егвф оставляет лагранжиан С инвариантным.
Применяя теорему Нётер, получаем связанный с этой симметрией
сохраняющийся ток JM = ф^ф. Проецируя на левые и правые поля, видим, что
они преобразуются одинаково: фь -» ег9фь и фа —> ег9фц.
Если т = О, то С обладает дополнительной симметрией,
известной как киральная симметрия, относительно _которой ф —> e^7^-
Теорема Нётер гласит, что киральный ток J5m = ф^^ъф сохраняется. Левые
и правые поля преобразуются противоположным образом: фь —► е~г<^фь
и фR —> е^фл. Все вышесказанное становится особенно очевидным, если
выразить С через фь и фя, как в (24).
В 1956 году Ли и Янг выдвинули предположение, согласно которому
слабое взаимодействие не сохраняет четность. Со временем стало понятно
(мне пришлось опустить замечательную главу, в которой бы
рассказывалось о развитии физики элементарных частиц, но я настоятельно советую
вам прочитать об этом!), что лагранжиан слабого взаимодействия в общей
форме записывается как
С = Сф1Ь^ф2ьФъь1^ь,
(25)
Уравнение Дирака
113
где ?/>1,2,з,4 обозначают четыре дираковских поля, a G — константу связи
Ферми. Очевидно, что лагранжиан нарушает четность: при
пространственном отражении левые поля преобразуются в правые поля и наоборот.
Впредь, когда я буду говорить, что лагранжиан имеет определенную
форму, я буду включать в лагранжиан только один или несколько значимых
членов, как в (25). Остальные члены в лагранжиане, такие как ф^г^ ~
— mi)^i, будут только подразумеваться. Если член не является эрмитовым,
то подразумевается, что мы также добавляем в лагранжиан эрмитово
сопряженный.
Взаимодействия
Как мы видели в (25), что с помощью билинейных комбинаций по
спинорному полю, классификацию которых вы получили в упражнении,
легко ввести взаимодействия. В качестве другого примера можно связать
скалярное поле <р с полем Дирака, добавив член дц>фф (с произвольной
константой связи д) в лагранжиан С = ip(ift — т)ф (и, конечно же, добавив
лагранжиан для </?). Аналогичным образом можно связать векторное
поле Ац, добавив член еА^ф^ф. Обратите внимание, что в этом случае мы
можем определить ковариантную производную D^ = d^ — геА^ и записать
С = ф(г$ — т)ф Л- еА^ф^ф = ф(1^0ц — т)ф. Таким образом,
лагранжиан дираковского поля, взаимодействующего с векторным полем массой /i,
имеет вид
С = W-fD» - т)ф - \F^F^ - \ц2А„А». (26)
Если масса /ijpaBHa нулю, имеем лагранжиан квантовой электродинамики.
Варьируя по ф, получаем уравнение Дирака в присутствии
электромагнитного поля:
[^(д„-1еА^-т]ф = 0. (27)
Зарядовое сопряжение и антиматерия
Взаимодействие с электромагнитным полем связано с понятием заряда
и, следовательно, зарядового сопряжения. Попробуем изменить знак
заряда е. Возьмем комплексное сопряжение от (27): [—i^*(d^-\-ieA^)—т]ф* =
= 0. Комплексно сопрягая (2), мы видим, что —7м* также
удовлетворяют алгебре Клиффорда и, стало быть, должны выражаться матрицами 7м,
114
ГЛАВА II. 1
записанными в другом базисе, то есть существует такая матрица С70
(обозначение с явным множителем 7° является стандартным; см. ниже), что
—у** = (С7°)~17М(С7°)- Подставляя, получаем
[г^(дц + геЛд) - т]фс = 0, (28)
где мы определили фс = Cj°ip*. Таким образом, если ф является полем
электрона, то фс является полем частицы с зарядом, противоположным
заряду электрона, но с такой же, как у электрона, массой, то есть полем
позитрона.
Открытие антиматерии было одним из самых значимых в физике
двадцатого столетия. Более подробно об антиматерии мы поговорим в
следующей главе.
Может оказаться полезным посмотреть на конкретную форму матрицы
зарядового сопряжения С. Определяющее уравнение для С можно записать
в виде С7°7/**7°С-1 = —7м- Комплексно сопрягая уравнение (7мУ =
_ узуху^ получаем (7м)т = ^Оу*^ если 7° — вещественная матрица.
Таким образом,
(7м)Т = -С" VC (29)
что объясняет, почему С необходимо задавать с добавлением 7°-
В обоих базисах Дирака и Вейля 72 является единственной мнимой
гамма-матрицей. Значит, определяющее уравнение для С свидетельствует
о том, что С70 коммутирует с 72> но антикоммутирует с тремя другими
7-матрицами. Отсюда очевидно, что С = 727° [с точностью до
произвольной фазы, которая не фиксируется уравнением (29)] и действительно
727м*72 = 7м- Заметьте, что имеет место простое (и удовлетворяющееся)
соотношение
фс = ^ф\ (30)
Вы можете легко убедиться в том (упражнение 8), что зарядовое
сопряжение левого поля является правым и наоборот. Этот факт, как мы увидим
позднее, оказывается ключевым при построении теории великого
объединения. Экспериментально установлено, что нейтрино является левым полем.
Таким образом, уже сейчас можно предсказать, что антинейтрино — это
правое поле.
Более того, фс преобразуется как спинор. Давайте проверим: при
преобразовании Лоренца ф —> е-(г/4)иц»°'1 ф с учетом
комплексного сопряжения имеем ф* —► e+(*/4)wM«'(<7'"') *ф*; следовательно, фс —*•
y2e+(i/4)w^(*'"T^* = е-М^^фс. [Вспомните из (10), что в
определении а^у явно присутствует г.]
Уравнение Дирака
115
Обратите внимание, что в обоих базисах Дирака и Вейля Ст = 7°72 —
= -С.
Майорановское нейтрино
Поскольку фс преобразуется как спинор, Майорана3 заметил, что ло-
ренц-инвариантность допускает не только уравнение Дирака И/)ф = тф, но
и уравнение Майораны
г</)ф = тпфс. (31)
Комплексно сопрягая это уравнение и умножая на j2, мы получаем —
_72ry/i*dM/0* = гу2т(—/у2)ф, то есть ifiiftc — m<0- Таким образом, — д2ф =
= г^{1^ф) = г^тпфс = гп2ф. Как мы и предполагали, m в самом деле
является массой, называемой майорановской массой, частицы, связанной
с полем ф.
Уравнение Майораны (31) можно получить из лагранжиана4
С = фг^ф - ±т{фтСф + фСфТ), (32)
варьируя по ф.
Так как ф и фс несут противоположный заряд, уравнение Майораны,
в отличие от уравнения Дирака, может применяться только к электрически
нейтральным полям. Однако раз фс является правым при условии, что ф —
левое поле, то уравнение Майораны, опять же в отличие от уравнения
Дирака, сохраняет спиральность. Уравнение Майораны, таким образом,
практически идеально подходит для описания нейтрино.
По замыслу нейтрино предполагалось безмассовым, но несколько лет
назад экспериментаторы обнаружили, что оно имеет очень малую, но не
нулевую массу. На момент написания этой книги остается неизвестным,
является ли масса нейтрино дираковской или майорановской. В главе VII.7
мы увидим, что маиорановская масса для нейтрино естественно возникает
в 50(10)-теории великого объединения.
И наконец, может быть, что ф = фс, в этом случае ф называется май-
орановским спинором.
3Карьера Этторе Майорана была блестящей, но трагически короткой. В возрасте 32 лет он
пропал без вести около побережья Сицилии во время лодочной прогулки. Истинная причина
его смерти остается загадкой.
4Вспоминая, что С является антисимметричной, можно предположить, что ipTCip =
= Capipaip0 обращается в нуль. В последующих главах мы узнаем, что ip необходимо
рассматривать как антикоммутирующие «грассмановы переменные».
116
Глава II. 1
Обращение времени
Наконец мы добрались до обращения времени5, которое, как вы,
вероятно, знаете, гораздо труднее понять, чем четность или зарядовое
сопряжение. В знаменитой статье 1932 года Вигнер показал, что обращению
времени соответствует антиунитарный оператор. Так как эта особенность
появляется уже в нерелятивистской квантовой физике, то, в некотором
смысле, книга по релятивистской теории поля не обязана разъяснять, почему
обращение времени соответствует антиунитарному оператору. Тем не
менее я постараюсь как можно более доступно это объяснить.
Воспользуюсь для этого подходом: «пусть физика, а точнее, уравнения направляют
нас».
Рассмотрим уравнение Шредингера i{d/dt)^{t) — #Ф(£) (пусть,
для определенности, Н — — (l/2m)V2 + V(x) описывает всего лишь
простую одночастичную нерелятивистскую квантовую механику).
Опускаем зависимость Ф от х. Рассмотрим преобразование t —> t' — —t.
Необходимо найти такую Ф'(0> что ъ{д/дЬ')Ч?'(t') = HW(tf).
Запишем Ф'(£') = ТФ(^), где Т — некоторый оператор, подлежащий
определению (с точностью до некоторого фазового множителя ту).
Подставляя, получаем г[д/д(—£)]ТФ(£) = HT^(t). Умножая на Т-1, получаем
T-1{-i)T{d/dt)^{t) = T-lHT^(t). Так как Я ни в каком виде не
содержит t, мы хотим, чтобы Т~1Н = НТ~г. Тогда T-1(-i)T(d/dt)^f(t) =
= H^(t). Как и Вигнер, мы вынуждены сделать заключение, согласно
которому
T~l{-i)T = i. (33)
Проще говоря, в квантовой физике время появляется вместе с г, и поэтому,
изменение знака времени также означает изменение знака г.
Пусть Т = UK, где К комплексно сопрягает все, что стоит от него
справа. Тогда Т-1 = KU~l и (33) остается справедливым, если U~1iU =
= г, то есть если U~l является обычным (унитарным) оператором, который
ничего не делает с г. В дальнейшем мы определим U. Присутствие К
делает Г «антиунитарным».
Проверим, что все это работает для бесспиновой частицы в
состоянии плоской волны Ф(£) = ег(к'*-Е*). Подставляя, получаем Ф'(£') =
= ГФ(£) = UKV(t) = U4f*(t) = £/е-*(£**-я*); Так как Ф состоит только
5Кстати, я не думаю, что мы до конца осознаем все следствия инвариантности
относительно обращения времени. См. A. Zee, «Night thoughts on consciousness and time reversal» in: Art
and Symmetry in Experimental Physics, pp. 246-249.
Уравнение Дирака
117
из одной компоненты, U есть простой фазовый множитель6 г), который мы
можем выбрать равным 1. Переписывая, получаем Ф'(£) = е~г^к'х+Е^ =
_ ei(-k-x-Et)^ g самом деле, Ф' описывает плоскую волну,
распространяющуюся в противоположном направлении. Очень важно, что Ф'(0 ^ е~гЕЬ и,
следовательно, имеет положительную энергию, как и должно быть.
Обратите внимание, что при действии на бесспиновые частицы Т2 = UKUK =
= UU*K2 = +1.
Далее рассмотрим нерелятивистский электрон со спином 1/2.
Действуя Т на состояние I п 1 со спином, направленным вверх, мы хотим
получить состояние со спином, направленным вниз, ( 1 1. Таким образом, нам
нужна нетривиальная матрица U = rja2, изменяющая направление спина:
Аналогично при воздействии Т на состояние со спином, направленным
вниз, появляется состояние со спином, направленным вверх. Обратите
внимание, что при действии на частицу со спином 1/2
Т2 = г\а2Кг)а2К = г)а2г}*а2КК = -1.
Этим объясняется вырождение Крамера: в системе с нечетным числом
электронов в электрическом поле, неважно насколько сложным, каждый
энергетический уровень является двукратно вырожденным. Доказательство
очень простое: так как система инвариантна относительно обращения
времени, Ф и ТФ имеют одинаковую энергию. Предположим, что они
фактически представляют одно и то же состояние. Тогда ТФ = егаФ, но при этом
Г2Ф = Г(ГФ) = Те*аФ = е"*аТФ = Ф ф -Ф. Поэтому Ф и ГФ должны
представлять два различных состояния.
Все эти удивительные вещи вы, как я уже заметил, могли и должны
были выучить из курса квантовой механики. Моя же обязанность здесь
состоит в том, чтобы показать вам, как все это работает для уравнения Дирака.
Умножая (1) слева на 7°, имеем i(d/dt)^(t) = Hip(t) с Н = —г7°7г^г +
+7°т- Еще раз подчеркну, что мы хотим получить i(d/dt')ipf(t') = H^f(tf)
с il>'(t') = Ttp(t) и некоторым оператором Т, который и предстоит
определить. Предыдущие рассуждения остаются в силе, если Т~гНТ = Н, то
6Это именно фазовый множитель, а не произвольное комплексное число, потому что мы
накладываем условие |Ф'|2 = |Ф|2.
118
Глава II. 1
есть KU~lHUK = Н. Таким образом, мы требуем KU~l^UK = 70
и KU~1(i'y0rYl)UK = гу°7г- Умножая на К слева и справа, мы видим, что
необходимо найти такое U, для которого U~lr)QU = 70* и U~1/ylU = — 7**-
Теперь ограничимся рассмотрением базисов Дирака и Вейля, в каждом из
которых мнимым объектом является /у2. Итак, что изменяет знак 71 и j3,
но не изменяет знак 7° и 72? Ну, хорошо, подойдет С/ = 777 *73 (с
произвольным фазовым множителем 77):
</>'(0 = W73K^(t). (34)
Так как 7г одинаковы в обоих базисах Дирака и Вейля, для каждого из них
из (4) получаем
U = г)((т1 0 гт2)(сг3 ® гт2) = rjia2 <g> l.
Как мы и предполагали, при действии на двухкомпонентные спиноры,
содержащиеся в ф9 оператор обращения времени Т умножает их на га2.
Заметьте также, что, как и в нерелятивистском случае, Т2/ф = —ф.
От вашего внимания, вероятно, не ускользнуло то, что 7° присутствует
в операторе четности (18), 72 в зарядовом сопряжении (30), а 7Х73 в
обращении времени (34). Если заменить дираковскую частицу на ее
античастицу и обратить пространство-время, то появится 75-
СРТ-теорема
Существует основополагающая теорема, утверждающая, что любая
локальная лоренц-инвариантная теория поля должна быть инвариантна
относительно7 CVT — совместного действия зарядового сопряжения, четности
и обращения времени. Наивное доказательство сводится к проверке того,
что любое локальное лоренц-инвариантное взаимодействие, какое бы вы
ни написали (к примеру, (25)), даже если оно нарушает зарядовое
сопряжение, четность или обращение времени по отдельности, обязательно будет
сохранять CVT. Для более строго доказательства необходим гораздо
более сложный формализм, который я не буду здесь развивать. Советую вам
почитать о феноменологическом исследовании зарядового сопряжения,
четности, обращении времени и CVT, — несомненно одной из захватывающих
глав истории физики8.
7Довольно педантичный вопрос, но, возможно, неясный для некоторых студентов: я четко
провожу различия между действием зарядового сопряжения С и матрицей С: зарядовое
сопряжение состоит в комплексном сопряжении т/> с последующим перемешиванием ее компонент
с помощью С'у0. Аналогично я различаю оператор обращения времени Т и матрицу Т.
8См., например, J.J. Sakurai, Invariance Principles and Elementary particles и E. D. Commins.
Weak Interactions.
Уравнение Дирака
119
Две истории
Закончу главу двумя из моих любимых физических историй — одной
короткой и одной длинной.
Общеизвестно, что Поль Дирак был немногословен. Дик Фейнман
рассказывал, что, когда он впервые встретил Дирака на одной из конференций,
тот после долгого молчания сказал: «У меня есть уравнение; у вас тоже?»
Энрико Ферми обычно не делал записей, но во время конференции
1948 года в Поконо (см. главу 1.7) сделал подробную запись лекции
Юлиана Швингера. После возвращения в Чикаго он собрал группу из двух
профессоров — Эдварда Теллера и Грегори Вентцеля — и четырех студентов
старших курсов — Джеоффа Чу, Мерфи Голдбергера, Маршала Розенблю-
та и Чен-Нинг Янга (все позднее стали очень известными). Группа
собиралась в офисе Ферми несколько раз в неделю каждый раз на несколько
часов, чтобы вместе осмыслить, что такое сделал Швингер. После шести
недель все были утомлены. Тогда кто-то спросил: «А Фейнман тоже делал
доклад?» Три профессора, посещавших конференцию, подтвердили это. Но
при расспросе выяснилось, что ни Ферми, ни Теллер, ни Вентцель не могли
вспомнить, что же именно говорил Фейнман. Все, что они запомнили, было
его странное обозначение: перечеркнутое р9.
Упражнения
II. 1.1. Покажите, что следующие билинейные комбинации спинорного поля фф,
фу^ф, фа^иф, ф^^ъф и фу5ф преобразуются под действием группы
Лоренца и четности соответственно как скаляр, вектор, тензор, псевдо-
или аксиальный вектор и псевдоскаляр. [Указание: например, при
бесконечно малом преобразовании Лоренца имеет место ф^^ъф —* ^[1 +
+ (i/4)cjcr]7^75[l — (i/tywty, а ПРИ четности —► ^7°7М757°^- Получите
эти законы преобразования и покажите, что они определяют аксиальный
вектор.]
II. 1.2. Выразите все билинейные комбинации из предыдущего упражнения через
фь и фя.
II. 1.3. Решите явно (ф — т)ф(р) = 0 (в силу вращательной инвариантности
достаточно решить это уравнение для р вдоль, например, третьей оси).
Проверьте, что для медленно движущегося электрона х действительно много
меньше ф. Что происходит для быстро движущегося электрона?
II. 1.4. Используя тот факт, что для медленно движущегося электрона х много
меньше ф, получите приближенное уравнение, которому удовлетворяет ф.
9С. N. Yang, Lectures at the Schwinger Memorial Session of the American Physical Society
Meeting in Washington D.C., 1995.
120
Глава II. 1
II. 1.5. Выполните поворот вокруг оси z для релятивистского электрона,
движущегося вдоль оси z. Другими словами, исследуйте действие е-^4^
на ф(р) и проверьте сделанное в тексте утверждение о фь и фл.
II. 1.6. Явно покажите, что (25) нарушает четность.
II. 1.7. Очевидно, что определяющее уравнение для С фиксирует С лишь с
точностью до общей константы. Покажите, что значение константы определяется
условием (фс)с = ф-
П. 1.8. Покажите, что зарядовое сопряжение левого поля есть правое поле и
наоборот.
II. 1.9. Покажите, что фСф есть лоренцевский скаляр.
II. 1.10. Получите уравнение Дирака в (1 4- 1)-мерном пространстве-времени.
II. 1.11. Получите уравнение Дирака в (2 4- 1)-мерном пространстве-времени.
Покажите, что кажущийся безобидным массовый член нарушает четность и
обращение времени. [Указание: три матрицы 7м являются просто тремя
матрицами Паули с соответствующими множителями г.]
Глава И.2
Квантование дираковского поля
Антикоммутирование
Для квантования дираковского поля воспользуемся каноническим
формализмом из главы 1.8.
Длительное и тщательное исследование атомной спектроскопии
показало, что волновая функция двух электронов должна быть
антисимметричной по отношению к перестановке их квантовых чисел. Отсюда следует, что
мы не можем поместить два электрона на один и тот же энергетический
уровень так, чтобы они имели одинаковые квантовые числа. В 1928 году
Иордан и Вигнер продемонстрировали, как можно формализовать данное
требование антисимметричности волновой функции с помощью операторов
рождения и уничтожения электронов, удовлетворяющих
антикоммутационным соотношениям, а не коммутационным соотношениям, как в (1.8.12).
Начнем с рассмотрения состояния без электронов |0) и обозначим
через 6^ оператор рождения электрона с квантовыми числами а. Другими
словами, состояние 6JJ0) является состоянием с одним электроном,
имеющим квантовые числа а. Предположим теперь, что мы хотим иметь другой
электрон с квантовыми числами /3, и поэтому образуем состояние frt&JjO).
Для того чтобы оно было антисимметрично относительно перестановки а
и /?, мы должны иметь
{blb\} = b% + b\bi = Q. (1)
Эрмитово сопрягая, получаем {Ьа, Ьр} = 0. В частности, Ь^Ь^ = 0, так что
мы не можем породить два электрона с одинаковыми квантовыми числами.
К полученному антикоммутационному соотношению добавим
{Ьа,Ь},}=5а0. (2)
Одним из аргументов в пользу этого является наше желание иметь
оператор числа частиц, равный N = Yl^a^ как и в бозонном случае. По-
а
122
Глава II.2
кажите в одну строку, что [АВ,С] = А[В,С] + [А,С]В или [АВ,С] =
= А{В, С} — {Л, С}В. (Тот факт, что в антикоммутирующем случае стоит
знак минус, можно запомнить эвристически: чтобы антикоммутировать С
и А, мы должны протащить С через В.) Для того чтобы желаемый
оператор числа частиц работал как положено, необходимо выполнение условия
febo&a,b£l = +b£ (так что, как и обычно, АГ|0> = 0 и Nb^\0) = б£|0»,
в результате чего приходим к (2).
Поле Дирака
Обратимся теперь к свободному лагранжиану Дирака
С = ф{1$ - т)ф. (3)
Импульс, сопряженный с ф, есть 7ra = 6£/5dtipa = гф^. Можно
предвидеть, что корректная каноническая процедура требует наложения
антикоммутационного соотношения:
{М2Л*1&*)}=813)№&а0. (4)
Выведем его ниже.
Поле Дирака удовлетворяет условию
{ъР - т)ф = 0. (5)
Подставляя плоские волны tx(p, s)e~ipx и v(p, s)ewx вместо ф, получаем
(ф — т)и(р, s) = 0 (6)
и
(ф + m)v(p, s) = 0. (7)
Индекс s = ±1 указывает на то, что каждое из двух уравнений имеет два
решения: со спином, направленным вверх, и спином, направленным вниз.
Очевидно, что при преобразовании Лоренца два спинора и и v
преобразуются так же, как ф. Таким образом, если определить й = г^7° и ^ = ^7°>
то йи и vv будут лоренцевскими скалярами.
Для этого сюжета характерно частое появление «особых» знаков,
поэтому я буду действовать очень осторожно и раскрою вам смысл каждого
из них.
Квантование дираковского поля
123
Во-первых, так как (6) и (7) линейны, мы должны зафиксировать
нормировку и и v. В силу того что й(р, х)и(р, s) и v(p, s)v(p, s) являются ло-
ренцевскими скалярами, условие нормировки, которое мы налагаем на них
в системе покоя, будет справедливо в любой системе отсчета.
Наша стратегия состоит в том, чтобы, используя особый базис,
проделать все в собственной системе покоя, а затем применить условие ло-
ренц-инвариантности и независимости от базиса. В покоящейся системе
координат (6) и (7) сводятся к (70 — 1)и = 0 и (70 + 1)г; = 0. В частности,
в базисе Дирака 7° = ( п _ т ) > и поэтому два независимых спинора и (со
спином s = ±1) имеют вид
111
и о '
V
а два независимых спинора v — вид
Тогда условиями нормировки, неявно выбранными нами, будут й(р, s) x
xu(p,s) = 1и v(p, s)v(p,s) = — 1. Обратите внимание на знак «минус».
Очевидно, что мы также имеем условие ортогональности у/о = 0 и vu = 0.
Лоренц-инвариантность и независимость от базиса обеспечивают
справедливость этих четырех соотношений и в общем случае.
Далее, в покоящейся системе координат
^2ua(p,s)u0(p,s) = (0 0
а(3
= |(7° + 1).
а/3
5^t7a(p,s)tJ/3(p,e) = L А = |(7° - 1)а/3-
Таким образом, в общем случае
Y^Ua(P,s)up(p,s)
ф-\-гп
2гп
(8)
а/3
124
Глава II.2
^VQ(p,5)V/3(p,s) = ( -7j^- j • (9)
s \ / a/3
Есть и другой способ получить (8). Для этого необходимо заметить, что
левая часть формулы есть 4 х 4-матрица (подобная вектор-столбцу,
умноженному справа на вектор-строку) и поэтому должна быть линейной
комбинацией шестнадцати матриц размерностью 4x4, перечисленных в
главе П.1. Докажите, что 75 и 7^75 не могут быть среди них в силу
четности, а a^v — в силу лоренц-инвариантности и того факта, что в
распоряжении имеется только один лоренцевский вектор, а именно рм.
Следовательно, правая часть формулы должна быть линейной комбинацией фит.
Зафиксируем относительный коэффициент действием ф — т слева.
Нормировка фиксируется условием a = /3 и суммированием по а. Аналогично
и для (9). В частности, положив а = /3 и суммируя по а, мы
восстанавливаем v(p, s)v(p, s) = — 1.
Теперь мы готовы преобразовать ф(х) в оператор. По аналогии
с (1.8.11) разложим поле на плоские волны1
гр(х) =
(27гу/2(Ер/ту/- ^
(Здесь Ep = po = + VP2 + m2 и Vх — Рм#м0 Нормировочный
множитель (Ер/т)1/2 несколько отличен от нормировочного множителя в (1.8.11)
по причинам, которые станут понятны вам ниже. Во всем остальном
аргументация в пользу (10) аналогична той, что имеет место для (1.8.11). Мы
интегрируем по импульсу р, суммируем по спину 5, разлагаем по плоским
волнам и даем имена коэффициентам этого разложения. В силу того что ф
комплексно, имеем оператор b и оператор d\ как и в упражнении 1.8.3, но
в отличие от (1.8.11).
Как и в упражнении 1.8.3, операторы Ъ и d1" должны нести одинаковый
заряд. Таким образом, если b уничтожает электрон с зарядом е = — |е|,
оператор d) должен уносить заряд е, то есть рождать позитрон с зарядом
-е=|е|.
Несколько слов об обозначениях: b(p, s), d)(p, s), u(p, s) и v(p, 5) в (10)
записаны как функции от 4-импульса р, но, строго говоря, они зависят
только от р, а р° всегда подразумевается равным -\-\Jp2, + га2.
•Обозначение стандартно. См., например, J.A. Bjorken and S. D. Drell. Relativistic Quantum
Mechanics (Д. А. Бьеркен и С. Д. Дрелл, Релятивистская квантовая механика).
/
Квантование дираковского поля
125
Итак, пусть ЬЦр, s) и b(p,s) являются операторами рождения и
уничтожения элеюрона с импульсом р и спином s. Из наших предварительных
рассуждений следует, что мы должны наложить условия
{b(p,s),b\p',s')} = 5W(p-i?)6ss,, (11)
{b(p,s),b(p',s')}=0, (12)
{b4p,s),b4p',s')}=0. (13)
Для операторов рождения и уничтожения позитрона d^(p, s) и d(p, s)
существует соответствующий набор соотношений, например:
{d(p,s),d*(p',s')} = <5(3)(р-£%*'• (14)
Теперь необходимо доказать, что мы в самом деле получаем (4).
Запишем
Ничего другого не остается, как двигаться вперед:
{V(x,0),^(0)} =
-/
^ЕКр,а)Цр,,)е-<«+„(Р,,№Ж«,,
)3(Ер/т)^1
если ввести b и Щ, антикоммутирующие с d и d). Используя (8) и (9),
получаем
{ф(х, 0), ф(0)} = J {2^2Ev) [0 + т)е-*г + (ф - т)е**\ =
dzp
(2тг)3(21?р)
2р070е-^ = 705(3)(^)-
/
(2тг)3(еЯр)
которое является слегка замаскированным соотношением (4).
Аналогично, записывая схематично, имеем {ф,ф} =0и {ф\ф^} = 0.
Несомненно, нормировочный множитель (Ер/т)1/2 в (10) можно
модифицировать путем включения соответствующих множителей в и и v.
Порой сообразительные студенты спрашивают, что произойдет в случае
безмассовой частицы со спином 1/2. Мы могли бы использовать
нормировочный множитель (2£'р)1/2 [подобный нормировочному множителю в (1.8.11)]
и одновременно заменить (8) и (9) на ^ ий = ф и J2 vv = ф-
126
ГЛАВА II.2
Энергия вакуума
На данном этапе важно выполнить упражнение, заключающееся в
вычислении гамильтониана, начиная с выражения для гамильтоновой
плотности
П = тг^ - С = ф(г^ • д + т)ф. (15)
Подставляя в него (10) и интегрируя, получаем
Н= fd3xH = f (13хф(г1-д + т)ф= ^Зхф^0^-, (16)
что преобразуется к виду
Н= [d3p^Ep[tf(p,s)b(p,s)-d(p,s)dHp,s)]. (17)
•* s
Рассмотрим схематично появление в (17) важного знака минус: ф в (16)
дает множитель ~ (b* + d), в то время как d/dt, действуя на ф,
привносит относительный знак минус, давая ~ (b — d)), а все вместе дает нам
~ (&t + d)(b — d^) ~ b^b — dd) (ортогональность между спинорами vu = 0
сокращает перекрестные члены).
Чтобы переписать второй член в (17) в правильном порядке, антиком-
мутируем -d(p, s)d^(p, s) = d^(p, s)d(p, s) - 6^(б) так, чтобы
H = Jd3p^Ep[ftt(p, 3)b(p, 3) + S(p, s)d(p, 5)] = -<J<3>(б) У d3p]Г Др.
5 (18)
Первые два члена указывают на то, что все электроны и все позитроны
с импульсом р и спином s имеют одинаковую энергию Ер, как и должно
быть. Но как насчет последнего члена? Эта 6^ (б) может вызывать
опасения.
Все, однако, в порядке: замечая, что S^3\p) = [l/(27r)3] J d3xel^x, мы
видим, что 5^(6) = [1/(27г)3] f d3x (аналогичный маневр используется
в упражнении 1.8.2) и поэтому вклад последнего члена в Н равен
E0 = -^Jd3xJd3pJ2^Ep) (19)
(поскольку в естественных единицах Ь = 1 и, следовательно, h = 27г). Мы
получили энергию — }уЕр, приходящуюся на каждую элементарную ячейку
Квантование дираковского поля
127
фазового пространства (l/h3)d3xd3p, с точки зрения статистической
механики: на каждый спин и на каждый электрон и позитрон по отдельности
(отсюда множитель 2). Этот бесконечный аддитивный член Eq есть аналог
энергии нулевых колебаний ^Ьи гармонического осциллятора, известной
вам из курса квантовой механики. Однако эта энергия появляется здесь со
знаком минус, что кажется странным и непривычным!
Каждая мода дираковского поля дает вклад — - %uj в энергию вакуума.
В противоположность этому каждая мода скалярного поля, как мы
видели в главе 1.8, дает вклад -^hw. Этот факт имеет решающее значение для
развития суперсимметрии, речь о которой пойдет в главе VIII.4.
Фермион, распространяющийся в пространстве-времени
По аналогии с (1.8.14), пропагатор для электрона определяется
выражением iSap(x) = (О|Т,0а(х)^/з(О)|О), где аргумент функции яр положен
равным 0 в силу трансляционной инвариантности. Позднее мы увидим, что
из-за антикоммутационного характера ф мы должны определять
упорядоченное по времени произведение со знаком минус, то есть
Тф{х)Щ) = в(х°)<ф(х)ф(0) - в(-х0)ф(0)ф(х). (20)
Принимая во внимание (10), для х° > 0 получаем
iS(x) = <0|V(*W0)|0> = f f0 ** .£>(?, a)S(p,s)e
э—грх _
I
d3p ф + тп _t
(2тг)3(£р/т) 2т
грх
В случае х° < 0 мы должны быть более осторожными со спинорными
индексами:
iSa0(x) = -(0|^(0)^а(х)|0> =
^Р \ Л— /~ Л\Л. /~ Л\Л—грх
J (2ж)3(Ер/тп)^
d3P I
(2п)3{Ер/тп)У 2m ) af
/d3p /ф — т\
(2п)3(Ер/т) \ 2т Л
где используется тождество (9).
128
Глава II.2
Объединяя, получаем
d3p
(2п)ЦЕр/т)
ад=/-
^°)4^*-ipx-e^^+ipx
■ (21)
Теперь покажем, как можно этот фермионный пропагатор более
изящно записать в виде 4-мерного интеграла:
iS(x) - i f d*p с*'* * + m - [*1
гЬ^-1] (27Г)4е p2_m2 + i£-J {2n
d*P „-ivx г (22)
(2?r)4 p2-m2 + ie J (2тг)4 ф-т + ге
Чтобы увидеть, что (22) на самом деле эквивалентно (21), проделаем,
в сущности, те же шаги, что и после получения (1.8.14). В
комплексной р°-плоскости подынтегральное выражение имеет полюсы в точках р° =
= ± л/р2 + т2 — ге ~ (Ер — ге). При х° > 0 множитель е~гр х называет
на необходимость замыкания контура интегрирования в нижней
полуплоскости. Мы обходим по часовой стрелке полюс в +{ЕР — ге) и получаем
iS(x) = (-%)% J
d3P „-iP.xt + m
(2тг)3 IE,
р
что дает первый член в (21). При х° < О мы замыкаем контур в верхней
полуплоскости и, таким образом, обходим полюс в — (Ep — ie) против часовой
стрелки. Получаем
iS(x) =i2J ^^^^^Щ^Ер!0 - in + m)
и, обращая знак р, приходим к выводу, что
есть в точности второй член в (21) со знаком минус. Таким образом, мы
обязаны определять упорядоченное по времени произведение со знаком минус,
как в (20).
После всех этих вычислений заключаем, что фермионный пропагатор
в импульсном пространстве имеет изящную форму
iS(P) = , *.- (23)
р — т + ге
Квантование дираковского поля
129
Она вполне логична: S(p) соответствует обратному оператору Дирака
ф — га, так же как пропагатор скалярного бозона D(k) = 1/(к2 — т2 — ге)
соответствует обратному оператору Клейна-Гордона к2 — га2.
Поэтические, но сбивающие с толку метафоры
В заключение этой главы позвольте мне задать риторический вопрос.
Рассказывал ли я об электроне, распространяющемся назад во времени?
Упоминал ли я море электронов с отрицательной энергией? Такой
метафорический язык, будучи использованным блестящими умами, такими как
Дирак и Фейнман, был легко запоминающимся и вдохновляющим, но, к
сожалению, запутал не одно поколение студентов-физиков и самих физиков.
Приведенное в книге изложение отвечает современному духу, при котором
мы стремимся избежать этих потенциально приводящих к недоразумениям
метафор.
Упражнения
• II.2Л. Используйте теорему Нётер для вывода сохраняющегося тока «7м =
= ф^ф. Вычислите [Q, ф], показав таким образом, что Ь и <$ несут
одинаковый заряд.
• И.2.2. Проквантуйте дираковское поле в ящике объема V и покажите, что
энергия вакуума Eq действительно пропорциональна V. [Указание: интеграл
по импульсам / d3p необходимо заменить суммой по дискретным значениям
импульса.]
Глава II.3
Группа Лоренца и спиноры Вейля
Алгебра Лоренца
В главе ИЛ мы следовали оригинальным идеям Дирака при выводе
его уравнения. Здесь мы более последовательно развиваем
математическую теорию дираковского спинора. Более глубокое понимание дираков-
ского спинора не только порождает чувство удовлетворения, но и является
необходимым, как мы увидим далее, при изучении суперсимметрии —
одной из фундаментальных концепций теории суперструн. И конечно,
большинство фундаментальных частиц, таких как электрон и кварки, несут
спин 1/2 и описываются спинорными полями.
Для начала вспомним, как действует группа вращений. Три генератора
Ji (i = 1,2,3 или x,y,z) группы вращений удовлетворяют
коммутационным соотношениям.
[Ji.Jj] = ieijkJk- (1)
При действии на пространственно-временные координаты, записанные как
вектор-столбец
х1
X2
\х\
генераторы вращения задаются эрмитовыми матрицами
Ji
ffl 0 0 0\
0 0 0 0]
0 0 0 -г
^0 0 г 0/
(2)
a J2 и 7з находятся путем соответствующих перестановок. Вы можете
проверить справедливость (1), старательно перемножая эти три матрицы.
Обратите внимание, что знаки Ji фиксируются коммутационным
соотношением (1).
Группа Лоренца и спиноры Вейля 131
Добавим теперь лоренцевский буст. Буст в направлении х = х1
преобразует пространственно-временные координаты следующим образом:
t' = (ch (p)t + (sh (p)x\ x' = (sh (p)t + (ch ф)х (3)
или, для бесконечно малого (р,
t' = t + <px; х' = х + ipt. (4)
Иными словами, бесконечно малый лоренцевский буст в направлении х
задается эрмитовой матрицей (как обычно х° = t)
ИСг
Аналогично
iK2
Запишите К% самостоятельно.
Проверьте, что [Ji,Kj] = idjkKk- Данное условие означает, что
генераторы бустов Ki преобразуются при вращении как 3-векторы, как и
следовало ожидать.
Вы сейчас готовы проделать один из самых важных вычислений
в истории физики двадцатого столетия. Получите прямым вычислением
[К\, К2). Вы обнаружите, что он равен — г J$. Два лоренцевых буста
генерируют вращение! (Из курса электромагнетизма вспомним, что полученный
математический факт ответственен за томасовскую прецессию.)
Математически генераторы группы Лоренца удовлетворяют
следующей алгебре [известной знатокам как 50(3,1)]:
[Ji,Jj\ = itijkJk, (7)
[Ji,Kj] =ieijkKk, (8)
[Ki,Kj\ = -itijkJk- (9)
Обратите внимание на крайне важный знак минус.
Как нам изучать эту алгебру? Решающим наблюдением является то,
что при образовании комбинаций J±i = ^(«Л ± iKi) алгебра разбивается
/0 10 0^
[10 0 0
0 0 0 0
\0 0 0 0У
/0 0 1 0\
0 0 0 0
10 0 0
\о о о оу
(5)
(6)
132
ГЛАВА II.3
на две части. Убедитесь, что
[J+i, J+j] = itijkJ+k, (Ю)
[J-i, J-j] = iCijkJ-k (11)
и, что более важно,
[J+ilJ-.,-]=0. (12)
Последнее коммутационное соотношение означает, что J+ и J_
образуют две независимые алгебры SU(2). Иначе говоря, алгебра 50(3,1)
изоморфна 517(2) <g> 517(2).
От алгебры к представлению
Отсюда следует, что мы можем использовать наши знания о
представлениях SU(2) для построения представлений 50(3,1). Как вы знаете, пред-
1 1
ставления SU(2) характеризуются j = 0, ^, 1^, ... Каждое представление
можно рассматривать как набор (2j + 1) объектов фт с т = —j, —j +
+1, ..., j — 1, j, которые преобразуются друг в друга под действием 517(2).
Отсюда немедленно следует, что представления 50(3,1) характеризуются
(j+, j~), где j+ и j~ принимают значения 0 ^ 1^ ... Каждое
представление состоит из (2j+ -Ь l)(2j~ +1) объектов фш+т- с га+ = — j+, — j+ +
+ 1, . . . , j+ - l,j+ И m~ = -jT, -j" + 1, . . . , j' - 1J-.
Таким образом, представлениями 50(3,1) являются (0,0), (^>0j,
(О, ^J, (1,0), (0,1), (i, i) и так далее в порядке возрастания
размерности. Ясно, что одномерное представление (0,0) тривиально, т. е.
соответствует лоренцевскому скаляру. Из размерных соображений можно ожидать,
что 4-мерное представление ( i, ^ j соответствует лоренцевскому вектору,
т. е. представлению наименьшей размерности группы Лоренца (см.
упражнение П.3.1).
Спинорные представления
Что можно сказать о представлении f i, 0 j ? Запишем эти два объекта
как фа с а = 1,2. Итак, что означает обозначение (к50)? Оно указывает
на то, что J+г = \{Ji + гК) при действии на фа соответствует -с^, тогда
Группа Лоренца и спиноры Вейля
133
как J_i = \{J% — iKi) при действии на ipa соответствует 0. Складывая
и вычитая, находим
Ji = \°i (13)
и
iKi = \°i. (14)
В этом контексте знак равенства означает «представляется как». (По
традиции, мы не будем делать различий между верхними и нижними индексами
3-мерных величин J*, Ki и сг^.)
Аналогично обозначим два объекта в (0, ~ J особенным символом \а-
Обращаю ваше внимание на тривиальный, но порой сбивающий с толку
факт: в отличие от фигурировавшей в главе 11.1 черты, черта над ха
является типографическим элементом. По желанию можете рассматривать \
как букву в хеттском алфавите. Точно так же символ а не имеет никакого
отношения к а: нельзя получить а из а. Такое довольно странное
обозначение, неформально называемое «пунктирным и непунктирным», а более
формально — обозначением Ван дер Вардена, является для наших
скромных целей несколько чрезмерным, но я ввел его потому, что именно такое
обозначение используется в суперсимметричной физике и теории
суперструн. (Между прочим, Дирак якобы жалел, что это не он придумал
систему пунктирных обозначений.) Повторяя предыдущие шаги, вы обнаружите,
что для представления (0, ^ ] имеет место Ji = ^ai и iKi = — ^сг^. Знак
минус критичен.
Двухкомпонентные спиноры фа и \а называются вейлевскими
спинорами и образуют полноценные представления группы Лоренца. Почему же
тогда дираковский спинор имеет 4 компоненты?
Причина в четности. При отражении имеем х —> —х и р —► — р и,
следовательно, J —> JhK -> - К, так что J+ <-> J_. Другими словами,
при отражении представления переходят друг в друга (^,0) <-> (О,^).
Таким образом, для описания электрона мы должны использовать оба этих
двумерных представления или, в математических обозначениях, 4-мерное
приводимое представление (i> 0 J 0 (О, ~).
Итак, из двух спиноров Вейля получаем спинор Дирака
-(£)■ "5>
134 Глава И.З
Конечно, спинор Ф(р) является функцией от 4-импульса р [и косвенно от
фа(р) и ха(р)], но мы будем опускать зависимость от р. Возвращаясь к (13)
и (14), видим, что действующие на Ф генераторы вращений задаются
следующим образом:
'- (* И
где равенство опять-таки означает «представляется как», а генераторы бу-
стов задаются как
Снова обращаю ваше внимание на крайне важный знак минус.
В силу четности мы должны рассматривать 4-мерный спинор, но,
с другой стороны, мы знаем, что электрон имеет только две физические
степени свободы. Перейдем в покоящуюся систему координат. Мы должны
избавиться от двух компонент, содержащихся в Ф(рг) с импульсом покоя
pr = (m, 0). Используя прошлый опыт, запишем проекционный оператор
как V = ^(1 — 7°)- Глядя на обозначения, вы, вероятно, уже догадались,
что 7° оказывается одной из гамма-матриц, но на данном этапе логично
предположить, что это всего лишь некоторая 4 х 4-матрица. Из условия
р2 = ?> следует, что (70)2 = 1> так что собственные значения 7° равны ±1.
Так как при отражении фа <-> ха, естественно предположить, что фа и \а
соответствуют левом и правым полям из главы II. 1. Мы не можем просто
использовать проекцию и положить, например, \а равным 0. Четность
подразумевает, что мы должны рассматривать фа и ха на равном основании.
Выбираем
или, в более явном виде,
/0 0 1 0\
10 0 0 11
1 0 0 О*
\о 1 о о/
(Разный выбор 7° соответствует разному выбору базиса,
обсуждавшемуся в главе ИЛ.) Другими словами, в покоящейся системе координат
Группа Лоренца и спиноры Вейля
135
фа — Ха — 0- Проекция на две степени свободы может быть записана как
(7° - 1)Ф(Рг) = 0. (16)
В самом деле, узнаем в полученном базис Вейля, речь о котором шла в
главе ИЛ.
Уравнение Дирака
Мы только что вывели уравнение Дирака, правда в слегка
завуалированной форме!
Поскольку наш вывод основан на поэтапном изучении спинорного
представления группы Лоренца, мы знаем, как получить уравнение,
которому удовлетворяет Ф(р) при любом р: необходимо совершить буст.
Записывая Ф(р) = е~г(?кФ(рг)9 имеем
^-гфК^^фК _ 1)ф(р) = 0. ВВОДЯ
обозначение ^р^/т = е~гФку°ег(Рк9 получаем уравнение Дирака
(7"р„ - ш)Ф(р) = 0. (17)
Проделайте все детали этого вычисления в качестве упражнения.
Приведенный здесь вывод представляет собой глубокий теоретико-
групповой подход к уравнению Дирака: он заключается в проекции,
преобразованной к произвольной системе отсчета.
Заметьте, что этот пример демонстрирует всю мощь симметрии,
которой пропитана современная физика и эта книга: наше знание того, как поле
электрона преобразуется под действием группы вращений, а именно то, что
он имеет спин 1/2, позволяет нам определить, как оно преобразуется под
действием группы Лоренца. Симметрия правит миром!
В приложении Е более подробно излагается пунктирная система
обозначений, поскольку она понадобится нам при изучении главы,
посвященной суперсимметрии.
Для более глубокого теоретико-группового понимания материала
нелишним будет перечитать главу П. 1 и сравнить ее с настоящей главой.
Упражнения
Н.3.1. Прямым вычислением покажите, что ( г,г) действительно является лорен-
цевым вектором.
136
Глава II.3
11.3.2. Установите, как преобразуются шесть объектов, содержащихся в (1,0)
и (0,1), под действием группы Лоренца. Вспомните из курса по
электродинамике, как преобразуются электрическое и магнитное поля Е и В. Покажите,
что электромагнитное поле действительно преобразуется как (1,0) 0 (0,1).
Покажите, что именно четность вынуждает нас использовать приводимое
представление.
11.3.3. Покажите, что
P-^J^ _ ( 0 е-*Л
7 \е** 0 J
и
е^47 = ch (p + В • <^sh <р,
где (р = <p/ip — единичный вектор. Полагая р = mipship, выведите
уравнение Дирака. Покажите, что
И.3.4. Покажите, как можно частицу со спином 3/2 описать вектор-спинором Фа^,
то есть спинором Дирака, несущим лоренцевский индекс. Найдите
соответствующее уравнение движения, известное как уравнение Рариты - Швингера.
[Указание: объект Фад имеет 16 компонент, которые надо свести к
количеству 2 ■ | + 1 = 4]
Глава 11.4
Связь спина со статистикой
Ничто в физическом мире так сильно не
влияет на сущность вещей, как принцип
Паули1.
Степени интеллектуальной неполноты
Из курса нерелятивистской квантовой механики вы знаете о
принципе Паули2 и его последующем обобщении, утверждающем, что частицы
с полуцелыми спинами, такие как электроны, подчиняются статистике
Ферми-Дирака и предпочитают находиться подальше друг от друга, а частицы
с целыми спинами, такие как фотоны, или пары электронов, подчиняются
статистике Бозе - Эйнштейна и любят собираться вместе. Все
ослепительное богатство физических явлений, от микроскопической структуры
атомов до макроскопической структуры нейтронных звезд, нельзя объяснить
без правила спин-статистики. Многие элементы физики конденсированных
сред, к примеру зонная структура, теория ферми-жидкости, сверхтекучесть,
сверхпроводимость, квантовый эффект Холла и т.д. и т.п., являются
следствиями этого правила.
Квантовая статистика — одна из наиболее хрупких физических
концепций — основывается на том факте, что в квантовом мире все
элементарные частицы и, следовательно, все атомы абсолютно идентичны и потому
неотличимы друг от друга3. То, что квантовая теория поля способна легко
11. Duck and E. С. G. Sudarshan, Pauli and the Spin-Statistics Theorem, p. 21.
2Будучи студентом в Кембридже, И. Ч. Стонер едва не пришел к формулировке принципа
запрета. Сам Паули в своей знаменитой работе (Zeit. f. Physik, 31: 765, 1925) утверждает, что
лишь «суммировал и обобщил идеи Стонера». Однако позднее в своей Нобелевской лекции
Паули очень скупо оценил вклад Стонера. О подробной и увлекательной истории связи спина
со статистикой читайте в процитированной мной ниже книге Дака и Сударшана.
3На раннем этапе своей жизни я прочитал в одной из популярных книг по физике
Георгия Гамова, что он не может объяснить квантовую статистику — все, что он может сделать
применительно к ферми-статистике, — это провести аналогию с известной фразой Греты
Гарбо «Я хочу быть одна» — и нужно было идти в школу, чтобы все это изучить. Возможно.
)то подвигло меня позднее также писать популярные книги по физике. См. A. Zee, Einstein's
Universe, p. x.
138
Глава II.4
и естественно объяснить полную идентичность и неразличимость частиц,
следует рассматривать как ее триумф. Каждый электрон во Вселенной есть
возбуждение одного и того же электронного поля яр. В противном случае
можно было бы представить, что электроны, о которых мы знаем в
настоящий момент, были выпущены сборочным конвейером где-то в ранней
Вселенной и могли бы несколько отличаться друг от друга из-за некоторой
халатности в процессе производства.
Несмотря на то что правило спин-статистики оказывает такое
существенное влияние на квантовую механику, для его объяснения пришлось
ждать формулировки релятивистской квантовой теории поля. Представьте
себе цивилизацию, которая в силу каких-то причин сформулировала
квантовую механику, но все еще ожидает открытия специальной теории
относительности. Физики этой цивилизации со временем осознали бы, что им
необходимо придумать некоторое правило для объяснения упомянутых
выше явлений, ни одно из которых не связано с движением, скорость которого
превышает скорость света. Физика была бы интеллектуально
неудовлетворительной и неполной.
Интересным критерием сравнения различных областей физики
является степень их интеллектуальной неполноты.
Несомненно, в физике мы часто принимаем правило, которое
невозможно объяснить до тех пор, пока мы не перейдем на следующий уровень
знаний. Например, в большинстве разделов физики мы воспринимаем как
данное, что заряды протона и электрона в точности одинаковы по
абсолютной величине и противоположны по знаку. Квантовая электродинамика
сама по себе не в состоянии объяснить сей поразительный факт. Как мы
увидим в главе VII.6, явление квантования заряда можно объяснить
только путем рассмотрения квантовой электродинамики в рамках более общей
структуры, такой как теория великого объединения. (В главе IV.4 мы
узнаем, что существование магнитных монополей предполагает квантование
заряда, но монополи не существуют в чистой квантовой электродинамике.)
Таким образом, объяснение связи спина со статистикой (Фирцем и
Паули в конце 1930-х, Людерсом и Зумино, а также Бергойном в конце 1950-х)
расценивается как один из величайших триумфов релятивистской
квантовой теории поля. Объем моей книги не позволяет привести тому общее
и строгое доказательство4. Опишу в общих чертах, какие серьезные
нарушения произойдут, если нарушить связь спина со статистикой.
4См. I. Duck and Е. С. G. Sudarshan, Paili and the Spin-Statistics Theorem, and R. F. Streater
and A. S. Wightman, PCT, Spin Statistics, and All That (Вайтман А. С, Стритер Р. РСТ, спин,
статистика и всё такое. — М.: Наука, 1966).
СВЯЗЬ СПИНА СО СТАТИСТИКОЙ
139
Цена упрямства
Основной квантовый принцип утверждает, что если две наблюдаемые
величины коммутируют, то их можно одновременно диагонализовать и,
следовательно, наблюдать. Основной релятивистский принцип утверждает,
что, если две пространственно-временные точки являются
пространственно подобными по отношению друг к другу, то никакой сигнал не может
распространиться между ними и, следовательно, измерение наблюдаемой
величины в одной из точек не может влиять на измерение другой
наблюдаемой величины во второй точке.
Рассмотрим плотность заряда Jo = г^дор — do<^V) B теории
заряженного скалярного поля. В соответствии с двумя только что
провозглашенными фундаментальными принципами, Jo(x,t = 0) и Jo(y,t = 0) должны
коммутировать при х ^ у. Вычисляя коммутатор Jo(x, t = 0) с Jo(y,t = 0)9
мы используем тот факт, что <p(af, t = 0) и dotp(x,t = 0) коммутируют
с (р(у, t = 0) и до(р(у, t = 0), так что можно просто поменять местами поля
в х и у. Коммутатор обращается в нуль практически тривиально.
Теперь предположим, что мы упрямимся и квантуем операторы
рождения и уничтожения в разложении (1.8.11)
<pfr t = 0) = / d°k [a(k)ea'* + at (fc)e"**] (l)
в соответствии с антикоммутационными соотношениями
{a{k),a\q)}^^D\k-q)
И
{a(fc),atf)}=0={at(fc),at(fl},
а не правильными коммутационными соотношениями.
Какова цена упрямства?
Теперь, когда мы пытаемся пронести Jo(y,t = 0) через Jo(x,t = 0),
необходимо пронести поле в у через поле в х, используя антикоммутатор
Ыя,* = 0),¥>(у,* = 0)}= [[ , d°k , d Q x
x {[а(*)е*Е"г+ at(fc)e-iE'df], [a($)e*** + атЙ)е"***] } =
= / d к (pik-{x-y) _|_ fi-ifc-(g-y)\ /2)
140
Глава 11.4
Вы видите, в чем состоит проблема? В обычной теории скалярного
поля, удовлетворяющего связи спина со статистикой, мы вычислили бы
коммутатор, и тогда в последнем выражении в (2) получили бы (e2M*-£) _
_ е-гМх-£))9 вместо (е*Е"(*-й + е~Л<*-й). Интеграл
/d к /сгк-(х-у) _ е-гк-{х-у)\
у/(2тт)»2ик V }
очевидно обращался бы в ноль, что очевидно, и все было бы хорошо. Со
знаком плюс мы получаем в (2) не равную нулю часть. Катастрофа, если мы
квантуем скалярное поле как антикоммутирующее! Поле со спином 0
должно быть коммутирующим. Таким образом, теория относительности и
квантовая физика объединяют свои усилия и обуславливают связь спина со
статистикой.
Иногда говорят, что благодаря электромагнетизму вы не
проваливаетесь сквозь пол, а благодаря гравитации — не воспаряете к потолку. К
тому же, если бы не было слабого взаимодействия, регулирующего горение
звезд, то вы бы проваливались или воспаряли в полной темноте. Без связи
спина со статистикой электрон не подчинялся бы принципу Паули. Материя
просто коллапсировала бы5.
Упражнения
Н.4.1. Покажите появление аналогичной проблемы для случая, если
квантовать поле Дирака с коммутаторами вместо антикоммутаторов. Вычислите
[J°(*,0),J°(0)].
5Доказательство устойчивости материи, данное Дайсоном и Ленардом, существенно
опирается на принцип Паули.
Глава II.5
Энергия вакуума, грассмановы
интегралы и фейнмановские диаграммы
для фермионов
Вакуум — это бурлящее море ничего,
полное шума и неистовства, многое
символизирующее.
Аноним
Фермионы таинственны
Я построил квантовую теорию скалярного поля (р(х) сначала в
формализме интеграла по траекториям, а затем в каноническом формализме.
Квантовую же теорию свободного поля ф(х) со спином 1/2 я построил
только в каноническом формализме. Мы узнали, что связь спина со
статистикой вынуждает полевой оператор ip(x) удовлетворять
антикоммутационным соотношениям. Из этого немедленно следует несколько странная
запись интеграла по траекториям для спинорного поля ф. В формализме
интеграла по траекториям ф{х) является не оператором, а просто
переменной интегрирования. Как отобразить тот факт, что операторный аналог
в каноническом формализме антикоммутирует?
По-видимому, мы не сможем представить ф как коммутирующую
переменную, как в отношении с ip. В самом деле, мы обнаружим, что в
формализме интеграла по траекториям ф должно рассматриваться не как
обыкновенное комплексное число, а как новое математическое понятие, известное
под именем грассманова числа.
Если задуматься над этим, то, вероятно, придем к выводу, что здесь
необходима новая математическая структура. В главе 1.3 мы обобщили
координаты точечной частицы qi (t) в квантовой механике до понятия
скалярного поля (p(x,t). Однако из квантовой механики известно, что частица со
спином 1/2 имеет одно особое свойство: ее волновая функция меняет знак
142
Глава II.5
при повороте на 2-к. В отличие от координат частицы, полуцелый спин не
является интуитивным понятием.
Энергия вакуума
Чтобы мотивировать введение грассмановых полей, рассмотрим
понятие энергии вакуума. Причина, по которой я выбрал эту на первый взгляд
странную стратегию, вскоре будет понятна.
Квантовая теория поля вначале была построена для описания
рассеяния фотонов и электронов, и позднее для рассеяния частиц. Вспомним,
что в главе 1.7 при рассмотрении рассеяния частиц мы строили диаграммы,
описывающие вакуумные флуктуации, которыми мы просто пренебрегали
(см. рис. 1.7.12). Совершенно естественно, что специалисты в области
физики элементарных частиц не придают этим флуктуациям особого значения.
Экспериментально мы рассеиваем частицы друг на друге. Кого интересуют
флуктуации где-то там в вакууме? И лишь в начале 1970-х физики в полной
мере оценили значимость вакуумных флуктуации. К вопросу о важности
вакуума вернемся позже1.
В главах 1.8 и И.2 мы вычислили энергию вакуума свободного
скалярного поля и свободного спинорного поля в каноническом формализме.
Чтобы мотивировать использование грассмановых чисел при
формулировке интеграла по траекториям для спинорного поля, я прибегну к следующей
стратегии. Сначала я воспользуюсь формализмом интеграла по
траекториям и получу результат для свободного скалярного поля, найденный нами
с помощью канонического формализма. Далее мы узнаем, что для
получения уже известного нам результата для свободного спинорного поля мы
должны модифицировать интеграл по траекториям.
По определению, вакуумные флуктуации происходят даже при
отсутствии источников, способных создать частицы. Поэтому рассмотрим
производящий функционал теории свободного скалярного поля при отсутствии
источников2:
г/^[(ЭУ)2-тУ] / 1 \1/2 -|тгЬе(Э2+т2)
6 Vdet[92 + m2]y 6
(1)
1 На самом деле мы уже упоминали один из способов наблюдения за эффектами вакуумных
флуктуации в главе 1.8.
2Строго говоря, чтобы приведенное здесь выражение являлось однозначно определенным,
мы должны, как обсуждалось ранее, заменить т2 на га2 — ге.
Энергия вакуума, грассмановы интегралы
143
Для первого равенства мы воспользовались вьфажением (1.2.15), в котором
включили несущественные множители в константу С. Во втором равенстве
мы воспользовались важным тождеством
detM = eTrlogM,
(2)
с которым вы встречались в упражнении 1.10.2.
Вспомним, что Z = (0|е_гЯГ|0) (где подразумевается Т —> оо, так
что в (1) идет интегрирование по всему пространству-времени), в нашем
случае равен е~гЕТ, где Е — энергия вакуума. Вычисляя след в (1)
TrO= f d4x(x\0\x) = fd4x f
J^-(x\k)(kO\q)(q\x),
d4k
(2ж)Ч (2тг)
получаем
гЕТ =^VT
I
d4k
(27Г)4
bg(fc2
m
+ is) + A,
где А — бесконечная константа, соответствующая множителю С в (1).
Вспомним, что при выводе интеграла по траекториям у нас было много
расходящихся множителей; все они собираются именно в множитель А.
Польза от А выражается в том, что она позволяет решить проблему,
которую вы, должно быть, уже заметили: аргумент логарифма не является
безразмерным. Определим т', записав
A = -±VT
J
d4k
(27Г)4
log(fc2
m
,2 + ie).
Другими словами, мы вычисляем не энергию вакуума саму по себе, а
только разницу между ней и энергией вакуума, которую мы имели бы, если
бы частицы имели массу га', вместо га. Произвольно большое время Т
сокращается и, как и следовало ожидать, Е оказывается пропорциональной
объему пространства V. Таким образом, плотность энергии вакуума
(точнее, разность плотностей энергии вакуума) равна
Е
V
г f d4k i
к2 — га2 + ге 1 _
_к2 -га/2 + ге]
г / d3k f duj ,
J1 -u\ + ie
(j2 - uj'k2 + is
(3)
144
Глава II.5
где и>'к = +V к2 + га'2. Мы вычисляем (сходящийся) интеграл по ио путем
интегрирования по частям:
ш
duo
log
и2 - uj\ + ге
иг
■ ^'к +i£
= -2/i"
- w\ + ге
- (wfe -» u;£)
= -t2w£ ("3^J - ("* -> w*) - +г>* - u£). (4)
Восстанавливая fi, мы действительно приходим к желаемому результату:
Ш.
V
/0(W-W)-
(5)
Чтобы получить этот результат, нам пришлось проделать несколько
выкладок, но важным моментом здесь является то, что, используя формализм
интеграла по траекториям, мы смогли получить результат, ранее полученный
в каноническом формализме.
Особый знак для фермионов
Наша задача — записать интеграл по траекториям для спинорного поля.
Вспомним из главы П.2, что вакуумная энергия спинорного поля появляется
со знаком, противоположным знаку вакуумной энергии скалярного поля,
и этот знак определенно находится в «верхней десятке» самых значимых
знаков теоретической физики. Как его получить с помощью интеграла по
траекториям?
Как говорилось в главе 1.3, выражение (1) строится на основе простой
формулы для гауссова интеграла
+°° 1 /—
dxe-'i™° = J% = ^e^'°"
Грубо говоря, мы должны найти такой новый интеграл, чтобы аналогом
гауссова интеграла было выражение типа е 2
Энергия вакуума, грассмановы интегралы
145
Грассманова математика
Оказывается, что необходимая для этих целей математика была
изобретена Грассманом давным-давно. Введем новый тип числа, называемого
грассмановым или антикоммутирующим числом, такой, что если rj и £ —
грассмановы числа, то ту£ = —£ту. В частности, ту2 = 0. Эвристически это
отражает антикоммутационное соотношение, которому удовлетворяет спи-
норное поле. Грассман предположил, что любая функция от ту может быть
разложена в ряд Тейлора. Так как ту2 = 0, то наиболее общей функцией ту
является /(ту) = а + brj.
Как нам определить интегрирование по ту? Грассман заметил, что
важным свойством обыкновенного интеграла является возможность сдвига
+оо +оо
фиктивной переменной интегрирования: f dxf(x + c)= f dxf(x). Ta-
—oo —oo
ким образом, мы должны требовать, чтобы грассманов интеграл также
удовлетворял правилу J dr] /(ту + £) = J drj /(ту), где £ — произвольное грас-
сманово число. Подставляя наиболее общую функцию, приведенную выше,
находим, что f d7]b£ = 0. Так как £ произвольно, полученное выражение
может выполняться только тогда, когда мы определяем f drjb = 0 для
любого обычного числа 6, в частности, /drj = Jdr\\ = 0.
Поскольку для трех грассмановых чисел \-> V и £ имеет место xivZ) —
— (vCjX* то есть произведение (ту£) коммутирует с любым грассмановым
числом х-> приходим к заключению, что произведение двух антикоммутиру-
ющих чисел должно выражаться обычным числом. Таким образом,
значение интеграла J drjr} есть просто обычное число, которое можно положить
равным 1: при этом фиксируется нормировка drj. Итак, грассманово
интегрирование необычайно просто, оно определяется двумя правилами:
У<*ту = 0 (6)
и
Jdr,r) = l. (7)
Используя эти правила, можно проинтегрировать любую функцию от ту:
Jdnf(r,) = Jdn(a + br,) = b, (8)
если b — обычное число, то есть /(ту) является грассмановым, и
JdVf(V) = jdr1(a + br)) = -b, (9)
146
Глава II.5
если Ь — грассманово, то есть /(77) — обычное число. Обратите
внимание, что для грассманова интегрирования не существует понятия пределов
интегрирования. Грассманово интегрирование гораздо легче освоить, чем
обычное!
Пусть г) nfj — два независимых грассмановых числа, а а —
произвольное обычное число. Тогда грассмановый аналог гауссова интеграла равен
[dr\ [<Ще*аг> = Jdrj f drj(l + rjar}) = f d<qar) = a = e+loga. (10)
В точности то, что нам и нужно!
Можно немедленно получить обобщение. Пусть г] = (щ, т/2, • • •, Vn) —
N грассмановых чисел, и аналогично для rj; тогда имеем
fdV fdrje^ = detA (11)
для антисимметричной N х iV-матрицы А = {А^}. (Заметьте, что, в
отличие от бозонного случая, матрицы, обратной матрице А, может и не
существовать.) Можно построить дальнейшее обобщение до функционального
интеграла.
Как мы вскоре увидим, у нас есть вся необходимая математика.
Грассманов интеграл по траекториям
По аналогии с производящим функционалом для скалярного поля
\[{dip)*-{m2-ie)ip2]
Z = JD<peiS^= JDyeiSd*xli{
производящий функционал для спинорного поля естественно записать в
виде:
Z= j D^D^e^^ = f Dip f D$jSd4xi>{igi-rn+ie)^m
Считая переменные интегрирования фиф дираковскими спинорами,
значения которых выражаются грассмановыми числами, получаем:
Z = 1вф f D$eifd4x4>W-m+ieW = £'det(i 0 - Ш + is) =
= c"etrlog^~m","i6:) (12)
Энергия вакуума, грассмановы интегралы
147
где С — некоторая мультипликативная константа. С учетом свойства
цикличности следа видим, что (га берется равной т — ге):
trlog(i ft — га) = trlog75(^ ft — га)75 = trlog(—г ft — га) =
= т> [trlog(i ft -m) + trlog(-z ^ — га)] =
= ±trlog(d2 + ra2). (13)
То есть Z = Се* trl°g02+™2-ie) [сравните с выражением (1)!].
Мы увидим, что получили ту же энергию вакуума, что и в главе II.2,
с использованием канонического формализма, если вспомним, что здесь
операция взятия следа содержит множитель 4 по сравнению с операцией
взятия следа в уравнении (1), ведь {г ft — т) есть матрица 4x4.
Эвристически вы можете теперь видеть необходимость использования
грассмановых переменных. Если бы мы рассматривали параметры фиф
в уравнении (12) как комплексные числа, то получили бы что-то вроде
(1/ det[i ft — m]) = e~ trl°e(^)-m И получили бы энергию вакуума с
неправильным знаком. Мы хотим, чтобы детерминант появлялся в числителе,
а не в знаменателе.
Пропагатор Дирака
Мы знаем, что дираковское поле должно квантоваться грассмановым
интегралом по траекториям, поэтому введем грассмановы спинорные
источники 7] и fj:
Z(r],fj)= l ВфВфе^^х^9-ш)^^+^ (14)
и будем действовать, как и раньше. Дополняя до полного квадрата, как
в случае скалярного поля, получаем:
фКф + г]ф + фг)=(ф + г)К~1)К(ф + К-гг]) - г\К-1г] (15)
и, следовательно,
Z(^77) = C"e-^-m)~4 (16)
Пропагатор S(х) для дираковского поля соответствует обратному оператору
(г ft — тп). Другими словами, S(x) определяется уравнением:
(г ft-m)S(x) = Si<4)(x). (17)
148
Глава II.5
Как вы можете проверить, решение будет иметь вид:
«W-/jg^^. (»)
Р ге~грх
(2тг)4 ф-m + ie'
в согласии с (И.2.22).
к
/ *
-*-
р+к
Рис. П.5.1
Правила Фейнмана для фермионов
Теперь получим правила Фейнмана для фермионов таким же образом,
как и правила Фейнмана для скалярного поля. К примеру, воспользуемся
теорией взаимодействия скалярного и дираковского полей
С = <ф(г^д» - т)ф + \ [{dip)2 - fi2(f2} - Ac/ + /(рфф. (19)
Производящий функционал
Z(n, fj,J)= f D^Di)DipeiS^^^)+i S dM^+*Htf n) (2o)
можно вычислить как двойной ряд по константам связи Ли/. Правила
Фейнмана (исключая правила для чисто бозонного случая) формулируются
следующим образом:
1. Нарисуйте диаграмму, используя сплошные линии для фермиона
и пунктирные линии для бозона, и припишите каждой линии импульс,
как, например, на рис. П.5.1.
2. Сопоставьте каждой фермионной линии пропагатор
i _, Р + т (21)
»- га + ге р2 - тг + ге
Энергия вакуума, грассмановы интегралы 149
3. Сопоставьте каждую вершину взаимодействия с константой связи if
и коэффициентом (2к) S^(52BX р — ]СВых Р)> выражающим закон
сохранения импульса (суммируются входящие и выходящие импульсы
соответственно).
4. По связанным с внутренними линиями импульсам проинтегрируйте
с мерой f[d4p/(2тг)4].
5. Внешние линии ампутируются. Для входящей фермионной линии
пишем и(р, s), а для выходящей фермионной линии — й(р\ s').
Источники и стоки должны различать спиновую поляризацию рожденных и
поглощенных фермиона. [Для антифермионов имеем v(p, s) и v(pf, s')].
6. Сопоставьте каждой замкнутой фермионной линии фактор (—1).
гег)
Рис. И.5.2
Обратите внимание, что правило 6 справедливо только для фермионов,
и в начале главы мы уже говорили об этом. Фейнмановская диаграмма,
соответствующая вакуумным флуктуациям, не содержит внешних линий.
Более подробно читайте в главе IV.3.
Для теории взаимодействия массивного векторного поля с дираков-
ским полем, описываемой в главе II. 1,
Sty, ^ А) = 'ф[1У(д» - ieAJ - гп}ф - \f^F^ - \ц2А»А», (22)
правила отличаются в следующем. Пропагатор векторного бозона равен:
150
Глава II.5
так что каждая векторная бозонная линия помечается не только импульсом,
но и индексами ди^. Вершине (рис. П.5.2) соответствует iej^.
Упражнения
Н.5.1. Запишите фейнмановскую амплитуду для диаграммы на рис. II.5.1 для
скалярной теории (уравнение (19)). Правильный ответ приведен в главе III.3.
П.5.2. Применяя правила Фейнмана для векторной теории (22), покажите, что
амплитуда для диаграммы на рис. И.5.3 будет иметь вид:
л-жЛ2;2 f d4k 1 / кцки „ \
{ге)г J ^1^7W~*'')
u(p)Y
ф+ fc + т „
(р + ку -тГ
(24)
Глава П.6
Рассеяние электронов и калибровочная
инвариантность
Рассеяние электронов
Наконец, рассчитаем физический процесс, который можно провести
и измерить экспериментальным путем. Рассмотрим два электрона,
рассеивающихся друг на друге. На рис. П.6.1а,Ь приведены соответствующие
фейнмановские диаграммы, в которых два электрона обмениваются
фотоном.
Подождите, из главы 1.5 мы знаем только пропагатор ШМ1/ = [г/(к2 —
— д2)](/сд/с1у//и,2 — r]^v) для гипотетического массивного фотона. (Проведем
очевидную замену: массу фотона будем обозначать /i, поскольку буквой га-
принято обозначать массу электрона.) В главе 1.5 я изложил свою
стратегию, согласно которой в последующих расчетах буду использовать
ненулевое значение ц и надеяться на то, что в конце концов мы сможем положить
/х равной нулю. Действительно, при вычислении потенциальной энергии
между двумя внешними зарядами можно без проблем положить // —* О
[см. уравнение (1.5.6)]. В этой и следующей главе мы проверим, всегда ли
справедливо данное условие.
Применяя правила Фейнмана, находим амплитуду для диаграммы на
рис. И.6.1а (передачу импульса при рассеянии берем равной к = Р\ —р\):
А(Рг,Р2) =
= Не>27Б Ч з(^Ф -Чм*)од)У«(р1)ад)7"«(р2) =
(Pi -piY -1хг\ цг J
= Не)2/Р (~Ч2 2G(Pl)^U(Pl)S(P2)^(P2). (1)
(Pl-Pl)2-M2
Мы пользовались тем, что й(Р\) и и(р\) удовлетворяют уравнениям
движения, поэтому:
fcM«(Pi)7,1tt(pi) = (Pi -Pi)^u(Pi)7Mu(pi) = u(Pi)(,Pi- /i)«(pi) =
= «(Pi)(m-m)u(pi) = 0. (2)
152
Глава II.6
Это важное наблюдение означает, что член k^kv/^L2 в фотонном про-
пагаторе не дает вклада, следовательно, можно безболезненно положить
массу фотона /х равной нулю. То есть
А{РиР2) = —^—^й(Р1)Ги(р1)й(Р2)Ъи(р2).
(Pi -PiГ
Обратите внимание на то, что тождество, позволяющее нам положить
\х равным нулю, является разновидностью условия сохранения
электромагнитного тока в импульсном пространстве д^ JM = 0, где JM = ф^у^Ф-
Заметим, что это вычисление тесно связано с вычислением, которое мы провели,
переходя от (1.5.4) к (1.5.5), только сейчас роль JfJ,(k) играет u(P\)^u(p\).
Мы обозначили зависимость А исключительно от конечных
импульсов. Согласно статистике Ферми, амплитуда для диаграммы на рис. П.6.1Ь
будет равна —А(Р2, Pi). Следовательно, амплитуда двух электронов,
имеющих начальные импульсы р\ и р2 и рассеивающихся в два электрона с
импульсами Pi и Р2, равна
М=А(Рг,Р2)-А(Р2,Рг). (3)
Чтобы найти сечение, мы должны возвести в квадрат амплитуду:
\M\2 = [\A(PuP2)\2 + (P1~P2)]-2ReA(P2,P1)*A(P1,P2). (4)
Теперь нам необходимо совершить довольно много выкладок, которые,
однако, нельзя назвать сложными. Во-первых, член
\А(РЪР2)\2= е* х
(Pi -pi)4
x[u(Pi)7^(pi)^(pi)7^(A)]^(P2)7Mu(p2)u(p2)7^(^2)] (5)
представляется в виде двух сомножителей так, что один из них
содержит спиноры, несущие импульс с индексом 1, а другой —
спиноры, несущие импульс с индексом 2. Напротив, интерференционный член
A(P2,Pi)M(Pi,P2) не факторизуется.
В простейших экспериментах начальные электроны не поляризованы
и поляризация вылетающих электронов также не измеряется.
Следовательно, можно провести усреднение по начальным спинам и суммирование по
конечным спинам, используя соотношение (П.2.8):
]Г и(р, s}U{p, s) = - 2шШ. (6)
Рассеяние электронов и калибровочная инвариантность 153
(а)
(Ъ)
Рис. П.6.1
154
Глава II.6
Таким образом, усредняя и суммируя по спинам |^(Pi,P2)|2 приходим
к выражению (спиновые значки выписаны явно):
r^(PuPl) = J2^2u(P1,S)^u(pus)u(p1,s)Yu(PuS) = (7)
s S
= -l—ti(/P1+m)j»(fi1+m)<y»,
(2my
которое следует умножить на тД1/(Р2>Р2). Аналогичным образом путем
усреднения и суммирования А(Р2,Р\)*А(Р\,Р2) приходим к более
сложному выражению
*-££££
u(P1)^u(Pl)u(P2hMP2MPl)Yu(P2)u(P2hMPl), (8)
где для наглядности опущены спиновые значки. С учетом соотношения (6)
можно записать и в виде следа.
Теперь мы, точнее, вы должны научиться вычислять след произведения
гамма-матриц. Ключевое наблюдение состоит в том, что квадрат
гамма-матрицы равен либо +1, либо —1, а разные гамма-матрицы антикоммутируют.
Отсюда очевидно, что след произведения нечетного количества
гамма-матриц равен нулю. Таким образом,
т^(Рг,Рг) = -^НДУ /i7") +m2tr(7'V/)]-
Если учесть, что
tr(/Pl7M ФиП =PipPiAtr(7p7M7V),
а также выражение для расчета следа произведения четного количества
гамма-матриц, приведенное в приложении D, получим:
r^(PbPi) = 7A2 (Л>1 - гГРх ■ Vx + Р№ + mV). (9)
Более того, поскольку существуют лишь четыре различные
гамма-матрицы, след произведения шести гамма-матриц всегда можно свести к
следу произведения четырех гамма-матриц, ведь среди данных шести матриц
всегда будут пары одинаковых матриц, которые можно поставить рядом
антикоммутированием. Это справедливо и для следа произведения большего
Рассеяние электронов и калибровочная инвариантность 155
числа гамма-матриц. Расчет к достаточно трудоемок, поскольку включает
в себя вычисление следов произведения до восьми гамма-матриц. Мы
ограничимся вычислением к в релятивистском пределе, где т пренебрежимо
мала по сравнению с импульсами:
н = 7^4 *Г(Л7" W Лъ ЬП»)- (Ю)
(2т)4
Применяя к выражению (10) тождества, которые приведены в
приложении D, получим:
Г,г(^17д fal" &Ъ Ьп») = -2tr(^l7M Pi Ф2Ъ А) = -32prp2Pi.P2.
В этом же пределе имеем
t^(Pi.Pi) = 7А2 №1 + PM - *ГЪ ■ Pi)
и, следовательно,
T^(P1,Pl)rM1/(ft,P2) =
" 16 (Л^ + Л^-^Л-Р1)(2Р2^-^Р2.р2) =
(2т)4
16» 2
(2т)4
(Pi * Р2Р1 -Р2+Р1' Р2Р2 • Pi).
Хотя у меня нет цели обучить вас релятивистской кинематике и
вычислению сечений, чрезвычайно полезным иногда оказывается довести
расчеты до логического завершения. В системе центра масс в релятивистском
пределе : рг = £(1,0,0,1), р2 = £(1,0,0,-1), Pi - Я(1, sin (9,0, cos в)
и Р2 = £"(1, — sin 0,0, — cos в). Следовательно, рг • р2 = Pi • Р2 =
- 2Е2, Pl - Рг = р2 • Р2 = 2£2sin2(0/2) и Pl • Р2 = р2 • Рг =
- 2Е2 cos2(9/2). Также в этом пределе выполняется условие (Pi — pi)4 =
^ (—2рг • Рг)2 = l6E4sm4(6/2). Объединяя их вместе, приходим к
выражению \ J2S ^2s l-^l2 = (e4/4m4)/(0)> B котором
= l + cos4(fl/2) 2 l + sin4(fl/2)
Л j sin4(0/2) sin2(0/2)cos2(0/2) cos4(0/2)
Физический смысл каждого из членов очевиден. Первый член
характеризует рассеяние, обусловленное фотонным пропагатором ~ 1/к2. Третий член
156
Глава II.6
обусловлен неразличимостью двух вылетающих электронов: при в —> 7г — в
рассеяние должно быть симметрично, поскольку экспериментатор не в
состоянии определить, какой из нелетающих электронов рассеивается вперед,
а какой — в обратном направлении. Второй член представляет наибольший
интерес: он обусловлен квантовой интерференцией. Если ошибочно
принять электроны за бозоны и учесть (3) со знаком плюс, второй член в
выражении для f(6) окажется со знаком минус. Разница огромна: например,
/(7г/2) будет равна 5 — 8 + 5 = 2, вместо 5 + 8 + 5 = 18.
В связи с тем, что переход от квадрата амплитуды вероятности к
эффективному сечению идейно аналогичен тому, как это делается в
рамках нерелятивистской квантовой механики (делением на падающий поток
и т. д.), я сошлюсь на соответствующую формулу в приложении С. В
качестве упражнения попробуйте самостоятельно сделать последние шаги и
вычислить дифференциальное сечение рассеяния:
Ms)'IF'» (12)
Эта удивительная физика
Если задуматься, теоретическая физика покажется удивительным
занятием. Подготовив необходимое оборудование и осуществив процесс
рассеяния электронов высокой энергии друг на друге, экспериментаторы
действительно смогут определить дифференциальное сечение рассеяния,
задаваемое формулой (12). В этом есть что-то почти магическое.
Упражнения
И.6.1. Проверьте утверждения из текста.
II.6.2. Вычислите сечение, приведенное в (12).
Глава И.7
Диаграммное доказательство
калибровочной инвариантности
Калибровочная инвариантность
С концептуальной точки зрения нам важнее не вычислять сечения,
а доказать тот факт, что мы действительно можем положить массу фотона
/i равной нулю при вычислении любого физического процесса. При \х = О
лагранжиан, который приведен в главе II. 1, сводится к лагранжиану для
квантовой электродинамики:
С = ф[1^{Э^ - геА^) - т\ф - \f^F^ . (1)
Мы теперь готовы к одному из важнейших наблюдений в истории
теоретической физики. Смотрите, лагранжиан левоинвариантен относительно
калибровочного преобразования:
ф{х) -> е*А(х)ф(х) (2)
и
А^х) - А„(х) + j-e~iA^d^iA^ = А^х) + ±ЗмЛ(а:), (3)
что означает
F^x)-> F^x). (4)
Вы, конечно, уже знакомы с (3) и с инвариантностью F^u из классической
электродинамики.
В современной теоретической физике калибровочная инвариантность1
относится к числу фундаментальных и имеющих крайне важное значение,
Открытие калибровочной инвариантности оказалось одним из наиболее драматичных
в истории физики. О печальной истории великого физика, имя которого по несчастливой
случайности лишь на одну букву отличается от имени другого физика, читайте в статье Джексона
и Окуня (J. D. Jackson and L. В. Okun, «Historical roots of gauge invariance,» Rev. Mod. Phys. 73,
2001).
158
Глава 11.7
как мы увидим ниже. С современной точки зрения принято
рассматривать лагранжиан (1) как следствие (2) и (3). Если мы хотим построить
калибровочно-инвариантную релятивистскую теорию поля для полей со
спинами | и 1, мы с необходимостью придем к квантовой
электродинамике.
Вы должны заметить, что в (3) я привел две эквивалентные формы.
В большинстве учебных пособий пользуются второй формой, более
простой, но не стоит забывать и про первую форму. Обратите внимание, что
А(х) и А(х) 4- 27Г приводят в точности к одинаковым преобразованиям. На
математическом языке величины егА^ и д^А(х) хорошо определены, тогда
как величина А(х) — нет.
С учетом этих формальных, но физически важных замечаний мы
можем приступить к работе над доказательством. Я оставляю вам самим дать
общее доказательство, но покажу вам как это сделать, разобрав несколько
характерных примеров.
Вспомним, что пропагатор гипотетического массивного фотона равен
iD^ = i{k^kv/fi2 — g^v)/(k2 — /i2). /i2 в знаменателе можно положить
равной нулю, тогда выражение для фотонного пропагатора будет иметь вид
iD^y = i{k^kv/fj? — g^v)/k2. Опасным является член к^к^/ц2. Мы хотим
показать, что он выпадает.
Конкретный пример
Сначала рассмотрим электрон-электронное рассеяние с точностью
до е4. Среди всех возможных диаграмм сосредоточимся на двух,
приведенных на рис. И.7.1а. Фейнмановская амплитуда равна:
«оо (>ттЬ^+^т^п^) "<p)f fir)г- (5>
где Гд — некоторый фактор, точная структура которого нас не интересует.
Однако для конкретного случая, изображенного на рис. И.7.1а, мы,
конечно, могли бы получить явное выражение для Г^. Обратите внимание на
знак плюс, который обусловлен обменом двумя фотонами,
подчиняющимися Бозе-статистике.
Обратимся к опасному члену. Сворачивая й(р')(.. .)и(р) из (5) с к^,
получаем
Диаграммное доказательство калибровочной инвариантности 159
Хитрость состоит в том, чтобы представить /к в числителе первой дроби
как (ф-\- /г — га) — (ф — т),ав числителе второй дроби как (ф — т) — ( ф—
- /с — га). Поскольку (ф — т)и(р) = 0 и й(р')(ф — га) = 0, выражение (6)
обращается в нуль, что доказывает теорему в этом простом случае. В связи
с тем что в нашем доказательстве не фигурирует Гд в явном виде, оно
будет справедливым даже в случае замены диаграммы на рис. И.7.1а более
общей диаграммой на рис. И.7. lb, в заштрихованной области которой могут
протекать произвольно сложные процессы.
Можно обобщить доказательство на случай рис. И.7.1с. Помимо
фотона, несущего импульс к, уже есть п фотонов на линии электрона. В
доказательстве теоремы эти п фотонов выступают в качестве «зрителей», точно
так же, как фотон с импульсом к' на рис. П.7.1а не участвует в
доказательстве утверждения о том, что (6) сокращается. Фотон с импульсом к может
прицепляться к линии электрона в п + 1 разных точках. Теперь в качестве
упражнения попробуйте расширить доказательство на этот случай.
Попадание фотона на внутреннюю линию
В только что рассмотренном нами примере фотонная линия
оканчивается на внешней электронной линии. Ключевым моментом в доказательстве
является тот факт, что линия «ограничена с двух концов» й(р') и и(р). А
что, если фотонная линия оканчивается на внутренней линии электрона?
На рис. П.7.2 изображен пример, соответствующий
электрон-электронному рассеянию порядка е8. Рисунок содержит три разные
диаграммы. Электрон «слева» испускает три фотона, которые присоединяются ко
внутренней электронной петле. Электрон «справа» испускает фотон с
импульсом к, который может присоединиться к петле тремя разными
способами.
Поскольку нас интересует, исчезнет или нет член k^kp/fi2 из
выражения для фотонного пропагатора i(k^kp/fj? — g^/k2, заменим фотонный
пропагатор на к^. Для удобства записи введем обозначения р\ = р + q\
и P2=Vi+<l2 (смотрите обозначения импульсов на рис. П.7.2). Рассмотрим
лишь интересующие нас части трех диаграмм, обозначенных как А, В и С:
1 „\ 1
7 , , , У
J (2тг)4 V Фт^-^-т' фх+fi-m1 ф± /с-т '" ф-т
J (2тг)4 V Ф^/г-т фх+ jk-m фг-т1 ф-т)'
(7)
(8)
160
Глава П.7
(а)
(Ь)
Рис. И.7.1
с= f^tT(^ *Л т *V-^-гЧ^^-г-^)- {9)
J (27г)4 \ P2+ft-m р2-т, ф\-т ф-mj
Создается впечатление, что с приведенными выражениями больше
ничего нельзя сделать, однако это не так. Прибегнем к известному нам трюку
Диаграммное доказательство калибровочной инвариантности 161
Рис. Н.7.1. (Продолжение)
и представим ft в выражении для С как Ц, = (/f2+ ft ~ m) ~~ {Фч ~ т)
и получим:
С = [ -*£- L (V 1 ..* 1 ...А 1 Л _
У (2тг)4 L V ^2-то 27i-"г 2/-W
■tr У-
1
:7*тт-Ч:7А
— т)
(10)
В выражении для В запишем ty= (2/1 + ^— m) — (^ — га), так что получим:
С = [ -*2- L /V * V * <УХ 1 ^ -
У (2тг)4 L V Й + Л-п»' l/i-m' j/-mj
~ *Г V Й+ ¥~ т1" Ж+ У- m^J^jl' (П)
Наконец, в выражении для Л запишем ^= (j/+ Ц—т) — {$— т), так что
получим:
А= [J!p-L(y 1 у 1 ^ 1 \-
J (2тг)4 L V Й+*-т' pi+^-m' j/-m)
tr 7"-
2/2+^-m' 2^+^-m' tf+lf-m
(12)
162
Глава II.7
В
Рис. П.7.2
Диаграммное доказательство калибровочной инвариантности 163
Теперь посмотрим, к чему это приведет. Если объединить все три
диаграммы, члены попарно сократятся:
А + В + С-.
f d*p
J (2тгУ
(2тг)4
tr (V
tr 7"
1
:7
l
fo-m pi -m
7
— mj
г+Jz — m £>\+ ]k — m ф+ jk
h ~rn J \
(13)
Если сдвинуть (см. упражнение П.7.2) во втором члене переменную
интегрирования р —> р — /с, два члена взаимно сократятся. Действительно,
в фотонном пропагаторе член k^kp/fi2 исчезает, так что можно положить
д = 0.
Я оставляю вам найти общее доказательство. Мы получили его для
одного конкретного процесса. Попробуте сами проделать то же самое для
других процессов. Вы увидите, как оно работает.
Тождество Уорда-Такахаши
Подведем итоги. Если известна физическая амплитуда Тд (А;,...) со
внешними электронами на массовой поверхности (т.е. все необходимые
множители и(р) и й(р) включены в Тм (fc,...)), описывающая процесс
испускания или поглощения фотона с импульсом к вершиной, обозначенной
лоренцевым индексом /i, то выполняется условие:
fcMT'i-(fc1...)=0.
(14)
Его иногда называют тождеством Уорда-Такахаши.
Решающим моментом служит представление фотонного пропагатора
в виде iD^y = —igV/k2. Раз мы можем исключить член кцки/ц2 из
фотонного пропагатора i{k^kv//j? — д^)/к2, с тем же успехом мы можем
добавить в него член k^kv/k2 с произвольным коэффициентом. В результате
получим фотонный пропагатор вида:
%DU
г
к2
(1-0
9ци
(15)
где для упрощения вычислений число £ можно выбрать произвольным
образом. Очевидно, что выбор значения £ связан с выбором калибровки для
164
ГЛАВА II.7
электромагнитного поля. В частности, случай £ = 1 известен под
названием фейнмановской калибровки, а случай £ = 0 — под названием калибровки
Ландау. Если вы особенно удачно подберете иное значение £, можете
назвать соответствующую калибровку в свою честь! Для простых вычислений
разумно использовать произвольное значение £. Независимость конечного
результата от £ является полезной проверкой выкладок.
Итак, мы завершили вывод правил Фейнмана для квантовой
электродинамики: они аналогичны правилам для теории массивного векторного
бозона, которые даны в главе II.5, за исключением выражения (15) для
фотонного пропагатора.
Таково диаграммное доказательство калибровочной инвариантности
квантовой электродинамики. Впоследствии (в главе IV.7) мы увидим, что
в некоторых случаях нельзя сдвигать, как при нашем доказательстве,
импульс интегрирования.
Продольная мода
Вернемся к тому, что вызывало у нас беспокойство в главе 1.5.
Рассмотрим массивный мезон со спином 1, двигающийся в направлении z.
Три вектора поляризации зафиксированы условием кхе\ = О, где кх =
= (и;, 0,0, к) (см. главу 1.5), и нормировкой еХ£\ = —1, так что еу =
= (0,1,0,0), 42) = (0,0,1,0), 43) = (-fc,0,0,cj)//i. Обратите внимание,
что при /z —> 0 вектор продольной поляризации е^ ' пропорционален к\ =
= (а;, 0,0, —А:). Амплитуда испускания мезона с продольной поляризацией
в процессе, описываемом уравнением (14), равна е^ 'Тх'- = (—/сТ° +
+ и>Т*-)/1л = (-кТ°- + y/k2 + iA2T*-)/tA ~ (-кТ°- + (к + f^)T3-)//i
(для ц < 0, те- -к\Тх"1\х + £Т3-, где кх = (fc,0,0,-fc). С учетом
условия (14) приходим к тому, что при /J, —► 0 амплитуда £%Т3- —> 0.
Продольная мода фотона не существует, так как она отщепляется во
всех физических процессах.
Есть такой парадокс. Мистер Больцман утверждает, что при тепловом
равновесии каждая степень свободы связана с ^Т. Значит, путем измерения
некоторого теплового свойства (например, теплоемкости) ящика с
фотонным газом с точностью 2/3 экспериментатор скорее подтвердит, что фотон
действительно безмассов, чем скажет, что его масса равна одной
миллиардной электрон-вольта.
Объяснение парадокса состоит в том, что по мере исчезновения
продольной моды при \х —> 0, время, необходимое продольной моде для уста-
Диаграммное доказательство калибровочной инвариантности 165
новления теплового равновесия, стремится к бесконечности.
Экспериментатор из описанной парадоксальной ситуации должен в этом случае быть
чрезвычайно терпеливым.
Упражнения
Н.7.1. Обобщите доказательство на случай, изображенный на рис. II.7.1с.
[Указание: обратите внимание на то, что рис. II.7.lb соответствует случаю п = 1.]
II.7.2. Вы, наверное, хотели бы знать, когда можно сдвигать переменную инте1ри-
рования, а когда нельзя. Упрощая знаменатель в первом интеграле, в (13),
/ А> , , 1 а 1 А 1 х
J (2тг)4 fa-m1 fii-m1 fr-mh
и вычислив след, вы можете убедиться, что этот интеграл расходится только
логарифмически и, значит, сдвиг возможен. К этому вопросу мы еще раз
вернемся в главе IV.7.
Часть III
Перенормировка
и калибровочная инвариантность
Глава III. 1
Обрезание нашего незнания
Кто боится бесконечностей? Только не
я — я просто их обрезаю.
Неизвестный
Следите за руками
Первых исследователей квантовой теории поля приводили в
сильнейшее затруднение расходящиеся интегралы, которые часто встречались по
ходу расчетов, так что в 1930-1940-е гг. ученые много времени тратили
на борьбу с бесконечностями. Многочисленные неудачи, следующие за,
казалось бы, уже сделанными открытиями, все больше подталкивали к
тому, чтобы отказаться от квантовой теории поля. Наконец ученые
разработали так называемую процедуру перенормировки, которая позволила
решить проблему бесконечных интегралов и получить конечные физические
результаты. Однако, еще долгие годы, вплоть до конца 1960-х и начала
1970-х гг., многие физики скептически относились к теории
перенормировки, считая ее простой ловкостью рук. Шутили, что в квантовой теории
поля бесконечность приравнивается к нулю или что под ковром в кабинете
физиков запрятано много бесконечностей.
Наконец благодаря усилиям Кена Вильсона и многих других ученых
в начале 1970-х гг. появилось новое понимание квантовой теории поля.
Постепенно теоретики пришли к выводу, что в квантовой теории поля вовсе
не существует проблемы расходимости. Сейчас мы рассматриваем
квантовую теорию поля как эффективную низкоэнергетическую теорию. Я кратко
затрону этот вопрос здесь и подробнее в главе VIII.3.
Теория поля рушится
Мы должны увидеть саму бесконечность, прежде чем говорить о том,
как работать с бесконечностями.
170
Глава III. 1
В главе 1.7 мы уже сталкивались с одним из них. Вспомним, что
поправка к амплитуде мезон-мезонного рассеяния порядка Л2
(выражение 1.7.23) расходится. При К = к\ + &2 имеем:
М~2[ гЛ)Ъ J (27Г)4 fc2 _m2 + ie{K _k)2 _m2 + fe" W
Как говорилось в главе 1.7, даже не проводя никаких расчетов, мы
можем увидеть проблему, которая ставила в тупик пионеров квантовой теории
поля. Для больших значений к подынтегральное выражение равно 1/к4,
т.е. интеграл будет логарифмически расходиться как j[d4k/(27r)4](l/k4).
(Обычный интеграл f°° drrn линейно расходится при п = 0, квадратично
расходится при п = 1 и т.д., а интеграл f°° ^f расходится
логарифмически.) Поскольку эта расходимость связана с большими значениями к, ее
называют ультрафиолетовой расходимостью.
Чтобы узнать, как работать с возникшей бесконечностью, мы должны
четко представлять разницу между концептуально отличными между собой
сюжетами, названными по историческим причинам пугающими терминами
«регуляризация» и «перенормировка».
Параметризация неведения
Предположим, вместо искусственной </?4-теории мы изучаем
квантовую электродинамику. Было бы чрезвычайно неразумно утверждать, что
теория взаимодействия электрона с фотоном работает до произвольно
высокой энергии. По крайней мере с увеличением энергии появятся другие
частицы и окажется, что электродинамика станет просто частью большей
электрослабой теории. Для увеличения энергии необходимо как минимум
участие других частиц, так что электродинамика является лишь частью
более обширной теории электрослабых взаимодействий. Действительно, с
современной точки зрения при переходе к все более высоким энергиям вся
«конструкция» квантовой теории поля с необходимостью оказывается
приближением к неизвестной пока нам теории. По мнению некоторых физиков,
такой теорией является теория струн.
Современный взгляд состоит в том, что сегодня квантовая
теория поля должна рассматриваться как эффективная низкоэнергетическая
теория, справедливой до некоторого масштаба энергии (или, в лоренц-
инвариантной теории, до некоторого масштаба импульса) Л. Представьте
себе, что мы живем во Вселенной, описываемой игрушечной с/?4-теорией.
Обрезание нашего незнания
171
По мере того как физики в этой Вселенной будут изучать физику все более
высоких энергий, они придут к выводу, что их Вселенная является
матрацем, состоящим из материальных точек и пружин, а масштаб Л примерно
равен обратному размеру решетки.
Когда я преподаю квантовую теорию поля, то, чтобы подчеркнуть свои
слова, пишу на доске: «Не стыдитесь своего неведения». Любая физическая
теория должна иметь свою область применимости, за пределами которой
мы ничего не знаем о соответствующей физике. В противном случае не был
бы возможен прогресс знаний в области физики. Хорошо, что Фейнман,
Швингер, Томонага и другие исследователи квантовой электродинамики не
имели представления о кварках, например.
Подчеркну, что масштаб Л следует рассматривать не как
математический, а как физический элемент, параметризующий порог нашего
неведения1. Действительно, в физически осмысленных квантовых теориях поля
всегда должна появляться неявно заданная величина Л. Если кто-то
вздумает «впарить» вам теорию поля, которая якобы справедлива для
произвольно высоких энергий, вам следует проверить, не торговал ли раньше
этот человек подержанными автомобилями. (Когда я писал эти строки, мой
коллега — редактор Phsical Review Letters — рассказал, что во время каникул
в средней школе он подрабатывал сборщиком мусора, и шутя добавил, что
такая практика хорошо подготовила его к нынешней профессии.)
Таким образом, вычисляя интеграл f d4k/(2ir)4 в (1), мы должны
интегрировать лишь до значения Л, называемого параметром обрезания. Мы
буквально обрезаем интегрирование по импульсу (рис. III. 1.1)2. Говорят,
что тем самым «регулиризовали» интеграл.
В этой книге я стремлюсь подчеркнуть скорее концептуальные,
нежели вычислительные аспекты, поэтому я не стану сейчас явно вычислять
интеграл, но скажу, что он равен 2iC\og(A2/K2), где С — некоторая
численная константа, которую вы можете вычислить сами (см. приложение 1
к этой главе). Пусть для простоты т2 <С К2, тогда величиной т2 в
подынтегральном выражении можно пренебречь. Удобно ввести кинематические
переменные s = К2 = (к\ + А^)2, t = (кг — кз)2 и и = (fci — к±)2. (Записав
явным образом параметры kj в системе центра масс, увидим, что перемен-
]В главе 1.8 мы видели яркий тому пример. Определив проводящую пластинку как
поверхность, на которой перестает существовать тангенциальное поле, мы не учли физику электрона,
движение которого противодействует любому наложенному полю. При крайне высоких
частотах электроны не могут двигаться достаточно быстро, значит, здесь действуют другие законы
физики, согласно которым высокочастотные моды не видят пластинки. При расчете силы
Казимира мы параметризуем свое незнание величиной а ~ А~х.
2A.Zee, Einstein's Universe, p. 204. В школах мультипликации ученикам говорят, что все
физики и, в частности, теоретики-полевики носят лабораторные халаты.
172
Глава III. 1
Рис. III. 1.1
ные s, t и и соответствуют довольно обычным величинам: энергии центра
масс и углу рассеяния). С учетом всего вышеизложенного амплитуда
мезон-мезонного рассеяния будет равна:
М
-гА + гСА2[1оё(^
4-log^+log^]+0(A3). (2)
Это довольно легко понять. После регуляризации мы говорим о
величинах, зависящих от обрезания, а не о расходящихся величинах. Параметры
расходимости будем называть параметрами, зависимыми от обрезания; Л4
зависит от обрезания логарифмически.
Что мы в действительности измеряем
Давайте теперь после регуляризации перейдем к перенормировке. Этот
термин неудачен, ведь он предполагает, что мы что-то нормируем повторно,
когда на самом деле это не так.
Ключевым моментом здесь является то, как бы мы описали
экспериментатору процесс измерения мезон-мезонного рассеяния. Мы говорим ей
Обрезание нашего незнания
173
(или ему, если вы настаиваете), что нам необходимо задать обрезание Л,
а он не проявляет ни капли беспокойства; тот факт, что любая заданная
теория имеет конечную область применимости, для экспериментатора
очевиден.
Мы, вероятно, скажем ему, как рассеяние будет зависеть от энергии
в системе центра масс и угла рассеяния. Затем продемонстрируем ей
выражение (2). Она укажет на параметр Л и воскликнет: «Что это такое?»
Мы ответим: «Константа связи», на что она воскликнет: «Какая такая
константа связи, если это всего-навсего греческая буква!»
Смущенный студент, пусть будет Конфузно, слышавший разговор,
в этом случае ответил бы: «В чем дело? Я изучал физику много лет,
преподаватели познакомили нас со множеством уравнений, в которых
фигурируют латинские и греческие буквы, к примеру, с законом Гука F = -кх,
и никто не утверждал при этом, что к — всего лишь латинская буква».
Сообразительный экспериментатор скажет: «Но это потому, что я
смогу пойти и измерить значение к9 если вы дадите мне пружину. В этом все
дело! Пускай мистер Заумный Теоретик скажет мне, как я могу измерить
эту вашу Л».
Да, вот это действительно хороший экспериментатор! Теперь нам
следует более тщательно продумать, что в действительности означает
константа связи. Вспомним про константу связи в квантовой электродинамике, а.
Ну, это коэффициент при 1/г в законе Кулона. Отлично, месье Кулон
измерил его с помощью металлических шаров или чего-то вроде этого. Но
современный экспериментатор тоже мог бы измерить а, рассеивая
электрон при той или иной энергии и под тем или иным углом на протоне.
Итак, мы объясним все это нашему другу-экспериментатору.
Он, кивая, согласится: «Да, конечно. Не так давно мои коллеги
измеряли константу связи в мезон-мезонном взаимодействии путем рассеяния
одного мезона на другом при той или иной энергии и том или ином угле
рассеяния. Эти параметры соответствуют вашим переменным s, t и и и
имеют значения so, ^o и щ. Но что общего между той константой связи,
которую измеряли мои коллеги (назовем ее Ар, где индекс Р означает
«физический»3), с вашей теоретической Л, которая, насколько мне известно,
является всего лишь греческой буквой в том, что вы называете лагранжианом!»
Конфузно скажет: «Эй, если вы беспокоитесь по поводу малого
лямбда, тогда я начну беспокоиться по поводу большого лямбда. Откуда я знаю,
насколько велика область применимости?»
СЭ заметит: «Вы не настолько глупы, как кажетесь! Мистер Заумный
Теоретик, если я решу воспользоваться формулой (2), какое конкретно зна-
От англ. «physical». — Прим. пер.
174
Глава III. 1
чение Л я должен в нее подставить? Зависит ли выбор исключительно от
вашего настроения, мистер Заумный Теоретик? Если вы проснетесь с
оптимистическим настроем, примените ли вы значение 2Л, вместо Л? А если
вас бросит подружка, воспользуетесь ли вы значением ^Л?»
Мы усмехнемся: «Ха! Мы можем ответить на ваш вопрос. Взгляните
на формулу (2): считается, что М. является настоящей амплитудой
рассеяния и не зависит от Л. Если кто-то захочет изменить значение Л, можно
просто сдвинуть Л таким образом, чтобы величина ЛЛ не изменилась. Пара
строчек выкладок, и мы можем точно сказать, каким должно быть значение
dX/dA (см. упражнение III. 1.3)».
Экспериментатор: «Хорошо. Значит, Л есть скрытая функция от Л.
Ваше обозначение ничего не стоит».
Мы согласимся: «Это правда. Неудачное обозначение вводило в
заблуждение не одно поколение физиков».
Экспериментатор: «Я так и не услышал от вас, каким образом параметр
Лр, который измеряли мои коллеги, связан с вашим Л».
Мы скажем: «Это просто. Посмотрите на уравнение (2), которое мы
еще раз приведем здесь для наглядности:
M = -iX + iC\2[log (Jf) + log (Jfj + log (Jfj] + 0(A3). (3)
Согласно нашей теории, параметр Лр равен:
_iAp = _iA + iCA2[log (j£) + log (^) + log (jg)] + 0(X3). (4)
Обозначим сумму логарифмов в квадратных скобках в выражениях (3) и (4)
как ЬиЬо соответственно. Перепишем данные выражения в более
компактной форме:
М = -iX + iCX2L + 0(Л3) (5)
и
-гХР = -гЛ + iCX2L0 + 0(Л3). (6)
Вот так связаны параметры Лр и Л».
Экспериментатор скажет: «Если вы выразите амплитуду рассеяния
через физическую константу связи Лр, то это будет полезно для меня, но
никак не для Л. Я понимаю смысл Лр, но не могу понять смысла Л».
На это мы ответим: «Хорошо, нам ничего не стоит исключить из
формулы параметр Л, вместо Лр. Большое дело!
Обрезание нашего незнания
175
Разрешив уравнение (6) относительно Л, получим:
-гЛ = -гХР - iCX2L0 + 0(Л3) = -г\Р - iCX2PL0 + 0(\%). (7)
Второе равенство верно с указанной точностью. Теперь подставим его в (5):
М = -гХ + iCX2L + 0(Л3) = -гХР - iCX2PL0 + iCX2PL + 0(\%). (8)
Проверьте пожалуйста, что все выкладки верны с указанной точностью».
«Чудо»
И вдруг! Вот оно, чудо перенормировки!
Теперь в амплитуду рассеяния Л4 входит комбинация L — Lq =
= [log(so/s) + log(to/t) + log(uo/u)\. Другими словами, амплитуда
рассеяния сводится к виду:
М = -гХР + iCX2P
log(?)+log(!)+log(£)
+ 0(А3Р). (9)
С триумфальным чувством мы объявляем нашему
другу-экспериментатору, что в случае представления амплитуды рассеяния через зависимость
от физической константы связи Ар, как ей и хотелось, обрезание Л
полностью исчезает!
Ответ всегда должен быть выражен через физически
измеримые величины
Урок в том, что физические величины всегда следует выражать не
через «фиктивные» теоретические параметры, такие как Л, а через физически
измеримые параметры, такие как Ар.
Кстати, в литературе параметр Ар часто обозначают как Xr и по
историческим причинам называют «перенормированной константой связи».
Я считаю, что физический смысл «перенормировки» становится более
понятным, если употреблять термин «физическая константа связи» и,
следовательно, подстрочный индекс «р». К тому же, у нас никогда не было
«нормированной константы связи».
Неожиданно Конфузно появляется опять; мы про него почти забыли:
«Вы начали работу с выражением для М, в котором фигурировали две
нефизические величины А и Л, а в конечном итоге их «нефизическая
природа» нейтрализовала друг друга».
176
ГЛАВА III. 1
Экспериментатор соглашается: «Да, это и отличает хороших
теоретиков от плохих. Хорошие теоретики всегда допускают четное число ошибок
в знаках, тогда как плохие — всегда делают нечетное число».
Интегрирование лишь по медленным модам
В формулировке интеграла по траекториям амплитуда рассеяния М.
получается вычислением интеграла (глава 1.7):
Используемая здесь регуляризация соответствует, грубо говоря, тому, что
мы интегрируем при вычислении интеграла / Dtp, лишь по тем модам поля
<^(х), фурье-преобразование которых равно нулю при к > А. Иначе говоря,
поля, соответствующие внутренним линиям на фейнмановских диаграммах
(рис. 1.7.10), не могут флуктуировать со слишком большой энергией. Позже
мы вернемся к этой формулировке интеграла по траекториям, когда будем
рассматривать ренорм-группу.
Альтернативные пути
Возможно, следует упомянуть некоторые альтернативные способы
регуляризации фейнмановских диаграмм, каждый из которых имеет свои
преимущества и недостатки, что делает их удобными в одних случаях, а в
других — нет. Регуляризация, о которой мы говорили в настоящей главе,
известна под названием регуляризации Паули-Вилларса. Ее преимуществом
считается прозрачность с точки зрения физики. Другой часто
используемой регуляризацией является размерная регуляризация. Предположим,
наши расчеты производятся в d-мерном пространстве-времени. После
приведения интеграла Фейнмана к удобной для нас форме, мы прибегаем к
методу аналитического продолжения по d и в конце концов кладем d = 4.
Зависимость различных интегралов от обрезания характеризуется теперь
полюсами (d —► 4). Аналогично тому, как после представления амплитуды
рассеяния в виде зависимости от физической константы связи Хр
исчезает масштаб обрезания Л, в размерной регуляризации амплитуда рассеяния,
выраженная в виде зависимости от Ар, не содержит полюсов. Во многих
случаях применение размерной регуляризации оказывается
предпочтительнее, как я покажу в следующих главах, хотя, по сравнению с регуляризаци-
Обрезание нашего незнания
177
ей Паули-Вилларса, она носит более абстрактный и формальный характер.
Когда дело доходит до регуляризации, делайте выбор по своему вкусу.
Поскольку основное внимание в книге уделяется концептуальным, а не
вычислительным моментам квантовой теории поля, я не буду описывать
другие схемы регуляризации, но вкратце покажу, как работают
регуляризация Паули-Вилларса и размерная регуляризация в двух приложениях к этой
главе.
Приложение 1. Регуляризация Паули-Вилларса
Важным моментом настоящей главы является концептуальное утверждение,
согласно которому выражение физических амплитуд в терминах физических
констант связи приводит к исчезновению зависимости от обрезания. Фактическое
вычисление интеграла Фейнмана не имеет для нас значения. Однако на всякий случай
я продемонстрирую вам процесс его вычисления, ведь в будущем это может вам
понадобиться.
Начнем со сходящегося интеграла
/
"^ 1 -—^2' (10)
(2тг)4 (А;2 - с2 + is)3 32тг2с2
Зависимость от с2 следует из анализа размерностей. Общий множитель вычисляется
в приложении D.
Применяя тождество (D.15)
к (1), получаем
ХУ Jo [ax + (l- а)у]
где
D = а(К - к)2 + (1 - а)к2 -m2 + ie={k- аК)2 + а(1 - а)К2 -т2 + is.
Сдвинем переменную интегрирования к —> к + аК и получим интеграл
f[d4k/(2ir)4}[l/(k2-c2 + ie)2], где с2 = т2-а(1-а)К2. Паули и Вилларс
предложили заменять его интегралом
/
d4k
(27Г)4
1
(к2 - с2 + ге)2 (к2 -А2 + is)2
(12)
178
Глава III. 1
Если к намного меньше Л, дополнительный второй член в
подынтегральной функции имеет порядок Л-4 и, следовательно, ничтожно малое
значение, по сравнению со значением первого члена, поскольку априори
считается, что Л намного больше с. Если к существенно превышает Л, оба
члена взаимно сокращаются и подынтегральное выражение быстро
стремится к нулю с ростом значения к, что эффективно обрезает интеграл.
Дифференцируя интеграл (12) по с2 и используя (10), мы получаем,
что интеграл (12) равен (2/167r2)log(A2/c2). Таким образом, интеграл
J (L)4 (к2 -с2 + ie)2 = vbl0gWJ (13)
действительно логарифмически зависит от масштаба обрезания, как и
утверждалось в тексте.
Итак, получаем
М = Щ [ dalogl— , Д2 ч . V (14)
32тг2Уо \m2-a(l-a)K2-ieJ V '
Приложение 2. Размерная регуляризация
В основе размерной регуляризации лежит очень простая идея. Когда мы
приходим к интегралу / = f[d4k/(2ir)4][l/(k2 —с2-{-is)2], мы делаем поворот в евклидово
пространство и обобщаем его до d измерений (см. приложение D):
1 /°° м /tj-i 1
(2тг)Ч (fc2+c2)2'
Как я уже говорил, мне бы не хотелось пускаться в длинные вычисления, но
приходится делать то, что делать необходимо. Заменим переменную интегрирования
к2 + с2 = с2/х и получим выражение:
Jo (к2 + с2)2 2 Уо
которое оказывается интегральным представлением бета-функции. После
некоторых манипуляций получаем:
W = if
d%k i
(2тг)а (к2 + с2)2
2ж*12
r(d/2)
Обрезание нашего незнания
179
При d —► 4 правая часть уравнения равна:
^Ц - log с2 + log(47r) - 7 + 0(d - 4) ,
— a J
где 7 — 0? 577... есть постоянная Эйлера-Маскерони.
Сравнивая полученное выражение с (13), видим, что в регуляризации Па-
ули-Вилларса логарифм log Л2 эффективно заменяется полюсом 2/(4 — d). Как
говорилось в тексте, представление физических величин в виде зависимости от
физических констант связи приводит к сокращению всех полюсов.
Упражнения
III. 1.1. Проделайте выкладки, приводящие к (9), не пользуясь текстом.
III. 1.2. Поработайте с выражением (1) как с аналитической функцией от К2.
Покажите, что она имеет разрез от 4га2 до бесконечности. [Указание: если вы
не можете получить этот ответ прямо из (1), посмотрите на (14).]
III. 1.3. Замените Л на ееЛ. Покажите, что, чтобы в указанном порядке М не
изменился, Л изменится на SX = беСХ2 + 0(Л3), так что:
1
(4тг)2 |
А<£ =6СА2 + 0(А3). (16)
Глава III.2
Перенормируемые против
неперенормируемых
Старый взгляд против современной точки зрения
Теперь мы знаем, что представление амплитуды мезон-мезонного
рассеяния в терминах физической константы связи Хр ведет к исчезновению
зависимости от обрезания Л (по крайней мере до порядка Хр). Неужели это
простое везение?
Как оказалось, существуют квантовые теории поля, в которых это
условие справедливо, и квантовые теории поля, в которых оно теряет свою
силу. Таким образом, получаем два класса квантовых теорий поля.
Исторически сложилось, что первый класс квантовых теорий называют
«перенормируемыми теориями» и относят к «хорошим». Второй класс квантовых
теорий, известных как «неперенормируемые теории», вызывает у
теоретических физиков страх и отвращение.
Однако новый взгляд на теории поля как на эффективные
низкоэнергетические теории, дополняющие некоторой основополагающей теории,
позволил современным физикам взглянуть на неперенормируемые теории в
более позитивном ключе по сравнению с предыдущим поколением. Надеюсь,
я смогу пояснить это утверждение в этой и следующей главах.
Школьный анализ размерностей
Начнем с анализа размерностей, которому вас обучили в средней
школе. Используя натуральные единицы, для которых h = 1 и с = 1,
размерность длины и времени будет одинаковой и равной обратной размерности
массы (а также энергии и импульса). Специалисты в области физики
элементарных частиц подсчитывают размерность в терминах массы, ибо
привыкли думать в масштабах энергии. С другой стороны, специалисты в
области физики конденсированных сред обычно действуют исходя из
масштаба длины. Значит, физики из упомянутых отраслей оперируют величинами
Перенормируемые против неперенормируемых 181
с (равными и) противоположными размерностями. Мы будем пользоваться
обозначениями из физики элементарных частиц.
Поскольку действие S = J d4xC входит в интеграл по траекториям
как егБ, оно не имеет размерности и, следовательно, размерность
лагранжиана (точнее, плотности лагранжиана) С совпадает с размерностью массы
в четвертой степени. Тот факт, что размерность С равна 4, будем записывать
как [С] = 4. Аналогично имеем [х] = — 1 и [д] = 1. Рассмотрим теорию
скалярного поля С = \[(дц>)2 — т2(р2] — \у>4. Для 4-мерного параметра (дер)'2
справедливо утверждение [ф\ = 1 (поскольку 2(1 + [ср]) = 4), вследствие
чего [Л] = 0, т. е. параметр А не имеет размерности. Существует простое
правило, согласно которому для каждого члена С размерность различных
составляющих, включая константу связи и массу, должна в сумме
составлять 4 (т. е., к примеру, [А] + 4[<р] = 4).
Как обстоит дело с фермионным полем ф! Применяя это правило
к лагранжиану С = ф^^д^ф + ..., видим, что [ф] = |. (В дальнейшем
будем опускать ...; и так понятно, что речь идет лишь о части
лагранжиана. Более того, раз мы проводим анализ размерностей, то будем опускать
некоторые несущественные коэффициенты, такие как численные
коэффициенты и гамма-матрицы во взаимодействии Ферми, к которому мы
вскоре придем.) Анализируя член взаимодействия /<рфф9 видим, что
константа связи Юкавы / безразмерна. Однако в теории слабых взаимодействий
с С = Сфффф константа связи Ферми G имеет размерность —2 (так как
-2 + 4(|) = 4; это понятно?)
Из лагранжиана Максвелла — \F^VF^V следует, что [Ац] = 1, т. е.
размерность А^ совпадает с размерностью д^: размерности векторного и
скалярного полей одинаковы. Из электромагнитного взаимодействия еА^ф^ф
следует, что е не имеет размерности. Такой же вывод мы получим, если
запишем закон Кулона в естественных единицах V(r) = а/г с
коэффициентом а, равным а = е2/An.
Амплитуда рассеяния расходится
Теперь мы готовы дать эвристическое объяснение неперенормируемо-
сти теории. Рассмотрим теорию слабых взаимодействий Ферми. Допустим,
нам надо вычислить амплитуду М. четырехфермионного взаимодействия,
скажем, рассеяния нейтрино на нейтрино с энергией, намного меньшей Л.
В низшем порядке имеем М ~ G. Попробуем записать амплитуду в
следующем порядке: М ~ G+G2(?) и догадаться, что должно быть на месте (?).
По определению, все массы и энергии пренебрежительно малы, по
сравнению с порогом Л, так что можно принять их равными нулю. Поскольку
182
Глава III.2
[G] = —2, из анализа размерностей следует, что неизвестный
коэффициент должен иметь размерность +2. Единственно возможным параметром
для (?) является Л2. Значит, амплитуда следующего порядка записывается
в виде Л4 ~ G + G2A2. Чтобы удостовериться в справедливости нашего
заключения, рассмотрим фейнмановскую диаграмму на рис. Ш.2.1: видим,
что действительно G2 Г d*p(l/p)(l/p) ~ С2Л2.
Теория без обрезания или, что эквивалентно,
с Л или принять Л = оо, оказывается
несостоятельной: для физической величины
предсказано бесконечное значение. Поэтому теорию слабых
взаимодействий Ферми назвали неперенормируе-
мой.
Поддавшись отчаянию, некоторые
теоретики решили отказаться от квантовой теории поля.
Другие предпринимали многочисленные
попытки, чтобы «исцелить» теорию слабого
взаимодействия. К примеру, они предлагали исходить из
того, что ряд M~G[1 + GA2 + (СЛ2)2 + (GA2)4 +
+...] = Gf(GA2), где неизвестная функция /
обладает следующим свойством: значение /(оо)
конечно. Теперь мы знаем, что данный подход
нельзя было назвать плодотворным.
Зато к концу 1960-х гг. Глэшоу, Салам и Вайнберг, основываясь на
результатах исследований других ученых, разработали теорию
электрослабых взаимодействий, объединяющую электромагнитное и слабое
взаимодействия (глава VII.2). Теория слабых взаимодействий Ферми входит в
теорию электрослабых взаимодействий как эффективная низкоэнергетическая
теория.
Рис. Ш.2.1
Теория Ферми оказалась несостоятельной
С современной точки зрения мы рассматриваем обрезание Л как
реально существующее, поэтому почти слышим, как жалуется теория на
зависимость амплитуды четырехфермионного взаимодействия М. ~ G +
+ G2A2 от обрезания, ведь теория не может объяснить, что произойдет при
1
Л ~ (1/G)2. Второй член в ряду возмущений становится сравним с
первым, так что теория возмущений перестает быть применимой.
К такому выводу можно прийти иным путем. Предположим, нам
ничего не известно об обрезании. Основываясь на анализе размерностей и учи-
Перенормируемые против неперенормируемых 183
тывая тот факт, что размерность G равна —2, приходим к заключению,
что амплитуда нейтрино-нейтринного рассеяния для энергии Е центра
масс равна М ~ G + G2E2 + Когда значение Е достигает масшта-
1
ба ~ (1/G)2, амплитуда становится порядка единицы и должна появиться
новая физика просто потому, что сечение достигает унитарного предела из
обычной квантовой механики. (Помните про фазовый сдвиг и тому
подобное?)
Все это восходит еще к Юкаве, который одновременно с
разработкой мезонной теории для ядерных сил предложил также учитывать
промежуточный векторный бозон в теории слабых взаимодействий Ферми.
(В 1930-х гг. не было ясного различия между сильным и слабым
взаимодействиями.) Рассмотрим кратко теорию векторного бозона массой М,
взаимодействующего с фермионным полем с безразмерной константой связи д:
С = ф{г^д^ - т)ф - \F^F^ + М2А^ + дА^ф. (1)
Вычислим фермион-фермионное рассеяние. Для фейнмановской
диаграммы на рис. III.2.2 амплитуда равна (—ig)2(u^u)[i/(k2 — М2 + ге)]{й^и.и).
Если переданный импульс к много меньше М, амплитуда сводится к виду
i(g2/M2)(ujtJ,u)(u/y^lu). Но это в точности так, если бы фермионы
взаимодействуют согласно теории Ферми С(^7м^)(^7/х^)9 гДе G = д2/М2.
Если мы беспечно будем проводить расчеты на основе эффективной
низкоэнергетической теории G('07mVO(^7mV;)> то в конечном итоге потер-
1
пим неудачу. Да, действительно, при энергиях (1/G)2 = М/д появляется
векторный бозон. Возникает новая физика.
Рис. Ш.2.2
Я считаю правильным, что физические теории, в отличие от других
теорий человеческой мысли, в состоянии сообщить о своей области
применимости, вне которой они становятся внутренне противоречивыми.
184
Глава HI.2
Теория Эйнштейна оказывается несостоятельной
Общеизвестно, что теория гравитации также неперенормируема.
Просто сравнивая закон Ньютона V(r) — G^MiM^jr с законом Кулона V(r) =
= а/г, видим, то гравитационная постоянная Ньютона Gn имеет
размерность массы —2. Этим все сказано. Приходим к печальному заключению,
согласно которому теория гравитации, подобно теории слабых
взаимодействий Ферми, является неперенормируемой. Чтобы подтвердить этот факт,
попробуем вычислить гравитон-гравитонное рассеяние для энергии Е.
Получим ряд ~ [1 + GNE2 + (GNE2)2 + ...].
Как и для случая теории Ферми, неперенормируемость квантовой гра-
1
витации сказывается на том, что на масштабе массы Планка (1/Gn)2 =
A^pianck ~ 1019mproton должна появиться новая физика. Когда обнаружилась
несостоятельность теории Ферми, оказалось, что новая физика суть
электрослабая теория. Окажется ли теория струн новой физикой для теории
Эйнштейна?1
Упражнения
III.2.1. Рассмотрим теорию d-мерного скалярного поля S = Jddx(\{dip)2 +
+ §ra2<£2 + A<£4 + ... + A„</?n + .. 0-Покажите, что Ы = (<*-2)/2и [An] =
= п(2 — d)/2 + d. Обратите внимание, что при d = 2 поле <р безразмерно.
1 J. Polchinski, String Theory.
Глава Ш.З
Контрчлены и физическая теория
возмущений
Перенормируемость
Из эвристических рассуждений предыдущей главы следует, что теория
является неперенормируемой, если ее константа связи имеет размерность
массы в отрицательной степени. Как обстоит дело с теориями, где
константа связи безразмерна, например, с квантовой электродинамикой и с
у?4-теорией? На самом деле уже доказано, что обе они являются
перенормируемыми, хотя доказать, что теория перенормируема, гораздо труднее, чем
неперенормируемость теории. Действительно, чтобы доказать
перенормируемость неабелевой калибровочной теории (речь о которой пойдет позже),
потребовались усилия многих выдающихся физиков, в частности, 'тХооф-
та, Вельтмана, Б. Ли, Зинн-Жюстена и многих других.
Снова рассмотрим простую (р4-теорию. Сначала сделаем простое
замечание: физическая константа связи Ар есть функция от so, to и щ [см.
формулу (III. 1.4)]. Для теоретических рассуждений удобнее положить so, to
и щ равными /х2 и использовать вместо (III. 1.4) более простое определение:
-i\P = -i\ + 3iC\2logl^) +0(А3)1. (1)
Мы уже знаем, что до порядка А2 амплитуда мезон-мезонного
рассеяния, выраженная через физическую константу связи Ар, не зависит от
обрезания Л. Как доказать справедливость этого утверждения для любого
порядка А? Из анализа размерностей следует только, что до любого
порядка А зависимость амплитуды мезон-мезонного рассеяния от обрезания
должна выражаться суммой членов [log(A//x)]p, где р — некоторая степень.
]В самом деле, кинематическую точку so = to = ио = ц2 нельзя достичь
экспериментально.
186
Глава III.3
Конечно, не только амплитуда мезон-мезонного рассеяния зависит от
обрезания. Рассмотрим обратный оператор к пропагатору ц> до порядка А2
на рис. Ш.3.1. Для фейнмановской диаграммы на рис. 111.3.1а имеем —
-i\P[d4q/(2n)4][i/(q2 - т2 + is)}. Точное значение нас не интересует;
заметим только, что оно квадратично зависит от Л, а не от к2. Для
диаграммы на рис. Ш.3.1Ь справедлив двойной интеграл:
1(к,т, Л; Л) =(-*А)2 f f £*■ А
р2 - т2 -\-ieq2 — т2 + ie{p + q + к)2 - m2 + ie
После подсчета степеней р и q обнаружим квадратичную зависимость
интеграла ~ f(d8P/P6) и, следовательно, функции / от обрезания Л.
А- ,
Q
(а) (Ь)
Рис. Ш.3.1
Из лоренцевской инвариантности следует, что I есть функция от к2,
которая раскладывается в ряд D + Ек2 + FkA + — Величина D
соответствует функции I с нулевым внешним импульсом к и, значит, квадратично
зависит от обрезания Л. Теперь, дважды дифференцируя I по к и
приравнивая затем к к нулю, находим Е. При этом в два раза уменьшается значение
степеней р и q в подынтегральном выражении, так что Е начинает
зависеть от порога Л лишь логарифмически. Аналогично находим значение F
четырехкратным дифференцированием / по к и приравниваем к к нулю.
В результате значения степеней р я q уменьшатся в 4 раза и величину F
можно будет найти как интеграл ~ J d8P/P10 для больших значений Р.
Это сходящийся интеграл, следовательно, он не зависит от обрезания.
Таким образом, F и члены в (...) не зависят от обрезания при его стремлении
к бесконечности, и поэтому они не должны нас заботить.
С учетом всего вышесказанного приходим к обратному пропагатору
к2—т2-\-а-\-Ък2 с точностью 0(к2), в котором параметры а и b квадратично
Г (27Г '
&
Контрчлены и физическая теория возмущений 187
и логарифмически зависят от обрезания. Пропагатор сводится к виду:
к2-т2 (l + 6)fc2-(m2-a)' V ;
Полюс в к2 сдвигается к т2Р = т2 + 5т2 = (т2 — а)(1 + Ь)-1, т. е. к
физической массе. Этот сдвиг называют перенормировкой. С физической точки
зрения довольно естественно, что квантовые флуктуации приводят к сдвигу
массы.
Что можно сказать по поводу вычета в полюсе пропагатора, который
теперь равен не 1, а (1 + б)-1?
Для объяснения сдвига в вычете вспомним, как мы беспечно
нормировали поле (р, так что С = \{дф)2 + Коэффициент при к2 в обратном
пропагаторе низшего порядка к2 — га2 равен 1, следовательно,
коэффициент при ^(д(р)2 в функции С также равен 1. Однако мы не можем
гарантировать, что при включении поправок высшего порядка коэффициент при
\{dip)2 в эффективном лагранжиане С останется равным 1. Действительно,
он сдвигается к (1 + Ь). Данный сдвиг получил название
«перенормировки волновой функции», хотя ни о какой волновой функции речи не идет.
Более современным названием мог бы послужить термин «перенормировка
поля». (В нашем случае слово «перенормировка» употреблено кстати, ибо
мы действительно нормируем поле, хотя сильно к этому и не стремимся.)
К тому же, гораздо проще сказать «логарифмически расходящийся»,
чем «логарифмически зависимый от обрезания Л», поэтому довольно
часто мы будем употреблять привычный, хотя и менее точный термин
«расходящийся». В </?4-теории перенормировка волновой функции и
перенормировка константы связи являются логарифмически расходящимися, тогда
как перенормировка массы расходится квадратично.
Затравочная теория возмущений против физической
теории возмущений
До сих пор мы занимались голой или затравочной теорией
возмущений. Нам следовало добавить индекс 0 к величинам <р, т и Л. Поле <ро
называется затравочным полем, параметры гао и Ло — затравочной массой
и затравочной константой связи соответственно. Я не употреблял индекс О
в первой части этой книги, поскольку не хотел вводить обозначения до того,
как вы узнаете, что именно они обозначают.
С этой точки зрения применение затравочной теории возмущений
кажется неоправданным, и это действительно так. Не лучше было бы начать
188
Глава III.3
с теории нулевого порядка, сразу записанной в терминах физической
массы тр и физической константы связи А/>, которые измеряются
экспериментаторами, и соответственно изучать теорию возмущений этой теории?
В самом деле, это так и происходит, и такой способ вычислений
называется перенормированной теорией возмущений или, как я предпочитаю ее
называть, физической теорией возмущений.
Запишем:
С = \[{д*)2 - mW\ - ^yV + Чд<Р? + B<f? + Ор4. (4)
(Пара слов об обозначениях: педант, возможно, пожелал бы употребить
поле (р с индексом Р, но давайте как можно реже менять обозначения.)
Физическая теория возмущений работает следующим образом. Правила Фейн-
мана не меняются, за исключением того, что константа связи обозначается
как Ар, а пропагатор i/(k2 — m2P + is) записывается уже с физической
массой. Последние три члена в выражении (4) называют контрчленами.
Коэффициенты А, В и С вычисляются итерационно (см. далее), по
мере перехода к все более и более высоким порядкам теории возмущений.
На фейнмановских диаграммах они обозначаются крестиками (рис. Ш.3.2)
с соответствующими правилами Фейнмана. Все интегралы по импульсам
обрезаны.
к i
к2-
—i\p
—• ®—* +2i(Ak2+B)
к к
Рис. Ш.3.2
Теперь объясню, почему коэффициенты А, В и С определяются
итерационно. Предположим, мы вычислили их до порядка Ар; обозначим их
в этом порядке как А^, В^ и Сдг. Нарисуем все диаграммы для поряд-
х
X
Контрчлены и физическая теория возмущений 189
ка Лр+1. Найдем значения Ллг+ъ Д/v+i и Cn+i при условии, что
вычисленный до порядка Ар+1 пропагатор имеет при тр полюс с вычетом
равным 1, и условии, что амплитуда мезон-мезонного рассеяния, для
определенных значений кинематических переменных, равна — г Ар. Иначе говоря,
контрчлены фиксируются условием, согласно которому гпр и Ар есть то,
что мы о них думаем. Естественно, А, В и С будут зависимыми от
обрезания. Обратите внимание, что существует точно три условия определения
трех неизвестных Адг+ь #jv+i и CW+i.
При таком рассуждении становится очевидным, почему работает
физическая теория возмущений. Она справедлива тогда, когда все физические
величины, которые мы вычисляем, не зависят от обрезания. Представьте,
к примеру, что вы долго и упорно вычисляли амплитуду мезон-мезонного
рассеяния до порядка Ар7. Она будет содержать как зависимые, так и
независимые от обрезания члены. Вы просто добавляете в полученное
выражение коэффициент С17 и подбираете его значение таким образом, чтобы
зависимые от обрезания члены сократились.
И тут вы начинаете волноваться. Вы говорите: «Что, если я захочу
вычислить амплитуду превращения двух мезонов в четыре мезона? Этой
ситуации соответствуют диаграммы с шестью внешними концами. Если
я получу зависимые от порога обрезания члены, что мне делать, ведь в
выражении (4) нет контрчлена вида Dcp6 и нельзя устранить зависимость от
обрезания?» Очень проницательно с вашей стороны, но не стоит
беспокоиться по этому поводу. Проблему здесь решает теорема подсчета степеней.
Степень расходимости
Рассмотрим диаграмму с Be внешними <^-линиями. Во-первых,
определение: говорят, что диаграмма А имеет кажущуюся степень
расходимости D, если она расходится как AD. (Степень логарифмической
расходимости log Л равна D = 0.) Теорема гласит, что D принимает значение, равное:
D = 4-BE. (5)
Доказательство приведу позже, а пока объясню смысл формулы (5). Для
пропагатора имеем Be = 2 и, согласно формуле, D = 2. Действительно,
расходимость получается квадратичной. Для амплитуды мезон-мезонного
рассеяния имеем Be = 4 и, следовательно, D = 0, что как раз
соответствует логарифмической расходимости.
Согласно теореме, для диаграммы с шестью внешними ветками
(которую иногда формально называют шеститочечной функцией) имеем Be = 6
190
Глава Ш.З
Рис. Ш.3.3
и D = — 2. Получается, что по теореме диаграмма сходится или не зависит
от обрезания (зависимость от обрезания исчезает при Л-2). Не
сомневайтесь в этом, а просто постройте несколько диаграмм и проверьте данное
утверждение. Чем больше на диаграмме внешних веток, тем лучше она
сходится.
Доказательство теоремы основано на простом подсчете степеней.
Кроме Be и D, определим параметр Bj, характеризующий количество
внутренних линий, параметр V — количество вершин и параметр L —
количество петель. (Для удобства возьмем конкретную диаграмму на рис. Ш.3.3:
ВЕ = 6, D = -2, Bi = 5, V = 4 и L = 2.)
Число петель соответствует числу интегрирований J[d4fc/(27r)4],
которые нужно выполнить. Каждой внутренней линии соответствует импульс,
по которому надо провести интегрирование, так что получаем еще £?/
интегралов. Реальное число интегрирований уменьшается за счет
дельта-функций сохранения импульса, в вершинах (по одной на каждую вершину).
В результате получаем V дельта-функций, одна из которых связана с
сохранением общего импульса для всей диаграммы. Число петель равно
L = Bj-(V-l). (6)
[Если вы ставите это под сомнение, проанализируйте диаграмму на
рис. Ш.3.3 и получите тождество 2 = 5 — (4 — 1).]
Из каждой вершины исходят четыре линии (или входят, в зависимости
от того, как на это посмотреть). Каждая внешняя линия исходит (или
входит) из одной вершины. Каждая внутренняя линия соединяет две вершины.
Контрчлены и физическая теория возмущений 191
Таким образом,
4К = Вя + 2В/. (7)
(Для рис. Ш.3.3 имеем 4-4 = 6 + 2-5.)
Наконец, каждой петле соответствует интеграл f d4k, а каждой
внутренней линии — выражение г/(к2 — га2 + ie), что в два раза уменьшает
значения степеней импульса. Получаем,
D = 4L-2Bl (8)
(Для рис. Ш.3.3 имеем -2 = 4-2-2-5.)
Объединяя (6), (6) и (8), приходим к теореме (5)2. Теперь вы видите,
что ее доказательство строится на подсчете степеней.
Степень расходимости с фермионами
Проверим, усвоили вы наши рассуждения, предшествующие
доказательству теоремы (5), или нет. Для этого обратимся к теории Юкавы, с
которой мы встречались в (И.5.19). (Для удобства обозначения опустим
контрчлены.)
С = ф^д» - тР)ф + \ {(дер)2 - /i V] - Ар/ + /Р<рф1>. (9)
Теперь мы должны найти число внутренних F/ и внешних Fe фермионных
линий и проследить за числом вершин V/ и V\, с константами связи / и А
соответственно.
У нас всего пять уравнений. Например, соотношение (7) можно
разложить на два, поскольку теперь мы считаем отдельно фермионные линии
и отдельно бозонные линии. Например, имеем:
Vf+4Vx = BE + 2Bi. (10)
В итоге получаем:
D = 4-BE-^FE. (11)
2Кажущаяся степень расходимости характеризует расходимость фейнмановской
диаграммы при условии, что все внутренние импульсы масштабируются одинаково к —► Afc, где А
стремится к бесконечности. При более строгом подходе мы должны следить за импульсами
в поддиаграммах (части полной диаграммы), которые стремятся к бесконечности при
остальных фиксированных импульсах.
192
Глава Ш.З
Итак, для расходящихся амплитуд, т. е. класса диаграмм cD^O,
справедливо (Be, Fe) = (0,2), (2,0), (1,2) и (4,0), что точно соответствует шести
членам в лагранжиане (9). Значит, нам необходимы шесть контрчленов.
Обратите внимание, что подобный подсчет степеней расходимости
доказывает факт появления всех членов с размерностью ^ 4. Например,
записывая лагранжиан (9), мы забыли включить в него член Xptp4. Согласно
теореме мы должны будем включить этот член в виде контрчлена [член
с (Be,Fe) = (4,0) в приведенном выше списке.]
Выражения (5) и (11) имеют одно общее свойство: они оба зависят
только от числа внешних линий и не зависят от числа вершин V.
Следовательно, для заданного числа внешних линий не имеет значения, до какого
порядка теории возмущений мы двигаемся, поскольку кажущаяся степень
расходимости остается одинаковой. Дальнейшие рассуждения приводят нас
к мысли, что мы всего лишь формализуем процесс подсчета степеней из
предыдущей главы. [Вспомним, что размерность поля Бозе [ф\ равна 1,
а размерность поля Ферми ф равна §, что соответствует коэффициентам 1
и | в уравнении (11).]
Наши рассуждения нельзя считать строгим доказательством
перенормируемости таких теорий, как теория Юкавы. Для большей строгости вам
придется обратиться к монографиям по теории перенормировок, в которых
исчерпывающе обсуждаются такие мистические вопросы, как
перекрывающиеся расходимости и «лесная» формула Циммермана.
Неперенормируемые теории поля
В контексте наших рассуждений полезно будет узнать, откуда
неперенормируемые теории получили свои неприятные особенности. Рассмотрим
теорию слабых взаимодействий Ферми, записанную в упрощенной форме:
С = фЦ-у^д» - тР)ф + G(^)2.
Аналогами выражений (6), (7) и (8) будут L = Fi - (V-1), 4V = FE + 2F/
и D = 4L — Fj. Выражая кажущуюся степень расходимости через число
внешних фермионных линий, получаем:
£> = 4-|ib + 2V. (12)
Сравним это выражение с соответствующим уравнением (5) для
перенормируемых теорий и с уравнением (11). Видим, что теперь D
зависит от V. То есть при расчете, например, фермион-фермионного рассеяния
Контрчлены и физическая теория возмущений 193
(Fe = 4), характер расходимости будет ухудшаться по мере нашего
продвижения к более высокому порядку ряда возмущений. Это подтверждает
сделанные в предыдущей главе выводы. Действительно, неприятным
моментом является условие, что для любого заданного Fe мы придем к
расходящимся диаграммам с большим числом V, так что придется включать
нескончаемый поток контрчленов (трф)3, {фтр)4, ('ФФ)5 • • • с
произвольными константами связи, которые следует определить из эксперимента.
Предсказательные возможности теории сильно ограничиваются.
Одно время неперенормируемые теории считались безнадежными.
С современной точки зрения, основанной на подходе эффективных теорий
поля, речь о которой пойдет в главе VIII.3, они вполне приемлемы.
Зависимость от размерности
Кажущаяся степень расходимости зависит от размерности d
пространства-времени, так как каждой петле сопоставляется интеграл f ddk. К
примеру, рассмотрим взаимодействие Ферми G('ij>ip)2 в (1 + 1)-мерном
пространстве-времени. Из трех уравнений, приводящих к выражению (12),
одно меняется на D = 2L — F/, поэтому в итоге получаем:
D = 2-\FE. (13)
Полученное выражение есть аналог (12) для 2-мерного
пространства-времени. В отличие от уравнения (12), сюда не входит параметр V, поэтому
двумерные диаграммы содержат FE = 2 и 4, которые сокращаются
подходящими контрчленами. Взаимодействие Ферми перенормируемо в (1 +
+ 1)-мерном пространстве-времени. К этому вопросу мы еще вернемся
в главе VII.4.
Явление Вайскопфа
В качестве заключения скажу, что поправка к массе поля Бозе и поля
Ферми расходится неодинаково. Этот факт впервые обнаружил Вайскопф,
поэтому я буду называть его явлением Вайскопфа. Вернемся к
уравнению (11) и увидим, что Be и Fe дают разные вклады в значение
кажущейся степени расходимости D. Для Be = 2, Fe = О имеем D = 2, так
что поправка к массе поля Бозе расходится квадратично, что мы уже
явно наблюдали [параметр а в (3)]. Однако для Fe = 2, Be = 0 имеем
194
ГЛАВА Ш.З
D — 1. То есть масса фермиона расходится как бы линейно. В
действительности в 4-мерной теории поля нельзя получить линейную зависимость
от обрезания. Легче всего это увидеть на примере интеграла Фейнмана из
упражнения П.5.1, соответствующего диаграмме на рис. И.5.1:
M?i2 /T^1 2/+i + rV^) ф + В(Р% (14)
./ (27г)4 /г - /г (р + к)г - тг
где для удобства введены две неизвестные функции А(р2)иВ(р2). (Для нас
сейчас не имеет значения, придерживаемся мы затравочной или физической
теории возмущений. В случае последней считайте, что я просто опустил
подстрочный индекс Р.)
Посмотрим на подынтегральное выражение при больших к. Видим,
что интеграл будет иметь вид f d4k(/k/k4) и выглядит линейно
расходящимся, но, вследствие симметрии относительно отражений к —> —к, равен
нулю в ведущем порядке. Интеграл в (14) расходится только
логарифмически. Довольно часто кажущаяся степень расходимости D дает лишь
оценку сверху, насколько сильны могут быть расходимости (отсюда
определение «кажущаяся»). Действительно, из (14) можно доказать, что, например,
В(р2) должно быть пропорционально га. В качестве упражнения
попробуйте с помощью правил Фейнмана (см. главу П.5) доказать справедливость
этого утверждения для квантовой электродинамики.
Для бозона квантовые флуктуации дают S/i ос Л2///, а для фермиона
(например, электрона) квантовая поправка к массе 5т ос га log(Л/m)
гораздо меньше. Интересно, что в начале двадцатого века физики рассматривали
электрон как заряженный шарик радиуса а. Электростатическая энергия
такого шарика, значение которой было порядка е2/а, считалась массой
электрона. Трактуя 1/а как Л, мы могли бы сказать, что в классической физике
масса электрона пропорциональна Л и линейно расходится.
Следовательно, приходим к одному из определений явления Вайскопфа: «Бозоны ведут
себя хуже классического заряда, а фермионы — лучше».
В 1939 году Вайскопф пришел к выводу, что разницу в степенях
расходимости можно объяснить эвристически на основе квантовой статистики.
«Плохое» поведение бозонов связано с их стадным поведением. Фермион
оттолкнул бы виртуальные фермионы, флуктуирующие в вакууме, и создал
бы тем самым вокруг себя полость в вакуумном распределении заряда.
Таким образом, собственная энергия фермиона менее сингулярна, чем могла
бы быть без учета квантовой статистики. У бозона все наоборот.
«Плохое» поведение бозонов будет преследовать нас и дальше.
Контрчлены и физическая теория возмущений 195
Упражнения
III.3.1. Покажите, что в (1 4- 1)-мерном пространстве-времени дираковское поле ф
имеет размерность |, так что константа связи Ферми безразмерна.
Ш.3.2. Выведите (11) из (13).
Ш.3.3. Покажите, что В(р2) в выражении (14) равен нулю, если положить т = 0.
Покажите, что такое же явление справедливо и для квантовой
электродинамики.
III.3.4. Мы показали, что вклад (14) в 6т логарифмически расходится. Убедитесь,
что это верно для любого конечного порядка теории возмущений.
Глава III.4
Калибровочная инвариантность: фотон
не знает покоя
Нарушение основного тоадества
В главе 1.7 говорилось, что интеграл по траекториям для гфоизволь-
ной теории поля можно формадьно вычислоть с помощыо соотношенвд,
которое вполне заслуженно называют Централышм товдеством кваетовой
теории пом:
Г D<pe~*4"K"p~V{v)+J"(' =e-yls/SJ)e*J'K 1'J.
(1)
Для любой теории поля мы всегда можем собрать все поля и поместить
их в один гигантский вектор-столбец </?. Затем мы выделим из вектора <р
квадратичный член и запишем его как \у К • </?; оставшийся вектор
назовем V((р). Я пользуюсь компактным обозначением, при котором все
координаты пространства-времени и все индексы полей, включая лоренцевские
индексы, включены в индексы в формальной матрице К. Часто
уравнение (1) будем записывать с V = 0:
/
D(pe-y.K.v+j.* = Jj-K-^ (2)
Что делать, если К не имеет обратной матрицы?
Такой случай не является чем-то эзотерическим, присущим
патологическим теориям поля. Он реализуется в одном из самых основных действий
в физике, действии Максвелла:
S(A) = fd4xC = fd4x Г|Ам(0 V " д*дГ)А„ + A^J*
(3)
Формальная матрица К в уравнении (2) пропорциональна
дифференциальному оператору (d2g^ — d^dv) = Q^. Матрица не имеет обратной
матрицы, если некоторые из ее собственных значений равны нулю, т. е. если
Калибровочная инвариантность: фотон не знает покоя 197
при ее действии на вектор матрица зануляет этот вектор. Видим, что Q^v
зануляет вектор д„А(х): Q^udvK{x) = 0. Значит, Q^v не имеет обратной.
В этом явлении нет ничего таинственного; мы уже встречались с ним
в классической физике. Действительно, когда мы впервые изучали
законы электричества, нам говорили, что только «падение напряжения»
между двумя точками имеет физический смысл. На более сложном уровне мы
узнали, что всегда можно добавить некоторую константу (или
произвольную функцию времени) в электростатический потенциал (который,
конечно, есть просто «напряжение»), поскольку по определению его градиентом
является электрическое поле. На еще более сложном уровне мы видим, что,
решая уравнение Максвелла (которое получается из экстремума действия),
мы находим обратную матрицу <3-1. [Уравнение Максвелла d^F^v я
записал здесь в виде Q^A" = JM с решением Av = (Q-1)1^^]
Итак, Q~l не существует! Что делать? Мы знаем, что следует
наложить дополнительное условие на калибровочный потенциал Лд, так
называемую «фиксацию калибровки».
Простое объяснение
Чтобы подчеркнуть довольно земное происхождение фиксации
калибровки (которую в старых книгах превращали во что-то таинственное и
почти безнадежно сложное для понимания), рассмотрим обычный интеграл
f_™ dAe~AK л, в котором А = (а,Ь) есть двухкомпонентный вектор,
а К = I n п 1 есть матрица, не имеющая обратной. Конечно, вы
понимаете, в чем состоит трудность: у нас есть f_™ f_™ da dbe~a , в то время как
интеграла по Ь не существует. Для определения интеграла вставим в него
дельта-функцию 5(Ь — £). Теперь интеграл определен и фактически не
зависит от произвольного числа £. В более общем виде можно ввести в интеграл
дельта-функцию S[f(b)}, где / — некоторая функция на наш выбор. В
случае обычного интеграла эти действия выглядят нелепыми и лишними, но
мы будем пользоваться аналогом этой процедуры в других случаях.
В калибровочных теориях необходимость наложения руками связи,
фиксирующей калибровку, можно объяснить с физической точки зрения.
В главе 1.5 мы обошли вопрос фиксации калибровки за счет того, что
рассматривали вместо фотона массивный векторный мезон. В результате мы
заменили Q^v на (д2 + m2)g^y — 9М9", для которой существует обратная
матрица (на самом деле мы даже нашли ее явным вычислением).
Рассмотрим движущийся массивный векторный мезон. С помощью ло-
ренцевских преобразований мы всегда можем привести его в покоящуюся
198
Глава III.4
систему координат и применить к ней все, что знаем о группе вращений,
а именно то, что мезон со спином 1 имеет три спиновых состояния (в
классической физике — состояния поляризации). Однако, если векторный мезон
безмассов, мы больше не можем привести его в покоящуюся систему
координат. Фотон не знает покоя!
Безмассовое поле со спином 1 отличается от массивного поля со
спином 1 — в этом состоит корень проблемы. Теперь у нас есть лишь
вращения вокруг направления движения фотона, т.е. 0(2). У фотона всего две
поляризационные степени свободы. (Из классической электродинамики вы
знаете, что электромагнитная волна обладает двумя поперечными
степенями свободы.) Таково истинное физическое происхождение калибровочной
инвариантности.
С этой точки зрения калибровочная инвариантность является, строго
говоря, не настоящей симметрией, а лишь отражением того факта, что мы
пользуемся избыточным описанием: лоренцевским1 векторным полем для
описания двух физических степеней свободы.
Ограничение функционального интеграла
Теперь обратимся к методу борьбы с этой избыточностью,
изобретенному Фаддеевым и Поповым. Вы увидите, что он аналогичен методу,
использованному нами в разобранном выше примере. Даже в случае
электромагнетизма применение этого метода кажется излишним, однако для неа-
белевых калибровочных теорий и теории гравитации он имеет большое
значение (в главе VII. 1 вы убедитесь в этом). Я изложу метод в наиболее
общем виде. В следующем разделе мы рассмотрим конкретный пример.
Если у вас возникнут трудности с пониманием этого раздела, возможно,
полезно будет читать эти два раздела параллельно.
Предположим, нам необходимо вычислить интеграл / = f DAelS(A);
это может быть обычный интеграл или интеграл по траекториям. Допустим,
вследствие преобразования А —» Ад подынтегральное выражение и мера не
меняются, т.е. S(A) = S(Ag) и DA = DAg. Очевидно, что
преобразования образуют группу, поскольку при преобразовании с д' подынтегральное
выражение и мера не изменятся при совместном преобразовании д и д'
и Ад -^ (Ад)д' = Адд'. Нам бы хотелось записать интеграл / в виде / =
= (J Dg)J, где J не зависит от д, и отфакторизовать тем самым избыточное
интегрирование по д. Обратите внимание, что Dg есть инвариантная мера
для группы преобразований, a J Dg есть объем группы. Не забывайте, что
Четырехкомпонентным. — Прим. ред.
Калибровочная инвариантность: фотон не знает покоя 199
мы пользуемся компактным обозначением интеграла по траекториям:
параметры Аид есть функции координат пространства-времени х.
Подчеркну, что в наших действиях нет ничего выдающегося и
мистического. Для вычисления интеграла / = f dxdyelS^x'y\ где S(x,y) —
некоторая функция от х2 + у2, удобно перейти к полярным координатам
I = (f d6)J = (27r)J, где J = f drrelS^ — интеграл по радиальной
координате г. Множитель 27Г есть в точности объем группы вращений в двух
измерениях.
Фаддеев и Попов продемонстрировали универсальный и очень
элегантный способ «перехода к полярным координатам». Они предложили
записывать единицу как 1 = А(А) J DgS[f(Ag)], т.е. равенством,
определяющим А (А). Здесь / есть некоторая функция на наш выбор, а А (Л) —
детерминант Фаддеева-Попова, зависящий от /. Обратите внимание, что
[Д(Л')]-1 = / Dg6[f(Ag,g)} = J Dg"6lf(Ag„)} = [А(А)}-\ где второе
равенство следует из определения д" = д'д и условия Dg" = Dg. Другими
словами, мы показали, что А(А) = А(Ад): детерминант Фаддеева-Попова
является калибровочно-инвариантным. Теперь подставим 1 в интеграл J,
который необходимо вычислить, и получим:
I=j DAeiS^ =
= j DAeiS^A(A)J Dg6[f(Ag)} =
= J' Dgj DAeiS^A(A)S[f(Ag)}. (4)
Раз мы физики, а не математики, можем спокойно поменять порядок
интегрирования.
С точки зрения физики, всегда можно заменить переменные
интегрирования, пока не будет доказано обратное, поэтому заменим А на Ад-\.
Получим:
I = (/ Dg) J DAeiSWA(A)6\f(A)}, (5)
где учитывается условие инвариантности DA, S(A) и А(А) относительно
преобразования А —> Ад-\.
Вот так. Мы отфакторизовали интегрирование по группе (/ Dg).
Объем компактной группы конечен, однако в калибровочных теориях
для каждой точки пространства-времени существует отдельная группа,
поэтому (J Dg) является бесконечным фактором. (Это также объясняет,
почему в теориях с глобальными симметриями нет необходимости в фиксации
200
Глава III.4
калибровки.) К счастью, как говорилось в главе 1.3, в рамках теории поля
мы можем не беспокоиться по поводу общих множителей в интеграле по
траекториям Z, поэтому множитель (/ Dg) может быть просто отброшен.
Фиксация калибровки в электродинамике
Теперь применим метод Фаддеева-Попова к электродинамике.
Преобразование, относительно которого действие инвариантно, конечно же
Ац —> Ар — 9ДЛ, где д обозначено как Л, а Ад = А^ — <ЭМЛ. Обратите
внимание, что, поскольку начальный интеграл I не зависит от /, он не
будет зависеть от /, несмотря на то, что / появляется в (5). Пусть f(A) =
= ЗА — а, где а — функция от х. В частности, интеграл / не зависит от <т,
поэтому можно проинтегрировать I с произвольным функционалом от а,
например, с функционалом e~^2^^d Х(7^х>1 .
Теперь применим метод. Сначала вычислим
(Д(Л)Г1 = J DgS[f(Ag)] = J DA6(dA - d2A - a). (6)
Видим, что в интеграле (5) параметр А(А) умножается на 5[/(А)], так
что, вычисляя (6), можно принять f(A) = ЗА — а равной нулю. Из
уравнения (6) получаем A(A)«=»[f DA5(d2A)]~1. Правая часть этого выражения
не зависит от А, поэтому его можно отбросить. С точностью до
несущественных общих множителей, которые можно отбросить, интеграл I равен
просто / DAeiS^5(dA - a).
Интегрируя по а(х) мы окончательно получаем:
Z = f Dae-™/^*)2 / DAeiS^6(dA-a) =
= f DAeiS{A)-{i/2^^d4x{dA)2. (7)
He правда ли, изящный трюк придумали Фаддеев и Попов?
Итак, S(A) в (3) эффективно заменяется выражением:
Sm.(A) = S(A)-±Jd4x(dA)2 =
= J d4x | \ А» [д 2<Г - (l - |) д*дг\ Av + А^Л , (8)
Калибровочная инвариантность: фотон не знает покоя 201
a Q*v заменяется на Q^ = д2д^ - (1 - 1/£)д»ди. В импульсном
пространстве матрица Q^& = —k2g^ + (1 — l/Qk^k", в самом деле, имеет
обратную матрицу. Можете проверить, что
QT
-0,а + (1-О^г
— — Лм
'эфф.
Следовательно, фотонный пропагатор можно представить в виде:
Н)
*А-(1-0^
(9)
в согласии с выводами главы И.7.
В связи с тем что метод Фаддеева-Попова является во многом
хитростью, многие физики, в том числе и я, предпочитают следовать явным
аргументам Фейнмана, представленным в главе И.7. Однако, как я уже отмечал,
в теории Янга-Миллса и теории Эйнштейна без метода Фаддеева-Попова
не обойтись.
Размышления о калибровочной симметрии
Как мы увидим позже и как вы, возможно, слышали, многие явления
в мире, выходящие за рамки электродинамики, объясняются
калибровочными теориями. В некотором смысле калибровочные теории также
оказываются неудовлетворительными, поскольку построены на избыточности
описания. Электромагнитное калибровочное преобразование А^ —> А^ —
— дцА не является истинной симметрией, при которой два физических
состояния наделены одинаковыми свойствами. Скорее, оно гласит, что два
калибровочных потенциала А^ и А^ — д^А описывают одно и то же
физическое состояние. В главе IV.4 я покажу, что А^ необходимо в первую
очередь для уравнения Шредингера. В рамках классической физики можно
спокойно обойтись лишь с помощью Е и В. Некоторые физики
пытаются сформулировать квантовую электродинамику без использования АЦ9 но
пока не преуспели в поиске альтернативы тому, что мы имеем на данный
момент. Возможно, что действительно глубокий прорыв в теоретической
физике будет включать в себя формулировку квантовой электродинамики
без использования Ац.
Глава III.5
Теория поля без релятивистской
инвариантности
Замедляясь с возрастом
Когда появилась квантовая теория поля, она была релятивистской.
С наступлением периода зрелости теория нашла свое применение в физике
конденсированных сред. Можно долго говорить о роли квантовой теории
поля в теории конденсированных сред, но у нас более скромная цель,
заключающаяся в нахождении нерелятивистского предела квантовой теории
поля.
Лоренц-инвариантная теория скалярного поля
С = (дФ*)(дФ) - т2Ф+Ф - А(Ф*Ф)2 (1)
(при условии А > 0) описывает систему взаимодействующих бозонов. Она
обязательно включает в себя физику медленно движущихся бозонов. Для
ясности рассмотрим сначала релятивистское уравнение Клейна-Гордона
(д2 + т2)Ф = 0 (2)
для свободного скалярного поля. Мода с энергией Е = т + е
осциллировала бы во времени как Ф ос e~lEt. В нерелятивистском пределе
кинетическая энергия е гораздо меньше массы га. Поэтому имеем право записать
Ф(х, t) = e~lmt(p(x, t) при условии, что поле ср осциллирует во времени
гораздо медленнее, чем e~imt. Подставляя данное выражение в уравнение (2)
и дважды применяя тождество (д/дЬ)е~гтЬ){...) = e~imt(—im+d/dt)(...),
получаем (—гт + d/dt)2(f — V2<£ + m2(p = 0. Член (d2/dt2)<p мал по
сравнению со значением —2im(d/dt)(p, поэтому его можно отбросить. В
результате придем к уравнению Шредингера:
Теория поля без релятивистской инвариантности 203
Кстати, уравнение Клейна-Гордона было получено раньше уравнения Шре-
дингера.
С учетом всего вышесказанного можно легко найти нерелятивистский
предел квантовой теории поля. Просто подставим в уравнение (1)
выражение
Ф(х,*) =
1 .-г
2т
*<РШ).
(4)
(Множитель 1/у2га нужен для удобства дальнейших вычислений.)
Например,
дФ1дФ
Ы dt
т'
!ф+ф - h {[(•"»+1) *'][(-*»+1) *] -т vv}
1- / t dip dtp*
2l\*dt
dt
ч>
(5)
(6)
После интегрирования по частям приходим к выражению
С = iyfdoip ~ 2Щд*<Р*д& ~ #2(^V)2,
где д2 = А/4га2.
В главе 1.9 мы видели, что в теории (1) есть сохраняющийся нетеров-
ский ток JM = г(Ф*<9дФ — 9МФ*Ф). Как и можно было ожидать, плотность Jo
сводится к (р^<р, тогда как Ji сводится к виду (i/2m)(ip^di(p — д^ф). Когда
вы впервые изучали квантовую механику, не задавались ли вы вопросом,
почему плотность р = <рту? и ток Ji = (i/2m)(ip*di(p — д^ф) выглядят
так по-разному? Многие выражения при редукции из более симметричной
в менее симметричную теорию неизбежно становятся менее изящными.
Число сопряжено фазовому углу
Позвольте обратить ваше внимание на некоторые отличия между
релятивистским и нерелятивистским случаями.
Самое большое отличие состоит в том, что релятивистская теория
квадратична по производным по времени, тогда как нерелятивистская
теория линейна по производным по времени. Следовательно, в
нерелятивистской теории плотность импульса, сопряженная полю ip9 а именно дС/бдо^р,
равна просто г<рт, так что [<рт(ж, £), ц>{х', t)] = —8^D\x — x'). В физике
конденсированных сред часто полезно записать (р = у/рег6', так что:
С=±д0Р-Рд09-^
Р{9г9)
Ч(ад2
2 2
- 9 Р ■
(7)
204
Глава III.5
Первый член является полной производной. Второй член сообщает нечто
очень важное1 из физики конденсированных сред: в каноническом
формализме (глава 1.8) плотность импульса, сопряженная фазовому полю 0(х),
равна 5С/5дов = —р, следовательно, согласно Гейзенбергу:
[p{x,t),e{x',t)]=i5{D){x-x'). (8)
Проинтегрировав и введя параметр N = f dDxp(x,t), равный общему
количеству бозонов, получим одно из важнейших соотношений в физике
конденсированных сред:
[N,6]=i. (9)
Число оказалось сопряженным фазовому углу, подобно тому, как
импульс сопряжен с координатой. Изящно, не правда ли? Из курса физики
конденсированных сред вы, может быть, знаете, что это фундаментальное
соотношение лежит в основе физики контакта Джозефсона.
Вам, должно быть, известно, что система бозонов с
короткодействующим отталкиванием при нулевой температуре является сверхтекучей
жидкостью. В частности, Боголюбов доказал, что система содержит
элементарное возбуждение с линейной дисперсией2. О сверхтекучести речь пойдет
в главе V. 1.
Знак отталкивания
В нерелятивистской теории (уравнение (7)) бозоны отталкиваются
друг от друга, и этот факт очевиден. Чтобы собрать частицы в области
высокой плотности, потребовалась бы энергия д2р2.В релятивистской
теории менее очевидно, что член А(Ф*Ф)2 с положительным А соответствует
отталкиванию. В упражнении III.5.3 описывается один из возможных
методов, а пока прибегнем лишь к эвристическим соображениям.
Гамильтониан (плотность) включает в себя лагранжиан со знаком минус, поэтому для
больших значений Ф он записывается как А(Ф+Ф)2 и не ограничен снизу
при А < 0. Мы знаем, что физически свободный Бозе-газ склонен к
конденсированию и сгущению, и при притягивающем взаимодействии он
обязательно сколлапсирует. Естественным образом можно предположить, что
условие А > 0 соответствует отталкиванию.
Теперь рассмотрим более надежный способ. Если применить основное
тождество квантовой теории поля, можно переписать интеграл по траекто-
!Р. Anderson, Basic Notations of Condensed Matter Physics, p. 235.
2Например, Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Статистическая физика, стр. 238.
Теория поля без релятивистской инвариантности 205
риям, фигурирующий в уравнении (1), в виде:
z = [ ^ФВ^^41[(9^)(аф)"т2ф!ф+2аф|ф+(1/А)а21. (ю)
Физики-твердотельщики называют преобразование из (1) в лагранжиан
С = (<9Ф*)(<9Ф) — га2Ф*Ф + 2<гФ*Ф + (1/А)сг2 преобразованием Хаббарда-
Стратоновича. Поле, не обладающее кинетической энергией, например а,
называется в теории поля вспомогательным, его можно отынтегрировать
в интеграле по траекториям. Когда мы будем рассматривать в главе VIII.4
сверхтекучие жидкости, вспомогательные поля будут играть важную роль.
Действительно, в главе Ш.2 уже говорилось, как теория с
промежуточным векторным бозоном генерирует теорию слабых взаимодействий
Ферми. Аналогичные физические законы действуют и в нашем случае:
теория (10), в которой поле Ф взаимодействует с «промежуточным сг-бозо-
ном», может генерировать теорию (1).
Если бы а было «нормальным скалярным полем», которые нам
известны, т. е. если бы члены квадратичные по <т, в лагранжиане, имели вид
\ (да)2 — \М2а2, то пропагатор был бы г /(к2 — М2 + is). Амплитуда
рассеяния двух Ф-бозонов была бы в этом случае пропорциональна пропагатору.
Из главы 1.4 нам известно, что обмен скалярным полем приводит к
притяжению.
Однако, а не есть нормальное поле, что следует из того факта, что
лагранжиан содержит единственный квадратичный член +(1/А)сг2.
Следовательно, его пропагатор равен просто г/(1\) = г\, его знак (при А > 0)
противоположен знаку нормального пропагатора, получаемого при малой
передаче импульса г/(к2 — М2 + ге) ~ —г/М2. Заключаем, что обмен сг-бо-
зоном приводит к отталкиванию.
Это объяснение, к тому же, показывает, что сила отталкивания имеет
бесконечно малый радиус действия, типа дельта-функционного
взаимодействия. В главе 1.4 говорилось, что расстояние определяется соотношением
членов к2 и М2. В нашем случае член М2 бесконечно большой. Можно
также утверждать, что взаимодействие А(Ф*Ф) включает в себя рождение
двух бозонов и их уничтожение в одной и той же точке
пространства-времени.
Конечная плотность
Специалисты в области физики элементарных частиц иногда забывают,
что специалистов в области конденсированных сред не интересует пустое
206
Глава III.5
пространство и что они хотели бы иметь конечную плотность р-бозонов. Из
статистической механики известен способ, при котором в лагранжиан (6)
добавляется химический потенциал /i<pV- С точностью до несущественных
(в данном контексте!) аддитивных констант перепишем лагранжиан в виде:
С = i<p%<p - 7^дг<р*дцр ~ 92(^ip ~ р)2. (И)
Удивительно, но в релятивистской и нерелятивистской теориях поля
масса появляется в разных местах. Для дальнейшего мне потребуется
понятие спонтанного нарушения симметрии, поэтому на этом пока все. К
вопросу о сверхтекучести вернемся в свое время.
Упражнения
III.5.1. Получите уравнение Клейна-Гордона для частицы в электростатическом
потенциале (таком, как потенциал ядра), основываясь на калибровочном
принципе замены (d/dt) в уравнении (2) на d/dt — геАо. Покажите, что в
нерелятивистском пределе оно сводится к уравнению Шредингера для частицы
во внешнем потенциале.
Ш.5.2. Найдите нерелятивистский предел дираковского лагранжиана.
III.5.3. Для конкретной теории поля мы можем вычислить амплитуду рассеяния
двух частиц в нерелятивистском пределе. Затем потребовать
существование потенциала взаимодействия U(х) между двумя частицами и с помощью
нерелятивистской квантовой механики вычислить амплитуду рассеяния,
например, в борновском приближении. Сравнивая две амплитуды рассеяния,
можно найти значение U(x). Вычислите таким способом юкавский и куло-
новский потенциалы. Применение этого метода к взаимодействию А(Ф*Ф)2
несколько затрудняется из-за того, что дельта-функционное взаимодействие
сингулярно. Тем не менее с помощью этого метода можно определить,
является сила отталкивающей или притягивающей.
Глава III.6
Магнитный момент электрона
Триумф Дирака
Во введении я сказал, что не собираюсь в этой книге уделять много
места вычислениям, но не могу удержаться и не рассказать сейчас о
величайшем триумфе квантовой теории поля.
После того как Дирак написал свое уравнение, следующим шагом был
вопрос о взаимодействии электрона с электромагнитным полем. Согласно
калибровочному принципу, уже примененному к уравнению Шредингера
в электромагнитном поле, чтобы получить уравнение Дирака для электрона
во внешнем электромагнитном поле, мы должны просто заменить обычную
производную д^ ковариантной производной D^ = д^ — геА^:
(г7м£>д - т)1> = 0. (1)
Сравните с уравнением (П. 1.27).
Действуя на это уравнение (i^D^ + m), получаем — (^^D^D» +
+ т2)ф = 0. Имеем ^-fD^D» = £({7М,7"} + ft",7"])^А, = D^D» -
- WDpDy и WDpDv = (i/2)a^[D^Du] = {e/2)a^F^. Таким
образом,
(d^D* - \а^Е^ + тАф = 0. (2)
Теперь рассмотрим слабое постоянное магнитное поле, направленное
для определенности вдоль третьей оси. Оно настолько слабо, что можно
пренебречь членом {Ai)2 в (А)2. Согласно калибровочной
инвариантности, мы можем выбрать Aq = 0, А\ — — \Вх2 и Аъ — \Вх1 (так что
F\2 = д\А2 — дчА\ = В). Как мы увидим, это одно из вычислений, в
котором нам действительно нужно следить за множителями типа 2. Тогда
(Di)2 = (di)2 - ге(ЭгАг + Aidi) + 0(А2) =
= (дг)2 - 2fB(x1d2 - х2д1) + 0(А2) =
= V2 + eB-xxp + 0(A2). (3)
208
Глава III.6
Обратите внимание, что мы воспользовались условием diAi + Aidi =
= (diAi) + 2Aidi, где в (diAi) частные производные действуют только
на А{. В L = х х р вы, наверное, узнали оператор орбитального углового
момента импульса. Таким образом, орбитальный угловой момент
порождает орбитальный магнитный момент, взаимодействующий с магнитным
полем.
В приведенном расчете есть определенный физический смысл. Если
бы мы изучали взаимодействие заряженного скалярного поля Ф с внешним
электромагнитным полем, мы бы начали с уравнения
(£д£^ + т2)Ф = 0, (4)
получаемого путем замены обычной производной в уравнении Клейна-
Гордона ковариантными производными. Затем мы провели бы аналогичное
уравнению (3) вычисление. Сравнивая выражения (4) и (2), видим, что
спин электрона вносит вклад в виде (e/2)crM^FMZ/.
Как и в главе II. 1, запишем ф = (£) в дираковском базисе и
сконцентрируемся на параметре ф, поскольку в нерелятивистском пределе он
( ак 0 \
много больше \- Вспомним, что в этом базисе а1^ — £ljk I n к I.
Значит, член (e/2)cr^F/XI/, действующий на ф, равен (e/2)<r3(Fi2 — F21) =
= (е/2)2а3В = 2еВ • 5, так как 5 = (<т/2). Убедитесь, что вы понимаете
происхождение всех множителей 2! Между тем, согласно тому, что я
говорил в главе П.1, нам следует записать ф = е-тиФ, где Ф осциллирует
гораздо медленнее, чем e~zrnt, так что имеет место (9q + т2)е_гт£Ф ~
~ e~imt[—2im{d/дЬ)Щ. Объединяя все выражения, приходим к
уравнению:
-2гт|- - V2 - еВ • (L + 25)
at
Ф = 0. (5)
Полюбуйтесь на него! Уравнение Дирака как по волшебству говорит
нам, что спиновый момент импульса взаимодействует с магнитным
полем с коэффициентом 2, по сравнению с орбитальным моментом импульса.
Этот экспериментальный факт в то время сильно озадачивал физиков.
Вычисление, приводящее к уравнению (5), справедливо считается одним из
важнейших в истории физики.
Известна история о том, что Дирак, открыв свое уравнение, не сделал
этого вычисления. Вот насколько он был уверен в справедливости своего
уравнения! По другой версии, он опасался, что магнитный момент окажется
неверным и что Природа не воспользовалась преимуществом его
красивейшего уравнения.
Магнитный момент электрона
209
Существует другой способ увидеть, что уравнение Дирака содержит
магнитный момент, — применить разложение Гордона, доказательство
которого приведено в упражнении:
и{р')^и{р) = и(р')
2т 2т
и(р). (6)
Посмотрев на взаимодействие с электромагнитным полем й(р')^и(р) х
хА^(р' — р), мы видим, что первый член в уравнении (6) зависит от
импульса {р' +рУ и будет присутствовать в уравнении, даже при
взаимодействии заряженной скалярной частицы с электромагнитным полем в первом
порядке. Второй член содержит спин и дает магнитный момент. Иначе
говоря, член й{р')^и(р) содержит магнитный момент.
Аномальный магнитный момент
Совершенствование техники эксперимента позволило в конце 1940-х гг.
установить, что магнитный момент электрона превышает значение,
вычисленное Дираком, в 1,00118±0,00003 раза. После этого целью любой теории
квантовой электродинамики явился расчет данного аномального
магнитного момента. Вы, должно быть, знаете, что впечатляющий успех,
достигнутый Швингером при решении этой проблемы, позволил установить вне
всяких сомнений, справедливость релятивистской квантовой теории поля,
по крайней мере в том, что касается электромагнитных явлений.
Прежде чем погрузиться в вычисления, вспомним, что из лоренцев-
ской инвариантности и сохранения тока следует (см. пример Ш.6.3), что
матричный элемент электромагнитного тока должен иметь следующий вид
(здесь |р, s) означает состояние электрона с импульсом р и поляризацией s):
(p\s'\J»(0)\p,s)=u(p\sf)
7wuFi(92) + ^Fa(ga)
u(p,s), (7)
где q = (p' — p). Функции F\(q2) и i^tf), о которых ничего не может нам
сказать лоренцевская инвариантность, известны как форм-факторы. В
главном порядке по переданному импульсу q выражение (7) с помощью
разложения Гордона сводится к виду:
«>[
a(p',s'){ <£±££д(о) + ^Ь[Л(0) + я(0)]Up,«).
210
Глава III.6
Коэффициент в первом члене есть электрический заряд, наблюдаемый
экспериментаторами и по определению равный 1. То есть Fi(0) = 1.
Магнитный момент электрона отличается от дираковского значения на 1 4- ^(0).
Триумф Швингера
Давайте теперь вычислим i*2(0) до порядка а = е2/47г. Сначала
нарисуем все соответствующие фейнмановские диаграммы в данном порядке
(рис. Ш.6.1). За исключением диаграммы lb, все фейнмановские
диаграммы, очевидно, пропорциональны й(р*\s')^u{p,s) и, значит, вносят свой
вклад в Fi(q2), что, однако, не должно нас волновать. Как удачно! Нам
необходимо будет вычислить лишь одну фейнмановскую диаграмму.
Для удобства нормируем вклад рисунка lb путем его сравнения со
вкладом рисунка 1а низшего порядка и запишем сумму двух вкладов в виде
й(7д + Гм)и. Применяя правила Фейнмана, получаем:
гм _ / d4k — г (• v г и г • А
" У (2тг)4 fc2 V 7 Ф'+t-m7 ^И-Л-m 7Т
(8)
Сейчас я перехожу к довольно подробным вычислениям не только
в связи с его важностью, но и потому, что мы воспользуемся
несколькими изящными трюками, к которым впервые прибегли Швингер и Фейнман.
Конечно, вам стоит самим проделать все выкладки.
(с) (d) (e)
Рис. Ш.6.1
Сделав некоторые упрощения, получим Гм=—2e2J|d4fc/(27r)4](Ar/i/D),
где
JV" = 71/(^'+ к + гп)<у»(ф+ /г + mfr, (9)
1 1
• £-,/,М»1. (Ю)
D (pf + к)2 + га2 (р + А:)2 + т2 к
Мы воспользовались тождеством (D.16). Интеграл вычисляется по
треугольнику на плоскости (а, /3), ограниченной прямыми а = 0, /3 = 0иа +
Магнитный момент электрона
211
+ р = 1. Имеем
V = [к2 + 2fc(ap' + рр)}3 = [I2 - (а + /?)2га2]3 + 0(</2), (11)
где мы выделили полный квадрат, положив к = I — (ар' + (1р).
Наша стратегия состоит в приведении N^ к виду, состоящему из
линейной комбинации 7м? Рм и р м. Применяя разложение Гордона (6),
запишем (7) в виде:
й{Г[РЛд2) + F2(q2)] - ±(j/ + р)»F2(q2)}u.
Следовательно, чтобы выделить F2(0), можно выкинуть все члены,
пропорциональные 7м» которые мы учитывали, преобразуя N. Итак, продолжим.
Выражая к через / в уравнении (9), получаем
N» = 7"[/+ Р' + т]7/х[/+ Р + т]7„ (12)
где Р ^ = (1 — а)р м — /Зр** и Рм е (1 - Р)р^ — ар11. Я буду неоднократно
прибегать к тождествам из приложения D и не предупреждать вас каждый
раз об этом. Удобно члены в W сгруппировать по степеням га. (Далее
я отказываюсь писать в виде завершенных грамматических предложений.)
1. Член га2: член 7Д отбрасывается.
2. Члены га: выстраиваются по степеням /. Линейный по I член зануля-
ется при интегрировании по соображениям симметрии. Остается член,
который не зависит от /:
m(y p'^lv + 7^ Plv) = 4ra[(l - 2а)р'" + (1 - 2/?)р"] -*
^4га(1-а-/?)(р'+р)м. (13)
На последнем шаге я воспользовался таким соображением: поскольку
V симметрично относительно a <-> /3, можно симметризовать члены
в выражении для W.
3. Наконец, самый сложный член га0. Член второго порядка по /:
обратите внимание на возможность эффективной замены 1аГ внутри
/й4//(27г)4 на \rfTl2 в силу лоренцевской инвариантности (этот шаг
возможен потому, что мы сдвинули переменную интегрирования; так
что V есть лоренц-инвариантная функция от I2.) Таким образом, член
212
Глава III.6
второго порядка по / приводит к появлению члена 7м- Отбрасываем
его. Снова отбрасываем линейный по / член, оставляя в итоге [с
учетом тождества (D.6)!]
Y P'i» Гъ = -2 /V Р' -
-> -2[(1 -р) ф- am]<y"[{l - а) £>' - 0т]. (14)
где на последнем шаге вспоминаем, что Гм стоит в обкладках й(р')
и и(р). Опять удобно члены в (14) сгруппировать по степеням га.
Прибегая к различным, уже известным нам трюкам, находим, что член т2
можно отбросить, член га дает 2т(р' + pY\a(l - а) + (3(1 - /3)],
а член га0 дает нам 2т(р' + рУ[—2(1 - а)(1 — /?)]. Объединяя все
вместе, приходим к тому, что N^ —> 2m(pf + pY(a + /3)(1 — а — /?).
Итак, теперь можно вычислить интеграл f[d4l/(27r)4](l/V) с
учетом (D.11). В конечном итоге получим
1*-*,/*"*(й?)(^?л"-
=-б^'+рг <15)
и, следовательно (аплодисменты, пожалуйста):
*<°>= £=fr ^
Когда в 1948 году Швингер объявил о полученном им результате, это
произвело огромное впечатление на сообщество физиков-теоретиков.
В настоящей главе я рассказал не об одном, а о двух триумфах великих
физиков двадцатого века, хотя первый из двух триумфов не является по
своей сути результатом теории поля.
Упражнения
111.6.1. Найдите й(р')(р'^ + 7^ Ф)и(р) двумя разными способами и докажите тем
самым справедливость разложения Гордона.
111.6.2. Проверьте, что (7) согласовано с сохранением тока. [Указание: из
трансляционной инвариантности (опустив спиновую переменную) следует:
{p'\J»(x)\p) = <р'|7М(0)Ь>е*(р'-р)*,
Магнитный момент электрона
213
и поэтому
(р'\д„Г(х)\Р) = Цр' -p)M(p'|jM(0)b>e'(p'-p)l.
Таким образом, сохранение тока означает, что q^ip'lJ^iO^p) = 0.]
III.6.3. Согласно лоренцевской инвариантности правая часть (7) должна быть
вектором. Возможны только й^и, (р + р'^йи и (р — р')^йи. Последний член
исключается, поскольку он противоречит сохранению тока. Покажите, что
уравнение (7) действительно имеет самый общий вид.
Глава III.7
Поляризуя вакуум и перенормируя
заряд
Фотон может флуктуировать в электрон и позитрон
Одним из ранних достижений квантовой электродинамики явилось
понимание того, как квантовые флуктуации влияют на характер
распространения фотона. Фотон всегда может превратиться в электрон и позитрон,
которое по истечении короткого промежутка времени, предписанного
принципом неопределенности, аннигилируют друг с другом, снова образуя фотон.
Этот процесс изображен на рис. Ш.7.1.
Квантовые флуктуации не ограничиваются теми процессами, что мы
сейчас описали. Электрон и позитрон могут взаимодействовать друг с
другом, обмениваясь фотоном, который в свою очередь может превратиться
в электрон и позитрон и т.д. Этот процесс изображен на рис. Ш.7.2; здесь
заштрихованный объект, обозначаемый как ШМ1/ (q) и называемый тензором
поляризации вакуума, представляется бесконечным числом фейнмановских
диаграмм (рис. III.7.3). Рисунок Ш.7.1 получается из рисунка Ш.7.2
приближением iUfll/(q) диаграммой низшего порядка.
•a^w»^ \лм. _^. *лл^ УЛЛА\ /Алл' ~\~ ■ллл\ }"**( /***( /***•
"Г • • • •
Рис. Ш.7.1
Т • • • •
Рис. Ш.7.2
Поляризуя вакуум и перенормируя заряд
215
V+q
О + <3> + О
V
Т • • • •
Рис. Ш.7.3
Удобно переписать лагранжиан £ = ^[^(д^ — геЛм) — га]ч/> —
— \F^IVFI1V, заменяя А —* (1/е)А, что мы всегда имеем право сделать,
в виде:
С = #7"(^ - iA„) - т}ф - J^Fia>F"v. (1)
Обратите внимание, что калибровочное преобразование, оставляющее £
инвариантным, задается как ф —► еш,0 иАм-> Л^ + Э^а. Фотонный пропа-
гатор (глава Ш.4), получаемый, грубо говоря, обращением (l/4e2)FMl,FMZ/,
теперь пропорционален е2:
iD^(q) - 2
ге2
(2)
Каждый раз после обмена фотоном амплитуда умножается на е2.
Подобное изменение хотя и тривиально, но очень удобно, поскольку ни в
малейшей степени не влияет на физику. Например, для фейнмановской
диаграммы, которую мы вычисляли в главе П.6 для электрон-электронного
рассеяния, множитель е2 рассматривался как обусловленный не вершинами
взаимодействия, а скорее фотонным пропагатором. В данной
интерпретации е2 характеризует легкость, с которой фотон распространяется в
пространстве-времени. Чем меньше е2, тем больше требуется действия, чтобы
фотон распространялся. Чем труднее фотону распространяться, тем слабее
эффект электромагнетизма.
Диаграммное доказательство калибровочной инвариантности, которое
мы приводили в главе И.7, означает, что q^U^(q) = 0. С учетом лоренцев-
ской инвариантности из этого условия следует:
IW<?) = (Qtfv ~ g^q2Mq2). (3)
216
Глава III.7
Физический, или ренормированный, фотонный пропагатор,
изображенный на рис. III.7.2, дается в этом случае геометрической прогрессией:
iD*M = iDlu/(q)+iDIAx(q)iUxp(q)iD^(q) +
+ iD^(q)iIlxO(q)iD°(q)iUKa(q)iDKl/(q) + ... =
= -^^{1 - e2U(q2) + [е2П((72)]2 + ...} + q^ член =
q
2e2 1
= ——9^л 2тт/ 2 + q^u член. (4)
qz 1 + e2U(q2)
С учетом (3) член (1 — ^(q^qx/q2) в пропагаторе D^xiq) зануляется при
сворачивании с UXp(q). Следовательно, в пропагаторе iD*u калибровочный
параметр £ входит лишь в член q^qu и выпадает из физических амплитуд,
как было объяснено в главе II. 7.
Вычет в полюсе в iD^u{q) представляет собой физический или
перенормированный квадрат заряда:
el = e2 \ . (5)
R 1 + е2П(0) V ;
Отдаем должное калибровочной инвариантности
Чтобы выразить ед через е, проведем вычисление в низшем порядке
•n-w=(->/IHn'^i^7^)' <6)
Для больших значений р подынтегральное выражение будет иметь вид 1/р2
с поправкой т2/р4, т. е. одна часть интеграла будет расходиться
квадратично, а другая часть — логарифмически. (Видите, как легко перейти на плохой
язык.) Это совсем не концептуальная проблема, как я объяснил в главе III. 1.
Мы просто регуляризуем интеграл. Поскольку калибровочная
инвариантность играет ключевую роль мы должны проверить, что регуляризация ее
не нарушает.
При регуляризации Паули-Вилларса (III. 1.12) выражение (7)
заменяется на:
Поляризуя вакуум и перенормируя заряд
217
-JZcatrfi^——-j ЪЪ-Г1 V (7)
Теперь подынтегральное выражение будет иметь вид (1 — ^2аса)(1/р2) со
вторым членом (га2 — Y^a cama)(VP4)- Поэтому интеграл будет сходиться,
если мы выберем са и та так, что:
ЕСа = 1 (8)
а
И
Y^cam2a = m2. (9)
а
Очевидно, что необходимо ввести как минимум две регуляторные массы.
Мы верим, что можно пренебречь физикой выше масштаба та. Интеграл
в (7) эффективно обрезается, когда импульс р превышает гаа.
Калибровочно-инвариантная форма (3) в действительности означает,
что нам потребуется меньшее количество регуляторных членов, чем мы
предполагали. Представим себе разложение (6) по степеням q. Поскольку
Пм„(д) = Ы- - 9^Я2)[Щ0) + ...],
в фейнмановском интеграле нас интересуют лишь члены 0(q2) и старше.
Если разложить подынтегральную функцию из уравнения (6), увидим, что
член 0(q2) для больших значений р ведет себя как 1/р4 и,
следовательно, вносит логарифмически расходящийся (опять говоря на плохом языке)
вклад. (Между прочим, аналогичное объяснение приводилось в главе III.3).
Создается впечатление, что нам необходим только один регулятор. Этого
нельзя сказать точно, ведь мы не доказали, что П(д2) раскладывается в
степенной ряд по q2. Тем не менее продолжим вычисления.
Раз интеграл сходится, проходит доказательство калибровочной
инвариантности из главы П.7. Вспомним схему доказательства. При вычислении
q^U^(q) мы пользовались тождеством
1 , 1 = __J 1
ф+ fa-т ф-т ф-т ф+ h - т
для разбиения подынтегрального выражения на две части, которые взаимно
сокращаются при сдвиге переменной интегрирования р —» р + q. Из
упражнения (И.7.2) вспомним, что в некоторых случаях сдвиг невозможен.
Однако он возможен в случае, когда интеграл сходится. После регуляризации мы
218
Глава III.7
как раз получили сходящийся интеграл. В любом случае не попробуешь —
не узнаешь, так что, проведя явное вычисление тензора поляризации
вакуума U^(q), мы увидим, что он действительно имеет форму (3).
Выучив несколько вычислительных трюков из предыдущей главы, вы
сейчас готовы взяться за вычисления. Я вам помогу их проделать. Чтобы
не загромождать страницу, будем опускать регуляторные члены в (7) на
промежуточных шагах. Восстановим их ближе к концу. После нескольких
шагов вы должны получить
где NpV = trbv(^+ А + ™)ъ(£ + m)]9 и
где V = [I2 + а(1 — a)q2 — га2 + ге]2 и I = p + aq. Выражая р через /, вы
узнаете, что N^v фактически равно
Интегрируя по I с учетом (D.12) и (D.13) и записывая явно вклады от
регуляторов, получаем
iW<z)
Wo
4тг*Л)
da
F^(m) - ^caF^(m0)
(10)
где
F^(m) =
= ^Ja2 -2[m2 -a(l-a)q2
log
Л2
m" — a(l — a)q4
■+m'
-a(l-a)g2|-
- [a(l - a)(2q^qv - g^q2) - т2д^]
log
Л2
m2 - a(l - a)q2
■ (и)
He забывайте, что вы самостоятельно проводите вычисления, а я лишь
направляю вас. В приложении D Л вводится для придания смысла разным
Поляризуя вакуум и перенормируя заряд
219
расходящимся интегралам. Поскольку наш интеграл сходится, нам не
следует использовать параметр Л. Действительно, благодаря (8) и (9)
параметр Л выпадает из формулы (10), так что в конечном итоге получаем
формулу:
iWg) = - тЦ(дм01/ - 9nvQ2) \ da.Oi(\ -а)х
2>п Jo
х {log[m2 - а(1 - a)q2} - ^ са \og[m2a - а(1 - a)q2}}. (12)
а
Вот так! Тензор поляризации вакуума действительно имеет форму
ПМ|/(<?) = (ЯцЯ* — 9»иЯ2)Щя2)' Наша схема регуляризации действительно
уважает калибровочную инвариантность.
При q2 <C гПд (желательно, чтобы интересующий нас кинематический
режим был много меньше порога нашего неведения) определяем log М2 =
Z)aCalogm2 в (12) и получаем:
п(<г2)Л f daa{\-a)\og 2 ^2 2. (13)
27rz Jo mz-a(l—a)qz
Заметим, что наши эвристические рассуждения в самом деле правильны.
В конечном итоге нам нужен только один регулятор, хотя на
промежуточных шагах их должно было быть два. По существу, спор о количестве
регуляторов не столь важен.
В главе III. 1 я уже упоминал о размерной регуляризации как
альтернативе регуляризации Паули-Вилларса. Размерную регуляризацию
придумали для того, чтобы сохранить калибровочную инвариантность в неабелевых
калибровочных теориях (о которых мы поговорим в следующих главах).
Поучительно вычислить П с помощью размерной регуляризации
(упражнение Ш.7.1).
Электрический заряд
Окончательное выражение для U(q2) содержит параметр М2,
характеризующий порог нашего неведения. Заключаем, что
е* = е\ + ieyi2J)log(Mym2) ~ е' У1 ~ \Ь l0g^2 } (14)
Квантовые флуктуации эффективно уменьшают заряд. Я объясню
физический смысл этого явления позднее в главе, посвященной ренормализацион-
ной группе.
220
Глава III.7
К
•к
(а) (Ь) (с)
Рис. Ш.7.4
Вы скажете, что с физической точки зрения сила заряда
характеризуется тем, как один электрон рассеивается на другом. До порядка е4 строим
диаграммы, как в главе П.7, и дополнительно другие диаграммы, как на
рис. Ш.7.4а,Ь,с. Диаграмму на рисунке 4а мы вычислили, но что же делать
с диаграммами 4Ь и 4с? В книгах говорится, что вклады Ш.7.4Ь и III.7.4с
в перенормировку заряда взаимно сокращаются. Заряд — это мера того, что
фотон распространяется. Преимущество лагранжиана (1) в том, что это
утверждение становится очевидным.
Чтобы проверить этот более или менее очевидный факт, прибегнем
к физической, или ренормированной, теории возмущений (см. главу Ш.З).
Перепишем лагранжиан в виде функции от физических, или ренормирован-
ных, полей (как и прежде, будем опускать подстрочный индекс Р):
С =^(г7м(Зм - гА^) - тР)ф - A-F»UF^+
4ер
+ Аф^Цдц - гА^)ф + Вфф - CF^F»", (15)
где коэффициенты А, В и С при контрчленах определяются итеративным
методом. Дело в том, что калибровочная инвариантность гарантирует, что
фг^д^ф и ф^А^ф всегда идут в комбинации фг^{д^ — 1Ац)ф, т. е. силу
взаимодействия А^ с ф^ф нельзя изменить. Мы можем изменить лишь ту
легкость, с которой фотон распространяется в пространстве-времени.
Это утверждение имеет огромный физический смысл.
Экспериментально установлено (с большой степенью точности), что заряды электрона
и протона имеют противоположные знаки и точно равны между собой.
Если бы они не равнялись друг другу, между объектами макроскопического
мира действовала бы остаточная электростатическая сила. Предположим,
мы открыли принцип, согласно которому голые заряды электрона и про-
Поляризуя вакуум и перенормируя заряд
221
тона точно равны друг другу (в дальнейшем мы увидим, что в теориях
великого объединения этот факт действительно вытекает из теории групп.)
Как мы можем быть уверенными, что под воздействием квантовых
флуктуации заряды не станут несколько отличными друг от друга? Все же протон
участвует в сильном взаимодействии, а электрон — нет, поэтому
электромагнитное рассеяние двух протонов на больших расстояниях описывается
гораздо большим количеством диаграмм. Теперь ясно, что равенство
зарядов есть необходимое условие по той очевидной причине, что
перенормировка заряда имеет отношение к фотону. В конце концов, все
обуславливается калибровочной инвариантностью.
Аналитичность
Рассмотрим функцию П(з), определенную в (13). С помощью
аналитического продолжения ее можно задать на всей комплексной s-плоскости.
Как правило, логарифм log z задают так, чтобы он имел разрез на
отрицательной действительной оси. Тогда подынтегральная функция в (13) будет
иметь разрез на положительной действительной д2-оси и простираться от
q2 = т2/а(1 — а) до бесконечности. Поскольку максимальное значение
а(1 — а) в области интегрирования равно \, функция П(^2) есть
аналитическая функция на комплексной q2-плоскости, которая имеет разрез вдоль
действительной оси, начинающийся от q2 — 4га2.
Представим себе виртуальный движущийся фотон с импульсом дм =
— (\/^>0)- При л/q2 ^ 2га у него достаточно энергии для превращения
в реальную пару электрон-позитрон, а не просто виртуальную пару,
которая практически тут же перестает существовать. В этом состоит
физический смысл разреза. (Если вы скрупулезно выполняете все упражнения,
то, должно быть, уже заметили, что аналогичные выводы были получены
в упражнениях 1.7.5 и III. 1.2.)
В связи с тем что в квантовой теории поля амплитуды вычисляются
как интегралы от произведений пропагаторов, становится более или
менее ясно, что амплитуды есть аналитические функции от внешних
кинематических переменных. Например, амплитуда рассеяния ЛЛ в главе III. 1
представляет собой аналитическую функцию от s, t и и с несколькими
разрезами. В период с конца 1950-х до начала 1960-х годов было приложено
множество усилий, посвященных изучению аналитических свойств фейн-
мановских диаграмм1.
1 Техническое отступление: если восстановить в пропагаторах член ге\ который мы по ходу
дела отбрасывали, увидим, что в интегральном представлении для TL(q2) мы должны написать
га2 — ге. Отсюда следует, что мы должны вычислять П(</2) чуть выше разреза для q2 ^ 4га2.
222
Глава III.7
Модификация кулоновского потенциала
Основное внимание мы уделяли перенормировке заряда, которую
полностью определяет П(0), однако в выражении (13) мы получили полную
функцию П(д2), которая описывает, как модифицируется зависимость
фотонного пропагатора от q. Из обсуждения в главе 1.5 мы знаем, что куло-
новский потенциал есть фурье-преобразование фотонного пропагатора (см.
также упражнение Ш.5.3). Следовательно, кулоновское взаимодействие
модифицируется из закона 1/г на длине порядка (2га)-1, обратной к
характерному значению q в Щд2). Эта модификация проверена экспериментально
как часть лэмбовского сдвига в атомной спектроскопии, еще одного
великого триумфа квантовой электродинамики.
Упражнения
111.7.1. Вычислите ПАи/(д), используя размерную регуляризацию. Начните с
уравнения (6), найдите след в N^u, сдвиньте переменную интегрирования с р
до / и т. д., действуя в точности как в тексте. Продолжайте до тех пор, пока
не дойдете до вычисления интеграла по импульсу / в петле. На этом шаге
вы «считаете», что живете в d-мерном пространстве-времени, что позволяет
заменить, например, член типа 1^1и в N^v на (l/ctjg^l2. Интегрирование
необходимо провести с учетом уравнения (III. 1.15) и его обобщений.
Покажите, что структура (3) автоматически возникает при продолжении в d = 4.
111.7.2. Изучите модифицированный закон Кулона, определяемый интегралом Фу-
рье /А{1/^[1 + е2П(^)]}е^.
Часть IV
Симметрия и нарушение
симметрии
Глава IV. 1
Нарушение симметрии
Как скучен был бы симметричный мир
Нам бы хотелось, чтобы фундаментальные законы природы были
симметричными, хотя сами не представляем, насколько скучным был бы
симметричный мир. На самом деле реальный мир не совсем симметричен.
Точнее, хорошо было бы, если бы симметричным был лагранжиан, а не мир,
описываемый лагранжианом. Главной целью современной физики
действительно является изучение того, как могут нарушиться свойства симметрии
лагранжиана. В следующих главах мы увидим, что наши знания
фундаментальных законов физики основаны на понимании процессов нарушения
симметрии.
Рассмотрим лагранжиан, который мы изучали в главе 1.9:
С = \[{дф?-1?ф*}-\{ф*)\ (1)
где ф = (<£>i,</?2, ••• ,<Pn)- Этот лагранжиан обладает 0(ДГ)-симметрией,
при которой <р преобразуется как ЛГ-компонентный вектор.
Мы можем легко добавить в лагранжиан члены, не обладающие
свойством симметрии. Например, добавим члены (pf, ip\ и (flfi2 и нарушим
О(N)-симметрию до 0(N — 1), при которой у?2, • • •, 4>n преобразуются как
N — 1-компонентный вектор. Такой способ нарушения симметрии
(«руками») называется явным нарушением.
Можно нарушать симметрию поэтапно. Очевидно, что по желанию мы
можем нарушить ее до 0(N — М) для любого М < N.
Обратите внимание, что в этом примере добавление новых членов
не нарушает симметрию относительно отражений (ра —> — (ра (при
любом а). Этот вид симметрии также легко нарушить, если добавить,
например, член ф\.
Явное нарушение симметрии не представляет никакого интереса.
С тем же успехом мы могли бы начать наши рассуждения со случая
несимметричного лагранжиана.
226
Глава IV. 1
Спонтанное нарушение симметрии
Гораздо интереснее позволить системе «самой нарушить симметрию»,
т. е. дождаться так называемого спонтанного нарушения симметрии.
Поясню на примере. Изменим знак члена (р1 в лагранжиане (1) на
противоположный и запишем:
£ = i[(^)2 + MV2]-|№2)2- (2)
Наивно для малых А поле <р создает частицу массой л/—ц2 = щ. Что-то,
очевидно, не так.
v(q)
Ч\ / 9
Рис. IV. 1.1
Физический смысл этого наблюдения аналогичен тому, что
произошло бы, если бы мы записали коэффициент пружины для
ангармонического осциллятора с неверным знаком, т. е. L = ^(q2 + kq2) — (X/4)q4. Все
знают, что делать в этом случае в классической механике. Потенциальная
энергия V(q) = ~^kq2 + (A/4)g4 [известная как двухъямный потенциал
I
(рис. IV. 1.1)] имеет два минимума при q = ±v, где v = (fc/A)2. При низких
энергиях мы выбираем любой из двух минимумов и анализируем малые
колебания относительно этого минимума. Привязка к одному или другому
минимуму нарушает симметрию относительно отражений q —> —q системы.
В квантовой механике, однако, частица может проникать сквозь
потенциальный барьер между двумя минимумами; высота барьера равна V(0) —
— V(±v). Вероятность нахождения в каждом из двух минимумов должна
Нарушение симметрии
227
быть равной, т. е. симметрия гамильтониана q —> — q гамильтониана
сохраняется. В частности, волновая функция основного состояния ip(q) = tp(—q)
является четной.
Попробуем применить подобные рассуждения для квантовой
теории поля. Найдем для лагранжиана собственного скалярного поля С =
= \{доф)2 — \{diif)2 — V(y>) минимальное значение потенциальной
энергии J dDx[\{di(p)2 + V(ip)]9 где D — размерность пространства. Ясно, что
любое пространственное изменение ср лишь увеличит энергию, поэтому
считаем ip(x) независимой от пространства-времени величиной ip и ищем
минимум V((p). В частности, для лагранжиана (2) имеем:
v» = -IMV2 + f(/)2. (з)
Далее мы увидим, что случаи N = 1 и N ^ 2 существенно отличаются
друг от друга.
Отличия между квантовой механикой и квантовой
теорией поля
Рассмотрим сначала случай N = 1. Потенциал V(np) аналогичен
потенциалу на рис. IV. 1.1, за исключением того, что горизонтальная ось
теперь обозначена параметром (р. Существуют два минимума при (р = ±v =
= ±(M2A)i
Некоторые моменты, однако, существенно отличаются между собой
для квантовой теории поля и квантовой механики. Туннельный барьер
теперь равен [V(0) — V(±v)} j dDx (D — размерность пространства) и,
следовательно, бесконечен (или, точнее говоря, пропорционален размеру
системы)! Туннельный эффект отсутствует, волновая функция основного
состояния локализуется в окрестности +v или —v. Необходимо выбрать одну
из двух возможностей для основного состояния и построить теорию
возмущений относительно него. Не важно, какой вариант мы выберем: будет
одна и та же физика. Однако, осуществляя выбор, мы нарушаем симметрию
(р —> —(р лагранжиана.
Симметрия относительно отражений нарушается спонтанно! Мы не
вводили в лагранжиан нарушающие симметрию члены, а она все равно
нарушилась1.
1 Сделаю не очень важное техническое замечание для придирчивых читателей: строго
говоря, в теории поля волновая функция основного состояния должна по идее именоваться
волновым функционалом, поскольку Ф[у?(ж)] есть функционал функции <р(х).
228
Глава IV. 1
Выберем основное состояние в +v и запишем (р = v + <//. Разлагая
в ряд по <р', получаем, что:
£=£ + ^(d<p')2-H2<P'2-0(<p'3). (4)
Физическая частица, отвечающая сдвинутому полю <р'9 имеет массу \f2\x.
Квадрат физической массы должен быть положительным, поскольку это,
как легко сообразить, всего-навсего V/f((p)\ip=v.
Аналогично вы увидите, что первый член лагранжиана (4) есть
—V((f)\<p=v. Если нас интересует лишь рассеяние мезонов, связанное с у/,
этот член не должен входить в лагранжиан. Действительно, мы всегда
можем добавить в С произвольную константу. Мы довольно произвольно
выбирали V((p = 0) равным нулю. Такая же ситуация возникает в квантовой
механике: у гармонического осциллятора, энергия нулевых колебаний -^Тьи
ненаблюдаема; физическими являются лишь переходы между
энергетическими уровнями энергии. Мы вернемся к этому вопросу в главе VIII.2.
Еще одна точка зрения на (2) состоит в том, что в квантовой теории
поля вычисляют евклидов функциональный интеграл
)е-/Л{|[(а^)2-м2ср2]+^(^2)2}
а теория возмущений сводится к изучению малых колебаний
относительно минимума евклидова действия. Обычно мы раскладываем лагранжиан
относительно минимума у> = 0, если перед (р2 стоит знак минус. Если (р2
входит с положительным знаком, ц> = 0 является не минимумом, а
локальным максимумом.
В квантовой теории поля основное состояние называют вакуумом, так
как это буквально такое состояние, в котором поле «покоится» и нет ни
одной частицы. В нашем случае мы имеем два физически эквивалентных
вакуума, из которых мы должны выбрать один. Значение <р в основном
состоянии (либо v или —V в рассматриваемом примере) называют вакуумным
средним для (р. Говорят, что поле ip получило вакуумное среднее.
Непрерывная симметрия
Вернемся к формуле (2) для случая N ^ 2. На рис. IV. 1.2 изображен
потенциал (3) при N = 2. Форму потенциала сравнивают с дном бутылки
-/
Нарушение симметрии
229
или сомбреро. Потенциал имеет минимум при Ср1 = ц2/\. Интересно, что
у нас есть бесконечное число вакуумов, характеризуемых направлением ф
в данном вакууме. Благодаря О(2)-симметрии лагранжиана все они
физически эквивалентны. Желательно, чтобы результат не зависел от нашего
выбора. Пусть ф направлен вдоль первой координаты, т. е. (pi = v = + y/jj?/\
И (f2 = 0.
Теперь рассмотрим флуктуации относительно этой конфигурации
поля, другими словами, запишем ipi = v + ц>'х и (/?2 = у>2- Подставим эти
выражения в (2) для случая N = 2 и разложим С в ряд. Предлагаю вам
самим проделать простые выкладки. У вас должно получиться (опустив
штрихи у полей, чтобы не перегружать обозначения):
С = 4Х + 2 t(^l)2 + (^2)2] " ^ + °{ip3)- (5)
Постоянный член в точности как и в (4), как и поле у/ в (4), поле (р\
имеет массу у/2ц. Теперь обратите внимание на отличительное свойство
лагранжиана (5): отсутствует член <р|. Поле ц>2 безмассово!
Появление безмассового бозона
Тот факт, что поле </?2 оказалось безмассовым, не случаен. Я сейчас
объясню, что безмассовость — это общее и точное явление.
Из рис. IV. 1.2 мы можем легко выяснить спектр частиц. Возбуждения
поля ф\ соответствуют флуктуациям в радиальном направлении (так
сказать, «забираемся на стену»), а возбуждения поля у>2 соответствуют
флуктуациям в угловом направлении (так сказать, «вращаемся вдоль желоба»).
Чтобы шарик катился вдоль минимумов потенциальной энергии, переходя
от одного минимума к другому, не требуется затрат энергии. Чтобы
пояснить данное утверждение, изобразим длинноволновое возбуждение вида
у?2 = asin(o;£ — kx), где а мало. В области, где масштаб длины меньше
|fe|_1, поле ф2 постоянно и, следовательно, поле ф просто слегка
отклоняется от направления 1, эквивалентного вакууму вследствие О(2)-симметрии.
Только в тех областях, где масштаб длины больше \к\~1, для возбуждения
требуются затраты энергии. Таким образом, при |fc| —> 0 можно ожидать,
что энергия возбуждения обратится в нуль.
Теперь мы понимаем ключевое различие между случаями N = 1
w N — 2: для первого из них характерна дискретная симметрия
относительно отражений, а для второго — непрерывная 0(2)-симметрия.
230
Глава IV.l
Рис. IV. 1.2
После того как мы детально проанализировали случай N = 2, вы
сможете обобщить наши рассуждения до произвольного iV ^ 2 (см.
упражнение (IV. 1.1)).
Между тем взглянем на случай N = 2 с другой стороны. Многие
теории поля могут быть записаны более чем одним способом, и важно узнавать
их под разными видами. Зададим комплексное поле (р = (l/\/2)(<£i + ^2);
имеем <{fiip = \(ф\ + ф2*), поэтому перепишем (2) в виде:
С = dip^dip + /iW ~ M^V)2
(в)
явно инвариантном относительно U(l)-преобразования ц> —> егосср
(вспомните главу 1.9). Это соответствует условию локальной изоморфности групп
0(2) и 17(1). Вектор можно записать не только в декартовых или
полярных координатах, но и параметризовать поле (р(х) = р(х)егв^ (как в
главе Ш.5), чтобы получить дп<р = (д^р-Ырд^,в)егв. Приходим к лагранжиану
С = р2(дв)2 Н- (dp)2 + fi2p — Ар4. Спонтанное нарушение симметрии
предполагает задание р = v + х> где v — +\//х2/2А. Тогда2
С = у2{дв)2 +
2^2
(дХУ-2^х
х3-*х
+|\/^X+X2W. (7)
Видим, что фаза в(х) есть безмассовое поле. Мы объединили члены
лагранжиана в три группы: кинетическая энергия безмассового поля 0,
кинетическая и потенциальная энергия массивного поля х и члены
взаимодействия в и х-
2 Автор опустил постоянный член в лагранжиане. — Прим. ред.
Нарушение симметрии
231
Теорема Голдстоуна
Теперь докажем теорему Голдстоуна, согласно которой при
спонтанном нарушении непрерывной симметрии появляются безмассовые поля,
известные как намбу-голдстоуновские бозоны.
Вспомним, что с любой непрерывной симметрией связан
сохраняющийся заряд Q. Тот факт, что Q генерирует симметрию, выражается
условием:
[#,<?] =0. (8)
Пусть вакуум (или основное состояние в квантовой механике) обозначается
как |0). Добавив в гамильтониан соответствующую константу Н —> Н +
+ с, мы всегда можем записать Я"|0) = 0. Обычно вакуум инвариантен
относительно преобразования симметрии егв®Щ = |0), другими словами,
Q\0) = 0.
Однако предположим, что симметрия спонтанно нарушается и вакуум
перестает быть инвариантным относительно преобразования симметрии,
т. е. Q|0) Ф 0. Рассмотрим состояние Q|0). Какова его энергия? Итак,
#Q|0) = [tf,Q]|0)=0. (9)
Первое равенство следует из условия Н\0) = 0, а второе — из условия (8).
Следовательно, мы нашли другое состояние Q|0) с той же энергией, как
и|0).
Обратите внимание, что доказательство не опиралось на
релятивистскую инвариантность или поля. Видим также, что оно просто формализует
картину с вращением шарика вдоль желоба.
В квантовой теории поля есть локальные токи, поэтому
Q= f dDxJ°{x,t),
где D — размерность пространства. Сохранение заряда Q означает, что
вычисление интеграла может проводиться в произвольный момент времени.
Рассмотрим состояние
\s)= /dDxe^J°(x^)|0)
с пространственным импульсом Р. Если к стремится к нулю, состояние
3Действуя на него с помощью Рг (упражнение 1.10.3) и учитывая условие Рг\0) = 0, после
интегрирования по частям получаем
P*|s) = f dDxei%*[P\ J°(2,t)]|0) = **|в).
232
HIABAIV.I
переходит в состояние Q|0) с нулевой энергией (что следует из (9)). Значит,
если импульс состояния |s) стремится к нулю, его энергия также стремится
к нулю. В релятивистской теории это в точности означает, что состояние \s)
описывает безмассовую частицу.
Из доказательства следует, что теорема практически универсальна: она
справедлива для любой спонтанно нарушенной непрерывной симметрии.
Подсчет намбу-голдстоуновских бозонов
Из нашего доказательства следует, что число намбу-голдстоуновских
бозонов, очевидно, равно числу сохраняющихся зарядов, которые не
оставляют вакуум инвариантным, т.е. не уничтожают |0). Для каждого такого
заряда Qa можно построить состояние с нулевой энергией Qa\0).
В нашем примере присутствует лишь один ток JM = г{^р\д^(р2 —
— ^дцФг) и> следовательно, единственный намбу-голдстоуновский бозон.
В общем случае, если лагранжиан остается инвариантен относительно
группы симметрии G с п(С)-генераторами, а вакуум остается
инвариантен относительно подгруппы Н группы G с п(Н) генераторами, то число
намбу-голдстоуновских бозонов равно n(G) — п(Н). Если вы хотите
продемонстрировать свое владение математической лексикой, то можете сказать,
что: намбу-голдстоуновские бозоны живут в фактор-пространстве G/H.
Ферромагнетики и спиновая волна
Из общности доказательства следует, что теорема Голдстоуна
применима не только к физике элементарных частиц. В действительности она берет
начало из физики конденсированных сред, классическим примером
является ферромагнетик. Гамильтониан, в который входит только взаимодействие
нерелятивистских электронов с ионами в твердом теле, является
инвариантным относительно группы вращения 5(9(3), но вектор намагничивания
М выбирает одно направление, так что ферромагнетик остается
инвариантным только относительно подгруппы 50(2), которую составляют вращения
вокруг оси М. Теорему Намбу-Голдстоуна легко визуализировать с
физической точки зрения. Рассмотрим «спиновую волну», в которой локальные
намагниченности М(х) медленно меняются от точки к точке. Физик,
живущий в мире, малом по сравнению с длиной волны, даже не представляет
себе, что он больше не находится в «вакууме». Следовательно, частота волны
должна стремиться к нулю по мере того, как длина волны стремится к
бесконечности. Это, конечно, такой же эвристический аргумент, к которым мы
Нарушение симметрии
233
прибегали ранее. Обратите внимание, что квантовая механика нужна только
для того, чтобы сопоставить волновому вектору к импульс, а частоте и? —
энергию. К вопросу о магнетиках и спиновых волнах вернемся в главах V.3
и VI.5.
Квантовые флуктуации и размерность
пространства-времени
Наше обсуждение спонтанного нарушения симметрии является, по
существу, классическим. Что происходит при учете квантовых флуктуации?
Более детально рассмотрим этот вопрос в главе IV.3, а пока обратимся
снова к лагранжиану (5). В основном состоянии ср\ = v и <р2 = 0.
Вспомним, что в матрацной модели теории скалярного поля масса обусловлена
действием пружин, приводящим матрац в равновесное положение. Член
—/iVi2 (обратите внимание на штрих) в выражении (5) означает, что для
ухода поля (р\ из основного состояния, в котором ip\ = 0, необходимо
затратить действие. Но теперь нас беспокоит следующее: поле у>2 безмассо-
во. Сможет ли оно уйти из своего основного состояния? Чтобы ответить на
этот вопрос, вычислим среднеквадратичную флуктуацию
(Ы0))2> = | J^eiS("W0)]2 =
= lim 1 f £Vei5(¥,W*)¥>2(0) =
-^Цт^г. (10)
(2n)d к2 V ;
(Мы узнаем функциональный интеграл, определяющий пропагатор; см.
главу 1.7.) Верхний предел интеграла в выражении (10) обрезается на
некотором значении Л (соответствующем обратному значению шага решетки,
если говорить о ферромагнетике). Как говорилось в главе III. 1 (и будет
говориться в главе VIII.3), нас не должна волновать ультрафиолетовая
расходимость для больших значений к. Мы должны беспокоиться по поводу
возможной инфракрасной расходимости для малых значений к. (Замечу, что
в случае массивного поля член 1/к2 в выражении (10) следовало бы
заменить членом l/(k2 + /i2) и тогда бы не стало инфракрасной расходимости.)
Видим, что при d > 2 инфракрасной расходимости нет. Рассмотренная
нами схема спонтанного нарушения непрерывной симметрии справедлива
в нашем (3+1)-мерном мире.
234
ГЛАВА IV.l
Однако при d ^ 2 среднеквадратичная флуктуация поля </?2
оказывается бесконечной, так что наша схема уже не действует. Приходим к теореме
Коулмена-Мермина-Вагнера (независимо доказанной теоретиком в области
физики элементарных частиц и двумя теоретиками в области физики
конденсированных сред), которая гласит, что для d — 2 спонтанное нарушение
непрерывной симметрии невозможно. Обратите внимание, что данная
теорема справедлива не только для рассмотренной нами 0(2)-симметрии, но
и для любой непрерывной симметрии, поскольку она зависит
исключительно от присутствия намбу-голдстоуновских полей.
В наших примерах спонтанного нарушения симметрии спонтанно
нарушалась скалярным полем <^, но ничего не говорится о том, что поле (р
должно быть элементарным. Во многих конденсированных средах,
например в сверхпроводниках, симметрии нарушаются спонтанно, хотя система
состоит из электронов и атомных ядер. Поле ср генерируется динамически,
например, как связанное состояние двух электронов в сверхпроводниках.
Подробнее об этом в главе V.4. Спонтанное нарушение симметрии
динамически генерируемым полем иногда называют динамическим нарушением
симметрии4.
Упражнения
IV. 1.1. Явно покажите существование N — 1 намбу-голдстоуновских бозонов в G =
= O(N) в примере (2).
IV. 1.2. Постройте аналог выражения (2) с N комплексными скалярными
полями инвариантный относительно SU(N). Найдите число
намбу-голдстоуновских бозонов для случая, когда одно из скалярных полей получает
вакуумное среднее.
4Эта глава посвящена памяти покойного Йорге Свиека.
Глава IV. 2
Пион как намбу-голдстоуновский бозон
Кризис теории поля
В 1950-1960-х гг. после нескольких впечатляющих успехов
квантовой теории поля в случае электромагнитного взаимодействия ученые,
естественно, были решительно настроены на то, чтобы применить ее к случаям
сильного и слабого взаимодействий. Как мы уже знаем, теория поля
оказывается неперенормируемой в случае слабого взаимодействия. Что касается
сильных взаимодействий, то теория поля оказывается несостоятельной по
другим причинам. С одной стороны, по мере того как экспериментальной
оценке стало поддаваться все больше и больше адронов (т. е. сильно
взаимодействующих частиц), ученые пришли к выводу, что, если каждому ад-
рону поставить в соответствие поле, результирующая теория поля окажется
запутанной, с огромным количеством произвольных констант связи. Даже
если мы ограничимся рассмотрением нуклонов и пионов, известная
константа связи во взаимодействии между пионами и нуклонами будет
большой. (Отсюда термин «сильное взаимодействие».) Пертурбативный подход,
так впечатляюще эффективный в квантовой электродинамике, обречен на
неудачу.
Многие выдающиеся физики того времени выступали за отказ от
квантовой теории поля, а в некоторых высших учебных заведениях квантовую
теорию поля даже исключили из учебной программы. И лишь в начале
1970-х гг. произошло триумфальное возвращение квантовой теории поля.
Была сформулирована теория поля для сильных взаимодействий в
терминах кварков и глюонов, а не адронов. Мы рассмотрим ее в главе VII.3.
Слабый распад пионов
Чтобы понять кризис, который наступил для теории поля, вернемся
назад во времени и представим себе, что мог бы делать физик-теоретик
в конце 1950-х гг. Поскольку эта книга вовсе не посвящена физике
элементарных частиц, изложу лишь основные факты. Подробности найдете
236
Глава IV.2
в соответствующих монографиях1. К тому времени были измерены
многие полулептонные распады, такие как п —> р + е~ +V, 7г~ —» е~ +V
И7г~ —> 7Г° -Ь е- -h 17. /^-распад нейтрона п —> р + е~ + 17; тот самый
процесс, для которого Ферми предложил свою теорию, в то время
описывался лагранжианом вида С = G[e^(l — 7б)И1р7м(1 ~ 75)™], где п — поле
нейтрона, поглощающее нейтрон, р — поле протона, поглощающее протон,
v — поле нейтрино, поглощающее нейтрино (или рождающее
антинейтрино, как в /^-распаде), а е — поле электрона, поглощающее электрон.
Становится понятно, почему теоретики не могли написать поле для
каждого адрона и лагранжиан для каждого процесса распада, хотя
фактически занимались этим все время. Вместо этого следует записать
£ = С[ёУ(1-7бИ№-^м), (1)
где JM и 7бд — два тока, преобразующихся как лоренцовский и
аксиальный векторы соответственно. В канонической формулировке теории
поля токи JM и 7бД рассматриваются как квантовые операторы. Наша задача
тогда сводилась бы к вычислению матричных элементов между адронны-
МИ СОСТОЯНИЯМИ, (p\(Jp - Jbn)\n)9 <0|(JM - «/б/хЖ"), (7Г°|(7д - J5/i)K~)
и т. д., которые соответствуют трем распадам, упоминаемым выше.
(Следует пояснить, что, хотя речь идет о слабых распадах, вычисление этих
матричных элементов является задачей о сильном взаимодействии.
Другими словами, чтобы понять природу распада, сильное взаимодействие
необходимо учитывать во всех порядках константы сильного взаимодействия,
а слабое взаимодействие достаточно учесть в низшем порядке по
константе слабого взаимодействия G.) На самом деле существует прецедент, из-за
которого мы придерживаемся этой точки зрения. Чтобы вычислить
ядерный /3-распад (Z, А) —> (Z + 1, А) + е~ +V, Ферми вовсе не записывал
отдельный лагранжиан для каждого ядра. Вычислением матричного
элемента (Z + 1, Л|[р7д(1 — jb)n]\Z, А) должен был заниматься скорее теоретик-
специалист по атомному ядру. Аналогично, вычисление матричных
элементов (p\(Jn — */5д)|™) есть задача теоретика-специалиста по сильным
взаимодействиям.
Для нашего сюжета я сосредоточусь на вычислении матричного
элемента аксиального тока 3^ между нейтроном и протоном. Слегка изменим
обозначения: отныне мы не будем говорить, что нейтрон находится в
начальном состоянии, а протон — в конечном состоянии, вместо этого будем
указывать на то, что импульс нейтрона равен р, а импульс протона — р'.
]См., например, E.Commins and P. H. Bucksbaum, Weak Interactions of Leptons and Quarks
(КомминсЮ., БуксбаумБ. Слабые взаимодействия лептонов и кварков. — М.: Энергоатомиз-
дат, 1987.).
ПИОН КАК НАМБУ-ГОЛДСТОУНОВСКИЙ БОЗОН
237
Не забывайте, к тому же, что все поля и токи в выражении (1) являются
функциями от координаты пространства-времени х. Следовательно,
необходимо вычислить (pf\Jg{x)\p), что, однако, вследствие трансляционной
инвариантности равно (р'\^(0)\р)е+г(р ~р^ х. Поэтому просто вычисляем
(р'\ J£(0)\p) и опускаем 0. Заметим, что спиновые значки уже опущены.
Лоренцевская инвариантность и четность позволяют нам несколько
продвинуться. Из них следует, что2:
(p'\Jg\p) = й(р')[7"75^(92) + q»l5G(q2)}u(p), (2)
где q = р' — р [сравните с выражением (Ш.6.7)]. Но лоренцевская
инвариантность и четность больше ничего не могут для нас сделать, поскольку
мы ничего не знаем о «форм-факторах» F(q2) и G(q2).
Аналогично для матричного элемента (0| J£\7r~) лоренцевская
инвариантность означает следующее:
<ода> =/*"• (з)
Начальное состояние я обозначил импульсом к для пиона. Правая часть
уравнения (3) должна быть вектором и, так как к — единственный
имеющийся вектор, пропорциональной к. Подобно параметрам F{q2) и G(q2),
константа / — это величина, определяемая сильным взаимодействием,
вычислять которую мы не умеем. С другой стороны, значения F(q2), G(q2)
и / можно установить экспериментальным путем. Например, ясно, что
скорость распада 7г~ —> е~ + V зависит от /2.
Слишком много диаграмм
Давайте заглянем чрез плечо теоретика конца 1950-х гг.,
пытающегося вычислить (p'\Jg\p) и (0|J^lfc) в выражении (2). Он бы начал строить
фейнмановские диаграммы, подобные изображенным на рис. IV.2.1 и IV.2.2,
и вскоре бы осознал всю безнадежность своей попытки. Из-за сильной
связи ему пришлось бы вычислить бесконечное число диаграмм, даже если бы
сильное взаимодействие описывалось теорией поля, понятием уже
отвергнутым многими светилами того времени.
Я не собираюсь вдаваться во все подробности, связанные с
захватывающей историей развития данной области, полной недоразумений и
тупиковых моментов. Вместо этого я, с оглядкой на прошлое, выбираю
педагогически наилучший подход для изложения сюжета.
2Другой возможный член вида (р'+р)м75 зануляется вследствие симметрии относительно
зарядового сопряжения и изоспиновой симметрии.
238
Глава IV.2
(a) (b)
Рис. IV.2.1
Рис. IV.2.2
Пион очень легкий
Переломным моментом послужило наблюдение, которое показало, что
масса 7г~, равная 139 МэВ, значительно меньше массы протона, равной
938 МэВ. Долгое время это воспринимали просто как факт и не пытались
никак объяснять. В конце концов некоторые теоретики задумались, почему
это один адрон должен быть гораздо легче другого.
Наконец они предприняли смелый шаг, вообразив «идеальный мир»,
в котором 7г~ безмассов. Идея была в том, что этот идеальный мир
является хорошим приближением реального мира с точностью около 15%
(-139/938).
Помните ли вы одно обстоятельство, при котором происходит
естественное появление безмассовой и бесспиновой частицы? Конечно, это
спонтанное нарушение симметрии! В одном из тех ярких озарений, которые
определяли историю физики элеметарных частиц, теоретики
предположили, что 7г-мезоны есть намбу-голдстоуновские бозоны некоторой спонтанно
нарушенной симметрии.
ПИОН КАК НАМБУ-ГОЛДСТОУНОВСКИЙ БОЗОН
239
Действительно, умножим (3) на к^\
к„(0№\к) = fk2 = fml (4)
что равно нулю в идеальном мире. Из обсуждения трансляционной
инвариантности вспомним, что
(0\Jg(x)\k) = (0\Jg(0)\k)e-ik-*
и, следовательно,
(0\д^(х)\к) = -ik„(0\Jg(0)\k)e-ikx.
Таким образом, если в идеальном мире сохраняется аксиальный ток,
d^J^(x) = 0, из условия А;м(0| J^lfc) = 0 и уравнения (5) следует raj =
= 0.
Для рассматриваемого нами идеального мира характерна симметрия,
известная под названием киральной симметрии сильного взаимодействия.
В основном состоянии, в котором мы живем, симметрия нарушается
спонтанно и образуется 7г-мезон как намбу-голдстоуновский бозон. Связанный
с этой симметрией нетеровский ток есть сохраняющийся ток J£.
Вы, наверное, уже догадались, что совершенные нами выкладки тесно
связаны с доказательством теоремы Намбу-Голдстоуна, приведенным в
главе (IV. 1).
Соотношение Голдбергера-Треймана
Подходим к кульминации. Умножим (2) на (р1 — р)^. Согласно той же
трансляционной инвариантности имеем
(р'-р)»(р'№(о)\р) = -Ир'№(х)\р)е*&-*>-*.
Если d^Js = 0, полученное выражение зануляется. С другой стороны,
умножая правую часть уравнения (2) на (р' — р)м, получим й(р')[(&'—
— ^)"y5F(q2)-\-q2j5G(q2)]u(p). С учетом уравнения Дирака приходим к
выводу, что
0 = 2mNF(q2) + q2G(q2), (5)
где гадг — масса нуклона.
Каждый из форм-факторов F(q2) и G(q2) определяется бесконечным
числом фейнмановских диаграмм. Мы не можем их вычислить, но все же
240
Глава IV.2
нам удалось связать их соотношением! Такая распространенная стратегия
используется во многих областях физики: если сталкиваешься с
различными величинами, которые не знаешь как вычислить, можно попытаться
связать их.
Мы можем еще продвинуться, положив (5) q —> 0. Возвращаясь к (2),
видим, что ^(0) измеряется экспериментально в распаде п —> р + е~ +
+ V (в масштабе сильных взаимодействий передача импульса
пренебрежимо мала). Однако сталкиваемся с другой проблемой: масса нуклона тм
получается равной нулю!
Решить проблему помогает IV.2.1b: существует бесконечное
количество диаграмм, полюс которых обусловлен не чем иным, как безмассовым
7г-мезоном, который дает
f<f\g*NNu(p'hbu(p)- (6)
Когда 7г-пропагатор соединяется с нуклонной линией, сумма
бесконечного количества диаграмм дает экспериментально наблюдаемую константу
связи g^NN пион-нуклонного взаимодействия. Следовательно,
возвращаясь к уравнению (2), видим, что при q ~ 0 форм-фактор равен G(q2) ~
f(l/q2)9irNN- Подставляя это выражение в (5), приходим к известному
соотношению Голдбергера-Треймана:
2mNF(0) + fgvNN = 0, (7)
которое связывает четыре экспериментально измеримые величины. Как
и ожидалось, его точность составляет 15%; погрешность обусловлена тем,
что на самом деле мы не живем в мире с безмассовым 7г-мезоном.
К теории сильных взаимодействий
Искусство установления связи между бесконечными наборами фейн-
мановских диаграмм без их вычисления, и это вид искусства, требующий
большого мастерства, было развито в теории дисперсионных
соотношений и теории S-матрицы. Эти теории лежат в основе нашего
современного понимания сильных взаимодействий. Стоит заметить, что важной
составляющей дисперсионных соотношений являлось изучение
аналитических свойств фейнмановских диаграмм. Например, в главе III.7 мы
показали, что диаграмма поляризации вакуума имеет разрез. Суть аргументов
Голдбергера-Треймана состоит в разделении бесконечного количества
диаграмм на диаграммы с полюсом в комплексной q2-плоскости и диаграммы
без полюса (но с разрезом).
ПИОН КАК НАМБУ-ГОЛДСТОУНОВСКИЙ БОЗОН 241
Открытие того факта, что у сильного взаимодействия есть спонтанно
нарушенная симметрия, явилось ключом к построению теории, лежащей
в основе сильных взаимодействий, и неизбежно привело к появлению
понятий кварков и глюонов.
Замечание для историка науки: отношение физиков-теоретиков к
некоторой величине как к большой или как к малой зависит (очевидно) от
культурной и интеллектуальной среды, в которой они выросли. Как-то Трейман
сказал мне, что для поколения, выросшего вместе с атомной бомбой (сам
Трейман был в составе вооруженных сил в Тихом океане), казалось верхом
абсурдности считать 138 МэВ равными нулю, когда энергия, выделяемая
при распаде одного ядра, оказывается порядка 10 МэВ. А сегодня новое
поколение молодых теоретиков, работающих в области теории струн,
совершенно спокойно считает равным нулю все, что меньше энергии Планка
в 1019 ГэВ.
Глава IV.3
Эффективный потенциал
Квантовые флуктуации и нарушение симметрии
Такое важное явление, как спонтанное нарушение симметрии,
основывается на нахождении минимумов классической потенциальной энергии
V(ip) квантовой теории поля. Естественно задаться вопросом, как на
описанную картину повлияют квантовые флуктуации?
Рассмотрим еще раз лагранжиан (Ш.3.4)
С = \{д<р? - \№ - \\ч? + А{д<р)2 + В<р2 + Сц>\ (1)
(Когда речь идет о квантовых флуктуациях, необходимо включать
контрчлены, что мы и сделали.) Что вы знаете об этой теории? Для /i2 > О экстремум
действия находится при <р = О, и, квантуя малые флуктуации относительно
(р = О, получаем скалярные частицы, рассеивающиеся друг на друге. Для
/i2 < 0 экстремум действия находится при некотором значении <^min, а
дискретная симметрия (р —> —{р спонтанно нарушается (см. главу IV. 1). Что
происходит при [1 = 0? Нарушать или не нарушать — вот в чем вопрос.
Первое предположение таково, что квантовые флуктуации нарушат
симметрию. Теория /х = 0 находится на грани нарушения симметрии
и квантовые флуктуации должны бы вытолкнуть ее за эту грань.
Представьте себе карандаш, балансирующий на своем острие, а затем «включите»
квантовую механику.
Житейская мудрость
Следуя Швингеру и Йона-Лозиньо, построим формализм, который
позволит ответить на поставленный вопрос. Рассмотрим теорию
скалярного поля, задаваемую как
z = eiW(j) = Г D(peHS(vHJv) (2)
Эффективный потенциал
243
[с удобным сокращением Jip = j d4xJ(x)(p(x)]. Если вычислить
функциональный интеграл, получим производящий функционал W(J). Как
говорилось в главе 1.7, путем повторного дифференцирования W по
источнику J(x) можно получить любую функцию Грина и, следовательно, любую
желаемую амплитуду рассеяния. В частности,
Ых) s ^ = i | Д^Ю+^х). (3)
Подстрочный индекс с традиционно используется для того, чтобы
напомнить (см. приложение к главе 1.8), что в каноническом формализме <рс(х)
обозначает среднее (0|^|0) квантового оператора ф. Не путайте с
переменной интегрирования ip из уравнения (3). Чтобы не загромождать запись,
далее будем опускать индекс с без какого бы то ни было риска создать
путаницу.
Если задан функционал W для J, можно осуществить преобразование
Лежандра и получить функционал Г для (р (т. е. (рс). Под преобразованием
Лежандра понимают простое соотношение
Г(<р) = W(J) - f d4xJ{x)<p(x).
(4)
Хоть соотношение и простое, будьте осторожны, когда раскрываете его
смысл: оно определяет функционал для <р(х) через неявную зависимость J
от <р. В правой части выражения (4) необходимо выразить J через ip
путем решения уравнения (3). Раскладываем функционал Г(<р) следующим
образом:
Г(<р) = Jd4x[-Vm.(<p) + Z(<p)(d<p)2 + ...], (5)
где (...) обозначает члены с более высоким порядком д. Вскоре мы
убедимся в справедливости обозначения 1^фф.(<р).
У преобразования Лежандра простая и удобная форма
функциональной производной от Г:
*r(v>) f м SJ(x)5W(J) f, 5J(x)
8<Р(У)
f l4 SJ(x) 6W(J) Г ,4 SJ(x) , ч т/ ч , х , ч
Это соотношение можно считать «дуальным» соотношению SW(J)/5J(x) =
= У>(я).
Если вам начинает казаться, что подобные преобразования вам уже
встречались раньше в вашем физическом образовании, то вы правы! В
курсе термодинамики вы прибегали к преобразованию Лежандра, связавшему
244
Глава IV.3
свободную энергию с энергией F = Е — TS, где F — функция от
температуры Т, а Е — функция от энтропии S. Следовательно, J и у? образуют
«сопряженные» пары, подобные паре Т и S (или, что еще более очевидно,
паре напряженность магнитного поля Н и намагниченность М). Можете
удостовериться, что это не просто совпадение.
Для J и у?, независимых от х9 из уравнения (5) следует, что условие (6)
сводится к виду:
^ф.М = J- (7)
Это соотношение проясняет, для чего служит эффективный потенциал
^эфф. (</>)• Посмотрим, что произойдет в отсутствие внешнего источника J.
Ответ очевиден: из соотношения (7) следует, что
V^ifp) = 0. (8)
Другими словами, вакуумное среднее значение ц> в отсутствие внешнего
источника определяется минимумами ^фф.(у?).
Первый порядок по квантовым флуктуациям
Все эти формальные манипуляции ничего не стоят, если мы не
можем вычислить W(J). В большинстве случаев мы можем найти eiW^J"} =
= J D(pe^s^+J(^ лишь в приближении наискорейшего спуска (см.
главу 1.2). Найдем «точку» наискорейшего спуска <^s(x), т.е. решение
уравнения
8[S(<p) + fd*yJ(yMy)]
(9)
Sip(x)
или, в более явной форме,
&tpa(x)+V'[tpa(x))=J{x). (10)
Запишем переменную интегрирования в (2) как у? = <ра + !р и разложим до
членов второго порядка (р:
z = ed/h)W(j) = f D(pe{i/h)[S(<p)+Jtp] ^
„ e(i/ft)[5(V)+JV] f D~e{iIh)Sd*x\\{dv)*-V'\^)?] =
= e{i/H)[s{<p)+M-\ triog[a2+\/"(^)] *n.
Эффективный потенциал
245
Для представления детерминанта, возникшего в результате
интегрирования по (р, мы воспользовались тождеством (П.5.2). Обратите внимание, что
я вернул постоянную Планка ft. Здесь ips, решение (10), следует
рассматривать как функцию от J.
Теперь, когда мы определили
w(j) = ры + jVa] + f tr iog[a2 + v"{<p,)] + o(h%
переходим к преобразованию Лежандра. Опишу следующие действия более
подробно:
л SW 6[S(<p„) + J<fs] 6ip3 , _ , ^,^
v = ^7 = Ws -sj+<p. + o{h) = <p. + o(h).
В главном порядке ft значение <р (известное раньше как (рс) равно (р3. Таким
образом, из соотношения (4) получаем:
ВД = S&) + f tr log[d2 + V"{ip)) + 0{h2). (12)
Несмотря на то что эта формула выглядит достаточно простой, на
практике оказывается невозможным вычислить след для
произвольного (р(х): необходимо найти все собственные значения оператора д2+V"(</?),
найти их логарифм и просуммировать. Задача существенно упрощается,
если мы анализируем функционал Г((р) для (р, который не зависит от х,
потому что в этом случае значение V"{<p) постоянно, а оператор д2 + VN (ip)
трансляционно-инвариантен и легко вычисляется в импульсном
пространстве:
trlog[d2 + V'\ip)) = fd4x(x\ log[92 + V"((p)]\x) =
= J d4x J j£L(x\k)(k\ log[d2 + V"{<p)]\k)(k\x) =
= jd*xj-^ \og[-k2 + V"(<p)]. (13)
С учетом (5) получаем:
%M = %)-f/^feg
к2 - V"{<p)
к2
+ 0(h2), (14)
246
ГЛАВА IV.3
известный как эффективный потенциал Коулмена-Вайнберга. Итак, мы
вычислили поправку к классическому потенциалу V(ip) до порядка h.
Напоминаю, что мы добавили независимую от (р константу, чтобы сделать
аргумент логарифма безразмерным.
Можно дать красивую физическую интерпретацию формулы (14).
Определим так называемое фоновое поле, заполнив Вселенную скалярным
полем <р(х)9 принимающим значение ср. Для V(ip) = \^2Ф2 + (1/4!)А<^4
имеем V"(ip) = fi2 + \\ц)2 = ц{ф)2> что соответствует квадрату зависящей
от (р эффективной массы скалярной частицы, распространяющейся в
фоновом поле ip. Квадрат массы /i2 в лагранжиане получает поправку \\ф2-,
обусловленным взаимодействием частицы с фоновым полем (р. Теперь
становится очевидным смысл выражения (14): первый член V(ip) представляет
собой плотность классической энергии, содержащейся в фоновом поле <р, а
второй член есть плотность энергии вакуума для скалярного поля, квадрат
массы которого равен V"(np) (см. выражение (П.5.3) и упражнение IV.3.4).
Ваша теория перенормировок в деле
Интеграл в (14) квадратично расходится, а если точнее, квадратично
зависит от обрезания. Ничего страшного, мы ввели три контрчлена, лишь
два из которых нам потребуются, поскольку (р не зависит от х. Поэтому на
самом деле получаем:
^фф.И = ^) + §/|^1о§
k% + V"{V)
кЕ
+
(27Г)4
+ Вф2 + Ор4+0(П2), (15)
где сделали виковский поворот к евклидову интегралу (см. приложение D).
Используя соотношение (D.9) и интегрируя до к2Е = Л2, получаем
(опуская К):
г
^ФФ.И = V(„) + £-2V»(v) - [^~ log ф^ + Bf + Op*. (16)
Как и ожидалось, интеграл квадратично и логарифмически зависит от
обрезания Л2, поскольку подынтегральное выражение в (15) для больших кЕ
имеет вид 1/кЕ.
Такова теория перенормировки в действии! Так как V есть
многочлен четвертой степени от (р, Уп(ф) — это квадратичный многочлен,
Эффективный потенциал
247
а \У" (</?)]2 — многочлен четвертой степени. Следовательно, для устранения
зависимости от обрезания достаточно ввести два контрчлена Btp2 + C(f4.
Рассмотренный пример, в частности, ясно демонстрирует, как работает
метод добавления контрчленов.
Чтобы понять, что плохого может произойти в неперенормируемой
теории, представим себе, что V есть многочлен шестой степени от <р. Мы
могли мы добавить три контрчлена Вер2 + С(р4 + Dip6, но этого будет
недостаточно, поскольку [V"(tp)]2 будет являться многочленом восьмой
степени. Это значит, что нам следовало начать с V как многочлена восьмой
степени, но тогда выражение [V" (у?)]2 было бы многочленом двенадцатой
степени. Очевидно, что в итоге придем к многочлену бесконечной степени.
В этом состоит отличительное свойство неперенормируемой теории: в ее
неутолимой потребности в контрчленах.
Наложение условий перенормируемости
Вернемся из кошмара бесконечного количества окружающих нас
контрчленов и обратимся к простой перенормируемой теории <р4. В главе Ш.З
мы фиксировали контрчлены заданием условий для различных амплитуд
рассеяния. Теперь нам надо зафиксировать коэффициенты В и С заданием
двух условий для УэффХф) при определенных значениях (р. Мы, так
сказать, работаем с пространством полей, а не пространством импульсов, но
с прежней концептуальной основой.
Можно было бы начать с общего многочлена четвертой степени V(ip)9
но лучше сначала ответим на главный вопрос, поставленный в главе: что
произойдет при \х — О, т.е. когда V{y>) = (1/4!)А(/?4? Выкладки тоже
упрощаются.
Вычисляя (16), получаем:
(после включения нескольких независимых от у? коэффициентов в С).
Видим, что зависимость от Л можно включить в В и С.
Мы начали с многочлена четвертой степени V(</?). Квантовые
флуктуации породили квадратично расходящийся член (р2, который можно
сократить с контрчленом В. Что означает условие /г = 0? Оно означает, что
член (d2V/d(p2)|^=o исчезает. Теория \х = 0 предполагает обязательное
сокращение квадрата ренормированной массы, обозначаемой в нашем случае
248
Глава IV.3
коэффициентом при ip2. Таким образом, приходим к первому условию:
dip2
= 0. (17)
ip=0
Иначе говоря, мы хотим, чтобы В = — (Л2/647г2)А в данном порядке.
Аналогично можно было бы сформулировать второе условие как
требование равенства {dAV3^J dipA)\ip=o некоторой константе связи. Однако,
дифференцируя член ip4 log ip в выражении для Кфф. четыре раза, получим
член logy?, значение которого не определено при ip = 0. Мы должны
наложить условие на dAV3$$JdipA не для ip = 0, а для ip, равного некоторой
произвольно выбранной массе М. (Вспомним, что размерность ip совпадает
с размерностью массы.) Следовательно, второе условие будет иметь вид:
d4V3
эфф.
&р4
= А(М), (18)
(р=М
где Х(М) — явно зависимая от М константа связи.
Подставляя в (18) выражение
Vm.(<P) = (57А + -^ log ^ + С)<р4 + 0(А3),
видим, что А(М) равно А плюс поправки 0(А2), среди которых фигурирует
член A2 logM. Дифференцируя А(М), получаем явное соотношение:
dM 16тг2 v '
= -А^\(М)2 + 0[\(М)% (19)
где второе равенство справедливо в данном порядке. Анализ соотношения
показывает, как константа связи А(М) зависит от масштаба массы М, при
котором она задается. Вспомните упражнение III. 1.3. К данному
соотношению мы вернемся в главе VI.7, когда речь пойдет о ренорм-группе.
А пока продолжим. Выразим из условия (18) константу С и, подставив
ее в выражение для 1^фф., получим:
Vm.(<f) = £A(MV4 + ^£<P4 flog ^ - f) + 0[A(M)3]. (20)
Эффективный потенциал
249
Надеюсь, вас не удивляет, почему больше нет константы С и обрезания Л.
Вот вам и перенормируемая теория!
Тот факт, что Уэфф. не зависит от произвольно выбранной массы М, т. е.
M(dV3$$JdM) = 0, в указанном порядке выражается соотношением (19).
Нарушение симметрии квантовыми флуктуациями
Теперь ответим на главный вопрос: нарушать или не нарушать?
Квантовые флуктуации генерируют поправку к потенциалу вида
+у?4 log</?2, но значение log</?2 чрезвычайно велико и отрицательно для
малых ср. Поправка 0(h) превосходит классический О(Н°)-потенциал +ip4
вблизи ср = 0. Квантовые флуктуации нарушают дискретную симметрию
<р-> -if.
Достаточно легко определить минимумы ±<pmm эффективного
потенциала ^Эфф.(у?) (чтобы иметь представление, нарисуйте потенциал от ф).
Более детальный анализ показывает, что нельзя всерьез рассматривать
точное значение (рт'т1 Уэфф. имеет вид А<^4(1 + A log (р +...), т. е. параметром
разложения в действительности будет A log <£>. [Постарайтесь убедиться, что
(...) начинаются с (A log у?)2.] Минимум (рт\п функции УЭфф. лежит там, где
параметер разложения порядка единицы. В упражнении к главе IV.6 вы
познакомитесь с остроумным способом обойти эту проблему.
Фермионы
В выражении (11) (ра выступает в качестве внешнего поля, а (р
соответствует квантовому полю, по которому проводится интегрирование. Роль (р
может играть поле фермиона ф. Добавим в лагранжиан член ф(г Jd — т —
— /(р)ф. В интеграле по траекториям
Z =[D<pD*Dfri'***l*)'-Vlv™1^m-f'>™ (21)
можно сначала проинтегрировать по ф и получить
Z= /,D(pei/d4x^(^)2-vr^)l+trl°e(^-m-^) (22)
Совершая те же шаги, что и в (13), приходим к выводу, что вклад ферми-
онного поля в УэффХ^Р) равен:
^)=+i/(0trlog^"7/y- (23)
250
Глава IV.3
(След в (23) берется по гамма-матрицам.) Из главы П.5 следует, что
физически параметр Ур(ф) дает вакуумную энергию фермиона с эффективной
массой т{ф) =т + fip.
Получить след логарифма можно с помощью trlogM = logdetM
(II.5.2), циклически переставляя множители в детерминанте:
trlog(^-a) =thlog75(^-a)75 = trlog(- ф - а) =
= | tr(log(i>-a) + log(ф + a)) + i tr log(-1) -
= |trlog(-l)(p2-a2). (24)
Следовательно,
(ф — а) i , p2 — a2 л1 p2 — а2 /л^ч
trlog^—± = itrlog^— = 21og^—— 25
P 2 V P"
и поэтому
d4p ,_P2 -m(ip)2
5~
™-"/<&*^
(26)
Обратите внимание на то, что общий знак противоположен знаку в (14):
противоположность знаков между фермионной и бозонной петлями
объяснялась в главе И.5.
Итак, эффективный потенциал, порождаемый квантовыми флуктуа-
циями, интерпретируется следующим образом: он соответствует
плотности энергии, обусловленной флуктуирующей энергией, которая полностью
аналогична энергии нулевых колебаний гармонического осциллятора, для
квантовых полей в фоновом поле ip (см. упражнение IV.3.5).
Упражнения
IV.3.1. Рассмотрите эффективный потенциал в (0+1)-мерном
пространстве-времени:
v^.M = V(V) + Щ I %*- log fe|+,f(v?) + o(h2).
h f dkE ,
2 J (2>r)
Поскольку интеграл сходится, нет необходимости добавлять контрчлены.
Однако (0 + 1)-мерная теория поля — это всего лишь квантовая механика.
Вычислите интеграл и покажите, что Кфф. не противоречит вашим знаниям
о квантовой механике.
Эффективный потенциал
251
IV.3.2. Изучите Уэфф. в (1 + 1)-мерном пространстве-времени.
IV.3.3. Рассмотрите безмассовое фермионное поле ф, взаимодействующее со
скалярным полем ip посредством }(рфф в (1+1)-мерном пространстве-времени.
Покажите, что
* = £</*)'к* £ ОТ
после добавления подходящего контрчлена. В главе V.5, посвященной
нестабильности Пайерлса, мы увидим, что полученный результат имеет большое
значение для физики конденсированных сред.
IV.3.4. Попробуйте понять смысл выражения (14) с помощью фейнмановских
диаграмм. Покажите, что У,фф. порождается бесконечным количеством
диаграмм. [Указание: разложите логарифм в (14) в ряд по У"{ф)/к2 и
постарайтесь сопоставить для каждого члена ряда фейнмановскую диаграмму.]
IV.3.5. Рассмотрите электродинамику комплексного скалярного поля
C = -±F^F»U+ [o^+zeA'V] [(dp-ieAJip] +/iVV - A(cpV)2-
(28)
Во Вселенной, заполненной скалярным полем <р(х), принимающим
независимое от х значение </?, лагранжиан будет содержать член (е2^(р)А^А^,
так что квадрат эффективной массы фотонного поля становится равным
M(ip)2 = eW- Покажите, что его вклад в Цфф.(у?) равен:
/
л±к к2-М(<р)2 , ч
Сравните с выражениями (14) и (26). [Указание: для упрощения
вычислений воспользуйтесь калибровкой Ландау] Если вам нужна помощь,
настоятельно рекомендую прочесть работу Коулмена и Вайнберга (S. Coleman and
E.Weinberg, Phys. Rev. D7: 1888, 1973), которая очень понятно и четко
написана.
Глава IV.4
Магнитный монополь
Квантовая механика и магнитные монополи
Довольно любопытно, хотя электрические заряды стали вполне
привычным делом, никто никогда не видел магнитный заряд или монополь.
В классической физике мы можем совершенно спокойно модифицировать
одно из уравнений Максвелла, записав его в виде V • В = рм, где рм
обозначает плотность магнитных монополей. При этом мы больше не можем
представлять поле В как В = V х А, поскольку иначе V-5 = V-Vx4 =
= £ijkdidjAk = 0. Ньютон и Лейбниц сообщили нам, что производные
коммутируют друг с другом.
И что из этого? Действительно, кого волнует, что В больше нельзя
записать в виде V х А1 Векторный потенциал А ввели в физику
исключительно из математических соображений, причем до сих пор студентам так
и говорят в курсе классического электромагнетизма. Как сказал
выдающийся физик девятнадцатого века Хэвисайд: «Физику надо очистить от такой
чепухи, как скалярные и векторные потенциалы; физический смысл имеют
лишь поля Е и В».
С приходом квантовой механики, однако, оказалось, что Хэвисайд был
не прав. Вспомните, например, нерелятивистское уравнение Шредингера
для заряженной частицы в электромагнитном поле:
-^(V-ieAf + еф
ф = Еф. (1)
Заряженные частицы непосредственно взаимодействуют с векторным и
скалярным потенциалами An ф, которые теперь рассматриваются иногда как
более фундаментальные понятия, чем электромагнитные поля Е и В (см.
главу Ш.4). Для квантовой физики просто необходим векторный потенциал.
Дирак гениально заметил, что эти утверждения ведут к внутреннему
конфликту между квантовой механикой и понятием магнитных монополей.
При более тщательном анализе он пришел к выводу, что квантовая
механика вовсе не запрещает существование магнитных монополей. Просто она
Магнитный монополь
253
разрешает существование только таких монополей, которые несут
определенное количество магнитного заряда.
Дифференциальные формы
Для дальнейшего обсуждения вопроса магнитных монополей и теории
Янга-Миллса в следующей главе очень удобно пользоваться языком
дифференциальных форм. Не бойтесь, нам понадобится лишь несколько
элементарных понятий. Пусть хм обозначает D действительных переменных (т. е.
индекс /i может принимать D разных значений), а А^ (не обязательно
электромагнитный калибровочный потенциал в нашем чисто математическом
разделе) обозначает D функций от х. В наших приложениях х^ — это
координаты и, как мы увидим, дифференциальные формы имеют естественную
геометрическую интерпретацию.
Назовем объект А = A^dx11 1-формой. Дифференциалы dx^
рассматриваются следуя Ньютону и Лейбницу. При замене координат х —» х', как
обычно, dx» = {dx»ldx,v)dx'v, так что А = A^dx» = А^дх»/dx,u)dx,y =
A!vdx'v. Мы записали стандартный закон преобразования векторов при
координатном преобразовании A!v = А^дх» /dxfv). В качестве
примера рассмотрим А = cos Odip. Считая 0 и (р угловыми координатами на
2-сфере (т.е. поверхности 3-шара), получаем А$ = О и А^ = cos#.
Аналогично определяем р-форму как Н = (l/p!)#AllM2...Mpd£Mldz;/Z2 ...dx»p.
(Повторяющиеся индексы, как обычно, суммируются.) «Вырожденным»
примером является 0-форма, назовем ее Л, которая представляет собой
скалярную функцию от координат хд. Примером 2-формы служит F =
= (l/2\)F^dx»dxu.
Приходим к вопросу, как рассматривать произведения
дифференциалов. Из элементарного курса дифференциального исчисления мы знаем,
что dxdy представляет собой область бесконечно малого
прямоугольника с длиной dx и шириной dy. Тогда мы чисто автоматически считали, что
(ly dx равняется dx dy. Порядок написания дифференциалов не был важен.
Однако если осуществить координатное преобразование, то х = х(х',у')
и у = у{х',у') будут функциями от новых координат х' и у1. Теперь
посмотрим на
Обратите внимание, что коэффициент при dx'dy' равен (дх / дх')(ду / ду'),
л коэффициент при dy'dx' равен (дх / ду')(ду / дх'). Видим, что
дифференциалы dx*1 лучше рассматривать как антикоммутирующие объекты [кото-
254
Глава IV.4
рые математики называют грассмановыми переменными (вспомните
главу П.5)], поэтому dy'dx' = —dx'dy' и dx'dx' = 0 = dy'dy'. Тогда (2)
сводится к виду:
dxdy=(ww~WM) dx'dy's J(x'm x'' y')dx'dy'- (3)
Мы получили правильный якобиан J(x,y\x' ,y'), преобразующий элемент
площади dxdy в элемент площади dx'dy'.
Во многих текстах dxdy записывают как dxAdy. Мы будем опускать
знак Л, чтобы не загромождать записи.
Это небольшое упражнение показывает, что нам следует определить
dx*Ldxv = —dxvdx11 и считать элемент площади dx^dxv направленным.
Элементы площади dx^dxv и dxvdx^ одинаковы по величине и
противоположны по направлению.
Теперь зададим дифференциальный оператор d, действующий на
любую форму. Действуя им на р-форму Н, получаем, по определению,
dH = \dvE^^.^vdxvdx^dx^ .. .dx^.
Следовательно, dh = dvKdx1' и
dA = dvAildxvdxil = |(Э„АМ - dlkAv)dxvdafk.
Видим, что этот математический формализм сделан почти как по
заказу для описания электромагнетизма. Если назвать 1-форму А = A^dx*1
потенциалом, а А^ считать электромагнитным потенциалом, тогда F =
= dA конечно будет 2-формой поля. Если записать F через его компоненты
F = (\/2\)F^dx^dxv, то Fju, действительно будет электромагнитным
полем.
Замечу, что х* не является формой, a dxM не обозначает действие d на
форму.
Если хотите, можете считать дифференциальные формы всего лишь
элегантным и компактным обозначением. Главное — рассматривать
объекты А и F как нечто целое, не привязанное к определенной координатной
системе. Такой подход удобен в том случае, когда приходится иметь
дело с объектами, более сложными, чем А и F, например, в теории струн.
Дифференциальные формы освобождают нас от использования целого
моря индексов.
Магнитный монополь
255
Важным тождеством является следующее:
dd = 0. (4)
Оно означает, что двукратное действие d на любую форму дает нуль. В
качестве упражнения можете проверить это утверждение. В частности, dF =
= ddA = 0. Если записать его в компонентах, придем к стандартному
тождеству электромагнетизма — «тождеству Бьянки».
Замкнутая форма не обязательно точна глобально
Удобно сейчас ввести несколько новых терминов. Говорят, что р-форма
а замкнута, если da = 0. Говорят, что она точна, если существует такая
(р — 1)-форма /3, что а = d(3.
В этих терминах (4) означает, что точные формы замкнуты.
Верно ли обратное? В некотором смысле. Согласно лемме Пуанкаре,
замкнутая форма локально точна. Другими словами, если dH = 0, где Н —
некоторая р-форма, то локально справедливо
H = dK (5)
для некоторой (р — 1)-формы К. Однако не обязательно, что Н = dK
истинно в глобальном смысле, т. е. везде. На самом деле мы уже сталкивались
с леммой Пуанкаре. Например, я уверен, вы знаете, что, если равен нулю
ротор векторного поля, векторное поле локально становится градиентом
некоторого скалярного поля.
Для интегрирования форм не нужна никакая дополнительная
информация. Например, задана 2-форма F = (l/2\)Ffll/dx^dxu'. Для любого 2-мно-
гообразия М можно записать JM F. Обратите внимание, что в интеграл уже
включена мера, так что нет необходимости делать координатный выбор.
Помните вы это или нет, но вас уже знакомили с одной важной теоремой:
[ dH= [ Я, (6)
JM JdM
где Н — р-форма, а дМ — граница (р + 1)-мерного многообразия М.
Дираковское квантование магнитного заряда
После такого экскурса в математику мы готовы заняться физикой.
Рассмотрим сферу, окружающую магнитный монополь с магнитным зарядом д.
256
ГЛАВА IV.4
Тогда 2-форма электромагнитного поля задается как F = (д/4ir)d cos 9 dip,
что практически совпадает с определением магнитного монополя (см.
упражнение IV.4.3). В частности, вычислим магнитный поток путем
интегрирования F по сфере S2:
f F = g. (7)
Js2
Я уже говорил, что элемент площади включается автоматически. Вы,
должно быть, уже узнали в d cos в dip = — sin в d9 dip элемент площади на
единичной сфере. Замечу, что при «обычном обозначении» в выражении (7)
будет использоваться магнитное поле В = (д/47гг2)г, где ? — единичный
вектор в радиальном направлении.
Теперь приведу довольно математический, но строгий вывод дираков-
ского квантования магнитного заряда д, впервые полученный By и Янгом.
Сначала вспомним, как работает калибровочная инвариантность на
примере (II.7.3). При преобразовании поля электрона ip(x) —> elA^x^(x)
электромагнитное калибровочное поле изменяется на
или, в терминах дифференциальных форм,
A^A+±-e~iAdeiA. (8)
ге
Дифференцируя, получаем:
Ац(х) -> А^(х) + !<ЭмЛ(х).
Использованная здесь форма напоминает нам, что калибровочное
преобразование определяется умножением на фазовый множитель егА^х\ так что
Л (ж) и Л (ж) + 27г описывают одно и то же преобразование.
В квантовой механике А физическое (при всем нашем уважении к Хэ-
висайду), поэтому нам лучше задаться вопросом, какое значение А привело
бы к F = (д/4тт)d cos в dip. Ответ кажется очевидным: А = (д/Атг) cos 0 dip.
(Если решите проверить это, вычислив dA, не забывайте, что dd = 0.)
Однако не все так быстро; ваш друг-математик утверждает, что dip не
определено у Северного и Южного полюсов. На бытовом языке это бы
соответствовало ситуации, при которой вы стоите на Северном полюсе и
пытаетесь определить свою долготу. То есть, строго говоря, нельзя писать
А = (д/Атг) cos в dip.
Магнитный монополь
257
Но вы ведь достаточно умны, чтобы возразить: как насчет An =
= (g/47r)(cos6 — l)dip? Если подействовать на Ам оператором d, получим
желаемую F; дополнительный член (д/4тг)(—l)dip зануляется d вследствие
тождества (4).
Хорошо, но ваш друг-математик указывает на то, что наше An не
определено на Южном полюсе.
— Все верно, — отвечаете вы, — я это учел, добавив индекс N1.
Теперь зададим As = (р/47г) (cos 0 + l)d<p. Обратите внимание, что, действуя
на As оператором d, мы снова получаем желаемое F. Однако теперь As
определено везде, за исключением Северного полюса.
На математическом языке мы скажем, что калибровочное поле А
определено локально, но не глобально. Калибровочное поле An определен на
карте, которая покрывает северную полусферу и простирается на юг так
далеко, как мы того захотим, но не включая Северный полюс. Аналогично, As
определено на карте, которая покрывает южную полусферу и
простирается так далеко на север, как мы того захотим, за исключением Северного
полюса.
Что произойдет при наложении друг на друга двух участков
координатной сетки, к примеру, вдоль экватора? Калибровочные потенциалы An
и As не одинаковы:
As-AN=2-^dtp. (9)
Что теперь? Ах да, это калибровочная теория! Если As и An связаны
калибровочным преобразованием, то все хорошо. Итак, с учетом (8) задаем
условие 2(g/4ir)d(p = (l/ie)e~lAde'lA для некоторой фазовой функции егА.
Из прямой проверки следует, что егА = ег2(е0/47Г)^.
Однако значения <р = О и у? = 27Г описывают в точности одну
и ту же точку. Чтобы егА имело смысл, необходимо выполнение условия
ег2(е^/4тг)(2тг) = ег2(ед/4тг)(0) = 1. иначе говоря9 е™9 = \ ИЛИ
9 = %Ч (10)
где п — целое число. В этом состоит знаменитое открытие Дирака:
магнитный заряд на магнитном монополе квантуется в единицах 27г/е. Другими
словами, если существует монополь, то электрический заряд квантуется
в единицах 2тт/д.
Не забывайте, что форма F является точной локально, а не глобально;
в противном случае, согласно (6), магнитный заряд д = fs2 F был бы равен
нулю.
1От англ. «north» — «север». — Прим. пер.
258
Глава IV.4
Я привел здесь строгий математический вывод частично для того,
чтобы, во-первых, избавить вас от путаницы, с которой связывают данный
вывод в более простых текстах. Во-вторых, подобного рода доказательства
встречаются в более передовых областях физики, например, теории струн.
Электромагнитная дуальность
Тот факт, что между электрическим и магнитным полями может
существовать дуальность, приводило физиков-теоретиков в затруднительное
положение на протяжении полутора веков. Кстати, если вы почитаете
Максвелла, то обнаружите, что он часто говорил о магнитных зарядах. Можете
проверить, что уравнения Максвелла инвариантны относительно
следующего изящного преобразования: (Е + гВ) —► егв(Е + гВ) в случае
существования магнитных зарядов.
Одним из интригующих свойств уравнения (10) является следующее:
если е мало, то д велико, и наоборот. Как бы выглядели магнитные
заряды, если бы существовали? Они ничем бы не отличались от электрических
зарядов: они тоже взаимодействуют с помощью потенциала 1/г,
отталкиваясь при одноименных и притягиваясь при разноименных зарядах. В
принципе мы могли бы эффективно сформулировать теорию электромагнетизма
в терминах магнитных зарядов, которые выступали бы в качестве
электрических зарядов. В этом случае теория была бы сильно взаимодействующей,
но роль константы связи играл бы параметр д, а не е.
Физиков-теоретиков интересует дуальность по той причине, что она
позволяет получить представление о теориях поля в режиме сильной связи.
При преобразовании дуальности теория поля в режиме слабой связи
отображается в сильно взаимодействущую теорию поля. Именно поэтому, когда
несколько лет назад ученые узнали о дуальности теорий струн другим
теориям, это произвело огромное впечатление на специалистов в области
теории струн: теперь мы знаем, как ведут себя теории струн в режиме сильной
связи. Более подробно о дуальности читайте в главе VI.3.
Формы и геометрия
Проясним геометрический характер дифференциальных форм путем
анализа электромагнитного тока заряженной частицы, движущейся вдоль
мировой линии Х^(т) в £>-мерном пространстве-времени (см. рис. IVAla):
J^x) = jdT^6^[x-X(r)}. (11)
Магнитный монополь
259
Физический смысл этой простой формулы из электродинамики очевиден:
dX^/dr есть 4-скорость для заданного значения параметра т («собственное
время»), а дельта-функция гарантирует, что у х ток исчезает, если частица
не проходит через х. Обратите внимание, что J^(x) инвариантно
относительно репараметризации г —> т'(т).
Более или менее очевидно обобщение на протяженный объект.
Рассмотрим струну. Она движется вдоль мирового листа Х^{т, а) в
пространстве-времени (см. рис. lb), где а — это параметр, характеризующий
положение вдоль струны. [Например, для замкнутой струны значение а
традиционно считается изменяющимся в диапазоне от 0 до 27Г с Х^ (г, 0) =
= Х^(г, 27г).] Соответствующий струне ток равен
J*"(x) = fdr dadet ( fjj£ fj£, ) 8™[x - Х(т,<т)], (12)
где дт = д/дт и т. д.
(а) (Ъ)
Рис. IV.4.1
Детерминант обусловлен условием инвариантности относительно
репараметризации г —> t'{t,<j), а —> 0-'(т,0-). Отсюда следует, что J^u — это
антисимметричный тензор. Значит, аналогом электромагнитного
потенциала Ар, взаимодействующего с током JM, является поле
антисимметричного тензора В^, взаимодействующего с током J^u. Таким образом, теория
струн содержит 2-форму потенциала В = \Blxvdxlxdxv и соответствующую
3-форму поля Н = dB. На самом деле в теории струн есть много р-форм.
260
Глава IV.4
Эффект Ааронова-Бома
Реальность калибровочного потенциала А продемонстрировали в 1959
году Ааронов и Бом. Рассмотрим магнитное поле В, ограниченное
областью Q, как изображено на рис. IV.4.2. Квантовая физика электрона
описывается решением уравнения Шредингера (1). В формализме фейнмановско-
го интеграла по траекториям амплитуда, соответствующая пути Р,
модифицируется за счет множителя eiefrAdx9 в котором одномерный интеграл
вычисляется вдоль траектории Р. Таким образом, при вычислении
интеграла по траекториям, определяющим вероятность перехода электрона из
точки а в точку b (рис. IV.4.2), будет существовать интерференция между
вкладами от траекторий 1 и 2 вида
fjef^AdA (eiefr2AdA* — feiefAdx\
Однако § A-dx = J В- dS соответствует потоку, ограниченному замкнутой
кривой (Pi — Рг). Удивительно, но электрон чувствует влияние
магнитного поля даже в том случае, когда он не попадает в область присутствия
магнитного поля.
2 В=0
Рис. IV.4.2
Первая публикация результатов работы Ааронова-Бома привела в
смущение самого Нильса Бора. Впоследствии их выводы подтвердились
опытами Тономуры и его сотрудников.
Однажды Коулмен рассказал о мысленном розыгрыше, позволяющем
связать эффект Ааронова-Бома с дираковским квантованием магнитного за-
Магнитный монополь
261
ряда. Допустим, мы помещаем очень тонкий невидимый соленоид в
лабораторию ничего не подозревающего экспериментатора, например, нашего
друга из главы III. 1. Включаем ток и генерируем магнитное поле в
соленоиде. Когда экспериментатор вдруг видит, как из ниоткуда начинает течь
магнитный поток, то приходит в такой неописуемый восторг, что начинает
планировать свою поездку в Стокгольм (за Нобелевской премией).
При каком условии экспериментатор не сможет обнаружить
розыгрыш? Дотошный экспериментатор может начать рассеивать электроны,
чтобы попытаться найти соленоид. Условием, гарантирующим, что он не
увидит эффект Ааронова-Бома и, следовательно, не обнаружит розыгрыш,
служит тот факт, что поток, текущий через соленоид, должен быть кратен 27г/е.
То есть заряд магнитного монополя точно соответствует магнитному
заряду, предсказанному Дираком!
Упражнения
IV.4.1. Докажите, что dd = 0.
IV.4.2. Запишите в компонентах уравнение dF = 0 и убедитесь, что раньше вы уже
встречались с ним, но не узнали в краткой записи.
IV.4.3. Рассмотрим F = (д/4тг)dcos 0d(p. Перейдя в декартовы координаты,
покажите, что оно описывает магнитное поле, направленное наружу, вдоль
радиуса.
IV.4.4. Восстановите коэффициенты Я и с в условии дираковского квантования.
IV.4.5. Запишите инвариантный относительно репараметризации ток JlxvX в
мембране.
IV.4.6. Пусть д(х) — это элемент группы G. 1-форма v = gdg^ известна как
форма Маурера-Картана. Тогда след tri^ замкнут на TV-мерном многообразии,
поскольку сам является iV-формой. Рассмотрите Q = JsN trvN, где SN —
iV-мерная сфера. Выясните и топологический смысл Q. Это окажется
полезным для дальнейшего обсуждения топологии в теории поля в главе V.7.
[Указание: проанализируйте случай N = 3 и G = SU(2).]
Глава IV. 5
Неабелева калибровочная теория
От большинства подобных идей в
конечном итоге отказываются или откладывают
на неопределенное время. Но некоторые
продолжают существовать и могут стать
наваждением. Изредка наваждение в
конце концов может обернуться чем-то
хорошим.
Ч. Н.Янг об идее, которая впервые
пришла к нему в голову в студенческие
времена и к которой он возвращался год от
года1.
Локальное преобразование
Речь идет о довольно простой идее.
Чтобы объяснить, о какой идее говорит Янг, напомним наше
обсуждение симметрии в главе 1.9. Для определенности зададим iV-компонентное
комплексное скалярное поле ip(x) = {tpi(x),ip2(x),.. .,^дг(х)},
преобразующееся как ip(x) —> U<p(x), где U — элемент группы SU(N). Так как
<pt —► (£>t£/t и WU = 1, имеем ip^ip —> у?ту? и д^д^р —► дц^дф. Для любого
многочлена V очевидна инвариантность лагранжиана С = d(p^dy> — V(^ip)
относительно группы преобразований SU(N).
Среди физиков-теоретиков больше тех, кто умеет отвечать на хорошо
поставленные вопросы, чем тех, кто умеет задавать действительно важные
вопросы. Физики второго типа, к тому же, умеют многое из того, что
делают физики первого типа, тогда как обратное утверждение заведомо неверно.
В 1954 году Ч.Н.Янг и Р.Миллс задались вопросом, что произойдет,
если преобразование будет меняться от точки к точке в
пространстве-времени, другими словами, если U = U(x) будет зависеть от х.
!С. N. Yang, Selected Papers 1945-1980 with Commentary, p. 19.
Неабелева калибровочная теория
263
Ясно, что </?V остается инвариантным. Но д(р*д(р, наоборот, больше
не будет инвариантным. Действительно,
Чтобы сократить нежелательный для нас член (U^d^,U)(f, мы обобщаем
обычную производную дд до ковариантной производной Г>д, которая при
действии на <р дает
Dpipix) = дцЧ>{х) - iAp(x)<p(x). (1)
Поле А^ называется калибровочным потенциалом по аналогии с
электромагнетизмом.
Как необходимо преобразовать А^, чтобы оказалось справедливым
D^ip{x) —* U(x)DfJL(p(x)? Иначе говоря, нам необходимо преобразовать
D^(p(x) так же, как преобразовано д^(х), при условии, что U не
зависит от х. Если так, то выражение [0^(р(х)]^Dll(p(x) —> [D^(x)]^D^(p(x)
можно использовать в качестве инвариантного кинетического члена для
поля с/?.
Двигаясь в обратном направлении, видим, что преобразование
D^{x) —> U(x)Dll(p(x) оказывается справедливым (не стоит и
напоминать, но вам лучше это проверить) в случае, когда
Ам -> UA^ - i{d»U)U] = UA^tf + iUd^Ul (2)
(Равенство следует из условия UW = 1.) А^ мы называем неабелевым
калибровочным потенциалом, а выражение (2) неабелевым калибровочным
преобразованием.
Сделаем ряд простых наблюдений.
1. Очевидно, что Ам должны быть матрицами N х N. Из (2) получите
закон преобразования для А^ и покажите, что условие Ам — А£ =
= 0 сохраняется при калибровочном преобразовании. Поэтому можно
считать Ад эрмитовым. В частности, установите смысл сказанного для
группы SU(2), такой что U = егв'т/2, где в-г = вата и та — известные
вам матрицы Паули.
2. Записав U = егв'т, где Та — генераторы группы SU(N), получим
Ад -+ Ад + гва[Та, Ац] + д„ваТа (3)
относительно инфинитезимального преобразования U ~ 1 +19 • Г. Как
правило, инфинитезимальной формы (3) бывает достаточно.
264
Глава IV.5
3. Вычислив след (3), видим, что след А^ не преобразуется, поэтому
можно считать, мы можем выбрать А^ эрмитовым и бесследовым. Это
означает, что мы можем всегда написать А^ = А^Та и таким образом
разложить матричное поле Лм по компонентам А^. Существует
столько компонент А£, сколько генераторов у группы [3 для SU(2), 8 для
5С/(3)ит.д.].
4. В приложении В мы напомним, что алгебра Ли для группы задается
выражением [Та,Ть] = ifabcTc, где числа fabc называются
структурными константами. Например, для SU(2) имеем fabc = еаЬс. Значит,
выражение (3) можно переписать в виде:
А1-+А1- ГЬсвьАс^ + д»6а. (4)
Если в не зависит от х, компоненты поля А^ преобразуются в
присоединенном представлении группы.
5. Если U(x) = егв^ — всего лишь элемент абелевой группы U(l), то
все эти выражения упрощаются, А^ есть просто абелев калибровочный
потенциал, известный из электродинамики, а выражение (2) описывает
обычное абелево калибровочное преобразование. Поэтому А^ известен
как неабелев калибровочный потенциал.
Преобразование U9 зависящее от пространственно-временных
координат х называют калибровочным преобразованием или локальным
преобразованием. Говорят, что инвариантный относительно калибровочного
преобразования лагранжиан С является калибровочно инвариантным.
Построение напряженности поля
Теперь мы можем записать калибровочно-инвариантный лагранжиан
С = (ЗД^ЗД - y(^V), (5)
но калибровочный потенциал А^ не будет иметь собственной динамики.
В знакомом примере С/(1) калибровочной инвариантности мы уже записали
взаимодействие электромагнитного потенциала А^ с полем материи <р, но
еще мы должны были записать в лагранжиане максвеллов член —\F^VF^V'.
Наша первая задача — построить напряженность поля F^v из А^. Как это
сделать? По-видимому, Янг и Миллс воспользовались методом проб и
ошибок. В качестве упражнения попробуйте сделать это до прочтения текста.
Неабелева калибровочная теория
265
Для этого будет полезен язык дифференциальных форм, с которым
мы познакомились в главе IV.4. Удобно избавиться от множителя —г,
переопределив А1^ = —гА^, где А^ обозначает знакомый нам
калибровочный потенциал. Впредь, до особого указания, под обозначением А^ будем
понимать А™. Из (1) видим, что ковариантная производная равна D^ =
= дц + А^. (Кстати, индексы М и Р означают потенциал, появляющийся
в математической и физической литературе соответственно.) Как и раньше,
введем матричную 1-форму А = A^dx*1, т.е. форму, являющуюся, к тому
же, матрицей в фундаментальном представлении алгебры Ли [например,
для SU(N) эрмитовой матрицей N х N с нулевым следом]. Обратите
внимание, что
А2 = AllAvdxixdxv = ^{A^A^dx^dx»
не равно нулю для неабелева калибровочного потенциала. (Очевидно, что
в электродинамике такого объекта нет.)
Наша задача — получить 2-форму F = ^FflJ/dxtJ'dx1' из 1-формы А.
Воспользуемся прямым методом. Из А можно получить лишь две
возможные 2-формы: dA и А2. Таким образом, F должна быть линейной
комбинацией этих двух форм.
В наших обозначениях закон преобразования (2) сводится к виду:
А -> UAUj + UdU\ (6)
где U — 0-форма (и, следовательно, dW = d^Wdx^). Действуя на (6)
оператором d, получаем:
dA -> UdAU* + dUAU* - UAdU* + dUdU*. ■ (7)
Обратите внимание на знак минус перед третьим членом. С другой
стороны, возводя (6) в квадрат, получаем:
А2 -> UA2U] + UAdU] + UdU^UAU^ + UdU^UdUK (8)
Действуя на UW = 1 оператором d, получаем UdW = —dUW. Поэтому
можно переписать (8) в виде:
А2 -> UA2W + UAdtf - dUAUl - dUdUl (9)
Внимание! Если сложить (7) и (9), шесть членов взаимно сократятся,
и у нас останется нечто очень простое:
dA + A2 -> U(dA + A2)Ul (10)
266
Глава IV. 5
Математическая структура, таким образом, привела Янга и Миллса к
следующему определению напряженности поля:
F = dA + A2. (11)
В отличие от А, 2-форма напряженности поля F преобразуется однородно:
F->UFU^. (12)
В абелевом случае А2 исчезает, и выражение для F сводится к обычному
электромагнитному виду. В неабелевом случае F не калибровочно
инвариантна, но калибровочно ковариантна. Конечно, вы можете построить F^,
без использования дифференциальных форм. В качестве упражнения
проделайте это, начав с выражения (4). После этого вы оцените по достоинству
дифференциальные формы! Мы должны ценить дифференциальные
формы, по крайней мере как изящное компактное обозначение, позволяющее
опустить индексы а и ц в выражении (4). В то же время тот факт, что (11)
возникает так естественно, очевидно означает, что в основе лежит
глубокая математическая структура. Действительно, существует
взаимно-однозначное соответствие между языком физика, рассуждающего в терминах
калибровочной теории, и языком математика, рассуждающего в терминах
расслоений.
К формуле (11) можно прийти другим путем. По аналогии с
оператором d определим оператор D — d + А, действующий на форму слева.
Вычислим
D2 = (d + A)(d + A)=d2 + dA + Ad + A2.
Первый член равен нулю, второй можно записать в виде dA = (dA) — Ad;
круглые скобки обозначают, что d действует только на А. Таким образом,
D2 = (dA) + A2 = F. (13)
Ловко, не правда ли? Я оставляю вам в качестве упражнения показать,
что D2 преобразуется однородно и, следовательно, также преобразуется F.
Несмотря на то что дифференциальные формы очень изящны, в
физике часто бывает желательно использовать более явные формулы.
Выражение (11) можно переписать в виде:
F = {дцАу + A^Av)dx^dxv = |(0МД, - диА» + \A^Av\)dx»dxv. (14)
Если определить F = \F^udx^dxv', получим:
F^y = д^А„ - диА^ + [А^ А„]. (15)
Неабелева калибровочная теория
267
Здесь можно вернуться к физической системе обозначений. Вспомним,
что Лд в выражении (15) фактически представляет собой A^f = —гА^,
поэтому по аналогии определим F^ = —iF^v. Получим:
Fp„ = d^Av - диАц - i[A^ A„), (16)
где Afj, теперь и впредь обозначает А^. (В выражении (16) необходимо
использование г по той причине, что физики любят выражать А^ эрмитовой
матрицей, а коммутатор двух эрмитовых матриц является антиэрмитовым.)
Мы можем сделать формулы еще более явными, выписав групповые
и лоренцевы индексы. По аналогии с А^ = А^Та запишем F^v = F^vTa.
Тогда (16) сводится к виду:
*%, = d»Al ~ д»А1 + fabcKAl- (17)
Я уже говорил, что для SU(2) А и F преобразуются как векторы, а
структурная константа fabc равна еаЬс, поэтому в этом случае часто используется
векторное обозначение F^v = дцАи — д^А^ + А^ х Av.
Лагранжиан Янга-Миллса
С учетом того что F преобразуется однородно (12), мы можем сразу
записать аналог лагранжиана Максвелла, называемый лагранжианом Янга-
Миллса
С =-±tr F^F*». (18)
Мы нормируем Та tr TaTb = \5аЬ9 так что С = -(l/4g2)F^Fa^.
Теория, описываемая этим лагранжианом известна, как чистая теория Янга-
Миллса, или неабелева калибровочная теория.
Помимо квадратичного члена (д^А^ — д^А^)2, лагранжиан С =
= -(l/4g2)Fj}vFaf"/ также содержит кубический член /аЬсАь^АС1/(д^А^ -
— dvAa^) и член четвертой степени (/а6сЛ£Л£). Как в электродинамке
квадратичный член описывает распространение безмассового векторного
бозона, несущего внутренний индекс а и называемого неабелевым
калибровочным бозоном, или бозоном Янга-Миллса. Члены третьей и четвертой
степеней, отсутствующие в электродинамике, описывают самодействие
неабелева калибровочного бозона. На рис. IV.5.1a,b,c приведены соответствующие
диаграммы Фейнмана.
Несложно понять физику, стоящую за этим самодействием бозонов
Янга-Миллса. Фотон взаимодействует с заряженными полями, хотя сам
268
Глава IV. 5
не является заряженным. Подобно тому, как по заряду поля можно
говорить о характере преобразования поля относительно калибровочной
группы Е/(1), аналогом заряда поля в неабелевой калибровочной теории
является то, к какому представлению поле принадлежит. Бозоны Янга-Миллса
взаимодействуют со всеми полями, нетривиально преобразующимися
относительно калибровочной группы. Однако бозоны Янга-Миллса сами по
себе преобразуются нетривиально: мы уже говорили, что они
преобразуются по присоединенному представлению. Получается, что они должны
взаимодействовать сами с собой.
Чистая теория Максвелла является свободной и, по существу,
элементарной. Она описывает невзаимодействующий фотон. Теория Янга-
Миллса, напротив, содержит самодействие, поэтому ее никак нельзя
назвать элементарной. Обратите внимание, что структурные коэффициенты
fabc полностью фиксируются теорией групп, поэтому, в отличие от теории
скалярного поля, самодействия калибровочных бозонов третьей и
четвертой степени, включая их относительные величины, полностью
фиксируются симметрией. Если можно точно решить какую-нибудь 4-мерную теорию
поля, она может оказаться чистой теорией Янга-Миллса. Но, несмотря на
все колоссальные усилия теоретиков, она остается нерешенной (см.
главы VII.3 и VII.4).
чААЛАЛАЛЛААГ
(а)
х
(Ь) (с)
Рис. IV.5.1
Формализм двойных линий 'т Хоофта
Хотя для многих целей удобно пользоваться компонентными
полями А^, матричное поле Ац = А^Та более изящным образом реализует
математическую структуру неабелевой калибровочной теории. Пропагато-
А
Неабелева калибровочная теория
269
ры компонент матричного поля в калибровочной теории U(N) имеют вид:
(0\TA^x))A„(0)t\0) =
= (0|r^(x)^(0)|0)(Ta)j(T6)f cx (19)
oc5a6(Ta)}(Tb)f oc SIS*.
Матричная структура А1^ естественным образом побуждает нас, вслед за
'тХоофтом, ввести формализм двойных линий, в котором калибровочный
потенциал описывается двумя линиями, каждая из которых соответствует
одному из двух индексов г или j. Пусть верхний индекс входит в диаграмму,
а нижний индекс — выходит из диаграммы. На рис. IV.5.2a изображен про-
пагатор из (19). Формализм двойных линий позволяет нам естественным
образом представить структуру индексов 5j5j. На рис. IV.5.2b,c
изображены взаимодействия третьей и четвертой степеней.
Константа д, введенная в (18), известна как константа связи Янга-
Миллса. Мы всегда можем написать квадратичный член в (18) в
нормировке, обычно используемой в электродинамике, тривиально
переопределяя А —» дА. После этого взаимодействия третьей и четвертой степеней
для бозона Янга-Миллса будут пропорциональны д и д2 соответственно.
Ковариантная производная в (1) принимает вид D^(p = d^ip — igA^cp, из
которого видно, что д характеризует также взаимодействие бозона Янга-
Миллса с полем материи.
г ► I
j « к
(а)
il %f
(b) (с)
Рис. IV.5.2
Однако используемая нами нормировка, более явно раскрывает
математическую структуру неабелевой калибровочной теории. (18), д2 характеризует
270
ГЛАВА IV.5
легкость, с которой распространяется бозон Янга-Миллса. Из главы Ш.7
вспомним, что в электродинамике определение константы связи, как
меры распространения, также считалось удобным. В главе VIII. 1 мы
увидим, что ньютоновская константа появляется таким же образом в действии
Эйнштейна-Гильберта для гравитации.
0-член
Помимо trFMI/FMI/, можно написать член, имеющий размерность 4
e^uXf> tr F^VF\P. Очевидно, что он нарушает инвариантность
относительно обращения времени Т и четности Р, поскольку содержит
единственный индекс для времени и три пространственных индекса. Позже мы
увидим, что сильное взаимодействие описывается неабелевой
калибровочной теорией, лагранжиан в которой содержит так называемый 0-член
(в/32тг2)£Ц1уХр tr F^uF\p. В упражнении IV.5.3 вам предстоит показать, что
этот член является полной производной и не влияет на уравнения
движения. Тем не менее он индуцирует электрический дипольный момент для
нейтрона. Максимальное экспериментальное ограничение сверху для
электрического дипольного момента для нейтрона приводит к ограничению
сверху на 0, которое порядка 10~9. Не буду вдаваться в подробности, как
специалисты в области физики элементарных частиц разрешают проблему
малости значения в или его полного зануления.
Взаимодействие с полями материи
Возьмем скалярное поле (р в фундаментальном представлении
группы. В общем случае <р может преобразовываться в произвольном
представлении 1Z калибровочной группы G. Запишем ковариантную производную
в виде:
£>„¥> = (9М - 1Ар?п))<р, (20)
где Т/^ч представляет собой а-ый генератор в представлении 1Z (см.
упражнение IV.5.1).
Очевидно, что для перевода глобально симметричной теории в
локально симметричную теорию необходимо заменить обычную производную 9М,
действующую на любое поле (бозон или фермион), которое принадлежит
представлению К, ковариантной производной DM = (<9М — %А^Т?пЛ. Таким
образом, взаимодействие неабелева калибровочного потенциала с ферми-
онным полем описывается лагранжианом
С = ^(<7"ЛД - тп)ф = тКгУЧ + 7д^Г(ате) - т)ф. (21)
Неабелева калибровочная теория
271
Поля, принадлежащие представлению 1Z, «слышат» калибровочные
бозоны Янга-Миллса, а поля, принадлежащие тривиальному единичному
представлению, не слышат зов калибровочных бозонов. В специальном
случае калибровочной теории С/(1), известном как теория
электромагнетизма, TZ соответствует электрическому заряду поля. Поля, преобразующиеся
относительно U(l) тривиально, являются электрически нейтральными.
Приложение
Рассмотрим появление структуры Янга-Миллса2 в другом контексте,
несколько необычном на первый взгляд. Рассмотрим уравнение Шредингера
»^Ф(«) = Н(1)Щ), (22)
с зависящим от времени гамильтонианом H(t). Будем придерживаться общего
подхода: можно, например, говорить о спиновых состояниях в магнитном поле или
об одночастичном нерелятивистском гамильтониане с волновой функцией Ф(ж, t).
Будем опускать в обозначении зависимость Н и Ф от всех переменных, кроме
времени t.
Сначала решим задачу на собственные значения H(t). Предположим, что
вследствие симметрии или какой-либо другой причины, спектр H(i)
содержит п-кратное вырождение, другими словами, существует п различных решений
уравнения H(t)i/ja(t) = E{i)%jja{t), где а = 1,... , п. Обратите внимание, что E(t)
может изменяться с течением времени, но мы предполагаем, что вырождение
сохраняется с течением времени, т. е. вырождение не может возникнуть «случайным
образом» в какой-то момент времени. Всегда можно заменить H(t) на H(t) — E(t),
поэтому с этого момента H(t) = 0. К тому же, состояния могут быть выбраны
ортогональными, так что (ipb(t)\ipa(t)) = бьа. (Для ясности обозначений удобно
переключаться между шредингеровскими и дираковскими обозначениями. Чтобы
внести окончательную ясность, запишем
(Фь(г)\фа(Ь)) = J <1хф1{х,1)фа{х,1)
для случая одночастичной квантовой механики.)
Теперь изучим уравнение (22) в адиабатическом пределе, т. е. примем, что
временной масштаб, в котором меняется H(t), гораздо больше, чем 1/АЕ, где АЕ —
энергетическая щель между состояниями фа(Ь) и соседними с ними состояниями.
Если в этом случае функция Ф(£) начинает эволюционировать в подпространстве,
образованном состояниями {ipa(t)}, то она останется в нем, поэтому можно
записать Ф(£) = ^2аса{Ь)фа{Ь). Подставив это выражение в уравнение (22), получим
2Wilczek and A. Zee, "Appearance of Gauge Structure in Simple Dynamical Systems." Phvs.
Rev. Lett. 52:2111. 1984.
272
Глава IV. 5
^2a[(.dca/dt^a(t) +ca(t){dilia/dt)] = 0. Если скалярно умножить на фь&), придем
к уравнению:
^=-£>6aCa, (23)
a
с матрицей п х п
АЬа{1) = {фь{Ь)\^. (24)
Допустим, кто-то еще решает использовать другой базис, ip'a(t) = UaC(^){^c{t),
связанный с нашим унитарным преобразованием. (Матрица, комплексно-сопряженная
унитарной матрице U, нужна нам для того, чтобы наше окончательное уравнение
совпадало по виду с уравнением, полученным ранее; см. далее.) Также я
просуммировал члены с повторяющимися индексами. Дифференцируя, получаем (дфа/dt) =
= и*сШдфс/дЬ) + (dUZc/dt)1>c(t). Сворачивая с ф'ь{Ь) = Ubd(t№(t) и умножая
на /'. приходим к:
A! = uAU* + iU@j£-. (25)
Пусть гамильтониан H(t) зависит от d параметров А1,..., \d. Изменяем значения
параметров, отмечая путь, задаваемый как {A^(i),\i — 1,... ,d}, в d-мерном
пространстве параметров. Например, для спинового гамильтониана Ам может
соответствовать внешнему магнитному полю. Итак, выражение (23) сводится к виду:
£ = -I>,w£, (26)
a
если задать (Ау)ъа = г(фь\д^фа), где дц = д/дХ*1. В общем виде уравнение (25)
будет следующим:
А'^ = UA^ + iUd^U*. (27)
Оно совпадает с (IV.5.2). Вот так, на наших собственных глазах появляется
калибровочный потенциал Янга-Миллса А^\
Уравнение «переноса» (26) можно формально решить, если записать с(А) =
= Ре~ J AvdX s Где одномерный интеграл берется по траектории, соединяющей
начальную точку в пространстве параметров с некоторой конечной точкой А, а Р
обозначает упорядочение вдоль пути. Разбиваем траекторию на бесконечно малые
сегменты и перемножаем между собой некоммутирующие составляющие е-А/*ДА из
каждого сегмента, упорядоченные вдоль траектории. В частности, если траектория
является замкнутой кривой, через некоторое время мы вернемся к начальным
значениям параметров; волновая функция будет содержать матричный фазовый
множитель, называемый неабелевой фазой Берри. Обратите внимание на тесную связь
с фазой Ааронова-Бома из предыдущей главы.
Чтобы увидеть неабелеву фазу, все, что мы должны сделать, — это взять
некоторую квантовую систему с вырожденностью в спектре и изменить какой-нибудь
Неабелева калибровочная теория
273
внешний параметр, например, магнитное поле3. В своей работе Янг и Миллс
говорят о вырожденности протона и нейтрона с изоспином в идеализированном
мире и рассматривают процесс переноса протона из одной точки Вселенной в
другую. Чтобы была возможность интерпретировать протон в одной точке как
нейтрон в другой, необходимо введение неабелева калибровочного потенциала. Разве
не удивительно, что сейчас аналогичным образом можно в лабораторных условиях
реализовать такой воображаемый перенос?
Теперь проведем параллель между текущими пояснениями и
вышеизложенным в тексте материалом, когда было получено уравнение (IV.5.2). Зависящее от
пространства-времени преобразование симметрии соответствует зависящему от
параметра изменению базиса. Когда в главе VIII. 1 речь пойдет о гравитации, вы
увидите, что движение базиса {фа) в пространстве параметров аналогично
параллельному переносу локальной системы координат в дифференциальной геометрии
и общей теории относительности. В главе VII. 1 мы снова столкнемся с величиной
Ре~ * AndX'\ под названием петли Вильсона.
Упражнения
IV.5.1. Запишите лагранжиан для SU(2) калибровочной теории со скалярным
полем в представлении 1 = 2.
IV.5.2. Докажите тождество Бьянки DF = dF + [A, F] = 0. Запишите его в явном
виде с использованием индексов и докажите, что в абелевом случае оно
сводится к половине уравнений Максвелла.
IV.5.3. В четырех измерениях е*иХр tr F^UF\P можно записать как tr F2. Покажите,
что в любом числе измерений d tr F2 = 0.
IV.5.4. Используя лемму Пуанкаре (IV.4.5) и результат упражнения IV.5.3,
покажите, что F2 = dti{AdA 4- §А3). Запишите его в явном виде с индексами.
Определите эти величины в случае электродинамики.
IV.5.5. Попытаетесь показать, что все trF71, которые появляются в теориях более
высокой размерности (например, теории струн), являются полными
производными. Другими словами, существует (27г — 1)-форма LJ2n-i(A),
такая что trFn = dw2n-\{A). [Указание: существует краткая запись
формы U2n-i(A) = J0 dt f2n-i(t, А).] Запишите в явном виде выражение для
шъ{А) и попробуйте обобщить его, зная из hws. Найдите (2п — 1)-форму
f2n-i(t,A). За помощью обращайтесь к работе B.Zumino et al., Nucl. Phys.
B239:477, 1984.
IV.5.6. Запишите лагранжиан для калибровочной теории SU(3) с фермионным
полем в фундаментальном триплетном представлении.
3A.Zee, wtOn the Non-Abelian Gauge Structure in Nuclear Quadrupole Resonanse." Phys. Rev.
A38:l, 1988. Позже предложенный эксперимент провел А. Найме.
Глава IV. 6
Механизм Андерсона-Хиггса
Калибровочный потенциал поглощает
намбу-голдстоуновский бозон
Как я уже говорил, в физике принципиально важной является
способность задавать хорошие вопросы. Вот отличный вопрос: как проявляется
спонтанное нарушение симметрии в калибровочных теориях?
Возвращаясь к главе IV. 1, прокалибруем теорию U(l) в (IV. 1.6),
заменяя д^(р на D^ip = (дц — геА^)(р, так что
С = -\F^F^ + (Dip)*D<p + /iVV " A(^V)2- (1)
При переходе к полярным координатам tp = регв получим D^ip = [<9мр +
+ 1р(дйв — еА^)]егв и, таким образом,
С = -If^F!" + р2(д„6 - еЛм)2 + (др)2 + (л2р2 - Ар4. (2)
(Сравните с лагранжианом С = р2(д^в)2-\-(др)2-\-р?р2 — \рА для случая,
когда отсутствует калибровочное поле.) При калибровочном преобразовании
ip —> ега(р (так что в —> в + а) и еА^ —> еА^ -f д^а, поэтому комбинация
В^ = Ар — (l/ejdpO является калибровочно-инвариантной. Значит, первые
два члена в С сводятся к виду — \F^UF^U + е2р2В^. Обратите внимание,
что в терминах поля В^ выражение для F^v = д^А^—д^А^ = д^В^ — д^В^
имеет аналогичную форму.
При спонтанном нарушении симметрии запишем р = (l/y/2)(v + х)>
где v = а//х2/А. Следовательно,
С = -\F^F^ + \M2Bl + e2vXBl + \e\2Bl+
+ \{дх? - mV - vW - \х* + ^- О)
Механизм Андерсона-Хиггса
275
Теперь теория состоит из векторного поля В^ массой
М = ev, (4)
взаимодействующего со скалярным полем х массой л/2ц. Фаза 0,
которая стала бы намбу-голдстоуновским бозоном в некалиброванной
теории, исчезла. Мы говорим, что калибровочное поле А^ поглотило намбу-
голдстоуновский бозон; оно приобрело массу и изменило обозначение
на В^.
Вспомним, что безмассовое калибровочное поле имеет всего 2
степени свободы, тогда как массивное калибровочное поле — 3
степени свободы. Безмассовое калибровочное поле должно поглотить намбу-
голдстоуновский бозон, чтобы приобрести необходимое количество
степеней свободы. Намбу-голдстоуновский бозон становится продольной
степенью свободы массивного калибровочного поля. Мы не теряем ни одну
степень свободы, что радует.
Явление превращения безмассового калибровочного поля в
массивное за счет поглощения намбу-голдстоуновского бозона носит название
механизма Хиггса. Его открыли специалисты в области физики
элементарных частиц1. Поле Хиггса обозначают как ip или реже х-
Аналогичное явление было открыто в физике конденсированных сред
Ландау, Гинзбургом и Андерсоном — и стало известно как механизм
Андерсона.
Приведем более сложный пример. Рассмотрим калибровочную
теорию 0(3) с полем Хиггса (ра(а = 1,2,3), преобразующимся в
векторном представлении. Лагранжиан содержит член кинетической энергии
^(В^(ра)2, где D^(pa = д^а + д£аЬсА^(рс согласно (IV.5.20). При
спонтанном нарушении симметрии (р получает среднее вакуумное значение,
которое мы можем выбрать совпадающим с третьим направлением, так что
(ipa) = vSaS. Задаем tp3 = v и видим, что
\{D^a? - \{gvf{AlA^ + A\A»\ (5)
Калибровочные поля А1^ и А^ приобретают массу gv [сравните с (4)], тогда
как поле А3 остается безмассовым.
Еще более сложный пример — калибровочная теория SU(5) с полем ip,
в 24-мерном присоединенном представлении. (См. в приложении В
необходимые сведения из теории групп.) Поле ср представляет собой эрмитову
Включая Хиггса, Энглерта, Броута, Гуралника, Хагена и Киббла.
276
ГЛАВА IV.6
бесследовую матрицу 5x5. Поскольку присоединенное представление
преобразуется как (р —> (p+i6a\Ta, ф\9 получаем D^cp — д^ — гдАа^\Та, ф\ (а =
= 1,..., 24 пробегает по 24 генераторам группы 5С/(5)). Вследствие
преобразования симметрии, вакуумное значение <р можно выбрать диагональным
(ipty = Vj5%j(i,j = 1,..., 5), где Y2j Vj = 0. (Это аналогично нашему
выбору {(р) вдоль третьей оси в предыдущем примере.) В лагранжиане имеем
1г(ЗД(£>» -»д2Ьт[Та, Ш(<р),Ть}А1А»ь.
(6)
Квадраты массы калибровочных бозонов совпадают с собственными
значениями 24 х 24-матрицы, <72tr[Ta, (<p)][(ip),Tb], которые можно,
потрудившись, вычислить для любого заданного (<р).
Легко увидеть, однако, какие калибровочные бозоны остаются
безмассовыми. В качестве характерного примера (который будет представлять для
нас интерес в главе VII.6) рассмотрим поле
(Ч>) =v
/2000 0 \
'0200 0
0 0 2 0 0
0 0 0-3 0
V 0 0 0 0 -3 /
(7)
Какие из генераторов Та коммутируют с (ср)? Ясно, что это делают
генераторы вида ( п п 1 и ( n R ■ Здесь А обозначает эрмитовы матрицы
3 х 3 с нулевым следом (из которых З2 — 1 = 8 так называемых матриц
Гелл-Манна), а В обозначает эрмитовы матрицы 2 х 2 с нулевым следом
(из которых 22 — 1 = 3 так называемых матриц Паули). Более того,
генератор
(2
0
0
0
\о
0
2
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
-3
0
0
0
0
0
\
з/
(8)
пропорционален (<р) и, следовательно, коммутирует с ((р). Очевидно, что
эти генераторы образуют группы SU(3)9 SU{2) и U(l) соответственно.
Таким образом, в матрице 24 х 24 из квадратов массы <72tr[Ta, (ф)][(</?),Ть]
выделяются зануляющиеся блоки, а именно блок 8x8, блок 3 х 3 и блок
1x1. Получаем 8 + 3 + 1 = 12 безмассовых калибровочных бозонов.
Оставшиеся 24 — 12 = 12 калибровочных бозонов получают массу.
Механизм Андерсона-Хиггса
277
Подсчет безмассовых калибровочных бозонов
Рассмотрим теорию с глобальной группой симметрии G, спонтанно
нарушенной в подгруппу Я. Из главы IV. 1 мы знаем, что появляются
n(G) — п(Н) намбу-голдстоуновских бозонов. Теперь допустим, что
группа симметрии G калибруется. Начнем с n{G) безмассовых калибровочных
бозонов, по одному на каждый генератор. При спонтанном нарушении
симметрии n(G) — п(Н) намбу-голдстоуновских бозонов поглощается n(G) —
— п(Н) калибровочными бозонами, в результате чего п(Н) калибровочных
бозонов остаются безмассовыми. Похоже, полученное число является
верным, поскольку связанные с выжившей калибровочной группой Я
калибровочные бозоны должны остаться безмассовыми.
В первом нашем примере G = С/(1), Я = отсутствует: n(G) = 1
и п(Н) = 0. Во втором примере G = 0(3), Я = 0(2) ~ [/(1): n(G) =
= 3 и п(Н) = 1, так что остается один безмассовый калибровочный бозон.
В третьем примере G = 517(5), Я = 5£/(3)<8>5t/(2)<g>l7(l), так что n(G) =
= 24 и п(Н) = 12. Другие примеры и обобщения предложены в качестве
упражнений.
Спектр масс калибровочного бозона
Довольно легко проанализировать в явном виде спектр масс. Ковари-
антная производная поля Хигтса равна D^(f = д^(р + дА^Та(р, где д —
калибровочная константа связи, Та — генераторы группы G при действии
на </?, а А^ — калибровочный потенциал, соответствующий а-ому
генератору. При спонтанном нарушении симметрии мы заменяем <р его вакуумным
средним значением (ф) = v. В результате член В^чр заменяется
выражением gA^Tav. Кинетический член \[р^^р • D^cp) [здесь (•) обозначает
скалярное произведение в группе G] в лагранжиане сводится к виду:
\g2(Tav • Tbv)A^aAl = i^a(/z2)a6A*,
Zi Zj
где мы ввели матрицу квадратов массы
(fj,2)ab=g2(TavTbv) (9)
для калибровочных бозонов. [Выражение (9) является обобщением (4);
сравните также (5) и (6).] Чтобы найти массы калибровочных бозонов,
необходимо диагонализовать (ц,2)аЬ. По собственным векторам можно
сказать, какие линейные комбинации А^ соответствуют массивным
собственным состояниям.
278
Глава IV.6
Обратите внимание, что fi2 является матрицей n(G) x n(G) с п(Н)
нулевыми собственными значениями, существование которых можно
установить явным образом. Пусть Тс — генератор Н. Утверждение, согласно
которому Н не нарушается вакуумным средним значением v, соответствует
случаю, при котором v остается инвариантным относительно
преобразования симметрии, с генератором Тс. Другими словами, Tcv = О и,
следовательно, калибровочный бозон, связанный с Тс, остается безмассовым. Все
эти выводы очевидны в рассмотренном нами SU(5) примере.
Правила Фейнмана в спонтанно нарушенных
калибровочных теориях
Несложно сформулировать правила Фейнмана для спонтанно
нарушенных калибровочных теорий. Возьмем, например, лагранжиан (3). Как
обычно, найдем в нем члены второго порядка, преобразуем их по Фурье
и обратим. Видим, что пропагатор калибровочного бозона задается
выражением
V-tf + ie^ ~ ~W]> (10)
а пропагатор \ ~ выражением
(И)
2/Г + ге
Попробуйте самостоятельно вывести правила для вершин взаимодействия.
Как я уже говорил по другому поводу, теории поля часто существуют
в нескольких эквивалентных формах. Возьмем теорию С/(1) в (1) и
вместо полярных координат перейдем к декартовым ср = (l/\/2)(<£i + iy^).
Получим:
Dpip = дц(р - геА^р = —=[(<ЭМ<£>1 + еА^2) + г(д^2 - eA^tpi)].
V2
Тогда (1) сводится к виду:
С = - \F„VF^ + |[(дй¥>! + еД^2)2 + (д^2 - еА^)2]+ (12)
+ |м2(^? + ч>1) - \к& + ч%).
Механизм Андерсона-Хиггса
279
Спонтанное нарушение симметрии означает, что </?i —> v + <p'l9 где v =
= v/m5A-
Физический смысл (12) и (3) должен быть одинаковым.
Действительно, разложим лагранжиан (12) до второго порядка по полям:
С = fjf - \F^F>1U + \м2К - МА„д*<р2 + \[{д^)2 - 2MVi2]+
+ |(а^2)2 + .... (is)
Спектр — калибровочный бозон А массой М = ev и скалярный бозон <р'г
массой \/2/i совпадает со спектром в (3). (Там частицы обозначались как В
их-)
Однако вы могли заметить нечто очень странное: появление члена —
—МА^д>лср2, который смешивает поля А^ и ip2. К тому же, возникает
вопрос, почему вообще продолжает существовать поле у>2? Разве его не
должны были поглотить? Что делать?
Конечно, можно прибегнуть к диагонализации, но гораздо удобнее
совсем избавиться от смешанного члена. Применяя квантование
калибровочных теорий Фаддеева-Попова, рассмотренное нами в главе III.4,
приходим к выводу, что член, фиксирующий калибровку, обуславливает
введение в лагранжиан С дополнительного члена. Если калибровочную функцию
принять равной f(A) = дА + £ev(f2 — cr, то нежелательный для нас
смешанный член сократится. В конечном итоге получим лагранжиан £Эфф. =
= С — (1/2£)(ЭЛ + £M(f2)2 [сравните с (Ш.4.7)]. Теперь нежелательный
член —МАцд11^ в лагранжиане С сокращается после интегрирования по
частям. В £Эфф. члены второго порядка по А принимают вид — \FvttVF*lv +
+ \М2А?^ — (1/2£)(дА)2, тогда как члены второго порядка по (f2 равны
^[(dM</?2)2 — £М2<р|]. С учетом этого пропагатор калибровочного бозона
будет иметь вид:
— г
к2 - М2 + ге
а пропагатор (f2 — вид:
/1 <-\ fc^fcj/
к2-£М2 + ге
k2-£M2 + ie'
(14)
(15)
Это однопараметрическое семейство калибровок называют Щ
-калибровкой. Обратите внимание, что хотя голдстоуновское поле ц>2 остается
280
Глава IV.6
в лагранжиане, но сам факт, что его масса зависит от параметра
калибровки £, делает его нефизическим. В любом физическом процессе
зависимость пропагаторов <^2 и А от параметра £ должна сокращаться, чтобы
физическая амплитуда оставалась независимой от £. В упражнении IV.6.9
на простом примере мы проверим, что это действительно так.
Разные преимущества у разных калибровок
Вы, должно быть, удивляетесь, зачем прибегать к Д^-калибровке,
когда можно воспользоваться эквивалентной формулировкой теории (3),
известной под названием унитарной калибровки? В унитарной калибровке
пропагатор калибровочного бозона (10) имеет гораздо более простой вид,
по сравнению с выражением (14), и мы не встречаемся с нефизическим
полем <£2- Причина в том, что R^-калибровка и унитарная калибровка
дополняют друг друга. В jR^-калбировке пропагатор калибровочного бозона (14)
при больших значениях к ведет себя как 1/А:2, так что легко доказать
перенормируемость теории. С другой стороны, для унитарной калибровки все
поля являются физическими (потому ее и называют «унитарной»), но
пропагатор калибровочного бозона (10) при больших значениях к
пропорционален кцк^/к2; для доказательства перенормируемости мы должны
показать, что k^ku в пропагаторе не вносит вклада. Используя обе калибровки,
легко доказать как перенормируемость, так и унитарность теории. Кстати,
в пределе £ —> оо выражение (14) стремится к (10), а поле у?2 исчезает, по
крайней мере формально.
В практических вычислениях приходится иметь дело с большим
количеством диаграмм. В Щ-калибровке параметр £ должен изчезнуть в
выражении для физической амплитуды на массовой поверхности.
Щ-калибровка столь популярна именно потому, что это требование обеспечивает
мощную проверку практических вычислений.
Ранее отмечалось, что, строго говоря, калибровочная инвариантность
не является симметрией, а отражает избыточность используемых степеней
свободы. (У фотона всего две степени свободы, но мы используем поле А^
с четырьмя компонентами.) В том же духе можно утверждать, что не
существует такой вещи, как спонтанное нарушение калибровочной симметрии.
Напомню, что спонтанное нарушение симметрии означает, что р = \(р\
равно v, а в — 0 в уравнении (2). Условие |<р| = v является инвариантным
относительно U(l), поскольку определяет окружность в пространстве <р.
Выбирая на окружности точку в = 0 в теории с глобальной симметрией, мы
нарушаем эту симметрию. В калибровочной теории, напротив, мы можем
использовать калибровочную свободу, чтобы фиксировать в = 0 в любой
Механизм Андерсона-Хиггса
281
точке пространства-времени. Отсюда и невозможность спонтанного
нарушения калибровочной симметрии. Я не буду столь педантичен в этой книге
и продолжу использовать удобный язык нарушения симметрии даже в
калибровочной теории.
Упражнения
IV.6.1. Рассмотрим SU(5) калибровочную теорию с полем Хиггса у>,
преобразующимся по 5-мерному представлению: <р\ г = 1,2,..., 5. Покажите, что
вакуумное среднее <р нарушает S77(5) до SU(4). Затем введите дополнительное
поле Хиггса <р', также преобразующееся как 5-мерное представление.
Покажите, что SU(4) симметрия либо сохраняется, либо нарушается до SU(3).
IV.6.2. В общем случае может существовать несколько полей Хиггса,
принадлежащих разным представлениям а. Покажите, что матрица квадратов массы для
калибровочного бозона в общем виде равна (/х2)аЬ = ^2ад2(Т£уа ■ T^va),
где Va — вакуумное среднее поля <ра, а Т£ — а-ый генератор, в
представлении {ра. Объедините случаи из упражнений IV.6.1 и IV.6.2 и получите спектр
масс калибровочных бозонов.
IV.6.3. Калибровочная группа G не обязана быть простой; она может иметь вид
G\ <8> G2 <8> •. • <8> Gk с константами связи gi,g2,--.,9k- Рассмотрите
случай G = SU(2) <g> U(l), когда поле Хиггса tp преобразуется как дублет
относительно SU(2) и как поле с зарядом | относительно £/(1), так что
Dpip = dpip — 1\дА^(та/2) -\-д' В^]ф. Пусть (ip) = (°). Найдите линейные
комбинации калибровочных бозонов А^ и В^,, которые приобретают массу.
IV.6.4. В главе IV.5 вы работали с калибровочной теорией SU(2), со скалярным
полем if в представлении 1 = 2. Запишите наиболее общее выражение для
потенциала V(ip) четвертой степени и проанализируйте возможную схему
нарушения симметрии.
IV.6.5. Завершите вывод правил Фейнмана для теории (3) и вычислите амплитуду
для физического процесса х + X -> В + В.
IV.6.6. Выведите (14). [Указание: процедура аналогична выводу уравнения (III.4.9).]
Запишите С = \A^V'A„, где Q"" = (д2 + М2)д<" - [1 - (l/fl]^1'
или, в импульсном пространстве, QMl/ = -(к2 - М2)д*и + [1 - (l/£)]k^ku.
Пропагатор есть обратный к Q^u.
IV.6.7. Получите (...) в (13) и правила Фейнмана для разных вершин
взаимодействия.
IV.6.8. Используя правила Фейнмана из упражнения IV.6.8, вычислите амплитуду
для физического процесса ip[ 4- ip[ —► А + А и покажите, что зависимость от
£ сокращается. Сравните с результатом упражнения IV.6.6. [Указание: есть
две диаграммы, одна с обменом А, а другая с обменом у?2-]
282
Глава IV.6
IV.6.9. Рассмотрите теорию, задаваемую в (12), при /х = 0. Основываясь на
результатах упражнения IV.3.5, покажите, что
V^(V) = \\S + ^(Ю*2 + 3eV (bg -^ - f J + ..., (16)
где ip2 = ip\ + v?2- Минимальное значение данного потенциала находится
вне точки {р = 0, поэтому калибровочная симметрия спонтанно
нарушается квантовыми флуктуациями. В главе IV.3, где у нас не было члена е4, мы
показали, что полученному значению минимума нельзя доверять. Теперь мы
можем компенсировать \<р4 членом е4(р4 log((^2/M2) для Л того же
порядка, что и е4. Найденному минимуму можно доверять. Покажите, что спектр
этой теории содержит массивный скалярный бозон и массивный векторный
бозон, такие что
т2(скалярн.) 3 е2 (и)
га2(векторн.) 27г47г'
За помощью обращайтесь к работе Коулмена и Вайнберга (S.Coleman and
Е. Weinberg, Phys. Rev. D7: 1888, 1973.)
Глава IV. 7
Киральная аномалия
Классическая симметрия против квантовой симметрии
Я уже подчеркивал, насколько важно задавать хорошие вопросы. Вот
очередной: всегда ли симметрия в классической физике является
симметрией в квантовой физике?
О симметрии в классической физике мы говорим тогда, когда
действие S(ip) остается инвариантным относительно преобразования (р —> цэ +
+ Stp. О симметрии в квантовой физике мы говорим тогда, когда
преобразование оставляет интеграл по траекториям f D(pelS^ инвариантным.
Если сформулировать наш вопрос в терминах интеграла по
траекториям, то ответ кажется очевидным: не обязательно. Действительно, мера Dip
может быть, а может и не быть инвариантной.
Исторически теоретики-полевики считали почти самоочевидным, что
любая симметрия в классической физике с необходимостью является
симметрией в квантовой физике. Почти все симметрии, о которых было
известно физикам на раннем этапе развития теории поля, оставались сим-
метриями как классической, так и квантовой физики. Например, квантовую
механику мы, естественно, считаем инвариантной относительно вращения.
Было бы очень странно, если бы квантовые флуктуации выбирали себе
определенное направление.
Теперь представьте себе, каким шоком в конце 1960-х гг. послужило
для теоретиков-полевиков открытие, согласно которому квантовые
флуктуации на самом деле могут нарушать классические симметрии. Они были
настолько шокированы, что ошибочно назвали данное явление
«аномалией». Оглядываясь назад, мы понимаем, что аномалия не представляет собой
никакого концептуального вреда и что, изменяя в интеграле переменные
интегрирования, мы просто не должны забывать о якобиане.
Со временем теоретики развили много разных подходов к описанию
аномалии, несколько способов борьбы с аномалией. Все они полезны,
поскольку по-разному раскрывают природу появления аномалии. В этой книге
я решил для примера продемонстрировать существование аномалии явным
284
Глава IV.7
вычислением фейнмановских диаграмм. Диаграммный метод более
трудоемок, в сравнении с другими методами, но у него есть одно преимущество —
вы своими собственными глазами увидите, как исчезает классическая
симметрия! Без всяких формальных аргументов.
Меньшее из двух зол
Рассмотрим теорию с одним безмассовым фермионом С = фг^д^ф.
Более простой теории и придумать сложно! Из главы II. 1 известно, что
лагранжиан С инвариантен относительно преобразований ф —> егвф и ф —>
егв1°ф, соответствующих сохраняющемуся векторному току JM = ф^ф
и сохраняющемуся аксиальному току Jg = ф^^уьф соответственно. Вы
можете проверить, что 9MJM = 0 и d^Jg = О сразу следуют из
классических уравнений движения г^д^ф = 0.
Вычислим амплитуду пространственно-временного процесса, в
котором в х\ рождается пара фермион-антифермион, а в Х2 векторным
током создается другая такая пара. Фермион из одной пары
аннигилирует с антифермионом из другой пары, а оставшаяся пара
фермион-антифермион уничтожается аксиальным током. Для описания этой амплитуды
(0\TJ^(0)J^(xi)Jl/(x2)\0) требуется так много слов, но я хочу быть
уверенным, что вы понимаете, о чем я говорю. Согласно Фейнману, фурье-пре-
образование амплитуды определяется двумя «треугольными» диаграммами
на рис. IV.7.1a и Ь.
х te (^-L-^-A-^-L + ,v_L_y_J^) ,
(i)
где q = fci+A;2. Обратите внимание, что появление двух членов обусловлено
статистикой Бозе. Общий множитель (—1) обусловлен замкнутой фермион-
ной петлей.
В классическом случае у нас есть две симметрии d^J^1 = 0 и 9М J$ =
= 0. В квантовой теории, если условие 9М«7м =0 продолжает
выполняться, &1МДЛ/г|/ = 0 и &2i/AA/iI/ = 0, а выполнение дц J$ — 0 означает, что
qxAx^ = 0. Теперь можно приступать к вычислению АЛ/Х1/, результаты
которого нам покажут, сохраняют ли квантовые флуктуации эти две
симметрии. Ничего сложного.
КИРАЛЬНАЯ АНОМАЛИЯ
285
Прежде чем погрузиться в вычисления, зададимся вопросом, огорчит
ли нас тот факт, что один из двух токов JM и Jg окажется несохраняю-
щимся? Мы сильно огорчимся, если векторный ток не будет сохраняться.
Соответствующий заряд Q = J d3xJ° считает число фермионов. Мы бы не
хотели, чтобы наши фермионы бесследно исчезали и появлялись из ничего.
Более того, было бы хорошо, если бы фотон взаимодействовал с фермион-
ным полем ф. В этом случае нам понадобится условие 9М JM = 0 для
сохранения калибровочной инвариантности (см. главу II.6) и, как следствие,
всего две поляризации для фотона. Более явно, представьте себе
фотонную линию, входящую в вершину \х на рис. IV.7.1a и Ь, имеющую про-
пагатор {i/k\){{\ — ^)(ki^kip/ki) — д^р]. Зависящий от калибровки член
£,{к\цк\р/к\) никуда не исчезнет, если векторный ток будет несохраняю-
щимся, т.е. если не занулится член ki^Ax^u.
С другой стороны, если говорить откровенно, только между нами,
друзья, мы не слишком-то и огорчимся, если вследствие квантовых флуктуации
не будет сохраняться аксиальный ток. Кого волнует, что аксиальный заряд
Qb = f d3xJ® не будет постоянным во времени?
p-q
Рис. IV.7.1.
Сдвиг переменной интегрирования
Итак, зануляются ли члены /с1МДЛд1/ и А^Д^? Посмотрим за
плечо профессора Конфузно, когда он вычисляет &1ДДЛм1/. (Мы в 1960-х
годах, спустя много времени после появления теории перенормируемости,
описанной в главе III. 1; и Конфузно получил пятилетнюю позицию
ассистента1.) Он сворачивает AXfJ,l/ в (7) с A:iM и, основываясь на знаниях из
главы П.7, записывает /к\ в первом члене как /р — {/р— /ki), а во втором
1 tenure track assistant professorship. — Прим. ред.
286
ГЛАВА IV.7
члене как (ф— ]к,2) — (ф— fa). В итоге получает выражение:
fciMAA^(fci,fc2) =
Г d4P w
А^,5 1 ^,v 1 ^,А^,5 1 л,у 1 \ /г>\
7 ~2—ТН ~~1 ТГ "77 -г г-7 -г)- (2)
(2тг)4 w ' Ф-А' Ф-М ' ' Р-М' Ф
Как и в главе II.7, профессор Конфузно узнает в первом члене
подынтегрального выражения второй член, но со сдвинутой переменной
интегрирования р —> р — к\. Два члена сокращаются друг с другом, и
профессор Конфузно публикует статью, утверждая, что к\^Ах^ = 0, как мы все
и ожидали.
В главе II.7 я говорил, что позже нам предстоит озаботиться тем, имеем
ли право сдвигать переменные интегрирования. Вот и настало это время!
Вполне возможно, что вы уже задавали такой вопрос своим
преподавателям математического анализа. В каких случаях f_™ dpf(p + a) равняется
f_™dpf(p)? Разница двух интегралов равна
-оо
г+оо
/
«/ —(
ф(а^/(р) + ...)= а(/(+оо) - /(-оо)) +
Видим, что сдвиг недопустим, когда (+оо) и /(—оо) есть две разные
константы. Но если интеграл J_ °° dpf(p) сходится или даже логарифмически
расходится, то сдвиг возможен. В главе П.6 он был допустим, но сейчас,
в выражении (2), определенно нет.
Как обычно, повернем фейнмановскую подынтегральную функцию
в евклидово пространство. Обобщая наши наблюдения до d-мерного
евклидова пространства, получаем
J ddEp[f{p + а) - /(р)] = J 4p[o"9m/(p) + ...],
которое по теореме Гаусса равно
^а" 1^Л /(P)5d_i(P),
где Sd-i{P) — площадь (d — 1)-мерной сферы (см. приложение D), в
которой находится среднее по поверхности сферы значение. (Из расчета фей-
нмановских диаграмм мы знаем, что среднее для P^pv /Р2 значение
равно ^^ вследствие симметрии; нормировка \ фиксируется сворачиванием
КИРАЛЬНАЯ АНОМАЛИЯ
287
с г)^и). Вращая обратно, получаем 4-мерный интеграл Минковского
/
ddp[f(P + а) - /(р)] = Ш^ ia* ( Ц ) /(Р)(2тг2Р3). (3)
Обратите внимание, что множитель г обусловлен виковским обратным
поворотом.
Объединяя (3) с
А 5 1 ^v\\_ tr[75(i>~ М)Г ИХ] _ 4ie™°xk2rPo
f(p) = tr[4xr-rL-ry
Ф- М ' £>) (р- fc2) V (р - к2)2Р2 '
получаем
1/х ~(2тг)4р^сЧ lj Р Р4 ~8тг2 1т 2а"
Вопреки словам профессора Конфузно, к\^/^Хц,и ^ 0.
Как я уже говорил, это для нас катастрофа. Количество фермионов
не сохраняется, и материя вокруг нас разрушается! Как выйти из данного
положения?
В действительности мы лишь слегка сообразительнее профессора
Конфузно. Мы не заметили того, что интеграл, определяющий Ах^ в (1),
линейно расходится и потому не является хорошо определенным.
Гм, прежде чем волноваться по поводу вычисления к\^Ах^ и k2flАЛ/Х1/,
нам следовало бы задаться вопросом, зависит ли Ах^" от физика,
производящего вычисление? Предположим, что другой физик решает2 сдвинуть
переменную интегрирования р в линейно расходящемся интеграле в (1) на
произвольный 4-вектор а, определяя как
Ax^{a,kuk2) =
+ {/x,fci <^v,k2}. (4)
Сколько на свете физиков, столько и разных ответов можно получить для
фейнмановских диаграмм на рис. IV.7.1a и Ь, что, конечно, было бы концом
физики или по крайней мере квантовой теории поля.
2Это свобода выбора обозначения внутреннего импульса, о котором упоминалось в
главе 1.7.
288
Глава IV. 7
Чей результат мы должны объявить правильным?
Единственным разумным ответом на данный вопрос является
следующий: надо доверять человеку, который выбирает такое а, что сокращаются
к\^Ах^{а, к\,к2) и к2ц>Ах^{а, к\, к2), а фотон имеет должное количество
степеней свободы.
Вычислим разность ААд1/(а,к\,к2) — Axv{ki,k2), объединяя (3)
и f(p) = tr(7A75^7I/^-7/x^)- С учетом того что
„т г tr(7A75 >Р7" РГ Р)
f(P) = hm г =
_ 2P^tr(7A75 PY P) - Р2 tr(7A75 /V7M) _ - 4гР2Ра.еа^л
приходим к выражению:
Ах<"(а,кик2)-Ах^(кик2)=^- lim а"^е°^х+{»,A*"*,М =
= ^|^A^ + { fci ^ ^ ^ (5)
В задаче есть два независимых импульса fci и к2, поэтому можно
выбрать а = a(ki+k2)+P(ki — к2). Подставляя это выражение в (5), получаем:
Ах*"(а,к1,к2)=Ах<"(кик2) - ^-ех^°(кх-к2)а. (6)
47Г
Обратите внимание, что параметр а выпадает.
Как и ожидалось, Ах^(а, к\,к2) зависит от (3 и, следовательно, от а.
Наше непоколебимое желание иметь сохраняющийся векторный ток, при
котором кг^Ах^(а, к\,к2) = О, фиксирует параметр /3 выполнением
условия
fclMAA""(fcl,fc2) = -VW*lrfe2a.
07Г
Таким образом, наш выбор должен падать на АХц,и(а, hi, к2) с (3 = — |.
Рассмотрим все вышесказанное с точки зрения правил
Фейнмана. При формулировании правил Фейнмана недостаточно определить
(0\TJ^(0)J^(xi)Ju(x2)\0). Их необходимо дополнить условием
сохранения векторного тока. Амплитуда (0\TJ^(0)JfJ,(xi)J1/(x2)\0) определяется
с помощью ДАм1/(а, к\,к2) при /3 = — \.
КИРАЛЬНАЯ АНОМАЛИЯ
289
Квантовые флуктуации нарушают сохранение
аксиального тока
Подходим к кульминации истории. Мы потребовали сохранение
векторного тока. Сохраняется ли аксиальный ток?
Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно просто вычислить:
qxA^^h, к2) = дХАх^(кг1к2) + -^е<"х°к1Хк2а. (7)
47Г
Вы уже знаете, как это сделать:
= -L£<"x°kixk2a. (8)
47Г
В самом деле, это интегрирование было выполнено (2). В конечном итоге
получаем:
qxAx^(a,kuk2) = -L^£^x°klxk2<T. (9)
Аксиальный ток не сохраняется!
Итак, для простой теории С = 'фг^д^'ф в классическом случае
сохраняются и векторный, и аксиальный токи, а в квантовом случае — только
векторный. Это явление называют аномалией, аксиальной аномалией или
киральной аномалией.
Следствия аномалии
Как я уже говорил, аномалия представляет собой чрезвычайно богатое
явление. Сделаю ряд замечаний, детали которых вы можете проработать
в качестве упражнений.
1. Допустим, мы калибруем нашу простую теорию С = 'фг^ {д^—геА^ф
и рассматриваем А^ в качестве фотонного поля. Тогда рис. IV.7.1 будет
соответствовать случаю, когда две фотонные линии выходят из
вершин fi и v. Полученный ранее результат (9) можно переписать теперь
290
Глава IV.7
в виде двух операторных уравнении:
КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА: дцД = 0, (10)
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА: dMJ£ = 7^е^Х°F^F^' (n)
(4тг)2
Производная аксиального тока д^ J£ равна не нулю, а оператору,
способному создать два фотона.
2. Следуя логике главы IV.2, можно вычислить скорость распада 7г° —>
7 + 7- Раньше физики, основываясь на ошибочном результате (10),
полагали, что этот распад, наблюдаемый экспериментальным путем,
невозможен! См. упражнение IV.7.2. Разрешение этого несомненного
парадокса привело к верному результату (11).
3. Записав лагранжиан в терминах левого фь и правого фц полей и вводя
левый и правый токи j£ = фя^Фн, и J£ = фь!^Фь^ можно
сформулировать аномалию в виде:
1 6 цу\аj
UUR — о /л \0С rlLVr\<J
%*i = -\l^feilVX(7F^Fxa- (12)
(Отсюда название «киральная»!) Мы можем считать, что левый и
правый фермионы бегут по петле на рис. IV.7.1, внося противоположный
вклад в аномалию.
4. Рассмотрим теорию С = ф{1^д^ —тп)ф. Инвариантность
относительно преобразования ф —> егв1 ф нарушается массовым членом. В
классическом случае имеем d^J^ = 2гпфгг)ъф, т.е. аксиальный ток явно
не сохраняется. Аномалия выражается в том, что квантовые
флуктуации теперь обуславливают появление дополнительного члена. В
теории С = ф(г^(д^, — ieA^) — гп)ф имеем:
д^ = 2rm/ii75V> + -f-^e^^F^F^. (13)
(47Г)
КИРАЛЬНАЯ АНОМАЛИЯ
291
Вспомним, что в главе III.7, при вычислении поляризации вакуума, мы
вводили регуляторы Паули-Вилларса. Мы вычитали из
подынтегрального выражения такое подынтегральное выражение, в котором масса
электрона заменяется некоторой массой регулятора. Масса электрона
в (1) равна нулю, поэтому вычтем из подынтегрального выражения
такое подынтегральное выражение, в котором 0 заменяется на массу
регулятора М. Запишем:
(14)
-7V-
1
}Г
1
ф-А-м' ф-М-м
Заметим, что при р —> оо подынтегральное выражение стремится к
нулю быстрее, чем 1/р3, что находится в согласии с философией
регуляризации, описанной в общих чертах в главах III. 1 и III.7: для р <С М,
границы неведения, подынтегральное выражение остается
неизменным, а для р ^> М подынтегральное выражение обрезается. В нашем
случае интеграл в (14) имеет кажущуюся логарифмическую
расходимость, поэтому по своему усмотрению можно сдвинуть переменную
интегрирования р.
f
1>
(Ъ)
Рис. IV.7.2
Как возникает киральная аномалия? Включив массу регулятора М, мы
явным образом нарушили условие сохранения аксиального тока.
Аномалия заключается в том, что данное нарушение имеет место даже
в случае М —» оо. Будет чрезвычайно полезно, если вы проверите это
утверждение (упражнение IV.7.4).
292
ГЛАВА IV.7
6. Рассмотрим неабелеву теорию С = ф1^(д^ — igA^T^ip.
Достаточно ввести в выражение для фейнмановской амплитуды множитель Та
для вершины /1 и множитель Тъ для вершины и. Повторяем все
изложенные выше шаги за исключением того, что при суммировании по
всем различным фермионам, бегущим по петле, получаем множитель
tr TaTb. Следовательно, в неабелевой калибровочной теории имеем:
Э^ = 7^^Aatri^Aa, (15)
(47Г)
где F^v = F^vTa — напряженность матричного поля, определенная
в главе IV.5. Неабелева симметрия обладает одним замечательным
свойством: объект e^vXg \хЕ^Е\а содержит не только член второго
порядка по А9 но и члены третьей и четвертой степени по А,
поэтому наблюдается киральная аномалия с тремя и четырьмя
входящими калибровочными бозонами, как на рис. IV.7.2a и Ь. Некоторые
называют аномалии на рис. IV.7.1 и IV.7.2 треугольной, квадратичной
и пятиугольной аномалией. Когда была обнаружена треугольная
аномалия, шли споры по поводу того, существуют ли вообще квадратичная
и пятиугольная аномалии. Видим, что неабелева симметрия разрешает
спор очевидным образом, однако в те времена люди вычисляли фейн-
мановские диаграммы явно и любой неосторожный шаг мог привести
к ошибке.
7. В главе V.7 мы увидим, что аномалия тесно связана с топологией.
8. Мы вычислили киральную аномалию в свободной теории С =
= ^(г7м9д — га)т/>. Предположим, что фермион взаимодействует со
скалярным полем посредством добавления члена f^ip или с
электромагнитным полем. Необходимо вычислить диаграммы более
высокого порядка, например, трехпетлевую диаграмму на рис. IV.7.3. Можно
предположить, что правую часть уравнения (9) следует умножить на
1 + /г(/, е,...), где h — некоторая неизвестная функция от всех констант
связи, фигурирующих в теории.
А теперь сюрприз! Адлер и Бардин доказали, что h = 0. Этот
удивительный факт, называемый неперенормируемостью аномалии, можно
объяснить эвристически. Перед интегрированием по импульсам
скалярных пропагаторов на рис. IV.7.3 (обозначенных как W\ и Wi) фейн-
мановское подынтегральное выражение содержит семь фермионных
пропагаторов и, следовательно, хорошо сходится. Значит, можно
безболезненно сдвинуть переменные интегрирования. Итак, перед
интегрированием по W\ и W2 выполняются все соответствующие тождества
КИРАЛЬНАЯ АНОМАЛИЯ
293
Рис. IV.7.3
Уорда, например, q\A3^(ki,k2',Wi,W2) = 0. Попробуйте
продолжить доказательство самостоятельно. В упражнении VI.7.13 вы
должны будете дать доказательство, основанное на топологии3.
9. Полученный выше результат имел большое значение для физики
элементарных частиц, поскольку непосредственно связан с
представлениями о цвете, и речь об этом пойдет в главе VII.3. Условие неперенор-
мируемости аномалии позволило точно вычислить амплитуду распада
7г° —* 7 + 7 в конце 1960-х гг. Хотя в кварковой модели того
времени амплитуда задается бесконечным числом фейнмановских диаграмм
(рис. IV7.4), условие неперенормируемости аномалии говорит о том,
что только диаграмма на рис. IV7.4а дает вклад. Иначе говоря,
амплитуда не зависит от деталей сильного взаимодействия. Тот факт, что
амплитуда оказывается втрое меньше требуемой, свидетельствует о
существовании трех экземпляров кварков (глава VII.3).
10. Естественно задаться вопросом, являются ли кварки и лептоны
составными объектами из более элементарных фермионов, называемых прео-
нами? Условие неперенормируемости киральной аномалии
предоставляет нам мощное средство для решения данного вопроса. Не важно,
насколько сложными могут быть взаимодействия, но, до тех пор пока
они описываются теорией поля, аномалия, вычисленная на преонном
уровне, должна совпадать с аномалией, вычисленной на кварк-лептон-
ном уровне. Получаем так называемое условие соответствия
аномалии4, которое существенно ограничивает возможные преонные теории.
11. Исторически теоретики-полевики с большим недоверием относились
к интегралу по траекториям, отдавая предпочтение каноническому
3Простое доказательство, без привлечения топологии, смотрите в книге Коллинза (J.Col-
294
Глава IV.7
Рис. IV.7.4
подходу. Когда была открыта киральная аномалия, некоторые
физики продолжали утверждать, что существование киральной аномалии
доказывает некорректность интеграла по траекториям. Они говорили,
что интеграл по траекториям
/ ВфВф£ f'd4*^*V*(0M-iAM)^
(i6)
кажется настолько глупым, что никак не может служить
доказательством своей неинвариантности относительно кирального
преобразования ф —> егву ф. Фудзикава5 разрешил спор, когда доказал, что в
интеграле по траекториям учитывается аномалия: при киральном
преобразовании мера ИфИф изменяется на якобиан. Именно этими словами
я начинал главу: действие может быть инвариантно, тогда как интеграл
по траекториям — нет.
Упражнения
IV.7.1. Из (9) получите (11). Импульсы ki\ и /с2СТ, фигурирующие в (9), становятся
в (11) двумя производными в F^Fxa.
IV.7.2. Опираясь на рассуждения в главе IV.2 и применяя ошибочное
уравнение (10), покажите, что амплитуда распада 7г° —* 7 + 7 зануляется в
идеальном мире, в котором поле 7г° безмассово. Поскольку 7г° действительно
lins, Renormalization* page 352. Имеется перевод Дж. Коллинз. Перенормировка. — М.: Мир,
1988.)
4G. 'tHooft et al., eds.. Recent Developments in Gauge Theories; A. Zee, Phvs. Lett. 95B:290,
1980.
5 А также С. Н. Вергелес. — Прим. ред.
КИРАЛЬНАЯ АНОМАЛИЯ
295
распадается, а наш мир приближен к идеальному, получаем первое
доказательство некорректности уравнения (10).
IV.7.3. Повторите все вычисления в тексте для теории С = ф(г^д^ — т)ф.
IV.7.4. Возьмите регуляризованную методом Паули-Вилларса амплитуду
AA/XI/(fci, fe) и сверните ее с q\. Аналогичным образом в главе II.7 член
/пъ записывался в виде [2М -f (ф — М) — (ф— fa + М)]^ъ. Теперь можно
свободно сдвинуть переменные интегрирования. Покажите, что
qxAx^(kuk2) = -2МА^(кик2), (17)
где
А-(»..М. (-!><■/!$,
Вычислите A^v и покажите, что в пределе М —► оо АМ1/ ведет себя как
1/М, а правая часть уравнения (17) стремится к конечному пределу.
Аномалия заключается в том, что после своего исчезновения из
низкоэнергетического спектра регулятор оставляет некий след, подобно улыбке
чеширского кота. [Даже не приступая к вычислениям, мы фактически можем
утверждать, что А^и будет равна 1/М. Вследствие лоренцевской инвариантности
и наличия 75, значение А^и должно быть пропорционально e^vXpk\\k2P, но
анализ размерностей показывает, что А^и равняется €р,иХрк\\к2р/М,
умноженному на некоторую константу. Вы, должно быть, удивляетесь, почему
нельзя вместо 1/М использовать l/(&i)25 чтобы в итоге размерность
оказалась верной. Все дело в том, что опыт расчетов фейнмановских диаграмм
в (3+1)-мерном пространстве-времени говорит о невозможности получения
фактора вида \/{к\)ъ.]
IV.7.5. Существует буквально N способов вывода уравнения аномалии. Вот еще
один. Вычислите
AA^(*i,2) = (-l)i3/-^
J (2тг)
tr (^5 л \ тч"-Г-Ъ ^-ТГ-^) + {^kl " "'fo} (18)
V Р- А-™ Р- М-т p-rnj
для случая массивного фермиона, но не прямым вычислением, а используя
сначала лоренцевскую инвариантность, чтобы записать
Ах^{кик2) = ех^ак^Ах + ... f е,шеттк1(7к2ткхА8,
296
Глава IV.7
где Ai = Ai(ki,k%,q2) — восемь функций от трех лоренцевских скаляров.
Подсчетом степеней в духе глав III.3 и III.7, покажите, что в двух из восьми
функциях появляются интегралы с кажущейся логарифмической
расходимостью, тогда как в остальных шести — сходящиеся интегралы. Затем,
применяя статистику Бозе и условие сохранения векторного тока ki^A^" =
= 0 = k2uAXflu, покажите, что мы можем избежать вычисление интегралов
с кажущейся логарифмической расходимостью. Вычислите сходящиеся
интегралы и найдите <7aAA/xi/(/ci, fo).
IV.7.6. Рассмотрите аномалию с точки зрения анализа амплитуды
в низшем порядке заданной треугольными диаграммами с аксиальными
токами в каждой вершине. [Указание: используйте амплитуду в импульсном
пространстве AXfMl/(ki,k2).] Для условия (75)2 = 1 и симметрии Бозе
докажите, что
А^"(кик2) = |[ДАм>,кгМ) + Дм"Л(а, к2, -q) + Д"Хм(а, -q, к,)}.
Теперь используйте (9), чтобы вычислить q\A5fJ'u(ki,k2).
IV.7.7. Аккуратно определите фермионную меру Dip в (16), перейдя в евклидово
пространство. Вычислите якобиан при киральном преобразовании и
выведите аномалию. [Указание: (K.Fujikawa, Phys. Rev. Lett. 42:1195, 1979).]
IV.7.8. Вычислите пятиугольную аномалию с помощью фейнмановских диаграмм
для проверки замечания 6 в тексте. Иначе говоря, найдите коэффициент с
в уравнении 0MJ£ = ... + се^х<7 tr A^AuAxAa.
Часть V
Теория поля и коллективные
явления
Во введении я упоминал, что одним из наиболее интеллектуально
ярких достижений за последние 2-3 десятилетия является то, что методы
квантовой теории поля играют все более важную роль в физике
конденсированных сред. Они составляют богатый и многоплановый предмет
исследований; в этой и последующей главах я едва коснусь вершины айсберга
и рассмотрю лишь отдельные вопросы.
Исторически теория поля появилась в физике конденсированных сред
прямым и непосредственным образом. В системе конденсированных сред
нерелятивистские электроны в конденстрованной среде можно описать
полем ф в духе главы III.5. В этом случае появляется возможность написать
лагранжианы, построить фейнмановские диаграммы и сформулировать
соответствующие правила. Результаты можно найти в некоторых
специализированных текстах. Здесь я хочу изложить в значительной степени более
современный подход к описанию конденсированных систем, в терминах
эффективной теории поля. Система конденсированных сред обладает
одним замечательным свойством: вследствие глубоко нетривиальных
многочастичных эффектов низкоэнергетические степени свободы могут
полностью отличаться от электронов, с которых мы начинали. Особенно ярким
примером такой системы (о ней мы поговорим в главе VI.2) является
квантовая система Холла, в которой низкоэнергетическая эффективная степень
свободы несет дробный заряд и подчиняется дробной статистике.
Есть и другая причина, по которой я существенную часть книги
посвятил физике конденсированных сред, — с исторической и педагогической
точек зрения, ренормализационную группу гораздо легче понять в рамках
физики конденсированных сред, а не физики элементарных частиц.
Я нарочито не буду проводить строгую грань между физикой
конденсированных сред и физикой элементарных частиц. Некоторые вопросы,
обсуждаемые в пятой и шестой частях, по существу, относятся к физике
элементарных частиц. И конечно, я не могу брать на себя большую
ответственность за объяснение физики конденсированных сред, чем за свои
объяснения физики элементарных частиц в главе IV.2.
Глава V. 1
Сверхтекучие жидкости
Отталкивающиеся бозоны
Рассмотрим конечную плотность р нерелятивистских бозонов, с
короткодействующим отталкиванием. Вернемся к лагранжиану (III.5.11):
С = i(p*do<p - ^дцр^дцр - g2(^ip - р)2. (1)
Последний член есть в точности потенциал типа сомбреро из главы IV. 1.
Он вынуждает величину у? быть близкой к у/р и тем самым
предлагает нам использовать полярные переменные ip = у/регв, как в уравнении
(III.5.7). Делая подстановку и опуская полную производную (i/2)dop,
получаем лагранжиан в виде
С = -рд09 - ± [j-ЛдгР)2 + /ДО)2] - 92(р - ~р)2. (2)
Спонтанное нарушение симметрии
Запишем так, как в главе IV. 1, у/р = у/р + h (вакуумным средним ц>
является у/р). Предположим, что h «С у/р, и разложим1:
С = -2y/fhdo6 - ^(Щ2 - ^{dihf - 4g2ph2 +... (3)
Выбрав в (3) члены второго порядка по /i, используем «центральное
тождество квантовой теории поля» (см. приложение А), чтобы отынтегриро-
1 Заметим, что мы отбросили (потенциально интересный) член —~рдоО, потому что он
является полной производной.
Сверхтекучие жидкости
301
вать h. В результате имеем
С = Рдовл ■>- }л /о ^дов - £:(дгв)2 +...=
4дгр - (1/2т)9|- *"i
Допустим, что во втором равенстве нас интересуют процессы с волновым
числом к, малым по сравнению с у/8д2~рт, так что (l/2m)df
пренебрежимо мал, по сравнению с 4д2~р. Таким образом, легко видеть, что в этой
бозе-жидкости существует бесщелевая мода (часто называемая фононом)
с дисперсией
Самые продвинутые из вас осознают, что мы получили классический
результат Боголюбова, даже не выполняя преобразование Боголюбова (см.
приложение к этой главе).
Кратко напомню идеализированные рассуждения Ландау2, согласно
которым мода с линейной дисперсией (когда и; линейна относительно к)
означает сверхтекучесть. Рассмотрим массу М жидкости, текущей по
трубе со скоростью v. Эта жидкость может терять импульс и замедляться
до скорости v\ создавая возбуждение импульса к: Mv = Mv' + Tik.
Такая ситуация возможна лишь при условии достаточного запаса энергии:
^Mv2 > ^Mv'2 + ftu(k). Исключая v\ получаем для М
макроскопическую скорость v ^ и/к. Для моды с линейной дисперсией она
соответствует критической скорости vc = ш/к, ниже которой жидкость не может
терять импульс и поэтому является сверхтекучей. [Таким образом, из (5)
следует, что идеализированная скорость имеет вид vc = ду/2'р/т.]
Масштабируя надлежащим образом координату, можно свести
низкоэнергетическую физику сверхтекучести к компактному лагранжиану
Ад2
£ = ^2^в)2, (6)
который, как легко видеть, является безмассовым вариантом теории
скалярного поля (которая рассматривалась в первой части книги), но при важном
условии, что поле в является фазой, то есть 0{х) и в(х) + 2п действи-
2Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Статическая фишка. Часть 2. С. 117.
302
Глава V. 1
тельно одинаковы. Эта бесщелевая мода, очевидно, является намбу-голд-
стоуновским бозоном, связанным со спонтанным нарушением глобальной
U(l)-симметрии <р —> егос(р.
Бесщелевая мода с линейной дисперсией
Физика становится особенно ясной, если рассуждать в терминах газа
свободных бозонов. Передать импульс Ьк любому данному бозону можно
за счет проигрыша в энергии {Ьк)2/2т. В системе свободных бозонов
существует много низкоэнергетических возбуждений. Но как только между
бозонами возникает короткодействующее отталкивание, бозон,
движущийся с импульсом fc, будет влиять на все другие бозоны. В результате, как
было показано в (5), образуется волна плотности с энергией,
пропорциональной к. Бесщелевая мода превращается из моды с квадратичной дисперсией
в моду с линейной дисперсией. Число низкоэнергетических возбуждений
становится гораздо меньше. Вспомним, в частности, что плотность
состояний определяется как N(E) ос kD~1(dk/dE). Например, для D = 2
плотность состояний переходит при малых энергиях от N(E) ос const (в случае
мод с квадратичной дисперсией) к N(E) ос Е (в случае мод с линейной
дисперсией).
Как, наряду с другими, отмечал Фейнман3, физика сверхтекучести
заключается не в присутствии бесщелевых возбуждений, а в их малом числе.
(В конце концов, ферми-жидкость имеет непрерывный спектр бесщелевых
мод.) Число мод, на которых сверхтекучая жидкость может терять энергию
и импульс, слишком мало.
Релятивистская теория в сравнении с нерелятивистской
Теперь следует рассмотреть одно тонкое различие между нарушением
спонтанной симметрии в релятивистской и нерелятивистской теориях.
Рассмотрим релятивистскую теорию, с которой мы знакомились в главе IV. 1:
С = (дФ^)(дФ) — А(Ф*Ф — v2)2. Часто удобнее оказывается взять предел
А —> оо при фиксированном v. На языке, использованном в главе IV. 1, это
будет звучать так: чтобы «подняться по стене», необходимо неограниченно
больше энергии, чем для того, чтобы «катиться по желобу». Полученная
в результате теория определяется лагранжианом
С = (дФ*)(дФ) (7)
3R. P. Feynman, Statistical Mechanics.
Сверхтекучие жидкости
303
со связью Ф*Ф = v2. Это так называемая нелинейная сигма-модель, которая
подробно рассматривается в главе VI.4.
Существование намбу-голдстоуновского бозона особенно легко видеть
в нелинейной сигма-модели. Связь разрешается с помощью
соотношения Ф = уег9, которое при подстановке в С дает С = у2(дв)2. Это и есть
намбу-голдстоуновский бозон в.
Повторим то же самое для нерелятивистского случая. Возьмем предел
д2 —> оо при фиксированном р, чтобы лагранжиан (1) имел вид
С = г^д0(р - -у—дцр^дцр (8)
со связью <pV = р. Но теперь, если подставить в С решение связи
ср = у/рег9 (и опустить полную производную —~рдов)), получим С =
= ^р/2т){дгв)2 с уравнением движения д2в = 0. Что же это такое? Это
даже не распространяющаяся степень свободы. Где же
намбу-голдстоуновский бозон?
Исходя из того, что я уже рассказывал, этот явный парадокс4 не должен
сильно вас смущать. Но поверьте, я ставил с его помощью в тупик немало
блестящих умов, занимающихся релятивистской теорией.
Намбу-голдстоуновский бозон все еще присутствует, но, как видно из (5), скорость его
распространения и/к стремится к бесконечности как д, и поэтому он
исчезает из спектра для любого неравного нулю к.
Почему же нам позволено переходить к «нелинейному» пределу в
релятивистском случае? Потому что есть лоренц-инвариантность! Скорость
моды с линейной дисперсией, если такая мода существует, гарантированно
равна 1.
Приложение
Я считаю, что во многих публикациях преобразование Боголюбова
завуалировано чрезмерным формализмом. Воспользуюсь здесь возможностью, чтобы
показать, как просто можно обосновать существование бесщелевой моды. Применим
вторично квантованный формализм с гамильтонианом
Н = ]L ^a^ak + 51 G(a{alaqak+p-q),
к k,p,q
где а\. и а*; обозначают оператор рождения и уничтожения для бозона с 3-импуль-
сом к (стрелка в подстрочных индексах опущена для простоты обозначений). По-
4Этот явный парадокс рассматривается в работе A. Zee, «From Semionics to Topological
Fluids» in O.J. P. Ebolic et al., eds.. Particle Physics, p. 415.
304
Глава V. 1
нимая, что макроскопическая плотность бозонов образует конденсат бозонов в
основном состоянии с импульсом к = 0, Боголюбов заменяет ао и aj на с-числа
(ао) = (aj) = и, что приводит к квадратичному гамильтониану
к кфО fc#0
Ясно, что мы получаем бесщелевую моду, поскольку с точностью до аддитивной
постоянной второй член можно записать как ^2 Gv?(ark + a-fc)(afc + aLfc), и поэтому
ортогональная комбинация (а\. — а~к) создает бесщелевое возбуждение импульса к.
Решающим является то, что (ao) = (aj) ф 0, а не просто (ajao) ф 0. В последнем
случае мы бы получили только щелевую моду с энергией (2Gu2 + к2 /2т). Это
доказывает, что нарушение U(l)-симметрии бозонного числа является ключевым.
Упражнения
V.1.1. Проверьте, что приближение, использованное для получения лагранжиана
(3), непротиворечиво.
VI.2. Чтобы удержать сверхтекучую жидкость во внешнем потенциале W(x),
добавим в (1) член —W(x)ipt(x,t)y)((p,t). Выведите соответствующее
уравнение движения для ip. Это уравнение, известное как уравнение Гросса-
Питаевского, последние годы много изучалось в связи с конденсатом Бозе -
Эйнштейна.
Глава V.2
Евклид, Больцман, Хокинг и теория
поля при конечной температуре
Статистическая механика и евклидова теория поля
В главе 1.2 упоминалось, что для более строгого определения
интеграла по траекториям нужно выполнить виковский поворот t = —He- Тогда
теория скалярного поля вместо того, чтобы определяться интегралом по
траекториям Минковского
Z = JD*e(ilh)Sddx
\(dV)2~V(v)
(1)
будет определяться евклидовым функциональным интегралом
о-(1/Л)£(*0ч (2)
= j В9е-(ти<Л^+М = j D<pe
где ddx = -id%x, a ddEx = dtEd{d-^x. В интеграле (1) (д<р)2 = (dip/dt)2 -
— (V</?)2, тогда как в интеграле (2) (д<р)2 = (cfy/д^я)2 + (V<^)2. Эта
запись несколько сбивает с толку, но я стараюсь не вводить слишком
много посторонних символов. Вам может показаться полезным
представить (V(/?)2 + V((f) как одно целое, нетронутое вращением Вика. Я ввел
ед = fddEx[l(d<p)2 + у(ф)
что может естественно рассматриваться
как функционал статистической энергии поля ц>(х). Таким образом, когда
в d-мерном пространстве задана конфигурация ip(x), то чем больше она
меняется, тем менее вероятно, что она вносит вклад в евклидов
функциональный интеграл Z.
Не напоминает ли вам евклидов функциональный интеграл (2)
что-нибудь из статистической механики. Действительно, герр Больцман учил нас,
306
Глава V.2
что в тепловом равновесии при температуре Т = 1//3 вероятность
возникновения конфигурации в классической системе или вероятность
возникновения состояния в квантовой системе является нормированным фактором
Больцмана е~&Е, где Е следует рассматривать как энергию конфигурации
в классической системе или как собственное значение энергии состояния
в квантовой системе. В частности, вспомним классическую статистическую
механику системы из N частиц, для которой
E{p,q) = Y, 2^А2 + V(quq2, • • •, qN)-
i
Статистическая сумма определяется (с точностью до некоторого общего
множителя) как
Z = П / dPidqie-W™l
i **
После интегрирования по р получаем (приведенную) статистическую
сумму
Z = ]J [dqie-/3V{quQ2--qN).
г **
Преобразуя ее к теории поля так, как в главе 1.3, и допуская, как и раньше,
что г —> х и qi —> <р(х), легко видеть, что статистическая сумма
классической теории поля с функционалом статической энергии £(ip) имеет такой
же вид, как в (2), если отождествить символ h с температурой Т = 1/(3.
Итак,
евклидова квантовая теория поля в d-мерном пространстве-времени
~ классическая статистическая механика в d-мерном пространстве
Представление квантовой статистической суммы в виде
функционального интеграла
Еще более интересная ситуация возникает, когда мы переходим к
квантовой статистической механике. Интегрирование по фазовому
пространству {р, q] заменяется на след, то есть на сумму по состояниям. Таким
образом, статистическая сумма квантово-механической системы (для
определенности, скажем, одной частицы) с гамильтонианом Н определяется как
Z = tre-0H = ^2(п\е-0Н\п).
П
Евклид, Болыдман, Хокинг и теория поля
307
В главе 1.2 получено интегральное представление (^|е_гЯТ|7). (Не
следует, конечно, путать время Т с температурой Т.) Предположим, мы
хотим получить интегральное представление статистической суммы. Для
этого больше ничего не надо делать! Просто заменяем время Т на — г/3,
задаем \I) = \F) = \п) и суммируем по |п), в результате получаем
Z = tr«H» ' " ^Ш
f -fdrL(g)
= I Dqe о . (4)
ПГУ
Прослеживая шаги от (1.2.3) до (1.2.5), можно убедиться в том, что здесь
L(q) = ^(dq/dr)2 + V(q) в точности является лагранжианом,
соответствующим гамильтониану Н с евклидовым временем т. Интеграл по т берется
от 0 до /3. Операция взятия следа задает равными начальное и конечное
состояния, и поэтому функциональный интеграл необходимо брать по всем
траекториям q{r) с граничным условием q(0) = q((3). Подстрочный индекс
ПГУ напоминает нам об этом важном периодическом граничном условии.
Обобщение до теории поля следует немедленно. Если Н является
гамильтонианом квантовой теории поля в 12-мерном пространстве [и,
следовательно, в d = (D + 1)-мерном пространстве-времени], то статистическая
сумма (4) имеет вид
RH / -fdTfdDxC(ip)
f „ -fdrfduxC(<p)
-- Dipe ° (5)
ПГУ
с интегралом, вычисленным по всем траекториям </?(х, г), так что
у>(*,0) =*>(*,/?). (6)
(Здесь ip представляет собой все бозе-поля в теории.)
Действительно, замечательный результат! Чтобы изучить теорию поля
при конечной температуре, все, что надо сделать, — это повернуть ее в
евклидово пространство и наложить граничное условие (6). Таким образом,
евклидова квантовая теория поля в (D + 1)-мерном
пространстве-времени, 0 ^ г < /3 ~ квантовая статистическая механика
в D-мерном пространстве
(7)
В пределе нулевой температуры /3 —> оо из (5) получаем стандартную
квантовую теорию поля с виковским поворотом в бесконечном
пространстве-времени, как и должно быть.
Вы, несомненно, имели бы успех у мистиков, если бы сказали им,
что температура является эквивалентом циклического мнимого времени. На
308
Глава v. 2
уровне арифметики такая ассоциация следует из того факта, что основные
объекты квантовой физики е~гНТ и статфизики е_/ЗЯ формально связаны
аналитическим продолжением. Некоторые физики, включая меня самого,
чувствуют, что в этом может скрываться нечто очень глубокое, что мы еще
не вполне понимаем.
Фейнмановские диаграммы при конечных температурах
При желании из (5) можно развить теорию возмущений при конечных
температурах, формулируя правила Фейнмана и т. д. Это делается так же,
как и раньше, за исключением одного существенного отличия,
связанного с условием (6) (р(х,т=0)=(р(х,т =/3). Ясно, что при преобразовании
Фурье с множителем егыт, евклидова частота ш может принимать
только дискретные значения ujn = (27г//?)гг, где п — целое число. Пропагатор
скалярного поля приобретает вид 1/(к2+к2)-* VC^n+k2). Таким образом,
чтобы вычислить статистическую сумму, просто запишем соответствующие
евклидовы фейнмановские диаграммы и вместо интегрирования по
частоте просуммируем по дискретному набору частот ип(27тТ)п, п = — со, ...,
+со. Другими словами, после приведения интеграла Фейнмана к виду
/ ddEk F(k2E) достаточно заменить его на 2тгТ £ /dDkF[(2?rT)2n2 + к2].
п
Полезно посмотреть, что происходит в пределе высоких температур
Т —> со. При суммировании по шп доминирует член п = 0, поскольку
в знаменателе появляется комбинация (2-кТ)2п2 + к2. В результате эти
диаграммы эффективно вычисляются в D-мерном пространстве. Мы потеряли
размерность! Таким образом,
евклидова квантовая теория поля в £>-мерном
пространстве-времени ~ высокотемпературная квантовая статистическая механика
в D-мерном пространстве
(8)
То, что при высокой температуре квантовая статистическая механика
становится классической, — всего лишь утверждение [сравните с (3)].
Важным применением квантовой теории поля при конечной
температуре является космология: раннюю Вселенную можно описать как варево
из элементарных частиц при некоторой высокой температуре.
Излучение Хокинга
За последние несколько десятилетий хокинговское излучение
черными дырами, несомненно, является самым поразительным предсказанием
Евклид, Больцман, Хокинг и теория поля
309
гравитационной физики. Понятие черных дыр существует еще со времен
Лапласа, который заметил, что скорость убегания от достаточно
массивного объекта может превышать скорость света. С классической точки зрения
объекты падают в черные дыры и дело с концом. Но с точки зрения
квантовой физики черная дыра на самом деле может излучать как абсолютно
черное тело при температуре Т.
С учетом того малого, что мы узнали из этой главы и главы 1.10,
можно фактически определить температуру черной дыры. Спешу добавить, что
систематический вывод был бы довольно сложным и включал бы в себя
много тонкостей; и действительно этому предмету посвящены целые
книги. Однако, более или менее ясно, что нужно сделать. Начав с главы 1.10,
необходимо развить квантовую теорию поля (например, для скалярного
поля ср) в искривленном пространстве-времени, в частности, в присутствии
черной дыры, и рассмотреть, какое вакуумное состояние (то есть
состояние, лишенное квантов (р) в далеком прошлом эволюционирует в далекое
будущее. Мы бы нашли состояние, заполненное тепловым распределением
квантов if. Здесь мы это делать не будем.
В прошлом были предложены многочисленные эвристические
обоснования излучения Хокинга. Приведу одно из них. Рассмотрим решение
Шварцшильда (см. главу 1.10)
ds* = (Х _ 2Щ ^2 _ ^ _ 2GK) -^2 _ r2^2 _ r2 sin2 g d02 (g)
На горизонте г = 2GM коэффициенты при dt2 и dr2 меняют знак, указывая
на то, что время и пространство, а следовательно, энергия и импульс,
взаимозаменяемы. Ясно, что должно произойти нечто странное. При квантовых
флуктуациях в вакууме всегда появляются и исчезают пары
частица-античастица, но обычно, как мы обсуждали ранее, принцип неопределенности
ограничивает время существования таких пар At до ~ 1/АЕ. Вблизи
горизонта черной дыры ситуация совершенно иная. Пара может рождаться из
вакуума непосредственно у горизонта, при этом частица находится сразу
за пределами горизонта, а античастица — тут же перед горизонтом.
Эвристически ограничение Гейзенберга, накладываемое на At, можно избежать,
поскольку то, что подразумевается под энергией, изменяется, как только мы
пересекаем горизонт. Античастица падает в черную дыру, а частица
вылетает в пространственную бесконечность. Конечно, такого рода объяснение
«на пальцах» должно быть обосновано детальными расчетами.
Если черные дыры действительно излучают при определенной
температуре Т, а это априори вовсе не очевидно, можно легко определить Т из
310
Глава V.2
анализа размерностей. Мы видим из (9), что можно получить только
комбинацию GM, которая явно имеет размерность длины. Поскольку Т имеет
размерность массы, то есть обратную длине, то единственной
возможностью является Т ос 1/GM.
Чтобы точно определить Т, используем некоторую хитрость.
Предупреждаю сразу, что ее следует воспринимать критически. Она необходима
для того, чтобы пробудить у вас желание к более точному рассмотрению.
Представим себе процесс квантования теории скалярного поля в
метрике Шварцшильда аналогично тому, как это делалось в главе 1.10. Если
при виковском повороте это поле «чувствует», что время периодично с
периодом /?, то в соответствии с тем, что известно из этой главы, кванты
скалярного поля будут считать, что живут в тепловой бане при температуре
Г = 1/0.
Задавая t —» — гт, поворачиваем метрику и получаем
ds2 = -
(l-^)rfr
2+
+ (l_20M) V+rW+r'sin2^2
(10)
В области сразу же за горизонтом, где г > 2GM, выполняем общее
преобразование координат (г, г) —> (a, R), определяемое равенствами Rda =
= (1 - 2GM/r)1/2dr и dR = (1 - 2GM/r)~1/2dr, такое что первые два
члена в ds2 будут равны R2da2 + dR2, то есть возведенному в квадрат
элементу длины плоского двухмерного евклидова пространства в полярных
координатах. Таким образом, евклидово время т пропорционально
полярному углу а. Обозначим период времени т как /?. Поскольку нас
интересует, что происходит непосредственно за горизонтом, необходимо определить
(a, R) только до главного порядка в (г — 2GM). Интегрируя два
дифференциальных уравнения, получаем
I 11
Я(2тг) = (l - Щг^\ 2Р ^ (2GM)"2 (r - 2GM)2/?
и
Я= / (l-^M) 2dr' ~(2GM)2 I (rf -2GM)~2~dr' =
2GM 2GM
1 1
= (2GM)22(r-2GM)2.
Евклид, Больцман, Хокинг и теория поля
311
Разделив, находим /? = (2tt)22(2GM) = 8ttGM и соответственно
температуру Хокинга
т = —-—= п°3 . fii)
SttGM 8ttGM k j
Восстанавливая ft, легко видеть, что излучение Хокинга действительно
является квантовым эффектом.
Упражнения
V.2.I. Изучите теорию свободного поля С = -„(dtp)2 — -~m2(p2 при конечной
температуре и выведите распределение Бозе-Эйнштейна.
V.2.2. Вас, вероятно, не удивит, что для фермионных полей периодическое
граничное условие (6) заменяется антипериодическим граничным условием
ф(х,0) = —ф(х,/3) с той целью, чтобы можно было воспроизвести
результаты, полученные в главе II.5. Докажите это, рассматривая простейший фер-
мионный функциональный интеграл. [Указание: наиболее ясное проявление
этого убедительного факта можно найти в приложении А к статье R. Dashen,
B.Hasslacher and A.Neveu, Phys. Rev. D12: 2443, 1975.]
V.2.3. Интересно рассмотреть квантовую теорию поля для конечной плотности,
которая может иметь место в плотных астрофизических объектах или при
столкновениях тяжелых ионов. (В предыдущей главе мы изучили систему
бозонов при конечной плотности и нулевой температуре.) Изучая
статистическую механику, мы научились переходить от статистической суммы к
большой статистической сумме Z = tre_/3(H_/xN), где химический потенциал
/х вводится для числа N каждой сохраняющейся частицы. Например, для
невзаимодействующих релятивистских фермионов лагранжиан
преобразуется к виду С = ф(гф — т)ф + 11ф*у°ф. Заметим, что конечная плотность,
как и конечная температура, нарушает лоренц-инвариантность.
Разработайте квантовую теорию поля при конечной плотности в такой степени, какой
сможете.
Глава V.3
Теория критических явлений
Гинзбурга-Ландау
Появление неаналитичности
Исторически понятие спонтанного нарушения симметрии пришло
в физику элементарных частиц из физики конденсированных сред и было
впервые использовано в работе Гинзбурга и Ландау о фазовых переходах
второго рода.
Рассмотрим ферромагнетик в тепловом равновесии при температуре Т.
Намагничивание М(х) определяется как среднее атомных магнитных
моментов, взятое по области намного большего размера, чем масштаб длин,
характерный для рассматриваемой микроскопической физики. (В этой главе
мы обсуждаем нерелятивистскую теорию и х обозначает только
пространственные координаты.) Известно, что при низких температурах
вращательная инвариантность спонтанно нарушается и вещество проявляет
объемную намагниченность, ориентированную в некотором направлении. Когда
температура растет выше некоторой критической Тс, объемная
намагниченность внезапно исчезает. Понятно, что при более активном тепловом
перемешивании атомные магнитные моменты в большей мере ориентированы
в случайных направлениях, взаимно уничтожая друг друга. Если точнее, то
экспериментально было обнаружено, что при температуре непосредственно
ниже Тс намагничивание \М\ исчезает как ~ (Тс — Т)&, где так называемая
критическая экспонента равна /3 « 0,37.
Это внезапное изменение известно как фазовый переход второго рода
и является примером критического явления. Исторически изучение
критических явлений представляло собой трудную задачу для
физиков-теоретиков. В принципе необходимо вычислить статистическую сумму Z =
= Ьте~п^т с микроскопическим гамильтонианом Н, но Z очевидно
является гладкой от Т, за исключением, возможно, случая Т = 0. Некоторые
физики зашли настолько далеко, что стали утверждать невозможность
такого неаналитического поведения, как (Тс — Т)&, и что в пределах ошибки
Теория критических явлений Гинзбурга-Ландау 313
эксперимента \М\ фактически исчезает как гладкая функция от Т. Тот факт,
что Онсагер нашел в 1944 году всем известное точное решение
двухмерной модели Изинга, имеет немаловажное значение, в том числе и в том,
что оно определенно ответило на поставленный вопрос. Секрет в том, что
бесконечная сумма членов, каждый из которых может быть аналитическим
по некоторой переменной, не обязана быть аналитической по этой
переменной. След в tre~^/T берется по бесконечному числу членов.
Симметрийные аргументы
В большинстве случаев, как правило, невозможно вычислить Z, если
начать с микроскопического гамильтониана. Ландау и Гинзбург проявили
блестящую проницательность, полагая, что вид свободной энергии G как
функцию М для системы с объемом V можно рассматривать исходя из
общих принципов. Во-первых, для М, постоянной по х, получаем в силу
вращательной инвариантности выражение
G = V[aM2 + b(M2)2 + ...], (1)
где а, Ь, ... являются неизвестными (но ожидаются гладкими) функциями
от Т. Ландау и Гинзбург предположили, что при некоторой температуре Тс
функция а обращается в нуль. Если нет какой-то особой причины, можно
ожидать, что а = а\ (Г — Тс) + ... [а не, скажем, а = а>2(Т — Тс)2 +...]. Но
из главы IV. 1 уже известно, что произойдет. Для Т > Тс свободная
энергия G имеет минимум при М = 0, но, когда температура Т падает ниже Тс,
внезапно образуется новый минимум при \М\ = л/(—а/26) ~ (Тс — Г)1/2.
Вращательная симметрия спонтанно нарушается, и таинственное
неаналитическое поведение внезапно исчезает.
Чтобы учесть в модели возможность М меняться в пространстве,
Ландау и Гинзбург предложили использовать G в следующем виде:
G= Iйъх{дгМдгМ + аМ2 + Ъ{М2)2+ ...}, (2)
где коэффициент члена (diM)2 положен равным 1 за счет изменения
масштаба М. Легко понять, что выражение (2) является евклидовым вариантом
теории скалярного поля, которую мы уже изучали. Из размерного
анализа следует, что 1/у/а определяет масштаб длин. Скажем точнее: включим
для Т > Тс возмущающее внешнее магнитное поле Н(х), добавляя член
314
Глава V.3
—Н • М. Предполагая, что М мало, и минимизируя G, получаем (—д2 +
+ а)М ~ Н и решение
(3)
[Вспомним, что мы уже вычисляли интеграл (1.4.7), и восхитимся
единством физики!]
Чтобы определить корреляционную функцию (М(ж)М(О)), обычно
задаются вопросом, каким будет намагничивание М(х), если использовать
магнитное поле, сильно локализованное в начале координат, для создания
там намагничивания Af(0). Ожидается, что корреляционная функция
спадает как e~lfl/^ на некоторой корреляционной длине £, которая стремится
к бесконечности, когда Т приближается к Тс сверху. Критическая
экспонента v обычно определяется выражением £ ~ 1/(Т — Tc)v'.
В теории Гинзбурга-Ландау, которую также называют теорией
среднего поля, получаем £ = 1/у/а и, следовательно, v = 1/2.
Важным фактором является не то, насколько хорошо согласуются
с экспериментом предсказанные критические экспоненты, такие как /3 и
и, а то, насколько легко они возникают из теории Гинзбурга-Ландау. Эта
теория является отправной для полной теории критических явлений,
которая в итоге была разработана с использованием ренорм-группы Кадановым,
Фишером, Вильсоном и другими (она будет рассмотрена в главе VI.8).
Говорят, что Ландау оценивал физиков-теоретиков по
логарифмической шкале, в которой первое место занимал Эйнштейн; и что после
создания теории Гинзбурга-Ландау он переместил себя на полкласса выше1.
Упражнения
V.3.I. Другая важная критическая экспонента 7 определяется тем, что
восприимчивость х = (дМ/дН)\н=о расходится ~ \/\Т — Тс|7, когда Т
приближается к Тс. Определите 7 в теории Гинзбурга-Ландау. [Указание: чтобы это
сделать, есть два пути, (а) Добавьте —Н-Мъ выражение (1) для
постоянных в пространстве М и Н и найдите М(Н). (Ь) Вычислите функцию
восприимчивости Хч(х~~У) = [dMi(x)/dHj(y)]\H=o и проинтегрируйте по
пространству.]
Из второго класса. — Прим. ред.
Глава V.4
Сверхпроводимость
Спаривание и конденсация
Когда некоторые материалы охлаждаются до температуры ниже
критической Тс, они внезапно становятся сверхпроводящими. Исторически
физики давно предполагали, что переход в сверхпроводящее состояние, как
и переход в сверхтекучее состояние, как-то связан с конденсацией Бозе-
Эйнштейна. Но электроны являются фермионами, а не бозонами, и
поэтому они вначале должны спариться с образованием бозонов, которые затем
конденсируются. Теперь мы знаем, что подобное общее представление
является, по существу, правильным. Электроны образуют куперовские пары,
конденсация которых отвечает за сверхпроводимость.
С блестящей проницательностью Ландау и Гинзбург поняли, что,
изучая поле (f(x), связанное с конденсирующимися бозонами, явление
сверхпроводимости можно достаточно хорошо понять и без знания детального
механизма, определяющего спаривание электронов с образованием
бозонов. По аналогии с ферромагнитным переходом, при котором
намагничивание М(х) в ферромагнетике внезапно меняется от нуля до ненулевого
значения при падении температуры ниже некоторого критического значения,
они предположили, что поле ip(x) становится отличным от нуля при
температурах ниже Тс. (В этой главе х обозначает только пространственные
координаты.) В статистической физике такие величины, как М(х) и <р(х),
которые изменяются при фазовом переходе, называют параметрами порядка.
Поле ср(х) имеет две единицы электрического заряда и поэтому
является комплексным. Теперь рассмотрение будет во многом таким же, как
в главе V.3, за исключением того, что д\^р надо заменить на D^ = (di —
— i2eAi)ip, поскольку поле ср заряжено. Следуя Ландау и Гинзбургу, а также
включая энергию внешнего магнитного поля, запишем свободную энергию
в виде уравнения
^=|^ + |АИ2 + вМ2 + |И4+..., (1)
316
Глава V.4
которое явно инвариантно относительно С/(1)-калибровочного
преобразования <р —> ег2еАц> и Аг —> Ai + diA. Как и прежде, требование равенства
коэффициента при \Ditp\2 единице эквивалентно выбору нормировки для (р.
Сходство между (1) и (IV.6.1) очевидно.
Эффект Мейсснера
Отличительной чертой сверхпроводимости является эффект
Мейсснера, когда проникающее сквозь вещество внешнее магнитное поле В
вытесняется из него при падении температуры ниже Тс. Это означает, что
постоянное магнитное поле внутри вещества энергетически невыгодно.
Действующие законы электромагнетизма в таком веществе при Тс должны
некоторым образом модифицироваться. Как правило, постоянное магнитное поле
требует затрат энергии порядка ~ B2V, где V — объем вещества.
Предположим, что плотность энергии меняется от стандартной В2 до А2 (где
V х А = В). Значение А увеличивается с расстоянием в постоянном
магнитном поле В, и поэтому полная энергия растет быстрее, чем V. Когда
вещество становится сверхпроводящим, для поддержания постоянного
магнитного поля необходимо так много дополнительной энергии, что
магнитное поле выгоднее вытеснить.
Заметим, что такой член, как А2 в эффективной плотности энергии,
сохраняет вращательную и трансляционную инвариантность, но нарушает
электромагнитную калибровочную инвариантность. Однако из главы IV.6
мы знаем, как нарушить калибровочную инвариантность.
Действительно, описанная там калибровочная теория U(l) и описанная здесь теория
сверхпроводимости, по существу, одинаковы и связаны виковским
поворотом.
Как и в главе V.3, предположим, что а ~ а\(Т - Тс), a b остается
положительным при температуре Т ~ Тс. Свободная энергия Т миними-
зируется выше Тс за счет <р — О, а ниже Тс за счет \(р\ = y/—a/b = v.
Все вышесказанное хорошо знакомо тем, кто знает, что калибровочное
поле приобретает массу при нарушении симметрии в калибровочной теории.
Из выражения (1) просто получаем
f=\F?j + (2ev)2A*+..., (2)
т. е. именно то, что необходимо для объяснения эффекта Мейсснера.
Сверхпроводимость 317
Лондоновская длина проникновения и длина
когерентности
Физически магнитное поле не резко уменьшается от некоторого
ненулевого значения вне сверхпроводника до нуля внутри него, а в пределах
некоторого характеристического масштаба длин, называемого лондонов-
ской длиной проникновения. Магнитное поле проникает в сверхпроводник
на глубину, немного большую масштаба длины I, что определяется
конкуренцией между энергией в магнитном поле F2j ~ (дА)2А2/12 и мейссне-
ровским членом (2ev)2A2 в (2). Так, Ландау и Гинзбург получили лондо-
новскую длину проникновения II ~ (1/ev) = (1/е)у/Ь/ — а.
Аналогично характеристический масштаб длин, в пределе которого
изменяется параметр порядка <р, известен как длина когерентности 1^. Ее
можно оценить приравнивая второй и третий члены в (1), например так:
(dtp)2 ~ ц>2/1ф и сир2, что дает длину когерентности порядка 1^ ~ 1/у/^а.
Объединяя все вместе, получаем
I ~ e
Заметим, что согласно главе IV.6 это есть просто отношение массы
скалярного поля к массе векторного поля.
Как говорилось выше, концепция спонтанного нарушения симметрии
пришла в физику элементарных частиц из физики конденсированных сред.
Намбу сыграл важную роль тем, что привнес понятие спонтанного
нарушения симметрии в сообщество специалистов по физике элементарных частиц
после того, как услышал в университете Чикаго доклад молодого Шриффе-
ра по теории сверхпроводимости Бардина-Купера-Шриффера.
Упражнения
V.4.I. Проварьируйте (1) чтобы получить уравнение для А, и более аккуратно
получите лондоновскую глубину проникновения.
V.4.2. Выведите более аккуратно выражение для длины когерентности.
(3)
Глава V. 5
Пайерлсовская неустойчивость
Невзаимодействующие прыгающие электроны
Появление уравнения Дирака и релятивистской теории поля для
твердого тела кажется поистине удивительным, но это на самом деле это
возможно.
Рассмотрим гамильтониан
H = -t^2(c]+iCj+c]cj+1), (1)
3
описывающий невзаимодействующие прыгающие электроны на 1-мерной
решетке (рис. V.5.1). Здесь Cj уничтожает электрон в узле j. Таким
образом, первый член описывает электрон, скачущий из узла j в узел j' +1 с
амплитудой t. Спиновые значки мы опустили. Это лишь простейшая модель
твердого тела; она хорошо изложена в фейнмановских лекциях по физике.
Выполняя Фурье-преобразование Cj = ^2 егказс(к) (где а — расстояние
к
между узлами), сразу же находим энергетический спектр е(к) = — 2t cos ка
(рис. V.5.2). Налагая периодическое граничное условие на решетку с
числом узлов N, получаем к = (27г/Na)n, где п — целое число от —1/2N до
1/2N. При N —> оо к становится непрерывной, а не дискретной
переменной. Как обычно, зона Бриллюэна определяется как — тт/а < к ^ тг/а.
Во всем вышеизложенном нет ничего релятивистского. В самом деле,
в нижней части спектра энергия (с точностью до несущественной
аддитивной постоянной) определяется как е(к) ~ 2t^(ka)2 = /c2/2meff. Электрон
распространяется нерелятивистски с эффективной массой raeff.
Теперь заполним систему электронами до некоторого ферми-уровня
ер (см. рис. V.5.2). Сосредоточим внимание на электроне вблизи ферми-по-
верхности и измерим его энергию от ер и импульс от +кр. Предположим,
что нас интересуют электроны, энергия которых мала по сравнению с
энергией ер, то есть Е = е — ер «С £f, а импульс которых мал по сравнению
Пайерлсовская неустойчивость
319
>ОГЧ
i-i
я-i
Рис. V.5.1
с кр, то есть р = к — кр<^кр. Эти электроны подчиняются линейному
закону дисперсии энергии Е = ^fP с ферми-скоростью г^р = (de/dk)\k=kF-
Обозначим поле, связанное с этими электронами, как фц9 где нижний
индекс означает, что электроны «движутся направо», что удовлетворяет
уравнению движения (d/dt + vpd/dx^R = 0.
elk)
а
2L
а
Рис. V.5.2
Аналогично электроны с импульсом порядка — кр подчиняются закону
дисперсии Е = —vpp. Обозначим поле, связанное с этими электронами,
как фь, где L означает «движение налево», что удовлетворяет уравнению
движения (d/dt — vpd/dx^L = 0.
Появление уравнения Дирака
Лагранжиан, объединяющий все это, имеет вид
£=<1+^>*+<|-^К
(2)
Вводя двухкомпонентное поле ф = I , 1, ф = ф^° = ф^оч и выбирая
единицы так, чтобы vp = 1, лагранжиан С можно записать в более ком-
320
Глава V.5
пактном виде
С = #+ (ft " аз^о)Ф = ^д^ ^
где 7° = 0"2 и 71 = i&\ удовлетворяют алгебре Клиффорда {7м, 7^} — 2#М1/.
Удивительно, что (1 + 1)-мерный лагранжиан Дирака появляется в
совершенно нерелятивистской ситуации!
Рис. V.5.3
Неустойчивость
Теперь перейдем к рассмотрению важного явления, известного как
пайерлсовская неустойчивость. Я буду вынужден использовать несколько
схематичный подход. Нет необходимости повторять, что это не учебник по
физике твердого тела, но в любом случае вам нетрудно будет восполнить
пробелы.
Пайерлс рассмотрел искажение решетки для случая, когда ион в
узле j смещен относительно своего равновесного положения на cos[q(ja)].
(Напоминает наш матрац из главы 1.1!) Искажение решетки с волновым
вектором q = 2кр соединяет электроны, имеющие импульс кр, с
электронами, имеющими импульс —кр. Другими словами, это искажение
соединяет электроны, движущиеся направо, с электронами, движущимися
налево, или яря с фь в соответствии с используемой здесь терминологией
теории поля. Поскольку электроны, движущиеся направо и налево, имеют
одинаковую энергию на ферми поверхности (а именно £р, что не ново),
имеем интересный случай теории возмущений при наличии вырождения
с\ ) ~М Л n J c собственными значениями ер ± 5. На поверхности
Ферми образуется щель. Здесь 5 является возмущением. Таким образом,
Пайерлс пришел к выводу, что спектр изменяется радикально и система
является нестабильной при возмущении с волновым вектором 2/cf-
Особенно интересная ситуация возникает, когда система наполовину
заполнена электронами (так что плотность равна одному электрону на
каждый узел — напомним, что электроны имеют спин, направленный вверх
или вниз). Другими словами, кр = тг/2а, и поэтому 2кр = тг/а.
Искажение решетки, которое показано на рис. V.5.3, имеет точно такой же волно-
Пайерлсовская неустойчивость
321
вой вектор. Пайерлс показал, что наполовину заполненная система будет
стремиться исказить решетку, удваивая элементарную ячейку. Поучительно
обратить внимание на то, как это физическое явление появляется в
теоретико-полевой формулировке.
Обозначим смещение иона в узле j как dj. В непрерывном пределе мы
должны заменить dj на скалярное поле. Покажем, что возмущение,
связывающееся и_0£, взаимодействует с фф и ф^ъф и что линейную
комбинацию фф и ф"у5ф киральным преобразованием можно всегда повернуть
к фф (см. упражнение V.5.I.). Таким образом, мы расширяем (3) до
С = fr-fd^ + \ [{dtipf - v2(dx<p)2] - |mV + 9чФ1> + ■■■ (4)
Вспомним, что в упражнении (IV.3.2) вы уже вычисляли эффективный
потенциал Kff((£>) такой (1 + 1)-мерной теории поля: Уе&((р) для малого ср
имеет вид (p2\og<p2, который превосходит член ^^2<р2. Таким образом,
симметрия ip —► —if динамически нарушается. Поле (р приобретает
вакуумное среднее, и ф становится массивным. Другими словами, в электронном
спектре образуется щель.
Упражнения
V.5.I. С учетом рассуждений, приведенных в главе II. 1, вы легко можете
увидеть, что пространство 2 х 2-матриц образовано четырьмя матрицами /, 7м
и 75 = 7°7: — 0"з- (Обратите внимание на своеобразное, но стандартное
обозначение 75) Убедитесь в том, что -(I ±j5) проецирует правые и левые
поля точно так, как в_(3 + 1)-мерном пространстве-времени. Покажите, что
в билинейном члене ф^ф левые поля связаны с_лсвыми полями, а правые
с правыми и что в скаляре фф и псевдоскаляре ф^ъф правые поля связаны
с левыми и наоборот. Наконец, обратите внимание, что при преобразовании
ф —> егв1 ф скаляр и псевдоскаляр обращаются друг в друга. Проверьте, что
это преобразование оставляет безмассовый лагранжиан Дирака (3)
инвариантным.
Глава V.6
Солитоны
Избавление от оков фейнмановских диаграмм
Я люблю говорить студентам, которым преподаю квантовую теорию
поля, что к середине 1970-х годов специалисты по теории поля начали
избавляться от оков фейнмановских диаграмм. Звучит это несколько
мелодраматично, но к тому времени фейнмановские диаграммы, благодаря их
впечатляющему успеху в квантовой электродинамике, доминировали
(возможно, даже слишком) в мышлении многих специалистов по теории поля.
В студенчестве мне даже говорили, что фейнмановские диаграммы
определяют квантовую теорию поля, что квантовые поля являются просто
«ломтиками оленины»1, которые использовали для выведения правил Фейнмана
и от которых надо отказаться, раз уже эти правила получены.
Превалировало мнение, что вряд ли имеет смысл записывать (р(х). Открытие
топологических солитонов навсегда опровергло это мнение, как мы сейчас увидим.
Малые колебания в сравнении со сгустками
Рассмотрим еще раз нашу любимую игрушечную модель С =
= ^(д(р)2 — V(ip) с пресловутым двухъямным потенциалом V(<p) = (А/4)х
x((p2—v2)2 в (1+1)-мерном пространстве-времени. Из главы IV.1 известно,
что из двух вакуумов (р = ±v нужно выбрать один и изучить относительно
него малые колебания. Итак, выберем один вакуум и запишем ip = v + х>
разложим С по х и изучим динамику х~мезона с массой /х = (2Xv2)1^2.
Тогда физика будет заключаться в квантованных соответствующим образом
волнах, колеблющихся вблизи вакуума v.
1 Гелл-Манн имел обыкновение говорить, что во Франции мясо фазана готовят между двумя
ломтиками оленины, которые затем выбрасывают. Он убедительно рекомендовал использовать
такой подход для извлечения и изучения алгебраической структуры квантовых теорий поля,
а затем от них избавляться.
Солитоны
323
Но это еще не все. Можно также иметь не зависящую от времени
конфигурацию поля с ip(x) (в этой и следующей главах х обозначает только
пространство, если из контекста не следует что-то другое), принимающую
значение —v, когда х —> —оо, и -И;, когда х —» +оо, и изменяющуюся от —v
до +v относительно некоторой точки xq на некотором масштабе длин Z,
как показано на рис. V.6.1a. [Заметим, что если рассматривать евклидов
вариант теории поля, определять временную координату как координату у
и считать ip(x,y) намагничиванием (как в главе V.4), то такая конфигурация
будет описывать «доменную стенку» в двумерной магнитной системе.]
+ V
V —
Ь Ч>
f
А)
X—*
(а)
А £
*Ь
/
(Ъ)
Рис. V.6.1
Рассмотрим энергию, приходящуюся на единицу длины,
■м-К1)Чс-">'
(1)
для конфигурации, которая изображена на рис. V.6.1b. Вдали от хо мы
находимся в одном из двух вакуумов, и плотность энергии отсутствует.
324
Глава V.6
Вблизи хо оба члена в е{х) вносят вклад в энергию или массу М =
— J dxe(x): член «пространственной вариации» (при несколько вольном
использовании терминологии часто называемый «кинетической
энергией») Jdxj?(dcp/dx)2 ~ l(v/l)2 ~ v2/l и член «потенциальной энергии»
f dx\((p2 — v2)2 ~ IXv4. Чтобы минимизировать полную энергию, член
пространственной вариации требует, чтобы масштаб / был большим, тогда
как член потенциала требует, чтобы I был малым. Конкуренция dM/dl = О
приводит к v2/I ~ IXv4, фиксируя таким образом I ~ (Аг>2)-1/2 ~ 1//х.
Масса получается равной ~ fj,v2 ~ ц(/л2/Х).
У нас есть сгусток энергии, распределенный по области длины /,
порядка комптоновской длины волны х-мезона. Вследствие трансляционной
инвариантности центр этого сгустка хо может находиться где угодно. Более
того, поскольку эта теория является лоренц-инвариантной, всегда можно
заставить сгусток двигаться с любой скоростью, какая нам нравится. По
аналогии с известной репликой из анналов американской политики («Она
ходит как утка, крякает как утка, так почему же, господин сенатор, вы не
хотите называть ее уткой?»), в нашем случае есть частица, называемая кин-
ком или солитоном, с массой ~ /i(/i2/A) и размером ~ I. Многие физики
представляют солитон как большой тяжело двигающийся объект, возможно,
из-за того, как он был открыт. Но как мы видели, размер солитона I ~ l/ji
можно сделать насколько угодно малым, увеличивая \х. Поэтому солитон
может выглядеть как точечная частица. В главе VI.3 мы вернемся к этому
вопросу при обсуждении дуальности.
Топологическая устойчивость
Хотя кинк и мезон имеют одинаковый размер, при малой Л кинк
намного тяжелее, чем мезон. Тем не менее кинк не может распасться на
мезоны, потому что, для того чтобы уничтожить кинк [например,
«поднимая» <р(х) выше потенциального барьера, чтобы изменить его от -\-v до —v
ддя х от некоторой точки > xq до +оо], требуется неограниченно много
энергии. Говорят, что кинк топологически устойчив.
Эта устойчивость формально гарантируется сохраняющимся током
J» = ±еГЬ„ (2)
с зарядом
+оо
Q= J dx J°(x) = i И+оо) - у>(-оо)].
—oo
Солитоны
325
Мезоны, которые представляют собой малые локализованные пакеты
колебаний в поле, явно имеют Q = О, тогда как кинк имеет Q = 1. Таким
образом, кинк не может распасться на кучу мезонов. Кстати, плотность
заряда J° = (l/2v)(dip/dx) локализована вокруг хо, где, как можно ожидать,
<р изменяется наиболее быстро.
Заметим, что равенство д^ JM = 0 сразу же следует из
антисимметричного символа e^v и не зависит от уравнения движения. Ток JM известен
как «топологический ток». Его существование следует не из теоремы Нётер
(глава 1.9), а из топологии.
Приведенные выше рассуждения также объясняют существование ан-
тикинка с Q = —1, который описывается конфигурацией с ср(—сю) = +v
и </?(+оо) = —v. Такое название оправданно, если рассмотреть
конфигурацию, изображенную на рис. V.6.2, содержащую кинк и антикинк,
расположенные друг от друга на большом расстоянии. Когда кинк и антикинк
сближаются, они, очевидно, могут проаннигилировать с образованием
мезонов, поскольку конфигурация, показанная на рис. V.6.2, и конфигурация
вакуума с (р(х) = +v повсюду разделены конечным количеством энергии.
г 1
Антикинк Кинк
Рис. V.6.2
Непертурбативное явление
То, что масса кинка оказывается обратно пропорциональной константе
связи Л, является явным признаком того, что теоретики-полевики могли
бы до изнеможения проводить вычисления в теории возмущений по Л, так
никогда не открыв кинк. Фейнмановские диаграммы не могли бы нам об
этом сообщить.
Массу кинка можно вычислить, минимизируя функционал
326
Глава V.6
где на последнем шаге выполнено очевидное масштабирование ф(х) —>
vf(y) и у = fix. Из масштабирования сразу же следует, что масса кин-
ка имеет вид М = а(/х2/Л)//, где а — безразмерное число. Эвристическая
оценка этой массы оказалась в высшей степени достоверной. Настоящую
функцию (р(х) и, следовательно, а можно вычислить с использованием
стандартных вариационных методов.
Неравенство Богомольного
Следует обратить внимание на то, что плотность энергии (1) есть
сумма двух квадратов. Используя а2 + Ь2 ^ 2|а6|, получаем
">1<\)"Ш*-АЧП¥-*$1
Приходим к изящному результату
AO|Q|
(3)
с массой М, измеряемой в единицах (4/Зл/2)^2/А). Это пример
неравенства Богомольного, которое играет важную роль в теории струн.
Упражнения
V.6.I. Покажите, что если <р(х) является решением уравнения движения, то
решением также является (р[(х — vt)/y/\ — v2].
V.6.2. Рассмотрите солитоны в так называемой теории синус-Гордона С =
— 7у(дф)2 — gcos(0ip). Найдите топологический ток. Является ли солитон
Q = 2 устойчивым?
V.6.3. Получите массу кинка прямым вычислением. Удовлетворяет ли она
неравенству Богомольного?
Глава V.7
Вихри, монополи и инстантоны
Вихри
Кинк является лишь простейшим примером большого класса
топологических объектов в квантовой теории поля.
Рассмотрим теорию комплексного скалярного поля в (2 + 1)-мерном
пространстве-времени С = dyfidip — A(<^V — v2)2 с теперь уже знакомым
потенциалом в форме сомбреро. С небольшими изменениями в
обозначениях она соответствует теории, которая используется для описания
взаимодействующих бозонов и сверхтекучих жидкостей. (Рассмотрим
релятивистский, а не нерелятивистский вариант теории; как будет видно, этот выбор
не связан с теми вопросами, которые здесь обсуждаются.)
Есть ли в этой теории солитоны, то есть объекты, подобные кинку?
Имея некоторую не зависящую от времени конфигурацию ip(x),
посмотрим, какую она имеет массу или энергию:
М= fd2x [ditpidup + Afo> V " у2)2] • (1)
Подынтегральное выражение является суммой двух квадратов, каждый из
которых должен дать конечный вклад. В частности, чтобы вклад второго
члена был конечным, величина </? должна стремиться к v при
пространственной бесконечности.
Однако требование конечной энергии не фиксирует фазу (р.
Используя полярные координаты (г, 0), рассмотрим анзац ip r->¥?> ve%e.
Записывая ср = ipi + iif2, легко видеть, что на бесконечности вектор (y?i,y?2) —
= v(cos 0, sin в) направлен радиально наружу. Вспомним приведенное в
главе Ш.5 определение тока Ji = 1(д^(р — ц^дгф) в бозонной жидкости.
На пространственной бесконечности поток закручивается, и поэтому такая
конфигурация называется вихрем.
Используя явное дифференцирование или анализ размерностей,
получаем dip ~ v(\/r) при г —> оо. Теперь посмотрим на первый член в М
и увидим, что энергия расходится логарифмически как v2 $ d2x(\/r2).
Можно ли решить эту проблему? Можно, если изменить теорию.
328
Глава V.7
Вихрь в трубках потока
Предположим, что мы калибруем теорию, заменяя д%ч> на D^ = д^ —
— ieAi<p. Теперь можно получить конечную энергию, требуя, чтобы два
члена в D^ сокращали друг друга, так что D^ip r~*°°> 0 быстрее, чем 1/г.
Другими словами, Ai r"^OQ> — (i/e)(l/\(p\2)(p^di^p. Сразу же получаем
Flux = f d2xF12 = idxiAi = Щ-, (2)
с
где С является бесконечно большой окружностью на
пространственной бесконечности; здесь использована теорема Стокса. Таким образом,
в £/(1)-калибровочной теории вихрь несет магнитный поток, обратно
пропорциональный заряду. Говоря «магнитный», я полагаю, что А
представляет собой электромагнитное калибровочное поле. Рассматриваемый здесь
вихрь появляется в виде трубки потока в так называемых сверхпроводниках
II рода. Следует отметить, что эта квант потока (2) в литературе по физике
конденсированных сред обычно записывается в неестественных единицах,
в виде
Фо = ^, (3)
очень удачно объединяя три фундаментальные константы Природы.
Гомотопические группы
Поскольку пространственная бесконечность в двухмерном
пространстве соответствует топологически единичной окружности S1 и поскольку
конфигурация поля с \ср\ = v также образует окружность 51, это граничное
условие может быть представлено как отображение S1 —> 51. Поскольку
такое отображение нельзя гладко преобразовать к тривиальному
отображению, в котором 51 отображается на точку в 51, соответствующая
конфигурация поля действительно является топологически устойчивой.
(Представьте, что виток струны оборачивается вокруг кольца.)
С математической точки зрения отображения Sn в многообразие М
классифицируются гомотопической группой ПП(М), которая подсчитывает
число топологически неэквивалентных отображений. Вы можете
познакомиться с гомотопическими группами для различных многообразий по
таблицам1. В частности, для п ^ 1 ПП(5П) = Z, где Z — математическое
!См. таблицы 6.V и 6.VI в энциклопедическом словаре S. Iyanaga and Y. Kawada, eds..
Encyclopedic Dictionary of Mathematics, p. 1415.
Вихри, монополи и инстантоны
329
обозначение множества всех целых чисел. Простейший пример Ili(51) =
= Z доказывается почти сразу путем представления отображений в виде
(р ——> уегтв, где т — любое целое число (положительное или
отрицательное). Для удобства можно использовать наш контекст и обозначения.
Ясно, что это отображение оборачивает одну окружность вокруг другой т
раз.
Язык гомотопических групп используется не только для того, чтобы
произвести на людей впечатление, но и служит унифицированным языком
при обсуждении топологических солитонов. Действительно, оглядываясь
назад, вы теперь понимаете, что кинк является физическим проявлением
По(5°) = Z2 (поскольку 0-мерная сфера 5° = {+1,-1} состоит только из
двух точек и топологически эквивалентна пространственной бесконечности
в одномерном пространстве).
Ежи и монополи
Если все предыдущее усвоено, можно перейти к (3 + 1)-мерному
пространству-времени. Пространственная бесконечность теперь
топологически является S2. Вы уже представляете, что если скалярное поле
существует на многообразии М, то на бесконечности получаем отображение
S2 —> М. Простейший вариант заключается в том, чтобы взять S2 для М.
Поэтому перейдем к скалярным полям (ра (а = 1,2,3), которые
преобразуются как вектор (р для группы внутренней симметрии О(З) и описываются
лагранжианом С = \дф • д(р — V(0 • ф). (У вас не должно возникнуть
путаницы при использовании стрелки для обозначения вектора в группе
внутренней симметрии.)
Выберем V = Xf^p2 — v2)2. Ход событий разворачивается здесь во
многом так же, как в случае с вихрем. Чтобы масса независимой от времени
конфигурации
M = y>x[|(c^)2 + A(Y?2-&2)2] (4)
была конечной, необходимо, чтобы \ф\ = v на пространственной
бесконечности, так что ф(г = оо) действительно существует на S2.
Тождественное отображение S2 —► S2 указывает на то, что нужно
рассмотреть такую конфигурацию, для которой
а г—>оо ха /г\
Ч> > V—. (5)
На первый взгляд это уравнение выглядит несколько странно, поскольку
в нем одновременно участвует индекс группы внутренней симметрии с ин-
330
Глава V. 7
дексом пространственных координат (но фактически мы уже сталкивались
с этим явлением в вихре). На пространственной бесконечности поле ф
направлено радиально наружу, поэтому такую конфигурацию образно
называют «еж». Нарисуйте ее, если не можете представить!
Как и в случае с вихрем, условие конечности первого члена в (4)
заставляет ввести 0(3)-калибровочное поле Ab^, с тем чтобы можно
было заменить обычную производную дг(ра на ковариантную производную
Di<pa = дцра + ееаЬсА$ч>с. Тогда можно сделать так, чтобы Diipa
обращалось в нуль на бесконечности. Используя обычную арифметику, можно
показать, что для уравнения (5) калибровочный потенциал должен вести
себя как
А\^*\еы^. (6)
Представьте себя в лаборатории на пространственной бесконечности.
Поле ф внутри этой довольно небольшой лаборатории ориентировано в
разных точках приблизительно в одном направлении. Калибровочная
группа 0(3) нарушена до 0(2) ~ U(l). В этой лаборатории
экспериментаторы наблюдают за связанным с 17(1) безмассовым калибровочным полем,
которое они вполне могут назвать электромагнитным полем («крякает как
утка»). Действительно, калибровочно-инвариантное тензорное поле
т - F^a еоУ(адь(адс ,7v
""- М еМ8 ()
можно отождествлять с электромагнитным полем (см. упражнение V.7.5).
Электрического поля нет, поскольку такая конфигурация не зависит
от времени и Aq = 0. Можно получить только магнитное поле В, которое
сразу вычисляется, поскольку известен А%, но уже в силу симметрии видно,
что поле В может быть ориентировано только в радиальном направлении.
Это и есть легендарный магнитный монополь, впервые
постулированный Дираком!
Существование магнитных монополей в спонтанно нарушенной
калибровочной теории было открыто 'т Хоофтом и Поляковым. Если вычислить
полный магнитный поток, исходящий из монополя J dS • В (где dS, как
обычно, обозначает малый элемент поверхности на бесконечности, с
нормалью, ориентированной наружу), можно убедиться, что он квантован в
соответствующих единицах точно так, как должно быть по утверждению
Дирака (вспомним главу IV.4).
Вихри, монополи и инстантоны
331
Можно вновь записать неравенство Богомольного для массы монополя
М = j d3x[|(i^)2 + |(A<^)2 + V(0)]. (8)
[Fij преобразуется как вектор относительно 0(3); вспомним
выражение (IV.5.17).] Обратите внимание, что
\(Fij? + \{РгФ? = \{Fij ± eijkDk0)2 т \ецк^ • Dk<p.
Таким образом,
М ^ Jtfx^eijkFij • Dk$+ V($j\. (9)
Далее заметим, что выражение
/ cfix-SijkFij • Dk<f = / d3x-eijkdk(Fi:i • ф) = v dS • В = 4тгуд
имеет изящную интерпретацию в терминах магнитного заряда д монополя.
Кроме того, если можно отбросить У(ф), сохраняя при этом \<р\ г~*°°> v,
то неравенство М ^ 47гг;|<7| насыщается F^ = ±6ijkDk(f. Решения этого
уравнения известны как состояния Богомольного-Прасада-Зоммерфельда
(или БПС-состояния).
Нетрудно построить электрически заряженный магнитный монополь,
называемый дионом. Для этого просто берется Aq = (xb/r)f(r) с
некоторой подходящей функцией /(г).
Замечательной особенностью топологического монополя является то,
что его масса оказывается равной ~ Mw/& ~ 137Mw (упражнение V.7.11),
где М\у обозначает массу промежуточного векторного бозона слабого
взаимодействия. В главе VI 1.2 мы отчасти предвидели, что калибровочный
бозон, который в главе IV.6 становится массивным вследствие
механизма Андерсона -Хиггса, можно отождествить с промежуточным векторным
бозоном. Это естественно объясняет, почему такой монополь еще не был
обнаружен.
Инстантон
Рассмотрим неабелеву калибровочную теорию и осуществим поворот
в интеграле по траекториям Z = f DAe~s^ в четырехмерное евклидово
332
Глава V.7
пространство. Мы могли бы определить Z в приближении наискорейшего
спуска, для которого необходимо найти экстремум
S(A)= [d4x^trFa„F^
J 2gz
с конечным действием. Это означает, что на бесконечности \х\ = оо
множитель F^v должен убывать быстрее, чем 1/|ж|2, и поэтому
калибровочное поле Лм должно быть чистой калибровкой: А = gdg^ для элемента
калибровочной группы д [см. выражение (IV.5.6)]. Конфигурации, для
которых это условие имеет место, называют инстантонами. Мы видим, что
инстантон является еще одним звеном в «великой цепи существования»:
ки н к-вихрь-монопо ль-инстантон.
Выберем для определенности калибровочную группу SU(2). В
параметризации д = Х4 + ix • а по определению имеем д^д = 1 и det g = I, что
означает х\ + х2 = 1. Мы знаем, что групповым многообразием SU(2)
является S3. Таким образом, в инстантоне калибровочный потенциал на
бесконечности A r~*°°<, gdg^ + 0(1/|х|2) определяет отображение S3 —> S3.
Не кажется ли это знакомым? Действительно, вы уже знаете, какую роль
в теории поля играют 5° -* 5°, S1 -> S\ S2 -> S2.
Напомним, что согласно главе IV.5 tr F2 = dtr(AdA + ^А3).
Соответственно
JtrF2=jtx(AdA+\A3) = j tx(AF-\A3) =-± J tr(gdg1)3, (10)
s3 s3 s3
где использован тот факт, что F обращается в нуль на бесконечности. Это
условие явно показывает, что JtrF2 зависит только от гомотопии
отображения 53 —> 53, определяемого д, и, следовательно, является
топологической величиной. Кстати, / tr(gdg^)3 известен математикам как индекс
S3
Понтрягина (см. упражнение V.7.13).
В главе IV.7 упоминалось, что на киральную аномалию не влияют
квантовые флуктуации более высоких порядков. Теперь у вас есть
возможность привести изящное топологическое доказательство этого утверждения
(упражнение V.7.13).
Переход Костерлица-Таулесса
Мы немного поспешили отказаться от вихря в некалиброванной
теории С = dtp^dtp — \(<p*ip — v2)2 в (2 -f 1)-мерном пространстве-времени.
Вихри, монополи и инстантоны
333
Вокруг вихря поле имеет вид у? ~ г>е , и, как мы уже отмечали, энергия
одиночного вихря расходится логарифмически. Но что происходит с
вихрем в паре с антивихрем?
Изобразим вихрь и антивихрь, разделенные расстоянием Я, большим
по сравнению с масштабами расстояний в теории. Вокруг антивихря поле
имеет вид </? ~ уе~гв. Поле ip наматывается вокруг вихря в одном
направлении, а вокруг антивихря в другом направлении. Сделав рисунок, убедитесь
в том, что на пространственной бесконечности поле <р вовсе не
наматывается: оно лишь стремится к фиксированному значению. Наматывание в одном
направлении компенсирует наматывание в другом направлении.
Таким образом, конфигурация, состоящая из пары вихрь-антивихрь,
не требует затрат бесконечной энергии. Однако она требует затрат
конечного количества энергии. На самом деле в области между вихрем и
антивихрем поле (р наматывается примерно в два раза быстрее (что
видно по рисунку). Следовательно, приблизительная оценка энергии имеет
вид v2 j d2x(l/r2) ~ v2\og(R/a) после интегрирования по области
размером R, относящейся к физической шкале в задаче. (Чтобы задача имела
смысл, разделим R на размер вихря а.) Вихрь и антивихрь притягиваются
друг к другу логарифмическим потенциалом. Другими словами,
конфигурация не может быть статической. Вихрь и антивихрь стремятся встретиться
и «в пылком объятии» уничтожить друг друга, высвободив конечное
количество энергии v2 log(R/a). (Отсюда название антивихрь.)
Все это происходит при нулевой температуре, но в физике
конденсированных сред нас интересует свободная энергия F = Е — TS (с
энтропией S) при некоторой температуре Т, а не энергия Е. Принимая это во
внимание, Костерлиц и Таулесс открыли, что при росте температуры
происходит фазовый переход. Рассмотрим газ вихрей и антивихрей при
некоторой ненулевой температуре. Из-за теплового перемешивания движущиеся
вокруг вихри и антивихри могут или найти, или не найти друг друга.
Если находят — аннигилируют. Насколько высокой должна быть температура,
чтобы это произошло?
Сделаем эвристическую оценку. Рассмотрим одиночный вихрь.
Согласно Больцману, энтропией является логарифм «числа» способов,
которыми мы можем поместить вихрь внутрь коробки размером L (устремим
его в бесконечность). Таким образом, S ~ \og(L/a). Энтропия S должна
бороться с энергией Е ~ v2 \og(L/a). Легко видеть, что свободная энергия
F ~ (v2 — Т) log(L/a) стремится к бесконечности, если Т < v2, которую
мы определяем, по существу, как критическую температуру Тс.
Одиночный вихрь не может существовать при температуре ниже Тс.
Вихри и антивихри тесно связаны при температуре ниже Тс, но
высвобождаются при температуре выше Тс.
334
Глава V.7
Черная дыра
Открытие в 1970-е годы таких топологических объектов, которые
нельзя увидеть в теории возмущений, потрясло поколение физиков,
воспитанных на фейнмановских диаграммах и каноническом квантовании. Их
(включая вашего покорного слугу) учили, что оператор поля tp(x) является
сингулярным квантовым оператором и как таковой он не имеет
физического смысла, а также тому, что квантовая теория поля определяется по теории
возмущений фейнмановскими диаграммами. Даже очень известные физики
в недоумении вопрошали, что бы могла означать запись типа <р г~>°°> уегв?
Научные дискуссии, которые велись в прошлом, теперь не имеют
никакого значения. Как сказано во введении к главе V.6, я люблю называть этот
исторический процесс «избавлением теоретиков-полевиков от оков
фейнмановских диаграмм».
Следует упомянуть один аргумент, который в то время использовали
физики, чтобы убедить себя в существовании солитонов. В конце концов,
черная дыра Шварцшильда, определяемая метрикой дци{х) (см. главу 1.10),
известна с 1916 года. Что собой представляют компоненты метрики д^и{х)?
Этими компонентами являются поля, точно так же как полями являются
скалярное поле (р(х) и калибровочное поле А^(х). В квантовой теории
гравитации g^v надо заменить на квантовый оператор, такой как сриАц. Итак,
объекты, открытые в 1970-е годы, концептуально не отличаются от черной
дыры, известной в 1910-е годы. Но в начале 1970-х годов большинство
теоретиков, занимающихся физикой элементарных частиц, не были особенно
сведующими в квантовой гравитации.
Упражнения
V.7.I. Объясните связь между математическим утверждением По(5°) = Zi и
физическим результатом, согласно которому кинки с \Q\ ^ 2 не существуют.
V.7.2. Изучите в вихре масштабы длин, на которых меняются поля у> и А. Оцените
массу вихря.
V.7.3. Рассмотрите конфигурацию вихря, в которой ip r~* > vetu9, где v — целое
число. Вычислите магнитный поток. Покажите, что магнитный поток,
исходящий из антивихря (для которого v = —1), направлен противоположно
магнитному потоку, исходящему из вихря.
V.7.4. Поскольку с математической точки зрения д(9) = еги9 можно
рассматривать как элемент группы U(l), мы можем говорить об отображении S1
(окружности на пространственной бесконечности) на группу U(l).
Вычислите {г/2-к) j gdg\ показывая тем самым, что степень отображения опре-
деляется этим интегралом от 1-формы.
Вихри, монополи и инстантоны
335
V.7.5. Покажите, что в области, где (ра постоянно, определенный в тексте Т^
является напряженностью электромагнитного поля. Вычислите В вдали от
центра магнитного монополя и покажите, что имеет место квантование
Дирака.
V.7.6. Постройте явно отображение S2 —► S2, которое дважды оборачивает одну
сферу вокруг другой. Проверьте, что это отображение соответствует
магнитному монополю с магнитным зарядом 2.
V.7.7. Запишите вариационные уравнения, которые минимизируют (8).
V.7.8. Найдите явно решение БПС.
V.7.9. Рассмотрите дионное решение. Получите его в БПС-пределе.
V.7.10. Проверьте явно, что магнитный монополь является инвариантным
относительно вращений, несмотря на внешние различия. Под этим
понимается, что все физические калибровочно-инвариантные величины, такие
как В, при вращении ковариантны. Калибровочно-зависимые величины,
такие как Ai, при вращении могут и действительно изменяются. Выпишите
генераторы вращения.
V.7.11. Покажите, что масса магнитного монополя составляет примерно 137Mw-
V.7.12. Вычислите п = -(1/247Г2) / tT(gdg^)3 для отображения д = егвэ.
[Указание: по симметрии надо вычислить подынтегральное выражение
лишь в малой окрестности единичного элемента группы, т.е., что
эквивалентно, в окрестности северного полюса S3. Далее рассмотреть д =
— ег(В1а1+в2а2-\-т03(7з) ддя целого ЧИСЛа 771 И убвДИТЬСЯ, ЧТО 771 СООТВеТ-
ствует числу намоток S3 вокруг 53.] Сравните с упражнением V.7.4 и
восхититесь красотой математики.
V.7.13. Докажите, что поправки более высокого порядка не меняют киральную
аномалию d^Jg = [1/(41г)2]е^иХ<Т txF^vF\a (я изменил масштаб А —>
(1/д)А). [Указание: проинтегрируйте по пространству-времени и покажите,
что левая часть определяется числом правых фермионных мод минус число
левых фермионных мод, так что обе части даются целыми числами.]
Часть VI
Теория поля и конденсированные
среды
Глава VI. 1
Дробная статистика, член Черна-
Саймонса и топологическая теория поля
Дробная статистика
Существование бозонов и фермионов является одним из наиболее
фундаментальных свойств квантовой физики. Если поменять местами две
тождественные квантовые частицы, у волновой функции появляется
множитель, равный либо +1, либо —1. Лейнаас и Мирхейм, а затем Вильчек
независимо друг от друга поняли, что в (2 + 1)-мерном пространстве-времени
частицы могут тоже подчиняться так называемой дробной, или анионной,
статистике, отличной от бозе- или ферми-статистики. Такие частицы теперь
известны как анионы.
Чтобы поменять местами две частицы, можно переместить одну из них
на пол-оборота вокруг другой, а затем сдвинуть их соответствующим
образом. Если один анион повернуть на пол-оборота вокруг другого аниона
против часовой стрелки, то волновая функция приобретет множитель егв,
где в — характерное для частицы действительное число. Для в = О
получаем бозоны, а для в = 7г — фермионы. Частицы с в = 7г/2 в середине между
бозонами и фермионами известны как семионы.
После выхода статьи Вильчека многие именитые физики старшего
поколения были очень озадачены. Рассуждая в терминах волновой функции
Шредингера, они погрузились в бесконечные споры о том, должна ли эта
волновая функция быть однозначной. Действительно, анионная статистика
дает поразительный пример того, насколько формализм интеграла по
траекториям в некоторых случаях оказывается прозрачнее. Понятие анионной
статистики можно сформулировать с помощью волновых функций, но для
этого необходимо хорошо представлять конфигурационное пространство,
на котором определена волновая функция.
Рассмотрим две неразличимые частицы в положениях ж| и хг2 в
некоторый начальный момент времени, которые через время Т
оказываются в положениях х[ и х*2. В представлении интеграла по траектори-
340
Глава VI. 1
ям для (х{,Х2\е~гНТ\х\,хг2) суммировать нужно по всем траекториям.
В пространстве-времени мировые линии этих двух частиц переплетаются
(см. рис. VI. 1.1). (Мы неявно допускаем, что частицы не могут проходить
друг сквозь друга, что соответствует случаю сильного отталкивания между
ними.) Очевидно, что траектории можно разделить на топологически
различные классы, характеризующиеся целым числом п, равным тому, сколько
раз мировые линии двух частиц оплетают друг друга. Так как эти классы
не могут деформироваться друг в друга, соответствующие амплитуды не
могут интерферировать квантово-механически, но нам позволено в каждом
классе ставить в соответствие этим амплитудам добавочный фазовый
множитель еШг', помимо обычного множителя, связанного с действием.
*: ~х
Рис. VI. 1.1
Зависимость ап от п определяется композицией квантовых амплитуд.
Представим, что одна частица перемещается вокруг другой на угол А<р\;
этому событию мы ставим в соответствие добавочный фазовый множитель
eif(A<pi)^ где j _ пока еще неизвестная функция. Допустим, что за этим
событием следует другое, в котором та же частица перемещается вокруг
другой на дополнительный угол Ду?2- Фазовый множитель ег/(д<Р1+А^2)?
который ставится в соответствие комбинированному событию, явно должен
удовлетворять закону композиции е*/(д¥>1+д¥>а) _ е»/(Д¥>1)ег/(д^2)в
Другими словами, f(Aip) должна быть линейной функцией своего аргумента.
Мы приходим к выводу, что в (2 + 1)-мерном пространстве-времени
фазовый множитель е^ЛОД^ где в — произвольный вещественный па-
»
я
Дробная статистика, член Черна - Саймонса 341
раметр, можно ассоциировать с квантовой амплитудой, соответствующей
траекториям, по которым одна частица перемещается вокруг другой против
часовой стрелки на угол Aip. Заметим, что когда одна частица
перемещается вокруг другой по часовой стрелке на угол Д<р, квантовая амплитуда
-г-А
приобретает фазовый множитель е г?г ^.
Если менять местами два аниона, необходимо быть внимательными
и следить за тем, выполняется это перемещение «против часовой
стрелки» или «по часовой стрелке», поскольку при этом появляются
множители егв или е~гв соответственно. Такая ситуация сразу указывает на то, что
нарушается четность Р и инвариантность относительно обращения
времени Г.
Теория Черна-Саймонса
Следующий важный вопрос заключается в том, можно ли все
вышесказанное включить в локальную квантовую теорию поля. Ответ был дан
Вильчеком и Зи, которые показали, что дробная статистика может вытекать
из эффекта взаимодействия с калибровочным полем. Важность
формулировки теории поля заключается в том, насколько убедительно она
демонстрирует, что понятие анионной статистики полностью совместимо с
дорогими нашему сердцу принципами, которыми мы дорожим и которые
являются элементами конструкции квантовой теории поля.
Имея лагранжиан Cq с сохраняющимся током j**, построим лагранжиан
С = Со + -уе^а^ах + а^. (1)
Здесь e^vX обозначает полностью антисимметричный символ в (2 + 1)-мер-
ном пространстве-времени, а 7 является произвольным вещественным
параметром. При калибровочном преобразовании а^ -^ а^ + д^А член
е^ха^диа\, известный как член Черна-Саймонса, изменяется следующим
образом: е^ха11диа\ —> e^vXa^dua\-\-€lll/XdljLKdva\. Действие меняется на
5S = 7/d3x е(Л1уХд^(Ад1/ах), и поэтому, если можно отбросить граничные
члены (что мы полагаем здесь корректным), действие Черна-Саймонса ка-
либровочно-инвариантно. Заметим в этой связи, что на языке
дифференциальных форм, который известен нам из глав IV.5 и IV.6, член Черна-
Саймонса можно компактно записать как ada.
Теперь решим уравнение движения, полученное из (1):
2<уе*и'хд„ах = -f
(2)
342
Глава VI. 1
для частицы, находящейся в состоянии покоя (так что ji = 0). Интегрируя
/и, = 0 компоненту уравнения (2), получаем
Jd2x(dlCL2 ~ fcei) = -l.Jd2XJ°.
(3)
Таким образом, член Черна-Саймонса выполняет в теории роль снабжения
заряженных частиц потоком. (Здесь термин «заряженные частицы»
означает частицы, которые взаимодействуют с калибровочным полем ад. В
данном контексте понятно, что, ссылаясь на заряд и поток, мы, конечно, не
имеем в виду заряд и поток, связанные с обычным электромагнитным
полем. Мы лишь заимствуем полезную терминологию.)
В соответствии с эффектом Ааронова-Бома (глава IV.4), когда одна из
таких частиц движется вокруг другой, волновая функция приобретает фазу,
наделяя таким образом частицы анионной статистикой с углом в = 1/47
(см. упражнение VI. 1.5).
Строго говоря, термин «дробная статистика» несколько вводит в
заблуждение. Во-первых, сделаем тривиальное замечание, согласно которому
параметр статистики в не должен быть дробным. Во-вторых, статистика
непосредственно не связана с подсчетом того, сколько частиц можно
поместить в одно состояние. Статистику анионов, пожалуй, лучше представить
как дальнодействующее фазовое взаимодействие, обусловленное
калибровочным полем а.
Появление e^vX в (1) свидетельствует о нарушении четности Р и
инвариантности относительно обращения времени Т, что нам уже известно.
Член Хопфа
Альтернативный подход заключается в интегрировании по а в (1).
В главе Ш.4 мы говорили, что, как и в любой калибровочной теории,
оператор, обратный дифференциальному оператору ед, не определен. Он имеет
нулевую моду, так как {e^vXdv){d\F{x)) = 0 для любой гладкой функции
F(x). Выберем калибровку Лоренца 9дам = 0. Тогда, используя
фундаментальное тождество теории поля (см. приложение А), получаем нелокальный
лагранжиан
£ноРг=^ у»-&~ку (4)
известный как член Хопфа.
Чтобы определить статистический параметр в, рассмотрим событие,
когда одна частица перемещается на пол-оборота вокруг другой частицы,
Дробная статистика, член Черна-Саймонса
343
находящейся в состоянии покоя. Тогда ток j равен сумме двух слагаемых,
описывающих две частицы. Подставляя в (4), вычисляем квантовую фазу
eiS _ eifd3xLHop{ и поддаем Q = А_
Топологическая теория поля
В чистой теории Черна-Саймонса есть нечто концептуально новое.
S = j fd3xe^xa^dl/ax. (5)
м
Она топологическая.
Напомним, что, как описано в главе 1.10, теорию поля для
плоского пространства-времени можно немедленно обобщить до теории поля
в искривленном пространстве-времени путем замены метрики Минковско-
го rfv на метрику Эйнштейна д^и и включения множителя л/~# в меру
интегрирования по пространству-времени.
Но в теории Черна-Саймонса rfv не появляется! Лоренцевские
индексы сворачиваются с полностью антисимметричным символом e^vX.
Более того, покажем, что множитель у/^д не нужен. Вспомним также, что,
как говорилось в главе 1.10, векторное поле преобразуется как ам(х) =
= {dxfX / дх' ^)а'х{х'), и поэтому для трех векторных полей
e^\^x)bv{x)cKx)=e^^^^a'a{x')b'T(x')c'p{x') =
= йе^)е^а'Лх')Ь'Лх')с'р{х').
С другой стороны, d3x' = d3x &et(dx'/дх). Тогда имеет место соотношение
d3xe^xa^{x)bl/{x)cx(x) = d3x'е^Ра'^х'^хУ^х'),
которое инвариантно без использования множителя у/—д.
Итак, действие Черна-Саймонса в (5) инвариантно относительно
общего координатного преобразования — оно уже написано для
искривленного пространства-времени. Метрика g^v никуда не входит. Для построения
теории Черна-Саймонса не нужны часы и линейки! Ей известна лишь
топология пространства-времени, поэтому ее правильно называют
топологической теорией поля. Другими словами, когда интеграл в (5) вычисляется
344
ГЛАВА VI. 1
по замкнутому многообразию М, свойство теории поля f DaelS^ зависит
только от топологии многообразия, а совсем не от метрики, которое можно
оснастить это многообразие.
Вырождение основного квантового состояния
Напомним приведенное в главе 1.10 основное определение энергии
и импульса. Тензор энергии-импульса определяется вариацией действия
относительно дц", но смотрите-ка, здесь действие не зависит от д^.
Тензор энергии-импульса, а значит, и гамильтониан тождественно равны нулю!
Из этого следует только один вывод: чтобы определить гамильтониан, нам
нужны часы и линейки.
Что означает для квантовой системы иметь гамильтониан Н = 0?
Когда после курса квантовой механики на экзамене надо было решить задачу
нахождения спектра для нулевого гамильтониана, мы легко могли это
сделать! Все состояния имеют энергию Е = 0. Мы готовы сдавать экзамен!
Однако нетривиальная задача заключается в том, чтобы найти,
сколько существует состояний. Их число известно как вырождение основного
состояния и зависит только от топологии многообразия М.
Массивные дираковские ферм ионы и член Черна-
Саймонса
Рассмотрим калибровочное поле ам, связанное с массивным дираков-
ским фермионом в (2 + 1)-мерном пространстве-времени: С = ip(ift + ф —
— т)ф. Решая ранее задачу из главы ИЛ, вы узнали о довольно
удивительном явлении, что в (2 + 1)-мерном пространстве-времени дираковский
массовый член нарушает Р и Т. Таким образом, мы рассчитываем
сгенерировать нарушающий Р и Т член Черна-Саймонса e^vXa^d\av
интегрированием по фермионам и получить в результате член tr log(^) + ф — m)
в эффективном действии. Аналогичным образом мы поступали в главе IV.3.
В однопетлевом порядке есть диаграмма поляризации вакуума
(графически подобная диаграмме из главы III.7, но содержащая на одно измерение
меньше в пространстве-времени) с интегралом Фейнмана,
пропорциональным
/|И7">^^)- (6)
Как мы увидим, замена 4 —> 3 все меняет в этом мире. Я предлагаю вам
самостоятельно вычислить (6) (упражнение VI. 1.7), лишь отмечу явно вы-
Дробная статистика, член Черна-Саймонса 345
раженные здесь особенности. Так как 9л в члене Черна-Саймонса
соответствует q\ в импульсном пространстве, то для определения
коэффициента члена Черна-Саймонса необходимо продифференцировать (6) по q\
и устремить q —► 0:
J (27г)3 V ф — т ф — т ф — т)
-I
(2^f (p2 - m2)3
(7)
Я сосредоточу внимание только на одной части интеграла, которая
обуславливается членом в следе, пропорциональном га3:
***/*£??■ (8>
Как отмечено в упражнении И. 1.11, в (2 + 1)-мерном
пространстве-времени 7м являются тремя матрицами Паули, и поэтому след у^лу
пропорционален е^иХ. Антисимметричный символ появляется, как и ожидалось,
в результате нарушения Р и Т.
Из размерного анализа следует, что интеграл в (8) равен 1/т3 с
точностью до безразмерной постоянной, и поэтому га сокращается.
Но будьте внимательны! Этот интеграл зависит только от га2 и
ничего не знает о знаке га. Корректным будет сказать, что он пропорционален
1/|т|3, а не 1/т3. Таким образом, коэффициент члена Черна-Саймонса
равен m3/|m|3 = т/\т\ = знаку га с точностью до безразмерной
постоянной. Это поучительный пример, демонстрирующий важность знака!
Полученный результат имеет смысл, поскольку при Р (или Т) дираковское поле
с массой га преобразуется в дираковское поле с массой —га. В
инвариантной относительно четности теории с дублетом дираковских полей,
имеющих массы га и —га, член Черна-Саймонса не должен генерироваться.
Упражнения
VI. 1.1. Можно считать, что в нерелятивистской теории есть два разных члена
Черна-Саймонса — eijdidodj и eijCLididj. Покажите, что калибровочная
инвариантность заставляет эти два члена собираться в один член
Черна-Саймонса £^vXa^duCL\. Для члена Черна-Саймонса калибровочная
инвариантность означает лоренц-инвариантность. В отличие от этого, член
Максвелла будет в общем случае нерелятивистским, состоящим из двух членов /^
346
Глава VI. 1
и fij с произвольным коэффициентом отношения между ними (с /м„ =
= д^аи — dvCiy., как обычно).
VI. 1.2. Исходя из соображений размерности, убедитесь, что на больших
расстояниях член Черна-Саймонса доминирует над членом Максвелла. Это
одна из причин, по которой специалисты в области релятивистской теории
поля находят анионные жидкости столь привлекательными. Пока их
интересует только физика больших расстояний, они могут не учитывать член
Максвелла и заниматься релятивистской теорией (см. упражнение VI. 1.1).
Заметьте, что в такой ситуации (2 + 1)-мерное пространство-время
выделяется как особое. В (3 4- 1)-мерном пространстве-времени обобщение
члена Черна - Саймонса е^иХет f^ufxa имеет такую же размерность, как и член
Максвелла /2. В (4-Ы.)-мерном пространстве на больших расстояниях член
ЕР^иХаapfy,v fxa менее важен, чем член Максвелла /2.
VI. 1.3. Существует обобщение члена Черна - Саймонса на пространство-время
с большей размерностью, которое отличается от приведенного в
упражнении VI. 1.2. Мы можем ввести калибровочный потенциал р-формы (см.
главу IV.4). Запишите обобщенный член Черна - Саймонса в (2р +
^-мерном пространстве-времени и обсудите полученную теорию.
VI. 1.4. Рассмотрите лагранжиан С = ^еада — (1/4р2)/2. Вычислите пропагатор
и покажите, что калибровочный бозон массивен. Некоторые физики,
озадаченные дробной статистикой, приводили следующий довод: поскольку
при наличии члена Максвелла калибровочный бозон является массивным
и поэтому короткодействующим, он вряд ли может генерировать дробную
статистику, которая явно является взаимодействием на бесконечно большом
расстоянии. (Независимо от того, насколько удалены друг от друга
меняющиеся местами две частицы, волновая функция все равно приобретает
фазу.) Проблема разрешается исходя из того, что информация на самом деле
распространяется на бесконечно большое расстояние через полюс q = О,
связанный с калибровочной степенью свободы. Именно этот явный
парадокс оказался причиной замешательства многих физиков, когда они
впервые услышали об эффекте Ааронова - Бома. Как может произвольно далекая
от магнитного потока частица в области, где совсем нет магнитного поля,
знать о существовании магнитного потока?
VI. 1.5. Покажите, что 0 = 1/47- Здесь есть один хитрый множитель1 2. Поэтому
не отчаивайтесь, если потеряете множитель 2. Попробуйте решить задачу
еще раз.
VI. 1.6. Найдите неабелеву версию члена Черна-Саймонса ada. [Указание:
возможно, проще использовать дифференциальные формы, как в главе IV.6.]
VI. 1.7. Используя канонический формализм, описанный в главе 1.8, покажите, что
лагранжиан Черна - Саймонса дает нулевой гамильтониан Н = 0.
VI. 1.8. Вычислите (6).
]Х. G. Wen and A. Zee, J. de Physique, 50: 1623, 1989.
Глава VI.2
Квантовые холловские жидкости
Взаимное влияние двух областей физики
В последнее десятилетие появился интерес к изучению
топологических квантовых жидкостей (примером которых является холловская
жидкость ). Квантовая система Холла состоит из электронов, движущихся
в плоскости в присутствии внешнего магнитного поля В,
перпендикулярного этой плоскости. Предполагается, что магнитное поле является
достаточно сильным для того, чтобы все электроны имели спин, скажем,
направленный вверх, и поэтому с ними можно обращаться как с бесспиновыми
фермионами. Хорошо известно, что в этой, казалось бы, несущественной
и простой физической ситуации содержится богатейшая физика,
разъяснение которой привело к получению двух Нобелевских премий. Это
необычайное богатство связано со взаимным влиянием двух основных областей
физики.
1. Хотя электрон является точечным, он занимает конечное
пространство.
В классическом представлении заряженная частица движется в
магнитном поле по ларморовской окружности радиуса г, заданной уравнением
evB — mv2/r. В классическом представлении этот радиус не фиксирован,
и частицы более высокой энергии движутся по большим окружностям, но
если проквантовать угловой момент mvr так, чтобы h = 2тг (в единицах,
где Ть = 1), получим соотношение eBr2 ~ 27г. Квантовый электрон
занимает область порядка -кг2 ~ 27г2/еВ.
2. Электроны стремятся держаться подальше друг от друга.
Каждый электрон не только обязательно занимает конечное
пространство, но должен иметь собственное пространство. Таким образом,
квантовую задачу Холла можно описать как своего рода проблему заселения или
как проблему предоставления площади служебных помещений в Институте
теоретической физики тем визитерам, которые не хотят делить свой офис
с другими.
348
Глава VI.2
Уже на этой стадии можно ожидать, что, когда числа электронов Ne
как раз достаточно, чтобы полностью занять пространство, а именно когда
область системы имеет вид Neirr2 ~ Ne(2n2/eB) ~ А, происходит нечто
особенное.
Уровни Ландау и целочисленный эффект Холла
Эти эвристические рассуждения, конечно же, могут быть более
строгими. Задача из учебника об одном бесспиновом электроне в магнитном
поле
-[(дх - геАх)2 + (ду - геАу)2]ф = 2тЕф
была решена Ландау десятки лет назад1. Такие состояния электрона
имеют место и являются вырожденными с энергией Еп = (п + - J ^- (n =
= 0,1,2,...), известной как n-й уровень Ландау. Каждый уровень Ландау
имеет вырождение ВА/2тг, где А — площадь системы, отражающее тот
факт, что ларморовские окружности можно поместить где угодно. Заметим,
что один уровень Ландау отделен от следующего конечным количеством
энергии (еВ/т).
Представим, что один за другим вводятся невзаимодействующие
электроны. По принципу запрета Паули каждый следующий электрон, который
вводится, должен занимать другое состояние на уровне Ландау. Так как на
каждом уровне Ландау может находиться ВА/2тг электронов, коэффициент
заполнения естественно определить как v = Ne/(BA/27r) (см.
упражнение VI.2.1). Когда v равно целому числу, первый уровень Ландау v
заполнен. Если вводится еще один электрон, он должен будет занять уровень
Ландау {у + 1), что потребует больше энергии, чем потрачено на
предшествующий электрон.
Таким образом, для v, равного целому числу, холловская жидкость
несжимаема. Любая попытка ее сжать уменьшает вырождение уровней
Ландау (уменьшается эффективная область А и поэтому уменьшается
вырождение ВА/2тг) и приводит к выталкиванию некоторых электронов на
следующий уровень, что требует больших затрат энергии.
Электрическое поле Еу, наложенное на холловскую жидкость в
направлении у, создает в направлении х ток Зх = ахуЕу, где аху = v
(в единицах е2/К). Это легко понять исходя из закона силы Лоренца,
которому подчиняются электроны в присутствии магнитного поля.
Удивительным экспериментальным открытием было то, что график зависимости
]В 1929 г. -Прим. ред.
Квантовые холловскиг- жидкости
349
холловской проводимости аху от В проходит через несколько
горизонтальных участков кривой, о чем вам, возможно, известно. Чтобы понять
появление таких плоских участков, нужно рассмотреть влияние примесей.
Я затрону эту увлекательную тему о примесях и беспорядке в главе VI.8.
Итак, целочисленный квантовый эффект Холла понять довольно
просто.
Дробный эффект Холла
Экспериментальное открытие дробного эффекта Холла после
целочисленного эффекта Холла, а именно то, что жидкость Холла также
несжимаема при коэффициенте заполнения i/, равном простым дробям с нечетным
знаменателем (таким, как \ и |), оказалось совершенно неожиданным для
о 5
теоретиков. Для v = - в первом уровне Ландау заполнена только одна
треть состояний. Казалось бы, что добавление еще нескольких электронов
не окажет столь большого воздействия на систему. Почему жидкость Холла
с v = ^ должна быть несжимаемой?
Оказалось, что критическим моментом является взаимодействие
между электронами. Тот факт, что первый уровень Ландау на треть
заполнен невзаимодействующими бесспиновыми электронами, не определяет
уникальное многочастичное состояние: существует огромное вырождение,
так как каждый из электронов может занять любое из доступных
состояний ВА/2тг только при условии соблюдения принципа запрета Паули.
Но как только между электронами возникает взаимное отталкивание, на
огромном пространстве вырожденных состояний, по-видимому,
выбирается единственное основное состояние. Вен описал дробное состояние Холла
как замысловатый танец электронов: каждый электрон не только занимает
конечное пространство в танцевальном зале, но и по причине взаимного
отталкивания должен заботиться о том, чтобы неожиданно не столкнуться
с другим электроном. Этот танец должен быть тщательно поставлен и
возможен только для специальных значений v.
Примеси также играют существенную роль, но обсуждение примесей
отложим до главы VI.6.
Чтобы понять дробный эффект Холла, учтем еще один важный момент.
Напомним, что основная единица потока в главе V.7 включает 27г, и поэтому
число квантов потока, проходящих сквозь плоскость, равно iV«£ = ВА/2тг.
Итак, загадка состоит в том, что, когда число квантов потока, приходящихся
на электрон, N(t>/Ne = v~l, является нечетным целым числом, происходит
нечто особое.
350
ГЛАВА VI.2
Я расположил главы так, чтобы то, что вы узнали из предыдущей
главы, имело отношение к решению этой загадки. Предположим, что кванты
потока v~l как-то связаны с каждым электроном. Когда две такие
связанные системы меняются местами, появляется дополнительная фаза Ааро-
нова-Бома, помимо фазы (—1) из статистики Ферми для электронов. Для
нечетных v~l эти связанные системы эффективно подчиняются статистике
Бозе и могут быть описаны комплексным скалярным полем </?. Оказывается,
что конденсация поля с/? отвечает за физику квантовой холловской
жидкости.
Эффективная теория поля холловской жидкости
Мы хотим вывести эффективную теорию поля квантовой жидкости
Холла, впервые полученную Кивелсоном, Хэнссоном и Чжаном. Для этого
есть два альтернативных способа — длинный и короткий.
Если использовать длинный путь, начинают с лагранжиана,
описывающего бесспиновые электроны в магнитном поле в формализме вторичного
квантования
С = ф+1(до - гА0)ф - ^Ф+{дг - гАг)2ф - У{фН), (1)
и приводят его к необходимому виду. Из предыдущей главы известно, что
путем введения калибровочного поля Черна-Саймонса можно
преобразовать ф в скалярное поле. Тогда можно воспользоваться дуальностью, о
которой мы узнаем в следующей главе, чтобы представить фазовую степень
свободы скалярного поля как калибровочное поле. После выполнения ряда
шагов окажется, что эффективная теория холловской жидкости становится
теорией Черна - Саймонса.
Вместо этого используем короткий путь. Будем рассуждать в духе:
«чем еще это может быть» или, выражаясь изящнее, из общих принципов.
Начнем с перечисления того, что нам известно о системе Холла.
1. Мы живем в (2 + 1)-мерном пространстве-времени (потому что
электроны ограничены плоскостью).
2. Электромагнитный ток JM сохраняется: <9М JM = 0.
Очевидно, что эти два утверждения неоспоримы. Если их объединить,
получим утверждение, согласно которому ток может быть записан как
ротор векторного потенциала:
■7" = ^Хд^- (2)
Квантовые холловские жидкости
351
Множитель 1/(27г) определяет нормировку ад. Нас учили в школе, что
если в трехмерном пространстве-времени производная чего-то равна нулю,
то это что-то является ротором чего-то еще. Именно это и означает
уравнение (2). Единственная сложность здесь заключается в том, что то, чему
нас учили в школе, применимо к пространству Минковского, так же как
и к евклидовому пространству — это лишь вопрос нескольких знаков.
Калибровочное поле идет нас искать
Обратите внимание, что в результате преобразования ам к ад —> ай —
- дцА ток остается неизменным. Другими словами, ам является
калибровочным полем.
Мы не искали калибровочное поле; калибровочное поле само идет нас
искать! Прятаться некуда. Существование калибровочного поля следует из
самых общих соображений.
3. Мы хотим теоретически описать поле системы с помощью
эффективного локального лагранжиана.
4. Нас интересует только физика больших расстояний и больших
времен, то есть при малом волновом числе и низкой частоте.
Действительно, описание физической системы в теории поля можно
рассматривать как способ систематизации различных относящихся к делу
аспектов физики по степени их важности на больших расстояниях и в
соответствии с принципами симметрии. Члены в лагранжиане теории поля
классифицируются по степеням производных, степеням полей и т.д.
Общая схема классификации членов осуществляется в соответствии с их
размерностями, как объяснено в главе Ш.2. Калибровочное поле ам имеет
размерность 1, как и всегда в случае любого калибровочного поля, связанного
с полями материи в соответствии с калибровочным принципом; и поэтому
уравнение (2) не противоречит тому факту, что ток имеет размерность 2
в (2 + 1)-мерном пространстве-времени.
5. Четность и обращение времени нарушаются внешним магнитным
полем.
Последнее утверждение так же неоспоримо, как утверждения 1 и 2.
Экспериментатор создает магнитное поле, пропуская ток через катушку;
при этом ток течет либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.
Исходя из этих пяти общих утверждений можно получить выражение
для эффективного лагранжиана.
Поскольку калибровочная инвариантность запрещает в лагранжиане
член размерности 2 а^а*1, простейшим возможным членом, по существу,
352
Глава VI.2
является член Черна-Саймонса размерности 3 ец,иХа11диа\. Таким образом,
лагранжиан имеет вид:
С = ^аеда + ..., (3)
где к — безразмерный параметр, подлежащий определению.
Мы сейчас ввели и будем отныне использовать компактную запись
еадЬ = etxuXa^dvb\ = ebda для двух векторных полей ом и 6М.
Члены, обозначенные (...) в выражении (3), включают член
Максвелла размерности 4 (1/#2)(/ог — fij) и другие члены более высоких
размерностей. Важно отметить, что эти члены более высоких порядков на
больших расстояниях играют менее важную роль. Физика больших
расстояний определяется только членом Черна-Саймонса. В общем случае
коэффициент к может быть нулем, и в этом случае физика
определяется членами, соответствующими малым расстояниям, которые обозначены
в (3) как (...). Иначе говоря, холловскую жидкость можно определить как
двухмерную систему электронов, для которой коэффициент члена Черна-
Саймонса не равен нулю и, следовательно, таков, что физика больших
расстояний этой системы в значительной степени не зависит от определяющих
ее мелких деталей. Действительно, двухмерные системы электронов
можно классифицировать соответственно тому, равен коэффициент к нулю или
нет.
Связывая систему с «внешним» или «дополнительным»
электромагнитным калибровочным потенциалом А^ и используя (2), получаем
(интегрируя по частям и опуская поверхностный член)
С = Л-е^а^ах - ^е^А^ах = ^е^а^ах - ^ха^Ах.
(4)
Заметим, что калибровочный потенциал магнитного поля, отвечающий за
эффект Холла, не должен включаться в Лм; он уже неявно содержится в
коэффициенте к.
Понятие квазичастиц или «элементарных» возбуждений составляет
основу физики конденсированных сред. Эффекты взаимодействия многих тел
могут быть такими, что квазичастицы в системе перестают быть
электронами. Здесь мы определяем квазичастицы как объекты, которые
взаимодействуют с калибровочным полем, и поэтому записываем
£=±aeda + atj»-±e!»'xaltd1,All... (5)
Квантовые холловские жидкости
353
Определяя j^ = j^ — (1/2тг)еЦ1/\д1/Ах и отынтегрировав калибровочное
поле, получаем [см. уравнение (VI. 1.4)]
£ = ^(-^-1л. (6)
Дробный заряд и статистика
Теперь из (6) мы можем легко считать физику явления. Лагранжиан
содержит члены трех типов: A A, Aj и jj. Член АА имеет схематический вид
А(едедед/д2)А. Используя едед ~ д2 и сокращая множители в числителе
и знаменателе, получаем
С = -гтсАдА. (7)
4пк ч '
Варьируя по А, определяем электромагнитный ток
J- = ш^9^- (8)
Компонента этого уравнения с \i — О указывает на то, что избыточная
плотность 5п электронов связана с локальной флуктуацией магнитного поля
отношением 5п = (1/2тгк)5В. Поэтому коэффициент заполнения v можно
считать равным 1/fc, а из компонент /х = г, которые создают электрическое
поле, определить ток в поперечном направлении с аху = (1/к) = v.
Схематически член Aj имеет вид A(eded/d2)j. Сокращая
дифференциальные операторы, находим
C=\A,f. (9)
Таким образом, квазичастица несет электрический заряд 1/к.
В итоге квазичастицы взаимодействуют друг с другом следующим
образом:
с = \f^ix- (ю)
Мы просто убираем в (6) тильду. Вспоминая главу VI. 1, легко видеть, что
квазичастицы подчиняются дробной статистике с
i -1 ну
354
ГЛАВА VI.2
Хотя до сих пор все было ясно, вас, возможно, интересует, откуда
следует, что i/_1 должно быть нечетным целым числом?
Теперь покажем, что электрон или дырка должны появиться где-то
в спектре возбуждений. В конце концов, предполагается, что теория должна
описывать систему электронов, а до сих пор наш довольно общий
лагранжиан не содержит никаких ссылок на электрон!
Поищем дырку (или электрон). Заметим, что в (9) связанный объект,
состоящий из к квазичастиц, будет иметь заряд, равный 1. Возможно, это
и есть дырка! Чтобы это было так, к должно быть целым числом. Пока все
хорошо, но к все еще не должно быть нечетным.
Какая статистика у этого связанного объекта? Переместим один из
таких объектов на пол-оборота вокруг другого такого же связанного объекта,
таким образом эффективно меняя их местами. Движение одной
квазичастицы вокруг другой дает фазу, определяемую 0/7Г = 1/к в соответствии
с (11). Но у нас есть к квазичастиц, движущихся вокруг к квазичастиц,
и поэтому получаем фазу
I = \к2 = к. (12)
Чтобы дырка была фермионом, мы должны потребовать, чтобы #/7г было
нечетным. Это условие фиксирует к нечетным.
Так как v = 1/к, получаем классические лафлиновские жидкости
Холла с нечетным знаменателем и с коэффициентом заполнения v =
= \, i, \, • • • При этом получаем известный результат, что квазичастицы
о О i
несут дробные заряд и статистику [см. (9) и (11)].
Действительно, впечатляет! Электроны вращаются в плоскости в
магнитном поле, соответствующим v = -, и, подумать только, каждый
электрон разделяется на три части, каждая из которых имеет заряд ^ и дробную
статистику ^!
Новый вид порядка
Задача физики конденсированных сред заключается в том, чтобы
понять различные состояния вещества. Состояния вещества характеризуются
присутствием (или отсутствием) порядка: ферромагнетик становится
упорядоченным ниже температуры фазового перехода. Как показано в главе
V.3, в теории Гинзбурга-Ландау порядок связан со спонтанным
нарушением симметрии, описываемой, естественно, теорией групп. Гирвин и Мак-
Квантовые холловские жидкости
355
дональд первыми заметили, что порядок в холловских жидкостях на самом
деле не встраивается в схему Ландау-Гинзбурга: мы не нарушили
никакую явную симметрию. Топологическое свойство холловских жидкостей
дает ключ к разгадке происходящего. Как объясняется в предыдущей главе,
вырождение основного состояния холловской жидкости зависит от
топологии многообразия, на котором она живет; такую зависимость теория групп
объяснить не может. Вен настоятельно подчеркивал, что изучение
топологического порядка, или, в более общем случае, квантового порядка, может
открыть широкую перспективу возможности существования новых
состояний вещества.
Комментарии и обобщение
Эту главу я завершу несколькими комментариями, которые могут
побудить вас к изучению многочисленных работ, посвященных холловской
жидкости.
1. Появление целых чисел означает, что нами получен разумный
результат. Можно привести прекрасный довод, используя замечание из
предыдущей главы, что для построения члена Черна-Саймонса не нужны часы
и линейки и, как следствие, он, вероятно, не может зависеть от
микрофизики, например, рассеяния электронов на примесях, которое нельзя
определить без часов и линеек. В противоположность этому, физика, которая
не является частью топологической теории поля и описывается как (...)
в (3), будет, конечно, зависеть от микрофизики.
2. Если пойти по длинному пути вывода эффективной теории поля
холловской жидкости, можно увидеть, что квазичастица на самом деле
является вихрем, построенным (как описано в главе V.7) из скалярного поля,
представляющего электрон. Учитывая, что холловская жидкость
несжимаема, фактически единственным возбуждением, которое можно себе
представить, является вихрь с когерентно вращающимися вокруг него
электронами.
3. В предыдущей главе говорилось, что член Черна-Саймонса калиб-
ровочно инвариантен только при исключении граничного члена. Но в
лаборатории реальные холловские жидкости находятся в образцах, у которых
есть границы. Так как же теория (3) может быть правильной?
Примечательно, что этот явный «дефект» теории на самом деле является одним
из ее преимуществ! Допустим, что теория (3) определена на двумерном
многообразии с границей, например, на диске. Тогда, как впервые было
показано Веном, на границе должны существовать физические степени
свободы, представленные действием, изменение которого при калибровочном
356
ГЛАВА VI.2
преобразовании уничтожает изменение f в?х{к/Атг)аеда. С точки зрения
физики ясно, что несжимаемая жидкость имеет краевые возбуждения2,
соответствующие волнам на ее границе.
4. Что произойдет, если мы откажемся вводить калибровочный
потенциал? Поскольку ток JM имеет размерность 2, простейший член J^J*1,
построенный из токов, уже имеет размерность 4; он очевидно является членом
Максвелла. Локальное взаимодействие с размерностью 3 нельзя построить
непосредственно из токов. Чтобы понизить размерность, необходимо
ввести величину, обратную производной, и схематически записать J(l/ed)J,
что, конечно, является нелокальным членом Хопфа. Таким образом, на
часто задаваемый вопрос «почему именно калибровочное поле?» можно
частично ответить фразой: «Введение калибровочных полей позволяет
избежать рассмотрения нелокальных взаимодействий».
5. Экспериментаторы построили двухслойные квантовые системы
Холла с бесконечно малой амплитудой туннслирования электронов с одного
слоя на другой. Полагая, что ток Jj (I = 1,2) в каждом слое
сохраняется раздельно, введем два калибровочных потенциала, записывая ток Jj =
= ■^-€fll/Xdlfaix как в (2). Можно повторить общую схему вывода и
получить в результате эффективный лагранжиан
£ = И
aiedaj + ... (13)
Целое число к превратилось в матрицу К. В качестве упражнения вы
можете вывести холловскую проводимость, дробный заряд и статистику
квазичастиц. Вас не удивит, что всюду, где появляется 1/fc, вместо него теперь есть
обратная матрица К"1. Возникает интересный вопрос: что происходит,
когда К имеет нулевое собственное значение? Например, можно получить
К = ( 1 л ). Тогда низкоэнергетическая динамика калибровочного поля
а_ = а\ — а,2 определяется не членом Черна-Саймонса, а членом
Максвелла в слагаемом (...) в (13). Мы получаем моду с линейной дисперсией и,
таким образом, сверхтекучесть! Это поразительное предсказание3
проверено экспериментально.
6. Наконец, интересно отметить, что в используемом формализме тун-
нелирование электронов соответствует несохранению тока J^ = J% — J% =
"Существование краевых токов в целочисленной холловской жидкости впервые было
отмечено Гальпериным.
3X.G. Wen and A. Zee, Phys. Rev. Lett. 69: 1811, 1992.
Квантовые холловские жидкости
357
= (1/2-к)е1Л1'хдиа-\. Разность чисел электронов в двух слоях N\ — N2 не
сохраняется. Но как может 9MJ^ ф О, несмотря на то, что J^ является
ротором а_д (как я явно показал)? Вспоминая главу IV.4, вы, как
проницательный читатель, скажите, что все дело в магнитных монополях! Туннели-
рование в двухслойной системе Холла в евклидовом пространстве-времени
можно описать как газ монополей и антимонополей4. (Подумайте,
почему монополей и антимонополей?) Заметим, конечно, что это монополи не
в обычном электромагнитном калибровочном поле, а в калибровочном
поле а_д.
Приведенный в этом разделе вывод эффективной теории холловской
жидкости на больших расстояниях кажется, конечно, не очень
убедительным. Кто-то скажет, что очень неубедительным. Вернемся к приведенным
выше пяти основным утверждениям или принципам. Из них четыре,
безусловно, неоспоримы. На самом деле наиболее сомнительным является
третье утверждение, которое рядовому читателю кажется наиболее
несущественным. В общем случае эффективный лагранжиан для системы
конденсированного вещества должен быть нелокальным. Мы неявно допускаем,
что такая система не содержит безмассовое поле, обмен которым привел
бы к нелокальному взаимодействию5. Также неявным в (3) является
предположение, что лагранжиан можно полностью выразить через
калибровочное поле а. Мы, конечно, не знаем априори, что нет других релевантных
степеней свободы. Дело в том, что пока эти степени свободы не являются
бесщелевыми, по ним можно интегрировать без риска.
Упражнения
VI.2.1. Чтобы точно определить коэффициент заполнения, нужно рассмотреть
квантовую систему Холла на сфере, а не на плоскости. Поместим
магнитный монополь с зарядом G (который по Дираку может быть только
полуцелым или целым числом) в центр единичной сферы. Поток через эту
сферу равен N<j> = 2G. Покажите, что энергия одного электрона имеет вид
Ei = {-ЪшА[1(1 + 1) — G2]/G с уровнями Ландау, соответствующими I =
= G,G+1,Cj-|-2, ..., и что вырождение уровня I равно 2/ + 1. Покажите,
что Ыф = v~lNe — «S, когда L уровней Ландау заполнено
невзаимодействующими электронами (у = L), где топологическую величину S называют
сдвигом.
4X.G. Wen and A. Zee, Phys. Rev. B47: 2265, 1993.
Техническое примечание. Вихри (т.е. квазичастицы), локализованные на примесях в
холловской жидкости, могут порождать нелокальное во времени взаимодействие.
358
Глава VI.2
VI.2.2. Попробуйте вывести эффектвную теорию поля для холловских жидкостей
с коэффициентом заполнения v = т/к, где к — нечетное целое число,
например, v = 2/5. [Указание: нужно ввести т калибровочных потенциалов
т
ai\ и обобщить (2) до вида JM = {\/2-к)е^хди X) а'А- Получается, что
i=i
эффективная теория имеет вид
m m
С = — ^2 aiKiLedaj + ]P aj^j1^ + ...,
/,j=i i=i
где целое число к заменяется на матрицу К. Сравните с лагранжианом (13).
VI.2.3. Для лагранжиана (13) выведите аналоги (8), (9) и (11).
Глава VI.3
Дуальность
Многообещающая концепция
Дуальность является глубокой и многообещающей концепцией1
теоретической физики, истоки которой находятся в электромагнетизме и
статистической механике. Появление в последние годы дуальности в нескольких
областях современной физики, начиная от квантовых холловских
жидкостей до теории струн, отражает тот факт, что мы стали лучше понимать
квантовую теорию поля. Здесь я приведу один конкретный пример, только
чтобы передать дух этого обширного предмета.
Вначале рассмотрим релятивистскую теорию поля, а потом, когда
будет понятна ее суть, перейдем к рассмотрению нерелятивистской теории.
Вполне логично, что интересная физика, которую описывает
нерелятивистская теория, в релятивисткой формулировке отчасти отсутствует. Более
высокий уровень симметрии накладывает больше ограничений. К тому же,
релятивистскую теорию, как ни удивительно, намного проще понять хотя
бы из-за простоты обозначений.
Вихри
Пусть скалярное поле (2 +1)-размерности взаимодействует с внешним
электромагнитным калибровочным полем, где в дальнейшем для удобства
электрический заряд q обозначается явно:
C=\\(dll-iqAlt)<p\2-V&<p). (1)
Мы уже не раз изучали эту теорию, причем совсем недавно в главе V.7
применительно к вихрям. Как обычно, запишем (р = \<р\егв. Минимизация
'Для первого знакомства с дуальностью настоятельно рекомендую прочитать работу
J. M. Figueroa-O'Farril, Electromagnetic Duality for Children,
http://www.maths.ed.ac.uky~jmfTeaching/Lectures/HDC.pdf.
360
Глава VI.3
потенциала V при \(р\ = v определяет конфигурацию поля для основного
состояния. Задавая (р = уегв в (1), получаем лагранжиан
C^^id^-qA^2, (2)
который при включении в в А путем калибровочного преобразования
становится лагранжианом Мейсснера. Для дальнейшего удобства введем также
альтернативную форму лагранжиана
C^-^l+eid^-qA^). (3)
Вновь получаем (2), исключая вспомогательное поле £м (см.
приложение А).
Из главы V.7 известно, что спектр возбуждения включает вихри и
антивихри, расположенные там, где исчезает \(р\. Если 9 изменяется на 2п
вблизи нуля \<р\9 получаем вихрь. Вокруг антивихря Ав = — 27г. Вспомним, что
вокруг неподвижного вихря электромагнитное калибровочное поле должно
вести себя на пространственной бесконечности как
qAi - дгв, (4)
чтобы энергия вихря была конечной, как легко видеть из (2). Магнитный
поток
]#хецЬА> = j>dx-A = ^p = Ц- (5)
квантован в единицах 27г/д.
Остановимся на минуту, чтобы физически осмыслить происходящее.
На масштабе расстояний, большом по сравнению с размером вихря, вихри
и антивихри представляют собой точки. Как обсуждалось в главе V.7,
энергия взаимодействия вихря и антивихря, разделенных расстоянием R,
задается просто путем подстановки в (2). Игнорируя пробное поле А^, которое
R
можно считать сколь угодно слабым, получаем ~ J drr(V9)2 ~ \og(R/a),
a
где a — обрезание на малых расстояниях. Но вспомним, что кулонов-
ское взаимодействие в двухмерном пространстве изменяется
логарифмически, поскольку из размерного анализа следует Jd2k(elk*/к2) ~ log(|x|/a)
(где а-1 — некоторое ультрафиолетовое обрезание). Таким образом, газ
вихрей и антивихрей представляет собой газ точечных «зарядов» с куло-
новским взаимодействием между ними.
Дуальность
361
Вихрь как заряд в дуальной теории
Некоторые теоретики часто понимают под дуальностью раздел
высокой математики, но на самом деле она происходит из чисто физической
идеи. Принимая во внимание последний параграф, нельзя ли переписать
теорию так, чтобы вихри представляли собой точечные «заряды»
некоторого еще неизвестного калибровочного поля? Другими словами, необходима
дуальная теория, в которой фундаментальное поле создает и уничтожает
вихри, а не кванты </?. В свое время мы объясним значение слова
«дуальный».
Примечательно, что переписать эту теорию можно всего лишь в
несколько простых шагов. Используя физический и эвристический подходы,
изобразим фазовое поле в как плавно флуктуирующее, исключая те места,
где оно закручивается на 27г. Запишем д^в = д^впллвн.+с?д0Вихр.- Подставляя
это в (3), получим
С = ~-±2^ + ^(^Яплавн. + д.Аихр. - дАм). (6)
2гг
Проинтегрируем по 0Плавн. и получим связь <9м£м = 0, которую можно
разрешить, записав
р = е^хд„ах. (7)
Такой прием мы уже использовали в главе VI.2. Как и тогда, появляется
ищущее нас калибровочное поле, так как замена а\ —» а\ + д\А не
меняет £м. Подставляя в (6), находим
С = -Tift» + ^^ал^вихр. - qAJ, (8)
где fpy = d^av - dvdfj,.
Наши рассуждения являются эвристическими, поскольку мы
игнорируем тот факт, что \<р\ исчезает на вихрях. Физически мы считаем вихри
почти точечными, так что «преимущественно» везде |<р| = v. Как
говорилось в главе V.6, солитоны, вихри и т. д. можно сделать сколь угодно
малыми, если соответствующим образом выбрать параметры. Другими словами,
мы пренебрегаем взаимодействием между 0вихр. и \ip\. Строгое
рассмотрение потребовало бы соответствующего обрезания малых расстояний путем
помещения этой системы на решетку2. Но мы не будем учитывать подоб-
2Например, М. P. A. Fisher, «Mott Insulators, Spin Liquids, and Quantum Disordered
Superconductivity», cond-mat/9806164, приложение Л.
362
Глава VI.3
ного рода тонкости, поскольку пытаемся понять (и, несомненно, поймем)
физику явления.
Заметим для дальнейшего использования, что электромагнитный ток J^
будучи коэффициентом — Ац в (8), определяется через калибровочное поле
а\ в виде
J»=qe^xdvax. (9)
Проинтегрируем член е^хд1/а\д^9вихр, в (8) по частям и получим
a\ex^vд^дцОых?.' Согласно Ньютону и Лейбницу д^ коммутирует с ди,
и потому мы явно получаем нуль. Но д^. и ди коммутируют только тогда,
когда действуют на глобально заданную функцию, но, ей-Богу, поле 0ВИХр.
не определено глобально, так как оно меняется на 27Г, когда мы обходим
вихрь. В частности, рассмотрим вихрь в состоянии покоя и посмотрим,
с чем связана величина а$ в (8), а именно в ег^didj9BHXp. = V х (V0BHXp.)
в обозначениях общей физики. После интегрирования этого выражения по
области, содержащей вихрь, получаем J d2x V х (V0BHxP.) = § dx- V0BHxP. =
= 27г. Таким образом, легко видеть, что (1 /2п)егз]didj6bWKp. является
плотностью вихрей, временной компонентой некоторого вихревого тока jx„xp..
Из лоренц-инвариантности следует, что j^Hxp = (1/27г)б:Лд1/9д91,0ВИХр..
Теперь (8) можно записать в виде
С = -£ifl» + (27Г)°Ар. - A^qe»vXdvax). (10)
Вот так, мы завершили то, что намеревались сделать. Мы переписали
теорию так, чтобы вихрь представлял собой «электрический заряд» для
калибровочного поля ам. Иногда ее называют дуальной теорией, но, строго
говоря, более точным названием будет «дуальное представление исходной
теории (1)».
Введем комплексное скалярное поле Ф, которое назовем вихревым
полем, которое будет создавать и уничтожать вихри и антивихри. Другими
словами, мы достраиваем действие (10) до
С = ~Ъ^ + 21(9" _ <(27Г)°")ф|2 - ^(ф) - Мяе^ах). (11)
Потенциал \¥(Ф) содержит такие члены, как А(Ф*Ф)2, описывающие
взаимодействие двух вихрей (или вихря и антивихря) на малом расстоянии.
В принципе, если полностью понять всю физику малых расстояний,
содержащуюся в исходной теории (1), то все эти члены будут определяться
исходной теорией.
Дуальность
363
Вихрь вихря
Теперь мы подошли к наиболее увлекательной стороне дуального
представления и причине, по которой вообще используется слово
«дуальный». Вихревое поле Ф является таким же комплексным скалярным полем,
как поле ip, с которого мы начинали. Таким образом, вполне можно
сформировать вихрь из Ф, т. е. места, в окрестности которого Ф исчезает, а фаза Ф
меняется на 2п. Занятно, что мы формируем, так сказать, вихрь вихря.
Так что же такое вихрь вихря?
Теорема дуальности утверждает, что вихрь вихря является не чем
иным, как исходным зарядом, который описывается полем (р, с которого
мы начинали! Отсюда и слово «дуальность».
Доказательство необыкновенно просто. В теории (11) вихрь несет
«магнитный поток». Возвращаясь к (И), видим, что на пространственной
бесконечности 2-ка^ —> д%д. Используя такую же операцию, как в (5),
получаем
27г / d2xeijdidj = 2-к Ф dx • а = 2тт. (12)
Обратите внимание, что термин «магнитный поток» заключен в кавычки,
поскольку очевидно, что речь идет о потоке, связанном с калибровочным
полем ам, а не потоке, связанном с электромагнитным полем А^. Но
вспомним, что согласно (9) электромагнитный ток имеет вид J^ = qe^vXdva\
и, в частности, J° = qe^didj. Следовательно, электрический заряд
(заметьте, без кавычек) этого вихря вихря равен Jd2xJ° = q, т.е. заряду
исходного комплексного скалярного поля if. Это доказывает наше
утверждение.
Здесь мы рассматривали вихри, но такого же рода дуальность
применима и к монополям. Как говорилось в главе IV.4, дуальность позволяет
получить представление о теориях поля в режиме сильной связи. Из
главы V.7 известно, что некоторые спонтанно нарушенные неабелевы
калибровочные теории в (3 + 1)-мерном пространстве-времени содержат магнитные
монополи. Дуальную теорию можно записать в терминах поля монополей,
из которого можно построить монополи. Монополь монополя оказывается
не чем иным, как заряженными полями исходной калибровочной теории.
Существование такой дуальности впервые предположили много лет назад
Олив и Монтонен, и, как впоследствии было показано, дуальность
реализуется в некоторых суперсимметричных калибровочных теориях Зайберга -
Виттена. Несколько лет назад изучение этой дуальности было «горячей»
темой, что позволило по-новому и глубже понять, как некоторые теории
364
Глава VI.3
струн дуальны друг другу3. В противоположность этому, по мнению
одного из моих коллег, выдающегося специалиста в области конденсированных
сред, важное понятие дуальности все еще не получило достаточного
признания сообществом физиков в области конденсированных сред.
Мейсснер порождает Максвелла и так далее
Завершим эту тему небольшим разъяснением дуальности в (2 + 1)-мер-
ном пространстве-времени и того, какое он может иметь отношение к
физике двумерных веществ. Рассмотрим лагранжиан Ца) второго порядка по
векторному полю ам. Подключим внешний электромагнитный
калибровочный потенциал А^ к сохраняющемуся току е^хдиа\:
С = Ца) + А^хд„ах). (13)
Зададимся следующим вопросом: если при разных выборах
лагранжиана Ца) отынтегрировать а, что будет представлять собой эффективный
лагранжиан ЦА), описывающий динамику А?
Если вы добрались до этого места в книге, то с легкостью
осуществите интегрирование. Снова имеем дело с основным тождеством квантовой
теории поля! Имея лагранжиан
Ца) ~ аКа, (14)
получаем
ЦА) ~ (едА)±(едА) ~ Afedj^ed^A. (15)
Можно выбрать из трех лагранжианов Ца), которым я дал известные
имена:
Ца) ~ а2
Ца) ~ аеда
Ц°) ~ f2 ~ ад2а
Мейсснер
Черн- Саймоне
Максвелл
Поскольку мы стремимся к концептуальному пониманию, я не буду
отслеживать индексы и не относящиеся к данному случаю общие
константы. (Вы можете их проставить в качестве упражнения.) Например, имея
Ца) — f^uf^y где /Ml/ = dilav — dva^ можно записать Ца) ~ ад2а,
и поэтому К = д2. Таким образом, эффективная динамика внешнего
электромагнитного калибровочного потенциала определяется выражением (15)
Например, D. I. Olive and P. С. West, eds.. Duality and Supersymmetric Theories.
Дуальность
365
как С(А) ~ Л[ед(1/д2)ед]А ~ А2, то есть мейсснеровским лагранжианом!
С помощью такого «быстрого и грязного» способа заработать себе на жизнь
мы задаем ее ~ и сокращаем множители д в числителе и знаменателе.
Продолжая в том же духе, строим следующую таблицу:
Динамика а
а2 Мейсснера
аеда Черна-Саймонса
/2 ~ ад2 а Максвелла
К
1
ед
д2
Эффективный лагранжиан
С(А) ~ А[ед(1/К)ед]А
А(едед)А ~ Ад2А
А(ед±:ед}А~АедА
А(ед\ед)А~АА
Динамика внешнего
пробного А
F2 Максвелла
Аед А Черна - Саймонса
А2 Мейсснера
(17)
Мейсснер порождает Максвелла, Черн-Саймоне порождает Черна-
Саймонса и Максвелл порождает Мейсснера. Я нахожу это красивым
и фундаментальным результатом, который очень убедительно
представляет собой пример дуальности. Черн-Саймоне является самодуальным: он
порождает сам себя.
Становясь нерелятивистским
Поучительно провести сравнение с нерелятивистским рассмотрением
дуальности4. Вернемся к лагранжиану сверхтекучей жидкости,
приведенному в главе V. 1:
С = iip^doip - ^дцр^дцр ~ 92{^<Р ~ Р)2. (Щ
Как и раньше, подставим ср = у/регв и получим лагранжиан
С = -рд0в - JL (а^)2 - д\р - р)2 + . • •, (19)
который перепишем в виде
С = -$1д*6+&&-д2{р-р)*+... (20)
В (19) мы отбросили член ~ (dip1/2)2. В (20) мы определили, что £о = Р-
Интегрируя по & в (20), возвращаемся к (19).
4Приведенное здесь рассмотрение, по существу, вытекает из рассмотрения, данного
М. П. А. Фишером и Д. X. Ли.
366
ГЛАВА VI.3
Делаем все, как и раньше. Записывая в = 0глад. + 0Вихр. и интегрируя
по 0Глад., получаем связь 9м£М = 0, разрешить которую можно, записав
£6/i = e^vXa\. Шляпка над а\ понадобится нам для дальнейшего удобства.
Заметим, что плотность
£о = Р = Ujdicij = f (21)
является напряженностью «магнитного» поля, тогда как
& = €ij(do<ij - djCLo) = €ijfoj (22)
является напряженностью «электрического» поля.
Подставляя все это в (20), получаем
С=¥Р&- д2и- ^2 - 27г«хР. + • • • (23)
Чтобы «вычесть» фоновое «магнитное» поле р, очевидно, следует записать
ам = ам + ад, (24)
где фоновое калибровочное поле определяется через ао = 0, доЩ = 0
(фоновое «электрическое» поле отсутствует) и
б^дщ = р. (25)
Тогда лагранжиан (23) приобретает более ясную форму
(§/& - 92f) ~ Зтга^хр. - 2тга^
+ ... (26)
Мы разложили р ~ ~р в первом члене. Как и в (10), первые два члена
образуют максвелловский лагранжиан, а соотношение их коэффициентов
определяет скорость распространения
Используя единицы, в которых с = 1, получаем
С=- 3| W" - 2™^ихр. - 27rSJi„p. + • • • (28)
Сравним этот лагранжиан с лагранжианом (10).
Дуальность
367
При релятивистском рассмотрении не хватает только последнего члена
в (28) по той простой причине, что мы не включили фон. Вспомним, что
член типа A\Ji в обычном электромагнетизме означает, что движущаяся
частица, связанная с током «7$, видит магнитное поле VxA Таким образом,
движущийся вихрь увидит «магнитное поле»
tijdi(a + a)j = p + tijdidj, (29)
равное сумме плотности исходных бозонов ~р и флуктуирующего поля.
В кулоновской калибровке diai = 0 получаем выражение (/си)2 =
= (^о«г)2 + (&ао)2, где перекрестный член (до&г)(^ао) эффективно
обращается в нуль при интегрировании по частям. Интегрируя по кулоновскому
полю ао, получаем
С = -ШР*)2Ц***У
. _.. \х-у\ .
Jo (x) log—j—Jo(y)
+
+ ^(doat)2 - 92f2 + 2тг(а, + сц)£нхр"- (30)
Вихри отталкивают друг друга в результате логарифмического
взаимодействия f d2k(elkx/k2) ~ log(|x|/a), что нам уже давно известно.
Самодуальная теория
Интересно, что пространственная часть /2 максвелловского
лагранжиана появляется в результате отталкивания между исходными бозонами на
малых расстояниях.
Если бы мы считали, что бозоны взаимодействуют через произвольный
потенциал V(x), то вместо последнего члена в (20) получили бы интеграл
J J d2x d2y [p(x) - p] V(x - y) [p(y) - p]. (31)
Легко увидеть, что, по существу, все проделанные шаги аналогичны
прежним, только теперь второй член лагранжиана (26) имеет вид
//■
d'xd2yf(x)V(x-y)f(y). (32)
368
ГЛАВА VI.3
Таким образом, калибровочное поле распространяется в соответствии
с дисперсионным соотношением
и2 = (2p/m)V(k)k2, (33)
где V(k) является преобразованием Фурье V(x). В частном случае V(x) =
= д25^(х) мы восстанавливаем линейную дисперсию, приведенную
в (27). Действительно, у нас есть линейная дисперсия и; ос \к\, до тех
пор пока потенциал V(x) остается достаточно короткодействующим, чтобы
V(k = 0) было конечным.
Интересная ситуация возникает, когда потенциал V(x) является
логарифмическим. Тогда V(k) имеет вид 1/fc2, и поэтому дисперсия и;
постоянна. Калибровочное поле а^ становится массивным и исчезает.
Низкоэнергетическая эффективная теория состоит из вихрей, с
логарифмическим взаимодействием между ними. Таким образом, теория бозонов с
логарифмическим отталкиванием является самодуальной в
низкоэнергетическом пределе.
Танец вихрей и антивихрей
Завершив нерелятивистское рассмотрение дуальности, наградим себя
тем, что выведем уравнение движения вихрей в жидкости. Пусть основная
масса жидкости находится в состоянии покоя. В соответствии с (28) вихрь
ведет себя как заряженная частица в фоновом магнитном поле 6,
пропорциональном средней плотности жидкости ~р. Таким образом, сила,
действующая на вихрь, является обычной силой Лоренца ухВ,и тогда уравнение
движения вихря в присутствии силы F имеет вид
'peijXj = Fi. (34)
Хорошо известно, что при приложении силы вихрь движется в
направлении, перпендикулярном этой силе.
Рассмотрим два вихря. В соответствии с (30) они отталкивают друг
друга в результате логарифмического взаимодействия. Они
перемещаются перпендикулярно силе и в итоге совершают круговое движение вокруг
друг друга. В противоположность этому рассмотрим вихрь и антивихрь,
которые притягивают друг друга. В результате притяжения они оба
движутся в одном направлении, перпендикулярном соединяющей их прямой
линии (см. рис. VI.3.1). Вихрь и антивихрь продолжают синхронно
перемещаться, сохраняя между собой расстояние. В этом фактически состоит
Дуальность
369
объяснение известного движения кольца дыма. Если разрезать кольцо
дыма по центру и перпендикулярно плоскости, в которой оно находится, то
для каждой части получим вихрь с антивихрем. Таким образом, все
кольцо дыма движется в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой
оно находится.
© ©
/
1 I
© ©
/
(а) (Ь)
Рис. VI.3.1
Все это можно понять исходя из общей физики. Важным наблюдением
является тот факт, что вихри и антивихри приводят к образованию
круговых потоков в жидкости, которые движутся, скажем, по часовой стрелке для
вихрей и против часовой стрелки для антивихрей. Другим важным
наблюдением является то, что если в жидкости есть локальный поток, то любой
объект, будь то захваченный им вихрь или антивихрь, будет течь в том же
направлении, что и локальный поток. Такая ситуация является следствием
галилеевой инвариантности. Сделав простой рисунок, можно увидеть, что
характер движения будет таким же, что рассмотренный выше.
Глава VI.4
сг-модели как эффективные
теории поля
Лагранжиан как мнемоника
Наша любимая квантовая теория поля прошла через два почти
смертельных испытания. Первое началось где-то в середине 1930-х годов, когда
оказалось, что физические величины бесконечны. Но в конце 1940-х -
начале 1950-х годов она громогласно вернулась к жизни, благодаря усилиям
поколения физиков, в число которых входили Фейнман, Швингер, Дайсон
и другие. Второе испытание произошло в конце 1950-х годов. Как уже
обсуждалось, квантовая теория поля казалась совершенно непригодной для
описания сильного взаимодействия: оно было слишком сильным, чтобы от
теории возмущения был какой-то толк. Многие физики, которых всех
вместе называли школой 5-матрицы, понимали, что теория поля не подходит
для изучения сильного взаимодействия, и поддерживали программу
исследований, согласно которой для получения результатов пытались
использовать общие принципы без теории поля. Например, при выводе соотношения
Голдбергера-Треймана можно было бы отказаться от любого упоминания
теории поля и фейнмановских диаграмм.
В итоге, как реакция против такой тенденции, пришло понимание, что
если какие-то результаты можно получить из общих принципов, таких как
понятие спонтанного нарушения симметрии и т. д., то аналогичные
результаты должен бы воспроизвести любой лагранжиан, содержащий в себе
такие общие свойства. По меньшей мере, лагранжиан дает мнемонику для
любого физического результата, полученного без использования квантовой
теории поля. Таким образом, родилось понятие эффективной теории поля
для больших расстояний или низких энергий, которая оказалась
чрезвычайно полезной как в физике элементарных частиц, так и в физике
конденсированных сред (как мы уже видели).
cr-МОДЕЛИ КАК ЭФФЕКТИВНЫЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ
371
Сильное взаимодействие при низких энергиях
Одним из самых ранних примеров является сг-модель Гелл-Манна
и Леви, которая описывает взаимодействие нуклонов и пионов. Теперь
известно, что сильное взаимодействие должно описываться в терминах
кварков и глюонов. Тем не менее на больших расстояниях степенями
свободы являются два нуклона и три пиона. Протон и нейтрон
преобразуются как спинор ф = I ) относительно SU{2) изоспина. Рассмотрим член
кинетической энергии фг^удф = ф^г^дфь -f фя^дфя. Заметим, что этот
член имеет более широкую симметрию SU(2)l x SU(2)r, где левое
поле ф1 и правое поле фл преобразуются как дублет относительно SU(2)l
и SU(2)r соответственно. [SU(2) изоспина является диагональной
подгруппой SU(2)l х SU(2)R.] Можно записать фь ~ (h®) иФя~ (°i h)-
Теперь сразу видна проблема. Массовый член тфф = т(фьфл + э. с.)
не годится, поскольку ф^фв, ~ (О), 4-мерное представление SU{2)l x
SU(2)r группы, локально изоморфной SO(4).
На данном этапе уже меньше физиков могли бы сказать, в чем
заключается проблема. Мы всегда знали, что сильное взаимодействие
инвариантно только относительно 5?7(2)-группы изоспина, которую запишем
как SU(2)i. Билинейные формы, построенные из фь и фл, преобразуются
относительно SU(2)j как ^ х ^ = 0 + 1, синглет берется в виде фф, а
триплет в виде фг^ътаф. Конечно, только лишь с SU{2)/-симметрией можно
включить массовый член фф.
Другими словами, чтобы полностью связать все четыре билинейные
формы, которые можно построить из фь и фл, а именно из фф и ф{^5таф,
нужны четыре мезонных поля, преобразующихся как векторное
представление относительно 50(4). Но известны только три пионных поля. Вроде
ясно, что у нас есть лишь 5С/(2)/-симметрия.
Тем не менее Гелл-Манн и Леви уверенно настаивали на более
широкой симметрии SU(2)l x SU{2)r = 50(4) и просто постулировали
присутствие дополнительного мезонного поля, которое они назвали <т, так
что (<т, 7?) образовывало четырехмерное представление. Проверьте
самостоятельно, что выражение ф^(ст + if- п)фл + э. с. = ф(а + if • п^)ф
инвариантно. Следовательно, можно записать инвариантный лагранжиан
С = ф[^д + g(a + if • тт^)]ф + £(<т,7г), (1)
372
Глава VI.4
где часть, не включающая нуклоны, имеет вид
£(а,тг) = \{да? + \{дт?? + f (а2 + тг2) - f (а2 + тг2)2. (2)
Это так называемая линейная сг-модель.
Когда (j-модель была предложена, большинству физиков она
показалась довольно странной тем, что у нуклона нет массы и есть
дополнительное мезонное поле. Итак, вы уже видите, что (2) соответствует
лагранжиану (IV. 1.2) (для N = 4), который мы рассматривали и
который обнаруживает спонтанное нарушение симметрии. Четыре скалярных
поля (^1,(^2^3^4) в лагранжиане (IV. 1.2) соответствуют (сг, 7г). Не
теряя общности, можно сделать так, чтобы вакуумное среднее ц> указывало
первое направление, а именно вакуум, в котором (0|<т|0) = y/fi2/X = v
и (0|7г|0) = 0. Разлагая выражение а = v + сг', сразу получаем, что
нуклон имеет массу М = gv. Вас не должно удивлять, что пион
оказывается безмассовым. У мезона, связанного с полем сг', который мы назовем
сг-мезоном, нет причины быть безмассовым, и он, в самом деле, таким не
является.
Может ли крайне важный параметр v иметь отношение к
измеряемой величине? Несомненно, может. Вспомните из главы 1.9, что
аксиальный ток дается теоремой Нётер в виде J^5 = ^l^bij0,/2)ф + ттад^а —
— сг9д7га. После того как сг получает вакуумное среднее, J°5 начинает
содержать член —удц7га. Этот член означает, что матричный элемент имеет
вид (0| J^5|7rb) = ivk^ где к обозначает импульс пиона, и таким образом v
пропорционален /, определенной в главе IV.2. В самом деле, мы видим,
что соотношение для массы М — gv является в точности соотношением
Голдбергера-Треймана (IV.2.7), где F(0) = 1 (см. упражнение VI.4.4).
Нелинейная сг-модель
Со временем пришло понимание, что основное назначение
существования потенциала в £(сг, 7?) заключается в том, чтобы заставлять вакуумные
средние полей быть такими, какие они есть; поэтому этот потенциал
можно заменить связью а2 + 7г2 = v2. Более физическое рассмотрение можно
представить так, что сг-мезон, если такой вообще существует, должен быть
очень широким, поскольку при сильном взаимодействии он может
распадаться на два пиона, ст-мезон также можно изгнать из низкоэнергетического
спектра, сделав его массу большой. Из глав IV. 1 и V.1 известно, что
масса сг-мезона, а именно v2/i9 может быть устремлена к бесконечности при
cr-МОДЕЛИ КАК ЭФФЕКТИВНЫЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ
373
сохранении v фиксированным, предоставляя д2иА стремиться к
бесконечности при фиксированном соотношении между ними.
Теперь сосредоточим внимание на £(сг, тг). Вместо того чтобы
рассматривать £(сг,7?) = ^[(да)2 + (дтг)2] со связью а2 4- тг2 = v29 можно решить
это уравнение для связи и подставить решение а = \/v2 — тг2 в лагранжиан,
получая тем самым так называемую нелинейную сг-модель.
= 1(дп)> + ф(п.дп)2+... (3)
Заметим, что С можно записать в виде С = (дтга)Са6(тг)(дтг6);
некоторые предпочитают рассматривать Gab как «метрику» в пространстве
полей. [Кстати, вспомните, что ранее в главе 1.3 мы ограничились
простейшим членом кинетической энергии ^(<9у?)2, отбрасывая такие варианты,
как U((f)(d(p)2. Но вспомните также, что в главе IV.3 говорилось, что такой
член появляется при квантовых флуктуациях.]
В соответствии с рассуждениями, с которых начинается эта глава,
любой лагранжиан, который обладает правильными свойствами симметрии,
должен описывать одну и ту же физику низких энергий. Это значит, что
кто угодно, включая вас, может ввести свою собственную параметризацию
полей.
Нелинейная сг-модель на самом деле является примером широкого
класса теорий поля, лагранжиан которых имеет простой вид, но
появляющиеся в нем поля подчиняются некоторой нетривиальной связи. Примером
является теория, определяющаяся лагранжианом
C(U) = £tT(dvU*-d»U), (4)
где U(x) — матричнозначное поле и элемент SU(2). Действительно, если
записать U = е^г/^)7ГГ, то легко видеть, что лагранжиан C(U) = ^(<97?)2 +
Ь (1/2/2)(7г • дтг)2 + ..., совпадает с (3) вплоть до указанных членов.
О нелинейных сг-моделях и их приложениях в физике элементарных
частиц и конденсированных сред можно сказать значительно больше, но
всестороннее рассмотрение этой темы выходит за рамки настоящей книги.
Поэтому некоторые свойства этих моделей я раскрою в задачах, а в
следующей главе опишу в общих чертах, как такие модели могут появляться
в одном классе систем конденсированных сред.
(дтг)2 +
(тг • дтг)2
374
Глава VI.4
Упражнения
VI.4.1. Покажите, что вакуумное среднее (сг, 7?) действительно может имеет любое
направление без изменения физики. На первый взгляд это утверждение
кажется странным, так как за счет своего 75-взаимодействия с нуклоном пион
является псевдоскалярным полем и не может иметь вакуумное среднее без
нарушения четности. Но (а, 7?) всего лишь греческие буквы. Покажите, что
при соответствующем преобразовании нуклонного поля четность
сохраняется, как и должно быть при сильном взаимодействии.
VI.4.2. Вычислите амплитуду пион-пионного рассеяния до членов второго порядка
по внешним импульсам, используя нелинейную сг-модель (3). [Указание:
если нужна помощь, см. S.Weinberg, Phys. Rev. Lett. 17: 616, 1966.]
VI.4.3. Вычислите амплитуду пион-пионного рассеяния до членов второго
порядка по внешним импульсам, используя линейную сг-модель (2). Не забудьте
фейнмановскую диаграмму, включающую обмен сг-мезонами. Вы должны
получить тот же результат, что и в упражнении VI.4.2.
VI.4.4. Покажите, что соотношение для массы М — gv эквивалентно соотношению
Голдбергера - Треймана.
Глава VI.5
Ферромагнетики и антиферромагнетики
Магнитные моменты
В главах IV. 1 и V.3 обсуждалось происхождение понятия намбу-голд-
стоуновского бозона как спиновой волны в ферромагнитных или
антиферромагнитных телах. Модельное описание таких тел представляет собой
регулярную решетку, в каждом узле которой находится локальный магнитный
момент, который обозначим единичным вектором щ\ j обозначает узел.
В ферромагнетике магнитные моменты соседних узлов стремятся
выстроиться в одном направлении, в то время как в антиферромагнетике
магнитные моменты соседних узлов стремятся быть противоположно
направленными. Другими словами, энергия имеет вид Н = J J2^i * ^j, где i и j
(ij)
обозначают соседние узлы. Для антиферромагнетиков J > 0, а для
ферромагнетиков J < 0.
При более микроскопическом рассмотрении следовало бы начать с
гамильтониана (например, хаббардовского гамильтониана), описывающего
перескоки электронов и взаимодействие между ними. В приближении
среднего поля классическая переменная п^ может появиться как единичный
вектор, указывающий направление (cjcrcj), где с] и Cj — операторы рождения
и уничтожения электронов соответственно. Но у вас в руках не учебник по
физике твердого тела.
Первый или второй порядок по времени
В этом разделе мы бы хотели получить эффективное описание
низкоэнергетических состояний ферромагнетика и антиферромагнетика в
духе описания сигма-модели из предшествующей главы. Это описание будет
существенно длиннее, чем стандартное, которое приводится в некоторых
книгах по теории поля, но в нем есть небольшое преимущество — оно
корректно.
376
ГЛАВА VI.5
В том, какой член кинетической энергии надо добавить к —И, чтобы
образовать лагранжиан L, есть некоторая тонкость. Так как для единичного
вектора п имеет место выражение п • (dn/dt) = (d(n • n)/dt) = О, одной
производной по времени обойтись нельзя. С двумя производными можно
образовать (dn/dt) • (dn/dt) и тогда
1 V4 ^Ъ' ®™э v~^ -* -
У 3 (ij)
В типичном учебнике по теории поля далее записывается непрерывный
предел и в результате получается плотность лагранжиана
дп дп _ 2 V^ дп_ дт± \ /2\
dt'dt c*Z^dxi'dxi) K)
со связью [n(x, t)]2 = 1. Это еще один пример нелинейной сигма-модели.
Как и в нелинейной сигма-модели, рассмотренной в главе VI.4, в этом
случае лагранжиан выглядит свободным, но ограничение приводит к
нетривиальной динамике. Постоянная cs (которая определена через
микроскопическую переменную J) является скоростью спиновой волны, что легко
увидеть, если записать уравнение движения (д2/dt2)n — с2т\/2п = 0.
Однако вам может показаться, что здесь что-то не так. Из курса
квантовой механики известно, что динамика спиновой переменной S имеет
первый порядок по времени. Рассмотрим наиболее типичный пример спина в
постоянном магнитном поле, описываемом выражением Н = fj,S • В. Тогда
dS/dt = г [Я, S] = \iB x 5. Кроме того, вы, возможно, помните из курса
физики твердого тела, что в ферромагнетике дисперсионное соотношение
спиновой волны имеет нерелятивистский вид и ос к2, а вовсе не
релятивистский вид а;2 ос /с2, что следует из выражения (2).
Разрешение этого явного парадокса основано на тождестве Паули-
Хопфа. Имея единичный вектор Я, можно всегда записать п = z^az, где
z = I * 1 состоит из двух комплексных чисел, таких что z^z = z\z\ +
+ z\z2 = 1. Проверьте это! (Математическое отступление. Записывая z\
и Z2 через действительные числа, находим, что это определяет так
называемое отображение Хопфа S3 —> 52.) Несмотря на то что нельзя образовать
член второго порядка по п и линейный по временной производной,
можно записать член второго порядка по комплексному дублету z и линейный
по временной производной. Не могли бы вы это проверить, прежде чем
перейти к следующей строчке?
Ферромагнетики и антиферромагнетики
377
Правильной версией (1) является
^correct = *X*Zi-at +^2^Ж'~дГ -J2^n*'nJ- W
3 * 3 (ij)
Добавленный член известен как фаза Берри и имеет глубокий
топологический смысл. Вам нужно вывести уравнение движения, используя тождество
/**(*'£)-5'/*** •(**£)• <4)
Примечательно, что, хотя член zUdzj/dt) нельзя записать в терминах fij,
это можно сделать для его вариации.
Низкоэнергетические моды в ферромагнетике
и антиферромагнетике
В основном состоянии ферромагнетика все магнитные моменты имеют
одно и то же направление, которое можно считать ^-направлением. Разлагая
уравнение движения по малым флуктуациям относительно этого основного
состояния fij = ez + Sftj (где ez означает соответствующий единичный
вектор) и выполняя преобразование Фурье, получаем
(-<£ + h(k) -hu \
9 г
1 л. . W
2
ш -0>- + h(k)
£$1И <5>
v 2 о' /
соотношение на две компоненты 5п(к), т.е. 5пх(к) и 6пу(к). Условие fij •
uj = 1 означает, что 5nz(k) = 0. Здесь а — период решетки и h(k) = 4J[2 —
— cos(kxd) — cos(kyd)] ~ 2Ja2k2 для малого к. (Я неявно работаю в двух
пространственных измерениях, о чем свидетельствуют кх и ку.)
При низких частотах член Берри ги доминирует над членом ш2/д2,
который поэтому можно отбросить. Положив определитель матрицы
равным нулю, получаем правильное квадратичное дисперсионное
соотношение и ос к2.
Рассмотрение антиферромагнетика связано с интересной
особенностью. Так называемое состояние Нееля1 для антиферромагнетика определя-
1 Заметим, что, хотя состояние Нееля описывает конфигурацию классического
антиферромагнетика с наименьшей энергией, оно не описывает основное состояние квантового
антиферромагнетика. Члены S+ST +S~Sf в гамильтониане J изменяют направление спинов вверх
378
Глава VI.5
ется выражением Hj = (—iyez. Записывая щ = (—l)Je"z -f Sfij, получаем
выражение
9 \( 6rix{k) l-o (в)
\ Z 9 )
связывающее Snx и Sny, зависящих от разных импульсов. Здесь f(k) =
= 4J[2 + cos(fcx^) + cos(kya)] и Q = [тг/а,7г/а]. Появление Q связано
с тем, что (—lp = e2(^aj. (Постарайтесь разобраться со слишком
краткими обозначениями.) Антиферромагнитный множитель (—1)J' явно
нарушает трансляционную инвариантность и вставляет импульс Q, когда бы он ни
появлялся. Аналогичное уравнение связывает 5пу(к) и 6пх(к + Q). Решая
эти уравнения, находим, что существует высокочастотная ветвь, которая не
представляет для нас интереса, и низкочастотная ветвь с линейной
дисперсией и) ос к.
Таким образом, низкочастотную динамику антиферромагнетика можно
описать нелинейной сигма-моделью (2), которую можно представить в
релятивистском виде, когда скорость спиновой волны нормирована к единице:
£ = ^дйп.д»п. (7)
^9
Упражнения
VI.5.1. Получите две ветви спинового волнового спектра для случая
ферромагнетика, обращая особое внимание на поляризацию.
VI.5.2. Проверьте, что в случае антиферромагнетика член фазы Берри только
меняет скорость спиновой волны и не влияет качественно на спектр, как в случае
ферромагнетика.
Глава VI.6
Поверхностный рост и теория поля
В этой главе рассматривается довольно необычная для учебника по
теории поля тема, взятая из неравновесной статистической механики —
одного из разделов теоретической физики, который последние несколько лет
развивается наиболее активно. Я расскажу вам еще об одной области, где
используются идеи теории поля.
Представим атомы, беспорядочно расположенные на некоторой
поверхности. Буквально выражаясь, так выращиваются некоторые новые
вещества. По мере роста высота этой поверхности /г(х, t) определяется
уравнением Кардара-Паризи-Чжана
H=I,V2/>+|(V/i)2 + »7(*,t). (1)
Это уравнение описывает обманчиво простой прототип неравновесной
динамики и имеет поразительно широкую область применения.
Чтобы понять уравнение (1), рассмотрим различные слагаемые в
правой его части. Смысл слагаемого vV2h (где v > 0) очевиден:
положительное во впадинах h и отрицательное на пиках, оно стремится сгладить
поверхность. При наличии единственного этого слагаемого задача была бы
линейной и поэтому тривиальной. Нелинейное слагаемое (A/2)(V/i)2
делает задачу весьма нетривиальной и интересной. В качестве упражнения
убедитесь в геометрическом происхождении этого слагаемого. Третье
слагаемое описывает случайное появление атомов со случайной переменной
r}(x,t), которая, как предполагается, подчиняется гауссовому
распределению с нулевым средним значением1 и коррелятором
{r)(x,t)r){x\t,))=2a25D{x-x,)5(t-t'). (2)
Другими словами, распределение вероятности для реализации г](х, t)
определяется выражением
--^ fdnxdtTj{x,t)2
Р(т)) ос е 2а
'Здесь не нарушается общность, поскольку аддитивную постоянную в т/ можно убрать
путем сдвига h —> h + ct.
380
Глава VI.6
Здесь х представляет собой координаты в D-мерном пространстве. В
эксперименте для описанной ситуации D = 2, однако теоретически можно
рассматривать эту задачу для любой размерности D.
Специалистов в области физики конденсированных сред обычно
интересует корреляции между высотой поверхности при двух различных
положениях в пространстве и времени:
{[h(x,t) -htfj)]*) = \x-xf4 OjZ^rf)- (3)
Скобки (...) здесь и в выражении (2) означают усреднение по разным
реализациям случайной переменной rj(x^t). Правая часть (3) представляет
собой выражение для динамического скейлинга, которое обычно
постулируется в физике конденсированных сред, где \ и z ~ это так называемые
экспонента шероховатости и динамическая экспонента. Итак, задача
состоит в том, чтобы доказать корректность выражения для скейлинга, а также
найти х и z- Отметим, что из динамической экспоненты z (которая в общем
случае не является целым числом) следует, грубо говоря, сколько степеней
пространства стоят одной степени времени. (Для Л = 0 получаем простую
диффузию, для которой z = 2.) Здесь / обозначает неизвестную функцию.
Я не буду вдаваться в прочие технические подробности. Для нас
представляет интерес то, как эта задача, которая даже не включает квантовую
механику, может быть преобразована в квантовую теорию поля. Начнем
с выражения
-;7Т fdnxdtri(x,t)2
ft-v^h-^h?-r,{x,t)
Z= jVh jVrje 2°
Интегрируя по r\, получаем Z — fVhe~s^h\ где действие имеет вид:
S(/i) = -±- fdDxdt
2ст2 J
^-uV2h-\{Vhf
(4)
(5)
Вы узнаете, что данное выражение описывает нерелятивистскую теорию
скалярного поля h(x,t). Тогда интересующая нас физическая величина
определяется выражением
([Л(ж, t) - h{x\ t')f) = -| / Vh e~sw [Л(х, t) - h(x\ t')}2
(6)
Поверхностный рост и теория поля
381
Таким образом, задача определения экспоненты шероховатости и
динамической экспоненты в статистической физике эквивалентна задаче
определения пропагатора
D(x,t) = -| fvhe-S{h)h(x,t)h{6,0)
скалярного поля h.
Кстати, с учетом масштабирования t —> tjv и h —> у/а2 /uh действие
можно записать в виде
5(Л) = \jdDxdt [(| - V2)ft- §(Vfc)2
(7)
где g2 = \2а2 /v*. Раскладывая, как обычно, действие по степеням h
5(/1) = ||^xdJ[(|-V2)/l]2-5(V/l)2(|-V2)/l+^(Vft)4|)
(8)
получаем знакомый квадратичный член, дающий довольно необычный про-
пагатор 1/(cj2 + А:4) для скалярного поля h, а также члены кубической
и четвертой степени, описывающие взаимодействие. Как обычно, чтобы
получить искомую физическую величину, вычисляем функциональный
интеграл, или интеграл «по траекториям»,
/
Vh e~s(h)~*~f d°x dt J(x'*)Mz,t)
и затем функционально дифференцируем несколько раз по J.
Я хочу не столько обучить вас неравновесной статистической
механике, сколько показать, как квантовая теория поля может возникать в разных
физических ситуациях, в том числе тех, которые включают только
классическую физику. Заметим, что «квантовые флуктуации» здесь появляются из
случайного основного члена. Между хаотической динамикой и квантовой
физикой явно существует тесная методологическая связь.
Упражнения
VI.6.1. Задача по элементарной геометрии: нарисуйте прямую линию под углом в
к горизонтали. Эта линия представляет сегмент поверхности в момент
времени t. Теперь нарисуйте несколько окружностей диаметра d,
касательных к этой линии сверху. А теперь нарисуйте другую линию под углом
382
Глава VI.6
в к горизонтали, которая лежит поверх окружностей, а именно
касательную к ним. Эта новая линия представляет собой сегмент поверхности в
более поздний момент времени (см. рис. VI.6.1). Обратите внимание, что
A/i = d/cosO ~ d(l + А#2). Покажите, что порождается нелинейный
член (X/2)(Vh)2 в уравнении (1) Кардара - Паризи - Чжана. О применениях
уравнения Кардара - Паризи - Чжана читайте, например, в Т. Halpin-Healy
and Y.-C.Zhang, Phys. Rep. 254: 215, 1995; A.L.Barabasi and H.E.Stanley,
Fractal Concepts in Surface Grown.
Рис. VI.6.1
VI.6.2. Покажите, что скалярное поле h имеет пропагатор 1/(ш2 + к4).
VI.6.3. Квантовая теория поля при заменах переменных может часто проявляться
- h
в довольно разных видах. Покажите, что, записав U = е29 , можно
заменить действие (7) на
S=\ JdDxdt(y-ljty - U~1V2U}2,
(9)
то есть своего рода нелинейную сг-модель.
Глава VI.7
Беспорядок: реплики и грассманова
симметрия
Примеси и случайный потенциал
Важной областью физики конденсированных сред являются
неупорядоченные системы, изучению которых за последние несколько десятилетий
было посвящено огромное число теоретических работ. Электроны в
реальных материалах рассеиваются на неизбежно присутствующих примесях
и эффективно движутся в случайном потенциале. Кратко опишу эту
захватывающую тему и покажу, как подобного рода задачу можно отобразить
в квантовой теории поля.
Прототипом является задача о квантовой частице, подчиняющейся
уравнению Шредингера Нф = [—V2 + У(х)]ф = Еф, где V(x) —
случайный потенциал (представляющий примеси), имеющий нормальное гауссово
распределение P(V) = Afe~fd х(г/29 )y(x) с нормировочным
множителем flf, который определяется выражением J DV P(V) = 1. Параметр д
измеряет количество примесей: чем больше д, тем сильнее разупорядочена
система. Это, конечно, идеализация, в которой не учитываются
взаимодействие между электронами и ряд других физических эффектов.
Как и в статистической механике, представим себе ансамбль систем,
каждая из которых характеризуется конкретного вида функцией V(x),
взятой из распределения P(V). Изучим усредненные или типичные свойства
системы. В частности, нас интересует усредненная плотность состояний,
определяемая выражением р(Е) = (tr6(Е — #)) = (^25(Е — Ei)\ где
сумма берется по г-му собственному состоянию Н с соответствующим
собственным значением Ei. Обозначим среднее значение любого
функционала 0(V) функции V[x) как (0(V)) = J DV P(V)0(V). Ясно, что
Е*+5Е
f dE р(Е) соответствует числу состояний в интервале от Е* до Е* +
Е*
+ 5Е, которое является важным, например, в экспериментах по туннелиро-
ванию.
384
Глава VI.7
Андерсоновская локализация
Другой важный физический вопрос заключается в том,
распространяются ли волновые функции при определенной энергии Е по всей
системе или они локализованы в пределах характеристического масштаба
длин £(Е). Очевидно, что от этого зависит, является вещество
проводником или изолятором. На первый взгляд создается впечатление, что следует
изучить выражение
S(x,y;C) = (Т5(Е-Ег)^(х)фг(у)\
из которого можно было бы узнать, как волновая функция в точке х кор-
релирована с волновой функцией в некоторой другой точке у. Однако
выражение для S не подходит, потому что ф*(х)фг(у) имеет фазу, которая
зависит от V. Таким образом, S должно обращаться в нуль при усреднении
по беспорядку. Вместо S следует рассмотреть величину
К(х-у,Е) = 1^5{Е - Е>ШхШу)ГгШг{х)\
так как член яр*(х)ярг(у)яр*(х)ярг(у) явно положительный. Заметим, что при
усреднении по всем возможным V(x) восстанавливается трансляционная
инвариантность, так что К является функцией только расстояния \х — у\.
Если \х — у\ —> оо, то при К(х — у;Е) ~ е-\х~у\/£(Е) волновые функции
с энергией Е локализованы на так называемой длине локализации £(Е). С
другой стороны, если К{х — у;Е) убывает как степень от | х — у |, то говорят,
что волновые функции не локализованы.
Андерсон с коллегами сделал поразительное открытие,
заключающееся в том, что свойства локализации зависят от размерности пространства D,
а не от детального вида P(V) (пример понятия универсальности). Для D =
= 1 и 2 все волновые функции локализованы независимо от того, насколько
слабым может быть примесный потенциал. Это утверждение в высшей
степени нетривиально, поскольку априори можно прийти к заключению, что
локализация или нелокализация волновых функций зависит от силы
потенциала, как думали в свое время выдающиеся физики. В противоположность
этому, для D = 3 волновые функции не локализованы для Е в диапазоне
(—ЕС,ЕС). По мере того как Е приближается сверху к энергии Ес
(известной как предел подвижности), длина локализации £(Е) расходится как
£(Е) ~ 1/(E — ECY с некоторой критической экспонентой1 //. За эту и дру-
Это пример квантового фазового перехода. Все обсуждение относится к нулевой темпера-
Беспорядок: реплики и грассманова симметрия 385
гие работы в теории конденсированных сред Андерсон получил
Нобелевскую премию.
С физической точки зрения локализация обусловлена деструктивной
интерференцией между квантовыми волнами, рассеивающимися на
случайном потенциале.
Когда включено магнитное поле, перпендикулярное плоскости
электронного газа с D = 2, ситуация кардинально меняется: при Е = О
появляется нелокализованная волновая функция. Для ненулевой Е все волновые
функции остаются локализованными, но с длиной локализации,
расходящейся как £(Е) ~ 1/\E\V. Такая ситуация является причиной одного из
наиболее поразительных особенностей квантового эффекта Холла (см.
главу VI.2): холловская проводимость остается постоянной, тогда как энергия
Ферми возрастает, но затем внезапно скачкообразно изменяется на
дискретное значение вследствие вклада нелокализованного состояния, когда
энергия Ферми переходит через Е — 0. Количественная оценка такого
поведения является сложной задачей для теоретиков в области физики
конденсированных сред. Действительно, многие рассматривают аналитическое
вычисление критической экспоненты v как один из «священных Граалей»
теории конденсированного вещества.
Формализм функций Грина
Слишком много информации для молниеносного знакомства с теорией
локализации. Каким бы интересным ни был переход к локализации, какое
отношение к этому может иметь квантовая теория поля? Все-таки это
учебник по теории поля. Перед тем как продолжить, необходимо описать
формализм. Рассмотрим так называемую функцию Грина G(z) = (tr[l/(z — Н)})
в комплексной ^-плоскости. Так как tr[l/(z — Н)] = J2 l/(z — Ег), эта
i
функция состоит из суммы полюсов при собственных значениях Е\. При
усреднении полюсы сливаются в разрез. Используя стандартное тождество
lim Im[l/(x + ie)\ = —тг5(х), легко видеть, что
е—>оо
р(Е) = -1 lim Im G(E + is). (1)
Поэтому если известна функция G(z), то известна плотность состояний.
туре. В отличие от фазового перехода, рассмотренного в главе V.3, вместо температуры здесь
меняются Е.
386
Глава VI.7
Скверный знаменатель
Теперь можно объяснить, как квантовая теория поля возникает в этой
задаче. Начнем с того, что возьмем логарифм тождества (А. 12)
J* . tf-i . J = log ( f DrfDtp е-*' к^+J+ "e+S'A
(где, как обычно, отбрасывается несущественный член). Дифференцируя по
Jt и J и затем задавая J* и J равными 0, получаем интегральное
представление для обратной эрмитовой матрицы:
fD4fiDVe-*'-K-*<pi<pi
{К )ij~ fD^Dve-^* • (2)
(Как видно, это выражение, по сути, связано с формулой (1.7.14) для пропа-
гатора скалярного поля.) Теперь мы знаем, как представить функцию l/(z —
— Н). Надо взять ее след, что означает положить в уравнении (2) г = j
и просуммировать. В этой задаче Н = — V2 + V(x), а индекс г
соответствует непрерывной переменной х, тогда как суммирование — интегрированию
по пространству. Заменяя К на i(z — Н) (и позаботившись о
соответствующей дельта-функции), получаем
-г [ D j /D^D^e^^^tV^+^W-^V}^)^^)!
1 z-H " J У\ j D^D^i f dDx{d<p*d<p+[V(x)-z]<p*<p} J
(3)
Начинает походить на теорию скалярного поля в D-мерном евклидовом
пространстве с действием 5 = f dDx{dip^dip + [V(x) — z]ip^ip}. [Заметим,
что, для того чтобы уравнение (3) было хорошо определено, z должна
находиться в нижней полуплоскости.]
Но теперь нужно усреднить по V(x), то есть проинтегрировать по V
с распределением вероятности P(V). Сразу же возникает трудность,
которая долгое время ставила теоретиков в тупик. Знаменатель в (3) не
позволяет двигаться дальше. Если бы этого знаменателя не было, то
функциональное интегрирование по V(x) соответствовало бы вычислению гауссова
интеграла, которым вы занимались много раз. Можно ли этот скверный
знаменатель, если можно так выразиться, как-то перенести в числитель?
Умные головы предложили два приема, известные соответственно как реп-
личный и суперсимметричный. Если вы можете предложить другой прием,
честь вам и хвала.
Беспорядок: реплики и грассманова симметрия 387
Реплики
Репличный подход основан на хорошо известном пределе (1/х) =
= lim xn_1, который позволяет записать этот столь неприятный знамена-
п—>0
тель в виде
lim ( ( Dtp*DipelS<*'MV<V+[V(*)-*]*M
n-\
a=2
Тогда (З) приобретает вид
lim / [[D<plD(pae
tr —Ц= = lim i / dDyx
z — H n-»o J
xMnD^fl e "=1 ^i(l/M(l/)- (4)
Заметим, что функциональный интеграл теперь берется по п комплексным
скалярным полям <ра. Реплика поля ф получена.
Усредняя по случайному потенциалу, восстанавливаем
трансляционную инвариантность. Таким образом, подынтегральное выражение для
JdDy не зависит от г/, a J dDy просто дает объем системы V.
Используя (А. 12), получаем
(tij^=iVlimJ (jjDtptDtpaj e^'^i (0)^1(0), (5)
где
n . 2 / п \ 2
см = Y№>l*p* - *v>W*) + \ Е dv* ■ (6)
а=1 \а=1 /
Мы получаем теорию поля (со специфическим множителем г) п
скалярных полей со старым добрым взаимодействием (р4, инвариантным
относительно 0(п) (известной как репличная симметрия). Заметим
целесообразность замены К на i(z — Н): если не включить г, то функциональный
интеграл расходился бы при большом (р, что можно легко проверить. Для z
в верхней полуплоскости заменим К на —i(z — Н). Величина, из которой
388
ГЛАВА VI.7
можно извлечь искомую усредненную плотность состоянии, определяется
пропагатором скалярного поля. Кстати, в уравнении (5) (/?i(0)<^{(0) можно
заменить более симметричным выражением (1/п) ^ <р\фь-
6=1
Убирая V и, таким образом, переходя к вычислению плотности
состояний на единицу объема, находим
G(z) = < Urn/ Ш DtplDipA е-*™ U X>J(0)w(0) j. (7)
Для любого целого числа п теория поля определяется однозначно,
поэтому тонким моментом в репличном подходе является взятие предела
п —> 0. Этому пределу посвящена интереснейшая литература. (Посмотрите
книгу о спиновых стеклах.)
Некоторые теоретики в области физики элементарных частиц имели
обыкновение пренебрежительно отзываться о физике конденсированных
сред как о грязной физике. Влияние примесей и беспорядка на вещество
действительно является одной из основных проблем современной физики
конденсированных сред. Но, как видно из этого примера, между
усреднением по беспорядочности и суммированием по квантовым флуктуациям во
многих отношениях нет математического различия. В итоге получаем
теорию поля </?4, на изучение которой многие специалисты по физике
элементарных частиц потратили в прошлом немало усилий. Кроме того,
поразительный вывод Андерсона о том, что для D = 2 любая степень беспорядка
(сколь угодно малая) локализует все состояния, означает, что теорию поля,
определяемую выражением (6), следует понимать в высшей степени
нетривиально. Величина беспорядка проявляется как взаимодействие д2, так что
никакая теория возмущений по д2 не может помочь нам объяснить
локализацию. Андерсоновская локализация является существенно непертурбатив-
ным эффектом.
Грассманов подход
Как упоминалось выше, для борьбы со скверным знаменателем
придуман не один, а два приема. Второй прием основан на интегрировании по
грассмановым переменным, которое было рассмотрено в главе И.5. Пусть
rj(x) и fj(x) будут грассмановыми поля, тогда
/Dr\Dr\e-^dAx^Kr] = CdetK = c( f DtpDtp* e-f*xtp*KA ,
Беспорядок: реплики и грассманова симметрия 389
где С и С — две несущественные константы, которые можно включить
в определение Drj Dfj. С учетом этого тождества выражение (3) можно
записать в виде
(8)
и тогда легко усреднить по беспорядку, чтобы получить
Аг^я) =г ID^DtpDrjDrjJf^x^w'^^x)^^) (9)
с лагранжианом
ig2
£(77,77,^,^) = dip*dp + drjdr) - z(y?V + Щ) + -?r(<P*<P + Щ)2- (Щ
В итоге получаем теорию поля с бозонными (коммутирующими) полями (р*
И(ри фермионными (антикоммутирующими) полями т) и rj, взаимодействие
которых определяется беспорядком. Действие 5 обладает очевидной
симметрией по отношению к вращению бозонных полей в фермионные
поля и наоборот; и поэтому этот подход известен среди специалистов в
области физики конденсированных сред как суперсимметричный. (Следует
обратить внимание, что rj и fj не являются спинорными полями, что мы
подчеркиваем, не записывая их в виде фиф. Суперсимметрия здесь,
которую, пожалуй, лучше назвать грассмановои симметрией, крайне отличается
от суперсимметрии в физике элементарных частиц, рассмотренной в
главе VIII .4.)
У обоих подходов, как репличного, так и суперсимметричного, есть
свои трудности; и я не шутил, когда говорил, что если вам удастся
изобрести новый подход, в котором нет такого рода трудностей, он с восторгом
будет принят специалистами по физике конденсированных сред.
Изучение локализации
Я показал, как вычислять усредненную плотность состояний р(Е).
А как изучать локализацию? Попробуйте сами получить ответ на этот
вопрос, решая упражнение в конце главы. Из предыдущего рассмотрения
390
Глава VI.7
должно быть понятно, что объект, полученный из (3), нужно изучать путем
замены ^>{у)^{у) на ф{у')ч>^ (у)ч>{у)<р^ (у')- Если сформулировать реплич-
ную теорию поля на языке физики элементарных частиц, т.е. как
описание взаимодействия некоторого скалярного мезона, то можно увидеть, что
плотность состояний будет определяться мезонным пропагатором, а
локализация — мезон-мезонным рассеянием.
Упражнения
VI.7.1. Получите теорию поля, которая позволит изучать андерсоновскую
локализацию. [Указание: рассмотрите объект
((^я)М^)^>
для двух комплексных чисел z и w. Необходимо ввести два набора реп-
личных полей, обычно обозначаемых как <р+ и <Ра-] {Примечание: [l/(z —
— Н)](х,у) обозначает элемент ху матрицы, или оператора, [l/(z — Н)].}
W1.1.2. В качестве другого примера рассмотрите задачу, взятую из литературы,
посвященной беспорядку. Разместите случайным образом N точек в £>-мер-
ном евклидовом пространстве объемом V. Обозначьте положения этих
точек как Хг (г = 1, ..., N). Пусть
/(*) = (-)/
dDk ё
гкх
(27r)Dk2 + m2
Рассмотрите N х iV-матрицу Hij = f(xi — Xj). Вычислите плотность
собственных значений Н р(Е) как среднее по ансамблю матриц в пределе
N —> оо, V —* оо, с фиксированной плотностью точек р = N/V (не
надо путать с р(Е)). [Указание: используйте репличный подход и получите
действие теории поля
"(I/*) £ 1*>а|2
с* = 1
S(V) = jdDx £(|VV.|2 +mV|2) -pe
Эта задача не совсем тривиальна; если вам нужна помощь, смотрите
М. Mezard et al., Nucl. Phys. B559: 689, 2000, cond-mat/9906135.
Глава VI.8
Ренорм-групповой поток как
естественное понятие в физике высоких
энергий и конденсированных сред
Таким образом, выводы, основанные
на ренорм-групповом подходе...
опасны и должны рассматриваться с должной
осторожностью. То же относится ко всем
выводам, полученным из локальных
релятивистских теорий поля.
Дж.Бьеркен и С. Дрелл, 1965
Это не опасно
Ренорм-группа представляет собой наиболее важное концептуальное
достижение в квантовой теории поля за последние три-четыре
десятилетия. Основные идеи развивались одновременно как в сообществе
специалистов в области физики высоких энергий, так и специалистов в области
физики конденсированных сред, а в некоторых областях исследования
ренорм-групповой поток стал частью рабочего языка.
Легко представить, насколько богат и многосторонен этот предмет; его
можно рассматривать с разных точек зрения, а для полного описания
потребовалась бы целая книга. К сожалению, рассмотрение этого предмета
никогда не было достаточно основательным и всеобъемлющим.
Рассмотрения, приведенные в некоторых ранее изданных книгах, только вводят
читателей в заблуждение и являются беспорядочными, как, например, в хорошо
известном учебнике, по которому я изучал квантовую теорию поля и из
которого взята цитата к настоящей главе. Учитывая ограниченный объем
книги, я попытаюсь изложить самую суть этого предмета, избегая, по
возможности, технических подробностей. Вначале я подойду к рассмотрению
с точки зрения физики высоких энергий, а затем с точки зрения физики
392
Глава VI.8
конденсированных сред. Как и раньше, внимание будет сосредоточено на
смысловом содержании, а не на вычислениях. Несмотря на порядок
изложения, вы поймете, что проще усвоить роль ренорм-группы в физике
конденсированных сред, чем в физике высоких энергий.
Я заложил основу для рассмотрения ренорм-группы еще в главе III. 1 —
я все планирую заранее! Вернемся к нашему другу-экспериментатору, с
которым мы обсуждали теорию Х(р4. По-прежнему будем считать, что наш
мир описывается простой теорией Хер4 и приближения до порядка Л2
достаточно.
На чем настаивают экспериментаторы
Нашего друга-экспериментатора не интересовала написанная на листе
бумаги константа связи Л; для него это всего лишь греческая буква. Он
настаивал на том, что признает такие величины, которые фактически можно
измерить, пусть даже только в принципе экспериментально. В результате
нашей с ним дискуссии понимание того, что такое константа связи, стало
глубже, и мы усвоили, что надо определить физическую константу связи
следующим образом [см. выражение (III. 1.4)]:
Ар(/х) = Л - ЗСЛ2 log ^ + 0(Л3). (1)
По его настоянию мы научились представлять результат для физических
амплитуд через Ap(/i), а не теоретически введенную Л. В частности, нужно
записать амплитуду мезон-мезонного рассеяния как
Л4 = -гАр(/х)+гСАр(//)2
+ log £- +log
+
+ 0[AP(/i)3]. (2)
В чем заключается физический смысл Ар(//)? Она, конечно же,
измеряет силу взаимодействия между мезонами, как отражено в (2). Но
почему нужно выбирать конкретное /х? Из (2) очевидно, что Ар(/х) очень
удобна для изучения физики в таком режиме, когда все кинематические
переменные s, t и и имеют порядок /х2. Амплитуда рассеяния имеет вид
—iXp(fi) с малыми логарифмическими поправками. (Вспомним из сноски
в главе III.3, что точка перенормировки 5о = to = uq = fi2 введена
только для удобства теоретического рассмотрения и не может быть достигнута
Ренорм-групповой поток
393
в реальных экспериментах. Для концептуального понимания здесь это не
имеет отношения к делу.) Короче говоря, Ар(/х) известна как константа
связи, соответствующая физике на масштабе энергий /х.
В отличие от этого, если быть настолько глупыми, чтобы использовать
константу связи Ар(/х') при изучении физики в режиме с s, t и и,
имеющими порядок /х2, где /х очень отличается от /х', то амплитуда рассеяния имела
бы вид
M = -i\p(iA') + iC\P(iA')
"U£W£ +*S
+
+ 0[Ар(//)3], (3)
где второе слагаемое [с большим log(/x/2//x2)] может быть одного порядка
с первым членом или превышать его. Таким образом, для каждой
энергетической шкалы /х есть «соответствующая» константа связи Ар(/х).
Вычитая (2) из (3), можно легко связать Ар(/х) и Ар(/х') для /х ~ //:
Ap(mu') = AP(/i) + ЗСАр(М)2 log I^ J + 0[АР(/х)3]. (4)
Последнее выражение можно записать в виде дифференциального
«уравнения потока»
1л-^\р((л) = 6С\р(1г)2+0(\3Р). (5)
Вы уже неоднократно сталкивались с тем, что квантовая теория поля
полна исторических ошибок в употреблении терминов. Описание того, как
Ap(/i) меняется в зависимости от /х, известно как ренорм-группа. Группа
здесь появляется лишь как аддитивная1 группа преобразования /х —> /х + (5/х.
Для концептуального рассмотрения материала, изложенного в
главе III. 1 и в этой главе, можно вовсе не знать, что собой представляет
константа С. Если С окажется отрицательной, тогда константа связи Ар(д)
будет убывать с увеличением масштаба энергий /х и возрастать, если С
окажется положительной. (На самом деле она имеет положительный знак,
так что, когда масштаб энергии увеличивается, Ар растет относительно
первоначального значения.)
1 Группа преобразований — мультипликативна, инфинитезимальные преобразования
аддитивны. — Прим. ред.
394
Глава VI.8
Поток электромагнитной константы связи
Рассмотренное поведение Л типично для констант связи в
четырехмерных квантовых теориях поля. Например, в квантовой электродинамике
константа связи е или, что эквивалентно, а = е2/47г, измеряет
интенсивность электромагнитного взаимодействия. Здесь происходит то же самое,
что и с теорией Х(р4: нашего друга-экспериментатора не интересует
латинская буква е, он хочет знать реальное взаимодействие, когда
соответствующие возведенные в квадрат импульсы имеют порядок /i2. Хорошо, что
мы уже сделали вычисление: эффективную константу связи можно извлечь
при таком значении импульса, который перенесен возведенным в квадрат
q2 = /х2 из уравнения (III.7.14):
ep(M)2 = 62l + eW) * ^[1 " е2Щ/Х2) + 0(б4)] •
Возьмем значение /х, гораздо большее массы электрона га, но гораздо
меньшее масштаба обрезания М. Тогда из выражения (Ш.7.13) получаем:
М^ер(М) = -|е3/х^П(М2) + 0(е5) = +j^e% + 0(e%). (6)
Видим, что электромагнитная константа связи возрастает при
увеличении масштаба энергий. Электромагнетизм становится сильнее с переходом
к более высоким энергиям или, что эквивалентно, к меньшим расстояниям.
В физическом смысле происхождение этого явления тесно связано
с физикой диэлектриков. Рассмотрим фотон, взаимодействующий с
электроном, который назовем пробным электроном, чтобы в последующем
избежать путаницы. Как показано еще в главе 1.1, вследствие квантовых
флуктуации пространство-время наполняется появляющимися и
исчезающими электрон-позитронными парами. Вблизи пробного электрона
электроны в таких виртуальных парах отталкиваются от него и поэтому
стремятся от него удалиться, тогда как позитроны стремятся к нему
приблизиться. Таким образом, на больших расстояниях заряд пробного электрона
отчасти экранируется облаком позитронов, что приводит к более слабому
взаимодействию с фотоном, в то время как на малых расстояниях
взаимодействие с фотоном становится сильнее. Квантовый вакуум просто
настолько же диэлектрик, как и реальный образец.
Сейчас вы уже, возможно, заметили, что само название «константа
связи» является совершенно неправильным по той причине, что многое
в истории физики делалось главным образом на одном масштабе энергии,
Ренорм-групповой поток
395
а именно на «почти нулевом»! В частности, некоторые люди говорят о
«постоянной» тонкой структуры а = 1/137, и фантазеры продолжают попытки
«вывести» число 137 из нумерологии или других еще более причудливых
методов. На самом деле, а является просто «константой» связи
электромагнитного взаимодействия при очень низких энергиях. Экспериментально
установлено, что а, которую правильнее записать как ap(fi) = 6p(/i)/47Г,
меняется вместе с рассматриваемым масштабом энергий \х. Но увы,
название «константа связи», по-видимому, уже укоренилось.
Ренорм-групповой поток
В общем случае в квантовой теории поля с константой связи д имеет
место уравнение ренорм-группового потока
"=!=«*>• (?)
которое иногда записывают как dg/dt = /3(g), задавая t = log(/i//io).
Теперь опустим подстрочный индекс Р у физических констант связи. Если
окажется, что теория имеет несколько констант связи дг, г = 1, ..., N, то
получаем уравнение
^=0i(9i,-,9N). (8)
Можно представить (#i, ..., дм) как координаты частицы в ЛГ-мер-
ном пространстве, t как время и /?г(<?ъ • • • > 9n) как зависящее от
положения поле скоростей. Нас интересует, как движется или течет частица при
увеличении \х или t. Для простоты обозначим все координаты (<ji, ..., дм)
как д. Очевидно, что те связи, на которых fii(g*) исчезает (для всех г),
представляют особый интерес: д* известна как фиксированная точка. Если
поле скоростей вокруг фиксированной точки д* такое, что частица
движется по направлению к этой точке (и когда ее достигает, остается там,
поскольку ее скорость теперь равна нулю), фиксированную точку называют
притягивающей или стабильной. Таким образом, чтобы изучить
асимптотическое поведение квантовой теории поля при высоких энергиях, надо
«попросту» найти все ее притягивающие фиксированные точки относительно
ренорм-группового потока. В данной теории мы, как правило, видим, что
некоторые константы связи устремляются к большим значениям, тогда как
другие стремятся к нулю.
К сожалению, это замечательное теоретическое представление
сложно осуществить на практике, потому что, по сути, не существует способа
396
Глава VI.8
вычисления функций &(д). В частности, точка д* вполне могла бы быть
довольно большой, связанной с так называемой фиксированной точкой
сильной связи, а теория возмущений и фейнмановские диаграммы в этом
случае бесполезны при определении свойств теории. Действительно, структура
фиксированной точки известна для очень немногих теорий.
К счастью, известна одна особенно простая фиксированная точка,
а именно д* = 0, для которой теория возмущений, безусловно,
применима. Уравнение (8) всегда может быть вычислено пертурбативно: dgi/dt =
— °i 9j9k + d\ 9jgk9i + • • • (В некоторых теориях такая
последовательность начинается с квадратичных членов, а в других — с кубических.
Иногда присутствует также и линейный член.) Таким образом, как мы уже
видели на паре примеров, асимптотическое или высокоэнергетическое
поведение теории зависит от знака /^ в уравнении (8).
Давайте сейчас заглянем на съемки фильма «История физики». В
конце 1960-х годов экспериментаторы, изучающие так называемое глубоко
неупругое рассеяние электронов на протонах, обнаружили, что полученные
результаты указывают на то, что после соударения с высокоэнергетическим
электроном один из кварков внутри протона распространяется свободно,
без сильного взаимодействия с другими кварками. Обычно все три кварка
внутри протона связаны друг с другом сильным взаимодействием, образуя
таким образом протон. В конце концов, некоторые теоретики поняли, что
такая сложная ситуация объяснима, если теория сильного взаимодействия
такова, что константа связи течет в сторону фиксированной точки д* = 0.
В этом случае сильное взаимодействие между кварками слабеет с ростом
энергии.
Теперь, оглядываясь в прошлое, нам все кажется «очевидным». Но,
дорогие студенты, не забывайте, что в то время теория поля считалась
неприемлемой для молодых умов, а ренорм-группа рассматривалась как
«вредная» даже для учебника по теории поля!
Теория сильного взаимодействия не была известна. Если бы
хватило смелости принять опасные идеи ренорм-группы, то можно было даже
построить теорию сильного взаимодействия путем поиска асимптотически
свободных теорий, как стали нам известны теории с притягивающей
фиксированной точкой при д* = 0.
Асимптотически свободные теории, безусловно, удивительны. Их
поведение при высоких энергиях можно изучать с использованием пертур-
бативных методов. Так и была открыта фундаментальная теория сильного
взаимодействия, ныне известная как квантовая хромодинамика, о которой
речь пойдет позже.
Ренорм-групповой поток
397
Рассмотрение физики на различных масштабах длин
Необходимость ренорм-групп для физики конденсированных сред
очевидна. Вместо общих положений сосредоточимся на особо показательном
примере, а именно поверхностном росте. Именно поэтому в главе VI.6
введено уравнение Кардара-Паризи-Жанга. Мы знаем, что для изучения
поверхностного роста нужно вычислить интеграл по траекториям
Z(A)= fvhe~s{h\ (9)
где, как вы помните,
S(h) = \JdDxdt (§ - V2/i - |(УМ2)2. (Ю)
Это выражение определяет теорию поля. Как в случае любой теории поля,
надо ввести параметр обрезания Л. Проинтегрируем только по тем
конфигурациям полей /i (:?,£), которые не содержат фурье-компонент с к и и,
большими, чем Л. (В принципе, так как эта теория нерелятивистская,
обрезания должны быть разными для к и и, но в общем случае для
простоты описания обозначим их одинако как Л.) Введение параметра обрезания
необходимо и совершенно обоснованно физически. По крайней мере на
масштабах длин, как минимум сравнимых с размером соответствующих
молекул, непрерывное описание системы в терминах поля h(x, t)
неприменимо.
С физической точки зрения можно ожидать, что в микроскопическом
масштабе поверхность будет выглядеть очень неровной, как показано на
рис. VI.8.1a, поскольку случайно выбранный основной член r}(x,t)
соответствует белому шуму, то есть г/ при жи?(а также при разных моментах
времени) не коррелируют вообще. Однако предположим, что нас
интересует не столько детальная микроскопическая структура, сколько поведение
поверхности на больших масштабах. Другими словами, мы согласны
надеть такие очки, через которые поверхность выглядит расплывчато, как на
рисунке VI.8.lb. Это вполне естественный подход к изучению физической
системы, который нам хорошо знаком. Нас может интересовать физика на
некотором масштабе длин L, и не заботить, что происходит на масштабах
длин, гораздо меньших L.
Ренорм-группа — это формализм, который позволяет нам связать
физику на разных масштабах длин или, что эквивалентно, физику на разных
масштабах энергии. В физике конденсированных сред есть тенденция
рассматривать масштабы длин, тогда как в физике элементарных частиц —
398
Глава VI.8
(а)
(Ъ)
Рис. VI.8.1
масштабы энергии. Современный подход к ренорм-группам появился в
результате изучения критических явлений Кадановым, Фишером, Вильсоном
и другими, как упоминалось в главе V.3. Рассмотрим, например, модель
Изинга, в которой спины могут быть направлены вверх или вниз, и с
ферромагнитным взаимодействием между соседними спинами. При высоких
температурах спины направлены беспорядочно вверх и вниз. Когда
температура снижается до точки перехода в ферромагнитное состояние,
начинают появляться острова спинов, направленных вверх (мы говорим
«направленных вверх» для определенности, можно точно так же говорить о спинах,
направленных вниз). Их становится все больше до тех пор, пока не будет
достигнута критическая температура Тс, при которой все спины во всей
системе направлены вверх. Характерный масштаб длин в физике при
любой определенной температуре задается типичным размером таких
островов. В физически обусловленном методе блок-спина Каданова и др. блоки
направленного вверх спина рассматриваются как один эффективный
направленный вверх спин, и аналогично для блоков направленных вниз
спинов. Тогда понятие ренорм-группы является естественным для описания
эффективных спинов эффективным гамильтонианом, соответствующим
такому масштабу длин.
Более или менее ясно, как применить эту физическую идею изменения
масштабов в функциональном интеграле (9). Надо проинтегрировать по тем
Н(к,ш), где кии меньше Л. Предположим, мы делаем лишь часть того, что
должны сделать. Проинтегрируем по тем /i(fc, а;), где к и и больше Л — 5А,
Ренорм-групповой поток
399
но меньше Л. Именно это имеется в виду, когда мы говорим, что нас не
заботят флуктуации h(x,t) на масштабах длин и времени, меньших (Л —
-SA)-1.
Надеваем размывающие очки
Вернемся для простоты к нашей любимой \у>4-теории вместо того,
чтобы решать задачу поверхностного роста. Вспомним из предыдущих глав
важность евклидовой Х(р4-теории в современной теории конденсированных
сред. Итак, продолжим Хер4-теорию в евклидово пространство и
проанализируем интеграл
Z(A)= lVye-fddxC{*\ (11)
л
Обозначение f указывает на то, что интегрировать необходимо только по
л
таким конфигурациям поля ф(х) = J[ddk/(27r)d]e'lkx(p(x), при которых
fd V/2
(р(к) = 0 для \к\ = I Y1 к? 1 больше, чем Л. Как уже говорилось,
подобного рода интегрирование эквивалентно надеванию размывающих
очков с разрешением L = 1/Л: мы не допускаем или не видим флуктуации
с масштабами длин меньше L.
Очевидно, что 0(d) — инвариантность, а именно евклидовый
эквивалент лоренц-инвариантности значительно облегчит нам жизнь. В
противоположность этому, для задачи поверхностного роста необходимы
специальные очки, которые по-разному размывают пространство и время2.
Теперь мы готовы к тому, чтобы сделать очки еще более размытыми,
позволяя Л —> Л — 5 А (с SA > 0). Запишем (р = (ps + <pw (s означает
«гладкий» (от англ. «smooth»), w означает «извилистый» (от англ. «wriggly»)),
определенную так, что фурье-компоненты (ps(k) и ipw(k) не равны нулю
только для \к\ < (Л — 5А) и (Л — 5А) ^ |fc| ^ Л соответственно.
(Очевидно, что обозначения «гладкий» и «извилистый» введены для удобства.)
Подставляя в (11), можно записать
Z(A)= f Р^е-^'^'/^е-^^1^'^', (12)
Л-<5Л
2В физике конденсированных сред эту разницу измеряет так называемая динамическая
экспонента z. Более точно, в контексте задачи поверхностного роста коррелятор (введенный в
главе VI.6) удовлетворяет типу динамического скейлинга, приведенному в уравнении (VI.6.3).
Наивно, динамическая экспонента z должна быть равна 2. (Краткий обзор по данному вопросу
приведен в работе M.Kardar and A. Zee, Nucl. Phys. B464[FS]: 449. 1996, cond-mat/9507112.)
400
Глава VI.8
где все члены в C\(ips,(pw) зависят от ipw. (To, что здесь происходит,
несколько напоминает то, что мы делали в главе IV.3.) Представим себе,
что интеграл берется по cpw. Вспомним результат
е- fddx8C{ipK) ^ / р e-/ddx£i(v?.4,¥?w)
и, таким образом, получим
Z(A)= / <Dipse-fd<lx[c(<p,H6C(cp.4))t (13)
JA-SA
Все, мы закончили! Мы переписали теорию в терминах «гладкого» поля фа.
Конечно, это только формальный подход, поскольку на практике
интеграл по y>w можно взять лишь пертурбативно, допуская, что
соответствующие константы связи малы. Если бы интеграл по cpw можно было взять
строго, то также можно было бы вычислить интеграл по ср, и тогда эти
ренорм-группы и все, что с ними связано, не были бы нужны.
В педагогических целях рассмотрим в более общем виде С = ^(д(р)2-\-
+ S ^п<£п + • • • (так что Аг является обычным ^га2, а А4 — обычным А).
п
Поскольку такие члены, как dipsdipw, зануляются при интегрировании,
получаем уравнение
/ ddxCi{ips,4>w) = J (
l/^,„ \2 , 1,^2 2
d*xd((ps,<Pv,)= I <Гх i(e^^ + |mVS,+ ••
которое описывает поле (pw, взаимодействующее как с самим собой, так
и с внешним полем с^5(х). Из соображений симметрии следует, что 6£(ips)
имеет тот же вид, что и С((р3), но с другими коэффициентами. Таким
образом, добавление 5C((ps) к С((р3) сдвигает3 константу связи Ап (и
коэффициент ^ (d(fs)2). Эти сдвиги генерируют поток в пространстве констант
связи, описанный выше.
Выражение (13) вполне можно было бы рассматривать как конечный
результат. Но предположим, что нужно сравнить (13) с (11). Тогда
хотелось бы заменить f в (13) на J. Для удобства введем действительное
Л-«5Л Л
3Такие члены, как (dip)4, также можно сгенерировать, поэтому я записал выражение для
С(ф) с (.. .), куда и включаются эти члены. Впоследствии вы убедитесь, что для большинства
приложений эти члены несущественны в техническом смысле, который будет определен ниже.
Ренорм-групповой поток
401
число b < 1 с помощью выражения Л — 5А = 6Л. В / необходимо ин-
Л-<5Л
тегрировать по полям с |fc| ^ ЬЛ. Поэтому нужно только лишь выполнить
тривиальную замену переменной: пусть к = Ьк', так что к = Ьк'. Но тогда
надо соответствующим образом изменить х = х' /Ь, чтобы егкх = егк х .
Делая подстановку, находим
fddx£(<ps)= fddx,b~d
b2(9Vs)2 + EA^+--.
Iu2
2
(14)
(где д' = д/дх' = (1/Ь)д/дх). Определим ^ через b2-d(d'<ps)2 = (д'<р')2
J". /f\ IN
или, другими словами, <// = Ъ2 (fs. Тогда интеграл (14) приобретает
вид
fddx' \{&ч>')2 + J2Xnb-dMn/2)id-2)<f'n + • •
L п
Таким образом, если определить коэффициент при <//п как Л^, то получим
л; = bW2*d-v-d\n (15)
— важный результат в теории ренорм-группы.
Релевантные, иррелевантные и маргинальные
Постараемся понять, что это значит. (На некоторое время
пренебрежем SC((fs), чтобы упростить наши рассуждения.) Когда мы надеваем
размывающие очки или, другими словами, когда нас интересует физика на
больших расстояниях, можно снова записать Z(A), как в (11), с учетом
того, что константы связи Ап надо заменить на А^. Так как Ь < 1, то из (15)
легко видеть, что Ап при (n/2)(d — 2) — d > 0 становятся все меньше
и меньше и в конечном счете ими можно пренебречь. Немного жаргона:
соответствующие операторы ^рп (по историческим причинам перейдем на
миг с языка функционального интеграла на язык операторов) называют ир-
релевантными. Это проигравшие. В противоположность им, победители,
а именно ipn, для которых (n/2)(d — 2) — d < 0, называют релевантными.
Операторы, для которых (n/2)(d — 2) — d = 0, называют маргинальными.
Например, возьмем п = 2: га'2 = б-2га2, и массовый член всегда
является релевантным в любом измерении. С другой стороны, возьмем п =
= 4, и мы видим, что А' = bd~4X и оператор ср4 является релевантным для
402
Глава VI.8
d < 4, иррелевантным для d > 4 и маргинальным для d = 4. Аналогично
Ag = b2d~6X, и оператор </?6 является маргинальным для d = 3 и становится
иррелевантным для d > 3.
Легко видеть, что случай d=2 особый: все (рп являются релевантными.
Все это может показаться знакомым, если вы добросовестно решали
упражнения. В упражнении III.2.1 вы должны были доказать, что константа
связи Ап имеет размерность массы [An] = (n/2)(2 — d) + d. Таким
образом, величина (n/2)(d—2) — d есть размерность длины константы связи Ап.
Например, для d = 4 Аб имеет массовую размерность —2, и поэтому, как
говорилось в главе Ш.2, взаимодействие ip6 является неперенормируемым и,
значит, плохо себя ведет при большой энергии. Однако специалистов в
области физики конденсированных сред интересует предел больших
расстояний, противоположный тому, который интересует специалистов в области
физики элементарных частиц. Следовательно, такие неприятные
операторы, как (р6, становятся иррелевантными в пределе больших расстояний.
Еще немного жаргона: для заданной теории скалярного поля
размерность d, при которой наиболее существенное взаимодействие становится
маргинальным, известна в физике конденсированных сред как критическая
размерность. Например, критической размерностью для теории (р6
является 3. Приведение уравнения (15) к дифференциальному виду — всего лишь
вопрос «арифметики уровня средней школы». Запишем А^ = Ап + 5Хп;
тогда из Ь = 1 - (6 А/А) получаем 5Хп = — \Ц(й — 2) - d\xn(SA/A).
Теперь будем особенно осторожными со знаками. Как я уже отметил,
для (n/2)(d — 2) — d > 0 константа связи Ап (которую для определенности
представим положительной) становится меньше, как следует из (15). Но
поскольку Л уменьшается до Л — <5Л, положительный член 5А фактически
соответствует разрешающей способности наших размывающих очков L =
= Л-1, которая возрастает до L + L(SA/A). Таким образом, получаем
TdXn
L~dL
-%(d-2)-d
Хп, (16)
так что для (n/2)(d — 2) — d > 0 положительная Ап будет убывать по мере
возрастания L4.
В частности, для п = 4 имеет место L(dX/dL) = (4 — d)X. В
большинстве приложений физики конденсированных сред d ^ 3, и поэтому А
43аметим, что в правой части выражения фигурирует линейная размерность Лп со знаком
«минус», а не линейная размерность (n/2) (d — 2) — d, как можно было бы наивно
предположить.
Ренорм-групповой поток
403
возрастает по мере возрастания масштаба длин рассматриваемой физики.
Как говорилось выше, взаимодействие ip4 является релевантным.
Производная S£(ip3), которой мы временно пренебрегли, вносит в
правую часть (16) добавочный член, который назовем динамическим, в
отличие от геометрического или «тривиального» члена. Таким образом, в общем
случае L(d\n/dL) = -[(n/2)(d—2)— d\\n + K(d,n, ..., \j, ...), где
динамический член К зависит не только от d ип, но также от других констант
связи. (Например, в (5) «тривиальный» член обращается в нуль, так как мы
находимся в четырехмерном пространстве-времени; остается только
динамический вклад.)
Из нашего обсуждения следует, что более образно ренорм-группу
можно назвать «трюком для вычисления интеграла почти за один прием».
Использование симметрии
Чтобы определить ренорм-групповой поток для константы связи д,
можно повторить те же вычисления, что и при определении потока для
констант связи Лиев двух предыдущих примерах; а именно используя
язык физики элементарных частиц, вычислить амплитуду рассеяния h — h
в однопетлевом приближении. Однако вместо этого мы будем следовать
физической картине Каданова и др. В Z(A) = fVhe~s^ интегрируем только
по тем h(k,u), где кии больше Л — 5А, но меньше Л.
Теперь покажу, как в этом случае использовать симметрию, чтобы
свести к минимуму затраты времени. Решающим здесь является не изучение
динамики поверхностного роста, а метод, который пригодится вам в других
ситуациях. Я выбрал особо «сложную» нерелятивистскую задачу с
неявными симметриями, так что если осилить ренорм-группу для этой задачи,
можно быть готовым почти к чему угодно.
Представим, чтомы выполнили интегрирование по частям и
получили результат jVhe~s^h\ На данном этапе следует определить симметрии,
фигурирующие в задаче, так, как это показано в упражнениях. После этого
можно утверждать, что S(h) будет иметь вид
S(h) = ±JdDxdt [(а| - /?V2) h - af(Vfc)2
+ ..., (17)
зависящий от двух параметров — а и (3. Многоточием (...) обозначены
члены более высокого порядка по h и его производных. Для упрощения
задачи заметим, что перед dh/dt n(q/2)(Vh)2 стоит один и тот же
коэффициент а. Если известны а и /3, то с помощью соответствующего изменения
404
Глава VI.8
масштаба можно свести действие S(h) к тому же виду, что и S(h), и
таким образом найти изменение д. Следовательно, достаточно посмотреть
на члены (dh/dt)2 и (V2/?)2 в действии или, что эквивалентно, на про-
пагатор, который вычислить гораздо проще. Как однажды сказал Рудольф
Пайерлс молодому Гансу Бете: «Erst kommt das Denken, dann das Integral»5.
(Что примерно звучит как: «Прежде чем брать интеграл, подумайте».) Мы
опустим здесь вычисления. Достаточно отметить, что д имеет знакомую со
средней школы размерность: (длина) 2 (см. упражнение VI.8.5). Таким
образом, согласно нашему обсуждению, мы должны получить
L^ = \{2-D)g + CDgz+ ... (18)
Детальный расчет необходим для того, чтобы определить
коэффициент со, который явно зависит от размерности пространства D, поскольку
фейнмановские интегралы зависят от D. Уравнение показывает, как
изменяется в физике поверхностного роста эффективная мера нелинейности д
с изменением масштаба длин L. Для справки: со = [S(D)/4(27r)D](2D —
— 3)/D, где S(D) есть D-мерный телесный угол. Интересным множителем,
несомненно, является (2D — 3), который меняет знак6 между D = 1 и 2.
Локализация
Как говорилось ранее, ренорм-групповой поток буквально стал частью
языка физики конденсированных сред и высоких энергий. Приведу еще
один пример, демонстрирующий мощь ренорм-группы. Вернемся к
андерсеновской локализации (глава VI.7), которая в свое время впечатлила
сообщество физиков. Удивление вызвала сильная зависимость поведения
локализации от размерности пространства D, настолько сильная, что для D = 2
все состояния оказываются локализованными независимо от того,
насколько мала степень беспорядка. Обычная физическая интуиция подсказала бы
нам, что существует критическая степень беспорядка. Сейчас мы увидим,
что обе эти особенности вполне естественно объясняются на языке ренорм-
группы. Уже из выражения (18) следует, что D играет определяющую роль.
Теперь я приведу эвристическое, но красивое (по крайней мере для
меня) доказательство, полученное Абрахамсом, Андерсоном, Личчиардел-
5Когда я был студентом, Джон Уилер дал мне аналогичный совет: «Никогда не приступайте
к вычислениям, если не знаете ответ заранее».
6Кстати, эта теория точно решается для случая D = 1 (с использованием методов, которые
в этой книге не обсуждаются).
Ренорм-групповой поток
405
ло и Рамакришнаном, которых впоследствии стали называть в
сообществе физиков конденсированных сред «бандой четырех». Прежде всего,
надо понять, в чем заключается разница между удельной проводимостью а
и кондактансом G на языке физики твердого тела. Удельная проводимость7
определяется выражением J = аЕ, где J измеряет число электронов,
проходящих через единичную область за единицу времени. Кондактанс G
является обратным к сопротивлению (мнемоническое правило: эти слова
рифмуются). Сопротивление R является свойством образца и
определяется в учебнике по физике для средней школы как V = IR, где ток I
служит мерой числа электронов, проходящих за единицу времени. Чтобы
связать а и G, рассмотрим массу вещества в виде куба размером L с
падением напряжения V в поперечном направлении. Тогда / = JL2 = aEL2 =
= cr(V/L)L2 = aLV и, таким образом8, G(L) = 1/R = I/V = aL. Теперь
перейдем к двум измерениям. Рассмотрим тонкий лист вещества длиной
и шириной L, толщиной а «С L. (Мы занимаемся всего лишь школьной
физикой, не обращаясь к какому-то сложному представлению двумерного
пространства в теории поля!) Допустим падение напряжения V вдоль длины L:
I = J(aL) = aEaL = a(V/L)aL = aVa, и тогда G{L) = 1/R = I/V =
= ста. Попробуйте сами перейти к одному измерению: рассмотрите провод
длиной L, шириной и толщиной а. Таким образом, получаем G(L) ос LD~2.
Кстати, специалисты по физике конденсированных сред обычно
определяют безразмерную проводимость как g(L) = TiG(L)/e2.
Нам также известно поведение g(L), когда g(L) мало или, другими
словами, когда вещество является изолятором, для которого ожидается, что
g(L) ~ ce~L/t, где £ — некоторая характеристическая длина вещества,
которая определяется микроскопической физикой. Таким образом, для малого
g(L) имеет место L(dg/dL) = —{L/£)g(L) = g(L)[\ogg(L) — log с], где для
рассматриваемых условий постоянный логарифм log с пренебрежимо мал.
7На протяжении нескольких лет я обращался к специалистам по теории высоких энергий
с вопросом, как можно получить уравнение J = аЕ, которое явно нарушает инвариантность
относительно обращения времени, если микроскопическая физика электронного рассеяния на
примесном атоме полностью подчиняется инвариантности относительно обращения
времени. Очень немногие знали ответ. Разрешение этого явного парадокса заключается в порядке
пределов! Специалисты по теории конденсированных сред вычисляют удельную
проводимость сг(и>, к)% зависящую от частоты и волнового вектора, и затем берут предел а», к —> 0
и к2/ш —► 0. До того, как предел взят, инвариантность относительно обращения времени
сохраняется. Время, которое требуется частице, чтобы оказаться в ящике размером порядка
1/fc, имеет порядок l/(Dk2) (где D — коэффициент диффузии). Физическая суть
заключается в том, что это время должно быть значительно больше, чем время наблюдения ~ 1/ш.
8Сэм Трейман сказал мне, что, когда он служил в армии США радистом, его учили, что есть
три вида закона Ома: V = IR, I = V/R и R = V/I. Во втором равенстве здесь используется
четвертая форма.
406
ГЛАВА VI.8
Объединяя все вместе, получаем
(Л-2) +
\ogg + ...
. для больших д,
для малых д.
(19)
Прежде всего, тривиальное замечание: в разных дисциплинах (3(g)
определяется по-разному (что, конечно, не влияет на физику). Как мы говорили,
в теории локализации 0(g) традиционно определяется как dlogg/dlogL.
Из графика для /3(д) на рис. VI.8.2 видно, что для D = 2 (и D = 1) кондак-
танс д(Ь) всегда стремится к нулю при переходе к большим расстояниям
(макроскопические измерения макроскопических веществ) независимо от
того, где мы начинаем. В отличие от этого, если до (начальное значение д)
больше, чем критическое дс, то для D = 3 д(Ь) стремится к бесконечности
(предположительно этот бег обрезается физикой, которую мы не
включили), и вещество является металлом; тогда как, если до < дс, вещество
является изолятором. Кстати, специалисты по теории конденсированных сред
часто говорят о критической размерности Dc, при которой поведение
системы на больших расстояниях радикально изменяется; в данном случае
это Dc = 2.
Рис. VI.8.2
Эффективное описание
В некотором смысле ренорм-группа берет начало от основного
понятия физики, которое заключается в том, что эффективное описание может
и должно изменяться по мере перехода от одного масштаба длин к другому.
Ренорм-групповой поток
407
Например, в гидродинамике не надо детально отслеживать взаимодействие
между молекулами воды. Таким же образом, когда ренорм-групповой
поток используется для сильного взаимодействия, начиная с высоких энергий
и двигаясь к низким энергиям, эффективное описание переходит от теории
кварков и глюонов к теории нуклонов и мезонов. Тогда в этой более
общей картине мы рассматриваем потоки не в пространстве констант связи,
а в «пространстве гамильтонианов», о котором любят говорить некоторые
теоретики в области физики конденсированных сред.
Упражнения
VI.8.1. Покажите, что решением dg/dt = —bg3 + ... будет
a(t) а(0)
где мы определили a(t) = g(t)2/4ir.
VI.8.2. При рассмотрении ренорм-группы в А</?4-теории или в КЭД мы приняли для
простоты, что масса га частицы гораздо меньше, чем /х, и поэтому
приравняли га к нулю. Но в понятии ренорм-группы ничто не говорится о том, что
нельзя переходить к масштабу массы меньше га. Действительно, в физике
элементарных частиц масса t кварка rat отличается от массы и кварка ти
на много порядков. Мы могли бы изучить, как изменяется константа
связи сильного взаимодействия при переходе от некоторого масштаба массы,
намного превышающего rat, к некоторому масштабу массы /х, который
намного меньше rat, но все еще велик по сравнению с ти. Довольно часто
в качестве грубого приближения любую массу га, меньшую /х,
приравнивают нулю, а любую массу га, большую /х, приравнивают к бесконечности
(т. е. без вклада в ренорм-групповой поток). В действительности, по мере
того как /х приближается к га сверху, частица начинает давать меньший
вклад и исчезает, когда /х становится меньше га. Изучите этот так
называемый пороговый эффект, используя либо Лу?4-теорию, либо КЭД.
VI.8.3. Покажите, что уравнение (10) является инвариантным относительно так
называемого преобразования Галилея
h(£, t) -> ti(x, t) = h(x + gut, t) + u-x + ^u2t. (21)
Покажите, что в силу этой симметрии в (17) появляются только два
параметра а и /3.
VI.8.4. В выражении для S(h) могут появляться только производные поля /г, а само
поле не может. (Поскольку преобразование имеет вид h(x, t) —> /г(х, t) + с,
408
Глава VI.8
где константа с соответствует тривиальному сдвигу точки, где измеряется
высота поверхности, физический процесс должен быть инвариантным
относительно этого преобразования.) Члены, содержащие h в первой степени,
не могут появляться, так как все они являются полными производными.
Таким образом, выражение S(h) должно начинаться с членов второй степени
по h. Проверьте, что выражение S(h), приведенное в (17), действительно
является наиболее общим. Член, пропорциональный (Vh)2, также
разрешен симметриями и действительно генерируется. Однако этот член можно
устранить путем преобразования к движущейся системе координат h —> h+
+ ct.
VI.8.5. Покажите, что д имеет размерность (длина) 2 , известную нам из
школьного учебника по физике. [Указание: вид S(h) означает, что t
имеет размерность длины в квадрате, и поэтому h имеет размерность
(длина)2 . Сравнивая члены V2h и V2/i, определяем размерность д.]
VI.8.6. Вычислите пропагатор h в однопетлевом приближении. Извлеките
коэффициенты членов uj2 и к4 в разложении по низким частотам и волновым
числам обратного пропагатора и определите а и 0.
VI.8.7. Изучите ренорм-групповой поток д для D = 1,2,3.
Часть VII
Великое объединение
Глава VII. 1
Квантование теории Янга-Миллса
и калибровочная теория на решетке
Одна из причин, по которой теория Янга-Миллса не была сразу же
принята физиками, заключается в том, что они не знали, как в ней
проводить вычисления. По крайней мере, следует сформулировать правила Фей-
нмана и уметь проводить пертурбативные вычисления. Фейнман сам взялся
за эту проблему и после рассмотрения различных диаграмм пришел к
заключению, что, для того чтобы теория была согласованной, необходимо
ввести дополнительные поля с духовыми свойствами. Теперь известно, как
получить этот результат, используя более систематический подход.
Рассмотрим чистую теорию Янга-Миллса, а поля материи легко
добавить позже. Воспользуемся нашими знаниями. Как обычно, разобьем
лагранжиан С = Со + С\ на две части (мы также переопределяем А —> дА):
Со = -\{д»А1 - д„А1? (1)
И
d = -^g{d^Aav - duAl)fabcAn^Acv - ^g2fabcfadeAb^AlAd^Arv. (2)
Затем обращаем дифференциальный оператор в квадратичной части
выражения (1), чтобы получить пропагатор. Эта часть аналогична
соответствующей процедуре для квантовой электродинамики, за исключением того, что
появляется индекс а. Так же, как в электродинамике, обратного оператора
в нашем случае не существует, поэтому необходимо фиксировать
калибровку.
Для квантования квантовой электродинамики я использовал сложный
метод Фаддеева-Попова, и, как уже отмечалось, в рассматриваемом
контексте это было несколько излишне. Однако теперь мы от этого только вы-
412
Глава VII. 1
играем. Вспомним из главы Ш.4, что метод Фаддеева- Попова ведет к
результату
Z = JDAeiSWA(A)6[f(A)}, (3)
где А(А) = {/Dg5[f(Ag)]} и S(A) = Jd4xC является действием Ян-
га-Миллса. (Как и в главе Ш.4, Ад = дАд~г — г(дд)д~1 обозначает
калибровочное преобразование А. Здесь д = д(х) обозначает элемент группы,
который определяет калибровочное преобразование в точке х, и его,
конечно, нельзя путать с константой связи.)
Поскольку А(А) в (3) умножается на S[f(A)\, следует ожидать, что
в интеграле по д при разумном выборе /(а) вклад дадут только бесконечно
малые д. Пусть f(A) = ЗА — а. При инфинитезимальном преобразовании
имеет место А^—>А%— fabc9bAc^ + д^ва, следовательно:
Д(А) = | / D6 S [ЭАа -аа- d»(fabc6bAl - д^ва)} | «=»
«=» Ппб5[д»(ГЬс9ьА1 - д»ва)] | , (4)
где присутствует «фактически знак равенства», поскольку А (А) потом
умножается на S[f(A)].
Запишем формально
8»иаЬсвьА1 - 5»ва) = J d4yKab(x, y)Ob(y), (5)
определяя таким образом оператор КаЬ(х, у) = д^(/аЬсА^ — д^6аЬ)5^ (x —
— у). Отметим, что здесь, в отличие от электродинамики, К зависит от
калибровочного поля. Простой результат J d6 S(K0) = 1/К для
действительных чисел в и К может быть сведен к выражению f d65(K6) = 1/ detK
для действительного вектора в и невырожденной матрицы К. Рассматривая
КаЬ(х,у) как матрицу, получаем А(А) = detK, но из главы И.5 известно,
как представить детерминант в виде функционального интеграла по грас-
смановым переменным. Запишем уравнение А(А) = J Dc Dc^elS;^c ,c\
где
5дух(с+,с) = jd4xd4ycl(x)Kab(x,y)cb(y) =
= Jd4x[dci(x)dca(x) - д»сЪ(х)ГЬсА^(х)сь(х)} =
= f dAxdcl(x)Dca{x), (6)
Квантование теории Янга-Миллса
413
a D — ковариантная производная для присоединенного представления, к
которому принадлежат поля са и 4, так же, как А^. Поля са и са называют
духовыми полями, поскольку они нарушают связь спина со статистикой.
Хотя эти поля скалярные, их рассматривают как антикоммутирующие.
Такое «нарушение» приемлемо, поскольку духовые поля не связаны с
физическими частицами и вводятся только для того, чтобы представить А (А)
в удобном виде.
Таким образом, вопрос с множителем Л (А) в уравнении (3) решен.
Для множителя 5[/(Л)] используем тот же прием, что и в главе III.4, и
интегрируем Z по аа(х) с гауссовым весом e~(2//2^ fdxcr(l(x) 5 так что 6[f(A)]
заменяется на e_(V20/rf х(дла) ^
Объединяя все вместе, получаем
Z = [ DADcDc]VS(A)-(t/2« J1'd4x(dA)4iSlxyx(c\c)^ (7)
где £ — параметр калибровки. Из сравнения с соответствующим
выражением для абелевой калибровочной теории, приведенным в главе Ш.4, следует,
что в неабелевых калибровочных теориях в дополнение к действию Янга-
Миллса есть действие для духов Sayx. Таким образом, Со и С\ изменяются
на
Со = -\ф„К -ЬА1?-±ЦРА%)2 + дс1дса (8)
и
Сг = -Ig^A" - dvAl)fabcAb,iAcv + ^g2labcfadeA\AcvAdtlAev-
-d»ctgfabcAlcb. (9)
Теперь из (8) можно сразу получить пропагаторы для калибровочного
бозона и духового поля. В частности, легко видеть, что за исключением
группового индекса а квадратичные по калибровочному полю члены
являются такими же, как и квадратичные по электромагнитному полю члены
в уравнении (III.4.8). Таким образом, пропагатор калибровочного бозона
имеет вид
Sab- (Ю)
Сравним с выражением (Ш.4.9). Из члена дс)а[х)дса{х) в уравнении (8)
находим, что духовой пропагатор имеет вид {г/к2)5аь.
к2
s,A-(i-0^r
414
ГЛАВА VII. 1
Из С\ следует, что между калибровочными бозонами существует
взаимодействие третей и четвертой степени, а также взаимодействие между
калибровочным бозоном и духовым полем, как показано на рис. VII. 1.1.
Взаимодействия третьей и четвертой степени можно легко представить в виде
9fabc[9»Ah - к2)х+д„х(к2 - к3)»+дх„(к3 - kx)v] (11)
- гд2 [fabefcde(g»\9vP - 9»P9vx) + fadefcbe(9»\9»P - 9^9РхН
+ facefbde(9^gxP-g»Pgvx)] (12)
соответственно. Взаимодействие с духовым полем имеет вид
зГУ. (13)
(а)
(Ь)
с,М
F-
(с)
Рис. VILLI
Очевидно, что для этой записи справедливы различные перестановочные
симметрии. Например, второй член в (12) получается из первого путем пе-
Квантование теории Янга-Миллса 415
рестановки {с, А} <-► {d, p}, а третий и четвертый члены получаются из
первого и второго путем перестановки {а,/х} —► {с, А}.
Неестественный шаг
В теории с высокой симметрией, такой как теория Янга-Миллса,
теория возмущений, очевидно, является неестественным действием, так как
оно включает грубое расщепление С на две части: квадратичную
относительно полей и остальную часть. Рассмотрим, например, точно решаемую
квантово-механическую задачу для одной частицы, такую как уравнение
Шредингера с V(x) = 1 — (1/ chx)2. Представим себе запись V(x) = ^х2 +
+ W(x) и рассмотрим W(x) как возмущение гармонического осциллятора.
Воспроизводить точный спектр было бы очень трудно, но именно так
безжалостно мы обходимся с теорией Янга-Миллса в пертурбативном
подходе. Мы взяли «целостный элемент» tr F^UF^V и разделили его на
«гармонический осциллятор» Ьт(д^Аи — д^А^)2 и «возмущение».
Если когда-либо окажется, что теория Янга-Миллса точно решаема,
то точно не в рамках пертурбативного подхода, не сохраняющего
калибровочную инвариантность.
Калибровочная теория на решетке
Вильсон предложил выход из положения: нарушать лоренц-инвариант-
ность, а не калибровочную инвариантность. Сформулируем теорию Янга-
Миллса на гиперкубической решетке в четырехмерном евклидовом
пространстве-времени. Поскольку период решетки а —> О, мы надеемся
восстановить инвариантность относительно четырехмерных поворотов и
(путем виковского поворота) лоренц-инвариантность. Формулировку
Вильсона, известную как калибровочная теория на решетке, понять легко, но ее
запись несколько громоздкая из-за отсутствия вращательной
инвариантности. Обозначим положение узлов решетки вектором Х{. Каждому ребру,
скажем от Xi до ближайшего соседнего Xj, ставим в соответствие унитарную
N х TV-матрицу Uij. Рассмотрим квадрат, называемый плакетом, который
ограничен четырьмя вершинами хи Xj, x^ и xi (ближайшими соседними
друг к другу). Посмотрим на рис. VII. 1.2. Каждому плакету Р
поставлена в соответствие величина S(P) = RetrUijUjkUkiUu, построенная так,
чтобы быть инвариантной относительно локального преобразования
Uij^VjUaVj.
(14)
416
Глава VII. 1
Симметрия является локальной, поскольку каждому узлу xi можно
поставить в соответствие независимую V%.
и»
Рис. VII. 1.2
Вильсон определил теорию Янга-Миллса в следующим виде:
h
dU
(1/2/2) £ S(P)
(15)
где сумма берется по всем плакетам в решетке. Константа связи /
определяет, насколько сильно флуктуируют унитарные матрицы Uij. Для малых /
предпочтительны большие значения S(P), и поэтому все Uij приближенно
равны единичной матрице (с точностью до несущественного глобального
преобразования).
Без всяких вычислений, из симметрийных соображений можно
показать, что в непрерывном пределе а —> О должна появиться теория Янга-
Миллса такая, какой мы ее знаем. Это действие явно инвариантно
относительно локальных SU (N)-преобразований. Чтобы действительно это
увидеть, определим поле А^(х) с \х = 1,2,3,4, живущим в четырехмерном
евклидовом пространстве, где находится решетка, уравнением
Ui:i =V?eiaA^x)Vj,
(16)
где х = -(xi + Xj) (это средняя точка ребра, где находится Uij) и /х —
направление, связывающее Xi с Xj (то есть Д = (xj — Xi)/a является
единичным вектором в направлении ц). Параметры V отражают только
калибровочную свободу в (14) и по построению, конечно, не входят в действие
Квантование теории Янга-Миллса
417
на плакете S(P). Я вас попрошу показать в качестве упражнения, что
UijUjkUuUu = eia2F^°^3\ (17)
где F^v — напряженность поля Янга-Миллса, определенная в центре пла-
кета. Мы действительно могли бы таким образом найти напряженность
поля Янга-Миллса. Я надеюсь, что вы начинаете понимать глубокое
геометрическое значение F^y. Продолжая решать упражнение, вы найдете, что
действие на каждом плакете имеет вид
5(P) = Retreia2F'-+°(a3) =
= Retr [l + m2F^ - ±a4F^F^ + 0(a5)] = trl - |a4 ti F^F^ + ...,
(18)
и, таким образом, с точностью до несущественной аддитивной постоянной
мы восстанавливаем в (15) действие Янга-Миллса в непрерывном
пределе. Еще раз следует подчеркнуть, что без всяких вычислений можно
зафиксировать в (18) член а4 (с точностью до общего множителя) из анализа
размерностей и калибровочной инвариантности1.
Формулировка Вильсона хороша тем, что, для того чтобы (15) имело
смысл, не нужна ни фиксация калибровки, ни детерминант
Фадцеева-Попова, ни духовые поля и прочее. Вспоминая главу V.3, вы видите, что (15)
определяет как одну из задач статистической механики. Вместо
интегрирования, скажем, по некоторым спиновым переменным, проинтегрируем
по группе SU(N) для каждого ребра. Важнее всего то, что
формулировка калибровочной теории на решетке открывает возможность численного
определения свойств сильно нетривиальной квантовой теории поля.
Калибровочная теория на решетке является бурно развивающейся областью
исследований. Попробуйте свои силы и попытайтесь включить фермионы
в калибровочную теорию на решетке. Это весьма непростая задача, которая
стоит на повестке дня, поскольку фермионы и спинорные поля
естественным образом связаны с 50(4), которая не очень хорошо переносится на
решетку.
Петля Вильсона
Специалисты по теории поля обычно имеют дело с локальными
наблюдаемыми, то есть наблюдаемыми, которые определены в точке х про-
1 Знак можно легко проверить на соответствие абелеву случаю.
418
Глава VII. 1
странства-времени, такими как J^(x) или tiF^(x)F^(x). Но можно,
конечно, также иметь дело с нелокальными наблюдаемыми, такими как
ifdx^A^
е с в электродинамике, где интеграл вычисляется по замкнутой
кривой С. Калибровочно-инвариантная величина в экспоненте равна
электромагнитному потоку, проходящему через поверхность, ограниченную
кривой С. (В самом деле, вспомните главу IV.4.)
Вильсон показал, что калибровочная теория на решетке содержит
естественную калибровочно-инвариантную, но нелокальную наблюдаемую
величину, равную W(C) = trUijUjk •.. UnmUmi, где набор звеньев,
соединяющих Xi с Xj, Xj cxfeH т.д., и, наконец, сжти вновь с хи очерчивает
петлю, называемую С. Возвращаясь к выражению (16), видим, что W(C)9
называемая петлей Вильсона, является следом произведения многих
множителей егаА». Таким образом, в непрерывном пределе а —► 0 очевидным
образом получаем
ifdx^A,,
W(C) = tiPe<> , (19)
где С теперь является произвольной кривой в евклидовом
пространстве-времени. Здесь Р обозначает упорядоченность траектории, что,
конечно, необходимо, поскольку А^, связанные с различными сегментами
кривой С, будучи матрицами, не коммутируют друг с другом.
[Действительно, Р определяется заданием решетки ТУ (С).]
Чтобы понять физический смысл петли Вильсона, обратимся к
главам 1.4 и 1.5. Для получения потенциальной энергии Е между двумя
противоположно заряженными тяжелыми частицами необходимо вычислить
lim — J j^AeiSMaxw[l^+i^d4xAllJtx = eiET
Т-+оо Z J
Для двух частиц, находящихся на расстоянии R друг от друга, подставляем
Ji*(x) = 77м0 {8W(x) - *<3> [х - (Я, 0,0)]}
и видим, что на самом деле мы вычисляем вакуумное среднее
( е с>1 °2 ) во флуктуирующем электромагнитном поле, где С\
и Сч обозначают два прямолинейных сегмента при х = (0,0,0) и х =
= (Д, 0,0) соответственно. Удобно представить сближение двух частиц
в далеком будущем (и аналогично в далеком прошлом). Тогда мы явно
/ i § dx^ AfJ \
имеем дело с калибровочно-инвариантной величиной (е с; V где С
Квантование теории Янга-Миллса
419
является прямоугольником, как показано на рис. VII. 1.3. Заметим, что для
большого Т имеет место log( е с ) ~ iE(R)T, который существенно
пропорционален периметру прямоугольника С.
Как будет рассмотрено в главе VII.3 и как вы, несомненно,
слышали, принятая в настоящее время теория сильного взаимодействия
включает кварки, взаимодействующие с неабелевым калибровочным полем
Янга-Миллса Ад. Таким образом, чтобы определить потенциальную энергию
E(R) между кварком и антикварком, удерживаемых на расстоянии R друг
от друга, нужно просто вычислить вакуумное среднее петли Вильсона
(W(C)) = ±JlldU<
-(l/2/2)£S(P)
W{C).
(20)
В калибровочной теории на решетке можно численно определить \og(W(Pj)
для большого прямоугольника С на рис. VII. 1.3 и извлечь E(R). (Мы
потеряли г, потому что в рассматриваемом случае находимся в евклидовом
пространстве-времени.)
Время
Пространство
Рис. VII. 1.3
Конфайнмент кварков
Я уверен, вы слышали, что, поскольку свободные кварки никто
никогда не видел, полагают, что они постоянно удерживаются. В частности,
420
Глава VII. 1
предполагается, что потенциальная энергия между кварком и антикварком
растет линейно с расстоянием E(R) ~ crR. Представим себе струну,
соединяющую кварк и антикварк с натяжением струны а. Если это
правильное представление, то соотношение \og(W(C)) ~ &RT должно иметь
место, когда область RT ограничивается петлей С. Вильсон называет такое
поведение законом площадей, а не законом периметров, характерным для
известных теорий, таких как электродинамика. Доказательство закона
площадей в теории Янга-Миллса является одной из выдающихся нерешенных
проблем теоретической физики.
Упражнения
VII. 1.1. Выведите (17) и сопоставьте / с константой связи д в формулировке
теории Янга-Миллса. [Указание: используйте формулу Бейкера-Кэмпбелла-
Хаусдорфа
еАеВ = еА+В+|[Л,Б] + 1^([Л,[Л,Б]] + [БЛВИ]])+- • • 1
VII. 1.2. Рассмотрите калибровочную теорию на решетке в (D + 1)-мерном
пространстве с периодом решетки а в D-мерном пространстве и Ь в
дополнительном измерении. Получите D-мерную теорию поля непрерывного
спектра в пределе а —> 0 при фиксированном Ь.
VII. 1.3. Изучите в выражении (2) альтернативный предел Ь —► 0 при
фиксированном а и получите тем самым теорию на пространственной решетке, но
с непрерывным временем.
VII. 1.4. Покажите, что для калибровочной теории на решетке закон площадей
Вильсона сохраняется в пределе сильной связи. [Указание: разложите
выражение (20) по степеням /~2.]
Глава VII.2
Электрослабое объединение
Бич безмассовых частиц со спином 1
Учитывая опыт прошлого, мы теперь знаем, что Природа
предпочитает теорию Янга-Миллса. В конце 1960-х и начале 1970-х годов
электромагнитное и слабое взаимодействия были объединены в электрослабое
взаимодействие, описываемое неабелевой калибровочной теорией, которая
основана на группе SU(2) <g> U(l). Несколько позже, в начале 1970-х
годов, стало понятно, что сильное взаимодействие можно описать, пользуясь
неабелевой калибровочной теорией, основанной на группе SU(3). Природа
буквально состоит из сети взаимодействующих полей Янга-Миллса.
Но когда в 1954 году эта теория была впервые предложена, она
казалась совершенно несовместимой с наблюдениями в интерпретации
того времени. Янг и Миллс сами показали в своей статье, что их теория
содержит безмассовые частицы со спином 1, которые, конечно, не были
экспериментально известны. Поэтому эта теория постепенно была
предана забвению и в 1960-х годах не входила в обязательную университетскую
программу по физике элементарных частиц. Исключение составляли
только некоторые теоретики (Швингер, Глэшоу, Бладмен и др.), которые
считали такую изящную математическую структуру привлекательной и были
убеждены, что неабелева калибровочная теория должна иметь какое-то
отношение к слабому взаимодействию.
И опять же, оглядываясь назад, мы, по-видимому, можем найти только
два логических объяснения того, почему экспериментаторы не видят
никаких безмассовых частиц со спином 1 за исключением фотона: (1) частицы
Янга-Миллса каким-то образом приобретают массу, или (2) частицы Ян-
га - Миллса действительно являются безмассовыми, но почему-то не могут
наблюдаться в экспериментах. Теперь мы знаем, что первая возможность
была реализована в электрослабом взаимодействии, а вторая — в сильном
взаимодействии.
422
Глава VII.2
Построение теории электрослабых взаимодействий
Теперь рассмотрим электрослабое объединение. Возможно, с
педагогической точки зрения следует мотивировать шаги, приводящие к
построению этой теории. Но, как отмечено выше, это не учебник по физике
элементарных частиц, и обсуждение этого предмета я вынужден свести к самому
минимуму. В главе IV.2 дано краткое введение в структуру слабого
взаимодействия. Как говорилось в главе 11.1, существенным обстоятельством
здесь является то, что слабое взаимодействие нарушает четность. В
частности, левое поле электрона еь и правое поле электрона е#, которые
переходят друг в друга при преобразовании четности, участвуют в слабом
взаимодействии совсем по-разному.
Начнем со слабого распада мюона \х~ —> е~ + V + г/, где v и v' —
электронное нейтрино и мюонное нейтрино соответственно. Подходящим
членом в лагранжиане является VL^iiLeLl^L^ где еь — левое поле
электрона, vl — поле электронного нейтрино (которое является левым) и т. д.
Поле /xl уничтожает мюон, поле ~е~ь создает электрон и т. д. (Впредь будем
опускать слово «поле».) Вам, возможно, известно, что элементарные
составляющие материи образуют три семейства, первое из которых состоит
из двух лептонов -i/, ей двух кварков — верхнего и и нижнего d,
второе семейство — из двух лептонов i/, /х и двух кварков — очарованного с
и странного 5, и т. д. Для наших целей ограничимся рассмотрением первого
семейства. Итак, начнем с Х7ь7Деьёь7мг/ь-
Как говорилось в главе Ш.2, подобного рода взаимодействие Ферми
может порождаться в результате обмена промежуточным векторным
бозоном W+ с взаимодействием W^V^^eL + W^e^^L-
Идея состоит в том, чтобы рассмотреть калибровочную теорию SU(2)
с триплетом калибровочных бозонов, которые обозначим W£, где а =
= 1,2,3. Поместим vl и е^ в дублетное представление, а правое поле
электрона ел в синглетное представление, тогда
^=(е) > eR- W
(В этой записи верхней компонентой фь является i/ь, а нижней
компонентой е/,.)
Поля vl и еь, но не поле ея взаимодействуют с калибровочными
бозонами W£. Действительно, согласно (IV.5.21) лагранжиан содержит
W^tVVl = (V^^T^'V^ + э.с.) + W^tVV-l,
Электрослабое объединение
423
где W*~l2 = W* — iW2 и т.д. Мы видим, что т1-и2 = т1 + гт2 является
повышающим оператором, а первые два слагаемых равны (\¥^~г2'Рьгуцеь +
+э. с), именно то, что нам нужно. По замыслу обмен полем W^ генерирует
искомый член Т/^^еьеьУ^ь-
Нам нужно больше места
Мы надеялись, что бозон W3, который было необходимо ввести,
окажется фотоном, так что^ будет включен электромагнетизм. Но увы, W3
взаимодействует с током ф^^Фь = (PlI^vl — ёь7меь)> а не с
электромагнитным током —(ё^Тд^ь + ёд7дея)- Проблема!
Есть еще одна проблема. Чтобы генерировать массовый член для элек-
- (?)
трона, нужно иметь дублет полей Хигтса ip = ( о ) Для построения
SU(2)-инвариантного члена /ф^ея в лагранжиане, так что, когда ip
приобретет вакуумное среднее ( ), мы получим
*ФьЧ>ея -> Д*Л e)Ll)eR = fveLeR. (2)
0
Но ни одно из преобразований SU(2) не оставляет I J инвариантным.
Вакуумное среднее поля ip спонтанно нарушает симметрию 517(2), оставляя
массивными все три бозона W. В этой несовершенной теории нет места
для фотона. Вот в чем дело!
Нам нужно больше места. Замечательно, что обе проблемы можно
избежать путем расширения калибровочной симметрии до 5t/(2)<g)t/(l).
Обозначая генератор U(l) как ^Y (называемый гиперзарядом),
соответствующий калибровочный потенциал как Вй (а их эквивалентные величины для
SU{2) как Та и W£), получаем ковариантную производную D^ = дц —
— igW£Ta — ig'B^^r. Имея четыре калибровочных бозона, можно
надеяться, что один из них окажется фотоном.
Калибровочные поля нормируются с помощью соответствующих
членов кинетической энергии в С = — j(B^)2 - \{W^U)2 + ..., где В^и =
— d^Bv — dvB^ — напряженность абелева поля и W^v = d^W^; — duW£ +
+ eabcW^Wy — напряженность неабелева поля. Генераторы Та, естествен-
424
ГЛАВА VII.2
но, нормируются с помощью коммутационных соотношений, которые
определяют SU(2). В абелевой алгебре U(l), напротив, нет коммутационного
соотношения, чтобы зафиксировать нормировку генератора ^У. Пока она
не зафиксирована, не зафиксирована и нормировка С/(1)-калибровочного
взаимодействия д'.
Как же зафиксировать нормировку генератора ^У? Мы хотим,
чтобы, по построению, спонтанное нарушение симметрии оставляло
линейную комбинацию Тз и ^У инвариантной и чтобы эта комбинация
отождествлялась с генератором, взаимодействующим с безмассовым фотоном,
а именно с оператором заряда Q. Итак, запишем
q = tz + \y. (з)
Если мы знаем Тз и -У для произвольного поля, то из этого уравнения мы
знаем его заряд. Например, Q{vL) = \ + \у{"ь) и Q(eL) = -| + ^Y(eL).
В частности, легко видеть, что коэффициент при Тз в уравнении (3) должен
быть равен 1, поскольку заряды vj_, и еь отличаются на 1. Соотношение (3)
фиксирует нормировку ^У.
Чему равен гиперзаряд?
Следующий шаг заключается в определении гиперзаряда различных
мультиплетов в теории, что в свою очередь определяет то, как с этими
мультиплетами взаимодействует В^. Рассмотрим дублет t/>l- Чтобы
получить заряд —1 для поля еь, дублет фь должен иметь ^У = — ^. В
противоположность этому поле ея имеет ^У = —1, поскольку Тз = О для ед.
Имея гиперзаряд дублета фь и поля е#, легко видеть, что
инвариантность члена fi\)L(peR относительно SU(2) (g>U(l) заставляет поле Хиггса ^
иметь ^У = + 4. Таким образом, согласно (3) верхняя компонента поля ip
имеет электрический заряд Q = +^ + ^ — +1, а нижняя компонента —
Q = — о + о~0- Итак, запишем (р = ( о ) • Напомним, что поле (р имеет
Электрослабое объединение
425
вакуумное среднее I 1. Утверждение о том, что электрически
нейтральное поле <р° приобретает вакуумное среднее, а заряженное поле <£>+ нет,
является проверкой на согласованность теории.
Теория создается сама
Теперь, когда определены взаимодействия калибровочных бозонов
с различными полями, в частности, с полем Хигтса, можно легко
определить спектр масс калибровочных бозонов, что (позвольте напомнить) вы
уже делали при решении упражнения IV.6.3!
При спонтанном нарушении симметрии <р —► (1/\/2) I J (обычная
нормировка ): просто подставим в
9 9 о
С = (D^)HD^) -> S-fwfW-» + \{9Wl - g'Btf. (4)
Полагаю, именно такой результат вы и получили! Таким образом, линейная
комбинация gW^ — g'B^ становится массивной, тогда как ортогональная
комбинация остается безмассовой и ее можно отождествить с фотоном.
Разумеется, угол 9 удобно определить с помощью tg# = д1/д. Тогда
уравнение
ZM = cos OWl - sin вВц (5)
описывает массивный калибровочный бозон, называемый Z-бозоном, а
электромагнитное поле задается выражением А^ = sm9W^ + cos6B^.
Объединим (4) и (5) и проверим, что возведенная в квадрат масса Z-бозона имеет
вид М2 = v2(g2 + #/2)/4; таким образом, используя элементарную
тригонометрию, получаем соотношение
Mw = Mz cos 6. (6)
Обмен VK-бозоном порождает слабое взаимодействие Ферми
2
С = -—^VL^eLeL^^vL = —-jzVL^eLeL-i^vL,
где второе равенство просто является историческим определением
взаимодействия Ферми G. Таким образом,
£- = -?-. (7)
426
Глава VII.2
Далее запишем соответствующую часть ковариантной производной
gW3T3 + 'В^= g(coseZ» + sin вА^Т3 + д'{- sinOZ» + созвА^
в терминах физически наблюдаемых Z и А. Коэффициент при А^
преобразуется к виду д sin 9Т3 -f д' cos 6(Y/2) = д sin в(Т3 + У/2); тот факт, что
возникает комбинация Q = Т3 + У/2, является прекрасной проверкой
формализма. Кроме того, получаем
е = gsinO. (8)
Между тем удобно записать д cos ОТ3 — д' sin 6(Y/2) — коэффициент
при ZM в ковариантной производной — через физически знакомый
электрический заряд Q, а не теоретический гиперзаряд У. Таким образом,
д cos ОТ3 - g'anO(Q - Т3) = -^(Г3 - sin2 0Q).
Другими словами, мы определили взаимодействие Z-бозона с
произвольным фермионным полем Ф в теории:
r- 9 г^<у»(Т3-sin2 6Q)V. (9)
COS0
Используя (9), можно, например, сразу же описать взаимодействие Z-бозо
на с лептонами:
г 9
cos 9
Z» \^Pl^vl - eL^eL) + sin2 <9ё7де]. (10)
Включение кварков
Теперь становится очевидным, как включить адроны. Учитывая, что
в слабом взаимодействии принимают участие только левые поля, поместим
кварки первого поколения в мультиплеты SU(2) <g> £7(1) следующим
образом:
qt=(£) , u%,d%, (11)
где а = 1,2,3 обозначает цветовой индекс, который обсуждается в
следующей главе. Правые кварки и% и d% помещены в синглеты, чтобы
промежуточные Wa -бозоны с ними не взаимодействовали. Напомним, что
верхний гл-кварк и нижний d-кварк имеют электрические заряды - и — ^
соответственно. Возвращаясь к соотношению (3), мы видим, что ^У = ^,
Электрослабое объединение
427
2 1
^ и — ^ для gg, u^ и <2д соответственно. Из (9) можно сразу получить
О О
взаимодействие Z-бозона с кварками:
с = ~irezA\ ^L1^UL ~ lil"dL) -sin2 в J*A ■ (12)
Наконец, постарайтесь самостоятельно проверить, что из четырех
степеней свободы, заключенных в у? (поскольку с^+ и ip° комплексны), три
«съедаются» W- и Z-бозонами, и остается одна физическая степень
свободы Н, относящаяся к неуловимой хиггсовской частице, которую
экспериментаторы все еще ищут на момент написания этой книги.
Нейтральный ток
Благодаря изящно экономной структуре калибровочной группы,
электрослабая SU(2) ® £/(1)-теория Глэшоу, Салама и Вайнберга привела к
последней великой эре предсказаний в теоретической физике элементарных
частиц. Записывая (10) и (12) в виде
С = ^ Z (7^ 4- 7м "I
СОЧ0 ептоны кварки/
и используя (6), мы видим, что обмен Z-бозоном порождает до сих пор
неизвестное взаимодействие нейтральных токов
2
^нейтральный ток = оЛ/г2 \*^лептоны ' ^кварки,) (^лептоны "Т ^кварки)/л
между лептонами и кварками. Изучая различные процессы, описываемые
нейтральными токами £Нейтр. ток» можно определить слабый угол в. Если
угол в определен, из уравнения (8) можно предсказать д. Если
определена д, из (7) можно предсказать М\у- Если определена Mw, из (6) можно
предсказать Mz-
Заключение
Как я упомянул, в Природе существуют три поколения лептонов
и кварков, состоящие из (^е,е, u,d), (i^,//,c, s) и (ут,т, £, b)
соответственно. Появление этой повторяющейся структуры поколений, о которой
5£/(2)®С/(1)-теория ничего не может сказать, представляет одну из важных
428
ГЛАВА VII.2
нерешенных задач физики элементарных частиц. Эти три семейства просто
встраиваются в теорию с соответствующими углами поворота между собой
путем повторения того, что записано выше.
Более логический подход, по сравнению с приведенным выше,
заключается в том, чтобы начать с SU(2) ® [/(1)-теории с дублетным полем
Хиггса, имеющим некоторый гиперзаряд, и сказать: «Заметьте, что при
спонтанном нарушении симметрии одна линейная комбинация генераторов
остается ненарушенной с соответствующим безмассовым калибровочным
полем». Но я думаю, что наш квазиисторический подход яснее.
Как уже неоднократно упоминалось, теория слабых взаимодействий
Ферми является неперенормируемой. В 1999 году 'тХоофт и Вельтман
получили Нобелевскую премию за доказательство того, что электрослабая
SU (2) <g>U(l)-теория является перенормируемой, проложив тем самым путь
к торжеству неабелевых калибровочных теорий при описании сильных,
электромагнитных и слабых взаимодействий. Я не могу здесь вдаваться
в подробности их доказательства, но хочу отметить, что ключ к нему лежит
в следующем: надо начинать с неабелева аналога унитарной калибровки
(вспомним главу IV.6) и перейти к калибровке Щ. При больших импульсах
пропагаторы массивного калибровочного бозона в унитарной калибровке
ведут себя как ~ (к^к^/к2), а в калибровке Щ — как ~ (1/fc2). Тогда из
подсчета степеней следует что теория перенормируема.
Упражнения
VII.2.1. К сожалению, масса неуловимой хиггеовской частицы Н зависит от
параметров двухъямного потенциала V = —fi2ip^ip + \(ip*<p)2, ответственного
за спонтанное нарушение симметрии. Полагая, что Н достаточно
массивна, чтобы распасться naW++W~ и Z+Z, определите скорость распада Н
на различные моды.
VII.2.2. Покажите, что можно оставаться с калибровочной группой SU{2) и
отождествлять W3 с фотоном А за счет введения некоторых экспериментально
ненаблюдаемых лептонных полей. Эта теория не описывает наш мир
прежде всего потому, что в нее невозможно включить кварки. Покажите это!
[Указание: поместите лептоны в триплет SU(2) вместо дублета.]
Глава VII.3
Квантовая хромодинамика
Кварки
Существуют шесть типов кварков — верхний, нижний, странный,
очарованный, боттом и топ, которые обозначаются как и, d, s, с, Ъ и t.
Например, протон состоит из двух верхних кварков и нижнего кварка ~ (uud),
тогда как нейтральный пион соответствует ~ (uu — dd)/y/2. Детали можно
найти в любом учебнике по физике элементарных частиц.
К концу 1960-х годов понятие кварков стало широко принятым, но
существовали два независимых друг от друга свидетельства, указывающие
на отсутствие важного элемента. Когда установили, что адроны состоят из
кварков, стало понятно, что волновая функция кварков в нуклоне не
оказывается антисимметричной относительно перестановки любой пары кварков,
как того требует принцип запрета Паули. Примерно в то же время также
стало понятно, что в идеальном мире, который используется для
получения соотношения Голдбергера-Треймана и где пион является безмассовым,
можно вычислить скорость распада для процесса 7г° —» 7 + 7> как
упомянуто в главе IV.7. Довольно странно, что при этом вычисленная скорость
оказалась в 9 = З2 раз меньше экспериментальной.
Обе загадки можно было решить одним махом, наделяя кварки до
этого неизвестной внутренней степенью свободы, которую Гелл-Манн назвал
цветом. Кварк любого типа имеет один из трех цветов. Таким образом,
верхний кварк может быть красным, синим или желтым. Тогда в нуклоне
волновая функция трех кварков будет содержать множитель, относящийся к
цвету, помимо множителей, относящихся к орбитальному движению, спину
и т.д. Нужно только сделать цветовую часть волновой функции
антисимметричной; на самом деле просто взять ее в виде £а/37, где а, /3 и 7
обозначают цвета, которые несут три кварка. Имея кварки трех цветов, нужно
умножить амплитуду 7г° -распада на множитель 3, тем самым точно
устраняя расхождение между теорией и экспериментом.
430
ГЛАВА VII.3
Асимптотическая свобода
Как говорилось в главе VI.6, в результате изучения глубоко неупругого
рассеяния электронов на нуклонах был получен важный ключ к
пониманию. Экспериментаторы сделали любопытное открытие, что при сильном
ударе кварки в нуклонах ведут себя так, как будто они почти не
взаимодействуют друг с другом; другими словами, как будто они свободны. С
другой стороны, поскольку кварки никогда не наблюдаются как изолированные
объекты, они оказываются тесно связанными друг с другом в нуклоне. Как
я объяснил, такое загадочное и явно противоречивое поведение кварков
можно понять, если константа связи сильного взаимодействия стремится
к нулю в пределе большого импульса (ультрафиолетового) и к
бесконечности или по крайней мере к некоторому большому значению в пределе
малого импульса (инфракрасного). Ряд теоретиков предложили поискать
теории, в которых связи стремились бы к нулю в ультрафиолетовом пределе.
В настоящее время такие теории называют асимптотически свободными.
Со временем Гросс, Вильчек и Политцер обнаружили, что теория Янга-
Миллса является асимптотически свободной.
Этот результат прекрасно согласуется с представлением о том, что
кварки несут цвет. Неабелево калибровочное преобразование меняет кварк
одного цвета на кварк другого цвета. Таким образом, чтобы записать
теорию сильного взаимодействия, нужно просто взять результат решения
упражнения IV.5.6
С = --^F^F^ + «(гУГ>м - m)q (1)
с ковариантной производной D^ = д^ — гА^. Калибровочной группой
является SU(3) с кварковым полем q в фундаментальном представлении.
Другими словами, калибровочные поля А^ = Аа^Та, где Та (а = 1, ..., 8),
являются бесследовыми эрмитовыми 3 х 3-матрицами. Очевидно, что (A^,q)a =
= А^(Та)^^, где а, /3 = 1,2,3. Эта теория известна как квантовая хромо-
динамика или кратко КХД, а неабелевы калибровочные бозоны известны
как глюоны. Чтобы учесть аромат кварка, для второго члена в (1) просто
записываем ^ Qji^l^D^ — mj)Qj> гДе индекс j определяет один из / аро-
.7=1
мат. Заметим, что кварки разных ароматов имеют разные массы.
Инфракрасная неволя
Обратной стороной асимптотической свободы является инфракрасная
неволя. Мы не можем следовать за ренорм-групповым потоком все время
Квантовая хромодинамика
431
до малого масштаба импульсов, характерного для кварков, заключенных
внутри адронов, поскольку константа связи д становится все больше и
вычисление (3(g) с помощью теории возмущений уже неприемлемо. Тем не
менее вероятно (хотя пока не доказано), что д стремится к бесконечности
и что глюоны удерживают себя и кварки в постоянном конфайнменте.
Петля Вильсона, описанная в главе VII. 1, является параметром порядка для
конфайнмента.
В элементарной физике силы уменьшаются с увеличением расстояния
между взаимодействующими объектами, поэтому постоянный конфайн-
мент является довольно странным понятием. Существуют ли какие-либо
другие примеры постоянного конфайнмента? Рассмотрим магнитный мо-
нополь в сверхпроводнике. Мы собираем воедино результаты, полученные
в главах IV.4 и V.4 (и даже VI.2)! Из монополя исходит квантованное
количество магнитного потока, но согласно эффекту Мейсснера сверхпроводник
выталкивает магнитный поток. Таким образом, один магнитный монополь
не может жить внутри сверхпроводника.
Теперь рассмотрим антимонополь, находящийся на расстоянии R
(рис. VII.3.1). Магнитный поток, исходящий из монополя, может входить
в антимонополь, образуя трубку, соединяющую монополь с антимонопо-
лем, и вынуждая сверхпроводник потерять свои сверхпроводящие свойства
в области трубки потока. На языке, использованном в главе V.4, это
означает, что полю или параметру порядка поля ip больше энергетически
невыгодно быть всюду постоянным; вместо этого в области трубки потока оно
исчезает. Затраты энергии на такую конфигурацию явно растут с
увеличением расстояния R (в соответствии с законом площадей Вильсона).
М ■ • ■ ~~~ М
R ^
Рис. VII.3.1
Другими словами, экспериментатор, находящийся внутри
сверхпроводника, обнаружил бы, что для разделения монополя и антимонополя
требуется все больше и больше энергии. Такой конфайнмент монополей
внутри сверхпроводника часто берется в качестве модели конфайнмента
кварков, который еще нужно доказать. Пользуясь электромагнитной
дуальностью, можно представить магнитный, а не обычный электрический
432
Глава VII.3
сверхпроводник. Внутри магнитного сверхпроводника электрические
заряды будут постоянно удерживаться. Нашу Вселенную можно сравнить
с цветным магнитным сверхпроводником, в котором удерживаются
кварки (аналог электрических зарядов).
На масштабах расстояний, больших по сравнению с радиусом
цветной трубки потока, соединяющей кварк с антикварком, трубка может
рассматриваться как струна. Именно так исторически возникла теория струн.
Задача, молодые люди, заключается в том, чтобы доказать, что основное
состояние или вакуум в теории (1) является цветным магнитным
сверхпроводником.
Симметрии сильного взаимодействия
Теперь, когда у нас есть теория сильного взаимодействия, можно
понять происхождение симметрии сильного взаимодействия, а именно изо-
спиновой симметрии Гейзенберга и киральной симметрии, которая при
спонтанном нарушении приводит к появлению пиона в виде намбу-голд-
стоуновского бозона (как обсуждалось в главах IV.2 и VI.4).
Рассмотрим мир с двумя ароматами; это все, что существенно для
обсуждения пиона. Введем обозначения и = q\, d = qi и q = (,) так, чтобы
лагранжиан можно было записать в виде
С = ~j-2FlvFa»v + 5(гУ^ - m)q
С
(ти О \
где ти и rrid — массы верхнего и нижнего кварков соответственно. Если
ти = rrid, то лагранжиан является инвариантным относительно q —> eie'Tq,
что соответствует изоспиновой симметрии Гейзенберга.
В пределе, когда ти и rrid равны нулю, лагранжиан является
инвариантным относительно q —> e%4>'Tlbq и известен как киральная симметрия
SU{2)\ киральная потому, что правые кварки qn и левые кварки qb
преобразуются по-разному. Если ти и rrid намного меньше масштаба энергии
сильного взаимодействия, киральная симметрия SU(2) является
приближенной.
Пион является намбу-голдстоуновским бозоном, связанным со
спонтанным нарушением киральной симметрии SU(2). Это, несомненно,
является примером нарушения динамической симметрии, поскольку под рукой
Квантовая хромодинамика
433
нет простейшего скалярного поля, чтобы получить вакуумное среднее.
Вместо этого предполагается, что динамика сжльных взаимодействий
заставляет комплексные скалярные поля йи и dd «конденсироваться в вакуум»
с тем, чтобы (0|гш|0) = (0|dd|0) стали неисчезающими, где равенство
между двумя вакуумными средними гарантирует, что изоспин Гейзенберга не
нарушается спонтанно; это экспериментальный факт, так как
соответствующих намбу-голдстоуновских бозонов не существует. Предполагается, что
вакуум КХД, в терминах дублета q, должен быть таким, что (0|ад|0) Ф О,
тогда как (0\qrq\0) = 0.
Ренорм-групповой поток
Ренорм-групповой поток для константы связи КХД определяется
выражением
!_«,,.-U^O)^ (2)
с обязательным знаком минус. Здесь
T(G)Sab = facdfbcd. (3)
Я не стану вычислять /3(g), но, прочитав главы VI.8 и VII. 1, вы должны
быть уверены, что сможете, если захотите, сделать это самостоятельно1.
Как минимум вы должны понять смысл множителя д3 и Тг(О), нарисовав
соответствующие фейнмановские диаграммы.
Если добавить фермионы, то
!-*»>-
-^r2(G) + |r2(F)
167Г2
(4)
где
T2(F)6ab = tr[Ta(F)Tb{F)]. (5)
Я оставляю вам получить (4) из (2). Для группы SU(N) для каждого фер-
миона в фундаментальном представлении T2{F) = ^. Обратите внимание,
что асимптотическая свобода теряется, когда фермионов слишком много.
В упражнении VI.8.1 вы уже решали уравнение типа (4). По аналогии
с квантовой электродинамикой определим as(fi) = д(ц)2/4тг — сильное
'Подробное вычисление см.. например, С. Вайнбсрг. Квантовая теория поля. Т.2. П. 18.7.
434
Глава VII.3
Рис. VII.3.2
взаимодействие на масштабе импульсов /х. Из (4) получаем выражение2
as(Q) = т о—\ • (6)
1 + (1/4тг)(п - §п/)а5(м)^(02/м2)
откуда следует, что as{Q) —> 0 логарифмически при Q —> оо.
Электрон-позитронная аннигиляция
Объем книги позволяет мне продемонстрировать только одно
физическое приложение. Экспериментаторы измерили сечение а аннигиляции
е+е~ с образованием адронов как функцию общей энергии Е в системе
центра масс. Амплитуда показана на рис. VII.3.2. Чтобы вычислить сечение
через амплитуду, нужно проделать то, что некоторые называют «скучной
кинематикой»; например, все правильно нормировать, разделить на поток
двух пучков и т. д. Вы, конечно, должны проделать такого рода вычисление,
по крайней мере, один раз ради собственного блага. Поверьте, я делал это
большее число раз, чем могу вспомнить. Но к счастью, этого неприятного
занятия можно избежать, и сейчас я это продемонстрирую. Прежде всего,
рассмотрим соотношение
_ <г(е+е" -> адроны)
к\ь) = / + _ + _ч •
2Экспериментальные данные as(Q) можно найти на рис. 14.3 в работе F. Wilczek, in:
V. Fitch et al., eds.. Critical Problems in Physics, p. 281.
Квантовая хромодинамика
435
Кинематическая часть сокращается. На рис. VII.3.2 половина диаграммы,
содержащая электрон-позитронные линии и фотонный пропагатор,
появляется также в фейнмановской диаграмме е+е~ —► /i+//~ (рис. VII.3.3) и
поэтому исчезает в R(E). Круг на рис. VII.3.2, за которым скрывается вся
сложность сильного взаимодействия, дается выражением (0|JM(0)|/i), где
JM — электромагнитный ток, а состояние \h) может содержать любое
число адронов. Чтобы получить сечение, нужно возвести в квадрат амплитуду,
учесть ^-функцию, ответственную за сохранение импульса, и
просуммировать по всем \h), получая в результате
^(27r)4J4(pft -pe+ -Pe-)(0\J»(0)\h)(h\r(0)\0) (7)
h
(где q = pe+ + ре- = (Е, 0)). Эту величину можно записать в виде
fd4xeiqx(0\J»(x)r(0)\0) = fd4xeiqx(0\[J»(x), JU(0)}\0) =
= 21m (i f d4xeiqx(0\TJ»(x)r{0)\0)\
(Первое равенство следует из Е > 0, а второе — из упражнения 1.8.5).
Чтобы определить эту величину, нужно вычислить бесконечное число фейнма-
новских диаграмм, включающих множество кварков и глюонов. Типичная
диаграмма показана на рис. VII.3.4. Это совершенно безнадежно!
На помощь приходит асимптотическая свобода! Из главы VI.7
известно, что соответствующей силой взаимодействия для процесса с
энергией Е является д(Е). Но когда энергия Е увеличивается, д(Е)
постепенно уменьшается. Таким образом, все диаграммы из показанных на рис.
VII.3.4, которые включают много степеней д(Е), исчезают; остаются
диаграммы без степени д(Е) (рис. VII.3.5a) и с двумя степенями д(Е) (рис.
VII.3.5b,c,d). Чтобы получить главный член в R{E), никакие вычисления не
нужны, поскольку диаграмма на рис. VII.3.5а аналогична той, что входит
в е+е~ —> /х+/х~. Нужно просто заменить кварковый пропагатор на мюон-
ный пропагатор (массы кварка и мюона пренебрежимо малы по сравнению
с Е). При высокой энергии кварки свободны, a R(E) просто
подсчитывает квадрат заряда Qa различных кварков, вносящих вклад в эту энергию.
Можно ожидать, что
ЩЕ)—-3£<& (8)
Множитель 3 учитывает цвет.
436
ГЛАВА VII.3
Рис. VII.3.3
Рис. VII.3.4
(а)
(Ъ)
(с)
(d)
Рис. VII.3.5
КХД не только отключает себя при высоких энергиях, но и указывает
нам на то, как быстро она отключается. Таким образом, можно определить,
как достигается предел в (8):
/ \
\ а )
1 + С
+ •■
V
(ll - §п,) 1о8(ВД '")
(9)
Вычислите С самостоятельно.
Квантовая хромодинамика
437
Мечты о точном решении
Для многих специалистов в области теории поля аналитическое
решение квантовой хромодинамики является своего рода «священным
Граалем» (граалем, за который обещан приз в миллион долларов: см.
www.ams.org/claymath/). Многие специалисты по теории поля мечтали
о точном решении, по крайней мере «чистой» КХД, то есть КХД без
кварков. Если все-таки какую-то четырехмерную квантовую теорию поля
удастся точно решить, то, вероятнее всего, это будет чистая теория Янга-Миллса
со всеми ее удивительными симметриями. (Возможно даже, что более
вероятным кандидатом на такое решение является суперсимметричная теория
Янга-Миллса. Мы коснемся вопроса о суперсимметрии в главе VIII.4.)
Я объясню точнее, что означает решить КХД. Рассмотрим мир, где
есть только верхние и нижние кварки, массы которых ти и rrid берутся
равными нулю; а именно мир, который описывается лагранжианом
С = -^F^Fa^ + v-fDrf. (10)
Наша цель заключается в том, чтобы вычислить нечто, подобное
отношению массы р-мезона тр к массе протона тр.
Для успешного решения физикам-теоретикам в таком случае, как
правило, нужен малый параметр разложения, но при попытке немедленного
решения (10) возникает трудность, связанная с отсутствием такого
параметра. Можно было бы считать таким параметром д, но это неправильно.
Ренорм-групповой анализ учит нас, что g(fx) является функцией масштаба
энергии fi, на котором она измеряется. Таким образом, нет такого
безразмерного числа, про которое можно сказать, что оно измеряет силу КХД.
Поэтому самое лучшее, что можно сделать, это указать на значение /х, при
котором (д(ц2)/4п) становится порядка 1. Это есть энергия, известная как
Aqcd, при которой сильное взаимодействие становится сильным, когда мы
уходим вниз от высокой энергии (рис. VII.3.6). Но Aqcd попросту
определяет шкалу, относительно которой должны измеряться другие величины.
Другими словами, если вам удастся вычислить массу тр, то хорошо бы,
чтобы она была пропорциональна Aqcd, поскольку Aqcd является
единственной величиной с размерностью массы. То же относится и к массе тр.
Скажем прямо, если вы опубликуете статью с формулой, определяющей
гпр/тр в виде отвлеченных чисел, таких как 2 и 7г, сообщество
специалистов по теории поля назовет вас героем-победителем, сумевшим получить
точное решение КХД.
438
Глава VII.3
QCD ц
Рис. VII.3.6
Очевидный обмен безразмерной константы связи д на размерный
массовый масштаб Aqcd известен как размерная трансмутация, — еще один
пример который приведен в следующей главе.
Упражнения
VII.3.1. Вычислите С в (9). [Указание: за помощью обращайтесь к статьям Т. Арре-
lquist and H. Georgi, Phys. Rev. D8: 4000, 1973; и A. Zee, Phys. Rev. D8: 4038,
1973.]
VII.3.2. Вычислите (2).
Глава VII.4
Разложение по большим N
Изобретение параметра разложения
Квантовая хромодинамика является теорией без параметров, поэтому
трудно получить даже первое приближение. В отчаянии теоретики
придумали параметр, по которому можно разлагать КХД. Допустим, что вместо
трех цветов имеется N цветов. 'тХоофт1 заметил, что при N —> оо
происходят поразительные упрощения. Идея состоит в том, что если вычислить
гпр/тр, например, в пределе больших N, то результат может быть близок
к действительному значению. Иногда шутят, что специалисты в области
физики элементарных частиц считают 3 большим числом, но на самом деле
поправка к пределу больших N составляет обычно порядка 1/N2, что в
реальном мире соответствует примерно 10%. Специалисты в области физики
элементарных частиц были бы чрезвычайно рады, если бы смогли с такой
степенью точности вычислить массы адронов.
Так же, как нарушение спонтанной симметрии и ряд других важных
понятий, разложение по большим N пришло из физики конденсированных
сред, но теперь оно регулярно используется в самых разных контекстах.
Например, делались попытки использовать разложение по большим N для
решения проблемы высокотемпературной сверхпроводимости и для того,
чтобы свернуть РНК.
Масштабирование константы связи в КХД
Итак, пусть цветной группой будет U(N), тогда лагранжиан запишется
в виде
C = -^trF^F^ + ^[i(P-ifi)-m]il>. (1)
G. 't Hooft Under the Spell of the Gauge Principle, p. 378.
440
Глава VII.4
Обратите внимание, что мы заменили д2 на д2 /Na. Для конечного N
такое изменение не имеет существенного значения. Дело в том, что нужно
выбрать степень а так, чтобы в пределе N —► оо происходили
интересные упрощения при фиксированном д2. Вершины взаимодействия третьего
и четвертого порядка для глюонов пропорциональны Na. С другой
стороны, поскольку глюонный пропагатор является обратным к квадратичным
членам в £, он пропорционален 1/Na. Взаимодействие глюона с кварком
не зависит от N.
Чтобы зафиксировать а, сосредоточим внимание на конкретном
приложении — вычислении сг(е+е~ —> адроны) из предыдущей главы.
Предположим, мы хотим вычислить это сечение при низких энергиях. Рассмотрим
диаграммы с обменом двумя глюонами, показанные на рис. VII. 4.1а и Ь.
Эти две диаграммы имеют порядок д2, и нам нужно их вычислить.
Заметим, что рис. VII.4. lb неплоский. Поскольку один глюон пересекает другой,
эту диаграмму нельзя изобразить на плоскости, если мы считаем, что линии
не могут проходить сквозь друг друга.
(а) (Ъ)
Рис. VII.4.1
Теперь настала очередь формализма двойных линий, описанного в
главе IV.5. Диаграммы, приведенные на рис. VII.4.1a и Ь, изображаются в этом
формализме по-другому (рис. VII.4.2a и Ь). Два глюонных пропагатора,
общие для обеих диаграмм, дают множитель 1/N2a. Теперь мы приблизились
к кульминационному моменту. Просуммируем по трем независимым
цветовым индексам на рис. VII.4.2a, получая таким образом множитель N3.
Возьмите несколько цветных карандашей и попытайтесь раскрасить
каждую линию на рис. VII.4.2a разным цветом: вам понадобятся три цветных
карандаша. Вместо этого просуммируем только по одному независимому
индексу на рис. VII.4.2b, получая тем самым множитель N. Другими
словами, рис. VII.4.2а доминирует над рис. VII.4.2b в N2 раз. В пределе
больших N рис. VII.4.2b можно отбросить.
Очевидно, что это правило должно связывать один множитель N
с каждой петлей. Таким образом, диаграмма наинизшего порядка, показан-
Разложение по большим N
441
ная на рис. VII.4.2c, с присутствующими на ней различными цветами N,
масштабируется как 7V; а диаграмма на рис. VII.4.2a масштабируется как
N3/N2a. Мы хотим, чтобы диаграммы рис. VII.4.2a и с масштабировались
одинаково, поэтому выбираем а = 1.
Рисуя еще больше диаграмм [например, рис. VH.4.2d, который
масштабируется как N(1/N4)N4 с тремя множителями, обусловленными
взаимодействием четвертого порядка, пропагаторами и суммой по цветам
соответственно], можно убедиться в том, что планарные диаграммы доминируют
в пределе больших N и все масштабируются как N. Для пробы сил
попытайтесь это доказать. Очевидно, что за всем этим стоит определенная
топологическая структура.
Приведение диаграмм к планарному виду является значительным
упрощением, но при этом все еще остается бесконечное число диаграмм.
На данном этапе владения теорией поля все еще невозможно решить КХД
для больших N. (Когда я начал писать эту книгу, существовала надежда,
основанная на интуиции и методах, разработанных в теории струн, что
решение КХД для больших N уже близко. Но теперь, когда я просматриваю
окончательную корректуру, надежда эта исчезла.)
У формализма двойных линий есть естественное объяснение. С точки
зрения теории групп калибровочное поле матрицы Aj преобразуется как
Tpqj (но мы, конечно, не считаем, что глюон является связанным
состоянием кварк-антикварк). В этом случае можно считать, что две линии описы-
(а)
(с)
Рис. VII.4.2
442
ГЛАВА VII.4
вают распространяющиеся вдоль друг друга кварк и антикварк, а стрелки
линий указывают направление, в котором течет цвет.
Теория случайных матриц
Есть теория, структурно подобная КХД для больших N, но более
простая, которую, как ни удивительно, можно решить. Я имею в виду теорию
случайных матриц.
Чуть преувеличивая, можно сказать, что квантовая механика
заключается в написании матрицы, известной как гамильтониан, а затем
нахождении ее собственных значений и собственных векторов. В начале 1950-х
годов, столкнувшись с проблемой изучения свойств сложных атомных ядер,
Ю. Вигнер разработал своего рода статистическую квантовую механику,
в которой вместо решения истинного гамильтониана в некотором
сомнительном приближении можно случайным образом создавать большие
матрицы и изучать распределение собственных значений. С тех пор теория
случайных матриц стала обширной и развивающейся темой с огромным
и постоянно растущим числом публикаций; она применяется в
многочисленных областях теоретической физики и даже чистой математики (таких
как операторная алгебра и теория чисел)2. Эта теория имеет наглядные
применения к разупорядоченным системам конденсированных сред и
менее наглядные применения к случайным поверхностям и, следовательно,
даже к теории струн. Здесь я ограничусь тем, что покажу, как наблюдение
'тХоофта, касающееся планарных диаграмм, работает в контексте теории
случайных матриц.
Сгенерируем случайным образом эрмитовы N x iV-матрицы (р с
вероятностью
P(<p) = ±e-NtrVM, (2)
где V(<p) — полином по (р. Например, пусть V((p) = ^т2(р2 + дер4.
Нормировка J Dcp P(ip) фиксирует
Z= f Dipe-NtrVM. (3)
Везде подразумевается предел N —> оо.
2Беглый просмотр математических публикаций см. в D. Voiculescu, ed.. Free Probability
Theory.
Разложение по большим N
443
Как и в главе VI.7, нас интересует р(Е) — плотность собственных
значений <р. Чтобы вы действительно поняли, что это означает, я опишу,
что нужно бы сделать для численного определения р(Е). Для некоторого
большого целого числа N с помощью компьютера сгенерируем эрмитову
матрицу ф с вероятностью Р(ф) и затем решим уравнение для
собственных значений ipv = Ev. После многократного повторения этой процедуры
компьютер может построить распределение собственных значений в виде
гистограммы, которая в итоге приближается к гладкой кривой, которая
называется плотностью собственных значений р(Е).
Мы уже развили формализм для вычисления р(Е)9 в
упражнении VI.7.1. Вычислим вещественно-аналитическую функцию G(z) =
((1/N) ti[l/z- ф\) и р{Е) = —(1/тг) lim ImG(E + ie). Среднее (...) взято
с вероятностью Р(у>):
(0(<p)) = ±jD<pe-N«vMO(<p).
Вы понимаете, что мой выбор (р в качестве обозначения матрицы
и У(ф) = ^т2(р2 + gtp4 в качестве примера является провоцирующим.
Вычисление Z подобно вычислению интеграла по траекториям, но для
действия S((p) = Ntr V((p) оно не включает f ddx. Теорию случайных матриц
можно представить как квантовую теорию поля в (0 + 0)-мерном
пространстве-времени!
Разнообразные методы теории поля, такие как фейнмановские
диаграммы, можно применить к теории случайных матриц. Но жить в (0 +
f 0)-мерном пространстве-времени очень приятно: там нет пространства,
времени, энергии и импульса, а значит нет интеграла, который нужно
вычислять при нахождении фейнмановских диаграмм.
Полукруговый закон Вигнера
Давайте посмотрим, как все это работает в простом случае V(ip) =
■= -m2ip2 (m всегда можно включить в <£>, но мы не будем это делать).
Вместо G(z) несколько легче вычислить
Последнее равенство следует из инвариантности относительно унитарных
преобразований:
Р(<р) = P{W<pU). (4)
444 ГЛАВА VII.4
Разложим функцию
оо
с1^) = ЕзЬ((^)- (5)
n=0Z
Возьмем гауссов интеграл
(6)
Полагая к = 1 и суммируя, находим, что член п = 1 в уравнении (5) равен
(1/*3)^(1/т2).
*
г
Так же, как в любой теории поля, с каждым из членов в уравнении (5)
можно сопоставить фейнмановскую диаграмму. Для члена п = 1 у нас есть
рис. VII.4.3. Матричный характер поля <р естественным образом приводит
к формализму двойных линий 'тХоофта, так что мы с легкостью можем
говорить о кварковом и глюонном пропагаторах. Правила Фейнмана
приведены на рис. VII.4.4. Мы видим, что ip — это глюонное поле, а выражение
(6) — глюонный пропагатор. В самом деле, нашу задачу можно
сформулировать следующим образом: имея голый кварковый пропагатор 1/z, надо
вычислить истинный кварковый пропагатор G{z) с учетом всех эффектов
взаимодействия.
Теперь посмотрим на член п = 2 в (5) 1/^5(^^^^), который
представлен на рис. VII.4.5a. Немного подумав, можно понять, что индекс г
можно свернуть с /с, / или j, в результате чего появляются рис. VII.4.5b, с, d.
Суммируя по цветовым индексам так же, как в КХД, видим, что планарные
диаграммы на рис. VII.4.5b и рис. VII.4.5d доминируют над диаграммой
рис. VII.4.5c в N2 раз. Итак, мы соглашаемся с наблюдением 'тХоофта,
что планарные диаграммы доминируют.
Разложение по большим N
445
jf 6tf
Рис. VII.4.4
Кстати, на этом примере понятно, какую важную роль играют
большие N, позволяя избавиться от непланарных диаграмм. Ведь если я
попрошу вычислить плотность собственных значений, скажем, для N = 7, вы,
конечно, возразите и скажите, что для решения полиномиального
уравнения 7-й степени неизвестно даже общее выражение.
Простой пример на рис. VII.4.5 указывает еще на то, как можно
было бы построить всевозможные диаграммы. На рис. VII.4.5b повторяется
тот же «элемент», тогда как на рис. VII.4.5d этот «элемент» вложен внутрь
более базовой диаграммы. На рис. VII.4.5е показан более сложный
пример. Можно убедиться, что для N = оо все диаграммы, которые вносят
вклад в G(z), могут быть образованы либо при помощи «вложения»
существующих диаграмм внутрь образующего арку глюонного пропагатора,
либо путем многократного «повторения» существующей структуры.
Преобразуйте предыдущее предложение в два уравнения: «повторение» (см.
рис. VII.4.6a),
GW=1 + IE(Z)I + IEWIEWI +
1
■ВД'
и «вложение» (см. рис. VIIА6Ь),
1
E(z) = -ЗД4
vnr
(7)
(8)
Объединяя эти два уравнения, получаем простое квадратное уравнение
для G(z), которое можно немедленно решить и получить
446
ГЛАВА VII.4
(а)
(Ь)
(с)
(е)
Рис. VII.4.5
(Из определения G(z) следует, что для больших z G(z) —► 1/z, и поэтому
выбираем отрицательный корень.) Сразу получаем
p(E) = -^Va2-E^ (10)
где а2 = 4/т2. Это известный результат, называемый полукруговым
законом Вигнера.
Разложение по большим N
447
(а)
£<£)^
(Ь)
Рис. VII.4.6
Рис. VII.4.7
Дайсоновский газ
Надеюсь, вы оценили элегантность подхода больших N и планарных
диаграмм. Однако вы могли заметить, что глюоны не взаимодействуют. Это
как если бы мы решили задачу квантовой электродинамики, когда нужно
было решать задачу квантовой хромодинамики. А что, если нам
приходится иметь дело с V{tp) = ^m2(f2 + до4? Слагаемое до4 заставляет глюоны
взаимодействовать друг с другом, образуя ужасные диаграммы такого вида,
как показано на рис. VII.4.7. Ясно, что число диаграмм растет, и, насколько
мне известно, никто никогда не смог вычислить G(z), используя фейнма-
новские диаграммы.
448
Глава VII.4
К счастью, G(z) можно вычислить по-другому, используя так
называемый метод дайсоновского газа. Для этого нужно записать выражение
<р = f/tAC/, (11)
где Л обозначает диагональную N x TV-матрицу с диагональными
элементами, равными Ль где г = 1, ..., N. Заменим переменную интегрирования
в уравнении (3) с tp на U и Л:
Г f -NJ2V(\k)
Z= dU (UidXi)Je fc , (12)
где J — якобиан. Поскольку подынтегральное выражение не зависит от U,
интеграл по U можно отбросить. Получаем объем группы SU(N). He
напоминает ли это вам главу VII. 1? В самом деле, в уравнении (11) U
соответствует степеням свободы нефизической калибровки: нужными степенями
свободы являются собственные значения {Аг}. В качестве упражнения вы
можете использовать для вычисления J метод Фаддеева-Попова.
Мы же воспользуемся вместо этого более изящным способом
определения J исходя из общих принципов. Замена переменных в (11) плохо
определена, если произвольные два значения А* совпадают; в этом
случае J должен занулиться. (Напомним, что переход от декартовых координат
к сферическим плохо определен у Северного и Южного полюсов, и
якобиан в sinOdOd<p действительно равен нулю при в = 0 и тт.) Поскольку
значения Л^ эквивалентны, симметрия относительно перестановок требует,
чтобы J = [Пт>п(Ат — Ап)р. Степень f3 можно найти, используя анализ
размерностей. С N2-матричными элементами dip явно имеет размерность
А^ , тогда как (П^А^) J имеет размерность \NX^NiN-1)/2; таким образом,
/3 = 2.
Определив J, перепишем выражение (12) в виде
Z = (UidXi) [Пт>п(Ат - An)J e *
= / (UidXi)e * ->" . (13)
2
Дайсон показал, что в таком виде Z = J(UidXi)e~NE^Xli",XN^
является статистической суммой классического одномерного газа (вспомним
главу V.2). Представьте вещественное число А^ как положение г-й молекулы.
Разложение по большим N
449
Энергия конфигурации
Е(Хг, ...,\N) = J2 V{\k) - ^ Е loS(A™ - А»)2 (14)
к т>п
состоит из двух членов с явным физическим смыслом. Газ заключен в
потенциальной яме V{x), и молекулы отталкивают3 друг друга за счет
двухчастичного потенциала —(1/N) log(x — у)2. Заметим, что эти два члена в Е
имеют одинаковый порядок по N, поскольку в каждой сумме учитывается
степень N. В пределе больших N (N можно представить как обратную
температуру) вычисляем Z методом наискорейшего спуска и минимизируя Е,
получая уравнение
riV-frE^h? (15)
пфк
которое в непрерывном пределе, когда полюсы в (15) сливаются в разрез,
имеет вид ^'(А) = 2V J dfi[p{p)/{\ — /i)], где р{\) — неизвестная функция,
для которой мы хотим найти решение, аР- главное значение.
Определяя, как и раньше, G(X) = /d/i[p(/i)/(A — /z)], видим, что
рассматриваемое уравнение для р(р) можно записать в виде Re G(X + ie) =
= ^V'(X). Другими словами, G(z) является вещественно-аналитической
функцией с разрезами вдоль действительной оси. Нам дана
действительная часть G(z) на разрезе, и нужно получить решение для мнимой части.
Брезан, Ициксон, Паризи и Зюбер предложили остроумное решение этой
задачи. Предположим для простоты, что V(z) является четным полиномом
и что есть только один разрез (см. упражнение VII.4.7). Используем
симметрию и постулируем следующую форму:
G(z) = ^[V(z)-P(z)^~^]
с неизвестным четным полиномом P{z). Примечательно, что требование
G(z) —> 1/z для больших z полностью определяет P(z). Разумеется, что
с педагогической точки зрения следует обратиться к конкретному примеру,
скажем V(z) = ^m2z2 + gz4. Поскольку V'(z) является многочленом
третьей степени по z, P(z) должен быть квадратным (четным) многочленом
по z. Беря предел z —> оо и требуя, чтобы коэффициенты при z3 и z в G(z)
33аметим, что это соответствует отталкиванию между энергетическими уровнями в
квантовой механике.
450
Глава VII.4
исчезли, а коэффициент при Z/z был равен 1, получаем три уравнения на
три неизвестные [а именно а и двух неизвестных в P{z)]. Тогда плотность
собственных значений определяется в виде р(Е) = (1/тг)Р(Е)\/а2 — Е2.
Я полагаю, что из этого можно извлечь урок, который заключается
в том, что эффективность фейнмановских диаграмм несколько
переоценивается, несмотря на их исторически важную роль в квантовой
электродинамике и полезность для наглядного описания происходящего. Никто,
конечно, и не думает, что КХД, даже КХД больших N, будет когда-нибудь
решена путем суммирования фейнмановских диаграмм. Что необходимо,
так это аналог метода дайсоновского газа для КХД больших N. С другой
стороны, если моим читателям удастся вычислить G(z) путем
суммирования планарных диаграмм (ведь ответ известен!), то полученная при этом
информация, возможно, могла бы быть полезной для понимания того, как
обращаться с планарными диаграммами в КХД при больших N.
Теории поля в пределе больших 7V
Ряд теорий поля был также решен с использованием разложения по
большим N. Я приведу в качестве примера модель Гросса-Невье отчасти
потому, что она несколько напоминает КХД. Эта модель определяется
выражением
S(V0 = /
(Гх
N 2 / N
2N t
\a-l
(16)
Напомним, что согласно главе III.3 эта теория должна быть
перенормируемой в (1 + 1)-мерном пространстве-времени. Для некоторого конечного N,
скажем N = 3, наверняка окажется, что такую теорию решить не легче,
чем любую другую теорию поля с полным взаимодействием. Но, как мы
увидим, при N —> оо из модели можно извлечь интересную физику.
Используя тождество (А. 14), теорию можно переписать в виде
5(^,(7) = J d2* f>e(#-<T)tfe
Г ^
iV 2
(17)
Вводя скалярное поле сг(х), получаем «незаконченное» четырехфермион-
ное взаимодействие. (Вспомним, что аналогичный прием мы использовали
в главе III.5.) Вы узнаете, что физика в этом случае подобна той, которая
Разложение по большим N
451
лежит в основе введения промежуточного бозона с целью генерирования
взаимодействия Ферми. С учетом того что известно из глав II.5 и IV.3,
можно сразу же проинтегрировать по фермионным полям и получить действие,
записанное только в терминах поля о.
S(a) = - fd2x^a2 - iN trlog(# - a). (18)
Обратим внимание на множитель N перед логарифмическим членом следа,
который получается в результате интегрирования по фермионным полям N.
С заранее обдуманным намерением мы или, вернее, Гросс и Невье, ввели
в (16) явный множитель 1/N в выражение для силы взаимодействия, с тем
чтобы оба члена в (18) масштабировались как N. Таким образом, интеграл
по траектории Z = f DaelS^ можно вычислить методом перевала или
стационарной фазы в пределе больших N. Мы просто находим
экстремумы S(a).
Кстати, таким же образом можно объяснить разумность выбора а = 1
в КХД больших N. Интегрируя по кваркам в (1), получаем
S = - f dAx^ tr F^F*" + N tr log(t(0 - ifi) - m)
J *g
и, следовательно, оба пропорциональны N и могут уравновешивать друг
друга. Увеличение числа степеней свободы должно компенсироваться
ослаблением взаимодействия.
Чтобы изучить поведение основного состояния теории, ограничимся
рассмотрением не зависящих от х конфигураций поля а{х). (Другими
словами, мы не ожидаем, что трансляционная симметрия будет спонтанно
нарушаться.) Можно сразу взять результат, полученный при решении
упражнения IV.3.3, и записать эффективный потенциал в виде
jtVMs&r'+&'{t*s-i)- <19)
Мы наложили условие (l/N)[d2V(a)/da2]\ = = 1/д(/л)2 как
определение константы связи #(/х), зависящей от масштаба (сравните с
уравнением (IV.3.18)). Утверждение, что V(a) не зависит от /i, сразу же приводит
к выражению
452
Глава VII.4
Если /л —> оо, то g(fjb) —> 0. Примечательно, что эта теория является
асимптотически свободной, как и КХД. При желании можно двигаться в
обратном направлении, чтобы найти уравнение ренорм-группы
Эта теория в различных воплощениях — (16), (17) и (18) — обладает
дискретной симметрией Z^ под действием которой фа —> 75^а и а —> — а.
Как показано в главе IV.3, эта симметрия динамически нарушается
квантовыми флуктуациями. Минимум V(a) имеет место при crmin = /хе1_7Г^^ ,
и тогда в соответствии с уравнением (17) фермионы приобретают массу
mF=amin=»e1-*^ . (22)
Заметим, что этот весьма нетривиальный результат едва ли можно увидеть,
глядя на выражение (16), и мы никоим образом не можем его доказать для
конечных N. Однако, как и при разложении по большим N, можно ожидать,
что масса фермионов может иметь вид тр = це1-*/9^ + 0(l/iV2), так
что уравнение (22) было бы хорошим приближением даже, скажем, для
N = 3. Поскольку тпр — физически измеримая величина, она не должна
зависеть от \i. Можете это проверить.
В этой теории также возникает размерная трансмутация, описанная
в предыдущей главе. Мы стартуем с теории с безразмерной константой
связи д и имеем в итоге теорию с размерной массой фермиона тр. В самом
деле, любая другая величина с размерностью массы должна быть
пропорциональна ГПр.
Динамически генерируемые кинки
Существование кинков и солитонов рассмотрено в главе V.I. Вы
хорошо усвоили, что существование таких объектов следует из общих
соображений симметрии и топологии, а не из конкретной динамики. Здесь мы
имеем (1+1)-мерную теорию с дискретной симметрией Z^ поэтому можно,
несомненно, ожидать появление кинка, а именно не зависящей от времени
конфигурации а(х) (впредь х будет обозначать только пространственную
координату и не будет определять общую точку в пространстве-времени)
такую, что а(—оо) = —crmin и сг(+оо) = crmin. [Очевидно, что существует
также антикинк с сг(—оо) = crmin и сг(+оо) = —amin.]
Разложение по большим N
453
На первый взгляд, определение точной формы кинка может показаться
почти невозможным. По существу, нужно определить trlog[z^ — <у{х)\ для
произвольной функции а(х), так что <т(+оо) = — <т(—оо) (и, как говорится
в главе IV.3, это включает в себя вычисление всех собственных значений
оператора Of) — сг(х), суммирование по логарифму собственных значений),
и затем следует проварьировать этот функционал от а(х), чтобы найти
оптимальную форму кинка.
Примечательно, что эту форму действительно можно найти, опираясь
на одно нетривиальное наблюдение4. По аналогии с шагами, приведшими
к (IV.3.24), заметим, что
tTlog[ifi-a(x)] =trlog75[^-a(x)]75 = trlog(-l)[z^ + <т(х)],
и, следовательно, с точностью до несущественной аддитивной постоянной
получаем
trlog(z# - <т(х)) = | tr log[z# - <r{x)][ip + <т{х)\ =
= ±tr]Dg{-8? + i<y1o'(x)-[v(x)]2}. (23)
Поскольку 71 имеет собственные значения ±г, последнее выражение будет
равно
\ {trlog{-д2 + <т'(х) - Их)]2} + tr tog{-д2 - а'{х) - [а{х))2}} ,
но в силу четности (пространственного отражения) эти два слагаемых
равны и поэтому
tr log[z^ - cr(x)] = tr log {-a2 - a'(x) - [or{x)}2} .
Возвращаясь к выражению (18), видим, что S(a) является суммой двух
членов — члена второго порядка по а(х) и члена, который зависит только
от комбинации а'{х) + [сг(х)]2. Но нам известно, что crmin
минимизирует S(a). Таким образом, солитон определяется путем решения обычного
дифференциального уравнения вида
<Аэ<) + И*)]2 = <&ш, (24)
4C.Callan, S.Coleman, D.Gross, and A.Zee. (неоиубликовано). See D.J.Gross, «Applications
of the Renormalization Group to High-Energy Physics», in: R. Balian and J. Zinn-Justin, eds..
Methods in Field Theory», p. 247. Кстати, я рекомендую эту книгу студентам, занимающимся
теорией поля.
454
Глава VII.4
а именно а(х) = ат[п th am[nx. Солитон наблюдался бы как объект
размером l/crmin = l/mp. Я оставляю вам показать, что его масса дается
выражением
ms = -jfmF- (25)
В точном соответствии с теоретическим рассмотрением, приведенным в
последней главе, отношение ms/rap оказывается равным просто числу N/tt,
как и следовало ожидать.
Используя еще более удачный метод, для описания которого здесь нет
места, Дашен, Хасслахер и Невье смогли исследовать зависящие от
времени конфигурации а и определить спектр масс этой модели.
Упражнения
VII.4.1. Поскольку число глюонов отличается только на единицу, обычно
утверждают, что нет никакой разницы в том, чтобы изучать С/(iV)-теорию или
5С/(Л^)-теорию. Рассмотрите, чем глюонный пропагатор в [/(ЛГ)-теории
отличается от глюонного пропагатора в 5С/(А^)-теории, и решите, какой из
них проще.
VII.4.2. Попробуйте свои силы и решите КХД больших N в (1 4- 1)-мерном
пространстве-времени. [Указание: ключ к решению состоит в том, что в (1 +
+ 1)-мерном пространстве-времени при выборе подходящей калибровки
можно отынтегрировать калибровочное поле А^.] Если нужна помощь, см.
Ч Hooft, Under the Spell of the Gauge Principle, p. 443.
VII.4.3. Покажите, что если бы мы решили вычислить G(z) = ((1/iV) tr(l/z — ф))9
нужно было бы соединить два открытых конца кваркового пропагатора.
Видим, что рис. VII.4.5b и d приводят к одной и той же диаграмме. Завершите
таким способом вычисление G(z).
VII.4.4. Предположим, что матрица случайных величин <р является вещественной
симметричной, а не эрмитовой. Покажите, что правила Фейнмана в этом
случае более сложные. Вычислите плотность собственных значений.
[Указание: пропагатор, представленный двойной линией, может закручиваться.]
VI 1.4.5. Для эрмитовой случайной матрицы ц> вычислите
Gc(,)U;) = /itr_^itr^_\_Atr^_\Atr_L_\
v ' \N z-<pN w-ip/ \N z-(p/\N w-ip/
для V(ip) = -m2ip2, используя фейнмановские диаграммы. [Заметим, что
этот объект гораздо проще для изучения, чем тот, который нам нужно
изучить, чтобы узнать, что такое локализация (см. упражнение VI.6.1.).] По-
Разложение по большим N
455
кажите, что, выбирая подходящие мнимые части, можно получить
корреляцию плотности собственных значений с собой. Если нужна помощь, см.
E.Brezin and A. Zee, Phys. Rev. E51: p. 5442, 1995.
VII.4.6. Используйте метод Фаддеева-Попова, чтобы вычислить J методом дайсо-
новского газа.
VII.4.7. Найдите р{Е) для V(ip) = -^т2(р2 + д(р4. Для достаточно большой
отрицательной га2 (снова двухъямныи потенциал) ожидается, что плотность
собственных значений разделится на две части. Это следует из
представления дайсоновского газа. Найдите критическое значение га2. При га2 < га2
использованное в тексте предположение, что G(z) имеет только один
разрез, неверно. Покажите, как в этом случае вычислить р(Е).
VII.4.8. Вычислите массу солитона (25).
Глава VII.5
Великое объединение
Острая необходимость в объединении
Калибровочная теория определяется группой и представлениями,
которым принадлежат поля материи. Вернемся к главе VII.2 и составим каталог
для теории SU(S) <g> SU(2) <S> U(l). Например, левые верхний и нижний
{иа\ 1 1
кварки образуют дублет ( ,а 1 с гиперзарядом -У = ± Обозначим его
как [3,2 i] с тремя числами, указывающими на то, как эти поля
преобразуются относительно SU(3) <g> SU(2) <g> U(l). Аналогичным образом
обозначим правый кварк как ( 3,1, ^) . Записывая все это, мы видим, что
кварки и лептоны каждого семейства помещены в
И!),' (3'Ч)*' О-ИЬ (1-2'4), и f1'1--1)*- w
По сути, этот пестрый набор представлений остро нуждается в
дальнейшем объединении. Кто бы мог построить Вселенную, выбросив этот
странный на вид список?
Что мы хотели бы получить, так это большую калибровочную
группу G, содержащую SU(3)®SU(2)®U(1), чтобы этот длинный список
представлений объединился (в идеале) в одно внушительное большое
представление. Калибровочные бозоны в G [но, конечно, не в SU(3)<g>SU(2)®U(l)]
будут связывать друг с другом представления в (1).
Прежде чем начать поиск G, заметим, что, поскольку калибровочные
преобразования коммутируют с группой Лоренца, искомые калибровочные
преобразования не могут изменить левые поля на правые поля. Поэтому
заменим все поля в (1) на левые поля. Напомним из упражнения И. 1.8, что
зарядовые сопряжения изменяют левые поля на правые и наоборот. Таким
образом, вместо (1) можно записать
(3,2,|), (3M,-|), (3M,|), (l,2,-|) и (1,1,1). (2)
Теперь опустим подстрочные индексы L и R: все поля становятся левыми.
Великое объединение
457
Идеальная подгонка
Самой малой группой, содержащей SU(3) <g> SU(2) ® U(l), является
SU(b). (Если вы недостаточно хорошо знаете теорию групп, ознакомьтесь
для начала с приложением В). Напомним, что SU(5) имеет 24 генератора
(52 — 1 = 24). Эти генераторы явно представлены эрмитовыми
бесследовыми 5 х 5-матрицами, действующими на пять объектов, которые обозначим
как ф*л9 где ^ — i? 2, ..., 5. [Эти пять объектов образуют фундаментальное,
или определяющее, представление SU(5).]
Теперь понятно, как можно поместить SU(3) и SU(2) в SU(5). Из 24-х
матриц, которые генерируют 5С/(5), восемь имеют вид ( n n 1, а три —
где А представляет собой эрмитовы бесследовые 3 х 3-мат-
вид
'О О
рицы (из которых З2 — 1 = 8 — так называемые матрицы Гелл-Манна), а В
представляет собой эрмитовы бесследовые 2 х 2-матрицы (из которых 22 —
— 1 = 3 — матрицы Паули). Ясно, что матрицы первого типа генерируют
SU(S), а матрицы второго типа — SU(2). Кроме того, эрмитова бесследовая
5 х 5-матрица
/-
\у
1
3
0
0
0
0
0
1
3
0
0
0
0
0
1
3
0
0
0
0
0
1
0
о\
0
0
0
1
о /
(3)
V
генерирует U(l). Без лишней скромности мы уже назвали эту матрицу
гиперзарядом iy.
Другими словами, если разбить индекс /х = {а, г} са = 1,2,3иг =
= 4,5, то SU(S) будет действовать на индекс a, a SU(2) будет действовать
на индекс г. Таким образом, три объекта фа преобразуются как трехмерное
представление относительно 5С/(3), и, следовательно, могут быть 3 или 3*.
Выберем фа, преобразующиеся как 3; далее мы увидим, что это
правильный выбор, если У/2 задано в таком виде, как в (3). Три объекта фа не
преобразуются относительно SU(2), и, следовательно, каждый из них
принадлежит представлению 1 синглета. Кроме того, они несут гиперзаряд — i
о
как видно из (3). В итоге фа преобразуются как (3,1,—^) относительно
458
Глава VII.5
SU(3) <g> SU{2) ® U{\). С другой стороны, два объекта фг преобразуются
как 1 относительно 5£У(3), как 2 относительно SU(2) и несут
гиперзаряд -; таким образом, они преобразуются как (1,2, i J. Другими словами,
мы вкладываем SU(3) ® 5/7(2) <g) C/(l) в 5С/(5), определяя тем самым,
как фундаментальное представление 5/7(5) разлагается на представления
5С/(3) ® 5С/(2) ® 17(1)
5^(3,1,4)Ф(1'2'!)' (4)
Сопрягая, видим, что
5*->(3M,|)e(l,2,-|). (5)
Сравнивая с (2), видим, что в списке появляются (з* 1, ^j и (1,2,—^).
Мы на правильном пути! Поля в этих двух представлениях хорошо
помещаются в 5*.
Таким образом, учтены пять полей из содержащихся в (2); но остаются
еще десять полей
(3,2,|), (зМ,-|) и (1,1,1). (6)
Рассмотрим следующее по размеру представление 5£/(5), а
именно представление антисимметричного тензора ф^и. Его размер равен
(5 х 4)/2 = 10. Именно такое число нам и нужно, только если получаются
квантовые числа относительно SU(3) <g> SU(2) <g) U(l)\
Поскольку известно, что 5 —> (З,1,— ^1 0 (1,2 i), нужно просто
(см. приложение В!) найти антисимметричное произведение (3,1, — ) ф
(1,2,-1 с самим, то есть найти прямую сумму вида (где ®а обозначает
антисимметричное произведение)
(з,1,-|)®л(з,1,-|) = (зМ,-|), (7)
(3,l,4)®A(l,2,|) = (3.2,-I + |) = (3,2,i) (8)
и
(l, 2, |) ®А (l, 2, |) = (1,1,1). (9)
Великое объединение
459
[Я помогу вам разобраться с (7): в 5(7(3) 3 <8>л 3 = 3* (помните e^fe из
приложения В?), в 5(7(2) 1 ®д 1 = 1 и в 17(1) гиперзаряды складываются
-I - I = -11
3 3 3'J
Посмотрите, эти представления 5(7(3) ® SU(2) ® (7(1) образуют такой
же набор представлений в (6). Другими словами,
ю - (з,2, |) © (зм, -|) е (1,1,1).
(10)
Известные кварковые и лептонные поля в данном поколении идеально
укладываются в представления 5* и 10 группы 5(7(5)!
Я только что описал 5(7(5)-теорию великого объединения Джорджи -
Глэшоу. Несмотря на то что эта теория до сих пор прямо не проверена на
эксперименте, мне и многим другим физикам очень трудно не поверить, что
группа 517(5) является по меньшей мере структурно правильной, учитывая
идеальное теоретико-групповое вложение.
Часто удобно представить состав представлений 5* и 10, используя
названия, которые различные поля получили в прошлом. Запишем
представление 5* в виде вектор-столбца
Vv =
Фа
(И)
а представление 10 в виде антисимметричной матрицы
фЦ" = {<фа(3,'фа\<фЧ}
(Цветовые индексы опущены.)
—и
й
—и
и
0
—и
—и
-d
—и
й
0
—и
-d
и
и
и
0
—ё
d\
d
d
ё
о/
(12)
Углубляя наше понимание физики
Помимо эстетической привлекательности, великое объединение
значительно углубляет наше понимание физики.
1. Вы когда-нибудь размышляли о том, почему электрический заряд
квантуется? Почему мы не видим частиц с зарядом, в у/тт раз большим
460
ГЛАВА VII.5
заряда электрона? В квантовой электродинамике вполне можно было бы
записать
С = ф[г(р - гД) - т]ф+'г1?[Цр - гу^Д) - mf)l>' + ... (13)
В теории великого объединения, наоборот, А^ взаимодействует с
генератором калибровочной группы великого объединения. А как вы знаете,
генераторы любой простой группы, такой как SU(N) (считается, что
группа, не образующаяся путем прямого произведения /7(1) на другие группы,
является простой), должны через нетривиальные коммутационные
соотношения [Га,Ть] = ifabcTc допускать квантованные значения. Например,
собственные значения Гз в SU(2), которые, конечно, зависят от представления,
должны быть кратными ^ В пределах группы SU(3) <8> SU(2) ® U(l),
которая не является простой, квантование заряда понять нельзя. Генератор U(l)
не квантуется. Но при великом объединении в SU(5) (или, в более общем
случае, в любую простую группу) электрический заряд квантуется.
Здесь этот результат глубоко связан с замечанием Дирака (см.
главу IV.4), согласно которому электрический заряд квантуется, если
существует магнитный монополь. Из главы V.8 известно, что спонтанно
нарушенные неабелевы калибровочные теории, такие как теория SU(5),
содержат МОНОПОЛЬ.
2. Вы когда-нибудь размышляли о том, почему заряд протона точно
равен по величине и противоположен по знаку заряда электрона? Этот
важный факт позволяет построить Вселенную в известном нам виде. Чтобы
работала обычная космология, атомы должны быть электрически
нейтральны с фантастической степенью точности; иначе электростатические силы,
действующие в макроскопическом веществе, разорвали бы Вселенную.
Этот поразительный факт прекрасно вписывается в SU(5).
Наблюдение за тем, как это происходит, доставляет истинное удовольствие. Из
вычисления tr<2 = 0 по представлению 5* следует, что 3Q^ = —Qe-. Здесь
использовано то, что сильное взаимодействие коммутирует с
электромагнетизмом, и поэтому кварки различного цвета имеют одинаковый заряд.
Теперь вычислим заряд протона
Qp = 2QU + Qd = 2(Qd + l) + Qd = ZQd + 2 = Qe- + 2. (14)
Если Qe- = —1, то Qp = —Qe-, как и есть на самом деле!
3. Напомним, что в теории электрослабых взаимодействий мы
определили tgO = д\/дъ с взаимодействием калибровочных бозонов д2А^Та +
+ giB^{Y/2). Поскольку нормировка А^ и В^ фиксирована их
соответствующим членом кинетической энергии, относительная величина дъ
Великое объединение
461
и д\ определяется нормировкой У/2 относительно Т$. Вычислим ti-Тз
и tr(y/2)2 в фундаментальном представлении 5: tr X3 = ( ~ ) + (9) ~ о
Htr(F/2)^ = (l)23+(i)22 = |.
Таким образом, Тз и л/3/5(У/2) нормированы одинаково. Итак,
правильной комбинацией великого объединения является А^Та-\-В^у/3/Ъ(у/2),
и поэтому tg в = д\ /#2 = \/3/Ъ или
sin20=§ (15)
на масштабе великого объединения. Чтобы сравнить с экспериментальным
значением sin2 0, необходимо установить, как бегут константы
взаимодействия #2 и д\ под действием ренорм-группы в направлении низких энергий.
Отложим это рассмотрение до следующей главы.
Свобода от аномалий
Напомним, что, как описано в главе VII.2, ключом к доказательству
перенормируемости неабелевой калибровочной теории является возможность
свободного перехода между унитарной калибровкой и калибровкой Щ.
Принципиальным элементом здесь является калибровочная инвариантность
и получающиеся в результате тождества Уорда-Такахаши (см. главу II.7).
Внезапно у нас возникает беспокойство. Присутствует ли киральная
аномалия? Существование такой аномалии означает, что некоторые
тождества Уорда-Такахаши не могут выполняться. Чтобы наши теории имели
смысл, им лучше не иметь аномалий. В главе IV.7 говорилось, что
историческое название «аномалия» звучит так, как какая-то болезнь. В некотором
смысле это так.
Теорию SU(3) <g> SU(2) <g> U(l) пора уже было проверить на аномалии,
но мы это не сделали. В качестве упражнения сделайте это самостоятельно.
Здесь же я покажу, что теория 5t/(5) безаномальна. Если в теории SU(5)
аномалии отсутствуют, то, значит, их также нет в теории SU(3) <8> 517(2) <8>
U(l).
В главе IV.7 мы вычислили аномалию в абелевой теории, но, как там
говорилось, все, что нужно сделать для обобщения до неабелевой
теории, это ввести генератор Та калибровочной группы для каждой вершины
треугольной диаграммы на рис. IV.7.1. Суммируя по различным фермио-
нам, бегущим по петле, легко видеть, что эта аномалия пропорциональна
462
Глава VII.5
/2 0 0
0 2 0
0 0 2
0 0 0
\0 0 0
0
0
0
-3
0
°\
0
0
0
-з/
Aabc(R) = tr(Ta{T{,,Tc}), где R обозначает представление, которому
принадлежат фермионы. Нужно просуммировать Ааъс(В) по всем
представлениям в теории, не забывая связать противоположные знаки с левыми и
правыми фермионными полями. (Полезно вспомнить о замечании 3 и
упражнении 6 из главы IV.7.)
Теперь мы готовы проверить, не больна ли теория SU(b). Во-первых,
все фермионные поля в (2) левые. Во-вторых, можно проверить (просто
представьте себе вычисление Ааьс для всех возможных abc), что достаточно
положить все Та,Тьи Тс равными
Т =
мультиплету гиперзаряда. Теперь вычислим trT3 в представлении 5*:
trT3|5, = 3(-2)3 + 2(+3)3 = 30 (16)
и в представлении 10:
trT2|1Q = 3(+4)3 + б(-1)3 + (-6)3 - -30. (17)
Явное чудо! Аномалия сократилась.
Это поразительное сокращение сумм кубов из странного списка чисел
убедительно свидетельствует о том, что группа SU(b) — еще не конец
истории. Кроме того, было бы хорошо, если бы представления 5* и 10 можно
было объединить в одно представление.
Упражнения
VII.5.1. Запишите оператор заряда Q, действующий на представление 5, т.е.
определяющее представление ф^. Найдите заряды для представления 10 = ф^и
и идентифицируйте содержащиеся там различные поля.
VII.5.2. Покажите, что для любой теории великого объединения, если она основана
на простой группе, на масштабе объединения получаем
sin2 0=1^, (18)
где сумма берется по всем фермионам.
Великое объединение
463
VII.5.3. Проверьте, что в теории SU(3) <S> SU(2) <g> U(l) отсутствует аномалия.
[Указание: вычисление является более сложным, чем в SU(5) из-за
присутствия большего числа независимых генераторов. Сначала докажите, что
достаточно определить trY{Та,Ть} и trY3 с генераторами Та и Y для
SU(2) и С/(1) соответственно.]
VII.5.4. Постройте теории великого объединения, основанные на S7/(6), SU(7),
SU(S), ..., пока вам не надоест это занятие. Обычно такое занятие
увлекает. [Указание: нужно придумать фермионы, которые еще предстоит открыть
экспериментально.]
Глава VII.6
Протоны не вечны
Распад протона
Сохранение заряда гарантирует устойчивость электрона, но как же
обстоит дело с устойчивостью протона? Сохранение заряда допускает распад
р —» 7г° + е+. Ни один фундаментальный принцип не гласит, что протон
живет вечно, но, однако же, протон известен своей долговечностью. По
существу, так было со времени возникновения Вселенной.
Стабильность протона должна была быть декларирована авторитетной
личностью. Юджин Вигнер первым обнаружил закон сохранения барионно-
го числа. Говорят, что когда Вигнера спросили, откуда он знает, что протон
живет вечно, он усмехнулся: «Я чувствую это своими костями». Я трактую
эту фразу следующим образом: из одного только факта, что мы не светимся
в темноте, можно сделать приемлемый вывод о нижнем пределе
продолжительности существования протона.
Приступая к великому объединению, мы начинаем беспокоиться. В
общем, в моделях великого объединения мы помещаем кварки и лептоны в
одно и то же представление некоторой калибровочной группы [см. (VII.5.И)
и (VII.5.12)]. Такое смешение сразу же предполагает, что существуют
калибровочные бозоны, преобразующие кварки в лептоны и наоборот.
Комбинация из трех кварков, известная как протон, могла бы вполне превратиться
в лептоны при обмене этими калибровочными бозонами. Другими словами,
протон, будучи опорой, на которой построен наш мир, может оказаться не
вечным! Таким образом, теория великого объединения рискует тотчас же
оказаться несостоятельной.
Пусть в общем случае Мх обозначает массы тех калибровочных
бозонов, которые превращают кварки в лептоны и наоборот. Тогда амплитуда
распада протона имеет порядок д2/М^, где д — константа взаимодействия
калибровочной группы великого объединения, а скорость распада протона
Г определяется выражением (д2/М^)2, умноженным на фактор фазового
пространства, который определяется, по сути, массой протона тр,
поскольку массы пиона и позитрона незначительны по сравнению с массой прото-
Протоны не вечны
465
на. С помощью анализа размерностей определяем, что Г ~ (д2/М^)2т5Р.
Поскольку известно, что протон живет по крайней мере 1031 лет, лучше,
чтобы масса Мх была намного больше тех масштабов энергии, которые
можно достичь экспериментально.
3/ 4тг\
Л а?)
47Г
2
Рис. VII.6.1
Масса Мх имеет тот же порядок, что и массовый масштаб МСиъ
на котором теория великого объединения спонтанно нарушается вплоть до
517(3) <g> SU{2) <g> U(l). В частности, в теории SU(5) поле Хиггса Щ9
преобразующееся как сопряженное 24, с вакуумным средним {Н$)9 равным
диагональной матрице с элементами г^"^"^^^)' умноженными
на некоторое v9 может привести к необходимому результату, как
обсуждалось в главе IV.6. Калибровочные бозоны в SU(S) ® 517(2) <g> U(l) остаются
безмассовыми, тогда как другие калибровочные бозоны приобретают
массу Мх порядка gv.
Чтобы определить Mqut? применим ренорм-групповой поток к рз> 92
и д\ — константам взаимодействий в 5£/(3), 5£/(2) и U(l)
соответственно. Идея заключается в том, что при движении вверх по масштабу
массы или энергии /i две асимптотически свободные константы
взаимодействия #з(аО и #2(а0 уменьшаются, тогда как gi(fi) увеличивается. Таким
образом, при некотором массовом масштабе Мсит они встретятся, и
именно там 517(3) ®5£/(2)® 17(1) объединяется в 5Е/(5) (см. рис. VII.6.1). Из-за
466
Глава VII.6
исключительно медленного логарифмического бега (который нужно бы
называть продвижением или даже ползанием, но опять же по историческим
причинам мы говорим о беге) константы связи, мы ожидаем, что массовый
масштаб Моит объединения окажется намного больше любого масштаба,
который использовался в физике элементарных частиц до великого
объединения. На самом деле оказывается, что Моит имеет огромное значение
порядка 1014-1015 ГэВ, и идея великого объединения преодолевает первое
препятствие.
Устойчивость Вселенной предполагает слабость
электромагнетизма
Используя результат решения упражнения VI.8.1, получаем (здесь
as = <7з/4тг и aGUT = д2/4тг обозначают аналоги постоянной тонкой
структуры а для случая сильного взаимодействия и великого объединения
соответственно, a F — количество поколений)
47Г _sin^)_ ! +l{4F_22)VjgMgFLt (2)
Ыи)? as(n) аоит бтг^ ' * А*
3 4тг _ЗСО320Ы= 1 1 . Моих ,.
5ЫМ)]2_5 <*s(M) «оит + 6тг g M • w
Под 0(ц) понимается значение в на масштабе [i. При \± = Mqut три
константы взаимодействия связаны друг с другом через SU(5).
Вычислим эти уравнения для некоторого экспериментально
доступного значения /х, подставляя измеренные значения as и а. Имея три
уравнения, можно не только определить шкалу объединения Mqut и
взаимодействие аоит> но также предсказать в. Другими словами, если отношение д\
к Q2 не является точно правильным, три линии на рис. VII.6.1 не
пересекутся в одной точке.
Заметим, что число поколений фермионов F входит одинаково в
уравнения (1), (2) и (3). Так и должно быть, поскольку при нашем вычислении
фермионы эффективно считаются безмассовыми и не «знают», что
объединяющая группа нарушена до 517(3) ® SU(2) <g) U(l). Эти уравнения
выведены исходя из предположения, что все фермионные массы малы по
сравнению с /х.
Протоны не вечны
467
Несколько преобразуя эти уравнения, находим
Sin2 в 1 1 л л л^МОШ (к\
а(/х) as(jx) Ьтг М
1 8 1 , 1 f32F gg\ ,„ ^GUT ,fiv
Уравнение (4) позволяет предсказать значение sin2 0(/i), которое не
зависит от Mgut и числа поколений.
Заметим, что уравнение (5) дает ограничение на
1 >i" bg ^. (7)
a(/i) 67Г М
Нижняя граница времени жизни протона (и следовательно, шкалы Mgut)
преобразуется в верхнюю границу для константы тонкой структуры.
Занятно, что устойчивость Вселенной предполагает слабость электромагнетизма.
Как говорилось ранее, подставляя в измеренное значение as, получаем
огромное значение для Mgut- Я считаю это торжеством великого
объединения. Масштаб Mgut мог бы получиться намного меньше, что сразу
привело бы к противоречию с наблюдаемой стабильностью протона, но этого
не произошло. Взглянем на ситуацию по-другому: если нам каким-то
образом известны Mgut и «gut* to великое объединение фиксирует константы
связи всех трех негравитационных взаимодействий! Дело не в том, что это
простейшее испытание великого объединения не совсем согласуется с
экспериментом. Удивительно то, что оно вообще работает.
Подробное рассмотрение того, как уравнения (4), (5) и (6) согласуются
с экспериментом, выходит за рамки настоящей книги. Для глубокого
феноменологического рассмотрения необходимо включить пороговые эффекты
(см. упражнение VII.6.1), поправки более высокого порядка и т.д. Короче
говоря, появление теории великого объединения вызвало огромное
волнение в связи с возможностью распада протона. Увы, экспериментально
полученная нижняя граница времени жизни протона в итоге оказалась выше
предсказанной. Это, конечно, не означает кончину идеи великого
объединения. В самом деле, как я отметил ранее, идеального вложения достаточно,
чтобы убедить большинство теоретиков, занимающихся физикой
элементарных частиц, в существенной правильности этой идеи. С годами люди
468
Глава VII.6
предложили добавить к теории различные гипотетические частицы,
чтобы увеличить продолжительность жизни протона. Идея состоит в том, что
такие частицы воздействовали бы на ренорм-групповой поток и,
следовательно, на Моит- Время жизни протона на самом деле не является самым
критическим вопросом. При более точных измерениях as и в было
установлено, что три взаимодействия не совсем пересекаются в одной точке.
Действительно, вера сторонников суперсимметрии при малых энергиях
частично основана на том, что при включении суперсимметричных частиц
три константы связи в самом деле встречаются1. Но скептики, конечно,
могут утверждать, что существует дополнительная свобода действий.
Относительные вероятности
Вы, должно быть, осознаете, что уравнения (1), (2) и (3) не
являются специфичными для SU(5): они сохраняются до тех пор, пока
S£/(3)<g>SE/(2)<g>C/(l) объединяется в некоторую простую группу
(настолько простую, что существует только одно калибровочное взаимодействие д).
Теперь сосредоточимся на SU{b). Вспомним, что мы делим
SU(5)-индекс /i, который может принимать пять значений, на два типа. Другими
словами, индекс /х обозначается как {а, г}, где а принимает три
значения, а г принимает два значения. Калибровочные бозоны в SU(5)
соответствуют 24 независимым составляющим бесследового эрмитова поля А^
(/i, v = 1,2, ..., 5), преобразующегося как присоединенное представление.
Фокусируясь на теоретико-групповых свойствах 5С/(5), опустим лоренце-
вы индексы, спинорные индексы и т.д. Ясно, что восемь калибровочных
бозонов в SU(3) преобразуют индекс типа а в индекс типа а, тогда как
три калибровочных бозона в SU(2) преобразуют индекс типа г в индекс
типа г. Еще существует калибровочный бозон £/(1), который
взаимодействует с гиперзарядом ^У. (Вы, конечно, понимаете, что я имею в виду,
когда использую несколько вольный стиль изложения. Калибровочные
бозоны SU(3) преобразуют поля, несущие цветовой индекс, в поле, несущее
цветовой индекс.)
Интересная ситуация возникает, когда калибровочные бозоны Af и Ага
преобразуют индекс а в индекс г и наоборот. Поскольку на а приходится
три значения, а на г два значения, в итоге имеем 6 + 6 = 12 таких
калибровочных бозонов, учитывая, таким образом, все калибровочные бозоны
в 5/7(5). Другими словами, 24 -> (8,1) + (1,3) + (1,1) + (3,2) + (3*, 2).
Теперь ясно видно, что обмен этими бозонами между кварками и лептонами
ведет к распаду протона.
'См., например, F. Wilczek, in: V. Fitch et al., eds.. Critical Problems in Physics, p. 297.
Протоны не вечны
469
\лг иу
Рис. VII.6.2
Нужно просто записать в лагранжиане члены, включающие
взаимодействие бозонов Af и Ага с фермионами, и нарисовать соответствующие
фейнмановские диаграммы. Я частично выполню теоретико-групповой
анализ, но остальное оставлю за вами. Сворачивая индексы, легко видеть, что
бозон А%, действуя на t/v» преобразует его к виду т/^, а действуя на ф1/р,
преобразует его к виду ф^р. Используя полученное вами решение
упражнения VII.5.1, посмотрим, что делает Аа. Он приводит к следующим
переходам:
Фъ = е~ —► Фа = d, (8)
ф«0 = и _> фЬР = и (9)
и
фа4 = (1-><фЬ4 = е+. (10)
Таким образом, обмен Аа генерирует процесс (рис. VII.6.2) u + d —>й+е+,
ведущий к распаду протона p(uud) —> 7г°(гш)Н-е+. Обратите внимание, что
хотя распад р —> 7Г° + е+ нарушает как барионное число В, так и лептонное
число L, он сохраняет комбинацию В — L.
В упражнении VII.6.2 вы получите относительные вероятности для
различных мод распада. Нерадивые экспериментаторы их еще не измерили.
Массы фермионов
Можно было надеяться, что с великим объединением у нас возникнет
новое понимание масс кварков и лептонов. К сожалению, ситуация с
массами фермионов в SU(5) запутана, и до сегодняшнего дня никто не понимает
происхождение масс кварков и лептонов.
470
ГЛАВА VII.6
Вводя поле Хиггса <£м, преобразующееся как представление 5 (это
видно из обозначения), можно записать взаимодействие
ll>»Wipv (11)
ф^Сфх^Е^Хра (12)
(где (pv — сопряженное представление 5*), отражающее
теоретико-групповой факт (см. приложение С), что 5* ® 10 содержит представление 5,
а 10 0 10 содержит представление 5*.
Поскольку 5 —> (3,1, — ^J 0 (1,2,-J, легко видеть, что поле Хиггса
является просто естественным расширением SU(2) <g> С/(1)-дублета Хиггса
(1,2, ^ J. Не желая нарушать электромагнетизм, мы допускаем, чтобы
вакуумное среднее приобрела только электрически нейтральная четвертая
компонента ср. Задавая (<р4) = v, получаем (с точностью до несущественных
общих постоянных)
ф*Сфа4 + фьСф54 ^md = me (13)
и
фа0Сф^°еа^ =>ти^0. (14)
Более высокая симметрия дает отношение масс тд = те на масштабе
объединения; мы еще раз должны использовать ренорм-групповой поток.
Следует отметить, что отношение масс тд = те возникает потому, что,
когда речь идет о фермионах, SU(5) нарушается только до SU(4) из-за (р.
Трудность в том, что мы получаем более или менее одинаковое отношение
для каждого из трех поколений, поскольку большая часть пробега
происходит между Mqut масштаба объединения и массой верхнего кварка, так
что пороговые эффекты дают только малую поправку. Подставляя числа,
получаем примерно следующее:
тТ my, me °' v1^
Используем полученный результат для предсказания масс кварков нижнего
сектора через массы лептонов. Соотношение тпь ~ Зтт работает
достаточно хорошо и косвенно доказывает, что могут существовать только три
поколения, поскольку ренорм-групповой поток зависит от F. Соотношение
ms ~ Згам более или менее верно в зависимости от того, какое взять
«экспериментальное» значение для т3. С другой стороны, выражение для га^
Протоны не вечны
471
явно не входит ни в какие рамки. Одни приговаривают при этом, что первое
поколение очень легкое, и поэтому важное значение могут иметь другие
эффекты, такие как однопетлевые поправки. Другие, делая теорию более
уродливой, придумывают также разные схемы, вводя большее число полей
Хиггса, например 45, чтобы наделить фермионы массой.
Заметим, что в одном отношении SU(b) не так экономна, как SU(2) <g>
£7(1), в которой поле Хиггса, которое дает массу калибровочным бозонам,
также наделяет массой фермионы.
Вселенная не пуста, а почти пуста
Я расскажу об еще одном триумфе великого объединения: о его
способности объяснить происхождение вещества во Вселенной. Физикам
понадобилось много времени, чтобы понять два принципиальных факта,
касающихся Вселенной: во-первых, Вселенная не пуста, и, во-вторых, Вселенная
почти пуста. Для физиков первое означает, что во Вселенной нет
симметрии между веществом и антивеществом, то есть барионное число Nb не
равно нулю; а второй факт количественно выражается в поразительно
малой наблюдаемой величине отношения числа барионов к числу фотонов
Nb/Щ ~ 1СГ10.
Допустим, мы начинаем со Вселенной с равным количеством вещества
и антивещества. Чтобы Вселенная развивалась в такую, где доминирует
наблюдаемое вещество, должны соблюдаться три условия. (1) Законы
Вселенной должны быть асимметричными между веществом и антивеществом.
(2) Соответствующие физические процессы должны были быть
неравновесными, чтобы была стрела времени. (3) Должно нарушаться барионное
число.
Нам достоверно известно, что условия (1) и (2) действительно
соблюдаются во Вселенной: в слабом взаимодействии есть нарушение
комбинированной четности СР, и ранняя Вселенная расширялась быстро. Что
касается условия (3), великое объединение естественным образом нарушает
барионное число. Кроме того, хотя распад протонов (сдерживаемый
множителем 1/MqUT в амплитуде) происходит с мучительно медленной
скоростью (для тех, кто участвует в эксперименте по распаду протона!), в ранней
Вселенной, когда Х- и У-бозонов образовывалось в изобилии, их быстрые
распады легко могли приводить к нарушению барионного числа.
Сдерживающий множитель 1/MqUT не появляется. Я не сомневаюсь, что в конечном
счете число 10~10, измеряющее «количество грязи во Вселенной» будет
вычислено в какой-то теории великого объединения.
472
ГЛАВА VII.6
Иерархия
Я обещал, что явление Вайскопфа вернется и будет нас
преследовать. То, что массовый масштаб великого объединения Mqut
естественным образом получается таким большим, считается триумфом, но это
также создает проблему, известную как проблема иерархии. Иерархия связана
с огромным значением отношения Mgut/Mew, где Mew обозначает
шкалу электрослабого объединения порядка 102 ГэВ. Я опишу этот довольно
туманный предмет в общих чертах. Посмотрим на поле Хиггса <р,
ответственного за нарушение электрослабой теории. Его ренормированная или
физическая масса точно неизвестна, но известно, что она имеет порядок
Mew- Представим вычисление затравочного ряда возмущений в некой
теории великого объединения (сама теория не обсуждается), начиная с
некоторой затравочной массы /хо для (р. Из явления Вайскопфа следует, что
квантовая поправка смещает /Xq на огромную величину, квадратично
зависящую от параметра обрезания, (5/Xq ~ /2Л2 ~ /2MqUT, где
единственный естественный массовый масштаб заменяется на Л, а именно Мсит,
и где / обозначает некоторое безразмерное взаимодействие. Чтобы
физическая масса в квадрате /х2 = /х2 + S/jlq имела порядок M|w, что
примерно на 28 порядков меньше MqUT, потребовалось бы исключительно
тонкое и весьма неестественное сокращение между /Xq и <S/x2. Как это может
произойти «естественным образом» — серьезная задача для
физиков-теоретиков.
Натуральность
Проблема иерархии тесно связана с дорогим сообществу
физиков-теоретиков понятием натуральности. Мы, естественно, ожидаем, что
безразмерные отношения параметров в наших теориях должны быть порядка
единицы, где «порядок единицы» свободно трактуется между коллегами,
скажем, где-то от 10~2 или 10~3 до 102 или 103. Малость
безразмерного параметра г) рассматривается как естественная, если только в пределе
7/ —> 0 появляется симметрия. Таким образом, массы фермионов могли
бы быть естественно малыми, поскольку, как вы помните из главы П.1,
киральная симметрия появляется, когда масса фермиона полагается
равной нулю. С другой стороны, никакая конкретная симметрия не
появляется, когда мы задаем равной нулю либо затравочную, либо ренорми-
рованную массу скалярного поля. В этом состоит суть проблемы
иерархии.
Протоны не вечны
473
Упражнения
VII.6.1. Предположим, существуют новые поколения F' кварков и лептонов с
массами порядка М'. Используя грубое приближение, описанное в
упражнении VI.8.2 и заключающееся в пренебрежении этими поколениями для д,
меньших М', и рассмотрении М' как пренебрежимо малой для /х,
больших М', примените ренорм-групповой поток и рассмотрите, как
изменяются различные предсказания, такие как время жизни протона.
VII.6.2. Проведите все вычисления для распада протона. Выведите соотношения
между следующими ширинами: Г(р —»7г°е+), Г(р —> 7г+77), Г(п —► 7г~е+)
и Г(п -> тг°17).
VII.6.3. Покажите, что SU(b) сохраняет комбинацию B — L. Попробуйте свои силы
и придумайте теорию великого объединения, которая нарушает В — L.
Глава VII.7
Объединение SO (10)
Каждое поколение в одном представлении
В конце главы VII.5 мы полагали, что есть достаточно оснований
считать, что объединение SU(5) не окончательное. Зададимся вопросом,
можно ли вложить представления 5 и 10* в одно представление большей
группы G, содержащей 5С/(5)?
Оказывается, что существует естественное вложение 5(7(5) в
ортогональную группу SO(10)\ но чтобы это объяснить, я должен немного
рассказать вам о теории групп. Начало может показаться несколько
неожиданным. Вернемся к главе II.3, где описано, что группа Лоренца 50(3,1)
или ее евклидов родственник 50(4) имеют спинорные представления.
Теперь обобщим спиноры на d-мерное евклидово пространство. Я подробно
опишу конструкцию для четных d, а спиноры в нечетных размерностях
оставляю вам в качестве упражнения. Возможно, вам сейчас стоит также
обратиться к приложению В.
Алгебра Клиффорда и спинорные представления
Начнем с утверждения. Мы утверждаем, что для любого целого
числа п можно найти 2п эрмитовых матриц 7г (i = 1,2, ..., 2п), которые
удовлетворяют алгебре Клиффорда
Ыъ} = Щ. (1)
Другими словами, чтобы доказать наше утверждение, нужно построить 2п
эрмитовых матриц 7ь которые антикоммутируют друг с другом и квадрат
которых равен единичной матрице. Будем называть 7г-матрицы как 7~мат-
рицы для SO(2n).
Для п = 1 задача проста: 71 = т\ и 72 = 72. Вот и все.
'Говард Джорджи говорил мне, что он фактически нашел 50(10) раньше SU(b).
Объединение 50(10)
475
Теперь выполним итерацию: имея 2п 7-матриц для SO(2n), построим
(2п + 2) 7-матриц для SO(2n + 2) следующим образом:
7("+1)=7(")®Тз=^) _^Д j = l,2,...,2n, (2)
7&i} = l®n = (; j), (3)
7ftJ) = l®7S=(5 -;)• (4)
(В этой книге 1 обозначает единичную матрицу соответствующего
размера.) Очевидно, верхний индекс в круглых скобках нужен, чтобы знать, о
каком наборе 7-матриц идет речь. Проверим, что если матрицы 7^
удовлетворяют алгебре Клиффорда, тогда то же относится к матрицам 7^п+1\
Например,
Ь^1\4ПпХ\)} = (ЪЫ ® Тз) • (1 ® 71) + (1 ОГх) • (7]П) О 73) =
= 7Jn)®fo,ri}=0.
Эта итерационная конструкция дает для SO(2n) 7-матрицы
72*-1 =1®1®...<8>1®Т1®т3®тз®...®тз (5)
и
72fc = 1 ® 1 ® • • • ® 1 ® Т2 <8> Т3 <8> Гз <g> . . . <g> Т3, (6)
где 1 появляется к — 1 раз, а тз появляется п — к раз. Очевидно, что
7-матрицы имеют размер 2n x 2П. Если вы чувствуете, что сбиваетесь с толку
в каком-либо месте наших рассуждений, вам следует получить решения
в явном виде для 50(4), SO (6) и т.д.
По аналогии с группой Лоренца определяем 2п(2п — 1)/2 = п(2п — 1)
эрмитовых матриц
<rij = %ЬиЪ]- (7)
Заметим, что оц равна ijijj ПРИ ^ Ф 3 и зануляется при i = j. Таким
образом, легко получить коммутаторы а друг с другом. Например,
[я-12,сг2з] = -[7172,727з] = -7i727273 + 72737i72 = ~[7ь7з] = 2гсг13.
476
Глава VII.7
Грубо говоря, 72-матрицы в а\2 и а^ъ выбивают друг друга. Таким образом,
видно, что \(Уц удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям,
что и Ju-генераторы SO(2n) (как приведено в приложении В). Матрицы
-(Tij представляют собой ЗгК
Как и 2П х 2п-матрицы, а действуют на объект ^с2п компонентами,
который назовем спинором ф. Рассмотрим унитарное преобразование ф —>
егш^а^ф, с набором действительных чисел ujij — —ujji. Тогда
фЧкФ -> ф^еГ^^^'^к^^^Ф = ф^кФ - гшу'ф*[(Тц,'ук]'Ф + •••
для бесконечно малого cjij. Используя алгебру Клиффорда, легко вычислить
коммутатор в виде [(Jij->lk\ = — 2i(^fc7j—<b'fc7fc)- (Если к не равно г или j9 то
ясно, что 7fe коммутирует с сг^, а если /с равно г или j, то используем 7& =
= 1.) Видно, что набор объектов Vk = ф^7кФ> к = 1, ..., 2п преобразуется
как вектор в 2п-мерном пространстве с бесконечно малым углом поворота
4uij в плоскости ij:
Vk-^Vk- 2(ukjVj - uJikVi) = Vk~ 4ujkjVj (8)
(что полностью аналогично ф^ф, преобразующемуся как вектор
относительно группы Лоренца). Мы другим способом доказали, что -сг^
представляет собой генераторы 50(2п).
Определим матрицу 7FIVE = (—г)п7172 • • • 72п, которая в используемом
нами базисе имеет явный вид
7FIVE = т3 0 т3 ® ...т3, (9)
где гз появляется п раз. По аналогии с группой Лоренца определяем
«левый» спинор как фь = ^(1 — 7five)t/> и «правый» спинор как фц = ^(1 +
_|_ y4VE^ так что ^¥\УЕфь _ _^L и ^¥\УЕфя _ ^R^ гТрИ ф _> еъ>ЦОЦ<ф
получаем фь —> elUij(Ti^L и т/>я —» eluJijCTi^R, поскольку 7F1VE
коммутирует с <7ij. Проекция на левый и правый спиноры делит число компонент
пополам, и, таким образом, мы приходим к важному выводу, согласно
которому два неприводимых спинорных представления SO(2n) имеют
размерность 2п~1. (Убедитесь в том, что это представление нельзя еще
более упростить.) В частности, спинорное представление 50(10) является
16-мерным (210/2-1 = 24 = 16). Мы увидим, что представления 5* и 10
группы SU(5) можно поместить в 16 состояний группы 50(10).
Объединение 50(10)
477
Вложение унитарных групп в ортогональные группы
Унитарная группа 5С/(5) может быть естественным образом вложена
в ортогональную группу 50(10). В самом деле, я сейчас покажу, что
вложить SU(n) в 50(2п) так же легко, как г = х + iy.
Рассмотрим 2п-мерные действительные векторы х = (rci, ..., хп,
2/i, • • •, Уп) и х' = (rri,, ..., х'п, ?/i, ..., у'п). По определению, 50(2п)
состоит из линейных преобразований этих двух действительных векторов,
п
оставляя их скалярное произведение х'х = J2 (xjxj+yjVj) инвариантным.
Теперь из этих двух действительных векторов можно построить два
n-мерных комплексных вектора г = (х\ + iy\, ..., хп + гуп) и г' — (х[ +
+ iy[, ..., х'п + iy'n). Группа U(n) состоит из преобразований двух п-мер-
ных комплексных векторов г и г', оставляя инвариантным их скалярное
произведение
п п п
(z')*z = Y^^j + {У'з)*(хэ + {Уз) = ^2(xjxJ + У'зУз) + i ^2(х3Уз - У'зхз)-
п
Другими словами, 50(2п) оставляет инвариантной J2(xjxj + У'^Уз)*
3=1
но U(n) состоит из подмножества таких преобразований в 50(2п), что
п п
оставляет инвариантной не только Yl(xjxj + У'зУз)-> но также S(xj2/j —
-У'3хз)'
Теперь, когда мы осознаем смысл естественного вложения U(n)
в 50(2гг), легко видеть, что определяющее или векторное представление
50(2п), которое назовем просто 2п, разлагается при ограничении на U(n)
на два фундаментальных представления U(n) — п и п*; таким образом,
2п^пфп*. (10)
Другими словами, (sci, ..., хп, 2/1, ..., уп) можно переписать в виде (х\ +
—iyi, •.., хп—гуп). Заметим, что это есть аналог
(VII.5.4) и, значит, фундаментальное представление 5С/(5) разлагается на
представления группы SU(3) <g> SU(2) <g> C/(l):
5^(зМ,|)ф(1,2,-|). (11)
С законом разложения представлений (10) мы можем найти, как
разлагаются другие представления 50 (2п), когда они ограничены естественной
478
ГЛАВА VII.7
подгруппой U(n). Тензорные представления SO(2n) просто устроены,
поскольку они построены из векторного представления. [Именно это мы
делали, переходя от (VII.5.4) к (VII.5.7), (VII.5.8) и (VII.5.9).] Например,
присоединенное представление 50(2п), имеющее размерность 2п(2п—1)/2 =
= п(2п — 1), преобразуется как антисимметричный тензор с двумя
индексами 2п ®д 2п и поэтому разлагается на
2п ®а 2п —> (п 0 п*) ®а (п 0 га*) (12)
в соответствии с (10). Антисимметричное произведение <8>л в правой части,
конечно, должно браться по U(n). Например, п ®л п является п(п — 1)/2
представлением U(n). Таким образом, видно, что
п(2п — 1) -»га2 — 1 (присоединенное представление) 0
0 1 (синглет) 0
0п(п-1)/2 0 (13)
0(п(п-1)/2)*.
Проверим: общая размерность представлений U(n) в правой части
составляет (n2-l)+l+2n(n-l)/2 = га(2га-1). В частности, для 50(10) D SU(5)
имеем 45 -^ 24 0 1 0 10 0 10* и, конечно, 24 + 1 + 10 + 10 = 45.
Разложение спинора
Труднее представить, как спинорное представление 50(2п)
разлагается при ограничении до U(n). Здесь приведено эвристическое рассмотрение,
которое убеждает большинство физиков, но, конечно, не математиков. Я
получу только 5О(10) D 5С/(5) и предоставлю вам возможность рассмотреть
общий случай. Вопрос в том, как разлагаются 16 состояний.
Непосредственно из нумерологии и знания размерностей меньших представлений
5t/(5) (1,5,10,15) следует, что существует очень много возможностей,
некоторые из которых довольно маловероятны, например, разложение 16
на 16 единиц.
Изобразим 16-компонентный спинор группы 5О(10) распадающимся
на набор представлений группы 5С/(5). По определению, 45 генераторов
5О(10) смешивают все эти представления вместе. Спросим себя, что
делают с этими представлениями различные части 45, а именно 2401010010*?
Из них 24 преобразуют каждое из представлений 5[/(5) в само себя,
конечно, потому что они являются 24 генераторами 5С/(5), и это то, что
Объединение 50(10)
479
должны делать генераторы. Генератор 1 может только умножить каждое из
этих представлений на вещественное число. (Другими словами,
соответствующий элемент группы умножает каждое из представлений на фазовый
множитель.)
Что делает с этими представлениями 10, которое, как вы помните из
главы VII.5, представлено как антисимметричный тензор с двумя
верхними индексами и поэтому известно также как [2]? Предположим, что набор
представлений, на которые распадается 5, содержит синглет [0] = 1 группы
5t/(5). 10 = [2], действуя на [0], дает [2] = 10. (Это настолько очевидно,
что не требует объяснений! Антисимметричный тензор с двумя
индексами, объединенный с тензором без индексов, является антисимметричным
тензором с двумя индексами.) А что происходит с 10 = [2], действующим
на [2]? Результатом является тензор с четырьмя верхними индексами. Он,
конечно, содержит [4], что эквивалентно [1]* = 5*. Но 1 0 10 0 5* уже
составляет в сумме 16. Таким образом, все учтено. Больше уже быть не
может. Поэтому мы делаем следующий вывод:
5+ -> [0] 0 [2] 0 [4] = 1 0 10 0 5*. (14)
Представления 5* и 10 группы SU(5) вмещаются в 16+ группы 5О(10)!
Дальше мы узнаем, что два спинорных представления 5О(10)
сопряжены друг другу. Действительно, вы, возможно, заметили, что я незаметно
убрал верхний индекс «плюс» у символа 5. Сопряженный спинор 5~
распадается на сопряженные представления в (14):
5" -> [1] 0 [3] 0 [5] = 5 0 10* 0 1*. (15)
Давно потерянное антинейтрино
Вложение было бы идеальным, если бы мы ввели еще одно поле,
преобразующееся как 1, то есть синглет относительно 5С/(5), и, следовательно,
синглет относительно SU(3)<g>SU(2)<g>U(l). Другими словами, это поле не
участвует в сильном, слабом и электромагнитном взаимодействиях, или,
попросту говоря, оно описывает лептон, не имеющий электрического заряда
и не участвующий в известном слабом взаимодействии. Таким образом, это
поле можно определить как поле «давно потерянного» антинейтрино */£.
Оно не чувствует ни один из известных калибровочных бозонов.
Напомним, что мы используем правило, по которому все фермионные
поля являются левыми, и поэтому мы записали vcL. В соответствии с
сопряженным преобразованием, как говорилось ранее, такая запись эквивалентна
правому полю нейтрино vr.
480
ГЛАВА VII.7
Поскольку vr является синглетом ST/(5), ему можно присвоить майо-
рановскую массу М, не нарушая SU(5). Поэтому можно ожидать, что М
больше или порядка масштаба нарушения 5С/(5), который, как следует из
главы VII.5, намного больше масштабов, исследованных
экспериментально. Это объясняет, почему vr не наблюдалось.
С другой стороны, в присутствии vr у нас может быть и дираков-
ская масса m{pL^R + э.с). Поскольку этот член нарушает SU(2) <g) C/(l)
подобно известным массовым членам для кварков и лептонов, ожидается,
что т будет иметь тот же порядок величины2, что и известные массы
кварков и лептонов (которые по неизвестным причинам охватывают огромный
диапазон).
Таким образом, в пространстве с базисом {v,vc) есть матрица (майо-
рановской) массы
*-(™2). <16)
где М ^> га. Поскольку следом и детерминантом Л4 являются
соответственно М и —га2, М. имеет большое собственное значение ~ М и малое
собственное значение ~ га2/М. Крошечная масса ~ га2/М, уменьшенная
в т/М раз относительно обычных масс кварков и лептонов, естественным
образом генерируется для (наблюдаемого) левого нейтрино. Этот довольно
привлекательный сценарий, известный, по понятной причине, как механизм
«качели»3, был открыт независимо друг от друга Янагидой и Гелл-Манном,
а также Рамоном и Сланским.
Опять-таки плотное вложение представлений 5* и 10 группы St/(5)
в представление 16+ группы 50(10) убедило многих физиков, что это,
безусловно, правильно.
Двоичный код для Вселенной
Для прямого произведения 7-матриц в (5) и (6) и, значит, матриц сг^
можно записать состояния спинорных представлений в виде
|£i£2-.-£n), (17)
2Очевидно, что теперь, имея vr, в теорию SU(5) <8> С/(1), рассмотренную в главе VII.2,
можно добавить член ff(fpR^L-> где (р = т2^'. Если нет каких-либо других указаний, можно
предположить, что константа /; имеет тот же порядок величины, что и /, которая приводит
к массе электрона.
3В русскоязычной литературе отсутствует общепринятый термин для «seesaw mechanism».
Имеется в виду доска, уравновешенная в центре: когда одно собственное значение матрицы
стремится к бесконечности, другое стремится к нулю. — Прим. ред.
Объединение 50(10)
481
где каждое е принимает значение ±1. Из (9) легко видеть, что
7FIVE|ei£2... е„> = (П?=1е;)|е1£2 .. .£„). (18)
Правый спинор 5+ состоит из состояний \е\е2---еп) с (П^=1^) = +1,
а левый спинор S~ — из состояний с (n™=1£j) = —1. Действительно, спи-
норные представления имеют размерность 2п — 1.
Таким образом, в объединении 50(10) фундаментальные кварки
и лептоны описываются пятиразрядным двоичным кодом с такими
состояниями, как | + Н h) и | —I ). Лично я нахожу такую картину
Вселенной довольно привлекательной.
Получим эти состояния в явном виде. При этом у меня будет
возможность убедиться в том, что вы понимаете теорию групп, описанную в этой
главе. Начнем с гораздо более простого случая 50(4). Спинор 5+ состоит
из | + +) и | ), а спинор 5~ — из | Н—) и | —Ь). Как
рассматривалось в главе И.З, 50(4) содержит две различные подгруппы SU(2). Удаляя
из приведенного в главе П.З рассмотрения несколько множителей г, видим,
что третий генератор SU(2), назовем его сг3, может иметь вид либо сг12сг34,
либо (7i2 + 0"34- Эти два варианта соответствуют двум разным подгруппам
SU(2). Выбираем (произвольно) сг3 = к(^"12 — 034)- Из (5) и (6) получаем
0"i2 =27i72 = г(т1(8>т3)(т2®т3) = -т3<8>1 и сг34 = -1<8>т3, тогда а3 = -(-
—т3 <8> 1 + 1 <g> т3). Чтобы представить преобразование четырех состояний
| + +), | ), | -|—) и | —(-) относительно выбранной группы SU(2),
подействуем на них с помощью сг3. Например,
*з| + +> = \{-тг 0 1 + 1 0 тз)| + +> = |(-1 + 1)1 + +) = О
и
*з| - +) = |(-тз ® 1 + 1 ® тз)| - +> = ±(1 + 1)1 - +) = | - +).
Итак, | + +) и | ) являются двумя синглетами относительно группы
5С/(2), тогда как \-\—) и | —Ь) образуют дублет.
Заметим, что полученный вывод согласуется с обобщением (14) и (15),
а именно с тем, что при ограничении SO(2n) на U(n) спиноры разлагаются
как
5+ -> [0] е [2] ф ... (19)
и
5" -> [1] ф [3) ф ... (20)
482
Глава VII.7
Я не показал, чем заканчиваются эти две последовательности. Легко
сообразить, что они зависят от того, четным или нечетным является п.
В рассматриваемом примере п = 2, и поэтому 2+ —> [0] ф [2] = 1 ф 1
и2" -> [1] = 2. Аналогично для п = 3 при ограничении 50(6) на С/(3)
4+ -► [0] Ф [2] = 1 ф 3* и 4~ -> [1] ф [3] = 3 ф 1. (Какое триплетное
представление £/(3) назвать 3, а какое 3*, зависит от того, будет ли это
соответствовать традиционному употреблению. Убедимся в этом позже.)
Теперь мы готовы идентифицировать каждое из 16 состояний, таких
как | + И Ь), в 50(10)-объединении. Прежде всего, выражение (18)
указывает на то, что в подгруппе 50(4)®SO(6) группы 50(10) спинор 16+
разлагается следующим образом (поскольку 1Й=1£^ = +1 предполагает,
что £iS2 = £з£4£б):
16+^(2+,4+)ф(2-,4-). (21)
Определим естественную группу 517(2) подгруппы 50(4) как SU(2)
электрослабого взаимодействия, а естественную группу 517(3) подгруппы
50(6) как цветную SU(3) сильного взаимодействия. Таким образом,
согласно предыдущему рассмотрению (2+,4+) являются 5С/(2)-синглетами
стандартной модели 17(1) ® SU(2) <S> 5(7(3), тогда как (2~,4~)
являются 5{7(2)-дублетами. Такое построение имеет вид (все поля при этом, как
обычно, левые):
5£/(2)-дублеты:
|/ = |- + -—>,
в- = | + ),
и=\ - + + +-), |- + +
d=\ + - + +-), | + - +
5?7(2)-синглеты:
vc = | + + + ++),
ис = | + + + ), | + + -+-) и | + + - -+),
dc = | _ _ + __), | + _) „ | +).
Уверяю вас, что процесс получения этого очень занимателен, и советую
вам восстановить таблицу, не глядя на нее. Если нужна помощь, ниже дано
несколько указаний. Из рассмотрения SU(2) мне известно, что v = | —Ь
+£36465) и е~ = | Н—63646:5), но откуда мне известно, что £3 = 64 =
= еъ = 1? Во-первых, я знаю, что £36465 = ~^- ^не также известно, что
-+) и | - + -++),
-+) и |+ --++);
Объединение SO(IO)
483
4~ —> 3 0 1 при ограничении SO(6) на цветную SU(3). Итак, из четырех
состояний | ), | + Н—), \-\ Ь) и | —++) лишним явно является | ).
В соответствии с тем же эвристическим рассуждением, из 16 возможных
состояний лишним является | Ч—I—I—I—h) и таким же должно быть vc.
Существует множество проверок на согласованность. Например, если
определить и = | —| ), е— = | Ч ) и vc = | + + + ++),
то можно представить электрический заряд Q, который, преобразовываясь
как синглет относительно цветовой группы 5С/(3), должен иметь значение
Q = ае\ + Ьв2 + с(ез 4- е\ + £5) при действии на состояние \e\S2Z2>e±£b).
Константы а, 6 и с можно определить из трех уравнений Q(y) = —а + Ъ —
-3с=0, Q(e~)=-l и Q(vc)=0. Таким образом, Q = — iei4-^(^3+^4+^5).
Живя в век компьютеров, меня интригует тот факт, что
фундаментальные составляющие вещества имеют пятиразрядный двоичный код. Можете
сказать своим коллегам, занимающимся физикой конденсированных сред,
что их любимый электрон состоит из двоичных цепочек Н и Ь
+ + +. Занятная возможность4 сама по себе предполагает, что кварки и леп-
тоны могут состоять из пяти разных видов фундаментальных фермионных
объектов. Мы строим составные объекты, записывая +, если такой вид
присутствует, и —, если он отсутствует. Например, из приведенного выше
выражения для Q следует, что разновидность 1 несет электрический заряд
— ^, разновидность 2 — нейтральный, а разновидности 3, 4 и 5 несут заряд
i. Можно даже представить более или менее конкретную модель, связывая
эти фундаментальные фермионные объекты с магнитным монополем.
Размышление о происхождении поколений
Одной из фундаментальных нерешенных загадок физики
элементарных частиц является проблема поколений. Почему кварки и лептоны
появляются в трех поколениях \уе, е, и, d}, {^M, //, с, s} и {vr, т, t, 6}? То, как
этот экспериментальный факт включается в сегодняшнюю теорию, можно
считать просто жалким. Мы повторяем три раза фермионную часть
лагранжиана без всякого на то понимания. Три живущих вместе поколения
порождают мучительную для нас проблему поколений.
Наше представление мира в двоичном коде наводит на мысль об
исключительно спекулятивном подходе к проблеме поколений (возможно,
4Более подробную информацию можно найти в работе F. Wilczek and A. Zee. Phys. Rev.
D25: 553, 1982, Section IV.
484
ГЛАВА VII.7
слишком спекулятивном, чтобы его упоминать в учебнике?): мы
добавляем больше битов. Для меня разумной возможностью является
«гиперобъединение» в теорию 50(18), когда все фермионы помещаются в одно
спинорное представление 5+ = 256+, которое при нарушении SO(18) до
50(10) ® 50(8) разлагается следующим образом:
256+ -> (16+,8+) 0 (16", 8"). (22)
У нас есть много состояний 16+. К сожалению, видно, что теория
групп [см. также (21)] предписывает нам получение также целого букета
нежелательных состояний 16~. Одно из предположений заключается в том,
что Природа может повторить этот прием. Она использует цветовую группу
SU(3), сильное взаимодействие которой удерживает поля, не являющиеся
цветовыми синглетами (глава VII.3). Интересно, что можно использовать
удивительную особенность группы 50(8), которую некоторые считают
самой красивой из всех групп. В частности, два спинорных представления 8±
имеют такую же размерность, как и векторное представление 8V
(уравнение 2n_1 = 2п имеет единственное решение п = 4). Существует
преобразование, которое циклически вращает три представления 8+, 8~ и 8V друг
в друга (переходя на жаргон, скажу, что группа 50(8) допускает внешний
автоморфизм). Таким образом, существует подгруппа 50(5) группы 50(8)
такая, что когда 50(8) нарушается до 50(5), то 8+ ведет себя как 8V, а 8~
ведет себя как спинор, то есть
8+ -> 50 1010 1 и 8-->4 0 4*. (23)
Если назвать эту группу5 50(5) гиперЦветовой и предположить, что
связанное с ней сильное взаимодействие удерживает все поля, которые не
являются гиперцветовыми синглетами, то остаются только три состояния 1б+!
К сожалению, поскольку соответствующий физический процесс
происходит в режиме энергий, превышающих энергию великого объединения, наше
знание динамики нарушения симметрии является слишком жалким, чтобы
можно было делать еще какие-либо предположения.
Зарядовое сопряжение
Используемая здесь запись прямого произведения <g> позволяет в явном
виде построить матрицу сопряжения С. По определению, C~1<j*jC = —a^
5Читатель, знакомый с теорией групп, поймет, что SO(5) является изоморфной симплекти-
ческой группе Sp(4) и что схема Дынкина для группы SO(8) является самой симметричной
из всех.
Объединение 50(10)
485
(так что С изменяет eieijaij на комплексно сопряженный). Из (2), (3) и (4)
легко видеть, что можно построить
C(n+i) = [ °{П) ® ri' если п счетно, (24)
[ С^ <8> T2, если п четно.
Проверьте, что это дает С~г/у*С = (—l)n7j> и> следовательно, искомый
результат.
Очевидно, что С является прямым произведением знакопеременной
последовательности т\ и Т2, и мы получаем важное свойство. Действуя
на |ei£2 • • -£п), С изменяет знак всех е. Таким образом, С изменяет знак
{Y[^=lSj) для нечетных п и не изменяет его для четных п. Для нечетных п
два спинорных представления 5+ и S~ сопряжены друг с другом, тогда
как для четных п они сопряжены сами с собой, или, другими словами,
они являются вещественными. Это же можно увидеть непосредственно из
C_17FIVEC' = (—l)n7FIVE. Убедитесь в этом на всех явных примерах, с
которыми мы сталкивались: 50(2), SO(4), SO(6), 50(8), 50(10) и 50(18).
См. также упражнение (3).
Аномалии
Что же происходит с аномалиями в S0(2n) великом объединении?
Согласно рассмотрению, приведенному в главе VII.5, необходимо вычислить
Aijkimn = tr(Jli{Jkl, Jmn}) по фермионному представлению. Используя
SO(2n)-преобразование Ju —> 0TJlj0, легко видеть, что Аг^к1тпп
является инвариантным тензором. Можно ли построить в S0(2n) инвариантный
тензор шестого ранга с соответствующими свойствами симметрии
(например, Агэк1тпп = —Азгк1тпп)? Этого сделать нельзя, за исключением группы
S0(6), для которой есть sljklmn. Таким образом, Аг^к1тп исчезает, за
исключением группы 50(6), где этот тензор пропорционален £liklmn. Таково
элегантное и краткое доказательство того, что любая теория великого
объединения, основанная на SO(2n), если п ф 3, свободна от аномалий!
Исчезновение аномалии между представлениями 5* и 10 в конце
главы VII.5 больше не кажется каким-то чудом. По мере углубления наших
знаний чудеса, как правило, исчезают.
Забавно, что при обсуждении физического вопроса, а именно является
ли калибровочная теория перенормируемой или нет, мы пришли к
математическому результату. Какой особенностью отличается группа SO(6)? См.
упражнение VII.7.5.
486
ГЛАВА VII.7
Упражнения
VII.7.1. Получите алгебру Клиффорда в d-мерном пространстве для нечетных d.
VII.7.2. Получите алгебру Клиффорда в d-мерном пространстве Минковского.
VII.7.3. Покажите, что алгебра Клиффорда для d = 4к и для d = Ак + 2 имеет
несколько различные свойства. (Если нужна помощь для решения этой
и двух предыдущих задач, прочтите F. Wilczek and A. Zee, Phys. Rev. D25:
553, 1982.)
VII.7.4. Рассмотрите хиггсовскую часть группы 50(10). Что требуется, чтобы дать
массу кварки и лептоны?
VII.7.5. Группа 50(6) имеет 15 генераторов [6(6—1)/2 = 15]. Заметьте, что группа
SU(4) также имеет 15 генераторов [42 — 1 = 15]. Обоснуйте
предположение, что 5С/(4) и 50(6) изоморфны. Отождествите представления малой
размерности.
VII.7.6. Покажите, что (к сожалению) число поколений, которое мы получаем
в 50( 18), зависит от того, какую подгруппу 50(8) считать гиперцвето-
вой.
VII.7.7. Если вы хотите стать специалистом в области теории струн, вы
должны знать уравнение Дирака в различных размерностях, и особенно в
размерности 10. Для разминки изучите уравнение Дирака в 2-мерном
пространстве-времени. Затем перейдите к уравнению Дирака в 10-мерном
пространстве-времени.
Часть VIII
Гравитация и за ее пределами
Глава VIII. 1
Гравитация как теория поля и картина
Калуцы-Клейна
Учитывая гравитацию
В книгах по теории поля, написанных поколение назад, как
правило, даже не упоминается гравитация. Гравитационное взаимодействие
настолько слабее трех других взаимодействий, что его не включали в
учебные программы по физике элементарных частиц. Сейчас ситуация в корне
изменилась: главной задачей теоретической физики высоких энергий стало
объединение гравитации с тремя другими видами взаимодействия, а теория
струн — главным претендентом на звание единой теории.
Из курса общей теории относительности вы знаете о гравитационном
действии Гильберта-Эйнштейна
S = -^ f d4xy/^R = j dAxy/^M2PR, (1)
где д = detg^ — детерминант криволинейной метрики g^v
пространства-времени, R — скалярная кривизна, G — постоянная Ньютона.
Напомню, что тензор кривизны Римана
рА _ о рА _ о рА . ро- рА _ ра рА /г>\
выражается через символы Римана-Кристоффеля (см. главу 1.10):
г£„ - \gxp{dv9P„ + drf^ - dp9tiV). (3)
Тензор Риччи определяется как Дмк = R^VK, а скалярная кривизна — как
R = g^Rfu,. Варьируя S, получаем1 эйнштейновское уравнение поля
Дм* - \g^R = SnGT^. (4)
'См.. например. С. Вейнберг. Гравитация и космология. С. 364.
490
ГЛАВА VIII. 1
Действие Гильберта-Эйнштейна однозначно определяется
условием того, что действие координатно-инвариантно и содержит
пространственно-временные производные второй степени. Из уравнений (2) и (3)
видим, что скалярная кривизна R содержит производные второй степени
и безразмерное поле д^9 поэтому его размерность равна 2. Следовательно,
размерность G-1 должна равняться 2. В современных работах по
гравитации чаще всего используют вторую форму представления (1).
(Модифицированная масса Планка Мр = 1/\/1б7гС отличается от обычной массы
Планка наличием тривиального множителя как в соотношении h и й.)
Теория возникла из интуитивного представления Эйнштейна о
кривизне пространства-времени и была сформулирована в геометрических
терминах. Во многих учебниках теория Эйнштейна строится (и это
справедливо) на чисто геометрических понятиях.
С другой стороны, гравитацию можно рассматривать в том же ключе,
что и другие виды взаимодействия. В конце концов, гравитон можно
считать еще одной элементарной частицей, подобной фотону. Действие (1),
однако, не похоже ни на одну формулу из теории поля, с которыми мы
до сих пор имели дело. Сейчас я продемонстрирую, что оно в самом деле
имеет такую же структуру.
Гравитация как теория поля
Запишем д^ = г}^ + h^v, где r)^v — плоская метрика Минковского,
a /i/x*/ — отклонение от плоской метрики. Разложим действие в ряд по
степеням h^y. Чтобы не запутаться в лоренцевых индексах, для начала опустим
их. Зная, что по определению скалярная кривизна R включает в себя две
производные 9, приходим к выводу, что разложение должно быть
следующим (после исключения полных производных):
S= fd4x^g(dhdh + hdhdh + h2dhdh +...). (5)
В главе 1.10 говорилось, что поле №"(х) описывает гравитон в плоском
пространстве и должно рассматриваться как любое другое поле. Первый
член dhdh характеризует распространение гравитона и концептуально
ничем не отличается от первого члена в действии для скалярного поля д(рд(р
или фотонного поля дАдА. Члены третьей и выше степеней по h
описывают самодействие гравитации.
Действие Гильберта-Эйнштейна, записанное в виде разложения по
слабому полю, напоминает своей структурой действие Янга-Миллса, ко-
Гравитация как теория поля и картина Калуцы-Клейна 491
торое схематично можно представить в виде S = f d4x(l/g2)(dAdA +
+ А2дА + А4). В главе IV.5 приводилось физическое обоснование
самодействия бозонов Янга-Миллса: бозоны сами несут заряд, с которым они
взаимодействуют. Самодействие гравитации имеет тот же смысл: гравитон
взаимодействует со всем, что обладает зарядом и импульсом, при этом он
сам несет заряд и импульс. Фотон, напротив, не взаимодействует с собой.
Говорят, что теории Янга-Миллса и Эйнштейна нелинейны, тогда как
теория Максвелла линейна. Первые две теории сложны, а вторая проста.
Однако, в то время как действие Янга-Миллса содержит конечное
число членов, действие Гильберта-Эйнштейна из-за наличия ^/~~# и обратной
к д^ метрики представляет собой бесконечный ряд по гравитонному
полю hav.
(а) (Ъ)
Рис. VIII. 1.1
Другим существенным отличием является тот факт, что теория Янга-
Миллса перенормируема, тогда как хорошо известно, что гравитация непе-
ренормируема, что следовало из анализа размерностей в главе Ш.2. Сейчас
мы можем показать это явно. Рассмотрим собственно-энергетическую
поправку к гравитонному пропагатору на рис. VIII. 1.1 а. Из второго члена в (5)
мы видим, что взаимодействие трех гравитонов включает в себя импульс
второй степени. Следовательно, фейнмановский интеграл будет иметь вид
/ d4k(kkkk/k2k2), где четвертая степень по А; в числителе обусловлена
двумя вершинами, а четвертая степень по А: в знаменателе — пропагаторами.
Используя из них две степени для выделения коэффициента при dhdh,
видим, что поправка к 1/G квадратично расходится. Поскольку
взаимодействие явно содержит степени импульса, расходимость будет тем сильнее,
чем выше порядок. Сравните рис. VIII. 1.1b с la: в нем больше на три про-
пагатора, что дает ~ 1//с6, на одно интегрирование по петле f d4к и на две
вершины, дающие ~ к4. Степень расходимости увеличивается на два. Все
по мы уже знали из анализа размерностей.
Как говорилось в главе 1.10, из фундаментального определения
Т^(х) = 2 ^м
V^Sg^ix)
492
Глава VIII. 1
следует, что взаимодействие гравитона с материей (в пределе слабого поля)
можно учесть, добавляя в действие член
jdAx\h^T^. (6)
Здесь Т^ — тензор энергии-импульса всех полей материи (в плоском
пространстве-времени), причем, под полем материи понимается любое поле,
отличное от гравитона. Таким образом, действие (5) с учетом материи
выглядит схематически как2:
S = f d4x[-±g(dhdh + hdhdh + h2dhdh + ...) + (hT + .. .)]• (7)
В главе IV. 5 мы говорили, что теорию Янга-Миллса можно
привести к виду, аналогичному теории Максвелла, если сделать простое
масштабирование А —> дА. Аналогичным образом можно привести теорию
Эйнштейна к такому же виду, если масштабировать гравитонное поле
h^ —> y/l67rGh^u и выразить действие как
S = f d4x(dhdh + Vl^Ghdhdh + l^Gh2dhdh + ... + VltoGhT).
Отсюда очевидно, что y/l6nG = 1/Мр характеризует величину
взаимодействия гравитона с собой и всеми другими полями. Поскольку значение Мр
очень велико (например, по сравнению с масштабом сильных
взаимодействий), сила гравитационного взаимодействия чрезвычайно мала.
Мы раскладывали дЦ1/ относительно плоской метрики, хотя могли бы
разложить как g^v = д^ + h^, где д^и — искривленная метрика, например,
черной дыры (см. главу V.7).
Действие в пределе слабого поля
Теперь восстановим опущенные ранее индексы. Для нахождения
первого члена dhdh в (7), необходимого для вычисления гравитонного про-
пагатора, разложим действие S = Мр f d4Xy/^ggfJ,"Rtxl, до членов
второго порядка h2 включительно. Из (2) и (3) следует, что тензор Риччи R^y
2Если записать в разложении действия Гильберта-Эйнштейна члены третьей и четвертой
степеней по h, то, строго говоря, мы должны также включить в него вклады с членами более
высокого порядка по h, содержащиеся в выражении Т^и(х) = — (2/y/r—g)(SSм)/(йд^М)-
Гравитация как теория поля и картина Калуцы-Клейна 493
начинается с 0(h), поэтому достаточно вычислить у/—ддц,и с точностью
до 0(h). Это несложно: из главы 1.10 мы знаем, что д = — [1 + rj^h^ +
+ 0(h2)} ид^ = ^-/1^ + 0(/г2),такчто у/^дд^ = г)»»-Wv+ \rfvh +
+ 0(h2), где определено h = rj^h^. Теперь необходимо вычислить R^u
с точностью до 0(h2). Это довольно громоздкое, хотя и прямое
вычисление, берущее начало с (2) и (3).
Чтобы не противоречить своей концепции избегать в книге громоздких
вычислений, покажу, как избежать их и сейчас. Воспользуемся
соображениями симметрии!
При общем координатном преобразовании х^ —> х'м = хм — ем (х)
изменение метрики имеет вид д'^и = (Эх'** /дх<т)(дхп/ /дхт)дат. Подставляя
метрику в виде д^и = rfv — h^v + ..., опуская индексы (с помощью г]^
в этом порядке) и учитывая, что (dx,fJ,/dxa) = 5% — das^, находим, считая,
что d^Sv одного порядка с W:
Лд„ = ft*»/ + dpE» + dyE^ (8)
Мы считаем, что порядок d^ev совпадает с порядком h^v. Обратите
внимание на структурное подобие с электромагнитным калибровочным
преобразованием А'^ = А /л — 9МЛ. Очень хорошо! В каком смысле гравитацию
можно рассматривать как калибровочную теорию, мы обсудим позже.
Найдем члены второго порядка по h и д в выражении для действия.
Согласно лоренцевскои инвариантности существует четыре возможных члена
(чтобы убедиться в этом, запишите сначала члены с совпадающими
индексами для двух д, а затем члены с совпадающими индексами для одного д
и одного h9 и т.д.):
S = jd4x(adxh^dxhfll/ + Ьдх^дхК + cdxhXud»h^ + dhxxd»dyh^),
где а, 6, с и d — четыре неизвестных коэффициента. Теперь проварьируем S
по 5h^ = д^ву 4- диЕц, интегрируя, где нужно, по частям. Например,
s(dxh^dxh^) = 2[dx(2d>1E»)}(dxh^)"="4E»d2d»h^.
Поскольку имеется три объекта, линейных по h и е и кубических по д (это
ewd2duh, El/dl/dxdfJ,h\^ и еще один, приведенный ранее), условие 8S = 0
дает три уравнения, что достаточно для фиксирования действия с
точностью до общего коэффициента, соответствующего постоянной Ньютона. Их
инвариантная комбинация равна
J = \dxh^dxh»v - \dxh»dxK - dxhx»d»h^ + Vh^h^. (9)
494
Глава VIII. 1
Таким образом, даже если вы никогда не слышали о действии
Гильберта-Эйнштейна, вы сможете определить действие для гравитации
в пределе слабого поля, если потребовать инвариантность действия
относительно преобразования (8). В этом нет ничего удивительного, поскольку
инвариантность относительно координатных преобразований и определяет
действие Гильберта-Эйнштейна. К тому же, приятно ведь сформулировать
теорию гравитации «с нуля».
Нам не нужно разлагать R до 0(h2), чтобы записать с учетом (6)
разложение S по слабому полю:
Коэффициент при J фиксируется требованием, что мы воспроизводим
обычную ньютоновскую гравитацию (см. далее).
Гравитонный пропагатор
Как следует из (5), действие 5wfg действительно имеет такую же
квадратичную структуру, как и все теории поля, которые мы изучали,
поэтому гравитонный пропагатор является обратным к
дифференциальному оператору. Но точно так же, как в теории Максвелла и теории
Янга-Миллса, соответствующий дифференциальный оператор в теории
Эйнштейна-Гильберта не имеет обратного вследствие «калибровочной
инвариантности» (8).
Ничего страшного. С данной трудностью справляется метод Фаддеева-
Попова. Более того, для нашей ограниченной цели — построения
гравитонного пропагатора в плоском пространстве-времени, нет необходимости
использовать формализм Фаддеева-Попова в полном объеме, включая
духи и т.д3. Действительно, из главы Ш.4 известно, что для фейнмановской
калибровки (£ = 1) мы просто добавляем (ЗА)2 в инвариант
\F^F^V = d^Av{d^Av - д„А»)«=» - A^vd2Av - {ЗА)2,
в результате чего сокращается последний член. Обращая
дифференциальный оператор —г]^д2, получаем фотонный пропагатор в фейнмановской
3Причина в том, что, как и в теории Максвелла, но в отличие от теории Янга-Миллса.
уравнение (8) не содержит поле h^u. Раз нам не надо вычислять петлевые диаграммы в квантовой
гравитации, мы не будем использовать всю мощь метода Фаддеева-Попова.
Гравитация как теория поля и картина Калуцы-Клейна 495
калибровке —irj^/k2. Такой же «трюк» проделываем для гравитации.
Начав с выражения
j = ±dxh^dxh^ - \dxh^dxKu - dxhXj/d»h^ + d'h^h^
и добавив в него член {d^h^ — \dvh\)2, мы сокращаем последние два
члена, так что 5СПГ сводится к виду:
scnr = jd*x\ L±g (dxh^dxh^ - \dxhdxh\ - h^T*»
(10)
Другими словами, свобода выбора h^v в (8) позволяет нам наложить так
называемое условие гармонической калибровки
д»К = \d„h\. (и)
(Это линеаризованная версия д^л/^gg^) = 0.)
Записав (10) в форме
S = З2^ё /<*4* [h^K^.M(-d2)hx° + 0(h3)] ,
видим, что должны обратить матрицу
в которой [iv и Лег — это два индекса. Обратите внимание, что мы
должны сохранять симметрию W'. Иначе говоря, мы оперируем матрицами,
действующими в линейном пространстве, образованном симметричными
двухиндексными тензорами. Итак, единичная матрица равна
Можете проверить, что К\iu\Xa^^p[j — I^v\pu> и, следовательно, К —
- К. Таким образом, в гармонической калибровке гравитонный пропагатор
в плоском пространстве-времени (положив постоянную Ньютона равной
единице) задается в виде
D^M{k) = —— . (12)
^ /г + ге
496
Глава VIII. 1
От Эйнштейна к Ньютону
Варьируя (10) по h^, получаем уравнение движения Эйлера-Лагран-
жа4 32^g(—2d2/iMI/ + rj^d2h) — Т^у — 0. Вычислив след, найдем d2h =
= 16ttGT (где Г = rj^T^) и в конечном итоге получим5
д2ЛМ1, = -16тгС(Г^ - \г)^Т). (13)
В статическом пределе Too является доминирующей компонентой6
тензора энергии импульса, поэтому (13) сводится к виду V20 = 47гСГоо, где
ф = |hoo — ньютоновский гравитационный потенциал (см. главу 1.5). Мы
только что вывели уравнение Пуасона для ф.
Кстати, есть еще один способ избежать трудоемкого разложения
действия Гильберта-Эйнштейна (и, следовательно, R) до порядка 0(h2) в
случае, когда вы используете эйнштейновское уравнение поля (4). Необходимо
разложить R^v лишь до порядка 0(h) и получить (13) из (4). Затем из (13)
можно построить уравнение действия до порядка 0(h2). Действительно, из
выражений (2) и (3) следует, что
flMI/=i(-32V + 3M3Ab^
Возможно дальнейшее упрощение в гармонической калибровке. Однако
такой подход недостаточно хорош в связи с трудностью7 вывода (4) из (1)
(необходимо использовать тождество Палатини и все остальное).
Теория Эйнштейна и отклонение света
Рассмотрим две частицы с тензорами энергии импульса Т?Х и Т{%,
взаимодействующие путем обмена гравитоном. Амплитуда рассеяния будет
равна (с точностью до некоторой константы, несущественной для наших
целей):
GTMDl*vM(k)T(2) = ^2(2T(l)T(2)Mi/ -Г(1)Г(2)).
43аметим, что сохранение энергии импульса в плоском пространстве-времени д^Т^и = О
вместе с уравнением движения означают, что d2(d^h^u — ^duh) = 0.
5Уравнение Эйнштейна в вакууме R^v = 0 сводится к виду d2h^u = 0; отсюда название
«гармоническая».
63аметим. что, в отличие от Too, компонента /loo не является доминирующим среди
остальных компонент /iMl/.
7С. Вейнберг. Гравитация и космология. С. 290 и 364.
Гравитация как теория поля и картина Калуцы-Клейна 497
Для нерелятивистской материи Х^00) гораздо больше значений остальных
компонент T°i и Ти (я уже говорил об этом), поэтому амплитуда рассеяния
между двумя нерелятивистскими телами (скажем, Землей и вами) равна:
G_fr>rroorroo плооплооч _ G_rroorroo
^2^(1Г(2) -1(1)1(2)) ~ ^2i(l)i(2)'
Как говорилось в главах 1.4 и 1.5, потенциал взаимодействия определяется
фурье-преобразованием амплитуды рассеяния, а именно:
G f f d*xd*x'TW™\x)TW™\x') [(РкеЛ-&-*)±.
Таким образом, для двух удаленных объектов ньютоновский потенциал
равен GM(i)M(2)/r.
Теперь вернемся к вопросу, сформулированному в конце главы 1.5.
Допустим, теоретик в области элементарных частиц, доктор Грэвити, решил
построить теорию гравитации, альтернативную теории Эйнштейна. Доктор
Г. утверждает, что гравитация обусловлена обменом частицей со спином 2
и малой массой тс, связанной с тензором энергии импульса Т^ь'. В
главе 1.5 мы получили пропагатор массивной частицы со спином 2, он равен
&?™х1 (*) = §(G>aGW + G^G„X - \G^GXa)/{k2 -m2G + is),
где Guv = г)^ — kpkv/rrtQ (после приведения в соответствие условных
обозначений). Поскольку эта частица взаимодействует с сохраняющимся
источником к^Т*11' = 0, можно заменить G^v на т)^. В пределе тс —> О
пропагатор будет иметь вид:
^•"•<Ч " I ?TirJ ' <14>
Сравните с выражением (12). Предложенный доктором Г. пропагатор
отличается от пропагатора, полученного Эйнштейном, множителем | вместо 1.
Удивительно, но гравитация вовсе не порождается почти безмассовой
частицей со спином 2. «Разницу в |» между пропагаторами (12) и (14)
обнаружили в 1970 году независимо друг от друга Ивасаки, Дам и Вельтман,
а также Захаров.
В теории доктора Г. (с его собственной гравитационной константой
связи Gg) взаимодействие двух частиц задается уравнением:
GoTfiD^xAfyTfa = ^(2Т^Т{2)^ - дГ(1)Г(2)).
498
Глава VIII. 1
Для случая двух объектов нерелятивистской материи уравнение сводится
к виду:
GG AGg rrOO rr-00
^1^(1)^(2) - 3i(l)i(2)i - 3^2i(1)i(2)'
Доктор Г. просто определяет Gq = f G, после чего его теория проходит все
экспериментальные проверки.
Но подождите, хорошо известно наблюдение 1919 года, когда ученые
зафиксировали отклонение света звезд Солнцем, хотя фотон не
является нерелятивистским телом. Действительно, из главы 1.10 (или из курса
электромагнетизма) известно, что для фотона равен нулю след Т = Т£.
Значит, принимая Т?Х и Tf%l за тензоры энергии импульса для
Солнца и фотона соответственно, Эйнштейн получил бы амплитуду рассеяния
(G/2/c2)2T^T(2)M^, тогда как амплитуда рассеяния в теории доктора Г.
оказалась бы равной (GG/2k2)2T^T{2)fjLl/ = |G/2fc2)2r(^r(2)MI/. Доктор Г.
оценил бы угол отклонения как 3GM/R, вместо 4GM/R (здесь М и R —
масса и радиус Солнца). Так в 1919 году на бразильском острове Собрал
Эйнштейн победил доктора Г.
В главе 1.5 говорилось, что массивная частица со спином 2 имеет 5
степеней свободы, тогда как безмассовый гравитон — всего 2 степени
свободы. (В приложении 2 приводится анализ ±2-спиральной структуры
обмена одним гравитоном.) Пять степеней свободы можно рассматривать как
состоящие из ±2-спиральных степеней свободы, двух ±1-спиральных
степеней свободы и одной О-спиральной степени свободы. Взаимодействие
±1-спиральных степеней свободы исчезает вследствие условия к^Т^и =
= 0. В результате остается дополнительное скалярное взаимодействие со
следом Т = Tjfrj^ тензора энергии импульса; это расхождение сводится
к отличию в последних членах выражений (12) и (14).
Если измерить отклонение света звезд, то придем к выводу, что
физическая величина, характеризующая массу гравитона тпс, точно равна нулю,
а вовсе не принимается меньшей некоторого малого значения. Этот
парадокс разрешил в 1971 году Вайнштейн8. Он обнаружил, что в теории
доктора Г. масштаб расстояний в гравитационном поле вокруг тела массой М
равен
\ гп% )
8A. I. Vainshtein, Phys. Lett. 39B:393, 1977; см. также C.Defayet, G.Dvali, G. Gabadadze, and
A.I.Vainshtein, Phys. Rev. D65:044026, 2002.
Гравитация как теория поля и картина Калуцы-Клейна 499
О-спиральная степень свободы становится эффективной лишь на масштабах
расстояний г ^> гу. В пределах радиуса Вайнштейна г у гравитационное
поле идентично полю в теории Эйнштейна, и результаты экспериментов для
теорий Эйнштейна и доктора Г. ничем не отличаются между собой. Если
использовать текущий астрофизический предел тс <С (Ю^см)"1 и массу
Солнца для параметра М, значение гу окажется гораздо больше размера
Солнечной системы. Иначе говоря, парадокс обуславливается заменой
пределов: сначала можно устремить к бесконечности либо характеристическое
расстояние измерения гнабл. (радиус Солнца при отклонении света звезд),
либо радиус Вайнштейна гу.
Итак, все хорошо: теория доктора Г. не противоречит результатам
измерений, если он выберет тс достаточно малой. Что ему не нельзя делать
в этой теории, так это использовать приближение одногравитонного
обмена. Вместо этого ему следует решать массовный аналог эйнштейновского
уравнения поля (4) вблизи массивного тела, например Солнца, что и
проделал в 1972 году Вайнштейн. Данный подход эквивалентен разложению
в ряд по гравитонному полю h до всех порядков и повторному
суммированию: у нас есть бесконечное количество фейнмановских диаграмм,
соответствующих испусканию Солнцем 1,2,3,..., оо гравитонов соответственно.
Парадокс формально разрешается вследствие того, что при тс —> 0
высшие порядки по h становятся все более сингулярными.
Гравитационное взаимодействие света
На данном этапе вы готовы к расчетам в пертурбативной квантовой
гравитации: у вас есть гравитонный пропагатор (12) и вы можете найти
взаимодействия между гравитонами из детальной версии (7)) и
взаимодействия между гравитоном и любым другим полем, которое задается членом
-\h^vT^v'. Единственной трудностью может послужить «целое море
индексов», среди которых вы легко запутаетесь, если не будете особо
бдительными.
Мне известно одно вычисление (одно из моих любимых в
теоретической физике), позволяющее запросто избавиться от индексов. Эйнштейн
говорил, что свет отклоняется массивным объектом. Отсюда вопрос:
происходит ли гравитационное отклонение света другим светом? Толман, Эренфест
и Подольский пришли к выводу, что в пределе слабого поля два луча света,
падающие в одном направлении, не взаимодействуют гравитационно, а два
луча света, падающие в противоположных направлениях, взаимодействуют.
Удивительно, не правда ли?
500
ГЛАВА VIII. 1
Рассеяние двух фотонов кг + к2 —> р2 + р2 за счет обмена гравитоном
описывается фейнмановской диаграммой на рис. VIII. 1.2, где q = Pi—k\ —
перенос импульса, и другой диаграммой, в которой рг и р2 поменяны
местами. Правило Фейнмана, описывающее взаимодействие гравитона с
двумя фотонами, получается из уравнения
ЫТ^ = -h^F^Fi - \v^FpXF?x).
Нас интересует только то обстоятельство, что взаимодействие включает
в себя пространственно-временные производные второй степени <9,
действующие на электромагнитное поле А^, так что вершина
гравитон-фотон-фотон содержит импульс во второй степени, по одному на каждый
фотон. Таким образом, амплитуда рассеяния (без учета лоренцевых индексов)
схематично равна ~ (кгРг)^(к2р2). Параметр г) в гравитонном пропагато-
ре D связывает между собой индексы от (кгрг) и (к2р2). (Мы опустили
векторы поляризации фотонов, поскольку они усредняются в выражении для
квадрата амплитуды.) С учетом (12) видим, что амплитуда равна сумме трех
членов: ~ (кг -pi){k2 -p2)/q2, ~ (fci * fe)(pi 'V2)/q2 и ~ (кг -p2){k2 'Pi)/q2.
Вследствие того что, согласно Фурье, составляющая потенциала
взаимодействия, описывающая взаимодействие на длинных расстояниях,
определяется поведением амплитуды рассеяния при малом значении q, достаточно
найти эти члены в пределе q —► 0. От них почти ничего не остается.
Смотрите:
к\ • рг —► к\ • кг = 0, кг • р2 = кг • (кг + к2 — рг) —> кг • к2.
Получаем амплитуду ~ (кг • к2)(рг -P2)/q2-
\Рх Аг
\ЛАААДААЛ^
/ч \**
Рис. VIII. 1.2
Если направления fci и к2 совпадают, то fci -к2 ос fci -кг = 0. Два фотона,
движущихся в одном направлении, не взаимодействуют гравитационно.
К сожалению, полученный результат не представляет никакой
практической пользы, поскольку электромагнитные эффекты в жизни имеют
гораздо большее значение, но эта книга не является руководством для
инженеров. В приложении 1 приводится другой вывод этого удивительного
результата.
Гравитация как теория поля и картина Калуцы-Клейна 501
Компактификация Калуцы-Клейна
Вы, должно быть, читали, какое сильное впечатление произвело на
Эйнштейна предложение Калуцы и Клейна расширить
пространство-время до пяти измерений и тем самым объединить электромагнетизм с
гравитацией. Пятое измерение считается компактифицированным на малую
окружность с радиусом а, невидимым глазу экспериментатора; другими
словами, хъ есть угловая переменная, такая что хъ = хъ + 2тга. Я уверен,
вы слышали, что теория струн, по крайней мере в оригинальной версии,
построена на идее Калуцы-Клейна. Струны живут в 10-мерном
пространстве-времени, шесть из которых компактифицированы.
Теперь продемонстрирую, как работает механизм Калуцы-Клейна.
Начнем с действия в 5-мерном пространстве-времени
s = шъ! *х^=***- (15)
Подстрочный индекс 5 служит для обозначения 5-мерных величин.
Индексы А и В 5-мерной метрики длв могут принимать значения 0,1,2,3,5.
Пусть метрика длв не зависит от ж5. Подставим ее в выражение для S,
проинтегрируем по хъ и вычислим эффективное 4-мерное действие.
Поскольку Ль и 4-мерная скалярная кривизна R содержат производную д
второй степени, а длв содержит д^, имеем (упражнение VIII. 1.5) R$ = R-\-
Таким образом, уравнение (15) описывает действие Гильберта-Эйнштейна
с ньютоновской гравитационной константой G ~ G^/a.
Что еще мы получаем? Нам далее не нужно делать никаких выкладок.
Воспользуемся симметриями. Для 5-мерного координатного
преобразования хА —> х'А = хл + еА(х) справедливо [см. (8)] ЫАВ = Нав — дл£в —
— дв^А- Пусть £м = 0, а е^(х) не зависит от х^: мы чуть-чуть
поворачиваем каждую из малых окружностей, прикрепленных ко всем точкам нашего
пространства-времени. Итак, имеем Ы^ = h^u и Н'ъъ = h^, но /г^5 = h^ —
—д^е^. Если назвать лоренцев 4-вектор h^ и 4-скаляр е$ н А^ и А, получим
обычное электромагнитное калибровочное преобразование А!^ = А^ — д^А.
Известно, что 5-мерное действие (15) инвариантно относительно
преобразования хл —► х'А — хА + еА{х). Отсюда следует, что 4-мерное
действие должно быть инвариантно относительно А^ —> А'^ = Ац — д^А
и потому содержать действие Максвелла. Еще раз обращаю ваше внимание
на эффективность симметрийных аргументов, которая позволяет избежать
громоздких вычислений.
Электромагнетизм возникает из гравитации!
502
Глава VIII. 1
Дифференциальная геометрия римановых многообразий
Ранее я указывал на глубокую связь между общим координатным
преобразованием и калибровочным преобразованием. Поясним это
утверждение на примере дифференциальной геометрии и гравитации. Здесь мы
будем рассматривать локальные евклидовы пространства (а не пространства
Минковского).
Дифференциальная геометрия риманова многообразия может быть
изящно описана в терминах дифференциальных форм. Рассмотрим рима-
ново многообразие (например, сферу) с метрикой д111/(х). По определению,
многообразие является локально евклидовым, т. е.
9*Лх)=е1{х)&аъе1(х), (16)
где матрицу е(х) можно рассматривать в качестве преобразования
подобия, которое диагонализирует матрицу д^и и масштабирует ее до
единичной матрицы. Следовательно, для D-мерного многообразия существует D
«мировых векторов» е^(ж), зависящих от а: и обозначаемых индексами а =
= 1,2, ...,-D. Функции е^(х) называют «тетрадами» (многоножками по-
немецки) (тетрадами для D = 4, триадами для D = 3 и т. д.). В некотором
смысле тетрады можно считать «квадратным корнем» из метрики.
Поясним на простом примере. Обычная 2-сфера (единичного радиуса)
характеризуется линейным элементом9 ds2 = dO2 + sin2 6d(p2. Из
метрики (две = 1, g(piip sin2 в) следует, что е1е = 1 и е2 = sin# (все остальные
компоненты равны нулю). Теперь определим 1-формы еа = e^dx^ в
количестве D. (В нашем примере е1 = d6, е2 = sin 6d(p.)
На искривленном многообразии, при параллельном переносе, вектор
в локальной евклидовой системе координат меняет свои координаты. (Нам
уже знакомо утверждение, согласно которому на искривленном
многообразии, подобном поверхности Земли, понятие вектора, направленного строго
на север, является локальным: если продвинуться на бесконечно малое
расстояние вдоль нашего «северного вектора», придерживаясь
первоначального направления, то в результате мы повернемся на бесконечно малый угол
относительно «северного вектора», заданного в точке, из которой мы только
что вышли.) Этот инфинитезимальный поворот тетрад описывается
уравнением:
dea = -uabeb. (17)
93амечу, что он представляет из себя квадрат бесконечно малого элемента расстояния, а не
элемент площади, т. е. величина dB2 есть буквально квадрат dO, а не антисимметризованное
произведение dOdQ (из главы IV.4), тождественно равное нулю.
Гравитация как теория поля и картина Калуцы-Клейна 503
Обратите внимание, что и является антисимметричной матрицей,
поскольку осуществляет инфинитезимальный поворот: иаЪ = —иЬа. Поскольку dea
есть 2-форма, то и будет 1-формой, называемой связностью: она
«связывает» локальные евклидовы системы координат в соседних точках.
(Индексы a,b и т.д. ассоциируются с евклидовой метрикой 5аь, поэтому мы не
проводим различий между верхними и нижними индексами. Символы а, 6
и т.д. в качестве верхних или нижних индексов используются из
соображений типографического удобства.) В простом примере со сферой de1 = 0
и de2 = cos Ode, поэтому связность имеет только одну ненулевую
компоненту и12 = —и21 = — cos 6d<p.
Мы можем свободно вращать тетрады в любой точке пространства.
Если вы используете функции е£, я могу использовать вместо них другие
функции ejf, так как мои функции связаны с вашими поворотом е^(х) =
= <Э%(х)е'ь(х). [Убедитесь, что д^(х) = ^(х)5аьеьи(х) = е'£(х)5аЬе'ь(х)
при условии, что ОтО = 1.] Связность о/ задается как de,a = —ио'аЬе,ъ.
Проверьте (опустив индексы), что
u = Ou'0T-(dO)0T. (18)
Локальная кривизна многообразия является мерой того, как меняется
связность от точки к точке. Нам бы хотелось, чтобы кривизна была
инвариантна относительно локального вращения О (или, по крайней мере, чтобы
она преобразовывалась как тензор и, сворачиваясь с векторами, давала
скаляр.) Этому условию удовлетворяет 2-форма Rab = duoab+ojacujcb.
Проверьте, что R = OR О1\ (Для сферы имеем Д12 = duj12 + ulcwc2 = sinedOdip.)
Если записать в компонентах, получим Rab = Rabvdx^dxv'. Попробуйте
самостоятельно проверить, что Rabve\e^ — обычный тензор кривизны Римана
Д^, в котором е^ — матрица, обратная матрице е\. В частности, Д^еаеь
есть скалярная кривизна, равная для сферы +1.
Таким образом, риманову геометрию можно элегантно описать двумя
выражениями (снова опуская индексы):
de + u;e = 0 (19)
и
R = du> + u>2. (20)
Кажется знакомым? Вы, должно быть, поражены тому, что (20)
выглядит так же, как напряженность поля в неабелевых калибровочных
теориях F=dA+A2. Замечу, что и преобразовывается [см. выражение (20)] в
точности так же, как калибровочное поле А. Но одно различие, а именно
504
ГЛАВА VIII. 1
отсутствие в калибровочной теории аналога е, долго беспокоило
физиков-теоретиков (но признанное в конце концов большинством как несуще-
ственное).Также не забывайте, что теория Эйнштейна линейна по R, тогда
как теория Янга-Миллса квадратична по F.
В завершение сделаю одно техническое замечание, касающееся
взаимодействия гравитации и полей спина ^. Сначала мы, естественно, должны
осуществить виковский поворот, чтобы тетрада е£ относилась не к
евклидовой, а локальной системе координат Минковского. Индексы a, b и т. д.
теперь сворачиваются с метрикой Минковского г)аь. Тонкость состоит в том,
что дираковские гамма-матрицы 7а ассоциируются с лоренцевым
поворотом тетрады е£(#) = 0%(х)е'Ь(х) и, следовательно, несут лоренцев
индекс а, вместо «мирового» индекса /i. Таким образом, дираковское действие
в плоском пространстве f dAx^{i^d^, — га)т/> должно быть обобщено до
вида j d^Xy/11^(i^rjabe^g^dv — т)ф. В отличие от действия для полей
с целым спином в искривленном пространстве-времени (см. главу 1.10),
дираковское действие в искривленном пространстве-времени явным образом
включает в себя тетраду.
Приложение 1. Свет на свете
Тензор энергии импульса Т^и светового луча, движущегося в я-направлении,
имеет четыре ненулевые компоненты: плотности энергии Т00, затем Т0х = Т00
вследствие того, что фотоны несут одну энергию и импульс, затем Тх0 = Т0х
вследствие симметрии и, наконец, Тхх = Т00 вследствие того, что тензор энергии
импульса электромагнитного поля дается матрицей с нулевым следом (глава 1.10).
Даже не решая уравнения Эйнштейна в пределе слабого поля (уравнение (13)), мы
знаем, что h00 = h0x — hx0 = hxx = h. Вокруг светового луча задается метрика
#00 = 1 + К дох = дхо = -h и дхх = -1 + h (и, естественно, дуу = gzz = -1;
остальные компоненты равны нулю). Рассмотрим фотон, движущийся параллельно
световому лучу. Его мировая линия определяется выражением (см. главу 1.10):
d2xp __гР dx» dxu
d? l^dc dC
Вычислим d2y/dC,2 и d^z/dC? при условии (dy/dQ, (dz/dQ <C (dt/d£),(dx/dQ.
Используя (3), находим (/x, v принимают значения только 0, x)
-hdyh)
/d^\2 , /dx^\2 _ оdt dx
2V v ' [ dC dC' rfC ciCJ 2V y vvdC dC
= -hdyh)(%-^)2.
Гравитация как теория поля и картина Калуцы-Клейна 505
Для фотона, движущегося в одном направлении с лучом света, dt = dx и d2y/dC,2 =
= d2z/dC2 = 0. Мы снова получили эффект Толмана-Эренфеста-Подольского.
Обратите внимание, что мы не вычисляли при этом h.
Если вы сомневаетесь в справедливости dt = dx> то знайте, что условие ds = 0
для луча света, падающего в направлении х, сводится к виду (1 + h)dt2 — 2hdtdx —
— (1 — h)dx2 = 0. Делением на dt2 получаем —(1 -f h) + 2hv + (1 — h)v2 =
= 0, где v = dx/dt. У квадратного уравнения два корня v = =f(1 ± h)/(a — h).
Отрицательный корень дает v = 1, поэтому для фотона, движущегося в одном
направлении с лучом света, dx/dt = 1. Положительный корень дает v = — (1 +
+ h)/{\ — /i), что соответствует случаю, когда фотон движется в противоположном
направлении.
Приложение 2. Спиральная структура гравитации
Чтобы еще глубже понять разницу между теориями Эйнштейна и доктора Г.,
обратим внимание на спиральную структуру взаимодействия в двух случаях.
Сначала рассмотрим взаимодействие между двумя сохраняющимися токами,
обусловленное обменом частицей со спином 1, импульсом к и массой га: «/^ч J(2)/x = ^(°i)^(°2)~~
— J(i) J(2)- Воспользуемся сохранением тока /cMJM = 0, чтобы исключить J0 =
= klJl/uj (где ш = к0). Получаем (kzkj/u;2 — St:j)J^JLy Примем, что направление
вектора к совпадает с направлением 3, выразим к2 = и2 — т2 и перепишем
выражение в виде —[(rn2/u2)J(1)Jf2)+J(i)J(2)+J(i)J(2)]- Видим, что при га —► 0
продольная компонента тока J3 действительно отщепляется, как было объяснено в главе
II.7, и мы получаем — ^(^т*2*^")*2 + ^m*2^")*2)* ОТС1°Д.а следует, что фотон
имеет спиральность =Ы. (Мы сделали очевидное обозначение: J1_M2 = J1 +U2 и т.д.)
Обратимся к гравитации. Рассмотрим взаимодействие Т?ХТ(2)ци — ?^(i)^(2)>
где £ = | в теории Эйнштейна и ^ = | в теории доктора Г. Для упрощения
записи опустим индексы (1) и (2). Условие сохранения к^Т^и = 0 позволяет нам
исключить Т0г = kjTjz/u> и Т00 = kjklTjl/w2. Примем, что направление вектора
к совпадает с направлением 3, тогда получим громоздкое выражение
(21)
I ТП \ грЗЗгрЗЗ . су I ТП \ /гр\3гр\3 . /ул23/тп23\ ■ /т-ill/yill . rpllrpll ■ сугр\1 гр12
_ р I ТП\ грЗЗ _|_ гр\1 | ^-.22 (Пк\ Т133 -I- Т11 -I- Т22
которое в пределе га —> 0 упрощается до:
/ti11/ti11 . /Ti22/yi22 . Q/Til2/yil2 £/rp\\ . rp11\/rriW , rp11\ /00\
В теории Эйнштейна £ = -|, поэтому выражение принимает вид:
|(ТП - Т22)(ТП - Т22) + 2Т12Т12 (23)
506
ГЛАВА VIII. 1
И В КОНеЧНОМ ИТОГе - ВИД 1 (Tl + «,l + i2Tl-i2,1-i2 + Т1-г2,1-г2т1 + г2,1 + г2)5 ^ до_
казывает следующее: гравитон действительно несет спиральность ±2.
Упражнения
VIII. 1.1. Найдите Т^и для скалярного поля. Нарисуйте фейнмановскую
диаграмму, описывающую вклад одногравитонного обмена в рассеяние двух
скалярных мезонов. Вычислите амплитуду и энергию взаимодействия между
двумя мезонами, находящимися в состоянии покоя, получив тем самым
ньютоновский закон гравитации.
VIII. 1.2. Найдите Т^и для поля Янга-Миллса.
VIII. 1.3. Покажите, что если /iM„ не удовлетворяет гармонической калибровке,
всегда можно осуществить калибровочное преобразование при условии, что
£и определяется выражением д2еи = dM/i£ — ^dvh\. После этого h^u
будет удовлетворять гармонической калибровке. Все это вам уже известно
из курса электродинамики.
VIII. 1.4. Подсчитайте количество степеней поляризации гравитона. [Указание:
рассмотрите плоскую волну hpU(x) = кц„(к)егкх, поскольку работать в
пространстве импульсов несколько легче. Симметричный тензор имеет 10
компонент, а гармоническая калибровка k^h^ = \hvh\ накладывает 4
условия. Как так, у нас осталось 6 степеней свободы. Что происходит?]
[Указание: продолжите калибровочное преобразование и останьтесь в
гармонической калибровке. Гравитон должен иметь всего 2 степени
поляризации.]
VIII. 1.5. Результат Калуцы-Клейна, к которому мы пришли, из симметрииных
соображений, можно получить явным вычислением. Предлагаю вам
следующий план действий. Рассмотрите метрику
ds2 = giJLVdx»dxu - a2[de + A^{x)dx^}2,
где в — угловая переменная, 0 < в < 27г. При А^ = 0 она
соответствует метрике искривленного пространства-времени, к каждой точке
которого прикреплена окружность радиуса а. Преобразование в —► 0 + А(х)
оставляет ds инвариантным при условии, что мы также преобразовываем
Ар(х) —> А^(х) — дцА(х). Вычислите 5-мерную скалярную кривизну R*>
и докажите, что Яб = Вл — \a2F^uFy'v'. Если не считать коэффициента ^,
полученный результат полностью совпадает с результатом, полученным на
основе соображений симметрии и того факта, что Яь включает две
производные по 5-мерной метрике. После подходящего масштабирования
получаем обычное действие для гравитации плюс электромагнетизм. Обратите
внимание, что 5-мерная метрика в явном виде равна
5 _ / дци - а2АрАи -а2А1
9АВ ~ { -a2Av -a2
(24)
Гравитация как теория поля и картина Калуцы-Клейна 507
VIII. 1.6. Обобщите схему Калуцы-Клейна, заменив окружности сферами большей
размерности. Покажите, что появляются поля Янга-Миллса.
VIII. 1.7. Тетрады для пространства-времени с метрикой Минковского задаются
в виде д^и(х) = е£(ж)т7аье£(ж), где метрика Минковского т\аь
используется вместо евклидовой метрики 6аь- Индексы а и b следует сворачивать
с rjab- Например, Rab = dujab + ujacr}CdUab- Покажите, что все, как и
ожидалось, работает.
Глава VIII.2
Проблема космологической постоянной
и проблема космического совпадения
Сила, которая слишком много знает
Понятие парадокса обесценено неправильным употреблением в
физической литературе. Настоящий парадокс должен содержать существенное
и ясное расхождение между теоретическим предсказанием и
экспериментальными данными. Ультрфиолетовая катастрофа, например, является
парадоксом, решение которого на заре двадцатого века привело к созданию
квантовой физики. Теперь поговорим о самом большом парадоксе
современной физики.
Электромагнитная сила знает о частицах, несущих заряд, сильное
взаимодействие знает о частицах, несущих цвет. А как насчет гравитационной
силы? Она знает всех! Точнее, всех, кто несет энергию и импульс.
С точки зрения физики элементарных частиц, а именно с этой точки
зрения мы исследуем фундаментальную структуру физики, гравитон
можно рассматривать как еще одну частицу. Стартуя с безмассовой частицы со
спином 2, взаимодействующей с тензором энергии импульса, можно
воссоздать теорию Эйнштейна.
Однако такое представление мира оставляет у нас неоднозначные
чувства. Гравитация имеет дело с кривизной пространства-времени, ареной
в которой живут все поля и частицы. Гравитон не просто еще одна частица.
В этом состоит суть и корень парадокса космологической постоянной.
Гравитон не просто частица — он слишком много знает!
Космологическая постоянная
В отсутствие гравитации добавление константы Л в лагранжиан С —>
С — Л ни к чему не приводит. В классической физике уравнения
движения Эйлера-Лагранжа зависят исключительно от вариации лагранжиана.
В квантовой теории поля нужно вычислять интеграл по траекториям Z =
= J D(pelfd xC(x\ который после добавления Л просто умножается на
Проблема космологической постоянной
509
множитель. Мы неоднократно видели, что мультипликативный фактор Z
не участвует в вычислениях функции Грина и амплитуд рассеяния.
Гравитация, однако, знает о Л. С физической точки зрения
включение Л соответствует сдвигу в гамильтониане Н —► Н + f d3xA.
Следовательно, «космологическая постоянная» Л характеризует постоянную
энергию или массу на единицу объема, проникающую во Вселенную, и,
естественно, гравитация ее знает.
С технической точки зрения член — f d4xA в действии, не инвариантен
относительно координатного преобразования х —► х'{х). Если учитывать
гравитацию, то вследствие инвариантности относительно общего
координатного преобразования член — f d4xA в выражении для действия S
должен модифицироваться к виду — J d4Xy/gA, как говорилось в главе 1.10.
Таким образом, гравитационное поле g^v знает о Л, печально известной
космологической постоянной, введенной Эйнштейном, который сам считал
ее самой большой своей ошибкой. Но ссылаться на его слова будет само по
себе ошибкой. Введение космологической постоянной не является
ошибкой, она должна присутствовать.
Нарушение симметрии генерирует энергию вакуума
В нашем обсуждении спонтанного нарушения симметрии мы все
время пренебрегали членом /х4/4А, появляющимся в лагранжиане.
Физика элементарных частиц построена на ряде спонтанных
нарушений симметрии. По мере охлаждения Вселенной происходит спонтанное
нарушение симметрии великого объединения, за которой следует
нарушение электрослабой симметрии, киральной симметрии (это только из тех
видов симметрии, которые мы обсуждали). На каждой стадии в лагранжиане
появляется член вида /л4/4А, что не остается не замеченным гравитацией.
Насколько большой должна быть космологическая постоянная? Далее
мы увидим, что для наших целей достаточно использовать самое грубое
приближение. Пусть значение А имеет порядок 1. Что касается
параметра //, то для трех упомянутых мною нарушений симметрии его значение
будет порядка 1017,102 и 1 ГэВ соответственно. Отсюда величину
космологической постоянной Л можно принять равной /i4 = /i/(—/х-1)3. Последняя
форма записи \х4 отражает тот факт, что Л есть плотность массы или
энергии: энергия порядка \х содержится в кубе размером /х-1. Однако данная
оценка слишком преувеличена, даже если использовать наименьшее
значение для //. Мы знаем, что плотность массы Вселенной вовсе не порядка
1 ГэВ на каждый куб, размером 1 (ГэВ)-1.
510
ГЛАВА VIII.2
Нам не нужны реальные значения, чтобы увидеть, что между
теоретическими оценками и экспериментальными данными существует огромная
разница. Если вам нужны числа, скажу, что существующее
экспериментальное ограничение сверху равно < (10~3эВ)4. С масштабом великого
объединения мы ошибаемся на (17 + 9 + 3) х 4 = 116 порядков. В этом
кроется причина всех расхождений!
С массой Планка Mpi ~ 1019 ГэВ, естественным масштабом
гравитации и допуская гравитационное происхождение космологической
постоянной, можно ожидать, что Л ~ MpZ. Теперь мы расходимся на 124 порядка.
Мы говорим не об ординарном вычислении какого-нибудь несчастного
теоретика, у которого расхождение с экспериментальными данными в 2 раза.
Мы можем представить, что, Вселенная, возникшая с отрицательным
значением космологической постоянной, тонко подстраивается рядом
спонтанных нарушений симметрии так, что космологическая постоянная зану-
ляется. Либо должен существовать динамический механизм, который
подстраивает космологическую постоянную к нулю.
Обратите внимание, что я говорю «к нулю», потому что задача о
космологической постоянной обуславливается несоответствием между
естественными единицами в космологии и единицами, естественными в физике
элементарных частиц. Если измерять космологическую постоянную в ГэВ,
то она окажется настолько крошечной, что специалисты в области физики
элементарных частиц должны бы традиционно принять, что она должна
быть равной нулю, и вели напрасные поиски правдоподобного механизма
ее зануления. Одним из недостатков теории струн является неразрешимость
с ее помощью проблемы космологической постоянной. При написании этой
главы около 2000 г. появились сценарии бранных миров, которые дали нам
надежду на решение проблемы. Грубо говоря, идея состоит в том, что
гравитационная динамика большего пространства, куда вложена наша
вселенная, может сократить эффект космологической постоянной.
Космическое совпадение
Природа приготовила нам большой сюрприз. В то время, когда
теоретики пытались найти выход из затруднительного положения поиском
аргументов почему Л = 0, специалисты по наблюдательной космологии
последовательно уточняли свои измерения и недавно заменили ограничение
сверху на примерное значение
Л - (1(Г3эВ)4!!!
(1)
Проблема космологической постоянной
511
Парадокс космологической постоянной еще более усугубился.
Теоретически нам легче объяснить, почему какая-то величина равна строго нулю, чем
тот факт, почему она оказывается равной ~ Ю-124 в естественных (?) для
этой проблемы единицах.
Хуже того, значение (10-3эВ)4 имеет тот же порядок, что и плотность
материи во Вселенной рм сегодня. Это явление иногда называют
проблемой космического совпадения.
На сегодняшний день космологическую постоянную Л мы считаем
параметром лагранжиана. С другой стороны, поскольку большая часть
плотности Вселенной складывается из массы барионов, то по мере
расширения Вселенной значение рм{1) уменьшается по закону [1/R(t)]s, где R —
масштаб Вселенной1. В далеком прошлом значение рм было гораздо
больше Л, а в отдаленном будущем оно будет гораздо меньше, чем Л. Так уж
сложилось, что мы с вами живем в эпоху такой Вселенной, когда рм ~ Л.
Или менее антропоцентрично, скажу, что эпоха рм ~ Л совпадает по
времени с завершающей стадией образования галактики.
Очень странно!
В отчаянии некоторые теоретики вынуждены даже опираться на ан-
тропный принцип2.
'Простое введение в космологию читайте в книге А.Зи (A.Zee, Unity of Forces in the
Universe, vol.11, chap. 10).
2См. недавний обзор (A. Vilenkin, hep-th/0106083).
Глава VIII.3
Эффективная теория поля как подход
к пониманию природы
Низкоэнергетическое проявление
Основоположники квантовой теории поля, например Дирак, склонны
были рассматривать теорию поля как внутренне замкнутое
фундаментальное описание Природы. Я уже неоднократно упоминал, что в 1950-х гг.
после успеха квантовой электродинамики многие ведущие физики в области
элементарных частиц отказались от квантовой теории поля, как
неспособной описать сильное и слабое взаимодействия, не говоря уж о гравитации.
Затем в начале 1970-х гг. наступил великий триумф теории поля. Но после
того как теоретики достали теорию поля из мусорного пакета теоретческои
физики, они осознали, что теории поля, которые они изучали, могут быть
всего лишь низкоэнергетическим проявлением более глубокой структуры,
которую сначала отождествляли с теорией великого объединения и позже
с теорией струн. Так была развита точка зрения, известная как эффективная
теория поля, с позволения Дирака.
В основе подхода лежит идея, согласно которой мы можем
использовать теорию поля для описания, скажем, физики низких энергий или, что
тоже самое, физики больших расстояний даже в том случае, если не имеем
представлений о всеобщей теории, будь то теория струн или любая другая
неизвестная теория. Важным следствием этого изменения парадигмы
явился тот факт, что неперенормируемые теории теперь стали приемлемыми.
Я проиллюстрирую эти соображения на частных примерах.
Появление философии эффективной теории поля, развитой
Вильсоном, стало еще одним примером «перекрестного опыления» между физикой
конденсированного состояния и физикой элементарных частиц.
К концу 1960-х гг. Вильсон совместно с другими учеными
разработали мощный подход к пониманию критических явлений, основанный на
эффективной теории поля. За свой труд он был удостоен Нобелевской
премии. Ситуация в физике конденсированных сред во многом противопо-
Эффективная теория поля как подход к пониманию природы 513
ложна ситуации в физике элементарных частиц, по крайней мере так, как
она понималась в 1960-е годы. Физики, занимающиеся конденсированным
состоянием, знают физику на малых расстояниях — квантовую механику
электронов и ионов. Но, конечно, уравнение Шредингера для электронов
и ионов не помогает решить задачу. Напротив, хотелось бы иметь
эффективное описание того, как система откликнется на пробные воздействия
с малой частотой и волновым вектором. Ярким примером является
эффективная теория квантовой холловской жидкости (глава VI.2).
Релевантная степень свободы — калибровочное поле совсем не похоже на лежащий
в основе электрон. Следует отметить, как и при сг-модельном описаний
квантовой хромодинамики (глава VI.4), без экспериментальной поддержки
теоретику было бы ужасно тяжело выяснить, какие будут релевантные
низкоэнергетические степени свободы. Вы видели и другие многочисленные
примеры в физике конденсированного состояния, начиная с теории
сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау и заканчивая неустойчивостью Пайерлса.
Граница неведения
В нашем обсуждении перенормировок моя философия состояла в том,
что квантовая теория поля обеспечивает эффективное описание
физических явлений до определенного масштаба энергии Л —границы неведения.
В неперенормируемой теории многие физические величины, которые мы
бы хотели вычислить, оказываются зависимыми от Л. Это означает, что для
понимания физики низких энергий, которую мы исследуем, существенной
в этом случае оказывается физика за пределами масштаба Л. Недостатком
неперенормируемых теорий является их неполная предсказательность, тем
не менее они могут оказаться полезными. В конце концов, теория слабых
взаимодействий Ферми смогла описать результаты экспериментов и даже
предсказать свою собственную гибель.
В перенормируемой теории физические величины оказываются не
зависящими от Л, если выразить результаты вычислений через физические
константы связи и физические массы, а не в терминах ничего не
значащих затравочных констант связи и затравочных масс. Низкоэнергетическая
физика не чувствительна к тому, что происходит на высоких энергиях,
поэтому мы параметризуем наше отсутствие знаний в отношении высоэнер-
гетической физики с помощью нескольких физических констант.
С конца 1960-х гг. до 1970-х гг. одной из главных задач
фундаментальной физики была классификация и исследование перенормируемых
теорий. Мы знаем, что ее итоги оказались «более чем впечатляющими». Она
514
ГЛАВА VIII.3
позволила нам установить теорию сильных, слабых и электромагнитных
взаимодействий.
Ренорм-групповой поток и анализ размерностей
Философия эффективной теории поля неразрывно связана ренорм-
групповым потоком. Для данной теории поля, если мы движемся в сторону
низких энергий, одни константы связи стремятся к нулю, а другие нет (если
они при этом стремятся к бесконечности, как в КХД, нам не удается
построить эффективную теорию без использования экспериментальных данных).
Таким образом, на первом шаге необходимо вычислить ренорм-групповой
поток. Простой пример дается в упражнении VIII.3.1.
Во многих случаях мы можем просто воспользоваться анализом
размерностей. Ранее, при обсуждении теории перенормировок, я говорил, что
константы связи с отрицательной размерностью массы не важны в
низкоэнергетическом пределе. Для определенности добавим член дц>6 в
теорию Х(р4. Константа связи д имеет размерность, обратную квадрату массы.
Определим М2 = 1/д. При низких энергиях вклад члена д<р6 подавляется
фактором (Е/М)2.
Как мы должны понимать вычисление Швингера аномального
магнитного момента электрона в эффективной теории поля?
Сначала отвечу на вопрос с традиционной (довильсоновской) точки
зрения. Допустим, студент спрашивает:_«Профессор Швингер, почему вы
не включили в лагранжиан член {\ / М)фа^ ^F^vl»
Профессор отвечает, что иначе мы не могли бы предсказать величину
аномального магнитного момента, поскольку она бы зависела от М.
Вспомним, что [ф] = | и [Ац] = 1. Следовательно, размерность фа^фр^ равна
| + §-Ы + 1 = 5>4. Условие перенормируемости, при котором
лагранжиан должен содержать лишь операторы размерности 4 или ниже, позволяет
обоснованно исключить этот член.
На самом деле сам Швингер, наверное, не стал бы отвечать на
поставленный вопрос. Всем известно, что тогда студентам было запрещено
задавать вопросы. Швингер просто проигнорировал бы поднятую руку
студента. И после занятий тоже не было возможности задать вопрос. Как
только Швингер произносил последнее предложение своей неизменно
блестяще подготовленной лекции, он величественно покидал аудиторию. Дирак
иначе обходился с вопросами. Я был слишком молод и не мог быть тому
свидетелем, но история гласит, что на фразы типа «Профессор Дирак, я не
понимаю...» он отвечал: «Это не вопрос, а утверждение».
Эффективная теория поля как подход к пониманию природы 515
Современное изложение сюжета об аномальном магнитном
моменте сильно отличается. Сейчас мы рассматриваем лагранжиан квантовой
электродинамики как эффективный лагранжиан, который должен
включать в себя бесконечную последовательность членов все более высоких
порядков с коэффициентами, параметризующими границу нашего
неведения. Член (l/Mtya^ipF^v тоже присутствует в лагранжиане с
неизвестным коэффициентом М, имеющим размерность массы. Таким образом,
результат Швингера, согласно которому квантовые флуктуации
порождают член (а/2/7г)(1/2те)фа111',фГ^1/, интерпретируется следующим образом:
предсказанное значение аномального магнитного момента электрона равно
[(а/27г)(1/2те)+1/М]. Хорошее совпадение (а/27г)(1/2те) с
экспериментальным значением аномального магнитного момента позволяет установить
ограничение снизу наМ> (4тг/а)те.
Иначе, результат Швингера предсказывает аномальный магнитный
момент электрона, если у нас есть независимые основания считать, что М
гораздо больше [(а/27г)(1/2те)]-1. Особо обращаю ваше внимание, что все
это имеет глубокий физический смысл. Например, если вы считаете, что
электрон имеет конечный размер а, то можно ожидать, что М ~ 1/а.
Вычисление аномального магнитного момента электрона дает верхнюю
границу для а, т. е. электрон должен выглядеть как точка до некоторого малого
масштаба. В качестве альтернативы мы можем иметь независимые
основания полагать, например, из рассеяния электронов, что а должна быть
меньше определенной длины. Отсюда следует ограничение снизу на М.
Чтобы подчеркнуть это место, представим, что в 1948 году мы,
следуя Швингеру, быстро вычисляем аномальный магнитный момент протона.
Мы можем сделать это буквально за 3 секунды, заменивв лагранжиане те
на тр и получив тем самым выражение (a/27r)(l/2mp)iljcrtliyipFfjLj/, которое
в корне противоречит эксперименту. Такое противоречие говорит нам, что
мы не в полной мере учли физику рассматриваемого явления, а именно что
протон не точечный и сильно взаимодействует. Действительно, мы сейчас
знаем, что в аномальный магнитный момент протона вносят вклады
аномальные магнитные моменты кварков и их орбитальное движение внутри
протона.
Эффективная теория распада протона
Может показаться, что в подходе на основе эффективной теории поля
мы теряем предсказательную способность. Эффективные теории поля
могуч также на удивление хорошо предсказывать результаты. Приведу один
пример. Допустим, нам ничего не известно о теории великого объединения.
516
Глава VIII.3
Все, что мы знаем, — это SU(3) 0 SU{2) <g> £/(1)-теория. Экспериментатор
нам сообщил, что планирует проверить, распадается ли протон.
Без малейших представлений о том, что могло бы привести к распаду
протона, мы все равно сможем записать теорию поля, описывающую его
распад. Лагранжиан С должен содержать поля кварка q и лептона /, а
также удовлетворять известным нам симметриям. Три кварка исчезают, так
что схематично записываем qqq, но три спинора не образуют лоренцевый
скаляр. Мы должны включить поле лептона и записать qqql.
Поскольку задействованы четыре фермионных поля, размерность
члена qqql равна бив лагранжиан он входит в виде (1/M2)qqql9 где М —
некоторая масса, соответствующая масштабу физических процессов,
ответственных за распад протона. Экспериментальное ограничение снизу на
время жизни протона устанавливает ограничение снизу на М.
Предположим, мы проводим анализ распада протона с помощью
эффективной теории поля в докварковую эпоху. В этом случае мы построим
лагранжиан из имеющихся полей, т. е. протонного поля р, электронного
поля е и пионного поля 7г. В итоге получим что-то вроде дтг~ёр, где д —
некоторая константа. Обратите внимание, что размерность тг~ёр равна 4
и, следовательно, д безразмерна. Поскольку тг~ёр нарушает изоспиновую
инвариантность, можно предположить, что д порядка некоторой
величины изоспинового нарушения, то есть порядка электромагнитной константы
связи а, но которая, однако, дает неприемлемо короткое время жизни
протона. Нам придется тогда положить д равным очень малому числу, что будет
казаться неестественным. Таким образом, по крайней мере задним числом
мы можем сказать, что исключительно большое время жизни протона почти
указывает на существование кварков. (Можно ли решить подобным
образом загадку космологической постоянной?)
Иначе говоря, SU(3) <g> SU(2) ® [/(1)-теория и ее перенормируемость
позволяет предсказать одно из самых поразительных явлений Вселенной —
стабильность протона. Старая пион-нуклонная теория, напротив, очевидно,
не смогла объяснить этот экспериментальный факт.
В соответствии с нашей философией, лагранжиан С должен быть
инвариантен относительно группы SU(3) <g) SU(2) <g) t/(l), при которой поля
кварка и лептона преобразуются довольно специфически (см. главу VII.5).
Чтобы построить лагранжиан, нам придется сесть и выписать все ло-
ренц-инвариантные члены SU(3) <8> SU(2) (g) U(l) вида qqql.
За этим занятием мы обнаружим, что если для простоты рассмотреть
только одно поколение кварков и лептонов, то распад протона будет
описываться всего четырьмя членами, которые я приведу здесь для полноты:
(hCqL)(uRCdR), (eRCuR){qLCqL), (lbCqL){qLCqL) и (eRCuR)(uRCdR).
Эффективная теория поля как подход к пониманию природы 517
Здесь II = (е)ь и QL = Ol обозначают дублеты лептона и кварка для
SU(2) ® U(l), знак тильды определяется как V = /г£и с 5С/(2)-индексами
г, j = 1,2 (см. приложение В), а С обозначает зарядово-сопряженную
матрицу. Цветовые индексы кварковых полей сворачиваются единственно
возможным способом. Таким образом, эффективный лагранжиан дается
суммой этих четырех членов с четырьмя неизвестными коэффициентами.
Эффективная теория поля сообщает нам, что все возможные
распады с нарушением барионного числа можно выразить через четыре
неизвестные. Предполагаемая точность наших предсказаний будет порядка
(Mw/M)2. (Если Mw равны нулю, то 517(3) <8> 517(2) ® U(l) является
точной.)
Конечно, можно усилить наши предсказательные способности за счет
дополнительных допущений. Например, если считать, что распад протона
происходит за счет обмена векторной частицей, как в универсальной теории
великого объединения, то разрешены только два первых члена из
вышеприведенного списка. В конкретной теории великого объединения, такой как
5£/(5), два неизвестных коэффициента выражаются через константу связи
великого объединения и массу Х-бозона.
Чтобы оценить эффективную теорию поля с точки зрения
способности к предсказанию, проанализируем четыре возможных оператора. Сразу
можно сказать, что, хотя распад протона нарушает как барионное число В,
так и лептонное число L, он сохраняет комбинацию В — L. Замечу, что это
вовсе не очевидно без специального анализа. Могли бы вы заранее сказать
экспериментатору, какую из двух возможных мод п —> е+7г~ или п —► е~7г+
ему следует ожидать? Априори могла бы сохраняться комбинация В + L.
Обратите внимание, что теорию слабых взаимодействий Ферми
сегодня мы бы назвали эффективной теорией поля. Конечно, бета-распад,
в отличие от распада протона, можно наблюдать явным образом, поэтому
результаты предсказания на основе такого сорта симметрийного анализа,
а именно предсказания существования нейтрино, триумфально
подтвердились.
Аналогичным образом можно построить эффективную теорию поля
для масс нейтрино. Безусловно, одним из самых ярких
экспериментальных открытий в области физики элементарных частиц за последние годы
послужило открытие того, что нейтрино не безмассовы. Построим
эффективную теорию, инвариантную относительно SU{2) ® £7(1). Поскольку vl
входит в состав II, to даже без какого-либо детального анализа мы видим
необходимость включения 5-мерного оператора: схематично член IlIl
содержит требуемую нейтринную билинейность, но несет гиперзаряд У/2 =
— 1; с другой стороны, дублет Хиггса <р несет гиперзаряд ^, так что
518
Глава VIII.3
оператор низшей размерности имеет форму 11(р<р и размерность § + § +
+ 1 + 1 = 5. Следовательно, эффективный лагранжиан С должен включать
член (1/M)llifip9 где М — массовый масштаб новой физики, ответственной
за массу нейтрино. Значит, с помощью анализа размерностей мы можем
оценить mv ~ mf/M, где га/ — некоторая типичная масса заряженного
лептона. Если взять га/ равной массе мюона ~ 102 МэВ, a mv ~ 10-1 эВ,
то получим М ~ (102МэВ)2/10-1(10"6МэВ) = 108ГэВ.
Философия эффективных теорий поля, справедливых до
определенного масштаба энергии Л, кажется сегодня настолько очевидной, что с трудом
верится, что когда-то многие великие физики ждали от квантовой теории
поля гораздо большего: чтобы она была фундаментальной до произвольно
высоких энергий.
Упражнения
VIII.3.1. Рассмотрим лагранжиан
с = \ [(д^)2 + (д<р2)2] - \(vi + А) - я<р1ч%. (1)
Мы взяли 0(2)-теорию из главы 1.9 и явно нарушили симметрию. Найдите
ренорм-групповой поток на плоскости (Л — д) и сделайте собственные
выводы.
VIII.3.2. Предполагая, что правого нейтрино vr не существует (т. е. минимальный
состав частиц в стандартной модели), запишите все члены, инвариантные
относительно SU(2)<g)U(l), которые изменяют лептонное число на 2, и
таким образом постройте эффективную теорию поля для массы нейтрино.
Конечно, с помощью конкретной теории можно получить более сильные
предсказания. Из произведения IlIl можно построить лоренцев скаляр,
преобразующийся относительно группы преобразований SU(2) как син-
глет или триплет. Рассмотрите синглетный случай и сформулируйте для
него теорию. [Указание: за помощью обращайтесь A. Zee, Phys. Lett. 93B:
р.389, 1980.]
VIII.3.3. Пусть A, B,C,D — четыре поля со спином ^. Обозначим их киральность
подстрочным индексом: j5Ah = hAh при h = ±1. То есть А+ — правое
поле, А- — левое поле и т. д. Покажите, что
(AhBh)(C-hD-h) = -\{Ahl»D-h){C-hl»Bh). (2)
Это одно из многочисленных тождеств Фирца (некоторые из них нам
понадобятся при обсуждении суперсимметрии). Покажите, что в том слу-
Эффективная теория поля как подход к пониманию природы 519
чае, когда распад протона в низшем порядке идет за счет обмена
векторной частицей, в лагранжиане разрешены лишь члены (lbCqb)(uRCdR)
и {eRCuR){qLCqL).
VIII.3.4. С учетом выводов из предыдущего упражнения покажите, что ширины
распадов для процессов р —> 7г+ +17, р —► 7г°+е+, п —> 7Г° +17 и п —► 7г~ +
+ е+ пропорциональны друг другу, а коэффициенты пропорциональности
определяются единственной неизвестной константой [равной отношению
коэффициентов для членов (lbCqb)(uRCdR) и (еяСадХ^ьСдь)].
За помощью при решении последних трех упражнений обращайтесь к
работам Вайнберга (S.Weinberg, Phys. Rev. Lett. 43, page 1566, 1979), Виль-
чека и Зи (F. Wilczek and A. Zee, ibid. p. 1571), Велдона и Зи (Н. A. Weldon
and A. Zee, Nucl. Phys. B173:269, 1980).
Глава VIII.4
Суперсимметрия: очень краткое
введение
Объединяя бозоны и фермионы
Начну с изложения некоторых мотиваций к открытию
суперсимметрии. Во-первых, все экспериментально установленные симметрии
связывают бозоны с бозонами, а фермионы с фермионами. Хорошо бы, если бы
некая суперсимметрия связывала бозоны с фермионами. Во-вторых, для
фермионов естественно не иметь массы (вспомните главу VII.6), тогда как
бозоны имеют ее. Возможно, объединяя в пару поле Хиггса с фермионным
полем, получится разрешить проблему иерархий, упомянутую в главе VII.6.
В-третьих, из главы П.5 известно, что фермионы создают отрицательный
вклад в энергию вакуума, поэтому нельзя ли за счет фермионного
вклада компенсировать вклад бозонов в энергию вакуума и решить тем самым
задачу о космологической постоянной?
К сожалению, уже более 30 лет1 никто не может опытным путем
получить явное подтверждение суперсимметрии (первую суперсимметричную
теорию поля построили в 1971 году Гольфанд и Лихтман). Все
существующие суперсимметричные теории связывают известные бозоны с
неизвестными фермионами, а известные фермионы с неизвестными бозонами.
Суперсимметрия должна нарушаться на некотором масштабе массы М,
находящемся вне уже исследованной экспериментально области. Тогда
можно ожидать, что космологическая постоянная будет порядка М4 (см.
главу VIII.2).
Как бы то ни было, суперсимметричные теории поля обладают
множеством хороших свойств (что не удивительно, поскольку симметрия таких
теорий гораздо больше). Таким образом, суперсимметрия привлекает к
себе внимание множества поклонников. Постараюсь как можно более
кратко познакомить вас с понятием суперсимметрии, избегая упоминания о ее
'О ранней истории суперсимметрии читайте в книге Кейна и Шифмана (G.Kane and
М. Shifman, eds., The Supersymmetric World: The Beginning of the Theory.)
Суперсимметрия: очень краткое введение 521
тонкостях и спорных моментах. Надеюсь, мое введение окажется для
студентов полезным, прежде чем они возьмутся за изучение соответствующих
монографий.
Открытие суперсимметрии
Представьте, что однажды вы просыпаетесь с желанием построить
теорию поля с симметрией, связывающей бозоны с фермионами. Первое, что
вам понадобится, — это одинаковое число фермионных и бозонных
степеней свободы. Простейшим фермионным полем является двухкомпонентный
спинор Вейля ф. Теперь у вас есть одна комплексная степень свободы2, так
что вы должны включить комплексное скалярное поле </?. Далее вы можете
действовать методом проб и ошибок: запишите лагранжиан, включая в него
все члены с размерностью не выше четвертой, и подгоните значения
различных параметров лагранжиана так, чтобы он удовлетворял желаемому
условию симметрии. Например,_можно так подобрать значение ц в
массовых членах /j,2ip^(p + m(ipip + ФФ), чтобы бозон и фермион имели
одинаковую массу и теория стала бы более симметричной.
Если бы вы решили использовать дираковский спинор Ф и
комплексный скаляр <£>, то потерпели бы неудачу на первых шагах, поскольку
получили бы в два раза больше фермионных степеней свободы, чем бозонных
степеней свободы. Хочется верить, что открытие суперсимметрии
откладывалось так долго исключительно из-за того, что до начала 1970-х гг.
большинство теоретиков-полевиков, выросших на дираковских спинорах,
имели лишь небольшое представление о вейлевских спинорах. Теперь для
вас настало время познакомиться с пунктирными и непунктирными
спинорами из приложения Е. Для дальнейшего изучения этой главы вы должны
хорошо понимать обозначения.
Суперсимметричная алгебра
Достаточно просто построить суперсимметричную теорию поля,
известную как модель Весса-Зумино, методом проб и ошибок. Однако
сначала я продемонстрирую вам, как работает один изящный, но более
абстрактный подход, именуемый суперпространственный и суперполевой
формализм. Этот формализм изобрели Салам и Стратди. Нам понадобится
достаточно сложный формальный аппарат. Все супер в этой главе.
2Одна комплексная степень свободы на массовой поверхности и две комплексные степени
свободы вне массовой поверхности. См. ниже суперполевой формализм.
522
Глава VIII.4
Запишем генератор суперсимметрии, переводящий (ръфа, как Qa
(известный как суперзаряд). Тот факт, что Qa преобразуется как вейлевский
спинор, означает [J^u,Qa] = —iip^oPQp, где J^v — генераторы
группы Лоренца. Очевидно, что [P^,Qa] = 0 вследствие независимости Qa от
координат пространства-времени. Обозначим величину, сопряженную Qa,
как Qa (см. приложение Е) и получим [J^,Qa] = —i(atll')a pQ0.
Запишем антикоммутационное соотношение между грассмановыми
объектами Qa и Q^, при этом в полной мере учтем материал
приложения Е. Алгебра суперсимметрий задается выражением
{Qa,Q0}=2(a^)a$Plt. (1)
Мы воспользовались методом «чем еще это может быть»? Правая часть
выражения должна идти с индексами а и $, а мы знаем, что единственным
объектом, несущим эти индексы, может быть <тм. Лоренцев индекс /х
нужно свернуть и единственный подходящий вектор — это Рм. Множитель 2
фиксирует нормировку Q.
Аналогичным образом получаем {QocQ*3} = ci(a^)a(3J^ + C2#f.
Коммутируя с Рл, видим, что константа с\ равна нулю. С учетом Q1 =
— z-ypQ*3 приходим к {Qa, <37} = С2в1а\ вследствие симметричности левой
части последнего выражения относительно а и 7 получаем С2 = 0. Таким
образом, {Qa, Qp} = 0 и {(Jd, Qq) = 0 (см. упражнение VIII.4.2).
Основная теорема
Из соотношения (1) следует важный физический факт. Сворачивая
с (au)f3a, получаем
4P^ = (afa{Qa,Q^}. (2)
В частности, временная компонента говорит о том, что гамильтониан равен:
ш = J2{Q«, Q«} = £{<?«> Qi) = £(<?*<& + QiQ*)- (3)
a a a
Приходим к важной теореме, которая гласит, что в суперсимметричной
теории поля любое физическое состояние \S) должно иметь неотрицательную
энергию:
<S|tf|S) = |££|(S'|Qa||S>|2>0. (4)
a S'
Суперсимметрия: очень краткое введение
523
Суперпространство
Теперь, когда мы построили суперсимметричную алгебру, обратимся
к нашей цели построить суперсимметричные теории поля. Для этого мы
должны выяснить, как преобразуются поля при действии
суперсимметричной алгебры. Нам придется использовать формализмом, необходимость
которого станет очевидной позднее.
Представьте, что мы пытаемся построить формализм
суперпространства. Начнем с основного соотношения (1) {QaiQp} — ^(а^)а/з^- СупеР~
симметричное преобразование Q, вместе с Q, генерирует трансляцию Рм.
Гм, давайте посмотрим, Рм = г(д/дх^) генерирует трансляцию в хм,
значит, Qa, возможно, будучи грассмановым, генерирует трансляцию в
некоторой абстрактной грассмановой координате ва. (Аналогично Qq генерирует
трансляцию в 6&.)
Салам и Стратди ввели понятие суперпространства с бозонными
и фермионными координатами {х^,ва.9^} с алгеброй суперсимметрий,
представленной трансляциями в этом пространстве.
Пусть Qa и Qp будут чем-то типа д/два и д/дв^ соответственно. То-
гда {QQ, Q/5} — 0 и мы не получим соотношение (1). Продолжим наши
игры и модифицируем Qa и Qb. Вы, возможно, уже знаете, что мы ищем.
Если добавить в Qa член вида Оа^д^, то д/два, действующий в QQ на 0сгд<9д,
приведет к выражению, напоминающему правую часть уравнения (1).
Аналогичным образом мы решаем добавить в Qa член вида ва^дц.
(Напоминаю, что система пунктирных обозначений фиксирует, что мы должны
записывать, а именно {crfJ')ocaOad^, так что сворачиваемые индексы
подчиняются правилу «от юго-запада к северо-востоку».) Итак, суперзаряды мы
представляем как
Qa = ^-гК)аа0~Ч (5)
Теперь уравнение (1) имеет место. Интересно, что, когда мы сдвигаем
в фермионном направлении, приходится также слегка сдвигать в бозонном
направлении.
524
ГЛАВА VIII.4
Суперполе
Суперполе Ф(хм,0а,0^), как следует из названия, есть поле,
живущее в суперпространстве. Инфинитезимальное преобразование
суперсимметрии сводится к виду:
Ф->Ф, = (1 + г^да+г&0а)Ф,
(7)
где £ и £ — два грассмановых параметра.
Оказывается, можно наложить на Ф условие и тем самым несколько
ограничить его широкое определение. Пристально вглядевшись в (5) и (6),
вы обнаружите, что можно определить другие два объекта:
Da
д
два
»М«4^9„
De =
^ + *VW>m
которые являются комбинациями, ортогональными к Qa и Q^. Очевидно,
что Da и Dp антикоммутируют с Qa и Q^. Следовательно, если наложить
на суперполе Ф условие В^Ф = 0, то его преобразованная форма Ф' также
будет удовлетворять этому условию.
Суперполе Ф, удовлетворяющее условию -С^Ф = 0, известно как ки-
ральное суперполе. На самом деле условие легко выполнить3. Смотрите,
если мы определим уц = (хд + iOa(a^)aaOa) (обратите внимание, что мы
складываем две бозонные величины), то
%/"
Jj + tfVWb
/ = -H«VU + ^KW = °-
Таким образом, суперполе Ф(у, в), зависящее только от у и 0, является ки-
ральным суперполем.
Разложим Ф в ряд по степеням в при фиксированном у. Вспомним,
что в содержит две компоненты (в1, в2). Значит, можно построить объект
с в максимум второй степени, т.е. 60, что вы проделали в упражнении Е.З.
3Это аналогично задаче нахождения функции /(ее, у), удовлетворяющей условию L/ = О,
где L = [х(д/ду) — у(д/дх)]. Тогда любая /, зависящая только от г, будет удовлетворять
заданному условию.
Суперсимметрия: очень краткое введение
525
Как обычно, степенной ряд по грассмановым переменным обрывается и мы
получаем:
Ф(у.в) = <р(у) + у/2Щу) + eeF(y),
где (f(y), ф(у) и F(y) — пока просто коэффициенты ряда. Можно
осуществить повторное разложение в ряд Тейлора в х:
Ф(у, в) = ф) + у/2вф(х) + eOF{x)+
+ {ва^Одцф) ~ ^Оа^вва'вд^ф) + ^2в19а^вд^ф{х). (8)
Видим, что киральное суперполе Ф включает в себя вейлевское фермионное
поле ф и два комплексных скалярных поля (р и F.
Нахождение полной производной
Сделаем небольшой анализ размерностей для пользы и удовольствия.
Известно, что Рд имеет размерность массы и, применяя обозначения из
главы Ш.2, мы можемзаписать [Рм] = 1/Тогда из выражений (1), (5) и (6)
следует, что [Q] = [Q] = \ и [в] = [в] = —\. Известно, что [ф\ = 1,
тогда из уравнения (8) следует, что [ф] = | (это мы уже знаем) и [F] = 2
(этого мы не знали). В действительности мы никогда не встречали лоренце-
во скалярное поле с размерностью 2. Как может кинетический член для F
в лагранжиане С иметь размерность 4? Никак. Член F^F уже имеет
размерность 4, а любая производная может лишь увеличить ее. Кроме того, разве
мы не говорили, что с помощью (риф уравниваем количество бозонных
и фермионных степеней свободы?
С полем F(x) определенно связано что-то странное. Что оно делает
в нашей теории?
При инфинитезимальном суперсимметричном преобразовании
суперполе изменяется на величину 5Ф = i(£Q + £Q)&. Используя уравнения (8),
(5) и (6), вы можете определить, как именно преобразуются поля ср9 ф и F
(см. упражнение 5). Но пойдем более длинным путем, применяя принцип
симметрии и анализ размерностей. Например, функция SF линейна
относительно £ или £, поэтому вследствие [F] = 2 и [£] = [£] = — i она должна
умножаться на что-то с размерностью [|]. Единственным объектом с
размерностью [|] является д^ф с непунктирным индексом. Обратите
внимание, что в качестве этого объекта не может выступать дйф, поскольку Ф не
содержит поля ф. Согласно лоренцевской инвариантности необходимо
найти такой объект, который имеет индекс fi. Это может быть только (afl)aot.
526
Глава VIII.4
Пунктирный индекс, имеющийся у (сг/х)аа, можно свернуть только с £.
Таким образом, все параметры фиксированы, за исключением общей
константы:
№~d^K)ad£A (9)
Аналогичным образом можно легко показать, что Sep ~ %ф и 5*ф ~ £F +
+ d^l
Главное здесь — это не общая константа (9), а тот факт, что SF
является полной производной.
Обозначим через [Ф]^ коэффициент при вв в разложении
произвольного суперполя Ф (как в (8)). Мы уже знаем, что при суперсимметричном
преобразовании Д([Ф]^) есть полная производная, поэтому J с14х[Ф]р
инвариантно относительно преобразования суперсимметрии.
Наше следующее наблюдение состоит в том, что если 5^Ф = 0, то
ЙдФ2 = 0. Иначе говоря, если Ф есть киральное суперполе, то Ф2 также
является киральным суперполем (а еще Ф3, Ф4 и т.д.).
Суперсимметричное действие
Чего бы мы хотели в любом случае? Мы бы хотели получить действие,
инвариантное относительно суперсимметрии.
Наконец, мы получили готовый формализм. Из материала последних
двух параграфов почти очевидно, что выражение J (14х[^тФ2 + |#Ф3 +
+ .. .]f инвариантно относительно преобразования суперсимметрии. Если
возвести в квадрат (8) и взять из получившегося выражения коэффициент
при вв, то увидим, что [Ф2]р = {2Fip — фф). Аналогично [Ф3^ = 3(F<p2 —
— ipipip). Теперь выполните упражнение VIII.4.6.
Создается впечатление, что мы построили массовый член для
вейлевского фермиона ф и нашли его взаимодействие со скалярным полем кр. Где
же члены кинетической энергии, такие как /фа(о'^)аадц/фа^
Векторное суперполе
Члены кинетической энергии содержат fe, которого нет в Ф. Чтобы
получить сопряженное поле tpa, мы, очевидно, должны использовать член
Ф*Ф. Еще немного формализма! Суперполе V(x, 0, в) мы называем
векторным, если V = V*. Так, Ф*Ф есть векторное суперполе.
Представим, что мы раскладываем Ф^Ф = <p]ip + ... или любое
векторное суперполе V в ряд по степеням вив. Старшей степенью однозначно
Суперсимметрия: очень краткое введение
527
является 0996, так как единственный объект, который мы можем построить
с учетом свойств грассмановых переменных, — это 9х929\9ъ. Любой объект
квадратичный по 9 и 9, такой как {9cr^9){9cr^9), можно свести к виду 9999,
если воспользоваться одним из тождеств, которые вы нашли в упражнениях
из приложения Е. Пусть [V]d обозначает коэффициент при 9999 в
разложении V.
Снова воспользуемся анализом размерностей. Если размерность V
равна п, то размерность [V]d равна п + 2, поскольку размерности 9 и 9
равны — \. Посмотрим, как изменяется [V]d при инфинитезимальном
преобразовании суперсимметрии 5V = i(£Q -f £Q)V- Функция ^([V]^) линейна
относительно £ и £, поэтому она должна умножаться на что-то с
размерностью п + §, ибо [£] = [£] = — \. В качестве подходящего объекта может
выступать лишь производная д с размерностью п + |, а именно
коэффициенты при 999 и 999 в разложении V. Заключаем, что <S(Md) должна иметь
форму <9М(...). Отсюда функция ^([VJd) есть полная производная.
Следовательно, действие f с14х[Ф^Ф]о инвариантно относительно
преобразования суперсимметрии.
Посмотрим еще раз на уравнение (8), которое я приведу еще раз для
вашего удобства:
Ф(у, 9) = ф) + y/20tl>(x) + 99F{x)+
+ г9а^9дМх) ~ \9(J^99av9dlldv^[x) + \/29i9a»9d^(x). (10)
Видим, что f с14х[Ф^Ф] содержит J d4x^d2(p (если умножить первый член
в Ф* на пятый член в Ф), f d4xd(p^d(p (если умножить четвертый член
в Ф* на четвертый член в Ф), J ^хфа^д^ф (если умножить второй член
в Ф* на шестой член в Ф) и, наконец, J d4xF^F (если умножить третий
член в на третий член в Ф). Поражает, как появляются производные
полей в суперсимметричных теориях поля. Обратите внимание, что действие
/ й4х[Ф^Ф}о не включает в себя явные производные.
Подведем итог. Для заданного суперполя Ф мы построили
суперсимметричное действие
S= f d4x{№^}D - {[WW]F + э.с.)}. (11)
Выбирая \¥(Ф) = ^тФ2 + |#Ф3, получаем в явном виде
S = j d4x{d<pid<p + {фа^д^ф + F+F-
— (mF(f — ■^гп'ф'ф + gFip2 - gFtp2 — дрфф + э. с.)}. (12)
528
ГЛАВА VIII.4
Вспомогательное поле
С самого начала поле F казалось нам странным. Из условия [F] = 2
мы сделали вывод, что оно не может иметь члена кинетической энергии
с размерностью 4, и это действительно так. Мы знаем, что оно не является
динамическим полем, которое распространяется — оно является
вспомогательным полем (в точности как а в главе III.5 и £м в главе VI.3) и может
быть отынтегрировано в интеграле по траекториям f DF^DFelS. В самом
деле, в выражении для S сгруппируем члены, зависящие от F:
F]F-F(rmp + gip2)-F\rmp]+g^2) = \F-(rrnp + g(p2)*\2 -\ггкр+д<р2\2.
Проинтегрируем по F и F^:
S = / ^4х{дс^д^+г^ (13)
Замечу, что в соответствии с (4) скалярный потенциал равен У(<р*,<р) =
= \rrap + дц>2\2 ^ 0, в минимуме он равен нулю, что обеспечивает
нулевую космологическую постоянную. Обратите внимание, что мы больше не
можем добавить в V(<p\tp) произвольную константу, как в несуперсиммет-
ричных теориях поля.
Как и следовало ожидать, суперсимметричные теории оказались
гораздо более ограниченными, по сравнению с обычными теориями поля,
но гораздо более симметричными. Используемый для их описания
формализм можно обобщить до суперсимметричной теории Янга-Миллса. Ранее
я говорил, что если какая-нибудь нетривиальная 4-мерная квантовая теория
поля окажется точно решаемой, то это, скорее всего, будет N = 4
суперсимметричная теория Янга-Миллса (упражнение VIII.4.3).
Надеюсь, что это краткое введение передало вам дух суперсимметрии
и поможет вам перейти к более серьзным трудам по этому предмету.
Упражнения
VIII.4.1. Постройте лагранжиан Весса-Зумино методом проб и ошибок.
VIII.4.2. В общем случае могут существовать N суперзарядов Q&, I = 1,..., JV.
Покажите, что можно получить {Qa,Qp} = £a(3ZIJ, где ZIJ — с-числа,
называемые центральными зарядами.
VIII.4.3. С учетом того что мы не знаем, как записывать непротиворечивые
квантовые теория поля со спином, большим двух, докажите, что значение N
Суперсимметрия: очень краткое введение 529
из предыдущего упражнения не превышает 8. Теории с суперсимметрией
N = 8 называют максимально суперсимметричными. Докажите, что, если
не включать гравитацию, значение N не должно превышать 4.
Суперсимметричная теория Янга-Миллса при N = 4 обладает многими
замечательными свойствами.
VIII.4.4. Покажите, что дОо/дв? = еар.
VIII.4.5. Найдите 6<р, 6ф и 6F из вариации 6Ф = i(CQ* + £dQd)$.
VIII.4.6. Для любого многочлена ТУ(Ф) покажите, что [W^)]f = F[dW((p)/dtp] +
+ члены, не содержащие F. Покажите, что для теории (11) потенциальная
энергия равна V(ip* ,ф) = \dW(ip)/d(p\2.
VIII.4.7. Постройте теорию поля, в которой суперсимметрия спонтанно нарушена.
[Указание: вам понадобятся как минимум три киральных суперполя.]
VIII.4.8. Если мы можем построить суперсимметричную квантовую теорию поля,
то определенно сможем построить суперсимметричную квантовую
механику. Действительно, рассмотрим Q\ = \[g\P+cf2W (x)} и Qi = ^[сг2Р—
— aiW(x)]9 где, как обычно, Р = —i(d/dx) — оператор импульса.
Определите Q = Qi + 1Q2. Изучите свойства гамильтониана Н, определяемого
k&k{Q,Q*} = 2H.
Глава VIII.5
Немного о теории струн как 2-мерной
теории поля
Геометрическое действие для бозонной струны
В этой заключительной главе я постараюсь дать вам небольшое
представление о теории струн. Разумеется, вы получите лишь минимальное
представление о предмете. К счастью, существуют действительно
замечательные книги и, я надеюсь, что эта книга подготовила вас для их изучения.
Главной своей целью я считаю показать вам, что теория струн естественно
формулируется в терминах 2-мерной теории поля.
В главе 1.10 мы описывали точечную частицу, с мировой линией Х^(т)
в D-мерном пространстве-времени. Вспомним, что действие дается
геометрически длиной мировой линии:
'Н1
-™ldTXl— — . (1)
При репараметризации г —> т'(т) действие остается неизменным.
Вспомним также, что в классическом случае 5 эквивалентно действию
-_1 [иг(1йХЦЩ± , 2
>™Р - 2 J ar i 7 dr dT
5i,p = - Nr U^^+7^2 • (2)
Теперь рассмотрим струну, заметающую мировой лист Xм (г, а)
в D-мерном пространстве-времени, что мы уже проделывали в главе IV.4,
когда изучали дифференциальные формы. По аналогии с (1) Намбу и Гото
предложили задавать действие геометрически как площадь мирового листа:
Sng = T j drdayJdetidaXvdbX»), (3)
Немного о теории струн как 2-мерной теории поля 531
где дгХ» = дХ^/дт, д2Х^ = дХ^/да и {даХ^дьХ^) обозначают
элемент ab матрицы 2x2. Здесь (как и в (1)) /х может принимать D значений:
0,1,..., .D — 1. Константа Т (= 1/27га', где а' — наклон реджевской
траектории в феноменологии элементарных частиц) соответствует натяжению
струны, поскольку растяжение струны для увеличения мирового листа
требует дополнительного действия, пропорционального Т.
Точно так же, как и для точечной частицы, желательно избавиться от
квадратного корня и взамен использовать действие
S=\T I <1т(кг'у*чаЬ(даХ'лдьХ,л), (4)
где 7 = det 7аЬ в интеграле по траекториям при квантовании струны. Мы
сейчас покажем, что классически 5 эквивалентно Sng-
Как и для (2), проварьируем S по вспомогательной переменной 7аЬ»
которую затем исключим. Для матрицы М имеем 8М~1 = —М~1(5М)М~1
и SdetM = 6etr]o*M = etr]o^MtrM-1SM = (detМ)ЫМ~16М.
Следовательно, 5^ab = — 7ac^7cd7db и ^7 — 11Ьа^1аЬ- Для упрощения записи
введем обозначение каь = даХ^дьХ^. Тогда варьирование
подынтегрального выражения в (4) даст в результате:
6h*7abhab] = 72 [|7dc*7cd(7°6M - 7°c<*7cd7d(>M.
Полагая коэффициент при #7ы равным нулю, получаем:
hcd = \lcd{labhab), (5)
где индексы h поднимаются и опускаются метрикой 7- Умножая (5) на hdc
(и суммируя по повторяющимся индексам), получаем jabhab = 2 и,
следовательно, 7cd = ^cd- Подставляя полученное выражение в (4), находим,
I
что S = Т J drdcr(det h) 2. Значит, действия S и Sjvg действительно
эквивалентны в классическом случае. Действие (4), впервые полученное Брин-
ком, Ди Веккиа и Хау, а также Дезером и Зумино, известно как действие
Полякова.
Обратите внимание, что (5) определяет 7аб с точностью до
произвольного локального изменения масштаба, известного как преобразование Вей-
ля:
7ab(r,a)^e2^^7ab(r,a). (6)
532
ГЛАВА VIII.5
Таким образом, действие (4) должно быть инвариантным относительно
преобразования Вейля.
Если присмотреться к действию струны (4), то мы увидим в нем
действие для квантовой теории поля для D безмассовых скалярных
полей Х^{т, а) в 2-мерном пространстве-времени с координатами (г, сг), хотя
и с некоторыми необычными знаками. Индекс fi играет роль внутреннего
индекса, а инвариантность Пуанкаре в оригинальном £>-мерном
пространстве-времени играет роль внутренней симметрии. Действительно,
значительная часть теории струн посвящается изучению квантовых теорий поля
в 2-мерном пространстве-времени! Удивительно, как квантовой теории
поля удалось остаться «на сцене».
В эту теорию бозонных струн можно добавить фермионные
переменные так, чтобы сделать действие суперсимметричным. В результате, как
вы конечно слышали, получается теория суперструн, которую некоторые
считают теорией всего1.
Больше ничего не могу добавить к этому инфинитезимальному
введению в теорию струн, но надеюсь, что эта книга вполне подготовила для
дальнейшего изучения специализированных текстов по теории струн2.
1 «Просто нереалистично понять макроскопические свойства материи на основе изучения
этих законов микромира. Даже хотя законы микромира, строго говоря, контролируют явления
большего масштаба, с их помощью нельзя понять сами явления. Вот почему фраза «теория
всего» звучит неадекватно.» — Дж. Шварц, один из основателей теории струн.
2Краткое, но авторитетное введение смотрите в работе Виттена (Е. Witten, "Reflections on
the Fate of Spacetime," Physics Today, April 1996, p. 24).
Заключение
Как я признавался во вступлении, я изначально планировал написать
лишь краткое введение в квантовую теорию поля, но книга все росла и
росла. Просто этот предмет чересчур богат. Как я упоминал, после периода
почти полного забвения она с триумфом вернулась. Как говорил мой
научный руководитель по диссертации Сидней Коулмен, триумф квантовой
теории поля явился настоящим «парадом победы», который заставил «всех
трепетать от благоговения и смеяться от радости».
Теория струн красива и удивительна, но пока она не подтвердится,
истинной теорией всего останется квантовая теория поля. Все физические
законы можно вывести из теории поля. Начнем с того, что квантовая
теория поля включает в себя квантовую механику как (0 + 1)-мерную теорию
поля и закончим (возможно) тем, что теория струн формулируется как (1 +
+ 1)-мерная теория поля.
Квантовую теорию поля вероятно можно считать вершиной
человеческой мысли. (Тсс! Слышите далекие вопли математиков, филологов,
философов и возможно даже высокомерных музыкальных критиков?) Она
является квинтэссенцией фундаментальных понятий от самого начала физики:
осознание Ньютоном того, что энергия является квадратом импульса,
появляется в теории поля как две пространственные производные. Но все же,
теория поля — в той форме, в какой она существует сегодня — является,
на мой взгляд, незавершенной, и будущие молодые яркие умы смогут еще
больше ее развить.
Прежде всего, как я предсказывал в первой главе, теория поля не
сильно ушла от гармонической парадигмы. Открытие солитона и инстантона
создало новые перспективы и однозначно показало, что фейнмановские
диаграммы не охватывают всего, вопреки мнению некоторых теоретиков.
Дуальность предлагает один из способов связать пертурбативную слабо
взаимодействующую теорию с сильно взаимодействующей, но пока
практически ничего неизвестно о режиме сильной связи. Говоря о ренормгруппе,
мы уверенно говорим о потоке в фиксированную точку сильной связи, но
у нас есть только посадочный талон: у нас никакого представления о
пункте назначения. Возможно, в не очень отдаленном будущем специалисты
534
Заключение
в области теории поля на решетке смогут выявить доминирующие полевые
конфигурации.
Другим ограничением является производная второго порядка,
ограничение, восходящее, как я выше отмечал, еще к Ньютону. Для современных
приложений теории поля к далеким от физики элементарных частиц
задачам нет никаких причин накладывать это ограничение. Например, изучение
зрительного восприятия связано с использованием гораздо более сложных
теорий поля, чем те, которые мы рассматривали. (См. краткий обзор в
приложении.) Эти теории поля в любом случае евклидовы, поэтому
функциональный интеграл с более высокими производными определенно имеет
смысл. Лишь в теориях с метрикой Минковского мы не знаем, как
обращаться с производными высших порядков. Опять Ньютон — определенно,
экономисты рассматривают как скорость изменения ускорения так и само
ускорение. Другим новаторским применением теорий поля служит
формулировка3 класса задач в неравновесной статистической механике как
теорий поля. Действительно, вокруг нас много различных объектов, которые
при встрече взаимодействуют друг с другом. Этот класс задач
встречается в областях, простирающихся от химических реакций до популяционной
биологии.
Мы можем выйти далеко за рамки ограничения на число производных
в лагранжиане. Кто сказал, что подынтегральное выражение должно иметь
форму «экспоненты от интеграла по пространству-времени»? Большинство
приходящих в голову модификаций противоречат фундаментальным
принципам (например, интеграл J D(pe~ f d xC^)-\Sd xC(v)] нарушает
локальность), но, очевидно, что не все. А вот еще одна любопытная мысль,
которую я хотел бы донести до читателя: классическая и квантовая физика
формулируется в терминах дифференциальных уравнений и
функциональных интегралов, соответственно. Как образом дифференциальные
уравнения содержатся в интегралах? Интегралы f Dipe'^/^fd xC^ содержат
параметр ft, так что в пределе h —> О вычисление интегралов сводится к
решению дифференциальных уравнений в частных производных. Можно ли
выйти за пределы квантовой теории поля, если найти такую
математическую операцию, которая при стремлении к нулю некоторого параметра к
сводится к вычислению интеграла J D^pe~<^lK) ^d x£(^)?
Арена локальной теории поля всегда ограничивалась набором из d
действительных чисел хц. Результаты недавних исследования в некомму-
3построенная М.Доем, Л. Пелити, Дж. К. Карди и др. См.. например, J.C. Cardy, conmat/
9607163, "Renormalisation Group Approach to Reaction-Diffusion Problems," in: J.B.Zuber, ed..
Mathematical Beauty of Physics, p. 113.
Заключение
535
тативной теории поля обещают вывести нас за рамки этого ограничения.
(Я намеревался обсудить некоммутативную теорию поля тоже, но тогда бы
точно не обошелся двумя словами.)
Возможно, наиболее неудовлетворительным свойством теории поля
является современная формулировка калибровочных теорий. Калибровочная
«симметрия» связывает между собой не два различных физических
состояния, а два описания одного и того же состояния. Мы не можем обойтись
без этого странного избыточного языка. Сначала у нас есть ненужный нам
багаж, от которого затем желаем избавиться за счет фиксации
калибровки. Мы даже знаем как избежать этой избыточности с самого начала, но
ценой дискретизации пространства-времени. Такая избыточность описания
особенно характерна для вспомогательных калибровочных теорий, модных
в физике конденсированных сред, где калибровочная симметрия не
является отправной точкой. Не вызывает сомнений и тот факт, что через сто лет
принятый сейчас способ вычислений в неабелевых калибровочных теорий
будет казаться физикам нелепым. Я имею в виду, что мы проводим
вычисления в неабелевых калибровочных теориях, разделяя действие Янга-
Миллса на части, тем самым нарушая калибровочную инвариантность. Не
удивлюсь, если тем человеком, который сможет найти более изящную
формулировку того, что мы сейчас называем калибровочными теориями,
окажется кто-нибудь из моих особо одаренных читателей.
Посмотрим, как развивалась самая первая теория поля — теория
электромагнетизма Максвелла. К концу девятнадцатого века она была
всесторонне изучена и был достигнут впечатляющий консенсус относительно
того что, по крайней мере, математическая структура полностью понята. В
начале двадцатого века выяснились удивительные новости о том, Что
теория содержит две скрытые симметрии, лоренцовскую инвариантность и
калибровочную инвариантность. Это те две симметрии, которые, как мы
теперь знаем, содержат ключ к тайнам вселенной. Разве не может быть
такого, что и существующая на сегодняшний день квантовая теория
поля содержит неизвестные пока скрытые симметрии, еще более красивые,
чем лоренцевская или калибровочная инвариантности? Наверное,
большинство физиков согласятся со мной, если я скажу, что великие умы
девятнадцатого века на смогли обнаружить существование двух ключевых
симметрии исключительно из-за неудовлетворительной системы
обозначений4 и стремления использовать уравнения движения вместо действия.
Однако, некоторые из этих же физиков сомневаются в том, что мы смог-
4Говорят, и я с этим согласен, что одним из важнейших вкладов Эйнштейна в науку явилось
разрешение суммировать по одинаковым индексам. Попробуйте почитать труды Максвелла
и тогда вы оцените удобство хорошей системы обозначений.
536
Заключение
ли значительно усовершенствовать систему обозначений и используемый
формализм. К примеру, система пунктирных-непунктирных обозначений
мне самому кажется довольно громоздкой, и я чувствую5, что однажды на
смену формализму интеграла по траекториям придет более мощный
формализм.
Так как педагогическое мастерство состоит в том чтобы просто
излагать сложные вещи, студенты иногда не могут в полной мере оценить
тот факт, что симметрии отнюдь не всегда очевидны. Если бы кто-нибудь
в середине 1950-х гг написал суперсимметричную теорию Янга-Миллса,
то очевидно потребовалось бы много времени для того чтобы осознать что
она содержит скрытую симметрию. Поэтому вполне возможно что
проницательный читатель может обнаружить до сих пор неизвестную скрытую
симметрию в наших хорошо известных теориях.
Не только неудобная система обозначения и отсутствие хорошего
формализма не позволили физикам девятнадцатого века открыть две важные
симметрии; они просто не стремились их обнаружить. Старую парадигму
«эксперименты —> действие —> симметрия» следует заменить6 в
фундаментальной физике новой парадигмой «симметрия —> действие —>
эксперименты», типичным представителем которой стала теория великого объединения
и позже теория струн. Наверняка физики будущего тоже будут
иронизировать по поводу того, что в начале двадцать первого века, мы не имели
в голове правильного подхода.
В учебниках по физике многие предметы выглядят как полностью
завершенные, но только не квантовая теория поля. Некоторые люди говорили
мне, что еще можно добавить к теории поля? Хочу напомнить этим
людям, что еще большая часть материала из моей книги еще 30 лет назад не
была известна. Конечно, хотя я и чувствую что дальнейшее развитие
возможно, у меня нет ни малейшего представления какое именно, иначе я бы
его опубликовал, поэтому я и вам не могу сказать. Тем не менее, позвольте
напомнить вам о двух недавних достижениях, которые я считаю
чрезвычайно интригующими: (1) некоторые теории поля могут быть дуальными
теории струн. (2) При деконструкции измерения7 d-мерная теория поля
может выглядеть как (d + 1)-мерная теория в некотором диапазоне энергий,
т. е. теория поля может буквальным образом создавать пространственную
размерность. Эти наблюдения предполагают, что квантовые теории поля
5 Однажды я спросил Фейнмана, как бы он решил задачу о прямоугольной яме конечной
глубины с помощью интеграла по траекториям.
6А. Zee, Fearful Symmetry, chap. 6.
7T. е. замена непрерывного пространственного измерения на некоторый решеточный
аналог. — Прим. ред.
Заключение
537
содержат существенные скрытые структуры, которые только предстоит
обнаружить. Возможно, грядет еще один золотой век квантовой теории поля.
Итак, парад завершен. Теперь от вас зависит будет ли новый парад8.
Приложение
Образ, получаемый визуальной системой, можно описать как 2-мерное
евклидово поле (fo(x), где фо характеризует шкалу уровней серого: от черного ((ро =
= —со) до белого (<ро = +оо). [Можно увидеть, что цвет можно включить в
модель, если перейти к полю ф9 преобразующемуся по некоторой внутренней группе,
например SO(2).] Фактически воспринятый образ ip(x) — это получаемый образ
<ро(х), искаженный до ц>о[у(х)], плюс некоторый шум г)(х). Искажение
описывается отображением х —> у(х) 2-мерной евклидовой плоскости. Задача вашего мозга—
решить, является ли реальный образ (ро(х) или некоторым другим (^i(x)? Ваша
способность отличать между собой два образа зависит от функционального
интеграла
Z = I Dy(x) /D77(x)e-^[y(l),-(1/2C)/d2x77(a:)2(5{^o[2/(x)] +ф) - <р(х)} (7)
-W[y(x)]-{1/2C) f d2x{<p(x)-ipo[y(*)}}2
в котором для простоты я выбрал шум, белым и гауссовым с параметром С.
Предположительно, весовая функция VT[2/(x)] в результате эволюции жестко встроена
в нашу визуальную систему, говоря нам что одни искажения (трансляции,
вращения и растяжения) гораздо более вероятны, чем другие. Записывая у(х) = х + А(х),
мы замечаем, что Z определяет теорию поля для 2-компонентного поля Аг(х),
которое всегда можно представить в виде Аг = dirj + EijdjX- Обратите внимание, что
поле Ai(x) появляется «внутри» «внешнего» поля ipo. Из соображений симметрии
можно показать, что
W = -Jd2xl \ф% + ±Хд6Х
где fug — две константы связи. Я привел здесь максимально краткий обзор, а
заинтересованные читатели могут обратиться к соответствующей литературе9. Конечно,
можно думать и о других примерах. Этот конкретный пример служит лишь для
того, чтобы показать что кроме теорий поля, изложенных в стандартных учебниках,
существует много других полевых моделей.
8Как сказали Битлз, квантовые поля навсегда!
9W. Bialek and A. Zee, Statistical mechanics and invariant perception, Phys. Rev. Lett. 58:741,
1987; Understanding the efficiency of human perception, Phys. Rev. Lett. 61:1512, 1988.
Приложение А
Гауссово интегрирование и основное
тождество квантовой теории поля
Основной гауссиан:
Г+оо 1
/+00 __± 2
dxe 2х = л/2тг. (1)
-оо
Масштабированный гауссиан:
£•--*"-(*)
(2)
Моменты:
1
Г+оо 1
/ °° dxe *ах2х2п = (^\ 2 ^г(2п - 1)(2п - 3) • • • 5 • 3 • 1. (3)
Гауссиан с источником:
1
ej2/2a, (4)
/_+00dxe-b2+J^(^)2^/2a
Г°° dxe-***2*"* = №\ 2 e-j2l*\ (5)
1
Г°° dxe-^iax4iJx = (%Л * е-^/2а) (6)
Гауссово интегрирование
539
(7)
/Г/Т • ■ • /Гdxidx2 ■ • • dx»e~lx'Ax+Jx=(SS)2 e*JA~1J-
(8)
В следующих равенствах опускается общий множитель.
Центральное тождество квантовой теории поля:
/ D(pe-b-K-<P-vWv = e-v(«/W)e5J-*-'-J. (9)
Тривиальная модификация:
yV-^W¥, = e^*~1J. (10)
Модификации:
/ Dipeiii,2)4)'K'(p+ij4> = e-(i/2)J-K~1'J, (11)
[ D е*/^^(*)**(*)+^(*М*)1 =eifddx[-\j{x)K-lJ{x)\ (12.
f D e-fddx[±<p(x)K<p(x)+J(xMx)} = Jd'xlljWK^JixX
(13)
(где К и/или К г могут быть нелокальными).
Конкретный пример:
[ Рре^^хКХЮ^+еФф] = e2/ddx[-(l/2A)(^)2]> (14)
Для эрмитова К с комплексным ip:
f D^Dve-^-K-«+J''^-J = eJ'K~1J. (15)
Ранее уже говорилось, что в приведенных выражениях опущены
различные численные коэффициенты. Применяя данные формулы, убедитесь,
что эти множители несущественны для ваших целей.
Приложение В
Краткий обзор теории групп
Это краткий обзор теории групп, которая будет мне нужна в тексте.
Я предполагаю, что у вас уже есть некоторое представление о группах,
иначе этот обзор будет, скорее всего, вам непонятен. Большинство
концепций проиллюстрированы примерами и, надеюсь, не стоит и говорить, что
вы должны проработать все примеры и проверить приведенные без
доказательства утверждения.
SO(N)
Специальная ортогональная группа SO(N) состоит из всех
действительных матриц О размерностью N х N, которые являются
ортогональными:
ОтО = 1 (1)
и имеют единичный детерминант
detO = l. (2)
Обозначим элемент в г-ой строке и j-ом столбце как ОгК Группа
SO(N) состоит из вращений в А^-мерном евклидовом пространстве, а ее
определяющее, или фундаментальное, представление задается TV-компо-
нентным вектором v = {v*,j = l,...,iV}, который преобразуется
относительно элемента О группы следующим образом:
v> -+V* = Oijvj. (3)
Тензоры мы определяем как объекты, преобразующиеся как
произведение векторов. Например, тензор Тг^к преобразуется следующим образом:
rpijk ^ rptijk __ /-\il/~\jms~\knrplmn /л\
так же как произведение vlvjvk. Обратите внимание, что я употребляю
термин «так же как», не следует считать, что Тг^к на самом деле равен vlvjvk.
Краткий обзор теории групп
541
Важно развивать «чувство» или интуицию по поводу групп и их
представлений. Некоторые находят полезным представлять себе определенное
количество объектов, на которые действует группа и которые
преобразуются в линейную комбинацию друг друга. Так, тензор Тг^к изображается
в виде N3 объектов, связанных между собой.
Тензоры задают представления группы. В нашем конкретном примере
каждый элемент группы представляется в виде матрицы размера N3 x iV3,
действующей на iV3 объектов Тг^к. Число объектов в тензоре называется
размером представления.
Вполне может быть, что данный объект в представлении
преобразовывался под действием всех элементов группы в линейную комбинацию не
всех других объектов, а лишь подмножества объектов. Проиллюстрирую на
примере. Рассмотрим T2J —» Tni = Ог10^тТ1тп. Построим симметричную
Sij = 1 (Tij + Tjij и антисимметрИЧНую Aij = \{ТЧ - Tji) комбинации.
Симметричная комбинация 5*J" преобразуется в комбинацию ollOjrnSlm,
которая очевидно симметрична. Аналогичным образом А2-7 преобразуется
в антисимметричную комбинацию Ог1 Ojm Alrn. Иначе говоря, набор из N2
объектов, содержащихся в Ти, расщепляется на два набора: из ^N(N + 1)
объектов, содержащихся в Slj, и из ^N(N — 1) объектов, содержащихся
в Агз. Комбинации S1^ преобразуются друг в друга и комбинации А1^
также преобразуются друг в друга.
Говорят, что представление, задаваемое тензором Ти, приводимо: оно
распадается на два представления. Ясно, что не распадающиеся на части
представления называют неприводимыми.
Мы только что воспользовались очевидным фактом, согласно которому
свойства симметрии тензора при перестановке его индексов не меняются
при преобразовании группы. То есть индексы тензора преобразуются
независимо друг от друга, как в (4). Все возможные свойства симметрии можно
классифицировать с помощью диаграмм Юнга, полезных в общих вопросах
теории групп. К счастью, в литературе по теории поля редко встречаются
тензора с настолько сложными симметрийными свойствами, чтобы
потребовалось знание диаграмм Юнга.
По-другому можно сказать, что мы можем ограничиться
рассмотрением тензоров только с определенными свойствами симметрии относительно
перестановки индексов. В нашем конкретном примере мы всегда можем
принять, что тензор Ти является симметричным или антисимметричным
относительно перестановки г и j.
Мы должны еще использовать свойства (1) и (2). Для данного
симметричного тензора Ти рассмотрим комбинацию Т = 5г^Тг^, называемую
следом. Тогда, применяя (1).
542
Приложение В
J1—> $iJT'i>3 — §ijQilQjmrplm _ {QT\ligijQjmj^lm _ filmrplm _ ji
Другими словами Т, преобразуется в себя. Если вычесть из Ти след, то получим
тензор с нулевым следом Q1^ = Тгэ — (l/N)6liT. Содержащиеся в Q2J
объекты (в количестве ^N(N 4-1) — 1) преобразуются друг в друга.
Подведем итог. Для двух данных векторов v и w можно построить
тензор и разложить его затем на симметричную бесследовую комбинацию,
след и антисимметричный тензор. Этот процесс записывается как
N®N = [±N(N + 1) - 1] 0 1 0 ±N(N - 1). (5)
В частности, для 50(3) имеем 303=50103— это известное вам из
курса механики и электромагнетизма соотношение.
Существует два соглашения об обозначении представлений. Можно
просто указать размерность представления. (Однако такое обозначение
может быть неоднозначным, поскольку два различных представления могут
случайным образом иметь одинаковую размерность.) Другим способом
является указание свойств симметрии тензора, задающего представление.
Например, представление, задаваемое абсолютно антисимметричным
тензором с га индексами, часто обозначается как [га], а представление, задаваемое
абсолютно симметричным тензором с га индексами, — как {га}. Очевидно,
что [1] = {1}. В этих обозначениях разложение (5) можно переписать в
виде {1} <8> {1} = {2} 0 {0} 0 [2]. Для группы 50(3), в силу ее почтенного
возраста в физике, путаница с именами даже сильнее, чем при чтении
русских романов: например, {1} обозначают также р, а {2} — d.
Мы еще должен использовать условие (2). Используя
антисимметричный символ £123—N, запишем его в виде
£iii2...iN0*i 10*>2 e # # Qir,N = г ^
или, что то же самое,
gili2...iN QiljlQi2J2 QlnJN _ gjlh-JN /f\
Повторным умножением (7) на От мы очевидно можем получить другие
тождества. Чтобы не запутаться в целом море индексов, продемонстрирую
это для случая N = 3. Умножая (7) на [ОтУмк!Ч, получаем:
£*1 222з QiijiQi2J2 _ ^3lJ2J3(QT\J3l3
Грубо говоря, мы перемещаем некоторые О из левой части уравнения в
правую, где они превращаются в От.
Краткий обзор теории групп
543
Используя эти тождества, можно легко доказать эквивалентность [га]
и [N — га]. Например, всем известно, что в 50(3) антисимметричный 2-ин-
дексный тензор эквивалентен вектору. (Векторное произведение двух
векторов дает вектор.)
Любую ортогональную матрицу можно записать в виде О = ел.
Условия (1) и (2) предполагают, что А — действительная антисимметричная
матрица, так что А можно представить в виде линейной комбинации N(N—
— 1)/2 антисимметричных матриц, обозначаемых как iJij, а именно: О =
_ e%eXJjlJ ^с СуММИр0ВанИем по повторяющимся индексам). Мы определили
J2J как мнимую антисимметричную матрицу, следовательно, она является
эрмитовой. Поскольку коммутатор [J2-*, Jkl] антиэрмитов, его можно
представить в виде линейной комбинации матриц г J.
Забавно, что в этом месте у некоторых студентов нет ясного понимания
по причине их знакомства с группой 50(3), некоторые свойства которой не
обобщаются на SO(N).
Говоря о вращениях в 3-мерном пространстве, мы можем определить
вращение либо как поворот вокруг, допустим, третьей оси с
соответствующим генератором J3, либо как поворот в (1 — 2)-плоскости с
соответствующим генератором J12 = — J21. В пространствах большей размерности,
скажем 10-мерном пространстве, мы говорим о поворотах в (6 — 7)-плоско-
сти с соответствующим генератором J67 = — J76, но говорить о повороте
вокруг пятой оси мы не можем. Таким образом, для обобщения на высшие
размерности стандартное коммутационное соотношение [J1^2] = г J3 для
50(3) необходимо записывать как [J23, J31] = гJ12 и обобщать его до
вида:
[рз% j«] = i(SikJjl - 6jkJil + 6jlJik - 6ilJjk). (8)
Правая часть последнего выражения отражает антисимметричный характер
JlJ = —Ji%. Некоторых может привести в смущение используемая
система обозначений: J2J обозначает матрицу, осуществляющую поворот в (г —
^-плоскости, в fc-ой строке и /-ом столбце которой находится элемент
(.Pi)1*1. Индексы i,j,k,l пробегают значения от 1 до N. Однако вы должны
отличать по смыслу индексы {ij} и {kl}: первые из них нумеруют
генератор, а вторые — это матричные индексы, когда генератор рассматривается
как матрица. В качестве упражнения выпишите явно (,Pi)kl и получите (8)
прямым вычислением.
Как я уже отмечал, при изучении теории групп одна из трудностей
состоит в том, что некоторые группы малых размерностей, с которыми мы
сталкиваемся в первую очередь, имеют специальные свойства, которые не
обобщаются на старшие размерности. Особое свойство SO(II), о котором
544
Приложение В
мы только что говорили, обусловлено тем, что антисимметричный символ
eljk имеет три индекса, и поэтому Jlj можно записать в виде Jk = \e%ikJ%K
Для 50(4) антисимметричный символ имеет четыре индекса, так что
можно построить комбинации \{J1^ ± \£l^klJkl). Введем обозначения J± =
|(J23 ± J14), 4 = Ш31 ± j24) и4 = W12 ± J3*)- Прямое
вычисление дает, что [J+\J+i]=ieijkJ+k, [J-\JJ]=ieijkJk и [J^Jl] = 0.
Это доказывает известную теорему о том, что 50(4) локально изоморфна
50(3)0 50(3).
Я предполагаю, что вы знаете, что 50(3) локально изоморфна 5С/(2).
Если не знаете, то ниже я приведу краткое пояснение.
Эти два результата (следует поставить кое-где г) доказывают
утверждение, что группа Лоренца 50(3,1) локально изоморфна группе SU(2) <g>
5С/(2), о чем явным образом говорилось в главе II.3. Группу Лоренца
можно считать «аналитическим продолжением» группы вращений 50(4).
Совершенно неочевидным результатом теории групп является
следующий: SO(N) содержит представления, отличные от вектора и тензора.
В главе VII.7 описывается соответствующая конструкция для спинорных
представлений.
SU(N)
Теперь обратимся к специальной унитарной группе SU(N), состоящей
из матриц U размерностью N х TV, которые являются унитарными
С/+С/=1 (9)
и имеют единичный детерминант
detl7 = l. (10)
Сюжет о SU(N) более или менее совпадает с сюжетом SO(N) с
ключевым отличием в том, что тензоры унитарных групп могут иметь как
верхние, так и нижние индексы. Обозначим элемент г-ой строки и j-oro столбца
как C/j; преимущество такого обозначения станет очевидным позднее.
Определяющее, или фундаментальное, представление SU(N) состоит
из N объектов ^, j = l,...,iV, которые преобразуются под действием
элемента группы по закону:
V* - ¥>* = Щ<р*. (11)
Комплексно-сопряженное (11) имеет вид:
¥>•< - (C/J)V* = (tfW-
(12)
Краткий обзор теории групп
545
Определим объект, который мы обозначим как щ и который преобразуется
так же, как </?*г; получим:
<*->¥>; = (Щч>,- (is)
Обратите внимание, что мы не сказали, что <^ равно if*1; мы говорим лишь,
что (fi и </?*г преобразуются одинаково.
Как и раньше, у нас могут быть тензоры. Тензор (р%, например,
преобразуется подобно произведению (рг(р^(рк-
Vt - <Р$> = UfUttUW™. (14)
И снова подчеркну, что <рг£ не равен <^VJVfc- (В некоторых книгах (рг
называют ковариантным вектором, а щ — контравариантным вектором.
Тензор ч>\\\'" cm верхними индексами и п нижними индексами преобразуется
подобно произведению т ковариантных векторов и п контравариантных
векторов.)
Возможность комплексного сопряжения в SU(N) приводит к
появлению как верхних, так и нижних индексов. Обратите внимание, что
условие (9) можно записать в явном виде как (и^)^Щ = 5?, в результате чего
символ Кронекера в SU(N) имеет один верхний и один нижний индекс.
Важно, что при взятии следа мы приравниваем верхний индекс к
нижнему и суммируем по ним: например, мы можем рассмотреть Sjip^ = ipl?,
который, с учетом (9), преобразуется как
*>« -> UiUi(U^№ = tffofi?- (15)
Другими словами, <pV — след (р% — обозначает N объектов,
преобразующихся в линейную комбинацию друг друга, подобно срг. Следовательно, из
заданного тензора всегда можно вычесть его след.
Как и для SO(N), тензоры задают представления группы. Свойства
симметрии тензора относительно перестановки индексов не изменяются
при групповых преобразованиях.
Иначе говоря, для заданного тензора всегда можно считать его
имеющим определенную симметрию относительно перестановки его верхних
индексов и относительно перестановки его нижних индексов. В нашем
конкретном примере мы можем всегда выбрать ip% симметричным или
антисимметричным относительно перестановки г и j и имеющим нулевой след.
Таким образом, симметричный бесследовый тензор ц>г£ задает
представление размерностью \N2(N + 1) — N, а антисимметричный бесследовый
тензор (р% — представление размерностью ^N2(N — 1) — N.
546
Приложение В
Таким образом, неприводимые представления SU(N) являются
бесследовыми тензорами с определенными свойствами симметрии
относительно перестановки индексов. Например, для SU(5) чаще всего встречаются
представления срг, (рг^ (антисимметричные), </?2J (симметричное), <pj, <рг£
(антисимметричные относительно перестановки верхних индексов) с
размерностью 5, 10, 15, 24 и 45 соответственно. Убедитесь, что для SU(N)
размерность представлений, задаваемых перечисленными тензорами,
равна N, N(N - 1)/2, N(N +1)/2, N2 - 1 и ±N2(N -1)-N соответственно.
Задаваемое бесследовым тензором ^ представление называют
присоединенным представлением. По определению, оно преобразуется как
rf -» ip'? = и1(и^)™(р1п = Щ(р1п(и^)™. Таким образом, мы можем
рассматривать (p'j как матрицу, преобразующуюся как
<р^<р' = UipUl (16)
Обратите внимание, что если <р эрмитова, то она остается эрмитовой,
поэтому можно считать ip эрмитовой бесследовой матрицей. (Если ip
антиэрмитово, можно умножить его на г.) Таким образом, если задана эрмитова
бесследовая матрица X, то UXU^ также будет эрмитовой и бесследовой,
если U — элемент SU(N)).
Как и для SO(N), представления SU(N) имеют много названий. Мы
можем, например, обозначать представление, задаваемое тензором с т
верхними и п нижними индексами, как (т,п). Также можно обозначать
представления их размерностями, используя знак звездочки для того,
чтобы различать между собой представления преимущественно с нижними
индексами от представлений преимущественно с верхними индексами.
Например, другим обозначением для (1,0) служит N, а для (0,1) служит N*.
Квадратные скобки используются для того, чтобы указать на
антисимметричность индексов, а круглые скобки — чтобы указать на симметричность
индексов. Так, 10 в 5С/(5) соответствует записи [2,0] = [2] (обозначение
отсутствия нижних индексов 0 опускается). Аналогично 10* соответствует
записи [0,2] = [2]*.
Условие (10) можно переписать в виде
eili2^NU?U?...Ui» =1 (17)
или
е<1<я-*"0Х..,С# = 1. (18)
Итак, имеем два антисимметричных символа £iYi2...iN и e%1%2"'lNUl1, с
помощью которых можно поднимать или опускать индексы. Опять мы можем
Краткий обзор теории групп
547
немедленно обобщить выражение (17):
OiH2...%N Uj^ Uj2 . . . UjN — C-JU2...JN •
Умножим полученное тождество на (^)рХ и просуммируем по jn-
Получим:
р. . ТР^ТР2 TpN-i —р. . . (TTUJn
Видим, что, при повторении этих действий, U исчезает из левой части
уравнения и появляется в правой части как W. Мы можем сыграть в такую же
игру и с (18).
Чтобы не запутаться в целом море индексов, я покажу вам, как
поднимать и опускать индексы на конкретном примере. Рассмотрим тензор ^
в 5С/(4). Можно ожидать, что тензор (pkpq = (p^Zijpq будет
преобразовываться как тензор с тремя нижними индексами. Действительно,
fkPq = фц„ - eijpqU}UUtf)W™ = elmst{U%{U^q{U^)l^ =
Как и в SO(N), можно рассмотреть генераторы SU(N), если
учитывать тот факт, что унитарная матрица записывается в виде U = егН,
где Н — эрмитова и бесследова согласно условиям (9) и (10). Существует
(N2 — 1) линейно независимых эрмитовых бесследовых матриц Та (а =
= 1,2,..., ДГ2—1) размерностью NxN. Любую эрмитову бесследовую
матрицу N х N можно представить в виде линейной комбинации матриц Та,
поэтому мы можем записать U = егв т*, где 9а — действительные числа
и по индексу а проведено суммирование.
Поскольку коммутатор [Та, Тъ] антиэрмитов и имеет нулевой след, его
можно представить в виде линейной комбинации матриц Та:
[Та,Тъ] =ifabcTc (19)
(по индексу с проведено суммирование). Коммутационные
соотношения (19) определяют алгебру Ли SU(N), a fabc — структурные константы.
Для SU(2) структурные константы fabc даются просто антисимметричным
символом еаЪс.
Иногда у студентов нет ясного понимания, как действуют генераторы.
Рассмотрим инфинитезимальное преобразование U ~ 1 + iQaTa. На
фундаментальном представлении имеем ц? —* U* ~ фг + гва(Та)г,(р{. Таким
образом, а-ый генератор, действующий на фундаментальное представление,
548
Приложение В
дает Tatp. Теперь рассмотрим присоединенное представление (16)
ip-+ip' ~ {1+гваТа)(р(1+гваТаУ ~ ip+ieaTaip-ipi9aTa = <р+г0а[Га,<р].
(20)
Другими словами, а-ый генератор, действующий на присоединенное
представление, дает [Та, ф\. Некоторых студентов, возможно, смущает тот факт,
что параметр ср используется в качестве одного и того же символа для
обозначения разных объектов.
Поскольку присоединенное представление у? эрмитово и имеет
нулевой след, его также можно записать в виде линейной комбинации
генераторов, а именно ф = фъТъ. С учетом (19) можно переписать (20) в виде
<рс —> <pfc ~ (рс — fabc0aipb. Для SU(2), например, три объекта ipa
преобразуются как 3-векторы. (Не стоит путать обозначения tpa с <рг: в SU(2)
индекс а пробегает значения 1,2,3, тогда как г = 1, 2.)
Последнее замечание, по существу, доказывает, что SU(2) локально
изоморфна группе 50(3): любую эрмитову 2 х 2-матрицу с нулевым
следом можно представить как X = х • <?, где а — матрицы Паули. Наложим
условие trX2 = 2, эквивалентное условию х2 = 1, из которого видно, что
х — единичный вектор. Для любого элемента U группы SU(2)
справедливо следующее: Xf = UXU^ является эрмитовым и бесследовым, так что
можно записать X' = х' • а. Поскольку tr X'2 = tr X2, единичный вектор х
поворачивается и становится единичным вектором х!. Таким образом,
любому заданному U можно поставить в соответствие вращение. Элементы U
и — U связаны с одним и тем же поворотом, поэтому получаем двойное
накрытие 50(3) группой SU{2).
Еще раз, в первую очередь студенты знакомятся с двумя специальными
унитарными группами SU{2) и 5f/(3), имеющими особые свойства,
которые нельзя обобщить на SU(N). Точно так же некоторые особые свойства
группы 50(3) не обобщаются на SO(N).
Для SU(2) достаточно анализировать тензоры лишь с верхними
индексами (симметризованными), поскольку антисимметричный символ е1^
и Sij имеет два индекса. Можно поднять все нижние индексы любого
тензора неоднократным сворачиванием с е1^. После этого сверткой с е^ можно
удалить такие пары индексов, по которым тензор антисимметричен.
В частности, справедливо выражение щ = Eijipi, которое в терминах
матриц Паули записывается как
0-2<>2 = ~(Та (21)
и, следовательно,
<Т2(*а*)*<Г2 = е{°*. (22)
Краткий обзор теории групп
549
Для случая SU(2) выражение (11) сводится к виду:
Комплексно сопрягая, получаем
и, следовательно,
ia2<p* -> eieB(i(724>*).
Мы выучили, что i(J2<P* преобразуется подобно ip. Вспомним, что щ
преобразуется подобно <р*\ Значит, eljipj преобразуется подобно <р*. На
математическом языке это означает, что SU{2) имеет лишь
вещественные и псевдовещественные представления и не имеет комплексных
представлений. Псевдовещественное представление эквивалентно своей ком-
плесно-сопряженному при преобразовании подобия. Вспомним, что
уравнение (21) встречалось нам в главе ИЛ при обсуждении зарядового
сопряжения и в главе VI1.2 при рассмотрении хиггсовского дублета.
Для SU(3) достаточно рассматривать лишь тензоры с симметризован-
ными верхними и симметризованными нижними индексами. Так,
представления S?7(3) однозначно задаются двумя целыми числами (га, п),
обозначающими количество верхних и нижних индексов соответственно. Причиной
этому служит наличие трех индексов у антисимметричного символа eijk
и Eijk. Мы всегда можем поменять местами пару нижних индексов,
относительно перестановки которых тензор антисимметричен, с одним верхним
индексом. То же самое для пары верхних индексов.
Легко видеть, что эти особые свойства SU(2) и SU(3) не обобщаются
на другие группы.
Перемножение представлений
Из курса квантовой механики вы знаете, как складывать угловые
моменты. В (5) мы уже пользовались этим понятием, которое для 50(3)
сводится к виду 3®3 = 5ф1фЗ. В этом случае иногда говорят, что комбинация
двух состояний с угловым моментом L = 1 дает L = О,1,2. У студентов
часто нет понимания этой процедуры, также известной как «сложение»
угловых моментов.
Пусть даны два тензора <р и rj группы SU(N)9 у первого из которых га
верхних индексов и п нижних индексов, а у второго — га' верхних и п'
нижних индексов. Рассмотрим тензор Т с (га И-га') верхними и (п + п')
нижними индексами, который преобразуется подобно произведению <рг]. Можно
550
Приложение В
редуцировать Т с помощью операций, упомянутых выше. Эта операция
перемножения двух представлений считается одной из важнейших в физике.
А в квантовой теории поля, например, умножение полей применяется для
построения лагранжиана.
В качестве примера умножим 5* на 10 из SU(5). Чтобы упростить
Т%* = ipkrfj, выделим след ipkV*'* (преобразующийся подобно 5). Больше
ничего нельзя сделать. Получим:
5* 010 = 5 045. (23)
В качестве второго примера рассмотрим 10 010, т. е. ip^rjkl. Легче записать
rjkl в виде тензора с тремя нижними индексами SmnhkiVkl- Тогда
произведение 10 010 будет иметь два верхних и три нижних индекса; запишем его
в виде T%nh. Выделим из него след Т^^, эквивалентный представлению 5*,
и бесследовую часть Т^ -, эквивалентную представлению 45* (см. выше).
Получим:
10(8)10 = 5*0 45*0 50*. (24)
В качестве упражнения найдите разложение для
5 (8) 5 = 10 0 15 (25)
и
5 0 5* = 1 0 24. (26)
Убедитесь, что 24 есть присоединенное представление.
В физике приходится часто прибегать к умножению тензора на себя.
В этом случае важна статистика. Например, 5£/(5)-модель великого
объединения содержит скалярное поле с^г, преобразующееся подобно 5. Из-за
статистики Бозе произведение ^рг^Р содержит только 15.
Ограничение на подгруппу
Прежде чем рассказать о следующем понятии теории групп, приведу
пример из физики. Группа SU(3) Гелл-Манна и Неемана преобразует
кварки и, d и s в линейную комбинацию друг друга. В качестве подгруппы
она содержит изоспин St/(2) Гейзенберга, который преобразует и и d, но
не меняет s. Другими словами, если ограничиться подгруппой SU(2), то
неприводимое представление 3 группы 5f/(3) раскладывается как
3->201.
(27)
Краткий обзор теории групп
551
Возьмем неприводимое представление размерностью d,
принадлежащее некоторой группе G. Если ограничиться рассмотрением подгруппы Н,
то в общем случае множество из d объектов можно будет разложить на п
подмножеств из di, c?2, • • -dn объектов. В результате под действием Н
объекты из одного и того же подмножества будут преобразовываться друг
в друга. В этом есть очевидный смысл, поскольку в группе Н содержится
меньше преобразований, чем в группе G.
Разложение фундаментального представления определяет, как
подгруппа Н вложена в группу G. Поскольку все представления можно
представить в виде произведений фундаментального представления, то, зная,
как раскладывается фундаментальное представление, мы сможем
построить разложение всех представлений. Например, в SU(3)
3(8)3* =80 1, (28)
а в 517(2)
(2 © 1) ® (2 0 1) = (3 0 1) 0 2 0 2 0 1. (29)
Если сравнить (28) и (29), то придем к выводу, что
8-^30101020 2. (30)
В качестве другого способа можно просто посмотреть на
соответствующие тензоры. Рассмотрим (рг из 517(3), где индекс г принимает
значения 1, 2, 3. Пусть индекс /х принимает значения 1, 2. Очевидно, что (рг =
= {</?м,<р3} соответствует выражению (27), записанному в явной форме.
Тогда (plj = {^,^3'^д'^з}' здесь черта сверху <р£ обозначает отсутствие
следа. Это в точности соответствует (30).
В действительности группа SU(S) содержит большую подгруппу
5С/(2) ® £/(1), где £7(1) генерируется эрмитовой бесследовой матрицей
/-1 0 0\
0-10.
\ 0 0 2 /
Тогда (27) можно переписать в виде 3 —» (2, —1) 0 (1,2). Здесь, например,
запись (2, —1) обозначает 2 из SU(2) с «зарядом» —1 из С/(1).
В тексте мы будем раскладывать разные представления 5С/(5) и 50(10).
Все, что мы делаем там, является усложненной версией того, чем мы
занимались здесь.
Приложение С
Правила Фейнмана
Здесь собраны правила Фейнмана из разных глав.
Нарисуем все возможные диаграммы. Припишем каждой линии
импульс. Где уместно, обозначим также каждую линию входящим или
исходящим лоренцевым индексом (если линия описывает векторное поле) и
входящим или исходящим внутренним индексом (если линия описывает поле,
преобразующееся относительно внутренней симметрии) и т. д. В каждой
вершине импульс сохраняется. По импульсам, ассоциированным с
внутренними линиями, необходимо провести интегрирование с мерой f[d4p/'(27г)4].
Множитель (—1) сопоставляется с каждой замкнутой фермионной петлей.
Внешние линии ампутируются. Для входящей фермионной линии
записываем и(р, s), а для выходящей фермионной линии записываем й(р\ s').
Если есть преобразования симметрии, относительно которых диаграмма
инвариантна, необходимо учесть неприятные факторы симметрии. Не особо
доверяя рецептам из разных учебников, я сам вычислил эти факторы
симметрии, что и вам советую.
Я уже неоднократно говорил, что нюансы вычислительного процесса —
не главное в этой книге, поэтому имейте в виду, что собранные в этом
приложении правила Фейнмана, очевидно, не являются исчерпывающими.
Взаимодействие скалярного поля с дираковским полем
С = ф(1Гд» - тп)ф + |[(ЭД2 - //V] - Ау>4 + /(рффш (1)
Скалярный пропагатор:
Правила Фейнмана
553
Скалярная вершина:
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
*
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
гЛ.
Фермионный пропагатор:
г ={_ ft + m
т + ге рг — т2, -\-ге
Вершина скаляр-фермион:
if-
Начальный внешний фермион:
u(p,s).
Конечный внешний фермион:
u(p,s).
Начальный внешний антифермион:
v(p,s).
Конечный внешний антифермион:
v(p,s).
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Взаимодействие векторного поля с дираковским полем
С = $№(8» - ieA») - т)ф \ b\lvF^ - \tf A»A». (10)
554
Приложение С
Пропагатор векторного бозона:
yJ\J\J\JЛГUЛJ>\/\Гd\S\Г<P
к2-II2
Фотонный пропагатор (с произвольным параметром калибровки £):
Вершина векторный бозон-фермион:
г
к2
/1 с^куку
ге^
Начальный внешний векторный бозон:
eM(fc).
Конечный внешний векторный бозон:
ем(к)*.
Неабелева калибровочная теория
Пропагатор калибровочного бозона:
_г_
к2
(1-0^
-9ци
Sab-
Духовый пропагатор:
Ь5аь-
Кубическое взаимодействие калибровочных бозонов:
^VX
+ gv\{k2 - к3)ц + д\ц{к3 - ki)v].
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Правила Фейнмана
555
Взаимодействие четвертой степени калибровочных бозонов:
-i92[fabcfcde{9»x9vP-9»P9vx)]+
+[fadefcbe(9»x9vP - g^gPx)+ (19)
+ {facefbde(9^9xP-9„p9„x).
d,p
Взаимодействие калибровочного бозона с духовым полем:
с,/*
gfabcp». (20)
, а
Для вашего удобства приведу ниже формулы для вычисления сечений
рассеяния и скоростей распада.
Если задана фейнмановская амплитуда М для процесса р\ +р2 —> к\ +
+ &2 + ... + кп, дифференциальное сечение определяется формулой
d(j = 1 s <Pki d3kn
\vi ~ v2\£(pi)£(P2) (2тг)Щк1) ''' (2тг)3£(кп)
n
(27г)4<^(Р1+р2-5>)|Л1|2. (21)
2=1
Здесь щ и ^2 обозначают скорости налетающих частиц. Энергетический
фактор £(р) = 2у/р* 4- га2 для бозонов и £(р) = 2у/р* + m2/m для фер-
мионов появляется из-за разной нормировки операторов рождения и
уничтожения частиц в главах 1.8 и II.2. Если существуют щ тождественных
частиц типа г в конечном состоянии, то вводится статистический фактор
5 = Пг[1/п*!], который учитывает их неразличимость.
Дифференциальная скорость распада частицы массой М в своей
системе покоя равна:
dT = JL-S—^ ш ш л _J^n (27г)4^(4)(р _ у ъ)\м\2. (22)
2М (2тг)3£(к1) (2тг)3£(кпу } V Ы
Приложение D
Разные тождества и фейнмановские
интегралы
Гамма-матрицы
Тождества для вычисления следа произведения четного числа гамма-
матриц:
Ы7/х7" = *rfv, (1)
tr у y^N* = Mv^V^ ~ rf^rf" + rf°rfx). (2)
Зададим абсолютно антисимметричный символ е^Ха как е0123 = +1
(обратите внимание, что £oi23 = —1)- Тогда с учетом определения 75 =
*7°717273 получим:
tr 7 V7"7 V = -4ге""Аа. (3)
Из основного тождества Клиффорда следуют следующие тождества:
7" PJ» = -2 р. (4)
7" Р Аъ = 4p-q- (5)
7м Р А Ы = -2 / Л А (6)
Попробуйте самостоятельно вывести эти тождества. Например, чтобы
получить (4), перенесите 7м в правую часть выражения 7м /*7м = (2рм—
Вычисление фейнмановских диаграмм
За много лет для вычисления интегралов, отвечающих фейнмановским
диаграммам, было найдено некоторое число приемов и соотношений.
Разные тождества и фейнмановские интегралы 557
Вычислим
dko
[ d4k 1 f d3k f
J (2тг)4 (k2-m2 + ie)3 J (2тг)3 J
(2тг)4 (A:2 - m2 + is)3 J (2тг)3 J 2тг [fcg _ (p + m2} + fe]3"
Сосредоточимся на интеграле по ко. Если отметить на комплексной ко-илос-
кости полюсы, то увидим, что контур интегрирования можно повернуть
против часовой стрелки и получить выражение (подынтегральное
выражение обозначено через f(ko)):
/+оо /»+гоо /*+оо
dkof(ko) = / dkof(k0) = i / dk4f(ik4), (7)
где на последнем шаге мы определили ко = \к± (что соответствует виков-
скому повороту, упоминаемому в главах 1.2 и V.2). Следовательно,
/ = '(~1} У (27г)4(4 + ш2)3'
где d4Ek — элемент интегрирования в евклидовом 4-мерном пространстве,
а к% = к2 + к2 — квадрат евклидова 4-вектора. Бесконечно малую
величину е можно положить равной нулю. Мы можем сразу проинтегрировать
по трем углам, поскольку подынтегральная функция от них не зависит. Вы
могли бы поискать в книгах угловой элемент в евклидовом пространстве,
но лучше воспользуемся одним изящным приемом.
Вычислим более общий d-мерный интеграл Н = J ddkF(k2), в
котором к2 = к2 + к2 + ... + /с^, в F — любая функция, где интеграл
сходится. (Опустим подстрочный индекс Е; из контекста будет понятно, что мы
находимся в евклидовом пространстве.) Мы можем, конечно, в конце
положить d равным 4. Выражение для произвольного d пригодится нам при
обсуждении размерной регуляризации (глава III. 1).
Допустим, мы проинтегрировали по (d— 1) угловым переменным и
получили Н = C(d) /0°° dkkd~1F(k2). Чтобы найти C(d), вычислим инте-
1 2
грал J = f ddke~z двумя разными способами. Из (1.2.8) получаем J =
= (\/27r)d. Применяя другой способ, приходим к выражению:
J=C(d) dkkd~xe 2 =C(d)2 2 / dxx2 le-x=C(d)2* Г(§),
Jo ./о *
558
Приложение D
в котором мы поменяли переменные интегрирования и распознали
интегральное представление гамма-фнукции T{z + 1) = /0 dxxze~x.
(Вспомним, что в результате интегрирования по частям мы получаем T(z + 1) =
= zF(z), так что для целого п имеем Г(п) = (п — 1)!) Следовательно,
C(d) = 27rd/2/T{d/2) и
/AF<*!>=fwlfd"d-,F<*2>-
(8)
Для d = 1 уравнение (8) будет иметь решение Г(^) = 7г2. Положив
F(k2) = 5(к — 1), находим, что площадь (d— 1)-мерной сферы равна C(d).
Это соответствует результатам, полученным вами в школе для окружности
и сферы: С(2) = 2тг и С(3) = 4тг.
Как начинающим теоретикам, вам нужен ответ для d = 4:
fd4kF(k2) = тг2 Г dk2k2F{k:
)•
В конечном итоге мы имеем:
/•СО
_ • го
16^ Jo
dk'k
21.2
(fc2 + ш2)3 16тг2 2m2
(9)
(10)
Мы вывели основную формулу для вычисления фейнмановских
интегралов:
d4k 1 - г
/
(2тт4) (А;2 - т2 + ге)3 32тг2т2'
(И)
(Член is напоминает нам, что мы вернулись в пространство Минковского.)
В качестве упражнения повторите все шаги и получите
/
<Гк
1
(2тг)4 (fc2 - m2 + ге)2 16тт2
log
L2)
1 +
(12)
Здесь требуется параметр обрезания Л2 как верхний предел интегрирования
по к2 в (10). Чтобы проверить справедливость полученного выражения,
продифференцируйте (12) по га2 чтобы получить (11). В качестве другого
упражнения покажите, что
/
d4k
(2тг)4 (к2 -т2 + ге)2 16тг2
Л2 - 2m2 log
ш
+ тГ + ..
(13)
Разные тождества и фейнмановские интегралы 559
В выражениях (12) и (13) многоточие (...) обозначает члены, которые
обращаются в нуль при Л2 ^> га2. В некоторых книгах (—1) в (12) опускается
за счет включения его в Л2. Но тогда следует соответствующим образом
изменить (13), если этот член появляется в том же вычислении.
Полезное тождество для обращения со знаменателями:
#1X2
шшшХп = (га - 1)! / / ... / da1da2 ...dan
Sll-Yaj) 1 -. (14)
I j I (Qixi + Q2^2 + • • • + ос + nxn)n
Для га = 2
_1
ХУ Jo ^[ox + (l-a)y]2'
а для га = 3:
г>1 /*1 /-1
k = j0 ^-- ■ <* -^» (15)
Р=2 f J J dad0diS(a + /3 + 7-1)-
хУг Jo Jo Jo V '(<** +ft/+ 7*)3
! J Лреуг. dad/3[z + a(x-z) + /3(y-2)]3'
(16)
где областью интегрирования является треугольник на плоскости а — /?,
ограниченной условиями 0^/3^1 — а и 0 ^ a < 1.
Приложение Е
Пунктирные и непунктирные индексы.
Майорановский спинор
В главе И.З мы ввели систему пунктирных и непунктирных индексов
с целью дальнейшего ее использования при обсуждении суперсимметрии
в главе VIII.4. В сущности, появление пунктирных и непунктирных
индексов было обусловлено локальным изоморфизмом алгебры Лоренца 50(3,1)
и SU(2) <g> SU{2). Отсутствие или наличие пунктира позволяет нам знать,
о какой из двух SU{2) идет речь.
Далее я буду широко пользоваться результатами и упражнениями
(выполните их!) из главы И.З, но не буду еще раз выписывать формулы оттуда.
Зная, что
+- (i и) о
действует на
•-G0-
видим, что <тм и <тм несут следующие индексы:
(аПаа И (*")**. (2)
Это согласуется с известным вам фактом, что лоренцев вектор
преобразуется как (^, |) и потому охватывает две группы SU(2). Матрицы а^ и а11
смешивают пунктирные и непунктирные индексы.
Проверим, согласованы ли свойства дираковского спинора Ф
относительно лоренц-преобразований с выводами, полученными в главе П.1. Из
этой главы мы знаем, что Ф —> е~<*/4)а;'*,/Е'1,/Ф, где Е^ = (г/2)[7д,7*1-
(Мы воспользовались иным обозначением, чтобы затем использовать
символ а^ для обозначения другой величины.) С учетом (1) получаем
Пунктирные и непунктирные индексы. Майорановский спинор 561
где а*" = \{a^av-avG^) и а»" = \{а^<rv-av'a»). Из условия (2) следует,
что эти две матрицы несут следующие индексы:
(аПа0 и (OV (3)
Это значит, что антисимметричный тензор (подобный электромагнитному
полю F^v) преобразуется как (1,0) + (0,1). Следовательно, при инфините-
зимальном преобразовании Лоренца имеем
фа -> (I + ±0V<7Ha% (4)
И
xd-(/ + f^OV*. (5)
Проверьте справедливость последних выражений. Они соответствуют
выводам из главы П.З, в частности, в том, что бусты противоположным
образом действуют на (|, 0) и (0, \).
До настоящего момента пунктирные индексы у спинорных полей фа
и ха находились сверху, а непунктирные индексы — снизу. Что будет, если
поменять их местами? Зарядовое сопряжение.
Из тавы_ II. 1 известно, что зарядово-сопряженное поле определяется
как Фс = СФТ [символ Г обозначает транспонирование, символ Ф
обозначает Ф*7°, а С~17/ХС' = -(7М)Т] В базисе Вейля можно выбрать С =
— С7°72- Из условия (Фс)с = Ф следует, что \С\ = 1. Зададим £ = — г.
В явном виде Фс записывается как
/ф' = га2Г\
\ -га2ф* J '
Теперь введем новое обозначение, преимущества которого станут ясны
чуть позже. Для данных фа и \а определим
Фа = Ы>аГ И Ха = (ГУ- (6)
Не странно ли, что у комплексно-сопряженного объекта есть и точка, и
черточка?
Мы поднимаем и опускаем непунктирные индексы следующим
образом: *фа = ЕарфР nip13 = е^^, это означает, что еаре01 = 5Q7. Тогда если
выбрать
£<*0= [ _l Q ) = (i<72)a0,
562
Приложение Е
то
^=(; -о1)=<-**>
Следует помнить, что нам пришлось определить ей и е1г имеющими
противоположные знаки.
Все, что мы сейчас делаем, имеет непосредственное отношение к
одному особому свойству матриц Паули (см. приложение В), а именно:
(га2)а*(-го-2) = -<т».
Аналогичным образом переставляем пунктирные индексы:
$а=е&р$> и $> = е&фа.
С учетом (6) видим, что матрица е^ численно совпадает с матрицей еар9
а матрица е^ численно совпадает с матрицей е^1.
Отсюда становится очевидным преимущество вновь введенных
обозначений: мы можем теперь записать
(7)
С учетом того что
-GO-
(8)
приходим к заключению, согласно которому фа и \а преобразуются
одинаково и (то же самое для ха и^а).
Мы подошли к важному понятию майорановского спинора.
Блестящий физик Этторе Майорана таинственным образом исчез на взлете своей
карьеры. Ферми считал его «выдающемся гигантом без толики здравого
смысла»1.
Если для данного дираковского спинора Ф имеет место условие Ф =
= Фс, то говорят, что Ф — майорановский спинор. Сравнивая (8) и (7),
видим, что майорановский спинор равен
—($)■
(9)
Очевидное, но мнемонически полезное замечание: для данного
вейлевского спинора ^a можно построить майорановский спинор, а если даны
1 М.Гелл-Манн, в частной беседе. Кстати, имя Этторе соответствует английскому имени
Гектор.
Пунктирные и непунктирные индексы. Майорановский спинор 563
два спинора Вейля, то можно построить дираковский спинор. «Один Вейль
равняется одному Майоране, а два Вейля равняются одному Дираку».
Кстати, другой способ убедиться в том, что комплексное сопряжение
переводит непунктирный индекс в пунктирный и наоборот, состоит в том
(см. главу II.3), что комплексное сопряжение меняет местами J + гК и J —
— гК и, следовательно, две группы SU(2).
Система обозначений с пунктиром аналогична употреблению ковари-
антных и контравариантных индексов в общей и специальной теории
относительности. Верхний индекс всегда сворачивается с нижним. Здесь
появляется дополнительное правило, по которому верхний непунктирный
индекс можно сворачивать исключительно с нижним непунктирным
индексом, но никак не с пунктирным нижним индексом (поскольку они
принадлежат разным группам). Легко проверить эти правила. Например, из
преобразования (4) следует, что
„а_^° =£°0V> = £<*/з(е|-)Л = £«e{eh°h-r£W = (е-Ь</")%7Л
(10)
где мы еще раз использовали, что (—i(J2)cri(i(J2) = —erf и, следовательно,
г]афа в самом деле инвариантно (поскольку Г7а^а—> rj(e 2^а )т(е'^и;ст)'ф =
= Г}ф).
В специальной и общей теории относительности мы опускаем и
поднимаем индексы с помощью симметричной метрики. Здесь мы поднимаем
и опускаем индексы с помощью антисимметричного ^-символа, в
результате чего то тут, то там появляется знак минус. Например, г}а,фа = e^rjpipa =
= ^0{—^a)^a = —Щ^- Сравните со скалярным произведением двух
векторов v^w^ = v^w*1. Прежде чем вы решите писать без индексов r]ip, мы
должны раз и навсегда решить, что эта запись означает. При стандартном
определении пишем
vi> = va^«, (и)
а не rjpipP. Это правило иногда объясняют следующими словами: при
сворачивании непунктирных индексов мы всегда движемся с северо-запада на
юго-восток и никогда с юго-запада на северо-восток. Из главы И.5 известно,
что спинорные поля следует рассматривать как антикоммутирующие грас-
смановы переменные в интеграле по траекториям, так что —щ^ = ip^rjp.
Поэтому в конце концов получаем замечательное правило rjip = грг].
Аналогичным образом мы определяем
х£=Хл?=&- (12)
564
Приложение Е
Сворачивая пунктирные индексы, мы всегда движемся с юго-запада на
северо-восток.
Так же как в общей и специальной теории относительности, где
употребление верхних и нижних индексов очень полезно для того, чтобы
понять, имеет ли смысл записываемое нами выражение, так и в нашем
случае: пунктирные и непунктирные верхние и нижние индексы позволяют
нам сразу сказать, что выражения т)ф и rja^ip имеют смысл, а т]а^ф —
не имеет. [Посмотрите на выражения (2) и (3) и фигурирующие в них
индексы.] Конечно, такие обозначения позволяют удобным образом записать
следующий теоретико-групповой факт: (^,0) <g> (|,0) = (0,0) 0 (1,0), т.е.
из двух вейлевских спиноров можно получить скаляр и тензор, но никак не
вектор.
Как всегда, обозначения должны следовать за физикой и
вычислительными удобствами (которые тесно связаны с изящностью). Чтобы лучше
усвоить 2-компонснтную систему обозначений с пунктирными и
непунктирными индексами, вам следует вывести тождества из упражнений. Они
пригодятся вам при работе с суперсимметричными теориями поля.
Упражнения
ЕЛ. Покажите, что г/а^ф = —фа^г) и х^Ф — —фег^х-
Е.2. Покажите, что (0</?)(хО — "-^(^^Хх^д^)-
Е.З. Покажите, что 9а6р = \{вв)8^. [Указание: вычислите обе части
тождества для всех возможных случаев.]
Решения некоторых упражнений
Часть I
1.3.1. Для х° = 0 из текста следует
D(x) = -г f
CL к —гк-х
(27r)Wfc2 + m2
r+i
j_ f dkk2 f d{cose)e-ikrcose
2irY Jo Jfr
2(2тг)2 Jo Vfc2 + m2
1 f dkk ,ikr c-ikr\_ 1 /"
2(2тг)2гУо v/fc2+TO2 втг^У-оо v/pT^2
= _i_e. Л00
Лкт
dk eikr
Подынтегральная функция в / = j_™{dk/vk2+ т2)егкг имеет
разрез вдоль мнимой оси, идущий от im и до гоо (и другой
разрез, который нас не интересует). Проведите контур вокруг разреза
и замените переменную на к = г (га + у):
/»оо
7 = 2/ dye-(v+m)r
Jo
-ч;
у/(у + га)2 - га2
due~
оо
-mru 1
/»оо
2 / d£e_mrcosht
В этом месте вы можете посмотреть в таблицу интегралов и найти,
что это одна из функций Бесселя, асимптотику которой при
больших г можно найти там же. Однако более правильно продолжить
566
Решения некоторых упражнений
и воспользоваться методом наискорейшего спуска. Получим:
/*оо
£>(ж) = —!Ш- / dt(cosht)e
47ГГ Jo
/»оо
/ d(smht)e
Jo
oo
. mr cosh t
/О
/»оо
-**£- / d(sinhOe-mrcosht
47ГГ
# ОО . /»СО .„ 1 9ч
гт / . mrV^TT „ гт / , -mr(i+55 ) _
47Г2Г
/•ОО /»СО
/ dse-™^1^-^ dse
Jo 47Гг Jo
_ гт / 7г ч9 -mr
4тг24(тгГ
воспользовавшись гауссовым интегралом из приложения к главе 1.2.
1.3.2. Вычислим с помощью контурного интеграла как в тексте:
»*-\&
(2тг)2 к2 - га2 + ге
и получим
£>(х) = -г f d* [e-i{uJkt-kx)e(x°) + е^кЬ-кх)в(-х0)}.
Для х° = 0 мы узнаем в интеграле
Г
D(x) = ~г
dk —ikx
(2тг)2\/£2 + га2
функцию Бесселя из упражнения 1.3.1:
DW = ^Ko(m\x\)^1^]j2mlx]
с ожидаемым экспоненциальным затуханием при больших х.
Решения некоторых упражнений
567
1.7.2. Разложим в ряд и оставим лишь интересующие нас члены:
б!
i5J(wi)
j Jd4xd4yJ(x)D(x-y)J(y)
п4
i5J(w2)
Далее просто дифференцируйте.
1.7.4. Запишем кг = (\/fc2 + m2,0,0, к) и к2 = (у/к2 + га2,0,0, -к). Тогда
£" = 2у/к2 + т2 > 2т. Физически, пара мезонов может
образовываться при условии .Е1 ^ 2га.
1.8.2. Ясно, что в (к'\Н\к) дадут вклад только члены аа^ и а*а, в #.
Извлеките эти два типа членов из:
j dDxy(xf
= [d°x[ [-£
dDq
D„l
duq'
x {а{фа\^)е-^ш^-^г)е1(ш^'1-^-г) +э.с]
= /§[«(9>t(^)+«t(9)o(9)]-
И поэтому для наших целей # будет эффективно равен
/ dDq-^-[a(q)a^(q) + а*(д)а(д)], что в свою очередь с учетом
коммутационного соотношения равно f dDq-^-[5^D\6) + 2а) (q)a(qj\.
Первый член отвечает вакууму, вычисленному в тексте. Обратите
внимание, что определение дельта-функции (2тг)°5^(к) = f dDxelk£
означает, что 5(D)(0) = [l/(2ir)D] f dDx = V/(2<k)d. Таким
образом, вычитая энергию вакуума, получаем, что Н эффективно равен
/ dDqujqo)(q)a(q). Что просто означает, что энергия моды с
импульсом нравна ujq. В частности, дважды применив коммутационное
соотношение, мы получим {к'\Н\к) = 5^D\k'—k)uJk- Энергия частицы
с импульсом к равна ujk (по отношению к вакууму).
568
Решения некоторых упражнений
1.8.4. Q — JdDxJo(x) = f dDx((p4do(p - г(9о^)^). Сосредоточимся на
первом члене:
/л//
dDk' dDk
x [a*(k')eiiuJk't-n'-S) +6(fc')e_i(u'fc't_e'S)]x
x a)fe[o(fc)e-i<a,fcfc-^£) - bt(Jeei^t-i-g))].
Обратите внимание, что ido сносит вниз множитель ujk и генерирует
относительный знак между а и 6*. Как и в упражнении 1.8.2,
интеграл по х порождает дельта-функцию, которая сводит два интеграла
по А; в один:
>
]dDk±{a\k)a(k)-b(k)bXk)-J
Второй член —г(до(р^)(р в Jo(x) является просто эрмитово-сопря-
женным первому члену (рЧдо<р. Следовательно, прибавляя
эрмитово-сопряженное выражение к тому, что мы только что получили,
мы находим:
Q = J dDk[a\k)a{k) - Ь(к)Ъ\к)\ =
= fdDk[a^k)a{k)-b(k)tf{k)}+6{D\6) fdDk.
Бесконечная аддитивная константа, которую следует вычесть, очень
похожа на энергию вакуума. В некоторых учебниках операция
нормального упорядочения, обозначаемая парой двоеточий,
определяется следующим образом: если вы видите : (...) :, то должны
переставить все операторы рождения в выражении (...) левее
операторов уничтожения. Например, : b(k)tf(k) := tf(k)b(k). Тогда ток
определяется как JM(x) =: (ipHd^ip — г{д^)ф) :. Поскольку
нормально упорядоченный ток отличается от наивно определенного
тока на с-число, важнейшее свойство тока, а именно сохранение тока
<9М JM = 0, не нарушается. Это, конечно, просто формальный способ
Решения некоторых упражнений
569
сказать, что вычитается заряд вакуумного состояния. В любом
случае из результата Q = f dDк[аЦк)а(к) —ЬЦк)Ь(к)] следует, что а и 6
уничтожают положительные и отрицательные заряды
соответственно.
1.8.5.
(0\Т[А(х)А(0)]\0) = 0(x°)(0\eiPxA(0)e-iPxA(0)\))+
+0(-x°)(0\A(0)eiPxA(0)e-iPx\0)
(0\eiPxA(0)e~iPxA(0)\)) = ^,(0\А(0)\п)(п\е-*РхА(0)\0)
п
= J2e-iP"x\A0n\2,
где А0п = (0|Л(0)|п). Пользуясь представлением функции в и
интегрируя, получаем
[ <Pxei(>x(0\T[A(x)A(0)}\0) =
= -г(2тг)3 J2 IА)„|2 \po_\_- §{3)^- Р-)+
К + Я°-ге
и, следовательно,
1т|г /' d4xeiqx (0\Т[А(х)А(0)}\0)\ =
= 7г(2тг)3 J2 \Аоп\2[*{4Чя ~ Рп) + 6i4)(q + Р„)].
Если подставить в последнее выражение 1 = J2n \n)(n\ и
проинтегрировать, то получим в точности \ f d4xetqx (0\[A(x), A(0)]\0).
Обратите внимание, что при q° > О член, содержащий S^(q + Рп),
выпадает.
570
Решения некоторых упражнений
1.9.2. Имеем (с суммированием по повторяющимся индексам):
Raa'Rbb'iDa'b'(x) = / D<pRaaapa'(x)Rbb><Pb'(0)e'lS'.
Можно заменить переменную интегрирования ср на R(p. Поскольку
действие 5 и мера Dip инвариантны относительно группы вращений
SO(N), это равно / Dip(pa(x)(pb(0)elS = iDab(x). Следовательно,
получаем Dab = Raa>RwDa'bf- Свойства группы вращений
таковы, что единственное решение Dab этого уравнения
пропорционально 8аЪ.
1.9.3. Относительно группы 50(3) поле ip преобразуется как
симметричный бесследовый тензор (см. приложение В), т. е. имеет место
(выписывая все индексы) преобразование (раь —> Raa'RwVa'b' =
= Raa'Va'b'R'b'b = (R(pRT)ab- Как предлагается в указании,
запишем <р в виде симметричной матрицы 3 на 3 с нулевым следом и
получим <р —> RipRT. Отсюда инвариантными будут (до четвертого
порядка по (р): tr(9„(/?)2, tr</?2, tup4 и (try?2)2. Вы можете доказать,
что trip4 и (try?2)2 отвечают одному и тому же инварианту, если
привести <р к диагональному виду:
/ а О 0 \
<Р=\ 0 0 О
V 0 0 -(а + 0) J
Вычисляя tr tp4 и (trip2)2, вы можете увидеть, что они оба
пропорциональны [а2 + /?2 + (а + /З)2]2. Поэтому, если ограничиться членами
четвертой степени, то лагранжиан С = ^ti(d^,(p)2 — ^m2tnp2 —
— A(tr<£>2)2 имеет 50(5)-симметрию (поскольку (р имеет пять
компонент). Это пример так называемой «случайной симметрии».
Убедитесь, что она имеет место лишь до четвертого порядка по ср.
1.10.2. Варьируя д»рдР11 = 5%, получаем (Sg^p)gpX = -д^р{5др\).
Умножая на дХг/, получаем Sg^ = —gp,p(Sgp\)gXl/. Вы можете считать
это просто утверждением, что 5М~г = —M~l(SM)M~1 для
матрицы М. Чтобы найти 6д9 воспользуемся важным тождеством det M =
_ gTriogM^ КОТОр0е легко доказывается приведением М к
диагональному виду и преобразованием подобия. Левая часть тождества
равна произведению собственных чисел матрицы М, а правая часть
Решения некоторых упражнений
571
тождества равна экспоненте от суммы логарифмов собственных
чисел. {Логарифм матрицы можно задать разложением log[l + (М — /)]
по степеням (М — I).}
Итак, SdetM = (detM) ЬтМ~г5М и, следовательно, 5д =
= дд^^бдщ,. Теперь мы готовы проварьировать
S = I dAXyf^\{g^d^d^ - т2у2) = d4Xy/^£.
Подставляя, получаем:
SS = J^х^д\\д^Чд^С - g^{5gpX)gXv\d^dM-
Таким образом,
Т^ = -_?=/£_ = g^g»xdpvdxv - д*иС.
В пределе плоского пространства-времени
Т00 = (д0<р)2 -С = 1((д0<р)2 + (V^)2 + mV)
получаем, как и было обещано, плотность энергии.
1.10.3. Пользуясь выражением для Т7*" из предыдущего упражнения, имеем
Pi = f d3xT0i = - f d3xd0ipdi<p
и
[P\<p{x)\ = - dsy[d0<p{y),<p(x)]diip{y) = гдцр(х).
Таким образом, с учетом Р° = Н имеем [Рм, ip(x)] = —1д^(р(х)9 что
просто отражает тот факт, что Рм и хи — сопряженные переменные.
1.10.4. Вычисляя Т^у = —F^\FX — rf^C, получим
Ту = -FiXF3x + \Sij(E2 - В2) = -EiEj + FikFjk + \б^{Ё2 - В2).
Так как FikFjk = £ikm£jknBmBn = 6ijB2-BiBji приходим к
анонсированному результату. Обратите внимание, что SijTij = \{Е2 -f
+ В2) = Too и, следовательно, Т — 0.
572
Решения некоторых упражнений
Часть II
И. 1.1. Следуя указанию, получаем
5(W<ybrl>) = ф^Хр[стхрп^3}Ф = Ф^Хр^П^Ф,
поскольку 75 антикоммутирует с гамма-матрицами и, значит,
коммутирует с произведением двух гамма-матриц. Подставив [<тЛр,7д],
получим 5('07M75V;) — ^\Ф1Х/У5Ф, что в точности соответствует
преобразованию вектора. При преобразовании четности гр^^Ф —>
^707^7570V, и> следовательно, для /i = О справедливо
выражение ф^Ьгу°ф = —ф^^Ъ/ф, а для /i = г справедливо выражение
^7°7г757°7/; — Ф^г15Ф- Временная составляющая меняет знак на
противоположный, а пространственная составляющая — нет. Значит,
при преобразовании четности поведение ф^^ъф противоположно
поведению нормального вектора и, следовательно, это аксиальный
вектор. Остальные случаи рассматриваются аналогично.
II. 1.2. Из фь = ^(1 — 75)'0 и Фи, = ^(1 + 1Ъ)Ф следует, что фь = фь^° —
= фЦ{1 - 75)7° = ^|(1 + 75) и фн = ф = |(1 - 75)- Затем мы
просто неоднократно используем свойства проекторов Рь и Pr.
Например, фьфя = /0^(1 + 75)'0 и ФяФь = Ф\(1 — 1Ъ)Ф или, что
эквивалентно, фф = фьФя. + ФяФь и фу*ф = фьФя — ФяФь- В_качестве
другого примера фь!^Фь = ^|(1 + 75)7М§(1 - 1Ъ)Ф = Ф1^\{^ ~
— 75)'0 и фиН^фв, = ф^\(1 + 75)V7- He забывайте, что некоторые
комбинации зануляются, например, фьФь = 0, фь!^Фп = 0 и т.д.
Закончите упражнение.
П. 1.3 и П. 1.4. В соответствующем базисе уравнение Дирака сводится к
виду:
(Е-т ра3 \ /<Л = Q
V -раз -Е-т J \х)
То есть (Е — т)ф + разХ = 0 и —разф — (Е + т)х = 0. Второе
уравнение говорит нам, что \ — —\р/Е + т]азФ- Для медленного
электрона \ ~ — (р/2т)азф, так что значение \ оказывается
меньше, чем значение ф, в р/2т раз. Тогда первое уравнение сводится
к виду (Е — т — р2/2т)ф = 0, который просто напоминает нам о
соотношении между энергией и импульсом в нерелятивистском
пределе.
Решения некоторых упражнений
573
II. 1.5. В базисе Вейля уравнение Дирака для релятивистского электрона,
движущегося вдоль 3-оси, Е(^° — 73)ф = О имеет вид:
UVr3 )С;)-
Поскольку
при повороте вокруг 3-оси фь —* е-^1^)ша фь = е+^/^фь, тогда
как фл —> е-(*/4)^о- фк _ е-(г/4)и>фн^ Действительно, левые и
правые поля вращаются в противоположных направлениях.
II. 1.7. Как в базисе Дирака, так и в базисе Вейля (фс)с = 72(72V>*) — Ф-
П. 1.8. Легче всего работать либо в базисе Дирака, либо в базисе Вейля.
Пусть поле ф будет левым, то есть (1 -\-^ъ)ф = 0. Тогда (1 — ^ъ)фс =
= (1 — 1Ъ)12Ф* = 72(1 + 75)Ф* — 0» поскольку 75 — действительная
матрица.
Н.1.9. фСф -> фе-*"х'{аХр)ТСе-&>"а'11/ф = фСф, так как {ахр)тС =
= -СахР.
11.1.11. Относительно преобразования четности, или зеркального
отображения, х1 —► а;1 и х2 —► —х2. Пусть 7° = сг3, 7°71 = сг1 и 7°72 = (j2-
Умножим уравнение Дирака (ij^d^ — гп)ф = 0 на 7° и запишем
[г(до + 7°72<%) — ^°т]ф — 0. Тогда умножение на а1 обратит знак дъ
и знак массового члена. Случай с обращением направления времени
рассмотрите самостоятельно.
П.2.1. Применим теорему Нётер для преобразования
ф-*е1вф = {\+1в)ф.
Тогда
574
Решения некоторых упражнений
Обратите внимание, что формально С не зависит от дцф.
Следовательно, с точностью до общих множителей мы можем выбрать JM =
= ф^ф с соответствующим зарядом Q = f сРхф^'Ф) в который мы
подставим выражение (П.2.10):
^{Х)=1{2Ж?/*{Е /тУ'^[Ь{Р'S)U(P' 5)е"ФХ+^(р'S)V^ з)е'РХ]-
Дальнейшие вычисления практически совпадают с тем, что вы
делали в упражнении (1.8.4). Интегрирование J d3x по пространству
порождает дельта-функцию, которая приравнивает импульсы в ф
и ф. Отличие состоит в том, что теперь нам необходимо учесть
также объекты типа uj°u. С учетом лоренцевской инвариантности
и выражений для и и v в покоящейся системе координат имеем
й(р,s)7Mw(p,s') = Sss'p^/m, u(p,s)j^v(p,s') = О и т.д. В
результате получим:
Q = I /о ^зfg / ^ E[fct(Р«*№>5) + *&*)<*& 5)]'
J (2тг)6(Ер/т) ^
Как и в упражнении (1.8.4), переставляем оператор рождения tf
левее оператора уничтожения d и вычитаем бесконечную константу.
Наконец, получаем:
Из последнего выражения очевидно, что b уничтожает
отрицательный заряд, ad — положительный.
Чтобы вычислить [Q,i/>(0)] = f й3х[ф(х)гу°ф(х),ф(0)]9 используем
тождество [АВ,С] = А{В,С} — {А, С}В и каноническое анти-
коммутационное соотношение (П.2.4). Мы найдем, что [0,^(0)1 —
= —ф(0), т. е. b и d* несут одинаковый заряд.
II.3.4. Требуемые уравнения имеют вид 7м^а/х = 0 (убираются 4
компоненты, поскольку а принимает 4 значения) и (р/— т)^Ф/5М = 0 (для
каждого /х убираются 2 компоненты и, значит, всего 4x2 = 8
компонент.) Таким образом, получаем 16—4—8 = 4 компоненты, как и
требовалось. Другой способ сказать это, что 7м^ад есть дираковский
Решения некоторых упражнений
575
спинор и, следовательно, составляет часть векторного спинора Фад
со спином \.
И.6.2. С учетом (СИ) видим, что в выражении для da множитель
1
\щ - ifc|£(pi)£(p2) (2tt)3£(A;i) ''" (2тг)3£(кп)
(2т)4
сводится к виду ^(т/2£)4[1/(27г)2], так как S = |. Интегрируя
фактор d3P\d3Р2$(4\р1 +P2~Pi — Р2) по Р^ убираем 3
дельта-функции и остается выражение dQ,dP\P25(2E — Е\). Интеграл по Р\
дает d£l\E2. Наконец, содержащий «реальную физику» множитель
имеет вид ^]Cs!Csl-M|2 — (е4/4га4)/(0). Перемножая три
множителя и деля результат на dCt9 получаем выражение da/dQ =
= (|)5[e4/(27r)2](l/i£2)/(0), которое соответствует приведенному
в тексте. Обратите внимание, что, как и ожидалось, параметр m
сократился. Вам следует также уметь находить предел m —► 0 по
сравнению с энергиями так, чтобы сечение не расходилось и не за-
нулялось.
Часть III
III. 1.2. Амплитуда становится неаналитической, когда оба знаменателя
подынтегрального выражения [1/{к2 — m2 + ie)]{l/[(K — к)2 —
— га2 + ie]} зануляются, т.е. когда к2 = т2 и (К — к)2 = т2. Но
мы нашли условие в упражнении (1.7.5), а именно что К2 ^ 4т2.
С учетом выражения (III. 1.14)
м=-В< *>**
Jo
А2
а(1 - а)К2 -т2 +ое
мы видим, что логарифм имеет разрез, начинающийся от К2 =
= т2/а(1 — а). Поскольку а меняется от 0 до 1, минимальное
значение т2/а(1 — а) достигается при а = \. Таким образом, в самом
деле, разрез начинается в К2 = 4т2.
III. 1.3. При указанной замене log Л —> logeeA = logA-f e и, следовательно,
SM = -г5Х + iCX23(2e) + 0(Л3). Значит, из 5М = 0 следует, что
5Х = 6СХ2е + 0(Л3) = 6СХ26 log Л + 0(Л3), что дает приведенный
ответ для A(d\/dA).
576
Решения некоторых упражнений
iv =
Ш.2.1. Чтобы интеграл f ddx(dcp)2 был безразмерным, нужно, чтобы [ф\ =
= (d — 2)/2. Значит, [чрп] = n(d — 2)/2 и, таким образом, для того
чтобы интеграл $ ddx\nipn был безразмерным, необходимо
выполнение условия [An] = n(2 — d)/2 + d.
111.3.3. Если положить га = О, подынтегральное выражение будет являться
линейной комбинацией гамма-матриц. Интеграл не может
генерировать члены, не зависящие от гамма-матриц, каковым и
является В. В электродинамике интеграл заменяется на
Когда га = О, подынтегральное выражение представляет собой
линейную комбинацию произведения трех гамма-матриц, которые
можно свести только лишь к одной гамма-матрице, но, взглянем
на полученные результаты с другой стороны и вспомним, что при
га = О лагранжиан инвариантен относительно кирального
преобразования ф —> ег6^ф (глава ИЛ).
111.3.4. Это следует из условия D = 4 — Be — \Fe для Де = О и Fe = 2.
В этом случае D = 1, но линейная расходимость сводится к
логарифмической из приведенных в тексте соображений симметрии.
III.5.2. В принципе вы уже сталкивались с аналогичной задачей в
упражнениях ИЛ .3 и ИЛ .4. Просто замените Е и р на d/dt и V (см. также
главу III.6).
II 1.5.3. В нерелятивистской квантовой механике амплитуда рассеяния в бор-
новском приближении дается фурье-преобразованием потенциала,
умноженного на г: г f d3xelkxU(x). Амплитуда рассеяния,
обусловленная обменом скалярным мезоном массой га, равна г/(к2 —
— га2) ~ —г/(А;2 4- га2). Следовательно, мы просто повторили
вычисления из главы 1.4, получив:
d3k e*'* 1
U{x) = -J
(2тг)3£2 + ш2 4тгг
е
Ш.6.1. Из уравнения движения следует, что й(р')(^'7д + 7м &)и(р) =
= 2тй{р')^^и{р), но с учетом ^Y = \{l^->lu} + ^[7Д>7*1 —
= rfv — ia^v можно также записать (j/^ + 7м #) = (У + Р)м +
+ га^ш{р' —р)и. Мы, таким образом, получили разложение Гордона.
Решения некоторых упражнений
577
Ш.6.2. Вычисляем
дМРЪ^Лд2) + l-^^F2(q2)]u(p) = ч{р') Au(p)F1(q2) =
= Ф')(£>'- P)<p)Fl(q2) =
= u{p'){m-m)u{p)F1(q2)=0,
где первое и третье равенства следуют из антисимметрии для а
и уравнения движения соответственно.
Ш.7.1. Действуя как в тексте, но в d-мерном пространстве-времени,
получаем IV(g) = t/^r^, где £ = f*da±, V = (I2 + а(1 -
— а)д2 — т2 + ге)2, как и раньше, но теперь JVMI/ равняется — d((l —
- ^)gfj,J2-i-cy(l-a)(2qfj,ql/-gfJ,l/q2)-m2gfj,1/). Осуществляя поворот
в евклидово пространство, видим, что должны вычислить интегра-
/2 2 /1 \ 2\ Г d%l 1 г ctf,Z Z2
лы (с с1 = т2 - а(1 - а)д2) J (^г (i^F и J (2^ (FW =
= / (& (^) ~ с2 J(^(**+W- В пРиложении " к главе HI.1
я вычислил первый из двух интегралов. Слегка обобщая,
получаем /0°° dll^jj^y, = \cd~2a /J dx(l - x)i-lxa~l-2. Далее
действуйте самостоятельно.
Часть IV
IV. 1.1. Запишем (р = (</?ь</?2,- • • ,^ + ^iv)- Вычисляем \ц2(р2 — (А/4)(у?2)2
с точностью до 0(<^3) и находим (опустив знак '):
i/i2(v2 + 2v<pN + <Д2) - |(u4 + 4v2y?^ + 4г;3у?лг + 2v2(p2).
Условие отсутствия линейного члена для (рм фиксирует v2 = ц2/\,
так что коэффициент при ф2 будет равен \у? — А/4(2г>2) = 0. (N —
— 1) полей <pi, с/?2, • • •, ^7v-i безмассовы.
IV.3.1. Имеем /0°° dk log[(/c2 + а2)//с2] = 7га и, следовательно, Т4фф.(у>) =
— У{Ф) + /i\/Vr//((/?)/2 + 0(ft2). Для квантового осциллятора £ =
= ^(9с^)2 —^cj2(^2 с </? в качестве координаты имеем Кфф.(0) = \Ъш.
578
Решения некоторых упражнений
IV.3.3. Имеем
[ d2p р2 - 1
т{<р) = f(pBVF(<p) = 2iJ 77^log j
d2p 1 p2 — т{ф)
2 '
После виковского поворота это выражение сводится к виду:
Обрезав интеграл у Л2 и добавив контрчлен В<р2, получим:
V* = &№**£■
IV.3.4. Уэфф. = iY^=l!dik/{2ir)y{l/2n){V"{V)/k2\n. Для V"(*>) =
= \\у>2 соответствующие фейнмановские диаграммы состоят из
окружности, к линии которой прикреплены п V, а 2п обозначает
тот самый фактор симметрии, которого я старался избежать в
главе 1.7.
IV.4.1. Для произвольной р-формы Н имеем:
ddH = , 1 ч, ±дхд„НиШ2 д.dxxdxudx^dx»2...dx^ =
(р + 1)!р! '
= f 7~^^[^A, d^H^^.^dx^dx^dx^dx^ ... dx^ = 0.
IV.5.1. Если вы выполнили все предыдущие упражнения (см.
упражнение 1.9.3), то уже знакомы со скалярным полем 1 = 2,
преобразующимся как уаЪ -> RacRbdipcd = Rac(pcd(RT)db = (RyRT)ab
и которое можно представить в виде симметричной матрицы 3 на 3
с нулевым следом ip —> R(pRT. Вам остается только записать кова-
риантную производную D^ip (см. IV.5.20) в явном виде. [Указание:
действие генераторов на ср аналогично действию из (В.20).]
IV.5.2. dF = d(dA + A2) = dAA - AdA и [A,F] = AdA - dAA и,
следовательно, dF + [A,F] = 0. Или явно в индексах: £^иХ<Т (duF\a +
+ [A,,i*A<r]) = 0. В абелевом случае для /х = 0 имеем eljkdiFjk =
= V • В = 0 (вспомните главу IV.4!), а для д = i имеем
£ijk(_doFjk + dFok _ djFkQj = _doB. + (у х E)i = 0.
Решения некоторых упражнений
579
IV.5.4. Из общих рассуждений, упомянутых в условии, мы знаем, что tr F2
должна быть «d от чего-то». Так, dti Ad A = tidAdA и dtr |Л3 =
= § ti(dAA2 - AdAA + A2dA) = 2trdAA2, но, с другой стороны,
trF2 = ti(dA+A2){dA+A2) = tr(dAdA+2dAA2),TaKmKtT A4 =
= ЬтА3А = -tr^A3 = -tr^4 = 0. В электродинамике tr Л3 =
= 0, a dtrAdA записывается в индексах как 9м(еД1/Л0,Аид\Аа) =
IV.5.6. Подставляем в общее выражение из текста и получаем:
где ковариантная производная равна D^ = дц — гА^ = д^ — гЛ£Та,
где Та(а = 1,... ,8) — эрмитовы матрицы 3 на 3 с нулевым
следом. В явном виде {A^q)" = A°(Ta)%q0, где а,/3 = 1,2,3 (см.
главу VII.3).
IV.6.3. Заметим, что
/ ЛЗ А\-г2 \
где введено очевидное обозначение А^±г2 = Aj1±iA2l. Пусть ((f) =
= (°), тогда
Следовательно, \D^\2 содержит у^А^А^+^-дА^+д'В^)2).
Комбинации Aj+l2, А}~г2 и (—дА^ + д'В^) приобретают массу,
тогда как {д'А^ + дВ^) остается безмассовой.
IV.7.4. Имеем
AHfcb**) - if fj4 Np + {Mi " »M,
(27Г)
где
N*v = tT{n*U>- А + М)<у"(ф- М+М)<у»(ф + М)).
580
Решения некоторых упражнений
Только член, линейный по М, не зануляется в N^u', так что остается
N^» = AiMe^var к\ак2т. Поскольку нас интересуют только члены
0(к\к2), можно положить D —> (р2 — М2)3, так что выражение
А^(кик2) = -8Ме^тк1(7к2т [ -р 1
J (27Г
(2тг)4 (р2 - М2)
г
4тт2М
е^атк1ак2т
будет зависеть от М, как и указано в условии задачи. Воспоминание
от регулятора остается, как от непрятного знакомства, даже если
устремить его к бесконечности.
IV.7.5. Мы приводим набросок решения. Детали можно найти в лекциях
С. Адлера, которые он читал в 1970 году в летней школе Брандейс.
Суть в том, чтобы представить себе схему регуляризации,
сохраняющую разные важные симметрии, а именно лоренцевскую
инвариантность, сохранение векторного тока и статистику Бозе. Далее вы
увидите, что мы можем не определять конкретный тип
регуляризации. Из лоренцевской инвариантности имеем
Ах^{кик2) = ex^<JkX(JAl + ех^ак2аА2 + ех>1атк1<тк2ткг{А3+
+ ех^тк1ак2тЩАА + ех»атк1ак2тк?А5+
+ ex™Tklak2Tk%A6 + е^атк1ак2ткхА7+
+ е^°тк1ак2ткхА8.
Поскольку фейнмановский интеграл, представляющий AXfJ,"9 имеет
кажущуюся линейную расходимость, то все Лз,..., As будут
сходиться вследствие того, что мы выделили третью степень
импульса. А\ и А2, напротив, логарифмически расходятся, но мы можем
связать их с Аз,..., As условием сохранения векторного тока, так
как 0 = ki^Ax^u = eXv<JTklak2T{-A2 + к\Аъ + к\ • к2Ае)9 и,
следовательно, А2 = к%А§ + к\ - к2Ае. Аналогично для А\. При
упрощении подынтегрального выражения в фейнмановском интеграле
и вычислении следа в числителе, мы можем систематически
пренебрегать членами, дающими вклад только в А\ и А2. Более того,
из статистики Бозе получаем соотношения типа Asik^k^q2) =
= -A6(klkU2).
Решнния некоторых упражнений
581
Часть V
V. 1.1. Мы отбросили член Н2д^в, но оставили член 4g2ph2. Для этого
необходимо выполнение условия дов <С д2р, т.е. си <С д2р. Но так как
в нашем случае си ~ ду/p/mk, что предполагает выполнение
условия к <С ду/тр, что согласуется с тем, что мы предположили для к.
Посмотрев на члены —2y/phdo9 — 4:g2ph2 в £, убеждаемся в том, что
h ~ д^в/{д2у/р), что также согласуется.
V.5.I. С учетом того, что 75 — &з, \{1 ± 75) проектирует
соответственно на верхнюю и нижнюю компоненты ф — (!?''). Все формально
как и в главе ИЛ, но сейчас мы можем проделать все шаги явно
в этом конкретном представлении. Так, фф = ф^а^Ф = ^{ФцФь —
- Ф^Фя) и ф^ъф = ф^а2(ТзФ = г{ф^вфь 4- Ф^Фя). При
преобразовании ф —> егв1°ф, фь —> егвфь и фл —> е~г9фл безмассовый
дираковский лагранжиан
очевидно, не меняется.
V.6.1. Конечно, это следует просто из условия лоренцевской
инвариантности. Имеем
я , х — vt ч — v ,, х — vt ч
о / X — Vt ч _ 1 // X — Vt ч
Следовательно, уравнение
Vl — v* v 1 — г>^
сводится к виду
</»"( ж-^ ) _ у'Ш x~vt )} = 0.
582
Решения некоторых упражнений
Обратите внимание, что последнее уравнение не зависит от формы
V. В любой релятивистской теории солитон движется как
релятивистская частица (что очевидно!).
V.6.2. В теории син-Гордона есть бесконечное число вакуумов при </? =
= (2п + 1)7г//3. Значит, существует целый спектр солитонов, таких
что <р(±оо) = (2п± + 1)тг//3. Топологический ток будет равен JM =
= (/3/27г)ей1/д1/(р с соответствующим зарядом Q = (тг+ — п_).
Солитон с Q = 2 распадается на два солитона с Q = 1.
V.7.4. (г/2тт) / gdg* = (г/2тг) / eiv4e~ive = (г/2тг) / (-ii/ffl) =
S1 S1 S1
2тг
= (^/27г) f d6 = и, которое действительно считает число намоток
о
егив на окружность. То, что математики называют числом намоток,
представляет собой магнитный поток на языке физика.
V.7.5. Внутри достаточно малой области, такой что можно считать (ра =
= v5aS постоянной, пользуясь тем, что {D^)b = д^ъ + eebcdAc^(pd,
получим (Рцф)1 = evA^ и (D^ip)2 = —evA1^ и, следовательно,
""" И И3
~~* ^\iv + e\A^Av — AvAy) = дцАу — OvA^
— в точности напряженность электромагнитного поля, поскольку А^
есть безмассовая компонента поля Янга-Миллса. Вычислим В^ =
= Zijk^ij вдалеке от магнитного монополя. Чтобы найти магнитный
заряд, мы оставляем в выражении для В только член порядка 1/г2.
Поскольку D^ip —> 0(1 /г2) по построению, можно отбросить
второй член в Тц. Значит, нам просто нужно вычислить F? = д\Аа^ —
— djAf-\-eeabcA^A(j. В связи с тем что далее F^ свертывается с
единичным вектором </?а/М = ха/г, можно отбросить из Ffi некоторые
члены и тем самым упростить вычисления. Получим:
дгА* = а,(Ь^4)"-'^а'Ч
r2' ew r2
(Л 1^\саЬс Mm c.cjn „тп^п
ее*ЪсдЬдс __ \lle)e e e х х
i 3 г4
(l/e){SciSam - 5crnSai)ec^nxrnxn _ j_ ijn a n
r4 er4
Решения некоторых упражнений
583
так что
-^П = -^г- = -\(-2 + 1)еаг>ха = -Л-еаг>ха.
\<р\ ' егй ет6
Таким образом, Bk = —(1/ег2)хк. Магнитный заряд равен д =
= —47г/е.
Оказывается, что наш результат отличается от условия дираковско-
го квантования (IV.4.10) в 2 раза. Разрешение возникшего парадокса
поучительно. В самом деле, мы можем всегда ввести в теорию
поле Ф (в качестве которого могло бы выступать поле Бозе или поле
Ферми), преобразующееся в представлении / = \ с
соответствующей ковариантной производной D^ = Э^Ф — ге(^та)Л£Ф. Поле
Ф несет электрический заряд \е. Следовательно, фундаментальный
электрический заряд равен не е, а ^е, и полученный нами
результат g = —47г/е = —27г/(е/2) представляет не что иное, как условие
дираковского квантования. (Появление знака тривиально: это вопрос
того, что мы называем монополем, а что — антимонополем.)
V.7.7. Подставляя в анзац ipa = (H(r)/er)(xa/r) и А\ = [1 - K(r)} x
хеЬг^(х^ /ег2) [так что Н(г) —> еиг и К (г) —► О в соответ-
т—>оо г—кэо
ствии с асимптотическим поведением (V.7.5) и (V.7.6)] в М =
= f d?x{\(Fij)2 + \{Di(p)2 + V{(p)}, получаем М как функционал
от Н и К. Минимизация М дает уравнения (где Н' = dH/dr и т. д.)
г2Н" = 2НК2 + (А/е2)[#3 - (ev)2r2H] и г2 К" = К (К2 - 1) +
+КН2. За помощью обращайтесь к работе Прасада и Зоммерфельда
(М. К. Prasad and С. М. Sommerfeld, Phys. Rev. Lett. 35:760, 1975).
V.7.8. Решение БПС (Богомольного-Прасада-Зоммерфельда) отвечает
условию А = 0 для двух уравнений из упражнения V.7.7, в этом
случае уравнения можно решить, причем решения будут следующие:
#(r) = evr(cothevr) — 1 и K(r) = evr/(s'mhevr). Почему Н(г)
и К (г) приближаются к своим асимптотическим решениям
экспоненциально? Чем определяется масштаб длины?
V.7.9. За помощью обращайтесь к работе B.Julia and A.Zee, Phys. Rev.
Dl 1:2227, 1975.
V.7.11. Мы вывели ограничение снизу на массу магнитного монополя
47гг>|р| ~ 4n(ev)/cr ~ Mw/ol.
584
Решения некоторых упражнений
V.7.12. Вблизи единичного элемента д = егв'а ~ 1 + гв • а и,
следовательно, gdg^ ~ — idO • а. В малой окрестности единичного элемента
групповое многообразие локально евклидово и, значит,
tT(gdgi)s=itr(aiaj(Tk)deidejdek = -12d91de2d93
явно пропорционально элементу объема на S3. Для д =
= ei(01<T1+e2<T2+me3a3)9 tT(gdg^)3 = -12mde1d0203.
V.7.13. / d4x(d^) = f d3xJg\t=+oo - f d3xJg\t=-oo. Вспомним, что
^5 = rRtpR ~ yl^l- Тогда два пространственных интеграла просто
считают число движущихся направо фермионов минус число
движущихся налево фермионов при t = ±oo соответственно.
Следовательно, f d4x(d^,J^) — целое число. С другой стороны, в тексте мы
доказали, что J tr F2 является топологическим инвариантом.
Иначе говоря, применяя подходящую нормировку, очевидно, 1/(47г)2,
интеграл [1/(47г)2] / d4xe^Xa ti F^vF\a есть целое число. Таким
образом, вследствие квантовых флуктуации коэффициент 1/(47г)2
не может меняться даже на чуть-чуть.
Часть VI
VI.4.2. Член взаимодействия четвертой степени (1/2/2)(7г • дж)2 в С
дает амплитуду i(l/2f2)i2Sab6cd(k1ks + кгк4 + к2к3 + к2к4) +
+ перестановки = (i/2f2)SabScd(ki + &2)2+ перестановки для
вершины 4-пионного взаимодействия (все импульсы для которой мы
обозначили как исходящие, так что к\ + к2 + &з + к4 = 0).
VI.4.3. Записав а = v + сг', находим (как и в главе IV. 1), что С =
= —\(2\j?)al2 — Xvaf7r2 — ^А(7г2)2 4- ..., где мы оставили лишь
интересующие нас члены. Есть два типа диаграмм, дающих вклад
в четырехпионное взаимодействие: включающие в себя член A(7f2)2
и учитывающие обмен а''. Диаграммы первого типа дают вклад
в амплитуду (-|Л)2 • 2(6ab5cd 4- ScdSbd + 5adSbc), тогда как
диаграммы второго типа дают вклад (—i\v)2{2i/[k\ + к2}2 — m^f}6abScd.
Следовательно, раскладывая в ряд до первого порядка по
квадратам импульсов, получаем следующее значение коэффициента при
§ab5cd.
-г\ - 2гАV
т
\+(кг+к2У
га2,
Решения некоторых упражнений
585
2ц>
(к, + fc2)2
2М2
2/х2
= ^(к1+к2)
Для сравнения с упражнением VI.4.2. вспомним, что f2 = v2 =
= /х2/А, так что здесь амплитуда также будет равна (i/2f2)Sab5cd x
х(к\ + /с2)2+перестановки, как и говорилось в тексте.
VI.4.4. Будем внимательно следить за множителями 2, но не за
множителями г и —1. Вернемся к киральному преобразованию ф —> [1 +
+гв-{т/2)чъ]ф и т/; -> ^[1+г0-(т/2)75]. Имеем Д(^)^ = 9афг^ътаф
и 5(фг'уътаф)_ = —9афф. Следовательно, для того чтобы
лагранжиан £ = ф{1^д + #(сг + гт • П7ь)}ф + £(ст, 7г) был
инвариантен, необходимо выполнение условий 5а = 9°"ка и <57га = —ваа.
Применяя теорему Нётер JM = (5£/5дц(р)5(р, получаем ток J^5 =
= Ф^1^1ъ{та/2)ф + 7гад^сг — сг9д7га, приведенный в тексте.
Сравнивая член pij^jsn, содержащийся в J^jj"22 = J^5 + ^^5» с током J^^,
определенным в главе IV.2, получаем, что J^^ = —iJ]^12-
Нормированное состояние задается как |7г~) = (l/v/2)(|7r1) —г|7г2)), поэтому
(0|тг1+'2|тг-) = 2/>/2. Ток J^i2 содержит член -идм7г1+*2 и,
следовательно, / = y/2v. Далее необходимо вычислить пион-нуклон-
ную константу связи.jj-kNN-, определенную в главе IV.2. Лагранжиан
С содержит член дфгт • тт^ьФ* который в свою очередь содержит
у/2дръ'У5П7г~, поскольку 7г1_г2 = у/2т:~. Таким образом, джыы =
= у/2д. Объединяя эти результаты, видим, что М = gv переходит
в 2М = fg-nNN, в согласии с главой IV.2.
VI.6.1. Рассмотрим рис. VI.6.1. Из Ah = (d/cosO) ~ d(l + \в2)
и (dh/dx) = tern в ~ 0 следует, что (dh/dt) ос 02 ос (dh/dx)2,
приводя, таким образом, к члену (A/2)(V/i)2. Все это восходит к
Пифагору.
VI.6.2. Проинтегрируем член ^ J dDxdt[((d/dt) — V2)h}2 в 5(/i) по частям
и получим -± / dDxdt[h((d/dt)+V)2((d/dt)-V2)h].
Следовательно, пропагатор является обратным к оператору (d/dt + V2)(d/dt —
— V2) = d2/dt2 — (V2)2, фурье-преобразование которого имеет вид
-(u;2 + fc4).
VI.8.3. Для h'(x,t) = h(x + gut,t) + u'X+%u2t получаем dh'/dt = dh/dt +
+ дй- Vh+(g/2)u2 и V/i' = Vft + й. Значит, комбинация (dh/dt) —
586
Решения некоторых упражнений
— |(V/i)2 инвариантна, как и V2/i (что очевидно). Иначе говоря,
S{h) должна строиться из этих двух инвариантных комбинаций.
VI.8.5. Рассмотрим действие S(h)=± / dDxdt[{dh/dt)-V2h-g{Vh)2/2]2.
Сравнивая члены dh/dt—V2h, видим, что время имеет размерность
квадрата расстояния: Т ~ L2. С учетом члена J dDxdt{dh/dt)2
и того факта, что S безразмерна, получаем [h]2 ~ T2/(LDT) ~
1/LD~2 и, следовательно, размерность h равна (l/LD~2)2.
Сравнивая V2/i с p(V/i)2, видим, что размерность д совпадает с
размерностью l//i, т. е. равна Z,(D_2)/2.
VI.8.7. Нам сказано, что L(dg/dL) = (2 - D)g/2 + {2D - 3)fDg3 + ....
мы предполагаем, что можно опустить члены (...)• Тогда (здесь и
далее а2 и Ъ2 есть два положительных числа) для D = 1 имеем
L{dg/dL) = а2д — Ь2д3 и g течет к фиксированной точке д* = а/Ь.
(Уравнение KPZ оказывается точно решаемым для D = 1 методами,
которые не описываются в данной книге, а оба параметра ги\
можно найти явным вычислением.) Для D = 2 имеем L{dg/dL) = b2g3
и д течет к некоторой неизвестной фиксированной точке
(предположительно) сильной связи. Для D = 3 имеем L{dg/dL) = —а2д +
+ Ь2д3. Фиксированная точка д* = а/Ь неустойчива. Для д < д* д
течет к тривиальной (т.е. свободной, или гауссовой)
фиксированной точке. Поскольку теория в фиксированной точке свободна, мы
точно знаем критические экспоненты: z = 2 и \ — {2 — D)/2.
Для 9 > 9* 9 течет к некоторой неизвестной фиксированной точке
(предположительно) сильной связи.
Часть VII
VILLI. С помощью формулы Бейкера-Кэмпбела-Хаусдорфа (БКХ)
получаем (ясно, что V сейчас не важны):
U U =eiaA»eiaA» =eia^+^.)-^2[A„A,]+a3C+a4D+0(a5)
Аналогично получаем:
UkiUu=e-iaA'»e-iaA'» = e-^A>K)-\^^Av]WE+a^F+o(^)^
Где штрих напоминает нам, что в этом выражении А^ и Av
следует вычислять на «северной» и «западной» стороне квадрата на
Решения некоторых упражнений
587
рис. VII. 1.2 соответственно, тогда как Лд и Av в выражении для
UijUjk следует вычислять на «южной» и «восточной» стороне
квадрата. Здесь C,D,E,F обозначают различные коммутаторы,
которые мы не выбрасывали просто для того, чтобы убедиться
в том, что в конечном итоге выпадают в интересующих нас
величинах. (Обратите внимание на то, как разные члены
ассоциируются с разными степенями а. Также обратите внимание, что
в некоторых местах мы опустили знак штриха для А, включив
«погрешность» от своих действий в члены высших порядков по
а.) Таким образом,
,, тт -ia(AtM+Au)-ia2(dl/Afl-d,JAl,--zi[AfX)Au}Ha3G-\-a4H-\-0{a5)
UklUu = е z ,
где G и Н обозначают сумму коммутаторов и членов типа dvdvA^
и dvdydvA^. Еще раз применяя формулу БКХ, получаем
выражение
_ ia2Ffl„+a3I+a4J+0(a5)
е 5
в котором F^ = дцАу — диАц + г[Лд, А„].К1 и J справедливы те
же замечания, что и для G и Н. Как и следовало ожидать,
напряженность поля Янга-Миллса появляется естественным образом.
Поскольку следы коммутаторов и от Л зануляются, то после
взятия следа все ненужные члены выпадают до порядка О (а5) и у нас
остается:
S(P) = Retr[l - \aAF^F^ + 0(а%
В силу калибровочной инвариантности поправки должны быть
четного порядка по а, но в любом случае они нас не
интересуют. Очевидно, что параметры / и g связываются некоторыми не
представляющими интереса множителями а.
Часть VIII
VIII. 1.10. Я12 = <Ь12 = d(-cos6d(p) = зшвМАр = 2ВЦ<Ю&р => ЯЦ =
= ^sin#. Поскольку е\ = 1, е% = l/sin#, получаем, что R =
R^leaeb ~ 2Я^е?е2 — 1> как и ожидалось, не зависит от в и ср.
Рекомендуемая литература
Книги по теории поля
Далее приводится список известных мне учебников по теории поля. Вовсе не
обязательно читать их все. В еде, как и в литературе, у каждого свой вкус.
J. D. Bjorken and S. D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New
York, 1964.
J. D. Bjorken and S. D. Drell, Relativistic Quantum Fields, McGraw-Hill, New York,
1965.
(Имеется перевод: Дж. Бьоркен, С. Д. Дрелл, Релятивистская квантовая
теория поля. Тт. 1 и 2, Наука М., 1978)
L. S. Brown, Quantum Field Theory, Cambridge University Press, New York, 1992.
S.J.Chang, Introduction to Quantum Field Theory, World Scientific, Singapore,
1990.
T. P. Cheng and L. F. Li, Gauge Theory of Elementary Particle Physics, Clarendon
Press, Oxford, 1984. (Имеется перевод: Т. П. Ченг, Л.Ф. Ли, Калибровочные теории
в физике элементарных частиц. Мир, М.,1988)
К. Huang, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, New York, 1998.
С Itzykson and J-B.Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill, New York, 1980.
(Имеется перевод: К. Ициксон, Ж.-Б. Зюбер, Квантовая теория поля. Тт. 1,2. Мир,
М., 1984)
Т. D. Lee, Particle Physics and Introduction to Field Theory, Taylor & Francis, New
York, 1981.
M. E. Peskin and D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory,
Perseus, Reading MA, 1995. (Имеете перевод: М. Пескин, Д. Шредер, Введение
в квантовую теорию поля, РХД,) М., 2001 L.H.Ryder, Quantum Field Theory, 2nd
Ed., Cambridge University Press, New York, 1996. (Имеется перевод: Л. Райдер,
Квантовая теория поля, Мир, М., 1987) S.Weinberg, Quantum Theory of Fields, Vols. 1
& 2, Cambridge University Press, New York, 1996. (Имеется перевод С. Вайнберг,
Квантовая теория поля тт 1 и 2, Физматлит, М., 2003)
и, наконец,
F. Mandl, Introduction to Quantum Field Theory, Interscience, New York, 1959.
Рекомендуемая литература
589
Книги на затронутые в тексте темы
A. A. Abrikosov, L. Gorkov, and A. Dzyaloshinski, Methods of Quantum Field
Theory in Statistical Physics, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1963.
А.А.Абрикосов, Л. П. Горькое, И. Е. Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в
статистической физике, ГИФМЛ, М., 1962
S. L. Adler, "Perturbation Theory Anomalies,"in : Lectures on Elementary Particles
and Quantum Field Theory, 1970, Brandeis University Summer
Institute in Theoretical Physics, S. Deser et al., MIT Press, Cambridge, 1970.
P. Anderson, Basic Notions of Condensed Matter Physics, Benjamin-Cummings,
Menlo Park, С А 1984.
D. Bailin and A. Love, Supersymmetric Gauge Field Theory and String Theory, IOP
Bublishing, Bristol and Philadelphia, 1994.
R. Balian and J. Zinn-Justin, eds., Methods in Field Theory, North Holland
Publishing, Amsterdam, and World Scientific, Singapore, 1981.
A. L. Barabase and H. E. Stanley, Fractal Concepts in Surface Growth, Cambridge
University Press, Cambridge, 1995.
B. Budker, S. J. Freedman, and P. H. Bucksbaum, eds., Art and Summetry in
Experimental Physics: Festschrift for Eugene D. Commings, American Institute
of Physics, New York, 2001.
J. Cardy, Scaling and Renormalization in Statistical Physics, Cambridge University
Press, New York, 1996.
S.Coleman, Aspects of Symmetry, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.
J. Collings, Renormalization, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.
(Имеется перевод: Дж. Коллинз, Перенормировка. Мир, М. 1988)
E. D. Commings, Weak Interactions, McGraw-Hill, New York, 1973.
E. D. Commins and P. H. Bucksbaum, Weak Interactions of Leptons and Quarks,
Cambridge University Press, Cambridge, 2000.(Имеется перевод: Ю. Комминс, Ф. Бук-
сбаум, Слабые взаимодействия кварков и лептонов: Энергоатомиздат, М., 1987)
М. Creutz, Quarks, Gluons and Lattices, Cambridge University Press, Cambridge,
1983. (Имеется перевод: М. Кройц, Кварки, глюоны и решетки, Мир, М., 1987)
P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press,
Oxford, 1935. (На стр. 253 он объяснил, почему он искал уравнение движения
электрона с производной по времени первого порядка.) (Имеется перевод: П. Дирак,
Принципы квантовой механики. Мир, М., 1979)
A. Dobado et al., Effective Lagrangians for the Standard Model, Springer-Verlag,
Berlin, 1997.
O. J. P. Eboli et al., Particle Physics, World Scientific, Singapore 1992.
R. P. Feynman, Statistical Mechanics, Perseus Publishing, Reading, MA, 1998.
(Имеется перевод: Р. Фейнман, Статистическая механика. Мир, М. 1978) R. P.
Feynman and A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, New York,
1965. (Имеется перевод: Р. Фейнман, А. Хибс, Квантовая механика и интегралы по
траекториям. Мир, М., 1968).
590
Рекомендуемая литература
J. M. Figueroa-O'Farrill, Electromagnetic Duality for Children, on the World Wide
Web 1998.
V. Fitch et al., eds., Critical Problems in Physics, Princeton University Press,
Princeton, 1997.
M.Gell-Mann and Y.Ne'eman, The Eightfold Way, W.A.Benjamin, New York,
1964.
H. B. Geyer, ed., Field Theory, Topology and Condensed Matter Physics, Springer,
1995 (A. Zee, "Quantum Hall Fluids.")
N. Goldenfeld, Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group,
Addison-Wesley, Reading, MA, 1992.
C. Itzykson and J-M. Drouffe, Statistical Field Theory, Cambridge University Press,
Cambridge, 1989.
S. Iyanaga and Y. Kawada, eds., Encyclopedic Dictionary of Mathematics, MIT
Press, Cambridge, 1980.
L. Kadanoff, Statistical Physics, World Scientific, Singapore, 2000.
G. Kane and M. Shifman, eds., The Supersymmetric World: The Beginning of the
Theory, World Scientific, Singapore, 2000.
J. I. Kapusta, Finite-Temperature Field Theory, Cambridge University Press,
Cambridge, 1989.
L. D. Landau and E. M. Lifschitz, Statistical Physics, Addison-Wesley, Reading,
MA, 1974. Л.Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая физика, ФизМатЛит, М.,
2005.
S. К. Ma, Modern Theory of Critical Phenomena, Benjamin/Cummings, Reading,
MA, 1976. (Имеется перевод: Ш. Ма, Современная теория критических явлений.
Мир, М., 1980).
Н.J.Muller-Kirsten and A.Wiedemann, Supersymmetry, World Scientific,
Singapore 1987.
T. Muta, Foundations of Quantum Chromodynamics, World Scientific, Singapore,
1998.
D. I. Olive and P. C. West, eds., Duality and Supersymmetric Theories, Cambridge
University Press, Cambridge, 1999.
J. Polchinski, String Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
J. J. Sakurai, Invariance Principles and Elementary Particles, Princeton University
Press, Princeton, 1964.
L. Schulman, Techniques and Applications of Path Integrals, John Wiley & Sons,
New York, 1981.
R. F. Streater and A. S. Wightman, PCT, Spin Statistics, and All That, W B. Benjamin,
New York, 1968. (Имеется перевод: Р. Стритер, В. Вайтман, РСТ спин статистика
и все такое. — М.: Мир, 1966.)
G. 't Hooft, Under the Spell of the Gauge Principle, World Scientific, Singapore,
1994.
G. 't Hooft, et al., eds. Recent Developments in Gauge Theories, Plenum, New York,
1980.
Рекомендуемая литература
591
D. Voiculescu, ed., Free Probability Theory, American Mathematical Society,
Providence, R. I., 1997.
S.Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley & Sons, New York, 1972.
(Имеется перевод: С. Вейнберг, Гравитация и космология. — М.: Мир, 1975.)
C.N.Yang, Selected Papers 1945-1980 with Commentary, W.H. Freeman, San
Francisco, 1983.
A. Zee, Unity of Forces in the Universe, World Scientific, Singapore, 1982.
J. -B. Zuber, ed., Mathematical Beauty of Phvsics, World Scientific, Singapore,
1997.
Некоторые популярные книги и книги по истории
квантовой теории поля
I. Duck and E. С. G. Sudarshan, Pauli and the Spin-Statistics Theorem, World
Scientific, Singapore 1997.
A. I. Miller, Early Quantum Electrodynamics, Cambridge University Press,
Cambridge, 1994.
L. СГ Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press,
Princeton, 1997.
S. S. Schweber, QED and the Men Who Made It: Dyson, Feynman, Schwinger, and
Tomonaga, Princeton University Press, Princeton, 1994.
A. Zee, Fearful Symmetry, Princeton University Press, Princeton, 1999.
A.Zee, Einstein's Universe, Oxford University Press, New York, 2001.
A. Zee, Swallowing Clouds, University of Washington Press, Seattle, 2002.
Предметный указатель
SO(N), см. специальная ортогональная
группа
SU(N), см. специальная унитарная
группа
сг-мезон, 371, 372
а-модель, 370-371
— для ферромагнетиков и
антиферромагнетиков, 376, 377
— нелинейная, 372, 376
«банда четырех», 404
3-брана, 45-47
Абрахаме, Элиагу, 404
Адлер, Стив, 292
Адрон(ы)
— аннигиляция электрон-позитрон,
434-437
— в электрослабом объединении, 425
— кварки как составляющие, 429
— экспериментальное наблюдение, 235
Аксиальная аномалия, см. аномалия
Алгебра Клиффорда
— и билинейные комбинации Дирака,
108
— и уравнение Дирака, 104-105
Алгебра Лоренца, 131-132
Амплитуда мезон-мезонного рассеяния,
392
— анализ размерностей, 185
— в формулировке интеграла по
траекториям, 175-176
— зависимость от параметра обрезания,
185
— как аналитическая функция, 221
— перенормировка и, 174-175
— расходимость, 169-170
— регуляризация и, 171-173
Амплитуды, см. амплитуда
мезон-мезонного рассеяния
— как аналитические функции, 221
— симметрия, 84
Анализ размерностей, 180-181, 513
— амплитуды мезон-мезонного
рассеяния, 185
Аналитичность фейнмановских
диаграмм, см. неаналитичность, 221
Ангармоничность в теории поля, 49, 99
Андерсон, Фил
— Нобелевская премия, 384
— в «банде четырех», 404
Анион(ы), 339
— перестановка, 340
— статистика, 341
Аннигиляция электрон-позитрон,
434-^37
Аномалия (аксиальная
аномалия/киральная аномалия), 283,
288
— альтернативные методы получения,
294
— в неабелевой калибровочной теории,
291
— в форме великого объединения и
свободы, 462, 484
— великое объединение и отсутствие
аномалий, 461
— и формализм интеграла по
траекториям, 293
— квантовые флуктуации высших
порядков и, 331
Предметный указатель
605
— теория Юкавы, 190-192
— теория электрослабых
взаимодействий, 426
Перенормируемые условия, наложение,
248
Переход Костерлица-Таулесса, 332
Пертурбативная квантовая гравитация,
499
Петлевые диаграммы, 52
Петля Вильсона, 272
— в калибровочной теории на решетке,
417^19
— и конфайнмент кварков, 430
Пион(ы) (7г-мезоны)
— безмассовый, 239. 371
— и нуклоны, взаимодействие между
ними, 370-371
— как намбу-голдстоуновский бозон,
238,431,432
— кварки как составляющие, 429
— прогнозирование, 34
— слабый распад, 235-237
Плотность импульса, в
нерелятивистской теории, 203
Плотность энергии, 40
Поверхностный рост, 379, 396
— и квантовая теория поля, 380-381
Подольский, Б., 499
Подход Гинзбурга-Ландау к квантовой
теории поля, 21
Позитрон(ы)
— концепция Дирака, 6
— флуктуация фотона, 214-216
Поле Ферми, поправка к массе,
расходимость, 193
Поле Хиггса, ковариантная
производная, 276
Политцер, X. Д., теория Янга-Миллса,
430
Полная производная, при
суперсимметричном
преобразовании, 524-526
Поляков, Саша, магнитные монополи,
330
Поляризация, степени, 38
Потенциальная энергия, двухъямного
потенциала, 226
Поток
— калибровочный потенциал и, 362
— фундаментальная единица, 350
Правила Фейнмана, 552-555
— в неабелевой калибровочной теории,
554-555
— в теории Янга-Миллса, 267, 268
— в теории случайных матриц, 444
— в физической теории возмущений,
187-188
— для векторного поля, 149, 553-554
— для квантовой электродинамики,
построение, 157-164
— для скалярного поля, 64-65, 552-553
— для спонтанно нарушенных
калибровочных теорий, 277-279
— для фермионов, 148-149
— открытие, 70
Правило спин-статистики, 137-138
— и антикоммутационное соотношение,
139, 141
— плата за нарушение, 138-140
Представления
— перемножение, 548-549
— соглашения о названиях, 541
Преобразование Лежандра, 243
Преобразование Лоренца и уравнение
Дирака, 107-108
Преобразование
Хаббарда-Стратоновича, 204
Преобразования координат, 89-90
Преоны, теории, 292-293
Прецессия Томаса, 131
Приближение наискорейшего спуска, 18
Примеси, 348
— исследование в физике
конденсированных сред, 387
— случайный потенциал, 383
606
Предметный указатель
Принцип запрета Паули, 137, 348
— история, 137
Принцип неопределенности, 3, 308
Притяжение
— квантовая теория поля, 38-40
— частица со спином 1, 42
— частица со спином 2, 42
Проблема иерархии, великое
объединение, 471-472
Проблема космического совпадения,
510
Проводимость, в сравнении с активной
проводимостью, 404-406
Пропагатор, 27-28
— в каноническом формализме, 79
— гравитонный, 493-495
— для дираковского поля, 147
— для массивной частицы со спином 1,
39
— для массивной частицы со спином 2,
39, 497
— фермионный, 128
— фотонный, 163-164
Пространство импульсов, 30
— фейнмановские диаграммы, 64
— фермионный пропагатор, 128
Пространство-время
— дискретизация, 26
— искривленное, см. искривленное
пространство-время
— размерность, нарушение симметрии,
233
— симметрия, лоренцевская
инвариантность, 82
— фейнмановские диаграммы, 64, 68
Протон(ы)
— устойчивость, 464
— заряд, великое объединение, 460
— и нейтрон, внутренняя симметрия, 83
— кварки как составляющие, 429
— магнитный момент, аномальный,
514-515
— рассеяние электронов на,
глубоконеупругое, 396
— рассеяние электронов на, уравнение
Шредингера, 3
Протонный распад
— великое объединение и, 464-465, 516
— доля канала, 467-469
— небольшая скорость, 471
— эффективная теория, 515-516
Пятиугольная аномалия, 291
Разложение при больших N, 439-441
— подход на основе дайсоновского газа,
447^50
— теории поля, 450-452
Размерная регуляризация, 176-178, 218
Рамакришнан, Т. ,В., 404
Рамон, Пьер, и механизм качели, 480
Распространение фотона
— заряд как мера, 220
— квантовые флуктуации, 214-216
Распространение частиц, описание,
55-56, 58
Рассеяние частиц, см. рассеяние
электронов
— симметрия относительно отражений,
82
— и вакуумные флуктуации, 142
— мезон-мезонное, см. амплитуда
мезон-мезонного рассеяния
— описание, 58-62
— фермион-фермионное,
фейнмановская диаграмма, 182, 183
Рассеяние электронов, 151-155
— до порядка е4, 158-163
— на протонах, уравнение Шредингера,
3
— на нуклонах, глубоконеупругое,
429-430
— на протонах, глубоконеупругое, 396
Расходимость
— в квантовой теории поля, 67-68,
169-170
Предметный указатель
595
Вспомогательное поле, 204, 527-528
By, Тай-Цун, 256
Вырождение Крамера, 117
Вырождение основного состояния, 343
Вычисление Боголюбова бесщелевой
моды, 301, 303
Гамма-матрицы, 104, 133, 556
— вычисление следа произведения,
153-154
— произведение, 105-107
Гамов, Георгий, 137
Гармоническая парадигма, 6
Гауссова теория (теория свободного
поля), 26-27, 49
— в терминах преобразования Фурье, 30
Гауссово интегрирование, 15, 538
Гейзенберг, Вернер
— изоспиновая симметрия, 431, 432
— изоспиновая симметрия SU(2), 549
— нейтрон и протон, симметрия, 83
— подход к квантовой механике, 37-38
Гелл-Манн, Мюррей
— SU(3), 549
— и механизм качели, 480
— сигма-модель, 370-371
— цвет кварка, 429
Генератор, заряд как генератор, 87
Гинзбург, В., 275
— лондоновская длина проникновения,
316
— переходы второго рода, 312
— сверхпроводимость, 315
Гирвин, Стив, 355
Глэшоу, Шелдон, 181
— теория Янга-Миллса и, 421
— теория великого объединения,
456-458
— теория электрослабых
взаимодействий, 425
Глюон(ы), 430
— происхождение понятия, 240
Голая теория возмущений, 187
Голдбергер, Мерф, 118
Гольфанд, Ю. А., 520
Гомотопические группы, 328
Гордона разложение, 208
Гото, Т., 530
Гравитационная сила, см. гравитация
Гравитационное взаимодействие, 42
Гравитация
— Ньютона, см. ньютоновская
гравитационная сила
— Эйнштейна, см. эйнштейновская
теория гравитации
— действие Гильберта-Эйнштейна,
489^90
— действие в пределе слабого поля,
492^93
— и электромагнетизм, объединение,
500
— как калибровочная теория, 492
— как теория поля, 490-492
— неперенормируемость, 491
— света, 499
— спиральная структура, 504-505
Гравитон
— в (п + 3 Н- 1)-мерной Вселенной,
46-47
— взаимодействие с материей, 491
— как элементарная частица, 490, 508
— определение, 91
— самодействие, 490
— связанная с ним сила, 34
— спин, 40
Гравитонный пропагатор, 493-495
Грассманова симметрия, 388
Грассманово интегрирование, 145-147
Грассмановы переменные, 253
Грассмановы числа, 14, 141
— в интеграле по траекториям для
спинорного поля, 142
Гросс, Дэвид, 430
Группа Лоренца
— генераторы, алгебра, 131-132
— определяющее представление, 132
596
Предметный указатель
— спинорное представление, 132-135
Группа вращений, 130
— и лоренцева группа, симметрия, 135
Дайсон, Фримен, 70
Дашен, Роджер, 453
Двухъямный потенциал, 226
Дезер, Стэнли, 531
Действие Гильберта-Эйнштейна для
гравитации, 489-490
— в сравнении с действием
Янга-Миллса, 490-491
— ньютоновская гравитация, 495-496
Действие Максвелла, 196
Действие Полякова, 531
Джордан, П., 121
Джорджи и Глэшоу, теория великого
объединения, 456-458
Джорджи, Говард, 474
Ди Веккиа, Паоло, 531
Диаграммы с петлей, 67-69
Динамическая переменная, в квантовой
теории поля, 22
Динамическое нарушение симметрии,
234
— пример, 432
Дион, 330
Дирак, Поль, 118
— квантование, 460
— квантовая механика и магнитные
монополи, 252
— магнитный монополь, 330
— метафорический язык, 128
— позитрон,6
— спинорное представление, 133
— стиль преподавания, 514
— формализм интеграла по
траекториям, 12-15
— электрический заряд, 460
Дираковский спинор, 104, 107
— и суперсимметрия, 130
— составляющие, 133
Дираковское поле
— вакуумная энергия, 126-127, 145
— взаимодействие с векторным полем,
ИЗ
— взаимодействие с векторным полем,
правила Фейнмана, 149, 553-554
— взаимодействие со скалярным полем,
правила Фейнмана, 64-65, 84, 552
— квантование, 121-129, 140
— квантование грассмановым
интегралом по траекториям, 147
— пропагатор, 147
Дисперсионные соотношения, 240
Дифференциальные формы, 23, 253
— использование в неабелевой
калибровочной теории, 264, 265
Дифференциальный оператор,
пропагатор как обратный
дифференциальному оператору, 27
Длина когерентности, 316
Древесные диаграммы, 52
Дрелл, Сид, 391
Дробная (анионная) статистика, 339
— вводящий в заблуждение термин, 341
— взаимодействие с калибровочным
потенциалом, 340-341
— и квазичастицы, 355
— калибровочный бозон и, 345
Дробный эффект Холла, 348-350
Дуальная теория, вихри как заряды,
360-362
Дуальность
— в (2 + 1)-мерном
пространстве-времени, 364
— вихрь, 362
— монополей, 362-364
— нерелятивистский подход, 365-367
— понятие, 359, 360
— релятивистский подход, 364-365
— связь пертурбативного режима
слабой связи и режима сильной
связи, 533
— теорий струн, 364
— электромагнитная, 258
Предметный указатель
597
Духовые поля, 412-413
Евклидов интеграл по траекториям, 14
Евклидова квантовая теория поля,
305-306
— и выокотемпературная квантовая
статистическая механика, 308
— и квантовая статистическая
механика, 307
Еж, 329
Жидкость Холла, 347-357
— калибровочный потенциал, 351-353,
356
— несжимаемость, 348, 355
— нечетный знаменатель Лафлина, 355
— порядок, 355
— пять основных принципов, 350, 351,
356
— туннелирование электронов, 356
— член Черна-Саймонса, 353
— эффективная теория поля, 350-351,
512-513
Зависимость от параметра обрезания,
173
— амплитуды мезон-мезонного
рассеяния, 185
— ее отсутствие в физической теории
возмущений, 188
— исчезновение, 175, 176
— поглощение контрчленами, 247
Задача о космологической постоянной,
509
— подход к решению, 515
— разрешающаяя ее нестабильность
теории струн, 510
— решения, 508
— суперсимметрия как решение задачи,
520
Зайберг, Натан, 364
Закон обратных квадратов, 45
Закон площадей, 419, 431
Закон полу круговой Вигнсра, 442-447
Замкнутые формы, 254
Заряд, см. электрический заряд,
магнитный заряд
— генератор, 87
— квазичастиц, 354-355
Зарядовое сопряжение, 113-115
— в великом объединении, 483-484
Захаров, В., 497
Зи, А., 340
Зинн-Жюстен, Жан, 185
Зона Бриллюэна, 318
Зрительное восприятие, применение
теории поля к, 536
Зумино, Бруно, 138, 531
Зюбер, Жан-Бернар, 448
Ивасаки, Й., 497
Избыточность, подход
Фаддеева-Попова, 198-200
Излучение
— Хокинга, 308-309
— и атомы, взаимодействие между
ними, 3
Излучение Хокинга, 308-309
Изоспиновая симметрия Гейзенберга,
431,432
Импульс
— орбитальный угловой момент,
уравнение Дирака, 207-208
— спиновый момент, уравнение Дирака,
208
— фундаментальное определение, 91
Инвариантность относительно общего
координатного преобразования, 40
Инвариантность относительно
преобразования подобия, 93
Инвариантность относительно
репараметризации, 93
Индекс Понтрягина, 331
Инстантон(ы), 331
— открытие, 533
Интеграл по траекториям Минковского,
305
598
Предметный указатель
Иррелевантные операторы, 401
Искривленное пространство-время
— введение, 93-96
— действие Дирака, 503
— квантовая теория поля, 90, 308
Источники и стоки, создание, 24, 58, 59
Ициксон, Клод, 448
Йона-Ласиньо, Г., 242
Каданофф, Лео, 397
— и ренорм-группы, 397
Калибровка Щ 240., 280
Калибровка Ландау, 164
Калибровочная инвариантность, 93,
157, 535
— в калибровочной теории на решетке,
417
— в неабелевой калибровочной теории,
сохранение, 218
— доказательство, 158-164, 217-218
— и дираковское квантование
магнитного заряда, 256
— и перенормируемость, 461
— как избыточность степеней свободы,
280
— открытие, 157
— при регуляризации, 216-218
— происхождение, 197
— члена Черна-Саймонса, 355
Калибровочная теория на решетке,
414-417
— петля Вильсона, 417-419
Калибровочное преобразование
(локальное преобразование), 263
— и общее координатное
преобразование, 500
Калибровочные теории, см. неабелевы
калибровочные теории
— решетка, 298-301
— вихрь, 328
— гравитация, 492
— и расслоения, соответствие между
ними, 265
— и теория сверхпроводимости, 316
— избыточность, 198-201
— квантование Фаддеева-Попова,
198-200, 279
— нарушение симметрии, 270-276, 280,
316
— неудовлетворительная формулировка,
534
— спонтанно нарушенные, магнитные
монополи, 330
— спонтанно нарушенные, правила
Фейнмана, 277-279
Калибровочный бозон
— и дробная статистика, 345
— и промежуточный векторный бозон,
330
— спектр масс, 276-277
Калибровочный потенциал, 259
— в холловской жидкости, 351-353, 356
— дробная статистика и, 340-341
— неабелев, 263, 264
— связанный с ним поток, 362
Канонический формализм, 72-75
— в сравнении с формализмом
интеграла по траекториям, 50, 72, 79
— для спинорного поля, 257
— и степени свободы, 79
— и фейнмановские диаграммы, 50
— пропагатор, 79
— упорядочивание по времени, 79-80
Квазичастицы, 353
— дробная статистика и, 354, 355
— заряд, 354-355
— как вихрь, 355
Квантование заряда, вывод уравнения,
138
Квантовая жидкость Холла, см.
жидкость Холла
Квантовая механика
— гармонический осциллятор, решение,
49
— и векторный потенциал,
необходимость в, 252
Предметный указатель
599
— и магнитные монополи, 252
— и общая теория относительности, 7
— и релятивистская физика, связь спина
со статистикой, 139
— и специальная теория
относительности, 3, 7, 138
— квантовая теория поля как обобщение
квантовой механики, 98-99, 533
— нарушение симметрии, 227-229
— обращение времени, 116-117
— подход Гейзенберга, 72-73
— симметрия, 283
— статистическая сумма, 306-307
— формализм интеграла по
траекториям, 8-15
Квантовая система Холла, 297
Квантовая статистика, 137
Квантовая хромодинамика (КХД), 396,
430
— аналитическое решение, поиск, 437
— при высоких энергиях, 437
— разложение при больших значениях
N, 439-441
— ренорм-групповой поток, 432-434
Квантовая электродинамика (КЭД), 36
— интеллектуальная незавершенность,
138
— константа связи, 173, 393
— лагранжиан, 113, 157
— перенормируемость, 185
— правила Фейнмана, вывод, 157-164
— электромагнитное калибровочное
преобразование, 201
Квантовые теории поля
— ангармоничность, 49, 99
— асимптотическое поведение,
исследование, 395-396
— бесконечности, 169-170
— в (0 + 0)-мерном
пространстве-времени, 531
— в искривленном
пространстве-времени, 90, 308
— в пределе низких энергий, 170, 180,
512
— вакуум, 23
— гармоническая парадигма и, 6
— гравитация, 490-492
— граница неведения, 170-171, 513
— для конечной плотности, 310
— для конечной температуры, 307-308
— евклидова, 305-308
— и физика конденсированных сред, 6,
202, 297
— интеграл, 98-99
— история, 70
— кризис, 235, 370, 512
— матрацная модель, 20-22
— мотивация к построению, 65
— нарушение симметрии, 227-229
— необходимость, 3-7, 142
— нерелятивистский предел, 202-203
— новаторское применение, 536
— ограничение, 533, 534
— основное состояние, 229
— основное тождество, 196, 539
— отталкивание и притяжение, 36-40
— перенормируемые и
неперенормируемые, 180
— поверхностный рост и, 380-381
— расходимости, 67-68, 169-170
— релятивистские и нерелятивистские,
203-205
— сильные и слабые взаимодействия,
235
— сильных взаимодействий, 370
— скрытые структуры, 535
— суперсимметричные, 520, 528
— теории как категории, 533
— триумф, 512, 533
— шаги к построению, 239-240
Квантовые флуктуации
— высших порядков, киральная
аномалия, 331
— и нарушение симметрии, 233, 242,
249, 283
600
Предметный указатель
— и фотонный пропагатор, 214-216
— и электрический заряд, 220, 221
— несохранение аксиального тока,
287-288
— первого порядка, 244-245
— порождаемый ими эффективный
потенциал, 250
Квантовый вакуум, 395
Кварк(и)
— в электрослабом объединении, 425
— виды, 429
— и лептоны, взаимодействие
нейтральных токов, 426
— конфайнмент, 419, 430-431
— поколения, 483
— происхождение понятий, 240
— семейства, 426
— сильное взаимодействие между
ними, ослабление, 396
— цвет, 429, 430
Кивелсон, Стив, 350
Кинки, см. солитоны
Киральная аномалия, см. аномалия
Киральная симметрия
— сильного взаимодействия, 238, 431,
432
— сохраняющийся ток, 111
— условие, 472
Киральное суперполе, 524, 526
Киральность поля, 111
— зарядовое сопряжение и, 115
Классическая физика, симметрия, 283
Классический предел, вычисление в
формализме интеграла по
траекториям, 23
Компактификация Калуцы-Клейна,
499-500
— вывод, 505-506
Конденсация Бозе-Эйнштейна, 315
Конденсация, и сверхпроводимость, 315
Константа связи, 173, 185
— Янга-Миллса, 268-269
— безразмерная, 181
— ошибочное употребление термина,
395
— перенормированная, 175
— пион-нуклонная, 239
— увеличение числа адронов и, 235
— электромагнитного взаимодействия,
395
Константа связи Ферми, 181
Константа связи Юкавы, 181
Константа связи Янга-Миллса, 268-269
Константа связи пион-нуклон, 239
Константа связи, электромагнитная, 393
Контакт Джозефсона, фундаментальное
соотношение, 204
Контрчлены
— в фейнмановских диаграммах,
187-188
— включение в них зависимости от
параметра обрезания, 247
— неперенормируемые теории и, 192,
247
Космологическая постоянная, 508-509
— в единицах ГэВ4, 509-510
— порядок величины, 509
Коулмен, Сидней, 260, 533
Критическая размерность, в физике
конденсированных сред, 401, 407
Критические явления, 312
— завершенная теория, 314
— теория Гинзбурга-Ландау, 313-314
Кулоновская сила электрического
взаимодействия
— и гравитационная сила Ньютона,
сравнение, 34
— квантовая теория поля, 36-37
Кулоновский потенциал, модификация,
222
Лагранжиан
— Дирака, см. уравнение Дирака
— Максвелла, см. максвелловский
лагранжиан
— Мейсснера, 360, 364
111ЧДМ1111ЫИ УКАЗАТЕЛЬ
601
— Янга-Миллса, 267
— для квантовой электродинамики. 113,
157
— как символический объскг, 370, 372
— калибровочно-инвариантный,
263-264
— нарушение симметрии, 225
— слабого взаимодействия, 111
Лагранжиан Янга-Миллса, 267
Лагранжиан слабого взаимодействия,
111
Ландау, Л. Д., 275
— лондоновская длина проникновения,
316
— переходы второго рода, 312
— сверхпроводимость, 315
— сверхтекучесть, 301
Лаплас, П.-С„ 308
Ларморовская окружность, 347, 348
Леви, М., сигма-модель, 370-371
Лейнаас, Дж., 339
Лемма Пуанкаре, 254
Лептоны
— и кварки, взаимодействие
нейтральных токов, 426
— поколения, 483
— семейства, 426
Ли Д. X., 365
Ли, Б., 185
Ли, Цун-дао, 111
Лихтман, Е. П., 520
Личчиарделло, Д., 404
Логарифмическая расходимость,
187-189
Локализация
— Андерсона, 383-384, 387
— Андерсона, на языке ренорм-групп,
404^107
— исследование, 388
Локализация Андерсона, 383-384, 387
— в терминах ренорм-группы, 404-407
Локальная теория поля, 534
Локальное преобразование, см.
калибровочное преобразование
Лондоновская длина проникновения,
316
Лоренцевская инвариантность, 535
— в квантовой теории поля, 21
— евклидов эквивалент, 399
— канонический формализм и, 79
Лоренцевы бусты, 130-131
Луч света, тензор энергии импульса,
503
Лэмбовский сдвиг в атомной
спектроскопии, 222
Людерс, Г., 138
Магнитный заряд (монополь), 258, 330
— в спонтанно нарушенных
калибровочных теориях, 330
— дираковское квантование, 256-257,
260
— дуальность, 362-364
— и уравнения Максвелла, 258
— квантовая механика и, 252
— масса, 330
— удержание в сверхпроводнике,
430-431
— электрически заряженный (дион), 330
Магнитный момент протона,
аномальный, 514-515
Магнитный момент ферромагнетика и
антиферромагнетика, 375
Магнитный момент электрона
— Швингер, 209-211,514
— в уравнении Дирака, 207-208
— вычисление, 514
Магнитный момент электрона
аномальный, 209
Майорана, Этторе, 115, 562
Майорановский спинор, 116, 562
Макдональд, Алан, 355
Максвелловский лагранжиан, 36, 38, 93
— вывод, 43
— обход, 38-39
602
Предметный указатель
Маргинальные операторы, 401
Масса
— Планка, 46^7, 490
— калибровочного бозона, 276-277
— магнитного заряда (монополя), 330
— майорановская, 115, 116
— нейтрино, 116
— нуклона, 371
— притяжение, между, 39^40
— солитона (кинка), 325
— частицы Хиггса, 426
— электрона, 194
— энергия, 40
Масса Планка
— для (п + 3 + 1)-мерной Вселенной,
46-^7
— модифицированная, 490
Массивная частица со спином 1
— в теории Янга-Миллса, 421
— покоящаяся система координат, для,
197
— пропагатор, 39
— степени поляризации, 38
— степени свободы, 42, 43
— теория поля, 36-37
Массивная частица со спином 2
— пропагатор, 39, 497
— степени поляризации, 39
Массивное калибровочное поле,
намбу-голдстоуновский бозон,
275-276
Массивное поле со спином 1, в
сравнении с безмассовым полем со
спином 1, 197
Массы нейтрино, эффективная теория
поля, 516
Массы фермионов
— в теории великого объединения,
469^70
— естественно малые, 472
Масштабы длины
— в физике конденсированных сред, 180
— ренорм-группа и, 397-399
Масштабы энегрии
— в физике элементарных частиц, 180
— ренорм-группа и, 397
Материя
— происхождение, объяснение, 471
— состояния, 355
Матрацная модель теории скалярного
поля, 4-6
— нарушение, 24
— описание в терминах интеграла по
траекториям, 20-22
Матрица(матрицы)
— Гелл-Манна, 276
— Паули, 276
— гамма-, см. гамма-матрицы
— не имеющая обратную матрицу,
196-197
Матрицы Гелл-Манна, 276
Матрицы Паули, 276
Мезон(ы), см. массивная частица со
спином 1
— 7Г-, см. пион(ы)
— а-, 371, 372
— в сравнении с солитоном, 324
— векторный, теория поля, 36-37
— рождение, квантовая теория поля,
65-66
Мейсснеровский лагранжиан, 360, 364
Мера интегрирования, в формализме
интеграла по траекториям, 79
Метод Фаддеева-Попова, 198-200, 279,
411
— и получение гравитонного
пропагатора, 493
— применение к электромагнетизму,
200-201
Метод дайсоновского газа, 447-450
Метод реплик, 386-387
Механизм Андерсона, 275
Механизм качели, 480
Миллс, Ричард и неабелева
калибровочная теория, 262, 264
Мирхайм, Дж., 339
ГИЧ'ДМГЛНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
603
Мода с линейной дисперсией, 301
— скорость, 302
Модель Весса-Зумино, 521
Модель Гросса-Невье, 450-452
Модель Изинга, 397
Монополь, см. магнитный заряд
Монтонен, Дж., 364
Мюон, слабый распад, 422
Намбу, Йохиро, 317, 530
Намбу-голдстоуновские бозоны,
231-232
— 7г-мезоны (пионы), 238, 431, 432
— бесщелевая мода, 301
— в массивном калибровочном поле,
275-276
— в релятивистской и нерелятивистской
теориях, 302
Напряженность поля, построение,
264-267
Нарушение барионного числа, закон,
464
Нарушение непрерывной симметрии,
229
— и безмассовые поля, 231-232
— теорема
Коулмена-Мермина-Вагнера, 233
Нарушение симметрии, см. спонтанное
нарушение симметрии, 225-234
— симметрия относительно отражений,
225-227
— в калибровочных теориях, 274-276,
280,316
— в квантовой механике и квантовой
теории поля, 227-229
— динамическое, 234, 432
— и неаналитичность, 313
— и сверхтекучесть, 300-301
— и энергия вакуума, 509
— квантовые флуктуации и, 233, 242,
249, 283
— непрерывная симметрия и, 229
— размерность пространства-времени и,
233
Натуральность, система обозначений,
472
Неабелев калибровочный потенциал,
263, 264
— взаимодействие с фермионным
полем. 270
Неабелева калибровочная теория, см.
теория Янга-Миллса, 262-270
— дифференциальные формы, 264, 265
— духовое действие, 413
— избыточность, подход
Фаддеева-Попова, 198
— калибровочная инвариантность,
сохранение, 218
— киральная аномалия, 291
— неудовлетворительные свойства, 534
— перенормируемость, 185, 461
— правила Фейнмана, 554-555
— сильное взаимодействие, 421
— сильных взаимодействий, 269
— формализм двойных линий
'тХоофта, 268-269
Неабелева фаза Берри, 272, 378
Неаналитичность
— нарушение симметрии и, 313
— появление, 312
Невье, Андре, 450, 867
Нееман, Ю., SC/(3), 549
Нейтрино
— киральность, 115
— масса, 116
Нейтрон(ы)
— /3-распад, 235-236
— и протон, внутренняя симметрия, 83
— электрический дипольный момент,
269
Неперенормируемость аномалии, 292
Неперенормируемые теории, 180, 192,
513
— контрчлены, 192, 247
604
Предметный указатель
— теория слабых взаимодействий
Ферми, 181, 192
— эйнштейновская теория гравитации,
183
Непрерывная симметрия, 83-84, 230
— сохраняющийся ток и, 86-87
Неравенство Богомольного, 325-326
— для массы монополя, 330
Неупорядоченность
— в физике конденсированных сред,
383, 387
— грассманов подход к решению, 387
— локализация Андерсона, 383-384, 387
Неустойчивость Пайерлса, 320
Нуклон(ы)
— волновая функция кварков, 429
— и пионы, взаимодействие между
ними, 370-371
— масса, 371
— притяжение, 32
— рассеяние электронов от,
глубоконеупругое, 429-430
Ньютоновская гравитационная сила
— вывод из действия
Гильберта-Эйнштейна, 495-496
— и кулоновская сила электрического
взаимодействия, сравнение, 34
— квантовая теория поля, 36, 38-40
Обменная симметрия, 83
Обращение времени, 116-117
— и уравнение Дирака, 117-118
Общая ковариантность, принцип, 89
Общая теория относительности
— и квантовая механика, 7
— обзор, 93-96
Общее координатное преобразование и
калибровочное преобразование,
связь между, 500
Объединение, см. великое объединение
Олив, Д. И., 364
Оператор Дирака, 128
Оператор Клейна-Гордона, 128
Оператор скалярного бозона, 128
Орбитальный угловой момент,
уравнение Дирака, 207-208
Ортогональные группы, включение в
них унитарных групп, 476-477
Основное состояние, в квантовой
теории поля, 229
Основное тождество квантовой теории
поля, 196, 539
Отталкивание
— бозонов, 204-205, 300, 367
— вихрей, 367
— квантовая теория поля, 36-37
— частица со спином 1 и, 42
Пайерлс, Рудольф, 404
Параметры упорядочения, 315
Паризи, Джорджио, 448
Паули, Вольфганг, связь спина со
статистикой, 138
Переменные интегрирования, сдвиг, 285
Перенормированная константа связи,
175
Перенормированная теория
возмущений, 187-188
Перенормировка, 169, 173-175
— волновой функции, 187
— константы связи, 185-186
— массы, 186
— поля, 187
— электрического заряда, 221, 222
Перенормировка волновой функции,
187
Перенормировка константы связи,
185-186
Перенормировка массы, 186
Перенормировка поля, 187
Перенормируемости условий,
наложение, 247
Перенормируемые теории, 180, 185, 513
— неабелева калибровочная теория, 185,
461
— теория*/, 185, 187
11|>!:ДМ1'1 ИЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
605
— теория Юкавы, 190-192
— теория электрослабых
взаимодействий, 426
Перенормируемые условия, наложение,
248
Переход Костерлица-Таулесса, 332
Пертурбативная квантовая гравитация,
499
Петлевые диаграммы, 52
Петля Вильсона, 272
— в калибровочной теории на решетке,
417-419
— и конфайнмент кварков, 430
Пион(ы) (7г-мезоны)
— безмассовый, 239, 371
— и нуклоны, взаимодействие между
ними, 370-371
— как намбу-голдстоуновский бозон,
238,431,432
— кварки как составляющие, 429
— прогнозирование, 34
— слабый распад, 235-237
Плотность импульса, в
нерелятивистской теории, 203
Плотность энергии, 40
Поверхностный рост, 379, 396
— и квантовая теория поля, 380-381
Подольский, Б., 499
Подход Гинзбурга-Ландау к квантовой
теории поля, 21
Позитрон(ы)
— концепция Дирака, 6
— флуктуация фотона, 214-216
Поле Ферми, поправка к массе,
расходимость, 193
Поле Хиггса, ковариантная
производная, 276
Политцер, X. Д., теория Янга-Миллса,
430
Полная производная, при
суперсимметричном
преобразовании, 524-526
Поляков, Саша, магнитные монополи,
330
Поляризация, степени, 38
Потенциальная энергия, двухъямного
потенциала, 226
Поток
— калибровочный потенциал и, 362
— фундаментальная единица, 350
Правила Фейнмана, 552-555
— в неабелевой калибровочной теории,
554-555
— в теории Янга-Миллса, 267, 268
— в теории случайных матриц, 444
— в физической теории возмущений,
187-188
— для векторного поля, 149, 553-554
— для квантовой электродинамики,
построение, 157-164
— для скалярного поля, 64-65, 552-553
— для спонтанно нарушенных
калибровочных теорий, 277-279
— для фермионов, 148-149
— открытие, 70
Правило спин-статистики, 137-138
— и антикоммутационное соотношение,
139, 141
— плата за нарушение, 138-140
Представления
— перемножение, 548-549
— соглашения о названиях, 541
Преобразование Лежандра, 243
Преобразование Лоренца и уравнение
Дирака, 107-108
Преобразование
Хаббарда-Стратоновича, 204
Преобразования координат, 89-90
Преоны, теории, 292-293
Прецессия Томаса, 131
Приближение наискорейшего спуска, 18
Примеси, 348
— исследование в физике
конденсированных сред, 387
— случайный потенциал, 383
606
Предметный указатель
Принцип запрета Паули, 137, 348
— история, 137
Принцип неопределенности, 3, 308
Притяжение
— квантовая теория поля, 38-40
— частица со спином 1, 42
— частица со спином 2, 42
Проблема иерархии, великое
объединение, 471-472
Проблема космического совпадения,
510
Проводимость, в сравнении с активной
проводимостью, 404-406
Пропагатор, 27-28
— в каноническом формализме, 79
— гравитонный, 493-495
— для дираковского поля, 147
— для массивной частицы со спином 1,
39
— для массивной частицы со спином 2,
39, 497
— фермионный, 128
— фотонный, 163-164
Пространство импульсов, 30
— фейнмановские диаграммы, 64
— фермионный пропагатор, 128
Пространство-время
— дискретизация, 26
— искривленное, см. искривленное
пространство-время
— размерность, нарушение симметрии,
233
— симметрия, лоренцевская
инвариантность, 82
— фейнмановские диаграммы, 64, 68
Протон(ы)
— устойчивость, 464
— заряд, великое объединение, 460
— и нейтрон, внутренняя симметрия, 83
— кварки как составляющие, 429
— магнитный момент, аномальный,
514-515
— рассеяние электронов на,
глубоконеупругое, 396
— рассеяние электронов на, уравнение
Шредингера, 3
Протонный распад
— великое объединение и, 464-465, 516
— доля канала, 467-469
— небольшая скорость, 471
— эффективная теория, 515-516
Пятиугольная аномалия, 291
Разложение при больших N, 439-441
— подход на основе дайсоновского газа,
447-450
— теории поля, 450-452
Размерная регуляризация, 176-178, 218
Рамакришнан, Т. ,В., 404
Рамон, Пьер, и механизм качели, 480
Распространение фотона
— заряд как мера, 220
— квантовые флуктуации, 214-216
Распространение частиц, описание,
55-56, 58
Рассеяние частиц, см. рассеяние
электронов
— симметрия относительно отражений,
82
— и вакуумные флуктуации, 142
— мезон-мезонное, см. амплитуда
мезон-мезонного рассеяния
— описание, 58-62
— фермион-фермионное,
фейнмановская диаграмма, 182, 183
Рассеяние электронов, 151-155
— до порядка е4, 158-163
— на протонах, уравнение Шредингера,
3
— на нуклонах, глубоконеупругое,
429^30
— на протонах, глубоконеупругое, 396
Расходимость
— в квантовой теории поля, 67-68,
169-170
I ll'l ДМ1 I 111 > 111 УКЛЗАТПЛЬ
609
— SU(5) теория Джорджи и linnioy,
456-458
— представление на осноис разложения,
550
Спиновая волна, 232
Спиновый угловой момент, уракпенне
Дирака, 208
Спинор(ы)
— вейлевские, 133, 521
— дираковские, 104, 107, 130, 133
— майорановские, 116, 562
— представления, 132-133
Спинорное поле
— вакуумная энергия, 126-127, 145
— вывод, 145-147
— интеграл по траекториям, 141
— интеграл по траекториям,
грассмановы числа, 142
Спонтанное нарушение симметрии,
225-227, 230
— симметрии относительно отражений,
227
— в калибровочных теориях, 274-276
— в релятивистских и
нерелятивистских теориях, 302
— в физике элементарных частиц, 312,
317,509
— и сверхтекучесть, 300-301
— квантовые флуктуации, 233
— непрерывной симметрии:
безмассовые поля, 231-232
— фазовые переходы второго рода и,
312
Среднее вакуумное значение, 229
Статистика Бозе-Эйнштейна, 137
Статистика Ферми-Дирака, 137
Статистическая функция, в квантовой
статистической механике, 306-307
Степени свободы, 42
— калибровочная инвариантность как
избыточность описания, 280
— канонический формализм, 79
продольные, в массивном
калибровочном поле, 275
уравнение Дирака и уменьшение их
количества, 105
электрона, 105, 110
Стоунер, Э. К., 137
Стратди, Дж., суперполевой и
суперпространственный формализм,
522
Суперзаряды, 523
Суперполе, 523-524
— векторное, 526-527
— киральное, 524, 526
Суперсимметричная алгебра, 521-522
Суперсимметричное действие, 526, 527
Суперсимметричное преобразование,
полная производная, 524-526
Суперсимметричные теории поля, 520
— Янга-Миллса, 437, 528
Суперсимметричный метод, 388
Суперсимметрия, 127
— дираковский спинор и, 130
— изобретение, 521
— мотивации, 520
Сценарии великих умов мира, 45-47,
510
'тХоофт, Жерардус, 185
— и разложение при больших значениях
N,439
— магнитные монополи, 330
— теория электрослабых
взаимодействий, 426
Таблица Юнга, 541
Теллер, Эдвард, 118
Температура
— и периодическое мнимое время, 307
— конечная, квантовая теория, 307-308
— черная дыра, 308, 309
Тензор поляризации вакуума, 214, 215,
218
Тензор Риччи, 489
Тензор кривизны Римана, 489
610
Предметный указатель
Тензор энергии импульса, 40, 343
— луча света, 503
— определение, 91
— свойства, 93
Тензор(ы)
— Риччи, 489
— вакуума поляризации, 214, 215, 218
— кривизны Римана, 489
— ортогональной группы, 540-541
— светового луча, 503
— свойства симметрии, 541, 544
— унитарной группы, 543-544
— энергии импульса, 40, 91-93, 343
Тензорное поле, 40, 91
Теорема СРТ, 118
Теорема Вика, 15
Теорема Голдстоуна, 231-232
— в физике конденсированных сред,
232-233
Теорема Коулмена-Мермина-Вагнера,
233
Теорема Нетер, 86-87, 111, 371
— детальная формулировка, 87
Теорема Стокса, 328
Теорема подсчета степеней, 188-190
Теория ip4, перенормируемость, 185,
187
Теория 5-матрицы, 240, 370
Теория Гинзбурга-Ландау (теория
среднего поля), 313-314
— порядок, 355
Теория Черна-Саймонса, 342-343
— эффективная теория холловской
жидкости, 350
Теория Юкавы, перенормируемость,
190-192
Теория Янга-Миллса, 267-268
— асимптотически свободная, 430
— в сравнении с действием
Гильберта-Эйнштейна, 490-491
— в сравнении с эйнштейновской
теорией гравитации, 503
— в формулировке Вильсона, 414-417
— закон площадей, 419
— квантование, 411-413
— первоначальный отклик, 411, 421
— пертурбативный подход, 414
— правила Фейнмана, 267, 268
— суперсимметричная, 437, 528
— уравнение Шредингера и, 271-272
Теория возмущений, 57-58
— голая, 187
— конечная температура, 307
— фейнмановские диаграммы, 65, 66
— физическая (перенормированная),
187-188
Теория групп, обзор, см. специальная
ортогональная группа SO(N),
специальная унитарная группа
SU(N), 540-550
Теория некоммутативного поля, 534
Теория перенормировки, применение,
245-247
Теория свободного поля (гауссова
теория), 26-27, 49
— в терминах преобразования Фурье, 30
Теория скалярного поля
— безмассовая версия, 301
— евклидов функциональный интеграл
и, 305
— евклидова версия, 313
— классическое уравнение поля, 23
Теория слабых взаимодействий Ферми,
236
— в теории электрослабых
взаимодействий, 182
— как эффективная теория поля, 516
— неперенормируемость, 181, 192, 366
— промежуточный векторный бозон,
182-183
Теория случайных матриц, 441-442
Теория случайных матриц
— правила Фейнмана, 444
Теория среднего поля (теория
Гинзбурга-Ландау), 313-314
— порядок, 355
Прндметный указатель
611
Теория струн
— р-формы, 259
— Шварц, о, 532
— в квантовой теории поля, 533
— дуальность, 364
— и задача о космологической
постоянной, неспособность решить,
510
— идея Калуцы-Клейна и, 500
— как 2-мерная теория поля, 530-531
— как кандидат на звание единой
теории, 489, 512
— происхождение, 7, 431
Теория суперструн, 532
Теория электромагнетизма Максвелла
— в сравнении с теорией Янга-Миллса,
267
— развитие, 534-535
Теория электрослабых взаимодействий,
181-182,421
— перенормируемость, 426
— построение, 421-425
Тетрады, 502
Тождества Фирца, 518
Тождество Бьянки, 254, 270
Тождество Паули-Хопфа, 376
Тождество Уорда-Такахаши, 163, 461
Тождество, абсолютное, 137-138
Ток нетеровский, 203, 238
Толмен, Р., 499
Томонага, Шин-Итиро, 70
Топологическая теория поля, 342-343
Топологические квантовые жидкости,
см. жидкость Холла, 347
Топологические объекты, см.
специфические объекты, 327
— открытие, шок, 332-333
Топологический порядок, 355
Топологический ток, 324
Точечная частица
— действие, построение, 93-96
— мировая линия, длина линии, 93
— тензор энергии импульса,
вычисление, 96
Точные формы, 254
Трейман, Сэм, см. соотношение
Голдбергера-Треймана, 240
Треугольная аномалия, 284, 291
Угловой момент, сложение, 548
Уилер, Джон, 404
Ультрафиолетовая катастрофа, 508
Ультрафиолетовая расходимость, 170
Унитарная калибровка, 280
Унитарные группы, включение в
ортогональные группы, 476-477
Упорядочение по времени, в
каноническом формализме, 79-80
Уравнение Дирака, 103-119
— алгебра Клиффорда и, 104-105
— в искривленном
пространстве-времени, 503
— в физике твердого тела, 318, 319
— вывод, 135
— и уменьшение степеней свободы, 105
— киральность, 111
— лоренц-преобразование и, 107-108
— магнитный момент электрона,
207-208
— обращение времени, 117-118
— преобразование четности, 109
— происхождение, 103-104
— решение, ПО
— электромагнитное поле и, 113
Уравнение Кардара-Паризи-Чжана, 379
Уравнение Клейна-Гордона, 26, 103,
105, 202
— уравнение Шредингера, 202
Уравнение Майораны, 115-116
Уравнение Пуассона, 496
Уравнение Шредингера
— ограничения, 3
— структура Янга-Миллса, 271-272
— уравнение Клейна-Гордона и, 202
612
Предметный указатель
— электромагнитное калибровочное
преобразование, 201
Уравнение Эйлера-Лагранжа, 15, 87,
495, 508
Уравнения Максвелла, магнитные
заряды, 258
Уравнения Рариты-Швингера, 136
Уровни Ландау, 348
Фаза Берри, неабелева, 272, 378
Фазовые переходы второго рода, 312
Фейнман, Ричард
— Дирак, 118
— метафорический язык, 128
— основной вклад, 49
— теория Янга-Миллса и, 411
— формализм интеграла по
траекториям, 8-12
Фейнмановская калибровка, 164
Фейнмановские диаграммы
— в пространстве импульсов, 64
— в пространстве-времени, 64, 68
— в теории возмущений, 65, 66
— вычисление, 556-559
— для рассеяния электронов, 151, 152
— для фермион-фермионного
рассеяния, 182, 183
— доминирование, 322
— канонический формализм и, 50
— конечная температура, 307
— контрчлены, 187-188
— ломка оков, 332
— начало, 34
— ограничения, 79
— ориентация, 64
— открытие, 50-58
— петля, 52, 67-69
— построение в рамках детской игры,
62
— регуляризация, альтернативные пути,
176
— свойства аналитичности, 221
— связанные бесконечные наборы,
239-240
— связанные и несвязанные, 34-35, 55
— формализм интеграла по траекториям
и, 50
— функция, 58
Ферми, Энрико, 118
Ферми-жидкость Ферми, бесщелевые
моды, 302
Фермион(ы)
— в калибровочной теории на решетке,
417
— и бозоны, объединение, 520
— массивное дираковское поле и член
Черна-Саймонса, 343-344
— поправка массе, расходимость, 193
— поправка к массе, расходимость, 194
— правила Фейнмана, 148-149
— степень расходимости, 190-192
Фермион-фермионное рассеяние,
фейнмановские диаграммы, 182, 183
Фермионный пропагатор, 128
Ферромагнетики, 232
— магнитные моменты, 375
— низкоэнергетические моды, 376-377
— описание в терминах эффективной
низкоэнергетической теории,
375-376
— порядок, 355
Ферромагнитный переход, 315
Физика высоких энергий
— ренорм-группа, 395-396
Физика конденсированных сред
— квазичастицы, 353
— квантовая теория поля и, 6, 202, 297
— квантовый эффект Холла и, 384-385
— критическая размерность, 401, 407
— масштабы длины, 180
— неупорядоченные системы, 383, 387
— плотность импульса, 203
— правило спин-статистики, 137
— примеси, 387
— ренорм-группа, 396-400
Предметный указатель
613
— теорема Голдстоуна, 232-233
— физика элементарных частиц и, 297,
512-513
— цель, 355
— число, сопряженное фазовому углу,
204
Физика твердого тела, уравнение
Дирака, 318, 319
Физика элементарных частиц
— и физика конденсированных сред,
297, 512-513
— масштабы энергий, 180
— проблема поколений, 483
— спонтанное нарушение симметрии,
312,317,509
Физическая теория возмущений,
187-188
Фиксация калибровки, 197
Фиксированная точка, сильная связь,
395
Фирц, М, 138
Фишер, Майкл, 314
— и ренорм-группы, 397
Фишер, Мэтью П. А., 365
Фонон(ы), 6, 301
Формализм двойных линий, 440-441
Формализм двойных линий 'т Хоофта,
268-269
Формализм интеграла по траекториям
— Дирак, 12-15
— Фейнман, 8-12
— в сравнении с каноническим
формализмом, 50, 72, 79
— вывод, 50
— грассманово исчисление и, 146-147
— для спинорного поля, 257
— замена, 535
— и классический предел, 23
— и энергия вакуума, вычисление,
141-143
— история, 70
— киральная аномалия и, 293
— мера интегрирования, 79
— описание матрацной модели, 20-22
Формализм суперпространства и
суперполя, 521-522
Формы
— геометрический характер, 258-259
— замкнутые и точные, 254-256
Фотон(ы)
— отсутствие покоящейся системы
координат, 197
— продольная мода, 164
— рождение и смерть, 4
— связанная с ним сила, 34
— спин, 40
— статистика Бозе-Эйнштейна, 137
— флуктуация в электрон и позитрон,
214-216
Фотонный пропагатор, 163-164
— физический (ренормированный), 215
— фурье-преобразование, 222
Фудзикава, Кацуо, 293
Функции Грина, 53, 385
— в связанный с ними пропагатор, 27
— построение, 58
Хаотическая динамика и квантовая
физика, 381
Хасслахер, Бросл, 453
Хау, П., 531
Холловская жидкость с нечетным
знаменателем Лафлина, 355
Хэвисайд, О., 252
Хэнсон, Т., 350
Цвет, кварк, 429, 430
Целочисленный эффект Холла, 348
Частица, см. специфические частицы
— источники и стоки, 24
— перестановка, 339-340
— распространение, описание, 55-56, 58
— рассеяние, см. рассеяние частиц
— рождение и смерть, 4-6
— рождение квантовой теории поля,
65-66
614
Предметный указатель
— связанная с ней сила, 31-34
— связанное с ней поле, 30-31
Частица Хиггса, масса, 426
Черная дыра
— Шварцшильд, 332-333
— излучение Хокинга, 308-309
Черная дыра Шварцшильда, 332-333
Четность, 109
— и дираковский спинор, 133
— слабое взаимодействие, 111, 421-422
— уравнение Дирака и, 109
Четырехугольная аномалия, 291
Чжан, Шоу-Ченг, 350
Член (9, 269
Член Максвелла, 344, 356
Член Хопфа, 342
— нелокальный, 356
Член Черна-Саймонса, 341
— в нерелятивистской теории, 344
— для холловской жидкости, 353
— и член Максвелла, 344
— калибровочная инвариантность, 355
— массивные дираковские фермионы и,
343-344
Член с фазой Берри, в ферромагнетиках
и антиферромагнетиках, 376, 378
Чу, Геофф, 118
Шварц, Джон, теория струн, 532
Швингер, Джулиан
— и эффективный потенциал, 242
— магнитный момент электрона,
209-211,514
— на конференции в Поконо (1948 г.),
118
— стиль преподавания, 514
— теория Янга-Миллса и, 421
— фейнмановский вклад, 49, 58
— формализм интеграла по
траекториям, 70
Шрифер, Боб, 317
Эйнштейн, Альберт
— и космологическая постоянная, 509
— и соглашение о суммировании по
повторяющимся индексам, 535
Эйнштейновская теория гравитации, 89,
91
— в сравнении с теорией Янга-Миллса,
503
— и отклонение света, 496-497
— неперенормируемость, 183
Эйнштейновский лагранжиан,
линеаризованный, 38
Эксперимент с двойной щелью, 8, 9
— разложение, 8-10
Электрическая сила
— и гравитационная сила, сравнение, 34
— квантовая теория поля, 36-37
Электрический заряд
— квантованный, великое объединение,
460
— квантовые флуктуации и, 220, 221
— перенормировка, 221, 222
Электромагнетизм
— Максвелла, см. теория
электромагнетизма Максвелла
— и гравитация, объединение, 500
— метод Фаддеева-Попова, 200-201
— слабые стороны теории, 465-466
Электромагнитная волна, степени
свободы, 42
Электромагнитная дуальность, 258
Электромагнитная константа связи,
поток, 393
Электромагнитная сила
— знание, 508
— между зарядами, 37
Электромагнитное поле
— в уравнении Дирака, 113
— и энергия вакуума, 76
— как квантовое поле, 3-4
— тензор энергии импульса, 91-93
Электрон(ы)
— абсолютная идентичность, 137-138
— бинарные последовательности, 482
Предметный указатель
615
— в системе конденсированных сред,
297
— влияние магнитного поля, 259-260
— дробное состояние Холла, 348
— куперовская пара, 315
— магнитный момент, см. магнитный
момент электрона
— масса, в классической физике, 194
— невзаимодействующие
перескакивающие, 318-319
— пары, статистика Бозе-Эйнштейна,
137
— спаривание с образованием бозонов,
315
— статистика Ферми-Дирака, 137
— степени свободы, 105, ПО
— требование антисимметричности
волновой функции, 121
— устойчивость, 464
— флуктуация фотона в электроны, 214
— фотон, флуктуирующий в электроны,
216
— энергетические уровни, 6
Электроны куперовской пары, 315
Энергия
— вакуума, см. вакуумная энергия
— квантовая механика и специальная
теория относительности, 3
— массы, 40
— фундаментальное определение, 91
Энтропия, Больцман, 332
Эренфест, П., 499
Эффект Ааронова-Бома, 259-260, 272,
341,345
Эффект Мейсснера, 316, 430
Эффект
Толмена-Эренфеста-Подольского,
499, 504
Эффект Холла, 384-385
— дробный, 348-350
— целочисленный, 348
Эффективная теория поля
— для масс нейтрино, 516
— для холловской жидкости, 350-351,
512-513
— и ренорм-групповой поток, 513
— предсказательная сила, 518
— протонного распада, 515-516
— развитие, 512
— теория слабых взаимодействий
Ферми, 516
Эффективный потенциал, 243-244
— Коулмена-Вайнберга, 245
— порождаемый квантовыми
флуктуациями, 250
Юкава X., 32-34, 182
Явление Вайскопфа, 193-194
— великое объединение и, 471
Янагида, Т. и механизм качели, 480
Янг, Чен-Нинг, 111, 118, 256
— и неабелева калибровочная теория,
262, 264